הנושא הבשיל בשלושה מאמרים שפרסם יעקובי ב- 1841, בהם הוא הגדיר את הדטרמיננטה עבור מטריצה כללית ובאופן אלגוריתמי, שסייע לתפוצה הרחבה של הרעיון. את הסימון formula_1 עבור הדטרמיננטה של formula_3 הציע ארתור קיילי באותה שנה.
ב-1896 מיין פרדיננד פרובניוס את ההעתקות הליניאריות formula_13 השומרות על הדטרמיננטה (במובן ש-formula_14 לכל מטריצה formula_15), והראה שכולן מהצורה formula_16 או formula_17.
הגדרה "אקסיומטית", של הדטרמיננטה, כתבנית (היחידה) שהיא מולטי-ליניארית, אנטי-סימטרית ומנורמלת התגלתה על ידי קארל ויירשטראס, והתפרסמה ב-1903, לאחר מותו.
הגדרה.
הדטרמיננטה של מטריצה בגודל formula_18 מוגדרת על-פי הנוסחה הבאה:
הסכום בנוסחה הוא על formula_20 התמורות formula_21 האפשריות של המספרים formula_22. הסימן formula_23 מתקבל על פי זוגיות התמורה. אם התמורה זוגית, formula_24, אם היא אי זוגית, formula_25. הדטרמיננטה שווה, אם כך, לסכום של כל המכפלות האפשריות לאורך אלכסונים מוכללים של המטריצה, עם סימנים מתחלפים.
לדטרמיננטה יש גם הגדרה אקסיומטית: אפשר לראות את הפונקציה formula_26 כפונקציה של formula_4 העמודות של המטריצה, ואז זוהי הפונקציה היחידה שהיא ליניארית בכל המשתנים, מתחלפת (כלומר מחזירה 0 עבור מטריצה שיש בה שתי שורות זהות), ומנורמלת כך ש-formula_28 כאשר formula_29 היא מטריצת היחידה. בלשון מודרנית, הגדרה זו שקולה לכך שפעולתה של טרנספורמציה ליניארית מממד formula_4 על מכפלת היתד formula_31 של המרחב formula_32 (שהיא מרחב חד-ממדי) היא כפל בסקלר השווה לדטרמיננטה.
דוגמאות.
דטרמיננטיות 2X2.
במקרה של מטריצה formula_5, נוסחת הדטרמיננטה היא:
בפרט מתקיים:
ולכן מטריצה זו הפיכה.
לעומת זאת המטריצה הבאה איננה הפיכה:
כעת, חישוב הדטרמיננטה ייתן אפס:
חישוב הדטרמיננטה.
דירוג המטריצה.
הפיתוח לפי ההגדרה המפורשת דורש כ- formula_38 פעולות בשדה. לעומת שיטות אלה, שיטת הדירוג של גאוס מאפשרת לחשב את הדטרמיננטה בכ-formula_39 פעולות, על ידי דירוג המטריצה עד שמגיעים למטריצה משולשית: הדטרמיננטה של מטריצה משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי שלה.
הדירוג נעשה על ידי הפעלת פעולות אלמנטריות בשרשרת, ואלו משפיעות על הדטרמיננטה באופן הבא:
פיתוח לפי מינורים.
את הדטרמיננטה אפשר לחשב בצורה רקורסיבית, הנקראת פיתוח לפי מינורים. הדטרמיננטה של מטריצה בגודל formula_47 הוא האיבר היחיד שלה. כעת נראה כיצד ניתן לחשב דטרמיננטה מסדר formula_18 כאשר formula_49. המינור של איבר במטריצה formula_3 הוא הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת על ידי מחיקת השורה והעמודה של אותו איבר מהמטריצה, כך שמתקבלת מטריצה בגודל formula_51 (את הדטרמיננטה הזו, של מטריצה קטנה יותר, אנו כבר יודעים לחשב). נסמן את המינור המתקבל ממחיקת הרכיב formula_52 (שהוא הרכיב ה-formula_53 של המטריצה) ב-formula_54. הדטרמיננטה ניתנת כעת לחישוב בצורה formula_55 -- זהו פיתוח לפי השורה ה-formula_56. פיתוח לפי העמודה ה-formula_57 מתקבל מנוסחה דומה: formula_58.
לדוגמה, הפיתוח לפי השורה הראשונה של מטריצה מסדר formula_7 נותן את הנוסחה
formula_60.
הסיבוכיות בשיטה זו דומה לחישוב הדטרמיננטה על-פי ההגדרה, ולכן אין לה ערך מעשי, אלא אם יש במטריצה שורה או עמודה שכמעט כולה אפסים. עם זאת יש בה תועלת תאורטית לא מבוטלת. לדוגמה, נובע ממנה בקלות (באינדוקציה) שהדטרמיננטה של המטריצה המשוחלפת שווה לזו של המטריצה המקורית.
תכונות.
משפט סילבסטר קובע שלכל שתי מטריצות formula_80 ו-formula_81 מתקיים השוויון formula_82.
הפירוש הגאומטרי של הדטרמיננטה.
ניתן לראות בדטרמיננטה פונקציה של איברי המטריצה שערכה מבטא את פקטור ההגדלה הנפחית של הטרנספורמציה הליניארית המיוצגת על ידי המטריצה.
בצורה פורמלית, אם "formula_3" היא מטריצה ממשית מסדר formula_18, אז כפל המטריצה בוקטורי הבסיס הסטנדרטי של המרחב formula_85 יתן את וקטורי העמודה של המטריצה:
פירוש הדבר הוא שהטרנספורמציה המיוצגת על ידי formula_3 מעתיקה את קוביית היחידה ה-n ממדית למקבילון ה-"formula_4" ממדי שקואורדינטות קודקודיו מיוצגות על ידי וקטורי העמודה של המטריצה formula_89, ואשר הפנים שלו מוגדר על ידי התחום: formula_90. הדטרמיננטה תתן את הנפח המכוון של המקבילון הזה, כלומר formula_91 (הסימן מראה האם הטרנספורמציה הליניארית משמרת או הופכת את אוריינטציית המקבילון).
ניתן להיווכח בכך שהדטרמיננטה מקיימת את כל התכונות הנדרשות מפונקציית נפח - שכן פעולות אלמנטריות משנות את הדטרמיננטה באופן זהה לשינוי שהן גורמות לנפח המקבילון. הפעולה האלמנטרית של כפל שורה בסקלר formula_45 שקולה להארכת אחת מצלעות המקבילון פי אותו פקטור; הפעולה מגדילה את שטח הפאה המכילה את הצלע באותו פקטור, ובאופן רקורסיבי פועלת כמתיחה בפקטור formula_45 על פנים המקבילון, באנלוגיה להליך חישוב הדטרמיננטה לפי מינורים. הוספת כפולה של שורה לשורה אחרת ניתנת לייצוג על ידי כפל במטריצה אלמנטרית השקולה להעתקת גזירה, ולכן פועלת כטרנספורמציה אשר משנה את זוויות המקבילון אך אינה משפיעה על נפחו (ככל גזירה).
בדרך זו ניתן גם להבין את מושג ההפיכות של מטריצה בצורה שונה; מטריצה מסדר formula_18 בעלת דטרמיננטה אפס מעתיקה את קוביית היחידה ה-"formula_4" ממדית למקבילון בעל נפח 0 שאינו יכול להיות "formula_4"-ממדי, מה שמעיד על כך שממד התמונה של "formula_3" נמוך מ-"formula_4". פירוש הדבר הוא ש-"formula_3" מייצגת טרנספורמציה ליניארית שאינה על ואינה חד-חד ערכית, ולכן אין לה מטריצה הופכית (אין טרנספורמציה הופכית לטרנספורמציה שהיא מייצגת).
הדטרמיננטה באנליזה וקטורית.
בשל הפירוש הגאומטרי של הדטרמיננטה שצוין לעיל, אם formula_100 קבוצה כלשהי במרחב הממשי formula_85, אז הנפח של formula_102 שווה לנפח של formula_100 מוכפל בדטרמיננטה של formula_3 (עובדה המסבירה את הופעתו של היעקוביאן בחישובי אינטגרלים מרובים).
מרק אנטוקולסקי
מרק (מרדכי) אנטוֹקוֹלסקי (ברוסית: Марк Матвеевич Антокольский (בכתיב שנהג בזמנו: Маркъ Матвѣевичъ Антокольскій); 2 בנובמבר 1843, - 26 ביולי 1902) היה פסל וצייר יהודי רוסי.
ביוגרפיה.
אנטוקולסקי נולד באנטוקול, פרוור של העיר וילנה שבצפון-מערב האימפריה הרוסית (מכאן שם משפחתו), כבן למשפחה יהודית אדוקה וענייה מאוד. הוא לא למד באורח מסודר, אבל כישרונו המובהק התבלט מילדותו. וכך, בסיועם של אנשים טובים בעלי אמצעים שהכירו בכישרונו, נשלח אל האקדמיה לאמנות בסנקט פטרבורג. הוא התפרסם מאוד בחוגי האמנות ברוסיה ואחר כך גם במערב אירופה. בשנות חייו האחרונות יצא לפריז, וזכה שם לתהילה רבה. בשנת 1889 היה מורהו של בוריס שץ, מי שייסד את בית-הספר הגבוה לאמנות בישראל, "בצלאל".
תורתו של אנטוקולסקי, הנחשב לפסל היהודי הראשון, הייתה להקים בית-הספר לאמנות יהודית. אנטוקולסקי הבין שיהודים לא משקיעים הרבה באמנות הפיסול, ולכן תלמידיו בוריס שץ ואיליה גינצבורג הקימו בתי ספר לאמנות יהודית. הראשון בישראל, קיים עד היום, והשני בפולין, שנסגר ב-1941 עם מלחמת העולם השנייה.
אנטוקולסקי פיסל דיוקנאות ותבליטים של אישים רבים ובהם איוואן האיום, לב טולסטוי, טורגנייב וברוך שפינוזה. פסל מפורסם נוסף שלו הוא פסלו של מפיסטו. לאחר מותו, ביקשה העיר סנקט פטרבורג לזכות בקבורתו, ואכן קברו נמצא בבית עלמין היהודי של העיר.
אנטוקולסקי נחשב בעיני הרוסים לפסל רוסי ובעיני היהודים לפסל יהודי.
על שמו נקרא רחוב בתל אביב (לא הרחק מבניין העירייה) ורחוב בווילנה.
קישורים חיצוניים.
מיצירתו:
אמת מים
אַמַּת מַיִם (או אַקְוֶודוּקְט) היא תעלה מלאכותית שתפקידה להעביר מים ממקום אחד למשנהו. לעומת הפירוש המרחיב, לפיו משתמשים כיום במונח זה לכל סוג של מערכת הולכת מים (לרבות צנורות ותעלות), קיים הפירוש ההיסטורי המצומצם המייחד את השימוש בביטוי זה לתעלה המוגבהת (לפחות בחלקה) מעל פני השטח, באמצעות עמודים או מערכת קשתות. אמות המים הנודעות ביותר הן אלו שנבנו בידי הרומאים שלעיתים הגיעו לאורך של עשרות קילומטרים.
לַרוב, הכוח שמזרים את המים באמות המים הוא כוח הכבידה, לכן אמות מים נבנות בשיפוע. בתקופת האימפריה הרומית נהגו לבנות אמות מים בשיפוע יורד של סנטימטרים ספורים לכל מאה מטר, חריגה מהטווח המקובל עלולה לגרום לעצירת המים במקרה של שיפוע מתון מדי או לסדיקת הקירות על ידי המים במקרה של שיפוע תלול מדי. מכיוון שהתנאים הטופוגרפיים של השטח לא תמיד התאימו לשיפוע העדין של האמה השתמשו הרומאים בצינורות וקשתות כדי ליצור בסיס שטוח לאמה.
אמות מים בתקופות שונות.
אמת המים קיבלה את שמה משום שהמידה הסטנדרטית הייתה כריית תעלה בעומק וברוחב אמה, כ-50 ס"מ.
היסטורית, חברות חקלאיות רבות בנו אמות מים כדי להשקות את שדותיהן. ארכימדס המציא את בורג המים, המעלה מים לגובה ומאפשר השקיה.
שימוש נפוץ נוסף לאמות מים הוא אספקת מי שתייה נקיים לערים גדולות. כמה מאמות המים הרומיות הידועות עדיין משמשות לאספקת מים לרומא של ימינו. בקליפורניה שבארצות הברית ישנה אמת מים גדולה המשמשת להעברת מים מצפון המדינה לאזור לוס אנג'לס.
שרידי אמות מים רומיות נמצאים במקומות שונים בעולם, כגון באיטליה, בישראל (בקיסריה ובאזור עכו), בספרד ובצרפת.
אמות מים נבנו במקומות רבים בארץ על מנת להוביל מים לצורכי חקלאות ושתייה. בין מפעלי המים הידועים ניתן למנות את אמות המים באזור קיסריה אשר נוצרו בתקופת הורדוס וכן אלו שבאזור יריחו.