| 1 | |
| 00:00:20,960 --> 00:00:27,560 | |
| Okay إذا هنواصل إن شاء الله اللي بدنا فيه المحاضرة | |
| 2 | |
| 00:00:27,560 --> 00:00:33,340 | |
| السابقة المرة اللي فاتت خلينا بسرعة بس هيك نمر على | |
| 3 | |
| 00:00:33,340 --> 00:00:40,220 | |
| الحاجات اللي أخذناها أخذنا اللي هو ال algebraic | |
| 4 | |
| 00:00:40,220 --> 00:00:43,060 | |
| properties of the real number system اللي هو | |
| 5 | |
| 00:00:43,060 --> 00:00:48,970 | |
| الخواص الجبرية و عرفنا اللي هو ال real number | |
| 6 | |
| 00:00:48,970 --> 00:00:52,930 | |
| system فقلنا إن ال real number system عبارة عن | |
| 7 | |
| 00:00:52,930 --> 00:00:58,430 | |
| المجموعة R مع عمليتين جبريتين أو ثنائيتين عملية | |
| 8 | |
| 00:00:58,430 --> 00:01:03,110 | |
| جمع و عملية ضرب و هذول العمليات بتحققوا خمس خواص | |
| 9 | |
| 00:01:03,110 --> 00:01:08,290 | |
| خاصية الإبدال commutative law خاصية الدمج ال | |
| 10 | |
| 00:01:08,290 --> 00:01:14,180 | |
| associative laws خواص التوزيع distributive laws | |
| 11 | |
| 00:01:14,180 --> 00:01:19,120 | |
| خاصية الرابعة وجود ال identity elements العناصر | |
| 12 | |
| 00:01:19,120 --> 00:01:25,280 | |
| المحايدة اللي هي 0 و 1 ووجود ال inverse | |
| 13 | |
| 00:01:25,280 --> 00:01:38,580 | |
| elements أو العناصر النظائر أو المعكسات فلكل عدد | |
| 14 | |
| 00:01:38,580 --> 00:01:48,850 | |
| حقيقي فيه له معكوس جمعي اللي هو سالب x و لكل عدد | |
| 15 | |
| 00:01:48,850 --> 00:01:55,330 | |
| حقيقي غير مختلف عن الصفر له نظير ضربي أو | |
| 16 | |
| 00:01:55,330 --> 00:01:59,030 | |
| multiplicative inverse يُرمز له بالرمز x<sup>-1</sup> | |
| 17 | |
| 00:01:59,030 --> 00:02:03,050 | |
| negative واحد بحيث لو ضربتهم في بعض بيعطوني ال | |
| 18 | |
| 00:02:03,050 --> 00:02:10,890 | |
| identity element واحد هذول الخمس خواص اللي بتحققهم | |
| 19 | |
| 00:02:10,890 --> 00:02:15,760 | |
| مجموعة الأعداد الحقيقية مع العملياتين ضرب وجمع | |
| 20 | |
| 00:02:15,760 --> 00:02:21,600 | |
| اللي عرفناها سابقاً في أول خواص أخذناها اللي هي | |
| 21 | |
| 00:02:21,600 --> 00:02:27,680 | |
| cancellation laws موجودة في نظرية 1.1 فعملية | |
| 22 | |
| 00:02:27,680 --> 00:02:33,220 | |
| الجمع بتحقق cancellation law يعني أنا لو كان عندي | |
| 23 | |
| 00:02:33,220 --> 00:02:38,940 | |
| x plus z بساوي y plus z فممكن أشطب z من الطرفين | |
| 24 | |
| 00:02:38,940 --> 00:02:44,680 | |
| بيطلع عندي x بساوي y كذلك عملية الضرب بتحقق ال | |
| 25 | |
| 00:02:44,680 --> 00:02:51,000 | |
| cancellation law فلو في عندي حاصل ضرب زي هذا بساوي | |
| 26 | |
| 00:02:51,000 --> 00:02:56,140 | |
| حاصل الضرب هذا و ال answer w هذا العدد w ما بيساوي صفر | |
| 27 | |
| 00:02:56,140 --> 00:03:01,470 | |
| فمقدر أقسم الطرفين على w بيطلع عندي x بساوي y هذه | |
| 28 | |
| 00:03:01,470 --> 00:03:05,430 | |
| الخواص مهمة و برهنت لكم المرة اللي فاتت الجزء | |
| 29 | |
| 00:03:05,430 --> 00:03:11,810 | |
| الثاني و برهان الجزء الأول مشابه و بالتالي قلنا | |
| 30 | |
| 00:03:11,810 --> 00:03:17,650 | |
| لكم حاولوا تثبتوا بنفس الطريقة بالمثل كمان أخذنا | |
| 31 | |
| 00:03:17,650 --> 00:03:22,810 | |
| نظرية ثانية اللي هي النظرية هذه ذكرناها المرة اللي | |
| 32 | |
| 00:03:22,810 --> 00:03:30,050 | |
| فاتت فيها حوالي عشر خواص للأعداد الحقيقية فأول | |
| 33 | |
| 00:03:30,050 --> 00:03:35,350 | |
| خاصية لو ضربت أي عدد حقيقي بالصفر سواء من اليمين | |
| 34 | |
| 00:03:35,350 --> 00:03:39,370 | |
| أو اليسار فالنتيجة العدد الصفري اللي هو ال additive | |
| 35 | |
| 00:03:39,370 --> 00:03:47,090 | |
| identity صفر فبرهان هذا الجزء هو برهان الجزء الأول | |
| 36 | |
| 00:03:47,090 --> 00:03:55,210 | |
| يعني باين واحد هنا فكيف يتم البرهان أنا عايز أثبت | |
| 37 | |
| 00:03:55,210 --> 00:04:02,370 | |
| أن x ضرب صفر بساوي صفر طيب أنا عندي لو جمعت x ضارب | |
| 38 | |
| 00:04:02,370 --> 00:04:07,470 | |
| 0 زائد x ضارب 0 بقدر باستخدام ال distributive law | |
| 39 | |
| 00:04:07,470 --> 00:04:13,430 | |
| أخذ x عامل مشترك كأني بضرب x في 0 زائد 0 هذا صحيح | |
| 40 | |
| 00:04:13,430 --> 00:04:17,550 | |
| باستخدام ال distributive law الآن لما أجمع الصفر | |
| 41 | |
| 00:04:17,550 --> 00:04:22,450 | |
| على أي عدد حقيقي حتى لو نفسه الناتج بيطلع 0 هذا من | |
| 42 | |
| 00:04:22,450 --> 00:04:33,170 | |
| خواص المحايد الجمعي و ال X ضرب صفر هو نفسه لو جمعت | |
| 43 | |
| 00:04:33,170 --> 00:04:37,330 | |
| على العدد هذا صفر فيبقى زي ما هو من خواص الصفر | |
| 44 | |
| 00:04:37,330 --> 00:04:43,950 | |
| الآن أنا ممكن أشطب باستخدام cancellation law ممكن | |
| 45 | |
| 00:04:43,950 --> 00:04:49,590 | |
| أشطب هذا و أشطب هذا فبيطلع عندي X ضرب صفر بساوي صفر | |
| 46 | |
| 00:04:49,590 --> 00:04:55,490 | |
| okay تمام الخاصية الثانية الخاصية الثانية عايزين | |
| 47 | |
| 00:04:55,490 --> 00:05:01,230 | |
| نثبت أنه لو أخذت أي عدد حقيقي و أخذت سالبه مرتين | |
| 48 | |
| 00:05:01,230 --> 00:05:06,530 | |
| فهذا هو نفس ال X البرهان برضه بتم كالتالي هاي ال X | |
| 49 | |
| 00:05:06,530 --> 00:05:12,370 | |
| و بجمع عليه negative X اللي هو المعكوس الجمعي | |
| 50 | |
| 00:05:12,370 --> 00:05:20,390 | |
| طبعاً فهذا بساوي صفر هذا بساوي صفر من خواص المعكوس | |
| 51 | |
| 00:05:20,390 --> 00:05:26,570 | |
| الجمعي و ممكن أن احنا نبدل هذول مع بعض أو لأ، الآن | |
| 52 | |
| 00:05:26,570 --> 00:05:31,610 | |
| برضه لو أخذت هذا، هذا عدد حقيقي، و هذا المعكوس | |
| 53 | |
| 00:05:31,610 --> 00:05:36,970 | |
| الجمعي تبعه، عدد حقيقي و المعكوس الجمعي تبعه دائماً | |
| 54 | |
| 00:05:36,970 --> 00:05:41,830 | |
| بساوي صفر، الآن ممكن نبدل عملية الجمع إبدالية، | |
| 55 | |
| 00:05:41,830 --> 00:05:46,970 | |
| commutative، فنبدل الحاجات هذه مع بعض الآن عملية | |
| 56 | |
| 00:05:46,970 --> 00:05:50,970 | |
| الجمع بتحقق قانون الحدث cancellation law إذا | |
| 57 | |
| 00:05:50,970 --> 00:05:55,390 | |
| ممكن أشطب أنا العنصر هذا مع هذا بيبقى عندي على | |
| 58 | |
| 00:05:55,390 --> 00:05:59,810 | |
| الشمال X وعلى اليمين بيبقى negative negative X | |
| 59 | |
| 00:05:59,810 --> 00:06:06,070 | |
