שכאשר f = 1 ו rf = r מתקבלת פשוט משוואת ונזל. מצד שני כאשר ישנם
הרבה חלקים שונים במשטח בעלי חספוס שונה, כל חלק מאופיין על ידי fi משלו. במצב כזה סכומם של fi הוא 1, ומשוואת קאסי-בקסטר נכתבת כך:
כאשר γ הוא מתח הפנים בין נוזל לגז, γi,sv הוא מתח הפנים בין מוצק לגז של כל רכיב ו- γi,sl הוא מתח הפנים בין מוצק לנוזל של כל רכיב.
מעניין הוא המקרה שבו טיפת נוזל מונחת על משטח ויוצרת בועות אוויר מתחתיה. מקרה זה,
מערכת בעלת שני מרכיבים, מתוארת עלי די המשוואה:
ההבדל העיקרי במקרה זה היא העובדה שאין מתח פנים בין מוצק לגז עבור
הרכיב השני. מצב זה קורה בעקבות ההנחה שהמשטח של האוויר החשוף נמצא כולו מתחת
לטיפת המים והוא המשטח הנוסף היחיד במערכת. בעקבות הנחה זו המשוואה עבור רכיב זה
מבוטאת כ formula_20.
המעבר ממודל קאסי-בקסטר למודל ונזל.
לפי מודל קאסי-בקסטר טיפת הנוזל נמצאת על משטח מחוספס כאשר ישנו אוויר לכוד מתחתיה. במהלך המעבר ממצב קאסי-בקסטר למצב ונזל כיסי האוויר הלכודים כבר אינם יציבים מבחינה תרמו דינמית. במצב זה מים מתחילים לחדור לחריצים במרכז והטיפה מקבלת צורה של "פטריה", כמתואר באיור 10. תנאי החדירה ניתן על ידי המשוואה
הבאה:
כאשר
חזית החדירה מתפשטת על מנת להגיע למצב של מינימום אנרגיה משטחית עד שהיא מגיעה לגבולות הטיפה, במצב זה אנו במצב ונזל. זווית המגע בתהליך זה נעה בין 0 ל 90°.
מודל ונזל תקף עבור זווית מגע בין "θC" ל 90° . אם זווית המגע קטנה מ-"θC" אז חדירת המים לחריצים מתפשטת מעבר לגבולות הטיפה ויוצר פס מים על המשטח. באיור 11 מתואר המעבר ממצב ונזל למצב של פס מים על משטח. כאשר נוצר פס המים הוא מחליק את המשטח, בשלב זה מודל ונזל לא תקף יותר. במצב זה שיווי המשקל וקשר יאנג מתואר על ידי:
על ידי שינויים קלים בחספוס המשטח, ניתן לעבור בין המצבים של סופר הידרופוביות וסופר הידרופיליות. בדרך כלל, ככל שמשטח יותר מחוספס, הוא יותר הידרופובי.
דינמיקת התפשטות.
כאשר מניחים טיפת נוזל על משטח חלק ואופקי, היא
אינה נמצאת במצב של שיווי משקל. לכן היא מתחילה להתפשט עד שהיא מגיעה לשיווי משקל
(מצב של הרטבה חלקית). כאשר טיפה מגיעה למצב זה יש לה רדיוס מסוים. כאשר לוקחים
בחשבון השפעות של אפקטים קפילריים, כוח הכבידה וצמיגות, רדיוס הטיפה כפונקציה של
הזמן מבוטא על ידי:
עבור מצב של הרטבה מלאה, רדיוס הטיפה בכל שלב מבוטא על ידי:
כאשר
דנמרק במלחמת העולם השנייה
במשך רוב מלחמת העולם השנייה, הייתה דנמרק כבושה על ידי גרמניה הנאצית. הכיבוש החל במבצע ווסרובונג (Operation Weserübung) לכיבוש דנמרק ונורווגיה ב-9 באפריל 1940 והסתיים עם כניעתם של הגרמנים בפני בעלות הברית ב-5 במאי 1945. בניגוד למצב שהיה בארצות אחרות שהיו תחת הכיבוש הגרמני, רוב מוסדות השלטון הדנים המשיכו לתפקד באופן רגיל יחסית עד 1943. הן ממשלת דנמרק והן המלך נשארו בארצם תוך כדי שהם מנהלים דו-שיח לא פשוט בין המערכת הדמוקרטית לבין המערכת הטוטליטרית, עד שהרשויות הגרמניות הפסיקו את פעילותה של הממשלה בעקבות גל של מעשי חבלה ושביתות. החל מ-1943 שלטה במדינה יד האס אס בפיקוד גונתר פאנקה.
כ-3000 דנים מתו במלחמה כתוצאה ישירה של פעולות הכיבוש. בנוסף, נהרגו 4000 מתנדבים דנים שנלחמו במסגרת "הגייסות החופשיים הדנים" (Frikorps Danmark) שהוקמו על ידי המפלגה הדנית הנאצית והצטרפו לצבא הגרמני בחזית המזרחית. בכל מקרה מדובר על אחוז תמותה נמוך מאוד (כ-0.08% מכלל האוכלוסייה) בהשוואה למדינות כבושות אחרות ולרוב המדינות שהשתתפו במלחמה.
המחתרת הדנית הייתה פעילה באופן מיוחד, בעיקר לקראת סוף המלחמה וב-1943 אירעה הצלת יהודי דנמרק, כאשר עמדו הגרמנים לשלוח אותם למחנות ההשמדה.
ב-2003, בנאום לציון 60 שנה לסיום כהונתה של ממשלת משתפי הפעולה עם הנאצים, אמר ראש ממשלת דנמרק, אנדרס פוג ראסמוסן, כי שיתוף הפעולה הדני היה "לא מוצדק מוסרית". היה זה הגינוי הפומבי הראשון של ההנהגה הדנית במלחמת העולם השנייה על ידי מנהיג דני.
הפלישה.
עם תחילתה, לא היוותה הפלישה לדנמרק מטרה חשובה מבחינתה של ממשלת גרמניה. ההחלטה לכבוש את שכנתה הקטנה מצפון התקבלה במטרה לאפשר את הפלישה לנורווגיה, החשובה הרבה יותר מבחינה אסטרטגית וכאמצעי זהירות מפני תגובה בריטית צפויה. קברניטי הצבא הגרמני האמינו שבסיסים בחלקו הצפוני של חצי האי יוטלנד, במיוחד בסיס חיל האוויר באלבורג (Aalborg Air Base), יהיו חיוניים לפעולות בנורווגיה והם החלו להכין תוכניות לפלישה לדנמרק. עם זאת, בסוף פברואר 1940 לא התקבלה עדיין כל החלטה משמעותית לכבוש את דנמרק.
אף על פי שהטריטוריה הדנית של דרום יוטלנד אוכלסה במיעוט גרמני משמעותי ונשלטה על ידי גרמניה בעקבות משאל עם שקוים במסגרת יישום חוזה ורסאי, לא הייתה גרמניה נחושה בדעתה לתבוע לעצמה את השטח. באופן מעורפל וארוך טווח יותר, היו נאצים שקיוו בשלב מסוים לשלב את דנמרק במסגרת של "איחוד נורדי" גדול, אך תוכניות אלה מעולם לא קרמו עור וגידים. באופן רשמי עמדה גרמניה על זכותה להיות מגינת דנמרק מפני פלישה בריטית.
בשעה 4:15 בבוקר ב-9 באפריל 1940 חצו כוחות גרמנים את הגבול לתוך שטחה של דנמרק הנייטרלית, תוך כדי הפרה של חוזה אי ההתקפה בין שתי המדינות שנחתם שנה קודם לכן. בפעולה מתואמת, ספינות גרמניות החלו להנחית כוחות על רציפי נמל קופנהגן. למרות היותם קטנים במספרם וכמעט לא מצוידים, חיילים בחלקים שונים של המדינה גילו התנגדות. בעיקר היו אלה אנשי המשמר המלכותי בקופנהגן ויחידות צבא שהיו מוצבות בדרום יוטלנד. בעת ובעונה אחת עם חציית הגבול, מטוסים גרמנים פיזרו כרוזים מעל קופנהגן הקוראים לדנים להיכנע לכיבוש הגרמני ללא התנגדות ומודיעים כי גרמניה כבשה את דנמרק כדי להגן עליה מפני בריטניה וצרפת. הקולונל לונדינג (Lunding), קצין מודיעין של הצבא המלכותי הדני, אישר מאוחר יותר שהמודיעין הדני ידע שהפלישה הייתה מתוכננת ל-8 או ל-9 בחודש ויידע בהתאם את הממשלה. שגריר דנמרק בברלין העביר אזהרה ברוח דומה שזכתה להתעלמות.
