Catalan sabiti

Catalan sabiti matematikte bazen kombinatorik'te tahminler için kullanılır.Tanımı :G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \\! Burada β Dirichlet beta fonksiyonu'dur Sayısal değeri yaklaşık olarak :G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … G nin rasyonel veya irrasyonel olup olmadığı bilinmiyor. Catalan sabiti Eugène Charles Catalan onuruna atfedilmiştir. == Integral özdeşlikleri == Bazı eşitlikler arasında :G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy \\! :G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln(t)}{1 + t^2} \,dt \\! :G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin(t) \cos(t)} \;dt \\! :G = \tfrac14 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{t}{\sin(t)} \;dt \\! :G = \int_{0}^{\pi/4} \ln ( \cot(t) ) \,dt \\! :G = \int_{0}^{\infty} \arctan (e^{-t}) \,dt \\! : G = \int_0^1 \frac{\arctan t}{t}\,dt \\!. ile birlikte : G = \tfrac12\int_0^1 \mathrm{K}(x)\,dx \\! burada K(x) komplet eliptik integral'in ilk türüdür., ve : G = \int_0^1 \frac{\arctan x}{x}\,dx \\!. == Kullanımı == Poligama fonksiyonu'ndan elde edilen ve trigama fonksiyonu olarak adlandırılan kombinatorik'teki G nesnesinin fraksiyonel gösterimi; : \psi_{1}\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8G : \psi_{1}\left(\frac{3}{4}\right) = \pi^2 - 8G. şeklindedir. Simon Plouffe \pi^2 ve Catalan sabiti arasında trigamma fonksiyonunun sonsuz sayıda eşdeğer koleksiyonun'un olduğunu grafik yolu ile gösterdi. Ayrıca bu nesnenin hiperbolik sekant dağılımı ile de bağlantısı vardır == Hızlı yakınsak seri == sayısal hesaplama için kolay olan birbirini izleyen iki hızlı yakınsak seri : G = \, 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}} \left( -\frac{1}{2(8n+2)^2} +\frac{1}{2^2(8n+3)^2} -\frac{1}{2^3(8n+5)^2} +\frac{1}{2^3(8n+6)^2} -\frac{1}{2^4(8n+7)^2} +\frac{1}{2(8n+1)^2} \right) - 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}} \left( \frac{1}{2^4(8n+2)^2} +\frac{1}{2^6(8n+3)^2} -\frac{1}{2^9(8n+5)^2} -\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2} -\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2} +\frac{1}{2^3(8n+1)^2} \right) ve :G = \frac{\pi}{8} \log(\sqrt{3} + 2) + \tfrac38 \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}. Bunun teoretik çıkarımı Broadhurst tarafından verilmiştir. == Basamaklardaki rakamların çıkarımı == Catalan sabiti G nin rakamlarını bulmak için son yıllarda çarpıcı bir artış var.Bunun için yüksek performanslı bilgasayarlar ve güçlü algoritmalar geliştiriliyor.Gourdon, X., Sebah, P; Constants and Records of Computation G nin onluk sistemde bilinen rakam sayısı Tarih Onluk sistem Çaba harcayanlar 1877 20 James W. L. Glaisher 1913 32 James W. L. Glaisher 1990 20,000 Greg J. Fee 1996 50,000 Greg J. Fee August 14, 1996 100,000 Greg J. Fee & Simon Plouffe September 29, 1996 300,000 Thomas Papanikolaou 1996 1,500,000 Thomas Papanikolaou 1997 3,379,957 Patrick Demichel January 4, 1998 12,500,000 Xavier Gourdon 2001 100,000,500 Xavier Gourdon & Pascal Sebah 2002 201,000,000 Xavier Gourdon & Pascal Sebah October 2006 5,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo August 2008 10,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo January 31, 2009 15,510,000,000 Alexander J. Yee & Raymond Chan April 16, 2009 31,026,000,000 Alexander J. Yee & Raymond Chan == Ayrıca bakınız == * Zeta sabiti == Notlar == == Kaynakça == * Victor Adamchik, 33 representations for Catalan's constant (undated) * Victor Adamchik, A certain series associated with Catalan's constant , (2002) Zeitschrift fuer Analysis und ihre Anwendungen (ZAA), 21, pp. 1–10. * Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan , (1993) (Provides over one hundred different identities). * Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi^2 , (1999) (Provides a graphical interpretation of the relations) * * Catalan constant: Generalized power series at the Wolfram Functions Site * Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) (1996) (Provides the first 300,000 digits of Catalan's constant.). Kategori:Kombinatorik Kategori:Matematiksel sabitler