Otoregresif hareketli ortalamalar modeli

Otoregresif hareketli ortalamalar modelleri (İngilizce:"autoregressive moving averages (ARMA) models"), istatistik biliminde George Box ve Gwilym Jenkins'e ithafen Box-Jenkins modelleri olarak da bilinen zaman serisi kestirimi ve öngörme yöntemi olup eşit zaman aralıklarında gözlenen zaman serisi verilerinde uygulanır. Xt şeklinde bir zaman serisi verisi (datası) verildiğinde, ARMA modeli, serinin gelecek dönemlerdeki değerlerini anlamak ve hatta öngörmek için kullanılır. Model iki kısımdan oluşur. Bunlardan birisi otoregresif kısım (AR), diğeri ise hareketli ortalamalar kısmıdır. Model, genellikle p otoregresif kısmın derecesi, q ise hareketli ortalama kısmının derecesi olmak üzere ARMA(p,q) modeli şeklinde gösterilir. == Otoregresif, AR(p), model == AR(p) ifadesi p. dereceden otoregresif bir modeli tanımlar. AR(p) modeli şöyle gösterilir: : X_t = c + \sum_{i=1}^p \phi_i X_{t-i}+ \epsilon_t .\, \phi_1, \ldots \phi_p, modelin parametrelerini; c, sabit terimi; \epsilon_t ise hata terimini simgeler. Pek çok yazar tarafından basitleştirme maksadıyla sabit terim ihmal edilir. Modelin durağan olması için parametreler üzerinde kısıtlamaya gidilmelidir. Örneğin |φ1| > 1 durumunun geçerli olduğu bir AR(1) modeli durağan değildir. == Örnek: AR(1) süreci == AR(1) süreci: :X_t = c + \phi X_{t-1}+\epsilon_t,\, şeklinde tanımlanır. \epsilon_t, beyaz gürültülü ve 0 ortalamaya sahip \sigma^2 varyanslı bir süreçtir. Eğer, |\phi|<1 sağlanırsa süreç kovaryans durağandır. Eğer \phi=1 sağlanıyorsa süreç birim kök içermektedir ve durağan olduğu söylenemez. \phi=1 durumu aynı zamanda rassal yürüyüş olarak da bilinen özel bir durumdur. Bu özel durumda X_t için "beklenen değeri" hesaplamak mümkün değildir. == AR parametrelerinin hesaplanması == : X_t = \sum_{i=1}^p \phi_i X_{t-i}+ \epsilon_t.\, denklemi ile verilen bir AR(p) modeli \phi_i parametrelerine dayanır. Bu parametreler Yule-Walker denklemleri ile hesaplanır: : \gamma_m = \sum_{k=1}^p \phi_k \gamma_{m-k} + \sigma_\epsilon^2\delta_m m = 0...p olup sonuçta p+1 tane denklem ortaya çıkar. \gamma_m, X'in otokorelasyon fonksiyonu olup \sigma_\epsilon girdi gürültü sürecinin standart hatasıdır. δm ise Kronecker Delta Fonksiyonu'nu gösterir. Denklemin son kısmı yalnızca m=0 olma durumunda sıfırdan farklı olacağından, denklem m>0 koşulunu sağlayan bir matris şeklinde ifade edilerek çözülür. \begin{bmatrix} \gamma_1 \\\ \gamma_2 \\\ \gamma_3 \\\ ... \\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_0 & \gamma_{-1} & \gamma_{-2} & ... \\\ \gamma_1 & \gamma_0 & \gamma_{-1} & ... \\\ \gamma_2 & \gamma_{1} & \gamma_{0} &... \\\ ... & ... & ... &... \\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_{1} \\\ \phi_{2} \\\ \phi_{3} \\\ ... \\\ \end{bmatrix} m=0 için bütün \philer elde edildiğinde. \gamma_0 = \sum_{k=1}^p \phi_k \gamma_{-k} + \sigma_\epsilon^2 ifadesi ortaya çıkar ki bu \sigma_\epsilon^2 değerini bulmamızı sağlar. == Hareketli ortalamalar. MA(q), modeli == MA(q) ifadesi, q. dereceden bir hareketli ortalamalar modelini ifade eder : X_t = \varepsilon_t + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}\, θ1, ..., θq modelin parametreleridir εt, εt-1,... modelin hata terimleridir. Bundan açıktır ki "hareketli ortalamalar" modelinde belirli bir zaman noktasındaki bir zaman serisi değişkeninin değeri (yani t'de Xt değeri) q tane daha önceki her bir zaman noktasıda yapılan hataların (yani her t zaman noktası için i gecikmeli ε hatasının) ağırlıklı olarak bileştirilmesi ile açıklanmaktadır. == Otoregresif hareketli ortalamalar, ARMA(p,q), modeli== Bu model, AR(p) and MA(q) modellerinin bir birleşimidir, : X_t = \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \phi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\, şeklinde gösterilir. == Modelin tahmini == Model sadece AR(p) ile kurulursa "Yule-Walker denklemleri" çözüm için yeterli olacaktır ARMA(p,q) şeklinde bir model kurulduğunda ise önce p ve q değerlerinin kaç olacağına karar verilir, yâni kaç adet gecikmeli değişken kullanılacağı önem kazanır. Genelde p ve q'nun küçük seçilmesi tavsiye edilir. p ve q sayıları seçildikten sonra ise model en küçük kareler yöntemi ile tahmin edilebilir. == Notlar == == Dış bağlantılar == * Box,George Box, Gwilym M. Jenkins, Gregory C. Reinsel ve Lon- Mu Liu (2009), Time Series Analysis, 4.ed.. Pearson Education, ISBN 0-13-147142-2 * Mills, Terence C. ve Raphael N. Markellos (2008) The Econometric Modelling of Financial Time Series 3.ed. Cambridge:Cambridge University Press. ISBN 0-521-71009-X Kategori:Zaman serisi analizi Kategori:Gürültü