| فبالتالي هي كمان أثبتنا صحة الخاصية هذه تمام؟ | |
| 60 | |
| 00:06:07,410 --> 00:06:11,250 | |
| الخاصية الثالثة في النظرية اللي شوفناها قبل شوية | |
| 61 | |
| 00:06:11,250 --> 00:06:17,770 | |
| برهانها مشابه لخاصية الثانية وبالتالي هأسيبه تمرين، | |
| 62 | |
| 00:06:17,770 --> 00:06:21,770 | |
| إذا بعض الحاجات اللي برهانها مشابه دائماً هنسيبها | |
| 63 | |
| 00:06:21,770 --> 00:06:26,030 | |
| كتمرين للطالب لأن الفكرة نفسها و رياضيات مجرد أفكار | |
| 64 | |
| 00:06:26,030 --> 00:06:33,620 | |
| فإذا عرفنا الفكرة انتهى الحل اللغز الخاصية الرابعة، | |
| 65 | |
| 00:06:33,620 --> 00:06:37,120 | |
| في الخاصية الرابعة عايزين نثبت أنه لو ضربت سالب | |
| 66 | |
| 00:06:37,120 --> 00:06:42,880 | |
| واحد في x بيطلع عندي ال negative x أو المحايد | |
| 67 | |
| 00:06:42,880 --> 00:06:48,640 | |
| الجمعي ل x فلبرهان ذلك بأخذ negative واحد في x و | |
| 68 | |
| 00:06:48,640 --> 00:06:53,820 | |
| بجمعها على x فهذا هو نفسه هي negative واحد في x و | |
| 69 | |
| 00:06:53,820 --> 00:06:59,970 | |
| ال x هذه عبارة عن واحد في x الآن ممكن هنا أستخدم | |
| 70 | |
| 00:06:59,970 --> 00:07:03,070 | |
| ال distributive law عملية الضرب تتوزع على عملية | |
| 71 | |
| 00:07:03,070 --> 00:07:07,670 | |
| الجمع فممكن أكتب هذا سالب واحد زائد واحد مضروب من | |
| 72 | |
| 00:07:07,670 --> 00:07:13,370 | |
| اليمين في X و عملية الضرب إبدالية فهي نفس كما لو | |
| 73 | |
| 00:07:13,370 --> 00:07:19,040 | |
| ضربت X من اليمين في سالب واحد زائد واحد Okay تمام | |
| 74 | |
| 00:07:19,040 --> 00:07:24,700 | |
| الآن لما أجمع سالب واحد هذا سالب واحد على واحد | |
| 75 | |
| 00:07:24,700 --> 00:07:31,440 | |
| عنصر و نظير الجمع تبعهم مجموعهم صفر و صفر في أي | |
| 76 | |
| 00:07:31,440 --> 00:07:37,500 | |
| عنصر أثبتنا أنه بيساوي صفر و الصفر هو نفسه سالب x | |
| 77 | |
| 00:07:37,500 --> 00:07:42,450 | |
| زائد x وبالتالي بقدر أستخدم ال cancellation اللي هو | |
| 78 | |
| 00:07:42,450 --> 00:07:47,250 | |
| عامل cancelling ل X على الطرف الشمال و cancelling | |
| 79 | |
| 00:07:47,250 --> 00:07:50,990 | |
| ل X على الطرف اليمين يبقى في الشمال سالب واحد في X | |
| 80 | |
| 00:07:50,990 --> 00:07:55,850 | |
| في اليمين سالب X وبالتالي هيك ممكن أثبتنا الخاصية | |
| 81 | |
| 00:07:55,850 --> 00:08:01,850 | |
| هذه واضحة؟ أي حد عنده أي استفسار؟ خواص سهلة و براهين | |
| 82 | |
| 00:08:01,850 --> 00:08:06,150 | |
| سهلة جداً أنتم دارسين مبادئ و اللي دارسين مبادئ | |
| 83 | |
| 00:08:06,150 --> 00:08:11,530 | |
| رياضيات و فاهمينها كويس هذه حاجات يعني براهين أمثلة | |
| 84 | |
| 00:08:11,530 --> 00:08:16,170 | |
| كلها على برهان مباشر بسيط باستخدام خواص ذكرناها | |
| 85 | |
| 00:08:16,170 --> 00:08:22,990 | |
| سابقاً فهذا مجرد يعني مبادئ رياضيات الخاصية الخامسة | |
| 86 | |
| 00:08:22,990 --> 00:08:29,590 | |
| احنا عايزين نثبت لو ضربت x في negative y تطلع .. | |
| 87 | |
| 00:08:29,590 --> 00:08:34,960 | |
| هي نفسها كم لو ضربت negative x في y و هذه يعني | |
| 88 | |
| 00:08:34,960 --> 00:08:39,800 | |
| البرهان مش صعب هاي ال X وهي negative Y الخاصية | |
| 89 | |
| 00:08:39,800 --> 00:08:43,560 | |
| الرابعة أثبتنا فيها إنه negative Y بيساوي negative | |
| 90 | |
| 00:08:43,560 --> 00:08:48,780 | |
| واحد في Y هذا من الخاصية أربعة ال associative law | |
| 91 | |
| 00:08:48,780 --> 00:08:52,120 | |
| بيسمح لإن أنا الأقواس هذه أرتبها بالطريقة هذه | |
| 92 | |
| 00:08:52,120 --> 00:08:56,180 | |
| عملية الضرب associative و كمان عملية الضرب | |
| 93 | |
| 00:08:56,180 --> 00:09:00,620 | |
| commutative إذا ممكن أبدل ال X مع ال negative واحد | |
| 94 | |
| 00:09:04,010 --> 00:09:07,470 | |
| الخاصية الرابعة بتقول سالب واحد ضرب X عبارة عن | |
| 95 | |
| 00:09:07,470 --> 00:09:14,030 | |
| negative X إذاً هذا هو إيه هذا جزء من الجزء الخامس | |
| 96 | |
| 00:09:14,030 --> 00:09:20,750 | |
| في كمان جزء ثاني اللي هو عايزين نثبت إن X ضرب | |
| 97 | |
| 00:09:20,750 --> 00:09:24,990 | |
| negative Y هو نفس الحاجة كما لو ضربت X في Y الأول | |
| 98 | |
| 00:09:24,990 --> 00:09:30,950 | |
| وضربت الكل في negative و لبرهان ذلك هي X في | |
| 99 | |
| 00:09:30,950 --> 00:09:34,950 | |
| negative Y X في negative Y أثبتنا إنها طلعت بتساوي | |
| 100 | |
| 00:09:34,950 --> 00:09:41,090 | |
| سالب واحد في X في Y هذا هو نزلناها من هنا الآن | |
| 101 | |
| 00:09:41,090 --> 00:09:44,470 | |
| باستخدام ال associative law ممكن إيه أبدل الأقواس | |
| 102 | |
| 00:09:44,470 --> 00:09:50,450 | |
| يعني أخد X و Y مع بعض و أضربهم في سالب واحد وطبعاً | |
| 103 | |
| 00:09:50,450 --> 00:09:54,490 | |
| الآن أثبتنا أن سالب واحد لما أضربه في حاجة زي هذه | |
| 104 | |
| 00:09:54,490 --> 00:09:56,910 | |
| بيطلع سالب X في Y | |
| 105 | |
| 00:10:01,430 --> 00:10:08,850 | |
| بالنسبة لخاصية رقم 6 ممكن نستخدم الخاصية رقم 4 و | |
| 106 | |
| 00:10:08,850 --> 00:10:12,510 | |
| ال distributive law في إثباتها فطبعاً أنا هنا كاتب | |
| 107 | |
| 00:10:12,510 --> 00:10:18,030 | |
| لكم use الخاصية أو الجزء الرابع و ال distributive | |
| 108 | |
| 00:10:18,030 --> 00:10:23,210 | |
| law لبرهان مين؟ الخاصية رقم 6 هذه، هذه أرقام | |
| 109 | |
| 00:10:23,210 --> 00:10:29,920 | |
| لاتينية فبتشوفوها أنتم طبعاً و بتحاولوا تثبتوها و | |
| 110 | |
| 00:10:29,920 --> 00:10:35,660 | |
| إذا ما عرفتوهاش ممكن تتواصلوا معايا نحاول نثبتها لكم | |
| 111 | |
| 00:10:35,660 --> 00:10:42,780 | |
| بالنسبة لخاصية السابعة إيه هي الخاصية السابعة لو | |
| 112 | |
| 00:10:42,780 --> 00:10:46,700 | |
| ضربت negative x في negative y المفروض يطلع نفس | |
| 113 | |
| 00:10:46,700 --> 00:10:54,530 | |
| الحاجة x ضرب y و هي البرهان بسيط احنا أخذنا أن لو | |
| 114 | |
| 00:10:54,530 --> 00:10:59,830 | |
| ضربت negative x في عنصر negative y هو نفسه كما لو | |
| 115 | |
| 00:10:59,830 --> 00:11:07,130 | |
| أنا ضربت x في العنصر الثاني و أخذت السالب برا و | |
| 116 | |
| 00:11:07,130 --> 00:11:07,750 | |
| بعدين | |
| 117 | |
| 00:11:10,830 --> 00:11:17,230 | |
| نفس الحاجة هنا x في negative y هي | |
| 118 | |
