ממכניקת הקוונטים ידוע כי לגז במיכל גדול סופי יש אנרגיות בדידות, formula_73 הוא אינדקס בדיד המתייג את האנרגיות השונות לפי גודלן. הסכום הוא על כל הערכים העצמיים (כולל ניוון) של ההמילטוניאן המתאר את המערכת. בנוסף, האנרגיה החופשית של הלמהולץ נתונה על ידי formula_76.
מהנחה 1 ניתן להגיד כי האנרגיות formula_72 הן סכומי אנרגיות של מולקולות בודדות formula_78, כלומר:
formula_79
האנרגיות הללו הן של מולקולות נפרדות הנעות בצורה עצמאית במיכל.
ניתן לרשום את formula_80, פונקציית החלוקה עבור המולקולות הבודדות, בצורה הבאה:
formula_81
כאשר אין אינטראקציות, תחת ההנחה כי הגז מכיל סוג אחד בלבד של מולקולות, את פונקציית החלוקה הכוללת formula_82 אפשר לבטא באמצעות formula_80 על ידי:
formula_84
הניסוח הנ"ל אינו מדויק לחלוטין מכיוון שבמכניקת הקוונטים מולקולות גז מאותו הסוג הן חלקיקים זהים, בדיוק כמו אלקטרונים, ולכן נדרש פקטור של formula_85 כדי להימנע מספירה חוזרת. כלומר הביטוי המלא הוא formula_86.
את הנפח ניתן להביע באמצעות משוואות המצב של האנרגיה החופשית של הלמהולץ כך שמתקיים:
formula_87
לפי המכניקה הקלאסית ומכניקת הקוונטים, את האנרגיה המולקולרית formula_78 המאפיינת את המצב המיקרוסקופי ה-formula_89 ניתן להפריד במדויק לשני רכיבים formula_90, כאשר:
לכן, גם את פונקציית החלוקה של אותו מצב מיקרוסקופי ניתן להביע בצורה דומה:
formula_93
האנרגיה הפנימית של המולקולה אינה תלויה בנפח formula_94, אך האנרגיה הטרנסלציונית כן תלויה ולכן יתקיים:
formula_95
האנרגיה הטרנסלציונית של מולקולה אחת הנעה בקופסה בנפח formula_94 היא בעיה הניתנת לפתירה בצורה אנליטית. כלומר הפתרון של האנרגיות formula_91 ידוע בדיוק מוחלט והוא:
formula_98
תחת ההנחה כי נפח הקופסה הוא formula_99 ומכיוון שמדובר בשלושה ממדים מתקיים formula_100.
בקירוב דיי טוב, ניתן להחליף את הסכום המופיע בביטוי עבור formula_101 באינטגרל כך ש,
formula_102
כאשר formula_103.
נשים לב לכך ש- formula_104 אינו תלוי בנפח formula_94 ולכן:
formula_106
כעת ניתן לקבל את משוואת הגז האידיאלי המלאה:
formula_107
פיתוח קינטי.
נסתכל על קובייה בעלת צלע באורך formula_108 המלאה בגז אידיאלי בלחץ formula_1 בטמפרטורה formula_2.
נסמן את formula_4 ו-formula_11 בתור מספר המולים ומספר מולקולות הגז בקובייה בהתאמה.
בנוסף, נסמן את formula_24 בתור מסת מולקולת גז ואת formula_114 בתור מסת הגז כולו.
נניח בפיתוח זה כי כל ההתנגשויות המתרחשות בתוך המיכל הן התנגשויות אלסטיות - כלומר אין איבוד אנרגיה קינטית כתוצאה מהתנגשויות.
קביעת תדירות ההתנגשויות
תחילה, נרצה למצוא את התדירות בה מולקולה יחידה מתנגשת בדופן מסוימת של המיכל.
נתחיל לשם הפשטות בבחינת המתרחש בכיוון formula_115 כאשר המולקולה בזמן formula_116 נמצאת במיקום formula_117 ומהירותה היא formula_118.
המולקולה תתנגש בדופן הקובייה לראשונה ב- formula_119 לאחר שעברה מרחק formula_120 בזמן כלשהו formula_121.
ההתנגשות השנייה באותה הדופן תתרחש בזמן formula_122 כאשר המרחק שעברה המולקולה בין שתי ההתנגשויות הוא formula_123 ואינטרוול הזמן בין שתי ההתנגשויות הוא formula_124.
באופן דומה ההתנגשות השלישית תתרחש בזמן formula_125, כך שהמרחק שהמולקולה עברה בין ההתנגשויות יהיה גם כן formula_123 ואינטרוול הזמן ישאר זהה:
formula_127
שני הגדלים הללו, המרחק ואינטרוול הזמן, ישארו זהים בין כל זוג התנגשויות עוקבות, ולכן ניתן לחשב את גודל המהירות formula_128 בתור המרחק שהמולקולה עברה חלקי אינטרוול הזמן:
formula_129
מכיוון שכל ההתנגשויות אלסטיות ואין כוחות חיצוניים, המהירות אינה משתנה במהלך תנועת המולקולה ולכן:
formula_130
מכאן ניתן לנסח את אינטרוולי הזמן בין כל זוג התנגשויות עוקבות גם בצורה הבאה:
formula_131
formula_132
formula_133
formula_134
formula_135
הזמן הממוצע formula_136 בין התנגשויות לאחר formula_29 התנגשויות יהיה:formula_138
וכאשר מספר ההתנגשויות formula_29 שואף לאינסוף נקבל:
formula_140
זהו הזמן הממוצע בין התנגשויות המתרחשות על דופן אחת. תדירות ההתנגשויות אם כך תהיה:
formula_141
חישוב הכוח הפועל על הדופן
הכוח formula_142 מוגדר כקצב שינוי התנע formula_143 :
formula_144
השינוי בתנע הוא ההפרש בין התנע לפני ההתנגשות בדופן לתנע לאחר ההתנגשות, כלומר:
formula_145
הכוח שהדופן מפעילה על המולקולה הוא:
formula_146
לפי החוק השלישי של ניוטון, הכוח שהמולקולה תפעיל על הדופן יהיה שווה בגודלו ל- formula_147 והפוך בסימנו, כלומר:
formula_148
ניתן כעת להציב את התדירות שחושבה קודם לכן ולקבל:
formula_149
עד לשלב זה התייחסנו רק למקרה בו קיימת מולקולה יחידה. כאשר הכוח יופעל על ידי formula_150 מולקולות הנעות בכיוון formula_115 הוא יהיה מהצורה הבאה:formula_152
מהירות RMS מוגדרת בצורה הבאה:
formula_153
ולכן ניתן להביע את הכוח המופעל על הדופן גם כך:
formula_154
מציאת לחץ הגז
הגדרת הלחץ הפועל על הדופן הוא הכוח שמופעל עליה בידי הגז ליחידת שטח, כלומר:
formula_155
כאשר formula_156 שטח דופן הקובייה ו- formula_157 נפח הקובייה.
לאורך הפיתוח התייחסנו רק לתנועת מולקולות בכיוון formula_115, כעת נשלב גם את תרומת תנועת המולקולות בשני הכיוונים הנותרים formula_159.
הקשר בין רכיבי הכיוונים השונים של מהירות ה- RMS ניתן לביטוי ע"י:
formula_160
כאשר בקירוב גודל שלושת הרכיבים הוא שווה - formula_161, לכן נקבל כי formula_162.
כאשר נחליף את formula_163 ב-formula_164 בביטוי ללחץ נקבל כי הלחץ הוא:
formula_165
חישוב אנרגיית הגז האידיאלי
האנרגיה הקינטית הנתונה מהמכניקה הקלאסית היא:
formula_166
האנרגיה הקינטית עבור גז מונואטומי הידועה ממכניקה סטטיסטית נתונה על יד:
formula_167
כאשר formula_12 הוא קבוע בולצמן ו- formula_2 טמפרטורת הגז.
השוואת שני הביטויים לעיל מניבה את הקשר בין מהירות ה-RMS לטמפרטורה:
formula_170
מציאת משוואת הגז האידיאלי
על ידי שילוב שני הקשרים שנמצאו בשלבים הקודמים, ניתן להגיע לביטוי הרצוי של משוואת הגז האידיאלי:
formula_171
formula_172
בנוסף, מהביטוי שהתקבל ניתן לנסח את מהירות ה- RMS כמשוואה המכילה גדלים מדידים:
formula_173
formula_174
כאשר formula_175 היא המסה המולקולרית של הגז האידיאלי.
