Fourier dönüşümü

Fourier dönüşümü, sürekli ve ayrık olarak ikiye ayrılabilir. İki dönüşüm de bir nesneyi ortogonal iki uzay arasında eşler. Sürekli nesneler için dönüşüm: :F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-ikx} dx ve :f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(k) e^{ikx} dk şeklinde verilir. Yukarıdaki dönüşümde görüleceği üzere x uzayındaki bir nesne k uzayında tanımlanmıştır. Bu dönüşüm diferansiyel denklemlerin çözümünde çok büyük rahatlık sağlar zira bu dönüşüm sayesinde x uzayındaki diferansiyel denklemler k uzayında lineer denklemler olarak ifade edilirler. K uzayında bu denklemin çözümü bulunduktan sonra ters dönüşümle x uzayındaki karşılığı elde edilir, ki bu diferansiyel denklemin çözümüdür. Birinci dönüşümdeki ifade ikinci dönüşümde yerine oturtularak, :f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(x') e^{-ikx'} dx'\right) e^{ikx} dk, :f(x)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\left(\int\limits_{-\infty}^\infty e^{ik(x-x')} dk\right)f(x') dx' ifadesine ulaşılır. Parantez içindeki ifadenin 2\pi\delta(x-x')\, olduğu görülebilir. Anlaşıldığı üzere f(x)\mapsto F(k) eşlemesine Fourier Dönüşümü, F(k)\mapsto f(x) eşlemesine de Ters Fourier Dönüşümü denir ve bu eşlemeler (mapping) yapılırken baş harfleri büyük yazılarak gösterilir (FD ve TFD). Parantez içindeki ifadenin Delta fonksiyonunun temsili olması ise açıkça bir düz ve bir ters Fourier dönüşümü yapılan bir ifadenin kendine eşit olmasından kaynaklanır. Dönüşüm uzayları keyfi seçilebilir ancak fizikte, konum uzayından momentum uzayına ve zaman uzayından enerji uzayına De Broglie-Einstein denklemleriyle geçişler tanımlanmıştır. ==Giriş== ===Örnek=== Aşağıdaki görüntülerde Fourier dönüşümünün veren bir görsel ilüstrasyon sağlama ölçümü olan bir frekans bir özel fonksiyon içinde mevcuttur. Fonksiyon f(t) = cos(6πt) e−πt2 3 hertz'te salınım göstermektedir (eğer t ölçüsü saniyeler ise) ve 0 a doğru hızla gitme eğilimdedir. (bu denklem içinde saniye faktörü bir zarf fonksiyonu ve bir kısa vuruş içinde sürekli sinüzoidal şekillerdir. Bunun genel formu bir Gauss fonksiyonudur). Bu fonksiyon özel seçilmiş idi var olan bir gerçek Fourier dönüşümü için kolayca çizilebilir. İlk görüntü bu grafı içerir. \hat f(3) hesaplamak için sırayla e−2πi(3t)f(t) integrali olmalıdır. İkinci görüntü bu fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını gösterir. İntegrand'ın gerçel kısmı hemen hemen her zaman pozitif, çünkü eğer f(t) negatif ise, e−2πi(3t)'nin gerçek kısmı da negatiftir. Çünkü bu aynı kesirde salınıyorsa eğer f(t) pozitif ise, böylece e−2πi(3t)'nin gerçel kısmıdır. Sonuç olarak eğer integrandın gerçek kısım integrali ise bir göreceli büyük sayı alıyorsunuz (0.5 durumu içinde). Diğer taraftan, eğer bir frekans ölçüsü için deniyorsanız bu mevcut değildir,\hat f(5) da gördüğümüz durumu içindeki gibi yeterince salınan integrand gibi integral çok küçüktür. Genel durum bundan bir parça daha karışık olabilir, ama bu ruh içinde bir tek frekansın o kadar çok ölçüsü Fourier dönüşümü ve bir fonksiyon f(t) içinde mevcuttur. Dosya:Function ocsillating at 3 hertz.svg| Dosya:Onfreq.svg| Dosya:Offfreq.svg| Dosya:Fourier transform of oscillating function.svg| ===Temel özellikler=== Fourier dönüşümünün temel özellikleri aşağıdadır: . ; Doğrusallık : Herhangi karmaşık sayılar a ve b için, eğer h(x) = af(x) + bg(x), ise \hat{h}(\xi)=a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot\hat{g}(\xi). ; Öteleme : Herhangi gerçek sayı x0 için, eğer h(x)=f(x-x_0), ise \hat{h}(\xi)= e^{-i\,2\pi \,x_0\,\xi }\hat{f}(\xi). ; Modülasyon : Herhangi gerçek sayı ξ0 için eğer h(x)=e^{i \, 2\pi \, x \,\xi_0}f(x), ise \hat{h}(\xi) = \hat{f}(\xi-\xi_{0}). ; Ölçekleme : bir sıfır-dışı gerçek sayılar a için, eğer h(x) = f(ax), ise \hat{h}(\xi)=\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right). Durum a = −1 zaman-ters özellik için yer alır, bu durum: eğer h(x) = f(−x), ise \hat{h}(\xi)=\hat{f}(-\xi). ; Birleşim : Eğer h(x)=\overline{f(x)}, then \hat{h}(\xi) = \overline{\hat{f}(-\xi)}. : Özel olarak, eğer f gerçek, ve tek gerçeklik durumu var ise \hat{f}(-\xi)=\overline{\hat{f}(\xi)}., şöyle ki, \hat{f} bir Hermisyen fonksiyondur. : Ve eğer f saf sanal, ise \hat{f}(-\xi)=-\overline{\hat{f}(\xi)}. ; İntegrasyon :\xi=0 Yerine koyma tanımı içinde, elde edilen :\hat{f}(0) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx İşte böyle, başlangıç noktası içinde Fourier dönüşümünün evrimi (\xi=0) tüm domenin üzerinde tüm f in integralinin eşitidir. == Önemli Fourier dönüşümlerinin tabloları == Aşağıdaki tablolar, bir kapalı bir şekilde Fourier dönüşümleri kaydedebilir.f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonlar için burada \hat{f} ile Fourier dönüşümü, sırasıyla \hat{g}, ve \hat{h} ile ifade edilir. Sadece en yaygın üç kural dahildir. Bu, bu giriş 105 Fourier Fourier dönüşümü ile ve ters olarak düşünülebilir bir fonksiyonun ve orijinal fonksiyonunun dönüşümü arasında bir ilişki veren fark için yararlı olabilir. === Fonksiyonel ilişkiler === Bu tabloda Fourier dönüşümleri bulunabilir veya . Fonksiyon Fourier dönüşümü birim, sıradan frekans Fourier dönüşümü birim, açısal frekans Fourier dönüşümü birim-olmayan, açısal frekans Açıklamalar \displaystyle f(x)\, \displaystyle \hat{f}(\xi)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi i x\xi}\, dx \displaystyle \hat{f}(\omega)= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx \displaystyle \hat{f}( u)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-i u x}\, dx Tanım 101 \displaystyle a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\, \displaystyle a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot \hat{g}(\xi)\, \displaystyle a\cdot \hat{f}(\omega) + b\cdot \hat{g}(\omega)\, \displaystyle a\cdot \hat{f}( u) + b\cdot \hat{g}( u)\, Doğrusallık 102 \displaystyle f(x - a)\, \displaystyle e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi)\, \displaystyle e^{- i a \omega} \hat{f}(\omega)\, \displaystyle e^{- i a u} \hat{f}( u)\, Zaman domeni içinde kayma 103 \displaystyle e^{ 2\pi iax} f(x)\, \displaystyle \hat{f} \left(\xi - a\right)\, \displaystyle \hat{f}(\omega - 2\pi a)\, \displaystyle \hat{f}( u - 2\pi a)\, Frekans domeni içinde kayma, 102'nin çifti 104 \displaystyle f(a x)\, a|} \hat{f}\left( \frac{\xi}{a} \right)\, a|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)\, a|} \hat{f}\left( \frac{ u}{a} \right)\, a|\, is büyük, ise \displaystyle f(a x)\, 0 çevresinde yoğunlaşmıştır ve \displaystyle \frac{1}{|a|}\hat{f} \left( \frac{\omega}{a} \right)\, yayılır ve düzleşir. 105 \displaystyle \hat{f}(x)\, \displaystyle f(-\xi)\, \displaystyle f(-\omega)\, \displaystyle 2\pi f(- u)\, ikilik.Burada \hat{f} Fourier dönüşümü sütunu olarak aynı yöntem kullanılarak hesaplanması gerekmektedir. x ve \xi veya \omega veya u'ın "yapay" değişkenleri değiştirme sonuçları. 106 \displaystyle \frac{d^n f(x)}{dx^n}\, \displaystyle (2\pi i\xi)^n \hat{f}(\xi)\, \displaystyle (i\omega)^n \hat{f}(\omega)\, \displaystyle (i u)^n \hat{f}( u)\, 107 \displaystyle x^n f(x)\, \displaystyle \left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n \hat{f}(\xi)}{d\xi^n}\, \displaystyle i^n \frac{d^n \hat{f}(\omega)}{d\omega^n} \displaystyle i^n \frac{d^n \hat{f}( u)}{d u^n} Bu 106'nın çiftidir 108 \displaystyle (f * g)(x)\, \displaystyle \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi)\, \displaystyle \sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)\, \displaystyle \hat{f}( u) \hat{g}( u)\, \displaystyle f * g\, gösterimi f ve g'in evrişimidir- bu kural evrişim teoremidir 109 \displaystyle f(x) g(x)\, \displaystyle (\hat{f} * \hat{g})(\xi)\, \displaystyle (\hat{f} * \hat{g})(\omega) \over \sqrt{2\pi}\, \displaystyle \frac{1}{2\pi}(\hat{f} * \hat{g})( u)\, Bu 108'in çiftidir 110 \displaystyle f(x) \, için saf gerçek \displaystyle \hat{f}(-\xi) = \overline{\hat{f}(\xi)}\, \displaystyle \hat{f}(-\omega) = \overline{\hat{f}(\omega)}\, \displaystyle \hat{f}(- u) = \overline{\hat{f}( u)}\, Hermisyen simetridir. \displaystyle \overline{z}\, karmaşık eşleniklerine ayrılır. 111 \displaystyle f(x) \, için bir saf gerçek çift fonksiyon \displaystyle \hat{f}(\omega), \displaystyle \hat{f}(\xi) ve \displaystyle \hat{f}( u)\, saf gerçek çift fonksiyondur. 112 \displaystyle f(x) \, için bir saf gerçek tek fonksiyon \displaystyle \hat{f}(\omega), \displaystyle \hat{f}(\xi) ve \displaystyle \hat{f}( u) saf sanal tek fonksiyonlar. 113 \displaystyle \overline{f(x)} \displaystyle \overline{\hat{f}(-\xi)} \displaystyle \overline{\hat{f}(-\omega)} \displaystyle \overline{\hat{f}(- u)} Karmaşık eşlenik, 110'un genellemesi === Kare-integrallenebilir fonksiyonlar === bu tablo içinde Fourier dönüşümleri içinde bulunabilir, , veya in eki. Fonksiyon Fourier dönüşümü birim, sıradan frekans Fourier dönüşümü birim, açısal frekans Fourier dönüşümü birim-olmayan, açısal frekans Açıklamalar \displaystyle f(x) \displaystyle \hat{f}(\xi)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi ix\xi}\,dx \displaystyle \hat{f}(\omega)= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx \displaystyle \hat{f}( u)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i u x}\, dx 201 \displaystyle \operatorname{rect}(a x) \, a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\xi}{a}\right) \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right) a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{ u}{2\pi a}\right) dörtgen uyarı ve normalleştirilmiş sinc fonksiyon, burada sinc(x) = sin(πx)/(πx) olarak tanımlanır 202 \displaystyle \operatorname{sinc}(a x)\, a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\xi}{a} \right)\, \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right) a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{ u}{2 \pi a}\right) kural 201'in çifti dörtgen fonksiyon bir ideal alçak-geçiren filtredir, ve sinc fonksiyon gibi bir filtrenin nedensel-olmayan uyarı yanıtıdır.sinc fonksiyon burada sinc(x) = sin(πx)/(πx) olarak tanımlanır 203 \displaystyle \operatorname{sinc}^2 (a x) a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\xi}{a} \right) \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{ u}{2\pi a} \right) tri(x) fonksiyon üçgen fonksiyondur 204 \displaystyle \operatorname{tri} (a x) a|}\cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\xi}{a} \right) \, \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) a|} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{ u}{2\pi a} \right) kural 203'ün ikilisi. 