| 00:11:17,230 --> 00:11:24,890 | |
| نفسها negative x في y بدل x في negative y ب | |
| 119 | |
| 00:11:24,890 --> 00:11:30,290 | |
| negative ضرب x y و أثبتنا قبل هيك أن negative ضرب | |
| 120 | |
| 00:11:30,290 --> 00:11:34,930 | |
| negative العنصر بساوي العنصر إذا هذا برضه | |
| 121 | |
| 00:11:34,930 --> 00:11:45,630 | |
| برهان هذا الجزء الجزء الثامن أو التاسع are left as | |
| 122 | |
| 00:11:45,630 --> 00:11:48,410 | |
| exercises برضه أنا سايب لكم إياهم تمرين لأن مش | |
| 123 | |
| 00:11:48,410 --> 00:11:52,310 | |
| ما جون نبرهنه كل شيء أنتم يعني كبار لأن بدأتوا | |
| 124 | |
| 00:11:52,310 --> 00:11:58,050 | |
| تُساوبوُا بدأتوا تفهموا فلازم برضه تشاركوا شوية مش | |
| 125 | |
| 00:11:58,050 --> 00:12:02,030 | |
| معقول زي اللي .. احنا مش في مدرسة ثانوية، بنأشي | |
| 126 | |
| 00:12:02,030 --> 00:12:06,310 | |
| نقوُل، ابتدائية، لازم يشرح لكم كل شيء و لازم يبرهن لكم | |
| 127 | |
| 00:12:06,310 --> 00:12:10,050 | |
| كل شيء، لازم الطالب يشارك شوية، خاصة الحاجات اللي | |
| 128 | |
| 00:12:10,050 --> 00:12:14,290 | |
| براهينها مشابهة فبتزعلوش و حالكم أنتم تاخدوا | |
| 129 | |
| 00:12:14,290 --> 00:12:19,430 | |
| الأمور هذه بصدر رحب و كمان مرة بكرر لو أي شيء من | |
| 130 | |
| 00:12:19,430 --> 00:12:23,570 | |
| الحاجات اللي بنسيبها ما عرفتوهاش تحلوها أو تبرهنوها | |
| 131 | |
| 00:12:23,570 --> 00:12:28,350 | |
| فأنا على استعداد أن أساعدكم في برهانها الجزء الآخر | |
| 132 | |
| 00:12:28,350 --> 00:12:32,490 | |
| جزء العاشر إيه هو الجزء العاشر؟ الجزء العاشر بيقول | |
| 133 | |
| 00:12:32,490 --> 00:12:40,530 | |
| دائماً بندرسها في مبادئ الرياضيات مثال على برهان غير | |
| 134 | |
| 00:12:40,530 --> 00:12:44,490 | |
| مباشر في مبادئ رياضيات، لو كان X ضرب Y أعداد | |
| 135 | |
| 00:12:44,490 --> 00:12:50,990 | |
| حقيقية، حاصل ضربهم صفر، فإيه بيطلع؟ إما X بساوي صفر | |
| 136 | |
| 00:12:50,990 --> 00:12:55,650 | |
| أو Y بساوي صفر، بظبط؟ | |
| 137 | |
| 00:13:01,000 --> 00:13:05,060 | |
| فهذا نعطي مثال في المبادئ الرياضية طيب البرهان هو | |
| 138 | |
| 00:13:05,060 --> 00:13:12,880 | |
| نفسه البرهان هو نفسه عشان أثبت إنه x لو كان x ضرب | |
| 139 | |
| 00:13:12,880 --> 00:13:19,760 | |
| y بساوي 0 فبيطلع x بساوي 0 أو y بساوي 0 فبأفرض أن x | |
| 140 | |
| 00:13:19,760 --> 00:13:26,220 | |
| ما يساويش 0 و بأثبت أن y بيساوي 0 أو by symmetry | |
| 141 | |
| 00:13:26,220 --> 00:13:32,080 | |
| بالتماثل ممكن أفرض أن y بيساوي 0 وأصل إلى أن x | |
| 142 | |
| 00:13:32,080 --> 00:13:41,640 | |
| بيساوي 0 okay تمام فاللي عملناه هنا هي لبرهان أن | |
| 143 | |
| 00:13:41,640 --> 00:13:47,400 | |
| x بيساوي 0 أو y بيساوي 0 it suffices يعني يكفي أن | |
| 144 | |
| 00:13:47,400 --> 00:13:54,070 | |
| أفرض to assume أن x لا يساوي 0 وأثبت وأثبت أن y | |
| 145 | |
| 00:13:54,070 --> 00:14:07,690 | |
| بيساوي 0 طيب أنا عندي من الفرض x y بيساوي 0 ف | |
| 146 | |
| 00:14:07,690 --> 00:14:14,610 | |
| ال x y بيساوي 0 تُهيّئ لي | |
| 147 | |
| 00:14:14,610 --> 00:14:21,110 | |
| فيه شيء هنا مش مبين ده هو خلينا نبينه نعم هاي أنا | |
| 148 | |
| 00:14:21,110 --> 00:14:26,470 | |
| عندي x y من الفرض x y بيساوي صفر والصفر هذا ممكن | |
| 149 | |
| 00:14:26,470 --> 00:14:30,970 | |
| أكتبه على صورة x ضرب صفر برضه هذا بيساوي صفر تمام | |
| 150 | |
| 00:14:30,970 --> 00:14:36,470 | |
| الآن أنا أفرض أن x لا يساوي صفر فعملية الضرب بتحقق | |
| 151 | |
| 00:14:36,470 --> 00:14:40,210 | |
| cancellation law إذا من cancellation law تبع عملية | |
| 152 | |
| 00:14:40,210 --> 00:14:44,470 | |
| الضرب مدام x لا يساوي صفر فبقدر أجزم عليها فبيطلع | |
| 153 | |
| 00:14:44,470 --> 00:14:50,590 | |
| عندي y بيساوي صفر وهذا هو المطلوب Okay تمام إذا هيك | |
| 154 | |
| 00:14:50,590 --> 00:15:01,290 | |
| بنكون برهنا النظرية الثانية كويس | |
| 155 | |
| 00:15:01,290 --> 00:15:07,770 | |
| تمام هيك طيب | |
| 156 | |
| 00:15:07,770 --> 00:15:11,690 | |
| نأخذ تعريفات أو تعريف مهم | |
| 157 | |
| 00:15:21,020 --> 00:15:27,480 | |
| في تعريف هنا الخواص | |
| 158 | |
| 00:15:27,480 --> 00:15:30,660 | |
| الخامسة هذه اللي حكينا عنها ال commutative law ال | |
| 159 | |
| 00:15:30,660 --> 00:15:37,140 | |
| associative law وال distributive law existence of | |
| 160 | |
| 00:15:37,140 --> 00:15:42,780 | |
| identity elements الخاصية الخامسة existence of | |
| 161 | |
| 00:15:42,780 --> 00:15:47,240 | |
| inverses خمس خواص هذه اللي بتحققها عمليات الجمع و | |
| 162 | |
| 00:15:47,240 --> 00:15:52,770 | |
| الضرب على الأعداد الحقيقية هذه الخواص بتشكل تعريف | |
| 163 | |
| 00:15:52,770 --> 00:15:57,750 | |
| ما يسمى في الجبر في الجبر الحديث في تركيبة جبرية | |
| 164 | |
| 00:15:57,750 --> 00:16:03,870 | |
| اسمها field أو حقل فما | |
| 165 | |
| 00:16:03,870 --> 00:16:09,130 | |
| هو الحقل لو أنتم هتدرسوا جبر حديث واحد أو .. أو | |
| 166 | |
| 00:16:09,130 --> 00:16:14,850 | |
| درستموه فيمكن مر عليكم ال field أو الحقل هو عبارة | |
| 167 | |
| 00:16:14,850 --> 00:16:23,080 | |
| عن set مع عمليتين ثنائيتين عملية جمع وعملية ضرب | |
| 168 | |
| 00:16:23,080 --> 00:16:29,300 | |
| معرفين على ال set F بحيث أن العمليتين هدول بيحققوا | |
| 169 | |
| 00:16:29,300 --> 00:16:33,640 | |
| الخواص الخمسة اللي هي حققتها مجموعة الأعداد | |
| 170 | |
| 00:16:33,640 --> 00:16:40,250 | |
| الحقيقية، إذا أي مجموعة F مع عمليتين ثنائيتين بتحقق | |
| 171 | |
| 00:16:40,250 --> 00:16:46,630 | |
| الخواص الخمسة بنسميها في الجبر field إذا ال .. ال | |
| 172 | |
| 00:16:46,630 --> 00:16:51,510 | |
| .. ال R ال R أو الأعداد الحقيقية مع عمليات الجمع | |
| 173 | |
| 00:16:51,510 --> 00:16:56,650 | |
| والضرب اللي عرفناها سابقا شفنا أنها بتحقق الخواص | |
| 174 | |
| 00:16:56,650 --> 00:17:01,570 | |
| الخمسة وبالتالي بتشكل field فبنسميها it the field of | |
| 175 | |
| 00:17:01,570 --> 00:17:08,790 | |
| real numbers أو المجال الأعداد الحقيقية هي | |
| 176 | |
| 00:17:08,790 --> 00:17:14,430 | |
| مثال فيه أمثلة كثيرة على fields على حقول فهي لو | |
| 177 | |
| 00:17:14,430 --> 00:17:18,030 | |
| أخذت المجموعة هي أبسط field أصغر وأبسط field | |
| 178 | |
| 00:17:18,030 --> 00:17:24,190 | |
| موجود في الرياضيات هو ال 6F اللي بتتكون من عنصرين | |
| 179 | |
| 00:17:24,190 --> 00:17:33,050 | |
| عددين حقيقيين 0, 1 الآن عشان أكون field على المجموعة | |
| 180 | |
| 00:17:33,050 --> 00:17:37,590 | |
| F اللي بتكون من عنصرين لازم أعرف عملية جمع وضرب | |
| 181 | |
| 00:17:37,590 --> 00:17:43,690 | |
| فممكن أعرف عملية جمع وضرب على F كالتالي ها يعني | |
| 182 | |
| 00:17:43,690 --> 00:17:50,570 | |
| عرفت لو ضربت 0 في نفسه أو 1 في 0 أو 0 في 1 أو | |
| 183 | |
| 00:17:50,570 --> 00:17:57,780 | |
| جمعت 0 على 0 أو 1 على 1 هذا بأعرفه أنه بيساوي 0 إذا | |
| 184 | |
| 00:17:57,780 --> 00:18:02,020 | |
| أنا عرفت حاصل الضرب والجمع هذا بيساوي صفر كذلك | |
| 185 | |
| 00:18:02,020 --> 00:18:05,800 | |
| أنا بأعرف أنه لو جمعت الصفر على الواحد أو الواحد | |
| 186 | |
| 00:18:05,800 --> 00:18:10,000 | |
| على الصفر أو الواحد على الواحد بيطلع واحد الآن إذا | |
| 187 | |
| 00:18:10,000 --> 00:18:16,410 | |
| أنا عرفت عمليات جمع وضرب على كل عناصر المجموعة الآن | |
| 188 | |
| 00:18:16,410 --> 00:18:23,610 | |
| من السهل التحقق أن ال خواص الخمسة كلها بتتحقق تابعة | |
| 189 | |
| 00:18:23,610 --> 00:18:28,530 | |
| ال field وبالتالي هذا بيكون field وهذا ال field في | |
| 190 | |
| 00:18:28,530 --> 00:18:36,770 | |
| الجبر برمز له بالرمز Z2 وفي | |
| 191 | |
| 00:18:36,770 --> 00:18:40,890 | |
| نفس الوقت هو cyclic group of order two إذا في حد | |
| 192 | |
| 00:18:40,890 --> 00:18:45,120 | |
| فيكم درس الجبر الحديث على أي حال احنا هذا مش موضوعنا | |
| 193 | |
| 00:18:45,120 --> 00:18:49,400 | |
| هذا موضوع جبر فبس يعني هذا مجرد مثال بسيط على | |
| 194 | |
| 00:18:49,400 --> 00:18:53,600 | |
| field واحنا أهم حاجة أنه احنا يعني اللي بدنا احنا | |
| 195 | |
| 00:18:53,600 --> 00:18:58,420 | |
| نصله أنه مجموعة الأعداد الحقيقية تبعتنا مجموعة | |
| 196 | |
| 00:18:58,420 --> 00:19:04,980 | |
| الأعداد الحقيقية R مع عملية الجمع والضرب بتشكل | |
| 197 | |
| 00:19:04,980 --> 00:19:10,360 | |
| ما يسمى في الجبر بال field تمام؟ هذا اللي احنا | |
| 198 | |
| 00:19:10,360 --> 00:19:11,980 | |
| عايزين نصله، نعم فضل | |
| 199 | |
| 00:19:15,080 --> 00:19:18,860 | |
| هذا تعريف احنا .. احنا .. احنا بنعرف أنه لو جمع | |
| 200 | |
| 00:19:18,860 --> 00:19:23,700 | |
| واحد على واحد يطلع صفر هذا definition تعريف وليس | |
| 201 | |
| 00:19:23,700 --> 00:19:27,320 | |
| آه يعني هاي مجموعة آه بدي أعرف عليها عملية جمع | |
| 202 | |
| 00:19:27,320 --> 00:19:31,060 | |
| عملية .. عملية الجمع هانا بأعرفها لو جمعت واحد على | |
| 203 | |
| 00:19:31,060 --> 00:19:39,480 | |
| واحد بيطلع صفر لو جمعت واحد آه | |
| 204 | |
| 00:19:43,240 --> 00:19:52,920 | |
| آه في هنا شيء مش مظبوط هنا هذه المفروض ضرب هذه هذه | |
| 205 | |
| 00:19:52,920 --> 00:19:58,760 | |
| المفروض ضرب هذه فهذا في خطأ مطبعي صحيح هذا كله | |
| 206 | |
| 00:19:58,760 --> 00:20:02,200 | |
| تعريف الآن لما هيك أنا بكون عرفت عملية الجمع | |
| 207 | |
| 00:20:02,200 --> 00:20:07,240 | |
| والضرب هنا في خطأ مطبعي دي المفروض تكون ضرب لأن | |
| 208 | |
| 00:20:07,240 --> 00:20:10,240 | |
| واحد زائد واحد عرفناها تساوي صفر ف | |
| 209 | |
| 00:20:13,680 --> 00:20:19,300 | |
| حسب التعريف هذا ممكن التحقق أن خمس خواص تبعت ال | |
| 210 | |
| 00:20:19,300 --> 00:20:22,760 | |
| field بتتحقق فممكن تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا | |
| 211 | |
| 00:20:22,760 --> 00:20:25,700 | |
| بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها | |
| 212 | |
| 00:20:25,700 --> 00:20:27,620 | |
| إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم | |
| 213 | |
| 00:20:27,620 --> 00:20:27,740 | |
| تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا | |
| 214 | |
| 00:20:27,740 --> 00:20:28,060 | |
| بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها | |
| 215 | |
| 00:20:28,060 --> 00:20:28,700 | |
| إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم | |
| 216 | |
| 00:20:28,700 --> 00:20:36,280 | |
| تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا | |
| 217 | |
| 00:20:36,280 --> 00:20:43,660 | |
| بدكم تحققوها إذا بدكم توعملية القسمة هي عملية | |
| 218 | |
| 00:20:43,660 --> 00:20:47,340 | |
| ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، | |
| 219 | |
| 00:20:47,340 --> 00:20:49,400 | |
| ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، | |
| 220 | |
| 00:20:49,400 --> 00:20:53,020 | |
| ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، | |
| 221 | |
| 00:20:53,020 --> 00:20:54,300 | |
| ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، | |
| 222 | |
| 00:20:54,300 --> 00:20:56,080 | |
| ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، | |
| 223 | |
| 00:20:56,080 --> 00:20:56,480 | |
| ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، | |
| 224 | |
| 00:20:56,480 --> 00:21:01,560 | |
| ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، | |
| 225 | |
| 00:21:01,560 --> 00:21:06,040 | |
| ضرب، إذن عملية الطرح هي عملية جمع كذلك عملية | |
| 226 | |
| 00:21:06,040 --> 00:21:10,320 | |
| القسمة division on R is defined by هاي X على Y | |
| 227 | |
| 00:21:10,320 --> 00:21:16,740 | |
| بيساوي عملية ضرب X في ال multiplicative inverse ل Y | |
| 228 | |
| 00:21:16,740 --> 00:21:22,320 | |
| أو 1 على Y كذلك بنعرف هذا definition دائما لما | |
| 229 | |
| 00:21:22,320 --> 00:21:25,660 | |
| يكون فيه نقطتين ووراهم علامة تساوي معناه إن طرف | |
| 230 | |
| 00:21:25,660 --> 00:21:30,040 | |
| الشمال by definition بيساوي الطرف اليمين إذن هذا | |
| 231 | |
| 00:21:30,040 --> 00:21:36,630 | |
| تعريف لأن أنا بأعرف هذا التعريف أن a أس negative one | |
| 232 | |
| 00:21:36,630 --> 00:21:43,470 | |
| معناها واحد على a a to zero بيساوي واحد حسب التعريف | |
| 233 | |
| 00:21:43,470 --> 00:21:48,970 | |
| a to negative n و n عدد طبيعي هي عبارة عن مقلوب ال | |
| 234 | |
| 00:21:48,970 --> 00:21:54,630 | |
| a الكل to n فكل هذه تعريفات بناء على التعريفات هذه | |
| 235 | |
| 00:21:54,630 --> 00:21:58,730 | |
| ممكن أن نبرهن خواص كثيرة | |
| 236 | |
| 00:22:00,150 --> 00:22:03,810 | |
| وهتشوفوا بعضها في التمرين اللي موجودة في نهاية ال | |
| 237 | |
| 00:22:03,810 --> 00:22:09,970 | |
| section نتطرق | |
| 238 | |
| 00:22:09,970 --> 00:22:14,330 | |
| لحاجة اسمها rational numbers الأعداد النسبية | |
| 239 | |
| 00:22:14,330 --> 00:22:20,210 | |
| الأعداد النسبية أو rational numbers بنعرفها على | |
| 240 | |
| 00:22:20,210 --> 00:22:24,130 | |
| أنها مجموعة من الأعداد الحقيقية أو هي مجموعة جزئية | |
| 241 | |
| 00:22:24,130 --> 00:22:30,010 | |
| من الأعداد الحقيقية نموذجها بالرمز boldface q هذه | |
| 242 | |
| 00:22:30,010 --> 00:22:34,370 | |
| الرموز الأحرف هذه أو ال letters هذه نسميها | |
| 243 | |
| 00:22:34,370 --> 00:22:41,790 | |
| boldface يعني حرف مغمق هذه طبعا بتدل على مجموعات | |
| 244 | |
| 00:22:43,170 --> 00:22:47,190 | |
| فال rational numbers هي كل الأعداد الحقيقية اللي | |
| 245 | |
| 00:22:47,190 --> 00:22:52,210 | |
| ممكن كتبتها على صورة rational a على b حيث a وb | |
| 246 | |
| 00:22:52,210 --> 00:22:56,370 | |
| أعداد صحيحة هذه مجموعة الأعداد الصحيحة bold في ال | |
| 247 | |
| 00:22:56,370 --> 00:23:00,650 | |
| z والمقام لازم ما يساويش صفر لأن القسمة على صفر مش | |
| 248 | |
| 00:23:00,650 --> 00:23:05,840 | |
| معرفة الآن لو أخذت الأعداد الحقيقية وشلت منها | |
| 249 | |
| 00:23:05,840 --> 00:23:09,720 | |
| الأعداد النسبية طرحت منها الأعداد النسبية فالأعداد | |
| 250 | |
| 00:23:09,720 --> 00:23:13,160 | |
| الحقيقية المتبقية بنسميها irrational numbers | |
| 251 | |
| 00:23:13,160 --> 00:23:18,480 | |
| irrational numbers الأعداد غير النسبية إذا الأعداد | |
| 252 | |
| 00:23:18,480 --> 00:23:21,960 | |
| النسبية هي كل الأعداد الحقيقية التي لا يمكن | |
| 253 | |
| 00:23:21,960 --> 00:23:26,740 | |
| كتابتها على صورة rational a على b حيث a وb أعداد | |
| 254 | |
| 00:23:26,740 --> 00:23:32,910 | |
| صحيحة والمقام لا يساوي صفر تمام؟ طبعا لو أخذت اتحاد ال | |
| 255 | |
| 00:23:32,910 --> 00:23:35,590 | |
| rational numbers مع ال irrational numbers بيعطوني | |
| 256 | |
| 00:23:35,590 --> 00:23:38,770 | |
| كل الأعداد الحقيقية يعني المعنى الآخر الأعداد | |
| 257 | |
| 00:23:38,770 --> 00:23:43,390 | |
| الحقيقية احنا جزأناها إلى مجموعتين irrational | |
| 258 | |
| 00:23:43,390 --> 00:23:53,270 | |
| numbers اتحاد ال irrational numbers طبعا | |
| 259 | |
| 00:23:53,270 --> 00:23:57,830 | |
| المجموعتين هدول disjoint يعني منفصلتين ما فيش بينهم | |
| 260 | |
| 00:23:57,830 --> 00:23:58,850 | |
| عناصر مشتركة | |
| 261 | |
| 00:24:01,750 --> 00:24:08,710 | |
| طيب ال .. النظرية التالية ممكن من السهل أن احنا | |
| 262 | |
| 00:24:08,710 --> 00:24:14,950 | |
| نثبتها باستخدام خواص الأعداد الصحيحة يعني | |
| 263 | |
| 00:24:14,950 --> 00:24:25,150 | |
| معروف احنا عندنا أن ال .. | |
| 264 | |
| 00:24:25,150 --> 00:24:30,090 | |
| معروف أن ال .. | |
| 265 | |
| 00:24:33,390 --> 00:24:37,450 | |
| لو في عندي عددين صحيحين فمجموعهم بيطلع عدد صحيح | |
| 266 | |
| 00:24:37,450 --> 00:24:42,570 | |
| وحاصل ضربهم عدد صحيح بمعنى آخر عملية مجموعة | |
| 267 | |
| 00:24:42,570 --> 00:24:49,220 | |
| الأعداد الصحيحة مغلقة تحت عمليات الجمع والضرب بنفس | |
| 268 | |
| 00:24:49,220 --> 00:24:53,860 | |
| .. باستخدام الحقيقة هذه أو ال fact هذه ممكن إثبات | |
| 269 | |
| 00:24:53,860 --> 00:24:58,900 | |
| أن مجموعة الأعداد النسبية مغلقة تحت عمليات الضرب | |
| 270 | |
| 00:24:58,900 --> 00:25:06,270 | |
| والجمع وأخذ ال additive inverse يعني لو كان XY | |
| 271 | |
| 00:25:06,270 --> 00:25:10,810 | |
| أعداد نسبية فمجموعهم بيطلع عدد نسبي وحاصل ضربهم | |
| 272 | |
| 00:25:10,810 --> 00:25:15,330 | |
| عدد نسبي وسالب عدد نسبي بيطلع عدد نسبي ولو في | |
| 273 | |
| 00:25:15,330 --> 00:25:21,330 | |
| عندي عدد نسبي مختلف عن الصفر ف ال multiplicative | |
| 274 | |
| 00:25:21,330 --> 00:25:28,550 | |
| inverse بيطلع عدد نسبي بمعنى آخر، مجموعة الأعداد | |
| 275 | |
| 00:25:28,550 --> 00:25:33,950 | |
| النسبية مغلقة تحت عملية الجمع والضرب، وأخذ الـ | |
| 276 | |
| 00:25:33,950 --> 00:25:39,950 | |
| Additive Inverse وأخذ مغلقة تحت الـ Multiplicative | |
| 277 | |
| 00:25:39,950 --> 00:25:44,470 | |
| Inverse وبالتالي ممكن | |
| 278 | |
| 00:25:46,690 --> 00:25:51,850 | |
| نستنتج أن مجموعة الأعداد النسبية بتحقق الخواص | |
| 279 | |
| 00:25:51,850 --> 00:25:56,430 | |
| الخامسة تبع ال field وبالتالي هي بتشكل field بحد | |
| 280 | |
| 00:25:56,430 --> 00:26:05,690 | |
| ذاتها الآن ال Q subset من R وR field وQ subset من R | |
| 281 | |
| 00:26:05,690 --> 00:26:11,830 | |
| R وQ field فبنسمي Q sub field زي لما يكون في عندي | |
| 282 | |
| 00:26:11,830 --> 00:26:19,160 | |
| set وفي داخلها setفبنقول sub set لو في عندي group | |
| 283 | |
| 00:26:19,160 --> 00:26:25,240 | |
| وفي عندي مجموعة جزئية من ال group فبنسمي المجموعة | |
| 284 | |
| 00:26:25,240 --> 00:26:31,940 | |
| جزئية نفسها group أيضا فبنسميها sub group إذا ال Q | |
| 285 | |
| 00:26:31,940 --> 00:26:38,340 | |
| is a sub field of the field R بناء على النظرية هذه | |
| 286 | |
| 00:26:38,340 --> 00:26:44,770 | |
| إذا هذه كلها حقائق معروفة يعني وهتركزوا عليها | |
| 287 | |
| 00:26:44,770 --> 00:26:48,410 | |
| أنتم في الجبر يعني ما حنخوض فيها كثير لأن هذا | |
| 288 | |
| 00:26:48,410 --> 00:26:53,370 | |
| مواضيع جبرية احنا هنركز على ال analysis في كمان | |
| 289 | |
| 00:26:53,370 --> 00:26:57,990 | |
| نظرية هنا مهمة بتخص الأعداد النسبية والغير نسبية | |
| 290 | |
| 00:26:57,990 --> 00:27:03,570 | |
| وهذه طبعا برضه بنعطيها دائما مثال في مبادئ | |
| 291 | |
| 00:27:03,570 --> 00:27:04,430 | |
| الرياضيات | |
| 292 | |
| 00:27:07,090 --> 00:27:14,250 | |
| برهان على مثال على برهان غير مباشر النظرية هذه | |
| 293 | |
| 00:27:14,250 --> 00:27:17,930 | |
| بتقول there does not exist R ينتمي ل Q بحيث R | |
| 294 | |
| 00:27:17,930 --> 00:27:22,530 | |
| تربيعه بيساوي 2 ما فيش لا يوجد عدد نسبي مربعه | |
| 295 | |
| 00:27:22,530 --> 00:27:27,450 | |
| بيساوي 2 يعني بمعنى آخر النظرية هذه باختصار | |
| 296 | |
| 00:27:27,450 --> 00:27:36,590 | |
| بتقول أن جذر الـ 2 ليس عدد نسبي ومالوش عدد غير | |
| 297 | |
| 00:27:36,590 --> 00:27:41,830 | |
| نسبي يعني جذر 2 عدد غير نسبي فهي برهان | |
| 298 | |
| 00:27:41,830 --> 00:27:45,490 | |
| بالتناقض برهان غير مباشر بالتناقض by contradiction | |
| 299 | |
| 00:27:45,490 --> 00:27:53,510 | |
| احنا عايزين نثبت أنه ما فيش عدد أو جذر 2 ليس | |
| 300 | |
| 00:27:53,510 --> 00:28:01,010 | |
| عدد نسبي فنفرض النقيض نفرض النفي هو الصح يعني نفرض | |
| 301 | |
| 00:28:01,010 --> 00:28:11,490 | |
| أن جذر الـ 2 عدد نسبي يعني بيساوي P على Q حيث P | |
| 302 | |
| 00:28:11,490 --> 00:28:17,310 | |
| وQ أعداد صحيحة و | |
| 303 | |
| 00:28:17,310 --> 00:28:23,990 | |
| Q لا يساوي صفر تمام؟ وبدنا نصل إلى تناقض إذا | |
| 304 | |
| 00:28:23,990 --> 00:28:27,870 | |
| وصلنا إلى تناقض معناته فرضنا هذا غلط والصح أن | |
| 305 | |
| 00:28:27,870 --> 00:28:32,410 | |
| النظرية تكون صحيحة، بصبوت؟ طيب نشوف مع بعض | |
| 306 | |
| 00:28:36,080 --> 00:28:46,520 | |
| هي فرضنا أن الـ 2 عدد هي 2 بيساوي هي | |
| 307 | |
| 00:28:46,520 --> 00:28:52,320 | |
| فرضنا أن الـ 2 بيساوي P على Q أو جدر 2 | |
| 308 | |
| 00:28:52,320 --> 00:28:57,100 | |
| بيساوي P على Q وبالتالي P على Q تربيع فبيطلع عندي P | |
| 309 | |
| 00:28:57,100 --> 00:29:02,900 | |
| على Q تربيع بيساوي 2 صح؟ هايطيب الآن لما يكون | |
| 310 | |
| 00:29:02,900 --> 00:29:12,820 | |
| في عندي أعداد هذا عدد نسبي فممكن نختصر ونفرض أنه | |
| 311 | |
| 00:29:12,820 --> 00:29:19,480 | |
| ما فيش عامل مشترك بين الـ P والـ Q إلا الـ 1 الصحيح | |
| 312 | |
| 00:29:19,480 --> 00:29:26,660 | |
| يعني مثلا هي عندي مثلا 4 على مثلا 10 هذا عدد | |
| 313 | |
| 00:29:26,660 --> 00:29:32,130 | |
| نسبي فممكن أكتبه أختصر أقسم على 2 وأقسم على | |
| 314 | |
| 00:29:32,130 --> 00:29:36,530 | |
| 2 بيطلع 2 على 5 لاحظوا الآن ما فيش عامل | |
| 315 | |
| 00:29:36,530 --> 00:29:40,370 | |
| مشترك بين 2 والـ 5 إلا الـ 1 فهذا في الجبر | |
| 316 | |
| 00:29:40,370 --> 00:29:44,410 | |
| بيسموه الـ greatest common divisor لـ 2 و 5 | |
| 317 | |
| 00:29:44,410 --> 00:29:53,130 | |
| بيساوي 1 هي مثلا سالب 10 على 30 هي هذا | |
| 318 | |
| 00:29:53,130 --> 00:29:59,940 | |
| عدد نسبي فممكن نختصر هذا بيصير 2 على والا ايش | |
| 319 | |
| 00:29:59,940 --> 00:30:06,760 | |
| هذا أو سالب 1 على 3 فالـ bus سالب 1 عدد | |
| 320 | |
| 00:30:06,760 --> 00:30:10,460 | |
| صحيح والمقام 3 والـ greatest common divisor | |
| 321 | |
| 00:30:10,460 --> 00:30:17,420 | |
| لسالب 1 و3 بيساوي 1 إذا أي عدد نسبي ممكن | |
| 322 | |
| 00:30:17,420 --> 00:30:23,260 | |
| أختصره أو أبسط وأكتبه بأبسط صورة يعني أخلي الـ | |
| 323 | |
| 00:30:23,260 --> 00:30:29,640 | |
| greatest common divisor لـ P وQ هنا بيساوي 1 طيب | |
| 324 | |
| 00:30:29,640 --> 00:30:35,580 | |
| الآن تعالوا نربع هنا هذه المعادلة P على Q تربيع | |
| 325 | |
| 00:30:35,580 --> 00:30:40,500 | |
| بيساوي 2 فمنها بنستنتج أن P تربيع بيساوي 2 و | |
| 326 | |
| 00:30:40,500 --> 00:30:47,040 | |
| Q تربيع طيب هي عندي P تربيع بيساوي 2 في Q تربيع الـ Q | |
| 327 | |
| 00:30:47,040 --> 00:30:50,820 | |
| هذا عدد صحيح فمربع العدد الصحيح اللي هو Q تربيع | |
| 328 | |
| 00:30:50,820 --> 00:30:54,720 | |
| بيطلع عدد صحيح عدد صحيح مضروب في 2 بيطلع even | |
| 329 | |
| 00:30:54,720 --> 00:30:59,400 | |
| number عشان المبادئ صح؟ إذا P تربيع بيطلع even | |
| 330 | |
| 00:30:59,400 --> 00:31:06,520 | |
| number تمام؟ هذا بيؤدي أنه ممكن إثبات أن P بيطلع | |
| 331 | |
| 00:31:06,520 --> 00:31:10,960 | |
| even لو كان مربع عدد صحيح even فممكن إثبات أن | |
| 332 | |
| 00:31:10,960 --> 00:31:14,860 | |
| العدد الصحيح نفسه لازم يطلع even وهذا ممكن نعمل | |
| 333 | |
| 00:31:14,860 --> 00:31:21,940 | |
| برهان صغير بالتناقض افرضه أن P مش even يعني odd | |
| 334 | |
| 00:31:21,940 --> 00:31:28,360 | |
| تربيعه فبيطلع مربع odd تناقض هي البرهان إذا هذا ايه | |
| 335 | |
| 00:31:28,360 --> 00:31:33,220 | |
| الإجابة على الـ Y كمان مرة إذا كان عندي P تربيع أنا | |
| 336 | |
| 00:31:33,220 --> 00:31:39,900 | |
| عندي P تربيع even هذا بيعني أن P even كيف نبرهن هذا | |
| 337 | |
| 00:31:39,900 --> 00:31:46,420 | |
| برهان بالتناقض افرض أنه P odd ايه يعني P odd يعني | |
| 338 | |
| 00:31:46,420 --> 00:31:51,600 | |
| P هي | |
| 339 | |
| 00:31:51,600 --> 00:31:58,500 | |
| P بيساوي 2K زي 1 هذا معناه odd وطبعا الـ K هي عدد | |
| 340 | |
| 00:31:58,500 --> 00:32:04,620 | |
| صحيح تربيع إذا P تربيع بيساوي 4 K تربيع زائد 4 | |
| 341 | |
| 00:32:04,620 --> 00:32:14,080 | |
| K زائد 1 وهذا بيساوي 2 في 2 K تربيع زائد | |
| 342 | |
| 00:32:14,080 --> 00:32:19,900 | |
| 2 K مع بعض زائد 1 وهذا بيساوي 2 في M زائد | |
| 343 | |
| 00:32:19,900 --> 00:32:26,350 | |
| 1 حيث M عدد صحيح إذاً P تربيع طلع بيساوي 2 في | |
| 344 | |
| 00:32:26,350 --> 00:32:30,410 | |
| عدد صحيح زائد 1 وبالتالي هذا Contradiction | |
| 345 | |
| 00:32:30,410 --> 00:32:35,590 | |
| تناقض لأن احنا عندنا P تربيع P تربيع is even okay | |
| 346 | |
| 00:32:35,590 --> 00:32:42,670 | |
| إذاً هذا برهان الـ why طيب إذا احنا وصلنا إلى أن P | |
| 347 | |
| 00:32:42,670 --> 00:32:48,750 | |
| تربيع even بقدر أن P even الآن الـ P والـ Q have no | |
| 348 | |
| 00:32:48,750 --> 00:32:51,410 | |
| common factor other than 1 ما فيش بينهم عامل | |
| 349 | |
| 00:32:51,410 --> 00:32:57,460 | |
| مشترك إلا الـ 1 والـ P even إذا لازم الـ Q يكون odd | |
| 350 | |
| 00:32:57,460 --> 00:33:03,320 | |
| لأن لو كان الـ Q even والـ P even فيه عامل مشترك | |
| 351 | |
| 00:33:03,320 --> 00:33:09,560 | |
| بينهم 2 على الأقل أو 4 وهذا بيتناقض مع ايه | |
| 352 | |
| 00:33:09,560 --> 00:33:13,100 | |
| أن احنا فرضنا أنه ما فيش common factor بين الـ P و | |
| 353 | |
| 00:33:13,100 --> 00:33:18,560 | |
| الـ Q إلا الـ 1 تمام إذا أنا عندي هنا نستنتج أن الـ | |
| 354 | |
| 00:33:18,560 --> 00:33:25,030 | |
| Q لازم يكون odd الآن أنا عندي P even يعني معناته | |
| 355 | |
| 00:33:25,030 --> 00:33:33,020 | |
| بيساوي 2M for some M عدد صحيح وبالتالي لو ربعت له | |
| 356 | |
| 00:33:33,020 --> 00:33:37,780 | |
| نرجع نعوض في المعادلة هذه P تربيع بيساوي 2Q تربيع | |
| 357 | |
| 00:33:37,780 --> 00:33:43,120 | |
| عوض عن P بيساوي 2M فبيصير 4M تربيع بيساوي 2Q تربيع | |
| 358 | |
| 00:33:43,120 --> 00:33:48,760 | |
| فبختصر 2 من الطرفين بيطلع 2M تربيع بيساوي Q تربيع | |
| 359 | |
| 00:33:48,760 --> 00:33:54,620 | |
| إذن Q تربيع بيساوي 2 ضرب عدد صحيح وبالتالي Q تربيع | |
| 360 | |
| 00:33:54,620 --> 00:34:00,020 | |
| is even وبالتالي منها بنستنتج أن الـ Q نفسها is | |
| 361 | |
| 00:34:00,020 --> 00:34:08,720 | |
| even إذا الآن أنا عندي الـ Q is even وهي نفس الـ Q | |
| 362 | |
| 00:34:08,720 --> 00:34:14,260 | |
| استنتجنا أنها odd فهذا | |
| 363 | |
| 00:34:14,260 --> 00:34:20,680 | |
| تناقض .. هذا تناقض صح؟ الـ Q هنا odd وهنا طلعت even | |
| 364 | |
| 00:34:20,680 --> 00:34:24,240 | |
| فهذا يعطيني contradiction which is a contradiction | |
| 365 | |
| 00:34:24,240 --> 00:34:30,620 | |
| فهذا التناقض أن احنا هنا وصلنا بدينا بالبرهان احنا | |
| 366 | |
| 00:34:30,620 --> 00:34:35,860 | |
| عايزين نثبت جدر 2 لا تنتمي لـ Q فرضنا النقيض الـ | |
| 367 | |
| 00:34:35,860 --> 00:34:40,660 | |
| contrary أن جدر 2 تنتمي لـ Q يعني ممكن كتبتها | |
| 368 | |
| 00:34:40,660 --> 00:34:46,240 | |
| على صورة P على Q P وQ أعداد صحيحة وصلنا لتناقض | |
| 369 | |
| 00:34:46,240 --> 00:34:50,020 | |
| معناته أن هذا فرضنا غلط الصح أن جدر 2 لاتن | |
| 370 | |
| 00:34:50,020 --> 00:34:54,640 | |
| تمي لـ Q as required كما هو مطلوب okay تمام هذا | |
| 371 | |
| 00:34:54,640 --> 00:34:59,660 | |
| برهان بالتناقض تمام إذا هنا شوية راجعنا شوية | |
| 372 | |
| 00:34:59,660 --> 00:35:04,820 | |
| براهين تعلمتوها في مبادئ رياضيات طبعا الناس اللي | |
| 373 | |
| 00:35:04,820 --> 00:35:09,180 | |
| اتعلموا مبادئ رياضيات وأخوياء الحاجات هذه | |
| 374 | |
| 00:35:09,180 --> 00:35:14,870 | |
| بالنسبة لهم يعني صارت مجرد تسلية والناس اللي عندهم | |
| 375 | |
| 00:35:14,870 --> 00:35:20,790 | |
| مشاكل في المبادئ نجحوا بالعافية فممكن يعني يجد أن | |
| 376 | |
| 00:35:20,790 --> 00:35:28,670 | |
| هذا مش كثير مثير طيب هيك بنكون خلصنا الـ | |
| 377 | |
| 00:35:28,670 --> 00:35:33,410 | |
| algebraic properties of R الخواص الجبرية لنظام | |
| 378 | |
| 00:35:33,410 --> 00:35:37,650 | |
| الأعداد الحقيقية أو الـ real number system ننتقل لـ | |
| 379 | |
| 00:35:37,650 --> 00:35:40,550 | |
| section ثاني داخل الـ chapter الأول هيك خلصنا | |
| 380 | |
| 00:35:40,550 --> 00:35:46,110 | |
| section الـ section الثاني عنوانه الـ order | |
| 381 | |
| 00:35:46,110 --> 00:35:52,370 | |
| properties of R خواص الترتيب على R order properties | |
| 382 | |
| 00:35:52,370 --> 00:35:58,470 | |
| خواص الترتيب احنا شفنا أو قلنا لما عرفنا نظام | |
| 383 | |
| 00:35:58,470 --> 00:36:02,070 | |
| الأعداد الحقيقية قلنا أن نظام الأعداد الحقيقية | |
| 384 | |
| 00:36:02,070 --> 00:36:07,670 | |
| مجرد مجموعة R boldface R مع عمليتين ثنائيتين two | |
| 385 | |
| 00:36:07,670 --> 00:36:11,710 | |
| binary operations بيحققوا الخمس خواص تبعت الـ field | |
| 386 | |
| 00:36:11,710 --> 00:36:16,730 | |
| اليوم هنفترض أيضا أن نظام الأعداد الحقيقية بيحقق | |
| 387 | |
| 00:36:17,890 --> 00:36:24,850 | |
| order properties الخاصية رقم 6 هذه الخاصية رقم | |
| 388 | |
| 00:36:24,850 --> 00:36:30,710 | |
| 6 هذه الخاصية رقم 6 تتجزأ إلى 3 خواص 3 | |
| 389 | |
| 00:36:30,710 --> 00:36:41,410 | |
| خواص نسميهم order properties أو أول خاصية نفترض | |
| 390 | |
| 00:36:41,410 --> 00:36:48,400 | |
| ماهي order property نفترض وجود مجموعة جزئية من R | |
| 391 | |
| 00:36:48,400 --> 00:36:53,500 | |
| وغير خالية، ليست خالية، non-empty subset of R | |
| 392 | |
| 00:36:53,500 --> 00:36:58,220 | |
| نفترض أن يوجد مجموعة P subset of R غير خالية | |
| 393 | |
| 00:36:58,220 --> 00:37:04,620 | |
| وبتحقق الثلاث خواص هذه الـ set P is closed under | |
| 394 | |
| 00:37:04,620 --> 00:37:09,920 | |
| addition يعني لو أخذت أي عنصرين في P فمجموعهم بيطلع | |
| 395 | |
| 00:37:09,920 --> 00:37:15,040 | |
| عنصر ثالث فيها كذلك المجموعة P closed under | |
| 396 | |
| 00:37:15,040 --> 00:37:20,620 | |
| multiplication يعني لو أخذت أي عنصرين وحصل ضربهم | |
| 397 | |
| 00:37:20,620 --> 00:37:26,980 | |
| بيطلع عنصر ثالث الخاصية الثالثة من خاصية الترتيب | |
| 398 | |
| 00:37:26,980 --> 00:37:32,340 | |
| اللي لها اسم بنسميها trichotomy property الخاصية | |
| 399 | |
| 00:37:32,340 --> 00:37:37,940 | |
| الثلاثية الخاصية الثلاثية ايه هي؟ لو أخذت أي عدد | |
| 400 | |
| 00:37:37,940 --> 00:37:39,180 | |
| حقيقي R | |
| 401 | |
| 00:37:41,750 --> 00:37:51,250 | |
| فواحد من الثلاث احتمالات هذه لازم يكون صحيح وهو أن | |
| 402 | |
| 00:37:51,250 --> 00:37:57,290 | |
| إما a تنتمي للمجموعة P هذه أو a بيساوي صفر أو | |
| 403 | |
| 00:37:57,290 --> 00:38:01,410 | |
| negative a ينتمي للمجموعة P هذه هي الخاصية | |
| 404 | |
| 00:38:01,410 --> 00:38:07,670 | |
| الثالثة أي عدد حقيقي إما يكون عنصر في P أو بيساوي | |
| 405 | |
| 00:38:07,670 --> 00:38:10,630 | |
| صفر أو الـ negative تبقى عنصر في P | |
| 406 | |
| 00:38:16,020 --> 00:38:21,780 | |
| الآن بنعرف المجموعة remark ملاحظة بنعرف المجموعة | |
| 407 | |
| 00:38:21,780 --> 00:38:25,820 | |
| negative P المجموعة negative P هي مجموعة كل | |
| 408 | |
| 00:38:25,820 --> 00:38:33,050 | |
| العناصر negative A حيث A ينتمي لـ P الآن الخاصية C | |
| 409 | |
| 00:38:33,050 --> 00:38:36,310 | |
| من الـ order property اللي هي trichotomy property | |
| 410 | |
| 00:38:36,310 --> 00:38:43,610 | |
| الخاصية C says تقول أو بتقول أن الـ sets المجموعات | |
| 411 | |
| 00:38:43,610 --> 00:38:52,110 | |
| اللي هي المجموعة الأحادية صفر والمجموعة P و | |
| 412 | |
| 00:38:52,110 --> 00:38:57,570 | |
| المجموعة negative P الثلاث | |
| 413 | |
| 00:38:57,570 --> 00:39:02,860 | |
| هدول are pairwise disjoint منفصلة مثنى مثنى | |
| 414 | |
| 00:39:02,860 --> 00:39:06,840 | |
| pairwise disjoint يعني منفصلة مثنى مثنى ايه يعني؟ | |
| 415 | |
| 00:39:06,840 --> 00:39:11,360 | |
| لو أخذت أي اثنتين من الثلاث مجموعات هدول وقاطعتهم | |
| 416 | |
| 00:39:11,360 --> 00:39:15,200 | |
| مع بعض فبتقعوا اعتبارهم five ما فيش بينهم عناصر | |
| 417 | |
| 00:39:15,200 --> 00:39:19,060 | |
| مشتركة فبنقول إن المجموعات هذه pairwise disjoint | |
| 418 | |
| 00:39:20,610 --> 00:39:26,410 | |
| ومش هيكوا بس واتحادهم بيساوي كل الأعداد الحقيقية هذا | |
| 419 | |
| 00:39:26,410 --> 00:39:33,430 | |
| صحيح من الخاصية C لأن C بتقول لأي عدد حقيقي أي A | |
| 420 | |
| 00:39:33,430 --> 00:39:41,310 | |
| ينتمي إلى R أي A ينتمي إلى R إما ينتمي إلى P أو | |
| 421 | |
| 00:39:41,310 --> 00:39:45,370 | |
| بساوي 0 وبالتالي ينتمي إلى المجموعة هذه أو ينتمي | |
| 422 | |
| 00:39:45,370 --> 00:39:52,030 | |
| إلى negative P صح؟ وبالتالي كل a هنا موجود في واحدة | |
| 423 | |
| 00:39:52,030 --> 00:39:54,810 | |
| من هذول التلاتة وبالتالي موجود في اتحادهم مش هيك | |
| 424 | |
| 00:39:54,810 --> 00:39:59,990 | |
| تعريف اتحاد؟ إذاً الـ R الآن أصبحت مجموعة جزئية من | |
| 425 | |
| 00:39:59,990 --> 00:40:06,130 | |
| الاتحاد، مظبوط؟ طب الـ P مجموعة جزئية من R و | |
| 426 | |
| 00:40:06,130 --> 00:40:10,850 | |
| negative P مجموعة جزئية من R و singleton 0 برضه | |
| 427 | |
| 00:40:10,850 --> 00:40:15,130 | |
| مجموعة جزئية من R إذا اتحادهم بيطلع مجموعة جزئية | |
| 428 | |
| 00:40:15,130 --> 00:40:20,060 | |
| من R وبالتالي أنا عندي الاحتواء من الناحيتين | |
| 429 | |
| 00:40:20,060 --> 00:40:24,280 | |
| وبالتالي عندي تساوي إذاً هنا برهنت لكم أن الاتحاد | |
| 430 | |
| 00:40:24,280 --> 00:40:26,740 | |
| هذا بساوي R تمام؟ | |
| 431 | |
| 00:40:33,090 --> 00:40:37,470 | |
| طب ليش هدول disjoint؟ لأنه لو .. لو فرضت أنه مثلاً | |
| 432 | |
| 00:40:37,470 --> 00:40:42,130 | |
| في عنصر بيقع ينتمي لتقاطع المجموعتين هدول، معناته | |
| 433 | |
| 00:40:42,130 --> 00:40:45,990 | |
| هذا العنصر بيساوي صفر وفي نفس الوقت ينتمي لـ P | |
| 434 | |
| 00:40:45,990 --> 00:40:49,830 | |
| وهذا بتناقض مع الخاصية الثلاثية، الخاصية الثلاثية | |
| 435 | |
| 00:40:49,830 --> 00:40:53,950 | |
| بتقول لازم و exactly one، واحد من الاحتمالات | |
| 436 | |
| 00:40:53,950 --> 00:41:00,090 | |
| الثلاثة هذه صح، أما اثنين مش صح، تمام؟ okay | |
| 437 | |
| 00:41:02,970 --> 00:41:07,390 | |
| العنى المجموعة P هذه اللي عرفناها هنا بنسميها | |
| 438 | |
| 00:41:07,390 --> 00:41:10,610 | |
| مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة the set of | |
| 439 | |
| 00:41:10,610 --> 00:41:15,830 | |
| positive real number مجموعة الأعداد الحقيقية | |
| 440 | |
| 00:41:15,830 --> 00:41:19,750 | |
| الموجبة و الـ set negative P هذه بنسميها مجموعة | |
| 441 | |
| 00:41:19,750 --> 00:41:24,560 | |
| الأعداد الحقيقية السالبة، ولما نضيف عليهم الصفر هيك | |
| 442 | |
| 00:41:24,560 --> 00:41:28,980 | |
| بنكون غطينا كل الأعداد الحقيقية صح؟ okay تمام إذاً | |
| 443 | |
| 00:41:28,980 --> 00:41:33,000 | |
| P بنسميها مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة negative | |
| 444 | |
| 00:41:33,000 --> 00:41:42,440 | |
| P مجموعة الأعداد الحقيقية السالبة وهكذا طيب | |
| 445 | |
| 00:41:42,440 --> 00:41:47,980 | |
| لحد الآن احنا ما عرفناش علاقة أصغر أو أكبر أو أصغر | |
| 446 | |
| 00:41:47,980 --> 00:41:52,380 | |
| من أو يساوي أو أكبر من أو يساوي اللي هو الترتيب في | |
| 447 | |
| 00:41:52,380 --> 00:41:56,100 | |
| عندي definition هنا لو أخدت أي عددين حقيقيين a و b | |
| 448 | |
| 00:41:56,100 --> 00:42:04,620 | |
| فهنكتب أو هنعلن أن a أصغر من b أو ما يكافئها b | |
| 449 | |
| 00:42:04,620 --> 00:42:12,640 | |
| أكبر من a هذا معناه نقصد نقصد بذلك أن الفرق بين b | |
| 450 | |
| 00:42:12,640 --> 00:42:18,920 | |
| و a ينتمي لـ p يعني الفرق هذا موجب يعني هذا عدد | |
| 451 | |
| 00:42:18,920 --> 00:42:26,080 | |
| موجب، إذا لو كان الفرق بين b و a عدد موجب فبنكتب a | |
| 452 | |
| 00:42:26,080 --> 00:42:32,780 | |
| أصغر من b أو b أكبر من a طيب طب | |
| 453 | |
| 00:42:32,780 --> 00:42:36,840 | |
| متى بكتب a أصغر من أو يساوي b أو b أكبر من أو | |
| 454 | |
| 00:42:36,840 --> 00:42:45,760 | |
| يساوي a هذا معناه يعني هذا مثلاً معناه أن a أصغر من | |
| 455 | |
| 00:42:45,760 --> 00:42:54,840 | |
| b يعني الفرق بين B و A ينتمي لـ P أو A بيساوي B لما | |
| 456 | |
| 00:42:54,840 --> 00:42:58,860 | |
| يكون A بيساوي B لاحتمال الثاني هذا معناه أن الفرق | |
| 457 | |
| 00:42:58,860 --> 00:43:03,620 | |
| بيساوي صفر يعني ينتمي للمجموعة Singleton Zero okay | |
| 458 | |
| 00:43:03,620 --> 00:43:07,500 | |
| تمام؟ إذن أصغر من أو يساوي أو أكبر من أو يساوي | |
| 459 | |
| 00:43:07,500 --> 00:43:13,410 | |
| معناته الفرق ينتمي لـ P اتحاد Singleton Zero الآن في | |
| 460 | |
| 00:43:13,410 --> 00:43:20,170 | |
| عندي نظرية والنظرية هذه بتعطيني خواص لـ الـ | |
| 461 | |
| 00:43:20,170 --> 00:43:28,450 | |
| الـ خليني بس نبص عليها بسرعة النظرية | |
| 462 | |
| 00:43:28,450 --> 00:43:33,410 | |
| هذه بتعطيني خواص للـ order properties يعني خواص | |
| 463 | |
| 00:43:33,410 --> 00:43:40,210 | |
| أخرى نقدر نشتقها من الـ order properties وكل هذه | |
| 464 | |
| 00:43:40,210 --> 00:43:44,990 | |
| خواص معروفة وسهلة وبسيطة وكلها .. كلها عارفين لكن | |
| 465 | |
| 00:43:44,990 --> 00:43:48,230 | |
| بدها برهان .. بدها برهان ما حدش عمره برهان لنا إياها | |
| 466 | |
| 00:43:49,460 --> 00:43:54,600 | |
| Okay فحنوقف عند النظرية هذه وإن شاء الله المرة | |
| 467 | |
| 00:43:54,600 --> 00:44:01,120 | |
| الجاية بنحاول نبرهن النظرية okay حاولوا أنتم | |
| 468 | |
| 00:44:01,120 --> 00:44:05,260 | |
| meanwhile في نفس الوقت كتحضير للمحاضرة الجاية | |
| 469 | |
| 00:44:05,260 --> 00:44:10,140 | |
| حاولوا أنكم تقرأوا البرهان تبع النظرية وشوفوا هل | |
| 470 | |
| 00:44:10,140 --> 00:44:16,360 | |
| تفهموه ولا لأ okay تمام في أي سؤال okay شكراً لكم | |
| 471 | |
| 00:44:16,360 --> 00:44:17,540 | |
| ومبارك الله فيكم | |