כתוצאה מהשתלשלות העניינים המהירה, לא היה סיפק בידיה של ממשלת דנמרק להכריז מלחמה על גרמניה. בכל מקרה הייתה דנמרק במצב בלתי נסבל. שטחה ואוכלוסייתה היו קטנים מדי כדי לעמוד בפני עצמתה של גרמניה בכל זמן נתון. הטופוגרפיה השטוחה של דנמרק סייעה לטנקי הפאנצר הגרמנים לחצות אותה במהירות. חצי האי יוטלנד, לדוגמה, היה חשוף לתקיפת שריון משלזוויג-הולשטיין שבדרום. שלא כמו נורווגיה, אין בדנמרק רכסי הרים שניתן לנהל מהם התנגדות בכוח.
16 חיילים דנים נהרגו במהלך הפלישה, אך לאחר שעתיים הודיעה ממשלת דנמרק על כניעה, מתוך אמונה שהתנגדות היא חסרת תכלית ומתוך תקווה שניתן יהיה להפיק תועלת מהסכם עם גרמניה. חצי האי השטוח של יוטלנד, הסמוך לגרמניה, היה שטח מושלם לורמאכט לפעול בו והתקפת הפתע על קופנהגן גרמה לכל ניסיון להגן על שלן להיות בלתי אפשרית. הגרמנים אף השתלטו עד מהרה על הגשר המחבר בין שלן לבין האי פין. בהאמינה שכל התנגדות נוספת תגרום לאבדות כבדות בנפש, החליטה הממשלה הדנית להיענות ללחץ הגרמני "תחת מחאה". הכוחות הגרמנים היו מתקדמים מבחינה טכנולוגית ורבים במספרם. כוחות ההגנה של דנמרק היו קטנים מאוד באופן יחסי ולרשותם עמד ציוד מיושן. זאת בעיקר עקב המדיניות שהייתה נהוגה לפני המלחמה, שלפיה השתדלו לא להתגרות בגרמניה על ידי הצטיידות בציוד חדיש. אפילו התנגדות עיקשת מצדם של הדנים לא הייתה מחזיקה מעמד זמן רב. שאלות הועלו על כך שהכוחות הגרמנים לא ציפו להיתקל בהתנגדות כל שהיא ולפיכך השתמשו בפלישה בספינות ובכלי רכב לא ממוגנים.
איי פארו.
לאחר כיבוש דנמרק, כוחות בריטיים ביצעו פלישת מנע לאיי פארו, אז עדיין מחוז דני, כדי למנוע את כיבושם על ידי גרמניה.
איסלנד.
בין השנים 1918 עד 1944 הייתה איסלנד תחת ממשל עצמי, אך מלך דנמרק היה ראש המדינה הן של דנמרק והן של איסלנד. בדומה לאיי פארו, כבשה בריטניה את איסלנד, כדי להקדים פלישה גרמנית, אך מאוחר יותר העבירה את האחריות עליה לארצות הברית, עוד לפני שזו האחרונה הצטרפה למלחמה ב-1941. איסלנד הפכה לרפובליקה עצמאית ב-1944.
גרינלנד.
ב-9 באפריל 1941 חתם שגריר דנמרק בוושינגטון הנריק קאופמן (Henrik Kauffmann) הסכם עם ארצות הברית, המאפשר לה להגן על גרינלנד ולהקים בשטחה בסיסי צבא. השגריר הסתמך בהחלטתו לחתום על ההסכם על דעתם של דיפלומטים דנים שהיו בארצות הברית ונועץ ברשויות המקומיות בגרינלנד. בחותמו על ההסכם "בשם המלך" חרג קאופמן באופן ברור מסמכויותיו, אך הוא תרץ זאת בכך שלא קיבל הנחיה כל שהיא מקופנהגן הכבושה.
ממשלת הבובות (1940 – 1943).
מבחינה היסטורית, היו לדנמרק ולגרמניה מערכות יחסים מורכבות. ב-1920 קיבלה דנמרק את השליטה על חלקו הצפוני של מחוז שלזוויג, לאחר שהפסידה אותו במהלך מלחמת שלזוויג בשנת 1864. העם הדני היה חלוק בדעתו על המדיניות שרצוי היה לנקוט בה כלפי גרמניה. חלקם היו נאצים נלהבים, אחרים בחנו את האפשרויות הכלכליות שיביאו איתם הכובשים הגרמנים, אחרים היו בין אלה שלקראת סוף המלחמה הקימו את המחתרת הדנית. עם זאת, רוב בני העם הדני התרצו בחוסר רצון כלפי הגרמנים.
כתוצאה מגישתם משתפת הפעולה של הרשויות הדניות, פקידים רשמיים גרמנים טענו שהם יתייחסו לריבונות, לשלמות הטריטוריאלית ולנייטראליות של דנמרק. הרשויות הגרמניות נטו להסכים לתנאים וותרניים כלפי דנמרק מכמה סיבות: