הפרדוקס של ראסל הוא פרדוקס שהציע הפילוסוף והלוגיקן ברטראנד ראסל בשנת 1901, במכתב ששלח למייסדה של הלוגיקה המתמטית, גוטלוב פרגה. לפרדוקס הייתה השפעה מכרעת על התפתחותה של תורת הקבוצות ועל התפתחות המתמטיקה בכלל. פרגה, שקיבל את מכתבו של ראסל זמן קצר לפני השלמת הכרך השני של ספרו "יסודות האריתמטיקה", הבין שגישתו המקורית, המכונה היום תורת הקבוצות הנאיבית, מביאה לסתירה, וויתר על השלמת הספר.
מוסכמה בסיסית בתורת הקבוצות קובעת שקבוצה מוגדרת על-פי האיברים השייכים לה. ראסל התייחס להנחה יסודית אחרת, שלפיה אפשר (לכאורה) להגדיר קבוצה באמצעות כלל שיקבע מהם האיברים השייכים לה.
הפרדוקס.
כדי להציג את הפרדוקס של ראסל, נאמר שקבוצה גדולה היא קבוצה הכוללת את עצמה כאיבר, וכל קבוצה אחרת (כלומר, שאיננה איבר של עצמה), היא קבוצה קטנה.
ראסל הגדיר את קבוצת כל הקבוצות הקטנות, formula_1, ושאל:
אם formula_1 קבוצה קטנה, הרי שלפי הגדרתה כקבוצת כל הקבוצות הקטנות היא כוללת את עצמה כאיבר, אבל אז היא קבוצה גדולה לפי ההגדרה. מאידך, אם formula_1 קבוצה גדולה עליה לכלול את עצמה כאיבר, אבל זו סתירה לכך שכל האיברים ב-formula_1 הם קבוצות קטנות. בכל מקרה מתקבלת סתירה. במילים אחרות, ההנחות שלפיהן הקבוצה formula_1 קיימת וחייבת להיות קטנה או גדולה, מוליכות לסתירה.
ניסוח פופולרי ממיר את מושגי תורת הקבוצות בסיפור על הספר בעיירה הנידחת: בעיר נידחת היה ספר אשר עבד רק בשביל אנשי העיירה והוא היה הספר היחיד בעיירה. לספר היה חוק מיוחד במספרה: הספר לא מספר אדם בעיירה שמספר את עצמו, ומספר כל אדם שלא מספר את עצמו. השאלה המתבקשת היא: מה קורה כאשר הספר צריך להסתפר?
אז לפי חוקי מספרתו, אם הספר מספר את עצמו אז הוא אמור לא לספר את עצמו, אבל אם הוא לא מספר את עצמו אז הוא אמור לספר את עצמו, ומגיעים לסתירה.
גישות לפתרון הפרדוקס.
הלוגיקאים שבאו בעקבות תובנתו של ראסל, וראסל עצמו בראשם, הבינו שמקור הפרדוקס הוא באפשרות לאסוף איברים בכל דרך לכדי בנייה של קבוצה. כדי למסד את תורת הקבוצות באופן שלא יכיל סתירות, יש צורך להגדיר באופן מסודר אילו אוספים יכולים להיחשב לקבוצות. בתחילת הדרך היו כמה גישות לסוגיה זו, כמו למשל תורת הטיפוסים.
בהמשך התברר שהגישה היעילה ביותר היא תורת הקבוצות האקסיומטית שפיתחו צרמלו ופרנקל. במסגרת זו, אחת האקסיומות החשובות היא אקסיומת ההפרדה, המאפשרת לבנות קבוצה חדשה על ידי ליקוט איברים של קבוצה קיימת. מנקודת מבט זו, הפרדוקס של ראסל מוכיח ש'קבוצת כל הקבוצות' אינה קיימת, משום שאחרת אפשר היה לבנות ממנה את קבוצת כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן, שאינה קיימת לפי הפרדוקס.
פרדוקס זה ודומים לו שינו כליל את פני תורת הקבוצות מתורה שבה כל הקבוצות נבנות מתוך קבוצה אוניברסלית, 'קבוצת כל הקבוצות' ותת-קבוצות שלה לתורה שבה כל הקבוצות נבנות מתוך קבוצה ריקה וקבוצות המכילות אותה.
רעיון דומה לפרדוקס של ראסל מאפשר להוכיח שקבוצת החזקה של קבוצה formula_7 היא לעולם גדולה מן הקבוצה formula_7 עצמה, וזהו תוכנו של משפט קנטור.
