שחפית האינקה (שם מדעי: "Larosterna inca") הוא מין של עוף ים יחיד בסוגו ממשפחת השחפיתיים.
מאפיינים.
אורכה כ-39 עד 42 ס"מ, ומשקלה כ-180 עד 210 גרם. מראה שונה מאוד משאר מיני משפחתה ומרוב עופות הים בכלל, ולכן הוענק לה סוג טקסונומי משלה. רוב גופה צבוע באפור כהה; מקורה אדום ורגליה כתומות. בשני צדי הראש, מתחת לעין יש "פס" לבן, ומתחתיו עור חשוף צהוב בצורת פה. הכנפיים והזנב כהים יותר משאר הגוף. הזכר והנקבה דומים. אצל שחפיות צעירות הגוף חום-סגלגל, ונוצות הראש הבוגרות מתפתחות אצלם בהדרגה.
אזור התפוצה של שחפית האינקה, כמו שמרמז שמה, מתפרש על פני החוף המערבי של דרום אמריקה, מאקוודור ופרו לצ'ילה.
שחפית האינקה ניזונה בעיקר מדגים קטנים, כמו אנשובי, אך גם מסרטנים ומשאריות אנושיות. היא נצפתה עוקבת אחרי סירות דייגים בחיפושיה אחרי מזון. השחפית דואה מעל למים, מזהה את טרפה מהאוויר, צוללת אל המים ותופסת אותו בעזרת מקורה. השחפית חברתית, ונצפית במושבות עשויות לכלול כמה אלפי פרטים.
בית הגידול הטבעי של השחפית הם חופים עם חול וצוקים סלעיים.
שחפית האינקה מתרבה פעמיים בשנה; עונות הרבייה שלה מתרחשות בין אפריל ליולי ובין אוקטובר לדצמבר. תצוגת החיזור של הזכר כוללת תעופה מסוגננת, והאכלת הנקבה. השחפית מקננת במחילות או בחורים בצוקים סלעיים. הנקבה מטילה 1-3 ביצים, ודוגרת עליהן במשך 3-4 שבועות. הזכר והנקבה גם יחד משתתפים בדגירה על הביצים ובהאכלת הגוזלים. הגוזלים פורחים מהקן 4 שבועות לאחר בקיעתם, ונעשים עצמאיים חודש לאחר מכן.
מין זה הוכרז כ"קרוב לסיכון" על ידי ארגון IUCN.
טקס פרסי אנני ה-42
טקס פרסי אנני ה-42 (באנגלית: 42nd Annie Awards) נערך ב-31 בינואר 2015 באולם "רויס הול" שבארצות הברית, ובמהלכו הוענקו פרסי אנני על תחום ההנפשה בקולנוע ובטלוויזיה בשנת 2014.
מספר המועמדויות הרב ביותר היה לסרט "הקופסונים" (13 מועמדויות), ומספר הזכיות הרב ביותר היה לסרט "הדרקון הראשון שלי 2" (6 פרסים). דן דה-בילוס זכה בפרס לבימוי הטוב ביותר על הסרט "הדרקון הראשון שלי 2", ופיל לורד וכריסטופר מילר זכו בפרס התסריט הטוב ביותר על הסרט "סרט לגו". דידייה ברונר, דון לוסק ולי מנדלסון זכו בפרס וינזור מקיי על תרומתם לתחום ההנפשה.
סדרת הטלוויזיה "עלה נופל" זכתה בפרס לסדרת הטלוויזיה הטובה ביותר לגיל הרך, סדרת הטלוויזיה "גרוויטי פולס" זכתה בפרס לסדרת הטלוויזיה הטובה ביותר לילדים ונוער וסדרת הטלוויזיה "משפחת סימפסון" זכתה בפרס לסדרת הטלוויזיה הטובה ביותר למבוגרים.
יציבות במובן ליאפונוב
יציבות במובן ליאפונוב מתייחסת ליציבות של משוואות דיפרנציאליות עבור מערכת דינמיות. התאוריה הבסיסית מתייחסת ליציבות של נקודת שיווי משקל (נש"מ) של המערכת formula_1, כלומר מערכת ללא כניסה חיצונית. ניתוח היציבות מבוסס על "פונקציית אנרגיה" חיובית של המערכת formula_2, אשר ערכה יורד עם הזמן לאורך מסלולי המערכת. פונקציה כזאת תקרא "פונקציית ליאפונוב".
היסטוריה.
המונח יציבות במובן ליאפונוב נקראת על שמו של המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר ליאפונוב אשר פרסם את ספרו "הבעיה הכללית של יציבות בתנועה" בשנת 1892. ליאפונוב היה הראשון שלקח בחשבון את כך שדרושה התאמה מסוימת עבור מערכת לא ליניארית על מנת שיהיה ניתן להשתמש בתאורית היציבות של מערכות ליניאריות עבורה. דבר זה נעשה על ידי ליניאריזציה של המערכת בסביבת הנש"מ. עבודתו שתחילה פורסמה ברוסית ולאחר מכן תורגמה לצרפתית זכתה למעט תשומת לב לאורך שנים רבות. השינוי החל בתקופת המלחמה הקרה כאשר השיטה המכונה "השיטה העקיפה של ליאפונוב" נמצאה בעלת ערך רב עבור יציבות של מערכות ניווט אוויריות אשר בדרך כלל אינן ליניאריות בצורה חזקה ולא ניתנות לפתרון באמצעות שיטות אחרות.
יציבות מקומית של נקודת שיווי משקל.
נניח שהמערכת היא n ממדית וללא כניסה חיצונית formula_3.
נש"מ-נקודת שיווי משקל (equilibrium point): הנש"מ של המערכת formula_1 מוגדרת כנקודה הנמצאת במישור המצב formula_5 ומקיימת את האילוץ formula_6. עבור מערכת לא ליניארית יכול להיות מספר כלשהו (כולל 0) של נש"מ.
יציבות במובן ליאפונוב: הנש"מ formula_7 תקרא יציבה במובן ליאפונוב אם:
formula_8
משמעות הביטוי המתמטי במילים פשוטות הוא שעל מסלול המערכת formula_9 להישאר "בקרבת הנש"מ" אך לא בהכרח להתכנס אליה. יש לציין שהגדרה זו היא הגדרת היציבות החלשה ביותר. נש"מ שאיננה יציבה על פי הגדרה זו תקרא בלתי יציבה (Unstable).
יציבות אסימפטוטית: הנש"מ formula_7 תוגדר כיציבה אסימפטוטית אם:
במילים פשוטות המערכת יציבה אסימפטוטית עם מסלול המערכת יציב במובן ליאפונוב ובנוסף לכך המסלול מתכנס בסוף התהליך לנש"מ.
השיטה הישירה של ליאפונוב.
נניח כמקודם שהמערכת היא n ממדית וללא כניסה חיצונית formula_3 ובעלת הנש"מ formula_7.
לשם הפשטות נניח כי formula_14, ניתן להראות שההכללה לנש"מ formula_7 נעשית בפשטות יחסית על ידי הזזת קואורדינטות, דוגמה לכך ניתן למצוא בספר Nonlinear system. נניח המערכת formula_16 רציפה
formula_17
נניח פונקציה formula_2 (תסומן כפונקציית ליאפונוב) אשר גזירה ברציפות בכל התחום הדרוש.
הגדרת נגזרת לאורך מסלול המערכת:
נגדיר: formula_19, כאשר formula_9 מסלול כלשהו של המערכת formula_1.
זוהי הנגזרת של הפונקציה formula_22 אשר מחושבת בנקודה formula_23.
על ידי השימוש בנוסחת הגזירה עבור הרכב פונקציות נקבל לבסוף את הביטוי הבא:
formula_24
formula_25 היא פונקציה של המצב formula_26 ולא של הזמן formula_27. פונקציה זו מוגדרת כ: הנגזרת של formula_28 לאורך מסלולי המערכת השונים.
משפט - יציבות מקומית
תהי formula_14 הנש"מ של המערכת formula_30.
תהי formula_31 סביבה פתוחה כלשהי של הראשית
אזי formula_7 הנה נש"מ יציבה (במובן ליאפונוב).
אזי formula_7 הנה נש"מ יציבה אסימפטוטית.
את ההוכחה המלאה למשפט ניתן למצוא בספר Nonlinear system
ניתן לראות בפונקציית ליאפונוב מעין "פונקציית אנרגיה" של המערכת, אם כי אין בהכרח קשר לאנרגיה הפיזיקלית.
יש לציין שהקושי העיקרי בשיטת ליאפונוב הוא במציאת פונקציית ליאפונוב מתאימה.
דוגמה:
formula_43
נבחר את פונקציית ליאפונוב formula_44
ניתן לראות כי formula_34 וכי formula_35 עבור כל formula_47
כמו כן: formula_48
לכן formula_40 עבור כל ערך הנמצא התחום formula_50 ומכאן כי הנש"מ של המערכת formula_14 יציבה אסימפטוטית.
