מעל פני השטח, טים ג'נסן נראה בן אדם נורמלי: בעל עבודה קבועה ויציבה, ובקשר טוב עם חברתו, ג'סיקה. אך אירוע טראגי שהוא היה עד אליו כשהיה בן שמונה, השאיר אותו בטראומה: אביו נלקח על ידי הבוגימן שחי בארון חדר השינה שלו. מאז אותו יום, טים נוקט אמצעי זהירות כדי שהבוגימן לא יוכל להתקרב אליו.
אחרי שבילה עם ג'סיקה והוריה בחג ההודיה, טים מגלה שאמו המתנכרת, מרי, מתה. לאחר לווייתה, טים מבקר במחלקה הפסיכיאטרית, שם הוא חי לאחר מותו של אביו. יועצו לשעבר של טים, מייעץ לו לבלות את הלילה בבית ילדותו, כדי להתמודד עם פחדיו. באי רצון, טים חוזר לבית ילדותו, כדי להתמודד עם שדיו.
פונקציית בחירה חברתית
פונקציית בחירה חברתית בתורת המשחקים היא פונקציה המקבלת את יחסי ההעדפות של הבוחרים בבחירה חברתית ומוציאה את המועמד הנבחר.
במקרים רבים החברה אינה צריכה לדרג את כל האפשרויות לפי סדר, אלא לבחור באפשרות אחת. לאפשרות זו נקרא מעתה האפשרות העדיפה על החברה כולה. זה המצב, למשל, בבחירות לנשיאות, לנציג לקונגרס או לראשות ועד, או בחירת המהלך המדיני או הכלכלי "הטוב ביותר" (לדעת קבוצת המחליטים). השאלה היא האם ניתן להתאים לכל פרופיל העדפות חזקות אפשרות אחת, האפשרות העדיפה על החברה כולה, כך שמצד אחד שיטת הבחירה תקיים תכונות רצויות, ומצד שני לא תהיה דיקטטורית.
הגדרה כללית.
פונקציית בחירה חברתית בתורת המשחקים, היא פונקציה שמטרתה לבחור את המועמד המועדף על כלל הבוחרים מבין האפשרויות הנתונות.
פונקציית בחירה חברתית מתאימה לכל פרופיל העדפות חזקות אפשרות אחת, שתיקרא "האפשרות העדיפה" על החברה. בפרט, על פי הגדרה זו אין אפשרות שהחברה תבחר בשתי אפשרויות שונות כעדיפות.
דוגמאות לפונקציה שכזו ניתן לראות למשל בבחירות לראשות הממשלה, בבחירות לנציגות גוף מסוים, בסקר על אבקת כביסה יעילה ביותר וכדומה.
הגדרה פורמלית.
תהי formula_1 קבוצת האפשרויות, או המועמדים לבחירה, ותהי formula_2 קבוצת הבוחרים.
יחס העדפות על קבוצת האפשרויות formula_1 הוא יחס סדר חזק.
את קבוצת יחסי ההעדפות החזקים על formula_1 מסמנים ב formula_5,
והעדפה חזקה של formula_6 על formula_7 לפי יחס הסדר formula_8 מסמנים בformula_9.
לכל בוחר formula_10 יש יחס העדפות formula_8 על קבוצת האפשרויות formula_1.
רשימת יחסי ההעדפות החזקות של כל הבוחרים נקראת בשם פרופיל העדפות חזקות, והיא תסומן בformula_13.
פונקציית בחירה חברתית היא פונקציה formula_14, המתאימה לכל וקטור של יחסי העדפות חזקים formula_15
מועמד formula_1. נאמר שהמועמד formula_17 הוא המועמד המועדף על החברה, כאשר יחסי ההעדפות של הבוחרים ניתנים על ידי פרופיל ההעדפות formula_18.
תכונות.
ישנן מספר תכונות שניתן לדרוש אותן או לחלופין להימנע מהן עבור פונקציית הבחירה החברתית:
פונקציית בחירה חברתית formula_19 נקראת דיקטטורית אם קיים בוחר formula_10 כך שלכל פרופיל העדפות חזקות formula_18 מתקיים ש formula_22 היא האפשרות המועדפת ביותר על formula_10.
במקרה זה formula_10 יקרא דיקטטור.
פונקציית הבחירה הדיקטטורית היא מונוטונית.
כמו במקרה של פונקציית רווחה חברתית, תנאי סביר לדרוש מפונקציית בחירה חברתית הוא שהיא תהיה יעילה פארטו, היינו שאם כל הפרטים בחברה מעדיפים את אפשרות a על פני אפשרות b, אזי אפשרות b לא תיבחר.
