Toplama

Toplama işlemi (genellikle toplama işareti ile sembolize edilir) dört ana aritmetik işlemden biridir. Diğer aritmetik işlemler çıkarma, çarpma ve bölmedir. İki doğal sayının toplaması sayı değerlerinin toplamını üretir. Yandaki resimdeki örnek, toplamda beş elma oluşturan üç elma ve iki elmanın toplamasını göstermektedir. Bu gözlem, matematik ifadesi ile olarak ifade edilir (sözlü olarak "3 artı 2 eşittir 5.) Toplama, öğeleri saymanın yanı sıra, somut nesnelere atıfta bulunmadan, tamsayılar, reel sayılar ve karmaşık sayılar gibi sayılar olarak adlandırılan soyutlamalar kullanılarak da tanımlanabilir ve yürütülebilir. Toplama, matematiğin bir dalı olan aritmetiğe aittir. Matematiğin başka bir dalı olan cebirde, vektörler, matrisler, alt uzaylar ve altöbek gibi soyut nesneler üzerinde de toplama yapılabilir. Toplama işleminin birkaç önemli özelliği vardır. Toplama, değişme özelliğine sahiptir; bu, terimlerin sırasının işlem sonucu için önemli olmadığı anlamına gelir (ör. 1 + 2 = 2 + 1.) Toplama, birleşme özelliğine de sahiptir; bu, ekleme işleminin sırasının önemli olmadığı anlamındadır (ör. (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3).) 1 sayısının tekrar tekrar eklenmesi, sayı sayma ile aynıdır. 0 sayısının eklenmesi, toplama işleminin sonucunu değiştirmez. ==Notasyon ve terminoloji== right|120px|küçükresim|Toplama işareti Toplama işlemi, terimler arasına yerleştirilen toplama işareti ile gösterilir (i.e. ayraçlı yazım). Toplama işlemi sonucu da eşittir işareti ile belirtilir. Örneğin: :1 + 1 = 2 ("bir artı bir eşittir iki") :2 + 2 = 4 ("iki artı iki eşittir dört") :1 + 2 = 3 ("bir artı iki eşittir üç") :5 + 4 + 2 = 11 (birleşme özelliği) :1 + 2 = 2 + 1 = 3 (değişme özelliği) :3 + 3 + 3 + 3 = 12 (çarpma işlemi) right|küçükresim|Sütun toplaması – sütunlardaki sayıların toplamı alt çizginin altına yazılan sayıdır. Hiçbir toplama işareti görünmemesine rağmen toplama işleminin "anlaşıldığı" durumlar da vardır. Örneğin, bir tam sayı ile bir kesir toplama işareti olmaksızın yan yana konursa, karma kesir adı verilen bir toplama işlemi oluşur:Devine et al. p. 2633\frac{1}{2}=3+\frac{1}{2}=3.5. Fakat, yukarıdaki bu simgelem başka bağlamlarda çarpma işlemi ile karıştırılabilir.Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton University Press, 2014. p. 161 Seri toplamı da büyük sigma harfi ile belirtilebilir; bu simgelem iterasyonu kompakt şekilde simgeler. Örneğin: :\sum_{k=1}^5 k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55. Toplama işareti "+" (Unicode:U+002B; ASCII: `&#43;`), "ve" anlamına gelen Latince "et" kelimesinin kısaltmasıdır. İşaret, 1489 senesine kadarki matematik çalışmalarda görülmektedir. ==Özellikler== ===Değişme özelliği=== right|113px|küçükresim|4 + 2 = 2 + 4 Toplama işlemi, değişme özelliğine sahiptir: işlem içindeki terimlerin dizilişinin değiştirilmesi işlem sonucunu değiştirmez. Değişme özelliği, a ve b herhangi iki sayı olmak üzere, şu şekilde ifade edilebilir: :a + b = b + a. Bu özellik, "değişme yasası" olarak da adlandırılır. Kimi diğer ikili işlemler de değişme özelliğine sahiptir (ör. çarpma); ancak çıkarma ve bölme gibi işlemler de değişmeli değildir. ===Birleşme özelliği=== left|100px|küçükresim|2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 Toplama işlemi, birleşme özelliğine sahiptir: üç veya daha çok terimli bir toplama işleminde, işlem sırası işlem sonucunu değiştirmez. Birleşme özelliği, a, b ve c herhangi üç sayı olmak üzere, şu şekilde ifade edilebilir: :a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c). Toplama işlemi, diğer işlemlerle birlikte kullanıldığında işlem sırası önem kazanabilir. Standart işlem düzeninde toplama, üs alma, kök alma, çarpma ve bölmeden daha az önceliktedir; ancak, çıkarma ile eşit önceliğe sahiptir. ===Etkisiz eleman=== right|upright=0.33|küçükresim|5 + 0 = 5 Herhangi bir sayıya sıfır eklemek sayıyı değiştirmez; bu, sıfırın toplama için etkisiz eleman (aynı zamanda toplamsal birim olarak da bilinir) olduğu anlamına gelir. Sembolik olarak, her bir için, aşağıdaki eşitlik doğrudur: :. Bu yasa, ilk olarak Brahmagupta'nın Brahmasphutasiddhanta'sında M.Ö. 628 yılında tanımlanmıştır. Brahmagupta, bu yasayı a nın negatif, pozitif veya sıfır olmasına göre üç ayrı yasa olarak, cebirsel semboller yerine sözcükler kullanarak yapar. Zamanla, Hintli matematikçiler bu kavramı yeniden tanımlar; 830 senesinde Mahavira, yasayı, "sıfır, kendisine eklenen sayı olur," olarak tanımlar (Sembolik olarak: ). 12. yüzyılda Bhaskara, yasayı, "sayıya sıfırın eklenmesi veya çıkarılması sonucunda, pozitif veya negatif olsun, sayı aynı kalır," şeklinde tanımlamıştır (Sembolik olarak: ).Kaplan pp. 69–71 ===Ardıl=== Ardıl, herhangi bir tamsayısı için tamsayısı olarak tanımlanır. Burada, , 'dan büyük en küçük tamsayıdır ve 'nın ardılıdır. Örneğin, 3, 2'nin ardılıdır ve 7, 6'nın ardılıdır. Bu ardışıklık nedeniyle, 'nin değeri 'nın 'inci ardılı olarak da görülebilir. Örneğin, 8'e eşittir; çünkü 8, 6'nın ardılı olan 7'nin ardılıdır ve 8 de, 6'nın ikinci ardılıdır. ===Birimler=== Birimli fiziksel niceliklerin sayısal olarak eklenmesi için, bu niceliklerin aynı birime sahip olmaları gerekir. Örneğin, 150 mililitreye 50 mililitre eklemek 200 mililitre verir. Yanı sıra, birbirine dönüştürülebilen alt-üst birimleri de birbirine eklemek mümkündür. Örneğin, 5 santimetrelik bir niceliğe 10 milimetre eklemek 6 santimetre verir. Fakat, alt-üst birim ilişkisi olmayan birimlerin arasında ekleme işlemi yapılamaz. Örneğin, 2 metre ile 10 metrekareyi toplamak tanımsızdır. Bu kural, boyut analizinin temel kurallarından biridir. ==Toplama işlemi yapma== ===Doğuştan gelen kabiliyetler=== 1980'lerde başlayan matematiksel gelişim çalışmaları, uyarana karşı alışkanlık kazanma olgusundan yararlanmıştır. Karen Wynn'in 1992'de yaptığı bir deney, bebeklerin beklenmedik durumlara daha uzun süre bakakalıyor olmalarına dayanmıştır.Wynn p. 5 Bu deneyde, bazı Mickey Mouse oyuncakları bir ekranın arkasından farklı düzenlerde beş aylık bebeklere gösterilmiş; bebeklerin 'in 2 olduğunu bekledikleri ve 'in 1 veya 3 olarak gösterildiği düzenlerde nispeten şaşırdıkları gözlemlenmiştir. Bu bulgu, bu ilk deneyden beri farklı metodolojiler kullanılarak çeşitli gruplar tarafından teyit edilebilmiştir.Wynn p. 15 1992 yılında bir başka deneyde ise yürümeye yeni başlayan çocukların motor kontrol kabiliyetlerinden yararlanılmıştır. Bu deneyde, 18-35 aylık çocukların bir kutudan ping-pong topları almaları sağlanmış; nispeten büyük çocukların 5'e kadar toplama işlemi yapabildikleri gözlemlenmiştir.Wynn p. 17 Bazı hayvanlar türleri de, özellikle primatlar, kısıtlı bir toplama kabiliyetine sahiptir. Wynn'e ait 1992 deneyini hayvanlar üzerinde uygulayan 1995 yılında yapılan bir deneyde, oyuncak yerine patlıcan kullanılmış; hint şebeği ve pamuk-başlı tamarin maymunlarının bebeklere benzer bir performans gösterdiği gözlemlenmiştir. Bir diğer deneyde ise, 0 ila 4 arası Arap rakamlarının öğretildiği bir şempanze, daha fazla öğretim almadan iki farklı rakamı toplayabilme kabiliyeti gösterebilmiştir.Wynn p. 19 Yanı sıra, Asya fillerinin de temel aritmetik işlem yapma kabiliyetine sahip oldukları haberleştirilmiştir. ===Çocukluk döneminde öğrenim=== Genellikle, çocuklar önce saymayı öğrenir. Örneğin, iki öğe ile üç öğenin bir araya getirilmesi gereken bir problem sorulduğunda, küçük çocuklar genellikle parmaklarını kullanarak ya da bir çizim vasıtasıyla durumu modeller ve toplama ulaşırlar. Çocuklar, deneyim kazandıkça, "sayma" stratejisini öğrenirler veya keşfederler: 'iki artı üç' sorusunun sonucu olan beşe, çocuklar, ikiyi "üç, dört, beş" diye üç kere geçerek varırlar. Bu stratejinin evrensel olduğu düşünülmektedir ve çocukların bunu akranlarından ya da öğretmenlerinden kolayca öğrenebildikleri belirtilmektedir.F. Smith p. 130 Tam sayılar ve aritmetik öğretimi farklı ülkelerde farklı yaşlarda başlatılmaktadır; toplama ise pek çok ülkede okul öncesi eğitime dahildir. Beckmann, S. (2014). The twenty-third ICMI study: primary mathematics study on whole numbers. International Journal of STEM Education, 1(1), 1-8. Chicago Fakat, toplama işlemi, dünyanın her yerinde, ilkokulun ilk yılının sonuna kadar öğretilmiş olmaktadır.Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). "A coherent curriculum". American Educator, 26(2), 1–18. ====Tablo==== Genellikle, çocuklara ezberlemeleri için, 0 ve 9 arası sayı çiftlerinin bulunduğu bir toplama tablosu sunulur. Bu tabloyu öğrenen çocuklar herhangi bir toplama işlemini yapabilir. \+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ===Ondalık sistem=== Toplamayı hızlandırmak ondalık sistem ile mümkündür. Bunun ön koşulu, birtakım "toplama olgularının" akıcı bir şekilde hatırlanması veya türetilmesidir. Bu olgular ezberlenebilirse de; bu olguların yapı-tabanlı teknikler ile hatırlanması çoğu kişi için daha verimli olabilir.Fosnot and Dolk p. 99 Bu olgular şunlardır: * Bir veya iki eklemesi: 1 veya 2 tam sayısını bir başka sayıya eklemek, sezgi ile gerçekleştirilebilir. ===Taşıma=== Çok basamaklı tam sayıları toplamak için standart yöntem, toplananları dikey olarak hizalamak ve en sağdaki sütundan başlayarak sütundaki rakamları toplamaktır. Eğer bir sütundaki toplama işlemi dokuzu aşarsa, soldaki komşu sütuna eklenmek üzere bir rakamı "taşınır." Örneğin, aşağıdaki toplama işleminde ¹ 27 \+ 59 ———— 86 en sağdaki sütun toplamı 7 + 9 = 16 olur ve 1 rakamı komşu sol sütuna taşınır. ===Ondalık taban=== Ondalık kesirler yukarıdaki işlemin basit bir modifikasyonu ile toplanabilirler.Rebecca Wingard-Nelson (2014) Decimals and Fractions: It's Easy Enslow Publishers, Inc. İki ondalık kesir, ondalık noktası aynı hizada olacak şekilde üst üste konumlanır. Gerekirse, ondalık kısmı daha kısa olan sayıya diğer sayı ile aynı uzunlukta olması için sıfır eklemlenebilir. Son olarak, ondalık noktasının aynı hizada olması sağlanarak 'taşıma' yöntemiyle toplama işlemi gerçekleştirilir. Örnek olarak, 45.1 + 4.34 işlemi şu şekilde toplanabilir: 4 5 . 1 0 \+ 0 4 . 3 4 ———————————— 4 9 . 4 4 ====Bilimsel gösterim==== Bilimsel gösterimde, reel sayılar x=a\times10^{b} şeklinde yazılır. Bu terimde, a tabandır ve 10^{b} 'üs'tür. Toplama, sayıların aynı üslere sahip olmasını gerektirir. Bu sayede, tabanlar basitçe toplanabilir. Örneğin: :2.34\times10^{-5} + 5.67\times10^{-6} = 2.34\times10^{-5} + 0.567\times10^{-5} = 2.907\times10^{-5} ===Ondalık-olmayan tabanlarda işlemler=== Ondalık-olmayan tabanlarda toplama, ondalık tabandaki toplamaya benzerdir. Buna ikili tabanda toplama örnek gösterilebilir.Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra (2008) Electronic Digital System Fundamentals The Fairmont Press, Inc. p. 155 Tek basamaklı ikili sayıları eklemek, yukarıda bahsedilen 'taşıma' yöntemiyle gerçekleştirilebilir: :0 + 0 → 0 :0 + 1 → 1 :1 + 0 → 1 :1 + 1 → 0, 1 taşınır (1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 21)) İkili tabanda, iki "1" rakamının eklenmesi "0" rakamını üretir; bir sonraki sütuna da 1 eklenir. Bu, ondalık tabanda belirli rakamların eklenmesinde de görülür Eğer bir sütun toplamı '10' sayısına eşit veya bu sayıdan büyükse, sol sütuna 1 eklenir: :5 + 5 → 0, 1 taşınır (5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 101)) :7 + 9 → 6, 1 taşınır (7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 101)) Bu yöntem 'taşıma' (İngilizce carrying) olarak bilinir.P.E. Bates Bothman (1837) The common school arithmetic. Henry Benton. p. 31 == Sayıların toplanması == Toplama işleminin genel özelliklerini kanıtlamak için, öncelikle söz konusu bağlamda toplama işleminin tanımı yapılmalıdır. İlk olarak, toplama işlemi doğal sayılar üzerinde tanımlanır. Daha sonra, bu tanımlama, küme teorisi içinde, doğal sayılardan daha büyük kümelere genişletilir: tamsayılar, rasyonel sayılar ve gerçek sayılar gibi. (Matematik eğitiminde,En yüksek TIMSS matematik testi puanlarına sahip ülkelerin bir anketine göre; bkz. Schmidt, W., Houang, R. & Cogan, L. (2002). A coherent curriculum. American educator, 26(2), s. 4. negatif sayılar ele alınmadan önce pozitif kesirler toplanır; bu aynı zamanda tarihsel bir yaklaşımdır.Baez (s. 37), "küme teorisi sunumu ile keskin bir tezat oluşturan" tarihsel gelişmeyi şöyle açıklar: "Görünüşe göre, yarım elma negatif bir elmadan daha kolay anlaşılır!") ===Doğal sayılar=== İki doğal sayının a ve b toplamını tanımlamanın iki yaygın yolu vardır. Doğal sayıların sonlu kümelerin kardinal sayıları olduğu şeklinde tanımlanması durumunda (bir kümenin kardinalitesi kümenin içerdiği öğelerin sayısıdır), toplama işlemi aşağıdaki şekilde tanımlanabilir: * N(S), S kümesinin kardinal sayısı olsun. A ve B, ve olacak şekilde ayrık iki küme seçilir. Bu durumda , N(A \cup B) olarak tanımlanır.Begle s. 49, Johnson s. 120, Devine et al. s. 75 == Formel tanım == Toplama işlemi, yinelemeli olarak şöyle tanımlanabilir: : \sum_{i=a}^b g(i)=0 \,,for b < a. : \sum_{i=a}^b g(i)=g(b)+\sum_{i=a}^{b-1} g(i),for b ≥ a. == Özdeşlikler == Aşağıdaki formüller, sonlu toplamlar için geçerlidir. === Genel özdeşlikler === : \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n), sabit C : \sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right] \; : \sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right] \; : \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+p}^{t+p} f(n-p) \; : \sum_{n\in B} f(n) = \sum_{m\in A} f(\sigma(m)), bir önceki özdeşliğin genel formu : \sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n) \; : \sum_{i=k_0}^{k_1}\sum_{j=l_0}^{l_1} a_{i,j} = \sum_{j=l_0}^{l_1}\sum_{i=k_0}^{k_1} a_{i,j} \; : \sum_{k\le j \le i\le n} a_{i,j} = \sum_{i=k}^n\sum_{j=k}^i a_{i,j} = \sum_{j=k}^n\sum_{i=j}^n a_{i,j} = \sum_{j=0}^{n-k}\sum_{i=k}^{n-j} a_{i+j,i} \; : \sum_{n=0}^t f(2n) + \sum_{n=0}^t f(2n+1) = \sum_{n=0}^{2t+1} f(n) \; : \sum_{n=0}^t \sum_{i=0}^{z-1} f(z\cdot n+i) = \sum_{n=0}^{z\cdot t+z-1} f(n) \; : \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j \; : \sum_{n=s}^t \ln f(n) = \ln \prod_{n=s}^t f(n) \; : c^{\left[\sum_{n=s}^t f(n) \right]} = \prod_{n=s}^t c^{f(n)} \; : \left(\sum_{k=0}^{n} a_k\right) \cdot \left(\sum_{k=0}^{n} b_k\right)=\sum_{k=0}^{2n} \sum_{i=0}^k a_ib_{k-i} - \sum_{k=0}^{n-1} \left(a_k \sum_{i=n+1}^{2n-k}b_i +b_k \sum_{i=n+1}^{2n-k} a_i\right) === Bazı polinom terimlerin toplamları === : \sum_{i=m}^n 1 = n+1-m \, : \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = H_n : \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^k} = H^k_n : \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2} : \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} : \sum_{i=0}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6} : \sum_{i=0}^n i^3 = \left[ \ \\! \sum_{i=0}^n i \, \right]^2 = \left[ \,\\! \frac{n \\!\, (n+1)}{2} \,\\! \right]^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} \, : \sum_{i=0}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} + \frac{n^3}{3} - \frac{n}{30} \, : \sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1}, B_k Bernoulli sayısını temsil etmektedir. Devamındaki formüller aşağıdaki formülden türetilmiştir. : \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2 herhangi bir doğal sayı ile başlayan seriler için genelleştirilirse (i.e., m \in \mathbb{N} ): : \left(\sum_{i=m}^n i\right)^2 = \sum_{i=m}^n ( i^3 - im(m-1) ) \, : \sum_{i=m}^n i^3 = \left(\sum_{i=m}^n i\right)^2 + m(m-1)\sum_{i=m}^n i \, === Eksponensiyel terim içeren bazı toplama özdeşlikleri === IAşağıdaki özdeşliklerde, a 1'e eşit olmayan sabit bir sayıdır: : \sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a} : \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} (indeksi i=0 ile başlayan geometrik seriler) : \sum_{i=0}^{n-1} i a^i = \frac{a-na^n+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^2} \, : \sum_{i=0}^{n-1} i 2^i = 2+(n-2)2^{n} (a = 2) : \sum_{i=0}^{n-1} \frac{i}{2^i} = 2-\frac{n+1}{2^{n-1}} (a = 1/2) === Binom katsayı ve faktöriyel içeren bazı toplama özdeşlikleri === : \sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n \, : \sum_{i=1}^{n} i{n \choose i} = n2^{n-1} \, : \sum_{i=0}^{n} i!\cdot{n \choose i} = \sum_{i=0}^{n} {}_{n}P_{i} = \lfloor n! \cdot e \rfloor, \quad n \in \mathbb{Z}^+ \, : \sum_{i=0}^{n} {i \choose k} = {n+1 \choose k+1} \, : \sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i=(a + b)^n, (Binom Teorem)) : \sum_{i=0}^n i\cdot i! = (n+1)! - 1 \, : \sum_{i=1}^n {}_{i+k}P_{k+1} = \sum_{i=1}^n \prod_{j=0}^k (i+j) = \frac{(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)} \, : \sum_{i=0}^n {m+i-1 \choose i} = {m+n \choose n} \, == Büyüme hızları == Birtakım yararlı yaklaştırım özdeşlikleri aşağıda theta notasyonu ile belirtilmiştir: : \sum_{i=1}^n i^c \in \Theta(n^{c+1}) -1'den büyük reel c sayıları için : : \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \in \Theta(\log n) : : \sum_{i=1}^n c^i \in \Theta(c^n) 1'den büyük reel c sayıları için : : \sum_{i=1}^n \log(i)^c \in \Theta(n \cdot \log(n)^{c}) negatif-olmayan reel c sayıları için : : \sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d \in \Theta(n^{d+1} \cdot \log(n)^{c}) negatif-olmayan reel c, d sayıları için : : \sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d \cdot b^i \in \Theta (n^d \cdot \log(n)^c \cdot b^n) negatif-olmayan reel b > 1, c, d sayıları için == Kaynakça == Kategori:Matematik terimleri Kategori:Aritmetik