متتالية

المتتالية (بالإنجليزية: Sequence) (ويطلق عليها المتتابعة والمتوالية والتناسب) هي مجموعة من الأغراض أو الأحداث أو الحروف المرتبة بنمط خطي (وله معنى بحيث ظهور الحرف أو الحدث بعد الآخر له دلالة ولم يأتي عبثاً قد يكون وفق تطبيق محدد) حيث يكون ترتيب أعضاء المتتالية محدداً تماماً ومميزاً. هذه الأعضاء تسمى عناصر المتتالية أو حدودها.
اذا وضعنا مقابل كل عدد طبيعي  عددا حقيقيا  فنحصل على :  وكل هذه الاعداد ندعوها بحدود المتتالية و الحد العام .
و المهم في المتتالية أنها من أجل كل  أن الحد  يلي الحد  و الحد  يسبق الحد  بغض النظر عن قيمهما .

تعريف الرياضي

نسمّي متتالية عدديّة كل تطبيق منطلقه مجموعة الأعداد الطبيعية  و مستقره الحقل  نرمز عادة إلى المتتالية بالرمز أو عوضاََ عن :
تعريف متتالية من خلال الاستدعاء الذاتي ( تعريف التدرجي ) :
حيث يكون كل حد في المتتالية متعلقاً بالحد أو الحدود التي قبله , كأن يكون كل حد هو مجموع الحدين الذين قبله
مثال :مهما يكن   نعرف المتتالية  كما يلي :        
تعريف متتالية كدالة :
مثال :

متتالية  عددية حقيقية لانهائية محدودة

نقول عن المتتالية محدودة اذا كانت محدودة في  أي : مهما كان يكون : 
أو : من أجل كل و  عدد حقيقي موجب .
أي أن مجموعة قيم أي متتالية عددية حقيقية لا نهائية تكون مجموعة اما منتهية و غير خالية أو غير منتهية و تكون إما محدودة أو غير محدودة .
ونقول انها محدودة من الأعلى اذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأعلى و نقول أنها محدودة من الأدنى اذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأدنى .
و نقول ان المتتالية ما محدودة لما تكون مجموعة قيمها محدودة من الأعلى و الأدنى في اَن واحد  .

متتالية عددية حقيقية متقاربة

نقول عن العدد  انه نهاية المتتالية العددية و نكتب :  عندما و فقط عندما يتحقق ما يلي :
حيث العدد الطبيعي يتغير في الحالة العام بتغير العدد  .
ونقول عن المتتالية العددية الحقيقية اللانهائية التي توجد لها نهاية بإنها متتالية متقاربة . واذا كانت هذه النهاية تساوي  نقول عن هذه المتتالية انها متقاربة من  
ويمكن كتابة تعريف المتتالية المتقاربة في بالشكل التالي :
نقول عن المتتالية أنها متقاربة من العدد الحقيقي  اذا وفقط اذا كان   .
متتالية متباعدة : نقول عن متتالية عددية انها متباعدة اذا لم تكن متقاربة .

مبرهة 1

إذا كانت المتتالية العددية  متقاربة من العدد   و من العدد  فإن .
الاثبات : ليكن عندئذ ويوجد عددان طبعيان يختلفان عن الصفر و  بحيث يكون :
ومنه يوجد عدد الطبيعي   بحيث يكون :
وبهذا قد برهن على القضية الصحيحة الاتية :
ومنه يمكن استنتاج أن كما يلي :
لو كان  لكان وبالتالي لكان يوجد عدد  بحيث يكون عندما  وهذا غير ممكن اذن   وهو المطلوب .

مبرهة 2

كل متتالية عددية متقاربة تكون محدودة .
الاثبات : لتكن المتتالية    متقاربة و لنفرض انها متقاربة نحو  عندئذ يوجد من اجل كل العدد الحقيقي الموجب 1 عدد طبيعي  يختلف عن الصفر   بحيث يكون :
ومنه يوجد العدد الحقيقي الموجب : بحيث يكون من أجل كل  :
ومنه :  وهذا يعني ان مجموعة قيم المتتالية محدودة وبالتالي فالمتتالية  محدودة .
ملاحظة : ليس من الضروري ان كل متتالية عددية محدودة تكون متقاربة .

المتتاليات الجزيئة

المتتالية الجزئية لمتتالية ما، هي متتالية تتكون من عناصر المتتالية الأصلية، بعد حذف بعض العناصر منها، دون تغير الترتيب النسبي الذي جاءت فيه العناصر غير المحذوفة. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الزوجية 0، 2، 4، 6، ... هي متتالية جزئية من متتالية الأعداد الطبيعية، 0، 2، 4، 6، 8.... (في هذا المثال حذفت جميع الأعداد الفردية).
لتكن لدينا المتتالية العددية ولنختر من بين حدودها حدََا نرمز له بالرمز ثم نحذف من هذه المتتالية الحدود فتبقى لدينا الحدود , ومن الحدود المتبقية نختار الحدََا نرمز له بـ ونكرر نفس عملية الحذف وهكذا حتى نحصل على المتتالية الجديدة : , تدعى هذه المتتالية بالمتتالية الجزئية من المتتالية و يكون الحد العام للمتتالية الجزئية هو و نلفت النظر ان رقم الحد يتعين بواسطة وليس .
وننوه أن : من أجل كل وهذا يعني انه من اجل كل يكون الحد إما يساوي الحد أو يساوي أحد الحدود التي تلي الحد , ويمكن البرهان على هذا بالاستقراء :فمن أجل تكون القضية صحيحة لان الحد هو إما  او احد الحدود التي تلي في المتتالية  و لنفرض أن المتباينة صحيحة من اجل  عندئذ نجد أن :  وبهذا قد أثبتنا المطلوب .

مبرهنة 4

تكون المتتالية العددية متقاربة من  اذا وفقط اذا كانت كل متتالية جزئية منها متقاربة من .
الاثبات : اولا نفرض أن كل متتالية جزئية من المتتالية متقاربة من عندئذ تكون المتتالية متقاربة من لانها متتالية جزئية من نفسها .
ثانيا لنفرض أن المتتالية متقاربة من  ولنأخذ منها متتالية جزئية اختيارية ولتكن ثم نأخذ عندئذ يوجد بحيث يكون :  لما كان   من أجل كل  فإن الحد إما أن يساوي أو يكون يكون واقعا على يمين الحد في المتتالية  و منه يكون : إذن المتتالية الجزئية متقاربة من . وبهذا قد أثبتنا المطلوب .

أنواع وخصائص المتتاليات

قد تكون متتالية ما حسابيةً إذا كان الفرق بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثاً، وتكون هندسيةً إذا كانت النسبة بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثة, وقد تكون غير ذلك (أي أنها ليست حسابية وليست هندسية).
تُدعى متتالية ما جدائية إذا كان حينما يكون x و y أوليين فيما بينهما.
انظر إلى مجموعة مرتبة جزئيا وإلى دالة رتيبة.