פלקסגון
פלקסגון הוא מודל מצולע שטוח שנוצר מקיפול רצועות ישרות או עקומות העשויות לרב מנייר. מודלים אלו בעלי היכולת לשנות את פניהם כאשר הם מקופלים (flexed).
יש פלקסגונים המורכבים ממצולעים שונים: משולשים, מרובעים, טרפזים, מחומשים, משושים ועוד.
מקור השם הוא המילה Flexagon שהיא הלחם של המילים גמיש=Flexible ומצולע=Polygon. עמנואל לוטם תרגם לעברית "קפיצולע" - הלחם של קפיצי ומצולע.
ההקספלקסגון (hexaflexagon) מורכב ממשושה ומכונה גם "משושה אוריגמי" (Origami hexagon). אפשר להכין הקספלקסגון על ידי קיפול רצועה באופן שתיצור משושה בעל מספר רב של צדדים. כמות הצדדים תלויה במספר המשולשים ששימשו ליצירתו. כינוי הפלקסגון תלוי מהמצולע שממנו מורכב ובמספר הפנים שיש לו. דוגמה: טריהקספלסגון (trihexaflexagon) הוא פלקסגון בצורת משושה (hexa) בעל 3 פנים (tri).
על פי רוב מכינים פלקסגונים מנייר, אך ניתן גם להשתמש בחומרים אחרים הניתנים לקיפול כמו בד, סריג או בצק.
היסטוריה, התפתחות ומחקר.
הפלקסגון התגלה על ידי ארתור סטון (Arthur H. Stone) בשנת 1939, אשר היה סטודנט בריטי באוניברסיטת פרינסטון שבארצות הברית. עם השנים הגיע סטון למשרת פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת רוצ'סטר.
בתחילת דרכו כסטודנט סטון הביא איתו דפי כתיבה בגודל A4 המקובל באירופה, אך גילה שהדפים חורגים מגבולות הקלסר המיועד לנייר בגודל אמריקאי. כדי להתאים את דפי הכתיבה לגודל הקלסר הוא גזר את הנייר העודף ונשאר עם כמות גדולה של רצועות נייר. הוא נמנע מלזרוק את הרצועות לפח האשפה ובמקום זאת החל לקפל אותן למשולשים שווי צלעות בדרכים שונות, אשר אחת מהן יצרה את צורת המשושה טריהקספלקסגון.
סטון הראה את הפלקסגון לריצ'רד פיינמן, בריאנט טאקר (Bryant Tucker) וג'ון טאקי (John Tukey), אשר השקיעו זמן רב לקיטלוג של פלקסגונים.
ריצ'רד פיינמן בנה דיאגרמה אשר מתארת את אפשרויות המעבר בין ששת הצדדים השונים של ההקסופלקסגון. מדיאגרמה זו הוא קיבלת את ההשראה שהובילה אותו לפיתוח דיאגרמת פיינמן, אשר מייצגת תהליכים בתורת השדות הקוונטית באמצעות מסלולי חלקיקים.
מקרה זה הוא דוגמה לדרך בה שעשועי מתמטיקה יכולים להוביל להתפתחויות בתחום המדע.
סוגי פלקסגונים.
המושג "פלקסגון" משמש גם ככינוי כללי לדברים גמישים וקלים לקיפול, אשר יכולים ליצור צורות שונות.
בהתאם לכך, ישנם גם פלקסגונים בצורות שאינן משושה. לדוגמה ה-tetraﬂexagon הוא בצורת מרובע.
יצירה של הקספלקסגון.
ניתן לייצר הקספלקסגון מרצועה המקופלת למשולשים שווי שוקיים.
מקור השם הקספלקסגון הוא מהשילוב של המילה פלקסגון עם המילה hexa שפרושה 6.
לצורך יצירת פלקסגון בסיסי בעל שלושה צדדים נעשה שימוש ברצועה המקופלת ל-9 משולשים. בנוסף ניתן להשתמש ברצועה ארוכה יותר בעלת 18 משולשים ליצירת פלקסגון המורכב מ-6 צדדים.
בכל מקרה ניתן להוסיף משולש נוסף לצורך הדבקה נוחה יותר של קצוות רצועת הנייר.
במצב זה המשולש הראשון של הצד העליון של הרצועה יודבק למשולש האחרון של הצד התחתון של הרצועה. אין חשיבות לאופן שבו הם מודבקים, כלומר - הראשון יכול להיות מודבק על האחרון או להפך.
צדדיו של ההקספלקסגון.
באופן כללי כל אחד מצדדיו ההקספלקסגון בנוי מ-6 משולשים שווי צלעות, הצמודים אחד לשני בקודקודם באופן היוצר משושה.
על ידי הצמדתם של כל שני משולשים סמוכים, ניתן לחשוף צד חדש מהמרכז של הפלקסגון.
כיוונם של המשולשים יכול להשתנות ממצב למצב, כך שלעיתים הם יפנו כלפי חוץ ולעיתים כלפי פנים. עם זאת, אותם המשולשים תמיד יופיעו יחדיו באותו הצד.
כאמור, לפלקסגון הפשוט הבנוי מ-9 משולשים יש שלושה צדדים.
במקרה זה בכל מצב נתון צד אחד יפנה כלפי מעלה, השני כלפי מטה והצד השלישי יהיה מוסתר.
צידה היחיד של רצועת הפלקסגון.
כאמור, הפלקסגון מורכב מרצועה מקופלת. במקור לרצועה יש שני צדדים - עליון ותחתון. אולם, צורת הקיפול שלה משנה מצב זה.
זאת משום שכאשר מצמידים רצועה שמסובבת בכפולות אי-זוגיות של 180 מעלות, נוצר משטח ללא חלק פנימי או חיצוני.
צורת הקיפול של הרצועה המשמשת ליצירת הפלקסגון כוללת שלושה "חצאי סיבוב", באופן הדומה לטבעת מביוס. ההבדל הוא שטבעת מביוס מקופלת ב-180 מעלות בעוד שהפלקסגון מקופל ב-540 מעלות (שהם שלוש פעמים 180 - כפולה אי זוגית). כתוצאה מכך, בעוד שלפלקסגון יש מספר רב של צדדים, לרצועה שממנו הוא מורכב יש רק צד אחד.
שימושים לחינוך והוראה.
בתחום החינוך הפלקסגון יכול לשמש ככלי להוראה של נושאים שונים.
במיוחד לאור זאת שצורת הקיפול שלו קלה ללימוד. ניתן גם להדפיס לתלמידים מראש תבניות מוכנות שעליהן מסומנים המשולשים.
במסגרת למידת חקר הפלקסגון יכול לזמן לכל אחד מהתלמידים הזדמנות לבחון את הדפוסים השונים בקצב האישי שלו.
ניתן לעקוב אחרי כל הצירופים האפשריים של המשולשים על צדדיו המרובים של הפלקסגון על ידי ציור פרצופים בצבעים שונים בכל צד. כאשר הצדדים מופיעים בכיוונים שונים הפרצופים יהפכו ממחייכים לעצובים.
כמו צורות גאומטריות רבות, ניתן להעריך את הפלקסגון ברמות תחכום מתמטיות מרובות.
במסגרת הוראת המתמטיקה הוא יכול לשמש ללימוד מגוון מושגים מתחום הגאומטריה והאלגברה, כמו סימטריה וטרנספורמציה.
במסגרת לימודי האמנות ניתן להשתמש בפלקסגון ליצירה של ציורים בעלי אופי דינמי, משום שהם משתנים כאשר הופכים את צדדיו של הפלקסגון.
משום שהרצועה המשמשת ליצירת הפלקסגון היא דו צדדית, כל קיפול מייצר שני משולשים הניתנים לציור. כלומר, בפלקסגון המורכב מ-9 משולשים ניתן לצייר על 9 שבצד האחד ועוד 9 בצד האחר - סה"כ 18. בדומה לזאת, לפלקסגון הבנוי מ-18 משולשים ניתן לצייר על 36 משולשים משני הצדדים של הרצועה. דבר זה מאפשר גיוון רב.
האיים הפסיפיים
אופטימיזציית קן הנמלים
אופטימיזציית קן הנמלים (באנגלית: Ant Colony Optimization ובראשי תיבות ACO) היא שיטת אופטימיזציה ששימושה המקורי הוא למציאת פתרון מקורב לבעיות קשות בתורת הגרפים שעיקרן מציאת מסלולים קצרים במשקל או מרחק, לדוגמה, בעיית הסוכן הנוסע. את השיטה ניסח ד"ר מרקו דוריגו בשנת 1992 כחלק מעבודת הדוקטורט שלו. הבעיה הראשונית אותה פתר דוריגו בעזרת שיטה זו הייתה הגרסה הסכמטית של מציאת מקור מזון בסביבת קן נמלים.
אנלוגיה מעולם הנמלים.
בעולם הטבע הנמלים בתחילה משוטטות באופן אקראי על פני הקרקע בסביבת הקן. אם נמלה מוצאת מקור מזון היא נושאת ממנו חלק ומותירה שובל של פרומונים לאורך המסלול שבין הקן למקור המזון. נמלים משוטטות אחרות שנתקלות בשובל עשויות לבחור להמשיך לטייל לאורכו בסבירות גבוהה בהתאם לרמת הפרומון לאורך השביל. כל נמלה שמתווספת לאורך השביל מחזקת את כמות הפרומון שבו. כאשר מתכלה המזון, נמלים ימשיכו לשוטט באופן אקראי לכיוונים אחרים ולא לחזור על עקבות הפרומון לאורך השביל ולאחר זמן הוא יתנדף. בצורת הסריקה הזו, נמלים יעדיפו לטייל לאורך מסלולים קצרים יותר במרחק היות שתדירות מעבר הנמלים בהן גבוהה יותר בהשוואה למסלולים ארוכים במרחק ולכן ריכוז הפרומון בהם ישמר ברמות גבוהות יותר בהתאם.
Ant Colony Optimization
קלבדיה בויארסקיך
קלבדיה בויארסקיך (ברוסית: Кла́вдия Боя́рских; 11 בנובמבר 1939 - 12 בדצמבר 2009) הייתה ספורטאית בענף סקי למרחקים סובייטית, בעלת 3 מדליות באולימפיאדת החורף, מהן כולן זהב. בנוסף לכך היא זכתה ב-3 מדליות באליפויות העולם.
ביוגרפיה.
קלבדיה בויארסקיך נולדה בעיירה במחוז סברדלובסק. כבר בילדות היא הצטיינה בענפי ספורט שונים. לאחר סיום בית הספר קלבדיה בויאסקיך החלה לימודים בטכניקום לספורט תוך התמחות בטניס שולחן. מאמן בענף סקי ראה את הספורטאית הצעירה והציעה לה לעבור לאימונים אצלו. בתקופה זו היא עברה תאונת דרכים קשה ולדעת הרופאים היא הייתה צריכה לעזוב ספורט תחרותי. המאמן של קלבדיה בויארסקיך התעקש בהמשך האימונים ועיבד בשבילה תוכנית אימונים אישית. בגיל 20 הספורטאית נכללה בנבחרת ברית המועצות.
שיא הקריירה שלה היה בשנים 1964–1966 כאשר היא זכתה במדליות באולימפיאדה ובאליפות העולם. בשנים 1964–1967 היא זכתה 6 פעמים באליפות ברית המועצות במרחקים שונים. היא עזבה את התחרויות לאחר שמאמן הנבחרת דרשה ממנה לכלול אותה כמאמן במסמכים הרשמיים, אף על פי שלא הייתה לה שום נגיעה לנושא. קלבדיה בויארסקיך סירבה ובעקבות כך לא הוזמנה יותר לנבחרת.
לאחר סיום הופעות בתחרויות בויארסקיך סיימה מכון הפדגוגי בסברדלובסק ועסקה באימון ילדים. לכבודה כל שנה התקיימו תחרויות בסקי למרחקים על שמה.
הופעות באולימפיאדה.
לאולימפיאדת 1964 בויארסקיך הגיעה כספורטאית עתודה בנבחרת. במהלך האימונים התברר שהיא נמצאת בכושר גבוה והוחלט בכל זאת לכלול אותה בתחרות ל-5 ק"מ במקום אחד הספורטאיות הוותיקות יותר. בעקבות הצלחתה וזכייתה במדליית זהב היא נכללה בתחרות ל-10 ק"מ בו זכתה במדליית זהב שנייה (כל שלוש המדליות הוענקו לספורטאיות מברית המועצות) ובתחרות שליחים בו הנבחרת זכתה במקום הראשון.
קרדיגן
קַרְדִּיגָן (באנגלית: Cardigan) ("מִקְטוֹרָה" על פי האקדמיה ללשון העברית) הוא סוג של סריג קל המונח כבגד עליון מעל לבגדים הרגילים, בדומה לז'קט. לרוב ניתן לכפתר את הקרדיגן, לסגור אותו באמצעות רוכסן, או לקשור אותו באמצעות חוט דק (בשונה מחלוק או גלימה, בהם הקשירה נעשית באמצעות חלקים מהבגד) אך לעיתים גם לא ניתן לסגור אותו. הקרדיגן שונה מסוודר רגיל, בכך שלבישתו לא נעשית דרך הכנסת הראש לפתח הצוואר.