Akustik dalga denklemi

Fizikte akustik dalga denklemi, akustik dalgaların bir ortamda yayılımını düzenler. Denklemin biçimi ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemdir. Denklem, akustik basınç p ve parçacık hızı u nun gelişimini, konum r ve zaman t türünden fonksiyon olarak ifade eder. Denklemin basitleştirilmiş bir formu akustik dalgaları sadece bir boyutlu uzayda, daha genel formu ise dalgaları üç boyutta tanımlar. == Tek boyutta == === Denklem === Sesin madde içerisindeki davranışını tek boyutta tanımlayan dalga denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir,Richard Feynman, Lectures in Physics, Volume 1, 1969, Addison Publishing Company, Addison : { \partial^2 p \over \partial x ^2 } - {1 \over c^2} { \partial^2 p \over \partial t ^2 } = 0 p akustik basıncı(ortam basıncından değişimi), c ise ses hızını gösteriyor. === Çözüm === Hızın c sabit olduğu düşünüldüğünde, frekansa bağlı olmadan(dağılım olmayan durumda) en genel çözüm; :p = f(c t - x) + g(c t + x) f ve g iki kere türevlenebilen fonksiyonlardır. İki hareket eden dalganın üst üste binmesi olarak görülebilir, (f) pozitif x-ekseninde, (g) ise negatif x-ekseninde c hızıyla hareket eder. Tek bir yönde hareket eden bir sinüs dalgası ise f veya g den birinin sinüsoid ve diğerinin sıfır olması ile elde edilir. :p=p_0 \sin(\omega t \mp kx). \omega dalganın açısal frekansını, k ise dalga sayısını verir. === Elde etme === Dalga denklemi lineerize edilmiş tek boyutlu süreklilik denkleminden, tek boyutlu kuvvet denkleminden ve hal denkleminden elde edilebilir Hal denklemi(ideal gaz yasası): :PV=nRT Adiabatik(ısı almayan) işlemde, basınç P yoğunluğun \rho bir fonksiyonudur ve şu şekilde lineerize edilebilir; :P = C \rho \, C herhangi bir katsayı. Basınç ve yoğunluğu ortalama ve toplam bileşenlerine ayırırsak: :P - P_0 = \left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right) (\rho - \rho_0). Akışkanlar için adiabatik hacim modülü; :B= \rho_0 \left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{adiabatic} Şu sonucu verir: :P-P_0=B \frac{\rho - \rho_0}{\rho_0}. Yoğunlaşma, s, verilen bir akışkan yoğunluğu için yoğunluktaki değişme olarak tanımlanır. :s = \frac{\rho - \rho_0}{\rho_0} Lineerize edilmiş hal denklemi buna dönüşür: :p = B s\, P akustik basınç (P − P0). Süreklilik denklemi(kütle korunumu) tek boyutta şöyledir: ::\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x} (\rho u) = 0. Denklem lineerize edilmeli ve değişkenler yine ortalama ve değişen bileşenlerine ayrılmalıdır. :\frac{\partial}{\partial t} ( \rho_0 + \rho_0 s) + \frac{\partial }{\partial x} (\rho_0 u + \rho_0 s u) = 0 Tekrar düzenleyerek ve ortam yoğunluğunun zamana veya konuma bağlı değişmediğine, aynı zamanda hız ile yoğunluğun çarpımının çok küçük bir sayı olduğuna dikkat ederek şunu yazabiliriz: :\frac{\partial s}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x} u = 0 Euler’ın Kuvvet yasası(momentum korunumu) gereken sonunsur. Tek boyutta denklem: :\rho \frac{D u}{D t} + \frac{\partial P}{\partial x} = 0 D/Dt ileten, kayda değer veya gerekli türevdir, sabit bir noktadan ziyade ortamla beraber hareket eden bir noktadaki türevdir. Değişkenleri lineerize edersek: :(\rho_0 +\rho_0 s)\left( \frac{\partial }{\partial t} + u \frac{\partial }{\partial x} \right) u + \frac{\partial }{\partial x} (P_0 + p) = 0. Küçük terimleri yok sayıp yeniden düzenlersek denkem bu hale gelir: :\rho_0\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0. Süreklilik denkleminin zamana göre, kuvvet denkleminin ise konuma göre türevlerini alırsak: :\frac{\partial^2 s}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} = 0 :\rho_0 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} + \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = 0. İlk denklemi \rho_0 ile çarpar, birbirlerinden çıkarır ve hal denkleminin lineerize edilmiş formunu yerine koyarsak: :\- \frac{\rho_0 }{B} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = 0 Son hali şu olur: : { \partial^2 p \over \partial x ^2 } - {1 \over c^2} { \partial^2 p \over \partial t ^2 } = 0 c = \sqrt{ \frac{B}{\rho_0 }} yayılma hızıdır == Üç boyutta == === Denklem === Feynman üç boyutta sesin ortamdaki dalga denklemini şöyle elde etmiştir: : abla ^2 p - {1 \over c^2} { \partial^2 p \over \partial t ^2 } = 0 abla ^2 Laplace operatörü, p akustik basınç ve c sesin hızıdır. === Çözüm === Aşağıdaki çözümler farklı koordinat sistemlerinde değişken ayırma yöntemi ile elde edilmiştir. Bu çözümlerin zamana bağlı açık olmayan bir faktörleri vardır, e^{i\omega t},burada \omega = 2 \pi f açısal frekanstır. Açık zamana-bağlılık şöyle verilir: :p(r,t,k) = \operatorname{Real}\left[p(r,k) e^{i\omega t}\right] burada k = \omega/c \ dalga sayısıdır. ==== Kartezyen koordinatlarda ==== : p(r,k)=Ae^{\pm ikr} ==== Silindirik koordinatlarda ==== : p(r,k)=AH_0^{(1)}(kr) + \ BH_0^{(2)}(kr) Burada kr\rightarrow \infty iken Hankel fonksiyonlarına asimptotik yaklaşımlar şöyle verilir; : H_0^{(1)}(kr) \simeq \sqrt{\frac{2}{\pi kr}}e^{i(kr-\pi/4)} : H_0^{(2)}(kr) \simeq \sqrt{\frac{2}{\pi kr}}e^{-i(kr-\pi/4)} ==== Küresel koordinatlarda ==== : p(r,k)=\frac{A}{r}e^{\pm ikr} Seçilen Fourier kuralına bağlı olarak, bunlardan biri dışarı hareket eden, diğeri ise fiziksel olmayan içeri hareket eden dalgayı temsil eder. İçeri hareket eden dalganın fiziksel olmaması sadece r=0 da oluşan tekillikten ileri gelir; içeri hareket eden dalgalar mevcuttur. == Kaynakça == Kategori:Akustik