Hermit polinomu

küçükresim|354x354pik|Charles Hermite Hermit polinomları, 1810'da Pierre-Simon Laplace tarafından tanımlanmış, Collected in Œuvres complètes VII . ancak pek tanınmayan bir biçimde 1859'da Pafnuty Chebyshev tarafından ayrıntılı olarak incelenmiştir. Collected in Œuvres I, 501–508. Chebyshev'in çalışması gözden kaçmış ve daha sonra 1864'te polinomlar üzerine yazan ve onları yeni olarak tanımlayan Charles Hermite'nin adıyla anılmışlardır. Collected in Œuvres II, 293–303. Sonuç olarak yeni değillerdi, ancak Hermite 1865'teki yayınlarında çok boyutlu polinomları tanımlayan ilk kişi olmuştur. == Tanım == Diğer klasik dik polinomlar gibi, Hermit polinomları birkaç farklı başlangıç noktasından tanımlanabilir. Hermit polinomlarının tam ortak kullanımı olmadığı için iki farklı denklemi vardır. * Olasılıkçıların kullandığı Hermit polinomu; {\textstyle He_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\left({\frac {x^{2}}{2}}\right)}{d^{n} \over dx^{n}}e^{\left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)}} * Fizikçilerin kullandığı Hermit polinomu; {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{d^{n} \over dx^{n}}e^{-x^{2}}} Bu denklemler bir Rodrigues formülü biçimindedir ve şu şekilde de yazılabilir; {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.} İki tanım tam olarak aynı değildir, her biri bir diğerinin yeniden ölçeklendirilmesidir. {\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).} küçükresim|385x385pik|Hermit polinomunun ilk altı değer grafiği Olasılıkçıların kullandığı Hermit polinomunun ilk on bir değeri; {\displaystyle He_{0}(x)=1} {\displaystyle He_{1}(x)=x} {\textstyle He_{2}(x)=x^{2}-1} {\textstyle He_{3}(x)=x^{3}-3x} {\textstyle He_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3} {\textstyle He_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x} {\textstyle He_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15} {\textstyle He_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x} {\textstyle He_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105} {\textstyle He_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x} {\textstyle He_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{3}-945} küçükresim|385x385pik|Fizikçilerin(H_n) kullandığı Hermit polinomunun ilk altı değer grafiği Fizikçilerin kullandığı Hermit polinomunun ilk on bir değeri; H_0(x)=1 H_1(x)=2x H_2(x)=4x^2-2 H_3(x)=8x^3-12x H_4(x)=16x^4-48x^2+12 H_5(x)=32x^5-160x^3+120 H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120 H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680 H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x H_{10}(x)=1024x^{10}-2340x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240 == Özellikleri == n dereceden bir Hermit polinomu n dereceli bir polinomdur. Olasılıkçıların(He_n) kullandığı Hermit polinomunun ilk terimindeki katsayısı her zaman 1'dir.Fizikçilerin(H_n) kullandığı Hermit polinomunun katsayısı 2^n === Örnek === Olasılıkçıların kullandığı Hermit polinomunun n'i 2 olsun ve aradaki farkı anlayabilmek için fizikçilerin kullandığı Hermit polinomunun da n'i 2 olsun {\textstyle {\textstyle He_{2}(x)=x^{2}-1}} ilk terimin katsayısı 1 H_2(x)=4x^2-2 ilk terimin katsayısı 4(2^2=4) === Diklik === He_n ve H_n dereceden polinomları için n=1,2,3,4........ Bu polinomlar ağırlık işlevine(fonksiyon) göre dikliktir. {\displaystyle w(x)=e^{\left({\frac {x^{2}}{2}}\right)}} (He için) ya da {\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}} (H için) Diğer bir deyişle\int_{-\infty}^{\infty} H_m(x)H_n(x)dx=0 \qquad m eq nAyrıca {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},} Ya da {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},} Burada \delta _{nm} Kronecker deltasıdır. Olasılık polinomları bu nedenle standart normal olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre ortogonaldir. === Tamlık === Hermite polinomları (olasılıkçıların veya fizikçilerin), Hilbert fonksiyon uzayının ortogonal bir temelini oluşturur. {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,} Ürün kısmının tümlev hali; {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx} == Kaynakça == Kategori:Ortogonal polinomlar Kategori:Polinomlar Kategori:Özel hipergeometrik fonksiyonlar