الاستكمال الرياضي بفروق نيوتن

اكتشف طريقة الاستكمال العالم الهندي القديم آرياباتا حينما كان يقيس أطوال الأقواس المناظرة للزوايا في الدائرة حيث وصل الي الاستكمال من الدرجه الثانية .
ويعتبر الاستكمال الرياضي الموضوع الأبرز في التحليل العددي ، إذ يشكل قلب ونواة التحليل العددي الكلاسيكي. وذلك لسبيبن رئيسيين، السبب الأول يعود لحاجتنا المستمرة في البحث عن قيمة لدالة من بيانات مجدولة أثناء معظم المسائل الحسابية، أما في تلك المسائل والنقاشات الغير مجدولة فلكي نجد قيمة للدالة  عند واحدة أو أكثر من النقاط الغير مدرجة في جدول البيانات ،فلابد لنا من أن نستكمل تلك الدالة ونستخدم طرق الاستكمال. والأكثر من ذلك أن الحاجة للاستكمال تكمن في كون أن البيانات المجدولة التي تُعطى إلينا في معظم المسائل تكون لها من الدقة العالية الشيء الكثير، حتى وإن كانت بيانات محدودة. لذلك قدم التحليل العددي الكلاسيكي  مجموعة  متطورة جدا من الطرق المختلفة  للاستكمال الرياضي. أما بالنسبة للسبب الثاني لأهمية الاستكمال الرياضي فيعود لكون أن معظم الطرق العددية الكلاسيكية في شتى القطاعات قد تم استناتجها واشتقاقها من طرق الاستكمال(Interpolation Formulas )، فتلك الطرق العددية المستخدمة في الاشتقاقات، تكاملات المعادلات التفاضلية العادية، المعادلات التربيعية، وغيرها من قطاعات التحليل العددي الكلاسيكي قد طُورت واشتُـقّـت  مباشرةً انطلاقًا من طرق الاستكمال الرياضي. بالرغم من أن الطرق المستخدمة في التحليل العددي الحديث لا تعتمد ذاك الاعتماد الكبير على طرق الاستكمال؛ لوجود طرق أخرى اشتُقت منها إلا أن هذا لا يتعارض مع الدور الكبير والفائدة الجمة للاستكمال وطرق الاستكمال.

تقديم رياضي للاستكمال

نفترض أن لدينا دالة   معرفة وقابلة للاشتقاق ، لها قيم معينة عند مجموعة محددة من النقاط، حيث أن هذه المجموعة من النقاط تسمى بالنقاط المجدولة (tabular points) التي يتم الاعتماد عليها كثيرًا أثناء الاستكمال. الآن الهدف من الاستكمال يكمن في الحصول على قيمة تقريبة للدالة عند واحدة أو أكثر من النقاط الأخرى الغير مدرجة في الجدول، بحيث أن هذا التقريب سيحد من الخطأ الناتج بين القيمة الفعلية والصحيحة للدالة عند النقطة والقيمة التقريبية لها بعد الاستكمال.                                                                                                              وصلتنا الرياضية التالية هي الحصول على تقريب للدالة    من خلال اعتبار أن النقاط و القيم المجدولة المعطاة تمثل الدالة   التي تعطي قيمًا متساوية مع قيم الدالة   ( وكذلك بالنسبة لقيم مشتقتها إن وجدت ).
الدالة المستكملة تُعطى بالعلاقة :  
     (1) 
والعلاقة العامة أكثر للاستكمال هي: 
     (2)                 
الهدف هو تحديد     بحيث أن                                                                                                                                              
      (3)                    
تكون مستقلة عن الدالة    . و بصورة عامة، لأي نقطة غير مجدولة     نحن نسعى بطرق الاستكمال إلى تحديد     بحيث أن  (3) تتحقق، ولإيجاد تمثيل لـ    بحيث يمكننا تقدير الخطأ أو على الأقل حده للقيم

البــرهان

نريد أن نثبت أن العلاقة (4) تكافئ جبريًا صيغة لاجرانج الاستكمالية على الفترات المتساوية للنقاط  .
من كون  كثيرة حدود من الدرجة  n في m، فيكفي إثبات أن   في العلاقة (4) تساوي  
ومن ثم فإن  ستكون كثيرة حدود وحيدة من الدرجة n، والمارة بال n+1 نقطة للدالة .
باستخدام (4) والعلاقة 
نجد أن
(5) 
عوامل  في  تُعطى بالعلاقة:
(6) 
لكل  فإن هذا المعامل مساوي للصفر؛ من كون   عندما . عندما  فإن الحد الغير صفري الوحيد في (6) لكل   يساوي 1. وعندما   فإن العلاقة (6) يمكن كتابتها على الشكل:
(7)   
ومن ثم نجد أن الطرف الأيمن من العلاقة (5) ما هو إلا  ،وبذلك يتم البرهان.
باستخدام مخطط لوزيينغ (Lozenge diagram) يمكن توليد العديد من صيغ الاستكمال، ومنها صيغة نيوتن الخلفية.

صيغة نيوتن الخلفية

في مخطط لوزيينغ بالابتداء من  والتحرك على طول المستقيمات سالبة الميل و باتجاه اليمين، نتوصل إلى أن :
(8) 
حيث هذه العلاقة تكافئ صيغة لاجرانج (Lagrangian formula) باستخدام النقاط   .