הפונקציות משלימות אחת את השנייה, יחדיו הן מפרקות כל מספר formula_119 לשני חלקים formula_120.
עוצמה.
נראה שקיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים השלמים לקבוצת המספרים הטבעיים, ולכן קבוצת המספרים השלמים היא בת מנייה, ועוצמתה שווה ל-formula_121 (אָלֶף אֶפֶס).
את הפונקציה אנו יכולים להגדיר בשני אופנים, כיוון שאפשר להניח כי אפס הוא מספר טבעי או להניח שלא.
אם אפס נחשב למספר טבעי, אזי הפונקציה היא:
ואם לא, הפונקציה היא:
אלו הן פונקציות חד-חד ערכיות ועל בין קבוצת המספרים השלמים לקבוצת המספרים הטבעיים ולכן נקבל שקבוצת המספרים השלמים היא בת מנייה.
טיפוס סדר.
מכיוון שטיפוס הסדר של קבוצת השלמים החיוביים (המספרים הטבעיים) הוא formula_124 ומכיוון שקבוצת השלמים השליליים דואלית לקבוצת השלמים החיוביים (אם נתאים לכל מספר חיובי את הנגדי שלו, יחס הסדר מתהפך כלומר אם formula_125 אז formula_126) נובע שטיפוס הסדר של קבוצת השלמים השליליים הוא formula_127 (יש המסמנים אותו ב-formula_128), ולכן טיפוס הסדר של קבוצת המספרים השלמים הוא formula_129.
שימושים.
מספרים שלמים נמצאים בשימוש נרחב בחקר של אובייקטים שמטבעם אינם ניתנים לחלוקה או שתכונות הבעיה מונעות חלוקה של האובייקטים (לדוגמה, בעיות שעוסקות באנשים, בניינים או ספינות). ניתן להשתמש במספרים שליליים גם בבעיות כאלו - למשל, כאשר מתכננים עסקאות סחר, אפשר לציין מכירות עם מספרים חיוביים ורכישות עם מספרים שליליים. דוגמה נוספת, מספר קוונטי מגנטי בפיזיקה מבדיל בין האורביטלים האפשריים בתוך תת-קליפה אלקטרונית, ומשמש לחישוב הרכיב הזוויתי של וקטור האורביטל במרחב וערכו יכול לנוע במרווחים שלמים בטווח שבין formula_130 כולל הערך אפס (כאשר formula_131 הוא המספר הקוונטי הזוויתי).
על מנת לפתור בעיות שכאלו פותחו שיטות מתמטיות מיוחדות. בפרט, הפתרונות של משוואות אלגבריות נחקרים במסגרת משוואות דיופנטיות, ופתרונות בדידים/שלמים לבעיות אופטימיזציה נחקרים במסגרת תכנון ליניארי בשלמים ואופטימיזציה קומבינטורית.
עיגול לשלמים.
ישנן בעיות מעשיות בהן יש צורך לעגל ערך ממשי למספר שלם, כלומר להחליף אותו במספר השלם קרוב ביותר (בכיוון זה או אחר). ישנן כמה דרכים שבהן ניתן לעגל ערך ממשי למספר שלם:
במדעי המחשב.
מספר שלם הוא אחד מטיפוסי הנתונים הפרימיטיביים בשפות תכנות. הוא נתמך מבחינות רבות ישירות על ידי המעבד, על ידי פעולות חיבור, הוספת אחד, הכפלה ב-2 או חלוקה ב-2 ועל פי רוב גם כפל וחילוק של שני מספרים שלמים כלשהם. בשל כך הפעולות על משתנים מטיפוס זה הן יעילות ביותר.
מכיוון שגודל הזיכרון במחשב מוגבל, בכל ייצוג שנבחר לא נוכל להציג את כל המספרים השלמים, ולכן בזמן תכנון השפה או כתיבת מימוש לשפה (מהדר או מפרש) צריך להחליט מהו טווח הערכים הרצוי. ישנן כמה שיטות לבחירת הטווח שנבדלות זו מזו במהירות החישובים ובגודל הזיכרון הנדרש.
