גדל היה אדם ביישן ומכונס בעצמו. בערוב ימיו התעוררה בו דאגה גוברת לבריאותו, והוא פיתח פראנויה שהתבטאה בחשש שמנסים להרעילו. הוא סירב לאכול כל מזון שלא הוכן בידי אדל אשתו, וכשנכנסה אדל לבית חולים לשישה חודשים, הפסיק לאכול כליל, עד שבסופו של דבר נפטר מתת-תזונה ב-14 בינואר 1978. בסוף ימיו פחת משקלו עד לכ-30 קילוגרם, ובתעודת הפטירה שלו נכתב שמותו נגרם "כתוצאה מתת-תזונה וחולשה קיצונית שמקורן בהפרעת אישיות".
על שמו מוענק פרס גדל לציון הישגים יוצאי דופן בתחום התאוריה של מדעי המחשב.
גדל ומסע בזמן.
בשנת 1949 ניסח גדל פתרון אפשרי למשוואות הבסיסיות של תורת היחסות הכללית, שמתאר יקום שאינו מתפשט ואינו מתכווץ, אלא מסתובב. לפי הפתרון של גדל, ביקום כזה ייתכנו "קווי עולם" בצורת לולאות זמן סגורות (CTL). בפשטות, "קו עולם" הוא קו רציף במרחב-זמן (שבו הזמן הוא הממד הרביעי), המתאר "מיקום" חלקיק כלשהו בארבעת הממדים האלו (כלומר - הן במרחב והן בזמן בכל רגע ורגע). על פי תורת היחסות הכללית, מסה גורמת לעיקום של המרחב-זמן מסביבה, ולכן גם לעיקום של "קווי העולם" הקרובים אליה. לפי ההנחה של גדל, עיקום חזק דיו יכול תאורטית לגרום ל"קו עולם" מסוים להפוך ללולאה סגורה. במילים אחרות, שקול הדבר לחזרה אל העבר, כלומר למסע בזמן.
אמנם, כדי ליצור קו עולם שכזה, היקום צריך לבצע סיבוב (סביב עצמו) אחת ל-70 מיליארד שנה, והמסע של "מכונת הזמן" יימשך לפחות 100 מיליארד שנה (לפי שעון המכונה), גם במהירות הקרובה למהירות האור. יש המצטטים בשמו של איינשטיין את "חוק הזהב" שלפיו לא ניתן לנוע אחורנית בזמן. עם זאת, גדל הוכיח באמצעות כלים מתמטיים כי באופן תאורטי, הדבר אפשרי, מה שגרם לאיינשטיין לפקפק בתיאוריה שלו. הפתרון של גדל ידוע בשם "מטריקת גדל", והוא מהווה פתרון מדויק למשוואת איינשטיין. כיום ממשיכים מדענים לחקור כיוונים שונים הקשורים למסע בזמן, ולפתירת הפרדוקסים הפיזיקליים והפילוסופיים הנובעים מכך.
גדל אמר שנתן פיתוח זה כמתנה לאיינשטיין לרגל יום הולדתו ה-70.
כמו כן, מובעת במאמצים מתמטיים אלו הגדרה אלגנטית כלשהי למדע הפיזיקה - מדע המאפשר לעוסקים בו ליצור עולמות דמיוניים בעלי מערכות פיזיקליות עובדות, ולאחר מכן לבדוק את מידת תאימותן למציאות.
אופיו.
גדל היה ביישן ביותר. רתיעתו מהחצנה וחששותיו מהחברה באו לידי ביטוי במשך כל חייו, ועלו בקנה אחד עם הפראנויה שלו. בכל חייו היו לו רק קשר חברות עמוק אחד - עם אלברט איינשטיין. גדל ואיינשטיין היו קרובים מאוד זה לזה, הן מבחינה אינטלקטואלית והן מבחינה חברתית, ומוזרויותיו של גדל, ובראשן האקסיומה שהציב לעצמו לפיה שום דבר בעולם לא קורה בשל מקריות או טיפשות אנושית, לא הפריעו לאיינשטיין ואף שעשעו אותו, והוא מצא בגדל בן שיח אמיץ. איינשטיין העיד שבשנותיו האחרונות עבודתו כבר לא הייתה חשובה לו, אך הוא בא למכון למחקר מתקדם רק כדי ללוות את גדל לביתו ולשוחח איתו. מלבד איינשטיין, הייתה לו ידידות אמיצה עם אוסקר מורגנשטרן, שהתחזקה לאחר מותו של איינשטיין. כמו כן, הוא היה ידיד של אברהם רובינסון וג'ון פון ניומן, והאחרון הפיץ את משפטי אי השלמות שלו ועזר לו רבות בקידום הקריירה שלו ורעיונותיו. לימים נמצא מכתב שגדל שלח לפון נוימן עת הלה היה חולה בסרטן ובו העלה את השאלה המנוסחת כיום בתור P=NP?.
