השפה הדומיננטית שמהווה גם השפה הרשמית היא הפורטוגזית. ישנו גם שימוש בשפות קריאוליות. צרפתית ואנגלית נלמדות כשפות זרות במערכת החינוך. 82% מהתושבים משייכים עצמם לנצרות, מתוכם כ-71.9% לנצרות הקתולית, ו-10.2% לשאר הזרמים. 17.9% משייכים עצמם לדת אחרת או חסרי דת.
בבא סאלי
פונקציה מרוכבת
פונקציה מרוכבת היא פונקציה המקבלת מספר מרוכב ומחזירה מספר מרוכב. לדוגמה, הפולינום formula_1 מגדיר פונקציה מרוכבת, אבל אפשר לראות בו גם פונקציה ממשית. במובן הרחב יותר, המונח "פונקציה מרוכבת" עשוי להתייחס לכל פונקציה המחזירה ערכים מרוכבים, ללא חשיבות לתחום של פונקציה#תחום ההגדרה.
בשפה מתמטית, פונקציה מרוכבת היא פונקציה משדה המספרים המרוכבים formula_2, או תחום חלקי לו, אל קבוצת המספרים המרוכבים. בכתיב פונקציות ניתן לכתוב: formula_3, כאשר formula_4.
תיאור כפונקציה ממשית.
מכיוון שלכל מספר מרוכב יש חלק ממשי וחלק מדומה, אפשר לתאר פונקציה formula_5 גם בצורה
formula_6 כאשר formula_7, כאשר formula_8 ממשיים, ו-formula_9 פונקציות ממשיות של שני משתנים.
דוגמאות לפונקציות מרוכבות.
יש מספר פונקציות מרוכבות בסיסיות:
(ראו נוסחת אוילר להרחבה בעניין). קל לראות שעבור כל formula_15 מתקיימות הנוסחאות:&lt;br&gt;
ולכן הגדירו את הפונקציות הטריגונומטריות על המרוכבים לכל formula_18:&lt;br&gt;
עבור פונקציית הלוגריתם יש בעיה של רב-ערכיות, כיוון שformula_21 איננה חד-חד ערכית (כלומר לא ניתן להגדיר ישירות את הלוגריתם כפונקציה ההפוכה של האקספוננט) ולכן מגדירים ענפי חיתוך כדי להפוך את הפונקציה לחד-ערכית בחזרה. ענפי החיתוך הם למעשה צמצומים של formula_21 לרצועות בהם החלק המדומה של המספרים חסום בתחום שקטן מ formula_23. על תחום כזה formula_21 חד-חד-ערכית ועל ולכן הפיכה.
ניתן להגדיר בעזרת האקספוננט והלוגריתם גם חזקה מרוכבת: formula_25 כאשר formula_26 מספרים מרוכבים כלליים. הגדרת החזקה תלויה בבחירת ענף שבו מחשבים את הלוגריתם. לדוגמה בענף הסטנדרטי (שבו formula_27) מתקבל:
ולעומת זאת בענף שבו formula_29 ההעלאה בחזקה תתן את התוצאה:&lt;br&gt;
כלומר יכולות להתקבל אינסוף (בעצם אלף אפס) תוצאות שונות. כאשר המעריך הוא שלם מתקבלת תוצאה יחידה. באופן יותר כללי- אם המעריך הוא מהצורה formula_31 (כלומר הוא מספר רציונלי) והשבר מצומצם- מתקבלות formula_32 תוצאות שונות מההעלאה בחזקה לפי בחירת הענף שעליו מבצעים את הלוגריתם. &lt;br&gt;
באותה צורה כמו שהפכנו את פונקציית האקספוננט לפונקציה מרוכבת (על ידי הצבת משתנה מרוכב בטור טיילור שלו) ניתן להרחיב כל פונקציה ממשית בעלת טור טיילור לפונקציה מרוכבת.
אנליזה מרוכבת.
באנליזה מרוכבת חוקרים פונקציות מרוכבות בעלות תכונות נוספות, כגון פונקציות הולומורפיות, מרומורפיות, הרמוניות. לאינטגרלים מקום מרכזי בתאוריה.
הגדרות.
כמו בפונקציות ממשיות, גם עבור הפונקציות המרוכבות אפשר להגדיר מושגים של גבול, רציפות וגזירות באופן אנלוגי לחלוטין.
פונקציה שגזירה בכל תחום הגדרתה נקראת פונקציה אנליטית או פונקציה הולומורפית. פונקציה שאנליטית בכל המישור נקראת פונקציה שלמה.
פונקציה היא מרומורפית אם היא הולומורפית בכל המישור פרט לקבוצת קטבים מבודדים (או בשקילות, היא הולומורפית לתוך הספירה של רימן).
תכונות ומבנה.
התנאי לגזירות של פונקציה מרוכבת מנוסח במשוואות קושי-רימן - הפונקציה formula_33 (כאשר formula_9 פונקציות ממשיות גזירות ברציפות) גזירה אם ורק אם formula_35.
משפט טיילור בגרסתו המרוכבת קובע כי אם פונקציה גזירה בתחום פתוח פעם אחת אזי יש טור טיילור יחיד שמתכנס אליה בסביבה מסוימת בתוך התחום, ובפרט היא גזירה שם אינסוף פעמים. היות שהחלקים הממשי והמדומה של פונקציה אנליטית הם פונקציות הרמוניות (לפי משוואות קושי-רימן), ניתן להסיק כי פונקציה הרמונית גזירה אינסוף פעמים.
משפט האינטגרל של קושי קובע שכל אינטגרל מסילתי של פונקציה אנליטית על מסלול סגור שהומולוגי לאפס שווה ל 0. בפרט, כל אינטגרל על מסילה רציפה וסגורה בתחום פשוט קשר שווה לאפס, ולכן ממשפט קושי ניתן להסיק מתי מרחב איננו פשוט קשר. נוסחת האינטגרל של קושי מהווה כלי לחישוב אינטגרל קווי של פונקציה מרוכבת. באמצעות הכללה שלה אפשר לחשב את כל הנגזרות של פונקציה אנליטית, ובכך למצוא טור טיילור שלה.
מחקר של נקודות סינגולריות של פונקציות מרוכבות מקנה כלים חזקים לחישוב הפונקציה עצמה, אינטגרלים קוויים ונגזרות שלה. אחד מהם הוא משפט השאריות, המאפשר לחשב אינטגרל מסילתי של פונקציה דרך נקודות הסינגולריות שלה. משפט חשוב נוסף הוא עקרון הארגומנט, המהווה גם הוא כלי לחישוב האינטגרל של פונקציה מרומורפית.
רב פפא
רב פָּפָּא (ד'נ"ו (296) - 370 או ד'קל"ו 376) נמנה עם הדור החמישי של אמוראי בבל במאה ה-4. למד תורה מפי אביי ורבא בישיבת פומבדיתא. כיהן כראש הישיבה בעיר נרש.
לאחר פטירת רבא, הקים ישיבה בנרש הסמוכה לסורא. ישיבה זו התקיימה עד למותו. לאחר מכן הועתקה על ידי רב אשי ל"מתא מחסיא", פרבר של העיר סורא. בשיעוריו של רב פפא בנרש השתתפו באופן קבוע מאתיים חכמים.
תולדותיו.
על פי מחקרו של אהרון היימן, נולד רב פפא בסביבות שנת ד'נ"ו (296) (תר"ט למניין השטרות). היימן מתבסס על העובדה שרב יוסף נפטר לפי המקובל בשנת ד'פ"ב 322 (תרל"ד לשטרות) ובתקופתו כבר נודע רב פפא בין החכמים הידועים ואם כך, היה לכל הפחות בן 25.
שנת פטירתו מחושבת על פי היימן כד'ק"ל (370) (תרפ"ב לשטרות), משום שעל פי המובא, רב פפא עמד בראשות הישיבה במשך תשע עשרה שנה לאחר פטירתו של רבא שנפטר בשנת ד'קי"א (355) (תרס"ג לשטרות); כך שיוצא שהוא נפטר בשנת ד'ק"ל וכפי שמובא בפירוש ב"ספר הקבלה" של הראב"ד.
על פי גרסה אחרת הוכתר רב פפא כראש ישיבה רק בשנת ד'קכ"ו (366) ועמד בראשותה במשך שתים עשרה שנים, עד שנת ד'קל"ה (תרפ"ז לשטרות). אולם, אהרון היימן מוכיח שקיימות סתירות בגרסה זאת ולפיכך היא שגויה. על פי חשבון זה, שנות חייו של רב פפא היו בסביבות 75 שנה.
אביו של רב פפא היה סוחר אמיד, ולא נודע כתלמיד חכם; בגמרא הוא מכונה על שם בנו כ"אבוה דרב פפא" והוא תמך בבנו כל ימי חייו (של האב). קיימת דעה המסתמכת ככל הנראה על אזכור של "רב פפא בריה דרב חנן מבי כלוחית" יחד עם רב שימי בר אשי במסכת כתובות, ששמו של האב היה רב חנן. אולם, הרב אהרון היימן חולק על דעה זו מכיוון שלטענתו רב שימי בר אשי הוא תלמיד של רב פפא ובאזכור המובא נראה שרב פפא בריה דרב חנן היה תלמיד של רב שימי בר אשי, ולא רבו.
על פי הערוך שם אימו הייתה אושפרתי. אולם, בעל היוחסין חולק על כך.
רב פפא עצמו התפרנס מייצור שיכר מתמרים, (למסחר זה ייחס את עושרו). בהמשך הוא סחר בזרעוני פרג. כל אלו הביאו לו עושר רב והוא היה יכול לתמוך בתלמידים עניים. כאשר עשה שותפות עם חברו ושכנו רב הונא בריה דרב יהושע התעשר גם הלה.
משפחתו.
לרב פפא היו שתי נשים, האחת בתו של העשיר אבא סוראה המוזכרת בתלמוד בהקשר נוסף (רב פפא הסביר את הסיבה שלא קיימים תשלומי צער לקטנה שפותתה, והעיד בשם אשתו זאת, כי מידת הצער המועט הנגרם לאשה בעת קיום יחסי אישות מרצון הוא "כלחם קשה שגורר את החיך"), ואישה נוספת שהייתה כוהנת ובזכותה אכל מתנת הזרוע לחיים וקיבה. לאחר נישואים אלו הוא התעשר ואת עושרו ייחס לנישואין אלו.
רב פפא אף השתדך עם חמיו אבא סוראה, והשיא את בנו (מאשתו השנייה) לבת חמיו, דהיינו, גיסתו אחות אשתו הפכה גם לכלתו, ואבא סוראה כתב לבתו זו כנדוניה את כל מה שהיה לו.
אשתו השנייה ילדה לו את בנו אבא מרי (היימן טוען שבן זו נולד מאשתו הראשונה), ואת בתו, אותה השיא לרב הונא בריה דרב נחמן. על בנו אבא מרי התבטא רב פפא, שמכיוון שידוע לו בבירור שאינו משקר לעולם, הוא יכול להסתמך עליו בדין תורה, ולכן אף על פי שאינו נאמן מדין עדות שהרי הוא עד יחיד, נאמנותו תועיל לגרום "ריעותא" - שיסודה מסברה, ויכולה להיגרם גם על ידי סברה שאדם כשר אינו משקר, ולכן אם זה יעיד על שטר שהוא פרוע יהווה הדבר ריעותא בשטר והוא לא יגבה בשטר זה.
עשרת בני פפא.
נוהגים להזכיר בסיום מסכת עשרה אנשים, בניו של פפא. . הקטע מוזכר לראשונה בדבריו של רב האי גאון. מקור אמירת עשרה שמות אלו לוט בערפל, ואף זהותם של נושאי השמות אינה תמיד ברורה. כבר רב האי גאון נשאל לגביהם, וענה כי אינם כולם בניו של רב פפא המפורסם, והזכיר כי על פי המסורת, יש באמירת שמותיהם סגולה לסייע כנגד השכחה. כמו כל מנהג שסיבתו איננו ידועה, הוצעו לו מספר הסברים. הרמ"א הציע כי רב פפא, שהיה עשיר, היה עורך סעודות סיום מסכת לעשרת בניו, ואף קישר בדרך הדרש בין שמות עשרת הבנים ובין עשרת הדברות ועשרת המאמרות שעמם נברא העולם, המוזכרים בפרק הרביעי של מסכת אבות. היו שסברו כי טעם הדבר משום שלרב פפא היו עשרה בנים וכולם זכו להיות תלמידי חכמים, אך לפחות חלק מהאנשים המוזכרים אינם יכולים להיות בניו של רב פפא הידוע, מפני שלפי המקורות חיו בתקופה קדומה יותר, בתחילת תקופת האמוראים. רפרם בר פפא, לדוגמה, היה תלמידו של רב חסדא בן הדור השני-שלישי, רכיש בר פפא היה ככל הנראה תלמידו של רב, אחא בר פפא, אבא בר פפא ואדא או חייא בר פפא מוזכרים בתלמוד בתואר "רבי" וחיו ככל הנראה בארץ ישראל, סורחב בר פפא היה ככל הנראה תלמידו של זעירי. טעם אחר הוא ששמם מרמז את עשרת הדיברות, כאשר שם רב פפא עצמו מרמז על התורה שבעל פה בראשי תיבות "פה אל פה אדבר בו".
הנהגתו.