בלוגיקה מתמטית, מבנה הוא התאמה המפרשת את הביטויים של שפה פורמלית כביטויים אודות מבנה מתמטי מסוים. המבנה הוא הנותן משמעות לרצפי אותיות בשפה הפורמלית ומפרש אותם כטענות על יחסים המתקיימים בין אובייקטים מתמטיים.
הגדרה פורמלית.
נסמן ב-formula_1 שפת תחשיב יחסים כלשהי. נסמן ב-formula_2 את קבוצת כל סימני השפה המייצגים קבועים (האיברים הקבועים, הפונקציות, והיחסים של השפה). תהי formula_3 קבוצה כלשהי. מבנה formula_4 של השפה formula_1 שעולמו הוא formula_3 הוא פונקציה המקיימת:
שלושת התנאים מצוינים לשם הנוחות, אף על פי שניתן להסתפק בתנאי האחרון בלבד, משום שפונקציות הן יחסים וקבועים הם יחסים 0-מקומיים.
הגדרה מקובלת אחרת למבנה היא כשלשה הסדורה formula_16, כאשר formula_17 היא פונקציה המקיימת את התנאים הנ"ל, וקרויה פונקציית האינטרפרטציה. formula_2 קרויה גם החתימה של formula_4 ו-formula_3 קרוי העולם או היקום של formula_4.
הערה: מעתה ועד סוף הערך, נסמן את סימני הקבועים בשפה בצורה formula_22, ואת הקבוע (קבוע אישי, יחס או פונקציה) שהותאם לו formula_23 נסמן formula_24.
ערך אמת במבנה נתון.
מבנה formula_4 לשפה formula_1 מפרש כל פסוק בשפה כטענה אודות העולם של formula_4. ערך האמת של הפסוק נקבע על פי נכונות הטענה לפי formula_4.
השמה במבנה formula_4 היא פונקציה המתאימה לכל סימן של משתנה בשפה formula_1 איבר ב-formula_3. כל השמה formula_32 מתאימה לכל שם עצם בשפה איבר של formula_3 באופן רקורסיבי כמתואר להלן:
אינטואיטיבית, ההשמה formula_32 מציבה את הערכים שהיא נתנה למשתנים בפונקציות המופעלות עליהם. לדוגמה, במבנה של המספרים הממשיים, כל השמה שכוללת את ההצבה formula_40 תקיים formula_41.
בהינתן מבנה והשמה, לכל נוסחה בשפה (שאינטואיטיבית, מייצגת טענה אודות המשתנים והקבועים של השפה) ניתן להתאים ערך אמת. פורמלית, ערך האמת במבנה formula_4 תחת ההשמה formula_32 הוא פונקציה formula_44, כאשר formula_45 היא קבוצת הנוסחאות ב-formula_1, שמוגדרת באופן רקורסיבי:
מבין כל הנוסחאות מתייחדות אלו שהן פסוקים. ערך האמת של פסוקים לא מושפע כלל מההשמה הנתונה, אלא רק מן המבנה הנתון. (יש לציין שקיימות נוסחאות שאינן פסוקים שערך האמת שלהן אינו תלוי בהשמות. נוסחאות כאלו ניתן להפוך לפסוקים על ידי כימות כולל.) אינטואיטיבית, הפסוקים שערך האמת שלהם הוא אמת מייצגים את המשפטים שמתקיימים לגבי המבנה. מבין הפסוקים מתייחדת קבוצת הטאוטולוגיות והסתירות. אלו הם הפסוקים שערך האמת שלהם זהה בכל מבנה.
דוגמה.
נבחן את השפה מסדר ראשון formula_1 שכוללת שני קבועים formula_62 ו-formula_63, שתי פונקציות דו-מקומיות formula_64 ו-formula_65 ושני יחסים דו-מקומיים formula_66 ו-formula_67. כמו כן נרשה את השימוש בסימון המקוצר formula_68 שמסמן את היחס formula_69. נתאר שלוש דוגמאות למבנים של השפה formula_1.
מבנה 1: חוג המספרים השלמים.
חוג המספרים השלמים הוא מבנה formula_71 שעולמו הוא הקבוצה formula_72. הקבועים formula_62 ו-formula_63 מתפרשים כמספרים 0 ו-1, הפונקציות formula_64 ו-formula_65 מתפרשות כפעולת החיבור ופעולת הכפל הרגילות בין מספרים שלמים. formula_66 הוא יחס השוויון הרגיל ואילו formula_67 הוא היחס "מחלק את".
