https://www.yekum.org/2022/08/%d7%95%d7%96%d7%94-%d7%93%d7%91%d7%a8-%d7%94%d7%a0%d7%99%d7%a7%d7%91%d7%94-%d7%a1%d7%99%d7%a4%d7%95%d7%a8-%d7%94%d7%99%d7%a1%d7%98%d7%95%d7%a8%d7%99-%d7%a2%d7%9c-%d7%97%d7%a6%d7%99%d7%91%d7%aa/
ב-2009 ביקר הזמר קובי אוז בנקבת השילוח, והרושם הרב שהותיר בו המקום הביאו לפרסם שיר בשם "נקבת השילוח". בשיר זה מתאר אוז מסע חיפוש והיטהרות נפשי במי הנקבה. בין היתר כתב:
באופן אירוני, בקליפ שצילם אוז לשיר הוא נראה משוטט במקומות שונים בירושלים, כמו בתעלות קדומות בעיר דוד, ואפילו בגשר המיתרים, אך לא בנקבת השילוח. בקליפ, שאורכו כמעט 4 דקות וחצי, נראים מי הנקבה למשך שלוש שניות בלבד.
משתנה מקרי
בתורת ההסתברות, משתנה מקרי (נקרא גם: משתנה אקראי) הוא פונקציה המתאימה כל אירוע אפשרי במרחב הסתברות לערך מספרי. לדוגמה, התאמת צד מטבע לערך 0, וצדו השני לערך 1; גם גובהו של אדם שנבחר באקראי הוא משתנה מקרי.
המשתנים המקריים פותחים את הדלת הראשית של תורת ההסתברות לכלים מן האנליזה המתמטית. הם הופכים מרחב הסתברות, שבו כל מאורע נקודתי הוא ישות עצמאית, למערכת מתמטית שבה אפשר לחשב תוחלות או מדדים מספריים אחרים. כל המשפטים החשובים בתורת ההסתברות עוסקים במשתנים מקריים.
מבחינה פורמלית, המשתנה המקרי הוא פונקציה מדידה ממרחב הסתברות formula_1 למרחב מדיד כלשהו, בדרך כלל המספרים הממשיים עם הסיגמא-אלגברה של בורל. במקרה כזה המשתנה המקרי נקרא משתנה מקרי ממשי. הדרישה שהפונקציה מדידה מבטיחה שאפשר יהיה לחשב את ההסתברות למאורעות formula_2 המוגדר על מרחב ההסתברות formula_3, אפשר לשאול שאלות כמו "מה הסיכוי שהערך formula_4 גדול מ-2?". זו ההסתברות של המאורע formula_5 הנכתבת בקיצור formula_6.
ההסתברויות של כל טווחי התוצאות של משתנה מקרי ממשי formula_4 נותנות את ההתפלגות של formula_4. ההתפלגות "מתעלמת" ממרחב ההסתברות המסוים שמשמש בהגדרה של formula_4 ונותנת רק את ההסתברות של ערכים שונים של formula_4. התפלגות כזו ניתנת להצגה תמיד בעזרת פונקציית הצטברות ההסתברות שלה
ולעיתים גם בעזרת פונקציית צפיפות הסתברות (השווה לנגזרת של פונקציית הצטברות ההסתברות בכל נקודה בה קיימת הנגזרת). במונחי תורת המידה, אנו משתמשים במשתנה המקרי formula_4 כדי לדחוף ("push forward") את המידה formula_13 על formula_1, למידה formula_15 על הממשיים. מרחב ההסתברות המקורי formula_1, הוא מכשיר טכני להבטחת קיומם של משתנים מקריים, ולפעמים לבנייתם. בפועל, לעיתים קרובות נפטרים לגמרי מהמרחב formula_1, ופשוט מגדירים מידה על הממשיים כך שמידת הישר הממשי כולו תהיה 1, כלומר עובדים עם התפלגויות במקום עם משתנים מקריים.
פונקציות של משתנים מקריים.
אם נתון משתנה מקרי formula_4 על formula_1, ופונקציה מדידה formula_20, אז formula_21 יהיה גם הוא משתנה מקרי על formula_1, כיוון שהרכבה של פונקציות מדידות היא פונקציה מדידה. אותו תהליך שמאפשר לעבור ממרחב ההסתברות formula_3 ל-formula_24 יכול לשמש לקבלת ההתפלגות של formula_25. פונקציית הצטברות ההסתברות של formula_25 היא
דוגמה.
