عدد مركب

العدد المركب أو العدد العقدي (بالإنجليزية: Complex number) هو أي عدد يكتب  على الصورة  حيث  و  عددان حقيقيان و  عدد خيالي مربعه يساوي 1- (أي أن ) ويسمى وحدة تخيلية. ويسمى العدد الحقيقي   بالجزء الحقيقي، والعدد الحقيقي   بالجزء التخيلي. فمثلا، 3 + 2i هو عدد مركب، فيه 3 هو الجزء الحقيقي و 2 هو الجزء التخيلي.
و عندما يكون "" (أي الجزء التخيلي) مساويا ل 0، فإن قيمة العدد المركب  تساوي قيمة الجزء الحقيقي "" فقط، ويسمي العدد عددا حقيقيـا صرفا. وعندما يكون "" (أي الجزء الحقيقي) مساويا ل 0، يكون العدد تخيليـا صرفـا.
من الممكن إجراء العمليات الحسابية العادية على الأعداد المركبة كالجمع والطرح والضرب والقسمة بطريقة تماثل الأعداد الحقيقية مع بعض الاختلافات خاصة في عملية القسمة. ولكنها أيضـا تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.
عندما وجد الرياضيون أن المعادلة () مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية كان  لا بد من وضع حل لها. لذلك تمّ إيجاد عدد جديد هو العدد التخيلي i. وتعريف العدد i هو الجذر التربيعي للعدد 1-. 
وهنا يكمن التعقيد. فمن المعلوم أنه ليس للعدد 1- جذر تربيعي، ولكن هذا في الأعداد الحقيقية. فكما أنه لا وجود للعدد 5- في الأعداد الطبيعية ولكنه موجود في الأعداد الصحيحة (والحال نفسه بالنسبة للعدد ) فالرياضيات هي علم وضعه البشر ولهم الحق في تطويره وتجديده وفق قواعد واضحة تخضع للمنطق الرياضي ولا تنافي المبادئ الرياضية والموضوعات والبديهيات في علم الرياضيات.

التاريخ

يرجع أول ظهور للأعداد المركبة إلى عام 1545 حينما نشر عالم الرياضيات الإيطالي جيرولامو كاردانو حلحلة للمعادلات من الدرجة الثالثة.
ولكنه فهمه لهذه الأعداد كان بدائيا. فيما بعد عمل عالم الرياضيات رافائيل بومبيلي في هذا المجال.

العمليات الأساسية

نفس العمليات والقواعد الحسابية في الأعداد الحقيقة  يمكن تطبيقها على الأعداد المركبة. باستعمال تجميعية الجمع وتوزيعية الضرب نحصل على ما يلي:

الجمع والطرح

تتم عملية الجمع كما يلي:
وكذلك عملية الطرح كما يلي:
يلاحظ أن الجزء الحقيقي للناتج هو محصلة الجزئين الحقيقيين للعددين، وبالمثل الجزء التخيلي للناتج هو محصلة الجزئين التخيليين للعددين.

الضرب والقسمة

تتم عملية الضرب كما يلي:
تتم عملية القسمة كما يلي:
بضرب البسط والمقام بمرافق المقام.

تمثيل الأعداد المركبة

إذا كان z عددا مركبا، و a و b عددين حقيقيين، و i هو الوحدة التخيلية، فمن الممكن تمثيل العدد المركب z كما يلي:

لحق نقطة ولحق متجهة

المستوى  منسوب لمعلم متعامد، متجانس (ممنظم) ، التطبيق الذي يربط كل عدد مركب  جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالنقطة M التي زوج احداثياتها 
 من ، هو تطبيق تقابلي والعدد المركب  يسمى 'لحق' النقطة M ويرمز له بالرمز 
التطبيق الذي يربط كل عدد مركب جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالمتجهة  من  التي أفصولها a وأرتوبها b، هو تطبيق تقابلي والعدد المركب  يسمى 'لحق' المتجهة .

نظرية التحكم

نظرية التحكم

جريان الموائع

انظر إلى جريان الموائع.

معالجة الإشارة

تستعمل الأعداد المركبة في معالجة الإشارة.

الهندسة الكسيرية

عد من الكسيريات يرسم في المستوى العقدي. على سبيل المثال مجموعة ماندلبرو ومجموعات جوليا.

المثلثات

انظر إلى مبرهنة ماردن وإلى دالة تكعيبية.

نظرية الأعداد الجبرية

لكل معادلة حدودية غير ثابتة وذات معاملات مركبة، كما سبق ذكر ذلك، حل في C. هذه  المسألة تبقى صحيحة حتى إذا كانت هؤلاء المعاملات أعدادا كسرية. جذور هذه المعادلات تسمى أعداد جبرية. تشكل الأعداد الجبرية موضوع دراسة أساسي في النظرية الجبرية للأعداد.
انظر إلى حقل (رياضيات) وإلى حقل الأعداد الجبرية وإلى جذور الوحدة (تحليل عقدي) وإلى تساعي (مضلع) وإلى إنشاءات الفرجار والمسطرة وإلى عدد طبيعي غاوسي وإلى مبرهنة فيرما حول مجموع مربعين.

نظرية الأعداد التحليلية

تدرس نظرية الأعداد التحليلية الأعداد الطبيعية والجذرية, مستغلة كونها قابلة للتمثيل على شكل أعداد عقدية. على سبيل المثال، ترتبط دالة زيتا لريمان ζ(s) بتوزيع الأعداد الأولية.

التاريخ

أول إشارة سريعة إلى الجذور المربعة للأعداد السالبة قد تعود إلى أعمال عالم الرياضيات الإغريقي هيرو السكندري, الذي عاش في القرن الأول بعد الميلاد.
انظر إلى جيرولامو كاردانو وإلى المبرهنة الأساسية في الجبر.