Sönümlü poisson denklemi

Fizikte, Sönümlü Poisson Denklemi : : \left[ \Delta - \lambda^2 \right] u(\mathbf{r}) = - f(\mathbf{r}) biçiminde Kısmi Diferansiyel Denklemdir. Burada \Delta Laplasyene, f herhangi bir (kaynak fonksiyonu olarak da bilinen) konum fonksiyonuna, ve u da belirlenecek fonksiyona karşılık gelmektedir. Sönümlü Poisson Denklemi sık sık Hideki Yukava'nın mezonlar teorisini ve de plazmada elektrik alan sönümlenmesini içeren fizik alanlarında karşımıza çıkar. Homojen durumda (f=0), sönümlü Poisson denklemi, zamandan bağımsız Klein-Gordon denklemi ile aynıdır. İnhomojen durumda ise sönümlü Poisson denklemi, İnhomojen Helmholtz Denklemine çok yakındır, tek fark köşebentlerin içindeki işarettir. Genellemeyi kaybetmeden, λ'yı negatif olarak almayacağız. λ sıfır olduğu zaman, denklem Poisson denklemi olacaktır. Dolayısıyla, λ çok küçük olduğu zaman, boyutun n=3 olduğu ve de 1/r fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu f ile süperpozisyon olduğu sönümsüz Poisson denkleminin çözümüne bizim çözümümüz yaklaşacaktır. : u(\mathbf{r})_{(\text{Poisson})} = \iiint \mathrm{d}^3r' \frac{f(\mathbf{r}')}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}. Diğer taraftan, λ çok büyük olduğu zaman, u, f/λ² değerine ulaşacaktır ki bu da λ sıfıra giderken sonsuza gidecektir. Göreceğimiz gibi, λ'nın normal değerleri için çözüm sönümlü 1/r fonksiyonları ile sönümün gücünü gösteren λ 'nın süperpozisyonu olacaktır. Sönümlü Poisson Denklemi genel bir f için Green fonksiyonu yöntemini kullanarak çözülebilir. Green Fonksiyonu G : \left[ \Delta - \lambda^2 \right] G(\mathbf{r}) = - \delta^3(\mathbf{r}). olarak tanımlanır. u ve onun türevlerinin büyük r değerleri için sıfırlandığını varsayarsak, sürekli Fourier dönüşümünü uzaysal koordinatlarda uygulayabiliriz; : G(\mathbf{k}) = \iiint \mathrm{d}^3r \; G(\mathbf{r}) e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} Burada integral tüm uzay üzerinden alınmıştır, anlaşılır şekilde şu da gösterilebilir : \left[ k^2 + \lambda^2 \right] G(\mathbf{k}) = 1. r argümanlı Green fonksiyonunu ters Fourier dönüşümü yapılarak bulunabilir, : G(\mathbf{r}) = \frac{1}{(2\pi)^3} \; \iiint \mathrm{d}^3\\!k \; \frac{e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}}{k^2 + \lambda^2}. Bu integralin değeri k-uzayında Küresel koordinatları kullanarak bulunabilir. Açısal koordinatlar üzerinden integral açık bir şekilde, bir bölü çizgisel dalga numarası k_r na dönüşür: : G(\mathbf{r}) = \frac{1}{2\pi^2 r} \; \int_0^{+\infty} \mathrm{d}k_r \; \frac{k_r \, \sin k_r r }{k_r^2 + \lambda^2}. Bu ise Çizgi integrali kullanılarak bulunabilir ve sonuç : : G(\mathbf{r}) = \frac{e^{- \lambda r}}{4\pi r}. Daha sonra problemin tümü için çözüm : u(\mathbf{r}) = \int \mathrm{d}^3r' G(\mathbf{r} - \mathbf{r}') f(\mathbf{r}') = \int \mathrm{d}^3r' \frac{e^{- \lambda |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} f(\mathbf{r}'). olarak bulunur. Üsttede belirtildiği gibi bu sönümlenmiş 1/r fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu ile güçlendirilip sönümlenme gücü gibi davranan λ ile süperpozisyonudur. Sönümlenmiş 1/r fonksiyonu genellikle fizikte Yukawa Potansiyeli olarak da bilinen sönümlenmiş Coulomb potansiyeli olarak karşımıza çıkar. İki Boyutta: Manyetik Plazma düşünüldüğünde sönümlü poisson denklemi 2boyutluya benzerdir: : \left( \Delta_\perp -\frac{1}{\rho^2} \right)u(\mathbf{r}_\perp) = -f(\mathbf{r}_\perp) burada \Delta_\perp= abla\cdot abla_\perp ve abla_\perp= abla-\frac{\mathbf{B}}{B}\cdot abla, \mathbf{B} manyetik alana ve \rho ise Larmor radius a tekamül etmektedir. İlgili Green fonksiyonunun Fourier dönüşümü : : G(\mathbf{k_\perp}) = \int\int d^2 r~G(\mathbf{r}_\perp)e^{-i\mathbf{k}_\perp\cdot\mathbf{r}_\perp} Daha sonra 2 boyutlu sönümlü poisson denklemi ile : \left( k_\perp^2 +\frac{1}{\rho^2} \right)G(\mathbf{k}_\perp) = 1 olur. Dolayısıyla ters Fourier dönüşümü ile Green fonksiyonu: : G(\mathbf{r}_\perp) = \frac{1}{4\pi^2} \; \int\int \mathrm{d}^2\\!k \; \frac{e^{i \mathbf{k}_\perp \cdot \mathbf{r}_\perp}}{k_\perp^2 + 1 / \rho^2}. halini alır. k-uzayda (k'nın uzayın bazları olduğu kabul edildiğinde) Kutupsal koordinatlar kullanılarak bu integral çözülebilir : : \mathbf{k}_\perp = (k_r\cos(\theta),k_r\sin(\theta)) Açısal koordinatlardan integral hesap edildiğinde, bu integral bir bölü çizgisel dalganumarası k_r 'na dönüşür: : G(\mathbf{r}_\perp) = \frac{1}{2\pi} \; \int_{0}^{+\infty} \mathrm{d}k_r \; \frac{k_r e^{i k_r r_\perp}}{k_r^2 + 1 / \rho^2}. == Ayrıca bakınız == * Yukawa Etkileşimi Kategori:Kısmi diferansiyel denklemler Kategori:Plazma fiziği Kategori:Elektrostatik