לאחר דורות נוספים של לימוד הלכה, המסורות הפרשניות וההלכתיות לגבי המשנה התגבשו לחיבור נפרד - התלמוד. הן בתלמוד הבבלי והן בתלמוד הארצישראלי ('הירושלמי'), המשנה היא הבסיס לכל, ועליה מושתתים הדיונים השונים. עם זאת, התלמודים עסקו בעיקר בחלקי המשנה הנוגעים להלכה, ועל כן לחלק מן המסכתות הדיון התלמודי הוא חלקי, או שכלל לא קיים.
בנוסף לתפקידה ההלכתי, משמשת המשנה כיום במחקר גם כמקור ידע לגבי אורחות החיים ולגבי השפה של התקופה שבה נכתבה.
במסכת אבות מובא שתחילת גיל לימוד המשנה הוא עשר שנים:
גם כיום בחינוך הדתי והחרדי מקובל ללמוד את המשנה החל מהחינוך היסודי.
בגלל הדגש של לימוד משנה לילדים, גופים שונים יצרו דברים על מנת להנגיש את המשנה לילדים, יצאו מהדורות של משנה לילדים עם ציורים, פרויקט של לימוד משנה בוואטסאפ וכן תוכנית טלוויזיה בשם רצים למשנה.
מבחינת סדרי הלימוד הקבועים, יש שנוהגים ללמוד מספר משניות קבוע או מספר קבוע של פרקים מדי יום, כך למשל במסגרת קביעותא - המפעל ללימוד המשנה היומית בו לומדים בכל יום שתי משניות - מחזור בן כ-6 שנים, או משנה אחת להשלמת הש"ס ללומדי הדף היומי, או מספר משניות קבוע ללימוד כל שישה סדרי משנה בתוך שנה - מסלולים אלו נכללים בשם: משנתית - משנה בשנה. יש הלומדים שמונה עשר פרקי משנה בכל יום כך שהם מסיימים את ששת סדרי משנה בכל חודש.
שינון משניות בעל פה.
אחת השיטות הנפוצות ללימוד משנה, בייחוד בציבור התורני היא באמצעות שינון בעל פה. לימוד בצורה כזו עושה שימוש בטכניקות של חזרה, מתוך ההנחה שככל הלומד יחזור על החומר הנלמד, הוא יהיה מסוגל לזכור אותו יותר טוב. הנחה זו נשענת על העובדה שחשיפה חוזרת ונשנית למידע מסוים הנמצא בזיכרון לטווח קצר אכן מגדילה את הסיכוי שישלף בצורה מוצלחת מהזיכרון לטווח הארוך. לימוד בצורה כזו מאפשר ללומדים לקיים את דברי התלמוד: . בנוסף, על פי החפץ חיים אחד היתרונות של לימוד בעל פה הוא במצבים מיוחדים: .
ישנן מסגרות חינוך כמו שיטת זילברמן ושיטת זכרו ששינון משניות בעל פה הוא מרכיב מרכזי בשיטה החינוכית שלהם.
נוסח המשנה.
כתבי יד של המשנה.
מקובל לחלק את עדי הנוסח של המשנה לשני סוגים – הטיפוס המזרחי, הכולל משניות שהועתקו בכתבי היד של התלמוד הבבלי; והטיפוס המערבי, הארצישראלי, הכולל כתבי יד של "סדר משנה", כלומר כתבי יד של משניות בלבד ללא תלמוד. בין הטיפוסים השונים ישנם הבדלים בתוכן ובלשון, ולפיכך לחלוקה זו נודעת משמעות הן לחקר נוסח המשנה ועריכתה, והן לחקר לשון המשנה. כמו כן מקובל להשוות את הסדר של המשניות ולשונם לזה של התוספתא המקבילה, שהיא בעיקרה נוסח ארצישראלי מערבי.
רוב כתבי היד של "סדר משנה" הם מהמאה ה-13 ואילך, ורק מספר כתבי יד מוקדמים יותר קיימים בידינו כיום. העתיק מכולם והחשוב שבהם הוא כתב יד קאופמן, שזמן כתיבתו מוערך למאה ה-11-12 לספירה. זהו כתב יד המכיל את כל נוסח המשנה למעט דף אחד, בתוספת ניקוד שככל הנראה התווסף מאוחר יותר. כתב היד שוכן כיום בספרית האקדמיה למדעים בבודפשט. כתב יד נוסף הוא כתב יד פַּארמה, המכיל אף הוא את כל נוסח המשנה, אשר נכתב ככל הנראה במאה ה-11 באיטליה. החלק הראשון של כתב היד מנוקד ניקוד מלא, והשאר בניקוד חלקי. גם בכתב יד זה משערים שהניקוד התווסף מאוחר יותר. ניקודו הוא "ספרדי", כלומר הוא נוטה לבלבל בין פתח לקמץ ובין צירי לסגול. כתב יד מאוחר יותר הוא כתב יד קיימברידג' (CUL Ms. Add. 470,1) משנת 1350 לספירה לערך (מכונה גם "כתב יד לו" על שם המהדורה של כתב היד שהוציא לאור ויליאם הנרי לו [Lowe]). כתב יד זה אינו מנוקד ותחילה היו שחשבו שהוא מזויף. שלושת כתבי היד הללו כוללים את כל שישה סדרי המשנה למעט חוסרים מקומיים. בנוסף להם, יש כתבי יד שכוללים יחידות קצרות יותר, כגון כתב יד פרמה ב המכיל את סדר טהרות.
שלושת כתבי יד אלו מייצגים בעיני החוקרים, את הנוסח הארצישראלי של המשנה.
כתבי יד מוקדמים, אם כי חלקיים, הם כתבי יד שנמצאו בגניזה הקהירית, שחלקם נכתבו עוד מימי הגאונים.
מהדורות מדעיות של נוסח המשנה.
עם התקדמות מחקר מדע התלמוד נוצר צורך ליצור מהדורה מדעית מדויקת של נוסח המשנה, מתוך השוואה פילולוגית של כתבי היד המדויקים. מהדורה מדעית אחידה על כל המשנה לא נערכה עדיין, אבל מסכתות אחדות יצאו במהדורות מדעיות כעבודות דוקטורט וכספרים: סוכה (מנחם צבי פוקס), נידה (תרצה מיטשם), עבודה זרה (דוד רוזנטל), אהלות, שבת, עירובין (אברהם גולדברג), אבות (שמעון שרביט), כתובות (ירחמיאל ברודי), שקלים (אליעזר פינצ'ובר). פרופ' דוד רוזנטל השלים את עבודתו על מהדורה מדעית של כל סדר נזיקין, אך זו טרם ראתה אור.
שני ניסיונות להוציא מהדורה מדויקת של המשנה נעשו עד כה:
מפרשי המשנה.
למשנה נכתבו פירושים רבים, אם כי פחות מאשר לתלמוד הבבלי. סיבה אפשרית אחת לכך היא שהבנת המשנה פשוטה יחסית, והיא כתובה בעברית ארץ ישראלית. סיבה אפשרית אחרת היא שהתלמוד הבבלי הפך לנושא המרכזי הנלמד, והבסיס הישיר לספרי הפוסקים (כגון הרי"ף, הרמב"ם ובעלי התוספות), ולכן עליו נכתבו רובם המכריע של הפירושים. המאסף הוא הפירוש הקדום ביותר המצוי בידינו על כל שישה סדרי משנה.
הקלאסיים שבהם:
סיבוכיות
במדעי המחשב, סיבוכיות (באנגלית: complexity) היא כלי מדד מתמטי של משאבי המערכת הנחוצים לפתרון בעיה נתונה באמצעות מחשב. המשאב העיקרי הנבחן הוא זמן הריצה, כלומר נבחן משך הזמן הנחוץ לשם ביצוע האלגוריתם. משאב נוסף הוא הזיכרון הנחוץ לשם ביצוע האלגוריתם. ניתן להביא בחשבון משאבים נוספים, כגון כמה מעבדים נחוצים לשם פתרון הבעיה בעיבוד מקבילי. התורה החוקרת סיבוכיות קרויה תורת הסיבוכיות. ענף הסיבוכיות נבדל מענף החישוביות, שבו נבחנת השאלה האם ניתן בכלל לפתור בעיה נתונה, בלא קשר לכמות המשאבים הנחוצה.
מאפייני הסיבוכיות.
בעיה, בהקשר זה, היא קבוצה של שאלות בעלות קשר הדוק. דוגמה: בעיית הפירוק לגורמים היא: כאשר נתון מספר שלם כלשהו, הצג את כל הגורמים הראשוניים שלו. שאלה ספציפית קרויה מופע של הבעיה. דוגמה: השאלה "הצג את הגורמים של המספר 15" היא מופע של בעיית הפירוק לגורמים.
סיבוכיות הזמן של בעיה נתונה היא מספר הצעדים הנחוצים לפתרון מופע שלה כפונקציה של גודל הקלט של מופע זה, תוך שימוש באלגוריתם היעיל ביותר למטרה זו. אם לפתרונו של מופע שאורך הקלט שלו הוא formula_1 סיביות נחוצים formula_2 צעדים, סיבוכיות הזמן שלו היא formula_2. מספר הצעדים המדויק תלוי במחשב המסוים שישמש לפתרון הבעיה. כדי להימנע מהתייחסות למחשב מסוים נהוג להשתמש במודל מתמטי עבור מחשב: מכונת טיורינג. בנוסף, כדי להימנע מחישובים טכניים מדי ומכיוון שעיקר העניין הוא הקצב שבו כמות המשאבים הנדרשים גדלה ככל שהקלט לבעיה גדל, נהוג לסמן את סיבוכיות הזמן באמצעות סימון אסימפטוטי שמייצג סדר גודל של זמן הריצה, ולמדוד את זמן הריצה על פי מספר הביצועים של פעולות בסיסיות (כמו ביצוע פעולה אריתמטית, קריאת ערך של תא בזיכרון וכדומה). בצורה זו סיבוכיות הזמן מייצגת את הזמן הנחוץ לפתרונה בכל מחשב מסוים (עד כדי הכפלה או הוספה של קבוע שתלוי ברמת הביצועים של המחשב המסוים הזה), כך שהסיבוכיות המוצגת אינה תלויה במחשב שישמש לפתרון הבעיה ואינה מציגה את הזמן הדרוש לפתרון הבעיה בשניות, אלא מייצגת את סדר הגודל של הזמן הנחוץ לפתרון הבעיה כפונקציה של אורך הקלט.
דוגמה: לכיסוח דשא יש סיבוכיות ליניארית, משום שהכפלת שטח הדשא מכפילה את הזמן הנחוץ להשלמת המשימה. לחיפוש במילון, לעומת זאת, יש סיבוכיות לוגריתמית בבסיס 2: בהנחה שהמחפש מחפש במילון בחיפוש בינארי, הכפלת גודל המילון תוסיף רק צעד אחד - פתיחת המילון באמצעו - למספר הצעדים הנחוץ לביצוע החיפוש, משום שצעד זה מקטין לחצי את גודל הבעיה.
דוגמה זו ממחישה שלבעיות שונות עשויה להיות רמת סיבוכיות שונה. הטבלה הבאה מציגה רמות אחדות של סיבוכיות בסדר יעילות יורד (formula_1 הוא גודל הקלט, formula_5 הוא קבוע גדול מ-1):
כאשר רמת הסיבוכיות של בעיה היא פולינומית (או פחות מזה) הבעיה נחשבת כבעלת פתרון "יעיל", משום שהגדלת אורך הקלט אינה מביאה לשינוי דרמטי בזמן הנחוץ לפתרון הבעיה. לעומת זאת, כאשר לבעיה סיבוכיות מעריכית (אקספוננציאלית), שינוי קטן באורך הקלט מביא לשינוי מהותי בזמן הנחוץ לפתרון הבעיה. לדוגמה, כאשר הזמן הנחוץ לפתרונה של בעיה הוא formula_6 (סיבוכיות מעריכית) הגדלת אורך הקלט ב-1 מביאה להכפלת הזמן הנחוץ לפתרון הבעיה.
סוגים שונים של סיבוכיות.
בנוסף לסיבוכיות זמן וסיבוכיות מקום שהוזכרו קודם, ישנם סוגים נוספים של מדדי סיבוכיות המשמשים בעיקר להבטחת איכות תוכנה. הבולט שבהם הוא סיבוכיות קוד. סיבוכיות קוד הוא מדד המאפיין את המורכבות של קוד תוכנה, ולמימושים שונים של אותו אלגוריתם יכולים להיות ערכי סיבוכיות קוד שונים, למרות שסיבוכיות המקום והזמן תישאר זהה.
סוג נוסף של מדד סיבוכיות הוא סיבוכיות תקשורת המודדת את כמות המידע העוברת בין שני צדדים המשתתפים בפתרון בעיה.
יישומים לבעיות עם סיבוכיות גבוהה.