יהודה הלוי
רבי יהודה בן שמואל הלוי (נכתב בר"ת: ריה"ל; שמו בערבית: אבו אל-חסן אל-לאוי, أبو الحسن اللاوي; 1075 – 1141 בקירוב) היה משורר ופילוסוף בתור הזהב של יהדות ספרד, מגדולי הכותבים היהודים בימי הביניים ובכלל.
יצירתו המרכזית היא האפולוגטיקה הפילוסופית "ספר ההוכחה והראיה להגנת הדת הבזויה והשפלה" (ספר הכוזרי), וכן קינות כמו "ציון הלא תשאלי" ושירים מפורסמים אחרים.
תולדות חייו.
ריה"ל נולד בסוף המאה ה-11, בעיר טולדו או בטודלה שבצפון ספרד, למשפחה אמידה ומלומדת. הוא זכה לחינוך מקיף גם בתחום היהדות וגם בתחום ההשכלה הכללית-הערבית. חוקרים רבים משערים שהיה תלמידו של פרשן ופוסק התלמוד רבי יצחק אלפסי.
בשנות חייו הראשונות נדד ריה"ל בספרד כמשורר שכיר בחצרות של נכבדים באירועים חשובים. הוא נפגש עם משה אבן עזרא, גדול המתודולוגים של השירה בזמנו, ועל מפגש זה מסופר שמספר משוררים ערכו תחרות: הם לקחו שיר של משה אבן עזרא, שהוא קשה מאוד מבחינה תבניתית וניסו לחקות אותו. ריה"ל זכה בתחרות, שלח את השיר למשה אבן עזרא וזה הזמינו אליו. סיפור זה אכן טיפוסי לתקופת חייו הראשונה, בה חיבר הרבה שירי חשק ושירי יין.
ריה"ל התחבר למשוררים יהודיים ובהיותו רופא צעיר, התקבל בכבוד גדול בטולדו, שם נהנה מהפריחה הכלכלית שהתרחשה תחת מלך קסטיליה והנסיכים הנוצרים. איש חסדו היה שלמה אבן פרוציאל, שר בחצרו של אלפונסו ה-6. ב-1108 נרצח אבן פרוציאל בעת היותו בשליחות. ריה"ל כתב לו הספד בן 73 בתים ובו הביע זעם רב כלפי האליטה הנוצרית "ישפך אלוהים מטר זעם עלי בת אדום\שרשה ירצץ וקצץ את אמיריה\ישיב לחיקה גמול בשכול ואלמון\וישכיב כל המונה ככל צלמי אשריה". לאחר מכן עזב את טולדו ועבר לדרום ספרד, אל העיר קורדובה, שם עסק ברפואה ובמסחר. חוג ידידיו הלך וגדל והוא נעשה לדמות של מתווך תרבות בין משכילי הדרום ויהודי הצפון. כמעט בכל מקום שהגיע אליו, התקבל בהערצה.
ריה"ל התחבר במיוחד עם רבי אברהם אבן עזרא (ראב"ע), והם נדדו יחדיו בספרד המוסלמית ובמגרב. ראב"ע אף מזכיר את ריה"ל מספר פעמים בפירושו למקרא (כגון בפירושו לשמות ט, א; כ, א; דניאל ט, ב). קיימת טענה כי ריה"ל אף השיא את בתו לבנו של ראב"ע (יצחק בן אברהם אבן עזרא). דבר זה נתון במחלוקת בין החוקרים.
רבי שלמה פרחון בהקדמה לספרו "מחברת הערוך" מזכיר אף הוא את ריה"ל וראב"ע כרבותיו, ואף מספר על שיחותיו עם ריה"ל בענייני שירה כשבאו ריה"ל וראב"ע אליו לאפריקה.
בשיר "לך נפשי בטוחה או חרדה" יש רמזים רבים על צאצאיו ובני משפחתו.
נסיעתו למזרח.
משום כמיהתו הגדולה לעלות לארץ ישראל (ראו שירו "לבי במזרח") עלה רבי יהודה הלוי ב-1140 על האוניה לכיוון המזרח. בים חיבר שירי-הים על חיות מוזרות. הוא הגיע למצרים באלול 1140 וסביבו נוצר מיד חוג מעריצים משכילים, ביניהם ידידו-תלמידו חלפון הלוי מדמיאט, אשר הפצירו בו להישאר במצרים. לפי יוסף יהלום, גם יצחק בן אברהם אבן עזרא הגיע לאלכסנדריה ונתלווה אל הלוי לקהיר, אבל בניגוד אליו נשאר בה. בכסלו של סוף 1140 נסע יהודה הלוי לפוסטאט ובתחילת חודש סיוון 1141, על פי מכתבים מהגניזה הקהירית, עלה על אנייה לכיוון ארץ ישראל. לאחר מספר ימי עיכוב בהיעדר רוח מתאימה, הפליגה האנייה ביום הראשון של חג השבועות. שלמה דב גויטיין מסיק ממכתב נוסף שנמצא בגניזה שריה"ל נפטר בחודש אב של אותה שנה. המכתב הראשון שנמצא, המזכיר את מותו של ריה"ל הוא מחשוון 1141. במכתב זה נאמר: "ולא נעלם ממנה אודות רבנו יהודה הלוי הצדיק החסיד זק"ל". גויטיין מציין שנוסח זה רומז לכך שריה"ל לא מת מוות טבעי. מעבר לכך לא ידוע מה עלה בגורלו של ריה"ל, והגעתו לארץ ישראל אינה וודאית. לפי ישפה, "בגניזת קהיר נשתמרו קינות ואיגרות המזכירות את מותו של ר' יהודה הלוי, ומהן אפשר להסיק כי הוא נפטר במצרים ונקבר בה בחודש אב ד' תתק"א (יולי 1141). ואולם חוקרים ובהם שלמה דב גויטיין, יוסף יהלום ועזרא פליישר סבורים שהמשורר אכן הגיע לארץ ישראל (דרך נמל עכו) וייתכן שמת בירושלים. גויטיין מנמק את השערתו בכך שהלוי הגיע לארץ-ישראל, שכן אילו חזר למצרים הדבר מן הסתם היה משאיר רושם. עד גילוי ההתייחסויות לריה"ל מהגניזה שיערו החוקרים שרבי יהודה הלוי לא הגיע לארץ ישראל.
נסיבות מותו של רבי יהודה הלוי אינן וודאיות והביאו לריבוי של סיפורים בהם אגדה ומציאות מתערבבים בלי היכר. לדוגמה גדליה בן יוסף אבן יחיא, בן המאה ה-16, מספר על נסיבות מותו של רבי יהודה הלוי:
החוקרים מתייחסים לעדות זאת בספקנות רבה, בין השאר משום שארץ ישראל הייתה תחת שלטון הצלבנים באותה תקופה.
מקום קבורתו.
המקור הקדום ביותר למקום קבורת רבי יהודה הלוי הוא בספר המסעות של בנימין מטודלה, שביקר באזור בסביבות 1170, כ-30 שנה לאחר פטירתו של רבי יהודה הלוי. הוא כותב כי בטבריה נמצא קברו של רבי יוחנן בן זכאי וקברו של רבי יהודה הלוי. במקורות מאוחרים יותר מהמאה ה-15 צוינו מקומות אחרים כמקום הקבורה, ב"ספר יוחסין" לרבי אברהם זכות בן המאה ה-15 כתב, כי רבי יהודה הלוי קבור ליד רבי יהודה בר אילעאי בצפת., אבל לפי האיגרת של רבי יצחק אבן אלפרא משנת 1441 שנדפסה גם היא ב"ספר יוחסין" הוא קבור סמוך לרבי אברהם אבן עזרא בכפר כבול.
הנצחתו.
יצירתו ודמותו של רבי יהודה הלוי זכתה ליצירות ספרותיות ולמחקרים רבים, וכן לתיאור אמנותי פלסטי ברחבי העולם, כמו גם במוזיאון ראלי "זיכרון ספרד" בקיסריה, שם מוצב פסל של יהודה הלוי.
על שמו רחובות רבים בערים בישראל, וכן המושב בית הלוי בשרון. בעיר קורדובה בספרד קרויה כיכר עירונית על שמו.
יצירתו.
ריה"ל חי בין שלושה מאורעות עיקריים שהטביעו את חותמם על עם ישראל בתקופה זו:
שלושת המאורעות הללו עיצבו את מחשבתו של ריה"ל וקבעו בה היררכיה של חשיבות.
שיריו.
שיריו של רבי יהודה הלוי נאספו בקובץ שירים הנקרא "דיוואן". אוסף השירים הראשון העיקרי של רבי יהודה הלוי נקרא "דיוואן מחנה יהודה" והוא נאסף על ידי חייא אלדאודי, שהיה מצאצאי ראש הגלות שברחו לספרד ומייסד שושלת בני חייא (משפחות דון יחיא וחרל"פ). כל שירי רבי יהודה הלוי הודפסו במהדורה מודרנית על ידי ישראל זמורה שחילק את שירי רבי יהודה הלוי לעשרה ספרים/חטיבות כמו שירי ציון, שירי דודים, שירי ידידות, יוצרות, קרובות ועוד.
רבים משיריו בנויים על אקרוסטיכון של שמו (יהודה).
משיריו.
פיוטים לשבת
פיוטים לסליחות
קינות
שירת הבקשות ופיוטים שונים
ספר הכוזרי.