משחק פשוט הוא סוג של משחק שיתופי בצורה קואליציונית formula_1 בו שוויה של קואליציה הוא תמיד 0 או 1. אם הערך הוא 1 נאמר שזו קואליציה מנצחת ואם הוא 0 נאמר שזו קואליציה מפסידה. משחקformula_1 נקרא מונוטוני אם לכל שתי קואליציות S ו- T, המקיימות formula_3, מתקיים formula_4.
עבור משחק פשוט מונוטוני formula_1, המקיים formula_6, ועבור שחקן formula_7 כלשהו, נגדיר את הערך formula_8 כמספר הקואליציות formula_9 המקיימות formula_10 וכן formula_11. כלומר, formula_8 הוא מספר הקואליציות ששחקן formula_7 בהצטרפותו אליהן מעביר אותן ממפסידות למנצחות (במקרה זה נאמר כי formula_7 הוא שחקן ציר).
נגדיר את ערך בנזף של שחקן i במשחק formula_1 להיות:
formula_16
המשמעות ההסתברותית של ערך בנזף.
נניח כי כל שחקן בוחר באקראי ובאופן בלתי תלוי בחבריו כיצד להצביע.
נצטמצם למרחב הסתברותי בו החלטה עוברת על חודו של קול. כלומר, רק על ידי קואליציות מנצחות מינימליות בגודלן.
אם מספר הקואליציות המנצחות המינימליות הוא formula_17, ושחקן formula_18 הוא שחקן ציר ב- formula_19 מתוכן, אז ההסתברות שיהיה שחקן ציר היא בדיוק formula_20.
ערכי בנזף מתקבלים מהנרמול של סכום ההסתברויות formula_21 ל-1.
ואכן: מ- formula_22 נקבל:
formula_23,
ואז, הגודל formula_24 הוא בדיוק formula_25.
לכן, ערך בנזף הוא גודל השוואתי. כלומר, ניתן לומר שאם ערך בנזף של שחקן 1 גדול פי b מזה של שחקן 2, אזי הסיכוי ששחקן 1 יהיה שחקן ציר גדול פי b מהסיכוי ששחקן 2 יהיה שחקן ציר.
דוגמה.
נתבונן במשחק פשוט של ועדה בת 4 חברים הנדרשת להעביר החלטה כלשהי. לחבר A יש 4 קולות, לחבר B - שלושה קולות, לחבר C - שני קולות, ולחבר D יש קול אחד. כדי להעביר החלטה, יש צורך במינימום של 6 קולות. לכן, לחישוב ערכי בנזף של השחקנים, נתבונן ברשימת הקואליצות המנצחות כששחקני הציר בכל קואליציה מודגשים:
AB, AC, ABC, ABD, ACD, BCD, ABCD
לכן, סך כל האפשרויות בהן שחקן כלשהו יהיה שחקן ציר הוא 12, וזהו שווי המכנה בערך בנזף.
ולבסוף:
שחקן A הוא שחקן ציר 5 פעמים, ולכן
formula_26
באופן דומה:
formula_27
formula_28
formula_29
היסטוריה.
המושג המוכר כיום כמדד הכוח של בנזף, הוצג עוד ב-1946 במאמר מאת הגנטיקאי והמתמטיקאי ליונל פנרוז (אביו של רוג'ר פנרוז) אשר לא זכה לתשומת לב רבה.
הוא הומצא בשנית על ידי ג'ון בנזף השלישי ב-1965.
בנזף היה משפטן ורצה להראות בצורה אובייקטיבית כי שיטת ההצבעות במועצת מחוז נאסאו בלונג איילנד אינה הוגנת. במועצת המחוז ההצבעות היו ממושקלות, כשלנציגי אזורים שונים היה משקל שונה.
חלוקת משקלי הקולות הייתה כלדקמן:
כלומר המשקל הכולל של הקולות הוא וכדי להעביר החלטה היה צורך במינימום של משקל 16.
בחישוב מדד בנזף במקרה זה יש סך הכל 48 מקרים של שחקן ציר, ותוצאות מדד בנזף היו:
כלומר, ההסתברות ששלושת האזורים האחרונים יוכלו להיות שחקני ציר היא 0.
בנזף טען שמתן 0% השפעה על פי המדד המוצע ל-3 אזורים אינו הוגן.
מאז עבודתו של בנזף המדד הנושא את שמו בנזף משמש מדד מקובל למדידת כוח הצבעה, לצד מדד הכוח של שפלי ושוביק. כך, למשל, בנזף עצמו טען ב-1968 כי בשיטת הבחירה של נשיא ארצות הברית באמצעות חבר האלקטורים יש עדיפות לבוחרים ממדינות גדולות.
