christopher/oeis · Datasets at Hugging Face

a-number stringlengths 7 7	sequence sequencelengths 1 377	description stringlengths 3 852
A361593	[ "1", "2", "3", "6", "11", "10", "9", "30", "7", "46", "83", "34", "163", "70", "267", "20", "357", "322", "699", "1378", "2399", "2238", "6015", "5326", "13579", "6230", "25135", "106", "31471", "14178", "45755", "15234", "75167", "68078", "8341", "151586", "228005", "193966", "573557", "248882", "1016405", "306474", "1571761", "361830", "2240065", "1043414", "3645309", "3464394" ]	a(1) = 1, a(2) = 2, a(3) = 3; for n > 3, a(n) is the smallest positive number which has not appeared such that all the distinct prime factors of a(n-3) + a(n-2) + a(n-1) are factors of a(n).
A361594	[ "1", "1", "4", "24", "180", "1620", "17040", "204960", "2770320", "41504400", "681791040", "12173293440", "234555773760", "4847900016960", "106932303878400", "2506094618227200", "62165827044921600", "1626693694039814400", "44767280999939097600", "1292282276155782912000" ]	Expansion of e.g.f. exp( (x / (1-x))^2 ) / (1-x).
A361595	[ "1", "1", "2", "12", "120", "1320", "15480", "199080", "2862720", "46146240", "826156800", "16212873600", "344741443200", "7875365097600", "192137321376000", "4984375210214400", "136994756496998400", "3976455027389644800", "121533921410994892800", "3900447928934548992000" ]	Expansion of e.g.f. exp( (x / (1-x))^3 ) / (1-x).
A361596	[ "1", "1", "3", "15", "99", "795", "7485", "80745", "981225", "13253625", "196834995", "3185662095", "55770765435", "1049572599075", "21120725230605", "452384160453225", "10272547048388625", "246434674107647025", "6226347228582355875", "165224032352989584975", "4593512876411509125075" ]	Expansion of e.g.f. exp( x^2/(2 * (1-x)^2) ) / (1-x).
A361597	[ "1", "1", "2", "7", "40", "320", "3130", "34930", "432320", "5866840", "86816800", "1395455600", "24270908200", "454897042600", "9146979842000", "196443726879400", "4486709145318400", "108548344109004800", "2771885136281060800", "74475606190225240000", "2099591224223100608000" ]	Expansion of e.g.f. exp( x^3/(6 * (1-x)^3) ) / (1-x).
A361598	[ "1", "2", "9", "58", "473", "4626", "52537", "677594", "9762993", "155175778", "2693718281", "50657791482", "1025158123849", "22198908725618", "511885585833273", "12517101011344666", "323402336324055137", "8800318580852865474", "251497162228635927433", "7529081846683064675258" ]	Expansion of e.g.f. exp( x/(1-x)^2 ) / (1-x).
A361599	[ "1", "2", "11", "88", "881", "10526", "145867", "2294636", "40302593", "780263866", "16483592171", "376901809472", "9265228770481", "243493769839958", "6808261249400171", "201697053847178836", "6308214318127014017", "207622266953125336946", "7170928402389293540683", "259247888385780787392296" ]	Expansion of e.g.f. exp( x/(1-x)^3 ) / (1-x).
A361600	[ "1", "1", "2", "1", "2", "5", "1", "2", "7", "16", "1", "2", "9", "34", "65", "1", "2", "11", "58", "209", "326", "1", "2", "13", "88", "473", "1546", "1957", "1", "2", "15", "124", "881", "4626", "13327", "13700", "1", "2", "17", "166", "1457", "10526", "52537", "130922", "109601", "1", "2", "19", "214", "2225", "20326", "145867", "677594", "1441729", "986410" ]	Square array T(n,k), n >= 0, k >= 0, read by antidiagonals downwards, where T(n,k) = n! * Sum_{j=0..n} binomial(n+(k-1)j,kj)/j!.
A361601	[ "1", "0", "9", "6", "0", "5", "6", "8", "1", "5", "2", "4", "0", "6", "2", "5", "4", "8", "9", "0", "6", "1", "7", "2", "6", "5", "6", "5", "6", "4", "1", "2", "5", "7", "3", "5", "6", "9", "5", "9", "4", "2", "4", "7", "2", "7", "3", "1", "8", "4", "0", "8", "6", "3", "3", "9", "9", "1", "0", "9", "6", "8", "7", "7", "7", "2", "0", "6", "7", "8", "8", "7", "1", "0", "9", "2", "9", "7", "0", "9", "1", "0", "7", "7", "9", "8", "7", "0", "6", "3", "1", "4", "8", "8", "8", "2", "5", "7", "5", "7", "5", "7", "6", "9", "1" ]	Decimal expansion of the maximum possible disorientation angle between two identical cubes (in radians).
A361602	[ "7", "1", "0", "9", "7", "4", "6", "0", "7", "6", "8", "6", "0", "5", "9", "1", "1", "9", "1", "6", "4", "3", "8", "9", "4", "4", "0", "4", "1", "5", "3", "7", "0", "1", "4", "9", "3", "3", "9", "2", "8", "6", "2", "1", "0", "3", "9", "4", "7", "6", "0", "5", "6", "3", "0", "7", "4", "1", "2", "3", "7", "4", "8", "0", "4", "2", "3", "8", "0", "0", "7", "2", "4", "4", "1", "5", "8", "7", "6", "7", "8", "7", "9", "1", "0", "5", "1", "3", "3", "2", "0", "4", "4", "7", "2", "6", "8", "6", "0", "6", "7", "2", "7", "1", "2" ]	Decimal expansion of the mean of the distribution of disorientation angles between two identical cubes (in radians).
A361603	[ "1", "9", "7", "4", "8", "3", "0", "2", "6", "7", "7", "9", "4", "9", "4", "1", "6", "4", "0", "2", "6", "0", "7", "9", "9", "2", "7", "7", "5", "3", "7", "8", "4", "2", "5", "4", "9", "8", "5", "3", "8", "6", "4", "7", "6", "3", "0", "2", "9", "8", "4", "5", "3", "7", "0", "8", "4", "9", "7", "9", "7", "4", "2", "3", "0", "3", "4", "2", "9", "1", "5", "2", "8", "1", "2", "1", "9", "1", "2", "7", "1", "8", "5", "7", "6", "0", "5", "5", "8", "0", "2", "5", "2", "6", "0", "6", "8", "1", "6", "1", "7", "7", "6", "9", "2" ]	Decimal expansion of the standard deviation of the distribution of disorientation angles between two identical cubes (in radians).
A361604	[ "7", "3", "8", "9", "9", "5", "9", "8", "6", "2", "8", "7", "6", "0", "5", "1", "0", "1", "7", "9", "6", "3", "4", "1", "1", "3", "5", "6", "1", "5", "8", "3", "5", "8", "2", "4", "7", "6", "4", "8", "1", "5", "9", "1", "7", "6", "4", "7", "0", "6", "0", "2", "0", "9", "4", "3", "0", "0", "4", "9", "7", "8", "0", "3", "0", "0", "5", "8", "7", "8", "3", "6", "3", "1", "8", "7", "1", "3", "8", "6", "4", "6", "1", "7", "2", "9", "7", "4", "8", "3", "7", "4", "5", "7", "0", "9", "1", "3", "6", "8", "0", "3", "0", "0", "3" ]	Decimal expansion of the median of the distribution of disorientation angles between two identical cubes (in radians).
A361605	[ "6", "4", "5", "8", "9", "6", "5", "0", "7", "8", "5", "1", "4", "9", "9", "4", "8", "2", "3", "5", "8", "7", "4", "1", "3", "8", "4", "2", "6", "5", "5", "2", "7", "1", "6", "2", "1", "6", "7", "5", "0", "3", "2", "6", "3", "0", "6", "1", "1", "1", "1", "7", "0", "2", "7", "3", "2", "9", "1", "2", "0", "4", "9", "9", "3", "8", "5", "5", "1", "4", "6", "1", "9", "3", "6", "7", "7", "7", "5", "7", "2", "1", "7", "1", "5", "2", "5", "9", "5", "1", "1", "4", "9", "1", "6", "6", "3", "5", "0", "5", "2", "1", "0", "8", "0" ]	Decimal expansion of the standard deviation of the probability distribution function of angles of random rotations in 3D space uniformly distributed with respect to Haar measure (in radians).
A361606	[ "1", "6", "10", "15", "12", "20", "45", "18", "40", "75", "24", "50", "105", "14", "30", "21", "28", "36", "63", "56", "48", "147", "98", "54", "189", "70", "60", "231", "22", "42", "33", "44", "72", "99", "88", "78", "143", "66", "26", "39", "84", "52", "91", "112", "104", "455", "80", "126", "35", "90", "154", "55", "100", "132", "135", "110", "96", "165", "130", "102", "85", "120", "34", "51", "108", "68", "153", "114" ]	Lexicographically earliest infinite sequence of distinct positive numbers such that, for n > 3, a(n) shares a factor with a(n-1) and a(n-2) but not with a(n-1) + a(n-2).
A361607	[ "1", "2", "9", "88", "1457", "35226", "1158097", "49554464", "2664907233", "175012404562", "13725980234201", "1263867766626312", "134795551989905809", "16464112185873351338", "2280346417134518709537", "355060682992984062716176" ]	a(n) = n! * Sum_{k=0..n} binomial(n+(n-1)k,nk)/k!.
A361608	[ "1", "924", "48804", "1337014", "26622288", "437049228", "6295986235", "82489361052", "1005444707211", "11576481361732", "127278262644918", "1346951022678114", "13803666582387682", "137633164619393268", "1340161331495822661", "12782144706910135480", "119711031072135899781", "1103157160378734314700", "10019811250265958667288" ]	a(n) = 7^n(n+1)(81n^4+684n^3+1401n^2+434n+40)/40.
A361609	[ "1", "20", "180", "1264", "7808", "44544", "240640", "1249280", "6291456", "30932992", "149159936", "707788800", "3313500160", "15334375424", "70262980608", "319169757184", "1438814044160", "6442450944000", "28673201668096", "126924873531392", "559101662724096", "2451910929940480", "10709243254538240", "46601700831657984" ]	a(n) = 4^n(1 + (23/8)n + (9/8)*n^2).
A361610	[ "1", "70", "1175", "13500", "128125", "1081250", "8421875", "61875000", "434765625", "2949218750", "19443359375", "125195312500", "790283203125", "4904785156250", "29998779296875", "181152343750000", "1081695556640625", "6394958496093750", "37471771240234375", "217819213867187500", "1257038116455078125" ]	a(n) = 5^n(n+1)(4n^2+14n+3)/3.
A361611	[ "4", "10", "25", "94", "115", "206", "221", "298", "391", "478", "511", "526", "551", "586", "655", "694", "703", "758", "779", "934", "949", "974", "989", "993", "1126", "1159", "1418", "1513", "1522", "1555", "1594", "1603", "1658", "1679", "1718", "1769", "2018", "2051", "2066", "2105", "2174", "2195", "2234", "2319", "2462", "2501", "2578", "2587", "2846", "2867", "2906", "2931", "2986", "3007" ]	Lexicographically least increasing sequence of semiprimes a(n) such that a(n) - a(n+1) and a(n) + a(n+1) are also semiprimes.
A361612	[ "3", "31", "316", "3162", "31622", "316227", "3162277", "31622776", "316227766", "3162277660", "31622776601", "316227766016", "3162277660168", "31622776601683", "316227766016837", "3162277660168379", "31622776601683793", "316227766016837933", "3162277660168379331", "31622776601683793319" ]	Decimal expansion of sqrt(10) truncated to n places (after the decimal point).
A361615	[ "1", "5", "25", "35", "625", "175", "15625", "385", "1225", "4375", "9765625", "1925", "244140625", "109375", "30625", "5005", "152587890625", "13475", "3814697265625", "48125", "765625", "68359375", "2384185791015625", "25025", "1500625", "1708984375", "148225", "1203125", "37252902984619140625", "336875", "931322574615478515625" ]	a(n) is the smallest 5-rough number with exactly n divisors.
A361616	[ "1", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "3", "7", "1", "1", "4", "15", "34", "1", "1", "5", "25", "103", "209", "1", "1", "6", "37", "214", "885", "1546", "1", "1", "7", "51", "373", "2293", "9051", "13327", "1", "1", "8", "67", "586", "4721", "29176", "106843", "130922", "1", "1", "9", "85", "859", "8481", "70981", "427189", "1425495", "1441729", "1" ]	Square array T(n,k), n >= 0, k >= 0, read by antidiagonals downwards, where T(n,k) = n! * Sum_{j=0..n} binomial(n+(k-1)*(j+1),n-j)/j!.
A361617	[ "1", "2", "15", "214", "4721", "146046", "5958367", "307382090", "19459587009", "1478414285146", "132440451881231", "13787717744245182", "1647673524863409265", "223671725058601427414", "34184743554559413628191", "5837132027535188545269106", "1106136052471647285563082497" ]	a(n) = n! * Sum_{k=0..n} binomial(n+(n-1)*(k+1),n-k)/k!.
A361618	[ "4", "0", "4", "2", "8", "3", "3", "4", "5", "0", "4", "4", "8", "9", "3", "5", "8", "5" ]	Decimal expansion of the mean of the distribution of the least of the nine acute angles between pairs of edges of two randomly disoriented cubes (in radians).
A361619	[ "1", "7", "9", "9", "7", "3", "0", "7", "2", "2", "8", "8", "5", "8", "0", "1", "2", "3" ]	Decimal expansion of the standard deviation of the distribution of the least of the nine acute angles between pairs of edges of two randomly disoriented cubes (in radians).
A361620	[ "4", "0", "4", "6", "2", "6", "8", "0", "0", "8", "3", "8", "5", "0", "1", "3", "8", "4", "7", "5", "1", "4", "4", "5", "0", "0", "3", "5", "7", "4", "1", "4", "1", "8", "3", "6", "4", "7", "2", "6", "7", "2", "3", "3", "6", "3", "2", "8", "7", "8", "7", "1", "8", "8", "0", "0", "2", "1", "0", "5", "9", "0", "6", "4", "9", "0", "1", "2", "9", "7", "2", "4", "8", "6", "7", "3", "5", "2", "3", "2", "0", "8", "3", "1", "7", "2", "2", "6", "8", "7", "8", "9", "1", "7", "1", "8", "2", "7", "8", "7", "9", "1", "0", "9", "7" ]	Decimal expansion of the median of the distribution of the least of the nine acute angles between pairs of edges of two randomly disoriented cubes (in radians).
A361621	[ "4", "0", "6", "8", "1", "1", "7", "8", "0", "1", "7", "4", "2", "0", "8", "7", "7", "1", "0", "1", "3", "8", "4", "2", "6", "8", "8", "1", "1", "8", "0", "8", "0", "8", "0", "3", "4", "4", "4", "4", "8", "6", "0", "9", "2", "9", "1", "3", "4", "6", "2", "7", "1", "7", "8", "7", "2", "0", "5", "0", "7", "9", "6", "3", "2", "3", "1", "9", "3", "8", "6", "4", "8", "8", "2", "0", "0", "7", "9", "5", "3", "9", "6", "7", "2", "4", "1", "0", "6", "1", "5", "7", "8", "6", "4", "6", "0", "3", "7", "0", "4", "7", "0", "8", "9" ]	Decimal expansion of the mode of the distribution of the least of the nine acute angles between pairs of edges of two randomly disoriented cubes (in radians).
A361622	[ "13", "46", "99", "164", "257", "370", "503", "648", "821", "1014", "1227", "1444", "1697", "1970", "2255" ]	Number of distinct circles that can be constructed from a point on the origin and n equally spaced points on each of the +x,-x,+y,-y coordinates axes using only a compass.
A361623	[ "0", "40", "60", "12", "0", "484", "583", "160", "28", "8", "0", "2196", "2416", "804", "104", "28", "0", "5676", "6616", "2184", "460", "40", "8", "13456", "16936", "5236", "1340", "104", "12", "4", "27512", "35032", "11796", "2400", "320", "28", "0", "4", "0", "50688", "65044", "22536", "4632", "584", "60", "12", "4", "8", "84300", "105860", "38024", "8124", "1080", "108" ]	Irregular table read by rows: T(n,k) is the number of k-gons, k>=2, among all distinct circles that can be constructed from a point on the origin and n equally spaced points on each of the +x,-x,+y,-y coordinates axes using only a compass.
A361624	[ "0", "2", "3", "2", "5", "3", "3", "4", "3", "3", "3", "3", "1", "4", "6", "2", "2", "3", "4", "7", "4", "8", "2", "3", "4", "6", "5", "7", "5", "6", "6", "3", "5", "7", "4", "5", "8", "5", "6", "6", "3", "0", "7", "7", "7", "7", "10", "7", "6", "6", "7", "4", "5", "5" ]	Number of distinct prime factors in decimal concatenation of integer (n, n-1, ..., 2, 1, 2, ..., n-1, n) = A007942(n).
A361625	[ "1", "1", "3", "7", "20", "60", "204", "702", "2526", "9180", "33989", "126713", "476597", "1802109", "6850969", "26151529", "100207548", "385217382", "1485216987", "5741240989", "22246000726", "86383317470", "336093551268", "1309997856337", "5114452295933", "19998171631076", "78306014924606", "307022177714062" ]	Number of free polyominoes with checkerboard-pattern-colored vertices with n cells.
A361626	[ "1", "3", "17", "139", "1437", "17711", "252133", "4059567", "72779129", "1435276027", "30836352441", "716101686323", "17858449006357", "475653606922599", "13467411746316557", "403708230041927191", "12767545998797849073", "424670548932688771187", "14814998283177691422049" ]	Expansion of e.g.f. exp( x/(1-x)^3 ) / (1-x)^2.
A361627	[ "18", "23", "24", "25", "30", "36", "42", "53", "54", "56", "57", "63", "78", "84", "85", "90", "99", "105", "111", "117", "123", "126", "129", "138", "154", "170", "177", "180", "190", "195", "207", "213", "222", "228", "230", "237", "238", "240", "245", "246", "252", "258", "270", "273", "275", "276", "282", "288", "297", "299", "303", "304", "309", "318", "319", "322", "327", "333", "339", "345" ]	Positive integers such that GCD(A007504(n),n) != 1.
A361630	[ "2", "3", "2", "5", "5", "7", "2", "3", "7", "11", "5", "13", "9", "4", "2", "17", "5", "19", "7", "5", "13", "23", "5", "5", "15", "3", "9", "29", "3", "31", "2", "7", "19", "6", "5", "37", "21", "8", "7", "41", "3", "43", "13", "4", "25", "47", "5", "7", "7", "10", "15", "53", "5", "8", "9", "11", "31", "59", "3", "61", "33", "5", "2", "9", "3", "67", "19", "13", "5", "71", "5", "73", "39", "4", "21", "9", "3" ]	a(n) is the numerator of the median of the distinct prime factors of n.
A361631	[ "1", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1" ]	a(n) is the denominator of the median of the distinct prime factors of n.
A361632	[ "2", "3", "2", "5", "5", "7", "2", "3", "7", "11", "2", "13", "9", "4", "2", "17", "3", "19", "2", "5", "13", "23", "2", "5", "15", "3", "2", "29", "3", "31", "2", "7", "19", "6", "5", "37", "21", "8", "2", "41", "3", "43", "2", "3", "25", "47", "2", "7", "5", "10", "2", "53", "3", "8", "2", "11", "31", "59", "5", "61", "33", "3", "2", "9", "3", "67", "2", "13", "5", "71", "2", "73", "39", "5", "2", "9", "3", "79" ]	a(n) is the numerator of the median of the prime factors of n with repetition.
A361633	[ "1", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1" ]	a(n) is the denominator of the median of the prime factors of n with repetition.
A361636	[ "1", "1", "1", "1", "121", "721", "2521", "6721", "128521", "1277641", "7539841", "32527441", "281835841", "3031468441", "23779315561", "139431015361", "962322302761", "9034098300361", "79726215362761", "569831799431881", "3952559737085401", "32660742079719601", "289694072383115401" ]	Diagonal of the rational function 1/(1 - vwxyz * (1 + 1/v + 1/w + 1/x + 1/y + 1/z)).
A361637	[ "1", "1", "1", "1", "25", "121", "361", "841", "4201", "25705", "118441", "423721", "1628881", "8065201", "41225185", "184416961", "768211081", "3420474121", "16620237001", "79922011465", "364149052705", "1638806098945", "7655390077105", "36739991161105", "174363209490625", "811840219629121", "3790118889635521" ]	Constant term in the expansion of (1 + x + y + z + 1/(xyz))^n.
A361639	[ "1", "1", "1", "2", "2", "2", "1", "3", "4", "3", "2", "1", "4", "4", "3", "2", "5", "6", "4", "6", "3", "5", "8", "8", "8", "6", "4", "9", "7", "13", "9", "10", "8", "12", "11", "9", "16", "12", "10", "6", "1", "13", "17", "13", "15", "19", "11", "16", "16", "12", "8", "17", "17", "23", "18", "13", "9", "26", "19", "18", "14", "20", "19", "15", "29", "10", "23", "16", "23", "24", "17", "24", "11", "18" ]	For n > 1, A359804(n) is a multiple of A361503(n-1); a(n) = A359804(n) / A361503(n-1).
A361640	[ "0", "1", "2", "4", "3", "8", "12", "5", "6", "16", "7", "24", "32", "9", "10", "20", "11", "64", "28", "13", "14", "48", "15", "128", "80", "17", "18", "36", "19", "40", "44", "21", "22", "56", "23", "192", "72", "25", "26", "52", "27", "256", "60", "29", "30", "96", "31", "384", "160", "33", "34", "68", "35", "88", "76", "37", "38", "104", "39", "112", "120", "41", "42", "84", "43" ]	a(0) = 0, a(1) = 1; thereafter let b be the least power of 2 that does not appear in the binary expansions of a(n-2) and a(n-1), then a(n) is the smallest multiple of b that is not yet in the sequence.
A361641	[ "0", "1", "2", "4", "3", "7", "8", "10", "5", "13", "14", "16", "6", "19", "20", "22", "9", "25", "26", "28", "15", "31", "32", "34", "11", "37", "38", "40", "18", "43", "44", "46", "12", "49", "50", "52", "27", "55", "56", "58", "29", "61", "62", "64", "30", "67", "68", "70", "21", "73", "74", "76", "39", "79", "80", "82", "33", "85", "86", "88", "42", "91", "92", "94", "17", "97", "98" ]	Inverse permutation to A361640.
A361642	[ "1", "1", "2", "1", "3", "2", "1", "4", "3", "2", "1", "5", "3", "4", "2", "1", "6", "4", "3", "5", "2", "1", "7", "4", "3", "5", "6", "2", "1", "8", "5", "6", "3", "4", "7", "2", "1", "9", "5", "4", "3", "7", "6", "8", "2", "1", "10", "6", "4", "8", "3", "7", "5", "9", "2", "1", "11", "6", "8", "5", "3", "9", "4", "7", "10", "2", "1", "12", "7", "5", "4", "10", "3", "8", "9", "6", "11", "2", "1", "13", "7", "5", "4", "6", "3", "11", "10", "9", "8", "12", "2", "1", "14", "8", "10", "11", "6", "12", "3", "9", "4", "5", "7", "13", "2" ]	Triangle read by rows where row n is a self-inverse permutation of 1..n formed starting from a column 1..n and sliding numbers to the right and down.
A361643	[ "0", "1", "2", "4", "1", "3", "5", "8", "2", "1", "6", "9", "16", "3", "5", "10", "17", "4", "3", "9", "7", "18", "12", "1", "3", "5", "11", "17", "6", "8", "33", "2", "5", "9", "3", "20", "10", "1", "7", "13", "19", "32", "36", "65", "34", "6", "129", "24", "3", "5", "11", "17", "68", "66", "257", "7", "40", "18", "33", "132", "3", "9", "5", "130", "14", "513", "21", "258", "9", "260", "3", "72", "7" ]	The binary expansion of a(n) specifies which primes divide A359804(n).
A361644	[ "0", "1", "2", "3", "3", "4", "7", "4", "5", "6", "7", "6", "7", "7", "8", "15", "8", "9", "14", "15", "8", "9", "10", "11", "12", "13", "14", "15", "8", "11", "12", "15", "12", "15", "12", "13", "14", "15", "14", "15", "15", "16", "31", "16", "17", "30", "31", "16", "17", "18", "19", "28", "29", "30", "31", "16", "19", "28", "31", "16", "19", "20", "23", "24", "27", "28", "31" ]	Irregular triangle T(n, k), n >= 0, k = 1..max(1, 2^(A005811(n)-1)), read by rows; the n-th row lists the integers with the same binary length as n and whose partial sums of run lengths are included in those of n.
A361645	[ "0", "1", "2", "2", "4", "5", "5", "4", "8", "9", "10", "10", "10", "10", "9", "8", "16", "17", "18", "18", "20", "21", "21", "20", "20", "21", "21", "20", "18", "18", "17", "16", "32", "33", "34", "34", "36", "37", "37", "36", "40", "41", "42", "42", "42", "42", "41", "40", "40", "41", "42", "42", "42", "42", "41", "40", "36", "37", "37", "36", "34", "34", "33", "32", "64", "65", "66", "66" ]	a(n) is the least k such that n appears in the k-th row of triangle A361644.
A361646	[ "0", "1", "2", "3", "4", "7", "5", "6", "8", "15", "9", "14", "10", "11", "12", "13", "16", "31", "17", "30", "18", "19", "28", "29", "20", "23", "24", "27", "21", "22", "25", "26", "32", "63", "33", "62", "34", "35", "60", "61", "36", "39", "56", "59", "37", "38", "57", "58", "40", "47", "48", "55", "41", "46", "49", "54", "42", "43", "44", "45", "50", "51", "52", "53", "64", "127", "65" ]	Distinct values of A361644, in order of appearance.
A361647	[ "0", "1", "2", "3", "4", "6", "7", "5", "8", "10", "12", "13", "14", "15", "11", "9", "16", "18", "20", "21", "24", "28", "29", "25", "26", "30", "31", "27", "22", "23", "19", "17", "32", "34", "36", "37", "40", "44", "45", "41", "48", "52", "56", "57", "58", "59", "53", "49", "50", "54", "60", "61", "62", "63", "55", "51", "42", "46", "47", "43", "38", "39", "35", "33", "64", "66", "68", "69" ]	Inverse permutation to A361646.
A361648	[ "1", "1", "2", "3", "6", "20", "80", "350", "1750", "10080", "64512", "450912", "3438204", "28471872", "253913088", "2424193200", "24687555750", "267199961600", "3062092267520", "37037541651968", "471565937953396", "6304419553216512", "88298062293762048", "1292879475255280640", "19753693667117055100" ]	Number of permutations p of [n] such that p(i), p(i+2), p(i+4),... form an updown sequence for i in {1,2}.
A361649	[ "1", "1", "6", "44", "380", "3768", "42112", "523072", "7141248", "106209920", "1708188416", "29525850624", "545607622144", "10730032423936", "223691600732160", "4926284479250432", "114255071320260608", "2783085758131765248", "71023717127647854592", "1894699527341113999360", "52730415074075898937344" ]	a(n) = (1+n)(2a(n-1) - (n-2)*a(n-2)) with a(0) = a(1) = 1.
A361650	[ "2", "3", "2", "5", "2", "3", "7", "2", "3", "2", "5", "11", "2", "13", "2", "7", "3", "5", "2", "17", "3", "19", "2", "3", "7", "2", "11", "23", "2", "5", "2", "13", "3", "2", "29", "2", "3", "5", "31", "2", "3", "11", "2", "17", "5", "7", "2", "3", "37", "2", "19", "3", "13", "2", "41", "2", "3", "7", "43", "2", "3", "2", "23", "47", "2", "7", "5", "3", "17", "2", "53", "3", "5", "11", "2", "3", "19", "2", "29", "59" ]	Irregular triangle read by rows in which the row n lists the prime factors of n having the highest multiplicity.
A361651	[ "1", "0", "1", "0", "1", "2", "0", "2", "3", "6", "0", "5", "6", "12", "24", "0", "16", "20", "30", "60", "120", "0", "61", "80", "90", "180", "360", "720", "0", "272", "350", "420", "630", "1260", "2520", "5040", "0", "1385", "1750", "2240", "2520", "5040", "10080", "20160", "40320", "0", "7936", "10080", "13440", "15120", "22680", "45360", "90720", "181440", "362880" ]	Number T(n,k) of permutations p of [n] such that p(i), p(i+k), p(i+2k),... form an updown sequence for i in [k]; triangle T(n,k), n>=0, 0<=k<=n, read by rows.
A361653	[ "0", "0", "1", "0", "3", "1", "5", "3", "11", "7", "17", "16", "32", "31", "52", "55", "90", "99", "144", "167", "236", "273", "371", "442", "587", "696", "901", "1078", "1379", "1651", "2074", "2489", "3102", "3707", "4571", "5467", "6692", "7982", "9696", "11543", "13949", "16563", "19891", "23572", "28185", "33299", "39640", "46737", "55418", "65164" ]	Number of even-length integer partitions of n with integer median.
A361655	[ "0", "1", "3", "4", "10", "6", "33", "8", "65", "68", "117", "12", "583", "14", "319", "1078", "1416", "18", "3341", "20", "8035", "5799", "1657", "24", "36708", "16954", "3496", "24553", "68528", "30", "192180", "32", "178802", "91561", "14625", "485598", "955142", "38", "29223", "316085", "2622697", "42", "3528870", "44", "2443527", "5740043" ]	Number of even-length integer partitions of 2n with integer mean.
A361656	[ "0", "1", "1", "2", "1", "2", "4", "2", "1", "9", "8", "2", "13", "2", "16", "51", "1", "2", "58", "2", "85", "144", "57", "2", "49", "194", "102", "381", "437", "2", "629", "2", "1", "956", "298", "2043", "1954", "2", "491", "2293", "1116", "2", "4479", "2", "6752", "14671", "1256", "2", "193", "8035", "4570", "11614", "22143", "2", "28585", "39810", "16476", "24691", "4566" ]	Number of odd-length integer partitions of n with integer mean.
A361657	[ "1", "1", "1", "1", "13", "61", "181", "421", "1261", "5293", "21421", "73261", "232321", "789361", "2954953", "11127481", "39961741", "139908301", "499315501", "1835933293", "6792310153", "24827506873", "90058277233", "328509505633", "1210097040769", "4473191880961", "16495696956961", "60721903812961" ]	Constant term in the expansion of (1 + x^2 + y^2 + 1/(x*y))^n.
A361658	[ "1", "1", "1", "1", "1", "1", "121", "841", "3361", "10081", "25201", "55441", "194041", "1287001", "7927921", "38438401", "152312161", "516079201", "1627691521", "5745472321", "25999820401", "133086258481", "651284938921", "2860955078521", "11312609403481", "42039298455001", "158864460354601", "658342633033801" ]	Constant term in the expansion of (1 + x^3 + y^3 + z^3 + 1/(xyz))^n.
A361662	[ "1", "4", "6", "8", "24", "48", "96", "12", "216", "24", "60", "48", "30", "96", "210", "32", "288", "216", "72", "24", "216", "60", "240", "48", "210", "36", "6480", "96", "15552", "4320", "7560", "64", "120", "288", "2520", "216", "5040", "72", "960", "768", "2520", "216", "576", "60", "83160", "240", "7680", "48", "18480", "13860", "7776", "144", "1152", "6480" ]	Least number k >= 1 such that A074206(k) is divisible by n.
A361663	[ "1", "3", "4", "5", "8", "12", "16", "6", "23", "8", "13", "12", "9", "16", "22", "10", "26", "23", "15", "8", "23", "13", "24", "12", "22", "11", "73", "16", "97", "64", "77", "14", "17", "26", "55", "23", "67", "15", "39", "35", "55", "23", "33", "13", "154", "24", "78", "12", "101", "93", "79", "19", "42", "73", "93", "16", "99", "97", "34", "64", "31", "77", "23", "18", "93", "17", "77" ]	A361662(n) = A025487(a(n)).
A361664	[ "1", "1", "1", "1", "4", "8", "16", "1", "28", "2", "4", "4", "1", "8", "5", "1", "32", "14", "4", "1", "12", "2", "16", "2", "3", "1", "1104", "4", "2944", "848", "804", "1", "4", "16", "164", "7", "544", "2", "64", "32", "140", "6", "32", "1", "6812", "8", "768", "1", "752", "286", "528", "4", "64", "552", "260", "2", "3904", "1472", "32", "424", "16", "402", "4", "1", "220", "2", "372", "8" ]	a(n) = A074206(A361662(n))/n.
A361665	[ "1", "1", "2", "3", "4", "8", "8", "13", "26", "20", "16", "44", "32", "48", "76", "75", "64", "176", "128", "132", "208", "112", "256", "308", "252", "256", "818", "368", "512", "604", "1024", "541", "544", "576", "768", "1460", "2048", "1280", "1376", "1076", "4096", "1888", "8192", "976", "3172", "2816", "16384", "2612", "2568", "2316", "3392", "2496", "32768" ]	Number of ordered factorizations of p_1^x_1 * ... * p_k^x_k, where (x_1, ..., x_k) is the partition with Heinz number n and p_1, ..., p_k are distinct primes.
A361666	[ "1", "3", "4", "5", "10", "14", "22", "6", "25", "10", "12", "14", "8", "22", "16", "11", "33", "25", "15", "10", "25", "12", "28", "14", "16", "9", "98", "22", "143", "75", "100", "13", "20", "33", "60", "25", "84", "15", "52", "38", "60", "25", "39", "12", "200", "28", "92", "14", "112", "72", "80", "21", "51", "98", "72", "22", "170", "143", "42", "75", "44", "100", "25", "17", "72" ]	Least number k >= 1 such that A361665(k) is divisible by n.
A361667	[ "1", "1", "1", "1", "4", "8", "16", "1", "28", "2", "4", "4", "1", "8", "5", "1", "32", "14", "4", "1", "12", "2", "16", "2", "3", "1", "1104", "4", "2944", "454", "804", "1", "4", "16", "164", "7", "544", "2", "64", "32", "140", "6", "32", "1", "6812", "8", "768", "1", "752", "286", "204", "4", "64", "552", "260", "2", "3904", "1472", "32", "227", "16", "402", "4", "1", "220", "2", "372", "8" ]	a(n) = A361665(A361666(n))/n.
A361668	[ "30", "51", "60", "89", "102", "105", "113", "119", "120", "128", "135", "145", "149", "150", "153", "168", "178", "179", "181", "191", "200", "204", "210", "215", "219", "221", "224", "226", "238", "240", "245", "248", "256", "257", "267", "270", "277", "281", "290", "298", "299", "300", "305", "306", "313", "317", "323", "336", "343", "345", "349", "356", "357" ]	Numbers k such that A361662(k) != A181821(A361666(k)).
A361670	[ "1", "3", "6", "10", "15", "21", "7", "1", "5", "55", "66", "78", "91", "105", "30", "34", "17", "19", "190", "210", "231", "253", "69", "3", "13", "39", "42", "406", "435", "465", "31", "33", "561", "595", "70", "74", "703", "741", "195", "205", "861", "903", "946", "110", "115", "1081", "282", "6", "1", "51", "1326", "1378", "159", "165", "385", "399", "1653", "1711", "1770", "1830", "1891", "217", "14", "130", "2145", "2211", "2278" ]	Squarefree part of the n-th triangular number.
A361671	[ "1", "1", "10", "5", "35", "14", "21", "30", "165", "55", "286", "91", "455", "35", "170", "51", "969", "285", "1330", "385", "1771", "506", "23", "26", "13", "91", "406", "1015", "4495", "310", "341", "374", "6545", "1785", "7770", "2109", "9139", "2470", "2665", "2870", "12341", "3311", "14190", "3795", "16215", "1081", "94", "1", "17", "221", "23426", "689", "2915", "770", "7315", "7714", "32509", "8555" ]	Squarefree part of the n-th tetrahedral number.
A361672	[ "1", "1", "5", "10", "2", "1", "10", "5", "24", "12", "47", "71", "131", "216", "72", "9", "98", "49", "166", "83", "270", "135", "428", "107", "560", "280", "867", "1175", "2071", "3276", "5378", "2689", "8100", "4050", "810", "45", "892", "446", "1377", "1863", "3281", "5186", "8510", "4255", "851", "37", "935", "1020", "2004", "1002", "334", "167", "554", "277", "886" ]	a(1) = a(2) = 1; for n > 2, a(n) = a(n-2) + a(n-1) + n if a(n-1) and n are coprime, otherwise a(n) = a(n-1)/gcd(a(n-1), n).
A361673	[ "1", "1", "1", "1", "1", "61", "361", "1261", "3361", "7561", "34021", "235621", "1294921", "5482621", "19039021", "65345281", "286147681", "1511480881", "7688794681", "34337600281", "138221512741", "554603041441", "2454508134541", "11874549049441", "57412094595241", "261925516443361", "1134301869703861" ]	Constant term in the expansion of (1 + xy + yz + zx + 1/(xy*z))^n.
A361674	[ "0", "1", "2", "2", "3", "4", "5", "5", "5", "6", "4", "5", "6", "7", "8", "9", "10", "11", "9", "10", "10", "10", "11", "10", "11", "12", "13", "10", "13", "9", "10", "13", "14", "8", "9", "10", "11", "12", "13", "14", "15", "16", "17", "18", "19", "20", "21", "22", "23", "17", "18", "21", "22", "18", "21", "18", "19", "20", "21", "20", "21", "21", "21", "22", "20", "21", "22", "23", "20", "21", "22", "23", "24", "25", "26", "27" ]	Irregular triangle T(n, k), n >= 0, k = 1..2^A092339(n), read by rows; the n-th row lists the numbers k such that n appears in the k-th row of A361644.
A361675	[ "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "841", "6721", "30241", "100801", "277201", "665281", "1441441", "10450441", "118918801", "917716801", "5162277121", "23183465761", "88037913601", "293383742401", "988690080001", "4810025534161", "33669381872281", "234722545854721", "1407984124932001", "7219196588604001" ]	Constant term in the expansion of (1 + xyz + wyz + wxz + wxy + 1/(wxy*z))^n.
A361676	[ "0", "1", "2", "3", "5", "5", "6", "7", "11", "10", "10", "11", "13", "13", "14", "15", "23", "22", "21", "21", "21", "21", "22", "23", "27", "26", "26", "27", "29", "29", "30", "31", "47", "46", "45", "45", "43", "42", "42", "43", "43", "42", "42", "43", "45", "45", "46", "47", "55", "54", "53", "53", "53", "53", "54", "55", "59", "58", "58", "59", "61", "61", "62", "63", "95", "94", "93" ]	a(n) is the greatest k such that n appears in the k-th row of triangle A361644.
A361677	[ "1", "1", "1", "19", "73", "181", "1711", "10081", "38809", "256033", "1696861", "8388271", "49449511", "326195299", "1847392093", "10789655059", "69202030969", "418647580489", "2498113460881", "15735859252147", "97919649290053", "598317173139313", "3748943081117323" ]	Constant term in the expansion of (1 + x + y + z + 1/(xy) + 1/(yz) + 1/(z*x))^n.
A361678	[ "1", "1", "1", "1", "97", "481", "1441", "3361", "77281", "647137", "3195361", "11674081", "116286721", "1147935361", "7611379777", "37451144641", "263670781921", "2456043418081", "19073086806241", "115319128034017", "748239468100417", "6179458007222977", "50636218964639617", "350400618132423937" ]	Constant term in the expansion of (1 + w + x + y + z + 1/(xyz) + 1/(wyz) + 1/(wxz) + 1/(wxy))^n.
A361679	[ "3", "3", "5", "3", "7", "11", "3", "5", "13", "17", "5", "7", "11", "19", "29", "3", "11", "13", "23", "37", "41", "3", "7", "29", "31", "29", "43", "59", "7", "11", "19", "41", "37", "53", "67", "71", "11", "13", "23", "37", "47", "43", "59", "79", "101", "7", "29", "37", "29", "43", "71", "67", "71", "97", "107", "5", "37", "59", "61", "53", "67", "107", "73", "89", "103", "137" ]	A(n,k) is the n-th prime p such that p + 2^k is also prime; square array A(n,k), n>=1, k>=1, read by antidiagonals.
A361680	[ "3", "7", "11", "31", "47", "67", "83", "163", "179", "193", "263", "367", "389", "499", "563", "571", "887", "967", "1229", "1087", "1367", "1873", "1289", "2647", "1907", "2083", "1979", "2557", "2267", "3697", "2909", "3121", "3761", "4507", "4373", "4723", "5279", "5857", "6359", "6793", "7727", "8167", "7853", "6823", "6779", "8059", "9479", "10567" ]	The n-th prime p such that p + 2^n is also prime.
A361682	[ "1", "1", "1", "1", "3", "1", "1", "6", "5", "1", "1", "10", "13", "7", "1", "1", "15", "25", "22", "9", "1", "1", "21", "41", "46", "33", "11", "1", "1", "28", "61", "79", "73", "46", "13", "1", "1", "36", "85", "121", "129", "106", "61", "15", "1", "1", "45", "113", "172", "201", "191", "145", "78", "17", "1", "1", "55", "145", "232", "289", "301", "265", "190", "97", "19", "1" ]	Array read by descending antidiagonals. A(n, k) is the number of multiset combinations of {0, 1} whose type is defined in the comments. Also A(n, k) = hypergeom([-k, -2], [1], n).
A361683	[ "4", "64", "4", "7168", "4", "606528", "4", "64", "4", "4194304", "4" ]	a(n) is the least k such that tau(k) divides sigma_n(k) but not sigma(k), or -1 if no such k exists.
A361687	[ "1", "2", "3", "3", "3", "5", "3", "4", "5", "6", "3", "8", "3", "6", "8", "5", "3", "9", "3", "8", "9", "6", "3", "11", "5", "6", "7", "8", "3", "16", "3", "6", "9", "6", "8", "14", "3", "6", "9", "11", "3", "16", "3", "9", "13", "6", "3", "14", "5", "10", "9", "9", "3", "13", "9", "11", "9", "6", "3", "24", "3", "6", "14", "7", "9", "16", "3", "9", "9", "17", "3", "18", "3", "6", "14", "9", "8", "17", "3", "14", "9", "6", "3", "24", "9", "6", "9", "11" ]	The number of divisors of 2*n^2 which are <=n.
A361688	[ "1", "2", "71", "10915", "4063645", "2842101221", "3255178907803", "5605980824208871", "13710496284516264953", "45746570903514799640905", "202291094041887013214628871", "1160411497892246920315488823067", "8496377826955803443098054623140629", "78398366060939693412478828210386035725" ]	a(n) = A361540(2n,n) / binomial(2n,n) for n >= 0.
A361689	[ "2", "4", "6", "6", "6", "12", "6", "8", "10", "12", "6", "18", "6", "12", "18", "10", "6", "20", "6", "18", "18", "12", "6", "24", "10", "12", "14", "18", "6", "36", "6", "12", "18", "12", "18", "30", "6", "12", "18", "24", "6", "36", "6", "18", "30", "12", "6", "30", "10", "20", "18", "18", "6", "28", "18", "24", "18", "12", "6", "54", "6", "12", "30", "14", "18", "36", "6", "18", "18", "36", "6", "40", "6", "12", "30", "18", "18", "36", "6", "30" ]	The number of divisors of 2*n^2.
A361690	[ "0", "2", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "0", "0", "3", "4", "0", "3", "0", "2", "1", "1", "3", "0", "0", "1", "0", "2", "1", "5", "1", "1", "2", "1", "0", "1", "2", "2", "2", "2", "1", "1", "2", "3", "0", "1", "3", "1", "0", "0", "1", "2", "2", "0", "3", "0", "2", "0", "0", "1", "3", "0", "1", "3", "0", "1", "2", "3", "1", "2", "2", "1", "1", "2", "3", "2", "4", "2", "2", "1", "2", "4", "1", "3", "0", "3", "2", "1", "2", "0" ]	Number of primes in the interval [2^n, 2^n + n].
A361693	[ "2", "3", "6", "12", "19", "21", "29", "31", "39", "47", "49", "58", "65", "67", "75", "85", "93", "95", "104", "111", "113", "123", "131", "139", "150", "157", "159", "167", "169", "177", "196", "203", "213", "215", "231", "233", "242", "251", "259", "269", "277", "279", "295", "297", "305", "307", "325", "343", "351", "353", "361", "369", "371", "387", "397", "407", "415", "417", "426", "433", "435", "453", "472", "479" ]	Index of where prime(n) first appears as a divisor of any term in A351495.
A361695	[ "1", "14", "574", "3542", "18494", "43414", "145222", "235998", "591934", "860846", "1779974", "2256422", "4678982", "5195750", "9675918", "10983742", "18942014", "19873966", "35294686", "34670454", "57349894", "59707494", "92513302", "90116222", "149759302", "135668414", "213025750", "209185718", "311753358", "287144326", "450333422" ]	Number of ways of writing n^2 as a sum of seven squares.
A361698	[ "1", "1", "2", "8", "37", "181", "1010", "6135", "40893", "295753", "2317683", "19568427", "177397551", "1719790643", "17767328745", "194954224643", "2265042428226", "27785727158182", "358952560098959", "4871697965709175", "69309502018430799", "1031550920679805502", "16030923441853969843", "259682356008358417321", "4377679648827121988375" ]	The number of unlabeled connected 4 regular multigraphs on n nodes with 4 external legs, loops allowed.
A361699	[ "1", "1", "1", "1", "1", "21", "121", "421", "1121", "2521", "6301", "23101", "99001", "386101", "1301301", "3943941", "11779041", "38241841", "136988041", "504616441", "1793870941", "6061831441", "19923689941", "66139128441", "227052188441", "800641330721", "2831644750221", "9870443816221", "33869987735221" ]	Constant term in the expansion of (1 + x^3 + y^3 + 1/(x*y))^n.
A361700	[ "1", "1", "1", "1", "1", "1", "31", "211", "841", "2521", "6301", "13861", "30691", "90091", "360361", "1501501", "5645641", "18749641", "56063281", "157520641", "445836901", "1368402421", "4638690211", "16511900791", "58059667051", "195211574251", "625463703151", "1942351017751", "6016826006101", "19113287111101" ]	Constant term in the expansion of (1 + x^4 + y^4 + 1/(x*y))^n.
A361701	[ "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "211", "1681", "7561", "25201", "69301", "166321", "360361", "990991", "5405401", "34834801", "187867681", "833709241", "3153281041", "10491944401", "31945216801", "97323704941", "345845431471", "1529597398561", "7451402805001", "35092646589001", "151591791651301" ]	Constant term in the expansion of (1 + x^4 + y^4 + z^4 + 1/(xyz))^n.
A361703	[ "1", "1", "1", "1", "1", "121", "721", "2521", "6721", "15121", "143641", "1302841", "7579441", "32586841", "113753641", "509068561", "3599319361", "25076993761", "142188273361", "662296228561", "2933770097881", "15581813723281", "99333170493481", "623696622059281", "3466773281312881", "17406784944114721" ]	Constant term in the expansion of (1 + w + x + y + z + 1/(wxy*z))^n.
A361704	[ "1", "1", "1", "1", "1", "1", "361", "2521", "10081", "30241", "75601", "166321", "1580041", "16833961", "114594481", "569368801", "2273150881", "7723366561", "30024671041", "193227592321", "1460787267601", "9492136169041", "50996729017081", "232560967743721", "973251617544361", "4464217099881001" ]	Constant term in the expansion of (1 + w^2 + x^2 + y^2 + z^2 + 1/(wxy*z))^n.
A361705	[ "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1681", "15121", "75601", "277201", "831601", "2162161", "5045041", "10810801", "54054001", "592191601", "5035670641", "31553973361", "157346607601", "660308770801", "2420415874801", "7951853614321", "24853781309281", "91246800876001", "497098157556001", "3346262924004001" ]	Constant term in the expansion of (1 + w^4 + x^4 + y^4 + z^4 + 1/(wxy*z))^n.
A361706	[ "2", "7", "9", "19", "15", "37", "21", "50", "39", "65", "35", "116", "45", "91", "87", "134", "63", "174", "71", "200", "125", "155", "87", "322", "125", "197", "172", "282", "113", "383", "131", "349", "217", "271", "213", "555", "161", "311", "267", "546", "183", "555", "195", "482", "402", "379", "215", "857", "267", "546", "369", "602", "245", "768", "349", "774", "421", "503", "281", "1204", "287", "561", "582", "875", "425" ]	Inverse Moebius transform applied twice to primes.
A361707	[ "2", "-1", "1", "3", "7", "5", "13", "8", "15", "9", "27", "10", "37", "11", "23", "22", "55", "8", "63", "18", "37", "19", "79", "12", "77", "21", "62", "32", "105", "-5", "123", "44", "73", "23", "101", "23", "153", "31", "83", "44", "175", "7", "187", "60", "84", "35", "207", "38", "195", "20", "113", "72", "237", "18", "181", "76", "133", "55", "273", "34", "279", "41", "148", "102", "217" ]	Moebius transform applied twice to primes.
A361708	[ "1", "5", "7", "13", "10", "21", "13", "27", "22", "30", "19", "49", "22", "39", "40", "52", "27", "63", "29", "68", "51", "56", "35", "98", "46", "64", "61", "87", "43", "114", "46", "98", "73", "80", "72", "142", "53", "87", "83", "138", "58", "145", "61", "126", "118", "103", "66", "189", "81", "135", "103", "144", "75", "177", "104", "178", "113", "127", "82", "254", "85", "135", "152", "185", "119" ]	Inverse Moebius transform of nonprimes.
A361710	[ "0", "1", "-1", "-8", "15", "126", "-280", "-2400", "5775", "50050", "-126126", "-1100736", "2858856", "25069968", "-66512160", "-585307008", "1577585295", "13919870250", "-37978905250", "-335813478000", "925166131890", "8194328596740", "-22754499243840", "-201822515032320", "564121960420200", "5009403008531376" ]	a(n) = Sum_{k = 0..n-1} (-1)^kbinomial(n,k)binomial(n-1,k)^2.
A361711	[ "1", "1", "-8", "5", "126", "-168", "-2400", "4125", "50050", "-98098", "-1100736", "2339064", "25069968", "-56279520", "-585307008", "1367240589", "13919870250", "-33510798750", "-335813478000", "827780223270", "8194328596740", "-20587404077760", "-201822515032320", "515067876905400", "5009403008531376", "-12953308371172848" ]	a(1) = 1 and a(n) = Sum_{k = 0..n-2} (-1)^k * binomial(n,k)^2 * binomial(n-2,k) for n >= 2.
A361712	[ "0", "1", "25", "649", "16921", "448751", "12160177", "336745053", "9513822745", "273585035755", "7988828082775", "236367018090017", "7072779699975601", "213701611408357567", "6511338458568750853", "199850727914988936149", "6173376842290368719385", "191776434791965521115235", "5987554996434696230487955" ]	a(n) = Sum_{k = 0..n-1} binomial(n,k)^2binomial(n+k,k)binomial(n+k-1,k).
A361713	[ "0", "1", "17", "406", "10257", "268126", "7213166", "198978074", "5609330705", "161095277710", "4700175389142", "138986764820410", "4157185583199534", "125568602682092818", "3825026187780837266", "117376010145070696906", "3625095243230562818065", "112596592142021739522670", "3514965607470183733302470" ]	a(n) = Sum_{k = 0..n-1} binomial(n,k)^2 * binomial(n+k-1,k)^2.
A361714	[ "0", "1", "7", "82", "1063", "14376", "199204", "2806770", "40053031", "577468684", "8397778882", "123029274666", "1814016998116", "26898142793068", "400836647993292", "5999796281063082", "90162110212198695", "1359731143731297396", "20571691450059355174", "312134224830052880826", "4748435338386591995938" ]	a(n) = Sum_{k = 0..n-1} (-1)^(n+k+1)binomial(n,k)binomial(n+k-1,k)^2.
A361715	[ "0", "1", "9", "82", "745", "6876", "64764", "621860", "6070761", "60085720", "601493134", "6078225792", "61907445340", "634751002718", "6545478537810", "67830084149832", "705950951578089", "7375212511115184", "77310175072063914", "812839577957617640", "8569327793354169870", "90562666708303706642", "959212007563384494522", "10180245921386807485152" ]	a(n) = Sum_{k = 0..n-1} binomial(n,k)^2*binomial(n+k-1,k).
A361716	[ "0", "1", "-3", "-8", "45", "126", "-840", "-2400", "17325", "50050", "-378378", "-1100736", "8576568", "25069968", "-199536480", "-585307008", "4732755885", "13919870250", "-113936715750", "-335813478000", "2775498395670", "8194328596740", "-68263497731520", "-201822515032320" ]	a(n) = Sum_{k = 0..n-1} (-1)^kbinomial(n,k)^2binomial(n-1,k).

A361593

[ "1", "2", "3", "6", "11", "10", "9", "30", "7", "46", "83", "34", "163", "70", "267", "20", "357", "322", "699", "1378", "2399", "2238", "6015", "5326", "13579", "6230", "25135", "106", "31471", "14178", "45755", "15234", "75167", "68078", "8341", "151586", "228005", "193966", "573557", "248882", "1016405", "306474", "1571761", "361830", "2240065", "1043414", "3645309", "3464394" ]

a(1) = 1, a(2) = 2, a(3) = 3; for n > 3, a(n) is the smallest positive number which has not appeared such that all the distinct prime factors of a(n-3) + a(n-2) + a(n-1) are factors of a(n).

A361594

[ "1", "1", "4", "24", "180", "1620", "17040", "204960", "2770320", "41504400", "681791040", "12173293440", "234555773760", "4847900016960", "106932303878400", "2506094618227200", "62165827044921600", "1626693694039814400", "44767280999939097600", "1292282276155782912000" ]

Expansion of e.g.f. exp( (x / (1-x))^2 ) / (1-x).

A361595

[ "1", "1", "2", "12", "120", "1320", "15480", "199080", "2862720", "46146240", "826156800", "16212873600", "344741443200", "7875365097600", "192137321376000", "4984375210214400", "136994756496998400", "3976455027389644800", "121533921410994892800", "3900447928934548992000" ]

Expansion of e.g.f. exp( (x / (1-x))^3 ) / (1-x).

A361596

[ "1", "1", "3", "15", "99", "795", "7485", "80745", "981225", "13253625", "196834995", "3185662095", "55770765435", "1049572599075", "21120725230605", "452384160453225", "10272547048388625", "246434674107647025", "6226347228582355875", "165224032352989584975", "4593512876411509125075" ]

Expansion of e.g.f. exp( x^2/(2 * (1-x)^2) ) / (1-x).

A361597

[ "1", "1", "2", "7", "40", "320", "3130", "34930", "432320", "5866840", "86816800", "1395455600", "24270908200", "454897042600", "9146979842000", "196443726879400", "4486709145318400", "108548344109004800", "2771885136281060800", "74475606190225240000", "2099591224223100608000" ]

Expansion of e.g.f. exp( x^3/(6 * (1-x)^3) ) / (1-x).

A361598

[ "1", "2", "9", "58", "473", "4626", "52537", "677594", "9762993", "155175778", "2693718281", "50657791482", "1025158123849", "22198908725618", "511885585833273", "12517101011344666", "323402336324055137", "8800318580852865474", "251497162228635927433", "7529081846683064675258" ]

Expansion of e.g.f. exp( x/(1-x)^2 ) / (1-x).

A361599

[ "1", "2", "11", "88", "881", "10526", "145867", "2294636", "40302593", "780263866", "16483592171", "376901809472", "9265228770481", "243493769839958", "6808261249400171", "201697053847178836", "6308214318127014017", "207622266953125336946", "7170928402389293540683", "259247888385780787392296" ]

Expansion of e.g.f. exp( x/(1-x)^3 ) / (1-x).

A361600

[ "1", "1", "2", "1", "2", "5", "1", "2", "7", "16", "1", "2", "9", "34", "65", "1", "2", "11", "58", "209", "326", "1", "2", "13", "88", "473", "1546", "1957", "1", "2", "15", "124", "881", "4626", "13327", "13700", "1", "2", "17", "166", "1457", "10526", "52537", "130922", "109601", "1", "2", "19", "214", "2225", "20326", "145867", "677594", "1441729", "986410" ]

Square array T(n,k), n >= 0, k >= 0, read by antidiagonals downwards, where T(n,k) = n! * Sum_{j=0..n} binomial(n+(k-1)*j,k*j)/j!.

A361601

[ "1", "0", "9", "6", "0", "5", "6", "8", "1", "5", "2", "4", "0", "6", "2", "5", "4", "8", "9", "0", "6", "1", "7", "2", "6", "5", "6", "5", "6", "4", "1", "2", "5", "7", "3", "5", "6", "9", "5", "9", "4", "2", "4", "7", "2", "7", "3", "1", "8", "4", "0", "8", "6", "3", "3", "9", "9", "1", "0", "9", "6", "8", "7", "7", "7", "2", "0", "6", "7", "8", "8", "7", "1", "0", "9", "2", "9", "7", "0", "9", "1", "0", "7", "7", "9", "8", "7", "0", "6", "3", "1", "4", "8", "8", "8", "2", "5", "7", "5", "7", "5", "7", "6", "9", "1" ]

Decimal expansion of the maximum possible disorientation angle between two identical cubes (in radians).

A361602

[ "7", "1", "0", "9", "7", "4", "6", "0", "7", "6", "8", "6", "0", "5", "9", "1", "1", "9", "1", "6", "4", "3", "8", "9", "4", "4", "0", "4", "1", "5", "3", "7", "0", "1", "4", "9", "3", "3", "9", "2", "8", "6", "2", "1", "0", "3", "9", "4", "7", "6", "0", "5", "6", "3", "0", "7", "4", "1", "2", "3", "7", "4", "8", "0", "4", "2", "3", "8", "0", "0", "7", "2", "4", "4", "1", "5", "8", "7", "6", "7", "8", "7", "9", "1", "0", "5", "1", "3", "3", "2", "0", "4", "4", "7", "2", "6", "8", "6", "0", "6", "7", "2", "7", "1", "2" ]

Decimal expansion of the mean of the distribution of disorientation angles between two identical cubes (in radians).

A361603

[ "1", "9", "7", "4", "8", "3", "0", "2", "6", "7", "7", "9", "4", "9", "4", "1", "6", "4", "0", "2", "6", "0", "7", "9", "9", "2", "7", "7", "5", "3", "7", "8", "4", "2", "5", "4", "9", "8", "5", "3", "8", "6", "4", "7", "6", "3", "0", "2", "9", "8", "4", "5", "3", "7", "0", "8", "4", "9", "7", "9", "7", "4", "2", "3", "0", "3", "4", "2", "9", "1", "5", "2", "8", "1", "2", "1", "9", "1", "2", "7", "1", "8", "5", "7", "6", "0", "5", "5", "8", "0", "2", "5", "2", "6", "0", "6", "8", "1", "6", "1", "7", "7", "6", "9", "2" ]

Decimal expansion of the standard deviation of the distribution of disorientation angles between two identical cubes (in radians).

A361604

[ "7", "3", "8", "9", "9", "5", "9", "8", "6", "2", "8", "7", "6", "0", "5", "1", "0", "1", "7", "9", "6", "3", "4", "1", "1", "3", "5", "6", "1", "5", "8", "3", "5", "8", "2", "4", "7", "6", "4", "8", "1", "5", "9", "1", "7", "6", "4", "7", "0", "6", "0", "2", "0", "9", "4", "3", "0", "0", "4", "9", "7", "8", "0", "3", "0", "0", "5", "8", "7", "8", "3", "6", "3", "1", "8", "7", "1", "3", "8", "6", "4", "6", "1", "7", "2", "9", "7", "4", "8", "3", "7", "4", "5", "7", "0", "9", "1", "3", "6", "8", "0", "3", "0", "0", "3" ]

Decimal expansion of the median of the distribution of disorientation angles between two identical cubes (in radians).

A361605

[ "6", "4", "5", "8", "9", "6", "5", "0", "7", "8", "5", "1", "4", "9", "9", "4", "8", "2", "3", "5", "8", "7", "4", "1", "3", "8", "4", "2", "6", "5", "5", "2", "7", "1", "6", "2", "1", "6", "7", "5", "0", "3", "2", "6", "3", "0", "6", "1", "1", "1", "1", "7", "0", "2", "7", "3", "2", "9", "1", "2", "0", "4", "9", "9", "3", "8", "5", "5", "1", "4", "6", "1", "9", "3", "6", "7", "7", "7", "5", "7", "2", "1", "7", "1", "5", "2", "5", "9", "5", "1", "1", "4", "9", "1", "6", "6", "3", "5", "0", "5", "2", "1", "0", "8", "0" ]

Decimal expansion of the standard deviation of the probability distribution function of angles of random rotations in 3D space uniformly distributed with respect to Haar measure (in radians).

A361606

[ "1", "6", "10", "15", "12", "20", "45", "18", "40", "75", "24", "50", "105", "14", "30", "21", "28", "36", "63", "56", "48", "147", "98", "54", "189", "70", "60", "231", "22", "42", "33", "44", "72", "99", "88", "78", "143", "66", "26", "39", "84", "52", "91", "112", "104", "455", "80", "126", "35", "90", "154", "55", "100", "132", "135", "110", "96", "165", "130", "102", "85", "120", "34", "51", "108", "68", "153", "114" ]

Lexicographically earliest infinite sequence of distinct positive numbers such that, for n > 3, a(n) shares a factor with a(n-1) and a(n-2) but not with a(n-1) + a(n-2).

A361607

[ "1", "2", "9", "88", "1457", "35226", "1158097", "49554464", "2664907233", "175012404562", "13725980234201", "1263867766626312", "134795551989905809", "16464112185873351338", "2280346417134518709537", "355060682992984062716176" ]

a(n) = n! * Sum_{k=0..n} binomial(n+(n-1)*k,n*k)/k!.

A361608

[ "1", "924", "48804", "1337014", "26622288", "437049228", "6295986235", "82489361052", "1005444707211", "11576481361732", "127278262644918", "1346951022678114", "13803666582387682", "137633164619393268", "1340161331495822661", "12782144706910135480", "119711031072135899781", "1103157160378734314700", "10019811250265958667288" ]

a(n) = 7^n*(n+1)*(81*n^4+684*n^3+1401*n^2+434*n+40)/40.

A361609

[ "1", "20", "180", "1264", "7808", "44544", "240640", "1249280", "6291456", "30932992", "149159936", "707788800", "3313500160", "15334375424", "70262980608", "319169757184", "1438814044160", "6442450944000", "28673201668096", "126924873531392", "559101662724096", "2451910929940480", "10709243254538240", "46601700831657984" ]

a(n) = 4^n*(1 + (23/8)*n + (9/8)*n^2).

A361610

[ "1", "70", "1175", "13500", "128125", "1081250", "8421875", "61875000", "434765625", "2949218750", "19443359375", "125195312500", "790283203125", "4904785156250", "29998779296875", "181152343750000", "1081695556640625", "6394958496093750", "37471771240234375", "217819213867187500", "1257038116455078125" ]

a(n) = 5^n*(n+1)*(4*n^2+14*n+3)/3.

A361611

[ "4", "10", "25", "94", "115", "206", "221", "298", "391", "478", "511", "526", "551", "586", "655", "694", "703", "758", "779", "934", "949", "974", "989", "993", "1126", "1159", "1418", "1513", "1522", "1555", "1594", "1603", "1658", "1679", "1718", "1769", "2018", "2051", "2066", "2105", "2174", "2195", "2234", "2319", "2462", "2501", "2578", "2587", "2846", "2867", "2906", "2931", "2986", "3007" ]

Lexicographically least increasing sequence of semiprimes a(n) such that a(n) - a(n+1) and a(n) + a(n+1) are also semiprimes.

A361612

[ "3", "31", "316", "3162", "31622", "316227", "3162277", "31622776", "316227766", "3162277660", "31622776601", "316227766016", "3162277660168", "31622776601683", "316227766016837", "3162277660168379", "31622776601683793", "316227766016837933", "3162277660168379331", "31622776601683793319" ]

Decimal expansion of sqrt(10) truncated to n places (after the decimal point).

A361615

[ "1", "5", "25", "35", "625", "175", "15625", "385", "1225", "4375", "9765625", "1925", "244140625", "109375", "30625", "5005", "152587890625", "13475", "3814697265625", "48125", "765625", "68359375", "2384185791015625", "25025", "1500625", "1708984375", "148225", "1203125", "37252902984619140625", "336875", "931322574615478515625" ]

a(n) is the smallest 5-rough number with exactly n divisors.

A361616

[ "1", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "3", "7", "1", "1", "4", "15", "34", "1", "1", "5", "25", "103", "209", "1", "1", "6", "37", "214", "885", "1546", "1", "1", "7", "51", "373", "2293", "9051", "13327", "1", "1", "8", "67", "586", "4721", "29176", "106843", "130922", "1", "1", "9", "85", "859", "8481", "70981", "427189", "1425495", "1441729", "1" ]

Square array T(n,k), n >= 0, k >= 0, read by antidiagonals downwards, where T(n,k) = n! * Sum_{j=0..n} binomial(n+(k-1)*(j+1),n-j)/j!.

A361617

[ "1", "2", "15", "214", "4721", "146046", "5958367", "307382090", "19459587009", "1478414285146", "132440451881231", "13787717744245182", "1647673524863409265", "223671725058601427414", "34184743554559413628191", "5837132027535188545269106", "1106136052471647285563082497" ]

a(n) = n! * Sum_{k=0..n} binomial(n+(n-1)*(k+1),n-k)/k!.

A361618

[ "4", "0", "4", "2", "8", "3", "3", "4", "5", "0", "4", "4", "8", "9", "3", "5", "8", "5" ]

Decimal expansion of the mean of the distribution of the least of the nine acute angles between pairs of edges of two randomly disoriented cubes (in radians).

A361619

[ "1", "7", "9", "9", "7", "3", "0", "7", "2", "2", "8", "8", "5", "8", "0", "1", "2", "3" ]

Decimal expansion of the standard deviation of the distribution of the least of the nine acute angles between pairs of edges of two randomly disoriented cubes (in radians).

A361620

[ "4", "0", "4", "6", "2", "6", "8", "0", "0", "8", "3", "8", "5", "0", "1", "3", "8", "4", "7", "5", "1", "4", "4", "5", "0", "0", "3", "5", "7", "4", "1", "4", "1", "8", "3", "6", "4", "7", "2", "6", "7", "2", "3", "3", "6", "3", "2", "8", "7", "8", "7", "1", "8", "8", "0", "0", "2", "1", "0", "5", "9", "0", "6", "4", "9", "0", "1", "2", "9", "7", "2", "4", "8", "6", "7", "3", "5", "2", "3", "2", "0", "8", "3", "1", "7", "2", "2", "6", "8", "7", "8", "9", "1", "7", "1", "8", "2", "7", "8", "7", "9", "1", "0", "9", "7" ]

Decimal expansion of the median of the distribution of the least of the nine acute angles between pairs of edges of two randomly disoriented cubes (in radians).

A361621

[ "4", "0", "6", "8", "1", "1", "7", "8", "0", "1", "7", "4", "2", "0", "8", "7", "7", "1", "0", "1", "3", "8", "4", "2", "6", "8", "8", "1", "1", "8", "0", "8", "0", "8", "0", "3", "4", "4", "4", "4", "8", "6", "0", "9", "2", "9", "1", "3", "4", "6", "2", "7", "1", "7", "8", "7", "2", "0", "5", "0", "7", "9", "6", "3", "2", "3", "1", "9", "3", "8", "6", "4", "8", "8", "2", "0", "0", "7", "9", "5", "3", "9", "6", "7", "2", "4", "1", "0", "6", "1", "5", "7", "8", "6", "4", "6", "0", "3", "7", "0", "4", "7", "0", "8", "9" ]

Decimal expansion of the mode of the distribution of the least of the nine acute angles between pairs of edges of two randomly disoriented cubes (in radians).

A361622

[ "13", "46", "99", "164", "257", "370", "503", "648", "821", "1014", "1227", "1444", "1697", "1970", "2255" ]

Number of distinct circles that can be constructed from a point on the origin and n equally spaced points on each of the +x,-x,+y,-y coordinates axes using only a compass.

A361623

[ "0", "40", "60", "12", "0", "484", "583", "160", "28", "8", "0", "2196", "2416", "804", "104", "28", "0", "5676", "6616", "2184", "460", "40", "8", "13456", "16936", "5236", "1340", "104", "12", "4", "27512", "35032", "11796", "2400", "320", "28", "0", "4", "0", "50688", "65044", "22536", "4632", "584", "60", "12", "4", "8", "84300", "105860", "38024", "8124", "1080", "108" ]

Irregular table read by rows: T(n,k) is the number of k-gons, k>=2, among all distinct circles that can be constructed from a point on the origin and n equally spaced points on each of the +x,-x,+y,-y coordinates axes using only a compass.

A361624

[ "0", "2", "3", "2", "5", "3", "3", "4", "3", "3", "3", "3", "1", "4", "6", "2", "2", "3", "4", "7", "4", "8", "2", "3", "4", "6", "5", "7", "5", "6", "6", "3", "5", "7", "4", "5", "8", "5", "6", "6", "3", "0", "7", "7", "7", "7", "10", "7", "6", "6", "7", "4", "5", "5" ]

Number of distinct prime factors in decimal concatenation of integer (n, n-1, ..., 2, 1, 2, ..., n-1, n) = A007942(n).

A361625

[ "1", "1", "3", "7", "20", "60", "204", "702", "2526", "9180", "33989", "126713", "476597", "1802109", "6850969", "26151529", "100207548", "385217382", "1485216987", "5741240989", "22246000726", "86383317470", "336093551268", "1309997856337", "5114452295933", "19998171631076", "78306014924606", "307022177714062" ]

Number of free polyominoes with checkerboard-pattern-colored vertices with n cells.

A361626

[ "1", "3", "17", "139", "1437", "17711", "252133", "4059567", "72779129", "1435276027", "30836352441", "716101686323", "17858449006357", "475653606922599", "13467411746316557", "403708230041927191", "12767545998797849073", "424670548932688771187", "14814998283177691422049" ]

Expansion of e.g.f. exp( x/(1-x)^3 ) / (1-x)^2.

A361627

[ "18", "23", "24", "25", "30", "36", "42", "53", "54", "56", "57", "63", "78", "84", "85", "90", "99", "105", "111", "117", "123", "126", "129", "138", "154", "170", "177", "180", "190", "195", "207", "213", "222", "228", "230", "237", "238", "240", "245", "246", "252", "258", "270", "273", "275", "276", "282", "288", "297", "299", "303", "304", "309", "318", "319", "322", "327", "333", "339", "345" ]

Positive integers such that GCD(A007504(n),n) != 1.

A361630

[ "2", "3", "2", "5", "5", "7", "2", "3", "7", "11", "5", "13", "9", "4", "2", "17", "5", "19", "7", "5", "13", "23", "5", "5", "15", "3", "9", "29", "3", "31", "2", "7", "19", "6", "5", "37", "21", "8", "7", "41", "3", "43", "13", "4", "25", "47", "5", "7", "7", "10", "15", "53", "5", "8", "9", "11", "31", "59", "3", "61", "33", "5", "2", "9", "3", "67", "19", "13", "5", "71", "5", "73", "39", "4", "21", "9", "3" ]

a(n) is the numerator of the median of the distinct prime factors of n.

A361631

[ "1", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1" ]

a(n) is the denominator of the median of the distinct prime factors of n.

A361632

[ "2", "3", "2", "5", "5", "7", "2", "3", "7", "11", "2", "13", "9", "4", "2", "17", "3", "19", "2", "5", "13", "23", "2", "5", "15", "3", "2", "29", "3", "31", "2", "7", "19", "6", "5", "37", "21", "8", "2", "41", "3", "43", "2", "3", "25", "47", "2", "7", "5", "10", "2", "53", "3", "8", "2", "11", "31", "59", "5", "61", "33", "3", "2", "9", "3", "67", "2", "13", "5", "71", "2", "73", "39", "5", "2", "9", "3", "79" ]

a(n) is the numerator of the median of the prime factors of n with repetition.

A361633

[ "1", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "1" ]

a(n) is the denominator of the median of the prime factors of n with repetition.

A361636

[ "1", "1", "1", "1", "121", "721", "2521", "6721", "128521", "1277641", "7539841", "32527441", "281835841", "3031468441", "23779315561", "139431015361", "962322302761", "9034098300361", "79726215362761", "569831799431881", "3952559737085401", "32660742079719601", "289694072383115401" ]

Diagonal of the rational function 1/(1 - v*w*x*y*z * (1 + 1/v + 1/w + 1/x + 1/y + 1/z)).

A361637

[ "1", "1", "1", "1", "25", "121", "361", "841", "4201", "25705", "118441", "423721", "1628881", "8065201", "41225185", "184416961", "768211081", "3420474121", "16620237001", "79922011465", "364149052705", "1638806098945", "7655390077105", "36739991161105", "174363209490625", "811840219629121", "3790118889635521" ]

Constant term in the expansion of (1 + x + y + z + 1/(x*y*z))^n.

A361639

[ "1", "1", "1", "2", "2", "2", "1", "3", "4", "3", "2", "1", "4", "4", "3", "2", "5", "6", "4", "6", "3", "5", "8", "8", "8", "6", "4", "9", "7", "13", "9", "10", "8", "12", "11", "9", "16", "12", "10", "6", "1", "13", "17", "13", "15", "19", "11", "16", "16", "12", "8", "17", "17", "23", "18", "13", "9", "26", "19", "18", "14", "20", "19", "15", "29", "10", "23", "16", "23", "24", "17", "24", "11", "18" ]

For n > 1, A359804(n) is a multiple of A361503(n-1); a(n) = A359804(n) / A361503(n-1).

A361640

[ "0", "1", "2", "4", "3", "8", "12", "5", "6", "16", "7", "24", "32", "9", "10", "20", "11", "64", "28", "13", "14", "48", "15", "128", "80", "17", "18", "36", "19", "40", "44", "21", "22", "56", "23", "192", "72", "25", "26", "52", "27", "256", "60", "29", "30", "96", "31", "384", "160", "33", "34", "68", "35", "88", "76", "37", "38", "104", "39", "112", "120", "41", "42", "84", "43" ]

a(0) = 0, a(1) = 1; thereafter let b be the least power of 2 that does not appear in the binary expansions of a(n-2) and a(n-1), then a(n) is the smallest multiple of b that is not yet in the sequence.

A361641

[ "0", "1", "2", "4", "3", "7", "8", "10", "5", "13", "14", "16", "6", "19", "20", "22", "9", "25", "26", "28", "15", "31", "32", "34", "11", "37", "38", "40", "18", "43", "44", "46", "12", "49", "50", "52", "27", "55", "56", "58", "29", "61", "62", "64", "30", "67", "68", "70", "21", "73", "74", "76", "39", "79", "80", "82", "33", "85", "86", "88", "42", "91", "92", "94", "17", "97", "98" ]

Inverse permutation to A361640.

A361642

[ "1", "1", "2", "1", "3", "2", "1", "4", "3", "2", "1", "5", "3", "4", "2", "1", "6", "4", "3", "5", "2", "1", "7", "4", "3", "5", "6", "2", "1", "8", "5", "6", "3", "4", "7", "2", "1", "9", "5", "4", "3", "7", "6", "8", "2", "1", "10", "6", "4", "8", "3", "7", "5", "9", "2", "1", "11", "6", "8", "5", "3", "9", "4", "7", "10", "2", "1", "12", "7", "5", "4", "10", "3", "8", "9", "6", "11", "2", "1", "13", "7", "5", "4", "6", "3", "11", "10", "9", "8", "12", "2", "1", "14", "8", "10", "11", "6", "12", "3", "9", "4", "5", "7", "13", "2" ]

Triangle read by rows where row n is a self-inverse permutation of 1..n formed starting from a column 1..n and sliding numbers to the right and down.

A361643

[ "0", "1", "2", "4", "1", "3", "5", "8", "2", "1", "6", "9", "16", "3", "5", "10", "17", "4", "3", "9", "7", "18", "12", "1", "3", "5", "11", "17", "6", "8", "33", "2", "5", "9", "3", "20", "10", "1", "7", "13", "19", "32", "36", "65", "34", "6", "129", "24", "3", "5", "11", "17", "68", "66", "257", "7", "40", "18", "33", "132", "3", "9", "5", "130", "14", "513", "21", "258", "9", "260", "3", "72", "7" ]

The binary expansion of a(n) specifies which primes divide A359804(n).

A361644

[ "0", "1", "2", "3", "3", "4", "7", "4", "5", "6", "7", "6", "7", "7", "8", "15", "8", "9", "14", "15", "8", "9", "10", "11", "12", "13", "14", "15", "8", "11", "12", "15", "12", "15", "12", "13", "14", "15", "14", "15", "15", "16", "31", "16", "17", "30", "31", "16", "17", "18", "19", "28", "29", "30", "31", "16", "19", "28", "31", "16", "19", "20", "23", "24", "27", "28", "31" ]

Irregular triangle T(n, k), n >= 0, k = 1..max(1, 2^(A005811(n)-1)), read by rows; the n-th row lists the integers with the same binary length as n and whose partial sums of run lengths are included in those of n.

A361645

[ "0", "1", "2", "2", "4", "5", "5", "4", "8", "9", "10", "10", "10", "10", "9", "8", "16", "17", "18", "18", "20", "21", "21", "20", "20", "21", "21", "20", "18", "18", "17", "16", "32", "33", "34", "34", "36", "37", "37", "36", "40", "41", "42", "42", "42", "42", "41", "40", "40", "41", "42", "42", "42", "42", "41", "40", "36", "37", "37", "36", "34", "34", "33", "32", "64", "65", "66", "66" ]

a(n) is the least k such that n appears in the k-th row of triangle A361644.

A361646

[ "0", "1", "2", "3", "4", "7", "5", "6", "8", "15", "9", "14", "10", "11", "12", "13", "16", "31", "17", "30", "18", "19", "28", "29", "20", "23", "24", "27", "21", "22", "25", "26", "32", "63", "33", "62", "34", "35", "60", "61", "36", "39", "56", "59", "37", "38", "57", "58", "40", "47", "48", "55", "41", "46", "49", "54", "42", "43", "44", "45", "50", "51", "52", "53", "64", "127", "65" ]

Distinct values of A361644, in order of appearance.

A361647

[ "0", "1", "2", "3", "4", "6", "7", "5", "8", "10", "12", "13", "14", "15", "11", "9", "16", "18", "20", "21", "24", "28", "29", "25", "26", "30", "31", "27", "22", "23", "19", "17", "32", "34", "36", "37", "40", "44", "45", "41", "48", "52", "56", "57", "58", "59", "53", "49", "50", "54", "60", "61", "62", "63", "55", "51", "42", "46", "47", "43", "38", "39", "35", "33", "64", "66", "68", "69" ]

Inverse permutation to A361646.

A361648

[ "1", "1", "2", "3", "6", "20", "80", "350", "1750", "10080", "64512", "450912", "3438204", "28471872", "253913088", "2424193200", "24687555750", "267199961600", "3062092267520", "37037541651968", "471565937953396", "6304419553216512", "88298062293762048", "1292879475255280640", "19753693667117055100" ]

Number of permutations p of [n] such that p(i), p(i+2), p(i+4),... form an updown sequence for i in {1,2}.

A361649

[ "1", "1", "6", "44", "380", "3768", "42112", "523072", "7141248", "106209920", "1708188416", "29525850624", "545607622144", "10730032423936", "223691600732160", "4926284479250432", "114255071320260608", "2783085758131765248", "71023717127647854592", "1894699527341113999360", "52730415074075898937344" ]

a(n) = (1+n)*(2*a(n-1) - (n-2)*a(n-2)) with a(0) = a(1) = 1.

A361650

[ "2", "3", "2", "5", "2", "3", "7", "2", "3", "2", "5", "11", "2", "13", "2", "7", "3", "5", "2", "17", "3", "19", "2", "3", "7", "2", "11", "23", "2", "5", "2", "13", "3", "2", "29", "2", "3", "5", "31", "2", "3", "11", "2", "17", "5", "7", "2", "3", "37", "2", "19", "3", "13", "2", "41", "2", "3", "7", "43", "2", "3", "2", "23", "47", "2", "7", "5", "3", "17", "2", "53", "3", "5", "11", "2", "3", "19", "2", "29", "59" ]

Irregular triangle read by rows in which the row n lists the prime factors of n having the highest multiplicity.

A361651

[ "1", "0", "1", "0", "1", "2", "0", "2", "3", "6", "0", "5", "6", "12", "24", "0", "16", "20", "30", "60", "120", "0", "61", "80", "90", "180", "360", "720", "0", "272", "350", "420", "630", "1260", "2520", "5040", "0", "1385", "1750", "2240", "2520", "5040", "10080", "20160", "40320", "0", "7936", "10080", "13440", "15120", "22680", "45360", "90720", "181440", "362880" ]

Number T(n,k) of permutations p of [n] such that p(i), p(i+k), p(i+2k),... form an updown sequence for i in [k]; triangle T(n,k), n>=0, 0<=k<=n, read by rows.

A361653

[ "0", "0", "1", "0", "3", "1", "5", "3", "11", "7", "17", "16", "32", "31", "52", "55", "90", "99", "144", "167", "236", "273", "371", "442", "587", "696", "901", "1078", "1379", "1651", "2074", "2489", "3102", "3707", "4571", "5467", "6692", "7982", "9696", "11543", "13949", "16563", "19891", "23572", "28185", "33299", "39640", "46737", "55418", "65164" ]

Number of even-length integer partitions of n with integer median.

A361655

[ "0", "1", "3", "4", "10", "6", "33", "8", "65", "68", "117", "12", "583", "14", "319", "1078", "1416", "18", "3341", "20", "8035", "5799", "1657", "24", "36708", "16954", "3496", "24553", "68528", "30", "192180", "32", "178802", "91561", "14625", "485598", "955142", "38", "29223", "316085", "2622697", "42", "3528870", "44", "2443527", "5740043" ]

Number of even-length integer partitions of 2n with integer mean.

A361656

[ "0", "1", "1", "2", "1", "2", "4", "2", "1", "9", "8", "2", "13", "2", "16", "51", "1", "2", "58", "2", "85", "144", "57", "2", "49", "194", "102", "381", "437", "2", "629", "2", "1", "956", "298", "2043", "1954", "2", "491", "2293", "1116", "2", "4479", "2", "6752", "14671", "1256", "2", "193", "8035", "4570", "11614", "22143", "2", "28585", "39810", "16476", "24691", "4566" ]

Number of odd-length integer partitions of n with integer mean.

A361657

[ "1", "1", "1", "1", "13", "61", "181", "421", "1261", "5293", "21421", "73261", "232321", "789361", "2954953", "11127481", "39961741", "139908301", "499315501", "1835933293", "6792310153", "24827506873", "90058277233", "328509505633", "1210097040769", "4473191880961", "16495696956961", "60721903812961" ]

Constant term in the expansion of (1 + x^2 + y^2 + 1/(x*y))^n.

A361658

[ "1", "1", "1", "1", "1", "1", "121", "841", "3361", "10081", "25201", "55441", "194041", "1287001", "7927921", "38438401", "152312161", "516079201", "1627691521", "5745472321", "25999820401", "133086258481", "651284938921", "2860955078521", "11312609403481", "42039298455001", "158864460354601", "658342633033801" ]

Constant term in the expansion of (1 + x^3 + y^3 + z^3 + 1/(x*y*z))^n.

A361662

[ "1", "4", "6", "8", "24", "48", "96", "12", "216", "24", "60", "48", "30", "96", "210", "32", "288", "216", "72", "24", "216", "60", "240", "48", "210", "36", "6480", "96", "15552", "4320", "7560", "64", "120", "288", "2520", "216", "5040", "72", "960", "768", "2520", "216", "576", "60", "83160", "240", "7680", "48", "18480", "13860", "7776", "144", "1152", "6480" ]

Least number k >= 1 such that A074206(k) is divisible by n.

A361663

[ "1", "3", "4", "5", "8", "12", "16", "6", "23", "8", "13", "12", "9", "16", "22", "10", "26", "23", "15", "8", "23", "13", "24", "12", "22", "11", "73", "16", "97", "64", "77", "14", "17", "26", "55", "23", "67", "15", "39", "35", "55", "23", "33", "13", "154", "24", "78", "12", "101", "93", "79", "19", "42", "73", "93", "16", "99", "97", "34", "64", "31", "77", "23", "18", "93", "17", "77" ]

A361662(n) = A025487(a(n)).

A361664

[ "1", "1", "1", "1", "4", "8", "16", "1", "28", "2", "4", "4", "1", "8", "5", "1", "32", "14", "4", "1", "12", "2", "16", "2", "3", "1", "1104", "4", "2944", "848", "804", "1", "4", "16", "164", "7", "544", "2", "64", "32", "140", "6", "32", "1", "6812", "8", "768", "1", "752", "286", "528", "4", "64", "552", "260", "2", "3904", "1472", "32", "424", "16", "402", "4", "1", "220", "2", "372", "8" ]

a(n) = A074206(A361662(n))/n.

A361665

[ "1", "1", "2", "3", "4", "8", "8", "13", "26", "20", "16", "44", "32", "48", "76", "75", "64", "176", "128", "132", "208", "112", "256", "308", "252", "256", "818", "368", "512", "604", "1024", "541", "544", "576", "768", "1460", "2048", "1280", "1376", "1076", "4096", "1888", "8192", "976", "3172", "2816", "16384", "2612", "2568", "2316", "3392", "2496", "32768" ]

Number of ordered factorizations of p_1^x_1 * ... * p_k^x_k, where (x_1, ..., x_k) is the partition with Heinz number n and p_1, ..., p_k are distinct primes.

A361666

[ "1", "3", "4", "5", "10", "14", "22", "6", "25", "10", "12", "14", "8", "22", "16", "11", "33", "25", "15", "10", "25", "12", "28", "14", "16", "9", "98", "22", "143", "75", "100", "13", "20", "33", "60", "25", "84", "15", "52", "38", "60", "25", "39", "12", "200", "28", "92", "14", "112", "72", "80", "21", "51", "98", "72", "22", "170", "143", "42", "75", "44", "100", "25", "17", "72" ]

Least number k >= 1 such that A361665(k) is divisible by n.

A361667

[ "1", "1", "1", "1", "4", "8", "16", "1", "28", "2", "4", "4", "1", "8", "5", "1", "32", "14", "4", "1", "12", "2", "16", "2", "3", "1", "1104", "4", "2944", "454", "804", "1", "4", "16", "164", "7", "544", "2", "64", "32", "140", "6", "32", "1", "6812", "8", "768", "1", "752", "286", "204", "4", "64", "552", "260", "2", "3904", "1472", "32", "227", "16", "402", "4", "1", "220", "2", "372", "8" ]

a(n) = A361665(A361666(n))/n.

A361668

[ "30", "51", "60", "89", "102", "105", "113", "119", "120", "128", "135", "145", "149", "150", "153", "168", "178", "179", "181", "191", "200", "204", "210", "215", "219", "221", "224", "226", "238", "240", "245", "248", "256", "257", "267", "270", "277", "281", "290", "298", "299", "300", "305", "306", "313", "317", "323", "336", "343", "345", "349", "356", "357" ]

Numbers k such that A361662(k) != A181821(A361666(k)).

A361670

[ "1", "3", "6", "10", "15", "21", "7", "1", "5", "55", "66", "78", "91", "105", "30", "34", "17", "19", "190", "210", "231", "253", "69", "3", "13", "39", "42", "406", "435", "465", "31", "33", "561", "595", "70", "74", "703", "741", "195", "205", "861", "903", "946", "110", "115", "1081", "282", "6", "1", "51", "1326", "1378", "159", "165", "385", "399", "1653", "1711", "1770", "1830", "1891", "217", "14", "130", "2145", "2211", "2278" ]

Squarefree part of the n-th triangular number.

A361671

[ "1", "1", "10", "5", "35", "14", "21", "30", "165", "55", "286", "91", "455", "35", "170", "51", "969", "285", "1330", "385", "1771", "506", "23", "26", "13", "91", "406", "1015", "4495", "310", "341", "374", "6545", "1785", "7770", "2109", "9139", "2470", "2665", "2870", "12341", "3311", "14190", "3795", "16215", "1081", "94", "1", "17", "221", "23426", "689", "2915", "770", "7315", "7714", "32509", "8555" ]

Squarefree part of the n-th tetrahedral number.

A361672

[ "1", "1", "5", "10", "2", "1", "10", "5", "24", "12", "47", "71", "131", "216", "72", "9", "98", "49", "166", "83", "270", "135", "428", "107", "560", "280", "867", "1175", "2071", "3276", "5378", "2689", "8100", "4050", "810", "45", "892", "446", "1377", "1863", "3281", "5186", "8510", "4255", "851", "37", "935", "1020", "2004", "1002", "334", "167", "554", "277", "886" ]

a(1) = a(2) = 1; for n > 2, a(n) = a(n-2) + a(n-1) + n if a(n-1) and n are coprime, otherwise a(n) = a(n-1)/gcd(a(n-1), n).

A361673

[ "1", "1", "1", "1", "1", "61", "361", "1261", "3361", "7561", "34021", "235621", "1294921", "5482621", "19039021", "65345281", "286147681", "1511480881", "7688794681", "34337600281", "138221512741", "554603041441", "2454508134541", "11874549049441", "57412094595241", "261925516443361", "1134301869703861" ]

Constant term in the expansion of (1 + x*y + y*z + z*x + 1/(x*y*z))^n.

A361674

[ "0", "1", "2", "2", "3", "4", "5", "5", "5", "6", "4", "5", "6", "7", "8", "9", "10", "11", "9", "10", "10", "10", "11", "10", "11", "12", "13", "10", "13", "9", "10", "13", "14", "8", "9", "10", "11", "12", "13", "14", "15", "16", "17", "18", "19", "20", "21", "22", "23", "17", "18", "21", "22", "18", "21", "18", "19", "20", "21", "20", "21", "21", "21", "22", "20", "21", "22", "23", "20", "21", "22", "23", "24", "25", "26", "27" ]

Irregular triangle T(n, k), n >= 0, k = 1..2^A092339(n), read by rows; the n-th row lists the numbers k such that n appears in the k-th row of A361644.

A361675

[ "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "841", "6721", "30241", "100801", "277201", "665281", "1441441", "10450441", "118918801", "917716801", "5162277121", "23183465761", "88037913601", "293383742401", "988690080001", "4810025534161", "33669381872281", "234722545854721", "1407984124932001", "7219196588604001" ]

Constant term in the expansion of (1 + x*y*z + w*y*z + w*x*z + w*x*y + 1/(w*x*y*z))^n.

A361676

[ "0", "1", "2", "3", "5", "5", "6", "7", "11", "10", "10", "11", "13", "13", "14", "15", "23", "22", "21", "21", "21", "21", "22", "23", "27", "26", "26", "27", "29", "29", "30", "31", "47", "46", "45", "45", "43", "42", "42", "43", "43", "42", "42", "43", "45", "45", "46", "47", "55", "54", "53", "53", "53", "53", "54", "55", "59", "58", "58", "59", "61", "61", "62", "63", "95", "94", "93" ]

a(n) is the greatest k such that n appears in the k-th row of triangle A361644.

A361677

[ "1", "1", "1", "19", "73", "181", "1711", "10081", "38809", "256033", "1696861", "8388271", "49449511", "326195299", "1847392093", "10789655059", "69202030969", "418647580489", "2498113460881", "15735859252147", "97919649290053", "598317173139313", "3748943081117323" ]

Constant term in the expansion of (1 + x + y + z + 1/(x*y) + 1/(y*z) + 1/(z*x))^n.

A361678

[ "1", "1", "1", "1", "97", "481", "1441", "3361", "77281", "647137", "3195361", "11674081", "116286721", "1147935361", "7611379777", "37451144641", "263670781921", "2456043418081", "19073086806241", "115319128034017", "748239468100417", "6179458007222977", "50636218964639617", "350400618132423937" ]

Constant term in the expansion of (1 + w + x + y + z + 1/(x*y*z) + 1/(w*y*z) + 1/(w*x*z) + 1/(w*x*y))^n.

A361679

[ "3", "3", "5", "3", "7", "11", "3", "5", "13", "17", "5", "7", "11", "19", "29", "3", "11", "13", "23", "37", "41", "3", "7", "29", "31", "29", "43", "59", "7", "11", "19", "41", "37", "53", "67", "71", "11", "13", "23", "37", "47", "43", "59", "79", "101", "7", "29", "37", "29", "43", "71", "67", "71", "97", "107", "5", "37", "59", "61", "53", "67", "107", "73", "89", "103", "137" ]

A(n,k) is the n-th prime p such that p + 2^k is also prime; square array A(n,k), n>=1, k>=1, read by antidiagonals.

A361680

[ "3", "7", "11", "31", "47", "67", "83", "163", "179", "193", "263", "367", "389", "499", "563", "571", "887", "967", "1229", "1087", "1367", "1873", "1289", "2647", "1907", "2083", "1979", "2557", "2267", "3697", "2909", "3121", "3761", "4507", "4373", "4723", "5279", "5857", "6359", "6793", "7727", "8167", "7853", "6823", "6779", "8059", "9479", "10567" ]

The n-th prime p such that p + 2^n is also prime.

A361682

[ "1", "1", "1", "1", "3", "1", "1", "6", "5", "1", "1", "10", "13", "7", "1", "1", "15", "25", "22", "9", "1", "1", "21", "41", "46", "33", "11", "1", "1", "28", "61", "79", "73", "46", "13", "1", "1", "36", "85", "121", "129", "106", "61", "15", "1", "1", "45", "113", "172", "201", "191", "145", "78", "17", "1", "1", "55", "145", "232", "289", "301", "265", "190", "97", "19", "1" ]

Array read by descending antidiagonals. A(n, k) is the number of multiset combinations of {0, 1} whose type is defined in the comments. Also A(n, k) = hypergeom([-k, -2], [1], n).

A361683

[ "4", "64", "4", "7168", "4", "606528", "4", "64", "4", "4194304", "4" ]

a(n) is the least k such that tau(k) divides sigma_n(k) but not sigma(k), or -1 if no such k exists.

A361687

[ "1", "2", "3", "3", "3", "5", "3", "4", "5", "6", "3", "8", "3", "6", "8", "5", "3", "9", "3", "8", "9", "6", "3", "11", "5", "6", "7", "8", "3", "16", "3", "6", "9", "6", "8", "14", "3", "6", "9", "11", "3", "16", "3", "9", "13", "6", "3", "14", "5", "10", "9", "9", "3", "13", "9", "11", "9", "6", "3", "24", "3", "6", "14", "7", "9", "16", "3", "9", "9", "17", "3", "18", "3", "6", "14", "9", "8", "17", "3", "14", "9", "6", "3", "24", "9", "6", "9", "11" ]

The number of divisors of 2*n^2 which are <=n.

A361688

[ "1", "2", "71", "10915", "4063645", "2842101221", "3255178907803", "5605980824208871", "13710496284516264953", "45746570903514799640905", "202291094041887013214628871", "1160411497892246920315488823067", "8496377826955803443098054623140629", "78398366060939693412478828210386035725" ]

a(n) = A361540(2*n,n) / binomial(2*n,n) for n >= 0.

A361689

[ "2", "4", "6", "6", "6", "12", "6", "8", "10", "12", "6", "18", "6", "12", "18", "10", "6", "20", "6", "18", "18", "12", "6", "24", "10", "12", "14", "18", "6", "36", "6", "12", "18", "12", "18", "30", "6", "12", "18", "24", "6", "36", "6", "18", "30", "12", "6", "30", "10", "20", "18", "18", "6", "28", "18", "24", "18", "12", "6", "54", "6", "12", "30", "14", "18", "36", "6", "18", "18", "36", "6", "40", "6", "12", "30", "18", "18", "36", "6", "30" ]

The number of divisors of 2*n^2.

A361690

[ "0", "2", "1", "1", "2", "1", "1", "1", "2", "1", "2", "1", "1", "0", "0", "3", "4", "0", "3", "0", "2", "1", "1", "3", "0", "0", "1", "0", "2", "1", "5", "1", "1", "2", "1", "0", "1", "2", "2", "2", "2", "1", "1", "2", "3", "0", "1", "3", "1", "0", "0", "1", "2", "2", "0", "3", "0", "2", "0", "0", "1", "3", "0", "1", "3", "0", "1", "2", "3", "1", "2", "2", "1", "1", "2", "3", "2", "4", "2", "2", "1", "2", "4", "1", "3", "0", "3", "2", "1", "2", "0" ]

Number of primes in the interval [2^n, 2^n + n].

A361693

[ "2", "3", "6", "12", "19", "21", "29", "31", "39", "47", "49", "58", "65", "67", "75", "85", "93", "95", "104", "111", "113", "123", "131", "139", "150", "157", "159", "167", "169", "177", "196", "203", "213", "215", "231", "233", "242", "251", "259", "269", "277", "279", "295", "297", "305", "307", "325", "343", "351", "353", "361", "369", "371", "387", "397", "407", "415", "417", "426", "433", "435", "453", "472", "479" ]

Index of where prime(n) first appears as a divisor of any term in A351495.

A361695

[ "1", "14", "574", "3542", "18494", "43414", "145222", "235998", "591934", "860846", "1779974", "2256422", "4678982", "5195750", "9675918", "10983742", "18942014", "19873966", "35294686", "34670454", "57349894", "59707494", "92513302", "90116222", "149759302", "135668414", "213025750", "209185718", "311753358", "287144326", "450333422" ]

Number of ways of writing n^2 as a sum of seven squares.

A361698

[ "1", "1", "2", "8", "37", "181", "1010", "6135", "40893", "295753", "2317683", "19568427", "177397551", "1719790643", "17767328745", "194954224643", "2265042428226", "27785727158182", "358952560098959", "4871697965709175", "69309502018430799", "1031550920679805502", "16030923441853969843", "259682356008358417321", "4377679648827121988375" ]

The number of unlabeled connected 4 regular multigraphs on n nodes with 4 external legs, loops allowed.

A361699

[ "1", "1", "1", "1", "1", "21", "121", "421", "1121", "2521", "6301", "23101", "99001", "386101", "1301301", "3943941", "11779041", "38241841", "136988041", "504616441", "1793870941", "6061831441", "19923689941", "66139128441", "227052188441", "800641330721", "2831644750221", "9870443816221", "33869987735221" ]

Constant term in the expansion of (1 + x^3 + y^3 + 1/(x*y))^n.

A361700

[ "1", "1", "1", "1", "1", "1", "31", "211", "841", "2521", "6301", "13861", "30691", "90091", "360361", "1501501", "5645641", "18749641", "56063281", "157520641", "445836901", "1368402421", "4638690211", "16511900791", "58059667051", "195211574251", "625463703151", "1942351017751", "6016826006101", "19113287111101" ]

Constant term in the expansion of (1 + x^4 + y^4 + 1/(x*y))^n.

A361701

[ "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "211", "1681", "7561", "25201", "69301", "166321", "360361", "990991", "5405401", "34834801", "187867681", "833709241", "3153281041", "10491944401", "31945216801", "97323704941", "345845431471", "1529597398561", "7451402805001", "35092646589001", "151591791651301" ]

Constant term in the expansion of (1 + x^4 + y^4 + z^4 + 1/(x*y*z))^n.

A361703

[ "1", "1", "1", "1", "1", "121", "721", "2521", "6721", "15121", "143641", "1302841", "7579441", "32586841", "113753641", "509068561", "3599319361", "25076993761", "142188273361", "662296228561", "2933770097881", "15581813723281", "99333170493481", "623696622059281", "3466773281312881", "17406784944114721" ]

Constant term in the expansion of (1 + w + x + y + z + 1/(w*x*y*z))^n.

A361704

[ "1", "1", "1", "1", "1", "1", "361", "2521", "10081", "30241", "75601", "166321", "1580041", "16833961", "114594481", "569368801", "2273150881", "7723366561", "30024671041", "193227592321", "1460787267601", "9492136169041", "50996729017081", "232560967743721", "973251617544361", "4464217099881001" ]

Constant term in the expansion of (1 + w^2 + x^2 + y^2 + z^2 + 1/(w*x*y*z))^n.

A361705

[ "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1", "1681", "15121", "75601", "277201", "831601", "2162161", "5045041", "10810801", "54054001", "592191601", "5035670641", "31553973361", "157346607601", "660308770801", "2420415874801", "7951853614321", "24853781309281", "91246800876001", "497098157556001", "3346262924004001" ]

Constant term in the expansion of (1 + w^4 + x^4 + y^4 + z^4 + 1/(w*x*y*z))^n.

A361706

[ "2", "7", "9", "19", "15", "37", "21", "50", "39", "65", "35", "116", "45", "91", "87", "134", "63", "174", "71", "200", "125", "155", "87", "322", "125", "197", "172", "282", "113", "383", "131", "349", "217", "271", "213", "555", "161", "311", "267", "546", "183", "555", "195", "482", "402", "379", "215", "857", "267", "546", "369", "602", "245", "768", "349", "774", "421", "503", "281", "1204", "287", "561", "582", "875", "425" ]

Inverse Moebius transform applied twice to primes.

A361707

[ "2", "-1", "1", "3", "7", "5", "13", "8", "15", "9", "27", "10", "37", "11", "23", "22", "55", "8", "63", "18", "37", "19", "79", "12", "77", "21", "62", "32", "105", "-5", "123", "44", "73", "23", "101", "23", "153", "31", "83", "44", "175", "7", "187", "60", "84", "35", "207", "38", "195", "20", "113", "72", "237", "18", "181", "76", "133", "55", "273", "34", "279", "41", "148", "102", "217" ]

Moebius transform applied twice to primes.

A361708

[ "1", "5", "7", "13", "10", "21", "13", "27", "22", "30", "19", "49", "22", "39", "40", "52", "27", "63", "29", "68", "51", "56", "35", "98", "46", "64", "61", "87", "43", "114", "46", "98", "73", "80", "72", "142", "53", "87", "83", "138", "58", "145", "61", "126", "118", "103", "66", "189", "81", "135", "103", "144", "75", "177", "104", "178", "113", "127", "82", "254", "85", "135", "152", "185", "119" ]

Inverse Moebius transform of nonprimes.

A361710

[ "0", "1", "-1", "-8", "15", "126", "-280", "-2400", "5775", "50050", "-126126", "-1100736", "2858856", "25069968", "-66512160", "-585307008", "1577585295", "13919870250", "-37978905250", "-335813478000", "925166131890", "8194328596740", "-22754499243840", "-201822515032320", "564121960420200", "5009403008531376" ]

a(n) = Sum_{k = 0..n-1} (-1)^k*binomial(n,k)*binomial(n-1,k)^2.

A361711

[ "1", "1", "-8", "5", "126", "-168", "-2400", "4125", "50050", "-98098", "-1100736", "2339064", "25069968", "-56279520", "-585307008", "1367240589", "13919870250", "-33510798750", "-335813478000", "827780223270", "8194328596740", "-20587404077760", "-201822515032320", "515067876905400", "5009403008531376", "-12953308371172848" ]

a(1) = 1 and a(n) = Sum_{k = 0..n-2} (-1)^k * binomial(n,k)^2 * binomial(n-2,k) for n >= 2.

A361712

[ "0", "1", "25", "649", "16921", "448751", "12160177", "336745053", "9513822745", "273585035755", "7988828082775", "236367018090017", "7072779699975601", "213701611408357567", "6511338458568750853", "199850727914988936149", "6173376842290368719385", "191776434791965521115235", "5987554996434696230487955" ]

a(n) = Sum_{k = 0..n-1} binomial(n,k)^2*binomial(n+k,k)*binomial(n+k-1,k).

A361713

[ "0", "1", "17", "406", "10257", "268126", "7213166", "198978074", "5609330705", "161095277710", "4700175389142", "138986764820410", "4157185583199534", "125568602682092818", "3825026187780837266", "117376010145070696906", "3625095243230562818065", "112596592142021739522670", "3514965607470183733302470" ]

a(n) = Sum_{k = 0..n-1} binomial(n,k)^2 * binomial(n+k-1,k)^2.

A361714

[ "0", "1", "7", "82", "1063", "14376", "199204", "2806770", "40053031", "577468684", "8397778882", "123029274666", "1814016998116", "26898142793068", "400836647993292", "5999796281063082", "90162110212198695", "1359731143731297396", "20571691450059355174", "312134224830052880826", "4748435338386591995938" ]

a(n) = Sum_{k = 0..n-1} (-1)^(n+k+1)*binomial(n,k)*binomial(n+k-1,k)^2.

A361715

[ "0", "1", "9", "82", "745", "6876", "64764", "621860", "6070761", "60085720", "601493134", "6078225792", "61907445340", "634751002718", "6545478537810", "67830084149832", "705950951578089", "7375212511115184", "77310175072063914", "812839577957617640", "8569327793354169870", "90562666708303706642", "959212007563384494522", "10180245921386807485152" ]

a(n) = Sum_{k = 0..n-1} binomial(n,k)^2*binomial(n+k-1,k).

A361716

[ "0", "1", "-3", "-8", "45", "126", "-840", "-2400", "17325", "50050", "-378378", "-1100736", "8576568", "25069968", "-199536480", "-585307008", "4732755885", "13919870250", "-113936715750", "-335813478000", "2775498395670", "8194328596740", "-68263497731520", "-201822515032320" ]

a(n) = Sum_{k = 0..n-1} (-1)^k*binomial(n,k)^2*binomial(n-1,k).