ב-1963 זכה בפרס נובל לרפואה ולפיזיולוגיה על מחקרו המשותף עם אלן הודג'קין, שעסק בפוטנציאלי פעולה בעצבים. את הפרס הם חלקו עם ג'ון אקלס, שמחקריו עסקו בפעילותן של סינפסות. מחקריהם של האקסלי והודג'קין הובילו אותם לשער שיש תעלות יונים, השערה שאוששה כמה עשורים מאוחר יותר, לאחר פיתוח של שיטות עליהם זכו ארווין נהר וברט זקמן בפרס נובל לרפואה ולפיזיולוגיה לשנת 1991.
L (תורת הקבוצות)
בתורת הקבוצות, L או אוסף הקבוצות הניתנות לבנייה הוא מחלקה של קבוצות שבנויות באופן אינדוקטיבי בצורה מפורשת יחסית מתוך קבוצות פשוטות יותר. איברי L נקראים הקבוצות הניתנות לבנייה. L הוגדר על ידי קורט גדל בשנת 1935, שהוכיח כי הוא מודל של אקסיומת הבחירה והשערת הרצף.
האקסיומה V=L אומרת שכל קבוצה ניתנת לבנייה.
הגדרה.
המחלקה L מוגדרת באינדוקציה על הסודרים, כאשר בכל שלב אנחנו מוסיפים את אוסף כל תתי הקבוצות הגדירות מתוך איברים שנמצאים באוסף הנוכחי שלנו, כאשר הגדירות היא במובן של אוסף הקבוצות הנוכחי (ולא של כל היקום). הבניה דומה להיררכיה של פון נוימן שמכילה את כל הקבוצות, רק שבמקום הפעולה של קבוצת החזקה, אנחנו משתמשים בפעולה עדינה יותר - "קבוצת החזקה הגדירה".
באופן פורמלי:
כלומר זהו אוסף כל תתי הקבוצות B של A כך שיש נוסחה ואיברים מ-A שמגדירים את איברי B בתוך העולם של איברי A.
גדל הציע גם הגדרה שאינה תלויה במושג הגדירות: את formula_6 בונים מתוך formula_7 כקבוצה שסגורה תחת אוסף ספציפי של פעולות פשוטות (מכפלה קרטזית, הפעלת פונקציה וכדומה), והראה ששתי ההגדרות נותנות את אותה מחלקה L.
האקסיומה V=L או אקסיומת הבנייה, גורסת כי המחלקה L מכילה את כל הקבוצות. אקסיומה זו הוצעה על ידי גדל, שהראה גם כי היא עקבית מתוך ZF, כיוון שהמחלקה L עצמה מקיימת אותה. טענה זו משתמשת באבסולוטיות של השייכות ל-L (למשל במחלקה לא אבסולוטית כמו מחלקת הקבוצות הגדירות מתוך סודרים - OD, ייתכן שקבוצה תהיה גדירה מתוך סודרים בעולם V ולא גדירה מתוך סודרים במחלקה OD).
כמו שמתואר בסעיפים הבאים, אקסיומה זו גוררת את אקסיומת הבחירה במובן חזק (קיים סדר טוב גלובלי), ואת השערת הרצף המוכללת.
תכונות.
אפשר להגדיר באינדוקציה התאמה חח"ע ועל בין formula_8 ל-formula_9 עבור כל סודר אינסופי, כלומר formula_10.
הקבוצה formula_11 היא אוסף כל הקבוצות הסופיות תורשתית (כלומר הקבוצות הסופיות שגם איבריהן סופיים ואיברי-איבריהן סופיים וכו'), כלומר formula_12. החל משם ההיררכיות מתפצלות (גם אם V=L), משיקולי עוצמה.
L הוא מודל של ZFC.
כל סודר מקיים formula_13, ולכן המחלקה L מכילה את כל הסודרים. בנוסף, אם המודל ההתחלתי V קיים את ZF אז גם L מקיים את ZF:
למשל, כדי להראות כי הוא מקיים את אקסיומת ההחלפה יש להשתמש בעקרון ההשתקפות (שנכון בכל בנייה מהצורה הזו): כל טענה (מסדר ראשון) שמתקיימת ב-L מתקיימת כבר ב-formula_8. לכן, אם נוסחה מגדירה פונקציה - עובדה זו מתקיימת כבר בתחילית כלשהי של L, ונוסיף את הקבוצה הרצויה ל-L בשלב הבא לאחר התחילית הזו.
הבנייה המפורשת של איברי L מאפשרת להגדיר סדר טוב על כל איבריו על ידי נוסחה קבועה (ראו בהמשך).
