ב-16 באפריל 1945 פתחו הכוחות הסובייטיים במתקפה הסופית על ברלין. למרות התנגדות נואשת של הכוחות הגרמניים שהגנו על מרחב ברלין, הצליחו 3 החזיתות הסובייטיות שהשתתפו במבצע להבקיע את מערכי ההגנה, שהגנו על דרכי הגישה לברלין, והגיעו לפרברי העיר ב-21 באפריל. ב-25 באפריל הושלם כיתורה של ברלין על ידי כוחותיהם של ז'וקוב ושל קונייב, כשאדולף היטלר עודו בתוכה. הלחימה בתוך ברלין עצמה הייתה קשה וארכה כ-10 ימים, במהלכם ספגו הצדדים היריבים אבדות כבדות. רק ב-2 במאי, לאחר התאבדותו של היטלר, נכנעו שרידי הכוחות הגרמניים שהגנו על העיר. ב-9 במאי חתמו נציגי הפיקוד העליון הגרמני על הסכם הכניעה הרשמי, אך כוחות קבוצת ארמיות מרכז בצ'כוסלובקיה, המשיכו להילחם עד 11 במאי.
המלחמה נגד יפן.
לאחר סיום הלחימה באירופה הצטרפה ברית המועצות למלחמה נגד האימפריה היפנית כפי שהבטיח סטלין לרוזוולט ולצ'רצ'יל במהלך ועידת יאלטה. ב-8 באוגוסט 1945, יומיים לאחר הטלת הפצצה האטומית על הירושימה, הכריזה ברית המועצות מלחמה על יפן, וכוחותיה פתחו במתקפה גדולה על צבא קוואנטונג היפני בצפון סין. תוך פחות משבועיים השתלטו הכוחות הסובייטיים (שכללו שלוש חזיתות) על מנצ'וריה כולה, דרום סחלין והאיים הקוריליים, והנחילו לכוחות היבשה של הצבא היפני את התבוסה הגדולה ביותר שספגו במהלך המלחמה כולה. הכוחות היפניים המשיכו להתנגד להתקדמות הכוחות הסובייטיים גם לאחר הודעת הכניעה של קיסר יפן ב-15 באוגוסט. ב-2 בספטמבר במסגרת טקס הכניעה הרשמי של יפן, שנערך על סיפון אוניית המערכה האמריקנית מיזורי, נכנעו היפנים גם בפני ברית המועצות.
פשעי מלחמה של הנאצים בברית המועצות.
במהלך המלחמה ביצעו הצבא הגרמני וארגונים אחרים הקשורים למשטר הנאצי פשעי מלחמה רבים נגד אוכלוסייה אזרחית בשטחי ברית המועצות. על-פי ממצאי האקדמיה הרוסית למדעים, הצבא הגרמני היה אחראי באופן ישיר למותם של 7,420,379 אזרחים סובייטים, שנהרגו בהפצצות של ריכוזי אוכלוסייה, בהוצאות להורג המוניות של יהודים וקומוניסטים ובפעולות עונשין נגד אוכלוסייה אזרחית במסגרת הלחימה נגד הפרטיזנים בשטחים שנכבשו על ידי הגרמנים בברית המועצות. 2.5 מיליון יהודים מקורבנות השואה התגוררו בשטח ברית המועצות; 1.5 מיליון מתוכם הושמדו על ידי האיינזצגרופן, שקיבלו סיוע לוגיסטי ואחר מהוורמאכט. למספר זה יש להוסיף למעלה משני מיליון אזרחים סובייטים, שמתו מסיבות שונות, לאחר שגויסו לעבודת כפייה בגרמניה, כארבעה מיליון אזרחים, שמתו מהרעבה שיטתית וממחלות בשטחים הכבושים בברית המועצות, וכמיליון אזרחים שגוועו ברעב במהלך המצור הגרמני על לנינגרד. בסך הכל, 15-14 מיליון אזרחים סובייטיים נפלו קורבן, באופן ישיר או עקיף, לפשעי המלחמה של הנאצים ועוזריהם (יש לזכור, שעשרות אלפי, אם לא מאות אלפי אזרחים ושבויי מלחמה סובייטיים, מילאו תפקיד פעיל בהשמדת היהודים ובלחימה נגד הפרטיזנים בשטחים הכבושים בברית המועצות).
