Özdeğer ayrışımı

Lineer cebirde, özdeğer ayrışımı ya da eigen ayrışımı, bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayrıştırılmasıdır. Sadece kare matrisler özdeğerlerine ayrıştırılabilir. == Tanım == adet doğrusal olarak bağımsız () özvektörleri olan boyutlu kare matrisi şu şekilde ayrıştırılabilir: :\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1} Burada , numaralı sütunu 'nın özvektörü olan boyutlu kare matristir. ise köşegen değerleri bu vektörlere denk gelen özdeğerler () olan bir köşegen matristir. Sadece köşegenlenebilir matrisler bu şekilde ayrıştırılabilir. Örneğin, \left[ \begin{smallmatrix} 1 & 1 \\\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right] ayrıştırılamaz. Özvektörler genellikle normaldir, ama bazen 'nun sütunları olarak normalleştirilmemiş adet özvektörü de kullanılır. Çünkü ayrışımdaki ile çarpımın sonucu olarak vektör büyüklükleri kaybolur. Ayrışım, özvektörlerin temel özelliğinden türetilebilir: :\begin{align} \mathbf{A} \mathbf{v} &= \lambda \mathbf{v} \\\ \mathbf{A} \mathbf{Q} &= \mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \\\ \mathbf{A} &= \mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1} . \end{align} === Örnek === 2 × 2 boyutlu matrisi :\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 1 & 3 \\\ \end{bmatrix} tekil olmayan matrisi kullanılarak özdeğerlerine ayrıştırılabilir. :\mathbf{B} = \begin{bmatrix} a & b \\\ c & d \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times2}. Herhangi bir köşegen matrisi C=\left[ \begin{smallmatrix} x & 0 \\\ 0 & y \end{smallmatrix} \right] için, \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{C} özdeşliği: : \begin{bmatrix} a & b \\\ c & d \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & 0 \\\ 0 & y \end{bmatrix}, İki taraf da ile çarpılırsa: : \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\\ 0 & y \end{bmatrix}. Yukarıdaki denklem iki eşanlı denkleme ayrılır: : \begin{cases} \begin{bmatrix} 1 & 0\\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax \\\ cx \end{bmatrix} \\\ \begin{bmatrix} 1 & 0\\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b \\\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} by \\\ dy \end{bmatrix} \end{cases} . Özdeğerler ve ayrıştırılır: : \begin{cases} \begin{bmatrix} 1 & 0\\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\\ c \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} a \\\ c \end{bmatrix} \\\ \begin{bmatrix} 1 & 0\\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b \\\ d \end{bmatrix} = y\begin{bmatrix} b \\\ d \end{bmatrix} \end{cases} Vektörleri isimlendirirsek: :\overrightarrow{a} = \begin{bmatrix} a \\\ c \end{bmatrix}, \quad \overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} b \\\ d \end{bmatrix}, iki vektör denklemi elde ederiz: : \begin{cases} A \overrightarrow{a} = x \overrightarrow{a} \\\ A \overrightarrow{b} = y \overrightarrow{b} \end{cases} İki çözümlü bir vektör denklemi olarak da gösterilebilir: : \mathbf{A} \mathbf{u} = \lambda \mathbf{u} burada iki özdeğeri (, ), ise iki vektörü (, ) içerir. 'u sola kaydırıp 'yu ayırırsak: :(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \mathbf{u} = \mathbf{0} tekil olmadığı için sıfırdan büyüktür. Yani, : \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0 Böylece, : (1- \lambda)(3 - \lambda) = 0 matrisinin özdeğerlerini verir (, ). Sonuç olarak özdeğer ayrışımından elde edilen köşegen matrisi \left[ \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & 3 \end{smallmatrix} \right] olur. Çözümleri yukarıdaki denkleme yerleştirirsek : \begin{cases} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\\ c \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} a \\\ c \end{bmatrix} \\\ \begin{bmatrix} 1 & 0\\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b \\\ d \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} b \\\ d \end{bmatrix} \end{cases} ve bu denklemi çözersek: :a = -2c \quad\text{and} \quad b = 0, \qquad c,d \in \mathbb{R}. 'yi buluruz :\mathbf{B} = \begin{bmatrix} -2c & 0 \\\ c & d \end{bmatrix},\qquad c, d\in \mathbb{R}, ve özdeğer ayrışımını tamamlarız: : \begin{bmatrix} -2c & 0 \\\ c & d \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2c & 0 \\\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & 3 \end{bmatrix},\qquad c, d\in \mathbb{R} == Kaynakça == Kategori:Matrisler Kategori:Lineer cebir