אפשר להוכיח כי L הוא אבסולוטי בין כל זוג מודלים של ZF בעלי אותם סודרים (כלומר כל קבוצה ששייכת ל-L במודל אחד בהכרח נמצאת גם במודל השני ושייכת ל-L שם). לכן, L הוא המודל המינימלי של תורת הקבוצות - כל מודל של ZF מכיל אותו. למעשה, שייכות ל-L והסדר הטוב עליו הם אבסולוטיים גם בין זוגות מודלים שמקיימים מעט מאוד אקסיומות של ZF, מה שמאפשר בניות קומבינטריות רבות ב-L.
הסדר הטוב של L.
נתאר הגדרה אפשרית עבור הסדר הטוב, אותו נסמן ב-formula_15. נניח כי formula_16 שונים, ונפריד למקרים:
מתוך הגדרה זו קל לראות כי הסדר הטוב מוגדר בצורה נכונה כבר בתוך כל תחילית של L שמכירה את המספור של הנוסחאות.
נעיר כי כל איבר של L מוגדר על ידי מספר אינסופי של נוסחאות שונות (כיוון שתמיד ניתן להוסיף משתני דמה), ולכן עלינו לקבע את הנוסחה המגדירה את x כבר בשלב השני. בהגדרות אחרות של L ייתכן שיהיה יותר נוח להשתמש בסדר טוב המוגדר באופן שונה.
ניסוח מדויק של הגדרת הסדר הטוב הקנוני מאפשר לחשב כמה הנוסחה המגדירה אותו "מסובכת", במובן של כמה חילופי כמתים יש בה. מסתבר כי הנוסחה היא מאוד פשוטה - זו נוסחת formula_33, כלומר נוסחה בה כל הכמתים, למעט כמת קיום יחיד, הם חסומים (כלומר מהצורה formula_34).
בפרט, ב-L קיים סדר טוב על הממשיים המוגדר על ידי נוסחה פשוטה. עובדה זו מתרגמת לכך שקיימות ב-L קבוצות פתולוגיות של מספרים ממשיים, למשל קבוצות לא מדידות לבג, הניתנות להגדרה על ידי נוסחאות פשוטות.
השערת הרצף המוכללת ב-L.
אם V=L, אז לכל סודר formula_9 מתקיים כי קבוצת החזקה שלו נוצרת בשלב המינימלי האפשרי: formula_36, כאשר formula_37 הוא המונה הראשון שגדול ממש מ-formula_9.
ההוכחה לתכונה הזו משתמשת בעובדה שקיימת נוסחה בשפה של תורת הקבוצות שכל מודל שמקיים אותה איזומורפי ל-formula_24 עבור סודר מסוים או שהוא שווה לכל L. נוסחה זו מורכבת מהטענה "כל קבוצה ניתנת לבנייה" יחד עם האקסיומות הנחוצות לאבסולוטיות של השייכות ל-L. נניח formula_40, כאשר formula_41 והנוסחה שתוארה קודם מתקיימת ב-formula_42.
ניקח תת-מודל אלמנטרי של formula_42, בשפה בגודל formula_44 שמכילה קבוע עבור כל סודר קטן מ-formula_9 וקבוע עבור X, בגודל formula_44. זה אפשרי לפי משפט סקולם-לוונהיים. מודל זה יהיה איזומורפי ל-formula_47, והאיזומורפיזם ישמר את כל הסודרים מתחת ל-formula_9. לכן X נמצאת כבר בשלב ה-formula_49 של הבנייה של L.
בניות דומות ומורכבות יותר משמשות להוכחת תכונות קומבינטוריות רבות בתוך L.
קונסטרקטביליות יחסית.
ניתן להכליל את ההגדרה של L כך שתכלול קבוצה לא ניתנת לבנייה ספציפית, או שמהלך הבנייה יושפע ממנה. הכללות אלו משמשות לבניית מודלים מינימליים (בדומה ל-L), שעדיין מכילים אובייקט מורכב יותר, לא ניתן לבנייה.
נניח כי אנחנו רוצים "להוסיף" את הקבוצה A לעולם L. יש לנו שתי אפשרויות:
האפשרות הראשונה היא להתחיל מ-formula_50 - הסגור הטרנזיטיבי של A, יחד עם A כאיבר, ומשם להמשיך כמו קודם עם פעולת "קבוצת החזקה הגדירה". הסגור הטרנזיטיבי של A הוא קבוצת כל האיברים של A יחד עם קבוצת כל איברי האיברי של A וכו'. אנו צריכים להכליל אותה כדי שאקסיומת ההיקפיות תתקיים.
