خواص العلاقات على المجموعة

تتميز العلاقات على مجموعة بأربعة خواص هامة: الانعكاس والتماثل والتعدي والتكافؤ.

أولا: خاصية الانعكاس

تكون العلاقة ع علاقة انعكاسية على المجموعة أ عندما يرتبط كل عنصر من أ مع نفسه في العلاقة ع.
أي أن لكل س ∈ أ يجب ان يوجد (س ، س) ∈ ع. ∀ س ∈ أ ، (س ، س) ∈ ع.
ملاحظة : إذا وجدنا عنصر واحد في أ بحيث ان هذا العنصر لا يرتبط مع نفسه في ع تكون العلاقة ع علاقة غير انعكاسية.
مثال: أ = { 5 ، 6 ، 8 ، 9 } ،ع = {(5 ، 6) ، ( 5 ، 5) ، (6 ، 6) ، (8 ، 5) ، (8 ، 8) ، (9 ، 9)} ، هل العلاقة ع انعكاسية؟.
نبحث بعناصر أ ونفحص إن كان كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع .
5 ∈ أ وَ (5 ، 5) ∈ ع.
6 ∈ أ وَ (6 ، 6) ∈ ع.
8 ∈ أ وَ (8 ، 8) ∈ ع.
9 ∈ أ وَ (9 ، 9) ∈ ع.
إذن كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع أي أن لكل س ∈ أ يوجد (س ، س) ∈ ع. إذن العلاقة ع انعكاسية.

ثانياً: خاصية التماثل

تكون العلاقة ع علاقة تماثلية على المجموعة أ عندما يوجد (س ، ص) ∈ ع فإنه يجب ان يوجد (ص ، س) ∈ ع حيث س ، ص ∈ أ.
أي أنه إذا وجد زوج مرتب (س ، ص) في العلاقة ع يجب أن يوجد (ص ، س) في نفس العلاقة ع.
هنا نفحص كل الأزواج المرتبة في ع ولا نفحص عناصر المجموعة أ. ونفحص كل زوج مرتب في ع ونقوم بالبحث في العلاقة ع عن الزوج الناشيء عن تبديل مساقط ذلك الزوج المرتب. وتكون العلاقة تماثلية إذا وجدنا (ص ، س) ∈ ع لكل (س ، ص) ∈ ع.
ملاحظة: إذا وجدنا زوج مرتب واحد (س ، ص) ∈ ع وكان (ص ، س) ∉ ع تكون العلاقة ع غير تماثلية.
مثال: ع = {(7 ، 6) ، (5 ، 4) ، (6 ، 6) ، (4 ، 5) ، (3 ، 8) ، (6 ، 7) ، (8 ، 3) ، (8 ، 8)}
هل العلاقة ع تماثلية؟.
نفحص كل الأزواج المرتبة في العلاقة ع ونقوم بتبديل مساقطها ونقوم بالبحث في العلاقة ع عن الزوج الناشيء عن تبديل مساقط ذلك الزوج المرتب.
(7 ، 6) ∈ ع أيضاً (6 ، 7) ∈ ع.
(5 ، 4) ∈ ع أيضاً (4 ، 5) ∈ ع.
(6 ، 6) ∈ ع أيضاً (6 ، 6) ∈ ع لا داعي لفحص هذا الزوج المرتب لأن تبديل مساقطه يعطي نفس الزوج المرتب (6 ، 6).
(4 ، 5) ∈ ع أيضاً (5 ، 4) ∊ ع.
(3 ، 8) ∈ ع أيضاً (8 ، 3) ∈ ع.
(6 ، 7) ∈ ع أيضاً (7 ، 6) ∈ ع.
(8 ، 3) ∈ ع أيضاً (3 ، 8) ∈ ع.
(8 ، 8) ∈ ع أيضاً (8 ، 8) ∈ ع.
إذن لكل (س ، ص) ∈ ع يوجد (ص ، س) ∈ ع. إذن العلاقة ع علاقة تماثلية.

ثالثا: خاصية التعدي

تكون العلاقة ع علاقة تعدي على المجموعة أ : إذا وجدنا (س ، ص) ، (ص، ل) ∈ ع فإنه يجب أن يوجد (س ، ل) ∈ ع حيث س ، ص ، ل ∈ أ.
أي نفحص كل الأزواج المرتبة الموجودة في ع ولا نفحص عناصر المجموعة أ.
عندما نجد زوج مرتب (س ، ص) ∈ ع نبحث إذا يوجد زوج مرتب (ص ، ل) ∈ ع بحيث يكون مسقطه الأول هو نفس المسقط الثاني للزوج المرتب
(س ، ص) ؛ ثم نبحث عن الزوج المرتب (س ، ل) في ع بحيث مسقطه الأول هو المسقط الأول للزوج المرتب (س ، ص) ومسقطه الثاني هو المسقط الثاني للزوج المرتب ( ص ، ل).
ملاحظة: إذا وجدنا(س ، ص)،(ص، ل) ∈ ع وكان (س، ل) ∉ ع تكون العلاقة ع ليست علاقة تعدي.
مثال: ع = {(1 ، 2)،(4 ، 4)،(2 ، 1)،(2، 2)،(4 ، 3 )،(1 ، 1)،(3 ، 7)،(4 ، 7)،(7 ، 3)،( 3 ، 3)،(7 ، 7)}.
(1 ، 2) ، (2 ، 1) ∈ ع أيضاً (1 ، 1) ∈ ع.
(1 ، 2) ، (2 ، 2) ∈ ع أيضاً (1 ، 2) ∈ ع لا داعي لفحص الزوج المرتب الذي مساقطه متساوية لأن الزوج المرتب الناتج الثالث سيعيدنا إلى نفس الزوج المرتب الأول.
(4 ، 4) ، (4 ، 3) ∈ ع أيضاً (4 ، 3) ∈ ع لا داعي لفحص الزوج المرتب الذي مساقطه متساوية لأن الزوج المرتب الناتج الثالث سيعيدنا إلى نفس الزوج المرتب الثاني.
(2 ، 1) ، (1 ، 2) ∈ ع أيضاً (2 ، 2) ∈ ع.
(4 ، 3) ، (3 ، 7) ∈ ع أيضاً (4 ، 7) ∈ ع.
(3 ، 7) ، (7 ، 3) ∈ ع أيضاً (3 ، 3) ∈ ع.
(4 ، 7) ، (7 ، 3) ∈ ع أيضاً (4 ، 3) ∈ ع.
(7 ، 3) ، (3 ، 7) ∈ ع أيضاً (7 ، 7) ∈ ع.
إذن لكل (س ، ص) ، (ص ، ل) ∈ ع فإنه يوجد ( س ، ل) ∈ ع. إذن العلاقة ع علاقة تعدي.

أمثلة متنوعة

المثال الأول : لتكن أ = { 4 ، 5 ، 7 ، 10 }.
هل العلاقات التالية المعرفة على أ لها خواص الانعكاس والتماثل والتعدي والتكافؤ مع بيان الأسباب.
1) ع₁ = {(4 ، 4) ، (5 ، 5) ، (7 ، 7) ، (10 ، 10) ، (4 ، 7)}.
نبحث بعناصر أ ونفحص إن كان كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع₁.
4 ∈ أ وَ (4 ، 4) ∈ ع₁.
5 ∈ أ وَ (5 ، 5) ∈ ع₁.
7 ∈ أ وَ (7 ، 7) ∈ ع₁.
10 ∈ أ وَ (10 ، 10) ∈ ع₁.
إذن كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع₁ أي أن لكل س ∈ أ يوجد ( س ، س) ∈ ع₁.
إذن العلاقة ع₁ انعكاسية.
نفحص كل الأزواج المرتبة في العلاقة ع1 ونقوم بتبديل مساقطها ونقوم بالبحث في العلاقة ع₁ عن الزوج الناشيء عن تبديل مساقط ذلك الزوج المرتب.
(4 ، 7) ∈ ع₁ لكن (7 ، 4) ∉ع₁.
إذن يوجد (س ، ص) ∈ ع₁ لكن (ص ، س) ∉ ع₁. إذن العلاقة ع₁ علاقة غير تماثلية. إذن العلاقة ع₁ ليست علاقة تكافؤ.
(4 ، 7) ، (7 ، 7) ∈ ع₁ أيضاً (4 ، 7) ∈ ع₁.
إذن لكل (س ، ص) ، (ص ، ل) ∈ ع₁ فإنه يوجد (س ، ل) ∈ ع₁. إذن العلاقة ع₁ علاقة تعدي.
2) ع₂ = {(7 ، 10)}.
العلاقة ع₂ ليست انعكاسية لأن 4 ∈ أ لكن (4 ، 4) ∉ ع₂.
العلاقة ع₂ ليست علاقة تماثلية لأن (7 ، 10) ∈ ع₂ لكن (10 ، 7) ∉ ع₂. إذن العلاقة ع₂ ليست علاقة تكافؤ.
العلاقة ع₂ علاقة تعدي حيث يوجد بها زوج مرتب واحد فقط ولا يوجد زوجين مرتبين مثل (س ، ص) ، (ص ، ل) في ع₂ وهذا لا يخالف شرط التعدي.
3) ع₃ = {(4 ، 4) ، (5 ، 5 ) ، (7 ، 7 ) ، (10 ، 10)}.
نبحث بعناصر أ ونفحص إن كان كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع₃ .
4 ∈ أ وَ (4 ، 4) ∈ ع₃.
5 ∈ أ وَ (5 ، 5) ∈ ع₃.
7 ∈ أ وَ (7 ، 7) ∈ ع₃.
10 ∈ أ وَ (10 ، 10) ∈ ع₃.
إذن كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع₃ أي أن لكل س ∈ أ يوجد (س ، س) ∈ ع₃. إذن العلاقة ع₃ انعكاسية.
العلاقة ع₃ علاقة تماثلية لأن لكل (س ، ص) ∈ ع₃ يوجد (ص ، س) ∈ ع₃ حيث أن كل زوج مرتب في ع₃ عندما نبدل مساقطه ينتج نفس الزوج المرتب.
(4 ، 4) ∈ ع₃ وَ (4 ، 4) ∈ ع₃.
(5 ، 5) ∈ ع₃ وَ (5 ، 5) ∈ ع₃.
(7 ، 7) ∈ ع₃ وَ (7 ، 7) ∈ ع₃.
(10 ،10) ∈ ع₃ وَ (10، 10) ∈ ع₃.
العلاقة ع₃ علاقة تعدي حيث يوجد بها أزواج مرتبة مساقطها متساوية ولا يوجد زوجين مرتبين مثل (س ، ص) ، (ص ، ل) في ع₃ وهذا لا يخالف شرط التعدي.
العلاقة ع₃ هي علاقة انعكاس وتماثل وتعدي إذن ع₃ هي علاقة تكافؤ.
المثال الثاني: أ = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ،......... }.
والعلاقة ع معرفة على أ حيث ع = {(س ، ص) ∈ أ × أ : س + ص = 5 }.
هل العلاقة ع لها خواص الانعكاس والتماثل والتعدي والتكافؤ؟.
ع = {(0 ، 5) ، (5 ، 0) ، (2 ، 3) ، (3 ، 2) ، (4 ، 1) ، (1 ، 4)}.
العلاقة ع ليست انعكاسية لأن 6 ∈ أ لكن (6 ، 6 ) ∉ ع. إذن العلاقة ع ليست علاقة تكافؤ.
(0 ، 5)∈ ع وأيضاً (5 ، 0) ∈ ع.
(2 ، 3)∈ ع وأيضاً (3 ، 2) ∈ ع.
(4 ، 1)∈ ع وأيضا (1 ، 4) ∈ ع.
العلاقة ع علاقة تماثل لأن لكل زوج مرتب (س ، ص) ∈ ع نجد (ص ، س) ∈ ع.
العلاقة ع ليست تعدي لأنه يوجد (0 ، 5) ، (5 ، 0) ∈ ع لكن (0 ، 0) ∉ ع.
المثال الثالث: : أ = { 5 ، 3 ، 14 ، 6 ، 18 ، 7 ، 9 ، 10 ، 6 }.
العلاقة ع معرفة على أ حيث ع = {(س ، ص) ∈ أ× أ : ص = 2س }.
هل العلاقة ع لها خواص الانعكاس والتماثل والتعدي؟.
ع = {(5 ، 10) ، (3 ، 6) ، (7 ، 14) ، (9 ، 18)}.
العلاقة ع ليست انعكاسية لأن 5 ∈ أ لكن (5 ، 5) ∉ ع. إذن العلاقة ع ليست علاقة تكافؤ.
العلاقة ع ليست علاقة تماثل لأن (5 ، 10) ∈ ع لكن (10 ، 5) ∉ ع.
العلاقة ع علاقة تعدي حيث يوجد بها أزواج مرتبة مثل (س ، ص) لكن لا يوجد زوجين مرتبين مثل (س ، ص) وَ (ص ، ل) في ع وهذا لا يخالف شرط التعدي.
المثال الرابع : لتكن أ = { 1 ، 2 ، 4 ، 5 }.
العلاقة ع معرفة على أ حيث ع = {(1 ، 1) ، (2 ، 2) ، (5 ، 5) ، (4 ، 4) ، (5 ، 4) ، (4 ، 5) ، (2 ، 1) ، (1 ، 2)}.
هل العلاقة ع لها خواص الانعكاس والتماثل والتعدي والتكافؤ ؟.
نبحث بعناصر أ ونفحص إن كان كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع.
1 ∈ أ وَ (1 ، 1) ∈ ع.
2 ∈ أ وَ (2 ، 2) ∈ ع.
4 ∈ أ وَ (4 ، 4) ∈ ع.
5 ∈ أ وَ (5 ، 5) ∈ ع.
إذن كل عنصر من أ يرتبط مع نفسه في ع أي أن لكل س ∈ أ يوجد (س ، س) ∈ ع. إذن العلاقة ع انعكاسية.
نفحص كل الأزواج المرتبة في العلاقة ع ونقوم بتبديل مساقطها ونقوم بالبحث في العلاقة ع عن الزوج الناشيء عن تبديل مساقط ذلك الزوج المرتب.
(5 ، 4) ∈ ع أيضاً (4 ، 5) ∈ ع.
(4 ، 5) ∈ ع أيضاً (5 ، 4) ∈ ع.
(1 ، 2) ∈ ع أيضاً (2 ، 1) ∈ ع.
(2 ، 1) ∈ ع أيضاً (1 ، 2) ∈ع.
إذن لكل (س ، ص) ∈ ع يوجد (ص ، س) ∈ ع. إذن العلاقة ع علاقة تماثلية.
(5 ، 4) ، (4 ، 5) ∈ ع أيضاً (5 ، 5) ∈ ع.
(4 ، 5) ، (5 ، 4) ∈ ع أيضاً (4 ، 4) ∈ ع.
(2 ، 1) ، (1 ، 2) ∈ ع أيضاً (2 ، 2) ∈ ع.
(1 ، 2) ، (2 ، 1) ∈ ع أيضاً (1 ، 1) ∈ ع.
إذن لكل (س ، ص) ، (ص ، ل) ∈ ع يوجد (س ، ل) ∈ ع. إذن العلاقة ع علاقة تعدي .
ع علاقة انعكاسية وتعدي وتماثل. إذن العلاقة ع هي علاقة تكافؤ.
المثال الخامس: لتكن أ = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 }.
العلاقة ع معرفة على أ حيث ع = {(1 ، 1) ، (5 ، 2) ، (2 ، 2) ، (2 ، 5) ، (3 ، 4) ، (4 ، 5) ، (3 ، 5) ، (4 ، 2) ، ( 3 ، 2) ، ( 5 ، 5)}. هل العلاقة ع لها خواص الانعكاس والتماثل والتعدي والتكافؤ ؟.
العلاقة ع ليست انعكاسية لأن 3 ∈ أ لكن (3 ، 3) ∉ ع. إذن العلاقة ع ليست علاقة تكافؤ.
نفحص كل الأزواج المرتبة في العلاقة ع ونقوم بتبديل مساقطها ونقوم بالبحث في العلاقة ع عن الزوج الناشيء عن تبديل مساقط ذلك الزوج المرتب.
(3 ، 4) ∈ ع لكن (4 ، 3) ∉ ع. إذن العلاقة ع ليست علاقة تماثلية.
(5 ، 2) ، (2 ، 5) ∈ ع أيضاً (5 ، 5) ∈ ع.
(2 ، 5) ، (5 ، 2) ∈ ع أيضاً (2 ، 2) ∈ ع.
(3 ، 4) ، (4 ، 2) ∈ ع أيضاً (3 ، 2) ∈ ع.
(3 ، 4) ، (4 ، 5) ∈ ع أيضاً (3 ، 5) ∈ ع.
(4 ، 5) ، (5 ، 2) ∈ ع أيضاً (4 ، 2) ∈ ع.
(3 ، 5) ، (5 ، 2) ∈ ع أيضاً (3 ، 2) ∈ ع.
(4 ، 2) ، (2 ، 5) ∈ ع أيضاً (4 ، 5) ∈ ع.
(3 ، 2) ، (2 ، 5) ∈ ع أيضاً (3 ، 5) ∈ ع.
إذن لكل (س ، ص) ، (ص ، ل) ∈ ع يوجد (س ، ل) ∈ ع. إذن العلاقة ع علاقة تعدي.