ערכי עצרת גדולים מחושבים בדרך כלל באמצעות נוסחת סטירלינג, הנותנת קירוב של התוצאה. בתורת המספרים ובקומבינטוריקה נחוץ לעיתים חישוב עצרת לערכים גדולים מאוד. לשם כך נדרשת כתיבה של פונקציה מיוחדת, ונוצר צורך בבחירת אלגוריתם יעיל, כדי לקבל תוצאות תוך זמן סביר.
קרני רנטגן
קַרְנֵי רֶנְטְגֶּן (או קרני X) הן קרינה אלקטרומגנטית מייננת בעלת אורך גל בתחום 5 פיקומטר עד 10 ננומטר, הקרויה כך על שם הפיזיקאי שגילה אותה, וילהלם רנטגן.
שימושים של קרני רנטגן.
רפואה.
לקרינת רנטגן שימוש בתחומים רבים, אך בעיקר ידועה חשיבותן בתחום הרפואה, בזכות יכולתן לצלם איברי גוף פנימיים לשם בדיקתם. ב-1896 החלו רופאי השיניים להשתמש בקרניים לצורך תצלומי שיניים, וכירורגים השתמשו בהן לצורך מציאת שברים בעצמות המטופלים.
העצם, שבה יש ריכוז מינרלים גבוה, בולעת את הקרניים מופיעה בניגודיות גבוהה לעומת רקמות אחרות כשעוברות דרכה קרני רנטגן. כיום ניתן לצלם בסוגים שונים של צילום גם איברים פנימיים אחרים בנוסף לעצמות. כדי לצלם איברים כמו קיבה ומעיים, נותנים למטופל בבליעה חומר שאטומיו כבדים, כגון בריום, ולצורך צילום איברים כמו כליות או לב, נותנים למטופל חומרים כמו יוד, בהזרקה.
טכנולוגיות אחרות.
בדומה לשימוש בתחום הרפואי, ישנו יישום הנדסי לקרינת רנטגן - איתור סדקים בבדיקות לא הורסות במבנים, במטוסים וכדומה.
שימוש מדעי חשוב הוא בקריסטלוגרפיה, שבה תמונות העקיפה של קרני רנטגן שמוקרנות על גבישים, משמשות לפענוח מבנה הגביש.
שימוש אחר הוא שיקוף מזוודות של נוסעים לפני עלותם למטוס, לגילוי מטעני נפץ.
קרינת רנטגן טבעית.
גרמי שמיים אנרגטיים כגון, חורים שחורים וסופרנובות משחררים אנרגיה באורכי הגל של קרני רנטגן. טלסקופ החלל צ'נדרה נשלח לחלל כדי לחקור אותם כיוון שקרינה זו כמעט ואינה חודרת את האטמוספירה.
היסטוריה.
הרקע לגילוי קרני רנטגן.
בשנות החמישים של המאה ה-19 ערכו פיזיקאים גרמנים ניסוי בהעברת חשמל בריק. הם קבעו שתי לוחיות מתכת בשני קצותיה של שפופרת חתומה שנשאב ממנה, בקירוב, כל האוויר. לאחר מכן חיברו את שני קצותיה של השפופרת לסוללה חשמלית ובקצה השפופרת הקרוב ללוח השלילי (קתודה) הופיע זוהר ירוק. ב-1886 כונתה תופעה זו על ידי אויגן גולדשטיין בשם "קרני קתודה". ב-1892 גילה פיליפ לנארד שהקרניים יכולות לעבור דרך לוח אלומיניום דק, עד לכשמונה ס"מ באוויר.
התגלית.
וילהלם רנטגן גילה את קרני ה-X ב-8 בנובמבר 1895, במקרה. הוא עסק בבחינת שפופרת קתודית במעבדתו. רנטגן החליף את הלוחיות שעל שפופרת קרני הקתודה בנייר שחור ועבה, החשיך את החדר והפעיל את המכשיר ואז גילה כי בשעה שהמתח החשמלי בשפופרת מגיע לרמה מסוימת, גבוהה למדי, נפלטת מהשפופרת קרינה בעלת כושר חדירה גדול. רנטגן הופתע כאשר הבחין בזוהר על מרקע שנמצא שני מטרים מהמכשיר, והבין כי נתקל בסוג חדש של קרינה, חודרנית יותר מקרני הקתודה. מאחר שרנטגן תהה על מהותה של קרינה זו, שלא ידע מה פשרה, הוא קרא לה קרני X, וברבות הימים נקראה קרינה זו על שמו.
