לפני שניגש להוכיח את תכונת ההפיכות, נגדיר חיוביות של קוואזי-הומומורפיזם: formula_408 חיובית אם"ם קיים formula_474 כך שלכל formula_129, formula_476. ברור שאם formula_408 חיובית וformula_478, אז formula_479 חיובית (במובן של סדרות קושי, המשמעות היא שformula_480, מה שמסתדר מצוין עם העובדה שהסדרה מתכנסת למספר אותו הפונקציה מייצגת). לכן ניתן לדבר על חיוביות של formula_481, כחיוביות של formula_408. נראה כי אם formula_408 לא חיובית, אז formula_484 חיובית: כל קוואזי-הומומורפיזם שקול לקוואזי-הומומורפיזם המקיים formula_485, לכן מספיק להוכיח רק לגבי אלו המקיימים formula_485: נניח בשלילה שגם f וגם formula_484 לא חיוביות. אז לכל formula_407 קיים formula_489 כך שformula_490, וקיים formula_491 כך שformula_492, כלומר formula_493. f קוואזי הומומורפיזם, לכן קיים formula_404 כך שלכל formula_405 מתקיים formula_496. יהי formula_234 המספר הטבעי המינימלי שעבורו formula_490, ויהי formula_499 המספר הטבעי המינימלי שעבורו formula_493. בבירור formula_501, וכן formula_502. אם formula_503, אז formula_504, ומהמינימליות של r נקבל formula_505, ולכן formula_506, בסתירה לכך שf קוואזי-הומומורפיזם. אם formula_507, אז formula_508, ולכן formula_509, שוב בסתירה לכך שf קוואזי-הומומורפיזם. לכן תמיד אם formula_408 לא חיובית, formula_484 חיובית.
נגדיר יחס סדר על השדה: formula_530 אם ורק אם formula_531 חיובית. נראה כי ההגדרה לא תלויה בנציגים: נניח כי formula_532. אז מתקיים formula_533. מעתה נוכל לדבר פשוט על formula_534, במקום formula_535.
נראה כי זהו אכן יחס סדר מלא חלש:
נראה כי השדה הוא שדה סדור:
לפני שנוכיח את שלמות השדה, נוכיח כי ניתן להגדיר את פונקציית הערך השלם על formula_1: יהי formula_577 כאשר קבוע האדיטיביות של f הוא k. מתקיים formula_578, כלומר formula_579. קיבלנו כי formula_580 לכל formula_129, כלומר formula_582 (במילים אחרות, formula_1 ארכימדי). קיבלנו כי הקבוצה formula_584 חסומה ולא ריקה, לכן ניתן להגדיר formula_585. קל לראות שמתקיימות כל תכונות פונקציית הערך השלם.
כעת נוכיח כי השדה הוא שלם: תהי formula_11 תת-קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל על ידי formula_587. אם לformula_222 יש מקסימום, אז הוא האינפימום שלה. לכן נניח שלכל formula_13 קיים formula_590 כך שformula_591. נגדיר formula_592.
נראה כי f היא קוואזי-הומומורפיזם: לכל formula_129 קיים formula_594 כך שformula_595, ואז לכל formula_13 מתקיים formula_597. יהו formula_598, ונגדיר formula_599. מתקיים formula_600, כלומר formula_601. מתקיים formula_602, לכן formula_603. אם נפעיל את פונקציית הערך השלם על אי-השוויון, נקבל formula_604, כלומר formula_605. אם formula_606, נקבל formula_607. במקרה השלישי נוכל להניח כי formula_608. אם formula_609, נגדיר formula_610. אם formula_611, נגדיר formula_612. בשני המקרים מתקיים formula_613, וכן formula_614 במקרה הראשון, וformula_615.
נגדיר formula_616. נוכיח כי s הוא סופרמום: יהי formula_13. הנחנו כי לקבוצה S אין מקסימום, לכן יהי formula_618. קל להשתכנע ש-formula_94 צפופה ב-formula_1, לכן קיימים formula_621 כך שformula_622. לכל n טבעי מתקיים formula_623. נובע מכך בקלות שformula_624, לכן formula_625, כלומר formula_491 חסם מלעיל של formula_222.
כעת יהי formula_628 חסם מלעיל, ונניח בשלילה ש&lt;math&gt;y: שוב קיימים formula_621 כך שformula_630. מתקיים formula_631, וכן formula_632, לכן מכך שformula_633 נקבל שעבור אינסוף ערכי formula_41 טבעיים, מתקיים formula_635. מצד שני, מתקיים formula_636 עבור formula_13 כלשהו. מכיוון שformula_638, נקבל formula_639, בסתירה לכך שformula_635. לכן formula_641.
שקילות.
כל שני מודלים של המספרים הממשיים (כלומר קבוצה עם פעולות וסדר המקיימת את האקסיומות לעיל) הם איזומורפיים, כלומר אם formula_658 הם מודלים של המערכת, אז קיימת פונקציה formula_659 חד חד ערכית ועל כך שמתקיים:
פונקציה מסוג זה נקראת איזומורפיזם.
הוכחה.
