בין הכלים המתמטיים שפותחו בראשית המאה ה-18 כדי לפתור בעיות במכניקה, התפתח התחום של חשבון וריאציות. תחום זה עוסק במציאת נקודות קיצון עבור פונקציונלים. כדוגמה לבעיה בחשבון וריאציות ניתן להסתכל על בעיית הברכיסטוכרון, המחפשת את צורת העקומה שלאורכה חרוז המחליק בהשפעת כוח הכבידה וללא חיכוך יגיע באופן המהיר ביותר מנקודה מסוימת לנקודה אחרת. ב-1662, הציג פרמה את העקרון העומד מאחורי תנועתם של קרני אור אופטיות. לפי עקרון פרמה, קרניים כאלה יטיילו מנקודה לנקודה לאורך המסלול בו זמן התנועה יהיה הקצר ביותר. פרמה השתמש בעקרון זה כדי להסביר את חוקי השבירה של סנל. ב-1744 מופרטווי שאל מדוע האור יעדיף את המסלול בעל הזמן הקצר ביותר, ולא את המסלול בעל הדרך הקצרה ביותר. הוא המשיך והראה שאם בוחרים את המסלול בו הדרך קצרה ביותר, כאשר משקללים את המרחק לפי המהירות, מתקבל חוק סנל. עוד באותה שנה, אוילר טען שתנועה של חלקיקים במערכת מכנית היא במסלול בו תנועת החלקיקים עוברת את הדרך הקצרה ביותר לפי שקלול הכולל את התנע שלהם. חוק זה מתקבל במצב בו כל הכוחות במערכת הם כוחות משמרים. ב-1746 מופרטווי התייחס לעבודתו של אוילר, ואמר שאוילר השתמש בעקרון שהוא הציג למערכות מכניות; על אף שמופרטווי הציג את העקרון כעקרון אופטי ולא מכני, העקרון הזה נקרא על שמו של מופרטווי. בספרו "מכניקה אנליטית" משנת 1788, הראה לגראנז' כיצד עקרון מופרטווי נובע מעקרון ד'לאמבר. ויליאם רואן המילטון הרחיב את העקרון למערכות בהן הכוחות לא משמרים, אבל ניתנים להצגה באמצעות פונקציית לגראנז'יאן. העקרון הזה נקרא עקרון המילטון או עקרון הפעולה הסטציונרית. לפי עקרון זה הפעולה של המערכת, המוגדרת כאינטגרל של פונקציית הלגראנז'יאן לפי הזמן לאורך המסלול, מקבלת ערך מינימום במסלול בו החלקיק ינוע. את משוואות התנועה שלגראנז' הציג, ניתן לפתח ישירות מעקרון ד'אלמבר, או מחשבון וריאציות בניסיון למצוא את המסלול שנותן לפעולה ערך סטציונרי לפי עקרון המילטון.
עקרון ד'אלמבר.
היסטורית, הפיתוח של עקרונות המכניקה הלגראנז'ית יוצא מעקרון ד'אלמבר. עקרון זה נובע משימוש בחוקי התנועה של ניוטון והפעלתם על עקרון העבודה הווירטואלית. העתקה וירטואלית, היא קונספט מתמטי המתאר תזוזה קטנה של המערכת ללא הזזה של פרמטר הזמן, לא כל שינוי של המערכת אפשרי, לדוגמה במנוף מכני, תזוזה של צד אחד של המנוף כלפי מטה, מחייבת שהצד השני יעלה מעלה, רק העתקות שאפשריות מבחינת המערכת נחשבות העתקות וירטואליות. עבודה וירטואלית היא הטלה של הכוחות הפועלים במערכת על העתקות וירטואליות. עקרון עבודה הווירטואלית עוסק בכוחות הפועלים על מערכת הנמצאת בשיווי משקל סטטי וקובע שאם המערכת נמצאת בשיווי משקל כזה, העבודה הווירטואלית מתאפסת תמיד. ד'אלמבר הרחיב את עקרון ההעתקה הווירטואלית, וטען שאם המערכת נעה, הרי שהעבודה הווירטואלית צריכה להתאזן עם האינרציה של המערכת. מבחינה מתמטית טען ד'אלמבר ש-
כאשר
תוצאה זו נובעת מיידית מחוקי ניוטון לפיהם לכל גוף מתקיים formula_14.
