دلالة موضعية

الدلالة الموضعية أو تدوين قيمة المكان أو الترميز الموضعي (بالإنجليزية Positional notation) هو طريقة لتمثيل أو ترميز الأرقام. يتميز الترميز الموضعي عن الرموز الأخرى (مثل الأرقام الرومانية ) باستخدامه نفس الرمز لمرات مختلفة القيمة (على سبيل المثال ، "مكان الآحاد" ، "مكان العشرات" ، "مكان المئات".... وهكذا). وبهذا اصبح الحساب بسيطا إلى حد كبير، مما أدى إلى الانتشار السريع لهذه الطريقة في جميع أنحاء العالم. 
مع استخدام النقطة العشرية في النظام العشري، يمكن توسيع هذه الطريقة لتشمل الكسور والأعداد الحقيقية . 
نظام الأرقام البابلي ، الذي كان أساسه 60 ، هو أول نظام يستخدم قيمة المكان، وما زال تأثيره موجودا حتى اليوم بالطريقة التي يتم فيها حساب الوقت والزوايا، مثل 60 دقيقة في الساعة ، 360 درجة في الدائرة. نظام الأرقام الهندية العربية يستخدم القاعدة 10، وهو النظام الأكثر استخدامًا في العالم اليوم لمعظم العمليات الحسابية.  نظام الأرقام الثنائية ، يستخدم القاعدة 2 ، يتم تنفيذه بشكل مباشر في الدوائر الإلكترونية الرقمية ويستخدم من قبل جميع أنظمة الكمبيوتر والإلكترونيات لإجراء الحسابات والتمثيلات.

تاريخيا

يستخدم نظام القاعدة 10 ( العشري ) حاليا في كل مكان. وقد استخدمت قواعد أخرى في الماضي، وبعضها لا يزال يستخدم حتى اليوم. على سبيل المثال، كان نظام الأرقام البابلية، المعتمد كأول نظام يستخدم دلالة الموضع، يستخدم الأساس 60 ، ولكنه افتقر إلى قيمة حقيقية للعدد 0. تمت الإشارة إلى الصفر بواسطة مسافة بين الأرقام.  بحلول سنة 300 قبل الميلاد، تم ترميز رمز الترقيم (اثنين من الأسافين المائلة) لحفظ المكان في نفس النظام. وفي أحد الاكتشافات في كيش (التي يرجع تاريخها إلى حوالي 700 قبل الميلاد) كتب الكاتب Bêl-bân-aplu أصفاره بثلاثة خطافات ، بدلاً من الأسافين المائلة.  لم يكن العنصر النائب البابلي صفراً حقيقياً لأنه لم يتم استخدامه وحده. كما أنه لم يستخدم في نهاية الرقم.  وهكذا بدت الأرقام مثل 2 و 120 (2 × 60) ، 3 و 180 (3 × 60) ، 4 و 240 (4 × 60) متشابهة، لأن الأعداد الكبيرة كانت تفتقر إلى عنصر نائب في نهايتها. وكان يمكن تمييزها فقط من السياق. 
اخترع أرخميدس (ca. 287-212 قبل الميلاد) نظامًا موضعيًا عشريًا في كتابه " Recogner Sand" الذي استند إلى 10 ⁸  وقاد لاحقًا عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريك غاوس للتعبير عن ارتياح ما كان يمكن أن يصل إليه العلم في أيامه إذا كان أرخميدس قد أدرك تماما إمكانات اكتشافه البارع. 
قبل أن يصبح الترميز الموضعي قياسيًا، تم استخدام أنظمة مضافة بسيطة ( تدوين علامة القيمة ) مثل الأرقام الرومانية ، واستخدم المحاسبون في روما القديمة وأثناء العصور الوسطى المعدادات (أباكوس) أو العدادات الحجرية للقيام بالعمليات الحسابية. 
تم استخدام قضبان العد ومعظم العدادات (أباكوس) لتمثيل الأعداد في نظام الأرقام الموضعية. مع وجود قضبان العد أو المعداد للقيام بعمليات حسابية، يمكن بسهولة كتابة قيم البدء والقيمة المتوسطة والنهائية للحساب من خلال نظام إضافة بسيط في كل موضع أو عمود. لم يتطلب هذا النهج أي حفظ للجداول (كما هو الحال في التدوين الموضعي) ويمكن أن يعطي نتائج عملية بسرعة. على مدى أربعة قرون (من القرن الثالث عشر إلى السادس عشر) كان هناك خلاف قوي بين أولئك الذين كانوا يؤمنون بتبني النظام الموضعي في كتابة الأرقام وأولئك الذين أرادوا البقاء مع نظام المضاف-مع-المعداد. على الرغم من أن الآلات الحاسبة الإلكترونية قد حلت بشكل كبير محل المعداد، إلا أن الأخير لا يزال يستخدم في اليابان ودول آسيوية أخرى لتعليم الأطفال. 

بعد الثورة الفرنسية (1789-1799)، روجت الحكومة الفرنسية الجديدة لتمديد النظام العشري.  بعض هذه الجهود المؤيدة للنظام العشري - مثل الوقت العشري والتقويم العشري - لم تنجح.ابينما جهود تحويل العملات decimalisation و النظام المتري من الأوزان والمقاييس فقد انتشرت على نطاق واسع من فرنسا إلى العالم كله تقريبا.

تاريخ الكسور الموضعية

يلاحظ لينارت بيرغرين (J. Lennart Berggren) أن الكسور العشرية الموضعية استخدمت لأول مرة من قبل عالم الرياضيات العربي أبو الحسن الإقليدسي في القرن العاشر.  استخدم عالم الرياضيات اليهودي إيمانويل بونفيس الكسور العشرية في حوالي عام 1350، لكنه لم يطور أي تدوين لتمثيلهم.  ادعى عالم الرياضيات الفارسي جمشيد الكاشي أنه اكتشف الكسور العشرية بنفسه في القرن الخامس عشر.  قدم الخوارزمي الكسور إلى البلدان الإسلامية في أوائل القرن التاسع.  هذا الشكل من الكسر بصورة البسط في الأعلى والمقام في الأسفل بدون خط أفقي كان يستخدمه أبو الحسن الإقليدسي أيضا في القرن العاشر من القرن الماضي، وواستخدمه جمشيد الكاشي في القرن الخامس عشر في مؤلفه "مفتاح الحساب".  
 يُعدُ سيمون ستيفين في القرن السادس عشر رائد العلامة العشرية الأوروبية الحديثة.

مسائل متعلقة بذلك

كانت الحجة الرئيسية ضد النظام الموضعي هي قابليته للتزوير بسهولة عن طريق وضع رقم في بداية أو نهاية العدد، وبالتالي تغيير (على سبيل المثال) 100 إلى 5100 بإضافة القم 5 إلى اليسار، أو 100 إلى 1000 بإضافة الرقم 0 إلى اليمين. ولمنع التزوير تتطلب الشيكات الحديثة كتابة العدد بالحروف، بالإضافة إلى العدد العشري نفسه. وللسبب نفسه، يستخدم الصينيون أيضًا الأرقام باللغات الطبيعية ، على سبيل المثال 100 مكتوبة على أنها 壹佰 ، والتي لا يمكن أبدًا تزويرها بـ 壹仟 (1000) أو 伍仟 壹佰 (5100).

الرموز

عند وصف "الأساس" في الترقيم الرياضي ، يتم استخدام الحرف b عمومًا كرمز (اختصارا لكلمة base)، لذلك ، بالنسبة للنظام الثنائي ، يكون الأساس b=2.  هناك طريقة أخرى شائعة للتعبير عن الأساس وذلك بكتابته على هيئة علامة عشرية (سفلية) بعد الرقم الذي يتم تمثيله (يتم استخدام هذا الترميز في هذه المقالة). فمثلا 1111011 ₂ يعني أن الرقم 1111011 هو رقم أساس 2 ، وهو يساوي 123 ₁₀ (وفق النظام العشري ) ، وكذلك يساوي 173 ₈ ( بنظام العد الثماني ). 
يمكن أيضًا الإشارة إلى الأساس b بعبارة "أساس-b ".  إذن الأرقام الثنائية هي "أساس-2"؛ الأرقام الثمانية هي "أساس-8"؛ الأرقام العشرية هي "أساس-10" وهكذا. 
عند استخدام أساس b نستخدم مجموعة من الأرقام {0، 1، ...، b-2، b-1} وتسمى مجموعة الأرقام القياسية. وبالتالي تحتوي الأرقام الثنائية على أرقام {0 ، 1} ؛ في حين تحتوي الأرقام العشرية على أرقام {0, 1, 2, ..., 8, 9}; وهكذا.  ولذلك فالأرقام التالية بها أخطاء:  لأنها تستخدم أرقاما أكبر من الأساس 52 ₂ ، 2 ₂ ، 1A ₉ .

الأعداد والأرقام

الرقم (digit) هو ما يستخدم كموضع في تدوين قيمة المكان ، والعدد (numeral) هو واحد أو أكثر من الأرقام.  الأرقام الأكثر شيوعًا اليوم هي الأرقام العشرية "0" و "1" و "2" و "3" و "4" و "5" و "6" و "7" و "8" و "9".  
العدد غير الصفري الذي به أكثر من رقم واحد يُمثل عددا مختلفا وفق نظم العد ذات الأساسات المختلفة، ولكن بصفة عامة، فإن الأرقام تعني نفس الشيء.  فالعدد 23 ₈ في النظام الثماني يحتوي على رقمين ، "2" و "3" ، ويساوي 19 في النظام العشري، بينما العدد 23 ₅ يساوي 13 في النظام العشري. وهنا يتضح أهمية كتابة أساس النظام. فلو تخيلنا العدد "23" غير معروف الأساس، فمن المحتمل أن يكون "23" للأساس-4 وبالتالي يساوي 11، أو للأساس-60 وبالتالي يساوي 123. أي أن الرقم "23" يمكن قراءته على أنه "2" من الأساس و "3".

الإشارة

إذا كان الأساس وكافة الأرقام أرقاما "غير سالبة" فلا يمكن التعبير عن الأعداد السالبة. وللتغلب على هذا ، نستخدم علامة ناقص ، هنا (-).