למשפט הערך הממוצע לנגזרת יש גרסה מקבילה לאינטגרל. המשפט קובע כי לכל פונקציה רציפה formula_1 בקטע formula_16 קיים formula_4 כך שמתקיים: formula_28. המשמעות הגאומטרית לפונקציה אי-שלילית היא שקיימת נקודה formula_29 על הגרף של formula_1 כך שהשטח מתחת לגרף של formula_1 שווה לשטח המלבן שאורכו אורך הקטע formula_16 וגובהו כגובה הנקודה formula_29.
הוכחה: תהי formula_34 פונקציה קדומה של formula_35. על פי הגרסה הרגילה של משפט הערך הממוצע, נקבל שקיימת נקודה c כך ש-formula_36. על פי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, נקבל formula_37.
משיק
במתמטיקה, מַשִּׁיק לעקומה בנקודה כלשהי הוא ישר העובר דרך אותה נקודה, ושיפועו שווה לנגזרת העקומה באותה נקודה. המשיק עשוי לחתוך את העקומה, או להשיק לה, בנקודות אחרות, גם ליד נקודת ההשקה.
אם הפונקציה גזירה בנקודה formula_1, משוואת המשיק בנקודה זו היא formula_2.
דרך גרפית להעריך את שיפועו של משיק בנקודה כלשהי, היא לשרטט מיתרים מאותה נקודה לנקודות אחרות על העקומה. ככל שהנקודות יותר קרובות, ההערכה יותר מדויקת.
במרחב התלת-ממדי משיק למשטח בנקודה כלשהי, הוא ישר העובר דרך אותה נקודה, ושיפועו שווה לשיפוע גרדיאנט המשטח באותה נקודה.
משיק למעגל.
המשיקים המשותפים לשני מעגלים עוברים בנקודת הדמיון שלהם.
משיק לפונקציה.
בפונקציה השימוש במשיק מאפשר לגלות נקודות קיצון, כאשר המשיק מאונך לציר ה-y, נקודות פיתול, כאשר המשיק חוצה את הפונקציה בנקודה, ותחומי קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה, באמצעות התבוננות ביחס הגובה בין המשיק לפונקציה האזורית.
הפרעה טורדנית-כפייתית
הפרעה טורדנית-כפייתית או טורדנות כפייתית (באנגלית: Obsessive–compulsive disorder; או בקיצור: OCD) היא הפרעה נפשית (נקראת לעיתים גם הפרעה של תפקוד המוח) המאופיינת במחשבות פולשניות, אובססיביות וטורדניות, ובביצוע פעולות טקסיות חוזרות להתמודדות עימן. מאפיין נפוץ של ההפרעה הוא החרדה הנגרמת לאדם בשל המחשבה הטורדנית, והקושי להסיח ממנה את הדעת עד לביצוע הפעולה הטקסית המתאימה. הקומפולסיות – שהן פעולות כפייתיות או מעשים טקסיים שהאדם מבצע – מאפשרות להפחית את החרדה ולהסיג את המחשבה הטורדנית לזמן מה, עד שבסופו של דבר, נפגעת איכות חייו של האדם בשל הזמן הרב שהוא מקדיש לביצוע הטקסים, או בשל החרדה הכבדה בהיעדרם. טיפול יעיל לטורדנות כפייתית יכול להיות מושג בעזרת טיפול התנהגותי קוגניטיבי (CBT), טיפול תרופתי או שילוב של שניהם.
במדריכי האבחנות הפסיכיאטריים הרשמיים סווגה ההפרעה בעבר כהפרעת חרדה, אך במהדורות החדשות של מדריכים אלו שונה הסיווג. במדריך DSM-5 של האגודה האמריקנית לפסיכיאטריה, הופרדה קבוצת ההפרעה הטורדנית הכפייתית וההפרעות המקורבות לה לקבוצה נפרדת, הכוללת גם את הפרעת האגירה, הפרעת גוף דיסמורפית, טריכוטילומניה, דרמטילומניה (פציעת העור העצמית הטורדנית), וההפרעות הטורדניות-כפייתיות הנגרמות על ידי מחלות "גופניות", תרופות או סמים וכו'. במדריך ICD-10 סווגה ההפרעה בתוך הקטגוריה "הפרעות נוירוטיות, תלויות-דחק וסומטופורמיות". ההפרעה מקוטלגת על פי רוב בתוך הקטגוריה הרחבה של הפרעות נפשיות, אך בשנים האחרונות התחילו מספר מומחים להגדיר אותה בתור הפרעה של תפקוד המוח.
אטימולוגיה.
בשפה האנגלית, נקראת ההפרעה "Obsessive Compulsive Disorder", וידועה גם בראשי התיבות "OCD".
השם הלועזי תורגם לעברית באופן רשמי בשם: "הפרעה טֵירדונית כפייתית", בהתאם למילה "טירדון" – התרגום העברי לאובססיה, אולם בציבור מקובל הרבה יותר השם "טורדנות כפייתית".
היסטוריה.
פרויד, אבי הפסיכואנליזה, תיאר את ההפרעה בפירוט רב בספרו "פעולות כפייתיות וטקסים דתיים" (1907). בספר זה, הנחשב לאחד החיבורים החשובים בחקר הדת ובפסיכולוגיה המודרנית, משווה פרויד בין ההפרעה לבין התנהגות דתית. הוא מצביע על הדמיון בטקסים המחזוריים העוזרים להפחתת חרדות, אולם גם על השוני המתבטא בכך שטקסים דתיים הם על-פי רוב פומביים, בעוד התנהגות כפייתית נעשית באופן פרטי, והחולה מסתיר אותה מהזולת. פרויד נמנה עם הראשונים שעמדו על תפוצתה הרבה של המחלה, אף כי קשה לזהות חולים הסובלים ממנה, כיוון שהם מסתירים אותה בצורה יעילה.
אבחנה.
לפי DSM-5, פסיכיאטר יאבחן אצל אדם הפרעה טורדנית כפייתית אם יתקיימו התנאים הבאים
א. נוכחות של כפייתיות או טקסים או שניהם. אובססיות מוגדרות על ידי סעיפים 1+2
קומפולסיות (טקסים) מוגדרות על ידי סעיפים 1+2 להלן:
ב. האובססיות או הקומפולסיות הם גוזלי זמן (לוקחות יותר משעה אחת ביום), או שהן גורמות למתח ניכר ולמצוקה ולפגיעה בתפקוד החברתי המשפחתי התעסוקתי או כל תפקוד אחר המשמעותי לאדם.
ג. לא ניתן להסביר את האובססיות והקומפולסיות על ידי מצב רפואי לרבות שימוש בסמים או תרופות.
ד. ההפרעה אינה ניתנת להסבר טוב יותר על ידי מצב נפשי זמני הנובע מנסיבות חיים (דאגה בעקבות משבר מסוים). כמו כן היא אינה ניתנת להסבר על ידי אבחנת הפרעה נפשית אחרת כמו הפרעת חרדה מוכללת, עיסוק מתמשך בגוף עקב הפרעת גוף דיסמורפית, או הפרעת חיטוט בעור, או אגירה כפייתית תנועות סטריאוטיפיות כתוצאה מהפרעת תנועות סטראוטיפיות, טקסים הנוגעים לאוכל כתוצאה מהפרעות אכילה, עיסוק מרובה בהתנהגות בעקבות התמכרות אליה (למשל הימורים), עיסוק באפשרות של מחלה בעקבות חרדת מחלה (היפוכונדריה), הפרעות פסיכוטיות מספקטרום הסכיזופרניה, הפרעות הספקטרום האוטיסטי ועוד.
שכיחות ואפידמיולוגיה.
שכיחות לאורך 12 חודשים של OCD עומדת בארצות הברית על 2.3%, השכיחות בכלל העולם נעה בין 1.1% ל 2.3%. נשים מושפעות מההפרעה מעט יותר מאשר גברים בגילאי הבגרות. בקרב ילדים - ההפרעה שכיחה יותר אצל בנים.
שכיחות לפי תת-סוגים של ההפרעה ורמת חומרתה.
ישנן שתי קבוצות של ההפרעה: בקבוצה הראשונה "עם טיקים" המחלה פורצת לפני גיל ההתבגרות, יש בה ייצוג מוגבר של בנים, תורשה משפחתית ושכיחות מוגברת של "טיקים". שכיחותה בין הלוקים ב-OCD היא כ-30%.
בקבוצה השנייה המחלה פורצת בדרך כלל בגיל ההתבגרות, בשיעור דומה בשני המינים, ושכיחים פחות תורשה משפחתית ו"טיקים". ל 90% מהאנשים עם הפרעה יש גם אובססיות וגם מעשים כפייתיים; כשני שלישים מדווחים על יותר מאובססיה אחת ממנה הם סובלים. כ-20%-25% מהלוקים בהפרעה סובלים "מהעלאת גירה אובססיבית", שהיא אובססיה חוזרת ונשנית ללא כפייתיות התנהגותית כלשהי. השכיחות של ההפרעה עם תובנה גרועה היא בערך 15-36% או בערך רבע מהמקרים. המקרים עם חוסר תובנה מהווים 4% או פחות.
גורמי סיכון פרוגנוסטיים.
אישיות: סימפטומים מופנים, רגשות שליליים ועכבות התנהגותיות בילדות הם גורמי סיכון אפשריים של ההפרעה
סביבה: התעללות נפשית ופיזית בילדות ואירועים טראומטיים אחרים נקשרו לסיכון גדל להתפתחות ההפרעה. אצל ילדים מסוימים תופיע ההפרעה פתאום. הופעה כזו כנראה קשורה לשילוב של גורמים סביבתיים לא ידועים עד כה.
גנטיקה ופיזיולוגיה: השכיחות של OCD בקרב אנשים שיש להם קרוב משפחה עם ההפרעה, גבוהה בערך פי שניים מאשר באוכלוסייה הכללית. השיעור גבוה פי עשרה כשמדובר בקרובים מדרגה ראשונה (אח, בן וכדומה).
מהלך ההפרעה.
בארצות הברית הגיל החציוני להופעת OCD הוא 19.5 וכ-25% מהמקרים מתחילים בגיל 14. גיל ההתחלה אצל גברים נמוך יותר מנשים. בערך 25% מהבנים מפתחים את ההפרעה לפני גיל 10.
אם ההפרעה אינה מטופלת היא במקרים רבים כרונית ומתאפיינת בתקופות של החמרה והקלה בעוצמת התסמינים ותדירותם. לחלק מהאנשים יש מהלך הפרעה אפיזודי כלומר כזה שמתאפיין בהתקפים שביניהם יש רגיעה יחסית. למיעוט מהאנשים עם ההפרעה יש מהלך של הידרדרות (כלומר החמרה של התסמינים) עם הזמן. ללא טיפול שיעור הרמיסיה (נסיגת תסמיני ההפרעה) היא כ־20%. הופעת ההפרעה בילדות יכולה לגרום לכך שההפרעה תישאר לכל החיים. האפיזודות של OCD מושפעות מקיום של הפרעות נלוות. בשל האופי החיצוני שלהן הקומפולסיות מאובחנות מוקדם יותר מאשר האובססיות.
התמונה הקלינית.
המרכיב האובססיבי בטורדנות הכפייתית הוא המחשבות המציקות, והמרכיב הקומפולסיבי הוא המעשים שבאים בעקבותיהן. לדוגמה, אדם אשר שוב ושוב מציק לו החשש שלא סגר את כל דלתות הבית – סובל מאובססיה. כאשר פעם אחר פעם הוא יסובב את המפתח, תהיה פעולתו קומפולסיה, הבאה לשכך את החרדה שעורר החשש. בדרך כלל, אם כי לא תמיד, מלווה האובססיה בקומפולסיה. אנשים עם הפרעה זו ידווחו על צורך עז לבצע את הטקס, אלא שפעמים רבות הטקס מלווה בתחושה שזה לא בדיוק זה, ולכן האדם עם ההפרעה חוזר על הטקס שוב ושוב כדי לקבל תחושת וודאות שהפעולה בוצעה בהצלחה מלאה. רק ביצוע מושלם של החזרות ללא הפרעה כלשהי יתן לאדם עם ההפרעה את תחושת הוודאות שהוא זקוק לה. מגוון האובססיות והקומפולסיות הקיימות הוא גדול מאוד ונוגע כמעט לכל שטח של החיים. אצל אנשים דתיים עשויות האובססיות להיקשר לעיתים סביב תחושת טומאה, חשש ממחשבות זרות או חרדה שטקס דתי לא בוצע כהלכה. אובססיות הנפוצות בקרב כלל הציבור נסובות סביב נושאים של היגיינה ומחלות (כגון פחד מופרז מחיידקים, שמביא לשטיפת ידיים כפייתית, פחד לנקוב בשמה של מחלה כמו סרטן או מחלה אחרת), אובססיות מיניות, צבירה אובססיבית של חפצים, אובססיות סביב מערכות יחסים ועוד.