Λογική πρώτου βαθμού

Η λογική πρώτου βαθμού είναι μια τυπική λογική που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά, τη φιλοσοφία, τη γλωσσολογία και την επιστήμη υπολογιστών. Συναντάται με διάφορα ονόματα, όπως κατηγορηματικός λογισμός πρώτου βαθμού ή κατηγορηματική λογική. Η πρωτοβάθμια λογική διαφέρει από την προτασιακή λογική στη χρήση ποσοτικών τελεστών: κάθε ερμηνεία της λογικής πρώτου βαθμού περιλαμβάνει ένα πεδίο τιμών όπου κυμαίνονται οι ποσοτικοί τελεστές.
Υπάρχουν πολλά συμπερασματικά συστήματα για την πρωτοβάθμια λογική που είναι συνεπή (παράγουν μόνο σωστά αποτελέσματα) και πλήρη (ικανά να παράγουν οποιαδήποτε ορθή πρόταση). Αν και η σχέση λογικής συνέπειας είναι μόνο ημι-αποφασίσιμη, έχει επιτευχθεί μεγάλη πρόοδος στην αυτόματη απόδειξη θεωρημάτων για τη λογική πρώτου βαθμού. Η λογική πρώτου βαθμού ικανοποιεί επίσης αρκετά θεωρήματα μετα-λογικής που την κάνουν επιδεκτική ανάλυσης στην θεωρία αποδείξεων, όπως το Θεώρημα Λόβενχαϊμ-Σκόλεμ και το θεώρημα συμπαγείας.
Η λογική πρώτου βαθμού έχει μεγάλη σημασία για τα θεμέλια των μαθηματικών, όπου αποτελεί την πρότυπη τυπική λογική για αξιωματικά συστήματα. Έχει ικανή εκφραστική ισχύ ώστε να μπορεί να διατυπώσει δύο σημαντικές μαθηματικές θεωρίες: τη Θεωρία συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ και την (πρωτοβάθμια) αριθμητική Πεάνο. Εντούτοις, κανένα αξιωματικό σύστημα στην πρωτοβάθμια λογική δεν είναι αρκετά ισχυρό ώστε να περιγράψει κατηγορικά άπειρες δομές όπως οι φυσικοί αριθμοί ή η γραμμή των πραγματικών. Κατηγορικά αξιωματικά συστήματα για τέτοιες δομές μπορούν να παραχθούν σε ισχυρότερες λογικές όπως η λογική δευτέρου βαθμού.

