مبادئ الرياضيات

مبادئ الرياضيات أو أصول الرياضيات (The Principia Mathematica) هو عبارة عن عمل مكون من ثلاثة مجلدات حول أسس الرياضيات كتبه كل من ألفريد نورث وايتهيد وبرتراند راسل، ونُشِرَ في الأعوام (1910 و 1912 و 1913)، وفي (1925-1927) أُصدِرَت طبعة ثانية مع مقدمة مهمة، وملحق  A بدل *9 وملحقين آخرين B وC جديدين كليًا.
جاء مبادئ الرياضيات كمحاولة لتمثيل مجموعة من البديهيات وقواعد الاستنتاج في المنطق الرمزي، بحيث يمكن -من حيث المبدأ-إثبات جميع الحقائق الرياضية من خلالها، وعلى هذا النحو، فإنّ هذا المشروع الطموح ذو أهمية كبيرة في تاريخ الرياضيات والفلسفة كونه أحد أهم الأعمال المتجهة للاعتقاد بأن مثل هذا الطرح قد يكون قابلاً للتحقيق، ومع ذلك في عام 1931 أثبتت مبرهنات عدم الاكتمال لغودل بشكل قاطع أن هذه المحاولة وأي محاولة أخرى لن تتمكن من تحقيق هذا الهدف أبداً؛ فأي مجموعة من البديهيات والقواعد الاستنتاجية المقترحة لتغليف الرياضيات، إما أن يكون النظام فيها غير متناسق، أو أن يُوجَد بعض الحقائق الرياضية التي لا يمكن استنتاجها منها.
أحد أهم الإلهامات والدوافع لهذا العمل كان العمل السابق لجوتلوب فريجه حول المنطق الذي ساهم في تأسيس مفارقات راسل، حيث كان السعي في مبادئ الرياضيات لتجنب هذه المشكلة من خلال استبعاد إنشاء مجموعات عشوائية غير مقيدة، وهذا ما تحقق من خلال استبدال مفهوم المجموعة العامة بفكرة التسلسل الهرمي لمجموعات "الأنواع" المختلفة، وهي مجموعة من نوع معين لا تسمح إلا باحتواء مجموعات من الأنواع الأقل درجة، ومع ذلك فإنّ الرياضيات المعاصرة تتجنّب المفارقات مثل مفارقات راسل بطريقة أكثر عملية، مثل نظرية مجموعات زرملو-فرنكل.
لا ينبغي الخلط بين هذا العمل وبين كتاب راسل "مبادئ الرياضيات\الرياضة-1903"، ويُصَرَّح في مبادئ الرياضيات التالي: "إن العمل الحالي كان يقصد به أصلاً أن يكون مجلدًا ثانيًا لمبادئ الرياضيات-1903... لكن مع تقدُّمنا أصبح من الواضح بشكل متزايد أن الموضوع أكبر بكثير مما كنا نفترض، علاوةً على ذلك، بالنسبة للعديد من الأسئلة الأساسية التي تركت غامضة ومشكوك فيها في العمل السابق، وصلنا الآن إلى ما نعتقد أنه حلًا مرضٍ ".
دائمًا ما عُرِف مبادئ الرياضيات بتعقيده الطباعي، وكذلك هو مشهور باستخدامه عدة مئات من الصفحات لإثبات صحة القضية 1 + 1 = 2، وقد وضعته المكتبة الحديثة في المرتبة 23 من قائمة أفضل 100 كتاب غير خيالي باللغة الإنجليزية في القرن العشرين.

نطاق الأسس الموضوعة

يغطي هذا العمل نظرية المجموعات، والأعداد الأصلية، والأعداد الترتيبية، والأعداد الحقيقية فقط، أي لم يتم تضمين نظريات أعمق من التحليل الحقيقي، ولكن في نهاية المجلد الثالث كان من الواضح للخبراء أنه يمكن من حيث المبدأ تطوير كمية كبيرة من الرياضيات المعروفة في هذه الشكلية المتبناة، كما كان من الواضح أيضًا كم سيكون مثل هذا التطوير طويلًا.
كان قد تم التخطيط لمجلد رابع حول أسس الهندسة الرياضية، لكن المؤلفين اعترفوا بالإرهاق الفكري عند اكتمال المجلد الثالث.

الأسس النظرية

كما لوحظ في نقد النظرية التي كتبها كورت غودل، بأنه على عكس النظرية الشكلية"Formalist theory"  فإن النظرية المنطقية "logicistic" التي يقدمها هذا العمل لا تملك "البيان الدقيق لبناء الشكلية"، ومن الملاحظ أيضًا أن هذه النظرية تقدم تفسيرات (بمفهوم نظرية النموذج) مباشرة تقريبًا فيما يتعلق بقيم الحقيقة لسلوك الرموز "⊢" (تأكيد الحقيقة)، "~" (لا منطقية، النفي)، و "V" (الفصل، أحدهما صحيح أو كلاهما).
قيم الحقيقة: يرسخ "مبادئ الرياضيات" مفاهيم "الحقيقة" و"الزيف" في مفهوم "القضايا الأولية"، والنظرية الشكلية (النقية) لن تقدم معنى الرموز التي تشكل "القضايا الأولية" - يمكن للرموز نفسها أن تكون عشوائية وغير مألوفة على الإطلاق، فالنظرية تحدد فقط كيف تتصرف الرموز بناء على قواعد النظرية، ولاحقًا بتعيين "القيم" سيحدد النموذج تفسيرًا لما تقوله الصيغ، وهكذا في رمز كلين الشكلي المبين أدناه، يوضع بين قوسين "تفسير" المعنى الشائع للرموز، وبشكل ضمني كيف يتم استخدامها في نهاية المطاف، وعلى سبيل المثال "¬ (ليس)"، لكن هذه ليست نظرية شكلية نقية.

غودل 1930-1931

في عام 1930، أوضحت نظرية الاكتمال لغودل أن منطق تنبؤ الرتبة الأولى نفسه كان كاملًا بشكلٍ أضعف بكثير- أي جملة غير قابلة للإثبات من مجموعة معينة من البديهيات يجب أن تكون خاطئة في بعض نماذج البديهيات، ومع ذلك هذا ليس الاكتمال المرغوب لمبادئ الرياضيات، فأي نظام معين من البديهيات قد يملك العديد من النماذج، في بعضها يكون بيان معين ما صحيحًا وفي بعض الحالات الأخرى يكون هذا البيان غير صحيح، وهكذا يبقى وضع البيان غير محسوم.
تلقي نظريات عدم الاكتمال لغودل ضوء غير متوقع على هاتين المسألتين المتصلتين.
أوضحت نظرية عدم اكتمال الأولى لغودل أنه لا يمكن لأي امتداد تكراري للمبادئ أن يكون متسقًا وكاملًا بنفس الوقت بالنسبة للبيانات الحسابية، وفقًا للنظرية: في كل نظام منطقي تكراري قوي بما فيه الكفاية (مثل Principia)، هناك بيان G يقرأ "البيان G لا يمكن إثباته"، ومثل هذا البيان نوع من الحالات المتناقضة (كاتش22)، إذا تم إثبات G فالعبارة خاطئة وبالتالي فإن النظام غير متناسق، وإذا كان G غير قابل للإثبات فالعبارة صحيحة وبالتالي النظام غير مكتمل.
تُظهِر نظرية عدم الاكتمال الثانية (1931) أنه لا يمكن استخدام أي نظام شكلي موسع للحساب الأساسي لإثبات اتساقه، وبالتالي لا يمكن أن يثبت بيان "لا توجد تناقضات في نظام المبادئ" في نظام المبادئ ما لم تكن هناك تناقضات في النظام (في هذه الحالة يمكن إثبات كل من الصحة والخطأ).

غودل 1944

قدم غودل عام 1944 في "منهج راسل الرياضي- Russell's mathematical logic": "مناقشة نقدية لكن متعاطفة مع التنظيم المنطقي للأفكار".