אלטנבורג () היא עיר גדולה במדינת תורינגיה שבגרמניה.
במלחמת העולם השנייה.
בסוף חודש פברואר 1945 הועברו 34 גופות של אסירים יהודים ממחנה עבודה שהיה ליד הכפר ריימסדורף לשריפה בקרמטוריום של העיר אלטנבורג. כמו כן הועברו לשם 65 גופות של פולנים נוצריים שנפטרו במחנה ריכוז ברגן-בלזן. הם היו פולנים שנכנעו לגרמנים בסוף מרד הפולנים בוורשה בקיץ 1944.
הנהלת העיר אלטנבורג החליטה לקבור את הנפטרים בקבר אחים בבית הקברות של אלטנבורג משתי סיבות:
בשנת 2002 הוקמה אנדרטה בשיש אדום עם מגן דוד וצלב עם שמות כל הקבורים שם.
פעמיים בשנה התושבים שמים פרחים בקבר: ב-27 בינואר (זה יום השואה הבינלאומי באירופה) וב-9 בנובמבר (אזכרה לליל-הבדולח שכיום נקרא ליל הפוגרום).
תלמידי הגימנסיה המקומית, גימנסיית לרכנברג (LERCHENBERG GYMNASIUM) מטפלים בקבר ובשטח סביבו. כל שנה תלמידי כתה ט' שהם בני 14-15 מטפלים בשטח הקבר כפעולה חינוכית לגרום לנוער הגרמני להבין מה קרה במלחמת העולם השנייה. במקום שבו היה בעבר בית כנסת עומד כיום לוח זיכרון ובכל שנה עורכת העירייה טקס זיכרון לליל-הבדולח. כיום לא גרים יהודים באלטנבורג.
LG G2 הוא טלפון חכם המשמש כמכשיר הדגל השני של חברת LG אלקטרוניקה, בתחום הסלולר. המכשיר כולל את מערכת ההפעלה אנדרואיד בגרסת Jelly Bean 4.2.2 עם ממשק המשתמש המותאם של חברת LG.
המכשיר הוכרז במסיבת עיתונאים של LG בניו יורק ב-8 באוגוסט 2013. המכשיר הושק לראשונה בכמה מדינות בעולם, ביניהן גם ישראל (בישראל גרסת ה-16GB הושקה ב-1 בספטמבר, אך גרסת ה-32GB הייתה זמינה החל מתאריך ה-15 בספטמבר 2013) בתאריך ה-1 בספטמבר 2013.
חומרה.
עיצוב המכשיר כולל גב מפוליקרבונט, בניגוד לקודמו שהיה עשוי זכוכית. בגב המכשיר ממוקמים כפתורי כיוון עוצמת השמע וכפתור הכיבוי וההדלקה. הכפתורים משמשים גם לקיצורי דרך במכשיר. המכשיר כולל מצלמה אחורית 13MP עם פלאש LED הכולל מייצב תמונה אופטי לשיפור הצילום בתנאי תאורה קשים והסרטה יציבה.
בקדמת המכשיר מצלמה נוספת, פשוטה יותר, המשמשת לשיחות וידאו ולצידה חיישני קרבה ותאורה. המסך, בגודל 5.2 אינץ' LCD IPS ברזולוציית 1080x1920 ובצפיפות פיקסלים (ppi) של 424 פיקסלים לאינץ'.
המכשיר כולל את פלטפורמת הסנאפדרגון 800 מבית קוואלקום, בשילוב מעבד מרובע ליבות במהירות שעון של 2.26 GHz ובנוסף, 2GB RAM. למכשיר קיבולת סוללה של 3000mAh. בנוסף, המכשיר כולל את תמיכת הדור הרביעי LTE. בנוסף, ישנה תמיכת תקשורת טווח אפס, Wi-Fi, Bluetooth 4.0 ו-GPS. המכשיר כולל חיישן אינפרא אדום, המאפשר לשלוט במכשירים שונים כגון טלוויזיה, ממיר אינטראקטיבי ומזגן.
תוכנה.
ה-LG G2 רץ במקור על אנדרואיד 4.2.2, ועודכן לאחר מכן למערכת ההפעלה אנדרואיד 4.4.2 וקיבל בהמשך גם את אנדרואיד לוליפופ 5.0.
המכשיר כולל את ממשק האופטימוס של LG אלקטרוניקה שמוסיף לו את הפיצ'רים האלו בנוסף לפיצ'רים של מערכת האנדרואיד:
ותכונות נוספות.
