Ολογραφική αρχή

Η ολογραφική αρχή (holographic principle) είναι μία ιδιότητα προβλεπόμενη από τις θεωρίες των χορδών και εικαζόμενη ιδιότητα της κβαντικής βαρύτητας. Σύμφωνα με την ολογραφική αρχή, η περιγραφή ενός όγκου του χώρου μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι κωδικοποιημένη σε μία συνοριακή της περιοχής επιφάνεια λιγότερων διαστάσεων, ιδιαίτερα ένα διάστημα φωτός, όπως ένας φαινομενικός ορίζοντας.
Η αρχή προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Γκέραρντ 'τ Χουφτ (Gerard 't Hooft) και της δόθηκε μία ακριβής ερμηνεία στα πλαίσια της θεωρίας των χορδών από τον Λέoναρντ Σάσκιντ (Leonard Susskind), ο οποίος συνδύασε τις ιδέες του με παλαιότερες του 'τ Χουφτ και του Τσαρλς Θορν. Ο Θορν παρατήρησε το 1978 ότι η θεωρία των χορδών δέχεται μία περιγραφή σε λιγότερες διαστάσεις, στην οποία η βαρύτητα προκύπτει με αυτό που σήμερα θα αποκαλείτο «ολογραφικός τρόπος».
Η ολογραφική αρχή στην κοσμολογία είναι η ιδέα ότι ολόκληρο το Σύμπαν μπορεί να θεωρηθεί ως μία διδιάστατη απεικόνιση πληροφοριών πάνω σε έναν κοσμολογικό ορίζοντα, δηλαδή ένα όριο από το οποίο μπορεί ακόμα να συλλεγεί πληροφορία και να μη χάνεται εξαιτίας των φυσικών περιορισμών του χωροχρόνου, όπως από τη διαστολή του Σύμπαντος ή την παρουσία μιας μαύρης τρύπας σε σχέση με έναν παρατηρητή και μία δεδομένη διάταξη αυτών των στοιχείων, έτσι ώστε οι τρεις διαστάσεις που εμείς παρατηρούμε αποτελούν μία ισοδύναμη περιγραφή μόνο σε μακροσκοπικές κλίμακες και σε χαμηλές ενέργειες. Η κοσμολογική ολογραφία δεν έχει καταστεί μαθηματικώς ακριβής, εν μέρει επειδή ο σωματιδιακός ορίζοντας έχει μη μηδενική έκταση και επεκτείνεται συνεχώς με την πάροδο του χρόνου.
Η έμπνευση για την ολογραφική αρχή υπήρξε η θερμοδυναμική μαύρης τρύπας, κατά την οποία η μέγιστη εντροπία σε οποιαδήποτε περιοχή είναι ανάλογη του τετραγώνου της ακτίνας και όχι του κύβου της ακτίνας, όπως ίσως θα περίμενε κάποιος. Στην περίπτωση μιας μαύρης τρύπας, η ιδέα ήταν ότι το πληροφοριακό περιεχόμενο όλων των αντικειμένων που έχουν πέσει μέσα στην τρύπα θα μπορούσε να διασώζεται/εμπεριέχεται ολόκληρο σε επιφανειακές διακυμάνσεις του ορίζοντα γεγονότων. Η ολογραφική αρχή ερμηνεύει το παράδοξο της απώλειας πληροφοριών σε μία μαύρη τρύπα εντός του πλαισίου της θεωρίας των χορδών. Ωστόσο, υπάρχουν κλασικές λύσεις των εξισώσεων του Αϊνστάιν που επιτρέπουν τιμές της εντροπίας μεγαλύτερες από αυτές που επιτρέπει ένας νόμος εμβαδού, και άρα θεωρητικά μεγαλύτερες από αυτές μιας μαύρης τρύπας. Αυτές είναι οι λεγόμενες «σακούλες χρυσού του Γουήλερ» («Wheeler's bags of gold»). Η ύπαρξη τέτοιων λύσεων αντιτίθεται στην ολογραφική ερμηνεία, και οι επιπτώσεις τους σε μία κβαντική θεωρία της βαρύτητας που θα περιλαμβάνει την ολογραφική αρχή δεν έχουν ακόμα γίνει πλήρως κατανοητές.

