להלן הגדרה אחרת, קומבינטורית, המבוססת בין השאר על אינדוקציה. ראשית, לאל-קשר יש פולינום טריוויאלי: formula_8. הפולינום המתאים לאיחוד זר של שני שזרים הוא מכפלת הפולינומים שלהם. יחס הרקורסיה המגדיר את הפולינום מבוסס על בחירת צומת בדיאגרמה, והשוואת שלוש הדרכים למעבר הדרכים באותו צומת. ראו שלושת המעברים על קשר השמינית בתמונה. בראשון הדרכים נפגשות באופן שאם הכיוון הוא מלמעלה למטה, הדרך העליונה עוברת מימין לשמאל. בשני היא עוברת משמאל לימין, ובשלישי שתי הדרכים ממשיכות בלי להצטלב (התרה אחרת של ההצטלבות אינה אפשרית, משום שהיא סותרת את כיווני הדרכים). נסמן את הקשרים ב-formula_9 בהתאמה. היחס המגדיר את פולינומי אלכסנדר הוא
formula_10.
הגדרה בעזרת צמות והצגת בוראו.
הגדרה נוספת היא בעזרת הצגת בוראו המצומצמת של חבורת הצמות formula_11, הנתונה על ידי שליחת היוצרים: formula_12.
בעזרת הצגה זו ניתן להגדיר את פולינום אלכסנדר - כידוע, לכל קשר formula_13 קיימת צמה סגורה המממשת אותו; בהינתן קשר מוצאים צמה כזו formula_14, ואז פולינום אלכסנדר נתון על ידי: formula_15.
תכונות.
פולינומי אלכסנדר מקיימים את התכונות הבאות:
תרבות האינדי
הלל מפאריץ'
רבי הלל הלוי מאליסוב (ידוע בכינוי רֶבּ הלל מפאריץ; תקנ"ה - י"א באב תרכ"ד), היה רב חסידי, מקובל, מלחין ומשפיע חב"די ברוסיה הלבנה ואוקראינה במחצית הראשונה של המאה ה-19.
תולדותיו.
נולד לרבי מאיר בעיירה הרוסית חומץ. כבר בגיל 13 היה בקי בש"ס ובפוסקים, למד ספרי קבלה, התפלל על פי כוונות האר"י, התנהג בפרישות ועסק בתעניות וסיגופים. בקיאותו בתורה הקנתה לו את הכינוי "העילוי מחומץ".
תחילה נסע רבי הלל לר' מרדכי מצ'רנוביל, בחצרו החל ללכת בדרכי החסידות, והיה לתלמידו המובהק של רבי אברהם דב אוירבך מאבריטש שהיה רב בערים ז'יטומיר ואבריטש. כאשר החל ללמוד בספר התניא של רבי שניאור זלמן מליאדי החליט להפוך לחסיד חב"ד וללמוד את תורת החסידות. זאת על אף שלא ראה את רבי שניאור זלמן מעולם, כיוון שזכה להאריך ימים היה לחסיד של שלושה מאדמו"רי חב"ד וכל דבר שהיה שומע מרבותיו היה רושם ומוסיף עליהם ביאורים משלו, ובנוסף היה כותב דרושים משל עצמו שהיו בנויים על דברי רבותיו.
משנת ה'תקע"ח בהוראת רבי דובער שניאורי האדמו"ר השני של חסידות חב"ד, החל לנדוד ביישובים קטנים במחוז חרסון, על מנת לאסוף כספים לפדיון שבויים ולעזור לחיילים היהודים בצבא הרוסי באספקת מזון כשר. הוא התפרסם בזכות פעולותיו המסורות למען תושבי אותם יישובים ושימש כמנהיג רוחני לעשרות אלפי היהודים שחיו באותן מושבות חקלאיות, בפניהם היה גם "" חסידות, והיה מפיץ את תורת חב"ד בקרב אנשי הכפרים. אף על פי שתורת חב"ד עוסקת בנושאים עיוניים ומופשטים, השתדל רבי הלל לפשט את דברי התורה, גם לכפריים חסרי ההשכלה. גם כשלא הבינו את דבר החסידות שאמר, נוהג היה לומר שנשמתם מרותקת.
בערך בשנת ה'ת"ר התיישב בעיירה פאריטש, ושימש בה כרב, על שמה התפרסם. לאחר עזיבת רבי ברוך מרדכי אטינגר את כהונתו בעיר בוברויסק הסמוכה מונה ר' הלל לרב החסידי ולאב"ד בעיר, לצד רב המתנגדים אליהו גולדברג. האדמו"ר האמצעי מליובאוויטש מינה אותו למשפיע ושלח אליו אברכים צעירים להדריכם בדרך החסידות וכך גם עשה אדמו"ר הצמח צדק. אדמו"ר הצמח צדק העיד עליו שהוא (ר' הלל) הגיע לדרגת "עובד" בעבודת ה' שלו.
רבי הלל הלחין יותר מעשרה ניגונים חב"דיים, אותם היה שר בעת תפילתו ובהזדמנויות אחרות. המפורסמים בניגוניו הם "הניגון הגדול לר׳ הלל מפאריטש" ו"הניגון הארוך", גם הניגון "" מיוחס לר׳ הלל. ניגוניו נחשבים לניגונים עמוקים ומעוררי לב. ניגון נוסף שהלחין ובעל מקצב מהיר חובר על המילים אזמר בשבחין והוא מקובל גם בחצרות אחרות מלבד חב"ד. בחב"ד הניגון מושר מידי ליל שבת. לניגון מספר ביצועים שהפיצו אותו, בהם באלבום לחיים טיש ובאלבום צמאה 4.
פטירתו.
ר' הלל נפטר ביום השבת י"א באב ה'תרכ"ד. יומיים לפני פטירתו, התענה ביום תשעה באב בעיר ניקולייב וצם על אף שהרגיש חולשה. לאחר הצום שאל: 'היכן היו הרבנים?' (שלא אסרו עליו לצום) וביקש שיעבירו אותו במהירות לעיר חרסון היות שנהג שלא לצאת לדרך ביום שישי מחשש לחילול השבת. לפני חצות יום השישי הגיע לחרסון ולמחרת נפטר ונקבר בעיר. יהודי האזור נוהגים לעלות על קברו לבקשת ברכה ולתפלה, בעיקר ביום פטירתו, בשנת תשע"ז בנה הרב יוסף יצחק וולף רב ושליח חב"ד בחרסון אוהל מעל קברו.
הגותו וחיבוריו.
מתוך ריבוי מאמריו שכתב בעיקר כביאורים למאמרי אדמו״ר האמצעי והצמח צדק, קובצו סדרת ספרים על התורה ונקראו פלח הרימון.
עד היום נדפסו על בראשית, שמות, ויקרא ושיר השירים.
כמו כן כתב ביאורים נכבדים מאוד לשני ספרים יסודיים ביותר בתורת אדמו״ר האמצעי והם ביאור לקונטרס ההתפעלות וביאור לשער היחוד.
בשני ביאורים אלה ובפרט בביאור לשער היחוד הפליא עצה והגדיל תושייה ועשה אוזניים לקופה עד שכמעט ואי אפשר להבינם ללא ביאוריו.
על המעלה שבספריו ובפרט על הליקוטי ביאורים הנ״ל כתב אדמו״ר הריי״ץ (אג״ק ח״ד סוף עמ׳ תנ) ששאר ספרי חסידים אף שבודאי מיוסדים על יסודות חזקים וכו׳ אבל מעולם לא היו לו אותם ולא למדתים. משא״כ במאמרי רב הלל למדנו ונלמד.
באדר א' תשפ"ב (פברואר 2022) העלתה ספריית חב"ד לאתר האינטרנט של הספרייה סריקה של כמה כרכים מכתב יד, מאוסף כתבי היד של הספרייה.
לקריאה נוספת.
ראשי פרקים מתולדותיו מאת הרבי מליובאוויטש - נדפס בראש ספריו - פלח הרימון על ספרים בראשית ושמות - הוצאת קה"ת, תשי"ד.
לא לעלות יותר
לא לעלות יותר הוא סרט בבימויו של זאב רווח בז'אנר סרטי הבורקס. הסרט זכה להצלחה מסחרית גדולה, והיה הסרט הנצפה ביותר בישראל בשנת 1980, עם כ-450,000 צופים.
עלילה.
