دائرة

القطر والشعاع

يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة . يُعتبر القطر حالةً خاصةً من الوتر يقسم فيها الدائرة إلى جزئين متناظرين ومتطابقين. ويُوصف أيضاً على أنه أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين تقعان على محيط الدائرة.

الطُّول

إذا كان طول القوس يساوي ، فإنَّ النسبة بين طول القوس إلى مُحيط الدَّائرة يُساوي نسبة قياس القوس إلى قياس الدَّائرة كاملةً.

الزَّاوية المماسيَّة

تُساوي نصف قياس القوس الذي تحصره.

النقاط الدَّاخليَّة

تُعرَّف نقاط الدائرة الداخلية على أنها مجموعة نقاط  في المستوى  بحيث  .  مجموعة النقاط الداخلية مجموعة محدبة.
البرهان:
لتكن ولتكن  من تعريف مجموعة النقاط الداخلية فإن ، ولأن على القطعة المستقيمة فهذا يعني أن إحدى الزاويتين غير منفرجة. بفرض - دون فقد العموميَّة - أنَّ ، بتطبيق متباينة المثلث في المثلث : إذن .

النقاط المُحيطيَّة

النقطة المحيطية هي أي نقطة تنتمي إلى كما سبق تعريفها.

النقاط الخَارِجيَّة

تُعرَّف نقاط الدائرة الخارجية على أنها مجموعة نقاط  في المستوى  بحيث

نقطتان متقابلتان

وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. وتُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:

القرص

هو منطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً:.

مضلَّع مُحيط بدَائرة

المُضلَّع المُحيط بالدَّائرة هو مضلع تمس جميع أضلاعه دائرة وحيدة. وتُسمَّى هذه الدَّائرة: الدَّائرة الدَّاخليَّة للمضلَّع. الرُّباعي المُحيط بدائرة يختص بأن كل مجموع طولي كل ضلعين متقابلين منه متساوٍ.

التعاريف

يُمكن وصف الدائرة على أنها حالة خاصة من الإهليلج، وتكون حين تنطبق بؤرتا الإهليلج مع مركز الدائرة وعلى الوجه المقابل فهي قطع مخروطي ينتج من تقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محوره. وتوصف أيضاً بأنّها الشكل الذي يحصر أكبر مساحة نسبةً إلى طول مُحيطه. وفقاً لتعريف الدّائرة والذي ينص على أنها مجموعة نقاط على مستوى تبعد البعد ذاته عن نقطة ثابتة ما، فيمكن إعادة صياغة التّعريف إلى أن الدائرة هي منحنىً مغلق أحادي البُعد وبشكل مكافئ هي مُنحنىً ترسمه نّقطةٌ متحرّكة تبعد بُعداً ثابتاً عن نقطة ثابتةٍ أخرى. وكونها كذلك فهي تقسم المستوى إلى جزئين: داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي المتداول، قد يستعمل مصطلح «دائرة» للإشارة إلى محيط الدائرة، كما أنه قد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة؛ ولكن في الاستعمال التّقني الدّقيق، الدائرة هي المحيط فقط ويُسمّى ما داخلها قُرصاً. غالباً ما يُفرّق الرَّياضيُّونَ بين السطح الدائري المغلق أو القرص والسطح الدائري المفتوح (يُسمّى بالدائرة الداخلية) اعتماداً على وقوع خط الدائرة في الاعتبار من عدمه.

التَّسمية

تعودُ تسمية الدائرة في اللغة العربية إلى الفعل «دار» أو الجذر «د و ر»، والدائرة هي ما أحاط بالشّيء وتعني أيضاً «الحلقة». وفي اللغة الإنجليزية يعود أصل تسمية الدائرة (بالإنجليزية: Circle) إلى الكلمة الإغريقية κίρκος/κύκλος (تُنطق: كيركوس/كوكلس) المُحرَّفة من الكلمة الإغريقية الهومرية κρίκος (كريكوس)، والتي تعني «الطّوق» أو«الخاتم».

نظرية المجموعات

إذا وقع مركز الدائرة على المستوى  فإن الدائرة تُعرَّف رياضيَّاً باستخدام نظرية المجموعات:
وتُقرأ: الدائرة التي مركزها  ونصف قطرها  هي مجموعة جميع النقاط التي تنتمي إلى المستوى ، وتبعد المسافة  عن النقطة .

