Euler teoremi (geometri)

sağ|küçükresim| Geometride, Euler teoremi, üçgenin çevrel çemberinin merkezi ve iç teğet çemberinin merkezi arasındaki d uzunluğunun aşağıdaki şekilde ifade edildiğini belirtir:. : d^2=R (R - 2r) veya eşdeğer olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir; :\frac{1}{R - d} + \frac{1}{R + d} = \frac{1}{r}, burada R ve r, sırasıyla çevresel ve iç teğet çemberlerin yarıçapını belirtir. Teorem, adını 1765'te yayınlayan Leonhard Euler'den almıştır. Ancak aynı sonuç daha önce William Chapple tarafından 1746'da yayınlanmıştır. Teoremi Euler eşitsizliği takip eder:.. : R \ge 2r, bu ifadede sadece eşkenar üçgen durumda eşitlik geçerlidir.. == İspat == küçükresim|300x300pik| O noktası, \triangle ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ve I noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olsun, AI'nın uzantısı çemberi L noktasında keser. O halde L, BC yayının orta noktasıdır. LO'yu birleştirin ve M'deki çevrel çemberi kesecek şekilde uzatın. I'dan AB'ye bir dik çizin ve D onun ayağı olsun, yani ID = r'dir. \triangle ADI üçgeninin \triangle MBL üçgenine benzer olduğunu kanıtlamak zor değildir, bu nedenle \frac{ID}{BL} = \frac{AI}{ML}, yani ID \times ML = AI \times BL'dir. Bu nedenle 2Rr = AI \times BL'dir. BI'yı birleştirin. Çünkü; :\angle BIL = \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle ABC}{2}, :\angle IBL = \frac{\angle ABC}{2} + \angle CBL = \frac{\angle ABC}{2} + \frac{\angle A}{2}, \angle BIL = \angle IBL, BL = IL ve AI \times IL = 2Rr olduğu bilgisine sahibiz. OI'yi çevrel çemberi P ve Q noktalarında kesecek şekilde genişletin; sonra PI \times QI = AI \times IL = 2Rr, yani (R + d) (R - d) = 2Rr, yani d^2 = R(R - 2r)'dir. == Eşitsizliğin daha güçlü versiyonu == Matematiksel ifadenin daha güçlü bir versiyonu :\frac{R}{r} \geq \frac{abc + a^3 + b^3 + c^3}{2abc} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} -1 \geq \frac{2}{3} \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq 2, olarak yazılabilir, burada a, b, c üçgenin kenar uzunluklarıdır. == Dış teğet çember için Euler teoremi == sağ|küçükresim|337x337pik| bir üçgen, iç teğet çember, iç teğet çemberin merkezi (I), dış teğet çemberler, dış teğet çemberlerin merkezleri (J_A, J_B, J_C), iç açıortaylar dış açıortaylar, yeşil üçgen dışsal üçgen, A, B, C noktalarından geçen çember ise üçgenin çevrel çemberi olur. Eğer r_a ve d_a sırasıyla A tepe noktasının karşısındaki dış teğet çemberin yarıçapını gösterirse ve onu merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki uzunluk, o zaman d_a^2 = R(R + 2r_a) olur. == Mutlak geometride Euler eşitsizliği == Euler eşitsizliği, verilen bir çember içine çizilmiş tüm üçgenler için, eşkenar üçgen için çevrel çemberin maksimum yarıçapına ulaşıldığını ve sadece bunun için geçerli olduğunu ifade eden biçimde mutlak geometride geçerlidir.. == Ayrıca bakınız == * İki merkezli dörtgenlerde aynı üç değişken arasındaki ilişki için Fuss teoremi * Poncelet kapanış teoremi, aynı iki çembere (ve dolayısıyla aynı R, r ve d) sahip sonsuz sayıda üçgen olduğunu gösterir. * Üçgen eşitsizliklerin listesi == Kaynakça == == Dış bağlantılar == * * * == Konuyla ilgili yayınlar == * * * * Kategori:Kanıt içeren maddeler Kategori:Eşitsizlikler Kategori:Öklid geometrisi teoremleri Kategori:Leonhard Euler