נקדים במעט תכונות הנכונות לכל מודל formula_663 של המערכת:
בהינתן formula_664, נגדיר formula_267. אז מתקיים formula_666: נסמן formula_667. אז לכל formula_270 מתקיים formula_669, לכן formula_670, כלומר formula_671 חסם מלעיל של formula_289. כעת נראה כי הוא החסם מלעיל הקטן ביותר: נניח בשלילה שformula_673 הוא חסם מלעיל. נגדיר formula_674. אז formula_675. מתקיים formula_676, לכן formula_677 אינו חסם מלעיל של formula_74, כלומר קיים formula_251 כך שformula_680. באותה דרך קיים formula_681 כך שformula_682. לכן formula_683, בסתירה לכך שformula_397 חסם מלעיל של formula_289. לכן formula_686.
השדה formula_1 הוא ארכימדי, כלומר לכל formula_688 קיים formula_129 כך ש formula_690. נראה זאת: נניח בשלילה שקיים formula_691 כך שלכל formula_129 מתקיים formula_693. אז הקבוצה formula_694 חסומה מלעיל על ידי formula_587, ולכן על פי תכונת השלמות (האקסיומה האחרונה) יש לה סופרמום, שיסומן formula_491. לכן לכל formula_697 מתקיים formula_698 ומכך שformula_699 נקבל גם formula_700, כלומר formula_701. כלומר formula_702 הוא חסם מלעיל של formula_694. מהגדרת הסופרמום כחסם מלעיל הקטן ביותר נקבל formula_704. מתכונות הסדר נוכל לחסר formula_491 ולקבל formula_706. לכן ניתן לכפול בformula_707 מבלי לשנות את הסדר (כפל במספר חיובי הוא שומר סדר, ראו באקסיומות), ונקבל formula_708, ואם נחסר formula_709 משני אגפי המשוואה נקבל formula_710. היחס formula_3 הוא יחס סדר חזק, לכן formula_712, ולכן formula_713, בסתירה לכך שבהגדרת השדה דורשים formula_714.
כעת נגדיר את פונקציית הערך השלם על formula_1. למעשה ניתן להגדיר באותה דרך על כל שדה ארכימדי formula_716: יהי formula_717. מתכונות הארכימדיות נובע כי קיים formula_129 כך שformula_719 (כאשר formula_720), כלומר formula_721. לכן הקבוצה formula_722 חסומה מלעיל על ידי formula_41 ומלרע על ידי formula_724, וכקבוצה חסומה של מספרים שלמים, היא סופית. לכן יש לה מקסימום, שיסומן formula_725. זהו המספר השלם המקסימלי שאינו גדול מx. (כי כל איבר בקבוצה formula_726 הוא בקבוצה formula_722, או קטן מformula_724, ובשני המקרים מתקיים formula_729). נשים לב שמתקיים formula_730 (החלק השמאלי נובע ממהגדרה, והימני מכך שאם formula_731, אז formula_732, ולכן formula_733).
כעת נראה כי formula_94 צפופה בformula_1. גם תכונה זו נכונה לכל שדה ארכימדי formula_736: יהו formula_737. אז מתקיים formula_738. מהארכימדיות קיים formula_129 כך שformula_740, כלומר formula_741, או במילים אחרות formula_742. נגדיר formula_743. אז מתקיים formula_744, וכן formula_745, כלומר formula_746, ולכן formula_747.
לכל מודל formula_663 ולכל תת-קבוצה חסומה ולא ריקה formula_749, נסמן בformula_750 את הסופרמום של formula_222 בformula_1 (שקיים על פי אקסיומת השלמות). בנוסף, לכל formula_688 נסמן formula_754. נשים לב שקבוצה זו תמיד חסומה (על ידי x) ולא ריקה.
כעת ניגש להוכיח את השקילות בין שני מודלים formula_658: נגדיר formula_659 על פי formula_757. נראה כי זו פונקציה חד-חד-ערכית ועל: נגדיר formula_758 על פי formula_759. נראה שמתקיים formula_760: לכל formula_761 מתקיים formula_762. לכל formula_763 מתקיים formula_764, כלומר formula_58 אינו חסם מלעיל של formula_766, ולכן קיים formula_767 כך ש&lt;math&gt;q. מההגדרה של formula_766 נקבל formula_769, ולכן formula_770, כלומר formula_771. לכן formula_772 חסם מלעיל של formula_773. כעת נראה שהוא חסם עליון: נניח בשלילה כי formula_774 הוא חסם של
formula_773. אז מהצפיפות של formula_94 בformula_777 נקבל שקיים formula_778 כך שformula_779. מכך שformula_771 נקבל formula_781, לכן formula_764, כלומר formula_763, ומכיוון שformula_628 הוא חסם מלעיל של formula_773, נקבל formula_786, בסתירה לכך שformula_787. לכן formula_788. באותה דרך מתקיים formula_789 לכל formula_790. לכן formula_760, כלומר formula_524, ובפרט formula_408 פונקציה הפיכה, ולכן חד-חד-ערכית ועל.
כדי להראות כי formula_660, נוכיח קודם כל כי בכל מודל formula_1 מתקיים formula_796: יהי formula_797. אז formula_798. לכן formula_799, כלומר formula_800. יהי formula_801. אז formula_802, ומצפיפות הרציונליים בממשיים נקבל שקיים formula_803 כך ש-formula_804, כלומר formula_805, לכן קיים formula_806 כך ש-formula_807. נגדיר formula_808. אז formula_809, וכן formula_810, לכן formula_811. לכן מתקיים formula_812.