Επιφάνεια Ρίμαν

Στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στη μιγαδική ανάλυση, η επιφάνεια Ρίμαν που πήρε το όνομά της από τον Μπέρναρντ Ρίμαν ο οποίος ήταν και ο πρώτος που τη μελέτησε, είναι ένας μονοδιάστατος μιγαδικός τοπολογικός χώρος. Οι επιφάνειες Ρίμαν μπορούν να θεωρηθούν ως "παραμορφωμένες εκδόσεις" του μιγαδικού επίπεδου τοπικά κοντά σε κάθε σημείο που μοιάζουν με μπαλώματα του μιγαδικού επιπέδου, ​​αλλά γενικά η τοπολογία τους μπορεί να είναι αρκετά διαφορετική. Παραδείγματος χάριν, μπορούν να μοιάσουν με μια σφαίρα ή με ένα τόρο ή με φύλλα που κολλιούνται από κοινού.
Το κύριο σημείο των επιφανειών Ρίμαν είναι ότι οι ολομορφικές συναρτήσεις μπορούν να καθοριστούν μεταξύ τους. Οι επιφάνειες Ρίμαν εξετάζονται σήμερα ως φυσική ρύθμιση για τη μελέτη της σφαιρικής συμπεριφοράς αυτών των λειτουργιών, ειδικά σύνθετες συναρτήσεις όπως η τετραγωνική ρίζα και άλλες αλγεβρικές συναρτήσεις, ή ο λογάριθμος.
Κάθε επιφάνεια Ρίμαν είναι ένας δισδιάστατος πραγματικός αναλυτικός τοπολογικός χώρος (δηλ., μια επιφάνεια), αλλά περιέχει περισσότερη δομή (συγκεκριμένα μια μιγαδική δομή) που απαιτείται για το σαφή καθορισμό των ολομορφικών συναρτήσεων. Ένας δισδιάστατος πραγματικός τοπολογικός χώρος μπορεί να μετατραπεί σε επιφάνεια Ρίμαν εάν και μόνο εάν είναι προσανατολίσιμος και μετρήσιμος. Έτσι στη σφαίρα και στο δακτύλιο μπορούν να γίνουν αποδεκτές μιγαδικές δομές, κάτι που δεν είναι εφικτό στη λουρίδα Möbius, στο μπουκάλι Klein και στο προβολικό επίπεδο.
Τα γεωμετρικά δεδομένα για τις επιφάνειες Ρίμαν είναι «όμορφα», και παρέχουν συχνά τη διαίσθηση και το κίνητρο για τις γενικεύσεις σε άλλες καμπύλες, πολλαπλές ή ποικιλίες. Το θεώρημα Riemann-Roch είναι ένα πρωταρχικό παράδειγμα αυτής της επιρροής.

Περαιτέρω ορισμοί και ιδιότητες

Όπως με οποιοδήποτε χάρτη μεταξύ των μιγαδικων τοπολογικών υποχώρων, μια συνάρτηση f: Το Μ → Ν μεταξύ δύο επιφανειών Ρίμαν Μ και Ν καλείται ολομορφική εάν για κάθε διάγραμμα g στον άτλαντα του Μ και κάθε charth στον άτλαντα του Ν, ο χάρτης h o f o g⁻¹ είναι ολομορφικός (ως λειτουργία από το C στο C) οπουδήποτε καθορίζεται. Η σύνθεση δύο ολομορφικών χαρτών είναι ολομορφική. Οι δύο επιφάνειες Μ και Ν Ρίμαν καλούνται βιχολομορφικές εάν υπάρχει μια 1-1 ολομορφική συνάρτηση από το Μ στο Ν του οποίου αντίστροφο είναι επίσης ολομορφικό (βγάζει ότι ο τελευταίος όρος είναι αυτόματος και μπορεί επομένως να παραλειφθεί)

Δυνατότητα Προσανατολισμού

Σημειώσαμε στον πρόλογο ότι όλες οι επιφάνειες Ρίμαν, όπως όλους τους μιγαδικούς τοπολογικούς χώρους, μπορεί να προσανατοληστέι ως πραγματικός τοπολογικός χώρος. Ο λόγος είναι αυτός για τα μιγαδικά διαγράμματα f και g με τη συνάρτηση μετάβασης h = f(g⁻¹(z)) μπορούμε να εξετάσουμε το χ ως χάρτη από ένα ανοικτό σύνολο R² to R² του οποίου ο Πίνακας Jacobi σε ένα σημείο z είναι ακριβώς ο πραγματικός γραμμικός χάρτης που δίνεται από τον πολλαπλασιασμό από το μιγαδικό αριθμό h'(z). Εντούτοις, ο πραγματικός καθοριστικός παράγοντας του πολλαπλασιασμού από έναν μιγαδικό αριθμό α είναι ίσος με α equals |α|², έτσι ο Πίνακας Jacobi του χ έχει θετική ορίζουσα. Συνεπώς ο σύνθετος άτλαντας είναι ένας προσανατολισμένος άτλαντας.

Συναρτήσεις

Κάθε μη συνεχής επιφάνεια Ρίμαν αναγνωρίζει τις μη-σταθερές ολομορφικές συναρτήσεις (με τις τιμές στο C). Στην πραγματικότητα, κάθε μη συνεχής επιφάνεια Ρίμαν είναι ένας τοπολογικός χώρος Stein. Αντίθετα, σε μια συμπαγή επιφάνεια Χ Ρίμαν κάθε ολομορφική συνάρτηση με τιμές στο C είναι σταθερή λογο του ολικού μεγίστου. Εντούτοις, πάντα υπάρχουν οι μη συνεχής μερομορφικές συναρτήσεις (ολομορφικές συναρτήσεις με τις τιμές στη σφαίρα C ∪ Ρίμαν {∞}). Ακριβέστερα, ο μερομορφικός χώρος (ομάδα μερομορφικών συναρτήσεων) του Χ είναι μια πεπερασμένη επέκταση του C(τ), ο μερομορφικός χώρος σε μια μεταβλητή, δηλ. οποιες δήποτε δύο μερομορφικές συναρτήσεις είναι αλγεβρικά εξαρτώμενες. Αυτή η δήλωση γενικεύει στις υψηλότερες διαστάσεις, Siegel (1955).

Ελλειπτικές επιφάνειες Ρίμαν

Εξ ορισμού, αυτές είναι οι επιφάνειες Χ με τη σταθερή κυρτότητα +1. Η σφαίρα Ρίμαν C∪{∞} είναι το μόνο παράδειγμα. (Οι ελλειπτικές συναρτήσεις είναι παραδείγματα των παραβολικών επιφανειών Ρίμαν. Η ονομασία προέρχεται από την ιστορία: οι ελλειπτικές συναρτήσεις συνδέονται με τα ελλειπτικά ολοκληρώματα, τα οποία παρουσιάζουν με τη σειρά τους τον υπολογισμό της περιφέρειας των ελλείψεων).

Υπερβολικές επιφάνειες Ρίμαν

Οι επιφάνειες Ρίμαν με την κυρτότητα −1 καλούνται υπερβολικές. Αυτή η ομάδα είναι «η μεγαλύτερη». Το γιορτασμένο θεώρημα χαρτογράφησης Ρίμαν δηλώνει ότι οποιοδήποτε απλά συνδεδεμένο ακριβές υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου είναι βιχολομορφικο στο δίσκο μονάδων. Επομένως ο ανοικτός δίσκος με τον poincaré-μετρικό της σταθερής κυρτότητας −1 είναι το τοπικό πρότυπο οποιασδήποτε υπερβολικής επιφάνειας Ρίμαν. Σύμφωνα με το θεώρημα uniformization ανωτέρω, όλες οι υπερβολικές επιφάνειες είναι πηλίκα του δίσκου μονάδων.
Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν όλες τις επιφάνειες με το γένος g > 1 όπως οι υπερβολικός-ελλειπτικές καμπύλες.
Για κάθε υπερβολική επιφάνεια Ρίμαν, η θεμελιώδης ομάδα είναι ισομορφική σε μια ομάδα Fuchsian, και έτσι η επιφάνεια μπορεί να διαμορφωθεί από ένα Fuchsian πρότυποH/Γ όπου το Χ είναι στο ανω μισο επίπεδο και Γ είναι η ομάδα Fuchsian. Το σύνολο αντιπροσώπων των cosets H/Γ είναι ελεύθερα κανονικά σύνολα και μπορεί να διαμορφωθεί στα μετρικά θεμελιώδη πολύγωνα. Οι δομές πηλίκου ως H/Γ είναι γενικευμένες στις ποικιλίες Shimura.
Αντίθετα από τις ελλειπτικές και παραβολικές επιφάνειες, καμία ταξινόμηση των υπερβολικών επιφανειών δεν είναι δυνατή. Οποιοδήποτε συνδεδεμένο ανοικτό ακριβές υποσύνολο του επιπέδου δίνει μια υπερβολική επιφάνεια εξετάστε το επίπεδο μείον ένα Cantor set. Μια ταξινόμηση είναι δυνατή για τις επιφάνειες πεπερασμένου τύπου:εκείνες που είναι ισομορφικές σε μια συμπαγή επιφάνεια με έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων αφαιρούμενων. Οποιοσδήποτε από αυτούς έχει έναν πεπερασμένο αριθμό συντελεστών και έτσι ενός πεπερασμένου διαστατικού διαστήματος Teichmüller. Το πρόβλημα των συντελεστών (που λύνονται από Lars Ahlfors και που επεκτείνονται από Lipman Bers) ήταν να δικαιολογηθεί η αξίωση Ρίμαν που για μια κλειστή επιφάνεια του γένους g, 3g − 3 μιγαδικοί παράμετροι αρκεί.
Όταν μια υπερβολική επιφάνεια είναι συμπαγής, κατόπιν η συνολική έκταση της επιφάνειας είναι 4π(g − 1), όπου το γ είναι το γένος της επιφάνειας η περιοχή λαμβάνεται με την εφαρμογή του θεωρήματος Gauss-Bonnet στην περιοχή του θεμελιώδους πολυγώνου.

