Ορίζουσα

Μετασχηματισμός σε εναλλασσόμενη πολυγραμμική n-μορφών

Ο διανυσματικός χώρος W όλων των εναλλασσόμενων πολυγραμμικών n-μορφών πάνω σε ένα n-διάστατο διανυσματικό χώρο V έχει διάσταση ένα. Σε κάθε γραμμικό μετασχηματισμό T σε ένα W, όπου για κάθε w στον W ορίζουμε (T′w)(x₁,...,xₙ) = w(Tx₁,...,Txₙ). Καθώς ένας γραμμικός μετασχηματισμός ενός μονοδιάστατου χώρου T′ είναι ισοδύναμος με ένα βαθμωτό πολλαπλασιασμό. Ονομάζουμε αυτό τον αριθμό ορίζουσα του T.

Επιπρόσθετες παραλλαγές

Οι ορίζουσες πινάκων σε υπερδακτυλίους (που είναι, Z₂-διαβαθμισμένοι δακτύλιοι) είναι γνωστές ως υπερορίζουσες.
Η σταθερά ενός πίνακα ορίζεται σαν την ορίζουσα, εκτός από ότι  οι παράγοντες του sgn(σ) που βρίσκονται στον κανόνα του Leibniz παραλείπονται. Η immanant γενικεύει και τις δύο εισάγοντας ένα χαρακτήρα της συμμετρικής ομάδας Sₙ στον κανόνα του Leibniz.

Υπολογισμός

Οι ορίζουσες χρησιμοποιούνται κυρίως σαν θεωρητικό εργαλείο. Σπάνια υπολογίζονται ρητά με αριθμητική γραμμική άλγεβρα, όπου για εφαρμογές όπως το να εξεταστεί η αντιστρεψιμότητα και το να βρεθούν οι ιδιοτιμές της ορίζουσα έχει σε μεγάλο βαθμό αντικατασταθεί από άλλες τεχνικές. Παρ 'όλα αυτά, ο ακριβής υπολογισμός της ορίζουσας σε κάποιες περιπτώσεις είναι απαραίτητος, και υπάρχουν διάφορες μέθοδοι διαθέσιμες για να γίνει αυτό.
Απλές μέθοδοι εφαρμογής ενός αλγορίθμου για τον υπολογισμό της ορίζουσας περιλαμβάνει την χρήση του τύπου του  Leibniz ή του Laplace. Και οι δύο αυτές προσεγγίσεις είναι  εξαιρετικά αναποτελεσματικές για μεγάλους πίνακες, έτσι, αφού ο αριθμός των απαιτούμενων πράξεων αυξάνεται πολύ γρήγορα: είναιτης τάξης n! (n παραγοντικό) για ένα n × n πίνακα M. Για παράδειγμα, ο τύπος του Leibniz απαιτεί να υπολογιστούν n! γινόμενα. Ως εκ τούτου, έχουν έχουν αναπτυχθεί πιο σύνθετες τεχνικές για τον υπολογισμό οριζουσών.

