במסגרת החברה פיתח בול במחצית הראשונה של שנות השבעים את תותח ההוביצר GC-45 בעל קליבר של 155 מ"מ המסוגל לירות לטווח יעיל של כ-30 ק"מ בדיוק מטרה של 10 מטרים ולטווח של כ-40 ק"מ תוך איבוד מסוים של דיוק. ביחס לגדלו הסביר של התותח הוא הציע טווח ירי דמיוני. לשם ייצור התותח פנה בול לחברה בדרום אפריקה תוך הפרת האמברגו הבינלאומי שהוחל על מדינה זו. הוא נתפס ב-1980, הואשם, נידון לשנת מאסר והשתחרר לאחר שישה חודשים. לאחר שחרורו עזב את קנדה והשתקע בבריסל.
בדרום אפריקה הושלם פיתוח התותח והוא שימש לראשונה באופן מבצעי נגד כוחות קובה שהשתתפו במלחמת האזרחים באנגולה. עם פרוץ מלחמת איראן–עיראק מצא בול לקוח גדול וחשוב לתותח, שליט עיראק סדאם חוסיין. בין בול לחוסיין נוצר קשר שהתבסס על התלהבותו של חוסיין מחלומו של בול על הצבת לוויין בחלל ומהסכמתו לספק לו את כל האמצעים הדרושים כדי ליישם חלום זה.
פרויקט בבל.
לאחר ביטולו של פרויקט HARP, עליו ג'רלד בול עמל קשות והגיע להישגים גדולים, היה בול מתוסכל ומושפל מאוד. הוא היה נחוש לעשות הכל כדי להגשים את חזונו וחלומו ולבנות תותח על שיגיע לחלל. בשנת 1970 הוא בנה את התותח GC-45, תותח הוביצר בעל טווח של 40 ק"מ, שהיה נחשב לטוב מסוגו. הוא מכר תותחים כאלו לכל מי שהיה מוכן לקנותם. הוא מכר תותחים לדרום אפריקה, שהייתה תחת אמברגו נשק של האו"ם. לאחר מכן, מכר לעיראק, שהייתה שקועה במלחמת איראן–עיראק כ-200 תותחים מסוג זה שהיו מוצלחים מאוד.
זמן מה לאחר מכן, בול וסדאם חוסיין נפגשו. סדאם היה מתוסכל מהעובדה כי ישראל עומדת לשגר לוויין לחלל, ובול ראה בכך הזדמנות להגשים את חלומו. הוא הבטיח לסדאם חוסיין תותח-על ענק, שיוכל לשגר לוויינים לחלל, ופגזים למרחק של מעל ל-1,000 ק"מ. מבחינת בול, זו הייתה הזדמנות להגשמת חלומו וחזונו. ואילו סדאם חוסיין, ראה בתותח כלי שבעזרתו יוכל לפגוע בלב מדינת ישראל. בול קרא לתוכניתו פרויקט בבל וסיפר לחוסיין על ממדיו המתוכננים: התותח יהיה באורך של 156 מטרים לפחות, בקוטר של מטר ובמשקל עצום של 2,100 טון.
לפני שהחל בבניית תותח הענק, החליט בול לבנות אב טיפוס "מוקטן", אורכו היה 45 מטרים, והוא היה מוצלח ללא דופי. בול קיבל שטח ניסויים ענק בעיראק, והחל להרכיב את התותח ממתכות שיוצרו במדינות אירופה, והוסוו בחלקים לצינורות נפט, זאת כדי לעקוף את האיסור על מכירת נשק לאזורי מלחמה. נטען, כי הממשלות שסיפקו את המתכות, ובראשם סקוטלנד, ידעו כי מדובר בחלקי תותחים והחליטו להעלים עין, בשל הרווח הכלכלי.
בזמן שהרכבת התותח הייתה בעיצומה, בול תכנן עבור העיראקים שני תותחים מתנייעים שנחשבו לטובים מסוגם: "אל מג'נון" ו"אל פאו", הראשון, הוכנס מיידית לשירות בצבא העיראקי. בול אף ערך שינויים בטילי הסקאד העיראקים, והגדיל טווחם, על חשבון ראש הקרב והדיוק, טילים שלימים יפגעו בישראל במלחמת המפרץ. לפי בנו של בול, ישראל ראתה בדבר חציית גבול וסוכנים ישראלים הזהירו אותו לחדול ממעשיו, בול התעלם מהם. לאחר שהמשיך בעבודתו עבור סדאם חוסיין, החליטו להזהיר אותו פעם נוספת, סוכנים ישראלים הפכו את ביתו והשאירו סימנים ברורים, במטרה להזהיר אותו, אולם בול החליט להתעלם פעם נוספת. בשנת 1990, חוסל בול בבריסל, בפעולה שיוחסה למוסד. חיסולו היה הסוף לתוכנית השאפתנית.
מותו.
ב-22 במרץ 1990 נורה בול חמש פעמים, פעמיים בראשו ושלוש פעמים בגבו מטווח קצר על ידי מתנקשים מקצועיים. ההנחה בעולם הייתה שבול חוסל על ידי המוסד. העיתונאי יוסי מלמן, שחיבר כמה ספרים על המוסד, סיפר ב-2012:
ביטיס קרנפי
ביטיס קרנפי (שם מדעי: "Bitis nasicornis") הוא מין של נחש ארסי מסוג ביטיס ממשפחת הצפעיים, המצוי ביערות של מערב ומרכז אפריקה. זהו ביטיס גדול המוכר בשל צבעיו הבולטים על גבו ובשל הקרניים שעל אפו.
נחש זה ארסי במיוחד אולם לאור אזור מחייתו המוגבל, ידוע רק על מספר קטן של הכשות. ארסו נחשב קצת פחות ארסי מזה של הביטיס הגבוני וביטיס מתנפח, אך עדיין מסוכן מאוד.
תיאור המין.
נחש זה הוא גדול ומוצק ומגיע לאורך של 72-107 ס"מ. בעבר נמנה פריט באורך 120 ס"מ, אך נדיר מאוד שנחשים אלו מגיעים לאורך הזה כאשר אורכם הממוצע הוא 60-90 ס"מ. הנקבות גדולות מן הזכרים.
הראש צר, שטוח ובצורת משולש, והוא קטן באופן יחסי משאר הגוף. הם בעלי צוואר צר. מעל לנחיריים שלהם יש 2-3 קשקשים דמוי קרניים, מכאן נובע שמם, כאשר הקרן הראשונה יכולה להיות די גדולה. הניבים שלהם קצרים יחסית ומגיעים לאורך של 1.5 ס"מ.
תפוצה.
הם נפוצים מגינאה עד גאנה במערב אפריקה, במרכז אפריקה הם נמצאים ברפובליקה המרכז-אפריקאית, דרום סודאן, קמרון, גבון, הרפובליקה של קונגו, הרפובליקה הדמוקרטית של קונגו, אנגולה, רואנדה, אוגנדה ומערב קניה.
אזורי מחיה והתנהגות.
הביטיס הקרנפי הוא שוכן יערות ולעיתים נדירות יוצא לאזורים פתוחים. דבר זה הופך את שטח המחיה שלו למצומצם יותר מזה של הביטיס גבוני אף על פי שהם חופפים בהרבה אזורים.
הם צדים בלילה לרוב. במשך היום הם מסתתרים בערימות עלים, מחילות, גזעים נפולים או שורשים של עצי היער. לרוב הביטיס נמצא על האדמה אולם הוא מסוגל לטפס על עצים עד לגובה של כ-3 מטר. הם נעים לאט, אך מסוגלים להכיש במהירות מלפנים או מהצד ללא כל אזהרה. הם משמיעים סוג של קול אזהרה כאשר מתקרבים אליהם, הנחשב לקולני מבין נחשי אפריקה.
הביטיס הקרנפי מעדיף לצוד ממארב, וככל הנראה מבלה הרבה שעות ללא ניע בהמתנה לטרף שיגיע אליו. הוא ניזון בעיקר מיונקים קטנים, אך באזורים רטובים מסוגל לצוד גם צפרדעים, קרפדות ואף דגים.
מטריצת שכנויות
גרף n-צביע
בתורת הגרפים, גרף formula_1-צביע הוא גרף שאפשר לצבוע את הקודקודים שלו ב-n צבעים, כך ששני קודקודים סמוכים אינם צבועים באותו צבע.
עבור גרף formula_2, מסמנים ב-formula_3 את המספר הקטן ביותר של צבעים הדרוש לצביעת הקודקודים שלו. מספר זה נקרא מספר הצביעה (או המספר הכרומטי) של הגרף.
עבור formula_4, ההכרעה האם formula_5 היא בעיה NP שלמה. לגרף יש מספר כרומטי 2 אם ורק אם הוא דו-צדדי, ותכונה זו ניתנת לזיהוי בזמן ליניארי במספר הקשתות.
היסטוריה.
הקשר נפוץ שבו הופיעה בעיית צביעת גרף היא בעיית צביעה של גרפים מישוריים בדמות של צביעת מפות. בשנת 1852 בעת שניסה לצבוע מפה של מחוזות אנגליה, העלה פרנסיס גאת'רי את השערת ארבעת הצבעים, על פיה די בארבעה צבעים לצביעת מפה כך שאף אזור שגובל באזור אחר לא יחלוק עימו את אותו הצבע. אחיו של גאת'רי נועץ עם מורו למתמטיקה אוגוסטוס דה-מורגן בקולג' האוניברסיטאי של לונדון שהזכיר את הבעיה במכתב לויליאם המילטון. ב-1878 הובאה הבעיה לתשומת לבו של ארתור קיילי, שהציג אותה בפני החברה המלכותית הבריטית. אלפרד קמפ (Kempe) פרסם הוכחה למשפט, שהתקבלה על המתמטיקאים בני זמנו, אך התבררה כשגויה 11 שנה מאוחר יותר כשפרסי ג'ון היווד (Heawood) הצביע על טעות בהוכחה, אך הצליח להוכיח כי די בחמישה צבעים. ההוכחה לכך שאפשר להסתפק בארבעה נמצאה רק ב-1976 על ידי קנת' אפל (Appel) ווולפגנג האקן (Haken), והיא כרוכה בחיפוש ממוחשב על-פני אלפי מקרים.
השערה מפורסמת אחרת בהקשר לצביעת גרפים הועלתה ב-1960 על ידי המתמטיקאי הצרפתי קלוד ברגה (Berge) השערת הגרף המושלם, אשר העלה אותה בהקשר לרעיון מתורת האינפורמציה של קיבול אפס שגיאה (zero-error capacity) בגרף. השערת המשפט הייתה פתוחה במשך שנים רבות עד שהוכחה על ידי צ'ודנובסקי, רוברטסון, סימור ותומאס ב-2006.
חסמים על מספר הצביעה.
עבור גרף formula_2 עם formula_1 צמתים מקבלים טריוויאלית ש-formula_8.
אם מסמנים ב formula_9 את הדרגה המקסימלית של צומת ב-formula_2 אז formula_11. תוצאה זאת ניתן לשפר בצורה הבאה: אם עבור formula_12 בכל תת-גרף מושרה formula_13 של formula_2 קיים צומת formula_15 כך ש-formula_16 אז formula_17. עבור formula_18 תנאי זה נכון ולכן האי-שוויון גורר את החסם הקודם. עבור גרף שלם על n צמתים formula_19 ו-formula_20 ועבור מעגל אי-זוגי formula_21 ו formula_22 ומכאן שאי אפשר לשפר את המשפט באופן כללי. אולם משפט ברוקס קובע כי לכל שאר הגרפים formula_23.
נסמן ב-formula_24 את גודל הקליקה המקסימלית ב-formula_2 אז formula_26. אם אי-שוויון זה הדוק עבור הגרף ועבור כל אחד מתתי הגרפים המושרים שלו, אז הגרף נקרא גרף מושלם.
נסמן ב-formula_27 את גודל תת-הקבוצה הבלתי תלויה הגדולה ביותר, אז formula_28.
הפולינום הכרומטי.
מספר הדרכים לצבוע גרף נתון G ב-formula_29 צבעים נתון על ידי הצבה של formula_29 בפולינום formula_31, הקרוי הפולינום הכרומטי של הגרף. פולינום זה, שאותו גילה ג'ורג' בירקהוף ב-1912, מקיים את נוסחת הרקורסיה formula_32, לכל קשת e בגרף, כאשר G-e הוא הגרף ללא הקשת האמורה, ו-G/e הוא הגרף המתקבל מכיווץ הקשת לנקודה.
יישומים.
בעיית צביעת גרפים מופיעה בבעיות מגוונות כשאלגוריתמים בתחום זה שימושים בהקשר של בעיות של תזמון משימות, הקצאת אוגרים, זיהוי תבניות ופתרון תשבצי סודוקו.
בבעיית תזמון משימות, יש להקצות כל משימה למשבצת זמן, כשכל משימה מקבלת משבצת זמן יחידה. שיבוץ המשימות יכול להיעשות בכל סדר, אך זוג משימות עשויות להימצא בקונפליקט במובן זה ששתיהן לא יכולות לחלוק את אותה משבצת הזמן, למשל כאשר נדרש משאב משותף לטיפול בהן. בגרף מתאים כל משימה מיוצגת על ידי קודקוד וכל זוג משימות שעשויות להימצא בקונפליקט מקושרות בקשת. מספר הצביעה של הגרף הוא הזמן המיטבי הנדרש להשלמת כלל המשימות ללא קונפליקטים.