ב-4 בספטמבר 2021 ערך כריסטנסן את הופעת הבכורה שלו בנבחרת דנמרק, בניצחון 0–1 על נבחרת איי פארו במסגרת מוקדמות מונדיאל 2022.
עונת 2021/2022 בליגה הלאומית בכדורגל נשים
עונת 2021/2022 בליגה לאומית בכדורגל נשים הייתה העונה ה-13 בליגת המשנה בכדורגל נשים בישראל, תחת אחריות הההתאחדות לכדורגל בישראל. העונה הסדירה נפתחה ב-5 באוקטובר 2021 והסתיימה ב-20 במאי 2022.
הפועל עירוני פתח תקווה סיימה ראשונה וחזרה לאחר עונה אחת לליגת העל. הפועל בנות קטמון ירושלים שרק עלתה מהליגה הארצית סיימה שנייה לאחר מחזור אחרון דרמטי ועלתה לראשונה לליגת העל.
בית"ר בנות כפר כנא ובנות אילת סיימו במקומות האחרונים וירדו לליגה הארצית.
לקראת פתיחת העונה.
הקבוצות שסיימו אחרונות בליגת העל בעונת 2020/2021 וירדו לליגה הלאומית לקראת עונה זו היו מכבי חולון והפועל עירוני פתח תקווה. חולון לא הצליחה להעמיד קבוצה ולא שיחקה בליגה בעונה זו. את מקומה תפשה בנות אילת שהייתה אמורה לרדת לליגה הארצית בתום העונה הקודמת ועקב המצב נשארה בליגה.
הקבוצות שסיימו ראשונות בליגה הארצית בעונת 2020/2021 והצטרפו לליגה הלאומית לקראת עונה זו היו הפועל תל אביב והפועל בנות קטמון ירושלים.
בנות עירוני מודיעין שעלתה בתום העונה הקודמת לליגת העל לא עברה בבקרה התקציבית של ההתאחדות ולא העמידה קבוצה בוגרת לעונה זו. נעשו ניסיונות להעלות קבוצה אחרת מהליגה הלאומית לליגת העל אך הן לא צלחו.
פורמט הליגה.
10 קבוצות הליגה יתחרו במהלך העונה הסדירה מול כל הקבוצות בשיטת בית וחוץ בשני סיבובים בני 9 מחזורים כל אחד - 18 מחזורים בסך הכל. לאחר מכן יחולקו הקבוצות לפלייאוף עליון ותחתון. לפי הוראת שעה מיוחדת לעונת המשחקים 2021/2022, הוחלט שבעונה זו בפלייאוף העליון ישחקו הקבוצות אשר יסיימו את העונה הסדירה במקומות 1–4 ובפלייאוף התחתון ישחקו הקבוצות אשר יסיימו את העונה הסדירה במקומות 5–10. בפלייאוף תשחק כל קבוצה מול המתחרות בפלייאוף עוד שני משחקים (בית וחוץ), כלומר עוד 6 משחקים בפלייאוף העליון ו-10 בתחתון. שתי הקבוצות שיסיימו ראשונות בפלייאוף העליון יעפילו לליגת העל ושתי הקבוצות שיסיימו אחרונות בפלייאוף התחתון ירדו לליגה הארצית.
גדילה מעריכית
גדילה מעריכית או צמיחה אקספוננציאלית (באנגלית: Exponential Growth) היא תהליך שמתאר גדילה כמותית כתלות בזמן. גדילה זו מתרחשת כאשר הקצב הרגעי של השינוי הכמותי (אשר ניתן לתיאור על ידי הנגזרת של הפונקציה הכמותית), פרופורציונלי לכמות עצמה.
פונקציה המתארת גדילה מעריכית מיוצגת על ידי אקספוננט, זאת בשונה מפונקציות אחרות המתארות גדילה, כגון פרבולה או ישר. אם קבוע הפרופורציה המתאר את הגדילה הוא בעל סימן שלילי, אזי נהוג לומר כי מדובר בדעיכה מעריכית ולא בגדילה. במקרה שהמרחב מעליו מוגדרת הפונקציה הוא מרחב בדיד ולא רציף, ההתנהגות הפונקציונלית מכונה גדילה גאומטרית או דעיכה גאומטרית, מאחר שערכי הפונקציה ניתנים למיפוי כטור גאומטרי.