205 \displaystyle e^{- a x} u(x) \, \displaystyle \frac{1}{a + 2 \pi i \xi} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)} \displaystyle \frac{1}{a + i u} u(x) fonksiyonu Heaviside birim basamak fonksiyon ve a>0\. 206 \displaystyle e^{-\alpha x^2}\, \displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}} \displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{ u^2}{4 \alpha}} Bu üniter Fourier dönüşümleri için, Gauss fonksiyonu exp(−αx2), kendi Fourier αnın bazı seçimleri için dönüşüm olduğunu gösterir. Bu İntegrallenebilir olması için biz Re(α)>0 olmalıdır. 207 x|} \, \displaystyle \frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 \xi^2} \displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2} \displaystyle \frac{2a}{a^2 + u^2} a>0 için. Bu, bir bozunmuş üstel fonksiyonun Fourier dönüşümü bir Lorentzyen fonksiyondur. 208 \displaystyle \operatorname{sech}(a x) \, \displaystyle \frac{\pi}{a} \operatorname{sech} \left( \frac{\pi^2}{ a} \xi \right) \displaystyle \frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \omega \right) \displaystyle \frac{\pi}{a}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} u \right) Hiperbolik sekant Fourier dönüşümünün kendisidir 209 \displaystyle e^{-\frac{a^2 x^2}2} H_n(a x)\, \displaystyle \frac{\sqrt{2\pi}(-i)^n}{a} \cdot e^{-\frac{2\pi^2\xi^2}{a^2}} H_n\left(\frac{2\pi\xi}a\right) \displaystyle \frac{(-i)^n}{a} \cdot e^{-\frac{\omega^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac \omega a\right) \displaystyle \frac{(-i)^n \sqrt{2\pi}}{a} \cdot e^{-\frac{ u^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac u a \right) H_n Hermit polinomudur. Eğer a = 1 ise Gauss-Hermit fonksiyonları Fourier dönüşüm işlemcisinin özfonksiyonudur.Bir türev için, bakınız Hermit polinomu. Formül n = 0 için 206'ya indirgenir. === Dağılımlar === Fourier dönüşümleri bu tablo () içinde bulunabilir veya in eki. Fonksiyon Fourier dönüşümü birim, sıradan frekans Fourier dönüşümü birim, açısal frekans Fourier dönüşümü birim-olmayan, açısal frekans Açıklamalar \displaystyle f(x) \displaystyle \hat{f}(\xi)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi ix\xi}\,dx \displaystyle \hat{f}(\omega)= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx \displaystyle \hat{f}( u)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i u x}\, dx 301 \displaystyle 1 \displaystyle \delta(\xi) \displaystyle \sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega) \displaystyle 2\pi\delta( u) δ(ξ) dağılımı Dirac delta fonksiyonu'nu ifade eder. 302 \displaystyle \delta(x)\, \displaystyle 1 \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, \displaystyle 1 301'in kural ikizi. 303 \displaystyle e^{i a x} \displaystyle \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right) \displaystyle \sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a) \displaystyle 2 \pi\delta( u - a) Bunu 103 ve 301'den izleyin 304 \displaystyle \cos (a x) \displaystyle \frac{\displaystyle \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)+\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2} \displaystyle \sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\, \displaystyle \pi\left(\delta( u-a)+\delta( u+a)\right) 101 ve 303 kuralından aşağıda Euler formülü kullanılıyor:\textstyle \cos(a x) = (e^{i a x} + e^{-i a x})/2. 