שימושים בתחום הרפואה.
למשוואת הגז האידיאלי ונגזרותיה שימושים גם בתחום הרפואה.
השפעת הגובה על נפח גזים בגוף האדם.
באמצעות חוק בויל ניתן לתאר את השפעת הגובה מעל פני הים על גזים בחללים סגורים בגוף האדם, ולחשב את לחץ הגז הכולל בחלל בית החזה באמצעות פלטיזמוגרפיה.
כאשר הגובה גדל, הלחץ האמביינטי יורד ולכן על פי חוק בויל נפח החללים הסגורים אמור להתרחב.
במודל מלאכותי שהיווה העתק של מערכת הנשימה האנושית עם חזה אוויר של 40 מיליליטר, נצפתה עליה בנפח בטווח של 16.2%-12.7% בגובה של כ־1500 מטר מגובה פני הים. לתוצאה זו חשיבות רבה במקרים בהם נדרש פינוי של החולה בהליקופטר וחזה האוויר עלול לעבור למצב של חזה אוויר בלחץ, תרחיש אשר ניתן למנוע על ידי ביצוע ניקור חזה לפני ההמראה.
בגובה של 2.5 ק"מ מעל גובה פני הים משוערת התרחבות של עד כ-30% עבור נפח גז סגור בגוף האדם.
באמצעות חוק בויל - , ניתן לחשב את השינוי הצפוי לנפח עבור בגבהים השונים.
לדוגמה, עבור חולה עם חזה אוויר של 40 מיליליטר בגובה פני הים, נחשב את השינוי בנפח כאשר יגיע לגובה של 1500 מטר.
הנתונים הידועים הם:
מהצבה בחוק בויל נקבל:
ריכוז חומרי הרדמה.
חוק הגז האידיאלי יכול לשמש לחישוב ריכוז חומרי הרדמה בתערובות גזים.
מכשירים המיועדים לניטור ריכוז חומרי הרדמה בתערובת גזים לרוב מציגים את התוצאה בחלק היחסי באחוזים מהנפח הכולל, המוגדר בצורה הבאה:
formula_176
כאשר:
כשרוצים לחשב את ההשפעה של חומר הרדמה על נפח נתון של גז, הגדרה זו אינה שימושית כל כך. הגודל המשמעותי הוא מספר המולקולות, או מספר המולים, של חומר ההרדמה המוכלים ביחידת נפח של תערובת הגז. עבור גז אידיאלי ההגדרה לעיל של החלק היחסי מהנפח הכולל עובדת כנדרש, זאת מכיוון שעל פי משוואת הגז האידיאלי בלחץ וטמפרטורה קבועים יחידת נפח של הגז תכיל תמיד את אותו מספר המולים. במילים אחרות, כאשר הלחץ והטמפרטורה קבועים, נפח הגז פרופורציונלי למספר המולים.
לכן, את ריכוז חומר ההרדמה בתערובות ניתן לתאר באחוזים ממספר המולים הכולל, כלומר:
formula_179
במקרים בהם משוואת הגז האידיאלי אינה שמישה, המשוואה שיש להשתמש בה היא משוואת הגז הריאלי (באנגלית: Real Gas Law):
formula_180
כאשר formula_82 הוא פקטור הקומפרסיביליות, המתאר את היחס בין הנפח האמיתי של הגז לנפח המחושב באמצעות משוואת הגז האידיאלי. לכן, עבור גז אידיאלי מתקיים formula_182.
כאשר משתמשים במשוואת הגז הריאלי, אין זה שימושי בחלק היחסי מהנפח כמדד לריכוז - מספר המולים והנפח אינם פרופורציונליים במקרה זה ולכן אין שוויון בין החלק היחסי מהנפח הכולל לחלק היחסי ממספר המולים הכולל.
כדי שהשימוש בחלק היחסי מהנפח יהיה תקין, יש צורך למצוא את פקטור הקומפרסיביליות - אם הוא שווה ל-1 או קרוב ברמת הדיוק הרצויה ל-1 ניתן להשתמש במשוואת הגז האידיאלי לחישוב הריכוז. אם לא, יש להשתמש במדד של מספר מולים ליחידת נפח בתערובת.