קונסטנטינופול (איסטנבול של היום), היושבת על מצר הבוספורוס, מהווה נקודת מעבר הכרחית לכיוון ארץ ישראל, ולכן הצלבנים בדרכם מזרחה התנקזו לשם. כאשר שאריות ההמונים הגיעו לעיר, אלכסיוס קוֹמְנֵנוּס קיסר האימפריה הביזנטית, ראה לפניו אספסוף רעב וסגר בפניהם את שערי העיר. הצלבנים של "מסע ההמונים" חצו את מיצר הבוספורוס ועברו לטורקיה, שם הם פגשו בסלג'וקים שעשו בהם שמות. רק מעטים מהם זכו לחצות את הבוספורוס חזרה לאירופה.
מסע האבירים.
הגעת המחנות לקושטא.
במקביל לגל הספונטני של ההמונים, התארגן כוח צבאי של אבירים, שיצא גם הוא מזרחה. האפיפיור התכוון לשלוח צבא המורכב מתושבי פרובאנס (בתקופה הנדונה השטח הצרפתי שמדרום לנהר הלואר), אך התוצאות עלו על ציפיותיו ובסופו של דבר יצאו לדרך 4 מחנות, חלקם מאזורים שלא היו נתונים להשפעת האפיפיור. מנהיגי המחנות היו:
המחנה הראשון יצא לדרכו ב-15 באוגוסט 1096. האבירים מהארצות השונות הגיעו לקונסטנטינופול בנפרד, ושם אלכסיוס, שליט הממלכה הביזנטית, עזר להם לחצות את הבוספורוס, תמורת שבועת נאמנות (הומאגיום) שכל מה שהם יכבשו במזרח יימסר לידיו. אחד מהמנהיגים, טנקרד שמו, הצליח לחצות באופן עצמאי ולהתחמק משבועה זו.
המעבר דרך אסיה הקטנה.
ההתקלות הראשונה של הצלבנים בסלג'וקים התרחשה למרגלות חומות ניקאה (כיום איזניק בטורקיה) שהוטל עליה מצור ב-14 במאי 1097. הצבא הסלג'וקי הגיע לאזור העיר וניסה לפרוץ את המצור, אך ללא הועיל והעיר נפלה לידי הצלבנים שמסרו אותה לאלכסיוס על פי השבועה שנשבעו לו. לאחר הקרב על ניקיאה המשיכו הצלבנים במסעם דרומה, וליד דוריליאום נתקלו בצבא הסלג'וקי בראשות המלך קיליץ'-ארסלן. כיוון שהצלבנים נעו בנפרד, ניצחון הסלג'וקים היה קרוב מאוד, ורק תגבורת שהגיעה בזמן הצילה את הצלבנים מתבוסה.
ייסוד הנסיכויות הצלבניות.
במקום לפנות דרומה לירושלים, הצלבנים המשיכו תחילה מזרחה לאֶדֶסָה, וכבשו אותה לאחר מצור של חמישה חודשים. בשלב זה הודיע אחד מהמנהיגים, בלדווין מבולון, שהוא סיים את תפקידו במסע הצלב. הוא הקים לעצמו רוזנות באדסה, והכתיר עצמו בתואר "הרוזן בלדווין הראשון מאדסה" (בהמשך יהפוך אותו בולדווין למלך ממלכת ירושלים). בהמשך התעלמו גם שאר הצלבנים משבועתם לאלכסיוס, ושמרו לעצמם את המקומות שכבשו.
היעד הבא היה העיר הגדולה אנטיוכיה (נמצאת בטורקיה של היום). הצלבנים כבשו אותה לאחר מצור של שבעה חודשים, שהתחיל כבר תוך כדי המצור על אדסה. אחד המנהיגים, בוהמון הראשון, נסיך אנטיוכיה, מודיע לחבריו: "כמו שעשה בולדווין באדסה, כך אני עושה כאן", והקים ביוני 1098 את נסיכות אנטיוכיה.
פלישה לארץ ישראל.
לאחר כיבוש אנטיוכיה פרצה בקרב הצלבנים מגפה קטלנית שהפילה חללים רבים. כתוצאה מהמגפה הייתה התעוררות דתית בקרב המחנה הצלבני, בעיקר של אותם אנשים משרידי מסע ההמונים, והם פנו לכיוון ירושלים (בסוף 1098).
הצלבנים עברו ליד צור, עכו, קאיפאס - (חיפה), קיסריה, ארסוף, שאת כולן הם עקפו מהצד. את יפו הם כבשו, כי היא הייתה הנמל הקרוב ביותר לירושלים באותה תקופה. למעשה יפו נכבשה ללא קרב, לאחר שהמוסלמים נטשו אותה.
הצלבנים כבשו את רמלה ולוד בדרכם לכיוון ירושלים. כאשר הגיעו לראש ההר שממנו הם ראו לראשונה את ירושלים, הם ירדו על ברכיהם ופצחו בזימרת המנוני שמחה, ומאז קוראים להר בשם "הר השמחה" (מוֹנט ז'וּאַ Montjoie). אף כי דרכם של הצלבנים אינה ברורה כל צרכה, הדעה המקובלת היא כי הם עלו במעלה בית חורון, ו"הר השמחה" הוא נבי סמואל.
כיבוש ירושלים.
מתוך 150,000 שיצאו מאירופה, הגיעו לא"י לא יותר מ-40 אלף (חלקם גם נשארו באדסה ובאנטיוכיה). ביוני 1099 הצלבנים פתחו בניסיון לכיבוש ירושלים בסגנונו של יהושע בן נון: התפללו, הקיפו את החומות שבע פעמים, תקעו בחצוצרות ושמו עפר על הראש. ניסיון זה לא צלח, והחומה לא נפלה.
ניסיון שני היה בטיפוס על החומה בעזרת סולמות בפינה הצפון-מערבית של החומה, באזור שנקרא לאחר מכן "מגדל טנקרד". לקראת הניסיון השלישי, החליטו הצלבנים לבנות מכונות מצור, אך גילו שאין עצים מתאימים באזור. במקביל הגיע צי גנואזי קטן ליפו. הצלבנים פירקו את הספינות והשתמשו בחומרי הבניה על מנת להרכיב את מכונות המצור.
מצבם של הצלבנים היה קשה. מספרם הצטמצם בעקבות המסע הארוך והקרבות, והם מצאו את עצמם בליבו של עולם מוסלמי עוין. בלחץ הזמן התארגנו הצלבנים למצור על העיר. ארבעה מחנות ניסו לפרוץ בארבעה מקומות לאורך החומה. אחד המחנות הוקם באזור שער הפרחים של היום, ועליו פקד גודפרואה מבויון ממרומי הקומה העליונה של מכונת המצור. ביום שבת 15 ביולי, חמישה שבועות לאחר תחילת המצור על העיר, הצליחו חייליו של גודפרואה להציב גשר עץ אל החומה, ודרכו הצליחו חייליו לחדור לעיר. לפי המסורת, שעת הפריצה היא 9:00 בבוקר. זוהי שעה בעלת משמעות דתית מבחינתם – היום והשעה שבה ישו עלה על הצלב. החיילים של גודפרואה פתחו את אחד השערים דרכו הסתער כוח נוסף בפיקודו של טנקרד הנורמני, וביחד הם כבשו את העיר.
הצלבנים טבחו בתושבים היהודים והמוסלמים. בית הכנסת היהודי הראשי הועלה באש וכל אלפיים היהודים שנמצאו בו נשרפו למוות, ומוסלמים רבים נהרגו במסגד אל-אקצא. ביומיים הבאים נמשך הטבח. חיילים ואזרחים, גברים נשים וילדים נטבחו בידי הכובשים. מי ששרד נמכר לעבדות.
כינון ממלכת ירושלים.
לאחר הכיבוש גילו הצלבנים שאין להם תוכניות להמשך, והתגלעו חילוקי דעות לגבי אופי הממלכה שעליהם להקים. לבסוף נבחר גודפרואה מבויון למלך על ממלכת ירושלים. גודפרואה הוא הדמות הפחות בולטת מבין המנהיגים, והוא נבחר כמועמד של פשרה, וכן בזכות העובדה שהוא היה הראשון לפרוץ אל העיר. גודפרואה נמנע מלשאת תואר מלך באומרו ש"אם ישו נשא כאן כתר קוצים, אני לא אשא כאן כתר מלכות", והוא בחר לעצמו תואר צנוע יותר "מגן הקבר הקדוש". הוא החזיק בתואר זה כשנה, עד שמצא את מותו תוך כדי מצור על העיר עכו.
קרב אשקלון.
