Datasets:

OpenLLM-Ro

/

Ro-OJI

like 0

Follow

OpenLLM-Ro 56

cursuri

romanian

cursuri.in

cursuri.out

OJI 2017 VII: Problema 1

Într-o tabără de vară se programează susținerea unor cursuri în $K$ săli de clasă. Sunt $N$ profesori care și-au exprimat dorința de a participa, fiecare dintre ei specificând intervalul de timp [$a_i, b_i$] în care își poate susține cursul. Programarea pe săli a profesorilor trebuie să țină cont de faptul că într-o clasă, la un moment dat, nu poate preda decât un singur profesor. # Cerință Cunoscându-se faptul că organizatorii doresc susținerea a cât mai multor cursuri, să se determine: 1) Numărul maxim de cursuri care pot fi programate în cele $K$ săli de clasă, ținând cont de restricția indicată. 2) În dorința de a programa toate cursurile, în cele $K$ săli, organizatorii decid să modifice durata cursurilor, păstrând însă neschimbată ora de început a lor. Astfel, ei hotărăsc ca toate cursurile să dureze un interval egal de timp, care însă nu va depăși durata celui mai lung curs propus inițial de unul dintre cei $N$ profesori. Determinați care poate fi durata maximă pe care o pot avea cursurile în aceste condiții. # Date de intrare În fișierul de intrare `cursuri.in` se găsește pe prima linie un număr natural $C$. Pentru toate testele, $C$ poate lua numai valorile $1$ sau $2$. Pe linia a doua se găsește o pereche de numere naturale $N \ K$, separate printr-un spațiu, reprezentând numărul profesorilor și numărul de săli de clasă. Pe următoarele $N$ linii se găsesc perechi de numere naturale $a_i \ b_i$, care reprezintă intervalele de timp în care cei $N$ profesori își susțin cursurile. Numerele în cadrul unei linii sunt separate printr-un spațiu. # Date de ieșire Dacă valoarea lui $C$ este $1$, se va rezolva numai punctul $1$) din cerințe. În acest caz, fişierul de ieşire `cursuri.out` va conține pe prima linie un număr natural reprezentând numărul maxim de cursuri care pot fi programate în cele K săli de clasă, ținând cont de restricția indicată. Dacă valoarea lui $C$ este $2$, se va rezolva numai punctul $2$) din cerințe. În acest caz, fişierul de ieşire `cursuri.out` va conține pe prima linie un număr natural reprezentând durata maximă pe care o pot avea cele $N$ cursuri, astfel încât toate să poată fi susținute în cele $K$ săli disponibile. # Restricții și precizări * $1 \leq N \leq 1 \ 000$; * $1 \leq K \leq 1 \ 000$; * $1 \leq a_i < b_i \leq 100 \ 000$; * În cazul cerinței $2$ se garantează că pentru toate testele există soluție * Pentru rezolvarea corectă a primei cerinţe se acordă $45$ de puncte, iar pentru rezolvarea corectă a celei de a doua cerințe se acordă $45$ de puncte. Se acordă $10$ puncte din oficiu.

VII

joc

romanian

joc.in

joc.out

OJI 2017 VII: Problema 2

Inspiraţi de clasicul joc Tic-Tac-Toe (`X` şi `0`), Teodora şi Ştefan îşi propun să joace ceva asemănător, adăugând jocului clasic câteva reguli noi: ~[joc.png|align=right|width=13em] - tabla de joc este un pătrat de latură $N$, care este împărţit în $N \cdot N$ celule, aşezate pe $N$ linii şi $N$ coloane; celulele pătratului sunt numerotate de la $1$ la $N^2$ parcurgând liniile de sus în jos, și coloanele de la stânga la dreapta; - Teodora va marca celulele cu `X` (litera `X`), iar Ştefan cu `0` (cifra `0`); - în cadrul unei runde, copiii marchează alternativ câte o celulă din pătrat, nemarcată anterior; - o rundă a jocului este descrisă printr-un șir format din exact $N^2$ numere naturale reprezentând celulele pătratului, în ordinea în care au fost marcate succesiv de cei doi copii; - jocul are $K$ runde; prima este începută de Teodora, a doua de Ştefan, a treia Teodora, a patra Ştefan şi aşa mai departe; - o rundă este câştigată de jucătorul care reuşeşte primul să marcheze complet o linie, o coloană, diagonala principală sau una din cele două semidiagonale paralele şi **alăturate** cu aceasta (figura $1$), diagonala secundară sau una din cele două semidiagonale paralele şi **alăturate** acesteia (figura $2$); - o rundă se încheie fără un câştigător dacă după marcarea celor $N^2$ celule nu există pe tabla de joc nicio linie, coloană, diagonală sau semidiagonală marcate cu acelaşi simbol. # Cerință Cunoscând numerele $N, K$ şi cele $K$ şiruri de numere care reprezintă rundele jucate, scrieţi un program care să rezolve una dintre următoarele două cerinţe: 1. Să se determine câte runde a câştigat fiecare copil. 2. Să se determine care este cel mai mare număr de marcări efectuate până la câştigarea unei runde. # Date de intrare Fişierul de intrare `joc.in` conţine pe prima linie un număr natural $C$. Pentru toate testele, $C$ poate lua numai valorile $1$ sau $2$. Pe a doua linie se află două numere naturale $N$ şi $K$, separate prin câte un spaţiu, reprezentând dimensiunea tablei de joc şi respectiv numărul de runde jucate. Pe următoarele $K$ linii sunt descrise rundele de joc, câte o rundă pe câte o linie a fișierului. În cadrul liniilor, numerele sunt separate prin câte un spațiu. # Date de ieșire Dacă valoarea lui $C$ este $1$, se va rezolva numai punctul $1$ din cerințe. În acest caz, fişierul de ieşire `joc.out` va conţine pe prima linie două numere naturale $t$ şi $s$, separate printr-un spaţiu, unde $t$ reprezintă numărul de runde câştigate de Teodora, iar $s$ numărul rundelor câştigate de Ştefan. Dacă valoarea lui $C$ este $2$, se va rezolva numai punctul $2$ din cerințe. În acest caz, fişierul de ieşire `joc.out` va conţine pe prima linie numărul cel mai mare de marcări efectuate până la câştigarea unei runde. # Restricții și precizări * $3 \leq N \leq 100$; * $1 \leq K \leq 25$; * La fiecare joc se câştigă cel puţin o rundă. * Pentru rezolvarea corectă a primei cerinţe se acordă $45$ de puncte, iar pentru rezolvarea corectă a celei de a doua cerințe se acordă $45$ de puncte. Se acordă $10$ puncte din oficiu.

VII

axyz

romanian

axyz.in

axyz.out

OJI 2016 VII: Problema 1

Se consideră numerele naturale $A$ (format din două sau trei cifre, toate distincte și nenule) și $X$ (format din $N$ cifre, toate nenule). Din numărul $X$, folosind toate cele $N$ cifre ale sale, se poate construi un cel mai mare număr natural $Y$ **strict mai mic decât $\textbf{X}$**. De exemplu, pentru $X=121621$ se construiește $Y=121612$. Tot din numărul $X$, se poate obține numărul $A$ prin ștergerea unor cifre din scrierea lui $X$ și alipirea celor rămase, fără a le schimba ordinea. De exemplu, dacă $X=121621$ și $A=12$, există $Z=3$ posibilități distincte prin care să obținem numărul $A$ din $X$ și anume: 1) $\textbf{\textcolor{red}{12}} \sout{1621}$; 2) $\textbf{\textcolor{red}1} \sout{216} \textbf{\textcolor{red}2} \sout{1}$; 3) $\sout{12} \textbf{\textcolor{red}1} \sout{6} \textbf{\textcolor{red}2} \sout{1}$. # Cerință Cunoscându-se numerele $A, N$ și cele $N$ cifre ale lui $X$, să se determine: 1. cel mai mare număr natural $Y$, **strict mai mic decât $\textbf{X}$**, care se poate obține rearanjând cifrele lui $X$; 2. numărul maxim $Z$ de posibilități distincte prin care se poate obține numărul $A$ din numărul $X$ prin ștergerea unor cifre și alipirea celor rămase, fără a le schimba ordinea. # Date de intrare Fişierul de intrare `axyz.in` conține: - pe prima linie un număr natural $p$; pentru toate testele de intrare, numărul $p$ poate avea doar valoarea $1$ sau valoarea $2$; - pe a doua linie, numărul $A$, cu semnificația din enunț; - pe a treia linie numărul de cifre ale numărului $X$; - pe a patra linie, un șir de $N$ cifre, separate prin câte un spațiu, reprezentând cifrele numărului $X$, în această ordine. # Date de ieșire * Dacă valoarea lui $p$ este $1$, **atunci se va rezolva numai cerința $\textbf{1}$**. În acest caz, fişierul de ieşire `axyz.out` va conţine pe prima linie un șir de cifre reprezentând numărul natural $Y$ determinat (răspunsul la cerința $1$). * Dacă valoarea lui $p$ este $2$, **atunci se va rezolva numai cerința $\textbf{2}$**. În acest caz, fişierul de ieşire `axyz.out` va conține pe prima linie un număr natural reprezentând numărul $Z$ determinat (răspunsul la cerința $2$). # Restricții și precizări * $12 \leq A \leq 987$; * $10 \leq N \leq 30 \ 000$; * Pentru toate datele de test, **numerele $\textbf{Y}$ și $\textbf{A}$ pot fi obținute din numărul $\textbf{X}$**. * Pentru rezolvarea corectă a cerinţei $1$ se acordă $30\%$ din punctaj, iar pentru rezolvarea corectă a cerinţei $2$ se acordă $70\%$ din punctaj.

VII

galerie

romanian

galerie.in

galerie.out

OJI 2016 VII: Problema 2

~[galerie1.png|align=right|width=20em] La întâlnirea anuală a cârtițelor, la concursul pentru selecția noilor membri ai consiliului director, a fost propusă următoarea problemă: De jur-împrejurul unui teren dreptunghiular împărțit în $n \cdot m$ celule de formă pătrată, cu aceeași arie, cârtițele au săpat galerii exterioare. Celulele aflate pe marginea terenului sunt numerorate consecutiv, de la $1$ la $2 \cdot (n+m)$, începând din colțul din stânga-sus, ca în imaginea alăturată. În galeriile exterioare, pe marginea terenului, se află $t$ cârtițe care sunt pregătite să sape galerii interioare. Cârtițele aflate pe latura de Nord a terenului se vor deplasa către Sud, cele care se află pe latura de la Est se vor deplasa către Vest, cele care se află pe latura de la Sud se vor deplasa către Nord, iar cele care se află pe latura de la Vest se vor deplasa către Est. Cârtițele încep să sape în același timp. În fiecare oră, o cârtiță sapă într-o singură celulă a terenului. O cârtiță se oprește dacă: * ajunge într-o altă galerie interioară; ea nu sapă în aceasta, iar galeria ei se unește cu cea în care ajunge; * în celula în care sapă, mai sapă și alte cârtițe, în aceeași oră; galeriile lor se unesc într-o singură galerie și toate aceste cârtițe se opresc; * ajunge pe marginea terenului, în partea opusă celei din care a plecat, galeria săpată de ea până în acest moment comunicând acum cu galeria exterioară, în care ea nu sapă. De exemplu, dacă pe marginea unui teren format din $7 \cdot 5$ celule, se află $5$ cârtițe, în celulele $3,8,10,19$ și $23$, atunci, după o oră, terenul are configurația din fig. $1$, după două ore, configurația din fig. $2$, după trei ore, configurația din fig. $3$ (ultima cârtiță ajunge în galeria primei cârtițe si primele două cârtițe sapă în aceeași celulă și apoi se opresc), după $4$ ore, configurația din fig. $4$, după $5$ ore, configurația din fig. $5$, când cele două cârtițe rămase sapă pe marginea terenului și apoi se opresc pentru că au ajuns în galeria exterioară (fig.6). Galeriile acestora nu se unesc pentru că niciuna dintre ele nu a intrat în galeria celeilalte și nici nu s-au întâlnit într-o celulă. ~[galerie2.png|width=70em] # Cerință Cunoscându-se numerele $n, m, t$ și cele $t$ celule exterioare în care se află cârtițele, să se determine: 1. numărul maxim de celule în care sapă o cârtiță până la oprirea tuturor cârtițelor; 2. numărul maxim de celule din care este formată o galerie interioară. # Date de intrare Fişierul de intrare `galerie.in` conţine pe prima linie, una dintre valorile $1$ sau $2$ reprezentând cerinţa $1$, dacă se cere determinarea numărului maxim de celule în care sapă o cârtiță până la oprirea tuturor cârtițelor, respectiv cerinţa $2$, dacă se cere determinarea numărul maxim de celule din care este formată o galerie interioară. Linia a doua conține, separate prin câte un spațiu, trei numere naturale: $n$, $m$ (reprezentând dimensiunile terenului) și $t$ (reprezentând numărul de cârtițe aflate în galeriile exterioare). Linia a treia conţine cele $t$ numere naturale separate prin câte un spațiu, reprezentând pozițiile celor $t$ cârtițe. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `galerie.out` conţine pe prima linie o valoarea naturală reprezentând numărul maxim de celule în care sapă o cârtiță până la oprirea tuturor cârtițelor, dacă cerinţa a fost $1$, respectiv un număr natural reprezentând numărul maxim de celule din care este formată o galerie interioară, dacă cerinţa a fost $2$. # Restricții și precizări * $3 \leq n,m \leq 200$; * $1 \leq t \leq 2*(n+m)$; * Într-o celulă numerotată, exterioară terenului, se poate afla o singură cârtiță. * Pentru rezolvarea corectă a cerinţei $1$ se acordă $30$% din punctaj, iar pentru rezolvarea corectă a cerinţei $2$ se acordă $70$% din punctaj.

VII

ech

romanian

ech.in

ech.out

OJI 2015 VII: Problema 1

Numim _număr echilibrat_ un număr natural pentru care suma cifrelor de pe poziții pare este egală cu suma cifrelor de pe poziții impare. De exemplu numărul $13552$ este _echilibrat_, pentru că $1+5+2=8=3+5$. # Cerință Dat fiind un număr natural $N$ să se determine cel mai mic _număr echilibrat_, strict mai mare decât $N$. # Date de intrare Fișierul de intrare `ech.in` conține pe prima linie numărul natural $N$. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `ech.out` va conține o singură linie pe care va fi scris cel mai mic _număr echilibrat_, strict mai mare decât $N$. # Restricții și precizări * Numărul $N$ are cel mult $23$ de cifre. * Pentru teste valorând $40\%$ din punctaj, $N$ are cel mult $18$ cifre.

VII

lasere

romanian

lasere.in

lasere.out

OJI 2015 VII: Problema 2

Se consideră un teren reprezentat printr-o matrice cu $n$ linii şi $n$ coloane având elemente numere naturale. În fiecare element al matricei este memorată înălţimea zonei de teren corespunzătoare ca poziţie elementului respectiv. Pe acest teren sunt amplasate $m$ lasere, în poziţii cunoscute. Un laser este îndreptat spre unul dintre cele $4$ puncte cardinale, codificate prin numere astfel: Nord prin valoarea $1$, Est prin valoarea $2$, Sud prin valoarea $3$ şi respectiv Vest prin valoarea $4$. Fiecare laser va executa o singură tragere şi ca urmare va scădea cu $1$ valorile tuturor elementelor din matrice din direcţia sa de tragere, exceptând poziţia laserului respectiv. După efectuarea tuturor tragerilor, se caută poziţiile tuturor gropilor şi ale tranşeelor. Numim groapă un element din matrice pentru care toate cele $8$ elemente învecinate pe linie, coloană sau diagonale au valori mai mari sau egale decât el. Numim tranşee o secvenţă maximală formată din două sau mai multe gropi situate pe aceeaşi linie, pe coloane consecutive. Secvenţa se numeşte maximală dacă nu mai poate fi prelungită la niciunul dintre capete. # Cerință Cunoscând configuraţia terenului şi amplasarea laserelor, să se rezolve una dintre următoarele două cerinţe: 1. să se determine numărul de gropi din teren, după executarea tragerilor; 2. să se determine numărul de tranşee existente, după executarea tragerilor. # Date de intrare Fişierul de intrare `lasere.in` conţine pe prima linie un număr natural $c$ care reprezintă cerinţa ce urmează să fie rezolvată ($1$ sau $2$). Pe a doua linie se află două numere naturale $n$ şi $m$, reprezentând numărul de linii şi de coloane ale matricei, respectiv numărul de lasere. Pe următoarele $n$ linii se află câte $n$ numere naturale, reprezentând elementele matricei. Pe următoarele $m$ linii sunt descrise cele $m$ lasere, câte un laser pe o linie. Pe o linie care descrie un laser se află $3$ numere naturale $i \ j \ d$, cu semnificaţia că se află un laser pe linia $i$ şi coloana $j$, care trage în direcţia $d$. Valorile situate pe aceeaşi linie sunt separate prin spaţiu. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `lasere.out` va conţine pe prima linie un singur număr natural. Acest număr reprezintă numărul de gropi (dacă $c=1$) sau numărul de tranşee (dacă $c=2$). # Restricții și precizări * $4 \leq n \leq 200$; * $1 \leq m \leq 200$; * Numerotarea liniilor şi a coloanelor este de la $1$ la $n$. * Elementele matricei din fişierul de intrare sunt numere naturale de maxim $4$ cifre. * Poziţiile laserelor sunt distincte. * Pentru teste valorând $30\%$ din punctaj cerinţa este $1$.

VII

patrat

romanian

patrat.in

patrat.out

OJI 2014 VII: Problema 1

~[patrat.jpg|align=right] Cel mai mare observator astronomic din România și din Europa de Est, aflat la Galați, a captat o imagine a boltei cerești, ce surprinde toate stelele vizibile în acel moment. Imaginea este în format digital, codificată sub forma unui tablou bidimensional, cu $N$ linii și $M$ coloane. Fiecare element al tabloului conține un număr natural care reprezintă intensitatea luminoasă a unei stele. Numim **stea strălucitoare** o stea care are intensitatea luminoasă mai mare decât a tuturor stelelor învecinate direct cu ea, pe orizontală, verticală sau diagonală. Numim **constelație pătrată** patru stele strălucitoare care se află plasate în colțurile unui pătrat cu laturile paralele cu marginile tabloului. Lungimea laturii unei constelații pătrate este egală cu numărul de stele din care este formată latura. O stea strălucitoare poate face parte din mai multe constelații pătrate. # Cerință Scrieți un program care să determine: 1. Numărul stelelelor strălucitoare; 2. Numărul constelațiilor pătrate; 3. Lungimea laturii pătratului care reprezintă cea mai mare constelație pătrată # Date de intrare Din fișierul `patrat.in` se citesc de pe prima linie, două numere naturale $N$ și $M$, separate printr-un spațiu, reprezentând dimensiunile tabloului bidimensional, iar de pe următoarele $N$ linii, câte $M$ numere naturale separate prin câte un spațiu, reprezentând intensitatea luminoasă a stelelor. # Date de ieșire În fișierul `patrat.out` se va scrie pe prima linie un număr natural reprezentând răspunsul la cerința $1$. Pe cea de-a doua linie se va scrie un număr natural reprezentând răspunsul la cerința $2$. Pe a treia linie se va scrie un număr natural reprezentând răspunsul la cerința $3$. # Restricții și precizări * $1 < N \leq 200$; * $1 < M \leq 200$; * $1 \leq$ intensitatea unei stele $\leq 1 \ 000$; * pentru rezolvarea corectă a cerinţei $1$ se acordă $40\%$ din punctajul fiecărui test, pentru rezolvarea corectă a cerinţei $2$ se acordă $40\%$ din punctajul fiecărui test iar pentru rezolvarea corectă a cerinţei $3$ se acordă $20\%$ din punctajul fiecărui test. * Respectaţi formatul fişierului de ieşire! Pentru a obţine punctajul acordat unei cerinţe, trebuie ca răspunsul din fişier să fie corect şi scris exact pe linia precizată în enunţ.

VII

schi

romanian

schi.in

schi.out

OJI 2014 VII: Problema 2

La proba de sărituri cu schiurile din cadrul jocurilor olimpice de iarnă participă $N$ concurenți, numerotați cu numere de la 1 la N. Regulile de desfășurare a probei sunt următoarele: - concurenții evoluează pe rând, în ordine de la $1$ la $N$; - fiecare concurent va efectua o singură săritură; - după efectuarea săriturii fiecare concurent primește un anumit punctaj; - pe tot parcursul concursului, comisia de arbitri are obligația să alcătuiască o listă cu punctajele obținute de concurenți, în ordinea evoluției lor; - evoluția unui concurent durează exact un minut; - nu se face pauză între evoluțiile a doi concurenți care au numere de ordine consecutive; - afișarea punctajului nu necesită timp suplimentar după efectuarea săriturii; - proba se încheie la un minut după evoluția ultimului concurent. Pe tot parcursul concursului se ține în mod neoficial și un clasament parțial, pe baza rezultatelor obținute de concurenții care au evoluat până în acel moment. Asta pentru că șeful comisiei de arbitri are o curiozitate aparte și pune $K$ întrebări sub forma următoare: Câte minute s-a ocupat primul loc din clasament cu un punctaj egal cu $X$ puncte? Dacă nici un concurent nu s-a clasat pe primul loc cu $X$ puncte atunci primește ca răspuns valoarea $0$. # Cerință Scrieți un program care determină răspunsul pentru fiecare dintre cele $K$ întrebări puse de șeful comisiei de arbitri. # Date de intrare În fișierul `schi.in`, pe prima linie este scris un număr natural, $N$ reprezentând numărul de concurenți. Pe a doua linie a fișierului sunt scrise cele $N$ numere naturale separate prin câte un spațiu, reprezentând punctajele obținute de fiecare dintre cei $N$ concurenți, în ordinea în care aceștia au evoluat. Pe a treia linie a fișierului este scris numărul natural $K$ ce reprezintă numărul de întrebări puse de șef. Pe a patra linie a fișierului sunt scrise $K$ numere naturale separate prin câte un spațiu, reprezentând valorile $X$ ale punctajelor alese de șeful comisiei de arbitri. # Date de ieșire În fișierul `schi.out` se vor scrie $K$ numere, separate prin câte un spațiu, reprezentând, în ordine, răspunsurile la cele $K$ întrebări. # Restricții și precizări * $1 \leq N \leq 100 \ 000$; * $1 \leq K \leq 100 \ 000$; * $0 \leq$ punctajele obținute de concurenți $\leq 1 \ 000 \ 000 \ 000$; * $0 \leq$ valorile $X$ alese de șeful arbitrilor $\leq 1 \ 000 \ 000 \ 000$;

VII

compar

romanian

compar.in

compar.out

OJI 2013 VII: Problema 1

Ana şi Bogdan au inventat jocul "Compar". Ana scrie pe tablă o secvenţă formată din $N$ numere naturale distincte cuprinse între $1$ şi $N$, apoi compară fiecare două numere învecinate din secvenţă scriind între ele semnul `<` sau semnul `>`, după caz. De exemplu, dacă secvenţa de pe tablă este $6 \ 4 \ 2 \ 1 \ 3 \ 5$, după compararea elementelor învecinate şi inserarea semnelor în secvenţă, Ana obţine: $6>4>2>1<3<5$. După aceea Ana şterge cele $N$ elemente ale secvenţei şi păstrează numai semnele, astfel: `>>><<`. La final, Ana îi arată lui Bogdan şirul semnelor şi îi cere să reconstituie secvenţa de numere naturale scrisă iniţial pe tablă. # Cerință Cunoscând şirul semnelor construit de Ana, scrieţi un program care să îl ajute pe Bogdan să reconstituie secvenţa de numere naturale distincte scrisă iniţial pe tablă. # Date de intrare Fişierul de intrare `compar.in` conţine pe prima linie o secvenţă de caractere din mulţimea $\{$`<`$,$ `>`$\}$, reprezentând şirul semnelor obţinut de Ana după compararea elementelor vecine din secvenţa iniţială. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `compar.out` va conţine pe prima linie numărul natural $N$, reprezentând lungimea secvenţei iniţiale. Pe a doua linie vor fi scrise $N$ numere naturale distincte cuprinse între $1$ şi $N$, separate prin câte un spaţiu, reprezentând elementele secvenţei iniţiale, reconstituită pe baza semnelor din fişierul de intrare. # Restricții și precizări * $1 < N \leq 100 \ 000$; * Dacă există mai multe soluţii, afişaţi oricare dintre acestea. * Pentru determinarea corectă a lungimii secvenţei se acordă $10\%$ din punctajul pe test.

VII

unific

romanian

unific.in

unific.out

OJI 2013 VII: Problema 2

Se consideră un şir $A=(A_1, A_2, \dots, A_N)$, format din $N$ numere naturale nenule. Două numere se consideră vecine dacă se află pe poziţii alăturate ($A_i$ are ca vecini pe $A_{i-1}$ şi $A_{i+1}$, pentru orice $1<i<N$, $A_1$ are ca vecin doar pe $A_2$, iar $A_N$ are ca vecin doar pe $A_{N-1}$). Dacă două elemente vecine $A_i, A_{i+1}$ au cel puţin o cifră comună, ele se pot unifica. Procedeul de unificare constă în eliminarea din numerele $A_i$ şi $A_{i+1}$ a tuturor cifrelor comune şi adăugarea prin alipire a numărului obţinut din $A_{i+1}$ la numărul obţinut din $A_{i}$, formându-se astfel un nou număr. Numărul $A_i$ va fi înlocuit cu noul număr, iar numărul $A_{i+1} va fi eliminat din şir. De exemplu, numerele $A_i=23814$ şi $A_{i+1}=40273$ au cifrele $2, 3, 4$ comune, după unificare obţinem $A_i=817$, iar $A_{i+1}$ este eliminat; observaţi că dacă după eliminarea cifrelor comune, numerele încep cu zerouri nesemnificative, acestea vor fi eliminate, apoi se realizează alipirea. Dacă în urma eliminării cifrelor comune, unul dintre numere nu mai are cifre, atunci numărul rezultat va avea cifrele rămase în celălalt. Dacă în urma eliminării cifrelor comune atât $A_i$ cât şi $A_{i+1}$ nu mai au cifre, atunci ambele numere vor fi eliminate din şir, fără a fi înlocuite cu o altă valoare. Ordinea în care se fac unificările în şir este importantă: la fiecare pas se alege prima pereche de elemente vecine $A_i \ A_{i+1}$ care poate fi unificată, considerând şirul parcurs de la stânga la dreapta. (De exemplu, considerând $A_i=123, A_{i+1}=234, A_{i+2}=235$, se unifică $A_i$ cu $A_{i+1} \rightarrow A_i=14$, iar unificarea cu următorul număr nu mai este posibilă). # Cerință Cunoscându-se şirul celor $N$ numere naturale, să se determine: 1. cifra care apare cel mai frecvent în scrierea tuturor celor $N$ numere; dacă există mai multe cifre cu aceeaşi frecvenţă de apariţie maximă, se va reţine cea mai mică cifră. 2. şirul obţinut prin efectuarea unui număr maxim de unificări, după regulile descrise în enunţ. # Date de intrare Fişierul de intrare `unific.in` conţine pe prima linie o valoare naturală $N$, iar pe următoarele $N$ linii, în ordine, cele $N$ numere naturale din şirul $A$, câte un număr pe o linie. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `unific.out` va conţine pe prima linie un număr natural $c$ reprezentând cifra care apare cel mai frecvent în scrierea celor $N$ numere naturale. Pe cea de a doua linie un număr natural $Nr$ reprezentând numărul de numere naturale rămase în şir după efectuarea unui număr maxim de unificări. Pe cea de a treia linie se vor scrie cele $Nr$ numere naturale rămase, în ordinea din şir, separate prin câte un spaţiu. Dacă în urma procedeului de unificare, toate numerele vor fi eliminate, fişierul de ieşire va conţine o singură linie, pe care se va scrie cifra care apare cel mai frecvent în scrierea celor $N$ numere naturale # Restricții și precizări * $1 \leq N \leq 100 \ 000$; * Numerele din şirul iniţial, precum şi numerele obţinute în urma unificărilor, nu vor depăşi $10^{18}$; * Pentru datele de test şirul obţinut în urma unificărilor este nevid. * Pentru $30$% dintre teste $N \leq 1 \ 000$; * Pentru $70$% dintre teste numere naturale din şir au cifrele nenule. * Pentru determinarea corectă a primei cerinţe se acordă $10\%$ din punctajul pe test. Punctajul integral se acordă pe ambele cerinţe rezolvate corect.

VII

arme

romanian

arme.in

arme.out

OJI 2012 VII: Problema 1

Vasile joacă (din nou!) jocul său preferat cu împuşcături. Personajul său are la brâu $N$ arme, aşezate în $N$ huse speciale, numerotate de la $1$ la $N$. Arma din husa $i$ are puterea ${pb}_i$. În camera armelor a găsit $M$ arme, aşezate pe perete, în $M$ locaţii, numerotate de la $1$ la $M$. Pentru fiecare armă $j$ este cunoscută puterea sa ${pc}_j$. Vasile poate înlocui arme pe care le are la brâu cu arme aflate pe perete în camera armelor. La o înlocuire el ia arma de pe perete din locaţia $j$ şi o pune la brâu în husa $i$, iar arma din husa $i$ o pune pe perete în locaţia $j$. # Cerință Scrieţi un program care să determine suma maximă a puterilor armelor pe care le va avea la brâu Vasile după efectuarea înlocuirilor. # Date de intrare Fișierul de intrare `arme.in` conține pe prima linie numerele naturale $N \ M$, reprezentând numărul de arme pe care le are la brâu, respectiv numărul de arme aflate în camera armelor. Pe a doua linie se află $N$ numere naturale ${pb}_1 \ {pb}_2 \ \dots \ {pb}_N$ reprezentând în ordine puterile armelor pe care Vasile le are la brâu. Pe a treia linie se află $M$ numere naturale ${pc}_1 \ {pc}_2 \ \dots \ {pc}_M$ reprezentând în ordine puterile armelor aflate în camera armelor. Numerele scrise pe aceeaşi linie sunt separate prin spaţiu. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `arme.out` va conține o singură linie pe care va fi scrisă suma maximă a puterilor armelor de la brâul lui Vasile, după efectuarea înlocuirilor. # Restricții și precizări * $1 \leq N, M \leq 1 \ 000$; * Puterile armelor sunt numere naturale $\leq 10 \ 000$.

VII

triunghi

romanian

triunghi.in

triunghi.out

OJI 2012 VII: Problema 2

Se consideră un triunghi alcătuit din numere naturale scrise pe $n$ linii ca în figura alăturată. Liniile triunghiului sunt numerotate de la $1$ la $n$, începând cu linia de la baza triunghiului (linia de jos), iar poziţiile pe linie sunt numerotate începând cu $1$ de la stânga la dreapta. Fiecare număr din triunghi, exceptând pe cele de pe linia $1$, este egal cu suma numerelor aflate imediat sub el, în stânga şi respectiv în dreapta lui. ~[triunghi.png|width=20em] # Cerință Cunoscând câte un număr de pe fiecare linie a triunghiului, determinaţi toate numerele de pe linia $1$. # Date de intrare Fișierul de intrare `triunghi.in` conține pe prima linie numărul natural $n$ reprezentând numărul de linii din triunghi. Pe următoarele $n$ linii sunt descrise informaţiile despre triunghi. Mai exact, pe linia $i$ dintre cele $n$ se află două numere naturale separate prin spaţiu $p_i \ v_i$ indicând poziţia şi respectiv valoarea numărului cunoscut de pe linia $i$ a triunghiului. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `triunghi.out` va conține o singură linie, pe care se găsesc $n$ numere naturale separate prin câte un spaţiu, reprezentând în ordine de la stânga la dreapta numerele scrise pe linia $1$ a triunghiului. # Restricții și precizări * $1 \leq n \leq 1 \ 000$; * $1 \leq p_i \leq n+1-i$; * Toate numerele din triunghi sunt numere naturale cu cel mult $18$ cifre.

