Carnot teoremi (dikmeler)

küçükresim| Adını Fransız matematikçi Lazare Carnot'dan alan Carnot teoremi, üçgenin (uzatılmış) kenarlarına dik olan üç doğrunun ortak bir kesişme noktası için gerek ve yeter koşulu tanımlar. Teorem ayrıca Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak düşünülebilir. == Teoremin açıklaması == Kenarları a, b, c olan bir \triangle ABC üçgeni için, üçgenin kenarlarına dik olan ve ortak bir F noktasında kesişen üç doğru düşünün. Eğer P_a, P_b, P_c a, b, c kenarları üzerindeki bu üç dikmenin ayak noktaları ise, ardından aşağıdaki denklem geçerli olur: : |AP_c|^2 + |BP_a|^2 + |CP_b|^2 = |BP_c|^2 + |CP_a|^2 + |AP_b|^2 Yukarıdaki ifadenin tersi de doğrudur, yani bir üçgenin üç kenarındaki üç dikmenin ayak noktaları için denklem geçerliyse, o zaman bu dikmeler ortak bir noktada kesişirler. Bu nedenle denklem, gerekli ve yeterli bir koşulu sağlar. == Özel durumlar == Eğer \triangle ABC üçgeni C noktasında bir dik açıya sahipse ve kesişme noktası F, A veya B üzerinde bulunuyorsa, yukarıdaki denklem Pisagor teoremini verir. Örneğin eğer F noktası, A ile çakışırsa bu, |AP_b| = 0, |AP_c| = 0, |CP_a| = 0, |CP_b| = b, |BP_a| = a ve |BP_c| = c olduğu sonucunu doğurur. Bu nedenle, yukarıdaki denklem a^2 + b^2 = c^2 haline yani Pisagor teoremine dönüşür. Diğer bir sonuç, bir üçgenin dik açıortaylarının ortak bir noktada kesişme özelliğidir. Dikey açı ortaylar söz konusu olduğunda |AP_c| = |BP_c|, |BP_a| = |CP_a| ve |CP_b| = |AP_b| olur ve bu nedenle yukarıdaki denklem geçerlidir. Bu, üç dikey açıortayın da aynı noktada kesiştiği anlamına gelir. == İspat == küçükresim| Şekilden görülebileceği gibi dik açıortayların ayakları A_a, B_b, C_c olarak gösterilsin. Carnot Teoremi, aşağıdaki ifade doğrulandığında istenen tutarlılığı garanti eder. :: \left(\;|AC_c|^2 - |BC_c|^2\;\right) + \left(\;|BA_a|^2 - |CA_a|^2\;\right) + \left(\;|CB_b|^2 - |AB_b|^2\;\right) \stackrel{?}{=}\ 0 \qquad(\star) Öncelikle (\star) ifadesinin ilk kısmını ele alalım: ::|AC_c|^2 - |BC_c|^2 = \left(\;|AC_c|+|BC_c|\;\right)\left(\;|AC_c|-|BC_c|\;\right) = |AB|\;\left(\;|AC_c|-|BC_c|\;\right) ::|AC_c| = \frac12 (\; |AA_c| + |AB_c| \;) = \frac12 (\;|AA_c|+|AB|-|BB_c|\;) ::|BC_c| = \frac12(\;|BB_c|+|AB|-|AA_c|\;) olduğundan, yukarıdaki ifade, ::|AC_c|^2 - |BC_c|^2 = |AB|\;\left(\;|AA_c| - |BB_c|\;\right) şeklinde yazılabilir. Aynı şekilde, ::|BA_a|^2 - |CA_a|^2 = |BC|\;\left(\;|BB_a|-|CC_a|\;\right) ::|CB_b|^2 - |AB_b|^2 = |CA|\;\left(\;|CC_b|-|AA_b|\;\right) Bu nedenle, (\star) aşağıdaki ifadeye dönüşür: ::|AB||AA_c| + |BC||BB_a| + |CA||CC_b| \stackrel{?}{=} |BA||BB_c| + |CB||CC_a|+|AC||AA_b| \qquad(\star\star) sağ tarafta "|AB|" yerine "|BA|" yazılması, vb. gibi değişiklerle ve aşağıdaki ifadeden faydalanırsak: (\star\star) ifadesinde, |AB||AA_c| teriminin değeri K_A'ya göre A noktasının kuvvetidir; ama |AC||AA_b| değeri de öyledir. Bu nedenle her iki terim iptal edilir. Benzer şekilde, |BC||BB_a| = |BA||BB_c| (B'nin K_B'ye göre kuvveti) ve |CA||CC_b| = |CB||CC_a| (C'nin K_C'ye göre kuvveti). Tüm terimler birbirini götürür, böylece Carnot Teoremine ulaşılır: şekildeki doğrular tek noktada kesişir. == Kaynakça == * * == Dış bağlantılar == * Florian Modler: Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot @ Matheplanet.com (Almanca) * Carnot's Theorem @ cut-the-knot.org * Carnot's Theorem @ artofproblemsolving == Konuyla ilgili yayınlar == * Prof. Ion Pătrașcu, The Dual of the Orthopole Theorem, Makale * Oğuzhan Demirel & Emine Soytürk, (2008), The Hyperbolic Carnot Theorem in the Poincare Disc Model of Hyperbolic Geometry, Novi Sad J. Math., Vol. 38, No. 2, ss. 33-39, Makale Kategori:Üçgen geometrisi Kategori:Öklid geometrisi teoremleri