על פי מכניקת הקוונטים, מערכת של חלקיקים ניתנת לתיאור על ידי פונקציית גל רב חלקיקית המתארת את המספרים הקוונטים של המערכת. לדוגמה, בהינתן שני חלקיקים, ניתן לתארם על ידי פונקציית הגל: formula_1 או ביותר פירוט formula_2, כאשר formula_3 ,formula_4 מתארים את בהתאמה את המיקום והתנע של חלקיק formula_5, ובאתו האופן formula_6 ,formula_7 מתארים את חלקיק formula_8.ע"פ ההגדרה, פרמיונים הם חלקיקים אנטי-סימטריים להחלפה. כלומר בהחלפת חלקיק formula_9 בחלקיק formula_10, מתקבל כי פונקציית הגל משנה את סימנה: formula_11. מכך נובע שאם מחליפים שני פרמיונים בעלי מספרים קוונטים זהים formula_12 מקבלים כי formula_13, דבר המתאפשר רק אם formula_14 .
כלומר שני פרמיונים אינם יכולים להימצא באותו מצב קוונטי בו-זמנית (בניגוד לבוזונים היכולים לעבור עיבוי בוז-איינשטיין). מסקנה זו היא שהובילה לפיתוח התפלגות פרמי-דיראק המהווה בסיס למודל של גז פרמי.
התפלגות פרמי-דיראק.
בהתאם להבנה כי כל מצב קוונטי יכול לאכלס פרמיון בודד, פותחה סטטיסטיקת פרמי-דיראק. פונקציה זו מתארת את התפלגות החלקיקים במערכת המצומדת לאמבט חום בטמפרטורה formula_15 ואמבט חלקיקים בעל פוטנציאל כימי formula_16. בהינתן מצב קוונטי בודד, ניתן לחשב את פונקציית החלוקה של המצב בצבר הגראנד קנוני על ידי אכלוס ריק או אכלוס יחיד עם אנרגיה formula_17:
formula_18
בעזרת פונקציית החלוקה החד-חלקיקית, אפשר לקבל את האכלוס הממוצע של כל מצב (בעל אנרגיה formula_17 מתאימה) על ידי התפלגות פרמי-דיראק:
formula_20
לפי ביטוי זה, ככל שהטמפרטורה הולכת וקטנה, ההתפלגות נהיית יותר ויותר חדה. כאשר הטמפ' שואפת ל-0, מתקבל כי כל מצבי האנרגיה הקטנים מהפוטנציאל הכימי formula_16 מאוכלסים, בעוד המצבים בעלי אנרגיה הגדולה מערך זה ריקים. מצב זה נקרא גז פרמי מנוון. במצב ההפוך, בו הטמפרטורה גדולה מאוד, פונקציית החלוקה הולכת וקרבה לאפס והאכלוס נהיה דליל. גבול זה הוא הגבול בו הגז נהיה אידיאלי קלאסי (במצב של אכלוס דליל רוב המצבים הקוונטים אינם מאוכלסים ולכן אין סתירה לעקרון האיסור של פאולי).
נהוג להגדיר את הגבול הקלאסי עבור צפיפות חלקיקים המקיימת formula_22, כאשר formula_23 היא הצפיפות הקוונטית.
בעזרת ההתפלגות ניתן לחשב גדלים כמו מספר החלקיקים או האנרגיה הכוללת של המערכת. בחישובים אלה יש לקחת בחשבון את צפיפות המצבים formula_24.
צפיפות המצבים.
כאשר פותרים את הבעיה של חלקיק בקופסה בעל יחס תנע-אנרגיה formula_25 מקבלים כי האנרגיות האפשריות של החלקיק נתונות על ידי: formula_26, כאשר formula_27. עבור ערכי formula_28 גדולים, מקבלים כי יש מספר רב של ערכי formula_29 אשר יתנו את אותו formula_28. כלומר, מתקבלים אותן רמות אנרגיה עבור ערכי formula_29 שונים ונוצר ניוון בבעיה. בהתאם לכך, צפיפות המצבים formula_24 סופרת את מספר המצבים הנמצאים בתחום האנרגיות formula_33 ומאפשרת לקחת בחשבון את הניוון בעת חישובים של פרמטרים שונים של המערכת.
ישנן שתי דרכים עיקריות לחישוב formula_24:
סכימה על המצבים החד-חלקיקיים.
