זילאזני נפטר ב-1995 בגלל כשל בכליות וסרטן המעי הגס. בזמן מותו היה פרוד מרעייתו ג'ודי וחי עם הסופרת ג'יין לינדסקולד. לאחר מותו השלימה לינדסקולד את כתיבתם של שני ספרים שזילאזני החל לכתוב אך לא הספיק לסיים טרם מותו: "דונרג'ק" (פורסם ב-1997, יצא לאור בעברית ב-1999) ו"שר השדים" (פורסם ב-1999, יצא לאור בעברית ב-2000).
כתיבתו.
חיבורו הראשון הופיע בפנזין בשנת 1953 והפרסום המסחרי הראשון היה במגזין "Literary Calvalcade" בשנה העוקבת.
כתיבתו הושפעה במידה רבה ממיתוסים, שירה וספרות אירופאית ואמריקאית קלאסית מסוף המאה ה-19 ומתחילת המאה ה-20. דמויות מיתולוגיות הופיעו לעיתים קרובות בספריו ובסיפוריו הקצרים תוך כדי העברת מקום העלילה לזמנים מודרניים. כמו כן, נהג לשלב אלמנטים השאולים מחיי היומיום, כמו עישון או רעיונות פילוסופיים מודרניים בעלילת ספריו.
מספר שלם
מספר שלם הוא מספר הנכתב ללא מרכיב של שבר. לדוגמה, formula_1 ו-formula_2 הם מספרים שלמים, אך formula_3 ו-formula_4 אינם מספרים שלמים.
קבוצת המספרים השלמים מורכבת מהמספר אפס, המספרים הטבעיים (formula_5) והמספרים הנגדיים להם (המספרים השליליים formula_6) ומסומנת בדרך כלל ב-formula_7. בדומה למספרים הטבעיים, קבוצת המספרים השלמים היא אינסופית בת מנייה.
קבוצת המספרים השלמים formula_7 מהווה תת-קבוצה של קבוצת המספרים הרציונליים formula_9 שמהווה בעצמה תת-קבוצה של קבוצת המספרים הממשיים formula_10 שהיא תת-קבוצה של קבוצת המספרים המרוכבים formula_11.
המספרים השלמים, עם פעולות החיבור והכפל, מהווים את חוג המספרים השלמים. מבחינות רבות, המושג חוג הוא הפשטה אלגברית של המספרים השלמים.
בתורת המספרים האלגברית מתייחסים לעיתים למספרים שלמים כאל שלמים רציונליים כדי לבדל אותם מסוגי שלמים אחרים במתמטיקה כגון שלמים אלגבריים, שלמים של גאוס או שלמים של אייזנשטיין.
סימון.
קבוצת המספרים השלמים מסומנת בדרך כלל ב-formula_7 או ב-formula_13 (האות Z מגיעה מהמילה הגרמנית "zahlen" שמשמעותה "מספרים"), ולפעמים מסומנת ב-formula_14.
תת-קבוצות מסוימות של formula_7 מסומנות בסימון מיוחד:
לעיתים משתמשים בסימון formula_21 או בסימון formula_19 כדי לסמן את קבוצת השלמים שאינם אפס.
בנוסף, חוג השלמים ה-p-אדיים מסומן ב-formula_23 וחבורה ציקלית מסדר formula_24 מיוצגת על ידי הסימון formula_25.
פעולות חשבון בסיסיות במספרים שלמים.
חיבור וחיסור.
ניתן להרחיב את פעולת החיבור במספרים טבעיים למספרים שלמים באופן הבא:
הטבלה הבאה מציגה את התכונות הבסיסיות של חיבור:
כפל וחילוק.
פעולת הכפל במספרים טבעיים היא למעשה פעולת חיבור חוזרת: 2 כפול 3 הוא הסכום formula_32. הרחבה של פעולת הכפל למספרים שלמים מתבצעת כך:
הטבלה הבאה מציגה את התכונות הבסיסיות של הכפל:
במספרים שלמים, formula_35 מחלק את formula_36 אם קיים מספר טבעי formula_37 כך שמתקיים formula_38. למשל, 6 מחלק את 18 משום ש-formula_39. כדי לציין ש-formula_35 מחלק את formula_36 משתמשים בסימון formula_42, וכדי לציין ש-formula_35 לא מחלק את formula_36 משתמשים בסימון formula_45. פעולת החילוק אינה סגורה בקבוצת המספרים השלמים, משום שחילוק של 10 ב-3, למשל, נותן תוצאה שאינה מספר שלם.
חזקה.
בפעולת החזקה בצורתה הבסיסית, המעריך הוא מספר טבעי והיא מהווה קיצור של פעולת הכפל. כלומר - formula_37 בחזקת formula_35 היא המכפלה של formula_35 גורמים השווים כולם לבסיס formula_37: formula_50. כדי להרחיב את פעולת החזקה למספרים שלמים יש לשמור על חוקי החזקות הבסיסיים ובפרט:
וכן:
לכן נוח להגדיר חזקת אפס כשווה ל-1 תמיד (ראו מכפלה ריקה) וחזקה שלילית בתור ההופכי לחזקה החיובית הנגדית. יוצא מן הכלל הוא הביטוי אפס בחזקת אפס שלרוב אינו מוגדר, או מוגדר כשווה ל-1. בנוסף, חזקות שליליות של 0 אינן מוגדרות, כי לא ניתן לחלק באפס. אולם, בשונה מהמספרים הטבעיים, המספרים השלמים אינם סגורים תחת פעולת החזקה (כיוון שתוצאת החזקה יכולה להיות שבר כאשר המעריך הוא מספר שלילי).
תכונות אלגבריות.
בדומה למספרים הטבעיים, המספרים השלמים סגורים תחת פעולות החיבור והכפל. כלומר, חיבור של מספרים שלמים הוא מספר שלם וכפל של מספרים שלמים גם הוא מספר שלם. אבל, בעקבות הקיום של אפס והמספרים השליליים המספרים השלמים סגורים גם תחת פעולת החיסור בשונה מהמספרים הטבעיים.
המספרים השלמים אינם סגורים תחת פעולת החילוק שכן רק ל-formula_53 ו-formula_54 קיים מספר הופכי שלם ביחס לכפל והמספרים ההופכיים של שאר המספרים השלמים הם שברים (חוץ מאפס שלו לא קיים מספר הופכי ביחס לכפל).
הטבלה הבאה מסכמת את התכונות של פעולות החיבור והכפל במספרים שלמים:
במונחים של אלגברה מופשטת ניתן לומר שקבוצת המספרים השלמים formula_55 יחד עם פעולת החיבור מהווים חבורה אבלית ציקלית, כיוון שכל מספר שונה מאפס ניתן לכתוב כסכום formula_56 או כ-formula_57. למעשה, קבוצת המספרים השלמים מהווה את החבורה הציקלית האינסופית היחידה – כל חבורה ציקלית אינסופית איזומורפית אליה.
מארבע התכונות הראשונות בטבלה למעלה נקבל שקבוצת המספרים השלמים formula_55 עם פעולת הכפל מהווה מונואיד חילופי (אבלי), וכיוון שלא לכל מספר שלם קיים מספר הופכי שלם נקבל שהמספרים השלמים תחת פעולת הכפל אינם חבורה.
מצירוף כל התכונות שצוינו בטבלה (מלבד התכונה האחרונה) נקבל שקבוצת המספרים השלמים formula_55 תחת פעולות החיבור והכפל מהווה חוג חילופי עם איבר יחידה – חוג המספרים השלמים. מבחינות רבות, המושג חוג הוא הפשטה אלגברית של המספרים השלמים.
מהתכונה שלא קיימים מחלקי אפס נקבל שחוג המספרים השלמים formula_55 הוא תחום שלמות. ומכך שלא קיימים איברים הפיכים ביחס לכפל – המספרים השלמים לא סגורים תחת חילוק, נקבל שחוג המספרים השלמים איננו שדה. השדה הקטן ביותר שמכיל את המספרים השלמים כתת-חוג הוא שדה המספרים הרציונליים. תהליך הבנייה של שדה המספרים הרציונליים מתוך חוג המספרים השלמים ניתן לחיקוי לכל תחום שלמות כדי ליצור את שדה השברים שלו. ובכיוון ההפוך, משדה מספרים formula_61 ניתן לקבל את חוג השלמים של השדה formula_62, שיחסו ל-formula_61 דומה לזה שבין חוג המספרים השלמים formula_55 לשדה המספרים הרציונליים formula_65 (ואמנם formula_66).
