בארצות הברית ישנן מדינות המאפשרות למשחקים להתקיים תחת רישיון בלבד המוענק לרוב לבתי קזינו כמו בנבדה. בטקסס ניתן לקיים משחקי טורנירים, אך משחקי כסף יכולים להתקיים בתנאי ומארגן המשחק איננו לוקח תשלום על המשחק עצמו.
בישראל התקיימו דיונים רבים בנוגע לחוקיותו של המשחק המוגדר כמשחק מזל, וחל איסור לקיים משחקים המעורב בהם כסף או פרסים בעלי ערך כספי. ב-2018 פסק בית המשפט העליון כי בתנאים מסוימים לעניין מיסוי פוקר אינו משחק מזל וממוסה כמשלח יד. פסק הדין מבחין בין משחק בודד, לבין רצף משחקים וטורנירים בהם משתתפים שחקנים מקצוענים.
ביטויים מוכרים.
המילונאי ראובן אלקלעי ציין במילונו כי השם רֶצֶף במובן "קלפים (קלפי משחק) הערוכים ברציפות" הוא חידושו שלו.
חתך חרוט
חתך חרוט (נקרא גם חתך קוני או שניונית) הוא הצורה הגאומטרית המתקבלת כאשר מישור חותך חרוט (קונוס). צורת חתך החרוט תלויה בזווית שבה המישור חותך את החרוט.
סוגים של חתכי חרוט.
אם formula_1 היא הזווית שבין ציר החרוט לקו היוצר שלו ו-formula_2 היא הזווית שבין ציר החרוט למישור החותך, אזי:
בגאומטריה פרויקטיבית, בהינתן שתי אלומות ישרים שביניהן התאמה פרויקטיבית, המקום הגאומטרי של חיתוך הישרים שמועתקים זה לזה הוא חתך חרוט.
על פי משפט פסקל, כל חתך חרוט נקבע באופן ייחודי באמצעות חמש נקודות שעליו, או באופן שקול, לכל חמש נקודות ישנו בדיוק חתך חרוט אחד שעובר דרך כולן. עם זאת במקרה של מעגל מספיקות שלוש נקודות, ובמקרה של פרבולה מספיקות ארבע נקודות.
הגדרות שקולות לחתכי חרוט.
לחתכי חרוט יש מספר הגדרות שונות, אבל כולן שקולות זו לזו, כולן מביאות לאותן הצורות. ההגדרות הן:
לכל ההגדרות הללו יש מקרים מנוונים; ההגדרה השלישית מאפשרת לקבוצה הריקה להיות חתך חרוט, וההגדרה הרביעית לא מאפשרת למעגלים להיקרא חתוך חרוט (פרט למקרה המנוון שבו היחס הוא 0, ואז חתך החרוט הוא רק המוקד, שזה גם מעגל).
ההגדרה השנייה נבדלת מההגדרה הראשונה, בכך שכל המושגים המוזכרים מוגדרים בצורה שונה.
הוכחה של שקילות ההגדרות הראשונה והשנייה מובאות בהמשך. קיימת עוד הוכחה הנקראת כדורי דנדלין.
פיתוח גאומטרי קלאסי של תכונות חתכי החרוט.
ההגדרה המקורית לעקומים הריבועיים (עקומים ממעלה שנייה) הייתה עקומים המהווים חתכי חרוט, כאשר רק זמן מה לאחר גילויים הוכח שחתכי חרוט מהווים עקומים ממעלה שנייה. להלן מובאים הפיתוחים הגאומטריים הקלאסיים לתכונות הריבועיות של חתכי החרוט. הפיתוחים שמובאים כאן הופיעו לראשונה אצל אפולוניוס מפרגה, אך אפולוניוס עצמו מציין שהטיעונים שלו לא מקוריים אלא מופיעים אצל מחברים מוקדמים יותר.
פרבולה.
אפולוניוס מביא הוכחה המבוססת על משפט 35 בספר השלישי של ה-"יסודות" של אוקלידס. משפט זה קובע תכונה חשובה של שני מיתרים במעגל שנחתכים: "מכפלת הקטעים שמקצה המיתר האחד על השני שווה למכפלת הקטעים שמקצה המיתר השני על הראשון". תכונה זו מועילה מאוד בניתוח העקומים נחתכים מחרוט על ידי מישור. אם נעזר במעט דמיון מרחבי, נבחין שאם נסתכל על החרוט כאוסף של פרוסות מעגליות ברדיוס משתנה, אז ניתן להיעזר במשפט כדי להסיק באופן מקומי דברים על קו החיתוך של פרוסה מעגלית כזאת עם המישור. כיוון שהעקום הנחתך סימטרי, אם נסתכל על המישור העובר דרך נקודות formula_5 ו-formula_6 באיור, אז נקבל אודות לסימטריה ולמשפט של אוקלידס ש-formula_7.
