הפולינומים הסטנדרטיים ב-n משתנים הם formula_3 (כאשר formula_4): סכום של formula_5 מונומים ממעלה r. את הפולינום formula_6, ששורשיו הם המספרים formula_7, אפשר לכתוב בצורה formula_8, ומכיוון שפולינום קובע את שורשיו, נובע מכך שאוסף הפונקציות הסימטריות ב-formula_9 קובע את המשתנים הללו, עד כדי סדר.
המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים קובע שכל פולינום סימטרי אפשר להציג (באופן יחיד) כפולינום בפולינומים הסטנדרטיים. ניוטון רמז לטענה כזו, ואחריו טיפל בכמה מקרים גם אדוארד וארינג (Meditationes Algebraicae, 1782). את המשפט הוכיח גאוס, במסגרת טיפולו במשפט היסודי של האלגברה.
מן המשפט הזה אפשר להסיק תוצאות דומות על פונקציות רציונליות סימטריות (כולן פונקציות רציונליות של הפולינומים הסטנדרטיים), ועל פונקציות סימטריות במשתנים formula_10 (כולם פונקציות במשתנים formula_11).
ב-1629 הגדיר Albert Girard את הפונקציות הסימטריות formula_12. ניוטון חקר פונקציות כאלה ב-1665-1666, והציג את התוצאות שאליהן הגיע בספרו Arithmetica Universalis, 1707. ניוטון סיפק גם נוסחה רקורסיבית להצגת formula_13 במונחי הפונקציות הסימטריות.
הדיסקרימיננטה ופולינומים כמעט סימטריים.
בין הפולינומים הסימטריים, יש חשיבות מיוחדת לדיסקרימיננטה של המספרים formula_9, המוגדרת כמכפלה formula_15. לפי ההגדרה, השורש הריבועי formula_16 הוא פולינום במשתנים formula_9, ואילו הדיסקרימיננטה עצמה היא פולינום סימטרי, שאפשר לבטא במונחי הפולינומים הסטנדרטיים. למשל, עבור n=2 מתקיים formula_18, ואילו עבור n=3
formula_19. שורש הדיסקרימיננטה אינו סימטרי, משום שהוא נשאר קבוע רק תחת הפעלה של תמורה זוגית: לכל תמורה formula_20 מתקיים formula_21 (זו הבחנה של Jacobi, 1841). היעקוביאן של הפונקציות formula_22 לפי המשתנים formula_9 הוא שורש הדיסקרימיננטה.
כהכללה של המשפט היסודי, כל פונקציה שאינה משתנה תחת הפעלת תמורות זוגיות אפשר לכתוב בצורה formula_24, כאשר f,g פונקציות סימטריות.
זוראב מנתשאשווילי
דנבולה
דנבולה או β באריה (נקרא גם גליזה 448 או LHS 2462) הוא הכוכב השלישי בבהירותו בקבוצת הכוכבים אריה ומייצג את זנבו. שמו של הכוכב הוא שיבוש של שמו בערבית ذنب الاسد - דנב אל-אסד, כלומר זנב האריה. למרות שהוא פחות בהיר מהכוכב γ באריה הוא קיבל את ציון באייר β באריה.
תכונות.
דנבולה הוא כוכב צעיר יחסית לשמש שגילו מוערך במאות מיליוני שנים בלבד. זהו כוכב הסדרה הראשית מסוג ספקטרלי A3 V, צבעו לבן - כחלחל ועוצמת ההארה שלו היא פי 12 משל השמש. תכונותיו דומות לשל אלטאיר, אך מרחקו יותר מכפול, כ-36 שנות אור לעומת מרחק של 16 שנות אור לאלטאיר, ולכן בהירותו נמוכה בהרבה, כרבע משל אלטאיר.
עוצמת ההארה של דנבולה משתנה במעט מאוד במחזוריות של מספר שעות במנגנון דומה לזה של δ במגן, אך ההשתנות קטנה מכדי להיות מורגשת וניתן להבחין בה רק באמצעות מכשירי מדידה רגישים. את הכוכב מקיפה דיסקת אבק קר (כ-120 קלווין) הפולטת קרינה בתחום התת-אדום, בדומה לכוכבים צעירים דומים כמו וגה או β בכן-ציור. בשל כך ובשל מרחקו הקטן יחסית, מהווה הכוכב מטרה לחקר תהליכי היווצרות כוכבי לכת.