المستوى العقدي

في المستوى العقدي، دائرة مركزها هو c ونصف قطرها هو r تمثل بالمعادلة . وقد تكتب هاته المعادلة بالشكل البارامتري التالي : .

التناظر

الدائرة هي أكثر الأشكال تناظراً، أي خط مستقيم يمر بمركز الدائرة يحقق خاصية التناظر الانعكاسي وخاصية التناظر الدوراني. زمرة تماثل الدائرة هي زمرة متعامدة.

تربيع الدائرة

تربيع دائرة هي معضلة وضعها علماء الهندسة القدامى، تتمثل في إنشاء مربع مساحته تساوي مساحة دائرة معينة باستعمال عدد منته من الخطوات فقط بواسطة الفرجار والمسطرة.
في عام 1882، أُثبت أن هذه المهمة مستحيلة، نتيجة لمبرهنة ليندمان-ويرستراس التي تُبرهن على أن π عدد متسام بدلا من أن يكون مجرد عدد جبري غير جذري (عدد جبري هو عدد يكون جذرا لمتعددة حدود عواملها كلها أعداد كسرية).

التاريخ

عُرفت الدّائرة قبل بداية تسجيل التاريخ. ولوحظت الدّوائر في الطبيعيّة، كالقمر، الشمس والنّباتات ذات الأزهار الدّائرية. كانت الدائرة الأساس للعجلة، والتي ارتبطت لاحقاً بابتكارات أخرى كالتروس التي مكّنت من تطور الآلات الحديثة. في الرياضيات، ساعدت دراسة الدائرة في تطوير علوم الهندسة، الفلك، التفاضل والتكامل. بينما ارتبطت العلوم المُبكّرة كالهندسة، التنجيم، والفلك بالأديان عند معظم علماء القرون الوسطى، والعديد منهم اعتقد بأن الدائرة - جوهريّاً - تحمل شيئاً «مُقدّساً» أو «كاملاً مثاليّاً».

عهد حضارة المصريين القدماء

إضافةً للنّقطة والخط المستقيم، عُرفت الدائرة على أنها من أقدم العناصر الهندسية من قبل الأغريق. ففي الألفية الثانية قبل الميلاد، كانت الهندسة من المجالات التي عمل عليها المصريون القدماء، وقدّروا مساحة الدائرة، عن طريق تربيع ثمانية أتساع طول قطرها، فحسبوا المساحة كالآتي:
نسبة الخطأ التي وُجدت في حساباتهم كانت بزيادة 0.6%. ووُجد هذا التّقدير في بردية ريند الرّياضيّة، والّذي جاء بعد تقريب مساحة الدائرة إلى ثُماني غير منتظم.

عهد الحضارة البابليّة

استعمل البابليّون (1,900 حتى 1,600 ق.م) طريقةً مُغايرة لحساب مساحة الدّائرة. خلافاً لما فعله المصريّون، قدّر البابليَّون مُحيط الدّائرة بثلاثة أضعاف قطر الدّائرة. بينما قُدِّرت مساحة الدّائرة بإنها واحد من اثني عشر من مربع طول المحيط. هي:
بنسبة خطأ نقص حوالي 4.5%. ارتبطت أعمال البابليين بأضلاع الدائرة أيضاً. وكانوا قادرين على إيجاد طول الوتر أو عُمقه. وبهذه الطّريقة هيَّأوا الأساس لهندسة الأوتار التي طوّرها بعدئذ هيبارخوس. ووضع بطليموس كلوديوس أساساتها في كتابه الفلكي "المجسطي".

عهد الإغريق

يُعتبر عهد الإغريق أحد الفترات الزمنية المؤثرة في توثيق الأعمال الهندسية التي من بينها الدائرة. في هذه الفترة انتشرت العديد من المؤلفات الهامة، ونُسبت العديد من النظريات لفلاسفة ورياضيي الإغريق.

طالس

يُعتبر طالس (546-624 ق.م.) أحد الفلاسفة والرياضيين المُؤثرين في فترته. إذ نقل العلوم الهندسية من مصر إلى الإغريق. وتنص النظرية المنسوبة إليه على أن الزوايا المحيطية لنصف الدائرة قائمة.

أول تعريف وُضِعَ للدائرة يرجع إلى الفيلسوف الإغريقي أفلاطون (428/427-348/347 ق.م.) الّذي صاغها في حواره بارمنيدس:
«الدّائرة قد تكون ذلك الشّكل الذي أطرافه تحمل نفس البُعد من المركز.» – أفلاطون، بارمنيدس

إقليدس

لم يُعرف عن الرياضياتي الإغريقي أقليدس الإسكندرية (300 ق.م.) سوى القليل. إلا أن أغلب عمله في مجال الهندسة كان له تأثيراً حتى الوقت الحاضر. إذ لا تزالُ تُنسبُ إليه بعض المفاهيم والأفكار في الرّياضيات. كالفضاء الإقليدي، الهندسة الإقليدية والقياسات الإقليدية. استخلص إقليدس مقترحاتٍ لمسلّمات رياضية، نشرها في كتابه العناصر. كما أنه وثّق أعمال الرياضيين الذين سبقوه في هذا المجال وأدرج البراهين الرياضية لنظرياتهم, يُعرِّف إقليدس الدائرة في كتابه العناصر قائلاً:
«الدّائرة هي شكل مُسطّح يحصره خط واحد، وبحيث جميع الخطوط المستقيمة مرسومة من نقطة مُعيّنة داخلها إلى الخط الحاصر مُتساوية. فإن الخط الحاصر يُسمّى مُحيطاً والنقطة المُعيّنة تُسمّى مركزاً.
» – إقليدس، كتاب العناصر
كان كتاب العناصر لإقليدس أحد أهم أعماله ومن الكتب الرائدة في مجال الهندسة. يتكون الكتاب من 13 فصلاً جمع فيها مقالاتٍ مُلخّصة. نظّم من خلالها وعلوم الحساب والهندسة وأفكارها وقتئذ. في الفصل الثالث من الكتاب جمع إقليدس جميع المفاهيم المُتعلّقة بالدّائرة ونظّمها فيه.

أرخميدس

أثبت أرخميدس في دراساته "كرسيمس" أن مساحة الدائرة مُساوية لنصف المحيط مضروباً في نصف القطر. وبهذا المفهوم فقد طرح مسألة تربيع الدائرة: "كيف تُنشئ المحيط من نصف قطر مُعطىً". وفي ورقته  قياس الدّائرة حصر أرخميدس قيمة  برسم مُضلّعات مُنتظمة تمس الدائرة من الخارج تارةً ومن الدّاخل تارةً أخرى وإيجادها بنسبة المُحيط إلى القطر: . ومن المتباينة يُستخدم التّقدير الشّائع، والّذي لا زال يُستعمل حتى اليوم بأن . ومن العلاقتين يُمكن استنتاج أن مساحة الدائرة إلى مربع قطرها مُساوٍ تقريباً إلى . وكان أقليدس على علم بأن مساحة الدائرة تتناسب مع مربع قطرها. وبذلك قدَّم أرخميدس تقديراً جيّداً لهذا الثّابت النسبي.
في عمل آخر لأرخميدس "على اللوالب" وصف أرخميدس إنشاءً نُسبَ اسمه إليه لاحقاً بـ"لولب أرخميدس". بهذا الإنشاء استطاع أرخميدس تحويل محيط دائرة ما إلى خط مستقيم. وبهذه الطّريقة، فإنه يستطيع تحديد مساحة الدائرة بدقة. رغم استحالة إنشاء اللولب باستعمال المسطرة والفرجار فقط.

أبولونيوس

فصّل أبولونيوس البرغاوي (262-190ق.م) في قطاعه المخروطي كونيكي أن الإهليلج والدّائرة ما هما إلا جزئي قمع مخروطي قائم، والتّي لا زالت حتّى تُتدارس على هذا الأساس في الهندسة الجبرية. عمل على مراجعة أعمال سابقيه في هذا المجال إقليدس وأرسطيوس (حوالي سنة 330 ق.م.) وكثّف الأطروحات والدّراسات حول القطوع المخروطية.
قدَّم أبولونيوس مسألةً عُرِفت لاحقاً بمسألة أبولونيوس طرح من خلالها تساؤلاً حول كيفية إنشاء دائرة تمسّ ثلاث دوائر باستعمال الأدوات الإقليديّة: الفرجار والمسطرة فقط. مقارنةً بالعناصر الإقليديّة، لوحِظت أعمال أبولونيوس أكثر في العالم الإسلامي. في أوروبا الغربيّة، أصبحت كتبه أكثر أهمية خلال القرن السابع عشر الميلادي، عندما لاحظ يوهانز كيبلر أن الإهليلج هو المسار الحقيقي التي تتخذه الكواكب حول الشمس.