جبر

علم الجبر كأحد فروع علم الرياضيات

إن أهم ما يُعرف به علم الجبر هو تشابه عملياته الحسابية بالعمليات الحسابية البسيطة، إلا أن الفرق أنه يتضمن متغيرات رياضية غير معروفة القيمة.  هذه المتغيرات تمثّل أرقامًا لم تُعرف بعد (مجهولة) أو أرقامًا غير محددة (متغير أو مُعامل)، مما يسمح للفرد أن يُثبت صحة هذه الخصائص بغض النظر عن الأرقام محل النظر. مثلًا في هذه المعادلة التربيعية التالية:
أ س ² + ب س + ج = 0
أ وَ ب وَ ج مجاهيل وَ س مُعامل. وحل هذه المعادلة يتطلب حساب المجاهيل والتعبير عن قيمة المُعامل حساب علاقته بالمجاهيل، وبهذا  يتم إعطاء حل للمعادلة المعينة بعد القيام بعمليةٍ حسابية بسيطة.
كما تطور علم الجبر فقد توسع إلى اشياء أخرى غير عددية ، مثل المتجهات والمصفوفات أو متعددة الحدود. ثم تم تلخيص الخصائص الهيكلية لهذه الاشياء غير العددية لتحديد الهياكل الجبرية مثل المجموعات، ودوائر والحقول والجبر.
قبل القرن السادس عشر، تم تقسيم الرياضيات إلى قسمين فرعيين فقط هما الحساب والهندسة. على الرغم من بعض الأساليب التي وضعت في وقت قبل ذلك بكثير، ويمكن النظر لها في الوقت الحاضر كالجبر فان ظهور الجبر بعد ذلك بوقت قصير، وحساب التفاضل والتكامل كحقول فرعية صغيرة للرياضيات يعود فقط للقرن 16 أو 17. أو من النصف الثاني من القرن 19 على الأقل، ظهرت العديد من المجالات الجديدة للرياضيات، وبعضها شملت علم الجبر، إما كليا أو جزئيا.
ويتبع ذلك أن الجبر بدلا من أن يكون فرعا من فروع الرياضيات، أصبح هذه الأيام مجموعة من فروع طرق المشاركة الشائعة. وهذا يُرى بشكل واضح في تصنيف مواضيع الرياضيات  حيث ولا واحد من مناطق المستويات الأولى (مدخلات الأعداد الثنائية) تسمى الجبر. في الحقيقة الجبر على وجه التقريب, هو اتحاد أقسام  08-أنظمة الجبر العامة  و12- نظرية الحقول ومتعددات الحدود و 13- الجبر التبادلي و 15-الجبر الخطي والمتعدد الخطي ؛نظرية المصفوفات و 16-الحلقات الترابطية والجبر و 17-الحلقات الغير ترابطية والجبر و18- نظرية التصنيف الجبر التماثلي و19-نظرية كاي  و20- نظرية المجموعة.  بعض مناطق المستوى الأول ربما تعتبر أنها تنتمي إلى الجبر بشكل جزئي مثل 11-نظرية الأعداد (بشكل عام لنظرية العدد الجبري) و 14-الهندسة الجبرية.
الجبر الابتدائي هو جزء من الجبر الذي عادة يدرس في الصفوف الأولية للرياضيات.الجبر المجرد هو اسم يعطى عادة لدراسة مؤسسي الجبر أنفسهم.

تاريخ

بداية الجبر كمجال من الرياضيات قد تكون بدايتها في نهاية القرن السادس عشر، مع عمل فرانسوا فييت .  ومع ذلك يمكن اعتبار بعض الأعمال في وقت سابق بانها الجبر وتعتبر عهد ما قبل التاريخ من علم الجبر.

عصور ما قبل التاريخ من الجبر

يمكن تتبع جذور علم الجبر إلى قدماء البابليين ، الذين طوروا نظاماً حسابياً متقدماً كان قادراً على القيام بعمليات حسابية بطريقة خوارزمية. فطور البابليون الصيغ لحساب الحلول لمسائل تُحل عادةً اليوم باستخدام المعادلات الخطية والمعادلات التربيعية والمعادلات الخطية غير المحددة. وعلى النقيض من ذلك، فإن معظم المصريين في ذلك العصر، وكذلك بالرياضيات اليونانية والصينية في الألفية الأولى قبل الميلاد، تحل عادةً مثل هذه المعادلات بالطرق الهندسية، مثل تلك التي وصفت في بردية ريند الرياضية وأصول أقليدس والفصول التسعة في الفن الرياضي. وفر العمل الهندسي لليونانيين، متميزاً بالعناصر، إطاراً لتعميم الصيغ ما وراء حل مسائل معينة إلى أنظمة أكثر عمومية من صياغة وحل المعادلات، وعلى الرغم من أن هذا لم يلاحظ حتى تطورت الرياضيات في العصور الوسطى من الإسلام.
خضعت الرياضيات الإغريقية لتغير جذري في عصر أفلاطون. أنشأ  الإغريق الجبر الهندسي حيث مثلت المصطلحات من جوانب الأشكال الهندسية ، وكما جرت العادة بالخطوط التي كانت تحتوي على حروف مرتبطة بها.  ديوفانتوس الإسكندري(القرن الثالث ميلادي)، يسمى أحيانا "والد الجبر" ، كان عالم رياضيات إغريقيا إسكندريا ومؤلف سلسلة من الكتب تسمى ارثميتكا .تبحث كتبه في حل المعادلات الجبرية.
تأتي كلمة الجبر من اللغة العربية (الجبر بمعنى الترميم أو الإستعادة) وكما تأتي الكثير من أساليبها من الرياضيات العربية/ الإسلامية. أثرت التقاليد التي نوقشت في أعلاه بشكل مباشر على محمد بن موسى الخوارزمي (عام 780-850). لاحقا، ألف كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة، الذي أنشأ علم الجبر كتخصص رياضيات مستقل عن الهندسة وعلم الحساب.
أكمل عالما الرياضيات الهيلينستيان هيرو السكندري وديوفانتس مثلهم مثل العلماء الهنود في الرياضيات كبراهماغوبتا تعاليم المصريين والبابليين على الرغم من اعتبار كتابي أرثمتكا لديفانتوس والسيدهانتالبراهماغوبتا بمستوى أعلى . فعلى سبيل المثال, تم وصف حل أول مسألة حسابية كاملة (مشتملة الصفر والقيمة السالبة) إلى المعادلات التربيعية من قبل براهماغوبتا في كتابه سيندهانتا. لاحقاً, طور الرياضيون العرب والمسلمون طرق جبر تصل مستويات عليا من الدقة والإتقان. وعلى الرغم من أن ديفانتوس والبابليون استخدموا معظم الطرق الخاصة في حل المعادلات، كان لمساهمة الخوارزمي  السبق الأساسي بذلك. فلقد حل الخوارزمي المعادلات الخطية والتربيعية بدون الحاجة لرمزية الجبر والأعداد السالبة أوالصفر, ومن ثم قام بتمييز العديد من المعادلات التربيعية.
عُرف عالم الرياضيات الاغريقي ديوفانتوس تاريخياً بلقب " والد الجبر"، ولكن برزت في الآونة الأخيرة نقاشات كثيرة حول ما إذا كان الخوارزمي (مؤسس علم الجبر) يستحق هذا اللقب بدلا عن ديوفانتوس. حيث يشير مؤيدي ديوفانتوس إلى حقيقة أن علم الجبر المبتكر من قبل الخوارزمي أكثر بدائية مقارنة بالموجود في "أريثميتيكا"، وأن "أريثميتيكا" يتبع منهجية الاختصار بينما الجبر بلاغي تماماً. في حين يشير مؤيدي الخوارزمي إلى حقيقة أنه أدخل منهجية "التبسيط" و"الموازنة" (نقل التعابير السالبة إلى الجانب الآخر من المعادلة، أو بعبارة أخرى، حذف التعابير المتشابهة من كلا أطراف المعادلة) وهي المنهجية المعبر عنها في الأصل بكلمة "الجبر"،  كما أنه أعطى شرحاً مفصلاً عن حل المعادلات التربيعية،  مدعماً بالبراهين الهندسية، بينما عامل علم الجبر كعلم مستقل بذاته. كما أن "جبر" الخوارزمي ليس معني "بسلسلة من المسائل الرياضية التي يجب حلها، بل بعرضٍ يبدأ بتعابير بدائية، تعطي تركيباتهم جميع النماذج المحتملة للمعادلات، التي، من الان فصاعداً، ستشكل بوضوح موضوع الدراسة الحقيقي". درس الخوارزمي أيضاً المعادلة لذاتها و"بشكل عام، لم يكتف ببساطة وجود المعادلة في سياق حل المسألة، بل باستخدامها خصيصاً لتعريف فئة من المسائل اللانهائية.
نسب الفضل لعالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام في تحديد أسس الهندسة الجبرية وإيجاد الحل الهندسي العام للمعادلة التكعيبية. كما أوجد عالم رياضيات فارسي آخر يدعى شرف الدين الطوسي مجموعة من الحلول الجبرية والعددية لحالات مختلفة من المعادلات التكعيبية، بالإضافة إلى أنه طور مفهوم الدوال. علماء الرياضايات الهنديان مهافيرا و بهاسكارا الثاني، والفارسي الكرخي
، والصيني تشو شي جيه، قاموا بإيجاد حلول لحالات مختلفة من معادلات التكعيب ومعادلات الدرجة الرابعة والخامسة، والمعادلات كثيرة الحدود باستخدام الطرق العددية. في القرن الثالث عشر، اعتبر حل المعادلة التكعيبية من قبل ليوناردو فيبوناتشي بداية النهضة في علم الجبر في أوروبا، في حين أخذ العالم الإسلامي في التراجع لصالح العالم الاوربي الذي نهض في مجال تطوير علم الجبر.

