במשך עשר שנים פיתח איינשטיין את המשוואות הללו. הוא טבע את המונח "מרחב עקום" או "עקמומיות המרחב", שזו באה לתאר את המשיכה. בעצם – המרחב במעלית המואצת "התעקם" לדברי איינשטיין, ולכן ראינו את קרן האור בצורה פרבולית או קשתית. הוא השליך את המסקנות הללו לכבידה, וקבע כי בקרבת מסה (או ליתר דיוק בקרבת מסה, אנרגיה ולחץ) המרחב מתעקם. קשה לדמות בנפשנו מרחב עקום, אולם גם כאן הציע איינשטיין רעיון (ראה ציור בהמשך). הוא תיאר יריעת גומי מתוחה, שעליה מונחים גולות וכדורים בכל מיני גדלים. ככל שכדור יהיה כבד יותר, כך השקערורית שהוא ייצור ביריעת הגומי תהיה גדולה יותר, וכך גולה קטנה שתעבור בקרבת מקום תיפול אל תוך השקערורית ממרחק רב יותר. זהו תיאור של הכבידה. אך ככל שמסה היא גדולה יותר, כך היא מעקמת את המרחב באופן בוטה יותר, וגופיפים קטנים העוברים לידה יפלו מהר יותר אל ה"שקערורית" שהיא יוצרת במרחב. בעצם – כאשר אנו עומדים על כדור הארץ, אנחנו נופלים אל תוך השקערורית שהוא יוצר במרחב. יש לזכור כי זוהי המחשה נוחה, אך לא מלאה: היריעה דו ממדית, והמרחב-זמן הוא ארבע ממדי – העיקום במציאות מתבצע במרחב-זמן כולו. כמו כן, בהמחשה הגורם לנפילה אל השקערורית הוא כוח המשיכה החיצוני של כדור הארץ, ואילו במציאות העיקום עצמו הוא כוח המשיכה.
תורת היחסות הכללית כחלק מהתאוריה של הכל.
בתורה זו בונה איינשטיין את השקילות שבין שדה כבידה לתאוצה ואת זה לעקמומיות במרחב, כלומר – כוח שווה גאומטריה. יתרה מכך, במשוואת איינשטיין המפורסמת נקבע כיצד משתנה העקמומיות המרחב בנקודה בהתאם לצפיפות המסה-אנרגיה בה.
משוואות התנועה הקו-ואריאנטיות הכלליות.
הקדמה מתמטית – חשבון טנזורים.
אתגר חשוב בניסוח תורת היחסות הכללית היה ניסוח משוואות תנועה קו-ואריאנטיות כלליות (כלומר: משוואות תנועה המקיימות את עקרון הקו-ואריאנטיות הכללי) בנוכחות כבידה. לשם כך השתמש איינשטיין בתחום חדשני באותה עת במתמטיקה הנקרא חשבון טנזורים ומתבסס על גדלים גאומטריים מופשטים, שניתן לייצגם באמצעות מערכים רב-ממדיים הנקראים טנזורים, שמשתנים בצורה מיוחדת תחת התמרת קואורדינטות. הסקלר, הוקטור והמטריצה הם מקרים פרטיים של טנזור. למעשה, הטנזור עצמו הוא אינווריאנטי ומה שמשתנה הם הרכיבים שלו כתלות במערכת הייחוס (הבסיס האלגברי-מתמטי) בו אנו מתארים אותם.
ביחסות כללית, טנזור מיוצג כמערך רב-ממדי עם מספר (טבעי) כלשהו של אינדקסים, העובר התמרת קואורדינטות (שינוי מערכת ייחוס) מ x ל 'x באופן הבא
הגודל השמאלי נקרא "טנזור קונטרה-וריאנטי" ואילו הימני נקרא "טנזור קו-ואריאנטי".
ההכללה למספר אינדקסים היא מיידית, למשל:
ראו גם: הסכם הסכימה של איינשטיין.
משוואות התנועה בהשפעת גרביטציה.
במרחב שטוח, מערכת ייחוס אינרציאלית formula_4 וללא כבידה מתקיימת משוואת התנועה של חלקיק חופשי:
כאשר כאן formula_6 היא המטריקה הלורנציאנית השטוחה של תורת היחסות הפרטית.
