הנש"מ formula_7 היא יציבה אקספוננציאלית גלובלית אם החסם האקספוננציאלי על formula_9 מתקיים לכל formula_78
דוגמה:
formula_119
formula_120
formula_121
ניתן לראות שההתכנסות לנש"מ המערכת יציבה אקספוננציאלית.
הערה: ניתן להראות כי במערכת ליניארית, יציבות אסימפטוטית גוררת יציבות אקספוננציאלית.
משפט: יציבות אקספוננציאלית
פונקציית ליאפונוב למערכות ליניאריות.
ניקח את המערכת הליניארית formula_52. נניח שהמערכת בראשית יציבה אסימפטוטית, כלומר formula_131.
עבור המערכת הנ"ל קיימות מספר שיטות למציאת פונקציית ליאפונוב.
תבניות ריבועיות ומטריצות חיוביות.
תהי formula_132 מטריצה סימטרית בגודל formula_133
המטריצה formula_132 מגדירה תבנית ריבועית בוקטור המשתנים - formula_26, כלומר formula_136. כל תבנית ריבועית ניתן להגדיר באמצעות מטריצה סימטרית formula_137.
ננסה למצוא את פונקציית ליאפונוב עבור המערכת הליניארית formula_52 באמצעות הפונקציה הבאה formula_139. עבור קבלת formula_35 נדרוש שמטריצת formula_132 תהיה מוגדרת כסימטרית וחיובית formula_142.
עבור התנאי השני נחשב את formula_143.
formula_144.
נסמן formula_145 אזי formula_146 ועל מנת לקיים את התנאי formula_147 נדרוש formula_148. ניתן לראות שהמטרה היא מציאת formula_142 שיבטיח formula_148.
משוואות ליאפונוב.
נניח שהמערכת formula_64 יציבה כלומר formula_131 עבור כל formula_56.
תהיי formula_148 כלשהי, נתבונן במשוואה:
formula_155
אזי:
המשוואה (*) נקראת משוואת ליאפונוב. ניתן לראות כי זוהי משוואה ליניארית באיברי המטריצה formula_132.
סיכום:
על מנת למצוא פונקציית ליאפונוב עבור מערכת הליניארית formula_52 נעשה את השלבים הבאים:
דוגמה:
נתונה המערכת הבאה formula_169
נבחר formula_170 ונקבל את פונקציית ליאפונוב הבאה formula_171
formula_172
מפתרון המערכת נקבל ש: formula_173, formula_174, formula_175 כלומר ש formula_176 והמערכת יציבה.
מציאת פונקציית ליאפונוב עבור מערכות לא-ליניאריות.
כנכתב מקודם הקושי העיקרי הוא מציאת פונקציית ליאפונוב עבור המערכת הלא ליניארית formula_30. יש לציין שלא קיימת שיטה כללית שהצלחתה מובטחת. בפרק זה יתוארו מספר שיטות אפשריות.
פונקציות ריבועיות - quadratic Lyapunov function.
נקודת התחלה אפשרית היא התבנית הריבועית formula_139 כאשר formula_142 (מוגדרת כמטריצה חיובית). בפרט ניתן להתחיל מהמקרה האלכסוני: formula_180. דרוש לבדוק האם formula_132 מקיימת את האילוץ הבא formula_182. דרך אחת למציאת formula_132 מתאימה היא באמצעות לינארזיציה. עבור formula_184
נגדיר formula_148 ונבחר formula_132 כך ש formula_145.
גישה זו תצליח תמיד כאשר formula_64יציבה (כלומר שהמערכת יציבה אסימפטוטית בסביבת הנש"מ) אולם היא אינה בהכרח מביאה לאגן משיכה מיטבי.
שיטת קרקובסקי - Krasovskii method.
בגרסה הבסיסית הפונקציה המוצעת היא t formula_189. נגדיר formula_190
הטענה הבסיסית היא כי אם formula_191 בסביבת הראשית, אזי formula_2 היא פונקציית ליאפונוב וformula_7 היא יציבה אסימפטוטית.
יתרה מזאת, אם formula_194 ב"כדור" המקיף את הראשית, אזי כדור זה הוא אגן המשיכה של הראשית.
בכלליות יותר ניתן להשתמש גם במטריצה formula_142 כך ש formula_196 בסביבת הראשית.
הסתמכות על שיקולים פיסקאליים.
לעיתים ניתן לגזור פונקציית ליאפונוב מתוך "הבנה פיזיקלית" של הבעיה, דוגמה בולטת היא פונקציית אנרגיה במערכות מכניות.
