تكامل متعدد

مقدمة

كما هو الحال في التكامل المحدد لدالة موجبة في متغير واحد الذي يمثل مساحة المنطقة الواقعة بين منحنى الدالة والمحور السيني، كذلك فإن التكامل الثنائي لدالة موجبة في متغيرين يمثل حجم المنطقة الفاصلة بين السطح المعرف بالدالة (في النظام الديكارتي ثلاثي الأبعاد حيث  والمستوى المحتوي لمجاله. (لاحظ أن نفس الحجم يمكن التوصل إليه باستخدام التكامل الثلاثي - تكامل دالة في ثلاث متغيرات- للدالة الثابتة  فوق المنطقة المذكورة سابقا بين السطح والمستوى). إذا كان هناك عدد أكبر من المتغيرات فان التكامل المتعدد سيؤدي إلى احجام ضخمة من الدوال المتعددة الأبعاد.
التكامل المتعدد لدالة  المعرفة في  متغير:  على مجال  يتم في الغالب تمثيله بتداخل عدة إشارات تكامل بالترتيب متعاكس في الحساب(الإشارة إلى أقصى اليسار تحسب آخراً التي تسبقها لليمين تحسب قبلها وهكذا)يتم إجراءها على الدالة وتعريفات المكاملات بترتيب مناسب (التعريف في أقصى اليمين يحسب آخراً وهكذا). مجال هذا التكامل يتم تمثيله إما رمزيا لكل مكامل على إشارة تكامل، أو غالبا يتم اختصاره بمتغير في أقصى يمين الإشارة التكاملية:
وبما أنه من المستحيل حساب المشتق العكسي لدالة في أكثر من متغير، فإن التكامل المتعدد الغير محدد لا وجود له. لذلك فإن كل التكاملات المتعددة هي تكاملات محددة.

التعريف الرياضي

افترض ان  عدد صحيح أكبر من 1. افترض مستطيلا نصف مفتوح في  بعداً(من الآن فصاعداً سنسميه ببساطة مستطيلا). بالنسبة للمستوى: , والتكامل المتعدد هو مجرد تكامل ثنائي.
قم بتقسيم كل فترة  إلى عدد من الفترات الجزئية غير المتداخلة بحيث تكون كل منها مغلقة عند النهاية اليسرى ومفتوحة عند النهاية اليمنى. بالكتابة، يرمز لكل فترة جزيئة بالرمز .عائلة المستطيلات الجرئية الناتجة ذات الصيغة:
هي جزئية من  بمعنى أن المستطيلات الجزئية  هي مستطيلات غير متداخلة واتحادها يعطينا .
بعد أي من المستطيلات الجزئية  هو-من التعريف- الطول الأكبر من الفترات التي حعلتنا نتحصل على ، وكذلك فإن بعد اي مجموعة معطاة جزئية من  معرف كأكبر بعد من أبعاد المستطيلات الجزئية في تلك المجموعة الجزئية.
افترض أن  هي دالة معرفة على المستطيل . اعتبر التجزيئ التالي
من  المعرفة آنفاً. حيث  هي عدد صحيح موجب. مجموع ريمان هنا هو المجموع بالصورة:
حيث، لكل  فان النقطة  تقع في النفطة  هو ناتج الأطوال من الفترات التي ناتجها الكارتيزي هو  
في هذه الحالة تسمى دالة  متكاملة ريمان إذا كانت النهاية
معرفة أو موجودة. حيث ان النهاية تحسب لكل جزئيات  ذات البعد . إذا امكن تكامل بريمان فان  تسمى تكامل ريمان ل  على  ويكتب:
تكامل ريمان لدالة معرفة حول مجموعة ذات  بعدا يمكن تعريفها بتوسيع تلك الدالة إلى دالة معرفة على مستطيل نصف مفتوح قيمه تساوي الصفر خارج مجال الدالة الأصلية. إذن فان تكامل الدالة الأصلية على المجال الأصلي هي تكامل الدالة الموسعة على مجالها المستطيل، إذا وُجد.
ما يلي تكامل ريمان في  بعداً سوف يسمى تكاملا متعددا

الخصائص

التكامل المتعدد له العديد من الخصائص المشابة لخصائص تكامل الدوال في متغير واحد(الخطية، التجميع، الاطرادية، الخ). بالإضافة لذلك ،وكما في المتغير الواحد، يمكن استخدام التكامل المتعدد لايجاد متوسط الدالة على مجموعة معطاة. أي انه لأي مجموعة معطاة  ودالة قابلة للتكامل  على ، القيمة المتوسطة لـ  على مجالها يعطى بـ:
حيث  هو مقياس

طرق للتكامل

حل المشكلات باستخدام التكامل المتعدد غالباً ما يتم عن طريق إيجاد طريقة لاختزال التكامل المتعدد ليصبح في هيئة سلسلة من التكاملات في متغير واحد تحل كل منها بصورة مباشرة.

الحل المباشر

أحياناً يمكن الحصول على نتيجة التكامل بدون حاجة للتعديل

صيغ الاختزال

صيغ الاختزال تعتمد على مبدأ المجال البسيط للتمكين من تفكيك التكامل المتعدد إلى عدة تكاملات في متغير واحد(وهي نفس عملية حسبان الاشتقاق الجزئي).

التكامل المعتل المتعدد

في حالة المجالات غير المحدودة أو الدوال غير المحدودة بالقرب من حدود المجال، نقوم باستعمال التكامل المعتل الثنائي أو التكامل المعتل الثلاثي.