סימפלקס סינגולרי במרחב טופולוגי formula_25 הוא העתקה רציפה formula_26. כלומר, סימפלקס סינגולרי ב-formula_25 הוא עיוות של הסימפלקס הסטנדרטי לתוך המרחב.
הגדרה.
יהי מרחב טופולוגי formula_25.
נגדיר formula_29.
תהי formula_30 החבורה האבלית החופשית הנוצרת על ידי האוסף הזה. איברי חבורה זו נקראים שרשראות, משום שאלו הם סכומים פורמליים סופיים של סימפלקסים עם משקלים עליהם.
נגדיר לכל n פונקציית שפה formula_31 על ידי formula_32, כלומר נקבל סכום מסומן של דפנות הסימפלקס formula_33.
קיבלנו קומפלקס שרשראות של החבורות הנוצרות
formula_34
חישוב ישיר מראה שמתקיים התנאי של הקומפלקס, דהיינו: formula_35. כלומר, שפה של שפה היא אפס.
שרשרת ששפתה אפס נקראת מחזור או ציקלוס, מכיוון שהיא מתאימה לרצף מחזורי של קטעים. לדוגמה, המעגל הוא סימפלקס חד ממדי (דהיינו-קטע) שקופל כך שתמונת הקצוות זהה. שפת קטע היא בדיוק קצותיו, כך שלפי הגדרת השפה אנחנו נקבל את תמונת הקצוות עם מקדם 1 ואז את אותה תמונה עם מקדם (1-), כך שהתמונה תתאפס. למי שרוצה נוסחאות יהי formula_33 ההעתקה שלנו מקטע היחידה למרחב שיוצרת עיגול, ונניח שתמונת הקצוות היא v ונקבל formula_37
שרשרת שהיא שפה של שרשרת ממימד גבוה יותר נקראת שפה.
חבורת ההומולוגיה הסינגולרית ה-n היא חבורת המנה formula_38, כלומר, מחלקת הומולוגיה היא אוסף של מחזורים שיש להם שפה משותפת. לדוגמה, שני מעגלים שמחוברים, ליצור את הספרה 8 הם הומולוגים.
הומולוגיה מצומצמת.
לעיתים רבות נוח לחשב דווקא את חבורות ההומולוגיה המצומצמות של מרחב. נשים לב שהסדרה הקודמת מסתיימת כך:
formula_39
כעת, נרצה להוסיף עוד גורם בסוף הסדרה:
formula_40
כאשר formula_41 היא ההעתקה formula_42. אכן מתקיים formula_43 ויש שוויון כאשר formula_25 קשיר מסילתית. קומפלקס זה משרה חבורות הומולוגיה, הנקראות חבורות ההומולוגיה המצומצמות formula_45.
מעצם הבנייה, חבורות אלו שוות כמעט כולן לחבורות הרגילות, פרט לחבורה האפס - formula_46 נבדלת מ-formula_47 ביוצר אבלי חופשי אחד.
החבורות הראשונות.
לחבורות ההומוטופיה הראשונות משמעות גאומטרית וטופולוגית אינטואיטיבית.
החבורה האפס formula_47 סופרת את מספר רכיבי הקשירות של המרחב. בעזרת טענה זו ניתן לספור את המרכיבים מלכתחילה; אחד היישומים של שיטה זו הוא הוכחת משפט העקומה של ז'ורדן באופן קל יחסית.
החבורה הראשונה formula_49 איזומורפית באופן טבעי לאבליזציה של החבורה היסודית של המרחב. טענה זו יחד עם טבעיות האיזומורפיזם ניתן ליישם במספר טענות חישוביות.
מקרה מיוחד נוסף הוא החבורה ה-formula_10 של יריעה טופולוגית סגורה formula_10-ממדית שווה ל-formula_52 אם היריעה אוריינטבילית, ושווה לאפס אחרת.
מבנה.
חבורות ההומולוגיה הן אינווריאנטים הומוטופיים - כלומר, למרחבים הומוטופיים אותן חבורות ההומולוגיה. בפרט, החבורות המצומצמות של מרחב כוויץ כולן אפס. בכל זאת, הן לא מבדילות באופן מלא בין מרחבים טופולוגיים - ישנם מרחבים בעלי אותן החבורות שאינם שקולים הומוטופית, למשל טורוס formula_53 ואיחוד נקודתי formula_54.
לצורך חישוב חבורות ההומולוגיה יש מספר שיטות. המוכרת והבסיסית ביותר היא סדרת מאייר-ויאטוריס, סדרה מדויקת המקשרת בין החבורות של מרחב לחבורות של כיסוי טוב שלו, ובכך מקלה על החישוב. השימוש בסדרה מקביל במובן מסוים לשימוש במשפט ואן קמפן בעת חישוב החבורה היסודית. שיטה נוספת לחישוב חבורות של מרחבים רבים היא שיטה שפותחה במיוחד לחישוב החבורות של מרחבי CW.
ההומולוגיה הסינגולרית ביחס לכיסוי.
ההומולוגיה הסינגולרית של כיסוי של מרחב טופולוגיה, היא הומולוגיה ביחס לכיסוי טוב שלו formula_55. כדי להגדירה, ראשית מגדירים formula_56 להיות אוסף הסימפלקסים הסינגולריים שתמונתם מוכלת באחד ה-formula_57; כמו כן מגדירים formula_58, החבורה האבלית החופשית מעל formula_56. מהסדרה שלעיל, היות שמתקיים formula_60, מושרה קומפלקס שרשראות:
formula_61
מקומפלקס שרשראות זה משרה את חבורות ההומולוגיה היחסיות: formula_62.
כעת, משפט חשוב קובע שהעתקת ההכלה formula_63 משרה איזומורפיזם formula_64, והוא למעשה איזומורפיזם טבעי ביחס להעתקות המכבדות את הכיסוי.
נראה שלא חידשנו כלום, אך למעשה הרווחנו דיי הרבה - שימוש נפוץ במיוחד בבנייה זו הוא כאשר הכיסוי הוא כיסוי של שתי תתי-קבוצות נחתכות לא טריוויאלית, המוביל לבניית סדרת מאייר-ויאטוריס, סדרה נפוצה במיוחד העוזרת בחישוב חבורות הומולוגיה רבות.
חבורות ההומולוגיה היחסית.
כאמור לעיל, תורת הומולוגיה מוגדרת בעזרת התאמת חבורות לזוגות של מרחבים formula_4 כאשר formula_66 - אך במקרה של הומולוגיה סינגולרית בדרך כלל מגדירים אותן אחרי הגדרת formula_67.
כדי להגדיר את חבורות ההומולוגיה היחסיות, נגדיר formula_68. היות שמתקיים formula_69 מושרות העתקות formula_70, והן משרות חבורות הומולוגיה - הנקראת חבורות ההומולוגיה היחסיות, ומסומנות formula_71. לחבורות אלו אכן מתאימה סדרה מדויקת formula_72. הסדרה המדויקת של חבורות ההומולוגיה היא אכן טבעית ביחס להעתקות המכבדות את הכיסוי.
לאחר הגדרת ההומולוגיה היחסית, ניתן להוכיח את משפט הקיצוץ - הקובע כי אם formula_73 כך ש-formula_74, אז formula_75.
סורין הלר
סורין הלר (נולד ב-1952) הוא אוצר, חוקר בתחומי האמנות וה.
ביוגרפיה.
סורין הלר נולד וגדל בבוקרשט, רומניה, למשפחה ציונית ועבר רדיפות על רקע זה ברומניה. עלה לישראל עם משפחתו ב-1965, הם התיישבו בנתניה. הוריו סלבטורה וקרולה הלר. אביו פסיכיאטר, היה קצין רפואה בצבא הרומני במלחמת העולם השנייה ובישראל ניהל מחלקה בבית החולים פרדסיה בעמק חפר. אימו הייתה מראשי התנועה הסוציאליסטית ומחלוצות הפמיניזם ברומניה, ערכה את העיתון "ליברטטה".
שירת בצה"ל בתותחנים, בסדיר בשנים 1971–1974 ולחם במלחמת יום הכיפורים ושירת במילואים בשנים 1974–1994.
בוגר החוג לתולדות האמנות, מסלול חד-חוגי מורחב, אוניברסיטת תל אביב, 1980.
בשנים 1982–1986 עבד כאוצר משנה, ולאחר מכן כאוצר של מוזיאון חיפה לאמנות. בשנים 1987–1988 עבד כאוצר במוזיאון לאמנות ישראלית, רמת גן.
החל משנת 1988 ועד היום עובד כאוצר עצמאי, תערוכותיו מוצגות במוזיאונים שונים בישראל ומחוצה לה, ביניהם: מוזיאון תל אביב לאמנות; מוזיאון חיפה; מוזיאון לאמנות, יד ושם, ירושלים; המוזיאון לאמנות ישראלית, רמת גן; מוזיאון ינקו דאדא, עין הוד; המשכן לאמנות על שם חיים אתר, עין חרוד; הגלריה האוניברסיטאית לאמנות ע"ש גניה שרייבר, אוניברסיטת תל אביב, תל אביב; המוזיאון הפתוח, פארק התעשייה עומר, מוזיאון ארץ ישראל, תל אביב, מוזיאון הכט, אוניברסיטת חיפה, המוזיאון הלאומי ארמון קוטרוצ'ני, בוקרשט.
אצר למעלה ממאה וחמישים תערוכות כאוצר המועסק במוזיאונים לאמנות ציבוריים.
בשנים 1995–1999 כיהן כמנהל המדור לאמנות פלסטית, אמנות לעם.
שימש כחבר הוועדה האמנותית, ובהמשך כיועץ במוזיאון ינקו דאדא, עין הוד (2007-1992).
החל משנת 2006 ועד 2017 כיהן כמנהל תחום אמנות ומוזיאונים, עיריית רמת השרון. במסגרת תפקידו ברמת השרון הקים שתי גלריות לאמנות, האחת נחנכה בחודש מאי 2014 במתחם למורשת, תרבות ואמנות בית יד לבנים והשנייה גלריה חוצות, ויצמן, רמת השרון 2008.
עסק בהוראת תולדות אמנות, אוצרות ו: במכון לאמנות, סמינר הקיבוצים, אורנים, קריית טבעון; בHIT מכון טכנולוגי חולון; במכון אבני לאמנות, תל אביב; במדרשה לאמנות,
קלמניה, מכללת בית ברל; במכללה להוראת טכנולוגיה, תל אביב ובמסלול האקדמי המכללה למינהל, ראשון לציון.
עסק בכתיבת ביקורת אמנות בכתבי עת ביניהם: כתב העת לאמנות סטודיו, ארבע על חמש ועוד. פרסם מאמרים בקטלוגים נבחרים ובספרי אמנות. כל התערוכות לוו בקטלוגים ובהם מאמרים פרי עטו.
בעל תואר דוקטור ממטעם אוניברסיטת אנגליה ראסקין יוניברסיטי (ARU), קיימברידג' &amp; צ'למספורד, אנגליה, 2010. נושא התזה: "עיצוב זהות של מוזיאונים פריפריאליים לאמנות בישראל במהלך שנות התשעים".
סורין הלר נשוי לאורנה זקן-הלר, כיהנה כמנהלת תנועת "אחותי - למען נשים בישראל", להם שלושה ילדים והם מתגוררים בתל אביב.
תערוכות נבחרות.
מבחר תערוכת אשר הפיק במסגרת תפקידו כמנהל המדור לאמנות פלסטית, אמנות לעם:
החבורה האבלית החופשית
משפט האיבר הפרימיטיבי
בתורת השדות, משפט האיבר הפרימיטיבי מאפשר לקבוע שהרחבת שדות מסוימת היא פשוטה, כלומר שאם ההרחבה היא formula_1 אז קיים איבר formula_2 כך ש-formula_3.
המשפט.
המשפט קובע ש:
מקרה פרטי חשוב של המשפט הוא:
הוכחה.
נוכיח את המקרה הפרטי. תהי formula_1 הרחבת שדות סופית וספרבילית.
אם formula_9 סופי, גם formula_10 סופי, ואז החבורה הכפלית של formula_10 נוצרת על ידי איבר אחד, שגם יוצר את ההרחבה.
נניח formula_9 אינסופי. נוכיח שלכל formula_13 מתקיים formula_14 עבור formula_2 כלשהו, ומכך המשפט ינבע באינדוקציה (כי הרחבה סופית נוצרת על ידי מספר סופי של איברים).
נסמן את הפולינום המינימלי של formula_16 ב-formula_17 ושל formula_18 ב-formula_19. הם מתפצלים בסגור האלגברי של formula_9. נסמן את שאר השורשים ב-formula_21 (כולם שונים כי formula_1 ספרבילית). נגדיר את הקבוצה: formula_23. היא סופית, לכן יש formula_24. נסמן formula_25, וכן formula_26. אז formula_27, וכן formula_28 כי מבניה formula_29 לכל formula_30. לכן formula_31. אבל formula_32 ולכן כך גם ה-gcd שלהם. לכן formula_33 ולכן גם formula_34. מכאן formula_35. כמובן גם formula_36 ובסך הכול formula_37.