Çarpım fonksiyonu

Çarpım fonksiyonu, sayılar teorisinde bir f(n) aritmetik fonksiyonudur. Bu fonksiyon, tanım kümesindeki her x ve y çifti için çarpma işlemini koruyan fonksiyondur.Introduction to Linear Algebra. 5th ed. Wellesley, MA: Wellesley- Cambridge Press, February 2016. ISBN 9780980232776.Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — s. 703 — ISBN 5-03-001793-3.G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres, Vuibert-Springer, 2007, ISBN 978-2-7117-7168-4, s. 320. : f (xy) = f(x) f(y) ==Bazı örnekler== * 1(n): sabit fonksiyon, 1(n) tanımlı = 1 (tam çarpım) * Id(n): birim fonksiyon, Id(n) = n tanımlı (tam çarpım) * Idk(n): kompleks sayı k için Idk(n) = nk tanımlı (tam çarpım). Özel örnekler; ** Id0(n) = 1(n) ve ** Id1(n) = Id(n). * ε(n): ε(n) = 1 tanımlı. (tam çarpım). Bazen u(n) olarak yazılır, fakat μ ile karıştırılmamalıdır. * gcd(n,k): n ve k nın ortak böleni. * \varphi(n): Totient fonksiyon. * μ(n): Mobius fonksiyon. ** σ0(n) = d(n), n pozitif bölen ** σ1(n) = σ(n) n pozitif bölen * a(n): isomorfik olmayan n için * λ(n): liouville fonksiyon, λ(n) = (−1)Ω(n) (tam çarpım). * γ(n): = (−1)ω(n) tanımlı. * τ(n): ramanujan tau fonksiyonu. ==Özellikler== Bir çarpma foksiyonu, aritmetiğin temel teoreminin bir sonucu olarak asal sayıların değerine göre tanımlanır. Çarpma fonksiyonlarının bu özelliği hesaplamalarda büyük kolaylık sağlar.Pete L. Clark, Arithmetical Functions I: Multiplicative Functions , sur UGA, MATH 4400,‎ 2011.Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics , New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Erişim tarihi: 8 Ocak 2016. Aşağıda n = 144 = 24 · 32 için örnekler yer almaktadır; : d(144) = σ0(144) = σ0(24)σ0(32) = (10 \+ 20 \+ 40 \+ 80 \+ 160)(10 \+ 30 \+ 90) = 5 · 3 = 15, : σ(144) = σ1(144) = σ1(24)σ1(32) = (11 \+ 21 \+ 41 \+ 81 \+ 161)(11 \+ 31 \+ 91) = 31 · 13 = 403, : σ*(144) = σ*(24)σ*(32) = (11 \+ 161)(11 \+ 91) = 17 · 10 = 170. Benzer olarak; :\varphi(144)=\varphi(24)\varphi(32) = 8 · 6 = 48 ==Bazı konvolüsyonlar== * μ * 1 = ε * (μ Idk) * Idk = ε * \varphi * 1 = Id * d = 1 * 1 * σ = Id * 1 = \varphi * d * σk = Idk * 1 * Id = \varphi * 1 = σ * μ * Idk = σk * μ === Dirichlet serisinde bazı çarpma fonksiyonları === * \sum_{n\ge 1} \frac{\mu(n)}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)} * \sum_{n\ge 1} \frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} * \sum_{n\ge 1} \frac{d(n)^2}{n^s} = \frac{\zeta(s)^4}{\zeta(2s)} * \sum_{n\ge 1} \frac{2^{\omega(n)}}{n^s} = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)} ==Ayrıca bakınız== * Bell serisi ==Kaynakça== == Konuyla ilgili yayınlar == * Martinez, Fabio B., et al; Projeto Euclides: Teoria dos Números - um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro, Rio de Janeiro: IMPA, 2010 * Santos, José P. de O.; Coleção Matemática Universitária: Introdução à Teoria dos Números, Rio de Janeiro: IMPA, 2006 * Tom Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 * Daboussi, H., & Delange, H. (1982). On multiplicative arithmetical functions whose modulus does not exceed one. Journal of the London Mathematical Society, 2(2), 245-264. ==Dış bağlantılar== * Multiplicative function - Planetmath.org (İngilizce) * Mathworld.wolfram.com - Multiplicative function (İngilizce) Kategori:Aritmetik işlevler Kategori:Çarpma Kategori:Matematiksel fonksiyonlar