Μαγικό τετράγωνο

Το μαγικό τετράγωνο αποτελεί διάταξη αριθμών σε συστοιχία ίσου συνόλου γραμμών και στηλών, όπου η αριθμητική πράξη μεταξύ των αριθμών στην ίδια σειρά ή στήλη ή διαγώνιο του τετραγώνου επιστρέφει πάντα το ίδιο αποτέλεσμα. Το κοινό αποτέλεσμα ονομάζεται μαγική σταθερά του μαγικού τετραγώνου. Η πλέον συνήθης αριθμητική πράξη στα μαγικά τετράγωνα είναι η πρόσθεση μεταξύ των αριθμών,ενώ υπάρχουν και άλλες εκδοχές τους όπως η τέλεση αφαίρεσης ή πολλαπλασιασμού, καθώς και είναι δυνατό να αναπαρασταθούν σε τρισδιάστατη μορφή ως μαγικοί κύβοι, ή να υπάρξουν τροποποιήσεις όπου αντί για αριθμούς χρησιμοποιούνται σχήματα. 
Η πρώτη περιγραφή μαγικού τετραγώνου υπήρξε στην Κίνα από την 3η χιλιετία π.Χ., κατόπιν μεταφέρθηκε στους Ινδούς κατά την ύστερη αρχαιότητα και μετέπειτα στους Άραβες, και από εκεί αργότερα στους Βυζαντινούς από όπου μεταδόθηκε στην υπόλοιπη Ευρώπη. Κατά τον Μεσαίωνα τα μαγικά τετράγωνα ήταν ιδιαίτερα δημοφιλή ως φυλακτά και αποτροπαϊκά σύμβολα. Στην σύγχρονη εποχή αποτελούν συχνό πεδίο ενασχόλησης των ψυχαγωγικών μαθηματικών και των μαθηματικών κλάδων της συνδυαστικής και στατιστικής, καθώς επίσης της τέχνης και του μυστικισμού, και επίσης σε ότι αφορά τις πρακτικές εφαρμογές τους χρησιμοποιούνται για τους σκοπούς της κρυπτογράφησης ψηφιακών εικόνων, ενώ στην μηχανική ρευστών για τον υπολογισμό κατακράτησης υδάτων σε επιφάνειες.

Αριθμητική πρόοδος

Η αριθμητική πρόοδος είναι η διαφορά μεταξύ ενός αριθμού και του αμέσως επόμενου μεγαλύτερου αριθμού. Στα μαγικά τετράγωνα η πλέον κοινή πρόοδος είναι η αύξηση του αριθμού κατά 1 με τα μαγικά τετράγωνα να ονομάζονται κανονικά, όμως το ίδιο λειτουργική είναι και η αύξηση κατά 3,  ή 5, ή οποιονδήποτε άλλο αριθμό, αθροιστικά ή ως γινόμενο ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο ώστε να επιτυγχάνεται ισορροπία μεταξύ των αριθμητικών τιμών των κελιών (π.χ. μέθοδος κατασκευής 3x3).

Αδράνεια

Η στιγμή αδράνειας ενός κελιού μαγικού τετραγώνου είναι το άθροισμα όλων των αριθμών των κελιών, επί το τετράγωνο της απόστασης (σε κελιά) του κελιού από το κέντρο του τετραγώνου. Για παράδειγμα ένα κελί που βρίσκεται σε μια από τις γωνίες ενός τετραγώνου διαστάσεων 3×3 έχει απόσταση ίση με  κελιά από το κέντρο, ενώ τα κελιά που δεν βρίσκονται στην γωνία έχουν απόσταση ίση με 1, και το κεντρικό κελί έχει απόσταση 0 από τον εαυτό του. Έτσι όλα τα μαγικά τετράγωνα κάθε τάξης διαθέτουν την ίδια στιγμή αδράνειας αναμεταξύ τους. Τα τετράγωνα τάξεως 3 έχουν όλα στιγμή αδράνειας 60, τα τάξεως 4 στιγμή αδράνειας 340, και γενικά για όλες τις διαστάσεις η τιμή ορίζεται από τον τύπο