פונקציית בחירה חברתית F מקיימת את תכונת הפה-אחד אם לכל שתי אפשרויות formula_25 ולכל פרופיל העדפות
חזקות formula_26 מתקיים : אם formula_27 לכל פרט formula_28 אזי formula_29.
פונקציית בחירה היא מונוטונית אם עבור פרופיל העדפות חזקות מסוים נבחרת האפשרות a, אזי בכל פרופיל העדפות חזקות אחר שבו השתפר מיקומו של a, או לפחות לא הורע אצל כל הפרטים, נבחרת גם כן האפשרות a אף אם הסדר בין הפרטים האחרים השתנה.
פונקציית בחירה חברתית formula_19 נקראת מונוטונית אם לכל שני פרופילי העדפות חזקות formula_31, formula_32
המקיימים: לכל בוחר formula_10, ולכל formula_34 אם לכל formula_7 שונה מ formula_6 מתקיים
formula_37 formula_38 formula_39,
ואם formula_40, אזי גם formula_41.
לפי משפט גיבארד-סתרסוויט, כשיש שלושה מועמדים לפחות אם פונקציה היא מונוטונית אזי היא או דיקטטורית או לא יעילה פארטו ולכן דרישה זו לא מתקיימת לרוב בפונקציות שימושיות.
פונקציית בחירה חברתית formula_19 מקיימת את תבחין קונדורסה אם השיטה בוחרת מועמד המנצח כל מועמד אחר בהתמודדות ראש בראש אם קיים כזה, מועמד כזה נקרא מנצח קונדורסה. כלומר, אם A הוא מנצח קונדורסה, אזי לכל מועמד אחר, B, רוב הקבוצה מעדיפה את A על B.
חלוקת פולין
חלוקת האיחוד הפולני-ליטאי (בפולנית: Rozbiór Polski, בליטאית: Padalijimas) - חלוקת שטחו של האיחוד הפולני-ליטאי בין פרוסיה, האימפריה הרוסית ואוסטריה במהלך סוף המאה ה-18. החלוקה בוצעה ב-3 פעימות - בשנים 1772, 1793 ו-1795. במהלך המלחמות הנפוליאוניות הישות המדינית הפולנית, שלא הייתה במעמד של מדינה, הוקמה מחדש לתקופה קצרה בשם דוכסות ורשה, אך בשנת 1814 חזר המצב הישן. רק לאחר מלחמת העולם הראשונה הוקמה מחדש המדינה הפולנית.
רקע.
לקראת מחצית המאה ה-18 כבר לא היה האיחוד הפולני-ליטאי חזק כבעבר. למעשה הוא היה תלוי במדיניות של האימפריה הרוסית. הדבר הורגש במיוחד במהלך בחירת המלך האחרון - סטניסלאב פוניאטובסקי, שהיה מקורב ליקטרינה הגדולה ותקופה מסוימת היה מאהבה. עוד בתקופת ולדיסלאב הרביעי במחצית המאה ה-17 החלו לנצל יותר ויותר את ליברום וטו. נוהג זה מבוסס על כך שכל חברי הפרלמנט שווי זכויות ולכן כל ההחלטות צריכות להתקבל פה אחד. כתוצאה מכך, דעה של אציל בודד יכולה הייתה לטרפד החלטה חשובה. תהליך קבלת החלטות היה מורכב וארוך מאוד. יתרה מכך, נוהג זה נתן אפשרות ללחץ ואף ל"קניית" חבר פרלמנט בודד על ידי שגריריי מדינות זרות כדי לטרפד החלטות.
במהלך מלחמת שבע השנים היה האיחוד נייטרלי, אך נתן אישור לכוחות של האימפריה הרוסית לעבור בשטחו לכיוון פרוסיה. החל משנת 1764 מלך פולין ניסה לבטל את ליברום וטו ולהנהיג רפורמות נוספות בממשל. בשנת 1767, בלחץ השגריר הרוסי ניקולאי רפנין, התקבלה חוקה חדשה שלמעשה ביטלה את כל הרפורמות הקודמות. הסיים הפולני פעל למעשה תחת שליטה מלאה של השגריר הרוסי. בלחץ השגריר, נעצרו מתנגדיו בקרב האצולה הפולנית. בשנת 1768 רפנין אף הצליח להעביר חוק לפיו נוצרים שאינם קתולים קיבלו אותן זכויות כמו נוצרים קתולים. התערבות גסה של רפנין בענייני המדינה גרמה לפריצת מרד, במהלכו לחמו המורדים נגד צבא המלך, צבא של האימפריה הרוסית ונגד התקוממות מקומית באוקראינה. המורדים פנו לקבלת עזרה לצרפת והאימפריה העות'מאנית. הטורקים נחלו מפלה במלחמתם נגד הרוסים והעזרה מצרפת הייתה מועטה ביותר.
