מכיוון שמרחב מטרי קומפקטי הוא קומפקטי סדרתית, כל מרחב כזה הוא שלם (שהרי סדרת קושי שיש לה תת-סדרה מתכנסת, היא בעצמה סדרה מתכנסת).
סיגמא-קומפקטיות.
מרחב שהוא איחוד סדרה בת מניה של קבוצות קומפקטיות נקרא סיגמא-קומפקטי. מרחב מקיים את תכונת מנגר אם לכל סדרה של כיסויים פתוחים שלו, אפשר לבחור תת-קבוצה סופית מכל כיסוי, כך שאיחוד כל הקבוצות שנבחרו מכסה את המרחב. עבור מרחבים מטריים, תכונה זו שקולה לכך שלכל בסיס של המרחב יש תת-כיסוי בן-מניה עם קוטר השואף לאפס. מרחב מקיים את תכונת הורביץ' אם לכל סדרה של כיסויים פתוחים שלו אפשר לבחור תת-קבוצה סופית formula_10 מכל כיסוי, כך שכל נקודה במרחב מכוסה על ידי איחוד הקבוצות בכמעט כל formula_10.
כל מרחב סיגמא-קומפקטי מקיים את תכונת הורביץ'; כל מרחב הורביץ' מקיים את תכונת מנגר (ההפך אינו נכון אפילו בישר הממשי - חבר ופול, 2002); כל מרחב מנגר הוא בפרט לינדלוף. מרחב בייר הוא לינדלוף אבל אינו מנגר. כל "קבוצת לוזין" היא מנגר אבל לא סיגמא-קומפקטית, וקבוצות לוזין קיימות תחת השערת הרצף. (קבוצת לוזין היא תת-קבוצה של הישר הממשי, שאינה בת-מניה, אבל החיתוך שלה עם כל קבוצה דקה הוא בן-מניה לכל היותר).
תכונות שקולות לקומפקטיות.
מרחב formula_12 הוא קומפקטי אם ורק אם לכל חיתוך כלשהו של סגורות formula_13 קיים חיתוך סופי שהוא ריק. עובדה זו נובעת מן ההגדרה.
שקילות להתכנסות על מסננים. תחת אקסיומת הבחירה קיימים על מסננים, ואז מתקיים כי המרחב formula_14 קומפקטי אם ורק אם כל על מסנן formula_15 מתכנס.
הוכחה. בכיוון אחד, נניח כי formula_12 קומפקטי ויהא formula_17 על מסנן. נסמן ב-formula_18 את החיתוך של כל הקבוצות הסגורות ב-formula_17. בגלל קומפקטיות formula_18 אינו ריק (שהרי אם היה ריק אזי היה חיתוך סופי ריק בסתירה להגדרת מסנן). ולכן קיים איבר formula_21 בחיתוך. כעת ברור כי formula_21 הוא גבול של formula_17 כי כל סביבה פתוחה שלו שייכת ל-formula_17 (שאם לא כך, יש סביבה formula_25 פתוחה שלא ב-formula_17 אבל אז המשלים שלה ב-formula_17 כי formula_17 על מסנן והמשלים שלה סגור ולכן formula_21 שייך אליו בסתירה לכך שהוא ב-formula_25).
בכיוון שני, נניח כי כל על מסנן מתכנס ונוכיח כי המרחב קומפקטי. יהיו formula_31 סגורות כך שכל חיתוך סופי שלהם לא ריק ונראה שהחיתוך של כולם גם לא ריק. אכן, כיוון שכל חיתוך סופי שלהם לא ריק אזי קיים מסנן ולכן על מסנן formula_17 שמכיל את formula_31 שלפי הנתון קיים לו גבול formula_21. כעת, formula_21 בחיתוך של כולם כי אחרת קיימת formula_36 ש-formula_21 לא שייך אליה אזי המשלים של formula_36 שנסמנו formula_25 הוא סביבה פתוחה של formula_21 שינו מכיל באף קבוצה של formula_17 (שהרי החיתוך עם formula_36 ריק + תכונת מסנן). סתירה.
קומפקטיות ופונקציות רציפות.
המשפט היסודי בעניין זה הוא:
כלומר, אם formula_74 מרחבים טופולוגיים ו-formula_75 פונקציה רציפה, ו-formula_76 קומפקטית, אז formula_77 קומפקטית.
ההוכחה קלה מאד: אם formula_78 כיסוי פתוח של formula_77, אז formula_80 כיסוי פתוח של formula_3, ולכן יש לו תת-כיסוי סופי, שתמונתו תחת formula_82 היא תת-כיסוי סופי של formula_77.