בטא באריה
אלי שוורץ
אלי שוורץ (נולד ב-1950) הוא רופא ומדען ישראלי, ממפתחי ומובילי תחום רפואת המטיילים והרפואה הטרופית בארץ. שוורץ ידוע בתחומו בעולם ונמצא בצמרת הארגונים העולמיים העוסקים בתחומים אלו. לשעבר מנהל המרכז לרפואת מטיילים ומחלות טרופיות במרכז הרפואי שיבא.
ביוגרפיה.
שוורץ נולד בירושלים וסיים את לימודי הרפואה שלו באוניברסיטת תל אביב. עם תום לימודיו נסע ללונדון ללמוד בבית הספר להיגיינה ורפואה טרופית, שם קיבל תעודת DTM&amp;H. לאחר מכן בילה שנתיים בנפאל שם התמקצע בתחום הרפואה הטרופית. שוורץ פרסם למעלה ממאתיים מאמרים מדעיים בתחום התמחותו.
שוורץ הוא בנו של משה שוורץ ואחיו של יוסף שורץ.
איגודים מקצועיים.
שוורץ משמש כנשיא האגודה הישראלית לפרזיטולוגיה, פרוטוזואולוגיה ומחלות טרופיות., כיהן כנשיא האגודה הבין-לאומית לרפואת מטיילים של אזור אסיה והפסיפיק (APTHS) וחבר מייסד של האגודה הבינלאומית לרפואת מטיילים (ISTM) בעבר אף כיהן כראש ועדת החינוך המקצועי בה. כיום הוא חבר בשתי ועדות באגודה: ועדת תו מבחן ידע וועדת הכשרה מקצועית וחינוך. כמו כן הוא חבר המערכת של כתב העת לרפואת מטיילים (JoTM).
ברשת הבקרה המשותפת ל-ISTM ולמרכז לבקרת מחלות ומניעתן (CDC) הנקראת GeoSentinel, שוורץ הוא מנהל אזור ישראל.
פעילויות נוספות.
שוורץ משמש כיועץ למשרד החוץ ולממשלות במדינות טרופיות. במסגרת זו טיפל בין היתר בחיילי או"ם באנגולה, במנהיג אריתריאה ובנפגעי רעש האדמה בהאיטי, פעילויות אשר היה בהן ערך דיפלומטי בנוסף לרפואי.
כמו כן הוא משמש כמנהל פורום רפואת מטיילים באתר ynet. וכמנהל מרפאת המטיילים "מעוז" בירושלים.
יעקב בר יוסף הרופא
הרב יעקב בן רבי יוסף הרופא (נפטר בבגדאד בו' בתשרי תרי"ב, 1851) היה דיין ופוסק מפורסם בבגדאד, חיבר חיבורים תורניים רבים. היה תלמידם המובהק של רבי משה חיים ושל רבי ראובן בן רבי דוד נאווי. תלמידו המפורסם היה הרב עבדאללה סומך.
יעקב בר יוסף נפטר ממחלה, ונקבר בחצר קברו של יהושע בן יהוצדק כהן-גדול, שלפי המסורת קבור בבגדאד.
אחת מבנותיו, הרבנית אסתר, נישאה לרב משה שמאש, לימים רבה הראשי של קהילת עיראק.
טרנס הווארד
טרנס דאשון הווארד (באנגלית: Terrence Dashon Howard; נולד ב-11 במרץ 1969) הוא שחקן, ראפר ומפיק מוזיקלי אמריקאי. את קריירת המשחק שלו החל בתחילת שנות ה-90, ותפקידו המשמעותי הראשון היה בסרט "סימפוניית החיים" משנת 1995, מה שהביא לפריצתו במיינסטרים ולמועמדות לפרס אוסקר לשחקן הטוב ביותר על תפקידו בסרט "מלחמות הראפ" לשנת 2005.
ביוגרפיה.
הווארד נולד בשיקגו, אילינוי וגדל בקליבלנד, אוהיו. הוא בנם של אניטה ויליאמס וטיירון הווארד, אשר שניהם ממוצא מעורב של אפרו-אמריקאים. בילדותו, סבל הווארד מגזענות. סבתה רבא שלו, מיני ג'נטרי הייתה שחקנית תיאטרון וקלנוע, וממנה שאב את אהבתו למשחק. כשהיה בן 3, דקר אביו למוות אדם כאקט של הגנה עצמית, כתוצאה מכך ישב אביו במעצר במשך אחד עשר חודשים בעוון הריגה. הוריו של הווארד התגרשו עם שחרורו של אביו, והוא גדל אצל סבתא רבתא שלו. היא נפטרה במהלך 2008.
