הרגישות למצב ההתחלתי מתבטאת בכך שהבדל זעיר במצב ההתחלתי של שתי נקודות במערכת מוביל לשינוי משמעותי בהתנהגותן לאורך זמן. המערכות יתנהגו באופן זהה אם ורק אם התנאים המוקדמים שלהן זהים לחלוטין, דבר שאיננו ניתן ליישום. דוגמה לרגישות שכזו היא "אפקט הפרפר", המשמשת להמחשת הסיבה בגינה לא ניתן לחזות בדייקנות את מזג האוויר שיתקיים בעתיד הרחוק (מעבר לשבוע). אף על פי שתנועת כנפי הפרפר יוצרת שינויים זעירים באטמוספירה, די בהם על מנת ליצור שינוי משמעותי במזג האוויר עם חלוף הזמן. ההבדל העתידי בין המערכת נטולת-הפרפר והמערכת בעלת-הפרפר עשוי לגדול עד כדי כך, שכאשר באחת יתקיים יום שמש בהיר, בשנייה תתחולל סופת טורנדו. דוגמאות מוכרות אחרות לתנועה כאוטית הן הערבוב של צבעים נוזליים (חיתחות) ומערבולות אוויר.
מושכים.
ניתן לשרטט תנועה (כאוטית או שאיננה כאוטית) באמצעות דיאגרמת פאזה. כל אחד מצירי גרף הפונקציה מייצג ממד כלשהו של המצב, ללא ציר זמן. דוגמה: מיקום מטוטלת כנגד מהירותה; מטוטלת במנוחה תצויר כנקודה, בעוד שמטוטלת בתנועה מחזורית תצויר כעקומה סגורה פשוטה, הקרויה מסלול. המטוטלת עשויה לשרטט מספר אינסופי של מסלולים כאלה, הנבדלים זה מזה באנרגיה שלהם.
לעיתים קרובות, דיאגרמות פאזה מראות כי המצבים שמתוארים בהן מתקרבים בעקיבות לגבול מסוים. גם אם המסלולים שונים זה מזה בתכלית, כולם מסתיימים לבסוף באותה הנקודה. לכאורה, המערכת נמשכת אליה, ועל כן היא נקראת "המושך של המערכת". לדוגמה, מטוטלת אשר מאטה בהדרגה כתוצאה מחיכוך או מהתנגדות האוויר, תשרטט ספירלה המתכנסת אל נקודת האמצע, בה איבדה את כל האנרגיה שלה וחלדה מלנוע. נקודה זו, אליה תתכנס כל תנועת מטוטלת באשר היא, היא "המושך".
במערכות פשוטות לניתוח, המושך נקודתי לרוב, אך לא תמיד. מושכים אחרים עשויים לשרטט לולאות פשוטות (תנועה מחזורית); לולאות כפולות, בהן יותר משתי דרגות חופש (תנועה מחזורית-למחצה); ומבנים פרקטלים, המאפיינים "מושכים מוזרים" (תנועה כאוטית).
בכל נקודה של דיאגרמת הפאזה, המערכת תיטה להתפתח למצב שכן בצורה דטרמניסטית. אם המטוטלת שלנו נמצאת בנקודה מסוימת ויש לה מהירות מסוימת, ניתן לחשב את הנקודה הבאה ואת מהירותה. דיאגרמת הפאזה מייצגת שדה וקטורים, ועל כן ניתן להבין אותה באמצעות אנליזה וקטורית.
מושכים מוזרים.
תנועה כאוטית מתכנסת למושכים מוזרים, שהם בעלי מורכבות ופירוט אינסופיים. לדוגמה, מודל תלת ממדי של מערכת מזג האוויר של לורנץ יוצר את "מושך לורנץ" המפורסם. הדיאגרמה של מושך זה היא אחת הדיאגרמות הידועות ביותר במערכות הכאוטיות, הן משום שהייתה מהראשונות שהתפרסמו, והן בשל צורתה האלגנטית, המזכירה כנפי פרפר.
מושכים מוזרים קיימים במערכות דינמיות רציפות (כמו מערכת לורנץ) ובמערכות דיסקרטיות, בדידות (כמו מפת הנון). למערכות דינמיות דיסקרטיות אחרות יש מבנה דוחה שקרוי קבוצת ג'וליה, שנוצר בגבול בין אזורי משיכה בנקודות קבועות. אפשר לחשוב על קבוצת ג'וליה כ"דוחה מוזר". הן למושכים והן לדוחים המוזרים יש מבנה פרקטלי.
משפט פואנקרה-בנדיקסון מראה כי מושך מוזר יכול להיווצר במערכת דינאמית רציפה רק אם יש לו שלושה ממדים או יותר. עם זאת, מגבלה זו אינה קיימת במערכות דיסקרטיות, שמציגות מושכים מוזרים במערכות בעלות שני ממדים, ואפילו בממד אחד.
הדפוס של מערכת עם "מושך מוזר" הוא שונה. מערכות עם "מושכים מוזרים" מציגות התנהגות כאוטית. מיפוי המושך המוזר מראה, שהתנהגות המערכת בלתי צפויה, נראית "משונה" או "מוזרה", ואינה עקבית וסדירה כמו ה"מושך". מכיוון שהמערכת פתוחה לסביבה החיצונית שלה, היא מסוגלת להפגין גוונים רבים של תנועה. בכל אורגניזם בריא קיים "מושך מוזר", והוא עצמו "מושך מוזר" המתפתל, מתנועע, משתנה, רווי מעגלי משוב חיוביים הדוחפים את המערכת לכיוונים חדשים, ומעגלי משוב שליליים הדואגים לכך שהתהליך לא יגלוש לאקראיות צרופה, שתהרוס אותו.
היסטוריה.
שורשיה של תאוריית הכאוס בשנת 1900 לערך, במחקריו של אנרי פואנקרה על בעיית שלושת הגופים, העוסקת בתנועה של שלושה גופים בחלל, בהשפעת הכבידה. פואנקרה גילה שיכולים להתקיים מסלולים לא-מחזוריים, שאינם מתרחקים או מתקרבים לנקודה קבועה. מחקרים מאוחרים יותר, גם בנושא של משוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות, נעשו על ידי ג'ורג' בירקהוף, אנדריי קולמוגורוב, מרי קרטרייט, ג'ון אדנזור ליטלווד וסטפן סמייל. מלבד סמייל (המתמטיקאי הטהור הראשון שחקר את הדינמיקה הא-ליניארית), העניקה הפיזיקה את ההשראה למחקר - בעיית שלושת הגופים במקרה של בירקהוף; מערבולות ובעיות אסטרונומיות במקרה של קולמוגורוב; והנדסת רדיו במקרה של קרטוויט וליטלווד. אף על פי שתנועה כאוטית של כוכבי-לכת טרם נצפתה, לא הייתה בנמצא תאוריה שיכלה להסביר את חוסר הסדר בתנועת נוזלים ואת השינוי הלא-מחזורי במעגלי רדיו.
תאוריית הכאוס תפסה תאוצה לאחר אמצע המאה העשרים, כאשר מדענים החלו להבין שתורת המערכות הליניאריות, התאוריה המערכתית המובילה באותו זמן, לא יכולה להסביר את התנהגותם של ניסויים מסוימים, כדוגמת ההעתקה הלוגיסטית. הזרז העיקרי להתפתחות של תאוריית הכאוס היה המחשב האלקטרוני, שכן פתרון בעיות מתמטיות בתאוריית הכאוס מצריך מספר אסטרונומי של חישובים, אותו לא ניתן לבצע ידנית בפרק זמן סביר. אחד המחשבים האלקטרוניים הראשונים, ה-ENIAC, שימש לעריכת מודלים פשוטים של מזג האוויר.
חלוץ מוקדם של התאוריה היה אדוארד לורנץ, שהתעניינותו בכאוס באה בדרך מקרה בזכות מחקריו על חיזוי מזג אוויר ב-1961. לורנץ השתמש במחשב בסיסי, עליו הריץ את הסימולציה האקלימית שלו. הוא רצה לחזור ולראות נתונים שראה קודם לכן, ובמטרה לחסוך זמן, הזין נתונים שהתקבלו באמצע סימולציה קודמת. להפתעתו, המחשב חזה כעת מזג אוויר שונה לחלוטין. לורנץ הבין שהשינוי נבע מכך שהזין נתונים החדשים בדרגת דיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה, ולעומת החישוב הקודם שנשען על דיוק של חמש ספרות אחרי הנקודה. כך נתגלה כי כל דרגת דיוק הנמוכה מאינסוף תוביל להעמקה בלתי נמנעת של ההבדלים בין שתי המערכות, עד לכדי כך שלא יהיה ביניהן עוד כל דמיון. גילוי זה סתר את הקונצנזוס השגוי שקדם לו, לפיו הבדל זעיר שכזה יהה זניח וחסר משמעות.
המונח כאוס במתמטיקה נטבע על ידי המתמטיקאי ג'יימס א. יורק. עם עליית כוח העיבוד של המחשבים בני זמננו, תאוריית הכאוס מהווה כיום תחום מחקר פעיל ביותר.
אייר פראנס
אייר פראנס (באנגלית: Air France; בצרפתית: AFR או Compagnie Nationale Air France) היא חברת התעופה הלאומית של צרפת. וחברת התעופה הכי גדולה במדינה. הסימול שלה ב-IATA הוא AF. היא מפעילה קווים ל-245 ערים ב-85 מדינות, והיא מעסיקה יותר מ-64,000 עובדים. החברה חברה בברית חברות תעופה Skyteam. החברה הייתה אחת מהחברות הבודדות ביותר שהפעילו את הקונקורד וכן החברה מחזיקה כיום במספר מטוסים שוברי שיאים.
תולדות החברה.
אייר פראנס נוסדה ב־30 באוגוסט 1933 ממיזוגן של Air Orient, Compagnie Générale Aéropostale, Société Générale de Transport Aérien (SGTA, חברת התעופה הצרפתית הראשונה, שנוסדה כ-Lignes Aériennes Farman ב-1919), Air Union ו-CIDNA (Compagnie Internationale de Navigation). לחברה היו קווים רבים ברחבי אירופה, אך גם למחוזות צרפת בצפון אפריקה ולמקומות אחרים.
החברה הולאמה ב-1946, ו-"Compagnie Nationale Air France" (חברת התעופה הלאומית הצרפתית) נוצרה בהחלטה של הפרלמנט ב-16 ביוני 1948. הממשלה החזיקה ב-70 אחוז מהחברה החדשה ועד סוף 2003 המשיכה להחזיק בשליטה באמצעות 54 אחוז ממניות החברה. ב-4 באוגוסט 1948, מקס הימאן מונה לנשיא אייר פראנס. במהלך שלוש עשרה שנותיו בהנהגה, הוא יישם מדיניות מודרניזציה שהתבססה על מטוסי סילון, במיוחד הקרוול והבואינג 707.
ב-1949 החברה הייתה אחת ממייסדות SITA (Société Internationale de Télécommunications Aéronautiques, האגודה הבינלאומית לטלקומוניקציה אווירית). החברה השתמשה במטוסי קומט החל מ-1953 למשך תקופה קצרה, אך במהרה החליפה אותם במטוסי וייקאונט וב-1959 החלה בשימוש נרחב במטוסי הסילון "קאראוול" הדו-מנועיים. היא עברה לשימוש במטוסי בואינג, אך כחברה לאומית אירופית הייתה מחויבת לדגמי איירבוס החל מ-1974. החל מ-1976, החברה הפעילה את מטוס הקונקורד העל-קולי הייחודי בקו פריז-שארל דה גול – ניו יורק וכן בקווים נוספים (שהופסקו ב-1982).
ב-30 בספטמבר 2003, אייר פראנס ו-KLM ההולנדית הודיעו על מיזוג שתי חברות התעופה לחברה חדשה שתיקרא אייר פראנס-KLM. בעלי המניות של אייר פראנס יחזיקו ב-81 אחוז מהחברה החדשה, ובעלי המניות של KLM יחזיקו ביתר. חלקה של ממשלת צרפת באייר פראנס ירד מ-54.4 אחוז ל-44 אחוז.
בינואר 2016 החברה הוציאה את מטוסי הבואינג 400–747 משירות, לאחר ארבעים ושש שנים בהן המטוס על דגמיו השונים היה חלק מצי המטוסים שלה.
ביולי 2017 הודיעה החברה על חברת בת בשיטת הלואו קוסט שתיקרא JOON, המיועדת בעיקר לבני גיל הצעירים. בינואר 2019 הודיעה אייר פראנס על ביטול המותג JOON, והמותג חדל להתקיים ביוני 2019.
ב-2018 זכתה החברה בתואר "האוכל הטוב ביותר המוגש בטיסות".
ב-26 ביוני 2020 החברה הייתה לחברה הראשונה שהוציאה משירות את האיירבוס A380.
צי המטוסים.
צי המטוסים של החברה הוא מהחדשים והמתקדמים בעולם והוא משולב מדגמי איירבוס ודגמי בואינג. בשנת 2020 יצאו משירות כל צי מטוסי האיירבוס A380 ועד שנת 2024 עתידים לצאת גם דגמי ה-A330 ובמקומם עתידים להיכנס דגמי 350 ודגמי העתיד של בואינג מסוג 777-9X.