ניוטון פיתח את התאוריה שלו בין חורף 1664 לאוקטובר 1666, והפקיד סיכום של עבודתו בידי חברים מהחברה המלכותית הבריטית. לייבניץ החל לעבוד בנושא ב-1673. בין לייבניץ לניוטון פרץ סכסוך מר על הבכורה ביצירה זו, וכתוצאה ממנו נוצר חיץ, במשך שנים רבות, בין הפעילות המתמטית בממלכה המאוחדת לזו שבשאר אירופה. כתוצאה מכך התעכבה ההתפתחות של החשבון האינפיניטסימלי בממלכה המאוחדת, ורק בתחילת המאה ה-19 אימצו הבריטים את מערכת המושגים והסימונים האירופית.
לייבניץ וניוטון ביססו את החדו"א על מושג האינפיניטסימל שהוא מספר "קטן באופן אינסופי", ובאופן יותר מדויק, מספר אינפיניטסימלי הוא מספר שקטן בערכו המוחלט מכל מספר ממשי חיובי. במערכת המספרים הממשיים, האינפיניטסימל היחיד הוא אפס, אך במערכות מספרים אחרות קיימים אינפיניטסימלים רבים.
בעקבות מתקפה פילוסופית של ג'ורג' ברקלי ודייוויד יום על היסודות הלוגיים של החשבון האינפיניטסימלי של ניוטון, היה צורך לבסס את התחום על יסודות לוגיים מוצקים. במאה ה-19 הצליח המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין לואי קושי לבסס את מושג הגבול באמצעות גדלים ממשיים וסופיים בלבד. ההגדרות של קושי החליפו את השימוש במושג האינפיניטסימל בשימוש במספרים ממשיים שיכולים להיות "קטנים כרצוננו" או "גדולים כרצוננו", והגבול הפך למספר שאליו אפשר להגיע "קרוב כרצוננו". כך, למשל, הגבול של סדרה הוגדר בצורה הבאה: סדרה formula_1 מתכנסת לגבול L אם לכל formula_2 קטן כרצוננו קיים formula_3 כך שלכל formula_4 מתקיים formula_5 (כלומר: המרחק בין כמעט כל איברי הסדרה לגבול L קטן כרצוננו). הגדרת הגבול של קושי נהפכה לאבן היסוד של התחום בצורתו המודרנית. את ביסוס תורת הגבולות והטופולוגיה של הישר הממשי ביצעו בנוסף לקושי גם קארל ויירשטראס ובולצאנו. תרמו גם לגראנז', דארבו ורימן.
בצורתו החדשה, החשבון האינפיניסטימלי היה אמין יותר אך היה מבוסס כולו על תכונות המספרים הממשיים, מושג שהוגדר אז באופן גאומטרי. בסוף המאה ה-19, המתמטיקאים גאורג קנטור ודדקינד בנו ייצוגים קונקרטיים למספרים הממשיים, שהתבססו על תורת הקבוצות, במטרה לבסס את המושגים המתמטיים על ידי מושג הקבוצה.
בתחילת המאה ה-20, נעשו מספר ניסיונות על ידי כמה מתמטיקאים להכליל את מושג האינטגרל. וזאת מכיוון שהאינטגרל של רימן לוקה בכמה חסרונות. לדוגמה, אוסף הפונקציות שעליהן ניתן לבצע אינטגרציה לפי רימן אינו שלם לפי מספר נורמות טבעיות. ההכללה הטובה ביותר הייתה זו של אנרי לבג, אשר פיתח את תורת המידה (שבמרכזה מידת לבג שהיא מידה המכלילה את מושג האורך) ואת אינטגרל לבג.
אנליזה מתמטית.
אנליזה ("ניתוח") הוא יישום הכלים של החדו"א לחקר גדלים מתמטיים שונים וההשתנויות שלהם.
להרבה ענפים במתמטיקה יש תחום אנליזה מתאים:
אילן רמון
אילן רמון (20 ביוני 1954, י"ט בסיוון ה'תשי"ד – 1 בפברואר 2003, כ"ט בשבט ה'תשס"ג) היה טייס החלל הישראלי הראשון. שימש מומחה מטען בצוות מעבורת החלל קולומביה במסגרת משימה STS-107. ב־1 בפברואר 2003 נספה יחד עם צוות המעבורת, שהתפרקה עם חזרתה לאטמוספירה של כדור הארץ. קודם לכן שירת כטייס בחיל האוויר הישראלי והגיע לדרגת אלוף-משנה.
ביוגרפיה.