Εισαγωγή

Ενώ η προτασιακή λογική ασχολείται με απλές δηλωτικές προτάσεις, η λογική πρώτου βαθμού καλύπτει επιπρόσθετα κατηγορήματα και ποσοτικοποιήσεις.
Ένα κατηγόρημα παίρνει μία οντότητα ή οντότητες από το πεδίο τιμών (domain of discourse) ως εισόδους ή εξόδους, είτε Αληθείς είτε Ψευδείς. Θεωρήστε τις δύο προτάσεις "Ο Σωκράτης είναι φιλόσοφος" και "Ο Πλάτωνας είναι φιλόσοφος". Στην προτασιακή λογική, αυτές οι προτάσεις θεωρούνται διαφορετικές μεταξύ τους και συμβολίζονται, για παράδειγμα, ως p και q. Ωστόσο, το κατηγόρημα "είναι φιλόσοφος" εμφανίζεται και στις δύο προτάσεις, οι οποίες έχουν την κοινή δομή "κάποιος είναι φιλόσοφος". Η μεταβλητή κάποιος αρχικοποιείται ως "Σωκράτης" στην πρώτη πρόταση και ως "Πλάτωνας" στη δεύτερη. Η χρήση των κατηγορημάτων, όπως το "είναι φιλόσοφος" σε αυτό το παράδειγμα, διακρίνει τη λογική πρώτου βαθμού από την προτασιακή λογική.
Τα κατηγορήματα μπορούν να συγκριθούν. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τον τύπο πρώτου βαθμού "Εάν κάποιος είναι φιλόσοφος, τότε κάποιος είναι διανοούμενος." Αυτός ο τύπος είναι μία δήλωση υπό όρους, με το "κάποιος είναι φιλόσοφος" να είναι η υπόθεση και το "κάποιος είναι διανοούμενος" ως συμπέρασμα. Η αλήθεια αυτού του τύπου εξαρτάται από το ποιο αντικείμενο δηλώνεται ως κάποιος και από την ερμηνεία των κατηγορημάτων "είναι φιλόσοφος" και "είναι διανοούμενος".
Οι μεταβλητές μπορούν να ποσοτικοποιηθούν. Η μεταβλητή κάποιος στον προηγούμενο τύπο μπορεί να ποσοτικοποιηθεί, για παράδειγμα, στην πρόταση πρώτου βαθμού "Για κάθε κάποιον, εάν κάποιος είναι φιλόσοφος, τότε κάποιος είναι διανοούμενος". Ο παγκόσμιος ποσοδείκτης "Για κάθε" σε αυτή την πρόταση, εκφράζει την ιδέα ότι ο ισχυρισμός "Εάν κάποιος είναι φιλόσοφος, τότε κάποιος είναι διανοούμενος." ισχύει για όλες τις επιλογές του κάποιου.
Η άρνηση της πρότασης "Για κάθε κάποιον, εάν κάποιος είναι φιλόσοφος, τότε ο κάποιος είναι διανοούμενος." είναι λογικά ισοδύναμο με την πρόταση "Υπάρχει κάποιος τέτοιος ώστε κάποιος είναι φιλόσοφος και δεν είναι διανοούμενος." Ο υπαρξιακός ποσοδείκτης "Υπάρχει" εκφράζει την ιδέα ότι ο ισχυρισμός "Κάποιος είναι φιλόσοφος και δεν είναι διανοούμενος" ισχύει για μερικές επιλογές του κάποιου.
Τα κατηγορήματα "είναι φιλόσοφος" και "είναι διανοούμενος" το καθένα έχουν μια μεταβλητή. Τα κατηγορήματα μπορούν να πάρουν αρκετές μεταβλητές. Στην έκφραση πρώτου βαθμού "Ο Σωκράτης είναι ο δάσκαλος του Πλάτωνα", το κατηγόρημα "είναι δάσκαλος του" παίρνει δύο μεταβλητές.
Για να ερμηνεύσει κανείς έναν τύπο πρώτου βαθμού, πρέπει πρώτα να κατανοήσει το κατηγόρημα και τις οντότητες τις οποίες χρησιμοποιούν οι μεταβλητές. Αυτές οι οντότητες είναι από το πεδίο τιμών, το οποίο συνήθως είναι ένα μη κενό σύνολο. Δεδομένου ότι η ερμηνεία με το πεδίο τιμών, που αποτελείται από όλα τα ανθρώπινα όντα και το κατηγόρημα "είναι φιλόσοφος" νοείται ως "έχουν γράψει τη Δημοκρατία", η πρόταση "Υπάρχει κάποιος που είναι φιλόσοφος" είναι αληθής, όπως αποδεικνύεται από τον Πλάτωνα.

Σύνταξη

Υπάρχουν δύο βασικά τμήματα της λογικής πρώτου βαθμού. Η σύνταξη καθορίζει ποιες συλλογές των συμβόλων είναι επιτρεπτές εκφράσεις στη λογική πρώτου βαθμού, ενώ η σημασιολογία καθορίζει τις έννοιες πίσω από αυτές τις εκφράσεις.

Αλφάβητο

Σε αντίθεση με τις φυσικές γλώσσες, όπως τα αγγλικά, η γλώσσα της λογικής πρώτου βαθμού είναι εντελώς τυπική, έτσι ώστε να μπορεί να προσδιοριστεί μηχανικά κατά πόσον μια δεδομένη έκφραση είναι επιτρεπτή. Υπάρχουν δύο βασικά είδη των επιτρεπτών εκφράσεων: όροι, οι οποίοι αντιπροσωπεύουν διαισθητικά αντικείμενα, και τύπους που διαισθητικά εκφράζουν κατηγορήματα που μπορεί να είναι αληθή ή ψευδή. Οι όροι και οι τύποι της λογικής πρώτου βαθμού είναι σειρές από σύμβολα που σχηματίζουν μαζί το αλφάβητο της γλώσσας. Όπως συμβαίνει με όλες τις τυπικές γλώσσες , η φύση των ίδιων των συμβόλων είναι εκτός του πεδίου εφαρμογής της τυπικής λογική:  συχνά θεωρούνται απλώς ως γράμματα και σημεία στίξης.
Συχνά  τα σύμβολα του αλφαβήτου διαιρούνται σε λογικά σύμβολα, τα οποία έχουν πάντοτε την ίδια σημασία, και μη λογικά σύμβολα, η σημασία των οποίων ποικίλλει ανάλογα με την ερμηνεία. Για παράδειγμα, το λογικό σύμβολο  πάντα αντιπροσωπεύει "και" ποτέ δεν ερμηνεύεται ως "ή". Από την άλλη πλευρά, ένα μη-λογικό σύμβολο κατηγόρημα όπως ο Phil (x) θα μπορούσε να ερμηνευθεί ως "το x είναι ένας φιλόσοφος", "το x είναι ένας άνθρωπος που ονομάζεται Philip", ή οποιοδήποτε άλλο μοναδιαίο κατηγόρημα, ανάλογα με την εκάστοτε ερμηνεία .

Κανόνες σχηματισμού

Οι κανόνες σχηματισμού καθορίζουν τους όρους και τους τύπους της λογικής πρώτου βαθμού. Όταν οι όροι και οι τύποι αναπαριστώνται  ως ακολουθίες  συμβόλων, οι κανόνες αυτοί μπορεί να χρησιμοποιηθούν για να δημιουργηθεί μια τυπική γραμματική για τους όρους και τους τύπους. Αυτοί οι κανόνες είναι γενικά χωρίς συμφραζόμενα (κάθε παραγωγή έχει ένα μόνο σύμβολο στην αριστερή πλευρά), εκτός του ότι το σύνολο των συμβόλων μπορεί να  είναι άπειρο και μπορεί να υπάρχουν πολλά σύμβολα έναρξης, για παράδειγμα, οι μεταβλητές στην περίπτωση των όρων .

