יהי נתון משחק formula_26 ויהיו formula_20 וformula_21. נגדיר משחק formula_29 באופן הבא: formula_30 לכל קואליציה formula_8.
יש להוכיח כי formula_32. נוכיח כי כל אחד מהצדדים מוכל בשני.
בשלב הראשון נראה כי formula_33.
יהי formula_34. נראה כי formula_35, על ידי כך שנראה שהוא מקיים את דרישות היעילות והסבירות הפרטית.
כיוון ש-formula_34, הוא מקיים:
מהנתון הראשון נובע
כלומר formula_41 הוא וקטור יעיל במשחק formula_29. מהנתון השני נובע
לכל קואליציה S, כלומר formula_41 הוא סביר קואליציונית.
מכאן ש-formula_35, ולכן formula_33.
כדי להראות הכלה הפוכה מספיק לשים לב שלכל formula_8 מתקיים
לפי החלק הראשון מתקיים formula_49. על ידי העברת אגפים מתקבל formula_50.
תכונת העקביות של הליבה.
נתבונן במשחק עם שלושה שחקנים :
הווקטור formula_55 נמצא בליבה.
השחקנים החליטו לחלק את שווי הקואליציה הגדולה, 3, על פי וקטור זה ושחקן 3 עזב עם חלקו 0.5.
כעת, שחקנים 1 ו-2 מסתכלים על החלוקה של 2.5 ותוהים האם החלוקה המקורית (לפני העזיבה של השחקן השלישי) טובה גם עכשו, אחרי העזיבה.
ניתן להגדיר משחק חדש זה כמשחק המצומצם לפי דייוויס ומשלר.
השחקנים יכולים להגדיר משחק בצורה קואליציונית שבו משתתפים רק 2 השחקנים שנשארו, זהו בעצם המשחק המצומצם, ולבדוק האם הפתרון במשחק הזה זהה לסכום שכל אחד מהם היה מקבל במשחק המקורי.
אם הפתרון זהה לכל משחק בצורה קואליציונית ולכל קבוצה של שחקנים שתעזוב את המשחק, נאמר שמושג הפתרון מקיים את תכונת העקביות. ולאחר שהשחקנים יבחנו את המשחק המצומצם, שום קבוצה שלהם לא תהיה מעוניינת לסטות מהפתרון המקורי משום שאם יסטו לא ירוויחו מלהימצא בפתרון של המשחק המצומצם שכן יקבלו בדיוק אותו הסכום כמו בפתרון המקורי.
הליבה מקיימת את תכונת העקביות.
דוגמה.
משחק הכפפות.
במשחק עם שלושה שחקנים, לשחקן 1 יש כפפה ימנית, ולשחקנים 2,3 יש כפפה שמאלית (לכל אחד). קואליציה מנצחת אם יש לה זוג כפפות, כלומר
על מנת שווקטור formula_58 יהיה בליבה, יעילות דורשת
וסבירות קבוצתית דורשת
מפתרון מערכת האי-שוויונות נקבל formula_63, ולכן formula_64.
מכאן שהליבה היא הקבוצה formula_65 .
משחק רוב עם ליבה ריקה.
יהי משחק רוב עם שלושה שחקנים, בו קואליציה היא מנצחת אם היא מכילה שני שחקנים לפחות, כלומר
על מנת שווקטור formula_58 יהיה בליבה, יעילות דורשת
וסבירות קבוצתית דורשת, בין השאר:
אם נסכום את שלושת אי השוויונים הללו נקבל
וזה בסתירה ליעילות. מכאן שלא קיים וקטור המקיים את דרישות הליבה, ולכן היא ריקה.
תל שבע
תֶּל שֶׁבַע (בערבית: تل السبع, תֶּל אֶ-סַבַע) היא מועצה מקומית במחוז הדרום בישראל, והוכרזה כמועצה מקומית בשנת 1984. היישוב ממוקם כשלושה קילומטר מזרחית לבאר שבע. תל שבע כיום היא מהיישובים הגדולים והחשובים ביותר במגזר הבדואי.
היסטוריה.
היישוב תל שבע הוקם בשנת 1968, כראשון היישובים הבדואים באזור הנגב.
הקמת היישוב הייתה חלק מתוכנית להקמת שבעה יישובים באזור הנגב למען הבדואים בנגב והם: רהט, תל שבע, כסייפה, לקייה, חורה, שגב שלום וערערה בנגב.
נתונים סטטיסטיים.
להלן גרף התפתחות האוכלוסייה ביישוב:
תל שבע כיום.
כיום היישוב מונה 22,150 תושבים כאשר כולם בני דת האסלאם. קרבת באר שבע משפיעה על היישוב בצורה חיובית כי תושביו יכולים להשתמש בתשתית והשירותים של העיר הגדולה - לצורכי לימודים, עבודה, רפואה וכו'.
ניתן להגיע לתל שבע בשני קווי האוטובוס של חברת מטרופולין (תחבורה ציבורית)
בקווים (10 ו-15) מהתחנה המרכזית בבאר שבע בתדירות של אחת לשעה. היישוב סובל מפשיעה רחבה ונקשר רבות לעבירות סמים וגביית דמי חסות.
תעסוקה.
בתל שבע לא קיים אזור תעשייה, ורמת האבטלה בו גבוהה, ועל פי נתוני המוסד לביטוח לאומי מגיעה לכ-40%. רוב העובדים הם שכירים (כ-4,400) שרבים מהם עובדים בבאר שבע הסמוכה בתחומים שונים. כמו כן מציעים אזורי התעשייה בנאות חובב, חורה ורהט גם הם אופציות תעסוקתיות לתושבי תל שבע.
משנת 2013 פועל בתל שבע מרכז הכוון תעסוקתי, שנקרא מרכז "ריאן", ומשימתו מתן סל שירותי תעסוקה ו תוכניות מיוחדות, ביסוס תשתית יישובית ואזורית המפתחת את תחום התעסוקה, וזאת באמצעות מרכזי התעסוקה הפרוסים ביישובי הבדואים בנגב ועוסקים בהכנה לעבודה ופיתוח קריירה בכלל זה רכישת מקצוע (כולל קורסי הכשרה מקצועית פרטני/קבוצתי ושוברים) וקידום להשמה איכותית, קידום יזמות עסקית, פיתוח כלכלי וליווי עסקים קטנים ובינוניים, הכוון לתעסוקה קריירה והשכלה לצעירים ולחיילים משוחררים, הכוונה תעסוקתית ממוקדת לאקדמאים (דגש על השמה בהיי-טק ופיננסים) ועוד.
פרויקטים קהילתיים ויזמים.
ישנם מספר פרויקטים קהילתיים המציעים מקומות עבודה לתושבי תל שבע:
השכלה ותנאים ביישוב.
ישנם מספר בתי ספר ביישוב, שלושה בתי - ספר תיכון - מקיף, שישה בתי ספר יסודיים וכארבעים וחמישה גנים (כולל טרום חובה). ביישוב ישנם סניפים של קופות החולים כללית ומאוחדת, ומתנ"סים עם חוגים ופעילויות.
ערך שפלי
בתורת המשחקים, ערך שפלי הוא אחד הפתרונות למשחקים בצורת פונקציה קואליציונית.
הפתרון פותח על ידי לויד שפלי בשנת 1953 ונקרא על שמו ערך שפלי.
קבוצת שחקנים (קואליציה), משתפת פעולה ומרויחה סכום מסוים מעצם שיתוף הפעולה. מאחר שחלק מהשחקנים תרמו יותר לקואליציה מאשר שחקנים אחרים או שהיה ברשותם יותר כוח מיקוח נרצה לדעת איזו חלוקה של הרווחים תהיה "הוגנת" במשחק.
ניתן לנסח את הבעיה בצורה מעט שונה, כמה כל שחקן חשוב לקואליציה ומה התגמול שהוא אמור לצפות לקבל. כמובן שהחלוקה צריכה להתחשב בגודל התרומה של כל שחקן לשווי הקואליציה.
ערך שפלי עוסק בבעיית חלוקת התשלום ומספק אפשרות אחת לפתרון בעיה זו. מטרתו של ערך שפלי היא לאמוד את ערכו של כל שחקן במשחק כדי שחלוקת התשלום לשחקן תתבצע בצורה "הוגנת" בהתאם לערכו. אם לבעיה קיים פתרון "הוגן", כלומר פתרון מוסכם לחלוקת הסכום בין השחקנים, נחסך הצורך במיקוח בין השחקנים.
ערך שפלי של שחקן מסוים הוא ממוצע התרומות שלו לשווי הקואליציה על פני כל הסדרים האפשריים.
לכל משחק שיתופי ערך שפלי מציע חלוקת תשלום אחת בלבד לשחקנים בקואליציות.
כמו בכל השאלות מסוג זה, התשובה תלויה בהגדרה ל'הגינות'. שפלי הציע ארבעה קריטריונים:
משפט שפלי מוכיח שמערכת הקריטריונים תמיד ניתנת לסיפוק ומכתיבה אפשרות אחת ויחידה לחלק את התשלומים בין השחקנים.
ניסוח פורמלי.
משחק שיתופי מוגדר על ידי זוג סדור (N,v), כאשר N היא קבוצת השחקנים ו-formula_1 היא פונקציה קואליציונית - פונקציה חיובית formula_2, המתאימה לכל קואליציה את התועלת הקבוצתית, ועונה על שתי הדרישות הבאות:
נסמן ב-formula_5 את קבוצת פונקציות התועלת על קבוצת השחקנים N.
שני שחקנים formula_6 יקראו חילופיים ב-formula_1 אם לכל formula_8 מתקיים formula_9.
שחקן formula_10 יקרא שחקן אפס ב-formula_1 אם לכל formula_12 מתקיים formula_13.
פתרון הוא פונקציה formula_14 המתאימה לכל משחק בצורה קואליציונית formula_15 וקטור ב-formula_16 . הגודל formula_17 נקרא הערך של שחקן formula_18 במשחק formula_19 לפי הפתרון formula_14.
את שלוש הדרישות הראשונות להוגנות שהזכרנו בפתיח לערך אפשר לנסח באופן הבא:
בנוסף לדרישות אלה, ההעתקה המתאימה לכל פונקציית תועלת formula_1 את פונקציית החלוקה formula_32, צריכה להיות אדיטיבית, כלומר: לכל שתי פונקציות רווח formula_33 מתקיים formula_34. מדרישה זו נובע שההעתקה formula_35 היא ליניארית ממרחב פונקציות התועלת (שממדו formula_36) למרחב וקטורי התשלומים (שממדו n).
הגדרת ערך שפלי.
כאמור, משפט שפלי מוכיח כי תחת הקריטריונים של הוגנות שהוגדרו קיימת חלוקה הוגנת יחידה. אם נתון סדר מלא של השחקנים (ראשון, שני וכו'), התועלת שמביא השחקן ה-i היא ההפרש formula_37. ערך שפלי, שהוא החלוקה ההוגנת היחידה, מקצה לשחקן i את התועלת הממוצעת שהוא מביא. כלומר,
משיקולי סימטריה נקבל כי גם :formula_39, ומכך שערך שפלי מקיים יעילות נקבל כי:
ובכך חישבנו את ערך שפלי של משחק הכפפה.
בניית קואליציה בפרלמנט.
במדינה מסוימת יש בפרלמנט 27 חברים. 11 מפלגות התמודדו בבחירות. נסמן את קבוצת המפלגות בformula_41. לאחר הבחירות התקבלה חלוקת המנדטים הבאה בפרלמנט:
כדי להעביר הצעת חוק צריך רוב (לפחות 14 חברים בפרלמנט). נניח כי כל החברים באותה מפלגה מצביעים באותו אופן. נגדיר את פונקציית התועלת של קבוצת מפלגות formula_42 כ formula_43 אם המפלגות ב-formula_42 כוללות לפחות 14 חברי פרלמנט ו formula_45 אחרת.
נחשב את ערך שפלי עבור המפלגה 3 (ומסימטריה זה יהיה אותו ערך למפלגות 3-11). ברור מהגדרת פונקציית התועלת שהביטוי formula_46 יכול לקבל רק את הערכים 0 או 1. הוא יקבל את הערך 1 רק כאשר formula_47 וגם formula_48, וזה מתקיים רק כאשר ביחס הסדר R מופיעות לפני המפלגה 3 מפלגה אחת גדולה (1 או 2) ו-4 מפלגות קטנות (מפלגות 4-11). ביחסי הסדר שמקיימים זאת יש 2 מפלגות גדולות שיכולות להופיע לפני מפלגה 3, כל אחת מהן יכולה להיות ב-5 מקומות שונים, והמפלגות הקטנות יכולות להסתדר ב- !8 סידורים שונים במקומות שנותרו. בסה"כ נקבל כי:
formula_49
מיעילות ערך שפלי וסימטריה של המפלגות 1,2 נקבל כי:
formula_50.
מהחישוב שעשינו עולה כי הכוח של כל המפלגות הקטנות ביחד הוא formula_51, אך מספר המנדטים שלהם שווה למספר המנדטים של מפלגה גדולה. מכאן נוכל להסיק כי אם מפלגה גדולה מתפצלת לכמה מפלגות קטנות אז הכוח הפרלמנטרי שלה עולה.
שדה (חקלאות)