העקום C ניתן לבנייה כמעטפת של משפחה בת פרמטר אחד של המעגלים הנושקים שלו. מרכזיהם, דהיינו מרכזי העקמומיות שלהם, יוצרים עקום אחר, הנקרא האוולוט של C. קודקודים על C מתאימים לנקודות יחידות על האוולוט שלו.
דוגמאות.
פרבולה.
עבור הפרבולה:
formula_6
ורדיוס העקמומיות הוא:
formula_7
בקודקוד מתקיים formula_8 ורדיוס העקמומיות שווה ל-0.5. לפרבולה יש מגע מסדר רביעי עם המעגל הנושק לה בנקודה זו. עבור t-ים גדולים רדיוס העקמומיות גדל בקצב יחסי ל-~ "t3", והעקום הולך ונעשה קרוב יותר ויותר לישר.
עקום ליסאז'ו.
עקום ליסאז'ו בעל יחס תדירויות 2:3 ניתן להצגה פרמטרית באופן הבא:
formula_9
העקמומיות (k(t, וקטור היחידה הנורמלי (N(t ורדיוס העקמומיות (R(t שלו הם:
formula_10
formula_11
formula_12
היסטוריה.
המעגל הנושק כונה כך
על ידי לייבניץ.
בנייה גאומטרית של המעגל תוארה על ידי אייזק ניוטון בספרו פרינקיפיה:
ארמיית הפאנצר השישית (ורמאכט)
ארמיית הפאנצר השישית (מגרמנית: 6. Panzer-Armee) הייתה ארמיית שריון גרמנית ב במהלך מלחמת העולם השנייה. הארמייה, שהוקמה בסתיו 1944, השתתפה בקרב על הבליטה שם פעלה בגזרה הצפונית ביותר של זרוע המתקפה הגרמנית. לאחר מכן היא הועברה להונגריה בתחילת 1945 ונטלה חלק בפעולות התקפיות והגנתיות באזור. לקראת סיומה של המלחמה עוד הספיקה להילחם באוסטריה, עד שלבסוף נכנעו שאריות הארמייה לצבא ארצות הברית. מפקדה היחיד של הארמייה היה הגנרל יוזף דיטריך.
היסטוריה.
ארמיית הפאנצר השישית ידועה בעיקר בזכות החלק שנטלה בהובלת המתקפה הגרמנית בקרב על הבליטה (16 בדצמבר 1944 - 25 בינואר 1945). ב-2 באפריל 1945 היא הועברה לואפן אס.אס., ושמה שונה ל"ארמיית הפאנצר השישית של האס-אס" (6. SS-Panzerarmee). שם זה הפך לשמה הרשמי של הארמייה בספרות הצבאית שלאחר המלחמה.
המתקפה של ארמיית הפאנצר השישית בארדנים בדצמבר 1944 כשלה בהבקעת קווי ההגנה האמריקאים. אף על פי שהוקצו לה דיוויזיות פאנצר מהאס אס, שנחשבו למובחרות, ארמיית הפאנצר השישית הצליחה לחדור רק מעט לתוך קווי ההגנה הצפוניים של הקורפוס ה-8 האמריקאי. בתום המתקפה בארדנים הועברה הארמייה להונגריה, שם נלחמה כנגד כוחות הצבא האדום המתקדמים.
בחודש מרץ 1945, לאחר נפילת בודפשט, פתחה הארמייה במתקפת אגם בלטון סביב אגם בלטון, המתקפה הגרמנית האחרונה במלחמה. מטרת המבצע הייתה להגן על מקורות הנפט באזור, שהיו העתודות הנפט האחרונות שנשלטו על ידי גרמניה. המתקפה הפתיעה את הצבא האדום והשיגה התקדמות מרשימה בשלב כה מאוחר של המלחמה. אולם כשהבינו הסובייטים כי יחידות עלית של האס.אס משתתפות במבצע (דיוויזיית האס אס לייבשטנדרטה) הגיבו בעוצמה. ב-17 במרץ נהדפו הגרמנים לנקודת ההתחלה שלהם ערב המבצע. מפקדה של ארמיית הפאנצר השישית, הגנרל יוזף דיטריך, התלוצץ ואמר כי "שמה של ארמיית הפאנצר השישית מדויק - נותרו לנו רק שישה טנקים". במציאות נותרו לדיוויזיות הפאנצר אס.אס ה-1, ה-2, ה-9 וה-12 כ-31 כלי שריון מבצעיים או יותר ב-15 במרץ 1945.
שארית הכוחות הגרמניים נסוגו תחת הלחץ הסובייטי לעבר אוסטריה במטרה להגן על וינה. באפריל 1945 לא עלה בידי ארמיית הפאנצר השישית של האס-אס למנוע את נפילתה של וינה לידי הסובייטים. כשהסתיימה המלחמה ב-8 במאי 1945, שהתה הארמייה בין וינה ללינץ, שם נכנעה לבסוף לכוחות אמריקאים.
פריץ גרובה
פריץ קונרד פרדיננד גרובה (בגרמנית: Fritz Konrad Ferdinand Grobba; 18 ביולי 1886 - 9 בפברואר 1973) היה מזרחן ודיפלומט גרמני. זכור בשל התפקידים שמילא בשליחות גרמניה הנאצית במזרח התיכון בשנים שבין מלחמות העולם ובשנות מלחמת העולם השנייה. הוא זכור במיוחד בשל השפעתו על מרד רשיד עאלי אל-כילאני וההסתה האנטישמית הפרועה שקדמה למרד, שהייתה בין הגורמים לפרעות הפרהוד בהן איבדו את חייהם 179 יהודים, ובשל שיתוף הפעולה שלו עם המופתי הירושלמי חאג' אמין אל-חוסייני בתקופת המרד ולאחריו.
ילדות ונעורים, קריירה מוקדמת.
גרובה נולד בגארץ שעל גדות האודר במדינת ברנדנבורג שבגרמניה. בין 1908 ל-1913 למד משפטים ושפות מזרחיות באוניברסיטת ברלין, וסיים בתואר דוקטור למשפטים. ב-1913 החל את שירותו במשרד החוץ הגרמני כדרגומן בקונסוליה הגרמנית בירושלים. בתקופת מלחמת העולם הראשונה לחם בחזית ארץ ישראל, ושימש כשלישו האישי של פרידריך קרס פון קרסנשטיין. לאחר מכן שב לגרמניה, והחל לפעול במסגרת שירות החוץ הגרמני.
שליחות באפגניסטן.
עם תחילת כהונתו במשרד החוץ התבלט גרובה כמי שדורש מדיניות חוץ פעילה יותר בארצות המזרח. ב-1923 ניתנה לו ההזדמנות כאשר גרמניה קשרה לראשונה קשרים דיפלומטיים עם אפגניסטן, ובנובמבר של אותה שנה נשלח לשם גרובה לשמש כשגריר. אפגניסטן קיבלה את עצמאותה ב-1919, והייתה נתונה תחת השפעה בריטית מחד, והשפעה מצד ברית המועצות מאידך. גרובה ראה את מדיניותו כמבוססת על שיתוף פעולה עם בריטניה. במהלך התקופה בה שהה באפגניסטן ניסה גרובה לקדם את האינטרסים הכלכליים של גרמניה באפגניסטן, היה מעורב ביוזמות פיתוח, נפגש מספר פעמים עם המלך אמנאללה ח'אן, וניסה לקדם הסכם ידידות ושיתוף פעולה בין גרמניה ואפגניסטן. פעולות אלו היו פעולות קשות ומורכבות, שכן כל פעולה שביצע גרובה נתפסה בידי הבריטים והרוסים כניסיון לדחוק אותם מהאזור, ונתפסה בחשדנות על ידי האפגנים שראו בפעולות אלו ניסיון נוסף של מעצמה מערבית להתערב בענייניהם. מכיוון שכך היה על גרובה לנהוג בזהירות המרבית, ולפעול במתינות ובסבלנות.
מאמציו של גרובה ירדו לטמיון כאשר בנובמבר 1925 היה מעורב בתקרית קשה. גאוגרף גרמני בשם ד"ר גוסטב שטראטיל-זאואר (Gustav Stratil-Sauer) שטייל באפגניסטן, ירה באדם מקומי והרגו. לטענתו של שטראטיל-זאואר, הדבר נעשה מתוך הגנה עצמית. שטראטיל-זאואר חשש מעונש המוות שיוטל עליו לפי הדין המקומי, ומכיוון שכך נמלט. גרובה טוען שניסה לאתרו ולשכנע אותו להסגיר עצמו. השניים נתפסו ביחד על ידי המשטרה המקומית, וגרובה הואשם כי ניסה לסייע לו להימלט. האפגנים דרשו את גירושו של גרובה, והגרמנים סרבו, שכן טענו כי גרובה לא פעל שלא כהלכה. בסופו של דבר נקרא גרובה לשוב לברלין, בשנת 1926. בין 1926 ל-1932 עבד גרובה במחלקה 3 של משרד החוץ הגרמני, האחראית על הקשרים עם איראן, אפגניסטן והודו.
