ההוכחה מתחילה ביישום משפט השארית לאינטגרציה מרוכבת. בהינתן פונקציה אנליטית formula_9 בחצי המישור העליון, הפונקציה formula_10, כאשר formula_11 הוא מספר ממשי, תהיה גם היא אנליטית בחצי המישור העליון. ממשפט השארית נובע ש-
לכל מסילה בתוך אזור זה. אנו בוחרים את המסילה לעקוב אחרי הישר הממשי (real axis), ואז לעקוף מלמעלה את הקוטב ב-formula_13, ואז לעבור בקשת חצי-מעגלית בחצי המישור העליון כאשר רדיוסה שואף לאינסוף. אזי אנו מפרקים את האינטגרל לחלקיו השונים ותרומותיו לאורך כל חלק משלושת חלקי המסילה. אורך המסילה הקשתית באינסוף פרופורציונלי ל-formula_14, אך תרומתה מתאפסת אם formula_15 דועכת יותר מהר מאשר formula_4. לכן אנו נשארים עם הקטע על הישר הממשי וחצי העיגול סביב הקוטב:
את האיבר השני באמצע הביטוי מוצאים לפי משפט השארית. עם קצת אלגברה, מקבלים ביטוי קומפקטי שנותן את יחסי קרמרס-קרוניג
הפקטור formula_19 (מספר היחידה הדמיוני i2=-1) במכנה מרמז לקשר בין החלק הממשי לחלק המדומה של הפונקציה. לבסוף, רושמים את formula_20 כחלק ממשי וחלק מדומה, ומהביטוי לעיל מקבלים את יחסי קרמרס-קרוניג כפי שהם נתונים בסעיף "הגדרה".
פירוש פיזיקלי וצורה נוספת.
ניתן ליישם את הפורמליזם של קרמרס-קרוניג לפונקציות היגב ליניאריות. בפיזיקה, פונקציית ההיגב formula_21 מתארת כיצד תכונה מסוימת formula_22 של המערכת הפיזיקלית מגיבה לשינוי חיצוני או "כוח" חיצוני formula_23, כך ש
formula_24,
השיויון האחרון נכון מכיוון ש formula_25 עבור formula_26. זוהי המשמעות של סיבתיות, הכח formula_23 יכול להשפיע רק על העתיד של formula_22.
על ידי שימוש במשפט הקונבולוציה הביטוי יכתב במרחב התדר כ
formula_29.
כדוגמה לשימוש בביטוי formula_22 יכולה להיות זווית של מטוטלת ו- formula_31 הכוח שמפעיל מנוע המניע את המטוטלת וכך פונקציית ההיגב formula_21 מתאפסת עבור formula_26 שכן המטוטלת לא יכולה להגיב לפני שההכח החיצוני פעל עליה. ניתן להראות שמתנאי הסיבתיות, נובע שטרנספורם פורייה של formula_34 הוא אנליטי בחצי מישור העליון.
הוכחה זו ניתן להתחיל מהטיעון הפשוט הבא מכיוון שהפונקציה סיבתית formula_35
הביטוי הבא הוא טריוויאלי :formula_36
כאשר formula_37 היא פונקציית המדרגה.
כעת ניקח טרנספורם פורייה של שני צידי המשוואה על ידי שימוש במשפט הקונבולוציה ונקבל כי
formula_38
כאשר הגדרנו את formula_39 כטרנספורם פורייה של formula_37. על מנת לבצע את הטרנספורם יש להוסיף מקדם אינפיניטסימלי formula_41:
formula_42
נציב את הביטוי ונקבל את יחס קרמרס קרוניג. את האינטגרל עם הקוטב האינפיטיסימלי ניתן לרשום באמצעות הביטוי לאינטגרל לא שלם formula_43. כאשר יש לזכור כי הקוטב נמצא בחצי השלילי של המישור המרוכב.
אם אנו משעבדים את המערכת לכוח מחזורי עם תדירות הגבוהה בהרבה מתדירות התהודה (resonance) הגבוהה ביותר שלה, למערכת לא יהיה זמן להגיב לפני שהאילוץ החליף כיוון, ולכן formula_34 מתאפסת כש- formula_45 נהיה מאוד גדול. משיקולים פיזיקליים אלה, אנו רואים ש-formula_34 מספקת את התנאים עבור קיומם של יחסי קרמרס-קרוניג.
החלק המדומה של פונקציית ההיגב מתאר כיצד המערכת מאבדת אנרגיה, שכן היא לא באותו מופע עם הכוח המאלץ. מיחסי קרמרס-קרוניג נובע שמספיק לדעת את איבוד האנרגיה של המערכת כדי לקבוע את תגובתה שבאותן מופע, ולהפך.
נוסחאות אלה לא שימושיות בשחזור פונקציית ההיגב שכן האינטגרלים נעים מ-formula_47 עד ל-formula_48, ובכך מרמזים שאנו יודעים את ההיגב בתדירויות שליליות. ברוב המערכות, התגובה לתדירויות חיוביות קובעת גם את התגובה לתדירויות שליליות שכן formula_15 היא טרנספורם פורייה של פונקציה ממשית formula_50, ולכן formula_51. זה אומר ש-formula_52 היא פונקציה זוגית של התדירות ו-formula_53 היא פונקציה אי-זוגית של התדירות.
על ידי שימוש בתכונות אלה, אפשר לצמצם את טווח האינטגרציה לקטע formula_54. באמצעות היחס הראשון שנותן את החלק הממשי formula_55 נהפוך את האינטגרל לאינטגרל עם זוגיות מוגדרת על ידי הכפלת המונה והמכנה של האינטגרנד ב-formula_56 ונפריד
מאחר ש-formula_53 היא פונקציה אי-זוגית, האינטגרל השני מתאפס ואנו נותרים עם
פיתוח דומה עבור החלק המדומה נותן
אלו הם יחסי קרמרס-קרוניג השימושיים עבור פונקציית היגב פיזיקלית.
יישום באלקטרומגנטיות עבור מקדם דיאלקטרי.
באלקטרומגנטיות ואופטיקה, חומר דיאלקטרי הוא חומר מבודד בעל מקדם דיאלקטרי יחסי, המתאר כיצד הוא מגיב לשדה חשמלי ויוצר פולריזציה (קיטוב) בחומר. למקדם הדיאלקטרי גם חלק מדומה, הקובע את הבליעה של קרינה אלקטרומגנטית בחומר. יחסי קרמרס-קרוניג מאפשרים לחשב את בליעת החומר (החלק המדומה) בהינתן מקדם דיאלקטרי כתלות בתדר (החלק הממשי), ולהפך. המקדם הדיאלקטרי היחסי נתון על ידי
כאשר formula_62 היא הסוספטיביליות החשמלית (מניחות) של החומר, המתארת את היחס בין הקיטוב שנוצר בחומר לבין השדה החשמלי:
מאחר שהשפעת השדה החשמלי על המטענים בחומר איננה מיידית, יש לקחת קונבולוציה של המניחות עם השדה החשמלי כדי לקבל את הקיטוב:
גבולות האינטגרציה הן עד זמן t כי החומר לא מגיב לפני שהופעל עליו שדה (formula_65 ואז formula_66). תכונה זו - הסיבתיות - מבטיחה אנליטיות של טרנספורם פורייה של המניחות למרחב התדר, ולכן את קיומם של יחסי קרמרס-קרוניג, מהם ניתן לחלץ את המניחות והמקדם הדיאלקטרי כתלות בתדר.
הוכחה קשורה במרחב הזמן.
הול והק מציגים הוכחה קשורה ליחסים אלה שלא מערבת אינטגרל מסילתי. היא מבוססת על העובדות הבאות:
הוכחה זו שונה מזו שלמעלה בזה שהיא מקשרת את החלקים הממשי והמדומה של כל פונקציה במרחב התדר שהיא סיבתית במרחב הזמן, ועוקפת את התנאי שעל הפונקציה להיות אנליטית בחצי המישור העליון במרחב התדר.
ניתן למצוא גרסה מורחבת ויותר ציורית של הוכחה זו, למשל בלינק זה..
הנוכלים
הנוכלים (באנגלית: Hustle) היא סדרת טלוויזיה בריטית מסוגת הדרמה הקומית. במרכז הסדרה קבוצת נוכלים המונהגת על ידי מייקל סטון (מגולם על ידי אדריאן לסטר). קבוצת הנוכלים רוקמת הונאות ורמאויות ארוכות טווח, שמטרתן בדרך כלל רווח אישי, סיוע לאחד מחברי הקבוצה או לאחד מידידיהם. הם גאים בקוד מוסרי - לעולם לא לרמות אדם שתורם לחברה ולעולם לא לקחת את כספו האחרון של אדם, מה שגורם לדעתם למזל רע. הסדרה עלתה לראשונה למסך הטלוויזיה בבריטניה בערוץ BBC One בשנת 2004. בסך הכל הופקו 8 עונות של הסדרה, והפרק האחרון המסכם שודר ב-17 בפברואר 2012. בישראל שודרו עונות של הסדרה בערוץ 1 ובערוץ BBC Entertainment.
