בעוד שמכפלות סופיות אפשר להגדיר באינדוקציה, המכפלה האינסופית (שבה הגבול העליון, למשל, הוא אינסוף), אינה מוגדרת בכל מקרה. כאשר מכפילים מספרים ממשיים, המכפלה האינסופית מוגדרת כגבול של סדרת המכפלות הסופיות, כאשר "n" שואף לאינסוף. כלומר, formula_15.
תכונות של פעולת הכפל.
לפעולת הכפל בין מספרים תכונות אלגבריות חשובות:
הוכחה.
נוכיח קודם כל את התכונות במספרים הטבעיים, באינדוקציה מתמטית. נעשה שימוש בהגדרה הרקורסיבית: formula_28.
מערכות מספרים אחרות.
formula_70
לוח הכפל.
הגדרה נאיבית של פעולת הכפל נעשית באמצעות לוח הכפל, שהוא טבלה המציגה את תוצאותיה של פעולת הכפל, הקרויה מכפלה, על כל שני מספרים אפשריים שכל אחד מהם בן ספרה אחת.
הערה: לוח הכפל המוכר יותר (שחיבורו מיוחס לפיתגורס) עוסק במכפלות בתחום 1–10, ולא בתחום 0–9 כפי שמוצג כאן. אין טעם טכני בהצגת מכפלות של 10, משום שאלה הן כבר מכפלות של מספר בן שתי ספרות, שאותן ניתן לבצע לפי לוח הכפל המופיע כאן, והכללים לכפל של מספרים בני יותר מספרה אחת.
כופל ונכפל.
כפל בין מספרים הוא פעולה קומוטטיבית, כלומר אין חשיבות לסדר המוכפלים: formula_17. עם זאת, משיקולים דידקטיים בתחילת הוראתה של פעולת הכפל מבדילים בין שני הגורמים: הראשון בסדר הכתיבה אשר אותו מכפילים - נקרא "נכפל", והשני - בו מכפילים - נקרא "כופל". שניהם יחדו נקראים "גורמים". עבור שאלות מילוליות - הנכפל נושא תמיד את השם הנתון בשאלה (כדורים / בובות וכו'). הכופל מראה פי כמה להגדיל את הנכפל, ולכן מייחסים לו את השם "פעמים". את הביטוי 3X5 יש לקרוא "שלוש כפול חמש" או "שלוש פעמים חמש". דוגמאות:
משתי הדוגמאות האחרונות ניתן לראות שקביעת הכופל והנכפל תלויה בניסוח של השאלה, אך אינה משפיעה על התוצאה, שהרי פעולת הכפל היא קומוטטיבית.
קישורים חיצוניים.
- משחק לימודי מאתגר בלוח הכפל
חילוק (פירושונים)
אקזמה
Falling Into Infinity
Falling Into Infinity הוא אלבומה השישי של להקת הפרוג מטאל דרים ת'יאטר (רביעי מבין אלבומי האולפן), שיצא לאור בשנת 1997 בידי חברת EastWest, ואלבום האולפן היחיד של הקלידן דרק שריניאן עם הלהקה. במקור, חברי הלהקה כתבו בשביל האלבום מספיק חומר שיספיק לשני דיסקים, אך חברת התקליטים לא אישרה זאת. עד היום דרים ת'יאטר שרים כמה שירים שהייתה אמורה להיות להם יותר חשיפה בהופעות למיניהן, כמו למשל Raise the knife בהופעת 20 השנה שלהם, Score.
טומי לפיד
המפדל
משחקי לשון
במדבר
ספר במדבר הוא הספר הרביעי מבין חמשת חומשי התורה. הספר מכיל 36 פרקים, 32 סדרים, 92 פרשיות פתוחות ו-66 סתומות.
כעדותו של הירונימוס כונה הספר בתקופתו בשם: "וַיְַדבֵּר" ושם זה מצוי בם בלשון ימי הביניים של אברהם אבן עזרא, במסורת חז"ל מצוי הוא בשם "חומש פקודים", וזאת מכיוון שמופיעים בו שני מִפקדים של בני ישראל וכן עוד מפקד נפרד לשבט הלוי. מכאן גם באו השמות הלועזיים Ἀριθμοί בתרגום השבעים ו-Numeri בוולגטה (כלומר - "ספירה", וכן באנגלית–"Book of Numbers").
ספר במדבר עוסק בנדידת בני ישראל במדבר, תקופה של כ-40 שנה, בין היציאה ממצרים עד לכניסה לארץ ישראל, ולמעשה מתמקד רק בתחילת התקופה הזו ובסופה.
תוכן הספר.
פרקים א-י.
עם הספרים שמות וויקרא מסתיים התהליך הארוך של יציאת מצרים, קבלת התורה ובניית המשכן.
העם מוכן אם כן לצאת לנדודיו.
ספר במדבר מתחיל בתיאור ההכנות למסע בארבעה חלקים: הכנת העם למסע, עבודת הלויים, דינים מיוחדים והיציאה למסע.
מחנה ישראל ( - ): הספר מתחיל בציווי ה' לספור את עם ישראל בתחילת המסע במדבר. לאחר המפקד מתואר סדר המחנה בהפסקות שבין מסע למסע: במרכז המשכן, סביבו הכהנים והלויים, ומסביבם שאר עם ישראל - שלשה שבטים בכל אחד מארבעת צדדי המחנה.
הלויים ( - ): לאחר מפקד הלויים מתוארת החלפת הבכורות בלויים (הבכורות היו אמורים מלכתחילה להיות עובדי-המשכן), ואחר כך תיאור עבודת הלויים בזמן המסע: בני קהת נושאים את כלי המשכן, בני גרשון את כלי הבד שבמשכן ושמעליו, ובני מררי את קרשי המשכן וכל הקשור אליהם.
דינים מיוחדים ( - ): דין קרבן אשם, דין אישה סוטה, דיני הנזיר, ברכת הכהנים (הנאמרת עד היום בבתי הכנסת על ידי הכהנים), קרבנות נשיאי השבטים, טהרת הלויים ופסח שני.
היציאה למסע במדבר ( - ): הענן קובע את דרכם של בני ישראל - מתי יסעו ומתי יחנו, וכן תרועת החצוצרות - בימי שלום ומלחמה, והיציאה עצמה למסע כאשר הארון בראש המחנה.
החלק הזה מסתיים בשירת "ויהי בנסוע הארון", מאת משה, שמוקפת באותיות נו"ן הפוכה לפניה ולאחריה - לכך הוצעו בגמרא ובפרשנים מספר הסברים.
פרקים יא-יט.
בפרקים אלו מתוארים אירועים רבים שהתרחשו במהלך המסע במדבר. האירועים המרכזיים הם חטאי בני ישראל במדבר כמו חטא המתאוננים בתבערה, חטא המתאווים בקברות התאוה, חטא המרגלים וקורח ועדתו.
תלונות העם (): הפרק מתחיל בתיאור כעס ה' על תלונה של העם (חטא המתאוננים) בתבערה, וממשיך בתלונות העם ביחס לתנאי המסע וגעגועיהם למצרים (חטא המתאווים). בעקבות תלונה זו מתייאש משה מהעם, וה' מצרף אליו 70 זקנים כעזרה בהנהגה.
צרעת מרים (): מרים מרכלת על משה יחד עם אהרן ("כי אישה כושית לקח..."). בעקבות זאת לוקה מרים בצרעת.
חטא המרגלים ( - ): משה שולח 12 נציגים לרגל את הארץ. המרגלים עוברים בחלקיה הדרומיים ולוקחים מפירותיה. בשובם מתפתח ויכוח האם הארץ ניתנת לכיבוש, כשרק כלב בן יפונה ויהושע בן נון מנסים לשכנע את העם לעלות בכל-זאת. בעקבות ההיסוס נגזר שדור יוצאי מצרים יימחה ברובו במדבר, ורק אז תותר הכניסה לארץ. בעקבות זאת מנסים כמה לפרוץ את הדרך אל הארץ אך ניסיונם נכשל (חטא המעפילים) - העם פונה להמשך מסעיו במדבר.
דינים שונים (): מנחות המוקרבות עם הקרבן: סולת, שמן ויין. קרבנות על חטאי ציבור או נציגיו. דינו של מחלל שבת - סיפור המקושש, ומצוות ציצית.
מחלוקת קורח ועדתו ( - ): קורח ועדתו ערערו על הנהגתם של משה ואהרן. כמבחן יקטירו קורח ועדתו קטורת וגם אהרון. אש אכלה את מקטירי-הקטורת של קורח וכל אנשיו נבלעו באדמה. במבחן נוסף פרח מטהו של אהרון והעיד כי רק אהרן ובניו (שבט לוי) - ישמשו במשכן.
דינים שונים ( - ): חלקם של הכהנים בקרבנות ובתבואה, תחת לקבל נחלה בארץ, ודיני פרה אדומה.
פרקים כ-כה.
חלק זה עוסק באירועים שאירעו על גבול ארץ ישראל אך לא קשורים ישירות לכניסה לארץ.
מי מריבה ( - ): לאחר מות מרים העם רב עם משה בגלל מחסור במים. ה' מצווה את משה לדבר אל הסלע שיוציא מים, ומשה מכה בסלע עד שיוצאים ממנו מים. מקרה זה מוזכר בהמשך כסיבה לעונשם של משה ואהרן שבעקבותיו לא יכנסו לארץ.
מלחמות עבר הירדן ( - ): מלך אדום מונע מישראל לעבור בארצו שסובבים את ארצו במקום להילחם בו. מלך ערד נלחם בהם, ובעקבות סירוב נוסף נלחם בהם סיחון מלך האמורי (ביהץ) ואחריו עוג מלך הבשן (באדרעי). במהלך המסע מת אהרן ונקבר בהר ההר.
פרשת בלעם ( - ): בלק מלך מואב (אף היא ממלכה בעבר הירדן) מביא את בלעם, מכשף ונביא, לקלל את בני ישראל. בלעם מנסה את כוחו אך מפיו יוצאות ברכות במקום קללות. לאחר שבלעם עוזב, שולחים המואבים את בנותיהם להחטיא את ישראל בזנות.
פרקים כו-לו.
בפרקים אלו מפורטות ההכנות לכיבוש הארץ.
המפקד ומינוי יהושע ( - ): מפקד של עם ישראל כולל שבט לוי. בנות צלפחד מבקשות נחלה וה' משיב בחיוב. מינוי יהושע בן נון למחליפו של משה.
דינים שונים ( - ): קרבנות התמיד, המועדים, ודיני הפרת נדרים.
סיום המסע ( - ): מלחמה אחרונה במדין, בני גד ובני ראובן מבקשים לנחול בעבר הירדן, משה מסכם את המסע בכותבו את רשימת תחנות-המסע.
הכנה להתנחלות ( - ): הגדרת גבולות הארץ, החלוקה לנחלות והפרשת ערי המקלט.
חלוקת הספר לפרשיות.
בספר במדבר 10 פרשיות ואלו הן:
אולם לרוב קוראים את ספר במדבר במשך 9-8 שבתות, שכן לפי נוהגים שונים יש חיבור פרשיות שונות.
בחוץ לארץ, בשנים שבהן יום טוב שני של שבועות חל בשבת, קוראים את פרשת חוקת יחד עם פרשת בלק.
לפי מנהג התימנים, גם בארץ ישראל מחברים פרשות אלו, במקום לחבר את פרשות מטות-מסעי. לדרדעים ישנו מנהג ייחודי ולפיו במקום לחבר את פרשת חקת עם בלק, מחלקים אותה לשניים ומחברים את חציה הראשון (עד ) לפרשת קרח, ואת חציה השני (משם ואילך) לפרשת בלק.
בדרך כלל קוראים את פרשת מטות ביחד עם הפרשה שאחריה, פרשת מסעי, רק בשנים מעוברות, בשנים מסוג בשז וגכז (רק בארץ ישראל), ובשנים השג והחא (גם בחוץ לארץ) הן נפרדות. שנים בהן מטות מסעי נפרדות גם בחו"ל, הן נדירות.
Once in a LIVEtime
Once in a LIVEtime, ששוחרר בידי EastWest Records, הוא הדיסק השביעי של להקת הפרוג מטאל דרים ת'יאטר. הדיסק (2CD) הוקלט ב-25 ביוני 1998 בהופעה חיה בפריז והוא מכיל שירים רבים של הלהקה משנים עברו.
עין אילה
עֵין אַיָּלָה הוא מושב עובדים של תנועת המושבים במישור חוף הכרמל. הוקם בשנת 1949 על ידי עולים מצ'כוסלובקיה.
היסטוריה.
היישוב נוסד ב-15 באוגוסט 1949 על אדמות הכפר הערבי עין ע'זאל, שתושביו עזבו אותו בעקבות מבצע שוטר ואדמותיו הוכרזו נכסי נפקדים. שמו של המושב הוסב באוקטובר 1949 מעין רזאל לעין איילה, המבוסס על שמו של הכפר, שמשמעותו בערבית היא "עין הצבי", אך מזכיר את אייל הכרמל שנכחד בתחילת המאה העשרים.
אזור זה היה מיושב כבר בתקופות קדומות: בתקופה הרומית, הביזנטית ובימי הביניים.
בשנת 2008 נחנך במקום אתר זיכרון לתשעה חיילי חטיבת אלכסנדרוני שנפלו באזור במלחמת העצמאות במבצע שוטר. בכל שנה מתקיים טקס לזכרם של הלוחמים באנדרטה.
כלכלה.
ענפי המשק העיקריים במושב הם גידולי שדה, מטעים, ירקות ורפת.