ישנן שתי דרכים נפוצות להמחיש את המשפט במקרה הדו-ממדי (n=2). דרך אחת היא לקחת כדור ים, להוציא ממנו את האוויר, למעוכו, לעוותו ולשטחו על הרצפה. משפט בורסוק-אולם קובע שהיו שתי נקודות מנוגדות זו לזו (אנטיפודיות) על הכדור המנופח שכעת נמצאות זו על גבי זו על הרצפה. דרך שנייה להמחיש את המשפט היא לומר שבכל רגע נתון יש על פני כדור הארץ שתי נקודות אנטיפודיות שיש בהן אותה טמפרטורה ואותו לחץ אוויר. זאת בהנחה שטמפרטורה ולחץ אוויר משתנים באופן רציף על פני הכדור.
קל להשתכנע בנכונות המקרה האפס-ממדי והמקרה החד-ממדי. במקרה האפס-ממדי המשפט טוען שפונקציה רציפה מהקבוצה formula_1 לקבוצה formula_2 מעבירה נקודות אנטיפודיות לאותה נקודה. במקרה הזה זה נכון באופן טריוויאלי גם ללא דרישת הרציפות. במקרה החד-ממדי המשפט טוען שפונקציה רציפה ממעגל (שאפשר להניח ללא הגבלת הכלליות שהוא מעגל היחידה) לישר הממשי מעתיקה זוג נקודות אנטיפודיות לאותו מספר. אם נניח בשלילה ש-formula_3 היא פונקציה רציפה שסותרת את המשפט, אז לכל זוג נקודות אנטיפודיות formula_4 מתקיים formula_5. לכן הפונקציה formula_6 רציפה. אולם פונקציה זו יכולה לקבל רק את הערכים formula_7 והיא מקבלת את שניהם בכל זוגות נקודות אנטיפודיות (formula_8), בסתירה למשפט ערך הביניים.
גרסאות המשפט.
למשפט בורסוק-אולם גרסאות רבות שכולן נכונות וכולן שקולות זו לזו. נביא כמה מהן:
נוכיח כי כל הגרסאות שקולות:
הוכחות.
ידועות הוכחות רבות למשפט בורסוק-אולם. ההוכחה הסטנדרטית עושה שימוש בהומולוגיה. ידועות גם הוכחות קומבינטוריות, למשל באמצעות הלמה של טאקר השקולה למשפט בורסוק-אולם.
סקיצה של הוכחה הומולוגית.
נתאר כאן גישה הומולוגית להוכחת משפט בורסוק-אולם (גרסה (3) שלו). נניח בשלילה כי formula_45 העתקה אנטיפודית. אם מזהים את המרחב הפרויקטיבי formula_46 כמרחב מנה של הספירה formula_18 על ידי זיהוי נקודות אנטיפודליות, זיהוי זה משרה העתקה formula_48. ניתן להראות כי ההעתקה formula_49 בתורה משרה איזומורפיזם של החבורות היסודיות המתאימות. ההומומורפיזם הוא זה המושרה מפנקטור החבורה היסודית, וניתן להראות כי הוא איזומורפיזם על ידי שימוש בכך שהחבורה היסודית של המרחב הפרויקטיבי נוצרת על ידי איבר יחיד, והעתקה זו מעבירה יוצר ליוצר.
עבור המקרה formula_50 ההוכחה מסתיימת כאן, כי ידוע formula_51 ולכן מתקבלת סתירה. עבור formula_52, ניתן להראות כי מושרה איזומורפיזם על חוגי הקוהומולוגיות של המרחבים הפרויקטיביים המתאימים. הסתירה מתקבלת על ידי שימוש בעובדה הלא-טריוויאלית כי המבנה החוגי של הקוהומולוגיה במקדמים מהשדה בעל שני האיברים formula_53 של המרחב הפרויקטיבי, הוא formula_54.
סקיצה של הוכחה גאומטרית.
נתאר כאן גישה גאומטרית להוכחת משפט בורסוק-אולם (גרסה (2) שלו). תהי formula_55 פונקציה אנטיפודית. תהי formula_56 ההטלה צפון-דרום המוגדרת לפי formula_57. נסתכל על המרחב formula_58 - פני השטח של "גליל" שבסיסו הספירה formula_18 (גאומטרית, הוא משוכן במרחב formula_60). נגדיר פונקציה formula_61 לפי formula_62. על בסיס הגליל formula_63. ככל שעולים במעלה הגליל F משתנה באופן ליניארי מ-f ל-g עד שבסיס העליון formula_64. מכיוון ש-f ו-g אנטיפודיות F מקיימת formula_65 (כלומר היא אנטיפודית על כל חתך שמקביל לבסיס).
