ספר חשוב נוסף של פוטוק הוא "שמי הוא אשר לב" ("My Name Is Asher Lev") המספר על בחור צעיר, בן למשפחה חסידית בניו יורק, המבקש להפוך לצייר. העלילה עוסקת בנפתוליו עם הצדדים ה"טמאים" של אמנות הציור, תוך לבטים מול המשפחה והרבי. את ההשראה לדמותו של גיבור הספר שאב פוטוק מדמותו של האמן החוזר בתשובה ברוך נחשון. ב-1990 פרסם ספר המשך, "מתנתו של אשר לב" ("The Gift Of Asher Lev").
ב-1981 פרסם את "ספר האורות" - קורותיו של רב אמריקאי בצבא ארצות הברית אחרי מלחמת קוריאה ושרותו בקוריאה ויפן שהיה בעל זיקה חריפה לעולמה של הקבלה.
ב-1985 ראה אור "הנבל של דווידה", ספר שנכתב מנקודת המבט של ילדה נבונה ורגישה, בת למשפחה מעורבת וקומוניסטית, בתקופת מלחמת האזרחים בספרד, על הרדיפות שסובלים הוריה בשל אמונתם ועל ההתמוטטות הנפשית של אמה בעקבות אובדן האמונה הקומוניסטית על רקע מעשיו של סטלין.
ב-1992 פרסם את "אני החומר" ("I Am the Clay"), ספר על מסע בריחה של שלושה אנשים במלחמת קוריאה, בה שימש רב צבאי בצבא האמריקני. היה זה הרומן הראשון שלו שעסק בנושאים אוניברסליים.
כמו כן הוציא קובץ סיפורים, "זברה וסיפורים אחרים", שיצא במהדורה אנגלית ב-1998 ותורגם בשנת 2002 על ידי הוצאת מודן.
בברודוויי הועלה ב-2013 המחזה ״שמי הוא אשר לב״ בו משתתפת גם בתו של חיים פוטוק - נעמה פוטוק.
קבוע אוילר-מסקרוני
קבוע אוילר, הידוע גם כקבוע אוילר-מסקרוני או כקבוע מסקרוני הוא קבוע מתמטי, שהשימוש העיקרי שלו הוא בתורת המספרים, המסומן באות גמא (formula_1) ומוגדר על ידי הגבול:
כלומר קבוע אוילר הוא ההפרש האסימפטוטי בין הטור ההרמוני ללוגריתם הטבעי. הפרש זה מתכנס באופן טבעי מכיוון ש-formula_3 ולכן סכום formula_4 הוא מן "גרסה בדידה" של הלוגריתם הטבעי. מכאן נובעת דרך תיאור נוספת של הקבוע: formula_5, כאשר formula_6 הוא הערך השלם של x.
ערכו של הקבוע הוא בקירוב: formula_7 (). עדיין לא ידוע אם קבוע אוילר רציונלי או אי רציונלי.
היסטוריה.
הקבוע הוגדר לראשונה על ידי המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר במאמרו "De Progressionibus harmonicus observationes" אשר פורסם בשנת 1735. אוילר השתמש בסימון C עבור הקבוע, וחישב בראשונה את ערכו בדיוק של 6 ספרות אחרי הנקודה. בשנת 1761 הוא הרחיב את החישוב, ופרסם אותו בדיוק של 16 ספרות אחרי הנקודה. בשנת 1790, הציע המתמטיקאי האיטלקי לורנצו מסקרוני את סימון הקבוע באות formula_1 (גמא היוונית), וניסה להרחיב את ערכו של הקבוע עד ל-32 ספרות אחרי הנקודה, אם כי חישובים מאוחרים יותר גילו כי מסקרוני שגה בחישוב הספרה ה-20 אחרי הנקודה. המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן מצא טורים שונים המתכנסים ל-formula_1.
כפי שנאמר, לא ידוע האם קבוע אוילר הוא מספר רציונלי או לא. עם זאת, ניתוח שבר משולב מראה כי אם קבוע אוילר הוא רציונלי, הרי שהמכנה בשבר המגדיר אותו לא יהיה קטן מ-formula_10.
תכונות.
קיום הקבוע.
