Matris toplamı

Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris toplamı, iki matrisin ilgili girişlerinin eklenmesi işlemidir. Matrisler için diğer bir toplama işlemi türü doğrudan toplamdır. ==Genişletilmiş toplam== Matris toplamı genellikle, aynı boyuta sahip iki matris için tanımlıdır. m × n ("m'ye n"lik diye okunur) boyutlu A ve B matrislerinin toplamı, A + B şeklinde sembolize edilir. Toplama işlemi sonucunda yine m × n boyutlu matris elde edilir: :\begin{align} \mathbf{A}+\mathbf{B} & = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\\ \end{bmatrix} \\\ & = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\\ \end{bmatrix} \\\ \end{align}\,\\! Örneğin: : \begin{bmatrix} 1 & 3 \\\ 1 & 0 \\\ 1 & 2 \end{bmatrix} \+ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\\ 7 & 5 \\\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 \\\ 1+7 & 0+5 \\\ 1+2 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\\ 8 & 5 \\\ 3 & 3 \end{bmatrix} Aynı boyuta sahip iki matrisi birbirinden çıkartabiliriz. A − B; A ile B ögelerinin birbirlerinden çıkarılması işlemidir. Sonuçta yine aynı boyutlu matris elde edilir. Örneğin: : \begin{bmatrix} 1 & 3 \\\ 1 & 0 \\\ 1 & 2 \end{bmatrix} \- \begin{bmatrix} 0 & 0 \\\ 7 & 5 \\\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-0 & 3-0 \\\ 1-7 & 0-5 \\\ 1-2 & 2-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\\ -6 & -5 \\\ -1 & 1 \end{bmatrix} ==Doğrudan toplam== Nadir kullanılan diğer matris toplama işlemi, doğrudan toplamdır (⊕ ile sembolize edilir). m × n boyutlu A matrisi ile p × q boyutlu B matrisinin toplamı, i(m + p) × (n + q) boyutlu bir matristir. Şöyle ifade edilir. : \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \boldsymbol{0} \\\ \boldsymbol{0} & \mathbf{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 & \cdots & 0 \\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{m 1} & \cdots & a_{mn} & 0 & \cdots & 0 \\\ 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1q} \\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ 0 & \cdots & 0 & b_{p1} & \cdots & b_{pq} \end{bmatrix} Örneğin, : \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \oplus \begin{bmatrix} 1 & 6 \\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Matrislerin doğrudan toplamı, bir özel blok matris oluşturur. n matrisin doğrudan toplamı, genellikle şöyle ifade edilir: : \bigoplus_{i=1}^{n} \mathbf{A}_{i} = {\rm diag}( \mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \mathbf{A}_3 \cdots \mathbf{A}_n)= \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \boldsymbol{0} & \cdots & \boldsymbol{0} \\\ \boldsymbol{0} & \mathbf{A}_2 & \cdots & \boldsymbol{0} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \cdots & \mathbf{A}_n \\\ \end{bmatrix}\,\\! Buradaki sıfırlar, sıfır bloklardır. Yani sıfır matrislerdir. == Ayrıca bakınız == * Matris çarpımı * Vektör toplamı Kategori:Lineer cebir Kategori:İkili işlemler