קיום פונקציית ליאפונוב
אחת מן השאלות העולות האם עבור כל נש"מ יציבה (אסימפטוטית) ניתן למצוא פונקציית ליאפונוב?
התשובה לשאלה זאת היא חיובית, אולם יש לציין שהבעיה העיקרית שההוכחה של עובדה זו אינה קונסטרוקטיבית, כלומר שההוכחה אינה מראה כיצד ניתן למצוא פונקציה זו.
ליניאריזציה מקומית (השיטה העקיפה של ליאפונוב).
ניתן לקבוע יציבות מקומית של נש"מ המערכת באמצעות ליניאריזציה של המערכת סביב לנש"מ. שיטה זו ידועה גם בשם "השיטה העקיפה של ליאפונוב"
נתבונן במערכת הליניארית formula_52 בעלת הנש"מ formula_14. עבור המערכת מתקיים המשפט הבא:
הערה: את ההוכחה עצמה ניתן למצוא בספרות
הסבר: ניקח את המערכת formula_30, בעלת הנש"מ formula_7 כלומר formula_6. כמו כן נניח שהמערכת formula_16 היא בעלת נגזרות רציפות בסביבת הנש"מ.
מכיוון ש formula_6, אזי פיתוח טור טיילור מסדר ראשון של המערכת מסביב לנש"מ נותן:
formula_62
כאשר formula_63
כלומר שformula_64 היא מטריצת היעקוביאן של המערכת בנש"מ formula_7.
משפט: formula_66 הם הערכים העצמים של מטריצה formula_64
יציבות גלובאלית ואגן משיכה.
יציבות גלובאלית.
בחלקים הקודמים הגדרות היציבות היו בעלות אופי מקומי, כלומר אפיינו את התנהגות המערכת בסביבת הנש"מ.
בחלק זה תוגדר יציבות המערכת המתקיימות עבור כל תנאי ההתחלה.
הנש"מ formula_7 תוגדר כיציבה אסימפטוטית גלובאלית אם ההתכנסות formula_77 מובטחת עבור כל תנאי ההתחלה בתחום formula_78.
משפט יציבות גלובאלית
נניח כי formula_2 מוגדרת על formula_80 ובעלת נגזרות רציפות בכל התחום ומקיימת:
אזי הנש"מ formula_7 יציבה אסימפטוטית גלובאלית.
הערות:
דוגמה:
formula_89
נבדוק את פונקציית ליאפונוב הבאה: formula_90
formula_91
ניתן לראות שמתקיימים תנאי המשפט והנש"מ formula_14 יציבה אסימפטוטית גלובאלית.
אגן משיכה.
גם במקרה בו הנש"מ של המערכת אינה יציבה באופן גלובאלי ישנה חשיבות להערכת "אגן המשיכה" שלה. כלומר מהן אוסף הנקודות במרחב מהן קיימת התכנסות לנש"מ זו.
הגדרה: תהי formula_7 נש"מ. אגן המשיכה של formula_7 היא הקבוצה המקסימלית formula_95 כך ש:
formula_96 גוררת formula_97 כל תת-קבוצה של formula_95 תקרא אגן משיכה של formula_7.
משפט: אגן משיכה של נש"מ יציבה
נניח כי בסביבה כלשהי של הראשית formula_100 מתקיימים תנאי משפט ליאפונוב ליציבות אסימפטוטית (מקומית).
יהי formula_101 (רצוי גדול ככל האפשר) כך שמתקיים: formula_102 היא אגן המשיכה של הנש"מ formula_7.
דוגמה:
ניקח את הדוגמה שהוצגה קודם:
formula_43
פונקציית ליאפונוב היא formula_44 כאשר הנגזרת היא formula_106.
תנאי המשפט מתקיימים עבור formula_107 ולכן זהו תחום המשיכה של הנש"מ formula_14.
יציבות אקספוננציאלית.
ההגדרות עבור יציבות המערכת עד כה הוצגו ללא כל דרישה לגבי קצב התכנסות המערכת לנש"מ. בפרק זה יוגדר קצב התכנסות אקספוננציאלי.
הגדרה: הנש"מ formula_7 היא יציבה אקספוננציאלית אם קיימים מספרים formula_110, formula_111 כך שעבור formula_112 כלשהו ועבור formula_113 המקיים formula_114 נקבל: formula_115