Primoriyel

küçükresim|300px|pn#'in n'in fonksiyonu olarak logaritmik eğrisi. küçükresim|300px|n#'in n'nin fonksiyonu diagramının (kırmızı noktalar) n!'le kıyası. Her iki eğri logaritmiktir. Primoriyel (İngilizce (=asal)'dan), matematikte ve bilhassa sayı teorisinde doğal sayılardan doğal sayılara tanımlanmış faktöriyele benzer şekilde art arda positif tam sayıları çarpacağı yerde sadece asal sayıları çarpar. Birbiriyle çelişen iki tanımda kullanılan değişkenin mânâsı farklı yorumlanmaktadır: birincisi değişkeni asal sayıların sıralaması olarak yorumlar, dolayısıyla monoton artar. İkinci yorumu değişkeni birbiriyle çarpılacak asal sayılara işaret eder ve dolayısıyla her bileşik sayı için bir önceki değerle aynı değeri alır. Bu maddenin devamında ikinci tanım kullanılacaktır. Primoriyel adı, bu fonksiyonla faktöriyel arasındaki analojiye işaret eden Harvey Dubner tarafından verilmiştir; faktöryel nasıl faktörlere ilgiliyse primoriyel de asal sayılarla (İng. veya kısaca ) benzer şekilde ilgilidir. == Asal sayılar için tanımı == n'inci asal sayı pn için primoriyel pn#, ilk n asalın çarpımı olarak tarif edilir:, :p_n\\# = \prod_{k=1}^n p_k Burada pk k'inci asal sayıdır. Mesela p5#, ilk beş asalın çarpımını gösterir: :p_5\\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310. İlk altı primoriyel pn# are: :1, 2, 6, 30, 210, 2310. Diziye p0# = 1 de boş çarpım olarak eklenmiştir. Asimtotik olarak primoriyel pn#, :p_n\\# = e^{(1 + o(1)) n \log n}, fonksiyonuna göre artarlar. Burada o(\cdot) küçük o gösterimidir. == Doğal sayılar için tanımı == Genelde n pozitif tam sayısı için n# ≤ n olan bütün asalların çarpımı olarak da tarif edilebilir: :n\\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\\# Burada \scriptstyle\pi(n) asal sayan fonksiyon olup ≤ n olan asal sayıların kaç tane olduğunu haber verir. Bu tanım, aynı zamanda şuna da eşittir. : n\\# = \begin{cases} 1 & \text{if }n = 1 \\\ n \times ((n-1)\\#) & \text{if }n > 1\ \And\ n \text{ is prime} \\\ (n-1)\\# & \text{if }n > 1\ \And\ n \text{ is composite}. \end{cases} Mesela 12#, 12'den küçük asal sayıların çarpımıdır: :12\\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310. \scriptstyle\pi(12)=5 olduğundan bu değer :12\\# = p_{\pi(12)}\\# = p_5\\# = 2310 şeklinde hesaplanır. Bu tanıma göre ilk 12 primoriyel n# şöyledir: :1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310. Görüldüğü gibi bileşik n için her terim n#, tarifinde de görüldüğü gibi bir önceki terimin eşidir (n − 1)#. Yukarıdaki örnekte 12 bileşik sayı olduğundan 12# = p5# = 11#'dir. n#'nin tabii logaritması birinci Çebişev fonksiyonu olup \theta(n) veya \thetasym(n) şeklinde yazılır. Bu fonksiyon büyük n 'ler için lineer n 'ye yaklaşır. n# primoriyeli :\ln (n\\#) \sim n. fonksiyonuna göre büyür. Bütün bilinen asal sayıları çarpma fikri asal sayıların sonsuzluğu ile ilgili bâzı ispatlarda geçmekte olup başka bir asal sayının varlığını türetmek için kullanılır. == Özellikler ve uygulamalar == Primoriyeller, aritmetik artışlarda asal sayıları aramada bir rol oynar. Mesela 2236133941 + 23# bir asal sayıdır ve on üç asal sayıdan oluşan bir dizinin başıdır. Bu dizi, yukarıdaki asal sayıya 23# eklemekle elde edilir, on üçüncü ve sonuncu elemanı da 5136341251'dir. 23#, aynı zamanda on beş ve on altı asalın aritmetik progresyonunda ortak farkı teşkil eder. Her yüksek derecede bileşik sayı primoriyellerin çarpımıdır (mesela 360 = 2·6·30). Primoriyeller karesiz tam sayılar olup kendisilerinden küçük herhangi bir sayıdan daha fazla farklı asal faktörleri vardır. Her primoriyel n için \phi(n)/n kesri, kendisinden küçük her tam sayı için olan kesirden küçüktür. Burada \phi Euler'in totient fonksiyonudur. == Görünüm == Birden büyük pozitif tam sayılar için Riemann zeta fonksiyonu, primorieller ve J_k(n) Jordan'ın totient fonksiyonunu kullanarak hesaplanabilir: : \zeta(k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{r=2}^\infty\frac{(p_{r-1}\\#)^k}{J_k(p_r\\#)},\quad k=2,3,\dots == Primoriyellerin tablosu == n n# pn pn# 0 1 asal yok 1 1 1 2 2 2 2 3 6 3 6 5 30 4 6 7 210 5 30 11 2310 6 30 13 30030 7 210 17 510510 8 210 19 9699690 9 210 23 223092870 10 210 29 6469693230 11 2310 31 200560490130 12 2310 37 7420738134810 13 30030 41 304250263527210 14 30030 43 13082761331670030 15 30030 47 614889782588491410 16 30030 53 32589158477190044730 17 510510 59 1922760350154212639070 18 510510 61 117288381359406970983270 19 9699690 67 7858321551080267055879090 20 9699690 71 557940830126698960967415390 == Kaynakça == * Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987. == Ayrıca bakınız == * Bonse eşitsizliği * Faktöriyel sayı sistemi * Primoriyel asal sayı Kategori:Faktöriyel ve binomi konuları Kategori:Asal sayılar Kategori:Tamsayı dizileri