בגיל 16 הצהיר הווארד באופן חוקי על עצמאותו, ושנתיים מאוחר יותר עבר לניו יורק, כדי להתמקד בקריירת המשחק שלו.
קריירה.
משחק.
תפקידו הראשון בעולם הבידור היה במיני סדרה של ABC "The Jacksons: An American Dream", שם גילם את דמותו של המוזיקאי ג'קי ג'קסון. את פריצת הדרך שלו עשה שלוש שנים מאוחר יותר, בשנת 1995, עם הופעתו בסרט "סימפוניית החיים" ובסרט "שטרות לוהטים" בכיכובו של כריס טאקר. ב-1998 שיחק בסרט הטלוויזיה "מלך העולם" של רשת ABC על פי ספרו של דייוויד רמניק אותו המתאגרף מוחמד עלי, אותו גילם הווארד.
בשנת 2002 הופיע בוידאו קליפ, "Foolish" של אשנטי, ובשנת 2005 הופיע בווידאו קליפ, "Be Without You", של מרי ג'יי בלייג', וכן היה מועמד על משחקו בסרט "מלחמות הראפ" לפרס אוסקר לשחקן הטוב ביותר בשנת 2005. בשנת 2008 הנחה את התוכנית של PBS, "Independent Lens", וביצע את הופעת הבכורה שלו בברודוויי. בשנת 2009 שיחק בתפקיד ראשי בסרט "לחימה", דרמת אקשן בכיכובו של צ'נינג טייטום.
בשנים 2015–2020 שיחק במהלך שש עונות בסדרת הדרמה עטורת השבחים "אימפריה", ברשת פוקס, כשהוא מגלם את לושיוס ליון, ראש אימפריית מוזיקה.
ב-2016 שיחק בסרטו של פיטר בילינגסלי, "במנוסה".
מוזיקה.
הווארד ביצע שלושה שירים בסרט "מלחמות הראפ". את השיר "It's Hard Out Here For A Pimp" שנכתב על ידי ת'רי 6 מאפיה, ואף זכה בפרס אוסקר לשיר הטוב ביותר, ואת "Hustle And Flow (It Ain't Over)" ו-"Whoop That Trick", הנמצאים בפסקול הסרט. הוא החל לעבוד על אלבום משלו ממרץ 2007, והאלבום, "Shine Through It", אשר הושפע רבות מזמרי נשמה כמו מרווין גיי וקרטיס מייפילד יצא ב-1 בספטמבר 2008.
חיים אישיים.
הווארד גר מחוץ לפילדלפיה שבפנסילבניה, והיה נשוי ללורי מק'מונז' במשך 14 שנה. לזוג שלושה ילדים, שתי בנות ובן. הוא היה נשוי למק'מונז' מ-1989 עד לגירושיהם בשנת 2003, והשניים נישאו שוב ב-2005 ונפרדו בשנית. מק'מונז' יהודייה ומשתייכת לזרם עדי יהוה. בריאיון ל-NPR, הסביר הווארד את הרצון העז שלו להשתייך לאחד מאנשי עדי יהוה.
בפברואר 2009 דווח באתר בפלילים "The Smoking Gun" שבשנת 2001 נעצר האוורד בשל שורה של אישומים שונים בגין תקיפה אלימה של אשתו לשעבר. עוד כללו האישומים איומים, מעקב והטרדה. על פי דיווחי המשטרה הוא הגיע לביתה לאחר ויכוח שהתנהל ביניהם בטלפון, התפרץ לביתה בכוח ורדף אחריה עד לחצר האחורית שם הכה אותה בפניה באגרופיו. המתקפה האלימה הסתיימה רק לאחר התערבותו של אחיו של הווארד. בסופו של דבר הוא הורשע תחת סעיף "הפרת הסדר הציבורי" בלבד.
האירוע פורסם בהרחבה רק לאחר דיווח שלפיו הווארד עצמו הביע זלזול בזמר כריס בראון, לאחר שזה נעצר בגין תקיפה חמורה של חברתו, הזמרת ריהאנה ב-2009. לאחר הפרסום נשאל הווארד בראיון אודות האישומים בגין אלימות במשפחה כנגד בראון, הוא ענה לכתב: "אלה החיים, גבר. כריס הוא בחור נהדר. הוא יהיה בסדר, וריהאנה יודעת שהוא אוהב אותה, אתה מבין? הם יהיו בסדר".
אפרים ושיץ