Euler sayıları

Matematikte Euler sayıları, Taylor serisi açılımıyla tanımlanan bir En tam sayı dizisidir. . :\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_n}{n!} \cdot t^n Burada \cosh(t), hiperbolik kosinüs fonksiyonudur. Euler sayıları, Euler polinomlarının özel bir değeriyle ilgilidir, yani: :E_n=2^nE_n(\tfrac 12) Euler sayıları, sekant ve hiperbolik sekant fonksiyonlarının Taylor serisi açılımlarında görünmektedir. İkincisi, tanımdaki fonksiyondur. Ayrıca kombinatoriklerde, özellikle çift sayıda elemanlı bir kümenin alternatif permütasyonlarının sayısını sayarken ortaya çıkmaktadırlar. == Örnekler == Tek indeksli Euler sayılarının tümü sıfırdır. Çift indeksli olanlar, değişken işaretlere sahiptir. Bazı değerler şunlardır: : E0 = 1 E2 = −1 E4 = 5 E6 = −61 E8 = E10 = -50 521 E12 = E14 = -199 360 981 E16 = E18 = -2 404 879 675 441 Bazı yazarlar, sıfır değerine sahip tek sayılı Euler sayılarını çıkarmak veya tüm işaretleri pozitif olarak değiştirmek için diziyi yeniden indekslemektedir . Bu madde, yukarıda kabul edilen sözleşmeye bağlıdır. ==Açık formüller== === İkinci tür Stirling sayıları === Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını ikinci tür Stirling sayıları cinsinden ifade etmektedir. : E_{r}=2^{2r-1}\sum_{k=1}^{r}\frac{(-1)^{k}S(r,k)}{k+1}\left(3\left(\frac{1}{4}\right)^{(k)}-\left(\frac{3}{4}\right)^{(k)}\right), : E_{2l}=-4^{2l}\sum_{k=1}^{2l}(-1)^{k}\cdot \frac{S(2l,k)}{k+1}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{(k)}, Burada S(r,k) ikinci türden Stirling sayılarını göstermektedir ve x^{(n)}=(x)(x+1)\cdots (x+n-1) yükselen faktöriyelini ifade etmektedir. ===Çift toplam=== Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını çift toplamlar olarak ifade etmektedir. :E_{2k}=(2 k+1)\sum_{\ell=1}^{2k} (-1)^{\ell}\frac{1}{2^{\ell}(\ell +1)}\binom{2 k}{\ell}\sum _{q=0}^{\ell}\binom{\ell}{q}(2q-\ell)^{2k}, :E_{2k}=\sum_{i=1}^{2k}(-1)^{i} \frac{1}{2^{i}}\sum_{\ell=0}^{2i}(-1)^{\ell } \binom{2i}{\ell}(i-\ell)^{2k}. ===Yinelemeli toplam=== Euler sayıları için açık bir formül: :E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1} \sum _{j=0}^k \binom{k}{j}\frac{(-1)^j(k-2j)^{2n+1}}{2^k i^k k}, Burada , ile hayali birimi göstermektedir. ===Bölümlerin toplamı=== Euler sayısı , 'nin çift bölümlerinin toplamı olarak ifade edilebilmektedir. : E_{2n} = (2n)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq n} \binom K {k_1, \ldots , k_n} \delta_{n,\sum mk_m} \left( -\frac{1}{2!} \right)^{k_1} \left( -\frac{1}{4!} \right)^{k_2} \cdots \left( -\frac{1}{(2n)!} \right)^{k_n} , 'in tek bölümlerinin toplamının yanı sıra, : E_{2n} = (-1)^{n-1} (2n-1)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq 2n-1} \binom K {k_1, \ldots , k_n} \delta_{2n-1,\sum (2m-1)k_m } \left( -\frac{1}{1!} \right)^{k_1} \left( \frac{1}{3!} \right)^{k_2} \cdots \left( \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} \right)^{k_n} , Her iki durumda da ve : \binom K {k_1, \ldots , k_n} \equiv \frac{ K!}{k_1! \cdots k_n!} çok terimli bir katsayıdır. Yukarıdaki formüllerdeki Kronecker deltaları, s üzerindeki toplamları sırasıyla ve . Örnek olarak, : \begin{align} E_{10} & = 10! \left( - \frac{1}{10!} + \frac{2}{2!\,8!} + \frac{2}{4!\,6!} \- \frac{3}{2!^2\, 6!}- \frac{3}{2!\,4!^2} +\frac{4}{2!^3\, 4!} - \frac{1}{2!^5}\right) \\\\[6pt] & = 9! \left( - \frac{1}{9!} + \frac{3}{1!^2\,7!} + \frac{6}{1!\,3!\,5!} +\frac{1}{3!^3}- \frac{5}{1!^4\,5!} -\frac{10}{1!^3\,3!^2} + \frac{7}{1!^6\, 3!} - \frac{1}{1!^9}\right) \\\\[6pt] & = -50\,521. \end{align} ===Determinant=== determinant tarafından verilmektedir. : \begin{align} E_{2n} &=(-1)^n (2n)!~ \begin{vmatrix} \frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\\\ \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!} & 1 &~&~\\\ \vdots & ~ & \ddots~~ &\ddots~~ & ~\\\ \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& ~&\frac{1}{2!} & 1\\\ \frac{1}{(2n)!}&\frac{1}{(2n-2)!}& \cdots & \frac{1}{4!} & \frac{1}{2!}\end{vmatrix}. \end{align} ===İntegral=== ayrıca aşağıdaki integrallerle verilmektedir: : \begin{align} (-1)^n E_{2n} & = \int_0^\infty \frac{t^{2n}}{\cosh\frac{\pi t}2}\; dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1} \int_0^\infty \frac{x^{2n}}{\cosh x}\; dx\\\\[8pt] &=\left(\frac2\pi\right)^{2n} \int_0^1\log^{2n}\left(\tan \frac{\pi t}{4} \right)\,dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1}\int_0^{\pi/2} \log^{2n}\left(\tan \frac{x}{2} \right)\,dx\\\\[8pt] &= \frac{2^{2n+3}}{\pi^{2n+2}} \int_0^{\pi/2} x \log^{2n} (\tan x)\,dx = \left(\frac2\pi\right)^{2n+2} \int_0^\pi \frac{x}{2} \log^{2n} \left(\tan \frac{x}{2} \right)\,dx.\end{align} == Kongrüanslar == W. Zhang, herhangi bir asal p için Euler sayılarıyla ilgili aşağıdaki birleşik özdeşlikleri elde etmiştir. : (-1)^{\frac{p-1}{2}} E_{p-1} \equiv \textstyle\begin{cases} 0 \mod p &\text{eğer }p\equiv 1\bmod 4; \\\ -2 \mod p & \text{eğer }p\equiv 3\bmod 4. \end{cases} W. Zhang ve Z. Xu herhangi bir p \equiv 1 \pmod{4} asal ve \alpha\geq 1 tam sayı için, : E_{\phi(p^{\alpha})/2} ot \equiv 0 \pmod{p^{\alpha}} burada \phi(n), Euler'in totient işlevidir. == Asimptotik yaklaşım == Euler sayıları, aşağıdaki alt sınıra sahip oldukları için büyük endeksler için oldukça hızlı bir şekilde büyümektedir. : |E_{2 n}| > 8 \sqrt { \frac{n}{\pi} } \left(\frac{4 n}{ \pi e}\right)^{2 n}. == Euler zikzak sayıları == Taylor serisi \sec x + \tan x = \tan\left(\frac\pi4 + \frac x2\right) :\sum_{n=0}^{\infty} \frac{A_n}{n!}x^n ile başlayan Euler zikzak sayıları :1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... Hepsi için , :A_n = (-1)^\frac{n}{2} E_n burada Euler sayısıdır; ve tüm tek için, :A_n = (-1)^\frac{n-1}{2}\frac{2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1} Bernoulli sayısıdır. Her n için, :\frac{A_{n-1}}{(n-1)!}\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}+\sum_{m=0}^{n-1}\frac{A_m}{m!(n-m-1)!}\sin{\left(\frac{m\pi}{2}\right)}=\frac{1}{(n-1)!} ==Kaynakça== ==Dış bağlantılar== * * Kategori:Leonhard Euler Kategori:Tamsayı dizileri