مجال الموتر

في الرياضيات و الفيزياء ، موتر مجال يعين موتر أن كل نقطة من الفضاء الرياضي (عادة اقليدي الفضاء أو متعددة). الممتدات تستخدم في الهندسه التفاضليه, معادلات حدوديه, النسبية العامة ، في تحليل الإجهاد و الضغط في المواد في العديد من التطبيقات في العلوم الفيزيائية. كما موتر هو التعميم من العددية (نقية رقم يمثل القيمة ، مثل طول) ناقلات (هندسي السهم في الفضاء) ، موتر مجال التعميم من العددية حقل أو مجال مكافحة ناقلات أن يعين على التوالي العددية أو متجه إلى كل نقطة من الفضاء.
العديد من الهياكل الرياضية يسمى "الموتر" الممتدات. على سبيل المثال ، ريمان انحناء موتر ليس موتر, كما يوحي الاسم ، لكن موتر الميدانية: سميت برنهارد ريمان و الزميلة موتر أن كل نقطة من ريمانيان متعددة ، وهو الطوبوغرافية الفضاء.

مقدمة هندسيه

حدسي ، متجه المجال هو أفضل تصور "السهم" تعلق على كل نقطة من المنطقة ، مع طول متغير والتوجيه. مثال واحد من حقل متجه على الفضاء المنحني هو الطقس خريطة عرض أفقي سرعة الرياح في كل نقطة من سطح الأرض.
الفكرة العامة مجال الموتر يجمع بين متطلبات أكثر ثراء الهندسة – على سبيل المثال ، الإهليلجي متفاوتة من نقطة إلى نقطة ، في حالة متري موتر – مع فكرة أننا لا نريد فكرتنا تعتمد على أسلوب معين من الخرائط السطحية. يجب أن توجد بشكل مستقل من خطوط الطول والعرض, أو أيا كان خاصة "عرض الخرائط" نحن تستخدم لإدخال العددية الإحداثيات.

التطبيقات

انحناء موتر يتم مناقشتها في الهندسة التفاضلية و الإجهاد–الطاقة موتر مهم في الفيزياء والرياضيات من هذه الصلة من خلال نظرية آينشتاين في النسبية العامة.
في الكهرومغناطيسية, الكهربائية والمجالات المغناطيسية هي مجتمعة في الكهرومغناطيسي موتر المجال.
ومن الجدير بالذكر أن التفاضلية النماذجالمستخدمة في تحديد التكامل على الانابيب المتفرعه ، هي نوع من موتر المجال.

موتر حساب التفاضل والتكامل

في الفيزياء النظرية وغيرها من المجالات, المعادلات التفاضلية المطروحة من حيث الممتدات توفر العامة وسيلة للتعبير عن العلاقات التي هي على حد سواء هندسية في الطبيعة (مضمونة من قبل موتر الطبيعة) تقليديا مرتبط إلى حساب التفاضل والتكامل. حتى أن صياغة مثل هذه المعادلات يتطلب الطازجة مفهوم ، covariant المشتقة. هذا مقابض صياغة الاختلاف من موتر الميدانية على طول وهو متجه المجال. الأصلي المطلق حساب التفاضل المفهوم الذي كان يسمى في وقت لاحق موتر حساب التفاضل والتكامل ، أدى إلى عزل هندسية مفهوم الاتصال.

التواء بواسطة خط حزمة

امتدادا موتر الميدانية فكرة يتضمن إضافية خط حزمة ل على م. إذا W هو موتر المنتج حزمة من الخامس مع L ، ثم ث هو مجموعة من المتجهات المساحات من نفس البعد الخامس. هذا يسمح لأحد أن تعريف مفهوم موتر الكثافة ، "الملتوية" نوع من موتر المجال. أ موتر الكثافة هو حالة خاصة حيث L هو حزمة من الكثافة على مشعب ، وهي المحددات حزمة من وظل التمام حزمة. (أن تكون صارمة ودقيقة واحدة ينبغي أيضا تطبيق القيمة المطلقة إلى الانتقال وظائف – هذا يجعل الفارق ضئيل بالنسبة للتوجيه متعددة.) تقليدية أكثر تفسير رؤية موتر كثافة المادة.
ميزة واحدة من حزمة من كثافة (مرة أخرى على افتراض orientability) L هو أن Lˢ -تحديد العدد الحقيقي قيم s; وهذا يمكن أن تقرأ من الانتقال الوظائف ، والتي تأخذ بدقة القيم الايجابية الحقيقية. وهذا يعني على سبيل المثال أننا يمكن أن تأخذ نصف كثافةالقضية حيث s = نصف. بشكل عام يمكننا اتخاذ أقسام ث ، موتر المنتج من الخامس مع Lˢ, والنظر في موتر كثافة حقول مع الوزن s.
نصف الكثافة يتم تطبيقها في مجالات مثل تحديد جزء لا يتجزأ من المشغلين على الفتحات و هندسية تكميم.

شقة القضية

عندما يكون M هو اقليدي الفضاء و في كل الميادين إلى أن تكون ثابتة عن طريق الترجمات من قبل ناقلات م, نعود إلى الحالة التي يكون فيها موتر مجال مرادف موتر 'يجلس في الأصل'. هذا لا ضرر عظيم, و هو غالبا ما تستخدم في التطبيقات. كما ينطبق على موتر الكثافة ، لا تحدث فرقا. حزمة من الكثافة لا يمكن أخذه مأخذ الجد تعريف 'في نقطة'; وبالتالي الحد من المعاصرة الرياضية علاج العضلات الشاده هو هذا موتر كثافة محددة بطريقة ملتوية.

Cocycles و سلسلة القواعد

كما متقدم شرح موتر مفهوم واحد يمكن تفسير قاعدة السلسلة في متعدد المتغيرات الحالة ، كما ينطبق على تنسيق التغييرات أيضا شرط متسقة ذاتيا مفاهيم موتر مما أدى إلى الممتدات.
تجريدي ، يمكننا تحديد قاعدة السلسلة 1-cocycle. أنه يعطي الاتساق المطلوب لتحديد الظل حزمة في وسيلة جوهرية. أخرى ناقلات حزم من التنسورات مماثلة cocycles التي تأتي من تطبيق functorial خصائص موتر الإنشاءات إلى قاعدة السلسلة نفسها. هذا هو السبب في أنها هي أيضا الجوهرية (قراءة, 'الطبيعية') المفاهيم.
ما عادة ما تحدث عن 'الكلاسيكية' نهج التنسورات يحاول قراءة هذا إلى الوراء وبالتالي الكشف عن مجريات الأمور, اللاحق النهج وليس حقا التأسيسية. ضمنا في تعريف التنسورات من قبل كيفية تحويل بموجب تنسيق تغير هو نوع من الاتساق الذاتي في cocycle عن. بناء موتر الكثافة 'التواء في cocycle. الهندسه لم تكن في أي شك حول هندسية طبيعة موتر كميات; هذا النوع من النسب حجة يبرر تجريدي النظرية بأكملها.