تاريخ الجبر

يمثل عمل فرانسوا فييت  في نهايات القرن السادس عشر بداية القواعد الكلاسيكية لعلم الجبر. في عام 1637م نشر رينيه ديكارت كتاب علم الهندسة مخترعا بذلك الهندسة التحليلية وقدم المناهج الجبرية الحديثة. كان الحل الجبري العام لمعادلات التكعيب ومعادلات الدرجة الرابعة الذي تم وضعها في منتصف القرن السادس عشر، حدث رئيسي آخر في تطور علم الجبر. وُضِعت فكرة المحددات من قبل عالم الرياضيات الياباني كوا سيكي  في القرن السابع عشر الميلادي, تبع ذلك بشكل مستقل عالم الرياضيات غوتفريد لايبنتس بعد عشر سنوات, وذلك بهدف حل أنظمة المعادلات الخطية المتزامنة باستخدام المصفوفات. عمل غابرييل كرامرخلال القرن الثامن عشر على المصفوفات و المحددات. قام العالم جوزيف لوي لاغرانج  بدراسة التباديل في منشورته المكونة من 1770 صفحة باسم "تأملات حول الحلول الجبرية للمعادلات" المكرسة لحلول المعادلات الجبرية, والتي قدم من خلالها معادلات لاجرانج . كان باولو روفيني أول شخص يضع نظرية زمر التباديل، و مثل اسلافه كانت نظريته أيضا في سياق حل المعادلات الجبرية.
تم تطوير علم الجبر المجرد  في القرن التاسع عشر الميلادي, مستمداً من الرغبة في حل المعادلات, مركزاً في البداية على مايسمى حالياً بنظرية غالوا  وعلى المسائل الإنشائية. [19]للجبر الحديث جذور عميقة من العمل والدراسة تصل للقرن التاسع عشر الميلادي, مثل أعمال ريتشارد ديدكايند Richard Dedekind و ليوبلد كرونكر. كما يرتبط بفروع الرياضيات الأخرى مثل نظرية الأعداد الجبرية والهندسة الجبرية. كان جورج بيكوك  هو من أسس التفكير البديهي في علم الحساب والجبر. اكتشف أوغست دو مورغان  جبر العلاقات  في كتابه منهج النظام المقترح للمنطق, ووضع جوزيه غيبس  جبر المتجهات في وسط ثلاثي الأبعاد, كما طور آرثر كيلي جبر المصفوفات (وهو جبر غير تبادلي).

