מכיוון ש- formula_21 שקול לערימת נים בעלת formula_20 גפרורים, אז המשפט למעשה יוצר שקילות בין כל משחק שוויוני סופי ונורמלי לערימת נים בגודל כלשהו. זה מעניק לנו זיהוי בין כל משחק למספר גרונדי שלו. השקילות מתבטאת בכך שתוצאת המשחק (בהינתן אסטרטגיה אופטימלית) תהיה זהה למשחק נים זהה, גם אם מהלכי המשחק יהיו שונים. ספרג וגרונדי אף מעניקים לנו פונקציה רקורסיבית אשר מחשבת באופן ישיר את מספר גרונדי המשחק - מספר גרונדי של כל מצב ניתן על ידי המספר השלם הקטן ביותר שאליו לא ניתן להגיע במהלך מאותו מצב (מצב שבו אין אף מהלך אפשרי שקול למספר גרונדי 0).
הוכחת משפט ספרג-גרונדי.
נוכיח את המשפט בעזרת אינדוקציה על מספר המהלכים עד סיום המשחק. בסיס האינדוקציה מתקיים כאשר לשני השחקנים במשחק השוויוני formula_11 נותרו אפס מהלכים עד סוף המשחק ואז formula_43. נניח את נכונות צעד האינדוקציה לכל משחק שוויוני בעל לא יותר מ- formula_44 מהלכים עד סופו. לכל משחק כזה קיים מספר גרונדי מוגדר היטב.
יהי formula_45 משחק שוויוני בעל formula_20 מהלכים עד סופו. כל שחקן יכול לשחק formula_47. נשים לב שמכיוון שהמשחק שוויוני וסופי, אז כל אחד מהמהלכים יוביל לתת-משחק בעל מספר קטן יותר של מהלכים אשר מקיים את הנחת האינדוקציה. לכן, כל אחד מהמהלכים שקול למשחק שוויוני בעל מספר גרונדי יחיד. לפיכך formula_48. זאת היא קבוצה של מספרי גרונדי. על פי טענת העזר למטה, לקבוצה זאת יש מספר גרונדי יחיד אשר שווה ל- formula_49 של הקבוצה.
טענת עזר.
יהי formula_48 משחק שוויוני, אז formula_49.
הוכחת טענת העזר.
נשים לב שהטענה משתמשת בכך שכל קבוצה של מספרי גרונדי היא בעצם משחק שוויוני, מה שנכון, מכיוון שהקבוצה הזאת שקולה למשחק בו השחקן הראשון בוחר ערימת נים כלשהי מתוך כל הערימות האפשריות. כדי להראות ש- formula_49 נרצה להוכיח כי formula_53, כלומר במשחק המחובר בין השניים, השחקן שמשחק ראשון תמיד מפסיד. נראה זאת על ידי מציאת אסטרטגיה מנצחת לשחקן השני.
ישנן שלוש אפשרויות למשחק:
אפוקליפסה- מלחמת העולם השנייה
אסתר פיין
אסתר פיין (מנקובה) (1918 – 15 באוגוסט 2012) הייתה סופרת ישראלית.
ביוגרפיה.
פיין נולדה בשם אסתר מנקובה בלטביה, למשפחה מסורתית. אביה, היה סוחר זעיר, מורה לתורה ומוסמך לרבנות. במלחמת העולם השנייה שירתה כאחות בצבא האדום. במהלך המלחמה, נולד בנה הבכור אריה, והיא התאלמנה. אחרי מלחמת העולם השנייה, ביקשה לעזוב את ברית המועצות ולעלות לישראל, אך לא קיבלה אישור. בסיוע תנועת השומר הצעיר, הוברחה ביחד עם בנה, אריה. יותר משנתיים ארך מסעה, שכלל מעבר בשבעה גבולות, ולבסוף הגיעה לנמל חיפה ביום הכרזת המדינה.
בישראל הייתה לחברת קיבוץ עין גב עד מותה. שם הכירה את בעלה השני גרשון.
בשנת 1988 פורסם סיפור בריחתה מברית המועצות בספר "מולקה: סיפור הבריחה מברית-המועצות", שנכתב על ידי יעקב ינאי.
למדה ספרות באוניברסיטת בר-אילן, קיבלה תואר ראשון ובשנת 1989 קיבלה תואר שני. עבודת הגמר שלה הייתה בנושא "השפעת גיבור דורנו ללרמונטוב על אצל של גנסין: עיון משווה בין גיבור דורנו ללרמונטוב אצל של גנסין".
ספרה "הדס", המספר על המרד הגדול בסוסיתא וגמלא, זכה בפרס זאב לספרות ילדים ונוער.
הייתה נשואה לגרשון, אם לארבעה בנים. בנה הוא השר וחבר הכנסת לשעבר אפי איתם.
פיין נפטרה בקיץ 2012, והובאה למנוחות בקיבוצה עין גב.
טוביה פרשל
הרב טוביה פּרֶשֶל (באנגלית: Tovia Preschel; 14 בספטמבר 1922 – 25 בדצמבר 2013) היה חוקר יהדות, עיתונאי ומסאי עברי ישראלי-אמריקאי.
ביוגרפיה.
פרשל נולד ב-1922 בווינה בירת אוסטריה.
היגר לבריטניה, שם למד בישיבת 'עץ חיים' של הרב אליהו לופיאן וחבר לרב יחזקאל אברמסקי. נמנה עם הציונים הרוויזיוניסטים ואף הצטרף לאצ"ל, וב-1948 עלה לישראל, לחם כמתנדב בצה"ל במלחמת העצמאות ולאחר מכן זיהה עצמו עם מפלגת חרות וביטאונה.
כתב בשני עיתונים יומיים בישראל, היה חוקר במערכת האנציקלופדיה התלמודית ועורך במוסד הרב קוק.
בשנת 1957 היגר לארצות הברית. שם עבד בבית המדרש לרבנים באמריקה (הסמינר התאולוגי היהודי) והיה עוזרו האישי ותלמיד חבר של הרב פרופ' שאול ליברמן. במשך השנים כתב במספר עיתונים וכתבי עת והשתתף בפרסומים יהודיים שונים.
בנוסף, היה חוקר נוסע של קהילות יהודיות ותרבותם, ולשם כך יצא למסעות סביב העולם בספרד, הודו וחוף מלאבר, ודרום אמריקה.
בעשור האחרון לחייו הם חזרו לגור בביתם בירושלים, אך מסיבות רפואיות חזרו לארצות הברית כשלש שנים לפני מותו. הוא נפטר בלייקווד שבניו ג'רזי ונקבר בהר הזיתים.
משנת תשי"ב 1952 ועד מותו היה נשוי לחנה רחל לבית פלאם, בתו של האדמו"ר מאלעסק רבי דוד פלאם (אביו של רבי שלום פלאם האדמו"ר מסטרטין בניו יורק). אשתו סייעה בידו בעריכת מאמריו בעברית ובתרגום כתביו לאנגלית.
היה אב לארבעה. בתו פרל הרצוג היא עורכת לשעבר של העיתון "ג'ואיש פרס", ובנו הרב חגי פרשל הוא אב"ד מוסקבה לשעבר וכותב סדרת הספרים על חומשי התורה "בחגוי הסלע" (תשס"ט–תשע"ד).
לאחר פטירתו הוקם אתר מרשתת לזכרו, ובו מבחר ממאמריו באנגלית ובעברית, על אישים ציונים, רבנים וחוקרי תורה, וכן על מושגים יהודיים ועדות יהודיות במקומות נידחים.
בשנת 2016 יצאו לאור בהוצאת מוסד הרב קוק חמישה כרכים של רשימות ומאמרים שכתב בשם "מאמרי טוביה".
קישורים חיצוניים.
מפרי עטו:
סכום אפס
קולט M1911
הM1911 הוא אקדח אמריקאי שפותח על ידי ג'ון מוזס בראונינג בשנת 1911. האקדח ידוע בקליבר שלו - - כדור בקוטר 0.45 אינץ' (11.43 מ"מ) - ובהיותו חזק, יעיל ואמין.
האקדח הוא חצי אוטומטי מוזן מחסנית ובעל מנגנון רתיעת קנה קצרה (Short recoil operation)
השימוש באקדח היה בעיקר במלחמת העולם הראשונה, מלחמת העולם השנייה, מלחמת קוריאה ומלחמת וייטנאם.
עם השנים פותחו גרסאות חדשות לאקדח עם צורת אחיזה נוחה יותר ללוחמים.
בסך הכל יוצרו מעל 10 מיליון יחידות (לערך) לאקדח, מכיוון שהיה פופולרי ביותר בצבא ארצות הברית ובשימוש האזרחי.
ב-1923 בוצע שינוי במבנה האקדח לבקשת חיל החימוש האמריקאי (Ordnance Corps) והוא אומץ כM1911A1
ב-1938 הוציא משרד ההגנה האמריקאי מכרז לרובה קרבין שישמש כנשק הגנה עצמית ללוחמי ארטילריה והנדסה קרבית ולתומכי לחימה, מכיוון שהכיר במגבלות האקדח כנשק צבאי ובנחיתותו מול רובה. התוצאה הייתה אימוץ רובה ה-M1 קרבין באמצע מלחמת העולם השנייה, וייצורו בלמעלה מ-6 מיליון יחידות. עם זאת, הקרבין לא החליף לגמרי את אקדח הקולט. במהלך מלחמת העולם השנייה נבנו כ-1.9 מיליון אקדחים שמצאו שימוש רחב בצבא הלוחם. אוון ג'ון באגט הצליח בעזרתו להפיל מטוס יפני.
בשנת 1985 חתם צבא ארצות הברית על חוזה צבאי בו נבחר האקדח ברטה M9 כאקדח הסטנדרטי של הכוחות המזוינים של ארצות הברית. למרות זאת, אקדח ה-M1911A1 לא יצא לגמרי משירות ועדיין היה בשימוש חיילים וקצינים בשל המוניטין שלו. אחרי כ-25 שנה של שירות, בעקבות חוות דעת וביקורות של חיילים, הוחלט להחליף אקדח, בעשור הראשון של המאה ה-21 החל צבא ארצות הברית בחיפוש מחליף ל-M9, במסגרת תוכנית Combat Pistol. גרסה מתקדמת יותר של הקולט M1911 נשקלה בתור מחליף ל-M9, בין השאר לאור המוניטין והמורשת שלו, חוות הדעת החיוביות של המשתמשים בו והעובדה שהוא פותח ומיוצר בארצות הברית.
מיכה פרידמן
מיכה פרידמן (נולד בשנת 1948) הוא עיתונאי ומגיש טלוויזיה ישראלי, לשעבר שדרן רדיו בכיר בגלי צה"ל.
ביוגרפיה.
פרידמן נולד בנתניה. פרידמן התגייס לצה"ל במסגרת גרעין נח"ל והתנדב לצנחנים לגדוד הנח"ל המוצנח. שם עבר מסלול הכשרה כלוחם וקורס מ"כים חי"ר. במלחמת יום הכיפורים שירת כלוחם בחטיבה 226, חטיבת צנחנים במילואים.
את דרכו הרדיופונית החל פרידמן ככתב בקול ישראל. בין היתר שימש ככתב לענייני תרבות ואמנות וכמגיש תוכנית אקטואליה. ב-1983 עבר לגלי צה"ל שם החל בהגשת "בוקר טוב ישראל", יומן הבוקר של גלי צה"ל. הוא הגיש את התוכנית לצד גולן יוכפז, אילנה דיין ומגישים נוספים. כאשר נשמעו קריאות לסגור את התחנה או לפגוע בעצמאותה ובתקציבה, יצא פרידמן להגנתה. הוא גם הביע את דעתו הנחרצת כי לא צריך לחול שינוי באופי של גלי צה"ל. עבודתו כמגיש יומן הבוקר הופסקה בשנת 2013, והוא הוחלף במגיש אסף ליברמן. בריאיון לכתבת אמירה לם במוסף "7 ימים" של "ידיעות אחרונות", טען פרידמן שהפסקת עבודתו הייתה על רקע עמדותיו השמאלניות.
בליל התקפת הטילים הראשונה על ישראל במלחמת המפרץ בינואר 1991, שידר פרידמן עם צבי לידר מהאולפן המשולב של גלי צה"ל וקול ישראל. במשך כשעה הם שידרו את נפילת הטילים בלי לקבל הנחיות מדובר צה"ל דאז נחמן שי.
את הקריירה הטלוויזיונית שלו החל פרידמן בהגשת התוכנית "תיק תקשורת" בטלוויזיה החינוכית בין השנים 1997-1994. עם עליית התוכנית "חדשות הספורט" לשידור בערוץ הספורט בשנת 1998, היה פרידמן מראשוני מנחיה לסירוגין עם יורם ארבל. לאחר חצי שנה הם הוחלפו באלי אילדיס.
בשנת 1997 עלתה לשידור בערוץ 2 תוכנית הבוקר "קפה טלעד" של הזכיינית "טלעד", ופרידמן תחילה הנחה אותה לצד הזמרת ירדנה ארזי. אולם זמן קצר לאחר שעלתה לשידור, נתגלעו חילוקי דעות מקצועיים בין המנחים. פרידמן פרש מהנחיית התוכנית ואת מקומו תפס העיתונאי דב גיל-הר.
במסגרת תפקידו ככתב בגלי צה"ל היה פרידמן העיתונאי היחיד שנכח ודיווח בעת יציאת כוחות צה"ל מלבנון בשנת 2000.