תהא formula_127 מטריצה מסדר formula_128. המטריצה המשוחלפת שלה, שתסומן formula_129 (מקובלים גם הסימונים "A"tr, t"A", "A"T או ′"A") ,
היא מטריצה מסדר formula_130 שמוגדרת כך: formula_131, עבור כל formula_132.
מטריצה ריבועית.
מטריצה ריבועית היא מטריצה שמספר העמודות שלה שווה למספר השורות. בניגוד לסתם מטריצות, המייצגות העתקות ליניאריות ממרחב אחד למרחב אחר, מטריצות ריבועיות יכולות לייצג העתקות ממרחב אל עצמו, ולכן האוסף formula_134 של מטריצות ריבועיות מסדר n על n מעל שדה F, סגור לכפל, ומהווה אלגברה, הקרויה אלגברת המטריצות.
הדיון במטריצות ריבועיות עשיר במיוחד, וכולל התייחסות לסוגים מיוחדים אחדים של מטריצות ריבועיות, ובהן מטריצת היחידה, מטריצה הפיכה, מטריצה סינגולרית, מטריצה משוחלפת, מטריצה סימטרית, מטריצה אנטי-סימטרית, מטריצה הרמיטית, מטריצה יוניטרית, מטריצה נילפוטנטית ומטריצה סטוכסטית, וכמו כן למטריצה ריבועית מוגדרת הדטרמיננטה שלה, שהיא כלי חשוב במספר תחומים.
מטריצה אלמנטרית.
מטריצה אלמנטרית היא מטריצה המתקבלת ממטריצת היחידה על ידי פעולת שורה אלמנטרית אחת. המטריצות האלמנטריות יוצרות את החבורה הליניארית הכללית של מטריצות הפיכות. הכפלה משמאל במטריצה אלמנטרית מייצגת פעולת שורה אלמנטרית, בעוד הכפלה מימין במטריצה אלמנטרית מייצגת פעולת עמודה אלמנטרית.
בדרך זו, ביצוע פעולת שורה אלמנטרית על מטריצה ריבועית שרירותית "A" שקול למעשה לכפל משמאל במטריצה אלמנטרית מסוימת - מטריצה המתקבלת ממטריצת הזהות על ידי פעולה שורה אלמנטרית זהה לזו שאנו רוצים לבצע על המטריצה המקורית "A". כל מטריצה הפיכה ניתן להציג כמכפלה של מטריצות אלמנטריות.
שפות תכנות.
בשפות תכנות מיוצגת מטריצה באמצעות מערך דו-ממדי. חבילות תוכנה לתכנות מדעי כוללות גם פונקציות לפעולות על מטריצות, כגון שחלוף וכפל.
צ'יל אאוט
צ'יל אאוט (באנגלית: Chill out או Chillout) הוא מונח המשמש לתיאור סגנונות מוזיקליים שונים אשר מטרתם הרגעה, או השראת אווירה נינוחה בעת השמעתם. מוזיקת צ'יל אאוט היא לא אלקטרונית בהכרח, אם כי לרוב נעשה ביצירתה שימוש באלמנטים אלקטרוניים.
כמו כן, בשל ההגדרה הבעייתית של סגנון זה, הרי שהוא חופף עם ז'אנרים רבים אחרים, בין אם במוזיקה האתנית, האלקטרונית או אפילו הג'אז. קשה להצביע על חלוצים בז'אנר מאחר שנדמה שמוזיקה רגועה הייתה מאז ומתמיד.
בשנים האחרונות ניתן להבחין בדבר אחד בולט בסגנון המוזיקה שהוגדרה כ"צ'יל אאוט". מתוך כמה וכמה הרכבים מוכרים וגם כאלה שלא, קיים הרכב בולט אחד - "אניגמה". ההרכב, בראשו של מייקל קרטו, יצר מוזיקה מרגיעה של צלילים בשילוב אלמנטים אלקטרוניים, אשר לרוב מלווה בשירה או קולות רקע בלבד. קיימים לחנים רבים שלהם אשר נוצלו כפסקולים לסרטים רבים ונעימות רקע. למרות שישנם אנשים שלא מגלים חיבור לסגנון זה, יש המזהים בין יצירותיהם את המפורסמת שבהן - "Return To Innocence". יצירות אחרות מקבלות עוצמה רבה יותר, שאינה בהכרח מרגיעה. בין המרגיעות אפשר להבחין בקיומן של מנגינות חושניות. דוגמה ליצירה שכזו ניתן למצוא בשיר "Smell of Desire", שאפילו שמו מרמז לכך. הלחן הוא שונה עם מקצב לא רועש אך ששומר על עוצמתו. בכלל בכל היצירות של הרכב זה יש משהו גותי, אפלולי ומסתורי. לרוב מנגינות ללא מילים אך עם אמירה מאוד מובהקת.
קיימים עוד הרכבים שונים ומוכרים בני זמננו. "ואנגליס" הוא מבין המוכרים ביותר, אשר לרוב משתמשים במנגינותיו כמוזיקת חתונות. אולם, כאן מדובר במשהו שונה. ישנן יצירות שמזכירות בלחן שלהם משהו כנסייתי ומאוד רוחני. יש כאלה מכילים טקסטים המדברים על נצרות.
רצועת צ'יל אאוט Wickethewok - Deepecho
ירושלים בתקופה העות'מאנית
שלטונה של האימפריה העות'מאנית בירושלים וסביבתה נמשך, בהפסקות קצרות, 400 שנה - החל משנת 1517 ועד כיבושה בידי בריטניה בשנת 1917.
מאז תום התקופה הצלבנית ירושלים כמעט קפאה על שמריה, מבחינה אזרחית. אומנם הממלוכים בנו מדרסות רבים, מבנים על הר הבית ואת שוק הכתנים, והסולטאן העות'מאני סולימאן המפואר בנה את חומות ירושלים המוכרות היום, ושיפץ את המצודה ואת מגדל דוד. אולם עם שקיעתה הממושכת של האימפריה העות'מאנית הידרדר גם מצבה של ירושלים, וחלקים גדולים בתוך העיר העתיקה היו שוממים.
העיר לא היוותה מרכז מסחרי או מדיני של אזור נרחב וחשיבותה הייתה דתית בלבד.
השלטון היה של פחות מקומיים שהנהיגו משטר של ניצול ולא העניקו ביטחון ושירותים עירוניים נאותים לתושבי העיר. במאות ה-18 וה-19 החל היישוב היהודי להתעצם.
בעקבות הכיבוש המצרי ב-1831 החלו המעצמות הקולוניאליות האירופאיות לגלות עניין בעיר, הקימו קונסוליות, נאבקו על מידת השפעתן ועסקו בבנייה נרחבת. במחצית השנייה של המאה ה-19 הוחל בהקמת מבנים שונים מחוץ לחומות (עד אז לא ניתן היה לגור מחוץ לחומות בשל חוסר הביטחון, ועם גידול האוכלוסייה עלתה הצפיפות). באותה תקופה קמו מוסדות ותשתיות שונות כבתי חולים, דרכים סלולות ולבסוף רכבת ב-1892.
במהלך תקופה זו אוכלוסיית העיר נעה בין כ-5,000 נפש בראשיתה לכ-60,000 בסופה. הרכב האוכלוסייה השתנה, בראשיתה היו המוסלמים הקבוצה הגדולה ביותר ובסופה היו היהודים רוב בעיר.
מעמד ירושלים.
העות'מאנים העריכו את ירושלים מבחינה דתית-מוסלמית ומקומות הדת המשיכו לשמש מוקדי עלייה לרגל למוסלמים בדרכם לחג' או בחזרה ממנו. במסגרת זו שופצו מבנים רבים בעיר וניתנו מלגות לעולמא (חכמי הדת). כמו כן ניתנה הגנה להולכי הרגל בתוך העיר. עם זאת ירושלים נשארה מאחור מבחינות רבות, בשל הזנחה כללית מצד השלטון הטורקי.
ירושלים שימשה עיר מחוז של סביבתה בלבד. ריחוקה מהדרכים הראשיות (דרך הים מקהיר לדמשק והדרך מעזה למפרץ הפרסי), הקטינה את עניין הכובשים השונים בה.
בתקופה זו הייתה ארץ ישראל מחולקת בין שני איילטים – איילט צידון ששלט בצפון הארץ ובמישור החוף, ואיילט סוריה (המכונה גם איילט דמשק) ששלט בעבר הירדן וברצועת ההרים שבין שכם לחברון. להלכה ירושלים הייתה עיר מחוז באיילט סוריה אך למעשה איילט צידון, שהיה חזק יותר, הן מול הממשל המרכזי והן מול דמשק, שלט והשפיע גם על מרכז הארץ ודרומה.
