Silindirik ve küresel koordinatlarda vektör alanı

NOT: Bu sayfa küresel koordinatların fizik gösterimi içindir, \theta z ekseni arasındaki açıdır.ve yarıçap vektörü söz konusu noktaya orijinden bağlantılıdır, bu \phi açısı x-y düzlemi ve x ekseni ile vektör yarıçapının izdüşümü arası açıdır. Diğer bazı tanımları da kullanılıyor ve çok dikkatli farklı kaynaklardan karşılaştırarak alınmalıdır. == Silindirik koordinat sistemi == === Vektör alanı === Vektörler (p, φ, z) ile silindirik koordinatlarda tanımlanıyor, burada * p , xy düzlemine r vektörünün izdüşüm uzunluğu, * φ pozitif x-ekseninin (0 ≤ φ < 2π) xy-düzlemi (i.e. r)vektör izdüşümünü ile arasındaki açıdır, * z bilinen z-koordinatı. (p, φ, z) kartezyen koordinatlarda şöyle verilir: :\begin{bmatrix} p \\\ \phi \\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{x^2 + y^2} \\\ \operatorname{arctan}(y / x) \\\ z \end{bmatrix},\ \ \ 0 \le \phi < 2\pi, veya tersi yoluyla: :\begin{bmatrix} x \\\ y \\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p\cos\phi \\\ p\sin\phi \\\ z \end{bmatrix}. Herhangi bir vektör alanı birim vektörleri tarafından yazılabilir: :\mathbf A = A_x \mathbf{\hat x} + A_y \mathbf{\hat y} + A_z \mathbf{\hat z} = A_p \mathbf{\hat p} + A_\phi \boldsymbol{\hat \phi} + A_z \mathbf{\hat z} Silindirik birim vektörleri ile kartezyen birim vektörleri ilişkilidir: :\begin{bmatrix}\mathbf{\hat p} \\\ \boldsymbol{\hat\phi} \\\ \mathbf{\hat z}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\\ \mathbf{\hat y} \\\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix} * Not: bu matris bir ortogonal matristir, şöyle ki, o terstir, basittir, transpozedir. ===Bir vektör alanının zaman türevleri === "vektör alanı A"nın zaman içindeki değişikliklerini bulmak için biz zaman türevlerini hesaplıyoruz. Bunu desteklemek için zaman türevleri için biz Newton gösterimini kullanıyoruz (\dot{\mathbf{A}}). Kartezyen koordinatlar içinde bu basitçe: :\dot{\mathbf{A}} = \dot{A}_x \hat{\mathbf{x}} + \dot{A}_y \hat{\mathbf{y}} + \dot{A}_z \hat{\mathbf{z}} Bununla birlikte silindirik koordinatlar şu alınır: :\dot{\mathbf{A}} = \dot{A}_p \hat{\boldsymbol{p}} + A_p \dot{\hat{\boldsymbol{p}}} \+ \dot{A}_\phi \hat{\boldsymbol{\phi}} + A_\phi\dot{\hat{\boldsymbol{\phi}}} \+ \dot{A}_z \hat{\boldsymbol{z}} + A_z \dot{\hat{\boldsymbol{z}}} Birim vektörlerin zaman türevlerine ihtiyacımız var. :\begin{align} \dot{\hat{\mathbf{p}}} &= \dot\phi \hat{\boldsymbol{\phi}} \\\ \dot{\hat{\boldsymbol{\phi}}} &= - \dot\phi \hat{\mathbf{p}} \\\ \dot{\hat{\mathbf{z}}} &= 0 \end{align} ile verilir. Zaman türevleri basitçe: :\dot{\mathbf{A}} = \hat{\boldsymbol{p}} (\dot{A}_p - A_\phi \dot{\phi}) \+ \hat{\boldsymbol{\phi}} (\dot{A}_\phi + A_p \dot{\phi}) \+ \hat{\mathbf{z}} \dot{A}_z === Bir vektör alanın ikinci kez türevi=== fizikte ilginç olan ikinci zaman türevidir, klasik mekanik sistemde hareketin denklemi bulunuyor . Bir vektör alanının silindirik koordinatlarda ikinci zaman türevi şu denklem yoluyla veriliyor: :\mathbf{\ddot A} = \mathbf{\hat p} (\ddot A_p - A_\phi \ddot\phi - 2 \dot A_\phi \dot\phi - A_p \dot\phi^2) \+ \boldsymbol{\hat\theta} (\ddot A_\phi + A_p \ddot\phi + 2 \dot A_p \dot\phi - A_\phi \dot\phi^2) \+ \mathbf{\hat z} \ddot A_z Bu ifadeyi anlamak için, A = P eşitliğine inanıyoruz, burada p, (r, θ, z) vektörüdür. Bu demektir ki \mathbf{A} = \mathbf{P} = p\mathbf{\hat p} + z \mathbf{\hat z}. Biz koymak yerine sonra: :\ddot\mathbf{P} = \mathbf{\hat p} (\ddot p - p \dot\phi^2) \+ \boldsymbol{\hat\phi} (p \ddot\phi + 2 \dot p \dot\phi) \+ \mathbf{\hat z} \ddot z Mekanikte,bu şekilde ifade açısından: :\begin{align} \ddot p \mathbf{\hat p} &= \mbox{central outward acceleration} \\\ -p \dot\phi^2 \mathbf{\hat p} &= \mbox{centripetal acceleration} \\\ p \ddot\phi \boldsymbol{\hat\phi} &= \mbox{angular acceleration} \\\ 2 \dot p \dot\phi \boldsymbol{\hat\phi} &= \mbox{Coriolis effect} \\\ \ddot z \mathbf{\hat z} &= \mbox{z-acceleration} \end{align} Ayrıca bakınız: merkezcil çekim kuvveti, Açısal hız, Coriolis etkisi. == Küresel koordinat sistemi == === Vektör alanı === (r,θ,φ) ile küresel koordinatlar içinde tanımlanan vektörler * r vektörünün boyudur, * θ pozitif z-ekseni ve söz konusu vektör arasındaki açı(0 ≤ θ ≤ π) * φ vektör ontolojik "X-Y" düzleminin projeksiyonu ve x-ekseni pozitif tarafı arasındaki açıdır (0 ≤ φ < 2π), (by: :\begin{bmatrix}\ r \\\ \theta \\\ \phi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\\ \arccos(z / \ r ) \\\ \arctan(y / x) \end{bmatrix},\ \ \ 0 \le \theta \le \pi,\ \ \ 0 \le \phi < 2\pi, tarafından ya da ters tarafından: :\begin{bmatrix} x \\\ y \\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ r \sin\theta\cos\phi \\\ \ r \sin\theta\sin\phi \\\ \ r \cos\theta\end{bmatrix}. Birim vektör yardımıyla herhangi bir vektör alanı yazılabilir: :\mathbf A = A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z} = A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi} Küresel birim vektör are Kartezyen birim vektörlerle şöyle ilişkilidir: :\begin{bmatrix}\boldsymbol{\hat r} \\\ \boldsymbol{\hat\theta} \\\ \boldsymbol{\hat\phi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\\ \mathbf{\hat y} \\\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix} * Not: Bu matris bir ortogonal matristir, o terstir, basitçetranspozedir. === Bir vektör alanın zaman türevi === Zaman içinde nasıl vektör alanı bir değişiklik bulmak için biz zaman türevinin hesaplamalıyız Kartezyen koordinatlarda bu basitçe: :\mathbf{\dot A} = \dot A_x \mathbf{\hat x} + \dot A_y \mathbf{\hat y} + \dot A_z \mathbf{\hat z} Ancak, küresel koordinatlarda Bu hale gelir: :\mathbf{\dot A} = \dot A_r \boldsymbol{\hat r} + A _r\boldsymbol{\dot{\hat r}} \+ \dot A_\theta \boldsymbol{\hat\theta} + A_\theta \boldsymbol{\dot{\hat\theta}} \+ \dot A_\phi \boldsymbol{\hat\phi} + A_\phi \boldsymbol{\dot{\hat\phi}} Bu birim vektörlerin zaman türevleri gerekir. Bunlar tarafından verilmektedir: :\begin{align} \boldsymbol{\dot{\hat r}} &= \dot\theta \boldsymbol{\hat\theta} + \dot\phi\sin\theta \boldsymbol{\hat\phi} \\\ \boldsymbol{\dot{\hat\theta}} &= - \dot\theta \boldsymbol{\hat r} + \dot\phi\cos\theta \boldsymbol{\hat\phi} \\\ \boldsymbol{\dot{\hat\phi}} &= - \dot\phi\sin\theta \boldsymbol{\hat r} - \dot\phi\cos\theta \boldsymbol{\hat\theta} \end{align} zamana göre türevleri alınırsa: :\mathbf{\dot A} = \boldsymbol{\hat r} (\dot A_r - A_\theta \dot\theta - A_\phi \dot\phi \sin\theta) \+ \boldsymbol{\hat\theta} (\dot A_\theta + A_r \dot\theta - A_\phi \dot\phi \cos\theta) \+ \boldsymbol{\hat\phi} (\dot A_\phi + A_r \dot\phi \sin\theta + A_\theta \dot\phi \cos\theta) == Ayrıca bakınız == * gradyan, diverjans, curl özellikleri için, Silindirik ve küresel koordinatlarda del ve laplasyen in çeşitli koordinat sistemlerinde. ==kaynakça== Kategori:Vektör hesabı Kategori:Koordinat sistemleri