הנוסחה לגדילה מעריכית עבור משתנה formula_1 שמוגדר מעל זמן בדיד (סדרת הרגעים formula_2) שקצב הגדילה שלו הוא formula_3, נתונה על ידי: formula_4 כאשר formula_5 מוגדר להיות ערך המשתנה formula_6 בראשית הזמן.
גדילה שכזו מתקיימת בתחומים שונים בחיי היומיום, ובהם: הפצת זיהום נגיפי, תפיחה של חוב לאור ריבית דריבית וכן התפשטות של סרטונים ויראליים ברשת האינטרנט. במקרים אלה ונוספים, הגדילה המעריכית אינה נמשכת לעד, אלא מאטה החל משלב מסוים לאור קיומם של חסמים עליוניים חיצוניים (למשל, קיומה של אוכלוסייה סופית או מגבלות מרחביות שונות), והגדילה הופכת להיות גדילה לוגיסטית.
גדילה מעריכית מכונה לעיתים בשם השגוי "גדילה מהירה", אלא שגדילה מעריכית עשויה גם להיות איטית.
תיאור מתמטי.
הגודל formula_6 תלוי מעריכית בזמן אם ניתן לומר כי:
formula_13
כאשר הקבוע formula_14 מתאר את ערכו ההתחלתי של הגודל formula_6:
formula_16
הקבוע formula_17 הוא פקטור גדילה חיובי, בעוד formula_18 הוא קבוע המתאר את משך הזמן הדרוש עבור formula_19 להכפיל את עצמו formula_17 פעמים:
formula_21
אם formula_22 ו-formula_23, אז מדובר בגדילה מעריכית. אם formula_24 ו-formula_23, או לחלופין formula_22 ו-formula_27 (זו האוכלוסייה ההתחלתית), formula_28 (זהו קבוע ההכפלה), ו-formula_29 (זהו משך הזמן הנדרש להכפלת האוכלוסייה פי 2).
נציב את המספרים בנוסחה לגדילה המעריכית ונקבל:
formula_30
כלומר בסך הכל יהיו 64 חיידקים מקץ שעה אחת.
זוגות רבים של הקבועים formula_31 (כאשר formula_17 הוא מספר אי-שלילי חסר יחידות ו-formula_18 הוא קבוע בעל יחידות של זמן), מייצגים בדיוק את אותו קצב הגדילה, כאשר formula_18 פרופורציונלי ל-formula_35. מכאן, שניתן לכתוב את ההתנהגות הפונקציונלית של הגדילה באופנים רבים השקולים זה לזה, למשל:
formula_36
כאשר formula_5 היא הכמות ההתחלתית. בכל צעד הוחלף הבסיס המעריכי, ובהתאם נבחרו קבועי זמן אחרים:
וניתן לקשור בצורה חד-חד-ערכית בין כל הקבועים הללו (הקשר נגזר מהפעלת לוגריתם טבעי על כל אגפי השקילות):
formula_45
כאשר formula_46 שקול ל-formula_47 ול-formula_48 אינסופיים.
אם formula_44 מתאר את יחידת הזמן בבעיה (למשל, דקות או שעות), אז השבר formula_50 מייצג את מספר יחידות הזמן. במקום להשתמש בסימון formula_8 עבור מספר יחידות הזמן (שהוא גודל חסר ממדים) במקום משתנה הזמן עצמו, ניתן להחליף את הגודל formula_50 במשתנה formula_8 בלבד (שבו הזמן מיוצג ביחידות אמיתיות). לשם האחידות, הסימון המוצע איננו בשימוש במסגרת ערך זה. כך שבמקרה לעיל, החלוקה ב-formula_44 היא לא חלוקה נומרית גרידא, אלא המרה של מספר חסר ממדים למספר בעל ממדים.
שיטת קירוב פופולרית לחישוב זמן ההכפלה מתוך אחוז הגדילה, היא "כלל ה-70", לפיו formula_55. בקירוב אחר, המונה הוא 72.
ייצוג לוג-ליניארי.
אם משתנה formula_6 גדל בצורה אקספוננציאלית וניתן לייצוג על פי הנוסחה formula_57, אזי formula_58 גדל ליניארית, בכל בסיס לוגריתמי. ניתן לראות זאת באמצעות הוצאת לוגריתם משני אגפי המשוואה: formula_59.
הדבר מאפשר למדל משתנה שגדל בצורה אקספוננציאלית באמצעות מודלים לוג-ליניאריים. לדוגמה, אם נדרשת הערכה אמפירית של קצב הגדילה של משתנה formula_6 ביחס לזמן, ניתן לבצע רגרסיה ליניארית על הלוגריתם של המשתנה formula_6, ביחס לזמן formula_8.