נניח בשלילה ש-f לא מתאפסת. נחקור את הקבוצה formula_66 המורכבת מכל הנקודות ב-X שעוברות ל-0. אם formula_3 מתנהגת "נחמד" מספיק, מצופה שהקבוצה הזו תורכב מעקומות (יריעות חד-ממדיות) המטיילות על פני הגליל (האפסים של formula_68 מתווים קו רציף כש-t משתנה). העקומות הללו צריכות להיסגר על עצמן או שנקודות הקצה שלהן נמצאות על הבסיסים. ל-formula_42 יש שני אפסים בדיוק: הקוטב הצפוני והדרומי: formula_70. ל-f אין אפסים כלל. לכן העקומה שיוצאת מהקוטב הצפוני של הבסיס העליון (שחייבת להסתיים בנקודת קצה אחרת על בסיס) חייבת להסתיים בקוטב הדרומי של הבסיס העליון. אולם formula_66 היא קבוצה סימטרית תחת אנטיפודיות (formula_72 אם ורק אם formula_73), ולכן העקומה שמטיילת מהקוטב הצפוני לדרומי עושה זאת באופן סימטרי על פני הגליל, מה שבבירור לא ייתכן.
כדי להשלים את ההוכחה לטיעון ריגורוזי יש להראות שכל פונקציה f ניתן לשנות קצת באופן שיהפוך אותה ל"נחמדה" בלי לייצר אפסים חדשים.
שימושים.
מסקנה מיידית מהמשפט היא שהספירה ה-n-ממדית אינה הומאומרפית לתת-מרחב של המרחב האוקלידי ה-n ממדי.
משפט נקודת השבת של בראואר, הקובע שלכל פונקציה רציפה formula_74 יש נקודת שבת, נובע בקלות ממשפט בורסוק-אולם. נניח בשלילה של-formula_3 אין נקודת שבת. אז לכל formula_76 הקרן היוצאת מ-formula_77 לכיוון formula_78 מוגדרת היטב. נסמן ב-formula_79 את הנקודה על שפת הכדור formula_17 דרכה עוברת הקרן. formula_81 היא העתקה רציפה ששומרת על איברי formula_82 במקומם (רטרקט) ובפרט אנטיפודית על formula_82, בסתירה לגרסה (4) של משפט בורסוק-אולם.
משפט נוסף הנובע ממשפט בורסוק-אולם הוא משפט הכריך (Ham sandwich theorem) הקובע כי ניתן לחצות n מסות במרחב ה-n ממדי לשני חצאים שווי מסה באמצעות על-מישור יחיד. משפט זה מאפשר לפתור את בעיית חלוקת השרשרת בקומבינטוריקה.
ב-1978 הוכיח לסלו לובאס את השערת קנזר בתורת הגרפים באמצעות משפט בורסוק-אולם. הוכחה מפתיעה זו נחשבת להולדתו של תחום הקומבינטוריקה טופולוגית שמנצל כלים טופולוגיים לפתרון בעיות קומבינטוריות.
כולל ווהלין - ירושלים
גל בלוך
היקום הנצפה
היקום הנצפה הוא חלק היקום הכולל את כל מה שניתן לצפייה מכדור הארץ בזמן הנוכחי. היות שלאור, לקרינה אלקטרומגנטית ולסיגנלים אחרים לוקח זמן להגיע לכדור הארץ, ומכיוון שהיקום מתרחב, היקום הנצפה גדל עם הזמן. בהנחה שהיקום איזוטרופי, המרחק לקצה היקום הנצפה הוא בערך שווה לכל כיוון ומכאן שהיקום הנצפה הוא בצורת כדור שהצופה, בכל מקום, נמצא במרכזו. בכל מקום ביקום יש לצופה הנמצא בו "יקום נצפה" משלו, שיכול לחפוף במידה זו או אחרת את היקום הנצפה מכדור הארץ.
למרות שגיל היקום מוערך ב-13.8 מיליארד שנה, היקום הנצפה הוא בגודל 46.5 מיליארד שנות אור וזאת בשל התפשטות המרחב יחד עם האור היוצא מהעצמים שבו, כך שאנו יכולים לראות עצם שנמצא במרחק 46.5 מיליארד שנות אור אף שגילו הוא כגיל היקום.
היקום הנצפה כולל מאות מיליארדי גלקסיות שבכל אחת מהן מאות מיליארדי כוכבים, וכן חומר אפל ואנרגיה אפלה.
