رياضيات

أصل الكلمة

كلمة الرياضيات تأتي من (باليونانية: máthēma)، وهذا يعني "ما الذي تم تعلمه"، "ما يمكن للمرء أن يعرف"، وبالتالي "الدراسة" و"العلم". أصبحت كلمة "الرياضيات" تحمل معنى "دراسة رياضية" أضيق وأكثر تقنية حتى في الأوقات الكلاسيكية. صفتها هي (θημαθηματικός (mathēmatikós، بمعنى "ذات صلة بالتعلم" أو "مجتهد"، والتي أصبحت كذلك تعني "رياضية". على وجه الخصوص، (μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē، (باللاتينية: ars mathematica)، وتعني "الفن الرياضي".
وبالمثل، كانت إحدى مدرستي الفكر الرئيسيتين في فيثاغوريات تُعرف باسم mathēmatikoi) μαθηματικοί) والتي كانت في ذلك الوقت تعني "المعلمين" بدلاً من "علماء الرياضيات" بالمعنى الحديث.
في اللغة اللاتينية، وفي اللغة الإنجليزية حتى حوالي عام 1700، كان مصطلح الرياضيات أكثر شيوعًا يعني "علم التنجيم" (أو في بعض الأحيان "علم الفلك") بدلاً من "الرياضيات"؛ لقد تغير المعنى تدريجياً إلى معناه الحالي من حوالي 1500 إلى 1800. وقد أدى ذلك إلى العديد من الترجمات الخاطئة. على سبيل المثال، تحذير القديس أغسطينوس بأنه يجب على المسيحيين أن يحذروا من الرياضيات، أي المنجمين، يتم تفسيره أحيانًا باعتباره إدانة لعلماء الرياضيات.
يعود شكل الجمع الواضح باللغة الإنجليزية، مثل صيغة الجمع الفرنسية للرياضيات (والمشتق المفرد الأقل استخدامًا للرياضيات)، إلى الرياضيات التعددية اللغوية اللاتينية، بناءً على الجمع اليوناني (θημαθηματικά (ta mathēmatiká، استخدمه أرسطو (384–322 قبل الميلاد)، ويعني "كل الأشياء الرياضية"؛ على الرغم من أنه من المعقول أن تقترض اللغة الإنجليزية فقط ((mathematic(al) وشكلت الرياضيات الاسم من جديد، بعد نمط الفيزياء والميتافيزيقيا، التي ورثت من اليونانية. في اللغة الإنجليزية، تأخذ كلمة (mathematics) الاسمية صيغة مفردة. غالبًا ما يتم اختصارها إلى (maths) أو (math) في أمريكا الشمالية.

أصل الكلمة في اللغة العربية

يأتي مصطلح الرياضيات من الجذر اللغوي رَوْض. يذكر قاموس مجمع اللغة العربية في القاهرة بأن كلمة رياضة تشير إلى علم الرياضيات وأيضا استخدمت صفة "رياضيّ/رياضيّة" بديل مصطلح عالم رياضيات أو رياضياتي. كان مصطلح الرياضيات يتم استبداله بمصطلح "علم الحساب" وأيضا قام الخوارزمي بإضافة مصطلح "الجبر" وهنالك مصطلح إضافي هو علم المثلثات، كانت هذه المصطلحات تقوم مقام مصطلح الرياضيات في الكتابات العربية القديمة.

تعريف ومفهوم الرياضيات

ليس للرياضيات تعريف مُتفق عليه بشكل عام. عرّف أرسطو الرياضيات بأنها "علم الكمية"، وساد هذا التعريف حتى القرن الثامن عشر. قال غاليليو غاليلي (1564–1642): "لا يمكن قراءة الكون حتى نتعلم اللغة ونتعرف على الحروف التي كتبت بها. إنه مكتوب بلغة رياضية، والحروف مثلثات ودوائر وغيرها من الأشكال الهندسية. حروف، بدونها تعني أنه من المستحيل إنسانيًا فهم كلمة واحدة، وبدون ذلك، يتجول الشخص في متاهة مظلمة". أشار كارل فريدريش غاوس (1777-1855) إلى الرياضيات باسم "ملكة العلوم". صرح ألبرت أينشتاين (1879-1955) بأنه "بقدر ما تشير قوانين الرياضيات إلى الواقع، فهي غير مؤكدة، وبقدر ما تكون مؤكدة، فإنها لا تشير إلى الواقع".
ابتداءً من القرن التاسع عشر، عندما ازدادت دراسة الرياضيات بصرامة وبدأت في معالجة الموضوعات المجردة مثل نظرية المجموعات والهندسة الإسقاطية، التي لا علاقة واضحة لها بالكمية والقياس، بدأ علماء الرياضيات والفلاسفة في اقتراح مجموعة متنوعة من التعريفات. تؤكد بعض هذه التعريفات على الطابع الاستنتاجي للكثير من الرياضيات، وبعضها يركز على تجريده، بينما يركز البعض على مواضيع معينة داخل الرياضيات. اليوم، لا يوجد توافق في الآراء حول تعريف الرياضيات، حتى بين المهنيين. لا يوجد إجماع حول ما إذا كانت الرياضيات فن أم علم. الكثير من علماء الرياضيات المحترفين لا يهتمون بتعريف الرياضيات، أو يعتبرونه غير قابل للتعريف. يقول البعض فقط "الرياضيات هي ما يفعله علماء الرياضيات".
وتسمى ثلاثة أنواع رائدة من تعريف الرياضيات المنطق، الحدس، والشكلية، كل منها يعكس مدرسة فلسفية مختلفة. جميعهم يعانون من مشاكل حادة، لا يوجد قبول واسع النطاق، ولا يبدو أن المصالحة ممكنة.
كان التعريف المبكر للرياضيات من حيث المنطق لبنيامين بيرس والذي قال "العلم الذي يستخلص النتائج الضرورية" (1870). في مبادئ الرياضيات، قدم برتراند راسل وألفريد نورث وايتهيد البرنامج الفلسفي المعروف بالمنطقية، وحاولا إثبات أنه يمكن تعريف جميع المفاهيم والبيانات والمبادئ الرياضية وإثباتها بالكامل من حيث المنطق الرمزي.
تعرف التعريفات البديهية، التي نشأت من فلسفة عالم الرياضيات لويتزن براور، على الرياضيات مع بعض الظواهر العقلية. مثال على تعريف الحدس هو "الرياضيات هي النشاط العقلي الذي يتكون في تنفيذ بنيات واحدة تلو الأخرى". وخصوصية الحدس هو أنه يرفض بعض الأفكار الرياضية التي تعتبر صالحة وفقا لتعاريف أخرى. على وجه الخصوص، في حين أن فلسفات الرياضيات الأخرى تسمح بوجود أشياء يمكن إثبات وجودها على الرغم من عدم إمكانية بنائها، فإن الحدس يسمح فقط بالأشياء الرياضية التي يمكن للمرء أن يصنعها بالفعل.
تعرّف التعاريف الشكلية الرياضيات برموزها وقواعد العمل عليها. عرف هاسكل كاري الرياضيات ببساطة بأنها "علم النظم الرسمية". النظام الرسمي هو مجموعة من الرموز أو الرموز المميزة وبعض القواعد التي توضح كيفية دمج الرموز في صيغ. في النظم الرسمية، فإن كلمة البديهية لها معنى خاص، تختلف عن المعنى العادي "لحقيقة بديهية". في الأنظمة الرسمية، البديهية هي مزيج من الرموز التي يتم تضمينها في نظام رسمي معين دون الحاجة إلى اشتقاقها باستخدام قواعد النظام.

الرياضيات كعلم

أشار عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش جاوس إلى الرياضيات باسم "ملكة العلوم". في الآونة الأخيرة، أطلق ماركوس دو سوتوي الرياضيات على أنها "ملكة العلوم. القوة الدافعة الرئيسية وراء الاكتشاف العلمي". في (اللاتينية: Regina Scientiarum)، وكذلك في (اللغة الألمانية: Königin der Wissenschaften)، تعني الكلمة المقابلة للعلم "مجال المعرفة"، وكان هذا هو المعنى الأصلي "للعلم" باللغة الإنجليزية أيضًا؛ الرياضيات في هذا المعنى مجال المعرفة. يتبع التخصص الذي يقصر معنى "العلم" على العلوم الطبيعية صعود علم بيكون، الذي يقارن "العلوم الطبيعية" بالمدرسة، الطريقة الأرسطية للاستفسار من المبادئ الأولى. دور التجريب والملاحظة التجريبية ضئيل في الرياضيات، مقارنة بالعلوم الطبيعية مثل البيولوجيا والكيمياء والفيزياء. صرح ألبرت أينشتاين بأنه "بقدر ما تشير قوانين الرياضيات إلى الواقع، فهي غير مؤكدة، وبقدر ما تكون مؤكدة، فإنها لا تشير إلى الواقع".
يعتقد العديد من الفلاسفة أن الرياضيات ليست قابلة للدحض تجريبياً، وبالتالي فهي ليست علمًا وفقًا لتعريف كارل بوبر. ومع ذلك، في ثلاثينيات القرن العشرين، أقنعت نظريات غودل عدم الاكتمال العديد من علماء الرياضيات بأنه لا يمكن اختزال الرياضيات إلى المنطق وحده، وخلص كارل بوبر إلى أن "معظم النظريات الرياضية هي، مثل نظريات الفيزياء والبيولوجيا، استنتاجي افتراضي؛ فالرياضيات البحتة استنتاجية. أقرب إلى العلوم الطبيعية التي فرضياتها هي التخمينات، مما بدا حتى في الآونة الأخيرة". قام مفكرون آخرون، وخاصة إمري لاكاتوس، بتطبيق نسخة من قبول الدحض على الرياضيات نفسها.
وجهة نظر بديلة هي أن بعض المجالات العلمية (مثل الفيزياء النظرية) هي رياضيات مع البديهيات التي تهدف إلى تتوافق مع الواقع. تشترك الرياضيات كثيرًا في العديد من المجالات في العلوم الفيزيائية، لا سيما استكشاف النتائج المنطقية للافتراضات. يلعب الحدس والتجريب أيضًا دورًا في صياغة التخمينات في كل من الرياضيات والعلوم الأخرى. تستمر الرياضيات التجريبية في الأهمية داخل الرياضيات، ويلعب الحساب والمحاكاة دورًا متزايدًا في كل من العلوم والرياضيات.
تتنوع آراء علماء الرياضيات حول هذه المسألة. يشعر العديد من علماء الرياضيات أن تسمية منطقتهم بالعلم هو التقليل من أهمية جانبها الجمالي، وتاريخها في الفنون الليبرالية التقليدية السبعة؛ يشعر الآخرون أن تجاهل علاقتها بالعلوم هو غض الطرف عن حقيقة أن العلاقة بين الرياضيات وتطبيقاتها في العلوم والهندسة دفعت الكثير من التطور في الرياضيات. إحدى الطرق التي يلعب بها هذا الاختلاف في وجهات النظر هي النقاش الفلسفي حول ما إذا كان يتم إنشاء الرياضيات (كما في الفن) أو اكتشافها (كما في العلوم). من الشائع رؤية الجامعات مقسمة إلى أقسام تتضمن تقسيمًا للعلوم والرياضيات، مما يشير إلى أن الحقول ينظر إليها على أنها متحالفة ولكنها لا تتزامن. في الممارسة العملية، يتم تجميع علماء الرياضيات عادة مع العلماء على المستوى الإجمالي ولكن يتم فصلهم في مستويات أدق. هذا هو واحد من العديد من القضايا التي تتناولها فلسفة الرياضيات.

مجالات الرياضيات

وبشكل عام، يمكن تقسيم الرياضيات إلى دراسة الكمية والبنية والفضاء والتغيير (أي الحساب والجبر والهندسة والتحليل). بالإضافة إلى هذه الشواغل الرئيسية، هناك أيضًا أقسام فرعية مخصصة لاستكشاف الروابط من الرياضيات البحتة إلى مجالات أخرى: إلى المنطق، ووضع النظرية (الأسس)، والرياضيات التجريبية لمختلف العلوم (الرياضيات التطبيقية)، ومؤخرًا لدراسة صارمة لمواضيع الارتياب. على الرغم من أن بعض المواضيع قد تبدو غير ذات صلة، فقد وجد برنامج لانجلاندز روابط بين المواضيع التي كان يعتقد في السابق أنها غير مرتبطة، مثل زمرة غالوا، وسطح ريمان ونظرية الأعداد.

جوائز رياضية

إن أكثر الجوائز شهرة في مجال الرياضيات هي ميدالية فيلدز، التي تأسست عام 1936 وتمنح كل أربع سنوات (باستثناء حوالي الحرب العالمية الثانية) لما يصل إلى أربعة أفراد. غالبًا ما تُعتبر ميدالية فيلدز (بجانب جائزة أبيل) معادلة لجائزة نوبل في الرياضيات.
نالت جائزة وولف في الرياضيات، التي تأسست عام 1978، تقديرًا للإنجاز مدى الحياة، وتم إنشاء جائزة دولية كبرى أخرى، وهي جائزة أبيل، عام 2003. وتم تقديم ميدالية تشيرن عام 2010 تقديراً للإنجازات الرياضية مدى الحياة. يتم منح هذه الجوائز تقديراً لمجموعة عمل معينة، والتي قد تكون ابتكارية، أو توفر حلاً لمسألة بارزة في مجال محدد.
في عام 1900 قام عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت بتجميع قائمة شهيرة تضم 23 مسألة مفتوحة، تسمى "مسائل هيلبرت". حققت هذه القائمة شهرة كبيرة بين علماء الرياضيات، وتم الآن حل معظم الأسئلة. تم نشر قائمة جديدة من سبع مسائل مهمة، بعنوان "جائزة مسائل الألفية"، في عام 2000. واحدة منها فقط، هي فرضية ريمان، تكررت أيضا في مسائل هيلبرت. إن حل أي من مسائل الألفية يحمل مكافأة قدرها مليون دولار.