חישוב ערכים של הפונקציות הטריגונומטריות.
משפט פיתגורס מאפשר למצוא ערכים פשוטים של פונקציות טריגונומטריות.
הערכים של קוסינוס וסינוס (ולכן גם טנגנס) בזוויות 30°,45°,60° מתקבלים ממשפט פיתגורס בקלות.
כדי למצוא את ערכי הפונקציות בזווית 45° בונים משולש ישר-זווית שהוא גם שווה-שוקיים. לשם הפשטות קובעים כי אורכי הניצבים הם 1. זוויות הבסיס במשולש שוות ולכן הן 45° (כי סכום הזוויות במשולש הוא 180°). לפי משפט פיתגורס אורך היתר הוא formula_7, ולכן מהגדרת הפונקציות הטריגונומטריות במשולש נובע ש-formula_55
כדי למצוא את ערכי הפונקציה בזוויות 30° ו-60° מתחילים ממשולש שווה-צלעות שכל צלעותיו הן באורך 2. מכיוון שהמשולש שווה-צלעות כל זוויותיו הן בנות 60°. כעת מורידים גובה מאחד הקודקודים. הגובה הוא גם חוצה זווית ולכן מתקבל משולש שזוויותיו הן 90°-60°-30°. הגובה הוא גם תיכון ולכן למשולש שהתקבל ניצב באורך 1 (מול הזווית 30°) ויתר באורך 2. לפי משפט פיתגורס אורך הניצב השני (מול הזווית 60°) הוא formula_56. לכן מקבלים ש-formula_57 וכן formula_58.
הכללות.
למשפט פיתגורס ישנן הכללות רבות, חלקן היו ידועות עוד בימי קדם. הכללות חדשות ממשיכות להתגלות, כאשר מתמטיקאים בוחנים את ההוכחות השונות של המשפט ומנסים להכלילן. הכללות אלו ניתן לסווג בשלוש קטגוריות:
הכללות למשולש כלשהו ולמצולעים שונים.
משפט הקוסינוסים.
ההכללה הידועה ביותר של משפט פיתגורס למשולש כללי היא משפט הקוסינוסים. בגרסתו המוכרת, ניסוחו של משפט הקוסינוסים הוא:
formula_59 כאשר formula_60 היא הזווית מול formula_61 .כאשר formula_62 היא זווית ישרה, מתקבל משפט פיתגורס (כי formula_63)
למשפט גרסה מוקדמת יותר, המופיעה גם היא ב"יסודות" של אוקלידס ואינה כוללת פונקציות טריגונומטריות:
על כל אחת מהצלעות AB, BC, CA של משולש ABC מונחים ריבועים ABOM, BCIG, CAJL בהתאמה.
מכל קודקוד מועבר גובה לצלע ממול החותך גם את הריבוע המונח על צלע זו.
אזי מתקיימים השוויונות הבאים:
formula_64, formula_65, formula_66.
ניתן להציג שוויונות אלו במשולש חד זווית גם באופן הבא: formula_67.
בגרסה זו ברור יותר הקשר בין משפט הקוסינוסים למשפט פיתגורס: אם הזווית "ACB" היא זווית ישרה, אז הישר KE מתלכד עם הישר LC ואילו הישר DH מתלכד עם הישר CI, כלומר formula_69 ומתקבל משפט פיתגורס.
משפט התיכון.
התיכון מהקודקוד "A" במשולש "ABC" חוצה את הצלע "BC" בנקודה "D".
משפט התיכון קובע כי formula_70.
במקרה הפרטי שבו המשולש הוא שווה-שוקיים :
formula_71, formula_72, formula_73
מתקבל משפט פיתגורס.
הכללת אבן קורה.
הכללה נוספת למשולש כללי, נתונה במשפט הבא המיוחס למתמטיקאי הערבי ת'אבת אבן קורה בן המאה התשיעית:
נתון משולש "ABC" . מקודקוד A יוצאים שני ישרים החותכים את הצלע "BC" בנקודות "g, h", כך ש
formula_74
(בציור משמאל, דוגמה עבור המקרה הפרטי שבו formula_75 היא זווית קהה).
אזי formula_76.
במקרה הפרטי, שבו הזווית formula_23 היא זווית ישרה, הנקודות "g, h" מתלכדות, ואז formula_78 ומתקבל משפט פיתגורס.
משפט היין.
המתמטיקאי האמריקאי לארי היין פרסם בשנת 2000 משפט המכליל את משפט פיתגורס, במשולש שווה-שוקיים:
נתון משולש שווה-שוקיים שאורך השוק שלו הוא "c". ישר באורך "a" המחבר את זווית הראש והבסיס חוצה את הבסיס לשני קטעים שאורכיהם "b", "d".
אזי: formula_79
במקרה הפרטי שבו הישר הפנימי הוא גובה (ולפי משפט ידוע בגאומטריה, גם תיכון),
מתקיים ש formula_80 ומתקבל משפט פיתגורס.
לא רק ריבוע.
מתוך ה"יסודות" של אוקלידס.
הכללה למשפט פיתגורס, ניתן למצוא כבר ב"יסודות" של אוקלידס:
אם על צלעותיו של משולש ישר-זווית מונחות צורות דומות, אזי סכומם של שני השטחים הקטנים, שווה לשטח הגדול.
בצורה פורמלית יותר: אם על צלעות משולש ישר-זווית שאורכי צלעותיו הן formula_81 בונים צורות ששטחיהן A,B,C כך ש formula_82, אזי formula_83.
משפט תלמי.
משפט תלמי בגאומטריה קובע שאם מרובע "ABCD" הוא ציקלי, כלומר ניתן לחסום אותו במעגל,
כלומר: formula_84,
אז formula_85.
במקרה הפרטי שבו המרובע הנדון הוא מלבן שאורכי צלעותיו ואלכסוניו הם: formula_86, formula_87
, formula_88, מתקבל משפט פיתגורס.
מקביליות הבנויות על צלעות משולש כללי.
על הצלעות "AC" ו-"BC" של משולש "ABC", בונים מקביליות "ACED" ו-"BCGF" בהתאמה.
הקרנות "DE" ו-"FG" נחתכות בנקודה "H".
על הצלע "AB" בונים מקבילית "ABJI" שצלעותיה "AI", "BJ", מקבילות לקטע "CH" ושוות לו באורכן.
אזי formula_89.
הוכחה זו מופיעה בספר הרביעי בסדרת האסיף המתמטי של פאפוס מאלכסנדריה.
במקרה הפרטי, בו המשולש הוא ישר-זווית, והמקביליות הן ריבועים, מתקבל משפט פיתגורס.
הכללת ויליאם האזרד.
המתמטיקאי האמריקאי ויליאם האזארד פרסם בשנת 1929 הכללה להוכחתו של המתמטיקאי ההודי אריאבהטה למשפט פיתגורס.
בנייה:
המקבילית "ABCD" חסומה במקבילית "PNMQ", כלומר על כל אחת מצלעות המקבילית "PNMQ" מונח קודקוד של המקבילית "ABCD".
מקודקוד "A" מעבירים ישר מקביל לקטעים "MN", "QP" החותך את הצלע QM בנקודה S.
מקודקוד "B" מעבירים ישר מקביל לקטעים "MQ", "NP" החותך את הצלע PQ בנקודה K.
הישרים "AS", "BK" נחתכים בנקודה Y.
אזי: formula_90.
כאשר שתי המקביליות הן ריבועים, מתקבל משפט פיתגורס (כמו בהוכחתו של אריאבהטה).
גאומטריה מסדר גבוה יותר ומרחבים נורמיים.
משפט דה גוּאַה.
משפט דה גואה, על שמו של המתמטיקאי הצרפתי ז'אן דה-גואה דה-מלבס, הוא הכללה של משפט פיתגורס לשלושה ממדים. המשפט קובע שאם לפירמידה משולשת יש פינה ישרה, כלומר:
formula_91,
אז סכום ריבועי השטחים של הפאות היוצרות את הפינה הישרה, שווה לריבוע הפאה הרביעית, כלומר:
formula_92
משפט אנלוגי קיים גם בממד רביעי ומעלה.
משפט פיתגורס במרחב מכפלה פנימית.