Χάρτες μεταξύ των επιφανειών Ρίμαν

Η γεωμετρική ταξινόμηση απεικονίζεται στους χάρτες μεταξύ των επιφανειών Ρίμαν, όπως εκτίθεται λεπτομερώς στο θεώρημα Liouville και το θεώρημα Little Picard: οι χάρτες από υπερβολικό σε παραβολικό σε ελλειπτικό είναι εύκολοι, αλλά οι χάρτες από ελλειπτικό παραβολικός ή παραβολικός σε υπερβολικό είναι πολύ περιορισμένοι. Υπάρχουν συνυπολογισμοί του δίσκου στο επίπεδο στη σφαίρα: αλλά οποιοσδήποτε μερομορφικός χάρτης από τη σφαίρα στο επίπεδο είναι σταθερός, οποιοσδήποτε ολομορφικός χάρτης από το επίπεδο στο δίσκο μονάδων είναι σταθερός (θεώρημα Liouville), και στην πραγματικότητα οποιοσδήποτε ολομορφικός χάρτης από το επίπεδο στο αεροπλάνο μείον δύο σημεία είναι σταθερός (θεώρημα Little Picard)!

Τρυπημένες σφαίρες

Αυτές οι δηλώσεις διευκρινίζονται με την εξέταση του τύπου μιας σφαίρας  Ρίμαν με διάφορες οπές. Χωρίς τις οπές, είναι μια σφαίρα Ρίμαν, η οποία είναι ελλειπτική. Με μια οπή, που μπορεί να τοποθετηθεί στο άπειρο, είναι το σύνθετο επίπεδο, το οποίο είναι παραβολικό. Με δύο οπές, είναι το τρυπημένος επίπεδο ή εναλλακτικά ο δακτύλιος ή κύλινδρος, οι οποίοι είναι παραβολικοί. Με τρεις ή περισσότερες οπές, είναι υπερβολικό. Κάποιος μπορεί να χαρτογραφήσει από μια οπή σε δύο, μέσω του εκθετικού χάρτη (που είναι ολόκληρος και έχει μια ουσιαστική ιδιομορφία στο άπειρο, τόσο που δεν καθορίζεται στο άπειρο, και χάνει μηδέν και το άπειρο), αλλά όλους τους χάρτες από μηές οπές σε μια ή περισσότερες, ή μια ή δύο οπές σε τρεις ή περισσότεροι είναι σταθεροί

Συναρτησιακή-θεωρητική ταξινόμηση

Το σχέδιο ταξινόμησης ανωτέρω χρησιμοποιείται χαρακτηριστικά από γεωμετριστές. Υπάρχει μια διαφορετική ταξινόμηση για τις επιφάνειες Ρίμαν που χρησιμοποιείται χαρακτηριστικά από τους μιγαδικούς αναλυτές. Υιοθετεί έναν διαφορετικό καθορισμό για «παραβολικός» και «υπερβολικός». Σε αυτό το εναλλακτικό σχέδιο ταξινόμησης, μια επιφάνεια Ρίμαν καλείται παραβολική εάν δεν υπάρχει καμία μη συνεχής αρνητική υποαρμονική συνάρτηση στην επιφάνεια και ειδάλλως καλείται υπερβολική. . Αυτή η κατηγορία υπερβολικών επιφανειών υποδιαιρείται περαιτέρω στις υποκατηγορίες σύμφωνα με το εάν τα διαστήματα των συναρτήσεων εκτός από τις αρνητικές υποαρμονικές συναρτήσεις είναι εκφυλισμένες, π.χ. επιφάνειες Ρίμαν στις οποίες όλες οι οριακές ολομορφικές συναρτήσεις είναι σταθερές, ή σε όποιες οριακές αρμονικές συναρτήσεις είναι σταθερές, ή σε όποιες όλες οι θετικές αρμονικές συναρτήσεις είναι σταθερές, κ.λ.π.
Για να αποφύγετε τη σύγχυση, καλέστε την ταξινόμηση βασισμένη στις μετρικές της σταθερής κυρτότητας στη γεωμετρική ταξινόμηση, και αυτή βασισμένη στον εκφυλισμό της συνάρτησης χωρίζει κατά διαστήματα τη συναρτησιακή-θεωρητική ταξινόμηση. Παραδείγματος χάριν, η επιφάνεια Ρίμαν που αποτελείται από «όλους τους μιγαδικούς αριθμούς εκτώς 0 και 1» είναι παραβολική στη συναρτησιακή-θεωρητική ταξινόμηση αλλά είναι υπερβολική στη γεωμετρική ταξινόμηση.