בכל אלגברת לי ליניארית מעל שדה סגור אלגברית, כל תת-אלגברת קרטן היא אלגברה טורלית מקסימלית (Toral) - זוהי אלגברה שבה כל האיברים הם לסכינים; היא מקסימלית ביחס לתכונה זו. במקרה הכללי ייתכנו אלגבראות לי טורליות נוספות שאינן קרטן, אך כאשר האלגברה היא פשוטה למחצה ולשדה יש מאפיין אפס, אז גם ההפך נכון - כל אלגברה טורלית מקסימלית היא קרטן.
עבור אלגברת לי פשוטה למחצה formula_1 (סוף ממדית, מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס), איברי תת-אלגברת קרטן הם תמיד פשוטים למחצה. יותר מכך, בהינתן כל הצגה (או בשקילות, מודול) של formula_1 כנ"ל, ניתן להיעזר בפעולה של הקרטן כדי לכתוב את המודול בתור סכום ישר של מודולים ממשוקלים,
formula_24 כאשר formula_25. מודול formula_26 המתפרק לסכום של מרחבים ממושקלים נקרא מודול ממשוקל. מקרה פרטי וחשוב של בנייה זו הוא כאשר מדובר בהצגה הצמודה של האלגברה, ואז מתקבל פירוק קרטן שלה. זוהי בנייה בסיסית וחשובה המובילה להגדרות כלליות יותר, כמו זו של הקטגוריה O.
איברים רגולריים.
מעל שדה סגור אלגברית, ניתן לתת תיאור מפורש לתת-אלגברת קרטן מסוימת.
לצורך כך, נסמן את הפולינום אופייני של formula_27 בתור formula_28. נגדיר את הדרגה של האלגברה formula_29 בתור המספר הנמוך ביותר formula_30 כך ש-formula_31 איננו אפס זהותית. איבר רגולרי של האלגברה הוא איבר formula_32 שעבורו formula_33; איבר כזה תמיד קיים כששדה הבסיס הוא אינסופי.
כעת, אם נגדיר את המרחב העצמי המוכלל של formula_34 בתור
formula_35
נקבל כי לכל formula_36, האלגברה היא אלגברה מדורגת מעל המרחבים הנ"ל: מתקיים formula_37 ו- formula_38.
משפט: תת-אלגברת קרטן של אלגברת לי formula_1 מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס היא תת-האלגברה formula_40. לתת-אלגברת קרטן זו ממד השווה לדרגה formula_29.
קרל לודוויג ד'אלזה
קרל לודוויג ד'אלזה (בגרמנית: Karl Ludwig d'Elsa; 1 בנובמבר 1849 – 20 ביולי 1922), היה גנרל גרמני, שפיקד על קורפוס ואחר כך על פלגת ארמייה בחזית המערבית.
ביוגרפיה.
תחילת הקריירה.
ד'אלזה נולד ב-1 בנובמבר 1849 ללודוויג פרדיננד שהיה אוברסט לוטננט בצבא הסקסוני ולהוברטה לואיזה לבית פון ברנדנשטיין, בדרזדן שהשתייכה לממלכת סקסוניה. ב-1870 התגייס לצבא הגרמני הקיסרי ולחם בשורותיו במלחמת פרוסיה צרפת. לאחר מכן מילא בצבא תפקידי פיקוד ומטה, בשנת 1904 מונה למפקד הדיוויזיה ה-24 (הסקסונית ה-2), ובשנת 1910 מונה למפקד הקורפוס ה-12 (הסקסוני ה-1).
מלחמת העולם הראשונה ואחריתו.
עם פרוץ מלחמת העולם הראשונה היה ד'אלזה מפקד הקורפוס ה-12 שהיה חלק מהארמייה השלישית ולחם בחזית המערבית. ונטל חלק בקרבות במערכה על הגבולות, לרבות קרב שרלרואה, וכן השתתף בקרב על המארן. ב-17 באפריל 1916 מונה ד'אלזה למפקד פלגת הארמייה A - פלקנהאוזן במקום גנרל לודוויג פון פלקנהאוזן שעבר לפקד על מפקדת הגנת החופים. על הצלחתו בקרבות קיבל ד'אלזה ב-1 בספטמבר 1916 את העיטור פור לה מריט. ב-4 בינואר 1917 פרש ד'אלזה משירות פעיל, והוחזק ברשימת קציני המילואים.
