בעבר החברה תכננה לשאת אותו באמצעות המטוס הייעודי ווייט נייט 2 של חברת וירג'ין גלקטיק, שמיועד במקור לשאת את החללית הפרטית המאוישת ספייס שיפ 2. בסוף 2015 החברה שינתה את התכנון הזה, וה-Launcher One יוטס על גבי מטוס בואינג 747, שהיה עד אז חלק מצי המטוסים של וירג'ין אטלנטיק. המטוס זכה לכינוי "Cosmic Girl" (ילדה קוסמית).
פונקציית קנטור
פונקציית קנטור הידועה גם כמדרגות השטן היא פונקציה רציפה לא יורדת שמטפסת מ-0 ל-1 אף על פי שהנגזרת שלה מתאפסת כמעט בכל מקום. בזכות תכונותיה הייחודיות פונקציית קנטור שימושית בהקשרים רבים, ובפרט כדוגמה נגדית לטענות רבות באנליזה ממשית.
הפונקציה נקראת על שמו של גאורג קנטור שהיה הראשון שחקר אותה.
הגדרה.
ההגדרה הנפוצה ביותר של פונקציית קנטור היא באמצעות קבוצת קנטור. קבוצת קנטור היא הקבוצה המתקבלת מן התהליך הבא: לוקחים את קטע היחידה formula_1 ומסירים ממנו את השליש האמצעי formula_2. כעת חוזרים על הפעולה עם שני החלקים שנשארו formula_3 ו-formula_4 ומסירים מכל אחד מהם את השליש האמצעי. ממשיכים וחוזרים על הפעולה הזו עד אינסוף. קבוצת הנקודות בקטע היחידה שלא מוסרות ממנו באף אחד מן השלבים היא קבוצת קנטור המסומנת formula_5. תיאור נוסף ושימושי של קבוצת קנטור הוא כקבוצת כל המספרים בקטע שבהצגה שלהם בבסיס טרינארי (בסיס 3) לא מופיעה הספרה 1 (אם למספר יש שתי הצגות טרינאריות, כמו formula_6, תמיד בוחרים בהצגה שלא מופיע בה 1, אם ישנה כזו).
נגדיר את פונקציית קנטור formula_7 לכל x בקבוצת קנטור באופן הבא: נציג את x בבסיס טרינארי. את כל מופע של הספרה 2 נחליף בספרה 1. נקרא את הביטוי שקיבלנו כמספר בבסיס בינארי (בסיס 2) והמספר שנקבל יהיה formula_8. בסימונים: אם formula_9, אז formula_10.
נחשב למשל את formula_11. בבסיס טרינארי formula_12, ולכן formula_13.
כעת נרחיב את formula_7 לנקודות שאינן בקבוצת קנטור. אם נקודה x אינה בקבוצת קנטור, אז היא הוסרה מקטע היחידה באחד מהשלבים של בניית הקבוצה. נניח למשל שהיא נמצאת בקטע הראשון שמוסר, formula_2. נחשב את הערך של פונקציית קנטור בקצוות הקטע. formula_16 ו-formula_17. לכן:
קיבלנו ש-formula_7 מקבלת ערכים זהים בקצוות הקטע שהוסר. הדבר מתרחש בכל קטע שמוסר במהלך בניית קבוצת קנטור, כי לקצוות הקטע הצגה טרינארית זהה מלבד הספרה האחרונה שהיא 1 בראשית הקטע ו-2 בסופו. על כן לכל נקודה x שאינה בקבוצת קנטור נוכל להגדיר את formula_8 כערך של פונקציית קנטור בקצוות הקטע שהוסר ומכיל את x. פורמלית נוכל להגדיר לכל formula_21 את formula_8 בתור formula_23.
נוכל לסכם זאת באופן הבא:
לכל x בקטע formula_8 יוגדר באופן הבא:
המספר שקיבלנו הוא formula_8.
תכונות.
קל לראות ש-formula_26 ו-formula_27. התמונה של קבוצת קנטור תחת formula_7 היא הקטע formula_1 כולו, שכן כל מספר x בקטע ניתן להציג בצורה בינארית ולהחליף את כל המופעים של 1 ב-2 ולקבל (בהצגה טרינארית) איבר של קבוצת קנטור שתמונתו x.