רנטגן המשיך בניסוייו וגילה שהקרניים חודרות גם דרך גושי עץ, מתכת ואפילו בשר אדם. בצילום הראשון בקרני X, רנטגן הניח את ידה של אשתו תחת המכשיר, ומכיוון שהעצמות והטבעת שעל ידה בלעו את הקרניים, חלקים אלה של לוח הצילום לא נחשפו ונותרו כהים. רנטגן לא ניסה להוציא פטנט על תגליתו, ולא היה מעורב בהמשך פיתוחה של טכנולוגיית קרני X. ב-1901 קיבל על תגליתו את פרס נובל הראשון לפיזיקה.
בשנת 1912 אישש מקס פון לאואה את ההשערה המקובלת אז בדבר טיבן האמיתי של קרני רנטגן. פון לאואה גילה שנוצרת עקיפה של גלי הרנטגן כאשר הן עוברות דרך גביש. כך הוא הוכיח כי קרני X הן קרינה אלקטרומגנטית, בדומה לאור, אבל באורכי גל הרבה יותר קצרים (5 פיקומטר עד 10 ננומטר).
קרני רנטגן נבלעות בקלות יחסית בחומרים בעלי צפיפות גבוהה ואטומים כבדים.
סנסציה מדעית.
קרני הרנטגן הפכו לסנסציה מדעית. נכתבו עליהן למעלה מאלף כתבות בעיתונות ומעל ל-60 ספרים ומאמרים. מגזינים פופולריים הפיקו כתבות על "הקרניים החושפניות" והמליצו לנשים ללבוש בגדי עופרת כדי להגן על עצמן מחשיפה לעיני "סוטים המחזיקים במכשירים עם קרני X". אולם הנזק הבריאותי של קרני הרנטגן התבהר מאוחר יותר. כך למשל, טכניקת השיקוף שבה נמשכת החשיפה לרנטגן מספר דקות, המשיכה לשמש ככלי אבחון ברפואה עד לשנות החמישים של המאה העשרים. הנזק שנגרם לרופאים אף עלה על הנזק שנגרם לנבדקים, שכן המסך שבו התבוננו הרופאים מדי יום במשך שעות רבות היה חשוף ישירות לקרני הרנטגן.
קישורים חיצוניים.
קרני X
פונקציה רציפה במידה שווה
בחשבון אינפיניטסימלי, פונקציה ממשית המוגדרת בקטע או קרן formula_1 היא רציפה במידה שווה שם, אם לכל formula_2 קיים formula_3 כך שאם formula_4 מקיימים formula_5, אז formula_6. כל פונקציה רציפה במידה שווה היא רציפה בכל נקודה בקטע, אבל ההפך אינו נכון. עם זאת, פונקציה רציפה בקטע סגור (וחסום) היא רציפה במידה שווה לפי משפט קנטור.
רציפות ורציפות במידה שווה.
ההגדרה של רציפות במידה שווה דומה במידה מטעה לזו של רציפות. ההבדל המהותי בין השתיים הוא שרציפות היא תכונה נקודתית (בכל נקודה, הפונקציה רציפה או שאינה רציפה, ואם היא רציפה בכל נקודה, אז היא רציפה בכל הקטע), בעוד שלרציפות במידה שווה אין משמעות בנקודה אחת - זוהי תכונה של הפונקציה בכל הקטע.
נזכיר שפונקציה היא רציפה בכל נקודה של קטע formula_1, אם:
בהגדרה הזו, בהינתן formula_14, הערך המתאים של formula_15 עשוי להיות תלוי בנקודה formula_16. לעומת זאת, אם על הפונקציה להיות רציפה במידה שווה, ל-formula_15 מותר להיות תלוי ב-formula_14 אבל לא ב-formula_16. אפשר לנסח הבדל זה בסדר הכמתים גם כך: הפונקציה רציפה אם כדי להבטיח ש-formula_20 יהיה קרוב ל-formula_21, די לדרוש ש-formula_22 יהיה קרוב ל- formula_23, אבל מידת הקרבה עשויה להיות תלויה בנקודה x; והיא רציפה במידה שווה אם מידת הקרבה בין formula_22 ל- formula_23 הדרושה על-מנת להבטיח מרחק מסוים בין formula_20 ל-formula_21 היא אחידה על-פני כל הקטע, ואינה תלויה ב-formula_23.
