תנאי מספיק נוסף לקעירות פונקציה מבוטא בעזרת ההיפוגרף שלה: פונקציה היא קעורה אם ההיפוגרף שלה הוא קבוצה קמורה.
פונקציות ליניאריות.
פונקציה ליניארית נחשבת קעורה וקמורה בעת ובעונה אחת, בגלל אי־השוויון החלש (formula_17 ו־formula_18). פיתוח של הגדרת הקמירות או הקעירות, כאשר הפונקציה המדוברת היא ליניארית, מוביל לשוויון ממש בין שני האגפים.
מכונת חישוב
מכונת חישוב היא מכונה המיועדת לעזור בעריכת חישובים, בעזרת מערכות מכניות, המבוססות על מנגנונים כמו מנופים, גלגלי שיניים, תמסורות, וכדומה או מערכות אלקטרוניות. בצורתה הבסיסית מכונת חישוב מסוגלת לבצע את ארבע פעולות החשבון, ובגרסאות מתקדמות יותר, אלקטרוניות, ניתן לבצע פעולות נוספות, כגון העלאה בחזקה, הוצאת שורש ריבועי ופונקציות טריגונומטריות.
סקירה.
תרבויות שונות, למן העת העתיקה, המציאו והשתמשו בעזרים שונים לביצוע פעולות חשבון. העזרים הראשונים יועדו לעזר בספירה, כמו מקל ספירה, שדוגמאות שלו ידועות בארכאולוגיה עוד בתקופה פרהיסטורית. ידוע גם השימוש בערימת אבנים כעזר לספירה, שמוזכר במקורות היסטוריים שונים, למשל אצל דמוסתנס.
המתקן המכני הראשון שיועד לסייע בביצוע פעולות חשבון, מעבר לספירה, הוא כנראה החשבונייה ("אבאקוס"). עדויות ראשונות לחשבוניות הופיעו בשומר, בין המאות ה-27 ל-23 לפני הספירה. חשבוניות אלו מבוססות על בסיס ספירה 60, הנקרא בסיס סקסגסימלי, בו השתמשו השומרים. מאוחר יותר יש עדויות לחשבוניות בתרבויות נוספות - במצרים העתיקה, וממלכת פרס, ומשם בתרבויות הסמוכות, הודו, יוון, ועוד. החשבונייה בצורתה המוכרת הופיעה לראשונה בסין הקדומה במאה ה-2 לפני הספירה, ובשינויים מועטים, שימוש בחשבוניות כאלו קיים בסין עד היום.
מתקנים מכניים שונים לביצוע חישובים המשיכו להופיע בעת העתיקה:
בתחילת המאה ה-17 המציא המתמטיקאי הסקוטי ג'ון נפייר עזר חישוב מכני שמוכר כעצמות נפייר. עצמות נפייר מסייעות בביצוע פעולת כפל, ובעזרתן ניתן לבצע כפל כשהמשתמש נדרש לבצע פעולות חיבור בלבד (אין לבלבל עזר חישוב זה עם לוגריתמים, שגם הם הומצאו על ידי נפייר, וגם בעזרתם ניתן לחשב מכפלות בעזרת פעולות חיבור בלבד).
מאוחר יותר, במאה ה-17, החלו להופיע מכונות חישוב מכניות שמבוססות על מערכיות גלגלי שיניים ותמסורות. שימוש במכונות חישוב כאלו החל להתפשט מאמצע המאה ה-19, במהפכה התעשייתית, ולקראת סוף המאה ה-19 כבר התקיימה תעשייה, שעדיין הייתה צעירה אך כבר הכילה עשרות אם לא מאות יצרנים שונים, בכתריסר ארצות שונות.
בתקופה זו הופיע בבירור הופיעה בבירור הפרדה בין שני "זנים" של מכונות חישוב: הזן הראשון מכונה "מכונות חיבור", אף כי בחלקן ניתן לבצע גם פעולת חיסור, והזן השני נקרא "מכונות ארבע פעולות", בעזרתן ניתן לבצע חיבור, חיסור, חילוק וכפל.
במאה ה-20 התעשייה התפתחה במהירות, תפוצת המכונות המשיכה להתרחב, לשימושים מגוונים יותר ויותר - מכונות החיבור מצאו את מקומן במשרדי ניהול חשבונות ובקופות רושמות, ומכונות ארבע פעולות, בשימוש מדענים, מהנדסים, בנקאים, מודדים, ומקצועות רבים נוספים בהם נחוץ לבצע חישובים.
יחסית למחשבונים בני ימינו, מכונות החישוב גדולות, כבדות, ויקרות, ומעולם לא הגיעו לתפוצה דומה לתפוצת המחשבונים. עד תום עידן מכונות החישוב הופיעו שכלולים רבים, כמו הנעה חשמלית, הדפסה, ואוטומציה מקיפה יותר ויותר, וגם ממשק המשתמש המשיך להשתכלל - באריתמומטר המקורי ביצוע פעולת כפל היא פעולה מורכבת הדורשת מיומנות, כשבמכונות החישוב האחרונות, אופן השימוש דומה לשימוש במחשבון בן ימינו, כשגם החילוק וגם הכפל מחושבים באופן אוטומטי לחלוטין. אחד היצרנים האמריקאיים (פרידן), בנה מכונות שיכלו אפילו לחשב שורש ריבועי.
ב-1962 הופיעה באנגליה מכונת החישוב האלקטרונית הראשונה, ובין השנים 1962 ו-1970, התקיימו מכונות החישוב המכניות והאלקטרוניות אלו לצד אלו. מכונות החישוב האלקטרוניות הראשונות השתמשו בממשק משתמש זהה למכונות החישוב המכניות, אך תוך זמן קצר ממשק המשתמש המוכר, של עשרה מקשי ספרות, עם מקשים נוספים להזנת סדר הפעולות לחישוב. רבות ממכונות החישוב האלקטרוניות היו ניתנות ל"תכנות", שביצעו תוכניות חישוב קצרות של כמה עשרות פעולות, כדי לחשב תוצאות מורכבות. באמצע העשור כבר היו מכונות חישוב אלקטרוניות "מדעיות", עם יכולות נוספות, כמו חישוב פונקציות "מדעיות" של לוגריתמים והעלאה בחזקה. ב-1968 מכונת חישוב של HP, בשם 9100, הציגה פונקציות מדעיות מלאות למחשבון - לוגריתמים, שימוש ב"נקודה צפה", עם תחום בין formula_1 ל-formula_2 ועוד.
עידן מכונות החישוב המכניות הסתיים בצורה פתאומית, כאשר המחשבונים האלקטרוניים, שמראשיתם עלו על המכונות המכניות במהירותן ובפעולתן השקטה, הכו את מכונות החישוב גם במחיר, בעקבות פיתוח המעגל המשולב. אחרי שיאי מכירות לקראת סוף שנות ה-60 של המאה העשרים, עד אמצע שנות ה-70 כבר לא נותר אף יצרן פעיל במערב. בגוש המזרחי נותרו מספר יצרנים פעילים של מכונות חישוב מכניות עד סוף שנות ה-70, כנראה משום שזמינותם הנרחבת של המחשבונים הופיעה במדינות אלו מאוחר יותר.
מכונות מוקדמות - המאה ה-17.
שיקארד.
מכונת החישוב הידועה הראשונה נבנתה על ידי וילהלם שיקארד, כנראה ב-1623. המכונה של שיקארד לא שרדה, ולא ברור כמה מכונות נבנו - כנראה שתיים או שלוש. רוב מה שידוע על המכונה הזו, מגיע ממכתבים שכתב שיקארד לידידו, האסטרונום והמתמטיקאי יוהאנס קפלר. שיקארד כתב לקפלר שהוא הזמין אצל שען עותק של המכונה שמיועד לקפלר עצמו, אך שרפה בבית המלאכה גרמה לאבדן המכונה שיועדה לקפלר. המידע והשרטוטים במכתבים אלו אינו מספיק במלואו כדי לבנות דגם עובד של המכונה. ניסיונות לבנות דגם של המכונה לפי הרישומים הקיימים, הצריך הוספת מספר מנגנונים וגלגלי שיניים שלא מופיעים בתרשים. דגמים אלו חושפים חולשה במנגנון הנשא במכונה, וכנראה, מפעיל המכונה היה צריך "לעזור" לגלגלי השיניים בחישובים מסוימים.
למכונה שני חלקים נבדלים: חלקה העליון הכיל מנגנון מבוסס על עצמות נפייר, ובעזרתו ניתן למצוא את המחוברים שסכומם נותן את המכפלה. החלק התחתון הכיל מכונת חיבור, שבעזרתה ניתן לחשב את סכום המספרים באופן מכני.
בלייז פסקל וה"פסקלין".
מכונת החישוב פסקלין, הומצאה על ידי המתמטיקאי הצרפתי בלייז פסקל, ב-1642, כשהיה בן 19. הוא המציא את המכונה כדי לעזור לאביו, שהיה מפקח מס, ונזקק לחישובים רבים ומייגעים. מכונה זו יכלה לבצע חיבור וחיסור בלבד, אבל פתרה את האתגר של העברת הנשא מספרה לספרה הבאה באופן אמין יותר מאשר במכונתו של שיקארד. העברת הנשא בצורה אמינה המשיכה להיות אחד האתגרים שעמדו בפני מתכנני מכונות חישוב מכניות, וממציאים שונים פתרו אותו בדרכים שונות.
בפסקלין, הזנת המחובר מתבצעת על ידי סיבוב גלגלים, או חוגות, באמצעות חרט, בדומה לאופן בו מפעילים חוגת טלפון. סיבוב החוגות הוא שמפעיל את המכונה. ניתן לסכם בעזרת המכונה טורי מספרים, ותוצאת החישוב (או תוצאת הביניים, כשנמצאים באמצע טור המספרים) מופיעה בשורת חלוניות מעל שורת הגלגלים. פעולת חיסור בוצעה על ידי הוספת המספר המשלים, טכניקה שהמשיכה להיות בשימוש בחלק ממכונות החישוב של הדורות הבאים.
משום שהמכונה ביצעה חיבור וחיסור בלבד, ניתן היה ליצור דגמים שאינם מוגבלים לחשבון בשיטה עשרונית, ובחלק מהמכונות, שיועדו לצרכים ספציפיים, הספרות הנמוכות השתמשו בבסיסי ספירה אחרים, כדי לייצג חלוקות לא עשרוניות של מטבעות ומידות, שלא השתמשו בשיטה עשרונית (מאוחר יותר, במהפכה הצרפתית, השיטה המטרית ייתרה את הצורך בשיטות כאלו). כך, במכונות שיועדו לחשבונאות, הספרות התחתונות התחלקו ל-12 ו-20, כדי לייצג את חלוקת המטבע, ובמכונות שיועדו למודדים החלוקה הייתה ל-12, 12, ו-6 עבור רגל צרפתית, והמידות הבאות. בכל המכונות, הספרות העליונות השתמשו בשיטה עשרונית.
פסקל בנה כ-50 אבות טיפוס, עד שהגיע למכונה שהשביעה את רצונו, אותה הציג לציבור ב-1645. הוא המשיך לבנות ולמכור מכונות, וידוע על לפחות 20 מכונות שנבנו ונמכרו, מהן ידועות תשע מכונות קיימות היום, ומוצגות במוזאונים שונים.
גוטפריד לייבניץ.
המתמטיקאי הגרמני גוטפריד לייבניץ ניסה לתכנן מכונת חישוב שהייתה מבוססת על הפסקלין, ותוכל לבצע גם כפל. ככל הנראה ללייבניץ לא הייתה גישה לפסקלין, והוא התבסס על תרשימים, שהובילו אותו להבנות מוטעות לגבי אופן פעולת המכונה. מאוחר יותר זנח לייבניץ את הניסיון הזה, ותכנן ובנה מכונה שפועלת על עקרונות אחרים. העקרונות הבסיסיים שמכונתו של לייבניץ מבוססת עליהם היו מוצקים ומוצלחים, ומכונות חישוב ב-200 השנים הבאות המשיכו להיבנות לפי עקרונות אלו, עד הקורטה שייצורה נמשך עד 1970. לייבניץ המשיך לפתח את המנגנון במשך 40 שנה. ידוע על שתי מכונות שנבנו עבור לייבניץ לפי התכנון הזה, אחת ב-1694, והשנייה בשנת 1706. לייבניץ גם תיאר, באחד התיאורים המוקדמים הידועים, את מנגנון גלגל הפינים. שני מנגנונים אלו, כלומר התוף המדורג וגלגל הפינים, שאת שניהם אפשר לייחס ללייבניץ, מהווים את המנגנון הבסיסי שמניע את רוב מכונות החישוב של ארבע פעולות שנבנו.