ההוכחה שהסדרה
מתכנסת לגבול סופי היא קלה מאוד, אך עדיין אינה טריוויאלית. ברור מן הגרף לעיל שזו סדרה מונוטונית עולה וחיובית ולכן מספיק להוכיח קיום חסם עליון. מספיק להראות ש-
קיים. קל לראות שלכל formula_13 שטח המלבן שרוחבו 1 וגובהו formula_14 קטן מהאינטגרל formula_15, ולכן מתקיים
formula_16.
לפיכך הגבול קיים ו-formula_17.
הצגות אינטגרליות.
ניתן לקבל את ערכו של הקבוע גם על פי האינטגרלים הבאים:
אינטגרלים אחרים אשר מכילים את ערך formula_22 הם:
ניתן לבטא את קבוע אוילר גם בעזרת אינטגרל כפול:
בדומה האינטגרל הכפול הבא שהוצג על ידי ג'. סונדאו (2005):
מראה כי ניתן להסתכל על formula_27 בתור "קבוע אוילר חילופי".
בשנת 1910, הציג ואקה את הסכום הבא:
כאשר formula_29 הוא הלוגריתם בבסיס 2 ו-formula_30 היא פונקציית הערך השלם.
ניתן לקבל את סדרתו של ואקה על ידי מניפולציה של אינטגרל Catalan.
קשרים לפונקציות מיוחדות.
ניתן לבטא את קבוע אוילר גם כטור אינסופי של איברים הכוללים ערכים של פונקציית זטא של רימן של מספרים שלמים וחיוביים:
סדרות נוספות הקשורות לפונקציית זטא של רימן:
כמו כן, ניתן לבטא את הקבוע על ידי פונקציית בטא (במונחים של פונקציות גמא):
שני גבולות השווים בערכם לקבוע אוילר-מסקרוני הם הגבול האנטי-סימטרי:
והגבול
formula_39
סדרת זטא הרציונלית היא ביטוי קשור מאוד לנוסחה שהוצגה לעיל. אם נסיר מספר איברים מהסדרה לעיל, ניתן לקבל הערכה לגבול סדרה הקלאסי:
כאשר formula_41 היא פונקציית הורביץ-זטא. הסכום במשוואה זה מערב מספרים הרמוניים, המסומנים ב-formula_42.
הרחבת מספר איברים בפונקציית הורביץ-זטא מביא אותנו למשוואה:
לבסוף, ניתן לחשב את הקבוע כנגזרת של פונקציית גמא של אוילר:
formula_46.
הקבוע formula_47 נחשב גם הוא לקבוע חשוב בתורת המספרים. מדי פעם, מסמנים קבוע זה גם בformula_48 ומבטאים אותו בעזרת הגבול הבא, כאשר pn הוא המספר הראשוני ה-n-י:
אשר מהווה ניסוח מחודש לשלישי מבין משפטי מרטן. הערך המספרי של formula_47 הוא:
מכפלות אינסופיות נוספות הקשורות לערך של קבוע זה הן:
שתי המכפלות הללו נובעות פונקציית G של בארנס. כמו כן:
שהוצג על ידי ג'ונתן סונדאו על ידי שימוש בפונקציות היפר-גאומטריות.
מופעים.
קבוע אוילר-מסקרוני מופיע, בנוסף למקומות אחרים, גם ב:
חיים מחוץ לכדור הארץ
שאלת קיומם של חיים מחוץ לכדור הארץ, ובפרט חיים תבוניים, מעסיקה את האדם שנים רבות. לנושא זה השלכות פילוסופיות ותאולוגיות מרחיקות לכת על שאלת מהותם של החיים (והחיים התבוניים) כתופעה חד-פעמית ויוצאת דופן, או כתופעה רגילה ושכיחה. אמונה בחיים מחוץ לכדור הארץ מבטאת לעיתים אמונה בדבר התפתחות החיים כתופעה טבעית ושכיחה, או להפך - כתופעה כל כך יוצאת דופן, עד שלא ייתכן שהחיים בכדור הארץ נוצרו מאליהם - ומכאן שהגיעו "מבחוץ".