305 \displaystyle \sin( ax) \displaystyle \frac{\displaystyle\delta\left(\xi-\frac{a}{2\pi}\right)-\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2i} \displaystyle \sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i} \displaystyle -i\pi\left(\delta( u-a)-\delta( u+a)\right) 101 ve 303 kuralından aşağıda\textstyle \sin(a x) = (e^{i a x} - e^{-i a x})/(2i).kullanılıyor 306 \displaystyle \cos ( a x^2 ) \displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right) \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) \displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{ u^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) 307 \displaystyle \sin ( a x^2 ) \, \displaystyle - \sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right) \displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) \displaystyle -\sqrt{\frac{\pi}{a}}\sin \left( \frac{ u^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) 308 \displaystyle x^n\, \displaystyle \left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (\xi)\, \displaystyle i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\, \displaystyle 2\pi i^n\delta^{(n)} ( u)\, Burada, n bir doğal sayılar sicimi \textstyle \delta^{(n)}(\xi) Dirac delta fonksiyonunun türevinin n-inci dağılımıdır. Bu kural 107 ve 301 kuralından izlenir.Bu 101 ile kombine ediliyor,tüm polinomlar dönüştürülbilir. 309 \displaystyle \frac{1}{x} \displaystyle -i\pi\sgn(\xi) \displaystyle -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega) \displaystyle -i\pi\sgn( u) Burada sgn(ξ) işaret fonksiyonudur. Unutmadan 1/x bir dağılım değildir.Bu fonksiyonların üyelerini test ediyor ise Cauchy temel değeri kullanmak için gereklidir.Bu kural Hilbert dönüşümüçalışmalarında kullanılıyor 310 \displaystyle \frac{1}{x^n} := \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\frac{d^n}{dx^n}\log |x| \displaystyle -i\pi \frac{(-2\pi i\xi)^{n-1}}{(n-1)!} \sgn(\xi) \displaystyle -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega) \displaystyle -i\pi \frac{(-i u)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn( u) x| dağılımsal türev ile tanımlanır 311 x|^\alpha\, 2\pi\xi|^{\alpha+1}} \omega|^{\alpha+1}} u|^{\alpha+1}} x|^\alpha bir yerel integrallenebilir fonksiyondur, ve gibi bir katkılı dağılım.Fonksiyon \textstyle \alpha\mapsto |x|^\alphakatkılı dağılımın uzayına sağ yarı düzlemden bir holomorfik fonksiyondur. Bu bir katkılı dağılıma bir benzersiz meromorfik uzantı kabul ediliyor, ayrıca |x|^\alpha için α ≠ −2, −4, ... ile ifade edilir (bakınız homojen dağılım.) 312 \displaystyle \sgn(x) \displaystyle \frac{1}{i\pi \xi} \displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{i\omega } \displaystyle \frac{2}{i u } 309 kuralının ikizidir. Ve yine Cauchy temel değeri olarak düşünüldüğünde gerekli olan Fourier dönüşümüdür,. 313 \displaystyle u(x) \displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi \xi} + \delta(\xi)\right) \displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right) \displaystyle \pi\left( \frac{1}{i \pi u} + \delta( u)\right) u(x) fonksiyonu Heaviside birim basamak fonksiyonudur; 101, 301, ve 312 kurallarından bunu izleyin . 