הבסיס הבינארי, שבו נעשה שימוש בשני סימנים בלבד - 0 ו-1, פותח במאה השבע-עשרה על ידי לייבניץ ונכנס לשימוש מעשי בעיקר עם התפתחות האלקטרוניקה הספרתית, בעיקר בזכות תרומתו של קלוד שאנון. עם התפתחות המחשוב, נכנס בסיס זה לשימוש גם במחשב, אך עקב היותו מסורבל לשימושם של בני האדם, הממשק בין האדם למחשב נעשה בשיטה העשרונית, ומומר על ידי המחשב לבסיס בינארי לשם פעולתו הפנימית. במקביל נכנסו לשימוש בתחום המחשוב שיטות ספירה שבסיסיהן הם חזקות טבעיות של 2 - בסיס אוקטלי ובסיס הקסדצימלי.
עם התפתחות המתמטיקה המודרנית, קיבלה המילה "אריתמטיקה" משמעויות נרחבות יותר מאשר "הענף העוסק בפעולות חשבוניות", ובאריתמטיקה המודרנית נכללים תחומים רבים בתורת המספרים, כגון תבניות ריבועיות ועקומים אלגבריים מסובכים יותר (ובפרט עקומים אליפטיים).
פעולות אריתמטיות.
האריתמטיקה היסודית עוסקת במספר פעולות יסודיות: חיבור, חיסור, כפל וחילוק; פעולת הכפל החוזר, הקרויה העלאה בחזקה; הפעולות ההפוכות לחזקה - הוצאת שורש ולוגריתם.
ארבע הפעולות הראשונות נקראות ארבע פעולות החשבון:
חוקי חשבון.
חוקי החשבון הם כללים יסודיים שאותן מקיימות ארבע פעולות החשבון, וניתן להיעזר בהם לפישוט תהליך החישוב. הראשון שכתב את חוקי החשבון כפי שהם ידועים לנו כיום היה המתמטיקאי ההודי בראהמגופטה, ב-625 לספירה לערך.
חוקים חשובים אלה הופכים את פעולות החשבון לפעולות שימושיות ורבות יישומים. באופן מוכלל, מבנה עשיר כדוגמת המספרים הרציונליים והממשיים המאפשר את פעולות החשבון ומקיים את כלליהן נקרא שדה.
להלן פירוט הכללים האריתמטיים היסודיים.
חוק הקיבוץ או חוק הצירוף (אסוציאטיביות).
חוק הפועל על פעולות החיבור והכפל. סכומם או מכפלתם של כמות מספרים מסוימת בסדר קבוע, יכולים להופיע בסדר שונה וניתן לקבץ אותן בסוגריים מבלי שתוצאתם תשתנה, משום שאין חשיבות לסדר הפעלתן כאשר הן היחידות מסוגן. ניתן לבטא זו בצורה מתמטית, כאשר a,b,c הם גורמים הערוכים בסדר מסוים:
חוק החילוף (קומוטטיביות).
כאשר מחברים או מכפילים שני מספרים, אין חשיבות לשאלה מי הראשון ומי השני. כלומר, מתקיים:
לעומת זאת, פעולות החיסור והחילוק אינן קומוטטיביות. כאשר מתרגמים את אופרטורי החילוק והחיסור לאופרטורי חיבור וכפל משנים את האופרנד השני, ולכן ישנה חשיבות לסדר האופרנדים. קל לראות זאת על ידי דוגמה:
חוק הפילוג (דיסטריבוטיביות).
החוק הקושר את פעולות החיבור והכפל. הוא קובע שלכל שלושה מספרים formula_16 מתקיים:
formula_17.
קיום איבר יחידה ואיברים נגדיים.
לפעולת החיבור ולפעולת הכפל קיימים איברי יחידה תואמים שאינם משנים את תוצאת החישוב לאחר הפעלתם. המספר 0 הוא איבר היחידה של חיבור - תוצאת חיבור מספר עם אפס היא המספר עצמו: formula_18. בצורה דומה 1 הוא איבר היחידה של כפל: formula_19. לחיסור ולחילוק אין איברי יחידה.
בנוסף לכל מספר יש איבר נגדי שתוצאת הפעלתו עם המספר נותנת את איבר היחידה. המספר הנגדי למספר formula_20 ביחס לחיבור מסומן formula_21 והוא מקיים: formula_22. האיבר הנגדי ביחס לכפל נקרא גם מספר הופכי ומסמנים אותו formula_23 והוא שווה ל- formula_24. ההופכי מקיים: formula_25.
