הישג משמעותי לא פחות של גאוס באסטרונומיה היה עבודתו על חישוב מסלולו של פאלאס, שחולף בסמוך לצדק ולכן חווה פרטורבציות משמעותיות, וכמו כן חווה הפרעות כבידתיות משמעותיות גם משבתאי, כך שמסלולו רחוק מלהיות קפלרי (אליפטי). למעשה, בשנים 1810–1818 התמה הדומיננטית ביותר של עבודתו האסטרונומית הייתה חישוב מדויק ככל האפשר של מסלולו הלא-סדיר של פאלאס. בכתביו הלא מפורסמים ניתן למצוא קטעים מתמטיים ארוכים המתארים את הטכניקות שפיתח. אחד הכתבים האלה הוא מאמרו הארוך בצרפתית "הצגה של שיטה חדשנית לחישוב הפרעות פלנטריות יחד עם יישום לחישוב כמותי של הפרעות התנועה של פאלאס", שהוא חיבר ב-1812 לתחרות של האקדמיה הצרפתית למדעים, ושלא פורסם בימי חייו. לאחר מאמצים אדירים, גאוס ויתר על השלמת המשימה הזאת, כשהגיע למסקנה שהיא גוזלת חלק ניכר מזמנו. מה שמנע ממנו להשיג הסבר מספק לתנועתו של פאלאס היה, לדעת אסטרונומים מודרניים, שהוא ערך את חישוביו עד לסדר שלישי בלבד, במקום להמשיך את הפיתוח עד לסדר חמישי. העורך של עבודתו האסטרונומית של גאוס, האסטרונום Martin Brendel, ציין ב-1906 שבעבודתו על פאלאס "גאוס כמעט השלים לבדו משימה אדירה, שאפילו כיום אסטרונומים נרתעים מאוד מלגשת אליה". בימינו בעיות כאלו נפתרות כמעט באופן בלעדי על ידי סימולציות ממוחשבות מורכבות המדמות את השינוי במסלולי אסטרואידים כתוצאה מהאפקט הכבידתי של כוכבי הלכת המסיביים במערכת השמש.
עם זאת, במאמרו מ-1818 על חישוב הפרטורבציות של פאלאס, "קביעה של המשיכה שכוכב לכת יפעיל בנקודה שרירותית נתונה, אם המסה שלו הייתה מפולגת באופן רציף לאורך מסלולו ובפרופורציה לזמן שלוקח לו לעבור את חלקי מסלולו", גאוס פיתח כלי מתמטי שנקרא שיטת הטבעת האליפטית (elliptic ring method) המאפשר לחשב בסדר ראשון את הפרטורבציות הלא מחזוריות (פרטורבציות סקולריות) שצדק יוצר במסלולו של פאלאס. המאמר הזה הוא גם המאמר היחיד שפורסם בחייו בו גאוס פרסם חלק מעבודתו על הממוצע האריתמטי גאומטרי. לקראת סוף המאה ה-19, האסטרונום האמריקני George William Hill "עיבד" את שיטתו המורכבת של גאוס כך שתתאים יותר לשימוש אסטרונומי.
בניגוד להישגים כבירים אלו, שאר עבודתו האסטרונומית של גאוס מייצג, לדעת בני זמנו, מה שהיה בעיקר "בזבוז" של כישרונו; עבודתו האחרת עסקה בעיקר באסטרונומיה תצפיתית ובהיבטים מעשיים שונים כגון שכלול המכשור האסטרונומי של מצפה הכוכבים בגטינגן, תחומים שבהם גאוניותו המתמטית באה פחות לידי ביטוי. עם זאת, גם מחקרים מעשיים אלו הניבו תרומות תאורטיות אחדות לאסטרונומיה, שכללו חישובים של טבלאות אברציה ונוטציה (ב-1808). מ-1819 ואילך פצח גאוס במחקר שיטתי של התנועה הכוללת של מערכת השמש במרחב הגלקטי; דרך התכתבויותיו הענפות הוא היה בין הראשונים לפתח שיטות להעריך את התנועה השמשית במונחי התנועות העצמיות של כוכבי השבת המרוחקים יותר.
