למרות שאובלדו פיליול, שוערה הקבוע של הנבחרת, היה השוער הראשון לאורך כל מוקדמות מונדיאל 1986 במקסיקו, הוא לא זומן לבסוף לסגל לקראת מונדיאל 1986, ומי שתפס את מקומו היה פומפידו. הוא פתח בכל שבעת משחקיה של ארגנטינה בטורניר וספג חמישה שערים בלבד, תוך שהוא שומר שלוש פעמים על רשת נקייה. ארגנטינה, עם פומפידו בשערה, ניצחה את במשחק הגמר בתוצאה 3-2 וזכתה בתואר בפעם השנייה בתולדותיה.
פומפידו פתח את מונדיאל 1990 כשוער הראשון של ארגנטינה, לפני סרחיו גויקוצ'אה, שהיה מחליפו גם בתקופתו בריבר פלייט. במשחק הפתיחה הפסידה ארגנטינה במפתיע ל, לאחר שפומפידו ספג שער נגיחה באשמתו מראשו של הקמרוני פרנסואה אומאם-ביאיק. הכדור החלש עבר מתחת לגופו של פומפידו וחדר לרשת. במשחק השני של ארגנטינה בשלב הבתים, בדקה ה-11 של המשחק, התנגש פומפידו בחברו לנבחרת, חוליו אולרטיקואצ'אה, ושבר שתי עצמות ברגל ימין, השוקה והשוקית. הוא הוחלף בגויקוצ'אה, שבסדרה של הופעות מצוינות, במיוחד בעצירת פנדלים, העלה את ארגנטינה עד לגמר הטורניר. בעקבות הפציעה היה פומפידו מושבת לשנה מהמגרשים, ולא שב עוד לשחק במדי הנבחרת.
בסך הכל רשם פומפידו 36 הופעות במדי הנבחרת.
קריירה כמאמן.
קריירת האימון של פומפידו החלה בשנת 1999 במקום בו החל וסיים את הקריירה המקצועית שלו כשחקן, אוניון דה סנטה פה. הוא אימן במועדון למשך שתי עונות, לפני שעבר לקדנציה ראשונה במועדון הבכיר בפרגוואי, אולימפיה. הוא הוביל את קבוצתו לזכייה בגביע ליברטדורס בשנת 2002, לאחר שניצחה בפנדלים בסיום הגמר הכפול מול סאו קייטנו מברזיל.
שנה אחר כך עבר לראשונה לליגת העל המקסיקנית שם אימן את טיגרס והוביל אותה בהצלחה במשך שנה וחצי, עד שב-15 בנובמבר 2004 התפטר לאחר שהרגיש חוסר תמיכה מצד נשיא המועדון.
לאחר שעזב את טיגרס פומפידו לא אימן במשך קרוב לשנה, עד שבאוקטובר 2005 חזר לארגנטינה כשהתמנה למאמנה של ניואל'ס אולד בויס. הוא סיים את דרכו במועדון כעבור שמונה חודשים, ביולי 2006, ובשנתיים שלאחר מכן רשם קדנציות קצרות בוראקרוס המקסיקנית אותה אימן כארבעה חודשים ובאל-שבאב אותה אימן במשך פחות מחצי שנה.
לאחר ששבת מפעילות למשך כשנתיים, חזר פומפידו ב-2010 לקדנציה קצרה של כחצי שנה כמאמנה של אולימפיה. ב-23 בדצמבר 2011 חזר בשנית לארגנטינה, תחילה לקבוצת גודוי קרוס אותה אימן כארבעה חודשים, וב-3 בספטמבר 2012 חזר פעם נוספת לאוניון דה סנטה פה, אך הפעם התפטר לאחר שלושה חודשים בעקבות יכולת ירודה של קבוצתו.
רעידת האדמה בנפאל (1988)
רעידת האדמה בנפאל בעוצמה של 6.9 בסולם מגניטודה לפי מומנט התרחשה ב-21 באוגוסט 1988 בשעה 23:09:11 לפי הזמן המקומי בנפאל וסמוך לגבול ההודי שלה, צפונית לביהר. ברעידה נהרגו 709 בני אדם ועוד אלפים נפצעו. הרעידה הכתה בשני גלים - האחד במשך 10 שניות והשני במשך 15 שניות - וגרמה לנזק בכ-50,000 מבנים וביניהם ראג' בהוואן (Raj Bhavan), בית מגורים של הממשל ההודי, ובית פטנה (Patna Secretariat), בניין הממשל ההודי בביהר.
הלמה של שור
באלגברה, הלמה של שור היא טענה בסיסית הקובעת כי חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק, כלומר כל אנדומורפיזם לא אפס של מודול פשוט הוא אוטומורפיזם. לטענה שימושים רבים בקביעת המבנה של חוגים ארטיניים נוצרים סופית וכן בתורת ההצגות. הלמה נקראת על שמו של המתמטיקאי היהודי ישי שור, שעסק בתורת ההצגות של חבורות.
ניסוח.
יהי formula_1 מודול מעל חוג נתון formula_2. נסמן ב-formula_3 את חוג האנדומורפיזמים של formula_1, היינו
זהו חוג עם פעולות החיבור וההרכבה.
הלמה של שור קובעת כי אם formula_1 מודול פשוט (כלומר, אין לו תתי מודולים פרט לטריוויאליים), אז formula_3 הוא חוג עם חילוק - כל איבר בו הוא הפיך.
הכיוון ההפוך ללמה של שור אינו נכון. למשל, המודול formula_8 מעל formula_9 אינו מודול פשוט אבל חוג האנדומורפיזמים שלו איזומורפי לשדה formula_8.
הוכחה.
יהי formula_11. אזי הגרעין formula_12 הוא תת-מודול של formula_1, ומכך ש-formula_14 נקבל בהכרח formula_15, כלומר formula_16 חד-חד-ערכית.
בדומה, התמונה formula_17 היא תת-מודול של formula_1, ומכך ש-formula_14 נקבל בהכרח formula_20, כלומר formula_16 גם על, ולכן הפיכה.
יישומים.
יישום נפוץ עבור הלמה של שור הוא בהוכחת משפט ודרברן-ארטין, הקובע כי חוג פרימיטיבי ארטיני איזומורפי לחוג מטריצות מעל חוג עם חילוק. לפי ההנחה, מעל החוג קיים מודול פשוט ונאמן, ולכן לפי הלמה של שור חוג האנדומורפיזמים מעליו הוא חוג עם חילוק. כדי להשלים את ההוכחה יש להשתמש במשפט הצפיפות של ג'ייקובסון.
בפיזיקה, מן הלמה של שור משתמע כי המצבים העצמיים של מערכת פיזיקלית בעלת סימטריה שייכים להצגות אי פריקות של חבורת הסימטריה, והערכים העצמיים מנוונים בהתאם לגודל ההצגות.
לאס פאלמאס
משפט הצפיפות הכללי
באלגברה, משפט הצפיפות הכללי (General density theorem) הוא משפט על מודולים פשוטים למחצה וההצגה הרגולרית מעליהם. ממשפט זה נובע משפט הצפיפות של ג'ייקובסון, אשר בעזרתו מוכיחים את משפט ודרברן-ארטין.
הקדמה.
יהי מודול שמאלי formula_1 מעל חוג formula_2. יהי formula_3 חוג האנדומורפיזמים של formula_4, כמודול שמאלי מעל formula_2. אזי formula_4 הוא מודול ימני מעל formula_7 לפי הפעולה formula_8, ולמעשה הוא מהווה בי-מודול, שמאלי מעל formula_2 וימני מעל formula_7.
יהי formula_11, חוג האנדומורפיזמים מעל formula_4 בתור מודול ימני מעל formula_13, ונגדיר formula_14 על ידי formula_15. זהו הומומורפיזם בין חוגים, בעל גרעין formula_16, המאפס של formula_1, ולכן מהווה שיכון כאשר המודול נאמן.
תת חוג formula_18 נקרא formula_19-צפוף ב-formula_20 אם לכל formula_21 ולכל formula_22 קיים formula_23 כך ש-formula_24. מונח זה באמת מתאר צפיפות במובן הטופולוגי - ניתן להגדיר טופולוגיה על formula_20, בעלת תת-בסיס המורכב מהקבוצות formula_26. נובע ש-formula_18 הוא formula_19-צפוף לכל formula_19 אם ורק אם הוא צפוף במובן הטופולוגי.
ניסוח.
יהי formula_1 מודול פשוט למחצה. אז תמונת formula_2 ב-formula_20 צפופה.
כלומר: לכל formula_21 ולכל formula_34 קיים formula_35 כך ש-formula_36.
הוכחה.
ניעזר בלמה:
למה: נניח ש-formula_37, אז לכל formula_38 מתקיים formula_39.
"הוכחת הלמה": ידוע כי כאשר formula_37 קיים אידמפוטנט formula_41 כך ש-formula_42. לכן, מתקיים formula_43.
כעת, נוכיח את ש-formula_44 היא 1-צפופה ב-formula_20. לכל formula_46, נביט ב-formula_47; לפי הלמה:formula_48, כלומר קיים formula_35 כך ש-formula_50, כדרוש.
לכל formula_19 אחר, נפעיל את המקרה הקודם עבור formula_52, עבורו formula_53, חוג מטריצות מעל formula_7. לפי המקרה formula_55, תמונת formula_2 היא 1-צפופה ב-formula_57. כעת נגדיר formula_58; מתקיים formula_59, ולכן לפי החלק formula_55 יש formula_35 כך ש-formula_62, כלומר formula_63, כדרוש.
משפט הצפיפות של ג'ייקובסון.
מקרה פרטי וחשוב של משפט הצפיפות הכללי הוא משפט הצפיפות של ג'ייקובסון (Jacobson density theorem), על שם המתמטיקאי נתן ג'ייקובסון.
יהי formula_1 מודול פשוט ונאמן, ונסמן formula_65. אזי לכל formula_66 ולכל formula_67 בלתי תלויים מעל formula_68, קיים formula_35 כך ש-formula_70.
הוכחה.
formula_4 פשוט ולכן פשוט למחצה, ולפי הלמה של שור formula_68 חוג עם חילוק. לכן, ניתן להשלים את formula_73 לבסיס. נגדיר formula_74 על ידי formula_75 ולכל איבר בסיס אחר אפס. כעת נפעיל את משפט הצפיפות הכללי, ונקבל שקיים formula_35 כך ש-formula_70, כדרוש.
מסקנות.
משפט הצפיפות של ג'ייקובסון הוא משפט חשוב בתורת המבנה של חוגים לא קומוטטיביים.
כמסקנה מידית, נקבל כי אם formula_78, אז formula_79. האיזומורפיזם נתון, בעזרת משפט הצפיפות, כך: נקבע בסיס formula_80 עבור formula_68. לכל formula_35 מתאימים את ההעתקה formula_83; מיפוי זה מוגדר היטב, חד-חד ערכי (כי formula_4 נאמן), ועל בגלל משפט הצפיפות - לכל מטריצה (או בשקילות אנדומורפיזם מעל formula_68) הפעולה על הבסיס (הסופי) נקבעת על ידי כפל משמאל באיבר כלשהו formula_86.
משפט ודרברן-ארטין, הקובע את המבנה של חוגים ארטיניים פשוטים, נובע מהמסקנה לעיל כמעט ישירות.
משפט הצפיפות של ג'ייקובסון
Microsoft Small Basic
Microsoft Small Basic היא שפת תכנות מבוססת אובייקטים מבית מיקרוסופט. השפה הותאמה במיוחד לילדים ולמתחילים בתחום תכנות המחשבים.
סביבת הפיתוח המתאימה לשפת התכנות היא Small Basic, הניתנת להורדה באתר הרשמי של שפת התכנות. פורמט הקובץ המתאים הוא "SB.*".
מבנה השפה (Syntax).
לשפה יש תחביר (Syntax) בעל חוקיות קבועה: בהתחלה, אובייקט, נקודה, מאפיין ומשתנה. כללים אילו מתבטאים בתבנית הזו: לשפה יש, מלבד האובייקטים, גם:
כל משפט שאינו אובייקט או משתנה צריך להיגמר ב-End ושם הפעולה. כך שלולאת For תיגמר ב-Endfor, ושגרה תיגמר ב-EndSub.
בשפה קיים דגש גדול מאוד על אותיות רישיות ואותיות קטנות, למרות שאין זה הכרחי.
יצירת משתנה תתבצע באמצעות הכרזה על שמו והשמת הערך. בשפה לא קיימים סוגי משתנים, כך שמחרוזת (String) תוכל להכיל מספר, ומספר יוכל להיות מאוחד עם מחרוזת וכו'.
בשפה קיימים מערכים, וזיהוי אינדקסים מתבצע באמצעות סוגריים מרובעים.
דוגמה למבנה הקוד:
דוגמאות קוד.
הדגמת מנגנון קלט-פלט של השפה:
TextWindow.WriteLine("Enter your name: ") ' מבקש מהמשתמש להקליד את שמו