דוגמה נוספת למספרים אי-רציונליים מתייחסת לפונקציית לוג (formula_17): לכל שני מספרים ראשוניים שונים, p ו-q, המספר formula_18 אינו רציונלי, משום שאם היחס היה רציונלי, אפשר היה לכתוב formula_19 עבור a ו-b שלמים, אבל אז formula_20, וזה בלתי אפשרי.
דוגמה אחרת למספר אי רציונלי היא המספר π (פאי), שהוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו. ערכו הוא formula_21, קרוב ל- formula_22, אך הוכח שאין שני מספרים שלמים שחלוקתם זה בזה תיתן את ערכו המדויק של π.
מספרים אי-רציונליים מפורסמים נוספים הם e ויחס הזהב.
כל מספר טרנסצנדנטי (מספר שאינו אלגברי) הוא אי-רציונלי. ההפך אינו בהכרח נכון. למשל formula_2 ויחס הזהב הם מספרים אלגבריים אי-רציונליים.
אף שמספרים אי-רציונליים נפוצים פחות בחיי היום-יום, ניתן להראות כי כמעט כל המספרים הם אי-רציונליים. זאת משום שעוצמת המספרים הרציונליים היא formula_24 בעוד עוצמת המספרים האי-רציונליים היא formula_25 (ראו האלכסון של קנטור).
מספר אי-רציונלי בחזקת מספר אי-רציונלי.
אם a אי-רציונלי, אז גם ההפכי formula_26 הוא אי-רציונלי, וכך גם השורשים formula_27 (עבור n טבעי). החזקה formula_28, כאשר r רציונלי, עשויה להיות רציונלית.
מספר אי-רציונלי בחזקת מספר אי-רציונלי יכול להיות רציונלי. הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך ניתנת על ידי הצגת המספר formula_29 והמספר formula_30. קל לראות שהראשון הוא מספר אי-רציונלי בחזקת אי-רציונלי ושהשני הוא מספר שלם ולכן רציונלי. מכאן נובע שלפחות אחד מהשניים מראה כי הטענה הנ"ל נכונה, שכן אם המספר הראשון הוא רציונלי אז סיימנו, אחרת השני הוא אי-רציונלי בחזקת אי-רציונלי שתוצאתו רציונלית ועל כן סיימנו.
לדוגמה זו בפרט ניתן להוכיח כי formula_29 הוא טרנסצנדנטי תוך שימוש במשפט גלפונד-שניידר האומר כי אם formula_32 הוא אלגברי שאינו formula_33 או formula_34 ו-formula_35 הוא מספר אלגברי אי-רציונלי, אז formula_36 הוא טרנסצנדנטי.
IBM AIX
AIX היא הגרסה של חברת IBM למערכת ההפעלה UNIX. מערכת ההפעלה הוצגה לראשונה בשנת 1986. השם AIX הוא ראשי תיבות של Advanced Interactive eXecutive, אך השם המלא כמעט שאינו בשימוש. AIX היא מערכת ההפעלה העיקרית של משפחת מערכות המחשב System p של IBM, ופועלת על גבי מעבדים בארכיטקטורת IBM Power, ומעבדי PowerPC בגרסאותיה הישנות.
מערכת ההפעלה AIX ידועה בשל האינטגרציה המצוינת של מרכיבי החומרה והתוכנה, המדרגיות, מערכת הקבצים (JFS2) ויכולות הניהול הקלות-יחסית. עם זאת, ל-AIX מוניטין מפוקפק בכל הקשור לתאימות לגרסאות UNIX אחרות. מתחילת המאה העשרים ואחת ואילך, עשתה חברת IBM מאמץ להגביר את התאימות של AIX ללינוקס, ונכון לשנת 2007 השתיים נהנות מתאימות כמעט מלאה.
גרסת AIX, (אוקטובר 2015) היא 7.2.
בין התכונות הנתמכות: תמיכה ב-64 מעבדים במדרגיות כמעט-ליניארית, מחיצות לוגיות, מיקרו-מחיצות לוגיות והסמכה לתקן האבטחה CAPP/EAL4.
סולריס
אוסטרליה
אוסטרליה (באנגלית: Australia), או בשם הרשמי הקהילייה של אוסטרליה (באנגלית: Commonwealth of Australia), היא פדרציה המאגדת בתוכה שש מדינות ועוד עשר טריטוריות, ששלוש מהן הן חלק מהיבשת עצמה. המדינות הן ניו סאות' ויילס, ויקטוריה, קווינסלנד, אוסטרליה הדרומית, אוסטרליה המערבית וטסמניה. הטריטוריות הן "הטריטוריה הצפונית", "טריטוריית מפרץ ג'רוויס" ו"טריטוריית הבירה האוסטרלית". אוסטרליה היא מונרכיה חוקתית, משתייכת לממלכות חבר העמים הבריטי והמלכה אליזבת השנייה היא ראש המדינה.
האוכלוסייה באוסטרליה כיום כוללת ברובה אנשים ממוצא אירופאי, בפרט מהאיים הבריטיים. תושביה המקוריים של אוסטרליה וילידי המקום מכונים אבוריג'ינים, ומהווים כיום מעט יותר מ-2 אחוזים מאוכלוסיית היבשת.
היסטוריה.
מניחים שאוסטרליה הייתה מיושבת לפחות 60 אלף שנה, כאשר אבות האבוריג'ינים היגרו אליה מדרום-מזרח אסיה. האירופים גילו את היבשת בראשית המאה ה-17, עת ביקרו במקום מספר משלחות מחקר הולנדיות. האנגלי הראשון שהגיע ליבשת הוא ויליאם דמפייר (William Dampier), בשנת 1688. בשנת 1770 הגיע לאוסטרליה ג'יימס קוק (James Cook). קוק תבע חזקה על שני שלישים מהיבשת, למרות הוראות מפורשות של המלך ג'ורג' השלישי, לנהל משא ומתן עם התושבים המקומיים לפני כל פעולה חד-צדדית. דיווחו של קוק, שאוסטרליה לא מיושבת, הביא לייסוד מושבת עונשין במקום, לאחר איבוד המושבות באמריקה (בשנת 1783).
משט האסירים הראשון יצא מנמל פורטסמות' באנגליה ב-13 במאי 1787 ב-11 אניות, חלף סביב כף התקווה הטובה והגיע ליבשת אוסטרליה ב-26 בינואר 1788. באותו יום ייסד הקפטן והמושל ארתור פיליפ את המושבה ניו סאות' וולס (New South Wales) בסידני. בהפלגה הראשונה הגיעו לאוסטרליה 739 אסירים, בהם 518 גברים, 185 נשים, 14 אסירים ילדים ו-22 תינוקות שנולדו במהלך ההפלגה.
תאריך הגעת משט האסירים הראשון מבריטניה הוכרז לאחר מכן כחג לאומי - יום אוסטרליה (Australia Day).
המושבה "ארץ ואן דימן" (Van Diemen's Land) (כיום טסמניה) נוסדה בשנת 1803. יתרת השטח, המוכר כיום כמדינת אוסטרליה המערבית סופח בשנת 1829. בעקבות התפשטות היישוב הבריטי הוקמו מושבות חדשות בשטח היבשת: אוסטרליה הדרומית בשנת 1836, שבירתה אדלייד; ויקטוריה ב-1851, שבירתה מלבורן; וקווינסלנד ב-1859, שבירתה בריסביין. מדינת הטריטוריה הצפונית נוסדה בשנת 1863, כחלק מהמושבה של אוסטרליה הדרומית.
בין השנים 1855–1890 הפכו שש המושבות בהדרגה לאוטונומיות, והשלטון המקומי דאג לרוב ענייניהן הפנימיים. הממשל הבריטי שמר לעצמו כמה זכויות, בעיקר במדיניות החוץ, הביטחון והספנות הבינלאומית. למרות הכלכלה האגררית נשארה אוסטרליה מדינה אורבנית. הקהילות העיקריות נוצרו סביב סידני ומלבורן. בשנת 1880 הייתה מלבורן אחת הערים הגדולות באימפריה הבריטית. המקום זכה גם לכינוי "גן העדן של הפועלים" ו"מעבדה לרפורמות סוציאליות", עם ההצבעה החשאית הראשונה בעולם, ותחת הממשלה הראשונה של המדינה שהורכבה על ידי מפלגת השמאל.
ב-1 בינואר 1901, בתום תהליך שנמשך עשר שנים, התאחדו המושבות למדינה פדרלית אחת כדומיניון של האימפריה הבריטית. על אף שאוסטרליה זכתה בעצמאות, שמר הממשל הבריטי לעצמו כמה תפקידים, עד אשר חוק וסטמינסטר (Statute of Westminster) ביטל מצב זה.
