עיקר השפעתו של משפט דיריכלה היא עקיפה. אולם למשפט גם מספר שימושים ישירים. להלן מספר דוגמאות:
השפעה.
תורת המספרים האנליטית.
ניתן לראות במשפט דיריכלה את לידתה של תורת המספרים האנליטית. אומנם שימוש באנליזה לטובת תורת המספרים הופיע עוד בעבודותיו של אוילר, אולם תפקידה של האנליזה בהוכחתו של דיריכלה היה סיסטמטי ומסיבי בהרבה. משפט דיריכלה יצר פרדיגמה חדשה בתורת המספרים. על פי פרדיגמה זאת, כדי לחקור שאלה מסוימת בתורת המספרים יש לבצע את השלבים הבאים:
פרדיגמה זאת השתרשה עד כדי כך, שכיום תוצאות רבות בתורת המספרים מנוסחות בתור תוצאות על תכונות של פונקצייות L, ללא גזירה של מסקנות לגבי האובייקטים מתורת המספרים שפונקציות L אלה מבוססות עליהם.
להלן מספר דוגמות לפונקציות L הנחקרות כיום:
פונקציות L מופיעות גם מחוץ לתורת המספרים, כאשר סופרים אובייקטים. לדוגמה:
הערה: פונקציות זטא הן מקרה פרטי של פונקציות L, בו כל המקדמים הם חיוביים.
לעיתים, הדרך לקשר בין שני אובייקטים שונים היא להוכיח שיש להם אותה פונקציית L. השערת לנגלנדס והשערת טניאמה-שימורה הן דוגמאות לקשר כזה.
תורת המספרים האלגברית ואלגברה קמוטטיבית.
שימושים בכלים אלגבריים לטובת תורת המספרים עתיקים כמו תורת המספרים עצמה. כך שתורת המספרים האלגברית התפתחה לאורך תקופה ארוכה. במהלך המאה ה-19 חלה התפתחות דרמטית בתחום זה. אחת מאבני הדרך המשמעותיות בתחום זה הן העבודות של דדקינד על חוגי שלמים בשדות המספרים והאידיילים שלהם. עבודות אלה שמתבססות על עבודותיו של קומר מהוות המשך ישיר לעבודותיו של דיריכלה על משפט דיריכלה.
האלגברה הקמוטטיבית פותחה על ידי הילברט ונתר בהתבסס על עבודותהם של דדקינד וקומר.
תורת ההצגות.
ההתפתחות של תורת ההצגות ושל תורת המספרים האלגברית שזורות זו בזו. ניתן לראות בעבודותיו של פורייה על פירוק של פונקציה לקומבינציה של פונקציות טריגונומטריות את תחילתה של תורת ההצגות. פירוק זה נקרא טור פורייה (או התמרת פורייה). מנקודת מבט מודרנית, אפשר לראות פירוק זה בתור פירוק של מרחב הפונקציות על הישר (או המעגל) לתתי מרחבים אינווריאנטים לגבי הזזות. במילם אחרות: פירוק של ההצגה הרגולרית של הישר (או המעגל) להצגות בילתי פריקות. אולם בשלב זה, רעיונות אלה הוגבלו למספר מצומצם של דוגמאות דומות, ורק לחבורת קמוטטיביות.
דיריכלה, שהיה תלמידו של פורייה, הוציא את הרעיונות האלה מההקשר של אנליזה בהם הם פותחו והפעיל אותם על דוגמאות נוספות של חבורות קמוטטיביות. מהלך זה היה אחד הרעיונות המשמעותיים בהוכחת משפט דיריכלה.
דדקינד שיכתב את עבודותיו של דיריכלה בשפה כללית ונקייה יותר, ובכך פיתח את התמרת פורייה ותורת הקרקטרים עבור חבורה אבלית סופית כלשהי. דדקינד הבין שבישביל שימושים מתקדמים יותר בתורת המספרים הוא צריך גם אנלוגים של תורת הקרקטרים גם עבור חבורות לא קמוטטיביות. במכתביו לפרובניוס, הציע לו דדקינד לפתח תורה כזאת.
פרובניוס הצליח לפתח תורה זאת במאמרו המפורסם משנת 1896. במאמר זה פותחה תורה מעמיקה של קרקטרים של חבורות לא קמוטטיביות, ואנלוגים של פירוק פורייה בשבילהם, אולם מושג ההצגה עוד לא היה קיים. עבודותיו של פרובניוס איפשרו להגדיר את פונקציית L של ארטין, שהיא הכללה של פונקציית L של דיריכלה, ולהוכיח את משפט צ'בוטרב שהוא הכללה של משפט דיריכלה.
את מושג ההצגה הגדיר תלמידו של פרובניוס, שור, ובכך הניח את היסודות לתורת ההצגות בצורתה המודרנית. שור גם הסביר את הקשר בין הצגות וקרקטרים.
במהלך המאה ה-20 התפתחה תורת ההצגות והפכה לתחום מרכזי במתמטיקה המקושר לתחומים שונים הכוללים לצד תורת המספרים גם אלגברה, גיאומטריה, אנליזה ואפילו פיזיקה. אולם תורת המספרים האנליטית הייתה ונשארה אחד המקורת המרכזיים לשאלות בתורת ההצגות. כך לדוגמה התחום של תבניות והצגות אוטומורפיות הוא תחום משותף לתורת המספרים ותורת ההצגות. כמו כן תורת ההצגות של חבורות p-אדיות הוא תחום בתורת ההצגות השואב את עיקר המוטיבציה שלו מתורת המספרים.
ההוכחות למשפט.
הוכחות אלגבריות למקרים פרטיים.
כל ההוכחת הידועות למשפט דיריכלה הן אנליטיות, ומוכיחות טענה חזקה יותר מאינסופיות קבוצת הראשוניים בסדרה חשבונית. אולם עבור מקרים פרטיים של משפט דיריכלה יש הוכחות אלגבריות הדומות להוכחתו של אוקלידס לכך שיש אינסוף ראשוניים וכמעט שאינן מספקות מידע על צפיפות קבוצה זאת. רוב ההוכחות האלה מבוססות על הרעיון הבא: מוצאים פולינום formula_40 כך שלכל formula_51 טבעי, למספר formula_77 יש גורם ראשוני בסדרה החשבונית. אז מציבים מכפלה של ראשוניים מהסדרה החשבונית לפולינום כדי לקבל מחלקים ראשוניים מהסדרה החשבונית שלא השתתפו במכפלה. נדגים שיטה זו במספר מקרים:
מספרים שהם formula_79 מודולו formula_7.
הוכחת המשפט מתבססת על הלמה הבאה:
הפולינום formula_40 הוא למעשה formula_82 כאשר formula_83 הוא הפולינום הציקלוטומי של formula_7. הוכחת הלמה מתבססת על כלים של תורת המספרים האלגברית, ההוכחה איננה פשוטה אך אלגברית לחלוטין. לצורך המחשה נביא כאן את ההוכחה כאשר formula_85 ראשוני.
כעת נוכיח את המשפט
מסקנות.
מטענות אלה נובע משפט דיריכלה ל- formula_86.
מכפלת אוילר.
נקודת המוצא של הוכחתו של דיריכלה (כמו גם של כמעט כל ההוכחות המאוחרות יותר) היא נוסחת המכפלה של אוילר:
formula_87כאשר המכפלה עוברת על כל המספרים הראשוניים. הנוסחה מבוססת על טורים הנדסיים ועל משפט קיום ויחידות של פירוק לגורמים ראשוניים. הנוסחה מאפשרת לקבל מידע על ההתפלגות של מספרים ראשוניים (מאגף ימין) באמצעות כלים של אנליזה (בהם מנתחים את אגף שמאל). עם זאת, בצורתה זו הנוסחה לא נותנת מידע רב, שכן שני אגפיה מתבדרים. כדי להפוך אותה לשימושית יותר, מכניסים פרמטר ממשי formula_88 ומחליפים את הנוסחה בנוסחת המכפלה של אוילר עבור פונקציית זטא של רימן:
formula_89
באופן כללי, כדי לקבל מנוסחה זו את המידע הדרוש לנו, יש לנתחה כאשר formula_90 שואף ל-formula_79. בדרך כלל כדי להבין את הטיעונים ברמה האינטואיטיבית אפשר להציב formula_92, אבל זה לא מספיק כדי לקבל הוכחה ריגורוזית.
ממכפלת אוילר ניתן לקבל שטור ההופכיים של המספרים הראשוניים מתבדר. לשם כך לוקחים לוגריתם של שני הצדדים של הנוסחה ומשתמשים בקירוב טיילור מסדר ראשון של הלוגוריתם, ומקבלים:
formula_93
כאשר:
formula_94
מכאן קל להסיק שהטור
formula_95
מתבדר.
באופן פשטני אפשר לומר כי הרעיון בהוכחתו של דיריכלה הוא להתאים טיעון זה לטור דומה עבור הראשוניים בסדרה חשבונית.
שימוש במספרים מרוכבים.
אחד הרעיונות המהפכניים של רימן בתורת המספרים האנליטית היא להציב לפונקציית זטא ערכים מרוכבים של המשתנה formula_90 (עם חלק ממשי גדול מ-1) ואז להמשיך את פונקציית זטא של רימן לפונקציה מרומורפית המוגדרת על המישור המרוכב כולו. זה הופך את פונקציית זטא לכלי עוצמתי לחקר ההתפלגות של המספרים הראשוניים. רעיון זה הוביל בין היתר להוכחת משפט המספרים הראשוניים. אולם רעיון זה הופיע כ-30 שנה לאחר הוכחת משפט דיריכלה ואינו מופיע בהוכחה המקורית של דיריכלה. חלק מההוכחות המאוחרות יותר משתמשות ברעיון זה, מה שמקצר את ההוכחה. המחיר של קיצור זה הוא שימש בכלים מתקדמים יחסית מאנליזה מרוכבת, שוהכחתם לא פשוטה.
הוכחתו של דיריכלה (כמו גם כמעט כל ההוכחות המאוחרות יותר) משתמשת במספרים מרוכבים במקום אחר: פונקציות formula_29 של דיריכלה, שהן גרסאות של פונקציית זטא של רימן הנחוצות בהוכחה, הן פונקציות עם ערכים מרוכבים גם כאשר המשתנה שלהן ממשי. שימוש זה לא דורש אנליזה מרוכבת אלא רק הבנה של מספרים מרוכבים, ולכן פשוט בהרבה. גם שימוש זה לא הכרחי, אפשר להחליף אתו בשימוש בפונקציות טריגונומטריות, אולם החלפה כזאת תסרבל את ההוכחה ותסתיר את הרעיונות שבה, כך שהיא לא מקובלת.
קרקטר דיריכלה.
מכפלת אוילר נותנת מידע על התפלגות כל הראשוניים, בעוד שעבור משפט דיריכלה יש צורך במידע על התפלגות הראשוניים בסדרה חשבונית. לא ניתן להתאים את מכפלת אוילר באופן ישיר כדי שהיא תערב רק מספרים בתת-קבוצה מסוימת, אולם לעיתים ניתן להתאים את מכפלת אוילר כדי שהיא תערב את כל המספרים עם משקלים מסוימים. עבור פונקציה חסומה formula_98 אפשר להגדיר גרסה ממושקלת של פונקציית זטא של רימן באופן הבא:
formula_99
טור כזה נקרא באופן כללי טור דיריכלה. עבור בחירות מסוימות של formula_6 יהיו לפונקציה זאת חלק מהתכונות הטובות של פונקציית זטא של רימן, לרבות מכפלת אוילר. מקרה אחד כזה הוא כאשר הפונקציה formula_6 היא קרקטר דיריכלה.
לטורי דיריכלה עם פונקציית משקל שהיא קרקטר דיריכלה קוראים פונקציות formula_29 של דיריכלה. עבור פונקציות אלה מתקימת נוסחת המכפלה של אוילר:
formula_103
כיוון שקרקטר דיריכלה הוא פונקציה מחזורית (תנאי 1) ניתן לראות בו פונקציה על החוג הסופי formula_104. כיוון שהוא מתאפס על האיברים הלא הפיכים בחוג זה (תנאי 2) ניתן לראות בו פונקציה על חבורת האיברים ההפיכים בחוג זה. חבורה זאת נקראת חבורת אוילר ומסומנת ב-formula_105. מנקדת מבט זאת קרקטר דיריכלה הוא קרקטר כיפלי של החבורה formula_105. קרי הומומורפיזם מחבורה זאת לחבורה formula_107.
אוסף כל קרקטרים של חבורה formula_108 נקרא החבורה הדואלית של formula_108 ומסומן ב-formula_110. בהתאם, אוסף כל קרקטרי דיריכלה עם מנחה formula_7 מסומן ב-formula_112.
התמרת פורייה דיסקרטית כפלית.