לאחר שביתת הנשק בנובמבר 1918, רצו בעלות הברית להעמיד את ד'אלזה לדין על פשעי מלחמה שביצעו כוחותיו באוגוסט 1914. ב-21 בינואר 1920 פרש ד'אלזה מהצבא, וכיהן כנשיא אגודת ותיקי המלחמה הסקסונית.
ד'אלזה נפטר בלביכאו ב-20 ביולי 1922 והוא בן 72 שנים.
דון קוהלר
דונלד א. קוהלר (1 בספטמבר 1925 - 26 בפברואר 1981) היה אחד מבין 17 איש שהוכרו בהיסטוריה הרפואית כבעלי גובה של מעל 2.44 מטר. החזיק בתואר "האיש הגבוה ביותר בעולם" משנת 1969 ועד למותו בשנת 1981. בשיאו, גובהו עמד על קרוב ל-2.5 מטרים עקב מחלת האקרומגליה ממנה סבל.
ביוגרפיה.
נולד בדנטון במדינת מונטנה, ארצות הברית. לקוהלר הייתה אחות תאומה והם היו ילדים להורים בעלי גובה בתחום הנורמה, גובהה של אימם היה 1.78 מטר ושל אביהם 1.88 מטר. קצב גדילתו החל להאיץ כאשר היה בגיל עשר. ספר השיאים של גינס אישר ששיא גובהו היה 2.49 מטר בעמידה. אחותו התאומה הייתה בגובה של 1.75 מטר בלבד, כלומר היה הפרש של 74 סנטימטרים שהפריד ביניהם ועל כן הם "התאומים בעלי הפרש הגבהים הגדול ביותר" על פי ספר גינס.
בצעירותו, קוהלר חי עם משפחתו בעיירה המכונה "צפון שיקגו" ולמד בבית ספר תיכון רגיל. אייב ספרסטיין, מאמנה של קבוצת הכדורסל הארלם גלובטרוטרס הציע לו להצטרף לקבוצתו אך הוא דחה את ההצעה. במקום להפוך לשחקן כדורסל, התפרנס כאיש מכירות עבור חברת מכשירי הרמה. משרה זו הצילה אותו "מלהצטרף למופע מוזרויות".
בשנות חייו האחרונות החל לסבול מעקשת, מחלה הגורמת לעמוד השדרה להתעקם ולהתעקל. קוהלר נפטר בשנת 1981 בשיקגו מדום לב. במותו היה בן 55 וגובהו 2.39 מטר.
אפי שריר
אפרים "אפי" שריר (נולד ב-21 בדצמבר 1951) הוא צלם ישראלי. כצלם עיתונות צילם אירועים היסטוריים. כיום, צלם "ידיעות אחרונות" בצפון וצלם טבע.
קריירה.
בשנת 1984 החל לעבוד כצלם בסוכנות יפפ"א (IPPA). משנת 1988 מועסק כצלם מטעם עיתון ידיעות אחרונות. עבד כצלם ידיעות אחרונות בבאר- שבע, תל אביב, ירושלים. התמקם סופית בצפון ( גליל, גולן ועמקים) בשנת 2000.
במהלך עבודתו כצלם צילם עבור גופי תקשורת אירועים היסטוריים בהיסטוריה של מדינת ישראל כדוגמת האינתיפאדה הראשונה, משפט דמיאניוק, שהות צה"ל בלבנון, ההתנתקות, מלחמת לבנון השנייה, השרפה בכרמל וכן אירועים חדשותיים ואישיים.
אחת מתמונותיו המפורסמות היא תמונת עמיר פרץ צופה דרך משקפת סגורה. במהלך השנים תבע שריר מספר גופי תקשורת שהשתמשו בתמונה ללא מתן קרדיט. בתביעות אלה זכה במעל 26,000 שקל.
שריר מתגורר בקיבוץ שמיר ומצלם עבור ידיעות אחרונות ו-ynet. נוסף על כך, הוא מלמד צילום ומעביר סיורים וסדנאות צילום קבוצתיות בנושאים שונים.
Tom Clancy's The Division
Tom Clancy's The Division הוא משחק וידאו מסוגת פעולה-תפקידים רב משתתפים מגוף שלישי המתרחש בעולם פתוח עם אלמנטים ממשחקי הישרדות שפותח על ידי Ubisoft Massive ומופץ על ידי יוביסופט. המשחק יצא לפלטפורמות ה-Microsoft Windows, ה-PlayStation 4 וה-Xbox One ב-8 במרץ 2016. המשחק הוכרז ב-E3 בתערוכה בשנת 2013, שם הוצג המשחק לראשונה בסרטון גיימפליי באורך 7 דקות.
עלילת המשחק.
במהלך אירועי הבלאק פריידיי הופץ זן של אבעבועות שחורות על גבי שטרות הדולרים בניו יורק. מנהטן נכנסה להסגר צבאי מחשש להתפרצות המגפה. לאחר שמצב חירום הוכרז, ממשל ארצות הברית הפעיל יחידה של סוכנים רדומים במנהטן כדי לרסן את הכאוס.
ניו זילנד במלחמת העולם השנייה
ניו זילנד נכנסה למלחמת העולם השנייה כאשר הכריזה מלחמה על גרמניה הנאצית יחד עם בריטניה. מצב המלחמה עם גרמניה התקיים באופן רשמי החל מהשעה 9:30 בערב ב-3 בספטמבר 1939, בו-זמנית עם תחילת מצב המלחמה של בריטניה, אך למעשה הכרזת המלחמה לא נעשתה עד אשר ניו זילנד קיבלה אישור מבריטניה שפג תוקפו של האולטימטום שהוצב בפני גרמניה.
מבחינה דיפלומטית הביעה ניו זילנד את התנגדותה הנחרצת לפאשיזם באירופה ולמדיניות הפיוס כלפי גרמניה וכלפי המשטרים הפשיסטים, ובדעת הקהל הלאומית הייתה תמיכה כללית בנוגע להפגנת כוח כלפי גרמניה. שיקולי ביטחון וכלכלה היו גם הם מהמניעים של ניו זילנד להיות מעורבת במלחמה. משמעות ההיסמכות על בריטניה הייתה שאיומים על בריטניה יובילו לאיומים על ניו זילנד במונחים של קשרים כלכליים וביטחוניים.
בנוסף, היו גם רגשות סנטימנטליים חזקים בין המושבה הבריטית לשעבר לבין הממלכה המאוחדת, כשרבים ראו בבריטניה את "ארץ האם" או "המולדת" שלהם. ראש ממשלת ניו זילנד עם פרוץ המלחמה, מייקל ג'וזף סאבג', סיכם זאת עם פרוץ המלחמה בציטוט שהפך לקריאה פופולרית במהלך המלחמה:
ניו זילנד הקצתה כוח אדם לשירות במסגרת חיל האוויר המלכותי הבריטי והצי המלכותי הבריטי והייתה מוכנה שבני ארצה ישרתו תחת פיקוד בריטי. טייסי חיל האוויר המלכותי של ניו זילנד, שרבים מהם אומנו במסגרת תוכנית אימוני האוויר של חבר העמים הבריטי, נשלחו לאירופה, אך שלא שאר הדומיניונים, ניו זילנד לא עמדה על כך שצוותי האוויר שלה ישרתו בטייסות של חיל האוויר שלה, ובכך האיצה את קצב כניסתם של האנשים לשירות. קבוצת המדבר ארוכת הטווח הוקמה בדרום אפריקה ב-1940, כשכוח האדם שלה התבסס בעיקר על ניו זילנדים, על רודזים ועל בריטים, אך מאותה סיבה נכללו בה גם אוסטרלים.
ממשלת ניו זילנד העבירה את "הדיוויזיה הניו זילנדית של הצי המלכותי הבריטי" (בהמשך הצי המלכותי של ניו זילנד) לפיקודה של האדמירליות והקצתה לטובת המאמץ המלחמתי את 30 המפציצים הבינוניים מדגם ויקרס ולינגטון שהמתינו בבריטניה לשילוחם לניו זילנד. הכוח העיקרי ששלח צבא ניו זילנד לחזית, היה "חיל המשלוח השני של ניו זילנד" (New Zealand Expeditionary Force - 2NZEF).
בסיכומו של דבר, כ-140,000 ניו זילנדים שרתו מעבר לים במסגרת כוחות בעלות הברית ובנוסף, כ-100,000 איש שירתו במסגרת כוחות העורף. בשיאם, ביולי 1942, מנו כוחות ההגנה של ניו זילנד 154,549 איש ואישה (למעט כוחות העורף) ועד תום המלחמה שירתו סך של 194,000 גברים ו-10,000 נשים בכוחות ההגנה במולדת ומעבר לים.