314 \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (x - n T) \displaystyle \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \xi -\frac{k }{T}\right) \displaystyle \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -\frac{2\pi k}{T}\right) \displaystyle \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( u -\frac{2\pi k}{T}\right) Bu fonksiyon Dirac comb fonksiyonu olanarak bilinir. Bu,dağılımlar ile birlikte \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{inx}= 2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x+2\pi k) olarak aslında 302 ve 102 den elde edilebilir sonuçtur 315 \displaystyle J_0 (x) \displaystyle \frac{2\, \operatorname{rect}(\pi\xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}} \displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\operatorname{rect}\left( \displaystyle \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}} \displaystyle \frac{2\,\operatorname{rect}\left(\displaystyle\frac{ u}{2} \right)}{\sqrt{1 - u^2}} J0(x) fonksiyonu sıfırıncı dereceden birinci türün Bessel fonksiyonudur 316 \displaystyle J_n (x) \displaystyle \frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi \xi) \operatorname{rect}(\pi \xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}} \displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-i)^n T_n (\omega) \operatorname{rect} \left( \displaystyle\frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}} \displaystyle \frac{2(-i)^n T_n ( u) \operatorname{rect} \left(\displaystyle \frac{ u}{2} \right)}{\sqrt{1 - u^2}} Bu 315'in genellemesidir.Fonksiyon Jn(x) n-inci dereceden Besselbirinci türün Bessel fonksiyonudur.Fonksiyon Tn(x) birinci türün Chebyshev polinomudur 317 x \right| \xi \right|} - \gamma \delta \left( \xi \right) \omega \right|} - \sqrt{2 \pi} \gamma \delta \left( \omega \right) u \right|} - 2 \pi \gamma \delta \left( u \right) \gamma Euler–Mascheroni sabitidir. 318 \displaystyle \left( \mp ix \right)^{-\alpha} \displaystyle \frac{\left(2\pi\right)^\alpha}{\Gamma\left(\alpha\right)}u\left(\pm \xi \right)\left(\pm \xi \right)^{\alpha-1} \displaystyle \frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma\left(\alpha\right)}u\left(\pm\omega\right)\left(\pm\omega\right)^{\alpha-1} \displaystyle \frac{2\pi}{\Gamma\left(\alpha\right)}u\left(\pm u\right)\left(\pm u\right)^{\alpha-1} Bu formül 1 > α > 0 için değerdir. Yüksek üsteller için türev formülüne kullanılan diferansiyasyondur.u Heaviside fonksiyonudur. === İki-boyutlu fonksiyonlar === Fonksiyon Fourier dönüşümü birim, sıradan frekans Fourier dönüşümü birim, açısal frekans Fourier dönüşümü birim-olmayan, açısal frekans 400 \displaystyle f(x,y) \displaystyle \hat{f}(\xi_x, \xi_y)= \displaystyle \iint f(x,y) e^{-2\pi i(\xi_x x+\xi_y y)}\,dx\,dy \displaystyle \hat{f}(\omega_x,\omega_y)= \displaystyle \frac{1}{2 \pi} \iint f(x,y) e^{-i (\omega_x x +\omega_y y)}\, dx\,dy \displaystyle \hat{f}( u_x, u_y)= \displaystyle \iint f(x,y) e^{-i( u_x x+ u_y y)}\, dx\,dy 401 \displaystyle e^{-\pi\left(a^2x^2+b^2y^2\right)} \displaystyle \frac{1}{|ab|} e^{-\pi\left(\xi_x^2/a^2 + \xi_y^2/b^2\right)} \displaystyle \frac{1}{2\pi\cdot|ab|} e^{\frac{-\left(\omega_x^2/a^2 + \omega_y^2/b^2\right)}{4\pi}} \displaystyle \frac{1}{|ab|} e^{\frac{-\left( u_x^2/a^2 + u_y^2/b^2\right)}{4\pi}} 402 \displaystyle \mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2}) \displaystyle \frac{J_1\left(2 \pi \sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}\right)}{\sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}} \displaystyle \frac{J_1\left(\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}\right)}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}} \displaystyle \frac{2\pi J_1\left(\sqrt{ u_x^2+ u_y^2}\right)}{\sqrt{ u_x^2+ u_y^2}} ;Açıklamalar 400 için: Değişkenler ξx, ξy, ωx, ωy, νx ve νy gerçek sayılardır. Integraller tüm düzlem üzerinde alınır. 401 için: Her iki fonksiyon birim hacmine sahip olmayabilen Gauss vardır. 402 için: Fonksiyon circ(r)=1 0≤r≤1 ile tanımlanır, ve 0 diğerleridir. Bu Airy dağılımıdır, ve J1 bağıntısı kullanılır (ilk tür'ün derece 1 Bessel fonksiyonu). === Genel n-boyutlu fonksiyonlar için formüller === Fonksiyon Fourier dönüşümü birim, sıradan frekans Fourier dönüşümü birim, açısal frekans Fourier dönüşümü birim olmayan,açısal frekans 500 \displaystyle f(\mathbf x)\, \displaystyle \hat{f}(\boldsymbol \xi)= \displaystyle \int_{\mathbf{R}^n}f(\mathbf x) e^{-2\pi i \mathbf x \cdot \boldsymbol \xi }\, d^n \mathbf x \displaystyle \hat{f}(\boldsymbol \omega)= \displaystyle \frac{1}{{(2 \pi)}^{n/2}} \int_{\mathbf{R}^n} f(\mathbf x) e^{-i \boldsymbol \omega \cdot \mathbf x}\, d^n \mathbf x \displaystyle \hat{f}(\boldsymbol u)= \displaystyle \int_{\mathbf{R}^n}f(\mathbf x) e^{-i \mathbf x \cdot \boldsymbol u }\, d^n \mathbf x 501 \mathbf x|)(1-|\mathbf x|^2)^\delta \displaystyle \pi^{-\delta}\Gamma(\delta+1)|\boldsymbol \xi|^{-n/2-\delta} \displaystyle \times J_{n/2+\delta}(2\pi|\boldsymbol \xi|) \displaystyle 2^{-\delta}\Gamma(\delta+1)\left|\boldsymbol \omega\right|^{-n/2-\delta} \displaystyle \times J_{n/2+\delta}(|\boldsymbol \omega|) \displaystyle \pi^{-\delta}\Gamma(\delta+1)\left|\frac{\boldsymbol u}{2\pi}\right|^{-n/2-\delta} \displaystyle \times J_{n/2+\delta}(|\boldsymbol u|) 502 \mathbf x|^{-\alpha}, \quad 0 < \operatorname{Re} \alpha < n. \displaystyle c_\alpha |\boldsymbol \xi|^{-(n - \alpha)} 503 \boldsymbol \sigma\right\|\left(2\pi\right)^{n/2}} e^{-\frac{1}{2} \mathbf x^{\mathrm T} \boldsymbol \sigma^{-\mathrm T} \boldsymbol \sigma^{-1} \mathbf x} \displaystyle e^{-\frac{1}{2} \boldsymbol u^{\mathrm T} \boldsymbol \sigma \boldsymbol \sigma^{\mathrm T} \boldsymbol u} 504 \mathbf x|} c_n\frac{\alpha}{(\alpha^2+|\xi|^2)^{(n+1)/2}} ;Açıklamalar 501 için: Fonksiyon aralığının gösterge işlevi .Fonksiyonu Γ(x) gama fonksiyonudur. fonksiyonu için ile, birinci tür bir Bessel işlevidir. alınması ve 402 üretir. 502 için: Riesz potansiyeline bakınız. Formül Analitik devamlılığı ile tüm için tutar, ama sonra fonksiyonu ve onun Fourier dönüşümlerinin uygun düzenlilestirmeye katkılı dağılımları olarak anlaşılması gerekir - formül aynı zamanda tüm α ≠-n,-n için de geçerlidir. Homojen dağılıma bakın. 503 için: Bu, 0 ortalama ile 1 normalize bir çok değişkenli normal dağılım için formül Bold değişkenler vektörler ve matrislerdir.Anılan sayfa ifadenin ardından,\boldsymbol \Sigma = \boldsymbol \sigma \boldsymbol \sigma^{\mathrm T} and \boldsymbol \Sigma^{-1} = \boldsymbol \sigma^{-\mathrm T} \boldsymbol \sigma^{-1} 504 için: Burada c_n=\Gamma((n+1)/2)/\pi^{(n+1)/2}.Bakınız == Ayrıca bakınız == * Matematiksel fonksiyonların listesi *Ayrık Fourier dönüşümü **Hızlı Fourier dönüşümü *Fourier serisi *Fraksiyonel fourier dönüşümü *Dolaylı Fourier dönüşümü **Hankel dönüşümü **Laplace dönüşümü *NGC 4622,NGC 4622 Fourier dönüşümü özellikle görüntü m = 2. *Z-dönüşümü == Kaynakça == * * * . * . *. * . * . * * * * . * . * . * . * . * * * * * * . * . *. * . * . * . * . * . * . == Dış bağlantılar == * Dönüşüm Kategori:İntegral dönüşümler Kategori:Birim işlemciler Kategori:Matematiksel fizik Kategori:Teorik fizik Dönüşüm