ב-1993 הקים בקר את מכון המחקר של הקונגרס היהודי העולמי ועמד בראשו עד 2003. המכון פרסם מאות מחקרים ודו"חות רקע בסוגיות של מדיניות יהודית בארץ ובעולם בשיתוף עם מומחים בעולם. ב-1996 פרסם המכון את ספר הקהילות היהודיות בעולם (בעריכתו של בקר ובהשתתפות חוקרים ונציגים מקהילות בעולם) בעברית ובאנגלית אשר שימש כמקור אנציקלופדי ועדכני על מצב הקהילות היהודיות בתפוצות.
פעילות בינלאומית.
המערכה כנגד קורט ולדהיים.
בקר היה שותף פעיל בתחום הדיפלומטי והתקשורתי במאבק בינלאומי של הקונגרס כנגד מועמדתו של ד"ר קורט ולדהיים לנשיאות אוסטריה. ולדהיים כיהן כמזכ"ל האו"ם (1972–1981) והסתיר בביוגרפיה הרשמית שלו את ארבע השנים (1941–1945) שבהן שירת כקצין בוורמאכט במלחמת העולם השנייה ביחידות שביצעו פשעי מלחמה. הקונגרס חשף מסמכים רבים, ובקר פעל עם עמיתיו להתריע בפני דעת הקהל את חומרת בחירתו של קצין נאצי פעיל, אשר היה שותף לפשעי מלחמה, לתפקיד כה בכיר וסמלי באוסטריה.
בקר יצא כנגד גישת "בת היענה" של אקדמאים, דיפלומטים ועיתונאים אשר ראו בעיסוק החטטני בשואה פגיעה ב"נורמליזציה" של הקיום היהודי ובמדיניות החוץ של ישראל. הניו יורק טיימס ציטט את אבי בקר (ביוני 1988), בעקבות הפגנה שהוביל בירושלים, נגד פגישת האפיפיור יוחנן פאולוס ה-2 עם ולדהיים ועל "שיצא מגדרו כדי להעניק לגיטימציה לוולדהיים בזמן שהוא מנודה על ידי מדינות רבות בעולם".
בפולמוס בישראל ציטט בקר את דו"ח הוועדה הבינלאומית של ההיסטוריונים, אשר ולדהיים בעצמו מינה, שמצאה אותו אשם בשקרים וסיוע בביצוע פשעי המלחמה. בקר הביע סיפוק כי ממשלת ישראל וגם חברי הכנסת מימין ומשמאל הפגינו אחדות יוצאת דופן בהתנגדותם להחזרת השגריר הישראלי לווינה וסירבו לקבל את הפרגמטיזם הציני שהציעו כמה שגרירים לשעבר אשר לא מצאו פסול בהגשת כתב האמנה של שגריר ישראל לנשיא האוסטרי.
(על השלכות מאבק ולדהיים על זיכרון השואה ראו בהמשך).
המאבק על העלייה והחיים היהודיים לאחר נפילת ברית המועצות.
בשנות פעילותו של בקר בקונגרס התגבשו התהליכים הפנימיים בברית המועצות שהביאו לפתיחות חדשה (גלאסנוסט) ולבניה מחדש (פרסטרויקה) של הכלכלה בהנהגתו של מיכאיל גורבצ'וב. כישראלי היה ד"ר אבי בקר מהראשונים שנפגשו עם מנהיגים פוליטיים בכירים, ראשי ממשלה ושרים, ברחבי מזרח אירופה הקומוניסטית וגם צפה בתחילת ההתארגנות לחידוש החיים היהודים בקהילות אלה. בקר העביר ישירות לישראל את המסר ממנהיגי מזרח אירופה על כינון היחסים הדיפלומטיים.
בוויכוח הפוליטי על עתיד הקהילות במזרח אירופה הדגיש בקר כי יש לתת עדיפות לעלייה לישראל אך לא ניתן להתעלם מרצונם של יהודים להמשיך ולהתקיים כקהילה בגלות. הוא ביקר את גישת הסוכנות היהודית ולשכת הקשר של הממשלה בישראל הממשיכים להתנהל בסגנון מחתרתי ומנסים להכתיב לקהילות מנהיגות מ'טעם' ודרכי פעולה. הוא טען כי אין מנוס מפעילות יהודית גלויה ומוסדרת של חינוך יהודי לחיזוק הזהות והחיים הקהילתיים.
העלייה מברית המועצות היא יעד ראשון במעלה, הסביר, אך יש לעזוב את הפטרנליזם הישראלי ואסור לזנוח את אלה הנשארים שם.