כמתואר לעיל, אנרגיית החלקיק תלויה במספרים הקוונטים formula_29 . על כן, יש לחפש תחילה את כמות המצבים חד-חלקיקיים עם אנרגיה קטנה מ- formula_17: formula_37 .
לדוגמה, עבור פרמיון בעל ספין כללי formula_38 בשלושה ממדים, ניתן לחשב ערך זה על ידי חישוב הנפח של כדור ברדיוס formula_39 במרחב התלת-ממדי formula_29. בעזרת שימוש בביטוי לאנרגיות האפשריות של המערכת, ניתן לבודד את מספר המצבים formula_28 כפונקציה של האנרגיה וגודל הקופסה:
formula_42
ערך זה משמש כרדיוס במרחב התלת-ממדי formula_29. בעזרתו אפשר לחשב את מספר המצבים הקוונטים הכולל של המערכת עד אנרגיה formula_17, על ידי חישוב הנפח של כדור ברדיוס formula_39:
formula_46
כאשר:
על-מנת לחשב את צפיפות המצבים, המתארת את מס' המצבים ליחידת אנרגיה הנמצאים בתחום אנרגיות אינפיניטסימלי, יש להסתכל על מספר המצבים החד החלקיקים הנמצא בתחום formula_33 . מספר המצבים מתואר על ידי ההפרש formula_51 ולקבלת הצפיפות יש לחלק בגודל התחום:
formula_52
כלומר:
formula_53
סכימה במרחב הפאזה.
דרך נוספת לחישוב צפיפות המצבים היא בעזרת סכימה על מרחב הפאזה. בדומה לגז אידיאלי, מצב קוונטי אינפיניטסימלי מתואר על ידי ריבוע במרחב formula_54 . בהתאם לעקרון האי-ודאות, גדול הריבוע המינימלי למצב זה הוא formula_55 ועל כן, צפיפות המצבים הבסיסית במרחב הפאזה עבור חלקיק תלת-ממדי היא formula_56. לכן, קטע אינפיניטסימלי של אנרגיה ניתן להבעה על ידי:
formula_57
כאשר formula_58 נובע מהניוון במרחב הפאזה, ו-formula_24 מסמן את הניוון בתחום האנרגיה הנתון.
עבור חלקיק חופשי לא יחסותי, לו האנרגיה אינה תלויה במיקום, ניתן להחליף formula_60 ( האנרגיה אינה תלויה במיקום ותיסכם כנפח באינטגרל) וכל שנותר הוא לפשט את הגודל formula_61. במעבר לקואורדינטות כדוריות, formula_62 ובעזרת שימוש בקשר תנע-אנרגיה של חלקיק חופשי מתקבל כי formula_63 . הצבה של הערכים חזרה למשוואה המקורית מניבה:
formula_64
כאשר נעשה שימוש בהמרה של קבוע פלאנק: formula_65 ובכך שהניוון formula_58 נובע מהספין ועל כן שווה ל- formula_47.
בעזרת פונקציית צפיפות המצבים, ניתן לחשב גדלים מקרוסקופיים של המערכת כמו מספר החלקיקים הממוצע או האנרגיה הממוצעת:
formula_68formula_69
גז פרמי מנוון.
כמתואר לעיל, לפונקציית ההתפלגות תלות בטמפרטורת המערכת. ניתן לראות כי כאשר formula_70 תלות זו נהיית קריטית וההתפלגות נהיית חדה. עבור ערכי אנרגיה formula_71 מתקבל כי formula_72, כלומר כל המצבים עם אנרגיה קטנה מערך זה מאוכלסים. לעומת זאת, עבור formula_73 מתקבל כי formula_74, כלומר מצבים אלו אינם מאוכלסים כלל. אכלוס זה הוא תוצאה ישירה מכך ששני פרמיונים אינם יכולים לאכלס את אותו המצב הקוונטי ועל כן עולים למצב האפשרי הבא. הם ממשיכים כך עד אשר ימלאו את כל המצבים האפשריים לרמת האנרגיה הנתונה.
נהוג להגדיר אנרגיה זו בתור אנרגיית פרמי formula_75: האנרגיה בה כל המצבים בעלי אנרגיה נמוכה ממנה מאוכלסים כאשר formula_70. זהו מצב היסוד של המערכת הרב-חלקיקית.
ניתן לחשב אנרגיית פרמי עבור גז פרמיונים המכיל formula_77 חלקיקים חופשיים בשלושה ממדים בדומה לדרך בה חושבה כמות המצבים חד-חלקיקיים formula_78. מספר החלקיקים הכולל מתואר על ידי נפח כדור ברדיוס formula_79 המכיל את המספרים הקוונטים של כל החלקיקים ועל כן סוכם את כל חלקיקי המערכת:
formula_80
כאשר:
האנרגיה של החלקיקים נתונה על ידי formula_26 ועל כן אנרגיית פרמי היא:
formula_85
עם שימוש בערך זה ניתן לחשב את האנרגיה הממוצעת של גז אלקטרונים בעלי ספין 1/2:
formula_86
כאשר מתקיים formula_87 עבור formula_88.
על-מנת לחשב את הלחץ, יש להשתמש באנרגיה החופשית של המהולץ הנתונה על ידי formula_89. במצב בו formula_70 מתקבל כי formula_91 ובעזרת שימוש בקשר formula_92 ניתן לחשב את הלחץ:
formula_93
כלומר בניגוד גז אידיאלי קלאסי, הלחץ אינו מתאפס בטמפרטורה formula_70. לחץ זה נקרא לחץ הניוון והוא מונע מחלקיקים להידחס לנפחים קטנים יותר. תופעה זו היא שגורמת לננס לבן (אשר ניתן להתייחס אליו כמורכב מגז פרמי מנוון של אלקטרונים) לא לקרוס על אף כוח המשיכה הפועל עליו. כוח המשיכה גורם לדחיסת החומר בכוכב ומוביל לעלייה בכמות האלקטרונים ליחידת נפח. שימוש בעקרון אי הוודאות עבור מיקום-תנע מראה שהקטנת הנפח תביא לעליה באנרגיה הקינטית של החלקיקים ועל כן גם לעלייה בלחץ. לחץ זה גדל עד אשר הוא משתווה לכוח הכבידה ומונע מהכוכב להתמוטט לכוכב נייטרונים או לחור שחור.
יש להדגיש כי עם עליית האנרגיה הקינטית, מהירות החלקיקים עולה ויש לקחת אפקטים יחסותיים בחשבון. על-מנת לנתח את המערכת במצב זה יש להשתמש בקשר תנע-אנרגיה של חלקיק יחסותי המתואר בהמשך.
בעזרת אנרגיית פרמי, נהוג להגדיר גם את טמפרטורת פרמי על ידי: formula_95.
זוהי הטמפרטורה הקובעת את סקלת הבעיה. כלומר עבור טמפרטורות המקיימות formula_96 ניתן להתייחס למערכת כגז פרמי מנוון. לדוגמה, הטמפרטורה האופיינית בליבת ננס לבן היא formula_97 . שימוש בצפיפות הממוצעת formula_98 ובמסת האלקטרון מניבה טמפרטורת פרמי הגדולה מטמפרטורת הכוכב formula_99 . לכן, ניתן להתייחס לאלקטרונים הנמצאים בטמפרטורה גדולה מאפס אך קטנה ביחס ל-formula_100 כגז פרמי מנוון.
גז פרמי יחסותי.
עד כה תואר המצב בו יחס התנע-אנרגיה הוא ריבועי, אך ניתן לעשות חישובים דומים גם עבור המקרה היחסותי בו היחס משתנה. על-פי תורת היחסות הפרטית, האנרגיה של חלקיק בודד נתונה על ידי:
formula_101
כאשר:
במקרה האולטרה יחסותי, בו formula_104, ניתן לקרב את ביטוי האנרגיה על ידי:
formula_105
בעזרת קירוב זה מתקבל קשר ליניארי בין האנרגיה לבין התנע. שימוש באחרון, בקשר formula_106 וביחס formula_107 (המתקבל מתנאי שפה) מאפשר לחשב את הגדלים הרלוונטיים שחושבו עבור גז פרמי לא יחסותי של חלקיקים חופשים, בשינוי יחס הנפיצה.
אפרתי
זיהום מוליך למחצה
מוליך למחצה מאולח
מוליכים למחצה מאולחים או מוליכים למחצה אקסטרינזים (באנגלית: Doped Semiconductors) הם מוליכים למחצה הנזרעים באטומים זרים בכוונה תחילה כאשר האטומים המאלחים מסוגלים לספק לחומר תוספת אלקטרונים או חורים. הזרעה זו יוצרת עודף של נושאי מטען שלילי או חיובי בחומר.