לדוגמה, האנרגיה הפוטנציאלית של כוח רדיאלי שגודלו קטן באופן ריבועי, כלומר כוח מהצורה formula_9 - היא formula_10. כוח הכבידה והכוח החשמלי הם כוחות כאלה. במקרה כזה, מערכת הייחוס לרוב נבחרת כך שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת כאשר העתק הגוף הוא אינסוף.
שיווי משקל.
בנקודת קיצון של האנרגיה הפוטנציאלית כתלות במקום, הכוח מתאפס והמערכת נמצאת בשיווי משקל מכני. סביב נקודות מינימום הכוח פועל בכיוון נקודת המינימום ולכן הוא נקרא כוח מחזיר, ונקודת המינימום מהווה שיווי משקל יציב. גם בנקודות מקסימום הכוח מתאפס, אולם סביב נקודות מקסימום הכוח פועל בכיוון המנוגד אליהן ולכן נקודות מקסימום מהוות שיווי משקל רופף.
האנרגיה הפוטנציאלית של מתנד הרמוני במימד אחד - מערכת הפועלת בהשפעת כוח מחזיר מהצורה formula_11 - היא formula_12, כאשר x הוא ההעתק מנקודת שיווי המשקל של המערכת.
סוגי אנרגיה פוטנציאלית.
אנרגיה כבידתית.
אנרגיה כבידתית היא האנרגיה הפוטנציאלית שנובעת מכוח הכבידה:
כאשר G הוא קבוע הכבידה ו-formula_14 המסות שביניהן פועל הכוח.
אנרגיה בשדה כבידה אחיד היא האנרגיה הפוטנציאלית של מסה m בשדה כבידה אחיד, כמו גוף הנע בהשפעת כוח הכובד בקירוב של גבהים קטנים ביחס לרדיוס כדור הארץ:
כאשר g תאוצת הכובד ו-h הגובה מעל נקודת ייחוס כלשהי (לדוגמה הגובה מעל פני האדמה). את נקודת הייחוס ניתן לבחור באופן שרירותי, שכן תוספת קבוע כלשהו אינה משנה את הפרש האנרגיות, שהוא הגודל הרלוונטי במרבית הבעיות. הכוח הנובע מהאנרגיה זו הוא F=mg והוא גורם להאצת הגוף כלפי מטה בתאוצת הנפילה החופשית תוך המרת האנרגיה הפוטנציאלית לאנרגיה קינטית. אנרגיה כבידתית יכולה לשמש בתור אנרגיה הידרואלקטרית לייצור חשמל בתחנת כוח הידרואלקטרית.
אנרגיה פוטנציאלית אפקטיבית משמשת לתיאור מערכת בקואורדינטות קוטביות כמו בעיה דו-גופית. גודל זה מכיל הן את האנרגיה הכבידתי ובנוסף לה רכיב של האנרגיה הקינטית התלוי בהעתק. אנרגיה פוטנציאלית אפקטיבית שימושית במיוחד בחישובי מסלולים ובעיות פיזור במכניקה אנליטית.
אנרגיה אלסטית.
אנרגיה אלסטית היא אנרגיה פוטנציאלית שמקורה בכוחות חשמליים פנימיים שבין חלקיקי מוצק. האנרגיה האגורה בקפיץ אידיאלי, לפי חוק הוק, היא זו של הכוח F=-kx:
תנועה בהשפעת אנרגיה פוטנציאלית כזו נקראת תנועה הרמונית פשוטה.
אנרגיה חשמלית.
אנרגיה חשמלית היא אנרגיה פוטנציאלית שנובעת מכוחות הנגרמים על ידי מטענים חשמליים (ראו גם מתח חשמלי).
אנרגיה פוטנציאלית אלקטרוסטטית היא האנרגיה הפוטנציאלית של מטענים במנוחה, הנובעת מחוק קולון. האנרגיה הפוטנציאלית האלקטרוסטטית של זוג מטענים נקודתיים היא:
כאשר formula_19 הוא המקדם הדיאלקטרי של הריק ו-r המרחק בין המטענים. פוטנציאל חשמלי הוא האנרגיה האלקטרוסטטית של יחידת מטען במערכת. שדה חשמלי הוא כוח חשמלי ליחידת מטען, ולכן הקשר בין פוטנציאל חשמלי ושדה חשמלי דומה לקשר בין אנרגיה פוטנציאלית וכוח.
אנרגיה פוטנציאלית אלקטרודינמית (או אנרגיה אלקטרומגנטית) היא אנרגיה פוטנציאלית שנובעת מכוח לורנץ - הכוח שפועל על מטען חשמלי בהשפעת שדה חשמלי ושדה מגנטי. ניתן לייחס את האנרגיה האלקטרומגנטית ישירות לשדה האלקטרומגנטי:
כאשר formula_21 הוא המקדם הדיאלקטרי של התווך, formula_22 השדה החשמלי, formula_23 המקדם המגנטי של התווך, formula_24 השדה המגנטי והאינטגרל הוא על כל המרחב.
שטף האנרגיה האלקטרומגנטית מתואר על ידי וקטור פוינטינג, והוא שימושי במיוחד לתיאור קרינה אלקטרומגנטית. ניתן להמיר את אנרגיית האור לצורות אנרגיה אחרות: בבליעת אור היא מומרת לאנרגיית חום, בפוטוסינתזה לאנרגיה כימית, ובתא פוטו-וולטאי לאנרגיה פוטנציאלית אלקטרוסטטית.
אנרגיה כימית.
אנרגיה כימית היא אנרגיה פוטנציאלית חשמלית שאגורה בקשרים כימיים שבין אטומים במולקולות או בקשרים בין מולקולריים. אנרגיה כימית הופכת לצורות אחרות של אנרגיה בתגובה כימית, כמו בעירה, פוטוסינתזה ואלקטרוכימיה.
אנרגיה גרעינית.
אנרגיה גרעינית היא אנרגיה פוטנציאלית שאגורה בחלקיקים שבגרעין האטום. היא נובעת מהכוח הגרעיני ומהכוח הגרעיני החלש. האנרגיה הגרעינית יכולה להשתחרר בביקוע גרעיני, בהיתוך גרעיני או בהתפרקות רדיואקטיבית.
דגל גרמניה
דגל גרמניה (גרמנית: Flagge Deutschlands) הוא טריקולור אופקי, המורכב משלושה פסים אופקיים ושווים בצבעיה הלאומיים של גרמניה: שחור, אדום וזהב.
הטריקולור הגרמני הופיע לראשונה בראשית המאה ה-19 וצבר פופולריות במהלך מהפכת 1848. האספה הלאומית של פרנקפורט קצרת היומין (1848–1850) הציעה דגל זה כדגל גרמניה המאוחדת והדמוקרטית. עם הקמתה של רפובליקת ויימאר לאחר מלחמת העולם הראשונה אומץ הטריקולור כדגלה הלאומי של הרפובליקה. לאחר מלחמת העולם השנייה אומץ הדגל מחדש הן כדגל גרמניה המערבית והן של זו המזרחית. שני הדגלים היו זהים עד לשנת 1959 אז הוטען דגל גרמניה המזרחית בסמל המדינה. מאז איחוד גרמניה ב-3 באוקטובר 1990 נותר הטריקולור כדגל המדינה המאוחדת.
הדגל הגרמני לא תמיד היה בצבעי השחור-אדום-זהב. לאחר מלחמת שבעת השבועות בשנת 1866 אימצה הקונפדרציה הצפון-גרמנית אשר הייתה תחת שלטון פרוסי טריקולור שחור-לבן-אדום כדגלה הלאומי, דגל אשר הפך לדגלה של הקיסרות הגרמנית לאחר איחודה של גרמניה בשנת 1871 והונף עד 1918. עם הקמתה של גרמניה הנאצית בשנת 1933 חזרו צבעי השחור-לבן-אדום לשמש כצבעיה הלאומיים של גרמניה.
לסידור הצבעים שחור-אדום-זהב ושחור-לבן-אדום היה תפקיד מפתח בהיסטוריה של גרמניה ולהם היו פירושים רבים. צבעי הדגל המודרני משויכים למשטר הרפובליקני-דמוקרטי אשר הוקם לאחר מלחמת העולם השנייה ומייצגים את האחדות הגרמנית, והחירות. לא רק חירותה של המדינה הגרמנית אלה גם את חרותו האישית של הפרט הגרמני.
עיצובו של הדגל.
חוק היסוד של הרפובליקה הפדרלית של גרמניה - החוקה הגרמנית - סעיף 22 מציין כי: ובעקבות פירוט של ממשלת מערב גרמניה משנת 1950 נקבע כי הדגל יהיה מורכב משלושה פסים אופקיים מקבילים ושווים ברוחבם ויחס גובהו של הדגל לרוחבו יהיה 3:5; לשם ההשוואה, הטריקולור אשר שימש את רפובליקת ויימאר היה ביחס של 2:3.
הצבעים המדויקים שבהם צבוע הדגל הגרמני לא היו מפורטים רשמית כאשר אימצו את הדגל, והם השתנו מעט לאחר מכן. הקבינט הגרמני הפדרלי פרסם בשם ממשלת גרמניה ב-2 ביוני 1999 את העיצוב הרשמי המפרט את הצבעים המדויקים לדגל הגרמני:
זהב לעומת צהוב.
הווקסילולוגיה מבדילה לעיתים רחוקות בין צבעי הזהב והצהוב ובהרלדיקה, שני הצבעים מצוינים כאור, אך בעבור הדגל הגרמני הצבע המדויק הוא זהב ולא צהוב.
כאשר אומץ הטריקולור השחור-אדום-זהב בידי רפובליקת ויימאר כדגלה הלאומי, זכה הדגל להתקפות חוזרות ונשנות מצידם של תומכי המלוכה, שמרנים ואנשי הימין הקיצוני אשר כינו את הדגל בכינויי גנאי שונים כגון "Schwarz-Rot-Senf" (שחור-אדום-חרדל), "Schwarz-Rot-Gelb" (שחור-אדום-צהוב) ואף "Schwarz-Rot-Scheiße" (שחור-אדום-צואה). כאשר עלו הנאצים לשלטון בשנת 1933, הדגל השחור-לבן-אדום של טרום 1918 הוחזר לשימוש במהירות והחליף את הדגל השחור-אדום-זהב ומכונת התעמולה הנאצית המשיכה לכנותו כפי שעשו זאת המלוכנים קודם לכן.
ב-16 בנובמבר 1959, ציין בית המשפט הפדרלי של גרמניה כי השימוש במינוח שחור-אדום-צהוב ודומיו דומה ל ונחשב לפוגעני. את העניין סיכם ההרלד ארנולד ראבוב בשנת 1968 כי "הצבעים הגרמניים הם שחור-אדום-צהוב אך הם נקראים שחור-אדום-זהב".
היסטוריה.
ימי הביניים.
לאימפריה הרומית הקדושה אשר התקיימה בין המאה ה-10 ועד לשנת 1806 לא היה דגל לאומי אלא הצבעים שחור וזהב שימשו כצבעי הקיסר והופיעו בנס המלכותי של הקיסר: עיט שחור על רקע זהב. עיצובו של הנס שונה מעט בסוף המאה ה-13 או בתחילת המאה ה-14 כאשר מקור העיט וטלפיו נצבעו באדום. מתחילת המאה ה-15 הפך העיט לדו-ראשי.
בשנת 1804 הכריז נפוליאון בונפרטה על כינונה של הקיסרות הצרפתית הראשונה. בתגובה לכך הכריז קיסר האימפריה הרומית הקדושה פרנץ השני משושלת הבסבורג על נחלתו כאימפריה האוסטרית ומעתה נקרא פרנץ הראשון מאוסטריה. צבעי הדגל של האימפריה האוסטרית נלקחו מצבעי הנס האימפריאלי של הקיסרות. לאחר קריסתה של הקיסרות בשנת 1806 נותרו הצבעים צבעי הדגל האוסטרי עד 1918.
גם צבעי האדום והלבן היו משמעותיים באותה התקופה. כאשר השתתפה האימפריה הרומית הקדושה במסעי הצלב, דגל קרב הונף לצד הנס האימפריאלי השחור-צהוב. דגל זה, הידוע בשם צלב גאורגיוס הקדוש היה צלב לבן על רקע אדום - הצבעים ההופכיים אשר בשימוש בדגל אנגליה. אדום והלבן שימשו גם כצבעי ברית ערי הנזה (המאה ה-13 עד המאה ה-17). על ספינות הסוחר ההנזיות הונפו דגלים בצבעי אדום לבן כאמצעי זיהוי ורוב ערי הברית אימצו את הצבעים הללו כצבעי העיר, השימוש בצבעים אלו נמשך גם כיום (כדוגמת העיר המבורג).
מלחמות נפוליאון.
עם התמוטטותה של האימפריה הרומית הקדושה בשנת 1806 מצאו עצמם רבים מדוכסיה ומנסיכיה מצטרפים לקונפדרציה של הריין, ברית מדינות-חסות של הקיסרות של נפוליאון. לקונפדרציה לא היה דגל משלה; ובמקומו היא הניפה את הדגל הכחול-לבן-אדום הצרפתי ואת הנס האימפריאלי של ה"מגן" שלה - נפוליאון.