נניח כי formula_12 מרחב מטרי שלם, ותהא formula_27 סדרת קבוצות המקיימת את התנאים של המשפט. נבנה את הסדרה formula_28 על ידי זה שנבחר מכל formula_13 איבר formula_30 כלשהו. נראה כי זוהי סדרת קושי: יהא formula_31 כלשהו. בגלל שמתקיים formula_32 קיים formula_33 כך שהחל ממנו לכל formula_34 מתקיים formula_35.
כעת יהיו formula_36 כלשהם, ונניח ללא הגבלת הכלליות שמתקיים formula_37. אז formula_38 ולכן formula_39. על כן formula_40 וזאת לכל formula_41, ולכן הסדרה היא סדרת קושי, ומכיוון שהמרחב formula_12 שלם היא מתכנסת. נסמן formula_43.
נראה כי formula_44 שייך לכל הקבוצות. תהא formula_24 כלשהי, אז לכל formula_46 מתקיים formula_47, כלומר הזנב של הסדרה formula_30, החל מהאיבר formula_22, שייך לקבוצה formula_24. על כן, האיבר formula_44 הוא נקודת גבול של formula_24 (כי הוא הגבול של סדרה המוכלת החל ממקום מסוים בקבוצה formula_24). מכיוון ש-formula_24 היא קבוצה סגורה, הרי שהיא מכילה את כל נקודות הגבול שלה, ולכן formula_55, וזאת לכל formula_22, ולכן formula_57.
נראה כעת כי בחיתוך יש בדיוק איבר יחיד: נניח כי formula_58,אז לכל formula_22 מתקיים formula_60. יהא formula_31 כלשהו, אז קיים formula_33 כלשהו כך ש-formula_63, ומכיוון ש-formula_64, ולכן formula_65. כלומר formula_66 לכל formula_31 ולכן בהכרח formula_68 ומכאן, על פי תכונות המטריקה, formula_69.
כיוון שני.
נניח כי formula_12 הוא מרחב המקיים את התכונה שלכל סדרת קבוצות שעונה על הקריטריונים שלעיל יש חיתוך לא ריק, ונוכיח כי המרחב שלם (ההוכחה שונה מעט מזו שניתנה לעיל). תהא formula_71 סדרת קושי במרחב, ונוכיח שהיא מתכנסת.
לכל איבר formula_30 בסדרה נגדיר את הקבוצה הבאה: formula_73 - הסגור של הזנב של סדרת הקושי שמתחיל באיבר formula_30. זוהי קבוצה סגורה (שכן סגור הוא תמיד קבוצה סגורה), ובבירור מתקיים formula_75 וזאת על פי דרך הגדרת הקבוצות.
אנו רוצים להוכיח כי formula_76. לשם כך נוכיח קודם כל כי לכל קבוצה formula_2 מתקיים formula_78. ברור כי formula_79 (כי formula_80 מכילה את formula_2).
יהיו formula_82, אז קיימות סדרות formula_83 שכל איבריהן שייכים לקבוצה formula_2 כך ש-formula_85 זאת מהגדרת הסגור (נשים לב שהסדרות יכולות להיות קבועות). מכיוון שאברי הסדרות שייכים כולם ל-formula_2, מתקיים formula_87 לכל formula_88. לכן נקבל formula_89, וזאת לכל formula_82, כלומר formula_91, וקיבלנו משני אי השוויונות את השוויון formula_78 המבוקש.
כעת, מכיוון ש-formula_30 סדרת קושי, הרי שלכל formula_31 קיים formula_33 כך שלכל formula_41 מתקיים formula_97. לכן formula_98, ולכן formula_99, וקיבלנו formula_32.
כעת הראינו כי הסדרה formula_13 מקיימת את כל התכונות הדרושות, ולכן formula_102. יהא formula_57, אז לכל formula_88 מתקיים formula_105, ולכן formula_106, כלומר formula_43, והראינו שסדרת קושי הנ"ל מתכנסת.
לואיס אלוורז
לואיס וולטר אלוורז (ספרדית: Luis Walter Alvarez; 13 ביוני 1911 - 1 בספטמבר 1988) היה פיזיקאי אמריקאי, חתן פרס נובל לפיזיקה לשנת 1968.
חייו.
אלוורז נולד בסן פרנסיסקו, בן לשושלת של רופאים. את לימודיו החל באוניברסיטת שיקגו, עד לקבלת תואר הדוקטור ב-1936. במהלך מלחמת העולם השנייה השתתף בפרויקט מנהטן ואף הוטס כצופה מדעי בגיחה שנשאה את הפצצה שהוטלה על הירושימה. אלוורז ותלמידו לורנס ג'ונסטון תכננו את הנפצים שבהם השתמשו בפצצות האטום בניסוי טריניטי ובנגסאקי. בנוסף לעבודתו בפרויקט עסק במחקר הקשור למכ"ם וטכנולוגיות ניווט. ב-1945 זכה בגביע קוליר (Collier Trophy) מטעם הממשלה האמריקאית על פיתוח ה-GCA (Ground Controlled Approach system, מערכת ניווט הנשלטת מהקרקע), בעזרתה יכולים טייסים להנחית מטוס בתנאי ראות גרועים.
לאחר המלחמה פנה להמצאת הסינכרוטרון, סוג של מאיץ חלקיקים. אלוורז זכה בפרס נובל לפיזיקה בשנת 1968 "על תרומותיו לפיזיקת החלקיקים, ובפרט על גילוי מספר גדול של מצבי תהודה, שנתאפשר בזכות פיתוח טכניקה של תא בועות מימני וניתוח הנתונים". בעזרת הגילוי התאפשר למדענים ללמוד את החלקיקים קצרי-החיים שנוצרו במאיצי חלקיקים.
ביחד עם בנו הגאולוג, וולטר, הציע אלוורז בשנת 1980 את התאוריה לפיה התנגשותו של אסטרואיד בכדור הארץ היא שגרמה להיעלמות הדינוזאורים באירוע הכחדת קרטיקון-שלישון, וכן סיפק את ההסבר לכמויות הגדולות של היסוד אירידיום הקשורות ל"גבול K/T": ה"קו" הגאולוגי שמעבר לו אין בנמצא מאובני דינוזאורים. עשר שנים לאחר העלאת התאוריה, התגלו ראיות במכתש ענק בשם "צ'יקשולוב" בחצי האי יוקטן במקסיקו כי במקום פגע אסטרואיד ענק, והפגיעה תוארכה לתקופה בה נכחדו הדינוזאורים. תאוריה זו הייתה מקובלת על חוקרים רבים כסיבה להכחדת הדינוזאורים, אולם בשנים האחרונות התגלו ממצאים המערערים על נכונותה.
אלוורז הציע אף פתרון לבעיה שהטרידה את חוקרי רצח קנדי. בסרט הצילום של הרצח, שצילם אברהם זפרודר, רואים את ראשו של קנדי נע באופן אלים לשמאל ולאחור, מיד לאחר שנפגע בכדור שהגיע, על פי ועדת וורן, משמאל ומאחור, כאשר על פי חוקי התנע היה צריך לנוע קדימה ולימין. מחקרו של אלוורז, שכלל הדגמה באמצעות ירי במלון, הראה כי קיים אפקט נוסף שאותו יש לקחת בחשבון, והוא אפקט "הנעת הסילון" לפיו לחץ הדם והמוח המותזים אל מחוץ לחור היציאה שנוצר מיציאת הכדור מהגוף, יוצר אפקט סילון לכיוון ההפוך מזה שממנו בא הכדור, והודף את ראשו של הקורבן לירי אל הכיוון ממנו הגיעה הירייה.
סרט פולחן
סרט פולחן, או סרט קאלט (מאנגלית: Cult film), הוא סרט שמושך קבוצה נאמנה של מעריצים אדוקים או סרט שנשאר פופולרי לאורך שנים רבות בקרב קבוצת מעריצים. במקרים רבים, סרטי פולחן כשלו בניסיון לרכוש הצלחה בקרב הציבור הרחב בעת שיצאו לראשונה לאקרנים, אך לא תמיד.
סרטי פולחן רבים מתאפיינים במקוריות, חדשנות ושבירת מוסכמות. לעיתים תגובת הקהל לסרטי פולחן היא לא מה שציפו יוצרי הסרט, למרות שלרוב סרטים שהפכו לסרטי פולחן החלו את דרכם עם אלמנטים או תוכן חריגים (לעיתים אף חתרניים כגון סרטו של ג'ון ווטרס "היירספריי" בכיכובו של הדראגיסט דיוויין).
הסרט שנחשב לדעת מבקרי קולנוע וצופים רבים לסרט הפולחן הבולט ביותר הוא "מופע הקולנוע של רוקי", בבימויו של ג'ים שרמן. סרט זה מוקרן שוב ושוב ברחבי העולם להנאתם של חסידיו, הנוהגים לשיר את מילות השירים לאור נרות, לרקוד את הריקודים ולעיתים אף להתחפש בדומה לדמויות מן הסרט. סרטים אחרים הם סרטי חבורת מונטי פייתון ובייחוד "בריאן כוכב עליון", סדרת "אמריקן פאי", "משתגעים על מרי", "ביג לבובסקי", "החדר", "ספרות זולה", "ספיינל טאפ", "אמא סדרתית", "חלף עם הרוח", "האחים בלוז" וסרטי "מלחמת הכוכבים".
סרטים נוספים שזכו למעמד של סרטי פולחן הם סרטים סוריאליסטיים הנוגעים במוזיקה אלקטרונית, שימוש בסמים והזיות למיניהן, כדוגמת "טריינספוטינג" הבריטי, "קאובוי של חצות", "יצרים בדם" ו"רקוויאם לחלום" האמריקאיים, ו"משהו טוטאלי" ו"הכוכב הכחול" הישראליים.
ברוסיה תרם סרט הפולחן "קין-דזה-דזה!" מילים וביטויים לסלנג הרוסי.
סרטי פולחן בישראל.
בישראל נחשבים כסרטי פולחן "סרטי בורקס" אחדים: "משפחת צנעני", "צ'רלי וחצי", "חגיגה בסנוקר" "מבצע סבתא" וכן סרטיו של השחקן והבמאי זאב רווח, שמרביתם הפכו לפופולריים וסרטי פולחן כגון: "רק היום" ו"אדון לאון" ואחרים, לצד סרטי דרמה הנוגעים בעצב החוויה הישראלית הקולקטיבית כגון: "הלהקה", "מציצים", "דיזנגוף 99", "אסקימו לימון", "ספיחס", "אלכס חולה אהבה" ואחרים. הסרט "גבעת חלפון אינה עונה" בבימוי אסי דיין ובכיכובם של שלישיית הגשש החיוור, נחשב לאחד הסרטים הישראליים האהובים והמצוטטים ביותר.
לצידם של סרטי הפולחן, עומדות סדרות הפולחן, שעם השנים הפכו למצוטטות בקרב חלקים רחבים מן הציבור: "זהו זה!", "החמישייה הקאמרית", "אחד העם 1", "הקומדי סטור", "ארץ נהדרת", "הבורר", ״הפרלמנט״, ״הפיג׳מות״ ו ״השיר שלנו״. המערכונים של הגשש החיוור נחשבים למערכוני פולחן.
דגל מקסיקו
דגל מקסיקו, הדגל הנוכחי קיים מאז 1968, אך העיצוב הכולל הוצג לראשונה בשנת 1821 כטריקולור בצבעים ירוק, לבן ואדום כאשר הדגל הלאומי הראשון נוצר. בשנת 1823 הוסף סמל מקסיקו, שמייצג את יסוד הבירה האצטקית טנוצ'טיטלאן (על השטח בו נמצאת היום בירת מקסיקו, העיר מקסיקו סיטי) בשנת 1325, במרכז הפס הלבן. הסמל השתנה מאז מספר פעמים, והשתנה בהתאם גם בדגל. שלושת הצבעים הללו אומצו על ידי מקסיקו מאז עצמאותה מספרד במהלך מלחמת העצמאות של המדינה.
במרכז הדגל מצויר עיט האוכל נחש וניצב על קקטוס. לפי האגדה, נאמר למנהיג האצטקים לבנות את עירו כשהוא רואה עיט אוכל נחש ונח על גבי קקטוס. כשמנהיג האצטקים אכן ראה את המחזה, הוא הקים את טנוצ'טיטלאן.
דגל מוזמביק
דגל מוזמביק אומץ ב־1 במאי 1983.
עיצובו של הדגל כולל תמונה של רובה AK-47 (קלשניקוב), והוא אחד הדגלים הלאומיים היחידים הכוללים דימוי של רובה (הדגלים היחידים הנוספים שעליהם יש כלי נשק הם דגלה של גואטמלה, דגלה של האיטי ודגלה של בוליביה).
ייצוג הרובה מסמל גם לוחמנות (אומנם במוצהר משמעותו היא נכונות להגנה עצמית) וגם קרבה למשטר הסובייטי ולקומוניזם. הדגל שנוי מאוד במחלוקת במוזמביק בשל סוג הרובה.