האינדקס לבדו אינו יכול לשמש כלי לחיזוי סופות רעמים. כמעט כל אירוע שרב מלווה באינדקס סופות רעמים גבוה (מעל 30), אך בהיעדר לחות מספקת, אין כל משמעות לדבר. יחד עם זאת, כאשר תנאי הלחות מתקיימים, האירוע המטאורולוגי עשוי להיות פעיל למדי, כמו למשל באפיק ים סוף פעיל.
נפוליאון
משפט קנטור
משפט קנטור הוא משפט מתמטי בתורת הקבוצות, הקובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת החזקה שלה. בפרט, לכל קבוצה, גם אם היא אינסופית, יש קבוצה גדולה ממנה (במובן מדויק שיוגדר בהמשך). מזה נובע כי אין אינסוף גדול ביותר, ולכן יש אינסוף גדלים אינסופיים השונים זה מזה.
את המשפט הוכיח אבי תורת הקבוצות, גאורג קנטור, בשנת 1891. טיעון האלכסון אותו המציא כדי להוכיח את המשפט ותוצאות דומות, מנצל את הסתירות שביסוד פרדוקס הספר ופרדוקס השקרן, ומשמש בתחומים רבים החורגים מתורת הקבוצות.
מושגים.
קבוצה היא עצם יסודי במתמטיקה שניתן לתארו כאוסף כלשהו של איברים. לגבי כל איבר וכל קבוצה ייתכנו שתי אפשרויות: האיבר שייך לקבוצה או שאינו שייך לקבוצה.
פונקציות.
פונקציה מקבוצה formula_1 לקבוצה formula_2 מתאימה לכל איבר ב-formula_1 איבר יחיד ב-formula_2. ייתכן שלכמה איברים ב-formula_1 מותאם אותו איבר ב-formula_2, וייתכן שיש איברים של formula_2 שאף איבר של formula_1 אינו מותאם להם.
על פונקציה מ-formula_1 ל-formula_2 נאמר שהיא חד-חד-ערכית, אם לכל שני איברים שונים ב-formula_1 מותאמים איברים שונים ב-formula_2. נאמר שהפונקציה היא על formula_2 אם לכל איבר ב-formula_2 יש איבר ב-formula_1 שהותאם לו. פונקציה ששתי התכונות מתקיימות בה יחדיו נקראת חד-חד-ערכית ועל. פונקציה חד-חד-ערכית ועל מתאימה את שתי הקבוצות זו לזו, כך שלכל איבר באחת מן הקבוצות יש בן זוג יחיד בקבוצה השנייה.
השוואת גודלן של קבוצות.
קיומה של פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה סופית formula_1 לקבוצה formula_2 מראה שלשתי הקבוצות יש אותו מספר איברים, משום שלכל איבר מכל אחת מן הקבוצות יש בן זוג יחיד שהותאם לו מהקבוצה השנייה. אפשר לספור את איברי שתי הקבוצות יחד. קנטור הבין שניתן להשתמש ברעיון הזה כדי להשוות גם בקבוצות אינסופיות בגודלן. נניח ש-formula_1 ו-formula_2 הן קבוצות כלשהן (אולי אינסופיות). אם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מ-formula_1 ל-formula_2 נאמר שהקבוצות האלו שקולות, ונסמן formula_22. השקילות בין הקבוצות מבטאת, על-פי קנטור, את הרעיון שיש להן אותו מספר של איברים. אם שתי קבוצות formula_23 הן שקולות, מסמנים formula_24. על הסימן formula_25 חושבים כאילו הוא מסמן את מספר האיברים בקבוצה formula_1, שיכול להיות אינסופי. זוהי העוצמה של formula_1.
