Φιλοσοφία των μαθηματικών

Ιστορία

Η προέλευση των μαθηματικών είναι θέμα διαμάχης. Το αν η γέννηση των μαθηματικών ήταν τυχαίο γεγονός ή προκλήθηκε από την αναγκαιότητα να εξαρτάται από άλλα πράγματα, όπως για παράδειγμα από την φυσική, είναι ζήτημα παραγωγικών συζητήσεων.
Πολλοί στοχαστές συνέβαλαν με τις ιδέες τους σχετικά με την φύση των μαθηματικών. Σήμερα μερικοί φιλόσοφοι των μαθηματικών στοχεύουν στο να προσφέρουν τις απόψεις τους στην διερεύνηση αυτής της μορφής και των προΪόντων της. Άλλοι τονίζουν έναν ρόλο που ξεπερνά την απλή ερμηνεία στην κριτική ανάλυση. Υπάρχουν παραδόσεις της μαθηματικής φιλοσοφίας τόσο στην δυτική όσο και στην ανατολική φιλοσοφία. Οι δυτικές φιλοσοφίες των μαθηματικών ξεκινούν από τον Πυθαγόρα, ο οποίος περιέγραφε την θεωρία ότι όλα είναι μαθηματικά (μαθηματισμός), τον Πλάτωνα που παράφραζε τον Πυθαγόρα και μελετούσε την οντολογική κατάσταση των μαθηματικών αντικειμένων και τον Αριστοτέλη που μελέτησε την λογική και τα ζητήματα που σχετίζονται με το άπειρο (τρέχον έναντι δυναμικού).
Η ελληνική φιλοσοφία στα μαθηματικά επηρεάστηκε έντονα από την μελέτη της γεωμετρίας. Για παράδειγμα, οι Έλληνες πίστευαν ότι το 1 (ένα) δεν ήταν αριθμός αλλά μια μονάδα αυθαίρετου μήκους. Ένας αριθμός ορίζεται ως πλήθος. Επομένως, το 3 αντιπροσώπευε ένα ορισμένο πλήθος μονάδων και έτσι δεν ήταν "πραγματικά" ένας αριθμός. Σε ένα άλλο σημείο αναπτύχθηκε ένα παρόμοιο επιχείρημα ότι το 2 δεν ήταν ένας αριθμός αλλά μια θεμελιώδης έννοια ενός ζεύγους. Αυτές οι απόψεις προέρχονται από την έντονα γεωμετρική οπτική γωνία των Ελλήνων : ακριβώς όπως οι γραμμές που σχεδιάζονται σε ένα γεωμετρικό πρόβλημα μετριούνται ανάλογα με την πρώτη αυθαίρετη γραμμή, έτσι και οι αριθμοί σε μια γραμμή αριθμών μετριούνται αναλογικά με τον "πρώτο" αριθμό ή τον αριθμό "ένα".
Αυτές οι πρωταρχικές ελληνικές ιδέες για τους αριθμούς επεκτάθηκαν μετά την ανακάλυψη του ανορθολογισμού της τετραγωνικής ρίζας του δυο. Ο Ίππασος, μαθητής του Πυθαγόρα, έδειξε ότι η διαγώνιος του τετραγώνου της μονάδας δεν μπορεί να αντισταθμιστεί με την ακμή (την κατά μήκος μονάδα) : με άλλα λόγια απέδειξε ότι δεν υπήρχε κανένας (ορθολογικός) αριθμός που να απεικονίζει με ακρίβεια την αναλογία του τετραγώνου της μονάδας με την άκρη της. Αυτό προκάλεσε μια σημαντική επαναξιολόγηση της ελληνικής φιλοσοφίας των μαθηματικών. 
Σύμφωνα με τον μύθο, οι Πυθαγόρειοι τραυματίστηκαν τόσο από αυτή την ανακάλυψη ώστε δολοφόνησαν τον Ίππασο προκειμένου να τον σταματήσουν από την διάδοση της αιρετικής ιδέας του. Ο Simon Stevin ήταν από τους πρώτους Ευρωπαίους που αμφισβήτησε τις ελληνικές ιδέες του 16ου αιώνα. Ξεκινώντας από τον Λέιμπνιτζ, η προσοχή μετατοπίστηκε μεταξύ των μαθηματικών και της λογικής. Αυτή η προοπτική κυριάρχησε στην φιλοσοφία των μαθηματικών κατά τον καιρό του Φρέγκε και του Ράσελ αλλά αμφισβητήθηκε από τις εξελίξεις κατά τα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα.

20ος αιώνας

Ένα πολυετές ζήτημα στην φιλοσοφία των μαθηματικών αφορά την σχέση μεταξύ της λογικής και των μαθηματικών στα κοινά τους θεμέλια. Ενώ οι φιλόσοφοι του 20ου αιώνα συνέχισαν να θέτουν τις ερωτήσεις που αναφέρθηκαν στην αρχή του άρθρου, η φιλοσοφία των μαθηματικών στον 20ο αιώνα χαρακτηρίζεται από ένα κυρίαρχο ενδιαφέρον για την επίσημη λογική, την θεωρία τνω συνόλων και τα θεμελιώδη ζητήματα.
Αποτελεί ένα βαθύ πρόβλημα το γεγονός ότι από την μια πλευρά οι μαθηματικές αλήθειες φαίνεται να έχουν ένα αναπόφευκτο αλλά από την άλλη πλευρά η πηγή της "αλήθειας" τους παραμένει αόριστη. Οι έρευνες σε αυτό το ζήτημα είναι γνωστές όπως είναι και τα θεμέλια των μαθηματικών.
Στις αρχές του 20ου αιώνα, οι φιλόσοφοι των μαθηματικών άρχιζαν ήδη να χωρίζονται σε διάφορες σχολές σκέψης για όλα αυτά τα ζητήματα που διακρίνονται ευρέως από την μαθηματική επιστημολογία και οντολογία. Αυτήν την περίοδο εμφανίστηκαν τρία σχολεία, φορμαλισμός, διαισθητισμός και λογική, εν μέρει ως απάντηση στην ολοένα και πιο διαδεδομένη ανησυχία ότι τα μαθηματικά ως έχουν αλλά και η ανάλυση κυρίως, δεν ανταποκρίνονταν στα πρότυπα βεβαιότητας και αυστηρότητας που θεωρούνταν δεδομένα. Κάθε σχολή ασχολήθηκε με τα ζητήματα που ήρθαν στο προσκήνιο εκείνη την περίοδο είτε προσπαθώντας να τα επιλύσει είτε ισχυριζόμενη ότι τα μαθηματικά δεν ήταν σε μια κατάσταση της πλέον αξιόπιστης γνώσης.
Οι εκπληκτικές εξελίξεις στην τυπική λογική και στην θεωρία των συνόλων στις αρχές του 20ου αιώνα οδήγησαν σε νέα ερωτήματα σχετικά με αυτό που ονομάζονταν τα θεμέλια των μαθηματικών. Καθώς ο αιώνας προχωρά, η αρχική έμφαση στην ανησυχία επεκτάθηκε σε μια εξερεύνηση των θεμελιωδών αξιωμάτων των μαθηματικών ενώ η αξιωματική προσέγγιση θεωρήθηκε δεδομένη ήδη από την εποχή του Ευκλείδη γύρω στο 300 π.Χ. ως φυσική βάση για τα μαθηματικά. Οι θεωρίες του αξιώματος, της πρότασης και της απόδειξης καθώς και η έννοια της πρότασης που είναι αληθινή σε ένα μαθηματικό αντικείμενο επισημοποιήθηκαν, επιτρέποντάς τους να αντιμετωπίζονται ως μαθηματικές οντότητες. Τα αξιώματα των Zermelo-Fraenkel για την θεωρία των συνόλων εγκρίθηκαν, τα οποία παρείχαν ένα εννοιολογικό πλαίσιο στο οποίο θα ερμηνευόταν ο μαθηματικός λόγος. Στα μαθηματικά, όπως και στην φυσική, δημιουργήθηκαν νέες και απροσδόκητες ιδέες και σημειώθηκαν σημαντικές αλλαγές. Με την αρίθμηση του Gödel, οι προτάσεις θα μπορούσαν να ερμηνευθούν ως αναφερόμενες στον εαυτό τους ή σε άλλες προτάσεις, επιτρέποντας την διερεύνηση της συνέπειας των μαθηματικών θεωριών. Αυτή η ανακλαστική κριτική στην οποία η εξεταζόμενη θεωρία "γίνεται η ίδια αντικείμενο μαθηματικής μελέτης" οδήγησε τον Hilbert να αποκαλεί τέτοιες μελέτες μεταμαθηματικά ή θεωρία απόδειξης.

Στα μέσα του 20ου αιώνα δημιουργήθηκε μια νέα μαθηματική θεωρία από τον Samuel Eilenberg και τον Saunders Mac Lane, γνωστή ως θεωρία των κατηγοριών και έγινε υποψήφια για τη φυσική γλώσσα της μαθηματικής σκέψης. Καθώς όμως ο 20ος αιώνας προχωρά, οι φιλοσοφικές απόψεις αποκλίνουν ως προς το πόσο βάσιμες ήταν οι ερωτήσεις για τα θεμέλια που τέθηκαν στις αρχές του αιώνα. Ο Hilary Putnam συνόψισε μια άποψη για την κατάσταση στο τελευταίο τρίτο του αιώνα λέγοντας :
Όταν η φιλοσοφία ανακαλύπτει κάτι λανθασμένο με την επιστήμη, μερικές φορές η επιστήμη πρέπει να αλλάξει - το παράδοξο του Russell έρχεται στο μυαλό όπως και η επίθεση του Berkeley στο πραγματικό απειροελάχιστο - αλλά πιο συχνά είναι η φιλοσοφία που πρέπει να αλλάξει. Δεν νομίζω ότι οι δυσκολίες που βρίσκει η φιλοσοφία με τα σημερινά κλασικά μαθηματικά είναι πραγματικές δυσκολίες. Και νομίζω ότι οι φιλοσοφικές ερμηνείες των μαθηματικών που προσφέρουμε σε κάθε άτομο είναι λανθασμένες και ότι η "φιλοσοφική ερμηνεία" είναι ακριβώς αυτό που τα μαθηματικά δεν χρειάζονται.
Η φιλοσοφία των μαθηματικών προχωρά σήμερα σε πολλές διαφορετικές γραμμές έρευνας από φιλοσόφους των μαθηματικών μέχρι λογιστές και μαθηματικούς και υπάρχουν πολλά τμήματα σκέψης πάνω στο θέμα. Τα τμήματα αναφέρονται ξεχωριστά στην επόμενη ενότητα και οι υποθέσεις τους εξηγούνται.

Μαθηματικός ρεαλισμός

Ο μαθηματικός ρεαλισμός, όπως και ο ρεαλισμός γενικά, υποστηρίζει ότι οι μαθηματικές οντότητες υπάρχουν ανεξάρτητα από το ανθρώπινο μυαλό. Έτσι οι άνθρωποι δεν επινοούν τα μαθηματικά αλλά μάλλον τα ανακαλύπτουν και οποιαδήποτε άλλα ευφυή όντα στο σύμπαν πιθανόν θα κάνουν το ίδιο. Από αυτή την άποψη, υπάρχει ένα είδος μαθηματικών που μπορεί να ανακαλυφθεί. Τα τρίγωνα, για παράδειγμα, είναι πραγματικές οντότητες και όχι δημιουργίες του ανθρώπινου νου.
Πολλοί μαθηματικοί στην εκπαίδευση υπήρξαν μαθηματικοί ρεαλιστές. Θεωρούν ότι οι ίδιοι ανακάλυψαν τα φυσικά αντικείμενα. Ως παραδείγματα τέτοιων αναφέρονται οι Paul Erdős και Kurt Gödel. Ο Gödel πίστευε σε μια αντικειμενική μαθηματική πραγματικότητα που θα μπορούσε να γίνει αντιληπτή με τρόπο ανάλογο με την αίσθηση της αντίληψης. Ορισμένα αξιώματα (π.χ. για οποιαδήποτε δυο αντικείμενα υπάρχει μια συλλογή αντικειμένων που αποτελούνται από αυτά ακριβώς τα δυο αντικείμενα) θα μπορούσαν να θεωρηθούν αληθή αλλά η συνεχής υπόθεση μπορεί να θεωρηθεί ακατάλληλη μόνο με βάση αυτές τις αρχές. Ο Gödel πρότεινε ότι η εμπειρική μεθοδολογία θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να παράσχει επαρκείς αποδείξεις ώστε εύλογα να μπορεί να υποτεθεί μια τέτοια εικασία.
Μέσα στα πλαίσια του ρεαλισμού υπάρχουν διαφορές ανάλογες με το είδος της ύπαρξης που λαμβάνουν οι μαθηματικές οντότητες και με τον τρόπο που ξέρουμε για αυτές. Οι κύριες μορφές του μαθηματικού ρεαλισμού περιλαμβάνουν τον πλατωνισμό.

Μαθηματικός αντι-ρεαλισμός

Ο μαθηματικός αντι-ρεαλισμός θεωρεί γενικά ότι οι μαθηματικές δηλώσεις περιλαμβάνουν αξίες περί αλήθειας αλλά ότι δεν το κάνουν αυτό μέσω ενός ειδικού πεδίου άυλων ή μη εμπειρικών οντοτήτων. Οι κύριες μορφές μαθηματικού αντι-ρεαλισμού περιλαμβάνουν τον φορμαλισμό και τον φανταλισμό.

Εμπειρισμός

Ο εμπειρισμός είναι μια μορφή του ρεαλισμού η οποία αρνείται ότι τα μαθηματικά μπορούν να είναι εξ ολοκλήρου γνωστά εκ των προτέρων. Υποστηρίζει ότι ανακαλύπτουμε τα μαθηματικά γεγονότα μέσα από εμπειρική αναζήτηση, όπως ακριβώς τα γεγονότα σε κάθε άλλη επιστήμη. Δεν αποτελεί μια από τις κλασικές τρεις θέσεις που αναπτύχθηκαν στις αρχές του 20ου αιώνα αλλά δημιουργήθηκε κυρίως κατά τα μέσα του αιώνα. Ωστόσο ένας σημαντικός υποστηρικτής μιας άποψης σαν αυτήν ήταν ο John Stuart Mill. Η άποψη του Mill δέχτηκε ευρεία κριτική καθώς, σύμφωνα με τους κριτικούς όπως ο A. J. Ayer, ο Mill κάνει δηλώσεις όπως "2 + 2 = 4" οι οποίες προκύπτουν ως αβέβαιες, ενδεχόμενες αλήθειες τις οποίες μπορούμε να μάθουμε μόνο παρατηρώντας περιπτώσεις δυο ζευγών που συναντιούνται και σχηματίζουν ένα κουαρτέτο.
Ο σύγχρονος μαθηματικός εμπειρισμός, που διατυπώθηκε από τους Quine και Putnam, υποστηρίζεται κυρίως από το επιχείρημα της αναγκαιότητας : τα μαθηματικά είναι απαραίτητα σε όλες τις εμπειρικές επιστήμες και εάν θέλουμε να πιστέψουμε στην πραγματικότητα των φαινομένων που περιγράφονται από τις επιστήμες, πρέπει να πιστέψουμε και στην πραγματικότητα των οντοτήτων που απαιτούνται για την περιγραφή αυτή. Δηλαδή δεδομένου ότι η φυσική πρέπει να μιλάει για ηλεκτρόνια προκειμένου να πει γιατί οι λαμπτήρες συμπεριφέρονται με έναν ορισμένο τρόπο, τότε πρέπει να υφίστανται τα ηλεκτρόνια. Δεδομένου ότι η φυσική πρέπει να μιλήσει για αριθμούς προκειμένου να προσφέρει οποιαδήποτε από τις εξηγήσεις της, τότε πρέπει να υφίστανται οι αριθμοί. Σύμφωνα με την συνολική φιλοσοφία των Quine και Putnam, αυτό είναι ένα φυσιολογικό επιχείρημα. Η φιλοσοφία των Quine και Putnam υποστηρίζει την ύπαρξη των μαθηματικών οντοτήτων ως την καλύτερη ερμηνεία της εμπειρίας, απομακρύνοντας έτσι τα μαθηματικά από το να ξεχωρίζουν από τις υπόλοιπες επιστήμες.
Ο Putnam απέρριψε έντονα τον όρο "πλατωνιστής" υπονοώντας μια ειδική οντότητα που δεν ήταν απαραίτητη για την μαθηματική πράξη με κάποια πραγματική έννοια. Υποστήριξε μια μορφή "καθαρού ρεαλισμού" η οποία απέρριπτε τις μυστικιστικές έννοιες της αλήθειας και αποδεχόταν τον εμπειρισμό στα μαθηματικά. Ο Putnam συμμετείχε στην δημιουργία του όρου "καθαρός ρεαλισμός".
Η πιο σημαντική κριτική πάνω στις εμπειρικές απόψεις των μαθηματικών είναι σχεδόν η ίδια με αυτήν που εγείρεται εναντίον του Mill. Εάν τα μαθηματικά είναι εξίσου εμπειρικά με τις άλλες επιστήμες, τότε αυτό υποδηλώνει ότι τα αποτελέσματά του είναι εξίσου λανθασμένα με τα δικά τους. Στην περίπτωση του Mill η εμπειρική αιτιολογία έρχεται άμεσα ενώ στην περίπτωση του Quine έρχεται έμμεσα, μέσω της συνοχής της επιστημονικής θεωρίας ως συνόλου, δηλαδή της συμβολής του E. O. Wilson. Ο Quine υποδηλώνει ότι τα μαθηματικά παρουσιάζονται απολύτως βέβαια επειδή ο ρόλος που διαδραματίζουν στην πεποίθησή μας είναι αρκετά κεντρικός και θα ήταν εξαιρετικά δύσκολο να αναθεωρηθεί, αν όχι αδύνατο.

Μαθηματικός μονισμός

Η υπόθεση του Max Tegmark για το μαθηματικό σύμπαν ξεπερνά τον πλατωνισμό και υποστηρίζει ότι όχι μόνο υπάρχουν όλα τα μαθηματικά αντικείμενα αλλά ότι τίποτα άλλο δεν γίνεται. Το μοναδικό αξίωμα του Tegmark είναι : Όλες οι δομές που υπάρχουν μαθηματικά, υπάρχουν και φυσικά. Δηλαδή ότι σε εκείνους τους αρκετά σύνθετους κόσμους που περιέχουν αυτοσυντήρητες δομές, αυτοί θα αντιλαμβάνουν υποκειμενικά τους εαυτούς τους ως υπάρχοντες σε έναν φυσικά πραγματικό κόσμο.