אנליזה מתמטית.
פונקציות אליפטיות, טורים היפרגאומטריים, תבניות מודולריות.
אחד הגילויים העצמאים הראשונים של גאוס היה מושג הממוצע האריתמטי-גאומטרי (AGM) של שני מספרים ממשיים חיוביים; המחקר השיטתי שערך על הממוצע הזה הוביל אותו לגלות עולם מתמטי אשר (במילותיו של גאוס עצמו) "כמות האמיתות שניתן לגלות בו גדולה לאין שיעור מאשר זו שהפונקציות הרגילות אוצרות בחובן". הוא גילה את הקשר שלו לאינטגרלים אליפטיים בשנים 1798–1799, דרך הטרנספורמציה שגילה באופן עצמאי הנקראת טרנספורמציית לנדן (Landen transformation). אחד החיבורים המרכזיים שלו בקשר לזה הוא לקט של כתבים תחת הכותרת "Arithmetisch Geometrisches mittel". לקט זה ביחד עם מאמרים רבים נוספים, מכיל עושר אדיר של תגליות מתמטיות, ורבות מן התוצאות במאמרים אלה הן בין התוצאות מרחיקות הראות ביותר של גאוס, אשר הייתה להן השפעה רבה על התפתחות המתמטיקה בשלהי המאה ה-19, כאשר מתמטיקאים אחרים נתוודעו להישגיו דרך הפרסום ההדרגתי של כתביו הלא מפורסמים. כתבים אלו הראו שעוד לפני סיום העשור הראשון של המאה ה-19, גאוס הכיר רבות מהתוצאות שהופיעו לראשונה בחיבורו המהפכני של קרל גוסטב יעקב יעקובי מ-1829 "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum": בין היתר גילה גאוס את התכונה היסודית של פונקציות אליפטיות – שהן מהוות באופן טבעי פונקציות בעלות שני מחזורים בלתי תלויים formula_40, מעל "R" - וחישב את שני המחזורים הבלתי תלויים שלהן במקרים רבים, הוכיח תוצאות חשובות על הקשר בין אינטגרלים אליפטיים והממוצע האריתמטי גאומטרי, חקר לעומק את הפונקציות הלמניסקטיות (שניתן לחשוב עליהן כעל הכללה של הפונקציות הטריגונומטריות הרגילות), גילה והוכיח את זהות המכפלה המשולשת של יעקובי - שממנה נובעות תוצאות רבות על פונקציות תטא, הגדיר את המקדמים הבינומים הגאוסיים, ועוד.
כמה קטעים מתמטיים בכתבים אלה מעידים שגאוס הכיר היטב את היסודות של התאוריה שתושלם בסופו של דבר בעבודתם של פליקס קליין ו-Fricke על תבניות מודולריות. אין זה מקרי, שכן קליין ו-Fricke היו מעורבים מאוד בפרסום הכתבים של גאוס וחקרו את התוצאות של גאוס מקרוב. למשל, קליין מציין בספרו על התפתחות המתמטיקה במאה ה-19 כי האינווריאנט j של עקומים אליפטיים (הקבוע האבסולוטי של קליין; זוהי תבנית מודולרית ממשקל אפס), מן המושגים המרכזיים בתאוריה של תבניות אלו, הוצג לראשונה על ידי גאוס, אשר כינה אותו "Summatorische Function". גאוס הציגו בהקשר של מחקרו על הממוצע האריתמטי-גאומטרי של זוג מספרים מרוכבים – נושא שגאוס החשיבו כדרך הטבעית ביותר להתוודע ל"תמונה המודולרית" – ושבמסגרתו ביסס תוצאה עמוקה ביותר על היצירה של אינסוף הערכים השונים של הממוצע משני ערכים "פשוטים ביותר" שלו. בהקשר זה, הוא רשם גם את הדוגמאות הראשונות לטורי אייזנשטיין, וגילה את ההצגה המפורסמת של ויירשטראס של משתנה האינטגרציה "x" שבאינטגרלים אליפטיים מגנוס 1 כמנה של שתי הפונקציות השלמות שכונו על ידי ויירשטראס formula_41 (כאשר "u" הוא ערך האינטגרל האליפטי). כתביו מכילים אף מספר איורים שמראים כי הוא היה מודע לצד הגאומטרי של התאוריה; אחת התוצאות המשמעותיות שלו, שמתקשרת גם לעבודתם של מתמטיקאים מאוחרים יותר על מודלים של גאומטריה לא אוקלידית, היא הגילוי של ריצוף של מודל הדיסק של פואנקרה על ידי משולשים "שווי צלעות" עם זוויות שכולן שוות formula_42.