Το παράδοξο της πληροφορίας της μαύρης τρύπας

Ο υπολογισμός του Χώκινγκ έδειχνε ότι η ακτινοβολία της μαύρης τρύπας δεν σχετίζεται με οποιονδήποτε τρόπο με την ύλη που απορροφά η τρύπα. Τα εξερχόμενα φωτόνια αρχίζουν ακριβώς στον ορίζοντα γεγονότων και περνούν πολύ χρόνο κοντά του, ενώ η ύλη που πέφτει μέσα φθάνει πολύ αργότερα στον ορίζοντα.
Ο Χώκινγκ θεώρησε ότι όταν οι μαύρες τρύπες απορροφούν φωτόνια σε μία συγκεκριμένη κατάσταση που περιγράφεται από μία κυματοσυνάρτηση, επανεκπέμπουν νέα φωτόνια σε μία θερμική υβριδική κατάσταση που περιγράφεται από έναν πίνακα πυκνότητας. Αυτό σήμαινε ότι η κβαντομηχανική θα έπρεπε να τροποποιηθεί, επειδή σε αυτή οι καταστάσεις που αποτελούν υπερθέσεις με πλάτη πιθανότητας δεν δίνουν καταστάσεις που αποτελούν πιθανοκρατικά μίγματα διαφορετικών δυνατοτήτων.
Θορυβημένος από αυτό το παράδοξο, ο Γκέραρντ 'τ Χοφτ ανέλυσε λεπτομερέστερα την εκπομπή ακτινοβολίας Χώκινγκ. Σημείωσε ότι, όταν εκπέμπεται η ακτινοβολία υπάρχει τρόπος με τον οποίο τα εισερχόμενα σωματίδια μπορούν να μεταβάλουν τα εξερχόμενα. Το βαρυτικό πεδίο τους θα παραμόρφωνε ελαφρώς τον ορίζοντα γεγονοτων της μαύρης τρύπας και ο παραμορφωμένος ορίζοντας θα μπορούσε να γεννήσει διαφορετικά εξερχόμενα σωματίδια από ό,τι ο μη παραμορφωμένος. Κατά την πτώση του προς μία μαύρη τρύπα ένα σωματίδιο επιταχύνεται σε σχέση με κάποιον εξωτερικό παρατηρητή και το βαρυτικό πεδίο του παίρνει σχετικιστική μορφή. Ο 'τ Χοφτ απέδειξε ότι αυτό το μικροσκοπικό πεδίο δημιουργεί ένα λογαριθμικό εξόγκωμα σε σχήμα κονταριού πάνω στον ορίζοντα γεγονότων μιας μαύρης τρύπας, και ότι, όπως μία σκιά, το εξόγκωμα αυτό αποτελεί μία εναλλακτική περιγραφή της θέσεως και της μάζας του σωματιδίου. Για μία τετραδιάστατη σφαιρική τρύπα χωρίς ηλεκτρικό φορτίο, η παραμόρφωση του ορίζοντα είναι παρόμοια με αυτή που περιγράφει την εκπομπή και απορρόφηση σωματιδίων σε ένα κοσμικό φύλλο της θεωρίας των χορδών. Επειδή οι παραμορφώσεις στην επιφάνεια είναι το μοναδικό αποτύπωμα του κάθε εισερχόμενου σωματίου, και επειδή αυτές οι παραμορφώσεις θα έπρεπε να καθορίζουν πλήρως τα εξερχόμενα σωμάτια, ο 't Hooft πίστεψε ότι η σωστή περιγραφή της μαύρης τρύπας θα γινόταν στα πλαίσια κάποιας μορφής θεωρίας χορδών.
