בשנות השישים של המאה ה-20 זכה להצלחה רבה בישראל החידונאי שמואל רוזן, שהציג את חידותיו (בעיקר חידות לשוניות וחידות דעת) בתוכנית הרדיו השבועית "קפד ראשו", וכן ערך חידונים פומביים. חידונאי נוסף שפעל באותה עת הוא שבח וייס, לימים יו"ר הכנסת, שעסק בתחום זה בעת שהיה סטודנט.
חידה מתמטית
חידה מתמטית היא חידה שפתרונה מצריך יכולת מתמטית ושימוש בכלים מתמטיים.
הספר הידוע הראשון שנושאו חידות מתמטיות הוא ספרו של קלוד באשה, Problèmes plaisans et délectables, שיצא לאור בצרפת בשנת 1612. בעבר החידות המתמטיות, במובן בעיות מתמטיות שעוסקות במקרה פרטי במקום בעיקרון הכללי, היו מרכז המתמטיקה בתרבויות מסוימות.
הגבול בין חידה מתמטית לבין בעיה מתמטית אינו חד וברור, ולעיתים משמשת החידה להמחשה של בעיה כללית יותר. מאפיינים להבחנה בין חידה מתמטית לבעיה מתמטית:
חידה מתמטית נראית לעיתים כחידה רק עקב ניסוחה המיוחד או משום שהיא מתבססת על ידע שחסר לנשאל. החידה "בקבוק בלי פקק עולה 20 שקלים יותר מהפקק, ושניהם יחד (הבקבוק והפקק) עולים 21 שקלים - מה מחיר הבקבוק?", היא בפירוש חידה כאשר היא מוצגת לילד, אך מי שלמד אלגברה יזהה בה מיד בעיה פשוטה בנעלם אחד או בשני נעלמים.
חידות מתמטיות נודעות.
כיום החידות משמשות ללימוד המתמטיקה, להדגמתה ולשעשוע, אולם בעבר הן הוצגו בספרי המתמטיקה החשובים ביותר. המתמטיקה המצרית העתיקה, הבבלית והסינית התבססו במידה רבה על חידות ופתרונן (ראו הרחבה בערך היסטוריה של המתמטיקה). לדוגמה, הספר תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה, אחד הספרים המשפיעים ביותר היסטוריה של המתמטיקה, מורכב כל כולו מחידות מעשיות, מהן ניתן ללמוד על עקרונות התחום. כדוגמה אפשר להביא את בעיה 26 מהפרק החמישי בספר, שחידות מסוגה נפוצות עד ימינו, אך רק כאתגר ללומדי מתמטיקה ברמת בית הספר:
חידה מפורסמת במיוחד מספרת על הגשרים של קניגסברג. תושביה של העיר קניגסברג האמינו שלא ניתן לחצות את כל שבעת הגשרים בעיר ולחצות לנקודת המוצא מבלי לחצות גשר כלשהו יותר מפעם אחת. לאונרד אוילר פתר את החידה העממית הזאת בעזרת תיאור סכמטי של הגשרים, והבין מהם המקרים (מבחינת מספר הגשרים ומיקומם) בהם משימה כזו תהיה אפשרית, דבר שהיווה פריצת דרך עצומה בתורת הגרפים.
חידות מפורסמות נוספות:
משוואות מקסוול
בפיזיקה, באלקטרומגנטיות, משוואות מקסוול (על שם הפיזיקאי ג'יימס קלרק מקסוול) הן מערכת של ארבע משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות את תכונותיהם של השדה החשמלי והשדה המגנטי ואת הקשר ביניהם לבין מקורותיהם, צפיפות המטען וצפיפות הזרם בהתאמה. באמצעות משוואות אלה ניתן להראות גם כי האור הוא גל אלקטרומגנטי, ואף לגזור את משוואת הגל האלקטרומגנטי.
ארבע משוואות מקסוול הן חוק גאוס, חוק גאוס למגנטיות, חוק פאראדיי וחוק אמפר (עם תיקון מקסוול). עם המשוואה של כוח לורנץ, משוואות מקסוול מהוות תיאור מתמטי שלם של חוקי תורת החשמל והמגנטיות הקלאסית. למעשה, חוק לורנץ עצמו נוסח על ידי מקסוול כאחת משמונה משוואות מקסוול המקוריות (ראו בהמשך).
