Lambert W fonksiyonu

Matematikte, Lambert W fonksiyonu, aynı zamanda Omega fonksiyonu veya çarpım logaritması olarak da bilinen bir fonksiyon kümesidir. f(w) = wew fonksiyonunda ew üstel fonksiyon ve w herhangi bir karmaşık sayı olmak üzere, bu fonksiyonun tersinin şubelerini ifade eder. :z = W(z)e^{W(z)} : Y = A e ^ A \; \Longleftrightarrow \; A = W(Y) :z(1+W)\frac{{\rm d}W}{{\rm d}z}=W\quad\text{for }z eq -1/e. :\frac{{\rm d}W}{{\rm d}z}=\frac{W(z)}{z(1 + W(z))}\quad\text{for }z ot\in\\{0,-1/e\\}. :\left.\frac{{\rm d}W}{{\rm d}z}\right|_{z=0}=1. W(x) Fonksiyonun integrali şu şekildedir. :\int W(a)\,{\rm d}a = a \left( W(a) - 1 + \frac{1}{W(a)} \right) + C. Lambert W Fonksiyonun Serisi: : W (a) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ a^n = a - a^2 + \frac{3}{2}a^3 - \frac{8}{3}a^4 + \frac{125}{24}a^5 - \cdots . Doğal logaritma tabanı e w türünden özelliği: e^{W(a)}=\left ( \frac{a}{W(a)} \right ) İntegrali ise: :\int e^{W(a)}\,{\rm d}a = a^2 (1+2 W(a)) \frac{1}{4W(a)^2} + C. : Lambert W Fonksiyonun yaklaşık değeri: : W_0(x) \approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))/\ln(x) : Lamber W Fonksiyonun sürekli kesri: : xe^x=y \Rightarrow e^x=\frac{y}{x} \Rightarrow x=ln(\frac{y}{x}) şimdi bu denklemde sol taraftaki x i sağ taraftaki x in yerine sonsuza kadar yazılırsa sürekli kesir meydana gelir. : x = ln\cfrac{y}{ln\cfrac{y}{ln\cfrac{y}{lny_\ddots}}} o zaman xe^x=y \Rightarrow x=W(y) şimdi yerine yazılırsa sonuç: W(y)= ln\cfrac{y}{ln\cfrac{y}{ln\cfrac{y}{lny_\ddots}}} Bazı Değerler W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}{\rm{i}} W\left(-\frac{\ln a}{a}\right)= -\ln a \quad \left(\frac{1}{e}\le a\le e\right) W_{-1}\left(-\frac{\ln a}{a}\right)=-\ln a\quad \left(a\geqslant e\right) W_0\left(A{\ln A}\right)=\ln A\quad \left(A\geqslant \frac1e\right) W\left(-\frac{1}{e}\right) = -1 W\left(0\right) = 0\, W\left(1\right) = \Omega=\frac{1}{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{{\rm{d}}x}{(e^x-x)^2+\pi^2}}-1\approx 0.56714329\dots\, (Omega Sabiti) W\left(e\right) = 1\, W\left(-1\right) \approx -0.31813-1.33723{\rm{i}} \, W'\left(0\right) = 1\, W\left(2\right) = 0.852605502013725...\, :Lambert W Fonksiyonuyla ilgili örnekler: : Örnek : 1 : f(x)exp(f(x))=y \Rightarrow f(x)=W(y) yola çıkarak x.e^x=2 \Rightarrow x=W(2) : Örnek : 2 : (m+8).exp(m+8)=ln5 \Rightarrow m+8=W(ln5) \Rightarrow m=W(ln5)-8 : (Burada exp(a)=e^a demektir.) : Örnek : 3 : x^x=6 \Rightarrow xlnx=ln6 burada hayal gücünü kullanarak her iki tarafın doğal logaritması alındı x=e^lnx şeklinde olursa ki bu örnek : 1 deki formüle benzetmek için. Kesinlikle ezberletme yok sadece örnek 1 deki formüle benzetmek yeterli. : [lnx]exp(lnx)=ln6 \Rightarrow ln(x)=W(ln6) \Rightarrow x=exp(W(ln6)) (Burada lnx=f(x) e ve y=ln6 oldu.) : Örnek : 4 : 3^x=8x denkleminin çözümü için her iki tarafın doğal logaritması alınırsa xln3=ln(8x) \Rightarrow ln3=\frac{1}{x} ln(8x) \Rightarrow \frac{ln3}{8} =\frac{1}{8x} ln(8x) yandaki denklem 1/(8x) ile çarpıldı . Her iki tarafın -1 ile çarpılırsa -\frac{ln3}{8} =\frac{1}{8x} ln(\frac{1}{8x} ) \Rightarrow \frac{1}{8x}=exp(ln\frac{1}{8x}) lambert W Fonksiyonuna uygun bir denklem elde edildi bu denklem -\frac{ln3}{8} = \frac{1}{8x}exp(ln\frac{1}{8x}) ln(\frac{1}{8x} ) \Rightarrow ln[\frac{1}{8x}]=W(-\frac{ln3}{8}) (Burada f(x)=ln(1/(8x)) ve y=-(ln3)/8 oldu formül uygulandı.) Son denklemde x çekilirse \frac{1}{8x}=exp[W(-\frac{ln3}{8})] \Rightarrow x=\frac{1}{8.exp[W(-\frac{ln3}{8})]} olur. : Sonuç olarak: 3^x=8x \Rightarrow x=x=\frac{1}{8.exp[W(-\frac{ln3}{8})]} Bu değer W_0(y) ye göredir W_-1(y) değeride vardır. : ÖNEMLİ NOKTA : Yukarıdaki W(f(x)) fonksiyonların hepsi ProductLog(0, f(x)) göredir. Geneli ProductLog(a, b)=W_a(b) demektir. : i=\sqrt{-1} olmak üzere : Örnek olarak W_n(10) fonkisyonu hesap makinesiyle n=0 için W_0(10)=W(10)=1,7455... : n=1 için W_1(10)=0,7113...+i4,8577... : n=2 için W_2(10)=-0,0941...+i10,9870... : n=3 için W_3(10)=-0,5455...+i17,2471... : . : . : . : Örnekte görüldüğü gibi lambert W Fonksiyonun sadece bir çözümü yoktur. Çözüm kümesi birden çok olabilir. ==Ayrıca bakınız== * Matematiksel fonksiyonların listesi == Notlar == ==Kaynakça== * * * * * * Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A: "Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2", IEEE Trans. Signal Processing, 50(9), 2002 * Francis et al. "Quantitative General Theory for Periodic Breathing" Circulation 102 (18): 2214. (2000). Use of Lambert function to solve delay-differential dynamics in human disease. * * Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010). C++ implementation using Halley's and Fritsch's iteration. * National Institute of Science and Technology Digital Library - Lambert W * MathWorld - Lambert W-Function * Computing the Lambert W function * Corless et al. Notes about Lambert W research * Extreme Mathematics. Monographs on the Lambert W function, its numerical approximation and generalizations for W-like inverses of transcendental forms with repeated exponential towers. * GPL C++ implementation with Halley's and Fritsch's iteration. Kategori:Özel fonksiyonlar