עד שנות ה-90 המאוחרות היו ידועים 32 תת-מינים של הפומה. בעקבות מחקר מדעי וגנטי מקיף קוטלגו מחדש הפומות ל-6 תת-מינים בלבד:
נגזרת
בחשבון אינפיניטסימלי, הנגזרת של פונקציה ממשית מתארת את ההשתנות של פונקציה ביחס לשינוי הפרמטר שהיא מוגדרת לפיו. למושג הנגזרת ישנו חשיבות גדולה בפיזיקה, שכן גדלים פיזיקליים רבים כמו מהירות, ותאוצה מוגדרים באמצעות נגזרות. חוקי התנועה בענפים רבים בפיזיקה מבוססים על משוואות דפרנציאליות - משוואות הקושרות גדלים עם הנגזרות שלהם. לדוגמה, הנגזרת לפי משתנה הזמן של פונקציית המיקום (העתק) של מכונית נוסעת, היא פונקציית המהירות של המכונית, ובאותו אופן הנגזרת של פונקציית המהירות שווה לפונקציית התאוצה. הנגזרת לפי משתנה הזמן של פונקציית המיקום של המכונית בזמן מסוים נקראת המהירות הרגעית של המכונית בזמן זה. הנגזרת מוגדרת כגבול של היחס שבו משתנה ערך הפונקציה בעקבות שינוי זעיר בערך הפרמטר.
הפונקציה הנגזרת של פונקציה ממשית formula_1 היא בעצמה פונקציה ממשית, שערכה בנקודה formula_2 שווה לערך הנגזרת של formula_1 באותה נקודה. הפונקציה הנגזרת היא כלי בסיסי בחקר הפונקציות. למשל, בנקודות קיצון מקומיות (נקודות מינימום ומקסימום מקומיים של הפונקציה) של פונקציה גזירה ערך הפונקציה הנגזרת הוא אפס. לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, אפשר, בתנאים מסוימים, לשחזר את הפונקציה המקורית מן הפונקציה הנגזרת שלה, באמצעות אינטגרציה. את הנגזרת של פונקציה אלמנטרית אפשר לחשב באמצעות כללי גזירה ידועים. לא לכל פונקציה ממשית רציפה יש בהכרח נגזרת (לדוגמה: פונקציית ויירשטראס); פונקציה בעלת נגזרת נקראת פונקציה גזירה (בנקודה או בקטע). את מושג הנגזרת אפשר להכליל לפונקציות מרוכבות ולפונקציות (ממשיות או מרוכבות) בכמה משתנים. במקרה האחרון הנגזרת היא וקטור שרכיביו הם הנגזרות החלקיות של הפונקציה. באלגברה מופשטת נחקרות התכונות האלגבריות של הנגזרת בענף הנקרא אלגברה דיפרנציאלית.
למושג הנגזרת יש פירוש גאומטרי: הנגזרת של פונקציה בנקודה שווה לשיפוע המשיק באותה נקודה, כלומר, לכיוון של העקומה שהפונקציה מתארת.
הגדרה.
הנגזרת של פונקציה formula_1 בנקודה formula_2 מוגדרת כגבול formula_6 כאשר formula_7 שואף לאפס, בתנאי שהגבול קיים (וסופי). גבול זה שווה לגבול שיפוע הישר המחבר את הנקודה formula_8 שעל גרף הפונקציה עם הנקודה הקרובה לה formula_9 כאשר formula_7 שואף לאפס, ולכן הנגזרת מתארת את שיפוע המשיק בנקודה. את ערך הנגזרת מקובל לסמן ב- formula_11 או formula_12.
אם לפונקציה יש נגזרת בנקודה, אומרים שהפונקציה גזירה שם; הפונקציה גזירה בקטע ממשי formula_13 אם היא גזירה בכל הנקודות שלו.
הפונקציה הנגזרת של פונקציה גזירה formula_1 היא הפונקציה המתאימה לכל formula_2 את הנגזרת formula_11. את הפונקציה הזו מסמנים ב- formula_17 או formula_18 (כשמדובר בנגזרת של פונקציה התלויה בזמן), או בסימון formula_19. כאן
formula_20 הוא שם המשתנה שלפיו גוזרים את הפונקציה. בפונקציה של כמה משתנים אפשר להתייחס לכולם פרט לאחד כאילו היו קבועים, ולגזור את הפונקציה לפי המשתנה שאינו קבוע. לנגזרת כזו קוראים נגזרת חלקית, ומסמנים formula_21.
סימון לנגזרת.
להלן סימונים מקובלים נוספים, המשמשים לסימון נגזרות. אלו הם הסימונים של לייבניץ ובאופן אינטואיטיבי הם מייצגים את הנגזרת כמנה של דיפרנציאלים השואפים לאפס. סימונים אלה שימושיים בפיזיקה, באנליזה וקטורית ובפתרון משוואות דיפרנציאליות.
נגזרת מלאה לפי formula_22 :
נגזרות חלקיות (לפי formula_2 או formula_27):
הסימון formula_30 מתאר נגזרת חלקית כאופרטור הפועל על הפונקציה, ונועד לקיצור הכתיבה.
בפיזיקה נהוג לסמן נגזרת ראשונה לפי הזמן בנקודה מעל סימון הפונקציה (למשל formula_31 היא הנגזרת של הפונקציה formula_2 לפי הזמן), ונגזרת שנייה לפי הזמן בשתי נקודות מעל סימון הפונקציה. כך למשל, החוק השני של ניוטון, הנכתב בדרך כלל כ-formula_33, יכתב כ-formula_34 (שכן הנגזרת השנייה של המיקום לפי הזמן של גוף כלשהו היא תאוצתו).
כללי גזירה.
כללי הגזירה הבסיסיים מטפלים בפעולות אריתמטיות בין פונקציות:
ניתן להשתמש בגזירה סתומה ולקבל נוסחה לגזירה של פונקציה בחזקת פונקציה: formula_48
את הנגזרת של הרכבת פונקציות אפשר לחשב באמצעות
אפשר לחשב את הנגזרת גם אם הפונקציה נתונה באופן סתום. לדוגמה, אם formula_52 מגדיר את formula_27 כפונקציה של formula_2, אז גזירה לפי formula_2 נותנת formula_56, או formula_57. משפט הפונקציה הסתומה מכליל שיטה זו לפונקציות בכמה משתנים.
הנגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי זוגית ולהפך. עובדה זו נקראת לפעמים "חוק הזוגיות".
דוגמה.
כדוגמה לשימוש בכללי הגזירה, הנגזרת של הפונקציה:
היא
את הביטוי השני חישבנו באמצעות כלל השרשרת, ואת השלישי באמצעות כלל המכפלה. כמו כן, השתמשנו בנגזרות הידועות של הפונקציות הבסיסיות (ראו בטבלאות).
גזירה נומרית.
ניתן לחשב קירוב לנגזרת של פונקציה באמצעות אנליזה נומרית. אם נתונה הקבוצה formula_60, כך שבכל נקודה formula_61 נתון ערך הפונקציה formula_62, ישנן מספר שיטות לקבל קירוב של הנגזרת בנקודה formula_61. לדוגמה, כאשר נתון ערך הפונקציה בשלוש נקודות formula_64, ניתן לקבל קירוב לנגזרת ב-formula_61 באמצעות הנוסחה formula_66 כאשר formula_67.
גזירות ורציפות.
רציפות הוא תנאי הכרחי לכך שפונקציה תהיה גזירה. אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, היא רציפה בנקודה זו. ההפך אינו נכון - פונקציית הערך המוחלט formula_68 רציפה בכל הישר, אך אינה גזירה בנקודה formula_69. פונקציית ויירשטראס היא פונקציה שרציפה בכל נקודה, אך לא גזירה באף נקודה. הנגזרת עצמה אינה חייבת להיות רציפה. לדוגמה, הפונקציה:
רציפה ב-formula_69, אך לפי הגדרת הנגזרת מקבלים formula_72, אבל formula_73. למעשה לנגזרת יש כאן אי-רציפות מסוג שני.
עם זאת, לא כל פונקציה יכולה להיות נגזרת, ולפונקציות שהן נגזרת של פונקציה אחרת יש "נטייה" מסוימת לרציפות. לדוגמה, הן מקיימות את מסקנת משפט ערך הביניים החל בדרך כלל רק על פונקציות רציפות: אם פונקציה גזירה בקטע סגור, הנגזרת שלה מקבלת כל ערך בין הערכים שהיא מקבלת בקצוות הקטע (זהו משפט דארבו).
תהי formula_1 פונקציה גזירה בקטע. קבוצת נקודות אי-הרציפות של הנגזרת formula_17 היא קבוצה מקטגוריה ראשונה במובן בייר, כלומר מוכלת באיחוד בן מניה של קבוצות דלילות (קבוצות דלילות הן כאלה שאין להן נקודות הצטברות). הסיבה לכך היא שהנגזרת היא הגבול הנקודתי של סדרת הפונקציות הרציפות formula_76 (ראו סדרת פונקציות), וקבוצת נקודות אי-הרציפות של פונקציה כזו היא תמיד מקטגוריה ראשונה (לפי משפט הקטגוריה של בייר). בפרט, קבוצת נקודות הרציפות של הנגזרת צפופה בקטע.
לנגזרת לא יכולה להיות אי-רציפות מסוג קפיצה: אם formula_17 אינה רציפה בנקודה, אז אין לה גבול שם.
ערך הנגזרת בנקודה.
נקודות קיצון.
אחד השימושים הבולטים לנגזרת הוא באיתור נקודות קיצון (מקסימום או מינימום מקומי). משפט פרמה קובע שהנגזרת חייבת להתאפס בכל נקודת קיצון. ההפך אינו בהכרח נכון - נגזרת יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא נקודת פיתול או אחרת.
במקרים של פונקציה הגזירה מספר רב של פעמים, ניתן לקבוע את טיב הנקודה החשודה לפי הנגזרת הראשונה שאינה מתאפסת (אם זו קיימת). אם הנגזרת הראשונה שאינה מתאפסת היא מסדר זוגי אזי מדובר בנקודת קיצון, ואילו אם זו נגזרת מסדר אי-זוגי מדובר בנקודת פיתול.
דוגמאות:
נגדיר את הפונקציה:
formula_86
פונקציה זו רציפה באפס (מכפלה של פונקציה חסומה בפונקציה השואפת לאפס), היא גם גזירה באפס:
formula_87
אולם אפס אינה נקודת קיצון: נגדיר
formula_88,
formula_89, אזי
formula_90
formula_91. מכאן שבכל סביבה של אפס יש אינסוף נקודות בהן הפונקציה חיובית, ואינסוף נקודות בהן הפונקציה שלילית, ולכן אפס אינה יכולה להיות נקודת קיצון (לו אפס הייתה נקודת מקסימום או מינימום, הייתה סביבה סביב 0 בה הפונקציה קטנה או גדולה מאפס, בהתאמה). אפס גם אינה נקודת פיתול, שכן נקודת פיתול היא נקודה שבה המשיק לגרף הפונקציה נמצא מצד אחד מעל הפונקציה, ובצד השני מתחת לפונקציה. במקרה זה המשיק הוא
formula_92 (ציר formula_93), ואותו טיעון כמו קודם מראה שאין חצי סביבה של אפס שבה הפונקציה כולה מתחת או מעל לציר ה-formula_93. כלומר, אף על פי שהנגזרת היא אפס, הנקודה אינה נקודת קיצון, ואינה נקודת פיתול.
הערות נוספות על הפונקציה:
formula_95
כלומר הנגזרת אינה רציפה באפס (זוהי אי-רציפות מן הסוג השני, כפי שמבטיח משפט דארבו).
formula_96
זוהי פונקציה רציפה וגזירה. לפונקציה זו יש מינימום מקומי באפס, אבל בניגוד לאינטואיציה אין חצי סביבה שמאלית של אפס שבה הפונקציה מונוטונית יורדת, ואין חצי סביבה ימנית של אפס שבה הפונקציה מונוטונית עולה.
ערך ממוצע והכללות.
לפי משפט רול, אם פונקציה גזירה בקטע פתוח, רציפה בקצותיו וערכיה בקצותיו שווים, הנגזרת שלה מתאפסת בתוך הקטע.
משפט לגראנז' מכליל את משפט רול: אם פונקציה גזירה בקטע פתוח ורציפה בקצותיו, יש נקודה בתוך הקטע שהנגזרת בה שווה לשיפוע המיתר המחבר את שתי נקודות הקצה של הפונקציה. משפט הערך הממוצע של קושי מכליל משפט זה.
הכללות.
נגזרות חד-צדדיות.
ניתן להגדיר גם נגזרת מימין formula_97, ונגזרת משמאל formula_98. הנגזרות החד-צדדיות מוגדרות על ידי הגבולות:
כלומר חישוב הגבול נעשה רק בסביבה ימנית או בסביבה שמאלית של הנקודה.
הערות: