יש אותה נקודת שבת אבל בנקודה זאת הנגזרת שווה ל-0, ולכן הסדרה שואפת לגבול הרבה יותר מהר (מספר הספרות הנכונות בערך מוכפל בכל איטרציה).
קבוע אומגה מקיים את הזהות:
תכונות.
קבוע אומגה הוא אי-רציונלי. הוכחה: נניח בשלילה שהוא רציונלי, ואז קיימים p ו-q שלמים כך ש-
ואז
אבל e הוא מספר טרנסצנדנטי, ואילו הביטוי שאליו הגענו הוא שורש של פולינום בעל מקדמים רציונלים (ממעלה q) כלומר אלגברי. סתירה.
קבוע אומגה הוא גם טרנסצנדטי. כיוון שאילו הוא היה אלגברי אז לפי משפט לינדמן-ויירשטראס formula_15 יהיה טרנסצנדטי וכך גם
formula_16, וזאת סתירה להנחה שקבוע אומגה אלגברי.
האנטישמיות החדשה
האנטישמיות החדשה כוללת תופעות אנטישמיות אסלאמיסטיות, נוצריות קתוליות ומודרניות, בעלות חידושים ואופי ייחודי שהחלו להתבטא בסוף המאה ה-20 והתחזקו בתחילת המאה ה-21. בשונה מביטויי האנטישמיות המסורתית בהם ביקשו להעמיד מציאות של אמת אחת, תוך ביטול השונה, מבקשת האנטישמיות החדשה להכיר באחר ובשונה תוך כיבוד הגיוון התרבותי, האתני והדתי, אך להדיר את ישראל כחברה סוררת הדובקת בציונות, כדגם אתנוצנטרי של מדינת לאום. האנטישמיות החדשה מתאפיינת בשנאה והסתה נגד מדינת ישראל ובהתנגדות לקיומה, לצד שנאה ואלימות כלפי יהודים.
לפי מנפרד גרסטנפלד האנטישמיות החדשה מורכבת משלושה גורמים עיקריים. הראשון, אנטישמיות המיובאת מהעולם הערבי והמוסלמי שאינה מבחינה בין ישראלי ויהודי וטוענת כי יהודים הם מקור לכל הרוע בעולם, וכוללת רעיונות על שאיפה יהודית להשתלטות עולמית ואמונה כי יהודים משתמשים בדם ילדים לא-יהודים למטרות פולחן, תוך הזדהות עם תעמולה פלסטינית נגד ישראל ויהודים. השני, אנטישמיות עיקשת של הימין הקיצוני והנאו-נאציזם (הנפוץ בעיקר במזרח אירופה) המשתמשים בעיקר בתעמולה זהה לזו של גרמניה הנאצית תוך הוספת אלמנטים חדשים. שלישי, אנטישמיות השמאל הרדיקלי (הנפוץ בעיקר במערב אירופה) שמקורה בטיעונים שהורכבו בעיקר על ידי ברית המועצות. לאחר מלחמת ששת הימים ביקשו להפוך את השואה באופן שיטתי, למטרות אנטישמיות. כשאנטישמיות זו לרוב מוסווית בדמות אנטי-ציונות ומאשימה את ישראל בכל הרעות החולות שבוצעו על ידי אירופה הקולוניאליסטית. לפי ז'ורז'-אליה צרפתי , סוג תעמולה זה מחבר את כל "ארבעת המאפיינים השליליים העיקריים של ההיסטוריה המערבית של המאה האחרונה - נאציזם, גזענות, קולוניאליזם ואימפריאליזם - למדינת ישראל".
האנטישמיות החדשה מתאפיינת בעיקר בהאשמת ישראל בביצוע רצח עם בפלסטינים, תוך השוואת מצב הפלסטינים ליהודים בתקופת השואה; אמונה בשליטה יהודית-ישראלית על ארצות הברית והממלכה המאוחדת, המקדמת מדיניות, יציאה למלחמה והקרבת קורבנות - לטובת ישראל; התנגדות לציונות ולעצם קיומה של מדינת ישראל, להבדיל מהשמעת ביקורת על מדיניותה של ממשלת ישראל ועל פעולות צה"ל. לרוב התנגדות זאת מתבטאת בחרמות כלכליים, צרכניים ואקדמיים נגד ישראל, ולעיתים גולשת לשנאת יהדות התפוצות ומתבטאת באלימות, דמוניזציה, הסתה ואפליה.
