Determinant

Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır. Bir A matrisin determinant'ı det(A) ya da det A şeklinde gösterilir. Diğer bir gösterim şekli ise matrix elementlerini arasına alan dikey çizgi ikilisidir. Örneğin: : \begin{bmatrix}a&b;&c;\\\ d&e;&f;\\\g&h;&i;\end{bmatrix} matrisinin determinantı şu şekilde gösterilir: \begin{vmatrix} a & b & c\\\d & e & f\\\g & h & i \end{vmatrix}\ . Basit bir örnek olarak, A = \begin{bmatrix} a & b\\\c & d \end{bmatrix}\, matrisinin determinantı şudur: :\det A = ad - bc.\ ==== Determinantın açık tanımı ==== Determinantın açık tanımı bir A matrisinin kofaktörü C ya da minörü M cinsinden gösterilebilir: :\det(A) = \sum_{j=1}^n A_{i,j}C_{i,j} = \sum_{j=1}^n A_{i,j} (-1)^{i+j} M_{i,j}. ==== Determinant ve geometri ==== Yukarıda belirtilen 2x2 A matrisinin determinantın mutlak değeri, köşeleri (0,0), (a,b), (a + c, b + d), ve (c,d) noktalarında olan bir paralelkenarın alanına eşittir. Benzer bir şekilde, 3x3 bir matrisin determinantının mutlak değeri, üç boyutlu paralelyüz cisminin hacmine eşittir. ==== Determinantın temel özellikleri ==== * Birim matrisin determinantı birdir: :: \begin{vmatrix}1&0&\ldots&0\\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\ 0 &0&\ldots&1\end{vmatrix} = 1. * Iki matrisin çarpımının determinantı, bu iki matrisin determinantlarının çarpımına eşittir: :\mathsf{\det(AB) = \det (A) \det (B)}. * det(A) sıfırdan farklı ise, A matrisinin tersi A−1 tanımlıdır. Bu durumda: :\mathsf{\det(A^{-1}) = \left(\det (A)\right)^{-1}}. * A ve B benzer matrisler olsun: \textstyle\mathsf{A = X^{-1}BX} ve dönüşüm matrisi X in tersi \textstyle\mathsf{X^{-1}} tanımlı olsun. Bu durumda: :\mathsf{\det(A) = \det(X)^{-1} \det(BX) = \det(X)^{-1} \det(B)\det(X) = \det(B) \det(X)^{-1} \det(X) = \det(B)}. * Bir matrisin transpozunun determinantı kendi determinantına eşittir: :\mathsf{\det(A^\mathrm{T}) = \det (A)}. * Bir matrisin bir sayı ile çarpımının determinantı: :\mathsf{\det(\alpha A) = \alpha^ndet(A)}. === Kalıp Matrisler (Blok matrisler) === Boyutları n×n, n×m, m×n, ve m×m olan A, B, C, ve D matrislerinin olduğunu varsayalım. Bu matrisleri kullanarak n+m × n+m boyutunda büyük bir kare matris M oluşturalım. M'yi oluşturan A, B, C, ya da D kalıplarından herhangi birisi sıfır matris ise, M'nin determinantı kolayca hesaplanabilir: :\det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& 0\\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\\ 0& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(A) \det(D)} . Bu sonuç M matrisini iki matrisin çarpımı şekilde yazarak kolayca gösterilebilir. Anın tersi tanımlı olsun. Bu durumda :\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathsf{A}& 0\\\ \mathsf{C}& \mathsf{I}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathsf{I}& \mathsf{A}^{-1} \mathsf{B}\\\ 0& \mathsf{D - C A^{-1} B}\end{pmatrix} denkliği yazılabilir, ve buradan determinant :\det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(A) \det(D - C A^{-1} B)} . şeklinde hesaplanır. B ya da Cnin sıfır matris olması durumda yukarıdaki sonucu elde etimiş oluruz. Ayrıca, C ve D'nin değişme özelliği var ise, yani CD = DC ise, \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(AD - BC)}. A ve C'nin değişme özelliği var ise, yani AC = CA ise, \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(AD - CB)}. B ve D'nin değişme özelliği var ise, yani BD = DB ise, \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(DA - BC)}. A ve B'nin değişme özelliği var ise, yani AB = BA ise, \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(DA - CB)}. === Notlar === * Bu sayfanın içeriği aynı adlı İngilizce makaleden alınmıştır: :en:Wikipedia:Determinant