Laguerre polinomları

Laguerre polinomları, matematik'te adını Edmond Laguerre'den (1834 – 1886) almıştır. Kanonik (benzer) adlandırma Laguerre denklemi'dir: : x\,y + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\, İkinci mertebeden bir lineer diferansiyel denklem'dir. Bu denklemin tekil olmayan çözümleri yalnızca n negatif olmayan tam sayı ise vardır. Laguerre polinomlarının sayısal integral hesaplaması için Gaussian dördünü kullanılan formudur : \int_0^\infty f(x) e^{-x} \, dx. L0, L1, ..., şeklindeki bu polinomları, tanımlayabilmek için Rodrigues formülü tarafından polinomal dizi kullanılmalıdır : L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right). Diğer önemli her bir iç çarpım ortogonal polinomlar tarafından verilir. :\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^{-x}\,dx. Laguerre polinomlarının dizisi bir Sheffer dizisi'dir. Laguerre polinomları kuantum mekaniği'nde tek- elektronlu atomun (Hidrojen atomu) Schrödinger denklemi'nin radyal kısmının çözümlemesinde ortaya çıkar. Laguerre polinomları için Fizikte sıklıkla kullanılan bir tanım, n!, gibi bir faktör tarafından burada kullanılan tanımdır. == İlk birkaç polinom == İlk birkaç Laguerre polinomları: n | L_n(x)\, ---|--- 0 | 1\, 1 | -x+1\, 2 | {\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \, 3 | {\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \, 4 | {\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \, 5 | {\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \, 6 | {\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \, küçükresim|orta|400px|ilk altı Laguerre polinomu. == Tümevarımsal tanım == Tümevarımsal olarak Laguerre polinomları'nın tanımını yapabiliriz, tanımdaki ilk iki polinom: :L_0(x) = 1\, :L_1(x) = 1 - x\, ve izleyen polinomlar için özyineleme ile k ≥ 1 'i kullanabiliriz: :L_{k + 1}(x) = \frac{1}{k + 1} \left( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)\right). == Genelleştirilmiş Laguerre polinomları == ortogonal özellikli durumda üstel dağılım rastgele değişken ile olasılık ağırlık fonksiyonu ise; X ile eşdeğer gösterim :f(x)=\left\\{\begin{matrix} e^{-x} & \mbox{if}\ x>0, \\\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right. buradan :E \left[ L_n(X)L_m(X) \right]=0\ \mbox{whenever}\ n eq m. üstel dağılım sadece gamma dağılımı değildir. önemli Bir polinomal dizi orthogonal olasılık ağırlık fonksiyonunun gama dağılımı için,α > −1, :f(x)=\left\\{\begin{matrix} x^\alpha e^{-x}/\Gamma(1+\alpha) & \mbox{if}\ x>0, \\\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right. ('Genelleştirilmiş Laguerre polinomu için Rodrigues tanımı ile verilen gama fonksiyonu içeren denklemi görebiliriz): :L_n^{(\alpha)}(x)= {x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right). Bazen uyarlanmış Laguerre polinomları olarak adlandırılır;genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının α = 0 durumunda düzenlenmiş polinomları Basit Laguerre polinomları: :L^{(0)}_n(x)=L_n(x). === Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının özellikleri ve açık örnek === * melez hipergeometrik fonksiyon tarafından tanımlanan Laguerre fonksiyonları ve Kummer dönüşümü ** L_n^{(\alpha)}(x):= {n+ \alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x)={n+ \alpha \choose n} \sum_{i=0} (-1)^i \fracx^i\, = e^x\cdot {n+ \alpha \choose n} M(\alpha+n+1,\alpha+1,-x)=\frac{e^x \sin(n \pi )}{\sin((n+\alpha)\pi)}L_{-\alpha-n-1}^{(\alpha)}(-x)=e^x\cdot\sum_{i=0}(-1)^i {\alpha+n+i \choose n} \frac{x^i}{i!}. ** Eğer n bir tam sayı ise the function reduces to bir polinomun derecesi n. alternaif bir ifade L_n^{(\alpha)}(x)= \frac {(-1)^n}{n!} U(-n,\alpha+1,x) içindeki Kummer fonksiyonu'nun ikinci türü terimleridir . * Genelleştirilmiş Laguerre polinomunun derecesi n ise L_n^{(\alpha)} (x) = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+\alpha \choose n-i} \frac{x^i}{i!} (diferansiyasyon için Leibniz teoremi tarafından uygulanan Rodrigues' formülü ile eşdeğer eldesi.) ** İlk birkaç genelleştirilmiş Laguerre polinomları: : L_0^{(\alpha)} (x) = 1 : L_1^{(\alpha)}(x) = -x + \alpha +1 : L_2^{(\alpha)}(x) = \frac{x^2}{2} - (\alpha + 2)x + \frac{(\alpha+2)(\alpha+1)}{2} : L_3^{(\alpha)}(x) = \frac{-x^3}{6} + \frac{(\alpha+3)x^2}{2} - \frac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2} \+ \frac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6} ** ilk terimleri is (−1)n/n! katsayı'sıdır; ** L_n^{(\alpha)}(0)= {n+\alpha\choose n} \approx \frac{n^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}; merkezindeki değer sabit terim'dir. * hesaplamada kullanılan genelleştirilmiş Laguerre polinomları için açık formülü Horner metodu sağlar, bununla beraber, algoritma sonuçları kararlı' değildir. izlenen kararlı metod: function LaguerreL(n, alpha, x) { L1:= 0; LaguerreL:= 1; for i:= 1 to n { L0:= L1; L1:= LaguerreL; LaguerreL:= ((2* i- 1+ alpha- x)* L1- (i- 1+ alpha)* L0)/ i;} return LaguerreL; } * Ln(α) ile n gerçel,kökler kesinlikle pozitif (burada \left((-1)^{n-i} L_{n-i}^{(\alpha)}\right)_{i=0}^n bir Sturm zinciri'dir), bütün (0, n+\alpha+ (n-1) \sqrt{n+\alpha}] aralık'ı içindedir . * n'in büyük değerleri için polinomun asimptotik davranışı \alpha sabit ve x>0, verilirse, :L_n^{(\alpha)}(x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi}} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \cos\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)}- \frac{\pi}{2}\left(\alpha+\frac{1}{2} \right) \right), and :L_n^{(\alpha)}(-x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi}} \frac{e^{-\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \exp\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)} \right).Abramowitz, p. 506, 13.3.8 . ==Ayrıca bakınız== * Matematiksel fonksiyonların listesi == Kaynakça == * Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22 ", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 . * B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials. * Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial ", From MathWorld – A Wolfram Web Resource. * * S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3. Kategori:Polinomlar