בנוסף לפשעים נגד האוכלוסייה האזרחית בברית המועצות, הצבא הגרמני והמשטר הנאצי היו אחראים גם לפשעי מלחמה נגד שבויי המלחמה הסובייטים. לפי הערכות שונות, בין 1.3 מיליון לשלושה מיליון שבויים סובייטים מתו או נרצחו במהלך תקופת השבי. חלקם הגדול מתו זמן קצר לאחר נפילתם בשבי, כתוצאה מהרעבה מכוונת ותנאים סניטריים תת-אנושיים ששררו במחנות השבויים. מאות אלפי שבויים נוספים נרצחו במחנות הריכוז הנאציים, או הוצאו להורג מיד לאחר נפילתם בשבי במסגרת פקודת הקומיסר. הפקודה התייחסה אמנם במקור רק לקומיסרים הפוליטיים, ששירתו ביחידות הצבא האדום, אך במהלך החודשים הראשונים של מבצע ברברוסה הורחבה ההגדרה, כך שכללה לא רק את פעילי המפלגה הקומוניסטית במסגרת הצבא, אלא את כל חברי המפלגה והקומסומול בשורות הצבא, וכן את השבויים ממוצא יהודי (שנחשדו מראש כמפיצי האידאולוגיה הבולשביקית).
לוקוס
רבנו גרשום מאור הגולה
חרם דרבנו גרשום
חרם דרבנו גרשום (בראשי תיבות: חדר"ג) הוא שם כולל למספר תקנות שתיקן רבנו גרשום מאור הגולה, מגדולי חכמי לותרינגיה וראש ישיבת מגנצא, בקהילות אשכנז, וגזר על הפרתן עונש של חרם.
כפי שעולה מתשובת הרשב"א שנכתבה בברצלונה יותר ממאתיים שנה אחר זמן רבנו גרשום, כבר אז היו ספקות לגבי איך, מי ומה בדיוק נתקן, ואם רבינו גרשם עצמו תיקן תקנות אלו או חלקן המיוחסות לו. בנוגע למספר תקנות ישנן מחלוקות רבות.
בתקופתו של רבנו גרשום וביוזמתו, התאספו רבים מקהילות אשכנז וראשיה על מנת לתקן תקנות דתיות הנוגעות לחיי החברה והמשפחה. עיקרן של התקנות עסק במבנה הנישואין, בעיקר כאלה הנוגעים למעמד האישה, בהתאמה לחברה בה חיו. התקנות עצמן לא נודעו במקורן, אלא מובאות בספרי הפוסקים המאוחרים יותר, בחלק מהמקורות הן מובאות באותה צורה, ובחלק מהם ישנם שינויים. מספר התקנות המרכזיות הוא עשר, ובמקורות אחרים הובאו עוד שש תקנות.
עניין החרם עצמו מוזכר בספרות התורנית המאוחרת לרבנו גרשום, ואין בידינו מקור אחיד מזמנו של רבנו גרשום. בין הרבנים שהזכירו את החרם: רש"י, רבנו ניסים, הרא"ש, רבי יוסף קארו ועוד, מהם מצדדים ומהם שמזכירים אותו ככזה שלא התקבל בכל קהילות ישראל.
מניעים להתקנת התקנות.
במהלך השנים הוצגו בדיעבד מניעים שונים להתקנתן של התקנות בנושאי הנישואין.
פירוט התקנות.
שלוש התקנות הידועות ביותר שמיוחסות לרגמ"ה הן:
נוסף על אלו, כלולות בחרם תקנות נוספות של רבנו גרשום, בהן:
אישות
בית כנסת
משפט וקהילה
שונות
במחקר.
יש שטענו כי התקנות העיקריות בענייני אישות אינן של רבנו גרשום עצמו, שכן יש מקורות שבהם תקנות אלו אינן מיוחסות לו, והדבר עדיין שנוי במחלוקת החוקרים. יצחק בער סבר שרק האיסור לשאת שתי נשים, הוא לבדו תקנה של רבנו גרשום, ואילו השאר לא.
פרופ' אברהם גרוסמן כותב על הרקע לתקנות האישות:
גרוסמן משער שיש קשר בין עליית מעמדם הכלכלי של היהודים לבין תחושת חובה שהרגישו לדאוג למעמד בנותיהם. דבר דומה אירע בחברה הנוצרית.
פרופסור זאב פלק שיער שהאיסור לשאת שתי נשים כלל לא תוקן על ידי רגמ"ה, אלא המונוגמיה חדרה לבתי ישראל באשכנז וצרפת בהדרגה, עד שבדור רבותיו של הראבי"ה, תלו את המנהג החדש בחרם שתוקן על ידי "רבם של כל חכמי אשכנז וצרפת", דהיינו רגמ"ה. לדבריו זהו מקרה של נוהג שנשמר על ידי חלק מהאוכלוסייה מרצונם וללא כפייה, אך אט אט פושט את צורתו החופשית ולובש צורת כלל חוקי והחלטי הקיים, כביכול, זה עידן ועידנים. כסימוכין לכך הוא הביא תשובות הלכתיות של רגמ"ה, העוסקות, בהקשרים שונים, בגברים הנשואים לשתי נשים; אך הרגמ"ה לא הסתייג מנישואיהם השניים ובדבריו אף ציטט את ההיתר התלמודי לישא מספר נשים.
מאידך, ד"ר שלמה אידלברג תירץ את תשובת רגמ"ה בהשערה שייתכן שהתשובה קדמה לחרם ולהתפשטותו, או שהנישואים השניים היו באחת הנסיבות בהן רגמ"ה לא אסרם.
תוקף התקנות בזמננו.
איסור נשיאת יותר מאישה אחת.
על פי ההלכה, לשיטת הספרדים ועדות המזרח, תקנה זאת מעולם לא התקבלה אצלם, אם כי הספרדים כיום נוהגים להתחייב בכתובה שלא לשאת אישה אחרת שלא ברשות בין דין. לשיטת הקהילות שקיבלו על עצמן את חרם דרגמ"ה, בעיקר קהילות אשכנז, יש שאומרים שגזירתו לא להתחתן עם שתי נשים הייתה רק עד סוף האלף החמישי העברי, דהיינו עד שנת 1239 לספירה, ומובא ברמ"א, אלא שכתב שלא נוהגים כן. יש שדחו טענה זאת ולדעתם התקנה עדיין בעינה, עם זאת לאחר עליית התימנים לארץ בעליית עליית אעלה בתמר, העלייה הראשונה והעלייה השנייה, הבינו התימנים כי בארץ לא מקובל לקדש שתי נשים, על כן דין זה נכנס לאיסור "עונתה", האומר שבעל מחויב לצורכי אשתו, וכיון שבארץ ישראל לא מקובל לקדש שתי נשים, זה נחשב באיסור זה. בקרב יהדות תימן תקנה זאת לא התקבלה מעולם, ויוצאי העדה המשיכו בפוליגמיה גם לאחר עלייתם לארץ ישראל.
לאחר קום המדינה, בשנת תש"י, החליטה מועצת הרבנות הראשית, שאיסור שתי נשים יחול על כל העדות בשווה.
חיזוק התקנות.
רבי יעקב תם חיזק את התקנות, והוסיף עליהן.
חיים זוננפלד
מטריצה רגולרית
מטריצה לא סינגולרית
מטריצה הפיכה
באלגברה ליניארית, מטריצה ריבועית תיקרא הפיכה אם קיימת מטריצה ריבועית אחרת, כך שמכפלתן היא מטריצת היחידה. שמות נוספים למטריצה הפיכה הם מטריצה רגולרית ומטריצה לא סינגולרית.
הגדרה פורמלית.
תהי formula_1 מטריצה מסדר formula_2. המטריצה תיקרא "הפיכה" אם קיימת מטריצה אחרת, שתסומן formula_3 ותיקרא המטריצה ההופכית של formula_1, כך שמתקיים formula_5, כאשר formula_6 היא מטריצת היחידה מסדר formula_2, בפעולת כפל מטריצות סטנדרטי.
מטריצה שאינה הפיכה תיקרא סינגולרית (או לא הפיכה).
דרכים למציאת מטריצה הפיכה.
קיימות מספר שיטות יעילות לחישוב מטריצה הופכית כשהנפוצות ביותר הן אלימינציית גאוס-ג'ורדן ושיטת ניוטון-רפסון.
דוגמאות.
מטריצות הפיכות.
לפי ההגדרה, כדי להראות שמטריצה מסוימת היא הפיכה, מספיק למצוא מטריצה נוספת כך שמכפלתן היא מטריצה היחידה. לכן, דוגמה טריוויאלית למטריצה הפיכה היא מטריצת היחידה עצמה, formula_6 .
דוגמה נוספת היא המטריצה:
מטריצות לא הפיכות.
מטריצת האפס היא לא הפיכה, כי תוצאת המכפלה של כל מטריצה עם מטריצת האפס היא שוב מטריצת האפס, ואף פעם לא formula_6. באופן כללי יותר, אם AB=0 (כאשר formula_12) אז A אינה הפיכה. זוהי תכונה כללית של הכפל בחוגים: מחלק אפס אינו יכול להיות הפיך. בחוג המטריצות מעל שדה מתקיים גם הכיוון ההפוך: אם A אינה הפיכה, אז יש formula_12כך ש-AB=0.
שיטות למציאת המטריצה ההפכית.
את המטריצה ההופכית של מטריצה הפיכה מסדר 2 ניתן להציג באופן כללי על ידי הנוסחה הבאה: