חוג הפולינומים הוא כלי בסיסי בנושאים רבים במתמטיקה, בפרט באלגברה קומוטטיבית, גאומטריה אלגברית, תורת המספרים האלגברית ועוד.
הגדרה.
יהי formula_1 חוג חילופי נתון. ניתן להגדיר את חוג הפולינומים formula_2 בשתי הגדרות שקולות:
פולינומים.
ההגדרה הטבעית והישירה לחוג זה היא הקבוצה שמכילה את כל הפולינומים במשתנה בלתי תלוי x:
formula_5.
כך למשל formula_8.
כך למשל formula_10.
סדרות עם תומך סופי.
דרך הגדרה נוספת על ידי סדרות אינסופיות עם תומך סופי, של איברים מהחוג המקורי:
formula_12.
בהינתן הגדרות אלו, ניתן להוכיח כי כל אחת מהקבוצות הנ"ל עם הפעולות המתאימות היא חוג.
שקילות ההגדרות.
ניתן להראות כי שתי ההגדרות הנ"ל שקולות, על ידי איזומורפיזם בין שני המבנים, הנתון על ידי
formula_19.
דרגה.
בהינתן ההגדרות הנ"ל, נגדיר פונקציה מחוג הפולינומים לתוך המספרים הטבעיים, שתתאים לכל פולינום formula_20 את המספר הטבעי המקסימלי עבורו formula_21, שיקרא הדרגה או המעלה של הפולינום, ונסמנו formula_22. לעיתים מבחינים את המקרה של פולינום האפס, ומגדירים formula_23.
הדרגה מקיימת formula_24 לכל שני פולינומים שאינם אפס, ושוויון מתקיים בתחום שלמות.
תכונות יסודיות.
כעת נציג את הקשר בין חוג נתון לחוג הפולינומים שלו.
חלק מהתוצאות ניתן להכליל לחוגים במספר משתנים (ראו בהמשך).
פריקות פולינומים.
נאמר כי פולינום formula_40 הוא פריק אם קיימים פולינומים formula_41 לא הפיכים כך ש-formula_42. אחרת, נאמר כי הפולינום הוא אי-פריק. פריקות פולינומים היא מנושאי היסוד של תורת החוגים ונושא זה בפרט. נציין מספר תכונות:
שורשים של פולינומים.
בהינתן פולינום formula_20 מתוך חוג פולינומים, נאמר כי איבר formula_55 הוא שורש של הפולינום, אם formula_56. איבר formula_55 הוא שורש של פולינום אם ורק אם הפולינום formula_58 מחלק את formula_40. בפרט, במקרה זה הפולינום הוא ודאי פריק. נובע כי פולינום מדרגה 2 או 3 הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש.
טענה שימושית בדבר קיומו של שורש לפולינום מעל חוג המספרים השלמים ושדה שברים שלו (המספרים הרציונליים) היא כלהלן - אם formula_60 שורש של פולינום, אזי formula_61.בפרט, כל שורש שלם של פולינום מתוקן מחלק את המקדם החופשי שלו.
הרחבות.
ניתן להרחיב חוג פולינום, ולקבל מבנה עשיר יותר בכמה דרכים.
חוגי פולינומים במספר משתנים.
בהינתן חוג כלשהו, כבר ראינו איך מוסיפים לו משתנה אחד. לחוג החדש שהתקבל, אפשר להוסיף עוד משתנה, וחוזר חלילה. כלומר, ניתן ליצור חוגים בכמה משתנים בלתי תלויים. מספר המשתנים יכול להיות סופי ואינסופי. למשל, חוג פולינומים בשני משתנים מסומנים בדרך כלל ב-formula_62.
נקודה מעניינת היא הישמרות התכונות מהחוג המקורי ועד לכל חוג פולינום במספר משתנים. מהתכונות לעיל, ניתן להסיק כי חוג הוא תחום שלמות/תחום פריקות יחידה/נותרי אם ורק אם חוג הפולינומים שלו במספר סופי של משתנים בלתי תלויים הוא מקיים את התכונה בהתאמה.
עם זאת, חוג פולינומים ביותר משני משתנים לעולם לא חוג אוקלידי ולא תחום ראשי, שכן חוג הפולינומים במשתנה אחד פחות (כלומר לפחות במשתנה אחד) איננו שדה.
חוג טורי החזקות.
בהגדרה השנייה של חוג פולינומים דובר על סדרות עם תומך סופי, כלומר הפולינומים הם סופיים בלבד. אם נשמיט דרישה זו, נקבל את חוג טורי החזקות מעל חוג נתון, שמסומן בדרך כלל על ידי:
formula_63
בחוג זה ישנו עולם עשיר יותר של איברים הפיכים - כך למשל formula_64 הפיך וההפכי שלו הוא formula_65. באופן כללי, כל איבר בעל מקדם חופשי הפיך הוא הפיך.
בפרט, אם formula_66 שדה, כל איבר עם מקדם חופשי הוא הפיך, ולכן האידיאלים של החוג formula_67 הם formula_68 בלבד, ובפרט הוא תחום ראשי.
חוג טורי לורן.
חוג זה מכליל אף את חוגי טורי טיילור שהוצג לעיל, ומאפשר לכלול טורים עם חזקות שליליות, כלומר מהצורה formula_69. נהוג לסמן חוג זה על ידי:
formula_70
במבנה זה ניתן להגדיר פונקציה דומה לפונקציה הדרגה שהוגדרה לעיל, על ידי formula_71, כלומר זהו האיבר בעל החזקה הנמוכה ביותר שעבורו המקדם אינו אפס. פונקציה זו מקיימת תכונות דומות לאלו של הדרגה.
התכונה החשובה של חוג זה היא, שבהינתן שדה formula_72, אזי formula_73 אף הוא שדה. כלומר, זהו שדה שמכיל את חוג הפולינומים.
שדה השברים.
בהינתן תחום שלמות formula_1, גם חוג הפולינומים שלו במספר סופי של משתנים הוא תחום שלמות. לכן, בהתאם לבנייה של שדה שברים של תחום שלמות, שדה השברים של חוג הפולינומים הוא
formula_75
לשדה זה קוראים שדה הפונקציות הרציונליות ב-formula_76 משתנים.
חוגי מנה.
לחוגי מנה של חוגי פולינומים יש חשיבות רבה.
במשתנה אחד, כאמור, תחום שלמות הוא שדה אם ורק אם חוג הפולינומים שלו הוא תחום ראשי. במקרה זה, כל חוג מנה מקבל את הצורה formula_77. חוג זה הוא שדה אם ורק אם הפולינום formula_78 היוצר את האידיאל הוא אי-פריק. כך אפשר לייצר את השדות סופיים מכל סדר (שהוא חזקת ראשוני) -- אם בוחרים formula_79 formula_80 שדה השאריות מודולו p, מספיק למצוא פולינום אי-פריק מסדר מסוים k, ואז חוג המנה יהיה שדה מסדר formula_81. פולינום כזה אכן קיים לכל ראשוני ולכל סדר שהוא.
בנוסף, חוגי מנה כנ"ל מהווים הרחבת שדות בה לפולינום יש שורש, והוא formula_82.
באופן כללי יותר, חוגי פולינומים במספר סופי של משתנים מעל חוג נתון הם אלגבראות.
יותר מכך, חוגי המנה שלהם כוללים את אוסף כל האלגבראות האפיניות -- בהינתן אלגברה אפינית formula_83, ההעתקה q שנתונה על ידי formula_84 היא אפימורפיזם מחוג הפולינומים ב-n משתנים לאלגברה, ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון
formula_85.
מבנה כאלגברה.
למבנה אלגברת הפולינומים יש תפקיד מכריע באלגברה קומוטטיבית ובגאומטריה אלגברית.
כאמור, כל אלגברה אפינית היא מנה של אלגברת פולינומים. יתר על כן, כל אלגברה אפינית מכילה תת-אלגברת פולינומים מעליה היא מהווה מודול נוצר סופית. אכן, לפי משפט הנורמליזציה של נתר, בכל אלגברה אפינית formula_86, ניתן לחלץ איברים formula_87 כך שהאיברים formula_88 מהווים בסיס טרנסצנדנטי, ו-formula_89 שלם מעל formula_90, שהיא למעשה אלגברת פולינומים ב-formula_91 משתנים.
אם כן, מתכונות של אלגברות פולינומים ניתן להסיק תכונות של אלגברות אפיניות. כך למשל, ניתן להוכיח שכל אידיאל מקסימלי באלגברה אפינית הוא בעל גובה כדרגת הטרנסצנדנטיות formula_91. ניתן גם להוכיח בעזרת ההבחנה הנ"ל שלכל אלגברה אפינית דרגת הטרנסצנדנטיות שווה לממד קרול שלה. לכן, הממד של יריעה אלגברית אפינית שווה לדרגת הטרנסצנדנטיות של חוג הקורדינאטות שלה.
חבורת האוטומורפיזמים.
כל האוטומורפיזמים של חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל שדה הם אפיניים. חבורת האוטומורפיזמים של חוג הפולינומים בשני משתנים היא מכפלת היתוך של האוטומורפיזמים האפיניים והאוטומורפיזמים השומרים על אחד המשתנים (החבורה נוצרת על ידי אוטומורפיזם ההחלפה, והאוטומורפיזמים השומרים על משתנה מסוים; ההוכחה במאפיין אפס ניתנה על ידי Jung, ומעל שדה כללי על ידי Van der Kulk). חבורת האוטומורפיזמים בשלושה משתנים או יותר כוללת גם אוטומורפיזמים "פרועים" (Anick conjecture).
ראו גם השערת היעקוביאן.
חבורת האוטומורפיזמים של חוג הפולינומים קרובה לזו של האלגברה החופשית באותו מספר של משתנים. בעניין זה הוכיח Dicks שההתאמה x,y--&gt;f,g מגדירה אוטומורפיזם של האלגברה החופשית בשני המשתנים x,y אם ורק אם [f,g] הוא כפולה בסקלר של [x,y].
טרוויזו (נפה)
נפת טרוויזו (באיטלקית: Provincia di Treviso) היא נפה במחוז ונטו שבאיטליה. היא משתרעת על שטח של 2,476 קמ"ר, ונכון לשנת 2014 מתגוררים בה 888,249 תושבים. בירתה של הנפה בעיר טרוויזו.
הנפה גובלת בנפת בלונו בצפון. במזרח היא גובלת בנפת פורדנונה במחוז פריולי-ונציה ג'וליה. בדרום היא גובלת בנפת ונציה ובנפת פדובה. במערב היא גובלת בנפת ויצ'נצה.
דורון מיינרט
דורון מיינרט (נולד ב-1960) הוא קצין בדרגת אלוף-משנה במילואים בצה"ל, אשר פיקד על עוצבת ראם.
קורות חייו.
נולד וגדל בקיבוץ בית השיטה. עם גיוסו לצבא בשנת 1978 שובץ בחיל השריון. בשריון עבר מיינרט הכשרה כלוחם וקורס מפקדי טנקים. בהמשך השלים קורס קצינים ושימש כמפקד מחלקת טנקים. בהמשך שימש כמ"פ לאחר מכן השתחרר והיה שותף בהקמת הקיבוץ העירוני תמוז. חזר לצהל לאחר 7 שנים כמפקד גדוד טנקים. בתפקידו הבא שימש כמפקד עוצבת ראם. לאחר מכן שימש כרמ"ח תכנון מבצעים באגף המבצעים וכראש מנהלת התרגילים. בשנת 2011 פרש מצה"ל. לאחר שחרורו עבד בחברת NESS.
מיינרט הוא בעל תואר ראשון בפילוסופיה ובהיסטוריה של עם ישראל מטעם האוניברסיטה העברית ותואר שני במדע המדינה מטעם אוניברסיטת חיפה. מיינרט, המתגורר בפתח תקווה, גרוש ואב לשניים.
בשנת 2022 נפצע קל מתקיפת מתנחלים כאשר השתתף בנטיעות של אנשי שמאל של בין הכפר בורין לגבעת סנה יעקב.
בר יהודה
Ln (פקודה)
ln (קיצור של "link"; מאנגלית: "קישור") היא תוכנית יוניקס סטנדרטית ליצירת קישורים לקבצים.
פעולה.
ישנם שני סוגי קישורים לקבצים, אשר שניהם ניתנים ליצירה בעזרת הפקודה ln:
למעשה, הפקודה משתמשת בקריאות המערכת codice_1 ו-codice_2 על מנת ליצור קישור חזק או סימבולי, בהתאמה.
תחביר.
תחביר הפקודה הוא כדלקמן:
על מנת ליצור קישור סימבולי יש להשתמש בדגל codice_3. לדוגמה:
$ ln -s a b
$ ls -l
total 0
-rw-rw-r--. 1 user group 0 Aug 3 18:10 a
lrwxrwxrwx. 1 user group 1 Aug 3 18:10 b -&gt; a
חיבה (פירושונים)
בלונו (נפה)