בשנת 1958, לאור חוסר שביעות רצון מהתנהלות הקבוצה, הקים שפר את "הקבוצה למחקר מוזיקלי" (Groupe de Recherches Musicales) ששכנה מאוחר יותר ב-ORTF - שמה החדש של רשות השידור הצרפתית. הקבוצה קיימת עד היום.
תופעות מקבילות.
בתחילת שנות החמישים החל קרלהיינץ שטוקהאוזן לעבוד בתחום המוזיקה האלקטרונית. גם הוא השתמש בהקלטות של צלילים מצויים, אולם בניגוד לתנועת המוזיקה הקונקרטית, הוא גם החל לסנתז צלילים באמצעות מתנדים. שפר לא רצה לעבוד עם מתנד לצורך יצירת צליל שאינו נובע מן העולם ובניגוד אליו שטוקהאוזן רצה לפתח את האפשרות הזאת לצד האפשרות של הקלטת צלילים מצויים ועיבוד שלהם. הוויכוח בין שפר לשטוקהאוזן לא מנע מהאחרון ליטול חלק בפעילות "הקבוצה למחקר המוזיק קונקרט" תחת שפר.
פאמסה ולנסיה
חוק פרנק-סטרלניג של הלב
תעשיית הטקסטיל בישראל
שורשיה של תעשיית הטקסטיל בישראל בשנות ה-20 של המאה העשרים. היא הגיעה לשיא פריחתה בשנות ה-60 וה-70, שבמהלכן העסיקה רבבות עובדים. בסוף שנות ה-70 החלה התעשייה להצטמצם, בעקבות התחרות הגוברת של עבודה זולה בחו"ל. בשנת 2016 מנה ענף הטקסטיל כ-10,000 עובדים, שרבים מהם עוסקים בשיווק תוצרת שמיוצרת בחו"ל. התעשייה כוללת ייצור חומרי גלם (בדים, חוטים וכדומה) ומוצרים מוגמרים (ביגוד, מצעים ועוד).
היסטוריה.
בשנת 1924 הקימה קבוצת יזמים שמקורם בעיר לודז': משה ברלינסקי, בנימין גוטר, יצחק שינפרבר, אלעזר בראון, מאיר דנציגר ויהודה מוזס את חברת הטקסטיל "לודז'יה". בהמשך עבר המפעל לידיו של אריה שנקר. משפחת רוטלוי הקימה את מפעל "רוטקס", גם כן בשנת 1924. בשנת 1934 הקים אריך מולר את מפעל "אתא", באזור שבו נמצאת כיום קריית אתא. ב-1938 עבר המפעל לניהולו של בן הדוד הנס מולר שעלה אז ארצה. המפעל הפך למפעל הטקסטיל הגדול בארץ. במלחמת העולם השנייה היה המפעל הספק הגדול ביותר של בגדים לצבא הבריטי במזרח התיכון.
ב-1933 הקים התעשיין שמואל זקס את מפעל "משי זקס" לאריגת בדים. לידו פעל מפעל "ארגמן" לצביעת בדים בשותפות של זקס ואברהם קליר.
ב-1938 הוקם בפרדס כץ בית החרושת "אלד" לסריגי עילית. בשנת 1947 הוקם מפעל הסריגים "דורינא", ובשנת 1949 הקימו לאה וארמין גוטליב את חברת "גוטקס" לייצור בגדי ים. החברה זכתה במהלך השנים בפרסים בינלאומיים רבים. בשנות ה-50 הוקמו בעיירות הפיתוח מפעלי טקסטיל גדולים, ובהם "פולגת" בקריית גת ו"כיתן" בדימונה. בשנת 1975 הוקם בכרמיאל מפעל "דלתא גליל תעשיות" לייצור הלבשה תחתונה. המפעל זכה להצלחה רבה בישראל ובעולם, והעסיק אלפי עובדים.
בסוף שנות ה-70 ביטלה ממשלתו של מנחם בגין את מכסי המגן שהגנו על תעשיית הטקסטיל, והביאו לחשיפתה לתחרות של מוצרי יבוא זולים. מפעלים ישראלים העבירו פסי ייצור למזרח הרחוק, לירדן ולמצרים, שם נהנו מעבודה זולה, ומהסכמי ה-QIZ ופיטרו אלפי עובדים בישראל. בשנת 1985 נסגר "אתא" לאחר שנקלע למצוקה כלכלית, ו-1,000 עובדיו נותרו ללא מקום עבודה. באותה שנה המכרה לודז'יה למשפחת רוטלוי, מבעלי חברת רוטקס, ושתי החברות התמזגו ל"לודז'יה רוטקס חברה לטקסטיל בע"מ". במהלך שנות התשעים הועברו מחצית ממפעלי "דלתא גליל תעשיות" לירדן, ובשנת 2007 הועבר מפעל נוסף, מכרמיאל למצרים.
השריד האחרון כיום למפעלי הטקסטיל בישראל הוא מפעל הסריגה "אסיב תעשיות טקסטיל" מקיבוץ אפק, אשר הוקם בשנות ה-80 ומתמחה בייצור בדים בטכנולוגיה של סריגה במכונות סריגה עגולות ומציע מגוון גדול של אפשרויות סריגה מכל החוטים וסוגי הבדים הסרוגים, בין השאר, תחת הסכם ה-Qualifying Industrial Zone.
מידה מרוכבת
בתורת המידה, מידה מרוכבת היא פונקציית מידה שערכיה מרוכבים. פורמלית, מידה מרוכבת על מרחב מדיד formula_1 היא פונקציה formula_2 שהיא סיגמא-אדיטיבית, כלומר formula_3 לכל סדרה formula_4 של קבוצות זרות בזוגות השייכות ל-formula_5. בפרט כל טור formula_6 כזה מתכנס ולמעשה אף מתכנס בהחלט.
לא כל מידה חיובית היא מידה מרוכבת, משום שלמידות חיוביות מרשים לקבל את הערך formula_7, ואילו ממידה מרוכבת דורשים שכל הערכים יהיו מספרים. למעשה, מידה מרוכבת תמיד חסומה (על ידי מידת המרחב כולו).
תכונות של מידה מרוכבת.
יהי formula_1 מרחב מדיד ותהי formula_9 מידה מרוכבת עליו.
הסיגמא-אדיטיביות גוררת את העובדה הפשוטה formula_10 וזו בתורה גוררת אדיטיביות סופית: formula_11 לכל שתי קבוצות זרות formula_12.
כפי שמתקיים עבור מידות חיוביות, formula_9 היא רציפה מלמטה: אם formula_14 היא סדרה עולה של קבוצות מדידות, אז מתקיים formula_15. בדומה לזה, formula_9 היא רציפה מלמעלה: אם formula_17 היא סדרה יורדת של קבוצות מדידות, אז מתקיים formula_18.
האיחוד של סדרת קבוצות מדידות (וזרות בזוגות) formula_4 אינו תלוי בסדר האיברים, ולכן לכל הטורים המתקבלים מ-formula_6 על ידי סידור מחדש, יש אותו סכום. משפט סטנדרטי אומר שבמקרה זה הטור מתכנס בהחלט.
מידת ההשתנות הכוללת.
תהי formula_21 קבוצה מדידה ונגדיר פונקציה חדשה על formula_5 על ידי formula_23, כאשר הסופרמום נלקח על פני כל החלוקות האפשריות של formula_21 לסדרה של קבוצות מדידות formula_4 (ניתן לקחת את הסופרמום רק על פני כל החלוקות שבהן formula_26 לכל formula_27 טבעי פרט למספר סופי של קבוצות בסדרה ולקבל הגדרה שקולה).
ניתן להראות ש-formula_28 היא מידה חיובית ונהוג לכנות אותה מידת ההשתנות הכוללת (או מידת הערך המוחלט). למידה זו יש מספר תכונות מעניינות. ראשית כל, המידה המרוכבת formula_9 נשלטת על ידי formula_28, כלומר formula_31 לכל formula_21 מדידה. כמו כן, ברור כי formula_28 היא המידה החיובית המינימלית שלה תכונה זו. התכונה המפתיעה ביותר היא ש-formula_28 היא תמיד מידה סופית, כלומר formula_35. מכאן בפרט מקבלים שערכי המידה formula_9 שייכים כולם לעיגול הסגור ב-formula_37 שמרכזו בראשית ורדיוסו formula_38.
