لوغاريتم طبيعي

التاريخ

ويسمى هذا اللوغاريتم أيضا باللوغاريتم النيبيري تكريماً لعالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير الذي أنشأ أول الجداول اللوغاريتمية، والتي ليست في الواقع جداول لوغاريتمات طبيعية. يرجع أصل اللوغاريتمات الطبيعية في عام 1647، عندما كان غريغوار دو سان فنسان  يعمل على تربيع  للقطع الزائد ويوضح أن الدالة التي تم الحصول عليها تلبي خاصية الإضافة للدوال اللوغاريتمية. ومع ذلك، لا يرى سانت فنسان أي صلة مع لوغاريتمات نابيير، وهو تلميذه ألفونس أنطوان دي ساراسا  الذي سيشرح ذلك في عام 1649. كان يُطلق على اللوغاريتم الطبيعي أولاً اللوغاريتم الزائدي إشارة إلى المساحة الموجودة أسفل القطع الزائد الذي يمثله. ظهر مصطلح اللوغاريتم الطبيعي لأول مرة في عام 1668 ، في مذكرة "Logarithmotechnia" التي كتبها نيكولاس مركاتور حول السلسلة التي تحمل اسمه.  هذه السلسلة ، التي استغلها نيوتن عام 1671، تجعل من الممكن حساب القيم اللوغاريتمية لغريغوار دو سان فنسان.  بعد ذلك ، يبدو حساب اللوغاريتمات الأخرى معقدًا للغاية ، وبطبيعة الحال، يصبح لوغاريتم غريغوار دو سان فنسان هو الأكثر طبيعية.

اتفاق حول الرموز

يشير الرمزان "ln x" و "logₑ x" بشكل لا لبس فيه إلى اللوغاريتم الطبيعيّ لِـx. و قد يُفهم من الرمز "log x" دون أي ذكر صريح لأي أساس أنه لوغاريتم طبيعيّ لِـx. يشيع هذا الفهم بين الأوساط العلميّة و في الرياضيات بالإضافة إلى بعض لغات البرمجة. يُمكن استخدم الرمز "log x" في بعض السياقات الأخرى للإشارة إلى اللوغاريتم ذو الأساس 10.
تاريخياً، أُدخلت الرموز "l." و "l" إلى الاستخدام منذ ثلاثينيات القرن الثامن عشر 1730s على الأقل، و بقيت حتى أربعينيات القرن التاسع عشر 1840s على الأقل، أما الرمز "log." أو "log"، فمنذ تسعينيات القرن الثامن عشر 1790s على الأقل. أخيراً، في القرن العشرين سُجِلَت الرموز "Log" و "logh".

أصل مصطلح اللوغاريتم الطبيعي

تنتج الدالة  و ذلك من أجل n ∈ ℤ تسلسل ثنائي لانهائيّ من النقاط يُمثّل قطعاً زائداً. عندما تُوصَل نقطتان متجاورتان إلى النقطة (0,0) بواسطة أشعة القطع الزائد، حينها يتشكَّل قطاع من هذا القطع الزائد، يكون لهذا القطاع منطقة وحدة "unit area". و بالتالي فإن المنطقة الكليّة الموجودة داخل القطع الزائد و خطوط مُقارباته منطقةٌ لانهائيّة، بما يتفق مع تباعد المتسلسلة المتناسقة. يتفق قياس المنطقة مع قياس القوس في كلا الدائرة و القطع الزائد الأيمن: ففي دائرة نصف قطرها √2 يكون لقوس القطاع الدائريّ زاوية تساوي منطقة القطاع. و بالمثل، تُقاس زاوية القطع الزائد للقوس القطع الزائديّ بالمنطقة الموافقة من قطاع القطع الزائد ذو المعادلة xy = 1.

يعود الفضل إلى ليونارد يولر الذي عرَّف بأهمية عدد يولر e=2.71828... كأساس للدالة الأسيّة و اللوغاريتم الطبيعيّ. حيث أنه قدَّم لفكرة الدالة المتسامية لتصنيف الدوال المثلثيّة و الأسيّة في كتاب مقدمة في تحليل اللانهاية (1748). يتطلَّب تقدير مساحة القطع الزائد اللوغاريتم الطبيعيّ، لذا كان يحول نقص التعبير عن تربيع القطع الزائد دون حساب التكامل، حتى وصفه جريجوري دي سانت-فينست (1647) بميزة لوغاريتميّة: إن توافق تسلسل حسابيّ من المناطق مع التسلسل الهندسيّ للمُقاربات. قادت توضيحات نيكولاس مركاتور و كريستيان هوغنس إلى مقدمة يولر التي فصَّلت الدوال الدائريّة من حيث السلسلة اللانهائيّة.

إن صلة الوصل بين المنطقة و أقواس الدائرة و دوال القطع الزائد تُظهر "طبيعيّة" اللوغاريتم.

اتصال ورتابة دالة اللوغاريتم الطبيعي

نستنتج مما سبق ان الدالة ln معرفة على  وقابلة للاشتقاق على هذا المجال و:
و منه الدالة ln متصلة على و بما ان مشتقتها موجبة قطعا فانها تزايدية قطعا على

اللوغاريتم العقدي

يعرف كالآتي:

هوامش

ملاحظة 1: تتضمن هذه اللغات سي، و سي ++ و ساس  و ماتلاب و ماثماتيكا و فورتران و بايزيك.