יהי formula_1 סימפלקס n-ממדי. תהיינה formula_2 קבוצות סגורות, כך שכל פאה formula_3 מכוסה על ידי איחוד הקבוצות formula_4 (ובפרט הסיפלקס כולו מכוסה על ידי איחוד כל הקבוצות). אז לקבוצות formula_2 יש נקודה משותפת.
לדוגמה, בממד n=1 הטענה היא שאם שתי קבוצות סגורות מכסות (יחד) קטע, באופן שכל אחת מהן מכסה אחד מקצותיו, אז יש להן נקודה משותפת; טענה זו שקולה לכך שהקטע הוא קבוצה קשירה. בממד n=2, הטענה היא שאם שלוש קבוצות סגורות מכסות משולש באופן שכל אחת מהן מכסה את הקודקוד המתאים לה וכל שתיים מהן מכסות (יחד) את הצלע המתאימה להן, אז יש להן נקודה משותפת, וכן הלאה.
הוכחה.
נניח בשלילה שתנאי הלמה מתקיימים וחיתוך הקבוצות ריק. נתבונן במשלימים formula_6. מן ההנחות נובע ש- formula_7 היא כיסוי פתוח של הסימפלקס, שהוא קבוצה קומפקטית. לכן יש לו מספר לבג formula_8 (ע"ש). נסתכל בחלוקה סימפליציאלית של formula_9, שקוטרו של כל סימפלקס בה קטן מ-formula_10. על החלוקה הזו נגדיר פונקציית קודקודים formula_11, באופן הבא: אם formula_12 קודקוד בחלוקה, אז על-פי תנאי הכיסוי יש formula_13 כך ש- formula_14, ואז נגדיר formula_15; בפרט formula_16 לכל קודקוד formula_17 של החלוקה. פונקציה זו מקיימת את תנאי הלמה של שפרנר, ולכן קיים בחלוקה הסימפליציאלית סימפלקס formula_18, כך שלכל אינדקס formula_19 מתקיים formula_20. לפי בחירת formula_10, קיים formula_22 כך ש formula_23, אבל אז formula_24, וזו סתירה למסקנה ש-formula_25.
אופרטור צמוד עצמית
שוקי שמר
אליזבת' שו
סלארונדה
סלרונדה
הוצאת הרסוביץ'
הוצאת האראסוביץ
הוצאת הראסוביץ
מיכאל וייכרט
מיכאל וייכרט (בכתיב יידי: וויַיכערט; 5 במאי 1890 – 12 במרץ 1967) היה סופר ומחזאי בתיאטרון יידיש, יהודי-אוקראיני יליד גליציה, שנשפט על שיתוף פעולה עם השלטון הגרמני הנאצי בשנות השואה. הוא עלה לישראל כעשור לאחר הקמתה.
ביוגרפיה.
וייכרט נולד בפודהייצה, במזרח גליציה, אז תחת שלטון האימפריה האוסטרו-הונגרית; בהיותו בן שלוש עברה משפחתו לעיר סטניסלבוב, שם למד בחדר, אחר כך בבית ספר ציבורי פולני ובתיכון. בגיל 18 השתתף בועידת צ'רנוביץ לקידום שפת היידיש. אחריה היה ממארגני מסע סופרי יידיש בערי גליציה ובוקובינה.
הוא למד בפקולטה למשפטים של אוניברסיטת וינה וסיים את לימודיו בהצטיינות. בהמשך למד בברלין באקדמיה לאמנויות הבמה של מקס ריינהרדט. בתום מלחמת העולם הראשונה חזר לפולין והתיישב בורשה, שם הקים ב-1929 סטודיו לתיאטרון ניסיוני צעיר, שהתפתח בהדרגה ל"תיאטרון היהודי הצעיר" ("יונג-טעאטער"), תיאטרון אידישאי מצליח. לצד זאת נטל וייכרט חלק מרכזי בחיי התרבות היהודית בפולין.
לפרנסתו שימש כיועץ משפטי למוסדות צדקה ותרבות יהודיים. בתפקידו זה הוא קשר קשרים עם הג'וינט באמריקה, עזר בהקמת ארגון גג לענייני צדקה ומלאכה ליהודי פולין והפך ליועץ המשפטי של הארגון.
בשואה ולאחריה.
בתקופת השואה, ארגון הגג, שאיחד את ארגוני העזרה הסוציאלית העצמית היהודיים בפולין, קיבל מעמד רשמי מוכר על ידי השלטונות הנאציים בפולין הכבושה. במאי 1940, הועבר וייכרט לקרקוב, שם ייסד ומונה ליושב ראש ה"יס"ס" ("ארגון הסעד העצמי היהודי"). במשך שנתיים היה ה-JSS ארגון התמיכה החשוב ביותר עבור היהודים בגטאות: הוא עסק במתן סעד לאסירי המחנות בעזרת תרומות מהצלב האדום, ה"ג'וינט", נדבנים יהודים מחוץ לארץ וכן מימון שהגיע מארגוני הסעד המקבילים - הפולני והאוקראיני. הארגון חילק מזון, בגדים, תרופות וכספים למטבחים, בתי חולים ובתי יתומים.
עם תחילת משלוחי היהודים למחנות ריכוז והשמדה עלתה בכל חריפותה שאלת המשך הסיוע: ארגוני המחתרת היהודים טענו שארגוני הסיוע משמשים את הגרמנים להסתרה וטיוח עובדת שילוח היהודים לסופם המיועד - גם כלפי היהודים עצמם, וגם כלפי גורמים חיצוניים; ושהם נוטעים תקוות שווא בקרב היהודים לגבי גורלם. וייכרט, לא קיבל טיעוניהם והתעקש להשאיר את הארגון פעיל. הוא טען שלארגוני המחתרת אין סמכות לדרוש ממנו לחדול מפעילות. כספי הסיוע, שהגיעו לארגון מהג'וינט, היוו גורם מכריע בהחלטת הגרמנים להתיר את פעילותו גם להבא, תחת פיקוח הדוק.
מבחינת ארגוני המחתרת, סירובו של וייכרט משול היה לסירוב פקודה במצב מלחמה, לכן הוציא כנגדו גזר דין מוות. לפני ביצוע גזר הדין, ברח וייכרט ביולי 1944 ונעלם (בסיוע מכריו מארגוני הסיוע הפולני והאוקראיני) עקב ידיעות על שליחתו הקרובה למחנה עבודה פלאשוב.
בתום המלחמה הועלו נגדו האשמות על קשרי ארגונו עם השלטון הנאצי. הוא הועמד לדין על ידי ממשלת פולין בבית משפט בקרקוב. חקירה משטרתית שנערכה ארכה כ-7 חודשים, והמשפט עצמו כחודש ימים. במשפט העידו נגד וייכרט חברי נשיאות הוועד היהודי: יצחק צוקרמן, אברהם ברמן ופישגרונד, ותיקי מרד הגטאות. ד"ר מיכאל וייכרט היה בכיר אנשי הציבור היהודי שהועמד למשפט בפני בית משפט פולני בעקבות השואה. בסוף המשפט זיכה אותו בית המשפט מכל אשמה, כשבפסק הדין נכתב כי "במשך כל ההליכים המשפטיים לא התגלתה שום עובדה שיש בה כדי לפסול את הנאשם מבחינה אתית או מוסרית", וכי "לא מעשיו של הנאשם ולא התנהגותו האישית אינם מובילים למסקנה שהתכוון לשתף פעולה עם הכובש". בעירעור על פסק דין זה ניסתה התביעה לטעון שווייכרט היה חייב למלא את דרישת כלל ארגוני המחתרת להשבתת ארגונו, אך לא הצליחה לשכנע את בית המשפט במקור סמכותם של הארגונים הללו.
הזיכוי לא ריצה את חברי הוועד היהודי המרכזי בפולין, שכעסו על וייכרט. למרות הזיכוי הופיעו בעיתונים היהודים כתבות המשחירות את פניו של וייכרט באומרן שללא משפט הוא נושא "אות קלון כבוגד" על מעשיו (זאת, תוך התעלמות מזיכויו במשפט שנערך לו). הוועד החליט על הקמת בין דין נוסף, יהודי, לשפוט אותו; ואולם, בהיעדר כל סמכות חוקית לבית דין כזה סירב וייכרט לשתף עמו פעולה. לאחר משא ומתן ניאות וייכרט והסכים לעמוד בפני בית דין שהורכב משבעה אישי ציבור יהודים פולנים (לימים יגיד שזו הייתה טעות חייו). בדצמבר 1948 פסק בית הדין היהודי נגדו וציין: "ד"ר מיכאל וייכרט... אשם בשיתוף פעולה עם השלטונות ההיטלראיים". יתרה מזו – הוא קבע ש"יש לגנות את דרכו של ד"ר וייכרט ביתר שאת משום שסטתה מדרכו של ציבור הנכון לקרב". בית הדין גזר עליו "לשאת אות קלון". לדעתו של בית המשפט, עצם העובדה שבתפיסת הנאצים מטרת ארגון העזרה הייתה לשמש להטעיית היהודים והגורמים החיצוניים – די בכך כדי להאשים את וייכרט בשיתוף פעולה. פסק הדין השיג את מטרתו, וייכרט הוחרם ולא יכול היה לקבל שום משרה ציבורית יהודית.
וייכרט עם רעייתו ובנו שרדו את השואה. הוא עלה לישראל ב-1958 במסגרת "עליית גומולקה" והתגורר בתל אביב. הוא שימש כמורה לתיאטרון וכתב בעיתונים "ידיעות אחרונות" ו"דבר". ואולם, הרדיפות אחריו המשיכו גם בישראל.
וייכרט נפטר בתל אביב בשנת 1967.
ארכיונו האישי של מיכאל וייכרט מופקד במחלקת הארכיונים של הספרייה הלאומית בירושלים.
דילמת הסועדים
בתורת המשחקים, דילמת הסועדים היא הכללה של דילמת האסיר למקרה הכללי של n שחקנים. מספר סועדים יוצאים למסעדה, כאשר הם מסכימים מראש לחלק את החשבון באופן שווה בין כולם. כל סועד בוחר האם להזמין את המנה הזולה יותר או היקרה יותר (אפשר להניח שהמנה היקרה יותר בהכרח טעימה יותר אבל לא מצדיקה שהסועד ישלם את המחיר המלא שלה). כל סועד מניח שכאשר הוא בוחר במנה היקרה, המחיר לכל סועד יגדל בחלק קטן ולכן מוצדק מבחינתו להזמין את המנה היקרה ובכך לשפר את חוויית הסעודה שלו. מכיוון שכל סועד מניח כך, התוצאה היא שכולם משלמים את העלות המלאה של המנה היקרה. לפי הגדרת הבעיה זו תוצאה גרועה יותר לכולם מאשר התוצאה כאשר כל אחד מזמין מאכל זול.
הגדרה פורמלית.
נגדיר את "g" כערך ההנאה מהמנה היקרה ואת "b" כערך ההנאה מהמנה הזולה. מחיר המנה היקרה הוא "h" ומחיר המנה הזולה הוא "l". כאמור, "n" הוא מספר הסועדים. מההגדרות ומהתיאור הנ"ל מתקבל יחס הסדר הבא:formula_1. כדי להתאים את הדילמה לדילמת האסיר אנו מניחים שסועד מסוים מעדיף להזמין את המנה היקרה בתנאי שהוא יודע שהמחיר מתחלק בין שאר הסועדים formula_2.
נתבונן באסטרטגיות של ה'סועדים היריבים'. נגדיר את "x" כסכום מחירי המנות של שאר הסועדים. המחיר של הזמנת המנה הזולה הוא formula_3 ומחיר המנה היקרה הוא formula_4. התועלות המתקבלות לכל מנה הן: formula_5 עבור המנה היקרה ו formula_6 עבור המנה הזולה. לפי ההנחה, התועלת של המנה היקרה היא בהכרח גבוהה יותר. נשים לב שבחירת המנות על ידי הסועדים האחרים היא שרירותית והמשחק הוא סימטרי. מכאן מתקבל שהמנה היקרה היא אסטרטגיה שלטת ולכן מובטח לנו שיווי משקל נאש יחיד.
אם כל הסועדים מזמינים את המנה היקרה אז כל הסועדים משלמים "h" בסוף הסעודה והתועלת המתקבלת היא formula_7. מצד שני, אם כל הסועדים היו מזמינים את המנה הזולה אז התועלת שלהם הייתה formula_8. זהו הדמיון בין דילמת הסועדים לדילמת האסיר. גם בדילמה זו, כולם מפסידים כאשר הם משחקים את האסטרטגיה האינדיבידואלית.
ניסוי שדה.