Apéry sabiti

Kullanılan sayılar γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - - - δ İkilik sistem 1.001100111011101... Onluk sistem 1.2020569031595942854... Sonsuz kesir olarak yazılışı 1 + \frac{1}{4 + \frac{1}{1 + \frac{1}{18 + \frac{1}{\ddots\qquad{}}}}} Apéry sabiti, matematiğin gizemli sayılarından biridir. Elektrodinamik alanında elektronun jiromagnetik oranının ikinci ve üçüncü derece terimlerinin yanı sıra birçok fiziksel soruda karşılaşılan bu sabit, paydasında üstel fonksiyon barındıran integrallerin çözümünde de kullanılmaktadır. Debye modelinin iki boyut için hesaplanması buna örnek olarak gösterilebilir. Sayı, aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır. :\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \cdots Burada ζ, Riemann zeta fonksiyonunu ifade etmektedir. Bu sayının yaklaşık değeri :\zeta(3)=1.20205\; 69031\; 59594\; 28539\; 97381\; 61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots Bu sayının çarpmaya göre tersi rastgele seçilen üç pozitif tamsayının aralarında asal olma olasılığına eşittir. == Apéry teoremi == Bu sabit, onun bir irrasyonel sayı olduğunu 1978 yılında kanıtlayan Roger Apéry (1916–1994)'ye atfedilmiştir. Bu sonuç, Apéry teoremi olarak adlandırılır. Özgün ispatın karmaşık yapısından ötürü anlaşılamaması Legendre polinomlarını kullanan ispatları popüler hale getirmiştir. Apéry sabitinin bir doğaüstü sayı olup olmadığı henüz bilinmemektedir. Wadim Zudilin ve Tanguy Rivoal'ın yürüttükleri çalışma, sonsuz çoklukta ζ(2n+1) sayısının irrasyonel olduğunu göstermiştirT. Rivoal, La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 331 (2000), s. 267-270.. Ayrıca, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olması gerektiği bulunmuştur.W. Zudilin, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den biri irrasyonel, Uspekhi Mat. Nauk 56:4 (2001), s. 149-150. == Seri şeklinde yazılışı == Leonhard Euler 1772 yılında bu sayıyı seri şeklinde ifade etmiştir : :\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7} \left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right] Bu ifade birçok kez yeniden bulunmuştur. Simon Plouffe her uygulamada farklı doğruluk derecesine sahip birçok seri önermiştir. Bunlar, : :\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)} ve :\zeta(3)= 14 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)} -\frac{11}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)} -\frac{7}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)}. ifadeleridir. \zeta(2n+1)'in farklı değerleri için geçerli eşitlikler zeta sabitleri maddesinde bulunmaktadır. Bulunan diğer seri ifadeleri şunlardır: :\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3} :\zeta(3) = \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3} :\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k!)^2}{k^3 (2k)!} :\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{56k^2-32k+5}{(2k-1)^2} \frac{((k-1)!)^3}{(3k)!} :\zeta(3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum_{k=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^k\,2^{-5 + 12\,k}\,k\, \left( -3 + 9\,k + 148\,k^2 - 432\,k^3 - 2688\,k^4 + 7168\,k^5 \right) \, {k!}^3\,{\left( -1 + 2\,k \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,k \right) }^3\, \left( 3\,k \right) !\,{\left( 1 + 4\,k \right) !}^3} :\zeta(3) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{205nk^2 + 250k + 77}{64} \frac{(k!)^{10}}{((2k+1)!)^5} ve :\zeta(3) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{P(k)}{24} \frac{((2k+1)!(2k)!k!)^3}{(3k+2)!((4k+3)!)^3} Burada, :P(k) = 126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463.\, Bu ifadelerden bazıları Apéry sabitinin birkaç milyon basamağa kadar hesaplanmasında kullanılmıştır. 'ün sağladığı seri açılımı ikili sayı sisteminde çalışmaktadır. Bu, sabitin doğrusal zamanda hesaplanabilmesine olanak tanımaktadır. == Diğer formüller == Apéry sabiti ikinci dereceden bir poligamma fonksiyonu ile de ifade edilebilmektedir. :\zeta(3) = -\frac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1). == Bilinen basamakları == Apéry sabitinin bilinen basamak sayısı son yıllarda büyük bir artış göstermiştir. Bu, bilgisayarların gelişen başarımı ve daha verimli algoritmaların üretilmiş olmasının bir sonucudur. Apéry sabitinin bilinen basamak sayısı Tarih Basamak sayısı Hesaplamayı Yapan Kişi Ocak 2007 2,000,000,000 Howard Cheng, Guillaume Hanrot, Emmanuel Thomé, Eugene Zima & Paul Zimmermann Nisan 2006 10,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo Şubat 2003 1,000,000,000 Patrick Demichel & Xavier Gourdon Şubat 2002 600,001,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon Eylül 2001 200,001,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon Aralık 1998 128,000,026 Sebastian Wedeniwski Şubat 1998 14,000,074 Sebastian Wedeniwski Mayıs 1997 10,536,006 Patrick Demichel 1997 1,000,000 Bruno Haible & Thomas Papanikolaou 1996 520,000 Greg J. Fee & Simon Plouffe 1887 32 Thomas Joannes Stieltjes Bilinmiyor 16 Adrien-Marie Legendre == Kaynakça == == Konuyla ilgili yayınlar == * . * . * . * . * * . * * * * Kategori:Matematiksel sabitler Kategori:Analitik sayı teorisi Kategori:Oransız sayılar Kategori:Zeta ve L-fonksiyonları