לאחר הגדרת מושג הזמן בכל נקודה במרחב, כך שבכל מקום במרחב מונח שעון כשכל השעונים מסונכרנים, ניתן לבחון כיצד תלוי קצב תקתוקו של השעון במהירות התנועה של מערכת הייחוס שבה הוא נמצא.
שעון במערכת הנעה במהירות קבועה והתארכות הזמן.
על פי תורת היחסות, זמן אינו גודל מוחלט, אלא תלוי במערכת ייחוס. כלומר, אצל צופה אחד הזמן יעבור במהירות שונה מהזמן אצל צופה שני, הנע ביחס לראשון. ככל שמתקרבים למהירות האור, היחס שואף לאינסוף, ועל כן, מנקודת המבט של הצופה, הזמן בגוף הנע ביחס אליו במהירות האור עומד מלכת.
נניח ש-formula_10 (זמן עצמי) הוא פרק הזמן בין שני תקתוקי שעון במערכת שבה שני תקתוקי השעון קורים באותו מקום – "המערכת הנייחת" (מתוארת באיור הימני). נניח ש-formula_11 הוא פרק הזמן העובר בין שני תקתוקים כאשר שני התקתוקים קרו במקומות שונים, עקב תנועת מערכת הייחוס במהירות קבועה formula_12 ביחס למערכת הנייחת, בניצב לכיוון התקדמות האור (מתוארת באיור השמאלי).
לפי תורת היחסות, הקשר שיתקיים ביניהם הוא:
כאשר formula_15 הוא הזמן העצמי (הזמן במערכת ייחוס שבה שני האירועים מתרחשים באותו מקום, "המערכת הנייחת") ו־formula_16 הוא הזמן במערכת ייחוס הנעה במהירות formula_12 ביחס אליה. formula_18 היא מהירות האור. הזמן העצמי הוא גודל אינווריאנטי בתורת היחסות.
ניתן לראות כי כאשר
formula_19, אזי
formula_11
שואף לאינסוף. תופעה זו ידועה בשם "התארכות הזמן" (Time dilation). כלומר, ככל שהצופה נע במהירות גבוהה יותר ביחס למערכת הייחוס, כך השעון שלו מתקתק לאט יותר. במהירויות השואפות למהירות האור, ייקח לשעונו של הצופה הנע זמן אינסופי להשלים תקתוק שני, ולכן ידמה לו כאילו הזמן עומד מלכת.
בשעון הכוונה היא לכל מערכת פיזיקלית המשתנה בזמן (אם המערכת היא בעלת התנהגות מחזורית היא יכולה לשמש כשעון לכל צורך מעשי). גם לב האדם, הפועם בקצב קבוע הוא סוג של שעון, ומאחר שגם פעילותו הגופנית והמנטלית של הצופה הנע ביחד עם המערכת מאטות ביחד עם השעון, הוא לא ירגיש בהאטת הזמן.
תוצאה מעניינת מהמסקנות לעיל היא פרדוקס התאומים, ניסוי מחשבתי שבו תאום אחד נשלח לחלל במהירות גבוהה מאוד וכאשר הוא חוזר לכדור הארץ הוא מגלה שאחיו הזדקן מאוד, בעוד שהוא נותר צעיר. הסיבה לאי-הסימטריה בין שני התאומים נעוצה בכך שאחד מהם שינה בפועל את מהירותו (כאשר הוא הסתובב לחזור בחזרה אל עבר כדור הארץ) ובכך ביצע "קפיצה" בין שתי מערכות ייחוס אינרציאליות שונות ביחס לתאום שבכדור הארץ.
תורת האינווריאנטים.
בניגוד למה שניתן להבין משמה, תורת היחסות לא קובעת שהכל יחסי, אלא מנסה למצוא אינווריאנטים של הטבע, כלומר: גדלים שלא משתנים תחת מעבר בין מערכת ייחוס אינרציאלית אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת. איינשטיין יצא מהדרישה שחוקי הפיזיקה הם אינווריאנטים כאלה. גדלים פיזיקליים שנשמרים תחת מעבר זה נקראים גם "אינווריאנטים לורנץ" כי הם נשמרים תחת טרנספורמציות לורנץ. דוגמאות לאינווריאנטים הן:
דיאגרמת זמן וקונוס האור.