Σημασιολογία

Μια ερμηνεία μιας γλώσσας πρώτου βαθμού εκχωρεί μια ένδειξη σε όλες τις μη λογικές σταθερές σε αυτή τη γλώσσα. Επίσης, καθορίζει ένα πεδίο του λόγου που καθορίζει το εύρος των ποσοδεικτών. Το αποτέλεσμα είναι ότι σε κάθε όρο  εκχωρείται  ένα αντικείμενο το οποίο αντιπροσωπεύει, και κάθε πρόταση εκχωρείται μια αληθής τιμή . Με τον τρόπο αυτό, η ερμηνεία παρέχει σημασιολογική έννοια με τους όρους και τους τύπους της γλώσσας. Η μελέτη από τις ερμηνείες των τυπικών γλωσσών λέγεται τυπική σημασιολογία . Αυτό που ακολουθεί είναι μια περιγραφή της τυποποιημένης ή Tarskian σημασιολογίας για τη λογική πρώτου βαθμού. (Είναι επίσης δυνατόν να καθοριστεί σημασιολογία παιγνίων για τη λογική πρώτου βαθμού , αλλά πέρα από το απαιτούμενο αξίωμα της επιλογής , η σημασιολογία παιγνίων συμφωνεί με  την Tarskian σημασιολογία για τη  λογική πρώτου βαθμού, έτσι η σημασιολογία παιγνίων δεν μπορεί να επεξηγηθεί εδώ.)
Ο τομέας του λόγου D είναι ένα μη κενό σύνολο «αντικειμένων» κάποιου είδους. Διαισθητικά, ένας τύπος πρώτου βαθμού. είναι μια δήλωση σχετικά με αυτά τα αντικείμενα για παράδειγμα,  δηλώνει την ύπαρξη ενός αντικειμένου x τέτοιο ώστε το κατηγόρημα P να είναι αληθές όταν αναφέρεται σε αυτό. Ο τομέας του λόγου είναι το σύνολο των θεωρούμενων αντικειμένων . Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να λάβει  να είναι το σύνολο των ακεραίων αριθμών.
Η ερμηνεία μιας συμβολοσυνάρτησης είναι μια συνάρτηση. Για παράδειγμα, εάν ο τομέας του λόγου αποτελείται από ακέραιους αριθμούς, μια συμβολοσυνάρτηση f τάξης 2 που αποδίδει το άθροισμα των αποτελεσμάτων της.  Με άλλα λόγια, το σύμβολο f συνδέεται με τη συνάρτηση I(f)  η οποία, σε αυτή την ερμηνεία, είναι η προσθήκη.
Η ερμηνεία ενός σταθερού σύμβολου είναι μια συνάρτηση από το σύνολο ενός στοιχείου D ⁰ στο D, η οποία μπορεί να προσδιοριστεί απλά με ένα αντικείμενο στο D. Για παράδειγμα, μια ερμηνεία μπορεί να εκχωρήσει την τιμή  στο σταθερό σύμβολο  .
Η ερμηνεία ενός n-οστού συμβόλου κατηγόρημα είναι ένα σύνολο από n σε πλήθος στοιχεία του τομέα του λόγου. Αυτό σημαίνει ότι, δεδομένης μιας ερμηνείας, ενός συμβόλου κατηγόρημα, και nστοιχείων του τομέα του λόγου, μπορεί κανείς να πει εάν το κατηγόρημα είναι αληθές για τα στοιχεία αυτά, σύμφωνα με τη συγκεκριμένη ερμηνεία. Για παράδειγμα, μια ερμηνεία Ι (Ρ) ενός δυαδικού συμβόλου κατηγόρημα Ρ μπορεί να είναι το σύνολο των ζευγών των ακεραίων τέτοια ώστε το πρώτο να είναι μικρότερο από το δεύτερο. Σύμφωνα με την ερμηνεία αυτή, το κατηγόρημα P θα είναι αληθές αν το πρώτο του επιχείρημα είναι μικρότερο από το δεύτερο.

Ισχύς, ικανοποιησιμότητα και λογική συνέπεια

Εάν η πρόταση φ θεωρείται αληθής κάτω από τη δοθείσα ερμηνεία M, κάποιος θα μπορούσε να πει ότι το Μ ικανοποιεί τη φ: αυτό συμβολίζεται ως . Μία πρόταση είναι ικανοποιησιμη εάν υπάρχει κάποια ερμηνεία, κάτω από την οποία είναι αληθής.
Η ικανοποιησιμότητα των τύπων μPoε ελεύθερες μεταβλητές είναι πιο περίπλοκη, επειδή μια ερμηνεία από μόνη της δεν καθορίζει το βαθμό αλήθειας ενός τέτοιου τύπου.Το πιο συνηθισμένο είναι ότι ο τύπος με ελεύθερες μεταβλητές να είναι ικανοποιητικός κάτω από μία ερμηνεία εάν ο παραμένει αληθής ανεξάρτητα από ποια άτομα από το πεδίο τιμών θα ανατεθεί στις ελεύθερες μεταβλητές του. Αυτό είναι το ίδιο με το να πούμε πως ο τύπος είναι ικανοποιητικός αν και μόνο αν η γενική κλειστότητά του είναι ικανοποιητική.
Ένας τύπος είναι λογικά έγκυρος (ή απλά ισχύει) εάν είναι αληθής για κάθε ερμηνεία. Αυτοί οι τύποι παίζουν παρόμοιο ρόλο με τις ταυτολογίες στην προτασιακή λογική.
Ένας τύπος φ είναι λογική συνέπεια ενός τύπου ψ εάν κάθε ερμηνεία που καθιστά το ψ αληθές, κάνει και το φ αληθές. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι το φ συνάγεται λογικά από το ψ.

Θεωρίες πρώτου βαθμού, μοντέλα και στοιχειώδεις κλάσεις.

Μία θεωρία πρώτου βαθμού μιας συγκεκριμένης υπογραφής είναι ένα σύνολο από αξιώματα, τα οποία είναι προτάσεις που αποτελούνται από σύμβολα αυτής της υπογραφής. Το σύνολο των αξιωμάτων είναι συχνά πεπερασμένο ή αναδρομικά αριθμήσιμο, και σε αυτή την περίπτωση η θεωρία ονομάζεται αποτελεσματική. Μερικοί συγγραφείς απαιτούν, οι θεωρίες αυτές να περιλαμβάνουν και όλα τα λογικά αποτελέσματα των αξιωμάτων. Τα αξιώματα υπάρχουν μέσα στη θεωρία και από αυτά άλλες προτάσεις που τα περιέχουν μπορούν να παραχθούν.
Μια δομή πρώτου βαθμού που ικανοποιεί όλες τις προτάσεις σε δοθείσα θεωρία είναι ένα μοντέλο της θεωρίας αυτής. Μία στοιχειώδης κλάση είναι ένα σύνολο από όλες τις δομές που ικανοποιούν μια συγκεκριμένη θεωρία. Αυτές οι κλάσεις είναι το κύριο θέμα της μελέτης της θεωρίας μοντέλων.
Αρκετές θεωρίες έχουν στοχευμένη ερμηνεία, ένα συγκεκριμένο μοντέλο που έχουμε στο μυαλό μας μελετώντας τη θεωρία. Για παράδειγμα, η στοχευμένη ερμηνεία της αριθμητικής Peano συγκροτείται από τους συνήθεις φυσικούς αριθμούς με τις πράξεις τους. Παρ' όλα αυτά το θεώρημα Λόβενχαϊμ-Σκόλεμ δείχνει ότι οι περισσότερες θεωρίες θα έχουν άλλα, μη τυποποιημένα μοντέλα.
Μία θεωρία είναι συμβιβαστή εάν είναι αδύνατο να αποδειχθεί μία αντίφαση από τα αξιώματά της. Μία θεωρία είναι πλήρης, αν, για κάθε τύπο στην υπογραφή της, είτε αυτός ο τύπος είτε η άρνησή του είναι μία λογική συνέπεια από τα αξιώματα της θεωρίας. Το θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ δείχνει πως οι αποτελεσματικές θεωρίες πρώτου βαθμού που περιέχουν ένα επαρκές μέρος από τη θεωρία των φυσικών αριθμών δεν μπορεί ποτέ να είναι συμβιβαστή και πλήρης ταυτόχρονα.
Για περισσότερες πληροφορίες σε αυτό το θέμα δείτε τη Λίστα των θεωριών πρώτου βαθμού και τη Θεωρία (Μαθηματική Λογική).

Συμπερασματικά Συστήματα

Ένα συμπερασματικό σύστημα χρησιμοποιείται για να δείξει, αυστηρά σε συντακτική βάση, ότι ο τύπος είναι λογική συνέπεια ενός άλλου τύπου. Υπάρχουν πολλά τέτοια συστήματα για τη λογική πρώτου βαθμού, συμπεριλαμβανομένων και των: συμπερασματικό σύστημα Χίλμπερτ, συστήματα φυσικής παραγωγής, τη μέθοδο tableux και την ανάλυση. Αυτά τα συστήματα έχουν την κοινή ιδιότητα ότι το συμπέρασμα είναι ένα πεπερασμένο συντακτικό αντικείμενο, του οποίου η μορφή και ο τρόπος δόμησής του ποικίλλουν σε μεγάλο βαθμό. Αυτά τα πεπερασμένα συμπεράσματα συχνά καλούνται παράγωγοι στην θεωρία αποδείξεων. Αποκαλούνται επίσης, αποδείξεις, αλλά είναι τελείως διαφορετικά δομημένες από τις συνηθισμένες μαθηματικές αποδείξεις.
Ένα συμπερασματικό σύστημα σώο εάν κάθε τύπος που μπορεί να παραχθεί στο σύστημα, είναι λογικά ισχύον. Αντίθετα, ένα συμπερασματικό σύστημα είναι πλήρες εάν κάθε λογικά ισχύουσα φόρμουλα είναι παραγωγίσιμη. Όλα τα συστήματα τα οποία αναφέρονται σε αυτό το άρθρο είναι και σώα και πλήρη. Η κοινή τους ιδιότητα είναι πως είναι πιθανό να ελέγξει αποτελεσματικά ότι ένα υποτιθέμενα ισχύον συμπέρασμα είναι όντως ένα συμπέρασμα. Τέτοια συστήματα ονομάζονται αποτελεσματικά.
Μία ιδιότητα "κλειδί" των συμπερασματικών συστημάτων είναι πως είναι καθαρά συντακτικά, έτσι οι παράγωγοι μπορούν να επιβεβαιωθούν χωρίς να ληφθεί υπόψη κάποια ερμηνεία. Έτσι, ένα σώο επιχείρημα είναι σωστό με κάθε πιθανή ερμηνεία της γλώσσας, ανεξάρτητα από αν αυτή η ερμηνεία είναι σχετικά με τα μαθηματικά, τα οικονομικά ή οποιοδήποτε άλλο τομέα.
Γενικά, μία λογική συνέπεια στη λογική πρώτου βαθμού είναι μόνο ημικαθοριστική: εάν μία πρόταση Α προϋποθέτει λογικά μία πρόταση Β, τότε αυτό μπορεί να ανακαλυφθεί (για παράδειγμα, αναζητώντας μία απόδειξη μέχρι να βρεθεί, χρησιμοποιώντας αποτελεσματικό, σώο και πλήρες σύστημα απόδειξης). Παρ' όλα αυτά, εάν το Α δεν προϋποθέτει λογικά το Β, αυτό δεν σημαίνει ότι το Α προϋποθέτει λογικά την άρνηση του Β. Δεν υπάρχει μη αποτελεσματική διαδικασία που, δοθέντων των τύπων Α και Β, να αποφασίζει πάντα σωστά εάν το Α προϋποθέτει λογικά το Β.

