Cauchy dizisi

küçükresim|Augustin Cauchy == Cauchy dizisi tanımı == (x_n)_n bir gerçel sayı dizisi olsun. Eğer her \epsilon>0 için, |x_n-x_m|<\epsilon eşitsizliğinin her n,m>N (N\in\mathbb N) için sağlandığı bir N göstergeci varsa, (x_n)_n dizisine Cauchy dizisi denir. == Cauchy dizisi ile ilgili teoremler == === Her yakınsak dizi Cauchy dizisidir === İspat: (x_n)_n yakınsak bir gerçel sayı dizisi ve \epsilon>0 herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. Dizinin limitine a diyelim. Demek ki, öyle bir N doğal sayısı vardır ki, her n>N için, |x_n-a|<\dfrac{\epsilon}2 olur. Dolayısıyla, n,m>N için, |x_n- x_m|=|(x_n-a)-(x_m-a)|\le |x_n-a|+|x_m-a|<\dfrac\epsilon2+\dfrac\epsilon2=\epsilon olur ve kanıt biter \Box. === Her Cauchy dizisi sınırlıdır === İspat: (x_n)_n bir Cauchy dizisi olsun. Tanımdaki \epsilon'u, \epsilon=1 seçelim. Demek ki, öyle bir N göstergeci vardır ki, her n,m>N için, |x_n-x_m|<1 olur. Demek ki, her n>N için, |x_n-x_{N+1}| olur; bir başka deyişle, x_{N+1}-1 olur. b=\max\\{x_0,x_1,...,x_N,x_{N+1}+1\\} ve a=\min\\{x_0,x_1,...,x_N,x_{N+1}-1\\} diye tanımlayalım. O zaman, her için, a olur ve ispat biter \Box. === Bir Cauchy dizisinin her altdizisi Cauchy'dir === İspat: (x_n)_n, bir Cauchy dizisi, (x_{n_k})_k dizisi de bu dizinin altdizisi olsun.\epsilon>0 herhangi bir sayı olsun.Öyle bir N var ki, her n,m>N için, |x_n-x_m|<\epsilon dir. Eğer k,l>N ise N ve N olduğundan, |x_{n_k}-x_{n_l}|<\epsilon olur. \Box. === Bir Cauchy dizisinin bir altdizisi yakınsaksa dizinin kendisi de yakınsaktır ve her iki dizi de aynı limite yakınsar === İspat: (x_n)_n Cauchy dizisi olsun ve (x_{n_k})_k bu dizinin altdizisi olsun. Teoremde belirtildiği üzere bu altdizi yakınsakmış (diyelim ki "a\in\mathbb R" ya yakınsasın), tanımı yazarsak, n_k,k>N ve \forall \epsilon>0 için |x_{n_k}-a|<\epsilon/2 önermesi doğrudur. Kanıtlamak istediğimiz \forall\epsilon>0 için |x_n-a|<\epsilon önermesi olduğundan bu önermeyi açalım; |x_n-a|=|(x_n-x_{n_k})+(x_{n_k}-a)|\le \underbrace{|x_n-x_{n_k}|}_1+\underbrace{|x_{n_k}-a|}_2 2\. ifade altdizinin tanımından dolayı \epsilon/2'den küçüktür, 1\. ifade ise, n_k>n>N olduğundan bir Cauchy dizisidir ve |x_n-x_{n_k}|<\epsilon/2 olarak doğrudur. İspatlamak istediğimiz ifadeyi tekrar yazarsak, n_k>n>N ve \forall\epsilon>0 için |x_n-a|\le |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon ve ispat biter \Box. === Her Cauchy dizisinin \mathbb R'de bir limiti vardır === İspat: (x_n)_n verilmiş bir Cauchy dizisi olsun.(Yukarıdaki teoremleri ve verilen kaynaklardaki teoremleri kullanarak.) # (x_n)_n'nin monoton bir (y_n)_n altdizisi bulunur. # (x_n)_n bir Cauchy dizisi olduğundan sınırlıdır.Analiz I - Ali Nesin,7.bölüm 10. teorem (7.10)http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22 Demek ki (y_n)_n altdizisi de sınırlıdır. # Monoton ve sınırlı olduğundan, (y_n)_n dizisi yakınsaktır.Analiz I - Ali Nesin,7.bölüm Sonuç 4 (7.4)http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22 # 1,2,3 maddelerden, (x_n)_n dizisinin yakınsak olduğu görülür.Analiz I - Ali Nesin,8.bölüm 4. teorem (8.4)http://www.acikders.org.tr/pluginfile.php/4194/mod_resource/content/2/hafta_7.pdf Dolayısıyla, \mathbb R tamdır ve ispat biter. \Box. Formal ispat: \mathbb{R}'de (hatta metrik uzaylarda) yakınsak her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek kolay. Bu yüzden \mathbb{R}'deki herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu gösterirsek ispat biter. Burada gerçel sayılar kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu varsayıyoruz. Farklı metrikler söz konusu olduğunda iddia doğru olmayabilir. \langle x_n \rangle, \ \mathbb{R}'de bir Cauchy dizisi ve \epsilon>0 olsun. \left.\begin{array}{rr}\langle x_n \rangle\in\mathbb {R^N}\text{ Cauchy dizisi} \\\ \epsilon>0\end{array}\right\\}\Rightarrow (\exists N(\epsilon)\in\mathbb N)(\forall n,m\ge N(\epsilon))(|x_n-x_m|<\epsilon) \Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left(|x_n- x_{N(\epsilon)}|<\dfrac{\epsilon}{2}\right) \Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left( x_{N(\epsilon)}-\dfrac{\epsilon}{2} \Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left( x_n\in A:=\left(x_{N(\epsilon)}-\dfrac{\epsilon}{2},x_{N(\epsilon)}+\dfrac{\epsilon}{2}\right)\right) \Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left( x_n\in B_N:=\left\\{x_{N(\epsilon)},x_{N(\epsilon)+1},x_{N(\epsilon)+2},...\right\\} \subset A\right) \Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon)) (|B_N|=\aleph_0)\left(x_{N(\epsilon)}-\dfrac{\epsilon}{2}\in B_N^a eq\emptyset\right)\left(x_{N(\epsilon)}+\dfrac{\epsilon}{2}\in B_{N}^{u} eq\emptyset\right) \Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon)) (\exists x\in\mathbb{R})(x=\sup {B_N})\left(x_{N(\epsilon)}-\dfrac{\epsilon}{2}\le x\le x_{N(\epsilon)}+\dfrac{\epsilon}{2}\right) \Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left(|x-x_{N(\epsilon)}|\leq\dfrac{\epsilon}{2}\right) \Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left(|x_n-x|\leq|x_n- x_{N(\epsilon)}|+|x_{N(\epsilon)}-x|<\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon\right) \Box == Kaynakça == == Dipnotlar == https://web.archive.org/web/20170111210130/http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22 Apostol-Mathematical_Analysis[Tom_M.Apostol] Second_Edition. Temel Analiz(Analiz I(Bir))-[Ali Nesin] http://matkafasi.com/20940/ustten-sinirli- ve-artan-bir-dizinin-limiti-vardir http://matkafasi.com/106636/dizisinin- mathbb-limiti-vardir-yakinsak-cauchy-dizisidir Kategori:Yakınsaklık testleri Kategori:Diziler ve seriler