לתורת הקבוצות האקסיומטית ישנן גרסאות רבות השונות זו מזו באופן מהותי, אך המפורסמות שבהן הן שתיים: מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (ZF) - המכונה לעיתים מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל-סקולם (ZFS), ומערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל בתוספת אקסיומת הבחירה (ZFC). ארנסט צרמלו, מתמטיקאי גרמני, היה היוזם העיקרי של המערכת האקסיומטית המקורית ההיסטורית של תורת הקבוצות (מערכת זו מסומנת כרגיל באות Z הפותחת את שם-משפחתו); אברהם הַלֵוִי פרנקל, מתמטיקאי גרמני–ישראלי, (שהאות הראשונה של שם-משפחתו מיוצגת בשמה של המערכת המעודכנת יותר: ZF), הסיר מהמערכת המקורית של צרמלו את אקסיומת הבחירה (השנויה במחלוקת בשל אי היותה קונסטרוקטיבית), ואחר כך גם דאג לכך שאקסיומה אחרת של המערכת המקורית - אקסיומת ההפרדה - תוּמַר באקסיומה חזקה יותר (הגוררת את אקסיומת ההפרדה): אקסיומת ההחלפה; בעוד אשר תוראלף סקולם דאג לכך שלמערכת תתווסף אקסיומת היסוד (אם כי גם כיום היא לעיתים מושמטת - בהיותה מגבילה וכמעט-בלתי שימושית במקום להיות יצרנית כשאר האקסיומות).
פרט לשתי המערכות הללו, ידועה גם המערכת האקסיומטית המחליפה את אקסיומת הבחירה באקסיומה חזקה יותר (הגוררת את אקסיומת הבחירה): אקסיומת הרצף המוכללת, וכן ידועה מערכת אקסיומטית אחרת המחליפה את אקסיומת הרצף המוכללת באקסיומה חזקה עוד יותר (הגוררת את אקסיומת הרצף המוכללת ואת אקסיומת היסוד): אקסיומת הבנייה. כל המערכות הללו מבוססות (בצורה זו או אחרת) על המערכת Z, והן מתאפיינות בשני מאפיינים חשובים: כל אובייקט המטופל בהן - והאוסף לתוכו אובייקטים - הוא קבוצה, ושום אובייקט המטופל בהן אינו יכול לאסוף לתוכו את כל הקבוצות. בכך שונות המערכות הללו ממערכות אחרות, כגון: המערכת NBG של ג'ון פון נוימן (שמתיחדת בכך שלא כל אובייקט המטופל בה - והאוסף לתוכו אובייקטים - הוא קבוצה, כשבכך מתאפשר למערכת הזו לקיים - למשל - אובייקט שאוסף לתוכו את כל הקבוצות), והמערכות NF ו: ML שפותחו על ידי וילארד ואן אורמאן קוויין (ושמתיחדות בכך שהן מאפשרות למשל את קבוצת כל הקבוצות).
כמעט כל המערכות הידועות - להוציא את המערכת המקורית ההיסטורית Z של צרמלו - מתאפיינות בכך שכל איבר בקבוצה הוא בעצמו קבוצה. במערכות אלו, גם עצמים מתמטיים מוכּרים - כמו מספרים - נדרשים להיות מוגדרים בתור קבוצות.
להלן נדון בעיקר במערכת ZFC, בהיותה השימושית ביותר (והמקובלת ביותר) במתמטיקה.
שבע האקסיומות של ZFC רשומות להלן. במקורן נוסחו האקסיומות כמחרוזות של סמלים לוגיים בשפה לוגית נוקשה; להלן הן תוצגנה לפי משמעותן האינטואיטיבית בשפה בעברית. אקסיומת ההחלפה (כמו גם הגרסה המוחלשת שלה: אקסיומת ההפרדה) היא למעשה סכימה של אקסיומות, הכוללות אקסיומה לכל הצהרה.
במקור, צרמלו הוסיף שלוש אקסיומות נוספות, אשר בדיעבד התברר כי הן נובעות מתוך חמש האקסיומות הראשונות הקודמות:
אם מוסיפים למערכת ZFC את שלוש האקסיומות האחרונות הנ"ל של צרמלו, וממה שמתקבל מסירים את אקסיומת היסוד ואת אקסיומת ההחלפה (וכן מרשים שלא כל איבר שבקבוצה יהיה בעצמו קבוצה), אז מתקבלת המערכת המקורית ההיסטורית (Z) של צרמלו.
