Bottema teoremi

sağ|küçükresim|350x350pik|Bottema'nın teoremi şu şekildedir: ABC, C noktasının değişken olduğu bir üçgen olsun. Kareler AC ve BC'ye dışa doğru iliştirilirse, bu karelerin C'nin zıt noktalarının segmentinin orta noktası M, sabit bir nokta olacaktır. Özellikle bu, AB'ye içe doğru iliştirilmiş karenin orta noktasıdır. Bottema teoremi, Hollandalı matematikçi Oene Bottema (Groningen, 1901–1992) tarafından matematik literatürüne kazandırılmış olan düzlem geometride bir teoremdir. ==Teoremin Açıklaması== Teorem şu şekilde ifade edilebilir; verilen herhangi bir ABC üçgeninde, herhangi iki bitişik kenarda, AC ve BC, kareler oluşturulsun. Üçgenin iki kenarının ortak tepe noktası olan C’nin karşısındaki karelerin köşelerini birbirine bağlayan doğru parçasının orta noktası, C'nin konumundan bağımsızdır.. Teorem, kareler aşağıdaki yollardan biriyle oluşturulduğunda doğrudur: * Şekle bakarak, sol alt köşe A'dan başlayarak, üçgen köşelerini saat yönünde takip edin ve üçgenin kenarlarının solundaki kareleri oluşturun. * Üçgeni aynı şekilde takip edin ve üçgenin kenarlarının sağındaki kareleri oluşturun. ==Teoremin İspatı== sağ|küçükresim|350pik|Teoremin üçgende benzerlikler kullanılarak ispatı. ===Benzerlikleri kullanarak ispat=== * \frac{AH}{AG}=\frac{BI}{BD}=\alpha olsun. * AB doğru parçası üzerine HL, CX, JK ve IM diklerini indirelim. * JK, HLMI yamuğunun orta tabanıdır, bu nedenle; ::JK=\frac{(HL + IM)}{2}'dir. * Ayrıca, \angle HAC dik olduğundan \angle HAL ve \angle CAX tümler açılardır ve bu da \triangle HAL ve \triangle ACX dik üçgenlerini benzer yapar. * Benzerlikten faydalanarak; ::HL = \alpha AX ve IM = \alpha BX yazılabilir. * Bu üç özdeşliği de dikkate alarak aşağıdaki eşitlik elde edilebilir: ::JK=\frac{(HL + IM)}{2}=\frac{\alpha}{2}(AX + BX)=\frac{\alpha}{2}AB=\alpha AK ::Buradan da C'den bağımsız olduğu görülür. * \triangle HAL \sim ACX ve \triangle IBM \sim \triangle BCX olduğundan; ::AL = CX = BM yazılabilir. * Orta taban (midline) teoremine göre LK = KM'dir. * Bu nedenle, AK = (LK - AL) = (KM - BM) = KB'dir. ::Bu, J'nin sabit olduğunu, çünkü AB doğru parçasının orta noktasının "üstünde" sabit bir mesafede olduğunu gösterir. ===Vektörler yoluyla ispat=== * Orijinal şekli kullanalım ve O, AB'nin orta noktası olsun. * \overrightarrow{OB}=a \hat i olsun. Buna göre \overrightarrow{OA}=-a \hat i olur. * \overrightarrow{OC}=b \hat i + c \hat j olsun. * Bu nedenle; \overrightarrow{AC}=(a + b) \hat i + c \hat j ve \overrightarrow{BC}=(-a + b) \hat i + c \hat j'dir. * Buradan kolayca, \overrightarrow{AE}=-c \hat i + (a + b) \hat j ve \overrightarrow{BD}=c \hat i + (a - b) \hat j olduğunu gösterebiliriz. * \frac{AF}{AE}=\frac{BG}{BD}=k olsun. * \overrightarrow{AF}=-kc \hat i + k(a + b) \hat j ve \overrightarrow{BG}=kc \hat i + k(a - b) \hat j eşitliklerine sahibiz. * Sonuç olarak: ::\overrightarrow{OH}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OF} + \overrightarrow{OG}) ::=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BG}) ::=\frac{1}{2}(-a \hat i -kc \hat i + k(a + b) \hat j + a \hat i + kc \hat i + k(a - b) \hat j) ::=\frac{k}{2}((a + b) + (a - b)) \hat j ::=ka \hat j bulunur. * Bu da OH \perp AB ve OH uzunluğunun sadece a ve k'ye, yani AB'nin uzunluğuna ve k oranına bağlı olduğunu, dolayısıyla H'nin yerinin gerçekten sabit olduğunu gösterir. == Konuyla ilgili yayınlar == * Sashalmi, É., & Hoffmann, M. (2004). Generalizations of Bottema’s theorem on pedal points. Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae, 31, Makale, ss. 25-31. * Zvonko Cerin. (2009). Rings of Squares Around Orthologic Triangles. Makale , s. 1 * Nguyen Ngoc Giang. (2018). A New Proof and Some Generalizations of the Bottema Theorem. International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM), , Volume 3, 2018, Makale , ss. 49-54 == Dış bağlantılar == * Bottema Teoremi: Nedir? * Wolfram Gösterimleri Projesi - Bottema Teoremi * Geogebra - Bottema Teoremi * Dynamic mathematics learning (Java Applet) * GoGeometry - Bottema Teoremi == Ayrıca bakınız == * Van Aubel teoremi * Napoleon teoremi == Kaynaklar == Kategori:Öklid geometrisi teoremleri Kategori:Üçgen geometrisi Kategori:Kanıt içeren maddeler