במעבר האחרון נעשה שימוש בקירוב סטרלינג (formula_64), וכן בהגדרת צפיפות מספרית formula_65. מכאן שהאנטרופיה היא:
ואם נחזור לדוגמה של זוג המערכות הזהות, סכום האנטרופיה שלהן בין אם הן מחוברות ובין אם לא (כלומר בין אם יש ביניהן מחיצה ובין אם לא), היא:
ובכך נפתרת הסתירה לחוק השני של התרמודינמיקה ולכך שהאנטרופיה היא פונקציית מצב.
חוסר היכולת לפתרון הפרדוקס בתרמודינמיקה.
בתרמודינמיקה, אנטרופיה מוגדרת בצורה שונה בבסיסה מההגדרה שלה במכניקה סטטיסטית (על אף שלבסוף מתקבלות תוצאות מקרוסקופיות זהות, כשאיפתה של המכניקה הסטטיסטית), ומבוססת בעיקרה על ההבחנה של פיזקאים שעבודה המושקעת ליצירת חום אינה זהה לעבודה המושקעת ליצירת עבודה מכנית, וכן על ההבחנה שתהליכים מסוימים בטבע אינם הפיכים.
על כן, המושג של ספירת מצבים מיקרוסקופיים לא היה קיים בתוך הגדרת האנטרופיה, ומכאן שאין סיבה ברורה למהות הבעיה כאשר מסתכלים על הבעיה במונחי התרמודינמיקה. במהלך פיתוחה של התרמודינמיקה לא מתבצעת הפרדה בין חלקיקים מובחנים לבין חלקיקים שאינם מובחנים, כך שאין דרך לטפל בפרדוקס.
הבחנה בין חלקיקים במכניקה קלאסית ובמכניקה קוונטית.
הבחנה בין חלקיקים במכניקה קלאסית.
במכניקה קלאסית, ניתן להבחין בין כל שני חלקיקים- מכיוון שהמיקום של כל חלקיק ניתן למדידה ודאית בכל זמן נתון, אפשר לסמן בצורה כלשהי כל חלקיק במערכת ובכך להבדיל ביניהם. על כן, לכאורה אין הצדקה ממשית לחלוקה בפקטור formula_58 במהלך פתרון הפרדוקס של גיבס.
אם כך, באופן אינטואיטיבי, ניתן לומר כי ההבדל בין הבחנה בין חלקיקים במכניקה קלאסית למכניקה קוונטית היא היעדרותו של עקרון אי-הודאות במכניקה הקלאסית. הדבר אינו מהווה את ההסבר במלואו שכן ההבדלים בין המכניקה הקלאסית למכניקה הקוונטית אינם מסתכמים בעקרון אי-הודאות, אך זו כן דרך אינטואיטיבית לחשוב על כך.
הבחנה בין חלקיקים במכניקה קוונטית.
במכניקת הקוונטים, בניגוד למכניקה הקלאסית, אכן יש משמעות לזהות בין חלקיקים: מערכת קוונטית מרובת חלקיקים מאופיינת על ידי פונקציית גל, המתארת את ההסתברות לקבלת מצב כלשהו במערכת (לצורך העניין, המיקום של חלקיק מסוים במרחב). בכתיב דיראק, פונקציית הגל מסומנת על ידי formula_69. על פי משפט ספין-סטטיסטיקה, כל החלקיקים בטבע מחולקים לשתי קטגוריות:
פרמיונים- חלקיקים בעלי פונקציית גל אנטי-סימטרית להחלפה בין שני חלקיקים במערכת, כלומר: formula_70. חלקיקים אלה מאופיינים בכך שהספין שלהם חצי שלם.
בוזונים- חלקיקים בעלי פונקציית גל סימטרית להחלפה בין שני חלקיקים במערכת, כלומר: formula_71. חלקיקים אלה מאופיינים בכך שהספין שלהם שלם.
סיבה מרכזית לכך שההבחנה בין בוזונים לפרמיונים חשובה היא הקיום של עקרון האיסור של פאולי- משפט הקובע כי שני פרמיונים לא יכולים להיות במצב קוונטי זהה, בעוד שעבור בוזונים אין הגבלה מסוג זה.
