היטלר לא נתן פומבי ליחסיו עם בראון מפני שביקש לשמור על תדמיתו כאדם המקדיש את כל חייו, ואף את חייו הפרטיים, לטובת המטרה. בנוסף, הערצת גרמניות רבות כלפיו התבססה בין היתר על משיכה ארוטית חזקה, ונישואין, או בת זוג קבועה, עלולים היו לפגום במשיכה זו. היטלר התייחס לנקודה זו במוצהר מספר פעמים, והיה מודע להשפעתו הארוטית על ההמונים.
אווה בראון הייתה אדם א-פוליטי, ומעולם לא הייתה חברה במפלגה הנאצית. על אף קרבתה אל המנהיג, שנתנה לה פוטנציאל לכוח רב, מעולם לא התערבה בעניינים פוליטיים ולא ניסתה לנצל השפעתה לצרכים כלשהם. המחשה דרמטית לעניין זה ניתנה כאשר בימיו האחרונים הורה היטלר להוציא להורג את גיסה של אווה, הרמן פגליין, קצין אס אס שהיה איש הקשר בין היינריך הימלר לבין היטלר שהיה נצור בבונקר. פגליין נתפס כשהתכונן לערוק והוצא להורג בפקודת היטלר, בלי שבראון תנסה להצילו.
ב-16 בינואר 1945 עברה עם היטלר להתגורר בפיהררבונקר שמתחת ללשכת הקנצלר. היא נשארה שם גם כאשר הצבא האדום סגר עליו מכל הכיוונים, וכל אנשי ממשלו ניסו למלט את עורם. ב-29 באפריל 1945 נישא היטלר לבראון. אל הבונקר הובא חבר של מועצת העירייה, והוא שהשיא את השניים. על תעודת הנישואין החלה אווה לחתום "אווה ב..." אך מחקה את האות "ב" וחתמה "אווה היטלר". יוזף גבלס ומרטין בורמן חתמו כעדים על תעודת הנישואין.
לאחר הנישואין, ולאחר "מסיבה" בה נכחו מזכירותיו של היטלר ונאמנים נוספים, בהם גבלס ואשתו מגדה, ולאחר שהכתיב היטלר את צוואתו למזכירתו, טראודל יונגה, ב-30 באפריל 1945 הסתגרו השניים בחדר. היטלר ירה בראשו, ובראון בלעה גלולת רעל. גופותיהם של השניים הושלכו אל תוך בור שיצר פגז בחצר לשכת הקאנצלר, שהייתה בטווח התותחים הסובייטים. נהגו של היטלר, אריך קמפקה, שפך על הגוויות שלהם מעט בנזין, והגופות נשרפו, כשמסביבם עומדים מספר קצינים נאצים ומצדיעים במועל יד, בטרם ייכנסו בחזרה לבונקר כדי להימלט מן ההפגזות.
משפחתה.
אחותה הבכורה, אילזה, עבדה כסייעת אצל רופא יהודי והסתייגה מן הנאצים. מאוחר יותר נישאה ועברה לברלין. מעבידה הרופא היגר מגרמניה. אחותה הצעירה, מרגרטה (גרטל) עבדה כמזכירת הצלם היינריך הופמן ונישאה ב-1944 לקצין האס אס הרמן פגליין. החתונה נערכה בהשתתפות הצמרת הנאצית. לגרטל נולדה ב-5 במאי 1945 בת, שנקראה על שם דודתה אווה, שהתאבדה ימים ספורים לפני כן.
פרולטריון
אלף בית אווירי בינלאומי
דגל מלטה
דגל מלטה (במלטזית: Bandiera ta' Malta) הוא דגלה הלאומי של מלטה. עיצובו הוא דגל דו-צבעי, המורכב משני פסים אנכיים - לבן בצד השמאלי ואדום בצד הימני.
בקנטון הדגל (הפינה השמאלית העליונה) מתנוסס צלב ג'ורג' (ממוסגר בקו אדום) - אות כבוד שהוענק לכל האוכלוסייה המלטזית על גבורתם ואבירותם במהלך מלחמת העולם השנייה.
דגל מלטה הוא בין הדגלי המדינות היחידים שיש בו גוונים של אפור. כמו כן הוא אחד משני דגלי המדינה היחידים שבו יש בני אדם (בנוסף לדגל בליז)
הבינום של ניוטון
במתמטיקה, הבינום של ניוטון היא נוסחה לפיתוח חזקות של סכום של שני איברים: formula_1.
