אף נוסח מודים דרבנן הנדפס בסידור התפילה הוא נוסח מאחד של כל השיטות, כפי שיסד רב פפא, בתלמוד מובא: רב הורה לומר "מודים אנחנו לך ה' אלהינו על שאנו מודים לך". שמואל סבר כי יש לומר במקום המילים "ה' אלקינו", את המילים "אלקי כל בשר", ואילו רב סימאי סבר שיש לומר במקום מילים אלו את הנוסח "יוצרנו יוצר בראשית". לפי גרסת נהרדעא בשם רבי סימאי, הוא הוסיף נוסח שונה: "ברכות והודאות לשמך הגדול על שהחייתנו וקיימתנו, על שאנו מודים לך". רב אחא בר יעקב הוסיף את המילים "כן תחיינו ותחננו ותקבצנו ותאסוף גליותינו לחצרות קדשך לשמור חוקיך ולעשות רצונך בלבב שלם על שאנו מודים לך". רב פפא הכריע שיש לומר נוסח הכולל את כל השיטות וזהו הנוסח שבימינו.
פשרות בין שיטות הלכתיות.
לא רק בהלכות ברכות שימש רב פפא כפוסק אחרון וכמאחד בין שיטות שונות, אלא גם בהלכות שונות ומגוונות. אחת מהן היא בהלכות השהייה בשבת. במשנה מופיע כי "מאחיזין את האור במדורת בית המוקד ובגבולין כדי שתאחוז האור ברובו". נחלקו החכמים מה דינו של עץ יחידי, ושאלו: האם יש להמתין עד שתאחוז האש ברוב הקיפו או שמא רוב עוביו? ורב פפא הכריע כי יש להמתין עד שתאחוז האש ברוב היקפו וברוב עוביו. פשרה דומה הכריע בהלכות טרפות, אודות ההלכה האומרת כי אם נשתייר מכבדה של הבהמה כזית אינה טרפה, ונחלקו החכמים להיכן הכוונה, וכן הכריע בהלכות איסור והיתר, אודות אכילת חגב, שבו נחלקו החכמים אם סימן הטהרה שנאמר במשנה ש"כנפיו חופין את רובו" הכוונה לרוב ארכו או שמא לרוב הקיפו.
פירוש פסקים.
רב פפא עוסק רבות בפירוש פסקים של חכמים שהיו לפניו. כך למשל אודות המחלוקת בין רב ולוי האם מטבע נקנה בחליפין. הוסבר על ידי רב פפא, כי לא ניתן להחליף מעות בדבר אחר בתורת חליפין, מכיוון שלכסף אין חשיבות עצמית אלא על הצורה החקוקה בו והנותנת לו את שוויו, ומכיוון שאם יחליט המלך או הממשלה להחליף את המטבע לסמל אחר הוא לא יהיה שווה יותר כמובן, אין הוא נחשב ל"דבר מסוים" (מסוים = שלם) כדוגמת נעל, שהיא מסוימת ושלימה ויש לה שווי עצמי שאינו בטל לעולם.
אגדות ואמרות.
רב פפא אמר: בית שיש בו חתול, לא ילך בו אדם ללא נעליים, שכן החתול אוכל נחשים אותם הוא מוצא, ומתוך גופו של הנחש המת נושרות על הארץ עצמות העלולות לחדור לרגליו של הצועד במקום כשהוא יחף. לפי גרסה אחרת אמר: בית שאין בו חתול, לא יכנס בו אדם, שמא ייכרך עליו נחש ללא ידיעתו.
במסכת שבת מובאת בשם רב פפא האמרה "לית דעניא מכלבא ולית דעתיר מחזירא" אין עני יותר מכלב, ואין עשיר יותר מחזיר
קבורתו.
על פי מסורת יהודית, שמקורה בימי הביניים, נמצא קברם של רב פפא ובניו בהר שנאן אשר בגבול ישראל - לבנון. על פי אותה מסורת קבור במקום גם האמורא רב אשי.
חלל שמיימי
החלל החיצון
בלזאק
בלזק
באלזאק
אונורה דה בלזאק
נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)
נוסחת אוילר היא נוסחה יסודית באנליזה מרוכבת, הקושרת את הפונקציה המעריכית הטבעית לפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס. הנוסחה נקראת על-שמו של לאונרד אוילר.
הנוסחה קובעת כי: formula_1 לכל formula_2 ממשי, כאשר e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו-i הוא היחידה המדומה. את formula_3 יש הנוהגים לסמן בצורה המקוצרת formula_4.
זהות אוילר.
כאשר מציבים בנוסחה את formula_5 כערכה של הזווית formula_6, מתקבל:
formula_7 או formula_8,
תוצאה הקרויה זהות אוילר ומקשרת בצורה פשוטה בין 5 קבועים מתמטיים בסיסיים.
הקשר להצגה קוטבית.
בהינתן מספר מרוכב formula_9 השונה מאפס, ניתן למתוח קטע formula_10 במישור המרוכב בין ראשית הצירים לנקודה formula_9. האורך של formula_10, formula_13, מכונה הערך המוחלט של formula_9, ואילו הזווית (ברדיאנים) בין הכיוון החיובי של הציר הממשי ל-formula_10 (נגד כיוון השעון), formula_16, מכונה הארגומנט של formula_9. הזוג formula_18 מכונה ההצגה הקוטבית של formula_9.
אם נציג את formula_9 בצורה formula_21, אז formula_22 ו-formula_23 הם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית שיתרו הוא formula_10. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות מתקיים formula_25 ו-formula_26. לכן לפי נוסחת אוילר:
הצגה זו של מספר מרוכב נוחה לשימוש במקרים רבים. למשל כאשר כופלים אותם: formula_28.
מסקנה מיידית מהצגה זו היא משפט דה-מואבר הקובע כי formula_29 ל-n טבעי ו-x ממשי. לפי נוסחת אוילר זהו פשוט השוויון formula_30.
משמעות אלגברית.
מנוסחת אוילר נובע שההעתקה formula_31 היא הומומורפיזם של חבורות מן הישר הממשי כחבורה ביחס לפעולת החיבור, אל מעגל היחידה במישור המרוכב כחבורה ביחס לפעולת הכפל. זהו אפימורפיזם שאיננו איזומורפיזם שכן formula_32.
הגרעין של formula_33 הוא הקבוצה formula_34 ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון מעגל היחידה איזומורפי ל-formula_35, או אחרי נרמול formula_36.
הוכחות.
קיימות מספר הוכחות לנוסחה, שמתבססות על ההגדרה של פונקציית האקספוננט המרוכבת לפי טור טיילור של הפונקציה הממשית או כפונקציה המקיימת את התכונות הידועות של הפונקציה הממשית.
באמצעות טור טיילור.
זוהי הוכחה של נוסחת אוילר באמצעות פיתוח טור טיילור וכן העובדות הבסיסיות אודות החזקות של formula_37:
לכל n שלם. אפשר לבטא את הפונקציות הממשיות formula_39, formula_40 ו-formula_41 באמצעות פיתוח טור טיילור שלהן סביב 0:
עבור מספרים מרוכבים נגדיר את הפונקציות האלה באמצעות הטורים הללו, על ידי החלפת המספר הממשי formula_43 במספר המדומה formula_44 (כאשר formula_2עצמו ממשי).
לפי הגדרה זאת אפשר לראות ש:
(החלפת סדר האיברים מוצדקת משום שכל הטורים מתכנסים בהחלט).
באמצעות חשבון דיפרנציאלי.
נגדיר את הפונקציה formula_47, במשתנה ממשי formula_43, בתור:
הנגזרת של "(f"(x, לפי חוק המכפלה, היא:
לכן, formula_47 חייבת להיות פונקציה קבועה ביחס ל-formula_43. משום ש-formula_53 ידוע, הקבוע ש- formula_47 שווה אליו עבור כל formula_43 ממשי גם ידוע. כלומר:
על ידי הכפלת שני הצדדים ב-formula_57 ושימוש בשוויון
נקבל כי:
הכללות.
ניתן להכליל את נוסחת אוילר מהמספרים המרוכבים אל הקווטרניונים על ידי הנוסחה formula_60 כאשר r הוא נקודה על כדור היחידה התלת-ממדי במרחב הקווטרניונים ה-4 ממדי הנקרא ורסור.
גלעד צוקרמן
גלעד צוקרמן (נולד ב-1 ביוני 1971 בתל אביב) הוא בלשן ומחייה שפות ישראלי, פרופסור לבלשנות ושפות בסיכון באוניברסיטת אדלייד באוסטרליה.
מחקריו עוסקים בעיקר בהחייאת שפות, במגע בין לשונות, בשפה ותרבות, בבלשנות היסטורית, בלקסיקולוגיה, בגנטיקה לשונית ובהתפתחות של לשונות, במקורות העשרה מילונית, בריבוי סיבות ובהיברידיות (הכלאה לשונית ותרבותית). הוא מרבה לחקור את העברית הישראלית (שהוא מכנה "ישראלית") והיידיש כמקרי מבחן לתאוריות שלו, וגם עוסק בהחייאת שפות אבוריג'יניות באוסטרליה.
קורות חיים.
צוקרמן נולד בגבעתיים וגדל באילת. לפני שירותו בצה"ל, למד בקולג' בינלאומי באיטליה, השייך לרשת ה-United World Colleges. את שירותו הצבאי עשה ביחידה 8200. צוקרמן סיים בהצטיינות יתרה תואר שני בבלשנות בתוכנית הבין-תחומית לתלמידים מצטיינים ע"ש עדי לאוטמן שבאוניברסיטת תל אביב. הוא בעל תואר דוקטור מאוניברסיטת אוקספורד ומאוניברסיטת קיימברידג'. באוקספורד שימש צוקרמן כנשיא ארגון הסטודנטים היהודי של האוניברסיטה, לחיים. מתחילת שנת 2011, צוקרמן הוא פרופסור מן המניין ומופקד הקתדרה לבלשנות ושפות בסיכון באוניברסיטת אדלייד, אוסטרליה.
צוקרמן כיהן כפרופסור מן המניין באוניברסיטת ג'יאו טונג שאנגחאי, באוניברסיטת שאנגחאי ללימודים בינלאומיים ובמידלברי קולג'. ב-2006–2011 הוא כיהן כפרופסור באוניברסיטת קווינסלנד. הוא היה מדען אורח במכון ויצמן וחוקר באוניברסיטת טקסס באוסטין ובמכון רוקפלר בבלאג'ו. הוא לימד גם באוניברסיטת קיימברידג', האוניברסיטה הלאומית של סינגפור, והאוניברסיטה העברית.
צוקרמן הוא פוליגלוט: הוא דובר 13 שפות וקורא כ-30. פרסומיו האקדמיים כוללים מאמרים באנגלית, בעברית, ביידיש, באיטלקית, בספרדית, בגרמנית, ברוסית ובסינית.
גישתו הבלשנית.
מחקריו של צוקרמן מחלישים את מודל אילן היוחסין בבלשנות, לפיו כל שפה התפתחה משפה "אחת" שקדמה לה. צוקרמן גורס כי תיתכן התפתחות של לשונות חדשות, למשל "שפות החייאה", שחל בהן מיזוג של יסודות משתי שפות או יותר. במילים אחרות, ייתכן שלשפה נתונה יהיה יותר מ"הורה" אחד.
התאוריה של צוקרמן מערערת על החלוקה הקלאסית של שפות למשפחות גנטיות. לפי צוקרמן, ייתכן ששפה תהיה שמית והודו-אירופית כאחת, אם היא התפתחה ממיזוג של אלמנטים משפה שמית מצד אחד ומשפה הודו-אירופית מצד שני. ה"ישראלית" (העברית החדשה), לדעת צוקרמן, היא דוגמה ל"שפת החייאה" בעלת מספר "הורים" בו-זמנית. גישה זו נובעת מטענתו של צוקרמן, שה"ישראלית" ממזגת יסודות שמיים והודו-אירופיים. את היסודות השמיים תרמה העברית לתקופותיה, ואילו האלמנטים ההודו-אירופיים הגיעו בעיקר מיידיש, וכן מרוסית ומפולנית. לפי צוקרמן, הישראלית איננה אבולוציה אורגנית של העברית אלא גנזה היברידית.
צוקרמן טוען ש"כל" "שפת החייאה" מוצלחת היא היברידית. הסיבה לכך היא עקרון החפיפה, שהוא סטטיסטי: "ככל שמאפיין לשוני קיים ביותר שפות תורמות, כך יש לו סיכוי גדול יותר לחדור לשפה המתהווה".