למעשה, במערכת אקסיומטית, הריגורוזיות לא תורמת במאומה לרעיון ההוכחה. לפי השקפתם של חברי ניקולא בורבאקי, המתמטיקה העיונית היא בפני עצמה ההוכחה.
כלליות וערטילאיות.
אחת התפישות המרכזיות במתמטיקה העיונית היא רעיון הכלליות; לעיתים יחולו מגמות הקוראות להגברת הכלליות:
השפעתה של הכלליות על האינטואיציה תלויה הן בסובייקט והן בהעדפה אישית או סגנון הלימוד. לעיתים, כלליות נתפשת כמכשול לאינטואיציה, על אף שהיא יכולה לשמש כעזר, במיוחד במקרים בהם היא תספק אנלוגיה לנושא אחר בו כבר פותחה אינטואיציה.
עוד דוגמה נבחרת לכלליות ניתן למצוא בעבודתו של פליקס קליין בשם תוכנית ארלנגן בה עמל קליין על הרחבה של מושג הגאומטריה כך שיכיל גם גאומטריות לא-אוקלידיות, את ענף הטופולוגיה, וצורות אחרות של גאומטריה על ידי השקפה של גאומטריה כמחקר של חלל בצוותא עם חבורה של טרנספורמציות. חקר המספרים, הקרוי אלגברה בשלבי הלימודים התיכוניים, מתרחב לאלגברה מופשטת בשלב מתקדם יותר; וחקר הפונקציות הקרוי חשבון אינפיניטסימלי, הופך לאנליזה מתמטית ואנליזה פונקציונלית בשלב מתקדם יותר. לכל אחד מהענפים האבסטרקטיים הללו ישנם תתי-תחומי התמחות כך שישנם בפועל קשרים רבים בין הדיסציפלינות העיונית והשימושית. עלייה חדה בזרם האבסטרקציה נרשמה באמצע המאה ה-20 והיא מתבטאת במגוון תחומי חיים ולא רק במתמטיקה.
עם זאת בפועל, התפתחויות אלה הובילו לסטייה חדה מתחום הפיזיקה, במיוחד בין השנים 1950–1980. מאוחר יותר, המגמה הזאת ספגה ביקורת מצד ולדימיר ארנולד שהגדירה "יותר מדי הילברט, ולא מספיק פואנקרה". עושה רושם שהמחלוקת טרם נפתרה שכן תורת המיתרים מושכת לכיוון אחד, בעוד מתמטיקה בדידה מושכת לכיוון המנוגד אל עבר ההוכחה כמרכז.
פוריזם.
אחד הביטויים המובהקים למחלוקת המתמדת בין המתמטיקה העיונית לזו השימושית ניתן למצוא במסתו השנויה במחלוקת של המתמטיקאי ג. ה. הארדי "התנצלותו של מתמטיקאי".
נהוג לחשוב שהארדי החשיב את המתמטיקה השימושית כמכוערת ומשעממת. אולם, גם אם אין עוררין שהארדי העדיף את המתמטיקה העיונית, שתדירות הוא השווה לציור או שירה, הוא פשוט ראה את ההבדל בין שתי הגישות בכך שמתמטיקה שימושית ביקשה להביע אמת פיזית באמצעות מתווה מתמטי, בעוד שמתמטיקאים עיוניים הביעו אמיתות בלתי תלויות בעולם האמיתי. הארדי ניסח דיכוטומיה בין מה שהוא קרא מתמטיקה "אמיתית" דהיינו כזאת ש"יש לה ערך אסתטי קבוע" לבין "החלקים הבנאליים והמשעממים של המתמטיקה" להם שימושים פרקטיים בחיי היומיום.
הארדי התייחס גם לפיזיקאים מסוימים, כגון איינשטיין ודיראק, כמתמטיקאים "אמיתיים", אך בזמן כתיבתו את "ההתנצלות" הוא החשיב את תורת היחסות הכללית ומכניקת הקוואנטים כחסרי תועלת, מה שהתיר לו להמשיך להחזיק בדעה שרק מתמטיקה "בנאלית" היא שימושית. יתר על כן, כאשר החל במפתיע יישומן של תורת המטריצות ותורת הקבוצות לענפי פיזיקה שונים, הודה הארדי שיום יבוא בו תיתכן מתמטיקה יפה ו"אמיתית" שתוכל להיות מיושמת.
תובנה מעניינת נוספת על הנושא הוצעה על ידי אנדי מאגיד:
"תמיד חשבתי שמודל מוצלח לאנלוגיה כאן יכול להילקח מתורת החוגים. בנושא זה, תת-שדות קומוטטיבים (חילופיים) ולא-קומוטטביים יפורשו על ידי צופה הדיוט כדיכוטומיה בעוד שלמעשה האחרון מכיל את הראשון: חוג לא קומוטטיבי הוא חוג-לא-בהכרח-קומוטטיבי. אם נרחיב את מוסכמה זו לנושא המתמטיקה השימושית וה"לא-שימושית", נוכל להגדיר את המתמטיקה העיונית כ"מתמטיקה לא-בהכרח-שימושית"."
תחומים במתמטיקה העיונית.
אלגברה מופשטת חוקרת קבוצות בצוותא עם הפעולות הבינאריות שהן מגדירות. קבוצות ופעולותיהן הבינאריות ניתנות לסיווג על-פי תכונותיהן: לדוגמה, אם מופעלת פעולה אסוציאטיבית על קבוצה שמכילה איבר יחידה ואיברים הופכיים עבור כל יחס של הקבוצה, אז הקבוצה והפעולה נחשבים להיות חבורה. מבנים נוספים כוללים חוגים, שדות, ומרחבים וקטוריים.
גאומטריה היא חקר צורות ומרחב, ובפרט חקר קבוצות של טרנספורמציות של המרחב. לדוגמה, גאומטריה פרויקטיבית עוסקת בטרנספורמציות היטליות שפועלות על המישור ההיטלי האמיתי בעוד שאינוורסיה עוסקת בקבוצה של טרנספורמציות היפוכיות הפועלות על המישור המורכב. הגאומטריה התרחבה וכיום כוללת גם את ענף הטופולוגיה אשר עוסק באובייקטים הקרויים מרחבים טופולוגיים ומפות רציפות ביניהם. עיקר עניינה של הטופולוגיה הוא באופן בו מרחבים מתחברים ומתעלמת מחישובים מדוקדקים של מרחק וזוויות.
תורת המספרים היא התאוריה של המספרים השלמים החיוביים. היא מבוססת על רעיונות דוגמת התחלקות וקונגרואנציה (יחס שקילות). המשפט היסודי של האריתמטיקה מציין שכל שלם חיובי ניתן לפירוק לגורמיו הראשוניים ושאותה פקטוריזציה ראשונית היא ייחודית רק לו. מבחינות מסוימות, תורת המספרים הוא הענף הכי נגיש מבין תחומי המתמטיקה העיונית: לדוגמה, השערת גולדבך ניתנת להבנה בקלות (גם אם טרם הוכחה או הופרכה). מאידך, במובנים מסוימים תורת המספרים היא הדיסציפלינה הכי פחות נגישה לציבור הרחב; לדוגמה הוכחתו של אנדרו ויילס (שאורכה כמאה עמודים) שלמשוואתו של פרמה אין פתרונות לא-טריוויאלים דורשת הבנה בתבניות אוטומורפיות, שעל-אף זיקתן לטבע, טרם נמצא להן יישום בפיזיקה.
שלושת הגונות
אשר שמעון מזרחי
החלוקה המנהלתית של ויסקונסין
החלוקה המנהלתית של מדינת ויסקונסין שונה במעט מן החלוקה השגרתית של שאר מדינות ארצות הברית. כמו בכל שאר המדינות, המדינה מחולקת למחוזות. שלא כמו בשאר המדינות, המדינה מתחלקת אף לתתי-חלוקות שונות, שלא בהכרח חופפות אלו לאלו, כאשר לכל חלוקה יש שימוש אחר, בהיבטים שונים של החוק, מערכת האכיפה, המיסים ועוד.
להלן החלוקות השונות שבמדינה.
מחוז.
המחוז היא יחידת החלוקה הבסיסית במדינה, כאשר המדינה נחלקת ל-72 מחוזות בסך הכל. לכל מחוז יש מושב מחוז, בדרך כלל בעיר הגדולה או ביישוב הגדול שבמחוז, בו מרוכזים משרדי הממשלה הנוגעים למחזז.
לכל מחוז ישנו ועד לוגיסטי הנבחר אחת לשנתיים (למעט מחוז מילווקי הבוחר בנציגיו אחת לארבע שנים). בנוסף, לכל מחוז יש נציג מבצע, הנבחר או ממונה (תלוי במחוז). בנוסף, נבחרים שאר נציגי הציבור, בדרך כלל אחת לארבע שנים.
אחריות המחוזות לרוב היא על השירות הסוציאלי, הכשרת עובדים וטיפול בקשישים. כמו כן, הטיפול בקרקעות הציבוריות, אכיפת החוק ותחזוקת הכבישים אף הם ברשות המחוז, בתיאום עם הרשויות.
עיר.
בוויסקונסין, כל עיר מהווה ישות אוטונומית ביחס למחוזות בה היא שוכנת, וחוקיה חלים על שטחה. כמו כן לעיר נבחרי ציבור משלה, וחוקי הבחירה שונים. בנוסף לזה, לעיר מילווקי יש זכויות נוספות מיוחדות שאין לאף עיר במדינה. נכון ל-2009, בוויסקונסין יש 190 ערים.
לעיר יש זכות לקביעת מרבית החוקים, בכל ענייניה ביחס לחוקי המדינה (לעומת החוקים הפדרליים, כמובן). כך, שמערכות אכיפת החוק, המיסים ומערכת המשפט של כל עיר נפרדות כמעט לחלוטין משל שאר המדינה.
בתוך חלוקה זו, ישנן ארבע דרגות:
ניתן לחרוג מהגדרות אלו, ובכל אופן, כל שינוי בדרג העיר מחייב אישור המושל והנפקת מנשר מטעם ראש העיר. בגלל זה, העיר מדיסון, על אף שאוכלוסייתה היא למעלה מ-150,000 תושבים, עדיין נחשבת כעיר מדרג ב'.
כדי להחשב כעיר, על העיר להכיל לפחות 1,000 תושבים בשטח חקלאי, או 5,000 תושבים בשטח עירוני.
כפר.
בוויסקונסין, לכפר סמכות משלו על פני המחוז (או המחוזות) בו הוא נמצא, לעניין מיסים וחוקי הכפר. נכון ל-2009 בוויסקונסין 403 כפרים.
יישוב.
כל שאר המדינה שאיננו מאוגד בעיר או בכפר, נחשב ליישובים, כמו בשאר חלקי ארצות הברית. נכון למפקד 2009, בוויסקונסין יש 1,258 יישובים.
ליישובים, בניגוד לערים ולכפרים, אין סמכות שיפוטית או מנהלתית כנגד סמכויות המדינה, והלכה למעשה הם מנוהלים בידי מושל המדינה. עם זאת, בסמכות היישוב להעניק שירותי יתר על פני יישובים אחרים, אך שלא בסתירה לחוקי המדינה. כמו כן, היישוב שומר בידו את הזכות להחזיק ולתפעל את שטחי המדינה שבחלקו.
פעמים רבות, בעקבות התרחבות ערים או כפרים, יישובים שלמים "נבלעים" ומתאגדים בתוך כפר או עיר. כך שמספרם ושטחם יכול להשתנות בקצב גבוה יחסית.
חלוקות מיוחדות שונות.
בנוסף לחלוקות הללו, המדינה מחולקת בצורות שונות, לא בהכרח הקשורות למבנה המדינה או לתושבים הגרים בה, ופעמים שמחוזות הללו חוצים ערים ויישובים, כך שמחצית העיר האחת במחוז אחד, והחצי השני במחוז האחר.
החלוקה מיועדת עבור שימושים שונים, כגון: חלוקה לבתי ספר, תמיכה באולמות ספורט, ביוב והדברת מזיקים.
בית בקהיר
בית בקהיר (בערבית: بين القصرين - תעתיק לעברית - בין אלקצרין, תרגום לעברית - בין שני הארמונות) הוא רומן מאת הסופר המצרי נגיב מחפוז, שיצא לאור בשנת 1956. רומן זה הוא הכרך הראשון מבין שלושת הכרכים, אשר מהווים את הטרילוגיה הקהירית של נגיב מחפוז, אשר נחשבת בידי רבים ליצירתו הספרותית הגדולה והחשובה ביותר של הסופר.
עלילת הספר.