Digama fonksiyonu

Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır: :\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}. Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir. == Harmonik sayılar ile ilişkisi == Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ0(x), ψ0(x) veya \digamma (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. Harmonik sayılar'la ilişkisi :\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\\! Burada Hn is the n 'inci harmonik sayıdır, ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tam sayı değerleri için, açılım :\psi\left(n+{\frac{1}{2}}\right) = -\gamma - 2\ln 2 + \sum_{k=1}^n \frac{2}{2k-1} == Integral Gösterimleri == integral gösterimi :\psi(x) = \int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}\right)\,dt şeklindedir. :x reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz :\psi(s+1)= -\gamma + \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx harmonik sayılar için Euler integrali'dir . == Seri formülü == Digamma negatif tam sayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla :\psi(z+1)= -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{z}{n(n+z)} \right), z eq -1, -2, -3, ... == Taylor serisi == Digama Taylor serisi'nde z=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir , . Burada :\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1)\;(-z)^k, yakınsaklık için |z|<1\. Burada, \zeta(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir. == Newton serisi == Digama için Newton serisi Euler integral formulü ile : :\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} {s \choose k} Burada \textstyle{s \choose k} binom katsayısı'dır. == Refleksiyon formülü == Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar :\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\\!\cot{ \left ( \pi x \right ) } == Özyineleme formülü == tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak Digamma fonksiyonu :\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x} Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir , bu nedenle :\Delta [\psi] (x) = \frac{1}{x} Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir , : \psi(n)\ =\ H_{n-1} - \gamma burada \gamma\, Euler-Mascheroni sabiti'dir. Daha genel bir ifade, :\psi(x+1) = -\gamma + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{x+k} \right) == Gauss toplamı == Digama'nın Gaussian toplam formu :\frac{-1}{\pi k} \sum_{n=1}^k \sin \left( \frac{2\pi nm}{k}\right) \psi \left(\frac{n}{k}\right) = \zeta\left(0,\frac{m}{k}\right) = -B_1 \left(\frac{m}{k}\right) = \frac{1}{2} - \frac{m}{k} şeklindedir. Tam sayılar için 0. Burada, ζ(s,q) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve B_n(x) 'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ; :\sum_{n=1}^k \psi \left(\frac{n}{k}\right) =-k(\gamma+\log k), ve genelleştirilmiş şekli :\sum_{p=0}^{q-1}\psi(a+p/q)=q(\psi(qa)-\ln(q)), Burada q 'nun doğal sayı, ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. . == Gauss'un digama teoremi == Pozitif tam sayılar m ve k (m < k) şartıyla,digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi :\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right) == Hesaplama & yaklaşıklık == J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir, : \psi(x) = ln(x) -\frac{1}{2x} - \frac{1}{12x^2} + \frac{1}{120x^4} - \frac{1}{252x^6} + O\left(\frac{1}{x^8}\right) veya : \psi(x) = ln(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}} : \psi(x) = ln(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B(2n)}{2n(x^{2n})} n tam sayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve \zeta(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur. == Özel değerler == Digama fonksiyonu için bazı özel değerler: : \psi(1) = -\gamma\,\\! : \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma : \psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma : \psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma : \psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma : \psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\\} - \gamma ==Ayrıca bakınız== * Matematiksel fonksiyonların listesi * Trigama fonksiyonu == Kaynakça == * Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258–259, 1972. See section §6.4 * == Dış bağlantılar == * Cephes - C and C++ language special functions math library * - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp. 1 Kategori:Gama ve ilişik fonksiyonlar Kategori:Faktöriyel ve binomi konuları km:អនុគមន៍ ឌីហ្គាំម៉ា