VII

grupe

romanian

grupe.in

grupe.out

OJI 2011 VII: Problema 1

Se consideră un tablou bidimensional cu $m$ linii, $n$ coloane și elemente numere naturale. Pentru fiecare element se determină numărul de divizori pozitivi. Se formează apoi grupe cu elementele tabloului care au același număr de divizori, grupe notate $G_1, G_2, \dots, G_k$. Se ordonează descrescător grupele după numărul de elemente ce le conțin. Se știe că o grupă $G_1$ se află în fața unei alte grupe $G_2$ dacă $G_1$ are mai multe elemente decât $G_2$ sau, în cazul în care cele două grupe conțin același număr de elemente, numărul de divizori ai elementelor din grupa $G_1$ este mai mare decât numărul de divizori ai elementelor din grupa $G_2$. După ordonarea descrescătoare a grupelor, notăm prima grupă cu $A$ și a doua grupă cu $B$. În cazul în care toate elementele vor avea același număr de divizori, va exista o singură grupă, grupa $A$. # Cerință Scrieți un program care citește $m$, $n$, elementele tabloului și afișează: * numărul de divizori pozitivi pentru grupa $A$, numărul de elemente din grupă și cea mai mare valoare din grupă; * numărul de divizori pozitivi pentru grupa $B$, numărul de elemente din grupă și cea mai mare valoare din grupă; în cazul în care nu există grupa a doua, se va afișa de trei ori valoarea $0$ # Date de intrare Fișierul `grupe.in` conține pe prima linie valorile lui $m$ și $n$ separate printr-un spațiu, iar pe celelalte $m$ linii câte $n$ elemente separate două câte două printr-un spațiu, reprezentând elementele tabloului. # Date de ieșire Fișierul `grupe.out` va conține: - pe prima linie valoarea numărului de divizori pozitivi din grupa $A$, numărul de elemente din grupa $A$ și cea mai mare valoare din grupa $A$, valori separate două câte două printr-un singur spațiu; - pe a doua linie valoarea numărului de divizori pozitivi din grupa $B$, numărul de elemente din grupa $B$ și cea mai mare valoare din grupa $B$, valori separate două câte două printr-un singur spațiu. # Restricții și precizări * $1 \leq m, n \leq 100$ * elementele tabloului bidimensional inițial sunt mai mici sau egale decât $100 \ 000$ și mai mari decât $1$; * grupă poate fi compusă dintr-un singur element * se acordă $50\%$ din punctaj pentru afișarea corectă a fiecărei linii

VII

litere

romanian

litere.in

litere.out

OJI 2011 VII: Problema 2

Algorel a primit un joc care conține $n$ jetoane pe care sunt scrise litere mari ale alfabetului. Fiecare literă are asociat un cod format dintr-o singură cifră nenulă. Jetoanele se așează în ordinea dată inițial, iar prin citirea literelor de pe acestea, de la primul la ultimul jeton, se formează un cuvânt. Dacă se citesc numerele de pe fiecare jeton, începând de la primul la ultimul, se obține un număr $k_1$. Jocul continuă la fel, dar se așează jetoanele începând de la al doilea la ultimul, obținându-se un nou număr $k_2$. Apoi, se așează jetoanele începând de la al treilea la ultimul, obținându-se un nou număr $k_3$, ș.a.m.d. până se ajunge la așezarea doar a ultimului jeton, caz în care se obține numărul $k_n$. # Cerință Scrieți un program care citește numărul $n$ de jetoane, cele $n$ litere asociate jetoanelor, precum și codurile asociate literelor, în ordinea apariției lor și afișează: * numărul de perechi de litere consecutive din cuvântul inițial care au proprietatea că o literă este vocală și cealaltă este consoană (ordinea lor nu contează); * numărul $k_1$, format din așezarea inițială a jetoanelor; * suma $k_1 + k_2 + \dots + k_n$. # Date de intrare Fișierul de intrare `litere.in` va conține pe prima linie valoarea lui $n$, reprezentând numărul de jetoane, pe a doua linie un cuvânt format din $n$ litere mari (de la `A` la `Z`); literele sunt scrise una după alta, fără să fie separate cu spații, astfel încât prima literă este cea aflată pe primul jeton, a doua literă pe al doilea jeton ș.a.m.d. Pe a treia linie din fișier se află un număr $m$ ce reprezintă numărul de litere distincte, iar pe a patra linie $m$ valori reprezentând codurile literelor distincte ce apar în cuvânt. Codurile sunt date în ordinea apariției literelor în cuvânt și sunt numere naturale nenule formate dintr-o singură cifră, separate printr-un spațiu, pentru fiecare literă codul fiind dat o singură dată, chiar dacă litera se repetă. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `litere.out` va conține pe prima linie numărul de perechi de litere consecutive din cuvânt care au proprietatea că o literă este vocală și cealaltă consoană (ordinea lor nu contează), pe a doua linie numărul $k_1$, (format din așezarea inițială a jetoanelor), iar pe a treia linie suma $k_1 + k_2 + \dots + k_n$. # Restricții și precizări * $0 < n \leq 10 \ 000$; * $0 < m < 27$; * Se acordă punctaje parțiale astfel: - $20$% pentru afișarea valorii corecte pe prima linie din fișierul rezultat (cerința $1$); - $40$% pentru afișarea valorii corecte pe a doua linie din fișierul rezultat (cerința $2$); - $40$% pentru afișarea valorii corecte pe a treia linie din fișierul rezultat (cerința $3$).

VII

cuvinte

romanian

cuvinte.in

cuvinte.out

OJI 2010 VII: Problema 1

Se consideră un șir de cuvinte separate două câte două printr-un spațiu. Fiecare cuvânt este caracterizat prin numărul de ordine care reprezintă poziția lui în șirul de cuvinte (primul cuvânt are numărul de ordine $1$). Unui cuvânt $i$ se pot aplica în mod repetat următoarele transformări: primul caracter al cuvântului (cel mai din stânga) se șterge de acolo și se adaugă după ultimul caracter din cuvânt. Astfel, dintr-un cuvânt $s$ cu $k$ caractere se pot obține alte $k-1$ cuvinte pe care le numim cuvinte obținute din transformarea cuvântului $s$. De exemplu, dintr-un cuvânt format din $4$ caractere $c_1 c_2 c_3 c_4$, cuvintele obținute prin transformarea lui sunt: $c_2 c_3 c_4 c_1$, $\ c_3 c_4 c_1 c_2$, $\ c_4 c_1 c_2 c_3$. Se caută în șirul de cuvinte prima pereche de cuvinte vecine $(a,b)$, în care al doilea cuvânt din pereche (cuvântul $b$) este identic cu un cuvânt obținut din transformarea lui $a$. Dacă există o astfel de pereche, se șterge cuvântul $b$ din șir. Prin ștergerea cuvântului $b$ din șir, acesta va avea mai puțin cu un cuvânt! Se repetă operația de căutare de mai sus până când în șirul rămas nu mai există o pereche $(a,b)$ de cuvinte vecine, astfel încât $b$ să fie obținut prin transformarea lui $a$. Se știe că pe parcursul modificărilor, cuvintele nu-și schimbă numerele de ordine pe care le-au avut inițial. # Cerință Scrieți un program care să citească șirul de cuvinte și să afișeze: 1. numărul de ordine al primului cuvânt șters sau valoarea $0$ în cazul în care nu se șterge niciun cuvânt 2. numerele de ordine ale cuvintelor rămase după finalizarea operațiilor de modificare. # Date de intrare Fișierul de intrare `cuvinte.in` conține o singură linie pe care se află șirul de cuvinte separate două câte două printr-un spațiu. **După ultimul cuvânt din șir există caracterul `!`.** # Date de ieșire Fișierul de ieșire `cuvinte.out` va conține pe prima linie numărul de ordine al primului cuvânt șters sau valoarea $0$ în cazul în care nu se șterge niciun cuvânt. Pe a doua linie vor fi scrise numerele de ordine ale cuvintelor rămase în final în șirul de cuvinte, separate prin câte un spațiu. Aceste numere pot fi scrise în orice ordine. # Restricții și precizări * Fiecare cuvânt are maxim $10$ caractere, iar în șirul inițial nu există mai mult de $25$ cuvinte. * Șirul de cuvinte inițial este format din cel puțin un cuvânt. O pereche de cuvinte vecine $(a,b)$, din șirul de cuvinte este caracterizată prin faptul că, după cuvântul $a$ se afla imediat cuvântul $b$. * Se acordă punctaje parţiale: cerinţa 1 este $40\%$ din punctaj, iar cerinţa 2 este $60\%$ din punctaj.

VII

zar

romanian

zar.in

zar.out

OJI 2010 VII: Problema 2

Zarul folosit la diverse jocuri este un cub care are desenat pe fiecare față a sa $1, 2, 3, 4, 5$ sau $6$ puncte. Pe un zar nu există două fețe cu același număr de puncte și suma punctelor de pe oricare două fețe opuse este egală cu $7$. Pe o masă de joc este desenat un traseu în formă de pătrat, cu latura de dimensiune $n$. Fiecare latură a traseului este împărțită în $n$ pătrățele identice, care au latura egală cu cea a zarului. Zarul este așezat inițial în colțul din stânga sus al traseului și apoi rostogolit de pe o față pe alta, din pătrățel în pătrățel, de-a lungul traseului parcurs în sensul acelor de ceasornic. În orice moment ne-am uita la zar, putem vedea numărul punctelor desenate pe trei din fețele sale (așa cum se vede în desenul de mai sus). Notăm cu $f_1$ fața cubului orientată spre noi, $f_2$ fața superioară a cubului, respectiv cu $f_3$ fața laterală din dreapta. Pentru exemplul din figură: $n = 4$, fața dinspre noi ($f_1$) conține trei puncte, fața superioară ($f_2$) conține două puncte, fața laterală din dreapta ($f_3$) conține un punct, iar sensul de deplasare este cel precizat prin săgeți. ~[zar.png] # Cerință Cunoscând dimensiunea $n$ a traseului și numărul punctelor de pe cele trei fețe ale zarului în poziția inițială, determinați după $k$ rostogoliri numărul punctelor ce se pot observa pe fiecare din cele trei fețe ale zarului. # Date de intrare Fișierul `zar.in` conține pe prima linie numerele naturale $n$ și $k$ despărțite printr-un spațiu. Pe linia a doua se află trei numere naturale separate prin spații ce corespund numărului de puncte de pe fețele $f_1, f_2$, respectiv $f_3$ ale zarului în poziția inițială. # Date de ieșire Fișierul `zar.out` va conține o singură linie cu trei numere naturale separate prin câte un spațiu, care reprezintă numărul punctelor ce se pot observa pe fețele $f_1$, $f_2$ și $f_3$ (în această ordine) după ce au fost efectuate $k$ rostogoliri pe traseul dat. # Restricții și precizări * $2 \leq n \leq 20 \ 000$ * $1 \leq k \leq 1 \ 000 \ 000$

VII

grad

romanian

grad.in

grad.out

OJI 2009 VII: Problema 1

Avem la dispoziție un text format din litere mici ale alfabetului englez și spații. În text cuvintele sunt separate prin unul sau mai multe spații. Fiecare literă din alfabet are asociat un număr ce reprezintă ordinea literei în alfabet. Astfel, `a` are asociat numărul $1$, `b` numărul $2$, `c` numărul $3$ și așa mai departe. Folosind această asociere definim *gradul* unui cuvânt ca fiind suma numerelor asociate fiecărei litere. Spre exemplu cuvântul `bac` are *gradul* $2+1+3=6$. Folosind cuvintele unui text putem forma grupe de cuvinte. Două cuvinte fac parte din aceeași grupă, dacă au același *grad*. # Cerință Să se scrie un program care, pentru un text dat determină numărul de cuvinte și numărul de grupe. # Date de intrare Fișierul de intrare `grad.in` are pe prima linie un număr natural $n$ reprezentând numărul de caractere din text, iar pe linia a doua textul. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `grad.out` va conține pe prima linie numărul de cuvinte, iar pe linia a doua numărul de grupe. # Restricții și precizări * $1 \leq n < 255$ * Textul conține cel puțin un cuvânt. * Primul și ultimul caracter din text este literă. * Pentru determinarea corectă a numărului de cuvinte se obţine $30\%$ din punctaj. Pentru determinarea corectă a ambelor valori se obtine $100\%$ din punctaj.

VII

startrek

romanian

startrek.in

startrek.out

OJI 2009 VII: Problema 2

Jean-Luc Picard, căpitanul navei spațiale Enterprise, a constatat că în vecinătatea navei sale au apărut $n$ nave borgiene. Distanțele dintre acestea și nava Enterprise sunt $d_1, d_2, \dots, d_n$. Navele borgiene nu se deplasează unele în raport cu altele și nici în raport cu nava Enterprise. Pozițiile în spațiu ale celor $n$ nave borgiene și poziția navei Enterprise sunt distincte două câte două (nu există două nave care să ocupe același punct în spațiul tridimensional). La un moment dat, toate cele $n$ nave borgiene declanșează simultan atacul, lansând câte un proiectil în direcția navei Enterprise. Pereții navei Enterprise sunt rezistenți la asemenea atacuri, însă căpitanul decide să distrugă un număr maxim de proiectile cu ajutorul armei laser. Cele n proiectile se deplasează cu vitezele constante $v_1, v_2, \dots, v_n$ exprimate în metri pe secundă. Căpitanul Jean-Luc Picard are la dispoziție o armă laser cu care poate distruge pe rând câte un proiectil. Arma poate fi orientată instantaneu spre oricare navă borgiană. Arma laser poate executa oricâte trageri începând cu momentul declanșării atacului, dar după fiecare tragere are nevoie de $t$ secunde pentru a se reîncărca cu energie. În acest interval de timp nu se poate efectua o altă tragere. Orientarea armei laser spre un anumit proiectil nu consumă timp. De asemenea, timpul scurs între momentul tragerii și distrugerea proiectilului vizat este zero. Căpitanul nu ratează ținta niciodată, iar proiectilele care reușesc să lovească nava Enterprise nu-l pot împiedica pe căpitanul Picard să continue să tragă asupra altor proiectile aflate în mișcare. # Cerință Să se găsească numărul maxim de proiectile care pot fi distruse cu arma laser. # Date de intrare Fișierul de intrare `startrek.in` conține pe prima linie numerele naturale $n$ și $t$, reprezentând numărul de nave borgiene, respectiv timpul de reîncărcare a armei laser cu energie. Pe linia a doua, sunt $n$ numere naturale $d_1 \ d_2 \ \dots \ d_n$ reprezentând distanțele la care se găsesc navele borgiene față de nava Enterprise. Pe linia a treia se găsesc $n$ numere naturale $v_1, v_2, \dots, v_n$ reprezentând vitezele de deplasare ale celor $n$ proiectile. # Date de ieșire În fișierul de ieșire `startrek.out` va conține un număr natural $p$, reprezentând numărul maxim de proiectile distruse. # Restricții și precizări * $2 \leq n \leq 4 \ 000$; * $1 \leq d_1, d_2, \dots, d_n \leq 10 \ 000$; * $1 \leq v_1, v_2, \dots, v_n$; * $t \leq 1 \ 000$; * Dacă momentul în care un proiectil ar trebui să lovească nava coincide cu momentul în care se trage cu arma laser asupra lui, se consideră că Enterprise distruge acel proiectil. * Dacă viteza unui proiectil este $v$, atunci în timpul $t$, acesta străbate distanța $d = v \cdot t$

VII

culori

romanian

culori.in

culori.out

OJI 2008 VII: Problema 1 (Modificată)

Într-o cameră sunt aşezate $n \cdot m$ acvarii identice, pe $n$ rânduri, câte $m$ pe fiecare rând, unul lângă altul. În fiecare acvariu se află un singur peşte. Peştele poate fi de culoare roşie (culoare codificată cu $r$) sau albastră (codificată cu $a$). La fiecare moment de timp $t = 1,2,3,\dots$, peştii îşi modifică simultan culoarea astfel: fiecare peşte se colorează în culoarea pe care au avut-o la momentul $t-1$ majoritatea peştilor din acvariile învecinate (ca în desenul alăturat, sunt cel mult $8$ acvarii vecine notate cu $V_1,V_2,V_3,\dots,V_8$). În cazul în care numărul peştilor vecini roşii este egal cu numărul peştilor vecini albaştri, peştele studiat îşi va păstra culoarea. ~[culori.png|width=17em] # Cerință Scrieţi un program care să citească numerele naturale $n,m,t$ şi cele $n \cdot m$ coduri ale culorilor peştilor (cele de la momentul iniţial $t=0$) şi care să determine şi să afişeze codurile culorilor peştilor de la momentul $t$. # Date de intrare Fișierul `culori.in` contine: - pe prima linie numerele naturale $n \ m$ şi $t$, separate printr-un singur spaţiu, cu semnificaţia: - $n =$ numărul de rânduri pe care sunt aşezate acvariile - $m =$ numărul de coloane pe care sunt aşezate acvariile - $t =$ momentul de timp - pe următoarele $n$ linii se află câte $m$ caractere $r$ sau $a$, pentru fiecare rând de acvarii, obţinute astfel: - dacă peştele din acvariul cu numărul de ordine $i$ din rândul curent este roşu, atunci cel de-al $i$-lea caracter din linia fişierului de intrare, corespunzătoare rândului curent, este `r` - dacă peştele din acvariul cu numărul de ordine $i$ din rândul curent este albastru atunci cel de-al $i$-lea caracter din linia fişierului de intrare, corespunzătoare rândului curent, este `a` # Date de ieșire Fişierul de ieşire `culori.out` va conţine $n$ linii, fiecare linie va conţine câte $m$ caractere $r$ sau $a$, reprezentând codurile culorilor peştilor din rândul corespunzător numărului liniei curente din fişier # Restricții și precizări * $2 \leq n \leq 50$ * $2 \leq m \leq 50$ * $1 \leq t \leq 2 \ 300 \ 000$

VII

virus

romanian

virus.in

virus.out

OJI 2008 VII: Problema 2 (Modificată)

Pe Planeta ZUZU anul are $10 \ 000 \ 000$ zile, numerotate de la $1$ la $10 \ 000 \ 000$. La institutul de cercetări planetar, o grupă de specialişti au grijă de mai multe populaţii de viruşi. Pentru fiecare populaţie se alocă un interval de zile de lucru $[a, b]$, $a$ şi $b$ zile din anul zuzulian, în care se fac determinări asupra numărului de indivizi ai populaţiei, asupra formelor noi de viruşi apăruţi etc. Directorul institutului a constatat că există însă şi perioade în care nu se execută nici o cercetare, motiv pentru care l-a angajat pe Atomel, un statistician vestit, care trebuie să verifice perioada cea mai lungă de lucru în care cercetătorii sunt ocupaţi cu populaţiile de viruşi, precum şi cea mai lungă perioadă în care nu se face nici un studiu asupra viruşilor. # Cerință Fiind date numărul $n$ de intervale de lucru asupra populaţiilor de viruşi, precum şi pentru fiecare interval ziua de început şi cea de sfârşit a intervalului de lucru, să se determine care este cea mai lungă perioadă în care se lucrează asupra populaţiilor de viruşi, precum şi cea mai lungă perioadă în care nu se efectuează nici o observaţie asupra viruşilor. # Date de intrare Fişierul de intrare `virus.in` conţine pe prima linie o valoare n cu semnificaţia numărul de intervale date; pe următorele $n$ linii câte două valori separate prin spaţiu ce descriu un interval $[a, b]$ de lucru şi observaţii asupra populaţiilor de viruşi. Intervalele sunt date corect, $a<b$. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `virus.out` conţine două valori separate printr-un spaţiu $L \ P$, unde $L$ reprezintă perioada cea mai lungă în care se fac cercetări asupra populaţiilor de viruşi, iar $P$ perioada cea mai lungă în care nu se fac observaţii. # Restricții și precizări * $0 < n \leq 5 \ 000$; * $1 \leq a, b \leq 10 \ 000 \ 000$; unde $a$ și $b$ descriu un interval de timp.

VII

ceas

romanian

ceas.in

ceas.out

OJI 2007 VII: Problema 1

Afișarea cu ajutorul led-urilor este un fapt banal astăzi. Pe lângă consumul redus, oferă și o imagine spectaculoasă, atractivă. Fiind informaticieni în devenire, este util pentru noi să avem la dispoziție un **ceas binar**. Un astfel de ceas are 8 coloane de leduri. Fiecărei cifre din afișarea orei îi corespunde o coloană verticală cu maxim $4$ leduri. Fiecare cifră a orei este reprezentată în binar, iar coloana corespunzătoare de leduri vizualizează această reprezentare, poziția binară $0$ a reprezentării fiind la baza coloanei. Astfel, orei `10:35:42.68` îi va corespunde configurația: ~[ceas.png|align=center] Este evident faptul că prima coloană are nevoie doar de $2$ leduri, deoarece această coloană vizualizează doar valorile $0, 1$ și $2$. În mod analog, coloanele $3$ și $5$ au nevoie doar de $3$ leduri, deoarece valorile care trebuie vizualizate sunt $0, 1, 2, 3, 4, 5$. În celelate coloane vor fi vizualizate și valorile $7, 8$ și $9$, deci sunt necesare câte $4$ leduri. # Cerință Fiind dată configurația ceasului binar la un moment dat și o perioadă de timp exprimată în sutimi de secundă, să se determine și să se afișeze configurația ceasului după trecerea perioadei respective de timp. # Date de intrare Fișierul de intrare `ceas.in` conține $5$ linii. Primele $4$ linii conțin configurația inițială a ceasului, iar linia a $5$-a perioada de timp $t$. Pentru configurația ceasului se folosesc caracterele ` `$\ $(spațiu), `x` și `o`. Caracterul ` `$\ $reprezintă poziția unui led care lipsește, caracterul `x` poziția unui led stins iar caracterul `o` poziția unui led aprins. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `ceas.out` conține pe primele $4$ linii configurația finală a ceasului în modul descris mai sus, utilizând aceleași caractere ` `, `x`, `o`. Cele $4$ linii încep din coloana $1$. # Restricții și precizări * $0 \leq t \leq 2 \cdot 10^9$;

VII

excel

romanian

excel.in

excel.out

OJI 2007 VII: Problema 2

Gigel, elev în clasa a VII-a, pasionat de aplicațiile informatice, s-a gândit să-și facă un program care să simuleze cunoscutul produs Excel. Zis și făcut, s-a pus pe treabă și într-o oră a reușit să realizeze un program asemănător Excel-ului, dar care, spre deosebire de original, nu poate face decât o singură operație în celulele sale: suma. Încercați și dumneavoastră să realizați isprava lui Gigel! Reamintim că o foaie de calcul în Excel se prezintă sub forma unei suprafețe liniate cu linii orizontale și verticale. Prin intersecția lor rezultă dreptunghiuri (numite celule), fiecare celulă având un nume format dintr-o literă și un număr, reprezentând coloana, respectiv linia pe care se află. ~[excel.png|align=center|width=45em] De exemplu, celula din stânga sus este $A1$, urmată, pe linie, de $B1, C1$, etc. Introducerea unei formule într-o celulă începe întotdeauna cu semnul `=`. De exemplu dacă în celula `C2` scriem `=A2+B2` înseamnă că în această celulă se va scrie rezultatul adunării valorilor din celulele $A2$ și $B2$. Pot exista și celule cu formula `=A5` ceea ce înseamnă că în celula respectivă vom avea un rezultat egal cu cel din celula $A5$. Fiind abia la început și în ceea ce privește programarea și în ceea ce privește aplicația Excel, Gigel se gândește ca programul său să completeze celulele începând cu prima coloană, apoi a doua etc., astfel că formulele care pot apărea în celula ($col$, $lin$) pot folosi datele din coloanele $1$ până la $col-1$ și din celulele aflate pe liniile $1$ până la $lin-1$ din coloana $col$. # Cerință Dându-se o foaie de calcul să se înlocuiască toate formulele care apar, prin rezultatele obținute respectând cerințele date în text. # Date de intrare Fișierul `excel.in` are pe prima linie două valori $m \ n$, separate printr-un spațiu, reprezentând numărul de coloane, respectiv de linii ale foii de calcul. Pe următoarele $n$ linii se descriu cele $m$ coloane ale foii. O descriere poate fi formată din valori întregi pozitive sau formule separate printr-un singur spațiu. Formulele sunt șiruri de caractere care încep întotdeauna cu semnul `=`. Fișierul de intrare se consideră corect, în sensul că operațiile care apar se pot executa, iar foaia de calcul se poate completa. # Date de ieșire Fișierul `excel.out` va conține $n$ linii, pe fiecare linie câte $m$ valori reprezentând rezultatul final al operațiilor realizate în foaia de calcul. # Restricții și precizări * $0$ < numărul de coloane $\leq 26$, notate de la `A` la `Z`; * $0$ < numărul de linii $\leq 50$; * fiecare linie ce descrie foaia Excel are o lungime maximă $< 256$; * fiecare valoare numerică din foaia de calcul inițială este un număr pozitiv $\leq 100$; * formulele care pot să apară în celule se referă doar la operația de adunare.

VII

harry

romanian

harry.in

harry.out

OJI 2006 VII: Problema 1

Tânărul Harry Potter a descoperit într-una din camerele castelului Hogwarts, o hartă, care în urma unei vrăji a făcut să apară un text secret. Textul scris doar cu litere mici ale alfabetului englez, constituie o cheie spre o vrajă nouă folositoare la meciurile de vâjhaț. Cheia nouă se obține astfel: * din textul secret se formează toate cuvintele posibile din litere aflate pe poziții consecutive * dintre cuvintele formate se alege cel care este cel mai mare din punct de vedere lexicografic. Se consideră că două cuvinte $a_1 a_2 a_3 \dots a_k$ < $b_1 b_2 b_3 \dots b_l$, cuvintele fiind date prin caracterele ce le compun, sunt în ordine lexicografică dacă există un indice $i \leq k$ sau $i \leq l$ astfel încât $a_i < b_i$ iar $a_j = b_j$ oricare ar fi $j < i$. Exemplu: dacă textul găsit de Harry este `abcd` atunci din el se vor obține cuvintele: `a`, `b`, `c`, `d`, `ab`, `bc`, `cd`, `abc`, `bcd`, `abcd`, iar soluția este `d` fiind cel mai mare din punct de vedere lexicografic. # Cerință Scrieți un program care, citind textul inițial, determină cuvântul cel mai mare din punct de vedere lexicografic dintre toate cuvintele formate în modul explicat mai sus. # Date de intrare Fișierul de intrare `harry.in` conține o singură linie pe care este scris textul inițial. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `harry.out` va conține pe prima linie cuvântul ce constituie soluție. # Restricții și precizări * $1 \leq$ lungime text $\leq 255$;

VII

grupe

romanian

grupe.in

grupe.out

OJI 2006 VII: Problema 2

Doamna directoare trebuie să împartă elevii din clasele a VII-a în $k$ grupe pentru un concurs. Numărul de elevi din oricare două grupe trebuie să difere cel mult cu $1$, iar numărul de fete și de băieți din fiecare grupă trebuie să difere tot cu cel mult $1$. Știind că sunt maxim $200$ de elevi în clasele a VII-a, doamna directoare, după ce formează grupele, dorește să fie verificat dacă acestea sunt bine realizate (fiecare copil să apară într-o singură grupă și grupele să satisfacă condițiile cerute). Spre exemplu: - Pentru $10$ copii în clasele a VII-a, un număr de $3$ grupe, șirul care indică componența fete sau băieți: `fbfbfbfbfb` cu semnificația copilul cu numărul de ordine $1$ este fată, cel cu numărul $2$ este băiat, etc.. - Prima grupă are $3$ copii și componența: $1 \ 2 \ 10$; - Grupa a doua are $3$ copii și componența: $3 \ 4 \ 9$; - Grupa a treia are $4$ copii și componența: $5 \ 6 \ 7 \ 8$; - Răspunsul este: grupele au fost corect alcătuite. - Numerele ce formează o grupă reprezintă numărul de ordine pe care îl are fiecare copil în șirul inițial. # Cerință Scrieți un program care, cunoscând numărul total de copii, numărul de grupe, un șir format din caracterele `f` și `b` pentru fiecare copil dacă este fată sau băiat, numărul de copii din fiecare grupă și componența grupelor, răspunde prin `DA` sau `NU` dacă s-au constituit corect sau nu grupele de copii. Pentru fiecare grupă se va preciza numărul de fete și numărul de băieți din grupa respectivă. Grupele sunt corect constituite dacă sunt cuprinși toți copiii, numărul de copii din grupe diferă prin cel mult un copil și pentru fiecare grupă numărul de fete și de băieți diferă prin cel mult $1$. # Date de intrare Fișierul `grupe.in` conține pe prima linie numerele naturale $n$ și $k$, reprezentând numărul de elevi din clasele a VII-a și respectiv numărul de grupe pe care dorește să-l realizeze directoarea. Pe următoarea linie se află un șir de $n$ caractere `f` și `b` format astfel: dacă elevul cu numărul de ordine $i$ este fată, caracterul de pe poziția $i$ din șir este `f`; dacă elevul cu numărul de ordine $i$ este băiat, caracterul de pe poziția $i$ din șir este `b`. Următoarele $k$ linii vor avea următoarea structură: numărul de copii din grupă urmat de numerele de ordine ale copiilor care formează grupa respectivă. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `grupe.out` va conține pe primele $k$ linii câte două valori numere naturale reprezentând numărul de băieți și numărul de fete din fiecare grupă, separate prin câte un spațiu și pe ultimul rând cuvântul `DA` dacă grupele sunt constituite corect sau cuvântul `NU` în caz contrar. # Restricții și precizări * $1 \leq n, k \leq 200$;

VII

ocr

romanian

ocr.in

ocr.out

OJI 2005 VII: Problema 1

O imagine va fi reprezentată ca un tablou dreptunghiular de numere reale, fiecare număr reprezentând o valoare pe scala de gri a imaginii. Valorile sunt cuprinse între $0$ (corespunzând unei regiuni total albe) și $1$ (pentru zona total neagră), cu două zecimale. Centrul de gravitate al imaginii este un element al tabloului. Să presupunem că el se află pe linia $i$ și coloana $j$. Atunci diferența, în modul, dintre suma elementelor din zona aflată deasupra liniei $i$ și suma elementelor din zona aflată sub linia $i$, este minimă. În mod analog, pentru această diferență minimă, diferența, în modul, dintre suma elementelor din stânga coloanei $j$ și suma elementelor din dreapta coloanei $j$ trebuie să fie de asemenea minimă. Să considerăm ca exemplu următorul tabloul care poate proveni din scanarea literei mici ‘o’. Centrul de gravitate este pe linia $3$ și coloana $3$, deoarece diferența sumelor elementelor din fiecare zonă formată ignorând linia a treia este $0.1$ (sumele sunt $5.55$ și $5.65$) și de asemenea, diferența sumelor elementelor fiecărei zone formate ignorând coloana a treia este $0.1$ (sumele sunt $5.60$ și $5.70$). ~[ocr.png|width=30em] # Cerință Scrieți un program care să determine centrul de gravitate al unei imagini scanate. # Date de intrare Fișierul text de intrare `ocr.in` conține reprezentarea unei imagini. Prima linie a fișierului de intrare conține două valori naturale $n$ și $m$ separate printr-un spațiu reprezentând numărul de linii și respectiv numărul de coloane ale tabloului. Urmează $n$ linii, fiecare conținând câte $m$ numere reale din intervalul [$0, 1$] separate prin câte un spațiu, reprezentând imaginea scanată. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `ocr.out` va conține o singură linie pe care se găsesc două numere naturale $l$ și $c$, separate printr-un spațiu, reprezentând coordonatele (linie, coloană) centrului de gravitate. În cazul în care sunt determinate mai multe centre de gravitate, se vor afișa coordonatele celui cu indicele de linie maxim; dacă există mai multe centre de gravitate pe aceeași linie, se va afișa cel cu indicele de coloană maxim. # Restricții și precizări * $1 \leq n, m \leq 50$; * Valorile reale sunt exprimate cu maximum două zecimale * Liniile sunt numerotate de la $1$ la $n$ (de sus în jos), iar coloanele de la $1$ la $m$ (de la stânga la dreapta).

VII

tabel

romanian

tabel.in

tabel.out

OJI 2005 VII: Problema 2

După cum probabil știți, contabilii își țin datele sub formă de tabele și calculează tot felul de sume pe linii și pe coloane. Contabilul nostru Atnoc și-a organizat valorile sub forma unui tabel cu $n$ linii (numerotate de la $1$ la $n$) și $m$ coloane (numerotate de la $1$ la $m$). Elementele de pe ultima coloană sunt sumele elementelor de pe linii (mai exact, elementul de pe linia $i$ și coloana $m$ este egal cu suma elementelor de pe linia $i$ aflate pe coloanele $1, 2, \dots, m-1$), iar elementele de pe ultima linie sunt sumele elementelor de pe coloane (mai exact, elementul de pe linia $n$ și coloana $i$ este egal cu suma elementelor de pe coloana $i$ aflate pe liniile $1, 2, \dots, n-1$). Un exemplu de astfel de tabel este dat în figura următoare. Din păcate, Atnoc a stropit cu apă minunatul său tabel și astfel o parte dintre numerele din tabel au devenit ilizibile. ~[tabel.png|width=30em] # Cerință Scrieți un program care să reconstituie toate datele din tabel. # Date de intrare Pe prima linie a fișierului text de intrare `tabel.in` se află două numere naturale $n$ și $m$, separate printr-un spațiu, ce reprezintă numărul de linii și respectiv numărul de coloane ale tabelului. Pe cea de a doua linie a fișierului de intrare se află un număr natural $p$ care reprezintă numărul de valori nedeteriorate din tabel. Pe fiecare dintre următoarele $p$ linii se află câte trei numere naturale, separate prin câte un spațiu $l \ c \ v$, unde $l$ este numărul liniei, $c$ este numărul coloanei și $v$ este valoarea elementului de pe linia $l$ și coloana $c$ din tabel. # Date de ieșire În fișierul text de ieșire `tabel.out` se va scrie tabelul reconstituit, pe $n$ linii câte $m$ valori separate prin câte un spațiu. # Restricții și precizări * $1 < n, m \leq 50$ * Valorile din tabel sunt numere naturale $< 32 \ 000$. * În toate testele datele din tabel pot fi reconstituite.

VII

siruri

romanian

siruri.in

siruri.out

OJI 2004 VII: Problema 1

Se consideră un vector unidimensional $x$ cu $n$ componente numere naturale distincte, cel mult egale cu $32 \ 000$. # Cerință Scrieți un program care să construiască vectorul $y$ cu elemente din mulțimea $\{1, 2, \dots, n\}$ astfel încât oricare ar fi numerele naturale $i, j$ cu proprietatea că $1 \leq i \leq n$, $1 \leq j \leq n$ și $x_i < x_j$ să avem $y_i < y_j$. # Date de intrare Fișierul de intrare `siruri.in` va conține: * pe prima linie numărul $n$ * pe linia a doua componentele vectorului $x$ separate prin câte un spațiu # Date de ieșire Fișierul de ieșire `siruri.out` va conține pe prima linie componentele vectorului $y$ separate prin câte un spațiu. # Restricții și precizări * $1 \leq n \leq 100$; * Componentele vectorului x sunt numere naturale cel mult egale cu $32 \ 000$.

