כלומר, לכל קבוצה X, X היא איבר ב-D אם ורק אם הקבוצה X אינה איבר ב-X. לגבי הדוגמאות שהבאנו לעיל מתקיים: A היא איבר ב-D, ואילו B אינה איבר ב-D.
נשאלת עכשיו השאלה: האם הקבוצה D היא איבר ב-D? אם כן, אז בהתאם להגדרתה של D היא אינה איבר של עצמה. אך אז, בהגדרת הדרישות מהקבוצה X, הקבוצה D היא כן איבר של עצמה. שתי אפשרויות אלה מובילות לסתירה פנימית, בכך שהוכחנו טענה והיפוכה מאותה מערכת לוגית.
הפרדוקס של קנטור.
הפרדוקס של קנטור עוסק בהגדרת ועל ההשלכות הסותרות על "מספר האיברים" (העוצמה) של כל קבוצה.
הפרדוקס של בורלי-פורטי.
הפרדוקס של בורלי-פורטי עוסק ב, אשר אינה יכולה להיות קבוצה (בתורת הקבוצות (הנאיבית)).
תורת הקבוצות האקסיומטית.
בעקבות הסתירות הללו, ובעיות נוספות שהתגלו, נוצר הצורך לבסס את רעיון הקבוצה באופן אקסיומטי. בעקבות כך, פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, שהיא למעשה התורה אליה לרוב מתכוונים היום מתמטיקאים כאשר הם מדברים על "תורת הקבוצות". האקסיומטיזציה של ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל (אקסיומות צרמלו-פרנקל) מטילה מספר מגבלות על הגדרות של קבוצות, כדי להימנע מהסתירות האפשריות בתורה הנאיבית שהודגמו לעיל, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן פורמלי.
הפצת לינוקס
הפצת לינוקס, המכונה גם הפצה או distro (קיצור הנגזר מהמילה האנגלית distribution), היא מערכת הפעלה גנו המכילה את ליבת מערכת ההפעלה לינוקס ורכיבים נוספים לתפעול המחשב. רוב רכיבי ההפצה מבוססים על תוכנה חופשית וקוד פתוח, לכן קל לנייד אותם למטרות ונישות שונות וכך המגוון שלהם רחב.
הפצה נוצרת בדרך כלל על ידי משתמשים, קבוצות וארגונים מרחבי העולם. חברות כמו RedHat, נובל ומנדריבה, פרויקטים קהילתיים כמו דביאן GNU/לינוקס (Debian GNU/Linux), אובונטו לינוקס (Ubuntu), PCLinuxOS ו-ג'נטו מתחזקים את התוכנה ומספקים אותה כמערכת שלמה מוכנה להתקנה ושימוש.
לרוב, הפצות גנו/לינוקס זמינות להורדה באינטרנט בתור קובצי ISO לצריבה עצמית. בדרך כלל ניתן אף להפעיל הפצה ישירות מדיסק און קי ללא כל צורך בהתקנה.
היסטוריה.
הפצות לינוקס החלו להופיע זמן קצר לאחר שלינוקס התחילה להיות בשימוש גם על ידי מפתחים מחוץ לקהילת ההאקרים, אשר מצידם התעניינו בעיקר בפיתוח מערכות הפעלה, יותר מאשר בתוכניות ובממשק המשתמש. משתמשי לינוקס, נדרשו לפתח מומחיות בסיסית בסביבת מערכת ההפעלה יוניקס לפני שניתן היה להשיג הפצה המאפשרת להתקין את לינוקס בקלות. לינוקס במצב זה לא התאימה למשתמשים מן השורה.
בין ההפצות הראשונות שהפכו זמינות זמן קצר לאחר שחרורה של הגרסה הראשונה של לינוקס ניתן היה למצוא את MCC Interim Linux, אשר הייתה זמינה לכל דורש באמצעות אתר ftp באוניברסיטת מנצ'סטר כבר בפברואר 1992. TAMU נוצרה באותה תקופה לערך באוניברסיטת טקסס A&amp;M (שכינויה TAMU) וכך גם SLS. הפצות אלו לא תוחזקו בצורה יעילה במיוחד וכאשר אחת מהן - SLS, סרבה לקבל תיקונים ועדכונים מאדם בשם פטריק וולקרדינג (Patrick Volkerding), הוא יצר את הפצת Slackware.
הפצות לינוקס משכו משתמשים אשר חיפשו תחליפים למערכות ההפעלה Microsoft Windows ו-MacOS במחשב אישי, אך בעיקר כאלו שהשתמשו ביוניקס בעבודה או באוניברסיטה. הם אימצו את לינוקס בגלל העלות ובמיוחד מאחר שקוד המקור של רוב התוכניות היה זמין אף הוא. לינוקס הפכה פופולרית ביותר בשוק השרתים, בעיקר שרתי אינטרנט ומסדי נתונים (ראו גם LAMP).
מבנה.
הפצת לינוקס מכילה ליבת (קרנל) לינוקס, ספריות (כגון ספרית GNU שממנה נגזר השם גנו/לינוקס), קובצי אתחול, קובצי תצורה, דפי תיעוד, יישומיים נוספים, מערכת חלונות (מכונה X) וסביבת עבודה. רובה מבוססת תוכנה חופשית וקוד פתוח. כל יישום מופץ עם קוד המקור שלו וכך כל משתמש יכול לערוך את היישום ולהתאימו לצרכיו. חלק קטן מהתוכנות שמצורפות להפצה הן קנייניות ואינן מגיעות עם קוד המקור.
חבילות.
הפצות מפוצלות בדרך כלל לחבילות, כל אחת מהן מכילה תוכנה או שירות מסוימים. חבילה עשויה להכיל למשל ספרייה לטיפול בקובצי PNG, ספרייה אחרת עשויה להכיל פונטים ואילו ספרייה שלישית עשויה להכיל דפדפן אינטרנט.
אף על פי שרוב ההפצות מבוססות קוד פתוח, רובן מפיצות את התוכנה בקוד בינארי (לאחר הידור לשפת מכונה). חלק מההפצות, כגון ג'נטו, מספקות את הליבה בינארית בלבד, כלי בניה ושאר החבילות מסופקות בקוד מקור. כדי להתקין חבילה יש ראשית לבנות אותה במחשב המשתמש.
מנהל החבילות.
בנוסף לחבילות, כל הפצה מספקת כלי לביצוע התקנה והסרה של חבילות באופן ידידותי למשתמש. כלי זה מכונה מערכת ניהול חבילות של ההפצה, או בקיצור, מנהל החבילות.
מנהל החבילות מכיל מידע על כל חבילה שקיימת עבור ההפצה כמו תיאור, גרסה, תלויות (בחבילות אחרות) ועוד.
מנהל החבילות יכול לבדוק את המידע בחבילה במטרה לאתרה, לעדכן אוטומטית בעת פרסום גרסה חדשה, לבדוק תלויות בחבילות אחרות ועוד.
אף על פי שהפצות לינוקס מכילות בדרך כלל יותר תוכנה מאשר מערכות הפעלה מסחריות טיפוסיות, אפשר להתקין גם תוכנה שאיננה קיימת במנהל החבילות, על אף שהליך זה אינו שכיח, באמצעות הידור קוד המקור של התוכנה.
עדכניות.
ההפצות השונות מבוססות בעיקר על חבילות תוכנה אחרות, אשר מפותחות בנפרד. לדוגמה: ההפצות השונות אורזות את לינוקס (ליבה) ליבת לינוקס ואת מערכת התצוגה מ־X.org. ככל שמשקיעים יותר זמן בבדיקת הגרסה, אפשר למצוא יותר בעיות (ולתקנן, או לפחות לפרסמן). מצד שני, משתמשים בגרסה ישנה יותר, שלא כוללת שינויים ותיקונים מהמפתחים המקוריים. ההפצות השונות נבדלות בגישתן לבעיה.
בדרך כלל המפתחים משתמשים בגרסה מסוימת של התוכנה, ומתקנים אותה בתיקונים חשובים שהתגלו מאוחר יותר. הפצות שולחניות רגילות מוציאות בדרך כלל גרסה חדשה על כחצי שנה. ישנן הפצות שמוציאות גרסה חדשה לאחר זמן רב יותר, ומשתדלות גם לתמוך בהן לפרק זמן ארוך.
הפצה מתגלגלת.
דרך חלופית היא ליצור הפצה מתגלגלת (rolling). במקרה הזה החבילות שבתוכנה מתעדכנות באופן שוטף מעדכונים של המפתחים המקוריים. בכך מקבלים גרסאות עדכניות יותר, אך פחות צפויות: אם יש בעיה במקרים רבים הפתרון לה כולל מעבר לגרסה חדשה יותר שכוללת את התיקון, אך אולי גם שינויים אחרים.
