حركة توافقية بسيطة

مقدمة

من أفضل الأمثلة للحركة التوافقية البسيطة هو الكتلة المثبتة في زنبرك.
في حالة عدم تمدد الزنبرك لا تؤثر أي قوة على الكتلة المثبتة، أي يكون النظام متزن ومستقر. وعند ابتعاد الكتلة عند موضع الاستقرار أو الأتزان سيقوم الزنبرك ببذل قوة لإعادتهامرة أخرى إلى موضعها الأصلي، وتعطى هذه القوة حسب قانون هوك بالعلاقة :  حيث F هي القوة التي يولدها الزنبرك وx الأزاحة وk ثابت الزنبرك.
عامة أي نظام يتحرك بحركة توافقية بسيطة يحتوي على سمتان رئيسيتان.أولا عند التحرك بعيدا عن مركز الأتزان يتم بذل قوة لإعادة النظام مرة أخرى إلى وضع الأتزان، القوة المبذولة تتناسب طرديا مع الأزاحة التي يقوم بها النظام، والمثال الذي تناولناه (الكتلة المثبتة بالزنبرك)يحقق السمتان.
بالعودة مرة أخرى للمثال، عند تحرك الكتلة بعيدا عن موضع الأتزان يبذل الزنبرك قوة أستعادة حتى يعيدها مرة أخرى إلى وضعها السابق، وكلما أقتربت الكتلة من وضع الأتزان تتناقص قوة الأستعادة تدريجيا لأنها تتناسب مع الأزاحة، لذا فعند موضع الأتزان x=0 تنعدم هذه القوة على الكتلة، ولكن الكتلة تظل محتفظة ببعض من كمية التحرك من الحركة السابقة لذا فهي لا تتوقف عند مركز الأتزان ولكن تتعداه وعندها تظهر قوة الأستعادة مرة أخرى وتقوم بإبطائها تدريجيا حتى تنعدم سرعتها في النهاية وتصل إلى موضع الأتزان في النهاية.
و إذا لم تفقد الكتلة طاقتها ستستمر في الاهتزاز، لذا فهي حركة دورية تتكرر كل فترة زمنية وسنوضح بعد ذلك أنها حركة توافقية بسيطة.

أمثلة

هناك العديد من الأمثلة على الحركة التوافقية البسيطة سنتناول البعض منها.

أمثلة

كتلة == أمثلة ==   هناك العديد من الأمثلة على الحركة التوافقية البسيطة سنتناول البعض منها.

كتلة مثبتة في زنبرك

الكتلة (m) المثبتة في زنبرك بثابت (k) تتحرك حركة توافقية بسطية بسرعة زاوية : : ${\displaystyle \omega =2\pi \ f={\sqrt {\frac {k}{M}}}.\,}  ويمكن إيجاد الزمن الدوري بالعلاقة : : ${\displaystyle T={\frac {1}{f}}=2\pi {\sqrt {\frac {M}{k}}}.}  الزمن الدوري للبندول البسيط لا يعتمد على كتلة الثفل المعلق وانما يتناسب طرديا مع الجذر التربيعي لطول خيطه.

الحركة الدائرية

يمكن اعتبار الحركة التوافقية البسيطة في بعض الأحيان على أنها إسقاط أحادي البعد لحركة دائرية، عند دوران جسم بسرعة زاوية  ${\displaystyle \omega } على دائرة قطرها R حول نقطة الأصل في محاور x-y فإن إسقاط موضع الجسم على محور x ومحور y يمثلان حركة توافقية بسيطة بسعة اهتزاز R وسرعة زاوية  ${\displaystyle \omega }.

الرقاص  البسيط

يتكون الرقاص  البسيط من كتلة مربوطة بخيط مثبت في حامل أفقي كما في الشكل صورة "الرقاص  البسيط". عند إزاحة الكتلة بزاوية صغيرة (θم) عن الوضع الرأسي و تركها فإنها تتحرك متذبذبة على الجانبين. وتعد حركة الرقاص  البسيط حركة توافقية بسيطة والزمن الدوري للكتلة المثبتة في خيط رقاص  طوله  والتعجيل الارضي  يعطى بالعلاقة :  : الزمن الدوري يعتمد على كل من سعة الاهتزاز وكتلة الرقاص . تكون هذه العلاقة دقيقة في حالة الزوايا الصغيرة لأن السرعة الزاوية تتناسب مع جيب الموضع: :  حيث I هو عزم القصور الذاتي ويعطى بالعلاقة :  وعندما تكون الزاوية  صغيرة جدا يكون  فتصبح العلاقة :  :  أي ان السرعة الزاوية تتناسب مع  (السرعة تتناسب مع الازاحة) وذلك يحقق شرط الحركة التوافقية البسيطة.  عندما تكون الكتلة في أعلى موضع لها عند النطقة (أ)، فإن سرعتها تساوي صفراً و تكون الكتلة تحت تأثير مركبة الوزن (وجاθم) فإنها تعمل على نفس خط قوة الشد في الخيط. و عندما تترك الكتلة فإن الزاوية (θ) تتناقص حتى تصبح صفراً في الوضع الرأسي، ثم تبدأ بالزيادة حتى تصل إلى أكبر قيمة (θم) عند النقطة (ب) في الجهة المقابلة.  و بالتعويض في قانون نيوتن الثاني، نجد أن محصلة القوى في اتجاه الحركةهي:  Σ ق = ك ت، أي أن:  وجاθ = - ك ت   وحيث إن وزن الكتلة و = ك ج، ج= تسارع الجاذبية الأرضية، فإن:  ك جـ جاθ = - ك ت، أي أن:  : ت = - جـ جاθ.  و بما أن (θم) زاوية صغيرة (θ < 15)، فإن جاθ = (طول القوس ÷ نصف القطر) ≈ (س ÷ ل)، فإن:  ت = -(جـ ÷ ل) × س ← ت = ∞ - س   لاحظ هنا أن تسارع الرقاص  يتناسب عكسيا مع الإزاحة، أي أن الرقاص  البسيط يتحرك حركة توافقية بسيطة. في زنبرك - حركة توافقية بسيطة.
هناك العديد من الأمثلة على الحركة التوافقية البسيطة سنتناول البعض منها.