Ιστορική διαδρομή

Η προέλευση των μαγικών τετραγώνων είναι η Κίνα, και μετέπειτα επεκτάθηκαν στους Ινδούς και τους Άραβες. Καθ όλη την περίοδο αυτή η χρήση τους ήταν κυρίως μυστικιστική και χρησιμοποιούνταν και ως φυλαχτά τα οποία προσέδιδαν σε αυτόν που τα φορούσε προστασία, ενώ δημιουργήθηκαν και εκδοχές με γράμματα ως αριθμούς. Στην Μεσαιωνική Ευρώπη, με κάποιες εξαιρέσεις όπως του Μοσχόπουλου ο οποίος ασχολήθηκε με την μαθηματική φύση των μαγικών τετραγώνων, καθώς και του Ντύρερ ο οποίος κατασκεύασε ένα εξαιρετικά σύνθετο μαγικό τετράγωνο, τα μαγικά τετράγωνα συνδέονταν κυρίως με την αστρολογία με κυρίαρχο παράδειγμα αυτό του Κορνήλιου Αγρίππα,ενώ κατά την περίοδο του Διαφωτισμού και έπειτα άρχισε η συστηματική μαθηματική μελέτη τους με προεξέχων παράδειγμα τον Όιλερ.

Λούο Σου

Η πρώτη εμφάνιση μαγικού τετραγώνου ανάγεται στην 3η χιλιετία π.Χ., και η προέλευση του περιγράφεται από τον κινεζικό μύθο όπου μετά από μια μεγάλη πλημμύρα που είχε σημειωθεί στον ποταμό Λούο, εμφανίστηκε μια χελώνα στον αυτοκράτορα Γου τον Μέγα η οποία είχε στο καβούκι της ένα παράξενο σχέδιο με κουκκίδες ομαδοποιημένες σε κάτι που έμοιαζε με τετραγωνική διάταξη, και τα αθροίσματα των κουκκίδων ήταν κοινά για κάθε σειρά, στήλη, και διαγώνιο. Η ακριβής χρονολόγηση της εμφάνισης του μαγικού τετραγώνου δεν είναι γνωστή, ωστόσο είναι βέβαιο ότι ήταν ευρύτερα γνωστό έως τον 5ο αιώνα π.Χ. στην Κίνα. Το σχέδιο αυτό χρησιμοποιούνταν κατόπιν αποτροπαϊκά έτσι ώστε να προσφέρει προστασία εναντίων των πλημμυρών, ενώ παράλληλα συμβόλιζε τις 2 αντίθετες δυνάμεις του γιν-γιάνγκ μαζί με τα 5 θεμελιώδη στοιχεία / Ου Σιν (μέταλλο, φωτιά, νερό, ξύλο, γη). Το τετράγωνο χρησιμοποιεί τους αριθμούς από το 1 έως το 9, είναι διαστάσεων 3x3 με μαγική σταθερά 15, και είναι γνωστό ως τετράγωνο Λούο Σου (洛书).

Μπουντούχ

Η πρώτη γνωστή γραπτή αναφορά για μαγικά τετράγωνα στα ισλαμικά χειρόγραφα εμφανίστηκε στα γραπτά του Γκεμπέρ στις αρχές του 10ου αιώνα. Ήταν διαστάσεων 3x3 με μαγική σταθερά 15 ενώ η προέλευση τους ήταν πιθανώς κινεζική. Έγιναν γνωστά ως μπουντούχ από τα αραβικά γράμματα που χρησιμοποιούνταν ως αριθμοί στα 4 ακρογωνιαία κελιά, μπα', νταλ, ου', χα'. Τα τετράγωνα αυτά είχαν κυρίως αποτροπαϊκή χρήση ως παραστάσεις σε φυλακτά, Με την πάροδο του χρόνου οι Άραβες κατασκεύασαν και τετράγωνα μεγαλύτερων διαστάσεων τα οποία κατά τον 19ο αιώνα έφτασαν ως και 100x100 διαθέτοντας 10.000 κελιά.

