במסגרת שיטת המקדמים, כדי למצוא את הפתרון הפרטי למשוואה דיפרנציאלית לא הומוגנית מסוימת יש לזהות תחילה את הצורה הכללית של החלק הלא-הומוגני של המשוואה, formula_35, ומיד לאחר מכן לנחש את צורת הפתרון, שבמרבית המקרים היא זהה לצורת החלק הלא הומוגני. לאחר מכן, יש לקבוע את המקדמים בצורה של הפתרון הפרטי באמצעות פתירת מערכת משוואות ליניאריות מתאימה; כלומר שיטת המקדמים מצמצמת את הפתרון של משוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות מסוימות לכדי פתרון ישיר של מערכת משוואות ליניארית. להלן מובאת טבלה של הצורות המיוחדות "הפתירות" של formula_35:
אם איבר מסוים בצורה הכללית של הפתרון הפרטי מופיע גם במרחב הפתרונות של המשוואה ההומוגנית המתאימה, אז נדרש להכפיל איבר זה בחזקה גבוהה מספיק של "x" הדרושה כדי להפוך אותו לבלתי תלוי ליניארית באוסף הפתרונות הבסיסיים של המשוואה הדיפרנציאלית ההומוגנית. אם הפונקציה formula_35 היא בעלת צורה מגוונת, כלומר סכום של כמה פונקציות מצורות שונות המופיעות בטבלה לעיל, אז כפי שהוזכר מקודם הפתרון הפרטי המתקבל הוא סכום של הפתרונות הפרטיים המתאימים לכל אחד מהצורות בסכום המייצג את formula_35.
דוגמאות.
דוגמה 1.
נמצא פתרון פרטי של המשוואה
אגף ימין הוא בעל הצורה
כאשר "n" = 2, "α" = 0, ו- "β" = 1. השורש "α" + "iβ" = "i" הוא שורש פשוט של המשוואה האופיינית המתאימה למשוואה ההומוגנית
בעוד שהאופרטור הדיפרנציאלי המתאים לחלק האי-הומוגני הוא formula_54, כך ש-formula_55 הם גם שורשים (מרובים) שלו, ולכן מרחבי הפתרונות שתוארו בפסקה על שיטת החיסול אינם זרים. לכן, לא מספיק להציב את הפתרון הפרטי מהטבלה במשוואה הלא-הומוגנית, אלא שיש לכפול אותו ב-"t". לפיכך, ננסה פתרון מהצורה
לאחר הצבת "y""p" לתוך המשוואה הדיפרנציאלית, נקבל את הזהות
השוואת שני האגפים מובילה למערכת המשוואות הליניאריות
שלה פתרון
ולכן הפתרון הפרטי למשוואה הדיפרנציאלית הוא:
והפתרון הכללי מתקבל ממנו באמצעות הוספת הפתרון ההומוגני.
דוגמה 2.
נסתכל על המשוואה הדיפרנציאלית
נשים לב שהחלק הלא הומוגני (formula_62) תלוי ליניארית בפתרון הבסיסי של המשוואה ההומוגנית (formula_63), כך שהצבתו פשוט תפתור את המשוואה ההומוגנית (כלומר תיתן 0) ולא את המשוואה שרצינו; כתוצאה, ניאלץ להכפיל את הניחוש בחזקה גבוהה מספיק של "x" כדי להפוך אותו לבלתי תלוי ליניארית.
ננסה ניחוש שני:
ולאחר הצבת פונקציה זאת ונגזרתה לתוך המשוואה הדיפרנציאלית, ניתן למצוא את "A":
ולכן הפתרון הכללי למשוואה הוא:
דוגמה 3.
נמצא את הפתרון הכללי של המשוואה:
formula_70 הוא פולינום ממעלה 2, ולכן נחפש פתרון מאותה הצורה,
הצבת הפתרון הפרטי הזה לתוך המשוואה המקורית מניבה את מערכת המשוואות הליניאריות
ששקולה ל-
ולאחר מציאת הקבועים נקבל את הפתרון הפרטי
הפתרון הכללי הוא סכום של הפתרון ההומוגני והפתרון הפרטי, כלומר:
פרנטישקובי לאזנייה
פרנטישקובי לאזנייה (בצ'כית: Františkovy Lázně, בגרמנית: Franzensbad, "פרנצנסבאד") היא עיירת מרפא ונופש במחוז קרלובי וארי, במערב בוהמיה שבצ'כיה. העיר משתרעת על פני שטח של 25.76 קילומטרים ואוכלוסייתה מונה (נכון לראשית 2021) מעל 5,400 תושבים. יחד עם קרלובי וארי ומריאנסקה לאזנייה השכנות היא חלק ממשולש הספא המערבי של בוהמיה. מרכז העיירה שמור היטב ומאז 1992 הוא מוגן כשמורת מונומנט עירוני. בשנת 2021, העיירה הפכה לחלק מאתר המורשת העולמית "ערי הספא הגדולות של אירופה" בשל המעיינות הטבעיים שלה והעדות האדריכלית שלה לפופולריות של עיירות הספא ברחבי אירופה במאות ה-18 עד ה-20.
