1
00:00:20,960 --> 00:00:27,560
Okay إذا هنواصل إن شاء الله اللي بدنا فيه المحاضرة

2
00:00:27,560 --> 00:00:33,340
السابقة المرة اللي فاتت خلينا بسرعة بس هيك نمر على

3
00:00:33,340 --> 00:00:40,220
الحاجات اللي أخذناها أخذنا اللي هو ال algebraic

4
00:00:40,220 --> 00:00:43,060
properties of the real number system اللي هو

5
00:00:43,060 --> 00:00:48,970
الخواص الجبرية و عرفنا اللي هو ال real number

6
00:00:48,970 --> 00:00:52,930
system فقلنا إن ال real number system عبارة عن

7
00:00:52,930 --> 00:00:58,430
المجموعة R مع عمليتين جبريتين أو ثنائيتين عملية

8
00:00:58,430 --> 00:01:03,110
جمع و عملية ضرب و هذول العمليات بتحققوا خمس خواص

9
00:01:03,110 --> 00:01:08,290
خاصية الإبدال commutative law خاصية الدمج ال

10
00:01:08,290 --> 00:01:14,180
associative laws خواص التوزيع distributive laws

11
00:01:14,180 --> 00:01:19,120
خاصية الرابعة وجود ال identity elements العناصر

12
00:01:19,120 --> 00:01:25,280
المحايدة اللي هي 0 و 1 ووجود ال inverse

13
00:01:25,280 --> 00:01:38,580
elements أو العناصر النظائر أو المعكسات فلكل عدد 

14
00:01:38,580 --> 00:01:48,850
حقيقي فيه له معكوس جمعي اللي هو سالب x  و لكل عدد

15
00:01:48,850 --> 00:01:55,330
حقيقي غير مختلف عن الصفر له نظير ضربي أو

16
00:01:55,330 --> 00:01:59,030
multiplicative inverse يُرمز له بالرمز x<sup>-1</sup>

17
00:01:59,030 --> 00:02:03,050
negative واحد بحيث لو ضربتهم في بعض بيعطوني ال

18
00:02:03,050 --> 00:02:10,890
identity element واحد هذول الخمس خواص اللي بتحققهم 

19
00:02:10,890 --> 00:02:15,760
مجموعة الأعداد الحقيقية مع العملياتين ضرب وجمع

20
00:02:15,760 --> 00:02:21,600
اللي عرفناها سابقاً في أول خواص أخذناها اللي هي

21
00:02:21,600 --> 00:02:27,680
cancellation laws موجودة في نظرية 1.1 فعملية 

22
00:02:27,680 --> 00:02:33,220
الجمع بتحقق cancellation law يعني أنا لو كان عندي

23
00:02:33,220 --> 00:02:38,940
x plus z بساوي y plus z فممكن أشطب z من الطرفين

24
00:02:38,940 --> 00:02:44,680
بيطلع عندي x بساوي y كذلك عملية الضرب بتحقق ال

25
00:02:44,680 --> 00:02:51,000
cancellation law فلو في عندي حاصل ضرب زي هذا بساوي

26
00:02:51,000 --> 00:02:56,140
حاصل الضرب هذا و ال answer w هذا العدد w ما بيساوي صفر

27
00:02:56,140 --> 00:03:01,470
فمقدر أقسم الطرفين على w  بيطلع عندي x بساوي y هذه

28
00:03:01,470 --> 00:03:05,430
الخواص مهمة و برهنت لكم المرة اللي فاتت الجزء 

29
00:03:05,430 --> 00:03:11,810
الثاني و برهان الجزء الأول مشابه و بالتالي قلنا 

30
00:03:11,810 --> 00:03:17,650
لكم حاولوا تثبتوا بنفس الطريقة بالمثل كمان أخذنا

31
00:03:17,650 --> 00:03:22,810
نظرية ثانية اللي هي النظرية هذه ذكرناها المرة اللي

32
00:03:22,810 --> 00:03:30,050
فاتت فيها حوالي عشر خواص للأعداد الحقيقية فأول

33
00:03:30,050 --> 00:03:35,350
خاصية لو ضربت أي عدد حقيقي بالصفر سواء من اليمين

34
00:03:35,350 --> 00:03:39,370
أو اليسار فالنتيجة العدد الصفري اللي هو ال additive

35
00:03:39,370 --> 00:03:47,090
identity صفر فبرهان هذا الجزء هو برهان الجزء الأول 

36
00:03:47,090 --> 00:03:55,210
يعني باين واحد هنا فكيف يتم البرهان أنا عايز أثبت 

37
00:03:55,210 --> 00:04:02,370
أن x ضرب صفر بساوي صفر طيب أنا عندي لو جمعت x ضارب 

38
00:04:02,370 --> 00:04:07,470
0 زائد x ضارب 0 بقدر باستخدام ال distributive law

39
00:04:07,470 --> 00:04:13,430
أخذ x عامل مشترك كأني بضرب x في 0 زائد 0 هذا صحيح 

40
00:04:13,430 --> 00:04:17,550
باستخدام ال distributive law الآن لما أجمع الصفر

41
00:04:17,550 --> 00:04:22,450
على أي عدد حقيقي حتى لو نفسه الناتج بيطلع 0 هذا من 

42
00:04:22,450 --> 00:04:33,170
خواص المحايد الجمعي و ال X ضرب صفر هو نفسه لو جمعت 

43
00:04:33,170 --> 00:04:37,330
على العدد هذا صفر فيبقى زي ما هو من خواص الصفر

44
00:04:37,330 --> 00:04:43,950
الآن أنا ممكن أشطب باستخدام cancellation law ممكن

45
00:04:43,950 --> 00:04:49,590
أشطب هذا و أشطب هذا فبيطلع عندي X ضرب صفر بساوي صفر 

46
00:04:49,590 --> 00:04:55,490
okay تمام الخاصية الثانية الخاصية الثانية عايزين

47
00:04:55,490 --> 00:05:01,230
نثبت أنه لو أخذت أي عدد حقيقي و أخذت سالبه مرتين 

48
00:05:01,230 --> 00:05:06,530
فهذا هو نفس ال X البرهان برضه بتم كالتالي هاي ال X

49
00:05:06,530 --> 00:05:12,370
و بجمع عليه negative X اللي هو المعكوس الجمعي

50
00:05:12,370 --> 00:05:20,390
طبعاً فهذا بساوي صفر هذا بساوي صفر من خواص المعكوس

51
00:05:20,390 --> 00:05:26,570
الجمعي و ممكن أن احنا نبدل هذول مع بعض أو لأ، الآن

52
00:05:26,570 --> 00:05:31,610
برضه لو أخذت هذا، هذا عدد حقيقي، و هذا المعكوس 

53
00:05:31,610 --> 00:05:36,970
الجمعي تبعه، عدد حقيقي و المعكوس الجمعي تبعه دائماً

54
00:05:36,970 --> 00:05:41,830
بساوي صفر، الآن ممكن نبدل عملية الجمع إبدالية،

55
00:05:41,830 --> 00:05:46,970
commutative، فنبدل الحاجات هذه مع بعض الآن عملية 

56
00:05:46,970 --> 00:05:50,970
الجمع بتحقق قانون الحدث cancellation law إذا

57
00:05:50,970 --> 00:05:55,390
ممكن أشطب أنا العنصر هذا مع هذا بيبقى عندي على 

58
00:05:55,390 --> 00:05:59,810
الشمال X وعلى اليمين بيبقى negative negative X

59
00:05:59,810 --> 00:06:06,070
فبالتالي هي كمان أثبتنا صحة الخاصية هذه تمام؟

60
00:06:07,410 --> 00:06:11,250
الخاصية الثالثة في النظرية اللي شوفناها قبل شوية

61
00:06:11,250 --> 00:06:17,770
برهانها مشابه لخاصية الثانية وبالتالي هأسيبه تمرين، 

62
00:06:17,770 --> 00:06:21,770
إذا بعض الحاجات اللي برهانها مشابه دائماً هنسيبها

63
00:06:21,770 --> 00:06:26,030
كتمرين للطالب لأن الفكرة نفسها و رياضيات مجرد أفكار

64
00:06:26,030 --> 00:06:33,620
فإذا عرفنا الفكرة انتهى الحل اللغز الخاصية الرابعة،

65
00:06:33,620 --> 00:06:37,120
في الخاصية الرابعة عايزين نثبت أنه لو ضربت سالب

66
00:06:37,120 --> 00:06:42,880
واحد في x بيطلع عندي ال negative x أو المحايد

67
00:06:42,880 --> 00:06:48,640
الجمعي ل x فلبرهان ذلك بأخذ negative واحد في x و

68
00:06:48,640 --> 00:06:53,820
بجمعها على x فهذا هو نفسه هي negative واحد في x و

69
00:06:53,820 --> 00:06:59,970
ال x هذه عبارة عن واحد في x الآن ممكن هنا أستخدم

70
00:06:59,970 --> 00:07:03,070
ال distributive law عملية الضرب تتوزع على عملية 

71
00:07:03,070 --> 00:07:07,670
الجمع فممكن أكتب هذا سالب واحد زائد واحد مضروب من

72
00:07:07,670 --> 00:07:13,370
اليمين في X و عملية الضرب إبدالية فهي نفس كما لو 

73
00:07:13,370 --> 00:07:19,040
ضربت X من اليمين في سالب واحد زائد واحد Okay تمام 

74
00:07:19,040 --> 00:07:24,700
الآن لما أجمع سالب واحد هذا سالب واحد على واحد

75
00:07:24,700 --> 00:07:31,440
عنصر و نظير الجمع تبعهم مجموعهم صفر و صفر في أي

76
00:07:31,440 --> 00:07:37,500
عنصر أثبتنا أنه بيساوي صفر و الصفر هو نفسه سالب x

77
00:07:37,500 --> 00:07:42,450
زائد x وبالتالي بقدر أستخدم ال cancellation اللي هو

78
00:07:42,450 --> 00:07:47,250
عامل cancelling ل X على الطرف الشمال و cancelling

79
00:07:47,250 --> 00:07:50,990
ل X على الطرف اليمين يبقى في الشمال سالب واحد في X

80
00:07:50,990 --> 00:07:55,850
في اليمين سالب X وبالتالي هيك ممكن أثبتنا الخاصية

81
00:07:55,850 --> 00:08:01,850
هذه واضحة؟ أي حد عنده أي استفسار؟ خواص سهلة و براهين 

82
00:08:01,850 --> 00:08:06,150
سهلة جداً أنتم دارسين مبادئ و اللي دارسين مبادئ 

83
00:08:06,150 --> 00:08:11,530
رياضيات و فاهمينها كويس هذه حاجات يعني براهين أمثلة 

84
00:08:11,530 --> 00:08:16,170
كلها على برهان مباشر بسيط باستخدام خواص ذكرناها

85
00:08:16,170 --> 00:08:22,990
سابقاً فهذا مجرد يعني مبادئ رياضيات الخاصية الخامسة

86
00:08:22,990 --> 00:08:29,590
احنا عايزين نثبت لو ضربت x في negative y تطلع ..

87
00:08:29,590 --> 00:08:34,960
هي نفسها كم لو ضربت negative x في y و هذه يعني

88
00:08:34,960 --> 00:08:39,800
البرهان مش صعب هاي ال X وهي negative Y الخاصية 

89
00:08:39,800 --> 00:08:43,560
الرابعة أثبتنا فيها إنه negative Y بيساوي negative

90
00:08:43,560 --> 00:08:48,780
واحد في Y هذا من الخاصية أربعة ال associative law

91
00:08:48,780 --> 00:08:52,120
بيسمح لإن أنا الأقواس هذه أرتبها بالطريقة هذه

92
00:08:52,120 --> 00:08:56,180
عملية الضرب associative و كمان عملية الضرب

93
00:08:56,180 --> 00:09:00,620
commutative إذا ممكن أبدل ال X مع ال negative واحد

94
00:09:04,010 --> 00:09:07,470
الخاصية الرابعة بتقول سالب واحد ضرب X عبارة عن

95
00:09:07,470 --> 00:09:14,030
negative X إذاً هذا هو إيه هذا جزء من الجزء الخامس

96
00:09:14,030 --> 00:09:20,750
في كمان جزء ثاني اللي هو عايزين نثبت إن X ضرب

97
00:09:20,750 --> 00:09:24,990
negative Y هو نفس الحاجة كما لو ضربت X في Y الأول

98
00:09:24,990 --> 00:09:30,950
وضربت الكل في negative و لبرهان ذلك هي X في

99
00:09:30,950 --> 00:09:34,950
negative Y X في negative Y أثبتنا إنها طلعت بتساوي

100
00:09:34,950 --> 00:09:41,090
سالب واحد في X في Y هذا هو نزلناها من هنا الآن 

101
00:09:41,090 --> 00:09:44,470
باستخدام ال associative law ممكن إيه أبدل الأقواس 

102
00:09:44,470 --> 00:09:50,450
يعني أخد X و Y مع بعض و أضربهم في سالب واحد وطبعاً

103
00:09:50,450 --> 00:09:54,490
الآن أثبتنا أن سالب واحد لما أضربه في حاجة زي هذه

104
00:09:54,490 --> 00:09:56,910
بيطلع سالب X في Y

105
00:10:01,430 --> 00:10:08,850
بالنسبة لخاصية رقم 6 ممكن نستخدم الخاصية رقم 4 و

106
00:10:08,850 --> 00:10:12,510
ال distributive law في إثباتها فطبعاً أنا هنا كاتب

107
00:10:12,510 --> 00:10:18,030
لكم use الخاصية أو الجزء الرابع و ال distributive

108
00:10:18,030 --> 00:10:23,210
law لبرهان مين؟ الخاصية رقم 6 هذه، هذه أرقام 

109
00:10:23,210 --> 00:10:29,920
لاتينية فبتشوفوها أنتم طبعاً و بتحاولوا تثبتوها و

110
00:10:29,920 --> 00:10:35,660
إذا ما عرفتوهاش ممكن تتواصلوا معايا نحاول نثبتها لكم

111
00:10:35,660 --> 00:10:42,780
بالنسبة لخاصية السابعة إيه هي الخاصية السابعة لو

112
00:10:42,780 --> 00:10:46,700
ضربت negative x في negative y المفروض يطلع نفس

113
00:10:46,700 --> 00:10:54,530
الحاجة x ضرب y و هي البرهان بسيط احنا أخذنا أن لو 

114
00:10:54,530 --> 00:10:59,830
ضربت negative x في عنصر negative y هو نفسه كما لو