אפיון האנטישמיות החדשה.
בכל שלוש הצורות העיקריות של האנטישמיות, היהודי הושמץ כמייצג את כל הרע שבעולם. באנטישמיות ה"דתית" - היהודים אופיינו כשטן או כמקורבים אליו והואשמו בהריגת ישו, שהוצג כבנו של אלוהים. באנטישמיות ה"גזענית" - היהודים הואשמו בהרעלת העולם בהתנהגותם ורעיונותיהם. היום, האנטישמים ה"חדשים" מציגים את ישראל כמדינה רעה. כאשר מקבלי החלטות משוכנעים כי אדם או מדינה מסוימת מגלמים את הרוע, השלב הבא להתמודדות מול "הרוע" יהיה הפרדה, שיעבוד, או אפילו השמדה. בימי הביניים ההתמודדות מול רוע היהודים בקרב מקבלי ההחלטות הייתה הגליה או הגבלה לגטאות תוך שלילת זכויות מהן נהנו הנוצרים. בתקופת הנאציזם ביקשו לחסל את היהודים, זאת כשהאנטישמיות החברתית והדה-לגיטימציה המוקדמת של היהודים, תוך שלילת אנושיותם, הכינה את הקרקע להשמדתם הפיזית.
האנטישמיות החדשה באירופה, בקנדה ובארצות הברית פועלת לצד מאפיינים עכשוויים של אנטישמיות קלאסית: הפצת שמועות בעלות אופי קונספירטיבי אנטישמי כגון וריאציות אקטואליות של הפרוטוקולים של זקני ציון, האשמת היהודים במשבר הכלכלי העולמי ובפיגועי 11 בספטמבר והכחשת השואה ("הציונים זייפו את השואה כדי להשתלט על פלסטין"). לעיתים מתרחשת גם אלימות פיזית כנגד יהודים, לרבות טרור, וכן ונדליזם כנגד בתי כנסת ובתי עלמין יהודיים. רבות מהתקפות אלה נעשו על ידי מהגרים מוסלמים באירופה וארצות הברית.
ארווין קוטלר, פרופסור למשפטים וזכויות אדם, טוען שהאנטישמיות הקלאסית הפלתה יהודים כפרטים, ואילו האנטישמיות החדשה, בניגוד לה, "מעוגנת בהפליה כנגד היהודים כעם, וכמימוש לאומיותם בישראל. בכל צורה, המהות של האנטישמיות היא זהה - התקפה על ליבת הזהות היהודית בכל רגע." קוטלר טוען שקשה לכמת את האנטישמיות החדשה, מאחר שהקריטריונים הרגילים שמשמשים ממשלות לגלות הפליה - כגון מצב כלכלי, דיור, בריאות ותעסוקה - שימושיים רק לגילוי הפליה כנגד פרטים. לכן, קשה להראות שהאנטישמיות החדשה אכן קיימת במובנים אלה.
קוטלר מגדיר "אנטישמיות קלאסית או מסורתית" כ"הפליה כנגד, שלילת זכויות או תקיפת יהודים ושלילת זכותם לחיות כחברים שווי-זכויות בקרב החברה בה הם גרים", ואת "האנטישמיות החדשה" כ"הפליה כנגד זכותו של העם היהודי לחיות כאומה שווה זכויות בקרב משפחת העמים - שלילת ותקיפה אף של זכותו של העם היהודי לחיות - כאשר ישראל היא בעצם היהודי הקולקטיבי בקרב האומות."
