Vektör hesabı özdeşlikleri

Bu madde Vektör Analizi'ndeki önemli özdeşlikleri içermektedir. == Operatörlerin Notasyonu == === Gradyan === Ana madde:Gradyan 3 boyutlu kartezyen koordinatlarında verilen 3 değişkenli f(x,y,z) fonksiyonunun gradyanı bir vektör alanı verecektir.Notasyon olarak; grad(f) veya abla f ile gösterilir. abla f =({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z})f={\partial f \over \partial x}\widehat{i}+{\partial f \over \partial y}\widehat{j}+{\partial f \over \partial z}\widehat{k} olarak ifade edilir.Görüldüğü üzere elde artık 3 boyutlu bir vektör alanı vardır. Burada \widehat{i},\widehat{j},\widehat{k} x,y ve z eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir.Genel bir biçimde düşündüğümüzde n değişkenli bir \xi(x_1,x_2...x_n) skaler fonksiyonu ele alırsak bu fonksiyonun gradyanı bize bir n boyutlu bir vektör alanı verecektir: abla\xi=({\partial \over \partial x_1},{\partial \over \partial x_2},...{\partial \over \partial x_n})\xi={\partial \xi \over \partial x_1}.\widehat{e}_1+{\partial \xi \over \partial x_2}.\widehat{e}_2+...+{\partial \xi \over \partial x_n}.\widehat{e}_n. 1\times n satır matris formunda yazılan ya da rankı 1 olan tensör yani vektör \vec{A} =(A_1,A_2,...,A_n) gibi bir vektör alanı için gradyan ya da kovaryant türevi n\times n Jacobian matrisi ile temsil edilir: abla\vec{A}=J_\vec{A}=({\partial A_i \over \partial x_j})_{ij} Genellersek herhangi bir k ranklı bir A tensörünün gradyanı k+1 değerinde bir tensör alanı verir. === Diverjans === Ana madde:Diverjans Kartezyen koordinatlarında sürekli ve türevlenebilir bir F vektör alanının diverjansı bir skaler değerli fonksiyon verecektir.Notasyon olarak; div(F) veya abla\cdot F ile temsil edilir. abla\cdot F =div(F)=({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z})\cdot(F_x,F_y,F_z)={\partial F_x \over \partial x}+{\partial F_y \over \partial y}+{\partial F_z \over \partial z} olarak ifade edilir. Gradyanda olan mantık burada da geçerlidir.Yani k boyutlu bir A tensör alanının diverjansı ( abla\cdot A), k-1 boyutlu bir tensör alanı verir. === Rotasyonel === Ana madde;Rotasyonel Kartezyen koordinat sisteminde bir F vektör alanının rotasyoneli yine bir vektör alanı verir.Notasyon olarak; rot(F) ya da abla\times F ile temsil edilir. rot(F)= abla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}= \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k} olarak ifade edilir.Burada \mathbf{i},\mathbf{j} ,\mathbf{k} x,y ve z koordinat eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir. Vektör ya da daha genel anlamda tensörlerin rotasyoneli Einstein toplama kuralı esas alınarak tensör dili ile yazılabilir; F vektör alanının rotasyoneli; abla\times F=\varepsilon^{ijk}e_i{\partial F_k \over \partial x^j} Burada \varepsilon Levi-Civita Permütasyon Sembolü'dür. === Laplasyen === Ana Madde:Laplace Operatörü Kartezyen koordinatlarında skaler değerli bir f(x,y,z) fonksiyonunun laplasyeni; \Delta f= abla^2 f=( abla\cdot abla)f={\partial^2 f\over\partial x^2}+{\partial^2 f\over\partial y^2}+{\partial^2 f\over\partial z^2} Genel anlamda T tensörünün laplasyeni şöyle yazılabilir; \Delta T= abla^2 T=( abla\cdot abla)T Rank bakımından tensöre bu operatör uygulandığında tensörün rankı değişmeyecektir.Fonksiyonun laplasyeni 0'a eşit ise fonksiyon özel bir fonksiyon olan harmonik fonksiyon niteliğine sahip olur. == İlk Türev Özdeşlikleri == Notasyon bakımından skaler alanlar için \phi ve \psi vektör alanları için A ve B kullanacağız. === Dağılma Özellikleri === * abla(\psi+\phi)= abla\psi+ abla\phi * abla(A+B)= abla A+ abla B * abla\cdot(A+B)= abla\cdot A + abla\cdot B * abla\times(A+B)= abla\times A + abla \times B === Skaler ile Çarpılırken Çarpım Kuralı === Tek değişkenli klasik kalkülüsten bildiğimiz çarpım kuralını burada da genelleştirebiliriz. * abla(\psi\phi)=\phi abla\psi+\psi abla\phi * abla(\psi A)=( abla\psi)^T A+\psi abla A = abla\psi\otimes A+\psi abla A * abla \cdot ( \psi \mathbf{A} ) = \psi\ ( abla \cdot \mathbf{A}) \ +\ \mathbf{A}\cdot ( abla \psi) * abla \times ( \psi \mathbf{A} ) = \psi\ ( abla \times \mathbf{A}) \ +\ ( abla \psi ) \times \mathbf{A} * abla^2(\psi\phi)=\psi abla^2\phi+2 abla\psi\cdot abla\phi+\phi abla^2\psi === Skalere bölünürken Bölme Kuralı === * abla\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g abla f - ( abla g)f}{g^2} * abla \cdot \left(\frac{\mathbf{A}}{g}\right) = \frac{g abla \cdot \mathbf{A} - ( abla g) \cdot \mathbf{A}}{g^2} * abla \times \left(\frac{\mathbf{A}}{g}\right) = \frac{g abla \times \mathbf{A} - ( abla g) \times \mathbf{A}}{g^2} == İkinci Türev Özdeşlikleri == === Rotasyonelin diverjansı sıfıra eşittir === Bir \phi vektörün rotasyonelinin diverjansı sıfırdır: abla\cdot( abla\times\phi)=0 === Gradyanın diverjansı Laplasyen operatörüne eşittir === abla^2 \psi = abla \cdot ( abla \psi) === Diverjansın diverjansı tanımsızdır === abla\cdot( abla\cdot\psi ) =Tanımsız Sebebi diverjansı alınan vektör skaler olacağı için tekrar diverjans alınamaz. Not=Bu durum sadece vektörler için geçerlidir. === Gradyanın rotasyoneli sıfıra eşittir === abla \times ( abla \phi ) = \mathbf{0} === Rotasyonelin rotasyoneli vektör Laplasyeni'ne eşittir === abla \times \left( abla \times \mathbf{A} \right) = abla ( abla \cdot \mathbf{A}) - abla^{2}\mathbf{A} === Diverjansın rotasyoneli tanımsızdır === Sebebi diverjansı alınan vektörün skalere dönüştüğünü düşündüğümüzde yeni skalerin rotasyonelinin alınamayacağıdır. abla\times( abla\cdot A)=Tanımsız == Önemli Özdeşliklerin Özeti == === Diferansiyasyon === ==== Gradyan ==== * abla(\psi+\phi)= abla\psi+ abla\phi * abla (\psi \, \phi) = \phi \, abla \psi + \psi \, abla \phi * abla\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot abla\right)\mathbf{B}+\left(\mathbf{B}\cdot abla\right)\mathbf{A}+\mathbf{A}\times\left( abla\times\mathbf{B}\right)+\mathbf{B}\times\left( abla\times\mathbf{A}\right) ==== Diverjans ==== * abla\cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B})\ =\ abla\cdot\mathbf{A}\,+\, abla\cdot\mathbf{B} * abla\cdot\left(\psi\mathbf{A}\right)\ =\ \psi\, abla\cdot\mathbf{A}\,+\,\mathbf{A}\cdot abla \psi * abla\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\ =\ \mathbf{B}\cdot ( abla\times\mathbf{A})\,-\,\mathbf{A}\cdot( abla\times\mathbf{B}) ==== Rotasyonel ==== * abla\times(\mathbf{A}+\mathbf{B})\ =\ abla\times\mathbf{A}\,+\, abla\times\mathbf{B} * abla\times\left(\psi\mathbf{A}\right)\ =\ \psi\, abla\times\mathbf{A}\,+\, abla\psi\times\mathbf{A} * abla\times\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\ =\ \mathbf{A}\left( abla\cdot\mathbf{B}\right)\,-\,\mathbf{B}\left( abla\cdot\mathbf{A}\right)\,+\,\left(\mathbf{B}\cdot abla\right)\mathbf{A}\,-\,\left(\mathbf{A}\cdot abla\right)\mathbf{B} ==== İkinci Türev ==== * abla\cdot( abla\times\mathbf{A})=0 * abla\times( abla\psi)= \mathbf{0} * abla\cdot( abla\psi)= abla^{2}\psi (skaler laplasyen) * abla\left( abla\cdot\mathbf{A}\right)- abla\times\left( abla\times\mathbf{A}\right)= abla^{2}\mathbf{A} (vektör laplasyen) * abla\cdot(\phi abla\psi)=\phi abla^{2}\psi + abla\phi\cdot abla\psi * \psi abla^2\phi-\phi abla^2\psi= abla\cdot\left(\psi abla\phi-\phi abla\psi\right) * abla^2(\phi\psi)=\phi abla^2\psi+2 abla\phi\cdot abla\psi+\psi abla^2\phi * abla^2(\psi\mathbf{A})=\mathbf{A} abla^2\psi+2( abla\psi\cdot abla)\mathbf{A}+\psi abla^2\mathbf{A} * abla^2(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})= \mathbf{A}\cdot abla^2\mathbf{B} - \mathbf{B}\cdot abla^2\mathbf{A} + 2 abla\cdot((\mathbf{B}\cdot abla)\mathbf{A} + \mathbf{B}\times abla\times\mathbf{A}) (Green vektör özdeşliği) ==== Üçüncü Türev ==== * abla^{2}( abla\psi) = abla( abla\cdot( abla\psi)) = abla( abla^{2}\psi) * abla^{2}( abla\cdot\mathbf{A}) = abla\cdot( abla( abla\cdot\mathbf{A})) = abla\cdot( abla^{2}\mathbf{A}) * abla^{2}( abla\times\mathbf{A}) = - abla\times( abla\times( abla\times\mathbf{A})) = abla\times( abla^{2}\mathbf{A}) === İntegrasyon === \partial sembolü burada bir yüzeyin sınırlarını ifade eder. ==== Yüzey-Hacim İntegralleri ==== Yüzey-Hacim İntegral teoremlerini takip ettiğinizde genelde \partial A sembolü görürsünüz.Bunun anlamı eğer A, 3 boyutlu bir çokkatlı ise \partial A sınırlarını yani 2 boyutlu bir yüzeyi temsil eder. * \int\\!\\!\\!\\!\int_{\partial V}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\;\;\;\bigcirc\,\,\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_V \left( abla \cdot \mathbf{A}\right)dV (Diverjans teoremi) * \int\\!\\!\\!\\!\int_{\partial V}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\;\;\;\bigcirc\,\,\psi d \mathbf{S} = \iiint_V abla \psi\, dV * \int\\!\\!\\!\\!\int_{\partial V}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\;\;\;\bigcirc\,\,\left(\hat{\mathbf{n}}\times\mathbf{A}\right)dS=\iiint _{V}\left( abla\times\mathbf{A}\right)dV * \int\\!\\!\\!\\!\int_{\partial V}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\;\;\;\bigcirc\,\,\psi\left( abla\varphi\cdot\hat{\mathbf{n}}\right)dS = \iiint _{V}\left(\psi abla^{2}\varphi+ abla\varphi\cdot abla\psi\right)dV (ilk Green özdeşliği) * \int\\!\\!\\!\\!\int_{\partial V}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\;\;\;\bigcirc\,\,\left[\left(\psi abla\varphi-\varphi abla\psi\right)\cdot\hat{\mathbf{n}}\right]dS=G * G=\int\\!\\!\\!\\!\int_{\partial V}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\;\;\;\bigcirc\,\,\left[\psi\frac{\partial\varphi}{\partial n}-\varphi\frac{\partial\psi}{\partial n}\right]dS\displaystyle=\iiint_{V}\left(\psi abla^{2}\varphi-\varphi abla^{2}\psi\right)dV (ikinci Green özdeşliği) === Bir eğri üstündeki çizgi integrali === * \oint_{\partial S}\mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\iint_{S}\left( abla\times\mathbf{A}\right)\cdot d\mathbf{s} (Stokes Teoremi) * \oint_{\partial S}\psi d\boldsymbol{\ell}=\iint_{S}\left(\hat{\mathbf{n}}\times abla\psi\right)dS Burada şu anlaşılmalıdır ki saat yönü negatif taraftır ve saat yönünün tersi üzerinde alınan integral saat yönünde alınan integralin negatifine eşittir. Kategori:Matematik listeleri Kategori:Vektör hesabı