Κανόνες Συμπεράσματος

Ένας κανόνας συμπεράσματος αναφέρει ότι, με δεδομένο κάποιο τύπο (ή ένα σύνολο από αυτούς) με μία συγκεκριμένη ιδιότητα ως υπόθεση, ένας άλλος τύπος (ή ένα σύνολο) μπορεί να παραχθεί σαν συμπέρασμα. Ο κανόνας είναι σώος (ή διατηρεί την αλήθεια) εάν διατηρεί το κύρος με την έννοια ότι οποιαδήποτε άλλη ερμηνεία ικανοποιεί την υπόθεση, τότε η ερμηνεία ικανοποιεί και το συμπέρασμα.
Για παράδειγμα, ένας συνηθισμένος κανόνας συμπεράσματος είναι ο κανόνας της αντικατάστασης. Εάν t είναι ένας όρος και φ ένας τύπος που πιθανότατα περιέχει την μεταβλητή  x, τότε το  φ[t/x] (που συχνά συμβολίζεται με φ[x/t]) είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει εάν αντικαταστήσουμε όλες τις ελεύθερες περιπτώσεις του x με το t στην φ. Ο κανόνας της αντικατάστασης υποστηρίζει πως αν για οποιοδήποτε φ και οποιοδήποτε όρο t, κάποιος θα μπορούσε να συμπεράνει ότι το φ[t/x] από το φ, εφόσον δεν υπάρχει ελεύθερη μεταβλητή t περιορίζεται κατά τη διάρκεια της αντικατάστασης. (Εάν μία ελεύθερη μεταβλητή του t περιορίζεται, τότε για να αντικαταστήσουμε το για το x, πρέπει πρώτα να αλλάξουμε τις δεσμευμένες μεταβλητές του φ να διαφέρουν από τις ελεύθερες μεταβλητές του t.)
Για να δούμε γιατί είναι απαραίτητος ο περιορισμός στις μεταβλητές, ας σκεφτούμε το λογικά ισχύον τύπο φ που δίνεται από , στην υπογραφή του (0,1,+,×,=) της αριθμητικής. Εάν t είναι ο όρο  "x + 1", ο τύπος φ[t/y] είναι , το οποίο μπορεί να είναι ψευδές σε πολλές ερμηνείες. Το πρόβλημα είναι πως η ελεύθερη μεταβλητή x του t επειδή δεσμεύεται κατά τη διάρκεια της αντικατάστασης. Η προκειμένη αντικατάσταση μπορεί να γίνει αλλάζοντας το όνομα της δεσμευμένης μεταβλητής x του φ, σε κάτι άλλο, ας πούμε , έτσι ώστε ο τύπος μετά την αντικατάσταση να είναι , το οποίο είναι πάλι λογικά ισχύον.
Ο κανόνας της αντικατάστασης δείχνει αρκετές πλευρές του κανόνα του συμπεράσματος. Είναι εξ' ολοκλήρου συντακτικό, θα μπορούσαμε να πούμε εάν ήταν σωστά εφαρμοσμένο χωρίς προσφυγή σε κάποια ερμηνεία. Έχει (συντακτικά ορισμένους) περιορισμούς σχετικά με το πότε μπορεί να εφαρμοστεί, το οποίο πρέπει να είναι σεβαστό για να διατηρηθεί η ορθότητα των παραγώγων. Επιπλέον, πολλές φορές, αυτοί οι περιορισμοί είναι απαραίτητη λόγω των ερμηνειών μεταξύ ελεύθερων και δεσμευμένων μεταβλητών που λαμβάνουν χώρα κατά τη διάρκεια των συντακτικών αλλαγών των τύπων που περιλαμβάνει ο κανόνας συμπεράσματος.

Συστήματα Hilbert-στυλ και φυσική αφαίρεση 

Μια αφαίρεση σε ένα συμπερασματικό σύστημα Hilbert στυλ είναι μια λίστα των τύπων, καθένα από τα οποία είναι λογικό αξίωμα , μια υπόθεση που γίνεται πρόχειρα, ή προκύπτει από τις προηγούμενες φόρμουλες μέσω ενός κανόνα του συμπεράσματος. Τα λογικά αξιώματα αποτελούνται από διάφορα συστήματα αξιωμάτων από προφανείς έγκυρους τύπους.  Αυτοί καλύπτουν ένα σημαντικό ποσό της προτασιακής λογικής. Οι κανόνες του συμπεράσματος επιτρέπουν τη χειραγώγηση των ποσοτήτων.Τα τυπικά συστήματα Hilbert στυλ έχουν ένα μικρό αριθμό των κανόνων του συμπεράσματος, μαζί με πολλά άπειρα συστήματα των λογικών αξιωμάτων. Είναι κοινό να έχει μόνο προτασιακή λογική  και καθολική γενίκευση στους κανόνες του συμπεράσματος.
Τα φυσικά συστήματα αφαίρεσης μοιάζουν με  τα συστήματα Hilbert στυλ στο ότι η αφαίρεση είναι ένας ολοκληρωμένος κατάλογος τ τύπων. Ωστόσο, τα φυσικά συστήματα αφαίρεσης δεν έχουν λογικά αξιώματα, αντισταθμίζουν με την προσθήκη επιπλέον κανόνων συμπεράσματος που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να χειραγωγήσουν τους λογικούς συνδέσμους σε τύπους στην απόδειξη.

Μέθοδος Tableaux

Περισσότερες πληροφορίες: Μέθοδος αναλυτική tableaux
Σε αντίθεση με τις μεθόδους που μόλις περιγράψαμε, τα παράγωγα στη μέθοδο tableaux δεν είναι κατάλογοι  τύπων. Αντ 'αυτού,ένας τύπος είναι ένα δέντρο τύπων. Για να δείξει ότι ένας τύπος Α είναι ευαπόδεικτος , η μέθοδος tableaux επιχειρεί να αποδείξει ότι η άρνηση του Α δεν ικανοποιείται. Το δέντρο  παραγωγής  έχει στη ρίζα του, κλαδιά δέντρων με έναν τρόπο που αντανακλά την δομή του τύπου. Για παράδειγμα, για να δείξει ότι  είναι μη ικανοποιήσιμα  πρέπει να δειχθεί ότι το C και το D είναι το καθένα μη ικανοποιήσιμα. Αυτό αντιστοιχεί σε ένα σημείο διακλάδωσης στο δέντρο με γονέα  και  παιδιά τα C και D.

Αποδείξιμες ταυτότητες

Οι παρακάτω προτάσεις μπορούν να ονομαστούν "ταυτότητες", επειδή ο κύριος συνδετικός στον καθένα είναι η  συνδετική λογική .
 ,  (όπου το x δεν προκύπτει άμεσα από το P)
 ,   (όπου το x δεν προκύπτει άμεσα από το P)

Λογική πρώτου βαθμού χωρίς ισότητα

Μία εναλλακτική προσέγγιση μελετάει τη σχέση της ισότητας να είναι ένα μη-λογικό σύμβολο. Αυτή η παραδοχή είναι γνωστή ως λογική πρώτου βαθμού χωρίς ισότητα. Εάν μία σχέση ισότητας υπάρχει στην υπογραφή, τα αξιώματα πρέπει τώρα να προστεθούν στις θεωρίες υπό εξέταση, εάν είναι επιθυμητό, αντί για τους κανόνες της λογικής. Η κυριότερη διαφορά μεταξύ αυτής της μεθόδου και της λογικής πρώτου βαθμού με ισότητα είναι πως μία ερμηνεία μπορεί τώρα να ερμηνεύσει δύο διακριτά άτομα ως "ίσα" (παρ' όλο που, σύμφωνα με το νόμο του Λάιμπνιτς, θα ικανοποιήσουν ακριβώς τους ίδιους τύπους κάτω από οποιαδήποτε ερμηνεία). Αυτό γιατί, η σχέση ισότητας τώρα μπορεί να ερμηνευτεί ως μία αυθαίρετη σχέση ισοδυναμίας στο πεδίο τιμών που είναι μία ισοδυναμία ως προς τις συναρτήσεις και τις σχέσεις της ερμηνείας.
Όταν ακολουθείται η δεύτερη παραδοχή, ο όρος κανονικό μοντέλο χρησιμοποιείται για να αναφερθεί σε μία ερμηνεία όπου τα μη διακριτά άτομα a και b ικανοποιούν την a = b. Στη λογική πρώτου βαθμού με ισότητα, χρησιμοποιούνται μόνο κανονικά μοντέλα, κ έτσι δεν υπάρχει κάποιος όρος για κάποιο άλλο μοντέλο. Στη μελέτη της λογικής πρώτου βαθμού χωρίς ισότητα, είναι απαραίτητο να τροποποιηθούν οι σχετικές καταστάσεις των αποτελεσμάτων, όπως το θεώρημα Λόβενχαϊμ-Σκόλεμ έτσι ώστε να χρησιμοποιούνται μόνο τα κανονικά μοντέλα.
Η λογική πρώτου βαθμού χωρίς ισότητα συχνά αναφέρεται στο πλαίσιο της αριθμητικής δευτέρου βαθμού και σε άλλες υψηλότερου βαθμού θεωρίες της αριθμητικής, όπου η σχέση ισότητας μεταξύ των συνόλων των φυσικών αριθμών συνήθως παραλείπεται.