נתונה סדרה: formula_29, כאשר מספר האיברים הוא זוגי והאיבר האחרון הוא formula_30 (כלומר, יש formula_31 איברים בסדרה). נחשב את סכום האיברים הזוגיים והאי-זוגיים על פי נוסחת הסכום. יש formula_31 איברים בסדרה, אז יש formula_3 איברים שמיקומם זוגי ו-formula_3 איברים שמקומם אי-זוגי.
סכום האיברים הזוגיים: formula_35
formula_36 הוא האיבר הראשון בסדרה הזוגית, ומכיוון שהפרש הסדרה הוא formula_5, אז ההפרש בין כל שני איברים שמקומם זוגי הוא formula_38, ולכן סכום האיברים הזוגיים: formula_35. נציב formula_40 במשוואה המקורית. לאחר פישוט נקבל: formula_41.
נעשה כך גם עם הסדרה האי-זוגית, ונקבל: formula_42.
נחסר את המשוואה השנייה מן המשוואה הראשונה, ונקבל: formula_43. מכיוון שמספר האיברים המקורי שלנו הוא formula_31 ואנו מעוניינים בנוסחה עבור סדרה בת formula_3 איברים, נחלק את ה-formula_3 במשוואה שהתקבלה בשתיים (נציב formula_47 במקום formula_3). &lt;br&gt; נקבל: formula_28
אימפריה
אימפריה (מהמילה הלטינית imperium – סמכות עליונה) או קיסרות היא ריבונות פוליטית, למשל מדינה, השולטת על שטחים נרחבים בהם מתגוררות אוכלוסיות השונות מבחינה אתנית ותרבותית ממרכזה השלטוני.
הדרך העיקרית בה נוצרות אימפריות היא יציאה של מדינה למסע כיבושים של שכנותיה. כך, למשל, האימפריה הרוסית נוצרה מהשתלטות רוסיה על פולין, סיביר וקרים. דרך אחרת להיוצרות אימפריה היא מסע ימי לגילוי ארצות שקל להשתלט עליהן. כך למשל נוצרו האימפריה הבריטית, האימפריה ההולנדית, האימפריה הספרדית והאימפריה הפורטוגזית.
סופן של רוב האימפריות היה התפרקות כתוצאה מסיבות שונות כמו מרידות, סכסוכים פנימיים על נושאים כגון ירושה, התפוררות כלכלית, כיבוש על ידי אימפריות אחרות ולחצים בינלאומיים. אפשרות אחרת היא מיזוג תרבותי ואתני של האוכלוסיות באימפריה, כך שהאימפריה, ברובה, הופכת למדינה.
סוגים שונים של אימפריות – הדיקטטורית והמשפטית.
ניתן לאפיין את האימפריות בשני אופנים – אימפריות דיקטטוריות ואימפריות משפטיות. בקבוצה הראשונה נמצאת האימפריה האשורית, ההלניסטית, הקרתגית, המונגולית, הספרדית והרוסית. הקבוצה השנייה הופיעה עם רומא והיא כוללת את רומא, ביזנטיון, העבאסית והעות'מאנית, והבריטית. ההבדל בין שתי הגישות מצוי ביחס השונה שלהן לאזרח האימפריה, לחוק ולמבנה האימפריה עצמו. אימפריה דיקטטורית מתמקדת בהשגת שליטה ותו לא. יכולה להיות לה שאיפה להפצה ולקידום של ציוויליזציה מסוימת (ספרד והקתוליות, אלכסנדר מוקדון והלניזם) אבל מעבר למימוש שאיפות אלו היא לא מנסה לבנות את החברה בצורה משפטית מסודרת. עיקר העניין של האימפריה הוא בכוח של השליט מול נתיניו ומול מעצמות אחרות. אימפריה משפטית לעומת זאת מעוניינת בבניית החברה כעניין אוניברסלי. מטרתה להשליט חוק ולבנות מערכת יחוס כלל חברתית. אימפריה כזאת איננה מחייבת תמיכה בדמוקרטיה אבל יכולה לתמוך בליברליזם ובשוק החופשי (האימפריה הבריטית) או בחוק הכללי (האימפריה הרומית). כך השליטו הבריטים סחר חופשי בכל רחבי האימפריה וכך השליטו העות'מאנים את החוק המוסלמי בכל רחבי האימפריה העות'מאנית. בדיקה היסטורית של אימפריות מחייבת בדיקה של המטרות של השליטים ומערכות היחסים שהושלטו באימפריה.
על פי רוב בראש אימפריה עמד שליט שנשא בתואר קיסר, ומכאן התרגום העברי למונח אימפריה – קיסרות. אך היו גם אימפריות שנשלטו באופן דמוקרטי על ידי ציבור אזרחים, בדרך כלל אזרחי מדינת המוצא של האימפריה שהיוו חלק קטן מכלל האנשים שהיו נתונים לשלטונה.
גרמניה המזרחית
גרמניה המזרחית (או הרפובליקה הדמוקרטית הגרמנית, בגרמנית: Deutsche Demokratische Republik, ובקיצור: DDR) הייתה מדינה היסטורית שהתקיימה בין השנים 1949–1990. בתום מלחמת העולם השנייה נותרה אירופה מחולקת: מזרחה נתון לשליטת ברית המועצות ומערבה מורכב ממדינות עצמאיות. הכוחות הסובייטים לא יצאו מהחלק שכבשו בגרמניה, וכך חולקה גרמניה לשתיים, כאשר בחלק המזרחי שנכבש על ידי ברית המועצות הוקמה מדינה קומוניסטית. גרמניה המזרחית הייתה גרורתה של ברית המועצות והייתה חברה בברית ורשה.
בירתה של גרמניה המזרחית הייתה החלק המזרחי של ברלין. הסובייטים שלטו בגרמניה המזרחית ולתושבי מדינה זו לא התאפשר המעבר למערב גרמניה. כחלק מההפרדה בין מזרח העיר למערבה נבנתה בשנת 1961 חומת ברלין אשר הפרידה במשך 29 שנה בין ברלין המזרחית למערבית.
היסטוריה.
כיבוש והקמה.
עם תבוסתה הקרבה של גרמניה הנאצית הוסכם בוועידת יאלטה שנערכה בפברואר 1945 על חלוקתה של גרמניה לארבעה אזורי כיבוש שיוקצו לכל אחת מבעלות הברית העיקריות, שטח הכיבוש של ברית המועצות כלל את מרכז גרמניה (באופן היסטורי השטחים שיהיו מזרח גרמניה היו ידועים כמרכז גרמניה, בעוד שהמונח מזרח גרמניה התייחס לשטחים הגרמנים במזרח שסופחו בתום מלחמת העולם השנייה על ידי ברית המועצות ופולין).
למרות האכזריות שהפגינו חיילי הצבא האדום כלפי האוכלוסייה האזרחית בסוף המלחמה, ברית המועצות החלה בשיקום מזרח גרמניה על ידי הזרמת מזון לאוכלוסייה המקומית, אך חלק גדול ממפעלי התעשייה הכבדה הועברו לברית המועצות כפיצויי מלחמה.
גולים גרמנים פרו-סובייטים הוחזרו מברית המועצות. הסובייטים כפו איחוד בין המפלגה הקומוניסטית של גרמניה למפלגה הסוציאל-דמוקרטית של גרמניה. כתוצאה מאיחוד זה הוקמה מפלגת האיחוד הסוציאליסטי של גרמניה שתשלוט בגרמניה המזרחית עד נפילת הקומוניזם.
חודשים ספורים לאחר הקמת גרמניה המערבית, הוקמה ב-7 באוקטובר 1949 הרפובליקה הדמוקרטית הגרמנית (גרמנית: Deutsche Demokratische Republik) בשטח הכיבוש הסובייטי. יום זה הפך לחג "יום הרפובליקה" בגרמניה המזרחית.
מספר רפורמות קומוניסטיות הונהגו על ידי מפלגת האיחוד הסוציאליסטי, התעשייה הולאמה ורוב האדמות שהיו שייכות לאצולה היונקרית הוחרמו.
למרות תקוות לאיחוד עם הרפובליקה הפדרלית של גרמניה, דחייתה של תוכנית סטלין והתחממות המלחמה הקרה חידדו את ההבדלים בין שתי הגרמניות וסתמו את הגולל על כל תקוות לאיחוד מחדש.
צבא העם הלאומי נוסד בשנת 1956 וגרמניה המזרחית הפכה לחברה בברית ורשה. בשנת 1963 הוכרזה המערכת הכלכלית החדשה.
חומת ברלין.
מאז סוף שנות ה-40 התקיים זרם מהגרים קבוע של מזרח גרמנים שערקו למערב גרמניה, מכיוון שהיה מדובר באוכלוסייה משכילה ואיכותית, תופעת העריקה איימה למוטט את כלכלת מזרח גרמניה. הפתרון של ההנהגה המזרח גרמנית היה בניית חומת ברלין בשנת 1961 שמנעה מאזרחי מזרח גרמניה מעבר חופשי למערב.
יחסי חוץ.
בעלת הברית העיקרית של גרמניה המזרחית הייתה ברית המועצות וכמעט עד סוף עידן הקומוניזם מזרח גרמניה ראתה בברית המועצות מודל לחיקוי. כתוצאה מדוקטרינת הלשטיין, מצאה את עצמה גרמניה המזרחית מבודדת בזירה הבינלאומית, אולם עם חילופי ההנהגה במזרח ומערב גרמניה ואימוץ האוסטפוליטיק על ידי מערב גרמניה, הביאו לשבירת בידודה הבינלאומי של גרמניה המזרחית ולהכרה הדדית בין שתי הגרמניות. גרמניה המזרחית הצטרפה לאו"ם בשנת 1971.
נפילת הקומוניזם והאיחוד עם המערב.
עם עלייתו לשלטון של מיכאיל גורבצ'וב בברית המועצות, החלו רוחות חדשות של פתיחות במדינתו ובגוש המזרחי. בתחילה, ניסתה הנהגת מזרח גרמניה להתנגד למדיניות הזאת, אולם מחאות המוניות מצד תושבי מזרח גרמניה והפסקת התמיכה הסובייטית בה אילצו אותה להתפטר.
במזרח גרמניה נערכו בחירות חופשיות לראשונה בהיסטוריה שלה. הממשלה שנבחרה הגיעה להסכם לאיחוד גרמניה עם המעצמות הכובשות ומערב גרמניה. ב-3 באוקטובר 1990 הצטרפו חמש המדינות שהרכיבו את מזרח גרמניה לרפובליקה הפדרלית של גרמניה והרפובליקה הדמוקרטית הגרמנית חדלה מלהתקיים.
פוליטיקה.
מפלגת השלטון בגרמניה המזרחית הייתה מפלגת האיחוד הסוציאליסטי של גרמניה. אף שמפלגות אחרות הורשו להתקיים בפועל הן היו חסרות כוח ולא התנגדו למדיניות הממשלה. מפלגת האיחוד הסוציאליסטי ביחד עם מפלגות אחרות התמודדה לפולקסקאמר, הפרלמנט המזרח גרמני כחלק מהחזית הלאומית של גרמניה הדמוקרטית, תוצאות הבחירות שנערכו היו בשליטת המדינה.
גרמניה המזרחית הפעילה משטרה חשאית, ה"שטאזי". גוף זה דמה לק.ג.ב. הסובייטי ועבד עמו בשיתוף פעולה הדוק. בתוך שטחי המדינה פעל לאיתור והענשת החותרים תחת השלטון, ומחוץ לשטחי המדינה שתל מרגלים וסוכנים חשאיים. בזמנו נחשב השטאזי אחד מארגוני הביון הטובים בעולם.
שלטון מקומי.
שטחה של גרמניה המזרחית כלל את המדינות הגרמניות של מקלנבורג-מערב פומרניה, ברנדנבורג, ברלין (מלבד מערב ברלין), סקסוניה, סקסוניה-אנהלט ותורינגיה, היא חלקה קו גבול עם הרפובליקה הפדרלית של גרמניה, פולין, צ'כוסלובקיה והים הבלטי, מערב ברלין הייתה מובלעת של גרמניה המערבית.
בשנת 1953 פורקו המדינות שהרכיבו את הרפובליקה ונעשתה חלוקה מחדש של השטחים ל-15 מחוזות.
כלכלה.