בשנת 1847 ניסה לאמה לתת הוכחה לנכונות המשפט האחרון של פרמה בשלמותו, אך הוכחתו נמצאה שגויה. עד לשנת 1857 הראה ארנסט קומר שהמשפט האחרון של פרמה נכון לכל n קטן ממאה. למעשה הוכיח קומר יותר מכך: הוא הוכיח שמשפט פרמה נכון לכל מספר ראשוני רגולרי, אך הבדיקה האם ראשוני הוא רגולרי הצריכה חישובים רבים. השתכללות אמצעי החישוב במאה העשרים איפשרה להגדיל בהדרגה את מספרן של החזקות לגביהן נמצא משפט פרמה כנכון, וכך הושגו אבני דרך אחדות: בשנת 1937 נמצא המשפט נכון לכל החזקות עד 617, בשנת 1955 הוגבה הרף ל-4,001, בשנת 1976 ל-125,000, ובשנת 1992 הוכחה נכונות המשפט לכל חזקה עד ארבעה מיליון.
בשנת 1823 הוכיחה סופי ז'רמן שאם יש פתרון למשוואה של פרמה, חייב אחד הנעלמים להיות כפולה של החזקה, כל עוד החזקה קטנה ממאה. עבודה זו הוצגה בפני האקדמיה הצרפתית למדעים על ידי לז'נדר, משום שהאקדמיה מנעה מנשים להופיע בפניה. בשנת 1982 הוכח שהתוצאה אליה הגיעה סופי ז'רמן נכונה גם כל עוד החזקה קטנה מ-6 מיליארד.
בשנת 1984 יצר המתמטיקאי הגרמני גרהארד פריי זיקה בין המשפט האחרון של פרמה לבין השערה בלתי מוכחת אחרת, השערת טניאמה-שימורה. על פי השערה זו, עבור כל עקום אליפטי המוגדר מעל הרציונליים, פונקציית L של העקום מתלכדת עם פונקציית L של תבנית מודולרית כלשהי. זיקה זו אומרת שמהוכחתה של השערת טניאמה-שימורה נובעת נכונותו של המשפט האחרון של פרמה.
אם formula_5 היא דוגמה נגדית למשפט פרמה (כאשר p ראשוני ו- u,v,w מספרים שלמים), אז המשוואה formula_6 מתארת עקום אליפטי המוגדר מעל הרציונליים. משוואה זו נלמדה עוד לפני שהקשר בין משפט פרמה, תבניות מודולריות ועקומים אליפטיים הובן במלואו, אך גרהארד פריי היה הראשון שהראה שעקום זה, אם הוא קיים, אינו מודולרי. ז'אן-פייר סר היה מי שהראה כיצד לקשר תבניות מודולריות למשפט פרמה, על ידי מה שכונה "השערת האפסילון", שהוכחה מאוחר יותר, ב-1986, על ידי קן ריבט. עבודתו של ריבט הרחיקה מעבר להשערת האפסילון, כשהוא הראה שממשפט טניאמה-שימורה, אפילו אם הוא נכון רק במקרה ה"יציב למחצה", נובע המשפט האחרון של פרמה. למעשה, הדבר נתן אפשרות להוכיח בדרך השלילה את המשפט האחרון של פרמה, שכן מניחים מראש שהמשוואה שפרמה טען שלא קיימת דווקא קיימת, מוכיחים כי היא אינה מודולרית (בצורה ספציפית למשוואה זו) וכן שהיא מודולרית (על פי השערת טניאמה שימורה) ולפיכך מגיעים לסתירה, והמסקנה היא שמשוואה זו לא קיימת.
עבודתו זו של ריבט גרמה לוויילס, מתמטיקאי בריטי מאוניברסיטת פרינסטון שבארצות-הברית, להפנות את עיקר מרצו להוכחת ההשערה של טניאמה ושימורה, מאחר שכעת היה ברור שהוכחה כזו תפתור גם את האתגר מן המאה ה-17, המשפט האחרון של פרמה.
בכנס שנערך בחודש יוני 1993 הציג ויילס הוכחה להשערת טניאמה-שימורה. במהלך ביקורת עמיתים התגלה פגם בהוכחה זו, אך פגם זה תוקן על ידי ויילס ותלמידו, ריצ'רד טיילור, וההוכחה פורסמה בגיליון חודש מאי 1995 של כתב העת "Annals of Mathematics". מהוכחה זו נובעת נכונות המשפט האחרון של פרמה.
הוכחתו של ויילס טכנית ומסובכת מאוד, משתרעת על פני 129 עמודים, עושה שימוש בטכניקות מתמטיות שפותחו רק במאה ה-20 ובלתי ניתנת להבנה גם על ידי רוב המתמטיקאים. לא ייתכן שפרמה התייחס להוכחה זו בדברו על הוכחה "פשוטה להפליא", והדעה המקובלת היא שהוכחה כזו אינה קיימת. למרות זאת, גם בימינו ישנם כאלו המחפשים אחר ההוכחה ה"פשוטה" למשפט האחרון של פרמה.
פרסים שהוצעו עבור הוכחת המשפט.
ב-1816 ושוב ב-1850 הציעה האקדמיה הצרפתית למדעים פרס כספי למוכיח המשפט. ב-1857 העניקה האקדמיה 3,000 פרנק ומדליית זהב לארנסט קומר (Kummer) על עבודתו, אף שלא הגיש את עבודתו לפרס.
בצוואתו משנת 1908 של התעשיין היהודי-גרמני והמתמטיקאי פאול וולפסקהל (Wolfskehl) הוקצו 100,000 מרקים כדי לממן פרס למי שיצליח להוכיח את המשפט. הזכייה בפרס הפכה ליעדם של מתמטיקאים חובבים רבים, שטענו שמצאו הוכחה למשפט. בכל המקרים נמצאה הוכחתם שגויה. באוניברסיטת גטינגן, לשם נשלחו ההוכחות, הכין ראש המחלקה למתמטיקה אדמונד לנדאו מכתב סטנדרטי עם מספרי העמוד והשורה בהם נמצאה הטעות הראשונה. הפרס היה אמור להינתן להוכחה שתתפרסם בכתב עת מתמטי, ולאחר זמן המתנה של שנתיים. הפרס אמור היה לפקוע ב-2007, כמאה שנה לאחר הכרזתו. ב-1997 הוענק הפרס לאנדרו ויילס. שוויו היה באותה העת כ-$50,000.
הכללות.
את השאלה האם קיימים פתרונות למשוואה formula_7 אפשר לשאול לא רק במספרים השלמים, אלא גם במערכות מתמטיות אחרות.
למשל, בחוג המספרים formula_8 מתקיים השוויון formula_9, כך שהמשפט אינו נכון שם (עבור n=4); בין חוגי השלמים של ההרחבות הריבועיות של הרציונליים, formula_10 הוא היחיד שבו יש פתרון עבור n=4. בין ההרחבות האלה, במקרים רבים יש פתרון עבור n=3, בעוד שעבור n=6 או n=9 אין אף לא הרחבה אחת שבה יש למשוואה פתרון. ידוע גם שאין למשוואה פתרונות בחוגי פולינומים מעל שדה (אם המאפיין של השדה אינו מחלק את n).
אוילר שיער שלא ניתן לפתור את המשוואה formula_11 במספרים שלמים, כאשר formula_12. השערה זו אינה נכונה, כפי שמראה השוויון formula_13.
עבור פולינומים, ידועה הגרסה הבאה: מעל שדה F ממאפיין 0, אם n&gt;2, אז כל פתרון formula_14 שבו formula_15 פולינומים זרים, הוא למעשה פתרון בקבועים.
בתרבות.
כמשפט מתמטי מפורסם למדי זכה המשפט האחרון של פרמה לאזכורים בסדרות טלוויזיה שונות, ובהן "משפחת סימפסון", שבה הציג הומר דוגמה נגדית (שגויה) למשפט, "דוקטור הו", שבה הדוקטור ה-11 משחזר את ההוכחה המקורית של פרמה, וב"", בפרק משנת 1989, שבו מתאר הקפטן ז'אן-לוק פיקארד את המשפט כ"חידה שאולי לעולם לא נפתור". המשפט מוזכר גם בסיפור הקצר "השטן וסיימון פלאג" מאת ארתור פורג'יס שבו מנסה סיימון להכשיל את השטן בדרישה שיוכיח את המשפט האחרון של פרמה, בסרט "הרי את מכושפת לי", במחזה "ארקדיה" מאת טום סטופארד, ברומן "רציחות נוסח אוקספורד", שבו מתמטיקאים נוסעים באוטובוס מאוניברסיטת אוקספורד לאוניברסיטת קיימברידג' כדי לשמוע את הרצאתו של אנדרו ויילס, ועוד.
Transmission Control Protocol
Transmission Control Protocol (בראשי תיבות: TCP; בעברית: פרוטוקול בקרת שידור) הוא פרוטוקול בתקשורת נתונים הפועל בשכבות התעבורה של מודל ה-OSI ובמודל ה-TCP/IP, ומבטיח העברה אמינה של נתונים בין שתי תחנות ברשת מחשבים באמצעות יצירת חיבור מקושר (Connection Oriented).
כאשר הוא משמש כחלק מחבילת הפרוטוקולים TCP/IP עושה הפרוטוקול שימוש בפרוטוקול ה-IP לצורך העברת הנתונים. TCP מעביר את הנתונים שהועברו באמצעות IP, מוודא את נכונותם, ומאשר את קבלת הנתונים במלואם או מבקש שליחה מחדש של נתונים שלא הגיעו בצורה תקינה.
מנגנונים בשימוש פרוטוקול ה־TCP.
הקמת קשר – לחיצת יד משולשת.
בעת הקמת הקשר בין שתי תחנות, משתמש פרוטוקול TCP בלחיצת יד בשלושה שלבים (three-way handshake):
תעבורת המידע.
תעבורת המידע מתבצעת בשני שלבים שחוזרים על עצמם עד סיום העברת המידע.
סגירת קשר.
סגירת קשר מתבצעת באופן עצמאי כאשר כל צד מעביר חבילת FIN, והצד השני מאשר. לאחר אישור חבילת FIN לא יקבל הצד שאישר את החבילה חבילות נוספות. מכיוון ששני הצדדים צריכים לבקש את ניתוק הקשר (ולאשר אותו) ניתן לאפשר חיבור "חצי פתוח" אם רק אחד הצדדים סגר את הקשר.
לרוב מתבצעת סגירת הקשר על ידי לחיצת יד משולשת באמצעות שליחת ההודעות הבאה:
אמינות החיבור.
בניגוד לפרוטוקול UDP שפועל גם הוא בשכבת התעבורה אבל דואג רק לריבוב ולא להעברה אמינה של הנתונים, פרוטוקול TCP דואג לשניהם מסיבה זו הוא גם יותר מורכב, יותר ארוך ומתאים להעברת סוגי מידע שונים שהאמינות אצלם יותר חשובה. בדיקת אמינות הנתונים נעשה באמצעות חישוב Checksum (בדרך כלל באמצעות CRC). מחשב המקור מחשב פונקציה על המידע הנשלח ומוסיף אותו כחלק מהפתיח של חבילת ה-TCP. כאשר מחשב היעד מקבל את החבילה הוא משווה את תוכן הפתיח עם תוצאת חישוב חדשה של הפונקציה שהוא מבצע. לאחר אימות הנתונים שולח מחשב היעד אישור למקור על מנת להודיע לו שהחבילה הגיעה באופן תקין. אם הנתונים הגיעו בצורה לא תקינה מבקש מחשב היעד שידור חוזר של החבילה. מאחר שמחשב המקור שומר עותק של הנתונים עד לקבלת אישור ההגעה שלהם מאפשר מנגנון לאשר קבלה של כל הנתונים שנשלחו. אם מחשב המקור לא מקבל את האישור הוא מבצע שידור חוזר.
בטיחות והצפנה.
יש ל-TCP אפשרות להשתמש בפרוטוקול הצפנה SSL (Secure Sockets Layer), שיושב בין ה-TCP לאפליקציה והוא החלק התחתון של האפליקציה.
הוא דואג שכאשר האפליקציה נותנת מידע הוא עובר דרך ה-SSL והוא מצפין את המידע ומבטיח על ידי חתימה אלקטרונית שהמידע לא שונה בדרך ומספק זיהוי קצה.
לדוגמה: חיבור לבנק, אנו רוצים לדעת שאכן התחברנו לבנק ולא למתחזה. נושא זה בולט בתחום אבטחת המידע והעיסוק בו בעולם רב.
בקרת זרימה.
לצורך בקרת הזרימה משתמש פרוטוקול ה-TCP ב"חלונות הזזה" (sliding windows) גודל החלון משתנה באופן דינמי במהלך התקשורת, כך שיתאים לרוחב הפס, וכן לכמות המידע שהיעד מסוגל לעבד.
מחשב המקור ממספר את החבילות במספרים סידוריים, בסדר עולה, כך שמחשב היעד יכול לעקוב אחרי הגעתן של כל החבילות ולהתריע במקרה שאחת מהן לא הגיעה, ובכך לאפשר למחשב המקור לבצע שידור חוזר.
בקרת גודש.