Ακολουθίες του Κωσύ

Στα μαθηματικά μια Ακολουθία του Κωσύ (γαλλικά: suite de Cauchy, [koʃi], αγγλικά: Cauchy sequence, /ˈkoʊʃi), που ονομάστηκε έτσι προς τιμή του γάλλου μαθηματικού Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, είναι μια ακολουθία της οποίας τα στοιχεία έχουν όλο και μικρότερη απόσταση όσο η ακολουθία εξελίσσεται. Πιο συγκεκριμένα, δίνεται οποιαδήποτε μικρή θετική απόσταση, σχεδόν ένα πεπερασμένο αριθμό στοιχείων της ακολουθίας είναι μικρότερη από την δεδομένη απόσταση ο ένας από τον άλλο.
Η χρησιμότητα των ακολούθιων Κωσύ (που είναι γνωστές όλες αυτές οι ακολουθίες να συγκλίνουν σε ένα όριο) έγκειται στο γεγονός ότι σ' ένα πλήρες μετρικό χώρο το κριτήριο σύγκλισης εξαρτάται μόνο από τους όρους της ίδιας της ακολουθίας, αντίθετα με τον ορισμό της σύγκλισης που χρησιμοποιεί την οριακή τιμή, καθώς και τους όρους. Συχνά χρησιμοποιούνται σε αλγόριθμους, τόσο θεωρητικα και εφαρμοσμένα,όπου μια επαναληπτική διαδικασία μπορεί να σχετικά εύκολα να παράγει μια ακολουθία Κωσύ , που αποτελείται από τις επαναλήψεις, εκπληρώνοντας έτσι μια λογική κατάσταση, όπως τερματισμός.
Οι παραπάνω έννοιες δεν είναι τόσο άγνωστες όσο φαίνονται αρχικά. Η συνήθης αποδοχή του γεγονότος ότι κάθε πραγματικός αριθμός x έχει μια δεκαδική επέκταση αποτελεί έμμεση παραδοχή ότι μια συγκεκριμένη ακολουθία Κωσύ ρητών αριθμών (οι όροι της οποίας είναι οι διαδοχικές αποκοπές δεκαδικής επέκτασης του x) έχει ένα πραγματικό όριο x.Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να είναι δύσκολο να περιγραφεί ο x ανεξάρτητα από το ότι μια τέτοια περιορισμένη διαδικασία περιλαμβάνει ρητούς αριθμούς.
Γενικεύσεις των ακολουθιών Κωσύ σε πιο αφηρημένους ενιαίους χώρους υπάρχουν με τη μορφή των φίλτρων Κωσύ και δικτύων Κωσύ .

Στους πραγματικούς αριθμούς

Μία πραγματική ακολουθία (x_n)_{n\in\N} είναι Κωσύ αν και μόνο αν για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός Ν τέτοιος ώστε για κάθε n, m > N ισχύει |x_n - x_m|<\varepsilon.
όπου οι κατακόρυφες ράβδοι υποδηλώνουν την απόλυτη τιμή. Με παρόμοιο τρόπο μπορεί κανείς να ορίσει ακολουθίες Κωσύ των ρητών ή μιγαδικών αριθμών. Ο Κωσύ διατύπωσε μια τέτοια κατάσταση απαιτώντας x_m - x_n να είναι απειροελάχιστη για κάθε ζεύγος άπειρων m, n.

Σε μετρικό χώρο

Μία ακολουθία (x_n)_{n\in\N} ορισμένη στον μετρικό χώρο (Μ, d) είναι ακολουθία Κωσύ ανν για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός Ν τέτοιος ώστε για κάθε n, m > N ισχύει d(x_n, x_m)<\varepsilon.
Σε γενικές γραμμές, οι όροι της ακολουθίας έρχονται όλο και πιο κοντά μεταξύ τους με τρόπο που να δείχνει ότι η ακολουθία θα έπρεπε να έχει όριο στο Μ. Παρ 'όλα αυτά, το εν λόγω όριο δεν υπάρχει πάντα.

Πληρότητα

Οι ακολουθίες Κωσύ δεν είναι αναγκαστικά συγκλίνουσες. Ένας μετρικός χώρος στον οποίο κάθε ακολουθία Κωσύ είναι και συγκλίνουσα ονομάζεται πλήρης.

Παραδείγματα

Οι πραγματικοί αριθμοί είναι πλήρης σύμφωνα με το μετρικό που επάγεται από τη συνήθη απόλυτη τιμή, και μία από τις τυποποιημένες κατασκευές των πραγματικών αριθμών περιλαμβάνει ακολουθίες Κωσύ ρητών αριθμών.
Ένα μάλλον διαφορετικό τύπο παραδείγματος παρέχεται από ένα μετρικό χώρο ο οποίος έχει την διακριτή μετρική (όπου οποιαδήποτε δύο διακριτά σημεία βρίσκονται σε απόσταση 1 από το άλλο). Κάθε ακολουθία Κωσύ των στοιχείων του πρέπει να είναι σταθερή πέρα από κάποιο σταθερό σημείο, και συγκλίνει στον ενδεχόμενο επανάληπτικό όρο.

Παραδείγματα

Θεωρούμε την ακολουθία x_n=F_{n+1}/F_n στον, όπου F_n, n=1,2,.. οι αριθμοί Φιμπονάτσι. Οι όροι της ακολουθίας x_n είναι ρητοί αριθμοί. Στον χώρο των πραγματικών αριθμών η ακολουθία αυτή συγκλίνει στη χρυσή τομή \phi = (1+\sqrt5)/2. Στον χώρο των ρητών αριθμών η ακολουθία αυτή δε συγκλίνει, αφού το φ είναι άρρητος, είναι όμως Κωσύ.

Αντιπαράδειγμα ανοικτού συνόλου

Το ανοικτό σύνολοX=(0, 2) του συνόλου των πραγματικών αριθμών με μία συνήθη απόσταση στο R δεν είναι πλήρης χώρος: υπάρχει μία ακολουθία x_n=1/n σε αυτό, η οποία είναι Κωσύ (για αυθαίρετα μικρή απόσταση δεσμευμένο d>0 όλοι οι όροι x_n of n > 1/d ταιριάζουν στο (0, d) ανοικτό), ωστόσο δε συγκλίνουν στο X— 'όριο', του αριθμού 0, δεν ανήκει στον χώρο X.

Σε τοπολογικούς Διανυσματικούς Χώρους

Υπάρχει επίσης μια έννοια της ακολουθίας Κωσύ για ένα τοπολογικό διανυσματικό χώρο X: διαλέγωντας μια βάση B για τον X κοντά στο 0, τότε (x_k) είναι ακολουθία Κωσύ αν για κάθε V \in B υπάρχει N τ.ω. οποτεδήποτε n,m>N, x_n-x_m είναι στοιχείο του V.

Σε τοπολογικές ομάδες

Δεδομένου ότ ορισμιός για την Κωσύ ακολουθία, ενός τοπολογικου διανυσματικού χώρου,  μόνο να υπάρχει μια συνεχής «αφαίρετική» λειτουργία, μπορεί κάλλιστα να φέρεται στο πλαίσιο μιας Δεδομένου ότι o ορισμός τοπολογικού διανυσματικού χώρου ως προς μια Κωσύ ακολουθία απαιτεί μόνο να υπάρχει μια συνεχής λειτουργία «αφαίρεσης», μπορεί κάλλιστα να αναφέρεται στο πλαίσιο μιας τοπολογικής ομάδας: Μια ακολουθία (x_k) σε μια τοπολογική ομάδα G είναι μια ακολουθία Κωσύ αν για κάθε ανοικτή περιοχή U της ταυτοτικής στο G υπάρχει κάποιος αριθμός N τέτοιος ώστε κάθε φορά m,n>Nέπεται ότι x_nx_m^{-1} \in U. Όπως και στην κατασκευή της ολοκλήρωσης του μετρικού χώρου, μπορεί κανείς να καθορίσει περαιτέρω την δυαδική σχέση επί ακολουθιών Κωσύ σε G αυτό (x_k)και (y_k) είναι ισοδύναμες αν για κάθε ανοιχτή περιοχή U της ταυτότικής G εκεί υπάρχει κάποιος αριθμός N τέτοιος ώστε, όποτε m,n>N προκύπτει ότι x_n y_m^{-1} \in U. Αυτή η σχέση είναι μια σχέση ισοδυναμίας: Είναι αντανακλαστικές δεδομένου ότι οι ακολουθίες είναι Κωσύ ακολουθίες. Είναι συμμετρικό από το οποίο y_n x_m^{-1} = (x_m y_n^{-1})^{-1} \in U^{-1} από τη συνέχεια του αντίστροφου είναι άλλη μία ανοιχτή περιοχή της ταυτότητικής G. Είναι μεταβατικό αφού x_n z_l^{-1} = x_n y_m^{-1} y_m z_l^{-1} \in U' U'' όπου U' και U'' να είναι ανοικτές περιοχές της ταυτοτικής όπως U'U'' \subseteq U ότι υπάρχουν τέτοια ζεύγη από τη συνέχεια της λειτουργίας της ομάδας.

Σε ομάδες

Υπάρχει επίσης μια έννοια της Κωσύ ακολουθίας σε μια ομάδα G: Έστω H=(H_r) είναι μια φθίνουσα ακολουθία κανονικών υποομάδων της G με πεπερασμένο δείκτη. Στη συνέχεια, μια ακολουθία (x_n) στη G λέγεται ότι είναι Κωσύ αν και μόνο αν για κάθε r υπάρχει N τέτοιο ώστε \forall m, n> N, x_n x_m ^ {- 1} \in H_r.
Από τεχνική άποψη, αυτό είναι το ίδιο πράγμα με μια τοπολογική ομάδα Κωσύ ακολουθία για μια συγκεκριμένη επιλογή της τοπολογίας και στο G εξής, δηλαδή για το οποίο H είναι μια τοπική βάση.
Υπάρχει επίσης μια έννοια Κωσύ αλληλουχίας σε μια ομάδα:
Το σύνολο C αυτών των ακολουθιών Κωσύ σχηματίζει μία ομάδα (για το προϊόν componentwise), και το σύνολο C_0 των αλληλουχιών null (s.th.\forall r, \exists N, \forall n > N, x_n \in H_r) είναι μια φυσιολογική υποομάδα C. Η ομάδα που ονομάζεται C/C_0παράγοντας την ολοκλήρωση της G σε σχέση με την H.
Κάποιος μπορεί στη συνέχεια δείχνουν ότι αυτή η ολοκλήρωση είναι ισόμορφο στο όριο αντίστροφο της ακολουθίας (G/H_r).
Ένα παράδειγμα αυτής της κατασκευής, γνωστό στη θεωρία των αριθμών και αλγεβρική γεωμετρία είναι η κατασκευή του p-adic ολοκλήρωση των ακεραίων σε σχέση με ένα πρώτο p. Σε αυτή την περίπτωση, το G είναι οι ακέραιοι υπό συνθήκη, και H_r είναι το πρόσθετο υποομάδα που αποτελείται από ακέραια πολλαπλάσια του pr. Εάν Hείναι ένα cofinal αλληλουχία (δηλαδή, οποιαδήποτε κανονική υποομάδα των πεπερασμένων δείκτη περιέχει μερικά H_r), τότε αυτή η ολοκλήρωση είναι κανονική, με την έννοια ότι είναι ισόμορφη στο όριο αντίστροφο του (G/H)_H, όπου Hμεταβάλλεται πάνω από όλες τις κανονικές υποομάδες των πεπερασμένων δείκτη. Για περισσότερες λεπτομέρειες, βλέπε κεφ. I.10 στο "Άλγεβρα" του Lang.