יהי formula_4 משתנה מקרי ונגדיר formula_29 משתנה מקרי חדש. אז formula_30. אם " y &lt; 0 " אזי ברור ש formula_31.
אם formula_32 אז formula_33.
התוחלת של משתנה מקרי.
התוחלת של משתנה מקרי היא, למעשה, הכללה של ממוצע חשבוני (או ממוצע חשבוני משוקלל), ומסומלת על ידי formula_34 או formula_35 או formula_36 או formula_37.
התוחלת של משתנה מקרי formula_4 שפונקציית הצטברות ההסתברות שלו formula_15 היא:
האינטגרל הוא אינטגרל סטילטיס (רימן-סטילטיס או לבג-סטילטיס הזהים במקרה זה מאחר שפונקציית הצטברות ההסתברות היא פונקציה מונוטונית עולה).
קיימים מקרים שבהם האינטגרל אינו מתכנס ואז לא קיימת התוחלת (אם כי, כאשר הגבול של formula_41 (כאשר t שואף לאינסוף) הוא אינסוף, אומרים שהתוחלת היא אינסוף).
אם קיימת פונקציית צפיפות ההסתברות f, ניתן להגדיר את התוחלת בהגדרה שקולה, בעזרת אינטגרל לבג, כדלהלן:
מומנטים.
ההתפלגות של משתנה מקרי מאופיינת לעיתים קרובות על ידי מספר קטן של פרמטרים, שיש להם גם משמעות מעשית. לדוגמה, לפעמים מספיק לדעת מה "הערך הממוצע" של משתנה מקרי. ערך זה מבוטא על ידי מושג התוחלת. לא לכל משתנה מקרי קיימת תוחלת (במקרים אלה, האינטגרל המגדיר את התוחלת אינו מתכנס ובחלק מהם התוחלת נקראת אינסופית).
התוחלת היא מקרה פרטי של סוג פונקציות, המוגדרות על משתנים מקריים ונקראות מומנטים.
המומנט מסדר formula_43 (או המומנט ה-formula_43) של משתנה מקרי formula_4 סביב הנקודה (או המספר) formula_46 הוא התוחלת של המשתנה המקרי formula_47. התוחלת של משתנה מקרי היא המומנט מסדר formula_48 שלו סביב ה-formula_49.
התוחלת היא פונקציה ליניארית, אולם formula_50 אינו שווה בהכרח ל-formula_51 כאשר f פונקציה כללית יותר.
אחרי שמוצאים את "הערך הממוצע", אפשר לשאול עד כמה ערכי formula_4 רחוקים ממנו. תשובה מספרית מקובלת ניתנת על ידי סטיית התקן (שהיא השורש הריבועי של השונות) של המשתנה המקרי. קיימים ערכים רבים אחרים היכולים לתת תשובה לשאלה, למשל, כל אחד מן המומנטים מסדר זוגי של המשתנה המקרי סביב התוחלת וכן ממוצע הערכים המוחלטים של הסטיות מן הממוצע (התוחלת של המשתנה המקרי formula_53).
התכנסות.
תוצאות לגבי התכנסות סדרות מסוימות של משתנים מקריים מהוות חלק נכבד מתורת ההסתברות; ראו למשל את חוק המספרים הגדולים ומשפט הגבול המרכזי.
סדרת משתנים מקריים יכולה להתכנס למשתנה מקרי בכמה מובנים. ראו התכנסות של משתנים מקריים.
משתנה מקרי בדיד.
ישנם שני סוגים של משתנים מקריים בדידים:
דוגמה למשתנה מקרי בדיד ללא תוחלת.
נניח שקיימים יצורים מסוג מסוים שההסתברות שיחיו לפחות שנה אחת היא חצי. ההסתברות שיחיו לפחות שנתיים היא שליש, וכן הלאה, ההסתברות שיחיו לפחות formula_43 שנים היא formula_66. נבחר יצור כזה שרק נולד, ונגדיר כמשתנה מקרי formula_4 את מספר השנים השלמות שהיצור יזכה לחיות.
