مشكلة فيرمي

في الفيزياء أو الهندسة التطبيقية، مشكلة فيرمي, لغز فيرمي, سؤال فيرمي, تقدير فيرمي، أو تقدير الطلب هي مشكلة تقدير مصممة لتدريس تحليل الأبعاد أو التقريب، وعادة ما تكون هذه المشكلة عبارة عن حساب أحتياطي. تم تسمية تقنية التقدير على الفيزيائي إنريكو فيرمي لأنه كان معروفًا بقدرته على إجراء حسابات تقريبية جيدة بوجود بيانات فعلية ضئيلة أو معدومة. تتضمن مشكلات فيرمي عادةً إجراء عمليات تخمين مبررة حول الكميات وتفاوتها أو حدودها الدنيا والعليا. 

الخلفية التاريخية

ومن الأمثلة على ذلك تقدير إنريكو فيرمي لقوة القنبلة الذرية التي انفجرت عند اختبار ترينيتي، استناداً إلى المسافة المقطوعة بواسطة قطع من الورق أسقطها من يده أثناء الأنفجار.  وكان تقدير فيرمي البالغ 10 كيلوطن من مادة تي إن تي قريبًا بشكل ملحوظ من القيمة المقبولة الآن والتي تبلغ حوالي 20 كيلو طن.

مزايا ونطاق

غالبًا ما يبحث العلماء عن تقديرات فيرمي لإجابة المشكلة قبل الأنتقال إلى أساليب أكثر تطوراً لحساب إجابة دقيقة. هذا يوفر شيك مفيد للنتائج. في حين أن التقدير يكاد يكون غير صحيح بالتأكيد، فهو أيضاً حساب بسيط يسمح بفحص الأخطاء بسهولة، وإيجاد افتراضات خاطئة إذا كان الرقم الناتج أكبر بكثير مما نتوقعه بشكل معقول. وعلى النقيض من ذلك، يمكن أن تكون الحسابات الدقيقة معقدة للغاية ولكن مع توقع أن الإجابة التي تنتجها صحيحة. يمكن أن يؤدي العدد الأكبر من العوامل والعمليات المعنية إلى حدوث خطأ كبير جدًا، سواء في العملية الرياضية أو في الافتراضات التي تعتمد عليها المعادلة، ولكن قد يتم افتراض أن النتيجة صحيحة لأنها مشتقة من صيغة دقيقة من المتوقع أن تسفر عن نتائج جيدة. وبدون وجود إطار مرجعي معقول للعمل منه، فإنه نادراً ما يكون واضحاً إذا كانت النتيجة دقيقة بشكل مقبول أو كانت درجات كثيرة (عشرات أو مئات المرات) كبيرة جداً أو صغيرة جداً. يعطي تقدير فيرمي طريقة سريعة وبسيطة للحصول على هذا الإطار المرجعي لما يمكن توقعه بشكل معقول ليكون الجواب، مع إعطاء سياق للنتائج.
طالما أن الافتراضات الأولية في التقدير هي كميات معقولة، فإن النتيجة التي يتم الحصول عليها سوف تعطي إجابة ضمن نفس المقياس كالنتيجة الصحيحة، وإذا لم توفر قاعدة لفهم سبب ذلك. على سبيل المثال، إذا كان التقدير يخبرك أنه يجب أن يكون هناك مئة أو أكثر من الضباط، لكن الإجابة الدقيقة تخبرك بوجود آلاف كثيرة، ثم تعرف أنك بحاجة لمعرفة سبب وجود هذا الأختلاف عن النتيجة المتوقعة. أولاً نبحث عن الأخطاء، ثم العوامل التي لم نأخذها بعين الأعتبار - هل لدى شيكاغو عدد من مدارس الموسيقى أو أماكن أخرى بها نسبة عالية بشكل غير متناسب من البيانو للناس؟ سواء كان ذلك قريبًا أو بعيدًا جدًا من النتائج الملحوظة، فإن السياق الذي يقدمه التقدير يعطي معلومات مفيدة عن عملية الحساب والأفتراضات التي تم أستخدامها للنظر في المشكلات.
تقديرات فيرمي مفيدة أيضًا في الاقتراب من المشاكل حيث يعتمد الأختيار الأمثل لطريقة الحساب على الحجم المتوقع للإجابة. على سبيل المثال، قد يشير تقدير فيرمي إلى ما إذا كانت الإجهادات الداخلية للهيكل منخفضة بدرجة كافية بحيث يمكن وصفها بدقة بواسطة مرونة خطية؛ أو إذا كانت التقديرات تحمل بالفعل علاقة كبيرة في المقياس بالنسبة إلى بعض القيم الأخرى، على سبيل المثال، إذا كان الهيكل سيتم هندسته بشكل مفرط ليتحمل الأحمال بعدة مرات أكبر من التقدير.
على الرغم من أن حسابات فيرمي غير دقيقة في كثير من الأحيان، حيث قد تكون هناك العديد من المشاكل في أفتراضاتهم، فإن هذا النوع من التحليل يخبرنا ما الذي نبحث عنه للحصول على إجابة أفضل. بالنسبة إلى المثال أعلاه، قد نحاول العثور على تقدير أفضل لعدد البيانو الذي يتم ضبطهم بواسطة ضابط إيقاع البيانو في يوم عادي، أو البحث عن رقم دقيق لسكان شيكاغو. كما يعطينا تقديرًا تقريبيًا قد يكون جيدًا بما يكفي لبعض الأغراض: إذا أردنا بدء متجر في شيكاغو يبيع معدات ضبط البيانو، ونحسب أننا بحاجة إلى 10 آلاف عميل محتمل للبقاء في العمل، يمكننا افتراض ذلك بشكل معقول التقديرات أعلاه هي أقل بكثير من 10.000، يجب أن نضع في الأعتبار خطة عمل مختلفة (ومع المزيد من العمل، يمكننا حساب الحد الأعلى التقريبي لعدد ضباط إيقاع البيانو من خلال مراعاة أكثر القيم المعقدة التي يمكن أن تظهر في كل من أفتراضاتنا).

