ההוכחה. ראשית נגדיר formula_7 (מחלק משותף מקסימלי). formula_8 מחלק של formula_3 ולכן מהגדרת הראשוניות formula_10 או formula_11. אם formula_11 אז מכיוון ש-formula_13 נקבל formula_5 כפי שרצינו להוכיח. אחרת, formula_10, כלומר formula_16 ו-formula_3 מספרים זרים. לפי אלגוריתם אוקלידס קיימים formula_18 ו-formula_19 שלמים כך ש-formula_20. נכפיל שוויון זה ב-formula_21: formula_22. formula_3 מחלק הן את formula_24 והן את עצמו ולכן formula_25 מש"ל.
המשפט ההפוך.
משפט. אם &lt;math&gt;1 מקיים שלכל formula_16 ו-formula_21 כך ש-formula_4, מתקיים formula_5 או formula_6, אזי formula_3 ראשוני.
נניח שלכל formula_16 ו-formula_21 שלמים, אם formula_4 אז formula_5 או formula_6. יהי formula_37 פירוק של formula_3. בפרט formula_39 ולכן נניח ללא הגבלת הכלליות ש-formula_40. מכאן שקיים formula_41 שלם כך ש-formula_42. נצמצם ב-formula_43: formula_44. formula_8 מחלק של 1 ולכן formula_46. כלומר formula_37 הוא פירוק טריוויאלי ו-formula_3 בהכרח ראשוני.
הכללות.
באינדוקציה ניתן להרחיב את המשפט למספר כלשהו של גורמים במכפלה.
בתחום שלמות כללי איבר ראשוני מוגדר כאיבר שמקיים את הלמה של אוקלידס. הוכחת הכיוון ההפוך מדגימה שאיבר ראשוני הוא בהכרח אי-פריק (לא ניתן להצגה כמכפלה של גורמים לא הפיכים). לעומת זאת בתחום שלמות כללי איבר אי-פריק אינו בהכרח ראשוני. למשל ב-formula_49 2 אי-פריק, אבל אינו ראשוני כי אינו מחלק אף אחד מן הגורמים במכפלה: formula_50.
בניסוח אלגברי הלמה של אוקלידס קובעת שבחוג המספרים השלמים כל איבר אי-פריק הוא ראשוני. טענה זו נכונה בכל תחום פריקות יחידה ובאופן כללי יותר בכל תחום gcd. כך למשל הלמה של אוקלידס תקפה גם בחוג הפולינומים במקדמים שלמים כשאת תפקיד הראשוניים תופסים הפולינומים האי-פריקים. תחום שלמות הוא תחום פריקות יחידה אם ורק אם מתקיימת בו הלמה של אוקלידס ואין בו סדרות אינסופיות יורדות של מחלקים אמיתיים.
תרו
בית איתין
בית איצקוביץ
קו פאנגן
אנוואר נוסייבה
אנוואר נוסייבה (בערבית: انور نسيبة; ירושלים, 1913 - 22 בנובמבר 1986) היה מדינאי בתנועה הלאומית הפלסטינית אשר קידם את רעיון האחדות באומה הערבית על יסוד הטענה כי המאחד בין הערבים גדול מהבדלי ההשקפות הקיימים ביניהם. נוסייבה האמין בהשתתפות פעילה במערכת השלטונית הקיימת, זאת כדי לקדם את רעיונות הלאומיות הפלסטינית. מתוך אמונה זו נטל חלק פעיל בשלטון הירדני בין השנים 1951 עד 1967. לאחר מלחמת ששת הימים הוא עודד את בנו, סרי נוסייבה, ליצור קשרים עם ישראלים.
תולדות חייו.
נוסייבה נולד בירושלים למשפחה ידועה ובעלת נכסים. אילן היוחסין של משפחתו בירושלים מתחיל עם הכיבוש המוסלמי במאה ה-7 לספירה. הוא למד משפטים באוניברסיטת קיימברידג', עבד כעורך דין בירושלים והתמנה לשופט במערכת המשפט של המנדט הבריטי בארץ ישראל. בשנת 1948, בעת מלחמת העצמאות הוא נורה ונפצע באש מהדסה הר הצופים, בדרכו מנווה יעקב, בעת שהוביל כנופיה חמושה של ערביי חיפה שהגיעו לירושלים כדי לכבוש את כנסיית הקבר ומסגד עומר. בעת הטיפול בפציעתו נכרתה רגלו.
לאחר שנעדר מירושלים לתקופה קצרה, ושימש מזכיר ממשלת כל פלסטין, הוא שב אליה לאחר שסופחה לירדן. בשנת 1951 נבחר לפרלמנט הירדני. החל משנות ה-50 הוא מילא תפקידים שונים בממשלת ירדן. בספטמבר 1952 מונה לשר הבינוי והשיכון ובאוקטובר אותה שנה מונה אף לשר ההגנה, תפקידים בהם שימש עד חודש מאי 1953. במאי 1954 מונה בשנית לשר ההגנה ואף לשר החינוך. הוא שימש כשר ההגנה הירדני עד 28 במאי 1955.
בשנת 1963 הוא מונה על ידי המלך חוסיין לשגריר ירדן בבריטניה. בתקופת כהונתו בלונדון הוא יצר קשרים קרובים עם בני משפחת המלוכה הבריטית. בשנת 1965 מונה למושל ירושלים. לאחר מלחמת ששת הימים הפסיק לשרת במערכת השלטון הירדנית והיה לאחד הפלסטינים הראשונים שיצרו קשרים עם גורמי שלטון בישראל. הוא שימש יועץ משפטי של אונר"א. בשנות השבעים התפרסמו בעיתונות הישראלית פגישותיו עם לוי אשכול, גולדה מאיר, משה דיין, שלמה הלל, עזר ויצמן ושרים נוספים בממשלות ישראל.
החל משנת 1978 ועד סמוך למותו, הוא שימש יושב ראש מועצת המנהלים של חברת החשמל המזרח ירושלמית. הוא שימש אף נאמן ומחזיק במפתחות כנסיית הקבר בעיר העתיקה, זכות שבה משפחתו החזיקה לאורך מאות בשנים.
נוסייבה נפטר בירושלים בגיל 74 ונקבר בשטח מסגד אל-אקצא בהלוויית המונים. נוסייבה הותיר ארבעה בנים ושתי בנות. בנו סרי משמש נשיא אוניברסיטת אל-קודס, ובנו זאכי היה יועצו האישי של נשיא איחוד האמירויות הערביות זאיד בן סולטאן.
פפה אללו
יוסף פפה אללו (נולד ב-10 במרץ 1945) הוא פעיל חברתי. כיהן כחבר מועצת העיר ירושלים מטעם מרצ במשך כשבע עשרה שנה, מתוכם כ-5 שנים כסגן ראש העירייה. ממנהיגי המאבק למען ירושלים חופשית.
ביוגרפיה.
נולד בלימה, פרו. בן שלישי למשפחה יהודית ספרדית ממוצא טורקי. אביו, ניסים אללו, היה נשיא הקהילה היהודית בפרו, וממקימי בית הספר היהודי הראשון, ליאון פינלו (Colegio Leon Pinelo). למרות עובדה זאת, פפה עצמו למד ב יחד עם ילדים פרואנים, סינים, יפנים ואפרו אמריקאים. בצעירותו בפרו פעל בתנועת הנוער הציוני כמדריך ובהמשך כמזכיר התנועה.
בשנת 1967, עם פרוץ מלחמת ששת הימים בישראל, ארגן פפה קבוצת חברים מהתנועה, ויחד נסעו לישראל כדי לתרום למאמץ המלחמתי. לאחר הגעתו לארץ התנדב פפה בקיבוץ ניצנים, וכעבור כשנה חזר ללימה על מנת להשלים את לימודיו האקדמיים. בתקופה זו חוללו פפה וחבריו לתנועה מהפכה בפדרציה הציונית של פרו והתוו דרך חדשה הקוראת למימוש החזון הציוני ועלייה לארץ ישראל. כדי ליישם דרך זו, עלה פפה לארץ בשנת 1970, והשתקע בירושלים.
בנו, הבמאי והתסריטאי מיכאל אללו, יצר סרט תיעודי על פעילותו בשם "הקרב האחרון של פפה" שיצא בתחילת 2017.
השכלה וצבא.
פפה סיים לימודי תואר שני בהנדסת חשמל ב. עבודת הגמר של פפה עסקה ביצירת תשתית חשמל עבור כפרים עניים בצפון פרו. לאחר עלייתו לישראל למד חינוך בפקולטה למדעי הרוח באוניברסיטה העברית בירושלים.
פפה שירת כחייל קרבי בחיל התותחנים והתעקש להישאר בדרגת טוראי עד לשחרורו ממילואים בגיל 48.
קריירה מקצועית.
בשנת 1971 החל את עבודתו כמהנדס בחברת החשמל וכעבור שמונה שנים מונה למנהל המחלקה הצעיר ביותר בחברה. פפה תפקד כמנהל מחלקות תכנון וביצוע במחוז ירושלים והגיע לדרגת "סניור" (בכיר). לאחר 25 שנה בחברה פרש לטובת החיים הפוליטיים.
דרכו הפוליטית.
פפה החל את דרכו כפעיל ויו"ר תא הסטודנטים היהודי של לימה-פרו וכפעיל במפלגות השמאל המקומיות.
את פעילותו הפוליטית בישראל החל בראשית שנות ה-70 כחבר מזכירות WUJS. עם כניסתו לאוניברסיטה העברית הצטרף לפעילות "השמאל החדש" ולקח חלק פעיל במאבק הפנתרים השחורים. באחת ההפגנות בהן השתתף, נעצר על ידי המשטרה, והואשם בהתקהלות לא חוקית והתפרעות במרחב ציבורי. משפטו התנהל במשך כשנה ולבסוף הוחלט על תשלום קנס סמלי אותו שילם פפה יחד עם חבריו לתנועה. את המשך דרכו הפוליטית עשה במפלגות "המטאטא האדום", מוקד, של"י, רצ, ומרצ בה הוא פועל עד היום. במקביל לפעילות המפלגתית פפה פעל במסגרת תנועת שלום עכשיו, במזכירויות ההסתדרות הכללית ומועצת הפועלים, שם כיהן כיו"ר האגף לאיגוד מקצועי בירושלים.
פעילות מוניציפלית.
החל משנות ה-80 פפה פעל והנהיג את מאבקי הציבור החילוני כנגד כפייה דתית בירושלים לצד חברו ארנן יקותיאלי. בין המאבקים פתיחת כביש בר-אילן, רחוב הנביאים, בתי קולנוע (כגון בית אגרון, אוריון, כפיר) ומסעדות בשבת.
בשנות ה-90 הצטרף לפעילות של חבר הכנסת רן כהן ויחד עם פעילי מרצ ופעילי שכונות הובילו לחקיקתו של חוק הדיור הציבורי.
פעילות במועצת העיר.
בשנת 1998 נבחר לעמוד בראש סיעת מרצ בירושלים, וכיהן כחבר מועצת העיר וחבר בוועדות תכנון, בניה, כספים ועוד. בתקופת כהונתם של ראשי העיר אהוד אולמרט ואורי לופוליאנסקי, ישב פפה באופוזיציה ותפקד כיו"ר ועדת הביקורת.
בבחירות ב-2008 מרצ קיבלה 3 מנדטים (פפה אללו, מאיר מרגלית ולורה ורטון). עם כניסתו של ניר ברקת לתפקיד ראש העיר התמנה פפה לסגן ראש העיר - מחזיק תיק תרבות ואומנות בירושלים ותיק חינוך במזרח העיר וחבר הנהלה. בשנת 2010, בעקבות אי הסכמה בעניין תוכנית גן המלך ("הבוסתן") בסילוואן פרשה סיעת מרצ אל האופוזיציה. פפה וחבריו לסיעה טענו שהוצאת התוכנית לפועל הכוללת הקמת גן לאומי על חשבון הריסת בתי משפחות ערביות במזרח ירושלים עלולה להצית את האזור. לאחר התערבותם של דרגים מדיניים בכירים התחייב ניר ברקת להקפיא את התוכנית ומרצ חזרה לקואליציה.
בבחירות המוניציפליות ב-2013 פפה הוצב בראש הרשימה המאוחדת מרצ - העבודה - התנועה הירוקה. עם תחילת הקמפיין הכריז פפה על מועמדותו לראשות העיר, אך כחודש לפני הבחירות הסיר אותה ונשאר לעמוד בראש הסיעה המאוחדת למועצה. סיעת מרצ בראשותו קיבלה 2 מנדטים.
ביוני 2015 פרש מתפקידו כיו"ר האופוזיציה ויו"ר מרצ בעיר.
עמדות מדיניות.