בפעולת כפל נתונים שני מספרים. האחד - הראשון בסדר הכתיבה אשר אותו מכפילים - נקרא "נִכְפָּל", והשני - בו מכפילים - נקרא" "כּוֹפֵל". שניהם יחדו נקראים "גורמים". עבור שאלות מילוליות - הנכפל נושא תמיד את השם הנתון בשאלה (כדורים / בובות וכו'). הכופל מראה פי כמה להגדיל את הנכפל, ולכן מיחסים לו את השם "פעמים". המספר המתקבל כתוצאה מהכפל נקרא "מַכְפֵּלָה". את הביטוי formula_8 יש לקרוא "שלוש כפול חמש" או "חמש פעמים שלוש ".
כפל הוא קיצור של פעולת החיבור, אך באופן כללי נוהגים לראות כפל כפעולה העומדת בפני עצמה. בקבוצת השלמים, אפשר להסביר את הפעולה על ידי החלפת המילה "כפול" במילה "פעמים". כך ש-formula_9 כפול formula_10, הוא בעצם, "formula_10 פעמים formula_9" או במפורש, הכפלת מספר formula_9 במספר formula_10, דינה כסכום של formula_9 עם עצמו formula_10 פעמים (או כעוצמת קבוצת האיחוד של formula_10 קבוצות זרות בעלות עוצמה formula_9). הגדרה נאיבית של פעולת הכפל נעשית באמצעות לוח הכפל, שהוא טבלה המציגה את תוצאותיה של פעולת הכפל, הקרויה מכפלה, על כל שני מספרים אפשריים שכל אחד מהם בן ספרה אחת. פעולת הכפל סגורה בקבוצת המספרים הטבעיים, וגם בקבוצת המספרים השלמים.
כפל מוגדר גם עבור מספרים רציונליים (שברים) ומספרים ממשיים, בעזרת הרחבת ההגדרה לשלמים. מספר שלם ניתן להצגה כשבר (למשל בבחירת המספר עצמו כמונה, עם מכנה 1), וכפל שברים מוגד כשבר שמונהו הוא מכפלת שני המונים, ומכנהו מכפלת שני המכנים.
הכפל היא פעולה קומוטטיבית: החלפת הכופל והנכפל לא משנה את המכפלה, כלומר formula_19. עם זאת, יש לשים לב שכאשר מייחסים לכופל, לנכפל, או לשניהם משמעות מוחשית, יש למיקום חשיבות. לדוגמה, יש אותו מספר בקבוקים בשלוש אריזות של עשרה בקבוקים ובעשר אריזות של שלושה בקבוקים, אך אותם שלושים בקבוקים מייצגים מציאות פיזית שונה בשני המקרים.
פעולת הכפל מסומנת בסימן formula_20 או לפעמים formula_21, וכאשר אין סכנה לבלבול, משמיטים אותה כליל. כלומר formula_22 זהה לכתיבת formula_23, ו-formula_24 זהה ל-formula_25.
הערה: לוח הכפל המוכר יותר (שחיבורו מיוחס לפיתגורס) עוסק במכפלות בתחום 1–10, ולא בתחום 0–9 כפי שמוצג כאן. אין טעם טכני בהצגת מכפלות של 10, משום שאלה הן כבר מכפלות של מספר בן שתי ספרות, שאותן ניתן לבצע לפי לוח הכפל המופיע כאן, והכללים לכפל של מספרים בני יותר מספרה אחת.
חילוק.
בפעולת חילוק נתונים שני מספרים. הראשון שאותו מחלקים, נקרא "מחולק". והשני, שבו מחלקים את הראשון, נקרא "מחלק". המספר המתקבל כתוצאה מהחילוק נקרא "מנה". בחילוק אי אפשר לשנות את מיקומם של המספרים הנתונים בו. הבחינה של תוצאת החילוק נעשית באמצעות כפל - מכפילים את המחלק במנה, וכשיש שארית מוסיפים אותה למכפלה של המחלק במנה. את התוצאה משווים למחולק.
ישנן שתי משמעויות מקובלות לחילוק - "חילוק לחלקים" ו"חילוק להכלה". חילוק לחלקים היא פעולה של חלוקה לחלקים שווים: אם יש לנו קבוצה בת a איברים וחילקנו אותה ל-b קבוצות שוות בגודלן, כמה איברים יש בכל קבוצה? אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין חמישה ילדים, כמה פרוסות קיבל כל ילד? בחילוק לחלקים נכתב המחלק בלי שם, כי הוא מראה פי כמה להקטין את המחולק, והמנה מציינת כמות מאותו סוג של המחולק.
