כאמור לעיל, ההעתקה formula_66 הממפה מרחב אל זוגיות הממד שלו מוגדרת היטב, מהווה הומומורפיזם ובעלת גרעין formula_68, ולכן לפי משפט נתר הראשון מתקיים formula_81. אפשר גם להוכיח כי formula_82 מתקבלת כמנה של חוג ויט רק על ידי formula_68.
המנות הראשוניות של חוג ויט הן כולן ציקליות (כלומר מנות של חוג השלמים).
האינווריאנט הראשון.
כעת נרצה להבין מהי המנה formula_84.
הדטרמיננטה של מרחב ריבועי היא הדרמיננטה של המטריצה המייצגת שלו, המוגדרת עד כדי ריבועים, כלומר במרחב formula_85. עם זאת, היא לא מוגדרת היטב על מחלקות בחוג ויט, כי formula_86. לכן, מגדירים את הדיסקרימיננטה - formula_87, המוגדרת היטב ובעלת גרעין formula_88, ולכן מהווה איזומורפיזם
formula_89.
מבנה המנה formula_85 מעיד גם על היותו של חוג ויט נותרי - formula_21 נותרי אם ורק אם המנה formula_85 סופית.
האינווריאנט השני.
המנה formula_93 והאינווריאנט השני מעט מסובכים יותר.
ניזכר כי אלגברת קליפורד של מרחב ריבועי היא formula_94 (ובקיצור formula_95)כאשר הממד זוגי היא מהווה אלגברה פשוטה מרכזית מעל שדה הבסיס, ולכן משרה מחלקת שקילות בחבורת בראואר. במילים אחרות, מקבלים העתקה formula_96, הנתונה על ידי formula_97. ההעתקה מוגדרת היטב, משום שלכל תבנית ממד זוגי מתקיימת הזהות formula_98, ובפרט formula_99. כעת, כאמור לעיל, formula_100 אדישה לתבניות מ-formula_88, ולכן צמצום ההעתקה formula_102 מהווה הומומורפיזם. אפשר להוכיח כי היא משרה איזומורפיזם
formula_103, כאשר formula_104 היא חבורת בראואר מפיתול 2.
האינווריאנטים הגבוהים ותורת K.
כעת נציג את התורה הכללית ואת מבנה המנות formula_77 הקשורה לתורת K.
לכל חוג formula_106 מותאמת חבורה אבלית formula_107, הנקראת חבורת formula_41 ה-formula_74ית של מילנור. זוהי החבורה האבלית החופשית בסמלים formula_110, יחד עם היחסים:
נסמן formula_113.
כעת, השערת מילנור טוענת כי formula_114. העתקת האיזומורפיזם היא
formula_115, הנתונה על ידי formula_116, כאשר formula_51 היא תבנית פיסטר.
קל לראות את קיום הטענה לformula_118:
formula_119 היא החבורה הנוצרת על ידי הסמל הריק formula_120, ולכן היא בדיוק formula_121.
formula_122 היא החבורה הנוצרת על ידי הסמל formula_123, עם היחס formula_124, והיא בדיוק formula_125.
טיעונים יותר מסובכים מראים כי גם במקרה formula_126 ההגדרות מסתדרות (ראו בקריאה נוספת לפרטים מדויקים).
חוג ויט ושדות סדורים.
תורת השדות הסדורים קשורה הדוקות לחוג ויט.
שדה סדור הוא שדה בו ניתן להציב קבוצת חיוביים formula_127 הסגורה לחיבור וכפל, ו-formula_128. כל שדה סדור הוא ממאפיין אפס. שדה סדור הוא אוקלידי אם כל איבר חיובי בו הוא ריבוע של איבר אחר. שדה הוא סגור ממשית אם הוא אוקלידי ולכל פולינום ממעלה אי זוגית בו יש שורש.
שדה נקרא ניתן לסידור אם ניתן להגדיר עליו סדר. לפי משפט ארטין-שרייר, שדה ניתן לסידור אם ורק אם formula_129 איננו סכום של ריבועים, ולכל איבר formula_130 שאינו סכום של ריבועים יש סדר בו formula_131. שדה הוא פיתגורי אם כל ריבוע איבר בו הוא סכום של שני ריבועים.
סימן סילבסטר.
