D'Agostino'nun K-kare sınaması

İstatistik bilim dalında D'Agostino'nun K2 sınaması normal dağılımdan ayrılmayı ölçmek için kullanılan bir uygulama iyiliği ölçüsüdür. Örneklem basıklık ve çarpıklık ölçülerinin dönüşümlerinden elde edilmiştir. K2 istatistiği şöyle elde edilir: n değerinin gözlem sayısı ve böylelikle genellikle serbestlik derecesi olduğu bilinmektedir. Örneklem çarpıklık ölçüsü, \sqrt{b_1}, şöyle tanımlanır: : \sqrt{ b_1 } = \frac{ \mu_3 }{ \sigma^3 } = \frac{ \mu_3 }{ \left( \sigma^2 \right)^{3/2} } = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^3}{ \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^2 \right)^{3/2}} Örneklem basıklık ölçüsü, \sqrt{b_2} ise şöyle tanimlanır: : b_2 = \frac{ \mu_4 }{ \sigma^4 } = \frac{ \mu_4 }{ \left( \sigma^2 \right)^{2} } = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^4}{\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^2 \right)^2} Burada \bar{x} örneklem ortalaması, σ2 ikinci merkezsel moment veya varyans ve sırasiyla μ3 ve μ4 üçüncü ve dördüncü merkezsel moment lerdir. == Dönüştürülmüş çarpıklık == Önce, çarpıklık ölçüsü \sqrt{b_1} 'nin bir dönüşümü olan :Z\left(\sqrt{b_1}\right) hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade yaklaşık olarak normal dağılım gösterir: : Y = \sqrt{b_1} \cdot \sqrt{\frac{(n+1)(n+3)}{6(n-2)}} : \beta_2\left(\sqrt{b_1}\right) = \frac{3(n^2+27n-70)(n+1)(n+3)}{(n-2)(n+5)(n+7)(n+9)} : W^2 = -1 + \sqrt{2 (\beta_2\left(\sqrt{b_1}\right) - 1)} : \delta = 1/\sqrt{ln(W)} : \alpha = \sqrt{\frac{2}{W^2-1}} : Z\left(\sqrt{b_1}\right) = \delta ln\left(Y/\alpha + \sqrt{(Y/\alpha)^2 + 1}\right) == Dönüştürülmüş Basıklık == Sonra, basıklık ölçüsü olan b_2 'in bir dönüşümü olan Z\left(b_2\right) hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade de yaklaşık olarak normal dağılım gösterir: : E\left(b_2\right) = \frac{3(n-1)}{n+1} : \sigma^2_{b_2} = \frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)} : x = \frac{b_2 - E\left(b_2\right)}{\sigma_{b_2}} Bundan sonra ise, basıklık ifadesinin çaprazlığı bulunur: : \sqrt{\beta_1\left(b_2\right)} = \frac{6(n^2-5n+2)}{(n+7)(n+9)} \sqrt{\frac{6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}} : A = 6 + \frac{8}{\sqrt{\beta_1\left(b_2\right)}} \left[ \frac{2}{\sqrt{\beta_1\left(b_2\right)}} + \sqrt{1+\frac{4}{\beta_1\left(b_2\right)}}\right] : Z\left(b_2\right) = \left(\left(1 - \frac{2}{9A}\right) - \sqrt[3]{\frac{1-2/A}{1+x\sqrt{2/(A-4)}}}\right)\sqrt{\frac{9A}{2}} == İçerikli K2 istatistiği == Şimdi, bu Z\left(\sqrt{b_1}\right) ile Z\left(b_2\right) ifadelerini birleştirip normallik sınaması için D'Agustino'nun sınama istatistiği şöyle tanımlanır: : K^2 = \left(Z\left(\sqrt{b_1}\right)\right)^2 + \left(Z\left(b_2\right)\right)^2 K^2 istatistiği yaklaşık olarak serbestlik derecesi 2 olan bir \chi^2 ile dağılım gösterir. == İç bağlantılar == * Normallik sınamaları * Kolmogorov- Smirnov sınaması * Shapiro-Wilk sınaması * Smirnov-Cramér-von-Mises sınaması * Jarque-Bera sınaması == Kaynakça == * D'Agostino, Ralph B., Albert Belanger, and Ralph B. D'Agostino, Jr. "A Suggestion for Using Powerful and Informative Tests of Normality", The American Statistician, Cilt. 44, No. 4. (Kasım., 1990), say. 316-321. Kategori:Normallik sınamaları Kategori:Parametrik istatistikler Kategori:İstatistiksel sınamalar Kategori:Hipotez sınamaları Kategori:İstatistiksel yayılma ve sapma