המשמעות השנייה היא חילוק להכלה. שם זה נובע מכך שבחלוקה זו, אנו מקבלים מידע על החלק ועל השלם, ושואלים כמה פעמים החלק מוכל בשלם. בחילוק להכלה נשאלת השאלה, בהינתן שיש לנו קבוצה בגודל a שחילקנו למספר קבוצות שוות בגודל b, מהו מספר הקבוצות שאליהן חילקנו? לדוגמה, אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין מספר ילדים בצורה שווה כך שכל ילד קיבל שתי פרוסות, כמה ילדים יש? בדוגמת העוגות, אנו יודעים שגודל כל חלק הוא 2 וגודל השלם הוא 10, ושואלים את עצמנו כמה פעמים נכנס (מוכל) 2 ב-10. בחילוק להכלה למחולק ולמחלק שם אחד, והמנה נכתבת בלי שם, כי היא מראה כמה פעמים כלול המחלק במחולק.
חילוק היא הפעולה ההפוכה לכפל, כלומר אם formula_26, הרי פעולת החילוק של c ב-b תיתן תשובה לשאלה: כאשר במשוואה זו ידועים ערכיהם של b ושל c, מהו ערכו של a?
אם קיים מספר שלם כזה, אז b מחלק את c. למשל, 6 מחלק את 18 משום ש- formula_27 (לפעמים כותבים formula_28 כדי לציין ש- b מחלק את c). פעולת החילוק אינה סגורה בקבוצת המספרים הטבעיים, וגם לא בקבוצת המספרים השלמים, משום שחילוק של 7 ב-2, למשל, נותן תוצאה שאינה מספר שלם. ביצוע פעולת חילוק זו בקבוצת המספרים השלמים נותן מנה 3 ושארית 1. פעולת החילוק סגורה בקבוצת המספרים הרציונליים. ניתן להרחיב את הגדרתן של פעולת החיבור, החיסור והכפל כך שיחולו גם על קבוצת המספרים הרציונליים (ראו בערך מספר רציונלי).
עם זאת, מעל קבוצת המספרים הרציונליים (וגם המספרים הממשיים והמרוכבים) התוצאה של חלוקה באפס אינה מוגדרת היטב. זאת מכיוון שמכפלת כל מספר באפס נותנת אפס, ולכן לכל formula_29 לא קיים מספר formula_4 כך שformula_31, ואילו כאשר המשוואה שלנו היא formula_32 הרי שכל מספר הוא תשובה לשאלה שלנו, ולכן התשובה איננה חד משמעית. ישנם פיתוחים מתמטיים של קבוצות המספרים כך שחלוקה באפס תתאפשר (תוך ויתור על חלק מתכונות המספרים), אך באופן כללי תוצאה של חלוקה באפס נותרה בלתי מוגדרת.
פעולת החילוק מסומנת בסימן formula_33 או בסימן formula_34. באופן מעשי לרוב נהוג לכתוב חילוק באמצעות שבר, כאשר המחולק הוא המונה והמחלק הוא המכנה.
נשים לב כי בקבוצת המספרים הרציונליים ובקבוצות המכילות אותה, פעולה של חילוק במספר formula_4 כלשהו זהה לפעולה של כפל במספר formula_36, שהוא המספר ההופכי של formula_4, כלומר formula_38. על כן, ניתן לראות כל פעולת חילוק כסוג של פעולת כפל.
ניתן להרחיב את הגדרתן של פעולות החיבור, החיסור, הכפל והחילוק כך שיחולו גם על קבוצת המספרים הממשיים וקבוצת המספרים המרוכבים.
ראו גם: מבחני התחלקות
סדר פעולות החשבון.
כל אחת מארבע פעולות החשבון פועלת, כאמור לעיל, על שני מספרים, אך ניתן לכתוב ביטויים הכוללים מספרים רבים ופעולות רבות, ובמקרה זה נחוצים כללים לקביעת סדר ביצוע הפעולות (פעולה קרויה גם אופרטור, ומספרים שעליהם היא פועלת קרויים אופרנדים). הכלל הראשון קובע שפעולות כפל וחילוק קודמות לפעולות חיבור וחיסור. כדי לבצע את הפעולות בסדר שונה מהאמור בכלל זה יש להשתמש בסוגריים. לאחר שני כללים אלה, הפעולות מתבצעות משמאל לימין.