בצורה זו, עקרון ד'אלמבר לא מחדש הרבה ביחס לחוקי התנועה של ניוטון. היתרון הגדול של העקרון מגיע כאשר מפרידים את הכוחות במערכת לכוחות המקושרים לאילוצים formula_15 ולכוחות רגילים formula_16. באופן די כללי, כוחות הנובעים מאילוצים פועלים במאונך לכיוון ההעתקות הווירטואליות ולכן הם לא מבצעים עבודה וירטואלית על המערכת. לפיכך עקרון ד'אלמבר יכול להיכתב בצורה:
בצורה זו, עקרון ד'אלמבר מספק מידע על המערכת מבלי להשתמש במידע על כוחות האילוצים. כפי שהוסבר לעיל, מציאת הכוחות formula_15 היא בעיה כשלעצמה, כשאין לה דרך פתרון סדיר במכניקה ניוטונית. לכן, עקרונות מכניים שלא משתמשים בכוחות הללו הם צעד חשוב בפיתוח המכניקה הקלאסית.
קואורדינטות מוכללות, כוחות מוכללים ומשוואות התנועה.
עקרון ד'אלמבר אמנם מסיר את הכוחות המאלצים מהתמונה, אך הם עדיין מופיעים כהגבלות על ההעתקים הווירטואליים - הווקטורים formula_19 אינם בלתי תלויים. אם יש formula_20 אילוצים על המערכת, וכל האילוצים על המערכת הם אילוצים הולונומים, כלומר ניתן לכתוב לכל אילוץ משוואה מהצורה formula_21, אז ניתן להציג סט חדש של קואורדינטות מוכללות, formula_22 כאשר (formula_23 מספר דרגות החופש של המערכת (formula_24 מספר הממדים בבעיה)). כך שמתקיים:
והמשתנים formula_8 הם בלתי תלויים. במצב כזה מתקיים formula_27 כעת ניתן להגדיר את הכוחות המוכללים formula_28 ומתקיים formula_29. כעת ניתן לפתח את האיבר השני בעקרון ד'אלמבר ולהציגו באמצעות הקואורדינטות המוכללות ולקבל formula_30 כאשר formula_31 האנרגיה הקינטית של המערכת. שימוש בשתי התוצאות הללו מניב עבור עקרון ד'אלמבר:
אם כל האילוצים הם הולונמים, ונעשה שימוש ב-formula_33 קואורדינטות מוכללות, אזי הקואורדינטות המוכללות בלתי תלויות. במצב כזה, השוויון הנל יכול להתקיים רק אם:
משוואות אלו מכונות משוואות לגראנז' או משוואות התנועה הכלליות. הן מקשרות בין הכוחות הרגילים במערכת לתנועת המערכת מבלי לפתור או להשתמש בכוחות המאלצים. האילוצים על המערכת מופיעים במשוואות הללו רק בבחירת סט של קואורדינטות מוכללות שמקיימות את האילוצים.
אם הכוחות הרגילים במערכת הם כוחות משמרים, כלומר קיים פוטנציאל סקלארי formula_35 כך ש-formula_36 הרי שמתקיים formula_37 ומכאן (נשים לב שבמצב זה formula_38)
סט משוואות אלו ידוע בשם משוואות אוילר-לגראנז'.
משוואות אלו יכולות לשמש גם במצבים בהם הכוחות לא משמרים, אך קיים פוטנציאל מוכלל formula_40 כך שמתקיים: formula_41. פוטנציאל כזה קיים לדוגמה עבור חלקיק בעל מטען formula_42 הנע בשדה אלקטרומגנטי, ועבור formula_43 כאשר formula_44 הפוטנציאל החשמלי, ו-formula_45 הפוטנציאל הווקטורי.
הלגראנז'יאן ותכונותיו.
את הפונקציה formula_46 מגדירים כלגראנז'יאן של המערכת. הקואורדינטות formula_8 מתארות את המיקומים האפשריים של המערכת המקיימים את האילוצים על המערכת. המרחב אותו הן מתארות נקרא מרחב הקונפיגורציות. המהירויות formula_48 מתארות משיקים למרחב הקונפיגורציות. בהינתן סט של קואורדינטות מוכללות הלגראנז'יאן מתאר את המערכת הפיזיקלית באופן מלא.