הערות:
יורו
ייצוג בינארי של אותיות
אתאיזם
אַתֶאִיזְם הוא דחיית האמונה בקיומן של ישויות אלוהיות. במובן הצר של המילה, אתאיזם הוא העמדה המפורשת שישויות אלוהיות אינן קיימות, ובהגדרה רחבה יותר – היעדר אמונה בקיום הישות "אלוהים" או ישויות אלוהיות. במובן המילולי, אתאיזם הוא היעדר תאיזם, ולכן מנוגד בדרך כלל לתאיזם. אתאיזם מתחלק לגישה גנוסטית לפיה אין אל או אלים, ולגישה אגנוסטית לפיה בהיעדר ראיות אין סיבה להאמין, אך אינה מתחייבת לגבי קיום או אי קיום האל.
גישה נוספת שמתמקדת בהיעדר היכולת לדעת אם אלוהים קיים או לא ולכן לא מעוניינת לקחת עמדה לגבי קיומו או אי-קיומו של האל, נקראת אגנוסטיות.
דיון הגדרתי.
ההגדרה והסיווג של "אתאיזם" אינם אחידים, ואנשים שונים משתמשים בהגדרות שונות. ביטוי ההגדרה נסוב סביב נושאים כגון אילו ישויות יוגדרו כאלים (למשל, האם פאנתאיזם, בו מתייחסים לאלוהים וליקום כאל היינו הך או לישות מורכבת בעלת תודעה, הוא סוג של אתאיזם? האם האל חייב להיות אל אישי, המתעסק בגורלם של בני האדם?); האם זו אמונה בפני עצמה או היעדר כל אמונה בנושא; והאם כדי להיות אתאיסט יש צורך בדחייה מודעת של האל (האם אדם שמעולם לא שמע או חשב על אלים יחשב אתאיסט?). יש הסכמה רחבה לפיה האתאיזם נוגד את האגנוסטיות, הסוברת שלא ניתן (לעת עתה או אי-פעם) להחליט בקשר לקיומה של אלוהות, אך יש אתאיסטים המגדירים עצמם גם כסוג של אגנוסטיים (ראו אתאיזם אגנוסטי). בעוד שקיימת הסכמה מוחלטת שהאתאיזם נוגד את התאיזם, חלוקות הדעות לגבי הדאיזם.
פילוסופים הנגידו בין אתאיזם חיובי (פוזיטיבי)/חזק/קשה, לבין אתאיזם שלילי (נגטיבי)/חלש/רך/אגנוסטי. אתאיזם חיובי הוא האמונה המפורשת בכך שלא קיימים אלים. אתאיזם שלילי כולל את כל שאר ההשקפות שאינן תאיסטיות. יש המבדילים בין אתאיסטים לפי מודעותם להיותם כאלה. "אתאיזם מפורש", הכולל את האתאיזם החיובי, משמעו שהדוגל בו מודע להיותו אתאיסט – הוא מכיר את המושג "אל" ואת המשמעות הכללית שלו, אך דוחה את קיומו. זאת בניגוד ל"אתאיזם מרומז" (או, "אתאיזם כברירת מחדל"), שהוא דחייה לא מודעת של אלים, והוא כולל בין השאר אנשים שמעולם לא פגשו את הרעיון, ובדרך כלל גם תינוקות שטרם למדו על המושג, אם כי יש המסתייגים מסיווג תינוקות תחת קטגוריה של אתאיזם, בין אם בטענה שדווקא אגנוסטיות היא ברירת המחדל, ובין אם בטענות אחרות. מבקרים רבים טוענים שרק אתאיזם מפורש הוא באמת אתאיזם, ואתאיזם מרומז הוא רק היעדר אמונה נגדית (במקום דחייה שלה).
בכל הנוגע לשימושים יומיומיים במונח, לעיתים משתמשים בביטוי "אתאיזם" לתיאור עמדות דומות או לגרסאות נפוצות שלו, דוגמת נטורליזם מטאפיזי, אתאיזם אנטיתאיסטי (הרואה בתאיזם דבר שלילי ומזיק, ולא רק שגוי) ואתאיזם חזק.
יש המשווים אתאיזם לחוסר דת, אך קיימות דתות כמו הינדואיזם, ג'ייניזם, בודהיזם, ויקה ואחרות, אשר לפחות זרם מקובל אחד שלהן אינו מחייב אמונה באלוהות, לכן ייתכנו בקרב חסידיהן גם אתאיסטים.
לפי הגדרה של ריצ'רד דוקינס, ״אתאיסט הוא פשוט מישהו שמרגיש כלפי יהוה את מה שכל נוצרי הגון מרגיש כלפי ת'ור או בעל או עגל הזהב... כולנו אתאיסטים לגבי רוב האלים בהם האמינה האנושות אי פעם, חלקנו פשוט מוסיפים עוד אל אחד לרשימה״
אטימולוגיה.
ביוונית עתיקה, משמעותו של שם התואר "אָתֵאוֹס" ("ἄθεος", מהקידומת "א-", שמשמעותה "לא" או "אַל", ומ"תאוס" – "אֵל") הייתה "חסר-אל". בתחילה שימש התואר ככינוי גנאי המתאר אדם לא מוסרי וחסר כבוד לאלים. במאה ה-5 לפנה"ס החלה המילה לציין כפירה יותר מכוונת, במשמעות של ניתוק היחסים עם האלים או דחייה שלהם. אחר כך הגיע המונח "ἀσεβής", ששימש כנגד אלו שהכחישו או הפגינו חוסר כבוד לאלים המקומיים, גם אם האמינו באלים אחרים. תרגומים מודרניים של טקסטים עתיקים מתרגמים לעיתים "אתאוס" ל"אתאיסטי". המונח היה בשימוש נרחב בדיונים של הנוצרים הראשונים וההלניסטים, כאשר כל צד ייחס אותו בזלזול לצד השני.
המונח האנגלי "atheist" (מצרפתית: "athée"), במשמעות של "אדם הדוחה את קיומו של אלוהים", הופיע לראשונה ב-1566. מילים באותו שדה סמנטי הופיעו מאוחר יותר: "deist" (דאיסט) ב-1621, ו-"theist" (תאיסט) ב-1662. בתקופות אלו המילה "דאיסט" כבר החזיקה במשמעות המודרנית שלה, והמילה "תאיסט" באה לסתור אותה.
הסופרת קארן ארמסטרונג כתבה: "במאות ה-16 וה-17, המילה 'אתאיסט' עדיין הייתה שמורה לפולמוסים בלבד… המונח 'אתאיסט' היה עלבון. אף אחד לא חלם על לכנות את עצמו 'אתאיסט'." באמצע המאה ה-17 עוד הייתה שגורה ההנחה שבלתי-אפשרי לא להאמין באלוהים; "אתאיזם" היה אי-קבלה של התפיסה המערבית של האלוהות.
השימוש הראשון של "אתאיזם" לתיאור עצמי הופיע בסוף המאה ה-18 באירופה, לתיאור חוסר אמונה באלוהי הדתות האברהמיות. במאה ה-20 תרם תהליך הגלובליזציה להרחבת המונח לכלול חוסר אמונה באלים, ולא רק באלוהות מונותאיסטית, אם כי לעיתים עדיין מקובל בתרבויות מערביות להגדיר "אתאיזם" כ"חוסר אמונה באלוהים".
שכיחות האתאיזם.
קיים קושי לאמוד את מספר האתאיסטים בעולם. כאמור, המשיבים לסקרים עלולים להגדיר "אתאיזם" בצורה שונה זה-מזה. אדם יכול להגדיר עצמו כהינדי וכאתאיסט בו זמנית. כמו כן, בשל היחס הקיצוני שנוקטות מדינות מסוימות כלפי האתאיזם (כגון מדינות אסלאם קיצוני מחד, ומדינות קומוניסטיות מאידך) עלולים אנשים רבים להסתיר את דעתם האמיתית בנושא. עובדות אלו, בנוסף לקושי לבצע אומדן לעמדה שאין לה מסגרות חברתיות ברורות, מטילות ספק כבד בכל ניסיון לאמוד את מספר האתאיסטים, ומחקרים שונים עלולים להגיע לתוצאות שונות מאוד.