Klein-Gordon denklemi

Klein-Gordon Denklemi, (bazı kaynaklarda Klein-Fock-Gordon Eşitliği olarak da ifade edilir) Schrödinger denkleminin bağıl/göreli (relativistik) olan versiyonudur ve atomaltı fizikte kendi ekseni etrafında dönmeyen parçacıkları tanımlamada kullanılır. Oskar Klein ve Walter Gordon tarafından bulunmuştur. == Matematiksel Açılım == Serbest bir parçacık için Schrödinger denklemi aşağıdaki gibidir. : \frac{\mathbf{p}^2}{2m} +V \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi burada \mathbf{p} = -i \hbar \mathbf{ abla} momentum operatörü, abla ise del operatörüdür. :Hamiltonyen işlemcisi (Ĥ); : H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} +V Hamiltonyen işlemcisi, toplam enerjiyi karakterize eden ve içinde (kinetik enerjiyi + potansiyel enerjiyi) barındıran bir operatördür. Schrödinger denklemi Einstein'ın Özel Görelilik Kuramı'nı hesaba katmadığı için özellikle atomaltı parçacık hesaplamalarında yetersiz kalır. Özel Görelilik Kuramı'ndan enerjinin tanımını ihraç edip : E = \sqrt{\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4} sonra, bu formüle kuantum mekanik momentum operatörünü eklediğimizde, : \sqrt{(-i\hbar\mathbf{ abla})^2 c^2 + m^2 c^4} \psi= i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi. sonucunu alırız. Ancak bu eşitlik karekökten dolayı gayrilokal ve düzensiz bir yapıdadır ve bu yüzden Klein ve Gordon eşitliğin daha objektif bir versiyonunu tümdengelmişlerdir. : (\Box^2 + \mu^2) \psi = 0, burada : \mu = \frac{mc}{\hbar} \, ve : \Box^2 = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - abla^2\, olur. Bu yeni operatöre d'Alembert operatörü denir ve günümüzde skaler (sıfır rotasyonlu) parçacıklar için alan denklemi olarak kullanılmaktadır. == Göreli serbest parçacık çözümü == Serbest bir parçacığın Klein-Gordon denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir. : \mathbf{ abla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi Yukarıdaki ifadenin göreli olmayan versiyonu ise bu şekilde ifade edilebilir: : \psi(\mathbf{r}, t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)} Ancak elbette bu durumda, : -k^2+\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}. engeli oluşacaktır. göreli olmayan parcçacıklarda olduğu gibi, aynı ifadenin enerji ve momentum için olan versiyonları, : \langle\mathbf{p}\rangle=\langle \psi |-i\hbar\mathbf{ abla}|\psi\rangle = \hbar\mathbf{k}, ve : \langle E\rangle=\langle \psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hbar\omega. şeklinde formüle edilir. Bu noktada eşitliği k ve ω bilinmeyenleri için çözüp yukarıda değindiğimiz engel denklemine ihraç ettiğimizde m>0 kütleli parçacıkların enerji ve momentum değerleri arasındaki bağlantıyı formüle etmiş oluruz. :\left.\right. \langle E \rangle^2=m^2c^4+\langle \mathbf{p} \rangle^2c^2. Kütlesiz parçacıklar için, yukarıdaki denklemde m`i 0 olarak alabiliriz. Bu durumda kütlesiz parçacığın enerji ve momentumu arasında, :\left.\right. \langle E \rangle=\langle |\mathbf{p}| \rangle c. ilişkisine ulaşırız. == Aksiyom == Klein-Gordon denklemi aşağıdaki aksiyom kullanılarak tümdengelinebilir. :\mathcal{S}=\int \mathrm{d}^4x \left(\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi \partial^{\mu}\phi - \frac{1}{2}\frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \phi^2 \right) burada \phi Klein-Gordon alanını, m ise kütleyi ifade etmektedir. == Ayrıca bakınız == * Dirac denklemi * Kuantum alan kuramı * Skalar alan * Schrödinger denklemi * Klein-Gordon denkleminin matematiksel argümanları bu sayfada tartışılmıştı: Dispersive PDE Wiki. == Dış bağlantılar == * * * Kategori:Dalgalar Kategori:Denklemler