زمرة (رياضيات)

في الرياضيات، الزمرة (بالإنجليزية: Group) هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى البدبهيات وهي الانغلاق والتجميعية ووجود العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس، ما يجعلها تطبيقًا للبديهيات في الجبر المجرد. يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية. إن الاستخدام الواسع للزمر في مجالات عديدة داخل الرياضيات وخارجها جعلها مبدأً تنظيميًّا محوريًّا في الرياضيات المعاصرة. تمثل مجموعة الأعداد الصحيحة زمرة تحت عملية الجمع وتعد مثالًا للزمر، ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم، وزمرة المصفوفات التي لا تساوي محدداتها الصفر والتماثلات الذاتية للبنى الجبرية المختلفة. تُدْرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر.
ترتبط الزمر ارتباطًا أساسيًّا بفكرة التناظر، فزمرة التماثل على سبيل المثال، ترمز إلى خصائص تناظر كائنٍ هندسيٍّ: تتكون تلك الزمرة من مجموعة من التحاويل التي تترك الكائن دون تغيير، وعملية هذه الزمرة هي الجمع بين اثنين من هذه التحاويل حيث تجمع الواحدة تلو الأخرى، وتصنَّف زمر لي المستخدمة في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل، وكذلك تساعد الزمرة النقطية في فهم التناظر في الكيمياء الجزيئية، وتعبر زمر بوانكاريه عن التناظر الفيزيائي الكامن وراء النسبية الخاصة.
نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست غالوا في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، وهي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذور. بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد والهندسة، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ في حوالي عام 1870. أصبحت نظرية الزمر فرعًا في الرياضيات يدرس الزمر في حد ذاتها. قسم الرياضياتيون نظرية الزمر إلى عدة أقسام لتسهيل فهم الزمر واستكشافها، مثل الزمر الجزئية وزمر خارج القسمة والزمر البسيطة. لا يهتم المختصون بنظرية الزمر بدراسة خصائص الزمر التجريدية فقط، بل إن جانبًا من نظرية الزمر يهتم بدراسة الطرق التي تعبر عنها تعبيرًا ملموسًا أو ما يُعرف بتمثيلات الزمر، والتي لها أهميتها في العديد من المجالات، ففي فيزياء الجسيمات تستخدم في نظريات كالحقل الكمومي والأوتار، وفي المعلوماتية توجد زمر للتشفير والترميز ومعالجة الصور، وفي علم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية. وُضعت نظرية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983. أصبحت نظرية الزمر الهندسية، التي تهتم بدراسة الزمر منتهية التوليد مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر في منتصف ثمانينيات القرن العشرين.

القسمة

من الممكن القيام بعملية القسمة في الزمر: ليكن  و  عنصرين من الزمرة ، إذن هناك حل وحيد  للمعادلة . وبضرب حدي هاته المعادلة في العنصر  من الجهة اليمنى يعطي الحل . ويوجد بالمثل حل وحيد  في  للمعادلة ، وهو . وليس من الضروري عامةً لكل من  و  أن يتفقا.
إن نتيجة ذلك هي أن الضرب في العنصر  من زمرة ما هو دالة تقابلية. وعلى وجه التحديد، إذا كان  عنصرًا من الزمرة  فإنه يوجد دالة تقابلية على  تدعى الانزلاق الأيسر بـ ، وهو يرسل  إلى . وبالمثل يوجد دالة تقابلية على  تدعى الانزلاق الأيمن بـ ، وهو يرسل  إلى . وإذا كانت  أبيلية فإن الانزلاقين الأيمن والأيسر بعنصر من عناصرها هما ذاتهما.

المفاهيم الأساسية

للمزيد من المعلومات: لائحة المواضيع المتعلقة بنظرية الزمر
لفهم الزمر فهمًا يتجاوز مجرد المعالجات الرمزية كما فُعل أعلاه، يجب استخدام مفاهيم أكثر بنيوية. يوجد مبدأ مفهومي تقوم عليه كل المفاهيم الآتية، وهو استغلال الخصائص البنيوية الفريدة للزمر (والتي ليست في المجموعات)، ويجب للبنى المرتبطة بالزمر التلاؤم مع عمليتها. يتجلى هذا التلاؤم في المفاهيم التالية بطرق مختلفة، فمثلًا يمكن للزمر أن ترتبط مع بعضها البعض بدوال تُعرف بتشاكلات الزمر، ووفقًا للمبدأ المفهومي المذكور آنفًا، فإنه يتعين على هذه الدوال أن تُعنى ببنى الزمر بالمعنى الدقيق. ومن الممكن أيضًا فهم الزمر بنيةً من خلال تقسيمها إلى أجزاء تُعرف بالزمر الجزئية وزمر خارج القسمة. إن مبدأ "الحفاظ على البنى" هو موضوع متكرر في الرياضيات كافة، وهو يستدعي بحد ذاته العمل في فئة، وهي في حالة الزمر تُدعى فئة الزمر.