בפרט, פונקציה ממשית רציפה על קבוצה קומפקטית היא בעלת תמונה סגורה וחסומה, ומכאן נובעים מיד שני משפטי ויירשטראס בנוסחם הכללי:
ההכללה של משפט קנטור למרחבים מטריים קובעת כי:
מרחב האוסדורף
בטופולוגיה, מרחב האוסדורף הוא מרחב טופולוגי שבו ניתן להפריד בין נקודות על ידי קבוצות פתוחות זרות. כלומר, נאמר שמרחב formula_1 הוא האוסדורף אם לכל שתי נקודות שונות formula_2 קיימות סביבה פתוחה formula_3 של formula_4 וסביבה פתוחה formula_5 של formula_6 כך ש-formula_7 זרות. מרחבי האוסדורף קרויים על-שם המתמטיקאי פליקס האוסדורף. הם נקראים גם מרחבי formula_8, על-פי עוצמתה של אקסיומת ההפרדה שהם מקיימים.
דוגמאות.
כל המרחבים המטריים הם מרחבי האוסדורף (ויותר מזה: הם נורמליים).
מישור מור הוא דוגמה למרחב טופולוגי ספרבילי המקיים את תכונת האוסדורף, שאינו קומפקטי מקומית ואינו נורמלי. הטופולוגיה הקו-סופית (על קבוצה אינסופית) מגדירה מרחב שאינו האוסדורף, שכן כל קבוצה פתוחה לא-ריקה כוללת את כל הנקודות ב-formula_1 פרט למספר סופי, ולכן אין שתי קבוצות פתוחות לא-ריקות וזרות.
התכנסות במרחבי האוסדורף.
במרחב האוסדורף מתקיימת תכונת ההפרדה הראשונה, שלפיה כל נקודה formula_10 היא קבוצה סגורה. אכן, לכל נקודה אחרת יש קבוצה פתוחה שאינה מכילה את p. איחוד כל הקבוצות האלו נותן את המשלים של formula_10. מאחר שזהו איחוד של קבוצות פתוחות, מתקבלת קבוצה פתוחה. והמשלים שלה הוא formula_12. המשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה, כנדרש.
יותר מזה: לכל סדרה מתכנסת במרחב האוסדורף יש גבול יחיד, שהרי אילו formula_13 היו נקודות גבול שונות לאותה סדרה, אז כל סביבה שלהן הייתה צריכה להכיל כמעט את כל אברי הסדרה, וזה בלתי אפשרי ברגע שבוחרים סביבות זרות. במרחב שאינו האוסדורף יכולה סדרה להתכנס ליותר מגבול אחד. למשל, במרחב (אינסופי) עם הטופולוגיה הקו-סופית, סדרה שכל אבריה שונים זה מזה מתכנסת לכל נקודה (משום שכל קבוצה פתוחה כוללת כמעט את כל האיברים). משום כך, מושג הגבול של סדרות שימושי בעיקר במרחבי האוסדורף. מרחב טופולוגי שבו לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד נקרא מרחב-US.
מרחבי האוסדורף מקיימים תכונה עוד יותר חזקה: כל מרחב האוסדורף הוא מרחב-KC. כל מרחב-KC הוא מרחב-US, וכל מרחב-US מקיים את תכונת ההפרדה T1. בין מרחבים המקיימים את אקסיומת המניה הראשונה, מחלקות המרחבים שהם האוסדורף, KC ו-US מתלכדות. העובדה שתכונות אלה נבדלות במקרה הכללי, מראה שסדרות מתכנסות אינן יכולות ללכוד את המבנה הטופולוגי באופן כללי, ולכן נדרשת הכללה לרשתות.
יוחאי בנקלר
יוחאי בנקלר (באנגלית: Yochai Benkler; נולד ב-1964) הוא פרופסור למשפטים המלמד באוניברסיטת הרווארד בארצות הברית. הוא נחשב, יחד עם לורנס לסיג, לאחד מהחלוצים ומהמשפיעים בתחום של זכויות אדם בעידן הדיגיטלי, קניין רוחני וזכויות יוצרים.
ביוגרפיה.
בנקלר נולד, גדל ולמד בגבעתיים. למד משפטים באוניברסיטת תל אביב, ואחר כך באוניברסיטת הרווארד. בשנת 1994, עם תום לימודיו, החל לעבוד במשרד עורכי דין פרטי ולאחר מכן שימש כעוזר משפטי לשופט בית המשפט העליון האמריקאי סטיבן ברייר בשנת 1995. בין השנים 1996–2003 שימש כפרופסור בבית הספר למשפטים של אוניברסיטת ניו יורק ואחר כך עבר לסגל אוניברסיטת ייל. בשנת 2007 הצטרף לבית הספר למשפטים של הרווארד, שם הוא מלמד ומשמש כמנהל משותף של מרכז ברקמן לאינטרנט ולחברה.
בשנת 2011 זכה ב"מענק לבעלי חזון" בסך מאה אלף דולר מטעם קרן פורד.
מחקריו.
המחקר של בנקלר מתמקד בגישות מבוססות המונים לניהול משאבים בסביבות מרושתות. הוא טבע את המונח "ייצור קבוצתי מבוסס המונים" לתאר את שיתופי הפעולה המבוססים על שיתוף מידע, בפרויקטים מהסוג של קוד פתוח וויקיפדיה. הוא גם משתמש במונח "כלכלת מידע מרושת" לתאר "מערכת ייצור, הפצה וצריכה של מוצרי מידע המאופיינת בפעילות של יחידים, המופצת באמצעים לא שיווקיים ושאינם תלויים באסטרטגיות שיווק".
ספרו של בנקלר "עושרן של רשתות" בוחן את הדרכים בהן טכנולוגית מידע מאפשרת צורות שיתוף פעולה משמעותיות בעלות פוטנציאל להשלכות מהפכניות על הכלכלה והחברה. ויקיפדיה, Creative Commons, תוכנות קוד פתוח והבלוגוספירה הן בין הדוגמאות עליהן מסתמך בנקלר. (הספר "עושרן של רשתות" פורסם בעצמו תחת רישיון Creative Commons)
לדוגמה, בנקלר טוען כי בלוגים ואתרים דומים של תקשורת פעילה יכולים להוביל לתרבות יותר ביקורתית, עם יותר התבוננות עצמית, בה אזרחים מועצמים על ידי היכולת לפרסם את דעותיהם על מגוון רחב של נושאים.
חלק ניכר מהספר מוצג במונחים כלכליים, ובנקלר מעלה את האפשרות שתרבות בה מידע משותף בחופשיות יכולה להוכיח את עצמה כיותר יעילה מזו בה חדשנות מוגנת על ידי פטנטים וזכויות יוצרים, מאחר שהעלות השולית של שכפול מידע שואפת לאפס.
בנקלר מופיע בסרט התיעודי "Steal this Film" הזמין ברשת תחת רישיון Creative Commons. הוא דן במגוון נושאים, בין היתר באופן בו שינויי העלויות בייצור סרטים ומוזיקה מאפשרים רבדים חדשים של יצירה.
בנקלר הוא תומך נלהב של ויקיליקס, והוא מתאר אותו כדוגמה מרכזית למדיה לא מסורתית המתפקדת ככלב שמירה ציבורי. במאמר שכתב ב-2011 הוא משתמש בהשמצה ואישום של ויקיליקס מצד הממשלה כמקרה מחקר הממחיש את הצורך בהגנה משפטית חסונה למדיה עצמאית.
באוגוסט 2011 הרצה בנקלר בכנס ויקימניה שהתקיים באותה שנה בחיפה. באותו חודש גם פרסם את ספרו "הפינגווין והלווייתן - ניצחון שיתוף הפעולה על האנוכיות".
בשנת 2014, פרסם בעברית את ספרו "הפינגווין והלווייתן: ניצחון שיתוף הפעולה על האנוכיות". הספר הוא קריאת תיגר על מיתוס האנוכיות ועל הדרך שבה נתפס טבע האדם. לטענתו המציאוּת מוכיחה שהקפיטליזם הקהילתי הערכי מנצח. שהמוטיבציה העיקרית של בני האדם אינה אנוכיות ושאין גבול למה שניתן להשיג בעבודת צוות. שתמריצים כספיים אינם חזות הכול. האינטרנט מאפשר שיתוף המשתמשים, שיתוף פעולה לא למטרה כספית, שאחת הדוגמאות העיקריות שהוא מביא היא ויקיפדיה.
באוקטובר 2018 יצא לאור ספרו: Network Propaganda: Manipulation, Disinformation, and Radicalization in American Politics, העוסק בבחירות לנשיאות ארצות הברית 2016.
תובנותיו בתחום הסביבה הדיגיטלית.