Αυτή η ιδέα συγκεκριμενοποιήθηκε από τον Λέoναρντ Σάσκιντ (Susskind), που ανέπτυσσε την εποχή εκείνη και την ολογραφία: Ο Susskind υπεστήριξε ότι η ταλάντωση του ορίζοντα γεγονότων μιας μαύρης τρύπας είναι μία πλήρης περιγραφή τόσο των εισερχόμενων και των εξερχόμενων σωματιδίων ύλης, επειδή η θεωρία των κοσμικών φύλλων της θεωρίας των χορδών αποτελούσε ακριβώς μία τέτοια ολογραφική περιγραφή. Ενώ οι βραχείες χορδές έχουν μηδενική εντροπία, ο φυσικός μπόρεσε να ταυτοποιήσει μακρές διεγερμένες καταστάσεις χορδών με συνήθεις μαύρες τρύπες. Αυτό υπήρξε μία βαθιά πρόοδος, επειδή απεκάλυψε ότι οι χορδές έχουν μία κλασική εφαρμογή στις μαύρες τρύπες.
Η δουλειά αυτή έδειξε ότι το παράδοξο της πληροφορίας στις μαύρες τρύπες επιλύεται όταν η κβαντική βαρύτητα περιγράφεται με έναν ασυνήθιστο τρόπο στα πλαίσια της θεωρίας των χορδών, υπό την παραδοχή ότι η περιγραφή της θεωρίας των χορδών είναι πλήρης και μονοσήμαντη. Ο χωροχρόνος στην κβαντική βαρύτητα θα προέκυπτε ως μία αποδοτική περιγραφή της θεωρίας των ταλαντώσεων ενός ορίζοντα γεγονότων με λιγότερες διαστάσεις μιας μαύρης τρύπας. Η οποιαδήποτε μαύρη τρύπα με τις κατάλληλες ιδιότητες, από την πλευρά της, θα μπορούσε να χρησιμεύσει ως μία βάση για την περιγραφή της θεωρίας των χορδών.
Το 1995 ο Susskind και οι συνεργάτες του Tom Banks, Willy Fischler και Stephen Shenker παρουσίασαν μία διατύπωση της νέας θεωρίας-Μ με τη χρήση ολογραφικής περιγραφής και με όρους φορτισμένων σημειακών μαύρων τρυπών που αντιστοιχούσαν στις βράνες D0 της θεωρίας χορδών τύπου IIA. Η θεωρία Matrix που πρότειναν είχε προταθεί αρχικώς ως περιγραφή δύο βρανών στην ενδεκαδιάστατη υπερβαρύτητα από τους Bernard de Wit, Jens Hoppe και Hermann Nicolai, οι οποίοι επανερμήνευσαν τα ίδια μοντέλα πινάκων ως περιγραφή της δυναμικής σημειακής μαύρης τρύπας σε συγκεκριμένα όρια. Η ολογραφία τους επέτρεψε να συμπεράνουν ότι η δυναμική μιας τέτοιας μαύρης τρύπας δίνει μία πλήρη διατύπωση της Θεωρίας-Μ που δεν μπορεί να περιγραφεί με θεωρία διαταραχών. Ο Χουάν Μαλνταθένα (Juan Martín Maldacena) έδωσε τις πρώτες ολογραφικές περιγραφές ενός αντικειμένου περισσότερων διαστάσεων, της 3+1-διάστατης μεμβράνης τύπου IIB, κάτι που επέλυσε το μακροχρόνιο πρόβλημα της ευρέσεως μιας περιγραφής θεωρίας βαθμίδας με τη θεωρία των χορδών. Αυτές οι εξελίξεις εξήγησαν ταυτοχρόνως το πώς η θεωρία των χορδών σχετίζεται με ορισμένες μορφές υπερσυμμετρικών κβαντικών θεωρίων πεδίου.

