הופכי קיים לא רק בכפל רגיל, אלא גם בחשבון מודולרי כאשר בסיס המודול הוא מספר ראשוני. למשל, בחשבון מודולו 7, ההופכי של 3 הוא 5 (כי 15 שקול ל-1 מודולו 7). הופכי כזה נקרא הופכי כפלי מודולרי.
תכונות של מספרים הופכיים.
הסיבה של-0 אין הופכי היא שכפל של כל מספר באפס הוא אפס (ניתן להוכיח זאת ישירות מהתכונה שלפיה כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו, כלומר שאפס נייטרלי לחיבור), ועל כן לא קיים מספר שמכפלתו ב-0 תיתן 1.
איבר הופכי.
במבנה אלגברי כלשהו, ובפרט בחבורה, ההכללה של מושג המספר ההופכי היא מושג האיבר ההופכי: לכל איבר במבנה קיים איבר הופכי לו, כך שמכפלתם היא איבר היחידה של החבורה.
גם בחוג כללי, לכל איבר, פרט לאיבר האפס, יכול להתקיים הופכי ביחס לכפל. חוג קומוטטיבי, שלכל איבר ששונה מאפס בו קיים הופכי, נקרא שדה.
מספר חיובי
מספר שלילי
השיטה העשרונית
השיטה העשרונית (נקראת גם בסיס דצימלי) היא שיטה מבוססת מיקום להצגת מספרים (שלמים, ובהרחבה גם ממשיים), לפי בסיס 10. בשיטה זו, הרישום formula_1 מתפרש כסכום formula_2. השיטה הומצאה בהודו, החליפה את הכתיבה בספרות רומיות באירופה בסוף ימי הביניים, והיא מקובלת כיום בכל העולם.
היסטוריה.
השיטה המשלבת שימוש בבסיס 10 עם חשיבות לפי מיקום הספרה במספר פותחה בהודו במאה ה-6. הערבים אימצו אותה והשתמשו בה החל מהמאה ה-9 בעקבות ספר שפרסם המתמטיקאי מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי בשנת 825, שבו סקר את השיטה והשימוש בה. אברהם אבן עזרא, ואחריו פיבונאצ'י, הביאו את השיטה לאירופה, בה אומצה במהירות כתחליף לשיטה הרומית, וזכתה לשימוש נרחב במסחר ולאחר מכן במדע.
שיטת ייצוג זו נראית כיום טבעית ופשוטה, מאחר שלאדם יש עשר אצבעות; ספירה תוך שימוש בעשרות, מאות ואלפים התקיימה עוד קודם לכן, כפי שמעידים שמות המספרים וכתיבתם במילים (לדוגמה "וַיִּהְיוּ חַיֵּי שָׂרָה מֵאָה שָׁנָה וְעֶשְׂרִים שָׁנָה וְשֶׁבַע שָׁנִים", ; "מֵהֹדּוּ וְעַד כּוּשׁ שֶׁבַע וְעֶשְׂרִים וּמֵאָה מְדִינָה", ). אך השיטה העשרונית היא מבוססת-מיקום (פוזיציונלית) ובה מיקום הסיפרה קובע את חשיבותה (החזקה של 10 בה היא מוכפלת), רעיון שאינו מובן מאליו. שיטה פוזיציונלית הייתה נהוגה גם בבבל, על פי בסיס 60, עם ספרות אחרות וללא סימן מיוחד ל-0, אך זו לא התפשטה ולא השפיעה על השיטה ההודית. רוב שיטות הרישום האחרות שהיו בשימוש לאורך ההיסטוריה (ביניהן ספרות מצריות, ספרות רומיות, וספרות עבריות) אינן פוזיציונליות, וביצוע חישובים אריתמטיים בעזרתן הוא מסובך בהרבה.
הצגה עשרונית של מספרים.
הספרות 0 עד 9 מסמנות מספרים טבעיים עוקבים: 0 הוא מספר האיברים בקבוצה ריקה, 1 היא היחידה, 2=1+1, 3=2+1, וכן הלאה, עד 9=8+1. מספרים גדולים מ-9 מוצגים כרצף של ספרות, אותו מבינים כסכום של חזקות של המספר 10 (השווה ל-9+1), המוכפלות כל-אחת בספרה המתאימה. לדוגמה, formula_3. לכל מספר טבעי יש הצגה יחידה באופן כזה, והקשר בין ההצגה לבין המספר הוא יסודי כל-כך, עד שדרוש מאמץ מנטלי לא מבוטל כדי להבדיל ביניהם.
להצגת מספרים לא שלמים, משתמשים גם בחזקות השליליות של 10 (למשל, formula_4, formula_5), המופרדות מן החזקות החיוביות באמצעות נקודה עשרונית. כך למשל, המספר 25.3 פירושו formula_6. את אותו מספר אפשר להציג גם כ־25.300, שפירושו 25.3, ועוד אפס עשיריות ואפס מאיות. עם זאת, מקובל להשמיט אפסים מסוף הביטוי, וכך מתקבלת שוב הצגה יחידה, לכל מספר שאפשר להציג באופן כזה.
בשיטה העשרונית אפשר להציג כשבר עשרוני סופי את המספרים השווים למנה formula_7 של מספר טבעי a וחזקה של 10. רצף הספרות הסופי formula_8 מובן כסכום formula_9 השווה למנה זו. מספרים אחרים, כגון 1/3, לא ניתן להציג באופן זה (משום ש- 3 אינו מחלק אף חזקה של 10). ניתן לקרב מספרים כאלה בעזרת שברים עשרוניים סופיים בקירוב טוב כרצוננו, אך הייצוג המדויק ידרוש אינסוף ספרות. שברים כאלה נכתבים בעזרת קירוב סופי ואחריו שלוש נקודות (formula_10). לדוגמה, הסימון formula_11 מציין כי הכוונה למספר שלייצוגו המדויק נדרשות ספרות 3 נוספות, עד אינסוף.
מתברר, שכל מספר רציונלי, ואף כל מספר ממשי x, אפשר להציג כסכום אינסופי של חזקות (שליליות) של 10, הנקרא "הפיתוח העשרוני" של x. עובדה זו אינה מובנת מאליה, והיא נובעת מן הארכימדיות של שדה המספרים הממשיים. כמעט לכל מספר ממשי יש פיתוח עשרוני אחד ויחיד. יוצאי הדופן הם המספרים הרציונליים שיש להם פיתוח עשרוני סופי - למספר כזה יש גם פיתוח אינסופי, המתקבל מהחלפת הספרה האחרונה בפיתוח, נאמר a, בספרה a-1, שאחריה רצף אינסופי של תשיעיות.
בחיי המעשה לא ניתן לטפל בביטויים אינסופיים, ולעיתים מסתפקים בקירוב המתקבל מן הספרות הראשונות של המספר העשרוני. במחשבון כיס שרמת הדיוק שלו מגיעה לשמונה ספרות עשרוניות, יופיע הביטוי 0.33333333 במקום 1/3.
מפריד האלפים.
במספרים ארוכים, אפשר ליצור קבוצות מספרים ולהפריד ביניהם, כדי לאפשר קריאה מהירה ללא צורך בספירת הספרות. לדוגמה, בעברית, אפשר לכתוב 1,000,000,000 במקום 1000000000.
סימן ההפרדה ודרך החלוקה תלוי בשפה. בעברית ובשפות אירופאיות מפרידים כל שלוש ספרות משמאל לנקודה העשרונית (הנקרא "מפריד האלפים"). בעברית ובאנגלית נהוג להשתמש בפסיק כמפריד האלפים (10,000), ובמדינות אירופה נהוג להשתמש בנקודה (10.000) או במרווח (000 10). בכל השפות, הסימן המפריד בין הקבוצות שונה מהסימן של "הנקודה העשרונית" כדי למנוע בלבול.
לאחדות במסמכים בינלאומיים, התקן ISO 31-0 ממליץ להשתמש ברווח, בעוד הלשכה הבינלאומית למידות ולמשקלות ו-IUPAC ממליצים להשתמש ב"חצי רווח" (יוניקוד U+2009, ו-;&amp;#8201 ב-HTML).
חישוב בשיטה העשרונית.
פעולות החשבון חיבור וחיסור במספרים עשרוניים נעשות בדיוק כמו במספרים השלמים, אלא שכאן מבדילים בנקודה בין השלמים לחלקים העשרוניים. בפתרון במאונך יש להקפיד שהנקודה העשרונית של שני המספרים תהיה באותו המקום, לצורך כך ניתן להוסיף אפסים למספר בו ישנן פחות ספרות אחרי הנקודה. לדוגמה: את התרגיל 12.36 + 45.098, ניתן לרשום גם 12.360 + 45.098 על מנת למנוע טעויות בזמן החישוב.
המצב שונה מעט עבור פעולות הכפל והחילוק. בכפל, כאשר אחד המספרים הוא עשרוני אפשר להכפיל אותם כשלמים ולהוסיף במכפלה נקודה עשרונית לפי מספר הספרות אחרי הנקודה בנכפל ובכופל. בחילוק, כאשר המונה עשרוני והמכנה שלם, ניתן לחלק כמספרים שלמים ולהוסיף נקודה עשרונית לפי מספר הספרות העשרוניות במונה.