השוואה בין הפצות לינוקס.
הטבלאות בהמשך אינן מכסות את כל ההפצות הקיימות, אלא את ההפצות הפופולריות והמשמעותיות ביותר.
מידע בסיסי על הפצות: יוצר או מפיץ, תאריך שחרור וגרסה אחרונה, מחיר ורישיון וכך הלאה.
כוכב זוגי
פאי
במתמטיקה, formula_1 (האות היוונית פִּי; בעברית מקובלת ההגייה פַּאי, על דרך האנגלית) הוא מספר טהור המייצג את היחס הקבוע (בגאומטריה האוקלידית) בין היקף המעגל לקוטרו. formula_1 הוא קבוע מתמטי שמופיע בנוסחאות רבות במתמטיקה ובפיזיקה. כבר בזמן הקדום ניסו אנשים לקבוע את ערכו של היחס בין היקף המעגל לקוטרו. המתמטיקאי היווני אנטיפון הציע את השיטה לחישוב הערך בערך בשנת 430 לפנה"ס, ומאוחר יותר שכלל אותה ארכימדס.
formula_1 הוא מספר אי-רציונלי (ואף מספר טרנסצנדנטי), כלומר הוא אינו שווה ליחס בין שני מספרים שלמים. בשל כך, הייצוג העשרוני של formula_1 כולל אינסוף ספרות אחרי הנקודה העשרונית, ללא מחזוריות קבועה. 100 הספרות הראשונות אחרי הנקודה בייצוג העשרוני הן:
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679
לצרכים מעשיים ניתן להסתפק בדיוק נמוך יותר, ומקובל להסתפק בקירוב 3.14.
מקור השם.
האות היוונית formula_1 משמשת כסמל שבו משתמשים לייצוג היחס בין היקף המעגל לקוטרו משום שזו האות הראשונה במילה היוונית "περίμετρος" (פרימטרוס) שמשמעותה היקף. השימוש המתועד הראשון של השימוש בסימון זה נמצא בספר "Synopsis Palmariorum Matheseos" (או "תצפית הישגי המתמטיקה") של המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס מ-1706. בשימוש מתמטי, האות הקטנה formula_1 מובדלת מהאות הגדולה formula_7, שמשמשת לציון מכפלה.
תכונות.
formula_1 הוא מספר אי-רציונלי, כלומר אינו ניתן לכתיבה כיחס בין שני מספרים שלמים. תכונה זו הוכחה בשנת 1761 על ידי יוהאן היינריך למברט.
בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן-ויירשטראס ממנו נובע ישירות ש־formula_1 הוא מספר טרנסצנדנטי. מהוכחה זו נובע ש־formula_1 אינו ניתן להצגה באמצעות שימוש במספר סופי של מספרים שלמים, שברים או שורשים שלהם יחד עם ארבע פעולות החשבון. כתוצאה מהוכחה זו נובע שלא ניתן, באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה, לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון – אחת הבעיות הגאומטריות של ימי קדם.
חישוב פאי.
חישוב ערך מדויק יותר ויותר של formula_1 היווה אתגר במשך מאות שנים.
קירובים ל-formula_1 היו ידועים עוד בבבל ובמצרים העתיקה, אך ארכימדס הציג לראשונה שיטה המאפשרת לחשב את formula_1 בכל רמת דיוק שתידרש (שיטת המיצוי). השיטה מתבססת על כך שהיקף המעגל קטן מהיקפו של מצולע החוסם את המעגל וגדול מהיקפו של מצולע החסום במעגל. באמצעות חישוב ההיקף של מצולע חוסם ומצולע חסום בעלי מספר הולך וגדל של צלעות נשיג דיוק גדל והולך של היקף המעגל, ובהתאם לכך דיוק גדל והולך של formula_1. ארכימדס הפעיל את שיטתו על משושה, ובהדרגה הכפיל את מספר הצלעות (תוך שימוש במצולעים משוכללים). מצולע בן 96 צלעות הביא את ארכימדס לתוצאה הבאה
(המופיעה בספר על המדידה של המעגל):
formula_15
בתחילת המאה ה-15 חישב ג'אמשיד אל-קאשי, מתמטיקאי ואסטרונום פרסי, את formula_16 בדיוק של 9 ספרות בבסיס סקסגסימלי, דיוק השקול ל־16 ספרות בבסיס עשרוני.