גאומטריית חילה
גאומטריית חילה היא תחום בגאומטריה שבו חוקרים מבנים גאומטריים כלליים בגישה קומבינטורית-מופשטת. את מקומן של הנקודות והישרים, המשחקים בגאומטריה בדרך כלל תפקיד מרכזי, תופס בגאומטריית החילה היחס בין נקודות וישרים הקובע איזו נקודה נמצאת על איזה ישר.
מושגי היסוד.
קדם-גאומטריה היא קבוצת איברים שלכל אחד מהם טיפוס מוגדר (כגון: "נקודות", "ישרים" ו"מישורים"), עם יחס חילה שהוא יחס רפלקסיבי וסימטרי המוגדר כך שעצמים שונים מאותו טיפוס אינם חלים זה בזה. קבוצה של עצמים החלים זה בזה נקראת דגל; לדוגמה, דגל עשוי להיות מורכב ממישור, ישר במישור ונקודה על הישר; או ממישור ונקודה עליו; וכדומה. דגל שיש בו נציג לכל טיפוס נקרא חדר (chamber). מספר הטיפוסים הוא הדרגה של הקדם-גאומטריה. קדם-גאומטריה היא גאומטריה אם אפשר להשלים כל דגל לחדר. גאומטריה קבוצתית היא גאומטריה עם הטיפוסים formula_1 (איברים מטיפוס 0 נקראים "נקודות"), שבה איברים A,a חלים זה בזה אם הטיפוס של a קטן משל A וכל נקודה החלה ב-a חלה גם ב-A. בגאומטריה כזו אפשר לראות כל אובייקט כאילו הוא מורכב מקבוצת הנקודות החלות בו, וכך להמיר את יחס החילה בהכלה בין הקבוצות.
גאומטריה אפינית ופרויקטיבית.
מישורים.
המישור האפיני והמישור הפרויקטיבי הם מן הדוגמאות הבסיסיות בגאומטריה. הגישה האקסיומטית של גאומטריית חילה מטפלת במקרים אלו באופן הבא. במקום לומר על נקודה וישר שהם "מקיימים את יחס החילה", אומרים שהנקודה נמצאת על הישר, והישר עובר דרך הנקודה.
גאומטריה עם הטיפוסים "נקודה" ו"ישר" נקראת מרחב ליניארי אם דרך כל שתי נקודות x,y עובר ישר יחיד xy, ויש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים. קבוצת נקודות במרחב ליניארי היא תת-מרחב אם לכל שתי נקודות x,y בקבוצה, כל הנקודות על הישר xy נמצאות בה. חיתוך כל תת-המרחבים המכילים קבוצת נקודות S הוא תת-המרחב הנוצר על ידי S. תת-המרחב הנוצר על ידי שלוש נקודות x,y,z שאינן על ישר אחד נקרא מישור. מרחב ליניארי נקרא מישור פרויקטיבי אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, וכל שני ישרים נפגשים בנקודה. כל מישור פרויקטיבי הוא מישור. מרחב ליניארי המקיים את אקסיומת המקבילים (דרך כל נקודה שאינה על ישר t, עובר ישר יחיד שאינו נחתך עם t) נקרא מישור אפיני. אם יש במישור האפיני A ישר בן שלוש נקודות, אז הוא מישור. המישור האפיני היחיד שאינו מישור הוא בן 4 נקודות.
סילוק ישר אחד ממישור פרויקטיבי מניב מישור אפיני, ולהפך, כל מישור אפיני אפשר לשכן במישור פרויקטיבי על ידי הוספת ישר אחד (המכונה "הישר באינסוף") והרחבה מתאימה של יחס החילה.
מרחבים פרויקטיביים.
מושגים אלו ניתנים להכללה לממד גבוה. מרחב פרויקטיבי מוגדר כמרחב ליניארי המקיים את אקסיומת ובלן-יאנג: אם הישרים ab ו-cd נחתכים, אז גם ac ו-bd נחתכים. אם U הוא תת-מרחב של מרחב פרויקטיבי שיש בו לפחות שני ישרים, אז U מרחב פרויקטיבי בעצמו. אם U תת-מרחב של מרחב פרויקטיבי P ו-p נקודה מחוץ לו, אז איחוד הישרים pu (עבור הנקודות u על U) הוא תת-המרחב הנוצר על ידי U ו-p; תת-המרחב הזה נוצר על ידי U וכל נקודה שלו שמחוץ ל-U. מרחב ליניארי הוא מרחב פרויקטיבי אם ורק אם כל מישור שלו הוא מישור פרויקטיבי.
