Temel grup

Temel grup, Henri Poincaré'in 1895'te yayınladığı "Analysis Situs" adlı makalesinde tanımlanmıştır. Kavram, Bernhard Riemann, Poincaré ve Felix Klein'ın çalışmalarıyla Riemann yüzeyleri teorisinde ortaya çıkmıştır. Karmaşık değerli fonksiyonların monodromik özelliklerini açıkladığı gibi kapalı yüzeylerin tam bir topolojik sınıflandırılmasını sağlar. == Yollar ve Homotopiler == Bu bölümde topolojik uzayları ele alacağız. Yolların tanımında kullanacağımız \ I aralığı \ [0, 1] kapalı aralığı olacaktır. Son olarak, başlangıç noktası \ p ve bitiş noktası \ q olan yollara \ p ’den \ q ’ya giden yollar diyeceğiz. === Yol === Bir \ X uzayı alalım. Bir \alpha \colon [0, 1] \to X sürekli fonksiyonuna \ X uzayında bir yol denir. Böyle bir \alpha yolu için \alpha(0) noktası başlangıç noktası ve \alpha(1) noktası bitiş noktası olarak adlandırılır. \ x,y \in X olsun. Başlangıç ile bitiş noktaları sırasıyla \ x ve \ y olan ve \ I = [0,1] 'den \ X uzayına giden bütün yolların kümesi \ \mathbf{P}(x,y)=\\{f\colon[0,1]\to X | f(0)=x, f(1)=y\\} olarak tanımlanır.küçükresim|234x234px| Şekil 1: f'in grafiği üzerinde kırmızı ok ile belirtilen oryantasyonu. ==== Örnekler ==== İlk örnek olarak, \ X= [0,1] uzayında bir \ f \colon [0, 1] \to X fonksiyonunu \ f(x) =x^2 olarak tanımlayalım. \ X= \R^2 uzayındaki yollar genellikle \varphi \colon [0, 1] \to \R^2,\ t \to (x(t),y(t)) fonksiyonu ile temsil edilir. Burada \ x(t) ve \ y(t) sürekli fonksiyonlardır. Şimdi bir \varphi \colon [0, 1] \to \R^2 yolunu \varphi(t)=(t,t^2) şeklinde tanımlayalım. Bu durumda • \varphi(0) = (0,0) noktası, başlangıç noktası ve • \varphi(1) = (1,1) bitiş noktasıdır. Ayrıca \ [0,1] üzerindeki oryantasyonun, \varphi fonksiyonunun görüntüsünün yönlendirmesini içerdiğinin de altını çizelim. Diğer bir örnek olarak da bir \ g \colon [-1, 1] \to [-1,1] fonksiyonunu ele alalım ve \ g(x) =x^3 olsun. \ g fonksiyonunun grafiği \ X uzayı olmak üzere bu uzaydaki yollara bakalım. Bir \beta_1 \colon I \to X fonksiyonunu \beta_1 (t)=(t,t^3) olarak tanımlayalım. \beta_1 (0)=(0,0) , \beta_1 (1) = (1,1) olduğunu görüyoruz. \beta_1 ’in bileşenleri olan t ve t^3, I üzerinde sürekli birer fonksiyon olduğundan \beta_1'in y=x^3fonksiyonu için bir yol olduğunu söyleyebiliriz. left|247x247px|Şekil 2: Mavi oklar \varphi_1 fonksiyonunu ve siyah oklar \beta_1 yolunu temsil etmektedir.|alt=Şekil 2|küçükresim Şimdi \varphi_1 \colon [-1, 1] \to \R^2 fonksiyonunu ele alalım, öyle ki \varphi_1 (t)=(t,t^3) olsun. \varphi_1, bir yol değildir çünkü tanım kümesi I= [0,1] değildir. \varphi_1 fonksiyonunu kullanarak x^3 grafiğinin üzerinde başka bir yol bulacağız. Bunun için, sürekli ve daima artan bir fonksiyon tanımlayalım. \ f \colon I \to [-1,1] fonksiyonu f(t)=2t-1 olarak tanımlansın. Sonra bileşke fonksiyonu yazalım. \varphi_1 \circ \ f(t) \colon I \to \R^2 öyle ki \varphi_1 \circ \ f(t) =(2t-1,(2t-1)^3) olsun. \varphi_1 \circ \ f(0)= (-1,-1) ve \varphi_1 \circ \ f(1) =(1,1) olmaktadır. Bu bileşke fonksiyonunun bileşenleri 2t-1 ve (2t-1)^3, I tanım aralığında sürekli fonksiyon olduklarından bu bileşke fonksiyonun sürekli olduğu sonucuna ulaşılır. Sonuç olarak \varphi_1 \circ \ f , X uzayında bir yol olur. küçükresim|284x284px|Şekil 3: \varphi ve \bar{\varphi} yolları. ==== Ters Yol ==== p’den q’ya giden bir \varphi \colon I \to X yolu için, \bar \varphi ters yolu \bar \varphi (t)= \varphi (1-t) olarak tanımlanır. Bu durumda \bar \varphi yolunun başlangıç noktası q ve bitiş noktası p olur. Örnek olarak, \varphi \colon I \to [-1,1] yolunu \varphi (t)=2t-1 olarak tanımlayalım. Bu durumda \varphi (0)=-1 ve \varphi (1)=0 olur. \varphi üzerindeki oryantasyonu ters çevirirsek, \bar \varphi \colon I \to [-1,1] olarak tanımlı \bar \varphi (t)= \varphi(1-t) olan ters yolunu elde ederiz (Şekil 3). \bar \varphi (0)= \varphi(1)=1 ve \bar \varphi (1)= -1 , \varphi(0)=-1, \varphi(1)=1 olduğunu not edelim.alt=Şekil 4|219x219px|Şekil 4: Birim çember ve üzerindeki \varphi yolu (kırmızı oklarla gösterilmiştir.)|sol|küçükresim Birim çember üzerinde yol örneğini inceleyelim. S^1 birim çember olmak üzere, \varphi \colon I \to S^1 \subset \C fonksiyonunu \varphi (t)= e^{2i \pi} = \cos 2 \pi t + i\sin 2 \pi t olarak tanımlayalım. Bu fonksiyon aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır: •\varphi süreklidir, çünkü üstel fonksiyonun sürekli olduğunu biliyoruz. •\varphi (0)=1, \varphi \bigg(\frac{1}{4}\bigg)=i, \varphi \bigg(\frac{1}{2}\bigg)=-1, \varphi \bigg(\frac{3}{4}\bigg)=-i, \varphi (1)=1. Bu nedenle,\varphi birim çember üzerindeki pozitif yönlü bir yoldur (Şekil 4). Birim küre üzerinde yol örneğinde ise, R^3 üzerindeki birim küreyi ele alalım: S^2 = \left\\{(x, y, z) \in \R^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1\right\\}. \varphi \colon [0,1] \to S^2 \subset \R^3 fonksiyonunu \varphi (t)= ( \cos \pi t , \sin \pi t , 0 ) şeklinde tanımlayalım. Bu şekilde tanımlı \varphi fonksiyonu bariz bir şekilde süreklidir çünkü kosinüs ve sinüs fonksiyonları süreklidir. Sonuç olarak, \varphi (0)=(1,0,0), \varphi \bigg(\frac{1}{2}\bigg)=(0,1,0) ve \varphi (1) = (-1,0,0) olur. Bu yüzden, \varphi fonksiyonu S^2 üzerinde bir yoldur ve oryantasyonu Şekil 5’teki gibidir. Dosya:Temelgrupdorduncuornek.png|Şekil 5 Dosya:Temelgrupbesinciornek.png|Şekil 6 Diğer yandan, \beta \colon I \to S^2 \subset \R^3 , \beta (t)= ( 0 , \sin \pi 2t , \cos \pi 2t ) biçiminde tanımlı olan fonksiyon süreklidir ve \beta (0)=(0,0,1), \beta (1)=(0,1,0) olduğundan \beta fonksiyonu S^2 üzerinde başka bir yola örnektir (Şekil 6). === Homeomorfizma === Herhangi X ve Y topolojik uzayları arasında bir homeomorfizma, \ f \colon X \to Y birebir ve örten bir fonksiyon şeklinde tanımlanır; f ve \ f^{-1} \colon Y \to X sürekli fonksiyonlardır. ==== Tanım ==== I ’dan I’ya giden daima artan homeomorfizmaların kümesi şu şekilde tanımlanır: \operatorname{Homeo}^+ (I, I)= \left\\{ f \colon I \to I \mid f\ \text{daima artan ve homeomorfizma} \right\\}. ==== Önermeler ==== * \operatorname{Homeo}^+ (I, I) kümesi fonksiyon bileşkesi \circ altında bir gruptur. Kanıtı için, önce \operatorname{Homeo}^+ (I, I) kümesinin \circ işlemi altında kapalı olduğunu göstermek yeterlidir. Herhangi f, g \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I) seçelim. f \circ g \colon I \to I \in\operatorname{Homeo}^+ (I, I) olduğunu göstereceğiz. f , daima artan ve sürekli bir fonksiyon olup tersi de süreklidir. Aynı şekilde g için de aynı özellikler sağlanır. İki artan fonksiyonun bileşkesi de artan olacağından f \circ g fonksiyonu da artan olur. İki sürekli fonksiyonun bileşkesi de sürekli bir fonksiyon olduğundan f \circ g fonksiyonu da sürekli olur. Öte yandan, f^{-1} ve g^{-1} fonksiyonlarının sürekli olduğunu biliyoruz. O halde (f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1} fonksiyonu da sürekli olur. Sonuç olarak f \circ g \colon I \to I \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I) elde ederiz. Şimdi ( \operatorname{Homeo}^+ (I, I) , \circ ) kümesinin grup aksiyomlarını (bileşim, birim eleman, terslenebilme) sağladığını gösterelim. •Bileşim özelliği: Herhangi f,g,h \in\operatorname{Homeo}^+ (I, I) seçelim. Rastgele bir x \in I elemanı alalım. O halde, • h \circ (g \circ f)(x)= h(g \circ f(x))= h(g(f(x))) ve • (h \circ g) \circ f(x)= (h \circ g) (f(x))= h(g(f(x))) olduğundan her x \in I için h \circ (g \circ f)(x)= (h \circ g) \circ f(x) olur. •Birim eleman: \operatorname{Id} \colon I \to I fonksiyonu, \operatorname{Id}(x)=x olduğunda ( \operatorname{Homeo}^+ (I, I) , \circ )’nun birim elemanıdır çünkü \operatorname{Id} (birim fonksiyon) süreklidir, birebir ve örtendir, daima artandır. Öte yandan \operatorname{Id}^{-1} \colon I \to I ters fonksiyonu da süreklidir çünkü her x \in I için \operatorname{Id}^{-1} (x) = \operatorname{Id}(x) \Leftrightarrow \operatorname{Id}^{-1} = \operatorname{Id} . Sonuç olarak her x \in I için (f \circ \operatorname{Id})(x)= f(\operatorname{Id}(x))= f(x), (\operatorname{Id} \circ f)(x) = \operatorname{Id}(f(x))= f(x) olmaktadır. •Terslenebilme: Herhangi bir f \in\operatorname{Homeo}^+ (I, I) alalım. \operatorname{Homeo}^+ (I, I) ’ın tanımından dolayı, f’in daima artan, birebir, örten ve sürekli olduğunu ve f^{-1} ’in de sürekli olduğunu biliyoruz. f^{-1} \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I) olduğunu göstermek gereklidir. Bunun için, f^{-1} ’in daima artan olduğunu göstermek yeterlidir. Herhangi x,y \in I alalım ve x < y olduğunu varsayalım. f^{-1} (x) < f^{-1} (y) olduğunu gösterelim. f daima artandır ve x < y olduğu için f(x) < f(y) olur. f’in birebir ve örtenlik özelliğinden dolayı f(a) =x ve f(b) =y olan biricik a,b \in I elemanları vardır. f daima artan ve x < y olduğu için, f(a) < f(b) olur. Bu yüzden a < b ve f^{-1} (x) < f^{-1} (y) olur. Sonuç olarak, \circ işlemi altında \operatorname{Homeo}^+ (I, I) bir gruptur. * Eğer h \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I) ise h(0) = 0 ve h(1) = 1 olur. Kanıtını şöyle açıklayabiliriz; herhangi h \in\operatorname{Homeo}^+ (I, I) alalım; yani h \colon I \to I sürekli, daima artan ve birebir-örten bir homeomorfizmadır. O halde f^{-1} ’ fonksiyonu