כעת נעזר בתכונה שחתך החרוט הפרבולי מתקבל על ידי חיתוך החרוט עם מישור שמקביל לאחד הקווים היוצרים שלו - לכן מרובע formula_8 הוא מקבילית ו-formula_9. מכאן נקבל formula_10. אם ניעזר בעובדה שמשולשים formula_11 ו-
formula_12 דומים נקבל: formula_13, במעברים האחרונים נעזרנו בדמיון משולשים וביישום המשפט של אוקלידס למעגל העובר דרך נקודות formula_14 ו-formula_15. קיבלנו: formula_16 ומכך נובע: formula_17 כלומר יש יחס קבוע בין ריבוע הרוחב של הפרבולה בציר אחד לאורך שלה בציר השני, וזו בדיוק התכונה הריבועית של הפרבולה.
מ.ש.ל
אליפסה.
ניתן ליישם את צורת ההסקה הזאת גם לאליפסה, אלא שהביטוי לריבוע מחצית הרוחב של החתך החרוטי הספציפי מוחלף בביטוי מסוג אחר. אם נסתכל על הביטוי שהתקבל מהמשפט של אוקלידס במקרה הפרבולי: formula_7, אז נקבל שבמקרה של אליפסה לא ניתן להחליף את formula_19 ב-formula_20 שכן כאשר החרוט מתרחב מתקיים formula_21 (הקו היוצר כבר לא מקביל למישור, והם מתקרבים זה לזה). כיוון שמדובר בקווים ישרים ניתן לקשר בין formula_19 ל-formula_20 על ידי ביטוי ליניארי מסוים, כלומר: formula_24. לכן נקבל: formula_25.
קיבלנו ש-formula_26 הוא ביטוי ריבועי ב-formula_27. אם נכייל את הביטוי הריבועי כך ש-formula_28 יימצא בנקודה בה formula_29 מקסימלי (במינוח מודרני, נציב את ראשית הצירים במרכז האליפסה), נפטר מן החלק הליניארי של הביטוי הריבועי ונקבל:
formula_30, כאשר formula_31 הוא קבוע חיובי כלשהו. קיבלנו את משוואת האליפסה.
מ.ש.ל
היפרבולה.
בעבור המקרה ההיפרבולי נפעיל תחילה את המשוואה ל-formula_26 כאשר formula_28 מוצבת בקודקוד ההיפרבולה. במקרה ההיפרבולי המישור החותך מתרחק משני הקווים היוצרים ולכן הסימנים של המקדמים formula_34 בביטויים הליניאריים שניהם חיוביים. לכן נקבל:
formula_35
מכיוון ש-V מוצבת בקודקוד ההיפרבולה HV יהיה שווה לאפס ולכן האיבר הקבוע בביטוי הריבועי מתאפס ומקבלים: formula_36
נציב formula_37 ונקבל: formula_38, וזוהי הצורה של משוואת ההיפרבולה, כאשר הפעולה של החלפה בין formula_27 ל- formula_40 משמעותה בעצם הצבת ראשית הצירים במרכז ההיפרבולה במקום בקודקוד שלה.
מ.ש.ל
הגדרה לפי מדריך ומוקד.
בהינתן ישר (המדריך) ונקודה (המוקד), חתך חרוט הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שיחס המרחק שלהן מנקודה קבועה, הקרויה מוקד, ומישר קבוע, הקרוי מדריך, הוא קבוע. יחס קבוע זה קרוי אקסצנטריות.
המעגל הוא מקרה גבול שאינו מוגדר על ידי מדריך ומוקד במישור האוקלידי. האקסצנטריות של המעגל מוגדרת כ-0 והמוקד הוא מרכז המעגל, אך המדריך הוא הישר באינסוף במישור הפרויקטיבי.
היסטוריה.
עבודתו של מנכמוס ועבודות אחרות.
מוערך כי ההגדרה הראשונה של חתך החרוט ניתנה על ידי מנכמוס (שמת בשנת 320 לפנה"ס) כחלק מהפתרון שלו לבעיית הכפלת הקובייה הדליאנית. עבודתו לא שרדה, והשמות בהם הוא השתמש כדי להתייחס לחתכי החרוט השונים אינם ידועים. עבודתו ידועה רק באמצעות מקורות משניים. האופן שבו סיווג מנכמוס את חתכי החרוט שונה מהשיטה המודרנית. חרוטים נוצרו על ידי סיבוב משולש ישר-זווית סביב אחד מניצביו כך שהיתר שלו ייצור את פני המשטח החרוטי (היתר נקרא קו יוצר). חרוטים חולקו לשלוש מחלקות לפי זווית הראש שלהם (שנמדדת כפעמיים הזווית בין היתר לניצב שסובבים סביבו במשולש ישר הזווית המקורי). חתכי החרוט נקבעו על ידי חיתוך החרוטים האלה עם מישור שניצב לאחד הקווים היוצרים שלהם. סוג החתך החרוטי נקבע אז לפי סוג החרוט, כלומר לפי זווית הראש של החרוט; אם זווית הראש היא חדה אז החתך יהיה אליפטי; אם הזווית ישרה אז החתך יהיה פרבולי; ואם הזווית קהה הוא יהיה היפרבולי.
מקורות קדומים מייחסים לאוקלידס כתיבה של ארבעה ספרים על חתכי חרוט אך אלו גם אבדו. ידוע שארכימדס חקר חתכי חרוט, וקבע את השטח התחום על ידי פרבולה ומיתר שלה בחיבורו תרבוע הפרבולה. תחום העניין המרכזי שלו היה בקביעת שטחים ונפחים הקשורים לחתכי חרוט וחלק מעבודתו שרד בספרו על גופי סיבוב של חתכי חרוט, על קונואידים וספרואידים.
אפולוניוס מפרגה.
ההתקדמות הגדולה ביותר בחקר חתכי החרוט ביוון העתיקה היא הודות לאפולוניוס מפרגה (שמת בשנת 190 לפנה"ס), אשר חיבורו בעל שמונת הכרכים "חתכי חרוט" או "הקוניקה" סיכם והוסיף רבות על הידע הקיים. חקירותיו של אפולוניוס את התכונות של חתכי החרוט הראו שכל מישור שחותך חרוט כפול, וללא קשר לזווית הראש של החרוט, יפיק חתכי חרוט בהתאם להגדרה הקודמת שלהם. בפרט, מעגלים, שאינם ניתנים לבנייה בשיטה הקודמת, גם הם ברי השגה בשיטה הזאת. בנוסף, אפולוניוס הוכיח את הזהות של חתכי החרוט עם ההגדרות הגאומטריות הקלאסיות של האליפסה, הפרבולה וההיפרבולה כמיקומים גאומטריים.
חתכי חרוט בפיזיקה.
חתכי חרוט מופיעים במכניקה כפתרונות האפשריים של בעיית קפלר.
ניוטון מצא כי מסלולם של כוכבי הלכת חייב להיות אחד מחתכי החרוט – מעגל, אליפסה, פרבולה או היפרבולה. הוא מצא כי אם כוכב לכת יגדיל בצורה מלאכותית את מהירותו עד כדי הגעה למהירות גבולית מסוימת, מסלולו יהפוך מאליפטי לפרבולי. אם מהירותו תהיה גבוהה עוד יותר מהמהירות הגבולית, מסלולו יהיה היפרבולי. הן המסלול הפרבולי והן המסלול ההיפרבולי הם מסלולים פתוחים – כלומר, גופים שינועו בהם יתרחקו מהשמש לבלי שוב.
מעגל
מעגל (או עיגול) הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, קבוע. המרחק של כל נקודה מהמרכז נקרא רדיוס (בעברית מחוג).
השטח שתחום על ידי מעגל נקרא עיגול. זהו המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהמרכז קטן מהרדיוס.
היחס בין אורך המעגל (היקף העיגול) לקוטרו קבוע בכל המעגלים, ומסומן על ידי האות היוונית π.
למעגל ברדיוס formula_1 היקף formula_2, והוא חוסם עיגול ששטחו formula_3.
מינוח בעברית.
מקור המילה הוא ב "והעיגולים מעלים את המלבנים (מלבן), והמלבנים מעלים את העיגולים"