אוילר הוביל את השימוש בשיטות אנליטיות כדי לפתור בעיות בתורת המספרים. בעשותו זאת הניח את היסודות של תורת המספרים האנליטית. בתחום זה, אוילר יצר את התורה של טורים היפרגאומטריים, סדרת q, פונקציות היפרבוליות ושברים משולבים. לדוגמה, הוא תרם תרומה מכרעת לפתרון משוואת פל באמצעות שברים משולבים, הוכיח באופן מקורי באמצעות הטור ההרמוני כי קיימים אינסוף מספרים ראשוניים, ואף השתמש בשיטות אנליטיות כדי להגיע להבנה מסוימת של התפלגות המספרים הראשוניים. עבודתו של אוילר בתחום זה הובילה למשפט המספרים הראשוניים.
תורת המספרים.
אוילר החל להתעניין בתורת המספרים בהשפעת חברו, כריסטיאן גולדבך. חלק נכבד מעבודתו המוקדמת של אוילר מבוסס על עבודתו של פייר דה פרמה. מאז פרמה ועד הופעתו של אוילר לא קם מתמטיקאי מוכשר דיו כדי להוכיח את השערותיו הבלתי מוכחות של הראשון, ושיכול היה לפרוץ דרך בהבנת הרעיונות שמאחורי המשפטים בתורת המספרים. אוילר הוכיח רבות מהשערותיו של פרמה, פיתח את רעיונותיו (הסמויים), גילה תוצאות רבות חדשות והוסיף השערות משלו. מכלול העבודות שלו העשירו רבות את התחום, והוא היה הדמות המרכזית בהתפתחות תורת המספרים במאה ה-18.
אוילר הוכיח את זהויות ניוטון, את המשפט הקטן של פרמה ואת משפט פרמה על סכום של שני ריבועים, ותרם תרומה מכרעת להוכחת משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'. הוא המציא את פונקציית אוילר (φ(n, שהיא מספר המספרים הטבעיים הקטנים או שווים ל-n שזרים לו. באמצעות תכונות הפונקציה הזו הוא הכליל את המשפט הקטן של פרמה למה שכעת ידוע בתור משפט אוילר. הוא תרם משמעותית לתאוריה של מספרים מושלמים, אשר ריתקו מתמטיקאים עוד מאז ימי אוקלידס. הוא סיפק הוכחה ראשונה למקרה n = 3 של המשפט הגדול של פרמה. ב-1783, שנת מותו, הוא שיער את משפט ההדדיות הריבועית, משפט מפתח בנוגע לשאריות ריבועיות, המאפשר לקבוע את פתירותה או אי פתירותה של כל משוואה ריבועית בחשבון מודולרי.
אוילר נעזר בשיקולים אנליטיים עמוקים כדי להשיג הבנה כיצד מתפלגים המספרים הראשוניים בקרב המספרים הטבעיים, ובכך הוא חזה את תורת המספרים האנליטית. הוא הוכיח את התבדרות סכום הערכים ההופכיים של המספרים הראשוניים. בעשותו כך, הוא חשף את הקשר העמוק בין פונקציית זטא של רימן והמספרים הראשוניים. קשר זה ידוע בתור מכפלת אוילר לפונקציית זטא של רימן.
באמצעות מניפולציות על פונקציות יוצרות, שיטה חדשנית לזמנו, הגיע לתוצאות רבות על חלוקות של מספרים. בין השאר הוכיח את משפט החלוקה של אוילר ואת משפט המספרים המחומשים.
בשנת 1772 הוכיח אוילר כי המספר 2,147,483,647 הוא מספר מרסן ראשוני. מספר זה נשאר המספר הראשוני הידוע הגדול ביותר עד שנת 1876.
תורת הגרפים.
ב-1735 פתר אוילר בעיה הידועה כבעיית הגשרים של קניגסברג. פתרונו זה של אוילר הניח את היסודות לתורת הגרפים, והיה המשפט הראשון שנוסח בתחום זה. העיר קניגסברג שבפרוסיה משתרעת על שני עברי נהר הפרגוליה, ובה שני איים גדולים המחוברים אחד לשני וליבשה המרכזית באמצעות חמישה גשרים, שני גשרים נוספים עברו מעל שתי שלוחות של הנהר. הבעיה הייתה לקבוע האם אדם יכול להתחיל ללכת מנקודה כלשהי בעיר ולעבור על כל גשר בדיוק פעם אחת. לצורך פתרון הבעיה אוילר חקר את תכונותיו של גרף שקיים בו מסלול כזה (אשר לימים נודע כמסלול אוילר) והוכיח שמסלול כזה קיים אם ורק אם הגרף לא מכיל אף צומת מדרגה אי זוגית, או שהוא מכיל שני צמתים כאלה בדיוק. אם נתייחס לכל אחד מארבעת גושי היבשה בעיר כצומת ולכל גשר כקשת בין שני צמתים ניתן לראות בנקל שכל הצמתים הם מדרגה אי-זוגית ועל כן מסלול כזה לא קיים. תוצאה זו פתחה פתח לתחום מחקר בשם תורת הגרפים אשר נותר פורה עד היום.
בהקשר זה יש לציין את פתרונו של אוילר לחידת מסע הפרש; החידה מהווה מקרה פרטי של בעיה חשובה בתורת הגרפים - מציאת מסלול המילטוני בגרף.
אוילר גם גילה את הנוסחה V − E + F = 2, שמקשרת בין מספר הקודקודים, הצלעות, והפאות של פאון קמור, ולחלופין של גרף מישורי. הקבוע בנוסחה זו ידוע כעת כמאפיין אוילר של הגרף (או של אובייקט מתמטי אחר), והוא קשור לגנוס של האובייקט. יתרה מכך, אוילר נעזר בנוסחה הזו כדי להוכיח מחדש את התוצאה העתיקה שישנם רק 5 פאונים אפלטוניים, ובכך הדגים הוכחה מנקודת מבט שונה לחלוטין מאילו שנראו עד אז. המחקר המתמטי שנערך במאה ה-19 על הנוסחה הזו, במיוחד על ידי קושי ואחרים, הוא מקורו של ענף המתמטיקה הקרוי טופולוגיה.
גאומטריה.
אוילר לא פעל הרבה בתחום הגאומטריה. אף על פי כן הוא גילה מספר משפטים ועובדות חשובות בגאומטריה, בהם: משפט אוילר לגבי מעגל חוסם ומעגל חסום במשולש, גילה את ישר אוילר ומעגל אוילר ואת תכונותיהם, ועוד. במסגרת עבודתו המכנית על תיאור התנועה של גופים קשיחים, אוילר עשה תרומה חשובה לגאומטריה, כשגילה והוכיח את משפט הסיבובים שלו, שהוא הבסיס למושג של חבורת הסיבובים התלת-ממדיים (3)SO, המרכזית לענפי מתמטיקה ופיזיקה רבים. ההוכחה הקונסטרוקטיבית שנתן לה ניחנה באלגנטיות רבה. מחקרו המתמטי של אוילר נגע גם בגאומטריה דיפרנציאלית. אוילר חקר רבות את התאוריה של משטחים והעקמומיות של משטחים, והגיע לתוצאות ניכרות. בין השאר הכליל את הנוסחה לעקמומיות בנקודה ממישור למשטח כלשהו במרחב. אף כי מחקרו של אוילר עסק בעיקר בשימוש בכלים אנליטיים כדי לבחון את הגאומטריה החיצונית (extrinsic geometry) של משטחים (בין גילוייו נמנים משפט אוילר (גאומטריה דיפרנציאלית)), הוא גילה גם כמה תוצאות על הגאומטריה הפנימית של משטחים (intrinsic geometry), על כן לעיתים רואים בו את המתמטיקאי החשוב ביותר לתחום הגאומטריה הדיפרנציאלית לפני גאוס.
מתמטיקה שימושית.
כמה מהצלחותיו הגדולות ביותר של אוילר היו ביישום שיטות אנליטיות לפתרון בעיות שימושיות. אוילר הוכיח מספר תוצאות בנוגע למספרי ברנולי, לטורי פורייה ולדיאגרמות ון, הגדיר את מספרי אוילר, והשתמש בחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי של ניוטון ושל לייבניץ לפתרון בעיות פיזיקליות. הוא תרם תרומות מכרעות לתחום האינטגרציה והמשוואות דיפרנציאליות, ביניהן שיטת אוילר לפתרון משוואה דיפרנציאלית ליניארית. כשהוא חקר את הבעיה של ממברנות רועדות, הוא פיתח את משוואת בסל ופתר אותה באמצעות ההצגה של פונקציות בסל. הוא הגדיר את קבוע אוילר: formula_19.
בהקשר של קבוע זה, ניסח אוילר את נוסחת אוילר-מקלורן, או נוסחת הסכום של אוילר.
אחד מתחומי העניין מעט יוצאי הדופן של אוילר היה היישום של רעיונות מתמטיים במוזיקה.
ב-1739 הוא פרסם את "Tentamen novae theoriae musicae", וקיווה להפוך את המוזיקה לחלק מן המתמטיקה. עבודתו זו לא זכתה להכרה רבה, ותוארה כמתמטית מדי בשביל מוזיקאים ומוזיקלית מדי בשביל מתמטיקאים.
פיזיקה ואסטרונומיה.
אוילר כתב עבודות חשובות רבות במכניקת הזורמים, בתורת התנודות, באקוסטיקה, בבליסטיקה, בתורת הטורבינות, בתורת בניית האוניות ובתחומי פיזיקה אחרים. מכלול העבודות שפרסם בתחומים אלה דיו להנחיל לו תהילת עולם. במכניקה, אוילר הציג בספרו "מכניקה" משנת 1735 לראשונה בהרחבה את חוקי ניוטון בצורה של משוואות דיפרנציאליות, וספרו "תאוריית התנועה של גופים קשיחים" משנת 1765 הניח את יסודות המכניקה האנליטית. בהנדסת בניין, אוילר פיתח מודל המתאר תהליך קריסת קורות (הנקרא תורת אוילר ברנולי), שהפך ברבות הימים לאבן בסיס בתחום. בספרו החשוב על חשבון הווריאציות עסק אוילר רבות בתורת האלסטיות, ופתר את הבעיה הכללית של צורתן של עקומות אלסטיות (תוך שהוא בונה על עבודותיהם הקודמות של ג'יימס ודניאל ברנולי בתחום). במכניקת הזורמים, אוילר פרסם ב-1757 מערכת של משוואות הנקראות משוואות אוילר, שמהוות את הבסיס להבנת זרימה לא צמיגה. בתורת בניית האוניות, אוילר פרסם שני כרכים בנושא, בהם הרחיב את הטיפול של ניוטון בצורות בעלות התנגדות הידרודינמית מינימלית ונעזר בעקרונות וריאציוניים כללים יותר כדי לגזור את התכנון האופטימלי הידרודינמית של אוניה, וכן עסק בהיבטים נוספים של תכנון אוניות. בשנת 1752 הוא פרסם משוואות שבמהשך נקראו משוואת המשאבה והטורבינה של אוילר.
כדמות דומיננטית ביותר במפעל המדעי הפוסט-ניוטוני של המאה ה-18, אוילר תרם רבות לפתרון בעיות שטופלו בפרינקיפיה של ניוטון באופן לא מלא, ועבודתו הנרחבת בתחומים אלו זיכתה אותו בפרסים רבים. למשל, במקביל ובאופן בלתי תלוי בז'אן לה רון ד'אלמבר, אוילר היה הראשון שהצליח לתת הסבר כמותי מדויק לתופעת הפרצסיה של ציר כדור הארץ ולתופעה קשורה הנקראת נוטציה. לפניו, ניוטון נתן הסבר איכותי נכון לתופעה, אולם לא הצליח לספק תאוריה מתמטית בעלת ניבוי שתואם את התצפיות. על עבודתו המעמיקה על התיאור המתמטי של הגאות והשפל זכה בפרס של האקדמיה הצרפתית למדעים לשנת 1740, ובה אוילר הרחיב את הטיפול הכמותי של ניוטון בתופעה. בפרט, עבודתו סיפקה הסברים איכותיים לתופעות העיקריות הקשורות בגאות באוקיינוסים הפתוחים וליד איים.