موجات متنقلة دوريا

في الرياضيات تعتبر الموجات المتنقلة دوريًا نوع من الدوال الدورية ذات البعد الواحد والتي تتحرك بسرعة ثابتة.  وبناء علي ذلك فهي تعتبر نوع خاص من الذبذبات الزمكانية (وهي دالة دورية في الزمان والمكان).
تلعب الموجات المتحركة الدورية دورًا أساسيًا في الكثير من المعادلات الرياضية, ومنها نظام التذبذب الذاتي ، والأنظمة القابلة للكسر ، وأنظمة التفاعل-الانتشار التلقائي. وتستخدم معادلات من هذه الأنواع على نطاق واسع كنماذج رياضية للبيولوجيا والكيمياء والفيزياء ، والعديد من الأمثلة في الظواهر التي تشبه الموجات المتحركة الدورية تم العثور عليها تجريبيا.
يتم تطوير النظرية الرياضية للموجات المتحركة الدورية بشكل كامل للمعادلات التفاضلية الجزئية ، ولكن هذه الحلول تحدث أيضًا في عدد من الأنواع الأخرى من النظام الرياضي ، بما في ذلك المعادلات التكاملية ، معادلات التكاملية ، شبكات الخريطة المزدوجة والأوتومات الخلوية
وفضلاً عن كونها مهمة في حد ذاتها ، فإن الموجات الدورية تكون كبيرة مثل المكافئ أحادي البعد للموجات الحلزونية وأنماط الأهداف في الفضاء ثنائي الأبعاد ، وموجات التمرير في الفضاء الثلاثي الأبعاد

تاريخ البحث

تم دراسة الموجات المتحركة الدورية لأول مرة في سبعينيات القرن العشرين. كانت ورقة بحثية أولية رئيسية لـ (نانسي كوبل) و (لو هوارد) التي أثبتت عدة نتائج أساسية على الموجات المتحركة الدورية في معادلات التفاعل-الانتشار. تبع ذلك نشاط بحث مهم خلال السبعينيات وأوائل الثمانينيات. ثم كانت هناك فترة من الخمول ، قبل أن يتم تجديد الاهتمام بالموجات المتنقلة الدورية من خلال العمل الرياضي على توليدها ، ومن خلال اكتشافها في علم البيئة ، في مجموعات البيانات الزمكانية على المجموعات الدورية. منذ منتصف العقد الأول من القرن الحالي ، استفاد البحث في موجات السفر الدورية من الطرق الحسابية الجديدة لدراسة استقرارها وثباتها المطلق.

العائلات

يعتمد وجود الموجات المتحركة الدورية عادة على قيم المتغيرات في معادلة رياضية. إذا كان هناك حل موجة متنقلة دورية ، فهناك عادة عائلة من هذه الحلول ، مع سرعات موجة مختلفة. بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية ، تحدث الموجات الدورية عادة لنطاق مستمر من سرعات الموجة.

الاستقرار

السؤال المهم هو ما إذا كانت الموجة المتنقلة الدورية مستقرة أم غير مستقرة كحل من النظام الرياضي الأصلي. بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية ، من المعتاد أن تنقسم العائلة الموجية إلى أجزاء مستقرة وغير مستقرة. بالنسبة إلى الموجات المتحركة الدورية غير المستقرة ، فإن السؤال الفرعي المهم هو ما إذا كانت غير مستقرة بشكل مطلق أو غير مستقر ، وهذا يعني وجود أو عدم وجود أنماط خطية متنامية ثابتة. تم حل هذه المشكلة فقط لبعض المعادلات التفاضلية الجزئية.

الفوضي الزمكانية

من الشائع أنه بالنسبة لبعض قيم المتغيرات ، تكون الموجات الدورية الناتجة عن آلية توليد موجة غير مستقرة. في مثل هذه الحالات يتطور الحل عادة إلى فوضى زمكانية. وبالتالي فإن الحل ينطوي على الانتقال الزمكاني إلى الفوضى عبر الموجة المتنقلة الدورية.

الحساب العددي للموجات المتنقلة دوريًا واستقرارها

بالنسبة لمعظم المعادلات الرياضية ، فإن الحساب التحليلي لحلول الموجات المتنقلة الدورية غير ممكن ، وبالتالي من الضروري إجراء الحسابات العددية. بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية ، تشير إلى x و t (أحادية البعد) الفضاء والمتغيرات الزمنية ، على التوالي. ثم موجات السفر الدورية هي وظائف متغير موجة السفر z = x-c t. إن استبدال نموذج الحل هذا في المعادلات التفاضلية الجزئية يعطي نظامًا من المعادلات التفاضلية العادية المعروفة باسم معادلات الموجة المتنقلة. موجات السفر الدورية تقابل دورات الحد من هذه المعادلات ، وهذا يوفر الأساس للحسابات العددية. النهج الحسابي القياسي هو الاستمرارية العددية لمعادلات الموجات المتنقلة. يقوم المرء أولاً بمواصلة حالة ثابتة لتحديد نقطة تشعب Hopf. هذه هي نقطة البداية لفرع (عائلة) من حلول الموجات المتنقلة الدورية ، والتي يمكن للمرء أن يتبعها عن طريق الاستمرار العددي. في بعض الحالات (غير الاعتيادية) كلتا نقطتي النهاية لفرع (عائلة) من حلول الموجة المتنقلة الدورية هي حلول homoclinic ، وفي هذه الحالة يجب على المرء أن يستخدم نقطة بداية خارجية ، مثل الحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية.
يمكن أيضا حساب استقرار موجة السفر الدورية عدديا ، عن طريق حساب الطيف. ويصبح هذا أسهل من خلال حقيقة أن طيف حلول موجة السفر الدورية للمعادلات التفاضلية الجزئية يتكون بالكامل من الطيف الأساسي. وتشمل الطرق العددية الممكنة طريقة هيل والاستمرار العددي للطيف. وتتمثل إحدى مزايا الأسلوب الأخير في إمكانية تمديده لحساب الحدود في حيز المعلمات بين موجات مستقرة وغير مستقرة
البرنامج: تم تصميم حزمة البرمجيات المجانية والمفتوحة المصدر Wavetrain http://www.ma.hw.ac.uk/wavetrain للدراسة العددية لموجات السفر الدورية. وباستخدام الاستمرارية العددية ، تستطيع Wavetrain حساب شكل وثبات حلول الموجات المتنقلة الدورية للمعادلات التفاضلية الجزئية ، ومناطق مساحة المعلمة التي توجد بها الموجات والتي تكون فيها مستقرة.