בשאלה זו יש להבחין בין קיומם של חיים "רגילים", במחקרם עוסק תחום האסטרוביולוגיה, לעומת חיים תבוניים. שאלת ייחודו של האדם מושפעת מעיקר מזו האחרונה. גם דרכי החיפוש אחר חיים משני הסוגים שונות: החיפוש אחר הסוג הראשון מתבטא בעיקר בניסיון איתור תנאים אשר מתאימים, לפי אמונת מדענים כיום, להתפתחותם של חיים באופן טבעי (דהיינו, מקומות הדומים לכדור הארץ). מדידות אמפיריות של חיים ממש כמעט אינן ישימות, והן מתבטאות בעיקר בבדיקתם של מטאוריטים שונים או כוכבי לכת קרובים, במטרה לחפש אם הם נושאים את אבני היסוד של החיים כפי שאנו מכירים - חומצות אמינו. החיפוש אחר הסוג השני מאפשר יתר מקוריות, ומבטא ניסיון "לאותת" לתרבויות אחרות על קיומנו, או למצוא איתותים כאלה (מודעים ושאינם כאלה), המעידים על תרבות תבונית מחוץ לכדור הארץ.
רקע.
הרהורים על עולמות אחרים ועל יצורים חיים בהם הועלו כפי שידוע על ידי הפילוסופים ביוון העתיקה.
"גוף מרעהו יצמיח הטבע, דבר ממשנהו...", כך כתב המשורר הרומאי לוקרטיוס ביצירתו הגדולה "על טבע היקום".
מכאן אנו למדים שהתפיסה בדבר אוניברסליות החיים, וכי חיים התפתחו מחיים, ומחיים שלא בהכרח מוצאם מהאדמה, הייתה קיימת כבר אצל הוגי הדעות בעת העתיקה.
טיעונים חזקים בדבר קיומם של חיים מחוץ לכדור הארץ הושמעו מיד לאחר המהפכה הקופרניקאית, כשהבולט בין המעלים רעיון זה היה ג'ורדנו ברונו, שכפירתו במרכזיותו של כדור הארץ ביקום הביאה לכך ששילם בחייו כשהועלה על המוקד על ידי הכנסייה הקתולית.
קרל פרידריך גאוס (1777–1855) שהיה מתמטיקאי, פיזיקאי ואסטרונום גרמני, מגדולי המתמטיקאים של כל הזמנים, חשב על קיום ישויות נבונות מחוץ לכדור הארץ ועל האפשרות להעביר אליהן מסר. הוא היה הראשון שהעלה רעיון קונסטרוקטיבי להעביר מסר אופטי אליהם (על תקשורת רדיו לא דובר אז, שכן זה היה הרבה לפני גילוי גלי הרדיו). הרעיון שהציע היה לטעת במדבר סהרה שטח מוריק בן מאות קמ"ר בצורה של תרשים משפט פיתגורס, ואז אם יבחינו אותם יצורים נבונים בטלסקופים שלהם בצורה הזו, הם יבינו כי הסבירות שהיא מקרית שואפת לאפס, ויבינו שיצרו אותה יצורים נבונים.
הסופר אריך פון דניקן פרסם ספרים שמנסים להוכיח (בעיקר בעזרת תאוריות והוכחות פסאודו-מדעיות) את נוכחותם של חייזרים על פני כדור הארץ בעבר. בספרו הראשון, מרכבות האלים, מנסה דניקן להוכיח שהאלים המופיעים בדתות השונות היו למעשה חייזרים. פון דניקן הודה שזייף חלק מן הראיות שלו. חרסים עם ציורי עב"מים, אשר טען כי באו מחפירות ארכאולוגיות, נוצרו למעשה על ידי קדר בן-זמננו. כאשר הציגו לפון דניקן את הראיות למעשה-הרמייה שלו, הוא טען שהזיוף היה מוצדק משום ש"יש אנשים אשר יאמינו רק אם יראו הוכחות במו-עיניהם".
החוקר פרופ' מיצ'יו קאקו מדבר על חייזרים (בשנת 2016) לא כאפשרות או הנחה, אלא כאמת מדעית מוחלטת.
בדצמבר 2018 טען מדען אמריקאי העובד בנאס"א כי החוצנים הם יצורים תבוניים, וכי הם כבר ביקרו בכדור הארץ, אך בשל העובדה כי בני האדם כבר החליטו - בעיקר בעקבות סרטי מדע בדיוני - כיצד אמורים להיראות חוצנים, לא שמו לב אליהם.
קיימות מספר כתות הטוענות לקיום של חייזרים, כמו הראלים, סיינטולוגיה ופאלון גונג.
חיפוש חיים מחוץ לכדור הארץ.