كثيرات الحدود

كثيرات الحدود هي تركيب جبري (عبارة رياضية) يتكون من مجموع عدد نهائي من الحدود الجبرية (الأطراف) الغير صفرية، كل من هذه الحدود يتألف من حاصل  ضرب عدد ثابت و عدد نهائي من المتغيرات المرفوعة لأس عدد صحيح. على سبيل المثال س² + 2س - 3 هي متعدد- الحدود في المتغير الوحيد س. يمكن اعادة كتابة كثيرات الحدود باستخدام الخواص التبادلية و الترابطية والتوزيعية لعمليتي الجمع والضرب. على سبيل المثال، (س -1 ) (س + 3) تعبر عن كثيرة حدود, ولكن إذا تحدثنا بشكل دقيق فهي ليست كثيرة الحدود. دالة كثيرات الحدود هي دالة يتم تعريفها بواسطة كثيرة الحدود, أو على نحو مكافئ, من خلال التركيب الجبري لكثيرة الحدود. المثالان السابقان يعبران عن نفس دالة كثيرة الحدود.
هنالك اثنان من المشاكل المهمة و المتعلقة بالجبر, وهي: 1) تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل اولية، أي التعبير عن كثيرة حدود معينة كناتج ضرب كثيرات حدود أخرى لا يمكن تحليلها إلى عوامل أولية أبسط, 2) حساب القاسم المشترك الأكبر لكثيرة الحدود. المثال المذكور أعلاه لكثيرة الحدود يمكن تحليلها إلى عوامل أولية كالتالي: (س - 1) (س +  3). فئة من المشاكل ذات الصلة هي العثور على عبارات جبرية لجذور كثيرات الحدود في متغير واحد.

تعليم الجبر

اقترح تدريس الجبر الابتدائي للطلاب ابتداء من عمر الحادية عشر، على الرغم من أنه في السنوات الأخيرة من الشائع أن تبدأ الدروس العامة للجبر في الولايات المتحدة في مستوى الصف الثامن (≈ 13 عاما ±).
منذ عام 1997 بدأت جامعة فيرجينيا للتقنية وبعض الجامعات الأخرى في استخدام نموذج مخصص في تدريس الجبر والذي يجمع بين النتائج وردود الفعل الفورية من برامج الحاسوب المتخصصة مع تعليم (واحد لواحد) ومجموعات دراسية مصغرة، الأمر الذي خفض التكاليف وزاد معدل إنجازات الطلاب.

الجبر المجرد

الجبر المجرد يستمد المبادئ المشابهة في الجبر الابتدائي والجبر الحسابي للارقام لمفاهيم أكثر عموماً. هنا قائمة من المفاهيم الاساسية المدرجة في الجبر المجرد.
المجموعات: بدلاً من مجرد التعامل مع انواع مختلفة من الأرقام، الجبر المجرد يتعامل مع مفاهيم أكثر عموميةً من المجموعات: مجموعة من كل المكونات (تسمى العناصر) المحددة بخاصية معينة للمجموعة. كافة المجموعات من الانواع المتشابهة من ارقام هي مجموعة. أمثلة أخرى على مجموعات كمجموعة المصفوفات المعكوسة (2*2)، كافة المجموعات متعددة الحدود من الدرجة الثانية ( ax²+bx+c), المجموعة المكونة من عوامل ثنائية الأبعاد في المستوى, ومختلف المجموعات المحدودة مثل المجموعات الدورية، وهي من مجموعة الاعداد الصحيحة النمطية ن . نظرية المجموعات هي فرع من المنطق وليست فرعا من الجبر فعليا.
العمليات الثنائية: يستخرج مفهوم الجمع (+) لإعطاء عملية ثنائية، يقال عنها ∗. لا معنى لمفهوم العملية الثنائية دون المجموعة التي يتم بها تعريف العملية للعنصرين أ و ب في المجموعة س. أ ∗ ب تعتبر عنصر آخر في المجموعة: تدعى هذه الحالة الإغلاق. يمكن أن تكون كلا من عملية الجمع (+) والطرح (-) والضرب (×) والقسمة (÷) عمليات ثنائية عندما تعرف في مجموعات مختلفة كما في جمع وضرب المصفوفات ، المتجهات ومتعددة الحدود.
العناصر المحايدة: تستخرج الأرقام صفر وواحد لإعطاء مفهوم العنصر المحايد للعملية. الصفر هو العنصر المحايد لعملية الجمع والواحد هو العنصر المحايد لعملية الضرب. لعملية ثنائية عامة ∗ العنصر المحايد يجب أن يحقق المعادلة التالية: أ ∗ ي = أ . و ي ∗ أ = أ. وهذا ينطبق أيضا على الجمع  كما في المثال التالي: أ + 0 و 0 + أ = أ وفي حالة الضرب أ × 1 = أ، و 1 × أ = أ. ليس لكل المجموعات وتركيبات العملية عنصر محايد: على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية الموجبة (3،2،1، ...)  ليس لها عنصر محايد للجمع.
العناصر العكسية: الأرقام السالبة تنشأ التزاماً لمفهوم العناصر العكسية. ففي حالة الجمع، يكون معكوس العدد (أ)، (-أ). أما في حالة الضرب فيُكتب المعكوس (أ⁻¹). العنصر المعكوس على الناحيتين العامة أ⁻¹ يحقق الخاصية التالية:  أ×أ⁻¹ = 1  و أ⁻¹×أ = 1.
العملية التجميعية: يحتوي جمع الأعداد الصحيحة على خاصية تسمى الخاصية التجميعية. بمعنى تجميع الأرقام داخل اقواس لتجمع لا  تؤثر على حاصل الجمع. على سبيل المثال: (2+3)+4 = 2+(3+4) . بشكل عام يصبح القانون (أ × ب)×ج = أ×(ب×ج). يشترك في هذه الخاصية معظم العمليات الثنائية ، ماعدا الطرح اوالقسمة  أو ضرب الأوكتونيون.
العملية التبديلية: كلا من جمع وضرب الأعداد الحقيقة يعتبر عملية تبديلية. بمعنى ترتيب الأرقام في العملية لايؤثر على النتيجة. على سبيل المثال، 2+3 = 3+2 . بشكل عام هذا يصبح القانون: أ×ب = ب× أ. هذه الخاصية لاتنطبق لجميع العمليات الثنائية. على سبيل المثال، ضرب المصفوفات و الضرب المركب المتعدد كلهما عمليات غير تبادلية.