חזקות.
במספרים שלמים, פעולת החזקה אינה אלא שם מקוצר לפעולת כפל חוזרת של מספר בעצמו: המכפלה של a בעצמו b פעמים נקראת "a בחזקת b", ומקובל לסמן אותה בסימון formula_26. כאשר b מספר קטן, מקצרים בעברית וקוראים ל-formula_27 "a בריבוע" ל-formula_28
"a בשלישית", ל- formula_29 "a ברביעית", וכדומה. a נקרא "בסיס החזקה" ו- b ה"מעריך".
שורש היא פעולה הפוכה לחזקה; עונה על השאלה "מהו המספר שאם נעלה אותו בחזקה מסוימת יתן לנו תוצאה נתונה?" שורש מסדר a של b מסומן formula_30. קרי: שורש מסדר a של b.
לוגריתם היא פעולה נוספת ההפוכה לפעולת החזקה. פעולה זו מוצאת את החזקה בהינתן בסיס ותוצאה; עונה על השאלה "באיזה חזקה נצטרך להעלות מספר נתון כדי לקבל מספר נתון אחר?". לוגריתם של a לפי בסיס b נכתב formula_31.
חוקי חזקות.
מן הגדרה שהבאנו לעיל, ניתן להסיק את חוקי החזקות:
שיטות ספירה.
ניתן להציג כל מספר נתון במספר צורות בהתאם לטווח הספרות הנתון בידינו לצורך הצגתו. בחיי היום יום משתמשים בעיקר בשיטת הספירה העשרונית. בשיטה זו, נעשה שימוש בספרות 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ו-9 על מנת להציג כל מספר נתון בעזרת סכום של חזקות של עשר.
מבחינה היסטורית, קודם לשימוש בבסיס העשרוני, הופיעו שיטות ספירה נוספות אשר התבססו על רצף ספרות המייצגות מספר בתלות בערך אליו משויכת כל ספרה ולעיתים בתלות במקומה, כך שלמקום לא הייתה משמעות טכנית מבחינת סדר הגודל הכללי, אלא בתלות בספרות אחרות. בשיטות הספירה העברית, למשל, מבטאת כל אות מספר הקבוע מראש בלא תלות במקומה במילה. בעת כתיבה בספרות רומיות, שהיא שיטת כתיבה המבוססת על אותיות לטיניות, נעשה שימוש בהקבצה: לכל אות משויך ערך מסוים, ומיקומה קובע את חיבור ערכה או חיסור ערכה ביחס לאותיות שלידן היא עומדת. החיסרון העיקרי של שיטות אלה נוגע לסרבול שלהן בעת הצגת מספרים גדולים, ובפרט בעת ביצוע חישובים באמצעותם או אחד כלפי השני כאשר הם בייצוג שונה.
בשיטה הבבלית מופיע לראשונה הרעיון של קשר בין המיקום של הסימן לסדר הגודל אותו הוא מבטא כאשר שיטה זו משלבת עקרונות של קיבוץ ושל סכום חזקות שבסיסן שישים.
עם הופעת השיטה הערבית-הודית, הפך השימוש בבסיס העשרוני לנפוץ במיוחד וכיום הוא משמש כשיטה כמעט בלעדית לצורכי יום-יום בעולם כולו.
בתחומי האלקטרוניקה הספרתית והמחשבים בפרט, נעשה שימוש רב בבסיס בינארי לצורכי הפעלת מעגלים, כאשר לרוב '0' מציין מתח פעולה נמוך ו- '1' מציין מתח פעולה גבוה. פעולות עם בסיס בינארי מסורבלות למדי לבני אדם, משום שהמספרים ארוכים יחסית, נהוג להציג את זיכרון המחשב בבסיסים כמו אוקטלי והקסדצימלי, או בשיטות אחרות שבסיסן formula_37 עבור n טבעי.
כמו כן, נמצאים בשימוש מצומצם יחסית בסיסים נוספים כמו בסיס דואודצימלי.
במעבר מבסיס כללי K כלשהו לבסיס עשרוני, תיוצג המילה formula_38 כך:
formula_39.
מבחינה מתמטית, שינוי שיטת הספירה אינו משנה את מהותו של המספר, אך הוא משנה את האופן הטכני בו תבוצענה עליו הפעולות האריתמטיות. כך, למשל, בעת ביצוע פעולת חיסור בבסיס הקסדצימלי יילקח לווה השווה ל-10 בבסיס הקסדצימלי שהם 16 בבסיס עשרוני.
תורת המספרים.
המונח "אריתמטיקה" מתקשר לעיתים גם לתורת המספרים בהקשר של תכונות ומציאת אלגוריתמים העוסקים בנושאים כגון ראשוניות, מבחני התחלקות ופירוק לגורמים, כמו גם פתרון משוואות דיופנטיות. בעבר נהוג היה להתייחס אל תורת המספרים בכללותה, בהרחבה, כאל "אריתמטיקה", אף כי היום אין נהוג לעשות עוד שימוש במונח זה למטרה זו. הדים לשימוש זה ניתן למצוא, למשל, במונחים "המשפט היסודי של האריתמטיקה" ו"פונקציות אריתמטיות".
המשפט היסודי של האריתמטיקה עוסק בפירוק לגורמים. משפט זה קובע כי כל מספר טבעי יכול להיכתב כמכפלה ייחודית של מספרים ראשוניים, פרט לשינוי סדר הגורמים. כפי שנרמז משמו, למשפט זה חשיבות רבה בתורת המספרים, שכן הוא מראה כי המספרים הראשוניים הם "אבני הבניין" של כלל המספרים. שמו של משפט זה מהווה דוגמה להכללה של המונח "אריתמטיקה" כך שהוא כולל גם נושאים המוכללים כיום בשם הרחב יותר "תורת המספרים".
פונקציות אריתמטיות הן פונקציות שמבואן הוא מספר טבעי ומוצאן הוא מספר טבעי אף הוא, כאשר המוצא נקבע לפי תכונות החלוקה של המבוא. דוגמה לפונקציה זו היא פונקציית מביוס. השם אשר נבחר לקבוצת פונקציות זו מדגים אף הוא מבט כולל יותר על גבולות האריתמטיקה.
הקשרים פילוסופיים.
הפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף פילוסופי העוסק בשאלות הנוגעות למדע המתמטיקה בפרט. מתוקף היות האריתמטיקה ענף מרכזי מאוד במתמטיקה, עולות סביבה שאלות פילוסופיות רבות אשר נוגעות ליסודות מהן "בנויה" המתמטיקה. כמו כן, שאלות רבות הנוגעות לפילוסופיה של האריתמטיקה, נושקות אף לתחומים אחרים, כגון תורת המספרים.
התפתחויות אריתמטיות רבות, הושפעו בתקופתן מהפילוסופיות והדתות אשר מהן הושפעו המתמטיקאים. כך, למשל, פילוסופיות קוסמולוגיות של דת הג'ייניזם ההודית הובילו לעיסוק מורחב של המתמטיקאים ההודים במספרים גדולים ולפיתוחים נלווים.
היחס הפילוסופי אל האריתמטיקה בכללותה הכתיב לא אחת את אופן ההתפתחות שלה במקומות ובזמנים שונים. היוונים הקדומים, למשל, התייחסו אל האריתמטיקה כאל תחום מדעי-מחקרי בנוסף להיותו כלי שימושי ולפיכך ניסו לבססו על מערכת של אקסיומות ומשפטים הנובעים מהם ותרמו לפיתוח וארגון הידע האריתמטי בתקופתם. הרומים, לעומתם, התייחסו אל האריתמטיקה כאל כלי טכני-יישומי ולפיכך לא התעמקו בחקרה ולא אמצו חלק מן הידע של קודמיהם היוונים.
דוגמה נוספת להשפעה פילוסופית על התפתחות המתמטיקה היא סוגיית ההתפתחות של המספר והמכלול הרעיוני שמאחורי האפס. במשך שנים רבות לא הוכר האפס כמספר בפני עצמו ויוצג כ"מקום ריק" בכתיבת מספרים. זאת, בין היתר, עקב הקושי הפילוסופי שעוררה המחשבה כי ניתן "לייצג שום דבר".
קיומם של מספרים, הוא נושא לתהיות פילוסופיות רבות. האם, ובאיזה מובן, קיימים המספרים? האם המספרים הם ישויות מוחלטות או פרי מערכת אקסיומות "סתמית"? האם ישנו הבדל בין משמעות קיומם של מספרים טבעיים לרציונליים, אי-רציונליים, טרנסצנדנטיים או אף מרוכבים? בהקשר זה ידועים דבריו של המתמטיקאי לאופולד קרונקר: "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה ידי אדם".