על פי הנתון, עבור formula_68,
formula_69.
פונקציית ההסתברות, עבור formula_68,
formula_71.
התוחלת,
formula_72.
זהו טור שמתבדר לאינסוף. קיבלנו יצור שמספר שנות חייו סופי בהסתברות 1 ותוחלת חייו היא אינסוף.
משתנה מקרי רציף.
בהינתן משתנה מקרי formula_54 ופונקציה formula_20 המקיימת
formula_75
לכל קטע formula_76. משתנה זה יקרא משתנה מקרי רציף והפונקציה formula_77 תקרא פונקציית צפיפות ההסתברות של המשתנה המקרי. במקרה כזה התוחלת של המשתנה המקרי ניתנת לחישוב באמצעות האינטגרל הלא אמיתי הבא (רק אם האינטגרל אכן קיים. אחרת התוחלת לא קיימת.)
formula_78
דוגמאות של משפחות משתנים מקריים מהסוג הנידון הן: משתנה מקרי מעריכי, נורמלי, גמא ובטא.
דוגמה למשתנה מקרי רציף ללא תוחלת.
נתון משתנה מקרי formula_54 עם פונקציית הצטברות ההסתברות, formula_80
formula_81.
פונקציית צפיפות ההסתברות במקרה כזה היא,
formula_82.
התוחלת,
formula_83.
משתנה מקרי דו-ממדי.
פונקציית הסתברות משותפת של משתנה מקרי דו ממדי (X,Y) מוגדר כ: formula_84.
מאיר הר-ציון
מאיר הר-ציון (8 באוגוסט 1934 – 14 במרץ 2014) היה לוחם קומנדו ישראלי, מלוחמי יחידה 101 ומגיבורי פעולות התגמול בשנות ה-50 של המאה ה-20, עוטר בעיטור העוז, מפקדה הראשון של סיירת צנחנים וממקימי סיירת מטכ"ל.
רקע משפחתי.
הורי סבו מצד אמו יצאו מרוסיה והתיישבו ברומניה, שם נולד סבו. כאשר היה סבו בן 3, ככל הנראה בסוף שנות ה-60 של המאה ה-19, עלתה המשפחה לארץ ישראל והתיישבה בירושלים העתיקה, בין חומות העיר העתיקה. סבתו, ילידת ירושלים, הייתה בת למשפחה ספרדית שעלתה מאיזמיר. בהיותה נערה נענתה משפחתה לקריאתו של משה מונטיפיורי והייתה לאחת המשפחות הראשונות שיצאו מהחומות והתיישבו בשכונה החדשה שלו. לאחר שנישאו, התגוררו סבו וסבתו בתוך החומות. לאחר שנולד בנם הבכור, עזב הסב את ירושלים והלך להיות חקלאי בראשון לציון, שם נולדה, בשנת 1902, אמו של מאיר הר-ציון, שרה גולדנברג. אמו למדה בבית המדרש לגננות לוינסקי בתל אביב. בהיותה נערה צעירה החלה לנסוע בעולם. במונית ערבית, נערה יהודיה יחידה עם 5 גברים ערבים, היא נסעה במשך שתי יממות דרך מדבר סוריה לבגדאד, כדי לשמש גננת לילדי היהודים שם. מבגדאד נסעה לפריז ללמוד בסורבון ומשם בחזרה לארץ ישראל, להרצליה, בה נישאה בשנת 1933 לאביו של הר-ציון, אליהו הורביץ (1905–1981), פועל חקלאי שעלה מרוסיה.
ביוגרפיה.
מאיר הר-ציון נולד בהרצליה בשנת 1934 כמאיר הורביץ. בהיותו בן שלוש עברה המשפחה לרשפון, שם נולדו שתי אחיותיו, שושנה (25 במאי 1936) ורחל (1939). בגיל 14 התגרשו הוריו; הר-ציון עבר עם אביו לקיבוץ עין חרוד, ואמו ואחיותיו עברו לקיבוץ בית אלפא. בנעוריו בעין חרוד הקדיש את רוב זמנו הפנוי לצפייה בטבע ולסיורים רגליים. טיולים אלה חרגו לעיתים מגבולות ישראל.
המאסר בסוריה.