Çevre açı

küçükresim| Geometride, çevre açı, çember üzerinde iki sekant (kesen) çizgisi kesiştiğinde bir çember üzerinde oluşan açıdır. Çember üzerindeki bir nokta (açının tepe noktası) ile çember üzerinde verilen diğer iki noktanın oluşturduğu açı olarak da tanımlanabilir. Eşdeğer olarak, bir çevre açı, bir bitiş noktasını paylaşan çemberin iki kirişiyle tanımlanır. Çevre açı teoremi, bir çevre açının ölçüsünü, aynı yayı oluşturan merkezi açının ölçüsü ile ilişkilendirir. Çevre açı teoremi, Öklid'in "Elementler" kitabının 3. kitabında Önerme 20 olarak görünür. == Teorem == === Açıklama === küçükresim| Çevre açı teoremi, bir çember içine çizilmiş bir \theta açısının, çember üzerindeki aynı yaya karşılık gelen (veya aynı yayı gören) merkezi açı 2\theta'nın yarısı olduğunu belirtir. Bu nedenle, tepesi çember üzerinde farklı konumlara taşındığında açı değişmez. === İspat === ==== Bir kirişin çap olduğu çevre açılar ==== küçükresim| Şekilde görüldüğü gibi O bir çemberin merkezi olsun. Çember üzerinde iki nokta seçelim ve bunlara V ve A diyelim. VO doğrusunu çizelim ve O'yu geçecek şekilde uzatalım, böylece V noktasının çapa göre zıttı olan B noktasında çemberle kesişir. Tepe noktası V olan ve kenarları A ve B noktalarından geçen bir açı çizelim. OA doğrusunu çizelim. Açı BOA, bir merkez açıdır; buna \theta diyelim. OV ve OA çizgilerinin her ikisi de çemberin yarıçaplarıdır, bu nedenle eşit uzunluklara sahiptirler. Bu nedenle, \triangle VOA üçgeni ikizkenardır, öyle ise \angle BVA açısı (çevre açı) ve \angle VAO açısı eşittir; her birini \psi olarak gösterelim. \angle BOA ve \angle AOV açıları bütünlerdir. O'dan geçen VB çizgisi düz bir doğru olana kadar toplamları 180^\circ'ye kadar artar. Bu nedenle, \angle AOV açısının ölçüsü olarak 180^{\circ} - \theta alınabilir. Bir üçgenin üç açısının toplamının 180^\circ olduğu ve \triangle VOA üçgeninin üç açısının: : \text{açı}_1 = 180^\circ - \theta : \text{açı}_2 = \psi : \text{açı}_3 = \psi. Bu nedenle, : 2 \psi + 180^\circ - \theta = 180^\circ. Her iki taraftan 180° çıkarırsak, : 2 \psi = \theta, burada \theta, AB yayını gören merkez açı ve \psi, AB yayını oluşturan çevre açıdır. ==== Çemberin merkezi, açının içinde kalan çevre açılar ==== küçükresim| Merkezi O noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta V, C ve D alalım. VC ve VD doğrularını çizelim: \angle DVC açısı, bir çevre açıdır. Şimdi VO doğrusunu çizelim ve onu E noktasında çemberle kesişecek şekilde O noktasını geçecek şekilde uzatalım. \angle DVC açısı, çember üzerindeki DC yayını görür. Bu yayın, içinde E noktasını içerdiğini varsayalım. E noktası, V noktasının çapa göre karşısıdır. \angle DVE ve \angle EVC açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1'deki teorem bunlara uygulanabilir. Bu nedenle, : \angle DVC = \angle DVE + \angle EVC. o zaman, : \psi_0 = \angle DVC, : \psi_1 = \angle DVE, : \psi_2 = \angle EVC, Böylece : \psi_0 = \psi_1 + \psi_2. \qquad \qquad (1) OC ve OD doğrularını çizelim. \angle DOE ve \angle EOC açıları gibi \angle DOC açısı da merkezi bir açıdır ve : \angle DOC = \angle DOE + \angle EOC. : \theta_0 = \angle DOC, : \theta_1 = \angle DOE, : \theta_2 = \angle EOC, olsun, böylece : \theta_0 = \theta_1 + \theta_2. \qquad \qquad (2) Birinci bölümden biliyoruz ki \theta_1 = 2 \psi_1 ve \theta_2 = 2 \psi_2 'dir. Bu sonuçların denklem (2) ile birleştirilmesi aşağıdaki sonucu verir: : \theta_0 = 2 \psi_1 + 2 \psi_2 = 2(\psi_1 + \psi_2) bu nedenle, denklem (1)'den aşağıdaki sonuç elde edilir: : \theta_0 = 2 \psi_0. ==== Çemberin merkezi, açının dışında kalan çevre açılar ==== küçükresim| Önceki durum, çevre açının ölçüsünün, bu ispatın ilk bölümünde tartışıldığı gibi iki çevre açı arasındaki fark olduğu durumu kapsayacak şekilde genişletilebilir. Merkezi O noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta V, C ve D seçilsin. VC ve VD doğrularını çizelim: \angle DVC açısı, bir çevre açıdır. Şimdi VO doğrusunu çizelim ve E noktasında çemberle kesişecek ve O noktasını geçecek şekilde uzatalım. \angle DVC açısı, çember üzerindeki DC yayını görür. Bu yayın, içinde E noktasını içermediğini varsayalım. E noktası, V noktasının çapa göre zıttıdır. \angle EVD ve \angle EVC açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1'deki teorem bunlara uygulanabilir. Bu nedenle, : \angle DVC = \angle EVC - \angle EVD . o zaman, : \psi_0 = \angle DVC, : \psi_1 = \angle EVD, : \psi_2 = \angle EVC, olsun, böylece : \psi_0 = \psi_2 - \psi_1. \qquad \qquad (3) OC ve OD doğrularını çizelim. \angle EOD ve \angle EOC açıları gibi \angle DOC açısı da merkezi bir açıdır ve : \angle DOC = \angle EOC - \angle EOD. : \theta_0 = \angle DOC, : \theta_1 = \angle EOD, : \theta_2 = \angle EOC, olsun, böylece : \theta_0 = \theta_2 - \theta_1. \qquad \qquad (4) Birinci bölümden biliyoruz ki \theta_1 = 2 \psi_1 \theta_1 = 2 \psi_1 ve şu \theta_2 = 2 \psi_2 . Bu sonuçların denklem (4) ile birleştirilmesi, : \theta_0 = 2 \psi_2 - 2 \psi_1 bu nedenle, denklem (3) ile aşağıdaki ifadeye ulaşılır: : \theta_0 = 2 \psi_0. === Sonuç === Benzer bir argümana göre, bir kiriş ile onun kesişme noktalarından birinde teğet doğrusu arasındaki açı, kirişin kapsadığı merkezi açının yarısına eşittir. Ayrıca bkz. Çemberlere teğet doğrular. == Uygulamalar == Çevre açı teoremi, düzlemin temel Öklid geometrisinin birçok ispatında kullanılır. Teoremin özel bir durumu, bir çapın kapsadığı açının her zaman 90^\circ, yani bir dik açı olduğunu belirten Thales teoremidir. Teoremin bir sonucu olarak, kirişler dörtgeninin zıt açılarının toplamı 180^\circ'dir ve tersine, bunun doğru olduğu herhangi bir dörtgen bir çember içerisine çizilebilir. Başka bir örnek olarak, çevre açı teoremi, bir çembere göre bir noktanın kuvveti ile ilgili birkaç teorem için temel oluşturur. Dahası, iki kiriş bir çember içinde kesiştiğinde, parçalarının uzunluklarının çarpımlarının eşit olduğunu kanıtlamaya izin verir. == Elipsler, hiperboller ve paraboller için çevre açı teoremleri == Çevre açı teoremleri elipsler, hiperboller ve paraboller için de mevcuttur. Temel farklar, bir açının ölçümleridir. (Bir açı, bir çift kesişen çizgi olarak kabul edilir.) * Elips * Hiperbol * Parabol == Kaynakça == * * * == Dış bağlantılar == * * * * * * * Kategori:Kanıt içeren maddeler Kategori:Açı Kategori:Öklid düzlem geometrisi Kategori:Çemberler