ניתן גם להכליל את מושג הניצבות: שני וקטורים formula_21 ו-formula_22 הם אורתוגונליים אם ורק אם המכפלה הפנימית שלהם שווה formula_23, כלומר formula_24 ומסמנים formula_25. ביתר כלליות, ניתן להגדיר זווית בין וקטורים בצורה הבאה: formula_26. ניתן להראות שהארכקוסינוס תמיד מוגדר בעזרת אי-שוויון קושי-שוורץ.
הכללה של מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב הילברט. זהו מרחב מכפלה פנימית שהוא גם מרחב טופולוגי שלם ביחס למטריקה המושרית מהמכפלה הפנימית (כלומר: formula_27).
הילית ישורון
ברית שלום
ברית שלום הייתה תנועה יהודית, שהוקמה בשנת 1925 על ידי קבוצת אינטלקטואלים יהודים, ודגלה בהקמת אוטונומיה דו-לאומית שבה יהנו הערבים והיהודים משוויון זכויות מלא תחת המנדט הבריטי, במטרה להביא להקמת מדינה דו-לאומית עצמאית בארץ ישראל. חברי ברית שלום ראו חשיבות לאומית רבה בתחיית התרבות העברית והתרבות הערבית כאחד, כדי ליצור הבנות המבוססות על המכנה המשותף ההיסטורי בין התרבויות.
עקרונות התנועה.
בתקנות התנועה נכתב:
רבים מאנשי "ברית שלום" ראו באחד העם מנהיג ומורה דרך רוחני. לדידם השאיפות הציוניות היו צריכות להתגשם בתקומת תרבות יהודית חדשה שיכולה להתפתח רק בארץ ישראל. הם שאפו להגיע להסכם התיישבות עם ערביי ארץ ישראל תוך התייחסות לעובדה שהיהודים כאומה באים להתיישב בארץ שקודם לכן הרוב המכריע של תושביה היה ערבי. חברי "ברית שלום" סברו, שככל שהזמן חולף, ערביי ארץ ישראל מתבצרים בהתנגדות לציונות ולכן יש להגיע איתם להסכמים ולהבנות. על רקע זה יש הרואים בתנועה זו את המבשרת של תנועות השלום הישראליות.
חברי הקבוצה ראו את עצמם ציוניים אמיתיים, מכיוון שכתבי הרצל מדברים במפורש על דו קיום בין יהודים וערבים בארץ ישראל. חברי הקבוצה רמזו כי השימוש של הציונות ובכיריה (למשל, דוד בן-גוריון בהמשך) בהרצל ומשנתו היה מטעה. משמע, האתוס הציוני לגבי הרצל הסתפק בהצהרותיו אודות בית לאומי ליהודים בארץ ישראל, אך התעלם משאר חזונו של הרצל בהקשר ליחס לבני המקום ולאומיותם. זאב ז'בוטינסקי כינה את אנשי ברית שלום "קאמישע פיגורען" (דמויות קומיות), והכריז שברית שלום איננה תנועה ציונית.
אגודת ברית שלום דגלה בשוויון מדיני בין שתי הקהילות, היהודית והערבית, וזאת על אף הפער הדמוגרפי הגדול ביניהן (בתקופה זו היו בארץ ישראל כ-800 אלף ערבים ורק כ-160 אלף יהודים). ב-1930 פרסמה האגודה מנשר שקרא לכינון מדינה דו-לאומית אחת בארץ ישראל, שכל אחד משני העמים המרכיבים אותה יהיה חופשי לנהל את ענייניו הפנימיים. כמה מחברי האגודה אף היו מוכנים להסתפק במעמד קבע של מיעוט יהודי במדינה כזו.
במחצית השנייה של שנות ה-20 פעילות האגודה הייתה מצומצמת ורעיונותיה הועברו בעיקר באמצעות ביטאונה "שאיפותינו". האגודה לא פעלה כלל בקרב הערבים. היא עשתה ניסיון לקיים שיעורי ערב ללימוד השפה הערבית, אך הוא לא החזיק מעמד זמן רב.
חברי התנועה.
האגודה מנתה כמה עשרות חברים בלבד, כולם יהודים: כ-60 בארץ ישראל וכתריסר בחוץ לארץ. עם חבריה ותומכיה של התנועה נמנו אינטלקטואלים, עיתונאים ובעלי תפקידים בכירים בהסתדרות הציונית, ביניהם ארתור רופין, הפילוסוף שמואל הוגו ברגמן, חוקר הקבלה גרשם שלום, הפיזיקאי שמואל סמבורסקי, איש הסוכנות היהודית, דוד ורנר סנטור, המחנכים עקיבא ארנסט סימון, נתן חפשי וזיגפריד להמן, המזרחנים לוי ביליג ודוד צבי בנעט, חוקר הלאומיות הנס קון, האגרונום חיים מרגליות קלווריסקי, העיתונאית גרדה לופט, הפעיל הציוני יעקב טהון והעיתונאית והעובדת סוציאלית חנה טהון, המחנך וממחדשי השפה העברית יצחק אפשטיין ור' בנימין. אוהדי התנועה, בארץ ומחוצה לה, כללו את נשיאה הראשון של האוניברסיטה העברית הרב הרפורמי יהודה לייב מאגנס, הפילוסוף מרטין בובר, הפעילה הציונית הנרייטה סאלד, איש העסקים שלמה זלמן שוקן, חוקר יהדות המזרח (וגניזת קהיר) שלמה דב גויטיין, העיתונאי רוברט ולטש, המשפטן נורמן בנטוויץ', המדינאי הבריטי הרברט סמואל ובנו אדווין סמואל, והסופר משה סמילנסקי.
התפרקות התנועה.
לאחר שרובו של הקונגרס היהודי דחה את תפישותיה ושאף להקמת מדינה יהודית ריבונית שלא תחת המנדט הבריטי, הפכה התנועה לגורם שולי בציונות. בשנת 1933 התנועה התפרקה בשל התנגדות עזה כלפיה ביישוב היהודי ובשל פרישה של חברים רבים ממנה וחילוקי דעות עזים בין הנותרים.
מרטין בובר הגדיר את חברי האגודה "שמרים המחפשים את הבצק".
בעקבות ההתפרקות הוקמו מספר ארגונים, ביניהם קדמה מזרחה, העל, "הליגה להתקרבות ושיתוף יהודי-ערבי", ואגודת "איחוד" שהקים י"ל מאגנס, אשר דגלו גם הם בתפיסה דומה לגבי הפתרון של הסכסוך היהודי ערבי.
"הליגה להתקרבות ושיתוף יהודי-ערבי" נוסדה בתחילת מלחמת העולם השנייה, ב-8 באוקטובר 1939, בעקבות תחושת חוסר האונים שפקדה את היישוב לאחר פרסום הספר הלבן של 1939. הפעילים ב"ליגה" היו מחוגים שונים, בעיקר מיוצאי "ברית שלום", ממפלגת פועלי ציון שמאל, ממפא"י היא אימצה כקווים מנחים, בדומה לברית שלום, את טיפוח יחסי האמון עם הערבים ואת העיקרון של אי השתלטותו של עם אחד על עם אחר.
בראשית שנת 1942, אחרי שיצאה נגד ברית שלום בעבר, הודיעה תנועת השומר הצעיר ותנועת הליגה הסוציאליסטית על הצטרפותם לליגה. וביולי 1942 נחתם הסכם למצע והנחות יסוד מוסכמות על התנועה המאוחדת, שכלל שלושה סעיפים: נקבע שהרעיון הציוני הוא אבן היסוד של הליגה ולפיכך הליגה שואפת לעלייה גדולה, המוגבלת מטבעה על פי יכולת הקליטה הכלכלית של הארץ. כמו כן נקבע שהעקרונות לכל הסדר עם הערבים הם: דו לאומיות, אי השתלטותו של עם על עם אחר והקמת פדרציה של כל מדינות האזור.
"איחוד" נוסד בירושלים ב-11 באוגוסט 1942 וחברי נשיאותו היו: מאגנס, סאלד, בובר, סימון וסמילנסקי. עשרה חודשים לאחר כינונה של אגודה זו, היו בה 97 חברים בלבד. לביטאונה, "בעיות היום", היו 300 מנויים וכ-300 עותקים נמכרו באופן חופשי.
שמואל הוגו ברגמן
שמואל הוגו ברגמן (25 בדצמבר 1883, פראג – 18 ביוני 1975, ירושלים) היה פילוסוף ישראלי יליד פראג, מאנשי הרוח הבולטים של הציונות, והרקטור הראשון של האוניברסיטה העברית בירושלים.
קורות חיים.
באירופה.
בצעירותו למד פילוסופיה באוניברסיטאות של פראג ושל ברלין, והיה תלמידם של הפילוסופים אנטון מארטי ופרנץ ברנטנו. ברגמן היה פעיל בחוגים ציוניים-סוציאליסטיים כארגון הסטודנטים "בר כוכבא" ובמפלגת הפועל הצעיר יחד עם חברו הסופר פרנץ קפקא, שעקב מחלתו לא שעה לניסיונות השכנוע של ברגמן לעלות לארץ. כן היה מיודד עם הפילוסוף פליקס ולטש (Weltsch), שבהמשך עבד גם הוא כברגמן בבית הספרים הלאומי והאוניברסיטאי בירושלים, וכן עם מקס ברוד, שבעקבות ידידותו עם ברגמן התוודע לציונות. בצעירותו קיים ברגמן קשרים עם מרטין בובר, אשר השפיע על הגותו הפילוסופית. בין השנים 1907–1914 כיהן ברגמן כספרן ספריית האוניברסיטה בפראג. בשנת 1914, בימי מלחמת העולם הראשונה, שירת בצבא האוסטרי, ובשנת 1918 חזר לעבודתו בספרייה. בשנת 1919 עבר ברגמן ללונדון, שם כיהן כמזכיר הראשי של המחלקה לחינוך ולתרבות בהנהלה הציונית, והיה ממייסדיה של מפלגת "התאחדות".
ביישוב ובמדינת ישראל.
בשנת 1920 עלה ברגמן לארץ ישראל, ובאותה שנה מונה למנהל בית הספרים הלאומי, שעם פתיחת האוניברסיטה העברית (1925) הפך ל"בית הספרים הלאומי והאוניברסיטאי", בתפקיד זה היה חמש עשרה שנים רצופות עד לשנת 1935, עת הוחלף על ידי פרופ' אליקים גוטהולד וייל. בתקופה זו הפך בית הספרים ממוסד דל ובו 30,000 כרכים למוסד גדול ובו 300,000 כרכים, וגם עבר למשכן חדש בבניין דוד וולפסון בהר הצופים. במקביל לעבודתו בספרייה מונה בשנת 1928 כמרצה בחוג לפילוסופיה באוניברסיטה העברית.
בשנת 1935, עקב שינויים מבניים באוניברסיטה וביטול משרת קנצלר האוניברסיטה, שבה נשא יהודה לייב מאגנס, בחר סנאט האוניברסיטה העברית ביום 11 בנובמבר 1935 בפרופ' שמואל הוגו ברגמן לתפקיד הרקטור הראשון של האוניברסיטה, סמכויות הניהול האקדמי שהיו בידי קנצלר מאגנס עברו מעתה לרקטור האוניברסיטה – תפקיד שבו כיהן ברגמן עד לשנת 1938 (מאגנס נותר לכהן בתפקיד נשיא האוניברסיטה עד למותו בשנת 1948).
היה בין החברים בתנועת הפועל הצעיר, ולאחר מכן בתנועת ברית שלום, שדגלה באוטונומיה דו-לאומית יהודית-ערבית תחת משטר המנדט הבריטי, והיה ממתנגדי המחתרות אצ"ל ולח"י.
לקראת סופו של משפט אייכמן ב-1961, ארגן ברגמן עצומה הקוראת שלא להטיל על אדולף אייכמן עונש מוות. ברגמן התנגד באופן עקרוני "לעונש מוות בכל צורה שהיא". לפני כן רשם ביומנו בגרמנית:
ברגמן זכה פעמיים בפרס ישראל: פעם ראשונה במדעי הרוח בשנת 1954, ופעם נוספת ב-1974, על תרומה מיוחדת לחברה ולמדינה. ב-1959 נבחר כחבר האקדמיה הלאומית הישראלית למדעים. בשנת 1967 הוענק לו התואר "יקיר ירושלים".
ארכיונו מופקד במחלקת הארכיונים בספרייה הלאומית בירושלים.
דעותיו בשאלות דת ואמונה.
בשאלות דת ואמונה התרחק ברגמן מן הרציונליזם והאנתרופוצנטריות, ודגל בהחייאת האמונה, כחוויה בלתי אמצעית ומפגש עם האל. ברגמן לא היה אדם דתי, אך הכיר בחשיבותם של התפילה, השבת והחגים, כחלק ממורשת העם היהודי. בנושא התפילה כתב:
בנושא השבת, חתם הוגו ברגמן בשנת 1931 על כרוז הסופרים שמחה על קיום משחקי ספורט בשבת ובימי חג, ביחד עם: בן-ציון דינור, יוסף קלוזנר, חיים נחמן ביאליק ואחרים. ברגמן הושפע רבות מתפיסת העולם האנתרופוסופית, והיה מיודד עם מייסדה ד"ר רודולף שטיינר.
מרכז ש. ה. ברגמן לעיון פילוסופי.