אם formula_10 הוא מרחב טופולוגי, ולכל formula_11 ההטלה formula_12 היא רציפה, אז קיימת העתקה רציפה יחידה, formula_13 כך שלכל formula_3 מתקיים כי formula_15.
תכונות נשמרות.
אומרים על תכונה שהיא נשמרת תחת מכפלה אם מתקיים שלכל אוסף של מרחבים formula_16 המקיימים את התכונה, גם מרחב המכפלה formula_17 מקיים את התכונה.
אקסיומות ההפרדה.
תכונות נשמרות:
לעומת זאת, נורמליות לא בהכרח נשמרת תחת מכפלה.
קומפקטיות.
משפט טיכונוף מראה כי מכפלה כלשהי של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית. לעומת זאת, מכפלה של מרחבים קומפטיים מקומית אינה בהכרח קומפקטית מקומית (עובדה זו מוליכה להגדרת חוג האדלים של שדה גלובלי, שהוא כן קומפקטי מקומית).
קשירות.
קשירות וגם קשירות מסילתית- שתיהן תכונות הנשמרות תחת מכפלה כל שהיא.
טופולוגיית התיבות.
ניתן גם להגדיר טופולוגיה שונה על מרחב מכפלה, שבסיסה הוא אוסף כל המכפלות של קבוצות פתוחות ב-formula_16 בכל אורך. זוהי טופולוגיה עדינה יותר מטופולוגיית המכפלה והיא פחות נפוצה. כאשר מדובר בטופולוגיית התיבות, חלק מן הטענות האמורות בערך זה, כגון משפט טיכונוף או שימור של אקסיומות הפרדה, אינן תקפות.
נוסחת ההיפוך של מביוס
בקומבינטוריקה, נוסחת ההיפוך של מביוס משמשת, בהינתן פונקציה formula_1 שניתנת לתיאור בתור סכום מסוים על ערכי פונקציה אחרת formula_2, לתאר בצורה ישירה את הפונקציה formula_2 באמצעות סכום של formula_1.
הגרסה הקלאסית.
הגרסה ה"קלאסית" של הנוסחה היא כדלהלן: בהינתן שתי פונקציות אריתמטיות formula_5, אם מתקיים formula_6 לכל formula_7, אז ניתן להפוך את הנוסחה ולקבל formula_8, כאשר formula_9 היא פונקציית מביוס.
אם מסמנים ב-formula_10 את הפונקציה הקבועה שמקיימת formula_11 לכל formula_12, ומשתמשים בסימון של קונבולוציית דיריכלה, נוסחת מביוס אומרת שבהינתן formula_13, אז formula_14. כלומר formula_10 ו-formula_9 הם איברים הופכיים ביחס לקונבולוציית דיריכלה.
אש היא תהליך חמצון מהיר של חומר דלק, תוך שחרור חום ואור, המאופיינים בדרך-כלל על ידי להבות. האש מתחילה כשחומר הדלק נחשף למקור אנרגיה אחר, כגון גפרור או מצית, והיא מתמשכת בעזרת שחרור נוסף של אנרגיית חום.
בעברית, המילה 'אש' היא שם עצם ממין נקבה.
הלהבה.
להבה היא תערובת של גזים ומוצקים הנמצאים בתהליך של תגובה כימית הפולטת קרינת אור נראה וקרינת תת-אדום. התדר של גלי הקרינה- מה שמשפיע על הצבע הנראה, תלוי בהרכב הכימי של חומרי הבערה ותוצרי ביניים של התהליך. כמו כן צבע הלהבה משתנה לפי הטמפרטורה.
חום.
האש היא תהליך אשר משחרר אנרגיה.
כאמור, האש מחממת כתוצאה מהיווצרות של חום בתהליך הבעירה.
הטמפרטורה של האש נעה על פני טווח רחב, החל מעשרות מעלות ועד אלפי מעלות.
האש בשימוש האדם.
השליטה באש הייתה אחד מההישגים הגדולים הראשונים של האנושות. והיוותה את המרכיב החשוב ביותר בהתפתחות התרבות האנושית.
באמצעות האש האדם יכול להגן על עצמו, לחמם את סביבתו, להרחיב את שעות הפעילות שלו ללילה, לצוד ולהלחם באויבים, ולהרחיק טורפים ליליים.
גילוי האש איפשר את ההגירה לאזורים קרים יותר, שללא האש היו נותרים מחוץ לתחום ההתיישבות האנושית. בשלב הבא האדם למד לבשל את מזונותיו, וכך לגוון את מקורות התזונה שלו, להפחית מחלות על ידי הריגת אורגניזמים במזון ולצמצם את זמן האכילה, וכתוצאה מכך לעסוק בארגון חברתי ובפיתוח של התרבות האנושית, דבר שלפי תיאוריות אנתרופולוגיות רווחות הביא לגדילת מוחו מ-400 גרם ל-1.4 ק"ג.
באמצעות האש יכול היה האדם להתיך עפרות ברזל ונחושת וליצור חומרים וכלים חדשים כמו חרבות, מגינים, קנקנים, גלגלים ומרכבות, לנוע במהירות במרחב וליצור תהליכי צביעה. האדם גם השתמש באש כאמצעי תקשורת לאותת ולהעביר מסרים למרחוק.
בהמשך האש שימשה מרכיב מרכזי במהפכות התעשייתיות של קיטור, חשמל, מיחשוב וחלל. האש הביאה לניידות גדולה של האדם ושינוע סחורות באמצעות מנועי קיטור, בעירה פנימית וסילון שהותקנו ברכבות, אניות, רכבים ומטוסים. הצבא המודרני מבוסס על כוח אש של אבקת שרפה, חומרי נפץ וטילים. אפשר אף לכלול באש את האנרגיה האטומית, שבו בתהליך של ביקוע גרעיני או היתוך גרעיני מופק אש. ולמעשה האש היא זו שמניעה את גלגלי הציוויליזציה המודרנית.
ממצאים ארכאולוגיים מאתר גשר בנות יעקב מרמזים כי מינים אנושיים קדומים, כגון ההומו ארקטוס, שלטו באש והשתמשו בה עוד לפני כ-790,000 שנה. באתר "ערש המין האנושי", מצפון ליוהנסבורג שבדרום אפריקה, נמצאו עדויות לאש מבוקרת מלפני כמיליון שנה.
מקור אור.
האש יכולה לשמש את האדם כמקור אור.
הלפיד אפשר לנייד את האש מהמדורה, כך שיוכל לשמש כאמצעי תאורה נייד. מאוחר יותר התפתחו מנורת שמן והנר.
השימוש באש לצורכי תאורה היה נפוץ במיוחד לפני השימוש בנורה חשמלית. עם זאת ממשיכים לעשות בה שימוש בחברה המודרנית, בעיקר משיקולי אסתטיקה או לצורך יצירת אווירה. למשל - עששית נייר.
חימום ובישול.
ניתן להשתמש באש לצורך חימום ובישול המזון.
לצורך כך המדורה יכולה לשמש לחימום ולתאורה.
ניתן לעשות שימוש בלהבה ובחום גם כדי לעבד חומרים שונים.
חומרי בערה.
בימי קדם שימשו העצים כמקור עיקרי לאנרגיה שצרכו בני-האדם. בעבר, התכת מתכת ויצירת פחם עץ צרכו כמויות גדולות של עצים לשרפה. בתקופה המודרנית רק חלק זעיר מהאנרגיה בה משתמשת האנושות מופק משריפת עצים; במקום זאת נעשה שימוש בדלק, בפחם אבן, באנרגיה גרעינית ובמקורות אנרגיה חלופית אחרים. עם זאת, במדינות רבות עדיין משמשת שריפת עץ כצורת חימום.
האש בדת ובפולחן.
אש ושרפה שימשו רבות בפולחני הקרבת קורבנות בדתות שונות, אולי משום שעשן השרפה עולה השמימה. אש נחשבה לאחת מארבעת היסודות הקלאסיים, כמו גם אחד מחמשת היסודות הסיניים. בנצרות האש מופיעה לעיתים קרובות כחלק מתיאורי הגיהנום. אחת האלות שנקראות אלות האש היא וסטה-במיתולוגיה הרומית, או הסטיה-במיתולוגיה היונית, ביהדות האל מזוהה עם אש. (דברים ד כד).
ביהדות המקראית אחת מארבע הדרכים להוצאה להורג הייתה באמצעות אש. בתלמוד האש היא אחת מארבעה אבות מזיקין. עוד ביהדות ישנו איסור על הדלקת אש בשבת וקיימת מצוות נרות שבת ויום טוב והדלקת נרות חנוכה, ומנהג הדלקת נרות נשמה. בהבדלה מברכים את ברכת בורא מאורי האש.
סכנות הקשורות לאש.
השימוש באש גורר אחריו את סכנת השרפות.
אש בלתי מבוקרת יכולה להוות סכנה גדולה לבני אדם ולבעלי חיים.
החום המופק מהאש מפרק את התרכובות הכימיות שמהן מורכב הגוף ולכן הוא ניזוק כאשר הוא בא במגע עם אש.
חשיפה לאש עשויה לגרום לכוויות קשות, לשאיפת עשן, ואף למוות.
האש יכולה לפגוע גם בצמחים ובמבנים.
סכנת השרפה גדלה כשנבנו ערים גדולות וצפופות. זאת במיוחד עבור בתים העשויים מעץ, אשר האש הייתה עלולה להתפשט ביניהם במהירות ולגרום נזקים כבדים ברכוש ובנפש.
מקרים מפורסמים בהיסטוריה הם: השרפה הגדולה של רומא, השרפה הגדולה של לונדון, והשרפה הגדולה של שיקגו.
כיבוי אש.
על פי רוב התזת מים על האש היא דרך יעילה לכבות אותה. זאת משום שהמים נוטלים כמויות גדולות של חום וכך מפריעים לתהליך הבערה. כמו כן, הם יוצרים מסך של אדים המונע חמצן מהאש.
אולם לעיתים השימוש במים עלול להזיק. כאשר הלהבות אוחזות ברשת חשמל המים עלולים לגרום לקצר ולהתחשמלות.
במקרים שבהם השימוש במים יחמיר את המצב ניתן להתיז על האש פחמן דו-חמצני על ידי אבקות שמשחררות גז זה, או חומרים יוצרי קצף. עבור שריפות קטנות בהן אפשר להתקרב אל מוקד האש, אמצעי כיבוי יעיל הוא שפיכת חול.
שירותי כבאות והצלה נועדו לעסוק בכיבוי של שריפות.
מכבי אש ממהרים למקום בו פרצה שרפה כדי לנסות לכבותה ולחלץ את בני האדם הנתונים בסכנה.
בבניינים רבים מותקנת מערכת גילוי וכיבוי אש.
קשר רדיו
קשר רדיו הוא מכלול הדרכים להעברה של מסרים בין נקודות מרוחקות באמצעות אפנון של גלי רדיו.
קשר רדיו הוא הטכניקה העיקרית לתקשורת אלחוטית, ולכן יש המשתמשים במושג "תקשורת אלחוטית" כשכוונתם היא לקשר רדיו.
שימושים.
לקשר רדיו מספר שימושים, הנפוצים שבהם:
היסטוריה.
הבסיס התאורטי לקשר רדיו הונח כבר ב-1873 על ידי ג'יימס קלרק מקסוול. הראשון שיישם את הטכנולוגיה היה דייוויד יוז (David E. Hughes) שב-1878 ביצע שידור ראשון של צלילים לאחר שגילה כי גלים אלקטרומגנטיים הופכים לצלילים באמצעות מכשיר טלפון ביתי, אך ההוכחה האמיתית הראשונה של התאוריה שהציג מקסוול הוצגה רק במהלך השנים 1886-1888 עת אישר היינריך רודולף הרץ את התאוריה באמצעות ניסוי.
הרדיו כמכשיר תקשורת המונים הוא פרי המצאתו של גוליילמו מרקוני, אשר מימש את התאוריה של הרץ, על התפשטות גלים אלקטרומגנטיים. הוא נכנס להיסטוריה, כראשון אשר יצר קשר אלחוטי (במורס) בין צרפת לאנגליה, וזכה לתהילת עולם כאשר, שידר ב-12 בדצמבר 1901 מסר אלחוטי ראשון, שחצה את האוקיינוס האטלנטי - ובכך פורץ דרך לשידור הרדיו הטרנס-אטלנטי הראשון, בהוכיחו כי קימור כדור הארץ לא משפיע על גלים אלו. אט אט הפכה ההמצאה החדשה להיות מכשיר בידור ומידע בו מעבירים סוגי שידור שונים (בעיקר חדשות ומוזיקה) למאזינים בביתם.
אלישבע (משוררת)
יֶליזָבֶטָה איוואנובנה ז'ירקובה-ביחוֹבסקי (ברוסית: Елизавета Ивановна Жиркова; 19 בספטמבר 1888 – 26 במרץ 1949), שנודעה בשם העט אלישבע, הייתה משוררת ברוסיה ובארץ ישראל. בת למשפחה נוצרית, נישאה למו"ל והעיתונאי שמעון ביחובסקי ועלתה עמו לארץ ישראל ב-1925.
חייה.
על מוצא משפחתה העידה: