החיתוך של מספר אינסופי של קבוצות פתוחות לא בהכרח קבוצה פתוחה. לדוגמה, החיתוך האינסופי של הקטעים הפתוחים: formula_28 בממשיים הוא formula_29, וזוהי קבוצה לא פתוחה עם המטריקה הרגילה.
נשים לב ש'פתיחות' קבוצה מסוימת תלויה במרחב בו היא מוגדרת. למשל, אם formula_1 מוגדרת כקבוצת המספרים הרציונליים בקטע formula_5 אז formula_1 פתוחה בקבוצת המספרים הרציונליים (דהיינו, בטופולוגיה המושרית עליהם מהטופולוגיה הסטנדרטית על הממשיים). זאת מכיוון שבמקרה זה אין מספרים אי רציונליים אליהם אנו יכולים לזוז ולכן התזוזה הקטנה ביותר האפשרית היא ממספר רציונלי אחד למישנהו (שכידוע יכולה להיות קטנה כרצוננו). בנוסף, לא משנה עד כמה איבר של formula_1 קרוב ל-formula_8 או ל-formula_9 תמיד קיים מספר רציונלי בין האיבר ל-formula_8 או ל-formula_9 אליו ניתן לזוז מבלי לצאת מ-formula_1. כאשר מתייחסים לקבוצה כתת-קבוצה של המספרים הממשיים הקבוצה אינה פתוחה. זאת מכיוון שבין כל שני מספרים רציונליים נמצאים אינסוף מספרים אי רציונליים לא ניתן לזוז מאיבר ב-formula_1 אפילו מעט לאחד הכיוונים מבלי לעבור במספרים אי רציונליים (שאינם שייכים ל-formula_1).
בנוסף נשים לב כי ישנן קבוצות שהן גם פתוחות וגם סגורות: דהיינו פתיחות וסגירות של קבוצה הן לא דבר והיפוכו. ב-formula_41 ובמרחבים קשירים אחרים רק הקבוצה הריקה והמרחב כולו הם גם סגורים וגם פתוחים. ברציונליים למשל, קבוצת כל המספרים הרציונליים הקטנים מהשורש הריבועי של שתיים היא גם פתוחה וגם סגורה.
כמו כן, קבוצה יכולה להיות לא פתוחה ולא סגורה (למשל formula_13 בישר הממשי).
מרחב טופולוגי
בטופולוגיה, מרחב טופולוגי הוא מושג שמאפשר להכליל מושגים כמו התכנסות, קשירות, רציפות והפרדה בין נקודות. המרחבים הטופולוגיים מהווים הכללה והפשטה של המרחבים המטריים.
הגדרה פורמלית.
מרחב טופולוגי הוא קבוצה formula_1formula_2 ומשפחה formula_3 של תת קבוצות של formula_2 המקיימת שלושה תנאים:
הקבוצות השייכות ל-formula_3 ייקראו קבוצות פתוחות. formula_3 נקראת הטופולוגיה על formula_2. קבוצה שמשלימתה פתוחה תיקרא קבוצה סגורה. איברי formula_2 יקראו "נקודות".
פורמלית, ניתן להסתפק בתנאי השני והשלישי בלבד להגדרת הטופולוגיה. אלו גוררים את התנאי הראשון מכיוון שהטופולוגיה סגורה לאיחוד ריק (הקבוצה הריקה) וחיתוך ריק (המרחב כולו).
הערות.
כאמור, כל מרחב מטרי הוא גם מרחב טופולוגי, מאחר שהקבוצות הפתוחות המושרות על ידי המטריקה במרחב המטרי מקיימות את התנאים המובאים בהגדרת טופולוגיה.
אוסף של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה במרחב formula_2 יכולה להיכתב כאיחוד של קבוצות השייכות לאוסף ייקרא "בסיס". לעיתים נוח יותר לתאר מרחב טופולוגי באמצעות בסיס שלו. למשל, כל הכדורים הפתוחים במרחב מטרי מהווים בסיס לטופולוגיה שלו. יש להעיר שלא כל קבוצת קבוצות חלקיות למרחב formula_2 מהווה בסיס לטופולוגיה כלשהי.
אוסף של קבוצות מ־formula_3 כך שהקבוצה של כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מהאוסף מהווה בסיס למרחב נתון, ייקרא "תת בסיס" למרחב. תת-בסיס הוא קבוצה מצומצמת אף מבסיס, אך כמו הבסיס יכול לספק ייצוג נוח יותר לטופולוגיה נתונה. על אף שלא כל משפחת קבוצות מהווה בסיס לטופולוגיה, כל משפחה כזו מהווה תת-בסיס לטופולוגיה כלשהי.
ממרחבים טופולוגיים קיימים ניתן לבנות מרחבים חדשים על ידי מכפלה ומנה.
דוגמאות.
מרחב טריוויאלי.
לכל מרחב formula_2 ניתן להגדיר טופולוגיה formula_21.
קל לראות שקבוצה זו מקיימת את כל התכונות הנדרשות מטופולוגיה.
ניתן להבחין שלכל formula_2 בן יותר מנקודה אחת, מרחב זה אינו מטריזבילי. (למשל, כיוון שאינו מרחב האוסדורף)
מרחב דיסקרטי.
טופולוגיה נוספת אשר ניתן להגדיר על כל מרחב formula_2 היא הטופולוגיה הדיסקרטית - formula_24. כלומר, טופולוגיה בה כל תת-קבוצה של formula_2 היא קבוצה פתוחה.
גם במקרה זה, ניתן לראות ללא קושי רב שמדובר במרחב טופולוגי.
בשונה מהמרחב הטריוויאלי, מרחב זה לעולם מטריזבילי. (כיוון שהוא מתקבל על ידי המטריקה הדיסקרטית - מטריקה עבורה לכל formula_26, formula_27).
הטופולוגיה הקו־סופית.
דוגמה מעט יותר מורכבת לטופולוגיה היא הטופולוגיה הקו-סופית מעל מרחב formula_2 כלשהו. בטופולוגיה זו, הקבוצות הפתוחות הן אלה שהמשלים שלהן סופי, והקבוצה הריקה. (ההוכחה לכך שמדובר במרחב טופולוגי נעשית תוך שימוש בכללי דה מורגן). בניסוח מתמטי:
formula_29.
עבור formula_2 אינסופי, טופולוגיה זו עשירה מהטופולוגיה הטריוויאלית וענייה ממש מהטופולוגיה הדיסקרטית. (טופולוגיה אחת נקראת עשירה מאחרת אם כל הקבוצות הפתוחות לפי השנייה פתוחות גם לפי הראשונה). במרחב אינסופי, הטופולוגיה הקו-סופית אינה האוסדורף.
מרגמה
מרגמה היא ארטילרי פשוט, המורכב מקנה מתכתי המחובר למשטח (סדן שבדרך כלל מונח על האדמה, או מותקן ברכב קרבי משוריין) ואשר יורה פצצות במסלול תלול בלבד, בניגוד לתותח נ"ט נגרר, טנקים, או רימוני רובה למיניהם. התחמושת שהמרגמה יורה נקראת "פצצת מרגמה" או בראשי תיבות: פצמ"ר.
אטימולוגיה.
המילה "מרגמה", בדומה למילה "תותח", היא תחדיש שיצק משמעות מודרנית למילה יחידאית מהתנ"ך. משמעותה המקורית הייתה כנראה קלע, כלי ליידוי אבנים. (לפי פירוש אחר, ערימת אבנים).
מבוא.
מאפייני המרגמה.
המרגמה נחשבת לנשק אמין הניתן לפריסה ולקיפול מהירים, ושאינו דורש משאבים מיוחדים מהכוח המסתייע (למעט קצין מטווח). התרחבות השימוש ב־GPS ובמחשבי ירי הפכה את המרגמה הפלוגתית לנשק מדויק לא פחות מארטילריית תותחים, תוך שהיא משמרת את מאפייני היסוד של המרגמה: ירי תלול מסלול, פשטות הפעלה, תחמושת זולה ומשך הכשרה קצר של מפעיליה.
סיווג.
המרגמות מתחלקות לשלושה סוגים עיקריים: קלות, בינוניות וכבדות.
ניתן גם לחלק אותן חלוקת משנה לשני סוגים, לפי אופן פעולתן:
היסטוריה.
חשיבותו של נשק תלול־מסלול נובעת מהעובדה שביצורים ומערכי אויב כמעט תמיד פגיעים יותר מלמעלה מאשר מהצדדים. נשק תלול־המסלול מנצל חולשה זו. הנשק תלול המסלול הכבד הראשון היה הקטפולטה, שהומצאה במקביל ביוון העתיקה ובהודו. קטפולטות שימשו בעיקר כנשק מצור, שהמטיר על הנצורים אבנים ועצמים אחרים, כשהוא עוקף את הביצורים.
מרגמות של נשק חם הופיעו לראשונה בקוריאה או בסין, כבר בתחילת המאה ה־15. במחצית המאה עשו הטורקים שימוש נרחב במרגמות בלוחמת מצור. המרגמות הללו היו כבדות ומסורבלות, ועל כן לא היה אפשר לעשות בהן שימוש כנשק בשדה הקרב.
מרגמות קלות די הצורך לשימוש על גבי ספינות פותחו ברבע השלישי של המאה ה־17 (לפי ה־Canon Research Project). מרגמות קטנות בקוטר 3–4 אינץ' הותקנו על אניות ואילו מרגמות בקטרים עד 13 אינץ' הותקנו ביבשה בלבד. הן הוצבו בזווית קבועה של 45 מעלות וטווחן שונה באמצעות שימוש במטעני הדף בגדלים שונים.
המרגמה במלחמת העולם הראשונה.
מרגמות 2 ו־3 אינץ' היו נפוצות במלחמת החפירות במערב אירופה, בעת מלחמת העולם הראשונה.
הדרישה לאספקת נשק תלול מסלול עבור הכוחות הבריטים הוצאה לאחר שהכוחות התייצבו בחזית סטטית והחלה מלחמת החפירות לקראת סוף שנת 1914 בעיקר בצרפת ובבלגיה. הפיקוד הבריטי דרש נשק בעל טווח קצר יחסית (90 מטר), עם הפעלה פשוטה, בעל תכונות שמאפשרות הסוואה קלה ומהירה, ויכולת הטלת פצצות שיגרמו להרס חפירות האויב. במקור לא צוידו הכוחות הבריטים במרגמות היות שהתכנון המקורי של חיל המשלוח הבריטי היה לפעול בתנועה ולא להגרר למלחמה סטטית בחפירות. במצב חדש זה מצאו עצמם הכוחות ללא תשובה ראויה למרגמת החפירות הגרמנית.
מרגמה "1.57.
בשלב ראשון ייצרה חברת ויקרס מרגמה בקוטר "1.57 שנשלחו החל ממרץ 1915 לחזית. עד 1917 נשלחו בסך הכל 275 מרגמות מסוג זה. הפצצות היו במשקל 18 ו־33 פאונד (8.1 ק"ג ו־15 ק"ג בהתאמה). הן היו בנויות מיציקת ברזל שמולאה בפרכלוריט. הפצצה הקטנה הייתה בעלת אפקט קטן מדי והגדולה הגיעה לטווח קצר מדי של 180 מטר בלבד. פרט לכך, המרגמה הייתה יקרה לייצור ומורכבת מדי.
לקראת סוף 1917 הוחלפה המרגמה בנשק חדש בקוטר "2. המלחמה הסטטית איפשרה הגדלת קוטר המרגמה ושיפור יכולת חדירת הביצורים שלה על חשבון קלות הפעלה וניידות, שממילא לא באו לידי ביטוי.
מרגמה "2 דגם ראשוני.
מרגמות ה־"2 הוכנסו לשירות בתחילת 1915. החימוש היה שני סוגים של פצצות רסק. והגיעה לטווחים של 90–540 מטר. הפצצות הופעלו בצורה בטוחה תוך שימוש במרעום ארטילרי. באוגוסט 1915 הוצאה דרישה לייצור 800 מרגמות יחד עם הזמנת 675,000 פצצות ממספר יצרנים. גוף הפצצה היה גדול מקוטר הקנה והותקן עליו. הפצצות נראו כמו סוכריות על מקל ולכן זכו לכינוי "סוכריות תפוח". הכדור היה בערך בגודל של כדורגל. הוא מולא בחומר מסוג אמאטול ונצבע בפס ירוק כהה, או שמולא בחומר מסוג אמונאל ונצבע בצבע ורוד. משקל הפצצות עצמן היה 18 ו־19.22 ק"ג. משקל הפצצות יחד עם מרעום הצינור היה 23 ק"ג. באמצע 1917 הוחלפו המרגמות במרגמות כבדות יותר. חלק מהכוחות האוסטרלים המשיכו להשתמש במרגמות בעיקר לשיגור פצצות עשן.
לקראת הקרב על הסום ביולי 1916, צייד הצבא הבריטי כל דיוויזיית חי"ר בשש סוללות מרגמות – שלוש בקוטר 2 אינץ', שתיים של 3 אינץ' ואחת בקוטר 9.45 אינץ'. המרגמה הכבדה, שזכתה לכינוי חזיר מעופף בשל מהירות הלוע האיטית שלה וגודל הפגזים, לא הצליחה להיכנס לשימוש ולבסוף נזנחה כליל.
הקיסרות האוסטרו־הונגרית הפעילה בחזית גליציה מרגמה מתוצת "סקודה" בקוטר יוצא דופן של 305 מ"מ. המרגמה נוידה על גבי רכב 4X4, פרי המצאתו של פרופ' פרדיננד פורשה (למעשה הייתה הדיסרטציה שלו בהנדסת מכונות).