נניח ש-formula_3 הוא על מסנן על הטבעיים שמרחיב את המסנן הקו-סופי. אם ניקח על-חזקה של השדה הממשי לפי על המסנן formula_3 נקבל שדה שמכיל את הישר הממשי הרגיל ובו, למשל, יש איבר שגדול יותר מכל המספרים הממשיים: הפונקציה formula_46 נמצאת מתחת לכל פונקציה קבועה רק במספר סופי של אינדקסים, ולכן מחלקת השקילות שלה גדולה יותר מהשיכון של כל מספר ממשי בעל-חזקה. על-החזקה עדיין מקיימת את כל התורה מסדר ראשון של הישר הממשי ולכן היא מספקת מודל עבור אנליזה לא סטנדרטית.
לפי משפט מלצב, כל חבורה משוכנת בעל-מכפלה של תת-החבורות הנוצרות סופית שלה. לכן, אם כל תת-חבורה נוצרת סופית מקיימת תכונה מסוימת, החבורה מקיימת את אותה תכונה. למשל, אם כל תת-חבורה נוצרת סופית ניתנת לסידור, אז החבורה כולה ניתנת לסידור. אם כל תת-חבורה נוצרת סופית היא ליניארית מדרגה קבועה, כך גם החבורה כולה (מכיוון שהבניה של על-מכפלות מתחלפת עם מטריצות: על-המכפלה של חוגי מטריצות מממד קבוע היא חוג המטריצות מעל על-המכפלה של חוגי הבסיס).
ריצ'ארד אקסל
אוטגווה קוניושי
שייטת הטרפדות
שייטת הטרפדות הוא שם כולל למספר יחידות של חיל הים הישראלי, שהפעילו ספינות טורפדו. ספינות אלו כונו בחיל הים הישראלי "טרפדות" או "סט"רים" (ראשי תיבות של "ספינות טורפדו"). היו אלה כלי שיט קטנים ומהירים שקיבלו את שמם מנשק הטורפדו שאותו נשאו. ספינות אלו הופעלו במשך קרוב ל-20 שנה, בשנים 1950–1969.
הקמת היחידה.
הטרפדות החליפו את ספינות המשמר שהוצאו מהשירות. הן אורגנו תחילה במסגרת של שייטת: "השייטת הקטנה", ואחר כך "שייטת 5" ו"שייטת 15". בהמשך אורגנו הטרפדות בפלגות: "פלגה 912", "פלגה 914" ו"פלגה 915". הספינות הוצבו בבסיסי חיל הים בחיפה ובאילת ובהמשך גם בבסיס חיל הים באשדוד.
מומחים ימיים, יוצאי הצי המלכותי הבריטי וצי ארצות הברית, יעצו לראש הממשלה דוד בן-גוריון לרכוש כלי שיט קטנים ומהירים. הטרפדות נרכשו בארצות הברית, בבריטניה ובצרפת והגיעו לישראל החל משנת 1950. בהמשך נרכשו טרפדות גם באיטליה והיוו מרכיב חשוב בסדר הכוחות של חיל הים. הטרפדות פעלו לצד הקורבטות והפריגטות שהיו בשייטת הגדולה, ובהמשך לצד שייטת המשחתות במלחמת סיני, במלחמת ששת הימים ובמלחמת ההתשה, במשימות ביטחון שוטף ובמבצעים חשאיים.
צוותה של טרפדת מנה 12 – 15 איש, ומהירותה המרבית הגיעה לכ-40 קשר (כ-74 קמ"ש).
מסגרת ארגונית.
השירות הימי, שהפך לימים לחיל הים הישראלי, הוקם במרץ 1948 כחלק מהקמת צה"ל. במהלך התמסדות החיל נדרשו קברניטי המדינה לקבוע את הרכב החיל ואת אופן חימושו. לצורך זה ניסו מפקדי חיל הים ללמוד מניסיונם של ציים גדולים והתייעצו עם מומחים, קצינים יהודיים ששירתו בהצי המלכותי הבריטי ובצי ארצות הברית במלחמת העולם השנייה. אחד מהם, קפטן (דרגה המקבילה לדרגת אלוף-משנה) אש לינקולן, יהודי שהיה קצין בצי המלכותי הבריטי במהלך המלחמה, הציע לבנות חיל ים מאוזן שיכלול משחתות, קורבטות, ספינות תותחים, ספינות משמר וספינות טורפדו. קצין יהודי נוסף שסייע בבניית סדר הכוחות היה פול שולמן, ששירת בצי ארצות הברית, ובין אוקטובר 1948 למרץ 1949 כיהן כמפקד חיל הים הישראלי. תוכנית אחרת הוכנה על ידי סא"ל מילר, שהיה מפקד משחתת בצי הבריטי ומנהל בית הספר הימי שליד הטכניון. תוכנית זו הוגשה בינואר 1948 וביססה את הכוח הימי על טרפדות.