כמעט כל פרק מתחיל במעקב אחר דמות רעת-לב או חמדנית, כשבדרך כלל אלברט הוא העוקב. לאחר מכן החבורה מתכנסת במלון ואש או מייקל מסבירים על הדמות והחבורה מעלה רעיונות איך לרמות אותה, כשמייקל (או דני, בעונה הרביעית) מחלק את התפקידים. לעיתים, כשנדמה שידם על התחתונה מתגלה פתאום שהכל היה מתוכנן מראש והמצלמה "חוזרת אחורה בזמן" ומראה איך החבורה חשבה כמה צעדים קדימה.
קרב לטרון
סייברמן (דוקטור הו)
התבטאות בלתי-פרלמנטרית
אייק
חד קרן
מריאנבורג
האחיות ברי
האחיות ברי (לעיתים בארי; באנגלית: The Barry Sisters; ביידיש: שװעסטער באַרי) הוא שם הבמה של קלרה ומיני בייגלמן – אחיות יהודיות-אמריקאיות, שהתפרסמו בשנות ה-40, ה-50 וה-60 כזמרות ג'אז (בעיקר סווינג) ביידיש.
האחיות קלרה (קלייר; 2014-1923) ומיני (מירנה; 1976-1925) נולדו וגדלו ברובע הברונקס בניו יורק. תחילה הופיעו בשם "האחיות בייגלמן", אך עד מהרה שינו את שם הבמה שלהן ל"האחיות ברי".
האחיות ברי הקליטו מאות שירים וביצועים בתשע שפות שונות, אך רוב הרפרטואר שלהן היה שירי יידיש מקוריים וכן עיבודים רבים של שירי יידיש מסורתיים בביצוע סווינגי. האחיות ברי הופיעו לעיתים קרובות בתוכנית הרדיו "Yiddish Melodies in Swing" (ניגוני יידיש בסווינג). בשיא הפופולריות שלהן, הופיעו האחיות בתוכניות טלוויזיה מרכזיות כמו אלו של אד סאליבן וג'ק פאר. ב-1959 נמנו עם האמנים הבודדים שהורשו להופיע מעבר למסך הברזל.
בשנות השישים הופיעו האחיות ברי באולם אהל שם בתל אביב במסגרת תוכנית הבידור של קול ישראל אשר הועברה בשידור ישיר ברדיו.
האחיות ברי הקליטו שירים גם יחד עם אמנים אחרים, בהם ברברה סטרייסנד ומוישה אוישר.
האחיות בארי
דייוויד ווסט
פדרו רודריגז
פדריטו
ג'ייסון טרי
ג'ייסון יוג'ין טרי (באנגלית: Jason Eugene Terry; נולד ב-15 בספטמבר 1977) הוא כדורסלן עבר אמריקאי המאמן כיום את גרנד ראפידס גולד מליגת הפיתוח של ה-NBA. כינויו הנפוץ של טרי הוא "JET", הנובע מיכולותיו על המגרש. טרי זכה עם דאלאס באליפות ה-NBA בשנת 2011 והעפיל עמה לסדרת הגמר ב-2006, וזכה בפרס השחקן השישי של העונה ב-NBA ב-2009. הוא מדורג במיקומים גבוהים בדירוגי כל הזמנים של דאלאס במספר מדדים, ובהם קליעות מ ואחוזי קליעת שלשות.
ראשית חייו.
ג'ייסון טרי נולד בסיאטל שבוושינגטון לאנדראה צ'יטהאם ולקורטיס טרי, והיה הבן השני מתוך עשרה ילדים שנולדו לאנדראה. אמו עבדה בתור נהגת אוטובוס, ואילו אביו היה בעברו כדורסלן מצטיין בליגת בתי הספר התיכוניים האמריקאית. כנער העריץ טרי במיוחד את גארי פייטון, שהיה שחקנה של סיאטל סופרסוניקס מליגת ה-NBA, וניסה רבות במגרשי הכדורסל לחקות את סגנון משחקו.