דוגמאות:
בצורת הכתיב המקובלת נכתבת הפעולה, ומשני צדיה המספרים שעליהם היא פועלת. כתיב שאינו מקובל בחיי היומיום הוא הכתיב הפולני, שבו נכתבת הפעולה ואחריה שני המספרים שעליהם היא פועלת. יתרונו של הכתיב הפולני בכך שאין צורך בו בכללי קדימות אופרטורים, ואין צורך בסוגריים.
תכונות הפעולות.
חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות).
הן החיבור והן הכפל מקיימים את תכונת האסוציאטיביות. פירוש הדבר הוא, עבור כל אחת מהפעולות, שאין חשיבות לסדר הפעלתן כאשר הן היחידות מסוגן וניתן לקבץ אותן בסוגריים בלי שהדבר ישפיע על התוצאה. כלומר, מתקיים:
חוק החילוף (קומוטטיביות).
הן החיבור והן הכפל מקיימים את תכונת הקומוטטיביות. פירוש הדבר הוא שכאשר מחברים או מכפילים שני מספרים, אין חשיבות לשאלה מי הראשון ומי השני. כלומר, מתקיים:
לעומת זאת, חיסור וחילוק אינן קומוטטיביות. כאשר מתרגמים את אופרטורי החילוק והחיסור לאופרטורי חיבור וכפל משנים את האופרנד השני, ולכן יש חשיבות לסדר האופרנדים. קל לראות זאת על ידי דוגמה:
חוק הפילוג (דיסטריבוטיביות).
החוק הקושר את פעולות החיבור והכפל הוא חוק הפילוג (החוק הדיסטריבוטיבי), הקובע שלכל שלושה מספרים formula_54 מתקיים ש formula_55.
פעולות החשבון בחיי היומיום.
פעולות החשבון הן פעולות מופשטות, המוגדרות על עצמים מופשטים - המספרים. חרף זאת, יש לפעולות החשבון שימושים רבים בחיי היומיום, כפי שיעידו הדוגמאות הבאות:
נשים לב למשותף חשוב לכל הדוגמאות הללו: בכולם הספירה נעשית באמצעות מספרים טבעיים (מספרים חיוביים ושלמים) - ואכן, לרוב יש משמעות אינטואיטיבית לפעולות החשבון רק כאשר הן עוסקות במספרים טבעיים, אם כי גם למספרים רציונליים יש מקום - למשל, תשלום יכול להיעשות בחלקי שקלים, ומינוס יכול לייצג חוב, כפי שמראה הדוגמה הבאה:
כלים לביצוע פעולות החשבון.
פעולות החשבון הן פעולות מופשטות על עצמים מופשטים, ולכן ניתן לבצע אותן במוח האדם. את הפעולות ניתן לבצע בחישוב בראש או להיעזר בכלי כתיבה לשם רישום הפעולות וביצוע הטכניקות המקובלות לשם קבלת התוצאה.
כלים ספציפיים לביצוע פעולות החשבון הם:
היסטוריה של סימני הפעולות.
על אף שכיום סימניהן של ארבע פעולות החשבון נראים מובנים ופשוטים, הם אינם עתיקים. הסימן המצרי לחיבור, למשל, הזכיר זוג רגליים שכוונו הוא ככיוון הטקסט (המצרים יכלו לכתוב גם משמאל לימין וגם מימין לשמאל), כאשר הכיוון ההפוך משמעו חיסור:
D54- או -D55
בתחילת המאה ה-15 השתמשו באירופה באותיות P עם קו מעליה ("p̄") ו M עם קו מעליה ("m̄") לסימון חיבור וחיסור. הסימנים הללו הופיעו בפעם הראשונה באסופה המתמטית של לוקה פאצ'ולי, "Summa de arithmetica" שכללה גאומטריה ופרופורציה ופורסמה לראשונה בוונציה ב-1494. בחיבורו ב-1489 התייחס יוהנס וידמן לסימנים – ו + כ"מינוס" ו"מר" - מילה שפרושה בגרמנית הוא "עוד".
רוברט רקורד, המעצב של הסימן "=", הציג את סימני הפלוס והמינוס לבריטים ב-1557 במשפט זה: "ישנם שני סימנים נפוצים נוספים, אשר הראשון נראה כך + ופירושו "עוד", והשני נראה כך: – ופירושו "פחות".