Επιπρόσθετες μέθοδοι

Αν η ορίζουσα του A και ο αντίστροφος του A έχουν ήδη υπολογιστεί, το λήμμα ορίζουσας πίνακα μας επιτρέπει να υπολογίσουμε γρήγορα την ορίζουσα του A + uvᵀ, όπου u και v είναι διανύσματα στήλης.
Δεδομένου ότι ο ορισμός της ορίζουσας δεν χρειάζεται διαιρέσεις, προκύπτει ένα ερώτημα: υπάρχουν γρήγοροι αλγόριθμοι που δεν χρειάζονται διαιρέσεις; Αυτό είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον για τους πίνακες πάνω σε δακτυλίους. Πράγματι αλγόριθμοι με χρόνο εκτέλεσης αναλογικά με το n⁴ υπάρχει. Ένας αλγόριθμος από τον Mahajan, τον Vinay, και τον Berkowitz είναι βασισμένος σε κλειστούς διατεταγμένους περιπάτους. Υπολογίζει περισσότερα γινόμενα από όσα απαιτεί ο ορισμός της ορίζουσας, αλλά μερικά από αυτά τα γινόμενα ακυρώνονται και το άθροισμα τους μπορεί να υπολογιστεί ικανοποιητικά. Ο τελικός αλγόριθμος μοιάζει πολύ με ένα επαναλαμβανόμενο γινόμενο τριγωνικών πινάκων.
Αν δύο πίνακες τάξης n μπορούν να πολλαπλασιαστούν επί M(n), όπου M(n) ≥ nᵃ για κάποια a > 2, τότε η ορίζουσα μπορεί να υπολογιστεί επί O(M(n)). Αυτό σημαίνει, για παράδειγμα, ότι ένας O(n2.376) αλγόριθμος υπάρχει βασισμένος στον  αλγόριθμο Coppersmith–Winograd.
Οι αλγόριθμοι μπορούν επίσης να αξιολογούνται σύμφωνα με πολυπλοκότητα των bit, δηλ., πόσα bits ακρίβειας χρειάζονται για να αποθηκευτούν οι ενδιάμεσες τιμές  που συμβαίνουν στον υπολογισμό. Για παράδειγμα, η απαλοιφή του Gauss (ή LU ανάλυση) μέθοδοι είναι της τάξης O(n³), αλλά το μήκος των bit των ενδιαμέσων τιμών μπορεί μπορεί να γίνει εκθετικά μεγάλο. Ο αλγόριθμος Bareiss,από την άλλη μεριά, είναι μια ακριβής  μέθοδος διαίρεσης βασίζεται στην ταυτότητα του Sylvester είναι επίσης τάξης n³, αλλά η περιπλοκότητα των bit είναι περίπου το μέγεθος των bit των αρχικών στοιχείων του πίνακα επί n.