Μανουήλ Μοσχόπουλος

Η μαθηματική πραγματεία του 1300 του Μανουήλ Μοσχόπουλου με τίτλο Παράδοσις εἴς τήν εὔρεσιν τῶν τετραγῶνων  ἀριθμῶν υπήρξε το έργο βάσει του οποίου η μελέτη των μαγικών τετραγώνων εισήχθηκε στην Ευρώπη, και ορισμένες φορές αναφέρεται ως ο πρώτος γνωστός συγγραφέας που έγραψε μαθηματική μελέτη για τα μαγικά τετράγωνα, αν και ο Κινέζος Γιάνγκ Χούι με τον οποίο έζησαν την ίδια εποχή είναι πιθανώς λίγο παλαιότερος. Στο έργο αυτό ασχολήθηκε με την μαθηματική περιγραφή της κατασκευής των μαγικών τετραγώνων διαφόρων τάξεων (περιττές τάξεις και αρτιάκις άρτιες τάξεις διαστάσεων διαιρέσιμων με το 4). Το πιθανότερο είναι πως για το έργο του αυτό βασίστηκε στα αραβικά ή περσικά γραπτά όπου η μελέτη των μαγικών τετραγώνων ήταν ανεπτυγμένη την περίοδο εκείνη, ενώ θεωρείται ελάχιστα πιθανό το να βασίστηκε σε γραπτά αρχαίων Ελλήνων συγγραφέων μια και δεν υπάρχει καμία γνωστή περίπτωση ή έμμεση περιγραφή μαγικών τετραγώνων στην κλασική, ελληνιστική, και ρωμαϊκή αρχαιότητα, καθώς το λεγόμενο τετράγωνο του Θέωνα του Σμυρναίου δεν αποτελεί μαγικό τετράγωνο αλλά αποδόθηκε έτσι από ιστορική παραδρομή, το ρωμαϊκό τετράγωνο SATOR αποτελεί μαγικό σύμβολο με την καθαρά αποκρυφιστική έννοια και δεν σχετίζεται με τα μαθηματικά μαγικά τετράγωνα, ενώ οι εκτιμήσεις σχετικά με την πιθανή ενασχόληση των Πυθαγορείων υπάρχουν σε επίπεδο εικασίας. Εκτός από τον Μοσχόπουλο, έχει υποστηριχτεί πως τα μαγικά τετράγωνα εμφανίζονται  -ως πραγματικά μαγικά τετράγωνα αλλά με μυστικιστική χρήση- και σε ισπανικό χειρόγραφο της δεκαετίας του 1280 από τον Αλφόνσο Ι΄ τον Σοφό, όπου το κάθε μαγικό τετράγωνο αντιστοιχεί σε κάποιον πλανήτη όπως στο ισλαμικό ημερολόγιο.

Άλμπρεχτ Ντύρερ

Ένα από τα πιο διάσημα μαγικά τετράγωνα του Μεσαίωνα είναι το διαστάσεων 4x4 που δημιούργησε ο Άλμπρεχτ Ντύρερ το 1514 τοποθετώντας το ως λεπτομέρεια στο χαρακτικό της Μελαγχολίας.
Διαθέτει την μαγική σταθερά 34 η οποία προκύπτει από τα αθροίσματα των γραμμών, στηλών, διαγωνίων, καθώς και στις υποομάδες κελιών 2x2 που απαρτίζουν το τετράγωνο, και τους αριθμούς στις γωνίες του 4x4 τετραγώνου. Το ίδιο άθροισμα προκύπτει και με τους συνδυασμούς 3+8+14+9 και το αντίστροφο του (4 εξωτερικοί αριθμοί που σχηματίζουν νοητό κεκλιμένο τετράγωνο), τις δυο ομάδες των τεσσάρων συμμετρικών αριθμών (2+8+9+15 και 3+5+12+14), το άθροισμα των δύο μέσων καταχωρήσεων των δύο εξωτερικών στηλών και γραμμών (5+9+8+12 και 3+2+15+14), και στις τέσσερεις υποομάδες σταυροειδούς σχήματος (3+5+11+15, 2+10+8+14, 3+9+7+15, και 2+6+12+14, γνωστά ευρύτερα και ως μαγικά τετράγωνα γνώμονα). Τέλος, οι 2 μεσαίοι αριθμοί στην τελευταία γραμμή του τετραγώνου (15 και 14) αντιστοιχούν στην ημερομηνία δημιουργίας του έργου, ενώ οι αριθμοί στα εξωτερικά κελιά της τελευταίας γραμμής (1 και 4) αντιστοιχούν στο πρώτο (A) και τέταρτο (D) γράμμα του λατινικού αλφαβήτου τα οποία είναι τα αρχικά του ονόματος του Ντύρερ (Albrecht Dürer).

Κορνήλιος Αγρίππας

Ο Κορνήλιος Αγρίππας ήταν φυσιοδίφης, θεολόγος, και αστρολόγος του 16ου αιώνα ο οποίος ασχολήθηκε με την κατασκευή μυστικιστικών μαγικών τετραγώνων τα οποία αναπαριστούν ουράνια σώματα του ηλιακού συστήματος (τάξεων 3, 4, 5, 6, 7, 8, και 9, για Κρόνο, Δία, Άρη, Ήλιο, Αφροδίτη, Ερμή και Σελήνη αντίστοιχα), και θεωρούσε πως τα μαγικά τετράγωνα τάξεως 1 (1x1 κελιού)  αντιπροσώπευαν την τελειότητα του Θεού. Τα τετράγωνα αυτά είχαν ιδιαίτερη επιρροή στην Ευρώπη από τον 16ο έως τα μέσα του 17ου αιώνα, ενώ συνεχίζουν να έχουν χρήση και στην σύγχρονη εποχή στις εκάστοτε μυστικιστικές ενασχολήσεις.

Λέοναρντ Όιλερ

Το μαγικό τετράγωνο διαστάσεων 8x8 με μαγική σταθερά 260 που κατασκεύασε ο Λέοναρντ Όιλερ είναι γνωστό και ως το μαγικό τετράγωνο των κινήσεων του ίππου (σκάκι), καθώς ξεκινώντας από το 1 και ακολουθώντας διαδοχικά το κελί του επομένου αριθμού προς την κάτω κατεύθυνση, συμπληρώνονται όλα τα κελιά μόνο μέσω κινήσεων του ίππου. Στο τετράγωνο αυτό, τα αθροίσματα των μισών γραμμών ή στηλών, ισούνται με το μισό της μαγικής σταθεράς, 260/2 = 130. Παρότι η μελέτη βάσει της οποίας προκύπτει το τετράγωνο δημιουργήθηκε από τον Όιλερ, το τετράγωνο αυτό καθεαυτό δημοσιεύτηκε έναν αιώνα αργότερα από τον Αμερικανό Ουίλιαμ Μπέβερλυ το 1848.Ο Όιλερ είναι επίσης γνωστός για την εισαγωγή των ελληνολατινικών τετραγώνων (κάθε συνδυασμός ελληνικού και λατινικού γράμματος πρέπει να εμφανίζεται μόνο μια φορά) ως εργαλείο για την κατασκευή μαγικών τετραγώνων.

Βενιαμίν Φρανκλίνος

Ο Βενιαμίν Φρανκλίνος ασχολήθηκε εκτεταμένα με την μελέτη των μαγικών τετραγώνων, και οι πρώτες σχετικές δημοσιεύσεις του έγιναν το 1767 όπου περιέλαβε ένα μαγικό διαστάσεων 8x8. Το πιο εντυπωσιακό μαγικό τετράγωνο που συνέθεσε όμως ήταν αυτό των διαστάσεων 16x16 με μαγική σταθερά 2056, η οποία δεν προκύπτει όμως με το άθροισμα των αριθμών στις διαγώνιους. Ωστόσο, οι ξεχωριστές ιδιότητες που έχει είναι πως τα αθροίσματα των αριθμών στις μισές γραμμές ή στήλες αντιστοιχούν ακριβώς στο μισό της μαγικής σταθεράς (2056/2 = 1028), ενώ τα αθροίσματα των αριθμών σε υποομάδες γειτονικών κελιών 4x4 (16 κελιά) ισούνται με το 2056. Πέρα από αυτό, τα αθροίσματα των αριθμών στις τεθλασμένες διαγωνίους (διαγώνιος προς μια κατεύθυνση ως το μισό του τετραγώνου, και αλλαγή προς την άλλη κατεύθυνση, ως V) ισούνται επίσης με το 2056.Επίσης πέρα από τα τετράγωνα κατασκεύασε και μαγικό κύκλο ο οποίος προκύπτει με το άθροισμα των αριθμών σε κάθε διαιρεμένο τμήμα του κύκλου, και παράλληλα και με το άθροισμα των αριθμών σε κάθε ομόκεντρο κύκλο, με μαγική σταθερά 360.

Σαγράδα φαμίλια

Στην ενότητα των γλυπτών των Παθών του Χριστού στον ναό της Σαγράδα Φαμίλια στην Βαρκελώνη, υπάρχει ανάγλυφο μαγικό τετράγωνο διαστάσεων 4×4. Η μαγική σταθερά του αθροίσματος των αριθμών, είναι 33, και ανταποκρίνεται στην ηλικία που είχε ο Ιησούς κατά την Σταύρωση του.Οι φυσικές διαστάσεις του είναι 1x1 μέτρα, και η μαγική σταθερά προκύπτει τόσο στις γραμμές και στήλες όσο και στις διαγωνίους.

Σρινιβάσα Ραμανουτζάν

Ο Ινδός μαθηματικός Σρινιβάσα Ραμανουτζάν κατασκεύασε μαγικό τετράγωνο το οποίο διαθέτει την ιδιότητα πως πέρα από τα καθιερωμένα αθροίσματα γραμμών, στηλών, και διαγωνίων, περιέχει επιπλέον συνδυασμούς κελιών ώστε να επιτευχθεί η μαγική σταθερά (ως πλήρες μαγικό τετράγωνο), ενώ οι αριθμοί στην πρώτη σειρά αντιστοιχούν στην ημερομηνία γενεθλίων του (22-12-1887). Τα τετράγωνα τα οποία βασίζονται σε ημερομηνία ονομάζονται μαγικά τετράγωνα Ραμανουτζάν ή μαγικά τετράγωνα γενεθλίων.

Μέθοδοι κατασκευής

Υπάρχει ένας πολύ μεγάλος αριθμός τρόπων με τους οποίους μπορούν να κατασκευαστούν μαγικά τετράγωνα. Γενικά τα περιττής και τα αρτιάκις άρτιας τάξης είναι ευκολότερα στην κατασκευή σε σχέση με περιττής άρτιας τάξης.

Κύβοι

Οι μαγικοί κύβοι αποτελούν το τρισδιάστατο εφάμιλλο των μαγικών τετραγώνων, με τις τάξεις τους να διαθέτουν 3 διαστάσεις ως n x n x n και με τα αθροίσματα να υπολογίζονται σε κάθε σειρά, στήλη (εντός επιφανείας και τις τρισδιάστατες πλευρικές), και την κάθε μια από τις 4 κύριες διαγωνίους. Εάν οι αριθμοί σε κάθε γωνία αθροίζονται επίσης στην μαγική σταθερά -οριζόμενη ως  M(n)=1/2n(n^3+1)-, τότε ο κύβος είναι τέλειος μαγικός κύβος.

Γεωμετρικά

Στα γεωμετρικά -ή γεωμαγικά- τετράγωνα, γίνεται χρήση γεωμετρικών σχημάτων αντί για αριθμούς, και το τελικό σχήμα που προκύπτει από την συνένωση των σχημάτων σε κάθε σειρά, στήλη, και διαγώνιο αποτελεί επιστρέφει το ίδιο τελικό σχήμα, του οποίου τα συστατικά στοιχεία αποτελούν καθρεπτισμό των στοιχείων του σχήματος στο άλλο άκρο. Η εκδοχή αυτή είναι πολύ πρόσφατη και επινοήθηκε μόλις το 2001.Μια άλλη εκδοχή γεωμετρικών τετραγώνων είναι τα μαγικά τετράγωνου εμβαδού, όπου ο αριθμός του κάθε κελιού προσδιορίζει το εμβαδό του ίδιου του κελιού με τα κελιά να έχουν πολύγωνο σχήμα.

