Oran testi

Matematikte oran testi, terimleri gerçel ya da karmaşık sayı olan bir :\sum_{n=0}^\infty a_n serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu test ilk defa Jean le Rond d'Alembert tarafından yayınlanmıştır ve bazen d'Alembert's oran testi olarak da bilinir. Oran testi, "lim"in n sonsuza giderken limiti temsil ettiği :L = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| sayısını kullanmaktadır. Oran testi şunu ifade etmektedir: * L < 1 ise, seri mutlak yakınsaktır, * L > 1 ise, seri ıraksaktır. Eğer L = 1 ise veya limit var değilse, o zaman test sonuçsuz kalır, yani bu test kullanılamaz. Bu iki durumu da sağlayan yakınsak ve ıraksak seriler vardır. == Örnekler == === Yakınsayan === :\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^n} serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz: :\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}{\frac{n}{e^n}}\right| = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n+1}{e^{n+1}}\cdot\frac{e^n}n\right| = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n+1}n\cdot\frac{e^n}{e^n\cdot e}\right| = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)\cdot \frac{1}{e}\right| = 1\cdot \frac{1}{e} : \frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right| = \frac{1}{e} < 1 Bu yüzden, \frac{1}{e}, 1'den küçük olduğu için seri yakınsaktır. === Iraksayan === :\sum_{n=1}^\infty\frac{e^n}{n} serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz: :\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right| = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{e^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{e^n}\right| = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n}{n+1}\cdot\frac{e^n\cdot e}{e^n}\right| = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\biggl(1-\frac{1}{n+1}\biggr)\cdot e\right| = 1\cdot e : \frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right| = e > 1 Bu yüzden, e, 1'den büyük olduğu için seri ıraksaktır. === Sonuçsuz === :\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1 ise, serinin oran testinden yakınsak veya ıraksak olduğunu çıkarmak imkânsızdır. Mesela, :\sum_{n=1}^\infty 1 serisi ıraksar ama limit 1'dir; yani :\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{1}\right| = 1 Diğer taraftan, :\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} serisi mutlak yakınsaktır; ancak yine :\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\right| = 1 Sonuç olarak, :\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{n} şartlı yakınsaktır ama :\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac{(-1)^{n}}{n}}\right| = 1 == L=1 ve Raabe testi== Önceki örnekte de görüldüğü gibi oran testinde limit 1 olduğu zaman test sonuçsuzdur. Oran testinin Raabe'ye ait olan bir uzantısı bazen bu durumla başa çıkmayı sağlayabilir. Raabe testi ise şunu ifade eder: :\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1 ise ve :\lim_{n\rightarrow\infty} \,n\left(\,\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1\right)=-1-c ifadesini sağlayan pozitif bir c varsa, o zaman seri mutlak yakınsaktır. == Ayrıca bakınız == * Kök testi * Yakınsaklık yarıçapı == Kaynakça == * Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6 * Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, 4. baskı, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3 Kategori:Matematiksel seriler Kategori:Yakınsaklık testleri