تحليل الأخطاء في التحليل العددي

المقدمة

التّحليل العدديّ هو أحد فروع الرّياضيات الهامّة ، و هو الذي يربط بين الرياضيات التحليلية و الحاسب الآلي ، و يُستخدم عادةً في إيجاد حلول بعض المسائل و المشاكل التي لا يمكن حلّها بالرياضيات التحليلية ؛ حيث تكون النتيجة التي نحصل عليها تقريبية . و بما أنّنا نحصل على نتيجةٍ تقريبيّة أو حلّ تقريبي ، فهذا يعني وجود نسبة خطأ علينا حسابه ، إلا أنّنا لو استطعنا إيجاد الخطأ لاستطعنا إيجاد الحلّ الفعليّ ( الحقيقي ) الأمر الذي يعني أن إيجاد الخطأ غير ممكن ، فنسعى بالتالي إلى إيجاد تقريب للخطأ أو حجم الخطأ ( القيمة التي لا يتجاوزها الخطأ ) . إذًا تتلخّص مهمّة التحليل العددي في إيجاد الحل التقريبي لمسألة ما و تقويم الخط

التقريب (Approximation)

إنّ معظم الأعداد التي نتعامل معها هي أعداد تقريبية ؛ لأنها غالبًا ما تمثّل أطوالًا و قياساتٍ أو قيمًا لمقاديرَ فيزيائيّة بنتيجة القياس ، و هي بحدّ ذاتها تقريبية . كذلك فإن الكثير من الأعداد الحقيقية لا يمكن التعبير عنها بعدد منتهٍ من الأرقام ، فمثلًا العدد يساوي "تقريبًا" 3.14159 ، كذلك هو الحال بالنسبة لـلعدد eو  مثلًا ؛ فإنّنا لا نستطيع كتابتها كأعداد مضبوطة . إننا ـ كما أوردنا في السابق ـ يتحتّم علينا أن نستخدم التقريب لحل المسائل التي لا تحلّ في الرياضيات التّحليلية ، إلا أن هذا التقريب ستنتج عنه أخطاء ، أهمها التالي :

التدوير(Rounding)

هو واحد من أهمّ مصادر الأخطاء و هو استعمال الأعداد المدوّرة بدلًا من المضبوطة . قاعدة التدوير : إذا كان لدينا العدد ، و أردنا الاكتفاء بـ (n-1) عدد على يمين الفاصلة ، أي أن العدد المدوّر يكون كما يلي :
 فإن 
يتم تحديده بالشكل الآتي : إذا كان( أكبر من 5 أو يساوي )، فإن إذا كان (أصغر من 5) ، فإن. على سبيل المثال العددان 0.045651 و 9033 بتقريبهما باستخدام التدوير لثلاث خانات عشرية ينتج العددان 0.0457 و 9033 على التوالي .
أما عن منشأ الخطأ العددي هنا فيكون بسبب الاكتفاء بعدد معين من المنازل العشريّة بعد الفاصلة في الحسابات .

الأخطاء (Error)

تلعب الأخطاء دورًا محوريًا في التحليل العددي وهي تبين مدى دقة وسرعة الطريقة المستخدمة لاحقًا. وفيما يلي أنواع الأخطاء وتأثيرها :

الخطأ المطلق (Absolute Error)

وهو الخطأ المطلق المرتكب في العدد المقرب هو القيمة المطلقة للفرق بينه وبين القيمة الفعليةX  غالبًا مايكون العدد الفعلي x غير معلوم ، عندئذ لا يمكن تعيين الخطأ المطلق ، من أجل ذلك نلجأ إلى إيجاد حد أعلى لهذا الخطأ مثل ويحقق المتباينة : . وهكذا نحصل على :  أي أن العدد الفعلي يقع بين العددين , , حيث القيمة تمثل تقريب العدد x بالزيادة والقيمة تمثل تقريبه بالنقصان .

مثال

لتكن x=3.257 و لتكن القيمة التقريبية لـx هي 3.26 بتعيين الخطأ المطلق :

الخطأ النسبي(Relative)

الخطأ R النسبي المرتكب في عدد ما تقريبي هو نسبة الخطأ المطلق لمرتكب بهذا العدد إلى القيمة المطلقة للعدد الفعلي x≠0) X) أي أن :  وفي حالة عدم معرفة القيمة الفعلية X نلجأ إلى الحد الأعلى لهذا الخطأ أي أن :

      ، 
ومنه :  لذلك يمكن اعتبار:  فيكون :  الحد الأعلى للخطأ النسبي المرتكب في العدد المقرب وبما أن  فيمكن أن يكتب

أكبر خطأ نسبي في الدالة في عدة متغيرات (Max relative error in a function of several variables)

نفرض أن دالة f في متغيرn:
أي أن :  ونفرض أن الأخطاء المفردة في هذه المتغيرات هي على الترتيب :  فيكون الخطأ الكلي في الدالة مع اهمال حدود الرتبة الثانية وما فوقها هو : 
إذا 
وبالتالي يكون أقصى خطأ نسبي هو :

مثال

أكبير خطأ نسبي في كل من الدالتين التاليتيين بدلالة المتغيرات وأخطأها
الحل :
يُلاحظ عمومًا أن الخطأ الفعلي في قيمة يكون أقل بكثير من الحد الأقصى للخطأ ؛ و ذلك لأن الأخطاء من الناحية العلمية تتجه لأن يلغي بعضها بعضًا (حيث بعضها موجب و البعض الآخر سالب) فمثلًا إذا أضيف 200,000 عدد , و قرب كل عدد إلى 4 أرقام عشرية , فإن الحد الأقصى للخطأ يساوي  أو يساوي 1 وهذه قيمة كبيرة , بينما الخطأ الكلي المتوقع يكون عادة في حدود 0,005.