ששון (זאב רווח) הוא נהג שכיר בחברת דן החי בשכונת שפירא כאשר בשלב מאוחר יותר הוא עובר לצפון תל אביב. למרות יחסי מין סדירים עם אשתו (גאולה נוני) הוא אינו מצליח להביא ילדים לעולם. בעזרת חברו הטוב (ז'אק כהן) הוא עובר לדיור טוב יותר ומשתתף בטיפולי הפוריות של אשתו אצל רופא מומחה (גדעון זינגר). ככל שהזמן חולף הוא מתחיל לחשוד שאשתו בוגדת בו עם חברו לעבודה (גבי עמרני), מצב זה גורם לקומדיית טעויות של שקרים וסודות.
פוסט טראומה
מרסל סרדן
מרסלין "מרסל" סרדן (בצרפתית: Marcellin "Marcel" Cerdan; 22 ביולי 1916 – 28 באוקטובר 1949) היה מתאגרף צרפתי שזכה באליפות העולם באיגרוף במשקל בינוני. הוא זכור בשל הישגיו באיגרוף, חיי החברה הצבעוניים שלו והטרגדיה שהביאה למותו.
ביוגרפיה.
מרסל סרדן נולד ב-22 ביולי 1916 בסידי בל עבס, באלג'יריה הצרפתית. הוא החל להתאגרף באופן מקצועי ב-4 בנובמבר 1934 במקנס כשהביס את מרסל בוקיאנרי בסיבוב השישי, לפי החלטת השופטים. מכאן ואילך סרדן זכה ב-47 ניצחונות ברציפות עד 4 בינואר 1939, כאשר נפסל בסיבוב חמישי והפסיד בקרב להארי קרסטר בלונדון. סרדן ניהל קרבות רבים בתקופה זו בטריטוריות הצרפתיות של אלג'יריה ומרוקו, כמו גם במטרופולין הצרפתי, מקום הולדתם של הוריו. ב-1938 הוא הביס את עומר קואידרי בקזבלנקה בסיבוב ה-12, לפי החלטת השופטים וזכה באפשרות להתמודד על תואר אלוף המשקל החצי-בינוני של צרפת.
לאחר הפסדו הראשון זקף לזכותו סרדן חמישה ניצחונות ברציפות, מה שהקנה לו את ההזדמנות להתמודד על כתר אליפות אירופה במשקל חצי בינוני במילאנו. הוא זכה בתואר האירופי לאחר 15 סיבובים לפי החלטת השופטים, והמשיך להעפיל לאליפות.
סרדן הגיע ל-23 ניצחונות רצופים לפני שהוא נחל תבוסה לוויקטור בוטין באלג'יר כשנפסל בסיבוב השמיני. בקרב הבא שלו התמודד סרדן שוב על האליפות נגד חוזה פרר. הוא הפיל את פרר בסיבוב הראשון, וזכה בעוד ארבעה קרבות ברציפות לפני שעמד מול ג'יימס טוני. סרדן הפיל את טוני בסיבוב השני והמשיך ברצף ניצחונותיו מחדש, שהגיע לכדי 37 ניצחונות. באמצע הוא הצטרף ב-1944 לבעלות הברית במלחמת העולם השנייה וזכה באליפות של בעלות הברית.
סרדן טיפס בקטגוריית המשקל, עלה למשקל בינוני, וזכה בתואר הצרפתי אחרי שגבר על אסאן דוף בנוקאאוט בסיבוב השלישי. הוא החזיק בתארו מספר פעמים עד שנוצח בבריסל בידי סיריל דלאנואה בסיבוב ה-15 לפי החלטת השופטים. במהרה, הוא חזר לבלגיה והשיב לעצמו את התואר אחרי שהביס את דלנואה, גם כן בהתאם להחלטת השופטים.
לבסוף, אחרי הקרב החוזר עם דלנואה, זכה סרדן באפשרות להתמודד על כתר אליפות העולם והוא נסע לארצות הברית, שם הוא הביס את אלוף העולם במשקל בינוני טוני זייל. סרדן נהיה אלוף העולם אחרי שניצח את זייל בסיבוב ה-12, הקרב נערך באצטדיון רוזוולט, בג'רזי סיטי, ניו ג'רזי ב-21 בספטמבר 1948.
המוות והתהילה.
בתקופה הקצרה בה היה אלוף העולם, הפך סרדן לדמות פופולרית בנוף הפריזאי. למרות שהיה נשוי ולו שלושה ילדים, הוא ניהל רומן עם הזמרת המפורסמת אדית פיאף. הרומן נמשך מקיץ 1948 עד למותו בסתיו 1949.