במהלך שנות השישים והשבעים בסילשווילי פיתח תדמית של שחקן קומי אירוני, המגלם בעיקר דמויות של משכילים עם מאפיינים טרגיים. ב-1969 זכה בתואר האמן המצטיין של רוסיה ובשנת 1977 - בתואר האמן העממי של רוסיה. בסוף שנות השבעים הגיע לשיא ההצלחה בסרטים "אהבה במשרד" (Служебный роман), "ימי משפחת טורבין" (Дни Турбиных; עיבוד לספרו של מיכאיל בולגקוב), אובלומוב (Обломов; עיבוד לספרו של איוון גונצ'רוב) ומרתון סתווי (Осенний марафон).
ההצלחה של בסילשווילי בקולנוע המשיכה גם לאחר מכן, בסרטים "אמרו מילה על ההוסאר המסכן" (О бедном гусаре замолвите слово) ו"תחנת רכבת לשניים" (Вокзал на двоих). בנוסף לקומדיות, בסילשווילי השתתף גם בתפקידים רציניים: בסדרת הטלוויזיה "עימות" (Противостояние) גילם חוקר משטרה רוסי שמחפש אחר אזרח סובייטי שסייע לנאצים בתקופת מלחמת העולם השנייה ולאחר מכן הפך לרוצח סדרתי ובסדרה המשחק הגדול (Большая игра) - עיתונאי שמנסה לסקר ביושר ובאומץ ניסיון הפיכה צבאית במדינה דמיונית בדרום אמריקה. בשנת 1984 זכה בתואר האמן העממי של ברית המועצות.
בסילשווילי השתתף בכמה מהסרטים הסובייטיים הידועים והסמליים ביותר של תקופת הפרסטרויקה. ביניהם הקומדיה החברתית שליח (Курьер), שבה גילם אבי משפחת משכילים אמידה שבתו מתאהבת בבחור ממשפחה פשוטה; סיפור האהבה הבלתי אפשרי הציג את השחיתות בברית המועצות ואת כישלון המהפכה הסוציאליסטית שהבטיחה לבטל את המעמדות. סרט בולט אחר מהתקופה הוא הקומדיה האוונגרדית הנועזת "העיר זרו" (Город Зеро), שבה בסילשווילי גילם סופר מקומי שגר בעיר רוסית קטנה והזויה. הסרט הוצג מעט בבתי קולנוע בברית המועצות וקיבל בזמנו ביקורות שליליות, אך עם הזמן הפך לסרט פולחן.
בשנת 1990 קבוצת אזרחים שתמכו בפרסטרויקה ובדמוקרטיה ביקשה מבסילשווילי להתמודד לבחירות לוועידת צירי העם, הפרלמנט החדש של רוסיה, שהיה אמור להיות המרכיב המרכזי במעבר של רוסיה לדמוקרטיה רב מפלגתית. בסילשווילי נענה להצעה, התמודד בבחירות באזור בחירה בלנינגרד וזכה. הוא כיהן בתפקיד עד שהנשיא בוריס ילצין פיזר את הוועידה בתום המשבר החוקתי של 1993.
לאחר פרישתו מחיים פוליטיים פעילים, בסילשווילי המשיך לבטא בציבור את דעותיו הליברליות ובבחירות שנערכו לאחר מכן הביע תמיכה פומבית במפלגת ברית כוחות הימין. הוא גם המשיך בקריירת המשחק. הסרט הבולט בתקופה המאוחרת בפעילותו הוא חלומות (Сны) - קומדיית מדע בדיוני פרועה המציגה באור גרוטסקי את הקריסה החברתית ברוסיה של ראשית שנות התשעים. בשנת 2005 גילם את וולנד בסדרת הטלוויזיה האמן ומרגריטה של הבמאי ולדימיר בורטקו; סדרה זו הייתה לאחד העיבודים המצליחים והמוערכים לרומן של בולגקוב.
פונקציית מדרגות
פונקציית מדרגות היא פונקציה על המספרים הממשיים שניתן להציגה כצירוף ליניארי סופי של פונקציות מציינות של קטעים. בניסוח פחות פורמלי, פונקציית מדרגות היא פונקציה קבועה למקוטעין, על גבי מספר סופי של קטעים. הפונקציה קרויה פונקציית מדרגות משום שהגרף של הגרסה המונוטונית שלה נראה כמדרגות במבט מהצד.
הגדרה.
פונקציה formula_1 קרויה פונקציית מדרגות אם ניתן לכתוב אותה בצורה:
כאשר formula_4 ו-formula_5 הם מספרים ממשיים, formula_6 הם קטעים, formula_7 היא הפונקציה המציינת של formula_8:
בהגדרה זו ניתן להניח שהקטעים formula_6 מקיימים שתי תכונות:
אם לא מתקיימות הנחות אלה, ניתן לבחור אוסף אחר של קטעים שיקיים אותן. דוגמה: את הפונקציה
ניתן לכתוב כ:
דוגמאות.
פונקציית הערך השלם אינה פונקציית מדרגות, משום שיש בה מספר אינסופי של קטעים.
הדרך שלא נבחרה
ממשלת לטביה
ולאדיס זאטלרס
עונג שבת (יהדות)
שדה הילברטי
בתורת השדות, שדה הילברטי הוא שדה, שהאברים שלו כלליים מספיק כדי להעיד על אי-פריקות של פולינומים.
השדות ההילברטיים קרויים על-שמו של הילברט, שהוכיח תכונה זו ב-1892 עבור שדה המספרים הרציונליים.
ההגדרה.
פולינומים בכמה משתנים.
פולינום במשתנה אחד מתפרק לגורמים אם אפשר לכתוב אותו כמכפלה של פולינומים שאינם סקלרים; אחרת הוא אי-פריק. אותן הגדרות חלות גם על פולינומים בכל מספר של משתנים. לדוגמה, formula_1 פריק, ואילו formula_2 הוא אי-פריק.
אי-פריקות והצבות.
אם formula_3 הוא פולינום בשני משתנים מעל שדה formula_4 המתפרק לגורמים formula_5, אז לכל הצבה של ערך formula_6 במשתנה formula_7, גם הפולינום formula_8 מתפרק למכפלה formula_9.
באופן כללי, ייתכן שהפולינום formula_3 פריק, ובכל זאת formula_8 אי-פריק, משום שהצבת formula_12 הופכת את אחד הגורמים לסקלר. כך למשל
formula_13 פריק, ואילו formula_14 אי-פריק. תופעה כזו אפשרית רק למספר סופי של הצבות, ולכן, אם הפולינום formula_8 אי-פריק לאינסוף ערכים של formula_16, אז גם הפולינום formula_3 אי-פריק.
מאידך, לא תמיד אפשר לזהות אי-פריקות של פולינום באמצעות הצבות. לדוגמה, הפולינום formula_18 אי-פריק, בעוד שמעל שדה המספרים הממשיים כל הפולינומים
formula_19 (עבור formula_20) הם פריקים. בשדה הילברטי, אם formula_3 אי-פריק, אז יש הצבות formula_22 כך שגם formula_8 אי-פריק.
ההגדרה המדויקת כללית יותר, ומכלילה תכונה זו לכמה משתנים.
הגדרה.
נניח שפולינום formula_24 במשתנים formula_25 ו-formula_26 מעל שדה formula_4 הוא אי-פריק. אומרים שהאיברים formula_28 מעידים על אי-הפריקות, אם לאחר ההצבה, הפולינום formula_29 אי-פריק.
השדה formula_4 הוא הילברטי אם לכל מערכת סופית של פולינומים אי-פריקים formula_31 במשתנים formula_25 ו-formula_26, ולכל פולינום formula_34, יש הצבה formula_35 המקיימת formula_36, ומעידה על אי-הפריקות של כל הפולינומים formula_37.
לתכונת ההילברטיות הגדרות שקולות רבות. למשל, די לדרוש שלכל פולינום אי-פריק formula_24 במשתנים formula_39 ו-formula_7 תהייה הצבה formula_12 המעידה על אי-הפריקות של formula_24.
שדות הילברטיים.
כל הרחבה סופית של שדה הילברטי היא הילברטית. כל הרחבה טרנסצנדנטית טהורה (אמיתית) של שדה כלשהו, היא הילברטית. מטענות אלה (יחד עם המשפט של הילברט שלפיו שדה המספרים
הרציונליים הילברטי) נובע שכל שדה אינסופי נוצר סופית הוא הילברטי. כל הרחבה אבלית של שדה הילברטי היא הילברטית. כל הרחבה סופית (אמיתית) של הרחבת גלואה הילברטית היא הילברטית.