דיאגרמת זמן (נקראת גם "גרף t-x") הוא דרך פופולרית וטובה לתאר את המרחב-הזמן היחסותי. גרף זה מורכב מציר אופקי x המתאר את המרחב (הצמצום לממד מרחבי אחד נעשה מטעמי פשטות ונוחות השרטוט) ומציר אנכי t המתאר את הזמן.
להלן הסברים על הגרף ומשמעות רכיביו:
מרחב מינקובסקי.
בעזרתו של המתמטיקאי הרמן מינקובסקי ניסח איינשטיין את תורת היחסות באמצעות חשבון טנזורים במרחב היפרבולי של 4-וקטורים, הקרוי מרחב מינקובסקי. מרחב זה נקרא גם ה"מרחב-זמן" של מינקובסקי.
הגדרות קינמטיות יסודיות.
במרחב זה, מאורע פיזיקלי מתואר כ־4-וקטור, המכונה "4-וקטור האירוע" או "4-וקטור המקום", המוגדר בנוסחה
כלומר, יש בו רכיב זמן (האיבר הראשון) ורכיב מרחב (שלושת האיברים הבאים). זאת, כיוון שלצורך תיאור מאורע פיזיקלי יש לציין לגביו ארבעה פרטים: הזמן בו התרחש ושלוש קואורדינטות בלתי־תלויות של המקום בו התרחש.
המטריקה של מרחב מינקובסקי (המטריצה המגדירה את המכפלה הסקלרית במרחב) מוגדרת כמטריצה האלכסונית,
formula_25
באמצעות הסכם הסכימה של איינשטיין, מקובל לסמן: : formula_26
לשורש המכפלה של וקטור בעצמו לפי המטריקה, קוראים ה"נורמה" של הווקטור (אף על פי ש"נורמה" זו עשויה להיות שלילית).
מההגדרה לעיל, נובע כי ריבוע הנורמה של 4-וקטור המקום הוא
זהו האינטרוול של הווקטור x, והוא אינווריאנטה בתורת היחסות.
בניסוח זה, ניתן לייצג את המעבר בין מערכות ייחוס אינרציאליות (על ידי סיבוב או boost) באמצעות טרנספורמציות לורנץ, שהן טרנספורמציות ליניאריות (מטריצות) השומרות על המטריקה (המוגדרת, כאמור, על ידי תבנית ריבועית) תחת דמיון מטריצות).
גם 4-וקטור ההפרש בין שני 4-וקטורי מאורע הוא 4-וקטור, ולעיתים קרובות הוא שימושי יותר מאשר 4-וקטור המאורע.
נהוג למיין 4-וקטורים לפי הסימן של האינטרוול (ראו איור):
מהירות יחסותית ותאוצה.
בעזרת הגדרת ה־4-וקטור של מקום וזמן, מוגדר גם 4-וקטור מהירות. מאחר שהזמן תלוי במערכת הייחוס, הגדרת המהירות על ידי גזירה לפי זמן לא תהיה עקבית ואחידה. הפתרון הוא לגזור לפי הזמן העצמי – שהוא אינווריאנטי לורנץ – ואז הגדרת ה־4-וקטור המהירות תהיה עקבית. לכן מגדירים:
כאשר פקטור לורנץ, formula_32, נקבע כך שהנורמה של 4-וקטור המהירות שווה למהירות האור:
formula_33
לחלק המרחבי של 4-וקטור המהירות, formula_34, נהוג לקרוא "מהירות יחסותית" (לעומת "המהירות הקלאסית", formula_35). חלק מהפיזיקאים משתמשים במוסכמה שבה המהירות אינה מוכפלת בפקטור לורנץ, אלא דווקא המסה. בהקשר זה, נהוג לקרוא לגודל formula_36 "מסה יחסותית".
באותו אופן, אפשר גם לחשב תאוצה יחסותית:
ומהגדרה זו נובע כי המכפלה הסקלרית של התאוצה והמהירות מתאפסת תמיד, כי:
חיבור מהירויות.
מהירויות מקבילות.
מטרנספורמציות לורנץ נובע שכלל חיבור המהירויות המקבילות הקלאסי formula_39, המתאר כיצד תנועתו של גוף נע נמדדת ביחס לשתי מערכות עם תנועה יחסית ביניהן, תקף רק כקירוב במהירויות נמוכות. כלל חיבור המהירויות המקבילות היחסותי הוא
כלל שאותו אפשר לקבל דרך הסקת הקואורדינטות המרחב-זמניות של מאורעות המייצגים את הגעת הגוף הנע לנקודות שונות בקו תנועתו, כפי שהן נמדדות בשתי מערכות הייחוס הנידונות (שהאחת נעה ביחס לשנייה), תוך זיהוי המהירות היחסית המבוקשת כיחס formula_41. מכאן אפשר לראות שגוף הנע במהירות קטנה ממהירות האור במערכת אינרציאלית כלשהי, ינוע במהירות קטנה ממהירות האור בכל מערכת אחרת; באופן דומה, גוף שינוע במהירות גדולה ממהירות האור במערכת כלשהי, ינוע במהירות גדולה ממהירות האור בכל מערכת אחרת.
מהירויות ניצבות.
מאחר שהמרחב שאותו מודד צופה נע מתקצר רק בכיוון התנועה שלו ונשמר בכיוונים ניצבים לו (נתייחס לכיוונים הניצבים כאל formula_42 ו-formula_43), קואורדינטת ה-formula_43 של הגוף הנע בציר זה מותמרת ללא שינוי למערכת הייחוס של הגוף הנע בציר formula_42. אולם מנקודת מבטו של האחרון שעון מערכת המעבדה מתקתק לאט יותר בהשוואה לשעונו העצמי, כך שהגוף הראשון יגמע מרחקים זהים בכיוון formula_43 בפרק זמן ארוך יותר במערכת העצמית של הגוף השני בהשוואה לפרק הזמן שנמדד במערכת המעבדה, ולכן הגוף הנע בציר formula_42 ימדוד מהירות איטית יותר בציר formula_43 של הגוף הראשון בהשוואה לזו שנמדדה במערכת המעבדה. כלומר, בתחשיב המהירויות קצב התנועה בציר formula_42 יישאר ללא שינוי, בעוד שהמהירות בציר formula_43 תתווסף עם מקדם קטן מ-1, ולכן כלל חיבור המהירויות היחסותי במקרה זה הוא:
אנרגיה ותנע.
כדי לדון בדינמיקה של גופים נעים מגדירים את 4-וקטור התנע-אנרגיה:
כאשר formula_53 היא מסת המנוחה של הגוף. בהרבה ספרים נהוג להגדיר "מסה יחסותית" על ידי formula_54 ובכך ל"בלוע" את פקטור לורנץ. המסה היחסותית איננה אינווריאנטית לורנץ, למעשה – ככל שגוף נע יותר מהר, כך המסה היחסותית שלו גדולה יותר.
נביט באיבר הזמני של 4-וקטור התנע, לגודל formula_55 יש יחידות של אנרגיה חלקי מהירות ולכן מקובל לרשום אותו בצורה
ואז
ומתקיים שמסת המנוחה היא אינווריאנטית לורנץ, שכן
כעת נתרשם מדוע formula_59.
נפתח את האנרגיה כטור טיילור במהירות v ונקבל ש:
נשים לב ש formula_61 היא האינרגיה הקינטית הקלאסית של הגוף. לכן, זיהה איינשטיין את תכולת האנרגיה של הגוף עם המסה היחסותית שלו.
האנרגיה הקינטית היחסותית של הגוף היא formula_62 ואילו סך האנרגיה הכללית נתון על ידי formula_63.
כוח ומשוואות התנועה.
החוק השני של ניוטון אומר ש formula_64 וזהו הבסיס למשוואות התנועה גם בתורת היחסות הפרטית. את משוואות התנועה היחסותיות אפשר למצוא באופן ריגורוזי יותר באמצעות שימוש בעקרון הפעולה המינימלית עבור פעולה יחסותית (שבה האינטגרנד הוא גודל אינווריאנטי).
באמצעות עקרון הפעולה אפשר לקבל שמשוואות התנועה הן
כאשר f הוא ה 4-כוח, אותו ניתן לחשב באופן הבא: במערכת המנוחה של החלקיק מגדירים ש formula_66 ואז מעבירים אותה למערכת הרצויה בטרנספורמציית לורנץ. באופן מפורש מקבלים שבמערכת כלשהי, בה החלקיק נע במהירות formula_35 ה 4-כוח הוא מהצורה
לדוגמה, הכוח החשמלי הפועל על חלקיק בודד (כוח לורנץ) הוא
כאשר כאן formula_70 הוא טנזור השדה האלקטרומגנטי.
יישומים ומסקנות של תורת היחסות.
תורת היחסות הפרטית הובילה לתחזיות השונות מאלה שחזתה המכניקה הניוטונית עבור תנועה הקרובה במהירותה למהירות האור: