בית הספר רשום כחברה בע"מ, ומוכר כמוסד ללא כוונת רווח (חל"ץ - חברה למען הציבור). חבר הנאמנים הציבורי שלו מונה ארבעים חברים, והוועד המנהל מונה שמונה חברים. לצדו של המנהל הכללי מכהן סגן לפדגוגיה, העומד בראש המכלול הפדגוגי, ומנהל המינהל והכספים. בהנהלת בית הספר חברים גם חמישה מנהלי הסניפים (מתחם הדר, יסודי ותיכון באחוזה, סניף מטו"ס במרכז הכרמל, החטיבה העליונה בבית בירם ורשת הגנים - ריאליגן) וכן מפקד הפנימייה הצבאית ומנהלת משאבי אנוש של בית הספר.
נכון לשנת 2022, בבית הספר לומדים כ-4,300 תלמידים ב-134 כיתות - מגן ועד י"ב. סגל בית הספר כולל כ-540 מורים ועובדים, כ-80 מתוכם בוגרי בית הספר.
המבנים בבית הספר.
בבית הספר הריאלי העברי נבנו במהלך השנים מבנים רבים המשמשים ככיתות לימוד, מעבדות, אולמות ספורט וכינוסים.
סניף מרכז הכרמל (מטו"ס).
הסניף הראשון של בית הספר מחוץ לשכונת הדר הוקם על מגרש במרכז הכרמל בשנת 1936. ראשית נבנו כיתות היסוד, והסניף נפתח בהנהלתו של עמנואל יפה, ולאחריו, בניהול ברטה דניאל.
בשנת 1962 נבנה אגף כיתות נוסף וכן אולם כנסים מרכזי עבור אנשי הסניף.
לקראת שנות השבעים הוחלט לבנות בניין עבור כיתות תיכוניות במרכז הכרמל, וזאת באמצעות שני מקורות מימון: הראשון, אותו יזם שמחה נהיר, סגן המנהל, הגיע ממכירת ביתו של שמואל יוסף פבזנר, מגרש שבו התקיימה האספה ההיסטורית של נכבדי העיר חיפה ומורי בית הספר נגד חברת עזרה והחלטתה ללמד בשפה הגרמנית; משהכסף לא הספיק, הוחלט למכור את עיזבונו של אחד המורים הידועים למתמטיקה ולמדעים בשנות העשרים והשלושים - המורה וויק. מכירת הנכס והעיזבון אפשרה להתחיל בבניית הבניין.
בספטמבר 1971 הייתה מוכנה הקומה הראשונה והקמת השלב הראשון של הבניין הושלמה במשך שנת 1972. לאחר מכן נוספו עוד שתי קומות לבניין.
פרשת הבנייה לא הייתה קלה, היות שבית הכנסת הפועל בצמוד לבית הספר, התנגד להעברת חומרי הבניין דרך שטחו, ולכן נבנה גשר עילי מיוחד מעל אדמות בית הכנסת אל הוואדי שבו נבנה סניף הכיתות התיכוניות. ועד בית הכנסת התנה שמעבר התלמידים לסניף החדש לא יהיה דרך אדמתו, ולכן עד היום המעבר אל סניף הכיתות התיכוניות עובר בחצר של כיתות היסוד במרכז הכרמל.
כבר במהלך דצמבר 1971 החלו לפעול שש כיתות תיכוניות במרכז הכרמל, בהנהלתו של בנימין מאיר, שקודם לכן ניהל את הכיתות התיכוניות באחוזה. בתחילה, למדו הילדים בבניין כיתות היסוד ולאחר מכן בבניין המיועד החדש. התלמידים הגיעו בהסעות מיוחדות ולמדו בקבוצות קטנות של 7–10 תלמידים, כשהם מחולקים לשלוש רמות.
מבנים במתחם אחוזה.
בשנת 1936 נרכש מגרש בן 29 דונם בשכונת אחוזה. מגרש זה שימש החל משנת 1938 למכון לחינוך גופני (החג"ם) שהוקם על פי רעיונו של ד"ר בירם.
בשנת 1937 נפתחו הכיתות התיכוניות של סניף אחוזה של בית הספר. בשנה הראשונה, מאיר חיינקין, חבר ההנהלה של בית הספר, קיבל על עצמו את תפקיד הריכוז ועצם ההקמה של כיתות היסוד באחוזה. הסניף נפתח כמבנה זמני, עד להשלמת הבניין הראשון במתחם בשנת 1938.
בשנת 1950 נפתחו כיתות היסוד במתחם, והם פעלו במתחם אחד עם הכיתות התיכוניות, עד שבשנת 1953 הסתיימה בנייתו של בניין הכיתות התיכוניות.
בשנת 1967 נוסף אגף חדש לבניין הכיתות התיכוניות, וחובר באופן הדוק לבניין הקיים.
בשנת 1969 נוסף אגף חדש גם לבניין כיתות היסוד, כך ששני הסניפים שפעלו במתחם אכלסו כיתות לימוד וגם חדרים ספציפיים למקצועות לימוד שונים.
בשנת 2017 נחנך בניין "היכל אליהו" בסניף כיתות היסוד. הבניין מכיל 4 קומות: בקומה הראשונה גן ילדים ואודיטוריום משוכלל, בקומות האמצעיות שש כיתות לימוד ומרחבים מוגנים, ובקומה הרביעית אולמות "חדרים" - מרכז לתרבות ישראלית-יהודית ומשרדי המרכז וכן אולם רב-תכליתי שעשוי לשמש בית כנסת בשבתות ובחגים. מנהל המרכז הוא דני שטיינר, שמונה לתפקידו באוגוסט 2019.
מבנים בקמפוס בית בירם.
בשנת 1933 נרכש מגרש בן 70 דונם במעלה שכונת אחוזה. סניף בית בירם החל לפעול בשנת 1949 כאשר הקרקע והמבנה העיקרי והראשון שהוקם עליה הוחזרו על ידי צה"ל לרשות בית הספר. בקמפוס פזורים בניינים ומתחמים שונים: חמישה בניינים מרכזיים שבהם כיתות לימוד ומשרדים שאחד מהם משרת את האוניברסיטה הפתוחה, אולם כנסים גדול, ספרייה, מעבדות, מתחמי למידה ומשרדים.
החיים בבית הספר.
משמעת.
מאז פתיחתו של בית הספר הוגדרו דרישות מחמירות למשמעת ולהתנהגות נאותה מצד התלמידים. הללו יצרו מתח בלתי נמנע ביניהן לבין נטיית הנוער למעשי קונדס ולשובבות. בירם היה זה שהתווה את הקו התקיף של המשמעת, והיו מי שאמרו שהנהיג בבית הספר משמעת פרוסית נוקשה ובלתי מתפשרת.
המשמעת הנוקשה שהונהגה בבית הספר באה לידי ביטוי בסיורים שהיו עורכים המורים ברחובות חיפה בשנות העשרים, כדי למנוע שוטטות ומעשים אשר נראו להנהלה כלא יאים לדור הצעיר. משמרת המורים הופסקה בשנות השלושים בשל הגידול המשמעותי שחל באוכלוסייה בחיפה.
תמר אבידר שלמדה בבית הספר בתקופה שלפני קום המדינה, סיפרה כי בבית הספר הייתה קיימת שיטה לבקרת התנהגות התלמידים באמצעות מתן הערות לתלמידים ביומן הכיתה. היו שלושה סוגים של הערות: "הערת התנהגות", "הערת חריצות" ו"הערת סדר". תלמיד שצבר חמש הערות מכל סוג שהוא, נזקפה לחובתו "נזיפה". תלמיד שצבר שתי נזיפות היה צריך להביא לבית הספר את אחד ההורים ובנוכחותו היה מוזהר כי צבירה של שלוש נזיפות תגרור "העפה" מבית הספר. התלמידים קראו לכך: "לעוף בלי כנפיים".
היו מספר התנגדויות מצד התלמידים למשמעת הנוקשה ולבקרה שהפעילו המורים על חיי התלמידים. לדוגמה, בשנת 1927, לאחר מקרה שבו סטרה המורה חנה טומשבסקי לתלמידתה, התקיימה שביתה של התלמידים, אשר הולהטה בידי הארגונים הקומוניסטים בחיפה, "נגד הכאת ילדים". רק לאחר שעבר שבוע, ואולטימטום שהגישו ההורים והנרייטה סאלד, שכממונה על החינוך מונתה מטעם משרד החינוך של ממשלת המנדט לטפל במשבר, החליטו התלמידים להפסיק את השביתה.
מפעלים מיוחדים של בית הספר.
עם מפעליו הגדולים של בית הספר, שהחלו כיוזמות פדגוגיות מקומיות והורחבו לכל הארץ, ניתן למנות את הקמת תנועת הצופים העבריים, ה"מסעות" (הטיולים השנתיים), לימודי האזרחות, חברת התלמידים, הגדנ"ע והכנסת "החיבור השנתי" (עבודת גמר).
טיולים.
מראשית ימיו של בית הספר הושם דגש מרכזי על פעילויות של מורים ותלמידים מחוץ למסגרת הלימודים ומחוץ לחצר בית הספר. במסגרת זו החלו לארגן טיולים יומיים, יציאות לים וטיולים שנתיים גדולים באזורים מרוחקים מחיפה, ולעיתים אף מחוץ לארץ ישראל.
תרומת הבוגרים לחברה הישראלית.
רבים מבוגריו של בית הספר מצויים בעמדות מפתח בחברה הישראלית. ביניהם ניתן למצוא שלושה שופטים עליונים, ארבעה רמטכ"לים, ראש עיר, חברי כנסת ומאות רבות של אנשי מעש בתחומי המדע, התעשייה, החינוך, האמנות, התקשורת, הביטחון והאקדמיה.
את רשימת הבוגרים הבולטים ניתן למצוא .
במהלך השנים, בוגרי בית הספר עוטרו ב-74 עיטורים ובציונים-לשבח מטעם צה"ל. ארבעה מהבוגרים עוטרו פעמיים.
יותר מ-300 מבוגרי בית הספר הריאלי נפלו במלחמות ישראל.
בית הספר הריאלי ופרס ישראל.
מאז החלו לחלק את פרס ישראל בשנת 1953, זכו בו 43 מנהלים, מורים ובוגרים של בית הספר הריאלי העברי בחיפה.
מייסדו של בית הספר ומנהלו הראשון, ד"ר ארתור בירם, שהיה הראשון מקהילת בית הספר לזכות בפרס ישראל, זכה בשנת 1954 בפרס בתחום החינוך. גם המנהל השלישי של בית הספר, יוסף בנטואיץ', זכה בפרס ישראל בתחום החינוך בשנת 1962. הבוגר הראשון של בית הספר שזכה בפרס ישראל הוא בנימין שפירא, בוגר מחזור י"ג (תרצ"ב, 1932), שזכה בפרס ישראל בתחום מדעי הרפואה בשנת 1955.
ארבע פעמים זכו שלושה נציגים של בית הספר הריאלי לקבל את פרס ישראל יחדיו: בשנים 2000, 2005, 2010 ו-2012.
חמש פעמים זכו שני נציגים של בית הספר הריאלי לקבל את פרס ישראל יחדיו: בשנים 1982, 1993, 2003, 2011 ו-2016.
לשבעה מחזורי בוגרים קיימת נציגות של שני בוגרים, שזכו בפרס ישראל: מחזור י"ג (תרצ"ב, 1932), מחזור י"ד (תרצ"ג, 1933), כ’ (תרצ"ט, 1939), כ"ה (תש"ד,1944), כ"ז (תש"ו, 1946), כ"ט (תש"ח, 1948) ומחזור מ"ב (תשכ"ב, 1961).
התחום הבולט ביותר בו זכו נציגי בית הספר הריאלי בפרס ישראל הוא תחום המזרחנות.
הרשימה המלאה של מורי בית הספר ובוגריו שזכו בפרס ישראל:
בית הספר הריאלי ופרס א.מ.ת.
מאז החלו לחלק את פרס א.מ.ת בשנת 2002, זכו בו 9 בוגרים של בית הספר הריאלי העברי בחיפה:
בית הספר הריאלי ופרס רוטשילד.
מאז החלו לחלק את פרס רוטשילד, זכו בו 6 בוגרים של בית הספר הריאלי העברי בחיפה:
מחלקה (תורת החבורות)
בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה formula_1 היא קבוצה של איברי חבורה formula_2 אשר מתקבלת מהכפלת אברי formula_1 באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה formula_1 מהווה חלוקה של formula_2 לקבוצות שוות בעוצמתן. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה formula_1 בחבורה formula_7 נקרא האינדקס של formula_1 ב-formula_7, ומסומן formula_10. אם formula_7 סופית, אינדקס זה שווה ל-formula_12.
חשוב להדגיש שעל אף שהקוסטים של תת-חבורה נגזרים ישירות ממנה, הם אינם מהווים תת-חבורות בעצמם (למעט הקוסט הטריוויאלי) משום שאינם סגורים לכפל. הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של החבורה
formula_13 ותת-החבורה שלה
formula_14. הקוסט הלא טריוויאלי המתאים לה הוא formula_15, והוא אינו סגור לכפל.
הגדרה פורמלית.