שלושת רעיונותיו הגדולים של יאקובסון בבלשנות ממלאים תפקיד עיקרי בתחום זה עד ימינו: טיפולוגיה בלשנית, מסומננות (markedness) ואוניברסלים לשוניים. שלושת המושגים האלה שזורים זה בזה באופן הדוק: טיפולוגיה היא הסיווג של לשונות במונחי מאפיינים דקדוקיים משותפים (בשונה ממקור משותף, למשל), מסומננות היא, בתיאור גס, מחקר הבודק כיצד צורות מסוימות של ארגון דקדוקי "טבעיות" יותר מאחרות, ואוניברסלים לשוניים הוא חקר מאפיינים כלליים של שפות בעולם. בשנת 1960 הוא פרסם את התאוריה שלו על תפקודי הלשון.
יאקובסון קיבל תואר דוקטור לשם כבוד מאוניברסיטת תל אביב בשנת 1975, והיה מתומכי הקמתו של המכון לפואטיקה וסמיוטיקה באוניברסיטה זו. עבודותיו יצאו בעברית בכתב העת "הספרות", וחלקן כונסו במבחר מאמרים בעריכת פרופ' איתמר אבן-זהר ופרופ' גדעון טורי (בהוצאת הקיבוץ המאוחד, 1986).
מרכיבי התקשורת הלשונית.
יאקובסון הבחין בין מרכיבי התקשורת, וחילקם לשישה:
הסכימה המקובלת לציון המרכיבים:
ההקשר הרפרנציאלי
המבע
המוען____________________________הנמען
צינור התקשורת
הקוד הלשוני
ניקח למשל את המשפט מספר בראשית, פרק ג', פס' א' מפי הנחש "אף כי אמר אלהים לא תאכלו מכל עץ הגן". המבע הוא הטקסט שמסומן במירכאות, המוען הוא הנחש והנמען הוא חווה. צינור התקשורת, נניח על פי הפשט, הוא גלי הקול המועברים בדיבור רגיל. הקוד הלשוני במקרה זה הוא העברית והוא ההסכם בין נחש לחווה, למשל, מה פירוש צירוף הצלילים, עץ, גן וכן הלאה. "ההקשר הרפרנציאלי" הוא הקונטקסט שבו נאמרים הדברים, דהיינו הסיטואציה בין אדם לחווה, כוונת הפיתוי וכו'.
הפונקציות.
יאקובסון גם הבחין בין פונקציות (תפקידים) שונות של השפה, הקשורות לרכיבי התקשורת הלשונית:
פונקציה אמוטיבית/אקספרסיבית.
מלבד התקשורת המילולית, הפונקציה האמוטיבית מתבטאת גם בהבעות פנים, סימני ידיים, אינטונציה וכדומה.
יש לשים לב שמילות הקריאה יכולות להיות בעלות משמעות אחרת בהקשרים אחרים, כמו בביטוי העגה (סלנג) "חבל על הזמן" שכיום משמעותו מצוין. עוד דוגמה: "אמא!" שמשמעותו בשיח כינוי המזהה את אם הדוברת או הדובר. ודוגמה נוספת מילת הקריאה "לעזאזל" שמשמעותה המקראית הייתה אחרת.
פונקציה קונאטיבית.
תפקיד ההשתדלות. הפונקציה הקונאטיבית (מלטינית conary השתדלות) היא פעולת שיח המתמקדת בנמען, תפקידה הוא בקשה או ציווי או דרישה מהנמען. למבע, "העבר לי את המלח" יש פונקציה קונאטיבית. בעברית המדוברת כיום, בנוסף לצורת הציווי משמשת גם צורת העתיד "תעביר לי את המלח".
תפקיד זה בשיח מובע לעיתים לא רק כציווי ובקשה אלא (בחלק מהתרבויות הנמצאות בארץ) מובע כרמז לבקשה לדוגמה: "קר בחדר", "חסר מלח באוכל" והכוונה "אנא סגור את החלון" או "אנא העבר את המלחיה". באופן זה פעולת ההשתדלות מופיעה בשיח גם בצורה של הבעת נסיבות, כלומר הפונקציה הקונאטיבית נראית גם כמבע רפרנציאלי.
פונקציה רפרנציאלית.
תפקיד המידע (ההקשר הנסיבתי). הפונקציה הרפרנציאלית מתמקדת בפעולת שיח המוסיפה לה הקשר קונטקסטואלי (מאנגלית context) רפרנציאלי (מאנגלית reference הפניה), תפקידה הוא להעביר מידע. יש האומרים שפעולה זו, השכיחה ביותר בשיח, היא התפקיד המרכזי והחשוב בתקשורת. דוגמאות למשפטים בעלי פונקציה רפרנציאלית:
פונקציה פאטית.
הפונקציה הפאטית (מיוונית עתיקה φαθως פאטוס - שיחה) מתמקדת בזרימת השיחה והמשך השיח התקשורתי. תפקידה לשמור על תפקוד תקין לכאורה של צינור התקשורת כמו במבע "אני לא שומע אותך", או "אהה, כן". גם מבעים קבועים נטולי משמעות נכללים בפונקציה הפאטית, כמו השיח הבא:
קריאות התפעלות ושאלות רטוריות נכללות בפונקציה הפאטית, כמו "מה, אתה בארץ?" לאדם שפגשנו זה עתה.
פונקציה מטא לשונית.
תפקיד מינוחי או הבהרה תחבירית. הפונקציה המטא-לשונית היא פעולת הסבר לשוני או שאלת מובן, המתמקדת בקוד הלשוני - במילים ובמשפטים המהווים את הסימנים המוסכמים של כל שפה ושפה. הדובר מבהיר או מבקש הבהרה לגבי הנאמר, הסבר מילוני או תחבירי המסביר את המשמעות.
לדוגמה:
פונקציה פואטית.
תפקיד פיוטי-שירי. פעולת הבעה בלשון חגיגית וגבוהה, בדרך כלל על מנת שתיזכר על פה ותיאמר שנית פעמים רבות. הפונקציה הפואטית מתמקדת במבע, בשדר עצמו, ולא במוען, לא בנמען ולא בחלקים האחרים של השיח.
בניסוחו של יעקובסון: .
כוונתו לאנלוגיה - ביטוי של משל או דימוי. לדוגמה בכותרת פרסומת לטיולי טיסה בשמי הארץ: "קבלו מתנה משמים". המפרסם בחר בביטוי "מִשָּׁמַיִם" במקום לומר: קבלו מתנה יפה מאוד - שקשורה בטיסה.
לפי יעקבסון כאשר תפקוד השדר הוא שירי פואטי אנו בוחרים מתוך אוסף מילים נרדפות (ציר הברירה או ציר הסלקציה) את המילה המתאימה לנו, וממשיכים בכך לכל אורך השדר (ציר הצירוף או ציר הקומבינציה) עד שמתקבל שיח פיוטי-שירי שווה-ערך לשדר המקורי הפשוט.
כך למשל בשירה המקראית: "האזינו השמים ואדברה, ותשמע הארץ אמרי פי. יערף כמטר לקחי, תזל כטל אמרתי" - נבחרות מילים מקבילות אך שונות צורה: האזינו (ציווי ולשון שירית) לעומת ותשמע (איווי לעתיד)
במקום "האזן" - "ושמע" או "תאזין" -"ותשמע". וכך גם "לקחי" ו"אמרתי" שניהם ביטויים פחות נפוצים במקום המונח הנפוץ דְּבַרִי, שמשמעותו: הדיבור שלי.
יש דרכים אחרות להביע לשון שירית, למשל המצלול הספרותי. בפיסקה שאומרת בֶּלָה, גיבורת המחזה "אורזי המזוודות" של חנוך לוין: "לא שיש לי אשליות בקשר ללונדון. לונדון לא מחכה לי. גם שם אהיה לבד", בחר המחזאי להדגיש את העיצור ל ואת התנועה חולם הנמצאים בתחילת שם העיר לונדון ובמילת השלילה לא, ואת העיצור ש, ומתקבלת חזרה על צלילים הנחרטת בזיכרון האנשים, וכך בשירהּ של חוה אלברשטיין המבוסס על מחזה זה השומעים זוכרים את מילות הפזמון וחוזרים עליהן.
הפונקציה הפואטית אינה מוגבלת לבחירת דימויים ולמצלול בלבד, ומשתמשים בה גם בעזרת תבניות אנלוגיות אחרות המביעות תוכן מקביל לתוכן הרצוי. בין תבניות אלו יש את החריזה, התקבולת (חזרה על ביטויים במילים אחרות, כפי שראינו בשירה המקראית לעיל) ועוד תבניות שיריות אחרות.
הקשר בין מרכיבי התקשורת.
