תקופת חייו של קפלר, סוף המאה ה-16 ותחילת המאה ה-17, הייתה תקופה של שינוי בעולם האסטרונומיה. שינוי זה התרכז בעיקר במעבר מהמודל הגאוצנטרי העתיק למודל ההליוצנטרי שהחל להתבסס. המודל הגאוצנטרי גרס שכדור הארץ הוא מרכז היקום, והשמש וכוכבי הלכת סובבים אותו. מודל זה התערער בעקבות עבודתם של קפלר ושל גלילאו גליליי, שפעל באותה עת באיטליה. על-פי המודל ההליוצנטרי השמש נמצאת במרכז היקום, וכדור-הארץ מקיף אותה יחד עם יתר כוכבי-הלכת.
בעבודתו התבסס קפלר על מדידותיו של האסטרונום הדני טיכו ברהה, שהיה ידוע בדיוקו הרב - הדיוק של מדידותיו הגיע לשניית קשת אחת. ברהה התמיד במדידותיו במשך למעלה מעשרים שנה, והן שימשו כבסיס לניתוחים של קפלר. ברהה שימש באותה עת "המתמטיקאי הקיסרי" של רודולף השני, קיסר האימפריה הרומית הקדושה, וחיפש עוזר שיסייע לו לערוך חישובים מתמטיים. קפלר פרסם אז ספר בשם "Mysterium cosmographicum", התומך בתורת קופרניקוס. הספר הגיע לידיו של ברהה, והוא שכר את קפלר לשמש כעוזרו. קפלר עבר לגור בפראג, בירת האימפריה הרומית הקדושה. בתחילה, למרות יחסי הקרבה בין השניים, סירב ברהה לאפשר לקפלר גישה למדידותיו, ורק לאחר שקפלר נואש, החליט לעזוב, וכמעט מת מחוסר כול באכסניית דרכים, מצא אותו ברהה, שכנע אותו לחזור, ונתן לו גישה למדידות שביצע על מסלולו של מאדים.
ברהה הגה מודל משלו באשר לתנועת השמש וכוכבי הלכת, ולפיו כדור הארץ קבוע במקומו (אחרת, לטענתו, היה צריך להיות שינוי במפת השמים), השמש סובבת סביבו, ושאר כוכבי הלכת סובבים סביב השמש. ברהה נפטר ב-1601, וקפלר החליף אותו בתפקיד. קפלר הצליח באותה תקופה לנסח את שני החוקים הראשונים בעזרת ניתוח של תנועת מאדים בשמים. התקופה הפורייה והשלווה בפראג הסתיימה מבחינתו של קפלר בשנת 1611, כאשר בנו בן ה-7 נפטר, ואחריו מתה אשתו ברברה. באותה שנה נאלץ המלך רודולף להעביר את השלטון לאחיו מתיאס, שהיה פחות סובלני כלפי פרוטסטנטים, וקפלר הפרוטסטנטי נאלץ לעזוב את פראג. הוא עבר ללינץ ושם התחתן בשנית. בלינץ גילה את החוק השלישי.
עבודתו של קפלר הושפעה רבות מתפיסתו: קפלר ביקש לתאר את תנועת כוכבי הלכת באמצעות קשרים מתמטיים, ואת מסלוליהם ביקש לתאר כעקומה מתמטית אחת. את הדחף הזה שאב קפלר מהפילוסופיה של אפלטון ופיתגורס. מאמציו של קפלר, כפי שהתבטאו בניתוח מסלולו של מאדים ובניסוח החוקים הנושאים את שמו, התרכזו בגילוי ההרמוניה הפיתגורית של העולם.
ניסוח החוקים ופרסומם.
שני החוקים הראשונים התפרסמו בספרו של קפלר "Astronomia nova" ("האסטרונומיה החדשה") בשנת 1609. קפלר עצמו כתב שהחוק השלישי התגלה ב-15 במאי 1618, כאשר ספרו "Harmonices Mundi" ("ההרמוניה של העולמות") הגיע כבר לבית הדפוס. קפלר כתב בהרחבה על החוק בפרקים האחרונים של הספר, שיצא לאור ב-1619.
