Bézier eğrisi

küçükresim|sağ|300px|Kübik Bézier eğrisi Bézier eğrisi, özellikle bilgisayar grafikleri ve ilgili alanlarda sıklıkla kullanılan parametrik eğri biçimidir. Eğri, seçilen kontrol noktaları esas alınarak oluşturulur. İlk ve son noktalar eğri ile kesişirken, seçilen diğer noktalar genellikle eğrinin üzerinde yer almaz (interpolasyon eğrisi). Günümüzde modelleme uygulamalarından, yazı tipi oluşturma tekniklerine kadar sayısız alanda kullanılmaktadır. == Tarih == Fikrin temelleri, ilk olarak, 1959 yılında, Paul de Faget de Casteljau (en) isminde, Citroën'de çalışan bir Fransız otomotiv mühendisi tarafından atılmıştır. Aynı yıllarda, Renault'da silindir parçalarının kesişimi üzerinde incelemeler yapan bir başka Fransız otomotiv mühendisi Pierre Bézier (en) de benzer bir yaklaşımla araştırmalarını sürdürmüştür . İki çalışan da birbirlerinden ayrı olarak aynı sonuçları elde etmesine karşın, konu hakkında yayınlanan ilk makale Bézier tarafından yazıldığından, günümüzde bu eğri, Bézier eğrisi olarak bilinmektedir. == Tanım == Bézier eğrisi, kontrol noktaları ve onları inşa edecek bir temel fonksiyon ile tanımlanırAndersson, Fredrik. "Bezier and B-Spline Technology" (Yüksek lisans tezi). Umeâ Universitet. 2003. http://www.cs.umu.se/education/examina/Rapporter/461.pdf . Seçilen ilk ve son kontrol noktası, eğrinin başı ve sonunu oluşturur. Aradaki diğer noktalar ise eğrinin yapısını belirlemek için kullanılır. Bu bağlamda bu noktalar, genellikle eğrinin üzerinde yer almaz. === Temel fonksiyon === Bézier eğrisi, matematiksel olarak, genellikle Bernstein polinomu (en) baz alınarak ifade edilir. Buna göre, n'inci dereceden temel fonksiyon, kontrol noktalari i ile parametrize edilmek üzere, aşağıdaki şekilde gösterilir. B_{i,n} (u) = \binom{n}{i} u^i (1-u)^{n-i} === Genel formül === Eğri, cebirsel olarak, P_i i'nci kontrol noktası ve B{i,n} ilgili temel fonksiyon olmak üzere, şu şekilde formulize edilir. C (u) = \sum_{i=0}^{n} P_i B_{i,n} (u) === Türevi === Genel formülün türevi alınmasıyla aşağıdaki eşitlik elde edilir. C ' (u) = n \cdot \sum_{i=0}^{n-1} (P_{i+1} - P_i) \cdot B_{i,n-1}(u) == Yaygın türleri == === Lineer Bézier eğrileri === küçükresim|sağ|Lineer Bézier eğrisi örneği İki nokta ile belirtilen lineer Bézier eğrileri, eğim faktörü içermediğinden, başı ve sonu ilk ve son nokta ile belirtilen bir doğru parçası oluştururlar. C (u) = P_0 (1-u) + P_1 u === Karesel Bézier eğrileri === küçükresim|sağ|Karesel Bézier eğrisi örneği Üç nokta ile belirtilen karesel Bézier eğrileri, ikinci dereceden denklem meydana getirdiklerinden parabolik bir şekil oluştururlar. C (u) = P_0 (1-u)^2 + 2 P_1 u (1-u) + P_2 u^2 === Kübik Bézier eğrileri === küçükresim|sağ|Kübik Bézier eğrisi örneği Kübik Bézier eğrileri, dört nokta ile belirtilir. Basit yapılarına karşın, büküm (en) özelliğine sahip olmaları dolayısıyla uygulamalarda en yaygın kullanılan Bézier eğrileridir. C (u) = P_0 (1-u)^3 + 3 P_1 u (1-u)^2 + 3 P_2 u^2 (1-u) + P_3 u^3 ==Ayrıca bakınız== * Matematiksel şekillerin listesi * Bézier yüzeyi (en) * İnterpolasyon * NURBS (en) * Spline fonksiyonu == Kaynakça == * Wikipedia, Özgür Ansiklopedi. "Bezier curve" (23 Kasım 2013). http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve . Erişim tarihi: 25 Aralık 2013. == Dış bağlantılar == * Kategori:Grafik tasarım Kategori:İnterpolasyon Kategori:Eğriler Kategori:Bilgisayar grafikleri