מנקודת מבט זו, אפשר להכליל את מושג הסכום, כך שיכסה כל פונקציונל העונה על הדרישות שציינו. היתרון הוא שכעת נוכל 'להרוויח' טורים חדשים, שאינם מתכנסים במובן הרגיל, אבל פונקציונל הסיכום החדש שלנו יודע לטפל בהם בכל זאת. תחום זה של האנליזה נקרא summability (סכימות).
על ידי ניתוח מדויק של פונקציונל הסכימות, ושיטות מאנליזת פורייה, ניתן להציג אותו בצורה אינטגרלית, ולבנות עבורו פונקציה הנקראת "גרעין", ההבדל בין מושגי ההתכנסות השונים, ניתן על ידי שינוי הגרעין המתאים.
השאלה המעניינת בתחום זה היא בהינתן טור כללי, שידוע כי הוא מתכנס בשיטת סכימות כלשהי, האם הוא מתכנס גם באופן רגיל? מתברר כי ניתן לענות על שאלות אלה בעזרת תורת טאובר.
תורת טאובר היא שם כללי למספר משפטי טאובר, שהם משפטים המאפשרים להוכיח התכנסות של טור על סמך התכנסותו בשיטת סכימות ספציפית, יחד עם הנחות נוספות.
הטיפול הכללי ביותר בנושא ניתן במסגרת תורת Weiner-Pitt, המאפיינת לגמרי גרעינים.
דוגמאות.
אומרים שהטור formula_121 מתכנס לערך formula_122 במובן של אבל, אם הגבול של formula_123 כאשר formula_124 שואף ל-1 מלמטה, שווה ל-formula_122. כל טור מתכנס (במובן הרגיל) מתכנס לאותו ערך גם במובן של אבל; לעומת זאת, הטור formula_126 אינו מתכנס במובן הרגיל, וסכומו במובן של אבל הוא רבע.
שיטת סיכום אחרת מיוחסת לצ'זרו (Cesàro). נסמן ב- formula_115 את סדרת הסכומים החלקיים של טור נתון. הטור מתכנס במובן הרגיל אם הסדרה formula_128 מתכנסת. אומרים שהטור "מתכנס במובן של צ'זרו" או שהוא "טור מטיפוס C-1", אם הסדרה
formula_129 מתכנסת. למשל, הטור formula_130 אינו מתכנס במובן הרגיל, אבל סכומו במובן צ'זרו הוא חצי. אם טור אינו מתכנס במובן C-1 אבל הממוצעים של formula_131 כן מתכנסים, אז הטור הוא מטיפוס C-2, וכן הלאה.
ישנן עוד שיטות סיכום, כגון התכנסות למברט שהיא בעלת שימושים בתורת המספרים להוכחת משפט המספרים הראשוניים.
כמו כן ישנה גם שיטת סכימות חשובה שנקראת סכימות בורל.
דוגמאות לתורת טאובר.
אם הטור formula_121 מתכנס לערך formula_122 במובן של אבל, וכן
formula_134 שואף לאפס, אז הטור מתכנס גם במובן רגיל.
אם הטור formula_121 מתכנס לערך formula_122 במובן של צ'זרו, וכן
formula_137 אז הטור מתכנס גם במובן רגיל. זהו משפט לנדאו.
ישנו משפט של הארדי, החלש יותר ממשפט לנדאו, שקובע כי אם הטור מתכנס צ'זרו, ורק formula_138, אז הטור מתכנס.
טורי פונקציות.
כשם שניתן להגדיר סדרה של מספרים, כך גם ניתן להגדיר סדרה של פונקציות, ולכן ניתן להגדיר גם טור של פונקציות. גם סדרות וטורים אלו יכולים להתכנס - במקרה זה לא למספר קבוע, אלא לפונקציה.
חישוב סכום של טורים אינסופיים.
ברוב המקרים חישוב סכום של טור אינסופי איננו עניין פשוט. ובכל זאת, קיימות מספר שיטות:
מניפולציות אנליטיות.
נראה כאן כיצד ניתן לחשב את סכום הטור ההרמוני המתחלף formula_139. זהו טור מתכנס, בניגוד לטור ההרמוני, ונחשב את סכומו באמצעות תכונות של טורי חזקות.
