בעיית מילה - בעיית המילה היא בעיית ההכרעה, בה יש להכריע האם שתי מילים בחבורה formula_49 הנתונות בהצגות שונות הן זהות. לכל חבורה התממש פרוטוקול כלעיל, חייבת להיות בעיית מילה פתירה ביעילות - שכן על שני הצדדים להחליף איברים בעלי הצגות שונות, אך בסופו של דבר להחזיק באותו האיבר.
צורה נורמלית.
אחת הדרכים הנפוצות לפתור את בעיית המילה והעברת איברי חבורות אבסטרקטיות בצורה יעילה היא הצגת צורה נורמלית (Normal Form) עבור החבורה. זוהי תבנית בה ניתן להציג את כל איברי החבורה באופן יחיד. בהינתן צורה נורמלית יעילה, בעיית המילה פתירה בקלות - בהינתן שתי מילים, מחשבים את הצורה הנורמלית של כל אחת מהן ובודקים האם מתקבלת אותה צורה. מציאת צורה נורמלית תלויה במידה רבה במבנה החבורה ואיברים מיוחדים.
כעת, כשאמרנו לעיל 'יש לשלוח את האיבר...', מה שבאמת שולחים הוא צורה נורמלית של האיבר. אם בוחרים חבורה טובה אפשר לחשב אותה ביעילות, לעיתים קל להכפיל איברים בעזרתה, וקל לזהות שתי מילים בעזרתה.
עם זאת, לעיתים צורות נורמליות נותנות יותר מדי מידע ומהוות פרצה להתקפות, כדוגמת התקפות מבוססות אורך או התקפות על בעיית הפירוק.
הצגה.
דרך נוספת לפתור את בעיית המילה ולהכפיל איברי חבורות אבסטרקטיות היא בעזרת מציאת הצגה נאמנה, כלומר בחירת חבורה ליניארית. הצגה נאמנה היא שיכון של החבורה אל חבורת מטריצות מעל שדה - בחבורה כזו קל מאוד להשוות בין איברים ויחסית קל להכפיל אותם ולשלוח אותם.
דוגמאות.
כעת יוצגו מספר דוגמאות קלאסיות וספציפיות, ויוסבר בקצרה מדוע הן מתאימות לפרוטוקולים לעיל.
חבורת הצמות.
אחת החברות שעלו כמומעד טבעי לפרוטוקולים לעיל היא חבורת הצמות. לחבורה זו שתי צורות נורמליות יעילות, מבניות ונוחות במיוחד, וכן בעיית חיפוש המצמיד בה נחשבת לקשה. יש בה גם חבורות גדולות המתחלפות איבר איבר. לחבורה זו יש גם הצגה ליניארית, ולכן יש דרך נוספת לפתור את בעיית המילה ולהכפיל ולשלוח את איבריה.
לחבורת הצמות שימושים רבים בתחומים שונים של המתמטיקה והן חבורות נחקרות ומפורסמות מאוד. ניתן לראות בכך חיסרון, משום שאם החבורה נחקרת באופן נרחב ממספר נקודות מבט שונות יכול להיות שיתגלו דרכים שונות להתקיף את הפרוטוקולים עליה, אך יש בכך גם יתרון - המחקר הרב סביב הבעיות השונות מראה עד כמה הן קשות, ולכן מראה שהחבורה היא מועמד טוב לפרוטוקולים.
חבורות ארטין.
חבורות ארטין מהוות הכללה של חבורת הצמות: בהן יש יחסים בסגנון דומה לאלו של חבורת הצמות, אך חבורות ארטין יכולות להיות מסובכות יותר. הן הוצעו באופן טבעי לאחר שמספר התקפות נמצאו על חבורת הצמות.
משפחות מסוימות של חבורת ארטין הן ליניאריות.
חבורת תומפסון.
חבורת תומפסון גם היא חבורה בעלת שימושים במספר תחומים במתמטיקה, כמו טופולוגיה וגאומטריה. יש לה את ההצגה האינסופית הבאה:
formula_50
לחבורה זו יש גם הצגות סופיות, אך דווקא בעזרת ההצגה האינסופית הזו ניתן להציג צורה נורמלית שלה - כל איבר ניתן לרשום ביחידות בצורה formula_51, כאשר האינדקסים מסודרים בסדר עולה, ואם formula_52 שניהם מופיעים, אז גם formula_53 או formula_54. צורה זו ניתן לחשב בסיבוכיות זמן ריצה formula_55, כאשר formula_56 הוא אורך המילה הנתונה.
שתי תתי-חבורות מתחלפות של חבורת תומפסון שהוצעו על ידי המחברים הן: formula_57.
חבורות מטריצות.
חבורות מטריצות מעל חוג חילופי סופי אף הן חבורות לא-קומוטטיביות שהוצעו במספר פרוטוקולים. הדרישה להיותו של חוג הבסיס קומוטטיבי וסופי היא כדי שיהיה אפשר להשתמש בבעיית הפירוק.
דוגמאות מפורשות הן חוג מטריצות מעל formula_58 - אך צריך לבחור formula_59 גבוה במיוחד. הצעה נוספת היא להשתמש בשדות סופיים, להן מימוש יעיל בהינתן פולינום אי פריק מהמעלה הרצויה. ניתן גם להשתמש בחוגים עם נילפוטנטים, כדוגמת formula_60.
רעיונות מרכזיים.
לאור האמור לעיל ניתן להצביע על מספר רעיונות מרכזיים של ההצפנה הלא-קומוטטיבית. רעיונות אלו במידה מסוימת הפוכים לתורה הקומוטטיבית ומשדרגים אותה.
קללת הסימפוניה התשיעית
"קללת הסימפוניה התשיעית" (באנגלית: "Curse of the ninth") היא אמונה טפלה הקשורה להיסטוריית המוזיקה הקלאסית. האמונה הרווחת היא כי ה"סימפוניה התשיעית" של מלחין נועדה להיות יצירתו האחרונה; כלומר, גורלו של המלחין הכותב סימפוניה תשיעית יהיה מוות לאחר כתיבתה, או לפני כתיבת סימפוניה עשירית. לאלו המאמינים ברעיון זה, מלחין שכתב סימפוניה תשיעית הגיע לנקודת דרך מכרעת - וכתיבת העשירית תהיה קריאת תיגר של ממש על הגורל.
הרעיון הוא במהותו עממי יותר, נטמע בעיקר דרך העיתונות הפופולרית, ואינו נתמך במדע המוזיקולוגיה או ביקורות מוזיקה רציניות. למרות שאכן ניתן למצוא מלחינים שמתו לאחר שהלחינו תשע סימפוניות (הדוגמה המפורסמת ביותר היא לודוויג ואן בטהובן), "תשע" אינו מספר מוחלט הבולט באופן סטטיסטי בהיסטוריה של הסימפוניה. בנוסף, בעוד כמה מלחינים בולטים מאוד (למשל פרנץ שוברט, דבוז'אק, שפור, ברוקנר, מאהלר, ווהן ויליאמס) המשמשים ראיה באופן קבוע כדוגמאות, כמה מהם זכו להכרה כמלחיני "תשיעית" כתוצאה של טעות או פשטנות (ראו למטה).
המקור.
לפי ארנולד שנברג, אמונה טפלה זו החלה עם גוסטב מאהלר. לאחר כתיבת הסימפוניה השמינית שלו, הלחין מאהלר את יצירתו "השיר על הארץ", אשר הייתה בראש ובראשונה סימפוניה במבנה, אך "התחזתה" לשיר בו כל פרק בסימפוניה נראה כחלק משיר הכתוב לסולן ותזמורת. לאחר זמן מה, כתב מאהלר את הסימפוניה התשיעית שלו תוך מחשבה כי ניצח את הקללה, אך בעת כתיבתו את העשירית, נפטר, והשאיר אותה לא גמורה.
במאמר אודות מאהלר, כתב שנברג: "נראה כי התשיעית היא הגבול. אדם המבקש להלחין מעבר לה ייעצר על ידי המוות. נראה כאילו ישות מסוימת ממתינה לנו בסימפוניה העשירית, וטרם לנו לגלות אותה, כיוון ואיננו מוכנים. אלו שהלחינו סימפוניה תשיעית עמדו קרוב מדי לעולם הבא".
הבעיה העיקרית בניתוח זה היא ברורה. מהשקפתו של מאהלר, הקורבן היחיד שחשוב מבין כל "קורבנותיה" של הקללה, הוא ללא ספק בטהובן. אפילו אנטון ברוקנר (שהיה מידידיו האדוקים של מאהלר) נכשל בקריטריונים של הקללה: ברוקנר נפטר לפני השלמת עבודתו שכרגע נקראת "הסימפוניה התשיעית", ובכך סך כל הסימפוניות שלו עומד על שמונה בלבד, אם רק נספרות כל היצירות הגמורות - המספר היה יכול לעמוד על עשר סימפוניות אילו הרשימה הייתה כוללת את ה"סימפוניה מס. 0". ברוקנר דווקא חוסר מזל לגבי הסימפוניה התשיעית של עצמו; אך לא בגלל אמונה ב"קללת התשיעית" כלל, אלא כיוון שהיצירה הייתה באותו הסולם כמו התשיעית של בטהובן.
אחרים.
אחרי מאהלר, מלחינים אחדים היוו דוגמה לאימות הקללה: קורט אטרברג, אלי סיגמאיסטר, אלפרד שניטקה, רוג'ר סשנס, אגון וולס, רייף וון ויליאמס, פיטר מנין ומאלקולם ארנולד. אולם, לחלק ממלחינים אלו יש אלמנטים הסותרים מעט את עקרונות הקללה; חלקם כתבו יצירה נוספת המוגדרת כסימפוניה בקריטריונים מסוימים, ובכך סך הסימפוניות עומד על עשר, אך שינוי זה במספר תלוי מאוד בהשקפותיהם של מבקרים ומוזיקולוגיים אחדים אודות הגדרותיה של הסימפוניה.
דוגמאות סותרות.
דוגמאות המשמשות עזר להפרכת האמונה הטפלה: אנדז'יי פאנופניק (10 סימפוניות; אם מחשיבים את השתיים שכתב ונאבדו, 12), הנס ורנר הנצה (10; התשיעית שלו הייתה קוראל, בדומה לזאת של בטהובן), ויליאם שומן (10), אדוארד טובין (10, מת תוך כתיבתו את מספר 11), אלון הודינוט (10), דייוויד דיימונד (11), יואכים רף (11, ועוד אחת שנהרסה), אדמונד רוברה (11; התשיעית שלו הייתה קוראל), רוברט סימפסון (11), הייטור וילה לובוס, דריוס מיו, ואלכסנדר (12 שלושתם), ואן הולומבו (13, ו-4 סימפוניות נוספות למיתרים בלבד), רוי האריס (13, הוא היה דווקא יותר מאמין במספר 13 כמזל רע מאשר במספר 9, ולכן הסימפונייה ה-13 שלו נקראה ה-14), גלן בראנקה (14, למרות שהגדרתו של בראנקה מהי סימפוניה, מעט חריגה), גלוריה קווטס, דמיטרי שוסטקוביץ' (15), רוד לאנגארד (16 כולל הסימפוניה הלא ממוספרת, "סינפוניה אינטרנה"), הנרי קוול (17), אלן פטרסון (17), לב ניפר (20), יאניס איבנובס (21), ניקולאי מיאסקובסקי (27), האברגל בריאן (32), אלן הובהאנס (67), דרק בורגויס (72), ולייף זגרסטאם (339). המלחינים שנפטרו לפני בטהובן, כמו יוזף היידן (106) ומוצרט (59), לא נחשבים רלוונטיים לאמונה טפלה זו.
פוקנת דאלי
הדרשה על המישור
הדרשה על המישור היא דרשה שנשא ישו לפני שנים-עשר השליחים, תלמידים נוספים וקהל רב של אנשים. הדרשה מוזכרת רק בבשורה על-פי לוקאס והיא דומה בתוכנה לדרשה על ההר שמוזכרת רק בבשורה על-פי מתי והארוכה ממנה בהרבה. הדמיון בין שתי הבשורות בדיווח על הדרשה והעובדה שהיא מופיעה רק בהן, מהווה חלק מהתאוריה המקובלת אודות מקור משותף שעמד בפני כותבי בשורות אלו ונעלם מאז והוא מכונה מסמך ה-Q.
הדרשה היא אחד המקורות הראשונים לתורת האי-אלימות המודרנית, והיא המקור לדימוי על "הטיית הלחי השנייה".
האירוע על פי לוקס.
על פי האמור בבשורה על פי לוקס בפרק ו', עמד ישו בתפילה כל הלילה על ההר. בבוקר כינס את תלמידיו ובחר מהם שנים עשר, להם קרא שליחים. זוהי הפעם הראשונה בברית החדשה בה הם מוזכרים בכינוי כולל זה. הוא ירד מההר למישור ושם נאספו אנשים רבים שבאו להירפא על ידו. תמצית תוכן דבריו היא:
לאחר שסיים את דבריו, פנה והלך לכפר נחום.
קרימזון פיק
קרימזון פיק (באנגלית: Crimson Peak) הוא מותחן אימה שבוים על ידי גיירמו דל טורו ובהשתתפותם של מיה וסיקובסקה, טום הידלסטון וג'סיקה צ'סטיין.