שגריר בעיראק.
מאוקטובר 1932 שימש גרובה כשגריר הגרמני בעיראק. גרובה דיבר טורקית וערבית שוטפות, והדבר היה לו לעזר רב. בינואר 1933 עלתה המפלגה הנאצית לשלטון בגרמניה. גרובה לא היה מעולם חבר המפלגה, אך הוא הזדהה במידה רבה עם האידאולוגיה שלה, והשתלב היטב במשטר החדש. הוא החל בהפצת האידאולוגיה הנאצית והאנטישמיות, כשהוא קושר אותן ללאומיות הפאן-ערבית. בין היתר רכש עיתון בשם "אלעאלם אלערבי" (ערבית: العالم العربي, תרגום: העולם הערבי), ובו פרסם בהמשכים את תרגומו לערבית לספר מיין קאמפף מאת היטלר. עם זאת, כאשר נענו יהודי עיראק לקריאה להפסיק לסחור בסחורות גרמניות, נפגש עם ראש הקהילה היהודית בבגדאד, הרב ששון חצ'ורי ודיבר על ליבו להפסיק את החרם. חצ'ורי נענה לקריאה. בספרו האוטוביוגרפי מתאר גרובה את קשריו עם היהודים בעיראק, ומדבר על היהודים באופן מתון, אך הספר נכתב שנים רבות לאחר השואה. בשל ההסתה האנטישמית הבלתי פוסקת לה היה אחראי בשנים שקדמו למלחמה, רבים הם הרואים בו אחראי לפרעות הפרהוד, על אף שאלו אירעו בזמן שלא שהה בבגדאד.
רעיונותיו של גרובה נפלו על אוזניים קשובות. עיראק, שקיבלה את עצמאותה המלאה והתקבלה לחבר הלאומים רק ב-1932, הייתה מדינה שהייתה נתונה למעשה תחת שליטה בריטית. ההסכם האנגלו-עיראקי משנת 1930 הכפיף למעשה את מדיניות החוץ והכלכלה של עיראק לבריטניה, והתיר לבריטים להחזיק בסיסי צבא וחיילים על אדמת עיראק. הבריטים השליטו את השושלת ההאשמית, שהייתה זרה לעיראקים. לאחר מותו של פייסל הראשון, מלך עיראק בשנת 1933 לא נהנו עוד יורשיו מהכריזמה האישית והנאמנות שהיו מנת חלקו. רעיונות של לאומנות קיצונית מעורבים בשנאה לבריטים וליהודים, על רקע האירועים בארץ ישראל וביניהם המרד הערבי הגדול שגשגו, ותנועות לאומניות ופרו נאציות פרחו.
בתקופת המרד הערבי הגדול בארץ ישראל, ניסו הפלסטינים לקבל סיוע גרמני. ב-1936 יצר פאוזי אל-קאוקג'י, ממנהיגיו הצבאיים של המרד, קשר עם גרובה וניסה לרכוש דרכו נשק גרמני. גרובה הביע דעתו כי על אף שיש לחוש אהדה למרד, הרי שאספקת הנשק עלולה לערער את היחסים עם בריטניה, החשובים לא פחות. בינואר 1937 הגיעה בקשה דומה ברוח זו של אנשי הוועד הערבי העליון, ותגובתו של גרובה הייתה דומה.
בתקופה זו התקרב גרובה לחבורת קצינים עיראקים לאומנים ושאפתנים, בראשותו של סלאח א-דין א-סבאע', שנקראה "המרובע הזהוב". לאחר הפיכת בכר סדקי ורציחתו, בשנת 1937, שיחקה חבורה זו תפקיד חשוב ביותר בפוליטיקה העיראקית. על אף שמיד לאחר הפיכת סדקי, חיווה גרובה את דעתו השלילית באשר לעסקת נשק עם המשטר העיראקי, מחשש להכעיס את הבריטים. הרי שלא נמנע מקשר עם חבורת הקצינים שמטרתה הייתה לגרש את הבריטים מעיראק, ואף מהאזור כולו. ב-1938 הגיע גרובה למסקנה כי יש להפעיל את התנועה הערבית הלאומית לערעור המשטר בעיראק, משטר המנדט הצרפתי בסוריה, והמשטר הבריטי בארץ ישראל. הוא יצר קשרים עם המופתי הירושלמי, חאג' אמין אל-חוסייני, העביר לו כספים, וניסה לפעול להברחת נשק למורדים הפלסטינים.