הנס גאורג גדמר
הנס גאורג גדמר (בגרמנית: Hans-Georg Gadamer; 11 בפברואר 1900 – 13 במרץ 2002) היה פילוסוף גרמני, שחיבורו הידוע ביותר היה "אמת ומתודה".
חייו.
גדמר נולד במרבורג, גרמניה, בנו של כימאי שלאחר מכן היה לרקטור האוניברסיטה שם. גדמר לא המשיך למדעים המדויקים כפי שרצה אביו, והתעניין יותר במדעי הרוח. הוא למד בברסלאו תחת הניגסוולד, אך שב למרבורג על מנת ללמוד עם הפילוסופים הנאו-קנטיאנים פאול נטורפ וניקולאי הרטמן. הוא הגן על התזה שלו ב-1922.
זמן קצר לאחר מכן, גדמר ביקר בפרייבורג והחל ללמוד עם מרטין היידגר שהיה אז מלומד צעיר שעדיין לא קיבל את משרת הפרופסורה. הוא התחבר לקבוצה של סטודנטים שכללה את ליאו שטראוס, קרל לאוית', וחנה ארנדט. הוא והיידגר התקרבו, וכשהיידגר קיבל משרה באוניברסיטת מרבורג, גדמר עבר יחד איתו. השפעתו של היידגר היא שעיצבה את מחשבתו של גדמר והרחיקה אותה מההשפעות הנאו-קנטיאניות המוקדמות יותר של נטורפ והרטמן.
גדמר סיים את לימודיו ב-1929 והעביר את רוב שנות השלושים המוקדמות כשהוא מרצה במרבורג. שלא כהיידגר, גדמר התנגד לנאצים, אם כי לא היה פעיל פוליטית בתקופת הרייך השלישי. הוא לא קיבל משרה בשכר בשנות שלטון הנאציזם ומעולם לא נמנה עם שורות המפלגה; רק לקראת סופה של המלחמה קיבל משרה בלייפציג. ב-1946, האמריקאיים מינו אותו לרקטור האוניברסיטה לאחר שהחליטו כי הוא לא היה נגוע בנאציזם. גדמר לא חיבב את גרמניה המזרחית הקומוניסטית הרבה יותר מאשר את הרייך השלישי, והוא עבר לגרמניה המערבית, כשהוא מקבל משרה בתחילה בפרנקפורט ואחר-כך ירש את קרל יספרס בהיידלברג ב-1949. הוא נשאר שם עד למותו ב-2002.
בתקופה זו הוא סיים את חיבורו החשוב ביותר, "אמת ומתודה" (ב-1960), והשתתף בוויכוח המפורסם עם יורגן הברמאס על היכולת למצוא נקודה אובייקטיבית שאינה תלויה בתרבות ובהיסטוריה, ממנה אפשר לבקר את החברה. הוויכוח לא הגיע למסקנה ברורה, אך סימן את תחילתה של ידידות חמה בין שני האישים. בזכותו של גדמר, זכה הברמאס לפרופסורה הראשונה שלו בהיידלברג. ניסיון ויכוח אחר עם ז'ק דרידה היה פחות מוצלח, מכיוון שהיה אך מעט מן המשותף בדעותיהם. לאחר מותו של גדמר אמר דרידה כי חוסר ההצלחה שלהם למצוא קרקע משותפת היה אחד מהכשלונות הקשים בחייו, והביע כבוד אישי ופילוסופי רב לגדמר.
מחקר.
אמת ומתודה.
הפרויקט הפילוסופי של גדמר, כפי שהוא הסביר באמת ומתודה, היה להרחיב את המושג "הרמנויטיקה פילוסופית", שהיידגר טבע אך מעולם לא פיתח ביסודיות. מטרתו של גדמר הייתה לגלות את טבעה של ההבנה האנושית. בספר גדמר טוען כי "אמת" ו"מתודה" אינן מתיישבות זו עם זו. השאלה "מהי הבנה?" קודמת לכל פעילות מתודית. גדמר היה ביקורתי כלפי שתי גישות למדעי הרוח. מצד אחד, הוא היה ביקורתי לגישה המודרנית למדעי הרוח שלקחה לה למודל את מדעי הטבע (ואת המתודה המדעית המחמירה). מצד שני ביקר גם את הגישה ההרמנויטית המסורתית, שמקורה בפרידריך שליירמכר ווילהלם דלתיי, שטענו כי הבנה של טקסט פירושה לשחזר את הכוונה המקורית של הכותב.