המשוואה הדיפרנציאלית.
מתוך הפונקציה המעריכית formula_63 ניתן לגזור את המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית הבאה:
formula_64
דהיינו, השינוי הרגעי של הגודל formula_6 ביחס לזמן formula_8, פרופורציונלי לערכו של formula_19.
על ידי הפרדת משתנים וביצוע אינטגרל בשני אגפי המשוואה הדיפרנציאלית, ניתן לחזור לתצורה המקורית:
כך שאכן נקבל formula_69, ואילו formula_70, הרי שלפנינו דעיכה מעריכית.
קצבי צמיחה אחרים.
קיימים מספר סדרי גודל של קצבי צמיחה, כאשר כל הפונקציות ששייכות למשפחת צמיחה אחת תמיד תשאפנה לאינסוף מהר יותר מפונקציות ששייכות למשפחה אחרת, בהינתן שמשפחת הפונקציות שואפת מהר יותר לאינסוף. לדוגמה, בטווח הארוך, גדילה מעריכית מהירה יותר מכל גדילה ליניארית (הבסיס למלתוסיאניזם) וגם מכל גדילה פולינומית. כלומר, לכל formula_71 מתקיים formula_72. בפועל קיים רצף של קצבי צמיחה, וניתן למצוא קצבי צמיחה שנמצאים בין שני אלו מבחינת מהירות השאיפה שלהם לאינסוף, כלומר הם איטיים מצמיחה מעריכית, ומהירים מצמיחה ליניארית.
קיימים גם קצבי צמיחה מהירים יותר מקצב אקספוננציאלי. כאשר פונקציית צמיחה שואפת לאינסוף בזמן סופי, היא מכונה . בין הצמיחה האקספוננציאלית לבין הצמיחה ההיפרבולית קיימות משפחות צמיחה נוספות ששואפות לאינסוף מהר מפונקציות אקספוננציאליות, למשל היפר-פעולות כמו טטרציה, והאלכסון של פונקציית אקרמן, formula_73.
צמיחה לוגיסטית.
בדוגמאות מציאותיות שמתנהגות בצורה אקספוננציאלית, הצמיחה האקספוננציאלית הראשונית לרוב אינה נמשכת לנצח. במקרים כאלו, לאחר תקופה כלשהי של גדילה בקצב אקספוננציאלי, קצב הגדילה מאט בהשפעת גורמים חיצוניים או סביבתיים. לדוגמה, הגידול של אוכלוסייה מסוימת עשוי להיות חסום על ידי גבול עליון בשל מגבלות משאבים. בשנת 1845, המתמטיקאי הבלגי פייר פרנסואה ורהולסט הציג לראשונה מודל מתמטי של צמיחה כזו, שנקראת "צמיחה לוגיסטית".
מגבלות המודל.
מודלים של גדילה מעריכית המתארים תופעות פיזיקליות, ניתנים ליישום בצורה מוגבלת, שכן גדילה בלתי מוגבלת איננה תואמת את המציאות.
על אף שגדילה עשויה להיות מעריכית בתחילתה, התופעה המתוארת תתקדם לבסוף לאזור שבו פקטורי משוב שליליים יהפכו למשמעותיים (מה שיוביל למודל גדילה לוגיסטית), או שהנחות מובלעות של המודל המעריכי, כגון רציפות או משוב מיידי, יאבדו ממשמעותן.
דוגמה מובהקת למגבלות של מודל גדילה מעריכית, ניתן למצוא בחוק ריילי-ג'ינס לקרינת גוף שחור. עבור אורכי גל קצרים, עוצמת הקרינה שואפת לאינסוף, בניגוד לחוק שימור האנרגיה (מה שכונה בשם "הקטסטרופה של העל-סגול"). הניסוח המשלים לאורכי גל קצרים מצוי בחוק וין, והניסוח הכללי ביותר, המאחד את כלל אורכי הגל, מצוי בחוק פלאנק.
קושי בתפישת המושג.
מחקרים מראים שבני אדם מתקשים להבין גדילה מעריכית. כאשר נוצר פער בין האופן שבו אדם מעריך גדילה מעריכית לבין ההשפעה שלה, נוצרת הטיה. להטייה זו יכולות להיות השלכות כספיות.
להלן מספר דוגמאות המדגימות את הקושי.
אורז על לוח שחמט.