Άλλες διατάξεις

Υπάρχουν πολλές άλλες διατάξεις αριθμών που βασίζονται στην αρχική ιδέα του μαγικού τετραγώνου, όπου με διαφορετικούς συνδυασμούς σε διάφορες διακριτές ενότητες της διάταξης το άθροισμα των αριθμών επιστρέφει πάντα το ίδιο τελικό αποτέλεσμα. Παραδείγματα αποτελούν τα διάφορα μαγικά πολύγωνα, κύκλοι, τρίγωνα, ή και σφαίρες.

Πρακτικές εφαρμογές

Ιστορικά, ο Ινδός μαθηματικός Βαραχαμιχίρα χρησιμοποίησε μαγικά τετράγωνα τον 6ο αιώνα για την αναπαράσταση αναλογιών των συστατικών σε αρώματα.

Στην σύγχρονη εποχή, τα μαγικά τετράγωνα χρησιμοποιούνται για την κρυπτογράφηση ψηφιακών εικόνων, όπου τα εικονοστοιχεία της εικόνας χωρίζονται σε ομάδες μαγικών τετραγώνων n x n διαστάσεων, οι οποίες κατόπιν μετατρέπονται σε μαγικούς κύβους n x n x n διαστάσεων και μετά από επιπλέον επεξεργασία η θέση τους αναδιατάσσεται έτσι ώστε να επιτευχθεί η κρυπτογράφηση, ενώ επίσης εφαρμόζονται και σε απλούς αλγορίθμους μετάθεσης χαρακτήρων.
Στην εφαρμοσμένη συνδυαστική και την μηχανική ρευστών, τα μαγικά τετράγωνα χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της κατακράτησης υδάτων πάνω σε επιφάνειες. Στις περιπτώσεις αυτές ο αριθμός του κάθε κελιού λογίζεται ως το ύψος του κελιού, έτσι υπάρχουν κελιά τα οποία είναι υψηλότερα ή χαμηλότερα από άλλα. Τα κελιά τα οποία είναι χαμηλότερα από τα άλλα γειτονικά κελιά κατακρατούν νερό ίσο με την διαφορά που προκύπτει μεταξύ των αριθμητικών τιμών, ενώ τα κελιά τα οποία βρίσκονται στα άκρα του τετραγώνου δεν έχουν καθόλου κατακράτηση. Η μαγική σταθερά που επιτυγχάνεται ως προς την συνολική κατακράτηση λογίζεται ως μονάδες ύδατος. Η μέγιστη δυνατή κατακράτηση μονάδων για τις λίγες πρώτες τάξεις μαγικών τετραγώνων είναι 0 μονάδες για την τάξη 3x3, 15 για 4x4, 69 για 5x5, και 192 για 6x6.
Τα λατινικά τετράγωνα (τετράγωνο όπου  η κάθε στήλη χρησιμοποιεί την ίδια ομάδα συμβόλων με διαφορετική διάταξη) χρησιμοποιούνται στον σχεδιασμό αγρονομικών μελετών με σκοπό την ελαχιστοποίηση σφαλμάτων.

Άλλα

Στο λογοτεχνικό έργο Φάουστ του Γκαίτε, το ξόρκι (Hexen-Einmal-Eins) το οποίο χρησιμοποιεί η μάγισσα ώστε να φτιάξει το ελιξίριο της νεότητας για τον Φάουστ, περιγράφει την διαδικασία κατασκευής μαγικού τετραγώνου.
Η πόλη του Μακάο στην ανατολική Κίνα, εξέδωσε σειρά εννέα γραμματοσήμων το 2014 αφιερωμένη στα μαγικά τετράγωνα και την ιστορία τους.
Τα σταυρόλεξα τύπου Σουντόκου είναι τύπος ημιμαγικών τετραγώνων καθώς ενώ τα αθροίσματα των στηλών και γραμμών έχουν το ίδιο σύνολο, το σύνολο αυτό δεν προκύπτει και από τα αθροίσματα των αριθμών στις διαγωνίους τους.