Grupoid

Matematikte, özellikle kategori teorisi ve homotopi teorisinde bir grupoid için (nadiren Brandt grupoidi veya sanal grup olarak da anılır) grup kavramı birden fazla eşdeğer yolla açıklanabilir. Bir grupoid şu iki şekilde genelleştirilir: * İkili işlemin yerini alan bir kısmi fonksiyon ilişkisindeki grup; * Her morfizmanın ters çevrilebilir olduğu kategorideki grup. Grupoidler genellikle manifoldlar gibi geometrik nesneler hakkında akıl yürütmek için kullanılır. Heinrich Brandt (1927), Brandt yarı-grupları (Brandt Semigroup) aracılığıyla dolaylı olarak grupoidleri tanıtmıştır. == Tanımlar == Bir \ f \colon X \to Y fonksiyonunu düşünelim. Boş kümeden farklı herhangi bir A \subseteq X alt kümesi için \ f \colon A \to Y şeklinde tanımlı fonksiyona kısmi fonksiyon denir. === Grup Teorisinde Grupoid === Bir \ G grupoidi {}^{-1}\colon G \to G şeklinde tanımlı tekli işlem ile \ * \colon G \times G \to G kısmi fonksiyonu ile tanımlanan ve her a, b, c \in G için aşağıdaki özellikleri sağlayan bir kümedir. (i) Bileşim: Eğer (a*b) ve (b*c) tanımlı ise (a*b)*c = a*(b*c) ’dir. (ii) Tersinirlik:\ a^{-1} * a ve \ a * a^{-1} tanımlıdır. (iii) Özdeşlik: Eğer \ a * b tanımlı ise • a*b*b^{-1} = a , • a^{-1}*a*b = b . Ek olarak da • (a^{-1})^{-1} = a • (a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} özellikleri sağlanır. === Kategori Teorisinde Grupoid === Bir grupoid, içindeki her morfizmanın bir izomorfizma olduğu küçük ve bağlantılı bir kategoridir. Tanımı daha açık bir şekilde görebilmek için rastgele bir kategorik teorisel G grupoidi alalım. Bu grupoid aşağıdaki özellikleri sağlar. (i) G grupoidi, nesnelerden oluşan bir \operatorname{ob}(G) kümesi içermektedir. (ii) G grupoidi, her x,y \in \operatorname{ob}(G) nesneleri için x’ten y’ye tanımlı morfizmaların oluşturduğu bir \operatorname{mor}(x,y) kümesini içerir. Bu kümeden alınan bir f morfizması f \colon x \to y şeklinde gösterilir. (iii) Her x \in \operatorname{ob}(G) nesnesi için \operatorname{id}_x \in \operatorname{mor}(x,x)’dir. (iv) Her x, y, z \in \operatorname {ob} (G) için x’ten y’ye giden ve y’den z’ye giden morfizmaların bileşkesi şu şekilde tanımlanır: > \operatorname{comp}_{x,y,z} \colon \operatorname{mor}(y, z)\times > \operatorname{mor}(x,y)\to \operatorname{mor}(x, z)öyle ki (g,f)\mapsto gf (v) Her x, y \in \operatorname{ob}(G) için x nesnesinden y nesnesine giden morfizmaların tersi şu şekilde tanımlanır: > \operatorname{inv}\colon \operatorname{mor}(x, y)\to \operatorname{mor}(y,x) > f \mapsto f^{-1} ve \operatorname{inv} fonksiyonu her f \colon x \to y , g > \colon y \to z ve h \colon z \to w morfizmaları için aşağıdaki özellikleri > sağlar: • f \operatorname{id}_x =f ve \operatorname{id}_y f=f. • (hg)f = > h(gf). • ff^{-1} = \operatorname{id}_y ve f^{-1}f = \operatorname{id}_x. ==== Bağlı Grupoid ==== Kategori teorisel bir G grupoidi alalım. Eğer her x, y \in G için \operatorname{mor}(x,y) kümesi boş kümeden farklı ise G’ye bağlı grupoid denir. == Örnekler == === Grup Olarak Grupoid === Her grup bir grupoiddir. Örnek olarak (\Z ,+) grubunu düşünelim. Grupoidin grup teorisindeki tanımını kullanarak bu grubun bir grupoid olduğunu gösterelim. \Z kümesini ve \+ \colon \Z \times \Z \to \Z operatörünü ele alacağız. Rastgele a, b, c \in \Z alalım. (i) Bileşim: (a+b) ve (b+c)’nin tanımlı olduğunu biliyoruz. O halde +’nın Z üzerinde bileşim özelliğini sağladığından (a + b) + c = a + (b + c) elde edilir. (ii) Tersinirlik: Her a \in \Z için a^{-1} vardır ve a^{-1} =-a \in \Z olur. Bunun yanı sıra (-a) + a = 0 \in \Z, a + (-a) = 0 \in \Z özellikleri de sağlanır. (iii) Özdeşlik: (a + b) tanımlı olduğu için • a+b+b^{-1} =a+0 =a , • a^{-1} +a+b =0+b =b olur. Sonuç olarak ( \Z, +) bir grupoiddir. === Lineer Fonksiyonlar === Nesneleri vektör uzayları ve morfizmaları birebir ve örten lineer (doğrusal) fonksiyonlar olan bir G kategorisi grupoid belirtir. Kategori teorisindeki grupoid tanımını kullanarak G’in bir grupoid olduğunu gösterelim. (i) \operatorname{ob}(G) = \left\\{ V \mid V\ \text{bir vektör uzayı} \right\\}. (ii) \operatorname{mor}(G) = \left\\{ T\colon V \to W \mid T \text{ birebir ve örten lineer fonksiyon} \right\\} (iii) Rastgele bir V \in \operatorname{ob}(G) nesnesi alalım. Bariz bir şekilde \operatorname{id}_V \colon V \to V birim fonksiyonu birebir, örten ve lineer olduğundan \operatorname{id}_V \in \operatorname{mor}(G) olur. (iv) Herhangi üç V, U, W \in \operatorname{ob}(G)nesneleri alalım. \operatorname{mor}(G) kümesinden T_1 \colon V \to U ve T_2 \colon U \to W şeklinde tanımlı iki morfizma düşünelim. T_1 ve T_2’nin birebir, örten ve lineer fonksiyonlar olduğunu biliyoruz. T_2 T_1 \colon V \to W şeklinde tanımlı bileşke fonksiyonunun birebir, örten ve lineer olduğunu göstermeliyiz. • İki birebir fonksiyonun bileşkesi de birebir olacağından ve T_1 ile T_2 birebir olduğundan ötürü T_2 T_1 birebirdir. • İki örten fonksiyonun bileşkesi örten olduğundan T_2 T_1 örten bir fonksiyon olur. • İki lineer fonksiyonun bileşkesinin de lineer olduğu bilindiğinden T_2 T_1 de lineer bir fonksiyon olur. Sonuç olarak T_2 T_1 \in \operatorname{mor}(V, W) olur ve dolayısıyla > \operatorname{comp}_{V,U,W} \colon \operatorname{mor}(U,W) \times > \operatorname{mor}(U,V)\to \operatorname{mor}(V,W) öyle ki; > (T_2,T_1)\mapsto T_2T_1 şeklinde tanımlanabilir. (v) Herhangi iki V,U \in \operatorname{ob}(G) nesneleri ve rastgele bir T \in \operatorname{mor}(V,U) morfizması ele alalım. T birebir ve örten olduğundan T^{-1} \colon U \to V vardır. T lineer bir fonksiyon olduğundan T^{-1} de lineerdir. Sonuç olarak T^{-1} \in \operatorname{mor}(U, V) olur. Bu örnekte morfizmalar fonksiyon olduğundan rastgele alınan T_1 \in \operatorname{mor}(V,U), T_2 \in \operatorname{mor}(U,W) ve T_3 \in \operatorname{mor}(W, Z) morfizmaları için aşağıdaki özellikler de sağlanmaktadır: > •T_1 \operatorname{id}_V =T_1 , \operatorname{id}_U T_1 =T_1. •(T_3 T_2) T_1 > (x) = T_3 (T_2 T_1) (x), \forall x \in V . •T_1 T_1 ^{-1} > =\operatorname{id}_U ,T_1 ^{-1} T_1=\operatorname{id}_V . Sonuç olarak G bir grupoiddir. === Topolojik Uzay === Herhangi bir X topolojik uzayı ele alalım. Bu uzaydaki bir noktadan başka bir noktaya giden yollar kategori teorisinde bir grupoid belirtir. Bu yolların kümesine G diyerek nesneler ve morfizmalar kümelerini aşağıdaki gibi tanımlayalım: (i) \operatorname{ob}(G) = X (ii) \operatorname{mor}(G) = \left\\{ [ \varphi ] \mid \varphi \colon [0,1] \to X \text{ bir yol} \right\\}. Burada \operatorname{mor}(G) kümesi homotopi denklik sınıflarından oluşmaktadır. Rastgele bir [ \varphi ]\in \operatorname {mor}(G) aldığımızda bu eleman \varphi'ye homotopik olan yolları içermektedir. (iii) Rastgele bir x \in X nesnesi alalım. \operatorname{id}_x \colon x \to x fonksiyonunun x’ten x’e giden bir morfizma olduğunu gösterelim. \operatorname{id}_x \colon [0, 1] \to X fonksiyonu bir yol olup bariz bir şekilde \operatorname{id}_x \in [\operatorname{id}_x]olur. Sonuç olarak \operatorname{id}_x \in \operatorname{mor}G(x,x) denilir. (iv) Rastgele x, y, z \in \operatorname{ob}(G)alalım. Herhangi iki [\varphi_1] \in \operatorname{mor}G(x, y), [\varphi_2] \in \operatorname{mor}G(y, z) morfizmalarını düşünelim. O zaman > [\varphi_2][\varphi_1] \colon \operatorname{mor}G(y, z) > \times\operatorname{mor}G(x, y) \to \operatorname{mor}G(x, z) öyle ki > (\varphi_2, \varphi_1) \mapsto [\varphi_2][\varphi_1] [\varphi_2][\varphi_1] = [\varphi_2 \varphi_1] iyi tanımlıdır, çünkü \varphi_2 \varphi_1 \colon x \to z şeklinde X uzayında bir yol belirtir. Sonuç olarak [\varphi_2][\varphi_1] \in \operatorname{mor}G(x, z)’dir. (v) Rastgele x, y \in \operatorname{ob}(G) ve [\varphi] \in \operatorname{mor}G(x, y) alalım. Bariz bir şekilde [\varphi^{-1} ]\in \operatorname{mor}G(y, x)'dir. === Tanımların denkliği === Grupoidin grup teorisindeki tanımı ile kategori teorisindeki tanımı birbirine denktir. > İspatını yaparken, bir G grupoidi, kategori teorisindeki gibi tanımlansın > diyelim. Bu grupoidin grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını > göstereceğiz. G grupoidi kategori teorisindeki tanıma göre ikisi de boş > kümeden farklı nesneler kümesinden ve morfizmalar kümesinden oluşur. Bu > kümelere sırasıyla \operatorname{ob}(G) ve \operatorname{mor}(G) diyelim. > Rastgele bir x \in \operatorname{ob}(G) nesnesi alalım. x’ten x’e giden > morfizmaların kümesi \operatorname{mor}(x,x)'in bileşim, tersinirlik ve > özdeşlik özelliklerini sağladığını gösterelim. (i) Bileşim: Rastgele \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3 \in \operatorname{mor}(x,x) alalım. G’nin kategori teorisindeki tanımına göre \varphi_1 \varphi_2 ve \varphi_2 \varphi_3 tanımlıdır. Yine kategori teorisindeki tanıma göre (\varphi_1 \varphi_2)\varphi_3 = \varphi_1(\varphi_2 \varphi_3) özelliği sağlanır. (ii) Tersinirlik: Herhangi bir \varphi \in \operatorname{mor}(x,x) morfizması alalım. Kategori teorisindeki tanıma göre her morfizmanın tersi vardır. Dolayısıyla \varphi’nin de tersi vardır ve \varphi^{-1} \colon x \to x olur. Bu yüzden \varphi^{-1} \in \operatorname{mor}(x,x). Tekrar kategori teorisindeki tanıma göre \varphi \varphi^{-1} = id_x ve \varphi^{-1} \varphi = id_x olur. Sonuç olarak tersinirlik özelliği sağlanır. (iii) Özdeşlik: Herhangi iki \varphi_1 , \varphi_2 \in \operatorname{mor}(x,x) morfizmaları alalım. \varphi_1 \varphi_2 \in \operatorname{mor}(x,x) olduğunu biliyoruz. O halde > • \varphi_1 \varphi_2 \varphi_2^{-1} = \varphi_1 id= \varphi • \varphi_1 > ^{-1} \varphi_1 \varphi_2 = id \varphi_2 = \varphi_2 • ( > \varphi_1^{-1})^{-1} = \varphi_1 ve • (\varphi_1 \varphi_2)^{-1} = > \varphi_2^{-1} \varphi_1^{-1} özellikleri sağlanır. Şimdi de grup > teorisindeki tanımın özelliklerini sağlayan G grupoidinin kategori > teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını gösterelim. * operatörünü > fonksiyon bileşkesi olarak düşünerek nesneler ve morfizmalar kümesini > oluşturalım. f, g \in \operatorname{mor}(x,x) olacak şekilde; (i) \operatorname{ob}(G) = \left\\{ ff^{-1} \mid f \in G \right\\} (ii) \operatorname{mor}(ff^{-1}, gg^{-1}) = \left\\{ \alpha \in G \mid \exist ff^{-1} \alpha , \exist \alpha gg^{-1} \right\\} kümeleri G grupoidinin sırasıyla nesneler ve morfizmalar kümeleridir. Böylece, kategori teorisindeki grupoid tanımına göre (i) ve (ii) sağlanmış olur. (iii) Rastgele bir ff^{-1} \in \operatorname{ob}(G) nesnesi olsun. id_{ff^{-1}} \colon ff^{-1} \to ff^{-1} şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyonun \operatorname{mor}(ff^{-1}, ff^{-1}) kümesinin bir elemanı olduğunu gösterelim. G’nin grup teorisindeki grupoid tanımından dolayı ff^{-1} id_{ff^{-1}} = ff^{-1} \in G ve id_{ff^{-1}} ff^{-1} = ff^{-1} \in G özellikleri sağlanacağından id_{ff^{-1}} \in \operatorname{mor}(ff^{-1}, ff^{-1}) olur. (iv) Herhangi üç ff^{-1},gg^{-1},hh^{-1} \in \operatorname{ob}(G) nesnelerini ele alalım. Rastgele iki \alpha_1 \in \operatorname{mor}(ff^{-1}, gg^{-1}), \alpha_2 \in \operatorname{mor}(gg^{-1},hh^{-1}) morfizmaları olsun. \alpha_2 \alpha_1’nın \operatorname{mor}(ff^{-1}, hh^{-1}) olduğunu gösterelim. \alpha_2, \alpha_1 \in G olduğundan \alpha_2 \alpha_1 \in G olur dolayısıyla ff^{-1} \alpha_2 \alpha_1 \in G ve \alpha_2 \alpha_1 hh^{-1} elde edilir. Sonuç olarak, \alpha_2 \alpha_1 \in \operatorname{mor}(ff^{-1}, hh^{-1}) olur. (v) Rastgele ff^{-1},gg^{-1} \in \operatorname{ob}(G) nesneleri ve \alpha \in \operatorname{mor}(ff^{-1}, gg^{-1}) morfizmasını ele alalım ve \alpha_1 \in \operatorname{mor}(gg^{-1}, ff^{-1}) olduğunu gösterelim. G, grup teorisindeki grupoid tanımını sağladığından \alpha^{-1} \in G olmaktadır. \alpha \in \operatorname{mor}(ff^{-1}, gg^{-1}) olduğundan ff^{-1} \alpha \in G ve \alpha gg^{-1} \in G sağlanmaktadır. Yine G’nin sağladığı tanımdan dolayı gg^{-1} \alpha^{-1} = (\alpha gg^{-1})^{-1} ve \alpha^{-1} ff^{-1} = (ff^{-1} \alpha)^{-1} olduğu görülür. Sonuç olarak gg^{-1} \alpha^{-1} , \alpha^{-1} ff^{-1} \in G sağlanarak \alpha^{-1} \in \operatorname{mor}(gg^{-1}, ff^{-1}) elde edilmiş olur. Öte yandan \operatorname{ob}(G) kümesi üzerinde ff^{-1} \sim gg^{-1} \Leftrightarrow ff^{-1} = gg^{-1} olacak şekilde bir \sim ilişkisi vardır. Sonuç olarak G bir kategoridir. == Önermeler == Denklik bağıntısı ile ilişkisi \sim ilişkisi, \operatorname{ob}(G) üzerinde bir denklik bağıntısıdır. > Kanıtını şöyle açıklayabiliriz: f \in \operatorname{mor}_G(x, x) olan > rastgele bir ff^{-1} \in \operatorname{ob}(G) alalım. Bariz bir şekilde > ff^{-1} olur. Dolayısıyla gg^{-1} \sim ff^{-1} ’dir. Böylelikle \sim > bağıntısının simetri özelliğini sağladığı görülür.Rastgele ff^{-1} , > gg^{-1} , hh^{1} \in \operatorname{ob}(G) alalım. ff^{-1} \sim gg^{-1} ve > gg^{-1} \sim hh^{-1} olduğunu varsayalım ve ff^{-1} \sim hh^{-1} olduğunu > gösterelim. ff^{-1} \sim gg^{-1} ve gg^{-1} \sim hh^{-1} olduğundan; > ff^{-1} = gg^{-1} ve gg^{-1} = hh^{-1} olur. Buradan da ff^{-1} = hh^{-1} > eşitliğine ulaşılır. Dolayısıyla ff^{-1} \sim hh^{-1} ’dir. Sonuç olarak > \sim ilişkisi \operatorname{ob}(G) kümesi üzerinde bir denklik > bağıntısıdır. Morfizma Kümesi ve Grup İlişkisi Kategori teorisel herhangi bir G grupoidi alalım. Her x \in \operatorname{ob}(G) nesnesi için \operatorname{mor}(x, x) kümesi bir gruptur. > Kanıtını açıklayalım; • Kapalılık: Rastgele f,g \in \operatorname{mor}(x, > x) alalım. fg bileşke fonksiyonu da x’ten x’e giden bir morfizma olacağından > \operatorname{mor}(x, x) kümesi bileşke işlemi altında kapalıdır. • Bileşim: > Herhangi f,g,h \in \operatorname{mor}(x, x) alalım. G grupoidinin kategori > teorisindeki tanımına göre f(gh) = (fg)h eşitliği sağlandığından bileşke > işlemi \operatorname{mor}(x, x) kümesi içinde bileşim özelliğini sağlar. • > Birim eleman: G grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre her x \in > \operatorname{ob}(G) nesnesi için \operatorname{id}_x \in > \operatorname{mor}(x, x) olduğundan ve f \operatorname{id}_x = f, > \operatorname{id}_x f = f özellikleri sağlandığından birim eleman > \operatorname{id}_x vardır ve tektir. • Ters eleman: Rastgele bir f \in > \operatorname{mor}(x, x) alalım. G’nin kategori teorisindeki tanımından > f^{-1} \in \operatorname{mor}(x, x)’dir ve ff^{-1} = \operatorname{id}_x > ve f^{-1}f = \operatorname{id}_x olmaktadır. Morfizma Kümesi ve Grup İzomorfizma İlişkisi G bağlı bir grupoid olsun. Rastgele x, y \in \operatorname{ob}(G) alalım. Bir \eta \in \operatorname{mor}(y, x) morfizması için \varphi_{ \eta } \colon \operatorname{mor}(x, x) \to \operatorname{mor}(y, y) öyle ki \gamma \mapsto \eta \gamma \eta^{-1} bir grup izomorfizmasıdır. Yani: (i) \varphi_{ \eta } bir grup homomorfizmasıdır. (ii) \varphi_{ \eta } birebirdir. (iii) \varphi_{ \eta } örtendir. > Kanıtını şöyle açıklayabiliriz: * Rastgele \gamma_1 \gamma_2 \in > \operatorname{mor}(x, x) alalım. O halde, \varphi_{ \eta } ( \gamma_1 > \gamma_2) = \eta \gamma_1 \gamma_2 \eta^{-1} = \eta \gamma_1 \eta^{-1} \eta > \gamma_2 \eta^{-1} = \varphi_{ \eta } (\gamma_1) \varphi_{ \eta } > (\gamma_2) Sonuç olarak \varphi_{ \eta } bir grup homomorfizmasıdır. * > Herhangi iki \gamma_1 \gamma_2 \in \operatorname{mor}(x, x) alalım ve > \varphi_{ \eta } (\gamma_1) = \varphi_{ \eta } (\gamma_2) olsun. O halde, > \eta \gamma_1 \eta^{-1} = \eta \gamma_2 \eta^{-1} \gamma_1 \eta^{-1} = > \gamma_2 \eta^{-1} Buradan da \gamma_1 = \gamma_2 elde edilir. O halde > \varphi_{ \eta } birebirdir. * Görüntü kümesinden yani \operatorname{mor}(y, > y)’den bir f elemanı alalım. O halde öyle bir \gamma \in > \operatorname{mor}(x, x) arıyoruz ki \varphi_{ \eta }( \varphi ) = f > olsun. O halde \gamma = \eta^{-1} f \eta alırsak; \varphi_{ \eta }( \gamma > ) = \varphi_{ \eta }( \eta^{-1} f \eta ) = \eta ( \eta^{-1} f \eta ) > \eta^{-1} = (\eta \eta^{-1} )f ( \eta \eta^{-1} ) = f olur. O halde > \varphi_{ \eta } örtendir. Sonuç olarak \varphi_{ \eta } bir grup > izomorfizmasıdır. == Temel gruba geçiş == Rastgele bir x \in için \operatorname{mor}(x, x) grubuna G grupoidinin temel grubu adı verilir. Kategori:Cebir Kategori:Kategori teorisi Kategori:Grup teorisi