Pauli matrisleri

Pauli matrisleri 2 × 2' lik, karmaşık sayılar içeren Hermisyen ve üniter matrislerden oluşan bir settir. Genellikle Yunan alfabesindeki 'sigma' (σ), harfiyle sembolize edilirler. Bu matrisler: : \sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\\ 1&0 \end{pmatrix} : \sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\\ i&0 \end{pmatrix} : \sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\\ 0&-1 \end{pmatrix} İsim onları bulan Wolfgang Pauli' den gelmektedir. == Özellikler == I birim matris olmak üzere. : \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\\0&1\end{pmatrix} = I * Pauli matrislerinin determinant ve izleri: :\begin{matrix} \det (\sigma_i) &=& -1 & \\\\[1ex] \operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \ i = 1, 2, 3 \end{matrix} Dolayısıyla bu matrislerin özdeğerlerinin σi ±1 olduğu açıkça görülebilir. * Birim matris I (bazen σ0 olarak da gösterilir) ile birlikte Pauli matrisleri gerçel Hilbert uzayında, 2 × 2 karmaşık Hermisyen matrisler olarak veya kompleks Hilbert uzayında 2 × 2 matrisler olarak orthogonal (birbirine dik ve normalize) bir baz oluştururlar. === Komutasyon bağıntıları === :\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3\,\\! :\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2\,\\! :\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1\,\\! :\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i \quad i e j\,\\! * Yukarıdaki ifadeler kullanılarak \varepsilon_{ijk} Levi-Civita sembolü, \delta_{ij} Kronecker delta ve I is the birim matris olmak üzere şu komutasyon ve anti komutasyon ilişkileri elde edilir: :\begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k \\\\[1ex] \\{\sigma_i, \sigma_j\\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot I \end{matrix} Yukarıdaki bağıntılar şöyle özetlenebilir: :\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \cdot I + i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \,. Pauli vektörü şu şekilde tanımlıdır: :\vec{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \, Bu komutasyon bağıntıları ve pauli vektör tanımı kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir: ::(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} ) \quad \quad \quad \quad (1) \, :(a ve b vektörleri pauli matrisleriyle değişme özelliğine sahip olması durumunda) :en genel tanımıyla \vec{a} = a \hat{n} olarak verilen bir a vektörü için ::e^{i (\vec{a} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \sigma) \sin{a} \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) \, (1)' in ispatı : (\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) \, = a_i \sigma_i b_j \sigma_j \, = a_i b_j \sigma_i \sigma_j \, = a_i b_j \left( \delta_{ij} + i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \right) \, = a_i b_j \delta_{ij} + i \sigma_k \varepsilon_{ijk} a_i b_j \, = \vec{a} \cdot \vec{b} + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} )\, (2)' nin ispatı Çift kuvvetler için :(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n} = I \, tek kuvvetler için :(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n+1} = \hat{n} \cdot \vec{\sigma} \, Üstel açılımının çift ve tek kuvvetlerinin sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının Taylor açılımlarını verdiği anımsanırsa: : e^{ix} \, = \sum_{n=0}^\infty{\frac{i^n x^n}{n!}} \, = \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n}}{2n!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}} \, x = a (\hat{n} \cdot \sigma) \, yerine koyularak ::= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \sigma)^{2n}}{2n!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \sigma)^{2n+1}}{(2n+1)!}} \, ::= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n}}{2n!}} + i (\hat{n}\cdot \sigma) \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n+1}}{(2n+1)!}} \, sonuçta, :e^{i a(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin{a} \, ifadesine ulaşılır. == Fizik == Kuantum mekaniğinde Pauli matrisleri spin ½ sistemlerin spinlerini konum uzayında betimler. Sistemin durumu iki bileşenli bir spinörle ifade edilir. Spin operatörleri bu matrislerle verilirler. S_i = \frac{ \hbar }{2}\sigma_i \quad i=1,2,3 Pauli matrislerinin özdeğerlerinin ±1 olması spin operatörlerinin özdeğerlerinin \pm \hbar /2 olması, dolayısıyla bir eksen yönünde yapılan spin ½ sistemin spininin iki değerden birini alması anlamına gelir. Bu konuyla daha kapsamlı bilgi için Stern-Gerlach deneyi incelenebilir. Kategori:Simetri Kategori:Matrisler