حقل (رياضيات)

في الرياضيات، الحقل (بالإنجليزية: Field) هي مجموعة عُرفت عليها أربع عمليات هن الجمع والطرح والضرب والقسمة ويحقق خواص ما يقابلها من عمليات الأعداد الحقيقة والنسبية. فبالتالي الحقل هو بنية أساسية بالجبر ويستخدم بشكل واسع بالجبر ونظرية الأعداد وغيره من فروع الرياضيات.
أفضل الحقول المعروفه هي حقل الأعداد النسبية وحقل الأعداد الحقيقة وكذلك حقل الأعداد المركبة. هناك أيضا العديد من الحقول الأخرى مثل حقول الدوال النسبية و حقول الدوال الجبرية ( algebraic function field ) وحقول الأعداد الجبرية وكذلك حقول p-adic . هذه الحقول الأكثر استخداما في دراسة الرياضيات خصوصا في نظرية الأعداد و الهندسة الجبرية. كثير من بروتوكلات التشفير تعتمد على الحقول المنتهية والتي نعني بها تحتوي على العدد من العناصرة المنتهية.

يمكن التعبير عن العلاقة أو الصلة بين حقلين بواسطة مايسمى امتداد الحقول. طورت نظرية غالوا، والتي أكتشفها العالم إيفاريست غالوا  في ثلاثينات القرن التاسع عشر، لفهم العلاقات المتقدمة. نظريات أساسية في التحليل مرتبطة بالخواص الهيكلية لحقل الأعداد الحققية.
والأكثر أهمية لأسباب جبرية، أنه أي حقل ممكن أن يستخدم كمية قياسية  في فضاء المتجه والذي يعتبر محتوى أساسي عام للجبر الخطي. تشترك حقول الأعداد  مع حقل الأعداد النسبية والتي تُدرس بعمق في نظرية الأعداد.  يمكن لحقول الدوال أن تساعد في وصف خواص الأشياء الهندسية.

تعريف

بصيغة عامة، الحقل هو مجموعة ما وعمليتان معرفتان على هذه المجموعة. هذه العمليتان هما عملية الجمع والتي يمكن أن كتب بالشكل وعملية الضرب والتي يمكن كتابتها بالصيغة. وكلامها لهما نفس خواص عمليتي الجمع والضرب المعتادة على الأعداد النسبية والأعداد الحقيقية. من هذه الخواص وجود المعكوس الجمعي   لكل العناصر    والمعكوس الضربي    لكل عنصر غير صفري . هذا يسمح لنا أيضا بتعريف مايسمى العمليات العكسية   وهما  الطرح     و القسمة    كالتالي:

تعريف آخر

يمكن تعريف الحقل بطريقة أخرى لكن له نفس المعنى. فمن الممكن تعريف الحقل بواسطة أربع عمليات ثنائية : الجمع والطرح والضرب والقسمة بخواصها المطلوبة. مستبعد من هذا التعريف القسمة على الصفر. من أجل تجنب مشكلة الوجود، يمكن تعريف الحقول بواسطة عمليتين ثنائيتين (الجمع والضرب) وعمليتين أحاديتين ( وهما العمليات المعاكسة للجمع والضرب)  وأيضا  عمليتي المحايد ( nullary ) للعنصرين الثابتين   و . هذه العمليات تخضع أيضا للشروط المذكوره أعلاه. تجنب معايير الوجود مهمه في الرياضيات البنائية   و  الحوسبة . ممكن أيضا تعريف الحقل بإستخدام نفس العمليتين الثنائيتين وعملية أحادية واحدة ( المعكوس الضربي) وعنصرين ثابتين هما  و  لأن   و  .

أمثلة

مثال:

لتكن F  مجموعة الاعداد الحقيقة التي بصيغة 3a+b  حيث a,b عددان نسبيان  {F = { a+b  3 l a,b Q
الاختبار الثلاثي
1- ( F,+ , . )  هو حلقة تبديلية
2- حلقة لها محايد ضربي  هو " 3 0 + 1 = 1  ومحايد جمعي هو 3 +0 =0
3-   ( . , + , F )   كل عنصر غير صفري ينتمي إلى F له معكوس ينتمي إلى F
افرض ان a+ b 3  F حييث a , b ليس كلاهما صفر ايضا  a,b  Q تحت هذا الشرط   وبخلافه يكون 3 نسبيا
بما ان (a/(a^2-3b^2  و (b /(a^2 -3b^2-   كليهما عددان نسبيان فان المعكوس الناتج ينتمي إلى F

الأعداد النسبية

أستخدمت الأعداد النسبية بشكل أوسع قبل ظهور مفهوم الحقل بوقت طويل.   وتعرف الأعداد النسبية بالأعداد التي يمكن كتابتها بشكل كسور حيث أن   و هما أعداد صحيحة و.  المعكوس الجمعي لهذا الكسر هو   والمعكوس الضرب في حالة  يساوي  والذي يحقق 
 .
الخصائص المطلوبة لأي حقل تنطبق أيضا على الأعداد النسبية. فعلى سبيل المثال خاصية التوزيع يمكن إثباتها كالتالي:

الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة

مجموعة الأعداد الحقيقية  مزودةً بعمليتي الجمع والضرب المعتادتين تمثل حقلا.
الأعداد المركبة  تتكون من أعداد بالصيغة 
حيث  و  أعداد حقيقية و  تمثل وحدة الجزء التخيلي وهو عدد غير حقيقي يحقق الشرط . تعرف عمليتي الجمع والضرب للأعداد المركبة بنفس عمليتي الجمع والضرب المعرفتين على الأعداد الحقيقية بشرط تحقيقها لشروط الحقل على مجموعة الأعداد المركبة . مثلا ، خاصية التوزيع تحقق التالي:
.

الأعداد القابلة للإنشاء

انظر عدد قابل للإنشاء وإلى مبرهنة طاليس
في العصور القديمة ، تهتم العديد من المسائل الهندسي بمدى قابلية إنشاء أو تمثيل أعداد معينه بإستخدام  الفرجار والمسطرة. فعلى سبيل المثال لم يكن معروفا لدى اليونانيين استحالة إيجاد ثلث زاوية معطاه بهذه الطريقة. لكن تم الآن حل مثل تلك المسائل مع وجود مايسمى بالأعداد قابلة للإنشاء. تعرف الأعداد الحقيقية القابلة للإنشاء بأنها أطوال لقطع مستقيمة  بالإستعادة بنقاط الفتة من  إلى  بعدد من الخطوات المحددة فقط بإستخدام الفرجار والمسطرة. وبالإمكان استخدام عمليات حقل الأعداد الحقيقية بحصرها على الأعداد الإنشائية والتي تمثل حقل فعلي جزئي من حقل الأعداد النسبية Q .  بالشكل الموضح هنا مثال يوضح أنه ليس بالضروره أن عملية إنشاء الجذور التربيعية للأعداد الإنشائية تنتمي للمجموعة Q. التسمية الموجودة بالشكل تبين القطع المستقيمة  و  و نصف الدائرة التي مركزها عندي النقطة  وقطرها  التي يتعامد عليها النقطه  بالزاوية القائمة عند  وبمسافة قدرها  عندما يكون طول الضلع  يساوي واحد.
ليست كل الأعداد الحقيقية قابلة للإنشاء. فمثلا العدد  هو غير قابل للإنشاء ، بمعنى أنه لايمكن تمثيل ضلع  بمكعب حجمه يساوي  استخدام الفرجار والمسطرة.

بعض المفاهيم

في هذا القسم سيتم استخدام الرمز للدلالة على أي حقل عشوائي  و  و عنصران من .

إستنتاجات من تعريف الحقل

من التعريف لدينا و . أي أنه من الممكن إختصار رمز المعكوس الجمعي لأي عنصر بإستخدام الرقم  . إذا كان  فإنه إما او  . وفي حالة  و  نستنتج أن
وهذا يعني أن كل حقل هو  مجال متكامل.

الزمرة الجمعيه وزمرة الضرب للحقل

نسنتنتج من مسلمات الحقل أن الحقل هو زمرة إبدالية مع عملية الجمع. هذه الزمرة تسمى زمرة جمعيه للحقل والتي يرمز لها أحيانا بالرمز  للحقل . 
بالمثل ، تمثل عناصر الحقل غير الصفرية زمرة إبدالية مع عملية الضرب والتي تسمى زمرة ضربية. يرمز لهذه الزمرة بالرمز  أو إختصارا بالرمز .
يشترط بالحقل أن يكون  وذلك لأن العنصر  هو عنصر وحدة لزمرة لاتحتوي على  . فبالتالي الحلقة التافهه التي تحتوي على عنصر واحد فقط لاتمثل حقل. 
كل زمرة جزئية منتهية من زمرة ضربية لحقل هي زمرة دائرية.

مميز

وكما عرفنا عملية ضرب عنصرين من عناصرF ، فإنه من الممكن تعريف حاصل ضرب   لأي عنصر  إختياري  من F و عدد صحيح موجب  حيث أن الضرب يتم بالطريقة التالية
a + a + ... + a . ينتمي هذا الناتج أيضا إلى F .
إذا كان لايوجد عدد صحيح موجب   بحيث أن  n ⋅ 1 = 0 ، فإننا هنا نقول أن الحقل F به  مميز ( Characteristic ) في  . فمثلا  يحتوي حقل الأعداد النسبية Q  على مميز لأنه لايوجد عدد صحيح موجب  يساوي صفر.
من جهة أخرى، إذا أمكن إيجاد عدد صحيح موجب  يحقق هذه المعادلة  n ⋅ 1 = 0  فإن أصغر قيمة  لهذا العدد يمثل عدد أولي. وعادة مايرمز لهذا العدد بالرمز  ونقول في هذه الحالة أن الحقل يحتوي على مميز. مثال على ذلك الحقل F₄ به مميز2 لأن  I + I = O ( كما هو واضح بجدول الجمع المرفق هنا).
فبالتالي إذا كان الحقل F يحتوي على مميز  فإن p ⋅ a = 0   لكل  . وهذا يعني أن
(a + b)ᵖ = aᵖ + bᵖ
وذلك لأن جميع معاملات ذات الحدين في معادلة ذات الحدين قابلة للقسمة على .

تاريخ

استعمل مفهوم الحقل بصفة ضمنية (أي بصفة غير مباشرة) عالما الرياضيات نيلس هنريك أبيل وإيفاريست غالوا في عملهما حول قابلية حلحلة معادلات متعددات الحدود بمعاملات جذرية وبدرجات تساوي الخمسة أو تفوقها.
في عام 1857، نشر كارل فون شتاوت عملا له احتوى على نموذج هندسي يحقق الموضوعات اللائي يعرفن حقلا في شكله العصري.