כמובן, כל פונקציה רציפה במידה שווה, מוכרחה להיות רציפה בכל נקודה של הקטע. משפט חשוב של קנטור קובע שבקטע סגור, גם ההפך נכון: אם פונקציה רציפה בכל נקודה של קטע סגור, אז היא רציפה שם במידה שווה. משום כך, רציפות במידה שווה היא תכונה מעניינת בעיקר בקטעים פתוחים ובקרניים אינסופיות כגון formula_29.
תנאים המבטיחים רציפות במידה שווה.
כאמור לעיל, על פי משפט קנטור, פונקציה רציפה בקטע סגור היא רציפה בו במידה שווה. בהינתן קטע פתוח סופי formula_30 שבו הפונקציה רציפה, תנאי מספיק והכרחי לכך שהפונקציה תהיה רציפה במידה שווה שם הוא שקיימים גבולות סופיים (חד-צדדיים) בנקודות הקצה של הקטע (משום שאז אפשר להשלים את הגדרת הפונקציה באופן רציף אל הקטע הסגור).
פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ היא רציפה במידה שווה. בפרט, פונקציה גזירה שהנגזרת שלה חסומה, היא רציפה במידה שווה. ההפך אינו נכון: הפונקציה formula_31 רציפה במידה שווה בקטע formula_32, אבל היא אינה מקיימת שם את תנאי ליפשיץ (והנגזרת שלה אינה חסומה בקטע).
דוגמאות.
הפונקציה f(x)=x.
הפונקציה formula_33 רציפה במידה שווה בכל הישר הממשי, משום שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ. נוכיח זאת לפי ההגדרה. יהי formula_34. נבחר formula_35, נקבל כי לכל formula_36 אם formula_37, אז formula_38 כלומר formula_39 כרצוי.
הפונקציה f(x)=x2.
נעיין בפונקציה formula_40 בקטע מהצורה formula_41. מאחר שהקטע formula_41 סגור, ניתן להסיק את הרציפות במידה שווה ישירות ממשפט קנטור.
נראה שפונקציה זו רציפה במידה שווה על-פי ההגדרה. יהי formula_34, ויהיו formula_44.
ראשית, נשים לב לכך ש-formula_45, ו-formula_46. על פי הערכה זו נבחר formula_47. ואכן (לפי אי-השוויון האחרון) לכל formula_48 יתקיים formula_49.
לעומת זאת, הפונקציה formula_50 אינה רציפה במידה שווה בקרן formula_51.
על מנת לעשות זאת, יש למצוא formula_52 שעבורו לא קיים formula_15 מתאים, כלומר, לכל formula_10 קיימים formula_55 כך ש-formula_56 אולם formula_57. נבחר formula_58, ויהי formula_59 כלשהו. עבור formula_60 יתקיים formula_61, בעוד ש-formula_62. לסיכום, עבור formula_58 לכל formula_59 קיימים formula_65 כך ש-formula_37 ובכל זאת formula_57, ולכן, הפונקציה formula_40 אינה רציפה במידה שווה בקטע formula_69.
הכללה למרחבים מטריים.
ניתן להרחיב את ההגדרה בקלות למרחב מטרי כלשהו, על ידי שימוש במטריקות של מרחב התחום ומרחב הטווח, במקום במרחק הרגיל ב-formula_111 (המרחק בין שתי נקודות formula_112 הוא formula_113).
משפט קנטור הטופולוגי קובע שפונקציה רציפה ממרחב מטרי קומפקטי formula_114 למרחב מטרי, היא רציפה במידה שווה. ההוכחה אינה קשה: יהי formula_2, אז לכל formula_23 בקבוצה קיים formula_117 כך שאם formula_118 אז formula_119; הכדורים formula_120 מכסים את המרחב, ולכן יש תת-כיסוי סופי, formula_121, ואפשר לבחור formula_15 להיות הערך הקטן ביותר של formula_123 מבין הכדורים המשתתפים בתת-הכיסוי. כעת אם formula_124 אז יש formula_125 שעבורו formula_126 ואז formula_127 ו-formula_128.
מרחבי Atsuji.