Datasets:

OpenLLM-Ro

/

Ro-OJI

like 0

Follow

OpenLLM-Ro 56

pseudobil

romanian

pseudobil.in

pseudobil.out

OJI 2014 IX: Problema 2

Suprafața plană a unei mese de *pseudo-biliard* este formată din $n \times n$ celule pătratice cu lungimea laturii egală cu $1$ (o unitate), lipite, dispuse pe $n$ linii numerotate de la $1$ la $n$ și $n$ coloane, numerotate de la $1$ la $n$. Pe masă se așează $K$ bile, fiecare bilă găsindu-se în centrul unei anumite celule a mesei. Un jucător dorește să plaseze pe suprafața mesei un cadru pătratic având lungimea diagonalei egală cu $D$ unități. \ El trebuie să răspundă la $m$ întrebări de forma $x y$. Fiecare întrebare are semnificația: câte bile se găsesc în **interiorul** sau **pe laturile cadrului**? Cadrul se plasează astfel încât fiecare colț să fie poziționat **în centrul** unei celule, colțurile opuse să se găsească pe aceeași coloană, respectiv pe aceeași linie, iar colțul ”de sus” să fie plasat **în centrul** celulei aflată pe linia $x$ și coloana $y$. # Cerinţă Cunoscând lungimea $n$ a laturilor mesei, numărul $m$ de întrebări, numărul $K$ de bile așezate pe masă, pozițiile lor și lungimea $D$ a diagonalei cadrului pătratic, se cere: 1. Numărul de celule care se vor găsi **în întregime** în interiorul cadrului, dacă acesta se așează pe suprafața mesei, conform descrierii de mai sus. 2. Câte un răspuns pentru fiecare dintre cele $m$ întrebări. # Date de intrare Fişierul de intrare `pseudobil.in` conţine pe prima linie un număr natural $p$. Pentru toate testele de intrare, numărul $p$ poate avea doar valoarea $1$ sau valoarea $2$. Pe linia a doua se găsesc numerele naturale $n$, $K$ și $D$ separate prin câte un spațiu. Pe fiecare dintre următoarele $K$ linii, se găsesc câte două numere $a$ și $b$ ($a, b \leq n$) reprezentând linia și coloana celulei în centrul căreia va fi așezată o bilă. Pe linia $K + 3$ se găsește un număr natural $m$. Următoarele $m$ linii conțin câte două numere naturale $x$ și $y$, reprezentând linia și coloana celulei în centrul căreia se va plasa colțul ”de sus” al cadrului. # Date de ieşire Dacă valoarea lui $p$ este $1$, **se va rezolva numai punctul 1** din cerință. În acest caz, în fişierul de ieşire `pseudobil.out` se va scrie un singur număr natural $n_1$, reprezentând numărul de celule care se vor găsi **în întregime** în interiorul cadrului. Dacă valoarea lui $p$ este $2$, **se va rezolva numai punctul 2** din cerință. În acest caz, fişierul de ieşire `pseudobil.out` va conține $m$ linii. Pe fiecare linie $i$ se va scrie câte un număr natural $n_2$, reprezentând răspunsul pentru întrebarea $i$. # Restricţii şi precizări - $3 \leq n \leq 1\ 500$ - $1 \leq K \leq 55\ 000$ - $2 \leq D \leq n – 1$ și $D$ este număr par - $1 \leq m \leq 100\ 000$ - Pozițiile cadrului sunt distincte. - Se garantează pentru $x$ și $y$ valori pentru care cadrul este plasat în interiorul suprafeței mesei de pseudo-biliard. - Pentru rezolvarea corectă a primului punct se acordă 20 de puncte, iar pentru punctul al doilea se acordă 80 de puncte. - Pentru primele $35\%$ din testele care verifică punctul 2 se respectă relațiile $m \leq 1\ 000$ și $n \leq 500$. - Pentru primele $75\%$ din testele care verifică punctul 2 se respectă relațiile $m \leq 10\ 000$ și $n \leq 1\ 000$.

IX

betasah

romanian

betasah.in

betasah.out

OJI 2013 IX: Problema 1

Jocul **betasah** se joacă folosindu-se doar piese asemănătoare damelor clasicului șah, numite tot *dame*. Suprafața de joc are o formă triunghiulară și este formată din $N \cdot (N+1) / 2$ pătrate identice dispuse pe $N$ rânduri și $N$ coloane. Rândurile se numerotează de sus in jos, de la $1$ la $N$. Coloanele se numerotează de la stânga la dreapta, de la $1$ la $N$. Primul rând conține un singur pătrat, al doilea rând conține două pătrate alăturate, $\dots$, al $N$-lea rând conține $N$ pâtrate alăturate, ca în suprafețele de joc cu $N=6$ din figurile de mai jos. Din cele $N \cdot (N+1) / 2$ pătrate, $K$ sunt gri, iar restul sunt albe. Poziția fiecărui pătrat de pe suprafața de joc este dată de rândul și coloana în care acesta este situat. ~[betasah.png] Pe suprafața de joc sunt așezate $D$ dame în $D$ pătrate albe distincte, ocupându-le. Într-un pătrat alb **poate fi așezată o singură damă**, iar într-un pătrat gri **nu poate fi așezată nicio damă**. Poziția unei dame pe suprafața de joc este dată de poziția pătratului alb în care este așezată damă. Damele pot accesa orice pătrat alb neocupat situat pe direcțiile: verticală, orizontală sau diagonală, numerotate de la $1$ la $8$ în **figura $b$)**. Accesul pe o direcție se face trecând din pătrat alb în pătrat alb (doar pătrate albe neocupate) până la întâlnirea unui pătrat gri sau a unui pătrat alb ocupat de o altă damă sau până la terminarea suprafeței de joc. Numim **pătrat accesibil** orice pătrat alb neocupat (de pe suprafața de joc) care ar putea fi accesat de cel puțin una din cele $D$ dame. De exemplu, pentru suprafața de joc din **figura $c$)** numărul de pătrate accesibile (marcate cu $X$) de pe suprafață este $11$; pentru suprafața de joc cu $N=6, D=3$ și $K=4$ din **figura $d$)** numărul de pătrate accesibile de pe suprafață este $13$. În figura $e$) sunt marcate cu $X$ pătratele accesibile fiecărei dame de pe suprafața de joc din figura $d$). ~[betasah2.png] # Cerință Scrieți un program care să citească numerele naturale $N \ D \ K$, pozițiile damelor și ale pătratelor gri pe suprafața de joc și care să determine: * numărul maxim $M$ de pătrate albe conținute de un rând al suprafeței de joc; * numărul $P$ de pătrate accesibile de pe suprafața de joc. # Date de intrare Fișierul de intrare `betasah.in` conține: * pe prima linie cele trei numere naturale $N \ D \ K$, separate prin câte un spațiu, cu semnificația din enunț; * pe linia $i+1$ două numere naturale nenule $x_i \ y_i$, separate prin câte un spațiu, reprezentând poziția damei $i$ pe suprafața de joc (rândul $x_i$ și coloana $y_i$), pentru $i = 1,2,3,\dots,D$; * pe linia $D+1+j$ două numere naturale nenule $z_j \ t_j$, separate printr-un singur spațiu, reprezentând poziția pătratului gri $j$ pe suprafața de joc (rândul $x_i$ și coloana $y_i$), pentru $j = 1, 2, 3, \dots , K$. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `betasah.out` va conține pe prima linie numărul natural $M$ și pe a doua linie numărul natural $P$, cu semnificația din enunț. # Restricții și precizări * $2 \leq N \leq 1 \ 000$; * $1 \leq D \leq 100$; * $1 \leq K \leq 50$; * $D + K \leq N \cdot (N+1) / 2$; * $1 \leq y_i \leq xi \leq N$; * $1 \leq t_j \leq zj \leq N$; * numărul $M$ se va scrie obligatoriu pe prima linie a fișierului de ieșire `betasah.in`. * numărul $P$ se va scrie obligatoriu pe a doua linie a fișierului de ieșire `betasah.out`. * pentru rezolvarea corectă a cerinței $1$) se acordă $20$% din punctaj, iar pentru rezolvarea corectă a cerinței $2$) se acordă $80$% din punctaj.

IX

clepsidru

romanian

clepsidru.in

clepsidru.out

OJI 2013 IX: Problema 2

O **clepsidră** este un dispozitiv folosit pentru a măsura timpul. Clepsidra este alcatuită din două incinte de sticlă, conectate printr-un tub fin. Una dintre incinte este umplută cu nisip, acesta scurgându-se în cea de-a doua incintă, cu o viteză constantă. Clepsidra poate fi întoarsă, pentru a măsura o altă perioadă de timp. Arheologii au descoperit un dispozitiv, pe care l-au denumit **clepsidru**, format din $n$ clepsidre identice, suprapuse, numerotate de la $1$ la $n$, prin care nisipul poate circula de la o clepsidră la alta datorită forței gravitaționale. Studiind acest obiect, arheologii au constatat că: * dispozitivul poate fi utilizat atât în pozitia $1$, când clepsidrele sunt în ordinea $1, 2,\dots, n$ cu clepsidra $n$ așezată pe sol, cât și în poziția $2$, cand clepsidrele sunt în ordinea $n, n-1, \dots, 1$ cu clepsidra $1$ așezată pe sol; * viteza de trecere a nisipului de la o incintă la alta, a aceleiași clepsidre, este de **$1$ bob de nisip/secunda**, pentru toate clepsidrele, indiferent de poziție; * trecerea clepsidrului dintr-o poziție în alta presupune răsturnarea acestuia și reașezarea boabelor de nisip; * timpul de trecere a boabelor de nisip de la o clepsidră la alta este $0$. Arheologii studiază comportarea clepsidrului realizând două experimente diferite, dupa cum urmează: 1. Se așează clepsidrul în poziția $1$, se introduc în incinta de sus a clepsidrei $1$ un numar $b$ de boabe de nisip și se determină dupa câte secunde vor ajunge toate boabele de nisip in incinta de jos a ultimei clepsidre; 2. Se așează clepsidrul în poziția $1$, se introduc în incinta de sus a clepsidrei $1$ un numar $b$ de boabe de nisip, apoi se așează clepsidrul în **$k$ stari** consecutive, o stare fiind caracterizată de valorile $S_i$ și $P_i$, ce reprezintă numărul de secunde, respectiv poziția, în care este menținut nemișcat clepsidrul, iar la final se determină numărul de boabe de nisip din incintele fiecărei clepsidre. Spre exemplu, dacă clepsidrul este format din $n=2$ clepsidre, iar în incinta de sus a primei clepsidre se introduc $b=3$ boabe de nisip, la primul experiment se va obține valoarea $4$. La al doilea experiment se așează clepsidrul în $k=2$ stări, caracterizate prin $S_1=3, P_1=1$; $S_2=1, P_2=2$. Numărul de boabe de nisip din clepsidre va evolua ca în figura ce urmează: ~[clepsidru.png] # Cerință Să se scrie un program care citește valorile $n$ si $b$, precum și valorile $k, S_i, P_i$ și calculează valorile obținute de arheologi la realizarea celor două experimente. # Date de intrare Prima linie a fișierului de intrare `clepsidru.in` conține două numere naturale nenule $n$ si $b$, separate printr-un singur spațiu, cu semnificația din enunț; a doua linie conține numărul natural nenul $k$ având semnificația din enunț, iar următoarele $k$ linii conțin fiecare câte o pereche de valori $S_i$ și $P_i$, separate printr-un singur spațiu, cu semnificația din enunț. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `clepsidru.out` va conține pe prima linie un număr natural ce reprezintă valoarea obținută la primul experiment, iar pe următoarele $n$ linii va conține câte o pereche de numere naturale, separate printr-un singur spațiu, ce reprezintă cantitățile de boabe de nisip din incintele de sus și jos ale celor $n$ clepsidre, scrise în ordinea de la $1$ la $n$ a clepsidrelor, după realizarea celui de-al doilea experiment. # Restricții și precizări * $1 \leq n \leq 1 \ 000$; * $1 \leq b \leq 1 \ 000 \ 000 \ 000$; * $1 \leq k \leq 1 \ 000$; * $1 \leq S_i \leq 1 \ 000$; * $P_i$ aparține mulțimii $\{1, 2\}$, $1 ≤ i ≤ k$; * Pentru rezolvarea corectă a primei cerințe se acordă $25\%$ din punctaj, iar pentru rezolvarea corectă a celei de-a doua cerințe se acordă $75\%$ din punctaj. Acordarea punctajului pentru a doua cerință se face numai dacă in fișierul de ieșire există un răspuns pentru prima cerință, indiferent de corectitudinea acestuia.

IX

elicop

romanian

elicop.in

elicop.out

OJI 2012 IX: Problema 1

Un teren de fotbal este folosit pentru aterizarea elicopterelor. Gazonul de pe stadion este parcelat în pătrăţele de aceeaşi dimensiune, cu laturile paralele cu marginile terenului. Liniile cu pătrăţele de gazon sunt numerotate de sus în jos cu numerele $1, 2, \dots, m$, iar coloanele cu pătrăţele de gazon sunt numerotate de la stânga la dreapta cu numerele $1, 2, \dots, n$. Din cauza tipului diferit de iarbă se ştie care dintre pătrăţele de gazon sunt afectate sau nu de umbră. Acest lucru este precizat printr-un tablou bidimensional $a$ cu $m$ linii şi $n$ coloane, cu elemente $0$ şi $1$ ($a_{ij} = 0$ înseamnă că pătrăţelul aflat pe linia $i$ şi coloana $j$ este afectat de umbră, iar $a_{ij} = 1$ înseamnă că pătrăţelul aflat pe linia $i$ şi coloana $j$ nu este afectat de umbră). Fiecare elicopter are $3$ roţi pe care se sprijină. Roţile fiecărui elicopter determină un triunghi dreptunghic isoscel. Elicopterele aterizează, astfel încât triunghiurile formate să fie cu catetele paralele cu marginile terenului. În exemplul următor avem patru elicoptere. ~[elicop.png|width=30em] Pentru a preciza poziţia unui elicopter pe teren este suficient să cunoaştem linia şi coloana vărfurilor ipotenuzei şi poziţia vârfului deasupra (codificată prin $1$) sau dedesubtul ipotenuzei (codificată prin $-1$). Pentru exemplu, elicopterul din stânga sus este dat prin $(1, 1), (3, 3)$ şi $-1$, cel din dreapta sus prin $(1, 9), (5, 5)$ şi $1$, cel din stânga jos prin $(5, 1), (6, 2)$ şi $1$, iar cel din dreapta jos prin $(5, 9), (6, 8)$ şi $1$. Un elicopter se consideră că a aterizat *greşit*, dacă triunghiul format sub el (definit mai sus) are mai mult de jumătate din pătrăţele afectate de umbră. Administratorul terenului de fotbal doreşte să determine numărul $N_1$ de elicoptere, care nu afectează nici un pătrăţel din teren şi numerele de ordine al elicopterelor, care au aterizat *greşit* în ordine crescătoare: $e_1, e_2, \dots, e_{N_2}$, ştiind că există $k$ elicoptere codificate prin numerele $1, 2, \dots, k$. # Cerință Scrieţi un program care să determine, pentru fişierul cu datele din enunţ: numărul de elicoptere $N_1$, care nu afectează nici un pătrăţel din teren şi numerele de ordine al elicopterelor, care au aterizat *greşit* în ordine crescătoare, precedate de numărul lor $N_2$. # Date de intrare Prima linie a fişierului de intrare `elicop.in` conţine două numere naturale $m$ şi $n$, separate printr-un spaţiu, cu semnificaţia din enunţ. Următoarele $m$ linii conţin câte $n$ numere $0$ sau $1$, separate prin câte un spaţiu cu semnificaţia $0$ – pătrăţel de gazon care este afectat de umbră, respectiv $1$ - pătrăţel care nu este afectat de umbră. Pe linia $m+2$ se află numărul de elicoptere $k$, iar pe următoarele $k$ linii (în ordinea codificării lor $1, 2, \dots, k$) câte cinci numere separate prin cate un spaţiu, pentru liniile şi coloanele ipotenuzelor şi poziţia vârfului ($1$ sau $-1$), triunghiurilor dreptunghice asociate elicopterelor: $L_1 \ C_1 \ L_2 \ C_2 \ p$. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `elicop.out` va conţine două linii: prima linie numărul $N_1$ de elicoptere, pe care nu afectează nici un pătrăţel din teren, a doua linie cu numerele naturale $N_2, e_1, e_2, \dots, e_{N_2}$ separate prin câte un spaţiu, în ordine crescătoare. # Restricții și precizări * $2 \leq m, n \leq 100$ * $1 \leq k \leq 40$ * Nu există suprapuneri de triunghiuri asociate la două elicoptere. * Triunghiurile asociate elicopterelor conţin cel puţin trei pătrăţele. * Pentru determinarea corectă a valorilor $N_1$ se obţine $40$% din punctajul unui test, iar pentru determinarea corectă a valorilor $N_2, e_1, e_2, \dots, e_{N_2}$ se obţine $60$% din punctajul unui test.

IX

roata

romanian

roata.in

roata.out

OJI 2012 IX: Problema 2

Una dintre atracţiile celebrului parc de distracţii Prater din Viena este Marea Roată Vieneză. Din ea se poate admira priveliştea întregii Viene. Roata are $n$ cabine, numerotate de la $1$ la $n$ în sens orar şi dispuse simetric pe circumferinţa roţii. Îmbarcarea clienţilor se face în cabina în care roata este tangentă cu solul, iar rotirea începe cu cabina $1$ aflată în poziţia de îmbarcare şi se face în sens antiorar. Un client plăteşte pentru o rotire $1$ EUR şi poate cumpăra un număr oarecare de rotiri. Cei $p$ clienţi care doresc utilizarea roţii trebuie să respecte următoarea procedură: clientul cu numărul de ordine $i$ îşi cumpără un bilet pe care sunt înscrise numărul său de ordine şi numărul de rotiri $c_i$, apoi se aşează la rând. Când în poziţia de îmbarcare este o cabină liberă sau se eliberează o cabină, roata se opreşte şi urcă următorul clientul. Un client coboară după ce se efectuează numărul de rotiri înscris pe bilet. # Cerință Să se scrie un program care, cunoscând numărul $n$ de cabine al roţii, numărul $p$ de clienţi, precum şi numărul de rotiri cumpărate de fiecare client, $c_i$, să calculeze: * suma totală încasată de administratorul roţii de la clienţi; * ordinea în care coboară clienţii din roată; * numărul cabinei din care coboară ultimul client. # Date de intrare Fişierul de intrare `roata.in` conţine pe primul rând numărul natural $n$, pe al doilea rând numărul natural $p$ iar pe al treilea rând numerele naturale $c_i$, separate printr-un spaţiu, cu semnificaţiile de mai sus. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `roata.out` va conţine pe prima linie suma totală încasată, pe a doua linie numerele de ordine ale clienţilor, în ordinea coborârii, separate printr-un spaţiu, iar pe a treia linie numărul cabinei din care va coborî ultimul client. # Restricții și precizări * $2 \leq n \leq 360$; * $1 \leq p \leq 100 \ 000$; * $1 \leq c_i \leq 100 \ 000$; * pentru rezolvarea primei cerinţe se acordă $20\%$ din punctaj, iar pentru celelalte două cerinţe se acordă câte $40\%$ din punctaj fiecare.

IX

vase

romanian

vase.in

vase.out

OJI 2011 IX: Problema 1

~[0.jpg|align=right|width=12em] Specialiştii chimişti au reuşit crearea în laborator a unei game diversificate de substanţe lichide nemiscibile (care nu se amestecă între ele), de aceeaşi densitate şi de culori diferite. Acest rezultat a fost utilizat de către specialiştii fizicieni pentru studiul principiului vaselor comunicante. Conform acestui principiu „*într-un sistem de vase comunicante nivelul lichidului este acelaşi, indiferent de forma vaselor*”. \ Experimentele fizicienilor se desfăşoară astfel: Într-un sistem cu **două** vase comunicante, gradat identic pe fiecare ramură cu $0$, $1$, $2$, $3$, $\dots$, fizicienii introduc un număr de $n$ lichide, pe ramura din stânga sau pe ramura din dreapta. Volumele introduse din fiecare lichid, notate cu $V_i$ ($1 \leq i \leq n$), sunt **numere naturale nenule pare** astfel încât, la echilibru, orice lichid se va aşeza între două gradaţii de aceeaşi parte a unei ramuri sau pe cele două ramuri ale sistemului de vase comunicante. Lichidele sunt identificate prin intermediul culorii acestora, culori numerotate cu $1$, $2$, $3$, $\dots$, $n$. Introducerea lichidelor în sistemul cu două vase comunicante se face în ordinea crescătoare a numerelor culorilor, începând cu lichidul de culoare $1$. ~[1.png|align=right|width=15em] \ Scopul experimentului este de a determina gradaţia maximă la care se ridică lichidele în sistemul cu două vase comunicante, precum şi între ce gradaţii se găseşte un lichid de culoare $x$, dintre cele introduse. De exemplu, dacă în sistemul cu două vase comunicante se introduc $n=3$ lichide în ordinea: $V_1=4$ lichid de culoare $1$ introdus prin ramura din dreapta (operaţie codificată `4 D`), $V_2=4$ lichid de culoare $2$ introdus prin ramura din stânga (operaţie codificată `4 S`) şi $V_3=2$ lichid de culoare $3$ introdus prin ramura din stânga (operaţie codificată `2 S`) atunci gradaţia maximă la care se ridică nivelul lichidelor în sistemul cu două vase comunicante este $5$, iar lichidul de culoare $x=2$ se găseşte între gradaţiile: $3$ pe ramura din stânga (`3 S`) şi $1$ pe ramura din dreapta (`1 D`), conform figurii alăturate. # Cerinţă Să se scrie un program care cunoscând numărul $n$ de lichide introduse în sistemul cu două vase comunicante, volumul $V_i$ şi ramura prin care se face introducerea lichidului de culoare $i$ ($1 \leq i \leq n$), precum şi culoarea $x$, să calculeze gradaţia maximă la care se ridică lichidele în acest sistem la echilibru şi între ce gradaţii se găseşte lichidul de culoare $x$. # Date de intrare Prima linie a fişierului de intrare `vase.in` conţine un singur număr natural nenul $n$, cu semnificaţia de mai sus. Fiecare linie, din următoarele $n$, conţine câte două valori separate printr-un spaţiu: un număr natural nenul par şi o literă mare, `S` sau `D`, reprezentând volumul introdus din lichidul de culoare $i$, respectiv ramura (`S` pentru ramura din stânga şi `D` pentru ramura din dreapta) prin care se face introducerea acestuia. Linia $n+2$ a fişierului de intrare conţine un singur număr nenul $x$ ce reprezintă culoarea lichidului căutat. # Date de ieşire Fişierul de ieşire `vase.out` va conţine pe prima linie un număr natural nenul ce reprezintă gradaţia maximă la care se ridică lichidele în sistemul de vase comunicante la echilibru. Următoarele două linii vor conţine fiecare câte două valori separate printr-un spaţiu: un număr natural şi o literă mare (`S` sau `D`), reprezentând gradaţia şi ramura între care se aşează lichidul căutat. # Restricţii şi precizări - $1 \leq x \leq n \leq 100\ 000$ - $2 \leq V_i \leq 100\ 000$ pentru $1 \leq i \leq n$ - Sistemul de vase este gradat în aceleaşi unităţi de măsură în care sunt exprimate volumele de lichid. - Dacă lichidul căutat, de culoare $x$, se aşează pe aceeaşi ramură se va afişa întâi gradaţia superioară şi apoi cea inferioară. - Dacă lichidul căutat, de culoare $x$, se aşează pe ramuri diferite se va afişa întâi gradaţia de pe ramura din stânga şi apoi cea de pe ramura din dreapta. - Dacă una dintre gradaţiile între care se situează lichidul căutat, de culoare $x$, este $0$ atunci se consideră că aceasta gradaţie se găseşte pe aceeaşi ramură cu cealaltă gradaţie. - Pentru rezolvarea primei cerinţe se acordă $20\%$ din punctaj, iar pentru a doua cerinţă $80\%$ din punctaj.

IX

cri

romanian

cri.in

cri.out

OJI 2011 IX: Problema 2

~[cri.png|align=right|width=23em] Furnicuţa şi-a construit un depozit pentru grăunţe pe o suprafaţă de teren dreptunghiulară şi l-a compartimentat în $N \cdot M$ camere identice, de formă pătratică, dispuse câte $M$ pe direcţia $Ox$ şi câte $N$ pe direcţia $Oy$. Din fiecare cameră se poate intra în orice cameră învecinată cu ea (cameră care are un perete comun cu aceasta). În fiecare cameră, identificată prin coordonatele sale, ca în desenul de mai jos în care $N = 5$ şi $M = 4$, furnica a depozitat o cantitate de grăunţe. De exemplu, în camera de coordonate $(i, j)$ este depozitată cantitatea $C_{IJ}$ de grăunţe. Atât intrarea cât şi ieşirea din depozit se poate face doar prin cele patru camere din colţurile depozitului, adică cele de coordonate $(1, 1), (1, M), (N, 1)$ şi $(N, M)$ care comunică cu exteriorul. Pentru a asigura circulaţia aerului în depozit, furnica a montat un sistem de ventilaţie în camera de coordonate $(X, Y)$. Văzând ce multe grăunţe are furnica pentru iarnă, vecinul ei, leneşul greieraş Cri, s-a hotărât să fure din ele. Cri s-a gândit să intre în depozit prin sistemul de ventilaţie din camera de coordonate $(X, Y)$ şi să iasă prin una din cele $4$ camere din colţurile depozitului care comunică cu exteriorul. A studiat planul depozitului şi a împărţit camerele în patru zone: * prima zonă, numerotată cu $1$, conţine toate camerele de cordonate $(i, j)$ cu $1 \leq i ≤ X$ şi $1 \leq j \leq Y$, cu ieşirea prin camera de coordonate $(1, 1)$ * a doua zonă, numerotată cu $2$, conţine toate camerele de cordonate $(i, j)$ cu $1 \leq i ≤ X$ şi $Y \leq j \leq M$, cu ieşirea prin camera de coordonate $(1, M)$ * a treia zonă, numerotată cu $3$, conţine toate camerele de cordonate $(i, j)$ cu $X \leq i ≤ N$ şi $1 \leq j \leq Y$, cu ieşirea prin camera de coordonate $(N, 1)$ * a patra zonă, numerotată cu $4$, conţine toate camerele de cordonate $(i, j)$ cu $X \leq i ≤ N$ şi $Y \leq j \leq M$, cu ieşirea prin camera de coordonate $(N, M)$ Cri va intra doar într-una din cele patru zone şi va fura grăunţele doar din camerele conţinute de zona aleasă. Pentru a nu declanşa alarma furnicuţei, el va trebui să treacă cel mult o dată prin fiecare cameră din zonă, să fure întreaga cantitate de grăunţe din aceasta şi să iasă din depozit prin camera ce comunică cu exteriorul, corespunzătoare zonei alese. Cri va trebui să aleagă zona în care va intra astfel încât cantitatea totală $T$ de grăunţe furate să fie maximă, iar numărul $K$ de camere prin care va trece să fie minim. # Cerință Scrieţi un program care să determine numerele naturale $Z, T$ şi $K$, unde $Z$ reprezintă numărul zonei pe care va trebui s-o aleagă Cri astfel încât cantitatea totală $T$ de grăunţe furate să fie maximă, iar numărul $K$ de camere prin va trece să fie minim. # Date de intrare Fişierul de intrare `cri.in` conţine pe prima linie cele patru numere naturale nenule $N \ M \ X \ Y$, separate prin câte un spaţiu, cu semnificaţia din enunţ. Pe fiecare dintre următoarele $N$ linii se află câte $M$ numere naturale nenule, separate prin câte un spaţiu, reprezentând cantitatea de grăunţe $C_{IJ}$ depozitată în camera de coordonate $(i, j)$ pentru $1 \leq i \leq N$ şi $1 \leq j \leq M$. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `cri.out` va conţine, pe o singură linie, cele trei numere naturale $Z \ T \ K$ determinate de program, separate prin câte un spaţiu, în această ordine. # Restricții și precizări * $3 \leq N \leq 500$; * $3 \leq M \leq 500$; * $2 \leq X \leq N$; * $2 \leq Y \leq M$; * $1 \leq C_{IJ} \leq 8 \ 000$; * Dacă există zone pentru care se obţine aceeaşi cantitate totală maximă $T$ de grăunţe şi se trece prin acelaşi număr minim $K$ de camere, se va alege zona numerotată cu numărul cel mai mic. * Se acordă $20$% din punctaj pentru determinarea corectă a numărului $Z$, $40$% din punctaj pentru determinarea corectă a numărului $T$, 40% din punctaj pentru determinarea corectă a numărului $K$

IX

livada

romanian

livada.in

livada.out

OJI 2010 IX: Problema 1

Norocosul Gigel tocmai a primit în dar de la bunicul său, Nelu, o imensă plantaţie de pomi fructiferi. Fost profesor de geometrie, Nelu a plantat în mod riguros pomii fructiferi pe $m$ rânduri paralele, iar pe fiecare rând a plantat exact câte $n$ pomi fructiferi. Însă, din motive mai mult sau mai puţin obiective, domnul Nelu nu a plantat pe fiecare rând toţi pomii de acelaşi soi, ci din mai multe soiuri diferite. Soiurile de pomi plantaţi în livadă sunt codificate cu numere naturale cuprinse între $1$ şi $p$. Cuprins de febra rigurozităţii matematice şi de cea a statisticii, Gigel a definit noţiunea de *soi majoritar* astfel: dacă pe un rând $k$ format din $n$ pomi fructiferi avem cel puţin $\lfloor n/2 \rfloor + 1$ pomi de acelaşi soi $x$, atunci spunem că *soiul $x$ este soi majoritar pe rândul $k$ (prin $\lfloor y \rfloor$ se înţelege partea întreagă a numărului real $y$)*. # Cerință Cunoscând numerele $m, n$ şi $p$, precum şi soiul fiecărui pom de pe fiecare rând al plantaţiei, ajutaţi-l pe Gigel să determine: * pe câte rânduri din livadă există un soi majoritar; * care este cel mai mare număr de pomi de acelaşi soi plantaţi în poziţii consecutive pe un rând. # Date de intrare Fişierul de intrare `livada.in` conţine pe prima linie trei numere naturale $m, n$ şi $p$ cu semnificaţia din enunţ, iar pe fiecare dintre următoarele $m$ linii se găsesc câte $n$ numere, despărţite prin câte un spaţiu, reprezentând soiurile pomilor de pe rândul respectiv. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `livada.out` va conţine două linii: * pe prima linie se va scrie un număr natural reprezentând numărul de rânduri din livadă pe care există un soi majoritar; * pe a doua linie se va scrie un număr natural reprezentând cel mai mare numar de pomi de acelasi soi plantaţi în poziţii consecutive pe un rând. # Restricții și precizări * $1 \leq m \leq 100$; * $1 \leq n \leq 700 \ 000$; * $1 \leq m \cdot n \leq 700 \ 000$; * $1 \leq p \leq 998 \ 560 \ 000$; * Pe fiecare rând diferenţa dintre valoarea maximă şi cea minimă este cel mult $250 \ 000$. * Dacă doar valoarea de pe prima linie este corectă, se acordă $40$% din punctaj. Dacă doar valoarea de pe a doua linie este corectă, se acordă $60$% din punctaj. Dacă ambele valori sunt corecte, se acordă $100$% din punctajul testului respectiv.

IX

numar

romanian

numar.in

numar.out

OJI 2010 IX: Problema 2

Se dă un număr raţional strict pozitiv $q$, sub formă de fracţie zecimală. # Cerință Să se determine două numere naturale $a$ şi $b$ astfel încât $q = a / b$, iar modulul diferenţei dintre $a$ şi $b$ să fie minim. # Date de intrare Fişierul `numar.in` conţine: * pe prima linie două valori naturale $ni$ şi $nz$. $ni$ reprezintă numărul de cifre care formeaza partea întreagă a lui $q$ iar $nz$ reprezintă numărul de cifre care formează partea fracţionara a lui $q$. * pe a doua linie, $ni$ cifre care reprezintă partea întreagă a lui $q$. Între două cifre se află câte un caracter spaţiu. * pe a treia linie, $nz$ cifre care reprezintă partea zecimală a lui $q$. Între două cifre se află câte un caracter spaţiu. # Date de ieșire Fişierul `numar.out` va conţine: * pe prima linie un număr natural $n_1$ care reprezintă numărul de cifre din care este alcătuit numărul $a$; * pe a doua linie, cifrele numărului $a$, fără spaţiu între ele. * pe a treia linie un număr natural $n_2$ care reprezintă numărul de cifre din care este alcătuit numărul $b$; * pe a patra linie, cifrele numarului $b$, fără spaţiu între ele. # Restricții și precizări * $1 \leq ni, nz < 2 \ 000$. * $1 \leq ni + nz \leq 2 \ 000$. * Cifrele din care este alcătuit $q$ sunt cele din sistemul zecimal. * Pentru $20$% dintre teste, $ni + nz \leq 9$; pentru alte $15$% dintre teste, $10 \leq ni + nz \leq 16$.

IX

placare

romanian

placare.in

placare.out

OJI 2009 IX: Problema 2

O suprafaţă dreptunghiulară de înălţime $N$ şi lăţime $M$ unităţi trebuie acoperită perfect (placată) prin utilizarea unor plăci de formă dreptunghiulară de dimensiune $1 \times P$ sau $P \times 1$, unde $P$ este un număr natural nenul. Suprafaţa dată poate fi privită ca un caroiaj cu $N \times M$ pătrăţele egale cu unitatea. \ O placare corectă a suprafeţei iniţiale se memorează într-un fişier text folosind următoarele convenţii de codificare: - Pe prima linie se precizează dimensiunile $N$ şi $M$ ale suprafeţei; - O placă dreptunghiulară de laţime $P$ este codificată prin numărul natural $P$, iar o placă de înalţime $P$ se codifică prin numărul întreg $–P$; - Convenim că placa având ambele dimensiuni egale cu unitatea să se codifice cu valoarea $1$; - Pe fiecare din cele $N$ linii ale codificării se află câte un şir de valori întregi reprezentând, în ordine de la stânga la dreapta, codurile plăcilor care se găsesc amplasate începând de la respectiva linie; - Codul $P$ strict mai mare ca $1$ al unei plăci orizontale apare o singură dată pe linia corespunzătoare pe care se află placa, iar codul $–P$ al unei plăci verticale va apare o singură dată şi anume pe prima linie de la care placa respectivă este amplasată în jos pe o anumită coloană a suprafeţei; - Dacă pe o anumită linie a suprafeţei nu există astfel de coduri de plăci, atunci pe respectiva linie din fişier este o singură valoare de $0$. \ Folosind codificarea unei placări a suprafeţei iniţiale, se poate determina imaginea acestei placări sub forma unui tablou bidimensional $A$, cu $N$ linii şi $M$ coloane, unde $A_{i,j}$ reprezintă valoarea absolută a codului plăcii care se suprapune peste pătrăţelul de pe linia $i$ şi coloana $j$. # Cerinţă Cunoscând codificarea unei placări corecte a suprafeţei date să se obţină imaginea acestei placări (matricea de valori corespunzătoare codificării suprafeţei). # Date de intrare Fişierul de intrare `placare.in` are următoarea structură: - pe prima linie valorile naturale $N$ și $M$, separate printr-un spaţiu, unde $N$ este înălţimea suprafeţei și $M$ este lăţimea suprafeţei. - pe fiecare din următoarele $N$ linii se află un şir de valori întregi, separate prin câte un spaţiu, reprezentând codificarea respectivei linii a placării. # Date de ieşire În fişierul de ieşire `placare.out` se va tipări tabloul bidimensional ce reprezintă imaginea placării, compus din $N$ linii, pe fiecare dintre ele aflându-se $M$ valori naturale separate prin câte un spaţiu, cu semnificaţia din enunţ. # Restricţii şi precizări - $1 \leq N,M \leq 300$ - Pentru $80\%$ din teste, $1 \leq N,M \leq 100$; - Dimensiunea $P$ sau $–P$ a unei plăci este aleasă astfel încât acoperirea obţinută să nu depăşească înălţimea $N$ sau lățimea $M$ a suprafeţei. - Datele din fişierul de intrare sunt corecte în sensul că reprezintă codificarea unei acoperiri a zonei dreptunghiulare de dimensiuni $N$ şi $M$.

IX

concurs

romanian

concurs.in

concurs.out

OJI 2008 IX: Problema 1

La Olimpiada Naţională de Informatică participă elevi din mai multe judeţe, fiecare judeţ fiind identificat în mod unic printr-un număr natural. Elevii din fiecare judeţ au asociat câte un număr natural care permite identificarea în mod unic a elevului în cadrul judeţului. Astfel, orice participant la olimpiadă poate fi identificat prin două numere: identificatorul judeţului şi identificatorul elevului în cadrul judeţului. Pentru a repartiza elevii la calculatoare, organizatorii au nevoie de o listă care să respecte următoarele condiţii: - lista conţine toţi elevii participanţi la olimpiadă; - oricare doi elevi consecutivi în listă sunt din judeţe diferite; - elevii din orice judeţ apar în listă în ordinea crescătoare a numerelor de identificare. # Cerinţă Scrieţi un program care să genereze lista necesară organizatorilor. # Date de intrare Fişierul de intrare `concurs.in` conţine pe prima linie un număr natural $P$ reprezentând numărul total de participanţi la ONI. Pe următoarele $P$ linii este descrisă lista participanţilor, câte un participant pe o linie. Pentru fiecare participant sunt scrise două numere naturale separate prin spaţiu $J$ și $E$, unde $J$ reprezintă identificatorul judeţului, iar $E$ reprezintă identificatorul elevului în cadrul judeţului. # Date de ieşire Fişierul de ieşire `concurs.out` va conţine pe prima linie un număr natural $NJ$, reprezentând numărul de judeţe din care există participanţi la olimpiadă. Pe cea de-a doua linie sunt scrise $NJ$ numere naturale nenule separate prin câte un spaţiu reprezentând (în ordinea crescătoare a numerelor de identificare a judeţelor) numărul de participanţi din fiecare judeţ. Pe următoarele $P$ linii este descrisă lista necesară organizatorilor, câte un elev pe o linie. Pentru fiecare elev este scris mai întâi identificatorul judeţului din care face parte, urmat de un spaţiu, apoi de identificatorul elevului în cadrul judeţului. # Restricţii şi precizări - Identificatorii judeţelor sunt numere naturale cuprinse între $1$ şi $50$. - Identificatorii elevilor în cadrul judeţelor sunt numere naturale cuprinse între $1$ şi $1\ 000$. - Numărul total de elevi participanţi la olimpiadă nu depăşeşte $500$. - Pentru datele de test există întotdeauna soluţie, nu neapărat unică. - Pentru determinarea corectă a numărului de judeţe se acordă $20\%$ din punctaj. Pentru determinarea corectă a numărului de judeţe, precum şi a numărului de participanţi din fiecare judeţ se acordă $30\%$ din punctaj. Punctajul se acordă integral pentru rezolvarea tuturor celor 3 cerinţe (număr de judeţe, număr de participanţi din fiecare judeţ şi lista necesară organizatorilor).

IX

pluricex

romanian

pluricex.in

pluricex.out

OJI 2008 IX: Problema 2

Anul acesta se organizează prima ediţie a Olimpiadei Pluridisciplinare pentru Centrele de Excelenţă, *PluriCEX*. Fiecare Centru de Excelenţă din ţară va trimite la concurs o echipă formată din $k$ membri (toţi participanţi la Centrul de Excelenţă). Echipa va trebui să rezolve probleme interdisciplinare, disciplinele vizate fiind cele de la Centrul de Excelenţă ($D$ discipline, pe care le vom considera numerotate de la $1$ la $D$). Directorul CEX Iaşi a făcut o listă cu primii $n$ cei mai buni elevi de la CEX, apoi a numerotat elevii de la $1$ la $n$, în ordinea apariţiei lor în listă. Pentru fiecare elev, directorul a notat disciplinele la care el participă la CEX. # Cerinţă Scrieţi un program care să determine toate echipele ce pot fi formate din $k$ dintre cei $n$ elevi de pe lista directorului, cu condiţia ca pentru fiecare disciplină să existe în echipă cel puţin un membru care să studieze la CEX disciplina respectivă. # Date de intrare Fişierul de intrare `pluricex.in` conţine pe prima linie trei numere naturale $n$, $k$ și $D$ (cu semnificaţia din enunţ). Urmează $n$ linii care descriu participările la CEX ale celor $n$ elevi de pe lista directorului. Mai exact, pe linia $i+1$ este descrisă participarea elevului $i$ astfel: $nr$, $d_1$, $d_2$, $\dots$, $d_{nr}$. Primul număr de pe linie ($nr$) indică numărul de discipline la care participă elevul $i$. Următoarele $nr$ numere reprezintă disciplinele la care participă elevul $i$. Numerele scrise pe aceeaşi linie sunt separate prin spaţiu. # Date de ieşire Fişierul de ieşire `pluricex.out` va conţine toate echipele ce se pot forma respectând condiţiile din enunţ, câte o echipă pe o linie. Membrii unei echipe vor fi scrişi în ordine crescătoare, separaţi prin câte un spaţiu. Echipele vor fi scrise în ordine lexicografică. # Restricţii şi precizări - $0 < n \leq 22$ - $0 < k \leq 8$ - $0 < D \leq 10$ - Pentru datele de test problema admite întotdeauna soluţie, numărul de soluţii fiind $< 20\ 000$. - Spunem că vectorul $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ precedă lexicografic vectorul $(y_1, y_2, \dots, y_n)$ dacă există un indice $i$ astfel încât $x_j=y_j$ pentru orice $1 \leq j < i$, iar $x_i < y_i$. - Pentru $20\%$ din teste soluţia este unică.

IX

paritate

romanian

paritate.in

paritate.out

OJI 2007 IX: Problema 1

În vederea asigurării unei transmiteri cât mai exacte a informaţiilor pe reţea, transmiterea se efectuează caracter cu caracter, fiecare caracter fiind dat prin codul său ASCII, adică o grupă de 8 biţi (octet). Pentru fiecare 8 biţi transmişi se calculează un bit de paritate care are valoarea $0$ (dacă codul ASCII al caracterului conţine un număr par de cifre binare $1$) sau $1$ (în caz contrar). Deoarece în problema noastră se transmit numai caractere ASCII standard, cu codul ASCII din intervalul $[32, 127]$, codul lor ASCII are bitul $7$ (primul bit din stânga) egal cu $0$. Pe această poziţie va fi pus bitul de paritate, economisind astfel câte un bit pentru fiecare caracter transmis. De exemplu, dacă mesajul care trebuie trasmis conţine caracterele `Paritate`, succesiunea de biţi transmisă va fi: $\textcolor{red}{0}1010000\ \textcolor{red}{1}1100001\ \textcolor{red}{0}1110010\ \textcolor{red}{0}1101001\ \textcolor{red}{0}1110100\ \textcolor{red}{1}1100001\ \textcolor{red}{0}1110100\ \textcolor{red}{0}1100101$ În plus, pe lângă caracterele amintite, în mesaj mai poate să apară un caracter special, caracter care indică trecerea la începutul unui nou rând. Acest caracter are codul ASCII $10$. # Cerinţă Să se scrie un program care să verifice dacă un text a fost sau nu transmis corect. # Date de intrare Fişierul de intrare `paritate.in` are pe prima linie o succesiune de caractere `0` şi `1` care reprezintă mesajul transmis. Între caractere nu există spaţii. Linia se termină cu caracterul newline (`\n`). # Date de ieşire Fişierul de ieşire `paritate.out` are pe prima linie mesajul `DA` dacă textul a fost transmis corect sau `NU` în caz contrar. În cazul în care mesajul de pe prima linie este `DA`, liniile următoare vor conţine textul transmis în clar. În cazul în care mesajul de pe prima linie este `NU`, linia următoare va conţine numerele de ordine ale caracterelor care nu au fost transmise corect, în ordine strict crescătoare, separate prin câte un spaţiu. # Restricţii şi precizări - Cei 8 biţi ai codului ASCII a unui caracter se numerotează de la $0$ la $7$, de la dreapta la stânga, cel mai din stânga bit fiind bitul $7$ iar cel mai din dreapta bitul $0$. - Textul transmis are cel mult $60\ 000$ de caractere. - Numărul de caractere `0` şi `1` din prima linie a fişierului de intrare este multiplu de $8$. - Codurile ASCII ale caracterelor din text aparţin mulţimii $\{10, 32, 33, 34, \dots, 127\}$, codul $10$ însemnând trecerea la începutul unui rând nou (newline). - Nicio linie din fişierul de ieşire nu va avea mai mult de $255$ caractere. - Caracterele din text sunt numerotate începând de la $0$. - Mesajele `DA`/`NU` din prima linie a fişierului de ieşire se scriu cu majuscule.

IX

cartele

romanian

cartele.in

cartele.out

OJI 2007 IX: Problema 2

În sediul unei firme se intră doar cu ajutorul cartelelor magnetice. De câte ori se schimbă codurile de acces, cartelele trebuie formatate. Formatarea presupune imprimarea unui model prin magnetizare. Dispozitivul în care se introduc cartelele, numit cititor de cartele, verifică acest model. Toate cartelele au aceleaşi dimensiuni, suprafaţa pătrată şi grosimea neglijabilă. Cele două feţe plane ale unei cartele se împart fiecare în $N \times N$ celule pătrate, identice ca dimensiuni. Prin formatare unele celule, marcate cu negru în exemplu, se magnetizează permiţând radiaţiei infraroşii să treacă dintr-o parte în cealaltă a cartelei. În interiorul cititorului de cartele se iluminează uniform una dintre feţele cartelei. De cealaltă parte fasciculele de lumină care străbat cartela sunt analizate electronic. Pentru a permite accesul în clădire modelul imprimat pe cartelă trebuie să coincidă exact cu modelul şablonului care memorează codul de intrare. Prin fanta dispozitivului nu se pot introduce mai multe cartele deodată. Cartela se poate introduce prin fantă cu oricare dintre muchii spre deschizătura fantei şi cu oricare dintre cele două feţe orientate către şablon. După introducere cartela se dispune în plan paralel cu şablonul, lipit de acesta, astfel încât cele patru colţuri ale cartelei se suprapun exact cu colţurile şablonului. Modelele imprimate pe cele două feţe ale unei cartele sunt identice. Unei celule magnetizate îi corespunde pe faţa opusă tot o celulă magnetizată, iar unei celule nemagnetizate îi corespunde una nemagnetizată. O celulă magnetizată este transparentă pentru radiaţia infraroşie indiferent de faţa care se iluminează. \ Un angajat al firmei are mai multe cartele. Pe unele dintre acestea a fost imprimat noul cod de intrare, iar pe altele sunt coduri mai vechi. Pentru a afla care sunt cartelele care-i permit accesul în sediul firmei angajatul este nevoit să le verifice pe toate, introducându-le pe rând, în toate modurile pe care le consideră necesare, în fanta cititorului de cartele. ~[0.png|align=center|width=45em] # Cerinţă Scrieţi un program care determină care dintre cartele permite accesul în sediul firmei. # Date de intrare Fişierul de intrare `cartele.in` conţine pe prima linie două numere naturale $N$ şi $C$ despărţite printr-un spaţiu. $N$ este dimensiunea tablourilor care reprezintă modelul şablon şi modelele cartelelelor. $C$ reprezintă numărul de cartele. Urmează $C+1$ blocuri de câte $N$ linii fiecare. Primul bloc de $N$ linii codifică şablonul. Următoarele $C$ blocuri de câte $N$ linii codifică fiecare câte o cartelă. Pe fiecare linie sunt câte $N$ valori întregi, despărţite printr-un singur spaţiu. Celulelor magnetizate le corespunde valoarea $1$, iar celorlalte, valoarea $0$. # Date de ieşire În fişierul de ieşire `cartele.out` se vor scrie $C$ linii, câte o valoare pe linie. Pe linia $i$ se va scrie valoarea $1$ dacă cartela $i$ permite accesul în clădire şi valoarea $0$ în caz contrar. # Restricţii şi precizări - $1 < N, C \leq 50$

IX

flori

romanian

flori.in

flori.out

OJI 2006 IX: Problema 1

Fetiţele din grupa mare de la grădiniţă culeg flori şi vor să împletească coroniţe pentru festivitatea de premiere. În grădină sunt mai multe tipuri de flori. Fiecare dintre cele $n$ fetiţe culege un buchet având acelaşi număr de flori, însă nu neapărat de acelaşi tip. Pentru a împleti coroniţele fetiţele se împart în grupe. O fetiţă se poate ataşa unui grup numai dacă are cel puţin o floare de acelaşi tip cu cel puţin o altă fetiţă din grupul respectiv. # Cerinţă Fiind dat un număr natural $n$ reprezentând numărul fetiţelor şi numărul natural $k$ reprezentând numărul de flori dintr-un buchet, să se determine grupele care se formează. # Date de intrare Fişierul de intrare `flori.in` conţine pe prima linie, separate printr-un spaţiu, numerele naturale $n$ şi $k$, reprezentând numărul de fetiţe şi respectiv numărul de flori din fiecare buchet. Fiecare dintre următoarele $n$ linii conţine, pentru fiecare fetiţă, câte $k$ valori separate prin câte un spaţiu reprezentând tipurile de flori culese. # Date de ieşire Fişierul de ieşire `flori.out` va conţine pe fiecare linie câte o grupă formată din numerele de ordine ale fetiţelor separate prin câte un spaţiu, în ordine crescătoare, ca în exemplu. # Restricţii şi precizări - $1 \leq n \leq 150$ - $1 \leq k \leq 100$ - Tipul unei flori este un număr întreg din intervalul $[0, 100]$. - Într-o grupă numerele de ordine ale fetiţelor trebuie date în ordine strict crescătoare. - În fişierul de ieşire grupele vor fi afişate în ordinea crescătoare a numărului de ordine al primei fetiţe din grupă.

IX

pluton

romanian

pluton.in

pluton.out

OJI 2006 IX: Problema 2

În timpul acţiunii ”Furtuna în deşert” din cauza unei furtuni de nisip, $n$ soldaţi s-au rătăcit de plutoanele lor. După trecerea furtunii se pune problema regrupării acestora pe plutoane. Pentru aceasta se folosesc plăcuţele de identificare pe care soldaţii le poartă la gât. Pe aceste plăcuţe sunt scrise numere care pot identifica fiecare soldat şi plutonul din care acesta face parte. Astfel, soldaţii din acelaşi pluton au numărul de identificare format din aceleaşi cifre, dispuse în altă ordine şi numerele de identificare sunt unice. De exemplu, numerele de identificare $78003433$, $83043073$, $33347008$ indică faptul că cei trei soldaţi care le poartă fac parte din acelaşi pluton. # Cerinţă Fiind date cele $n$ numere de pe plăcuţele de identificare, să se regrupeze cei $n$ soldaţi pe plutoane, indicându-se numărul de plutoane găsite (un pluton refăcut trebuie să aibă minimum un soldat), numărul de soldaţi din cel mai numeros pluton, numărul de plutoane care au acest număr maxim de soldaţi precum şi componenţa unui astfel de pluton (cu număr maxim de soldaţi regrupaţi). # Date de intrare Fişierul de intrare `pluton.in` conţine pe prima linie numărul $n$ de soldaţi recuperaţi, iar pe fiecare dintre următoarele $n$ linii câte un număr de identificare a celor $n$ soldaţi. # Date de ieşire Fişierul de ieşire `pluton.out` va conţine pe prima linie numărul de plutoane refăcute. Linia a doua va conţine numărul de soldaţi din cel mai numeros pluton refăcut. Linia a treia va conţine numărul de plutoane care au numărul maxim de soldaţi recuperaţi. Linia a patra va conţine componenţa unui astfel de pluton, cu număr maxim de soldaţi recuperaţi, numerele de identificare ale soldaţilor din componenţă fiind scrise unul după altul separate prin câte un spaţiu. # Restricţii și precizări - $0 < n \leq 4\ 000$ - $0 <$ număr de identificare $< 2\ 000\ 000\ 000$ - Deoarece linia a patra conţine numerele de identificare ale soldaţilor **unuia** dintre plutoanele cu un număr maxim de soldaţi, pot exista mai multe soluţii corecte. Se poate alege oricare dintre acestea. - Se acordă punctaje parţiale astfel: pentru valoarea corectă de pe prima linie se acordă $30\%$ din punctaj; pentru valorile corecte de pe prima şi a doua linie se acordă $50\%$ din punctaj, pentru valorile corecte de pe prima, a doua şi a treia linie se acordă $70\%$ din punctaj, iar pentru rezolvarea corectă a tuturor cerinţelor se acordă punctajul integral aferent testului.

IX

numere

romanian

numere.in

numere.out

OJI 2005 IX: Problema 1

Mircea este pasionat de programare. El a început să rezolve probleme din ce în ce mai grele. Astfel a ajuns la o problemă, care are ca date de intrare un tablou pătratic cu $n$ linii şi $n$ coloane, componente tabloului fiind toate numerele naturale distincte de la $1$ la $n^2$. Pentru a verifica programul pe care l-a scris îi trebuie un fişier care să conţină tabloul respectiv. După ce a creat acest fişier, fratele său, pus pe şotii îi umblă în fişier şi îi schimbă câteva numere consecutive, cu numărul $0$. Când se întoarce Mircea de la joacă constată cu stupoare că nu îi merge programul pentru testul respectiv. După câteva ore de depanare îşi dă seama că programul lui este corect şi că fişierul de intrare are probleme. # Cerinţă Scrieţi un program care să-l ajute pe Mircea, găsindu-i cel mai mic şi cel mai mare dintre numerele consecutive schimbate de fratele său. # Date de intrare În fişierul `numere.in` se dă pe prima linie $n$, iar pe următoarele $n$ linii elementele tabloului, câte $n$ elemente pe o linie, separate între ele prin câte un spaţiu, după modificările făcute de fratele lui Mircea. # Date de ieşire În fişierul `numere.out` se va scrie pe un singur rând cu un singur spaţiu între ele numerele cerute (primul fiind cel mai mic). # Restricţii şi precizări - $0 < n \leq 500$ - Fratele lui Mircea schimbă cel puţin un număr în fişier. - Numerele schimbate de fratele lui Mircea sunt mai mici sau cel mult egale cu $60\ 000$.

IX

maxd

romanian

maxd.in

maxd.out

OJI 2005 IX: Problema 2

Fiind elev în clasa a IX-a, George îşi propune să studieze capitolul divizibilitate cât mai bine. Ajungând la numărul de divizori asociat unui număr natural, constată că sunt numere într-un interval dat, cu acelaşi număr de divizori. De exemplu, în intervalul $[1, 10]$, numerele $6$, $8$ şi $10$ au acelaşi număr de divizori, și anume 4. De asemenea, $4$ şi $9$ au acelaşi număr de divizori, egal cu $3$, etc. # Cerinţă Scrieţi un program care pentru un interval dat determină care este cel mai mic număr din interval ce are număr maxim de divizori. Dacă sunt mai multe numere cu această proprietate se cere să se numere câte sunt. # Date de intrare Fişierul de intrare `maxd.in` conţine pe prima linie două numere $a$ şi $b$ separate prin spaţiu reprezentând extremităţile intervalului. # Date de ieşire Fişierul de ieşire `maxd.out` va conţine pe prima linie trei numere separate prin câte un spaţiu cu semnificaţia: - $min =$ cea mai mică valoare din interval care are număr maxim de divizori; - $nrdiv =$ numărul de divizori ai lui $min$; - $contor =$ câte numere din intervalul citit mai au acelaşi număr de divizori egal cu $nrdiv$. # Restricţii şi precizări - $1 \leq a \leq b \leq 1\ 000\ 000\ 000$ - $0 \leq b-a \leq 10\ 000$ - Dacă aţi determinat corect $min$, obţineţi $50\%$ din punctaj. - Dacă aţi determinat corect $nrdiv$, obţineţi $20\%$ din punctaj. - Dacă aţi determinat corect $contor$, obţineţi $30\%$ din punctaj.

IX

expresie

romanian

expresie.in

expresie.out

OJI 2004 IX: Problema 1

Se dă un șir de $n$ numere naturale nenule $x_1, x_2, \dots, x_n$ și un număr natural $m$. # Cerință Să se verifice dacă valoarea expresiei $\sqrt[m]{x_1 x_2 x_3 \dots x_n}$ este un număr natural. În caz afirmativ să se afișeze acest număr descompus în factori primi. # Date de intrare În fișierul `expresie.in` se află pe prima linie $m$, pe linia a doua $n$, iar pe linia a treia numerele $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ separate între ele prin câte un spațiu. # Date de ieșire În fișierul `expresie.out` se va scrie pe prima linie cifra $0$, dacă valoarea expresiei nu este un număr natural, respectiv $1$ dacă este un număr natural. Dacă valoarea expresiei este un număr natural, pe următoarele linii se vor scrie perechi de forma "$p\ e$" ($p$ este factor prim care apare în descompunere la puterea $e \geq 1$). Aceste perechi se vor scrie în ordine crescătoare după primul număr (adică $p$). # Restricții - $n$ este un număr natural nenul mai mic strict decât $5\ 000$. - $x_i$ este un număr natural nenul mai mic strict decât $30\ 000$, $i \in \{1, 2, \dots, n\}$. - **$m$ poate fi una din cifrele $2$, $3$ sau $4$.**

IX

reactivi

romanian

reactivi.in

reactivi.out

OJI 2004 IX: Problema 2

Într-un laborator de analize chimice se utilizează $N$ reactivi. Se știe că, pentru a evita accidentele sau deprecierea reactivilor, aceștia trebuie să fie stocați în condiții de mediu speciale. Mai exact, pentru fiecare reactiv $x$, se precizează intervalul de temperatură $[min_x, max_x]$ în care trebuie să se încadreze temperatura de stocare a acestuia. Reactivii vor fi plasați în frigidere. Orice frigider are un dispozitiv cu ajutorul căruia putem stabili temperatura (constantă) care va fi in interiorul acelui frigider (exprimată într-un număr întreg de grade Celsius). # Cerință Scrieți un program care să determine numărul minim de frigidere necesare pentru stocarea reactivilor chimici. # Date de intrare Fișierul de intrare `reactivi.in` conține: - pe prima linie numărul natural $N$, care reprezintă numărul de reactivi; - pe fiecare dintre următoarele $N$ linii se află $min$ și $max$, două numere întregi separate printr-un spațiu; numerele de pe linia $x+1$ din fișier reprezintă temperatura minimă, respectiv temperatura maximă de stocare a reactivului $x$. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `reactivi.out` va conține o singură linie pe care este scris numărul minim de frigidere necesar. # Restricții și precizări - $1 \leq N \leq 8\ 000$ - $-100 \leq min_x \leq max_x \leq 100$ (numere întregi, reprezentând grade Celsius), pentru orice $x$ de la $1$ la $N$ - Un frigider poate conține un număr nelimitat de reactivi.

IX

text

romanian

text.in

text.out

OJI 2003 IX: Problema 1

Vasile lucrează intens la un editor de texte. Un text este format din unul sau mai multe paragrafe. Orice paragraf se termină cu `Enter` şi oricare două cuvinte consecutive din acelaşi paragraf sunt separate prin spaţii (unul sau mai multe). În funcţie de modul de setare a paginii, numărul maxim de caractere care încap în pagină pe o linie este unic determinat (notăm cu $MAX$). \ Funcţia pe care Vasile trebuie să o implementeze acum este alinierea în pagină a fiecărui paragraf din text la stânga şi la dreapta. Pentru aceasta el va trebui să împartă fiecare paragraf în linii separate de lungime $MAX$ (fiecare linie terminată cu `Enter`). Împărţirea se realizează punând numărul maxim posibil de cuvinte pe fiecare linie, fără împărţirea cuvintelor în silabe. Pentru aliniere stânga-dreapta, el trebuie să repartizeze spaţii în mod **uniform** între cuvintele de pe fiecare linie, astfel încât ultimul caracter de pe linie să fie diferit de spaţiu, iar numărul total de caractere de pe linie să fie egal cu $MAX$. Excepţie face numai ultima linie din paragraf, care rămâne aliniată la stânga (cuvintele fiind separate printr-un singur spaţiu, chiar dacă linia nu este plină). În general, este puţin probabil ca alinierea să fie realizabilă prin plasarea aceluiaşi număr de spaţii între oricare două cuvinte consecutive de pe linie. Vasile consideră că este mai elegant ca, dacă între unele cuvinte consecutive trebuie plasat un spaţiu în plus faţă de alte perechi de cuvinte consecutive, acestea să fie plasate la începutul liniei. # Cerinţă Scrieţi un program care să citească lungimea unei linii şi textul dat şi care să alinieze textul la stânga şi la dreapta. # Date de intrare Fişierul de intrare `text.in` conţine pe prima linie $MAX$, lungimea maximă a unui rând. Pe următoarele linii este scris textul. # Date de ieşire Fişierul de ieşire `text.out` conţine textul aliniat stânga-dreapta. # Restricţii și precizări - $2 \leq MAX \leq 1\ 000$ - **Atenție!** Lungimea maximă a oricărui cuvânt din text este de $40$ de caractere şi nu depăşeşte $MAX$. În enunțul original limita unui cuvânt era de $25$ de caractere, însă se pare că testele nu respectau această limită. - **Atenție!** În cazul în care o linie este goală, aceasta se păstrează. - Lungimea unui paragraf nu depăşeşte $1\ 000$ de caractere. - Soluţia este unică.

IX

numere

romanian

numere.in

numere.out

OJI 2003 IX: Problema 2

Gigel este un mare pasionat al cifrelor. Orice moment liber şi-l petrece jucându-se cu numere. Jucându-se astfel, într-o zi a scris pe hârtie $10$ numere distincte de câte două cifre şi a observat că printre acestea există două submulţimi disjuncte de sumă egală. Desigur, Gigel a crezut că este o întâmplare şi a scris alte $10$ numere distincte de câte două cifre şi spre surpriza lui, după un timp a găsit din nou două submulţimi disjuncte de sumă egală. # Cerinţă Date $10$ numere distincte de câte două cifre, determinaţi numărul de perechi de submulţimi **disjuncte** de sumă egală care se pot forma cu numere din cele date, precum şi una dintre aceste perechi pentru care suma numerelor din fiecare dintre cele două submulţimi este maximă. # Date de intrare Fişierul de intrare `numere.in` conţine pe prima linie $10$ numere naturale distincte separate prin câte un spaţiu $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_{10}$. # Date de ieşire Fişierul de ieşire `numere.out` conţine trei linii. Pe prima linie se află numărul de perechi de submulţimi de sumă egală şi suma maximă obţinută, separate printr-un spaţiu. Pe linia a doua se află elementele primei submulţimi separate prin câte un spațiu, iar pe linia a treia se află elementele celei de a doua submulţimi separate prin câte un spaţiu. # Restricţii şi precizări - $10 \leq x_i, y_i \leq 99$, pentru $1 \leq i \leq 10$ - $1 \leq k, p \leq 9$ - Ordinea submulţimilor în perechi nu contează. - Perechea de submulţimi determinată nu este obligatoriu unică.

IX

poarta

romanian

poarta.in

poarta.out

OJI 2002 IX: Problema 1

Se consideră harta universului ca fiind o matrice cu $250$ de linii şi $250$ de coloane. În fiecare celulă se găseşte o aşa numită poartă stelară, iar în anumite celule se găsesc echipaje ale porţii stelare. La o deplasare, un echipaj se poate deplasa din locul în care se află în oricare alt loc în care se găseşte o a doua poartă, în cazul nostru în orice altă poziţie din matrice. Nu se permite situarea simultană a mai mult de un echipaj într-o celulă. La un moment dat un singur echipaj se poate deplasa de la o poartă stelară la alta. # Cerință Dându-se un număr $p$ de echipaje, pentru fiecare echipaj fiind precizate poziţia iniţială şi poziţia finală, determinaţi numărul minim de deplasări necesare pentru ca toate echipajele să ajungă din poziţia iniţială în cea finală. # Date de intrare Fișierul de intrare `poarta.in` are următorul format: - pe prima linie se află numărul natural $p$ reprezentând numărul echipaje. - pe următoarele $p$ linii se află câte 4 numere naturale, primele două reprezentând coordonatele poziţiei iniţiale a unui echipaj (linie respectiv coloană), următoarele două reprezentând coordonatele poziţiei finale a aceluiaşi echipaj (linie respectiv coloană). # Date de ieşire Pe prima linie a fişierului de ieșire `poarta.out` se scrie un singur număr reprezentând numărul minim de deplasări necesar. # Restricții și precizări - $1 < p < 5\ 000$ - Coordonatele poziţiilor iniţiale şi finale ale echipajelor sunt numere naturale din intervalul $[1, 250]$. - **Atenție la cazurile când poziția inițială este identică cu cea finală!** - Poziţiile iniţiale ale celor $p$ echipaje sunt distincte două câte două. - Poziţiile finale ale celor $p$ echipaje sunt distincte două câte două.

IX

mouse

romanian

mouse.in

mouse.out

OJI 2002 IX: Problema 2 (Modificată)

Un experiment urmărește comportarea unui șoricel pus într-o cutie dreptunghiulară, împărțită în $m \times n$ cămăruțe egale de formă pătrată. Fiecare cămăruță conține o anumită cantitate de hrană. Șoricelul trebuie să pornească din colțul $(1,1)$ al cutiei și să ajungă în colțul opus, mâncând cât mai multă hrană. El poate trece dintr-o cameră în una alăturată (două camere sunt alăturate dacă au un perete comun), mănâncă toată hrana din cămăruță atunci când intră și nu intră niciodată într-o cameră în care a mai intrat înainte. # Cerință Stabiliți care este cantitatea maximă de hrană pe care o poate mânca și traseul pe care îl poate urma pentru a culege această cantitate maximă. # Date de intrare Fișierul de intrare `mouse.in` conține pe prima linie două numere $m$ și $n$ reprezentând numărul de linii respectiv numărul de coloane ale cutiei, iar pe următoarele $m$ linii cele $m \cdot n$ numere reprezentând cantitatea de hrană existentă în fiecare cămăruță, câte $n$ numere pe fiecare linie, separate prin spații. # Date de ieșire În fișierul de ieșire `mouse.out` se vor scrie pe prima linie două numere separate printr-un spațiu: numărul de cămăruțe vizitate și cantitatea de hrană maximă culeasă. Pe următoarele linii se va scrie un traseu posibil pentru cantitatea dată, sub formă de perechi de numere, începând cu $(1, 1)$ și terminând cu $(m, n)$. # Restricții și precizări - Toate valorile din fișier sunt numere naturale între $1$ și $100$. - Veți primi 40 de puncte pentru afișarea primelor două numere.

IX

arhitect

romanian

arhitect.in

arhitect.out

OJI 2023 X: Problema 1

~[arhitect.jpg|align=right|width=20em] Construcția unei noi clădiri a fost finalizată! Frank, celebrul arhitect a făcut o poză cu fațada. Nu este chiar mulțumit de poză deoarece a observat o înclinație a pozei relativ la orizontală. Asta se poate repara printr-o rotație, iar Frank se întreabă dacă procesul de îndreptare nu ar putea fi automatizat. Cu acest scop, imaginea este transformată într-o mulțime de segmente din plan, detectate automat cu algoritmi speciali, ca în imaginea din dreapta. Segmentele care se obțin sunt identificate prin cele două extremități, puncte având coordonate numere naturale, în sistemul *xOy*: ($x_1$, $y_1$), ($x_2$, $y_2$). Un segment este numit *aliniat* cu axele dacă este orizontal (paralel cu axa *Ox*, deci $y_1=y_2$) sau vertical (paralel cu axa *Oy*, deci $x_1=x_2$). Prin rotația imaginii în ansamblu, o parte dintre segmente devin *aliniate* cu cele două axe. # Cerință Scrieți un program care pentru o mulțime de segmente determină numărul maxim de segmente care se pot *alinia*, prin rotirea cu un același unghi a tuturor segmentelor. Unghiul de rotație poate fi orice număr real. # Date de intrare Fişierul de intrare `arhitect.in` conţine pe prima linie numărul de segmente $N$ și pe următoarele $N$ linii câte patru numere întregi separate prin câte un spațiu $x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$, în această ordine, cu semnificația din enunț, coordonatele ce definesc extremitățile segmentelor. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `arhitect.out` conține pe prima linie numărul maxim de segmente determinat. # Restricții și precizări * $1 \leq N \leq 100 \ 000$ și $1 \leq x_1, y_1, x_2, y_2 \leq 1 \ 000 \ 000 \ 000$; * Toate segmentele au lungime nenulă; * Pentru $40$ de puncte, segmentele inițiale sunt paralele cu *Ox*, *Oy* sau cu bisectoarele axelor de coordonate. * Pentru $60$ de puncte, fără resticții suplimentare.

X

bingo

romanian

bingo.in

bingo.out

OJI 2023 X: Problema 2

Fie $S$ un șir de caractere de lungime $N$ indexat de la 1. Pe un astfel de șir se definește operația `swap`: se alege un indice $i$ ($1 \leq i < N$) și se interschimbă caracterele $S[i]$ și $S[i+1]$. Numărul norocos corespunzător unui șir $S$ este egal cu numărul minim de operații `swap` ce trebuie efectuate succesiv pentru a obține cel puțin o subsecvență `bingo` în șirul $S$. Dacă subsecvența `bingo` apare în șirul inițial, numărul norocos este egal cu $0$. # Cerință Se dă un număr natural $T$ și $T$ șiruri de caractere. Să se determine pentru fiecare șir dat $S_i$ ($1 \leq i \leq T$), numărul său norocos. # Date de intrare Fișierul de intrare `bingo.in` conține pe prima linie un număr natural nenul $T$. Următoarele $T$ linii conțin fiecare câte un șir de caractere format doar din litere mici ale alfabetului englez. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `bingo.out` conține numerele norocoase determinate pentru fiecare dintre cele $T$ șiruri date. Acestea se vor afișa fiecare pe câte un rând, în ordinea în care șirurile sunt date în fișierul de intrare. # Restricții și precizări * $1 \leq T \leq 10 \ 000$; * $\sum_{i=1}^{T}|S_i| \leq 100 \ 000$, unde se notează cu $|S|$ numărul de caractere din șirul $S$; * O subsecvență de lungime $L$ a unui șir de caractere $S$ reprezintă o succesiune de $L$ caractere aflate pe poziții consecutive în șirul $S$. * Se garantează că fiecare șir citit conține cel puțin o dată fiecare caracter din mulțimea $\{b,i,n,g,o\}$; * Pentru $17$ puncte, $|S_i|=5$ ($1 \leq i \leq T$); * Pentru $21$ de puncte, în fiecare șir $S_i$ ($1 \leq i \leq T$) fiecare caracter din mulțimea $\{b,i,n,g,o\}$ apare exact o dată; * Pentru $11$ puncte, $1 \leq T \leq 10$ și în fiecare șir $S_i$ ($1 \leq i \leq T$) fiecare caracter din mulțimea $\{b,i,n,g,o\}$ apare de cel mult 10 ori; * Pentru $51$ de puncte, nu există restricții suplimentare.

X

fotbal

romanian

fotbal.in

fotbal.out

OJI 2023 X: Problema 3

Cei $N$ copii de la școala generală vor să formeze o echipă de fotbal compusă din $K$ elevi, dintre care cel puțin unul stângaci și cel puțin unul dreptaci. Pentru fiecare copil $i$ (de la $0$ la $N-1$) se cunoaște intervalul de timp în care acesta este disponibil pentru a face parte din echipă, sub forma unei perechi, $[start_{i}, end_{i}]$, cât și dacă este stângaci sau dreptaci. $K$ copii pot juca în aceeași echipa dacă intervalele de timp în care aceștia sunt disponibili se suprapun în cel puțin un punct (moment de timp). # Cerință Se cere numărul de moduri în care se poate alcătui o echipă cu $K$ dintre cei $N$ elevi; deoarece acest număr poate să fie foarte mare, el se va afișa modulo $10^9+9$. # Date de intrare Pe prima linie din fișierul `fotbal.in` se găsesc numerele $N$ și $K$. Pe următoarele $N$ linii, se găsesc câte 3 numere naturale, $start_{i}$, $end_{i}$, $f_{i}$, unde $[start_{i}, end_{i}]$ reprezintă intervalul de timp în care al $i$-lea copil este disponibil pentru a face parte din echipă, iar $f_{i}$ reprezintă piciorul cu care joacă al $i$-lea copil, $f_{i}=1$ dacă al $i$-lea copil este dreptaci și $f_{i}=0$ dacă al $i$-lea copil este stângaci. # Date de ieșire Fișierul `fotbal.out` va conține doar numărul de moduri cerut, în forma precizată în cerință. # Restricții și precizări * $2 \leq K \leq N \leq 100 \ 000$; * $0 \leq start_{i} \leq end_{i} \leq 1 \ 000 \ 000 \ 000$, pentru orice $i$ de la $0$ la $N-1$; * $f_{i} \in \{0, 1\}$, pentru orice $i$ de la $0$ la $N-1$; * Pentru $25$ de puncte, $K = 2$ și $2 \le N \le 1 \ 000$; * Pentru $17$ puncte, $K = 2$ și există cel mult $5$ copii care sunt stângaci; * Pentru $33$ de puncte, $2 \leq K \leq N \leq 1 \ 000$; * Pentru $25$ de puncte, nu există restricții suplimentare.

X

circular

romanian

circular.in

circular.out

OJI 2022 X: Problema 1

~[circular.jpg|align=right|width=20em] O imprimantă circulară are litere mari ale alfabetului englezesc dispuse circular de la $A$ la $Z$. Imprimanta are un indicator care inițial este plasat la litera $A$. Pentru a tipări o literă indicatorul imprimantei se mișcă la stânga sau dreapta. Mișcarea indicatorului către o literă alăturată aflată la stânga sau la dreapta literei curente se realizează într-o secundă. De exemplu: pentru a tipări șirul $BCY$ sunt necesare $6$ secunde. Imprimanta va alege întotdeauna sensul cel mai avantajos de deplasare, astfel încât timpul de deplasare să fie minim. Imprimanta tipărește literele în două culori: roșu sau albastru. Unele litere se tipăresc cu cerneală roșie, restul cu cerneală albastră. Pentru simplitate le vom numi litere roșii și litere albastre. Fiind date un șir de litere albastre nu neapărat distincte și mulțimea literelor roșii ale imprimantei, să se calculeze: 1. Care este timpul pentru tipărirea la imprimanta circulară a șirului de litere albastre. 2. Să se insereze între oricare două litere albastre aflate pe poziții consecutive câte o literă roșie astfel încât să se obțină timpul minim pentru tipărire și să se afișeze: * timpul minim; * numărul de șiruri distincte care sunt tipărite cu timp minim; * șirul minim lexicografic dintre toate șirurile ce sunt tipărite în acest timp. # Date de intrare Fișierul `circular.in` conține: 1. pe prima linie un număr natural $c$ cu valori posibile $1$ sau $2$ reprezentând cerința problemei; 2. pe a doua linie un șir de litere albastre, nu neapărat distincte; 3. pe a treia linie mulțimea literelor roșii distincte în ordine alfabetică. # Date de ieșire În fișierul `circular.out` se va afișa în funcție de cerință: * Dacă $c = 1$, un singur număr natural reprezentând timpul necesar pentru tipărirea la imprimantă a șirului de litere albastre. * Dacă $c = 2$, se vor tipări trei rezultate, fiecare pe câte o linie: * timpul minim pentru tipărire conform cerinței a doua; * numărul de șiruri distincte care sunt tipărite cu timp minim $\text{modulo }666\ 013$; * șirul minim lexicografic ce obține acest timp. # Restricții * Cele două șiruri conțin doar litere mari ale alfabetului englez. * Lungimea șirului de litere albastre nu depășește $50\ 000$ de litere. * Mulțimea literelor roșii nu depășește $25$ de litere, care sunt distincte și afișate în ordine alfabetică. * Toate celelalte litere care nu se regăsesc în mulțimea literelor roșii, sunt albastre. * Pentru cazul $c = 2$ se acordă punctaj parțial astfel: * $25\%$ din punctaj, pentru afișarea timpului minim; * $25\%$ din punctaj, pentru afișarea numărului de șiruri ce obțin timpul minim; * $50\%$ din punctaj, pentru afișarea șirului minim lexicografic. * **Atenție!** Pentru obținerea punctajului la cerința a doua, pentru orice test, în fișierul de ieșire trebuie să existe exact trei linii care respectă formatul cerut. * Cerința 1 valorează 24 de puncte, iar cerința 2 valorează 76 de puncte.

X

pulsar

romanian

pulsar.in

pulsar.out

OJI 2022 X: Problema 2

*Data stelară 3210:* Căpitanul navei USS Enterprise, Jean-Luc Picard se află într-o misiune importantă în cuadrantul Beta al galaxiei. Acesta trebuie să ajungă cât mai rapid de la planeta Vulcan până la planeta Qo'noS, dar din păcate pentru această misiune Jean-Luc Picard nu va putea să ajungă instantaneu la destinație folosind warp drive-ul navei, ci va trebui să se deplaseze în mod normal, din sector în sector. Harta galaxiei este reprezentată sub forma unei tabele bidimensionale de dimensiune $N \times N$, în care fiecare celulă reprezintă un sector al galaxiei. Coordonatele sectorului în care se află planeta Vulcan sunt $(x_s, y_s)$, iar coordonatele sectorului în care se află planeta Qo'noS sunt $(x_f, y_f)$. USS Enterprise se poate deplasa într-o unitate de timp dintr-un sector în oricare dintre sectoarele adiacente, fie pe aceeași linie, fie pe aceeași coloană. În plus, nava poate staționa o perioadă nedeterminată de timp în orice sector. Nava se poate afla doar pe un sector care la momentul actual de timp nu o pune în pericol. Pentru că nicio aventură nu este lipsită de pericole, drumul lui Jean-Luc Picard este presărat de *pulsari*, obiecte cosmice foarte periculoase care lansează în vecinătatea lor, la intervale fixe de timp, unde gravitaționale care ar putea distruge USS Enterprise. Un pulsar $P_i$ este caracterizat prin patru variabile $(x_i, y_i, r_i, t_i)$, unde $(x_i, y_i)$ reprezintă coordonatele sectorului în care se regăsește pulsarul, $r_i$ reprezintă raza de acțiune a pulsarului, iar $t_i$ reprezintă starea în care se află pulsarul la momentul de început al deplasării navei. Un pulsar $P_i$ trece periodic printr-un număr de $r_i$ stări de la 0 la $r_i - 1$. Când acesta se află în starea $t$, acesta afectează toate sectoarele aflate la o distanță Manhattan mai mică sau egală cu $t$ față de sectorul în care se află acesta. Dacă pulsarul la un moment de timp se află în starea $t$, la momentul următor se va afla în starea $(t+1) \% r_i$. Un exemplu de funcționare al unui pulsar cu rază de acțiune $r = 4$, timp de $6$ unități de timp, începând cu $t = 0$ este următorul: ~[exemplu1.png] # Cerință Vouă vă revine rolul de a îl ajuta pe Jean-Luc Picard și să îi răspundeți la una din următoarele întrebări știind harta galaxiei: 1) Care este numărul maxim de sectoare ale galexiei $S_{max}$ afectate la orice moment de timp de către cel puțin un pulsar. 2) Care este timpul minim $T_{min}$ de care are nevoie Jean-Luc Picard pentru a ajunge pe planeta Qo'noS. # Date de intrare Din fișierul `pulsar.in` se vor citi următoarele: * Pe prima linie se vor afla trei numere $C$, $N$ și $P$ separate prin câte un spațiu, reprezentând cerința ce trebuie rezolvată, dimensiunea galaxiei și numărul de pulsari din galaxie * Pe următoarele $P$ linii se vor afla câte patru numere separate prin spațiu $x_i$, $y_i$, $r_i$, $t_i$, reprezentând descrierea pulsarului $P_i$ * Pe penultima linie se vor afla două numere separate printr-un spațiu reprezentând coordonatele sectorului planetei Vulcan $x_s$ și $y_s$ * Pe ultima linie se vor afla două numere separate printr-un spațiu reprezentând coordonatele sectorului planetei Qo'noS $x_f$ și $y_f$ # Date de ieșire În fișierul `pulsar.out` se va afișa un singur număr în funcție de cerință: * Dacă $C = 1$, atunci se va afișa numărul $S_{max}$ * Dacă $C = 2$, atunci se va afișa numărul $T_{min}$ # Restricții și precizări * Distanța Manhattan dintre două coordonate $(x_1, y_1)$ și $(x_2, y_2)$ este definită ca: $|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$ * Nava nu va putea părăsi la niciun moment de timp harta galaxiei * Undele pulsarilor pot părăsi harta galaxiei, dar acele sectoare nu reprezintă interes pentru problema noastră * Se garantează că la momentul plecării, nava nu este aflată în pericol * Se garantează că există soluție * Pot exista mai mulți pulsari în același sector * $C \in \{1, 2\}$ * $3 \leq N \leq 500$ * $1 \leq P \leq 15\ 000$ * $0 \leq t_i \lt r_i \leq 6 \ \forall \ 1 \leq i \leq P$ * $1 \leq x_s, y_s, x_f, y_f \leq N$ * $1 \leq x_i, y_i \leq N \ \forall \ 1 \leq i \leq P$ ## Subtask 1 (19 puncte) * $C = 1$ ## Subtask 2 (22 puncte) * $C = 2$ * $r_i = 1 \ \forall \ 1 \leq i \leq P$ ## Subtask 3 (9 puncte) * $C = 2$ * $N \leq 7$ * $r_i \leq 3 \ \forall \ 1 \leq i \leq P$ ## Subtask 4 (13 puncte) * $C = 2$ * $t_i = 0 \ \forall \ 1 \leq i \leq P$ ## Subtask 5 (37 puncte) * $C = 2$

X

transport

romanian

transport.in

transport.out

OJI 2022 X: Problema 3

*Anul 1905* Un stat din America de Sud și-a propus investiții majore în infrastructura feroviară. Brazilianul Badinho este managerul unei companii de transport feroviar pe o magistrală importantă. De-a lungul magistralei se află $N$ stații, numerotate de la $1$ la $N$. Fiecărei stații îi corespunde un număr $X_i$ care reprezintă numărul de kilometri de la începutul magistralei până la stația $i$ ($X_1 = 0$). Pentru simplitate Badinho reprezintă magistrala ca o dreaptă, iar stațiile ca puncte pe dreapta respectivă, stația $i$ aflându-se la coordonata $X_i$. O rută reprezintă o submulțime de cel puțin 2 stații dintre cele $N$, cu semnificația că în aceste stații se vor face opriri. Orice rută operată de Badinho are 2 stații numite capete, definite ca fiind cea mai apropiată stație, inclusă în rută, de începutul magistralei respectiv cea mai îndepărtată stație, inclusă în rută, de începutul magistralei. Compania lui Badinho va primi o subvenție pentru deschiderea unei noi rute, care va fi proporțională cu lungimea rutei deschise. Mai exact, Badinho va primi $C$ reali (realul este moneda națională a Braziliei) pentru fiecare kilometru din noua rută. Lungimea rutei se definește ca fiind distanța dintre capete. Badinho poate deschide două tipuri de rute: * Regio — se fac opriri în toate stațiile dintre cele două capete * Expres — unele stații dintre cele două capete pot fi traversate fără a opri în ele Pentru a deschide o rută Badinho trebuie să construiască câte un depou în capetele rutei respective. Costul pentru a construi un depou în stația $i$ este $D_i$ reali. Știind că Badinho trebuie să cheltuiască întreaga sumă pe care ar primi-o dintr-o subvenție, să se determine: 1. Numărul de moduri de a deschide o rută de tip Regio, $\text{modulo }10^9 + 7$ 2. Numărul de moduri de a deschide o rută de tip Expres, $\text{modulo }10^9 + 7$ # Date de intrare În fișierul `transport.in` se află: * Pe prima linie tipul cerinței $T$, care poate avea valoarea $1$ sau $2$. * Pe a doua linie $N$ și $C$, separate printr-un spațiu, reprezentând numărul de stații, respectiv suma primită per kilometru ca subvenție. * Pe următoarele $N$ linii, pe linia $i + 2$ se află câte o pereche $X_i$ și $D_i$, separate printr-un spațiu, reprezentând distanța la care se află stația $i$ față de începutul magistralei, respectiv costul de a contrui un depou în stația $i$. # Date de ieșire În fișierul `transport.out` se va afișa: * Dacă $T = 1$, numărul de moduri de a deschide o rută de tip Regio, $\text{modulo }10^9 + 7$ * Dacă $T = 2$, numărul de moduri de a deschide o rută de tip Expres, $\text{modulo }10^9 + 7$ # Restricții * Două rute se consideră distincte dacă diferă prin cel puțin o stație. * $2 \leq N \leq 200\ 000$, $1 \leq C \leq 10^9$ * $0 \leq X_i, D_i \leq 10^9\ \forall \ 1 \leq i \leq N$ * $X_1 = 0$ * Șirul $X$ este sortat strict crescător: $X_i \lt X_j \ \forall \ 1 \leq i \lt j \leq N$. * Toate liniile de cale ferată ale magistralei sunt deja construite, singurele costuri pe care le va suporta Badinho sunt cele de construire a depourilor. ## Subtask 1 (12 puncte) * $T = 1$, $N \leq 1\ 000$ ## Subtask 2 (26 puncte) * $T = 1$, $N \leq 200\ 000$ ## Subtask 3 (6 puncte) * $T = 2$, $N \leq 15$ ## Subtask 4 (15 puncte) * $T = 2$, $N \leq 1\ 000$ ## Subtask 5 (41 puncte) * $T = 2$, $N \leq 200\ 000$

X

Labirint

romanian

labirint.in

labirint.out

OJI 2021 X: Problema 1

Un labirint este descris ca fiind o matrice binară cu $N$ linii și $M$ coloane, cu semnificația că $0$ reprezintă o poziție liberă, iar $1$ reprezintă o poziție în care se află un zid. Un drum în labirint este un traseu în matrice care începe cu poziția $(1, 1)$ și ajunge în poziția $(N, M)$ prin deplasare doar pe poziții care au valoarea 0 și sunt vecine cu poziția curentă, pe una din cele patru direcții: sus, jos, stânga, dreapta. Lungimea unui drum este egală cu numărul de poziții vizitate. Notăm cu $d_0$ lungimea drumului minim de la poziția $(1, 1)$ la poziția $(N, M)$. Fie $d(i, j)$ lungimea drumului minim de la poziția $(1, 1)$ la poziția $(N, M)$, dacă poziției $(i, j)$ i se atribuie valoarea $0$. Observăm că dacă poziția $(i, j)$ conține inițial un $0$, atunci $d_0 = d(i, j)$. # Cerință Pentru fiecare poziție $(i, j)$, să se verifice dacă $d(i, j) < d_0$. # Date de intrare Pe prima linie a fișierului `labirint.in` se află două numere naturale $N$ și $M$, dimensiunile matricei binare ce descrie labirintul, apoi pe următoarele $N$ linii se vor afla câte $M$ valori binare, ce reprezint˘a elementele matricei care descrie labirintul, neseparate prin spații. # Date de ieșire în fișierul `labirint.out` se vor scrie $N$ linii, iar pe fiecare linie se vor scrie $M$ cifre, neseparate prin spații. Cifra a $j$-a de pe linia a $i$-a este $1$ dacă și numai dacă $d(i, j) < d_0$, altfel este $0$. # Restricții și precizări * $1 \leq N, M \leq 1 \ 000$; * Pe pozițiile $(1, 1)$ și $(N, M)$ se vor afla valori $0$. * Se garantează că există un drum în matricea inițială între pozițiile $(1, 1)$ și $(N, M)$. | # | Punctaj | Restricții | | - | ------- | ------------------- | | 1 | 10 | $1 \leq N, M \leq 50$, $d_0 = N + M - 1$ | | 2 | 30 | $1 \leq N, M \leq 50$ | | 3 | 60 | Fără restricții suplimentare. |

X

SDistanțe

romanian

sdistante.in

sdistante.out

OJI 2021 X: Problema 2

Definim _distanța_ dintre două șiruri de caractere de aceeași lungime ca fiind numărul minim de caractere ce trebuie modificate (înlocuite fiecare cu câte un alt caracter) în primul șir pentru a obține al doilea șir. Vom nota distanța dintre șirurile $a$ și $b$ cu $dist(a, b)$. De exemplu, $dist($`abc`$,\ $`aaa`$) = 2$ (înlocuim caracterul `b` cu `a`, respectiv caracterul `c` cu `a`), iar $dist($`ABC`$,\ $`abc`$) = 3$ (literele mici se consideră diferite de cele mari). Definim o _subsecvență_ a unui șir $s$ de caractere ca fiind un șir format din caractere de pe poziții consecutive din $s$. Considerăm două subsecvențe ca fiind distincte dacă încep sau se termină la poziții diferite. Vom nota cu $s(i, j)$ subsecvența formată din caracterele indexate de la $i$ la $j$ ale șirului $s$. Șirurile se indexează de la $0$. Exemplu: pentru șirul $s = $ `abc` subsecvențele sunt $s(0, 0) = $ `a`, $s(1, 1) = $ `b`, $s(2, 2) = $ `c`, $s(0, 1) = $ `ab`, $s(1, 2) = $ `bc`, $s(0, 2) = $ `abc`, iar pentru șirul $s = $ `aa` acestea sunt $s(0, 0) =$ `a`, $s(1, 1) =$ `a`, $s(0, 1) =$ `aa`. # Cerință Se dă un șir de caractere $s$, care poate conține doar litere mici și mari ale alfabetului englez (de la `a` la `z` și de la `A` la `Z`). Pentru toate perechile neordonate de subsecvențe distincte ale șirului $s$ care au lungimi egale, vrem să calculăm distanța dintre ele și să afișăm suma acestora $\text{mod }10^9 + 7$. Formal, se cere suma valorilor $dist(s(a, b), s(c, d))$, pentru toți indicii $a$, $b$, $c$, $d$ cu $0 ≤ a, b, c, d < |s|, a < c, a ≤ b, c ≤ d, b − a = d − c$, $\text{mod }10^9 + 7$. $|s|$ reprezintă lungimea șirului $s$, care este indexat de la $0$. # Date de intrare Pe singura linie a fișierului `sdistante.in` este șirul dat, $s$. # Date de ieșire Se va afișa pe singurul rând al fișierului `sdistante.out` un număr întreg reprezentând suma distanțelor, $\text{mod }10^9 + 7$. # Restricții și precizări * $|s| ≤ 4 \ 000 \ 000$, unde $|s|$ este lungimea șirului $s$. * Pentru $11$ puncte, $|s| ≤ 20$, $s$ conține doar litere mici. * Pentru alte 5 puncte, $|s| ≤ 50$, $s$ conține doar caracterele `a` și `b`. * Pentru alte 15 puncte, $|s| ≤ 350$, $s$ conține doar litere mici. * Pentru alte 6 puncte, $|s| ≤ 1 \ 000$, $s$ conține doar caracterele `a` și `b`. * Pentru alte 30 puncte, $|s| ≤ 5 \ 000$, $s$ conține doar litere mici. * Pentru alte 5 puncte, $|s| ≤ 100 \ 000$, $s$ conține doar caracterele `a` și `b`. * Pentru alte 4 puncte, $|s| ≤ 100 \ 000$, $s$ conține doar litere mici. * Pentru alte 6 puncte, $|s| ≤ 1 \ 000 \ 000$, $s$ conține doar caracterele `a` și `b`. * Pentru alte 18 puncte, fără restricții suplimentare.

X

Tort

romanian

tort.in

tort.out

OJI 2021 X: Problema 3

Alexandra, prințesa Regatului Visurilor a primit un tort și vrea să îl împartă cu prietenii ei. Astfel ea va organiza o petrecere unde îi va invita. Tortul Alexandrei este format din $N$ bucăți, iar a $i$-a bucată are $a_i$ cireșe. Alexandra va împărți tortul în mai multe secvențe continue de bucăți, astfel încât fiecare bucată este inclusă în exact o secvență, și fiecare secvență conține cel puțin o bucată de tort. Prima secvență – cea care conține prima bucată – o va mânca în noaptea de înaintea petrecerii, iar restul bucăților le va da celorlalți prieteni invitați. Pentru a nu îi supăra, Alexandra vrea ca fiecare secvență dată unui prieten să conțină la fel de multe cireșe ca oricare altă secvență dată unui prieten (dar nu neapărat la fel de multe cireșe ca aceea mâncată de ea înaintea petrecerii). Alexandra trebuie să invite cel puțin un prieten la petrecere. # Cerință Dându-se $N$ și șirul $a$, să se afle numărul de moduri în care Alexandra ar putea să împartă tortul în secvențe continue, astfel încât să se respecte condițiile din enunț. Două moduri de a împărți tortul se consideră a fi distincte dacă și numai dacă există în unul o secvență care nu există în ceălalt (dacă am reprezenta un mod de împărțire în secvențe prin intermediul șirului crescător al indicilor de început pentru fiecare secvență din acea împărțire, două moduri de împărțire sunt distincte dacă șirurile de indici asociate lor sunt diferite). Formal, dându-se un șir de numere, se vrea să aflăm numărul de moduri de a împărți șirul în cel puțin două subsecvențe, astfel încât sumele elementelor tuturor subsecvențelor să fie egale, prima putând să aibă suma elementelor diferită de a celorlalte. # Date de intrare Prima linie a fișierului de intrare `tort.in` conține numărul $N$. A doua linie conține valorile $a_1, \dots , a_N$, separate prin spații. # Date de ieșire Singura linie a fișierului de ieșire `tort.out` va conține numărul cerut. # Restricții și precizări * $1 \leq N \leq 200 \ 000$ * $1 \leq a_1, \dots ,a_n \leq 400 \ 000$ * $a_1 + \dots + a_n \leq 400 \ 000$ | # | Punctaj | Restricții | | - | ------- | ------------------- | | 1 | 12 | $1 \leq N \leq 20$| | 2 | 12 | $1 \leq N \leq 100, a_1 = \dots = a_n = 1$ | | 3 | 20 | $1 \leq N \leq 100$ | | 4 | 28 | $1 \leq N \leq 1 \ 000, a_1 + \dots + a_n \leq 2 \ 000$ | | 5 | 28 | Fără restricții suplimentare. |

X

alinieri

romanian

alinieri.in

alinieri.out

OJI 2020 X: Problema 1

Se consideră modelul unui sistem solar format din $N$ planete care se rotesc în jurul unei stele $S$, în sens trigonometric. Traiectoriile planetelor se consideră circulare și de raze diferite, iar vitezele de rotație ale planetelor în jurul stelei sunt numere naturale și sunt exprimate în grade pe zi ($\degree$/zi). # Cerință Cunoscând numărul de planete $N$ și vitezele lor de rotație $V_i$, $1 \leq i \leq N$, precum și două numere naturale $P$ și $Z$, să se determine numărul $A$ de alinieri a câte minimum $P$ planete, pe o dreaptă ce trece prin centrul stelei $S$, după trecerea celor $Z$ zile. Evoluția sistemului solar începe cu toate planetele așezate orizontal, în dreapta stelei $S$. \ Spre exemplu, pentru $N=4$, $P=3$, $Z=365$ și $V = [20, 11, 8, 6]$, alinierea a minimum $3$ planete din cele $4$ se va face la finalul zilelor $60$, $90$, $120$, $180$, $240$, $270$, $300$, $360$. După $365$ de zile vor exista $A=8$ alinieri. În imaginea din dreapta se observă poziția planetelor la prima aliniere. ~[1.jpg|align=center|width=55em] # Date de intrare Fișierul de intrare `alinieri.in` conține pe prima linie, în această ordine, numerele naturale $N$, $P$ și $Z$, iar pe a doua linie, $N$ numere naturale $V_i$, $1 \leq i \leq N$ cu semnificația de mai sus. Numerele aflate pe aceeași linie a fișierului sunt separate prin câte un spațiu. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `alinieri.out` va conține pe prima linie numărul $A$, cu semnificația de mai sus. # Restricții și precizări - $2 \leq P \leq N \leq 10^5$ - $1 \leq Z \leq 10^6$ - $1 \leq V_i \leq 10^3$, $1 \leq i \leq N$ - Pentru teste în valoare de 30 de puncte, $1 \leq Z \leq 1\ 000$. - Pentru teste în valoare de 30 de puncte, $1 \leq N \leq 100$. - Pentru teste în valoare de 30 de puncte, $2 \leq P \leq 9$. - Se vor lua în considerare doar alinierile de la sfârșitul fiecărei zile (ora 24:00), când planetele și-au încheiat parcursul zilnic.

X

arh

romanian

arh.in

arh.out

OJI 2020 X: Problema 2

**Dexter** și-a definit propriul algoritm de arhivare a șirului favorit $T$, șir format numai din litere mici ale alfabetului englez. Șirul arhivat, notat cu $S$, poate fi format din cifre, litere mici ale alfabetului englez, parantezele drepte `[` și `]` și parantezele rotunde `(` și `)`, precum și caractere `*`. **Fixi**, curios din fire, descoperă algoritmul și încearcă să dezarhiveze șirul $S$, prin efectuarea unor transformări repetate. O transformare poate fi de unul dintre cele $3$ tipuri de mai jos, unde s-a notat cu $C$ o secvență din $S$ formată numai din litere. 1. O secvență a lui $S$ de forma `n(C)`, unde n este numărul natural poziționat imediat înaintea parantezei rotunde, se transformă într-o secvență $D$ obținută prin scrierea concatenată, de $n$ ori, a șirului $C$. Exemplu: pentru secvența `10(ab)` avem $n=10$ și se obține secvența $D=$ `abababababababababab`. 2. O secvență a lui $S$ de forma `[*C]` se transformă într-o secvență palindromică de lungime pară, obținută prin concatenarea secvenței $C$ cu oglinditul lui $C$. Exemplu: din secvența `[*abc]` se obține secvența palindromică de lungime pară abccba 3. O secvență a lui $S$ de forma `[C*]` se transformă într-o secvență palindromică de lungime impară, obținută prin concatenarea secvenței $C$ cu oglinditul lui $C$ din care s-a eliminat primul caracter. Exemplu: din secvența `[abc*]` se obține secvența palindromică de lungime impară abcba. Un șir se consideră dezarhivat dacă este format numai din litere mici ale alfabetului englez. # Cerințe Fiind dat șirul arhivat $S$ să se determine numărul de transformări, de cele $3$ tipuri de mai sus, realizate de **Fixi** în cadrul algoritmului de dezarhivare, precum și forma finală dezarhivată $T$ a șirului $S$. # Date de intrare Fișierul de intrare `arh.in` conține șirul de caractere arhivat S. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `arh.out` conține **obligatoriu** două linii. Pe prima linie numărul de transformări cerut, iar pe linia a doua șirul de caractere cerut, $T$. # Restricții și precizări * Lungimea șirului arhivat $S$ este cuprinsă între $1$ și $10 \ 000$, inclusiv; * Lungimea șirului dezarhivat $T$ este cuprinsă între $1$ și $100 \ 000$, inclusiv; * $2 \leq n \leq 1 \ 000$; * O secvență a unui șir este o succesiune de caractere aflate pe poziții consecutive în şir; * În șirul $S$: * O cifră poate apărea numai imediat înaintea unei paranteze rotunde deschise sau imediat înaintea unei alte cifre; * Fiecare paranteză rotundă deschisă are imediat înaintea sa cel puțin o cifră; * Toate parantezele, drepte sau rotunde, se închid corect; * Caracterul `*` poate apărea numai imediat după o paranteză dreaptă deschisă sau imediat înaintea unei paranteze drepte închise. * O secvenţă a unui șir este palindromică dacă primul element al secvenţei este egal cu ultimul, al doilea cu penultimul etc; * Oglinditul unei secvențe se obține prin scriere în ordine inversă a caracterelor sale; * Se acordă $20\%$ din punctajul fiecărui test pentru scrierea corectă a numărului cerut și $80\%$ din punctajul fiecărui test pentru scrierea corectă a șirului cerut; * Pentru $30$ de puncte șirul arhivat $S$ poate fi dezarhivat numai cu transformări de tipul $1$; * Pentru alte $30$ de puncte șirul arhivat $S$ poate fi dezarhivat numai cu transformări de tipurile $2$ și $3$.

X

leftmax

romanian

leftmax.in

leftmax.out

OJI 2020 X: Problema 3

În clasa lui *Dexter* sunt $N$ elevi de înălțimi distincte. La ora de sport, ei sunt așezați în linie, de la stânga la dreapta. Profesorul lor, *Johnny*, va selecta pentru un exercițiu elevi aflați pe poziții consecutive în linie, astfel încât cel mai înalt elev dintre cei selectați să se afle în prima jumătate a acestora. De exemplu, dacă elevii au, în ordine, înălțimile $1$, $5$, $4$, atunci profesorul poate să îi selecteze pe cei cu înălțimile $5$ și $4$, dar nu poate să îi selecteze pe cei cu înălțimile $1$ și $5$. Desigur, există mai multe moduri de a selecta elevii astfel încât să fie satisfăcută condiția de mai sus. Profesorul *Johnny* ar vrea să afle în câte moduri se poate face acest lucru. # Cerinţă Dându-se $N$ și înălțimile elevilor din clasă, aflați în câte moduri pot fi selectați oricâți elevi aflați pe poziții consecutive, astfel încât să fie îndeplinită condiția din enunț. # Date de intrare Fișierul de intrare `leftmax.in` conține, pe prima linie, numărul $N$, iar pe a doua linie înălțimile elevilor în ordinea în care sunt așezați în linie. # Date de ieşire Fișierul de ieșire `leftmax.out` conține pe prima linie răspunsul la cerință, sub formă de rest al împărțirii la $1\ 000\ 000\ 007$ ($\text{modulo }1\ 000\ 000\ 007$). # Restricţii și precizări - $1 \leq N \leq 100\ 000$ - Înălțimea oricărui elev este un număr întreg cuprins între $1$ și $N$, inclusiv. - Dacă se selectează un număr impar de elevi, atunci considerăm că cel din mijlocul selecției se află în prima jumătate a elevilor selectați. - Pentru 10 puncte, $N \leq 1\ 000$ și elevii sunt ordonați descrescător după înălțime. - Pentru alte 35 de puncte, $N \leq 1\ 000$. - Pentru alte 20 de puncte, $N \leq 30\ 000$.

X

pif

romanian

pif.in

pif.out

OJI 2019 X: Problema 1

După ce a primit de la Simonet, profesorul său de studii sociale, tema pentru proiect, tânărului Trevor i-a venit ideea jocului ”Pay it forward”. Pentru cei care nu știu acest joc, el constă în ajutarea de către Trevor a oamenilor aflați la ananghie. Aceștia la rândul lor vor ajuta alți oameni și așa mai departe. Fiecare participant (inclusiv Trevor) trebuie să realizeze câte $k$ fapte bune prin care să ajute oamenii. Vârstnicii și tinerii își îndeplinesc în mod diferit această sarcină. Vârstnicii au nevoie de $\text{zv}$ zile pentru a introduce în joc o altă persoană, iar tinerii au nevoie de $\text{zt}$ zile. Astfel dacă un vârstnic, respectiv un tânăr, intră în joc în ziua $i$, el va introduce la rândul lui în joc prima persoană în ziua $i+\text{zv}$, respectiv în ziua $i+\text{zt}$ tânărul, a doua persoană în ziua $i+2*\text{zv}$, respectiv în ziua $i+2*\text{zt}$ tânărul și așa mai departe. Astfel numărul de persoane care participă la joc poate fi diferit în funcție de cum sunt alese persoanele vârstnice și cele tinere. Trevor dorește ca în joc să fie realizate în total cât mai multe fapte bune, dar fiecare participant să aducă în joc maximum $(k+1)/2$ tineri și maximum $(k+1)/2$ vârstnici. Participanții pot aduce mai puține persoane de un anumit tip, dar nu au voie să depășească numărul de $(k+1)/2$ persoane de același tip. # Cerință Care este numărul $\text{fb}$ de fapte bune care mai sunt de realizat, după trecerea a $n$ zile, de către persoanele intrate deja în joc, astfel încât numărul total de fapte bune așteptate (și cele realizate și cele nerealizate) să fie maxim? # Date de intrare Fișierul de intrare `pif.in` conține pe prima linie numărul natural $n$, pe a doua linie numărul $k$ și pe a treia linie numerele $\text{zv}$ și $\text{zt}$ separate printr-un spațiu. # Date de ieșire În fișierul de ieșire `pif.out` se va scrie restul împărțirii lui $\text{fb}$, cu semnificația din enunț, la $1234567$ ($\text{fb} % 1234567$). # Restricții și precizări * $1 \leq n \leq 10^6$; * $1 \leq k, \text{zt}, \text{zv} \leq n$; * Pentru teste în valoare de $30$ de puncte $\text{fb} \leq 10^6$; * Pentru teste în valoare de $30$ de puncte $\text{zv} = \text{zt} = 1$; * Pentru teste în valoare de $20$ de puncte $\text{zv} = \text{zt} \neq 1$; * Pentru teste în valoare de $70$ de puncte $k \cdot n \leq 10^6$;

X

traseu

romanian

traseu.in

traseu.out

OJI 2019 X: Problema 2

O suprafață de teren de formă dreptunghiulară este divizată în $N$ fâșii orizontale și $M$ fâșii verticale, de lățimi egale. Se formează astfel $N \times M$ zone de formă pătrată, cu latura egală cu o unitate. Astfel, suprafața este reprezentată sub forma unui tablou bidimensional cu $N$ linii și $M$ coloane, în care pentru fiecare zonă este memorat un număr ce reprezintă altitudinea zonei respective. Interesant este că în tablou apar toate valorile $1, 2, \dots, N \cdot M$. Suprafața este destinată turismului. Deoarece spre laturile de **Est** și **Sud** ale suprafeței există peisaje de o frumusețe uimitoare, se dorește găsirea unor trasee turistice în care deplasarea să se realizeze cu pași de lungime unitară mergând doar spre **Est** și spre **Sud**. O comisie, care trebuie să rezolve această problemă, a stabilit că un traseu este atractiv dacă și numai dacă ultima poziție a traseului are altitudinea mai mare decât prima poziție a traseului. Un traseu poate începe, respectiv se poate încheia, în oricare dintre zonele terenului, cu respectarea condițiilor anterioare. # Cerință Se cere să se determine numărul maxim $Z$ de zone pe care le poate avea un traseu atractiv. # Date de intrare În fişierul de intrare `traseu.in` se află scrise pe prima linie numerele $N$ şi $M$, cu semnificația din enunț. Pe fiecare dintre următoarele $N$ linii se află scrise câte $M$ numere naturale, reprezentând, elementele tabloului bidimensional precizat în enunț. Numerele aflate pe aceeași linie a fișierului sunt separate prin câte un spaţiu. # Date de ieșire În fişierul de ieşire `traseu.out` se va scrie numărul $Z$, cu semnificația din enunț. Dacă nu există niciun traseu atractiv, atunci se va scrie `0`. # Restricții și precizări * $1 \leq N, M \leq 500$; * Pentru teste in valoare de $40$ de puncte, $N \leq 50$ și $M \leq 50$.

X

yinyang

romanian

yinyang.in

yinyang.out

OJI 2019 X: Problema 3

Se dă o matrice $A$ cu $N$ linii și $M$ coloane, cu valori cuprinse între $1$ și $N \cdot M$ inclusiv, nu neapărat distincte. O **operație** constă în selectarea a două linii sau două coloane consecutive și interschimbarea acestora (swap). O matrice **yin-yang** este o matrice în care $A[i][j] \geq A[i][j – 1]$, pentru orice pereche $(i, j)$ cu $1 \leq i \leq N$ și $2 \leq j \leq M$ și $A[i][j] \geq A[i – 1][j]$, pentru orice pereche $(i, j)$ cu $2 \leq i \leq N$ și $1 \leq j \leq M$. # Cerinţă Să se determine numărul minim de operații necesare pentru a transforma matricea dată într-o matrice yin-yang. # Date de intrare În fișierul de intrare `yinyang.in` se află scrise pe prima linie numerele naturale $N$ și $M$, cu semnificația din enunț. Pe fiecare dintre următoarele $N$ linii se află câte $M$ numere naturale, reprezentând elementele matricei date $A$. Numerele aflate pe aceeași linie a fișierului sunt separate prin câte un spațiu. # Date de ieșire În fișierul `yinyang.out` se va scrie numărul minim de operații cerut sau $-1$ dacă nu există soluție. # Restricții și precizări * $1 \leq N, M \leq 100$; * Pentru teste în valoare de $9$ puncte: $1 \leq N, M \leq 5$; - Pentru alte teste în valoare de $18$ puncte: $N = 1$; - Pentru alte teste în valoare de $36$ de puncte elementele din matrice sunt **DISTINCTE**.

X

Castel

romanian

castel.in

castel.out

OJI 2018 X: Problema 1

Arheologii au descoperit pe un platou muntos greu accesibil ruinele unui castel medieval, pe care l-au fotografiat din elicopter, obţinând harta digitizată a acestuia. Harta este memorată sub forma unui tablou bidimensional $H$, compus din $N \cdot N$ pătrate cu latura egală cu unitatea, având ca elemente numere naturale între $0$ și $15$, care codifică forma pereţilor fiecărui pătrat unitar. Dacă scriem numărul natural $H[i][j]$ în baza $2$, folosind exact $4$ cifre binare, fiecare bit dă informații despre unul dintre pereții posibil de construit pe fiecare latură a pătratului unitar din poziția $(i,j)$, astfel: * dacă bitul de pe poziția $0$ are valoarea $1$, atunci există perete pe latura vestică (latura din stânga) * dacă bitul de pe poziția $1$ are valoarea $1$, atunci există perete pe latura sudică (latura de jos) * dacă bitul de pe poziția $2$ are valoarea $1$, atunci există perete pe latura estică (latura din dreapta) * dacă bitul de pe poziția $3$ are valoarea $1$, atunci există perete pe latura nordică (latura de sus) * un bit de valoare $0$ indică lipsa peretelui corespunzător acestuia Pentru un număr scris în baza $2$, numerotarea cifrelor începe cu poziția $0$, de la dreapta la stânga. Castelul este interesant deoarece, pentru realizarea unei mai bune apărări, camerele ce-l compun sunt construite fie independent, fie una în interiorul alteia. Orice camera este construită la o distanţă de cel puţin o unitate faţă de zidul ce împrejmuieşte castelul sau faţă de pereţii altor camere. Folosind harta, arheologii doresc să afle informaţii privind numărul camerelor şi camera de arie maximă. Prin arie a unei camere se înţelege numărul pătratelor unitate cuprinse în interiorul pereților aceasteia, fără a socoti ariile camerelor construite în interiorul ei. # Cerință Cunoscând codificarea hărţii castelului, să se determine: 1. numărul total al camerelor din castel 2. aria maximă a unei camere 3. coordonatele colţurilor din stânga-sus, respectiv dreapta-jos a camerei cu aria maximă. Dacă există mai multe camere având aceeaşi arie maximă, atunci se vor afişa coordonatele camerei având colţul din stânga-sus $({lin}_1, {col}_1)$ cu ${lin}_1$ minimă, iar la linii egale pe aceea cu ${col}_1$ minimă. # Date de intrare Datele de intrare se citesc din fişierul ```castel.in```, care are următoarea structură: * Pe prima linie se află numărul natural $C$, care poate fi egal cu $1, 2$ sau $3$, în funcţie de cerinţa ce trebuie rezolvată * Pe linia următoare se află numărul natural $N$, reprezentând dimensiunea hărţii * Pe următoarele $N$ linii se găsesc câte $N$ numere naturale din intervalul $[0,15]$, separate prin câte un spaţiu, reprezentând harta castelului. # Date de ieșire Datele de ieşire se vor scrie în fişierul ```castel.out```, astfel: * Dacă $C = 1$, pe prima linie se va scrie numărul total al camerelor din castel * Dacă $C = 2$, pe prima linie se va scrie aria maximă a unei camere din castel * Dacă $C = 3$, pe prima linie se vor scrie $4$ numere naturale ${lin}_1 \ {col}_1 \ {lin}_2 \ {col}_2$, separate prin câte un spaţiu, reprezentând coordonatele colțurilor din stânga-sus, respectiv dreapta-jos ale camerei de arie maximă. # Restricții și precizări * $2 \leq N \leq 100$; * Se garantează că în castel există cel puţin o cameră. * Se acordă $10$ puncte din oficiu. | $C$ | Punctaj | | - | ------- | | $1$ | 20 | | $2$ | 50 | | $3$ | 20 |

X

eq4

romanian

eq4.in

eq4.out

OJI 2018 X: Problema 2

Se dă o expresie matematică în care pot să apară literele `x`, `y`, `z`, `t`, cifre și semnele `+` sau `-`. Cifrele alăturate formează numere. Literele reprezintă variabile. O variabilă poate fi precedată de un număr. Între variabilă și numărul care o precede nu există alte caractere. Un grup format dintr-o literă și, eventual, un număr care o precede formează un monom. Un monom **nu** conține mai multe litere. Numărul care apare într-un monom se numește coeficient. Expresia poate să conțină și numere care nu sunt urmate de o variabilă. Aceste numere se numesc termeni liberi. Expresia este deci alcătuită din monoame și termeni liberi. Fiecare monom și fiecare termen liber este precedat de unul dintre semnele `+` sau `-`. Exemple: | Expresii corecte | Expresii incorecte | | - | ------- | | `-x+100` | `x+100` (`x` nu este precedat de `+` sau `-`) | | `+3x+2y-3z+7x-15-3+8z-7y` | `+x+y-3zt` (`3zt` nu este monom, deoarece conţine două litere) | | `+10x-7y+3x-7+5z-8t-z-x-y+3` | `-x + y -34*t + 5z - 5u` (în expresie apar caractere nepermise, în acest caz spații, litera `u` și semnul `*`)| Valoarea matematică a unei expresii este valoarea care se obține dacă înlocuim literele care apar în expresie cu valori numerice și efectuăm calculele. Valoarea unui monom se obține înmulțind coeficientul monomului cu valoarea pe care o are variabila care apare în respectivul monom. De exemplu, valoarea expresiei `+3x` pentru $x=2$ este $6$. # Cerință Fiind dată o expresie corectă, să se determine: 1. valoarea matematică a expresiei dacă $x$, $y$, $z$ și $t$ au valoarea $1$. 2. numărul de cvartete distincte $(x, y, z, t)$, de valori întregi care aparțin unui interval dat $[a, b]$, pentru care expresia matematică corespunzătoare expresiei date este egală cu o valoare dată $E$. Două cvartete sunt distincte dacă există cel puţin o poziţie pentru care valorile corespunzătoare sunt diferite. # Date de intrare Datele de intrare se citesc din fişierul `eq4.in`, care are următoarea structură: * pe prima linie se află numărul natural $C$, care poate fi egal cu $1$ sau $2$, în funcţie de cerinţa ce trebuie rezolvată * pe a doua linie se află expresia dată * pe a treia linie se află valorile $a \ b \ E$, separate prin câte un spațiu. # Date de ieșire Datele de ieşire se vor scrie în fişierul `eq4.out` astfel: * Dacă $C=1$, pe prima linie se va scrie răspunsul la cerința $1$ * Dacă $C=2$, pe prima linie se va scrie răspunsul la cerința $2$. # Restricții și precizări * coeficienţii sunt numere naturale, având cel mult $4$ cifre * $1 \leq$ lungimea expresiei $\leq 100 \ 000$ * $-500 \leq a \leq b \leq 500$ * $-10^{15} \leq E \leq 10^{15}$ * În cel puțin $30\%$ dintre teste, în expresia dată apar cel mult trei dintre literele `x`, `y`, `z` sau `t`. * Se acordă $10$ puncte din oficiu. | $C$ | Punctaj | | - | ------- | | $1$ | 20 | | $2$ | 70 |

X

Turnuri

romanian

turnuri.in

turnuri.out

OJI 2018 X: Problema 3

Cel mai nou proiect imobiliar din capitală este compus din $N$ blocuri-turn, construite unul lângă altul, de-a lungul unui bulevard central și numerotate de la $1$ la $N$. Pentru fiecare turn se cunoaște numărul etajelor din care este compus acesta și se mai știe că nu există două turnuri cu același număr de etaje. Ultimele norme urbanistice definesc **coeficientul de frumusețe** al turnului cu numărul $T$, ca fiind numărul turnurilor din secvența de turnuri care începe cu turnul $S$, se termină cu turnul $D$ și are următoarele proprietăți: * $1 \leq S \leq T \leq D \leq N$ * numărul etajelor fiecărui turn din secvență, cu excepţia turnului $T$, este mai mic decât numărul de etaje ale turnului $T$ * Dacă $S ≠ 1$ atunci turnul $S-1$ este cel mai apropiat turn din stânga turnului $T$, care are un număr de etaje strict mai mare decât turnul $T$ * Dacă $D ≠ N$ atunci turnul $D+1$ este cel mai apropiat turn din dreapta turnului $T$, care are un număr de etaje strict mai mare decât turnul $T$ **Coeficientul de frumusețe al întregului ansamblu de turnuri** este suma coeficienților de frumusețe avuţi de turnurile componente. Dezvoltatorul proiectului dorește să renunțe la unul dintre turnuri și să construiască în locul acestuia un restaurant subteran, acesta considerându-se un turn cu **zero** etaje. Dezvoltatorul dorește să calculeze coeficientul de frumusețe al ansamblului de turnuri, pentru fiecare posibilă amplasare a restaurantului. # Cerință Cunoscând numărul $N$ de turnuri și numărul etajelor fiecăruia, determinați coeficientul de frumusețe al ansamblului de turnuri pentru toate cele $N$ posibilități de amplasare ale restaurantului, pe pozițiile $1$, $2$, ..., $N$. # Date de intrare Datele de intrare se citesc din fişierul `turnuri.in`, care are următoarea structură: * pe prima linie se află numărul natural $N$, reprezentând numărul de turnuri * pe a doua linie se află $N$ valori naturale nenule, separate prin câte un spațiu, reprezentând numărul etajelor turnurilor # Date de ieșire Datele de ieşire se vor scrie în fişierul `turnuri.out`, pe linii separate, astfel: pe linia $i$ ($1 \leq i \leq N$) se găsește un număr natural reprezentând coeficientul de frumusețe al ansamblului dacă restaurantul s-ar construi în locul turnului $i$. # Restricții și precizări * $1 \leq N \leq 100 \ 000$ * Numărul de etaje ale unui turn este un număr natural între $1$ și $1 \ 000 \ 000 \ 000$ * Se acordă $10$ puncte din oficiu. | Subtask | Punctaj | Restricții | | - | ------- | ------------------- | | 1 | 30 | $N \leq 100$ | | 2 | 30 | $N \leq 2 \ 000$ | | 3 | 30 | Fără restricții suplimentare. |

X

Caps

romanian

caps.in

caps.out

OJI 2017 X: Problema 1

Miruna a descoperit un nou joc. Ea dispune de litere mari și mici ale alfabetului englez și construiește succesiv șiruri de litere din ce în ce mai lungi. Ea definește operația CAPS a unei litere, ca fiind transformarea literei respective din literă mare în literă mică sau invers, din litera mică în literă mare. Pentru fiecare șir $S$, Miruna asociază un nou șir $S_C$, numit șir CAPS, care se obține aplicând operația CAPS asupra tuturor literelor din șirul $S$. Miruna a inventat o altă operație pentru un șir de litere $S$, numită NEXT, prin care obține un nou șir $S_N$ care are structura $SS_cS_cS$ (este format în ordine de la stânga la dreapta din literele lui $S$, apoi de două ori succesiv literele șirului $S_C$, iar apoi urmează din nou literele șirului $S$). De exemplu, șirului $S =$ `Ham` îi corespunde șirul CAPS $S_C =$ `hAM` și dacă se aplică și operația NEXT asupra șirului $S$, obține șirul $S_N =$ `HamhAMhAMHam`. Inițial, Miruna construiește un șir $S$ de $K$ litere. Apoi, ea construiește un nou șir obținut prin aplicarea operației NEXT asupra șirului $S$. Miruna dorește să obțină succesiv șiruri de litere din ce în ce mai lungi aplicând operația NEXT asupra șirului construit în etapa precedentă. Astfel, pentru $K=3$ și $S =$ `Ham`, Miruna va construi șirurile `HamhAMhAMHam`, `HamhAMhAMHamhAMHamHamhAMhAMHamHamhAMHamhAMhAMHam` și așa mai departe. Miruna continuă procedeul de construire până când obține un șir final suficient de lung. # Cerințe Miruna vă roagă să răspundeți la $Q$ întrebări de tipul: _„Dacă se dă un număr natural $N$, ce literă este în șirul final pe poziția $N$ și de câte ori a apărut această literă în șirul final, de la începutul șirului final până la poziția $N$ inclusiv?”._ # Date de intrare Pe prima linie a fișierului ```caps.in``` se află două numere naturale separate prin spațiu reprezentând valorile $K$ (lungimea șirului inițial) și $Q$ (numărul de interogări). Pe linia următoare se află șirul inițial $S$ de lungime $K$. Pe următoarele $Q$ linii se va afla câte un număr $N$, reprezentând cerința unei întrebări. # Date de ieșire În fișierul de ieșire `caps.out`, se vor afla $Q$ linii, iar pe fiecare linie câte două valori separate cu un spațiu reprezentând răspunsul la o întrebare (litera de pe poziția $N$ în șirul final și numărul său de apariții până la poziția $N$ inclusiv). # Restricții și precizări * $1 < K \leq 100 \ 000$ * $1 \leq Q \leq 50 \ 000$ * $0 < N \leq 10^{18}$ * Pentru fiecare test se acordă $40\%$ din punctaj dacă toate literele interogărilor din test sunt corecte și $60\%$ din punctaj dacă toate numerele de apariții ale literelor, până la pozițiile $N$ din interogările testului, sunt corecte. * Miruna vă garantează că a construit un șir final de lungime mai mare decât $N$. * Prima poziție în șir este considerată poziția $1$. | # | Punctaj | Restricții | | - | ------- | ------------------- | | 1 | 15 | $K \leq 250$, $Q \leq 1 \ 000$, $N \leq 3 \ 000$ | | 2 | 20 | $N \leq 100 \ 000$ | | 3 | 20 | $K \leq 3 \ 000$, $Q \leq 1 \ 000$ | | 4 | 35 | Fără restricții suplimentare. |

X

Rover

romanian

rover.in

rover.out

OJI 2017 X: Problema 2

NASA plănuiește o nouă misiune Rover pe Marte în anul 2020. Principalul obiectiv al acestei misiuni este de a determina, cu ajutorul unui nou Rover, dacă a existat în trecut viață pe Marte. Până când va fi lansată misiunea, Roverul este supus la tot felul de teste în laboratoarele NASA. Într-unul din teste, Roverul trebuie să parcurgă o suprafață de forma unui caroiaj cu $N$ linii și $N$ coloane. Acesta pornește din zona de coordonate $(1,1)$ și trebuie să ajungă în zona de coordonate $(N,N)$, la fiecare pas putându-se deplasa din zona în care se află într-una din zonele învecinate la nord, sud, est sau vest. Pentru fiecare zonă de coordonate $(i,j)$ se cunoaște $A_{ij}$, stabilitatea terenului din acea zonă. Știind că Roverul are o greutate $G$, o zonă cu stabilitatea terenului cel puțin egală cu $G$ se consideră o zonă sigură pentru deplasarea Roverului, iar o zonă cu stabilitatea terenului mai mică decât $G$ se consideră o zonă periculoasă pentru Rover. # Cerințe 1. Determinați numărul minim posibil de zone periculoase pe care le traversează Roverul pentru a ajunge din zona $(1,1)$ în zona $(N,N)$. 2. Determinați greutatea maximă pe care o poate avea un Rover care să ajungă din zona $(1,1)$ în zona $(N,N)$, fără a traversa nicio zonă periculoasă pentru el. # Date de intrare Pe prima linie a fișierului de intrare `rover.in` se găsește numărul natural $V$ a cărui valoare poate fi doar $1$ sau $2$. Dacă $V$ este $1$, pe a doua linie a fișierului de intrare se găsesc două numere naturale $N$ și $G$ cu semnificația din enunț, iar dacă $V$ este $2$, pe a doua linie a fișierului de intrare se află doar numărul $N$. Pe următoarele $N$ linii se află câte $N$ numere $A_{i,j}$, reprezentând stabilitatea terenului din zona $(i,j)$. # Date de ieșire Fișierul de ieșire este `rover.out`. Dacă valoarea lui $V$ este $1$, atunci fișierul de ieșire va conține pe prima linie un număr natural reprezentând numărul minim de zone periculoase pe care trebuie să le traverseze Roverul de greutate $G$. Dacă valoarea lui $V$ este $2$, atunci fișierul de ieșire va conține pe prima linie un număr natural reprezentând greutatea maximă a unui Rover care poate ajunge din zona $(1,1)$ în zona $(N,N)$ fără a traversa zone periculoase pentru el. # Restricții și precizări * $1 \leq N \leq 500$ * $1 \leq G \leq 5 \ 000$ * $1 \leq A_{ij} \leq 10 \ 000$ * Zonele de coordonate $(1,1)$ și $(N,N)$ nu sunt zone periculoase pentru Rover. * Roverul nu va trece de mai multe ori prin aceeași zonă. | $V$ | Punctaj | | - | ------- | | $1$ | 45 | | $2$ | 45 |

X

Șir

romanian

sir.in

sir.out

OJI 2017 X: Problema 3

Corneluș a învățat să numere. El pornește întotdeauna de la $1$, numără din $1$ în $1$, nu greșește niciodată numărul următor, însă ezită uneori și atunci spune numărul curent de mai multe ori. Sora lui, Corina, îl urmărește și face tot felul de calcule asupra modurilor în care numără fratele ei. Astfel, ea urmărește până la cât numără $(U)$, câte numere spune în total $(N)$ și, pentru a aprecia cât de ezitant este, numărul maxim de repetări $(R)$ ale unei valori. De exemplu, el poate număra până la $8$ astfel: $1 \ 2 \ 3 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 7 \ 7 \ 7 \ 8 \ 8$. În acest caz, numără până la $8 \ (U=8)$, spune $13$ numere $(N=13)$ și ezită cel mai mult la $7$, spunându-l de $4$ ori $(R=4)$. # Cerințe 1) Cunoscând numărul total de numere $N$ și ultimul număr spus $U$, trebuie să calculați câte șiruri diferite au exact $N$ numere și se termină cu numărul $U$. 2) Cunoscând numărul total de numere $N$ și numărul maxim de repetări $R$ ale unei valori, trebuie să calculați câte șiruri diferite au exact $N$ numere și fiecare valoare se repetă de cel mult $R$ ori. Deoarece numărul de șiruri poate fi foarte mare, calculați restul împărțirii acestui număr la $20 \ 173 \ 333$. # Date de intrare Din fișierul `sir.in` se citesc trei numere naturale, $P, N$ și $X$, scrise în această ordine, cu câte un spațiu între ele. $P$ poate avea una dintre valorile $1$ sau $2$, iar $N$ este numărul de numere din șir. Când $P$ are valoarea $1$, numărul $X$ reprezintă ultimul număr spus $(U)$, iar când $P$ are valoarea $2$, $X$ reprezintă numărul maxim de repetări ale unei valori $(R)$. # Date de ieșire În fișierul `sir.out` se scrie o singură valoare, astfel: * dacă $P$ a avut valoarea $1$, valoarea reprezintă numărul de șiruri distincte care au exact $N$ numere și se termină cu numărul $X$ * dacă $P$ a avut valoarea $2$, valoarea reprezintă numărul de șiruri distincte care au exact $N$ numere și fiecare număr se repetă de cel mult $X$ ori. **În ambele cazuri**, deoarece numărul rezultat poate fi foarte mare, se va scrie restul împărțirii acestui număr la $20 \ 173 \ 333$. # Restricții și precizări * $1 \leq N \leq 100 \ 000$ * $ X \leq N$ * Ultima valoare spusă poate să apară de mai multe ori; * Testele cu $P=1$ vor totaliza $50\%$ din punctaj, restul de $50\%$ din punctaj fiind pentru $P=2$; * Pentru teste cumulând 50 de puncte valoarea lui $N$ nu depășește $1\ 000$.

X

Interesant

romanian

interesant.in

interesant.out

OJI 2016 X: Problema 1

Se consideră o mulțime $S$ care conține $N$ șiruri de caractere formate din litere mici ale alfabetului englezesc. Un șir de caractere se numește _interesant_ în raport cu celelalte șiruri ale mulțimii, dacă nu există un alt șir în mulțime care să-l conțină ca subșir. De exemplu, dacă mulțimea $S$ conține șirurile `abc`, `bde` și `abcdef`, atunci singurul șir *interesant* este `abcdef` deoarece `abc` și `bde` nu îl conțin ca subșir. Mai mult, `abc` și `bde` sunt subșiruri în `abcdef`, deci nu sunt *interesante*. # Cerințe Fiind dată o mulțime $S$ formată din $N$ șiruri de caractere se cere: 1. Să se determine cel mai lung șir. Dacă sunt mai multe șiruri având aceeași lungime maximă, se cere cel mai mic din punct de vedere lexicografic. 2. Să se determine toate șirurile _interesante_ din mulțimea $S$. # Date de intrare Fișierul de intrare `interesant.in` conține pe prima linie două numere naturale $p$ și $N$, despărțite prin spațiu. Pentru toate testele de intrare, numărul $p$ poate avea doar valoarea $1$ sau valoarea $2$. Pe următoarele $N$ linii, se găsesc șirurile de caractere, câte unul pe linie. # Date de ieșire Dacă valoarea lui $p$ este $1$, **se va rezolva numai cerința $1$**. În acest caz, în fișierul de ieșire `interesant.out` se va scrie cel mai lung șir dintre cele citite. Dacă există mai multe șiruri de aceeași lungime, se va scrie cel mai mic din punct de vedere lexicografic. Dacă valoarea lui $p$ este $2$, **se va rezolva numai cerința $2$**. În acest caz, fișierul de ieșire `interesant.out` va conține pe prima linie o valoare $K$ ce reprezintă numărul de șiruri _interesante_, iar pe următoarele $K$ linii, șirurile *interesante* **în ordinea în care apar în fișierul de intrare**. # Restricții și precizări * $2 \leq N \leq 200$ * Lungimea unui șir va fi cuprinsă între $1$ și $5 \ 000$. * Un subșir al șirului de caractere $C_0 C_1 C_2 \dots C_k$ se definește ca fiind o succesiune de caractere $C_{i_1} C_{i_2} C_{i_3} \dots C_{i_k}$, unde $0 \leq i_1 < i_2 < i_3 < \dots < i_k \leq k$. * Fișierul de intrare **NU conține șiruri identice**. | $p$ | Punctaj | | - | ------- | | $1$ | 20 | | $2$ | 80 |

X

Miting

romanian

miting.in

miting.out

OJI 2016 X: Problema 2

În *Orașul Liniștit* un număr de $k$ tineri prieteni doresc să participe la un miting de protest. Deoarece cartierul în care locuiesc aceștia este mare, ei se vor deplasa spre punctul de întâlnire cu mașinile personale. Fiecare tânăr va aduce cu el o pancartă, pe care a desenat o singură literă din mulțimea $\{$`A`$,$ `B`$,\ \dots,$ `Z`$\}$. Nu există două pancarte cu litere identice. Cele $k$ litere formează un cuvânt, să-l notăm $cuv$, cunoscut. Cartierul în care locuiesc tinerii poate fi codificat printr-o matrice cu $n \cdot m$ zone pătratice, dintre care unele sunt interzise. Se știe că o mașină consumă o unitate de combustibil la trecerea dintr-o zonă în zona vecină și nu consumă combustibil dacă staționează. Două zone sunt vecine dacă au în comun o latură. Pentru a face economie de combustibil, tinerii decid că dacă două mașini se întâlnesc într-o zonă și toate literele aflate în cele două mașini reprezintă o secvență din cuvântul $cuv$, atunci ei vor continua drumul cu o singură mașină, luând desigur toate pancartele cu ei. În caz contrar, mașinile își continuă drumul separat. De exemplu, dacă cuvantul $cuv$ este `JOS`, atunci mașina care transportă litera `J` poate prelua tânărul care aduce pancarta cu litera `O`, sau invers: mașina având litera `O` poate prelua tânărul care aduce litera `J`. Apoi se poate continua drumul spre mașina care transportă litera `S`. În altă variantă se pot reuni mai întâi literele `S` și `O` într-o singură mașină, dacă mașinile care le transportau se întâlnesc în aceeași zonă. Totuși, între mașina care transportă doar litera `J` și cea care transportă doar litera `S` nu se poate realiza un transfer, adică o reunire a literelor. # Cerinţe Cunoscând dimensiunile cartierului $n$ și $m$, cuvântul $cuv$, configurația cartierului și pozițiile inițiale ale tinerilor, se cere: 1. Aria minimă a unei submatrice a matricei care codifică cartierul, în care se situează toate pozițiile inițiale ale tinerilor. 2. Numărul minim de unități de combustibil consumați de către toate mașinile, știind că în final toți tinerii se vor reuni într-o singură mașină. # Date de intrare Fişierul de intrare `miting.in` conţine: Pe prima linie, un număr natural $p$, care poate avea doar valoarea $1$ sau $2$. Pe a doua linie două numere naturale $n$ și $m$, separate printr-un spațiu. Pe a treia linie, cuvântul $cuv$. Pe următoarele $n$ linii, câte $m$ caractere pe linie reprezentând zonele cartierului. O zonă este interzisă dacă îi corespunde caracterul `#`, este liberă dacă îi corespunde caracterul `_` (underline) și este punctul de plecare al unei mașini dacă îi corespunde una dintre literele cuvântului $cuv$. # Date de ieșire Dacă valoarea lui $p$ este $1$, **se va rezolva numai cerința $1$**. În acest caz, în fişierul de ieşire `miting.out` se va scrie un singur număr natural $A$, reprezentând aria minimă a unei submatrice a matricei care codifică cartierul, în care se situează toate pozițiile inițiale ale tinerilor. Dacă valoarea lui $p$ este $2$, **se va rezolva numai cerința $2$**. În acest caz, în fişierul de ieşire `miting.out` se va scrie un singur număr natural $C$, reprezentând numărul minim de unități de combustibil consumate de către toate mașinile până la reunirea tinerilor, deci și a literelor, într-o singură mașină. În cazul în care nu există soluție, adică nu toți tinerii se pot reuni într-o singură mașină, se va scrie $-1$. # Restricții și precizări * $2 \leq n, m \leq 60$ * $2 \leq k \leq 10$ * Fie $z$ numărul zonelor interzise. Atunci $0 ≤ z ≤ \frac{n \cdot m}{3}$. * În fiecare unitate de timp, o mașină poate să rămână pe loc în așteptarea alteia sau poate să treacă într-o zonă vecină, indiferent dacă zona respectivă este sau nu ocupată de o altă mașină. * Lungimea laturii unei zone se consideră egală cu $1$. * Pentru rezolvarea corectă a primei cerinţe se acordă $20$ de puncte, iar pentru cerința a doua se acordă $80$ de puncte. * Pentru $30\%$ dintre testele cerinței $2$ se garantează $k ≤ 3$.

X

charlie

romanian

charlie.in

charlie.out

OJI 2015 X: Problema 1

*Charlie* a decis să se joace cu literele dintr-un șir de caractere, șir ce conține doar **literele mici** ale alfabetului englez de la `a` la `z`. Jocul constă în a elimina litere din șir după următoarea regulă: fie $L_1$, $L_2$, $L_3$ trei litere aflate pe poziții consecutive în șir, atunci litera $L_2$ poate fi eliminată dacă și numai dacă este strict mai mică lexicografic decât literele $L_1$ și $L_3$. \ Pentru a face jocul mai interesant, *Charlie* atașează eliminării literei $L_2$ un cost egal cu valoarea maximă dintre $f(L_1)$ și $f(L_3)$, unde prin $f($`literă`$)$ înțelegem numărul de ordine al literei respective în alfabet ($f($`a`$) = 1, f($`b`$) = 2, \dots, f($`z`$) = 26$). *Charlie* aplică în mod repetat procedeul de eliminare și calculează suma costurilor eliminărilor efectuate. # Cerințe Fiind dat un șir de caractere să se determine: 1) Lungimea maximă a unei secvențe de litere alternante, adică o secvență pentru care literele aflate pe poziții consecutive sunt de forma: $L_i > L_{i+1} < L_{i+2} > L_{i+3} < L_{i+4} > \dots < L_j$. 2) Suma maximă pe care o poate obține *Charlie* aplicând în mod repetat procedeul de eliminare a literelor, precum și șirul obținut în final. # Date de intrare Fișierul de intrare `charlie.in` conține pe prima linie un număr natural $p$. Pentru toate testele de intrare, numărul $p$ poate avea doar valoarea $1$ sau valoarea $2$. Pe următoarea linie se află un șir de caractere. # Date de ieșire Dacă valoarea lui $p$ este $1$, **se va rezolva numai prima cerință**. În acest caz, în fișierul de ieșire `charlie.out` se va scrie un singur număr natural $L$ ce reprezintă lungimea maximă a unei secvențe de litere alternante. \ Dacă valoarea lui $p$ este $2$, **se va rezolva numai a doua cerință**. În acest caz, fișierul de ieșire `charlie.out` va conține două linii. Pe prima linie se va afla șirul rezultat în urma eliminărilor repetate de litere respectând regula enunțată, iar pe cea de-a doua linie suma maximă obținută. # Restricții și precizări - Numărul de litere ale șirului inițial este cuprins între $3$ și $100\ 000$ inclusiv. - Pentru rezolvarea corectă a primei cerințe se acordă 25 de puncte, iar pentru cerința a doua se acordă 75 de puncte. - Pentru $30\%$ dintre teste, numărul de litere ale șirului este $\leq 1\ 000$.

X

Panda

romanian

panda.in

panda.out

OJI 2015 X: Problema 2

O rezervație de urși panda, privită de sus, are formă dreptunghiulară și este compusă din $n$ rânduri identice, iar pe fiecare rând sunt $m$ țarcuri identice cu baza pătrată. Țarcurile sunt îngrădite și sunt prevăzute cu uși către toate cele $4$ țarcuri vecine. Ușile sunt prevăzute cu câte un cod de acces, ca atare acestea se închid și se deschid automat. Prin acest sistem, unele ţarcuri sunt accesibile ursuleților, iar altele le sunt interzise acestora. În $T$ țarcuri se găsește mâncare pentru ursuleți. Ursuleții din rezervație poartă câte un microcip care le deschide automat ușile țarcurilor unde pot intra și închide automat uşile țarcurilor interzise. Un țarc este **accesibil** ursulețului dacă ultimele $S$ cifre ale reprezentărilor binare ale codului țarcului și ale codului $k$ de pe microcip sunt complementare. (Exemplu: pentru $S=8$, `11101011` și `00010100` sunt complementare). Într-un țarc este un ursuleț căruia i s-a făcut foame. Ursulețul se deplasează doar paralel cu laturile dreptunghiului. Trecerea dintr-un țarc în altul vecin cu el se face într-o secundă. # Cerinţă Cunoscând $n$ și $m$ dimensiunile rezervației, codurile de acces de la fiecare dintre cele $n \cdot m$ țarcuri, coordonatele celor $T$ țarcuri cu mâncare, coordonatele țarcului $L$ și $C$ unde se află inițial ursulețul, codul $k$ al microcipului său și numărul $S$, determinați: 1. Numărul $X$ de țarcuri care îndeplinesc proprietatea că ultimele $S$ cifre din reprezentarea binară a codului lor sunt complementare cu ultimele $S$ cifre din reprezentarea binară a codului $k$ purtat de ursuleț, cu excepția țarcului în care se află acesta inițial. 2. Numărul minim de secunde $Smin$ în care poate ajunge la un țarc cu mâncare precum și numărul de țarcuri cu mâncare $nt$ la care poate ajunge în acest timp minim. # Date de intrare Fişierul de intrare `panda.in` conţine: - pe prima linie un număr natural $p$. Pentru toate testele de intrare, numărul $p$ poate avea doar valoarea $1$ sau valoarea $2$ - pe a doua linie trei numere naturale $n$, $m$ și $T$ separate prin câte un spațiu, cu semnificațiile din enunț - pe linia a treia patru numere naturale nenule $L$, $C$, $k$ și $S$, separate prin câte un spațiu, cu semnificațiile din enunț - pe următoarele $T$ linii câte două numere naturale reprezentând coordonatele țarcurilor cu mâncare - pe următoarele $n$ linii câte $m$ numere naturale, separate prin câte un spațiu, reprezentând codurile de acces la ușile din cele $n \cdot m$ țarcuri ale rezervației. # Date de ieșire Dacă valoarea lui $p$ este $1$, **se va rezolva numai punctul 1 din cerință**. În acest caz, în fişierul de ieşire `panda.out` se va scrie un singur număr natural $X$, reprezentând numărul total de țarcuri pe care le poate accesa ursulețul, cu excepția țarcului în care se află acesta inițial. Dacă valoarea lui $p$ este $2$, **se va rezolva numai punctul 2 din cerință**. În acest caz, fişierul de ieşire `panda.out` va conține numerele naturale naturale $Smin$ și $nt$, în această ordine, separate printr-un spațiu. # Restricții și precizări * $2 \leq n, m \leq 500$ * $1 \leq S \leq 8$ * $1 \leq T < n \cdot m$ * $0 \leq k < 10\ 000$ * $0 \leq$ valorile codurilor $< 10 \ 000$ * Pentru toate testele problemei există soluție, adică ursulețul poate ajunge la cel puțin unul dintre țarcurile cu mâncare. * Mâncarea se poate găsi și în zone inaccesibile. * Pentru rezolvarea corectă a primei cerinţe se acordă $20$ de puncte, iar pentru cerința a doua se acordă $80$ de puncte. * Pentru $24\%$ dintre teste, se garantează $m \leq 50$ și $n \leq 50$. * Pentru $20\%$ dintre teste, se garantează $S=1$. * Pentru determinarea corectă a numărului $Smin$ se acordă $75\%$ din punctajul testului, iar pentru determinarea corectă a numărului $nt$ se acordă $25\%$ din punctajul testului.

X

Ferma

romanian

ferma.in

ferma.out

OJI 2014 X: Problema 1

Un fermier deține o fermă de formă dreptunghiulară cu lungimea $m$ metri și lățimea $n$ metri. Respectând principiul rotației culturilor, fermierul și a realizat un plan pentru semănarea culturilor în noul an. Astfel, el a desenat un dreptunghi pe care l-a împărțit în $m \cdot n$ celule, fiecare corespunzând unui metru pătrat, și a colorat în culori diferite zonele care corespund unor culturi diferite. O cultură poate fi semănată pe mai multe parcele. Două celule care au o latură comună aparțin aceleiași parcele dacă au aceeași culoare (sunt însămânțate cu aceeași cultură). Fermierul are posibilitatea să irige o sigură parcelă și dorește să aleagă parcela cu cea mai mare suprafață. Nefiind mulțumit de suprafața rezultată, s-a întrebat dacă ar putea schimba cultura de pe o singură celulă, astfel încât să obțină o parcelă de suprafață mai mare. Exemplu de fermă (_imagine 1_): ~[0.png] # Cerință Dându-se dimensiunile fermei și pentru fiecare celulă culoarea corespunzătoare culturii semănate, determinați: 1. **Varianta 1:** Suprafața maximă a unei parcele în planul inițial. 2. **Varianta 2:** Numărul liniei, respectiv al coloanei celulei pe care va semăna o altă cultură și culoarea corespunzătoare noii culturi în vederea obţinerii celei mai mari parcele posibile. # Date de intrare Fișierul de intrare `ferma.in` va conține:] * pe prima linie un număr natural $v$ ($1 ≤ v ≤ 2$) indicând varianta cerinței de rezolvare * pe a doua linie două numere naturale $m$ şi $n$ separate printr-un spațiu, cu semnificația din enunț * pe fiecare dintre următoarele $m$ linii se găsesc câte $n$ caractere (litere mici), reprezentând codurile culturilor ce vor fi semănate pe cele $n$ celule corespunzătoare fiecărei linii. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `ferma.out` va conține: **Varianta 1** – pentru $v=1$: * pe prima linie numărul natural $s$, reprezentând suprafața maximă a unei parcele. **Varianta 2** – pentru $v=2$: * pe prima linie două numere naturale separate printr-un spațiu, reprezentând numărul liniei, respectiv al coloanei celulei pe care va semăna o altă cultură, în vederea obținerii unei parcele cu suprafața maximă; * pe a doua linie un caracter reprezentând codul culorii corespunzătoare noii culturi din celula determinată. # Restricții și precizări * $2 \leq n, m \leq 400$ * Numărul de culturi distincte este cel puţin $2$ şi cel mult $26$. * $30\%$ din teste vor avea pe prima linie valoarea $1$, iar restul de $70\%$ din teste vor avea pe prima linie valoarea $2$. * Pentru varianta $2$ se punctează orice soluție care conduce la obținerea unei parcele cu suprafața maximă. Nu se acordă punctaje parțiale.

X

Triunghi

romanian

triunghi.in

triunghi.out

OJI 2014 X: Problema 2

Gigel este un pasionat al triunghiurilor. El colectează beţişoare de diferite lungimi şi le asamblează în diferite triunghiuri. Ieri, el avea $6$ beţişoare de lungimi $5$, $2$, $7$, $3$, $12$ şi $3$. Din aceste bețișoare, Gigel a construit un triunghi de laturi $3$, $3$ şi $5$, iar beţişoarele de lungimi $2$, $7$, $12$ au rămas nefolosite pentru că aceste lungimi nu pot forma laturile unui triunghi. ~[0.png] Din acest motiv, Gigel s-a hotărât să facă o colecţie de beţişoare, dintre care oricum ar alege $3$ elemente, acestea să nu poată forma laturile unui triunghi, proprietate pe care o vom numi în continuare proprietate anti-triunghi. Gigel, pornind de la setul iniţial de lungimi $2, 7, 12$, s-a gândit la două metode de realizare a unei colecţii de $5$ beţişoare cu proprietatea anti-triunghi, şi anume: 1. Păstrează cel mai scurt beţişor, cel de lungime $2$, şi creează un set nou adăugând alte beţişoare de lungime mai mare sau egală cu cel iniţial. De exemplu, următoarele $5$ lungimi sunt corecte: $2, 2, 12, 50, 30$. 2. Păstreză toate beţişoarele, şi anume $2, 7, 12$, pe care le va completa cu alte beţişoare de diferite lungimi (mai scurte sau mai lungi), astfel ca proprietatea anti-triunghi să se păstreze. Următoarele $5$ lungimi respectă proprietatea anti-triunghi: $2, 7, 12, 4, 1$. # Cerinţă Cunoscând un şir de $n$ numere naturale nenule $a_1, a_2, ..., a_n$ având proprietatea anti-triunghi, şi un număr $k$ ($k>n$), se cere să construiţi un şir de $k$ numere naturale având proprietatea anti-triunghi, în conformitate cu una dintre următoarele două restricţii 1. **Varianta 1**: Cel mai mic element este identic cu cel mai mic element din şirul iniţial. 2. **Varianta 2**: Printre cele $k$ elemente ale şirului construit se regăsesc toate elementele şirului iniţial. # Date de intrare Fişierul de intrare `triunghi.in` conţine pe prima linie valorile numerelor $v, n$ şi $k$, separate prin spaţiu. Linia următoare conţine $n$ numere naturale separate prin spaţiu, ce formează un şir cu propietatea anti-triunghi. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `triunghi.out` va conţine $k$ numere pe o singură linie. Dacă valoarea lui $v$ este $1$, atunci fişierul va conţine $k$ numere naturale cu proprietatea anti-triunghi, separate prin spaţiu, în care cel mai mic element este identic cu minimul şirului dat în fişierul de intrare. Dacă valoarea lui $v$ este $2$, atunci fişierul va conţine $k$ numere naturale cu proprietatea anti-triunghi, separate prin spaţiu, printre care se regăsesc toate elementele şirului iniţial. # Restricții și precizări * $3 \leq n < k \leq 46$ * $1 \leq$ lungimea unui beţişor $\leq 2 \ 000 \ 000 \ 000$ * Pentru rezolvarea corectă a primei cerinţe se acordă $30$ de puncte, iar pentru cerinţa a doua se acordă $70$ de puncte. * Se garantează că întotdeauna există soluţie. * Soluţia nu este unică - se admite orice răspuns corect.

X

Calcule

romanian

calcule.in

calcule.out

OJI 2013 X: Problema 1

Gigel a studiat recent şirurile cu $n$ elemente, numere naturale. Pentru un astfel de şir $S$, Gigel doreşte să afle răspunsul la întrebările: $a)$ Care este numărul minim de subşiruri strict crescătoare în care se poate partiţiona $S$? $b)$ Care este numărul de secvenţe, modulo $20 \ 011$, cu suma elementelor divizibilă cu $k$ care se pot obţine din $S$? # Cerinţa Dându-se un şir $S$ cu $n$ elemente numere naturale şi un număr natural $k$ se cere să se răspundă la cele două întrebări. # Date de intrare Pe prima linie a fişierului `calcule.in` se află valorile naturale $n$ şi $k$ separate printr-un spaţiu. Pe următoarea linie se află cele $n$ elemente ale şirului $S$, numere naturale separate prin câte un spaţiu. # Date de ieșire Fişierul `calcule.out` va conţine două linii, pe prima linie fiind scris un număr natural reprezentând răspunsul la întrebarea $a)$, iar pe a doua, un număr natural reprezentând răspunsul la întrebarea $b)$. **Pentru a putea primi punctaje parțiale, fiecare linie trebuie să conțină un număr!** # Restricții și precizări * $1 < n < 100 \ 000$ * $S$ are elemente mai mici sau egale cu $20 \ 000$. * $k < 50 \ 000$, $k < n$ * Un **subşir** al şirului $S$ se obţine selectând elemente din $S$ **în ordinea** în care sunt în $S$, dar **nu obligatoriu** de pe poziţii consecutive, iar o **secvenţă** a şirului $S$ se obţine selectând elemente în ordinea în care sunt în $S$, dar **obligatoriu** de pe poziţii consecutive. Se admit şi secvenţe sau subşiruri cu un singur element. * Pentru $50\%$ din teste $k < 10 \ 000$ * Pentru răspuns corect la o singură cerinţă se acordă $50\%$ din punctaj. * Mai multe subşiruri ale lui $S$ formează o **partiţie** dacă elementele reuniunii subşirurilor pot fi reaşezate astfel încât să se obţină exact $S$. * $x$ modulo $y$ reprezintă restul împărţirii lui $x$ la $y$.

X

Zona

romanian

zona.in

zona.out

OJI 2013 X: Problema 2

Ionuţ pleacă în drumeţie într-o porţiune de teren de formă pătratică cu latura de $N$ metri. O hartă a zonei are trasat un caroiaj care împarte zona în $N \cdot N$ pătrate unitate, cu latura de $1$ metru. Astfel harta zonei are aspectul unui tablou pătratic cu $N$ linii şi $N$ coloane. Liniile şi coloanele sunt numerotate de la $1$ la $N$. Elementele tabloului bidimensional corespund pătratelor unitate. Zona poate fi parcursă străbătând oricare dintre laturile pătratelor unitate **cel mult o singură dată**. ~[55bdc2f5c84ca3f4b5a80867350d0328.png] Ionuţ pleacă din punctul aflat în colţul din dreapta jos al pătratului unitate din linia $X$, coloana $Y$ şi se deplasează făcând **un pas** (parcurgând o latură a unui pătrat unitate) în una din direcţiile $Nord$, $Est$, $Sud$, $Vest$. Pentru a reţine mai uşor traseul foloseşte următoarea codificare pentru cele $4$ direcţii: $1$ pentru deplasarea spre $Nord$, $2$ pentru deplasarea spre $Est$, $3$ pentru deplasarea spre $Sud$, respectiv $4$ pentru deplasarea spre $Vest$. Ajuns într-alt punct (colţ de pătrat unitate), Ionuţ continuă să se deplaseze fără a trece de mai multe ori pe aceeaşi latură a unui pătrat unitate. Ionuţ se opreşte în momentul în care ajunge într-un punct prin care a mai trecut. Traseul străbătut între cele două treceri prin acelaşi punct delimitează o zonă de teren formată din pătrate unitate. # Cerinţă Dându-se linia $X$ şi coloana $Y$ corespunzătoare poziţiei de plecare a lui Ionuţ, dimensiunea zonei $N$, lungimea traseului $L$ şi traseul determinaţi: $a)$ Numărul de paşi parcurşi între prima şi a doua trecere prin punctul de oprire. $b)$ Numărul de pătrate unitate interioare zonei delimitată de traseul străbătut între cele două treceri prin acelaşi punct. # Date de intrare Pe prima linie a fişierului `zona.in` se află valorile $X$, $Y$, $N$ şi $L$ despărţite prin câte un spaţiu, reprezentând coordonatele punctului de plecare, dimensiunea terenului şi lungimea traseului parcurs. Pe următoarea linie se află $L$ valori din mulţimea $\{1, 2, 3, 4\}$ despărţite prin câte un spaţiu, reprezentând codificarea întregului traseu. # Date de ieșire Fişierul `zona.out` va conţine **două** linii, pe prima linie un număr natural reprezentând răspunsul la cerinţa $a)$, iar pe linia a doua, un număr natural reprezentând răspunsul la cerinţa $b)$. **Pentru a putea primi punctaje parțiale, fiecare linie trebuie să conțină un număr!** # Restricții și precizări * $0 < N < 51$ * $0 < X, Y < N$ * $0 < L < 2501$ * Se garantează faptul că traseul trece de două ori prin acelaşi punct şi nu parcurge de două ori aceeaşi latură. * Pentru determinarea corectă a numărului de la punctul $a)$ se acordă $20\%$ din punctaj. * Pentru determinarea corectă a numărului de la punctul $b)$ se acordă $80\%$ din punctaj.

X

Compresie

romanian

compresie.in

compresie.out

OJI 2012 X: Problema 1

Se consideră un text memorat într-o matrice $M$, definită prin coordonatele colţului stânga sus $(x_1,y_1)$ şi coordonatele colţului dreapta jos $(x_2,y_2)$. Prin aplicarea unui algoritm de compresie, matricei $M$ i se asociază un şir de caractere, notat $C_M$. Şirul de caractere $C_M$ este construit prin aplicarea următoarelor reguli: a) dacă matricea $M$ are o singură linie şi o singură coloană atunci $C_M$ conţine numai caracterul memorat în matrice b) dacă toate elementele matricei sunt identice atunci întreaga matrice $M$ se comprimă şi $C_M$ este şirul $k + c$, unde $k$ reprezintă numărul de caractere din matrice, iar $c$ caracterul memorat c) dacă matricea este formată din caractere diferite şi are cel puţin două linii şi două coloane atunci: - matricea este împărţită în $4$ submatrice $A$, $B$, $C$, $D$ după cum este ilustrat în figura alăturată, unde coordonatele colţului stânga sus ale submatricei $A$ sunt $(x_1,y_1)$, iar coordonatele colţului dreapta jos sunt $(\lfloor \frac{x_2+x_1}{2} \rfloor, \lfloor \frac{y_2+y_1}{2} \rfloor)$ - $C_M$ este şirul `*` $+\ C_A + C_B + C_C + C_D$, unde $C_A$, $C_B$, $C_C$, $C_D$ sunt şirurile de caractere obţinute, în ordine, prin compresia matricelor $A$, $B$, $C$, $D$ utilizând acelaşi algoritm ~[2e2e22e2e.png] d) dacă matricea este formată din caractere diferite, are o singură linie şi mai multe coloane atunci $C_M$ este şirul `*` $+\ C_A + C_B$, unde $A$, $B$, $C_A$, $C_B$ au semnificaţia descrisă la punctul c). e) dacă matricea este formată din caractere diferite, are mai multe linii şi o singură coloană atunci $C_M$ este şirul `*` $+\ C_A + C_C$ unde $A$, $C$, $C_A$, $C_C$ au semnificaţia descrisă la punctul c). # Cerinţă Dat fiind şirul de caractere $C_M$ ce se obţine în urma aplicării algoritmului de compresie asupra unei matrice $M$ de dimensiune $N \cdot N$ să se determine: a) numărul de împărţiri care au fost necesare pentru obţinerea textului compresat b) matricea iniţială din care provine textul compresat. # Date de intrare Fişierul de intrare `ompresie.in` conţine pe prima linie un şir de caractere ce reprezintă textul compresat. # Date de ieșire Fişierul de ieșire `compresie.out` conţine: * pe prima linie un număr natural ce reprezintă numărul $nr$ de împărţiri care au fost necesare pentru obţinerea textului compresat * pe următoarele $N$ linii se găsesc câte $N$ caractere, litere mici ale alfabetului englez, neseparate prin spații, ce reprezintă, în ordine, liniile matricei iniţiale. # Restricții și precizări * $2 \leq N \leq 1 \ 000$ * $0 \leq nr \leq 1\ 000 \ 000$ * $2 ≤$ lungimea şirului compresat $≤ 1 \ 000 \ 000$ * Textul memorat iniţial în matricea $M$ conţine numai caractere din mulţimea literelor mici $\{$`a`$,$ `b`$, \dots,$ `z`$\}$. * Pentru rezolvarea corectă a cerinţei a) se acordă $20\%$ din punctaj, iar pentru rezolvarea corectă a ambelor cerinţe se acordă tot punctajul.

X

Culori

romanian

culori.in

culori.out

OJI 2012 X: Problema 2

Pasiunea Mirunei este să coloreze. Vacanţa trecută şi-a petrecut-o la bunica ei la ţară şi pentru că se cam plictisea s-a gândit să vopsească gardul de la casa bunicii. Gardul este compus din $N$ scânduri dispuse una lângă alta. Miruna a găsit în garajul bunicii $5$ cutii de vopsea de culori diferite: **albă**, **albastră**, **roşie**, **verde** şi **galbenă**. Când a vopsit gardul, Miruna a respectat următoarele reguli: - Dacă o scândură era vopsită cu **alb**, următoarea scândură o vopsea obligatoriu cu **albastru** - Dacă o scândură era vopsită cu **albastru**, atunci următoarea scândură o vopsea cu **alb** sau **roşu** - Dacă o scândură era vopsită cu **roşu**, atunci următoarea scândură o vopsea cu **albastru** sau **verde** - Dacă o scândură era vopsită cu **verde**, atunci următoarea scândură o vopsea cu **roșu** sau **galben** - Dacă o scândură era vopsită cu **galben**, atunci următoarea scândură o vopsea obligatoriu cu **verde** După ce a și-a terminat treaba Miruna își admira “opera de artă” și se întreba în câte moduri diferite ar fi putut să vopsească gardul bunicii. # Cerinţă Ajutați-o pe Miruna să găsească răspunsul la întrebarea sa. # Date de intrare Fişierul `culori.in` conţine pe prima sa linie un singur număr natural $N$. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `culori.out` va conţine pe prima sa linie un singur număr întreg reprezentând numărul de moduri diferite în care Miruna ar fi putut să vopsească gardul bunicii. # Restricții și precizări * $1 \leq N \leq 5 \ 000$; * Pentru $25\%$ dintre teste $N \leq 45$.

X

ai

romanian

ai.in

ai.out

OJI 2011 X: Problema 1

Institutul Naţional de Robotică Avansată realizează o serie de teste ultimei generaţii de roboţi inteligenţi proiectaţi de specialiştii acestuia. Sistemul de testare se bazează pe o reţea de senzori formată din $n$ segmente egale dispuse orizontal şi $n$ segmente egale dispuse vertical. Distanţa între două segmente alăturate orizontale, respectiv verticale este de $1$ metru. Fiecare segment orizontal este în contact cu fiecare segment vertical. Denumim *nod* un punct în care un segment orizontal şi unul vertical vin în contact. Segmentele sunt numerotate: cele orizontale de sus în jos începând de la $1$ iar cele verticale de la stânga la dreapta începand de la $1$. Un nod va fi identificat prin două numere: primul reprezintă numărul segmentului orizontal iar al doilea numărul segmentului vertical care vin în contact în respectivul nod. Într-unul dintre nodurile reţelei se află o ţintă. În alte două noduri se află câte o sursă ce emite o rază laser. O astfel de sursă emite raza într-o singură direcţie. Raza laser are o grosime neglijabilă. Cele două surse sunt astfel orientate încât raza emisă de fiecare “loveşte” ţinta. Cele două noduri în care sunt plasate sursele sunt astfel alese încât cele două raze nu se intersectează decât în nodul unde se află ţinta. În alte două noduri ale reţelei se află câte un robot. Fiecare robot se poate deplasa dintr-un nod în cele vecine (cele aflate sus, jos, în stânga şi în dreapta), dar fără să iasă din cadrul reţelei. Roboţii se deplasează cu $1$ m/secundă. ~[bef10545696d117968b7bfe6325c2865.png] Se efectuează experimente în care roboţii sunt programaţi să se deplaseze prin reţea cu scopul de a proteja ţinta faţă de cele două raze laser. Un robot poate proteja ţinta fie ocupând nodul unde se află sursa, fie ocupând un nod prin care trece raza laser în drumul de la sursă către ţintă (razele laser nu “ocolesc” roboţii). Dimensiunea roboţilor este atât de mică încât, în acest al doilea caz, ei protejează ţinta faţă de raza laser doar când nodurile unde sunt sursa, ţinta şi robotul sunt coliniare iar robotul este între sursă şi ţintă. În momentul în care un robot ajunge într-un nod unde protejează ţinta faţă de una dintre raze, el se poate opri sau poate să îşi continue deplasarea. Dacă îşi continuă deplasarea astfel încât noua poziţie ocupată de acel robot şi poziţiile ţintei şi sursei nu mai sunt coliniare, atunci acel robot nu mai protejează ţinta. Din modul în care sunt alese poziţiile nodurilor pentru ţintă şi sursele laser rezultă că nu există nicio poziţie în care un robot să protejeze simultan ţinta faţă de ambele raze. Fiecare robot este dotat cu o reţea neuronală şi poate învăţa din experimentele anterioare pe unde să se deplaseze. Pentru a mări capacitatea de adaptare a roboţilor, în $k$ noduri ale reţelei sunt aşezate obstacole care fac ca roboţii să nu poată trece prin nodurile respective. Deoarece obstacolele folosite sunt transparente, razele laser pot trece prin acestea fără a le fi afectată intensitatea sau direcţia. Două sau mai multe obstacole dispuse pe acelaşi segment, în noduri alăturate, formează un zid. Lungimea unui zid este egală cu numărul de obstacole din care este alcătuit. # Cerinţă $1)$ Determinaţi lungimea maximă a unui zid. $2)$ Determinaţi numărul minim de secunde în care cei doi roboţi pot proteja ţinta faţă de cele două raze laser. # Date de intrare Fişierul `ai.in` conţine: - pe prima linie o valoare naturală $n$, reprezentând numărul segmentelor ce compun reţeaua; - pe a doua linie cinci perechi de valori naturale separate prin câte un spaţiu $T_1 \ T_2 \ S_1 \ S_2 \ S_3 \ S_4 \ R_1 \ R_2 \ R_3 \ R_4$ cu următoarea semnificaţie: $T_1 \ T_2$ reprezintă coordonatele nodului unde se află ţinta, $S_1 \ S_2$ coordonatele nodului în care este amplasată prima sursă, $S_3 \ S_4$ coordonatele nodului în care este amplasată a doua sursă, $R_1 \ R_2$ coordonatele poziţiei iniţiale a primului robot, respectiv $R_3 \ R_4$ coordonatele poziţiei iniţiale a celui de-al doilea robot; - pe a treia linie o valoare naturală $k$, reprezentând numărul obstacolelor din reţea; - pe următoarele $k$ linii se găseşte câte o pereche de valori naturale separate printr-un spaţiu. Fiecare prereche reprezintă coordonatele unui nod în care este amplasat un obstacol. # Date de ieșire Fişierul `ai.out` va conţine pe prima linie un număr natural ce reprezintă răspunsul la cerinţa $1)$ iar pe a doua linie un număr natural care reprezintă răspunsul la cerinţa $2)$. # Restricții și precizări * $n \leq 1 \ 000$ * $k \leq 150 \ 000$ - la începutul experimentului poziţiile ţintei, surselor laser, roboţilor şi obstacolelor sunt diferite. - roboţii nu pot ocupa şi nu pot trece prin nodul în care se află ţinta, - roboţii pot ocupa un nod în acelaşi timp. - un robot nu poate proteja ţinta faţă de o rază decât atunci când este plasat exact într-un nod, nu şi atunci când se află între două noduri. - un obstacol poate să aparţină în acelaşi timp atât unui zid orizontal cât şi unui zid vertical. - dacă fişierul de ieşire conţine o singură valoare, se consideră că aceasta reprezintă răspunsul la prima cerinţă - în toate testele efectuate, există cel puţin o posibilitate ca ţinta să fie apărată de către una dintre raze de unul dintre roboţi iar faţă de cealaltă rază să fie apărată de celălalt robot. - pentru rezolvarea primei cerinţe se acordă $20\%$ din punctaj; pentru rezolvarea ambelor cerinţe se acordă $100\%$ din punctaj.

X

Expresie

romanian

expresie.in

expresie.out

OJI 2011 X: Problema 2

Prin convenţie numim _expresie aritmetică ponderată_ o expresie construită astfel: - expresia conţine numere întregi de cel mult $2$ cifre despărţite prin virgulă; - numim **k-şir** o enumerare de $k$ numere despărţite prin virgulă $(k \geq 1)$; - o expresie poate conţine unul sau mai multe $k$-şiruri; - expresia foloseşte paranteze rotunde şi paranteze drepte. Evaluarea expresiei se face după următoarele reguli: - dacă expresia conţine un singur $k$-şir atunci rezultatul expresiei este reprezentat de suma celor $k$ numere (**Exemplu:** $2,4,1 = 2+4+1 = 7$); - dacă în expresie întâlnim un $k$-şir delimitat de paranteze rotunde rezultatul evaluării acestui $k$-şir va fi reprezentat de suma maximă a unui secvenţe ce aparţine $k$-şirului, unde prin secvenţă se înţelege o succesiune de numere aflate pe poziţii consecutive în şir (**Exemplu:** $(-2,4,-1,3,-2,-3,2) =>$ secvenţa de sumă maximă este $4,-1,3$ a cărui sumă este egală cu $6$); - dacă în expresie întâlnim un $k$-şir delimitat de paranteze pătrate, elementele $k$-şirului fiind numerotate $1,2,..,k,$ rezultatul evaluării acestui $k$-şir va fi reprezentat de valoarea elementului aflat pe poziţia $[ \frac{k + 1}{2} ]$ dacă şirul ar fi ordonat crescător (**mediana unui şir**) (**Exemplu:** $ [-2,9,10,3,5] =>$ şirul ordonat $[-2,3,5,9,10] =>$ iar valoarea expresiei este egală cu $5$). - evaluarea parantezelor se face dinspre interior spre exterior. # Cerinţă Fiind dată o expresie aritmetică ponderată să se determine: - câte numere întregi conţine expresia aritmetică; - care este valoarea expresiei aritmetice. # Date de intrare Fişierul de intrare `expresie.in` conţine pe prima linie un şir de caractere ce reprezintă o expresie aritmetică ponderată. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `expresie.out` va conţine pe prima linie numărul de numere întregi din expresie, iar pe următoarea linie va fi scris un număr ce reprezintă valoarea expresiei aritmetice. # Restricții și precizări * expresia se consideră corectă * $3 ≤$ lungimea unei expresii $≤ 100 \ 000$ * şirul prin care se codifică expresia poate să conţină doar următoarele caractere: cifre, paranteze rotunde şi pătrate deschise şi închise, caracterul virgulă, caracterul minus * pentru rezolvarea primei cerinţe se obţine $20\%$ din valoarea fiecărui test * $10\%$ dintre teste nu vor conţine paranteze * $20\%$ dintre teste nu vor conţine paranteze imbricate

X

Expozitie

romanian

expozitie.in

expozitie.out

OJI 2010 X: Problema 1

Ilinca este o fetiţă căreia îi place foarte mult să deseneze; ea a făcut multe desene pe care le-a numerotat de la $1$ la $d$ şi apoi le-a multiplicat (toate copiile poartă acelaşi număr ca şi originalul după care au fost făcute). În vacanţă s-a hotărât să-şi deschidă propria expoziţie pe gardul bunicilor care are mai multe scânduri; pe fiecare scândură ea aşează o planşă (un desen original sau o copie). Ilinca ţine foarte mult la desenele ei şi doreşte ca fiecare desen să apară de cel puţin $k$ ori (folosind originalul şi copiile acestuia). Ilinca se întreabă în câte moduri ar putea aranja expoziţia. Două moduri de aranjare sunt considerate distincte dacă diferă cel puţin prin numărul unei planşe (de exemplu: $2 \ 1 \ 3 \ 3$ este aceeaşi expoziţie ca şi $2 \ 3 \ 1 \ 3$, dar este diferită de $2 \ 1 \ 3 \ 1$ şi de $1 \ 3 \ 3 \ 1$). # Cerinţă Cunoscând $n$ numărul de scânduri din gard, $d$ numărul desenelor originale şi $k$ numărul minim de apariţii al fiecărui desen, să se determine în câte moduri poate fi aranjată expoziţia, ştiind că Ilinca are la dispoziţie oricâte copii doreşte. # Date de intrare Fişierul de intrare `expozitie.in` va conţine $3$ numere, $n \ d \ k$ - numărul de scânduri, numărul desenelor originale, respectiv numărul minim de aparţii. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `expozitie.out` va conţine un singur număr, $nr$, numărul modurilor distincte de aranjare a expoziţiei. # Restricții și precizări * $n,k,d$ sunt numere naturale * $1 \leq n \leq 500$ * $1 \leq d \leq 500$ * $0 \leq k \leq n$

X

Text

romanian

text.in

text.out

OJI 2010 X: Problema 2

Ion Petre, ca oricare adolescent, este pasionat atât de jocuri, cât şi de informatică. Ultimul astfel de joc este acela de a elimina dintr-un text cuvinte astfel încât fiecare cuvânt rămas să fie urmat de un cuvânt care începe cu aceeaşi literă cu care se termină cuvântul precedent. Face excepţie de la această regulă numai ultimul cuvânt. # Cerinţă Pentru un text dat: 1) afișați numărul **minim** de cuvinte ce pot fi eliminate astfel încât în textul rămas orice cuvânt (cu excepţia ultimului) să se termine cu aceeaşi literă cu care începe cuvântul următor; 2) afișați numărul de cuvinte din text; 3) afișați cuvintele din text rămase după eliminarea de la prima cerință, fiecare cuvânt fiind afişat pe câte o linie. # Date de intrare Fişierul `text.in` conţine un text scris pe mai multe linii. Pe fiecare linie se află cuvinte formate din litere mici ale alfabetului latin. Cuvintele sunt despărţite între ele prin exact câte un spaţiu. # Date de ieșire Fişierul `text.out` va conţine pe primele doua linii două numerele $x$ şi $y$, unde $x$ va fi numărul minim de cuvinte ce trebuie eliminate, iar $y$ numărul de cuvinte din text. Pe liniile următoare se vor afişa, în ordine, cuvintele rămase după eliminarea celor $y$ cuvinte, câte un cuvant pe o linie. # Restricții și precizări * Numărul de cuvinte din text este maximum $20 \ 000$. * Lungimea maximă a unui cuvânt este $20$. * Fiecare linie de text din fişierul de intrare are cel mult $200$ de caractere. * În fişierul de intrare pot exista rânduri goale. * Se acordă $30\%$ din punctaj pentru rezolvarea corectă a primei cerințe. * Se acordă $40\%$ din punctaj pentru rezolvarea corectă a primelor două cerinţe. * Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerinţelor se acordă tot punctajul. * **Notă**: exemplul de pe PDF este afișat în mod invers față de cum este afișat în teste.

X

insule

romanian

insule.in

insule.out

OJI 2009 X: Problema 1

Arhipelagul RGB este format din insule care aparţin ţărilor $R$, $G$ şi $B$. Putem reprezenta harta arhipelagului ca o matrice cu $n$ linii şi $m$ coloane cu elemente din mulţimea $\{0, 1, 2, 3\}$. Un element egal cu $0$ reprezintă o zonă acoperită de apă; un element egal cu $1$ reprezintă o zonă de pământ aparţinând unei insule din ţara $R$, iar un element egal cu $2$ reprezintă o zonă de pământ aparţinând unei insule din ţara $G$, iar un element egal cu $3$ reprezintă o zonă de pământ aparţinând unei insule din ţara $B$. Se consideră că două elemente ale matricei sunt vecine dacă ele au aceeaşi valoare şi fie sunt consecutive pe linie, fie sunt consecutive pe coloană. Două elemente aparţin aceleiaşi insule dacă ele sunt vecine sau dacă se poate ajunge de la un element la celălalt pe un drum de-a lungul căruia oricare două elemente consecutive sunt vecine. Pentru a încuraja relaţiile de colaborare dintre ţările $R$ şi $G$, se doreşte construirea unui pod care să unească o insulă aparţinând ţării R de o insulă aparţinând ţării G. Podul trebuie să respecte următoarele condiţii: * Să înceapă pe o zonă cu apă consecutivă pe linie sau coloană cu o zonă aparţinând ţării $R$; * Să se termine pe o zonă cu apă consecutivă pe linie sau coloană cu o zonă aparţinând ţării $G$; * Să traverseze numai zone acoperite cu apă; * Oricare două elemente consecutive ale podului trebuie să fie vecine; * Lungimea podului să fie minimă (lungimea podului este egală cu numărul de elemente traversate de pod). # Cerinţă Dată fiind harta arhipelagului să se determine câte insule aparţin fiecărei ţări, precum şi lungimea minimă a unui pod care să satisfacă condiţiile din enunț. # Date de intrare Fişierul de intrare `insule.in` conţine pe prima linie numerele naturale $n$ şi $m$, separate prin spaţiu. Pe următoarele $n$ linii este descrisă harta arhipelagului. Pe fiecare dintre aceste $n$ linii sunt scrise câte m valori din mulţimea $\{0, 1, 2, 3\}$; valorile nu sunt separate prin spaţii. # Date de ieşire Fişierul de ieşire `insule.out` va conţine o singură linie pe care vor fi scrise patru numere naturale separate prin spaţii `NR` `NG` `NB` `Lg`, unde `NR` reprezintă numărul de insule aparţinând ţării $R$, `NG` numărul de insule aparţinând ţării $G$, `NB` numărul de insule aparţinând ţării $B$, iar `Lg` lungimea minimă a podului. # Restricţii şi precizări * $1 \lt n, m \leq 100$; * Se garantează că pe hartă există cel puţin un element $1$, un element $2$ şi un element $0$; * Se acordă 40% din punctaj pentru determinarea corectă a numărului de insule din fiecare ţară; se acordă punctaj integral pentru rezolvarea corectă a tuturor cerinţelor; * Începutul şi sfârşitul podului pot să coincidă; * Pentru datele de test există întotdeauna soluţie.

X

Rețetă

romanian

reteta.in

reteta.out

OJI 2009 X: Problema 2

Mama mea este profesoară de informatică, dar îi place foarte mult să gătească. Recent am descoperit caietul ei de reţete, care arată foarte neobişnuit. Fiecare reţetă este scrisă pe un singur rând pe care sunt precizate produsele folosite, cantităţile, precum şi ordinea în care se execută operaţiile. De exemplu: `(unt 50 zahar 250 ou 4)5` ceea ce înseamnă că se amestecă $50$ grame unt cu $250$ grame zahăr şi cu $4$ ouă timp de $5$ minute. Pentru fiecare produs mama foloseşte întotdeauna aceeaşi unitate de măsură, aşa că unităţile de măsură nu mai sunt precizate. Numele produsului este scris întotdeauna cu litere mici, iar produsele şi cantităţile sunt separate prin spaţii (unul sau mai multe). Produsele care se amestecă împreună sunt încadrate între paranteze rotunde; după paranteza rotundă închisă este specificat timpul de preparare. Evident, mama are şi reţeţe mai complicate: `(((zahar 100 ou 3)5 unt 100 nuca 200)4 (lapte 200 cacao 50 zahar 100) 3)20` Să traducem această reţetă: se amestecă $100$ grame zahăr cu $3$ ouă timp de cinci minute; apoi se adaugă $100$ grame unt şi $200$ grame nucă, amestecând totul încă $4$ minute. Se amestecă $200$ ml lapte cu $50$ grame de cacao şi $100$ grame zahăr timp de $3$ minute, apoi se toarnă peste compoziţia precedentă şi se amestecă totul timp de $20$ minute. Observaţi că înainte sau după parantezele rotunde pot să apară sau nu spaţii. # Cerinţă Dată fiind o reţetă să se determine timpul total de preparare, precum şi cantităţile necesare din fiecare produs. # Date de intrare Fişierul de intrare `reteta.in` conţine pe prima linie un şir de caractere care reprezintă o reţetă. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `reteta.out` va conţine pe prima linie timpul total necesar pentru prepararea reţetei. Pe următoarele linii sunt scrise ingredientele în ordine lexicografică (ordinea din dicţionar), câte un ingredient pe o linie. Pentru fiecare ingredient este specificat numele urmat de un spaţiu apoi de cantitatea totală necesară. # Restricții și precizări * $0 <$ Lungimea unei reţete $≤ 1 \ 000$ * $1 ≤$ Numărul de ingrediente $≤ 100$ * Numele unui ingredient este scris cu maxim 20 litere mici ale alfabetului englez. * Timpii de preparare sunt numere naturale $< 100$ * Cantităţile specificate în reţete sunt numere naturale $< 1 \ 000$ * Pentru determinarea corectă a timpului total se acordă $30\%$ din punctajul pe test; pentru determinarea corectă a timpului total şi afişarea corectă a ingredientelor (ordonate lexicografic) se acordă integral punctajul pe test

X

Colaj

romanian

colaj.in

colaj.out

OJI 2008 X: Problema 1

La etapa finală a **_Concursului pe Echipe al Micilor Artişti_**, pe primul loc s-au clasat două echipe $A$ şi $B$, cu acelaşi punctaj. Comisia de Evaluare, pentru a le departaja, a introdus o nouă probă de baraj care vizează atât talentul copiilor, cât şi isteţimea lor. Astfel, echipa $A$ trebuie să realizeze un colaj alb-negru având la dispoziţie o planşă dreptunghiulară de culoare albă şi n dreptunghiuri de culoare neagră. Membrii acestei echipe vor trebui să lipească pe planşă toate dreptunghiurile, cu laturile paralele cu laturile planşei. Pot exista şi dreptunghiuri lipite în interiorul altui dreptunghi, sau dreptunghiuri care se intersectează, sau dreptunghiuri cu laturi pe laturile planşei, precum şi suprafeţe din planşă neacoperite cu dreptunghiuri. După ce aşează toate dreptunghiurile, membrii echipei $A$ trebuie să comunice echipei $B$ numărul $n$ de dreptunghiuri negre primite, lungimea m a laturii orizontale a planşei, lungimea $p$ a laturii verticale a planşei, şi coordonatele vârfurilor din stânga-jos şi dreapta-sus ale fiecărui dreptunghi de pe planşă (coordonate referitoare la reperul cartezian $xOy$ cu originea $O$ în colţul din stânga-jos a planşei şi cu axa de coordonate $Ox$, respectiv $Oy$, pe dreapta suport a laturii orizontale, respectiv a laturii verticale a planşei). Pentru a câştiga concursul, echipa $B$ trebuie să ghicească numărul zonelor continue maximale de culoare albă, conţinute de colajul realizat de echipa $A$. O zonă albă este considerată continuă dacă oricare ar fi două puncte $P, Q$ din zona respectivă, se poate uni punctul $P$ de punctul $Q$ printr-o linie dreaptă sau frântă care să nu intersecteze interiorul nici unui dreptunghi negru. O zonă albă continuă este considerată maximală dacă nu există o altă zonă albă continuă de arie mai mare care să includă zona respectivă. # Cerinţă Scrieţi un program care să citească numărul n al dreptunghiurilor negre primite de echipa $A$, lungimile $m$ şi $p$ ale laturilor planşei, coordonatele vârfurilor din stânga-jos şi dreapta-sus ale fiecărui dreptunghi negru primit, şi care să determine numărul zonelor continue maximale de culoare albă existente în colajul realizat de echipa $A$. # Date de intrare Fişierul de intrare `colaj.in` conţine: - pe prima linie, o valoare naturală $n$, reprezentând numărul de dreptunghiuri negre date echipei $A$ - pe a doua linie, $2$ numere naturale, separate prin spaţiu, reprezentând lungimile laturilor planşei - următoarele $n$ linii conţin câte patru numere naturale, separate prin câte un spaţiu, care reprezintă coordonatele $(a_1,b_1)$ şi $(c_1,d_1)$ ale vârfurilor din stânga-jos şi dreapta-sus ale primului dreptunghi,..., coordonatele $(a_n,b_n)$ şi $(c_n,d_n)$ ale vârfurilor din stânga-jos şi dreapta-sus ale celui de-al $n$-lea dreptunghi. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `colaj.out` va conţine o singură linie pe care se va scrie un singur număr natural reprezentând numărul zonelor continue maximale de culoare albă, conţinute de colaj. # Restricții și precizări * $1 \leq n \leq 100$ * $a_1 < c_1 \leq m, \ a_2 < c_2 \leq m, ..., \ a_n < c_n \leq m$ * $b_1 < d_1 \leq p, \ b_2 < d_2 \leq p, ..., \ b_n < d_n \leq p$ * Toate coordonatele vârfurilor dreptunghiurilor şi lungimile laturilor planşei sunt numere naturale, $0<m,p<8 \ 000$ * Dacă $(x,y)$ şi $(z,t)$ sunt coordonatele a două vârfuri din două dreptunghiuri distincte, atunci: $x≠z$ şi $y≠t$. * În $40\%$ din teste: $n < 30, m \leq 180, p \leq 180$ * în $40\%$ din teste: $70 \leq n \leq 100, 180 < p < 1 \ 000, 180 < m < 1 \ 000$ * în $20\%$ din teste: $50 < n < 80, 7 \ 000 < m < 8 \ 000, 7 \ 000 < p < 8 \ 000$

X

Piața

romanian

piata.in

piata.out

OJI 2008 X: Problema 2

Ionuţ pleacă la sfârşit de săptămână să se relaxeze într-un parc de distracţii. La intrarea în parc se află o piaţă mare, pavată cu plăci de marmură de aceeaşi dimensiune. Fiecare placă are scris pe ea un singur număr dintre $f(1), f(2), f(3), …, f(n)$, unde $f(k)$ este suma cifrelor lui $k$, pentru $k$ din mulţimea $\{1, 2, \dots, n\}$. Piaţa are forma unui tablou bidimensional cu $n$ linii şi $n$ coloane. Plăcile care alcătuiesc piaţa sunt aşezate astfel: - pe prima linie sunt plăci cu numerele $f(1), f(2), \dots, f(n-2), f(n-1), f(n)$ (în această ordine de la stânga la dreapta); - pe linia a doua sunt plăci cu numerele $f(n),f(1),f(2), f(3), \dots, f(n-1)$, (în această ordine de la stânga la dreapta); - pe linia a treia sunt plăci cu numerele $f(n-1),f(n),f(1),f(2), f(3), \dots, f(n-2)$ (în această ordine de la stânga la dreapta); - $\dots$ - pe ultima linie sunt plăci cu numerele $f(2), \dots, f(n-2), f(n-1), f(n), f(1)$ (în această ordine de la stânga la dreapta). Părinţii lui Ionuţ vor ca şi în această zi, fiul lor să rezolve măcar o problemă cu sume. Astfel aceştia îi propun lui Ionuţ să determine suma numerelor aflate pe porţiunea dreptunghiulară din piaţă având colţurile în poziţiile în care se găsesc aşezaţi ei. Tatăl se află pe linia $i_T$ şi coloana $j_T$ (colţul stânga-sus), iar mama pe linia $i_M$ şi coloana $j_M$ (colţul dreapta-jos). Porţiunea din piaţă pentru care se doreşte suma este în formă dreptunghiulară, cu laturile paralele cu marginile pieţei (vezi zona plină din exemplu). Dacă Ionuţ va calcula suma cerută, atunci el va fi recompensat în parcul de distracţii, de către părinţii lui. # Cerinţă Determinaţi suma cerută de părinţii lui Ionuţ. # Date de intrare Fişierul de intrare `piata.in` conţine pe prima linie numărul natural n reprezentând dimensiunea pieţei. Pe linia a doua se află despărţite printr-un spaţiu numerele naturale $i_T$ şi $j_T$. Pe linia a treia se află despărţite printr-un spaţiu numerele naturale $i_M$ şi $j_M$. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `piata.out`, va conţine pe prima linie suma cerută. # Restricții și precizări * $2 \leq n \leq 40 \ 000$ * $1 \leq i_T, j_T, i_M, j_M \leq n$ * $i_T \leq i_M$ * $j_T \leq j_M$ * Suma cerută de părinţii lui Ionuţ nu depăşeşte niciodată valoarea $2 \ 100 \ 000 \ 000$. * $20\%$ din teste au $n \leq 250$ * $30\%$ din teste au $250 \leq n \leq 10 \ 000$ * $30\%$ din teste au $10 \ 001 \leq n \leq 28 \ 000$ * $20\%$ din teste au $28 \ 001 \leq n \leq 40 \ 000$

X

Alee

romanian

alee.in

alee.out

OJI 2007 X: Problema 1

Parcul oraşului a fost neglijat mult timp, astfel că acum toate aleile sunt distruse. Prin urmare, anul acesta Primăria şi-a propus să facă reamenajări. Parcul are forma unui pătrat cu latura de $n$ metri şi este înconjurat de un gard care are exact două porţi. Proiectanţii de la Primărie au realizat o hartă a parcului şi au trasat pe hartă un caroiaj care împarte parcul în $n \times n$ zone pătrate cu latura de $1$ metru. Astfel harta parcului are aspectul unei matrice pătratice cu $n$ linii şi $n$ coloane. Liniile şi respectiv coloanele sunt numerotate de la $1$ la $n$. Elementele matricei corespund zonelor pătrate de latură $1$ metru. O astfel de zonă poate să conţină un copac sau este liberă. Edilii oraşului doresc să paveze cu un număr minim de dale pătrate cu latura de $1$ metru zonele libere (fără copaci) ale parcului, astfel încât să se obţină o alee continuă de la o poartă la alta. # Cerinţă Scrieţi un program care să determine numărul minim de dale necesare pentru construirea unei alei continue de la o poartă la cealaltă. # Date de intrare Fişierul de intrare `alee.in` conţine pe prima linie două valori naturale $n$ şi $m$ separate printr-un spaţiu, reprezentând dimensiunea parcului, respectiv numărul de copaci care se găsesc în parc. Fiecare dintre următoarele $m$ linii conţine câte două numere naturale $x$ şi $y$ separate printr-un spaţiu, reprezentând poziţiile copacilor în parc ($x$ reprezintă linia, iar $y$ reprezintă coloana zonei în care se află copacul). Ultima linie a fişierului conţine patru numere naturale $x_1 \ y_1 \ x_2 \ y_2$, separate prin câte un spaţiu, reprezentând poziţiile celor două porţi ($x_1$, $y_1$ reprezintă linia şi respectiv coloana zonei ce conţine prima poartă, iar $x_2$, $y_2$ reprezintă linia şi respectiv coloana zonei ce conţine cea de a doua poartă). # Date de ieșire Fişierul de ieşire `alee.out` va conţine o singură linie pe care va fi scris un număr natural care reprezintă numărul minim de dale necesare pentru construirea aleii. # Restricții și precizări * $1 \leq n \leq 175$ * $1 \leq m < n \cdot n$ * Aleea este continuă dacă oricare două plăci consecutive au o latură comună. * Aleea începe cu zona unde se găseşte prima poartă şi se termină cu zona unde se găseşte cea de a doua poartă. * Poziţiile porţilor sunt distincte şi corespund unor zone libere. * Pentru datele de test există întotdeauna soluţie.

X

Dir

romanian

dir.in

dir.out

OJI 2007 X: Problema 2

Costel trebuie să realizeze, împreună cu echipa sa, o aplicaţie _software_ pentru gestiunea fişierelor de pe hard-disc, sarcina sa fiind aceea de a scrie un modul pentru determinarea căilor tuturor fişierelor de date aflate în structura arborescentă a folderelor de pe disc. Membrii echipei au stabilit o codificare proprie pentru memorarea structurii fişierelor de pe disc, utilizând un şir de caractere. Specificaţiile tehnice sunt următoarele: - folderul este un fişier de tip special, care poate conţine fişiere şi/sau foldere (acestea fiind considerate subfoldere ale folderului respectiv); - numele folderelor încep cu o literă, au maxim 30 de caractere şi sunt scrise cu majuscule; - numele fişierelor de date încep cu o literă, au maxim 30 de caractere şi sunt scrise cu minuscule; - caracterele utilizate pentru numele fişierelor şi folderelor sunt literele alfabetului englez şi cifrele arabe; - reprezentarea structurii fişierelor sub forma unui şir de caractere se realizează după următoarea regulă: `NUME_FOLDER(lista_de_foldere_si_fisiere)` unde `lista_de_foldere_si_fisiere`, posibil vidă, conţine fişierele şi/sau subfolderele folderului `NUME_FOLDER`, separate prin virgulă. Subfolderele se reprezintă respectând aceeaşi regulă. De exemplu, structura de fişiere şi foldere din figura de mai jos ~[clip_image001.png] se reprezintă prin şirul de caractere: `FOLDER1(FOLDER2(),FOLDER3(FOLDER4(poveste,basm),basm))` # Cerinţă Scrieţi un program care, cunoscând şirul de caractere ce codifică o structură de fişiere de pe disc, determină calea pentru fiecare fişier de date din structură. Prin cale a unui fişier se înţelege o succesiune de foldere, fiecare folder fiind urmat de caracterul _\\(backslash)_, începând de la folderul aflat pe cel mai înalt nivel al structurii (primul specificat în şirul ce codifică structura de fişiere), până la subfolderul în care se află fişierul de date respectiv şi terminată cu numele fişierului. Căile determinate vor fi afişate în ordine lexicografică. # Date de intrare Fişierul de intrare `dir.in` conţine pe prima linie şirul de caractere ce codifică structura de fişiere de pe disc. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `dir.out` va conţine pe prima linie un număr natural $N$ reprezentând numărul de fişiere de date găsite. Pe următoarele $N$ linii se vor scrie, în ordine lexicografică, căile ce permit identificarea fişierelor găsite, în formatul: `F1\F2\...\Fn\fisier`, câte o cale pe o linie. # Restricții și precizări * Şirul de caractere ce codifică structura de fişiere este nevid şi conţine maxim $1 \ 600$ de caractere. * Structura de foldere conţine cel puţin un folder şi cel puţin un fişier. * Numărul de fişiere de date este cel mult $100$. * Lungimea căii unui fişier este de cel mult $255$ caractere. * Şirul $x_1x_2…x_n$ este mai mic lexicografic decât şirul $y_1y_2…y_m$, dacă există $k$ astfel încât $x_1=y_1,x_2=y_2,…,x_{k-1}=y_{k-1}$ şi ($x_k<y_k$ sau $k=n+1$). # Punctaj Pentru determinarea corectă a numărului de fişiere de date se acordă $30\%$ din punctaj. Dacă numărul de fişiere de date a fost determinat corect şi căile sunt corect afişate în ordine lexicografică se acordă punctajul integral.

X

ecuatii

romanian

ecuatii.in

ecuatii.out

OJI 2006 X: Problema 1

Să considerăm ecuaţii de gradul I, de forma: `expresie_1=expresie_2`. Expresiile specificate sunt constituite dintr-o succesiune de operanzi, între care există semnul `+` sau semnul `-` (cu semnificaţia binecunoscută de adunare, respectiv scădere). Fiecare operand este fie un număr natural, fie un număr natural urmat de litera `x` (litera `x` reprezentând necunoscuta), fie doar litera `x` (ceea ce este echivalent cu `1x`). De exemplu: `2x-5+10x+4=20-x`. Observaţi că în ecuaţiile noastre nu apar paranteze şi necunoscuta este întotdeauna desemnată de litera mică `x`. # Cerința Scrieţi un program care să rezolve ecuaţii de gradul I, în formatul specificat în enunţul problemei. # Date de intrare Fișierul de intrare `ecuatii.in` conține pe prima linie un număr natural $n$, reprezentând numărul de ecuaţii din fişier. Pe fiecare dintre următoarele $n$ linii este scrisă câte o ecuaţie. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `ecuatii.out` va conține $n$ linii, câte una pentru fiecare ecuaţie din fişierul de intrare. Pe linia $i$ va fi scrisă soluţia ecuaţiei de pe linia $i+1$ din fişierul de intrare. Dacă soluţia ecuaţiei este un număr real, atunci acesta se va scrie cu 4 zecimale. Răspunsul este considerat corect dacă diferenţa în valoare absolută dintre soluţia corectă şi soluţia concurentului este < 0.001. În cazul în care ecuaţia admite o infinitate de soluţii, se va scrie mesajul `infinit` (cu litere mici). Dacă ecuaţia nu admite soluţii, se va scrie mesajul `imposibil` (de asemenea cu litere mici). # Restricții și precizări * $1 \leq n \leq 10$; * Lungimea unei ecuaţii nu depăşeşte 255 caractere; * Ecuaţiile nu conţin spaţii; * Numerele naturale care intervin în ecuaţii sunt $\leq 1000$.

X

sudest

romanian

sudest.in

sudest.out

OJI 2006 X: Problema 2

Fermierul Ion deţine un teren de formă pătrată, împărţit în $N \times N$ pătrate de latură unitate, pe care cultivă cartofi. Pentru recoltarea cartofilor fermierul foloseşte un robot special proiectat în acest scop. Robotul porneşte din pătratul din stânga sus, de coordonate $(1,1)$ şi trebuie să ajungă în pătratul din dreapta jos, de coordonate $(N,N)$. Traseul robotului este programat prin memorarea unor comenzi pe o cartelă magnetică. Fiecare comandă specifică direcţia de deplasare (sud sau est) şi numărul de pătrate pe care le parcurge în direcţia respectivă. Robotul strânge recolta doar din pătratele în care se opreşte între două comenzi. Din păcate, cartela pe care se află programul s-a deteriorat şi unitatea de citire a robotului nu mai poate distinge direcţia de deplasare, ci numai numărul de paşi pe care trebuie să-i facă robotul la fiecare comandă. Fermierul Ion trebuie să introducă manual, pentru fiecare comandă, direcţia de deplasare. # Cerință Scrieţi un program care să determine cantitatea maximă de cartofi pe care o poate culege robotul, în ipoteza în care Ion specifică manual, pentru fiecare comandă, direcţia urmată de robot. Se va determina şi traseul pe care se obţine la recolta maximă. # Date de intrare Fişierul de intrare `sudest.in` are următoarea structură: * Pe linia $1$ se află numărul natural $N$, reprezentând dimensiunea parcelei de teren. * Pe următoarele $N$ linii se află câte $N$ numere naturale, separate prin spaţii, reprezentând cantitatea de cartofi din fiecare pătrat unitate. * Pe linia $N+2$ se află un număr natural $K$ reprezentând numărul de comenzi aflate pe cartela magnetică. * Pe linia $N+3$ se află $K$ numerele naturale $C_1,\dots,C_K$, separate prin spaţii, reprezentând numărul de paşi pe care trebuie să-i efectueze robotul la fiecare comandă. # Date de ieșire Fişierul de ieșire `sudest.out` va conţine pe prima linie cantitatea maximă de cartofi recoltată de robot. Pe următoarele $K+1$ linii vor fi scrise, în ordine, coordonatele pătratelor unitate ce constituie traseul pentru care se obţine cantitate maximă de cartofi, câte un pătrat unitate pe o linie. Coordonatele scrise pe aceeaşi linie vor fi separate printr-un spaţiu. Primul pătrat de pe traseu va avea coordonatele `1 1`, iar ultimul va avea coordonatele `N N`. Dacă sunt mai multe trasee pe care se obţine o cantitate maximă de cartofi recoltată se va afişa unul dintre acestea. # Restricții și precizări * $5 \leq N \leq 100$; * $2 \leq K \leq 2 \cdot N - 2$; * $1 \leq C_1, \dots, C_k \leq 10$; * Cantitatea de cartofi dintr-un pătrat de teren este număr natural între $0$ şi $100$; * Pentru fiecare set de date de intrare se garantează că există cel puţin un traseu; * Se consideră că robotul strânge recolta şi din pătratul de plecare $(1,1)$ şi din cel de sosire $(N,N)$; * Pentru determinarea corectă a cantităţii maxime recoltate se acordă $50\%$ din punctajul alocat testului respectiv; pentru cantitate maximă recoltată şi traseu corect se acordă $100\%$.

X

Lăcusta

romanian

lacusta.in

lacusta.out

OJI 2005 X: Problema 1

Se consideră o matrice dreptunghiulară cu $m$ linii şi $n$ coloane, cu valori naturale. Traversăm matricea pornind de la colţul stânga-sus la colţul dreapta-jos. O traversare constă din mai multe deplasări. La fiecare deplasare se execută un salt pe orizontală şi un pas pe verticală. Un salt înseamnă că putem trece de la o celulă la oricare alta aflată pe aceeaşi linie, iar un pas înseamnă că putem trece de la o celulă la celula aflată imediat sub ea. Excepţie face ultima deplasare (cea în care ne aflăm pe ultima linie), când vom face doar un salt pentru a ajunge în colţul dreapta-jos, dar nu vom mai face şi pasul corespunzător. Astfel traversarea va consta din vizitarea a $2 \cdot m$ celule. # Cerinţă Scrieţi un program care să determine suma minimă care se poate obţine pentru o astfel de traversare. # Date de intrare Fişierul de intrare `lacusta.in` conţine pe prima linie două numere naturale separate printr-un spaţiu $m \ n$, reprezentând numărul de linii şi respectiv numărul de coloane ale matricei. Pe următoarele $m$ linii este descrisă matricea, câte $n$ numere pe fiecare linie, separate prin câte un spaţiu. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `lacusta.out` va conţine o singură linie pe care va fi scrisă suma minimă găsită. # Restricții și precizări * $1 \leq m, n \leq 100$ * Valorile elementelor matricei sunt numere întregi din intervalul $[1, 255]$

X

Scara

romanian

scara.in

scara.out

OJI 2005 X: Problema 2

Ion şi-a construit o vilă pe frumosul vârf al unui munte. Acum proiectează o scară specială, pe care va urca de la şosea până la vilă. Diferenţa de nivel dintre şosea şi vilă este $H$ (deci aceasta trebuie să fie înălţimea totală a scării). Scara va avea $N$ trepte, toate de aceeaşi lăţime, dar de înălţimi distincte două câte două. Ion a sesizat că efortul pe care îl depune pentru a urca o treaptă este egal cu înălţimea treptei. Dar dacă el urcă $x$ trepte deodată, efortul depus este egal cu media aritmetică a înălţimilor acestor $x$ trepte pe care le urcă deodată + un efort de valoare constantă $p$ (necesar pentru a-şi lua avânt). Fiind un tip atletic, Ion poate urca mai multe trepte deodată, dar suma înălţimilor treptelor urcate deodată nu trebuie să depăşească o valoare maximă $M$. # Cerinţă Scrieţi un program care să determine efortul minim necesar pentru a urca pe o scară construită conform restricţiilor problemei, precum şi o modalitate de a construi scara care va fi urcată cu efort minim. # Date de intrare Fişierul de intrare `scara.in` va conţine pe prima linie $4$ numere naturale separate prin câte un spaţiu $H \ N \ M \ p$ (cu semnificaţia din enunţ). # Date de ieșire Fişierul de ieşire `scara.out` va conţine - pe prima linie va fi scris efortul minim necesar (cu $2$ zecimale cu rotunjire); - pe cea de a doua linie vor fi scrise $N$ numere naturale nenule care reprezintă înălţimile celor $N$ trepte ale scării (în ordinea de la şosea către vilă), separate prin câte un spaţiu. # Restricții și precizări * $0 < H \leq 75$ * $0 < N \leq 8$ * $0 < M < 14$ * $0 \leq p \leq 10$ * Pentru datele de test, problema are întodeauna soluţie. * Dacă există mai multe soluţii (modalităţi de a construi scara astfel încât să obţineţi efortul minim dorit), veţi afişa prima soluţie în ordine lexicografică. * Spunem că vectorul $x=(x_1, x_2, ..., x_k)$ precedă în ordine lexicografică vectorul $y=(y_1, y_2, ..., y_k)$ dacă există $i \geq 1$ astfel încât $x_j=y_j$, pentru orice $j<i$ şi $x_i<y_i$. * Dacă a doua zecimală a efortului minim este $0$, sau chiar ambele zecimale sunt $0$ nu este necesar să le afişaţi. Deci în exemplu s-ar fi putut scrie efortul minim $9$ sau $9.0$. * Se acordă $40\%$ din punctaj pentru prima cerinţă (efortul minim). * Dacă efortul minim este corect şi se afişează şi o soluţie corectă (care respectă restricţiile problemei şi corespunde efortului minim), dar această soluţie nu este prima din punct de vedere lexicografic, se obţine $80\%$ din punctaj. Pentru rezolvarea corectă şi completă a ambelor cerinţe se obţine $100\%$ din punctaj.

X

perle

romanian

perle.in

perle.out

OJI 2004 X: Problema 1

Graniţa nu se trece uşor. Asta pentru că Balaurul Arhirel (mare pasionat de informatică) nu lasă pe nimeni să treacă decât după ce răspunde la nişte întrebări... În acea ţară există $3$ tipuri de perle normale (le vom nota cu $1$, $2$ şi $3$) şi $3$ tipuri de perle magice (le vom nota cu $A$, $B$ şi $C$). Perlele magice sunt deosebite prin faptul că se pot transforma în alte perle (una sau mai multe, normale sau magice): - Perla magică de tipul $A$ se poate transforma în orice perlă normală (una singură); - Perla magică de tipul $B$ se poate transforma într-o perlă normală de tipul $2$ şi una magică de tipul $B$, sau într-o perlă normală de tipul $1$, una magică de tipul $A$, una normală de tipul $3$, una magică de tipul $A$ şi una magică de tipul $C$; - Perla magică de tipul $C$ se poate transforma într-o perlă normală de tipul $2$ sau într-o perlă normală de tipul $3$, una magică de tipul $B$ şi una magică de tipul $C$ sau într-o perlă normală de tipul $1$, una normală de tipul $2$ şi una magică de tipul $A$. Ca să rezumăm cele de mai sus putem scrie: ``` A -> 1 | 2 | 3 B -> 2B | 1A3AC C -> 2 | 3BC | 12A ``` Balaurul Arhirel ne lasă la început să ne alegem o perlă magică (una singură), iar apoi folosind numai transformările de mai sus trebuie să obţinem un anumit şir de perle normale. Când o perlă magică se transformă, perlele din stânga şi din dreapta ei rămân la fel (şi în aceeaşi ordine). De asemenea ordinea perlelor rezultate din transformare este chiar cea prezentată mai sus. De exemplu, dacă balaurul ne cere să facem şirul de perle `21132123`, putem alege o perlă magică de tipul $B$ şi următorul şir de transformări: `B -> 2B -> 21A3AC -> 21A3A12A -> 21132123`. Întrucât Balaurul nu are prea multă răbdare, el nu ne cere decât să spunem dacă se poate sau nu obţine şirul respectiv de perle. # Cerință Să se determine pentru fiecare şir de intrare dacă se poate obţine prin transformările de mai sus sau nu (alegând orice primă perlă magică, la fiecare şir). # Date de intrare Fişierul de intrare `perle.in` are următoarea structură: * Pe prima linie numărul $N$, reprezentând numărul de şiruri din fişierul de intrare; * Urmează $N$ linii; a $i$-a linie dintre cele $N$ descrie şirul $i$, printr-o succesiune de numere naturale despărţite de câte un spaţiu. Primul număr reprezintă lungimea şirului $L_i$, iar următoarele $L_i$ numere sunt tipurile de perle normale, în ordine, de la stânga la dreapta. # Date de ieșire Fişierul `perle.out` va conţine $N$ linii. Pe linia $i$ se va scrie un singur număr $1$ sau $0$ ($1$ dacă se poate obţine şirul respectiv (al $i$-lea) şi $0$ dacă nu se poate). # Restricții și precizări * $1 \leq N \leq 10$; * $1 \leq L_i \leq 10 \ 000$, pentru oricare $i$;

X

rj

romanian

rj.in

rj.out

OJI 2004 X: Problema 2

În ultima ecranizare a celebrei piese shakespeariene Romeo şi Julieta trăiesc într-un oraş modern, comunică prin e-mail şi chiar învaţă să programeze. Într-o secvenţă tulburătoare sunt prezentate frământările interioare ale celor doi eroi încercând fără succes să scrie un program care să determine un punct optim de întâlnire. Ei au analizat harta oraşului şi au reprezentat-o sub forma unei matrice cu $n$ linii şi $m$ coloane, în matrice fiind marcate cu spaţiu zonele prin care se poate trece (străzi lipsite de pericole) şi cu `X` zonele prin care nu se poate trece. De asemenea, în matrice au marcat cu `R` locul în care se află locuinţa lui Romeo, iar cu `J` locul în care se află locuinţa Julietei. Ei se pot deplasa numai prin zonele care sunt marcate cu spaţiu, din poziţia curentă în oricare dintre cele 8 poziţii învecinate (pe orizontală, verticală sau diagonale). Cum lui Romeo nu îi place să aştepte şi nici să se lase aşteptat n-ar fi tocmai bine, ei au hotărât că trebuie să aleagă un punct de întâlnire în care atât Romeo, cât şi Julieta să poată ajunge în acelaşi timp, plecând de acasă. Fiindcă la întâlniri amândoi vin într-un suflet, ei estimează timpul necesar pentru a ajunge la întâlnire prin numărul de elemente din matrice care constituie drumul cel mai scurt de acasă până la punctul de întâlnire. Şi cum probabil există mai multe puncte de întâlnire posibile, ei vor să îl aleagă pe cel în care timpul necesar pentru a ajunge la punctul de întâlnire este minim. # Cerință Scrieţi un program care să determine o poziţie pe hartă la care Romeo şi Julieta pot să ajungă în acelaşi timp. Dacă există mai multe soluţii, programul trebuie să determine o soluţie pentru care timpul este minim. # Date de intrare Fişierul de intrare `rj.in` conţine: * pe prima linie numerele naturale `N M`, care reprezintă numărul de linii şi respectiv de coloane ale matricei, separate prin spaţiu; * pe fiecare dintre următoarele $N$ linii se află $M$ caractere (care pot fi doar `R`, `J`, `X` sau spaţiu) reprezentând matricea. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `rj.out` va conţine o singură linie pe care sunt scrise trei numere naturale separate prin câte un spaţiu `tmin x y`, având semnificaţia: * `x y` reprezinţă punctul de întâlnire ($x$ – numărul liniei, $y$ – numărul coloanei); * `tmin` este timpul minim în care Romeo (respectiv Julieta) ajunge la punctul de întâlnire. # Restricții și precizări * $2 \leq N, M \leq 100$; * Liniile şi coloanele matricei sunt numerotate începând cu 1. * Pentru datele de test există întotdeauna soluţie.

X

Spirala

romanian

spirala.in

spirala.out

OJI 2003 X: Problema 1

Se consideră un automat de criptare format dintr-un tablou cu $n$ linii şi $n$ coloane, tablou ce conţine toate numerele de la $1$ la $n^2$ aşezate ”şerpuit” pe linii, de la prima la ultima linie, pe liniile impare pornind de la stânga către dreapta, iar pe cele pare de la dreapta către stânga (ca în figura alăturată). ~[cff5d8861bae938b2eed0dd1708a990c.png] Numim ”amestecare“ operaţia de desfăşurare în spirală a valorilor din tablou în ordinea indicată de săgeţi şi de reaşezare a acestora în acelaşi tablou, ”şerpuit” pe linii ca şi în cazul precedent. De exemplu, desfăşurarea tabloului conduce la şirul: $1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 12 \ 13 \ 14 \ 15 \ 16 \ 9 \ 8 \ 7 \ 6 \ 11 \ 10$, iar reaşezarea acestuia în tablou conduce la obţinerea unui nou tablou reprezentat în cea de-a doua figură alăturată. ~[dfa4ef22ee11881dd041cd3cb27af121.png] După orice operaţie de amestecare se poate relua procedeul, efectuând o nouă amestecare. S-a observat un fapt interesant: că după un număr de amestecări, unele valori ajung din nou în poziţia iniţială (pe care o aveau în tabloul de pornire). De exemplu, după două amestecări, tabloul de $4 \cdot 4$ conţine $9$ dintre elementele sale în exact aceeaşi poziţie în care se aflau iniţial (vezi elemente marcate din figură). ~[d95634cea4aeffce07125a58f99b99a1.png] # Cerinţă Pentru $n$ şi $k$ citite, scrieţi un program care să determine numărul minim de amestecări ale unui tablou de n linii necesar pentru a ajunge la un tablou cu exact $k$ elemente aflate din nou în poziţia iniţială. # Date de intrare Fişierul de intrare `spirala.in` conţine pe prima linie cele două numere $n$ şi $k$ despărţite printr-un spaţiu. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `spirala.out` conţine o singură linie pe care se află numărul de amestecări determinat. # Restricții și precizări * $3 \leq N \leq 50$ * Datele de intrare sunt alese astfel încât numărul minim de amestecări necesare să nu depăşească $2 \cdot 10^9$

X

Taxe

romanian

taxe.in

taxe.out

OJI 2003 X: Problema 2

Într-o ţară în care corupţia este în floare şi economia la pământ, pentru a obţine toate aprobările necesare în scopul demarării unei afaceri, investitorul trebuie să treacă prin mai multe camere ale unei clădiri în care se află birouri. Clădirea are un singur nivel în care birourile sunt lipite unele de altele formând un caroiaj pătrat de dimensiune $n \times n$. Pentru a facilita accesul în birouri, toate camerele vecine au uşi între ele. În fiecare birou se află un funcţionar care pretinde o taxă de trecere prin cameră (taxă ce poate fi, pentru unele camere, egală cu $0$). Investitorul intră încrezător prin colţul din stânga-sus al clădirii (cum se vede de sus planul clădirii) şi doreşte să ajungă în colţul opus al clădirii, unde este ieşirea, plătind o taxă totală cât mai mică. # Cerinţă Ştiind că el are în buzunar $S$ _euro_ şi că fiecare funcţionar îi ia taxa de cum intră în birou, se cere să se determine dacă el poate primi aprobările necesare şi, în caz afirmativ, care este suma maximă de bani care îi rămâne în buzunar la ieşirea din clădire. # Date de intrare Fişierul de intrare `taxe.in` conţine pe prima linie cele două numere $S$ şi $n$ despărţite printr-un spaţiu, iar pe următoarele $n$ linii câte $n$ numere separate prin spaţii ce reprezintă taxele cerute de funcţionarii din fiecare birou. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `taxe.out` conţine o singură linie pe care se află numărul maxim de euro care îi rămân în buzunar sau valoarea $–1$ dacă investitorului nu-i ajung banii pentru a obţine aprobarea. # Restricții și precizări * $3 \leq N \leq 100$ * $1 \leq S \leq 10 \ 000$ * Valorile reprezentând taxele cerute de funcţionarii din birouri sunt numere naturale, o taxă nedepăşind valoarea de $200$ de _euro_.

X

Triang

romanian

triang.in

triang.out

OJI 2002 X: Problema 1 (Modificată)

O triangulație a unui poligon convex este o mulțime formată din diagonale ale poligonului care nu se intersectează în interiorul poligonului ci numai în vârfuri și care împart toată suprafața poligonului în triunghiuri. # Cerință Fiind dat un poligon cu $n$ vârfuri notate $1, 2, ..., n$ să se genereze toate triangulațiile distincte ale poligonului. Două triangulații sunt distincte dacă diferă prin cel puțin o diagonală. # Date de intrare În fișierul text `triang.in` se află pe prima linie un singur număr natural reprezentând valoarea lui $n$. # Date de ieșire În fișierul text `triang.out` se vor scrie: - pe prima linie, numărul de triangulații distincte; - pe fiecare din următoarele linii codul unei triangulații, în orice ordine. Codul este format cu ajutorul diagonalelor ce compun triangulația. O diagonală va fi precizată prin două numere reprezentând cele două vârfuri care o definesc. $\text{cod = } \prod {( \min(d_1,d_2)\cdot 137+\max(d_1,d_2) )} \text{ mod } (10^9+7)$, unde $d_1$ și $d_2$ sunt vârfurile unei diagonale din descompunere, produsul făcându-se peste toate diagonalele din descompunere (se consideră $1$ pentru mulțimea vidă). # Restricții și precizări * $1 \leq n \leq 16$ * Se acordă $20\%$ din punctaj doar pentru numărul de triangulații distincte * Enunțul si restricțiile au fost modificate

X

Cod

romanian

cod.in

cod.out

OJI 2002 X: Problema 2

Principala misiune a unei expediții stiintifice este de a studia evoluția vieții pe o planetă nou descoperită. În urma studiilor efectuate, cercetătorii au asociat fiecărui organism viu descoperit pe acea planetă un cod caracteristic. Codul caracteristic este un număr natural de maximum $200$ de cifre zecimale nenule. De asemenea, cercetătorii au observat că pentru orice organism viu de pe planetă, codurile caracteristice ale strămoșilor săi pe scara evoluției se pot obține prin ștergerea unor cifre din codul caracteristic al organismului respectiv, iar un organism este cu atât mai evoluat cu cât codul său caracteristic are o valoare mai mare. # Cerință Date fiind codurile caracteristice ale două organisme vii diferite, scrieți un program care să determine codul caracteristic al celui mai evoluat strămoș comun al lor. # Date de intrare Fișierul de intrare `cod.in` conține: * $n$ - codul caracteristic al primului organism * $m$ - codul caracteristic al celui de-al doilea organism # Date de ieșire Fișierul de ieșire `cod.out` conține pe prima linie: * $p$ – codul celui mai evoluat strămoș comun al lui $n$ si $m$ # Restricții și precizări * Codul caracteristic este un număr natural de maximum $200$ de cifre zecimale nenule.

X

Parcare

romanian

parcare.in

parcare.out

OJI 2023 XI-XII: Problema 1

În cel mai recent eveniment al companiei Tesla, Paul Musk a anunțat un nod produs inovativ: parcarea autonomă. Fiind cunoscut pentru lansările produselor incomplete, nici parcarea nu este completă, fiind nevoie de o automatizare pentru a atribui câte un loc mașinilor care vor să folosească parcarea. \ Parcarea este formată din $N$ locuri, numerotate de la $1$ la $N$, și este deschisă timp de $T$ secunde, începând cu secunda $1$. Pe parcursul zilei, sosesc $M$ mașini care vor să folosească parcarea, pentru fiecare dintre acestea știindu-se timpul de sosire $s_i$ și timpul de plecare $p_i$. Mașinile vin în ordinea timpului de sosire $s_i$ și ocupă locul de parcare în intervalul de timp $[s_i, p_i]$. Pentru fiecare dintre acestea, trebuie să afișați un loc liber de parcare (dacă sunt mai multe, se poate afișa oricare) în care aceasta se poate așeza sau $−1$ dacă parcarea este plină în momentul venirii mașinii. Dacă o mașină nu are loc în parcare la timpul de sosire, aceasta nu va mai intra în parcare la niciun timp viitor. La final, Paul este interesat de mașinile care mai sunt rămase în parcare la închiderea parcării, de aceea, vă cere să afișați configurația parcării la timpul $T$. # Date de intrare Pe prima linie se găsesc trei numere întregi $N$, $M$ și $T$, reprezentând numărul de locuri din parcare, numărul de mașini care vin să folosească parcarea, respectiv numărul de secunde pentru care este deschisă parcarea. Următoarele $M$ linii conțin fiecare câte două numere întregi $s_i$, $p_i$, reprezentând venirea unei mașini la secunda $s_i$ care va pleca la secunda $p_i$. Mașinile apar în fișierul de intrare în ordine crescătoare după timpul de sosire $s_i$. # Date de ieșire Se vor afișa $M + 1$ linii în total, primele $M$ linii conținând fiecare câte un număr întreg între $1$ și $N$ reprezentând locul de parcare pe care îl va ocupa mașina, sau $−1$ dacă nu există niciun loc de parcare disponibil. Ultima linie va conține $N$ numere întregi, reprezentând configurația parcării la închidere, unde cel de-al $i$-lea număr reprezintă **timpul de sosire** al mașinii de pe locul de parcare $i$, sau $−1$ dacă locul de parcare $i$ este gol. # Restricții și precizări - $1 \leq N, M, T \leq 200\ 000$ - $1 \leq s_i \leq T$ - $1 \leq s_i \lt p_i \leq 200\ 000$ - Considerând următoarele $2 \times M$ valori: $s_1, s_2, ..., s_M, p_1, p_2, ..., p_M$, acestea sunt distincte două câte două. - **Dacă există mai multe soluții, se poate afișa oricare dintre acestea.** - Pentru 24 de puncte, $s_i + 1 = p_i$, adică fiecare mașină stă exact o secundă. - Pentru 26 de puncte, $p_i \gt s_j$, adică toate mașinile vin înainte ca vreo mașină să plece. - Pentru 26 de puncte, $N \leq 1\ 000$. - Pentru 24 de puncte, se respectă restricțiile inițiale.

X

Veri

romanian

veri.in

veri.out

OJI 2023 XI-XII: Problema 3

Se dă un graf **orientat** cu $n$ noduri și $m$ muchii. Fiecare muchie are costul $1$ (poate fi parcursă într-un minut). Doi „prieteni” (veri) pornesc din nodul $S$. Unul dintre ei vrea să ajungă în nodul $A$, iar celălalt vrea să ajungă în nodul $B$. \ Cei doi prieteni se vor plimba împreună până când ciclează, adică până când vor ajunge în același nod a doua oară, notat cu $Z$. După ciclare, ei își pot continua drumurile separat. Totuși, dacă vor, pot să meargă amândoi în continuare pe același drum: doar dispare obligația de a merge împreună. Fiecare dintre ei trebuie să-și termine drumul doar după ciclare, adică după ce nu mai sunt obligați să meargă împreună. Totuși, este în regulă dacă drumul unuia se termină exact în nodul în care au ciclat (adică ciclează în $A$ sau $B$). \ Care este numărul minim de minute necesar astfel încât să fie posibil ca amândoi să ajungă la destinațiile lor, în timpul alocat, în $A$, respectiv $B$? Cu alte cuvinte, dacă cei doi veri ciclează pentru prima oară după exact $t$ minute, apoi își continuă drumurile pentru alte $t_A$, respectiv $t_B$ minute, vrem să aflăm valoarea minimă a lui $max(t + t_A, t + t_B)$. \ Există două tipuri de cerințe, reprezentate printr-un număr $c$: - Dacă $c = 1$, trebuie calculată valoarea minimă a lui $max(t + t_A, t + t_B)$. - Dacă $c = 2$, trebuie afișat un triplet de drumuri care poate fi urmat de cei doi veri (drumul comun din $S$ până în $Z$, drum urmat ulterior de primul văr din $Z$ până în $A$, drum urmat ulterior de al doilea văr din $Z$ până în $B$), astfel încât valoarea asociată drumurilor, adică $max(t + t_A, t + t_B)$ să fie minimă. Orice triplet corect cu valoarea asociată minimă poate fi afișat. # Date de intrare Pe prima linie se găsește $c$. Pe a doua linie se găsesc doi întregi $n$ și $m$. Pe a treia linie se găsesc trei întregi $S$, $A$ și $B$. Pe următoarele $m$ linii se găsesc câte doi întregi $X$ și $Y$, reprezentând că există o muchie direcționată de la nodul $X$ la nodul $Y$, care poate fi parcursă într-un minut (de cost $1$). # Date de ieșire Dacă $c = 1$, afișați un singur număr, valoarea minimă a lui $max(t + t_A, t + t_B)$. Dacă $c = 2$, afișati trei drumuri. Primul drum este format de la $S$ până la $Z$. Al doilea drum este format de la $Z$ până la $A$. Al treilea drum este format de la $Z$ până la $B$, unde $S$, $A$, $B$, $Z$ sunt definite anterior. Fiecare drum se va tipări pe două linii separate: - Pe prima linie va apărea lungimea drumului, adică numărul de muchii. - Pe a doua linie vor apărea nodurile drumului, separate prin câte un spațiu. Valorea asociată drumurilor, adică $max(t + t_A, t + t_B)$, trebuie să fie minimă. # Restricții și precizări - $1 \leq S, A, B, Z \leq n \leq 5\ 000$ - Nodurile sunt numerotate de la $1$ la $n$. - $A \neq B$ - $1 \leq m \leq n \times (n-1)$. - Se garantează că pentru orice test dat spre rezolvare există cel puțin o soluție. - Nu există muchii de la un nod la el însuși. Există maxim o muchie orientată între oricare două noduri distincte. - Dacă verii se despart în $A$, primul văr poate să nu mai facă nimic (drumul lui ulterior ar avea $0$ muchii și l-ar conține doar pe $A$; vezi exemplul 3). Analog pentru $B$. - Pentru fiecare subtask, testele cu $c = 1$ vor conta pentru $60\%$ din punctaj. - Pentru 30 de puncte, $n \leq 500$, $m = n$ și toate muchiile sunt de forma $i \rightarrow (i\ mod\ n) + 1$, unde $i \in \{1, ..., n\}$. - Pentru 50 de puncte, $n \leq 500$. - Pentru 20 de puncte, $n \leq 5\ 000$ și $m \leq 4 \times n$.

X

Polihroniade

romanian

OJI 2021 XI-XII: Problema 1

~[polihroniade.png|align=right] O matrice pătratică de dimensiuni `N × N` cu `N` par și elemente din mulțimea `{0, 1}` se numește **tablă de șah** dacă oricare două celule vecine pe o linie sau pe o coloană au valori diferite (cu alte cuvinte, dacă nu există două valori egale alăturate). De ziua ei, Victor i-a cumpărat Elisabetei o astfel de matrice `A`, care nu este *neapărat* tablă de șah. Aflând despre pasiunea ei, acesta vrea acum să transforme matricea `A` într-o tablă de șah. Timpul fiind limitat, el poate efectua doar următoarele tipuri de operații asupra matricii: - Interschimbă liniile `i` și `j` din `A` (celelalte linii rămân neschimbate, iar valorile din interiorul liniilor `i` și `j` rămân neschimbate și își păstrează ordinea). Operația are sens pentru `1 ≤ i, j ≤ N`. - Interschimbă coloanele `i` și `j` din `A` (celelalte coloane rămân neschimbate, iar valorile din interiorul coloanelor `i` și `j` rămân neschimbate și își păstrează ordinea). Operația are sens pentru `1 ≤ i, j ≤ N`. Dorind să o impresioneze pe Elisabeta, Victor apelează la voi, programatori renumiți, să îl ajutați în a transforma matricea `A` într-o tablă de șah. Pentru aceasta, Victor are nevoie de următoarele informații: - Poate fi transformată matricea `A` în tablă de șah? - Care este numărul minim de operații necesare pentru a duce la îndeplinire acest scop? - Care ar fi o succesiune de operații care transformă matricea `A` într-o tablă de șah? În cazul ultimei cerințe, pentru a intra în grațiile lui Victor va trebui ca numărul de operații efectuate să fie minim. Totuși, chiar și un număr neminim de operații va fi răsplătit, însă nu într-atât de mult. Vi se dau două numere `P, T` și `T` matrici `A`, reprezentând mai multe instanțe ale problemei. Pentru fiecare matrice `A` dintre cele `T` va trebui să rezolvați cerința cu numărul `P ∈ {1, 2, 3}` dintre cele listate mai sus. # Date de intrare Pe prima linie se găsesc două numere întregi pozitive `P` și `T`, reprezentând numarul cerinței de rezolvat și, respectiv, numărul de scenarii pentru care va trebui să rezolvați problema. Urmează cele `T` instanțe ale problemei, fiecare fiind compusă din `N + 1` linii: pe prima linie se va afla numărul `N`, iar pe următoarele `N` linii câte `N` cifre binare **neseparate** prin spații, reprezentând câte o linie a matricii `A`. # Date de ieșire Pentru fiecare dintre cele `T` instanțe se va afișa răspunsul, începând de la o linie nouă, după cum urmează: 1. Dacă `P = 1`, atunci se va afișa pe o singură linie `1` dacă matricea `A` poate fi transformată în tablă de șah, și `0` altfel. 2. Dacă `P = 2`, atunci se va afișa pe o singură linie un întreg reprezentând numărul minim de interschimbări de linii și/sau coloane necesare pentru a transforma matricea `A` în tablă de șah. 3. Dacă `P = 3`, atunci se va afișa pe o linie un număr `X`. Apoi, pe fiecare dintre următoarele `X` linii se va afișa câte o interschimbare de linii sau coloane, după următorul format: `L i j` are semnificația că liniile `i` și `j` se interschimbă, iar `C i j` are semnificația că coloanele `i` și `j` se interschimbă. Matricea obținută după aplicarea celor `X` operații asupra lui `A` în ordinea dată trebuie să fie o tablă de șah. # Restricții și precizări * `1 ≤ T ≤ 350` * `1 ≤ N ≤ 1 000` * `N` este par. * Pentru cerințele de tip `P = 2` și `P = 3` se garantează că matricea `A` poate fi transformată în tablă de șah folosind interschimbări de linii și/sau coloane. * Suma valorilor `N` pentru cele `T` scenarii nu depășește `2 000`. ## Pentru 40 de puncte * `P = 1` ## Pentru alte 34 de puncte * `P = 2` ## Pentru alte 26 de puncte * `P = 3` * Dacă există mai multe soluții, oricare este considerată corectă. * Dacă numărul `X` de operații folosite nu este minim, atunci se acordă `50%` din punctajul pe test.

X

Bob

romanian

OJI 2021 XI-XII: Problema 2

Dezamăgiți de lipsa fotbalului din ultima perioadă, Ștefan și Georgian și-au deschis (în secret) o afacere cu boabe de cafea, comercializând $K$ tipuri diferite de cafea. Astfel, timp de $N$ zile ei produc cafea, urmând să formeze din boabele obținute în zile **consecutive** pachete ce conțin **toate** tipurile de cafea. Concret, cei doi știu pentru fiecare zi ce tipuri de cafea produc în acea zi (posibil niciun tip, caz în care afacerea ia o pauză), după care ei împart zilele în secvențe continue astfel încât, pentru fiecare tip de cafea, fiecare secvență de zile să conțină cel puțin o zi în care să fie produs acel tip de cafea. # Cerință Înainte de a se apuca de împachetat boabele, Ștefan și Georgian își pun două întrebări: 1. Care este numărul maxim de pachete ce pot fi formate? 2. Care este numărul de moduri de a împărți zilele astfel încât să se formeze număr maxim de pachete valide (ce conțin toate tipurile de cafea)? # Date de intrare Pe prima linie se găsește un număr întreg $P$, reprezentând numărul cerinței de rezolvat. Pe cea de-a doua linie se găsește un număr întreg $T$, reprezentând numărul de scenarii pentru care va trebui să rezolvați problema. Urmează cele $T$ instanțe ale problemei, fiecare fiind compusă din $N + 1$ linii: pe prima linie se vor afla două numere întregi $N$ și $K$, reprezentând numărul de zile, respectiv numărul de tipuri diferite de cafea; pe următoarele $N$ linii câte $K$ cifre binare, cea de-a $j$-a cifră de pe linia $i$ fiind $0$ dacă în ziua $i$ tipul $j$ de cafea nu este produs, sau fiind $1$ dacă în ziua $i$ tipul $j$ de cafea este produs. # Date de ieșire Pentru fiecare dintre cele $T$ instanțe se va afișa răspunsul, începând de la o linie noua, după cum urmează: 1. Dacă $P = 1$, atunci se va afișa pe o singură linie numărul maxim de pachete valide ce pot fi formate. 2. Dacă $P = 2$, atunci se va afișa pe o singură linie numărul de moduri de a împărți zilele în secvențe continue astfel încât să se formeze număr maxim de pachete. Răspunsul va fi afișat $\text{mod } 1\ 000\ 000\ 007$. # Restricții și precizări * $1 ≤ P ≤ 2$ * $1 ≤ T ≤ 3$ * $1 ≤ N ≤ 200\ 000$ * $1 ≤ K ≤ 20$ * Se garantează că fiecare tip de cafea apare în cel puțin una dintre cele $N$ zile. ## Punctare * Pentru 6 puncte: $P = 1, N ≤ 15$ * Pentru alte 6 puncte: $P = 1, N ≤ 100$ * Pentru alte 9 puncte: $P = 1, N ≤ 2\ 000$ * Pentru alte 10 puncte: $P = 1, N ≤ 200\ 000$ * Pentru alte 10 puncte: $P = 2, K = 1, N ≤ 200\ 000$ * Pentru alte 4 puncte: $P = 2, N ≤ 15$ * Pentru alte 4 puncte: $P = 2, N ≤ 20$ * Pentru alte 9 puncte: $P = 2, N ≤ 100$ * Pentru alte 8 puncte: $P = 2, N ≤ 700$ * Pentru alte 8 puncte: $P = 2, N ≤ 2\ 000$ * Pentru alte 8 puncte: $P = 2, N ≤ 10\ 000$ * Pentru alte 9 puncte: $P = 2, N ≤ 70\ 000$ * Pentru alte 9 puncte: $P = 2, N ≤ 200\ 000$

X

dreptunghi

romanian

OJI 2021 XI-XII: Problema 3

Avem la dispoziție un dreptunghi de dimensiuni `N × M`. Ne este util ca dreptunghiul nostru să se asemene cu o matrice, de aceea vom considera că are `N` linii și `M` coloane. Vom segmenta și numerota dreptunghiul nostru după un anumit cod `C`. Prin segmentare se înțelege trasarea unei linii orizontale sau verticale la o anumită poziție `k`, ce va despărți dreptunghiul nostru în alte două dreptunghiuri mai mici: * de dimensiuni `k × M` (cel de sus) și `(N − k) × M` (cel de jos) – în cazul unei linii (`H`)orizontale, operație codificată prin `Hk` * de dimensiuni `N × k` (cel din stânga) și `N × (M − k)` (cel din dreapta) – în cazul unei linii `V` erticale, operație codificată prin `Vk` Numerotarea dreptunghiului se realizează cu numerele naturale `1, 2, 3, ...,` în această ordine. Codul `C` pentru segmentarea și numerotarea unui dreptunghi se definește recursiv. Dacă $C_1$ și $C_2$ sunt coduri de segmentare și numerotare, atunci: * `∗` – în fiecare căsuță a dreptunghiului se va scrie valoarea curentă a numerotării. După aceea, această valoare este incrementată pentru a fi folosită de o ulterioară operație de tipul `*`; * $HkC_1C_2$ – se trasează linia **orizontală** la poziția `k`, se segmentează și numerotează dreptunghiul de sus conform codului $C_1$, apoi se continuă cu segmentarea și numerotarea dreptunghiului de jos conform codului $C_2$; * $VkC_1C_2$ – se trasează linia **verticală** la poziția `k`, se segmentează și numerotează dreptunghiul din stânga conform codului $C_1$, apoi se continuă cu segmentarea și numerotarea dreptunghiului din dreapta conform codului $C_2$. De exemplu, dreptunghiul de dimensiuni `8×6` (`8` linii, `6` coloane) segmentat și numerotat conform codului `C = H5H3V2∗∗V3∗∗V5V2∗∗∗`, va arăta ca în Figura 1. ~[dreptunghi.png] Un cod de segmentare și numerotare `C` este **valid** pentru un dreptunghi de dimensiuni `N × M` dacă și numai dacă pentru fiecare operație de tipul $HkC_1C_2$ și de tipul $VkC_1C_2$ din cadrul lui `C`, poziția `k` la care se trage linia orizontală, sau verticală respectiv, se află **strict** în interiorul dreptunghiului curent (adică pe **ambele** părți ale liniei trasate există cel puțin o linie și cel puțin o coloană rămase care vor fi ulterior numerotate conform definiției recursive a codului `C`). Un cod de segmentare și numerotare `C` valid pentru un dreptunghi de dimensiuni `N × M` generează mai multe **subdiviziuni** (dreptunghiuri mai mici) delimitate de liniile orizontale și verticale trasate în cadrul lui `C`. De exemplu, pentru dreptunghiul din Figura `1`, codul `C` din exemplul de mai sus generează **`7`** subdiviziuni. Codul `C` nu este unic determinat. Pentru dreptunghiul segmentat și numerotat din Figura `1` există `4` coduri echivalente, pe care le scriem în ordine **lexicografică** în cele ce urmează: 1. `H3V2∗∗H2V3∗∗V2∗V3∗∗` 2. `H3V2∗∗H2V3∗∗V5V2∗∗∗` 3. `H5H3V2∗∗V3∗∗V2∗V3∗∗` 4. `H5H3V2∗∗V3∗∗V5V2∗∗∗` Pentru stabilirea ordinii lexicografice a două codificări, fiecare informație **compactă** ce face parte din secvență se va considera entitate **separată**: adică simbolurile `H, V , ∗ `de tip caracter, respectiv numerele `k` de tip întreg, indiferent de numărul de cifre din care sunt formate. La nivel de caractere ordinea lexicografică este `H < V < ∗`. Numerele se vor compara în funcție de valoarea lor, de exemplu `1 < 7 < 12`. Vom considera că un caracter este mai mic lexicografic decât un număr întreg. De exemplu, următoarele două coduri echivalente sunt scrise în ordine lexicografică: 1. `V7∗V6∗∗` 2. `V13V7∗∗∗` și corespund dreptunghiului de mai jos: ~[dreptunghi2.png] # Cerință Se dă un cod de segmentare și numerotare și se cere să se afle: 1. numărul de subdiviziuni pe care acesta le generează; 2. dimensiunile unui dreptunghi de arie minimă pentru care acest cod este valid; 3. numărul de codificări distincte **modulo `1 000 000 007`**, echivalente cu codul citit (în acest număr va fi inclus și codul inițial); 4. primul cod în ordine lexicografică echivalent cu cel dat. # Date de intrare De la intrarea standard se vor citi: * de pe prima linie valoarea lui `P`; * de pe linia urmăoare un șir de caractere reprezentând codul de segmentare și numerotare `C`. # Date de ieșire * **Dacă valoarea citită pentru `P` este `1`**, atunci la ieșirea standard se va tipări numărul de subdiviziuni pe care codul `C` le generează; * **Dacă valoarea citită pentru `P` este `2`**, atunci la ieșirea standard se vor tipări două numere N și M separate printr-un spațiu, dimensiunile unui dreptunghi de arie minimă pentru care codul `C` citit este valid. În caz că există mai multe se acceptă oricare; * **Dacă valoarea citită pentru `P` este `3`**, atunci la ieșirea standard se va tipări numărul de codificări distincte **modulo `1 000 000 007`** echivalente cu codul citit (în acest număr va fi inclus și codul `C` citit). * **Dacă valoarea citită pentru `P` este `4`**, atunci la ieșirea standard se va tipări primul cod în ordine lexicografică echivalent cu cel dat; # Restricții și precizări * `0 <` lungimea codului `C` (număr de caractere) `< 350` * Pentru teste în valoare de `14` puncte avem `P = 1`. * Pentru teste în valoare de `21` de puncte avem `P = 2`. * Pentru teste în valoare de `29` de puncte avem `P = 3`. * Pentru teste în valoare de `36` de puncte avem `P = 4`.

X

RecycleBin

romanian

recyclebin.in

recyclebin.out

OJI 2020 XI-XII: Problema 3

Se dă un șir de `N` numere întregi notat cu `A`. O *subsecvență* a șirului `A` este un șir $A_i A_{i+1} A_{i+2} … A_j$ cu `1 ≤ i ≤ j ≤ N`, iar lungimea acestei subsecvențe este egală cu `j – i + 1`. O *operație* constă în alegerea unei subsecvențe din șir și ștergerea acesteia. În cadrul unei operații, **lungimea subsecvenței alese trebuie să fie o putere de`2`**. În cadrul tuturor operațiilor efectuate pe șir, **lungimile subsecvențelor șterse trebuie să fie distincte**. Pentru fiecare subsecvență din șir considerăm suma elementelor ei. Definim *costul* unui șir ca fiind maximul acestor sume, în cazul în care șirul conține cel puțin un număr pozitiv, altfel costul șirului este egal cu `0`. Putem aplica o succesiune de operații (eventual niciuna) pe șirul `A`. În urma acestor operații se vor șterge anumite elemente din șir, obținându-se astfel o mulțime de șiruri $M=\{A, A’_1, A’_2, A’_3, ...\}$. # Cerinţă Să se determine costul maxim posibil ce se poate obține dintr-un șir al mulțimii M. # Date de intrare Prima linie a fișierului de intrare `recyclebin.in` conține un număr întreg `N`. A doua linie conține `N` numere întregi, separate prin câte un spațiu, reprezentând valorile șirului `A`. # Date de ieşire Afișați valoarea costului maxim pe prima linie a fișierului de ieșire `recyclebin.out`. # Restricţii și precizări * `1 ≤ N ≤ 1000` * $-10^6 ≤ A_i ≤ 10^6$ pentru `1 ≤ i ≤ N` * Pentru teste în valoare de `10` puncte `1 ≤ N ≤ 30` * Pentru alte teste în valoare de `15` puncte se garantează că există o soluție cu cel mult o operație efectuată * Pentru alte teste în valoare de `20` puncte se garantează că există o soluție cu cel mult două operații efectuate * Se acordă `10` puncte din oficiu.

X

tairos

romanian

tairos.in

tairos.out

OJI 2019 XI-XII: Problema 3

Se dă un arbore cu $N$ noduri, numerotate de la $1$ la $N$. Arborele se va transforma astfel: la oricare etapă fiecare nod de gradul $1$ diferit de rădăcină din arborele actual se înlocuiește cu un arbore identic cu cel dat inițial, iar la următoarea etapă procedeul se va relua pentru arborele obținut, formându-se astfel un arbore infinit. În următoarele $3$ imagini se prezintă un exemplu de arbore dat inițial, arborele obținut după prima etapă de prelungire a frunzelor și arborele obținut după $2$ etape de prelungire a frunzelor. ~[tairos.jpg] # Cerinţe Să se determine câte noduri se află la distanță $D$ de rădăcina arborelui infinit. # Date de intrare Pe prima linie a fișierului de intrare `tairos.in` se va afla un număr natural $N$, reprezentând numărul de noduri din arborele dat inițial. Pe a doua linie se va afla numărul întreg $D$, cu semnificația de mai sus, iar fiecare dintre următoarele $N-1$ linii conține câte $2$ numere întregi $x$ și $y$ cu semnificația că în arborele dat inițíal există muchia $[x,y]$. # Date de ieşire Fișierul de ieșire `tairos.out` va conține un singur număr, și anume restul împărțirii numărului de noduri cerut la numărul $1 \ 000 \ 000 \ 007$. # Restricţii și precizări * $2 ≤ N ≤ 100$; * $1 ≤ D ≤ 10 \ 000$; * *Un arbore* este un graf neorientat, conex și fără cicluri. * *Distanța dintre două noduri $x$ și $y$* ale unui arbore este egală cu *numărul de muchii* ale unui lanț cu extremitățile în nodurile $x$ și $y$, lanț format din noduri distincte. * *Rădăcina* va fi considerată ca fiind nodul $1$; * Pentru teste în valoare de $17$ puncte avem $N = 3$; * Pentru teste în valoare de alte $22$ puncte răspunsul este $≤ 10 \ 000$; * În concurs se acordau 10 puncte din oficiu, aici ultimele 6 teste valorează cu 10 puncte în plus.

X

galeti

romanian

galeti.in

galeti.out

OJI 2018 XI-XII: Problema 1

Avem `n` găleți, numerotate de la stânga la dreapta cu numere de la `1` la `n`. Fiecare găleată conține inițial `1` litru de apă. Capacitatea fiecărei găleți este nelimitată. Vărsăm gălețile una în alta, respectând o anumită regulă, până când toată apa ajunge în prima găleată din stânga. Vărsarea unei găleți presupune un anumit efort. Regula după care se răstoarnă gălețile este următoarea: se aleg două găleți astfel încât orice găleată situată între ele să fie goală. Se varsă apa din găleata din dreapta în găleata din stânga. Efortul depus este egal cu volumul de apă din găleata din dreapta ( cea care se varsă). Formal, dacă notăm ai volumul de apă conținut în găleata cu numărul `i`, regula de vărsare a acestei găleți în găleata cu numărul `j` poate fi descrisă astfel: 1. `j<i` 2. $a_k=0$ pentru orice `k` astfel încât `j<k<i` 3. efortul depus este $a_i$ 4. după vărsare $a_j=a_j+a_i$ și $a_i=0$ # Cerinţe Cunoscând numărul de găleți `n` și un număr natural `e`, să se determine o succesiune de vărsări în urma căreia toată apa ajunge în găleata cea mai din stânga și efortul total depus este **exact** `e`. # Date de intrare Fișierul de intrare `galeti.in` conține pe prima linie două numere naturale, `n` și `e`, în această ordine, separate prin spațiu. Primul număr `n` reprezintă numărul de găleți. Al doilea număr `e` reprezintă efortul care trebuie depus pentru a vărsa toată apa în găleata din stânga. # Date de ieşire Fișierul de ieșire `galeti.out` trebuie să conțină `n-1` linii care descriu vărsările, în ordinea în care acestea se efectuează, pentru a vărsa toată apa în găleata din stânga cu efortul total `e`. Fiecare dintre aceste linii trebuie să conțină două numere `i` și `j`, separate prin spațiu, cu semnificația că apa din găleata cu numărul `i` se varsă în găleata cu numărul `j`. # Restricţii și precizări * `1 ≤ n ≤ 100 000` * `1 ≤ e ≤ 5 000 000 000` * Se asigură că pentru datele de test există cel puțin o soluție posibilă, * Dacă există mai multe soluții se poate afișa oricare dintre acestea. * Punctajul maxim al problemei este de `100` de puncte dintre care `10` puncte din oficiu. * Pentru teste in valoare de `18` puncte datele de intrare sunt cunoscute. Mai precis: Testul 0 : `n = 91, e = 90` Testul 1 : `n = 30, e = 435` Testul 2 : `n = 7, e = 16` * Pentru alte teste in valoare de `15` puncte `n≤9`.

X

aquapark

romanian

aquapark.in

aquapark.out

OJI 2018 XI-XII: Problema 3

Pentru a atrage turiștii, primăria unui oraș a hotărât că va construi un parc acvatic imens cu `n` piscine. Parcul va avea o zonă acoperită și va fi înconjurat de un spațiu deschis pentru activități în aer liber. Zona închisă va fi acoperită de o singură clădire de forma unui poligon, iar piscinele vor fi proiectate în vârfurile poligonului și vor putea comunica între ele prin `m` căi de acces care nu se vor intersecta. Căile de acces între două piscine pot fi de tipul `1`: canal umplut cu apă în interiorul clădirii, sau de tipul `2`: o alee în afara clădirii. În exemplul alăturat prin linie punctată se delimitează partea acoperită a parcului. Avem `5` piscine, există `6` căi de acces: `(1,2), (2,5), (1,4), (1,3), (3,4), (3,5)`, dintre care `2` sunt canale (tipul `1`): `(1,3)` și `(1,4)`, respectiv `4` sunt alei (tipul `2`): `(1,2), (2,5), (3,4) și (3,5)`. Un alt proiect ce păstrează aceleași căi de acces, dar diferă prin tipul acestora, este să construim `4` canale: `(1,2), (3,4), (3,5), (2,5)` respectiv `2` alei: `(1,3), (1,4)`. În total putem construi `8` proiecte distincte cu aceste căi de acces. Două proiecte se consideră distincte dacă există cel puțin o cale de acces ce are tipuri diferite pe cele două proiecte. \ ~[aquapark.png|width=27em] # Cerinţe Cunoscând căile de acces între piscine, să se determine una dintre cerințele următoare: 1. o modalitate de construire a căilor de acces, precizând tipul fiecăreia; 2. numărul proiectelor distincte. # Date de intrare Fișierul de intrare `aquapark.in` conține pe prima linie trei numerele separate prin câte un spațiu `c n m` reprezentând în această ordine tipul cerinței, numărul piscinelor respectiv numărul căilor de acces. Următoarele m linii conțin câte două numere `x` și `y`, reprezentând o cale de acces între piscina `x` și piscina `y`. # Date de ieşire Fișierul de ieșire `aquapark.out` va conține în funcție de valoarea lui `c` următoarele informații: - dacă `c=1`: pe m linii se vor tipări câte trei numere separate prin câte un spațiu `x y t`, semnificând că între piscina `x` și piscina `y` există o cale de acces de tipul `t` (`1`-canal, `2`-alee). Fiecare muchie citită din fișierul de intrare va trebui să apară exact o dată în fișierul de ieșire, indiferent de ordinea citirii. - dacă `c=2`: se va tipări un singur număr ce va semnifica numărul proiectelor distincte modulo `666013`. # Restricţii și precizări * `1 ≤ n ≤ 70 000` * `1 ≤ m ≤ 100 000` * Între două piscine există cel mult o cale de acces * Nu există o cale de acces de la o piscină la ea însăşi * Se asigură că pentru datele de test există cel puțin o soluție, * Dacă există mai multe soluții se poate afișa oricare dintre acestea. * Pentru teste în valoare de `16` puncte `n, m ≤ 15` * Pentru alte teste în valoare de `49` de puncte `n ≤ 1000, m ≤ 1500` * Punctajul maxim al problemei este de `100` de puncte dintre care `10` puncte din oficiu.

X

armonica

romanian

armonica.in

armonica.out

OJI 2017 XI-XII: Problema 1

Spunem că trei numere `a, b, c` sunt în progresie armonică dacă `b` este media armonică a numerelor `a` și `c`, adică $$ b=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}=\frac{2ac}{a+c} $$ # Cerinţe Cunoscând un număr natural `b` să se determine toate perechile de numere naturale `(a, c)` pentru care `a, b, c` sunt în progresie armonică. # Date de intrare Fișierul de intrare `armonica.in` conține pe prima linie un număr natural `b`. # Date de ieşire Fișierul de iesire `armonica.out` va conține pe prima linie un număr natural `n` reprezentând numărul de perechi de numere naturale `(a,c)` pentru care `b` este media armonică. Pe următoarele `n` linii se vor afișa perechile de numere cerute. Astfel fiecare dintre următoarele `n` linii vor conține căte două numere `a` și `c` separate printr-un spațiu cu semnificația că `b` este medie armonică a numerelor `a` și `c`. # Restricţii și precizări * `1 ≤ b ≤ 1 000 000 000`; * Pentru teste în valoare de `40` de puncte avem `b ≤ 1 000 000`; * Perechile de numere din fișierul de ieșire pot fi afișate în orice ordine; * Dacă `b` este medie armonică între două numere diferite `a` și `c` atunci perechile `(a,c)` și `(c,a)` sunt considerate soluții distincte. * Problema va fi evaluată pe teste în valoare de `90` de puncte. * Se vor acorda `10` puncte din oficiu.

X

permutare

romanian

permutare.in

permutare.out

OJI 2017 XI-XII: Problema 3

Definim o permutare dublă de ordin `n` ca fiind un șir format din primele `2n` numere naturale nenule: $(a_1, a_2, ... , a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, ... , a_{2n})$. Această permutare dublă este de trei ori în creștere, dacă sunt adevărate următoarele trei proprietăți: 1. secvența formată din primele `n` elemente este crescătoare: $a_1 < a_2 < ... < a_n$ 2. secvența formată din ultimele `n` elemente este crescătoare: $a_{n+1} < a_{n+2} < ... < a_{2n}$ 3. perechile ordonate formate din elementele aflate pe poziții identice ale celor două secvențe sunt de asemenea în ordine crescătoare: $a_1 < a_{n+1}, a_2 < a_{n+2}, ... , a_n < a_{2n}$. De exemplu permutarea `(1,3,4,2,5,6)` este o permutare dublă de ordin `3`, de trei ori în creștere, pentru că secvențele `(1,3,4)` și `(2,5,6)` formează șiruri crescătoare, iar toate perechile formate din elementele de pe poziții identice: `(1,2), (3,5), (4,6)` formează de asemenea șiruri crescătoare. Următoarele permutări duble nu au proprietatea de trei ori în creștere: `(1,4,3,2,5,6)` – secvența `(1,4,3)` nu este crescătoare, `(1,3,4,2,6,5)` - secvența `(2,6,5)` nu este crescătoare, `(1,4,5,2,3,6)` – perechea `(4,3)` nu este crescătoare. Pentru simplificare în continuare permutarea dublă de trei ori în creștere se va numi permutare. Vom considera toate permutările de ordin n ordonate lexicografic, numerotate începând cu `1`. Tabelul de mai jos conține datele pentru n=3: poziție permutare | poziție | permutare | |--------- |------------- | | 1 | 1 2 3 4 5 6 | | 2 | 1 2 4 3 5 6 | | 3 | 1 2 5 3 4 6 | | 4 | 1 3 4 2 5 6 | | 5 | 1 3 5 2 4 6 | Există două tipuri de întrebări: 1. Ce permutare se află pe o poziție dată? 2. Pe ce poziție se află o permutare dată? Prima întrebare este codificată astfel: `1 n p` și se compune din valorile `1` – tipul întrebării, `n` – ordinul permutării, `p` – poziția permutării cerute. A doua întrebare este codificată astfel: $2 n a_1 a_2 ... a_{2n}$ și se compune din valorile `2` – tipul întrebării, `n` – ordinul permutării, $a_1 a_2 ... a_{2n}$ – elementele permutării. # Exemple Întrebarea `1 3 2` înseamnă: “Ce permutare de ordin `3` se află pe poziția `2` în ordine lexicografică?” și are răspunsul: `1 2 4 3 5 6`. Întrebarea `2 3 1 3 5 2 4 6` înseamnă: “Pe ce poziție se află permutarea de ordin `3`: `1 3 5 2 4 6`?” și are răspunsul: `5`. # Cerința Să se răspundă corect la un set de întrebări. # Date de intrare Fișierul `permutare.in` conține pe fiecare linie câte o întrebare de orice tip. # Date de ieșire Fișierul `permutare.out` va conține pe câte o linie câte un răspuns la fiecare întrebare din fișierul de intrare, în ordinea întrebărilor. # Restricții și precizări * `2 < n < 1 000`; * `0 < p ≤ 1 000 000 000` (în cazul întrebărilor de tip `1`); * răspunsul la întrebările de tip `2` este `≤ 1 000 000 000`; * fișierele de intrare vor conține cel mult `2000` de întrebări; * pentru teste în valoare de `20` de puncte numărul de întrebări va fi `1000` iar numerele de ordine ce intervin în calcule vor fi mai mici decât `5000`; * pentru teste în valoare de `30` de puncte întrebările vor fi de tipul `1`; * pentru teste în valoare de `30` de puncte întrebările vor fi de tipul `2`; * pentru teste în valoare de `30` de puncte întrebările vor fi mixte. * problema va fi evaluată pe teste in valoare de `90` de puncte. * se vor acorda `10` puncte din oficiu.

X

summax

romanian

summax.in

summax.out

OJI 2016 XI-XII: Problema 2

Avem o matrice triunghiulară cu $n$ linii, cu elemente numere întregi. În această matrice putem construi un traseu după următoarea regulă: - primul element al traseului este elementul $a_{1,1}$ - dacă elementul $a_{i,j}$ aparţine traseului, atunci următorul element al traseului poate fi doar $a_{i+1,j}$ sau $a_{i+1,j+1}$, pentru orice $1≤j≤i≤n$ Traseul se va codifica cu numerele de ordine ale coloanelor, parcurgând liniile de la $1$ la $n$. Valoarea traseului este egală cu suma elementelor ce îl formează. ~[summax.png] Traseul evidenţiat în exemplul din dreapta are valoarea $5+4+6+5+4=24$, şi se codifică cu `1,2,3,3,4`. Fie mulţimea tuturor traseelor de valoare maximă generate în ordine lexicografică și numerotate. Pentru exemplul alăturat avem șase trasee de lungime maximă: * traseul $1$. `1 1 1 1 2` ($5+2+7+6+4=24$) * traseul $2$. `1 1 1 2 2` ($5+2+7+6+4=24$) * traseul $3$. `1 2 2 2 2` ($5+4+5+6+4=24$) * traseul $4$. `1 2 3 3 4` ($5+4+6+5+4=24$) * traseul $5$. `1 2 3 4 4` ($5+4+6+5+4=24$) * traseul $6$. `1 2 3 4 5` ($5+4+6+5+4=24$) # Cerinţă Cunoscând dimensiunea și elementele unei matrice triunghiulare, respectiv două numere naturale $\text{st}$ şi $\text{dr}$ ($\text{st}≤\text{dr}$), se cere să se determine: 1. Numărul total al traseelor de valoare maximă. În cazul în care această valoare depășește $2 \ 000 \ 000 \ 000$, se va tipări valoarea $2 \ 000 \ 000 \ 001$; 2. Traseele cu numerele de ordine $\text{st}, \text{st}+1, \dots, \text{dr}$. # Date de intrare Fişierul `summax.in` conţine pe prima linie un număr natural $v$. Pentru toate testele de intrare, numărul $v$ poate avea doar valoarea $1$ sau $2$. A doua linie conține trei numere naturale $n$, $\text{st}$ şi $\text{dr}$, separate prin spaţiu. Următoarele $n$ linii conțin câte o linie a matricei triunghiulare astfel: linia $i$ conține $i$ elemente, și anume valorile $a_{i,1} a_{i,2} ... a_{i,i}$ pentru orice $1≤i≤n$. # Date de ieşire Dacă valoarea lui $v$ este $1$, se va rezolva numai punctul $1$ din cerință. În acest caz, în fişierul de ieşire `summax.out` se va scrie un singur număr natural ce reprezintă numărul traseelor de lungime maximă. Dacă valoarea lui $v$ este $2$, se va rezolva numai punctul $2$ din cerință. În acest caz, în fişierul de ieşire `summax.out` se vor tipări pe câte o linie $n$ numere naturale separate prin spațiu, reprezentând codificările traseelor de valoare maximă cu numerele de ordine $\text{st}, \text{st}+1, \dots, \text{dr}$. # Restricții și precizări * $1 ≤ n ≤ 2 \ 000$; * $1 ≤ st ≤ dr ≤ 2 \ 000 \ 000 \ 000$; * $1 ≤ dr – st ≤ 1 \ 000$; * elementele matricei triunghiulare sunt numere naturale strict pozitive. * valoarea maximă a traseului nu depășește $1 \ 000 \ 000 \ 000$

X

biperm

romanian

biperm.in

biperm.out

OJI 2013 XI-XII: Problema 1

Pentru un număr natural nenul `n`, să considerăm toate numerele naturale nenule mai mici sau egale cu `n`, luând fiecare număr de câte două ori: `1, 1, 2, 2, 3, 3, ... , n, n`. Aceste numere le amestecăm aleator, şi le aranjăm pe două linii a câte `n` elemente. Structura astfel obţinută o vom numi o bipermutare. În figurile `1, 2` şi `3` avem câte un exemplu de bipermutare pentru `n=5`. O bipermutare este perfectă, dacă ambele linii ale structurii reprezintă câte o permutare (vezi figurile `2` şi `3`). Prin mutare pe poziţia `p`, înţelegem interschimbarea elementelor de pe aceeaşi coloană `p`. În exemplele de mai jos, bipermutarea perfectă din figura `2` s-a obţinut din bipermutarea din figura `1`, aplicând o mutare pe poziţa `2`. Bipermutarea perfectă din figura `3` s-a obţinut din bipermutarea din figura `1`, aplicând mutări pe poziţiile `1, 2, 4` şi `5`. ~[biperm.png] # Cerinţe Cunoscând o bipermutare, determinaţi: * numărul bipermutărilor perfecte distincte ce se pot obţine prin mutări; * numărul minim de mutări prin care se poate obţine o bipermutare perfectă; * o bipermutare perfectă obţinută din bipermutarea iniţială. # Date de intrare Fişierul de intrare `biperm.in` conţine pe prima linie valoarea lui `n`. Următoarele două linii conţin, fiecare, câte `n` elemente separate prin câte un spaţiu, formând o bipermutare. # Date de ieşire Fişierul de ieşire `biperm.out` va conţine: * pe prima linie două numere naturale separate printr-un spaţiu, reprezentând numărul bipermutărilor perfecte distincte ce se pot obţine din bipermutarea dată, respectiv numărul minim de mutări prin care se poate obţine o bipermutare perfectă; * pe următoarele două linii se vor tipări câte n numere separate prin spaţiu, reprezentând o bipermutare perfectă obţinută din bipermutarea dată. # Restricţii şi precizări * `2 < n ≤ 10 000`; * calculul corect al numărului bipermutărilor perfecte distincte valorează `30%` din punctaj; * calculul corect al numărului minim de mutări valorează `10%` din punctaj; * tipărirea unei bipermutări perfecte valorează `60%` din punctaj. Pot exista mai multe soluţii, se va admite orice soluţie corectă; * se garantează că numărul bipermutărilor perfecte distincte nu depăşeşte `2 000 000 000` pentru niciun test. * acordarea punctajului la un răspuns corect este condiţionată de existenţa răspunsurilor anterioare, indiferent de corectitudinea lor; * pentru `40%` din teste `n ≤ 20` * pentru `40%` din teste `20 < n ≤ 400` * pentru `20%` din teste `400 < n ≤ 10 000`

X

subsecvente

romanian

subsecvente.in

subsecvente.out

OJI 2013 XI-XII: Problema 2

Fie `n` un număr natural și $M=\{S_1,S_2,…,S_n\}$ o mulțime de șiruri de caractere nevide. Fie $S_k$ un șir de caractere din `M`. Atunci, orice caracter al lui $S_k$ aparține mulțimii `{ 'a', 'b' }`. Notăm prin $|S_k|$ numărul caracterelor șirului $S_k$ sau, echivalent, lungimea sa. O subsecvență $S_k[i:j]$ a lui $S_k$ este formată din caracterele situate pe pozițiile consecutive `i, i+1, ..., j`. Astfel, dacă $S_k = abbbaababa$, atunci $S_k[3:6] = bbaa$ sau subsecvența evidențiată: ab**bbaa**baba. # Cerință Fiind dată o mulțime `M`, se cere să se determine lungimea maximă a unei subsecvențe care se găsește în toate șirurile din `M`. # Date de intrare Pe prima linie a fișierului de intrare `subsecvente.in` se găsește un număr natural `n` egal cu cardinalul mulțimii `M`. Pe fiecare din următoarele `n` linii se găsește câte un șir din mulțimea `M`. # Date de ieșire Pe prima linie a fișierului de ieșire `subsecvente.out` se va scrie un singur număr natural egal cu lungimea subsecvenței găsite. # Restricții * `1 < n < 5` * Dacă $|S| = |S_1| + |S_2| + … + |S_n|$, atunci `|S| < 50 001` * Se garantează că va exista întotdeauna soluție * Se garantează că rezultatul nu va depăși `60` * Pentru `30%` din teste: `|S| < 101` * Pentru `55%` din teste: `|S| < 3 501` * Pentru `80%` din teste: `|S| < 10 001`

X

blis

romanian

blis.in

blis.out

OJI 2012 XI-XII: Problema 1

Se consideră un şir de biţi şi un număr natural `K`. Şirul se împarte în secvenţe astfel încât fiecare bit din şir să aparţină unei singure secvenţe şi fiecare secvenţă să aibă lungimea cel puţin `1` şi cel mult `K`. După împărţire, fiecare secvenţă de biţi se converteşte în baza `10`, obţinându-se un şir de valori zecimale. De exemplu, pentru şirul de biţi `1001110111101010011` şi `K = 4`, se poate obţine `1 0011 101 111 0 1010 011`, apoi în baza `10`: `1, 3, 5, 7, 0, 10, 3`. O altă împărţire poate fi `1 00 1 1 10 11 110 1010 011`, adică `1, 0, 1, 1, 2, 3, 6, 10, 3`. # Cerinţă Scrieţi un program care: * determină valoarea maximă (în baza `10`) care se poate obţine dintr-o secvenţă de cel mult `K` biţi * împarte şirul iniţial în secvenţe de cel mult `K` biţi astfel încât şirul zecimal obţinut să conţină un subşir strict crescător de lungime maximă posibilă. # Date de intrare Prima linie a fişierului de intrare `blis.in` conţine numărul natural `K`, iar pe linia a doua se află şirul de biţi, şirul neconţinând spaţii. # Date de ieşire Fişierul de ieşire `blis.out` va conţine pe prima linie un număr natural reprezentând valoarea maximă care se poate obţine dintr-o secvenţă de cel mult `K` biţi, iar pe linia a doua un singur număr natural reprezentând lungimea maximă a subşirului strict crescător care se poate obţine din şirul de biţi prin împărţirea sa în secvenţe de cel mult `K` biţi. # Restricţii şi precizări * `3 ≤ lungimea şirului de biţi ≤ 100 000` * pentru `70%` din teste, `lungimea şirului de biţi ≤ 1000` * `1 ≤ K ≤ 30` * Un subşir se obţine dintr-un şir prin eliminarea a zero, unul, două sau mai multe elemente; * O secvenţă este formată din elemente aflate pe poziţii consecutive în şir; * Pentru rezolvarea corectă a primei cerinţe se acordă `20%` din punctaj, iar pentru rezolvarea corectă a celei de-a doua se acordă `80%`.

X

Parc

romanian

parc.in

parc.out

OJI 2012 XI-XII: Problema 2

Un parc de formă dreptunghiulară este format din zone pietonale şi piste de biciclete. Reprezentând harta parcului într-un sistem cartezian, cu coordonata colţului stânga-jos `(0,0)`, pistele de biciclete sunt reprezentate prin dungi orizontale sau verticale colorate cu gri, iar zonele pietonale au culoarea albă, ca în figura din dreapta. Vizitatorii parcului se pot plimba liber pe zonele pietonale în orice direcţie, însă pistele de biciclete se vor traversa, în linie dreaptă, paralel cu axele. În figura alăturată avem un parc de dimensiuni `10 x 8`, cu piste de biciclete verticale între `2` şi `4` respectiv `5` şi `8`, şi orizontale între `0` şi `1` respectiv între `2` şi `4`. Gigel se află în punctul `A(1 , 1)` şi poate sa ajungă pe drumul cel mai scurt la prietenul lui, în punctul `B(8 , 7)` deplasându-se astfel: porneşte din punctul `(1, 1)` şi parcurge un traseu format din segmente cu extremităţile în punctele de coordonate `(1.5 , 2) (1.5, 4) (2 , 5) (4 , 5) (5 , 7)` şi în final ajunge în punctul de coordonate `(8 , 7)`. Lungimea totală a drumului va fi aproximativ `11.4721359`. \ ~[parc.png] # Cerinţă Cunoscând dimensiunile parcului, coordonatele lui Gigel, coordonatele prietenului lui şi poziţiile pistelor de biciclete, să se calculeze lungimea drumului minim şi numărul drumurilor distincte de lungime minimă. # Date de intrare Fişierul `parc.in` conţine pe prima linie două numere naturale `Xparc` şi `Yparc` separate prin spaţiu, reprezentând dimensiunile parcului în direcţiile `Ox` respectiv `Oy`. Linia a doua va conţine patru numere separate prin spaţiu `xG, yG, xpr` şi `ypr` ce reprezintă coordonatele lui Gigel şi coordonatele prietenului lui. Linia a treia va conţine un număr natural `m`, reprezentând numărul pistelor verticale. Următoarele `m` linii vor conţine perechi de valori de pe axa `Ox` ce delimitează câte o pistă de biciclete verticală. Următoarea linie va conţine un număr natural `n`, reprezentând numărul pistelor orizontale. Următoarele `n` linii vor conţine perechi de valori de pe axa `Oy` ce delimitează câte o pistă de biciclete orizontală. # Date de ieşire Fişierul `parc.out` va conţine pe prima linie lungimea minimă a drumului cerut de problemă, un număr real. Linia a doua va conţine numărul drumurilor minime distincte, un număr natural. # Restricţii şi precizări * `0 ≤ xG, xpr ≤ Xparc ≤ 30 000, 0 ≤ yG, ypr ≤ Yparc ≤ 30 000`; * `0 < m, n < 2000`; * perechile de numere naturale ce definesc o pistă nu sunt ordonate; * pistele orizontale, şi cele verticale nu sunt ordonate în fişierul de intrare; * două piste de aceeaşi direcţie nu se suprapun; * Gigel şi prietenului lui sunt pe zone pietonale (incluzând şi marginile acestora); * două drumuri sunt distincte dacă diferă prin cel puţin un punct; * numărul de drumuri distincte nu va depăşi `1 000 000 000`; * lungimea drumului din fişierul de ieşire este un număr real ce se va accepta cu eroare maxima de `0.01`; * nu se admite formatul ştiinţific pentru afişarea numerelor reale; * prima cerinţă valorează `40%` din punctaj, iar a doua valorează `60%` din punctaj.

X

suma

romanian

suma.in

suma.out

OJI 2011 XI-XII: Problema 1

~[suma1.png] \ Constructorii angajaţi de faraonul Keops au terminat construirea piramidei în trepte mult visată. Măreaţa piramidă are $n$ camere identice de formă cubică, numerotate de la $1$ la $n$, dispuse pe $m$ niveluri astfel: - camera din vârful piramidei formează nivelul $1$ şi are numărul $1$; - nivelul $2$ al piramidei este format din următoarele $4$ camere care în secţiune cu un plan paralel cu baza au aspectul unei matrice cu $2$ linii şi $2$ coloane; camerele de pe nivelul $2$ sunt numerotate de la $2$ la $5$ în ordinea crescătoare a liniilor matricei, iar pe aceeaşi linie în ordinea crescătoare a coloanelor matricei; ... - nivelul $m$ al piramidei este format din $m \times m$ camere şi au, în secţiune cu un plan paralel cu baza, aspectul unei matrice cu $m$ linii şi $m$ coloane; camerele de pe nivelul $m$ sunt numerotate în continuarea celor de pe nivelurile $1, 2, ..., m - 1$, în ordinea crescătoare a liniilor matricei de secţiune, iar pe aceeaşi linie în ordinea crescătoare a coloanelor matricei. De exemplu, piramida din desenul de mai sus are $n = 30, m = 4$ iar camerele sunt numerotate şi dispuse pe niveluri astfel: \ ~[suma2.png] \ Nivelurile de camere sunt poziţionate astfel încât camerele de pe prima linie şi prima coloană a fiecărui nivel să se suprapună. Pentru exemplul dat, camerele $1, 2, 6$ şi $15$ sunt situate una sub alta, în această ordine. Accesul în oricare din camerele piramidei, situate pe diferite niveluri, se realizează prin drumuri construite astfel: * intrarea în piramidă se face doar prin camera din vârful ei, cea cu numărul $1$; * din camera cu numărul $k$ de pe un drum se poate intra într-una din cele patru camere situate pe nivelul imediat următor al piramidei şi anume: camera situată sub cea cu numărul $k$ sau una din cele trei camere vecine acesteia în secţiune (în direcţiile Est, Sud-Est, Sud, considerând secţiunile poziţionate ca în imaginile de mai sus). De exemplu, din camera cu numărul $10$ se poate intra într-una din camerele cu numerele: $20, 21, 24$ sau $25$. Faraonul priveşte cu mândrie şi tristeţe la frumoasa piramidă. Banii din visterie s-au împuţinat iar camerele piramidei trebuie finisate şi decorate. Scribul său favorit a refăcut toate calculele, a eliminat obiectele inutile şi a stabilit pentru fiecare cameră $k$ un cost $c_k$ aferent finisării şi decorării ei ($1 ≤ k ≤ n$). Însă, suma totală necesară fiind încă mare, faraonul i-a cerut scribului să aleagă un drum, dintre cele construite, care să treacă prin toate nivelurile piramidei astfel încât suma s a tuturor costurilor aferente finisării şi decorării camerelor de pe acest drum să fie minimă. Deocamdată, doar aceste camere vor fi aranjate... # Cerinţă Scrieţi un program care să determine numărul $m$ de niveluri ale piramidei, suma minimă $s$ a tuturor costurilor aferente finisării şi decorării camerelor de pe un drum ce trece prin toate nivelurile piramidei, construit în modul descris în enunţ, precum şi un astfel de drum pentru care se obţine suma minimă, putând fi ales de scrib. # Date de intrare Fişierul de intrare `suma.in` conţine pe prima linie numărul natural nenul $n$ reprezentând numărul de camere din piramidă. A doua linie conţine $n$ numere naturale nenule $c_1, c_2,…, c_n$, separate prin câte un spaţiu, reprezentând costurile aferente finisării şi decorării camerelor, în ordinea numerotării lor. # Date de ieşire Fişierul de ieşire `suma.out` va conţine pe prima linie două numere naturale $m$ şi $s$, separate printr-un singur spaţiu, cu semnificaţia din enunţ. Cea de-a doua linie va conţine, separate prin câte un spaţiu, în ordinea parcurgerii lor, numerele camerelor de pe un drum ce trece prin toate nivelurile piramidei, drum pentru care se obţine suma minimă $s$. # Restricţii şi precizări * $1 ≤ n ≤ 63\ 365$ * Pentru fiecare valoare $n$ citită se poate construi în modul descris în enunţ o piramidă în trepte cu $n$ camere * $1 ≤ c_1, c_2, ..., c_n < 100 $ * Dacă există mai multe drumuri ce trec prin toate nivelurile piramidei şi pentru care se obţine suma minimă $s$, atunci drumul ales va fi cel mai mic drum din punct de vedere lexicografic. * Drumul $a_1, a_2, a_3, …, a_m$ este mai mic, din punct de vedere lexicografic, ca drumul $b_1, b_2, b_3, …, b_m$ dacă există un indice $j$ ($1 ≤ j ≤ m$) astfel încât $a_1=b_1, a_2=b_2 ,….,a_{j-1}=b_{j-1}$ şi $a_j < b_j$. * Se acordă: * $10%$ din punctaj pentru determinarea corectă a numărului $m$ de niveluri ale piramidei * $30%$ din punctaj pentru determinarea corectă a sumei minime $s$ * $60%$ din punctaj pentru determinarea corectă a drumului cerut.

X

ubuntzei

romanian

ubuntzei.in

ubuntzei.out

OJI 2011 XI-XII: Problema 2

Trei ubuntzei au hotărât ca anul acesta să petreacă ziua de 1 Mai pe malul Mării Negre împreună cu prietenii lor, motiv pentru care au pus la cale o excursie pe un traseu care să plece din oraşul lor Cluj-Napoca spre Vama Veche, unde nisipul îi aşteaptă. În ţara ubuntzeilor există $N$ localităţi, numerotate de la $1$ la $N$, legate între ele prin $M$ şosele bidirecţionale de diferite lungimi. Localitatea de plecare a ubuntzeilor, oraşul Cluj-Napoca, este numerotată cu $1$, iar localitatea destinaţie, Vama Veche, cu $N$. Între oricare două localităţi există cel mult o şosea. Fiecare şosea uneşte două localităţi distincte şi se poate călători între oricare două localităţi circulând numai pe şosele. Prietenii ubuntzeilor locuiesc în $K$ localităţi distincte, diferite de Cluj-Napoca şi Vama Veche. Pentru a nu călători singuri, cei trei ubuntzei vor să treacă prin cele $K$ localităţi în care locuiesc prietenii lor, şi apoi, împreună cu aceştia, să-şi continue excursia către mare. Nerăbdători să ajungă cât mai repede la destinaţie, ubuntzeii s-au hotărât să îşi stabilească un traseu de lungime minimă care să treacă prin toate cele $K$ localităţi. # Cerinţă Scrieţi un program care să determine, pentru ubuntzei, lungimea minimă $L$ a unui traseu de la Cluj-Napoca la Vama Veche ce trece prin toate cele $K$ localităţi. # Date de intrare Prima linie a fişierului de intrare `ubuntzei.in` conţine două numere naturale $N\ M$, separate printr-un spaţiu, cu semnificaţia din enunţ. A doua linie a fişierului conţine $K + 1$ numere naturale distincte: $K\ C_1\ C_2\ ...\ C_K$, separate prin câte un spaţiu, $K$ având semnificaţia din enunţ iar $C_1, C_2, ..., C_K$ reprezentând cele $K$ localităţi în care locuiesc prietenii. Fiecare din următoarele $M$ linii conţine câte trei numere naturale $x\ y\ z$, separate prin câte un spaţiu, reprezentând o şosea care leagă localitatea $x$ de localitatea $y$ şi are lungimea $z$. # Date de ieşire Fişierul de ieşire `ubuntzei.out` va conţine numărul natural $L$ reprezentând lungimea minimă căutată. # Restricţii şi precizări * $1 ≤ N ≤ 2\ 000$ * $1 ≤ M ≤ 10\ 000$ * $0 ≤ K ≤ \min\{15, N – 2\}$ * $2 ≤ C_1, C_2, ..., C_K ≤ N – 1$ * Traseul poate trece de mai multe ori prin oricare localitate. * Costul unei muchii va fi cuprins între $1$ şi $10^5$. * Pentru primele $20%$ din teste $K = 0$. * Pentru primele $50%$ din teste $K ≤ 10$. * Pentru primele $70%$ din teste $N ≤ 200$.

X

immortal

romanian

immortal.in

immortal.out

OJI 2010 XI-XII: Problema 1

Cei care au văzut filmul Nemuritorul, ştiu că fraza cu care nemuritorii încep lupta este "Nu poate să rămână decât unul singur". Să încercăm să simulăm povestea nemuritorilor. Într-o zonă dreptunghiulară formată din $n$ linii (numerotate de la $1$ la $n$) şi $m$ coloane (numerotate de la $1$ la $m$) se află maxim $n \times m-1 $nemuritori. Doi nemuritori vecini se "luptă" între ei şi cel care pierde lupta este eliminat. "Lupta" constă în săritura unuia dintre nemuritori peste celălalt, dacă această săritură se poate face. Săritura se poate face pe orizontală sau verticală şi nemuritorul peste care s-a sărit dispare. Prin vecin al nemuritorului din poziţia $(i, j)$ înţelegem un nemuritor din una dintre poziţiile $(i-1,j), (i+1,j), (i,j-1), (i,j+1)$. Deci, după luptă nemuritorul din câmpul $(i,j)$ se va găsi în una dintre poziţiile: $(i-2,j), (i+2,j), (i,j-2)$ sau $(i,j+2)$, dacă această poziţie este liberă şi este în interiorul zonei. # Cerinţă Se cere să se determine o succesiune a luptelor ce pot fi purtate, astfel încât la final să rămână un singur nemuritor. # Date de intrare Fişierul de intrare `immortal.in` conţine pe prima linie trei valori naturale $n m I$, separate prin câte un spaţiu, reprezentând numărul de linii, numărul de coloane ale zonei descrise şi respectiv numărul de nemuritori existenţi iniţial. Următoarele $I$ linii conţin fiecare câte două numere naturale $x\ y$ separate printr-un spaţiu, reprezentând poziţiile unde se găsesc iniţial cei $I$ nemuritori (linia şi coloana). # Date de ieşire Fişierul de intrare `immortal.out` va conţine $I-1$ linii, fiecare linie descriind o "luptă". Luptele vor fi scrise în ordinea în care au avut loc. O linie va conţine $4$ numere naturale care indică: primele două poziţia de pe care pleacă un nemuritor la "luptă", ultimele două poziţia pe care acesta ajunge după "luptă". Pentru ca "lupta" să fie corectă, în poziţia peste care nemuritorul "sare" trebuie să existe un nemuritor care va "muri". O poziţie va fi specificată prin indicele de linie urmat de indicele de coloană. Valorile scrise pe aceeaşi linie vor fi separate prin spaţii. # Restricţii * $1 < n, m ≤ 20$ * $1 < I ≤ min{15, n \times m-1}$ * Pentru datele de test există întotdeauna soluţie.

X

cerc

romanian

cerc.in

cerc.out

OJI 2009 XI-XII: Problema 1

Se desenează $n$ cercuri distincte în plan, numerotate cu numerele de la $1$ la $n$. Pentru fiecare cerc $k$ ($k \in \{1, 2, ..., n\}$) se cunosc: raza cercului, $r_k$, şi coodonatele ($x_k, y_k$) ale centrului cercului, coordonate referitoare la reperul cartezian $xOy$ cu originea în punctul $O$ din plan. Din punctul $O$, se desenează $m$ drepte distincte, astfel încât pentru fiecare dreaptă, dintre cele $m$ desenate, să existe cel puţin un cerc, dintre cele $n$, al cărui centru să fie situat pe această dreaptă şi pentru fiecare cerc desenat, să existe o singură dreaptă, dintre cele $m$ desenate, care să treacă prin centrul lui. # Cerinţă Să se scrie un program care să se determine: a) numărul $m$ de drepte distincte; b) cel mai mare număr $q$ de cercuri, dintre cele $n$, exterioare două câte două, ale căror centre sunt situate pe o aceeaşi dreaptă care trece prin punctul $O$, dintre cele $m$ desenate; c) numărul $p$ al dreptelor distincte, dintre cele $m$ desenate, pe care sunt situate centrele a câte $q$ cercuri, dintre cele $n$, exterioare două câte două. # Date de intrare Fişierul de intrare `cerc.in` conţine: $n$ $x_1\ y_1\ r_1$ ... $x_n\ y_n\ r_n$ - pe prima linie, o valoare naturală nenulă $n$, reprezentând numărul de cercuri - următoarele $n$ linii conţin câte trei numere naturale nenule, separate prin câte un spaţiu, care reprezintă coordonatele centrului $(x_1, y_1)$ şi raza $r_1$ ale primului cerc, ..., coordonatele centrului $(x_n, y_n)$ şi raza $r_n$ ale celui de-al $n$-lea cerc # Date de ieşire Fişierul de ieşire `cerc.out` va conţine o singură linie pe care se vor scrie cele trei numere naturale $m$, $q$ şi $p$, separate prin câte un spaţiu. # Restricţii şi precizări * $1 ≤ n ≤ 2\ 000$ * $1 ≤ x_1, x_2, ..., x_n ≤ 1\ 000$ ; $1 ≤ y_1, y_2, ..., y_n ≤ 1\ 000$ ; $1 ≤ r_1, r_2, ..., r_n ≤ 70$ * dacă două cercuri, dintre cele $n$, au centrele în acelaşi punct din plan, atunci razele lor sunt distincte * două cercuri sunt exterioare dacă nu au niciun punct comun şi nici interioarele lor nu au puncte comune * Pentru rezolvarea cerinţei a) se acordă $20%$ din punctaj, pentru cerinţa b) $50%$ din punctaj şi pentru cerinţa c) $30%$ din punctaj.

X

Project Management

romanian

pm.in

pm.out

OJI 2009 XI-XII: Problema 2

La o firmă de software se lucrează la un mare proiect. Proiectul constă în executarea a $n$ ($n \in \N$) faze de dezvoltare, numerotate cu numerele $1, 2, ..., n$. Unele faze pot fi executate în paralel (în acelaşi timp), însă executarea altor faze nu poate fi începută până când nu se finalizează executarea anumitor faze. # Cerinţă Să se scrie un program care să se determine: a) timpul minim $t$ în care se poate finaliza executarea proiectului b) pentru fiecare fază $k$ ($k \in \{1, 2, ..., n\}$), momentul de timp $c_k$ la care poate începe faza $k$ cel mai devreme, respectiv momentul de timp $d_k$ la care poate începe faza $k$ cel mai târziu, fără a influenţa durata totală de executare a proiectului. # Date de intrare Fişierul de intrare `pm.in` conţine: - pe prima linie, un număr natural $n$, reprezentând numărul fazelor proiectului - pe a doua linie, $n$ numere naturale, separate prin câte un spaţiu, reprezentând timpul necesar finalizării fiecărei faze - pe fiecare linie $k$ dintre următoarele $n$ linii, un număr natural $m_k$ şi un şir $a$ format din $m_k$ numere naturale: $a_1, a_2, ..., a_{m_k}$, cele $m_{k+1}$ numere din linie fiind separate prin câte un spaţiu, $m_k$ reprezentând numărul de faze ce trebuie finalizate înaintea începerii fazei $k$, iar numerele din şirul $a$ reprezentând numerele de ordine ale fazelor ce trebuie finalizate înaintea începerii fazei $k$. # Date de ieşire Fişierul de ieşire `pm.out` va conţine $n + 1$ linii. Pe prima linie se va scrie numărul natural $t$, iar pe fiecare linie $k$ dintre următoarele $n$ linii, se vor scrie cele două numere naturale $c_k$ şi $d_k$, separate prin câte un spaţiu. # Restricţii şi precizări * $0 ≤ n ≤ 100$; $n \in \N$ * Timpul necesar finalizării executării oricărei faze nu va depăşi $1\ 000\ 000$ * Se consideră că executarea proiectului începe la momentul de timp $0$ * Nu vor exista dependenţe circulare (proiectul întotdeauna se poate finaliza) * Pentru rezolvarea cerinţei a) se acordă $40%$ din punctaj, iar pentru cerinţa b) $30%$ pentru prima valoare respectiv $30%$ din punctaj pentru a doua valoare.

X

iepuri

romanian

iepuri.in

iepuri.out

OJI 2008 XI-XII: Problema 1

Un gospodar are $N$ iepuri (pe care i-a numerotat de la $1$ la $N$) şi foarte mulţi morcovi. Ce e mai deosebit în această gospodărie este că iepurii sunt organizaţi ierarhic, în funcţie de vârstă, autoritate şi nevoile nutriţionale. Astfel, fiecare iepure are exact un şef direct (exceptându-l pe Rilă Iepurilă, care este şeful cel mare, şeful tuturor iepurilor). Orice iepure poate avea 0, 1 sau mai mulţi subordonaţi direcţi. Orice iepure-şef va mânca cel puţin un morcov mai puţin decât fiecare dintre subordonaţii săi direcţi. Gospodarul nu se poate hotărî câţi morcovi să dea fiecărui iepure şi ar vrea să ştie în câte moduri poate împărţi morcovi la iepuri ştiind că fiecare iepure poate să mănânce minim un morcov şi maxim $K$ morcovi. # Cerinţă Scrieţi un program care calculează numărul de posibilităţi modulo $30 \ 011$ de a împărţi morcovi la cei $N$ iepuri ştiind că orice iepure poate mânca între $1$ şi $K$ morcovi şi trebuie să mănânce cu cel puţin un morcov mai puţin decât fiecare dintre iepurii care îi sunt subordonaţi direcţi. # Date de intrare Fişierul de intrare `iepuri.in` conţine: - pe prima linie două numere naturale $N$ şi $K$, separate printr-un spaţiu, reprezentând numărul de iepuri, respectiv numărul maxim de morcovi ce pot fi mâncaţi de un iepure. - pe fiecare din următoarele $N-1$ linii se află câte două numere naturale distincte $a$ şi $b$, cuprinse între $1$ şi $N$, separate printr-un spaţiu, cu semnificaţia că iepurele $a$ este şeful direct al iepurelui $b$. # Date de ieşire Fişierul de ieşiere `iepuri.out` va conţine numărul de moduri de a împărţi morcovii conform condiţiilor specificate în enunţ, modulo $30 \ 011$. # Restricţii şi precizări * $1 ≤ N, K ≤ 100$ * Numărul ce trebuie scris în fişierul de ieşire va fi afişat modulo $30 \ 011$.

X

cezar

romanian

cezar.in

cezar.out

OJI 2007 XI-XII: Problema 2

În Roma antică există $n$ aşezări senatoriale distincte, câte una pentru fiecare dintre cei $n$ senatori ai Republicii. Aşezările senatoriale sunt numerotate de la $1$ la $n$, între oricare două aşezări existând legături directe sau indirecte. O legătură este directă dacă ea nu mai trece prin alte aşezări senatoriale intermediare. Edilii au pavat unele dintre legăturile directe dintre două aşezări (numind o astfel de legătură pavată ”stradă“), astfel încât între oricare două aşezări senatoriale să existe o singură succesiune de străzi prin care se poate ajunge de la o aşezare senatorială la cealaltă. Toţi senatorii trebuie să participe la şedinţele Senatului. In acest scop, ei se deplasează cu lectica. Orice senator care se deplasează pe o stradă plăteşte $1$ ban pentru că a fost transportat cu lectica pe acea stradă. La alegerea sa ca prim consul, Cezar a promis că va dota Roma cu o lectică gratuită care să circule pe un număr de $k$ străzi ale Romei astfel încât orice senator care va circula pe străzile respective, să poată folosi lectica gratuită fără a plăti. Străzile pe care se deplasează lectica gratuită trebuie să fie legate între ele (zborul, metroul sau teleportarea nefiind posibile la acea vreme). În plus, Cezar a promis să stabilească sediul sălii de şedinţe a Senatului într-una dintre aşezările senatoriale aflate pe traseul lecticii gratuite. Problema este de a alege cele $k$ străzi şi amplasarea sediului sălii de şedinţe a Senatului astfel încât, prin folosirea transportului gratuit, senatorii, în drumul lor spre sala de şedinţe, să facă economii cât mai însemnate. În calculul costului total de transport, pentru toţi senatorii, Cezar a considerat că fiecare senator va călători exact o dată de la aşezarea sa până la sala de şedinţe a Senatului. # Cerinţă Scrieţi un program care determină costul minim care se poate obţine prin alegerea adecvată a celor $k$ străzi pe care va circula lectica gratuită şi a locului de amplasare a sălii de şedinţă a Senatului. # Date de intrare Fişierul `cezar.in` conţine - pe prima linie două valori $n\ k$ separate printr-un saţiu reprezentând numărul total de senatori şi numărul de strazi pe care circulă lectica gratuită - pe următorele $n-1$ linii se află câte două valori $i\ j$ separate printr-un spaţiu, reprezentând numerele de ordine a două aşezări senatoriale între care există stradă. # Date de ieşire Pe prima linie a fişierului `cezar.out` se va scrie costul total minim al transportării tuturor senatorilor pentru o alegere optimă a celor $k$ străzi pe care va circula lectica gratuită şi a locului unde va fi amplasată sala de şedinţe a Senatului. # Restricţii * $1 < n ≤ 10\ 000, 0 < k < n$ * $1 ≤ i, j ≤ n , i ≠ j$ * Oricare două perechi de valori de pe liniile $2, 3, ..., n$ din fişierul de intrare reprezintă două străzi distincte. * Perechile din fişierul de intrare sunt date astfel încât respectă condiţiile din problemă. * Pentru $25\%$ din teste $n ≤ 30$ * Pentru $25\%$ din teste $30 < n ≤ 1\ 000$ * Pentru $25\%$ din teste $1\ 000 < n ≤ 3\ 000$ * Pentru $10\%$ din teste $3\ 000 < n ≤ 5\ 000$ * Pentru $10\%$ din teste $5\ 000 < n ≤ 10\ 000$.

X

lant

romanian

lant.in

lant.out

OJI 2005 XI-XII: Problema 1

Ion este un lingvist pasionat. Recent el a descoperit un text scris într-o limbă necunoscută. Textul este scris pe mai multe linii şi este format din cuvinte scrise cu litere mici din alfabetul latin, separate prin spaţii sau/şi semne de punctuaţie (`,:;.!?-`). Ion a fost frapat că există multe similitudini între cuvintele din text. Fiind foarte riguros, Ion defineşte similitudinea a două cuvinte după cum urmează. Fie $c_1$ şi $c_2$ două cuvinte. Cuvântul $c_1$ poate fi obţinut din cuvântul $c_2$ printr-o succesiune de operaţii elementare. Operaţiile elementare ce pot fi folosite sunt: * ștergerea unui caracter * inserarea unui caracter * modificarea unui caracter Definim similitudinea dintre $c_1$ şi $c_2$ ca fiind numărul minim de operaţii aplicate cuvântului $c_1$ pentru a ajunge la cuvântul $c_2$. Fie $c_0$ primul cuvânt din text. Începând cu $c_0$ putem construi lanţuri de $k$-similitudine. Un lanţ de $k$-similitudine este o succesiune de cuvinte distincte din text cu următoarele proprietăţi: - dacă cuvântul $x$ apare în lanţ înaintea cuvântului $y$, atunci prima apariţie a lui $x$ în text precedă prima apariţie a lui $y$ în text; - dacă $x$ şi $y$ sunt cuvinte consecutive în lanţ (în ordinea $x\ y$) , atunci similitudinea dintre $x$ şi $y$ este $≤k$; - lanţul este maximal (adică nu putem adăuga încă un cuvânt la sfârşitul acestui lanţ, astfel încât să fie respectate proprietăţile precedente). # Cerinţă Scrieţi un program care să determine numărul de lanţuri de $k$-similitudine care încep cu $c_0$. # Date de intrare Fişierul de intrare `lant.in` conţine pe prima linie valoarea $k$. Pe următoarele linii se află textul dat. # Date de ieşire Fişierul de ieşire `lant.out` va conţine o singură linie pe care va fi scris numărul de lanţuri de $k$-similitudine care încep cu $c_0$. # Restricţii * Lungimea unei linii din text nu depăşeşte $1\ 000$ de caractere. * Lungimea unui cuvânt nu depăşeşte $30$ de caractere. * Numărul total de cuvinte $≤ 150$. * Pentru datele de test, numărul de lanţuri de $k$-similitudine care încep cu $c_0$ va fi $≤ 2\ 000\ 000\ 000$. * Enunțul a fost modificat

X

mosia

romanian

mosia.in

mosia.out

OJI 2004 XI-XII: Problema 1

Păcală a primit, aşa cum era învoiala, un petec de teren de pe moşia boierului. Terenul este împrejmuit complet cu segmente drepte de gard ce se sprijină la ambele capete de câte un par zdravăn. La o nouă prinsoare, Păcală iese iar in câştig şi primeşte dreptul să strămute nişte pari, unul câte unul, cum i-o fi voia, astfel încât să-şi extindă suprafaţa de teren. Dar învoiala prevede că fiecare par poate fi mutat în orice direcţie, dar nu pe o distanţă mai mare decât o valoare dată (scrisă pe fiecare par) şi fiecare segment de gard, fiind cam şubred, poate fi rotit şi prelungit de la un singur capăt, celălalt rămânând nemişcat. Cunoscând poziţiile iniţiale ale parilor şi valoarea înscrisă pe fiecare par, se cere suprafaţa maximă cu care poate să-şi extindă Păcală proprietatea. Se ştie că parii sunt daţi într-o ordine oarecare, poziţiile lor iniţiale sunt date prin numere întregi de cel mult $3$ cifre, distanţele pe care fiecare par poate fi deplasat sunt numere naturale strict pozitive şi figura formată de terenul iniţial este un poligon neconcav, # Date de intrare Fişierul `mosia.in` conţine $n+1$ linii cu următoarele valori: $n$ – numărul de pari $x_1 y_1 d_1$ – coordonatele iniţiale şi distanţa pe care poate fi mutat parul $1$ $x_2 y_2 d_2$ – coordonatele iniţiale şi distanţa pe care poate fi mutat parul $2$ ... $x_n y_n d_n$ – coordonatele iniţiale şi distanţa pe care poate fi mutat parul $n$ # Date de ieşire În fişierul `mosia.out` se scrie un număr real cu $4$ zecimale ce reprezintă suprafaţa maximă cu care se poate mări moşia. # Restricţii şi observaţii: * $3 < N ≤ 200$ număr natural * $–1 \ 000 < x_i,y_i < 1 \ 000$ numere întregi * $0 < d_i ≤ 20$ numere întregi * poligonul neconcav se defineşte ca un poligon convex cu unele vârfuri coliniare * poziţiile parilor sunt date într-o ordine oarecare * poligonul obţinut după mutarea parilor poate fi concav * poziţiile finale ale parilor nu sunt in mod obligatoriu numere naturale

X