כמו כן, האנתרופולוגים גילו שרידים רבים של האדם הקדמון באפריקה. אך במאה ה-19 היה הד רב לתאוריות של הקל. רבים קראו והעריכו אותן. כתוצאה מכך, השם למוריה היה ידוע היטב בין המשכילים באירופה ובאמריקה.
למוריה משנה כיוון.
הלנה בלבצקי (Elena Petrovna Blavatsky) (נולדה כהלנה האהן 1831–1891) מנביאות העידן החדש ומייסדת תנועת התיאוסופיה, פרסמה ספר בשם: "הדוקטרינה הסודית". בספר זה נכתב כי היא שמעה על למוריה ב"ספר של דזיין" (Book of Dzyan) אשר לטענתה חובר באטלנטיס והוצג לה על ידי ה"מהטמות". עם זאת, בכתביה היא מכבדת את פיליפ שלאטר כאדם שהמציא את השם "למוריה".
מאדאם בלאבצקי מיקמה את למוריה שלה באוקיינוס ההודי, לפני 150 מיליון שנה. ייתכן גם כי המקור לרעיונותיה בדבר היבשת ששקעה באוקיינוס ההודי הן אגדות בשפת סנסקריט על יבשה בשם רוטס (Rutas) ששקעה מתחת לים. היא תארה את יושבי למוריה כגזע השורשי השלישי להתיישב בכדור הארץ. לדבריה הם היו יצורים דו-מיניים שהטילו ביצים, וניחנו בכישורים על חושיים הודות לקיומה של "עין שלישית". לדבריה, הגזע נכחד משגילה את המיניות. עד אז החיים בלמוריה היו אוטופיה.
רעיונותיה של מאדאם בלאבצקי הם שהפכו את המושג "למוריה" מגשר יבשתי שנועד להסביר בעיה בתורת האבולוציה, למושג מיסטי. השם למוריה כמושג מיסטי נשמר הודות לספרים רבים שנכתבו אחרי תקופתה ועד היום.
דוגמאות לספרים שהשפיעו על תחילת תנועת העידן החדש:
אגדת מו.
תפנית בהתהוותה של אגדת למוריה החלה עם רעיונותיו של הצרפתי אוגוסטוס לה פלנז'ון (Augustus Le Plongeon). לה פלנז'ון (1826–1908) חקר את עתיקות המאיה בחצי האי יוקטן והכריז כי הצליח לפענח את הכתובים הקדומים של המאיה. על פיהם, לדבריו, תרבותם עתיקה יותר מהתרבויות של אטלנטיס ושל מצרים העתיקה. לדבריו, הכתובים גם סיפרו על יבשת עתיקה אף יותר, הקרויה "מו". היבשת, שמוקמה באוקיינוס השקט, שקעה בים בדומה לאטלנטיס, והניצולים ממנה הם שייסדו את תרבות המאיה.
כיום, לאחר שפוענח כתב המאיה, אנו יודעים כי "התרגומים" של לה פלנז'ון מבוססים על דמיון מפותח.
רעיונותיו של לה פלנז'ון בדבר היבשת האבודה זכו לפופולריות עקב סדרה של חמישה ספרים שכתב ג'יימס צ'רצ'וורד (James Churchward) בנושא, החל בספר היבשת האבודה של מו. הספרים נמכרים עד היום בחנויות הספרים במדפים המוקדשים ל"עידן החדש" או ל"אמונה ורוחניות". על פי הספרים, התרבות הקדומה של מו התקיימה במשך 50,000 שנה עד שהיבשת אבדה לפני 26,000 שנה. סימנים לקיומה של היבשת מצא צ'רצ'וורד בשרידים ארכאולוגיים בהוואי, פולינזיה ובעיקר באי הפסחא.
תור היירדאל מספר בסיפרו "אקו אקו" כי הדרכים העתיקות החוצות את אי הפסחא מגיעות ממש עד קו המים. סופר לו, כי יש הטוענים שדרכים אלו נמשכות מתחת למים והן חלק מיבשת מו העתיקה ששקעה. צולל שהיה בצוותו הפריך את הטענה כי הדרכים נמשכות מתחת למים.
איחוד למוריה ומו.
