לפורמליזם ההמילטוניאני קיים יתרון לעיתים קרובות על פני הפורמליזם הלגנז'יאני, המוקדם יותר, כיוון שבמקרים רבים ההמילטוניאן שווה לאנרגיה של המערכת ולכן הוא מקנה הבנה פיזיקלית עמוקה יותר של המערכת. ניתן גם לקבל את ההמילטוניאן ללא תלות בהגדרת הלגראנז'יאן של המערכת.
שימוש בתרמודינמיקה.
במערכת סגורה ומבודדת מהסביבה (עם קירות אדיאבטיים – אינם מעבירים חום), התנאי לשיווי משקל במערכת הוא שהאנטרופיה מגיעה לערכה המקסימלי האפשרי בתנאי שהאנרגיה והנפח לא משתנים (החוק השני של התרמודינמיקה). בתנאים אלו, ומתוך התנאי לשיווי משקל, הטמפרטורה במערכת ניתנת על ידי formula_85 (כאשר formula_86) והיא חייבת להיות זהה בכל חלקי המערכת.
לעומת זאת, מערכת שבה קובעים את הטמפרטורה של המערכת ולא את האנרגיה הכוללת שלה היא קלה הרבה יותר למימוש בניסויים ולכן עולה הצורך למצוא את התנאי לשיווי משקל עבור מערכת כזו. אפשר לדמיין מערכת כזו כמערכת סגורה אך מצומדת לאמבט חום (בעזרת קירות דיאתרמיים – מעבירים חום) שמחייב אותה להגיע לטמפרטורה של האמבט (לדוגמה כוס תה מכוסה העומדת באוויר). באמבט הכוונה למערכת גדולה מאוד יחסית למערכת A כך שהחלפת אנרגיה עם המערכת A לא יכולה לגרום לשינוי טמפרטורה באמבט. המערכת הכוללת (אמבט + מערכת) היא מערכת סגורה ובמערכת כזו, מתוך הדרישה לשיווי משקל – מקסימום אנטרופיה (כוללת), חייב להתקיים שהטמפרטורה בכל המערכת שווה, לכן יתבצע מעבר חום בין המערכת לאמבט עד אשר הטמפרטורה תשתווה לזו של האמבט (וכוס התה תתקרר).
השאלה הנשאלת היא – במערכת כזו בה ידועה הטמפרטורה, כיצד נוכל לדעת למה שווים הפרמטרים האחרים של המערכת כאשר היא מגיעה לשיווי משקל? בצורה מדויקת השאלה היא זו: ידוע כיצד לנסח את התנאי לשיווי משקל עבור המערכת הכוללת כי ידוע שהאנטרופיה הכוללת (של המערכת המבודדת A+Bath) צריכה להגיע לערך מקסימלי, אבל היינו רוצים לנסח תנאי לשיווי משקל הכולל פרמטרים ידועים של המערכת בלבד (במקרה הזה הנפח והטמפרטורה) במערכת הלא מבודדת A.
באמצעות הקשר בין תנאי שיווי משקל לטרנספורם לז'נדר אפשר להראות שהתנאי של מקסימום האנטרופיה של המערכת הכוללת גורר את התנאי שהפונקציה formula_87 של המערכת formula_88 מגיעה למינימום, כאשר formula_89 היא: formula_90
יש לציין שנעשה כאן שימוש באנטרופיה חסרת יחידות formula_91 כיוון שכך הסימטריה בין הפונקציות להתמרות לז'נדר שלהן נראית באופן ברור. נראה שעבור פונקציה זו בדיוק מתקיים formula_92, באופן זהה למה שהפונקציות formula_93 ו־formula_94 קיימו במקרה של חלקיק יחיד.
הוכחה:
מצד אחד הדיפרנציאל השלם של המערכת הוא
formula_95
מצד שני, על פי הגדרת הדיפרנציאל השלם של פונקציה מרובת משתנים:
formula_96
מהשוואת מקדמים ניתן לראות כי
formula_97
לכן formula_98 היא אכן הפונקציה, שבמערכת עם formula_99 קבועים הנגזרת החלקית שלה ביחס ל־formula_100 נותנת את האנרגיה. זו בדיוק התכונה שצריכה לקיים הפונקציה שהיא התמרת לז'נדר של formula_101 ביחס למשתנה formula_102, ואכן, על פי הגדרת הטרנספורם,
formula_103
(כאשר הזהות formula_104 ידועה מהניתוח של מערכת מבודדת).
יש לציין שבתרמודינמיקה נהוג להשתמש בגודל בעל היחידות של אנרגיה formula_105 והוא נקרא האנרגיה החופשית של הלמהולץ (גם נחזיר את היחידות של formula_106):
formula_107
כאשר מעוניינים להציג את תנאי שיווי המשקל במערכת עם לחץ formula_108 וטמפרטורה formula_109 קבועים, ניתן לבצע התמרת לז'נדר של formula_110 גם ביחס ל־formula_94:
formula_112
formula_113
זו נקראת האנרגיה החופשית של גיבס.
כדי לקבל את פונקציית שיווי המשקל כתלות ב־formula_110 ו־formula_115 יש להתייחס ל־formula_110 כפרמטר בלתי תלוי ולכן יש לבצע את ההתמרה על formula_117 (במקום formula_101 שממנה התחלנו קודם). נבצע טרנספורם של formula_119 ביחס ל־formula_94:
formula_121
הגודל הנקרא אנתלפיה הוא
formula_122
הקשר בין תנאי שיווי משקל לטרנספורם לז'נדר.
ניתן להדגים די בפשטות מדוע טרנספורם לז'נדר אכן נותן את התנאי לשיווי משקל תחת התנאים השונים. להלן הוכחה לקשר זה עבור האנרגיה החופשית.
כל שנדרש להראות הוא, שבתנאים של טמפרטורה ונפח קבועים במערכת A, תנאי שיווי המשקל הדורש מקסימום אנטרופיה במערכת הכוללת (מערכת A +אמבט B), גורר את התנאי שהאנרגיה החופשית של הלמהולץ של המערכת A צריכה להגיע למינימום. נצא מנקודת הנחה שהמערכת הכוללת (A+B) נמצאת בשיווי משקל, כלומר האנרגיה הכוללת במערכת התחלקה בין המערכת A והאמבט B בצורה שממקסמת את האנטרופיה הכוללת (הטמפרטורות שוות). במילים אחרות, שינוי בחלוקת האנרגיה יכול רק לגרום לירידת האנטרופיה הכוללת. נראה שזה גורר עלייה באנרגיה החופשית של המערכת A:
formula_123
formula_124
formula_125
formula_126
formula_127 נגדיר
formula_128
טרנספורם לז'נדר
החכר השאל
ברנטון ריקארד
ברנטון ריקארד (באנגלית: Brenton Rickard, נולד ב-19 באוקטובר 1983) הוא שחיין אוסטרלי. אלוף עולם בעל 6 מדליות עולמיות, מהן 2 זהב, שיאן עולם לשעבר במשחה ל-100 מטר חזה ובעל 3 מדליות אולימפיות (2 כסף ו-1 ארד).
ביוגרפיה.
ריקארד נולד בבריזביין, קווינסלנד.
במשחקי חבר העמים שנערכו במלבורן, אוסטרליה בשנת 2006 זכה ריקארד ב-4 מדליות. מדליית זהב במשחה שליחים 4x100 מטר מעורב (3:34.37 דקות), מדליית כסף במשחה ל-200 מטר חזה (2:12.24 דקות) ומדליות ארד במשחה ל-50 מטר חזה (28.14 שניות) ובמשחה ל-100 מטר חזה (1:01.17 דקות).
באליפות העולם בשחייה שנערכה במלבורן, אוסטרליה בשנת 2007 זכה ריקארד ב-3 מדליות. מדליית זהב במשחה שליחים 4x100 מטר מעורב בתוצאה של 3:34.93 דקות, לפני יפן (3:35.16 דקות) ורוסיה (3:35.51 דקות), מדליית כסף במשחה ל-200 מטר חזה בתוצאה של 2:10.99 דקות, אחרי קוסוקה קיטאג'ימה מיפן (2:09.80 דקות) ולפני לוריס פאצ'י מאיטליה 2:11.03 דקות ומדליית ארד במשחה ל-100 מטר חזה 1:00.58 דקות, אחרי ברנדן הנסן מארצות הברית (59.80 שניות) וקיטאג'ימה (59.96 שניות).
באולימפיאדת בייג'ינג (2008) זכה ריקארד בשתי מדליות כסף, במשחה ל-200 מטר חזה בתוצאה של 2:08.88 דקות, אחרי קיטאג'ימה שקבע שיא אולימפי חדש (2:07.64 דקות) ולפני הוג דובוסק מצרפת (2:08.94 דקות) ובמשחה שליחים 4x100 מטר מעורב בתוצאה של 3:30.04 דקות, אחרי ארצות הברית שקבעה שיא עולם חדש (3:29.34 דקות) ולפני יפן (3:31.18 דקות). בנוסף, הוא סיים במקום ה-5 במשחה ל-100 מטר חזה בתוצאה של 59.74 שניות, המנצח במשחה זה היה קיטאג'ימה שקבע שיא עולם חדש (58.91 שניות). בשלב חצי הגמר קבע ריקארד תוצאה של (59.65 שניות).