נעוריו ותחילת דרכו.
נולד בשם אילן וולפרמן ברמת גן, לטוניה (1927–2003) ולאליעזר וולפרמן (1923–2006). משפחתו של אביו נמלטה מגרמניה הנאצית ב-1935. אמו וסבתו הגיעו מפולין, ניצולי השואה אשר שרדו את אושוויץ, ועלו לישראל ב-1949.
אילן למד בבית הספר היסודי רמת חן (לאחר שנהרג באסון המעבורת 'קולומביה', הוסב שם בית הספר על שמו). בשנת 1962 עברה המשפחה לגור בבאר שבע, שם למד בבית הספר בארי. את לימודיו התיכוניים סיים בתיכון מקיף ג' בעיר בשנת 1972. עם גיוסו לצה"ל, שינה את שם משפחתו לרמון עקב אהבתו למכתש רמון.
שירותו בחיל האוויר.
באוגוסט 1972 התגייס רמון לחיל האוויר והחל בקורס טיס, אותו נאלץ לעזוב לאחר שמונה חודשים מאחר ששבר את ידו. במלחמת יום הכיפורים שירת ביחידת לוחמה אלקטרונית בבסיס אום חשיבה שבסיני. הוא חזר לקורס הטיס, ובמהלכו נאלץ, בעקבות תקלה טכנית, לנטוש יחד עם המדריך שהיה עמו, מטוס פוגה מגיסטר (שבו לא הותקנו כיסאות מפלט). במהלך הנטישה נפצע באורח קל. רמון סיים את הקורס בשנת 1974 במגמת קרב, כחניך מצטיין. הוא שירת כטייס קרב, תחילה כטייס סקייהוק בטייסת 102 ולאחר מכן כטייס נשר בטייסת 253 בבסיס איתם בסיני. ב־1980 נמנה עם הטייסים הראשונים שנסעו לארצות הברית כדי ללמוד להטיס את מטוס ה־F-16, והיה בצוות הקליטה של המטוס בחיל האוויר.
ביוני 1981 השתתף רמון בהפצצת הכור שהחל להיבנות בעיראק. הוא היה מהראשונים שנטלו חלק בתכנון המבצע והיה הצעיר בין הטייסים שהשתתפו בתקיפה. רמון היה האחרון במבנה התקיפה, מיקום שנחשב למסוכן במיוחד, משום שבעת שהמטוס האחרון יבצע את התקיפה כבר יאבד גורם ההפתעה והגנת הנ"מ של האויב כבר תהיה פעילה. עם היציאה מיעף ההפצצה לא ענה רמון לקריאות מוביל המבנה, וחבריו חששו לחייו; רמון תיאר לאחר מכן שהיה המום מעומסי כוחות הג'י שהופעלו עליו בעת ההפצצה, אך לאחר כמה שניות התעשת וענה לקריאות מוביל המבנה.
בהמשך השנה מונה לסמ"ט ב' בטייסת הנגב. ב-20 בינואר 1982, במהלך טיסת אימון, התנגש רמון במטוס אחר מהטייסת (מספרי זנב: 276 ו־266). רמון והטייס השני נטשו בשלום והמטוסים התרסקו. שנה לאחר מכן השתתף במלחמת לבנון הראשונה.
ב־1983 השתחרר משירות הקבע והחל ללמוד באוניברסיטת תל אביב וכעבור ארבע שנים קיבל תואר ראשון בהנדסת אלקטרוניקה ומחשבים. עם סיום לימודיו הצטרף לצוות הפיתוח של מטוס הלביא.
ב-1988 חזר רס"ן רמון לחיל האוויר והתמנה לסמ"ט א' בטייסת 119 ("העטלף"), אז טייסת מטוסי קורנס (פנטום). בתפקידו זה הוביל מבצעי צילום מיוחדים ורגישים ברחבי המזרח התיכון ומעבר לו. ב-1990 מונה רמון לפקד על טייסת 117 ("הסילון הראשונה"), אז טייסת מטוסי ברק (F-16) בבסיס רמת דוד. ב-1992 מונה לראש ענף מטוסים במחלקת אמצעי לחימה שבמטה חיל האוויר וב-1994 קודם לדרגת אלוף-משנה ושירת כראש מחלקת אמצעי לחימה, עד 1997.
לאורך שירותו צבר רמון יותר מ־3,000 שעות טיסה על מטוסי סקייהוק, נשר ופנטום, ויותר מ־1,000 שעות טיסה על הדגמים השונים של מטוס הF-16.
טייס החלל הישראלי הראשון.
רמון נבחר להיות טייס החלל הישראלי הראשון על ידי חיל האוויר, בעקבות הסכם שנחתם בין ישראל לארצות הברית ב־1995 לשלב ישראלי בטיסה לחלל של נאס"א. סוכנות החלל הישראלית פנתה לחיל האוויר בבקשה שיבחר בעבורה את המשתתף, וב־1997 בחר החיל ברמון. ב־1998 רמון ומשפחתו: אשתו רונה, וארבעת ילדיהם - העתיקו את מושבם אל מתקן האימונים לאסטרונאוטים בארצות הברית. אימוניו של רמון לקראת הטיסה היו אמורים להימשך כשלוש שנים, ובאוגוסט 2001 נקבע מועד הטיסה למאי 2002, אך נאס"א דחתה את שיגור קולומביה מספר פעמים.
בתפקידו במשימת STS-107 במעבורת השתתף רמון בביצוע ניסוי האבק הישראלי, שתוכנן באוניברסיטת תל אביב במטרה לחקור כיצד משפיעות סופות אבק על המזרח התיכון, וכן ניסויים נוספים, בביולוגיה ובפיזיקה, שאחד מהם הוכן על ידי תלמידי כיתה י"א מאורט קריית מוצקין. רמון לקח עמו לחלל חפצים שונים המייצגים את החברה הישראלית, בהם:
רמון התעניין טרם נסיעתו כיצד לקיים מצוות בחלל. בשאלה לגבי שמירת יום השבת בחלל השיבו רבנים כי עליו לספור שישה פרקי זמן שאורכם 24 שעות, ולשמור את השבת בפרק הזמן השביעי, בדומה לנוהג ההלכתי בקטבים בהם השמש אינה זורחת חודשים ארוכים.
לאחר מספר דחיות בשיגור, מעבורת החלל קולומביה שוגרה ב-16 בינואר 2003 (י"ג בשבט, ה'תשס"ג) ממרכז החלל קנדי, למשימה בת 16 ימים בחלל. ב-21 בינואר קיים ראש הממשלה אריאל שרון שיחת טלפון עם רמון.
ב־1 בפברואר 2003 נספה רמון יחד עם ששת חבריו לצוות, כשהמעבורת התפרקה עם חזרתה לאטמוספירה של כדור הארץ. הסיבה לתאונה הייתה חתיכת קצף אטימה שנשברה במהלך השיגור ופגעה ברעפי ההגנה מחום בכנף השמאלית של המעבורת. במהלך הכניסה מחדש הכנף הפגועה התחממה אט-אט ולבסוף התפרקה, דבר אשר גרר פירוק מוחלט של המעבורת.
גופתו של רמון זוהתה ב-5 בפברואר והובאה לישראל חמישה ימים לאחר מכן. עם הגעת הארון נערך טקס ממלכתי בבסיס חיל האוויר שליד נמל התעופה בן-גוריון, בנוכחות המשפחה, נשיא המדינה, ראש הממשלה ונציגי נאס"א. למחרת, ב-11 בפברואר, נקבר רמון בבית העלמין בנהלל בטקס צבאי. אלמנתו רונה ביקשה להשמיע במהלך ההלוויה את השיר "Imagine" של ג'ון לנון, כפי שהושמע במהלך המשימה בחלל. ברקע נשמעו קולותיהם של רמון ועמיתו ווילי מק'קול, המביעים תקווה לעתיד טוב יותר, באנגלית ובעברית. הטקס נחתם במטס מבנה של ארבעה מטוסי אף-16 מעל בית העלמין, כשאחד מהם עזב את המבנה.
לאחר מותו, עוטר רמון באות הערכה מטעם הרמטכ"ל ומדליית הכבוד החללית של הקונגרס.
היומן האישי של רמון (יומן האסטרונאוט).
במהלך שהותו בחלל כתב רמון יומן. היומן התגלה בטקסס שבועות אחדים לאחר האסון, כשהוא חרוך מעט. שמונה עמודים מתוכו שרדו את הפיצוץ שהתחולל כאשר המעבורת טסה בגובה 60 קילומטר. בעמודים שנמצאו תיעד רמון את חוויותיו מאז השיגור ועד היום השישי למסעו בחלל. אחד הדפים ששוחזרו בעזרת המחלקה לזיהוי פלילי של משטרת ישראל, היה דף, שעליו כתב רמון את מילות הקידוש לליל שבת. הוא גם טרח לנקד בכתב ידו את האותיות כדי שלא לטעות בהגייתן.
הנצחתו.