את המשוואות בצורתן המוכרת פיתח אוליבר הביסייד, שבתחילה עשה זאת עבור עצמו, כשניסה ללמוד באופן עצמאי את עבודתו של מקסוול. העבודה המקורית של מקסוול כללה את כל הרעיונות הפיזיקליים שהמשוואות מבטאות, אך המשוואות המוכרות עצמן לא הופיעו בה.
תיאור כללי.
פרק זה יתאר, בצורה רעיונית ולא מתמטית, את ארבע משוואות מקסוול וכיצד הן משתלבות ביחד להסברת מקורה של קרינה אלקטרומגנטית כגון אור. המשוואות המתמטיות המדויקות מופיעות בפרק הבא.
ניתן לראות כי שינוי בשדה מגנטי יוצר שדה חשמלי, ושינוי בשדה חשמלי יוצר, בתורו, שדה מגנטי - זהו הבסיס לגל האלקטרומגנטי.
משוואות מקסוול.
את משוואות מקסוול אפשר לכתוב בצורות רבות. הנוסח המקורי כלל מערכת של 20 משוואות. הכתיב הווקטורי הנחשב לסטנדרטי פותח על ידי אוליבר הביסייד והוא זה המשמש בניסוח הדיפרנציאלי. במערכת יחידות SI בריק, הן נראות כך:
formula_1 הוא הזמן ואופרטור נַבּלה, בקואורדינטות קרטזיות, הוא formula_2. במערכות צירים שונות נבלה מוגדר באופן שונה.
בנוסף, בעזרת כוח לורנץ, formula_10, ניתן, כעיקרון, לרשום את משוואות התנועה עבור כל חלקיק טעון בעל מטען formula_11 ומסה formula_12.
בעזרת משוואות מקסוול ניתן להסביר מגוון רב של תופעות טבע, בהן: התופעות החשמליות והמגנטיות שחלק מהן יפורטו בהמשך, אופטיקה גאומטרית (חוק סנל), התאבכות ועקיפה, תופעות הקשורות בקיטוב (משוואות פרנל, שבירה כפולה, פעילות אופטית ועוד). גם במכניקת הקוונטים עושים שימוש במשוואות מקסוול (בתיאור הסמי־קלאסי) כדי לתאר את האינטראקציה בין קרינה וחומר.
קיימות תופעות אותן לא ניתן להסביר בתיאור הסמי־קלאסי, כמו למשל פליטה ספונטנית. לכן פותחה אלקטרודינמיקה קוונטית, הנותנת משמעות ברורה למושג פוטון. משוואות מקסוול מתקבלות כגבול של האלקטרודינמיקה הקוונטית עבור עצמת אור חזקה.
תנאי שפה.
כאשר באים לפתור את משוואות מקסוול בתווך חומרי, בהינתן התפלגות של זרמים ומטענים, יש לדעת מהם תנאי השפה בנקודות אי רציפות של החומר, למשל בשפה של זכוכית ואוויר (כמו בסיב אופטי). השדות הבסיסיים בריק במקרה זה הם formula_13 ו־formula_14, בעוד השדות המושרים עקב תכונות החומר הם formula_15 ו־formula_16 בהתאמה עבור השדה החשמלי והמגנטי.
בעזרת חוק גאוס ניתן להראות:
בעזרת משפט סטוקס ניתן להראות:
ראו גם חוקי פרנל לתיאור של מקדמי ההחזרה והשבירה בשפה בין שני תווכים דיאלקטריים.
המשמעות הפיזיקלית של המשוואות.
משוואות מקסוול מתארות חוקי טבע שהיו ידועים, לפחות בחלקם, לפני שמקסוול רשם את המשוואות. החוקים עליהם מקסוול ביסס את המשוואות הם:
לאלו מקסוול הוסיף את משוואת הרציפות formula_21, על פיה, שינויים במרחב בצפיפות הזרם יכולים לנבוע רק משינויים בזמן בצפיפות המטען - כלומר: חוק שימור המטען החשמלי.
משוואות מקסוול ביחידות cgs.
ביחידות cgs היחידה הבסיסית שמוגדרת היא המטען החשמלי (esu), וניסוחו של חוק קולון יהיה:
כלומר, המטען ביחידות cgs מוגדר כך שקבוע קולון הוא 1. כתוצאה מהגדרה זו השדה החשמלי והשדה המגנטי נמדדים שניהם באותה יחידה: גאוס.
משוואות מקסוול ביחידות cgs נראות כך:
שיטה זו מדגישה את הסימטריה במשוואות מקסוול, ולכן לרוב היא מועדפת כאשר עוסקים בפיתוחים תאורטיים. לעומת זה שיטת היחידות של SI מבוססת על היחידה הבסיסית של הזרם - אמפר, שלרוב הוא הגודל הנמדד באופן ישיר, ולכן השיטה מועדפת בעת עריכת ניסויים או תכנון מערכות מעשיות.
בחומר.
בחומר בעל מקדם דיאלקטרי formula_27 ומקדם מגנטיות formula_28 כך ש:
משוואות מקסוול במונחי הזרמים והמטענים החופשיים הן:
משוואות מקסוול בצורה יחסותית.
בתורת היחסות מאחדים את השדה החשמלי והשדה המגנטי לישות טנזורית הנקראת טנזור השדה האלקטרומגנטי formula_34 המוגדר על ידי:
כאשר formula_36 הוא 4-וקטור הפוטנציאל האלקטרומגנטי.
בצורה זו ניתן לרשום את 4 משוואות מקסוול כ־2 משוואות יחסותיות קו־ואריאנטיות:
המשוואה העליונה שקולה ל־2 משוואות מקסוול ההומוגניות. המשוואה התחתונה שקולה ל־2 משוואות מקסוול הלא־הומגוניות (כלומר, עם מטענים וזרמים חשמליים).
מ־2 משוואות אלה נגזרות עוד 2 משוואות חשובות:
מדידה וציון של זמן
התודעה מסוגלת להשיג זמן בהתאם ליחידות מידה וציוני זמן מסוימים. יחידות זמן טבעיות הן יחידות מידה הקשורות לטבע עצמו, לתנועת כדור הארץ. מלבד אלו, קיימות יחידות זמן מלאכותיות, אשר נוצרו על ידי האדם לצורכי ארגון יעיל של הזמן.
יחידות וציוני הזמן הטבעיים העיקריים הם:
יחידות וציוני הזמן המלאכותיים העיקריים הם:
ההבדל המרכזי בין יחידות הזמן הטבעיות למלאכותיות, הוא שיחידות הזמן הטבעיות עשויות להיות קבועות ומצויות במציאות הממשית, ולכן בלתי ניתנות להשלכה על פרק זמן לא מקורי, בעוד שהיחידות המלאכותיות אינן קיימות בפועל, ולכן ניתנות להשלכה על פרק זמן כלשהו.
לדוגמה, שנת שמש (יחידת מידה טבעית), מתארת ארבע עונות. על כן, שנה טבעית נמדדת לעולם מתחילת עונה מסוימת, ועד תחילת אותה עונה במחזור העוקב. לעומת זאת, שעה ניתנת להשלכה על כל פרק זמן, ואינה מחייבת אחיזה במציאות.
בהתאם להגדרה זו, ניתן לעשות שימוש גם ביחידות זמן טבעיות כמו במלאכותיות. בדוגמה הקודמת, שנה עשויה להיות גם יחידת מידה של 365 ימים, בלא משמעות לעונות המסוימות אותן היא כוללת.
יחידות הזמן הטבעיות פנימיות לאדם, שכן מבחינה ביולוגית וחווייתית הוא מותאם למהלכן. לעומתן, יחידות הזמן המלאכותיות עשויות להיות חיצוניות לאדם, שכן הוא נדרש לאמצן באופן שרירותי, שאינו נגזר מחוויית הטבע.
לדוגמה, אדם מסוגל לחוש את מעבר היממה, היום והלילה, על פי הראות (אור\חושך) והעייפות. עם זאת, הוא אינו מסוגל לחוש באופן טבעי משכה של שעה, שכן היא אינה מוגדרת באופן ביולוגי.
אמצעי המדידה.
על מנת לחוש את מעבר הזמן, קיימים אמצעי חישה המסוגלים למדוד אותו. האמצעי הראשון בו נמדד הזמן, המצוי בבני אדם ובחיות אחרות, הוא השתנות הטבע באופן מחזורי. כל יחידות המידה הטבעיות ניתנות למדידה באמצעות צפייה בגורמי טבע שונים, ובעיקר בגרמי השמיים.
מלבד התבוננות בטבע, קיימים מנגנונים ביולוגיים פנימיים המסוגלים לסייע במדידת זמן. מנגנונים אלו מכונים על-פי רוב שעון ביולוגי, ומסוגלים לציין שעות מסוימות ביום (לעיתים בדיוק מפתיע), מעבר של חודשי השנה, ומעבר של שנים במשך חייו של המודד. השעון הביולוגי הוא בחלקו מולד, ובחלקו נרכש עקב הרגלים (כדוגמת אדם המתעורר באופן אוטומטי בשעה מסוימת).