לגדל היה פחד אובססיבי מהמוות, ייתכן שבשל ליקוי בלבו מגיל שמונה. הוא סבל מהיפוכונדריה קשה, ומורגנשטרן, בעת שהיה חולה בסרטן, זכה לביקור של גדל, ולאחר שהאחרון הבטיח לו ש"הסרטן שלו לא רק ייבלם אלא יתחיל לסגת" הוא החל להתלונן על בריאותו ועל הקונספירציות שקושרים רופאיו נגדו כדי לא לרפאו. מורגנשטרן הוסיף כי גדל טען זה שנתיים ברציפות שהוא שרוי במצב חירום.
גדל לא אהב להביע את דעותיו אם לא הייתה לו הוכחה להן. גדל, שהיה חבר בחוג הווינאי, התנגד במובהק לפוזיטיביזם הלוגי שלו ולתפיסותיו של לודוויג ויטגנשטיין שזכה לעדנה מיוחדת בקרב חברי החוג, לא הציג את התנגדותו בחוג זה. גדל חשב את משפטי אי השלמות לאפלטוניסטיים במובהק, אך הוא לא הפגין כמעט את התנגדותו לפרשנות הפוזיטיביסטית לה הם זכו, פרט לשיחות אישיות. באופן כללי, הוא לא הסכים להביע דעות בסביבה עוינת, והאמין שהצגתם של רעיונות לא בשלים, במיוחד לקהל עוין, תהיה לא הוגנת כלפי הרעיונות עצמם.
האקסיומה שהנחתה את חשיבתו של גדל גרמה לו גם להתבטל בפני סמכות, כיוון שהוא מאמין שיש סיבה לפעולתה. כך, למשל, בשאלת המינויים במכון למחקר מתקדם הוא לא הסכים להצביע נגד המנהל, אף על פי שהלה הביע דעה נגדו בדיון.
מוצאו.
באוטוביוגרפיה של ברטראנד ראסל, שכללה מספר חוסר-דיוקים לגבי עברו של גדל, הובאה טענה שעל פיה לגדל מקור יהודי. במכתב מפורט, שמעולם לא נשלח ונמצא לאחר מותו, הצביע גדל בפני ראסל על הנקודות המוטעות, ביניהן על יהדותו: "אני חייב להגדיר בתחילה כי איני יהודי (אם כי אינני חושב שעניין זה הוא בעל חשיבות כלשהי)".
פרדוקס השקרן
בפילוסופיה ובלוגיקה, פרדוקס השקרן הוא פרדוקס המיוצג במשפטים "אני משקר עכשיו" או "המשפט הזה הוא שקר" ודומים להם, המכילים התייחסות עצמית המובילה לסתירה פנימית, שאינה מאפשרת לקבוע האם המשפט הוא אמת או שקר.
אם הטענה "טענה זו היא שקרית" היא אמיתית, אז אמיתות זו פירושה שהטענה נכונה, והיא שקרית; ואם היא שקרית, שקריות זו פירושה שהטענה אינה נכונה, ולכן הטענה אמיתית. מהפרדוקס לא ניתן להימנע על ידי איסור פשוט על התייחסות המשפט לעצמו, משום שקל לבנות גם מעגלים לוגיים המביאים לסתירה, כגון צמד המשפטים "המשפט הבא הוא אמת. המשפט הקודם הוא שקר".
מפסוקים כגון זה שמביע פרדוקס השקרן נובע שלא לכל משפט תקני בשפה הטבעית אפשר לשייך ערך אמת.
פרדוקס אפימנידס.
באיגרת אל טיטוס, המהווה אחד מספרי הברית החדשה - חלק מכתבי הקודש הנוצריים מסופר על השליח טיטוס, שנשלח על ידי פאולוס אל האי כרתים, כדי להפיץ את הנצרות בקרב הכופרים. משימתו של טיטוס הייתה קשה, כיוון שאנשי כרתים סבלו מפגמים מוסריים. על-פי הכתוב, הזהיר פאולוס את טיטוס ואמר: "וכבר אמר אחד מהם, נביאם אשר בתוכם, בני כרתים כזבים הם מעולם וחיות רעות וכרשים עצלים. והעדות הזאת אמת היא..." (איגרת פאולוס אל טיטוס א', 12-13)
סיפור זה, הידוע יותר בשמו פרדוקס השקרן (או פרדוקס אפימנידס, על שם הפילוסוף הכרתי אפימנידס מקנוסוס), התפרסם במשך הדורות בגרסאות ובגלגולים שונים, והטריד את מנוחתם של רבים. מה יש בו, בסיפור, שעושה אותו לפרדוקסלי?
האיש מכרתים מספר לנו: "כל אנשי כרתים שקרנים (כזבים)". אם האיש מכרתים דובר אמת, וכל אנשי כרתים אכן שקרנים - משמע שגם הדובר (ככל אנשי כרתים) - משקר. ואם הוא שקרן (ככל אנשי כרתים), גם טענתו שכל אנשים כרתים שקרנים (משקרים תמיד) - היא שקר. ואם זה שקר (כלומר - אין זה נכון שכל אנשי כרתים שקרנים), הרי יש ביניהם גם דוברי אמת. ברור שאין זה האיש מכרתים, גיבור סיפורנו, שהסתירה בדבריו מוכיחה שהוא משקר. משפט שיש בו סתירה אינו פרדוקס, אך קל לחדד אותו לניסוח שיש בו פרדוקס, וזו הגרסה המודרנית של פרדוקס השקרן, שהיא המשפט: "מה שאני אומר עכשיו הוא שקר!" האם טענה זו היא אמת או שקר?
אם מה שאני אומר הוא אמת, ואני אומר שאני משקר - אז מה שאני אומר הוא שקר.
ואם מה שאני אומר הוא שקר - אז אני משקר, כשאני טוען שאני אומר שקר, או, במילים אחרות: אני דובר אמת. הנחת השקר מובילה לאמת, והנחת האמת - לשקר.
אף תשובה אינה נכונה.
וריאציה נוספת של פרדוקס השקרן הוא הפרדוקס "אף תשובה אינה נכונה". זהו פרדוקס לוגי שמבוסס על סגנונו של מבחן רב ברירתי (מבחן שבו צריך לסמן את רק תשובה נכונה אחת, מבין מספר אפשרויות מוצעות).
לדוגמה, אדם משתתף במבחן שבו מופיעה השאלה הבאה:
קל לראות שתשובות א, ב, ג אינן נכונות, ולכן קיים הפיתוי לסמן את תשובה ד' כנכונה, אבל כאן נמצא הפרדוקס, כי תשובה ד קובעת שגם היא עצמה אינה נכונה. ניסיון נאיבי לפתרון הפרדוקס הוא לכתוב בתשובה ד': "תשובות א' ב' וג' אינן נכונות". פתרון זה שובר את כללי המשחק: במבחן רב ברירתי אי אפשר לתת מענה מילולי, אפשר רק לסמן אחת מהתשובות כנכונה. אפשר להסכים שהתשובה "אף תשובה אינה נכונה" היא קיצור של "כל התשובות מלבד זו אינן נכונות", ובכך לסלק את הפרדוקס, אך ללא הסכמה מפורשת זו הפרדוקס נותר בעינו.
פרדוקס זה הוא וריאציה של פרדוקס השקרן: תשובות א, ב, ג שקולות לאנשי כרתים, ותשובה ד שקולה למְסַפֵּר שאומר "כל בני כרתים שקרנים".
בדומה לשאר הווריאציות של פרדוקס השקרן, אין פתרון לפרדוקס זה, אלא המסקנה היא התובנה שהשפה מאפשרת לנו לומר אמירות פרדוקסליות.
ניתוח הפרדוקס.
משפטים עם התייחסות עצמית.
אפשר לטעון שהפרדוקס במשפט זה נובע מכך שמדובר במשפט יחיד המתייחס אל עצמו, ומשפטים כאלה מועדים לפורענות. קל לתקן עניין זה באמצעות צמד משפטים: "המשפט הבא הוא שקר. המשפט הקודם הוא אמת". אך גם במקרה זה הפרדוקס יתקיים. המושגים "המשפט הבא" ו"המשפט הקודם" מצביעים [denote] אל עבר טענה אחרת, המתייחסת לטענה הראשונה וכוללת את הטענה בתוכם. בלא הצבעה [denoting], המשפטים ייראו כך: "המשפט אשר טוען שמשפט זה הוא אמת הוא שקר. המשפט אשר טוען שמשפט זה הוא שקר הוא אמת". ההתייחסות העצמית נותרת.