الحلقات والحقول

تمتلك المجموعات عملية ثنائية واحدة فقط. لشرح كامل عن سلوك الأنواع المختلفة من الأرقام والهياكل الرياضية بعاملين التي تحتاج إلى دراسة. وتعد اهمها الحلقات والحقول الرياضية.
تملكالحلقة الرياضية عاملين ثنائين (+) و (×)، مع الاخذ بالإعتبار بان × توزيعي أكثر من +. وفقا للعامل الأول (+) يشكل مجموعة تبادلية. و وفقا للعامل الثاني (×) يكون تجميعي  ، ولكنه لا يحتاج إلى عنصر محايد أو معكوس ، لذالك القسمة غير مطلوبة. يكتب العنصر المحايد الجمعي (+)  0 و المعكوس الجمعي من أ يكتب -أ.
التوزيع ( يعمم قانون توزيع الأرقام, و يحدد الترتيب الذي ينبغي ان يُطبق على العوامل (تسمى الأولية). للأعداد الصحيحة (أ + ب) × جـ =أ × جـ + ب × جـ  أيضا جـ × ( أ + ب) = جـ × أ + جـ × ب , و يسمى ذلك بتوزيع عملية الضرب × على الجمع +.
الاعداد الصحيحة عبارة مثال لحلقة . للأعداد الصحيحة خصائص اضافية تجعلها من مجال لا يتجزأ.
الحقل عبارة عن حلقة مع خاصية اضافية حيث جميع العناصر - عدا الصفر - تشكل الزمرة التبادلية -أو الابيلية- تحت ×. يتم كتابة المضاعف (×) كـ 1 و معكوس المضاعف يكتب ⁻¹أ .
الاعداد المنطقية, الاعداد الحقيقية و الاعداد المركبة هي امثلة لحقول.

معادلات كثيرة الحدود ومعادلات جبرية

ولا تزال كثيرات الحدود تلعب دور في الجبر عندما تــُــناقــَـش المساواة  أي المعادلات كثيرة الحدود ، وهي صنف من المعادلات الجبرية . ومعظم المشاكل التي تـُـناقـَـش من المعادلات الجبرية في الحاضر ما بقت تكون بسيطة ؛ بل تـُـناقش بأسلوب الجبر التجريدي ؛ ومن ضمنها معادلات ديوفانطس وغير تلك .