לצורך המחשה במקרה ש-formula_37, ישנן formula_38 אפשרויות שונות של קלט: formula_39 ולכן קיימות בדיוק formula_40 אפשרויות למפות 2 סיביות קלט לשתי סיביות פלט, אם בונים טבלה כזו גודלה הכולל יהיה בדיוק formula_41 סיביות. לעומת זאת הפונקציה formula_12 עם מפתח באורך 2 סיביות, היא אחת מתוך ארבע פונקציות אפשריות בלבד, במילים אחרות יש רק ארבע אפשרויות שונות לבחירת מפתח באורך 2 סיביות. אם לא מגבילים את אורך המפתח, אז יש formula_43 תמורות אפשריות באורך 2 סיביות או 24 מפתחות שונים.
אורקל אקראי.
אורקל אקראי הוא מעין קופסה שחורה תאורטית המחזירה על כל שאילתה ייחודית תגובה אקראית אמיתית. המוסכמה היא שאם השאילתה כבר נשאלה בעבר האורקל חייב להגיב באופן זהה. דרך אחרת להציג זאת, בהינתן formula_7 שלם שהוא פרמטר ביטחון כלשהו, האורקל האקראי הוא מעין פונקציה formula_13 שנבחרה באקראי בהתפלגות אחידה מתוך תחום הפונקציות האקראיות המקבלות קלט formula_22 באורך formula_7 ומחזירה פלט formula_48 באורך formula_7 בניסוח רשמי formula_50. הפונקציה ממפה כל שאילתה ללא תלות בקלט, לערך אקראי (קבוע) מתוך תחום הפונקציה. למשל עבור formula_22 נתון הפונקציה תמיד תחזיר את אותו formula_48.
הרעיון מאחורי אורקל אקראי שהוא מעין אבסטרקציה מתמטית כדי לפשט את תהליך ההוכחה הקריפטוגרפית. הרעיון הועלה לראשונה על ידי מיהיר בלייר ופיליפ רוגווי שעשו שימוש בקונספט מודל אורקל אקראי כפרדיגמה לבניית פרוטוקולים קריפטוגרפיים בטוחים כאשר אין דרך מעשית יעילה להוכיח שהפרוטוקול מכיל את התכונות המתמטיות הדרושות לצורך ההוכחה. במובן זה ההוכחה אינה הוכחה מתמטית רגילה אלא מעין היוריסטיקה.
למעשה לא קיימת פונקציה שניתנת ליישום על ידי אלגוריתם שרץ בזמן פולינומי שיכולה לדמות אורקל אקראי אמיתי. בהוכחת פרוטוקול קריפטוגרפי מנסים להחליף את האורקל בפונקציית גיבוב קריפטוגרפית מתאימה, במידת האפשר, שהיא בהגדרה הכי קרובה למושג אורקל אקראי.
מבחין.
מבחין (Distinguisher) של פונקציה פסידו-אקראית הוא כלי תאורטי המאפשר להגדיר פסידו-אקראיות של פונקציה במונחים של ניסוי אינטראקטיבי. אלגוריתם הבחנה D מקבל כקלט את הפונקציה הנדונה ומחליט האם היא אקראית אמיתית או פסידו-אקראית. היות שלמעשה התחום של משפחת הפונקציות מעריכי (בסדר גודל של formula_28) לא ניתן להגדיר את D כאלגוריתם הבחנה פולינומי, כי אי אפשר לסרוק את כל הערכים האפשריים בזמן פולינומי. ההגדרה המקובלת היא אלגוריתם הסתברותי שיש לו גישה לאורקל אקראי. D רשאי להגיש לאורקל (מספר פולינומי של) שאילתות עבור נקודות שונות formula_22 שיבחר והאורקל אמור להחזיר לו את formula_23 של הנקודה formula_22. בגמר הניסוי אלגוריתם ההבחנה עונה "1" אם הקלט שלו הוא אחת הפונקציות מהמשפחה הפסידו-אקראית, או "0" אחרת.
הגדרה פורמלית של פונקציה פסידו-אקראית.
תהי formula_1 פונקציה יעילה, הכוללת מפתח ומשמרת אורך. formula_58 תקרא פסידו אקראית אם עבור כל אלגוריתם הבחנה פולינומי D קיימת פונקציית זניחות formula_59 כך שמתקיים:
כאשר formula_10 נבחר בהתפלגות אחידה וכן formula_13 היא פונקציה שנבחרה אקראית מקבוצת כל הפונקציות האפשריות הממפות מחרוזות של formula_7 סיביות ל-formula_7 סיביות.
-D יכול להתקשר עם האורקל בחופשיות, לכן הוא יכול לשאול שאלות באופן אדפטיבי ולהתאים את השאילתות על סמך תשובות קודמות. אולם ביכולתו לשאול רק מספר מוגבל של שאלות כי הוא כאמור רץ בזמן פולינומי. וכן חשוב לזכור ש-formula_2 אינו ידוע ל-D, כי אין כל היגיון לדרוש ש-formula_12 תהיה פסידו-אקראית אם formula_2 ידוע. כל מה שהמבחין צריך לעשות במקרה כזה הוא להגיש לאורקל שאילתה בנקודה אפס (formula_68), לקבל את formula_48 ולהשוות עם formula_70 וסיכויי ההצלחה שלו במקרה כזה הם כמעט 1 כי הסיכוי ש-formula_71 במקרה של פונקציה אקראית אמיתית הוא formula_72. המשמעות היא שהטענה לפסידו אקראיות תקפה רק באם formula_2 סודי. וכן הטענה שקשה למצוא formula_22 כך ש-formula_75 נכונה רק אם formula_2 לא ידוע למבחין, אחרת אפשר להוכיח שקל למצוא קלט כזה.
מנקודת ראות תאורטית, לא הוכח שפונקציה פסידו-אקראית קיימת תחת השערה כלשהי. הוכח שקיומה של פונקציה פסידו אקראית תלוי בקיומו של מחולל פסאודו אקראי. כך שאפשר לבנות פונקציה פסידו אקראית על בסיס כל בעיה מתמטית קשה שאיתה אפשר לבנות מחולל פסידו אקראי. באותה מידה, מחולל פסידו-אקראי תלוי בקיומן של פונקציה חד-כיוונית וסיבית קשה. אלו אבני הבניין של הקריפטוגרפיה המודרנית מהם ניתן לבנות פרימיטיבים קריפטוגרפיים רבים. לדוגמה הוכח שרשת פייסטל בארבעה סבבים היא פרמוטציה פסידו אקראית חזקה, תחת ההנחות האמורות. פונקציה פסידו אקראית שימושית מאוד בקריפטוגרפיה מודרנית. אפשר לבנות איתה סכמת הצפנה המוכחת כבטוחה נגד התקפת גלוי-נבחר וכן קוד אימות מסרים.
כבמודל אורקל אקראי, קל לנתח רמת ביטחון של סכמת הצפנה המבוססת על פונקציה פסידו אקראית לפי האסטרטגיה הבאה: בשלב הראשון מחליפים את הפונקציה הפסידו אקראית בפונקציה אקראית אמיתית ומנסים להוכיח שהסכמה בטוחה תחת הנחה זו. זהו שלב תאורטי הסתברותי ואינו תלוי בסיבוכיות חישובית. בשלב השני מוכיחים שהסכמה בטוחה על ידי הטענה שאם היריב יכול לפצח אותה בזמן פולינומי אז באופן עקיף בהכרח שהוא הצליח להבחין בין הפונקציה הפסידו אקראית לבין פונקציה אקראית אמיתית ובכך הפר את ההנחה היסודית עליה נשען ביטחון הסכמה.
תמורה (פרמוטציה) פסידו-אקראית.
באופן שקול, ניתן להגדיר משפחה של תמורות הפסידו אקראיות בקיצור PRP. במקרה זה קיימות שתי דרישות נוספות:
בהגדרה זו, הקבוצה formula_79 היא קבוצת כלל הפרמוטציות בגודל formula_7 (קיימות formula_81 פונקציות כאלו).
בניית פונקציה פסידו-אקראית עם מחולל פסידו-אקראי.
בשנת 1986 הראו עודד גולדרייך, שפי גולדווסר וסילביו מיקלי כיצד ניתן לבנות פונקציה פסידו-אקראית formula_82 אם נתון מחולל פסידו אקראי formula_83 כך שהפלט של המחולל formula_83 יהיה באורך כפול מגרעין האקראיות (seed) המוזן למחולל. הרעיון העומד מאחורי הבניה הוא להפעיל את המחולל שוב ושוב - בכל הפעלה כזו יתקבל פלט הארוך פי שניים מהקלט אל המחולל. חוזרים על הפעולה עד אשר מתקבל פלט באורך formula_85. כעת ניתן לחלק את פלט המחולל לformula_25 חלקים שווים, כל אחד באורך formula_2. פלט הפונקציה הפסידו-אקראית formula_23 הוא החלק שמספרו הסידורי הוא formula_22. מכיוון שקיימים לכל היותר formula_25 ערכי formula_22 אפשריים, הרי שהפונקציה הפסידו-אקראית מוגדרת היטב. אם ההפעלה החוזרת של המחולל מבוצעת בצורה יעילה (במבנה של עץ) מתקבל כי בנייה זו אפשרית בזמן פולינומי.
ההוכחה שהפונקציה אכן פסידו-אקראית נעזרת בשיטת ההיברידים בה מניחים שניתן לשבור את הפונקציה הפסידו-אקראית, ומקבלים כי קיימת הפעלה יחידה של המחולל הפסידו-אקראי שניתנת לחיזוי מראש, בסתירה לכך שהמחולל פסידו-אקראי במובן קריפטוגרפי.
שימושים.
בניית סכמת הצפנה על ידי פונקציה פסידו-אקראית.
אם נתונה לנו משפחת פונקציות פסידו-אקראית, ניתן לעשות בה שימוש על מנת ליצור סכמת הצפנה פשוטה, ולהוכיח כי אם צד ג' יכול לפענח את המידע המוצפן - הרי הוא יכול להבדיל בין פונקציה פסידו-אקראית לפונקציה אקראית, בסתירה להיות הקבוצה formula_58 פסידו-אקראית.
על מנת להצפין את ההודעה formula_93, מגרילים מספר כלשהו formula_94 ושולחים את המידע formula_95.
מפתח ההצפנה formula_2 קובע את הפונקציה formula_97 הספציפית בה עושים שימוש, מבין כלל הפונקציות במשפחה formula_58.
אמנם סכמת הצפנה זו בטוחה במובן שלא ניתן לדעת מהי ההודעה formula_93 אם מביטים במידע המוצפן, אבל סכמה זו אינה בטוחה לחלוטין (במובן CPA) מכיוון שצד ג' יכול לשנות את המידע המוצפן כדי לייצר הצפנה חוקית של הודעה אחרת, formula_100.
בשנת 1985 הציעו מיכאל לובי וצ'ארלס ראקוף שיטה בה ניתן להשתמש בפונקציה פסידו-אקראית על מנת לבנות צופן בלוקים הבטוח כנגד התקפת גלוי-נבחר (Chosen Plaintext Attack). השיטה מבוססת על מבנה פייסטל תלת-שלבי. באופן מפתיע, מבנה דומה בעל 2 שלבים בלבד אינו מספיק על-מנת ליצור סכמה בטוחה.
אלפנט
פיגוע בכפר יובל
מוקדמות מונדיאל 1982
109 נבחרות לאומיות נרשמו למוקדמות מונדיאל 1982, והתחרו על 24 מקומות בטורניר הגמר, שהיו עלייה מ-16 מקומות במונדיאלים הקודמים. , המארחת, ו, האלופה המכהנת, העפילו אוטומטית, והותירו 22 מקומות לנבחרות האחרות.
24 המקומות במונדיאל 1982 חולקו בין קונפדרציות הכדורגל של פיפ"א כמפורט להלן:
טורניר מוקדמות זה היה הפעם הראשונה שבה הופעל חוק שערי חוץ על מנת לשמש כשובר שוויון עבור צמד משחקים כלשהו בין נבחרות. ניצלה זאת פעמיים כשהדיחה את ואת . כמו כן, בעקבות הרחבת מספר הנבחרות הוענקו לראשונה 2 מקומות לאפריקה ו-2 מקומות לאסיה.
103 נבחרות שיחקו לכל הפחות משחק אחד. בסך הכל נערכו 306 משחקים, בהם הובקעו 797 שערים (ממוצע של 2.6 שערים למשחק).
דרום אמריקה.
9 הנבחרות הדרום אמריקניות, למעט ארגנטינה שהעפילה אוטומטית בתור האלופה, חולקו לשלושה בתים בני 3 נבחרות כל אחד. הנבחרות שיחקו אחת נגד השנייה בשיטת בית-חוץ. הנבחרת הראשונה בכל בית העפילה.
בית 1.
ברזיל העפילה.
בית 2.
פרו העפילה.
בית 3.
צ'ילה העפילה.
צפון, מרכז אמריקה והקריביים.