Einstein ilişkisi (kinetik teori)

Fizikte (özellikle gazların kinetik teorisinde) Einstein ilişkisi; 1904'te William Sutherland'in,World Year of Physics – William Sutherland at the University of Melbourne . Essay by Prof. R Home (with contributions from Prof B. McKellar and A./Prof D. Jamieson) dated 2005. Accessed 2017-04-28.P. Hänggi, "Stokes–Einstein–Sutherland equation" . 1905'te Albert Einstein'ın ve 1906'da Marian Smoluchowski'nin Brown hareketi üzerine yaptıkları çalışmalarında bağımsız olarak ortaya koydukları önceden beklenmedik bir bağlantıdır. Denklemin daha genel biçimi: : D = \mu \, k_\text{B} T, burada; : D difüzyon katsayısıdır; : μ, "hareketlilik" veya parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir kuvvete oranıdır, μ = vd/F; : kB, Boltzmann sabitidir; : T mutlak sıcaklıktır. Bu denklem, bir dalgalanma-dağılım teoreminin erken bir örneğidir.Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics". İlişkinin sık kullanılan iki önemli özel biçimi şunlardır: : D = \frac{\mu_q \, k_\text{B} T}{q} (elektriksel hareketlilik denklemi, yüklü parçacıkların difüzyonu içinVan Zeghbroeck, "Principles of Semiconductor Devices", Chapter 2.7 . : D = \frac{k_\text{B} T}{6\pi\,\eta\,r} (Stokes-Einstein denklemi, küresel parçacıkların düşük Reynolds sayılı bir sıvıdan difüzyonu için) burada; : q, bir parçacığın elektrik yüküdür; : μq, yüklü parçacığın elektriksel hareketliliğidir; : η dinamik viskozitedir; : r, küresel parçacığın yarıçapıdır. == Özel durumlar == === Elektriksel hareketlilik denklemi === Elektrik yükü q olan bir parçacık için, elektriksel hareketliliği μq, genelleştirilmiş hareketliliği μ ile μ = μq/q denklemiyle ilişkilidir. μq parametresi, parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir elektrik alanına oranıdır. Bu nedenle, yüklü bir parçacık durumunda denklem şu şekilde verilir: : D = \frac{\mu_q \, k_\text{B} T}{q}, burada; * D difüzyon katsayısıdır (\mathrm{m^2s^{-1}}). * \mu_q elektriksel hareketliliktir (\mathrm{m^2V^{-1}s^{-1}}). * q parçacığın elektrik yüküdür (C, coulomb) * T plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (K). Sıcaklık, plazma için daha yaygın olan Volt cinsinden verilirse: : D = \frac{\mu_q \, T}{Z}, burada; * Z parçacığın yük sayısıdır (birimsiz) * T plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (V). === Stokes-Einstein denklemi === Düşük Reynolds sayısı sınırında; hareketlilik μ, sürtünme katsayısı \zeta'nın tersidir. Yayılan nesnenin ters momentum gevşeme süresi (atalet momentumunun rastgele momente kıyasla ihmal edilebilir hale gelmesi için gereken süre) için bir sönüm sabiti \gamma = \zeta / m sıklıkla kullanılır. Yarıçapı r olan küresel parçacıklar için Stokes yasası: : \zeta = 6 \pi \, \eta \, r, burada \eta ortamın viskozitesidir. Böylece Einstein- Smoluchowski ilişkisi Stokes-Einstein ilişkisi ile sonuçlanır: : D = \frac{k_\text{B} T}{6\pi\,\eta\,r}. Bu, sıvılarda öz-difüzyon katsayısını tahmin etmek için uzun yıllar boyunca uygulandı ve izomorf teorisi ile tutarlı bir versiyon, Lennard-Jones sisteminin bilgisayar simülasyonları ile doğrulandı. Dönel difüzyon durumunda, sürtünme \zeta_\text{r} = 8 \pi \eta r^3 ve rotasyonel difüzyon sabiti D_\text{r}: : D_\text{r} = \frac{k_\text{B} T}{8\pi\,\eta\,r^3}. === Yarı iletken === Rastgele bir durum yoğunluğuna sahip bir yarı iletkende, yani deliklerin veya elektronların yoğunluğu p ve karşılık gelen yarı Fermi seviyesi (veya elektrokimyasal potansiyel) \varphi arasındaki p = p(\varphi) formunun bir ilişkisi, Einstein ilişkisi şöyledir: : D = \frac{\mu_q p}{q \frac{dp}{d\varphi}}, burada \mu_q elektriksel hareketliliktir. Durumların yoğunluğu için parabolik bir dağılım ilişkisini varsayan bir örnek ve genellikle inorganik yarı iletken malzemeleri tanımlamak için kullanılan Maxwell-Boltzmann istatistikleri hesaplanabilir: : p(\varphi) = N_0 e^{\frac{q \varphi}{k_\text{B} T}}, buradaN_0 N_0, basitleştirilmiş ilişkiyi veren mevcut enerji durumlarının toplam yoğunluğudur: : D = \mu_q \frac{k_\text{B} T}{q}. === Nernst-Einstein denklemi === Bir elektrolitin eşdeğer iletkenliğinin ifadelerinden katyonların ve anyonların elektrik iyonik hareketlilik ifadelerindeki difüziviteleri değiştirerek, Nernst-Einstein denklemi türetilir: : \Lambda_e = \frac{z_i^2 F^2}{RT}(D_+ + D_-). == Genel durumun kanıtı == Einstein ilişkisinin kanıtı birçok referansta bulunabilir, örneğin bkz. Kubo. Bazı sabit, harici potansiyel enerji U'nun, belirli bir \mathbf{x} konumunda bulunan bir parçacık üzerinde korunumlu bir F(\mathbf{x})=- abla U(\mathbf{x}) kuvveti (örneğin, bir elektrik kuvveti) oluşturduğunu varsayalım. Parçacığın v(\mathbf{x})=\mu(\mathbf{x}) F(\mathbf{x}) hızıyla hareket ederek tepki vereceğini varsayıyoruz. Şimdi konumun bir fonksiyonu olarak yerel derişim \rho(\mathbf{x}) olan çok sayıda böyle parçacık olduğunu varsayalım. Bir süre sonra denge kurulacaktır: parçacıklar en düşük potansiyel enerji U'ya sahip alanların etrafında yığılacaktır, ancak yine de difüzyon nedeniyle bir dereceye kadar yayılacaktır. Dengede, parçacıkların net akışı yoktur: parçacıkların sürüklenme akımı olarak adlandırılan daha düşük U'ya doğru çekilme eğilimi, parçacıkların difüzyon nedeniyle yayılma eğilimini mükemmel bir şekilde dengeler ve buna difüzyon akımı denir (bkz. sürüklenme-difüzyon denklemi). Sürüklenme akımı nedeniyle parçacıkların net akışı: : \mathbf{J}_\mathrm{drift}(\mathbf{x}) = \mu(\mathbf{x}) F(\mathbf{x}) \rho(\mathbf{x}) = -\rho(\mathbf{x}) \mu(\mathbf{x}) abla U(\mathbf{x}), yani, belirli bir konumdan geçen parçacıkların sayısı, parçacık konsantrasyonu çarpı ortalama hıza eşittir. Difüzyon akımı nedeniyle parçacıkların akışı, Fick yasasına göre, : \mathbf{J}_\mathrm{diffusion}(\mathbf{x})=-D(\mathbf{x}) abla \rho(\mathbf{x}), burada eksi işareti, parçacıkların daha yüksek derişimden daha düşük derişime aktığı anlamına gelir. Şimdi denge durumunu düşünün. İlk olarak, net akış yoktur, yani \mathbf{J}_\mathrm{drift} + \mathbf{J}_\mathrm{diffusion} = 0. İkincisi, etkileşmeyen nokta parçacıklar için, denge yoğunluğu \rho yalnızca yerel potansiyel enerji U'nin bir fonksiyonudur, yani iki konum aynı U'ya sahipse, o zaman aynı \rho'ye de sahip olacaklardır (örneğin aşağıda tartışıldığı gibi Maxwell-Boltzmann istatistiklerine bakınız). Bunun anlamı, zincir kuralının uygulanması, : abla\rho = \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U} abla U. Bu nedenle, dengede: : 0 = \mathbf{J}_\mathrm{drift} + \mathbf{J}_\mathrm{diffusion} = -\mu \rho abla U - D abla \rho = \left(-\mu \rho - D \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U}\right) abla U. Bu ifade her \mathbf{x} konumunda geçerli olduğundan, Einstein ilişkisinin genel biçimini ifade eder: : D = -\mu \frac{\rho}{\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U}}. Klasik parçacıklar için \rho ve U arasındaki ilişki Maxwell-Boltzmann istatistikleriyle modellenebilir: : \rho(\mathbf{x}) = A e^{-\frac{U(\mathbf{x})}{k_{\rm B} T}}, burada A toplam parçacık sayısıyla ilgili bir sabittir. Bu nedenle: : \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U} = -\frac{1}{k_{\rm B} T}\rho. Bu varsayım altında, bu denklemi genel Einstein ilişkisine dahil etmek şunları verir: : D = -\mu \frac{\rho}{\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U}} = \mu k_{\rm B} T, ki bu klasik Einstein ilişkisine karşılık gelir. == Ayrıca bakınız == * Smoluchowski faktörü * İletkenlik (elektrolitik) * Stokes yarıçapı * İyon taşıma numarası == Kaynakça == == Dış bağlantılar == * Einstein ilişki hesaplayıcıları * İyon yayılımı Kategori:İstatistiksel mekanik Kategori:Albert Einstein