الحركة الدائرية

يمكن اعتبار الحركة التوافقية البسيطة في بعض الأحيان على أنها إسقاط أحادي البعد لحركة دائرية، عند دوران جسم بسرعة زاوية  على دائرة قطرها R حول نقطة الأصل في محاور x-y فإن إسقاط موضع الجسم على محور x ومحور y يمثلان حركة توافقية بسيطة بسعة اهتزاز R وسرعة زاوية .

العلاقة بين الحركة الدائرية والتوافقية البسيطة

نفترض أن جسما ما يسير في مسار دائري نصف قطره (نق) و مركزه (م) كما في صورة "الحركة الدائرية"، و أن هذا الجسم بدأ الحركة من النقطة (أ) على محور السينات ماراً بالنقطة (هـ) بعكس اتجاه عقارب الساعة.
إن القوة المؤثرة على الجسم تكون دائماً بإتجاه المركز و لنفرض أن هذه القوى تساوي قم، نحلل هذه القوة إلى مركبتين متعامدتين قص، قس.
من صورة "الحركة الدائرية" يلاحظ أن قص = قم جاθ و إتجاهها إلى الأسفل، و بما أن:
جاθ = ص ÷ س، فإن قص = - قم ص ÷ نق. و بقسمة طرفي هذه المعادلة على الكتلة نحصل على:
تص = -تم = ص ÷ نق = - (تم ÷ نق) × ص، أي أن تسارع الجسم في الإتحاه الصادي يتناسب عكسيا مع الإزاحة، و عليه فإن مسقط حركة الجسم على المحور الصادي هي حركة تواقية بسيطة. و ينطبق الحديث نفسه على مسقط حركة الجسم على المحور السيني، أي أن الحركة في الإتجاه السيني هي أيضاً حركة توافقية يسيطة.

السرعة الزاوية

عندما يقطع جسم يسير في حركة دائرية منتظمة زاوية مقدارها ∆θ في زمن مقداره ∆ز، فإنه يقطع قوسا طوله ∆ل، كما يظهر في صورة "سرعة الزاوية". و لحساب مقدار سرعته يتم تقسيم طول القوس على الفترة الزمنية؛ أي أن:
ع = ∆ل ÷ ∆ز = نق ∆θ ÷ ∆ز = نق (∆θ ÷ ∆ز)
تعرف السرعة الزاوية () بأنها مقدار الزاوية التي يقطعها الجسم أثناء الحركة الدائرية في وحدة الزمن، أي أن:
 = ∆θ ÷ ∆ز. و بناء على ذلك فإن السرعة الخطية ع = نق .
ومن المعروف أن التسارع المركزي لجسم في حركة دائرة منتظمة تم = ع² ÷ نق = (نق )² ÷ نق = نق  ². و من خلال ذلك يمكن كتابة معادلة التسارع للحركة التوافقية البسيطة كالتالي:
تص = - (تص ÷ نق) × ص = -  ² ص
والسرعة الزاوية  تساوي حاصل قسمة الزاوية الكلية التي يقطعها الجسم في دورة كاملة و تساوي (π2) على زمن الدورة (ن)، أي أن:  = π2 ÷ ن، و منه د (التردد) = 1 ÷ ن =  ÷ π2.

السرعة في الحركة التوافقية البسيطة

في الصورة "السرعة في الحركة الدائرية" يوجد جسم يتحرك حركة دائرية منتظمة بسرعة مقدارها (ع)، وعندما يكون اتجاه (ع) مماساً للدائرة، أي أن (ع) عمودية على نصف قطر الدائرة، و يمكن حساب مركبة السرعة في الاتجاه السيني:
لاحظ أن جيب الزاوية = جيب تمام الزاوية المتممة
عس = ع جا(ز)، و حيث أن ع =  نق، فإن:
عس =  نق جا(ز)
و لحساب تسارع الجسم في أي لحظة يتم تعويض المعادلة
تس = - ² سم جا(ز).