זהו מקרה פרטי של הנוסחה הנכונה לכל מטריצה:
formula_16
כאשר formula_17היא המטריצה המצורפת ל-formula_1ו-formula_19היא מטריצת היחידה. כאשר הדטרמיננטה אינה אפס מתקבל מהנוסחה, על ידי העברת אגפים, שהמטריצה ההופכית היא המטריצה המצורפת חלקי הדטרמיננטה:
formula_20
דרך נוספת למציאת מטריצה הפיכה היא לשרשר את מטריצת formula_19 מימין למטריצה formula_1 ולמצוא קומבינציה ליניארית של השורות אשר תניב את המטריצה formula_23.
לדוגמה את המטריצה
נרשום את המטריצה:
formula_25
ונדרגה:
חיסור השורה הראשונה כפול 2 מהשורה השנייה, וחיבור השורה הראשונה לשורה השלישית:
formula_26
הכפלת השורה השנייה ב-1-:
formula_27
חיבור השורה השנייה לראשונה, וחיסור השורה השנייה כפול 2 מהשורה השלישית:
formula_28
חיבור השורה השלישית לשורה הראשונה, וחיסור השורה השלישית מהשורה השנייה:
formula_29
ולכן
formula_30
יש להדגיש כי לא כל המטריצות הפיכות ואפשר לראות זאת באמצעות השיטה הזו. למשל
נרשום:
formula_32
ונדרג
formula_33
formula_34
המטריצה האחרונה אליה הגענו אינה ניתנת להפיכה למטריצה מן הסוג formula_35 ועל כן המטריצה formula_36 היא בלתי הפיכה.
הוכחה לשיטת הבלוקים: נשים לב שביצוע סדרת פעולות על שורות מטריצה (דירוג מטריצות) שקול לכפל במטריצה הפיכה B. מאחר שמבצעים את אותן פעולות על A ו-I מקבלים: formula_37 אבל אם מגיעים ל-formula_38 הרי ש-formula_39 וזו בדיוק המטריצה המתקבלת בבלוק הימני (כלומר: formula_40).
תכונות.
תנאים שקולים להפיכות.
תהא formula_1מטריצה מסדר formula_2. כל התנאים הבאים שקולים, כלומר אם אחד מתקיים, כולם מתקיימים:
תכונות אלגבריות.
יהיו A ו-B מטריצות הפיכות.
קבוצת המטריצות ההפיכות.
לפי מה שכתוב לעיל, ניתן להציג את קבוצת כל המטריצות ההפיכות כקבוצת המטריצות שהדטרמיננטה שלהן לא מתאפסת:
formula_80
מתכונות הכפליות של הדטרמיננטה (דטרמיננטה של מכפלה היא מכפלת הדטרמיננטות), או משיקולים כללים לגבי הפיכות בחוגים, מכפלת שתי מטריצות הפיכות היא מטריצה הפיכה - כלומר קבוצה זו סגורה תחת כפל. לעומת זאת, חיבור וחיסור מטריצות הפיכות לא יניב בהכרח מטריצה הפיכה.
מסמנים את קבוצת כל המטריצות ההפיכות formula_81 והיא נקראת החבורה הליניארית הכללית מעל השדה formula_82 (ביחס לכפל מטריצות). קבוצה זו היא אכן חבורה, לא קומוטטיבית, עם פעולת כפל מטריצות.
מבחינה טופולוגית קבוצה זו היא קבוצה פתוחה, כיוון שהיא מתקבלת כהעתקה ההפוכה של פונקציית הדטרמיננטה (שהיא פונקציה רציפה), של הקבוצה הפתוחה formula_83. קבוצה זו צפופה במרחב המטריצות. בגאומטריה דיפרנציאלית, קבוצה זו היא יריעה חלקה, ואף אנליטית מממד formula_84 כאשר formula_85 או formula_86. בנוסף, יחד עם פעולת כפל מטריצות, קבוצה זו מהווה חבורת לי.
הכללות.
הפיכוּת מצד אחד.
מטריצה formula_68 נקראת הפיכה משמאל אם קיימת מטריצה formula_88 כך ש formula_89. ההופכית השמאלית formula_88 אינה נקבעת ביחידות אם formula_68 אינה ריבועית.
בדומה, מטריצה formula_68 נקראת הפיכה מימין אם קיימת מטריצה formula_93 כך ש formula_94.
מטריצה שהפיכה גם מימין וגם משמאל היא מטריצה הפיכה, ובפרט היא ריבועית. מטריצה שהפיכה רק מצד אחד אינה ריבועית.
הפכי מור-פנרוז.
מושג המטריצה ההופכית הוכלל על ידי אליקים מור ורוג'ר פנרוז עבור מטריצות שאינן בהכרח ריבועיות; ראו .
מלחמת המולדת הגדולה
איי פארו
איי פארו (בפארואזית: Føroyar, "איי הצאן", בדנית: Færøerne) הם קבוצת איים השוכנת בצפון האוקיינוס האטלנטי, בין סקוטלנד, נורווגיה ואיסלנד. האיים זכו למעמד של אזור אוטונומי בממלכת דנמרק בשנת 1948, ומלבד ענייני חוץ וביטחון, תושבי האיים (המכונים פארואזים) מנהלים את חייהם באופן עצמאי. איי פארו חברים במועצה הנורדית, ארגון בינלאומי אזורי של מדינות סקנדינביה.
היסטוריה.
על פי הסאגה על בני פארואה , שנכתבה באיסלנדית באיסלנד, הגיעו אל האיים מהגרים שנמלטו מנורווגיה מפני שלטון העריצות של האראלד הראשון, במאה ה־9, והתיישבו באיים. בתחילת המאה ה־11, תושבי האיים הצפוניים של פארו פלשו לאיים הדרומיים וכמעט השמידו את תושביהם. סיגמונדור בן ברסטיר , אשר מוצאו מהאיים הדרומיים, ומשפחתו כמעט והושמדה כולה על ידי הפולשים מהאיים הצפוניים, נמלט לנורווגיה, שם קיבל מינוי וסיוע של אולף הראשון, מלך נורווגיה לכבוש את האיים. סיגמונדור חזר לאיים ובמהלך הכיבוש ניצר בכח את תושבי האיים. אף על פי שסיגמונדור נרצח בגלל מהלכיו, השליטה הנורווגית על איי פארו נשמרה במשך שנים רבות.
בשנת 1386 צורפו איי פארו לאיחוד קאלמאר עם הצטרפות ממלכת נורווגיה לאיחוד, ובהמשך נהיו האיים חלק מממלכת דנמרק־נורווגיה. בשנת 1586 הגיעה הרפורמציה לאיים. כאשר נורווגיה נקרעה מממלכת דנמרק
במסגרת הסכם קיל משנת 1814, נותרו איי פארו חלק מממלכת דנמרק. בשנת 1888 החלה התעוררות לאומית בקרב תושבי האיים, והשאיפה לאוטונומיה תרבותית ולשונית.
ב־12 באפריל 1940 האיים נכבשו על ידי הצבא הבריטי לאחר כיבוש דנמרק על ידי גרמניה הנאצית, על מנת למנוע שליטה נאצית באיים. בשנת 1941 הנפיקו הבריטים 5 ערכי מטבעות שנשאו את תוארו של כריסטיאן העשירי מלך דנמרק הכבושה באותה עת, ושמה של דנמרק היה על המטבעות, אבל הם שימשו במסחר באיי פארו לבדם. הם מבוקשים בידי אספנים. הם היו שונים מהמטבעות ששמשו במסחר בדנמרק תחת השלטון הנאצי. ב־1942 נבנה על ידי חיל האוויר הבריטי שדה התעופה באי.
לאחר המלחמה הוחזרה השליטה באיים לדנמרק. בשנת 1946 נערך משאל עם לגבי עצמאות האיים, בו רוב דק של כ־150 איש תמך בעצמאות. ב־1948 הוענקה לאיים אוטונומיה.
תושבי האי סירבו להצטרף לקהילה האירופית (כיום האיחוד האירופי) ב־1973, עת דנמרק הצטרפה לאיחוד.
פוליטיקה.
האיים מחולקים מבחינה אדמיניסטרטיבית ל־34 מחוזות עירוניים, בהם נמצאים כ־120 ערים וכפרים.
באופן מסורתי היו האיים מחולקים ל־6 מחוזות (המכונים "סויסלה" – "Sýsla") עיקריים (נוראויאר, אייסטורוי, סטריימוי, ואוגר, סאנד'וי וסוד'ורוי).
בכל מחוז נערכות בחירות מקומיות. כמו כן נערכות בחירות בשבעה מחוזות בחירה (ה"סיסלור" לעיל, כאשר סטריומוי מחולק לשני מחוזות – צפון ודרום (אזור תורסהאבן)) לשלטון באיים (הלוגטינג וכן בחירות לפרלמנט של דנמרק (הפולקתינג).
לממשלת האיים סמכויות בכל נושאי הפנים. ראש הממשלה מכונה לוגמאור. השרים מכונים לאנדסטיריסמאור.
בשנת 2018 היה צפוי להתקיים באיים משאל עם, במטרה לקבוע האם האיים יזכו לעצמאות מלאה מדנמרק, אך באפריל 2018 הוא נדחה והצעת המשאל עברה לעיבוד מחדש.
שלטון עצמי.
באיי פארו יש מערכת פוליטית אוטונומית ופרלמנט ובו 33 מושבים. במערכת הפוליטית יש שבע מפלגות – הרבה ביחס למערכת הקטנה. כתוצאה מכך, בשביל להרכיב ממשלה יש בדרך כלל צורך בהקמת קואליציות ובריתות. הבחירות מתקיימות מדי ארבע שנים ומאז שנת 2008 כל האיים הם מחוז בחירה אחד.
מאז הבחירות שהתקיימו באוגוסט 2019 מתקיימת באיים קואליציה של מפלגות הימין־מרכז בראשות מפלגת האיחוד ("Sambandsflokkurin"), התומכת באשרור מערכת היחסים הצמודה בין האיים לדנמרק.
איי פארו ודנמרק.
בשנת 1948 הוענק לאיים שלטון עצמי על ידי ממשלת דנמרק, וכיום האיים הם חלק מממלכת דנמרק המעניקה לאיים קיצבה שנתית על מנת לתמוך בכלכלת האיים. תושבי האי חלוקים בדעותיהם – חלקם שואפים לעצמאות מדנמרק, וחלקים מעדיפים את המצב הקיים.
אחת הבעיות הקשות עמה מתמודדת אוכלוסיית האיים היא ההגירה השלילית של צעירים לאחר לימודיהם התיכוניים לדנמרק, שם הם זוכים להשכלה אקדמאית. חלקם הגדול אינו שב בתום הלימודים ועשרות אלפי פארואים קבעו את משכן הקבע שלהם בדנמרק ובייחוד בבירה קופנהגן. בעיה זו הובילה לפתיחה של מוסדות אקדמיים באיים, אך היצע תחומי הלימוד די קטן.
האיחוד האירופי.
איי פארו אינם מהווים חלק מהאיחוד האירופי. יתרה מזאת, פרוטוקול מיוחד להסכם של דנמרק עם האיחוד קובע כי אזרחי דנמרק המתגוררים באיים אינם נחשבים לאזרחי האיחוד האירופי.
גאוגרפיה.
קבוצת איי פארו כוללת 18 איים הנמצאים בין הים הנורווגי והאוקיינוס האטלנטי בצפון אירופה, בין נורווגיה (675 ק"מ) לאיסלנד (450 ק"מ), 280 ק"מ מאיי שטלנד.
שטח האיים 1,399 קמ"ר, ואורכו של קו־החוף של האיים 1,117 ק"מ. יש באיים אגמים ונהרות קטנים, אך לא גדולים ומשמעותיים.
כל האיים, למעט ליטלה דימון מיושבים.
פני השטח של האיים מסולעים. רוב שטח האיים הוא גבעות נמוכות. לרוב האיים קו חוף צוקי. הנקודה הגבוהה ביותר באיים היא הר סלטארטינטור שגובהו 880 מטרים מעל פני הים.
אקלים.
חודשי הקיץ באיים קרירים, והחורפים ממוזגים למרות מיקומם הצפוני של האיים, וזאת בשל זרם הגולף הזורם סביבם. בדרך כלל בתקופות הקיץ האיים מכוסים ערפל המקשה על הנהיגה ובחורף מזג האוויר יורד אל מתחת לאפס מעלות ופני האיים וההרים מתכסים בלובן השלג.
כלכלה.
שנות ה־90 של המאה ה־20 הובילו לשפל כלכלי באיים בשל הירידה בכמויות הדגה באזור האיים, אולם לקראת תחילת המאה ה־21 התאוששה כלכלת האיים, ובשנת 1998 ירד שיעור האבטלה באיים ל־5%.
האיים תלויים לחלוטין מבחינה כלכלית בדיג המתבצע סביב האיים. שיטות הדייג הן מגוונות וכהמחשה לכך ניתן להבחין במקום בדייגים הפועלים על גבי סירות משוטים קטנות בין האיים, בדרך כלל בקרבה יחסית לחופים, ועד לספינות ענק שיוצאות אל מרחבי האוקיינוס למשך מספר ימים ועל סיפונן מתבצעים כל תהליכי הדייג, ניקיון הדגים, אריזתם והכנתם לשיווק. כמו כן, דייגים חובבים רבים משתמשים בשלל שיטות דייג במקום.