Legendre polinomları

Matematiksel analizde Legendre fonksiyonları, aşağıdaki Legendre diferansiyel denkleminin çözümleridir. :L = {d \over dx }(1 - x^2){d \over dx }+l(l+1)* y \, ; l \in (0,\mathbb{Z}^+) Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde, kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar. ==Özyineli tanımlama== Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir; :\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n.\qquad (Denklem I) (Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım: :P_0(x) = 1,\quad P_1(x) = x Bu ilk iki terim Legendre polinomudur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır: n | P_n(x)\, ---|--- 0 | 1\, 1 | x\, 2 | \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \, 3 | \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \, 4 | \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\, 5 | \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\, 6 | \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\, 7 | \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\, 8 | \begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\, 9 | \begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\, 10 | \begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\, 640px|center ==Çözümü== Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir. :Ly = 0\, Burada L, Legendre operatörüdür. Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse. :y= \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n :y' = \sum_{n=0}^{\infty}n a_n x^{n-1} :y = \sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2} ifadeleri denklemde yerlerine koyularak, : Ly\, = \big(1-x^2)y -2xy'+l(l+1)y =(1-x^2)\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2} \- 2x\sum_{n=0}^{\infty}n a_n x^{n-1} \+ l(l+1)\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n =\sum_{n=0}^{\infty}\left[-n(n-1)-2n+l(l+1)\right] a_n x^n \+ \sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2} =\sum_{n=0}^{\infty}\left[l^2-n^2+l-n\right]a_n x^n \+ \sum_{n=-2}^{\infty}(n+2)(n+1) a_{n+2} x^n =\sum_{n=0}^{\infty}\left[(l+n+1)(l-n)a_n + (n+2)(n+1)a_{n+2}\right]x^n =0\, Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise: : a_2 = -{l(l+1) \over 2} a_0 olur. Genellenirse : a_{n+2} = -{(l+n+1)(l-n) \over (n+2)(n+1)}a_n Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için :\lim_{n \to \infty}\left|{a_{n+2}x^{n+2} \over a_nx^n}\right|<1 şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak : n =-l \mbox { veya } n = -(l+1)\, şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür. == Legendre polinomlarının ek özellikleri == Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyle ki :P_n(-x) = (-1)^n P_n(x). \,George B. Arfken, Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Elsevier Academic Press, 2005, pg. 753. diferansiyel denklem ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir,ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı :P_n(1) = 1. \, ve son noktada türev ile veriliyor :P_n'(1) = \frac{n(n+1)}{2}. \, yukardaki soruda,Bonnet’in yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi,bilinen Legendre polinomları ile uyumludur : (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\, ve : {x^2-1 \over n} {d \over dx} P_n(x) = xP_n(x) - P_{n-1}(x). Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır; :(2n+1) P_n(x) = {d \over dx} \left[ P_{n+1}(x) - P_{n-1}(x) \right]. yukardakinden şu görülebilir :{d \over dx} P_{n+1}(x) = (2n+1) P_n(x) + (2(n-2)+1) P_{n-2}(x) + (2(n-4)+1) P_{n-4}(x) + \ldots veya eşdeğeri :{d \over dx} P_{n+1}(x) = {2 P_n(x) \over \| P_n(x) \|^2} + {2 P_{n-2}(x) \over \| P_{n-2}(x) \|^2}+\ldots burada \| P_n(x) \| −1 ≤ x ≤ 1 aralığındaki normdur :\| P_n(x) \| = \sqrt{\int _{- 1}^{1}(P_n(x))^2 \,dx} = \sqrt{\frac{2}{2 n + 1}}. Bonnet’in yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile :P_n(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \begin{pmatrix} n \\\ k \end{pmatrix}^2 \left( \frac{1+x}{2} \right)^{n-k} \left( \frac{1-x}{2} \right)^k. elde edilir.Askey–Gasper eşitsizliği'nden Legendre polinomları için okunan :\sum_{j=0}^n P_j(x)\ge 0\qquad (x\ge -1). Legendre polinomlarının bir toplamı -1\leq y\leq 1 için ve -1\leq x\leq1 için Dirac delta fonksiyonuya ilişkilidir : \delta(y-x) = \frac12\sum_{\ell=0}^{\infty} (2\ell + 1) P_\ell(y)P_\ell(x)\,. birim vektörlerin bir ölçek çarpımının Legendre polinomları küresel harmonikler ile kullanılan açılımı kullanılabilir : P_{\ell}({r}\cdot {r'})=\frac{4\pi}{2\ell + 1}\sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell m}(\theta,\phi)Y_{\ell m}^*(\theta',\phi')\,. burada sırasıyla birim vektörler r ve r' küresel koordinatlar (\theta,\phi) ve (\theta',\phi') var, Asimptotiklik \ell\rightarrow \infty birimden yoksun eklentiler için : P_{\ell}(\cos \theta) = J_0(\ell\theta) + \mathcal{O}(\ell^{-1}) = \frac{2}{\sqrt{2\pi \ell \sin \theta}}\cos\left[\left(\ell + \frac{1}{2}\right)\theta - \frac{\pi}{4}\right] \+ \mathcal{O}(\ell^{-1}) ve birimden büyük eklentiler için : P_{\ell}\left(\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}\right) = I_0(\ell e) + \mathcal{O}(\ell^{-1}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \ell e}} \frac{(1+e)^{(\ell+1)/2}}{(1-e)^{\ell/2}} \+ \mathcal{O}(\ell^{-1})\,, burada J_0 ve I_0 Bessel fonksiyonlarıdır. == Legendre polinomlarının kayması == Kayan Legendre polinomları \tilde{P_n}(x) = P_n(2x-1) olarak tanımlanır. Burada "kayan" fonksiyon x\mapsto 2x-1 (aslında, bu bir afin dönüşüm'dür) böylece seçilen bu örten gönderme [0, 1] aralığından [−1, 1] aralığına vurgusu yapilan \tilde{P_n}(x) polinomları [0, 1] arasında bulunur: :\int_{0}^{1} \tilde{P_m}(x) \tilde{P_n}(x)\,dx = {1 \over {2n + 1}} \delta_{mn}. kayan Legendre polinomu için bir :\tilde{P_n}(x) = (-1)^n \sum_{k=0}^n {n \choose k} {n+k \choose k} (-x)^k. açık bağıntı ile veriliyor kayan Legendre polinomları için Rodrigues' formülünün analoğu :\tilde{P_n}(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -x)^n \right].\, ilk birkaç kayan Legendre polinomlarıdır: n \tilde{P_n}(x) 0 1 1 2x-1 2 6x^2-6x+1 3 20x^3-30x^2+12x-1 4 70x^4-140x^3+90x^2-20x+1 ==Legendre fonksiyonları== Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var. Bu ikinci türün Legendre fonksiyonlarıdır,Q_n(x) ile ifade edilir. :Q_n(x)=\frac{n!}{1.3\cdots(2n+1)}\left[x^{-(n+1)}+\frac{(n+1)(n+2)}{2(n+3)}x^{-(n+3)}+\frac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2.4(2n+3)(2n+5)}x^{-(n+5)}+\cdots\right] Diferansiyel denklem :{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} f(x) \right] + n(n+1)f(x) = 0 genel çözümü var :f(x)=AP_n(x)+BQ_n(x), burada A ve B sabitlerdir. == Kesirli derecenin Legendre fonksiyonları == Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları ve kesirli hesap ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından ve tam sayı-olmayan faktöriyeller (gamma fonksiyonu ile tanımlanır) Rodrigues' formülü içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (−1,1) yeterli sürekliliktedir,ama son noktasında bundan böyle düzenlidir.Asosiye Legendre polinomları P ile Kesirli dereceli Legendre fonksiyonu Pn uyumludur. ==Ayrıca bakınız== * Matematiksel fonksiyonların listesi * Legendre fonksiyonlarıyla ilişkisi * Gaussian dörtlüsü * Gegenbauer polinomları * Legendre kesirli fonksiyonları * Turán eşitsizliği * Legendre dalgacığı * Jacobi polinomları * Küresel Harmonikler == Notlar == == Kaynakça == * * , Chapter 2. * . * . * * * ==Dış bağlantılar== *A quick informal derivation of the Legendre polynomial in the context of the quantum mechanics of hydrogen * *Wolfram MathWorld entry on Legendre polynomials *Module for Legendre Polynomials by John H. Mathews *Dr James B. Calvert's article on Legendre polynomials from his personal collection of mathematics *The Legendre Polynomials by Carlyle E. Moore *Legendre Polynomials from Hyperphysics Kategori:Özel hipergeometrik fonksiyonlar Kategori:Ortogonal polinomlar Kategori:Polinomlar