בעוד השיר של מקרטני אופטימי מאוד, לנון מספר בשיר שלו שהייתה לו שנה קשה. הייתה זו שנה בה לנון התגרש מאשתו הראשונה, התרחק מבנו, ג'וליאן, חברתו יוקו אונו עברה הפלה והוא נעצר על החזקת סמים.
בסרט Let It Be מצהיר לנון בהומור כי כתב את השורה "everybody had a hard year" בלילה שלפני.
מספר אמנים ביצעו גרסאות כיסוי לשיר, חלק מהם היו בילי פרסטון ופרל ג'אם.
פול מקרטני כלל את השיר בהופעותיו במסגרת סיבוב ההופעות שערך בשנת 2008, בהן גם הופעתו בישראל. עם זאת, במהלך ביצוע השיר נמנע מקרטני מלשיר את החלק שכתיבתו מיוחסת לג'ון לנון, ואת השורות הללו שרו חברי הלהקה שהיו עמו על הבמה.
העתקה פרויקטיבית
העתקה פרויקטיבית היא העתקה במרחב פרויקטיבי שהיא הרכבה של מספר הטלות פרספקטיביות.
אינטואיציה גאומטרית.
נגדיר הטלה פרספקטיבית (perspectivity) כהעתקה בין שני ישרים, באמצעות נקודה. בציור שמשמאל, מתוארת הטלה המעבירה את formula_1 ל-formula_2, ואת formula_3 ל-formula_4, באמצעות הנקודה formula_5.
העתקה פרויקטיבית בין ישרים היא הרכבה של הטלות כנ"ל. בציור שמשמאל, ההעתקה המעבירה את formula_1 ל-formula_7, ואת formula_3 ל-formula_9, היא העתקה פרויקטיבית.
עבור מישורים, כל העתקה המעבירה מישור למישור באמצעות נקודת הטלה היא העתקה פרויקטיבית. דוגמאות להעתקות פרויקטיביות בין מישורים מתוארות ברישומים שלהלן. הגדרה שקולה להעתקות פרויקטיביות בין מישורים היא: "כל העתקה הפיכה בין מישורים פרויקטיביים המעתיקה ישרים לישרים". או בניסוח אחר, "כל העתקה הפיכה בין מישורים פרויקטיביים formula_10, שהצמצום שלה על ישר formula_11 הוא העתקה פרויקטיבית formula_12 בין הישרים formula_13 ו-formula_14".
הגדרה אלגברית.
נתן לבנות מרחב פרויקטיבי ממשי על ידי קואורדינטות הומוגניות, על ידי מערכת הצירים של המרחב האוקלידי וחלוקה בקואורדינטה האחרונה. כלומר, המרחב הפרויקטיבי הממשי מתקבל מהמרחב האוקלידי תחת יחס שקילות של כפל בקבוע. כך, כל הנקודות בישר formula_15 תיוצגנה על ידי הנקודה formula_16.
בהינתן מרחב formula_17, נבחר העתקה ליניארית רגולרית כלשהי formula_18. העתקה זו מעבירה בין ישרים ב-V. לפיכך, היא משרה העתקה (לא בהכרח ליניארית) על המרחב הפרויקטיבי formula_19 המוגדר מ-formula_20 על ידי יחס השקילות הנ"ל. מכיוון ש-T מעבירה בין תת-מרחבים של formula_21, הרי שהיא מעבירה גם בין תת-מרחבים של formula_19 (למשל, בין ישרים).
השימוש בקואורדינטות הומוגניות מאפשר יצוג אלגברי פשוט של ההעתקות הפרויקטיביות. למשל, העתקה ליניארית במישור האוקלידי מעבירה formula_23. החלת יחס השקילות על המישור האוקלידי מניבה את הישר הפרויקטיבי. ההעתקות הליניאריות תעבורנה להעתקות formula_24, שהן העתקות מביוס. כל העתקה פרויקטיבית כזו היא למעשה העתקה ליניארית על המישור האוקלידי. לכן נתן לייצג את ההעתקות הפרויקטיביות על ידי מטריצות מסדר 2x2, כשכפל המטריצות מייצג הרכבת העתקות.
מתוך כך נתן לראות שההעתקות הפרויקטיביות על הישר הפרויקטיבי מהוות חבורה, שהיא תת-חבורה של חבורת המטריצות מסדר 2x2. כדי לזהות את חבורת ההעתקות הפרויקטיביות יש לשים לב לשני אפיונים. האחד - מטריצה כנ"ל מייצגת העתקה פרויקטיבית אמ"ם המטריצה הפיכה. השני - שתי מטריצות שונות מייצגות אותה ההעתקה הפרויקטיבית אמ"ם האחת היא כפל של השנייה בקבוע. מתוך אפיונים אלו נתן לזהות את חבורה ההעתקות הפרויקטיביות על הישר הפרויקטיבי הממשי כ-formula_25 תחת יחס השקילות של כפל בקבוע (formula_26 היא חבורת המטריצות ההפיכות מסדר 2x2).
נתנו שתי הגדרות שונות להעתקות פרויקטיביות. האחת מתוך אינטואיציה גאומטרית והשנייה אלגברית. הוכחת הזהות בין שתי ההגדרות הנ"ל של ההעתקות הפרויקטיביות אינה טריויאלית. דרך אפשרית היא לבחור את האיברים היוצרים את החבורות (בהגדרה הגאומטרית או בהגדרה האלגברית), ולבטא אותם ישירות על ידי העתקות מההגדרה השנייה. את הכוון השני מקבלים משיקולים של מספר דרגות החופש.
מקומה של ההעתקה הפרויקטיבית בהיררכיית ההעתקות במישור.
ניתן לסדר את ההעתקות הפועלות על ריבוע במישור לפי מספר דרגות החופש שלהן.
בהינתן מערכת צירים כלשהי, העתקה בעלת דרגת חופש יחידה יכולה להיות, למשל, הזזה של נקודה בכיוון מסוים. העתקה כזו נתונה לפי formula_27, עבור וקטור כיוון formula_28 קבוע, ופרמטר formula_29.
העתקה אחרת תהא סיבוב הנקודה בזווית formula_30 כלשהי עם כוון השעון. העתקה כזו נתונה לפי formula_31
שתי ההעתקות האלה משמרות בין היתר אורכים (של קטעים), שטחים זוויות בין קטעים.
החבורה הנוצרת על ידי שתי ההעתקות הנ"ל היא בעלת 3 דרגות חופש (מקדמי ההזזה בכל אחד מהצירים וזווית הסבוב). ההעתקות בחבורה זו נקראות העתקות אוקלידיות או איזומטריות.
יש המוסיפים להעתקות האוקלידיות גם שיקוף סביב ציר מסוים, אך לא מוסיפים דרגות חופש מכיוון שאיבר זה מגדיל את החבורה רק פי 2.
העתקה אחרת בעלת דרגת חופש יחידה היא סילום (scaling) של נקודה ביחס לראשית הצירים. העתקה כזו נתונה לפי formula_32, עבור פרמטר formula_33.
החבורה של כל צירופי ההעתקות הנ"ל היא בעלת 4 דרגות חופש (דרגת חופש נוספת עבור מקדם הסילום). העתקות אלו אינן משמרות אורכי קטעים ושטחים אולם עודן משמרות זוויות, יחסי אורכים ויחסי שטחים. ההעתקות בחבורה זו נקראות העתקות דמיון (העתקות סילום), והן נחשבות כהעתקות הכלליות ביותר המשמרות "צורה" של מצולע.
הוספת שתי דרגות חופש תוביל אל המשפחה הבאה בהיררכיה.
דרגת חופש ראשונה תווסף על ידי הכפלת כל אחד מהצירים במקדם שונה formula_34. בין היתר נתן לקבל מהעתקה זו שיקוף סביב אחד הצירים, למשל על ידי formula_35.
דרגת חופש שנייה היא על ידי פעולה הגזירה (shear), ומשמעה הוספת גורמים מהקואורדינטה האחת לקואורדינטה האחרת formula_36.
הרכבה של סיבוב ב-90 מעלות ושל שיקוף תניב העתקה המחליפה בין הקואורדינטות formula_37. לכן, הרחבת חבורת העתקות הדמיון בשתי דרגות החופש הנ"ל, תאפשר גם העתקה מהסוג formula_38.
כך מתקבלת חבורת ההעתקות האפיניות. ההעתקות בחבורה זו משמרות מקביליות של ישרים (מעתיקות ריבוע למקבילית) ויחס בין שטחים. העתקה ליניארית היא מקרה פרטי של העתקה אפינית, ובה כאשר מקדמי ההזזה מאופסים. לכן, יצוג מטריציוני של העתקה אפינית בקואורדינטות הומוגניות מכיל מטריצה מסדר 2x2 ווקטור הזזה. בדומה להעתקות ליניאריות, שטח המקבילית המתקבלת מהעתקה אפינית על ריבוע שוה לשטח הריבוע המוכפל בדטרמיננטה של המטריצה.
חבורת ההעתקות הפרויקטיביות היא בעלת שמונה דרגות חופש (כל המטריצות מסדר 3x3 עד כדי קבוע). היא אינה משמרת זוויות ואף לא יחס בין אורכים. היא מעתיקה ישרים לישרים ונקודות לנקודות, ומשמרת חילה של ישרים בנקודות. גודל נוסף הנשמר על ידי ההעתקה הוא יחס כפול, שהוא למעשה יחס בין יחסים של אורכים.
הג'יהאד האיסלאמי הפלסטיני
יחס כפול
בהינתן רביעיית נקודות formula_1 במישור (הממשי או המרוכב), היחס הכפול ביניהן מוגדר בנוסחה: formula_2. שמו של היחס הכפול מגיע מכך שהוא מתאר את היחס בין היחס formula_3 ובין היחס formula_4.
היחס הכפול הוא שמורה של העתקת מביוס ושל העתקות פרויקטיביות.
בגלל האופי הסימטרי של ביטוי היחס הכפול, תמורות בין ארבע הנקודות formula_1 יניבו לכל היותר שישה ערכים שונים של היחסים הכפולים ביניהן. למשל, אם נחליף את formula_1 ב-formula_7 נקבל את הביטוי formula_8, השווה ליחס הכפול המקורי.
ככלל, בהינתן רביעיית נקודות בעלת יחס כפול formula_9, שינוי סדר הקואורדינטות בה יניב את הערכים הבאים:
היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית.
ליחס הכפול ישנה הגדרה שונה ושקולה בגאומטריה פרויקטיבית: יהיו
formula_10
ארבע נקודות על הישר הפרויקטיבי. כן תהיה formula_11 העתקה פרויקטיבית המקיימת formula_12, formula_13 ו־formula_14. היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית מוגדר להיות formula_15.
הוכחת השקילות.
מהיות formula_16 שלוש נקודות בעלות שתי דרגות חופש, ניתן לבטא את formula_17 כצירוף ליניארי: formula_18. אולם, מכיוון שנקודות על הישר הפרויקטיבי אינן משתנות תחת כפל בקבוע, נסמן מחדש formula_19 ו־formula_20. כלומר, מתקיים
formula_21 (נקודת האינסוף בקואורדינטות הומוגניות) וכן
formula_22 (נקודת האפס בקואורדינטות הומוגניות).
כמו את formula_17, ניתן לבטא גם את formula_24 כצירוף ליניארי: formula_25. מכך נובע:
formula_26
באמצעות נוסחת קרמר ניתן לקבל ביטויים מפורשים למקדמים α, β, γ ו־δ, ומהם לקבל את השקילות בין שתי ההגדרות.
מרדכי בן אליהו
דוד שחם
דוד שחם (27 בינואר 1923 - 27 באוגוסט 2012) היה סופר, מתרגם, פובליציסט, עורך כתבי עת ואנציקלופדיות ועסקן פוליטי, בנו של אליעזר שטיינמן ואחיו של נתן שחם.
ביוגרפיה.
שחם נולד בוורשה בשם דוד שטיינמן לאליעזר וורדה, המשפחה עלתה לארץ ישראל ב-1924 במסגרת העלייה הרביעית והתיישבה בתל אביב. דוד למד בגימנסיה הרצליה והוא בוגר הפקולטה למשפטים של אוניברסיטת תל אביב. למד גם נגינה בכינור בקונסרבטוריון רון שולמית והמשיך בנגינה בהרכבים קאמריים של חובבים.
שחם היה מדריך בתנועת השומר הצעיר, שימש חבר ההנהגה הראשית שלה ועורך ירחונה "על החומה". הוא יצא להכשרה בבית אלפא והיה לחבר בקיבוץ זה. במהלך השנים 1948–1951 שהה בארצות הברית, כשליח של השומר הצעיר. בארצות הברית פגש את הרקדנית והכוריאוגרפית רינה (רוזלינד) גולוגורסקי והתחתן איתה. להם נולדו שתי בנות. ספרו הראשון "יום אחד שהוא הרבה" הופיע בתקופת שליחותו שם.