VII

NU te supăra, FRATE!

romanian

joc.in

joc.out

OJI 2004 VII: Problema 2

Jocul “Nu te supăra, frate!” se joacă de către doi jucatori. Pe o pistă circulară cu $n$ căsuţe numerotate de la $1$ la $n$, în ordinea dată de sensul acelor de ceasornic, se află înscrise valorile $0, 1$ şi $10$. Cei doi jucători vor avea fiecare câte un pion şi vor porni pe rând, din căsuţa $1$. Începe jucătorul $1$. Fiecare jucător va muta pionul său conform cu valoarea obţinută prin aruncarea zarului, cumulând sau pierzând puncte în funcţie de căsuţa în care ajunge. Fiecare jucător citeşte valoarea zarului când îi vine rândul. Jocul are urmatoarele reguli: 1. Câştigătorul poate fi: - jucătorul care ajunge primul din nou în căsuţa cu numărul $1$, indiferent de punctaj (exceptând cazul în care are punctaj $0$) - în cazul în care se termină şirul aruncărilor cu zarul, înseamnă că jucătorii s-au plictisit şi câştigă cel care a cumulat mai multe puncte, iar dacă au punctaje egale câştigă cel care se află în căsuţa cu număr de ordine mai mare. 2. După aruncarea zarului, jucătorul mută pionul cu atâtea căsuţe cât indică valoarea zarului, în ordinea acelor de ceasornic, începând numărătoarea cu căsuţa următoare poziţiei pe care se află. Prima căsuţă nu conţine valoarea $0$ (zero). 3. După mutare pot apare următoarele situaţii: - ajunge într-o căsuţă cu valoarea $0$ (zero) – jucătorul este penalizat, pierde toate punctele acumulate şi reia jocul din pozitia $1$ - ajunge într-o căsuţă cu valoarea $10$ – primeşte un bonus de $10$ puncte - ajunge într-o căsuţă cu valoarea $1$ – primeşte $1$ punct - ajunge într-o căsuţă în care se află celălalt pion (cu excepţia căsuţei $1$, când câştigă) – jucătorul care ajunge ultimul este penalizat, pierde toate punctele şi reia jocul de la căsuţa $1$. # Cerință Determinaţi jucătorul câştigător, poziţiile fiecărui jucător pe cerc şi punctajul fiecărui jucător. # Date de intrare În fişierul `joc.in` se dau: - Pe prima linie numărul $n$ al casutelor din cerc. - Linia a doua conţine o succesiune de $n$ valori ($0, 1$ sau $10$), separate printr-un spaţiu, reprezentând valoarea fiecărei căsuţe. - Linia a treia conţine numărul de aruncări cu zarul - Linia a patra conţine o succesiune de valori întregi cuprinse între $1$ şi $6$, separate printr-un spaţiu, reprezentând aruncarea cu zarul. # Date de ieșire Fişierul `joc.out` va conţine $3$ linii cu următoarele informaţii: - pe prima linie: jucătorul câştigător - pe a doua linie: poziţia şi punctajul jucătorului numărul $1$. - pe a treia linie: poziţia şi punctajul jucătorului numărul $2$. # Restricții și precizări * $7 \leq n \leq 100$;

VII

sir

romanian

sir.in

sir.out

OJI 2003 VII: Problema 1

Să considerăm următorul şir: `a`$,$ `b`$,$ `ba`$,$ `bab`$,$ `babba`$,$ `babbabab`$, \dots$ # Cerință Scrieţi un program care să determine care este cel de-al $n$-lea termen al şirului # Date de intrare Fişierul de intrare `sir.in` conţine o singură linie pe care se află numărul natural $n$. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `sir.out` va conţine o singură linie pe care se află al $n$-lea termen din şir # Restricții și precizări * $1 \leq n \leq 20$;

VII

paranteze

romanian

paranteze.in

paranteze.out

OJI 2003 VII: Problema 2

Considerăm şiruri formate din paranteze de două tipuri: paranteze rotunde şi paranteze drepte. Parantezele se codifică în felul următor: paranteză rotundă deschisă cu $0$, paranteză rotundă închisă cu $1$, paranteză dreaptă deschisă cu $2$, paranteză dreaptă închisă cu $3$. Spre deosebire de convenţia uzuală din matematică, aici pot exista şi paranteze rotunde incluse în paranteze drepte şi paranteze drepte incluse în paranteze rotunde. Nu putem asocia unei paranteze rotunde deschise o paranteză dreaptă închisă sau viceversa. # Cerință Să se decidă dacă un astfel de şir este corect construit, în sensul că putem asocia corect două câte două parantezele de fiecare tip # Date de intrare Fişierul de intrare `paranteze.in` conţine pe prima linie numărul $n$ (numărul de şiruri ale testului). Apoi pe fiecare din liniile $2, 3, \dots, n+1$ se află numerele $L \ c_1 \ c_2 \ \dots \ c_L$, numărul natural $L$ reprezintă lungimea unui şir de paranteze codificat conform enunţului. Valorile $c_1, c_2, \dots, c_L$ reprezintă codurile respective. Toate numerele sunt despărţite prin câte un spaţiu. # Date de ieșire În fişierului de ieșire `paranteze.out` se va scrie $n$ linii. Pe câte o linie va fi scris câte un mesaj. Pe fiecare linie se va scrie unul din mesajele `Da`, respectiv `Nu`, reprezentând rezultatele verificării corectitudinii şirurilor. Ordinea lor corespunde ordinii şirurilor din fişierul de intrare # Restricții și precizări * $1 \leq n \leq 10$; * Fiecare valoare $L$ îndeplineşte condiţia: $1 \leq L \leq 500$.

VII

panglica

romanian

panglica.in

panglica.out

OJI 2002 VII: Problema 1 (Modificată)

Gigel are o panglică alcătuită din benzi de $1 cm$ lăţime, colorate în diverse culori. Panglica are $N$ benzi, fiecare colorată cu una din $C$ culori, culori pe care le vom numerota de la $1$ la $C$. Gigel vrea ca la ambele capete ale panglicii să aibă aceeaşi culoare, dar cum nu poate schimba culorile benzilor, singura posibilitate rămâne tăierea unor bucăţi de la capete. # Cerință Scrieţi un program care să determine modul de tăiere a panglicii astfel încât la cele două capete să fie benzi de aceeaşi culoare, iar lungimea panglicii obţinute să fie maximă. # Date de intrare Fişierul de intrare `panglica.in` conţine: - pe prima linie numerele naturale $N$ şi $C$ separate printr-un spaţiu; - pe următoarele $N$ linii descrierea panglicii: pe fiecare linie un număr natural de la $1$ la $C$, reprezentând în ordine culorile fâşiilor ce alcătuiesc panglica. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `panglica.out` va conţine următoarele $4$ numere: - pe prima linie numărul de fâşii rămase; - pe linia a doua numărul culorii care se află la capete; - pe linia a treia câte fâşii trebuie tăiate de la începutul panglicii iniţiale; - pe linia a patra câte fâşii trebuie tăiate de la sfârşitul panglicii iniţiale # Restricții și precizări * $2 \leq N \leq 10 \ 000$; * $1 \leq C \leq 200$; * Dacă există mai multe soluţii alegeţi pe cea în care se taie cât mai puţin din partea de început a panglicii.

VII

joc

romanian

joc.in

joc.out

OJI 2002 VII: Problema 2 (Modificată)

Doi prieteni au inventat un nou joc — jocul pietricelelor. Ei au la dispoziţie $N$ grămezi, fiecare dintre ele conţinând un număr distinct de pietricele. Jocul constă în alegerea unui număr oarecare de grămezi din cele $N$ date, pentru a obţine în total (adunând numărul de pietricele din grămezile selectate) un număr de pietricele cu $1$ mai mare decât ultimul număr obţinut de partenerul de joc. Primul jucător trebuie să obţină la prima sa mutare un total de $1$ pietricică. Deci, obligatoriu al doilea jucător trebuie să obţină la prima sa mutare un total de $2$ pietricele. La a doua mutare, primul jucator este obligat sa obţină un total de $3$ pietricele, ş.a.m.d. Câştigă cel care a obţinut totalul maxim, sau, altfel spus, pierde cel care nu reuşeşte să obţină la rândul său un total cu exact o pietricica mai mare decât ultimul total obţinut de partenerul de joc. # Cerință Scrieţi un program care determină numărul de pietricele obţinut la ultima sa mutare de jucătorul câştigător. # Date de intrare Fişierul de intrare `joc.in` conţine: - pe prima linie numărul $N$ de grămezi; - pe a doua linie $N$ numere ordonate crescător, reprezentând numărul de pietricele din fiecare grămadă (vectorul $v$). # Date de ieșire Fişierul de ieşire `joc.out` va conţine pe prima linie numărul determinat. # Restricții și precizări * $N \leq 100 \ 000$. * Pentru teste în valoare de $50$ de puncte, $n \leq 1 \ 000$, iar toate numerele care intervin în problemă sunt mai mici decât $5 \ 000$. * Valorile din vectorul $v$ sunt $\leq 100 \ 000$; * Testele și restricțiile au fost refăcute pentru a face problema conformă cu nivelul la care s-a dat și cu anul $2023$.

VII

hibrid

romanian

hibrid.in

hibrid.out

OJI 2023 VIII: Problema 1

O mașină hibrid se deplasează pe o șosea rectilinie folosind, alternativ, fie motorul termic (pe benzină), fie motorul electric. Axa numerelor întregi poate fi folosită pentru a descrie coordonatele de pe șosea. Deplasarea mașinii folosind motorul electric se efectuează fără taxă, dar unele porțiuni din șosea necesită folosirea motorului termic, ceea ce impune plata anumitor taxe. Se cunoaște lista celor $P$ porțiuni taxabile de șosea, numerotate de la $1$ la $P$, **oricare două dintre ele fiind disjuncte**. Fiecare porțiune este descrisă de trei numere întregi: $st_i$, $dr_i$ și $c_i$ ($1 \leq i \leq P$), cu semnificația că pe porțiunea de șosea situată între coordonatele $st_i$ și $dr_i$ (inclusiv la capetele $st_i$ și $dr_i$) se va folosi motorul termic și se va achita taxa în valoare de $c_i$ lei. Această taxă se va plăti la fiecare traversare a porțiunii, indiferent de sensul deplasării. Traseul pe care mașina hibrid îl are de străbătut conține $N$ borne amplasate pe șosea, numerotate de la $1$ la $N$, în ordinea în care acestea trebuie vizitate. Pentru fiecare dintre cele $N$ borne se cunoaște coordonata poziției sale pe șosea: $x_1, x_2,x_3, \ldots, x_N$. Deplasarea între două borne consecutive de pe traseu, adică între borna $i$ și borna $(i+1)$ (pentru fiecare $i$: $1 \leq i < N$), se face pe drumul cel mai scurt, respectiv pe segmentul de dreaptă ce unește punctele cu coordonatele $x_i$ și $x_{i+1}$ de pe șosea. **Mașina hibrid va începe traseul din dreptul bornei cu numărul de ordine $1$, adică de la coordonata $x_1$ de pe șosea.** *De asemenea, se știe că nicio bornă de pe traseu nu se află în interiorul sau la capetele porțiunilor taxabile, unde se folosește deplasarea cu motorul termic.* # Cerințe Să se determine: 1. numărul de ordine al porțiunii taxabile peste care se va trece de cele mai multe ori în călătorie (folosind motorul termic). Dacă există mai multe astfel de porțiuni, se va alege cea cu indicele minim, în funcție de ordinea dată în fișierul de intrare. De asemenea, în caz că nu se va trece peste nicio porțiune taxabilă, acest număr va fi egal cu $-1$. 2. suma totală, exprimată în lei, care trebuie plătită pentru a parcurge traseul stabilit. În caz că nu se va trece peste nicio porțiune taxabilă, atunci această sumă va fi egală cu $0$. # Date de intrare Pe prima linie a fișierului de intrare `hibrid.in` se află, separate între ele prin câte un spațiu, trei numere naturale, $C$, $P$ și $N$, cu semnificațiile din enunț. $C$ poate avea fie valoarea $1$, fie valoarea $2$, în funcție de cerința care trebuie rezolvată. Pe următoarele $P$ linii se află, separate între ele prin câte un spațiu, câte trei numere întregi: $st_i$, $dr_i$ și $c_i$, cu semnificația de mai sus. Pe următoarea linie se află $N$ numere întregi, separate între ele prin câte un spațiu, reprezentând, în ordine, coordonatele bornelor ce trebuie vizitate: $x_1, x_2,x_3, \ldots, x_N$. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `hibrid.out` va conține, pe prima linie, un singur număr întreg, în funcție de cerința care trebuie rezolvată. Dacă $C = 1$, atunci se va rezolva cerința $1$, altfel, se va rezolva cerința $2$. # Restricții și precizări * $2 \leq P \leq 100 \ 000$ și $2 \leq N \leq 200 \ 000$; * $-300 \ 000 \leq st_i < dr_i \leq 300 \ 000$ și $1 \leq c_i \leq 100 \ 000$, pentru fiecare $i$: $1 \leq i \leq P$; * $-1 \ 000 \ 000 \leq x_i \leq 1 \ 000 \ 000$, pentru fiecare $i$: $1 \leq i \leq N$; * Întrucât au dimensiuni neglijabile, pot exista și două sau mai multe borne situate la aceeași coordonată pe șosea; * Pe durata întregului traseu, motorul termic (pe benzină) este utilizat doar pentru parcurgerea porțiunilor taxabile peste care mașina hibrid trebuie să treacă. În rest, se folosește doar motorul electric, pentru a reduce poluarea; * Pentru teste în valoare de $49$ de puncte, $C = 1$, iar pentru restul de teste, $C = 2$; * Pentru $11$ puncte, pentru efectuarea traseului nu se va trece peste nicio porțiune taxabilă; * Pentru $8$ puncte, $0 \leq st_i$, $x_j$ și $dr_i, x_j \leq 70$, pentru fiecare $i$ și $j$: $1 \leq i \leq P$, $1 \leq j \leq N$; * Pentru $12$ puncte, $|x_{i+1} - x_i| \leq 70$, pentru fiecare $i$: $1 \leq i < N$ și $|x_i| \leq 300 \ 000$, pentru fiecare $i$: $1 \leq i \leq N$; * Pentru $40$ de puncte, $P, N \leq 3 \ 000$; * Pentru $29$ de puncte, nu există restricții suplimentare.

VIII

tema

romanian

tema.in

tema.out

OJI 2023 VIII: Problema 2

Macarie a primit ca temă la Informatică următorul enunț de problemă: *„Se consideră un șir $A$ cu $N$ numere naturale nenule, numerotate începând de la $1$ până la $N$. Numim **secvență** o succesiune de termeni situați pe **poziții consecutive** în șir, iar **lungimea secvenței** o reprezintă numărul de termeni din care este formată. **Costul unei secvențe** este egal cu produsul dintre suma valorilor prime din secvență și suma celor compuse. Numărul compus este un număr care are cel puțin un divizor natural diferit de $1$ și de el însuși, iar un număr este prim dacă are exact doi divizori naturali distincți, pe $1$ și pe el însuși.”*. Știm că numărul $1$ nu este nici număr prim, nici compus, deci nu influențează costul niciunei secvențe în care se găsește. Evident, costul unei secvențe care nu conține niciun număr prim sau al unei secvențe care nu conține niciun număr compus este egal cu $0$. De asemenea, suma valorilor prime dintr-o secvență care conține un singur număr prim $X$ este egală cu $X$; în mod similar, suma valorilor compuse dintr-o secvență care conține un singur număr compus $Y$ este egală cu $Y$. # Cerințe Ajutați-l pe Macarie să rezolve următoarele două cerințe ale temei: 1. Să se determine lungimea maximă a unei secvențe din șirul $A$ pentru care costul ei este mai mic sau egal decât un număr natural nenul $K$. 2. Presupunem că fiecare număr **compus** din șirul $A$ este înlocuit cu produsul dintre **cel mai mic** factor prim al său și **cel mai mare** factor prim al său. Să se determine secvența de lungime maximă din șirul nou obținut, pentru care cel mai mare divizor comun al numerelor din care este formată este diferit de $1$. Se vor afișa pozițiile primului și ultimului element din secvență. Dacă sunt mai multe astfel de secvențe de lungime maximă, se va afișa cea pentru care poziția primului său element este maximă. # Date de intrare Pe prima linie a fișierului de intrare `tema.in` se află trei numere naturale nenule $C$, $N$ și $K$, în această ordine, separate prin câte un spațiu, unde $C$ este numărul cerinței care trebuie rezolvată (1 sau 2), iar $N$ și $K$ au semnificația din enunț. Pe a doua linie se află $N$ numere naturale nenule, separate între ele prin câte un spațiu, reprezentând, în ordine, termenii șirului $A$. # Date de ieșire Pe prima linie a fișierului de ieșire `tema.out`: 1. se scrie un număr natural nenul, reprezentând lungimea maximă determinată pentru prima cerință, dacă $C=1$; 2. se scriu două numere naturale nenule, separate printr-un spațiu, reprezentând, în ordine, pozițiile primului, respectiv ultimului element din secvența de lungime maximă, determinată conform celei de a doua cerințe, dacă $C = 2$. # Restricții și precizări * $2\leq N \leq 100 \ 000$; * $1\leq K \leq 10^{18}$; **Numărul $K$ nu are niciun rol pentru cerința $2$**; * $1\leq A_i \leq 1 \ 000 \ 000$, pentru fiecare $i$: $1 \leq i \leq N$; * **În cazul ambelor cerințe, există o secvență soluție ce are lungimea cel puțin egală cu $2$**; * Există cel puțin un element diferit de $1$ în șirul $A$. * Pentru $10$ puncte, $C = 1$ și $N = 2$; * Pentru $25$ de puncte, $C = 1$ și $N \leq 4 \ 000$; * Pentru $15$ puncte, $C = 1$ și $5 \ 000 < N$; * Pentru $10$ puncte, $C = 2$ și $N = 2$; * Pentru $25$ de puncte, $C = 2$ și $N \leq 4 \ 000$; * Pentru $15$ puncte, $C = 2$ și $5 \ 000 < N$.

VIII

pelican

romanian

pelican.in

pelican.out

OJI 2022 VIII: Problema 1

Într-o minunată zi de primăvară, $P$ răţuşte au ieşit la plimbare pe lac. Un pelican milităros, care stătea pe mal, a decis să facă instrucţie cu nevinovatele raţe. Pentru aceasta, a cartografiat imediat lacul şi l-a reprezentat ca o matrice cu N linii (numerotate de la $0$ la $N - 1$ de sus în jos) şi $N$ coloane (numerotate de la $0$ la $N - 1$ de la stânga la dreapta). Astfel, poziţia oricărei raţe pe lac poate fi identificată prin linia şi coloana pe care se află raţa. Raţele sunt orientate cu faţa spre una dintre direcţiile Nord, Sud, Est, Vest. Pelicanul a codificat direcţiile $1$, $2$, $3$, $4$ ca în figură. ~[pelican_01.png] Când pelicanul strigă: “Comanda la mine!” raţele trebuie să execute simultan cele K comenzi pe care le dă pelicanul. Comenzile pelicanului sunt codificate astfel: * $A \ nr$ – Raţa avansează cu $nr$ poziţii în direcţia spre care este orientată. Dacă avansând depăşeşte marginea tablei de joc va intra pe latura opusă. De exemplu, pe un lac $5$ x $5$, o raţă plasată în poziţia ($1, 3$) cu orientare $1$ (Nord), executând comanda $A \ 3$ se va deplasa astfel: ($1, 3$) $\rarr$ ($0, 3$) $\rarr$ ($4, 3$) $\rarr$ ($3, 3$). * $R \ nr$ – Raţa se roteşte cu $nr \cdot 90 \degree$ în sens orar, unde $nr \in {1,2,3,4}$. De exemplu, dacă orientarea iniţială a raţei este $1$ (Nord), comanda $R \ 2$ va schimba orientarea spre $3$ (Sud). * $Z \ nr$ – Raţa zboară pe linia $nr / N$ şi coloana $nr$ mod $N$, păstrând orientarea. Se garantează că $nr / N \in \{0,1, ..., N - 1\}$. De exemplu, pe un lac $5$ x $5$, după executarea comenzii $Z \ 7$, raţa va ajunge pe linia $1$ şi coloana $2$. # Cerință Scrieţi un program care, cunoscând poziţia iniţială pe lac a celor $P$ raţe şi succesiunea comenzilor pelicanului, determină poziţia finală a fiecărei raţe. # Date de intrare Fișierul de intrare `pelican.in` conţine pe prima linie trei numere naturale $N \ P \ K$, cu semnificaţia din enunţ. Pe următoarele $P$ linii sunt date câte $3$ numere naturale $i \ j \ d$ cu semnificaţia că pe linia $i$ şi coloana $j$ se găseşte o raţă orientată în direcţia $d$. Ultimele $K$ linii conţin cele $K$ comenzi, câte o comandă pe o linie, în formatul specificat în enunţ (un caracter din mulţimea {'A', 'R', 'Z'} şi un număr natural). Valorile scrise pe aceeaşi linie sunt separate de câte un spaţiu. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `pelican.out` va conţine $P$ linii. Pe linia $i$ va fi scrisă poziţia celei de a $i$-a raţe din fişierul de intrare (linia şi coloana separate printr-un singur spaţiu) după executarea în ordine a celor $K$ comenzi. # Restricții și precizări * $1 \leq N \leq 1 \ 000$; * $1 \leq P \leq 10 \ 000$; * $1 \leq K \leq 100 \ 000$; * $0 \leq i, j < N$; şi $1 \leq d \leq 4$; * Mai multe raţe pot ocupa aceeaşi poziţie. * Se garantează că datele din fişierul de intrare sunt corecte. * Pentru teste valorând $76$ de puncte fişierul de intrare nu conţine comanda $Z$. * Pentru teste valorând $20$ de puncte $N \leq 100$, $P \leq 100$ şi $K \leq 1 000$. * Pentru teste valorând $36$ de puncte $N > 100$, $1 \ 000 \leq P \leq 5 000$; şi $K \leq 50 \ 000$.

VIII

strips

romanian

strips.in

strips.out

OJI 2022 VIII: Problema 2

Ana şi Bogdan au inventat un nou joc, pe care l-au denumit Strips. Este un joc de strategie, dar şi de antrenare a memoriei, deoarece se joacă pe o tablă care nu este vizibilă pentru cei doi jucători în timpul jocului. Tabla de joc este o bandă albă de lungime $N$ cm, pe care sunt marcate poziţii de lungime $1$ cm. Poziţiile sunt numerotate pe tablă de la $0$ la $N - 1$, poziţia $0$ fiind marcată la începutul tablei (capătul din stânga), iar poziţia $N - 1$ fiind marcată la sfârşitul tablei (capătul din dreapta). La începutul jocului fiecare jucător are $Nr$ benzi colorate, toate de aceeaşi lungime $L$ cm. Benzile Anei sunt de culoare roşie, iar benzile lui Bogdan sunt de culoare verde. Jucătorii mută alternativ, prima la mutare fiind Ana. La o mutare, jucătorul care este la rând alege o poziţie de pe tabla de joc şi dacă poziţia este validă, pe tabla de joc va fi plasată o bandă a jucătorului respectiv, cu capătul din stânga în poziţia aleasă. Dacă poziţia nu este validă, mutarea nu va fi executată, iar jucătorul respectiv va primi $1$ punct de penalizare şi pierde banda care ar fi trebuit plasată pe tablă la poziţia respectivă (aceasta este eliminată din joc). O poziţie este considerată validă, dacă pe tabla de joc poate fi plasată o bandă de lungime $L$ cu capătul din stânga al benzii fixat la poziţia specificată, astfel încât banda să fie integral pe tabla de joc, fără a se suprapune sau a se atinge cu o zonă de pe bandă colorată în culoarea adversarului. Jocul se termină când jucătorii nu mai au benzi. Fiecare jucător are ca scop să obţină o zonă pe bandă de lungime cât mai mare colorată în culoarea sa. O zonă de pe bandă este constituită din poziţii consecutive, colorate cu aceeaşi culoare. # Cerință Scrieţi un program care citeşte lungimea tablei de joc, numărul de benzi colorate pe care le are fiecare jucător la începutul jocului, lungimea benzilor, precum şi poziţiile specificate de jucători pe parcursul jocului şi rezolvă următoarele două cerinţe: * determină numărul de puncte de penalizare pentru fiecare dintre cei doi jucători; * determină pentru fiecare jucător care este lungimea maximă a unei zone de pe tabla de joc colorată în culoarea sa la sfârşitul jocului. # Date de intrare Fișierul de intrare `strips.in` conţine pe prima linie un număr natural $C$ care reprezintă cerinţa care urmează a fi rezolvată ($1$ sau $2$). Pe cea de-a doua linie se află trei numere naturale separate prin câte un spaţiu $N \ Nr \ L$, cu semnificaţia din enunţ. Celelalte linii ale fişierului de intrare conţin în ordine poziţiile specificate de jucători pe parcursul jocului, câte o poziţie pe o linie. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `strips.out` va conţine o singură linie pe care vor fi scrise două numere naturale $rezA$ și $rezB$, separate printr-un singur spaţiu. Dacă $C = 1$ atunci $rezA$ este numărul de puncte de penalizare acumulate de Ana, iar $rezB$ numărul de puncte de penalizare acumulate de Bogdan. Dacă $C = 2$ atunci $rezA$ este lungimea maximă a unei zone de culoare roşie la sfârşitul jocului, iar $rezB$ este lungimea maximă a unei zone de culoare verde la sfârşitul jocului. # Restricții și precizări * $1 \leq N \leq 1 \ 000 \ 000 \ 000$; * $1 \leq Nr \leq 50 \ 000$; * $1 \leq L \leq 20 \ 000$; * Se garantează că pentru datele de test, la finalul jocului, pentru fiecare dintre cei doi jucători numărul de zone disjuncte de pe tabla de joc colorate în culoarea jucătorului respectiv este $\leq 5 \ 000$. * Poziţiile sunt numere naturale mai mici decât $N$. * Fiindcă sunt începători, Ana şi Bogdan încă nu joacă optim. * Pentru teste valorând $50$ de puncte cerinţa este 1. * Pentru teste valorând $40$ de puncte $1 \leq N \leq 1 \ 000 \ 000$; $1 \leq L \leq 1 \ 000$; şi $1 \leq Nr \leq 1 \ 000$.

VIII

cartofi

romanian

cartofi.in

cartofi.out

OJI 2021 VIII: Problema 1

Fermierul Feder cultivă cartofi pe un teren dreptunghiular de lățime $N$ metri și lungime $M$ metri, compartimentat în $N \times M$ zone pătratice identice de lungime $1$ metru, dispuse alăturat, câte $N$ pe lățime (pe $N$ linii, numerotate de la $1$ la $N$) și câte $M$ pe lungime (pe $M$ coloane, numerotate de la $1$ la $M$). În fiecare zonă pătratică se află câte o plantă de cartofi. Parcurgând terenul de la prima linie către ultima, fiecare linie cu număr impar parcurgând-o de la coloana $1$ către coloana $M$, iar fiecare linie cu număr par parcurgând-o de la coloana $M$ către coloana $1$, fermierul (pasionat de matematică) a scris numerele cartofilor produși de fiecare plantă, în ordinea parcurgerii, și a constatat că a obținut șirul cifrelor unităților primilor $N \cdot M$ termeni ai șirului Fibonacci (vezi Figura $1$ în care $N = 3$ și $M = 6$). ~[cartofi.png] # Cerință Scrieți un program care citește numerele $N$ și $M$ (cu semnificația din enunț), iar apoi determină: 1. numărul plantelor din teren care nu au produs niciun cartof; 2. numărul maxim de cartofi care pot fi produși de plantele dintr-o suprafață pătratică din terenul fermierului; 3. pentru fiecare dintre cele $Q$ perechi de numere ($A, B$) citite, numărul cartofilor produși de plantele aflate în zonele pătratice situate între coloanele cu numerele $A$ și $B$, inclusiv acestea. # Date de intrare Fișierul de intrare `cartofi.in` conține pe prima linie un număr natural $C$ reprezentând cerința din problemă care trebuie rezolvată ($1$, $2$ sau $3$). A doua linie a fișierului conține cele două numere naturale $N$ și $M$, separate printr-un spațiu, cu semnificația din enunț. Dacă $C = 3$, atunci fișierul va mai conține pe a treia linie numărul natural $Q$, iar pe fiecare linie dintre următoarele $Q$, câte două numere naturale separate printr-un spațiu reprezentând câte o pereche de numere ($A, B$) dintre cele $Q$. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `cartofi.out` va conține: Dacă $C = 1$, pe prima linie un număr natural reprezentând răspunsul la cerința $1$. Dacă $C = 2$, pe prima linie un număr natural reprezentând răspunsul la cerința $2$. Dacă $C = 3$, $Q$ linii, câte o linie pentru fiecare pereche ($A, B$) dintre cele $Q$. Linia corespunzătoare fiecărei perechi ($A, B$) va conține un număr natural reprezentând numărul cartofilor produși de plantele aflate în zonele pătratice situate între coloanele cu numerele $A$ și $B$, inclusiv aceste valori, reprezentând răspunsul la cerința $3$. # Restricții și precizări * $2 \leq N \leq 500 \ 000 \ 000$; * $3 \leq M \leq 1 \ 000 \ 000 \ 000$; * $N \leq M$; * $Q \leq 100 \ 000$; * $1 \leq A \leq B \leq M$; * Pentru cerința 1 se acordă $20$ de puncte, iar pentru cerințele $2$ și $3$ se acordă câte $40$ de puncte. * Șirul Fibonacci este definit astfel: $f(1) = 1$, $f(2) = 1$ și $f(n) = f(n-1) + f(n-2)$, dacă $n \geq 3$, ($n$ este un număr natural nenul). * O suprafață pătratică din teren este formată din $K * K$ zone pătratice alăturate dispuse câte $K$ pe linie și câte $K$ pe coloană, oricare ar fi $1 \leq K \leq min(N, M)$;

VIII

tunel

romanian

tunel.in

tunel.out

OJI 2021 VIII: Problema 2

~[tunel.png|align=right] Tommy este un motan alintat care adoră să se plimbe prin orice tunel. De aceea, stăpânii lui i-au construit o nouă jucărie, formată din $N$ tuneluri interconectate (etichetate cu numerele distincte de la $1$ la $N$. Toate tunelurile au aceeași lungime, sunt formate din $M$ elemente unitare identice (numerotate cu numerele distincte de la $1$ la $M$) și au ieșiri la ambele capete. Conectarea dintre două tuneluri alăturate se face printr-un element unitar numit pasaj. În exemplul din Figura $1$, jucăria este formată din $4$ tuneluri, fiecare tunel fiind format din $9$ elemente unitare. Pentru a fi mai provocator, stăpânii motanului plasează în ultimul element unitar al ultimului tunel o recompensă. ~[tunel1.png] Motan isteț, Tommy a învățat deja toate regulile jocului: * poate intra prin capătul din stânga al oricărui tunel (prin elementul unitar 1); * nu trece de multe ori prin același pasaj; * dacă nu se află lângă un pasaj, continuă să meargă prin tunel către dreapta; * dacă ajunge la un pasaj, atunci trece prin acesta în tunelul alăturat; * dacă ajunge în ultimul element unitar al tunelului etichetat cu $N$, atunci Tommy iese din acest tunel cu recompensă, chiar dacă ar exista un pasaj ce conectează acest ultim element la ultimul element din tunelul $N - 1$ (vezi Figura 2.b); * dacă ajunge în ultimul element unitar al tunelului etichetat cu $N - 1$ și există un pasaj care conectează acest element cu ultimul element unitar al tunelului etichetat cu $N$, atunci Tommy trece prin acest pasaj în ultimul element din ultimul tunel, ia recompensa și iese din tunel Figura 2.a). În cazul în care acest pasaj nu există, Tommy iese din tunelul $N - 1$ fără recompensă; * dacă ajunge în ultimul element unitar al unui tunel cu eticheta mai mică decât $N - 1$, atunci Tommy iese din tunel fără recompensă. Ajutați-l pe Tommy să ajungă cât mai repede la recompensă respectând regulile jocului! # Cerință Scrieţi un program care citește numerele naturale $N, M și X$, iar apoi determină: * eticheta tunelului prin care iese Tommy dacă intră în tunelul cu eticheta $X$ respectând regulile jocului; * numărul $L$ de elemente unitare (ale tunelurilor și ale pasajelor) prin care Tommy ar trebui să treacă, respectând regulile jocului, pentru a ajunge la recompensă. # Date de intrare Fișierul `tunel.in` conține pe prima linie un număr natural $C$ reprezentând cerința din problemă care trebuie rezolvată $1$ sau $2$. A doua linie a fișierului conține cele trei numere naturale $N, M și X$, separate prin câte un spațiu, cu semnificația din enunț. Următoarele $N - 1$ linii descriu pasajele dintre tuneluri. Prima linie dintre cele $N - 1$ indică pasajele dintre tunelurile etichetate cu $1$ și $2$, următoarea linie indică pasajele dintre tunelurile etichetate cu $2$ și $3$, $\dots$, ultima dintre cele $N - 1$ linii indică pasajele dintre tunelurile etichetate cu $N - 1$ și $N$. Primul număr din fiecare astfel de linie reprezintă numărul $P$ de pasaje, iar următoarele $P$ numere distincte, scrise în ordine crescătoare, reprezintă pozițiile elementelor unitare (dintre cele două tuneluri) conectate prin cele $P$ pasaje. # Date de ieșire Dacă $C = 1$, fișierul `tunel.out` va conține pe prima linie un număr natural reprezentând răspunsul la cerința $1$. Dacă $C = 2$, fișierul `tunel.out` va conține pe prima linie numărul natural $L$ reprezentând răspunsul la cerința $2$. # Restricții și precizări * $3 \leq N \leq 1 \ 000$; * $4 \leq M \leq 20 \ 000$; * $1 \leq P \leq M−2$; * Pot exista cel mult $150 \ 000$ pasaje care interconectează tunelurile. * Pot exista pasaje învecinate care să conecteze elementele unitare din două tuneluri alăturate (vezi Figura $1$) în care tunelurile $1$ și $2$ sunt interconectate prin pasajele învecinate dintre elementele $6$, respectiv $7$). * Primul element unitar din fiecare tunel nu este conectat la niciun pasaj. * Ultimul element unitar din tunelurile etichetate cu $1, 2, \dots, N - 2$ nu este conectat la niciun pasaj. * Oricare element unitar poate fi conectat la cel mult un pasaj. * Oricare două tuneluri etichetate cu numere consecutive sunt interconectate prin cel puțin un pasaj. * Pentru fiecare intrare într-un tunel există traseu către ieșire. * Pentru fiecare test există cel puțin o intrare într-un tunel prin care Tommy poate ajunge la ieșirea cu recompensă din tunelul $N$. * Pentru cerința $1$ se acordă $40$ de puncte. iar pentru cerința $2$ se acordă $60$ de puncte.

VIII

datorii

romanian

datorii.in

datorii.out

OJI 2020 VIII: Problema 1

Într-o țară îndepărtată, economia este în criză. Cea mai mare problemă este lipsa de capital care creează blocaje financiare. De exemplu, o firmă $X$ poate avea datorii către o firmă $Y$ pe care nu le poate plăti, deoarece o altă firmă $Z$ are datorii către firma $X$ pe care nu le-a plătit, ș.a.m.d. Există o listă cu toate datoriile firmelor sub forma următoare: $X > Y \ S$, cu semnificația “firma $X$ datorează firmei $Y$ suma $S$”. Este posibil ca $X$ să aibă mai multe datorii la firma $Y$ (în funcție de contractele derulate împreună) sau chiar ca $X$ să aibă datorii la $Y$ și $Y$ să aibă datorii la $X$. # Cerință Cunoscând lista cu datoriile firmelor, scrieți un program care să rezolve următoarele cerințe: 1. Determină numărul de firme distincte care apar în această listă; 2. Realizează o situație financiară a firmelor distincte din această listă, scrise în ordine lexicografică; pentru fiecare firmă se vor determina două valori $SD \ SP$, unde $SD$ reprezintă suma totală a datoriilor pe care firma le are către alte firme, iar $SP$ este totalul sumelor pe care firma trebuie să le primească de la alte firme. # Date de intrare Fișierul de intrare `datorii.in` conține pe prima linie un număr natural $C$ reprezentând cerința care trebuie să fie rezolvată ($1$ sau $2$). Pe a doua linie se află un număr natural $D$ care reprezintă numărul de înregistrări existente în lista datoriilor firmelor. Pe următoarele $D$ linii sunt descrise datoriile firmelor, în forma specificată în enunț, câte o datorie pe o linie. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `datorii.out` va conține răspunsul la cerința $C$ specificată în fișierul de intrare. Dacă $C = 1$ fișierul va conține un număr natural, reprezentând numărul de firme distincte care apar în lista menționată. Dacă $C = 2$ fișierul va conține pentru fiecare dintre firmele distincte din lista menționată câte un singur triplet de forma $X \ SD \ SP$, unde $X$ este numele firmei, iar $SD$ și $SP$ au semnificația din enunț pentru firma $X$; tripletele vor fi scrise astfel încât numele firmelor să apară în ordine lexicografică, fiecare triplet pe câte o linie a fișierului, iar $X$, $SD$ și $SP$ vor fi separate prin câte un singur spațiu. # Restricții și precizări * Există în total cel mult $6 \ 000$ de firme distincte în lista menționată de datorii. * Numele unei firme este format din maximum $20$ de caractere (litere mari și mici ale alfabetului englez, cifre, spații); se face distincție între literele mari și literele mici în numele firmelor; nu există alte restricții referitoare la numele firmelor. * Două firme distincte au nume distincte. O firmă nu poate avea datorii la ea însăși. * În descrierea unei datorii ($X > Y \ S$) există un singur spațiu între $X$ și >, un singur spațiu între > și $Y$, respectiv un singur spațiu între $Y$ și $S$. * $1 \leq D \leq 80 \ 000$; * Sumele datorate de firme sunt numere naturale nenule $\leq 10^6$; * Dacă $X$ și $Y$ sunt numele a două firme distincte, iar $k$ ($k \geq 0$) este valoarea maximă cu proprietatea că secvența formată din primele $k$ caractere din $X$ este identică cu secvența formată din primele caractere din $Y$, spunem că $X$ precedă din punct de vedere lexicografic pe $Y$ dacă $X$ are doar $k$ caractere sau dacă al ($k + 1$)-lea caracter din $X$ este mai mic decât al ($k + 1$)-lea caracter din $Y$. * Pentru teste valorând $30$ de puncte cerința este $1$. * Pentru teste valorând $60$ de puncte cerința este $2$. * Pentru teste valorând $40$ de puncte $D \leq 1 \ 000$. * Pentru teste valorând $45$ de puncte numele firmelor nu conțin spații.

VIII

triunghi

romanian

triunghi.in

triunghi.out

OJI 2020 VIII: Problema 2

Se consideră $A$ un tablou bidimensional cu $n$ linii, $n$ coloane și elemente numere naturale. O zonă triunghiulară a tabloului, reprezentată de tripletul ($lin, col, k$), este o zonă de forma unui triunghi dreptunghic cu catetele de lungime egală cu |k|, definită astfel: Pentru $k > 0$, zona este compusă din $k$ linii: * pe prima linie a zonei se află elementele $A[lin][col], A[lin][col+1], \dots, A[lin][col+k-1]$; * pe a doua linie a zonei se află elementele $A[lin+1][col], A[lin+1][col+1], \dots, A[lin+1][col+k-2]$; * pe a treia linie a zonei se află elementele $A[lin+2][col], A[lin+2][col+1], \dots, A[lin+2][col+k-3]$; * $\dots$; * pe ultima linie a zonei se află elementul A[lin+k-1][col]. Pentru k<0, zona este compusă din |k|=-k linii: * pe prima linie a zonei se află elementul $A[lin-|k|+1][col]$; * pe a doua linie a zonei se află elementele $A[lin-|k|+2][col-1], A[lin-|k|+2][col]$; * $\dots$; * pe ultima linie a zonei se află elementele $A[lin][col-|k|+1], A[lin][col-|k|+2], \dots, A[lin][col]$. Suma elementelor ce compun o zonă triunghiulară se numește suma zonei. # Cerință Scrieţi un program care, cunoscând tabloul $A$ şi $Q$ zone triunghiulare, determină cea mai mare dintre sumele zonelor. # Date de intrare Fișierul de intrare `triunghi.in` conține pe prima linie numărul natural $n$, cu semnificaţia din enunţ. Pe următoarele $n$ linii se găsesc câte $n$ valori naturale, reprezentând elementele tabloului $A$. Pe linia $n + 2$ se află numărul natural $Q$, reprezentând numărul zonelor triunghiulare. Pe următoarele $Q$ linii se găsesc tripletele de valori $lin \ col \ k$, care reprezintă cele $Q$ zone, în forma descrisă în enunţ. Valorile aflate pe aceeaşi linie a fişierului sunt separate prin câte un spațiu. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `triunghi.out` va conține o singură linie pe care va fi scris un număr natural reprezentând suma maximă cerută. # Restricții și precizări * $3 \leq n \leq 1 \ 000$; $1 \leq Q \leq 100 \ 000$; $2 \leq |k| \leq n$; * Valorile din tablou sunt numere naturale din intervalul [$1, 100$]. * Liniile şi coloanele tabloului $A$ sunt numerotate de la $1$ la $n$ (liniile de sus în jos, iar coloanele de la stânga la dreapta). * $|k|$ reprezintă modulul numărului $k$ ($k$, pentru $k \geq 0$, respectiv $-k$, pentru $k < 0$). * Se garantează că orice zonă triunghiulară dintre cele $Q$ este complet inclusă în tabloul $A$.

VIII

cate3cifre

romanian

cate3cifre.in

cate3cifre.out

OJI 2019 VIII: Problema 1

Gigel, pasionat de numere, știe că orice număr natural se scrie într-o bază de numerație $b$ ca o succesiune de simboluri care au asociate valori de la $0$ la $b - 1$. De exemplu numărul $7$, scris în baza $10$, se scrie în baza $2$ ca $111 \ (2)$, iar numărul $26732$, scris în baza $10$, se scrie în baza $37$ ca o succesiune de $3$ simboluri, primele două având asociată valoarea $19$, iar ultimul având asociată valoarea $18$. El a descoperit că există numere care au proprietatea că se scriu, în **exact două** baze diferite, prin exact trei simboluri identice. De exemplu, numărul $931 \ (10)$ se scrie în baza $11$ ca $777 \ (11)$, iar în baza $30$ se scrie $111 \ (30)$. # Cerință Fiind dat un număr natural $N$, să se determine cel mai mare număr natural mai mic sau egal cu $N$, care are proprietatea că se scrie în exact două baze diferite prin exact $3$ simboluri identice. 1. Să se scrie numărul determinat 2. Să se scrie cele două baze determinate și valorile simbolurilor respective. # Date de intrare Fişierul de intrare `cate3cifre.in` conţine pe prima linie cerința ($1$ sau $2$). Pe linia a doua a fișierului de intrare se află numărul natural $N$. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `cate3cifre.out` va conține pe prima linie, dacă cerința este $1$, numărul determinat. Dacă cerința este $2$, prima și cea de a doua linie a fișierului de ieșire au aceeași structură: pe fiecare linie se vor scrie, separate printr-un spațiu, două numere naturale $b \ c$, reprezentând baza și valoarea simbolului cerut din baza respectivă. Cele două baze se vor afișa în ordine crescătoare. # Restricții și precizări * $0 < N \leq 1 \ 000 \ 000$; * Pentru rezolvarea corectă a cerinței $1$ se acordă $60$ de puncte. Pentru cerința $2$, se acordă $30$ de puncte. * Pentru $50$ de puncte $N \leq 10 \ 000$; * Se dau $10$ puncte din oficiu (teste corespunzatoare acestor puncte vor coincide cu primul exemplu) * Numărul $xyz \ (b)$ scris în baza $b$ cu simbolurile $x, y, z$ se scrie în baza $10$ ca o valoare calculată astfel: $x \cdot b^2 + y \cdot b + z$ (unde simbolurile $x, y, z$ se înlocuiesc cu valorile asociate) * Pentru fiecare test există soluție.

VIII

paralele

romanian

paralele.in

paralele.out

OJI 2019 VIII: Problema 2

Avem o matrice de dimensiuni $N \cdot M$, cu elemente $0$ și $1$. Numim segment o secvență de cel puțin două valori $1$ aflate una lângă alta, toate pe aceeași linie, sau toate pe aceeași coloană a matricei. # Cerință Se cere determinarea numărului de perechi de segmente: 1. aflate pe linii distincte ale matricei; 2. aflate pe coloane distincte ale matricei; # Date de intrare Fișierul `paralele.in` conține pe prima linie, separate prin câte un spațiu trei valori naturale, în ordine: $T, N$ și $M$. Dacă $T$ este $1$ se rezolvă doar cerința $1$, iar dacă $T$ este $2$ se rezolvă doar cerința $2$. Începând cu linia a doua se află elementele matricei, o linie a matricei pe o linie a fișierului. Elementele de pe aceeași linie se separă prin câte un spațiu. # Date de ieșire Fișierul `paralele.out` conține pe prima linie un număr natural reprezentând valoarea cerută. # Restricții și precizări * $1 \leq T \leq 2$; |#|Punctaj|Restricții| |-|-|--------| |1|30|$T = 1, N = 2, 2 \leq M \leq 500$ și toate elementele $1$ de pe oricare dintre linii, dacă există, formează o secvență compactă.| |2|30|$T = 2, 2 \leq N \leq 500, 2 \leq M \leq 500$ si pe oricare coloană sunt maximum două valori de 1 alăturate.| |3|9|$T = 1, 2 \leq N \leq 500, 2 \leq M \leq 500$| |4|9|$T = 2, 2 \leq N \leq 500, 2 \leq M \leq 500$| |5|12|$T = 1, 35 \ 000 \leq N \leq 40 \ 000, 8 \leq M \leq 10$| |6|10|puncte din oficiu|

VIII

cruce

romanian

cruce.in

cruce.out

OJI 2018 VIII: Problema 1

Se consideră o matrice pătratică de dimensiune $N$, conţinând numere naturale. Numim **cruce de lăţime $K$** reuniunea mulțimii tuturor elementelor aflate pe $K$ linii consecutive ale matricei și a mulțimii tuturor elementelor aflate pe $K$ coloane consecutive ale matricei. Două elemente ale matricei se consideră distincte dacă sunt situate pe poziții distincte în matrice. Se acceptă şi forma degenerată a unei cruci, în formă de `T` sau `L`, când una dintre liniile sau coloanele care formează crucea sunt chiar la marginea matricei. Vom defini **valoarea** unei cruci ca fiind suma elementelor din care aceasta este formată. # Cerință Scrieți un program care, pentru o valoare $K$ dată, determină o cruce de lățime $K$ a cărei valoare este maximă și poziția ei în matrice. Această poziție va fi exprimată prin perechea de indici reprezentând prima linie din cele $K$ consecutive și prima coloană din cele $K$ consecutive din care este formată crucea. # Date de intrare Fişierul `cruce.in` conţine pe prima linie numerele $N$ şi $K$, iar pe următoarele $N$ linii câte $N$ numere întregi reprezentând în ordine, pe linii, elementele matricei. Numerele de pe aceeaşi linie sunt separate prin câte un spaţiu. # Date de ieșire Fişierul `cruce.out` va conţine trei numere $Vmax \ L \ C$, separate prin câte un spaţiu, reprezentând valoarea maximă determinată pentru o cruce de lățime $K$, respectiv linia și coloana care exprimă poziția acesteia în matrice. # Restricții și precizări * $1 \leq K < N \leq 500$; * Numerele din matrice sunt din intervalul $[-5 \ 000, 5 \ 000]$ * Liniile şi coloanele se indexează începând cu 1. * Dacă există mai multe cruci de lățime $K$ de valoare maximă, se va lua în considerare poziția cu indicele liniei mai mic, iar în caz de egalitate a liniilor poziția celei cu indicele coloanei mai mic.

VIII

pal

romanian

pal.in

pal.out

OJI 2018 VIII: Problema 2

Micul Prinț a ajuns în țara numerelor palindrom cu număr impar de cifre unde a primit de la sfetnicul regelui o listă care conține $N$ numere naturale, fiecare cu număr impar de cifre. Un număr este palindrom dacă prima lui cifră este egală cu ultima, a doua cu penultima, ș.a.m.d. Acesta i-a transmis că regele este foarte bolnav. Odată cu regele, numerele din listă s-au îmbolnăvit și ele. Sfetnicul i-a spus că lista corectă poate fi obținută prin înlocuirea fiecărui număr din ea cu cel mai mic palindrom mai mare sau egal cu numărul respectiv. După ce a urmat recomandarea sfetnicului, Micul Prinț a constatat că în lista corectă obținută toate palindromurile sunt distincte. Uitându-se mai cu atenție la palindromurile din această listă, a observat că există perechi de palindromuri în care cel mai mic se poate obține din cel mai mare prin ștergerea aceluiași număr de cifre de la ambele capete. De exemplu pentru perechea $7531357$ și $313$ palindromul $313$ se obține din $7531357$ prin eliminarea a câte două cifre de la ambele capete ale sale. Considerăm un șir de palindromuri din lista corectă și notăm cu $X$ valoarea maximă a acestui șir. Vom spune că șirul este magic dacă toate palindromurile din el se pot obține după metoda descrisă mai sus, din palindromul de valoare $X$. Un exemplu de șir magic este $4, 53435, 7534357, 89753435798$, presupunând că toate aceste numere se regăsesc în lista corectă. # Cerință Scrieți un program care citește numerele din lista primită de la sfetnicul regelui și afișează: 1) Lista corectă obținută de Micul Prinț; 2) Numărul de elemente ale celui mai lung șir magic care se poate obține din lista corectă; 3) Palindromurile din care este format cel mai lung șir magic, afișate în ordine crescătoare. Dacă există mai multe astfel de șiruri în lista corectă a Micului Prinț, se va afișa cel în care ultimul număr este cel mai mare. # Date de intrare Fișierul de intrare `pal.in` conţine pe prima linie numărul natural $P$, care nu poate avea decât valorile $1, 2 sau 3$ și indică numărul cerinței care va fi rezolvată. Pe a doua linie numărul natural $N$ de numere de pe lista primită de la sfetnicul regelui. Pe a treia linie se află numerele naturale din lista primită de la sfetnic, separate prin câte un spațiu. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `pal.out` va conţine pe prima linie răspunsul la cerința rezolvată. Dacă s-a rezolvat prima cerință, fișierul de ieșire va conține un șir de $N$ numere naturale, separate prin câte un spațiu, reprezentând numerele din lista corectă, în ordinea corespunzătoare listei inițiale. Dacă s-a rezolvat cerința $2$, pe prima linie a fișierului de ieșire se va scrie lungimea celui mai lung șir magic. Dacă s-a rezolvat cerința $3$, fișierul de ieșire va conține numerele determinate și afișate conform cerinței. # Restricții și precizări * $0 < N \leq 50 \ 000$; * Numerele de pe lista sfetnicului sunt naturale nenule și fiecare are cel mult $17$ cifre; * Pentru rezolvarea corectă a primei cerinţe se acordă $20$ de puncte, pentru rezolvarea corectă a celei de a doua cerințe se acordă $20$ de puncte, iar pentru rezolvarea corectă a celei de a treia cerințe se acordă $50$ de puncte.

VIII

tablou

romanian

tablou.in

tablou.out

OJI 2017 VIII: Problema 1

Se consideră un tablou cu N linii și N coloane (numerotate de la $1$ la $N$) care conține valoarea $1$ în fiecare dintre cele $N \ cdot N$ celule. Valorile din tablou pot fi modificate prin aplicarea a două operații codificate astfel: * $L \ nr$, prin care se schimbă simultan toate semnele numerelor din linia cu numărul $nr$. * $C \ nr$, prin care se schimbă simultan toate semnele numerelor din coloana cu numărul $nr$. # Cerință 1. Dându-se o succesiune de $K$ operații ($L \ nr$ sau $C \ nr$) asupra liniilor/coloanelor tabloului inițial (în care toate celulele conțin valoarea $1$) să se determine numărul valorilor pozitive din tablou la finalul executării celor $K$ operații. 2. Să se determine numărul minim de operații $L \ nr$ sau $C \ nr$, care, aplicate tabloului inițial, îl modifică astfel încât tabloul obținut să conțină exact $Z$ valori negative. # Date de intrare Fișierul de intrare `tablou.in` conține pe prima linie numărul $p = 1$ sau $p = 2$, reprezentând numărul cerinței ce trebuie rezolvată. * Dacă $p = 1$ atunci linia a doua a fișierului de intrare conține numerele $N$ și $K$, separate printr-un spațiu, iar următoarele $K$ linii conțin fiecare câte o literă mare ($L$ sau $C$) și un număr $nr$, separate printr-un spațiu, reprezentând codificarea uneia dintre cele două operații ($L \ nr$ sau $C \ nr$). * Dacă $p = 2$ atunci linia a doua a fișierului de intrare conține numerele $N$ și $Z$, separate printr-un spațiu. # Date de ieșire * Dacă $p = 1$, atunci fișierul de ieșire `tablou.out` conține pe prima linie un număr natural, reprezentând numărul valorilor pozitive din tabloul obținut la finalul executării celor $K$ operații asupra tabloului inițial (răspunsul la cerința $1$). * Dacă $p = 2$, atunci fișierul de ieșire `tablou.out` conține pe prima linie un număr natural reprezentând numărul minim de operații $L \ nr$ sau $C \ nr$, care, aplicate tabloului inițial, îl modifică astfel încât tabloul obținut să conțină exact $Z$ valori negative (răspunsul la cerința $2$). Dacă prin aplicarea de operații $L \ nr$ sau $C \ nr$ tabloului inițial nu se poate obține un tablou cu $Z$ valori negative, atunci, fișierul va conține pe prima linie valoarea $0$ (zero). # Restricții și precizări * $N, K, Z$ și $nr$ sunt numere naturale * $3 \leq N \leq 20 \ 000$; $1 \leq K \leq 43 \ 000$; $1 \leq Z \leq N \cdot N$; $1 \leq nr \leq N$; * Prin schimbare de semn, valoarea $-1$ se transformă în $1$ și valoarea $1$ se transformă în $-1$ * Se acordă $10$ puncte din oficiu și câte $45$ de puncte pentru rezolvarea corectă a fiecărei cerințe.

VIII

triunghiuri

romanian

triunghiuri.in

triunghiuri.out

OJI 2017 VIII: Problema 2

Se consideră $N$ puncte din plan, având coordonate numere naturale, relativ la un reper cartezian XOY, oricare două puncte fiind distincte. ~[triunghiuri.png] # Cerință Cunoscând $N$ și coordonatele celor $N$ puncte, să se determine: 1. Numărul maxim de puncte care au aceeași abscisă. 2. Numărul triunghiurilor care se pot desena respectând următoarele condiții: * au toate vârfurile în puncte dintre cele date; * au o latură paralelă cu OX; * **nu** au laturi paralele cu OY; # Date de intrare Datele de intrare se citesc din fișierul `triunghiuri.in`, care are următoarea structură: Pe prima linie se află numărul $p$, care indică cerința ce trebuie rezolvată ($p$ are valoarea $1$ sau $2$); Pe a doua linie se află numărul natural $N$, reprezentând numărul punctelor date; Pe următoarele $N$ linii se găsesc câte două valori naturale $x \ y$, separate prin câte un spațiu, reprezentând coordonatele punctelor date. # Date de ieșire Fișierul `triunghiuri.out` va avea următoarea structură: Dacă $p = 1$ se va scrie în fișier, pe prima linie, numărul maxim de puncte care au aceeași abscisă (cerința $1$). Dacă $p = 2$ se va scrie în fișier, pe prima linie, numărul triunghiurilor care se pot desena respectând condițiile date, modulo $1 \ 000 \ 003$, adică restul împărțirii numărului de triunghiuri la $1 \ 000 \ 003$ (cerința $2$). # Restricții și precizări * $3 \leq N \leq 100 \ 000$; * $0 \leq x, y \leq 1 000$; * Se acordă $25$ de puncte pentru rezolvarea corectă a cerinței $1$ și $65$ de puncte pentru rezolvarea corectă a cerinței $2$.

VIII

arma

romanian

arma.in

arma.out

OJI 2016 VIII: Problema 1

În anul $2214$ a izbucnit primul război interstelar. Pământul a fost atacat de către $n$ civilizații extraterestre, pe care le vom numerota pentru simplicitate de la $1$ la $n$. Pentru a se apăra, pământenii au inventat o armă specială ce poate fi încărcată cu proiectile de diferite greutăți, fabricate dintr-un material special denumit narun. Dacă arma este programată la nivelul $p$, atunci un proiectil de greutate $k$ va ajunge exact la distanța $k^p$ km ($k$ la puterea $p$) față de Pământ și dacă în acel punct se află cartierul general al unui atacator, acesta va fi distrus. De exemplu, dacă arma este programată la nivelul $2$, un proiectil de greutate 10 va distruge cartierul general al extratereștrilor situat la distanța $10^2 = 100$ km de Pământ. Arma poate fi încărcată cu proiectile de diferite greutăți, dar cum narunul este un material foarte rar și foarte scump, pământenii vor să folosească proiectile cât mai ușoare pentru a distruge cartierele generale inamice. # Cerință Cunoscându-se $n$, numărul atacatorilor, precum și cele $n$ distanțe până la cartierele generale ale acestora, să se scrie un program care determină: 1. Cantitatea minimă de narun necesară pentru a distruge toate cartierele generale inamice; 2. Nivelurile la care trebuie programată arma, pentru a distruge fiecare cartier general inamic cu o cantitate minimă de narun. # Date de intrare Fișierul de intrare `arma.in` conține pe prima linie un număr natural $c$ reprezentând cerința care trebuie să fie rezolvată ($1$ sau $2$). Pe cea de a doua linie se află numărul natural $n$, reprezentând numărul atacatorilor. Pe următoarele $n$ linii se află $n$ numere naturale, câte un număr pe o linie; pe cea de a $i$-a linie dintre cele $n$ se află distanța față de Pământ a cartierului general al celei de a $i$-a civilizații extraterestre # Date de ieșire Dacă cerința $c = 1$, atunci pe prima linie a fișierului `arma.out` va fi scris un număr natural reprezentând cantitatea minimă de narun necesară distrugerii tuturor cartierelor generale inamice. Dacă cerința este $c = 2$, atunci fișierul de ieșire `arma.out` va conține $n$ linii. Pe a $i$-a linie se va scrie nivelul la care trebuie programată arma pentru a distruge cartierul general al celei de a $i$-a civilizații extraterestre. # Restricții și precizări * $1 \leq n \leq 10 \ 000$; * Distanțele până la cartierele generale inamice sunt numere naturale nenule $\leq 2 \cdot 10^9$; * Pentru $50$% dintre teste cerința este $1$.

VIII

ks

romanian

ks.in

ks.out

OJI 2016 VIII: Problema 2

Ana și Bogdan au inventat din nou un joc, pe care l-au denumit **ks**. Pe tabla de joc sunt plasate pe poziții consecutive $n$ jetoane, pe fiecare jeton fiind scris un număr natural nenul. Ana este prima la mutare și are voie să extragă de pe tablă exact $k$ jetoane situate pe poziții consecutive. Bogdan mută al doilea și are și el voie să extragă exact $k$ jetoane, dintre cele rămase pe tablă, situate de asemenea pe poziții consecutive. Punctajul asociat unei mutări este egal cu suma numerelor scrise pe jetoanele extrase la mutarea respectivă. Scopul Anei este să efectueze mutarea sa astfel încât punctajul obținut de Bogdan să fie cât mai mic. Considerăm că atât Ana, cât și Bogdan joacă optim. # Cerință Cunoscând numărul de jetoane de pe tabla de joc, valorile înscrise pe acestea, precum și valoarea $k$, scrieți un program care să determine care este cel mai bun punctaj pe care Bogdan îl poate obține, știind că ambii jucători joacă optim. # Date de intrare Fișierul de intrare `ks.in` conține pe prima linie două numere naturale separate prin spațiu $n \ k$, având semnificația din enunț. Pe cea de a doua linie se află $n$ valori naturale nenule, separate prin câte un spațiu, reprezentând valorile înscrise pe cele $n$ jetoane, în ordinea în care acestea sunt plasate pe tabla de joc. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `ks.out` va conține o singură linie pe care va fi scris un număr natural reprezentând punctajul maxim pe care îl poate obține Bogdan la mutarea sa, știind că ambii jucători joacă optim. # Restricții și precizări * $3 \leq n \leq 100 \ 000$; * $1 \leq k \leq n/3$; * Valorile înscrise pe jetoane sunt numere naturale nenule $\leq 10^9$; * După ce Ana extrage jetoanele sale, jetoanele rămase pe tablă își vor păstra pozițiile inițiale.

VIII

dominant

romanian

dominant.in

dominant.out

OJI 2015 VIII: Problema 1

Considerând un șir de valori binare, numim *secvență dominantă* un set de elemente aflate pe poziții consecutive în șir care are proprietatea că numărul valorilor egale cu $1$ este strict mai mare decât numărul valorilor de $0$. De exemplu, în șirul $1,0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,0$ o secvență dominantă este $0,1,1$ și o alta, de lungime mai mare, este 0,1,1,0,1,1,1. Secvența dominantă maximală este secvența dominantă de lungime maximă. În șirul din exemplu secvența dominantă maximală este $1,0,0,0,1,1,0,1,1,1,0$ (adică întreg șirul, fără ultimul zero). # Cerință Dat un șir de valori binare, să se determine lungimea unei secvențe dominante maximale precum și numărul acestor secvențe. # Date de intrare Fișierul de intrare `dominant.in` conține pe prima linie un număr natural $V$, iar pe linia a doua șirul de valori binare, fără spații. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `dominant.out` va conține: * varianta $1$: dacă $V = 1$, atunci pe prima linie a fișierului de ieșire va fi un singur număr natural reprezentând lungimea unei secvențe dominante maximale. * varianta $2$: dacă $V = 2$, atunci pe prima linie a fișierului de ieșire va fi un singur număr natural reprezentând numărul secvențelor dominante maximale. # Restricții și precizări * $V \in \{1,2\}$ * Lungimea șirului de valori binare este de cel mult $300 \ 000$. * Pentru toate testele șirul binar va conține cel puțin o valoare de $1$. * Pentru $60$% din punctaj $V = 1$.

VIII

pavare

romanian

pavare.in

pavare.out

OJI 2015 VIII: Problema 2

Ca în mai toate poveștile, Făt-Frumos a căutat o Cosânzeană și a găsit-o, dar tatăl ei i-a cerut să-i paveze drumul de lungime $N$ care leagă castelele sale. Dalele cu care va pava drumul au aceeași lățime (egală cu lățimea drumului) și lungimi numere naturale. Fiind un împărat cam sâcâit, acesta dorește ca pavarea să se facă folosind un număr minim de dale, diferența de lungime între două dale vecine să nu fie mai mare ca $1$, iar prima și ultima dală să fie de lungime $1$. Împăratul nu se mulțumește să primească de la Făt-Frumos doar un număr (numărul minim de dale necesare): el vrea și posibilitatea de pavare cea mai mică din punct de vedere lexicografic. Compararea lexicografică a două șiruri de numere este o extensie la numere a comparării alfabetice a două cuvinte. Astfel, fiind date două șiruri numerice de aceeași lungime, $A_1, A_2, \dots, A_m$ și $B_1, B_2, \dots, B_m$, acestea sunt egale dacă și numai dacă $A_i = B_i$ pentru orice $i$ de la $1$ la $m$. Șirul $A$ este mai mic lexicografic decât șirul $B$ dacă există o valoare $k$ astfel încât $A_k < B_k$ și $A_i = B_i$ pentru orice $i$ de la $1$ la $k - 1$. De exemplu, șirul $3, 5, 4, 1$ este mai mare lexicografic decât șirul $3, 5, 2, 9$ pentru că prima poziție pe care valorile diferă este poziția $3$ ($4 > 2$), fără a mai conta valorile aflate după aceasta. # Cerință Cunoscând lungimea drumului, determinați numărul minim de dale necesare pavării și posibilitatea de pavare cu număr minim de dale, care este cea mai mică din punct de vedere lexicografic. # Date de intrare Prima linie a fișierului `pavare.in` conține un număr natural $V$. Linia a doua conține un număr natural $N$ ce reprezintă lungimea drumului. # Date de ieșire Dacă $V$ va avea valoarea $1$, în fișierul `pavare.out` se va scrie, pe prima linie, doar numărul minim de dale necesare pavării. Dacă $V$ va avea valoarea $2$, în fișierul `pavare.out` se va scrie, pe prima linie, un șir de numere separate prin câte un spațiu, ce reprezintă soluția de pavare a drumului, folosind un număr minim de dale, care este cea mai mică din punct de vedere lexicografic. # Restricții și precizări * $V \in \{1,2\}$ * $1 \leq N \leq 10^9$; * Pentru $30$% din punctaj $V = 1$.

