De Gua teoremi

küçükresim| Adını Fransız matematikçi Jean Paul de Gua de Malves'den alan De Gua teoremi, Pisagor teoreminin üç boyutlu bir analojisidir. ==Açıklama== Bir dört yüzlünün dik açılı bir köşesi varsa (bir küpün köşesi gibi), o zaman dik köşenin karşısındaki yüzün alanının karesi, diğer üç yüzün alanlarının karelerinin toplamına eşittir. : A_{ABC}^2 = A_{\color {blue} ABO}^2+A_{\color {green} ACO}^2+A_{\color {red} BCO}^2 == Genellemeler == Pisagor teoremi ve de Gua teoremi dik köşe açılı n-simpleks (n = 2, 3) hakkındaki genel bir teoremin özel durumlardır. Bu da Donald R. Conant ve William A. Beyer'in daha genel bir teoreminin özel bir durumudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir. U, \mathbb{R}^n'nin (k \le n olmak üzere) k-boyutlu afin alt uzayının ölçülebilir bir alt kümesi olsun. Tam olarak k elemanlı herhangi bir I \subseteq \\{ 1, \ldots, n \\} alt kümesi için, U_I U'nun e_{i_1}, \ldots, e_{i_k} doğrusal açıklığı üzerine ortogonal izdüşümü olsun, burada I = \\{i_1, \ldots, i_k\\} ve e_1, \ldots, e_n \mathbb{R}^niçin standart taban (doğal taban)dır. Sonra, : \mbox{vol}_k^2(U) = \sum_I \mbox{vol}_k^2(U_I), burada \mbox{vol}_k(U) U'nun k-boyutlu hacmi ve toplam k elementli tüm I \subseteq \\{ 1, \ldots, n \\} alt kümeler üzerindedir. De Gua'nın teoremi ve dik köşe açılı n-simpliklere genellemesi (yukarıda), k = n-1 ve U’nun koordinat eksenlerinde köşeleri olan \mathbb{R}^n'de bir (n−1)-simpleks olduğu özel duruma karşılık gelir. Örneğin, n = 3, k = 2 ve U \mathbb{R}^3içinde A, B ve C köşeleri sırasıyla x_1, x_2 ve x_3 eksenlerinde yer alan \triangle ABC üçgenidir. \\{ 1, 2, 3 \\}'ün tam olarak 2 elemanlı alt kümeleri I, \\{ 2,3 \\}, \\{ 1,3 \\} ve \\{ 1,2 \\}'dir. Tanım olarak, U_{\\{ 2,3 \\}} U = \triangle ABC'nin x_2 x_3-düzleminde ortogonal izdüşümüdür, yani U_{\\{ 2,3 \\}} köşeleri O, B ve C olan \triangle OBC üçgenidir, burada O '\mathbb{R}^3'ün orjinidir. Benzer şekilde, U_{\\{ 1,3 \\}} = \triangle AOC ve U_{\\{ 1,2 \\}} = \triangle ABO olup, Conant-Beyer teoremi aşağıdaki gibi ifade edilir; : \mbox{vol}_2^2(\triangle ABC) = \mbox{vol}_2^2(\triangle OBC) + \mbox{vol}_2^2(\triangle AOC) + \mbox{vol}_2^2(\triangle ABO), bu ise de Gua teoremidir. De Gua teoreminin dik köşe açılı n-simplekslere genelleştirilmesi de Cayley-Menger determinat formülünün özel bir durumu olarak elde edilebilir. == Tarihçe == Jean Paul de Gua de Malves (1713-1785), bu teoremi 1783'te yayınladı, ancak aynı zamanda teoremin biraz daha genel bir versiyonu başka bir Fransız matematikçi Charles de Tinseau d'Amondans (1746-1818) tarafından da yayınlandı. Ancak teorem, Johann Faulhaber (1580-1635) ve René Descartes (1596-1650) tarafından çok daha önce biliniyordu.Howard Whitley Eves: Great Moments in Mathematics (before 1650). == Teoremin İspatı == === İspat 1 === Bir köşesi dik açılı olan bir dört yüzlü verilsin. Dik açılı köşeye dokunan üç yüzün alanları A_1, A_2, A_3 ve dik açılı köşenin karşısındaki "hipotenüs yüzü" alanı H şeklinde etiketlensin, De Gua teoremi aşağıdaki eşitliği ifade etmektedir: ::H^2 = (A_1)^2 + (A_2)^2 + (A_3)^2. Bu ispatta Heron formülünü kullanacağız. Heron formülü, bir üçgenin alanını kenar uzunlukları cinsinden verir. Kenarları a, b, c ve yarı çevresi s = \frac12 (a + b + c) olan bir üçgenin alanı aşağıdaki şekilde bulunur: ::A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}. De Gua teoremi bağlamında, dört yüzlünün altı bacağı, l_1, l_2, l_3 ve h_1, h_2, h_3 şeklinde etiketlensin. Burada l_i, dik açılı köşeden çıkan bacaklar ve h_i ise hipotenüs yüzünün üç kenarıdır. Dik açılı köşeye temas eden üç yüzün alanları sırasıyla; ::A_3 = \frac12 l_1\cdot l_2, \quad A_1 = \frac12 l_2\cdot l_3, \quad A_2 = \frac12 l_3 \cdot l_1.'dir. Heron formülünü kullanarak hipotenüs yüzünün alanı aşağıdaki şekilde hesaplanır: ::H = \frac14 \sqrt{(h_1 + h_2 + h_3)(h_1 + h_2 - h_3)(h_2 + h_3 - h_1)(h_3 + h_1 - h_2)}. Bunu bazı cebirsel işlemlerle aşağıdaki şekilde genişletebiliriz. ::H^2 = \frac1{16} \left( 2 h_1^2 h_3^2 + 2 h_2^2 h_3^2 + 2 h_1^2 h_2^2 - h_1^4 - h_2^4 - h_3^4 \right). Şimdi, Pisagor teoremini kullanarak elde edebileceğimiz uzunluklar, ::h_1^2 = l_2^2 + l_3^2, \quad h_2^2 = l_1^2 + l_3^2, \quad h_3^2 = l_1^2 + l_2^2 olarak hesaplanır. Ve böylece terimleri yerine koyup sadeleştirerek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz: ::H^2 = \frac1{4} \left( l_1^2 l_2^2 + l_3^2 l_2^2 + l_1^2 l_3^2\right) ve teorem kanıtlanmış olur. === İspat 2 === OA, OB, OC kenarlarının ilgili uzunlukları a, b, c olsun. Dört yüzlü tarafından kesilen şeklin iç hacmi, = A_{\color {blue} ABO} = A_{\color {green} ACO} = A_{\color {red} BCO} aynı zamanda h, ABC yüzü ile ilişkili yüksekliği göstermek üzere A_{ABC}'ye eşittir. \scriptstyle \overrightarrow {n} = (bc)^2 \overrightarrow{OA} + (ac)^2 \overrightarrow{OB} + (ab)^2 \overrightarrow{OC} vektörü gibi ABC düzlemine normaldir, bu yükseklik \scriptstyle h={< \overrightarrow {OA}| \overrightarrow n>\over || \overrightarrow n||} ile gösterilir. Dolayısıyla, hacimleri eşitleyerek: \frac{abc}6=\frac13\frac{abc}{\sqrt{(bc)^2 + (ac)^2 + (ab)^2}}A_{ABC}. Ve basitleştirerek 4A_{ABC}^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2'ye yani istenen formüle ulaşılır. == Notlar == == Kaynakça == * * Sergio A. Alvarez: Note on an n-dimensional Pythagorean theorem , Carnegie Mellon University. * De Gua's Theorem, Pythagorean theorem in 3-D - Graphical illustration and related properties of the tetrahedron. == Konuyla ilgili yayınlar == * Proof of de Gua's theorem and of generalizations to arbitrary tetrahedra and to pyramids. * Application of de Gua's theorem for proving a special case of Heron's formula. * Rasul A. Khan, (2013), The cosine rule in three dimensions and de Gua's theorem, The Mathematical Gazette, Volume 97, Issue 539, ss. 281-284, https://doi.org/10.1017/S0025557200005945, * Charles Frohman, (2010), The Full Pythagorean Theorem, s. 3, Makale * Magdalini Kokkaliari, (2013), The Pythagoras' Theorem: Is the Methuselah theorem still alive?, Makale Kategori:Öklid geometrisi Kategori:Geometri teoremleri Kategori:Öklid geometrisi teoremleri