שלושת חוקי קפלר הם:
בהקשר זה יצוין המושג אקסצנטריות. אקסצנטריות של חתך חרוט היא מדד למידת החריגה שלו מצורה מעגלית. כלומר, ככל שהאליפסה יותר "פחוסה", כך האקסצנטריות שלה גבוהה יותר. האקסצנטריות של אליפסה היא פרמטר שערכו נע בין 0 ו-1 (חתך חרוט בעל אקסצנטריות 0 הוא מעגל). כפי שקובע חוק זה, צורת המסלול של כל כוכבי הלכת היא אליפסה, אולם במדידות מודרניות נמצא כי צורת המסלולים קרובה מאוד למעגל, ובניסוח מדויק יותר - ערכי האקסצנטריות של מסלולי כוכבי הלכת נמוכים מאוד (הערך הממוצע הוא 0.06 בקירוב; לנתונים מלאים ראו בערך כוכב לכת). מכאן ניתן להסיק שמדידותיו של ברהה היו כה מדויקות, עד כי קפלר הצליח להבחין באליפטיות של המסלולים על אף היותם קרובים מאוד למעגלים.
גילוי החוקים.
קפלר הכיר שלושה מודלים שניסו לתאר את תנועת כוכבי הלכת והשמש. המודל הגאוצנטרי של תלמי הניח שכדור הארץ נמצא במרכז והשמש וכוכבי הלכת סובבים סביבו במסלולים מעגליים שכוללים אפיציקלים (מעגלים קטנים יותר על גבי המעגל הגדול); המודל ההליוצנטרי של קופרניקוס הניח שכוכבי הלכת וכדור הארץ סובבים את השמש במסלולים מעגליים; והמודל של טיכו ברהה שלפיו השמש סובבת את כדור הארץ ושאר כוכבי הלכת סובבים את השמש.
קפלר הכיר את התצפיות הקדומות של תלמי, שהיוו את הבסיס האמפירי הן לתורת תלמי והן לתורת קופרניקוס, אך הוא הגיע למסקנה שמדידותיו של טיכו ברהה מדויקות יותר והחליט להשתמש בהן כבסיס לניתוח תנועתו של מאדים. הוא התבסס על 12 מדידות שבהן מאדים היה בניגוד, כלומר בכיוון ההפוך יחסית לשמש. בעזרת ניתוח גאומטרי מדויק, יחד עם הכרת אופי שבירת קרני האור באטמוספירת כדור הארץ, הבין קפלר שהמדידות לא מתאימות לאף אחד משלושת המודלים הקיימים. יתרה מכך, הוא הבין שתנועת מאדים איננה מעגלית, והוא חיפש עקומות אחרות שיתאימו למדידות של ברהה. הדבר לקח לו מספר שנים, ואף על פי שהיה קרוב לרשום את נוסחת האליפסה מתוך המדידות, הוא לא הגיע לכך. בסופו של דבר החליט קפלר ללכת בדרך הפוכה - הוא ניחש שהמסלול מתאים בצורתו לאליפסה, בדק את ההשערה ומצא שהיא אכן מתאימה לתצפיות. בנוסף, הוא בדק את מסלולו של כדור הארץ סביב השמש ומצא שגם הוא לא יכול להתאים למעגל. בעקבות כך, החליט קפלר להכליל את "חוק המסלולים האליפטיים" על כל כוכבי הלכת שנעים סביב השמש, וזאת במסגרת המודל ההליוצנטרי שבנכונותו נוכח קפלר זמן רב קודם לכן.
כאשר הבין קפלר שתנועתם של מאדים ושל כדור הארץ סביב השמש אינה מעגלית, ועוד בטרם ניסח את החוק הראשון, הוא ניסה למצוא ביטוי מתמטי שמתאר את תנועת כוכבי הלכת. הוא ראה שמהירותם משתנה בקטעים שונים של המסלול, ושיער, במונחים של ימינו, שהמהירות הרגעית נמצאת ביחס הפוך למרחק מהשמש באותו רגע. השערה זו לא הייתה מדויקת, אולם ממנה הוא הסיק את "חוק השטחים" המוכר בתור החוק השני של קפלר. לאחר שהמשיך לנתח את נתוני המדידות של ברהה ולחפש קשרים מתמטיים בין גדלים שונים הקשורים למסלול כוכבי הלכת, הוא מצא את החוק השלישי. בנוסף, ניסה קפלר למצוא הסבר פיזיקלי סיבתי לתנועת כוכבי הלכת. הוא הושפע מעבודתו של ויליאם גילברט שעסקה במגנטיות, וסבר שהשמש מפעילה על כוכבי הלכת כוח הדומה לפעולתו של מגנט. כוח הכבידה, המהווה את ההסבר הסיבתי המקובל כיום לחוקי קפלר התגלה על ידי אייזק ניוטון בהמשך המאה ה-17.
משמעות ושימושים.
מסלולים לא מעגליים.
