ذرة الهيدروجين

وصف عام لذرة الهيدروجين

تتكون ذرة الهيدروجين من نواة تضم بروتون واحد كتلته: mₚ = 1,672 65.10⁻²⁷ كغ ذو شحنة qₚ=+e و من إلكترون كتلته: mₑ = 9,109 53.10⁻³¹ كغ ذو شحنة qₑ = - e ،مع "e" هي الشحنة الابتدائية e = 1,602 189.10⁻¹⁹ C .البروتون والإلكترون هم فرميونات، اللف المغزلي لكل منهما هو s=1/2. و هما يعتبران جسم نقطي.

تحديد الحالات الخاصة الإلكترونية

يمكن كتابة الدالة الموجية للحالات الخاصة الالكترونية على الشكل العام (في تمثيل الموضع) : ، حيث  الدالة الموجية "المكانية" و  الدالة الموجية للف المغزلي (σ هي "متغير اللف" تشير إلى قيمة اللف على محور معين). الهاميلتوني (3) لا يؤثر على متغير لف الإلكترون، إذن الحالات الخاصة الإلكترونية يتم تحديدها فقط بمعطيات ، الأخد في عين الإعتبار اللف "s" للإلكترون يأتي فقط من "الإنشاء المزدوج" (dégénérescence double) لكل حالة خاصة إلكترونية لأن s=1/2 ، إذن ممكن تواجد قيمتين لإسقاط لف الإلكترون .

معادلة شرودنغر - الشق الخطي - الشق الزاوي

الهاميلتوني (3) لا يعتمد على الزمن، الدراسة الكمومية لذرة الهيدروجين تؤدي إلى حل معادلة شرودنجر الثابتة التالية للدالة الموجية  في ثمثيل الموضع:
 ليكن  (4)
في نظرية حركة داخل حقل مركزي متناظر، نستخدم الإحداثيات القطبية (r,θ,φ) كما يتطلبه ثماثل الهاميلتوني (3)، الدالة الموجية المقابلة للحالات الخاصة ل  و المؤثرات المرتبطة ب زخم الحركة الزاوي  et ، المعادلة تتفكك إلى شق "خطي" و شق "زاوي"، الشق الزاوي يقابل التوافق الكروي ("k" هو "العدد الكمومي" المرتبط بالطاقة، عدد حقيقي و متواصل)
، (5)
الدالة  هي حل لمعادلة شرودنغر الخطية (الشق الخطي لمعادلة شرودنغر) الذي يمكن الحصول عليه من المعادلة ثلاثية الأبعاد (4) عن طريق استبدال في الصيغة (5) للدالة الموجية:
، (6) 
من وجهة نظر فيزيائية، الحلول المقبولة للمعادلة (6) هي تلك التي لها سلوك عادي في المجال  و موحدة حسب الشرط التالي:
، (7)
ملاحظة: بالنسبة للحالات المتواصلة، شرط التوحيد في المعادلة (7)، يجب أن تأخد في "معنى التوزيعات": ، "k" و "k’" أعداد حقيقية.

حل المعادلة الخطية

الحل الرياضي للمعادلة يتطلب اتباع عدة خطوات. أولا، من المناسب إرجاع المعادلة (6) إلى معادلة أحادية الأبعاد ، والبحث عن حلول للمعادلة التي يتم الحصول عليها حيث تكون في المركز عادية، وتميل إلى 0 في اللانهاية (وإلا فإنه لن تكون مربع قابل للجمع (Carré sommable))، إذن تغيير الدالة ضرورية لاستيفاء الحل.

المرور عبر معادلة بدون وحدات

إنه من الممكن إعادة كتابة المعادلة (6) على الشكل:
، (8)
تحليل الوحدات (الأبعاد) يُظهر بسهولة أن الكمية  لها وحدة (بُعد) "عكس الطول". هذا يُعطي النسق "الطبيعي" للمسألة وأنه من الممكن أن نضع  (9) ، ، و بالتالي من الممكن طبيعيا إدخال متغير بدون وحدة (بُعد) ، المعادلة (8) يمكن كتابتها كمعادلة ذات بعد واحد:
، (10)
و بدون فقدان الشكل العام، من الممكن أن نضع  (11)،  عدد حقيقي، الإشارة (-) في حالة إذا كانت "E<0". في هذا الثمثيل، المعادلة التي نريد حلها هي على الشكل:
 (12)

السلوك عند المركز لحلول المعادلة الخطية

بصفة عامة، بالنسبة لحركة داخل حقل مركزي مثماثل، الحلول العادية للمعادلة (6) تكون على الشكل التالي  في جوار المركز. (حركة داخل حقل مركزي مثماثل)، و بالتالي  (15).

