צליחת חיל הרגלים החלה בבוקר ה-12 בספטמבר ונתקלה בהתנגדות מועטה בלבד. ההתקדמות הייתה כה מהירה עד שחלקים מכוח משולב A הספיקו גם הם לחצות במהלך אותו יום. הסיבה לקלות היחסית נבעה מכך שנקודת הצליחה עברה בתפר שבין שתי דיוויזיות גרמניות (דיוויזיית הפאנצרגרנדיר ה-3 ודיוויזיית הפולקסגרנדיר ה-553).
התקפת הנגד הגרמנית נגד ראש הגשר החלה בשעה 01:00 ב-13 בספטמבר. בתחילה התקפת הנגד שבוצעה על ידי רגימנט הפאנצרגרנדיר ה-29 הצליחה וגרמה לנסיגת הכוחות האמריקאיים כמעט עד הגשר שהוצב, עד שאחד ממפקדי גדודי השריון הצליח לכנס מספיק כוחות, כולל טנקים בינוניים מגדוד 702 המסופח, ועצר את התקפת הגרמנים בפונט-דה-מונס (le Pont de Mons).
כוח משולב A שלח יחידת סיור שכללה רכבים משוריינים וג'יפים לאזור ראש הגשר בשעה 06:15, שהצליחה להגיע עד פאתי סנט ז'נבייב (Sainte Geneviève), אך נאלצה לעצור עקב הרעשה ארטילרית של תותחים מתנייעים גרמנים. עם עלות השחר הכוחות הגרמנים החלו לסגת לכיוון צפון ומזרח, כאשר יחידות הדיוויזיה ה-80 וטנקים של כוח משולב A מזנבים בהם. באותו זמן גדוד שריון 37 של כוח משולב A בפיקודו של לוטננט קולונל קרייטון אברמס עברו במהירות דרך ראש הגשר ושעטו לכיוון דרום מזרח כשהם מביסים בדרכם מחסומי דרכים גרמנים תוך שהם לוקחים שבויים רבים. עד הערב ראש הגשר כבר נחשב לבטוח ומאובטח, כך שכל כוח משולב A יכול היה לעבור ולהגיע עד טירת סאלין (Château Salins).
למחרת בבוקר שוב ניסו הגרמנים לבצע מספר התקפות נגד בחסות הערפל, אך כל הניסיונות נהדפו על ידי כוחות הדיוויזיה ה-80 מתוגברים בכוחות של כוח משולב A.
ראשי הגשר בפלאוויני (Flavigny) ובאיון (Bayon).
ב-10 בספטמבר כאשר כוחות הדיוויזיה ה-35 נערכו להתחיל את חלקן בתקיפה, התגלה גשר הממוקם קרוב לפלאוויני (Flavigny) כאשר הוא ממוקש כולו במטעני חבלה, אך עדיין שלם. גדוד 2 של חטיבת חיל רגלים 134 קיבל אישור לתקוף את הגשר בין הערביים, אך למרות שמשימות כיבוש הגשר והקמת ראש הגשר הצליחו, תגבורת בוששה להגיע. האמריקאים הצליחו להדוף שתי התקפות נגד גרמניות, אך בסופו של דבר הגשר נהרס על ידי הארטילריה הגרמנית השכם בבוקר למחרת. בהתקפת נגד שלישית של הגרמנים בתגבור כוחות שריון נאלצו הכוחות האמריקאים לסגת חזרה לעבר השני של הנהר, תוך שהם סופגים אבדות כבדות. אבדות אלו מנעו מהחטיבה המשך מעורבות במשימות אבטחת ראש הגשר, וביום למחרת החטיבה הוצבה למשימת אבטחת האגף השמאלי בפונט סנט וינסנט (Pont St. Vincent), שם השתלטו על מצודה צרפתית עתיקה משנת 1880. הגרמנים ניסו לתקוף אותם אך נהדפו על ידי הארטילריה.
כוח משולב B הצליח לחצות את המוזל ליד ביינוויל אקס מירואר (Bainville-aux-Miroirs), לא רחוק מבאיון (Bayon). במהלך הלילה הונח במקום גשר צף, אשר הכוחות הגרמנים ניסו להרוס, אך הושמדו לאחר שכותרו.
חטיבת חיל רגלים 137 הצליחה גם היא להחזיק בראש הגשר ליד קרוושמאמפ (Crévéchamps), לאחר פעולת הסחה שבוצעה כ-8 ק"מ מצפון לנקודה ולאחר הפגזה ארטילרית של כחצי שעה. מיד לאחר החצייה הם רותקו לקרקע על ידי הכוחות הגרמנים, אולם הצליחו להיחלץ מכך, מאחר שהכוחות הגרמנים במקום היו מדולדלים עקב ההתקפה הכושלת שלהם נגד ראש הגשר בבאיון.
כיתור נאנסי.
המהלך של גדוד שריון 37 בפיקודו של אברמס ב-13 בספטמבר הביא אותם עד לכפר פרנס אן סולנואה (Fresnes-en-Saulnois) השוכן כ-5 ק"מ מערבית לטירת סאלין (Château-Salins). למחרת הפקודות שונו, כך שכוח משולב A אמור היה לכבוש את השטח השולט ליד הכפר אראקורט (Arracourt), ובכך לחסום את דרכי הבריחה של הגרמנים מנאנסי. בהגיעם למקום נתקל הכוח המשולב A בכוחות גרמנים מדיוויזיית הפאנצרגרנדיר ה-15, אבל התגברו עליהם עם אבדות מועטות בלבד ואז המשיכו ותפסו את השטח השולט ונערכו למגננה במקום, בכיוון מזרח, ומשם הם יצאו לפשיטות הטרדה על הכוחות הגרמנים על הצירים הראשיים לנאנסי, וכן הצליחו אפילו לשלוח כוחות לסייע לסיורים מכוח משולב B סביב תעלת מארן-ריין (Marne-Rhin Canal). פשיטות ההטרדה האלו היו מוצלחות. כוח משולב A לקח בשבי 400 חיילים גרמנים והשמיד מעל 160 כלי רכב והוציא מכלל פעולה עשרה תותחים משחיתי טנקים בקוטר 88 מ"מ. למחרת הגיעה לידיהם ידיעה כי מתוכננת התקפת נגד גרמנית בדיולואר (Dieulouard), לכן שלחו לשם תגבורת המורכבת מגדוד חיל רגלים ופלוגת טנקים וכך הצליחו לייצב את המצב במקום. לאחר שכוח משולב B חצה את נהר מוזל בדרום, ומאחר שתוואי השטח לא אפשרו הקמת קו הגנה ראוי, נסוגו הגרמנים לתוך יער ויטרימונט (Forêt de Vitrimont), תוך שהם חוצים את נהר מוארטה (Meurthe). לגרמנים לא נותר מספיק זמן לייצב קו הגנה ולכן הם נהדפו גם מהיער לאחר שכוח משולב B חצה את נהר מוארטה ב-14 בספטמבר, כאשר רוב הנסוגים הגיעו עד לכפר לונוויל (Lunéville). המפגש בין יחידות מכוח משולב B ובין כוח משולב A בתעלת מארן-ריין (Marne-Rhin Canal) היוותה את השלמת הכיתור סביב נאנסי.
שחרור נאנסי.
התקיפה הממוקדת סביב נאנסי האיצה את נסיגת הכוחות הגרמנים מהעיר, כאשר למעשה ב-13 בספטמבר העיר נמסרה לכוחות האמריקאים על ידי מפקד הארמייה הגרמני, גנרל יוהנס בלסקוביץ.
חטיבות חיל רגלים 320 ו-137 המשיכו להתקדם מראש הגשר בבאיון (Bayon) תוך ביצוע מעקף לכיוון נהר מוארטה (Meurthe), תוך שהם חוצים אותו לקראת ערב ה-14 בספטמבר. ב-16 בספטמבר רגימנט הרגלים ה-320 חצה את תעלת מארן-ריין (Marne-Rhin Canal), בעוד הרגימנט ה-137 התקדם עד לקרבת סנט ניקולא דה פור (Saint-Nicolas-de-Port). בנקודה זו התגלה כיס התנגדות של דיוויזיית הפולקסגרנדיר ה-553 הגרמנית, וכך שני הרגימנטים, 137 ו-320 ספגו אש נגד חזקה.
ב-14 בספטמבר התכונן רגימנט הרגלים ה-319 להיכנס לתוך נאנסי. מודיעין שסופק על ידי כוחות של הצבא הצרפתי דיווח ליחידות האמריקאיות כי הגרמנים פינו את יער היי (Forêt de Haye), וב-15 בספטמבר גדוד שריון 3 והרגימנט ה-319 נכנסו לנאנסי בדרך טול תוך שהם חוצים את העיר עד לקצה המזרחי ללא כל התנגדות.
תוצאות הקרב.
שחרור נאנסי סיפק לכוחות בעלות הברית מרכז תקשורת צרפתי חשוב, ומאוחר יותר שימשה העיר כמפקדת הארמייה השלישית.
הכוחות הגרמנים שהיו בנאנסי הצליחו ברובם לברוח למרות הכיתור על העיר והיו מסוגלים עדיין להמשיך בפעילות מלחמתית במהלך המערכה בלורן.
ההתקפה המוצלחת של הקורפוס ה-20 האמריקאי מעבר לנהר מוזל סביב נאנסי דרבנו את הגרמנים לצאת בהתקפת נגד באזור הכפר אראקור (Arracourt), על ידי ארמיית הפאנצר החמישית.
משוואת בורן-לנדה
בכימיה פיזיקלית, משוואת בורן-לנדה (באנגלית: Born–Landé equation) היא אמצעי לחישוב אנרגיית הסריג של גביש יוני. ב-1918, מקס בורן ואלפרד לנדה הציעו שאנרגיית הסריג ניתנת לחישוב מן הפוטנציאל האלקטרוסטטי השלילי של כל יון בגביש, בתוספת איבר דחייה:
כאשר:
גזירת המשוואה.
הגביש היוני ממודל כאוסף של כדורים אלסטיים קשיחים אשר נדחסים יחדיו על ידי המשיכה האלקטרוסטטית בין היונים. משיכה זאת מתאזנת על ידי כוחות דחייה קצרי טווח (הנגרמים על ידי אפקטים מורכבים יותר מאשר אינטראקציה אלקטרוסטטית בין מטענים נקודתיים), מה שמאפשר לגביש להגיע לשיווי משקל במרחק אופייני מסוים בין יונים מנוגדים קרובים ביותר (מרחק זה מכונה "קבוע הסריג").
הפוטנציאל האלקטרוסטטי.
האנרגיה הפוטנציאלית האלקטרוסטטית, "E"pair, בין צמד יונים בעלי מטען זהה בגודלו והפוך בסימנו הוא:
כאשר:
בעבור סריג פשוט המורכב מיונים שגדלי המטענים שלהם הם ביחס של 1:1, יש לקחת בחשבון את האינטראקציות החשמליות בין יון אחד וכל היונים האחרים בסריג על מנת לחשב את עומק "בור הפוטנציאל" בו מצוי כל יון; למשל, עבור אריזה קובית פשוטה, 6 היונים הקרובים ביותר (שבמרחק "r"0 ממנו) ליון הספציפי הם בעלי סימן מנוגד לו (כלומר הם מושכים אותו), בעוד ש-12 היונים המרוחקים מרחק formula_4 הם בעלי סימן זהה ולכן דוחים אותו, וכן הלאה - בסכימת כל אנרגיות האינטראקציה מתקבל טור אינסופי מתחלף המתכנס בתנאי לקבוע כפול אנרגיית האינטראקציה הבסיסית "E"pair. קבוע זה מכונה "קבוע מדלונג" ומסומן באות "M". לפיכך עומק בור הפוטנציאל בו מצוי יון בודד הוא:
כאשר:
איבר הדחייה.
בורן ולנדה הציעו שאינטראקציית הדחייה בין יוני הסריג צריכה להיות מיוצגת על ידי חוק חזקה בתלות בקבוע הסריג, כך ש-:
כאשר:
אנרגיה כוללת.
האנרגיה הפוטנציאלית הכוללת של יון בסריג היא סכום של פוטנציאל מדלונג ופוטנציאל הדחייה:
חישוב נקודת המינימום של האנרגיה הזאת לפי "r" נותן את קבוע הסריג "r"0 (במצב שיווי משקל) במונחי הקבוע הלא ידוע "B":
חישוב האנרגיה הפוטנציאלית המינימלית והצבת הביטוי לקבוע "B" במונחי "r"0 מניבים את משוואת בורן-לנדה המקומית:
לקבלת משוואת בורן-לנדה לאנרגיית המראה של גביש שלם (אנרגיית ההמראה המולרית), יש לכפול את המשוואה האחרונה בפעמיים קבוע אבוגדרו "N"A - שכן בגביש יוני כל צמד יונים הפוכים בסימנם נחשב לחלקיק אחד - ואז לחלק ב-2 כי כל אנרגיית אינטראקציה בין שני יונים, קרובים ומרוחקים כאחד, נספרה למעשה פעמיים כאשר סכמנו על כל היונים. לפיכך יש לכפול בקבוע אבוגדרו, מה שמניב את התוצאה לאנרגיית ההמראה המולרית:
מדידה ניסיונית של הקבועים במשוואה.
בהנחה שההרכב הכימי והמבנה הסריגי של גביש יוני כלשהו ידועים, ניתן להסיק בקלות את קבוע הסריג "r"0 ממדידות של צפיפות החומר ממנו הגביש עשוי; למשל, עבור נתרן כלורי (מלח בישול) לו אריזה קובית פשוטה, שיקולים גאומטריים פשוטים מראים שצפיפות המלח היא: