نظرية الأعداد

نظرية الأعداد (بالإنجليزية: Number theory) هي فرع من الرياضيات البحتة يهتم بخصائص الأعداد بشكل عام، و بالأعداد الصحيحة بشكل خاص. يدرس العاملون في نظرية الأعداد الأعداد الأولية وخصائص الكائنات المنبثقة عن الأعداد الصحيحة، الأعداد الجذرية مثلا، أو التعميمات للأعداد الصحيحة كما هو الحال بالنسبة للأعداد الصحيحة الجبرية.
قد يُنظر إلى الأعداد الصحيحة لذاتها وقد ينظر إليها حلولا لمعادلات ما (هندسة ديوفانتية).
وتتضمن عدة مسائل مفتوحة سهلة الفهم، حتى بالنسبة لغير المختصين. بصفة عامة، المجال الذي تدرسه هذه النظرية يهتم بفئة كبيرة من المسائل التي تأتي من دراسة الأعداد الطبيعية.
من الممكن تقسيم نظرية الأعداد إلى عدة مجالات حسب الطريقة المستعملة ونوع المسألة. فهي تهتم بدراسة خواص وعلاقات الأعداد الصحيحة وتوسيعاتها الجبرية والتحليلية.
عند الإطلاق، تدرس نظرية الأعداد قابلية القسمة والأوليّة والتحليل إلى جداء عوامل أولية. كما تدرس خواص التجزئة وما قارب ذلك. وتوجد فروع أخرى نذكر منها نظرية الأعداد الجبرية التي تعتني باستعمال الطرق الجبرية لدراسة الأعداد الصماء والأعداد المتسامية ونظرية التحليل في التوسيعات الجبرية وغير هذا، ونظرية الأعداد التحليلية وهي تستغل طرق التحليل العقدي (الأعداد العقدية) حين دراسة بعض خواص الأعداد الأولية مثلا، انظر دالة زيتا.
كانت تسمى نظرية الأعداد فيما قبل بالحسابيات. مع بداية القرن العشرين، حل مصطلح نظرية الأعداد محل مصطلح الحسابيات. فصار هذا الأخير يستعمل من طرف عامة الناس للدلالة على العمليات الابتدائية في الحساب من جمع وطرح وضرب وقسمة. ولكن بقيت لكلمة حسابيات معان أخرى في المنطق الرياضي كما هو الحال بالنسبة لحسابيات بيانو، وفي علوم الحاسوب كما في حسابيات النقطة العائمة.

ديوفانتوس

يُعرف القليل عن ديوفانتوس الإسكندري. قد يكون عاش خلال القرن الثالث الميلادي، أي حوالي خمسة قرون بعد أقليدس. ستة أجزاء من بين ثلاثة عشر جزءا قاومن الزمان من كتابه أريثميتيكا. يضاف إليهن أربعة أجزاء حُفظن في ترجمتها العربية. الكتاب هو مجموعة من المعضلات المتمثلة في ايجاد حلول جذرية لنظام من المعادلات الحدودية، عادة ما تكون على الشكل  أو . حاليا، نتحدث عن معادلات ديوفانتية كلما تعلق الأمر بمعادلات حدودية حيث الهدف هو ايجاد حلول جذرية لها.

نظرية الأعداد في الهند في العصور الوسطى

انظر إلى أريابهاتا وإلى براهماغوبتا.

نظرية الأعداد في العصر الإسلامي

كان لعلماء الرياضيات المسلمين، منذ القرن التاسع الميلادي، اهتمام واضح بنظرية الأعداد. أولهم هو ثابت بن قرة، حيث كان له الفضل في إيجاد طريقة لإيجاد الأعداد الصديقة (عددان هما صديقان إذا ساوى مجموع قواسم الواحد منهما، العدد الآخر).
في القرن العاشر، وجد ابن طاهر البغدادي طريقة مختلفة بعض الشيء عن طريقة ثابت بن قرة.
في القرن العاشر، يبدو أن ابن الهيثم كان أول من حاول تصنيف الأعداد المثالية الزوجية على شكل ( حيث
 هو عدد أولي.
و لقد كان ابن الهيثم أيضا أول من أعلن مبرهنة ويلسون و التي يكون بموجبها عدد ما p أوليا إذا و فقط إذا كان  مضاعفا ل p.

بدايات نظرية الأعداد العصرية

تعتبر معضلة توزيع الأعداد الأولية من المعضلات الأكثر ترددا و الأكثر جلبا للاهتمام. كان لكارل فريدرش غاوس حدسية في هذا الصدد ولم يكن عمره يتجاوز المراهقة. تنص هذه الحدسية على إعطاء دالة تقريبية من عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما.
و قد جاء دركليه عام 1837 بمبرهنته المعروفة بمبرهنة دركليه.

نظرية الأعداد الاحتمالية

ما هو احتمال أن يكون عدد طبيعي ما، محصور بين الواحد والمليون أوليا ؟ هذا السؤال هو شكل آخر للسؤال ما عدد الأعداد الأولية المحصورة بين الواحد والمليون ؟.
انظر إلى حدسية كرامر.

تطبيقات

تدخل نظرية الأعداد في الكثير من التطبيقات العلمية في العصر الحديث مما أدى بهذه انظري الخروج من النظرة السائدة عنها كونها كانت تمثل الجانب النظري فقط فاليوم وبعد اكتشاف الحاسوب والحاجة الماسة لسرية نقل المعلومات بغض النظر عن كونها سياسية أو عسكرية أو علمية ظهر الاحتياج الكبير لنظرية الأعداد في تكوين الشفرات المعقدة لضمان سرية المعلومات وخاصة برزت هنا أهمية الأعداد الأولية في هذا المجال بوضوح كبير.
حيث برز الان العلم المشتق من تحليل وتركيب الاعداد الأولية ( علم التعمية ) والمختص بتشفير المعلومات والصور والبيانات الرقمية بأنواعها.