מיקום.
העיירה ממוקמת באזור ליד הגבול עם גרמניה. היא שוכנת מזרחית ליער לוז'נסקי (Luženský les) על הנחל סלטיני פוטוק (Slatinný potok) באגן הנהר , צפונית לבירה האזורית . מדרום מתנשא ה"קומורני הורקה" (Komorní hůrka) הר געש בגובה 503 מטרים שהוא מונומנט טבעי ברפובליקה הצ'כית.
היסטוריה.
ההשפעות המבריאות של המעיינות שמסביב היו ידועות מסוף המאה ה-14 ואילך. הרופא גאורגיוס אגריקולה (1494–1555) הזכיר את המים המינרליים העומדים לרשות אזרחי איגר (Eger, שמה הקודם של העיר חב). נשים נהגו לשאוב את המים להוביל אותם לעיר ולמכור אותם למטרות מרפא. מאוחר יותר המים נשלחו גם בבקבוקי חרס, ובשנת 1700, על פי הדיווחים, נמכרו יותר מים מכאן מאשר מכל אתרי הספא האחרים באימפריה גם יחד. בערך בשנת 1705, הוקם פונדק באתר של מעיין מינרלי שנודע מאוחר יותר בשם פרנצנסקוולה (Franzensquelle).
העיר נוסדה רשמית בשנת 1793 תחת השם קייזר פרנצנסדורף, על שם הקיסר פרנץ השני, ולאחר מכן שונה שמה לפרנצנסבאד (Franzensbad). הספא נוסד על ידי הרופא (1753–1810) שהתגורר באיגר. הוא קידם את הרחבת מתקני הספא והאירוח למחפשי מרפא וקידם את הפיכתה של אדמת הביצות באמצעות שבילים וגשרים למקורות מים ידועים. העיירה תוכננה סביב 24 מעיינות בתוכנית מלבנית.
כאשר בשנת 1791 הקים אדלר ביתן מעל מעיין פרנצנסקוולה והיטה את המים לאגן, הוא עורר את האירוע שכונה לימים "סערת הנשים של איגר" (Egerer Weibersturm). נשים רבות התפרנסו משאיבת המים, הובלתם ומכירתם באיגר. כשהרגישו שזכויותיהן כמובילות המים מאוימות, הן הרסו את המתקנים שבנה. מועצת העיירה של איגר התערבה ואפשרה את הרחבת פרנצנסבאד כאתר בריאות. התוצאה הייתה אזור בילוי נרחב, עם גישה נוחה מהעיר איגר. יוהאן וולפגנג פון גתה היה אחד האורחים המפורסמים ביותר בימים הראשונים. ביקוריו בפרנצנסבאד מדווחים בהרחבה על ידי הסופר וההיסטוריון ממוצא יהודי בספר "גתה בבוהמיה" ("Goethe in Böhmen" , 1932). מבקר ידוע נוסף היה לודוויג ואן בטהובן, שהתלווה ל ומשפחתה.
במהלך המאה ה-19 המבקרים כללו אריסטוקרטים רבים, במיוחד אצילים רוסים, ובמקביל רופאים ידועים חיזקו את המוניטין של פרנצנסבאד כאתר נופש טיפולי. בפרנצנסבאד פעל אחד מ הראשונים באירופה, פופולרי במיוחד בקרב אורחות. מבנה מרחצאות ציבוריות נבנה בשנת 1827. הסופרת תיארה את שהותה ביצירתה המוקדמת "Aus Franzensbad" בשנת 1858. אורחים בולטים נוספים היו תיאודור הרצל (בשנת 1904), פרנץ יוזף הראשון, קיסר אוסטריה והארכידוכס (ולעתיד קיסר אוסטריה) קרל הראשון.
