במשך מאות שנים, מספר ממשי היה מספר שמייצג אורך של קטע, לאחר שהוסיפו לו כיוון (כלומר הוא יכול להיות גם שלילי). לאחר שהגאומטריה תוארה באמצעים אלגבריים, הובן שיש פה בעיה של הגדרה מעגלית: השדה הממשי מוגדר באמצעות גאומטריה, והגאומטריה מוגדרת באמצעות השדה הממשי. לכן, ב־1872, פרסם גאורג קנטור את דרכו לבניית השדה הממשי מתוך השדה הרציונלי, כשהוא עושה שימוש בסדרות קושי של מספרים רציונליים. מעט מאוחר יותר באותה שנה פרסם ריכרד דדקינד את הגדרתו שלו, העושה שימוש בחתכי דדקינד. מאז פורסמו עוד הרבה מאוד בניות, וחלקן מובאות בערך זה.
אקסיומות.
המטרה של כל הבניות זהה: יש ליצור קבוצה formula_1, שעליה מוגדרות פעולות formula_2 ויחס סדר formula_3 (או formula_4), כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:
אם הסדר המוגדר הוא חזק (formula_4), אז יש להחליף כל מופע של formula_3 באקסיומות בformula_4, למעט האקסיומה האחרונה, בה יש להשתמש ביחס הסדר החזק formula_22. ניתן לראות כי כל מודל ביחס חזק formula_4 הוא גם מודל ביחס החלש המוגדר כמו קודם, וכן כל מודל ביחס formula_3 הוא גם מודל ביחס החזק formula_25.
בנייה.
סדרות קושי של מספרים רציונליים.
בנייה זו של קנטור מסתמכת על העובדה האינטואיטיבית לפיה גם ללא הגדרה של מספרים ממשיים, מתקיים שכל מספר ממשי הוא גבול של סדרת מספרים רציונליים. נוכל אם כן להגדיר את המספר להיות סדרה זו. מכיוון שיש כמה סדרות המתכנסות למספר הממשי, נגדיר את המספר להיות קבוצת הסדרות המתכנסות אליו. נגדיר לשם כך יחס שקילות על קבוצת הסדרות שיש להם פוטנציאל להתכנס (אף שאינן מתכנסות, שכן בשדה הרציונלי יש "חורים"), הלוא הם סדרות קושי.
תהי formula_26 קבוצת כל סדרות קושי ב-formula_27, כלומר קבוצת כל הסדרות של מספרים רציונליים formula_28 כך שלכל formula_29 (רציונלי) קיים formula_30 טבעי כך שלכל זוג טבעיים formula_31 מתקיים formula_32.
נאמר ששתי סדרות שכאלו שקולות אם ורק אם ההפרש ביניהן שואף לאפס, כלומר הסדרות formula_28 ו-formula_34 שקולות אם ורק אם לכל formula_29 (רציונלי) קיים formula_30 טבעי כך שלכל formula_37 טבעי מתקיים formula_38.
נראה כי הגדרה זו אכן מגדירה יחס שקילות:
קבוצת המנה (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן formula_57 - זהו שדה המספרים הממשיים.
את המספרים הרציונליים נזהה בממשיים על ידי מחלקות השקילות המתאימות, עבור רציונלי formula_58 מחלקת השקילות המתאימה היא מחלקת השקילות של הסדרה הקבועה formula_59.
את פעולות החיבור והכפל נגדיר איבר איבר, באופן הבא:
formula_60
formula_61
נראה כי ההגדרות לא תלויות בבחירת הנציגים:
יהו formula_62. יש להוכיח כי formula_63, ו- formula_64.
נראה כי תחת הפעולות הנ"ל, הקבוצה formula_1 היא שדה:
בנוסף, את הסדר על סדרות קושי ב-formula_27 נגדיר כך: formula_152 אם ורק אם קיים formula_153 וקיים formula_30 טבעי כך שלכל formula_37 טבעי מתקיים formula_156.
נראה כי ההגדרה לא תלויה בנציגים:
נניח ש-formula_62 וכן שקיימים formula_158 כך שלכל formula_37 מתקיים formula_160. במקרה זה קיימים formula_48 כך שלכל formula_49 מתקיים formula_163 (או בנוסח אחר: formula_164), ולכל formula_51 מתקיים formula_166 (או בנוסח אחר: formula_167). נבחר formula_168 ונקבל לכל formula_169: formula_170.
נראה כי זהו אכן יחס סדר חזק:
נראה כי ההגדרות הנ"ל הופכות את השדה לשדה סדור:
נניח כי formula_206:
העובדה היחידה החסרה לנו היא השלמות, כלומר שלכל תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל קיים סופרמום (חסם מלעיל קטן ביותר). נוכיח עובדה זו:תהי formula_222 תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי formula_223. נגדיר formula_224 כמספר רציונלי כלשהו הגדול מ-formula_223 (ולכן הוא בעצמו חסם מלעיל). מכיוון ש-formula_222 אינה ריקה, קיים מספר רציונלי formula_227 שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי formula_222. כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם formula_229 חסם מלעיל אז formula_230 ו-formula_231, אם הוא אינו חסם מלעיל אז formula_232 ו-formula_233.
קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הן סדרות קושי, והסדרות שקולות. נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב-formula_234. קל להראות באינדוקציה כי לכל formula_41 טבעי formula_236 חסם מלעיל ל-formula_222 בעוד ש-formula_238 לא, מעובדה זו נובע כי formula_234 חסם מלעיל (לפי הגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר. נניח כי formula_240 מקיים formula_241, אז קיים formula_242 טבעי עבורו formula_243, ומכיוון ש-formula_244 מונוטונית עולה נקבל כי לכל formula_245 גם מתקיים formula_246, אך ראינו כבר ש-formula_238 אינו חסם מלעיל ולכן formula_240 שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל.
חתכי דדקינד.
בנייה זו של ריכרד דדקינד מסתמכת על תכונה אחרת אף שקולה: כל מספר ממשי הוא סופרמום של קבוצה של רציונלים, לכן נגדיר אותו להיות קבוצה זו.
חתך דדקינד של מספרים רציונליים הוא קבוצה formula_74 המקיימת:
לכל מספר רציונלי formula_58, החתך formula_259 הוא החתך המייצג את formula_58.
עבור מספרים שאינם רציונליים יש צורך למצוא חתך מתאים. למשל עבור formula_261 יתאים החתך formula_262, ועבור formula_263 (מספר אוילר) יתאים החתך formula_264.
את קבוצת חתכי דדקינד נסמן formula_1 - שדה המספרים הממשיים.
נגדיר יחס סדר על השדה: formula_266.
נגדיר פעולות על השדה:
את הכפל נגדיר מאוחר יותר, לאחר שנראה את תכונות החיבור:
כעת נגדיר את הכפל:
כעת נראה שמתקיימות תכונות הכפל בשדה:
נראה כי יחס הסדר שהגדרנו על השדה, formula_352, הוא אכן יחס סדר חלש:
מכיוון שהיחס formula_353 הוא יחס סדר חלקי חלש על כל אוסף של קבוצות, עלינו להוכיח רק את תכונת ההשוואה: יהו formula_354, ונניח כי formula_355, כלומר קיים formula_283 כך שformula_357. יהי formula_358. לא ייתכן כי formula_359, כי אז יתקיים formula_360. לכן &lt;math&gt;x, ומכיוון שA חתך נקבל formula_251. לכן formula_362.
נראה כי השדה הוא שדה סדור:
נראה כי השדה הוא שדה סדור שלם: תהי formula_11 קבוצה לא ריקה וחסומה של מספרים ממשיים, ונגדיר formula_368. נראה כי M הוא מספר ממשי, כלומר חתך של מספרים רציונלים:
נראה כי חתך זה הוא הסופרמום של הקבוצה S: formula_388. לכן M הוא חסם מלעיל. יהי formula_30 חסם מלעיל של formula_222. יהי formula_376. קיים formula_372 כך שformula_251. מכיוון שformula_374, נקבל formula_395. לכן formula_396. לכן formula_397 הוא החסם העליון הקטן ביותר של formula_222.
קוואזי-הומומורפיזמים של חוג השלמים.
כל מספר ממשי formula_399 ניתן לייצג על ידי קירוב רציונלי על פי formula_400. מספיק לדבר על הפונקציה formula_401. תכונה מעניינת של פונקציה זו היא שמתקיים formula_402, במובן שיתואר להלן. אם נדבר על אוסף כל הפונקציות המקיימות תכונה זו, נראה שניתן לייצג כל מספר ממשי באמצעות כמה פונקציות כאלו.
בניה זו מדלגת על הרציונלים, ומגדירה את הממשיים הישר מתוך חוג המספרים השלמים.
נאמר כי פונקציה formula_403 היא קוואזי-הומומורפיזם, אם קיים formula_404 כך שלכל formula_405 מתקיים formula_406. הקבוע formula_407 יכונה קבוע-האדיטיביות של formula_408.
ניתן להוכיח באינדוקציה כי מתקיים formula_409, ולכן גם formula_410 (מתכונה זו נובע כי formula_411 היא סדרת קושי, המתכנסת לformula_412. ניתן לראות כאן דמיון לבנייה של קנטור).
את קבוצת כל הקוואזי-הימומורפיזמים בחוג השלמים נסמן formula_413. נגדיר יחס שקילות על formula_413: formula_415 אם ורק אם קיים formula_404 כך שformula_417 לכל formula_418 (למעשה, אם נחזור לדבר על סדרות הקושי, המשמעות היא שformula_419 במובן שתואר בבנייה של קנטור).
נראה כי זהו אכן יחס שקילות:
את קבוצת המנה formula_423 נסמן formula_1 - יצרנו את קבוצת הממשיים.
לכל מספר רציונלי q אפשר להתאים את המחלקה של הפונקציה formula_425; זהו אכן קוואזי-הומומורפיזם. במקרה של מספר שלם מתקבלת הפונקציה formula_426.
נגדיר פעולות על הקבוצה:
נראה כי ההגדרות לא תלויות בנציגים: יהו formula_429 כאשר formula_430 מקיים formula_431, וformula_432 מקיים את התכונה לגבי formula_433.
נראה כי הפעולות הפוכות את הקבוצה לשדה: