text
stringlengths 2
130k
|
|---|
Funkcionalna analiza je usmerena na analiziranje n-dimenzionalnih prostora funkcija postavljajući time osnovu za izučavanje kvantne mehanike. |
Primenjena matematika koristi saznanja iz matematike kako bi došla do rešenja stvarnih problema. |
Primenjena matematika obuhvata: Važna oblast primenjene matematike su verovatnoća i statistika koje se bave izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. |
Numerička analiza izučava numeričke metode izračunavanja, a diskretna matematika je zajedničko ime za oblasti matematike koje se koriste u računarskim naukama. |
Istorija matematike se smatra stalno rastućom serijom apstrakcija. |
Prva apstrakcija, koju dele mnoge životinje, su verovatno bili brojevi: realizacija da kolekcije od dve jabuke i kolekcija od dve pomorandže (na primer) ima nešto zajedničko, naime kvantitet njihovih članova. |
Kao što to potvrđuju štapići za brojanje nađenih na kostima, osim sposobnosti da brojanja fizičkih objekata, moguće je da su praistorijski ljudi isto tako mogli da broje apstratkne kvantitete, poput vremena – dana, sezona, godina. |
Dokaz za kompleksniju matematiku se ne javljaju do oko 3000 p. n. e., kad Vavilonci i Egipćani počinju da koriste aritmetiku, algebru i geometriju za oporezivanje i drure finansijske proračune, za gradnju i konstrukciju, i za astronomiju. |
Najranija upotreba matematike je bila u oblastima trgovine, merenja zemljišta, slikanja i tkalačkim obrascima i zapisivanju vremena. |
U vavilonskoj matematici elementarna aritmetika (sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje) su se najranije pojavili sudeći po arheološkim rekordima. |
Računanje predatira pisanje. |
Vrojevni sistemi su bili mnogobrojni i raznovrsni. |
Prve poznate zapisane brojeve su ostavili Egipćani u tekstovima tokom Srednjeg kraljevstva kao što je Ahmesov papirus. |
Između 600 i 300 p. n. e. Stari Grci su počeli sistematsko izučavanje matematike. |
Tokom Zlatnog doba islama, a posebno tokom 9. i 10. veka, matematičari su proizveli mnoštvo važnih inovacija gradeći na temeljima grčke matematike: najveći deo tih otkrića su doprinosi persijskih matematičara kao što su el Horezmi, Omar Hajam i Šaraf el Din el Tusi. |
Sve do kraja 16. veka glavne grane matematike bile su geometrija, i aritmetika. |
U 16. veku počela se razvijati algebra, a u 17. veku stvaranje diferencijalnog i integralnog računa označilo je početak intenzivnog razvoja analize, koji je svoj vrhunac postigao u 18. veku. |
Nastale Teorije diferencijalnih jednačina postale su važno sredstvo u ispitivanju zakona prirode u klasičnoj i nebeskoj mehanici. |
Pojavom neeuklidskih geometrija, matematičke logike i teorije skupova u 19. veku započeta je kritička revizija do tada izgrađenih matematičkih teorija, što je bitno uticalo na karakter, metode i načine razvoja matematike 20. vek. |
U 20. veku, postojeće oblasti su se proširile, a razvijene su i nove oblasti, kao što su teorija verovatnoće, statistika, topologija, apstraktna algebra i druge. |
Danas se matematika jako razvila i ima primene u mnogo grana, kako prirodnih, tako i društvenih nauka. |
Važna grana primenjene matematike je Statistika (stohastička matematika), koja se bavi izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. |
Numerička matematika izučava numeričke metode izračunavanja, a diskretna matematika je zajedničko ime za više grana matematike koja se velikim delom koriste kao alati u računarskim naukama. |
Razvijena je i matematička teorija računarstva, kao i niz drugih interdisciplinarnih grana. |
Prema Đ.Poji, velikom metodičaru, učenje i nastava matematike zasnivaju se na sledećim osnovnim koncepcijama: Poja daje paralelu između nastave matematike i trgovine. |
Nastavnik prodaje nauku. |
Učenik je manje ili više zainteresovani kupac. |
Ako je prodavac u sukobu sa kupcima i potencijalni kupci mogu odustati od trgovine. |
Među najznačajnim zadacima prodavca smatra se da zainteresuje kupce za svoju robu. |
Dobri prodavci postoje zbog svojih kupaca uvažavajući ih i po njima, kupac je uvek u pravu. |
Za razumevanje i rešavanje problema u matematici neophodno je da učenik, osim učenja sadržaja matematike, ovlada osnovnim logičkim zakonima i formama mišljenja. |
Sa navedenim uslovima može se odgovoriti na pitanja: da li se nešto može i kako će se primeniti? |
Moramo vršiti određena istraživanja da bismo pronašli pravi put ka rešenju služeći se, pre svega, misaonim postupcima i metodama koje nas usmeravaju u istraživanju i omogućuju da brže pronađemo put do rešenja. |
Takođe se prilično često pokazalo da razvoj matematike ne mora nužno pratiti razvoj fizike ili neke druge konkretnije znanosti, to jest matematika se može razvijati sama za sebe, a primjena onoga što se dobije već se nađe tokom godina razvoja drugih nauka (primeri za to nisu odviše jednostavni, ali, recimo, Rimanov prostor je jedan primer za to - razvio se sam po sebi, a primenu je našao tek u teoriji relativnosti) Matematička analiza Matematička analiza (starogrčki ανάλυσις, análysis, rešenje) je oblast matematike koja između ostalog proučava granične vrednosti, integrale, izvode i redove. |
Oblast se pominje i pod imenima viša matematika, infinitezimalni račun, a u engleskoj literaturi kao Kalkulus (). |
To je veoma široka oblast matematike i predmet je višegodišnjih studija na fakultetima. |
U principu, deli se na dva dela: diferencijalni i integralni račun. |
Proučavanje beskonačnih redova i analitičkih funkcija takođe spada u domen analitičke matematike. |
Diferencijalni račun i diferenciranje proučavaju promene funkcija realnih promenljivih pri promenama nezavisne varijable, tj. nezavisne promenljive. |
Polazi se od problema nalaženja tangente na krivu, koji je prvi objavio Isak Barou (-{Isaac Barrow: Lectiones geometricae}-, 1670). |
Isak Njutn (-{Isaac Newton}-) je otkrio metod (1665-1666.) i sugerisao Isaku Barou, svom profesoru matematike, da metodu uključi u udžbenik. |
U svojoj prvobitnoj teoriji, Njutn je posmatrao funkciju kao promenljivu, fluentnu količinu, i razliku, ili iznos promene, nazvao fluks (-{fluxion}-). |
Definisao je nagib krive u tački kao priraštaj tangente na tu krivu u maloj okolini date tačke. |
Danas veoma poznatu binomnu teoremu Njutn je primenio da nađe granični slučaj, što znači da je diferencijalni račun Njutnu bio potreban za beskonačne nizove. |
Upotrebio je oznake iks, odnosno ipsilon sa tačkom iznad (formula_1) za fluks, i isto sa dve tačke iznad (formula_2) za fluks fluksa. |
Tako, ako je -{formula_3}-, gde je -{t}- vreme potrebno telu da bi se prešlo put -{h}-, tada je fluks iksa trenutna brzina, a fluks fluksa je trenutno ubrzanje. |
Lajbnic (-{Leibniz}-) je takođe otkrio istu metodu 1676. godine, objavio je 1684. |
Njutn je nije objavio sve do 1687. (u -{Philosophiae Naturalis Principia Mathematica}-, Matematički principi prirodne filozofije). |
Zato se razvila gorka rasprava oko prioriteta otkrića. |
Zapravo, danas je poznato, obojica su došli do istog otkrića nezavisno jedan od drugog. |
Savremena notacija duguje Lajbicu -{dy/dx}- i izduženo -{S}- (od suma) za integral. |
Integralni račun i integracija koriste se za izračunavanje površina, zapremina tela, dužina krive, težišta, momenta inercije. |
Vuče korene još od Eudoksa Knidskog (-{Eudoxus of Cnidus}-, 408-347. p. n. e.), grčkog astronoma i matematičara, i njegove metode iscrpljivanja iz perioda oko 360. p. n. e. Arhimed je u svom delu Metoda razvio način nalaženja površina ograničenih krivama, razmatrajući ih podeljene mnogobrojnim paralelnim linijama i proširio ideju na nalaženje zapremina nekih tela. |
Zbog toga ga neki nazivaju ocem integralnog računa. |
Početkom 17. veka, ponovo se pojavio interes za merenje zapremina integralnom metodom. |
Kepler je koristio procedure nalaženja zapremina tela uzimajući ih kao kompoziciju beskonačnog skupa infinitezimalno (beskonačno) malih elemenata (Stereometrija doliorum, Merenje zapremina buradi, 1615). |
Ove ideje je poopštio Kavalijeri (-{Cavalieri}-) u svom delu -{Geometria indivisibilibus continuorum nova}- (1635), u kojem je upotrebio ideju da se površina sastoji iz nedeljivih linija, a zapremina od nedeljivih površina. |
To je danas poznati Kavalijerijev princip, a takođe to je bio i koncept Arhimedove metode. |
Džon Valis u svom delu Beskonačna aritmetika (John Wallis, Arithmetica ifinitorum, 1655) je aritmetizovao Kavalijerove ideje. |
U tom razdoblju su infinitezimalne metode intenzivno korištene za traženje dužina krivih i površina. |
Negde u današnje vreme, integracija se počela tumačiti jednostavno kao operacija inverzna diferenciranju. |
Koši (Cauchy) je 1820-ih diferencijalni i integralni račun postavio na sigurnije osnove zasnivajući ih na limesu. |
Diferenciranje je definisao kao graničnu vrednost količnika, a integriranje kao graničnu vrednost zbira. |
Definiciju integrala pomoću granične vrednosti uopštio je Riman (Riemann). |
U dvadesetom veku, shvatanje integrala je prošireno. |
U početku, integriranje se odnosilo na elementarnu ideju merenja (merenje dužina, površina, zapremina) sa neprekidnim funkcijama. |
Sa pojavom teorije skupova, funkcije su se počele tretirati kao preslikavanja, ne obavezno neprekidna, i pojavilo se opštije i apstraktnije shvatanje mere. |
Lebeg (Lebesgue) je objavio definiciju integriranja zasnovanu na Lebegovoj meri skupa. |
Pojavio se Lebegov integral. |
Teorije matematičke analize se obično proučavaju u kontekstu realnih brojeva, kompleksnih brojeva, i realnih i kompleksnih funkcija. |
Međutim, one se mogu definisati i proučavatii u bilo kom drugom prostoru matematičkih objekata, koji ima definisanu blizinu (topološki prostor) ili specifičnije razdaljinu (metrički prostor). |
U matematici, metrički prostor je skup gde je pojam rastojanja (zvani metrika) između elemenata skupa definisan. |
Najveći deo analize se odvija u nekom metričkom prostoru; najšire korišćeni su realna linija, kompleksna ravan, Euklidov prostor, drugi vektorski prostori, i celi brojevi. |
Primeri analize bez metrika obuhvataju teoriju mera (koja opisuje veličinu, a ne rastojanje) i funkcionalnu analizu (koja izučava topološke vektorske prostore koji ne moraju da imaju nikakav osećaj za daljinu). |
Formalno, metrički prostor je uređeni par formula_4, gde je formula_5 skup, a formula_6 je metrika na formula_5, i.e., funkcija takva da za svako formula_9 važi sledeće: Polazeći od trećeg svojstva i uzimajući da je formula_14, može se pokazati da je formula_15 (ne-negativno). |
Niz je uređena lista. |
Poput skupa, on sadrži članove (koji se nazivaju i elementi). |
Za razliku od skupa, druge stvari, i isti elementi mogu da se pojave više puta na različitim pozicijama u nizu. |
Niz se najpreciznije može definisati kao funkcija čiji domen je prebrojiv totalno uređen skup, kao što su prirodni brojevi. |
Jedan od najvažnijih svojstava niza je konvergencija. |
Neformalno, niz konvergira ako ima limit. |
Nastavljajući informalno, (pojedinačno-beskonačno) niz ima limit ako se približava nekoj tačci x, zvanoj limit, kad -{n}- postane veoma veliko. |
Drugim rečima, za jedan apstraktni niz (-{a}-) (sa -{n}- u podrazumevanom opsegu od 1 do beskonačnosti) rastojanje između -{a}- i x se približava 0 kad -{n}- → ∞, što se označava sa Matematičku analizu čine sledeće oblasti: Realna analiza (tradicionalno, teorija funkcija realnih vrednosti) je grana matematičke analize koja se bavi realnim brojevima i realno-vrednosnim funkcijama realnih promennjivih. |
Specifično, ona se bavi analitičkim svojstvima realnih funkcija i nizova, uključujući konvergenciju i limite nizova realnih brojeva, kalkulus realnih brojeva, i neprekidnost, glatkost i srodna svojstva funkcija realnih vrednosti. |
Kompleksna analiza, tradicionalno poznata kao teorija funkcija kompleksnih promenljivih, je grana matematičke analize koja istražuje funkcije kompleksnih brojeva. |
To je korisno u mnogim granama matematike, uključujući algebarsku geometriju, teoriju brojeva, primenjenu matematiku; kao i u fizici, uključujući hidrodinamiku, termodinamiku, mašinstvo, elektrotehniku, i posebno, kvantnu teoriju polja. |
Kompleksnom analizom se specifično obuhvataju analitičke funkcije kompleksnih promenljivih (ili generalno meromorfne funkcije). |
Zbog toga što zasebni realni i imaginarni delovi analitičke funkcije moraju da zadovolje Laplasovu jednačinu, kompleksna analiza je široko primenljiva na dvodimenzione probleme u fizici. |
Funkcionalna analiza je grana matematičke analize, u čijoj osnovi je izučavanje vektoriskih prostora obogaćeno nekom vrstom strukture vezane za limite (e.g. unutrašlji proizvod, norma, topologija, etc.) i linearnim operatorima koji deluju na tim prostorima poštujući ove strukture u odgovarajućem smislu. |
Istorijski koreni funkcionalne analize leže u studijama funkcionih prostora i formulisanju svojstava transformacija funkcija poput Furijeve transformacije, kao transformacija kojima se definišu kontinuirani, unitarni i drugi operatori između funkcijskih prostora. |
Ispostavilo se da je ova tačka gledišta posebno korisna pri studiranju diferencijalnih i integralnih jednačina. |
Diferencijalna jednačina je matematička jednačina za jednu nepoznatu funkciju sa jednom ili nekoliko promenljivih koja povezuje vrednosti same funkcije i njenih izvoda raznih redova. |
Diferencijalne jednačine igraju prominentnu ulogu u inženjerstvu, fizici, ekonomiji, biologiji, i drugim disciplinama. |
Diferencijalne jednačine se javljaju u mnogim oblastima nauke i tehnologije, specifično kad god deterministička relacija obuhvata neke od neprekidno varirajućih kvantiteta (modelovanih funkcijama) i kad su njihove brzine promene u prostoru i vremenu (izražene u vidu derivata) poznate ili postulirane. |
Ovo je ilustrovano u klasičnoj mehanici, gde je kretanje tela opisano njegovom pozicijom i brzinom kao funkcija vremena. |
Njutnovi zakoni omogućavaju izražavanje (date pozicije, brzine, ubrzanja i raznih sila koje deluju na telo) tih promenljivih dinamički u vidu diferencijalne jednačine za nepoznatu poziciju tela kao funkcije vremena. |
U nekim slučajevima, ova diferencijalna jednačina (zvana jednačina kretanja) može da bude eksplicitno rešena. |
Mera na skupu je sistematski način dodeljivanja broja svakom podesnom podskupu datog skupa, intuitivno interpretirana kao njegova veličina. |
U tom smislu, mera je generalizacija koncepata dužine, površine i zapremine. |
Posebno važan primer je Lebegova mera na Euklidovom prostoru, kojom se dodeljuju konvencijalne dužine, površine, i zapremine Euklidove geometrije podesnim podskupovima formula_17-dimenzionog Euklidovog prostora formula_18. |