Goldbach hipotezi

thumb=Goldbach_partitions_of_the_even_integers_from_4_to_28_300px.png|300px|İki asalın toplamı olarak 4 ile 28 arasındaki çift tam sayılar: Tam sayılar bile yatay çizgilere karşılık gelir. Her asal için bir kırmızı ve bir mavi olmak üzere iki eğik çizgi vardır. İki asalın toplamı, bir daire ile işaretlenmiş bir kırmızı ve bir mavi çizginin kesişmeleridir. Böylece, belirli bir yatay çizgi üzerindeki daireler karşılık gelen çift tam sayının tüm bölümlerini iki asalın toplamına verir. Goldbach hipotezi, sayılar teorisindeki ve tüm matematikteki en eski ve en çok bilinen çözülmemiş problemlerden biridir. Hipotezde: :2'den büyük her çift tam sayı, iki asalın toplamı olarak ifade edilebilir. Bu hipotezin 4 × 1018den küçük tüm sayılar için geçerli olduğu gösterilse de, önemli çabalara rağmen kanıtlanamamıştır. == Goldbach sayısı == Sayılar kuramında Goldbach sayısı, "2'den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir" iddiasıdır. Çözülememiş en eski matematik problemlerinden biridir. Bilgisayarda yapılan deneyler tarafından çok büyük sayılara kadar doğrulandığı halde henüz genel kabul görmüş bir ispatı yoktur. === Tarihi === 7 Haziran 1742 tarihinde, Alman matematikçi Christian Goldbach, Leonhard Euler'e yazdığı bir mektupta,Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, pp. 125–129 . sayılar kuramının çözüme varılamamış konularından birine işaret etmiştir. Goldbach, "İki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilen her tam sayı, aynı zamanda şartlar uygunsa ikiden daha çok asal sayı tarafından da yazılabilir." demiştir. Daha sonra bu varsayımını yeterli bulmamış, düzeltmeye gitmiştir. "2'den büyük her tam sayı 3 asal sayının toplamından bulunabilir." Burada Goldbach, ‘1’ sayısını da asal sayılara dahil ederek böyle bir çıkarımda bulunmuştur. Euler'in cevabı, 30 Haziran 1742'de gelmiştir. Demektedir ki; “2'den büyük her çift tam sayı, iki asal sayının toplamından bulunabilir.” == İşlemler ve doğruluğuna yönelik iddiaları kuvvetlendiren çözümler == Temel olarak dikkatle bakacak olursak bu proje matematiğin en temelindeki bilgileri başlangıç noktası olarak görmüştür. TOPLAMA işlemini… Goldbach'ın bu hipotezinden yola çıkılarak yapılan ikinci saptamaya uygulanabilirliği açısından daha çok sahip çıkılmıştır. Çünkü akıldan hesaplanma kolaylığı sınırını ilerlettikçe, üç sayının toplamıyla uğraşmak, iki sayının toplamıyla uğraşmaktan daha zor ve çetrefilli bir hal alacaktır. Yapılan açıklamanın pek de karmaşık olmayan sayılarla verilmiş bir örneğini aşağıda görebiliriz: ::6 = 3 + 3 ::8 = 3 + 5 ::10 = 3 + 7 ::12 = 5 + 7 ::14 = 3 + 11 ::16 = 3 + 13 ::18 = 5 + 13 ::20 = 3 + 17 ::22 = 3 + 19 ::24 = 5 + 19 ::26 = 3 + 23 ::28 = 5 + 23 . . . Dünyadaki tüm Goldbach sayılarının hesaplamaları el yordamıyla gerçekleştirilemez. Hipotezin daha deneysel araştırmalarına göz atılması gerekmektedir. == Hipotezin yıllar içerisindeki gelişimi == Euler, Goldbach'ın bu hipotezine ikna olmuştur ancak bu varsayımı ispatlayamamıştır. 1923 yılında, Hardy ve Littlewood isimli matematikçiler, bu varsayımı büyük tek sayıları kullanarak kısmen ispatlamışlardır. Bu kısmi ispata göz atacak olursak; “Bir N0 alınır ve tüm tek n sayıları bu N0’dan büyüktürler. Bunun yanında bu n’ler 3 asal sayının toplamına eşittir.” Rus matematikçi Vinogradov, 1937 ila 1954 yılları arasında yaptığı çalışmalarla, tekrar ilk varsayımı – kısmen ispatlanan kısmı yine tüm sayılar âlemini içine alamadan kanıtlamıştır -ki bu da bir diğer kısmi ispattır. Burada büyük tek rakamları ve analitik metotları kullanarak sonuca ulaşmıştır. n0’ın hesaplanması sonucu 3^3^15 değerini bulduğumuzda çıkan sonuç 6.846.169 basamaklı bir sayı olmuştur. Bu da Ribenboim'in 1988 ila 1995 yılları arasında yaptığı çalışmalarla doğrulanmıştır. 