בנוסף למערכות מספרים מוכרות כמו הרציונליים, ישנן דוגמאות אחרות ופחות מיידיות של שדות. הדוגמה הבאה היא שדה המורכב מארבעה איברים הנקראים formula_61, formula_62, formula_63 ו-formula_56. הסימון נבחר כך ש-formula_61 ממלא את התפקיד של האיבר הנייטרלי לחיבור (מסומן 0 באקסיומות שלמעלה), ו-formula_62 הוא האיבר הנייטרלי לכפל (מסומן 1 באקסיומות לעיל). ניתן לאמת את אקסיומות השדה באמצעות כלים נוספים מתאוריית השדות, או על ידי חישוב ישיר. לדוגמה,
formula_67 שווה ל-formula_68 כמו שמתבקש מדיסטריבוטיביות.
שדה זה הוא שדה סופי עם ארבעה איברים, והוא מסומן formula_69 או formula_70 (השדות הסופיים נקראים על שמו של אווריסט גלואה - ומכאן Galois field). תת-הקבוצה המורכבת מ-formula_61 ו-formula_62 (מודגשת באדום בטבלאות משמאל) היא גם שדה, המכונה השדה הבינארי formula_73 או formula_74. בהקשר של מדעי המחשב ואלגברה בוליאנית, formula_61 ו-formula_62 מסומנים לעיתים קרובות בהתאמה על ידי שקר ואמת, חיבור מסומן על ידי XOR, והכפל מסומן AND. במילים אחרות, מבנה השדה הבינארי הוא המבנה הבסיסי המאפשר מחשוב עם ביטים.
מושגים בסיסיים.
מסקנות מההגדרה.
לכל formula_77 ב-formula_11 מתקיים גם ש-formula_79, מה שאומר כי כל שדה הוא תחום שלמות.
התכונות הבסיסיות הבאות מתקיימות לכל formula_47 ב-formula_11:
formula_82
formula_83
formula_84
formula_85
formula_86
formula_87
formula_88
מאפיין.
בנוסף לחיבור ולכפל שמוגדרים לכל שני איברי formula_11, ניתן להגדיר את המכפלה formula_90 לכל איבר formula_4 ב-formula_11 ושלם חיובי formula_93 על ידי החיבור החוזר
formula_94
אם אין שלם חיובי המקיים formula_95 אז יאמר על השדה שיש לו מאפיין formula_96. למשל, לשדה של מספרים רציונליים formula_50 יש מאפיין formula_96 כיוון שאין בו שלם חיובי השווה ל-formula_96. אחרת, אם יש שלם חיובי formula_93 המקיים את המשוואה הזו, ניתן להראות כי השלם החיובי הכי קטן שמקיים את המשוואה הזו הוא מספר ראשוני. במצב זה, נהוג לסמן את מספר זה ב-formula_52 ונאמר על השדה שיש לו מאפיין formula_52.
אם ל-formula_11 יש מאפיין formula_52 זה אומר כי formula_105 לכל formula_4 ב-formula_11. מזה נובע כי
formula_108
מכיוון שכל המקדמים הבינומיים האחרים המופיעים בבינום של ניוטון מתחלקים ב-formula_52. כאן,
formula_110
מוגדר על ידי כפל חוזר. מכך נובע שהומומורפיזם פרובניוס
formula_111
הוא אכן הומומורפיזם של שדות. הקיום של הומומורפיזם שכזה הופך שדות עם מאפיין formula_52 לדי שונים משדות עם מאפיין formula_96.
תת-שדות.
תת-קבוצה של שדה formula_11 נקראת תת שדה אם היא שדה בזכות עצמה, כאשר מצמצמים אליה את פעולות החיבור והכפל. במילים אחרות, קבוצה כזו צריכה להכיל את אברי האפס והיחידה של formula_11, ולהיות סגורה לחיבור, לכפל וגם לפעולות של לקיחת הנגדי או ההופכי.
אם formula_116 הוא תת-שדה של formula_11, אז formula_11 הוא מרחב וקטורי מעל formula_116, ולכן יש לו ממד. כאשר הממד הזה סופי, formula_11 מוכרח להיות אלגברי מעל formula_116. במקרה זה, כדי שתת-קבוצה formula_11 המכילה את formula_116 וסגורה לחיבור וחיסור תהיה תת-שדה, מספיק שהיא סגורה לכפל.
לכל שדה יש תת-שדה ראשוני, שהוא השדה הקטן ביותר המכיל את איבר היחידה. השדה הזה יכול להיות שדה סופי בעל גודל ראשוני, או להכיל את כל המספרים השלמים, שאז הוא בהכרח מכיל את הרציונליים. במקרה הראשון המאפיין של השדה הוא גודל השדה הראשוני, ובשני אומרים שהמאפיין הוא אפס.
שדות סופיים.
שדות סופיים (או שדות גלואה) אלו שדות עם כמות סופית של איברים, שמספרם מכונה גם הסדר של השדה. למעלה נמצאת הדוגמה לשדה עם ארבעה איברים, או formula_69. התת-שדה שלו formula_73 הוא השדה הקטן ביותר, שכן לפי ההגדרה לכל שדה יש שני איברים שונים formula_126.
השדות הסופיים הפשוטים ביותר, אלו עם סדר ראשוני מתקבלים ישירות מחשבון מודולרי. עבור שלם חיובי formula_93, על הקבוצה
formula_128
מוגדרים פעולות כפל וחיבור על ידי ביצוע כפל וחיבור ב-formula_129, ולקיחת השארית אחרי חלוקה ב-formula_93. הקבוצה הזו תצא שדה אם ורק אם formula_93 הוא מספר ראשוני, כיוון שאחרת ניתן לקחת זוג מספרים שלמים חיוביים formula_132 כך ש-formula_133 שזה formula_96 ב-formula_135, וזה מונע מ-formula_135 להיות שדה כמוסבר למעלה.
לכל שדה סופי formula_11 יש formula_138 איברים, כאשר formula_52 ראשוני כלשהו ו-formula_140. טענה זו נכונה כיוון שניתן לראות את formula_11 בתור מרחב וקטורי מעל התת-שדה הראשוני שלו. הממד של מרחב וקטורי זה הוא בהכרח סופי, נסמנו formula_93, ונקבל את הדרוש.
ניתן לבנות שדה עם formula_143 איברים בתור שדה הפיצול של הפולינום formula_144.
שדה פיצול זה הוא הרחבה של formula_145 שבה לפולינום formula_146 יש formula_143 שורשים. קבוצת השורשים האלו יוצרים שדה בפני עצמם כיוון שאם formula_148 הם שורשים של פולינום זה, אז מתקיים formula_149 בבירור, וגם formula_150 הנובע משימוש חוזר בשוויון formula_151, מה שאומר שקבוצת השורשים סגורה לחיבור ולכפל (ובבירור מתקיים שההופכי והנגדי של שורש הם עדיין שורש). שדה זה הוא בגודל formula_143, והוא מסומן על ידי formula_153. זהו השדה היחיד עם formula_143 איברים, מכיוון שאם נתבונן בחבורה הכפלית של שדה שכזה, נקבל ממשפט לגראנז' כי כל איברי השדה הם שורשים של הפולינום formula_155.
היסטוריה.
היסטורית, שלוש דיסציפלינות אלגבריות הביאו לרעיון של שדה: השאלה של פתרון משוואות פולינומיות, תורת המספרים האלגברית, וגאומטריה אלגברית. צעד ראשון בכיוון של שדות נוצר לראשונה ב-1770 על ידי ז'וזף-לואי לגראנז', שגילה שאם מסדרים מחדש שורשים של משוואה ממעלה שלישית formula_156 מקבלים בביטוי
formula_157
רק שני ערכים (כאשר formula_158 הוא שורש יחידה מסדר שלישי).
באופן הזה, לגראנז' מסביר את הקונספט של הפתרון הקלאסי למשוואות ממעלה שלישית של שיפיונה דל פרו ופרנסואה וייט, המתחילה בצמצום של משוואה ממעלה שלישית ב-formula_159 למשוואה במעלה שנייה ב-formula_160. יחד עם הבחנה דומה על משוואות ממעלה רביעית, לגראנז' חיבר בין מה שמאוחר נהיה הקונספט של שדה והקונספט של חבורה. ונדרמונד, גם ב-1770, וגם קרל פרידריך גאוס במידה מסוימת בספרו "מחקרים אריתמטיים" (1801), חקר את המשוואה
formula_161
עבור ראשוני formula_52, ובכך קיבל את מה שידוע כיום בתור חבורת גלואה ציקלית. גאוס הסיק מכך שיש בנייה בסרגל ובמחוגה עבור מצולע משוכלל עם formula_52 צלעות, כאשר formula_164. בהסתמך על עבודתו של לגראנז', פאולו רופיני טען ב-1799 כי לא ניתן לפתור באופן אלגברי משוואה ממעלה חמישית, אבל היו חורים בהוכחה שלו. חורים אלו מולאו על ידי נילס הנריק אבל ב-1824. אווריסט גלואה מצא ב-1832 תנאים הכרחיים ומספיקים לכך שמשוואה ממעלה חמישית תהיה פתירה על ידי רדיקלים, ובכך התחיל את מה שידוע כיום בתור תורת גלואה. גם אבל וגם גלואה עבדו עם מה שמכונה היום שדה מספרים, אבל לא הגו באופן מפורש את המושג של שדה, או את המושג של חבורה.
ב-1871 ריכרד דדקינד הציג את המילה הגרמית "Körper" עבור קבוצה של מספרים ממשיים או מרוכבים שסגורה תחת ארבע פעולות החשבון, שמשמעותה בגרמנית היא "גוף" או "קורפוס" (כדי לציין ישות שסגורה באופן אורגני). המונח האנגלי field, שתורגם ישירות לעברית כ"שדה", הוצג לראשונה על ידי מור.
ב-1881, לאופולד קרונקר הגדיר את מה שהוא כינה "תחום הרציונליים", שהוא שדה שברים במונחים של היום. ההגדרה של קרונקר לא כיסתה את שדה המספרים האלגבריים (שהוא שדה במובן של דדקינד), אבל מצד שני הייתה יותר אבסטרקטית מזו של דדקינד בכך שהיא לא עשתה אף הנחה ספציפית בנוגע לסוג האיברים שיכולים להופיע בשדה. קרונקר פירש שדה כמו formula_165 באופן אבסטרקטי כמו השדה של פונקציות רציונליות formula_166. לפני כן, דוגמאות למספרים טרנסצנדנטליים היו ידועות מאז עבודתו של ז'וזף ליוביל ב-1884, עד ששארל הרמיט (1873) ופרדיננד לינדמן (1882) הוכיחו כי formula_167 ו-formula_168 טרנסצנדנטליים, בהתאמה.
ההגדרה הברורה הראשונה לשדה אבסטרקטי הייתה של היינריך וובר (1893). ספציפית, ההגדרה שלו כללה את השדה formula_145. ג'וזפה ורונזה (1891) חקר את השדה של טורי חזקות פורמליים, מה שהוביל את קרט הנזל (1904) להציג את שדה המספרים ה-p-אדיים. שטייניץ (1910) אסף וסידר את הידע על שדות אבסטרקטיים שנצבר עד כה. הוא חקר אקסיומתית את התכונות של שדות והגדיר הרבה מהרעיונות החשובם בתורת השדות. רוב המשפטים המוזכרים בפרקים של תורת גלואה, בניית שדות, ומושגים בסיסיים, נמצאים בעבודתו של שטייניץ. ארטין ושטייניץ (1927) חיברו את הרעיון של סידור איברי שדה, ובכך את התחום הרחב של אנליזה, לתכונות אלגבריות טהורות. אמיל ארטין פיתח מחדש את תורת גלואה בין 1928 ל-1942, ומחק את התלות של התורה במשפט האיבר הפרימיטיבי.
בניית שדות.
בניית שדות מחוגים.
חוג קומוטטיבי זו קבוצה עם פעולות חיבור וכפל המקיימת את כל האקסיומות של השדה פרט לקיום ההופכי formula_31. למשל, המספרים השלמים formula_129 הם חוג קומוטטיבי אבל לא שדה, מכיוון שההופכי של מספר שלם formula_93 אינו שלם אלא אם formula_173.