פונקציית קנטור עולה במובן החלש (לא יורדת). מספיק להראות שהטענה נכונה לאיברי קבוצת קנטור, כי נקודות שאינן בקבוצת קנטור מוכלות בקטע בו הפונקציה קבועה וקצוותיו בקבוצת קנטור. ואכן אם formula_30 בקבוצת קנטור, אז הספרה הראשונה בהצגה טרינארית בה x ו-y לא מתלכדים מופיע 2 בהצגה של y ו-0 בהצגה של x, ולכן יופיע 1 בהצגה הבינארית של formula_31 ו-0 בהצגה הבינארית של formula_8 ומכאן ש-formula_33.
פונקציית קנטור רציפה. זה נובע מיידית מהעובדה שהיא עולה מ-0 ל-1 והיא על הקטע formula_1 (כי נקודת אי-רציפות של פונקציה מונוטונית היא תמיד מסוג קפיצה). ניתן גם להראות זאת ישירות. יהי formula_35. נבחר n גדול מספיק כך ש-formula_36. נגדיר formula_37. לכל formula_38 אם formula_39 אז x ו-y מתלכדים ב-n הספרות הטרינאריות הראשונות ולכן formula_8 ו-formula_31 מתלכדים ב-n הספרות הבינאריות הראשונות, ועל כן: formula_42. מכאן שהפונקציה רציפה במידה שווה בקבוצת קנטור, ומכיוון שהיא קבועה בין נקודות קבוצת קנטור, אז היא רציפה במידה שווה בכל הקטע.
קבוצת קנטור formula_5 היא קבוצה ממידה אפס (במהלך הבנייה שלה הסרנו קטעים שאורכם הכולל הוא 1 ולכן ה"אורך" שלה הוא 0). מכיוון ש-formula_44 אנו מקבלים דוגמה למקרה בו תמונה רציפה של קבוצה ממידה אפס היא קבוצה ממידה חיובית (קטע באורך 1).
כל נקודה שאינה בקבוצת קנטור מוכלת בקטע פתוח שבו formula_7 קבועה, ולכן הנגזרת של formula_7 בנקודה היא אפס. מכיוון שקבוצת קנטור היא ממידה אפס, נקבל שהנגזרת של formula_7 היא 0 כמעט בכל מקום. זאת על אף שמדובר בפונקציה עולה. מסקנה מיידית היא שפונקציית קנטור אינה מקיימת את נוסחת ניוטון לייבניץ, היא אינה שווה לאינטגרל (לבג) לא מסוים של הנגזרת שלה (אין זה משנה מה הנגזרת בקבוצת קנטור, מכיוון שאינטגרל אינו מושפע מקבוצות ממידה אפס):
זאת מכיוון שפונקציית קנטור אמנם רציפה במידה שווה, אך אינה רציפה בהחלט בקטע.
ידוע שפונקציה היא אינטגרל לא מסוים של הנגזרת שלה אם ורק אם היא רציפה בהחלט. כל אינטגרל לא מסוים הוא רציף בהחלט, ולכן פונקציית קנטור אינה אינטגרל לא מסוים של אף פונקציה.
התפלגות קנטור מוגדרת כהתפלגות שפונקציית קנטור היא פונקציית ההצטברות שלה. לפי האמור להעיל, זו דוגמה להתפלגות רציפה שאין לה פונקציית צפיפות.
מאי-שוויון המשולש נובע שהאורך של גרף של פונקציה לא יורדת החסומה בריבוע היחידה, חסום על ידי 2. קל למצוא פונקציה כזו שאורך הגרף שלה קרוב כרצוננו ל-2, אבל לא קל למצוא פונקציה כזו שאורך הגרף שלה הוא 2 בדיוק. פונקציית קנטור היא דוגמה לפונקציה כזו, שכן ניתן לקרב אותה על ידי סדרת פונקציות פוליגוניות שהולכים ומתקרבים למדרגות.
פונקציית קנטור מחלקת את ריבוע היחידה לשני חלקים חופפים, ולכן formula_49.
שימושים.
בנייה של קבוצה מדידה לבג שאינה קבוצת בורל.
נשתמש בפונקציית קנטור כדי לבנות קבוצה מדידה לבג שאינה קבוצת בורל. נגדיר פונקציה formula_50. זוהי פונקציה רציפה (כסכום של פונקציות רציפות) שעולה חזק מ-0 ל-1 (formula_8 עולה חלש ו-formula_52 עולה חזק, ולכן מחצית סכומן עולה חזק). מכאן שזוהי פונקציה חד-חד-ערכית ועל (והפיכה) מקטע היחידה לעצמו. מכיוון ש-formula_53 רציפה ועולה לכל קטע formula_54 מתקיים formula_55. בכל קטע formula_54 שמוסר בעת בניית קבוצת קנטור הפונקציה formula_7 קבועה ולכן האורך של formula_58 הוא: formula_59. סכום אורכי הקטעים שהוסרו ביצירת קבוצת קנטור הוא 1, ולכן סכום אורכיהם לאחר הפעלת formula_53 הוא חצי (סיגמא-אדיטיביות של האורך). מכאן שהקבוצה המשלימה לתמונת איחוד הקטעים, הלא היא תמונת קבוצת קנטור, היא ממידה formula_61.
מצאנו ש-formula_62 היא קבוצה ממידה חיובית. לכן לפי משפט ויטלי קיימת קבוצה formula_63 שאינה מדידה לבג (ובפרט אינה קבוצת בורל). נסמן formula_64. כמובן formula_65 ולכן P ממידה אפס כתת-קבוצה של קבוצה מדידה אפס, ובפרט היא מדידה לבג. נוכיח כי P אינה קבוצת בורל. formula_66 רציפה, ולכן מדידה בורל. מכאן שהמקור של קבוצת בורל לפי formula_66 היא קבוצת בורל. אבל המקור של P היא E שאינה קבוצת בורל, ולכן P אינה קבוצת בורל.
במהלך ההוכחה קיבלנו ש-formula_53 היא הומאומורפיזם בין formula_5 לקבוצה ממידה חיובית formula_62. formula_62 נקראת "קבוצת קנטור שמנה".
בנייה של עקומת פאנו.
פונקציית קנטור משמשת בהוכחת משפט פאנו הקובע שקיימת מסילה רציפה שממלאת את כל ריבוע היחידה (עקומת פאנו). פונקציית קנטור היא פונקציה רציפה מקבוצת קנטור על קטע היחידה. לכן הפונקציה formula_72 המוגדרת לפי formula_73 היא פונקציה רציפה על ריבוע היחידה.
נקח את הקבוצה formula_74 עם הטופולוגיה הדיסקרטית. הפונקציה formula_75 היא הומאומורפיזם בין מרחב המכפלה formula_76 ל-formula_5. מקיבוציות המכפלה נובע ש-formula_76 הומאומורפי ל-formula_79 ולכן formula_5 הומאומורפי ל-formula_81. משמע קיימת פונקציה formula_82 שהיא רציפה ועל.
ההרכבה formula_83 היא פונקציה רציפה מ-formula_5 על ריבוע היחידה. נשלים את F לקטעים שאינם בקבוצת קנטור באופן ליניארי לפי הערכים שמתקבלים בקצוות שלהם. F שקיבלנו היא עקומת פאנו.
הכללות.
פונקציית קנטור היא הדוגמה הסטנדרטית לפונקציה סינגולרית - פונקציה רציפה בעלת השתנות חסומה ולא קבועה שנגזרתה מתאפסת כמעט בכל מקום.
פונקציית קנטור מראה שקטע היחידה הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור. זהו מקרה פרטי של משפט בסיסי בטופולוגיה הקובע שכל מרחב מטרי קומפקטי הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור. ההוכחה מבוססת על בניית פונקציית קנטור מוכללת. הבנייה מנצלת את העובדה שמרחב מטרי קומפקטי הוא חסום כליל. תחילה מכסים את המרחב בכדורים סגורים ברדיוס חצי, אחר כך מכסים כל כדור בכדורים סגורים ברדיוס רבע, ובאופן כללי בשלב ה-n מכסים את הכדורים ברדיוס formula_85 באמצעות כדורים סגורים ברדיוס formula_86 וכך ממשיכים עד אינסוף. כעת לכל כדור מתאימים סדרה סופית של ספרות 0 ו-2 כך שכל רישא שלה הותאמה לכדור המכיל אותו. לכל formula_87 מגדירים את formula_8 בתור האיבר הנמצא בכל הכדורים המתאימים לרישא של formula_52 כסדרה של ספרות טרינאריות. מרחב מטרי קומפקטי הוא שלם ולכן (מכיוון שרדיוס הכדורים הולך וקטן) לפי הלמה של קנטור formula_8 קיים ויחיד. הפונקציה על כי הכדורים מכסים את המרחב כולו והיא רציפה כי איברי קבוצת קנטור קרובים מספיק יתחילו באותו רצף ספרות ולכן יכללו יחד באותו כדור קטן.