לציון הקשר בין מרכיבי התקשורת הלשונית נחזור לסכימה המקבילה של הפונקציות:
הפונקציה הרפרנציאלית
הפונקציה הפואטית
הפונקציה האמוטיבית_________________________הפונקציה הקונטיבית
הפונקציה הפאטית
הפונקציה המטא לשונית
יש לציין, שעל פי יעקובסון אין כמעט בנמצא מבע שמביע רק פונקציה אחת.
אינטגרל
אִינְטֶגְרָל או אַסְכֶּמֶת הוא מושג מתמטי בתחום החשבון האינפיניטסימלי, המהווה (עבור פונקציה ממשית) הכללה מתמטית של מושג הסכום. לאינטגרל שימושים רבים ביותר, וּבהם חישוב שטח של תחום מישורי, נפח של מרחב רב־ממדי, מסה של גוף, אורך של מסילה עקומה, הסתברות של משתנים מקריים רציפים, כוח הפועל בין שני גופים, אנרגיית החום הכוללת של אמבט, מהירות מקומו המרחבי של גוף הנע בהשפעת כוח בעל עצמה משתנה ועוד.
המושג הכללי של אינטגרל כולל בתוכו שני מושגים שונים לכאורה: האינטגרל המסוים והאינטגרל הלא־מסוים (קרי: הפונקציה הקדומה).
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע ששני המושגים הללו מתלכדים. כלומר: אם הפונקציה formula_2 אינטגרבילית בקטע formula_6 (בהמשך יוגדרו התנאים לאינטגרביליות) וגם יש לה פונקציה קדומה, אז האינטגרל המסוים של formula_2 בקטע formula_6 שווה לביטוי formula_9, כאשר formula_10 מסמנת את הפונקציה הקדומה של formula_2.
סימון.
את האינטגרל מסמנים בסימן ∫ שניתן על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ ושמקורו ב־S הארוכה שבתחילת המילה הלטינית Summa (סְכוּם), שאותה הוא כתב כ־ſumma. אין לבלבל בינו לבין האות ʃ, המייצגת עיצור בתר-מכתשי, חוכך שורק, אטום באלפבית הפונטי הבינלאומי.
האינטגרל המסוים.
כאמור לעיל, האינטגרל המסוים של פונקציה ממשית, מעל קטע סגור, שווה לשטח שמתחת לגרף הפונקציה ומעל ציר ה־formula_1 (כאשר השטח שמתחת לציר ה־formula_1 מוגדר כשטח שלילי). כדי לקבל הגדרה מסודרת של האינטגרל, יש לבחון את המשמעות המדויקת של המושג "שטח", במיוחד כאשר הגרף אינו ישר, ואף אינו בהכרח רציף. השטח של מלבן מובן היטב, ואחת הדרכים להגדיר את השטח שמתחת לגרף היא לקרב את הצורה שמתחת לגרף באמצעות מלבנים זרים (וּמקבילים לצירים). בהגדרה זו יש בעיה עקרונית: כל עוד מספר המלבנים סופי, והפונקציה אינה מלבנית, השטח הכולל שלהם אינו אלא קירוב של השטח האמיתי, וניתן לשפר את הקירוב על ידי הקטנת המלבנים והגדלת מספרם.
ברנרד רימן הפך את הבעיה הזו להגדרה של ערך האינטגרל: במקום לחפש את הקירוב הטוב ביותר, שלרוב אינו קיים, מסכמים מלבנים קטנים ורבים יותר, כך שהקירוב ילך וישתפר. בסופו של דבר בוחרים את הגבול של סדרת הסכומים המתקבלת מסדרת הקירובים. גישה דומה, המגיעה לאותן תוצאות, מבוססת על סכומי דארבו: כאן מקרבים את הצורה החוסמת מלמטה ומלמעלה באמצעות מלבנים הכלואים מתחת לגרף ומלבנים הכולאים אותו מלמעלה.
הראשון שהגדיר את האינטגרל המסוים במדויק היה רימן. בעקבותיו הוצעו הכללות רבות: בתחום של פונקציה#תחום ההגדרה של הפונקציה (העשוי להיות הישר הממשי כולו, קובייה במרחב האוקלידי ה־n־ממדי, או כל מרחב קומפקטי מקומית), בערכים שהפונקציה עשויה לקבל (מספרים ממשיים או מרוכבים, מספרים p־אדיים, או וקטורים שאלו רכיביהם), ובאופי הפונקציות שעבורן מחושב האינטגרל.
חלוקה של קטע.