אף על פי שהמספרים השלמים אינם סגורים תחת חילוק, ניתן לבצע בהם חלוקה עם שארית. כלומר, לכל formula_67 ולכל formula_68, קיימים formula_69 כך ש-formula_70 ו-formula_71 (כאשר formula_72 היא פונקציית הערך המוחלט). ולכן חוג המספרים השלמים formula_55 הוא חוג אוקלידי, וכיוון שכל חוג אוקלידי הוא תחום ראשי נובע שגם קבוצת המספרים השלמים מהווה חוג שכזה, ומכיוון שכל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה נקבל שלכל מספר שלם קיים פירוק יחיד לגורמים שלמים אי-פריקים (במספרים השלמים הגדרת האי-פריקות והגדרת הראשוניות מתלכדות ולכן ניתן גם לומר שלכל מספר קיים פירוק יחיד לגורמים ראשוניים).
בנייה פורמלית של המספרים השלמים.
המספרים השלמים הם מערכת מספרים, שאותה ניתן לבנות מתוך המספרים הטבעיים בדרכים שונות, אחת מהן היא באמצעות שימוש בזוגות סדורים.
לאחר שנבנתה המערכת של המספרים הטבעיים עם פעולות החיבור והכפל שלהם, אפשר לחשוב על מספר שלם כאילו היה הפרש של שני מספרים טבעיים. באופן פורמלי יותר, מגדירים יחס שקילות על קבוצת הזוגות הסדורים formula_74, כך: formula_75 אם ורק אם formula_76. באופן לא פורמלי מחלקת השקילות של הזוג formula_77, אותה מסמנים ב-formula_78, תייצג את ההפרש formula_79 (ובכל מחלקה נמצאים כל הזוגות שההפרש ביניהם שווה).
נראה כי זהו באמת יחס שקילות:
כעת נגדיר את קבוצת המספרים השלמים formula_55 בתור קבוצת המנה של יחס השקילות. כלומר: כל מספר שלם הוא אוסף הזוגות הסדורים שמקיימים formula_75 זה עם זה.
על קבוצה זו נגדיר פעולות של כפל וחיבור, תוך הסתמכות על הגדרתם בקבוצת המספרים הטבעיים:
ניתן להראות כי החיבור והכפל שהגדרנו נותרים מוגדרים היטב גם על קבוצת המנה - כלומר, שניתן לכפול ולחבר מחלקות שקילות באמצעות נציגים בלי חשיבות לבחירת הנציג.
כל מחלקת שקילות מכילה איבר מהצורה formula_95 או מהצורה formula_96 (כאשר formula_97), את מחלקת השקילות formula_98 נסמן ב-formula_24, ואת מחלקת השקילות formula_100 נסמן ב-formula_101, ואלו יהוו את המספרים השלמים (חוץ מאפס שיוגדר פעם אחת בלבד כ-formula_102, מכיוון ש-formula_103).
וכעת, בשונה מהמספרים הטבעיים, לכל מספר שלם קיים הופכי לחיבור, ההופכי לחיבור של formula_24 הוא formula_101 (זאת מכיוון שמתקיים formula_106).
וניתן להגדיר חיסור על ידי חיבור של ההופכי לחיבור, כלומר:
formula_107 (כאשר formula_36 הוא הנציג של מחלקת השקילות formula_78), ולכן המספרים השלמים סגורים תחת חיסור בשונה מהמספרים הטבעיים.
סדר.
קבוצת המספרים השלמים היא קבוצה סדורה ליניארית ללא חסם מלעיל או מלרע. הסדר של המספרים השלמים נתון על ידי formula_110, מספר יקרא חיובי אם הוא גדול ממש מאפס ושלילי אם הוא קטן ממש מאפס, אפס הוא המספר היחיד שאינו חיובי ואינו שלילי.
נגדיר את הסדר של המספרים כך שיכבד את פעולות החיבור והכפל כך:
מכאן שקבוצת המספרים השלמים עם הסדר שהוגדר לעיל היא שדה סדור.
המספרים השלמים הם החבורה האבלית היחידה הלא טריוויאלית (כלומר חבורה שמכילה לפחות שני איברים) בעלת סדר ליניארי שסדר האיברים החיוביים שלה הוא סדר טוב.
באמצעות הסדר ניתן להגדיר פונקציות חשובות: