Τριγωνομετρική συνάρτηση

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί και τριγωνομετρία

Χρησιμοποιώντας τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορούν να οριστούν οι τρεις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, η εφαπτομένη, το ημίτονο και το συνημίτονο. Επιπλέον μπορεί να οριστεί και η συνάρτηση συνεφαπτομένη. Αυτές οι συναρτήσεις ορίζονται ως προς μια οξεία γωνία θ του τριγώνου. Η θ συνήθως μετριέται σε ακτίνια ή μοίρες. Αν η γωνία δε μετριέται σε ακτίνια, τότε η γωνία γράφεται μαζί με τις μονάδες μέτρησης.
Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει δύο κάθετες μεταξύ τους πλευρές και μια υποτείνουσα. Οι κάθετες είναι αυτές που σχηματίζουν μεταξύ τους ορθή γωνία, ενώ η υποτείνουσα είναι η τρίτη πλευρά που σχηματίζει οξείες γωνίες με τις υπόλοιπες δύο πλευρές. Στο Σχήμα 1, οι κάθετες είναι οι πλευρές c και b, ενώ η υποτείνουσα είναι η a.
Με βάση μια οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ορίζουμε ως προσκείμενη (κάθετη) πλευρά την πλευρά του τριγώνου που είναι ταυτόχρονα και πλευρά της γωνίας. Επιπλέον, ως απέναντι (κάθετη) πλευρά της γωνίας ορίζουμε την άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου. Στο συγκεκριμένο σχήμα προσκείμενη πλευρά είναι η b, και απέναντι πλευρά η c.
Οι τρεις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται ως συναρτήσεις μόνο της γωνίας θ, γιατί αποδεικνύεται ότι η τιμή τους δεν εξαρτάται από το μήκος των πλευρών, αλλά μόνο από τη γωνία θ. Το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων όπως ορίζονται με βάση ορθογώνιο τρίγωνο είναι από μηδέν μέχρι π/2 ακτίνια, δηλαδή η γωνία θ πρέπει να είναι οξεία.

Εφαπτομένη

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως εφαπτομένη της γωνίας θ του τριγώνου το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς διά την προσκείμενη κάθετη πλευρά. Συμβολίζεται με εφθ, στα ελληνικά ή tanθ διεθνώς. Η εφαπτομένη, όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός.

Τριγωνομετρικός κύκλος

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να γενικευθούν μέσω του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Έστω ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και πάνω σε αυτό μοναδιαίος κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων. Θεωρούμε τη γωνία θ ως τη γωνία του θετικού ημιάξονα x'x και της θέσης που θα λάβει ο θετικός ημιάξονας x'x, αν περιστραφεί κατά τη θετική φορά, για να διαγράψει γωνία θ. Ως θετική φορά θεωρείται η φορά κατά την οποία η μεταβλητή πλευρά αρχίζει την πορεία της στο πρώτο τεταρτημόριο, δηλαδή κατά την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού. Τότε η μεταβλητή πλευρά της γωνίας τέμνει το μοναδιαίο κύκλο σε ένα σημείο. Έστω οι συντεταγμένες του χ, ψ. Το τόξο που αντιστοιχεί στη γωνία προφανώς είναι του ίδιου μεγέθους με τη γωνία. Επειδή ο κύκλος είναι μοναδιαίος, δηλαδή έχει ακτίνα ίση με τη μονάδα, το μήκος του τόξου ισούται με το μέτρο της γωνίας (σε ακτίνια).
Τότε μπορούμε να ορίσουμε εκ νέου τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, ώστε σαν πεδίο ορισμού να δέχονται οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό, δηλαδή η γωνία θ δεν είναι ανάγκη πλέον να είναι οξεία, μπορεί να είναι οποιαδήποτε. Αν η γωνία θ είναι μεγαλύτερη από μία πλήρη γωνία, τότε η μεταβλητή πλευρά εκτελεί μια πλήρη περιστροφή και συνεχίζει. Αν η γωνία θ είναι αρνητική, τότε η περιστροφή θεωρείται κατά την αρνητική φορά. Με αυτήν τη γενίκευση οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν ως ανεξάρτητη μεταβλητή οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό και όχι υποχρεωτικά γωνία. Γι' αυτό η ανεξάρτητη μεταβλητή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ονομάζεται φάση.

Μελέτη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής. Η φάση είναι πραγματικός αριθμός, αντιστοιχίζεται πρώτα στην αντίστοιχη γωνία με μέτρο την ανεξάρτητη μεταβλητή σε ακτίνια και έπειτα στον αντίστοιχο τριγωνομετρικό αριθμό. Για παράδειγμα sin5=sin(5rad). Από τη μελέτη τους ως συναρτήσεις προκύπτουν τα παρακάτω:

Συνημίτονο

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης συνημίτονο είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο [-1,1], ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=2π. Είναι παραγωγίσιμη με (cosx)'=-sinx.  Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα [0,2π) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση συνημίτονο είναι γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο [0,π/2], γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο [π/2,π], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [π,3π/2], γνήσια αύξουσα και κοίλη στο [3π/2,2π). Παρουσιάζει μέγιστο την τιμή 1 στο 0, ελάχιστο την τιμή -1 στο π και δύο σημεία καμπής, ένα στο π/2 και ένα στο 3π/2.

Εφαπτομένη

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης εφαπτομένη είναι οι πραγματικοί αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών που μηδενίζουν τη συνάρτηση συνημίτονο, δηλαδή των αριθμών της μορφής x=κπ +π/2, όπου κ ακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=π. Είναι παραγωγίσιμη με (tanx)'=1/cos²x=sec²x. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα (-π/2,π/2) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση εφαπτομένη είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη στο (-π/2,0], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [0,π/2). Παρουσιάζει σημείο καμπής στο μηδέν και κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες x=-π/2, x=π/2.
Γεωμετρικά, όταν η φάση είναι μηδέν, η γωνία θ είναι μηδενική, τότε προφανώς και η εφαπτομένη της θ θα είναι μηδενική, αφού η υποτείνουσα του τριγώνου θα είναι παράλληλη στον άξονα x, δηλαδή θα έχει μηδενική κλίση και η απέναντι κάθετη πλευρά θα είναι κι αυτή μηδενική, δηλαδή Δy=0. Η εφαπτομένη της γωνίας θ απειρίζεται όταν θ=90ο, αφού σ'αυτήν την περίπτωση, η απόσταση Δy είναι άπειρη και η κλίση της υποτείνουσας είναι κάθετη προς τον άξονα x.

Συνεφαπτομένη

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης συνεφαπτομένη είναι οι πραγματικοί αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών που μηδενίζουν τη συνάρτηση ημίτονο, δηλαδή των αριθμών της μορφής x=κπ, όπου κ ακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=π. Είναι παραγωγίσιμη με (cotx)'=-1/sin²x=csc²x. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα (0,π) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση συνεφαπτομένη είναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο (0,π/2], γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο [π/2,π). Παρουσιάζει σημείο καμπής στο π/2 και κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες x=0, x=π.

Τέμνουσα

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης τέμνουσα είναι οι πραγματικοί αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών που μηδενίζουν τη συνάρτηση συνημίτονο, δηλαδή των αριθμών της μορφής x=κπ+π/2, όπου κ ακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών εξαιρουμένου του τμήματος (-1,1), ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=2π. Είναι παραγωγίσιμη με (secx)'=sinx/cos²x=tanx/cosx. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα (-π/2,π/2)U(π/2,3π/2) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση τέμνουσα είναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο (-π/2,0], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [0,π/2), γνήσια αύξουσα και κοίλη στο (π/2,π], γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο [π,3π/2). Παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο με τιμή 1 στο 0, τοπικό μέγιστο με τιμή -1 στο π και κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες y=π/2, y=3π/2.

Συντέμνουσα

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης συντέμνουσα είναι οι πραγματικοί αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών που μηδενίζουν τη συνάρτηση ημίτονο, δηλαδή των αριθμών της μορφής x=κπ, όπου κ ακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών εξαιρουμένου του τμήματος (-1,1), ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=2π. Είναι παραγωγίσιμη με (cscx)'=-cosx/sin²x=-cotx/sinx. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα (0,π)U(π,2π) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση συντέμνουσα είναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο (0,π/2], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [π/2,π), γνήσια αύξουσα και κοίλη στο (π,3π/2], γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο [3π/2,2π). Παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο με τιμή 1 στο π/2, τοπικό μέγιστο με τιμή -1 στο 3π/2 και κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες y=0, y=π.

Αρμονική συνάρτηση

Παρατηρήθηκε ότι ισχύει cosx=sin(x+π/2). Επιπλέον, στη μοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινομένων, όπως η απλή αρμονική ταλάντωση εμφανίζονται συναρτήσεις της μορφής sin(x+α), όπου α μπορεί να είναι οποιαδήποτε γωνία (σε ακτίνια). Έτσι, μπορεί να οριστεί μια  τριγωνομετρική συνάρτηση, η αρμονική συνάρτηση, η οποία είναι της παραμετρικής μορφής sin(x+α). Ουσιαστικά η αρμονική συνάρτηση είναι η συνάρτηση ημίτονο μετατοπισμένη στον άξονα x'x κατά -α μονάδες.
Πεδίο ορισμού της αρμονικής συνάρτησης είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο [-1,1], ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο Τ=2π. Είναι παραγωγίσιμη με (sin(x+α))'=sin(x+α+π/2), δηλαδή η παράγωγός της αρμονικής συνάρτησης είναι αρμονική συνάρτηση. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα [-α,2π-α) ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση ημίτονο είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη στο [-α,π/2-α], γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο [π/2-α,π-α], γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο [π-α,3π/2-α], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [3π/2-α,2π-α). Παρουσιάζει μέγιστο την τιμή 1 στο π/2-α, ελάχιστο την τιμή -1 στο 3π/2-α και δύο σημεία καμπής, ένα στο -α και ένα στο π-α.
Η αρμονική συνάρτηση έχει άπειρα σημεία συμμετρίας, όλες τις ρίζες της. Επιπλέον έχει άπειρους κατακόρυφους άξονες συμμετρίας, όλες τις κατακόρυφες ευθείες που διέρχονται από τα μέγιστα και τα ελάχιστά της.
Με βάση τον ορισμό της αρμονικής συνάρτησης προκύπτει ότι οι συναρτήσεις sinx, cosx, -sinx, -cosx, είναι περιπτώσεις της αρμονικής συνάρτησης. Επιπλέον, η αρμονική συνάρτηση μπορεί να οριστεί ως cos(x+α). Ανεξάρτητα ποια τριγωνομετρική συνάρτηση θα χρησιμοποιηθεί ως βάση για τον ορισμό της το νόημα είναι ότι οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο, όπως και άλλες παρόμοιες συναρτήσεις, είναι παραμετρικές μορφές της ίδιας συνάρτησης.

Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Για κάθε τριγωνομετρική συνάρτηση ορίζεται αντίστοιχη αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση. Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ορίζονται με βάση τμήμα του πεδίου ορισμού των τριγωνομετρικών, στο οποίο αυτές είναι ένα προς ένα. Προφανώς αυτό το τμήμα είναι τμήμα περιόδου. Για παράδειγμα η συνάρτηση ημίτονο είναι ένα προς ένα στο [-π/2,π/2], και με βάση αυτό ορίζεται η αντίστροφη της. Ονομάζονται και τόξο της τριγωνομετρικής συνάρτησης που αντιστοιχούν, γιατί αντιστοιχούν το δοσμένο τριγωνομετρικό αριθμό σε αντίστοιχη γωνία, άρα και στο μήκος του αντίστοιχου τόξου του μοναδιαίου κύκλου. Η γωνία στην οποία αντιστοιχούν οι αντίστροφες πάντα εντός μιας πλήρης περιστροφής. Συνήθως οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις αντιστοιχούν σε θετικές γωνίες, εκτός αν προκύπτει ασυνεχής η αντίστροφη συνάρτηση, ή δεν είναι δυνατό να οριστεί πλήρως η αντίστροφη, οπότε αντιστοιχούν και σε αρνητικές γωνίες.

Αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου

Θεωρούμε τη συνάρτηση ημίτονο στο [-π/2,π/2], όπου είναι ένα προς ένα. Η αντίστροφη συνάρτηση ονομάζεται τόξο ημιτόνου και συμβολίζεται με arc sin x.
Πεδίο ορισμού του τόξου ημιτόνου είναι το [-1,1]. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο [-π/2,π/2], ενώ η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, ως αντίστροφη. Είναι παραγωγίσιμη με . Η συνάρτηση τόξο ημιτόνου είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη στο [-1,0], γνήσια αύξουσα και κυρτή στο [0,1]. Παρουσιάζει μέγιστο την τιμή π/2 στο 1, ελάχιστο την τιμή -π/2 στο -1 και σημείο καμπής στο 0.

Αντίστροφη συνάρτηση του συνημιτόνου

Θεωρούμε τη συνάρτηση συνημίτονο στο [0,π], όπου είναι ένα προς ένα. Η αντίστροφη συνάρτηση ονομάζεται τόξο συνημιτόνου και συμβολίζεται με arc cos x.
Πεδίο ορισμού του τόξου συνημιτόνου είναι το [-1,1]. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο [0,π], ενώ η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, ως αντίστροφη. Είναι παραγωγίσιμη με . Η συνάρτηση τόξο συνημιτόνου είναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο [-1,0], γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο [0,1]. Παρουσιάζει μέγιστο την τιμή π στο -1, ελάχιστο την τιμή 0 στο 1 και σημείο καμπής στο 0.