הבחירה הטבעית ביותר היא להשתמש בטווח המקסימלי הניתן לייצוג על ידי מילה במעבד הספציפי שבו מורצת התוכנית. בחירה כזאת משלבת תחום מספרים נרחב למדי יחד עם יעילות חישוב מקסימלית. עם זאת, הטווח עדיין מוגבל, וקיימת בעיה שהוא נעשה תלוי-מכונה - כלומר, תוכניות עלולות להתנהג שונה בהרצה על מחשבים שונים. אפשרות אחרת היא להגדיר מספר טיפוסים עבור מספר תחומים שונים, ולהשתמש בהם בהתאם לצורך. הגדרה זו עשויה לבוא יחד עם התאמה למכונה (כמו בשפות C או ++C) או על ידי הגדרה חד משמעית של הטווח עבור כל טיפוס (כמו בשפת ג'אווה). אפשרות שלישית היא להגדיר טיפוס יחיד בעל טווח לא חסום, ולייצג אותו בצורה האופטימלית ביותר על פי הערך הנוכחי שלו (כמו בשפת פייתון החל מגרסה 3.0).
מספרים טבעיים מיוצגים בזיכרון המחשב בייצוג בינארי פשוט. מספרים שליליים, לעומת זאת, מיוצגים בשיטת המשלים ל-2 או שיטת המשלים ל-1, ועקב כך החלוקה של המספרים השלמים במחשב היא בדרך כלל למספרים שליליים ומספרים א-שליליים בלבד, בשונה מהחלוקה ה"רגילה" של המספרים השלמים למספרים חיוביים, שליליים ואפס (למרות זאת, מחשב מסוגל לחשב האם מספר הוא חיובי ממש).
מזרע
מִזְרָע הוא קיבוץ בעמק יזרעאל, בין עפולה לנצרת, הנמצא בתחום השיפוט של המועצה האזורית עמק יזרעאל. הקיבוץ השתייך לקיבוץ הארצי, אשר התאחד עם התק"ם לתנועה הקיבוצית.
מקור השם.
שמות יישובים הכוללים את הביטוי "מזרע" נזכרים במקורות ובמפות מימי הביניים ומקורו בספר ישעיהו פרק י"ט, פסוק ז': . המונח "מזרע" הפך מטבע לשון למקום קיום אנושי-חקלאי, בניגוד ל"ישימון" שהוא אזור ריק מצמחייה ומאדם. אזכורים ראשונים לשם המקום באתר הקבוץ, הם 'קאסל מסרה' (Kasal Mesra), אותו מתאר הכומר הגרמני בורכארד מהר-ציון, בספרו 'תיאור ארץ הקודש' מ-1283, והגאוגרף הוונציאני מַרינוֹ סנודו טוֹרסֶלוֹ ב'ספר הסודות של נאמני הצלב' מ-1321. את המקום בשמו תיארו גם אדוארד רובינסון וון דה-ולדה בתחילת המאה ה-19, והם מתארים ישוב עם סרקופגים ביזנטיים מהמאות 4-5. במפת הקרן לחקר ארץ ישראל (1880) מופיע השם "חרבת מזרע" (Kh. al-Mezrah) כקילומטר מזרחית ממקום הקבוץ. השם "מזרע" ניתן לקיבוץ באפריל 1928 על ידי ועדת שמות היישובים של הקרן הקיימת.
היסטוריה.
הקיבוץ הוקם על גבעת "רובע-אל-נצרא" ב-21 בנובמבר 1923 על ידי "קבוצת צריפין" של עולים יוצאי גליציה, בני העלייה השלישית, שעלו לארץ שלוש שנים קודם לכן והתגבשו בבניית מחנה הצבא הבריטי צריפין (סרפנד). יחד עם קבוצת צריפין עלתה למקום קבוצת מרקנהוף שהתיישבה בצמוד לקבוצת צריפין. בשל מחסור בקרקע מספקת לשני יישובים, החליטו המוסדות המיישבים להקצות למרקנהוף אדמות בעמק הירדן, בהן הקימו את קיבוץ בית זרע, ואת אדמתם העבירו לקבוצת צריפין. עם יציאת מרקנהוף בשנת 1927 הוחלט לעבות את היישוב ולצרף אליו בהדרגה החל משנת 1929 ובמהלך שנות השלושים חברים מתנועת השומר הצעיר מגליציה, שעברו הכשרה בגבעת מיכאל. בשנים אלו קבעו המוסדות את שמו הסופי של הקיבוץ והוא צורף לתנועת השומר הצעיר.
בשנים 1944–1946 שכן במזרע מטה הפלמ"ח עד שהתגלה על ידי שלטונות המנדט במסגרת מבצע אגאתה בשנת 1946. הבריטים הצליחו לתפוס את רשימת חברי הפלמ"ח שהייתה במקום אולם השמות היו מוצפנים. לאחר שחבר המשק יעקב לוי הצליח להוציא את מחברת הקודים ולהשמיד אותה, לא הצליחו הבריטים לפצח את הקוד ולא נגרם כל נזק.
באותה תקופה עברה בשדות הקיבוץ רכבת העמק, ובמוזיאון הקיבוץ עדיין ניתן לראות מקטע מן המסילה המקורית.
הקיבוץ הוא מהמובילים בישראל בגידולי שדה ומצויה בו רפת חולבות גדולה, בבעלות משותפת עם קיבוץ גבעת עוז. בשנת 1957 הקים הקיבוץ את מפעל "מעדני מזרע" לעיבוד בשר, ובכלל זה גם בשר חזיר. במשך שנים רבות היה מפעל זה בין הספקים הבודדים של בשר לא כשר בישראל. בעקבות העלייה מברית המועצות לשעבר בשנות התשעים קמו לו מתחרים, והקיבוץ מכר את המותג ומערך היצור לחברת "טיב טעם".
בשנת 1958 הוקם בקיבוץ מפעל ההידראוליקה והמעליות ההידראוליות "תעמ"ל" (תעשיית מוצרי לחץ). בהמשך הוקם גם מפעל "מטלור 2000" לייצור מוצרי מתכת באמצעות הזרקת אבקות מתכת (מטלורגיה), אולם המפעל נמכר לחברת ישקר. בכניסה ליישוב ניצב מלון "נוף תבור", הנמצא בבעלות משותפת של הקיבוץ ושל חברת הורן את ליבוביץ'. כמו כן מפעיל הקיבוץ אירוח כפרי, תחנת דלק, מוסך, ובית אבות "אור העמק".
בסמוך לקיבוץ נמצא בית-הספר העל-יסודי "עמקים-תבור", בו לומדים תלמידים מרמת ישי, ומהקיבוצים מזרע, שריד, מרחביה, עין דור וגזית, מהמושבים תל עדשים, בלפוריה ומושב מרחביה וכן תלמידים מאחוזת ברק ותלמידים בודדים גם מנוף הגליל הסמוכה.
בקיבוץ נמצא מוזיאון מזרע הקטנה ובו מוצגים רבים שנאספו מכל השנים בקיבוץ. המקום פתוח לסיורים מודרכים לקבוצות. כן יש אפשרות ביקור בסליק של מזרע שהכניסה אליו מוסתרת מתחת לאמבט.
בשטח הקבוץ פועלת שלוחה של מכינה קדם-צבאית רבין. שהיא אחת משלוש המכינות היחידות שמונגשות לחלוטין לבעלי מוגבלויות.
בעלי חיים בתנ&quot;ך
התנ"ך עשיר באזכורים של נופי ארץ ישראל, הצומח והחי בה. אף על פי שהוא מתאר את קורות עם ישראל ומתמקד בעיקר באדם, הרי שבין דפיו נחשפות לא מעט ידיעות אודות בעלי חיים, בסוגיות הקושרות אותם לאדם: אלה המשמשים את האדם בביתו ובמשקו ואלה המזיקים לו. דוגמה לחרק מזיק המוזכר לא אחת במקרא הוא הארבה.
מקומם של בעלי החיים במקרא.
בספר ויקרא () יש רשימה ארוכה של חיות שנאסרו לאכילה, שם מוזכרים גם סימני הטהרה של דגים (סנפיר וקשקשת) ושל חיות (מעלה גרה, שוסע שסע ומפריס פרסה).
ב ישנה רשימה דומה של בעלי חיים אסורים ומותרים לאכילה על פי דיני היהדות, וממנה ניתן ללמוד על עולם החי בתקופת המקרא ועל דפוסי ההתנהגות של חלק מן החיות המוזכרות.
ב אפשר למצוא דימויים רבים המשתמשים במיני הצומח והחי של ארץ ישראל.
מעניק לנו תיאור חזותי מרשים של המערכת האקולוגית בארץ.
במקרא מתוארים גם בתי הגידול והקשר שלהם לבעלי החיים המאכלסים אותם, כגון: נופי מים, הרים סלעיים, מעזבות, חורשים ובמדבר.
בתנ"ך מוזכרים לא מעט אנשים בשמות של חיות. הבולטים שבהם הם: רחל, חמור אבי שכם (עליו נאמר "נשיא הארץ"), ציפור אבי בלק, נון אבי יהושע (נון = דג), כלב בן יפונה, יעל (אשת חבר הקיני), נחש מלך עמון, דבורה הנביאה, חולדה הנביאה, שפן הסופר, ויונה הנביא.
זיהוי בעלי החיים במקרא.
בצד התיאורים של בעלי החיים (שחלקם כבר נכחדו מנופי ארצנו כמו הדובים והאריות), קיימת בעייתיות בתיאור מספר רב של בעלי חיים: