מכיוון שהסתמכנו על ידיעה מראש של formula_72, על מנת להשלים את האלגורים נותר להסביר כיצד ניתן לחשב את formula_72.
החישוב מתבצע בצורה אינדוקטיבית, כלומר האלגוריתם מצליח לחשב את formula_81 כאשר נתון לו המספר formula_50. מכיוון שהאלגוריתם אינו דטרמיניסטי, קיימת עבורו האפשרות לענות "לא" אם החישוב לא הצליח, עקב ניחוש שגוי (כל עוד קיים לפחות ניחוש אחד שיהיה תקין ויוביל לתשובה "כן")
ראשית, ברור כי formula_83 - על ידי מסלול מאורך 0 אפשר להגיע מ-formula_31 רק אל formula_31 עצמו.
החישוב האינדוקטיבי (מ-formula_86 ל-formula_81) מתנהל באופן הבא: האלגוריתם עובר סדרתית על כל צומתי הגרף. לכל צומת formula_88 הוא מחפש צומת formula_89 כך שיש קשת מ-formula_89 אל formula_88 ובנוסף לכך קיים מסלול באורך formula_49 לכל היותר מ-formula_31 אל formula_89. חיפוש שכזה מתבצע באופן דומה למתואר לעיל - האלגוריתם בוחר באופן אי דטרמיניסטי את כל הצמתים שמרחקם מ-formula_31 הוא לכל היותר formula_49, בודק שאכן נבחרו הצמתים הנכונים, ואז בודק אם ניתן להגיע מהם אל formula_88. כמקודם, דרישות הסיבוכיות של שלב זה הן formula_33. לבסוף, האלגוריתם מחזיק מונה הסופר את מספרם של הצמתים formula_88 שקיימו את התנאי; לאחר שהאלגוריתם מסיים לעבור על כל צומתי הגרף, מספר זה הוא בדיוק formula_81. מכאן שניתן לחשב את formula_72 באופן אינדוקטיבי.
חדר הענבר
חדר הענבר (ברוסית: Янтарная комната - "יאנטארנאיה קומנאטה", באנגלית: Amber Room; בגרמנית: Bernsteinzimmer) הוא חדר הממוקם בארמון יקטרינה שבצארסקויה סלו (כפר הצאר) בסמוך לעיירה פושקין, כ-25 ק"מ דרומית מזרחית לסנקט פטרבורג ברוסיה.
החדר מעוטר כולו בלוחות ענבר, מראות, וזהב, וידוע ביופיו הייחודי.
חדר הענבר נבנה בעבודה משותפת של אמנים רוסיים וגרמניים, בין השנים 1701–1709. עבודות גילוף הענבר החלו בפרוסיה, והלוחות עוצבו על ידי הפסל הגרמני, אנדריאס שלוטר בסגנון הבארוק, וגולפו תחת הפסל הדני גוטפריד וולפרם. הלוחות הוחזקו בארמון שארלוטנבורג עד שנת 1716 עת הוענקו במתנה על ידי מלך פרוסיה, פרידריך וילהלם הראשון לצאר פיוטר הגדול שהיה אז בן בריתו.
ללוחות שהועברו לרוסיה נוספו לוחות נוספים שגולפו ברוסיה. עם סיום הפיסול הצטברו לוחות ענבר בשטח של 55 מטרים רבועים, ובמשקל של שש טונות.
הלוחות נבזזו על ידי חיילי גרמניה הנאצית במלחמת העולם השנייה ונעלמו. החיפוש אחריהם טרם הסתיים.
בשנת 1979 הוחלט על בנייה מחדש של חדר הענבר תוך הסתמכות על תיעוד שקדם למלחמת העולם. עבודות השיקום הסתיימו בשנת 2003, לרגל יובל ה-300 לייסוד סנקט פטרבורג.
היסטוריה.
הקמת החדר.
העבודות על יצירת לוחות הענבר החלו בשנת 1701, מתוך כוונה להתקינם בארמון שארלוטנבורג, ביתו של פרדריך הראשון, מלך פרוסיה הראשון. העבודות החלו ביוזמת רעייתו של פרדריך, סופיה שארלוטה מהנובר. הרעיון להקמת חדר מחופה ענבר, היה רעיונו של אנדראס שלוטר, אשר תכנן את החדר. פיסול לוחות הענבר בוצע על ידי האמן גוטפריד וולפרם, אשר שימש כאמן הראשי בחצרו של פרדריק הרביעי, מלך דנמרק, בסיועם של האמנים ארנסט שאכט וגוטפריד טוראו מדנציג.
בעת ביקורו בארמון, בשנת 1716, התלהב הצאר פיוטר הגדול מהחדר המרשים, ופרידריך וילהלם הראשון, בנו של פרידריך הראשון, העניק לו את החדר במתנה לאות ציון הברית שנכרתה בין פרוסיה ורוסיה כנגד שוודיה.
בשנת 1755 העבירה הצארינה יליזבטה את החדר לסנקט פטרבורג והורתה להתקינו בארמון החורף. לאחר מכן הורתה להעביר את החדר לארמון הקיץ - ארמון יקטרינה (מיקומו הנוכחי).
על מנת להתאים את לוחות הענבר לחדרים בהם הם הותקנו, שלח פרידריך הגדול ענבר גולמי נוסף, ולוחות נוספים עוצבו על פי תכנונו של אדריכל החצר של הצארינה, ברתולומאו רסטרלי.
בסיום העבודות כלל החדר 55 מטרים רבועים של לוחות ענבר, ולמעלה משש טונות ענבר.
מלחמת העולם השנייה.
זמן קצר לאחר פלישת גרמניה הנאצית לברית המועצות במסגרת מבצע ברברוסה, במלחמת העולם השנייה, שלחו שלטונות ברית המועצות אוצרים לנסות ולהציל את אוצרות הארמונות שסביב סנקט פטרבורג ובעיר עצמה, ולהרחיקם מהחזית. האוצרים ניסו לפרק את לוחות הענבר, אולם בשל הזמן שחלף מאז נבנה החדר, הפך הענבר שביר, והלוח אשר ניסו להסיר התפורר. על מנת להגן על הענבר כוסו הלוחות בטפט פשוט. ניסיון זה להסתיר את החדר לא צלח, בשל פרסומו הרב.
ב-14 באוקטובר 1941 הגיעו חיילים גרמנים אל החדר, ובתוך 36 שעות פירקו את לוחות הענבר והעבירו אותם ב-27 ארגזים לקוניגסברג שבפרוסיה המזרחית, והם הוצגו בטירת קוניגסברג ב-13 בנובמבר 1941.
כיבוש קוניגסברג על ידי הצבא האדום.
ב-21 בינואר 1945 הורה אדולף היטלר לאלברט שפר להציל יצירות אמנות המצויות בקרבת החזית. אריך קוך, מפקד אזור קוניגסברג, הורה על העברת לוחות הענבר, ועדי ראייה דיווחו על כך שראו ארגזים רבים בתחנת הרכבת של העיר.
ישנה סברה לפי חלק מהלוחות הועמסו על האוניה וילהלם גוסטלוף אשר עזבה את גדיניה ב-30 בינואר והוטבעה זמן קצר לאחר מכן על ידי צוללת של הצבא האדום. לפי סברה אחרת הועברו הלוחות לוויימאר.
ב-9 באפריל 1945 הופצצה קוניגסברג על ידי חיל האוויר המלכותי, על מנת להקל על כיבושה על ידי הצבא האדום ובין היתר נפגעו תחנות הרכבת והטירה. שרידי הטירה פוצצו על ידי שלטונות ברית המועצות בשנות ה-60. על פי אחת הסברות נפגעו לוחות הענבר בהפצצות.
העלמות חדר הענבר.
בתום המלחמה נעלמו עקבות לוחותיו של חדר הענבר, ולא נודעו עקבותיהם. הסברות השונות בדבר מיקום הלוחות נבדקו, אולם לא נמצאו ראיות לתמיכה באף סברה. קבוצות רבות ואישים רבים, ובהם קבוצות בדיקה רשמיות מטעם ממשלת ברית המועצות חיפשו את חדר הענבר, בין היתר במכרות באזור קוניגסברג (מתוך מחשבה שהלוחות הוסתרו במכרות), בלא הצלחה.
בראש המשלחת הראשונה הסובייטית שניסתה למצוא את הלוחות עמד אלכסנדר ברוסוב, אשר כתב בדוח הרשמי שהכין עבור הממשלה ביוני 1945:
מספר שנים לאחר מכן שינה ברוסוב את הדוח, ככל הנראה בלחץ של השלטונות (אשר לא רצו להיראות כאחראיים להרס חדר הענבר).
ארכיבי החיפוש העלו כי שרידי פסיפס איטלקי התגלו בהריסות הטירה. פסיפס מסוג זה הופיע על הלוחות המעטרים את החדר. על אף זאת המשיכו השלטונות לשלוח משלחות לחיפוש חדר הענבר. קתרין סקוט קלארק ואדריאן לוי בספרם משנת 2004 טוענים כי חיפושים אלו נועדו לצורכי תעמולה במהלך המלחמה הקרה.
סברה אחרת טוענת כי החדר התגלה בשלמותו בטירת קוניגסברג, והוצא ממנה על ידי יחידות התגמול של הצבא האדום. סברה זו מתבססת על עדות חייל רוסי אשר טען שראה את החדר בשנת 1945 בעת כיבוש קוניגסברג. על פי סברה זו הוסתרו הלוחות במרתף בעיר, אולם מאחר שלא טופלו במשך השנים התפורר הענבר.
בשנת 1997 התגלה אחד מלוחות הפסיפס של חדר הענבר במערב גרמניה. הלוח התגלה בעת שבנו של אחד מהחיילים הגרמניים ששהו בארמון בתקופת מלחמת העולם ניסה למכור את הלוח.
בשנת 1998 הכריזו שתי קבוצות מחפשים (האחת בגרמניה והשנייה בליטא) כי הן מצאו את חדר הענבר, אולם לא הוצגו ראיות לכך.
באוגוסט 2015 פורסמו עדויות על "רכבת הזהב" שהגרמנים הסתירו בהרי זוצלבך. לדברי החוקרים, לוחות הענבר, בשווי 250 מיליון דולר, נמצאים ברכבת. ביוני 2019 ציידי אוצרות מפולין טענו שמצאו מנהרה סודית בצפון מזרח המדינה שבה מוסתרים הלוחות.
באוקטובר 2020 דווח כי צוללנים פולניים מצאו את ספינת המטען קרלסרוהה ובה ציוד צבאי ותיבות חתומות רבות שייתכן ויש בהן חלקים מחדר הענבר.
שחזור חדר הענבר.
בשנות ה-70, במסגרת שיקום ארמון יקטרינה, וההבנה כי ככל הנראה עקבותיו של חדר הענבר לא יתגלו, החלו עבודות שיחזור החדר. בשנת 1979 החלו עבודות השחזור בהתבסס על תצלומים בשחור-לבן שצולמו לפני מלחמת העולם. עלות השחזור מומנה בין היתר בתרומה של 3.5 מיליון דולרים של התאגיד הגרמני רוהרגאס AG.
עבודות השחזור נמשכו למעלה מ-20 שנה, במסגרתן נכרה ענבר במזרח פרוסיה (בה נכרה הענבר המקורי עבור החדר), ונערכה טבלת צבעי ענבר על מנת להתאים את גוני הצבעים לגוונים המופיעים בתמונות בשחור לבן. העבודות הושלמו בשנת 2003 לרגל יובל ה-300 לייסוד העיר סנט פטרבורג.
חדר הענבר נחנך מחדש בנוכחות נשיא רוסיה ולדימיר פוטין וקנצלר גרמניה גרהרד שרדר.
פרידריך וילהלם הראשון, מלך פרוסיה
העמק דבר
ספר העמק דבר הוא פירוש על התורה ומגילת שיר השירים בדרך פשוטו של מקרא שחיבר הרב נפתלי צבי יהודה ברלין ("הנצי"ב מוולוז'ין").
כתיבת הספר.
הספר נכתב על פי שיעורים שהיה מעביר הנצי"ב בכל יום בישיבת וולוז'ין על פרשת השבוע כפי שמעיד המחבר בהקדמת ספרו:
הוצאה לאור.
בשנת תרל"ט התחיל המחבר להפוך את השיעורים שמסר בעל פה לפירוש כתוב וסדור, ובעיקר איתר את המקורות לחידושיו.
ההוצאה הראשונה יצאה לאור בווילנה בשנים תרל"ט–תר"ם.
הוצאה שנייה לאור.
המחבר המשיך לחדש בפירושו לתורה גם אחרי ההוצאה לאור. ומספר כי .
את ההוספות שהיו לו כתב המחבר על גבי עותק של הספר, והוספות אלה הודפסו בהוצאה השנייה של העמק דבר. הוצאה זו יצאה לאור בשנת תרצ"ח על ידי בנו, הרב מאיר בר-אילן בירושלים. הוספות אלה נוספו כנספח בסופו של כל חומש, בסה"כ כ-1,500 הוספות.
תוכן הספר.
הספר מפרש על דרך הפשט, מעמיק ומנתח כל אות, ניקוד ודגש הנראים מיותרים ולמד מתוכם את דרשות חז"ל שבעומק הפשט.