אנו רוצים להכליל נוסחה זאת בנוכחות כבידה. את ההכללה אפשר להסיק באופן מתמטי מחשבון טנזורים ואנליזה על יריעות באמצעות שימוש בהגדרה מכלילה של גאודיזה או טרנספורט מקבילי של הווקטור המשיק למסלול התנועה של החלקיק (וקטור זה הוא המהירות). אפשר להסיק אותן גם באופן פיזיקלי מעקרון השקילות או מוואריאציה על הפעולה של יחסות כללית (ראו: עקרון הפעולה של המילטון). פירוש המשוואה הוא שהחלקיק/גוף נע לאורך גאודזה במרחב (במקרה של מרחב שטוח הגאודזה היא קו ישר).
בהינתן המטריקה formula_7 של המרחב, משוואת התנועה במרחב כלשהו תחת השפעת כבידה היא
כאשר
נקרא "סמל כריסטופל" והוא מקרה פרטי של קשר אפיני, גודל שאיננו טנזור המופיע באנליזה של מרחבים עקומים וקשור להגדרת נגזרת קו-ואריאנטית. סמל כריסטופל מייצג למעשה את שדה הכבידה ומאחר שהוא מורכב מנגזרות של המטריקה g עולה שבעצם המטריקה מייצגת את פוטנציאל הכבידה. עלינו לזכור שלמטריקה יש משמעות גאומטרית ללא תלות בפיזיקה: היא (או ליתר דיוק, נגזרותיה השניות) בעצם קובעת את עקמומיות המרחב.
למעשה, את המשוואה האחרונה אפשר לנסח באופן כללי יותר, אם במקום לגזור לפי הזמן העצמי גוזרים לפי הפרמטר האפיני formula_10, ואז מקבלים את המשוואה במונחי תנע, המוגדר היטב גם לפוטונים:
משוואה זו אומרת שגם האור נע לפי גאודזות במרחב עקום. כלומר: גם האור מושפע מגרביטציה, דבר שניוטון לא חזה. תחזית זו התאמתה ב-1919 כאשר משלחת בראשותו של ארתור אדינגטון מדדה הטיה במיקומם הנראה של כוכבים על ידי מסת השמש.
משוואות השדה של איינשטיין.
החלק הפיזיקלי ביותר בתאוריה של איינשטיין היא קביעתו שעקמומיות המרחב תלויה בצפיפות המסה, האנרגיה והלחץ שבכל נקודה וניסוחה המתמטי של קביעה זו. איינשטיין ניסח את משוואותיו באמצעות חשבון טנזורים, תחום מתמטי הדן בגדלים גאומטריים שלא משתנים בין מערכות יחוס. הקשר בין חומר לעקמומיות המרחב מובעת במשוואת השדה של איינשטיין
כאשר בצד השמאלי יש רק גדלים שקשורים לגאומטריה של המרחב (כמו המטריקה של המרחב, או טנזור ריצ'י וסקלר ריצ'י שמביעים את עקמומיותו), ובצד הימני של המשוואה יש טנזור (טנזור צפיפות האנרגיה) שמכיל מידע על צפיפות האנרגיה (ולכן צפיפות המסה), צפיפות התנע וזרימת התנע.
מטריקת שוורצשילד.
הפתרון הראשון שהוצע למשוואה ניתן על ידי הפיזיקאי קרל שוורצשילד. פתרון זה מתאר את עקמומיות המרחב סביב כוכב כדורי, ואם הכוכב דחוס דיו אזי הפתרון חוזה את קיומו של חור שחור. בעזרת הפתרון ניתן להגדיר חור שחור כגוף בעל שדה כבידה כה חזק עד שאפילו האור לא מסוגל לברוח ממנו. מטריקת שוורצשילד מתאימה לתיאור חור שחור לא טעון ולא מסתובב.
הקבוע הקוסמולוגי.
איינשטיין אמנם היה חלוץ בתחומו, אולם לא הסכים לקבל עובדה שנבעה באופן ברור מתורתו. המשוואות של היחסות הכללית גרסו כי גלקסיות חייבות לנוע זו ביחס לזו בגלל כוח המשיכה ביניהן. איינשטיין האמין ברעיון הישן של יקום סטאטי ומקובע שאינו גדל או קטן. מתברר שאפילו איינשטיין לא יכול היה להרחיק לכת במחשבתו, ולכן הוסיף קבוע שנקרא "הקבוע הקוסמולוגי" למשוואות. קבוע זה מאפשר כוח דחייה בין גלקסיות, כך שסכום הכוחות (דחייה + משיכה) מתאפס. מאוחר יותר התברר שהיקום אינו סטטי, ואיינשטיין הסיר את הקבוע הזה. לטעותו זו קרא לימים "הטעות הגדולה ביותר של חיי". אדווין האבל, אסטרונום אמריקאי, היה זה שצפה לראשונה בגלקסיות המתרחקות זו מזו, ובעקבותיו אוששה התאוריה של "המפץ הגדול" (the big bang), שגרסה כי היקום למעשה מתרחב.
בשלהי המאה ה-20, הפיזיקאים שוב החזירו את הקבוע הקוסמולוגי אל המשוואות, וזאת כדי לתקן את חוסר ההתאמה שיש בין ההתפשטות הנצפית של היקום לבין המסה הכוללת שלו שנמדדה. חוסר התאמה זה נובע מהשפעת האנרגיה האפלה.
אישוש תורת היחסות הכללית.
"תחזיות בדיעבד" (1915).
ההצלחה הראשונה של תורת היחסות הכללית הייתה הסברת הסטיות של כוכב הלכת חמה (מרקורי) מהתחזיות שניבא ניוטון: התיקון היחסותי הצליח להסביר בהצלחה את המדידה שהייתה ידועה עוד קודם, לפיה נקודת הפריהליון של כוכב חמה מתקדמת בקצב של כ-43 שניות-קשת על פני מאה שנה. כבר בעבודות המקוריות מנובמבר 1915 איינשטיין בדק ומצא שהסטיה מוסברת בתורה שלו, וזה נחשב להישג התצפיתי המשכנע הראשון שלה - הסבר תופעה ידועה ללא הסבר קודם.
עידוש כבידתי (1919).
בשנת 1919 יצאה משלחת לאפריקה בראשות האסטרופיזיקאי ארתור אדינגטון, על מנת לבדוק את תורת היחסות הכללית של איינשטיין. המשלחת צפתה בקרני האור של כוכבים, וגילתה כי אלו אכן מוסטות מעט בקרבת השמש – כלומר – הן אינן ישרות אלא מתעקמות בקרבת מסה. בדרך כלל השמש מסתירה את הכוכבים, אולם המדידות נעשו בעת ליקוי חמה: חצי שנה קודם לכן, נמדד מיקום הכוכבים באופן מדויק. בעת הליקוי, בבוקר ה-29 במאי 1919, אמורים הכוכבים להיות באותו מקום בדיוק, לפי המדידות. על פי מיתוס מקובל, כשנמדד מיקומם, נתגלתה סטייה של מאיות האחוז מהמדידות שנעשו חצי שנה לפני כן. משמע - השמש היטתה את הקרניים. למעשה, התוצאות לא היו חד משמעיות ואדינגטון בחר להתעלם ממדידה אחת מתוך השלוש שביצע, שתוצאותיה לא עלו בקנה אחד עם תחזיות תורת היחסות הכללית. אף על פי כן, מיד למחרת יצאו פרסומים בעיתונים על הגילוי המדהים לכאורה, הטיימס הלונדוני דיווח "מהפכה במדע, תאוריה חדשה של היקום, קרסו רעיונותיו של ניוטון", ותורת היחסות הכללית הפכה לשם דבר. האישוש לכאורה של תורת היחסות הכללית שהשיג אדינגטון שיקף את הקונצנזוס שכבר היה קיים בקרב מרבית חברי קהילת הפיזיקאים בדבר נכונותה של תורת היחסות הכללית. הצגת מדידות המשלחת כאישוש סופי של התאוריה הביאה לסגירת המחלוקת שעדיין הייתה קיימת במידה מועטה סביב תורת היחסות. בשנות העשרים נשלחו משלחות נוספות לבצע מדידות דומות בעת ליקויי חמה. תוצאות משלחות אלו אישרו את תוצאות המשלחת הראשונה משנת 1919. כיום יודעים לבצע מדידות מדויקות בהרבה, בתחום קרני הרדיו (על כן אין צורך בליקוי חמה), והתוצאות מתאימות עד כדי אלפית האחוז. ההכרזות הדרמטיות, בעקבות הליקוי של 1919, מקבלות כיום תוקף חד משמעי.
אישושים נוספים.
תחזיות נוספות שנגזרות מתוך תורת היחסות הכללית ואוששו עם השנים הן הימצאות חורים שחורים ותופעת העידוש הכבידתי. אישוש מעניין לתורת היחסות הכללית התרחש בתחילת שנות האלפיים עם הפעלת לווייני ה-GPS. בתחילה המהנדסים הפעילו את מערכת המעקב ללא התחשבות בתופעות יחסותיות שנובעות מהתעקמות המרחב-זמן סביב כדור הארץ, אך דיוק המערכת ירד בצורה משמעותית. רק לאחר הכנסת התיקונים הנדרשים לפי תורת היחסות הכללית מערכת ה-GPS פעלה כשורה.