הוא בנה עשרים מכונות כאלו (שנקראו המחשב של פסקל ומאוחר יותר הפסקלין) במהלך עשר השנים הבאות. פסקל היה מתמטיקאי חשוב, ועזר ליצור שני ענפים רבי עוצמה ומרכזיים חדשים בתחום: בגיל 16 כתב חיבור משמעותי על גאומטריה פרויקטיבית, ומאוחר יותר התכתב עם פייר דה פרמה בנוגע לתורת ההסתברות, ובכך השפיע מאוד על התפתחות הכלכלה המודרנית ומדעי החברה. כמו גלילאו וטוריצ'לי לפניו, הוא התנגד לטענתם של ממשיכי אריסטו שהתעקשו כי הטבע מפחד מהריק. תוצאות מחקריו של פסקל גרמו למחלוקות רבות עד שהתקבלו בסופו של דבר.
ב-1646, פסקל ואחותו ז'קלין הזדהו עם התנועה הדתית הקתולית הידועה בקרב מתנגדיה כיאנסניזם. אביו מת ב-1651. לאחר חוויה מיסטית שעבר בתחילת 1654, הוא חווה את "המרתו השנייה", נטש את עבודתו המדעית והקדיש עצמו לפילוסופיה ולתאולוגיה. שתי עבודותיו המפורסמות ביותר מתקופה זו הן "המכתבים הפרובינציאליים" שהביא לקונפליקט בין היאנסניסטים והישועים, ו"הגיגים" (Pensees). באותה שנה כתב גם חיבור חשוב על המשולש האריתמטי. בין 1658 ל-1659 הוא כתב על הציקלואיד ואפשרות השימוש בו לצורך חישוב נפחם של גופים.
פסקל סבל כל חייו מבריאות רעועה ובמיוחד לאחר גיל 18, ולבסוף נפטר חודשיים לאחר יום הולדתו ה-39.
חייו.
פסקל נולד בקלרמון-פראן שבצרפת, והיה השלישי מבין ארבעה ילדים. התייתם מאמו, אנטואנט בגון, בגיל שלוש, וגודל בידי אביו, המתמטיקאי אטיין פסקל. בגיל תשע עבר עם משפחתו לפריז. בגיל 16 הציג פסקל את עבודתו המתמטית הראשונה, שעסקה בגאומטריה פרויקטיבית. בהמשך אותה שנה עברה המשפחה לרואן שבצפון נורמנדי, שם התמנה האב לגובה מס, וכעבור זמן קצר פרסם פסקל את עבודתו על חתכי חרוט.
אביו, אטיין פסקל (1588–1651), היה שופט מקומי וחבר באיגוד "Noblesse de Robe", שהתעניין מאוד גם במדע ובמתמטיקה. לפסקל היו שתי אחיות, הצעירה יותר ז'קלין והמבוגרת יותר גילברט.
ב-1631, חמש שנים לאחר מות אשתו, עבר אטיין פסקל עם ילדיו לפריז. המשפחה שכרה את שירותיה של לואיז דלפו, עוזרת בית שבסופו של דבר הפכה לחלק מהמשפחה. אטיין, שמעולם לא נישא מחדש, החליט שהוא לבדו יחנך את ילדיו, שכן כולם הראו יכולת אינטלקטואלית יוצאת מגדר הרגיל, ובמיוחד בנו בלז. פסקל הצעיר הראה נטייה מדהימה למדע ולמתמטיקה.
נושא שעורר בפסקל עניין רב הייתה עבודה של דזארג על חתכי חרוט. כשהוא ממשיך את קו החשיבה של דזארג, פסקל, בעודו בן שש עשרה שנים בלבד, הפיק, במובן של הוכחה, חיבור קצר על מה שנקרא מאז "The Mystic Hexagram", ושלח אותו - עבודתו המתמטית הרצינית הראשונה - למרן מרסן בפריז: התוצאה המהווה את גולת הכותרת של חיבור זה ידועה עד היום כמשפט פסקל. המשפט קובע כי אם משושה חסום בחתך חרוט כלשהו אזי שלוש נקודות החיתוך של זוגות צלעות נגדיות של המשושה נחות על ישר אחד (הנקרא ישר פסקל).
בהוכחת המשפט פסקל יישם בהצלחה רעיונות גאומטריים מבריקים מגאומטריה פרויקטיבית (שהוא היה ממייסדיה) כמו "נקודה באינסוף" ורעיונות מפרספקטיבה. בעבודתו פסקל הראה כי המשפט שלו הוא המפתח לבנייה של תאוריה כללית של חתכי חרוט, בה טענותיו של אפולוניוס מופיעות כמסקנות מטענות מוכללות יותר. באותה עבודה מופיעה גם המסקנה הפשוטה אך החשובה ביותר ממשפטו - "כל חתך חרוט נקבע באופן ייחודי על ידי חמש נקודות שעליו", כלומר אם נסמן חמש נקודות במישור, ישנו רק חתך חרוט אחד שעובר דרך כולן.
עבודתו של פסקל הייתה כל כך מבריקה ומתקדמת שדקארט היה משוכנע שאביו של פסקל כתב אותה. כשמרסן אימת בפניו שהחיבור היה פרי עבודתו של הבן ולא של האב, אמר דקארט: "אינני מחשיב זאת למוזר שהוא הציע טענות על חתכי חרוט הולמות יותר מאלו של הקדמונים", והוסיף, "אבל קשה להאמין שדברים אחרים הנוגעים לנושא זה יגיעו למוחו של ילד בן שש עשרה".
בצרפת באותו זמן משרדים ועמדות יכלו - והיו - נקנות ונמכרות. ב-1631 מכר אטיין את משרתו כנשיא השני של בית המשפט המקומי Cour des Aides בעבור 65,665 ליברים. הכסף הזה הושקע באיגרת חוב ממשלתית אשר סיפקה למשפחת פסקל הכנסה לא-גבוהה אך נוחה, שאפשרה להם לעבור לפריז. אבל ב-1638, הקרדינל רישלייה, נואש לכספים להמשיך את מלחמת שלושים השנים, לא עמד בהחזר כספי האיגרת הממשלתית. הכנסתו של אטיין פסקל צנחה לפתע מקרוב ל-66,000 ליברים לפחות מ-7,300.
כמו רבים באותה עת, נאלץ אטיין בסופו של דבר לברוח מפריז בשל התנגדותו למדיניות הכספית של הקרדינל רישלייה, כשהוא משאיר את שלושת ילדיו בחסות שכנתו, מאדאם סנקטו. רישלייה סלח לאטיין רק כאשר נכח במחזה ילדים שבו השתתפה ז'קלין, ששיחקה היטב. לאחר שיפור יחסיו של אטיין עם הקרדינל, הוא מונה ב-1639 לגובה וממונה על המסים מטעם המלך בעיר רואן - עיר שרישומי המס בה, עקב התקוממיות, היו בכאוס מוחלט.
משנת 1642 טרח במשך שלוש שנים על המצאת מכונת חישוב מכנית - פסקלין, מעין מחשבון שביצע רק פעולות חיבור וחיסור. הוא המציא זאת כדי לעזור לאביו בעבודתו כגובה מס. מכונת חישוב זו פעלה על עקרון גלגלי שיניים והיוותה בסיס למכונות חישוב מכניות מסוג זה שפעלו עד שבאו לעולם מכונות החישוב האלקטרוניות. שתיים ממכונות החישוב המקוריות מוצגות במוזיאון לאמנויות ולמקצועות בפריז ובמוזיאון הצווינגר בדרזדן בגרמניה. אף על פי שהמכונות הללו הן מבשרים מוקדמים של הנדסת מחשבים, המחשב לא זכה להצלחה מסחרית גדולה. כיוון שהיה יקר במיוחד, הפסקלין הפך לצעצוע וסמל סטטוס לעשירי צרפת ואירופה. אף על פי כן, פסקל המשיך לשפר את תכנונו במהלך העשור הבא ובנה בסך הכל עשרים מכונות כאלה.
תרומות למתמטיקה.
המשולש היה ידוע עוד לפני פסקל, ואף הוצג בספר של מתמטיקאי סיני מהמאה ה-13. המשולש בנוי למעשה מהמקדמים הבינומיים. אף על פי כן, בחיבורו Traité du triangle arithmétique ("חיבור על המשולש האריתמטי") פסקל תיאר צורת הצגה טבלאית נוחה למקדמים בינומיים, ובנוסף תיאר את השימושים הקשורים בה בתורת ההסתברות. לצורך החישובים הקומבינטוריים הרבים שעשה בעבודתו בתורת ההסתברות, פסקל עשה שימוש אינטנסיבי במשולש, וחשף תכונות קומבינטוריות רבות שלו. בשל תרומה ייחודית זאת ליסודות הקומבינטוריקה ותורת ההסתברות, צורת הצגה טבלאית זאת נקראת מאז תחילת המאה ה-18 בשם משולש פסקל. המשולש משמש עד היום להדגמת רעיונות קומבינטוריים רבים.
פסקל מגדיר את המספרים במשולש באמצעות רקורסיה: נקרא למספר שנמצא בשורה ה-(m+1) ובטור ה-(n+1) כ- formula_1. אז formula_2 לכל m = 0, 1, 2 ... ו- n = 1, 2, 3... . תנאי ההתחלה הוא formula_3. פסקל לאחר מכן מסיק עם הוכחה:
formula_4
ב-1654, בעקבות התעניינותו של חבר בבעיות הימורים, הוא החל להתכתב עם פייר דה פרמה על הנושא, ומשיתוף פעולה זה נולדה התאוריה המתמטית של הסתברות. החבר היה שבליה דה מרה, והבעיה הספציפית הייתה זו של שני שחקנים שרוצים לסיים משחק מהר, ובהינתן הנסיבות הנוכחיות של המשחק, ורוצים לחלק את הנקודות באופן שווה, בהתבסס על הסיכויים של כל אחד לנצח במשחק החל מנקודה זו. בדיון הזה נוצר והוצג לראשונה מושג התוחלת (ערך צפוי). מאוחר יותר השתמש פסקל בטיעון הסתברותי (ב"הגיגים"), כדי להצדיק אמונה באל ובחיים צנועים. צלילתו של פסקל אל תוך תחשיב ההסתברויות הניחה יסוד חשוב לניסוחו של לייבניץ את החשבון האינפיניטסימלי. כשהוא חוזר לגאומטריה מאוחר יותר בחייו, פסקל קידם את התאוריה של הציקלואיד.
לאחר חוויה דתית שעבר ב-1654, זנח פסקל את רוב עבודתו המתמטית.
פילוסופיה של המתמטיקה.
תרומתו הגדולה של פסקל לפילוסופיה של המתמטיקה באה עם חיבורו De l'Esprit géométrique ("על הרוח הגאומטרית"). חיבור זה נכתב במקורו כהקדמה לספר לימוד לגאומטריה בעבור אחד מקבוצת בתי הספר המפורסמים של התקופה: "Petites-Ecoles de Port-Royal" ("בתי הספר הקטנים של פור רויאל"). עבודתו זו נותרה לא מפורסמת במשך למעלה ממאה שנה אחרי מותו. פסקל תיאר שם כיצד מתגלות אמיתות חדשות, וטען שהשיטה האידיאלית לכך תהיה למצוא את כל הטענות הנובעות מאמיתות מבוססות מסוימות. מצד שני, הוא טען שהדבר בלתי אפשרי משום שאמיתות מבוססות כאלה יצריכו אמיתות אחרות כדי להישען עליהם כיסוד. עקרונות ראשוניים, לפיכך, אינם ניתנים להשגה. בהתבסס על כך, פסקל טען שההליך שנעשה בו שימוש בגאומטריה הוא מושלם ככל האפשר, עם עקרונות מסוימים שמניחים את נכונותם וטענות אחרות הנגזרות מהם. בכל מקרה, אין שום דרך לדעת אם העקרונות המונחים נכונים או לא.
פסקל נעזר גם ב-De l'Esprit géométrique כדי לפתח תאוריה של הגדרה. הוא הבחין בין הגדרות המהוות תוויות מוסכמות שהוגדרו על ידי מחברן לבין הגדרות שנטמעו בשפה ומובנות על ידי ההדיוטות משום שהן מתייחסות באופן טבעי למושאן. סוג ההגדרות השני אופייני לפילוסופיה של מהותנות. פסקל טען שרק ההגדרות מהסוג הראשון חשובות למדע ומתמטיקה, וצודד בכך שתחומים אלו יאמצו את הפילוסופיה של פורמליזם כפי שנוסחה על ידי דקארט.
ב-De l'Art de persuader ("על אמנות השכנוע"), פסקל בחן את השיטה האקסיומטית בגאומטריה, במיוחד השאלה כיצד אנשים הגיעו לידי שכנוע בנכונות האקסיומות שעליהן הם מפתחים טענות. פסקל הסכים עם מונטן שהשגת ודאות באקסיומות ובמסקנות הללו באמצעות שיטות אנושיות אינה אפשרית. הוא טען שהעקרונות הללו ניתנים לתפיסה רק באמצעות אינטואיציה, ושעובדה זו ממחישה את הנחיצות שבשירות האל בחיפוש אחר אמיתות חדשות.
תרומות למדעים הפיזיקליים.