אין יודעים מתי אוחדה האגדה בדבר היבשת האבודה "למוריה" עם האגדה בדבר היבשת האבודה "מו" (אולי משום שהשם "מו" נמצא בתוך השם "למוריה"). כמו כן לא ידוע כיצד הועברה היבשת שהייתה אמורה להיות באוקיינוס ההודי לצידו השני של כדור הארץ. כיום למוריה מוזכרת כשם נרדף למו והמאמינים בקיומה ממקמים אותה באוקיינוס השקט.
חלק מאנשי העידן החדש מאמינים כי למוריה קיימת עד היום בממד אחר, וכי במדיטציה או בתקשור ניתן לעבור אליה. בספרים הרבים המוקדשים לנושא מתוארת למוריה כגן עדן פורח, מקום בו חיים התושבים בהרמוניה עם הטבע וזה עם זה.
לקריאה נוספת.
מלבד ספריו של צ'רצ'וורד שהוזכרו קודם, קיימים ספרים רבים בנושא שנכתבו על ידי אנשים המזוהים עם ה"עידן החדש". בדרך כלל מוזכרת למוריה בנשימה אחת עם אטלנטיס.
דוגמה לספר שנכתב בעברית:
דוגמה לספרים מתורגמים :
סדרת קושי
מוצגים בנקודות כחולות. אם המרחב שמכיל את הסדרה הוא שלם, אזי לסדרה יש גבול במרחב.
באנליזה מתמטית, סדרת קוֹשי, הקרויה על שם המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטן לואי קושי, היא סדרה שאבריה הולכים ומצטופפים ככל שמתקדמים בסדרה. באופן מדויק יותר לכל מרחק חיובי formula_1, קטן ככל שיהיה, יש איבר בסדרה שממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מ-formula_1.
לא מספיק לדרוש שההפרש בין כל שני איברים עוקבים הולך וקטן, לדוגמה בסדרה:
ההפרש בין כל שני איברים עוקבים נעשה קטן יותר ככל שמתקדמים בסדרה:
אך עם זאת, ככל שערכי n גדלים, כך גם ערכי formula_5 גדלים באופן שרירותי. ולכן, לכל אינדקס n ומרחק d, קיים אינדקס m גדול מספיק שעבורו formula_6 (מתקיים עבור: formula_7). ולכן, לא משנה כמה נתקדם בסדרה, איברי הסדרה לעולם לא יתקרבו זה אל זה, ולכן סדרה זו אינה סדרת קושי.
השימושיות של סדרות קושי נובעת מכך שבמרחבים מטריים שלמים (מרחבים בהם כל סדרות קושי מתכנסות לגבול) הקריטריון להתכנסות סדרה תלוי אך ורק באיברי הסדרה, בניגוד להגדרת ההתכנסות שתלויה גם באיברי הסדרה וגם בגבול עצמו. תכונה זו מנוצלת באלגוריתמים, בהם ניתן להראות כי תהליך איטרטיבי מייצר סדרת קושי.
במספרים הממשיים.
סדרה formula_8 נקראת סדרת קושי אם לכל formula_9 קיים formula_10 מתאים לו, כך שלכל formula_11 מתקיים formula_12. הגדרה זו תקפה לא רק עבור מספרים, אלא בכל מרחב מטרי formula_13, כשמחליפים את התנאי האחרון formula_14.
בכל מרחב מטרי, כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי. מאידך ישנם מרחבים מטריים בהם יש סדרות קושי שאינן מתכנסות. מרחב מטרי שלם הוא כזה שבו לכל סדרת קושי בו קיים גבול. המספרים הממשיים הם דוגמה למרחב מטרי שלם. דוגמה למרחב מטרי שאינו שלם היא הקטע הפתוח formula_15 עם המטריקה המושרית מהמספרים הממשיים, שכן הסדרה formula_16 היא סדרת קושי שאין לה גבול בקטע.
משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין
משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין בתורת הקבוצות אומר שאם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית מקבוצה formula_1 לקבוצה formula_2, וקיימת פונקציה חד-חד-ערכית מהקבוצה formula_2 לקבוצה formula_1, אז קיימת פונקציה שהיא גם חד-חד-ערכית וגם על מהקבוצה formula_1 לקבוצה formula_2, כלומר שתי הקבוצות שקולות - עוצמתן זהה. המשפט נקרא על שם גאורג קנטור, ארנסט שרדר ופליקס ברנשטיין.
בכתיב עוצמות ניתן לנסח את המשפט כך: אם formula_7 וגם formula_8 אז formula_9. המשפט מכונה גם "למת הסנדוויץ'" (משום שהוא מסיק מאי-השוויונות formula_10 את שוויון העוצמות).
חשיבותו הרבה של המשפט היא בכך שהוא מראה שהיחס "formula_11 אם יש פונקציה חד-חד-ערכית מ-formula_1 ל-formula_2" הוא יחס יחס אנטי-סימטרי. ברור שהיחס הזה טרנזיטיבי, ואם כך הוא מהווה יחס סדר חלש. כדי להוכיח שהיחס הוא יחס סדר מלא, כלומר שלכל שתי עוצמות formula_14 מתקיים formula_15 או formula_16, דרושה אקסיומת הבחירה.
הוכחות של המשפט.
נציג כמה הוכחות של המשפט, המבוססות כולן, בדרכים שונות, על חלוקה של אחת הקבוצות לשני חלקים.
הוכחה באמצעות סיווג של האיברים.
נוכיח את המשפט על ידי בניית פונקציה חד-חד-ערכית ועל formula_17 מ־formula_1 ל־formula_2.
נניח ש-formula_20 היא פונקציה חד-חד-ערכית מ-formula_1 ל-formula_2, וש-formula_23 היא פונקציה חד-חד-ערכית מ-formula_2 ל-formula_1. כמו כן נניח, ללא הגבלת הכלליות שהקבוצות formula_1 ו-formula_2 זרות. נראה שקיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בין שתי הקבוצות. נבנה עבור כל איבר formula_28 של הקבוצה formula_1, וכל איבר formula_30 של הקבוצה formula_2, סדרת איברים מ-formula_1 ומ-formula_2 לסירוגין, כך שכל איבר מתקבל על ידי החלת הפונקציה החד-חד-ערכית המתאימה על האיבר שקודם לו:
נשים לב שניתן להמשיך את הסדרה ימינה ללא סוף, אך מאחר ש-formula_35 ו-formula_36 לא מוגדרות לכל איברי formula_2 ו-formula_1 בהתאמה, לא בהכרח ניתן להמשיך את הסדרה שמאלה עד אינסוף. הסדרות יכולות להסתיים משמאל באיבר של formula_1, להסתיים משמאל באיבר של formula_2, או להיות אינסופיות (או מעגליות) לשני הכיוונים. נסווג את הסדרות כסדרות קצה-formula_1, סדרות קצה-formula_2 או סדרות ללא קצה בהתאמה. מכיוון ש-formula_20 ו-formula_23 הן פונקציות חד-חד-ערכיות, לכל איבר בכל אחת מהקבוצות קיימת רק סדרה אחת כזו עד כדי זהות: אם איבר מופיע בשתי סדרות, כל האיברים מימינו ומשמאלו חייבים להיות זהים בשתיהן. הסדרות יוצרות חלוקה של האיחוד של formula_1 ו-formula_2. לכן מספיק לבנות פונקציה חד-חד-ערכית ועל מ-formula_1 ל-formula_2 בכל אחת מהסדרות בנפרד.
כעת, נבנה את הפונקציה החד-חד-ערכית ועל formula_17 מ-formula_1 ל-formula_2: עבור איברי formula_1 ששייכים לסדרת קצה-formula_1, נגדיר את formula_54 כ-formula_55 (כלומר, נלך צעד אחד ימינה בסדרה המתאימה לאיבר). עבור איברי formula_1 ששייכים לסדרת קצה-formula_2, נגדיר את formula_54 כ-formula_59 (כלומר, נלך צעד אחד שמאלה בסדרה המתאימה לאיבר), ובאותו אופן נגדיר גם את formula_17 עבור איברי formula_1 ששייכים לסדרה ללא קצה. קל לראות שהפונקציה formula_17 היא אכן חד-חד-ערכית ועל.
בניה ישירה של ההתאמה.
נחליף את הקבוצה formula_2 בתמונה שלה formula_64, שהיא ממילא שוות עוצמה ל-formula_2 משום ש-formula_23 חד-חד-ערכית.
כעת אפשר להניח ש-formula_67 ונתונה פונקציה חד-חד-ערכית formula_68; עלינו לבנות פונקציה כזו שהיא חד-חד-ערכית ועל. נסמן ב-formula_69 את ההרכבה של formula_20 על עצמה formula_71 פעמים (כאשר formula_72 היא פונקציית הזהות). נאמר שאיבר formula_73 הוא מסוג ראשון אם קיימים formula_74 ו-formula_75 כך ש-formula_76, ומסוג שני אחרת.