אחותה היא שחקנית הכדורגל והדוגמנית קארין סנדל.
מזאראקי
תבנית פיסטר
במתמטיקה, תבנית פיסטר (Pfister form) היא תבנית ריבועית הנתונה על ידי מכפלת מספר סופי של תבניות בעלות צורה אלכסונית formula_1. כך מתקבלת תבנית מממד חזקת 2, שיש לה תפקיד מרכזי בחקר המרחבים הריבועיים והמבנה שלהם.
תבניות פיסטר יוצרות בחוג ויט את האידיאלים formula_2, ולכן יוצרות את המנות formula_3, ומתקשרות דרכן ל-תורת K של חוגים.
תבניות פיסטר יוצרות את אידיאל הפיתול בחוג ויט. התבניות מממד נמוך מופיעות גם כנורמות באלגברות הרכבה.
הגדרה.
יהי formula_4 שדה ממאפיין שאינו 2.
עבור formula_5, התבנית הריבועית בעלת הצורה האלכסונית formula_1 נקראת תבנית פיסטר מסדר ראשון, ומסומנת formula_7. תבנית פיסטר מסדר formula_8 היא מכפלה טנזורית של formula_8 תבניות מסדר ראשון, כלומר מהצורה formula_10, עבור formula_11.
התבנית מהצורה formula_12 היא מרחב היפרבולי.
תכונות ומבנה.
לתבניות פיסטר תכונות שימושיות רבות, המראות עד כמה חשוב המבנה שלהן.
תכונות.
ראשית, מתקיימת "כמעט אדטיביות", כלומר formula_13. תכונה זו מראה כי הדיסקרימיננטה היא הומומורפיזם של חבורות formula_14. בפרט, מתקיים formula_15 ו-formula_16 לכל formula_17.
באופן כללי, תבניות פיסטר מסדר formula_8 יוצרות (כחבורה אדיטיבית) את האידיאלים formula_19, משום שכל תבנית מסדר 2 ניתן לכתוב כתבנית פיסטר formula_20.
התבנית formula_21 היא סכום של ריבועים; משפט הורוויץ קובע כי תבנית כאלו הן כפליות אם ורק אם ממדן הוא formula_22. בממד 2, כל התבניות הכפליות הן תבניות פיסטר ורק הן.
מבנה.
נציג מספר משפטי מפתח חשובים על תבניות פיסטר המובילים למסקנות מעניינות.
משפט - תהי formula_23 תבנית פיסטר, אז ניתן לכתוב formula_24. אז מתקיים formula_25 אם ורק אם formula_26 מתקבל כערך של formula_27.
כמסקנה מקבלים:
"משפט": אם תבנית פיסטר איזוטרופית, אז היא היפרבולית.
המשפט הבא מראה כי אוסף הערכים שמקבלת תבנית פיסטר סגור למכפלה.
משפט - נסמן ב-formula_28 את אוסף הערכים שהתבנית מקבלת, וב-formula_29 את החבורה formula_30. אם formula_31 תבנית פיסטר מתקיים formula_32.
כ"מסקנה", נובע כי אם formula_23 תבנית פיסטר אז formula_34 סגורה לכפל . תכונה זו נקראת תכונת הכפליות של תבניות פיסטר.
משפט: התכונות הבאות שקולות:
המשפט הבא נותן מידע על הממד של תבניות.
משפט: הממד של תבנית לא היפרבולית ב-formula_2 הוא לפחות formula_40. אם הוא שווה ל-formula_40, התבנית היא בהכרח תבנית פיסטר.
מסקנה: formula_42
הקשר לתורת K.
לתבנית פיסטר קשר הדוק לתורת K.
הן מספקות העתקה formula_43, הנתונה על ידי formula_44.
לפי השערת מילנור, ההעתקה המהווה אפימורפיזם, ובעלת גרעין formula_45, ולכן מתקבל איזומורפיזם formula_46, כאשר formula_47.
עוגיית שבבי שוקולד
שוקולד צ'יפס
הרכבת התחתית של ורשה
הרכבת התחתית של ורשה (בפולנית: Metro Warszawskie) משרתת את ורשה, עיר הבירה של פולין. היא כוללת כיום שני קווים. הקו הראשון M1 נפתח בשנת 1995 ומתמשך ממרכז העיר אל פרבריה הצפוניים והדרומיים. הקו השני M2 נחנך ב-8 במרץ 2015, כאשר הוא כולל 7 תחנות בעוד ש-27 תחנות מתוכננות להיפתח בהמשך. בשנת 2013 התקיימו ברכבת 250 אלף עד 571 אלף נסיעות מדי יום.
תולדות הרכבת.
הרעיון להקים בורשה רכבת תחתית הועלה לראשונה סמוך לאחר שפולין זכתה מחדש בעצמאותה בשנת 1918. ב-1925 החלה עבודת התכנון של הרכבת ועבודות ההקמה היו צפויות להתחיל בשלהי העשור, אך נדחו בשל השפל הכלכלי הגדול. ב-1934 נפח רוח חיים במיזם ראש העירייה החדש של ורשה, סטפן סטרז'ינסקי (Stefan Starzyński). התוכנית המחודשת כללה הקמת שבעה קווים במהלך 35 שנים. העבודות להקמת הקו הראשון החלו ב-1938 והיו אמורות להסתיים במחצית שנות הארבעים, אך מלחמת העולם השנייה שמה קץ לתוכנית השאפתנית. המנהרות הקצרות שנחפרו לפני פרוץ המלחמה משמשות כיום כמרתפי יין.
בפולין הקומוניסטית שלאחר מלחמת העולם השנייה הוכנו מספר תוכניות להקמת הרכבת התחתית בורשה, אשר היו שונות במידה רבה מהתוכנית שנהגתה לפני המלחמה, וחלקן כללו חפירת מנהרות בעומק רב. רק עבודות חפירה והקמה מעטות באו בעקבותיהן והן לא הבשילו לכדי הקמת מערכת רכבת פעילה.
קשיים כלכליים בפולין עיכבו את קידום הקמת הרכבת התחתית בורשה בשנים רבות נוספות, ורק בשנת 1984, בשלהי השלטון הקומוניסטי, החלו העבודות להקמת הקו הראשון. הן התנהלו באיטיות רבה והוא נחנך לאחר 11 שנים, ב-1995, כשאורכו 11.1 קילומטרים ובו 11 תחנות.
קווים.
קו מס' 1 הוארך מאז פתיחתו, והקטע שהופעל בו בראשיתו מהווה כיום את מחציתו הדרומית של הקו. עד 2006 הוא הוארך בשבעה קילומטרים נוספים, וב-2008 הסתיימה הקמת הקו כולו, באורך כולל של 22.7 קילומטרים. הקו חוצה את כל העיר מדרום לצפון, ממערב לוויסלה, ולאורכו 21 תחנות. עוד צפויות לקום לאורכו שתי תחנות נוספות (מוראנוב ופלאץ קונסטיטוציי), שבנייתן הושעתה בזמנו בשל קשיי מימון. תחנת Centrum נמצאת במרחק הליכה של כ-200 מטרם מתחנת הרכבת ורשאבה שרודמיישצ'ה (Warszawa Śródmieście - "ורשה מרכז העיר"), וכ-400 מטרים מתחנת הרכבת המרכזית של העיר.
העבודות להקמת קו מס' 2, בכיוון מזרח-מערב, החלו ב-2010 והמימון להקמתו הגיע בעיקר מהאיחוד האירופי. הקו יצטלב עם קו מס' 1 בתחנת שוויינטוקז'יסטקה (Świętokrzystka - "הצלב הקדוש") ויעבור מזרחה משם במנהרה מתחת לנהר ויסלה, ויגיע לאצטדיון הלאומי ולרובע פראגה. השלמת חלקו הראשון של הקו באורך של 6.1 קילומטרים ובו שבע תחנות צפויה במהלך 2015. בהמשך יוארך הקו והוא מתוכנן להגיע לאחר סיומו לאורך של 32 קילומטרים ולכלול 21 תחנות נוספות. חלקו המזרחי יתפצל לפי המתוכנן לשתי זרועות.
על פי המתוכנן תכלול הרכבת בסופו של דבר ארבעה קווים באורך כולל של 100 קילומטרים.
עבור הרכבת נבנה דפו (Depot) יחיד, הנמצא בקצהו הדרומי של קו מס' 1.
ציוד נייד.
הקטרים והקרונות הראשונים ששימשו ברכבת התחתית היו מתוצרת ברית המועצות ונמסרו לפולין במתנה מספר שנים לפני הפעלת הרכבת. בשנת 1998 הוזמנו קרונות וקטרים חדשים מחברת אלסטום הצרפתית וכולם סופקו עד 2005. כיוון שהקרונות הסובייטיים והצרפתיים אינם ניתנים לחיבור זה עם זה, הוזמנו ב-2006 קרונות נוספים מתוצרת רוסיה, כדי להשלים את הרכבות הסובייטיות המתיישנות. בשנת 2011 הוזמנו קרונות וקטרים חדשים מתוצרת תאגיד סימנס. סך הכל ברשות הרכבת התחתית 276 קרונות המופעלים ב-46 מערכים של שישה.
כפפת סייבר
כפפת סייבר (באנגלית: wired glove או cyberglove) היא התקן קלט לאינטראקציות אדם-מחשב, אשר עוטים על היד כמו כפפה.
מגוון חיישנים מטכנולוגיות שונות קולטים נתונים פיזיים, כגון כיפוף האצבעות, מיקום היד והתנועה שלה במרחב. בדרך כלל בכפפה מותקן חיישן תנועה, כגון מערכת מעקב מגנטית או מערכת ניווט אינרציאלית, כדי לקלוט את נתוני המיקום והסיבוב של הכפפה. המחוות של המשתמש מפוענחות על ידי תוכנה שמחוברת לכפפה, באופן חוטי או אלחוטי, כך שלכל תנועה ניתן פירוש.
כפפות סייבר משמשות לרוב בסביבות של מציאות מדומה. בנוסף, את מחוות היד השונות ניתן להפוך למידע שימושי, כגון זיהוי שפת הסימנים או תפקודים סימבוליים אחרים. כפפות סייבר יקרות ומתוחכמות יכולות לספק משוב בעזרת רטט, ועל ידי כך ליצור הדמיה של חוש המישוש. כך יכולה הכפפה לשמש גם כהתקן פלט.
היסטוריה.
כפפת Sayre, שנוצרה על ידי בשנת 1977, הייתה כפפת הסייבר הראשונה בעולם.
בשנת 1982 הוציא תומאס ג. צימרמן פטנט על חיישן אופטי גמיש המחובר לכפפה ומסוגל למדוד כיפוף אצבעות. יחד עם ג'רון לנייר שילב צימרמן בכפפה טכנולוגיה על-קולית וטכנולוגיה מגנטית למעקב אחר מיקום היד, וכך נוצרו בהתאמה, ה-Power Glove וה-Data Glove.
אחת מכפפות הסייבר הראשונות שנמכרו לקהל הרחב הייתה כפפת הסייבר של נינטנדו (Power Glove), שיצאה לשוק ב-1987. זו הייתה כפפת משחק בקונסולת משחקי הווידאו של נינטנדו - Nintendo Entertainment System. לכפפה היו חיישן תנועה וחיישני כיפוף אצבעות, וכן כפתורים בחלק העליון שלה. כמו כן, החיישנים ב-PowerGlove שימשו חובבי מחשב ליצירת כפפות סייבר משלהם.
חלופות.
אחת החלופות לכפפות סייבר היא שימוש במצלמה ובראייה ממוחשבת כדי לעקוב אחר המנח התלת-ממדי והמסלול של היד. שיטה זו אינה מאפשרת משוב תחושתי של המשתמש. בשל המחיר הגבוה של מרבית הכפפות המסחריות, הציעו החוקר ויטור פמפלונה ליצור התקן קלט חדש: כפפת סייבר מבוססת תמונה (IBDG). המפתחים חיברו מצלמה לידו של המשתמש וסמן חזותי על כל אצבע, ובאמצעות טכניקות של ראייה ממוחשבת הצליחו להעריך את המיקום היחסי של קצות האצבעות. מרגע שמתקבל מידע על המיקום של קצות האצבעות, יכולים החוקרים ליישם חוקים של קינמטיקה הפוכה כדי לשחזר את תנועת האצבעות של המשתמש בעולם וירטואלי. כאשר מוסיפים התקן העוקב אחר תנועה ניתן למפות את המנח התלת-ממדי של היד ואת התנועה שלה. בשיטה זו ניתן לשחזר ברמת דיוק גבוהה כמעט את כל המחוות והמנחים של היד בעלות נמוכה יחסית.
תרבות פופולרית.
בסרט דו"ח מיוחד, המבוסס על סיפור מאת פיליפ ק. דיק, מופיע שימוש בכפפות אלחוטיות כדי לשלוט בכלים ממוחשבים עתידניים.
כפפת הסייבר של נינטנדו (Nintendo Power Glove) נראתה בסרטים "" משנת 1991, "The Wizard" מ-1998 ובסרט "קוראים לי בטהובן" משנת 1992.
רוטווייל