האבוריג'ינים היו חסרי זכויות פוליטיות עד למשאל עם בשנת 1967, שהכיר בהם כאזרחים שווי זכויות והם קיבלו זכות הצבעה.
אוסטרליה השתתפה בשתי מלחמות העולם תחת הכתר הבריטי. הכוח הצבאי ההתנדבותי של אוסטרליה אוחד יחד עם הכוח הצבאי של ניו זילנד ונקרא אנזא"ק - ANZAC. במלחמת העולם הראשונה, אחד הקרבות המפורסמים בהם נלחם אנזא"ק הוא קרב גליפולי בטורקיה, אשר החל ב-25 באפריל 1915 (יום שאף אותו מציינים). בנוסף, כוח אנזא"ק היה חלק מהצבא הבריטי שכבש את ארץ ישראל מידי הטורקים. כוחות אנזא"ק גילו אהדה וחביבות לבני היישוב היהודי בארץ ישראל וזכורים עקב כך לטובה בהיסטוריה הציונית. בתחילת מלחמת העולם השנייה שוב התגייס הצבא האוסטרלי לצד בריטניה, במערכה נגד גרמניה הנאצית. לאחר ההשתלטות היפנית על דרום מזרח אסיה החלו היפנים להפציץ את ערי צפון אוסטרליה ונמליה, בעיקר דרווין שבטריטוריה הצפונית. על רקע החשש מיפן, הפנתה אוסטרליה את כוחותיה בעיקר לחזית באסיה, והתבוסה היפנית לצבא ארצות הברית הפכה את אוסטרליה לבת ברית קרובה של האמריקאים. מאז 1945 השתתפה אוסטרליה בכל המלחמות שבהן השתתפה ארצות הברית, ביניהן מלחמת קוריאה, מלחמת וייטנאם, מלחמת המפרץ ומלחמת עיראק.
מאורעות מלחמת העולם השנייה הביאו את ממשלות אוסטרליה לקדם מדיניות של יישוב היבשת, אך תחת מדיניות אוסטרליה הלבנה הועדפו מהגרים אירופאים, בעיקר מבריטניה ואירלנד, ארצות האם של מרבית האוסטרלים, אך גם מיוון ואיטליה.
לאחר אירועי 11 בספטמבר התייצבה אוסטרליה לימין ארצות הברית, ותמיכתה במלחמה האמריקאית בטרור אף התחזקה לאור ה בבאלי ב-2002, שבו נהרגו אוסטרלים רבים. ב-2003 שלחה אוסטרליה כ-2000 חיילים למלחמה בעיראק וראש הממשלה מטעם המפלגה הליברלית ג'ון הווארד ניהל מדיניות פרו אמריקאית, אף יותר מזו של טוני בלייר, ראש ממשלת בריטניה. בימיו של ג'ון הווארד זכתה אוסטרליה לצמיחה כלכלית מרשימה ולתיירות עולמית גדלה. בבחירות נובמבר 2007, לאחר יותר מעשר שנות שלטון המפלגה הליברלית, ניצחה בפער גדול מפלגת הלייבור בראשות קווין ראד את יריבתה.
קביעת עיר הבירה.
פרנסי שתי הערים הגדולות, סידני ומלבורן האמינו כי עירם היא זו שראויה להיות עיר הבירה של המדינה. המאבק בין שתי הערים נמשך זמן מה עד שב-2 בפברואר 1899 החליטה האספה הכללית כי כפשרה תיבנה עיר חדשה בשם קנברה והיא זו שתהיה עיר הבירה.
בשנת 1911 הופרד מחוז טריטוריית הבירה האוסטרלית (Australian Capital Territory) ממדינת ניו סאות' וולס. והעיר קנברה, שהוקמה בו, הוכרזה כעיר הבירה של אוסטרליה.
פוליטיקה.
אוסטרליה היא מונרכיה חוקתית. מלכת הממלכה המאוחדת היא ראש המדינה הרשמית והיא מיוצגת בידי המושל הכללי. באופן רשמי תוארה של אליזבת השנייה הוא: 'בחסד האל, מלכת אוסטרליה והממלכות והטריטוריות האחרות שבממלכתה, ראש חבר העמים'. לפי החוקה האוסטרלית, תפקידי המלך הם טקסיים. במשאל עם שנערך באוסטרליה ב-1999, נדחתה ההצעה להפוך את אוסטרליה לרפובליקה והוחלט להשאיר את המונרך הבריטי כראש המדינה.