Το όριο στην πυκνότητα πιθανότητας

Η εντροπία, αν θεωρηθεί ως άθροισμα πληροφοριών εντροπία πληροφοριών), μπορεί να μετρηθεί σε bit. Ο συνολικός αριθμός των bit σχετίζεται με τον συνολικό αριθμό βαθμών ελευθερίας του συστήματος μάζας/ενέργειας.
Για μία δεδομένη ενέργεια που περιέχεται μέσα σε συγκεκριμένο όγκο, υπάρχει ένα άνω όριο στην πυκνότητα πληροφοριών (το όριο Bekenstein) για το πού βρίσκονται όλα τα σωματίδια που αποτελούν την ύλη μέσα στον όγκο αυτόν, εφόσον η ύλη δεν μπορεί να διαιρείται επ' άπειρον και πρέπει να υπάρχει ένα ύστατο επίπεδο στοιχειωδών σωματιδίων. Καθώς ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας ενός σωματιδίου είναι το γινόμενο όλων των βαθμών ελευθερίας των υπο-σωματιδίων του, αν ένα σωμάτιο μπορούσε να χωριστεί σε άπειρα υπο-σωματίδια, τότε οι βαθμοί ελευθερίας του θα ήταν άπειροι, παραβιάζοντας έτσι το μέγιστο όριο της πυκνότητας εντροπίας. Επομένως η ολογραφική αρχή υπαγορεύει ότι οι υποδιαιρέσεις πρέπει να σταματούν σε κάποιο επίπεδο και ότι το πράγματι θεμελιώδες σωματίδιο αντιστοιχεί σε 1 bit πληροφορίας.
Η αυστηρότερη πραγμάτωση της ολογραφικής αρχής είναι η αντιστοιχία σύμμορφης/αντι-ντε-Σίτερ θεωρίας πεδίου ή «δυισμός Μαλνταθένα» ή «δυισμός βαθμίδας-βαρύτητας» (gauge/gravity duality), γνωστή με τα αρχικά ως αντιστοιχία AdS/CFT. Ωστόσο, οι J.D. Brown και Marc Henneaux είχαν αποδείξει αυστηρά ήδη το 1986 ότι η ασυμπτωτική συμμετρία της 2+1-διάστατης βαρύτητας περιγράφεται από μία άλγεβρα Βιρασόρο, της οποίας η αντίστοιχη κβαντική θεωρία είναι μία διδιάστατη σύμμορφη θεωρία πεδίου.

Συνέπειες για την περιγραφή του Σύμπαντος

Το φυσικό Σύμπαν θεωρείται ευρύτατα ότι αποτελείται από «ύλη» και «ενέργεια». Σε ένα άρθρο του το 2003 στο περιοδικό Scientific American, ο Jacob Bekenstein συνόψισε μία τρέχουσα τάση με απαρχές στον Γουήλερ, η οποία προτείνει ότι ίσως οι επιστήμονες θα πρέπει «να θεωρούν τον φυσικό κόσμο ως αποτελούμενο από πληροφορία, με την ύλη και την ενέργεια ως γενικές δευτερογενείς οντότητες (incidentals)». Ο Bekenstein ερωτά σχετικά με την ολογραφική αρχή: «Εμείς θα μπορούσαμε, όπως το είχε θέσει ο Ουίλλιαμ Μπλέηκ, να δούμε έναν κόσμο σε έναν κόκκο άμμου, ή μήπως αυτή η ιδέα δεν είναι κάτι περισσότερο από μια ποιητική άδεια»;

Μία απροσδόκητη σύνδεση

Η σύνοψη του Bekenstein με τίτλο «Ιστορία δύο εντροπιών» («A Tale of Two Entropies») αναφέρει δυνητικά βαθύτατες συνέπειες της παραπάνω τάσεως, σημειώνοντας μεταξύ άλλων μία απροσδόκητη σύνδεση ανάμεσα στον κόσμο της θεωρίας της πληροφορίας και στην κλασική φυσική. Αυτή η σύνδεση περιγράφηκε λίγο μετά τις πρωτοπόρες δημοσιεύσεις το 1948 του μαθηματικού Κλωντ Ε. Σάνον, που εισήγαγαν το ευρύτερα χρησιμοποιούμενο σήμερα μέτρο πληροφοριακού περιεχομένου, που είναι γνωστό και ως εντροπία Shannon. Η εντροπία αυτή, ως ένα αντικειμενικό μέτρο της ποσότητας πληροφοριών, υπήρξε μέχρι σήμερα εξαιρετικά χρήσιμη, καθώς ο σχεδιασμός όλων των σύγχρονων συσκευών επικοινωνίας και αποθηκεύσεως δεδομένων, από τα κινητά τηλέφωνα μέχρι τους σκληρούς δίσκους και τα DVD, στηρίζεται στην εντροπία Shannon.
Στη θερμοδυναμική τώρα (τον κλάδο της φυσικής που ασχολείται με τη θερμότητα), η εντροπία περιγράφεται ως ένα μέτρο της αταξίας σε ένα φυσικό σύστημα ύλης και ενέργειας. Το 1877 ο Αυστριακός φυσικός Λούντβιχ Μπόλτσμαν την περιέγραψε ακριβέστερα σε σχέση με τον αριθμό των διακριτών μικροσκοπικών καταστάσεων στις οποίες θα ήταν δυνατόν να βρίσκονται τα σωματίδια που αποτελούν ένα μακροσκοπικό «κομμάτι» ύλης και ταυτοχρόνως να «μοιάζουν» με το ίδιο αυτό «κομμάτι». Για τον αέρα σε ένα δωμάτιο π.χ., η θερμοδυναμική εντροπία του θα ισούται με τον λογάριθμο του αριθμού όλων των τρόπων με τους οποίους τα ξεχωριστά μόρια των αερίων του θα μπορούσαν να κατανεμηθούν στο δωμάτιο συν του αριθμού όλων των τρόπων με τους οποίους θα μπορούσαν να κινούνται.

Ενέργεια, ύλη και πληροφοριακό ισοδύναμο

Οι προσπάθειες του Σάνον να ανακαλύψει έναν τρόπο για την ποσοτικοποίηση των πληροφοριών που εμπεριέχονται π.χ. σε ένα μήνυμα e-mail, το οδήγησαν σε μία σχέση απροσδόκητα όμοια με εκείνη του Μπόλτσμαν. Σε άρθρο του στο Scientific American (Αύγουστος 2003) με τίτλο «Information in the Holographic Universe» («Η πληροφορία στο ολογραφικό Σύμπαν»), ο Bekenstein γράφει ότι «Η θερμοδυναμική εντροπία και η εντροπία Shannon είναι ως έννοιες ισοδύναμες: ο αριθμός των δυνατών μικροκαταστάσεων που μετρά η πρώτη κατά Boltzmann αντιπροσωπεύει την ποσότητα πληροφοριών κατά Shannon που θα χρειαζόταν κάποιος για να εφαρμόσει το οποιοδήποτε συγκεκριμένο σύνολο μικροκαταστάσεων» της ύλης και της ενέργειας. Η μοναδική εξέχουσα διαφορά είναι στις μονάδες μετρήσεως: η μία εντροπία εκφράζεται σε μονάδες ενέργειας δια θερμοκρασία, ενώ η άλλη σε «ουσιαστικά αδιάστατα» «bits» πληροφοριών.
Η ολογραφική αρχή δηλώνει ότι η εντροπία της «συνηθισμένης μάζας» (όχι μόνο της μαύρης τρύπας) είναι επίσης ανάλογη του εμβαδού της επιφάνειας και όχι του όγκου, γιατί ο ίδιος αυτός ο όγκος είναι μία αυταπάτη και το Σύμπαν είναι στην πραγματικότητα ένα ολόγραμμα, το οποίο είναι ισομορφικό των πληροφοριών που είναι «καταγεγραμμένες» πάνω στην επιφάνεια του ορίου του.

Πειραματικοί έλεγχοι

Ο φυσικός του Φέρμιλαμπ Craig Hogan ισχυρίζεται ότι η ολογραφική αρχή θα συνεπαγόταν κβαντικές διακυμάνσεις στη θέση στον χώρο, που θα οδηγούσαν σε έναν θόρυβο υποβάθρου, τον λεγόμενο «ολογραφικό θόρυβο», ανιχνεύσιμο από ανιχνευτές βαρυτικών κυμάτων, ιδίως από τον GEO 600. Ωστόσο, αυτοί οι ισχυρισμοί δεν γίνονται δεκτοί από τους περισσότερους ερευνητές της κβαντικής βαρύτητας και φαίνεται ότι βρίσκονται σε ευθεία σύγκρουση με τους υπολογισμούς της θεωρίας των χορδών.
Το 2011, αναλύσεις μετρήσεων της εκρήξεως ακτίνων γ GRB 041219A του 2004 από την ευρωπαϊκή διαστημική αποστολή INTEGRAL έδειξαν ότι ο θόρυβος του Craig Hogan απουσιάζει μέχρι και σε κλίμακα της τάξεως του 10⁻⁴⁸ μέτρου, ενώ ο Hogan προέβλεπε ότι θα ήταν ανιχνεύσιμος και σε κλίμακα 10⁻³⁵ μέτρουan.
Ο Bekenstein ισχυρίζεται επίσης ότι έχει ανακαλύψει μία μέθοδο να ελέγξει πειραματικά την αλήθεια της ολογραφικής αρχής με ένα επιτραπέζιο πείραμα με φωτόνια.