Minkowski eşitsizliği

Minkowski Eşitsizliği, sonlu sayıda, hepsi sıfır olmayan a_i, b_i, i=1,2,...,n pozitif sayılarında, p>1 için aşağıdaki eşitsizliğe denir: \left( \sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{i=1}^n a_i^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{i=1}^n b_i^p \right)^{1/p} Hölder Eşitsizliğinden türetilebilen, uygulamada oldukça yararlı bu eşitsizliği Alman matematikçi Hermann Minkowski (1864-1909) elde etmiştir. üçgen'de, Minkowski eşitsizliği' Lp uzayı normlu vektör uzayı' belirlemesidir. diyelimki S bir ölçüm uzayı olsun,ve diyelimki 1 ≤ p ≤ ∞ ve diyelimki Lp(S) ögeleri f ve g olsun. ise Lp(S) içindeki f + gdir, ve bizim üçgen eşitsizliği'miz var :\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p için eşitliği ile 1 < p <∞ eğer ve yalnızca eğerf ve g pozitifliği doğrusal bağımlılık, yani burada bazı \lambda ≥ 0.için f = \lambda g aşağıdaki norm ile verilir: :\|f\|_p = \left( \int |f|^p d\mu \right)^{1/p} Eğer p < ∞, veya p = ∞ durumu içinde zorunlu üstünlük ile :\|f\|_\infty = \operatorname{ess\ sup}_{x\in S}|f(x)|. Minkowski eşitsizliği Lp(S) içinde üçgen eşitsizliğidir,aslında bu durumun daha genel durumu var, :\|f\|_p = \sup_{\|g\|_q = 1} \int |fg| d\mu, \qquad 1/p + 1/q = 1 bunun sağ-el tarafta üçgen eşitsizliğinin tatmin edici olduğunu görmek kolay Hölder eşitsizliği gibi,Minkowski eşitsizliği dizisi özelleştirilebilir ve sayarak ölçülen vektörler tarafından kullanılıyor: :\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p} için tümgerçel (veya karmaşık) x1, ..., xn, y1, ..., yn sayıları için ve burada n ;S'in kardinalite'sidir. (S'in ögelerinin sayısı). == Kanıt == İlk, kanıtı f+g sonludur p-norm eğer f ve g ikilisi olarak, bunlar ile aşağıda :|f + g|^p \le 2^{p-1}(|f|^p + |g|^p). Nitekim, aslında burada h(x)=x^p konveks üzerinde \mathbb{R}^+ (p birden büyük için) ve yine, konveksite tanımı ile, :\left|\frac{1}{2} f + \frac{1}{2} g\right|^p\le\left|\frac{1}{2} |f| + \frac{1}{2} |g|\right|^p \le \frac{1}{2}|f|^p + \frac{1}{2} |g|^p. Bunun anlamı :|f+g|^p \le \frac{1}{2}|2f|^p + \frac{1}{2}|2g|^p=2^{p-1}|f|^p + 2^{p-1}|g|^p. Şimdi, yasal olarak konuşabiliriz (\|f + g\|_p). Sıfır ise, Minkowski eşitsizliği tutar.Şimdi varsayalım ki (\|f + g\|_p) sıfır değildir.Hölder's eşitsizliği kullanılıyor. :\|f + g\|_p^p = \int |f + g|^p \, \mathrm{d}\mu : \le \int (|f| + |g|)|f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu :=\int |f||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu+\int |g||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu :\stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le} \left( \left(\int |f|^p \, \mathrm{d}\mu\right)^{1/p} + \left (\int |g|^p \,\mathrm{d}\mu\right)^{1/p} \right) \left(\int |f + g|^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)} \, \mathrm{d}\mu \right)^{1-\frac{1}{p}} := (\|f\|_p + \|g\|_p)\frac{\|f + g\|_p^p}{\|f + g\|_p}. Biz elde Minkowski'nin eşitsizliği ile \frac{\|f + g\|_p}{\|f + g\|_p^p}. her iki taraf çarparız == Minkowski integral eşitsizliği == Varsayalımki (S1,μ1) ve (S2,μ2) are iki ölçüm uzayıs ve F : S1×S2 → R ölçülebilirdir. ise Minkowski's integral eşitsizliği is dir, : : \left[\int_{S_2}\left|\int_{S_1}F(x,y)\,d\mu_1(x)\right|^pd\mu_2(y)\right]^{1/p} \le \int_{S_1}\left(\int_{S_2}|F(x,y)|^p\,d\mu_2(y)\right)^{1/p}d\mu_1(x), durumunda belirgin değişiklikler p = ∞. eğer p > 1, ve her iki taraf sonlu, ise eşitlikle örtüşür eğer |F(x,y)| = φ(x)ψ(y) a.e.bazı negatif ölçülebilir fonksiyonlar φ ve ψ için. Eğer μ1 iki nokta kümesi sayma ölçüsüS1 = {1,2}, ise Minkowski eşitsizliği bir özel durum olarak verir: için ƒi(y) = F(i,y) yapıştırma için i = 1,2, integral eşitsizliğini verir. : \begin{align} \|f_1 + f_2\|_p &= \left[\int_{S_2}\left|\int_{S_1}F(x,y)\,d\mu_1(x)\right|^pd\mu_2(y)\right]^{1/p} \le\int_{S_1}\left(\int_{S_2}|F(x,y)|^p\,d\mu_2(y)\right)^{1/p}d\mu_1(x)=\|f_1\|_p + \|f_2\|_p. \end{align} == Ayrıca bakınız == *Mahler eşitsizliği *Hölder eşitsizliği == Kaynakça == * * . * . * * Kategori:Kanıt içeren maddeler Kategori:Eşitsizlikler