דוגמה: מערכת מטוטלת
ניקח בתור דוגמה מטוטלת בעלת חיכוך ויסקוזי formula_197 . הפרמטרים formula_198 מתארים את אורך הזרוע והמסה בהתאמה והפרמטר formula_199 מתאר את כוח המשיכה.
משוואות התנועה של המערכת הן:
formula_200
את פונקציית ליאפונוב נבחר משיקולים פיזיקליים כפונקציית האנרגיה (המנורמלת):
formula_201
מכאן נקבל ש:
formula_202
ניתן לראות שהמערכת יציבה במובן ליאפונוב.
יציבות זמן בדיד.
עד חלק זה הוצגה התאוריה עבור מערכות רציפות בזמן. ניתן לפתח תוצאות דומות גם
למערכות בזמן בדיד, כאשר הפרטים הטכניים פה לרוב פשוטים יותר.
נתבונן במערכת מצב בזמן בדיד:
formula_203
גם במקרה זה נחפש פונקציית ליאפונוב formula_2 המקבלת מינימום בנש"מ formula_14 ויורדת עבור מסלולי המערכת השונים.
הדרישה הראשונה זהה לזמן רציף
לעומת זאת הדרישה השנייה משתנה ל:
במילים אחרות החלפנו את הדרישה formula_210 בדרישה formula_211
יש לציין כי משוואות ליאפונוב למערכות ליניאריות בזמן רציף formula_163 מוחלפת בזמן בדיד עם המשוואה הבאה formula_213.
צאפיה זע'לול
צאפיה זע'לול (בערבית: صفية زغلول; 1877 - 12 בינואר 1946) הייתה פעילה פוליטית ופמיניסטית מצרית, מתומכות המהפכה למען עצמאות מצרים וממייסדי מפלגת אל-ופד. אשתו של סעד זע'לול, מהפכן שפעל למען עצמאות מצרים מהכיבוש הבריטי וראש ממשלת מצרים הראשון. הייתה מראשי מהומות 1919 ודמות פוליטית משפיעה ופופולרית, ידועה כ"אם המצרים".
קורות חייה.
צאפיה זע'לול נולדה בשנת 1877 למשפחה מן האליטה העות'מאנית-מצרית הישנה. אביה, מוסטפא פהמי, היה ראש ממשלת מצרים הקולוניאלית במשך 13 שנה.
כשהייתה בת 18, נישאה צאפיה לסעד זע'לול, שהיה אז בן 36. הסופר קאסם אמין הוא שהכיר בין השניים. סעד היה ממעמד הפלאחים, ולא היה נהוג באותה תקופה שבת ממשפחת האליטות תתחתן עם גבר ממעמד זה, אולם אביה נתן את ברכתו.
סעד היה למנהיג המאבק נגד הקולוניאליזם הבריטי, וצאפיה לא נשארה בצלו, אלא השתתפה ותמכה במהומות 1919 כבר בתחילתם. למעשה, כשסעד הוגלה בשל פעילותו, הפכה צאפיה לדמות מרכזית במפלגת אל-ופד החדשה, וביתה היה למעין מטה של פעילי המהפכה. ממעמד מנהיגות זה, היא המשיכה לייעץ לבעלה מרחוק, ולייצג אותו בקרב חברי המפלגה.
הנשים המצריות באותה תקופה התנגדו לחוקים הבריטיים בכמה דרכים: חרם כלכלי, שביתות, והפצת חומרים כתובים נגד הקולוניאליזם הבריטי. השתתפות הנשים במהומות 1919 היה לאירוע המכונן לחיבור בין התנועה הפמיניסטית המצרית, שהייתה בפריחה, לבין התנועה הלאומית. המרד נתן במה בפעם הראשונה להשמעת קולות של נשים במרחב הציבורי, ובאופן שהתקבל מתוך הסולידריות הרווחת בין הקבוצות.
בכך הייתה צאפיה למנהיגה בשתי החזיתות. היא ארגנה הפגנה גדולה נגד הקולוניאליזם של 500 נשים, אשר יצאו מביתה של הודא שעראווי, ולאחר מכן המשיכה לארח את הפעילות בביתה. היא נודעה כדמות אם לפוליטיקה הרדיקלית המתפתחת בארצה, ונקראה "אם המצרים", וביתה נקרא "בית האומה". באותה תקופת גלות של סעד, היא גם נסעה לפגוש אותו בלונדון ובפריז כדי לבקש תמיכה לעצמאות מצרים. בחזרה במצרים, הייתה נואמת, כותבת עתירות ועלונים, ומעודדת את חבריה וחברותיה למאבק. כשסעד ועמיתיו היו במעצר לפני שהוגלה, היא סייעה לנשותיהם של העצורים להבריח אליהם פתקים. כשהדבר התגלה, הועברו הגברים לכלא אחר, אך גם לשם הצליחה צאפיה להיכנס, כשהיא מחופשת לאישה זקנה, ובמשך כשעה דיברה עם המהפכנים, הרגיעה ועודדה אותם.
ב-1922, כאשר בריטניה הכריזה באופן חד-צדדי על עצמאות מצרים, נערכו בחירות לשלטון ומפלגתו של סעד זכתה בניצחון סוחף, והוא נהייה ראש הממשלה הראשון של מצרים העצמאית. היא הייתה רעיית מנהיג מצרים הראשונה להופיע בציבור ללא כיסוי ראש. היא נותרה כדמות בעלת השפעה פוליטית, וכשסעד נפטר בשנת 1927, היא עמדה במרכז בחירת יורשו לתפקיד. גם בשנים אלה, עמדה צאפיה בראש פלג הנשים באל-ופד, ופעלה למען זכויות נשים, למרות אזהרות שקבלה מראש הממשלה המכהן, איסמעיל צידקי, להפסיק. אך ב-1937 החליטה לפרוש מחיי הציבור, בעקבות קרע במפלגה.
צאפיה זע'לול נפטרה ב-12 בינואר 1946.
מנחם חבר
מנחם חבר הוא קצין משטרה בדרגת תת-ניצב, מכהן כנציג משטרת ישראל בארצות הברית.
חבר שירת במגוון תפקידים במחוז הצפון, בהם סגן מפקד היחידה המרכזית, מפקד תחנת המשטרה בעפולה ומפקד היחידה המרכזית. ב-2007 מונה למפקד מרחב שומרון במחוז ש"י. ב-2008 מונה למפקד מרחב גליל בדרגת תת-ניצב. לאחר פיצול מחוז הצפון, מונה ב-2011 לסגן מפקד מחוז חוף. ב-2014 מונה לנציג המשטרה בארצות הברית.
שכונת דרום (באר שבע)
המרכז האזרחי (באר שבע)
נאות לון (באר שבע)
נווה זאב (באר שבע)
אנטילופה טיבטית
אנטילופה טיבטית (שם מדעי: "Pantholops hodgsonii"; מוכרת יותר בכינוי צ'ירו), היא סוג של אנטילופה נדירה האנדמית לרמה הטיבטית שבמרכז אסיה, ומהווה מין יחיד בסוגה ובתת-משפחת "פאנטולופים". הפרסתן הקרוב ביותר לאנטילופה הטיבטית הוא הסאיגה, שבעבר היה מצוי גם בטיבט ולו אקולוגיה דומה למדי.
השם המדעי של האנטילופה הטיבטית נגזר מיוונית כדלהלן: "Pas" = צמר, "antholops" = אנטילופה, ומתייחס לייחודיות שלה בכך שהיא אנטילופה בעלת צמר; "hodgsonii" הוא על שם הביולוג בריאן הודג'סון ששהה בנפאל בין השנים 1833–1843 וחקר את האקולוגיה שלה. השם הרשמי "צ'ירו" הוא שם טיבטי מקומי עבור אנטילופה זאת, בעוד שהשם "אנטילופה טיבטית" מתייחס לתחום תפוצתה וכיום יש נטייה יותר לכנותה בשם זה.
יחד עם הנילגאי, אנטילופה הודית, קובוס הנילוס, וקודו ניאלה, האנטילופה הטיבטית מפגינה דו-צורתיות זוויגית בולטת ביותר, כאשר הזכרים שונים לגמרי מהנקבות במידות גוף, צבע פרווה, סימונים, קרניים, ועוד.
סיווגה של האנטילופה הטיבטית שהתגלתה לראשונה ב-1826 שנוי עד היום במחלוקת, כיוון שמצד אחד יש לה פרווה צמרירית עבה כשל עיזי בר דוגמת הסרו והגוראל, ומצד שני האקולוגיה שלה ומבנה גופה מזכירים יותר אנטילופות מתת-משפחת הצבאיים כדוגמת הסאיגה והצבי היעלי; מלבד זאת יש לה מאפיינים ייחודים אחרים.