מושל ירושלים כונה "מותסלם". הוא היה חוכר המס והמכס עבור השלטון המרכזי. תפקידו כלל גם שמירה על השקט והביטחון בעיר. המותסלם שכן בבניין הסראיה שבוויה דולורוזה, ברובע המוסלמי (כיום בית הספר אל עומריה), שחולש על הר הבית והעיר העתיקה כולה. מרבית הכנסותיו היו מהעדות הלא מוסלמיות שנדרשו לשלם מיסים רבים בנוסף למיסים הכלליים. במאה ה-19 עבר בית הסראיה לארמון הגבירה טונשוק במרכז הרובע המוסלמי, שם שכנה גם עיריית ירושלים.
מכיוון שמושלי האיילטים, הפּחַוֹת, הוחלפו בכל שנה הם ניצלו את שלטונם כדי להגדיל ככל האפשר את נטל המיסים על האוכלוסייה, ולא השקיעו מאמץ רב לטפל בצרכיה השונים. הפחה עשה שימוש ביחידות צבא שלמות "להשכנת שלום" גם אם לא היה בהן צורך, הכל למען האדרת שמו. מושל ירושלים שילם דמי חכירה לסולטאן וקיבל את כספו חזרה באמצעות מיסים. כל עולה רגל שילם למושל תמורת כניסה למקומות הקדושים. היהודים והנוצרים שילמו את המיסים דרך מוסדות הדת שלהם, לרוב על-פי גובה הכנסתם בפועל. נוספו מיסים לא רשמיים רבים שהכבידו על האוכלוסייה.
בשל קדושת העיר והעוני השורר בה היו משוחררים בני העיר מחלק מהמסים המוטלים על כל נתיני האימפריה, כמו מס יחיד ומס רכוש. מס הייצוא היה נמוך ובמקומו שולם מס כניסה בשערי העיר. כל ההנחות האלו חלו על ירושלים שבתוך החומות בלבד. זהו גורם נוסף לעיכוב פיתוחה.
בשל גודלה הקטן, נטל המיסים והמיעוט היחסי של ההזדמנויות הכלכליות בה, לא נהנתה ירושלים מהגירה חיובית מהכפרים מסביב. במקרי חירום אף ברחו המוסלמים והנזירים מירושלים החוצה, כיוון שבניגוד לעיר, בכפרים לא נאכפה יד השלטון בצורה כה חזקה.
שיפוט.
עיקר כוח השיפוט בסנג'ק ירושלים היה בידי הקאדי העות'מאני (מולא), שהיה ממונה אחת לשנה על ידי הסולטאן. המולא היה ממנה קאדי לכל עיר תמורת תשלום בהתאם לערך המקום. הקאדי היה מקבל אחוזים מעסקים, ירושות, אישור תעודות וכו'. כל הפקידים השתדלו להערים על החוק והוסיפו מיסים על מיסים.
הקאדי, בנוסף להיותו שופט, נחשב לפקיד ראשון במעלה. בהיעדר הפחה היה הקאדי ממלא את מקומו.
בית המשפט שכן בבית ה"מחכמה" ליד רחבת הכותל המערבי ודן בנושאים מוסלמיים ולא מוסלמיים כאחד. בסוף התקופה העות'מאנית הוקם בית משפט אזרחי ששכן בסראיה, כמו כן פעלו גם בתי דין קונסולריים שדנו בנתינים הזרים. השופט נהג לפי הקוראן ולפי תקדימים בלבד.
הקאדי הוחלף כל שנה, ותפקיד מזכיר בית הדין עבר בירושה. ניתן היה לערער בפני המופתי, שנחשב סמכות שנייה אחרי הקאדי, וניתן גם לערער למועצת העולמא בקושטא אך בשל ההוצאות הגבוהות היה זה אירוע נדיר. ליהודים היה בית דין רבני בראשות החכם באשי, שזכה לכבוד גם מצד אנשי הממשל העות'מאני. לנוצרים היו בתי משפט של בוררות המורכבים מזקני העדה. עונש מוות לא היה קיים, אך נאמר על הכלא בירושלים שהשהות בו הייתה גרועה ממוות. על מנת לחסוך בהוצאות משפט, העדיפו גם מוסלמים לעיתים להישפט בבתי הדין הקונסולריים.
וקף.