מן המקרה של קבוצות סופיות ידוע לנו שהעוצמה של קבוצה אחת יכולה להיות גדולה מן העוצמה של קבוצה אחרת. למשל, בקבוצה עם ארבעה איברים יש יותר איברים מאשר בקבוצה עם איבר אחד. רעיון זה מתבטא בעובדה שקיימת פונקציה חד-חד-ערכית שאינה על מהקבוצה השנייה לראשונה. באופן כללי לכל שתי קבוצות formula_1 ו-formula_2 נאמר ש-formula_30, אם קיימת פונקציה חד-חד ערכית (שאינה בהכרח על) מ-formula_1 ל-formula_2. כלומר formula_2 גדולה (או שווה) מ-formula_1 אם אפשר להתאים לכל איבר ב-formula_1 בן זוג יחיד ב-formula_2, גם אם נשארים איברים של formula_2 שלא הותאם להם בן זוג. אם מתקיים formula_30 וגם formula_39, אז נאמר ש-formula_40. משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין קובע שאם formula_30 וגם formula_42, אז formula_24 (המשפט הזה אינו מובן מאליו: הוא טוען שאם יש פונקציה חד-חד-ערכית מ-A ל-B, ופונקציה חד-חד-ערכית מ-B ל-A, אז יש גם פונקציה שהיא בו-זמנית חד-חד-ערכית ועל).
סימונים.
קבוצה formula_44 תקרא תת-קבוצה של formula_1, אם כל איבר של formula_44 הוא גם איבר של formula_1. קבוצת כל התת-קבוצות של formula_1 נקראת קבוצת החזקה של formula_1, אשר לה ניתן הסימון formula_50 (אם כי לפעמים משתמשים גם בסימון formula_51).
קבוצה מסמנים על פי רוב באות לטינית גדולה. אם רוצים לפרט את איברי הקבוצה כותבים אותם בתוך סוגריים מסולסלים, כשהם מופרדים בפסיקים. למשל formula_52 היא קבוצה שאיבריה הם formula_53, formula_54 ו-formula_55. דרך נוספת לציון קבוצה היא ציון תנאי שאיברי הקבוצה מקיימים. למשל formula_56 היא קבוצת המספרים שבין 1 ל-3, ואילו formula_57 היא קבוצת המספרים שהם ריבועים של המספרים הראשוניים.
נוסח המשפט.
משפט קנטור. לכל קבוצה formula_1 (סופית או אינסופית), מתקיים formula_82.
לבו של המשפט בטענה שהקבוצות formula_1 ו-formula_84 אינן שקולות זו לזו, אפילו כאשר formula_1 אינסופית. הוא מראה שלא כל הקבוצות האינסופיות הן שוות עוצמה, ושלמעשה לכל קבוצה אינסופית ניתן למצוא קבוצה עם עוצמה גדולה יותר.
הוכחת המשפט.
הוספה נאיבית של איברים לקבוצה אינסופית formula_1 אינה משנה את העוצמה גם אם ניקח שתי קבוצות אינסופיות מעוצמה זהה, ונאחד אותן, עוצמת האיחוד תהיה שווה לעוצמה של כל אחת מהקבוצות בנפרד. אפילו עוצמתה של קבוצת המספרים הרציונלים (הכוללת את כל השברים) זהה לעוצמת קבוצת המספרים הטבעיים לבדם (להוכחה ראו כאן וכאן). עם זאת, טוען המשפט, קבוצת החזקה היא בעלת עוצמה גדולה יותר.
תהא formula_87 קבוצה כלשהי. הפונקציה formula_88 לכל formula_60 היא פונקציה חד-חד ערכית מ-formula_1 ל-formula_91, ולכן formula_92.
נותר אם כך להוכיח כי formula_93. נניח בשלילה את ההפך, כלומר, ש-formula_94, ונראה כי הדבר מוביל לסתירה.
אם formula_94, הרי שקיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל formula_96 (למעשה אין צורך בהנחה שהפונקציה חד-חד-ערכית; ההוכחה מראה שאפילו פונקציה על בלבד אינה אפשרית). הפונקציה formula_70 מתאימה לכל איבר של formula_1 תת-קבוצה של formula_1, ומכסה באופן הזה את כל תת-הקבוצות. לכן לגבי כל איבר של formula_1 ייתכנו שתי אפשרויות: או שהוא איבר של תת-הקבוצה המתאימה לו, או שהוא אינו איבר שלה. נגדיר קבוצה formula_101, כך: formula_102. הקבוצה formula_101 מורכבת מכל אותם איברים של formula_1 שאינם איברים של תת-הקבוצה המתאימה להם. formula_101 מורכבת מאיברים של formula_1 בלבד, ולכן היא תת-קבוצה של formula_1. לפי ההנחה, שהפונקציה formula_70 היא על, קיים ב-formula_1 איבר formula_110 כך ש-formula_111.
עתה נשאלת השאלה האם formula_110 הוא בעצמו איבר של formula_101? אם נניח ש-formula_114, הרי ש-formula_110 איבר בקבוצה שהותאמה לעצמו, ולכן לפי הגדרת formula_101 מקבלים שדווקא formula_117. אם נניח ש-formula_118 נקבל ש-formula_110 אינו איבר בקבוצה שהותאמה לעצמו, ולכן לפי הגדרת formula_101 מתקיים formula_114.
בשני המקרים הגענו לסתירה, ולכן ההנחה שלנו חייבת להיות שגויה. מכאן ש-formula_93, ולכן formula_123.
הסבר אינטואיטיבי.
הפילוסוף והחידונאי ריימונד סמוליאן, בספרו "מה שמו של ספר זה?", מציג גרסה אינטואיטיבית להוכחה. הגרסה המופיעה כאן מבוססת על גרסה זו. כל קבוצה אפשרית של תושבים ביקום (שגודלו עשוי להיות אינסופי) יוצרת לה מועדון (התושבים הם איברי formula_1, והמועדונים הם איברי formula_50). נניח שכל מועדון נקרא על-שם אחד התושבים (זוהי ההנחה שקיימת פונקציה על בין הקבוצות). נקים את המועדון שחבריו הם כל התושבים שאינם חברים במועדון הקרוי על שמם. מועדון זה, ככל מועדון אחר, חייב להיקרא על שם אחד התושבים - למשל גראוצ'ו. אם גראוצ'ו חבר במועדון, הרי שהוא חבר במועדון הקרוי על שמו, בסתירה להגדרת המועדון; אבל אם הוא לא חבר במועדון, הרי שהוא מקיים את תנאי הקבלה היחיד למועדון, ונעשה בו חבר באופן אוטומטי. סתירה זו מעידה כי ההנחה שאפשר לקרוא כל מועדון על שם תושב, מוטעית. האינסוף של המועדונים גדול יותר מן האינסוף של התושבים.
נוסח שקול.
לפונקציה formula_126 (כלומר פונקציה שמתאימה לכל איבר ב-formula_1 את המספר 0 או 1) קוראים פונקציה מציינת. מקובל לסמן את קבוצת כל הפונקציות מ-formula_1 ל-formula_2 בסימון formula_130. על כן קבוצת הפונקציות המציינות של קבוצה formula_1 היא formula_132.
נשים לב כי formula_133. זאת משום שלכל פונקציה מציינת ניתן להתאים את התת-קבוצה של formula_1 שהפונקציה המציינת מתאימה לאיבריה (ורק לאיבריה) את המספר 1, ולשאר האיברים היא מתאימה 0. לכן משפט קנטור קובע כי formula_135 (למעשה זהו הנוסח של קנטור במקור).
מגדירים את פעולת החזקה בין עוצמות באופן הבא: formula_136. הגדרה זו מכלילה את ההגדרה הרגילה לחזקה בין מספרים טבעיים, ומתלכדת עימה כאשר היא מופעלת על טבעיים (ראו חזקה: קבוצות ועצמות). בהתאם להגדרה זו: formula_137.
על כן נוכל לנסח את משפט קנטור גם באופן הבא: לכל עוצמה formula_25 מתקיים: formula_139.
מקרים פרטיים.
קבוצות סופיות.
אם formula_1 היא קבוצה סופית בעלת formula_141 איברים (formula_142), אז formula_143. תוצאה זו מתקבלת משיקול קומבינטורי פשוט: בהינתן תת-קבוצה שרירותית של formula_1, לגבי כל איבר ב-formula_1 יש שתי אפשרויות: או שהוא איבר של התת-קבוצה או שהוא לא. מעקרון הכפל מקבלים שיש: formula_146 אפשרויות לכל formula_141 האיברים יחדיו, ולכן זהו מספר התת-קבוצות (כאמור בפרק הקודם, תוצאה זו נכונה אפילו לעוצמות אינסופיות).
לכן משפט קנטור לקבוצות סופיות קובע את האי-שוויון הידוע formula_148, לכל formula_141 טבעי. אי-שוויון זה ניתן להוכחה בפשטות באינדוקציה, ולכן עיקר העניין במשפט קנטור הוא בהשלכותיו לגבי קבוצות אינסופיות.