Üretim fonksiyonu

Matematikte üretim fonksiyonu veya üretim işlevi (İng. generating function) verilen bir dizinin girdilerinin bilgisini katsayılarında tutan bir biçimsel kuvvet serisidir. Kullanım ve uygulama olanaklarına göre çeşitli üretim fonksiyonları vardır. Örneğin verilen bir an dizisine karşılık gelen adi üretim fonksiyonu, üstel üretim fonksiyu, Lambert serisi, Bell serisi ve Dirichlet serisi gibi her üretim fonksiyonu tipinin bir dizisi vardır. Adi üretim fonksiyonu şöyle tanımlanır: :G(a_n;x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n. Bir an dizisi için üstel üretim fonksiyonu ise şöyledir: :G(a_n;x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}x^n. Bir S örnek uzayı üzerinde negatif olmayan bir rassal değişken X için (yani her s\in S için X(s)\geq 0 ) :G_X(x)=\sum_{n=0}^{\infty} p(X(s)=n) x^n serisine olasılık üreteç işlevi denir. Burada p harfi olasılık dağılımıdır. Bir ürim fonksiyonu, yalnızca biçimsel olarak bir güç serisi olduğundan, her x değeri için yakınsak olmak zorunda değildir. Üreteç işlevinin kullanıldığı bağlam ve örneğe göre kimi zaman uygun düşen x değerleri için yakınsaklığı araştırılabilir ve bu x değerleri için eşit olduğu işlev yazılabilir. Örneğin, 1,1,1,\ldots dizisine karşılık gelen :\sum_{n=0}^{\infty}x^n üretim fonksiyonu, |x|<1 için \frac{1}{1-x} işlevine eşittir. == Örnekler == Tam kare dizisi için üreteç fonksiyonu an = n2 dır: === Basit üretim fonksiyonu === :G(n^2;x)=\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^n=\frac{x(x+1)}{(1-x)^3} === Üstel üretim fonksiyonu === :EG(n^2;x)=\sum _{n=0}^{\infty} \frac{n^2x^n}{n!}=x(x+1)e^x === Bell serisi === :f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty p^{2n}x^n=\frac{1}{1-p^2x} === Dirichlet serisi üretim fonksiyonu === :DG(n^2;s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^s}=\zeta(s-2) === Çokdeğişkenli üretim fonksiyonu === Çokdeğişkenli üretim fonksiyonu sayılarının pratik hesabının sınır tablosu negatif olmayan tam sayılarla hazırlanmış özel satır ve sütunlara özgüdür. Kolaylık olsun diye r satır ve c sütun; satır toplamı t_1,\ldots t_r dır. sütun toplamı s_1,\ldots s_c.'dır.I. J. Good ,'ye göre x_1^{t_1}\ldots x_r^{t_r}y_1^{s_1}\ldots y_c^{s_c} katsayılarının sayı tablosu : \prod_{i=1}^{r}\prod_{j=1}^c\frac{1}{1-x_iy_j}. == Uygulamalar == * Verilen özyineleme'li bir dizi için kapalı formül bulma. Örneğin Fibonacci sayıları düşünülebilir. * Diziler için özyineleme ilişkileri - Bir üreten fonksiyon şeklinde özyineleme formülü önerilebilir. * Diziler arasında ilişkileri bulma - iki üreten fonksiyonlu dizi varsa , bu dizilerin muhtemelen ortak bir formu vardır. * Dizilerinin asimtotik davranışı keşfetme. * Kimlikler içeren dizileri kanıtlama. * Kombinatorik içinde numaralandırma sorunlarını çözme ve çözümleri kodlama. Rook polinomları kombinatorikte uygulama için bir örnektir. * Sonsuz toplamları değerlendme. == Benzer kavramlar == Polinomal öteleme,bir polinomu (katsayı 'sız) kabul eden değerleri bulmak. ;soyut bir durumda değişmeli cebir'deki Hilbert polinomu'dur == Ayrıca bakınız == == Kaynakça == * Herbert S. Wilf, Generatingfunctionology (Second Edition) (1994) Academic Press. ISBN 0-12-751956-4. * Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 1 Fundamental Algorithms (Third Edition) Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.9: Generating Functions, pp. 87–96. * Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics. A foundation for computer science (Second Edition) Addison-Wesley. ISBN 0-201-55802-5. Chapter 7: Generating Functions, pp. 320–380 == Dış bağlantılar == * Generating Functions, Power Indices and Coin Change at Cut-the-Knot * Generatingfunctionology PDF download page * 1031 Generating Functions * Ignacio Larrosa Cañestro, León-Sotelo, Marko Riedel, Georges Zeller, Suma de números equilibrados, newsgroup es.ciencia.matematicas * Frederick Lecue; Riedel, Marko, et al., Permutation, Les-Mathematiques.net, in French, title somewhat misleading. * "Generating Functions" by Ed Pegg, Jr., Wolfram Demonstrations Project, 2007.