עם פרוץ מלחמת העולם הראשונה מונה לתפקיד ראש מחלקת מבצעים במטה הכללי הבולגרי וב-30 באוגוסט 1916 עם מותו של מאיור-גנרל קונסטנטין ז'וסטוב התמנה לראש המטה הכללי הבולגרי. ב-22 באפריל 1917 הרכיבו הגרמנים את "קבוצת הארמיות שולץ", כוח בפיקודו של הגנרל פרידריך פון שולץ שנועד ליישם מדיניות מתואמת מטעם מעצמות המרכז בחזית המקדונית והורכב מהארמייה ה-11 הגרמנית ו-7 אוגדות בולגריות בגיבוי פיקודי של קציני מטה גרמנים ואוסטרו-הונגרים. לכוח צורפה גם הארמייה ה-2 הבולגרית, אך היא נותרה תחת פיקוד עצמאי בהתאם לבקשתו של ניקולה ז'קוב מפקד החזית הבולגרי. היחסים בין הגרמנים לבולגרים היו מעורערים בתקופה זו ולוקוב מקורבו של ז'קוב מונה לפקד על הארמייה ה-2 והונחה לדווח לז'קוב אישית על התנהלות העניינים בחזית.
בספטמבר 1918 פתחו כוחות מדינות ההסכמה, בפיקודו של הגנרל לואי פראנשה ד'אספרה במתקפה לאורך עמק הוארדאר שהובילה לקריסת הצבא הבולגרי. לוקוב ביקש בשם צבא ממלכת בולגריה שביתת נשק ומאוחר יותר היה חבר בצוות המשא ומתן לקביעת תנאי שביתת הנשק של סלוניקי.
שלהי הקריירה ואחריתו.
לאחר המלחמה מונה על ידי ראש הממשלה אלכסנדר סטמבוליסקי להיות אחד מנציגי המשלחת הבולגרית לועידת השלום בפריז (1919), במסגרתה סוכמו תנאי חוזה ניי. במסגרת חוזה ניי צומצם מאוד היקפו של הצבא הבולגרי וב-1 בינואר 1920 נאלץ לוקוב לסיים את שירותו הצבאי. לוקוב היה יושב ראש איגוד קציני המילואים, נודע כפעיל חברתי ולוחם למען זכויות האדם בממלכה.
איוואן לוקוב הלך לעולמו באפריל 1926 והוא בן 54 שנים.
חור שחור (ניתוח מתמטי)
בתורת היחסות הכללית, חור שחור הוא פתרון של משוואות איינשטיין בריק. משוואות איינשטיין הן משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות את הקשר בין המרחב-זמן לצפיפות האנרגיה בכל נקודה. כדי לקבל חור שחור מניחים ריק בכל המרחב, כלומר טנזור צפיפות האנרגיה שווה ל-0 בכל נקודה, מלבד בראשית הצירים (מרכז החור השחור).
הפתרון מכיל קבועים וסוגי סינגולריות שונים, שאותם מזהים כמסה של החור השחור, סינגולריות אמיתית ואופק אירועים, בהתאם לתנאי השפה של המשוואות:
מניחים סימטריה כדורית עבור חור שחור פשוט, או סימטריה גלילית עבור חור שחור מסתובב. בנוסף כתנאי שפה משווים את הכבידה רחוק מהגוף השחור לכבידה במכניקה הקלאסית.
הפתרון עבור סימטריה כדורית (חור שחור לא מסתובב) נקרא פתרון שוורצשילד (על שם קרל שוורצשילד), והוא מכיל רדיוס שבו הקואורדינטות מתבדרות. זהו רדיוס שוורצשילד הנקרא גם אופק האירועים של החור השחור, הוא יחסי למסת הכוכב, ועצמים ואינפורמציה אינם יכולים לצאת ממנו. עצם שרדיוסו קטן מרדיוס אופק האירועים שמתאים למסה שלו הוא חור שחור. זו אינה סינגולריות אמיתית אלא רק סינגולריות של הקואורדינטות החיצוניות, שכן עקמומיות המרחב באופק האירועים סופית. במרכז החור השחור נמצאת סינגולריות נקודתית, שבה עקמומיות המרחב אינסופית. סוג אחד של פתרון המשוואות (קואורדינטות שוורצשילד) מכיל בנוסף אזור תאורטי שנקרא חור לבן, שממנו חומר יכול רק לצאת ולא להיכנס אליו.
חור שחור מסתובב (בעל סימטריה גלילית) נקרא חור שחור מסוג קרֶ (Kerr). הוא מכיל בנוסף לאופק האירועים אזור הנקרא ארגוספירה, מחוץ ובסמוך לאופק האירועים, שבו כל עצם חייב להסתובב סביב החור השחור, שכן אין פתרון נייח למרחב-זמן, וצופה קבוע במקום ונע רק קדימה בזמן נמצא מחוץ לקונוס האור.
במרכז חור שחור מסוג קר נמצאת סינגולריות טבעתית. פתרון המשוואות באזור הסינגולריות מאפשר באופן תאורטי מסע בזמן.
פתרונות נוספים מתחשבים במטען חשמלי שיכול להיות לחור השחור.
מבחינת הפיזיקה הפתרון של המשוואות בתוך אופק האירועים אינו ניתן לתצפית ולאימות, ולכן הוא בגדר השערה מתמטית בלבד. השערת הצנזורה הקוסמית קובעת שכל סינגולריות עטופה באופק אירועים כך שלא ניתן להגיע אליה בזמן סופי של צופה מבחוץ. כך גם הסינגולריות המשוערת במרכז החור השחור ושאר התופעות אשר נחזות על ידי המשוואות, כמו האפשרות למסע בזמן או חור לבן, הן תאורטיות בלבד. חורים לבנים לא נצפו מעולם, בניגוד לחורים שחורים.
הקדמה.
משוואות איינשטיין.
משוואת איינשטיין הכללית, ללא הקבוע הקוסמולוגי, מקשרת בין טנזור האנרגיה למטריקה, כלומר מתארת את ההשפעה ההדדית של מסה-אנרגיה ועקמומיות המרחב-זמן (ללא הקבוע הקוסמולוגי):
כאשר: formula_2 - קבוע הכבידה, formula_3 - מהירות האור, formula_4 - טנזור המטריקה, formula_5 - טנזור צפיפות האנרגיה, ו-formula_6 - סקלר וטנזור ריצ'י (עקמומיות המרחב).
בהמשך נעשה בהמשך שימוש ביחידות טבעיות:
אשר מצמצמות מאוד את מרבית המשוואות. משוואות איינשטיין ביחידות טבעיות הן
נצמצם את המשוואה באמצעות טנזור איינשטיין:
כך שהמשוואה מקבלת את הצורה:
פתרון המשוואות הוא המטריקה של המרחב, כלומר formula_11. נהוג לכתוב אותה בעזרת אלמנט הקו formula_12, שהוא אלמנט אורך יחידה בריבוע, או הזמן העצמי של הצופה, וכאמור מגדיר את המטריקה של המרחב-זמן.
טנזור העקמומיות וטנזור ריצ'י.
טנזור העקמומיות של רימן מודד את השינוי בווקטור במרחב-זמן לאחר העתקה מקבילה במסלול סגור. זהו הגודל הפיזיקלי שמציין את עקמומיות המרחב. פיתוח הטנזור מיוחס לברנהרד רימן ולאלווין ברונו כריסטופל (Elwin Bruno Christoffel). הטנזור נכתב כ:
כאשר formula_14 הם סימני כריסטופל (נקראים גם קישורים אפיניים):
במרחב-זמן שטוח, וקטור אינו משתנה לאחר העתקה מקבילה, ולכן טנזור רימן מתאפס בכל מערכת ייחוס.
טנזור ריצ'י formula_16 וסקלר ריצ'י formula_17 נגזרים מתוך טנזור רימן באמצעות צמצום הקואורדינטות:
פתרון שוורצשילד.
פתרון שוורצשילד של משוואות איינשטיין הוא המטריקה עבור חור שחור בעל "מסה" formula_20 שאינו מסתובב ואינו טעון (פיתוח הפתרון מוצג בהמשך):
כאשר G הוא קבוע הכבידה האוניברסלי, c היא מהירות האור בריק, formula_22 הוא הזמן העצמי של המרחב, חתימת המטריקה מוגדרת לפי (1,1,1,1-), ו-formula_23 הן קואורדינטות במרחב (r במקרה הזה מוגדר באופן מיוחד, כפי שמוסבר בהמשך).