אינטגרציה ביחס למידה מרוכבת.
תהי formula_9 מידה מרוכבת. באמצעות משפט רדון-ניקודים ניתן להוכיח שקיימת פונקציה מרוכבת מדידה formula_40 המקיימת formula_41 לכל formula_42 כך ש-formula_43 לכל formula_21 מדידה. formula_40 זו היא הפונקציה היחידה שמקיימת תכונה זו, אם אנו מסכימים שלא להבדיל בין פונקציות שנבדלות בערכיהן רק על קבוצה ממידה formula_9 אפס. במצב זה מסמנים formula_47 ואומרים שזהו פירוק פולרי של המידה formula_9 (באנלוגיה לפירוק הפולרי של מספר מרוכב). כעת בהתבסס על בניית אינטגרל לבג עבור מידות חיוביות ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה מרוכבת מדידה formula_49 ביחס ל-formula_9 באופן הבא: formula_51.
בגישה אחרת, תחילה רושמים formula_52, כאשר formula_53 היא החלק הממשי של formula_9 ו-formula_55 היא החלק המדומה של formula_9. אז formula_53 ו-formula_55 הן מידות מרוכבות המחזירות ערכים ממשיים בלבד. באמצעות פירוק האן-ז'ורדן ניתן לרשום formula_59 ו-formula_60, כאשר formula_61 הן מידות חיוביות סופיות מסוימות. כעת ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה ממשית מדידה formula_49 ביחס ל-formula_9 באופן הבא:
כל עוד הביטוי באגף ימין מוגדר היטב, כלומר לא נתקלים בהפרש מהצורה formula_65. כעת עבור formula_49 מרוכבת מדידה מגדירים באופן טבעי
formula_67.
שתי הגדרות אלה ל-formula_68 הן שקולות. האינטגרל ביחס למידה מרוכבת מקיים את כל התכונות הרגילות של אינטגרל לבג, לרבות ליניאריות האינטגרל ומשפטי ההתכנסות הידועים.
רגולריות של מידה מרוכבת.
כעת נניח ש-formula_69 איננה סתם קבוצה, אלא מרחב טופולוגי, ונניח ש-formula_5 היא הסיגמא-אלגברה של בורל המתאימה ל-formula_69. בדומה למקרה של מידה חיובית, במקרה זה אנו אומרים ש-formula_9 היא מידת בורל. formula_9 נקראת מידת בורל רגולרית אם היא מידת בורל והמידה החיובית formula_28 היא רגולרית.
אחד מהשימושים החשובים של מידות מרוכבות מתבטא במשפט ההצגה של ריס ל-formula_75. המרחב formula_76 מורכב מכל הפונקציות formula_77 שהן רציפות ומתאפסות באינסוף, כלומר לכל formula_78 קיימת תת-קבוצה קומפקטית formula_79 שמחוצה לה ערכי הפונקציה formula_49 קטנים בערכם המוחלט מ-formula_81. זהו מרחב נורמי, כאשר פעולות החיבור והכפל בסקלר מוגדרות נקודתית והנורמה היא נורמת הסופרמום, קרי formula_82. המרחב הדואלי שלו, formula_75, מורכב מכל הפונקציונלים הליניאריים הרציפים formula_84.
כעת נניח ש-formula_69 הוא מרחב טופולוגי האוסדורף וקומפקטי מקומית. בהינתן מידת בורל מרוכבת רגולרית formula_9 על formula_69, ההעתקה formula_88 מגדירה פונקציונל ליניארי רציף על formula_76. משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי רציף על מרחב זה ניתן להצגה בצורה שכזו. באופן יותר פורמלי, הוא אומר שעבור כל פונקציונל ליניארי רציף formula_90, קיימת מידת בורל מרוכבת רגולרית formula_9 על formula_69 כך ש-formula_93 לכל formula_94, כלומר formula_95 מיוצג כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה המרוכבת formula_9. המידה formula_9 המתאימה ל-formula_95 מקיימת בנוסף את השוויון formula_99.
מרחב כל המידות המרוכבות.