הסיבה לכך היא שבזמן שאכילס יעבור את 100 המטרים הראשונים ויגיע אל נקודת ההתחלה של הצב, הצב יתקדם עוד 10 מטרים, ולכן הוא עדיין יקדים את אכילס. כאשר אכילס ימשיך ויעבור את 10 המטרים הנוספים, הצב כבר יעבור עוד מטר, ושוב יקדים אותו. וכך הלאה, עד שאכילס מגיע לנקודה בה היה הצב קודם, הצב כבר מתקדם לנקודה רחוקה יותר. לכן, אכילס ילך ויתקרב אל הצב, אך לעולם לא יוכל להשיג אותו.
פרדוקס זה עומד, כאמור, בסתירה לידוע לנו – אכילס ישיג את הצב תוך זמן קצר. הפתרון של החשבון האינפיניטסימלי לפרדוקס הוא שלמעשה המרחק שאכילס יעבור, אותו תיאר הפרדוקס במספר אינסופי של שלבים, יכול להיות סופי, וכך גם הזמן הכולל שייקח לאכילס לבצע את אינסוף השלבים. במהלך כל שלב, הדרך אותה עובר אכילס הולכת וקטנה ובאותה מידה גם הזמן שלוקח לו לעבור אותה.
הפרדוקס מחלק את הריצה של אכילס למספר אינסופי של שלבים שונים שגודלם הוא סדרה הנדסית. המרחק הראשון אותו עבר אכילס הוא 100 מטרים (במשך 10 שניות), ובזמן זה עבר הצב 10 מטרים, המרחק השני אותו עבר אכילס הוא 10 מטרים (עשירית מהמרחק הקודם, במשך שנייה אחת), ובזמן זה עבר הצב מטר אחד, המרחק השלישי אותו עבר אכילס הוא מטר אחד (במשך עשירית שנייה), ובזמן זה עבר הצב 10 ס"מ, וכך הלאה, כל איבר בסדרה הוא 1/10 מקודמו. בכלים בסיסיים של החשבון אינפיניטסימלי ניתן להראות שהטור שמתאר סדרת הזמנים מתכנס למספר סופי שהוא formula_1 שניות. לאחר זמן זה אכילס והצב יהיו באותו מקום, ובצעד הבא ישיג אכילס את הצב.
ההסבר לפרדוקס הוא שאנו מסתכלים על המערכת בזמן שמתכנס ל-formula_1 שניות ובזמן זה לעולם לא נראה את אכילס עוקף את הצב. ככל שהמרחקים קצרים, כך גם הזמן קצר.
פרדוקס הדיכוטומיה.
אדם שרוצה לנוע ממקום למקום, כלומר לעבור מנקודת יציאה לנקודת יעד, לעולם לא יוכל להגיע למטרתו, כי לפני שיגיע לנקודת היעד, הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין נקודת היציאה לבין נקודת היעד. בנוסף לזאת, לפני שיגיע מנקודת היציאה לאמצע הדרך, הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין נקודת יציאה לבין אמצע הדרך, וכך הלאה. בהתאם לכך, האדם לעולם לא יוכל לזוז ממקומו, כי כדי להגיע לנקודה הראשונה במסעו הוא חייב לעבור אינסוף נקודות.
פרדוקס זה דומה לקודמו בכך שהוא מפרק תהליך סופי לאינסוף תהליכים שהולכים וקטנים. בנוסף, הפרדוקס מתבסס על ההנחה האינטואיטיבית שלכל אוסף של נקודות יש נקודה ראשונה אותה יש לעבור. שלילת הנחה זו עומדת בבסיס המושג המרכזי בחשבון האינפיניטסימלי "קטן כרצוננו".
פרדוקס החץ הנע.
חץ נורה אל מטרה. ברגע מסוים במעופו הוא נמצא במקום מסוים, כלומר הוא נמצא במנוחה. תיאור זה נכון לגבי כל אחד מהרגעים של מעוף החץ, ולכן החץ נמצא במנוחה במהלך כל מעופו, כלומר תנועת החץ כלל אינה קיימת.
מושג הגבול של החשבון האינפיניטסימלי מראה שגם כאשר אורכו של הרגע שואף לאפס, מהירות החץ יכולה להיות גדולה מאפס (כלומר החץ לא נמצא במנוחה). זהו למעשה מושג המהירות הרגעית בפיזיקה, המתקבל מגזירת מיקום החץ כפונקציה של הזמן.
פרדוקס הדיכוטומיה
פרדוקס אכילס והצב
משה שרת
משֶׁה שָרֵת (שֶרְתוֹק) (ברוסית: Моисей Черток; 15 באוקטובר 1894, ט"ו בתשרי ה'תרנ"ה – 7 ביולי 1965, ז' בתמוז ה'תשכ"ה) היה ראש הממשלה השני של מדינת ישראל (1954–1955), בין שתי תקופות הכהונה של דוד בן-גוריון. כמו כן היה שר החוץ הראשון של מדינת ישראל. מראשי הנהגת היישוב.
ביוגרפיה.
1894–1918.
משה שרת נולד בסתיו 1894 בשם משה צ'רטוק בחרסון שבדרום-מערב האימפריה הרוסית (כיום באוקראינה) ליעקב צ'רטוק, סופר ופובליציסט, ולפניה (ממה) לבית לב, מורה. ב-1906 עלתה משפחת צ'רטוק לארץ ישראל והתגוררה במשך שנתיים בכפר הערבי עין סיניא שבשומרון, שם חכרה אחוזה מידי אפנדי ערבי. ב-1908 עקרה המשפחה ליפו, מאוחר יותר הייתה משפחתו ממקימי העיר העברית הראשונה - תל אביב.
שרת היה בוגר המחזור הראשון של גימנסיה הרצליה, ולמד פרק זמן בקונסרבטוריון שולמית.
בגימנסיה למד טורקית, צרפתית, גרמנית וערבית.
בבית הספר פגש את צפורה מאירוב, לה נישא בהמשך, ובאליהו גולומב ודב הוז. לימים נשאו השניים את אחיותיו. לקראת סיום לימודיו הצטרף ל"הסתדרות המצומצמת של בוגרי הגמנסיה", תנועת נוער בראשות אליהו גולומב, שחבריה התחייבו להקדיש את עצמם לטובת הכלל. חברי ההסתדרות הציבו לעצמם מטרות לעסוק בתעמולה בקהילות בגולה לרעיון התחייה הלאומית, עבודת האדמה והגנה על הזכויות המדיניות של היישוב העברי.
ב-1913 סיים את לימודיו בגימנסיה בהצטיינות ונסע ללמוד בפקולטה למשפטים של אוניברסיטת איסטנבול, שם למדו באותה תקופה דוד בן-גוריון ויצחק בן-צבי. ב-1914 קטעה מלחמת העולם הראשונה את לימודיו והוא חזר לארץ ישראל. הוא לימד טורקית בבתי ספר בתל אביב והטיף לקבלת נתינות עות'מאנית כדי למנוע גירוש יהודים אזרחי מדינות-אויב מארץ ישראל. ב-1916 התגייס לצבא העות'מאני (יחד עם בוגרים רבים אחרים של גימנסיה הרצליה), ונשלח לקורס קצינים באיסטנבול. בסיום הקורס, הוצב ביחידת רגלים ושירת כמתורגמן עבור המפקד הגרמני שלה. היחידה לחמה במקדוניה ולאחר מכן בדרום עבר הירדן. לאחר שהתפרקה, הוצב שרת במפקדה בחלב שבסוריה, ושירת בה עד לסוף המלחמה. עם כיבוש העיר על ידי בריטניה, נחקר שרת על ידי קצין מודיעין בריטי, שהניח לו לחזור לארץ ישראל לאחר ששמע כי הוא ציוני. כעבור שמונה ימים הגיע שרת לחיפה.
ב"אחדות העבודה" ובמערכת "דבר", 1919–1931.
ב-1919 התמנה למזכירו של יהושע חנקין, מנהל המחלקה לענייני ערבים ולקרקעות ב"ועד הצירים" של ההנהגה הציונית. באותה שנה הצטרף למפלגת "אחדות העבודה" עם ייסודה, ושימש מטעמה כמזכיר "ועד הצירים".
ב-1921 יצא לבריטניה, ללמוד בבית הספר לכלכלה של לונדון. בלונדון התגורר בחדר משותף עם חברו ללימודים, דוד הכהן, והתפרנס ממתן שיעורים בעברית ובצרפתית ומעבודות תרגום מערבית ומטורקית. בתקופת לימודיו עסק באיסוף כספים וברכישת נשק עבור "ההגנה". כמו כן, סקר עבור ההנהלה הציונית את העיתונות הערבית ופרסם מאמרים בשבועון "קונטרס" של "אחדות העבודה". ב-1922 התחתן בלונדון עם חברתו, צפורה. הוא סיים את לימודי התואר הראשון בהצטיינות.
על כמה ממאמריו ב"קונטרס", חתם שרת בכינוי הספרותי "מ. בן-קדם". ברל כצנלסון קרא אותם והזמין את שרת לעבוד במערכת היומון "דבר", לקראת הקמתו. שרת התנה את הקדמת שובו מלונדון בסילוק חובותיו משנות לימודיו שם, וכצנלסון דאג לכך. ב-1925 חזר שרת לארץ ישראל והצטרף למערכת "דבר", עם יסודו, כאחראי על עמוד החדשות. בין השנים 1925–1931 תפקד כסגנו של עורך "דבר", ברל כצנלסון, והיה אחראי על ענייני הנוער של "אחדות העבודה", שכללו את תנועות הנוער "החוגים" ו"הבחרות הסוציאליסטית". בשנים הללו (תרפ"ה–תרצ"א) כתב עשרות מאמרים שעליהם חתם בפסבדונים "מ. קרוב רחוק". הוא היה ממונה על מדור ענייני חוץ: סקירות, מאמרים ופרשנות. שרת היה היחיד במערכת שידע אנגלית ויכול היה לתרגם ידיעות ממרכז השלטון הבריטי, ולכן ערך את ה"טלגרמות" מחוץ לארץ. ב-1929 הקים וערך את שבועון "דבר" בשפה האנגלית (במשותף עם נלי שטראוס-מושנזון).
ב-1930 הצטרף שרת למפא"י, עם הקמתה כאיחוד מפלגות "אחדות העבודה" ו"פועלי ציון", וב-1931 עזב את העיתון למען פעילותו הפוליטית.
בראשות המחלקה המדינית של הסוכנות היהודית, 1931–1948.
באוקטובר 1931 התמנה למזכיר המחלקה המדינית של הסוכנות היהודית – סגנו של חיים ארלוזורוב עם התמנותו לראש המחלקה המדינית. באותה שנה עבר לגור עם משפחתו בירושלים.
בתקופה זו שינה את שם משפחתו "צ'רטוק", בעל הצליל הסלאבי, ל"שרתוק", בעקבות מורו חיים בוגרצ'וב, שהפך ל"בוגרשוב".
לאחר רצח ארלוזורוב ב-1933, נבחר שרת בקונגרס הציוני ה-18 להחליף אותו בתפקיד ראש המחלקה המדינית. בתקופה זו טיפלה המחלקה המדינית גם בענייני ה"הגנה" ושרת היה אחראי גם לתיק הביטחון בסוכנות היהודית. בתפקידו כראש המחלקה המדינית, עסק במגעים בין התנועה הציונית לפקידי המנדט הבריטי ובניסיונות לזכות בתמיכת מדינות העולם בהקמת מדינה יהודית. שרת תמך בשיתוף פעולה עם שלטונות המנדט במקביל לחיזוק היישוב. בזמן מאורעות תרצ"ו-תרצ"ט יזם גיוס יהודים למשטרה הבריטית (הנוטרות), וכן היה הרוח החיה מאחורי מבצעי חומה ומגדל.
בשנים 1936–1937 נפגש עם מנהיג מפלגת אל-איסתקלאל הפלסטינית, עווני עבד אל-האדי.
שרת הופיע כאחד מנציגי היישוב היהודי בפני ועדת פיל ותמך בפתרון חלוקת הארץ, כפי שהוצעה בוועדה.
ב-7 ביוני 1937, יום פרסום המלצות הוועדה, כתב ביומנו לגבי הצורך בתנופת התיישבות היהודית לאור אפשרות של חלוקה: "את גבולות הארץ לא קבעו תביעותינו ההיסטוריות, אלא הנקודות שהיו לנו. תפקידנו עכשיו הוא – לחטוף וליישב".
שרת כיהן כראש המחלקה המדינית של הסוכנות עד לקום מדינת ישראל ב-1948.
בדרכו לקונגרס הציוני ה-21 בז'נבה ב-1939, ביקר אצל ראש ממשלת סוריה (תחת המנדט הצרפתי), , במעון הקיץ שלו בהר הלבנון.
באפריל 1939, מספר חודשים לפני פרוץ מלחמת העולם השנייה, הגיע שרת לפולין ונפגש עם יהודיה בוורשה ובלודז'.
בעת מלחמת העולם השנייה פעל שרת להתגייסות אנשי היישוב לצבא הבריטי, והיה ממובילי המאבק להקמת הבריגדה היהודית ב-1944.
בשנת 1941, בעת ההכנות לפלישה הבריטית לסוריה ולבנון נענה לבקשה שהביא בפניו איש המודיעין הבריטי ג'וליאן אמרי לשתף את אנשי הפלמ"ח במבצע.
לקראת סוף המלחמה, נסע לבקר את לוחמי הבריגדה היהודית באיטליה וביוון, מלווה בדגל עברי שייצג אותם כרצונם, ושם נשא את הנאום הידוע כנאום הדגל.