לפי תורת היחסות הכללית, בהינתן האפשרות לסכום את השפעת כוחות הכבידה הכלליים, ניתן בעצם לקבוע את השדה הכבידתי הכללי של מערכת, וממנו לגזור את הגאומטריה של המרחב-זמן על התכונות שהכבידה משרה עליו; ובהינתן הגאומטריה של המרחב-זמן המוכפף לאילוצי הכבידה הכללית, ניתן לחשב את מסלולי התנועה של גופים בו.
תורת היחסות הכללית מחליפה למעשה את שדות הגרביטציה הכלליים במרחב עקום, כאשר קשר ההשפעה בין הללו הוא דו-סטרי: פילוג האנרגיה והמסה קובעים את הגאומטריה של המרחב-זמן, וזו מצידה יוצרת תנועה באנרגיה ובמסה, ועל ידי כך משנה את התפלגותם.
המבנה היסודי בתורת היחסות הכללית הוא היריעה, כאשר ביטוי החוקים הפיזיקליים נעשה באמצעות וקטורים וטנזורים התלויים בגאומטריה. בהתייחס לגאומטריה, עקמומיות היא המאפיין המבטא את כל תכונות המרחב, את שינוי יחסי המרחק בין הנקודות במרחב, ואלו ניתנות להצגה על ידי הטנזור המטרי. לכן רכיבי הטנזור המטרי הם המשתנים בהם עוסקת תורת היחסות הכללית, כאשר ההתייחסות היא למרחב המאורעות כולו - כלומר לתכונות על פני כלל המרחב הארבע-ממדי.
הגדרה מתמטית.
המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית מוגדר על ידי משוואת השדה של איינשטיין. משוואה זו מבטאת את הקשר בין פילוג המסה והאנרגיה במרחב-זמן לבין רכיבי הטנזור המטרי, ותצורתה היא:
כאשר, formula_47 הוא טנזור העקמומיות של ריצ'י; formula_48 הוא הטנזור המטרי; formula_49 הוא סקלאר ריצ'י; formula_50 הוא הקבוע המתמטי פאי; formula_51 הוא קבוע הכבידה של ניוטון; formula_52 היא מהירות האור; ו- formula_53 הוא טנזור המאמץ-אנרגיה;
את המשוואה ניתן לבטא גם בצורה הקומפקטית יותר, באמצעותם טנזור איינשטיין (formula_54), שרכיביו הם רכיבי הטנזור המטרי ונגזרותיהם:
צידה השמאלי של המשוואה מתייחס לגאומטריה של המרחב - רכיבי הטנזור המטרי ונגזרותיהם -, וצידה הימני לחומר - צפיפות המסה והאנרגיה, צפיפות התנע ורכיבי טנזור המאמץ, המהווים יחדיו את טנזור המאמץ-אנרגיה.
מאחר שלכל טנזור ארבע-ממדי 16 רכיבים (צירופי formula_56), משוואת השדה של איינשטיין מהווה בעצם 16 משוואות. עם זאת, בשל הסימטריות האלכסונית של הטנזורים, אלו מצטמצמות לעשר משוואות שונות.
פתרון המשוואה נותן את רכיבי הטנזור עבור כל נקודה במרחב-זמן - על פני כל המרחב הארבע-ממדי. מאחר שאלו הן משוואות דיפרנציאליות חלקיות, הכוללות כמה משתנים לא-תלויים, ואי-ליניאריות ממעלה שנייה, אין להן פתרון כללי, והן פתירות רק עבור מקרים פרטיים, או מסוימים ומוגדרים. דוגמה לפתרון שכזה היא מטריקת שוורצשילד - הפתרון המדויק הראשון למשוואות, שהוצע על ידי האסטרונום קארל שוורצשילד.
כאמור, משוואות איינשטיין מתארות את הקשר הכללי בין פיזור ותנועת אנרגיה למבנה המרחב-זמן, ועל כן חובות בתוכן תיאור של כלל המקרים הפרטים של תצורות המרחב-זמן. למשל, רכיבי הטנזור במשוואות השדה של איינשטיין יהיו קרובים לרכיבי הטנזור של מרחב-זמן תורת היחסות הפרטית, במקרים בהם שדות הכבידה חלשים ואין שינוי גדול בתנועת מקורות השדה (מצבים התלויים בנתונים הכלולים בטנזור המאמץ-אנרגיה) - מצב זה קרוב לשל תנועה קבועה והיעדר שינויים גדולים ברכיבי הטנזור המטרי; לעומת זאת, קרבה לתאוריה הניוטונית של הכבידה תתקיים כאשר שדות הכבידה חלשים, ועל כן אינם מייצרים שינויים דרסטיים בעקמומיות המרחב וכאשר המהירויות נמוכות - המקרה בו האפקטים היחסותיים הפרטיים זניחים.
מסלולי תנועה גאודזיים.
לפי תורת היחסות הכללית נוכחות ותנועת מסה מעוותת את המרחב-זמן ויוצרת בו עקמומיות. עקרון ההתמדה קובע כי גופים ישאפו להתמיד בתנועתם, ולכן, כמנוסח בחוק הראשון של ניוטון, במצב של תנועה במהירות קבועה ובהיעדר השפעת כוחות נוספים, גופים ינועו בקו ישר. עקרונות תנועה אלו נשמרים בתורת היחסות הכללית: גופים חופשיים ינועו "תמיד בקווים ישרים במרחב-זמן ארבע-ממדי," אך בשל עקמומיות המרחב יראו לנו "כאילו הם [נעים] בקווים עקומים במרחב התלת-ממדי שלנו". תנועת גופים במרחב-זמן של תורת היחסות מתוארת לפיכך באמצעות מסלולים גאודזים: קו גאודזי או מסילה גאודזית הוא המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות במרחב עקום; במרחב שטוח קו גאודזי הוא ישר, ובמרחב תלת-ממדי עקום זהו מסלול גאודזי. למשל, על פני כדור, המסילות הגאודזיות הן המעגלים הגדולים שהרדיוס שלהם שווה לרדיוס הכדור.
לפי תורת היחסות במרחב-זמן הארבע-ממדי, גוף ינסה להתמיד בתנועה ישרה, אך נתיב תנועתו יוכפף ויתעקם בשל עקמומיות המרחב, והוא ינוע במסלול הקצר ביותר האפשרי לו - כלומר, במסילה גאודזית. מבחינה זו עקמומיות המרחב מייצגת למעשה את האילוצים הנכפים על גופים על ידי שדות הכבידה הכלליים. לכן, בהינתן הגאומטריה של המרחב ועקמומיותו, ניתן לחשב את מסלולי התנועה של גופים בו. ניבויים אלו של תורת היחסות הוכחו כמה שנים אחר ניסוח תורת היחסות הכללית. משוואות התנועה הקו-ואריאנטיות של איינשטיין מאפשרות חישוב מסלולים שכאלה. כמשוואת השדה גם משוואות אלו הן משוואות דיפרנציאליות סבוכות, העושות שימוש בחשבון טנזורים ואנליזה על יריעות.
תמונת היקום.
אופייה הכללי של תורת היחסות הכללית מאפשר להסיק כמה מסקנות לגבי המבנה הגאומטרי של היקום. מאחר שהידע המצוי בידנו אינו מלא מסקנות אילו מוגבלות, וחלקן אינו אלא קירוב גס. איינשטיין עצמו ניסח כמה מסקנות לגבי טיבו של מבנה היקום. לפי איינשטיין, מכך שהכבידה משפיעה על התנהגות המרחב והזמן ומייצרת אפקטים יחסותיים, ניתן לשלול את האפשרות שגאומטריית היקום היא אוקלידית, אך גם להניח כי באופן כללי אין היא נבדלת אלא במעט מהגאומטריה האוקלידית, מאחר שהשפעת הכבידה (גם של מסות מסדר גודל של השמש) על מארג המרחב-זמן משמעותית בסביבה הקרובה אליה בלבד ובאזור קטן יחסית. היקום לפי איינשטיין גם אינו פסאודו אוקלידי (כמרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית), מאחר שמסות גדולות יוצרות בו עקמומיות חריגות. לפי נתונים אלו, ועל סמך זאת שעל אף שפיזור החומר ביקום אינו אחיד, בהתבוננות ביקום בקנה מידה התואם את ממדיו, נראה כי החומר בו מחולק בצורה הומוגנית שהסטיות ממנה הן זעירות ביותר. בשל כך, לצורך התייחסות למבנה הכללי של גאומטריית היקום, נוכל להניח כי המרחב-זמן הכללי הוא הומוגני ואיזוטרופי. מהנחה זו משתמע כי הצפיפות הממוצעת של החומר ביקום שווה בכל רגע, אך לא בהכרח קבועה בזמן. על סמך נתונים והנחות אלו נוכל לקבוע כי גאומטרית המרחב-זמן הכללי (מבנה היקום) נוהגת כיריעה שעקמומיותה קבועה באופן כללי, ואשר רק באזורים פרטיים שלה מתקיימות חריגות.
מסקנה זו היא כללית ביותר ואינה מתארת את צורתו של היקום או עונה על השאלה האם מבנה היקום יציב באופיו או מתפתח ובאיזו צורה. מראית היקום למעשה תלויה בצפיפותו.
ישנן כמה אפשרויות בסיסיות המתאפיינות בסימטריות מרחב-זמן שונות:
משוואות תורת היחסות הכללית הצביעו על כך שהיקום אינו סטטי, אך עד לגילוי עדויות להתפשטות היקום דבק איינשטיין במודל של יקום סטטי שיסביר את היציבות היחסית לה אנו עדים, ואף ניסה, ללא הצלחה, לתקן את משוואות השדה כך שישקפו מערכת כללית יציבה, באמצעות הוספת הקבוע הקוסמולוגי.
תצפיות אסטרונומיות הוכיחו זה מכבר כי היקום מתפשט, וכי כלל הגלקסיות בו מתרחקות זו מזו בצורה ישרה, התפשטות המבוטאת בחוק האבל. תגליות אלו ואחרות חיזקו תאוריות הטוענות להתפשטות היקום. בהתייחס להתפשטות קיימים כמה מודלים של יקום התואמים מידע זה שחלקם הוצעו על ידי אלכסנדר פרידמן:
כל אחד מפתרונות אלו הוא תוצר של חישוב עבור צפיפות ומידת התפשטות התחלתית שונה, אך לשלושתם תכונה משותפת - כולם מצביעים על כך שהיקום מתפשט ושבעבר הרחוק המרחק בין הגלקסיות היה אפסי וצפיפות היקום ועיקום המרחב-זמן היו בשיעור אינסופי. נקודת זמן זו קרויה המפץ הגדול ומציינת ייחודיות קיצונית, בה כלל התאוריות המדעיות המוכרות קורסות. תאוריית המפץ הגדול - התאוריה המובילה בתחום - גורסת כי היקום החל את דרכו ממצב דחוס ומכווץ מאוד, בהתפשטות מהירה, כעין מפץ, שמהירותה פוחתת עם השנים ועתידה בזמן כלשהו להתהפך ולהתחיל תהליך של התכווצות. לפי תאוריה זו, בעת המפץ הבראשיתי נוצר המרחב-זמן. כמו כן, מקובלת ההשערה כי בשל עוצמת הכבידה, המרחב-זמן מתכופף סביב עצמו, ולכן היקום הוא סגור וסופי אך בה בעת חסר גבולות. אמיתות השערה זו תלויה בצפיפות היקום, ערך שאינו ודאי.
מרחב-זמן קוונטי.
ישנן כמה תאוריות המנסות לאחד בין תורת הקוונטים ותורת היחסות הכללית, ולמצוא את המבנה היסודי המעמיד תאוריה שתשמר את התכונות הקוונטיות ותספק תיאור של התנהגות חלקיקי החומר, ובה בעת תתיישב עם תורת הכבידה היחסותית. במרכז מחקר זה עומד הניסיון להציע מודל תת-קוונטי, פיזיקלי-מתמטי, הנענה להתנהגות המוכרת המדידה של החומר והאנרגיה ביקום, לפי החשיבה הפיזיקלית, ועומד בקנה אחד עימה.
תאוריות שונות אלו, המכונות בשם הכולל תורת כבידה קוונטית, נאלצות להיענות לקשיים שונים הנובעים מההתנהלות השונה של המרחב והחומר-אנרגיה, כפי שאנו מכירים אותם, ברמת המיקרו והמקרו. חלק מתאוריות הכבידה הקוונטית עוסקות בחקירת מאפייני המרחב-זמן ברמה הקטנה ביותר המכונה סקלת פלאנק (formula_57 מטר בקירוב).
אין עדיין תאוריה יחידה מגובשת, ומבנה המרחב-זמן הקוונטי עדיין אינו ברור או מוסכם, למעט החיזוי כי הוא בדיד. משום שאישושן של תורות הכבידה הקוונטית, ברמת המיקרו, עדיין אינו אפשרי באמצעות צפייה ישירה, התפתחות תחום המחקר כולו נעשה מתוך בחינת התאמת כל מודל מוצע, למול הידע השונה שהושג בשדה המחקר הפיזיקלי הכללי, בייחוד זה של חלקיקי יסוד וכוחות היסוד.