הפובליציסט בן-דרור ימיני מרבה לכתוב, מאז פרוץ האינתיפאדה השנייה, על האנטישמיות החדשה ונגד מה שהוא רואה כהסתה נגד ישראל בעולם מצד פלסטינים, פעילי שמאל רדיקלי ואחרים. הוא מכנה זאת "תעשיית השקרים" ו"אנטישמיות במסווה של אנטי-ציונות" או "אנטישמיות פוליטיקלי קורקט". לטענתו, השנאה לישראל והאנטי-ציונות הקיצונית שנהפכו לרווחות בעשור האחרון, הן למעשה ביטוי חדש לאנטישמיות הקלאסית, והשנאה המסורתית ליהודים מתועלת לשנאה כנגד ישראל (שנחשבת ללגיטימית יותר לעומת האנטישמיות המסורתית שנתפשת כגזענות לא-לגיטימית בעקבות זוועות השואה). כשם שהאנטישמיות הישנה השתמשה בעלילות דם כדי להסית לרצח יהודים, כך גם האנטישמיות החדשה משתמשת בעלילות דם ושקרים רבים כדי להסית ולעורר שנאה כלפי ישראל והיהודים. גם אמנון רובינשטיין הרבה לכתוב נגד האנטישמיות החדשה, בהתחלה בעיתון "הארץ" ומאוחר יותר ב"מעריב".
יסודות.
היסודות הבאים הם שמגדירים את האנטי-ציונות החדשה כאנטישמיות:
מאפיינים.
ארווין קוטלר, פרופסור באוניברסיטת מקגיל ומומחה מוביל לזכויות אדם, מונה תשעה מאפיינים של האנטישמיות החדשה:
הגדרת מחלקת המדינה של ארצות הברית לאנטישמיות.
מבחן שלושת ה-D לאנטישמיות של נתן שרנסקי אומץ על ידי מחלקת המדינה של ארצות הברית. המבחן נועד להבחין בין ביקורת לגיטימית של מדינת ישראל לאנטישמיות. כששלושת ה-D-ים מייצגים: דה-לגיטימציה ("Delegitimization") דמוניזציה ("Demonization") ומוסר כפול ("Double standards") כלפי מדינת ישראל, כשכל אחד מאלו מייצג אנטישמיות.
הגדרת האיחוד האירופי לאנטישמיות.
הפורום האירופי לאנטישמיות הגדיר מספר נקודות "לזיהוי אירועים, איסוף נתונים ולסיוע ביישום ואכיפת חקיקה העוסקת באנטישמיות", ובהם:
הגדרת ה-IHRA.
הברית הבינלאומית לזיכרון השואה IHRA פרסמה ב-2016 הגדרת עבודה למהי אנטישמיות שידועה כהגדרת IHRA לאנטישמיות . ההגדרה אומצה על ידי מדינת ישראל ועל ידי 32 מדינות ברחבי העולם (נכון ל-2021). ההגדרה נפתחת במבוא:
בהמשך הובא פירוט להתבטאויות נפוצות של האנטישמיות. הגדרה זו אומצה על ידי האיחוד האירופאי.
המניעים לעליית האנטישמיות החדשה.
אנטישמיות ככלי פוליטי.
"זהות משותפת" ובריתות מסוג "אויב אויבי הוא חברי".
הוגי דעות אירופאים מובילים טוענים בשנים האחרונות כי אירופה בונה את זהותה וערכיה בהתנגדות למדיניות ארצות הברית, ומכאן גם ההתנגדות לישראל. שכן לפי אנדריי מרקוביץ , האנטי אמריקניזם והאנטישמיות הם הסמלים הגדולים היחידים המשותפים לשמאל ולימין הקיצוני האירופי, הכולל גם את הנאו-נאציזם ואת העולם האסלאמי והלטיני. לכן בעולם הפוסט-מודרני, האנטישמיות החדשה מופצת לא ממקור יחיד אלא מממשלות ומגופים דתיים שונים ורבים ומהתקשורת בעולם הערבי. האחרונים אינם מבחינים בשנאתם בין הישראלים ליהדות התפוצות ופועלים להפצת האנטישמיות בעולם הערבי, הם תומכי אסלאם נלהבים ונאו-נאציזם. באירופה מפיצי האנטישמיות הם פעילי שמאל אך גם פעילי מרכז, שלפי אלן פינקלקראוט, החדירו לאירופאים את הרעיון שכשתחדל ישראל להתקיים יחדל גם הטרור המוסלמי, ומכאן אירופים רבים חולקים כיום את אותו הרצון, כמחרחרי השנאה הערבים, להיעלמותה של ישראל.