تكامل

التكامل ماقبل عصر علم التفاضل والتكامل

توجد دلالات تاريخية على استخدام التكامل في عهد قدماء المصريين (حوالي 1800 قبل الميلاد) فقد دلت بردية موسكو الرياضية على علمهم بصيغة لحساب حجم الهرم المقطوع. وتعد طريقة الاستنزاف من أوائل الطرق المستعملة في إيجاد التكاملات حيث تعود إلى 370 قبل الميلاد وكانت تحسب بها الحجوم والمساحات وذلك بتقسيمها إلى أشكال صغيرة غير منتهية معلومة المساحة أو الحجم. كما تم تطوير هذه الطريقة من قبل أرخميدس وتم استعمالها في حساب مساحات القطع المكافئ والتقريب لمساحة الدائرة. وفي الصين طورت طرق مماثلة في القرن الثالث الميلادي بواسطة ليوهوي، والذي استخدمها لإيجاد مساحة الدائرة كما تم استعمال هذه الطرق فيما بعد في القرن الخامس من قبل الرياضيين الصينيين - الأب والابن تسوتشونغ وزوجنغ لإيجاد حجم الكرة. في نفس القرن, استخدم الرياضي الهندي اريابهاتا طريقة مشابهة لحساب حجم المكعب.
أتت الخطوة التالية والهامة في التفاضل التكاملي في القرن الحادي عشر عندما أخترع العالم الفلكي الحسن بن الهيثم ما يعرف اليوم باسم مسألة الحسن (نسبة لاسمه المشهور عند الأوروبيين) والتي تقود إلى معادلة الدرجة الرابعة. في كتابه المناظر. بينما كان يحل هذه المسألة، قام بعملية تكامل لإيجاد حجم السطح المكافئ. وقد استطاع بالاستقراء الرياضي تعميم هذه النتيجة لدوال كثيرة الحدود حتى الدرجة الرابعة وقد كان بالتالي قادرا على إيجاد صيغة عامة لتكاملات كثيرة الحدود ولكنه لم يعر للأمر أهمية لذلك في وقته.
بعض الأفكار في التفاضل التكاملي يمكن مشاهدتها أيضا في سيدهانتا شيروماني، وهي عبارة عن نص يعود للقرن الثاني عشر للفلكي الهندي بهاسكارا 2.
لم يبدأ ظهور التقدم الملحوظ في علم التكامل التفاضلي إلا مع القرن السادس عشر وفي هذا الوقت كان عمل كافاليري بطريقته الكل لا التجزيء وعمل فيرمات، ولقد بدأ بوضع الأساسيات لعلم التفاضل والتكامل الحديث. وكان لإسحق نيوتن وتورشيلي دورا هاما أيضا في توسيع هذا العلم أوائل القرن السابع عشر اللذان قدما التلميحات الأولى في وجود صلة بين التكامل والاشتقاق في الوقت الذي كان الرياضيون اليابانيون قد أسهمو في أعمال مشابهة وبشكل خاص على يد سيكي كاوا. كان منها طرق إيجاد مساحات الأشكال بالتكامل, بتوسيع طريقة الاستنزاف.

نيوتن وليبنز

مثل اكتشاف النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل الفريد من قبل إسحاق نيوتن وليبنيز تقدما عظيما في علم التفاضل والتكامل.
فهي توضح العلاقة بين التكامل والتفاضل. هذه العلاقة -بدمجها مع قرينتها السهلة - الاشتقاق يمكن استغلالها لحساب التكاملات. وبشكل خاص فإن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تساعد في حل مسائل أكثر تعقيدا. وبإعطاء اسم التفاضل المتناهي في الصغر فقد سمحت بتحليل دقيق لدوال متصلة. لقد أصبح هذا العمل التفاضل والتكامل الحديث, والذي استمد رمزه من عمل ليبنيز.

صياغة التكاملات

مع أن نيوتن وليبنز أوجدا طريقة نظامية للتكامل إلا أن عملهما كان يفتقر إلى درجة الدقة. فقد هاجم جورج بركلي عبارة متناهي في الصغر ووصفها بكميات الأشباح المغادرة. اكتسب التفاضل والتكامل مع تطور علم النهايات وتوطدت أركانه بفضل أوغستين لويس كوشي في منتصف القرن التاسع عشر. تم أولا صياغة التكامل بدقة باستعمال النهايات من قبل بيرنارد ريمان كما ظهرت صورة أخرى من قبل هنري لوبيغ في تأسيس نظرية القياس.

العلامة

استعمل نيوتن عمودا صغيرا فوق المتغير للإشارة إلى عملية التكامل, أو أن يضع المتغير داخل مربع. كان القضيب العمودي يلتبس مع  و, والتي كان قد استعملها نيوتن للإشارة للتفاضل. كما أنه من الصعب على الطابعة التعامل مع المربع, وبالتالي لم يتم تبني هذه العلامات.
الرمز الحديث للتكامل الغير محدود تم تقديمه على يد ليبنيز عام 1675 (Burton 1988, p. 359; Leibniz 1899, p. 154), كما أنه قام بموائمة رمز التكامل,:, بعد إطالته للحرف s كتمثيل لاختصار عملية الجمع sum. الشكل الحديث لعلامة التكامل المحدود استعمل لأول مرة من قبل جوزيف فوريير بإضافة حدود التكامل أسفل وأعلى الرمز السابق (Cajori 1929, pp. 249–250; Fourier 1822, §231).
الجدير بالذكر أن الرياضيات العربية التي تكتب من اليمين لليسار تستعمل الرمز المعكوس للتكامل, ، ليتماشى مع اتجاه الكتابة.(W3C 2006).

تعريفات منهجية

هناك عدة طرق لتعريف التكامل بشكل منهجي, لكن هذه الطرق مختلفة عن بعضها البعض في الطرق التي تسلكها. بعض هذه الاختلافات نتجت عن محاولات الرياضيين لحل حالات خاصة من المسائل التي تكون فيها المسألة غير قابلة للتكامل, وبعضها الآخر نتجت لأسباب تعليمية -كتسهيل حل المسائل-. إن أكثر تعريفين شيوعاً للتكامل هي تكامل ريمان وتكامل لوبيغ.

تكامل لوبيغ للدوال غير سالبة القيمة

لتكن  نعرف تكامل f بالنسبة للمقياس  على أنه العدد الحقيقي الممتد

حيث sup يسري على كل الدوال البسيطة  التي تحقق  إذا كانت E مجموعة قابلة للقياس نعرف تكامل f على E بالنسبة للمقياس  على أنه العدد الحقيقي الممتد

إذا تكامل f على E هو مجرد تكامل الدالة .لاحظ أن هذه الدالة غير سالبة وقابلة للقياس طالما كانت f كذلك.