Zeta dağılımı

{\zeta(s)}| ortalama =\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}~\textrm{for}~s>2| medyan =| mod =1\,| varyans =\frac{\zeta(s)\zeta(s-2) - \zeta(s-1)^2}{\zeta(s)^2}~\textrm{for}~s>3| çarpıklık =| basıklık =| entropi =\sum_{k=1}^\infty\frac{1/k^s}{\zeta(s)}\log (k^s \zeta(s)).\,\\!| mf =\frac{\operatorname{Li}_s(e^t)}{\zeta(s)}| kf =\frac{\operatorname{Li}_s(e^{it})}{\zeta(s)}| }} Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, zeta dağılımı bir ayrık olasılık dağılımıdır. Eğer X s parametresi ile zeta dağılımı gösteren bir bir rassal değişken ise, Xin k tam sayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir: :f_s(k)=k^{-s}/\zeta(s)\, Burada ζ(s) Riemann zeta fonksiyonu olur (ama bu fonksiyon s = 1 tanımlanamaz.). Sonsuz değerde N için zeta dağılımı Zipf dağılımına eşit değerdedir. O zaman Zipf dağılımı ve zeta dağılım aynı anlamı verdikleri için birbiriyle kavram farkı vermeden değiştirilebilip kullanılırlar. == Momentler == Genel olarak, ninci ham moment Xnin beklenen değeri olarak şöyle tanımlanır: :m_n = E(X^n) = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{s-n}} Bu ifadenin sağ tarafında bulunan seri bir Rieman zeta funksiyonu temsil eden seridir. Ancak bu serinin yakınsaması sadece s-n değeri birden büyük ise mümkün olmaktadır. Böylece zeta dağılımı için moment :m_n =\left\\{ \begin{matrix} \zeta(s-n)/\zeta(s) & \textrm{for}~n < s-1 \\\ \infty & \textrm{for}~n \ge s-1 \end{matrix} \right. olur. Hatırlamak gerekir ki iki zeta fonksiyonunun oranı, n ≥ s - 1 ifadesi için bile, çok kesin olarak tanımlanmıştır. Ama bu yine de, momentlerin seri için tanımlandığı ve bu nedenle büyük bir n değeri için tanımlanamadığı gerçeğini değiştirmez' === Moment üreten fonksiyon === Genel olarak, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır: :M(t;s) = E(e^{tX}) = \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{tk}}{k^s}. Bu seri gerçekte yalnızca bir polilogaritma'nin tanımlanmasıdır ve e^t<1 için geçerlidir ve bu halde :M(t;s) = \frac{\operatorname{Li}_s(e^t)}{\zeta(s)}\text{ for }t<0. Bu fonksiyonun bir Taylor serisi yöntemi kullanılarak genişletilmesi mutlaka bir dağılım için momentleri vermez. Genellikle, moment üreten fonksiyonlara dayanarak elde edilen momentleri kullanan Taylor serileri şu ifedeyi ortaya çıkartır: :\sum_{n=0}^\infty \frac{m_n t^n}{n!}, Bu ifade, büyük n değerleri icin momentlerin sonsuz olduğu gerçeği göz önüne getirilirse, besbellidir ki herhangi bir s 'nin sonsuz olmayan değeri için kesin olarak tanımlanamaz. Momentler yerine analitik olarak sürekli terimleri kullanırsak, polilogaritmayi temsil eden seriden :\scriptstyle |t|\,<\,2\pi için şu ifadeyi elde ederiz: :\frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=0,n e s-1}^\infty \frac{\zeta(s-n)}{n!}\,t^n=\frac{\operatorname{Li}_s(e^t)-\Phi(s,t)}{\zeta(s)} \scriptstyle\Phi(s,t) değeri şöyle verilir :\Phi(s,t)=\Gamma(1-s)(-t)^{s-1}\text{ for }s e 1,2,3\ldots :\Phi(s,t)=\frac{t^{s-1}}{(s-1)!}\left[H_s-\ln(-t)\right]\text{ for }s=2,3,4\ldots :\Phi(s,t)=-\ln(-t)\text{ for }s=1,\, burada Hs bir harmonik sayı olur. == s=1 hali == Harmonik seri olduğu için ζ(1) sonsuz değerdedir ve bu nedenle s=1 olma hali anlamlı değildir. Ama eğer A yoğunluğu bulunan herhangi bir pozitif tam sayılar seti ise yani :\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{N(A,n)}{n} var olmakta ise ve burada N(A, n) A seti içinde bulunan ve n değerine eşit veya bu değerden daha küçük set elemanlarının sayısı ise, şu ifade :\lim_{s\rightarrow 1+}P(X\in A)\, bu yoğunluğa eşittir. Bazı hallerde A için yoğunluk yok olması nedeniyle verilen ikinci sınır geçerli olur. Örnegin, eğer A birinci tam sayısı ;d olan bütün pozitif tam sayıların bir seti ise, A için bir yoğunluk bulunmaz. Ancak bu halde bile yukarıda verilen ikinci sınırlama geçerli olur ve bu sınırlama şu ifadeye oranlıdır: :\log(d+1) - \log(d),\, Buna benzer yöntem aynen Benford'un savının geliştirilmesi için de kullanılır. == Kaynakça == == Ayrıca bakınız == Diğer güç-savı dağılımları şunlardır: * Benford'un savı * Cauchy dağılımı * Pareto dağılımı == Dış bağlantılar == * Allan Gut'un "Reieman zeta dağılımı" olarak andığı X bir rassal değişken olarak -log X, ifadesinin dağılımıdır. Bu kavram genellikle ve bu maddede zeta dağılımı olarak anılmaktadır Kategori:Ayrık olasılık dağılımları Kategori:Bilişimsel dilbilim