האנציקלופדיה בשפה הגרמנית תיארה ב-1898 את פרנצנסבאד במילים:
בשנת 1862 הפכה פרנצנסבאד לעירייה אוטונומית וקיבלה זכויות עיירה שלוש שנים מאוחר יותר. עד 1918 היא הייתה חלק מאדמת הכתר הבוהמי של האימפריה האוסטרו-הונגרית.
לאחר מלחמת העולם הראשונה, החל המוניטין של העיר להתפוגג. אז חלק ממדינת צ'כוסלובקיה החדשה, הספא איבד חלק ניכר מהחסות שלו ונפגע קשה מהשפל הגדול של 1929. בשל הסכם מינכן סופח האזור דובר הגרמנית לרייך הגרמני ב-1938. לאחר מלחמת העולם השנייה, גורשה האוכלוסייה דוברת הגרמנית במסגרת . רבים מהמגורשים התיישבו בביירוית שבמדינת בוואריה הגרמנית. הספא, ששמו שונה באופן רשמי לפרנטישקובי לאזנייה בצ'כית, הולאם תחת שלטון המפלגה הקומוניסטית. לאחר מהפכת הקטיפה של 1989 הוקמה חברת מניות כדי להחיות את מעמדה של פרנטישקובי לאזנייה כמקום לאורחים בינלאומיים.
הקהילה היהודית.
בפרנצנסבאד הייתה קהילה יהודית עשירה, כשההתיישבות היהודית מתועדת מאמצע המאה ה-19. אגודת התפילה היהודית נוסדה בשנת 1863 וקהל בשנת 1875. אוכלוסייה יהודית: 1880 - 67 נפשות (3.3% מהאוכלוסייה), 1900 - 34 נפשות (1.8% מהאוכלוסייה), 1921 - 95 נפשות (3.7% מהאוכלוסייה) ו-1930 - 63 נפשות (2.5% מהאוכלוסייה). עבור חברי הקהילה ולאורחי ספא היהודים, הקימה הקהילה בשנים 1873–1875 בית כנסת בסגנון נאו-ביזנטי עם שני מגדלים וכיפות בתכנון האדריכל וידרמן בקצה התחתון של הרחוב הראשי בנכס מספר 166, צפונית-מערבית למרכז העיר. ב-10 בנובמבר 1938, בעקבות כניסת הסכם מינכן מ-30 בספטמבר 1938 לתוקף וכיבוש אזורי הסודטים על ידי חיילים גרמנים, שרפו חברי המפלגה הנציונל-סוציאליסטית את בית הכנסת בפרנצנסבאד, וב-1944 הוא נהרס. תושביה היהודים של העיר פרנצנסבאד נמלטו או נספו בשואה. יש דיווח מתקופה זו ב-Egerer Zeitung מ-22 בספטמבר 1938.
בית הקברות היהודי שוכן בסביבת בית הקברות של העיירה, בסמוך למעבר הרכבת. הוא נוסד בשנת 1875, ופעל עד סוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20. הנאצים בזזו את המצבות ב-1938. בית הטהרה הפך לחנות והאתר לגינה. השריד היחיד הוא החומה ההיקפית עם שער.
סמל העיר.
החצי הימני של הסמל של פרנטישקובי לאזנייה מציג נהר גלי (קו עבה גלי), הקולט כמה נהרות ממעיינות קורנים מלמעלה מימין. בחלק השמאלי העליון הוא מציג כמחווה לברנהרד אדלר, מייסד אתר הנופש פרנצנסבאד, עיט שחור המחזיק את מטה אסקלפיוס בטפריו כסמל לאומנויות הריפוי. בחצי התחתון ישנו תרנגול אדום כהוקרה ל על תרומתו להקמת אתר המרפא.
מתקני הספא.
הנוף העירוני מאופיין במכלול מבנים מהמאה ה-19, שרובם צבועים בצהוב (המכונה צהוב שנברון או צהוב הבסבורג) ולבן, כמו גם פארקים נרחבים. הסגנונות השולטים הם הנאו-קלאסיציזם, המזוהה איתו והבל אפוק.
רובע הספא מתחיל באזור הצפוני של הפארק העירוני במעיין סטניסלאוס, שם יש אנדרטה לכבודו של ממציא שפת האספרנטו, אליעזר לודוויג זמנהוף. ממזרח לו, שדרת קולארובה (Kollárova) עם בתי המרחץ מוצרט, בטהובן ואספלנדה הסוגרת את הפארק העירוני.