חשוב כעת לציין כי הגודל המגדיר את ההסתברויות לקבלת מצבים כלשהם הוא הגודל של פונקציית הגל, מועלה בריבוע. כלומר פונקציית הגל מוגדרת עד כדי פאזה מרוכבת קבועה formula_72, ובפרט אינה מושפעת משינוי בסימן. אם כך, מערכת של פרמיונים או בוזונים מאותו הסוג יכולה לתאר חלקיקים בלתי מובחנים, ועל כן בפועל ישנה הצדקה ממשית להתחשבות בחילופיות החלקיקים.
על מנת להראות כי למערכת מרובת חלקיקים חייבת להיות פונקציית גל סימטרית או אנטי-סימטרית להחלפה בין שני חלקיקים, ניתן להשתמש בפיזיקה קוונטית לא יחסותית ולהראות זאת תוך שימוש באופרטור ההחלפה , שפעולתו על פונקציית גל של שני חלקיקים formula_73 היא:
מדרישה שהחלקיקים זהים, כך שההמילטוניאן, המאפיין באופן מלא את התפתחות המצבים במערכת כפונקציה של הזמן, סימטרי להחלפה בין שני החלקיקים- ניתן להראות כי פונקציית הגל חייבת להיות זהה עד כדי סימן.
יחד עם זאת, כדי להראות שהתכונה של סימטריות ואנטי-סימטריות קשורה לספין, יש צורך במעבר לפיזיקה קוונטית יחסותית ולמשוואת דיראק, החוזה את קיומו של הספין (בניגוד למשוואת שרדינגר שאינה יחסותית, ולא חוזה את קיום הספין).
העובדה שהיה צורך לדרוש שחלקיקים חילופיים זה עם זה, דבר שאינו מתיישב עם המכניקה הקלאסית, היה במובן מסוים רמז מטרים לעובדה שמכניקת הקוונטים נחוצה. רמזים מסוג זה הופיעו מספר פעמים במהלך פיתוחה של המכניקה הסטטיסטית.
התייחסות מתמטית להבחנה בין חלקיקים.
כאמור, החלוקה בפקטור של formula_58 אינה מדויקת, מכיוון שקיימת האופציה ששני חלקיקים יאכלסו רמת אנרגיה זהה.
על מנת לכמת את מספר החלקיקים שמאכלסים רמות אנרגיה זהות, נתבונן בסיכוי שחלקיק כלשהו יאכלס רמת אנרגיה מסוימת, הנקבע בעזרת פקטור בולצמן:
כאשר אי השוויון נובע מכך שהאנרגיה גדולה מ-0 שכן מדובר במצבי האנרגיה של בור פוטנציאל אינסופי.
אם כך, תוחלת מספר החלקיקים ברמת אנרגיה מסוימת היא:
אם כך, הדרישה שמספר החלקיקים שמאכלסים רמות אנרגיה זהות תהיה אפסית היא:
ומכאן שמה של הצפיפות הקוונטית- הצפיפות הקוונטית מאפיינת את צפיפות מצבי האנרגיה הקוונטיים במערכת.
יתרה מכך, בעזרת ניתוח של התפלגות פרמי-דיראק וכן של התפלגות בוז-איינשטיין המתארות את אכלוסי המצבים האנרגטיים של פרמיונים ושל בוזונים, ניתן לראות כי בגבול של formula_79, פרמיונים ובוזונים מתנהגים בצורה זהה- והפיזיקה של שניהם "קורסת" לפיזיקה של גז אידיאלי. הדבר כמובן הגיוני שכן כאמור, הדבר המבדיל בין פרמיונים לבוזונים הוא עקרון האיסור של פאולי, שמונע מפרמיונים לאכלס רמות אנרגיה זהות. עם זאת, כאשר מספר המצבים הקוונטיים במערכת גדול מספיק, בכל מקרה ניתן לומר כי כל רמת אנרגיה מאוכלסת על ידי לכל היותר חלקיק אחד, כך שהמערכות זהות.
בהתאם לכך, גז אידיאלי מוגדר על ידי הצפיפות הקוונטית- נוכל לאפיין גז כגז אידיאלי אם הצפיפות הקוונטית גדולה בהרבה מהצפיפות המספרית במערכת, ואחרת יש לבצע ניתוח מעמיק יותר של גזים קוונטיים.
צ'י באי-שה
צ'י בָּאי-שְה (בסינית מפושטת: 齐白石; בפין-יין: Qi Baishi; 1 בינואר 1864 - 16 בספטמבר 1957) היה צייר סיני נודע.
ביוגרפיה.
צ'י באי-שה נולד למשפחת איכרים ענייה ממחוז חונאן, הבכור מתוך תשעה אחים ואחיות. הוא למד בבית ספר פחות משנה עקב מחלה. כשהיה בן 14 החל לעבוד בעסקי השטיחים וכן ללמוד לצייר באופן עצמאי. בשנת 1917 התיישב בבייג'ינג.
צ'י שכלל את סגנון הציור הסיני המסורתי, ונודע בזכות ציורי צבעי המים הצבועים והעדינים שלו. ביצירותיו אפשר למצוא מוטיבים מעולם החי והצומח כמו פרחים, חרקים, דגים, פרפרים, פירות, ציפורים ולעיתים גם בני אדם.
בשנת 1953 נבחר לעמוד בראש אגודת הציירים הסינים. הוא נפטר בשנת 1957 בבייג'ינג. בשנת 2011, נמכר ציורו "נשר עומד על עץ אורן", בכ-65.5 מיליון דולר, ובכך היה לציור שנמכר במחיר הגבוה ביותר במכירה פומבית בהיסטוריה.
אדומית
אדומית היא ניב כנעני נכחד אשר דובר על ידי האדומים, בארץ אֱדוֹם (סביב הרי אדום, בחלקים של ישראל ודרום מערב ירדן של ימינו). יש הרואים באדומית ניב עברי.
ישנן עדויות מעטות לשפה, בהן כתובת אדומית מחרבת עוזה מבקעת ערד, אוסטרקון אדומי מתל אל ח'ליפה שבראש מפרץ אילת הכולל רשימת שמות, וכן מספר מצומצם של טביעות חותם המכילים שמות אדומיים. בתחילה נכתבה האדומית בכתב כנעני אולם החל מהמאה ה-6 לפני הספירה החלה לאמץ את הכתב הארמי. הכתובות המעטות מראות קרבה גדולה מאוד לעברית המקראית.
כתובות אדומיות.
הניקוד בכל הכתובות משוער ומותאם לעברית המקראית. הכתובות ופירושיהן על פי שמואל אחיטוב.
טביעות חותם.
בולת המלך קוסגבר.
מאל-ביארה שליד פטרה נמצאה בולה הנושאת ציור של כרוב, עם הכתובת:
הכתובת על הבולה מזכירה, ככל הנראה, את המלך Qausgabri מלך אדום המוזכר בכתובותיהם של אסרחדון ואשורבניפל מלך אשור.
בולת עבד המלך.
בולה נוספת, שנמצאה בתל אל-ח'ליפה, נושאת את הכתובת:
"קוסענל" מפורש כ"קוס עָנָה לי" או כבקשה "קוס עֲנֵה לי".
השחקן
השחקן (באנגלית: The Player) הוא סרט סאטירה אמריקאי משנת 1992 בבימויו של רוברט אלטמן. תסריט הסרט נכתב על ידי מייקל טולקין ומבוסס על נובלה בעלת אותו שם משנת 1988. בסרט משחקים טים רובינס, גרטה סקאקי, פרד וורד ו-וופי גולדברג.
בסרט מופיעים כ-60 ידוענים הוליוודים בהופעות קמע. הסרט מתייחס רבות לסרטי קלאסיקה כמו "עד התביעה", "שדרות סאנסט", "מגע של רשע" ו"הבוגר".
צוות שחקנים.
הופעות קמע.
רוב הידוענים שהופיעו בסרט לא קיבלו שכר על הופעתם. להלן רשימה חלקית של הידוענים:
הפקה.
רוברט אלטמן התקשה למצוא אולפן לסרט החדש עקב כישלונות כלכליים סרטיו הישנים מהעבר למרות הביקורות החיוביות. לכן במשך שנים הוא עבר מחוץ לאולפני הקולנוע המרכזיים ויצר סרטים דלי תקציב. הצלחתו העצומה של "השחקן" החזירה אותו לעשות סרטים הוליוודים גדולים כמו "תמונות קצרות" (1993).
סצנת הפתיחה של הסרט כוללת שוט פתיחה ארוך במיוחד הנמשך כשבע דקות וארבעים ושבע שניות. בסצנה מזכירים את הסרטים "מגע של רשע" של אורסון ולס ו"החבל" של אלפרד היצ'קוק שגם בהם נעשה שימוש בטכניקת ה"שוט הארוך".
פרסים ומועמדויות.