מודל זה, שמסומן ב-L(A)‎, יכול להיות שונה מאוד מ-L. למשל, ייתכן שלא מתקיימת בו אקסיומת הבחירה.
האפשרות השנייה היא להוסיף את A כסימן יחס (חד מקומי) לשפה שלנו, ובהתאם לשנות את מושג הגדירות לגדירות בשפה המורחבת. המודל המתקבל באופן הזה מסומן ב-L[A]‎. בניגוד לבנייה הקודמת, במודל הזה מתקיימת אקסיומת הבחירה, והחל ממונה מספיק גדול - גם השערת הרצף. מצד שני, ייתכן ש-formula_51.
בנייה זו משמשת להגדרת המודל המינימלי של מונה מדיד - זהו formula_52 כאשר U הוא על-המסנן המתאים למידה.
ליאת רגב
ליאת רגב (נולדה ב-12 בפברואר 1972) היא מגישת רדיו וטלוויזיה ישראלית, בכאן ב' ובערוץ כאן 11.
ביוגרפיה.
נולדה בכפר ידידיה. משנת 1994 עוסקת בהגשה ועריכת תוכניות בטלוויזיה וברדיו. בערוץ 3 בכבלים הגישה את תוכנית האירוח "שישבת" ואת מהדורת החדשות המקומיות "זמן ירושלים". בערוץ הראשון הגישה את התוכניות "שעון החול" ו"בוקר טוב ישראל". בשנים 2003–2008 הגישה את תוכנית הבוקר "עניין אחר" ברשת ב'. הגישה את תוכנית התרבות "מאחורי הקלעים" בערוץ הראשון. ערכה והגישה ברשת ב' את התוכניות "סידורים לשבת" ו"עוד מעט שבת" בימי שישי ואת תוכנית האקטואליה "מעבירים לראשון" במוצאי שבת.
בערוץ הראשון הגישה את תוכנית האקטואליה "ערב טוב ישראל" ואת "המוסף". בנוסף, שימשה מנחה ב"תוכניות ספיישל" שונות בנושאי תרבות, יהדות ורוחניות, כגון סדרת התוכניות "התחדשות" ובה שיחות עם אנשי רוח. ב-2017 החלה להנחות את התוכנית "70 פנים" בכאן 11.
השתתפה במיזם "929 - תנ"ך ביחד" והגישה פינות יומיות עם הרב בני לאו באתר המיזם.
לאחר פטירתה של ענת דולב בפברואר 2016, הגישה את תוכנית הרדיו "בשלוש עם ענת דולב" ברשת ב'.
מפברואר 2018 מגישה את התוכנית "בחצי היום השישי" בכאן ב' ואת התוכנית "מעבירים לראשון" בשבת בערב.
לרגב תואר ראשון במשפטים מאוניברסיטת תל אביב ותואר שני בפילוסופיה יהודית מאוניברסיטת בר-אילן.
אסתי פרז
אסתי (אסתר) פּרז בן-עמי (נולדה ב-19 באפריל 1966) היא עיתונאית ישראלית, מגישת יומן הצהריים "בחצי היום" בתחנת הרדיו כאן ב' של תאגיד השידור הישראלי ובעבר ברשת ב' של קול ישראל. קודם לכן, שימשה במשך כ-20 שנה ככתבת ושדרנית בתפקידים שונים. היא זכתה במספר פרסים על הצטיינותה העיתונאית ועל הגשת יומן הצהריים "בחצי היום".
ביוגרפיה.
פרז נולדה וגדלה בקריית ביאליק. בנעוריה למדה בבית הספר אורט ביאליק. בצבא שירתה בחיל המודיעין.
בשנים 1986–1989 למדה לתואר ראשון בעבודה סוציאלית באוניברסיטה העברית בירושלים. התמחתה בלימודיה כקצינת מבחן לנוער וסיימה בהצטיינות.
את דרכה העיתונאית החלה במקומונים בצפון. כתבה בעיתון "צפון 1" בעכו ואחר כך בעיתון המקומי "ירושלים". בהמשך דרכה העיתונאית עברה לעיתון "חדשות" ושימשה ככתבת המשטרה והפלילים של העיתון בירושלים עד יום סגירתו בסוף שנת 1993.
עם סגירת "חדשות" התקבלה לעבודה ברדיו ברשת ב'. הייתה כתבת לענייני עלייה וקליטה, ובהמשך כתבת לענייני משפט. ככתבת משפט זכתה בשנת 2000 בפרס מנכ"ל רשות השידור על שם אילן רועה על הצטיינות בתפקידה.