האמצעים המועטים שהוקצבו לחיל הים ומגבלות האמברגו שהטיל האו"ם על מכירות ציוד צבאי למזרח התיכון, הכתיבו הקמת כוח ימי שיהיה מבוסס על ספינות קטנות ומהירות. תוכנית זו נראתה כפתרון ראוי וישים, ואפיינה ספינות מהירות חמושות בטורפדו ובתותחים קלים: טורפדו נגד כלי שיט גדולים ותותחים קלים נגד מטוסים וכלי שיט קטנים של האויב, שתופעלנה ככוח עצמאי, או במשולב עם יחידות לחימה גדולות יותר (כמו הפריגטות אח"י מבטח ק-28, אח"י משגב ק-30 ואח"י מזנק ק-32, שהגיעו לארץ בשנים 1949–1952). הכוונה הייתה לכוח תקיפה משולב, שיוכל לתת מענה סביר מול האיומים מצד חיל הים המצרי בדרום וחיל הים הסורי בצפון.
ב-1949 נרכשה הטרפדת הראשונה, שהגיעה לישראל ללא חימוש. הספינה צורפה לשייטת הקטנה, שכללה נחתות ושש ספינות משמר שנרכשו מהבריטים כאשר עזבו את נמל חיפה. בשנים הבאות הופרדו הנחתות מהשייטת הקטנה והופעלו בשייטת נפרדת, היא שייטת הנחתות. ב-1950 נרכשו 12 טרפדות: שמונה ספינות שנבנו במלחמת העולם השנייה נרכשו בבריטניה, וארבע טרפדות חדישות נרכשו בצרפת. ב-1952 הוחלפו שמות השייטות בחיל הים והומרו במספרים. השייטת הקטנה נקראה שייטת 5, וכללה את הטרפדות ואת נחתות המכוניות (נמ"כ), נחתות אלו הוסבו לספינות משמר והופעלו בכנרת.
בסיס השייטת הקטנה היה ליד ממגורות דגון במרכז נמל חיפה. לאחר הגעת הטרפדות התברר שהמקום אינו מתאים לשמש מעגן לכל כלי השיט של השייטת הקטנה, והטרפדות עברו למזרח הנמל, שם היה מאוחר יותר בסיסה של שייטת 5, ליד שובר הגלים הקטן. בשנים שלאחר מכן הוצאו בהדרגה משירות הטרפדת האמריקאית וספינות המשמר, שחלקן הועבר למשטרת החופים. מחצית מהטרפדות הבריטיות הוצאו תוך זמן קצר משירות גם הן, עקב המצב הירוד של גוף הספינות שהיה עשוי מעץ.
ב-1956 נבנו באיטליה שלוש טרפדות חדשות עבור זירת ים סוף. ספינות אלה נבנו באורך 16 מטר בהתאם ליכולת הנשיאה של כלי רכב באותה עת בארץ, כדי לאפשר את העברתן ביבשה מהים התיכון לים סוף. ב-1957 הגיעו הספינות החדשות לאילת והיוו את שייטת 15. ב-1957 הגיעו שלוש טרפדות צרפתיות והוצבו בחיפה. אחת מהן הייתה טרפדת שעברה שיפוץ, שכלל את החלפת מנועי הבנזין במנועי דיזל, ושתיים נוספות שהיו ספינות חדשות, שבבנייתן יושמו לקחים מהפעלת הטרפדות הראשונות. מאותה תקופה מנה סדר הכוחות שש טרפדות צרפתיות, שלוש מהן מצוידות במנועי בנזין ושלוש במנועי דיזל.
ב-1958 הוחלט על סגירת שייטת 5. במקומה הוקמו שלוש פלגות: פלגה 914 ופלגה 915 שהפעילו טרפדות, ופלגה 788 שהפעילה שלושה נמ"כים שהוסבו לספינות משמר (פלגת כנרת). שייטת 15 באילת בוטלה, ובמקומה הוקמה פלגה 912 שבה הוצבו שלוש הטרפדות של הזירה הדרומית. הטרפדות שהיו מוצבות בחיפה העתיקו את מעגנן למערב הנמל, לבסיס נמל חיפה (בנ"ח), לימים בסיס חיפה (ב"ח). פלגה 914, שכללה שלוש טרפדות דיזל, ופלגה 915, שהייתה פלגת מילואים עם טרפדות בנזין, היו יחידה אחת, בפיקוד מפקד פלגה אחד.
לאחר מלחמת ששת הימים התארך גבולה הימי של ישראל והגיע עד מבואות פורט סעיד. בשל כך הוחלט ב-1968 על העברת פלגה 914 לנמל אשדוד. פלגה 915 נותרה בבסיס נמל חיפה. באותה שנה נסגרה פלגה 912 והטרפדות ששירתו בזירת ים סוף הוצאו משירות. שנה לאחר מכן, ב-1969, הוצאו משירות הטרפדות בים התיכון ופלגות 914 ו-915 נסגרו. במקום הטרפדות הוכנסו לשירות סירות סיור מתוצרת "ברטראם" שכונו בחיל הים צרעה, עד הגעת ספינות הדבור בשלהי 1970.
ספינות המשמר.
כאמור, שורשי שייטת הטרפדות בחיל הים בשייטת ספינות המשמר (סמ"ר) שהוקמה באוקטובר 1948. אח"י דרור מ-21, אח"י סער מ-23, ואח"י תרצה מ-35, היו ספינות משמר מתוצרת בריטניה מדגם שנקרא HDML (ראשי תיבות של Harbor Defense Motor Launch, סירת מנוע להגנת נמלים). יותר מ-480 ספינות מדגם זה נבנו בימים שלפני מלחמת העולם השנייה ובמהלכה. הן נבנו מעץ על ידי מספר רב של מספנות שהתמחו לפני המלחמה בבניית יאכטות. שתי ספינות מדגם זה פעלו בשירות הצי המלכותי בארץ ישראל ועסקו בין השאר באיתור ולכידה של אניות מעפילים.
בעת פינוי הבריטים ב-29 ביוני 1948 נשארו ספינות המשמר בנמל חיפה ואוישו בצוותים של חיל הים. ספינות המשמר קיבלו שמות חדשים "אח"י דרור (מ-21)" ו"אח"י סער (מ-23)" והוכנסו מייד לשירות. ספינת משמר נוספת "אח"י תרצה (מ-35)", נרכשה בקפריסין והוכנסה לשירות באוגוסט 1948.
אח"י פלמ"ח (מ-19) הייתה ספינה גדולה יותר מספינות הHDML, בעלת הדחק של כ-80 טון. מפקדה הראשון היה שלמה אנגל, לימים האלוף שלמה אראל, מפקד חיל הים. ספינה זו הייתה מצוידת באמצעי ניווט פשוטים בלבד: מצפן מגנטי, מפה ומד מהירות ("לוג") שהיה מורכב ממדחף שהשתלשל במים מאחורי הספינה. מהירותה המרבית הייתה כ-13 קשר (כ-24 קמ"ש).
במהלך מלחמת העצמאות שימשו סמ"רים להובלת לוחמים למבצעי חבלה בחופי האויב תוך ניצול יתרונם ככלי שיט קטן שקשה לגילוי. במהלך המלחמה הובילו ספינות המשמר לוחמי קומנדו ימי ל"מבצע דוד", טיבוע האנייה איגריס שנרכשה עבור הצי המצרי ועגנה באותה עת בנמל ביירות, ולניתוק מסילת הברזל בין רפיח לאל עריש בצפון סיני. המבצעים בוצעו באבטחת קורבטות של חיל הים.
השייטת - בנובמבר 1949 קובצו ספינות המשמר עם הנחתות, בשמן אז 'פולשות', למסגרת שנקראה "השייטת הקטנה". תוך זמן קצר, עם רכש הטרפדות והגידול בכמות כלי השיט הועברו ה'פולשות לשייטת הנחתות. בנוסף לארבע ספינות המשמר הבריטיות היו בשייטת הקטנה עוד שתי ספינות משמר, ספינת משמר איטלקית שנקראה אח"י הפורצים (מ-17) וספינה נוספת בשם אח"י גליה (מ-31), וגם שתי יאכטות. חלקן הוצאו משירות כעבור זמן קצר. שנת 1951 הייתה שנת שיא במספר כלי השיט ב'שייטת הקטנה' במהלכה הופעלו 13 ספינות משמר וטרפדות.
כעבור מספר שנים, כתוצאה מהצורך לקצץ בתקציב צה"ל וחיל הים וכניסת הטרפדות לשירות, נמסרו ספינות המשמר למשמר החופים של משטרת ישראל. הספינה "מ.ח. פלמ"ח" נטרפה בסערה על סלעי נמל יפו.
הטרפדות.
במשך כל שנות הפעלת הטרפדות בחיל הים הישראלי (1950–1969), שירתו בזמנים שונים 18 ספינות טורפדו לפי הפירוט הבא: