Liouville teoremi (karmaşık analiz)

Karmaşık analizde, Joseph Liouville'in ismine atfedilen Liouville teoremi, sınırlı her tam fonksiyonun sabit olmak zorunda olduğunu ifade eder. Yani, C 'deki her z için |f(z)| ≤ M olan pozitif bir M varsa ve f holomorfsa, f sabittir. Teorem, büyük ölçüde, en az iki karmaşık sayıyı almayan her tam fonksiyonun sabit olacağını söyleyen Picard'ın küçük teoremi ile iyileştirilmiştir. == Kanıt == Teorem, "holomorf fonksiyonlar analitiktir" gerçeğinden elde edilir. f, tam olduğu için, 0 etrafında Taylor serisi ile temsil edilebilir; yani : f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k. Buradaki a_k terimi ise (Cauchy integral formülü yardımıyla) : a_k = \frac{f^{(k)}}{k!} = {1 \over 2 \pi i} \oint_{C_r} {f( \zeta )\over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta olarak yazılır (Cr, 0 merkezli, r yarıçaplı bir çemberdir.) Doğrudan : | a_k | \leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r} \frac{ | f ( \zeta ) | }{ | \zeta^{k+1} |} \,d\zeta \leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r} \frac{ M }{ r^{k+1} } \,d\zeta \leq \frac{M}{r^k}, tahmini yapılabilir (İkinci eşitsizlikte varsayımdaki her z için |f(z)| ≤ M eşitsizliği kullanılmıştır). Yol integralinde kullanılan r sayısının seçimi ise keyfidir. Bu yüzden, r sonsuza götürülürse, her k ≥ 1 için ak = 0 elde edilir. Böylelikle, f(z) = a0 olur ve teorem kanıtlanmış olur. == Sonuçlar == === Cebirin temel teoremi === Cebirin temel teoreminin Liouville teoremine dayanan kısa bir kanıtı vardır. === Hiçbir tam fonksiyon bir diğer tam fonksiyona baskınlık kuramaz === Teoremin bir sonucu da "gerçekte farklı" fonksiyonların birbirine baskınlık kuramayacağıdır, yani f ve g tamsa ve her yerde |f| ≤ |g| ise , o zaman bir α sayısı için f = α.g olur. Bunu göstermek içinse :h = \frac{f}{g}\cdot fonksiyonunu ele alalım. h 'nin tam bir fonksiyona uzatılabilmesi yetecektir ve böylece Liouville teoremi sonucu verecektir. h 'nin holomorf olması g−1(0) haricindeki noktalarda açıktır. Şimdi g(a) = 0 ise f(a) = 0 ifadesi de vardır. Analitiklik sayesinde, h sürekli, ve bu yüzden de holomorf olarak a üzerine uzatılabilir. Bu yüzden, h, g−1(0) üzerinde tam bir fonksiyona uzatılabilir. === Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar C 'de tanımlanamaz === Teorem aynı zamanda sabit olmayan eliptik bir f fonksiyonunun tanım kümesinin C 'de olamayacağını göstermekte de kullanılabilir. Olduğunu varsayalım. O zaman, a ve b, f 'nin a/b gerçel olmayacak şekilde iki periyodu ise, köşeleri 0, a, b ve a + b olan P paralelkenarını ele alalım. O zaman, f 'nin görüntüsü f(P) 'ye eşit olacaktır. f sürekli olduğu ve P tıkız olduğu için, f(P) de tıkız olacaktır ve bu yüzden sınırlı olacaktır. Böylece, f sabit olacaktır. "Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar C 'de tanımlanamaz" gerçeği aslında Liouville'in 1847'de eliptik fonksiyonlar kuramını kullanarak kanıtladığı ifadedir. Aslında Liouville teoremini kanıtlayan Cauchy'dir. === Tam fonksiyonların genelde yoğun görüntüleri vardır === f sabit olmayan tam bir fonksiyonsa, o zaman görüntüsü C içinde yoğundur. Bu ifade Liouville teoreminden daha güçlü bir sonuç olarak güzükse de aslında teoremin kolay bir sonucudur. f 'nin görüntüsü yoğun olmasaydı, o zaman bir w karmaşık sayısı ve r > 0 gerçel sayısı olurdu öyle ki w merkezli, r yarıçaplı açık disk, f 'nin görüntüsünden bir eleman içermezdi. g(z) = 1/(f(z) - w) fonksiyonunu tanımlayalım. :(\forall z\in\mathbb{C}):|g(z)|=\frac1{|f(z)-w|}<\frac1r olduğu için, g sınırlı, tam bir fonksiyon olurdu. Böylece, g sabit olurdu. Ancak, bu saçma olur. Bu yüzden, f 'nin görüntüsü yoğundur. == Notlar == {∞} ∪ C , C 'nin bir nokta tıkızlaştırılması olsun. C 'deki bölgelerde tanımlı holomorf fonksiyonlar yerine, {∞} ∪ C içindeki bölgeler düşünülebilir. Bu şekilde görüldüğünde, C ⊂ {∞} ∪ C 'de tanımlı tam fonksiyonlar için olası tek tekillik ∞ noktasıdır. f, ∞'un bir komşuluğunda sınırlı ise, o zaman ∞, f 'nin kaldırılabilir tekilliğidir; yani f, ∞'da birden patlayamaz veya hatalı davranamaz. Kuvvet serileri açılımı bağlamında, Liouville teoreminin tutması pek de sürpriz değildir. Benzer bir şekilde, tam bir fonksiyonun ∞'da kutup noktaları varsa, yani ∞'un açık bir aralığında zn gibi patlıyorsa, o zaman f polinomdur. Liouville teoreminin bu uzatılmış versiyonu daha kesin bir dille ifade edilebilir: Yeteri kadar büyük z ler için |f(z)| ≤ M.|zn| ise, o zaman f, derecesi en fazla n olan bir polinomdur. Bu, şu şekilde kanıtlanabilir. Yine, f 'nin Taylor serisini ele alalım: : f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k. Teoremin kanıtında kullanılan tartışma :(\forall k\in\mathbb{N}):|a_k|\leqslant Mr^{n-k} eşitsizliğini verir. Böylece, k > n ise :|a_k|\leqslant\lim_{r\rightarrow+\infty}Mr^{n-k}=0 olur. Bu yüzden, ak = 0 elde edilir. == Kaynakça == == Dış bağlantılar == * PlanetMath'teki Liouville Teoremi ve kanıtı * MathWorld'deki Liouville Teoremi bilgisi * Liouville Teoremi Modülü, John H. Mathews tarafından Kategori:Karmaşık analiz Kategori:Matematik teoremleri Kategori:Kanıt içeren maddeler Kategori:Analitik fonksiyonlar