Poligama fonksiyonu

Matematik'te, poligama fonksiyonu' eşitliğin soludur ve türevin kuvvetine m konulduğunda eşitliğin sağ tarafındaki gama fonksiyonu'nun logaritma'sının (m + 1). türevi olarak tanımlanır. :\psi^{(m)}(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^m \psi(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^{m+1} \ln\Gamma(z). Burada :\psi(z) = \psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} digama fonksiyonu'dur ve \Gamma(z) gamma fonksiyonudur. Bu fonksiyon yani \psi^{(1)}(z) bazen trigama fonksiyonu olarak kodlanabilir. Gama fonksiyonunun logaritması ve ilk birkaç poligama fonksiyonunun karmaşık düzlemde gösterimi none none none none none none \ln\Gamma(z) \psi^{(0)}(z) \psi^{(1)}(z) \psi^{(2)}(z) \psi^{(3)}(z) \psi^{(4)}(z) == Integral gösterimleri == Poligama fonksiyonunun integral gösterimi :\psi^{(m)}(z)= (-1)^{(m+1)}\int_0^\infty \frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}} dt Re z >0 ve m > 0 şeklindedir. m = 0 için digama fonksiyonu tanımlanır. == Tekrarlayan ilişki == tekrarlayan ilişki :\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-(m+1)}. şeklindedir. == Çarpım teoremi == çarpım teoremi m>1 için :k^{m} \psi^{(m-1)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1} \psi^{(m-1)}\left(z+\frac{n}{k}\right) olarak verilir. ve m=0,için digama fonksiyonu adı verilir; :k (\psi(kz)-\log(k)) = \sum_{n=0}^{k-1} \psi\left(z+\frac{n}{k}\right). == Seri gösterimi == Poligama fonksiyonu seri gösterimi :\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^{m+1}} m > 0 ve z herhangi bir negatif tam sayıya eşit olmamalıdır. Bu gösterimde Hurwitz zeta fonksiyonu'nun içinde bulunduğu daha sağlam bir şekilde yazılımı :\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z). Karşıt olarak, Hurwitz zeta da değerler tam sayı olmak zorunda değildir. bazı seriler poligama fonksiyonunun çıkarılmasına izin verir. Schlömilch tarafından verilen, 1 / \Gamma(z) = z \; \mbox{e}^{\gamma z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) \; \mbox{e}^{-z/n}. Bu sonuç Weierstrass faktörizasyon teoremidir. Böylece gama fonksiyonunu tanımlayabiliriz: \Gamma(z) = \frac{\mbox{e}^{-\gamma z}}{z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \; \mbox{e}^{z/n} Böylece,gama fonksiyonunun doğal logaritma'sının basitçe gösterimi: \ln \Gamma(z) = -\gamma z - \ln(z) + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{z}{n} - \ln(1 + \frac{z}{n}) \right) Poligama fonksiyonunu bir toplam gösterimi sonuç olarak \psi^{(n)}(z) = \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\ln \Gamma(z) = -\gamma \delta_{n0} \; - \; \frac{(-1)^n n!}{z^{n+1}} \; + \; \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \delta_{n0} \; - \; \frac{(-1)^n n!}{(k+z)^{n+1}} şeklinde verilebilir. Burada \delta_{n0} Kronecker delta'sıdır. == Taylor serisi == Burada Taylor serisi z = 1 değeri için :\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!}, ve |z| < 1 yakınsak seridir. Burada, ζ Riemann zeta fonksiyonu'dur. Buradan Hurwitz zeta fonksiyonuna karşılık gelen Taylor serisi kolaylıkla elde edilebilir ; Bu seri rasyonel zeta serisi elde edebilmek için kullanılabilir. ==Ayrıca bakınız== * Matematiksel fonksiyonların listesi == Kaynakça == * Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0 . See section §6.4 Kategori:Gama ve ilişik fonksiyonlar