ביום 4 באוגוסט 1099 הגיע לאשקלון צבא מצרי שיצא לעזרת ירושלים הנצורה והגיע באיחור של תשעה עשר ימים. למחרת היום, הגיעו לירושלים שליחים של המצביא המצרי ובידם דרישה כי הצלבנים ייסוגו מירושלים. בואם של השליחים אישר שמועה שנפוצה בירושלים על הופעת הצבא המצרי. לצלבנים לא הייתה כוונה - או יכולת - להסתגר מאחורי חומות ירושלים ולהסתכן במצור, וגודפרי מבויון החליט לקחת את היוזמה ולתקוף את הצבא המצרי. ביום 12 באוגוסט בשעות הבוקר המוקדמות החל הצבא הצלבני במתקפה, ומשניתן היה לראות את המחנה המצרי שחנה במרחק מה מהחומה הצפונית של אשקלון בשטח של עצי פרי - פרצו הפרשים בהסתערות קדימה, כשהם מפתיעים לחלוטין את אויביהם, שחלקם עדיין נמו באוהליהם. תוך זמן קצר חדל הצבא המצרי מלהוות כוח מסודר והקרב הוכרע. הצבא הצלבני הצליח בניצחון בקרב אשקלון להסיר את האיום המיידי על אחיזתו בארץ ישראל; הקרב הוא סיום הקרב על ירושלים וסיומו של מסע הצלב הראשון, וממלכת ירושלים נכנסה לשלב של התפשטות והתבססות שנמשכה עד לשנת 1110.
תוצאות המסע.
מבחינות רבות, מסע הצלב הראשון היה גם המוצלח שבהם. הצלבנים הצליחו להביס את הסלג'וקים ולקרוע מהמוסלמים שטחי אדמה גדולים, החשוב והנרחב בהם הפך לממלכת ירושלים.
בטווח הארוך יותר, מסע הצלב הראשון גרם למפגש בין התרבות האירופאית לתרבות המוסלמית, והיה לתחילתם של יחסי מסחר והפריה תרבותית הדדיים.
דטרמיננטה
באלגברה ליניארית, הדֵּטֶרְמִינַנְטָה של מטריצה ריבועית, היא סקלר התלוי ברכיבי המטריצה, ושווה לאפס אם ורק אם המטריצה אינה הפיכה. יתרה מזו, כאשר הדטרמיננטה של מקדמי מערכת משוואות ליניאריות שונה מאפס, נוסחת קרמר מחשבת ממנה ומהדטרמיננטה של מטריצה קרובה, את הפתרון היחיד של המערכת. את הדטרמיננטה מסמנים formula_1 או formula_2.
הדטרמיננטה היא פונקציה כפלית (), ובעלת משמעות גאומטרית: אם formula_3 היא מטריצה ריבועית בעלת מקדמים ממשיים, אז הדטרמיננטה שלה שווה לנפחו (המכוון) של המקבילון (במרחב האוקלידי ה-formula_4-ממדי), שקודקודיו הם עמודות המטריצה .
היסטוריה.
הדטרמיננטות מופיעות, בצורה לא מפורשת, כבר בלוחות חרס בבליים מן המאה השנייה לפני הספירה ואף לפני-כן, שם נעשה בהן שימוש לפתרון מערכות של שתי משוואות ליניאריות.
במאה ה-16 ניסח ג'ירולמו קרדאנו בעזרת דטרמיננטות את הפתרון למערכת של שתי משוואות בשני נעלמים; קרדנו הציג גרסה מוקדמת ולא מלאה של נוסחת קרמר, עבור מטריצות בגודל formula_5.
הנוסחה לדטרמיננטה של מטריצות גדולות יותר הופיעה באירופה וביפן בו זמנית, ב-1683. ביפן פרסם טאקאקזו סקי קווה (1642-1708) הסבר על חישוב הדטרמיננטה של מטריצות מספריות מסדר המגיע עד formula_6, לצורך פתרון של משוואות שונות. באותה שנה, הציג לייבניץ את הנוסחה הכללית לחישוב דטרמיננטה מסדר formula_7, במכתב למרקיז דה לופיטל.
נוסחת קרמר הופיעה לראשונה, עבור מטריצות בגודל formula_7, בספר שפורסם ב-1748, כשנתיים לאחר מות המחבר קולין מקלורן. שנתיים אחר-כך פרסם גבריאל קרמר מאמר שבו תיאר בנספח, ללא הוכחה, את הכלל הקרוי על-שמו עבור מטריצות בגודל כלשהו.
לגראנז' הציג את הפירוש של דטרמיננטה (מסדר formula_7) כאלמנט נפח, במאמר מ-1773 שעסק במכניקה. המונח דטרמיננטה מוצג לראשונה בספרו של גאוס על תורת המספרים; גאוס קרא לה כך משום שהיא קובעת (determines) את התכונות של התבניות הריבועיות שאותן חקר. עם זאת, הדטרמיננטה של גאוס אינה זהה להגדרה המקובלת היום. זו הופיעה בשם זה רק ב-1812, בעבודתו של קושי, שהוכיח לראשונה את הכלל החשוב formula_10.