التفسير

تعمل تقديرات فيرمي بشكل عام لأن تقديرات المصطلحات الفردية غالباً ما تكون قريبة من الصحيح، كما أن المبالغة في تقديرها والتقليل من قيمتها يساعد في إلغاء بعضها البعض. بمعنى أنه إذا لم يكن هناك تحيز ثابت ، فإن حساب فيرمي الذي يتضمن مضاعفة العديد من العوامل المقدرة (مثل عدد ضباط إيقاع البيانو في شيكاغو) سيكون على الأرجح أكثر دقة مما قد يُفترض أولاً.
في التفاصيل، يضاهي ضرب التقديرات إضافة اللوغاريتمات الخاصة بهم؛ وبالتالي يحصل المرء على نوع من عملية وينر أو السير العشوائي على مقياس لوغاريتمي، الذي ينشر كـ √n (في عدد المصطلحات n). وبعبارات منفصلة، فإن عدد المبالغة في تقدير القيمة ناقصًا سيكون  توزيع ذات الحدين. بالمصطلحات المستمرة، إذا قام المرء بعمل تقدير فيرمي للخطوات n، مع وحدات الانحراف المعياري σ على مقياس اللوغاريتم من القيمة الفعلية، فإن التقدير العام سيكون له انحراف معياري  ∑ √ⁿ, لأن الانحراف المعياري لمقياس مجموع كـ √n في عدد من الامتحانات.
على سبيل المثال، إذا أجرينا تقدير فيرمي مؤلفًا من 9 خطوات، في كل خطوة نبالغ في تقدير أو تقليل الرقم الصحيح بعامل 2 (أو مع الانحراف المعياري 2)، بعد 9 خطوات، يكون الخطأ القياسي قد نما بعامل لوغاريتمي من √9 = 3، إذن 2³ = 8. وهكذا يتوقع أن يكون في حدود ¹⁄₈ إلى 8 مرات القيمة الصحيحة – في القيمة الأسية وأقل بكثير من أسوأ حالة من المخطئين بمعامل 2⁹ = 512 (حوالي 2.71 من حيث الحجم). إذا كان أحد لديه سلسلة أقصر أو تقديرات أكثر دقة من التقديرات الإجمالية سوف تكون في المقابل أفضل.