الأعداد

تتمتع العديد من النظم العددية كالأعداد الصحيحة والكسرية ببنية زمرية مرتبطة بطبيعتها. تنبثق عن عمليتي الجمع والضرب بنًى زمرية في بعض الحالات كما في الأعداد الكسرية. وتُعد مثل تلك النظم العددية أسلافًا لبنًى جبرية أعم معروفة بالحلقات والحقول. ويشكل المزيد من الفكر الجبرية المجردة زمرًا، ومنها النماذج والفضاءات المتجهية والجِبار.

الأعداد الصحيحة

لقد وُصفت سابقًا في المقالة زمرة الأعداد الصحيحة  تحت عملية الجمع ورمزها . ورغم ذلك لا تشكل الأعداد الصحيحة زمرة تحت الضرب بدل الجمع ؛ إذ أنه رغم توافر بديهيات الانغلاق والتجميعية ووجود المحايد، لا تتوافر بديهية وجود المعاكس في هكذا بنية. فمثلًا  هو عدد صحيح، لكن الحل الوحيد للمعادلة  في تلك الحالة هو ، وهو كسري وليس صحيحًا. وبالتالي ليس كل عنصر من  يملك معاكسًا ضربيًّا.

زمر ببُنى إضافية

تعد الكثير من الزمر مثالًا على بنًى رياضية أخرى علاوةً على كونها مثالًا على الزمر، وبلغة نظرية الأصناف فهي تعد كائنات زمرية في الفئة، ما يعني أنها كائنات (أي أمثلة على كائن رياضي آخر) تأتي مع تحويلات تسمى التطبيقات المحافظة على الشكل بحيث تحاكي تلك التحويلاتُ بديهياتِ الزمر. فمثلًا بحسب تعريف الزمر المذكور أعلاه فإن أي زمرة تعد مجموعة أيضًا، لذلك فإن أي زمرة تمثل كائنًا زمريًّا في فئة المجموعات.

هامش

 1: تسرد ماثماتيكل ريفيوز 3,224 ورقة بحثية عن نظرية الزمر وقوانينها كُتبت عام 2005.
 2: أُعلن عن التصنيف عام 1983، لكن برهانه كان ناقصًا.
 3: تكون بديهية الانغلاق معنية شرط أن تكون • عملية ثنائية، ولذلك يتجاهلها بعض الكتاب. ومع ذلك فإن بنى الزمر كثيرًا ما تبدأ بعملية معرفة في مجموعة شاملة، ولذلك فمن الشائع استخدام خطوة الانغلاق في برهنة أن نظامًا ما هو زمرة. لانغ 2002
 4: وفقًا لذلك، لا يعتمد ناتج القيام بعملية الزمرة بين أكثر من عنصرين فيها على ترتيب قيامنا بالعمليات؛ فالتعبير  يعني أننا نقوم أولًا بإيجاد ناتج  ثم تُؤدى العملية بينه وبين ، أما التعبير  فيعني حساب ناتج  أولًا، ثم تأدية العملية بين  وبين هذا الناتج.
 5: غالبًا ما يُستخدم الحرف  للتعبير عن العنصر المحايد، وهو الحرف الأول من الكلمة الألمانية Einheit. للمزيد طالع صفحة Identity Element من ماثوورلد.
 6: طالع مثلًا كتب لانغ (2002، 2005) وهيرستاين (1996، 1975).
 7: يعني التشاكل بالإنجليزية "homomorphism"، وهي مشتقة من الكلمتين الإغريقيتين "ὁμός" وتعني نفس أو ذات، و "μορφή" وتعني البنية أو الشكل.
 8: رغم ذلك، لا تتحدد الزمرة تحديدًا تامًّا بشبكية الزمر الجزئية خاصتها. انظر سوزوكي 1951.
 9: إن حقيقة أن عملية الزمرة توسع نطاق ذلك قانونيًّا هي مثيل للخاصية الشاملة.
 10: تتمثل التطبيقات التباينية والشمولية في التشاكل الأحادي والتشاكل الشامل على الترتيب. وهما يلتقيان عند وضعها في فئة مزدوجة.
 11: اقرأ عن مبرهنة سيفرت-فان كامبن مثالًا على ذلك.
 12: من بين الأمثلة تشابه الزمر المشارك لزمرة ما والذي يساوي التماثلية الفردية لفضاء التصنيف.
 13: تُسمَّى العناصر التي تملك معاكسات ضربية بالوحدات، طالع لانغ 2002, القسم II.1، ص 84.
 14: تحويل الأعداد الصحيحة إلى أعداد كسرية من خلال جمع الكسور يُعمَّم بحقل الكسور.
 15: الأمر نفسه صحيح لأي حقل  فيما بدلًا من. طالع لانغ 2005, القسم III.1، ص 86.
 16: فمثلًا تكون أي زمرة جزئية منتهية من الزمرة الضربية لحقل ما دائرية حتمًا. طالع لانغ 2002, المبرهنة IV.1.9. يعد مصلحا الفتل لنموذج والجبار البسيطة مثالين آخرين لهذا المبدأ.
 17: تصلح الخاصية المذكورة تعريفًا للأعداد الأولية. طالع العنصر الأولي.
 18: فمثلًا يَستَخدم ميثاق ديفي-هيلمان اللوغاريتمَ المتقطع.