ביחידות טבעיות, בהן c=G=1, מצטמצם הפתרון לצורה
מטריקת שוורצשילד מהווה פתרון של משוואת איינשטיין במסגרת תורת היחסות הכללית. היא מתארת את מבנה המרחב-זמן מסביב לעצם בעל סימטריה כדורית. את מטריקת שוורצשילד ניתן לרשום בעזרת הגדרת אלמנט הקו:
כאשר formula_25 הוא אלמנט של זווית מרחבית.
ניתן לראות בפתרון סינגולריות (מטריקה שווה לאפס או מתבדרת לאינסוף) כאשר
רדיוס זה נקרא רדיוס שוורצשילד, והוא אופק האירועים של החור השחור.
הגדרה פורמלית.
חור שחור הוא פתרון משוואות איינשטיין בוואקום (בכל נקודה מלבד r=0), סטטי, ספרי-סימטרי, אשר ברדיוס גדול שואף לפוטנציאל הניוטוני: formula_27.
סטטיות היא דרישה חזקה יותר. המרחב-זמן הוא סטטי אם הוא מאפשר וקטור קילינג דמוי זמן ואורתוגונלי, או באופן שקול אם המטריקה קבועה בזמן וסימטרית להיפוך הזמן. במקרה זה וקטור קילינג יכול להכתב כ-formula_30, ואלמנט הקו הוא
כאשר הרדיוס אינו תואם לרדיוס במרחב אוקלידי: היקף של ספירה הוא formula_33 ואנו נגדיר formula_34. כך יוצא שהיקף מעגל שווה ל-formula_35 אך ה"רדיוס" הזה אינו קשור כלל למרחק מראשית הצירים (לדוגמה, המרחק מהראשית יכול להיות אינסופי עבור "רדיוס" סופי).
בנוסף, עקב הסטציונריות והסימטריה, formula_36 תלויים רק ברדיוס. המטריקה כעת נכתבת
פיתוח.
סימני כריסטופל.
מתוך המטריקה נחשב את סימני כריסטופל, כפי שהוגדרו למעלה. הסימן formula_38 מייצג נגזרת מלאה של פונקציה לפי formula_39.
משוואות איינשטיין.
בעזרת סימני כריסטופל נחשב את טנזור ריצ'י, כפי שהוגדר למעלה. הטנזור אלכסוני, ורק איברי האלכסון הראשי שונים מ-0.
נחשב את סקלר ריצ'י,
כעת נוכל לכתוב את משוואות איינשטיין, כאשר גם בהן הטנזור formula_50 אלכסוני, ורק איברי האלכסון הראשי אינם טריוויאליים:
ולכן
פתרון המשוואות.
אם נכפיל את המשוואה הראשונה (formula_56) ב-formula_57 ואת השנייה (formula_58) ב-formula_59, ונחבר, נקבל את המשוואה
ובאמצעות אינטגרציה על formula_39
כאשר formula_63 הוא קבוע אינטגרציה בלתי ידוע בשלב זה.
באמצעות שתי המשוואות האחרונות אשר קושרות את formula_64 ונגזרותיהם נוכל לכתוב את המשוואה השלישית (formula_65) באמצעות formula_66 בלבד
שפתרונה (באמצעות שתי אינטגרציות) הוא
כאשר formula_69 הם שני קבועי אינטגרציה, ונקבל גם
כדי לחשב את שלושת קבועי האינטגרציה, נניח שהשפעת החור השחור על מרחקים גדולים מאוד ממנו שואף לגבול של המכניקה הניוטונית, כלומר
ובאינסוף המטריקה היא שטוחה, כלומר
ולכן
וכך מקבלים לבסוף את פתרון שוורצשילד למטריקה של חור שחור
מרסלו סלאס
האוניברסיטה של לונדון
פילו מלאריסה
פוקרה
La Linea
Jews for Jesus
אקינטור
אקינטור (Akinator) הוא גרסת אינטרנט, אנדרואיד ואייפון של המשחק "נעלמים". המשחק מנסה, באמצעות שאלות, "לנחש" איזו דמות נבחרה.
משחקיות.