קיימת נוסחה כללית שנותנת זוגות מספרים ידידים (אך לא את כל הזוגות). נוסחה זו נקראת נוסחת תאביט, על-שם המתמטיקאי הערבי ת'אבת אבן קורה. אם
הם שלושתם מספרים ראשוניים, כאשר formula_4 טבעי, אז המספרים formula_5 ו-formula_6 הם ידידים זה לזה. נוסחה זו נותנת למשל את הזוגות (220,284), (17296,18416) ו-(9363584,9437056), אך לא את זוג המספרים (6232,6368).
מספרים ידידותיים ותכונותיהם נחקרו על ידי מתמטיקאים כגון פייר דה פרמה, רנה דקארט ולאונרד אוילר. הזוג השני בגודלו, (1184,1210), חמק משום מה מעיניהם של המתמטיקאים הדגולים, והתגלה ב-1866 על ידי נער איטלקי בן 16 בשם ניקולו פגניני.
עד 1946 היו ידועים רק 390 מספרים ידידים, חיפוש באמצעות מחשבים הכפיל את קצב גילוי המספרים באלפים רבים, עד 2007 נתגלו 11,994,387 זוגות של מספרים ידידים,
נכון ליוני 2021 ידועים לפחות 1,226,927,085 מספרים ידידים.
סביב המספרים הידידים קיימות כמה בעיות פתוחות:
מספר שהוא מספר ידיד לעצמו נקרא מספר משוכלל. מספרים ידידים הם מקרה פרטי של מספרים חברותיים.
מספרים ידידים בתרבות.
בעבר הרחוק, מספרים ידידים היוו סמל לזוגיות ולרומנטיקה. כך, לדוגמה, אדם אשר ביקש להביע את אהבתו לאישה, היה מכין שני תליונים - האחד נושא את המספר 220 והשני את המספר 284 - ונותן אחד מהם לאהובתו.
בפירושו לתנ"ך, "בעלי ברית אברם", מביא רבי אברהם אזולאי, סבו של החיד"א, הסבר של רב נחשון גאון למשמעות כמויות הבהמות שיעקב אבינו שלח כדורון לאחיו עשיו, על פי תורת המספרים הידידים הרב מנחם מנדל כשר מזכיר זאת בפירושו "תורה שלמה" על פרשת וישלח.
ארקולוגיה
ארקולוגיה (באנגלית: Arcology) הוא רעיון ריאליסטי בחלקו אך גם שייך למדע הבדיוני של מבנה על המאכלס בתוכו כמות גדולה מאוד של תושבים ובצפיפות בלתי רגילה. הרעיון המרכזי בארקולוגיה הוא בנייה של עיר ורטיקלית אשר טביעת הרגל האקולוגית שלה היא מצומצמת ביותר והיא מספקת סוג חדש של סביבה.
מקור המילה הוא הלחם בין שתי המילים: "ארכיטקטורה" ו"אקולוגיה". המונח הוטבע על ידי האדריכל פאולו סולרי (Paolo Soleri), שהגה רעיון זה ועסק בו בפירוט באחד מספריו.
הרעיון של הארקולוגיה מהווה דרך אלגנטית להשתמש באדמות באופן יעיל יותר, ובכך להעניק מקום מחיה ברמה גבוהה למספר רב של נפשות. כמו כן הוא מציע בנייה של שטחים ירוקים ואף חקלאיים הנבנים באופן מלאכותי במרומי הבניין. רעיון זה הועלה על ידי אנשים שונים כבר בתחילת המאה ה-20 כאשר הצפיפות העירונית הגיעה לשיאים בעקבות המהפכה התעשייתית. הרעיון של מבני-על ו"ערים ורטיקליות" נהגה על ידי סופרי מדע בדיוני שונים והושפע גם מרוחה של תנועת הפוטוריזם. רעיון דומה העלה האדריכל פרנק לויד רייט בשנת 1956 בשם . בשנת 1970 החלה בניית עיר ניסיונית ארקוסנטי המבוסס על רעיונות ארקולוגיות.
ארקולוגיות רבות מתוארות בספרות המדע הבדיוני כצורת התיישבות הכרחית בעתיד המין האנושי. כיום ישנן כמה תוכניות, בעיקר ביפן ובסין, לבנייה של כמה מבני על. הם אינם מכונים "ארקולוגיה" אך הם מבוססים על עקרונות דומים מאוד.
נהר מיסיסיפי
אוהיו
אוהיו (באנגלית: Ohio ) היא מדינה במזרח המערב התיכון של ארצות הברית. מצפון גובלת אוהיו בימת אירי ומדינת מישיגן, ממזרח היא גובלת במדינות פנסילבניה ווירג'יניה המערבית, מדרום היא גובלת בנהר האוהיו אשר מעבר לו מדינת קנטקי, וממערב היא גובלת במדינת אינדיאנה. רוב שטחה של אוהיו מישורי וכולל בעיקר שטחים חקלאיים, אך עם זאת בדרום מזרחה, אשר מעוצב על ידי הרי האפלצ'ים המשתרעים במזרח, אפשר למצוא גם שטחים מיוערים וגבעתיים.
קודם הקמת ארצות הברית שטחה של אוהיו היה בשלטון האימפריה הבריטית. האזור היה מאוכלס בדלילות רבה, ובשנת 1787, הוא הועבר לשלטון אמריקני במסגרת הטריטוריה הצפון-מערבית. בשנים הבאות שטחה של אוהיו ידע התיישבות של תושבים אמריקאים ממזרח, והאזור עבר פיתוח מסוים, כאשר בשנת 1803 הוקמה מדינת אוהיו באופן רשמי. לאחר מלחמת האזרחים, הפכה אוהיו למרכז תעשייתי גדול וחשוב, ובסוף המאה ה-19 וראשית המאה ה-20, קלטה אוהיו מאות אלפי מהגרים חדשים מאירופה.
נכון למפקד האוכלוסין שנערך בשנת 2020 אוהיו היא המדינה השביעית בגודל אוכלוסייתה בארצות הברית, ונכון ל-2020 מתגוררים בה כ-11,799,448 תושבים. נכון למפקד שנערך ב-2010 רובם של התושבים, למעלה מ-80%, הם לבנים, כאשר המיעוט הגדול ביותר באוכלוסייה הם השחורים, המהווים כ-12.2% מהאוכלוסייה.
עיר הבירה של המדינה והעיר המאוכלסת ביותר בה היא העיר קולומבוס. ערים גדולות נוספות הן קליבלנד, סינסינטי ואקרון.
מקור השם.
מקור השם אוהיו הוא משפת אירוקווי, שפה של מספר עמים אינדיאנים שאכלסו חלקים שונים בצפון מזרח ארצות הברית של ימינו. בשפה זו משמעות השם הוא "נהר גדול" או "נהר טוב", בהתייחס לנהר האוהיו שבגבולה הדרומי של המדינה.
היסטוריה.
אוהיו, שגבולה הדרומי הוא נהר אוהיו וגבולה הצפוני הם הימות הגדולות הייתה תחילה בשליטתם של שבטים מקומיים.
בשנת 1763 העבירה צרפת את השטח לידי בריטניה מתוקף חוזה פריז, והוא נשאר בשליטתה עד למלחמת העצמאות האמריקאית.
בשנת 1763 יצאה בריטניה בהכרזת 1763 לפיה אסרה על מתיישבים אמריקאים להתיישב באזור אוהיו. לאחר המהפכה האמריקנית עבר האזור לשליטת ארצות הברית. תקנות צפון-מערב משנת 1787 הכריזו על האזור כחלק מן הטריטוריה הצפון-מערבית של ארצות הברית, וכן נאסרה העבדות באזור זה (על כן מכונה התקנה "תקנת החירות"). הטריטוריה כוללת את השטחים המהווים כיום את אוהיו, אילינוי, חלק ממישיגן ואינדיאנה. על פי התקנה, כל אזור בטריטוריה יהפוך למדינה כאשר מספר התושבים בו יגיע ל-60,000.
אף שמספר התושבים היה רק 45,000 הקונגרס החליט בדצמבר 1801 על צירוף המדינה לאיחוד בשל גידול האוכלוסין המהיר, וב-19 בפברואר 1803 הכריז הנשיא תומאס ג'פרסון על אוהיו כמדינה ה-17 של ארצות הברית. לפני ההכרזה הופחת שטח מסוים מהאזור והפך להיות טריטוריית אינדיאנה.
בשנת 1835 נלחמה מדינת אוהיו במדינת מישיגן בשל סכסוך גבולות על מחוז טולדו. מלחמה זו ידועה בשם מלחמת טולדו. המלחמה הסתיימה בשל התערבות הקונגרס והענקת השטח, לרבות העיר טולידו למדינת אוהיו.
גאוגרפיה.
גבולה הצפון מזרחי של מדינת אוהיו כולל את חוף ימת אירי, אשר מהווה את הימה היחידה מהימות הגדולות שלאוהיו יש נגיעה אליה. גודלה של ימת אירי הוא כגודלה של מדינת ישראל, 25,667 קילומטר רבוע. ובעוד חציו המזרחי של הגבול הצפוני כוללת את ימת אירי, חציו המערבי של גבול זה כולל גבול יבשתי עם מדינת מישיגן השוכנת מצפון. מדרום לימת אירי משתרעת לכיוון דרום שפלה מישורית רחבה. בעוד בחלקה המזרחי של המדינה, ליד הגבול עם מדינת פנסילבניה הגובלת עם אוהיו ממזרח, השפלה צרה ונמתחת דרומה מהחוף רק לאורך כ-35 קילומטר, ככל שנעים מערבה השפלה מתרחבת, כאשר החל מהשליש המערבי של המדינה היא כבר נמשכת הרחק דרומה, עד לקצה הדרומי של אוהיו. אזורים מישוריים אלו של המדינה כוללים כמעט את כל אוכלוסיית אוהיו לרבות הערים הגדולות. רובם ככולם של מישורים אלו מנוצלים לצרכים חקלאיים, וכוללים שדות לרוב. השפלה של אוהיו ממשיכה להתרחב מערבה מעבר לגבול המערבי של המדינה, הגבול עם מדינת אינדיאנה השוכנת ממערב לאוהיו.
מעבר לשפלה של אוהיו, בדרום מזרח המדינה, לא הרחק מהגבול עם מדינת וירג'יניה המערבית, נשלט הנוף של המדינה על ידי הרצועה המערבית של רכס הרי האפלצ'ים, רצועת הפידמונט (Piedmont). רצועה זו כוללת אזור של גבעות והרים מתונים, כאשר הגובה הממוצע של האזור נע בין 200 עד 400 מטרים מעל פני הים. למרות תנאי השטח הלא-מישוריים של רצועת הפידמונט, הודות לקרקע הפורייה של המקום אפשר למצוא בו גם כן מרחבים חקלאיים. למרות זאת, כיאה להרי האפלצ'ים, רובו של אזור זה מכוסה ביערות לרוב. בהמשך לכיוון דרום, לאורך הקצה הדרומי של מדינת אוהיו, ומה שגם מסמן את גבולה של מדינה זו עם קנטקי, זורם ממערב למזרח נהר האוהיו האימתני. הנהר מנקז את המים של שני השלישים הדרומיים אוהיו, ובעוד זאת, השליש הצפוני של המדינה מתנקז צפונה אל ימת אירי, ומשם הוא נשפך לבסוף אל האוקיינוס האטלנטי. אוהיו גובלת בצפון במישיגן וימת אירי, במזרח בפנסילבניה ומערב וירג'יניה, בדרום בקנטקי (בעברו השני של נהר אוהיו) ובמערב באינדיאנה.
ממשל ופוליטיקה.
אוהיו היא רפובליקה ובה שלוש רשויות שלטון: מבצעת - מושל מדינת אוהיו, מחוקקת - המורכבת משני בתים: האספה הלאומית של אוהיו וסנאט אוהיו, ושופטת, בראשה עומד בית המשפט העליון של אוהיו. המדינה מאפשרת התערבות ישירה של האזרחים על ידי יוזמה אזרחית, משאל עם, Recall Election ואישור חוק. בירת המדינה הנוכחית היא קולומבוס.
הרשות המבצעת באוהיו מורכבת מהמושל, סגן המושל, התובע הראשי, מזכיר המדינה, שר האוצר, State Controller, State treasurer, Insurance Commissioner, ושר החינוך. כל בעלי התפקידים נבחרים בנפרד לתקופה של ארבע שנים, ויכולים להיבחר לשתי קדנציות בלבד. ייתכן מצב בו ברשות המבצעת יושבים נבחרים ממפלגות שונות. הבחירות לתפקידים מתקיימות באותו הזמן.
בבית המחוקקים 33 חברי סנאט הנבחרים לתקופה של ארבע שנים ו-99 חברי אספה מחוקקת הנבחרים לתקופה של שנתיים. בחירות נעשות מדי שנתיים, ומחצית מחברי הסנאט מועמדים לבחירה בכל מערכת בחירות. המפלגה הרפובליקנית מחזיקה ברוב בשני בתי המחוקקים.
בבית המשפט העליון של אוהיו שבעה שופטים, הממונים על ידי המושל ומאושרים על ידי בית המחוקקים. שיטת המשפט היא שיטת המשפט המקובל האנגלי, אך ישנה השפעה של המשפט האזרחי הספרדי.