בחודש מרץ 1989 נגרם למעמדו של מונתזרי נזק רב מידיעה שהתפרסמה ב-BBC בדבר מכתבים שכתב בהם גינה את גל ההוצאות להורג לאחר המלחמה. מונתזרי אף מתח ביקורת על פתווה של ח'ומייני בה ציווה על רציחת הסופר סלמאן רושדי, באומרו: "אנשים בעולם מתרשמים שבאיראן אנו עוסקים רק ברציחת אנשים".
ב-26 במרץ 1989 גינה ח'ומייני בחריפות את התבטאויות מונתזרי ויומיים אחר כך הודיע כי מונתזרי התפטר ממשרתו. מונתזרי לא מחה על פיטוריו ופרסם הודעה המסתיימת באמירה: "אני מבקש מכל אחי ואחיותי לא לומר מילה בתמיכתי".
בנוסף לאיבוד מעמדו כיורש לח'ומייני, נשלל ממונתזרי אף תוארו אייתוללה עליון ומאותה עת לא פורסמו עוד הרצאותיו בעיתון קייהאן ולא נשמעה עוד כל התייחסות אליו בתחנת הרדיו הממלכתית. אף תצלומיו הורדו מקירות משרדי הממשלה והמסגדים ובוטל משמר האבטחה שליווה אותו. מנגד הופיעו מאמרים שניסו להפחית מתרומתו למהפכה.
יש שטענו כי התיקון לחוקה האיראנית ולפיו הוסרה הדרישה כי המנהיג העליון חייב להיות אייתוללה עליון, נעשה בעקבות העובדה שלא היו עוד אייתוללה עליונים שהיו מוכנים לקבל את תפקידו של מונתזרי. מנגד, היו שטענו כי הסיבה שלא נבחר אייתוללה עליון למלא את תפקידו של מונתזרי היה כיוון שלאף אחד מהם לא הייתה תמיכה במועצת המומחים.
התנגדותו למשטר לאחר הדחתו.
לאחר מות ח'ומייני בחודש יוני 1989 נבחר על ידי מועצת המומחים האיראנית פוסק הלכה אחר, סייד עלי ח'אמנאי, לתפקיד המנהיג העליון. בטרם הדחתו של מונתזרי היה ח'אמנאי פוסק הלכה בדרג הביניים בלבד. קידומו בהיררכיה הדתית עורר ביקורת על ידי מנהיגי דת רבים בשיעה, כולל מונתזרי.
בחודש דצמבר 1989 הפיצו תומכיו של מונתזרי בקום עלונים שבהם פקפקו בכישוריו של ח'אמנאי לכהונה הרמה של מרג'ע תקליד. בתגובה עצרו אנשי משמרות המהפכה את מונתזרי והשפילוהו כשהם מכריחים אותו לחבוש מצנפת לילה ולא את הטורבן הלבן המסורתי עמו הילך.
בחודש אוקטובר 1997, לאחר שמתח ביקורת פומבית על סמכותו של המנהיג העליון של איראן, האייתוללה ח'אמנאי, הושם מונתזרי במעצר בית, תחת העילה כי הדבר נעשה לשם הגנתו מפני קיצונים. הוא שהה בתנאי מעצר בית עד לשנת 2003, כאשר למעלה מ-100 חברי בית המחוקקים האיראני קראו לנשיא מוחמד ח'אתמי לשחררו ממעצר. יש הטוענים כי ממשלת איראן ביטלה את מעצר הבית מחשש שמא תפרוצנה מהומות במידה ומונתזרי החולני ימות בביתו בעודו נתון במעצר.
ביקורתו על אחמדינז'אד.
ב-22 בינואר 2007 מתח מונתזרי ביקורת על מדיניותו של נשיא איראן מחמוד אחמדינז'אד בתחומי הגרעין והכלכלה.
בעוד שמונתזרי תמך בדעה כי לאיראן הזכות לפתח אנרגיה גרעינית, הוא טען כי גישתו של אחמדינז'אד לנושא זה היא תוקפנית מדי, ואמר: "יש להתמודד עם האויב בחוכמה, לא להתגרות בו... התגרויותיו רק יוצרות בעיות למדינה." הוא שאל: "האם אין לנו זכויות אחרות גם כן?" כשהוא מתייחס לזכויות הפרט ולזכויות האדם. מונתזרי אף מתח ביקורת על הישגיה של ממשלת אחמדינז'אד בתחום הכלכלה, כשהוא מציין את שיעור האינפלציה הגואה - כולל עליה של 50% במדד הדיור - וטען שלא ניתן לנהל מדינה על יסוד ססמאות. בחודש מאי 2008 מונתזרי אף פרסם הודעה התומכת בזכויות בני הדת הבהאית באיראן, תוך שהוא מציין כי אף שהבהאים אינם משתייכים לעמי הספר:
ב-16 ביוני 2009 התבטא מונתזרי פעם נוספת כנגד אחמדינז'אד, בעת המהומות שפרצו לאחר בחירתו מחדש לנשיא. לאחר שנשמעו טענות רבות כנגד טוהר הבחירות, פרסמה ממשלת איראן הודעה כי אחמדינז'אד זכה ב-62% מן הקולות. מונתזרי בתגובה הודיע כי "אין אדם שפוי היכול להאמין" לכך שהקולות נספרו באופן הוגן. מונתזרי קרא לשלושה ימים של אבל ציבורי על מותה של נדה אגא-סולטאן ואחרים שנהרגו במהומות ב-22 ביוני 2009. הוא אף הכריז כי השלטון איננו מוסלמי או שלטון רפובליקה. בחודש נובמבר 2009, יום בטרם צוינו חגיגות 30 שנה למשבר בני הערובה באיראן, אמר מונתזרי כי תפיסת שגרירות ארצות הברית בטהראן בשנת 1979 הייתה שגיאה.
מותו.
ב-19 בדצמבר 2009 נפטר מונתזרי בשנתו מהתקף לב, בעודו בביתו בעיר קום. הוא היה בן 87 במותו. סוכנות הידיעות של הרפובליקה האסלאמית, שהיא סוכנות הידיעות הרשמית של איראן, לא ציינה את התואר אייתוללה בדיווחים הראשונים על מותו, אלא כ"איש דת המשתייך לפורעים". אף דיווחי הרדיו והטלוויזיה באיראן על מותו בלטו במתח אשר שרר בין עמדותיו לאלו של השלטון. ב-21 בדצמבר 2009 צעדו מאות אלפי אבלים בהלווייתו בעיר קום, ורבים מתומכי התנועה הירוקה באיראן הגיעו במיוחד להלווייה והפכו אותה למפגן מחאה כנגד המשטר באיראן. גופתו הוצגה לציבור בהיכל הקבר של פטימה בינת מוסא, אחת מן הקדושות הבולטות במסורת השיעית. הוא נקבר לצד קברו של בנו אשר נהרג בשנת 1981.
מרחב Lp
באנליזה מתמטית, מרחבי L"p" הם מרחבי פונקציות על מרחב מידה, המוגדרים על ידי הכללה טבעית של נורמות-p של מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים. הם מהווים מחלקה חשובה של דוגמאות למרחבי בנך ולמרחבים וקטוריים טופולוגיים. יש להם שימושים בפיזיקה, סטטיסטיקה, כלכלה, הנדסה ובתחומים אחרים. לעיתים הם קרויים מרחבי לבג, על שמו של אנרי לבג.
מרחבי lpn מממד סופי.
הנורמה האוקלידית על המרחב האוקלידי formula_1 היא זו המושרית מן המכפלה הפנימית הסטנדרטית: האורך של וקטור formula_2 נתון על ידי formula_3.
אך זוהי בהחלט לא הדרך היחידה להגדיר 'אורך' ב-formula_1. אם formula_5 הוא מספר ממשי, נגדיר את נורמת formula_6 של וקטור formula_7 להיות
(ולכן נורמת formula_9 היא הנורמה האוקלידית המוכרת, בעוד שהמרחק בנורמת formula_10 ידוע בתור מטריקת מנהטן).
ניתן גם להגדיר נורמה ל-formula_11 על ידי
למעשה מתקיים formula_13 ולכן מקובל סימון זה. נורמה זו ידועה בשמות נורמת הסופרמום, נורמת המקסימום או נורמת התכנסות במידה שווה.
לכל formula_5 ההגדרות לעיל מקיימות את התכונות של נורמה. מפורשות:
יתרה מזאת, לכל formula_5,formula_1 יחד עם נורמת formula_6 (או פשוט נורמת-p) מהווה מרחב בנך, כלומר הנורמה שלמה. מרחב זה מסומן לעיתים על ידי formula_23.
לעיתים מגדירים את formula_23 להיות המרחב הווקטורי formula_25 מעל שדה המספרים המרוכבים. ההגדרות הן כלעיל (הפעם הערך המוחלט הוא מרוכב), והתכונות הן אותן תכונות (בפרט, מתקבל מרחב בנך).
p בין 0 ל-1.
ב-formula_1 כאשר formula_27, הנוסחה
מגדירה מספר ממשי אי-שלילי אם formula_29, אבל ההעתקה המתקבלת formula_30 איננה נורמה, מכיוון שהיא לא מקיימת את אי-שוויון המשולש. למרות זאת, הפונקציה
היא מטריקה. בדומה למקרה formula_5, נהוג לסמן את המרחב המטרי formula_33 ב-formula_23 וגם אותו ניתן להגדיר בדומה מעל המרוכבים.
אף על פי שכדור היחידה במטריקה formula_35, המסומן formula_36, הוא "קעור" (קרי, לא קמור), הטופולוגיה המושרית על formula_1 על ידה היא הטופולוגיה הסטנדרטית על formula_1 ולכן formula_23 הוא מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית. מעבר לטענה איכותית זו, דרך כמותית למדוד את חוסר הקמירות של formula_23 היא להתבונן ב-formula_41, הקבוע הקטן ביותר formula_42 שעבורו הניפוח formula_43 של כדור היחידה בנורמת-p מכיל את הקמור של formula_36 (שהוא למעשה formula_45 לכל formula_46 לכל formula_47 טבעי. העובדה שערך זה שואף לאינסוף כאשר formula_48 (עבור formula_49 (המוגדר למטה) הוא כבר לא קמור מקומית.
במתמטיקה בדידה, נורמת-p מוגדרת גם עבור formula_50 לפי
שהוא פשוט מספר הרכיבים השונים מאפס בוקטור formula_7. אם נגדיר formula_53, אז נורמת האפס של formula_7 שווה ל-formula_55. זוהי אינה נורמה במובן הרגיל של המילה, אך היא יכולה לשמש למדידת דלילות, למשל בתחום של Compressed sensing.
מרחבי Lp מממד בן מניה.
כהכללה של הממד הסופי, מגדירים את המרחב formula_56 להיות אוסף הסדרות formula_57 כך ש-formula_58, ומגדירים את נורמת-p להיות formula_59.
כאשר formula_60 מגדירים, כמו במקרה הסופי, formula_61, וגם כאן מתקיים formula_13 .
המרחבים שמתקבלים בבנייה זו גם הם מרחבי בנך. ניתן להוכיח זאת ישירות, אך החלק הבא מסביר זאת בצורה טובה מאוד.
מרחבי Lp ממד כללי.
ניתן לשים לב שבמקרים הקודמים התחלנו מקבוצות סופיות, עברנו לבנות מנייה, וכעת נרצה לעבור לעוצמה כללית - מסדרות סופיות, לסדרות בנות מנייה, נעבור לפונקציות, ובמקום סכימה נבצע אינטגרציה.
פורמלית, עבור formula_63 מגדירים את formula_64 עבור מרחב מידה formula_65 ושדה formula_66 להיות-
formula_67
כאשר האינטגרל הוא אינטגרל לבג. מגדירים את נורמת-p להיות formula_68. מיפוי זה איננו נורמה, מפני שפונקציות ששוות כמעט בכל מקום לאפס, עדיין יחזירו אינטגרל אפס. כדי להתגבר על בעיה זו, מגדירים את המרחב formula_69 שאיבריו הוא אוסף מחלקות השקילות עד כדי שוויון כמעט בכל מקום. כעת, formula_70 היא אכן נורמה - היא חיובית והומוגנית חיובית, ומקיימת את אי שוויון המשולש - זהו אי-שוויון מינקובסקי. המרחבים גם שלמים - ניתן להוכיח זאת בשימוש משפטי התכנסות מתורת המידה (למשל, משפט ההתכנסות הנשלטת של לבג).
מרחבי formula_71 הם הדוגמה הקלאסית למרחב בנך באנליזה ובטופולוגיה.
במקרה p=2.
המקרה formula_72 הוא מקרה מיוחד, מפני שבמקרה זה המרחב formula_73 הוא אף מרחב הילברט - מרחב מכפלה פנימית שלם מעל השדה, כאשר המכפלה הפנימית היא formula_74. זוהי דוגמה קלאסית למרחב הילברט, ולמעשה ידוע יותר מכך - כל מרחב הילברט איזומורפי למרחב formula_75, כאשר formula_76 קבוצה כלשהי.
המקרה ∞=p.