115
00:10:59,830 --> 00:11:07,130
أنا ضربت x في العنصر الثاني و أخذت السالب برا و 

116
00:11:07,130 --> 00:11:07,750
بعدين

117
00:11:10,830 --> 00:11:17,230
نفس الحاجة هنا x في negative y هي

118
00:11:17,230 --> 00:11:24,890
نفسها negative x في y بدل x في negative y ب 

119
00:11:24,890 --> 00:11:30,290
negative ضرب x y و أثبتنا قبل هيك أن negative ضرب

120
00:11:30,290 --> 00:11:34,930
negative العنصر بساوي العنصر إذا هذا برضه

121
00:11:34,930 --> 00:11:45,630
برهان هذا الجزء الجزء الثامن أو التاسع are left as

122
00:11:45,630 --> 00:11:48,410
exercises برضه أنا سايب لكم إياهم تمرين لأن مش

123
00:11:48,410 --> 00:11:52,310
ما جون نبرهنه كل شيء أنتم يعني كبار لأن بدأتوا

124
00:11:52,310 --> 00:11:58,050
تُساوبوُا بدأتوا تفهموا فلازم برضه تشاركوا شوية مش

125
00:11:58,050 --> 00:12:02,030
معقول زي اللي .. احنا مش في مدرسة ثانوية، بنأشي

126
00:12:02,030 --> 00:12:06,310
نقوُل، ابتدائية، لازم يشرح لكم كل شيء و لازم يبرهن لكم 

127
00:12:06,310 --> 00:12:10,050
كل شيء، لازم الطالب يشارك شوية، خاصة الحاجات اللي

128
00:12:10,050 --> 00:12:14,290
براهينها مشابهة فبتزعلوش و حالكم أنتم تاخدوا

129
00:12:14,290 --> 00:12:19,430
الأمور هذه بصدر رحب و كمان مرة بكرر لو أي شيء من

130
00:12:19,430 --> 00:12:23,570
الحاجات اللي بنسيبها ما عرفتوهاش تحلوها أو تبرهنوها

131
00:12:23,570 --> 00:12:28,350
فأنا على استعداد أن أساعدكم في برهانها الجزء الآخر

132
00:12:28,350 --> 00:12:32,490
جزء العاشر إيه هو الجزء العاشر؟ الجزء العاشر بيقول

133
00:12:32,490 --> 00:12:40,530
دائماً بندرسها في مبادئ الرياضيات مثال على برهان غير

134
00:12:40,530 --> 00:12:44,490
مباشر في مبادئ رياضيات، لو كان X ضرب Y أعداد

135
00:12:44,490 --> 00:12:50,990
حقيقية، حاصل ضربهم صفر، فإيه بيطلع؟ إما X بساوي صفر

136
00:12:50,990 --> 00:12:55,650
أو Y بساوي صفر، بظبط؟

137
00:13:01,000 --> 00:13:05,060
فهذا نعطي مثال في المبادئ الرياضية طيب البرهان هو 

138
00:13:05,060 --> 00:13:12,880
نفسه البرهان هو نفسه عشان أثبت إنه x لو كان x ضرب

139
00:13:12,880 --> 00:13:19,760
y بساوي 0 فبيطلع x بساوي 0 أو y بساوي 0 فبأفرض أن x

140
00:13:19,760 --> 00:13:26,220
ما يساويش 0 و بأثبت أن y بيساوي 0 أو by symmetry 

141
00:13:26,220 --> 00:13:32,080
بالتماثل ممكن أفرض أن y بيساوي 0 وأصل إلى أن x 

142
00:13:32,080 --> 00:13:41,640
بيساوي 0 okay تمام فاللي عملناه هنا هي لبرهان أن

143
00:13:41,640 --> 00:13:47,400
x بيساوي 0 أو y بيساوي 0 it suffices يعني يكفي أن

144
00:13:47,400 --> 00:13:54,070
أفرض to assume أن x لا يساوي 0 وأثبت وأثبت أن y

145
00:13:54,070 --> 00:14:07,690
بيساوي 0 طيب أنا عندي من الفرض x y بيساوي 0 ف

146
00:14:07,690 --> 00:14:14,610
ال x y بيساوي 0  تُهيّئ لي

147
00:14:14,610 --> 00:14:21,110
فيه شيء هنا مش مبين ده هو خلينا نبينه نعم هاي أنا

148
00:14:21,110 --> 00:14:26,470
عندي x y من الفرض x y بيساوي صفر والصفر هذا ممكن

149
00:14:26,470 --> 00:14:30,970
أكتبه على صورة x ضرب صفر برضه هذا بيساوي صفر تمام

150
00:14:30,970 --> 00:14:36,470
الآن أنا أفرض أن x لا يساوي صفر فعملية الضرب بتحقق

151
00:14:36,470 --> 00:14:40,210
cancellation law إذا من cancellation law تبع عملية 

152
00:14:40,210 --> 00:14:44,470
الضرب مدام x لا يساوي صفر فبقدر أجزم عليها فبيطلع

153
00:14:44,470 --> 00:14:50,590
عندي y بيساوي صفر وهذا هو المطلوب Okay تمام إذا هيك

154
00:14:50,590 --> 00:15:01,290
بنكون برهنا النظرية الثانية كويس

155
00:15:01,290 --> 00:15:07,770
تمام هيك طيب

156
00:15:07,770 --> 00:15:11,690
نأخذ تعريفات أو تعريف مهم

157
00:15:21,020 --> 00:15:27,480
في تعريف هنا الخواص

158
00:15:27,480 --> 00:15:30,660
الخامسة هذه اللي حكينا عنها ال commutative law ال

159
00:15:30,660 --> 00:15:37,140
associative law وال distributive law existence of

160
00:15:37,140 --> 00:15:42,780
identity elements الخاصية الخامسة existence of

161
00:15:42,780 --> 00:15:47,240
inverses خمس خواص هذه اللي بتحققها عمليات الجمع و

162
00:15:47,240 --> 00:15:52,770
الضرب على الأعداد الحقيقية هذه الخواص بتشكل تعريف

163
00:15:52,770 --> 00:15:57,750
ما يسمى في الجبر في الجبر الحديث في تركيبة جبرية

164
00:15:57,750 --> 00:16:03,870
اسمها field أو حقل فما

165
00:16:03,870 --> 00:16:09,130
هو الحقل لو أنتم هتدرسوا جبر حديث واحد أو .. أو

166
00:16:09,130 --> 00:16:14,850
درستموه فيمكن مر عليكم ال field أو الحقل هو عبارة

167
00:16:14,850 --> 00:16:23,080
عن set مع عمليتين ثنائيتين عملية جمع وعملية ضرب

168
00:16:23,080 --> 00:16:29,300
معرفين على ال set F بحيث أن العمليتين هدول بيحققوا

169
00:16:29,300 --> 00:16:33,640
الخواص الخمسة اللي هي حققتها مجموعة الأعداد

170
00:16:33,640 --> 00:16:40,250
الحقيقية، إذا أي مجموعة F مع عمليتين ثنائيتين بتحقق

171
00:16:40,250 --> 00:16:46,630
الخواص الخمسة بنسميها في الجبر field إذا ال .. ال

172
00:16:46,630 --> 00:16:51,510
.. ال R ال R أو الأعداد الحقيقية مع عمليات الجمع

173
00:16:51,510 --> 00:16:56,650
والضرب اللي عرفناها سابقا شفنا أنها بتحقق الخواص

174
00:16:56,650 --> 00:17:01,570
الخمسة وبالتالي بتشكل field فبنسميها it the field of

175
00:17:01,570 --> 00:17:08,790
real numbers أو المجال الأعداد الحقيقية هي

176
00:17:08,790 --> 00:17:14,430
مثال فيه أمثلة كثيرة على fields على حقول فهي لو

177
00:17:14,430 --> 00:17:18,030
أخذت المجموعة هي أبسط field أصغر وأبسط field

178
00:17:18,030 --> 00:17:24,190
موجود في الرياضيات هو ال 6F اللي بتتكون من عنصرين

179
00:17:24,190 --> 00:17:33,050
عددين حقيقيين 0, 1 الآن عشان أكون field على المجموعة

180
00:17:33,050 --> 00:17:37,590
F اللي بتكون من عنصرين لازم أعرف عملية جمع وضرب

181
00:17:37,590 --> 00:17:43,690
فممكن أعرف عملية جمع وضرب على F كالتالي ها يعني

182
00:17:43,690 --> 00:17:50,570
عرفت لو ضربت 0 في نفسه أو 1 في 0 أو 0 في 1 أو

183
00:17:50,570 --> 00:17:57,780
جمعت 0 على 0 أو 1 على 1 هذا بأعرفه أنه بيساوي 0 إذا

184
00:17:57,780 --> 00:18:02,020
أنا عرفت حاصل الضرب والجمع هذا بيساوي صفر كذلك

185
00:18:02,020 --> 00:18:05,800
أنا بأعرف أنه لو جمعت الصفر على الواحد أو الواحد

186
00:18:05,800 --> 00:18:10,000
على الصفر أو الواحد على الواحد بيطلع واحد الآن إذا

187
00:18:10,000 --> 00:18:16,410
أنا عرفت عمليات جمع وضرب على كل عناصر المجموعة الآن

188
00:18:16,410 --> 00:18:23,610
من السهل التحقق أن ال خواص الخمسة كلها بتتحقق تابعة

189
00:18:23,610 --> 00:18:28,530
ال field وبالتالي هذا بيكون field وهذا ال field في

190
00:18:28,530 --> 00:18:36,770
الجبر برمز له بالرمز Z2 وفي

191
00:18:36,770 --> 00:18:40,890
نفس الوقت هو cyclic group of order two إذا في حد

192
00:18:40,890 --> 00:18:45,120
فيكم درس الجبر الحديث على أي حال احنا هذا مش موضوعنا

193
00:18:45,120 --> 00:18:49,400
هذا موضوع جبر فبس يعني هذا مجرد مثال بسيط على

194
00:18:49,400 --> 00:18:53,600
field واحنا أهم حاجة أنه احنا يعني اللي بدنا احنا

195
00:18:53,600 --> 00:18:58,420
نصله أنه مجموعة الأعداد الحقيقية تبعتنا مجموعة

196
00:18:58,420 --> 00:19:04,980
الأعداد الحقيقية R مع عملية الجمع والضرب بتشكل

197
00:19:04,980 --> 00:19:10,360
ما يسمى في الجبر بال field تمام؟ هذا اللي احنا

198
00:19:10,360 --> 00:19:11,980
عايزين نصله، نعم فضل

199
00:19:15,080 --> 00:19:18,860
هذا تعريف احنا .. احنا .. احنا بنعرف أنه لو جمع

200
00:19:18,860 --> 00:19:23,700
واحد على واحد يطلع صفر هذا definition تعريف وليس

201
00:19:23,700 --> 00:19:27,320
آه يعني هاي مجموعة آه بدي أعرف عليها عملية جمع

202
00:19:27,320 --> 00:19:31,060
عملية .. عملية الجمع هانا بأعرفها لو جمعت واحد على

203
00:19:31,060 --> 00:19:39,480
واحد بيطلع صفر لو جمعت واحد آه

204
00:19:43,240 --> 00:19:52,920
آه في هنا شيء مش مظبوط هنا هذه المفروض ضرب هذه هذه

205
00:19:52,920 --> 00:19:58,760
المفروض ضرب هذه فهذا في خطأ مطبعي صحيح هذا كله

206
00:19:58,760 --> 00:20:02,200
تعريف الآن لما هيك أنا بكون عرفت عملية الجمع

207
00:20:02,200 --> 00:20:07,240
والضرب هنا في خطأ مطبعي دي المفروض تكون ضرب لأن

208
00:20:07,240 --> 00:20:10,240
واحد زائد واحد عرفناها تساوي صفر ف

209
00:20:13,680 --> 00:20:19,300
حسب التعريف هذا ممكن التحقق أن خمس خواص تبعت ال

210
00:20:19,300 --> 00:20:22,760
field بتتحقق فممكن تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا

211
00:20:22,760 --> 00:20:25,700
بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها

212
00:20:25,700 --> 00:20:27,620
إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم

213
00:20:27,620 --> 00:20:27,740
تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا

214
00:20:27,740 --> 00:20:28,060
بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها

215
00:20:28,060 --> 00:20:28,700
إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم

216
00:20:28,700 --> 00:20:36,280
تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا

217
00:20:36,280 --> 00:20:43,660
بدكم تحققوها إذا بدكم توعملية القسمة هي عملية

218
00:20:43,660 --> 00:20:47,340
ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،

219
00:20:47,340 --> 00:20:49,400
ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،

220
00:20:49,400 --> 00:20:53,020
ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،

221
00:20:53,020 --> 00:20:54,300
ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،

222
00:20:54,300 --> 00:20:56,080
ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،

223
00:20:56,080 --> 00:20:56,480
ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،

224
00:20:56,480 --> 00:21:01,560
ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،

225
00:21:01,560 --> 00:21:06,040
ضرب، إذن عملية الطرح هي عملية جمع كذلك عملية

226
00:21:06,040 --> 00:21:10,320
القسمة division on R is defined by  هاي X على Y

227
00:21:10,320 --> 00:21:16,740
بيساوي عملية ضرب X في ال multiplicative inverse ل Y

228
00:21:16,740 --> 00:21:22,320
أو 1 على Y كذلك بنعرف هذا definition دائما لما

229
00:21:22,320 --> 00:21:25,660
يكون فيه نقطتين ووراهم علامة تساوي معناه إن طرف

230
00:21:25,660 --> 00:21:30,040
الشمال by definition بيساوي الطرف اليمين إذن هذا

231
00:21:30,040 --> 00:21:36,630
تعريف لأن أنا بأعرف هذا التعريف أن a أس negative one

232
00:21:36,630 --> 00:21:43,470
معناها واحد على a a to zero بيساوي واحد حسب التعريف

233
00:21:43,470 --> 00:21:48,970
a to negative n و n عدد طبيعي هي عبارة عن مقلوب ال

234
00:21:48,970 --> 00:21:54,630
a الكل to n فكل هذه تعريفات بناء على التعريفات هذه

235
00:21:54,630 --> 00:21:58,730
ممكن أن نبرهن خواص كثيرة

236
00:22:00,150 --> 00:22:03,810
وهتشوفوا بعضها في التمرين اللي موجودة في نهاية ال

237
00:22:03,810 --> 00:22:09,970
section نتطرق

238
00:22:09,970 --> 00:22:14,330
لحاجة اسمها rational numbers الأعداد النسبية

239
00:22:14,330 --> 00:22:20,210
الأعداد النسبية أو rational numbers بنعرفها على

240
00:22:20,210 --> 00:22:24,130
أنها مجموعة من الأعداد الحقيقية أو هي مجموعة جزئية

241
00:22:24,130 --> 00:22:30,010
من الأعداد الحقيقية نموذجها بالرمز boldface q هذه

242
00:22:30,010 --> 00:22:34,370
الرموز الأحرف هذه أو ال letters هذه نسميها

243
00:22:34,370 --> 00:22:41,790
boldface يعني حرف مغمق هذه طبعا بتدل على مجموعات

244
00:22:43,170 --> 00:22:47,190
فال rational numbers هي كل الأعداد الحقيقية اللي

245
00:22:47,190 --> 00:22:52,210
ممكن كتبتها على صورة rational a على b حيث a وb 

246
00:22:52,210 --> 00:22:56,370
أعداد صحيحة هذه مجموعة الأعداد الصحيحة bold في ال

247
00:22:56,370 --> 00:23:00,650
z والمقام لازم ما يساويش صفر لأن القسمة على صفر مش

248
00:23:00,650 --> 00:23:05,840
معرفة الآن لو أخذت الأعداد الحقيقية وشلت منها

249
00:23:05,840 --> 00:23:09,720
الأعداد النسبية طرحت منها الأعداد النسبية فالأعداد

250
00:23:09,720 --> 00:23:13,160
الحقيقية المتبقية بنسميها irrational numbers

251
00:23:13,160 --> 00:23:18,480
irrational numbers الأعداد غير النسبية إذا الأعداد

252
00:23:18,480 --> 00:23:21,960
النسبية هي كل الأعداد الحقيقية التي لا يمكن

253
00:23:21,960 --> 00:23:26,740
كتابتها على صورة rational a على b حيث a وb أعداد

254
00:23:26,740 --> 00:23:32,910
صحيحة والمقام لا يساوي صفر تمام؟ طبعا لو أخذت اتحاد ال

255
00:23:32,910 --> 00:23:35,590
rational numbers مع ال irrational numbers بيعطوني

256
00:23:35,590 --> 00:23:38,770
كل الأعداد الحقيقية يعني المعنى الآخر الأعداد

257
00:23:38,770 --> 00:23:43,390
الحقيقية احنا جزأناها إلى مجموعتين irrational

258
00:23:43,390 --> 00:23:53,270
numbers اتحاد ال irrational numbers طبعا

259
00:23:53,270 --> 00:23:57,830
المجموعتين هدول disjoint يعني منفصلتين ما فيش بينهم

260
00:23:57,830 --> 00:23:58,850
عناصر مشتركة

261
00:24:01,750 --> 00:24:08,710
طيب ال .. النظرية التالية ممكن من السهل أن احنا

262
00:24:08,710 --> 00:24:14,950
نثبتها باستخدام خواص الأعداد الصحيحة يعني

263
00:24:14,950 --> 00:24:25,150
معروف احنا عندنا أن ال ..

264
00:24:25,150 --> 00:24:30,090
معروف أن ال ..

265
00:24:33,390 --> 00:24:37,450
لو في عندي عددين صحيحين فمجموعهم بيطلع عدد صحيح

266
00:24:37,450 --> 00:24:42,570
وحاصل ضربهم عدد صحيح بمعنى آخر عملية مجموعة

267
00:24:42,570 --> 00:24:49,220
الأعداد الصحيحة مغلقة تحت عمليات الجمع والضرب بنفس

268
00:24:49,220 --> 00:24:53,860
.. باستخدام الحقيقة هذه أو ال fact هذه ممكن إثبات

269
00:24:53,860 --> 00:24:58,900
أن مجموعة الأعداد النسبية مغلقة تحت عمليات الضرب

270
00:24:58,900 --> 00:25:06,270
والجمع وأخذ ال additive inverse يعني لو كان XY

271
00:25:06,270 --> 00:25:10,810
أعداد نسبية فمجموعهم بيطلع عدد نسبي وحاصل ضربهم

272
00:25:10,810 --> 00:25:15,330
عدد نسبي وسالب عدد نسبي بيطلع عدد نسبي ولو في

273
00:25:15,330 --> 00:25:21,330
عندي عدد نسبي مختلف عن الصفر ف ال multiplicative

274
00:25:21,330 --> 00:25:28,550
inverse بيطلع عدد نسبي بمعنى آخر، مجموعة الأعداد

275
00:25:28,550 --> 00:25:33,950
النسبية مغلقة تحت عملية الجمع والضرب، وأخذ الـ

276
00:25:33,950 --> 00:25:39,950
Additive Inverse وأخذ مغلقة تحت الـ Multiplicative

277
00:25:39,950 --> 00:25:44,470
Inverse وبالتالي ممكن

278
00:25:46,690 --> 00:25:51,850
نستنتج أن مجموعة الأعداد النسبية بتحقق الخواص

279
00:25:51,850 --> 00:25:56,430
الخامسة تبع ال field وبالتالي هي بتشكل field بحد

280
00:25:56,430 --> 00:26:05,690
ذاتها الآن ال Q subset من R وR field وQ subset من R

281
00:26:05,690 --> 00:26:11,830
R وQ field فبنسمي Q sub field زي لما يكون في عندي

282
00:26:11,830 --> 00:26:19,160
set وفي داخلها setفبنقول sub set لو في عندي group

283
00:26:19,160 --> 00:26:25,240
وفي عندي مجموعة جزئية من ال group فبنسمي المجموعة

284
00:26:25,240 --> 00:26:31,940
جزئية نفسها group أيضا فبنسميها sub group إذا ال Q

285
00:26:31,940 --> 00:26:38,340
is a sub field of the field R بناء على النظرية هذه

286
00:26:38,340 --> 00:26:44,770
إذا هذه كلها حقائق معروفة يعني وهتركزوا عليها 

287
00:26:44,770 --> 00:26:48,410
أنتم في الجبر يعني ما حنخوض فيها كثير لأن هذا

288
00:26:48,410 --> 00:26:53,370
مواضيع جبرية احنا هنركز على ال analysis في كمان

289
00:26:53,370 --> 00:26:57,990
نظرية هنا مهمة بتخص الأعداد النسبية والغير نسبية

290
00:26:57,990 --> 00:27:03,570
وهذه طبعا برضه بنعطيها دائما مثال في مبادئ

291
00:27:03,570 --> 00:27:04,430
الرياضيات

292
00:27:07,090 --> 00:27:14,250
برهان على مثال على برهان غير مباشر النظرية هذه

293
00:27:14,250 --> 00:27:17,930
بتقول there does not exist R ينتمي ل Q بحيث R

294
00:27:17,930 --> 00:27:22,530
تربيعه بيساوي 2 ما فيش لا يوجد عدد نسبي مربعه

295
00:27:22,530 --> 00:27:27,450
بيساوي 2 يعني بمعنى آخر النظرية هذه باختصار

296
00:27:27,450 --> 00:27:36,590
بتقول أن جذر الـ 2 ليس عدد نسبي ومالوش عدد غير

297
00:27:36,590 --> 00:27:41,830
نسبي يعني جذر 2 عدد غير نسبي فهي برهان

298
00:27:41,830 --> 00:27:45,490
بالتناقض برهان غير مباشر بالتناقض by contradiction

299
00:27:45,490 --> 00:27:53,510
احنا عايزين نثبت أنه ما فيش عدد أو جذر 2 ليس

300
00:27:53,510 --> 00:28:01,010
عدد نسبي فنفرض النقيض نفرض النفي هو الصح يعني نفرض

301
00:28:01,010 --> 00:28:11,490
أن جذر الـ 2 عدد نسبي يعني بيساوي P على Q حيث P

302
00:28:11,490 --> 00:28:17,310
وQ أعداد صحيحة و

303
00:28:17,310 --> 00:28:23,990
Q لا يساوي صفر تمام؟ وبدنا نصل إلى تناقض إذا

304
00:28:23,990 --> 00:28:27,870
وصلنا إلى تناقض معناته فرضنا هذا غلط والصح أن

305
00:28:27,870 --> 00:28:32,410
النظرية تكون صحيحة، بصبوت؟ طيب نشوف مع بعض

306
00:28:36,080 --> 00:28:46,520
هي فرضنا أن الـ 2 عدد هي 2 بيساوي هي

307
00:28:46,520 --> 00:28:52,320
فرضنا أن الـ 2 بيساوي P على Q أو جدر 2

308
00:28:52,320 --> 00:28:57,100
بيساوي P على Q وبالتالي P على Q تربيع فبيطلع عندي P

309
00:28:57,100 --> 00:29:02,900
على Q تربيع بيساوي 2 صح؟ هايطيب الآن لما يكون

310
00:29:02,900 --> 00:29:12,820
في عندي أعداد هذا عدد نسبي فممكن نختصر ونفرض أنه

311
00:29:12,820 --> 00:29:19,480
ما فيش عامل مشترك بين الـ P والـ Q إلا الـ 1 الصحيح

312
00:29:19,480 --> 00:29:26,660
يعني مثلا هي عندي مثلا 4 على مثلا 10 هذا عدد

313
00:29:26,660 --> 00:29:32,130
نسبي فممكن أكتبه أختصر أقسم على 2 وأقسم على

314
00:29:32,130 --> 00:29:36,530
2 بيطلع 2 على 5 لاحظوا الآن ما فيش عامل

315
00:29:36,530 --> 00:29:40,370
مشترك بين 2 والـ 5 إلا الـ 1 فهذا في الجبر

316
00:29:40,370 --> 00:29:44,410
بيسموه الـ greatest common divisor لـ 2 و 5

317
00:29:44,410 --> 00:29:53,130
بيساوي 1 هي مثلا سالب 10 على 30 هي هذا

318
00:29:53,130 --> 00:29:59,940
عدد نسبي فممكن نختصر هذا بيصير 2 على والا ايش

319
00:29:59,940 --> 00:30:06,760
هذا أو سالب 1 على 3 فالـ  bus سالب 1 عدد

320
00:30:06,760 --> 00:30:10,460
صحيح والمقام 3 والـ greatest common divisor

321
00:30:10,460 --> 00:30:17,420
لسالب 1 و3 بيساوي 1 إذا أي عدد نسبي ممكن

322
00:30:17,420 --> 00:30:23,260
أختصره أو أبسط وأكتبه بأبسط صورة يعني أخلي الـ

323
00:30:23,260 --> 00:30:29,640
greatest common divisor لـ P وQ هنا بيساوي 1 طيب

324
00:30:29,640 --> 00:30:35,580
الآن تعالوا نربع هنا هذه المعادلة P على Q تربيع

325
00:30:35,580 --> 00:30:40,500
بيساوي 2 فمنها بنستنتج أن P تربيع بيساوي 2 و

326
00:30:40,500 --> 00:30:47,040
Q تربيع طيب هي عندي P تربيع بيساوي 2 في Q تربيع الـ Q

327
00:30:47,040 --> 00:30:50,820
هذا عدد صحيح فمربع العدد الصحيح اللي هو Q تربيع

328
00:30:50,820 --> 00:30:54,720
بيطلع عدد صحيح عدد صحيح مضروب في 2 بيطلع even

329
00:30:54,720 --> 00:30:59,400
number عشان المبادئ صح؟ إذا P تربيع بيطلع even

330
00:30:59,400 --> 00:31:06,520
number تمام؟ هذا بيؤدي أنه ممكن إثبات أن P بيطلع

331
00:31:06,520 --> 00:31:10,960
even لو كان مربع عدد صحيح even فممكن إثبات أن

332
00:31:10,960 --> 00:31:14,860
العدد الصحيح نفسه لازم يطلع even وهذا ممكن نعمل

333
00:31:14,860 --> 00:31:21,940
برهان صغير بالتناقض افرضه أن P مش even يعني odd

334
00:31:21,940 --> 00:31:28,360
تربيعه فبيطلع مربع odd تناقض هي البرهان إذا هذا ايه

335
00:31:28,360 --> 00:31:33,220
الإجابة على الـ Y كمان مرة إذا كان عندي P تربيع أنا

336
00:31:33,220 --> 00:31:39,900
عندي P تربيع even هذا بيعني أن P even كيف نبرهن هذا

337
00:31:39,900 --> 00:31:46,420
برهان بالتناقض افرض أنه P odd ايه يعني P odd يعني

338
00:31:46,420 --> 00:31:51,600
P هي

339
00:31:51,600 --> 00:31:58,500
P بيساوي 2K زي 1 هذا معناه odd وطبعا الـ K هي عدد

340
00:31:58,500 --> 00:32:04,620
صحيح تربيع إذا P تربيع بيساوي 4 K تربيع زائد 4

341
00:32:04,620 --> 00:32:14,080
K زائد 1 وهذا بيساوي 2 في 2 K تربيع زائد

342
00:32:14,080 --> 00:32:19,900
2 K مع بعض زائد 1 وهذا بيساوي 2 في M زائد

343
00:32:19,900 --> 00:32:26,350
1 حيث M عدد صحيح إذاً P تربيع طلع بيساوي 2 في

344
00:32:26,350 --> 00:32:30,410
عدد صحيح زائد 1 وبالتالي هذا  Contradiction

345
00:32:30,410 --> 00:32:35,590
تناقض لأن احنا عندنا P تربيع P تربيع is even okay

346
00:32:35,590 --> 00:32:42,670
إذاً هذا برهان الـ why طيب إذا احنا وصلنا إلى أن P

347
00:32:42,670 --> 00:32:48,750
تربيع even بقدر أن P even الآن الـ P والـ Q have no

348
00:32:48,750 --> 00:32:51,410
common factor other than 1 ما فيش بينهم عامل

349
00:32:51,410 --> 00:32:57,460
مشترك إلا الـ 1 والـ P even إذا لازم الـ Q يكون odd

350
00:32:57,460 --> 00:33:03,320
لأن لو كان الـ Q even والـ P even فيه عامل مشترك

351
00:33:03,320 --> 00:33:09,560
بينهم 2 على الأقل أو 4 وهذا بيتناقض مع ايه

352
00:33:09,560 --> 00:33:13,100
أن احنا فرضنا أنه ما فيش common factor بين الـ P و

353
00:33:13,100 --> 00:33:18,560
الـ Q إلا الـ 1 تمام إذا أنا عندي هنا نستنتج أن الـ

354
00:33:18,560 --> 00:33:25,030
Q لازم يكون odd الآن أنا عندي P even يعني معناته

355
00:33:25,030 --> 00:33:33,020
بيساوي 2M for some M عدد صحيح وبالتالي لو ربعت له

356
00:33:33,020 --> 00:33:37,780
نرجع نعوض في المعادلة هذه P تربيع بيساوي 2Q تربيع

357
00:33:37,780 --> 00:33:43,120
عوض عن P بيساوي 2M فبيصير 4M تربيع بيساوي 2Q تربيع

358
00:33:43,120 --> 00:33:48,760
فبختصر 2 من الطرفين بيطلع 2M تربيع بيساوي Q تربيع

359
00:33:48,760 --> 00:33:54,620
إذن Q تربيع بيساوي 2 ضرب عدد صحيح وبالتالي Q تربيع

360
00:33:54,620 --> 00:34:00,020
is even وبالتالي منها بنستنتج أن الـ Q نفسها is

361
00:34:00,020 --> 00:34:08,720
even إذا الآن أنا عندي الـ Q is even وهي نفس الـ Q

362
00:34:08,720 --> 00:34:14,260
استنتجنا أنها odd فهذا

363
00:34:14,260 --> 00:34:20,680
تناقض .. هذا تناقض صح؟ الـ Q هنا odd وهنا طلعت even

364
00:34:20,680 --> 00:34:24,240
فهذا يعطيني contradiction which is a contradiction

365
00:34:24,240 --> 00:34:30,620
فهذا التناقض أن احنا هنا وصلنا بدينا بالبرهان احنا

366
00:34:30,620 --> 00:34:35,860
عايزين نثبت جدر 2 لا تنتمي لـ Q فرضنا النقيض الـ

367
00:34:35,860 --> 00:34:40,660
contrary أن جدر 2 تنتمي لـ Q يعني ممكن كتبتها

368
00:34:40,660 --> 00:34:46,240
على صورة P على Q P وQ أعداد صحيحة وصلنا لتناقض

369
00:34:46,240 --> 00:34:50,020
معناته أن هذا فرضنا غلط الصح أن جدر 2 لاتن

370
00:34:50,020 --> 00:34:54,640
تمي لـ Q as required كما هو مطلوب okay تمام هذا

371
00:34:54,640 --> 00:34:59,660
برهان بالتناقض تمام إذا هنا شوية راجعنا شوية

372
00:34:59,660 --> 00:35:04,820
براهين تعلمتوها في مبادئ رياضيات طبعا الناس اللي

373
00:35:04,820 --> 00:35:09,180
اتعلموا مبادئ رياضيات وأخوياء الحاجات هذه

374
00:35:09,180 --> 00:35:14,870
بالنسبة لهم يعني صارت مجرد تسلية والناس اللي عندهم

375
00:35:14,870 --> 00:35:20,790
مشاكل في المبادئ نجحوا بالعافية فممكن يعني يجد أن

376
00:35:20,790 --> 00:35:28,670
هذا مش كثير مثير طيب هيك بنكون خلصنا الـ

377
00:35:28,670 --> 00:35:33,410
algebraic properties of R الخواص الجبرية لنظام

378
00:35:33,410 --> 00:35:37,650
الأعداد الحقيقية أو الـ real number system ننتقل لـ

379
00:35:37,650 --> 00:35:40,550
section ثاني داخل الـ chapter الأول هيك خلصنا

380
00:35:40,550 --> 00:35:46,110
section الـ section الثاني عنوانه الـ order

381
00:35:46,110 --> 00:35:52,370
properties of R خواص الترتيب على R order properties

382
00:35:52,370 --> 00:35:58,470
خواص الترتيب احنا شفنا أو قلنا لما عرفنا نظام

383
00:35:58,470 --> 00:36:02,070
الأعداد الحقيقية قلنا أن نظام الأعداد الحقيقية

384
00:36:02,070 --> 00:36:07,670
مجرد مجموعة R boldface R مع عمليتين ثنائيتين two

385
00:36:07,670 --> 00:36:11,710
binary operations بيحققوا الخمس خواص تبعت الـ field

386
00:36:11,710 --> 00:36:16,730
اليوم هنفترض أيضا أن نظام الأعداد الحقيقية بيحقق

387
00:36:17,890 --> 00:36:24,850
order properties الخاصية رقم 6 هذه الخاصية رقم

388
00:36:24,850 --> 00:36:30,710
6 هذه الخاصية رقم 6 تتجزأ إلى 3 خواص 3

389
00:36:30,710 --> 00:36:41,410
خواص نسميهم order properties أو أول خاصية نفترض

390
00:36:41,410 --> 00:36:48,400
ماهي order property نفترض وجود مجموعة جزئية من R

391
00:36:48,400 --> 00:36:53,500
وغير خالية، ليست خالية، non-empty subset of R

392
00:36:53,500 --> 00:36:58,220
نفترض أن يوجد مجموعة P subset of R غير خالية

393
00:36:58,220 --> 00:37:04,620
وبتحقق الثلاث خواص هذه الـ set P is closed under

394
00:37:04,620 --> 00:37:09,920
addition يعني لو أخذت أي عنصرين في P فمجموعهم بيطلع

395
00:37:09,920 --> 00:37:15,040
عنصر ثالث فيها كذلك المجموعة P closed under

396
00:37:15,040 --> 00:37:20,620
multiplication يعني لو أخذت أي عنصرين وحصل ضربهم

397
00:37:20,620 --> 00:37:26,980
بيطلع عنصر ثالث الخاصية الثالثة من خاصية الترتيب

398
00:37:26,980 --> 00:37:32,340
اللي لها اسم بنسميها trichotomy property الخاصية

399
00:37:32,340 --> 00:37:37,940
الثلاثية الخاصية الثلاثية ايه هي؟ لو أخذت أي عدد

400
00:37:37,940 --> 00:37:39,180
حقيقي R

401
00:37:41,750 --> 00:37:51,250
فواحد من الثلاث احتمالات هذه لازم يكون صحيح وهو أن

402
00:37:51,250 --> 00:37:57,290
إما a تنتمي للمجموعة P هذه أو a بيساوي صفر أو

403
00:37:57,290 --> 00:38:01,410
negative a ينتمي للمجموعة P هذه هي الخاصية

404
00:38:01,410 --> 00:38:07,670
الثالثة أي عدد حقيقي إما يكون عنصر في P أو بيساوي

405
00:38:07,670 --> 00:38:10,630
صفر أو الـ negative تبقى عنصر في P

406
00:38:16,020 --> 00:38:21,780
الآن بنعرف المجموعة remark ملاحظة بنعرف المجموعة

407
00:38:21,780 --> 00:38:25,820
negative P المجموعة negative P هي مجموعة كل

408
00:38:25,820 --> 00:38:33,050
العناصر negative A حيث A ينتمي لـ P الآن الخاصية C

409
00:38:33,050 --> 00:38:36,310
من الـ order property اللي هي trichotomy property

410
00:38:36,310 --> 00:38:43,610
الخاصية C says تقول أو بتقول أن الـ sets المجموعات

411
00:38:43,610 --> 00:38:52,110
اللي هي المجموعة الأحادية صفر والمجموعة P و

412
00:38:52,110 --> 00:38:57,570
المجموعة negative P الثلاث 

413
00:38:57,570 --> 00:39:02,860
هدول are pairwise disjoint منفصلة مثنى مثنى

414
00:39:02,860 --> 00:39:06,840
pairwise disjoint يعني منفصلة مثنى مثنى ايه يعني؟

415
00:39:06,840 --> 00:39:11,360
لو أخذت أي اثنتين من الثلاث مجموعات هدول وقاطعتهم

416
00:39:11,360 --> 00:39:15,200
مع بعض فبتقعوا اعتبارهم five ما فيش بينهم عناصر

417
00:39:15,200 --> 00:39:19,060
مشتركة فبنقول إن المجموعات هذه pairwise disjoint

418
00:39:20,610 --> 00:39:26,410
ومش هيكوا بس واتحادهم بيساوي كل الأعداد الحقيقية هذا

419
00:39:26,410 --> 00:39:33,430
صحيح من الخاصية C لأن C بتقول لأي عدد حقيقي أي A

420
00:39:33,430 --> 00:39:41,310
ينتمي إلى R أي A ينتمي إلى R إما ينتمي إلى P أو 

421
00:39:41,310 --> 00:39:45,370
بساوي 0 وبالتالي ينتمي إلى المجموعة هذه أو ينتمي

422
00:39:45,370 --> 00:39:52,030
إلى negative P صح؟ وبالتالي كل a هنا موجود في واحدة

423
00:39:52,030 --> 00:39:54,810
من هذول التلاتة وبالتالي موجود في اتحادهم مش هيك

424
00:39:54,810 --> 00:39:59,990
تعريف اتحاد؟ إذاً الـ R الآن أصبحت مجموعة جزئية من

425
00:39:59,990 --> 00:40:06,130
الاتحاد، مظبوط؟ طب الـ P مجموعة جزئية من R و

426
00:40:06,130 --> 00:40:10,850
negative P مجموعة جزئية من R و singleton 0 برضه 

427
00:40:10,850 --> 00:40:15,130
مجموعة جزئية من R إذا اتحادهم بيطلع مجموعة جزئية

428
00:40:15,130 --> 00:40:20,060
من R وبالتالي أنا عندي الاحتواء من الناحيتين

429
00:40:20,060 --> 00:40:24,280
وبالتالي عندي تساوي إذاً هنا برهنت لكم أن الاتحاد

430
00:40:24,280 --> 00:40:26,740
هذا بساوي R تمام؟

431
00:40:33,090 --> 00:40:37,470
طب ليش هدول disjoint؟ لأنه لو .. لو فرضت أنه مثلاً

432
00:40:37,470 --> 00:40:42,130
في عنصر بيقع ينتمي لتقاطع المجموعتين هدول، معناته 

433
00:40:42,130 --> 00:40:45,990
هذا العنصر بيساوي صفر وفي نفس الوقت ينتمي لـ P

434
00:40:45,990 --> 00:40:49,830
وهذا بتناقض مع الخاصية الثلاثية، الخاصية الثلاثية

435
00:40:49,830 --> 00:40:53,950
بتقول لازم و exactly one، واحد من الاحتمالات

436
00:40:53,950 --> 00:41:00,090
الثلاثة هذه صح، أما اثنين مش صح، تمام؟ okay

437
00:41:02,970 --> 00:41:07,390
العنى المجموعة P هذه اللي عرفناها هنا بنسميها

438
00:41:07,390 --> 00:41:10,610
مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة the set of

439
00:41:10,610 --> 00:41:15,830
positive real number مجموعة الأعداد الحقيقية

440
00:41:15,830 --> 00:41:19,750
الموجبة و الـ set negative P هذه بنسميها مجموعة

441
00:41:19,750 --> 00:41:24,560
الأعداد الحقيقية السالبة، ولما نضيف عليهم الصفر هيك

442
00:41:24,560 --> 00:41:28,980
بنكون غطينا كل الأعداد الحقيقية صح؟ okay تمام إذاً

443
00:41:28,980 --> 00:41:33,000
P بنسميها مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة negative

444
00:41:33,000 --> 00:41:42,440
P مجموعة الأعداد الحقيقية السالبة وهكذا طيب

445
00:41:42,440 --> 00:41:47,980
لحد الآن احنا ما عرفناش علاقة أصغر أو أكبر أو أصغر

446
00:41:47,980 --> 00:41:52,380
من أو يساوي أو أكبر من أو يساوي اللي هو الترتيب في

447
00:41:52,380 --> 00:41:56,100
عندي definition هنا لو أخدت أي عددين حقيقيين a و b

448
00:41:56,100 --> 00:42:04,620
فهنكتب أو هنعلن أن a أصغر من b أو ما يكافئها b

449
00:42:04,620 --> 00:42:12,640
أكبر من a هذا معناه نقصد نقصد بذلك أن الفرق بين b

450
00:42:12,640 --> 00:42:18,920
و a ينتمي لـ p يعني الفرق هذا موجب يعني هذا عدد

451
00:42:18,920 --> 00:42:26,080
موجب، إذا لو كان الفرق بين b و a عدد موجب فبنكتب a

452
00:42:26,080 --> 00:42:32,780
أصغر من b أو b أكبر من a طيب طب

453
00:42:32,780 --> 00:42:36,840
متى بكتب a أصغر من أو يساوي b أو b أكبر من أو

454
00:42:36,840 --> 00:42:45,760
يساوي a هذا معناه يعني هذا مثلاً معناه أن a أصغر من

455
00:42:45,760 --> 00:42:54,840
b يعني الفرق بين B و A ينتمي لـ P أو A بيساوي B لما

456
00:42:54,840 --> 00:42:58,860
يكون A بيساوي B لاحتمال الثاني هذا معناه أن الفرق

457
00:42:58,860 --> 00:43:03,620
بيساوي صفر يعني ينتمي للمجموعة Singleton Zero okay

458
00:43:03,620 --> 00:43:07,500
تمام؟ إذن أصغر من أو يساوي أو أكبر من أو يساوي

459
00:43:07,500 --> 00:43:13,410
معناته الفرق ينتمي لـ P اتحاد Singleton Zero الآن في

460
00:43:13,410 --> 00:43:20,170
عندي نظرية والنظرية هذه بتعطيني خواص لـ الـ

461
00:43:20,170 --> 00:43:28,450
الـ خليني بس نبص عليها بسرعة النظرية

462
00:43:28,450 --> 00:43:33,410
هذه بتعطيني خواص للـ order properties يعني خواص

463
00:43:33,410 --> 00:43:40,210
أخرى نقدر نشتقها من الـ order properties وكل هذه

464
00:43:40,210 --> 00:43:44,990
خواص معروفة وسهلة وبسيطة وكلها .. كلها عارفين لكن

465
00:43:44,990 --> 00:43:48,230
بدها برهان .. بدها برهان ما حدش عمره برهان لنا إياها

466
00:43:49,460 --> 00:43:54,600
Okay فحنوقف عند النظرية هذه وإن شاء الله المرة

467
00:43:54,600 --> 00:44:01,120
الجاية بنحاول نبرهن النظرية okay حاولوا أنتم

468
00:44:01,120 --> 00:44:05,260
meanwhile في نفس الوقت كتحضير للمحاضرة الجاية

469
00:44:05,260 --> 00:44:10,140
حاولوا أنكم تقرأوا البرهان تبع النظرية وشوفوا هل

470
00:44:10,140 --> 00:44:16,360
تفهموه ولا لأ okay تمام في أي سؤال okay شكراً لكم

471
00:44:16,360 --> 00:44:17,540
ومبارك الله فيكم