تحكم أمثل

نظرية التحكم الأمثل والتى تعتبر امتداد لحسابات التفاضل والتكامل هي عبارة عن طرق لأمثلة رياضية لأستنتاج أساليب وطرق للتحكم لاختيار العنصر الأمثل من بين مجموعة بدائل متاحة. وتعود هذه الطريقة لعمل العالم الرياضي ليف بونترياغين والذى كان يعمل في الاتحاد السوفيتى وكذلك العالم الرياضي Lev Richard Bellman  في الولايات المتحدة الأمريكية.

الطريقة العامة

يعتبر التحكم الأمثل طريقة رياضية لاجاد قيم لمتغيرات نظام ما بحيث تقود هذه القيم النظام لتتبع مسار او منحى امثل يحقق القيم القصوة او الدنيا لخاصية او دالة الكلفة  و التي تكون (القيم ) قابلة للقياس و المراقبة. وتحتوى المسألة الرياضية المعطاة على دالة الكلفة Cost function  وهي عبارة عن دالة لمتغيرات الحالة ومتغيرات التحكم. 
ويعتبرالتحكم الأمثل هو عبارة عن مجموعة من المعادلات التفاضلية لوصف مسارات متغيرات التحكم والتى تهدف لتصغير دالة الكلفة. ويمكن استنتاج التحكم الأمثل باستخدام قاعدة Pontryagin's maximum كشرط ضرورى ولازم necessary condition للتحكم الأمثل أو باستخدام قانون Hamilton–Jacobi–Bellman كشرط كافى sufficient condition للتحكم.
وللتوضيح يمكننا أخذ مثال بسيط كبداية لتوضيح التحكم الأمثل فاذا كان هناك سيارة تسير على طريق جبلى في خط مستقيم. وتعتبر معادلة التحكم الأمثل في هذاالمثال هي كيف يمكن لسائق السيارة التحكم في دواسة السرعة بحيث يمكنه تصغيروقت القيادة على قدر الإمكان . سنلاحظ ان هذا النظام يتكون من السيارة والطريق الذي تسير عليه وكذلك معيار _الأمثل في هذا المثال وهو تصغير وقت القيادة. وحيث أن مسائل التحكم دائما ما تحتوى على قيود ثانوية أو مساعدة لحل المسألة ففى مثال السيارة نجد أن كمية الوقود المتاحة محدودة وكذلك سرعة السيارة محدودة وكذلك لايمكن الضغط على دواسة البنزين في أي وقت.
وتعتبر دالة الكلفة في هذا المثال هي عبارة عن معادلة رياضية للتعبير عن وقت القيادة كدالة في سرعة السيارة و الاعتبارات الهندسية وكذلك الشروط الابتدائية للمسألة. وتعتبر المسألة في هذه الحالة هي الحالة التي تكون فيها القيود قابلة للتبديل والتعويض مع دالة الكلفة.
ويمكننا أخذ مثال آخر للتوضيح وهو نفس المسألة ولكن من ناحية أخرى وهي محاولة إيجاد أفضل طريق للسيارة للسير لتصغير كمية الوقود المستهلكة ؛ بحيث أنه معطى في المسألة ان هذه السيارة عليها إكمال دورة معينة بشرط عدم تجاوز استهلاك كمية محددة من الوقود.
وتقوم هذه الطريقة بشكل عام على النحو التالي وهو تصغير دالة الكلفة الاتية :
J =φ [X(t_0 )  ,t_0  ,X(t_f ),t_f]+  1/2  ∫_0^(t_f) L[X^T (t),u(t),t]  dt
لنفترض أن لدينا نظام على شاكلة :   [X ' (t) = a [X(t) , u(t) , t
معرضة لقيود المسار الاتية : b [X(t) ,u(t) ,t] ≤ 0 
ومعرضة أيضا للشروط الحدودية التالية :   φ [X(t_0 )  ,t_0  ,X(t_f ),t_f ]=0 
حيث أن  (X(t يعبر عن الحالة و (U(t  يعبر عن المتحكم و t  هو عبارة عن متغير مستقل وعادة ما يعبر عن الوقت و t_0   هو الوقت الابتدائي و t_f هو الوقت النهائي .
ومن الملاحظ أن مسائل المتحكم الأمثل من الممكن أن يكون ليها أكثر من حل أي أنه ليس لها حل وحيد وبالتالى فأن أي حل من هذه الحلول  [X*(t*) ,u*(t*) ,t*]  عبارة عن تصغير محلى للدالة.

الطرق العددية للتحكم الأمثل

إن مسائل التحكم الأمثل في الأغلب غير خطية، وبالتالي، ليس لها حلول تحليلية (على سبيل المثال، مثل التحكم الأمثل في المسائل من الدرجة الثانية). ونتيجة لذلك، فمن الضروري توظيف الطرق العددية لحل مشاكل التحكم الأمثل. في السنوات الأولى من التحكم الأمثل (حوالي1950إلى 1980) النهج المفضل لحل مشاكل التحكم الأمثل هو الطريقة الغير مباشرة Indirect methods. في الطريقة غير المباشرة، يتم فيها حساب التفاضل والتكامل للحصول على الشروط  المثالية من الدرجة الأولى. هذه الشروط تؤدي في نقطتين ( أو في حالة المشاكل المركبة ، ومتعددة النقط) مشكلة ذات قيمة محددة. هذه المشكلة المحددة القيمة -لديه في الواقع هيكل خاص لأنها تتكون  من اتخاذ مشتق من هاملتون  derivative of a Hamiltonian وهكذا، فإن النظام الديناميكي الناتج هو نظام هاميلتون علي شكل:
X'=∂H⁄∂λ
λ'=-∂H⁄∂x
حيث
H=L + λ^T a - µ^T b
هو هاملتون المعزز والطريقة غير المباشرة، يتم حل المشكلة المحددة القيمة  (باستخدام الشروط المناسبة من الناحية الحدود أو الناحية المستعرضة). إن الجميل في استخدام الطريقة الغير مباشرة هو الصلابة وتحديد الحالة (λ) والحل الناتج تم تحققيه ليكون المسار الأعظم. العيب في الطرق غير المباشرة هو أن مسألة القيمة المحددة غالبا ما تكون صعبة للغاية في حل (خاصة فيما يتعلق بالمشاكل التي تمتد فترات زمنية كبيرة أو مشاكل الشروط الداخلية لنقطة).ومن البرامج المعروفة التي تطبق الأساليب غير المباشرة هو[BNDSCO[4.
ان النهج الذي ارتفع إلى مكانة بارزة في التحكم الأمثل بالطرق العددية على مدى العقدين الماضيين (أي من 1980م  وحتى الوقت الحاضر) هو ما يسمى الأساليب المباشرة. في الطريقة المباشرة , يتم تقريب الدالة باستخدام دالة التقريب المناسبة (على سبيل المثال، وتقريب متعدد الحدود أو البارامترات المستمر piecewise). وفي نفس الوقت يتم تقريب تكلفة الوظيفة بوصفها وظيفة من حيث التكلفة. ثم، يتم التعامل مع معاملات الدالة التقريبية كالمتغيرات الأمثل ,ويتم التعبير عن مشكلة التحكم الأمثل الغير خطي علي صورة:
تقليل
(F(Z   
خاضعة للقيود الجبرية
g(Z)=0
h(Z)≤0
وهذا يتوقف على نوع من الطريقة المباشرة المستخدمة، وحجم المشكلة الأمثل اللاخطية يمكن أن تكون صغيرة جدا (على سبيل المثال، كما هو الحال في الإطلاق المباشر أو طريقة شبية الاخطاط)، معتدلة (مثل التحكم الأمثل [pseudospectral[5) أو قد تكون كبيرة جدا (على سبيل المثال ، وهي طريقة التجميع المباشر[6]). في الحالة الأخيرة (أي طريقة التجميع)، قد تكون المشكلة الأمثل اللاخطية تتكون من عشرات الآلاف من المتغيرات والمعوقات.

الأزمنة المنفصلة في التحكم الأمثل

لقد أظهرت الأمثلة حتى الآن أنظمة الزمن المتواصل وحلول تحكم. في الواقع، كما يتم الآن في كثير من الأحيان تنفيذ حلول التحكم الأمثل رقميا ، نظرية التحكم المعاصرة هي الآن المعنية في المقام الأول مع أنظمة الأزمنة المنفصلة والحلول. نظرية التقريب المتسقة توفر الشروط التي تعتبر بموجبها الحلول لسلسلة مشكلة التقريب باستخدام كميات منفصلة في التحكم الأمثل على  نحو متزايد من الدقة تتقارب بالنسبة للحل الأصلي، مشكلة الزمن المتواصل. ليس كل أساليب التقريب باستخدام كميات منفصلة لها هذه الخاصية، حتى تلك التي تبدو واضحة. على سبيل المثال،استخدام متغيرخطوة الحجم روتين لدمج مشكلة المعادلات الديناميكية قد تولد تدرج حيث أن هذا التدرج لا يتقارب إلى الصفر (أو نقطة في الاتجاه الصحيح)  كما الحل متوقع ان يقترب. وتستند الطريقة المباشرة RIOTS على نظرية التقريب المتسقة.

الأمثلة

إستراتيجية الحل الأكثر شيوعا في العديد من مشاكل التحكم الأمثل هو الحل للمضلع (التي تسمى أحيانا سعر الظل)(λ(t. يلخص طريقة المضلع في رقم واحد قيمة الهامشية للتوسيع أوالتعاقد لحاله متغير المنعطف التالي. قيمة الهامشية ليست فقط الأرباح التي تعود علي ذلك المنعطف التالي ولكن المرتبطة مع مدة البرنامج. فمن الجميل عندما (λ(t  يمكن حلها من الناحية التحليلية, ولكن عادة مايكون أكثر واحد غالبية يمكن القيام به هو وصف ذلك جيدا بما يكفى أن الحدس يمكن أن يدرك فهم طبيعة الحل و حلال المعادلة يمكن أن يقوم بالحل بطريقة عددية للقيم.
وبعد الحصول على (λ(t, عادة ما يمكن حل القيمة المثلى للسيطرة turn-t علي أنها المعادلة التفاضلية مشروطة بمعرفة (λ(t. مرة أخرى أنها نادرة، وخصوصا في مشاكل الزمن المتواصل، أن واحدا يحصل على قيمة السيطرة أو الحالة بشكل واضح. عادة الإستراتيجية هي القيام بالحل من أجل الحدود القصوى و المناطق التي تميز التحكم الأمثل واستخدام الحلال العددي لعزل قيم الاختيارالفعلية في الوقت المناسب.