בעוד התנע הזוויתי המסילתי מוגבל למספרים שלמים, הספין יכול להיות גם מספר חצי שלם. משפט סטטיסטיקות הספין מבחין בין התנהגות סטטיסטית של חלקיקים עם ספין שלם, בוזונים, וחלקיקים עם ספין חצי-שלם, פרמיונים: למשל, האלקטרון, הפרוטון והנייטרון, הם פרמיונים, עם ספין חצי; הפוטון הוא בוזון, עם ספין 1. קיימים בוזונים נוספים, כמו בוזון היגס, שיש להם ספין 0.
לספין יש תכונה לא אינטואיטיבית בהקשר של סיבובים מרחביים: במכניקה קלאסית הפעלת סיבוב של 360 מעלות יחזיר את האובייקט למצבו ההתחלתי. לעומת זאת, סיבוב כזה לחלקיקים מסוגים מסוימים יהפוך את סימנו של ms.
תצפיות.
כאמור, ערכו של הספין יכול להיות רק אחד מקבוצה של ערכים בדידים. ראיה מכרעת לעובדה זו היא ניסוי שטרן-גרלך: בניסוי זה, החלקיקים הפגינו מומנט מגנטי שמתאים רק לערכי תנע זוויתי שהם formula_6. כשנתיים לאחר פרסום תוצאות הניסוי, הוצע קיומו של הספין, במטרה להסביר את תוצאת הניסוי.
המבנה הדק והמבנה העל־דק הן תופעות ספקטרוסקופיות בהן מעברי אלקטרונים באטום בין רמות האנרגיה מוסטות מערכן הראשי בגלל אינטראקציות שונות, ביניהן אינטראקציה עם התנע הזוויתי המסילתי (או: "האורביטלי"; תנועת האלקטרון סביב גרעין האטום) ואינטראקציה בין ספין האלקטרון וספין הגרעין.
תכונת הספין אחראית לתכונות רבות של החומר: הספין אחראי על הקשרים הקוולנטים, הספין והכוח האלקטרומגנטי מקנים ליהלום את קשיותו, את החומציות לחומצה, את הבסיסיות לבסיס, את המוליכות התרמית והחשמלית למתכות ואפילו את הצבע של החומר.
היסטוריה.
וולפגנג פאולי היה, ככל הנראה, הפיזיקאי המשפיע ביותר על תאוריית הספין. הספין נתגלה לראשונה בהקשר של ספקטרום הפליטה של מתכות אלקליות. בשנת 1924 פאולי הציג את מה שהוא כינה "דרגת חופש קוונטית דו־ערכית" הקשור לאלקטרון בקליפה הרחוקה ביותר מגרעין האטום (קליפת הערכיות). דבר זה סייע לנסח את עקרון האיסור של פאולי, לפיו שני פרמיונים באטום נתון לא יכולים להיות באותו מצב קוונטי.
הפירוש הפיזיקלי של אותה דרגת חופש לא היה ידוע בהתחלה. ראלף קרוניג, אחד מעוזריו של אלפרד לאנדה, הציע בתחילת 1925 כי הסיבה לכך נעוצה בסיבוב העצמי של האלקטרון. כאשר פאולי שמע על הרעיון, הוא תקף אותו בחומרה, וציין שפני השטח ההיפותטיים של האלקטרון יהיו צריכים לנוע מהר יותר ממהירות האור כדי להסתובב במהירות היכולה ליצור את התנע הזוויתי, דבר שיכול לסתור את תורת היחסות. קרוניג החליט לבסוף, שלא לפרסם את הרעיון, בעיקר בשל ביקורתו של פאולי.
בסתיו אותה שנה, עלה רעיון דומה אצל שני פיזיקאים הולנדיים צעירים, ג'ורג' אולנבק וסמואל גודסמית. תחת עצתו של פאול אהרנפסט, הם החליטו לפרסם את תוצאותיהם. הרעיון זכה לתגובות חיוביות, בעיקר לאחר שלוולין תומאס (Llewellyn Hilleth Thomas) הצליח ליישב את קיומו של פער של פי שניים, בין התוצאות שהתקבלו בניסוי לבין חישוביהם התאורטיים של אוהלנבק וגודסמית (ושל קרוניג, שלא פורסמו).
על-אף התנגדותו הראשונית לרעיון, פאולי ניסח את התאוריה של הספין בשנת 1927, בעזרת התאוריה המודרנית של מכניקת הקוונטים שנהגתה על ידי ארווין שרדינגר ווורנר הייזנברג. התאוריה של פאולי בנוגע לספין לא הייתה יחסותית. למרות זאת, בשנת 1928, פול דיראק פרסם את משוואת דיראק, שתיארה את האלקטרון היחסותי. במשוואת דיראק, נעשה שימוש בספינור המורכב מארבעה איברים (הידוע בתור "ספינור דיראק") בפונקציית הגל של האלקטרון.
בשנת 1940 פאולי הוכיח את "משפט הספין-סטטיסטיקה", הקובע כי לפרמיונים יש ספין חצי-שלם ולבוזונים יש ספין שלם. לספין אין אנלוגיה במכניקה קלאסית: שלא כמו עצמים "מסתובבים" רגילים בהם מוגדר התנע הזוויתי מפיזור החומר וסיבובו סביב ציר, "תנע זוויתי ספיני" אינו קשור למסה מסתובבת.
הגדרת אופרטור הספין.
במכניקת הקוונטים, כל גודל מדיד מיוצג על ידי אופרטור הרמיטי. כיוון שהספין הוא גודל וקטורי, מדידה שלו דורשת מדידה של שלשת רכיבים, ולכן הוא מוגדר על ידי שלשת אופרטורים formula_7 (ההיטלים של הספין על שלושה צירים מאונכים זה לזה). בנוסף, מקובל להגדיר בעזרת שלשה זו את האופרטור formula_8.
יחסי החילוף בין רכיבי הספין נתונים (בעזרת סימן לוי-צ'יוויטה, εijk):
(הם היוצרים של אלגברת לי formula_10), ומהם נובע גם יחס החילוף:
כאשר יש להמילטוניאן סימטריה לסיבובים, נהוג ללכסן אותו עם המצבים העצמיים של formula_12 ושל formula_13, ומתקיימות משוואות הערכים העצמיים הבאות:
משוואות אלו זהות (עד כדי החלפת L ב-S) למשוואות הערכים העצמיים של אופרטורי התנע הזוויתי המסילתי, ולכן גם במקרה זה מתקבלים שני מספרים קוונטיים טובים לבסיס המצבים העצמיים, כמתואר לעיל:
לאור זאת, הסימון המקובל למצבי הבסיס הוא formula_17.
תיאור מתמטי של ספין חצי.
המקרה הפשוט ביותר של ספין שאינו טריוויאלי הוא חלקיק עם ספין חצי, formula_18. מרחב הילברט של מצבי החלקיק הוא מממד 2. מכך נובע ישירות שניתן להציג אותו כוקטור ב-formula_19. לכן מערכת הספין היא מערכת שני מצבים.
בסיס המצבים העצמיים המקובל (על פי formula_13), הוא זוג המצבים המכונים "מעלה" ו"מטה":
בהתאם להצגה של מצבי ספין חצי כווקטורים מממד 2, ניתן להציג גם את אופרטורי הספין במכניקת הקוונטים כמטריצות: כאמור, formula_13 מקיים:
אופרטורי הסולם formula_29, מקיימים:
ומתוך כך מתקבלות מטריצות מתכונתיות למטריצות פאולי:
לכן,
מדידת ספין של חלקיק תלויה בכיוון שבו מתבצעת המדידה: אם חלקיק נמצא במצב ספין מוגדר באחד הכיוונים, בכל שאר הכיוונים מצב הספין איננו מוגדר ונמצא בסופרפוזיציה קוונטית של שני המצבים העצמיים של המדידה.
אותו רעיון מתקבל גם מהתיאור הפורמלי של הספין: אופרטור מדידת הספין בכיוון מסוים, המוגדר על ידי וקטור יחידה formula_33, הוא formula_34. לדוגמה, במקרה שבו מעוניינים למדוד את הספין בכיוון ציר x, האופרטור שמייצג את המדידה הוא formula_35. לכסון של האופרטור נותן שני מצבים עצמיים:
ומכאן נובע שאם ניקח חלקיק שנמדד לא מזמן בכיוון z, ונמדוד אותו בכיוון x, יש סיכוי שווה למצוא אותו פונה לימין או לשמאל.
ניתן לתאר כל חלקיק בעל ספין חצי על ידי ספינורים, בעזרת מקדמיים כלליים formula_38 המשמשים לתיאור מצב קוונטי בבסיס המתאים:
הכללה לספינים מממד גבוה יותר.
מטריצות פאולי מתאימות לתיאור אופרטורי ספין חצי, שהבסיס שלו הוא מממד 2. עבור ספין גדול יותר, יש צורך במטריצות שמסוגלות לפעול על בסיס מממד 2s+1: כמו במקרה של ספין חצי, ניתן למצוא את המטריצה המייצגת את האופרטור formula_13 ישירות מתוך משוואת הערכים העצמיים שלו. כדי למצוא את האופרטורים האחרים צריך לייצג בצורה מטריציונית את אופרטורי הסולם, מתוך המשוואות המגדירות את פעולתם על המצבים העצמיים של Sz, ולהשתמש בעובדה שמתקיים:
למשל, עבור s=1, מתקבל:
טלקוט פרסונס
טלקוט פרסונס (באנגלית: Talcott Parsons; 13 בדצמבר 1902 – 8 במאי 1979) היה מחשובי הסוציולוגים בארצות הברית.
ביוגרפיה.
טלקוט פרסונס נולד בקולורדו ספרינגס בארצות הברית. הוא למד סוציולוגיה באוניברסיטת היידלברג שבגרמניה, שם התוודע לכתביהם של מקס ובר ואמיל דורקהיים. כששב לארצות הברית, הביא איתו את כתביהם, שלא היו ידועים במחלקות לסוציולוגיה באוניברסיטאות האמריקאיות ותירגם אותם לאנגלית.
היה פרופסור וראש המחלקה לסוציולוגיה באוניברסיטת הרווארד. עיקר פרסומו בא לו מפיתוח הגישה הפונקציונליסטית לסוציולוגיה, גישה ששלטה בסוציולוגיה האמריקאית והעולמית עד שנות ה-70 של המאה ה-20. בשנת 1949 היה פרסונס נשיא האגודה האמריקאית לסוציולוגיה. היה נשיא האקדמיה האמריקאית לאמנויות ולמדעים (1967 – 1971) והחל משנת 1974 האקדמיה מעניקה פרס על שמו, עבור תרומות למדעי החברה.
בחייו פרסם מעל 400 ספרים ומאמרים.
תאוריות ורעיונות.
פרסונס הגדיר את שתי מטרות המחקר:
המערכת החברתית, לפי ניתוח זה, מחולקת לארבע תת-מערכות, שלכל אחת מהן תפקיד מוגדר:
ניתן להמשיך לנתח באופן דומה כל אחת מתת-המערכות, בין אם בניתוח מבני, על ידי מציאת המבנים המרכיבים את תת-המערכת, ובין אם בניתוח פונקציונלי, על ידי מציאת הפונקציות של אותם מבנים.
פרדיגמה של שינוי אבולוציוני.
לאחר שהוביל במשך שנים את הפרדיגמה הפונקציונלית-סטרוקטורלית בסוציולוגיה שינה כיוון תאורטי והציע תאוריה נאו-אבולוציונית בספריו "חברות: היבטים אבולוציוניים והשוואתיים" ו"המערכת של החברות המודרניות" (1971). פרסונס חילק את האבולוציה לארבעה תתי-שלבים: 1. חלוקה, שיוצרת תת-מערכות מהמערכת הראשית; 2. הסתגלות, שבה המערכות האלה מתפתחות לגרסאות יעילות יותר; 3. הכללה של המרכיבים שקודם לכן לא היו חלק מאותן ממערכות; ו 4. הפיכת ערכי המערכת לכלליים, ועל ידי כך הרחבת הלגיטימציה של המערכת, שנעשית מורכבת יותר. הוא הראה כיצד תהליכים אלה פועלים בשלושה שלבים של האבולוציה: 1. שלב פרימיטיבי, 2. שלב הביניים, ו־3. שלב מודרני. הגורם המכריע במעבר מהשלב הראשון לשני היה התפתחות השפה. הגורם המשמעותי במעבר מהשלב השני לשלישי היה "התפתחות הכללים הממוסדים של הסדר הנורמטיבי" או מערכת החוק. הרעיון המרכזי בגישתו הוא שדרוג הסתגלותי של מחזור השינוי האבולוציוני. דגם תאורטי זה היה חיובי בבסיסו, דהיינו צידד ברעיון הקידמה החברתית מתוך הנחה שככל שהחברה מתפתחת, היא משפרת בצורה הולכת וגוברת את יכולתה להתמודד עם בעיותיה. פרסונס ראה את התרבות המערבית כשיאן של החברות המודרניות, ואת ארצות הברית כמפותחת ביותר.