1966 yılında Chen Jingrun adlı Çinli matematikçi de kanıtlamıştır ki; her yüksek mertebeli çift sayı, aynı zamanda iki asal sayıdan fazla olmayacak sayıların toplamı şeklinde ifade edilebilir. Goldbach'ın hipotezi sadece tek bir kişi tarafından kabaca ifadelerle kanıtlanabilmiştir. Bu ispata dair; 130 CPU saati kullanılarak, IBM 3083 Sinisalo'da 4*10^11. sayıya kadar gelinebilmiştir. Bunu kullanmasına rağmen Sinisalo, Q Basic programı deneme birimlerini işleterek aynı stratejiyi ele almıştır. Bu izlek tek numaraların alınmasını içerir. Küçük asal sayıları bulmak için (3’ten n/2’ye kadar olan sayıları) tek sayılar olarak almıştır. Eğer p asal sayıysa, bunların farkı n-p’dir ve bu da asallık için test edilmiştir. Eğer bu fark asal ise işlem tamamlanır ve bir çift bulunur. İlk bulunan çift de minimum Goldbach kısmi değeridir. Eğer Goldbach'ın hipotezi doğruysa, herhangi çift bir n için; q=n-p asal sayı denklemini doğrulayan herhangi bir n çift sayısı ve p asal sayısı vardır. Goldbach bölünmesi n=p+q olarak da gösterilebilir. P ve q asal sayılardır. Goldbach ayrışımında en küçük asal sayı ayrılmış fonksiyon g(n) ile gösterilebilir. Grafikteki notlardan emin olmak için, burada çok fazla sayıda dikey bir abartı vardır. Grafikteki her koyu bant asal sayıları göstermektedir: 3,5,7,11, … . Bu noktada biraz kafa karıştırıcıdır. Öyleyse tabloda n'in sürekli artan minimum değer serilerine bakılır. Tablo n'in 1.000.000.000'dan küçük olan değerlerini göstermektedir. Son kolon ise g(n)/n oranını göstermektedir. Bu oran kısmen ilgi çekicidir çünkü bize g(n)’in maksimum değerlerini göstermektedir ve görülüyor ki g(n) her koşulda kendinden önce gelen sayıdan azdır. g(n) minimum Goldbach kısımlarının üzerinden sınır koyar. === Minimum Goldbach kısımlarının değerlerinin n < 1.000.000.000 için gösterimi === n g(n) n - g(n) g(n) / n 6 3 3 0.500000000 12 5 7 0.416666667 30 7 23 0.233333333 98 19 79 0.193877551 220 23 197 0.104545455 308 31 277 0.100649351 556 47 509 0.084532374 992 73 919 0.073588710 2642 103 2539 0.038985617 5372 139 5233 0.025874907 7426 173 7253 0.023296526 43532 211 43321 0.004847009 54244 233 54011 0.004295406 63274 293 62981 0.004630654 113672 313 113359 0.002753536 128168 331 127837 0.002582548 194428 359 194069 0.001846442 194470 383 194087 0.001969455 413572 389 413183 0.000940586 503222 523 502699 0.001039303 1077422 601 1076821 0.000557813 3526958 727 3526231 0.000206127 3807404 751 3806653 0.000197247 10759922 829 10759093 0.000077045 24106882 929 24105953 0.000038537 27789878 997 27788881 0.000035876 37998938 1039 37997899 0.000027343 60119912 1093 60118819 0.000018180 113632822 1163 113631659 0.000010235 187852862 1321 187851541 0.000007032 335070838 1427 335069411 0.000004259 419911924 1583 419910341 0.000003770 721013438 1789 721011649 0.000002481 Minimum Goldbach bölümlerine grafik olarak baktığımızda görürüz ki; n, 1.000.000.000’dan küçüktür ve burada ilginç bir ilişki gözlemlenir. Uygunluk ve çeviriye yardım için y doğrultusu g(n) iken, x doğrultusu da log 10(n) şeklinde gösterilir. Olasılığın 1 olmasına ulaşamazsak burada bir tek top sayı, aralık içinde asal sayı çifti oluşturmuyor demektir. Bu da bir ispat değildir ancak hipotezin doğru yolda olduğunu düşündürür. == Kaynakça == Kategori:Analitik sayı teorisi Kategori:Asal sayılar ile ilgili konjektürler Kategori:Hilbert problemleri