גאוס בחייו פרסם כמעט מאום ממה שהשיג על תורת הפונקציות האליפטיות, אולם הוא כן פרסם מאמר שחשף מעט מהרעיונות שלו בנוגע לעצם מתמטי קשור – הפונקציה ההיפרגאומטרית. במאמר "חקירות כלליות חדשות על הטור האינסופי" מ-1813, הוא סיפק את הטיפול השיטתי הראשון בפונקציה ההיפרגאומטרית formula_43 הכללית, והראה שרבות מהפונקציות המוכרות באותה עת, כדוגמת הפונקציות האלמנטריות ופונקציות מיוחדות מסוימות, הן מקרה פרטי של הפונקציה ההיפרגאומטרית. בכך הוא המשיך את התוכנית האנליטית השיטתית של אוילר ויוהאן פרידריך פף, שפרסמו לפניו מחקרים (מצומצמים למדי) שעסקו בטור ההיפרגאומטרי. המאמר קושר גם בין שברים משולבים עם ערכים מרוכבים למנות של פונקציות היפרגאומטריות, ומכיל תוצאות רבות על פונקציות טרנסצנדנטיות כמו פונקציית גמא ופונקציית הדיגמא; אחת התוצאות העמוקות ביותר בו, שלה גם הקשרים אריתמטיים מעניינים, היא "משפט הדיגמא של גאוס", המאפשר לבטא את פונקציית הדיגמא עבור כל הארגומנטים הרציונליים formula_44 באמצעות קבוע אוילר-מסקרוני ופונקציות אלמנטריות בלבד. מלבד התגליות שבחיבור, הייתה לו חשיבות רבה גם להתפתחות המתמטיקה הריגורוזית, שכן תואר בו מעיין מודל לחקר התכנסות של טורים. בחלקו השני הלא מפורסם של המאמר - "קביעה של הטור המייצג משוואה דיפרנציאלית מסוימת מסדר שני", גאוס הרחיב את תחום ההגדרה של הפונקציה ההיפרגאומטרית, ודן בהתנהגות שלה בכל המישור המרוכב. כדי לעשות זאת הוא נקט בגישה שונה, וחקר פונקציות היפרגאומטריות לא באמצעות הצבת ערכי פרמטרים שונים בטור ההיפרגאומטרי שמייצג אותן, אלא דרך אפיונן כפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית היסודית שהן מקיימות:
formula_45.
מיד לאחר ההצגה של המשוואה הדיפרנציאלית, גאוס בוחן את המבנה האנליטי המורכב של הפונקציה ומפתח ישירות מהמשוואה תכונות של הפונקציה כגון ערכיה בנקודות מיוחדות מסוימות וטרנספורמציות שונות שלה; אף על פי שלא זיהה במפורש את המושג של נקודת סינגולריות רגולרית של משוואה דיפרנציאלית, הוא מצא פיתוחים לטורים של שני הפתרונות הבלתי תלויים של המשוואה ההיפרגאומטרית בסביבת כל אחת משלוש נקודות הסינגולריות שלה (הממוקמות ב-formula_46). בעקבות ניתוח של תכונה פרדוקסלית של טרנספורמציה ממעלה שנייה של הפונקציה ההיפרגאומטרית אותה גילה, גאוס מעלה לראשונה את בעיית המונודרומיה (monodromy) - הנוגעת להתנהגות הרב-ערכית של הפונקציה ההיפרגאומטרית כאשר ממשיכים אותה אנליטית. ארנסט קומר גילה ב-1836 את מרבית התוצאות שבחלק זה, מה שבמובנים רבים ייתר אותו.