כעת, יהי formula_40 שדה סדור עם סדר formula_133. ההעתקה formula_134, הנקראת סימן סילבסטר, היא ההעתקה הממפה תבנית formula_10 למספר האיברים החיוביים פחות השליליים בה. ההעתקה מוגדרת היטב לפי משפט ההתמדה של סילבסטר, ומהווה אפימורפיזם חוגים. אם השדה אוקלידי (ובפרט שדה סגור ממשית) ההעתקה מהווה איזומורפיזם חוגים.
בשדות פיתגוריים.
בשדות פיתגוריים מקבלים תורת מבנה מפורשת, המתחלקת לשדה סדור ושדה לא סדור:
"משפט": התכונות הבאות שקולות עבור שדה formula_40:
בפרט אפשר לשים לב שיש 2-פיתול בחוג ויט.
"משפט": התכונות הבאות שקולות עבור שדה formula_40:
מרחב הסידורים.
מרחב הסידורים של השדה הוא אוסף כל הסידורים שלו, המסומן formula_144. מתקיימת ההתאמה הבאה:
"משפט": ישנה התאמה חד-חד-ערכית בין סידורים של שדה לאידיאלים ראשוניים של חוג ויט הלא מכילים את 2.
מפורשות, בהינתן אידיאל כנ"ל, נגדיר קבוצת חיוביים: formula_145. בכיוון ההפוך, בהינתן קבוצת חיוביים formula_146, מגדירים את formula_127 להיות האידיאל הנוצר על ידי תבניות פיסטר של איברים מ-formula_148.
את מרחב הסידורים ניתן לאפיין כך: formula_149. הוא משוכן באופן טבעי במרחב formula_150, עליו מוגדרת טופולוגיה - מכפלת טיכונוף, כאשר על formula_151 טופולוגיה דיסקרטית. formula_144 מקבל את טפולוגיית תת-המרחב. מתקבל כך מרחב בוליאני, כלומר מרחב האוסדורף, בלתי קשיר לחלוטין וקומפקטי לפי משפט טיכונוף.
ל-formula_144 יש את תת הבסיס המורכב מהקבוצות הפתוחות והסגורות formula_154.
כעת, מגדירים את הסימן הגלובלי כפונקציה formula_155, על ידי formula_156. ניתן להוכיח כי תמונת המיפוי מוכלת באוסף הפונקציות הרציפות, כלומר formula_157. ההעתקה מהווה הומומורפיזם, עם גרעין formula_158 - הוא קבוצת ה-formula_159-פיתול של formula_21,
ובעלת קו-גרעין המהווה אף הוא קבוצה בעלת 2-פיתול.
ייצוגים על ידי יוצרים ויחסים.
השערת מילנור שנסקרה לעיל מספקת יצוג באמצעות יוצרים ויחסים לכל המנות formula_1. עבור ערכים נמוכים של n ידוע יצוג כזה גם לאידיאלים formula_162 עצמם
מודול ויט במאפיין 2.
במאפיין שונה מ-2 אפשר לזהות תבניות ריבועיות וביליניאריות. במאפיין 2 הקשר בין שני סוגי התבניות מסובך יותר, ולכן נחזור על ההגדרה של חוג ויט במקרה הכללי, התקף גם במאפיין 2. חוג ויט הוא חוג-גרותנדיק של התבניות ה*ביליניאריות* הסימטריות הלא-מנוונות, מודולו תבניות היפרבוליות. כל תבנית ביליניארית סימטרית אנאיזוטרופית מתאימה לאיבר יחיד בחוג ויט. תבנית ביליניארית שקולה בחוג ויט לאפס, אם ורק אם היא מטאבולית.
המודול של ויט, formula_182, הוא חבורת גרותנדיק של המונויד של התבניות ה*ריבועיות* הלא-מנוונות מממד זוגי, מודולו המרחבים ההיפרבוליים. המודול נוצר על ידי ה(מחלקות של ה)תבניות הדו-ממדיות formula_183 (המייצגות את התבניות formula_184). כחבורה אבלית, הוא מוגדר על ידי היחסים formula_185, formula_186 ו-formula_187. פעולת הכפל בסקלר מושרית על ידי המכפלה הטנזורית של תבניות, ואפשר להגדיר אותה גם על ידי הפעולה של יוצרים על יוצרים, formula_188. מודול ויט נוצר, כמודול מעל חוג ויט, על ידי תבניות פיסטר הריבועיות formula_189.
על המודול של ויט מוגדר אינווריאנט ארף , לפי formula_190, כאשר formula_191. הגרעין של אינווריאנט ארף הוא formula_192. ייצוג של formula_193 עם היוצרים formula_194 נתון על ידי היחסים הבאים: הסמל בי-אדיטיבי וסימטרי;
formula_195;
formula_196;
formula_197
. באופן כללי מסמנים formula_198.
לקריאה נוספת.
[[קטגוריה:תורת החוגים|ויט]]
[[קטגוריה:תורת השדות|ויט]]
[[קטגוריה:תבניות ריבועיות|ויט]]
טויסטר
טוויסטר
מויה
ליונס (פירושונים)
929 - תנ&quot;ך ביחד
929 - תנ"ך ביחד הוא מיזם ישראלי ללימוד פרק יומי בתנ"ך, שהוקם בשנת 2014, ביוזמתו של חבר הכנסת לשעבר אבי וורצמן.
מטרת המיזם ואופיו.
מטרתו של המיזם היא קריאה משותפת, כלל ישראלית, בתנ"ך. המיזם מלווה באתר אינטרנט שבו כותבים אנשים מתחומים שונים על הפרק הנלמד באותו יום. בשיתוף עם המיזם הוקמו ברחבי ישראל קבוצות לימוד של הפרק היומי ומוסדות רבים לוקחים חלק בפרויקט.
מקור השם.
מקור שמו של המיזם, 929, הוא במספר הפרקים בתנ"ך.
היסטוריה.
המחזור הראשון של הפרויקט התחיל ב-21 בדצמבר 2014 באירוע פתיחה בבית הנשיא.
ב-11 בינואר 2015 התקיים בפעם הראשונה בבית הנשיא "חוג התנ"ך של בית הנשיא", שמקביל להתקדמות הפרקים במיזם.
בערוץ 1, שודרה בעבר תוכנית שבועית, שנקראה "תשע שתיים תשע", על חמשת הפרקים של השבוע בהנחייתה של רחל פרנקל-שפרכר
בראש המיזם עומדים הרב בני לאו והעיתונאית גל גבאי וניהל אותו צביקה ארן (ביקו) עד אוקטובר 2018. מאז מנהל את המיזם העיתונאי לירון מרוז.
המיזם משותף למשרד החינוך והמרכז לטכנולוגיה חינוכית, בנוסף לעמותות ותורמים פרטיים. בעבר היו שותפים בו גם בית אבי חי והסוכנות היהודית. בנוסף על כל, המיזם לוקח חלק באיגוד ההתחדשות היהודית.
מחזור קריאה ראשון.
קריאת המחזור הראשון הסתיימה ב-11 ביולי 2018, כ"ח בתמוז תשע"ח, והמחזור השני התחיל ב-15 ביולי 2018 (ג' באב).
פרויקטים של מיזם 929.
אתר אינטרנט.
המיזם מפעיל אתר אינטרנט שבו מופיע הפרק היומי והקלטתו ולצדו כותבים מדי יום אנשי תרבות ורוח על הפרק היומי. בין הכותבים הקבועים באתר: קובי אוז, גיל קופטש, הרב יואל בן נון, ארי אלון ועוד. לצדם גם כותבים מתחלפים, בהם נשיא המדינה ראובן ריבלין, פוליטיקאים כדוגמת זהבה גלאון, יאיר לפיד, בני גנץ, דב חנין, סופרים ומשוררים כדוגמת שהם סמיט, עמרי שרת ועוד. מדי יום מופיעים באתר סרטון של הרב בני לאו וליאת רגב שבו הם מדברים על הפרק וקריקטורה מאת אומנים שונים כדוגמת זאב אנגלמאיר.
לימוד הפרק היומי מתקיים בימים ראשון עד חמישי. בימים שישי ושבת מופיע באתר סיכום שבועי המלווה בסרטון על חמשת הפרקים של השבוע.
בימי מגפת הקורונה מפעיל המיזם את "הקמפוס הווירטואלי של 929" לאזרחים המרותקים לביתם. במסגרתו מועלים שיעורים מקוונים בנושאי תנ"ך ופעילויות שונות.
929 ושיר.
במהלך פרויקט זה יופק שיר לכל אחד מספרי התנ"ך על ידי מוזיקאים.
תנ"ך על הקירות.