Euler-Mascheroni sabiti

Matematiksel analizin sayı teorisinde Euler–Mascheroni sabiti matematiksel sabit'tir. Yunan harfi (gama) ile gösterilir. Harmonik seri ile doğal logaritma arasındaki fark veya limit'tir. :\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right)=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx. sayısal değerin 50 basamağı: : 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …| \gamma ile e sayısı karıştırılmamalıdır e Euler sayısı, doğal logaritma'nın tabanı olarak bilinir. == Tarihçe == Sabit 1735'te İsviçreli matematikçi Leonhard Euler, De Progressionibus harmonicis observationes başlığı (Eneström Index 43) açıklanmıştır. Euler'in sabit için kullandığı notasyon C ve O dur. 1790'te, İtalyan matematikçi Lorenzo Mascheroni'nin sabit için kullandığı notasyon A ve a 'dır. γ gösterimine Euler veya Mascheroni sabiti dendi, daha sonra gama fonksiyonu ile ilişkisi anlaşıldı. Mesela Carl Anton Bretschneider tarafından γ notasyonu 1835'te kullanıldı.Krämer 2005 == Tezahürleri == Euler-Mascheroni sabiti, diğer denklemler içerisinde görünür : * üstel integral ifadelerinde. * doğal logaritma'nın Laplace dönüşümü'nde. * Riemann zeta fonksiyonu'nun Taylor serisine açılımında ilk terim,burada Stieljes sabiti ilk terimdir. * Digama fonksiyonu hesaplamaları * Gama fonksiyonu'ndan üretilen bir formül * Euler totient fonksiyonu için bir eşitsizlik * Bölen fonksiyonu'nun büyük kesri * Meissel-Mertens sabiti için bir hesaplama * Mertens'in üçüncü teoremi * ikinci tür Bessel denklemi'nin çözümü. * Kuantum alan teorisi'nde Feynman diagram'larının Boyutsal düzenlenmesinde . * Gumbel dağılımının anlamı ile. Bu tür için daha fazla bilgi,bkz: Gourdon ve Sebah (2004). rmulas.html Gourdon and Sebah (2004).] == Kimliği == γ sayısının cebirsel sayı veya aşkın sayı olup olmadığı bilinmiyor. Hatta γ'nın irrasyonel sayı olup olmadığıda bilinmiyor sürekli kesir'le rasyonel, γ paydası 10242080 'dan büyük olmalıdır. Birçok denklemde ortaya çıkan γ'nın (pi/2e~0.5778) irrasyonalitesi? büyük bir açık sorudur.Sondow'a bakınız (2003a). Daha fazla bilgi için bakınız: Gourdon and Sebah (2002). === Gama fonksiyonu ile ilişkisi === γ digama fonksiyonu Ψ ile ilişkilidir, Ψ ,gama fonksiyonu yani Γ 'unun türevidir.: : \ -\gamma = \Gamma'(1) = \Psi(1). Bunun limiti: : -\gamma = \lim_{z\to 0} \left\\{\Gamma(z) - \frac1{z} \right\\} = \lim_{z\to 0} \left\\{\Psi(z) + \frac1{z} \right\\}. Daha öte limit sonuçları (Krämer, 2005): : \lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\\{\frac1{\Gamma(1+z)} - \frac1{\Gamma(1-z)} \right\\} = 2\gamma : \lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\\{\frac1{\Psi(1-z)} - \frac1{\Psi(1+z)} \right\\} = \frac{\pi^2}{3\gamma^2}. beta fonksiyonu ile ilişkisi (dolayısıyla gama fonksiyonu) : \gamma = \lim_{n \to \infty} \left \\{\frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right\\}. :\gamma = \lim\limits_{m \to \infty}\sum_{k=1}^m{m \choose k}\frac{(-1)^k}{k}\ln(\Gamma(k+1)). === Zeta fonksiyonu ile ilişkisi === Pozitif tam sayı içeren Riemann zeta fonksiyonu'nun sonsuz toplamı γ sabitine yakınsar: :\begin{align}\gamma &= \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{m} \\\ &= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{2^{m-1}m}.\end{align} zeta fonksiyonu içeren diğer serilerle ilişkisi: :\begin{align} \gamma &= \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1] \\\ &= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ] \\\ &= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln 2+ O \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ].\end{align} Son denklemde n sayısı nedeniyle hata teriminin hızla azalması hesaplama için uygundur. Diğer ilginç limit eşitliği Euler–Mascheroni sabitinin antisimetrik limitidir. (Sondow, 1998) : \gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right ) = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right ) ve :\begin{align} \gamma = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^n \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right ).\end{align} rasyonel zeta serisi ifadesi ile de yakında ilişkilidir. :\gamma = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n - \sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta (m,n+1)}{m} Burada ζ(s,k) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur. Bu denklem harmonik sayılar'ın toplamını içermektedir., Hn. Hurwitz zeta fonksiyonu'nun açılımındaki bazı terimler: : H_n = \ln n + \gamma + \frac {1} {2n} - \frac {1} {12n^2} + \frac {1} {120n^4} - \varepsilon , burada 0 < \varepsilon < \frac {1} {252n^6}. == Notlar == == Kaynakça == * Derives γ as sums over Riemann zeta functions. * Gourdon, Xavier, and Sebah, P. (2002) "Collection of formulas for Euler's constant, γ. " * ----- (2004) "The Euler constant: γ. " * Donald Knuth (1997) The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed. Addison- Wesley. ISBN 0-201-89683-4 * Krämer, Stefan (2005) Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen. Diplomarbeit, Universität Göttingen. * Sondow, Jonathan (1998) "An antisymmetric formula for Euler's constant," Mathematics Magazine 71: 219-220. * ------ (2002) "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant." With an Appendix by Sergey Zlobin, Mathematica Slovaca 59: 307-314. * ------ (2003) "An infinite product for eγ via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ." * ------ (2003a) "Criteria for irrationality of Euler's constant," Proceedings of the American Mathematical Society 131: 3335-3344. * ------ (2005) "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula," American Mathematical Monthly 112: 61-65. * ------ (2005) "New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π." * ------ and Wadim Zudilin (2006), "Euler's constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper," Ramanujan Journal 12: 225-244. * G. Vacca (1926), "Nuova serie per la costante di Eulero, C = 0,577…". Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (6) 3, 19–20. * James Whitbread Lee Glaisher (1872), "On the history of Euler's constant". Messenger of Mathematics. New Series, vol.1, p. 25-30, JFM 03.0130.01 * Carl Anton Bretschneider (1837). "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". Crelle Journal, vol.17, p. 257-285 (submitted 1835) * Lorenzo Mascheroni (1790). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur". Galeati, Ticini. * Lorenzo Mascheroni (1792). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri. In quibus nonnullae formulae ab Eulero propositae evolvuntur". Galeati, Ticini. Both online at: http://books.google.de/books?id=XkgDAAAAQAAJ * == Dış bağlantılar == * * Kategori:Matematiksel sabitler Kategori:Leonhard Euler