כמזכ"ל הקונגרס תמך בהקמת הקונגרס האירו-אסיאתי במוסקבה, ובטקס היסוד בהשתתפות השר רוני מילוא מישראל ונשיא הארגון החדש אלכסנדר משקביץ, ציין כי "זו הפעם הראשונה שיהודים באזור הקימו ארגון מטרייה שיהיה פעיל בזירה הפוליטית"
המאבק באנטישמיות.
באמצעות הקהילות היהודיות אספו משרדי הקונגרס ומכון המחקר שלו בישראל את המידע וההתרעות בתחום זה. בקר מיסד את שיתוף הפעולה במחקר ובפרסום עם המכון לחקר האנטישמיות באוניברסיטת תל אביב.
ביולי 1992 ושוב ב-2002 כינס הקונגרס היהודי העולמי ועידות בינלאומית בבריסל נגד אנטישמיות ובקר היה גם מופקד על הכנת ניירות העבודה, ארגון המשלחת הישראלית והפקות התוכן בכינוסים.
במאמריו יצא בקר נגד השאננות של ישראלים אשר טענו כי בעולם של גלובליזציה חייבת ישראל לחפש לעצמה את הקיום הנורמלי ולחדול מתחושת הרדיפה של האנטישמיות. בקר ציין כי "בניגוד לחזונו של הרצל, קיומה של מדינה יהודית עצמאית לא העביר מן העולם את האנטישמיות".
ב-2002 גינה בקר את מה שכינה "אנטישמיות בכסות אינטלקטואלית" שבה אקדמאים, אינטלקטואלים וארגוני זכויות האדם התמקדו בתקיפת ישראל ("האנטישמיות החדשה"). מכון המחקר של הקונגרס הוציא דו"חות רבים על המתרחש בקהילות שונות בתחום זה. בקר התריע על מה שהגדיר כ"ברית לא קדושה של גורמי שמאל באירופה, האינטלקטואלים עם הפונדמנטליזם המוסלמי, המסכנת את ישראל והיהודים". ביולי 2002 ארגן בקר, בשיתוף משרד החוץ, כינוס ארגונים יהודים בלונדון לתיאום המערכה נגד המשך הפעילות האנטי-ישראלית של ועידת האו"ם נגד גזענות.
זהות יהודית בישראל ובתפוצות.
בדיונים בסוגיית הזהות היהודית מצא עצמו בקר במחלוקת עם ישראלים שסברו כי לא ניתן לשמור על המשכיות יהודית בגולה וטענו כי העתיד יהודי מובטח רק בישראל (להלן על הוויכוח עם א.ב. יהושע). בקר טען כי המגמות הפוסט-ציוניות בחברה הישראלית מוכיחות שאין תחליף לחינוך יהודי בישראל ובתפוצות. הוא הביע התנגדות להשתלחות ביהודי התפוצות שהשמיע נשיא המדינה עזר ויצמן וטען כי מול שקיעת האתוס הציוני בישראל ונוכח התפשטות ההתבוללות בתפוצות על שני הצדדים לבחון מחדש את שיתוף הפעולה הנדרש לחיזוק הזהות היהודית.
בדיון בפברואר 2002 הסביר בקר כי יש לטפח את קשרי ישראל עם יהדות ארצות הברית מכיוון ש"כמה עיתות משבר בעבר הוכיחו שיהדות ארצות הברית היא בת הברית הנאמנה ביותר שלנו." לדעתו "ישראל הפכה למרכיב מרכזי בזהות היהודית של יהודי ארצות הברית, וגם לקח השואה, רגשות האשמה שהם לא עשו מספיק כדי להציל את יהדות אירופה הוא נר לרגליהם".
המאבק להחזרת הרכוש היהודי מהשואה.
כמי שהיה אחראי מטעם הקונגרס במגעים הדיפלומטיים עם ממשלת נורווגיה על החזרת הרכוש היהודי מהשואה הצליח בקר לסמן את המודל (שקיבל כינוי "מודל אוסלו") להקמת וועדות החקירה הממלכתיות ברחבי אירופה (למעלה מ-50) לבדיקת האחריות הפיננסית והמוסרית של ממשלות על שוד הרכוש. בקר הגיע פעמים רבות לאוסלו למשא ומתן עם השלטונות (בשיתוף הקהילה היהודית) והגדיר את ההסכם כתקדים גם "לגבי מדינות בהן היו קהילות יהודיות גדולות ועשירות יותר". סקירה מפורטת על חשיפת הפרשה בנורווגיה וחלקו של בקר בתהליך במאמריו של סמי כהאן.