ראשית נביט בטור ההנדסי formula_140 שמתכנס עבור formula_141. ידוע כי סכום טור זה הוא formula_142. נציב formula_143 ונקבל: formula_144. מכיוון שזהו טור חזקות בעל רדיוס התכנסות 1 ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר, ולכן נקבל:
formula_145, כלומר formula_146.
קיבלנו כעת טור חדש בעל רדיוס התכנסות זהה לזה של הטור המקורי - 1. אנו יודעים שטור זה מתכנס בנקודה formula_147 (למשל, בעזרת מבחן לייבניץ), ולכן נציב formula_147 ונקבל: formula_149. והרי formula_150, ולכן הגענו לתוצאה המבוקשת: formula_151.
חישוב סכום של טור טיילור.
לעיתים, טור אינסופי מסוים הוא פשוט טור טיילור של פונקציה מסוימת בנקודה מסוימת. למשל, בדוגמה לעיל השתמשנו בטור טיילור של formula_152 על מנת לחשב את סכום הטור ההרמוני המתחלף, השווה ל-formula_153.
חישוב סכום של טור פורייה.
טור פורייה הוא הצגה של פונקציה כטור אינסופי של סינוסים וקוסינוסים. באמצעות הצבה בתוך הטור או על ידי שימוש בזהות פרסבל אפשר לחשב באמצעותו טורים שונים, למשל ערכים שונים של פונקציית זטא של רימן. לדוגמה:
טור פורייה של formula_124 בקטע formula_155 הוא
formula_156
formula_157
ומזהות פרסבל
formula_158
ולכן הערך של פונקציית זטא של רימן בנקודה formula_159 (הנקרא גם טור אוילר, על שם המתמטיקאי שחישב אותו לראשונה) הוא
formula_160
חישוב סכום של טור טלסקופי.
טור טלסקופי הוא טור מהצורה formula_161(או formula_162- formula_17 הראשון ו-formula_164 האחרון).
קל לחשב את סכומו שכן
formula_165
לעיתים, יש טורים שניתן להציגם בצורה זו, (הפעם: formula_166). למשל:
formula_167
חישוב בעזרת שאריות.
שיטה שימושית לחישוב הסכום של טורים מבוססת על חישוב שאריות בפונקציות מרוכבות. ממשפט השארית נובעת התוצאה הבאה (כאשר f היא פונקציה אנליטית):
ביסמוט
בּיסְמוּט (נכתב גם ביסמות; בכתב לטיני: Bismuth), הוא יסוד כימי מסדרת מתכות המעבר העמידות. סמלו הכימי Bi ומספרו האטומי 83. הוא כבד, שביר, וצבעו לבן עם גוון ורוד, ודומה מבחינה כימית לארסן ולאנטימון.
תכונות.
הביסמוט הוא מתכת כבדה עם גוון לבן. לאחר שהיא פוגשת באוויר, המתכת מתחמצנת ומקבלת גוון ורדרד. בניגוד לשכניו בטור ובשורה בטבלה המחזורית (עופרת, תליום, כספית, אנטימון, ארסן ופולוניום), הוא אינו רעיל במיוחד. לביסמוט דיאמגנטיות גבוהה, ומוליכות תרמית וחשמלית נמוכות. צבע הלהבה שלו כחול, והוא פולט אדים צהובים. הביסמוט מתפשט כאשר הוא קופא.
באופן מסורתי הוא נחשב לכבד ביותר מבין היסודות הלא-רדיואקטיביים, אך כיום יש המתייחסים אליו כאל רדיואקטיבי לאחר שהתגלה כי הוא אינו בעל יציבות מוחלטת אלא רק כמעט מוחלטת. זמן מחצית החיים שלו הוא מסדר גודל של שנים; עם זאת, מכיוון שזהו זמן מחצית חיים חריג באורכו (הוא גדול פי 1.38 מיליארד מגיל היקום), ההתייחסות היישומית אליו היא כאל יסוד יציב שאינו רדיואקטיבי. הביסמוט אינו רעיל.
לביסמוט צורה של ספירלות מרובעות. הסיבה לצורת הריבוע היא משום שזאת הצורה שבה הכי נוח לסדר אטומים. הסיבה לצורת הספירלה היא משום שהביסמוט מנסה ליצור גביש מרובע, אך לחץ חיצוני שמופעל עליה מונע ממנה לצמוח ומאלץ אותה ליצור עוד פינות ריבועיות, שיוצרות צורת ספירלה.
שימושים.
בביסמוט בצורתו הטהורה משתמשים בייצור פלדות רכות וכזרז, וכן כתחליף לעופרת, בשל רעילותו הנמוכה.
במסגים של הביסמוט, שלהם טמפרטורת התכה נמוכה, משתמשים במתקנים לגילוי ולכיבוי אוטומטי של שריפות, ובמסג של הביסמוט עם מנגן משתמשים בייצור מגנטים.
בביסמוט אוקסיכלוריד משתמשים בתעשיית האיפור למתן מרקם ומראה משיי למוצרי איפור מינרלי שונים.
הוא משמש ברפואה כמרשם להקלה על כיבי קיבה.
היסטוריה.
הביסמוט היה ידוע עוד מימי קדם, אך לרוב חשבו אותו לעופרת או לבדיל, בשל הדמיון הרב ביניהם. בשנת 1556 תיאר גאורגיוס אגריקולה לראשונה את המתכת החדשה בספרו De Re Metallica ("על המתכות"). הוא זיהה אותה על פי הצבע האופייני הנותר בשריטה על ידי אבן שחורה ("אבן בוחן"). הביסמוט הוגדר כיסוד עצמאי על ידי קלוד ז'ופרואה הבן בשנת 1753. מקור השם הוא בצירוף הגרמני weiße Masse, שפירושו "חומר לבן".
טור מתמטי
טור חשבוני
טור
מספר ממשי
במתמטיקה, מספר ממשי הוא מספר המייצג גודל, כמו formula_1 או formula_2.
ניתן לראות את המספרים הממשיים החיוביים כאורכים של קטעים על ישר אינסופי (הקרוי, לפיכך, הישר הממשי). לכל מספר חיובי מתאים גם מספר שלילי באותו גודל, המודד את אותו קטע בכיוון ההפוך.
קיימת התאמה בין הישר הממשי למספרים הממשיים, כך שכל מספר ממשי מייצג נקודה אחת ויחידה על הישר הממשי וכל נקודה על הישר הממשי מייצגת מספר ממשי אחד ויחיד.
על המספרים הממשיים ניתן להגדיר פעולות חיבור וכפל שהופכות אותם למבנה אלגברי הקרוי שדה. שדה זה נקרא שדה המספרים הממשיים. בנוסף מוגדר על הממשיים יחס סדר טבעי לפי מיקומם על הישר הממשי. שתי תכונות אלו יחדיו הופכות את קבוצת המספרים הממשיים לשדה סדור שלם.
היסטוריה והתפתחות.
השם "מספר ממשי" ניתן למספרים אלה במאה ה-17 על ידי דקרט, שעשה זאת כדי להבחין בין שורשים ממשיים לבין שורשים מדומים של פולינום.
בפיתוחו של החשבון האינפיניטסימלי במאה ה-18 נעשה שימוש נרחב במספרים ממשיים, אך ללא הגדרה נאותה שלהם. ב-1872 פרסם גאורג קנטור מאמר שבו הגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים; הגדרתו (השקולה) של ריכרד דדקינד את המספרים הממשיים באמצעות חתכי דדקינד פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה.
מספרים רציונליים ואלגבריים.
לאחר שקובעים את אורכה של יחידה המידה היסודית, האורך של מספר יחידות כאלה נקרא מספר שלם. מספר ממשי שאפשר לבטא כיחס בין שני מספרים שלמים הוא מספר רציונלי, אך רוב המספרים הממשיים אינם כאלה - עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים היא עוצמת הרצף שאיננה בת מניה (כפי שהוכח באמצעות האלכסון של קנטור), ואילו אוסף המספרים הרציונליים הוא בן-מניה. המספרים הממשיים שאינם רציונליים, כגון שורש 2, formula_3 או e, נקראים אי-רציונליים. את קבוצת המספרים האי-רציונליים אפשר לחלק לשתי תת-קבוצות: