Binom dönüşümü

Tümleşik matematikte binom dönüşümü bir dizinin ileri farklarını hesaplamaya yarayan bir dizi dönüşümüdür. Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan Euler dönüşümüyle yakından ilintilidir. == Tanım == Bir \\{a_n\\} dizisinin binom dönüşümü (T) :s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} a_k olarak tanımlanan \\{s_n\\} dizisidir. (Ta)_n = s_n yazımında T bir sonsuz boyutlu işleci göstermektedir. Bu işlecin elemanları şu biçimde gösterilebilir: :s_n = (Ta)_n = \sum_{k=0}^\infty T_{nk} a_k Bu dönüşüm bir kıvrılmadır. :TT = 1 Bu, farklı bir biçimde de gösterilebilir. :\sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm} Burada δ Kronecker delta işlevini göstermektedir. :a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k işlemiyle özgün diziye geri dönülebilir. Bir dizinin binom dönüşümü o dizinin n. ileri farkıdır. :s_0 = a_0 :s_1 = - (\triangle a)_0 = -a_1+a_0 :s_2 = (\triangle^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0 :\dots\, :s_n = (-1)^n (\triangle^n a)_0 Burada Δ ileri fark işlecini simgelemektedir. Binom dönüşümü zaman zaman ek bir imle gösterilmektedir. Bu gösterimde dönüşüm :t_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} a_k biçiminde ifade edilirken bu ifadenin tersi :a_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} t_k olarak yazılır. == Örnek == Binom dönüşümleri fark tablolarında kolaylıkla gözlenebilmektedir. 0 1 10 63 324 1485 1 9 53 261 1161 8 44 208 900 36 164 692 128 528 400 0, 1, 10, 63, 324, 1485, … biçimindeki en üst satır ((2n^2+n) 3^{n-2} tarafından tanımlanan bir dizi) 0, 1, 8, 36, 128, 400, … köşegeninin (n^2 2^{n-1} tarafından tanımlanan bir dizi) binom dönüşümüdür. == Değişim durumları == Binom dönüşümü Bell sayılarının değişim işlecidir. Başka bir deyişle, :B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} B_k eşitliği sağlanmaktadır. Burada B_n Bell sayılarını göstermektedir. == Olağan üretici işlev == Dönüşüm, diziyle ilişkilendirilmiş üretici işlevleri birbirine bağlamaktadır. Olağan üretici işlev için :f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n ve :g(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n x^n eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan :g(x) = (Tf)(x) = \frac{1}{1-x} f\left(\frac{x}{x-1}\right) ifadesine ulaşılabilir. == Euler dönüşümü == Olağan üretici işlevler arasındaki ilişki zaman zaman Euler dönüşümü olarak adlandırılmaktadır. İki farklı biçimde var olan dönüşüm, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırabilmektedir. Başka bir deyişle, :\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac {\Delta^n a_0} {2^{n+1}} ifadesinde x yerine 1/2 konularak 1'e ulaşılabilir. Sağdaki terimler çok hızlı bir biçimde küçüldüklerinden bu toplam kolaylıkla hesaplanabilir. Euler dönüşümü şu biçimde genellenbilir: p = 0, 1, 2, … için :\sum_{n=0}^\infty (-1)^n {n+p\choose n} a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n {n+p\choose n}\frac {\Delta^n a_0} {2^{n+p+1}} eşitliği sağlanır. Euler dönüşümü \,_2F_1 hipergeometrik dizisine sıklıkla uygulanmkatadır. Bu durumda Euler dönüşümü :\,_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b} \,_2F_1 \left(c-a, b; c;\frac{z}{z-1}\right) olarak ifade edilebilmektedir. Binom dönüşümü ve bunun farklı bir uyarlaması olan Euler dönüşümü bir sayının sürekli kesir olarak ifade edilmesinde büyük önem taşımaktadır. 0 < x < 1 sayısının sürekli kesir ifadesinin :x=[0;a_1, a_2, a_3,\cdots] olduğu varsayılsın. Buradan :\frac{x}{1-x}=[0;a_1-1, a_2, a_3,\cdots] ve :\frac{x}{1+x}=[0;a_1+1, a_2, a_3,\cdots] sonuçlarına ulaşılabilmektedir. == Üstel üretici işlev == Üstel üretici işlev için :\overline{f}(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!} ve :\overline{g}(x)= \sum_{n=0}^\infty s_n \frac{x^n}{n!} eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan :\overline{g}(x) = (T\overline{f})(x) = e^x \overline{f}(-x) eşitliğine ulaşılır. Borel dönüşümü, olağan üretici işlevi üstel üretici işleve dönüştürebilmektedir. == İntegral biçimindeki ifadesi == Dizi bir karmaşık çözümleme işleviyle değiştirildiğinde dizinin binom dönüşümü Nörlund-Rice integrali biçiminde ifade edilebilmektedir. == Genellemeler == Prodinger birimsel benzeri bir dönüşümden söz etmektedir. :u_n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} a^k (-c)^{n-k} b_k eşitliğinin sağlandığı varsayıldığında :U(x) = \frac{1}{cx+1} B\left(\frac{ax}{cx+1}\right) ifadesine ulaşılır. Burada U ve B sırasıyla \\{u_n\\} ve \\{b_n\\} dizileriyle ilişkilendirilmiş olağan üretici işlevleri göstermektedir. Artan k-binom dönüşümü zaman zaman :\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^k a_j biçiminde, azalan k-binom dönüşümü :\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^{n-k} a_j biçiminde tanımlanmaktadır. Her iki dönüşüm de bir dizinin Hankel dönüşümü özüne eşittir. Binom dönüşümü :\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}a_i=b_n olarak tanımlanır, bu ifade \mathfrak J(a)_n=b_n işlevine eşitlenir, yeni bir ileri fark tablosu oluşturulur ve bu tablonun her satırının ilk elemanından \\{b_n\\} gibi yeni bir dizi oluşturulursa özgün dizinin ikinci binom dönüşümü :\mathfrak J^2(a)_n=\sum_{i=0}^n(-2)^{n-i}\binom{n}{i}a_i ifadesine eşit olur. Aynı işlem k kez yinelendiğinde :\mathfrak J^k(a)_n=b_n=\sum_{i=0}^n(-k)^{n-i}\binom{n}{i}a_i eşitliğine ulaşılır. Bu ifadenin tersi :\mathfrak J^{-k}(b)_n=a_n=\sum_{i=0}^nk^{n-i}\binom{n}{i}b_i olarak yazılır. Bu ifadenin genel biçimi :\mathfrak J^k(a)_n=b_n=(\mathbf E-k)^na_0 olarak yazılabilir. Burada \mathbf E değişim işlecini göstermektedir. Bu ifadenin tersi :\mathfrak J^{-k}(b)_n=a_n=(\mathbf E+k)^nb_0 biçiminde gösterilir. == Ayrıca bakınız == * Newton dizisi * Hankel matrisi * Möbius dönüşümü * Stirling dönüşümü * Euler toplamı == Kaynakça == * * John H. Conway & Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers * Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Cilt 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA. * Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform * Michael Z. Spivey & Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform * Borisov B. & Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82 == Dış bağlantılar == * Binom Dönüşümü Kategori:Leonhard Euler Kategori:Dönüşümler Kategori:Matematiksel fonksiyonlar