אם "u" ו-"v" הם וקטורים אורתוגונליים (מאונכים) במרחב מכפלה פנימית, אזי formula_93
באמצעות אינדוקציה מתמטית, ניתן להרחיב את הכלל למספר סופי כלשהו של וקטורים, כך שכל שניים מהם מאונכים זה לזה:
יהיו v1, v2,…, v"n" וקטורים במרחב מכפלה פנימית כך ש
formula_94 לכל i&lt;j, אזי: formula_95
משפט פיתגורס בגאומטריה לא אוקלידית.
הגאומטריה האוקלידית מבוססת על מספר אקסיומות (שנוסחו תחילה על ידי אוקלידס ותוקנו בהמשך על ידי דויד הילברט), בהן אקסיומת המקבילים, לפיה בהינתן ישר formula_96 ונקודה P שאיננה על הישר, ניתן להעביר דרך P ישר אחד בלבד המקביל ל- formula_96.
משפט פיתגורס נובע מהאקסיומות של הגאומטריה האוקלידית. למעשה, בגאומטריה האוקלידית, משפט פיתגורס שקול לאקסיומת המקבילים, כלומר: בהינתן האקסיומות של הגאומטריה האוקלידית ללא אקסיומת המקבילים ובתוספת משפט פיתגורס, ניתן להוכיח את אקסיומת המקבילים, ומכאן, גם את כל שאר המשפטים של הגאומטריה האוקלידית.
משפט פיתגורס, בניסוחו המוכר, לא תקף בגאומטריות שאינן אוקלידיות, אך יש לו גרסאות שמותאמות לגאומטריות אלו.
משפט פיתגורס בגאומטריה הספירית.
בגאומטריה הספירית אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה הבאה:
בהינתן ישר formula_96 ונקודה P שאיננה על הישר, לא ניתן להעביר דרך P אף ישר המקביל ל- formula_96.
בגאומטריה הספירית, המשולשים (וכל שאר העצמים המתמטיים) נמצאים על פני ספירה.
כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא:
כדי להבין מדוע משפט זה אכן מהווה את המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה formula_101 לטור מקלורן:
formula_102
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הספירית", מקבלים:
formula_103.
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם formula_104, מקבלים את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית כאשר מאפשרים לרדיוס הכדור לשאוף לאינסוף (formula_105):
formula_106.
משפט פיתגורס בגאומטריה ההיפרבולית.
בגאומטריה ההיפרבולית, את אקסיומת המקבילים מחליפה האקסיומה: בהינתן ישר formula_96 ונקודה P שאיננה על הישר, ניתן להעביר דרך P לפחות שני ישרים המקבילים ל- formula_96.
במישור היפרבולי בעל עקמומיות 1-, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא: formula_109 כאשר cosh הוא הקוסינוס ההיפרבולי.
גם כאן, על ידי שימוש בטור מקלורן, כאשר formula_110 מקבלים את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית.
יער גשם טרופי
יער גשם טרופי, הידוע גם כיער משווני לח או ג'ונגל, הוא מערכת אקולוגית הנפוצה באזור קו המשווה. יערות הגשם הטרופיים הם ירוקי עד, וגדלים בהם בעיקר עצים רחבי-עלים ובגובה שונה שצמרותיהם יוצרות כמה רבדים אופקיים. יערות גשם טרופיים, המשתרעים על שטחים נרחבים סביב קו המשווה, יוצרים את אחת המערכות האקולוגיות המורכבות ביותר על פני כדור הארץ.
תפוצה.
יערות גשם טרופיים מהווים רצועה רחבה משני צידי קו המשווה, באזורים החמים והלחים של כדור הארץ. הם משתרעים על פני שלושה גושים עיקריים. הגוש הגדול מכולם נמצא באגני האמזונאס, הגוש השני שוכן במערב אפריקה והגוש השלישי נמצא בדרום-מזרח אסיה. שטחם הכולל של כל יערות הגשם הטרופיים הוא כעשרים מיליון קמ"ר (יותר משמינית מהשטח היבשתי של כדור הארץ). בנוסף ישנם יערות גשם גם בצפון אוסטרליה ובניו זילנד.
האקלים.