נשים לב כי יכולה להיות נקודת קיצון גם במקרה בו הנגזרת לא מוגדרת, כלומר בנקודה בה שיפוע המשיק, אם קיים, אינו מוגדר. לדוגמה, הפונקציה: formula_19 שנגזרתה: formula_20. ניתן לראות כי הפונקציה מוגדרת ורציפה לכל formula_3, אך אינה גזירה בנקודה formula_22 שהיא למעשה נקודת קיצון (מינימום מקומי וגלובלי) של הפונקציה. כלומר לא מוגדר שיפוע למשיק בנקודה זו. היות שהגבול החד צדדי של הנגזרת כאשר formula_3 שואף לאפס מימין ומשמאל הוא אינסופי, קיים בנקודה זו משיק אנכי לפונקציה.
סיווג נקודות קיצון.
ניתן לקבוע את סוג נקודת הקיצון (מינימום או מקסימום) על ידי אחת מהדרכים הבאות:
הצבה בשני צדי נקודת הקיצון.
ניתן לקבוע את סוג נקודת הקיצון על ידי הצבת ערכים בנגזרת משני צידי הפונקציה וכך לקבוע האם הנגזרת היא חיובית או שלילית, כלומר האם הפונקציה המקורית היא עולה או יורדת. נקודת מינימום היא נקודה בה הפונקציה יורדת לפניה ועולה אחריה, ונקודת מקסימום, להפך.
בדרך דומה ניתן להציב לפחות שני ערכים בפונקציה המקורית ולבדוק בצורה זו האם הפונקציה עולה או יורדת באזור מסוים.
הצבה בנגזרת השנייה.
דרך נוספת לקביעת סוג נקודת הקיצון היא להציב את ערך נקודת הקיצון בנגזרת השנייה. כך שאם הנגזרת השנייה חיובית, אזי הפונקציה קמורה כך שנקודת הקיצון היא נקודת מינימום. ואם הנגזרת השנייה שלילית אזי הפונקציה קעורה, כך שנקודת הקיצון היא נקודת מקסימום.
יאיר קלינגר
יאיר קְלִינְגֶר (נולד ב-13 ביולי 1944) הוא מלחין בזמר העברי. עם שיריו המוכרים נמנים "אדמה" (עפרה חזה), "חלומות" (רוחמה רז), "דרישת שלום" (ירדנה ארזי), "אני עושה לי מנגינות" (סקסטה), "אצלך כמו תמיד" (סילבן ויאיר), "כל נדריי" (חיים משה), "הביתה" (ירדנה ארזי), "נשבע" (חיים משה), "עופרה", "אבשלום" (מוטי פליישר), "אין דבר" (טל סונדק) שנבחר לייצג את ישראל באירוויזיון, "קום והתהלך בארץ" (להקת פיקוד צפון) ו"עגילי דמאר" שנכתב לכבודה של הזמרת שושנה דמארי לרגל זכייתה בפרס ישראל.
ביוגרפיה.
ילדות.
קלינגר נולד בתל אביב כבן זקונים להורים שעלו לישראל מפולין בשנת 1933. בילדותו למד בבית הספר היסודי הממלכתי-דתי "בילו", שהיה סמוך למקום מגוריו.
חשיפתו הראשונה למוזיקה באה בשנות ה-50, במהלך ביקוריו עם אחותו הגדולה בבית הקפה "גינתי ים" שעל שפת ימה של תל אביב. בבית הקפה הייתה תזמורת קטנה שניגנה שירים ישראליים, עם הזמר-מתופף, יהושע שתיל, שהפך אליל ילדותו.
את לימודי הפסנתר הסדירים שלו החל קלינגר בגיל 9. כשהיה בן 11 בלבד התחיל לכתוב את יצירותיו הראשונות, שהיו מעין חיקוי למוזיקה קלאסית לה האזין בביתו, על גבי תקליטים שקנה אחיו הגדול.
בשנת 1956 בהיותו בכתה ו' הצטרף ל"צופים" שם עברה עליו כל תקופת ההתבגרות והשפיעה על עיצוב אישיותו והשקפותיו. בשנת 1958 החליט לחצות את הקווים לכיוון החילוניות, ונרשם ללימודי תיכון עירוני א' בתל אביב.
בגרות.
בבית הספר התיכון היה פעיל בחוג הדרמטי ולראשונה בחייו הופיע על במת תיאטרון, בתפקיד אליק, במחזה "הוא הלך בשדות". יחד איתו הופיע במחזה גם אבי עוז, לימים פרופסור לתיאטרון.
באותה תקופה נכתבו גם השירים הראשונים שלו, בעידוד של אחיו, שנהג לארגן הצגות בבית הספר בו שימש מורה לאמנויות. בין הלחנים שהלחין באותה תקופה היו לחנים להצגה "הזמיר של מלך סין".
באותה תקופה המשיך להיות פעיל מאוד ב"צופים" ולשחק כדורסל בקבוצת "אליצור" תל אביב ואחר כך "מכבי תל אביב". בקיץ 1961 נבחר להשתתף במשלחת צופי ישראל שיצאה למחנות קיץ בארצות הברית.
צבא.
בשנת 1962 התגייס קלינגר לצבא לנח"ל במסגרת גרעין הצופים "רגב". באותה תקופה כתב הצגות והעלה אותן כנח"לאי, להנאת חברי קבוצת כנרת. אחרי קורס הצניחה והאימון המתקדם, נשלח קלינגר לשל"ת (שרות ללא תשלום). מאז ועד סוף שירותו הצבאי היה מרכז שבט צופי "קהילה" ברחוב מלצ'ט בתל אביב, שם פגש את המדריכה דורית פולק, לימים אשתו.
תקופת התיאטרון והמוזיקה.
בשנת 1964 החל קלינגר לימודי תיאטרון ופילוסופיה באוניברסיטת תל אביב.
באותה תקופה זכה לגלם תפקידים במחזות "אנה פרנק", "השיעור" מאת אז'ן יונסקו ו"השכנים" מאת ג'יימס סונדרס. במקביל ללימודיו באוניברסיטה השתלם בסדנת משחק לשחקנים צעירים של נולה צ'לטון ולמד בסטודיו למשחק של תיאטרון הקאמרי, בניהולו של אפרים סטן.
בשנת 1966 התקבל שירו "בואי ילדה" לפסטיבל הזמר והפזמון, וזכה לביצוע כפול של עדנה גורן ושלישיית גשר הירקון. זה היה שירו הראשון שהתפרסם ברדיו.
אחרי יותר משלוש שנים בקאמרי שיחק מספר תפקידים בתיאטראות אחרים: בתיאטרון האהל, ובחאן הירושלמי.
בשנת 1968 הלחין ושר בהצגה "ירושלים שלי" את השיר "שילחו את הרשימה" (מילים: דן אלמגור). באותה תקופה הלחין את "עפרה" (מילים: אורי אסף) ואת "אבשלום" (מילים: רות חשמן) למוטי פליישר, את "אני אצבוט לך" (מילים: חשמן) ללהקת פיקוד הדרום ואת "לאהוב את החיים" (מילים: יובב כץ) לדני גרנות. השירים זכו להצלחה ונתנו דחיפה גדולה לקריירה המוזיקלית שלו.
ב-1970 הקים קלינגר יחד עם צילה דגן ודני מסנג את ההרכב "שלישיית הצירוף המקרי". השיר הבולט שלהם היה "בלדה ללוח השנה", שהלחין קלינגר למילים של אפרים רימון.
1971-1982: פריז.
בקיץ 1971, לאחר פירוק "שלישיית הצירוף המקרי", נסע קלינגר לפריז עם להקת כרמון לחודש הופעות בתיאטרון "אולימפיה" בפריז. בעקבות מספר היכרויות מקצועיות שיצר, נשאר בפריז 11 שנה, עד 1982.
בפריז הכיר את סילבן מרגי, זמר ישראלי, שניסה את מזלו בעיר. ההיכרות ביניהם הולידה את הצמד "סילבן ויאיר". הם עבדו יחד במשך כ-11 שנים במסגרות שונות. סילבן ויאיר הופיעו בתוכניתה של ריקה זראי, שהייתה אז כוכבת גדולה בצרפת, ובהופעות מטעם משרד התיירות הישראלי בפריז, לקידום התיירות לישראל. ההופעות התקיימו במקומות רבים בעולם. בין השאר השתתפו סילבן ויאיר בשני סיבובי הופעות כמלווים של הזמר ז'ו דסאן, המוכר משירים כ"הו שאנז אליזה", ו"קיץ אינדיאני", ב"אולימפיה" בפריז.
בפריז למד קלינגר הלחנת מוזיקה לסרטים וכתב לחנים לזמרים מקומיים, בהם ללהקת הקומפניון דה לה שנסון וכן לזמרת הישראלית במקורה ריקה זראי.
מדי שנה שלח קלינגר שירים לתחרויות פסטיבל הזמר, ואחר כך לקדם אירוויזיון. לא מעט שירים התקבלו והוקלטו, ובהם "אצלך כמו תמיד" (סילבן ויאיר, 1973), "שיר לאבא ואמא" (סילבן ויאיר, 1974), "אני עושה לי מנגינות" (סקסטה, 1978), "שיר לי שירי לי" (עירית בולקא וויקי תבור, 1979), ו"בוא אליי" (חדווה עמרני, 1980).
אחד השירים ששלח מפריז לישראל היה "חלומות" שהפך להיות להיט גדול בביצוע רוחמה רז לפי מילים של רחל שפירא.
שנות ה-80 וה-90 בישראל.
בתחילת שנות ה-80, חזר קלינגר לישראל. שירים בולטים שלו באותה תקופה היו "ימים טובים, ימים באים" של סקסטה, "הביתה", שיר מתקופת מלחמת לבנון הראשונה, שקרא להחזיר את החיילים הביתה "משדות זרים", בביצועה של ירדנה ארזי למילים של אהוד מנור (במקור בוצע השיר בצרפתית על ידי סילבי ורטאן) ו"דרישת שלום" ששרו ארזי ולהקת הנח"ל במבצע ה"שירותרום" של גלי צה"ל ב–1985.
באותה שנה הופיע קלינגר במסגרת להקת "ארבע לב אדום", יחד עם סילבן מרגי ועם פנינה בריק ורותי בן אברהם, יוצאות סקסטה, בקדם האירוויזיון עם השיר "הוא יבוא". גם שירה של הלהקה "הנערה עם השחפים" זכה להשמעות רבות.
להיטו הגדול של קלינגר באותה שנה היה השיר "קום והתהלך בארץ", למילותיו של יורם טהרלב בביצוע להקת פיקוד צפון, כשהסולנים היו יהודה אליאס (שקולו הביא להשוואות לקולו של הזמר יהורם גאון) ויסמין גמליאל. שיר נוסף שהלחין למילותיו של שמוליק קלוסקי, בביצוע יהודה אליאס, הוא "ארץ אחת" שהיה לאחד מריקודי העם הקלאסיים והאהובים.
להיטים נוספים שלו היו "אדמה" של עפרה חזה, "כל נדרי", "נשבע" למילים של שמוליק קלוסקי ו"לפני שנפרדים" שהלחין לחיים משה, "כל כך מוכר", שהלחין לאלבומה המצליח של מרגלית צנעני "מנטה", ושירים שהלחין ליהורם גאון, ובהם "אישה חופשייה". ב–1988 הלחין קלינגר לירדנה ארזי את השיר "עגילי דמאר", שהקדיש הפזמונאי דודו ברק לשושנה דמארי, כלת פרס ישראל באותה שנה. במופע המרכזי של חגיגות 40 השנה למדינה שרו דמארי עצמה, יחד עם יפה ירקוני, את שירם של חיים חפר וקלינגר "רק שובו בשלום". לכבוד מצעד הפזמונים העברי השנתי של רשת ג' באותה שנה הלחין קלינגר למילים של דודו ברק את השיר "האיש מן החלום", שזכה להצלחה בביצועה של ירדנה ארזי.
פעילות עם להקות נוער בשנות ה-80 וה-90.
קלינגר הקים סדנאות מוזיקליות יצירתיות לנוער במרכז ביכורי העיתים בתל אביב. בראשון לציון ייסד, יחד עם חנן גולדבלט, את להקת הנוער "צעירי ראשון", שממנה צמחו מוזיקאים מוכשרים ויצירתיים, שחלקם פעילים בתחום המוזיקה עד היום. כמו כן ניהל קלינגר מוזיקלית את להקת "בנות בנות" מקריית שלום בתל אביב, ואת להקת צופי תל אביב. הוא היה בין הראשונים שהפיק אירוע תחרותי לנוער, בקנה מידה ארצי, שנקרא "שיראשון".
בעיר הנוער בתל אביב ניהל את הפעילות המוזיקלית.
שיא הפעילות עם בני נוער הייתה בשנים 1995 עד 1998, עם הפרויקט "צליל צעיר", שהקיף למעלה מ-1200 בני נוער העוסקים במוזיקה, מקרוב ל-100 מוסדות חינוך, כפרי-נוער ופנימיות בכל רחבי ישראל.
חבורות זמר, מקהלות וניהול אמנותי.
במקביל לעבודתו עם להקות נוער החל לעבוד קלינגר עם חבורות זמר ומקהלות מבוגרים. מדובר באנשים אוהבי הזמר וחובבי השירה הנפגשים אחת לשבוע ומופיעים באירועים וחגיגות זמר.
בשנת 1993 שימש קלינגר שלוש פעמים כמנהל אמנותי של פסטיבל ערד, וכן כמנהל אמנותי של "חגיגות היין" של ראשון לציון.