Ιστορία

Ιστορικά, οι ορίζουσες  θεωρούνταν ότι δεν είχαν σχέση με τους πίνακες: αρχικά, η ορίζουσα ορίστηκε σαν μια ιδότητα ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Η ορίζουσα "αποφασίζει" αν το σύστημα έχει μοναδική λύση(το οποίο συμβαίνει ακριβώς όταν η ορίζουσα είναι μη μηδενική). Με αυτή την έννοια, οι ορίζουσες χρησιμοποιήθηκαν πρώτα στο  Κινέζικο  βιβλίο μαθηματικών The Nine Chapters on the Mathematical Art (九章算術, Κινέζοι επιστήμονες, γύρω στον 3ο αιώνα π.Χ.). Στην Ευρώπη, οι δύο×δύο ορίζουσες μελετήθηκαν από τον Τζερόλαμο Καρντάνο στο τέλος του 16ου αιώνα και οι μεγαλύτερες από τονLeibniz.
Στην Ευρώπη, ο Cramer (1750) πρόσθεσε στη θεωρία, διαπραγματευόμενος το θέμα σε σχέση με τα σύνολα εξισώσεων. Ο νόμος επανάληψης ανακοινώθηκε για πρώτη φορά από τον Bézout (1764).
Ο Vandermonde (1771) ήταν αυτός ο οποίος αναγνώρισε πρώτος τις ορίζουσες σαν ανεξάρτητες συναρτήσεις.Ο Laplace (1772)  έδωσε τη γενική μέθοδο αναπτύγματος της ορίζουσας λαμβάνοντας υπόψη τις συμπληρωματικές τις ελάσσονες ορίζουσες: ο Vandermonde είχε ήδη δώσει μια ειδική περίπτωση. Αμέσως μετά, ο Lagrange (1773) μεταχειρίστηκε τις ορίζουσες δεύτερης και τρίτης τάξης. Ο Lagrange ήταν ο πρώτος που εφάρμοσε τις ορίζουσες στα θέματα τηςθεωρίας απαλοιφής. Απέδειξε πολλές ειδικές περιπτώσεις της γενικής ταυτότητας.
Ο Gauss (1801) έκανε τη επόμενη πρόοδο. Όπως ο Lagrange, έκανε αρκετή χρήση των οριζουσών στη θεωρία αριθμών. Αυτός εισήγαγε τη λέξη ορίζουσες (ο Laplace χρησιμοποιούσε συνισταμένη), αν και όχι με την σημερινή σημασία, αλλά μάλλον ως εφαρμογή για την διακρίνουσα μιας τεταρτοβάθμιας. Ο Gauss επίσης έφτασε στην έννοια των ανάστροφων (ή αντίστροφων) οριζουσών, και πλησίασε πολύ κοντά στο θεώρημα πολλαπλασιασμού.
Ο επόμενος που συνεισέφερε ήταν ο Binet (1811, 1812), ο οποίος θεμελίωσε επίσημα το θεώρημα που αφορά το γινόμενο δύο πινάκων    m στηλών και n γραμμών, το οποίο για την ειδική περίπτωση που m = n ανάγει το θεώρημα πολλαπλασιασμού. Την ίδια ημέρα (30 Νοεμβρίου, 1812) που ο Binet παρουσίασε την εργασία του στην Ακαδημία, ο Cauchy επίσης παρουσίασε μία με το ίδιο θέμα. Σε αυτήν χρησιμοποίησε τη λέξη ορίζουσα με τη σημερινή της σημασία, συνοψίζοντας και απλοποιώντας ό,τι ήταν γνωστό ως τότε πάνω στο θέμα, βελτιώνοντας τον συμβολισμό , και έδωσε το θεώρημα πολλαπλασιασμού με μια απόδειξη πιο ικανοποιητική από του  Binet. Με αυτόν ξεκινά το θεώρημα στην γενικότητά του.
Η επόμενη σημαντική φιγούρα ήταν ο Jacobi (από το 1827). Νωρίς χρησιμοποίησε την συναρτησιακή ορίζουσα που ο  Sylvester αργότερα ονόμασε Ιακωβιανή, και στα απομνημονεύματά του στο Crelle για το 1841 που αντιμετώπισε ειδικά αυτό το θέμα, καθώς η κλάση των εναλλασσόμενων συναρτήσεων τις οποίες ο Sylvester ονόμασε εναλλάσσουσες ορίζουσες. Τον καιρό που ο Jacobi τελείωνε τα απομνημονεύματά του, ο Sylvester (1839) και ο Cayley ξεκίνησαν το δικό του έργο.
Η μελέτη ειδικών μορφών της ορίζουσας ήταν ένα φυσικό επακόλουθο της τελειοποίησης της γενικής θεωρίας. Αξονοσυμμετρικές ορίζουσες μελετήθηκαν από τον   Lebesgue, τον Hesse, και τον Sylvester; αντισυμμετρικές ορίζουσες από τον  Sylvester και τον Hankel. Κυκλοτερείς από τον Catalan, τον Spottiswoode, τον Glaisher, και τον Scott, ασύμμετρες ορίζουσες και μορφές του Pfaff, σε σχέση με τη θεωρία του ορθογώνιου μετασχηματισμού,από τον Cayley, συνεχίστηκαν από τον Sylvester, οι ορίζουσες του Wronski (όπως ονομάστηκαν από τον Muir) από τον Christoffel και τον Frobenius, σύνθετες ορίζουσες από τον Sylvester, τον Reiss, και τον Picquet, οι Ιακωβιανές και οι Εσσιανέςαπό τον Sylvester και οι συμμετρικής βαθμίδας ορίζουσες από τον Trudi. Από τα εγχειρίδια για το θέμα του Spottiswoode ήταν το πρώτο. Στην Αμερική, ο Hanus (1886), ο Weld (1893), και ο Muir/Metzler (1933) δημοσίευσαν τις πραγματείες τους.

Προσανατολισμός μιας βάσης

Η ορίζουσα μπορεί να θεωρηθεί ως η ανάθεση ενός αριθμού σε κάθε ακολουθία από n διανύσματα του Rⁿ, χρησιμοποιώντας τον τετραγωνικό πίνακα του οποίου οι στήλες είναι τα δοθέντα διανύσματα. Για παράδειγμα, ένας ορθογώνιος πίνακας με στοιχεία από το Rⁿ παριστάνει μια ορθοκανονική βάση στον Ευκλείδειο χώρο. Η ορίζουσα ενός τέτοιου πίνακα αποφαίνεται για το αν ο  προσανατολισμός της βάσης είναι συνεπής ή αντίθετος με τον προσανατολισμό της  κανονικής βάσης. Αν η ορίζουσα  είναι +1, η βάση έχει τον ίδιο προσανατολισμό. Αν είναι −1, η βάση έχει τον αντίθετο προσανατολισμό.
Γενικότερα, αν η ορίζουσα ενός πίνακα A είναι θετική, ο A αναπαριστά ένα  προσανατολισμό που διατηρείται μεσώ των γραμμικών μετασχηματισμών (αν ο A είναι ένας ορθογώνιος 2×2 ή 3 × 3 πίνακας, αυτή είναι μια περιστροφή), ενώ αν είναι αρνητική, ο  A αλλάζει τον προσανατολισμό της βάσης.