באותה תקופה, חתמו נציגי פרוסיה, האימפריה הרוסית ואוסטריה על ברית סודית שכונתה "ברית שלושת הנשרים השחורים", משום שעל סמלי המדינות היה נשר שחור, בניגוד לנשר לבן על סמל פולין.
החלוקה הראשונה.
במהלך פברואר 1772 מדינות הברית חתמו על הסכם חלוקת האיחוד הפולני-ליטאי. בתחילת אוגוסט 1772 פלשו צבאותיהם לשטחי האיחוד והתמקמו בהתאם לחלוקה שסוכמה קודם לכן. כוחות המורדים, שהבסיס שלהם היה באוסטריה, נאלצו לעזוב את בסיסיהם מאחר שאוסטריה הצטרפה לברית. למרות המצוקה הם לחמו בעקשנות, והלחימה נמשכה עד לאביב 1773. ב-28 באפריל 1773 כבשו כוחות בפיקוד אלכסנדר סובורוב את קרקוב.
בהתאם להסכם התבצעה חלוקת פולין כדלקמן:
תוך שימוש בלחץ צבאי בלתי פוסק, דרשו מדינות הברית ממלך פולין ומהסיים להכיר בחלוקה באופן רשמי. מחוסר ברירה, כינס סטניסלאב פוניאטובסקי את הסיים, ובשנת 1775 החלוקה קיבלה הכרה רשמית. כמו כן, שונו כמה מחוקי המדינה, אך הליברום וטו נשאר בתוקף. הוקמה מועצה מדינית בראשות המלך ובהשתתפות 18 סנטורים ו-18 אצילים שנבחרו על ידי הסיים. המועצה הייתה יכולה להשכיר אדמות המלך. בהתאם לחוקים החדשים, מינוי תפקידי מפתח במדינה היה על בסיס מועמדים שהועברו מהסיים למלך.
פרוסיה, שכבשה חלקים צפון-מערביים של פולין, קיבלה שליטה על 80% מסחר חוץ של האיחוד. הנהגת מיסי מעבר גבוהים הקשה מאוד על פיתוח הכלכלה של האיחוד.
החלוקה השנייה.
הרפורמות במדינה נמשכו גם לאחר שנת 1775. המועצה המדינית שיפרה באופן מהותי את ניהול הכלכלה והמסחר. במקביל התחזקה המפלגה הפטריוטית ששאפה לניתוק כל קשר עם האימפריה הרוסית. נגדה פעלה מפלגת המלכות. בסיים שהחל את הפעילות שלו בשנת 1788, למפלגה הפטריוטית היה רוב משמעותי. באותה תקופה התנהלה המלחמה העות'מאנית-רוסית (1787–1792). פרוסיה ניצלה את השפעתה וגרמה לניתוק הקשר עם הרוסים. בשנת 1790 נחתם הסכם עם פרוסיה שבהמשך היה התוצאה הישירה של חלוקת האיחוד.
הסיים פעל נמרצות לחיזוק המדינה. קבלת חוקה חדשה בשנת 1792 גרמה לרוסים לחשוש שהמטרה האמיתית של הסיים היא התרחבות לגבולות 1772. המפלגה הפרו-רוסית הקימה איגוד ובתמיכת אוסטריה ורוסיה החלה במאבק נגד המפלגה הפטריוטית ונגד השינויים בחוקה. כדי לתמוך במאבק זה, הרוסים נכנסו לתחום פולין. בניגוד להסכם משנת 1790, פרוסיה לא רק שלא עזרה לכוחות הממשל, היא אף נכנסה לתחום האיחוד במטרה לנגוס ממנו שטחים נוספים. לאחר קרבות, כוחות המפלגה הפטריוטית הובסו, וראשיה עזבו את המדינה. ב-23 בינואר 1793 נחתם הסכם חלוקת האיחוד שאושר בסיים בגרודנו.
החלוקה השלישית.
חלק מהפולנים לא קיבלו את תוצאות החלוקה השנייה. בשנת 1794 החל מרד חדש - מרד קושצ'ושקו. המרד לא היה מוצלח ולאחר קרבות עזים, ב-24 באוקטובר 1795 מדינות הברית סכמו על הגבולות החדשים.