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like 0

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已知实数$$a\ne b$$，且满足$${{\left( a+1 \right)}^{2}}=3-3\left( a+1 \right)$$，$$3\left( b+1 \right)=3-{{\left( b+1 \right)}^{2}}$$，则$$b\sqrt{\frac{b}{a}}+a\sqrt{\frac{a}{b}}$$的值为多少？

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阿德要将一条长$$127\text{cm}$$的细绳剪成许多小段，使得一或更多条小段能凑成$$1$$至$$127\text{cm}$$长的各个整数长度．问：最少得剪几刀？

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以下为三个循环小数的例子， $$0.\dot{1}=0.111111\cdots $$，$$0.45\dot{2}\dot{3}=0.45232323\cdots $$,$$0.45\dot{2}7\dot{3}=0.45273273273\cdots $$ 如在循环小数$$0.201856\dot{7}$$上再添加一个循环符号``$$\cdot $$''，使这个循环小数获得最大值，应将符号加在哪个数字上？ The following numbers are the examples of three recurring decimals, $$0.\dot{1}=0.111111\cdots~~$$，$$0.45\dot{2}\dot{3}=0.45232323\cdots $$,$$0.45\dot{2}7\dot{3}=0.45273273273 \cdots $$ Add recurring notation "$$\cdot $$" on the recurring decimal$$0.201856\dot{7}$$, such that the number can attain its maximum value. Which number should we put the recurring notation on?

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将整数$$1$$、$$2$$、$$3$$、\ldots、$$100$$写在黑板上．至少要擦掉多少个数才能使得留在黑板上的全部数的乘积末位数是$$2$$？

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有四个数，抽取其中三个数求得平均数，按这样的方法计算，分别得到：$$21$$、$$23$$、$$48$$、$$36$$，那么原来四个数的平均数是多少？

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$$12$$个小朋友站成一排拍照片．从左往右数，芳芳站在第$$3$$个；从右往左数，林林也站在第$$3$$个．芳芳和林林之间还有多少个小朋友？

01d3b2c0cceb4c91a7442b89357f5b91

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\textbf{解答题（请写出必要过程）} 把$$1-9$$这$$9$$个数分成$$A$$、$$B$$、$$C$$三组，$$B$$组各数之和是$$A$$组的$$2$$倍，$$C$$组各数之和是$$B$$组的$$3$$倍．有多少种不同的分组方法？

c9643db2a6104d4c8d138e047b80c073

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从甲队调$$10$$人到乙队，两队人数就一样多了，那么原来甲队比乙队多多少人？

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有一篮子苹果，第一天吃了一半又一个，第二天吃了余下的一半又一个，这样每天吃前一天余下的一半又一个，第五天吃了以后只剩下一个苹果了．原来有多少个苹果？

dec63ddfb54147ac9e97d1ff2e77711d

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计算：$$\frac{2002}{1\times 3}+\frac{2002}{3\times 5}+\frac{2002}{5\times 7}+\frac{2002}{7\times 9}+\frac{2002}{9\times 11}$$

dc3016ba40ca49bf9fb79650a808b702

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环形跑到周长$$500$$米，甲、乙两人按顺时针方向沿环形跑道同时、同地起跑，甲每分钟跑$$60$$米，乙每分钟跑$$50$$米，甲、乙两人每跑$$200$$米均要停下来休息$$1$$分钟，那么甲首次追上乙需要多少分钟？后来又追上乙时距起跑是需要多少分钟？

dadabd9a7bac4ee189cf5f9b61b8565f

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已知实数$$a$$，$$b$$，$$c$$满足$$0\leqslant a\leqslant b\leqslant c$$，$$a+b+c=16$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{1}{4}abc=128$$，求$$c$$的值．

8e2e2de5515148a9aa9124ffaf2b09ee

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丹尼在纸上画了$$8$$条非平行线，求这些非平行线最多可相交多少点？ Denny draws $$8$$ non-parallel straight lines on a piece of paper. Find the maximum number of intersection points that can be formed.

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从$$0$$、$$2$$、$$4$$、$$5$$和$$7$$中选两个数码，每个数码只能用一次，可以组成多少个两位双数？

ba67cc0bd9674661a45036f00931de8a

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设$$\alpha =\frac{ \pi }{2008}$$，求最小的正整数$$n$$使得式子 $$2\left( \cos \alpha \sin \alpha +\cos 4\alpha \sin 2\alpha +\cos 9\alpha \sin 3\alpha +...+\cos {{n}^{2}}\alpha \sin n\alpha \right)$$ 的值为整数．

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4.一个自然数被$$7$$，$$8$$，$$9$$除的余数分别是$$1$$，$$2$$，$$3$$，并且三个商数的和是$$570$$，求这个自然数．

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一件工作，甲独做要$$12$$天，乙独做要$$18$$天，丙独做要$$24$$天．这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的$$3$$倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的$$2$$倍，终于做完了这件工作．总共用了多少天？

636f3b1f959d4628b31004521cba36d9

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一个圆的周长为$$1.26$$米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每秒分别爬行$$5.5$$厘米和$$3.5$$厘米，它们每向前爬行$$1$$秒，然后调头爬行$$3$$秒，再调头爬行$$5$$秒，$$\cdots \cdots $$，依次类推直到它们相遇停止爬行．那么，它们相遇时已爬行的时间是多少秒？

ed78e87752884dfc9b38bf935a033f18

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两个班参加考试，两个班的总平均成绩是$$82$$分，一班共$$30$$人，一班的平均分是$$74$$分，二班共$$20$$人，那么二班的平均分是多少分？

186b3e1e44134f5a86921f1e4ba7194a

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对所有实数$$ x_{1} $$，$$ x_{2} $$，$$\cdots $$，$$ x_{60}\in \left[ -1,1\right] $$，求$$ \sum_{\text{i}=1}^{60}x_{\text{i}}^{2}(x_{\text{i}+1}-x_{\text{i}-1}) $$的最大可能值，这里$$ x_{0}=x_{60} $$,$$ x_{61}=x_{1} $$．

e99a8b7bd66c44cbba6e78c3b5acb330

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求出满足如下条件的整系数二次多项式$$f\left( x \right)$$的个数；$$f\left( x \right)$$的所有根均为整数且$$f\left( 0 \right)=2010$$．

a4dc0c4c484b44f3be26222009dbe007

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在``$$\square $$''内，填上合适的数字，使等式成立：$$53-35=(\square -8)\times (81\div 9)$$．

68b2abf544354224a550e47ea0a0a3a7

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某次数学竞赛，试题共有$$10$$道，每做对一题得$$6$$分，每做错一题倒扣$$2$$分，小红最终得$$44$$分，做对的题比做错的题多多少道?

47405808566a4710ade0f98615f64405

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甲乙两车同时、同地出发去同一目的地，甲车每小时行$$40$$千米，乙车每小时行$$35$$千米．途中甲车因故障修车用了$$3$$小时，结果甲车比乙车迟$$1$$小时到达目的地．两地间的路程是多少千米？

1acb596b89dc4033a14a6277effe3441

0

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维维发现了一种金字塔数串，很长的算式可以报出答案，小朋友知道是怎么回事吗？开动大脑来试试$$3$$秒回答$$1+2+3+\cdots +100+\cdots +3+2+1=$$的结果吧！．

ff808081477bd88b01479417a3132e84

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小明拿着$$100$$元人民币去商店买文具，回来后数了数找回来的人民币有$$4$$张不同面值的纸币，$$4$$枚不同的硬币．纸币面值大于等于一元，硬币的面值小于一元，并且所有纸币的面值和以``元''为单位可以被$$3$$整除，所有硬币的面值的和以``分''为单位可以被$$7$$整除，问小明最多用了多少钱？(注：商店有面值为$$100$$元、$$50$$元、$$20$$元、$$10$$元、$$5$$元和$$1$$元纸币，面值为$$5$$角、$$1$$角、$$5$$分、$$2$$分和$$1$$分的硬币找零)

4bb8852fbead4e8da12428f1c694d1b2

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$$2023$$年$$1$$月$$1$$日是星期日，根据这一信息，请算出$$2023$$年$$3$$月$$9$$日是星期几。

300abfb6b8f843dd8bbab93d7a18c5b9

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将$$2015$$减去它的 $$\frac{1}{2}$$ ﹐再减去余下的 $$\frac{1}{3}$$﹐再减去余下的 $$\frac{1}{4}$$ ，再减去余下的$$\frac{1}{5}$$ ，$$\ldots $$依次类推﹐一直到最后减去余下的 $$\frac{1}{2015}$$﹐最后剩下的数是多少? If $$2015$$ is subtracted by $$\frac{1}{2}$$ of its value, then subtracted by $$\frac{1}{3}$$ of the remainder, then subtracted by $$\frac{1}{4}$$ of the remainder and so on until it is subtracted by $$\frac{1}{2015}$$ of the remainder Find the value after all the subtractions．

ff808081462cb44401462ce0c5010068

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求与$$2001$$互质，且小于$$2001$$的所有自然数的和．

14612c5dee6344ab8d5a0b237f47d704

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设$$a$$，$$b$$为正实数，且$$a\geqslant b$$，设$$p$$是$$\frac{a}{b}$$的最大值，使得方程组 $${{a}^{2}}+{{y}^{2}}={{b}^{2}}+{{x}^{2}}={{\left( a-x \right)}^{2}}+{{\left( b-y \right)}^{2}}$$ 有一解$$\left( x,y \right)$$满足$$0\leqslant xa$$，$$0\leqslant yb$$．$${{p}^{2}}$$可以写成分数$$\frac{m}{n}$$的形式，其中$$m$$，$$n$$为互素的正整数，求$$m+n$$的值．

87c413c5163b44e0be5fff4b49881ec4

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科学考察队的一辆越野车需要穿越一片全程大于$$600$$千米的沙漠，但这辆车每次装满汽油最多只能驶$$600$$千米，队长想出一个方法，在沙漠中设一个储油点$$A$$，越野车装满油从起点$$S$$出发，到储油点$$A$$时从车中取出部分油放进$$A$$储油点，然后返回出发点，加满油后再开往$$A$$，到$$A$$储油点时取出储存的油放在车上，从$$A$$出发点到达终点$$E$$．用队长想出的方法，越野车不用其他车帮助就完成了任务，那么，这辆越野车穿越这片沙漠的最大行程是多少千米．

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一个等差数列首$$10$$项之和是$$1335$$，而首$$13$$项之和$$2301$$，这个等差数列的公差是多少？

c374070f31fb42f28faa64af2991f382

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``民间流传着一则故事------`韩信点兵'．秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信将$$1500$$名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人．忽有后军来报，说有楚军骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌．他命令士兵$$3$$人一排，结果多出$$2$$名；接着命令士兵$$5$$人一排，结果多出$$3$$名；他又命令士兵$$7$$人一排，结果又多出$$2$$名．韩信马上向将士们宣布：我军有$$1073$$名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．''根据故事中的条件，你知道韩信是怎么算的吗？

bcdde5035cd04001ad75ea007bfb0de0

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新希望服装店以每套$$45$$元的价格购进了一批童装，再以每套$$120$$元售出，当卖到还剩下$$30$$套时，除去购进这批童装的全部成本外还盈利$$3900$$元，这批童装共有多少套？

1ef3d0d3eab749658ced6db6032b61ea

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线段$$AC$$上有一点$$B$$，$$AB=9$$，$$BC=21$$．点$$D$$不在线段$$AC$$上，满足$$AD=CD$$，且线段$$AD， BD$$的长度均为整数．设$$S$$为$$\triangle ACD$$周长所有可能值之和，求$$S$$．

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甲、乙两地相距$$600$$公里．红车﹑蓝车和黑车同时从甲地开往乙地．红车比黑车快$$25 \%$$，它比黑车早$$1$$小时到达乙地．如果蓝车以和黑车相同速率行驶$$x$$公里后，再将速率提高$$40 \%$$，也可以与红车同时到达乙地．求$$x$$的值．

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一个袋中放有$$100$$个小球，其中$$28$$个红球，$$20$$个绿球，$$12$$个黄球，$$20$$个蓝球，$$10$$个白球，$$10$$个黑球，问应从袋中摸出多少只小球，才能确保有$$15$$个同色的？

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计算：$$9+99+999+9999+99999$$

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甲、乙、丙三人共同制作了一批零件，甲制作了总数的$$30 \% $$，乙、丙制作的件数之比是$$3:4$$．已知丙制作了$$20$$件，则甲制作了多少件？

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$${{2014}^{2015}}$$的个位数字是什么？ What is the unit digit of $${{2014}^{2015}}$$?

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以下哪一个数可以被$$24$$整除？ Which of the following numbers is divisible by $$24$$? $$325284$$，$$490688$$，$$591548$$，$$624936$$，$$829068$$

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\textbf{(2020 Asia International Mathematical Olympiad, Primary 2, Question \#21)} Chris and Dylan play a game. Here are the rules. `There are $$26$$ marbles. Two people take turns to take the marbles out. In each turn, each player must take $$1$$ to $$3$$ marbles out, and cannot choose not to take any marbles out. The one who takes the last marble out loses the game.' If Chris takes marbles out first, how many marbles should he take in the first turn so that he can make sure he will win the game? 小克、小迪二人进行一游戏，规则如下：有$$26$$颗弹珠，两人轮流去拿，小克先拿而小迪后拿．若每人每次只许拿$$1$$至$$3$$颗弹珠，不许不拿，谁拿最后一颗谁败．小克的必胜策略是应该先拿多少颗？

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蜘蛛有$$8$$条腿，没有翅膀，蜻蜓有$$6$$条腿，$$2$$对翅膀，蝉有$$6$$条腿，$$1$$对翅膀，现在有这三种昆虫共$$53$$只，它们共有腿$$344$$条和翅膀$$61$$对，问蝉有多少只？

fb3fccf506534c1c8d565204d5bf297b

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科学家进行一项实验，每隔$$5$$小时做一次记录，做第十二次记录时，挂钟的时间恰好指向$$9$$，问：做第一次记录时，时针指向几？

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在四边形$$ABCD$$中，$$\angle B=90{}^{}\circ $$，$$AC\bot CD$$，$$AB=18$$，$$BC=21$$，$$CD=14$$．试求该四边形的周长．

57000be715b340948c29118e16629893

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求以下方程的整数解︰ Find the integral solution of the following equation. $$\sqrt{x+21}-\sqrt{x-6}=3$$．

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中山商场销售的名人系列笔记本电脑，按台数统计每月销售量平均增长$$20 \%$$，$$1996$$年$$12$$月份销售了$$120$$台，按此速度下去，预计$$1997$$年$$3$$月份$$1$$月份多销售多少台？（按四舍五入计算）．

f553cf65df504bb996b531a174ea222a

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设$$S$$是$$\left { 1,2,3,...,1989 \right }$$的一个子集，$$S$$中没有两个元素相差$$4$$或$$7$$，$$S$$最多能有几个元素？

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已知$$n$$，$$k$$为正整数使得$${{n}^{2}}\textless{}4k\textless{}{{n}^{2}}+\frac{2016}{{{n}^{2}}}$$，请问$$n$$最大可能值是多少？

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某校男老师的平均年龄是$$27$$岁，女老师的平均年龄是$$32$$岁，全体老师的平均年龄是$$30$$岁． 如果男老师比女老师少$$13$$名，那么该校共有多少名老师？

ca676168747144e4a4b54bd537807d19

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由不同的正整数组成的集合$$S$$满足以下性质：对于$$S$$中任意整数$$x$$，$$S$$去掉$$x$$后剩下元素的平均数为整数．若$$1\in S$$，$$2002$$是$$S$$中最大元素，那么$$S$$中最多有多少个元素？

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\textbf{2020年亚洲国际数学奥林匹克公开赛（AIMO）四年级竞赛决赛} The total weight of $$8$$ copper balls and $$9$$ iron balls is $$135$$ kilograms. The total weight of $$6$$ copper balls and $$3$$ iron balls is $$75$$ kilograms. What is the weight of $$1$$ copper ball in kilograms? $$8$$个铜球和$$9$$个铁球合共重$$135$$公斤，相同的$$6$$个铜球和$$3$$个铁球合共重$$75$$公斤，那么$$1$$个铜球重多少公斤？

6a1361aa6ba3403c91fbdaf310244f75

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爸爸和他的三个儿子$$12$$年后的岁数之和是$$150$$岁．已知今年爸爸的年纪是三名儿子岁数之和的$$2$$倍，二哥比三弟大$$2$$岁，大儿子岁数是三弟岁数的$$2$$倍．大儿子今年多少岁？

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已知$$4$$年后小红和小丽的年龄之和是$$39$$岁，$$5$$年前小红$$9$$岁，那么今年小丽几岁？

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For every $$m\geqslant 2$$, let $$Q(m)$$ be the least positive integer with the following property. For every $$n\geqslant Q(m)$$, there is always a perfect cube $$k^{3}$$ in the range $$n\textless k^{3}\leqslant m\cdot n$$. Find the remainder when $$\sum_{m=2}^{2017}Q(m)$$ is divided by $$1000$$. 对于每 $$m\geqslant 2$$，设 $$Q(m)$$ 是具有以下性质的最小正整数：对于每 $$n\geqslant Q(m)$$，在$$n\textless k^{3}\leqslant m\cdot n$$ 的范围内总是有一个完美立方体 $$k^{3}$$．当 $$\sum_{m=2}^{2017}Q(m)$$ 除以 $$1000$$ 时，求余数．

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小明拿来一根$$1$$米长的绳子，他从绳子的一端开始每隔$$4$$厘米染一个红点，然后他又从绳子的另一端开始，每隔$$5$$厘米染一个黑点，最后，小明用剪刀沿染有点的地方剪断．问这根绳子被剪成了多少段？

c17805c33ba146d9908647880cc6f575

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如果$$x\textless-2$$，化简$$\left\textbar{} 1-\left\textbar{} 1+x \right\textbar{} \right\textbar=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．

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甲、乙、丙、丁四人年龄之和是$$100$$岁．甲$$32$$岁，他与乙的年龄之和是另外两个人年龄之和的$$3$$倍．丙比丁大$$3$$岁．那么，这四个人中，年龄最大的人与年龄最小的人，他们的年龄之和是多少岁？

6a7551822494473ba8c51afcaba6b6fe

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小红放学后沿着公共汽车的线路以$$4$$千米/时的速度往家走，一边走一边数来往的公共汽车．到家时迎面来的公共汽车数了$$11$$辆，后面追过的公共汽车数了$$9$$辆．如果公共汽车按相等的时间间隔发车，那么公共汽车的平均速度是多少？（2019BS）

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甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个$$A$$配件与一个$$B$$配件组成．甲每天生产$$300$$个$$A$$配件，或生产$$150$$个$$B$$配件；乙每天生产$$120$$个$$A$$配件，或生产$$48$$个$$B$$配件,1人$$1$$天可以选择加工$$2$$种配件．为了在$$10$$天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？

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（2019年数学比赛）求$$22.32\times 0.793+22.33\times 0.792+22.34\times 0.791+22.35\times 0.79+22.36\times 0.789$$的整数部分是多少．

859cefa2936845978b1ca32dd9eeba8e

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$$40$$只鸡$$15$$天吃$$1200$$千克饲料，那么$$300$$千克饲料可供$$50$$只鸡吃多少天？

a5315482ffba4114a69279cfc24489eb

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（小升初）一个自然数被$$7$$，$$8$$，$$9$$除的余数分别是$$1$$，$$2$$，$$3$$，并且三个商数的和是$$570$$，求这个自然数．

a0e32faec670463cbee838ab456cf959

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一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀．如果同时打开进水阀及一个排水阀，则$$30$$分钟能把水池的水排完；如果同时打开进水阀及两个排水阀，则$$10$$分钟能把水池的水排完．问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要几分钟才能排完水池的水?

f60b476e99ad446b842cfe81eaf5ce65

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两个数相除，商$$3$$余$$10$$，被除数、除数、商、余数的和是$$163$$，那么被除数是~\uline{~~~~~~~~~~}~

f36b7d69d9204a90b14ebeaa292a0ec6

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一个半径为$$1\text{m}$$的圆，其圆周上有$$n$$个点，且其中至少有两点相距少于$$1\text{m}$$．试求$$n$$的最小值．

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在一个凸七边形当中，最多有多少个角是直角? At most how many right angles can be found in a convex heptagon?

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某校八名学生参加数学竞赛，他们所得的平均分数是$$82.5$$分，其中$$A$$同学得$$86$$分，如果$$A$$同学只得$$74$$分，那么他们的平均分就降低了多少分？

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将一个大正方形分割成$$9$$个大小相同的小正方形，它们周界的总和是大正方形的多少倍？ A square is divided into $$9$$ small identical squares. How many times is the sum of the perimeters from these $$9$$ small square greater than the perimeter of the large square?

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计算： $$15.37\times 7.88-9.37\times 7.38+1.537\times 21.2-93.7\times 0.262$$

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$$x$$ 比$$300$$少$$30 \%$$，$$y$$比$$x$$多$$30 \%$$，则$$x$$与$$y$$的和是多少?

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一项工程，甲、乙两人合作$$8$$天可以完成，乙、丙两人合作$$6$$天可以完成，丙、丁两人合作$$12$$天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成？

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某商场有一些糖果，其中水果糖每千克$$5.6$$元，奶糖每千克$$7.2$$元，巧克力每千克$$8.8$$元．奶糖比水果糖少$$3$$千克，比巧克力多$$2$$千克．平均价格每千克$$7$$元．那么，巧克力有多少千克？

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一项工程，原计划甲、乙两人合作需要$$10$$天完成，现在甲、乙合作$$8$$天后，乙有事退出，最后甲需要比原计划多做$$4$$天才能完成．如果整件工程由乙单独做，需要几天完成？

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艾迪周末到公园划船，$$10$$点从租船处出发，计划不超过十二点回到租船处．已知，租船处在河的中游，河道笔直，河水流速$$25$$米/分钟;划船时，船在静水中的速度是$$50$$米/分钟，每划船半小时，艾迪就要休息十分钟让船顺水漂流．问：艾迪的船最远可以离租船处多少千米？

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一辆货车从甲地往乙地运货，然后空车返回，再继续运货．已知装满货物每时行$$50$$千米，空车每时行$$70$$千米．不计装卸货物时间，$$9$$时往返五次．求甲、乙两地的距离．

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已知过点$$P\left( 3,0 \right)$$，斜率为$$k$$的直线$$l$$与双曲线 $$C$$：$${{x}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{3}=1$$的右支交于$$A$$、$$B$$两点，$$F$$为双曲线$$C$$的右焦点，且$$\left\textbar{} AF \right\textbar+\left\textbar{} BF \right\textbar=16$$，求$$k$$的值．

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如果集合$$A$$，$$B$$和$$C$$满足$$\left\textbar{} A\cap B \right\textbar=\left\textbar{} B\cap C \right\textbar=\left\textbar{} C\cap A \right\textbar=1$$且$$A\cap B\cap C=\varnothing $$，则我们称有序三元组$$\left( A,B,C \right)$$为最小相交．例如，$$\left( \left\textbar{} 1,2 \right\textbar,\left\textbar{} 2,3 \right\textbar,\left\textbar{} 1,3,4 \right\textbar{} \right)$$是一个最小相交的三元组．在由集合$$\left { 1,2,3,4,5,6,7 \right }$$的子集构成的所有有序三元组中，令$$N$$为最小相交的有序与三元组的个数．求$$N$$除以$$1000$$的余数（$$\left\textbar{} S \right\textbar$$表示集合$$S$$中的元素的个数）．

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脱式计算：计算$$27\times 18+88\times 27-6\times 27$$

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如果想把一个数拆分成若干个相同数字和的数之和有多少种拆法呢？ 这个问题显然要取决于要拆的数是多少，比如$$36$$这个数，又可以拆成$$30+3+3=36$$，又可以拆成$$36=20+2+2+2+2+2+2+2+2$$，都满足要求． 那么进一步研究，会发现很多数的拆法不止$$2$$种，比如现在有一个不为零的自然数$$n$$，既是$$2010$$个数字和相同的自然数之和，也是$$2012$$个数字和相同的自然数之和，还是$$2013$$个数字和相同的自然数之和，那么$$n$$最小是多少？

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【行程模块】（10分） 王教授早上$$8$$点到达车站候车，登上列车时，站台上时钟的时针和分针恰好左右对称．列车$$8$$点$$35$$分出发，下午$$2$$点$$15$$分到达终点站．当王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，走出车站时恰好$$3$$点整．那么王教授在列车上的时间共计多少分钟？

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现有$$9$$个数排成一列，他们的平均数是$$67$$，前$$6$$个数的平均数是$$56$$，后$$4$$个数的平均数是$$73$$，求第六个数是~\uline{~~~~~~~~~~}~

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小贝和小平玩一个二人游戏，规则如下︰有$$26$$颗糖果﹐两人轮流去拿﹐若每人每次只许拿$$1$$至$$3$$颗糖果﹐不许不拿，谁拿最后一颗谁输．如果小贝先取$$1$$颗，这时候小平想获胜，应该怎么取呢？

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甲、乙两时钟都不准确，甲钟每走$$24$$小时恰好比标准时间快$$1$$分钟，乙钟每走$$24$$小时恰好比标准时间慢$$1$$分钟，假定今天下午三点整，把甲、乙两钟都与标准时间对好，让两钟不停的走下去，那么下一次两钟都同样指在三点整，要隔多少天？

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同学们一起去划船，但公园船不够多，如果每船坐$$4$$人，会多出$$10$$人；如果每船坐$$5$$人，还会多出$$1$$人，共有多少人去划船？

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Let $$a\textgreater1$$ and $$x\textgreater1$$ satisfy $$\log_a(\log_a(\log_a2)+\log_a 24-128)=128$$ and $$\log_a(\log_ax)=256$$. Find the remainder when $$x$$ is divided by $$1000$$. 让 $$a\textgreater1$$ 和 $$x\textgreater1$$ 满足 $$\log_a(\log_a(\log_a2)+\log_a 24-128)=128$$ 和 $$\log_a(\log_ax)=256$$．当 $$x$$ 除以 $$1000$$ 时求余数．

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已知$$m$$，$$n$$都是正整数，其中$$n$$是奇数，求$$2^{}m+1$$与$$2^{}n-1$$的最大公约数．

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在下列数中﹐哪个是最小的双数？ $$7216$$、$$51402$$、$$1863$$、$$6498$$、$$7554$$、$$367$$

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（2）编号从$$1$$到$$10$$的$$10$$个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：1）涂$$2$$个球；2）被涂色的$$2$$个球的编号之差大于$$2．$$那么不同的涂色方法有多少种？

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在$$600$$米的环形跑道上，艾迪和薇儿两个人一同练习跑步，两人的速度分别为$$7$$米/秒和$$5$$米/秒．两人站在起跑线上，同时反向起跑．当艾迪迎面遇到薇儿时，马上调头朝反方向跑；当艾迪从后面追上薇儿时，又马上调头朝反方向跑（调头时间均忽略不计）．那么，艾迪与薇儿第$$9$$次碰面（包括迎面相遇与背后追上）时，他们的位置离起跑线多远？（取较短的一段）

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5、韩梅梅的妈妈要烤面包，第一面需要烤$$2$$分钟，烤第二面时，面包比较干了， 只要烤一分钟足够了，也就是说烤一片面包需要$$3$$分钟．现在要烤$$3$$片面包， 一次最多只能放两片面包，问至少要用多长时间？

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在一份有$$20$$题多项选择题的考卷中，答对一题可得$$2$$分，答错则扣$$1$$分．美宜得$$22$$分，问她答错多少题？ An exam paper consists of $$20$$ multiple-choice questions. $$2$$ marks are awarded for each correct answer and $$1$$ mark is deducted for each wrong answer. If Sandy got $$22$$ marks, how many questions did she answer wrongly?

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用$$2$$条直线，最多只可形成一个交点，用$$3$$条直线，最多只可形成$$3$$个交点，用$$19$$条直线，最多只可形成多少个交点？ Two straight lines can interject $$1$$ point at most; $$3$$ straight lines can interject $$3$$ points at most. How many points can $$19$$ straight lines interject at most?

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从$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$、$$5$$中任取$$3$$个组成一个三位数，其中不能被$$3$$整除的三位数有多少个．

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小奥在计算两数相加时，把其中一个数的十位数$$2$$错写成$$1$$，又把另一个数的百位数$$4$$错写成$$5$$，结果得到的和是$$2019$$．正确的和是多少？

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若正数$$a$$，$$b$$，$$c$$满足$${{\left( \frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ca} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab} \right)}^{2}}=3$$，求代数式$$\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ca}+\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}$$的值．

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求$$\underbrace{\left( 14\times 14\times 14\times \cdots \times 14+1 \right)}_{16个}\div 49$$的余数． Find the remainder of $$\underbrace{\left( 14\times 14\times 14\times \cdots \times 14+1 \right)}_{16个}\div 49$$.

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列方程解应用题：小黑、小白和小灰三个人称体重，小白的体重是小黑的$$3$$倍多$$10$$千克，小灰的体重是小黑的$$2$$倍多$$5$$千克．已知三人体重和为$$207$$千克，那么小灰的体重是多少千克?

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计算 $$99+98+98+97+97+97+96+96+96+96+\cdots +1+\cdots +1$$． Evaluate $$99+98+98+97+97+97+96+96+96+96+\cdots +1+\cdots +1$$．

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现有浓度$$13 \%$$的溶液$$500$$克，浓度$$25 \%$$的溶液$$800$$克，及浓度$$17 \%$$的溶液$$5000$$克．若要制造$$1000$$克浓度$$23 \%$$的溶液，问最少需要多少克$$17 \%$$的溶液？