אינווריאנטיות תחת טרנספורמציות נקודה.
מרחב הקונפיגורציות ניתן לתיאור על ידי קואורדינטות מוכללות שונות. טרנספורמצית נקודה היא החלפה בין מערכת קואורדינטות אחת לאחרת. טרנספורמציה כזו יכולה להיכתב באמצעות משוואות formula_49. משוואות אוילר-לגראנז' מתקיימות עבור אותה פונקציה לגראנז'יאן כפי שהיא נכתבת בקואורדינטות החדשות, כלומר הלגראנז'יאן הוא אינווריאנטי תחת שינוי הקוארדינטות. הוכחה:
פונקציית האנרגיה.
פונקציית האנרגיה של המערכת מוגדרת על ידי formula_51, נתבונן בנגזרת של פונקציית האנרגיה לפי הזמן:
לכן אם הלגראנז'יאן לא תלוי ישירות בזמן, פונקציית האנרגיה של המערכת נשמרת.
אם הפוטנציאל לא תלוי במהירויות (כלומר הכוחות הם כוחות משמרים) והלגראנז'יאן לא תלוי בזמן מתקיים formula_53 ולכן פונקציית האנרגיה מקיימת formula_54 והיא מתלכדת עם האנרגיה של המערכת. באופן כללי פונקציית האנרגיה אינה סכום של האנרגיה הפוטנציאלית והפוטנציאל המוכלל.
דמיות מכנית.
אם האנרגיה הפוטנציאלית לא תלויה במהירויות ובזמן, והיא פונקציה הומוגנית של הקואורדינטות, כלומר מתקיים formula_55, האנרגיה הקינטית היא פונקציה הומוגנית מסדר שני של המהירויות formula_56. formula_57 גורמת ל-formula_58, הכפלה בקבוע של הלגראנז'יאן לא משנה את משוואות התנועה, ולכן לא משנה את צורת המסלולים. המשמעות היא שזמן המחזור של מערכת גדולה יותר בפקטור formula_59 יהיה ארוך יותר בפקטור של formula_60. לדוגמה, בתנודות קטנות ליד מינימום של פוטנציאל formula_61 וזמן המחזור לא תלוי באמפליטודה התנודה. בנפילה חופשית formula_62 וזמן הנפילה פרופורציונלי לשורש הגובה של הנפילה. בחוק הכבידה האוניברסלי של ניוטון formula_63 וזמן התנועה בריבוע פרופורציונלי לאמפליטודת התנועה בשלישית - זהו אחד מחוקי קפלר.
אילוצים כלליים וכופלי לגראנז'.
לא כל סט אילוץ על מצב המערכת הוא אילוץ הולונומי. לדוגמה: כדור המתגלגל (ללא החלקה) על פני מישור, מקיים אילוץ לפי המהירות הזוויתית של הגלגול מקושרת למרחק אותו הכדור עובר, עם זאת, החופש של הכדור להתגלגל בכיוונים שונים גורמת לכך שהזווית של הכדור לא מקושרת למיקומו. במקרים כאלה יכול להיות אילוץ לא הולונומי מהצורה formula_64 כאשר formula_8 הוא סט קואורדינטות מוכללות המתאר מרחב המכיל את מרחב הקונפיגורציות. במקרה הזה, הקואורדינטות המתארות את מרחב הקונפיגורציות יהיו תלויות אחת בשנייה. בפיתוח לעיל, עקרון ד'אלמבר גרר את משוואות אוילר-לגראנז' בעקבות ההנחה שהקואורדינטות בלתי תלויות. כדי לקבל את משוואות אוילר-לגראנז' כאשר הקואורדינטות תלויות ניתן להשתמש בכופלי לגראנז'. אם יש formula_20 אילוצים על המערכת, ניתן להוסיף ללגראנז'יאן את הביטוי formula_67 וכעת להתייחס לקואורדינטות כבלתי תלויות כך שמתקבלות formula_20 משוואות אילוצים כאשר מתייחסים ל-formula_69 כמשתנה:
וכן מתקבל הסט הבא של formula_71 (formula_33 מספר דרגות החופש של המערכת) משוואות אוילר-לגראנז':