לעומת זאת, שדה המספרים הממשיים (או כל שדה פיתגורי) אינו הילברטי לפי הדוגמה שניתנה לעיל. גם השדות הסופיים (ממאפיין formula_43) אינם הילברטיים, משום שהפולינום האי-פריק formula_44 מתפצל לגורמים ליניאריים בכל הצבה של ערך במקום formula_7. שדות מהצורה formula_46 אינם הילברטיים.
ג'ונתן דייטון
ג'ונתן דייטון (באנגלית: Jonathan Dayton; 16 באוקטובר 1760 - 9 באוקטובר 1824) היה פוליטיקאי אמריקאי, חבר בבית הנבחרים של ארצות הברית מטעם מדינת ניו ג'רזי ואחד החותמים על חוקת ארצות הברית והצעיר שבהם. על שמו נקראת העיר דייטון.
חייו.
דייטון נולד באליזבת, ניו ג'רזי. הוא עזב את הלימודים בקולג ניו ג'רזי בשנת 1775 כדי השתתף במלחמת העצמאות של ארצות הברית ושנה אחר כל זכה לתואר אוניברסיטאי של כבוד.
במהלך המלחמה שירת תחת פיקודו של אביו, אליאס דייטון, בחטיבה השלישית של ניו ג'רזי. בגיל 19 קיבל דרגת קפטן (מקבילה לסרן בצה"ל).
לאחר המלחמה למד משפטים והתעסק במרבית זמנו במשפטים, כלכלה ופוליטיקה. במהלך חייו רכש קרקעות רבות ברחבי ארצות הברית. את הקריירה הפוליטית שלו החל כאשר היה בן 26. הוא נבחר לנציג בקונגרס הקונטיננטלי והשתתף בועידת פילדלפיה בשנת 1787. הוא היה החבר הצעיר ביותר בוועידה. הוא הפך למחוקק בולט מטעם המפלגה הפדרליסטית.
בשנת 1789 נבחר לחבר בבית הנבחרים של ארצות הברית אך החליט לוותר ונכנס לבית הנבחרים רק בשנת 1791 לאחר שנבחר בפעם השנייה. הוא היה הדובר של הקונגרס הרביעי והחמישי. כמו רוב הפדרליסטים גם דייטון היה תומך נלהב של אלכסנדר המילטון. דייטון תמך ברכישת לואיזיאנה בשנת 1803.
בשנת 1807 דייטון נעצר בחשד לבגידה במדינה לאחר שנטען שניסה לעזור לארון בר בניסיון להקמת מדינה עצמאית במערב ארצות הברית. הוא מעולם לא נשפט על זה אך הקריירה הפוליטית שלו תמה.
דייטון מת בעיר הולדתו בשנת 1824 ונקבר ב'כנסיית סנט ג'ון' בקבר לא ידוע.
העיר דייטון, אוהיו נקראת על שמו מכיוון שבמהלך חייו הוא רכש 1,000 ק"מ רבועים שעליהם נבנתה העיר וזאת למרות שהוא מעולם לא ביקר בה.
מספר ציקלי
מספר ציקלי (בבסיס נתון) הוא מספר שלם בן n ספרות באותו בסיס, שכל כפולה שלו במספר קטן מ-n מתקבלת על ידי העברת ספרות מראש המספר אל זנבו. למספרים ציקליים קשר לשברים עשרוניים מחזוריים כמוסבר בהמשך הערך.
המספר הציקלי הקטן ביותר (בבסיס B=10) הוא 142857; אכן, הכפולות של המספר הזה הן 285714, 428571, 571428, 714285 ו-857142, כולן סיבובים של המספר עצמו. מספרים ציקליים גדולים יותר, כמו המספר הציקלי 0588235294117647, פותחים בכמה אפסים מובילים.
יש נוסחה המאפשרת לכתוב את כל המספרים הציקליים. לכל מספר ראשוני p זר ל-10, יש למספר 10 סדר בחבורת אוילר של p. הסדר הזה הוא t החיובי הקטן ביותר כך ש-formula_1. לפי משפט אוילר, הסדר של 10 תמיד מחלק את p-1. אומרים ש-10 יוצר של חבורת אוילר (של p) אם הסדר שלו הוא הערך המקסימלי האפשרי, כלומר p-1.