עם זאת, מדד בנזף ספג ביקורת על התייחסותו להחלטות המצביעים כהחלטות אקראיות, וניסויים אמפיריים הראו תוצאות שאינן עקביות עם המדד.
מדד הכוח של בנזף
FXP הוא אתר קהילות פורומים ישראלי. האתר מכיל מאות פורומים בנושאים שונים: החל מפורומים בנושאי ספורט, טלוויזיה ותחביבים, ועד למחשבים, ללימודים ולמוזיקה. באתר קיים מדרג תפקידים המבוסס על סמכויות ועל הרשאות, אשר ניתנות על ידי צוות ההנהלה הראשית.
היסטוריה.
בספטמבר 2003 הקים ארז בן דוד אתר ללא שם על שרת אחסון אתרים חינמי ועל מערכת המבוססת קוד פתוח. זאת עקב חוסר שביעות הרצון שלו מהתנהלות הפורומים בהם נהג לגלוש. לאחר חודש בו האתר צבר פופולריות שודרגו תשתיותיו, בין השאר למערכת vBulletin, וניתן לו השם Bomba Board. במאי 2004 שונה שם האתר ל־FXP והתגבשה צורתו. בשנים הראשונות התנועה באתר הייתה דלילה והוא תוחזק על ידי בן דוד כתחביב.
ב-5 בנובמבר 2007 אוגדה פעילות האתר לחברת אף. אקס.פי בע"מ, תוך ניסיון ליצור הכנסות ושיתופי פעולה מסחריים. ב-2007 נסגרה קטגוריית פורנוגרפיה (בשם "סקס") לאחר שמקים האתר טען לבעיות חוק ומוסר. בסוף 2009 נסגרו גם הפורומים "סריאלים וקראקים" ו"משחקים להורדה", לאחר שינוי מערכת החוקיות של האתר בהתאם לתקנות זיר"ה.
ב־2010 האתר הגיע לשיתוף פעולה עם חברת הפרסום web3, אשר העניקה לאתר ליווי טכנולוגי וליווי בתחום השיווק. האתר החל להעסיק ספק קידום אתרים במנועי חיפוש, שהעלה את פופולריות האתר ובמקביל גייס מפרסמים ושיתופי פעולה, בניהם עם ynet ו־Mako.
ב־2011 שודרגה מערכת האתר ועיצוב האתר שונה בהתאם. כמו כן נוספה לאתר תמיכה במכשירים ניידים, הוסרה מערכת צ'אט שהופעלה בשיתוף עם חברת פלאפון תקשורת, נוספו על סרגל כלים בפורום שירות העלאת קובצי תמונות לשרת. כל זאת הביאו אותו ביולי 2012 למקום העשירי ברשימת האתרים בשפה העברית הנצפים ביותר בישראל.
ב־2013 הייתה באתר פינה בשם "FXP Zone" להעלאת סרטוני וידאו שדרש הרשמה נפרדת, אך היא נסגרה עקב חוסר עניין.
ב־2 באוקטובר 2013, במסגרת חגיגות העשור לאתר הושקה מערכת לייקים חדשה. באמצעותה המשתמשים יכולים לסמן אשכולות ותגובות שהם אהבו. לאחר מכן נוספה גם מערכת התראות לוואטסאפ, אשר הוסרה עקב בעיות טכניות. ב־16 בנובמבר 2015, הושקה אפליקציה לאנדרואיד וב־13 בדצמבר ל־iOS המאפשרת קבלת התראות לנייד. ב־29 בפברואר 2016 האתר נכנס לשיתוף פעולה עם אתר וואלה! NEWS. בנוסף שולב בו מודל עסקי משני ובו ביצוע סקרים אינטרנטיים לחברות מסחריות. עד מאי 2017, האתר הוציא עיתון חודשי.
בינואר 2020 שופטת בית משפט השלום אשרית רוטקופף חייבה את הנהלת האתר לשלם לצלם ישראל ברדוגו 38 אלף שקל ועוד 10 אלף שקל הוצאות משפט. זאת לאחר שפורסמו באתר תמונות שצילם ברדוגו ללא אישורו וללא מתן קרדיט. בפסק הדין נקבע כי לחברה אחריות על פרסומי מנהל באתר, על אף שאינו נמנה עם עובדיה. עם זאת השופטת פטרה אותם מאחריות על פרסום תמונות אחרות של ברדוגו בידי משתמשים רגילים.
האתר הוא מבין הראשונים בישראל, שלא אפשר למשתמשים שאינם רוצים להמשיך בפעילותם למחוק את חשבונם, נוהל שאומץ בהמשך על ידי אתרים נוספים בישראל כמו HWzone.
גיבסון SG
גיבסון SG הוא דגם גיטרה פופולרי שהוצג בתחילת שנות ה-60 של המאה ה-20 על ידי חברת גיבסון.
מקורות.
בשנת 1960 מכירות הגיבסון לס פול ירדו בצורה משמעותית. בשנת 1961 חברת גיבסון הוציאה דגם משופר של הלס פול שכלל גיטרה קלה יותר, בעלת עיצוב חדש, עם גישה טובה יותר לשריגים הגבוהים ולנגינה נוחה יותר. משום היות הגיטרה קלה כל כך, הצוואר היה כבד ביחס לגוף, מה שגרם לו לנטות למטה. החיבור בין הצוואר והגוף הוזז שלושה שריגים קדימה, על מנת שתהיה אליהם גישה טובה יותר. כמו כן הגיטרה הייתה זולה יותר, משום השימוש המועט יותר בעץ והבנייה הקלה יותר. הגיבסון SG תוכננה על מנת להתחרות עם הפנדר סטראטוקסטר, שמכירותיה עלו באותה תקופה, גם משום מחירה הזול יותר.
בפרסומות ל-SG היא הופיעה כגיטרה עם "הצוואר המהיר ביותר בעולם". הלס פול (השם של ה-SG באותה תקופה) הייתה גיטרה פופולרית מאוד. לס פול, הגיטריסט שעזר לגיבסון בתכנון גיטרות, שעל שמו נקראה הגיבסון לס פול, לא אהב אותה וביקש ששמו יימחק ממנה. גיבסון מיהרו להחליף את השם ל-SG, קיצור של "SOLID GUITAR", או: גיטרה בעלת גוף מוצק, לא חלול, כפי שהיה נהוג לבנות גיטרות בתחילת המאה ה-20. למרות ששמו של לס פול הורד מן הגיטרות כבר בשנת 1961, במפעל גיבסון נותרו תגיות שם הנושאות את שמו של לס פול, שהורכבו על הגיטרות עד סוף שנת 1963.
דגמים וסוגים.
מאז הוצאת הSG היא הוצעה למכירה במספר דגמים: הדגם הזול יותר נקרא "ג'וניור", הבינוני "סטנדרט" והדגם המשופר והיקר מכולם- ה"קאסטום".
דגמי ה"קאסטום" שיוצרו בין השנים 1961-1963 לא נשאו את השם SG, אך נשאו את חתימתו של לס פול בין לוח האצבוע למיקרופון הצוואר, יחד עם השם "קאסטום". השם "סטנדרט" נחרט על כיסוי מוט הכיוון (ה-TRUSS ROD) מתחילת יצור הדגם ועד היום. לכל דגמי ה-SG בין השנים 1961-1965 היה מגן שריטות קטן ,שלא כיסה את אזור הפיקאפים, אך בדגמים שיוצרו משנת 1966 תוכנן מגן שריטות גדול שמכסה את כל האלקטרוניקה שעל הגיטרה, בדומה לפנדר סטראטוקסטר.
בשנת 1971 הוציאה גיבסון גרסה בעלת מגן שריטות "מרחף", בדומה לזה שעל הגיבסון לס פול, והוצע כתוספת לגיטרה גשר ביגסבי, המשמש כגשר צף להרפיה ולמתיחה של המיתרים על מנת ליצור שינוי טונאלי.
באותה שנה הוצעו גם הSG-100 כדגם זול עם פיקאפ יחיד, וה-SG-200 בעלת שני פיקאפים עם סליל יחיד, בשם P-90 (גרסה אשר שוחזרה מאוחר יותר ונקראה SG Classic). כמו כן גם הדגמים היוקרתיים SG PRO וה-SG DELUXE הוצאו, אך בשנת 1972 בוטלו הדגמים המיוחדים.
בשנת 1968 הוכרזה ה-SG "ספיישל"- דגם הממוקם בין ה"ג'וניור" ל"סטנדרט" וכוללת שני פיקאפים יחידי-סליל, גשר קבוע או צף, כריכה בצוואר ונקודות לאורך הצוואר (במקום הטרפזים שהיו נהוגים בדגמים היקרים יותר).
כיום הספיישל כוללת שני פיקאפים כפולי-סליל, (HUMBUCKERS) ומגן שריטות גדול, בדומה לדגמי הסטנדרט.