נדגים כמה פסוקים ב-formula_1 ואת ערך האמת שלהם ב-formula_71:
מבנה 2: שדה המספרים הממשיים.
שדה המספרים הממשיים הוא מבנה formula_86 שעולמו הוא קבוצת המספרים על הישר הממשי formula_87. כמו קודם, הקבועים formula_62 ו-formula_63 מתפרשים כמספרים 0 ו-1, הפונקציות formula_64 ו-formula_65 מתפרשות כפעולת החיבור ופעולת הכפל הרגילות בין מספרים ממשיים. formula_66 הוא יחס השוויון הרגיל ואילו formula_67 הוא היחס "קטן או שווה ל-" formula_94.
נתאר את ערך האמת ב-formula_86 של הפסוקים ב-formula_1 שתוארו קודם:
מבנה 3: קבוצת חזקה.
נניח X היא קבוצה עם שני איברים לפחות. נגדיר מבנה formula_101 באופן הבא: העולם של המבנה הוא formula_102, קבוצת החזקה של X, שאיבריה הם כל התת-קבוצות של X. הקבועים formula_62 ו-formula_63 מתפרשים כקבוצה הריקה וכקבוצה X בהתאמה. הפונקציות formula_64 ו-formula_65 מתפרשות כפעולת האיחוד ופעולת החיתוך בין קבוצות. formula_66 הוא יחס השוויון הרגיל בין קבוצות ואילו formula_67 הוא היחס "מוכל ב-".
נתאר את ערך האמת ב-formula_101 של הפסוקים ב-formula_1 שתוארו קודם:
תת-מבנה.
אומרים שהמבנה formula_117 הוא תת-מבנה של formula_4 אם העולם של formula_117 חלקי לעולם של formula_4 וכולל את כל הקבועים האישיים של formula_4, הפונקציות והיחסים של formula_117 הם הפונקציות והיחסים של formula_4 כשמצמצמים אותם לעולם של formula_117, והפונקציות המצומצמות סגורות. למשל אם נחליף את המשמעות של formula_67 במבנה 1 שהודגם קודם (חוג המספרים השלמים) כך שייתפרש כיחס "קטן או שווה ל-", נקבל תת-מבנה של מבנה 2 (שדה המספרים הממשיים).
יהי formula_4 מבנה שעולמו formula_3. על תת-קבוצה formula_128 נאמר שהיא תת-קבוצה סגורה ב-formula_4 אם כל קבוע אישי של formula_4 נמצא ב-formula_131 ו-formula_131 סגורה תחת כל הפונקציות של formula_4. לכל קבוצה סגורה formula_131 יש תת-מבנה יחיד של formula_4 שעולמו הוא formula_131. תת-מבנה זה נקרא התת-מבנה הנקבע על ידי formula_131. העולם של כל תת-מבנה הוא קבוצה סגורה.
האמיתות של נוסחאות כוללות עוברת בירושה ממבנים לתתי-מבנים. כלומר אם נוסחה שכל הכמתים בה הם formula_138 נכונה במבנה מסוים, היא נכונה גם בכל תת-מבנה. ההפך אינו נכון, ייתכן שנוסחה כזו נכונה בתת-מבנה אך לא במבנה כולו (למשל הטענה שכל מספר הוא שלם נכונה בחוג השלמים אך לא בשדה הממשיים). האמיתות של נוסחאות ישיות עוברת מתת-מבנים למבנה. כלומר אם נוסחה שכל הכמתים בה הם formula_139 נכונה בתת-מבנה, היא נכונה גם במבנה המכיל אותה. ההפך אינו נכון (למשל קיים מספר בשדה הממשיים שאינו שלם, אך אין מספר כזה בחוג השלמים).
משוואה ממעלה ראשונה
פרנקו פרארה
פרנקו פרארה (באיטלקית: Franco Ferrara; 4 ביולי 1911 - 6 בספטמבר 1985) היה מנצח ומורה איטלקי.
חייו.
פרארה נולד בפאלרמו שבסיציליה. הוא למד נגינה בפסנתר, בכינור ובעוגב והלחנה בקונסרבטוריון של פאלרמו ובהמשך בזה של בולוניה. ראשית הקריירה המוזיקלית שלו הייתה ככנר בבולוניה, ברומא ובפירנצה, עם תזמורת מאג'ו מוזיקלה פיורנטינו, בשנים 1933 עד 1940. הופעת הבכורה שלו בניצוח הייתה בפירנצה ב-1938 ותוך זמן קצר יצא לו מוניטין של מנצח מחונן. מצבו הבריאותי אילץ אותו לחדול מניצוח בקונצרטים פומביים, אם כי המשיך להקליט.
לאחר הפסקת קריירת הניצוח התרכז פרארה בהוראה. הקורסים שלו באקדמיה הלאומית למוזיקה סנטה צ'צ'יליה ברומא נודעו לתהילה וכמותם גם אלה שנתן משנת 1966 באקדמיה למוזיקה בסיינה. סטודנטים מכל רחבי העולם באו לקורסי הניצוח שלו ורבים מהם החלו קריירות מזהירות וזכו לפרסום בינלאומי בעולם המוזיקה. בין תלמידיו הנודעים היו ריקרדו שאיי, אדו דה וארט, אנדרו דייוויס וגבריאל כמורה. בשנים 1974-75 הרצה פרארה על ניצוח גם בתיאטרו קומונאלה די בולוניה.
מחוץ לאיטליה, נהנה פרנקו פרארה מקריירה חובקת עולם. הוא הגיש הרצאות ברדיו ההולנדי בהילוורסום (מ-1958 עד 1973), בקונסרבטואר של פריז, ברדיו שווייץ הלוגאנו, בפסטיבל "טיבור וארגה" בסיון. כמו כן עבד בפיליפינים וביפן, לשם בא בהזמנת סייג'י אוזאווה להרצות באקדמיית טוהו בטוקיו, לכבוד הידאו סאיטו, המנצח הנודע שהיה גם מורו של אוזאווה. בארצות הברית לימד פרארה במכון קרטיס למוזיקה בפילדלפיה, בבית ספר ג'וליארד למוזיקה בניו יורק ובמרכז ברקשייר למוזיקה משנת 1975 ואילך.
כ-600 סטודנטים השתתפו בקורסים של פרארה במשך למעלה מ-30 שנה, בהם יורמה פאנולה, מיונג-וון צ'ונג, סר אנדרו דייוויס, רוברטו אבאדו, מאוריציו ארנה, ריקרדו שאיי, ג'אנלואיג'י ג'למטי, מריו למברטו, ריקרדו מוטי, דניאל אורן, אדוארדו אלווארז וגבריאל כמורה, בין השאר.
פרארה נודע גם בניצוח על פסקולי סרטים. הוא ניצח על פרטיטורות מאת נינו רוטה לסרט "הנמר", מריו נאשימבנה ל"בראבא" וטושירו מאיוצומי לסרטו של ג'ון יוסטון "התנ"ך: בראשית", ואחרים.
פרנקו פרארה מת בפירנצה.
מזרן מים
מזרן ים
ג'ורג' ויליאם פאלמר
ג'ורג' ויליאם פאלמר (באנגלית: George William Palmer; 23 במאי 1851 – 8 באוקטובר 1913) חבר לשעבר בפרלמנט הבריטי.
חייו הפרטיים.
ג'ורג' ויליאם פאלמר נולד בעיר רדינג, אביו היה ג'ורג' פאלמר ראש העיר רדינג, ואמו אליזבת שרה אשר הייתה בתו של רוברט מטייראד. כמו כן היה ג'ורג' חבר במשפחת פאלמר, אשר הייתה הבעלים של "הנטלי ופאלמר" (Huntley &amp; Palmers), חברה ליצור ביסקוויטים בעיר רדינג אשר באנגליה.
חייו הפוליטיים.
כמו אביו, פנה ג'ורג לחיים הפוליטיים והיה לראש העיר רדינג, ולנציג העיר בפרלמנט הבריטי.
ג'ורג ויליאם פאלמר שירת כחבר המפלגה הליברלית בפרלמנט הבריטי מטעם מחוז רדינג משנת 1892 ועד להפסדו בבחירות של שנת 1895.
בשנת 1898 קיבל ג'ורג חזרה את מקומו בפרלמנט הבריטי בבחירות הביניים בעקבות מותו של חבר פרלמנט מכהן, והחזיק בתפקיד עד להתפטרותו בשנת 1904 מסיבות בריאות.
ג'ורג' ויליאם פאלמר החזיק בבעלותו את האחוזה "בית מרלסטון" בכפר באקלברי אשר במערב מחוז ברקשייר באנגליה.
מפרץ הפיראטים
Pirate Bay
קפה לנדוור