da süreklidir. h(0) e \\{0,1\\} olsun, ki bu h(0)=x \in (0,1) anlamına gelir. (0,1] aralığının bağlantılı (connected) olduğunu biliyoruz. O zaman h sürekli olduğundan h((0,1]) ’in de bağlantılı olduğunu söyleyebiliriz. h birebir ve örten olduğundan, h((0,1]) = [0,x) \cup [x,1] olur. Fakat [0,x) \cup [x,1] bağlantılı değildir. Bu yüzden h(0) e {0,1} varsayımıyla bir çelişki elde ederiz. Yani h(0) =\\{0,1\\} olur. Şimdi h(0) = 0 olduğunu gösterelim. h(0) = 1 olduğunu varsayalım. h fonksiyonu daima artan ve 0 < 1 olduğundan, h(0)< h(1) olur; bu da 1< h(1) demektir. h \colon [0,1] \to [0,1] olduğundan h(1) değeri 1 ’den büyük olamaz. O halde h(0) = 0 olur. Aynı muhakeme ile h(1) = 1 sonucu elde edilir. Sonuç olarak, her h \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I) için, h(0) = 0 ve h(1) = 1 olur. === Yollar üzerinde denklik bağıntısı === X uzayında f,g \colon I \to X yollarını düşünelim. Eğer f=g \circ h eşitliğini sağlayan bir h \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I) varsa, o halde f \approx g denilir. \approx bir denklik bağıntısıdır, önermesinin ispatını şöyle açıklayabiliriz; \approx bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığını göstereceğiz. •yansıma: f \colon I \to X herhangi bir yol olsun. Eğer h fonksiyonunu \operatorname{Id} \colon I \to I şeklinde tanımlı birim fonksiyon alırsak f=f \circ h olur. Dolayısıyla f \approx f olur. •simetri: f,g \colon I \to X herhangi iki yol olsunlar. f \approx g olduğunu varsayalım ve g \approx f olduğunu gösterelim. f \approx g ise f=g \circ h olacak şekilde bir h \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I) vardır. h fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu biliyoruz; bu yüzden şöyle yazabiliriz: f=g \circ h \Leftrightarrow f \circ h^{-1} =g . Yani öyle bir fonksiyon bulmuş olduk ki k =h^{-1} \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I) ve g=f \circ k oldu. Sonuç olarak g \approx f olur. •geçişme: f,g,h \colon I \to X herhangi üç yol olsunlar. f \approx g ve g \approx h olduklarını varsayalım ve f \approx h olduğunu gösterelim. Varsayımlara göre, f=g \circ \varphi_f ve g=h \circ \varphi_g eşitliklerini sağlayan \varphi_f, \varphi_g \in \operatorname{Homeo}^+(I,I) elemanları vardır. Bu nedenle, f=g \circ \varphi_f \Leftrightarrow f=h \circ \varphi_g \circ \varphi_f ’dir. \varphi_f, \varphi_g \in \operatorname{Homeo}^+(I,I) olduğundan \varphi_f \circ \varphi_g \in \operatorname{Homeo}^+(I,I) olur. Yani k= \varphi_f \circ \varphi_g \in \operatorname{Homeo}^+(I,I) elemanı f=h \circ k eşitliğini sağlar. Dolayısıyla, f \approx h olur. Sonuç olarak \approx bir denklik bağıntısıdır. === Homotopi === \varphi_1 ve \varphi_2 fonksiyonları X uzayında iki yol olsun. Bu yolların bir homotopisi, F \colon I \times I \to X , (a, t) \mapsto F(a, t) şeklinde tanımlı ve aşağıdaki şartları sağlayan sürekli bir fonksiyondur. (i) Her a sayısı için, F (a,t) \colon I \to X , p’den q’ya giden bir yol belirtir. (ii) p’den q’ya giden \varphi_1, \varphi_2 yolları için F (0,t)= \varphi_1 ve F (1,t)= \varphi_2’dir. \varphi_1 ve \varphi_2 yolları bu şekilde bir F homotopisi ile bağlanırlarsa \varphi_1 ve \varphi_2 homotopiktirler denilir ve \varphi_1 \simeq \varphi_2 şeklinde gösterilir. ==== Önermeler ==== * Yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır. Önermenin kanıtını şöyle açıklayabiliriz: \varphi_0 , \varphi_1,\varphi_0^{'} ve \varphi_1^{'} : [0,1] \rightarrow X şeklinde tanımlı yollar olsun. . Eğer \varphi _{0} \simeq \varphi _{0}^{'} ve \varphi _{1} \simeq \varphi _{1}^{'} olduğunda \varphi _{0} \circ \varphi _{1} \simeq \varphi _{0}^{'} \circ \varphi _{1}^{'} denkliği sağlanıyorsa bu bileşke işlemi iyi tanımlıdır. \varphi _{0} \text{ ve } \varphi _{0}^{'} arasında F homotopisi ve \varphi _{1} \text{ ve } \varphi _{1}^{'} arasında ise G homotopisi tanımlı olsun. {\displaystyle F\circ G} homotopisini aşağıdaki şekilde tanımladığımız zaman yolların bileşkesinin iyi tanımlı olduğunu göstermiş oluruz. F \circ G(s,t) = \begin{cases} F(2s,t), & 0 \leq s\leq \frac{1}{2} \\\ G(2s-1,t), & \frac{1}{2}\leq s\leq 1 \end{cases} olduğunda {\displaystyle (F\circ G)(s,0)=F(2s,0)=\varphi _{0}{\text{, }}(F\star G)(s,1)=G(2s-1,1)=\varphi _{1}^{'}} eşitliklerini elde ederiz. Bu yüzden {\displaystyle \varphi _{0}\circ \varphi _{1}\simeq \varphi _{0}^{'}\circ \varphi _{1}^{'}} denkliği sağlanır. Bu yüzden yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır. * Bir uzayda sabit başlangıç ve bitiş noktaları olan yollar üzerindeki homotopi ilişkisi bir denklik bağıntısıdır. Uzaydaki bir \varphi yolunun homotopi sınıfı [ \varphi ] ile gösterilir. İspatını yaparken, Homotopi ilişkisinin yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığı göstermeli. •yansıma: \varphi_1 \colon I \to X , p’den q’ya giden bir yol olsun. F \colon I \times I \to X , F(a,t) =f(t) şeklinde tanımlanmış F fonksiyonu \varphi_1 ile \varphi_1 arasında bir homotopidir; çünkü her a için, F (a,t) \colon I \to X fonksiyonu p’den q’ya giden bir yoldur ve F (0,t) = \varphi_1 (t), F(1,t) = \varphi_1 (t)’dir. Sonuç olarak \varphi_1 \simeq \varphi_1 elde edilir. •simetri: \varphi_1 , \varphi_2 \colon I \to X , p’den q’ya giden 2 yol olsun. \varphi_1 \simeq \varphi_2 olduğunu kabul edelim. O halde öyle bir \ F \colon I \times I \to X şeklinde tanımlı homotopi vardır ki; her sabit a için, \ F(a,t) \colon I \to X fonksiyonu p’den q’ya giden bir yol olur ve F (0,t)= \varphi_1 (t), F (1,t)= \varphi_2 (t)’dir. Şimdi \ F' \colon I \times I \to X fonksiyonunu F' (a,t)= \ F(1-a,t) şeklinde tanımlayalım. O zaman her sabit a için, F' (a,t)= \ F(1-a,t) fonksiyonu p’den q’ya giden bir yoldur ve F' (0,t)= \ F(1,t)= \varphi_2 (t) ve F' (1,t)= \ F(0,t)= \varphi_1 (t) olur. Sonuç olarak\ g \simeq f elde edilir. •geçişme: \varphi_1 , \varphi_2 , \varphi_3 \colon I \to X şeklinde tanımlı 3 yol olsun. \varphi_1 \simeq \varphi_2 ve \varphi_2 \simeq \varphi_3 olduğunu kabul edelim. Göstermemiz gereken; \varphi_1 \simeq \varphi_3 dir. \varphi_1 \simeq \varphi_2 ve \varphi_2 \simeq \varphi_3 olduğundan öyle F ve G homotopileri vardır ki; \ F \colon I \times I \to X , \ F(0,t)= \varphi_1 (t) ve \ F(1,t)= \varphi_2 (t) , \ G \colon I \times I \to X , \ G(0,t)= \varphi_2 (t) ve \ G(1,t)= \varphi_3 (t) ’dir. Şimdi bir \ H \colon I \times I \to X fonksiyonunu : \begin{align} \ H(a,t) &= \begin{cases} \ F(2a,t) & 0 \leq a \leq \tfrac{1}{2} \\\ \ G(2a-1,t) & \tfrac{1}{2} \leq a \leq 1 \end{cases} \end{align} şeklinde tanımlayalım. Açıkça görüyoruz ki; \ H(a,t) fonksiyonu \ a=1/2 noktası dışında her yerde süreklidir. Öte yandan a = 1/2 için \lim_{a \to 1/2^+}H(a,t) = G(0,t)= \varphi_2 (t) ve \lim_{a \to 1/2^-}H(a,t) = F(1,t)= \varphi_2 (t) olmaktadır. Dolayısıyla \ H(a,t) fonksiyonu \ a = 1/2 noktasında da süreklidir. Ayrıca, H(0,t) = F(0,t)= \varphi_1 (t) ve H(1,t) = G(1,t)= \varphi_3 (t) olduğunu görüyoruz. Sonuç olarak \varphi_1 \simeq \varphi_3 \varphi_1 \simeq \varphi_3 elde edilir. * \pi_{1}(X,x_{0}) gruptur. Kanıtını göstermek için, örnek olarak x_{0} \in X ve \pi_{1}(X,x_{0}), x_{0}'a dayalı döngülerinin homotopi sınıflarının kümesi olsun. •Birim elemanı e_{x_{0}}: [0,1]\longrightarrow X, e_{x_{0}}(t)=x_{0} olan [e_{x_{0}}] döngüsünün sınıfıdır. Herhangi bir f döngüsü için [e_{x_{0}}]\star [f]=[f] eşitliği sağlanır ve homotopi şu şekilde tanımlanır: F(s,t)= \begin{cases} e_{x_{0}}, & 0 \leq t \leq \frac{1-s}{2} \\\ f(\frac{(2t+s-1)}{(s+1)}), & \frac{1-s}{2} \leq t\leq 1 \end{cases}. • f, \pi_{1}(X,x_{0})'te bulunan herhangi bir döngü olsun. f'in tersini \overline{f(s)}=f(1-s) olarak tanımlayalım. f'in tersini yönünü değiştirerek tanımladık. Şimdi ise e \text{ ve } f\star \overline{f} arasındaki homotopi şu şekilde tanımlanır: F(s,t) = \begin{cases} f(2ts), & 0 \leq t\leq \frac{1}{2} \\\ f(2s(1-t), & \frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}. • f,g,h \in \pi_{1}(X,x_{0}) herhangi üç eleman olsun. Şimdi ise [f]\star([g]\star [h]) =([f]\star[g])\star [h] olduğunu gösterelim. Bu koşulu sağlayan homotopi şu şekilde tanımlanır: F(t,s) = \begin{cases} f(\frac{4t}{1+s}), & 0 \leq t\leq \frac{s+1}{4} \\\ g(4t-1-s), & \frac{s+1}{4}\leq t\leq \frac{s+2}{4}\\\ h(1-4\frac{1-t}{2-s}), & \frac{s+2}{4} \leq t\leq 1 \end{cases} . Birim elemanın varlığı, ters elemanın varlığı ve geçişme özelliğini sağladığından ötürü \pi_{1}(X,x_{0}) bir gruptur. === Örnekler === * 1 noktasına dayalı birim çemberin temel grubu \mathbb{Z} tam sayılar grubuna izomorftur, şeklinde gösterilir: \pi_{1}(S^{1},1) \simeq \mathbb{Z}. * Sekiz şeklinin temel grubu iki eleman tarafından üretilen serbest gruptur. === Dış bağlantılar === * * Flash animation for learning the unit circle * GonioLab: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic function * https://web.stanford.edu/~aaronlan/assets/fundamental-group.pdf * Hacettepe Journal of Mathematics & Statistics: https://dergipark.org.tr/en/download/article-file/808791 === Kaynakça === * İngilizce vikipedi * Ronald Brown, Topology and Groupoids, 2006 * Allen Hatcher, Algebraic Topology Kategori:Cebirsel topoloji Kategori:Cebir Kategori:Grup teorisi Kategori:Matematik Kategori:Topoloji