مجال (رياضيات)

في الرياضيات ، و المجال هو مجموعة التي بالإضافة ، الطرح ، الضرب ، و تقسيم وتعرف، وتتصرف كما هو الحال عندما يتم تطبيقها على العقلانية و الأعداد الحقيقية . حقل هو بالتالي الأساسي هيكل جبري ، والذي يستخدم على نطاق واسع في الجبر ، نظرية الأعداد والعديد من المجالات الأخرى للرياضيات.
أفضل الحقول المعروفة هي مجال الأرقام المنطقية ومجال الأرقام الحقيقية . مجال الأعداد المركبة كما تستخدم على نطاق واسع، ليس فقط في الرياضيات، ولكن أيضا في العديد من مجالات العلوم و الهندسة . العديد من المجالات الأخرى، مثل مجالات الوظائف العقلية ، حقول وظيفة جبري ، الحقول عدد الجبرية ، و ص الحقول -adic شائعة الاستخدام، ودرس في الرياضيات، وبخاصة في نظرية الأعداد و الهندسة الجبرية . تعتمد معظم بروتوكولات التشفير على الحقول المحدودة ، أي الحقول ذات العناصر المتعددة .
يتم التعبير عن علاقة حقلين بمفهوم امتداد الحقل . نظرية جالوا ، التي بدأها إيفاريست غالوا في ثلاثينيات القرن التاسع عشر ، مكرسة لفهم تناسق التمديدات الميدانية. ومن بين النتائج الأخرى، وهذا يدل على أن نظرية trisection زاوية و تربيع الدائرة لا يمكن القيام به مع البوصلة ومستقيمة . وعلاوة على ذلك ، فإنه يدل على أن المعادلات الخماسية غير قابلة للحل جبريا.
تعمل الحقول كمفاهيم أساسية في العديد من المجالات الرياضية. يتضمن هذا فروعًا مختلفة للتحليل ، تستند إلى حقول ذات بنية إضافية. النظريات الأساسية في تحليل يتوقف على الخصائص الهيكلية لحقل الأرقام الحقيقية. والأهم من ذلك لأغراض الجبرية، ويمكن استخدام أي مجال مثل سكالارس ل متجهة فراغ ، وهو السياق العام القياسي ل الجبر الخطي . تتم دراسة عدد الحقول ، الأشقاء في مجال الأرقام العقلانية ، في العمق في نظرية الأعداد . يمكن أن تساعد حقول الوظائف في وصف خصائص الكائنات الهندسية.

المرجع

Adamson، IT (2007)، Introduction to Field Theory ، Dover Publications، ISBN  978-0-486-46266-0
Allenby، RBJT (1991)، Rings، Fields and Groups ، Butterworth-Heinemann، ISBN  978-0-340-54440-2
Artin، Michael (1991)، Algebra ، Prentice Hall ، ISBN  978-0-13-004763-2 ، especially Chapter 13
آرتين ، اميل ، Schreier، Otto (1927)، "Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper"، Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (in German)، 5 : 225-231، doi : 10.1007 / BF02952522 ، ISSN  0025-5858 ، JFM  53.0144.01
الفأس ، جيمس (1968) ، "النظرية الأولية للمجالات المحدودة" ، آن. الرياضيات. ، 2 ، 88 : 239–271 ، دوى : 10.2307 / 1970573
Baez، John C. (2002)، "The octonions"، Bulletin of the American Mathematical Society ، 39 : 145–205، doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00934-X
Banaschewski، Bernhard (1992)، "Algebraic closure without choice."، Z. Math. Logik Grundlagen Math. ، 38 (4): 383-385، ZBL  +0739.03027
بيتشي ، جون. ا؛ Blair، William D. (2006)، Abstract Algebra (3 ed.)، Waveland Press، ISBN  1-57766-443-4
Blyth، TS؛ Robertson، EF (1985)، Groups، rings and fields: Algebra through practice ، Cambridge University Press . انظر خاصة الكتاب 3 ( ISBN  0-521-27288-2 ) و الكتاب 6 ( ISBN  0-521-27291-2 ).