VIII

arrows

romanian

arrows.in

arrows.out

OJI 2014 VIII: Problema 1

“Arrows” este un joc care se joacă pe o tablă dreptunghiulară a cărei suprafață este împărțită în $N \cdot M$ celule, aranjate pe $N$ linii și $M$ coloane. În fiecare celulă se află o săgeată (sus, jos, stânga sau dreapta), ca în figura de mai jos: ~[arrows.png] Când este la mutare, un jucător poate alege o poziție de start pe care plasează un jeton, apoi deplasează jetonul la celula învecinată în sensul indicat de săgeată. Deplasarea continuă până când jetonul părăsește tabla de joc, caz în care jucătorul obține un punctaj egal cu numărul de celule parcurse de jetonul său. Există însă poziții de start denumite favorabile, pentru care jetonul **nu** va părăsi niciodată tabla de joc. De exemplu, toate pozițiile din figură cu fundal gri sunt favorabile. Jucătorul care alege o poziție de start favorabilă obține un punctaj egal cu numărul de celule distincte vizitate înmulțit cu $1000$. Scrieți un program care, cunoscând configurația tablei de joc, rezolvă una dintre următoarele cerințe: 1. determină punctajul pe care îl obține un jucător care plasează jetonul său pe o poziție de start specificată; 2. determină numărul de celule favorabile de pe tabla de joc; 3. determină punctajul maxim pe care jucătorul îl poate obține la o mutare, alegând convenabil poziția de start. # Date de intrare Fișierul de intrare `arrows.in` conține pe prima linie cerința care trebuie să fie rezolvată ($1, 2$ sau $3$). Pe a doua linie se află numerele naturale $N \ M$, care reprezintă numărul de linii și respectiv de coloane de pe tabla de joc. Pe următoarele $N$ linii se află câte $M$ numere din mulțimea {$1,2,3,4$} reprezentând săgețile aflate în celulele de pe tabla de joc ($1$ semnificând săgeata la dreapta, $2$ săgeata în sus, $3$ săgeata la stânga și $4$ săgeata în jos). Pe ultima linie sunt scrise numerele naturale $lin \ col$, reprezentând linia și coloana pe care se află poziția de start specificată. Valorile scrise pe aceeași linie în fișierul de intrare sunt separate prin spații. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `arrows.out` va conține o singură linie pe care va fi scris un număr natural reprezentând răspunsul pentru cerința specificată pe prima linie a fișierului de intrare. # Restricții și precizări * $1 \leq N, M \leq 500$; * Liniile sunt numerotate de la $1$ la $N$, iar coloanele de la $1$ la $M$. * Pentru teste valorând $20$ de puncte cerința este $1$. Pentru teste valorând $40$ de puncte cerința este $2$. Pentru celelalte teste, valorând de asemenea $40$ de puncte, cerința este $3$.

VIII

tcif

romanian

tcif.in

tcif.out

OJI 2014 VIII: Problema 2

Avem la dispoziție patru numere naturale $N, A, B, C$, precum și trei cifre $c1, c2, c3$ distincte două câte două. # Cerință Să se determine numărul natural minim, strict mai mare decât $N$, care are exact $A$ cifre $c1$, $B$ cifre $c2$, $C$ cifre $c3$ și nu conține alte cifre. # Date de intrare Fișierul de intrare `tcif.in` conține pe prima linie, separate prin câte un spațiu, numerele naturale $A \ B \ C \ c1 \ c2 \ c3$. Pe linia a doua se află numărul natural $N$. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `tcif.out` va conține o singură linie pe care va fi scris cel mai mic număr natural strict mai mare decât $N$ care conține exact $A$ cifre $c1$, exact $B$ cifre $c2$ și exact $C$ cifre $c3$ și nu conține alte cifre. # Restricții și precizări * $N$ va avea cel puțin o cifră și cel mult $1 \ 000$ de cifre. * Pentru $10$% dintre teste, $N \leq 30 \ 000$; * Pentru alte $40$% dintre teste, $N$ va avea cel mult $14$ cifre * $0 \leq c1, c2, c3 \leq 9$; $c1, c2$ și $c3$ sunt distincte două câte două * $1 \leq A, B, C$; $ A + B + C \leq 1 \ 000$; * Datele de intrare sunt alese astfel încât va exista o soluție.

VIII

maxp

romanian

maxp.in

maxp.out

OJI 2013 VIII: Problema 1

Considerăm un șir de numere $a_1, a_2, \dots, a_N$. O secvență nevidă în acest șir este de forma $a_i, a_{i+1}, \dots, a_j$, unde $i \leq j$. De exemplu, pentru $N = 4$ și șirul $2 \ 3 \ 4 \ 3$, secvențele nevide sunt: $2, 2 \ 3, 2 \ 3 \ 4, 2 \ 3 \ 4 \ 3, 3, 3 \ 4, 3 \ 4 \ 3, 4, 4 \ 3, 3$. Definim puterea unui element $a_i$ ca fiind numărul de secvențe care-l conțin pe $a_i$ și în care $a_i$ este strict mai mare decât celelalte elemente ale fiecăreia dintre respectivele secvențe. Astfel în șirul $2 \ 3 \ 4 \ 3$ puterea elementului $a_1$ este $1$ (fiind maxim doar în secvența formată din el însuși), a elementului $a_2$ este $2$ ($a_2$ fiind maxim în secvențele $2 \ 3$ și $3$), a elementului $a_3$ este $6$ (fiind maxim în secvențele $2 \ 3 \ 4, 2 \ 3 \ 4 \ 3, 3 \ 4, 3 \ 4 \ 3, 4$ și $4 \ 3$), iar a elementului $a_4$ este $1$. # Cerință Scrieți un program care determină puterea cea mai mare a unui element din șirul dat, precum și numărul de elemente din șir care au cea mai mare putere. # Date de intrare Fișierul `maxp.in` conține pe prima linie numărul natural $N$, iar pe a doua linie, în ordine, numerele naturale $a_1, a_2, \dots, a_N$ separate prin câte un spațiu. # Date de ieșire Fișierul `maxp.out` va conține pe prima linie un număr natural ce reprezintă puterea cea mai mare a unui element din șirul dat și pe a doua linie va conține un număr natural ce reprezintă numărul de elemente din șir care au cea mai mare putere. # Restricții și precizări * $2 \leq N \leq 200 \ 000$; * Elementele șirului sunt numere naturale și au cel mult $6$ cifre * Se acordă 50% din punctaj pentru determinarea corectă a celei mai mari puteri a unui element din șir și 50% din punctaj pentru determinarea numărului de elemente din şir care au cea mai mare putere.

VIII

puncte

romanian

puncte.in

puncte.out

OJI 2013 VIII: Problema 2

Andrei se descurcă foarte bine la geometrie și de aceea născocește tot felul de jocuri pe care le testează cu Alexandru, colegul său de bancă. Pentru a pregăti noul joc cu trei niveluri, Andrei desenează pe o foaie de matematică reperul cartezian xOy și mai multe puncte distincte. Fiecare punct desenat are atât abscisa $x$, cât și ordonata $y$, numere întregi. La primul nivel, Alexandru determină numărul maxim de puncte (dintre cele desenate) aflate pe una dintre axele sistemului cartezian sau pe o dreaptă paralelă cu una dintre cele două axe. La al doilea nivel, Alexandru consideră toate punctele desenate a căror abscisă $x$ și ordonată $y$ verifică cel puțin una dintre relațiile $x = y$ sau $x + y = 0$ și apoi calculează câte drepte distincte trec prin cel puțin două dintre aceste puncte. La al treilea nivel, Alexandru numără și șterge punctele din $3$ în $3$ (primul, al $4$-lea, al $7$-lea etc.), începând cu cel mai din stânga punct desenat și continuând către dreapta. Dacă două sau mai multe puncte au aceeași abscisă, el le numără pe acestea de jos în sus (începând de la punctul cu ordonata cea mai mică). Când a ajuns cu număratul la cel mai din dreapta punct continuă cu cel mai din stânga punct rămas. Alexandru se oprește cu numărarea și ștergerea când rămâne un singur punct desenat pe foaie. ~[puncte.png] # Cerință Scrieți un program care citește numărul natural nenul $N$, apoi cele $2 \cdot N$ numere întregi ce reprezintă coordonatele celor $N$ puncte și determină: * $NRP$, numărul maxim de puncte (dintre cele desenate) aflate pe una dintre axele sistemului cartezian sau pe o dreaptă paralelă cu una dintre cele două axe; * $NRD$, numărul de drepte distincte care trec prin cel puțin două dintre punctele desenate a căror abscisa $x$ și ordonată $y$ verifică cel puțin una dintre relațiile $x = y$ sau $x + y = 0$ * $XP$ reprezentând abscisa punctului rămas pe foaie la sfârșitul celui de-al treilea nivel al jocului. # Date de intrare Fișierul de intrare `puncte.in` conține pe prima linie numărul $N$ de puncte, iar pe fiecare dintre următoarele $N$ linii, câte două numere întregi, despărțite printr-un spațiu, reprezentând, în ordine, abscisa și ordonata unui punct din plan. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `puncte.out` va conține pe prima linie numărul natural $NRP$, pe a doua linie numărul natural $NRD$, iar pe a treia linie numărul întreg ce reprezintă coordonata $XP$. # Restricții și precizări * $5 \leq N \leq 250 \ 000$; * coordonatele punctelor sunt numere întregi ce au maximum $3$ cifre; * Se acordă $20$ % din punctaj pentru rezolvarea corectă a punctului a), $20$ % din punctaj pentru rezolvarea corectă a punctului b) și $60$ % din punctaj pentru rezolvarea corectă a punctului c).

VIII

deal

romanian

deal.in

deal.out

OJI 2012 VIII: Problema 1

Vasilică are la grădiniță $N$ turnuri cu înălțimile $h_1, h_2, \dots, h_N$. Când așază în linie niște turnuri, cel puțin două, astfel încât înălțimile lor să fie în ordine crescătoare, Vasilică spune că a construit un deal. Înălțimea dealului este egală cu înălțimea celui mai înalt turn folosit. Iată, de exemplu, că așezând în ordine turnurile cu înălțimile $2 \ 4 \ 4 \ 7 \ 9$ a format un deal cu înălțimea $9$. Vasilică și-ar dori să așeze în linie cele $N$ turnuri, formând o succesiune de dealuri astfel încât suma înălțimilor dealurilor formate să fie maximă. # Cerință Scrieți un program care, cunoscând înălțimile celor $N$ turnuri, va determina suma înălțimilor dealurilor ce se pot forma așezând în linie cele $N$ turnuri, maximă posibil. # Date de intrare Fișierul de intrare `deal.in` conține pe prima linie numărul natural $N$. Pe cea de a doua linie se află $N$ numere naturale separate prin spații, reprezentând înălțimile celor $N$ turnuri. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `deal.out` va conține o singură linie pe care va fi scris un număr natural reprezentând cerința problemei. # Restricții și precizări * $2 \leq N \leq 100 \ 000$; * $1 \leq $ Înălțimile turnurilor $ \leq 100 \ 000$; * Dacă după aranjarea turnurilor $h_i \leq h_{i+1}$ atunci turnurile $i$ și $i + 1$ fac parte din același deal.

VIII

ozn

romanian

ozn.in

ozn.out

OJI 2012 VIII: Problema 2

O invazie de $N$ farfurii zburătoare (denumite uzual OZN) dă bătăi de cap autorităților. În fiecare astfel de OZN se află extratereștri care au ca misiune distrugerea planetei noastre. Radarul care a detectat invazia are un ecran similar cu planul XOY. Fiecare OZN este reprezentat pe ecran printr-un segment de dreaptă. Pentru anihilarea OZN-urilor, autoritățile dispun de $K$ arme laser. Armele sunt poziționate pe sol (ilustrat pe ecranul radarului prin axa OX). Fiecare armă emite o rază laser, ilustrată pe ecran printr-o paralelă cu axa OY. Dacă o rază laser intersectează segmentul de pe ecranul radarului corespunzător unui OZN, raza va omorî toți extratereștrii aflați în OZN-ul respectiv. Din păcate, în preajmă se află doar un militar specializat în arme laser, așa că autoritățile doresc să știe exact ce armă trebuie să folosească acesta pentru a distruge cât mai mulți extratereștri. # Cerință Ajutați autoritățile să determine numărul de extratereștri care pot fi anihilați cu fiecare armă din dotare. # Date de intrare Fișierul de intrare `ozn.in` conține pe prima linie două numere naturale separate prin spațiu $N \ K$ reprezentând numărul de OZN-uri și respectiv numărul de arme laser. Pe următoarele $N$ linii sunt descrise cele $N$ OZN-uri, câte unul pe linie. Un OZN este descris prin $5$ numere naturale separate prin câte un spațiu $x1 \ y1 \ x2 \ y2 \ nr$, reprezentând în ordine coordonatele capetelor segmentului corespunzător ($x1, y1$), ($x2, y2$), iar $nr$ – numărul de extratereștri din el. Pe ultima linie se găsesc $K$ numere naturale $a_1, a_2, a_3, \dots , a_K$, separate prin câte un spațiu, reprezentând coordonatele pe axa OX (abscisele) unde sunt amplasate armele laser. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `ozn.out` va conține $K$ linii. Pe linia $i$ va fi scris numărul total de extratereștri care pot fi distruși cu arma $i$, considerând armele numerotate în ordinea în care acestea apar în fișierul de intrare. # Restricții și precizări * $1 \leq N \leq 20 \ 000$; * $1 \leq K \leq 20 \ 000$; * $1 \leq$ orice coordonată din fișierul de intrare $\leq 2 \ 000 \ 000$; * $1 \leq nr \leq 100$, pentru orice OZN * $x1 < x2$, pentru orice OZN * Pe ecranul radarului segmentele ce descriu navele se pot intersecta. * Dacă raza laser trece prin unul dintre capetele unui OZN atunci acesta este distrus. * Pentru $50$ % dintre testele de intrare $1 \leq N \cdot K \leq 10 \ 000 \ 000$;

VIII

adunscad

romanian

adunscad.in

adunscad.out

OJI 2011 VIII: Problema 1

Considerăm un număr întreg $N$ și un șir de $M$ cifre zecimale nenule. Să se determine dacă numărul $N$ poate fi rezultatul unei expresii aritmetice simple (fără paranteze), formată exclusiv din cifrele șirului citit și din operatorii aritmetici desemnați pentru operațiile de adunare și scădere ($+, -$). # Cerință Scrieți un program care citește numerele $N$ și $M$ de pe prima linie a fișierului de intrare și șirul de $M$ cifre de pe linia următoare și determină și afișează expresia găsită sau valoarea 0 în cazul în care nu există soluție. # Date de intrare Fișierul de intrare `adunscad.in` conține pe prima linie numerele întregi $N \ M$, separate printr-un spațiu, reprezentând valoarea ce trebuie obținută la evaluarea expresiei și numărul de cifre din șir. Linia a doua a fișierului de intrare conține șirul celor $M$ cifre nenule, separate prin câte un spațiu. # Date de ieșire În fișierul de ieșire `adunscad.out` va conține pe prima linie expresia determinată, în cazul în care există soluție, sau valoarea $0$ în cazul în care nu există soluție. # Restricții și precizări * $-180 \leq N \leq 180$; * $2 \leq M \leq 20$; * În șirul citit cifrele se pot repeta. * Toate cifrele din șir trebuie să apară și în expresia aritmetică, în aceeași ordine în care au fost citite. * În expresia aritmetică, orice cifră trebuie să fie precedată de un operator; în cazul în care prima cifră este precedată de operatorul + acesta nu se pune în expresie. În expresia aritmetică nu există spații. * În cazul în care soluția nu este unică se va afișa o soluție corectă.

VIII

comp

romanian

comp.in

comp.out

OJI 2011 VIII: Problema 2

Locuitorii planetei Eudora folosesc o reprezentare mai ciudată a numerelor naturale, astfel că orice număr natural va fi scris notând câte mii, sute, zeci, respectiv unități conține acesta. De exemplu, numărul $3207$ se poate reprezenta în mai multe moduri echivalente: $3m2s7u$ ($3$ mii $2$ sute și $7$ unități), $32s0z7u$ ($32$ sute $0$ zeci și $7$ unități), $32s7u$, $3207u$, etc. Pentru a compara două numere naturale, eudorienii folosesc semnele `<` și `>`, acestea având semnificația cunoscută și pe Terra, iar pentru a calcula suma a două numere naturale utilizează semnul `+`. Pentru a testa abilitățile pământenilor în privința lucrului cu numere naturale, eudorienii au trimis pe Terra un fișier text ce conține $N$ linii, fiecare linie fiind o comparație de forma: `expresie1 > expresie2` sau `expresie1 < expresie2`. Observați că o comparație este constituită din două expresii separate prin semnul < sau prin semnul >. O expresie este compusă dintr-un număr natural sau dintr-o sumă de două sau mai multe numere naturale, toate scrise în forma eudoriană. Fișierul nu conține caractere spațiu. # Cerință Scrieți un program care determină câte dintre comparațiile date utilizează semnul <, precum și valoarea de adevăr a fiecărei comparații dintre cele $N$ date (afișând $0$ dacă acea comparație e falsă, respectiv $1$ dacă acea comparație e adevărată). # Date de intrare Fișierul de intrare `comp.in` conține pe prima linie numărul natural nenul $N$, reprezentând numărul de comparații, iar pe fiecare dintre următoarele $N$ linii câte un șir de caractere corespunzător unei comparații. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `comp.out` va conține pe prima linie un număr natural reprezentând numărul de comparații în care se utilizează semnul <. Urmează $N$ linii, fiecare linie conținând doar valoarea $0$ sau valoarea $1$. Valoarea de pe a i-a linie dintre cele $N$ este $0$, dacă cea de-a i-a comparație din fișierul de intrare este falsă, respectiv $1$ în caz contrar. # Restricții și precizări * $0 < N \leq 1 \ 000$; * Numerele din fișier nu depășesc în valoare numărul eudorian $1000m1000s1000z1000u$. * Lungimea fiecărei linii din fișier este cel mult $250$.

VIII

cladiri

romanian

cladiri.in

cladiri.out

OJI 2010 VIII: Problema 1

Institutul de Fizică a Pământului studiază efectele unui potențial cutremur folosind simulări computerizate. Harta plană a clădirilor de pe un teritoriu oarecare este reprezentată folosind coordonatele GPS în plan, longitudine și latitudine, față de un reper considerat de coordonate ($0, 0$), ca în figura de mai jos. Fiecare dintre clădirile aflate pe hartă, au două coordonate GPS, (Longitudine, Latitudine) și un Grad de rezistență la cutremure. Un cutremur se poate produce în orice punct de coordonate de pe hartă, numit centrul seismului și are o anumită intensitate. Unda de șoc se propagă sub forma unor pătrate concentrice cu centrul seismului, numite nivele (nivelul $0$ reprezintă centrul seismului, nivelul $1$ primul pătrat concentric, nivelul $2$ al doilea pătrat concentric și așa mai departe). Intensitatea slăbește la fiecare pătrat concentric cu centrul seismului cu câte o unitate. Clădirile sunt afectate de cutremur doar dacă gradul lor de rezistență la cutremur este mai mic sau egal cu intensitatea cutremurului în poziția clădirii. ~[cladiri.png] # Cerință Scrieți un program care să citească coordonatele centrului seismului și intensitatea sa în acel punct, precum și coordonatele clădirilor și gradul lor de rezistență la cutremur, și apoi să determine numărul $N$ total de clădiri afectate; numărul $M$ maxim de clădiri afectate pe un nivel; numerele nivelelor cu $M$ clădiri afectate, în ordinea crescătoare a numerelor acestor nivele. # Date de intrare Fișierul de intrare `cladiri.in` conține pe prima linie, trei numere naturale $Long \ Lat \ Intensitate$, separate prin câte un spațiu, reprezentând coordonatele centrului seismului și respectiv intensitatea sa. Pe fiecare dintre următoarele linii, până la sfârșitul fișierului, se află câte trei numere naturale $Long \ Lat \ Grad$, separate prin câte un spațiu, reprezentând coordonatele unei clădiri, respectiv gradul de rezistență la cutremur. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `cladiri.out` va conține trei linii. Pe prima linie se va scrie numărul natural $N$ reprezentând numărul total de clădiri afectate. Pe a doua linie se va scrie numărul natural $M$ reprezentând numărul maxim de clădiri afectate pe un nivel. Pe a treia linie se vor scrie numerele nivelelor cu $M$ clădiri afectate, în ordinea crescătoare a numerelor acestor nivele. # Restricții și precizări * $0 \leq$ Long, Lat, Grad, Intensitate $\leq 10 \ 000$; * $0 <$ număr clădiri $\leq 100 \ 000$; * În centrul seismului se pot afla clădiri. * Nu există mai multe clădiri cu aceleași coordonate. * $52$% din punctaj se poate obţine pe teste de intrare cu $0 \leq Long, Lat, Grad, Intensitate \leq 100$ * se acordă punctaje parţiale din punctajul acordat pe fiecare test, astfel: $25$% pentru cerinţa a), $25$% pentru cerinţa b), respectiv $50$% pentru cerinţa c).

VIII

secvente

romanian

secvente.in

secvente.out

OJI 2010 VIII: Problema 2

Mariei îi plac numerele prime și puterile numerelor prime. Pornind de la un număr prim $p$, ea construiește noi numere, fiecare număr construit fiind un produs de forma $p^y$ ($y \in ℕ$, $y \neq 0$) sau $q \cdot p^m$, $m \in ℕ$ și $q$ un număr prim, numindu-le numere $p$-prime. De exemplu, numerele $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 16, 17 $sunt primele $13$ numere $2$-prime deoarece $2 = 2^1$, $3 = 3 \cdot 2^0$, $4 = 2^2$, $5 = 5 \cdot 2^0$, $6 = 3 \cdot 2^1$, $7 = 7 \cdot 2^0$, $8 = 2^3$, $10 = 5 \cdot 2^1$, $12 = 3 \cdot 2^2$, $13 = 13 \cdot 2^0$, $14 = 7 \cdot 2^1$, $16 = 2^4$, $17 = 17 \cdot 2^0$. Într-o zi Maria a găsit o foaie de hârtie, pe care era scris un șir format din $n$ numere naturale nenule. Cum pe lângă numerele $p$-prime ea este pasionată și de secvențe, și-a pus următoarea întrebare: câte secvențe sunt pe foaie cu următoarele proprietăți: * conțin exact $k$ numere $p$-prime; * încep și se termină cu un număr $p$-prim. În plus, Maria dorește să știe care este poziția de început și cea de final, pentru fiecare secvență descoperită, relative la șirul scris pe foaia de hârtie. # Cerință Scrieți un program care să citească mai multe seturi de date, fiecare set fiind format din numerele $n, p, k$, cu semnificațiile din enunț, și șirul cu $n$ elemente $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$, numerele Mariei. Programul va determina pentru fiecare set de date numărul secvențelor ce conțin exact $k$ numere $p$-prime, precum și pozițiile de început și de final ale acestor secvențe în șirul din set. # Date de intrare Pe prima linie a fișierului `secvente.in` se află numărul $D$ reprezentând numărul de seturi de date din fișier. Seturile de date sunt scrise în fișier pe linii succesive. Pentru fiecare set de date, prima linie conține câte trei numere naturale: $n$ (numărul de elemente de pe foaie), $p$ și $k$ (cu semnificația din enunț), separate prin câte un spațiu, iar fiecare dintre următoarele $n$ linii conține câte un număr natural al șirului $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$, numerele din șirul Mariei. # Date de ieșire Fișierul `secvente.out` va conține $D$ soluții corespunzătoare celor $D$ seturi de date. Pentru fiecare soluție prima linie va conține un număr $x$ reprezentând numărul de secvențe ce îndeplinesc proprietățile cerute, iar fiecare dintre următoarele $x$ linii vor conține câte $2$ numere naturale, separate printr-un spațiu, reprezentând poziția de început, respectiv de final a fiecărei secvențe, linii ordonate crescător după poziția de început. Dacă în șir nu există o astfel de secvență, prima linie a setului va conține valoarea $0$. # Restricții și precizări * $1 \leq D \leq 15$; * $1 \leq k, n \leq 15 \ 000$; * $2 \leq p \leq 30 \ 000$; $p$ este un număr natural prim * $1 \leq a_1, a_2, a_3, \dots, a_n \leq 30 \ 000$; $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n \in ℕ$ * Pozițiile din șir sunt numerotate de la 1. * Numărul $1$ nu este $p$-prim. * O secvență dintr-un șir este formată din elemente aflate pe poziții consecutive în șirul dat.

VIII

235

romanian

235.in

235.out

OJI 2009 VIII: Problema 1

Definim o putere a lui $3$ un număr de forma $3^k$, ($k$ număr natural strict pozitiv), o putere a lui $5$ un număr de forma $5^k$ (k număr natural strict pozitiv), iar o putere a lui $2$ un număr de forma $2^k$ ($k$ număr natural strict pozitiv). Se dă un șir de $n$ numere naturale. Plecând de la acest șir, formăm un nou șir prin eliminarea tuturor numerele care nu sunt puteri ale lui $3$ și nici puteri ale lui $5$. Ordinea relativă între numerele care nu sunt eliminate se păstrează. # Cerințe - Să se determine câte numere conține șirul nou format. - Să se determine de asemenea numărul de secvențe având lungimea egală cu o putere a lui $2$ existente în șirul nou format în care numărul de puteri ale lui $3$ este egal cu numărul de puteri ale lui $5$. O secvență este formată din elemente aflate pe poziții consecutive în acest șir nou format, iar lungimea unei secvențe este egală cu numărul de elemente pe care aceasta îl conține. # Date de intrare Pe prima linie in fișierul `235.in` se afla un număr natural $n$. Pe fiecare dintre următoarele $n$ linii câte un număr natural mai mare decât $1$ reprezentând numerele șirului inițial. # Date de ieșire Pe prima linie a fișierului `235.out` se va afla o valoare naturală $m$ care va reprezenta numărul de elemente rămase în șir după eliminare. Pe a doua linie se va afla o valoare naturală $S$ reprezentând numărul de secvențe din șirul nou format care au proprietățile cerute. # Restricții și precizări * $2 \leq n \leq 500 \ 000$; * Numerele din șirul inițial sunt numere naturale din intervalul [$2, 2 \cdot 10^9$]. * Se garantează că $m \leq 40 \ 000$; pentru fiecare set de date de intrare. * Pentru determinarea corectă a valorii numărului $m$ se acordă $30$% din punctaj iar pentru determinarea corectă a ambelor valori ($m$ şi $s$) se acordă $100$% din punctaj.

VIII

vecini

romanian

vecini.in

vecini.out

OJI 2009 VIII: Problema 2

Se consideră matricea $A$ ale cărei elemente pot avea doar valorile $0$ sau $1$ și în care numerotarea liniilor și numerotarea coloanelor începe de la $1$. Pentru un element oarecare al matricei, definim noțiunea de vecin ca fiind acele elementele din matrice aflate în imediata sa apropiere pe una dintre direcțiile orizontală, verticală sau pe cele două diagonale (vezi figura de mai jos în care s-au marcat cu $x$ vecinii elementului marcat cu $o$). Un vecin bun al elementului $A_{ij}$ este un vecin care are aceeași valoare cu $A_{ij}$. ~[vecini.png] # Cerință Dându-se matricea $A$, să se determine numărul maxim de vecini buni pe care îi are unul dintre elementele matricei precum și numărul de elemente care au acest număr maxim de vecini buni. # Date de intrare Fișierul de intrare `vecini.in` conține pe prima linie trei valori naturale $m \ n \ k$ reprezentând numărul de linii, numărul de coloane și respectiv numărul de valori egale cu $1$ din matricea $A$. Pe fiecare dintre următoarele $k$ linii se află două valori $i$ si $j$ cu semnificația $A_{ij}$ este egal cu $1$. Aceste valori sunt date in ordinea parcurgerii matricei pe linii de la linia $1$ la linia $m$. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `vecini.out` va conține pe prima linie două numere naturale $x$ și $y$ separate printr-un singur spațiu: $x$ va reprezenta numărul maxim de vecini buni pe care îi are unul dintre elementele matricei date, iar $y$ va reprezenta numărul de elemente din matricea dată care au acest număr maxim de vecini buni. # Restricții și precizări * $2 \leq m,n \leq 1 \ 000$; * $0 \leq k \leq n \cdot m / 2+1$; * Pentru $30$% dintre teste $2 \leq m,n \leq 200$;

VIII

numar

romanian

numar.in

numar.out

OJI 2008 VIII: Problema 1

Marius, elev în clasele gimnaziale, a prins gust pentru problemele în care intervin numere prime. Nu a lipsit de la lecţia în care doamna profesoară le-a exemplificat Ciurul lui Eratostene. Dar şi-a pus întrebarea: dacă ar construi şi el un şir special cum ar trebui să-i spună „Şirul lui Marius”? Cum ar trebui să arate acest şir? Ar trebui să pornească de la câteva numere prime şi apoi să construiască şirul format din acele numere naturale care au divizori doar dintre numerele prime date iniţial. Toate numerele din noul şir vor fi ordonate strict crescător. Exemplu dacă ar folosi $4$ numere prime: $2$, $5$, $7$, $11$, atunci ar putea forma şirul următor: $2$, $4$, $5$, $7$, $8$, $10$, $11$, $14$, $16$, $20$, $22$, etc. Şirul nu va conţine, de exemplu, valoarea $6$, deoarece $6$ are ca divizori primi pe $2$ şi $3$, dar numărul prim $3$ nu este printre numerele prime date iniţial. În exemplul de mai sus, în acest şir nou format, pe poziţia a treia este valoarea $5$, iar pe poziţia a zecea este valoarea $20$. Dar pe o poziţie oarecare dată din şir, oare ce valoare va fi? # Cerință Dându-se un şir format din $n$ valori numere prime şi un număr natural $m$ să se determine care este valoarea de pe poziţia $m$ din şirul format din valori strict crescătoare care au ca divizori doar valori din şirul iniţial al numerelor prime date. # Date de intrare Fişierul de intrare `numar.in` conţine pe prima linie două numere naturale separate prin câte un spaţiu $n \ m$, cu semnificaţia: $n$ numărul de valori numere prime, iar $m$ poziţia valorii din şirul descris mai sus. Pe a doua linie separate prin câte un spaţiu sunt cele $n$ valori numere prime date strict crescător. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `numar.out` conţine o singură valoare, a $m$-a valoare din şirul numerelor generate după regula descrisă. # Restricții și precizări * $1 \leq n \leq 100$; * $1 \leq m \leq 15 \ 000$; * Datele problemei vor fi astfel încât reprezentarea celei mai mari valori să poată fi descrisă pe 31 biţi.

