קין התיישב לבסוף בארץ נוד, המזרחית לעדן, שם בנה עיר וקרא לה על-שם בנו חנוך. פעולה זאת מנוגדת לעונש ה', מכיוון שאלוהים ציווה עליו לנוע ולנוד בעוד שהוא מתיישב במקום קבע ואף בונה עיר. לפי פירושו של רש"י, ארץ נוד היא ארץ מקלט לגולים ונוודים. הארץ נקראת ככה מכיוון שכל הגולים נדים (נודדים) לשם. פרופסור זלי גורביץ' בספרו "על המקום" מציע שלא מדובר בכלל בשם של מקום, אלא שהשם ניתן למצב שבו נתון קין, שהנדודים הם מקום מושבו. פירוש אחר הוא שעונשו של קין הוא גלות ממקום מגוריו למקום שאינו שייך לו. בנוסף, ייתכן שקין הצליח להימלט מעונשו, וייתכן שהעונש היה ניתוק מהאדמה. ניתן לראות צידוק לכך בפסוק "כי תעבד את האדמה לא תוסף תת-כוחה לך", ואת המקצועות העירוניים שעסקו בהם צאצאיו – חרש ברזל ומוזיקאי.
משפחתו ושושלתו.
פרשנים מסורתיים והגמרא טוענים שקין נולד עם אחות תאומה, ושהייתה לו לפחות עוד אחות אחת.
שם חיצוני לאשתו הוא קלמנה הויה או און.
לחנוך נולד עירד, ולעירד מחויאל, ומחויאל ילד את מתושאל, ומתושאל ילד את למך. למך לקח לו שתי נשים: שם האחת עדה, ושם השנית צלה. עדה ילדה את יבל ואת יובל, וצלה ילדה את תובל-קין ונעמה. סיפור תולדותיה של שושלת קין מסתיים לאחר כשמונה דורות, בעוד ששושלת שת מובילה לנח שהוא אבי כל הדורות הבאים. עם זאת יש המפרשים שאשת נח הייתה נעמה, מצאצאיו של קין, וישנה אגדה לפיה אשמדאי מלך השדים הוא מצאצאי קין.
מותו.
על מותו של קין מסופר באגדה כי הרגו צאצאו למך בן מתושאל כאשר יצא לציד עם בנו תובל קין שחי שבעה דורות אחרי רצח הבל. למך היה כבד ראיה וחשב כי קין הוא חיה הראויה לציד, ניתר עליו והרגו. לאחר שעמד על טעותו ספק את כפיו בצער, אך כיוון שהיה כבד ראיה לא ראה שבנו נמצא לפניו, מחץ אותו והרגו. ניתן למצוא צידוק לכך בשירו של למך:
במדרש תנחומא מרחיבים על המקרה. לאחר שלמך הרג את קין, הוא טפח בחרטה ונגע בראש תינוקו (בנו, תובל-קין), ובשגגה הרגו.
לעומת זאת במדרש רבה מסופר כי . לפי מדרש זה הוא חי 1656 שנים.
על פי ספר היובלים קין מת שנה לאחר שאדם מת;
לפי זה, הוא חי 931 שנים.
קין בנצרות.
הברית החדשה שופטת בחומרה את קין הנחשב (), ומחשיבה את הבל צדיק ומאמין:
(). אף על פי כן, מלבד השיפוטיות המגדירה מי רשע ומי צדיק, אין בתיאור האחים בכתוב מידע החורג בהרבה מפשט הסיפור בתורה. לעומת זאת, בפרשנות הנוצרית הבאה במאות השנים הבאות, לאחר ההתנתקות מן היהדות ועל רקע העימות בין ישראל לכנסייה, נעשית דמותו של קין לסמל של היהודים הדוחים את ישו לאחר שרצחו אותו. הבל נתפס בהתאמה כישו, הקדוש המעונה, שנרצח לאחר שהאל בחר בו.
אוגוסטינוס, אב הכנסייה שחי במאות ה-4–5 לספירה כתב את הספר "נגד פאוסטוס המניכאי". בספרו, הוא מעלה את הנקודות הבאות:
חבורה (מבנה אלגברי)
במתמטיקה, חבורה (Group) היא מבנה אלגברי המורכב מקבוצה ופעולה בינארית אסוציאטיבית.
החבורות הופיעו במחקר המתמטי במהלך המאה ה-19, במסגרת הניסיונות לפתור משוואות פולינומיות ממעלה גבוהה, כדוגמת הפתרונות למשוואה ממעלה שלישית ורביעית שהתגלו במאה ה-16. החבורות שבהן עסקו החוקרים הראשונים, ובראשם גלואה, היו חבורות ספציפיות שאיבריהן הם תמורות. מאוחר יותר ניסח ארתור קיילי את מערכת האקסיומות המגדירה חבורה באופן מופשט, וייסד בכך את תורת החבורות.
לתורת החבורות יש שימושים רבים במתמטיקה עצמה, כאמור, אך גם בפיזיקה, כמו בחקר מבנה הגבישים והמולקולות, ובחקר מושג הסימטריה.
הגדרה.
חבורה formula_1 היא מבנה אלגברי בסיסי הכולל קבוצה עם פעולה בינארית formula_2 ("סגורה": לכל formula_3 מתקיים ש-formula_4), אשר מקיימת את התכונות הבאות:
(מהאקסיומות נובע שיש רק איבר יחידה אחד, ושלכל איבר יש הופכי אחד; די להניח שכל איבר הפיך משמאל).
חבורה אבלית (חילופית) היא חבורה שבה מתקיים, בנוסף, תנאי הקומוטטיביות (חילופיות) formula_13 לכל formula_3.
קשרים בין חבורות למבנים כלליים יותר.
איבר היחידה של חבורה הוא האידמפוטנט היחיד בה. בחבורה למחצה יש בדרך כלל אידמפוטנטים רבים, והקשרים ביניהם מאפשרים לבנות במדורג משפחות של חבורות למחצה שיש להן דמיון מסוים לחבורות. למשל, חבורה למחצה הפיכה היא חבורה למחצה שבה לכל formula_25 קיים formula_26 יחיד כך ש-formula_27 ו-formula_28; במקרה זה מסמנים formula_29. בחבורה למחצה סופית formula_30, לכל אידמפוטנט formula_31, קבוצת האיברים המקיימים formula_32 היא תת-החבורה המקסימלית של formula_30 ש-formula_31 הוא איבר היחידה שלה.
במונואיד, שהוא חבורה למחצה עם איבר יחידה 1, אפשר לדרוש שאיבר formula_35 יהיה "הפיך מימין" (קיים formula_36 כך ש-formula_37) או "הפיך משמאל" (קיים formula_36 כך ש-formula_39). איבר formula_35 שהוא הפיך גם מימין וגם משמאל הוא הפיך, כלומר, קיים formula_36 המקיים בו-זמנית formula_42. בכל מונואיד, אוסף האיברים ההפיכים סגור לכפל (בגלל התכונה formula_43), והוא מהווה לכן חבורה. אם כל איבר של המונואיד הוא הפיך משמאל, אז כולם הפיכים, והמונואיד הוא חבורה. לעומת זאת קיימים מונואידים שאינם חבורות שבהם לכל formula_35 קיימים formula_45 כך ש-formula_46. מונואיד שבו מהשוויון formula_47 תמיד נובע formula_48, נקרא "מונואיד עם צמצום משמאל"; כל מונואיד הניתן לשיכון בחבורה הוא בעל צמצום (מימין ומשמאל), אבל ההפך אינו נכון. מונואיד סופי עם צמצום משמאל הוא חבורה.
תת-חבורות.
תת-קבוצה של חבורה formula_1 המהווה בעצמה חבורה (ביחס לאותה פעולה בינארית אסוציאטיבית ולאותו איבר יחידה), נקראת תת-חבורה. כל תת-קבוצה הכוללת יחד עם כל איבר את ההפכי שלו, ויחד עם כל שני איברים את מכפלתם, היא תת-חבורה. החיתוך של תת-חבורות הוא תמיד תת-חבורה. כל תת-חבורה formula_50 מחלקת את החבורה למחלקות שקילות, הנקראות קוסטים, בשני אופנים: מימין, המחלקות הן מהצורה formula_51, ומשמאל, המחלקות הן מהצורה formula_52. מספר האיברים בכל מחלקה (ימנית או שמאלית) שווה למספר האיברים בתת-החבורה, ומכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של תת-חבורה של חבורה סופית, מחלק את הסדר של החבורה. מספר המחלקות (השמאליות או הימניות) של תת-חבורה נקרא האינדקס של תת-החבורה ומסומן formula_53. כאשר החבורות סופיות מתקיים formula_54.
מהסדר של חבורה (סופית) אפשר להסיק רבות על המבנה שלה. בין המשפטים הבסיסיים בכיוון זה אפשר למנות את משפט קושי על קיומם של איברים בעלי סדר ראשוני, ואת משפטי סילו על קיומן של תת-חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני.
בין תת-החבורות, חשובות במיוחד תת-החבורות הנורמליות, שהן תת-חבורות הכוללות, יחד עם כל איבר, את כל האיברים הצמודים לו. במילים אחרות, תת-חבורה formula_50 היא תת-חבורה נורמלית של formula_1 אם לכל formula_57 מתקיים formula_58; לכן formula_59 לכל formula_60. מכאן נובע שהמחלקות הימניות והשמאליות של תת-חבורה נורמלית שוות זו לזו. על אוסף המחלקות ביחס לתת-חבורה נורמלית formula_50 אפשר להגדיר פעולת כפל, ההופכת אותו לחבורה; חבורה זו נקראת חבורת המנה של formula_1 ביחס ל-formula_50, וגודלה הוא האינדקס של formula_50 ב-formula_1. החבורה עצמה, ותת-החבורה הכוללת את איבר היחידה בלבד, הן תמיד נורמליות. חבורה שאין לה תת-חבורות נורמליות אחרות נקראת חבורה פשוטה. חבורה שאינה פשוטה אפשר לבנות מתת-חבורה נורמלית ומחבורת המנה, באמצעות תהליך הקרוי הרחבה של חבורות. נורמליות אינה עוברת בתורשה (כלומר, ייתכן ש-formula_66 תת-חבורה נורמלית של formula_50, ו-formula_50 תת-חבורה נורמלית של formula_1, בעוד ש-formula_66 אינה נורמלית ב-formula_1).
המכפלה של תת-חבורות מוגדרת לפי הכפלת האיברים, formula_72. זוהי תת-חבורה אם ורק אם formula_73. מכיוון שתת-חבורה נורמלית formula_66 מקיימת את הזהות formula_75, המכפלה שלה עם כל תת-חבורה מהווה תת-חבורה. בפרט, המכפלה של שתי תת-חבורות נורמליות היא תת-חבורה (נורמלית).
תת-חבורות מיוחדות.
אומרים שאיברים formula_76 בחבורה מתחלפים, אם formula_77. אוסף האיברים המתחלפים עם כל אברי החבורה הוא תת-חבורה שלה, הנקראת מֶרְכָּז החבורה; את המרכז של formula_1 מקובל לסמן ב-formula_79, על-פי המלה הגרמנית למרכז, Zentrum. המרכז הוא תת-חבורה נורמלית, ובחבורה אבלית הוא שווה לחבורה כולה. יש חבורות, כגון החבורה הסימטרית, שבהן המרכז כולל רק את איבר היחידה. המרכז מוכל בכל תת-חבורה אבלית מקסימלית של החבורה.
באופן כללי יותר, לכל תת-חבורה formula_50 של חבורה formula_1 מסמנים ב-formula_82 את אוסף האיברים של formula_1, המתחלפים עם כל אברי formula_50. תת-חבורה זו נקראת המְרַכֵּז של formula_50. בפרט, formula_86. אם formula_87 שתי תת-חבורות של formula_1, אז formula_89. לכל תת-חבורה מתקיים formula_90, ו-formula_91.
באופן דומה, מגדירים את המנרמל של formula_50, כתת-החבורה formula_93. תת-חבורה זו מכילה את formula_50, והיא תת-החבורה הגדולה ביותר של formula_1 שבה formula_50 נורמלית.
ראו גם: תת חבורת הקומוטטורים, סדרת הרכב.
יוצרים ויחסים.
קבוצה formula_30 של איברים בחבורה formula_1 היא קבוצת יוצרים של formula_1, אם תת-החבורה הקטנה ביותר המכילה את formula_30 היא formula_1 עצמה. חבורה שיש לה קבוצת יוצרים ובה איבר יחיד, נקראת חבורה ציקלית; כל חבורה נוצרת סופית היא בת מנייה.