קפלר היה הראשון שהציע שגרמי שמים נעים במסלולים לא מעגליים. עד לזמנו כל המודלים האסטרונומיים באירופה, לרבות המודל הגאוצנטרי של תלמי והמודל ההליוצנטרי של קופרניקוס, הסבירו את תנועתם של גרמי השמים באמצעות מערכות המבוססות על תנועה מעגלית אחידה. בהציעו שכוכב לכת נע בצורה אליפטית, היה קפלר הראשון שסטה מהתפיסה המקובלת, אותה הניח אפלטון כאלפיים שנה לפניו. עד עבודתו של קפלר, תנועה מעגלית אחידה נחשבה לתנועה טבעית, ואפילו גלילאו גליליי, שתמך במודל ההליוצנטרי, התקשה לזנוח את רעיון התנועה המעגלית האחידה, ובפרט סירב להכיר בחוקי קפלר. גלילאו טען שחפצים מתמידים בתנועתם במעגל ולא בקו ישר, כפי שטען ניוטון אחריו. שבירת הקיבעון בן אלפיים השנה, לתיאור תנועת גרמי השמים בעזרת תנועה מעגלית, הייתה לנקודת מפנה בחשיבה המדעית.
חיזוק המודל ההליוצנטרי.
פרסומם של חוקי קפלר החליש בצורה ניכרת את התורה הגאוצנטרית התלמאית ואת הפיזיקה האריסטוטלית, שגרסו שכדור הארץ הוא מרכז היקום. זאת מכמה סיבות:
בסיס ניסויי לעבודתו של ניוטון.
אייזק ניוטון, אבי המכניקה הקלאסית, הסתמך גם הוא על חוקי קפלר. ניוטון תהה מהו אותו כוח משיכה שמצד אחד גורם לתפוח ליפול מהעץ על פני כדור הארץ ומצד שני פועל בין גופים אסטרונומיים. עד לתקופתו, להוציא גלילאו, המדענים סברו שהעולם העל-ירחי נשלט על ידי חוקי תנועה שונים מהעולם התת-ירחי, ואילו ניוטון סבר שמדובר באותו כוח. כדי למצוא את הכוח המבוקש, ביקש ניוטון למצוא חוק בדמות קשר מתמטי שיכלול גם את חוקי קפלר. הוא הסיק כי כוח הכבידה בין שני גופים תלוי במסותיהם. לאחר מכן, בדק והגיע למסקנה כי כוח שיהיה פרופורציוני להופכי של ריבוע המרחק יעלה בקנה אחד עם חוקי קפלר. לבסוף הגיע ניוטון לנוסחה של כוח הכבידה האוניברסלי, שפועל בין כל שתי מסות: formula_1. כוח הכבידה שמצא ניוטון הוא למעשה ניסוח כללי יותר לחוקי קפלר, וניתן להסיק ממנו את חוקי קפלר. בספרו "היסודות המתמטיים של פילוסופיית הטבע", הראה ניוטון כיצד ניתן להסיק את חוקי קפלר בדרך דדוקטיבית מתוך חוקי התנועה שלו ומתוך חוק הכבידה האוניברסלי. ניוטון עשה זאת תוך שימוש באמצעים גאומטריים בלבד, בלי להיעזר בחשבון האינפיניטסימלי שהוא עצמו המציא.
ניוטון לא הסתפק בכך, ומצא כי מסלוליהם של כוכבי-הלכת חייבים להיות אחד מחתכי החרוט האפשריים - מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה. הוא מצא כי אם כוכב-לכת יגדיל בצורה מלאכותית את מהירותו עד לערך גבולי מסוים, הוא יעבור ממסלול אליפטי למסלול פרבולי. אם מהירותו תגדל מעבר לערך גבולי זה, מסלולו יהפוך להיפרבולי. המסלולים הפרבולי וההיפרבולי הם מסלולים פתוחים, כלומר כוכבי לכת שינועו בהם יתרחקו מהשמש לבלי שוב.
שימושים מודרניים באסטרונומיה.
חוקי קפלר אינם נכונים רק עבור מערכת השמש, אלא עבור כל מערכת של גופים שפועל ביניהם כוח משיכה שפרופורציוני להופכי של ריבוע המרחק ביניהם. כך לדוגמה, הוא נכון עבור מערכות של כוכבים כפולים ועבור ירחים של כוכב לכת. עם זאת, קבוע הפרופורציה בחוק השלישי של קפלר אינו נותר קבוע והוא שונה עבור כל מערכת ומערכת. זאת משום שקבוע זה תלוי במסתם של הגורמים בה, ולכן כאשר המסות שונות - הקבוע משתנה.