אלוף ושיאן עולם.
באליפות העולם בשחייה שנערכה ברומא, איטליה בשנת 2009 זכה ריקארד בשתי מדליות, זהב וארד. מדליית זהב במשחה ל-100 מטר חזה בשיא עולם חדש בתוצאה של 58.58 שניות, שיפור לשיאו של קיטאג'ימה שניקבע בבייג'ינג (58.91 שניות), שני דובוסק (58.64 שניות) ושלישי קמרון ואן דר בורג מדרום אפריקה (58.95 שניות) ומדליית ארד במשחה שליחים 4x100 מטר מעורב בתוצאה של 3:28.64 דקות, אחרי ארצות הברית שקבעה שיא עולם חדש של 3:27.28 דקות וגרמניה (3:28.58 דקות). נוסף לכך, הוא סיים במקום רביעי במשחה ל-50 מטר חזה בתוצאה של 26.95 שניות ובמקום חמישי במשחה ל-200 מטר חזה בתוצאה של 2:08.23 דקות.
באליפות העולם בשחייה שנערכה בשאנגחאי, סין בשנת 2011 זכה ריקארד במדליית כסף במשחה שליחים 4x100 מטר מעורב בתוצאה של 3:32.26 דקות, אחרי ארצות הברית (3:32.06 דקות) ולפני גרמניה (3:32.60 דקות). נוסף לכך, הוא סיים במקום חמישי במשחה ל-100 מטר חזה בתוצאה של 1:00.11 דקות, במקום 13 במשחה ל-50 מטר חזה בתוצאה של 27.80 שניות ובמקום 21 במשחה ל-200 מטר חזה בתוצאה של 2:13.51 דקות.
באולימפיאדת לונדון (2012) זכה ריקארד במדליית זהב במשחה שליחים 4x100 מטר מעורב לאחר ששחה בשלב המוקדמות. נוסף לכך, הוא סיים במקום השישי במשחה 100 מטר חזה בתוצאה 59.87 שניות. באותו הגמר שבר קמרון ואן דר בורג את שיאו העולמי ובמקום שביעי במשחה ל-200 מטר חזה בתוצאה של 2:09.28 דקות.
באליפות העולם שנערכה בברצלונה שבספרד בשנת 2013 סיים ריקארד במקום 17 במשחה ל-100 מטר חזה בתוצאה של 1:00.52 דקות ובמקום 20 במשחה ל-50 מטר חזה בתוצאה של 27.66 שניות.
אתר 144
בנקס (אי)
האי בנקס (באנגלית: Banks Island) הוא אחד האיים הגדולים בארכיפלג הארקטי הקנדי והוא האי ה-24 בגודלו בעולם. האי ממוקם במחוז אינוביק (Inuvik Region) שבטריטוריות הצפון-מערביות, קנדה. האי מופרד מהאי הסמוך לו, אי ויקטוריה, על ידי מצר הנסיך מוויילס שנמצא ממזרח לאי, ומהיבשה על ידי מפרץ אמונדסון שנמצא מדרום לו. ים בופור משתרע ממערב לאי. מצפון מזרח מפריד מצר מקקלור את האי מאי הנסיך פטריק ומהאי מלוויל.
גאוגרפיה.
שמו של האי ניתן לו ב-1820 על ידי סר ויליאם פרי לכבודו של ג'וזף בנקס. אולם בין השנים 1850-1854, כאשר נחקר האזור בידי רוברט מקקלור, הוא סומן על המפות כאי ברינג.
יישוב הקבע היחיד על האי הוא סאקס הארבור (Sachs Harbour) הקרוי "איחואק" (Ikhuak) בלשון המקומיים ההאִינוּוִיאַלוּיִטים (תת קבוצה של האינואיטים). היישוב נמצא בחוף הדרום מערבי של האי ונכון לשנת 2006 התגוררו בו 122 תושבים. האי חשוף וללא עצים. הצמח הגבוה ביותר במקום הוא הערבה הארקטית, שלעיתים מגיעה לגובה של ברך אדם, אולם לרוב גובהה כ-10 סנטימטרים.