Açıortay teoremi

küçükresim|240pik|sağ| Geometride açıortay teoremi, bir üçgenin kenarının karşı açıyı ikiye bölen bir çizgiyle bölündüğü iki parçanın göreli uzunluklarıyla ilgilidir. Göreli uzunluklarını, üçgenin diğer iki kenarının göreli uzunluklarına eşitler. ==Teorem== Bir \triangle ABC üçgeni düşünün. \angle A açısının açıortayının B ile C arasındaki D noktasında BC kenarını kesmesine izin verin. Açıortay teoremi, BD doğru parçasının uzunluğunun DC parçasının uzunluğuna oranının AB kenarının uzunluğunun AC kenarının uzunluğuna oranına eşit olduğunu belirtir: :{\frac {|BD|} {|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}, ve tersine, \triangle ABC üçgeninin BC kenarındaki D noktası BC'yi AB ve AC kenarları ile aynı oranda bölerse, daha sonra AD, \angle A açısının açıortayıdır. Genelleştirilmiş açıortay teoremi, eğer D, BC doğrusu üzerinde yer alıyorsa, o zaman :{\frac {|BD|} {|DC|}}={\frac {|AB| \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC}}. AD, \angle BAC'nin açıortayıysa bu ifade, önceki sürüme indirgenir. D, BC bölümünün dışında olduğunda, hesaplamada yönlendirilmiş çizgi bölümleri ve yönlendirilmiş açılar kullanılmalıdır. Açıortay teoremi, açıortayları ve yan uzunlukları bilindiğinde yaygın olarak kullanılır. Bir hesaplamada veya bir ispatta kullanılabilir. Teoremin doğrudan bir sonucu, bir ikizkenar üçgenin tepe açısının açıortayının aynı zamanda karşı kenarı ikiye böldüğüdür. == İspatlar == === İspat 1 === Yukarıdaki diyagramda, \triangle ABD ve \triangle ACD üçgenlerinde sinüs teoremi kullanıldığında: = {\frac {\sin \angle BDA} {\sin \angle BAD}} |}} = {\frac {\sin \angle ADC} {\sin \angle DAC}} |}} \angle BDA ve \angle ADC açıları doğrusal bir çift oluşturur, yani bitişik bütünler açılar'dır. Bütünler açılar eşit sinüslere sahip olduğundan, : = {\sin \angle ADC}. \angle BAD ve \angle DAC açıları eşittir. Bu nedenle, denklemlerin sağ tarafları () ve () eşittir, bu nedenle sol tarafları da eşit olmalıdır. :{\frac {|BD|} {|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}, bu da açıortay teoremi'dir. \angle BAD ve DAC açıları eşit değilse, denklemler () ve () şu şekilde yeniden yazılabilir: : {\frac {|AB|} {|BD|} \sin \angle\ BAD = \sin \angle BDA}, : {\frac {|AC|} {|DC|} \sin \angle\ DAC = \sin \angle ADC}. \angle BDA ve \angle ADC açıları hala bütünlerdir, bu nedenle bu denklemlerin sağ tarafları hala eşittir, dolayısıyla şunu elde ederiz: : {\frac {|AB|} {|BD|} \sin \angle\ BAD = \frac {|AC|} {|DC|} \sin \angle\ DAC}, bu ifade, teoremi "genelleştirilmiş" versiyona göre yeniden düzenler. ===İspat 2=== 400pik|sağ D, BC doğrusu üzerinde bir nokta olsun, B veya C'ye eşit olmasın ve AD, \triangle ABC üçgeninin bir yüksekliği olmasın (yani BD doğrusuna dik olmasın). B_1, \triangle ABD üçgeninin B noktasından çizilen yüksekliğinin tabanı olsun ve C_1, \triangle ACD üçgeninin C noktasından çizilen yüksekliğinin tabanı olsun. Daha sonra, D kesinlikle B ile C arasındaysa, B_1 veya C_1'den biri ve yalnızca biri, \triangle ABC üçgeninin içinde yer alır ve B_1'in genelliği kaybetmeden yaptığı varsayılabilir. Bu durum yandaki şekilde tasvir edilmiştir. D, BC segmentinin dışında yer alıyorsa, o zaman ne B_1 ne de C_1 üçgenin içinde yer alır. \angle DB_1B ve \angle DC_1C dik açılar iken, D, BC segmentinde yer alıyorsa (yani, B ve C arasında) \angle B_1DB ve \angle C_1DC açıları eş açılardır ve dikkate alınan diğer durumlarda aynıdır, bu nedenle üçgenler \triangle DB_1B ve \triangle DC_1C benzerdir (AAA), yani :{\frac {|BD|} {|CD|}}= {\frac {|BB_1|}{|CC_1|}}=\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}. D bir yüksekliğin tabanıysa, o zaman, :\frac{|BD|}{|AB|} = \sin \angle \ BAD \text{ ve } \frac{|CD|}{|AC|} = \sin \angle \ DAC, ve genelleştirilmiş biçime ulaşılır. === İspat 3=== küçükresim|upright=1.5| Hızlı bir kanıt, A'daki açıortay ile oluşturulan \triangle BAD ve \triangle CAD üçgenlerinin alanlarının oranlarına bakılarak elde edilebilir. Bu alanları farklı formüller kullanarak iki kez hesaplamak, yani g taban ve h yükseklik olmak üzere \tfrac{1}{2}gh şeklinde ve a, b kenarlar ve bu kenarlar arasındaki açı \gamma olmak üzere \tfrac{1}{2}ab\sin(\gamma) şeklinde hesaplamak mümkün olup istenen sonucu verecektir. h , tabanı BC olan üçgenlerin yüksekliği ve \alpha A 'daki açının yarısı olsun. Sonra, : \frac{|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|} = \frac{\frac{1}{2}|BD|h}{\frac{1}{2}|CD|h}= \frac{|BD|}{|CD|} ve : \frac{|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}=\frac{\frac{1}{2}|AB||AD|\sin(\alpha)}{\frac{1}{2}|AC||AD|\sin(\alpha)}=\frac{|AB|}{|AC|} buradan da : \frac{|BD|}{|CD|} = \frac{|AB|}{|AC|} bulunur. == Dış açıortaylar == küçükresim|upright=1.25| Eşkenar olmayan bir üçgendeki dış açıortaylar için, üçgen kenarlarının uzunluklarının oranları arasında benzer denklemler vardır. Daha doğrusu, A 'daki dış açıortay E 'de uzatılmış kenar BC ile kesişiyorsa, B 'deki dış açıortay D 'de uzatılmış kenar AC ile kesişir ve C 'deki dış açı açıortay AB uzatılmış kenar ile F 'de kesişir, ardından aşağıdaki denklemler geçerli olurAlfred S. Posamentier: Advanced Euclidian Geometry: Excursions for Students and Teachers. Springer, 2002, , pp. 3-4: :\frac{|EB|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|AC|}, \frac{|FB|}{|FA|}=\frac{|CB|}{|CA|}, \frac{|DA|}{|DC|}=\frac{|BA|}{|BC|} Dış açıortayları ile uzatılmış üçgen kenarları D , E ve F arasındaki üç kesişme noktası eşdoğrusaldır, yani bir ortak çizgi üzerindedirRoger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, , p. 149 (original publication 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).. ==Tarihçe== Açıortay teoremi, Öklid'in Elemanları Kitap VI'nın Önerme 3'ü olarak görünür. 'e göre, dış açıortay için karşılık gelen ifade Robert Simson tarafından verildi ve Pappus bu sonucu kanıt olmadan doğru varsaydı. Heath, Augustus De Morgan'ın iki ifadenin aşağıdaki gibi birleştirilmesini önerdiğini söyler : (3 cilt): (cilt 1), (cilt 2), (cilt 3). Heath'in yetkili çevirisi ile birlikte kapsamlı tarihsel araştırma ve metin boyunca ayrıntılı yorumlar içerir.: ==Notlar== == Konuyla ilgili yayınlar == * == Dış bağlantılar == * * Kategori:Öklid geometrisi Kategori:Üçgen geometrisi Kategori:Öklid geometrisi teoremleri Kategori:Kanıt içeren maddeler