בדומה להגדרות באלגברה ליניארית, המבנה האקסיומטי שתואר עד כה מאפשר להגדיר בסיס של מרחב פרויקטיבי P כקבוצה S שהיא פורשׂת (כלומר S יוצרת את P) ובלתי תלויה (אף תת-קבוצה אמיתית של S אינה פורשת את P). קבוצה היא בסיס אם ורק אם היא פורשת מינימלית, אם ורק אם היא בלתי תלויה מקסימלית. לכל מרחב פרויקטיבי יש בסיס (עובדה זו מצריכה את הלמה של צורן). הבסיסים של מרחב פרויקטיבי P מקיימים את למת ההחלפה של שטייניץ, וכתוצאה מכך לכל הבסיסים אותו גודל - וזהו, על-פי ההגדרה, הממד של P. הממד מקיים את נוסחת הממדים formula_2.
בגאומטריה הפרויקטיבית (מממד d) שהוגדרה לעיל יש רק שני טיפוסים: נקודה וישר. מושג הממד מאפשר לספח לה אובייקטים נוספים, מממדים שונים: אם מגדירים את הטיפוס של תת-מרחב להיות הממד שלו, אז אוסף כל תת-המרחבים של P מהווה גאומטריה קבוצתית מדרגה d.
לכל חוג עם חילוק D ולכל מרחב וקטורי שמאלי V מעל D, אפשר לבנות את המרחב הפרויקטיבי formula_3 באמצעות קואורדינטות הומוגניות, כאשר הנקודות הן המרחבים החד-ממדיים formula_4 והישרים הם המרחבים הדו-ממדיים formula_5. באופן כללי יותר, תת-מרחבים מממד i במובן של גאומטריה פרויקטיבית מתאימים לתת-מרחבים של V מממד i+1 במובן של אלגברה ליניארית. כל מרחב פרויקטיבי שנבנה באופן כזה מקיים את משפט דזרג.
מרחבים אפיניים.
יחס הקבלה הוא יחס שקילות על הישרים של מרחב ליניארי, כך שלכל ישר g ולכל נקודה x, יש ישר יחיד הכולל את x ומתייחס ל-g. במרחב ליניארי L עם יחס הקבלה, תת-מרחב U הוא סגור להקבלה אם לכל ישר g ונקודה ב-U, הישר המקביל ל-g דרך הנקודה מוכל כולו ב-U. תת-מרחב של L נקרא תת-מרחב אפיני אם הוא סגור להקבלה. החיתוך של תת-מרחבים אפיניים הוא תת-מרחב אפיני, וכך מוגדר תת-המרחב האפיני הנוצר על ידי קבוצת נקודות S, כחיתוך כל תת-המרחבים האפיניים המכילים אותה.
מרחב אפיני הוא מרחב ליניארי שיש עליו יחס הקבלה, כך שכל תת-מרחב אפיני הנוצר על ידי שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, מהווה מישור אפיני. במרחב אפיני שבו יש שלוש נקודות על כל ישר, כל תת-מרחב הוא תת-מרחב אפיני (אבל יש מרחבים אפיניים שבהם שתי נקודות על כל ישר, ושם כל תת-קבוצה של הנקודות מהווה תת-מרחב, וחלק מאלו אינם אפיניים).
תת-מרחב מקסימלי (כזה שבהוספת נקודה אחת הוא יוצר את המרחב כולו) נקרא על-מישור. אם מסירים ממרחב פרויקטיבי את כל הנקודות בעל-מישור, מתקבל מרחב אפיני; וכל מרחב אפיני מתקבל כך, באופן יחיד (עד כדי איזומורפיזם). ההתאמה בין תת-מרחבים אפיניים לתת-מרחבים פרויקטיביים מאפשרת להגדיר במרחב האפיני L ממד. בדומה למקרה הפרויקטיבי, אם מגדירים את הטיפוס של תת-מרחב אפיני להיות הממד שלו, אוסף כל תת-המרחבים של L מהווה גאומטריה קבוצתית מדרגה השווה לממד של L.
כמו במקרה הפרויקטיבי, מרחב ליניארי שכל המישורים בו אפיניים מהווה מרחב אפיני, בתנאי שעל כל ישר יש לפחות ארבע נקודות (משפט Buekenhout).
מורפיזמים.