بورو ، فرانسيس. Janelidze، George (2001)، Galois theory ، Cambridge University Press، ISBN  0-521-80309-8 ، Zbl  0978.12004
Bourbaki، Nicolas (1994)، Elements of the history of mathematics ، Springer، doi : 10.1007 / 978-3-642-61693-8 ، ISBN  3-540-19376-6 ، MR  1290116
بورباكي ، نيكولاس (1988) ، الجبر الثاني. الفصول 4-7 ، سبرينغر ، ISBN  0-387-19375-8
Cassels، JWS (1986)، Local fields ، London Mathematical Society Student Texts، 3 ، Cambridge University Press، doi : 10.1017 / CBO9781139171885 ، ISBN  0-521-30484-9 ، MR  0861410
Clark، A. (1984)، Elements of Abstract Algebra ، Dover Books on Mathematics Series، Dover Publications، ISBN  978-0-486-64725-8
Conway، John Horton (1976)، On Numbers and Games ، Academic Press Inc. (London) Ltd.
Corry، Leo (2004)، Algebra Modern and the rise of mathematical structures (2nd ed.)، Birkhäuser، ISBN  3-7643-7002-5 ، Zbl  1044.01008
Dirichlet، Peter Gustav Lejeune (1871)، Dedekind، Richard ، ed.، Vorlesungen über Zahlentheorie (Lectures on Number Theory) (in German)، 1 (2nd ed.)، Braunschweig، Germany: Friedrich Vieweg und Sohn
Eisenbud، David (1995) ، الجبر التبادلي مع وجهة نظر نحو الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، 150 ، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN  0-387-94268-8 ، MR  1322960
Escofier، JP (2012)، Galois Theory ، Springer، ISBN  978-1-4613-0191-2
Fricke، Robert ؛ Weber، Heinrich Martin (1924)، Lehrbuch der Algebra (in German)، Vieweg  ، JFM 50.0042.03
Gouvêa، Fernando Q. (1997)، p -adic numbers ، Universitext (2nd ed.)، Springer
Gouvêa، Fernando Q. (2012)، A Guide to Groups، Rings، and Fields ، Mathematical Association of America، ISBN  978-0-88385-355-9
Hazewinkel، Michiel ، ed. (2001) [1994]، "Field" ، Encyclopedia of Mathism ، Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers، ISBN  978-1-55608-010-4
Hensel، Kurt (1904)، "eber eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen" ، Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (in German)، 128 : 1–32، ISSN  0075-4102 ، JFM  35.0227.01
Jacobson، Nathan (2009)، Basic algebra ، 1 (2nd ed.)، Dover، ISBN  978-0-486-47189-1
جانسن ، أوي ، Wingberg، Kay (1982)، "Die Struktur der absoluten Galoisgruppe 𝔭-adischer Zahlkörper. [بنية مجموعة Galois المطلقة من حقول 𝔭-adic number]" ، Invent. الرياضيات. ، 70 (1): 71–98، doi : 10.1007 / bf01393199 ، MR  0679774
Kleiner، Israel (2007)، A history of abstract algebra ، Birkhäuser، doi : 10.1007 / 978-0-8176-4685-1 ، ISBN  978-0-8176-4684-4 ، MR  2347309
كيرنان ، ب. ملفين (1971) ، "تطوير نظرية جالوا من لاغرانج إلى أرتين" ، أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة ، 8 (1-2): 40-154 ، دوى : 10.1007 / BF00327219 ، MR  1554154
Kuhlmann، Salma (2000)، Ordered exponential fields ، Fields Institute Monographs، 12 ، American Mathematical Society، ISBN  0-8218-0943-1 ، MR  1760173
Lang، Serge (2002)، Algebra ، Graduate Texts in Mathematics، 211 (3rd ed.)، Springer، doi : 10.1007 / 978-1-4613-0041-0 ، ISBN  0-387-95385-X
ليدل ، رودولف ؛ Niederreiter، Harald (2008)، Finite fields (2nd ed.)، Cambridge University Press، ISBN  978-0-521-06567-2 ، Zbl  1139.11053
Lorenz، Falko (2008)، Algebra، Volume II: Fields with Structures، Algebras and Advanced Topics ، Springer، ISBN  978-0-387-72487-4
ماركر ، ديفيد. Messmer، Margit؛ بيلاي ، أناند (2006) ، نظرية النموذج للحقول ، ملاحظات المحاضرة في المنطق ، 5 (الطبعة الثانية) ، رابطة المنطق الرمزي ، CiteSeerX  10.1.1.36.8448 Freely accessible، ISBN  978-1-56881-282-3 ، MR  2215060
المناجم ، راي. ريتشمان ، فريد. Ruitenburg، ويم (1988)، دورة في علم الجبر بناء ، Universitext، الوثاب، ISBN  0-387-96640-4 ، MR  0919949
Moore، E. Hastings (1893)، "A doubly-infinite system of simple groups"، Bulletin of the American Mathematical Society ، 3 (3): 73–78، doi : 10.1090 / S0002-9904-1893-00178-X ، MR  1557275
Prestel، Alexander (1984)، Lectures on formalally real fields ، Lecture Notes in Mathematics، 1093 ، Springer، doi : 10.1007 / BFb0101548 ، ISBN  3-540-13885-4 ، MR  0769847
Ribenboim، Paulo (1999)، The theory of classicical valuations ، Springer Monographs in Mathematics، Springer، doi : 10.1007 / 978-1-4612-0551-7 ، ISBN  0-387-98525-5 ، MR  1677964
Scholze، Peter (2014)، "Perfectoid spaces and Their Applications" (PDF) ، Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2014 ، ISBN  978-89-6105-804-9
Schoutens، Hans (2002)، The Use of Ultraproducts in Commutative Algebra ، Lecture Notes in Mathematics، 1999 ، Springer، ISBN  978-3-642-13367-1
Serre، Jean-Pierre (1978)، a course in comput. ترجمة Cours d'arithmetique ، Graduate Graduate في الرياضيات ، 7 (2nd ed.) ، Springer ، Zbl  0432.10001
Serre، Jean-Pierre (1979)، Local fields ، Graduate Texts in Mathematics، 67 ، Springer، ISBN  0-387-90424-7 ، MR  0554237
Serre، Jean-Pierre (1992)، Topics in Galois theory ، Jones and Bartlett Publishers، ISBN  0-86720-210-6 ، Zbl  0746.12001
Serre، Jean-Pierre (2002)، Galois cohomology ، Springer Monographs in Mathematics، Translated from the French by Patrick Ion ، Berlin، New York: Springer-Verlag ، ISBN  978-3-540-42192-4 ، MR  1867431 ، Zbl  1004.12003
Sharpe، David (1987)، Rings and factorization ، Cambridge University Press، ISBN  0-521-33718-6 ، Zbl  0674.13008
Steinitz، Ernst (1910)، "Algebraische Theorie der Körper" [Algebraic Theoryie der Crane ]، Journal für die reine und angewandte Mathematik ، 137 : 167–309، doi : 10.1515 / crll.1910.137.167 ، ISSN  0075-4102 ، JFM  41.0445.03
الثدي ، جاك (1957) ، "Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes"، Colloque d'algèbre supérieure، tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956، Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick، Louvain ، Paris: Librairie Gauthier -Villars، pp. 261–289
van der Put، M .؛ Singer، MF (2003)، Galois Theory of Linear Differential Equations ، Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، 328 ، Springer
von Staudt، Karl Georg Christian (1857)، Beiträge zur Geometrie der Lage (Contributions to the Geometry of Position) ، 2 ، Nürnberg (Germany): Bauer and Raspe
Wallace، DAR (1998)، Groups، Rings، and Fields ، SUMS، 151 ، Springer
Warner، Seth (1989)، Topological fields ، North-Holland، ISBN  0-444-87429-1 ، Zbl  0683.12014
Washington، Lawrence C. (1997)، Introduction to Cyclotomic Fields ، Graduate Texts in Mathematics، 83 (2 ed.)، New York: Springer-Verlag، ISBN  0-387-94762-0 ، MR  1421575
Weber، Heinrich (1893)، "Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie" ، Mathematische Annalen (in German)، 43 : 521–549، doi : 10.1007 / BF01446451 ، ISSN  0025-5831 ، JFM  25.0137.01