تحقق

سنقوم هنا بالتحقق من أن هذا صحيح عن طريق إدراج بشكل مباشر هذا الحل في معادلة شرودنجر.
أولا، في هذه المعادلة، متغير الوقت يُفصل على الفور:
في هذه الحالة الثابتة ، هذا يؤدي إلى العثور على القيم الخاصة للمؤثر الخطي H في الفضاء L² للدوال ذات الثلاثة متغيرات (ƒ(x, y, z K ذات قيم عقدية، و مربع تجميعي .(Carré sommable)
.
لكن، في هذه الحالة، هذه الدالة المرتيطة فقط ب "r"، لذيها لابلاسي ذو قيمة معتادة .
وبالإضافة إلى ذلك، فإننا سنستخدم الوحدات الذرية بالطبع، التي تم إدخالها هنا لهذا الغرض. هذا يرجع إلى  في الحسابات، ليف لانداو يسمي هذا نظام الوحدات الكولومية:
ƒ = ƒ, ƒ' = - ƒ،
إذن يجب التحقق من أن:
-1/2·(ƒ + 2/r·(-ƒ)) + 1/r·ƒ = -1/2·ƒ
الشيئ الصحيح.

كثافة احتمال الوجود

نستنتج فورا الاحتمال dp لنجد الإلكترون على مسافة من النواة محصورة بين "r" و "r+dr" يكتب على الشكل التالي : dp = P(r)·dr :
.
وبالنظر إلى الرسم البياني لكثافة الاحتمال، المسافة إلى النواة تُعطَى بمضاعفات نصف قطر بور ، ونرى على الفور أن الحد الأقصى للاحتمال عند أول نصف قطر بور.

المدار الذري 1s

في الكيمياء يسمى هذا الحل المدار الذري 1s .
يمكننا التحقق من نظرية فيريال:
معدل (القيمة المتوسطة) 1/r يساوي 1/a₀
و نظرية بول إهرنفست:
معدل (القيمة المتوسطة) 1/r² يساوي 2/a₀
معدل (القيمة المتوسطة) "r" ليس "a"، و لكن (2/3).a، (بشكل عام، معكوس المعدل ليس هو معدل المعكوس).
معدل (القيمة المتوسطة) "r²" يساوي 3a². إذن تباين "r" يساوي (4/9-3)*a² يساوي 0.75a²، أي انحراف معياري يساوي 0.866a²، و هو كبير.
الإلكترون يتمركز في فضاء، الذي رغم كل شيء يبقى محدود في: 3a، احتمال وجود الإلكترون صغير جدا (نتكلم عن مدار كروي)، عادة في الكيمياء الكمية، ينبغي أن نرسم خط وسيط للمساحة التي تشمل ما يقرب من 98٪ من احتمال العثور على الإلكترون فيها.
هنا، r = 3/2 + 1,732 ~ 3,2·a.و هذا جد عادي.

فضاء كمية الحركة

مؤثر زخم الحركة لذيه من الواضح معدل (قيمة متوسطة) منعدم (التناظر الكروي)، و لكن المؤثر P² يساوي 2mc ، الذي قيمته المتوسطة هي حسب نظرية فيريال:
<P²> = -2m·Ec, ليكن بالوحدات الذرية +2·1/2 = 1.
إذن التباين "P" يساوي .

استنتاج

يجب علينا أن نضع في اعتبارنا دائما هذين الجانبين، الزوج: []، لفهم الجانب الغير الثابث، لكن يُعتبر ثابت بالنسبة لعملية البحث عن الإلكترون.
كما تشير العديد من الكتب إلى القاعدة العامة: إذا كان الإلكترون موجودا في منطقة بنصف القطر "r"="a" ، ستكون له طاقة حركية . في هذه الحالة، هذا يعطي إجمالي الطاقة  حيث الحد الأدنى هو  و "a" نصف قطر بور:
.
هذه وسيلة بسيطة وأنيقة لإدخال القيم الأسية للذرة،

الرنين الصوتي

في هذه الفقرة سوف نحصل على بنية ذرة الهيدروجين و ذلك بِعَد أنماط اهتزازات النواة. نمط الاهتزاز الرئيسي و الذي له أكبر تردد، دائما كروي. عندما تكون سرعة الموجات ثابتة، فهو يتوافق مع طول موجة يساوي ضعف القطر، كما في حبل اهتزاز مشدود، حيث الاهتزاز الرئيسي له طول موجة يساوي ضعف طول الحبل عندما يكون هذا الأخير مرتخي أو حر من إحدى الجهتين.
في مكعب، الرنين يظهر عندما يكون نصف طول الموجة كسر (جزء) بعدد صحيح طبيعي لطول جانب المكعب مع انتفاخ داخل المكعب. التوافقي الأول للمكعب لديه عُقَد في المركز، تماما مثل حبل يهتز، عدده الكمومي الرئيسي هو n=2، هناك ثلاث طرق لوضعه وفقا للتوجيهات الثلاثة في الفضاء، مما يعطي ثلاثة أنماط اهتزاز بنفس الطاقة، قد تكون هناك أيضا عقدة في وسط المكعب، هناك إذن 4 احتمالات.

رنين الذرة

و بنفس الطريقة بالنسبة لكرة لذيها عقدة في المركز، أي عدد كمومي ثانوي l=1 ، كما بالنسبة لمكعب، هناك ثلاث طرق لوضعه، وفقا للتوجيهات الثلاثة في الفضاء، مما يعطي ثلاثة أنماط اهتزاز بفس الطاقة، قد يكون هناك أيضا عقدة في وسط المكعب، هناك إذن 4 احتمالات.
عند زيادة تردد الاهتزاز، أي طاقة الاهتزاز، عدد العقد يزداد بواحدة في كل مرة. هذا يعطي توافقيات متعاقبة هي عموما ليست توافقية بالمعنى الموسيقي. التوافقيات، بالمعنى الرياضي، الطبل على سبيل المثال، ليست توافقيات بالمعنى الموسيقي لأنها ليست مضاعفات للعدد الصحيح الأساسي. و هذا يحصل بنفس الطريقة بالنسبة للذرة.
في ذرة الهيدروجين حيث سرعة موجات دي بروي مرتبطة بالجهد الكهربي للنواة، النمط الأساسي يتوافق مع العدد الكمومي الأساسي n=1. نظرية شرودنجر تُظهر عددين كمومين إضافيين، العدد الكمومي الثانوي l و العدد الكمومي المغناطيسي m،هاذان الأخيران منعدمان بالنسبة للنمط الأساسي n=1.
لا نستخدم الإحداثيات الديكارتية بالنسبة للكرة، إنما الزاويتن  و  (انظر نظام إحداثي قطبي لمزيد من التفاصيل). يمكننا الاستغناء عن المتغير "r" حسب بور لأن نظرية شرودنجر تتنبأ بنفس مستويات الطاقة. المحور الرئيسي عمودي، ولذيه . بالنسبة للتوافقي الأول، n=2، هناك ثلاثة توجيهات ممكنة للعقدة، عقدة وفقا لخط الاستواء، والآخرتان وفقا لخطوط الطول. يمكن أن نأخد خطوط طول عمودية، لكنه الشيء نفسه إذا أخذنا واحد وجعلناه يدور في اتجاه ما، الشيء الذي يتوافق مع العدد الكمومي المغناطيسي m = ± 1. نغير إذن ما بين m=+1 و m=-1
وباختصار، فإن العدد الكمومي الرئيسي n يعطي عدد العقد. العدد الكمومي الثانوي l <n يعطي عدد التشكيلات الممكنة للعقد و العدد m يَعُدُهم من (l - 1)- إلى l - 1.
يتم تمثيل المدارات الذرية بطريقة مبسطة مع عقد التوافقيات الكروية دون البطون، التمثيل قطبي، مثل الأرض، في الإحداثيات الكروية.
عدد الحالات الكمومية هو ضعف عدد أنماط الاهتزاز وفقا لمبدأ استبعاد باولي.

مدار ذري كروي واحد (1s)

هذه هي الحالة الأساسية، ذات تناظر كروي 1s، عقدة واحدة لاهتزاز كروي، و التي يمكن وضعها إما على الهامش، في اللانهاية، أو فوق النواة، الأعداد الكمومية التي توافق هي:
 
هناك فقط نمط اهتزاز واحد لأن m=+0 أو m=-0 . حسب مبدأ استبعاد باولي، الطبقة K لذيها مدار ذري واحد فقط و لا يمكنه إحتواء سوى الإلكترونات على الأكثر. بإلكترون واحد نحصل على الهيدروجين، بإلكترونين نحصل على الهيليوم.

مذار ذري كروي واحد (2s)

يتضمن مذار ذري كروي واحد 2s، عقدة اهتزاز واحدة و حالتين كموميتين.

ثلاثة مدارات (2p)

مدار ذري واحد لتناظر الفترة الدورانية و مدارين مع خط طول، خط الطول يمكن أن يدور في اتجاه ما، و لذينا قيمتين للعدد المغناطيسي m.
 
 
إذا جمعنا مدارات الطبقة K و الطبقة L سنحصل على 5 مدارات، و حسب مبدأ استبعاد باولي، 10 إلكترونات و عدد ذري N=10 الشيء الذي يتوافق مع عنصر نيون. هذا لا يساعد فقط على فهم ذرة الهيدروجين ولكن أيضا إلى إنشاء الجدول الدوري للعناصر الكيميائية.

خمسة مدارات (3d)

المدارات ذات m ≠ 0 مزدوجة
 (  تماثل الفترة المدارية)
 (نفل ذو أربع فصوص  و )
 (نفل ذو أربع فصوص  و )
يمكن أيضا أن نمثل المدارات d للطبقة M كدموع من الماء:
لمزيد من التفاصيل، انظر توافقي كروي،

ملخص الطبقات K،L،M

تلخص هذه الصورة أنماط الاهتزاز التي نلقاها في الطبقات الثلاث K،L،M. كل طبقة تأخد الطبقة السابقة مع زيادة عقدة أخرى.
المدارات في اليسار، كروية، بسيطة. المدارات p هي ثلاثة أضعاف مع عقدة خطية، المدارات d بخمس اضعاف مع عقدتين خطيتين.
كل طبقة تحتوي على الطبقات السفلى، على سبيل المثال تحت الطبقة 3p توجد الطبقات التحتية 1s، 2s، 2p، 3s .و وفقا لمبدأ استبعاد باولي، الحد الأقصى لعدد الإلكترونات في طبقة تحتية يجب أن يكون زوجي.