העצם המרוחק ביותר שהתגלה עד כה ביקום הוא GN-z11, גלקסיה מוסחת לאדום שהתגלתה בשנת 2016. על פי מדידת ההסחה לאדום של ספקטרום הגלקסיה, היא מתרחקת במהירות של כ-295,050 ק"מ בשנייה, קרוב ל-98.5% ממהירות האור.
אברהם מקוב
אברהם מָקוֹב (1918 – מרץ 1981) היה מראשי התעשייה הצבאית ומבכירי הפיתוח שלה, חתן פרס ביטחון ישראל למפעל חיים ושני פרסים נוספים לפיתוחים טכנולוגיים.
ביוגרפיה.
מקוב נולד ב-1918 בוולקוביסק שבפולין. אם סבו, בתיה מקוב, הייתה מחלוצות העלייה הראשונה וממייסדי המושבה רחובות. מצד אמו, דבורה לבית זקהיים (זקה"ם), היה מצאצאיו של ר' ישראל מרוז'ינוי, שמת על קידוש השם ב-1659. אביו, אלכסנדר מקוב, היה בעל בית מסחר לאריגים ובתים בוולקוביסק ובביאליסטוק. המשפחה הייתה אמידה. מקוב התחנך בגימנסיה עברית בעירו, ולאחר מכן נסע ללמוד הנדסת אלקטרוניקה בננסי שבצרפת. בפרוץ מלחמת העולם השנייה בספטמבר 1939 שהה בחופשה אצל משפחתו בפולין. עלה בידו להמשיך את לימודיו באוניברסיטת לבוב בעת שהייתה תחת שליטת ברית המועצות, אולם נאלץ להפסיקם לאחר כיבוש העיר על ידי גרמניה הנאצית ב-1941. אביו נהרג על ידי פולנים בפרעות שפרצו בעיר; יתר בני משפחתו נספו לאחר האקציה הראשונה בביאליסטוק.
מקוב עצמו הצליח להימלט, ונדד דרומה דרך הקרפטים לרומניה, שם נאסר, אך הצליח להשתחרר בעזרת יהודים שהיו בקשרים עסקיים עם אביו, ולבסוף הגיע לארץ ישראל.
מקוב סיים לימודי הנדסת חשמל בפקולטה להנדסת חשמל בטכניון, תוך שהוא מתפרנס מעבודות זמניות. ב-1947 גויס לארגון ההגנה והצטרף לתע"ש. ב-1954 מונה למנהל המעבדה המרכזית והוביל שורה ארוכה של מחקרים ופיתוחים שהניבו פתרונות למערכת הביטחון וכן ייצואם ושיווקם ברחבי העולם. ב-1966 התמנה בנוסף לסגן מנהל תע"ש.
מקוב זכה בפרס ביטחון ישראל ב-1961 על פיתוח מוצרי חימוש, ב-1969 על פיתוח פצצת פיצוח מסלולים (פפ"ם) שפיתוחה הסתיים ב-1966 וששימשה את חיל האוויר בהצלחה במבצע מוקד. בנוסף זכה מקוב לציון לשבח מוועדת הפרס על פיתוח תחמושות מתקדמות לטנקים.
היה נשוי למלכה לבית כהן מזבלודובה, ואב לבן, רון.
אברהם מקוב נפטר לאחר מחלה ב-1981, בגיל 63.
הובא למנוחות בבית העלמין בבנימינה.
לאחר מותו הוענק לו פרס ביטחון ישראל למפעל חיים.
קיריל שצ'ולקין
קיריל שצ'ולקין (ברוסית: Кирилл Иванович Щёлкин; 17 במאי 1911 – 8 בנובמבר 1968) היה פיזיקאי סובייטי, מראשי המפתחים של הנשק הגרעיני בברית המועצות.
שנותיו הראשונות.
קיריל שצ'ולקין נולד בטביליסי (אז בתחומי האימפריה הרוסית, כיום בירת גאורגיה). כאשר קיריל היה בן שבע המשפחה עברה להתגורר למחוז סמולנסק. בשנות ה-20 של המאה ה-20 לאור מצבו הבריאותי של האב המשפחה עברה לחצי האי קרים. בשנת 1932 קיריל ש'צולקין סיים את לימודי פיזיקה באוניברסיטה בעיר סימפרופול. לאחר סיום לימודי האוניברסיטה קיריל ש'צולקין עבר לעבוד במכון למחקר פיזיקאלי בלנינגרד.