VIII

turist

romanian

turist.in

turist.out

OJI 2008 VIII: Problema 2

Harta unui continent poate fi văzută ca un dreptunghi având înălţimea de $M$ unităţi, iar lăţimea de $N$ unităţi. Colţul din stânga sus al hărţii are coordonatele ($0, 0$), iar colţul din dreapta jos are coordonatele ($M, N$). Coordonatele oraşelor de pe hartă sunt întotdeauna numere întregi, adică sunt de forma ($l, c$) cu $0 \leq l \leq M$, reprezentând linia şi $0 \leq c \leq N$, reprezentând coloana. În unul din oraşele de pe hartă se găseşte un turist. El doreşte să pornească într-o expediţie deosebită. A decis să plece într-o anumită direcţie, şi să păstreze aceea direcţie pănă ajunge la marginea continentului (a hărţii) unde se încheie expediţia sa. Doreşte însă să aleagă acea direcţie care îl asigură că pe drumul său va trece prin cât mai multe oraşe. # Cerință Dându-se dimensiunile hărţii, coordonatele oraşului în care se găseşte turistul şi coordonatele tuturor celorlalte oraşe de pe hartă, se cere să se determine numărul maxim de oraşe pe care le va vizita turistul. # Date de intrare Pe prima linie a fişierului de intrare `turist.in` se găsesc numerele naturale $M \ N$ separate printr-un spaţiu reprezentând dimensiunile hărţii. A doua linie a fişierului conţine două numere naturale $l$ şi $c$ separate printr-un spaţiu, reprezentând poziţia iniţială a turistului pe hartă. Linia a treia a fişierului conţine un număr natural $k$, reprezentând numărul de oraşele de pe hartă, diferite de oraşul în care se găseşte turistul. Pe următoarele $k$ linii se găsesc câte două numere naturale, separate printr-un spaţiu, reprezentând coordonatele câte unui oraş de pe hartă, altele decât cel în care se găseşte turistul. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `turist.out` va avea pe prima sa linie, un număr natural reprezentând numărul maxim de oraşe pe care le vizitează turistul. # Restricții și precizări * $1 \leq N, M \leq 1 \ 000$; * $1 \leq K \leq 2 \ 000$;

VIII

afise

romanian

afise.in

afise.out

OJI 2007 VIII: Problema 1

Campania electorală s-a terminat de mult, dar zidul din parcul central al orașului în care au fost puse afișele este încă într-o formă dezolantă. Ploile și vântul au acționat și au urâțit și mai mult această zonă pe care altă dată erau afișe frumos colorate. Primăria a decis să se ocupe de această problemă. A format o comisie și a decis realizarea unor panouri reclamă care să ascundă porțiunile deteriorate. Deoarece fondurile sunt mici s-a decis să fie alocate doar un anumit număr de panouri publicitare care trebuie să ocupe o suprafață cât mai mică posibil. Comisia a primit datele din teren sub forma: lungime zid, câte unități sunt ocupate cu afișe ce trebuie acoperite și care este numărul de panouri pe care le poate folosi. De asemenea se primesc ca date și care sunt unitățile de zid ocupate cu afișe deja deteriorate. # Cerință Fiind date lungimea zidului, câte unități sunt deteriorate, care este numărul maxim de panouri ce pot fi folosite și care sunt unitățile de zid deteriorate, se cere să se determine lungimea minimă totală a panourilor care sunt folosite pentru a acoperi zona și câte panouri se folosesc. Lungimea minimă o definim ca numărul total de unități de zid acoperite astfel încât să fie mascate zonele problemă. Pentru acoperirea unităților de zid deteriorate, nu este neapărat necesar să se folosească toate panourile. Numărul de panouri folosite fiind limitat există posibilitatea să fie acoperite și zone din zid care sunt curate. # Date de intrare Fișierul de intrare `afise.in` conține pe prima linie $3$ valori separate prin câte un spațiu $L \ n \ k$, cu semnificația: $L$ lungimea totală a zidului, $n$ numărul de unități ce urmează a fi acoperite și $k$ numărul maxim de panouri ce pot fi folosite. Pe a doua linie separate prin câte un spațiu sunt $n$ valori $x_1, x_2, \dots, x_n$, unde xi reprezintă unitatea din zid care este acoperită de un afiș vechi. Valorile $x_1, x_2, \dots, x_n$, apar într-o ordine aleatoare. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `afise.out` conține o singură linie cu două valoari ce reprezintă lungimea minimă totală folosită și numărul de panouri folosite astfel încât toate zonele deteriorate să fie acoperite. # Restricții și precizări * $0 < L \leq 1 \ 000$; * $0 < n \leq L$; * $0 < k \leq L / 2$;

VIII

dreptc

romanian

dreptc.in

dreptc.out

OJI 2007 VIII: Problema 2

Se consideră $N$ puncte colorate dispuse în plan. Ele sunt identificate prin coordontele lor întregi, pe axele OX și OY. Fiecare punct are asociat un număr natural între $1$ și $C$ reprezentând codul culorii lui. Un dreptunghi se numește *corect* dacă îndeplinește simultan următoarele condiții: * toate cele patru vârfuri se regăsesc printre cele N puncte date; * are laturile paralele cu axele OX, OY; * are vârfurile colorate în aceeași culoare. # Cerință Să se determine numărul maxim de dreptunghiuri *corecte* care se pot forma cu cele $N$ puncte din plan. # Date de intrare Pe prima linie a fișierul text `dreptc.in` se găsesc două numere $N, MaxC$ reprezentând numărul de puncte din plan și numărul de culori asociate punctelor. Pe următoarele $N$ linii se citesc câte trei numere $x \ y \ c$ reprezentând în ordine coordonata pe axa OX (abscisa), coordonata pe axa OY (ordonata) și codul culorii asociate punctului. # Date de ieșire Pe prima linie a fișierul text `dreptc.out` se va scrie un singur număr cu semnificația numărul maxim de dreptunghiuri corecte. # Restricții și precizări * $1 \leq N \leq 1 \ 000$; * $1 \leq C \leq 5$; * $-1 \ 000 \leq x, y \leq 1 \ 000$; * Nu există două puncte cu aceleași coordonate * $40$% din teste vor avea $N \leq 100$;

VIII

elfi

romanian

elfi.in

elfi.out

OJI 2006 VIII: Problema 1

Marele vrăjitor Prospero are o grădină minunată îngrijită de o sumedenie de spiriduși care n-au altă sarcină decât să zboare la orele dimineții de-a lungul aleilor și să stropească plantele din vasele ornamentale de piatră aflate pe margine. Există un havuz chiar la capătul grădinii și o alee principală ce pornește de la havuz și duce până la intrare. Din aleea principală se desprind alei secundare ce formează ronduri alungite revenind, în același loc, la aleea principală. Se știe că există $n$ spiriduși, numerotați de la $1$ la $n$, fiecare pentru câte una dintre aleile secundare. Toți pornesc de la havuz la ora $5:00:00$ dimineața cu câte un vas cu apă pregătit de cu seară, străbat aleea principală până la rondul lor, apoi parcurg aleea rondului propriu, revin în aleea principală, se întorc la havuz pentru a se alimenta cu apă și o iau de la capăt la fel, până la ora $9:00:00$ când se retrag la umbră pentru somn. Se știe că toți spiridușii zboară fără încetare, cu aceeași viteză, pe toată durata celor exact $4$ ore. Se cunosc, pentru fiecare spiriduș, numărul de secunde necesare pentru a ajunge de la havuz la rondul propriu și numărul de secunde necesare pentru a parcurge în întregime rondul propriu. Orice spiriduș care ajunge la havuz își umple vasul în exact o secundă, de la un robinet aflat pe marginea havuzului. De exemplu, dacă spiridușul care se ocupă de rondul $5$ din figură are nevoie de $2$ secunde pentru a ajunge la rondul său și de $15$ secunde pentru a parcurge rondul $5$, atunci va reveni la havuz pentru a-și umple vasul la orele $5:00:19$ ($2 + 15 + 2$), își umple vasul și pornește iar la ora $5:00:20$, revine iar la $5:00:39$ și pleacă iar la ora $5:00:40$ etc. Doi spiriduși nu își pot umple vasul în același moment de la același robinet. ~[elfi.png] # Cerință Se cere să se determine numărul minim de robinete cu care trebuie să fie prevăzut havuzul astfel încât nici un spiriduş, în nici un moment, să nu fie nevoit să aştepte pentru a-şi putea umple vasul cu apă. # Date de intrare Din fișierul de intrare `elfi.in` se citesc: * $n$, numărul de spiriduși, de pe primul rând; * $n$ perechi de forma $c_i \ p_i$ reprezentând numărul de secunde de la havuz la rondul propriu și respectiv numărul de secunde necesar pentru parcurgerea rondului propriu, de pe următoarele $n$ linii ale fișierului. # Date de ieșire În fișierul de ieșire `elfi.out` se scrie o singura linie cu un singur număr reprezentând numărul minim de robinete necesare. # Restricții și precizări * $2 \leq n \leq 5 \ 000$; * $1 \leq c_i \leq 100$; * $1 \leq p_i \leq 100$;

VIII

mare

romanian

mare.in

mare.out

OJI 2006 VIII: Problema 2

Se dau $n$ numere naturale $x_1, x_2, \dots, x_n$. Cu secvențe de numere din șirul $x_1, x_2, \dots, x_n$ se pot forma numere mari scriind numerele secvenței unul după altul fără spații între ele. # Cerință Dintre toate numerele mari formate ca mai sus, se cere să se determine cel mai mare dintre ele care este palindrom. # Date de intrare Fișierul de intrare `mare.in` conține pe prima linie numărul n, iar pe linia a doua numerele naturale $x_1, x_2, \dots, x_n$ cu un spațiu între ele. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `mare.out` va conține pe prima linie numărul mare din cerință. # Restricții și precizări * $1 \leq n \leq 100$; * $x_1, x_2, \dots, x_n$ sunt numere naturale cu maximum 9 cifre. * Prin secvență de numere într-un șir de numere, înțelegem unul sau mai multe numere aflate unul imediat după altul în șir. * Prin număr palindrom înțelegem un număr care, citit de la stânga la dreapta sau de la dreapta la stânga, ne dă același număr. * Toate testele folosite la evaluare conțin cel puțin un număr mare.

VIII

muzica

romanian

muzica.in

muzica.out

OJI 2005 VIII: Problema 1

Fiind elev la un liceu de artă, secţia muzică, Andrei îşi propune să studieze o gamă nouă formată din $10$ note muzicale. Pasionat şi de matematică îşi propune pornind de la două numere naturale $a$ şi $b$ ($a < b$) să compună o „Simfonie interminabilă”, generând un şir de note în gama cea nouă. Astfel, el generează fiecare notă a simfoniei înmulţind pe $a$ cu $10$ şi împărţind rezultatul la $b$ (împărţire întreagă). Pentru a nu genera aceeaşi notă, el modifică de fiecare dată pe $a$, înlocuindu-l cu restul împărţirii lui $a \cdot 10$ la $b$. Deci notele sunt generate după regula $a \cdot 10$ div $b$, unde după fiecare pas a se schimbă astfel: $a = a \cdot 10$ mod $b$ (operaţia div reprezintă câtul întreg al împărţirii, iar mod este întregul ce reprezintă restul împărţirii întregi a două numere). Astfel, pornind de la $a = 42$ şi $b = 130$, el va genera notele: $3 \ 2 \ 3 \ 0 \ 7 \ 6 \ 9 \ 2 \ 3 \ 0 \ 7 \ 6 \ 9 \ 2$ etc. * $3 = 42 \cdot 10$ div $130$, iar $a$ devine $a = 42 * 10$ mod $130$, deci $a = 30$; * $2 = 30 \cdot 10$ div $130$, $a = 300$ mod $130$, $a = 40$; * $3 = 40 \cdot 10$ div $130$, $a = 400$ mod $130$, $a = 10$; * $0 = 10 \cdot 10$ div $130$, $a = 100$ mod $130$, $a = 100$; * $7 = 100 \cdot 10$ div $130$, $a = 1000$ mod $130$, $a = 90$; * $6 = 90 \cdot 10$ div $130$, $a = 900$ mod $130$, $a = 120$; * $9 = 120 \cdot 10$ div $130$, $a = 1200$ mod $130$, $a = 30$; * $2 = 30 \cdot 10$ div $130$, $a = 300$ mod $130$, $a = 40$; etc. Ascultând simfonia, Andrei constată că, de la un moment dat, o secvenţă începe să se repete identic de un număr infinit de ori. Andrei numeşte secvenţa formată de primele note, cele aflate înaintea secvenţei care se repetă, „tema”, iar secvenţa care se repetă, „refrenul” simfoniei. De exemplu, în secvenţa anterioară, $3$ este tema, iar $230769$ este refrenul. El consideră tema şi refrenul cu lungimi cât mai mici posibil. Astfel, în exemplul anterior, nu se pot considera temă respectiv refren nici $32$ şi $307692$, nici $3$ şi $230769230769$. Există şi cazul în care nu există temă, adică simfonia începe direct cu refrenul. # Cerință Scrieţi un program care, citind două numere naturale $a$ şi $b$ ($a < b$), va determina cifrele temei şi cifrele refrenului. Se vor afişa cifrele temei, în continuare cifrele refrenului apoi un spaţiu urmat de un număr reprezentând câte cifre are refrenul. # Date de intrare Fişierul de intrare `muzica.in` conţine pe prima linie două valori: $a$ şi $b$ numere naturale, separate printr-un spaţiu. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `muzica.out` va conţine o singură linie cu cifrele temei urmate în continuare de cifrele refrenului şi, după un spaţiu, numărul de cifre ale refrenului. # Restricții și precizări * $1 < a, b < 1 \ 000$; * $a \neq b$;

VIII

volei

romanian

volei.in

volei.out

OJI 2005 VIII: Problema 2

Câţiva băieţi, după un fotbal mic, au hotărât să participe la jocul liber de volei al fetelor. Fetele sunt aşezate în cerc şi nu îşi schimbă locurile între ele. Un băiat se poate ataşa jocului fetelor numai dacă se aşează între două fete şi este mai înalt (strict) decât amândouă. # Cerință Cunoscând numărul de fete şi înălţimea fiecăreia, în ordinea în care se află ele pe cerc, numărul băieţilor şi înălţimea fiecăruia, se cere să se determine un număr maxim de băieţi care pot participa la joc şi poziţia ocupată de fiecare pe cerc. # Date de intrare Din fişierul text de intrare `volei.in` se citesc: - de pe prima linie un număr natural $n$, numărul de fete din joc; - de pe cea de a doua linie, $n$ numere naturale nenule despărţite prin câte un spaţiu, reprezentând înălţimile fetelor, în ordinea de pe cerc, în sensul acelor de ceasornic, pornind de la o fată oarecare; - de pe cea de a treia linie, un număr natural $m$, numărul de băieţi care vor să intre în joc; - de pe cea de a patra linie, $m$ numere naturale nenule despărţite prin câte un spaţiu, reprezentând înălţimile băieţilor care vor să intre în joc # Date de ieșire În fişierul text de ieşire `volei.out` se scriu: - pe prima linie un număr natural $k$, reprezentând numărul maxim de băieţi care pot participa la joc; - pe linia următoare, $n + k$ numere naturale, despărţite prin câte un spaţiu, numere reprezentând înălţimile jucătorilor de volei, în ordinea de pe cerc, în sensul acelor de ceasornic, pornind de la aceeaşi fată din fişierul de intrare, înălţimile băieţilor fiind scrise între paranteze. # Restricții și precizări * $1 \leq n, m \leq 2 \ 000$ * Înălțimile fetelor și a băieților nu depășesc valoarea $1\ 000$. * Dacă există mai multe posibilităţi de a insera $k$ băieţi în joc, se va scrie una singură. * Dacă numerele reprezentând înălţimile nu vi se par plauzibile, atunci puteţi considera că ele reprezintă coeficientul de inteligenţă al fiecărei persoane. * Pentru afişarea valorii corecte a numărului $k$ se acordă 40 de puncte, iar pentru soluţia completă ($k$ maxim şi configuraţia corectă a celor $n + k$ înălţimi ale jucătorilor) se acordă 100 de puncte.

VIII

culmi

romanian

popas.in

popas.out

OJI 2004 VIII: Problema 1

Dornic de o condiţie fizică perfectă, un viitor olimpic naţional la informatică îşi propune să escaladeze cea mai înaltă culme a unui un masiv muntos. Se echipează corespunzator, îşi cumpără un termos, *îl umple cu apă*, culege informaţiile despre traseele existente şi completează astfel fişierul de intrare `popas.in`. Pe parcursul fiecărui traseu există mai multe izvoare de la care drumeţul îşi poate umple termosul. Ştiind că pe munte este bine să mergi cu pas constant şi fără ruperi de ritm, îşi propune să atingă culmea facând *cât mai puţine popasuri (pentru umplerea termosului)*. # Cerință Dintre toate traseele existente către culme determinaţi-l pe cel pentru care **numărul total de popasuri este minim**. Dacă sunt mai multe astfel de trasee, se va alege cel care este scris ultimul în fişierul de intrare. # Date de intrare Fişierul `popas.in` conţine: - pe prima linie, $k$ - numărul total de trasee către culme - pe fiecare dintre următoarele $k$ linii descrierea câte unui traseu (pe fiecare linie numerele sunt separate prin câte un spaţiu), adică: - $i$ - numărul asociat traseului (fiecare traseu este identificat în mod unic printr-un număr natural cuprins între $1$ şi $k$) - $r$ - numărul izvoarelor cu apă rece de pe traseu - $d_1, d_2, \dots, d_r$ – $r$ numere reprezentând distanţa de la punctul de plecare până la fiecare izvor - pe ultimele două linii: - t distanţa pentru care drumeţului îi este suficientă apa din termos - u distanţa pe care drumeţul o poate străbate fără apă # Date de ieșire Fişierul `popas.out` va conţine pe aceeasi linie, despărţite prin spaţiu, două numere: primul reprezintă numărul minim de popasuri necesare deplasarii şi al doilea numărul traseului ales. Dacă problema nu are soluţie fişierul de ieşire va conţine cifra$ 0$. # Restricții și precizări * În fişierul de intrare toate distanţele sunt exprimate în kilometri * Pentru fiecare traseu distanţa dintre ultimul izvor (cel mai îndepărtat de punctul de plecare) şi culme este de $1$ kilometru * $0 < k \leq 100$; * $0 < r \leq 20$; * $0 < di \leq 360$; * $1 \leq t \leq 10$; * $1 \leq u \leq 5$;

VIII

ron

romanian

ron.in

ron.out

OJI 2004 VIII: Problema 2

Lidorienii şi senopictii sunt în conflict pentru ronul fermecat, fiind arbitraţi de orintieni, aleşi de părţile beligerante drept judecători. Orintia a propus: „Ronul fermecat va fi ascuns printre alţi $k$ roni cu acelaşi aspect, dar toţi realizaţi dintr-un material mai greu decât originalul, având masa, standard, diferită de cea a ronului femecat. Pentru a-l descoperi, vă gandiţi că aveţi la dispoziţie o balanţă şi toţi cei $k+1$ roni. Lidorienii, apoi senopictii vor spune un singur număr, reprezentând numărul maxim de cântăriri admis pentru descoperirea ronului fermecat. Dacă nici una dintre părţi nu spune numărul corect, atunci ronul fermecat va rămâne în Orintia. Dacă ambele părţi spun numărul corect, ronul va rămâne tot la orintieni.”. # Cerință Sarcina voastră este să indicaţi ţara care câştigă ronul fermecat: Lidoria - $L$, Senopictia – $S$, Orintia – $O$. # Date de intrare Fisierul `ron.in` are pe prima linie numărul $k$, iar pe linia a doua două numere $RL$, respectiv $RS$ separate printr-un spaţiu. 4RL$ reprezintă răspunsul lidorienilor, iar $RS$ răspunsul senopictilor. # Date de ieșire Fisierul `ron.out` contine una din literele $L, S$ şi $O$. # Restricții și precizări * $1 < k < 10 \ 000$; * $RL, RS$ sunt numere naturale cel mult egale cu $k$ * ronul fermecat este un cuboid gravat cu semnele fixe ale puterii * numărul maxim de cântăriri admis nu se obţine cântărind un ron de mai multe ori şi nici cântărind de cât mai multe ori ronii; cântărirea presupune să existe, pe fiecare braţ al balanţei, un număr egal de roni ($1 - 1$, $2 - 2$, etc.)

VIII

templu

romanian

templu.in

templu.out

OJI 2003 VIII: Problema 1

Copa ajunse în Orintia unde există un templu cu mai multe nivele, baza fiind un pătrat de lungime $L$. Primul nivel are înălţimea egală cu $N$, iar celelalte nivele au înălţimea mai mare cu o unitate faţă de cel anterior. Spre exemplu pentru $L = 5$ şi $N = 3$ din stâncă răsări templul (imagine din avion şi de la sol): Copa deschise un document vechi şi citi: „Ca să afli cât aur este în templu, trebuie să însumezi numărul de metri de pe fiecare orizontală…”. Şi Copa socoti: $3+3+3+3+3=15$; $3+4+4+4+3=18$; $3+4+5+4+3=19$; celelalte $18$ şi $15$. „Apoi, trebuie să afli suma numerelor obţinute…”. Iar Copa îşi notă numărul $85$. „Toate numerele obţinute se lipesc pentru a forma cel mai mic număr posibil…”. Şi Copa obţinu numărul: $151518181985$. „Din numărul acesta se caută cel mai mare număr de două cifre alăturate. Aceasta este cantitatea de aur din templu.”. Şi Copa ţipă de bucurie: $98$!. ~[templu.png] # Cerință Plecaţi în Orintia! Veţi primi cele două numere $N$ şi $L$ şi vi se cere să determinaţi numărul obţinut din sume şi cantitatea de aur. # Date de intrare Fişierul `templu.in` conţine pe prima linie numerele $N$ şi $L$ separate printr-un spaţiu. # Date de ieșire Fişierul `templu.out` va conţine două linii. Pe câte o linie se va scrie câte un număr. Pe prima linie numărul obţinut din sume, iar pe a doua linie cantitatea de aur. # Restricții și precizări * $2 \leq L \leq 10$; * $1 \leq N \leq 50$;

VIII

tort

romanian

tort.in

tort.out

OJI 2003 VIII: Problema 2

Un tort dreptunghiular de dimensiuni $M \cdot N$ trebuie împărţit în porţii pătrate de aceeaşi mărime. # Cerință Găsiţi numărul minim de porţii care se pot obţine şi dimensiunea $L$ a acestora. Atât dimensiunile dreptunghiului cât şi ale pătratelor în care se împarte sunt numere întregi. # Date de intrare Fişierul `tort.in` va conţine pe prima linie numerele $M$ şi $N$ separate printr-un spaţiu. # Date de ieșire Fişierul `tort.out` va conţine pe o singură linie, două numere naturale separate printr-un spaţiu, primul fiind numărul minim de porţii, iar celălalt dimensiunea $L$. # Restricții și precizări * $1 \leq M, N \leq 10 \ 000$;

VIII

sir

romanian

sir.in

sir.out

OJI 2002 VIII: Problema 1 (Modificată)

Se consideră următorul şir, construit astfel încât fiecare element al lui, cu excepţia primului, se obţine din cel precedent: $1, 11, 21, 1211, 111221, \dots$ Termenii din şir sunt numerotaţi începând cu $1$. # Cerință Dat $n$, un număr natural, să se determine cel de-al $n$-lea termen din şirul dat. # Date de intrare Pe prima linie a fișierului de intrare `sir.in` se găseste numarul $n$. # Date de ieșire Pe prima linie a fișierului de ieșire `sir.out` se va găsi un singur număr întreg, al $n$-lea termen al sirului. # Restricții și precizări * $4 \leq n \leq 35$; * numărul de cifre ale unui termen nu depăşeşte $17 \ 000$.

VIII

anagrame

romanian

anagrame.in

anagrame.out

OJI 2002 VIII: Problema 2 (Modificată)

Se dă un cuvânt format numai din litere mici. Numim anagramă un cuvânt format din literele cuvântului dat, schimbând eventual ordinea literelor. De exemplu o anagramă a cuvântului tamara este cuvântul armata. Evident, un cuvânt poate fi considerat o anagramă a lui însuşi. # Cerință Scrieţi un program care să genereze toate anagramele unui cuvânt dat, în ordine lexicografică. # Date de intrare Fişierul de intrare `anagrame.in` conţine pe prima linie cuvântul dat. # Date de ieșire Fişierul de ieşire `anagrame.out` va conţine în ordine anagramele cuvântului dat, câte una pe linie. # Restricții și precizări * Cuvântul dat are cel mult $10$ litere mici. * Cuvântul $x = x_1 \ x_2 \dots x_n$ precede cuvântul $y = y_1 \ y_2 \dots y_n$ dacă există un indice $k \in {1, 2, \dots, n}$ astfel încât $x_i = y_i$, $i \in {1, 2, \dots, k - 1}$, iar litera $x_k$ precede în alfabet litera $y_k$.

VIII

cufere

romanian

cufere.in

cufere.out

OJI 2023 IX: Problema 1

~[cufar.png|align=right|width=25%] Alex, eroina din *Minecraft*, este foarte curajoasă și harnică. De-a lungul timpului, ea a depozitat în $n$ cufere tot felul de obiecte fragile (de exemplu ouă) sau dure (de exemplu pietre). Un cufăr este o cutie de lemn cu $27$ de compartimente dispuse pe $3$ rânduri, câte $9$ pe fiecare rând. Într-un compartiment poate fi depozitat un grup de unul sau mai multe obiecte **identice**: maximum $16$ obiecte fragile sau maximum $64$ de obiecte dure. Pot fi mai multe compartimente care să conțină același tip de obiecte, iar unele compartimente pot fi goale. Alex a etichetat atât compartimentele, cât și obiectele, cu numere construite după următoarea regulă: * un obiect are drept etichetă un număr natural cuprins între $10$ și $99$, inclusiv, astfel: un număr prim, dacă este fragil, sau un număr compus, dacă este dur; * toate obiectele identice primesc aceeași etichetă; * un compartiment are drept etichetă un număr natural format din două valori alipite: numărul obiectelor din grupul depozitat în el, urmat de eticheta comună a acestora (de exemplu dacă eticheta compartimentului este $1994$, înseamnă că în el este depozitat un grup de $19$ obiecte, fiecare având eticheta $94$); * compartimentele goale sunt etichetate cu $0$. Alex vrea să **rearanjeze** obiectele din cufere, astfel încât: * să fie valorificat spațiul, adică să fie ocupate cât mai puține cufere și, în cadrul unui cufăr, cât mai puține compartimente; * să fie ocupate compartimentele din cuferele disponibile la rând, începând cu primul cufăr, și, în cadrul unui cufăr, începând cu primul rând și, în cadrul unui rând, de la stânga la dreapta. Cu alte cuvinte, se umple mai întâi cufărul $1$, începând cu rândul $1$, și pe fiecare rând de la stânga la dreapta, apoi cufărul al doilea, în aceeași manieră, și așa mai departe; * obiectele sunt preluate în ordinea crescătoare a etichetelor și din totalul obiectelor identice se formează mai întâi grupuri cu număr maxim de obiecte, și doar ultimul grup poate fi, eventual, incomplet; * fiecare din aceste grupuri se depozitează, pe măsura formării, în câte un compartiment al cufărului curențiar dacă acesta se umple, se trece la cufărul următor. După rearanjarea obiectelor, compartimentele sunt etichetate din nou, după aceeași regulă. # Cerință Dându-se cele $n$ cufere, care conțin obiectele în ordinea inițială, Alex vă roagă să realizați un program care să determine: 1. pentru fiecare etichetă distinctă de obiect întâlnit în cele $n$ cufere, numărul total al obiectelor cu acea etichetă; 2. noile etichete ale compartimentelor care compun cele $n$ cufere, după rearanjarea obiectelor. # Date de intrare Fișierul de intrare `cufere.in` conține pe prima linie numărul $c$ reprezentând cerința care trebuie să fie rezolvată ($1$ sau $2$), pe a doua linie numărul natural nenul $n$, cu semnificația din enunț, iar pe fiecare din următoarele $3n$ linii, câte $9$ numere, reprezentând etichetele inițiale ale compartimentelor aflate pe câte un rând al unui cufăr, în ordinea în care ele se află în cufere, de la primul cufăr, până la ultimul, în cadrul fiecărui cufăr de la primul rând până la al treilea, iar în cadrul fiecărui rând de la stânga la dreapta. Numerele aflate pe aceeași linie a fișierului sunt separate prin câte un spațiu. # Date de ieșire Fișierul `cufere.out` va conține fie răspunsul pentru cerința $1$ (dacă $c = 1$), fie răspunsul pentru cerința $2$ (dacă $c = 2$). \ Pentru cerința $1$, pentru fiecare etichetă distinctă, în ordine strict crescătoare, se va afișa o pereche formată din eticheta respectivă și numărul obiectelor cu această etichetă. Fiecare pereche de numere va fi afișată pe câte o linie. \ Pentru cerința $2$, etichetele compartimentelor vor fi afișate corespunzător plasării lor în cufere, câte $9$ pe fiecare linie a fișierului, de la primul cufăr până la ultimul, în cadrul fiecărui cufăr de la primul rând până la al treilea, iar în cadrul fiecărui rând de la stânga la dreapta. \ Numerele aflate pe aceeași linie a fișierului sunt separate prin câte un spațiu. # Restricții și precizări * $c \in \{1,2\}$; * $1 \leq n \leq 10 \ 000$; * Eticheta unui obiect este cuprinsă intre $10$ și $99$, inclusiv. * În cazul cerinței $2$, se vor afișa etichetele pentru toate compartimentele, chiar dacă ele sunt goale sau provin din cufere complet goale. * Pentru $40$ de puncte, $c = 1$; * Pentru $60$ de puncte, $c = 2$.

IX

partitura

romanian

partitura.in

partitura.out

OJI 2023 IX: Problema 2

~[partitura.png|align=right|width=25%] Mihai s-a decis în sfârșit să compună o melodie. Fără să știe de unde să înceapă, a scris pe o foaie $n$ note muzicale. Fiecare notă muzicală este definită de două valori reprezentând durata și înălțimea acesteia astfel: * **durata** este exprimată printr-o fracție de forma $\displaystyle \frac{1}{2^x}$, unde $x$ este un număr natural nenul; * **înălțimea** este exprimată printr-un număr natural nenul $y$. Durata unui grup de note este egală cu suma duratelor notelor din grup. Pentru a compune o melodie corect din punct de vedere muzical, el trebuie să distribuie toate notele în grupuri disjuncte, astfel încât durata fiecărui grup să fie $1$. Mihai definește **scorul unui grup** de note ca fiind suma înălțimilor tuturor notelor din grup, ridicată la pătrat. De asemenea, el definește **scorul unei melodii** ca fiind suma scorurilor tuturor grupurilor de note formate care pot forma un grup. Mihai vrea să afle care este scorul maxim al unei melodii pe care îl poate obține după gruparea tuturor notelor date. # Cerință Dându-se $n$ note sub forma a $n$ perechi de numere, $x$ și $y$, să se afișeze scorul maxim ce poate fi obținut după gruparea tuturor notelor date în grupuri disjuncte. # Date de intrare Fișierul de intrare `partitura.in` va conține pe prima linie un număr natural $n$, reprezentând numărul de note, iar pe următoarele $n$ linii se vor afla câte două numere naturale $x$ și $y$ separate prin câte un spațiu, cu semnificația din enunț, pentru fiecare din cele $n$ note. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `partitura.out` va conține un singur număr natural reprezentând scorul maxim cerut. # Restricții și precizări * $1 \leq n \leq 300 \ 000$; * $1 \leq x \leq 18$; * $1 \leq y \leq 10 \ 000$; * Se garantează că se pot distribui toate notele date în grupuri de durată $1$. * Pentru $20$ de puncte, $n \leq 4$, $x = 1$; * Pentru $22$ de puncte, $x = 1$; * Pentru $17$ puncte, pentru toate notele, $x$ are aceeași valoare; * Pentru $41$ de puncte, nu există restricții suplimentare.

IX

fibosnek

romanian

fibosnek.in

fibosnek.out

OJI 2023 IX: Problema 3

~[fibosnek.png|align=right|width=25%] Se consideră o matrice cu $n$ linii și $m$ coloane ce conține numere naturale nenule. \ Se definește o parcurgere ***snek*** a matricei un șir de valori obținut astfel: se parcurg elementele matricei coloană cu coloană, de la prima până la ultima, și, în cadrul fiecărei coloane, de sus în jos de la elementul aflat pe prima linie, până la cel aflat pe ultima linie, ca în exemplu. \ Șirul numerelor Fibonacci este definit mai jos unde $\text{fib}[k]$ reprezintă al $k$-lea număr Fibonacci: * $fib[1] = 1, fib[2] = 1$; * $fib[k] = fib[k - 1] + fib[k - 2]$, pentru orice $k \gt 2$; Se numește secvență ***fibosnek*** un termen sau o succesiune de termeni aflați pe poziții consecutive în parcurgerea *snek*, cu proprietatea că fiecare dintre ei este număr Fibonacci. Similar, se numește secvență ***non-fibosnek*** un termen sau o succesiune de termeni aflați pe poziții consecutive în parcurgerea *snek*, cu proprietatea că niciunul dintre ei nu este număr Fibonacci. Lungimea secvenței este egală cu numărul termenilor săi. Suma secvenței este egală cu suma termenilor săi. O secvență *non-fibosnek* poate fi transformată în una *fibosnek* prin înlocuirea fiecărui număr din secvență cu un număr Fibonacci aflat cel mai aproape de el în șirul numerelor Fibonacci. Dacă există două numere Fibonacci la fel de apropiate de numărul dat se va alege mereu cel mai mic. De exemplu, secvența ($4$) se transformă în secvența ($3$), iar secvența ($9, 11$) în secvența ($8, 13$). # Cerințe Fiind date elementele matricei cu $n$ linii și $m$ coloane să se determine: 1. numărul de numere Fibonacci din matricea dată inițial; 2. suma celei mai lungi secvențe *fibosnek* ce poate fi obținută, știind că se poate transforma **cel mult o secvență** *non-fibosnek* în una *fibosnek* folosind procedeul explicat mai sus. Dacă se pot obține mai multe astfel de secvențe de lungime maximă, se va alege prima întâlnită în parcurgerea *snek* a matricei. # Date de intrare Fișierul de intrare `fibosnek.in` conține pe prima linie numerele naturale $c$, $n$ și $m$, unde $c$ reprezintă cerința care trebuie rezolvată ($1$ sau $2$), iar $n$ și $m$ au semnificația din enunț, pe următoarele $n$ linii conține elementele matricei, parcurse în ordine, linie cu linie și în cadrul fiecărei linii, de la stânga la dreapta. Valorile aflate pe aceeași linie a fișierului sunt separate prin câte un spațiu. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `fibosnek.out` conține fie doar numărul determinat pentru cerința $1$ (dacă $c = 1$), fie doar suma determinată pentru cerința $2$ (dacă $c = 2$). # Restricții și precizări * $c \in \{1, 2\}$; * $1 \leq n, m \leq 1 \ 500$; * Elementele matricei au valori în intervalul $[1, 2^{31}-1]$; * Pentru $21$ de puncte, $c = 1$ și $n, m \leq 1 \ 000$; * Pentru $20$ de puncte, $c = 2$ și $n, m \leq 100$; * Pentru $44$ de puncte, $c = 2$ și $n, m \leq 1 \ 000$; * Pentru $15$ puncte, $c = 2$ și nu există restricții suplimentare.

IX

oneout

romanian

oneout.in

oneout.out

OJI 2022 IX: Problema 2

Definim un număr ***liber de pătrate*** ca fiind un număr natural care nu are ca divizor niciun pătrat perfect mai mare ca $1$. Prin convenție, $1$ este considerat *liber de pătrate*. Așadar, șirul numerelor *libere de pătrate* este: $1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, \dots$ Se consideră un șir de $N$ numere naturale $X_i$, $1 \leq i \leq N$, unde $N$ este un număr natural. Definim o ***bisecvență*** ca un subșir nevid obținut prin eliminarea dintr-o secvență a unui număr care nu este la începutul sau la sfârșitul secvenței. # Cerințe 1) Să se determine câte numere *libere de pătrate* conține șirul dat. 2) Să se determine cea mai lungă *bisecvență* din șir formată din numere *libere de pătrate*, obținută prin eliminarea unui număr care **nu** este *liber de pătrate*. # Date de intrare Fișierul de intrare `oneout.in` conține pe prima linie un număr natural $C$, care poate fi doar $1$ sau $2$, reprezentând cerința, pe a doua linie numărul natural $N$ iar pe a treia linie $N$ numere naturale, separate prin câte un spațiu, cu semnificația de mai sus. # Date de ieșire Dacă $C$ este egal cu $1$, în fișierul de ieșire `oneout.out` se va scrie numărul de numere *libere de pătrate* din șir. Dacă $C$ este egal cu $2$: - Pe prima linie a fișierului de ieșire `oneout.out` se vor scrie două numere $L$ și $K$ despărțite printr-un spațiu, unde $L$ reprezintă lungimea maximă a unei *bisecvențe* cu proprietățile cerute, iar $K$ reprezintă numărul de *bisecvențe* de lungime maximă existente în șir. - Pe următoarele $K$ linii se vor scrie indicii de început și de sfârșit ai fiecărei *bisecvențe* de lungime maximă găsite, în ordinea crescătoare a indicelui de start, despărțite printr-un spațiu. - Dacă șirul nu conține nicio *bisecvență* cu proprietățile cerute, în fișierul de ieșire se va scrie `-1`. # Restricții și precizări - $3 \leq N \leq 10^6$ - $2 \leq X_i \leq 10^6$, $1 \leq i \leq N$ - Lungimea unei *bisecvențe* reprezintă numărul de numere din aceasta. - Pentru teste în valoare de 37 de puncte $C = 1$, din care pentru teste în valoare de 24 de puncte $3 \leq N \leq 25$. - Pentru teste în valoare de 63 de puncte $C = 2$, din care pentru teste în valoare de 23 de puncte $3 \leq N \leq 101$.

IX

pergament

romanian

pergament.in

pergament.out

OJI 2022 IX: Problema 3

~[0.png|align=right|width=13em] Deși nu obișnuiește să deseneze, Adrian are o pasiune inedită: îi place să schițeze pe hârtie orașe imaginare... mai exact cum ar arăta acestea văzute de sus. În acest an, de ziua lui a primit cadou un pergament! Normal că menirea acestuia va fi ca Adrian să deseneze pe el schița celui mai mare oraș pe care și l-a imaginat până acum. Pergamentul are lățimea unei coli de hârtie, însă lungimea sa este neașteptat de mare. De asemenea, pergamentul este împărțit în pătrate astfel încât pe lungime se află exact $N$ pătrate iar pe lățime se află exact $K$ pătrate. Astfel, Adrian are la dispoziție exact $N \cdot K$ pătrate pe care le poate colora. \ El decide să coloreze doar străzile orașului, deoarece nu are timp de mai mult și plănuiește să folosească două tipuri de străzi: 1) Străzi orizontale - Vor fi desenate ca o secvență continuă de pătrate albastre. - Pe fiecare rând de la $1$ la $N$ se va afla **exact** o stradă orizontală. Deci, la final vor fi **exact** $N$ străzi orizontale. - Fiecare stradă se desfășoară pe un singur rând. - Lungimea fiecărei străzi va fi de minim un pătrat și de maxim $K$ pătrate și este egală cu numărul de pătrate ce o compun. - Strada poate începe pe oricare pătrat de pe rând și poate avea orice lungime cât timp nu depășește limitele pergamentului. 2) Străzi verticale - Vor fi desenate ca o secvență continuă de pătrate roșii. - Adrian va desena exact $Q$ străzi verticale, desfășurate pe una dintre coloanele de la $1$ la $K$. - Pe o coloană pot exista mai multe străzi verticale cu condiția să nu se suprapună. Nu este obligatoriu să existe străzi verticale pe toate coloanele. - Lungimea fiecărei străzi va fi de minim un pătrat și de maxim $N$ pătrate și este egală cu numărul de pătrate ce o compun. - Strada poate începe pe oricare pătrat de pe coloană și poate avea orice lungime cât timp nu depășește limitele pergamentului. \ La final, Adrian observă că anumite pătrate au devenit mov, deoarece fac parte atât dintr-o stradă verticală cât și din una orizontală, deci au fost colorate atât cu roșu cât și cu albastru. Adrian este fascinat de apariția acestora și vrea să știe câte pătrate mov sunt în desenul său. Fiind prea obosit să le numere, vă roagă pe voi să-l ajutați. # Cerință Cunoscând numerele $N$, $K$, $Q$, precum și poziționarea celor $N$ străzi orizontale și a celor $Q$ străzi verticale, să se determine numărul de pătrate mov din pergament. # Date de intrare Pe prima linie a fișierul de intrare `pergament.in` se află trei numere naturale separate prin câte un spațiu, $N$, $K$, $Q$, cu semnificația din enunț. Pe a doua linie se află patru numere naturale separate prin câte un spațiu, $A$, $B$, $C$, $D$. Pe a treia linie se află două numere naturale $X_1$ și $Y_1$, unde $X_1$ reprezintă coloana pătratului de început al străzii orizontale de pe rândul 1, iar $Y_1$ reprezintă lungimea acesteia. Datele următoarelor $N-1$ străzi se vor calcula prin formulele de mai jos, unde $X_i$ reprezintă coloana pătratului de început al străzii orizontale de pe rândul $i$ ($2 \leq i \leq N$), iar $Y_i$ reprezintă lungimea acesteia: - $X_i = 1 + (X_{i-1} \cdot A + B)\ \%\ K$ - $Y_i = 1 + (Y_{i-1} \cdot C + D)\ \%\ (K - X_i + 1)$ Pe următoarele $Q$ linii se află câte trei numere naturale $J$, $R$ și $L$, unde $J$ reprezintă coloana pe care se află strada verticală, $R$ reprezintă rândul pe care se află pătratul de început al străzii, iar $L$ reprezintă lungimea străzii. # Date de ieșire În fișierul de ieșire `pergament.out` se va afla un singur număr natural ce reprezintă numărul de pătrate mov din desenul lui Adrian. # Restricții și precizări - $1 \leq N \leq 10\ 000\ 000$ - $1 \leq K \leq 50$ - $1 \leq Q \leq 100\ 000$ - $1 \leq A,B,C,D \leq 10\ 000\ 000$ - $1 \leq X_i \leq K$ - $1 \leq Y_i \leq K-X+1$ - $1 \leq J \leq K$ - $1 \leq R \leq N$ - $1 \leq L \leq N-R+1$ - Rândurile sunt numerotate de la $1$ la $N$, iar coloanele sunt numerotate de la $1$ la $K$. - Pentru 40 de puncte, $N \leq 20\ 000$. - Pentru alte 30 de puncte, $N \leq 500\ 000$. - Pentru alte 30 de puncte, nu există condiții adiționale.

IX

cochilie

romanian

cochilie.in

cochilie.out

OJI 2021 IX: Problema 2

O matrice se numește cochilie de ordin $N$, sau mai simplu cochilie, dacă a fost construită în funcție de un număr natural $N$ nenul după următoarea regulă: - Cochilia este formată inițial dintr-un pătrat de latură $1$ cu valoarea $1$. - Pentru fiecare pas $I$ cu valorile $2$, $3$, ..., $N$ la cochilia deja existentă, se va alătura pe rând la DREAPTA, JOS, STÂNGA, SUS, în mod repetat în această ordine, câte un pătrat în care toate elementele au valoarea $I$, iar lungimea laturii pătratului nou corespunde cu latura cochiliei la care se lipește. \ O cochilie de ordin $5$ se formează în $5$ pași astfel: ~[cochilie.jpg] Liniile și coloanele sunt numerotate de sus în jos și de la stânga la dreapta începând cu valoarea $1$. # Cerință Cunoscând valorile numerelor naturale $N$ și $P$, va trebui să răspundeți la următoarele întrebări: 1) Ce dimensiuni are cochilia de ordin $N$? 2) Ce elemente se află pe linia $P$ a cochiliei de ordin $N$? # Date de intrare Pe prima linie din fișierul de intrare `cochilie.in` se va găsi valoarea $C$, care poate să aibă una dintre valorile $1$ sau $2$. Dacă valoarea lui $C$ este $1$, atunci pe linia următoare se va găsi valoarea lui $N$. Dacă valoarea lui $C$ este $2$, atunci pe linia următoare se vor găsi valorile lui $N$ și $P$ separate printr-un spațiu. # Date de ieșire Datele de ieșire se vor afișa pe prima linie a fișierului de ieșire `cochilie.out` în funcție de valoarea lui $C$ astfel: 1) Dacă valoarea lui $C$ este $1$, atunci se vor afișa $NRLIN$ și $NRCOL$ separate printr-un spațiu, reprezentând numărul de linii, respectiv numărul de coloane ale cochiliei de ordin $N$. 2) Dacă valoarea lui $C$ este $2$, atunci se vor afișa elementele de pe linia $P$ ale cochiliei de ordin $N$, separate prin câte un spațiu. # Restricții și precizări - $1 \lt N \lt 30$ - Linia $P$ întotdeauna se referă la o linie validă a cochiliei. - Pentru teste în valoare de 8 puncte avem $C = 1$. - Pentru alte teste în valoare de 36 de puncte avem $C = 2$ și $N \leq 17$. - Pentru alte teste în valoare de 20 de puncte avem $C = 2$ și $P$ se referă la prima sau ultima linie a cochiliei. - Pentru alte teste în valoare de 36 de puncte avem $C = 2$ fără alte restricții.

IX

logic

romanian

logic.in

logic.out

OJI 2021 IX: Problema 3

Costel este pasionat de circuitele logice. El are la dispoziție două tipuri de circuite logice simple: circuit `ȘI`, respectiv circuit `SAU`. Circuitele logice simple au două intrări și o ieșire. \ ~[logic1.jpg] La fiecare intrare în circuit se poate introduce un bit `0` sau un bit `1`, iar circuitul este capabil să calculeze operația logică respectivă (`ȘI` ori `SAU`) și să trimită rezultatul obținut la ieșire. Costel a învățat că poate combina mai multe circuite simple pentru a obține circuite complexe astfel: leagă ieșirea unui circuit de orice tip la una din intrările altui circuit, deci rezultatul obținut la ieșirea dintr-un circuit se transmite la intrarea celuilalt. În acest fel se pot construi circuite complexe, care au mai multe intrări și o singură ieșire. Ultima descoperire a lui Costel este circuitul logic piramidal (prescurtat CLP), care are structura următoare: - Circuitul cu un singur nivel este cel mai simplu tip de circuit și este compus dintr-un circuit `ȘI` ori dintr-un circuit `SAU`; - Pentru un circuit cu mai multe nivele avem: - pe nivelul 1 se găsește un singur circuit (`ȘI` ori `SAU`); - pe nivelul 2 se găsesc două circuite simple de oricare tip; ieșirea primului circuit este conectată la intrarea `1` a circuitului de pe nivelul 1, iar ieșirea celui de-al doilea circuit este conectată la intrarea `2` a circuitului de pe nivelul 1; - pe nivelul $N$ sunt $2^{N-1}$ circuite simple; ieșirile primelor două circuite de pe linia $N$ sunt conectate la intrările primului circuit de pe nivelul $N-1$, ieșirile următoarelor două sunt conectate la intrările celui de-al doilea circuit de pe linia $N-1$, etc. Exemplu de CLP cu 2 nivele: \ ~[logic2.jpg] Într-un CLP cu $N$ nivele avem $2^N$ intrări, corespunzătoare circuitelor de pe nivelul $N$. La fiecare intrare se poate introduce un bit `0` sau un bit `1`, deci un șir de $2^N$ biți. \ ~[logic3.jpg] Pentru circuitul din figura de mai sus presupunem că la cele patru intrări ale circuitelor de pe nivelul 2 avem, în ordine, biții `0111`. La ieșirea din circuit (ieșirea circuitului simplu de pe primul nivel) se obține valoarea $0$, deoarece acest circuit este echivalent cu expresia logică `((0 ȘI 1) ȘI (1 SAU 1))`. ## Cerința 1 (30 puncte) Pentru un CLP dat, cu $N$ nivele și pentru $K$ șiruri de biți date la intrarea circuitului, să se determine, pentru fiecare șir, valoarea calculată la ieșirea din circuit. ## Cerința 2 (70 puncte) Pentru un CLP dat, cu $N$ nivele și cunoscând valoarea obținută la ieșire ($0$ sau $1$), să se determine numărul șirurilor de biți distincte ce pot fi date la intrare pentru a se obține valoarea specificată la ieșire. Rezultatul poate fi un număr foarte mare, de aceea el se va afișa modulo $666013$. # Date de intrare Pe prima linie a fișierului `logic.in` se găsește un număr natural $C$ ($C = 1$ pentru cerința 1, respectiv $C = 2$ pentru cerința 2). Pe a doua linie se găsește numărul natural $N$, reprezentând numărul de nivele ale circuitului. Pe următoarele $N$ linii (linii de la $3$ la $N+2$) se găsește descrierea circuitului, fără spații între caractere, astfel: - pe linia $3$ un caracter `&` sau `|`, unde prin caracterul `&` se codifică un circuit `ȘI`, iar prin caracterul `|` se codifică un circuit `SAU`; - pe linia $4$ două caractere din mulțimea `{&, |}`; - pe linia $5$ patru caractere din mulțimea `{&, |}`; - pe linia $N+2$ avem $2^{N-1}$ caractere din mulțimea `{&, |}`. Pentru cerința 1: - Pe linia $N+3$ avem un număr natural $K$, reprezentând numărul șirurilor de biți date la intrarea în circuit; - Pe fiecare dintre următoarele $K$ linii avem câte un șir compus din $2^N$ biți (caractere `0` sau `1`), reprezentând șirul de biți dat la intrare. Pentru cerința 2: - Pe linia $N+3$ avem un număr natural din mulțimea $\{0, 1\}$, reprezentând valoarea pe care circuitul trebuie să o scoată la ieșire. # Date de ieșire Pentru cerința 1 se vor afișa în fișierul `logic.out`, pe linii separate, $K$ numere naturale din mulțimea ${0, 1}$, cu semnificația din enunț. Pentru cerința 2 se va afișa în fișierul `logic.out` un număr natural cu semnificația din enunț. # Restricții și precizări - $1 \leq N \leq 8$ - $1 \leq K \leq 10$ - Tabelele operațiilor logice sunt: \ ~[logic4.jpg]

IX

buldo

romanian

buldo.in

buldo.out

OJI 2020 IX: Problema 1

Dorești să nivelezi terenul pe care l-ai cumpărat, care are lățimea de $1$ metru și lungimea de $N$ metri, fiind alcătuit din $N$ zone succesive, fiecare zonă având lungimea de $1$ metru. Terenul se reprezintă ca un șir de $N$ numere naturale $h_1, h_2, h_3, \ldots, h_N$ reprezentând înălțimile în metri pe care le au zonele din terenul inițial, privite de la stânga spre dreapta. \ Pentru a nivela terenul ai închiriat un buldozer care funcționează astfel. Se alege o înălțime $H$ (număr natural) la care ridicăm lama buldozerului. Inițial buldozerul are pe lamă o cantitate $C=0$ metri cubi de pământ. Buldozerul începe să meargă de la stânga la dreapta și când ajunge la zona $i$, în funcție de înălțimea $h_i$ a acesteia, se va afla în una dintre următoarele situații: - dacă $h_i \geq H$ atunci cantitatea suplimentară $h_i - H$ se adaugă la $C$ și nivelul zonei ajunge la $H$. - dacă $h_i < H$ atunci se scade din $C$ diferența $H - h_i$ pentru a aduce nivelul zonei la nivelul $H$. \ Remarcăm faptul că $H$ trebuie ales inițial astfel încât de fiecare dată când buldozerul ajunge în a doua situație să aibă pe lamă suficient pământ ($C \geq H - h_i$). După ce buldozerul parcurge cele $N$ zone de lungime $1$, pe lama buldozerului e posibil să mai rămână pământ, dar asta nu te interesează, pentru că la capătul din dreapta al terenului este un râu, și pământul rămas se va vărsa acolo. # Cerință Scrieți un program care calculează înălțimea maximă $H$ la care poate fi ridicată lama, astfel încât terenul să poată fi nivelat la acea înălțime. # Date de intrare Fișierul de intrare `buldo.in` conține pe prima linie numărul natural $N$, iar pe a doua linie, separate prin câte un spațiu, cele $N$ numere naturale $h_1$, $h_2$, $h_3$, $\dots$, $h_N$, cu semnificația din enunț. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `buldo.out` va conține o singură linie, pe care va fi scris numărul natural $H$ cerut. # Restricții și precizări - $1 \leq N \leq 100\ 000$ - Înălțimile sunt numere naturale, $1 \leq h_i \leq 1\ 000\ 000\ 000$, pentru orice $i$, $1 \leq i \leq N$. - Pentru teste în valoare de 50 de puncte, $N \leq 1\ 000$ și $h_i \leq 1\ 000$, pentru orice $i$, $1 \leq i \leq N$.

IX

cetate

romanian

cetate.in

cetate.out

OJI 2020 IX: Problema 2

Cetatea Vizima din regatul Temeria poate fi reprezentată printr-o matrice cu $N$ linii și $M$ coloane, numerotate începând cu $1$. Vizima este o cetate înfloritoare, fapt datorat numărului mare de negustori și meșteri prezenți. Din acest motiv, fiecărei celule îi este atribuit un profit corespunzător zonei respective. Regele Foltest dorește să reconstruiască zidurile cetății, dar cum războiul cu Imperiul Nilfgaard bate la ușă și resursele regatului sunt limitate, el trebuie să aleagă o porțiune pe care să o poată apăra, reprezentată ca o submatrice. O submatrice este identificată printr-o **configurație** de patru numere $(i_1, j_1, i_2, j_2)$ ($1 \leq i_1 \leq i_2 \leq N$, $1 \leq j_1 \leq j_2 \leq M$), în această ordine, și este formată din elementele situate pe liniile consecutive $i_1, i_1+1, \ldots, i_2$ și pe coloanele consecutive $j_1, j_1+1, \ldots, j_2$ ale matricei prin care este reprezentată cetatea. **Laturile** submatricei sunt egale cu numărul de linii, respectiv de coloane din care a preluat elemente, iar **profitul** submatricei este suma valorilor din celulele sale. # Cerințe Scrieți un program care, cunoscând matricea cetății și o valoare $K$, determină: 1) profitul maxim al unei submatrice cu laturile egale cu $K$, precum și configurația prin care se identifică ea. 2) profitul maxim al unei submatrice cu laturile cel mult egale cu $K$, precum și configurația prin care se identifică ea. # Date de intrare Fișierul de intrare `cetate.in` conține pe primul rând o valoare $c$ egală cu $1$ sau $2$, reprezentând cerința ce urmează a fi rezolvată. Următoarea linie conține în ordine $N$, $M$ și $K$, cu semnificația din enunț, iar pe următoarele $N$ linii se află câte $M$ numere, reprezentând valorile din matricea dată. Numerele aflate pe aceeași linie a fișierului sunt separate prin câte un spațiu. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `cetate.out` va conține pe prima linie profitul maxim cerut, conform cerinței, iar pe a doua linie va conține 4 numere naturale, reprezentând configurația prin care se identifică submatricea obținută. Dacă există mai multe submatrice conform cerinței, se va lua în considerare cea pentru care configurația formată din cele 4 numere de mai sus este minim lexicografică. # Restricții și precizări - $1 \leq N,M \leq 400$ - $1 \leq K \leq min(N,M)$ - Valorile date pentru matricea cetății se află în intervalul $[-10^9, 10^9]$. - Pentru teste în valoare de 20 de puncte, $c=1$, iar pentru restul testelor, în valoare de 70 de puncte, $c=2$. Pentru teste în valoare de 8 puncte, $c=1$ și $1 \leq N,M \leq 70$. Pentru teste în valoare de 25 de puncte, $c=2$ și $1 \leq N,M \leq 70$. - Configurația $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ este mai mică din punct de vedere lexicografic decât configurația $(y_1, y_2, y_3, y_4)$ dacă există $p$ astfel încât $x_p < y_p$ și $x_1 = y_1$, $x_2 = y_2$, $\dots$, $x_{p-1} = y_{p-1}$.

IX

spiralmatrix

romanian

spiralmatrix.in

spiralmatrix.out

OJI 2020 IX: Problema 3

Parcurgând elementele unei matrice pătratice de dimensiune $n$ în spirală, pornind din colțul din stânga-sus, în sens orar, de la margini către interior, se obține șirul strict crescător format din toate valorile de la $1$ la $n^2$, ca în figura de mai jos. Din șirul dat se obțin două subșiruri disjuncte, de lungime egală, cu număr maxim de termeni. Primul subșir este format din numere consecutive din prima jumătate a șirului, și trebuie să conțină în mod obligatoriu valoarea $1$, iar al doilea este format din numere consecutive din a doua jumătate a șirului și trebuie să conțină în mod obligatoriu valoarea $n^2$. | 1| 2| 3| 4| 5| |-|-|-|-|-| |**16**|**17**|**18**|**19**|**6**| |**15**|**24**|**25**|**20**|**7**| |**14**|**23**|**22**|**21**|**8**| |**13**|**12**|**11**|**10**|**9**| # Cerință Să se afle poziția în matrice a celui mai mare termen din primul subșir și a celui mai mic termen din al doilea subșir. # Date de intrare Fișierul de intrare `spiralmatrix.in` conține numărul natural $n$. # Date de ieșire În fișierul de ieșire `spiralmatrix.out` se vor scrie: - pe prima linie două numere, separate printr-un spațiu, reprezentând mai întâi linia și apoi coloana pe care se află în matrice cel mai mare termen al primului subșir; - pe a doua linie alte două numere, separate printr-un spațiu, reprezentând mai întâi linia și apoi coloana pe care se află în matrice cel mai mic termen al celui de-al doilea subșir. # Restricții și precizări - $1 < n < 1\ 000\ 000\ 000$ - Pentru teste în valoare de 45 de puncte, $n$ este impar. - Pentru teste în valoare de 45 de puncte, $n < 1\ 000$. - Pentru teste în valoare de 75 de puncte, $n < 1\ 000\ 000$. - Liniile sunt numerotate de sus în jos începând cu $1$, iar coloanele sunt numerotate de la stânga la dreapta începând cu $1$. - Punctajul pe un test se obține doar dacă sunt corecte toate cele 4 valori.

IX

abx

romanian

abx.in

abx.out

OJI 2019 IX: Problema 1

Un număr natural $n$ se numește putere dacă există două numere naturale $a$, $b$, $a \geq 1$, $b \geq 2$ astfel încât $n = a^b$. De exemplu, numerele $32$, $169$, $1$ sunt puteri ($32=2^5$, $169=13^2$, $1=1^2$), iar $72$, $2000$ și $31$ nu sunt puteri. Se citesc numerele naturale $N$, $M$ și un șir de $N$ numere naturale $x_1, x_2, \dots, x_N$ din intervalul $[1,M]$. # Cerință Pentru fiecare din cele $N$ numere $x_i$ determinați câte un număr natural $r_i$ din intervalul $[1,M]$, cu proprietatea că $r_i$ este o putere și pentru orice altă putere $p$ din intervalul $[1,M]$ este îndeplinită condiția $|x_i – r_i| \leq |x_i – p|$, unde $|x|$ reprezintă valoarea absolută a lui $x$ (modulul). Dacă există două puteri egal depărtate de $x_i$ se va alege puterea cea mai mică. De exemplu pentru numărul $26$, dintre puterile $25$ și $27$ va fi ales numărul $25$. # Date de intrare Fișierul de intrare `abx.in` conține pe prima linie două numere $N$ și $M$, iar pe fiecare dintre următoarele $N$ linii se găsește câte un număr natural $x_i$ ($1 \leq i \leq N$), cu semnificația de mai sus. Numerele aflate pe aceeași linie a fișierului sunt separate prin câte un spațiu. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `abx.out` va conține $N$ linii, pe fiecare linie $i$ ($1 \leq i \leq N$) aflându-se numărul natural $r_i$ cu semnificația din enunț. # Restricții și precizări - $1 \leq N \leq 5\ 000$ - $10 \leq M \leq 10^{18}$ - Pentru teste valorând 40 de puncte, $M \leq 5\ 000$. - Pentru teste valorând 70 de puncte, $M \leq 10^9$.

IX

deminare

romanian

deminare.in

deminare.out

OJI 2019 IX: Problema 2

Pe un teren de formă dreptunghiulară format din $L$ linii și $C$ coloane sunt plantate $M$ mine. Liniile sunt numerotate de sus în jos cu valori de la $1$ la $L$ iar coloanele sunt numerotate de la stânga la dreapta cu valori de la $1$ la $C$. Deoarece războiul s-a terminat, specialiștii vor să demineze terenul și să-l redea utilizării publice. Mutarea unei mine reprezintă operația de transfer a unei mine de la linia $x_1$ și coloana $y_1$ la o poziție liberă, dată de linia $x_2$ și coloana $y_2$, unde $1 \leq x_1,x_2 \leq L$ și $1 \leq y_1,y_2 \leq C$. Deoarece mutarea unei mine este periculoasă, trebuie determinat **numărul minim de mine care trebuie mutate din poziția inițială** astfel încât toate minele de pe teren să fie așezate unele lângă altele într-o **zonă compactă dreptunghiulară**, oriunde în cadrul terenului dat, pentru ca apoi să fie detonate împreună. Spre exemplu: dacă $L=4$, $C=5$, $M=8$ și minele sunt așezate inițial conform figurii de mai jos (zonele colorate cu negru arată pozițiile minelor), pentru a se ajunge la o așezare a minelor într-o zonă compactă de formă dreptunghiulară numărul minim de mine mutate este $3$. ~[0.png|align=center|width=40em] # Cerințe Cunoscând numărul de linii $L$ și de coloane $C$ ale terenului minat, numărul de mine $M$, precum și poziția fiecărei mine, să se scrie un program care determină: 1. linia sau liniile pe care se găsesc cele mai multe mine; 2. numărul minim de mine mutate, pentru ca toate minele de pe teren să fie așezate într-o zonă compactă cu formă dreptunghiulară. # Date de intrare Fișierul de intrare este `deminare.in` și conține: - pe prima linie numărul natural $V$ a cărui valoare poate fi doar $1$ sau $2$; - pe a doua linie două numere naturale $L$ și $C$, cu semnificația din enunț; - pe a treia linie numărul natural $M$, cu semnificația din enunț; - pe fiecare din următoarele $M$ linii, câte o pereche de valori $x_i$ și $y_i$, $1 \leq i \leq M$, reprezentând linia, respectiv coloana, unde se află o mină. Numerele aflate pe aceeași linie a fișierului sunt separate prin câte un spațiu. # Date de ieșire Fișierul de ieșire este `deminare.out`. \ Dacă valoarea lui $V$ este $1$ atunci prima linie a fișierului de ieșire va conține numărul liniei pe care se găsesc cele mai multe mine. Dacă există două sau mai multe astfel de linii, se vor afișa toate numerele acestora, în ordine crescătoare, separate prin câte un spațiu. Dacă valoarea lui $V$ este $2$ atunci fișierul de ieșire va conține pe prima linie numărul minim cerut de mine mutate. Dacă minele nu pot fi așezate într-o zonă compactă de formă dreptunghiulară, în fișierul de ieșire se va scrie valoarea $-1$. # Restricții și precizări - $1 \leq L,C \leq 500$ - $1 \leq M \leq L \cdot C$ - O zonă în care se află mine așezate pe coloane consecutive, pe aceeași linie sau așezate pe linii consecutive, pe aceeași coloană se consideră că formează o zonă compactă de formă dreptunghiulară. - O zonă compactă de formă dreptunghiulară poate avea numărul de linii ocupate egal cu numărul de coloane ocupate. - Pentru teste valorând 20 de puncte, avem $V=1$. - Pentru teste valorând 70 de puncte, avem $V=2$. - Pentru teste valorând 20 de puncte, avem $V=2$ și $L \cdot C \leq 10\ 000$. - Pentru teste valorând 32 de puncte, avem $V=2$ și $L \cdot C \leq 100\ 000$.

IX

mostenire

romanian

mostenire.in

mostenire.out

OJI 2019 IX: Problema 3

Împăratul cel bătrân vrea să împartă sacii cu galbeni din vistieria palatului celor $K$ feciori ai săi, numerotați de la $1$ la $K$ în ordinea vârstei. Feciorul cu numărul $1$ este cel mai mare, iar mezinul are numărul $K$. În vistierie sunt $N$ saci plini cu galbeni, așezați în linie, atât de grei încât nu li se poate schimba ordinea, iar pe fiecare sac este scris numărul de galbeni pe care îi conține. \ Împăratul îl cheamă pe unul dintre feciori și îi spune: „Fiule, a ta este averea primilor $x_1$ saci!”. Feciorul ia sacii și pleacă fericit. Apoi, împăratul cheamă alt fecior și îi spune: „Fiule, a ta este averea primilor $x_2$ saci dintre cei rămași!”. Și așa mai departe, până ajunge la ultimul fecior chemat, căruia îi dă toți sacii rămași. El nu are o ordine anume în care își cheamă feciorii dar are grijă să cheme fiecare fecior exact o dată. Totodată, pentru a evita certurile între ei, este atent ca fiecare fecior să primească cel puțin un sac cu galbeni, dar **să NU primească în total mai mulți galbeni ca un frate mai mare decât el**. Cel mai mic dintre feciorii împăratului este și cel mai viteaz, așa că împăratul ar vrea să îi dea lui o sumă de bani cât mai mare, fără a-i supăra pe ceilalți feciori ai săi. # Cerință Cum ar putea împărți împăratul sacii? # Date de intrare Fișierul de intrare `mostenire.in` conține pe prima linie numerele naturale $N$ și $K$, separate de un spațiu, cu semnificația din enunț. Pe următoarele $N$ linii se găsește câte un număr natural, reprezentând numărul de galbeni din fiecare sac, în ordinea în care aceștia urmează să fie distribuiți fiilor. # Date de ieșire Fișierul de ieșire `mostenire.out` va conține pe prima linie suma de galbeni pe care o va primi fiul cel mic de la împărat. Pe următoarele $K$ linii se vor afla câte două numere naturale ce reprezintă numărul de ordine al feciorului, respectiv numărul de saci $x_i$ pe care îi primește acesta, în ordinea în care au fost chemați de împărat. # Restricții și precizări - $2 \leq K \leq 100$ - $K \leq N \leq 100\ 000$ - Numărul de galbeni din fiecare sac va fi între $1$ și $100\ 000$. - Galbenii din oricare dintre saci nu pot fi împărțiți mai multor frați. - Numărul total de galbeni aflați în vistierie este mai mic sau egal cu $10^9$. - Împăratul cel bătrân nu are doi feciori cu aceeași vârstă. - **Puteți afișa orice soluție în care mezinul primește numărul maxim posibil de galbeni**. - Pentru fiecare test, afișarea corectă a numărului maxim de galbeni primiți de mezin este notată cu $40\%$ din punctajul alocat testului. - Pentru teste valorând 10 puncte, $N = K$ și $N \leq 100$. - Pentru teste valorând 30 de puncte, $2 \leq K < N \leq 15$. - Pentru teste valorând 50 de puncte, $2 \leq K < N \leq 100$.

IX

cufar

romanian

cufar.in

cufar.out

OJI 2018 IX: Problema 1

Vrăjitoarea cea bună are un cufăr în care este închisă piatra magică de către piticii lăzii cu ajutorul unui cifru digital. Piticii i-au dat vrăjitoarei o cutie în care sunt $n$ cartonașe. Pe fiecare cartonaș este scris un număr natural pe care vrăjitoarea îl va folosi să deschidă lada. Valorile scrise pe cartonașe sunt distincte între ele. Pentru a afla cifrul trebuie să procedeze astfel: extrage fiecare cartonaș din cutie și apoi determină valoarea magică asociată numărului natural scris pe cartonaș. Pentru fiecare cartonaș valoarea magică este dată de al $k$-lea divizor prim al numărului înscris pe acesta. Vrăjitoarea trebuie să adune valorile magice obținute pentru cele $n$ cartonașe și apoi să introducă în ordine cifrele valorii obținute, pentru a descuia lada. # Cerințe Deoarece vrăjitoarea nu are timp la dispoziție vă roagă pe voi să o ajutați să rezolve următoarele probleme: 1. Să afle valoarea magică pentru un cartonaș dat; 2. Să afle cifrul cufărului. # Date de intrare Fișierul de intrare este `cufar.in`. Pe prima linie a fișierului de intrare se găsesc o valoare $p$ care poate fi doar $1$ sau $2$ și numărul $n$ de cartonașe despărțite prin câte un spațiu. Dacă $p$ este $1$ pe linia a doua a fișierului de intrare se găsesc două valori reprezentând numărul de pe cartonașul dat și valoarea $k$, separate printr-un spațiu, cu semnificația de mai sus. Dacă $p$ este $2$ pe următoarele $n$ linii ale fișierului de intrare se găsesc câte două valori, separate prin câte un spațiu, reprezentând numărul de pe cartonaș și valoarea lui $k$ pentru fiecare din cele $n$ cartonașe. # Date de ieşire Fișierul de ieșire este `cufar.out`. Dacă valoarea lui $p$ este $1$, atunci se va rezolva **doar** cerința 1 și fișierul de ieșire va conține pe prima linie valoarea magică asociată cartonașului dat. Dacă valoarea lui $p$ este $2$, atunci se va rezolva **doar** cerința 2 și fișierul de ieșire va conține pe prima linie cifrul necesar deschiderii cufărului. # Restricţii și precizări - $1 \leq n < 1\ 000\ 000$ - Valoarea înscrisă pe un cartonaș este un număr între $2$ și $1\ 000\ 000$. - Se garantează că pentru fiecare pereche $(nr, k)$ din fișierul de intrare, $nr$ are cel puțin $k$ divizori primi. - Pentru rezolvarea corectă a cerinței 1 se acordă 18 puncte. - Pentru rezolvarea corectă a cerinței 2 se acordă 72 de puncte. - Pentru rezultate corecte la cerința a doua respectând restricțiile problemei și $n \leq 1\ 000$ se acordă 18 puncte. - Pentru rezultate corecte la cerința a doua respectând restricțiile problemei și $n \leq 500\ 000$ se acordă 43 de puncte. - Din oficiu se acordă 10 puncte.

