تحلل كيو آر

في الجبر الخطي، تحليل QR (بالإنجليزية: QR decomposition) لمصفوفة هو طريقة التحليل أو الاحلال QR وتعرف أيضا بطريقة عوامل QR عبارة عن تحليل أو احلال المصفوفة A وادخالها في المعادلة : 
من مصفوفة متعامدة Q ومصفوفة ثلاثية R. كثيرا ماتستخدم طريقة التحليل QR لحل مسائل المربعات الخطية وايضا تعتبر من الأساسيات الخاصة لخوارزميات معامل التحول الخطي.
في حالة أن المصفوفة A تحتوي على عددN من الأعمدة الخطية , و العمود الأول N من Q يشكل أساسا التعامد لمدى المصفوفة A, بالتحديد أول عمود K من Q أساس التعامد لإحصاء أو مدى أول عمود K  من المصفوفة A  ما بين  1 ≤ k ≤ n.
في الحقيقة أن أي عمودk في المصفوفة A يعتمد فقط على الأعمدة  k الأولى من المصفوفة Q وهو المسؤول عن التشكيل الثلاثي من ''R''.

التاريخ

الحلول الحسابية QR لحساب القيم لمعامل التحول الخطي, والتي تعتبر واحدة من 10 خوارزميات الأكثر أهمية في القرن 20. وقد اكتشف بشكل مستقل من قبل عالم الكمبيوتر البريطاني جون GF فرانسيس في 1959 ، وعالم الرياضيات السوفياتي فيرا في عام 1961.

المصفوفة المستطيلة

بشكل عام يمكننا ان نحلل المصفوفة المعقدة m×n  A  مع m ≥ n وايضا العملية m×m بمصفوفة الوحدة Q وايضاm×n بالمصفوفة الثلاثية العليا R.
الصفوف السفلية (m−n) من m×n  للمصفوفة الثلاثية تحتوي على الاصفار وهذا يساعد في إيجاد قيمةR  أو R و Q بالكامل .
:
حيث R₁ عبارة عن  n×n المصفوفة الثلاثية العليا
0عبارة عن (m − n)×n مصفوفة صفرية 
Q₁ عبارة عن m×n 
, Q₂ عبارة عن m×(m − n)
Q₁ و Q₂ تمتلك الأعمدة المتعامدة
Golub & Van Loan (1996, §5.2) call Q₁R₁ the thin QR factorization of A; Trefethen and Bau يدعى this the تخفيض عملية تحليل الQR.
في حالة ان المصفوفة A هوعبارة عن رتبة   كاملة لقيمة ال n بالتالي بنحتاج  إلى  ان عناصر القطر تكون موجبة من ال R₁ و R₁وQ₁ مختلفه , لكن بصورة عامةQ₂  ليست كذلك . و R₁ يساوي العناصر الثلاثية من  تحليل كوليسكي
A (= AᵀA
في حالة ان قيمة A حقيقية

التحليل QL, RQ و LQ

بالقياس، يمكن أن نحدد قيم QL، RQ، وLQ التحليل، مع L كونها  المصفوفة الثلاثية السفلى .

حساب التحليل QR

هناك عدة طرق لحساب  تحليل QR ، مثل Gram–Schmidt process, Householder transformations, or Givens rotations. 
لكل طريقة عدد من المزايا والعيوب.

بالنسبة لتحليل RQ

التحليل RQ يحول المصفوفة A إلى مصفوفة ثلاثية عليا R (المعروف أيضا باسم المصفوفة الثلاثية اليمنى) والمصفوفة المتعامدةQ.
والفرق الوحيد بالنسبة التحليل QR هو ترتيب هذه المصفوفات.
تحليل ال QR هو the Gram–Schmidt  متعامدة من الأعمدة ل A, والتي تبدأ من العمود الأول.
تحليل ال QR هو the Gram–Schmidt  متعامدة من الصفوف ل A, والتي تبدأ من الصف الاخير.

استخدام تدوير المعطيات

عن طريق التحليل QR يمكن أن نحسب  سلسلة التدوير للمعطيات. كل دورة تصفر عنصر في المصفوفة العمودية ، وتشكل مصفوفة ثلاثية علويةR. 
في سلسلة من كل  تدوير المعطيات تشكل Q مصفوفة متعامدة.
عمليا، لا يتم إجراء Givens rotations  فعليا من خلال بناء مصفوفة كاملة والقيام بعملية ضرب المصفوفة. ويستخدم خطوات   تدوير المعطيات بشكل مكافئ لمصفوفة الضرب، دون  التعامل مع العناصر المتفرقة.  تدوير المعطيات مفيد في الحالات التي تحتاج سوى عدد قليل نسبيا من العناصر القطرية لاجل ان تصبح اصفارا ، وبشكل متوازي مكافئة لتحويل ال Householder.

استخدامها في حل المسائل العكسية الخطية

مقارنة بالمصفوفة المعكوسة، الحلول العكسية باستخدام التحليل QR هي أكثر استقرارا من الناحية  العددية كما يتضح من انخفاض العددالشرطي.
Parker Geophysical Inverse))
لحل الغير محددات () المسالة الخطية   حيث المصفوفة A لها أبعاد   ورتبة, أولا تحليل  QR  للمعكوس A: , حيث Q  المصفوفة العمودية مثال  , و R يمتلك شكل خاص  : .
حيث هو     مربع المصفوفة الثلاثية اليمنى ,والمصفوفة الصفرية تمتلك ابعاد ..  بعد بعض العمليات الحسابية   حل المسألة الخطية ممكن ان تظهر  كالاتي 

حيث ممكن ان نجد  بواسطة Gaussian elimination    بطريقة مباشرة مصفوفة مثلثية .
والطريقة الأخيرة يتمتع بقدر أكبر من الدقة  وحساباته أقل.
لإيجاد الحل ل  للحساب ()  بمسالة  بحيث نقلل المعيار norm , أولا تحليل  QR  ل     A: .  الحل يمكن أن يشرح كالاتي , , حيث  عبارة عن مصفوفة   تحتوي على أول عمود  يمثل أساسيات full  القاعده المتعامده  وحيث أن  كما سبق.
ما يعادل حالة غير المحدد، يمكن أن نستخدم تبديل عكسي للسرعة وبدقة الحصول على    من دون معكوس 
. ( و 
غالبا ما تقدمها المكتبات الرقمية باعتبارها "الاقتصادي" التحليل QR).