על פי נוסחת הבינום, ניתן לפתח את החזקה formula_2 לסכום הכולל ביטויים מהצורה formula_3, כאשר החזקות formula_4 ו־formula_5 הן מספרים טבעיים המקיימים formula_6, והמקדם formula_7 של כל ביטוי הוא מספר שלם חיובי ספציפי התלוי ב־formula_4 וב־formula_5. לדוגמה:
המקדם formula_7 בביטוי formula_3 מכונה מקדם בינומי: formula_13 או formula_14 (לשניהם יש אותו הערך).
נוסחת הבינום עבור חזקה שלמה.
על פי הבינום של ניוטון ניתן לפתח כל חזקה שלמה של formula_15 לסכום בצורה הזו:
נוח להגדיר חזקת אפס כשווה ל־1 תמיד, משום ש: formula_17.
בנוסף, המספר 1 הוא איבר יחידה ביחס לכפל כך ש: formula_18. כלומר, כל מספר כפול אחד שווה למספר עצמו ולכן גם מכפלה במספר כלשהו בחזקת אפס שווה למספר עצמו, כך ש: formula_19.
בהתאם לכך, נהוג לעיתים לכתוב בנוסחת הבינום גם formula_20 במקום formula_21, תוך השמטת הביטוי formula_22 – שהרי כל מספר שיוכפל בו יהיה שווה לעצמו.
מכאן שניתן לכתוב את נוסחת הבינום גם בדרך זו:
בעזרת סימן הסכום סיגמא גדולה (Σ), ניתן לסמן את נוסחת הבינום בדרך מקוצרת. כך שאם n מספר שלם, אז לכל formula_24 ו־formula_25 מתקיים:
formula_26,
כאשר הביטוי האחרון נובע מקודמו, עקב הסימטריה בין formula_24 ל־formula_25 בביטוי הראשון.
מקדם בינומי.
המקדמים של formula_29 המופיעים בביטויים של נוסחת הבינום הם מספרים שלמים חיוביים המכונה מקדמי הבינום.
לכל formula_30 נגדיר:
formula_31
הסימן "!" מציין עצרת, שהיא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ-1 ועד למספר נתון.
ניתן לכתוב את הנוסחה של מקדם הבינום גם כך:
אף על פי שנוסחת הבינום מורכבת משבר, הערכים של המקדמים הבינומיים הם תמיד מספרים שלמים.
ניתן לסדר את המקדמים הבינומיים כך שירכיבו יחדיו את משולש פסקל. זהו סידור של מספרים בצורת משולש, שקודקודו העליון מכיל את המספר 1 וכל מספר במשולש מהווה את סכום שני המספרים שנמצאים מעליו, כאשר המספרים שנמצאים על שוקי המשולש הם כולם 1.
למקדמי הבינום שימושים רבים בקומבינטוריקה והסתברות. זאת משום שהמקדם הבינומי formula_37 הוא מספר תת-הקבוצות בגודל k שניתן לבחור מתוך קבוצה בגודל n. כלומר, זהו מספר האפשרויות לבחור formula_38 איברים מתוך formula_39, ללא חזרות וללא חשיבות לסדר.
תכונה מעניינת של מקדמי הבינום מתקבלת על ידי הצבה של formula_40 בנוסחת הבינום:
formula_41
במקרה זה כל החזקות של X ושל Y בבינום הופכות ל-1, וכעת הבינום מבטא למעשה את סכום המקדמים בלבד:
formula_42
ניתן לראות כי סכום המקדמים (כלומר הסכום של כל שורה ושורה במשולש פסקל) יהיה שווה תמיד לחזקה שלמה של 2.
דוגמאות לשימוש בנוסחת הבינום.
המקרים הראשונים של הנוסחה הם:
הוכחות.
הוכחה קומבינטורית.
ראשית, נשים לב כי formula_50. באגף ימין מופיעים formula_39 ביטויים המוכפלים זה בזה. התוצאה היא סכום של כל המכפלות האפשריות שבהן נבחר איבר אחד מכל אחד מהסוגריים. למשל, formula_52, כשבוחרים את האיבר x מהסוגריים הראשונים ו-x מהשניים, x מהסוגריים הראשונים ו-y מהשניים, וכן הלאה.
מכיוון שהסדר בהכפלת המשתנים אינו חשוב, הביטוי formula_53 מופיע בכל פעם שבוחרים k פעמים ב-x ו-j פעמים ב-y, ובהכרח k+j=n. לקביעת k המקומות מתוך n שבהם נבחר דווקא x יש formula_54 אפשרויות, ולכן זהו המקדם של formula_55.
הוכחה באינדוקציה.
צריך להוכיח: formula_56
בדיקה עבור n=1 (ניתן לבדוק גם החל מ-n=0):
formula_57.
formula_58.
הנחת האינדוקציה: נניח נכונות עבור n=i :
formula_59.
ונוכיח נכונות עבור n=i+1:
formula_60.
הוכחה:
formula_61 . נשתמש בהנחת האינדוקציה ונחליף את formula_62 ב- formula_63.
אזי
כאשר השתמשנו בזהות formula_65 ממשולש פסקל. בכך הושלמה הוכחת צעד האינדוקציה.
מ.ש.ל.
גרסאות של נוסחת הבינום.
גרסה פשוטה של נוסחת הבינום מתקבלת על ידי הצבת המספר 1 במשתנה y, כך שהיא תכיל רק משתנה יחיד.
בגרסה זו הנוסחה תראה כך:
או כך:
היסטוריה והתפתחות.
הנוסחה עבור חזקה שלמה הייתה ידועה זמן רב לפני ניוטון. בלז פסקל חקר אותה במהלך המאה ה-17, אך הייתה ידועה גם למתמטיקאים שקדמו לו, ובהם הסיני יאנג חווי בן המאה ה-13, הפרסי עומר ח'יאם בן המאה ה-11, וההודי פינגלה בן המאה ה-3.
את הגרסה הכללית, שבה החזקה יכולה להיות מספר כלשהו, פיתח ניוטון בעזרת השיטות של החשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי שהמציא (במקביל לגוטפריד וילהלם לייבניץ).
המקרה הכללי.
ניוטון הראה שלכל r ממשי מתקיים formula_68, כאשר formula_69. זהו טור אינסופי, המתכנס אל הערך הנכון לכל x, ותקף גם כאשר r מרוכב. את המקרה הכללי אפשר לחשב לפי formula_70.
אם r טבעי, רק r+1 המקדמים הראשונים שונים מאפס, והטור הוא למעשה סכום סופי.
דוגמאות.
עבור r=1/2, מתקבלת הנוסחה השימושית:
עבור r=-1 מתקבל הטור הגאומטרי:
formula_72
הוכחה.
הוכחת הנוסחה נעשית באמצעות פיתוח טור טיילור עבור הפונקציה המרוכבת formula_73.
ט' היא האות התשיעית באלפבית העברי, ושמה טי"ת (טֵית).
בהתאם לחלוקת אותיות האלפבית העברי לחמשת מוצאי הפה, ט' נמנית עם חמש האותיות הלשוניות: דטלנ"ת. מבחינה פונולוגית היא ייצגה במקור עיצור מכתשי מלועלע, סותם, אטום (/tˤ/ :IPA) - עיצור נחצי כמו טא (ط) הערבית, אולם בפי רוב הדוברים היא מבוטאת כמו ת"ו - או עיצור מכתשי, סותם, אטום (/t/ :IPA)
בגימטריה ערכה 9, ובהתאם לכך כיתה ט' היא הכיתה התשיעית בבית הספר. כשהאות ט' מופיעה בראש מספר פירושה 9,000, למשל: ט'תתנ"א הוא 9,851.
המספר 15 נכתב באופן חריג בצורה ט"ו, כדי להימנע מכתיבת אותיות המרכיבות את השם המפורש. מסיבה דומה נכתב המספר 16 בצורה ט"ז.
בשפה עברית מודרנית שכיחות השימוש באות ט' היא כ־1.08% מכלל אותיות האלפבית העברי.
ט' הוא קיצור של המילה "טון".
ייצוג האות ט'.
בקוד ASCII מיוצגת האות ט' בערך E8, ובקוד Unicode היא מיוצגת בערך 05D8.
בקוד מורס מיוצגת האות ט' באמצעות הרצף (משמאל לימין): -.. (נקודה נקודה קו).
הוא ייצוגה של האות ט' בכתב ברייל.
&lt;BR&gt;&lt;BR&gt;
באלפבית צלילי מיוצגת האות ט' באמצעות המילה "טיח".
באיתות בדגלי סמפור ט' מיוצגת על ידי דגל אחד הפונה לכיוון דרום־מערב ודגל שני הפונה לכיוון צפון־מערב.
ס' היא האות ה-15 באלפבית העברי, שמה סָמֵ"ך (בפי יהודי תימן סְמָך) קשור כנראה לסמיכה ולעזר, ויש אומרים שמקור השם בצורתה באלפבית העברי הקדום, שהייתה כצורת שלד של דג (סַמַכּ בערבית).