Gama fonksiyonu

Gama fonksiyonu matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir. : \Gamma(z) = \int_0^\infty \, t^{z-1} \, e^{-t} dt : \Gamma(n) = (n-1)! Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tam sayı olmamalıdır,pozitif tam sayı olmalıdır. == Alıştırma == Öncelikle; : (n+1)n! = (n+1)! eşitliğini ele alalım. :n =0 alırsak; 1.0! = 1!=1 olur. Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir. :n =1/2 alırsak; : (3/2)(1/2)! = (3/2)! olması gerekir. Yani : (3/2)(1/2)! = (3/2)!→ (3/2)!/(1/2)! = 3/2 olmalıdır. : \Gamma(n) = (n-1)! ' olduğundan; : \Gamma(5/2)→(3/2)! 'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine : \Gamma(3/2)→(1/2)! işlemine karşılık gelmelidir. :\begin{array}{lll} \Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\\ \Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\\\\end{array} : \Gamma(5/2)/\Gamma(3/2)=3/2 Bu da : \Gamma(5/2)/\Gamma(3/2)=3/2→ (3/2)!/(1/2)! = 3/2 varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir. == Tanım == === Ana Tanım === küçükresim|sağ|karmaşık düzlemle genişletilmiş Gama fonksiyonu Bu çift \Gamma(z) gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı z'nin gerçel kısmı (Re[z] > 0) şeklindedir. integral'i :\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir. :\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z) \qquad \text{(1)} n ! = n · (n − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir. : \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1 \qquad\text{(2)} Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor. Bütün n Doğal sayılar'ı için . :\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = n \, (n-1) \, \Gamma(n-1) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\, \Gamma(z) genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. z böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. (z. = −nbasit kutbu ile rezidü (−1) n/n !).George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman) === Alternatif tanımlamalar === 0 ve negatif tam sayılar dışında bütün kompleks sayılar z için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından : \begin{align} \Gamma(z) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}} \\\ \Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n} \\\ \end{align} burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir. yukarıdaki z nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi basitleştirilmiş şekli, : \begin{align} \Gamma(z+1) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; (n)^{z+1}}{(z+1) \; (z+2)\cdots(z+n+1)} \\\ &= \lim_{n \to \infty} \left( z \; \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1) \; (z+2)\cdots(z+n)} \; \frac{(n)}{(z+n+1)}\right) \\\ &= z \; \Gamma(z) \; \lim_{n \to \infty} \frac{(n)}{(z+n+1)} \\\ &= z \; \Gamma(z). \\\ \end{align} değişik bir gösterim... : \Gamma(z+1) = \int_0^\infty e^{-t^{1/z}}\,dt. \,\\! Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın terimleri içinde verilir; :\Gamma(z)=t^z \cdot \sum_{n=0} \frac{L_n^{(z)}(t)}{z+n} , yakınsaklık için \Re (z) < \frac{1}{2} olmalıdır. Image:Complex gamma function abs.png | Mutlak değer Image:Complex gamma function Re.png | Gerçel kısım Image:Complex gamma function Im.png | Sanal kısım ==Özellikler== ===Pi fonksiyonu=== Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen Pi fonksiyonu deniyor,gama fonksiyonu terimleri yardımıyla :\Pi(z) = \Gamma(z+1) = z \Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t} t^z\,{\rm d}t, böylece her negatif olmayan n için. :\Pi(n) = n!, Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır :\Pi(z) \Pi(-z) = \frac{\pi z}{\sin( \pi z)} = \frac{1}{\operatorname{sinc}(z)} burada sinc normalize sinc fonksiyonudur, eğer çarpım teoremi formu alınırsa :\Pi\left(\frac{z}{m}\right) \, \Pi\left(\frac{z-1}{m}\right) \cdots \Pi\left(\frac{z-m+1}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} m^{-z-\frac{1}{2}} \Pi(z). ayrıca bazen :\pi(z) = \frac{1}{\Pi(z)}, bulunur. yukardaki bir Tam fonksiyon'dur,çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(z) hiçbir kutuba sahip değildir, Π(z)de, Γ(z) gibi,sıfır yok idi. ilgilenenler için, yarıçap r_1,...,r_n ile bir n-ellipsoidin hacmi gösterilebilir. :V_n(r_1,...,r_n)=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Pi(\frac{n}{2})}\prod_{k=1}^{n}r_k == Özel değerler == : \begin{array}{lll} \Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\\ \Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\\ \Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\\ \Gamma(1) &= 0! &= 1 \\\ \Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\\ \Gamma(2) &= 1! &= 1 \\\ \Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\\ \Gamma(3) &= 2! &= 2 \\\ \Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\\ \Gamma(4) &= 3! &= 6 \\\ \end{array} ===Raabe formülü=== 1840 yılında Raabe şunu kanıtladı, ::\int\limits_a^{a+1}\log\Gamma(t)\,\mathrm dt = \tfrac12\log2\pi + a\log a - a,\quad a\ge0. :özel olarak, eğer a=0 ise ::\int\limits_0^1\log\Gamma(t)\,\mathrm dt = \tfrac12\log2\pi. ==Ayrıca bakınız== * Matematiksel fonksiyonların listesi * Beta fonksiyonu * Bohr–Mollerup teoremi * n-küre hacminin türevi (görünüşte ilgisiz olan problemden Gama fonksiyonunun türetilmesi) * Digama fonksiyonu * Elliptik gama fonksiyonu * Faktöriyel * Gamma dağılımı * Gauss sabiti * Gauss toplamı * Lanczos yaklaşıklığı * Çokdeğişkenli Gama fonksiyonu * Pochhammer k-sembolü * Poligama fonksiyonu * Ters Gama fonksiyonu * Trigama fonksiyonu == Notlar == == Kaynakça == * * Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6) * Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006). * Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959) * Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003 * W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.) * Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats. == Dış bağlantılar == * * Cephes - C and C++ language special functions math library * Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com. * Gamma function calculator * Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision) * * Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages * Computing the Gamma function - various algorithms * Online tool to graph functions which contain the Gamma function * * "Elementary Proofs and Derivations" * "Transformations, Identities and Special Values" Kategori:Gama ve ilişik fonksiyonlar Kategori:Özel fonksiyonlar Kategori:Faktöriyel ve binomi konuları Kategori:Meromorf fonksiyonlar