מרווחים קטנים מאוקטבה נקראים מרווחים פשוטים ואילו גדולים ממנה נקראים מורכבים. בשיטה הטונאלית, לכל מרווח יש מספר גרסאות - זך או קטן או גדול, וכן מוגדל או מוקטן - שההבדל ביניהם הוא המרחק המדויק בין התווים, בפועל כל גרסה מרוחקת חצי טון מהשנייה.
סוגי המרווחים.
מרווח זך.
בתאוריית המוזיקה, מרווח זך הוא מרווח שנעים לאוזן לשמוע אותו, והוא מרווח "צלול". למעשה, הצלילים הזכים מתיימרים להיות צליל אחד, למרות שאפשר להבחין בכך שהם שניים. המרווחים הזכים שקיימים במוזיקה הם הפרימה, הקוורטה, הקווינטה, והאוקטבה. מרווחים זכים נחשבים לקונסוננסים מקטגוריית "קונסוננסים מושלמים".
מרווח קונסוננט בלתי מושלם.
בתאוריית המוזיקה, מרווח קונסוננט בלתי מושלם הוא מרווח בין צלילים המתאימים זה לזה בצורה חלקית.
מרווח קונסוננט מושלם.
במוזיקה של ימי הביניים הפרימה הקוורטה הקווינטה, וכן האוקטבה, נחשבו למרווחים הקונסוננטים היחידים. במהלך ימי הביניים המאוחרים והגלישה אל הרנסאנס עם המעבר למוזיקה טונאלית, הפכו הטרצה והסקסטה (שמשלימה אותה לאוקטבה) במוזיקה המערבית למרווחים קונסוננטים אף הם. המרווחים הללו מופיעים בכל יצירה, ובכל אקורד כמעט במערכת הטונאלית. קונסוננטים בלתי מושלמים מתפקדים באופן מושלם בהולכת קולות מסורתית של המוזיקה המערבית, גם כמרווחים מקבילים:
כך כותבים טרצות מקבילות:
כך כותבים סקסטות מקבילות:
מרווח דיסוננטי.
בתאוריית המוזיקה, מרווח דיסוננטי הוא מרווח שצורם לאוזן, בו שני צלילים "מתנגשים" כביכול. המרווחים הדיסוננטיים שקיימים במוזיקה הם הסקונדה, הטריטון והספטימה. כשדיסוננט מופיע ביצירה הוא נדרש להיפתר, בדרך כלל אל הצליל שמתחתיו, בהתאם לחוקי הולכת הקולות.
המרווח הדיסוננט באקורדים.
במוזיקה הקלאסית, מופיעים מרווחים דיסוננטיים במספר סוגי אקורדים:
רשימת המרווחים.
פרימה היא המרווח הראשון (מאיטלקית: prima, ראשונה), שהוא מרווח בין תו לאותו התו כלומר מרווח של אפס צלילים. פרימה נחשבת למרווח זך. באופן מעשי אין היא מהווה מרווח, משום שאיננה מכילה אפילו את היחידה הקטנה ביותר - חצי טון. כאשר מדובר במהלכים הרמוניים, יש משמעות גם למרווח הפרימה, גם אם אינו נשמע לאוזן. מצב זה נקרא אנהרמוניה או אוניסון. פרימה נוספת היא פרימה מוגדלת שמרווחה הוא חצי טון, כמו בין דו לדו דיאז או כמו בין רה לרה דיאז. זהו מרווח דיסוננט. המרווח המשלים (או ה"הופכי") של פרימה הוא האוקטבה, שגם היא מרווח זך.
סקונדה זהו המרווח השני (מאיטלקית: seconda, שנייה), הנחשבת לדיסוננס. המרווח סקונדה הוא מרווח בן שני צלילים סמוכים בסולם, כמו בין דו לרה. הסקונדה מתחלקת לשני סוגים: סקונדה קטנה, שהיא מרווח של חצי טון בין צליל לצליל כמו בין דו לרה במול, וסקונדה גדולה, שהיא מרווח של טון שלם כמו בין דו לרה. הסקונדה, כשצליליה מופיעים בו-זמנית צורמת ואינה נעימה לאוזן, בייחוד הסקונדה הקטנה. מרווח של סקונדה מתאפיין בחוסר יציבות ומבקש להיפתר - כלפי מעלה או כלפי מטה. המרווח המשלים את הסקונדה הוא הספטימה, הנושאת אותן תכונות בדיוק. יש עוד שני סוגים של סקונדה: סקונדה מוקטנת, שמרווחה הוא אפס טון, כמו בין סי לדו במול. סקונדה מוגדלת, שמרווחה הוא טון וחצי, כמו בין דו לרה דיאז. המרווח המשלים (או ה"הופכי") של סקונדה הוא הספטימה, שגם היא מרווח דיסוננטי.
טרצה זהו המרווח השלישי (מאיטלקית: terza, שלישית), המרווח טרצה הוא מרווח בן 3 צלילים, כמו בין דו למי. טרצה נחשבת למרווח קונסוננס בלתי מושלם. הטרצה מתחלקת גם היא ל: קטנה - טון וחצי - וגדולה - שני טונים. בסולם דו מז'ור תופיע טרצה גדולה בין דו למי, בין פה ללה ובין סול לסי. בין רה לפה, בין מי לסול ובין לה לדו ישנה טרצה קטנה. מרווח הטרצה מצליל היסוד של הסולם או של האקורד מגדיר אותו בהתאם לגודל הטרצה; מז'ורי - בעל טרצה גדולה, או מינורי - בעל טרצה קטנה.
קוורטה זהו המרווח הרביעי (מאיטלקית: quarta, רביעית), המרווח קוורטה הוא מרווח בן 4 צלילים, כמו בין דו לפה. קוורטה נחשבת למרווח זך כשאינה מופיעה מול הבס, בערך עד המוזיקה של סוף המאה ה-18. קוורטה מוגדלת היא טריטון (מיוונית: 3 טונים), שנחשב למרווח דיסוננטי.
קווינטה זהו המרווח החמישי (מאיטלקית: quinta, חמישית), המרווח קווינטה הוא מרווח בן 5 צלילים, כמו בין דו לסול. קווינטה נחשבת למרווח זך הקווינטה היא בת שלושה וחצי טונים ויכולה להיות מוגדלת (4 טונים) או מוקטנת (טריטון). הקווינטה מופיעה בסולם דו מז'ור בין דו לסול, בין רה ללה, בין מי לסי ובין פה לדו.
סקסטה זהו המרווח השישי (מאיטלקית: sexta, שישית), המרווח סקסטה הוא מרווח בן 6 צלילים, כמו בין דו ללה. סקסטה נחשבת למרווח קונסוננס בלתי מושלם. סקסטה קטנה היא בת ארבעה טונים וסקסטה גדולה בת ארבעה וחצי טונים. בסולם דו מז'ור מופיעה סקסטה קטנה בין מי לדו וסקסטה גדולה בין דו ללה ובין רה לסי.
ספטימה זהו המרווח השביעי (מאיטלקית: Septima, שביעית). המרווח ספטימה הוא מרווח בן 7 צלילים, כמו בין דו לסי. ספטימה נחשבת למרווח דיסוננט. ספטימה קטנה היא בת חמישה טונים וספטימה גדולה בת חמישה טונים וחצי. בסולם דו מז'ור נמצאת הספטימה הקטנה בין מי לרה ואילו הגדולה בין דו לסי. קיימים עוד שני סוגי ספטימה: ספטימה מוגדלת, שמרווחה הוא של שישה טון, כמו בין דו לסי דיאז וספטימה מוקטנת, שמרווחה הוא של ארבעה וחצי טון, כמו בין סול לפה במול. המרווח המשלים (או ה"הופכי") של ספטימה הוא הסקונדה, שגם היא מרווח דיסוננט.
אוקטבה זהו המרווח השמיני (מאיטלקית: octava, שמינית), המרווח אוקטבה הוא מרווח בן 8 צלילים, כמו בין דו לדו שמעליו. אוקטבה נחשבת למרווח זך. היא בת שישה טונים, מביאה את הסולם מחדש אל צליל הטוניקה שלו, אם גבוה או נמוך יותר.
נונה היא המרווח התשיעי (מאיטלקית: nona, תשיעית), היוצר את המרווח בין הדרגה הראשונה לתשיעית במודוסים, או בין השנייה לעשירית וכו'. המרווח מופיע בשתי צורות. האחת - נונה קטנה, שיוצרת מרווח של שישה וחצי טונים (אוקטבה + סקונדה קטנה, או אוקטבה + חצי טון). והשנייה - נונה גדולה, היוצרת מרווח של שבעה טונים (אוקטבה + סקונדה גדולה, או אוקטבה + טון שלם). הנונה נחשבת למרווח דיסוננטי.
