Trilineer interpolasyon

Trilineer interpolasyon, 3-boyutlu bir grid üzerinde çok-değişkenli bir interpolasyon metodudur. Trilineer interpolasyon, sıklıkla, nümerik analiz, veri analizi ve bilgisayar grafiklerinde kullanılır. == Lineer ve bilineer interpolasyonlar ile kıyası == Trilineer interpolasyon, D=1 boyuttaki lineer interpolasyon ve D=2 boyuttaki bilineer interpolasyonun, D=3 boyutundaki uzantısıdır. Bu interpolasyon metotlarının doğruluk seviyesi (order of accuracy) 1'dir. Yanı sıra, bu metot, interpole edilecek noktanın çevresinden (1 + n)^D = 8 nokta değerine ihtiyaç duyar. Birçok yöntemle, trilineer interpolasyon denklemini türetmek mümkündür. Trilineer interpolasyon, 3-boyutlu 1.seviye B-spline interpolasyon tensörüne denktir. Ayrıca, interpolasyon operatörü, 3 lineer interpolasyon operatörünün tensörel çarpımına eşittir. ==Metot== küçükresim|İnterpolasyon noktası C'nin etrafında, küp üzeri sekiz köşe noktası küçükresim|3-boyutlu interpolasyon gösterimi küçükresim|Trilineer interpolasyonun geometrik gösterimi. Elde edilmek istenen nokta ile bütün hacmin çarpımı, her bir köşe noktasındaki değer ile çaprazındaki ufak hacmin çarpımlarının toplamına eşittir. Periyodik ve kübik bir latis üzerinde, x_d, y_d ve z_d'nin, x, y, z'in her biri ile daha küçük bir koordinatın arasındaki fark olduğunu düşünelim: : \ x_d = (x - x_0)/(x_1 - x_0) : \ y_d = (y - y_0)/(y_1 - y_0) : \ z_d = (z - z_0)/(z_1 - z_0) x_0 , latis üzerinde x 'den küçük bir nokta ve x_1 , x 'den büyük bir noktadır. Aynı durum, y_0, y_1, z_0 ve z_1 için geçerlidir. İlk olarak, x-doğrultusunda interpolasyon yapılır (kübün ön yüzünün arka yüze doğru itildiğini düşünün). Sonucunda: : \ c_{00} = V[x_0,y_0, z_0] (1 - x_d) + V[x_1, y_0, z_0] x_d : \ c_{01} = V[x_0,y_0, z_1] (1 - x_d) + V[x_1, y_0, z_1] x_d : \ c_{10} = V[x_0,y_1, z_0] (1 - x_d) + V[x_1, y_1, z_0] x_d : \ c_{11} = V[x_0,y_1, z_1] (1 - x_d) + V[x_1, y_1, z_1] x_d V[x_0,y_0, z_0], (x_0,y_0,z_0). noktasındaki fonksiyon değeridir. İkinci olarak, y-doğrultusunda interpolasyon yapılır (kübün üst kenarının alt kenarına doğru itildiğini düşünün). Sonuçta: : \ c_0 = c_{00}(1 - y_d) + c_{10}y_d : \ c_1 = c_{01}(1 - y_d) + c_{11}y_d Son olarak, denklem z-doğrultusunda interpole edilir (geride kalan çizgi boyunca ilerlendiğini düşünün): : \ c = c_0(1 - z_d) + c_1z_d . Bu ifade, interpole edilen noktadaki fonksiyon değerini vermektedir. Trilineer interpolasyonun sonucu, üç farklı eksende yapılan üç lineer interpolasyonun işlem sırasından bağımsızdır. Örneğin, işlem sırası x, y, z olan bir trilineer interpolasyonunun sonucu, işlem sırası y, z, x olan interpolasyon ile aynıdır. Yukarıdaki işlemler şu şekilde de görselleştirilebilir: İlk önce, interpole edilecek noktayı kapsayan bir kübün sekiz köşe noktasının koordinatları bulunur. Bu köşe noktaları, varsayılsın ki, şu değerlere sahiptir: C000, C100, C010, C110, C001, C101, C011, C111. Akabinde, C00'ı bulmak için C000 ve C100 ile lineer interpolasyon yapılır. Lineer interpolasyon, aynı şekilde, C01 için C001 ve C101 arasında; C11 için C011 ve C111 arasında; ve C10 için C010 ve C110 arasında uygulanır. Ardından, C0 için C00 ve C10 arası; ve C1 için C01 ve C11 arası lineer interpolasyon uygulanır. Son adımda, C değeri, C0 ve C1 arasında lineer interpolasyonla elde edilir. Tüm bunlara ek olarak, trilineer interpolasyon, iki bilineer interpolasyon ve bir lineer interpolasyonun kombinasyonu ile de ulaşılabilir: : C \approx\ l( b(C_{000}, C_{010}, C_{100}, C_{110}), b(C_{001}, C_{011}, C_{101}, C_{111})) ==Ayrıca bakınız== * Lineer interpolasyon * Bilineer interpolasyon * Trikübik interpolasyon * Radyal interpolasyon * Tetrahedral interpolasyon ==Dış bağlantılar== *İnvers iteratif trilineer interpolasyon için NASA'nın yayımladığı bir kodsu. *Paul Bourke, Interpolation methods, 1999. Yayın, trilineer interpolasyon için ikili mantık sistemine dayanan basit ve etkili bir yöntem sunmaktadır. Ayrıca, metot, n-boyuta genişletilebilir (ör. tetralineer, pentalineer vb.). Kategori:İnterpolasyon