IX

fadema

romanian

fadema.in

fadema.out

OJI 2018 IX: Problema 2

Corina a cumpărat de la magazin un material din pânză colorată, de formă dreptunghiulară pentru a decupa din el o față de masă pentru masa din bucătărie. Fiindcă este pasionată de șah, Corina a ales un material format din $n \times m$ pătrate de aceeași dimensiune colorate cu alb sau negru. Pătratele sunt lipite și sunt dispuse pe linii și coloane paralele cu laturile dreptunghiului din pânză care a fost cumpărat. Două pătrate se numesc vecine dacă au în comun o latură. Materialul din pânză nu respectă neapărat structura unei table de șah, adică pătratele vecine pe aceeași linie sau pe aceeași coloană nu sunt în mod necesar colorate în mod alternativ. Corina își propune prin urmare să decupeze un dreptunghi cu un număr maxim de pătrate, paralel cu laturile dreptunghiului din pânză care a fost cumpărat, care să respecte alternanța culorilor pe o tablă de șah. # Cerință Să se determine numărul maxim de pătrate întregi ale unui dreptunghi cu laturile paralele cu cele ale materialului cumpărat, care poate fi decupat astfel încât să nu existe două pătrate vecine având aceeași culoare. # Date de intrare Fișierul `fadema.in` conține pe prima linie două numere naturale $n$ și $m$ reprezentând numărul de linii, respectiv numărul de coloane ale materialului din pânză care a fost cumpărat. Pe fiecare dintre următoarele $n$ linii se află câte $m$ cifre `0` sau `1` despărțite prin câte un spațiu, reprezentând culorile pătratelor materialului. Cifra `0` codifică culoarea albă, iar cifra `1` codifică culoarea neagră. # Date de ieşire Fișierul `fadema.out` va conține pe prima linie un singur număr natural $A$, reprezentând numărul maxim de pătrate ale unui dreptunghi care poate fi decupat astfel încât să respecte cerința din enunț. Dacă nu există dreptunghiuri cu cel puțin două pătrate având culori alternante, se va scrie valoarea $1$. # Restricţii și precizări - $2 \leq N \leq 1\ 000$ - $2 \leq M \leq 1\ 000$ - Pentru rezolvarea corectă a cerinței respectând restricțiile problemei se acordă 90 de puncte. - Pentru rezultate corecte respectând restricțiile problemei și $n, m \leq 100$ se acordă 20 de puncte. - Pentru rezultate corecte respectând restricțiile problemei și $n, m \leq 200$ se acordă 40 de puncte. - Pentru rezultate corecte respectând restricțiile problemei și $n, m \leq 400$ se acordă 65 de puncte. - Din oficiu se acordă 10 puncte.

IX

tnia

romanian

tnia.in

tnia.out

OJI 2018 IX: Problema 3

Se dă o matrice **binară** cu $n$ coloane și $m$ linii. Coloanele sunt numerotate de la stânga la dreapta cu valori de la $1$ la $n$, iar liniile sunt numerotate **de jos în sus** cu valori de la $1$ la $m$. Matricea dată are o formă particulară, astfel că pentru fiecare coloană $i$ de la $1$ la $n$ toate elementele matricei de pe coloana respectivă au valoarea $1$ pentru toate liniile cuprinse în intervalul $[1, h_i]$ și în rest valoarea $0$. Valorile $h_i$ sunt numere naturale date în ordine crescătoare $(h_{i-1} \leq h_i$, $1 \leq i \leq n$). # Cerință Să se răspundă la $q$ întrebări de forma: dându-se numerele $A$, $B$, $C$, $D$ se cere suma elementelor din submatricea determinată de zona dreptunghiulară având colțul stânga-jos în coloana $A$ și linia $B$, iar colțul dreapta-sus în coloana $C$ și linia $D$. # Date de intrare Fișierul de intrare este `tnia.in`. - pe prima linie se găsesc două numere naturale $n$ și $m$ despărțite printr-un spațiu, cu semnificația de mai sus; - pe a doua linie sunt cele $n$ elemente $h_i$ ale vectorului despărțite prin câte un spațiu; - pe a treia linie este un număr natural $q$ ce reprezintă numărul de întrebări; - pe următoarele $q$ linii se găsesc câte 4 numere $A$, $B$, $C$, $D$ cu semnificația de mai sus, despărțite prin câte un spațiu. # Date de ieşire Fișierul de ieșire `tnia.out` va conține $q$ linii reprezentând răspunsul pentru fiecare întrebare. # Restricţii și precizări - $0 \leq h_i \leq m$ - $1 \leq n \leq 100\ 000$ - $1 \leq q \leq 100\ 000$ - $1 \leq m \leq 1\ 000\ 000\ 000$ - Pentru 15 puncte: $n, m, q \leq 100$. - Pentru alte 16 puncte: $n, m, q \leq 3\ 000$. - Pentru alte 16 puncte: $n \leq 100\ 000$, $m \leq 1\ 000\ 000\ 000$, $q \leq 100$. - Pentru rezolvarea corectă a cerinței se acordă 90 de puncte. - Din oficiu se acordă 10 puncte.

IX

ace

romanian

ace.in

ace.out

OJI 2017 IX: Problema 1

Pe o zonă în formă de dreptunghi cu laturile de lungimi $N$ și $M$ se găsesc $N \times M$ pătrate de latură $1$. În centrul fiecărui pătrat se găsește înfipt câte un ac de grosime neglijabilă. Fiecare ac este descris de înălțimea sa. Această zonă se poate reprezenta ca un tablou bidimensional de dimensiuni $N$ și $M$, iar fiecare element din matrice reprezintă înălțimea (număr natural nenul) fiecărui ac. În centrul pătratului $(N,M)$ există o cameră de luat vederi de ultimă generație, mobilă, care se poate roti cu $360\degree$ în orice plan, situată la nivelul solului. Dimensiunile camerei sunt neglijabile. \ De exemplu, dacă avem zona sub forma: ~[0.png|width=20em] Din pătratul $(4,4)$, în direcția `N` (nord), camera va obține Fig. 1, iar în direcția `V` (vest) va obține Fig. 2. ~[1.png|width=25em] Pentru direcția `N`, camera va vedea acul de coordonatele $(3,4)$ în totalitate, iar acul $(2,4)$ se va vedea doar parțial. Acul $(1,4)$ nu se vede pentru că este acoperit total de $(2,4)$. În direcția `V`, camera va vedea doar acul $(4,3)$, deoarece $(4,2)$ și $(4,1)$ sunt acoperite total de $(4,3)$. Pentru celelalte direcții se vor vedea parțial sau în totalitate acele $(3,3)$, $(3,2)$, $(3,1)$, $(2,3)$, $(1,3)$, $(2,2)$, $(2,1)$, $(1,2)$. Acul $(1,1)$ nu se vede din cauza acului $(2,2)$, care îl acoperă total. Acul $(2,2)$ se vede doar parțial, pentru că o parte din el este acoperit de acul $(3,3)$. # Cerinţe 1. Câte ace vede camera de luat vederi dacă se poate roti în plan vertical, doar în direcțiile `N` și `V`? 2. Câte ace vede camera de luat vederi dacă se poate roti în orice plan și în orice direcții? # Date de intrare Fișierul de intrare `ace.in` conține pe prima linie numărul $P$ care poate fi $1$ sau $2$, pentru prima, respectiv a doua cerință. Pe a doua linie se găsesc numerele $N$, $M$ reprezentând dimensiunile tabloului, apoi pe următoarele $N$ linii câte $M$ numere naturale, despărțite prin câte un spațiu, reprezentând înălțimile acelor. # Date de ieşire Fișierul de ieșire `ace.out` va conține pe prima linie numărul de ace văzute pentru cerință indicată de valoarea numărului $P$. # Restricţii și precizări - $2 \leq N \leq 1\ 000$ - $2 \leq M \leq 1\ 000$ - Elementele matricei sunt numere naturale nenule mai mici decât $1\ 000$, cu excepția numărului de pe linia $N$ și coloana $M$ care este $0$. - Pentru rezolvarea corectă a cerinței 1 se acordă 20 de puncte, pentru rezolvarea corectă a cerinței 2 se acordă 70 de puncte, iar din oficiu se acordă 10 puncte. - Pentru cerința 2 există teste în valoare de 20 de puncte cu $N,M \leq 50$. - Pentru cerința 2 există teste în valoare de 45 de puncte cu $N,M \leq 100$.

IX

admitere

romanian

admitere.in

admitere.out

OJI 2017 IX: Problema 2

Să ne imaginăm faptul că la un anumit liceu există doar două clase per generație: una de Real și una de Uman. În prezent au loc înscrierile pentru clasa a IX-a. Cele două clase au fiecare câte $M$ locuri disponibile, atât la Real, cât şi la Uman. Dacă lista de elevi înscriși la o anumită clasă conține mai mult de $M$ elevi, vor fi admiși acei $M$ elevi care au notele cele mai mari. Ambele clase au deja $M$ elevi înscriși, iar pentru fiecare se știe nota cu care a fost înscris la clasa respectivă. \ Mai există însă $N$ elevi, singurii încă neînscriși, care sunt privilegiați în acest proces (fiindcă au terminat gimnaziul la acest liceu). Privilegiul lor constă în următorul fapt: ei se pot înscrie acum, după ce înscrierile publice au fost încheiate, și se cunosc notele de înscriere la ambele clase. Fiecare din cei $N$ elevi are câte două note: nota cu care ar fi înscris la Real și nota cu care ar fi înscris la Uman (acestea pot fi diferite, deoarece examenele de admitere de la cele două clase diferă). Fiecare din cei $N$ elevi va alege să se înscrie în maxim o clasă. Ei își vor coordona alegerile astfel încât să **maximizeze** numărul de elevi admiși. Deoarece calculele devin destul de complicate, aceștia s-ar putea folosi de ajutorul vostru. # Cerinţe Cei $N$ elevi doresc răspunsul la următoarele două întrebări: 1) Care este numărul maxim de elevi **privilegiaţi** care pot fi admiși dacă se pune restricția suplimentară ca toți elevii privilegiați admiși să fie admiși la aceeași clasă? 2) Care este numărul maxim de elevi **privilegiaţi** care pot fi admiși dacă aceștia se pot înscrie la clase diferite? # Date de intrare Fişierul de intrare `admitere.in` conţine pe primul rând o valoare egală cu $1$ sau $2$, reprezentând cerința ce urmează a fi rezolvată. Următoarea linie conține cele două numere $N$ și $M$. Pe al treilea rând se află $M$ numere, separate prin câte un spaţiu, reprezentând notele cu care au fost înscriși elevii care formează momentan clasa de Real. Pe al patrulea rând se află $M$ numere, separate prin câte un spaţiu, reprezentând notele cu care au fost înscriși elevii care formează momentan clasa de Uman. Următoarele $N$ linii vor conține câte o pereche de numere $R_i$ și $U_i$, separate prin câte un spaţiu, reprezentând nota cu care al $i$-lea elev privilegiat s-ar înscrie la clasa de Real, respectiv la clasa de Uman. # Date de ieşire Fișierul de ieșire `admitere.out` va conține pe prima linie valoarea $MAX$: numărul maxim de elevi privilegiaţi admiși. A doua linie va conține un șir de $N$ caractere din mulțimea $\{$`R`$,$ `U`$,$ `X`$\}$, care va descrie scenariul optim. Dacă al $i$-lea elev va fi înscris la Real, al $i$-lea caracter va fi egal cu `R`. Dacă al $i$-lea elev va fi înscris la Uman, al $i$-lea caracter va fi egal cu `U`. Dacă acesta nu va fi înscris nicăieri, al $i$-lea caracter va fi egal cu `X`. \ Deoarece elevii nu vor să depună efort inutil, un elev privilegiat care nu va fi admis în scenariul optim nu se va înscrie la nicio clasă. Cu alte cuvinte, pentru ca scenariul descris să fie considerat corect este necesar ca **exact $MAX$** caractere din șir să fie diferite de `X`. # Restricţii şi precizări - $1 \leq N, M \leq 2\ 000$ - Teste în valoare totală de 25 de puncte vor solicita rezolvarea cerinței 1, iar restul de 65 de puncte vor solicita rezolvarea cerinței 2. Din oficiu sunt acordate 10 puncte. - Pentru cerința 2, teste în valoare totală de 45 de puncte vor avea $1 \leq N, M \leq 150$. - Toate cele $ + M$note pentru clasa de Real sunt distincte două câte două. Același lucru este valabil și în cazul notelor pentru clasa de Uman. - Toate notele sunt numere naturale din intervalul $[1, 4\ 000]$. - Notele elevilor deja înscriși de la clasa de Real, respectiv Uman vor fi date în ordine crescătoare. - În cazul în care există mai multe soluții corecte, este acceptată oricare dintre acestea.

IX

roboti

romanian

roboti.in

roboti.out

OJI 2017 IX: Problema 3

Ștefan a împlinit 15 ani. Fiind un pasionat membru al Clubului de Robotică, familia i-a dăruit de ziua lui foarte mulți roboți, fiecare dotat cu o armă de o anumită putere. El a așezat toți roboții în jurul său, pe circumferința unui cerc imaginar, în sensul acelor de ceasornic. Aceste dispozitive inteligente pot comunica între ele, unindu-și puterile armelor. # Cerinţe Cunoscând numărul de roboți, precum și puterea fiecăruia, să se scrie un program care determină: 1. Dimensiunea celei mai lungi secvențe de roboți pentru care puterile armelor lor formează un șir strict crescător. 2. O aranjare a roboților pe cerc, astfel încât suma produselor de câte două puteri vecine să fie maximă. Dacă există mai multe modalităţi de aranjare astfel încât să se obţină aceeaşi sumă maximă, se va determina cea minimă din punct de vedere lexicografic. # Date de intrare Pe prima linie a fișierului de intrare `roboti.in` se găsește un număr natural $v$ a cărui valoare poate fi doar $1$ sau $2$. Pe a doua linie a fișierului de intrare se găsește un singur număr natural $n$ reprezentând numărul de roboți. Pe a treia linie a fișierului de intrare se găsesc $n$ numere naturale $p_1$, $p_2$, $\dots$, $p_n$, separate prin câte un spațiu, $p_i$ reprezentând puterea armei robotului $i$. # Date de ieşire Dacă valoarea lui $v$ este $1$, atunci fişierul de ieşire `roboti.out` va conţine pe prima linie un singur număr natural reprezentând dimensiunea celei mai lungi secvențe de roboți pentru care puterile armelor lor formează un șir strict crescător. Dacă valoarea lui $v$ este $2$, atunci fişierul de ieşire va conţine pe prima linie $n$ numere naturale separate prin câte un spaţiu, reprezentând puterile celor $n$ roboți așezați pe cerc astfel încât suma produselor de câte două puteri vecine să fie maximă, iar aşezarea să fie minimă din punct de vedere lexicografic. # Restricţii și precizări - $2 \leq n \leq 100\ 000$ - Pentru cerinţa 1, secvenţa de lungime maximă se alege pe cerc în sensul acelor de ceasornic. - Dacă avem două şiruri de numere $[a_1, a_2, \dots, a_n]$ şi $[b_1, b_2, \dots, b_n]$ şi există $1 \leq k \leq n$, cea mai mică poziţie, pentru care are loc $a_1 = b_1$, $a_2 = b_2$, $\dots$, $a_{k-1} = b_{k-1}$ şi $a_k < b_k$, atunci spunem că şirul $a$ este mai mic lexicografic decât şirul $b$. - Pentru rezolvarea corectă a cerinței 1 se acordă 30 de puncte, pentru rezolvarea corectă a cerinței 2 se acordă 60 de puncte, iar din oficiu se acordă 10 puncte. - Pentru cerința 2, dacă soluția afișată nu este minimă lexicografic, dar produce suma maximă corectă se acordă $50\%$ din punctajul testului respectiv. - Pentru cerința 2, teste în valoare totală de 36 de puncte vor avea $n \leq 1\ 000$. - $1 \leq p_1, p_2, \dots, p_n \leq 1\ 000$

IX

cifre

romanian

cifre.in

cifre.out

OJI 2016 IX: Problema 1

Un indicator numeric este un dispozitiv de afişaj electronic destinat afişării unei **cifre** zecimale. Acesta conține 7 segmente notate cu `a`, `b`, `c`, `d`, `e`, `f`, `g`, ca în figura alăturată. Afişarea unei cifre se face prin aprinderea unei combinații de segmente: ~[0.png|width=10em|align=right] - Cifra 0: `a`, `b`, `c` ,`d`,`e`,`f` - Cifra 1: `b`, `c` - Cifra 2: `a`, `b`, `d` ,`e`, `g` - Cifra 3: `a`, `b`, `c` ,`d`, `g` - Cifra 4: `b`, `c`, `f` ,`g` - Cifra 5: `a`, `c`, `d` ,`f`, `g` - Cifra 6: `a`, `c`, `d` ,`e`, `f`, `g` - Cifra 7: `a`, `b`, `c` - Cifra 8: `a`, `b`, `c`, `d`, `e`, `f`, `g` - Cifra 9: `a`, `b`, `c`, `d`, `f`, `g` # Cerință Cunoscând un număr natural $N$ afișat cu ajutorul mai multor indicatoare numerice, să se scrie un program care determină: 1. Numărul de segmente aprinse pentru afișarea numărului $N$. 2. Numărul de numere distincte mai **mari** decât $N$, ce se pot forma prin aprinderea a cel puțin unui segment în **plus** față de cele utilizate pentru afișarea numărului $N$, fără a folosi alte indicatoare numerice și fără a stinge niciun segment dintre cele deja aprinse. # Date de intrare Fișierul de intrare este `cifre.in`. Pe prima linie a fişierului de intrare se găsește numărul natural $V$ a cărui valoare poate fi doar $1$ sau $2$. Pe a doua linie a fișierului de intrare se găsește numărul natural $N$. # Date de ieşire Fișierul de ieșire este `cifre.out`. Dacă valoarea lui $V$ este $1$ atunci fişierul de ieşire va conţine pe prima linie un singur număr natural ce reprezintă numărul de segmente aprinse pentru afișarea numărului $N$. Dacă valoarea lui $V$ este $2$ atunci fişierul de ieşire va conține pe prima linie un singur număr natural reprezentând numărul de numere distincte mai mari decât $N$, ce se pot forma prin aprinderea a cel puțin unui segment în plus, față de cele utilizate pentru afișarea numărului $N$, fără a folosi alte indicatoare numerice. # Restricţii şi precizări - $10 \leq N \leq 10^{19}$ - $20\%$ din teste vor avea $V = 1$, iar $80\%$ din teste vor avea $V = 2$.

IX

pic

romanian

pic.in

pic.out

OJI 2016 IX: Problema 2

Alex s-a angajat în vacanța de vară ca barman. Pentru că îi place să transforme munca la bar într-un spectacol, uneori aranjează mai multe pahare identice ca formă și dimensiune, dar de capacități diferite, sub forma unei stive. ~[0.png|align=right|width=30em] Un pahar din stivă, cu excepția celor de la bază, se sprijină pe exact două pahare din rândul de mai jos. Paharele sunt numerotate ca în imaginea alăturată. Nivelurile din stivă sunt de asemenea numerotate, începând cu $1$, de la vârf, adică paharul $1$ se află pe nivelul $1$, paharele $2$ și $3$ pe nivelul $2$, paharele $4$, $5$ și $6$ sunt pe nivelul $3$, ș.a.m.d. \ Alex toarnă în fiecare secundă câte un mililitru de apă (o picătură) în paharul numărul $1$. Paharele au o proprietate ciudată atunci când sunt pline: primul mililitru care ajunge într-un pahar plin se va scurge instantaneu în paharul aflat imediat în stânga sa pe rândul de dedesubt, următorul mililitru se va scurge instantaneu în paharul aflat imediat în dreapta sa pe rândul de dedesubt și tot așa, alternativ câte o picătură în cele două pahare. De exemplu, când paharul $2$ este plin, primul mililitru ce va ajunge în el se va scurge în paharul $4$, următorul mililitru se scurge în paharul $5$, al treilea mililitru se va scurge din nou în paharul $4$, ș.a.m.d. Atunci când într-un pahar plin aflat la baza stivei ajunge un nou mililitru de apă, acesta se scurge instantaneu pe masă. # Cerinţă Cunoscând numărul de pahare din rândul de la baza stivei și faptul că stiva este completă (toate rândurile conțin numărul maxim de pahare ce se pot așeza după regula de mai sus, iar pe cel mai de sus rând se găsește un singur pahar), să se scrie un program care determină: 1. Care este nivelul minim (cel mai de sus) care are suma capacităților tuturor paharelor de pe nivel maximă? 2. Care este numărul minim de secunde necesar pentru a umple toate paharele folosind procedeul descris mai sus și câți mililitri de apă se risipesc (se scurg pe masă) în acest caz? # Date de intrare Pe prima linie a fișierului de intrare `pic.in` se găsește un număr natural $V$ a cărui valoare poate fi doar $1$ sau $2$. Pe a doua linie a fișierului de intrare se găsește un singur număr natural $N$ reprezentând numărul de pahare din rândul de la baza stivei. Pe a treia linie a fișierului de intrare se găsesc $M = \frac{N \cdot (N+1)}{2}$ numere naturale $C_1, C_2, \dots, C_M$ separate prin câte un spațiu, $C_i$ reprezentând capacitatea (în mililitri) a paharului cu numărul $i$ din stivă. # Date de ieşire Dacă valoarea lui $V$ este $1$ atunci fişierul de ieşire `pic.out` va conţine pe prima linie un singur număr natural ce reprezintă numărul de ordine al nivelului minim (cel mai de sus) care are suma capacităților tuturor paharelor de pe nivel maximă. Dacă valoarea lui $V$ este $2$ atunci fişierul de ieşire va conţine pe prima linie două numere naturale separate printr-un singur spațiu reprezentând numărul minim de secunde scurse până când toate paharele din stivă sunt pline și respectiv numărul de mililitri de apă risipiți (ajunși pe masă) în acel moment. # Restricţii și precizări - $2 \leq N \leq 50$ - $20\%$ din teste vor avea valoarea $V = 1$, iar $80\%$ din teste vor avea valoarea $V = 2$. - $35\%$ din teste vor avea $N \leq 17$, iar $65\%$ din teste vor avea $N > 17$. - $1 \leq C_i \leq 25$, pentru orice $1 \leq i \leq M$.

IX

arc

romanian

arc.in

arc.out

OJI 2015 IX: Problema 1

Irinuca a descoperit un nou joc pe calculator. Pe ecran sunt plasate pe o linie $n$ bile colorate. Culorile bilelor sunt codificate cu numere naturale. Un subșir de bile alăturate având toate aceeași culoare se numește secvență. O secvență va conține numărul maxim de bile alăturate având aceeași culoare. Lungimea unei secvențe este egală cu numărul de bile din care este compusă. \ Irinuca are la dispoziție un arc special. Trăgând cu arcul asupra unei bile, dacă aceasta face parte dintr-o secvență de lungime cel puțin egală cu $3$, întreaga secvență va fi eliminată, iar bilele din dreapta secvenței se vor deplasa spre stânga pentru a umple „golul” lăsat de bilele eliminate. Dacă imediat în stânga și în dreapta secvenței eliminate se găseau două secvențe având aceeași culoare și dacă secvența obținută din unirea acestora după eliminare are o lungime cel puțin egală cu $3$, atunci va fi și ea eliminată la rândul ei. Procesul continuă până când secvențele din stânga și dreapta unei secvențe tocmai eliminate au culori diferite sau până când lungimea secvenței obținute prin alăturare este mai mică decât $3$ sau până când în stânga ori în dreapta unei secvențe eliminate nu se mai găsesc bile sau până sunt eliminate toate bilele de pe ecran. \ Scopul jocului este de a elimina cât mai multe bile de pe ecran. Cum Irinuca încă nu se pricepe prea bine la acest joc și-a stabilit o strategie. Va trage cu arcul întotdeauna asupra unei bile ce face parte din secvența de lungime maximă de pe ecran. Dacă sunt mai multe astfel de secvențe, ea va alege cea mai din stânga secvență de lungime maximă. Dacă toate secvențele de pe ecran au lungimi mai mici decât $3$, Irinuca nu va mai putea elimina nici una din ele și jocul se încheie. \ **De exemplu**, dacă șirul inițial de bile este `5 1 3 3 2 2 2 2 3 1 1 5 6 4 4 4 4 7` Irinuca va acționa asupra unei bile de culoare $2$. Prin eliminare se obține șirul de bile `5 1 3 3 3 1 1 5 6 4 4 4 4 7` din care se elimină și secvența de bile de culoare $3$ obținându-se șirul de bile `5 1 1 1 5 6 4 4 4 4 7` din care se elimină și secvența de culoare $1$. `5 5 6 4 4 4 4 7` Cum secvența de bile de culoare $5$ nu este suficient de lungă, aceasta nu se mai elimină. Acum Irinuca trage asupra unei bile de culoare $4$ și obține `5 5 6 7` dar cum în stânga și în dreapta secvenței eliminate sunt secvențe de culori diferite, nu se va mai elimina nici o secvență. Jocul se încheie deoarece nu mai există nici o secvență de lungime cel puțin $3$ asupra căreia să se poată trage. # Cerinţă Cunoscând numărul de bile și culorile fiecărei bile de pe ecran se cere să se determine: 1. numărul de secvențe de bile care se aflau inițial pe ecran; 2. numărul de bile care rămân neeliminate de pe ecran și culorile bilelor rămase în ordine pe ecran la finalul jocului. # Date de intrare Fişierul de intrare `arc.in` conţine pe prima linie un număr natural $V$. Pentru toate testele de intrare, numărul $V$ poate avea doar valoarea $1$ sau $2$. A doua linie conține un număr natural $n$ reprezentând numărul de bile, iar a treia linie conține $n$ numere naturale $c_1$, $c_2$, $\dots$, $c_n$ separate prin câte un spațiu, reprezentând culorile celor $n$ bile de pe ecran. # Date de ieşire Dacă valoarea lui $V$ este $1$, **se va rezolva numai punctul 1** din cerință. În acest caz, în fişierul de ieşire `arc.out` se va scrie un singur număr natural $n_1$, reprezentând numărul de secvențe de bile aflate inițial pe ecran. Dacă valoarea lui $V$ este $2$, **se va rezolva numai punctul 2** din cerință. În acest caz, în fişierul de ieşire `arc.out` se va scrie pe prima linie un singur număr natural $n_2$, reprezentând numărul de bile care rămân neeliminate de pe ecran la finalul jocului, iar pe următoarele $n_2$ linii se va scrie câte un număr natural reprezentând în ordine culorile bilelor rămase neeliminate la finalul jocului. Dacă la finalul jocului nu mai rămâne nici o bilă neeliminată, fișierul de ieșire va conține pe prima sa linie valoarea $0$. # Restricţii şi precizări - $1 \leq n \leq 10\ 000$ - $1 \leq c_1, c_2, \dots, c_n \leq 100\ 000$ - Pentru rezolvarea corectă a punctului 1 se acordă 20 de puncte, iar pentru punctul 2 se acordă 80 de puncte.

IX

defrag

romanian

defrag.in

defrag.out

OJI 2015 IX: Problema 2

Discul dur (hard disk) este un dispozitiv utilizat pentru stocarea datelor. Stocarea se face pe o suprafață magnetică dispusă pe platane rotunde metalice. Pe un platan, datele sunt organizate în **piste** și **sectoare**, iar zona aflată la intersecția dintre o pistă și un sector poartă denumirea de **cluster**. Un cluster poate avea două stări: **liber**, dacă nu conține date, sau **ocupat**, atunci când conține date. Un platan se numește **defragmentat** dacă toți clusterii ocupați de pe fiecare pistă sunt așezați în ordine consecutivă. Defragmentarea se realizează prin mutarea unor clusteri ocupați și are rolul de a micșora timpul de acces la date. Mutarea unui cluster reprezintă transferul datelor de la un cluster ocupat către un cluster liber de pe aceeași pistă. ~[defrag.png|width=90em|align=center] # Cerință Cunoscând numărul de piste $P$ și de sectoare $S$ al unui platan, numărul și poziția clusterilor ocupați, să se scrie un program care determină: 1. numărul de piste care au toți clusterii liberi; 2. numărul **minim** de mutări de clusteri, pentru fiecare pistă în parte, astfel încât platanul să devină defragmentat. # Date de intrare Pe prima linie a fişierului de intrare `defrag.in` se găsește numărul natural $V$ a cărui valoare poate fi doar $1$ sau $2$. Pe a doua linie a fișierului de intrare se găsesc două numere naturale $P$ și $S$, separate printr-un spaţiu, cu semnificaţia din enunţ. A treia linie conţine un număr natural $C$ reprezentând numărul total de clusteri ocupați de pe platan, iar pe fiecare din următoarele $C$ linii se găsește câte o pereche de valori $p_i$ şi $s_i$, $1 \leq i \leq C$, separate printr-un spaţiu, reprezentând pista, respectiv sectorul unde se află fiecare cluster ocupat. # Date de ieşire Fișierul de ieșire este `defrag.out`. Dacă valoarea lui $V$ este $1$ atunci fişierul de ieşire va conţine pe prima linie un număr natural ce reprezintă numărul de piste care au toți clusterii liberi. Dacă valoarea lui $V$ este $2$ atunci fişierul de ieşire va conține pe prima linie $P$ numere naturale notate $M_i$, $1 \leq i \leq P$, separate prin câte un singur spațiu, unde $M_i$ reprezintă numărul minim de mutări de clusteri, dintre cei aflați pe pista $i$, astfel încât pe pista $i$ clusterii ocupați să se găsească într-o ordine consecutivă. # Restricţii şi precizări - $1 \leq P \leq 100$ - $1 \leq S \leq 360$ - $1 \leq C \leq P \cdot S$ - Pistele sunt numerotate de la $1$ la $P$ începând cu pista exterioară. - Sectoarele sunt numerotate de la $1$ la $S$ în sensul acelor de ceasornic începând cu sectorul $1$. - Dacă o pistă are toți clusterii liberi, atunci valoarea cerută la a doua cerință este $0$. - $20\%$ din teste vor avea valoarea $V = 1$, iar $80\%$ din teste vor avea valoarea $V = 2$.

IX

cool

romanian

cool.in

cool.out

OJI 2014 IX: Problema 1

Se consideră un șir $A$ format din $N$ elemente naturale nenule. Numim secvență de lungime $K$ a șirului $A$ orice succesiune de elemente consecutive din șir de forma $A_i, A_{i+1}, \dots, A_{i+K-1}$. O secvență o numim *secvență cool* dacă elementele care o compun sunt distincte și pot fi rearanjate astfel încât să alcătuiască o secvență continuă de numere consecutive. De exemplu, considerând șirul $A = (3,1,6,8,4,5,6,7,4,3,4)$, atunci secvența $(8,4,5,6,7)$ este o *secvență cool* deoarece conține elemente distincte ce pot fi rearanjate astfel încât să alcătuiască șirul de numere consecutive $4,5,6,7,8$, pe când secvențele $(4,3,4)$, $(6,7,4,3)$ **nu** sunt considerate *secvențe cool*. # Cerinţă Fiind dat un şir de $N$ numere naturale nenule se cer următoarele: 1. Pentru o valoare dată $K$ să se verifice dacă secvența $A_1, A_2, \dots, A_K$ este *secvență cool*. Dacă secvența este *cool*, atunci se va afișa cea mai mare valoare ce aparține secvenței. Dacă secvența nu este *cool*, atunci se va afișa numărul elementelor distincte din secvența $A_1, A_2, \dots, A_K$, adică numărul elementelor care apar o singură dată. 2. Lungimea maximă a unei *secvențe cool* și numărul *secvențelor cool* de lungime maximă. # Date de intrare Fişierul de intrare `cool.in` conţine pe prima linie un număr natural $p$. Pentru toate testele de intrare, numărul $p$ poate avea doar valoarea $1$ sau valoarea $2$. Pe linia a doua se găsesc, despărțite printr-un spațiu, două numere naturale $N$ și $K$. Pe următoarea linie se găsesc $N$ numere întregi, separate prin câte un spațiu, ce reprezintă elementele şirului. # Date de ieşire Dacă valoarea lui $p$ este $1$, atunci **se va rezolva numai punctul 1** din cerință. În acest caz, fişierul de ieşire `cool.out` va conţine pe prima linie un număr natural, număr ce reprezintă conform cerinței $1$, maximul secvenței $A_1, A_2, \dots, A_K$, dacă secvența este *secvență cool*, sau numărul elementelor distincte din secvență, dacă aceasta **nu** este *secvență cool*. \ Dacă valoarea lui $p$ este $2$, **se va rezolva numai punctul 2** din cerință. În acest caz, fişierul de ieşire `cool.out` va avea două linii. Prima linie va conține un număr natural nenul ce reprezintă lungimea maximă a unei *secvențe cool*, iar următoarea linie un număr natural nenul ce reprezintă numărul de *secvențe cool* care au lungimea maximă. # Restricţii și precizări - $1 \leq N \leq 5\ 000$ - $2 \leq K \leq 1\ 000$ - $1 \leq A_i \leq 1\ 000$, $1 \leq i \leq N$ - Pentru $30\%$ dintre teste $N \leq 1\ 000$. - Pentru rezolvarea primei cerinţe se acordă $20\%$ din punctaj, iar pentru cerința a doua se acordă $80\%$ din punctaj.

IX