אל רשימת המרווחים הללו המוכרים יותר מתווספים גם הדצימה (10) שהיא למעשה אוקטבה + טרצה, האונדצימה (11) שהיא אוקטבה + קוורטה וכולי.
לכל מרווח יש אחר המשלים אותו לאוקטבה ואופיו הצלילי דומה לזה שלו.
תורת המספרים
תורת המספרים היא ענף של המתמטיקה העוסק בתחום רחב של נושאים, ששורשיהם בחקר התכונות של המספרים הטבעיים.
בעיות רבות בתורת המספרים הן קלות לניסוח אך קשות מאוד לפתרון, וענפים נכבדים במתמטיקה מודרנית פותחו תוך ניסיון לפתור בעיות מסוג זה. דוגמה ידועה היא המשפט האחרון של פרמה, ובעיות שהן עדיין פתוחות כמו השערת גולדבך (כל מספר זוגי הגדול מ - 2, הוא סכום של שני ראשוניים), השערת הראשוניים התאומים (שלפיה יש אינסוף זוגות של ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2) והשערת מספרי מרסן הראשוניים (שלפיה יש אינסוף מספרי מרסן ראשוניים וכתוצאה מכך קיימים אינסוף מספרים משוכללים).
תחומים בתורת המספרים.
ניתן לחלק את תורת המספרים לתחומים, על-פי אופי הבעיות הנדונות ושיטות הפתרון.
בתורת המספרים האלמנטרית נחקרות תכונותיהם של המספרים השלמים ללא ניצולן של טכניקות מענפי מתמטיקה אחרים. שאלות הקשורות להתחלקות, האלגוריתם של אוקלידס למציאת מחלק משותף מקסימלי, פירוק לגורמים ראשוניים, מספרים משוכללים וסדרות חשבוניות נמצאות בתחום זה. משפטים מרכזיים הם המשפט הקטן של פרמה ומשפט אוילר המכליל אותו, משפט השאריות הסיני, ומשפט ההדדיות הריבועית. נלמדות גם פונקציות אריתמטיות, כמו הפונקציה formula_1 (פי) של אוילר, שהן פונקציות המוגדרות על-פי תכונות מספריות.
תורת המספרים האנליטית משתמשת בכלים של חשבון אינפיניטסימלי ופונקציות מרוכבות כדי להתמודד עם בעיות העוסקות בתכונותיהם של המספרים השלמים. כלים אלה הם שימושיים ביותר בחקר תכונותיהם של המספרים הראשוניים: משפט המספרים הראשוניים, משפט מרכזי המתאר את צפיפותם של מספרים אלה, הוכח באמצעות כלים אנליטיים, וכמוהו גם תוצאות רבות אחרות הקשורות בראשוניים (ב-1949 מצאו פאול ארדש ואטלה סלברג הוכחה 'אלמנטרית' למשפט המספרים הראשוניים; הוכחה זו אינה משתמשת בכלים אנליטיים, אבל היא נחשבת למסובכת וקשה יותר מן ההוכחה האנליטית). השערת רימן היא בעיה פתוחה חשובה שצמחה מתורת המספרים האנליטית, ובעיות פתוחות כמו השערת גולדבך נחקרות באמצעים דומים.
ענף חשוב אחר בתורת המספרים האנליטית הוא תורת הקירובים הדיופנטיים, העוסקת בקירובים רציונליים למספרים אי-רציונליים ומאפשרת לחקור את הפתרונות השלמים של משוואות כגון formula_2.
תורת המספרים האלגברית עוסקת בשלמים אלגבריים שהם הכללה של המספרים השלמים הרגילים: מספרים כמו formula_3 או formula_4 הם שלמים אלגבריים. למספרים אלה יש, בהנחות מסוימות, תכונות דומות למספרים השלמים הרגילים, וניתן בעזרתם לתקוף ביתר-קלות בעיות בתורת המספרים.
בגאומטריה אלגברית אריתמטית חוקרים בעיות בתורת המספרים בכלים המשלבים גאומטריה ואלגברה. האובייקטים העיקרים הנחקרים בתחום הם סכימות אריתמטיות. בתחום זה נודעת חשיבות מיוחדת לחקר עקומים אליפטיים והנקודות השלמות והרציונליות עליהם; ההוכחה של ויילס למשפט האחרון של פרמה שייכת לתחום זה. השם תורת המספרים הגאומטרית (או גאומטריה של מספרים) מתייחס לתחום קלאסי יותר, בעיקר התורה של מינקובסקי הדנה בגאומטריה של סריגים.