היו שטענו, בישראל וביהדות העולם, שאין זה מכובד לנהל את המערכה על השואה באמצעות תביעות כספיות. להם השיב בקר בריאיון ל"הארץ": "שואלים אותי הרבה למה אנחנו הולכים על כסף. הרי זה לא יפה, זה מחזק סטריאוטיפים על יהודים. צריך דווקא ללחום עבור צדק ומוסר. והתשובה היא, שרק באמצעות הטיפול בנדל"ן, בזהב, באמנות, אפשר להבין איך עבדה המכונה הנאצית, איך עבד שיתוף הפעולה, שלא רק גרמניה אשמה." נורווגיה שימשה לקונגרס "חוד החנית בפריצת חומת השתיקה שהקיפה את מערב אירופה מאז השואה" וכדברי בקר: "ראינו את נורווגיה כמודל של מדינה מערב אירופית המוכנה לחקור את עצמה."
בקר ניהל את המשא ומתן מטעם הקונגרס ומטעם הארגון להחזרת הרכוש היהודי (איל"ר) בשורה של מדינות באירופה: נורווגיה, הולנד, צ'כיה, סלובקיה, איטליה, ספרד ופורטוגל והיה גם חבר בוועדות הממלכתיות מטעם הממשלות לחקירה ולהסדר הפיצויים על הרכוש היהודי. בנוסף השתתף במפגשים על הרכוש היהודי עם הבנקים השווייצרים, חברות הביטוח ודיונים בקונגרס האמריקני ובפרלמנט האירופי בנושא.
הפליטים היהודים מארצות ערב.
בקר יזם בקונגרס מהלך בינלאומי להפעלת דעת הקהל בסוגיית הפליטים היהודים מארצות ערב במערכה נגד התביעה לזכות השיבה של הפלשתינאים וכנגד סוכנות האו"ם לפליטים הפלשתינאים אונר"א. לדברי בקר אונר"א נועדה, על פי הגדרת המנדט ודרכי הפעולה שלה, "להנציח את הבעיה" במקום לפתרה. המערכה הבינלאומית על דעת הקהל כללה 12 כינוסים בינלאומיים שיזם הקונגרס בצפון אמריקה ואירופה ופעילות הסברה וקידום חקיקה בקונגרס האמריקנים והפרלמנט האירופאי אשר בכולם השתתף והופיע אבי בקר. עשרות כתבות התפרסמו בנושא ובמהלך הכינוסים הופיעו מנהיגים פוליטיים, משפטנים בכירים וניתנו עדויות של יהודים יוצאי ארצות ערב על הגירוש והרכוש שהוחרם.
בעיתונות הישראלית הוגדר אבי בקר כמי ש"מוביל (את) המאמץ לרפורמה מקיפה ביעדי אונר"א" שהיה לדבריו (ביולי 2003) "לגוף פוליטי ומנוף לגידול בגילויי האנטישמיות באירופה". מאמרו של בקר על אונר"א, הופץ כמסמך רשמי בקונגרס האמריקני בהמלצתה של חברת בית הנבחרים ג'אניס שאקובסקי מאילינוי לקדם דיון על רפורמה בארגון ובמחנות הפליטים. המאמר העלה שאלות נוקבות על תרומת סוכנות האו"ם לטרור הפלסטיני והצורך בבדיקה קפדנית של הסיוע האמריקני (יותר מרבע מתקציב אונר"א).
בקר גם הצהיר כי הקונגרס יזום חקיקה בארצות הברית לדרישת פיצויים עבור הפליטים היהודים יוצאי ערב במסגרת הסדר ישראלי פלסטיני. העיתונות האמריקנית דיווחה על המערכה שניהל בקר להכרה בזכויות היהודים יוצאי ערב, הופעותיו בוועדות הקונגרס האמריקני, ומכתבה של יו"ר תת-הוועדה למזרח התיכון חברת הקונגרס אליאנה רוס-לאטינן שהודתה לבקר על מאמציו.
כתוצאה מפעילות זו התקבלה בסוף אוקטובר 2003 החלטה (חקיקה הצהרתית) בקונגרס האמריקני הקוראת בפעם הראשונה להכרה בדרישות הפיצויים של יהודי ערב כחלק מכל הסדר בין ישראל לפלשתינאים ודורשת כי אונר"א תפעל ליישוב קבע של הפליטים הפלשתינאים.
הדיאלוג הבין-דתי.