וקטורים בדרך כלל מיוצגים באמצעות חץ מעל הווקטור,formula_3, או בגופן מודגש (bold), formula_4.
גודל וכיוון.
גודלו של הווקטור נקרא גם הנורמה שלו ומסומן כ-formula_5 או גם כ-formula_6 ללא סימון נוסף אם אין אפשרות להתבלבל. כוון הווקטור נקרא גם וקטור יחידה, כיוון שגודלו שווה ל-1, ומסומן כ-formula_7. (הערה: הסימון לגודלו של וקטור הוא אותו סימון של ערך מוחלט, זאת כיוון שמספר ממשי הוא מקרה פרטי של וקטור בממד אחד, שגודלו הוא הערך המוחלט של המספר).
גודל של וקטור צריך לקיים את שלוש האקסיומות שמקיימת נורמה:
כתיבה ברכיבים.
מקובל לסמן כל ממד באמצעות וקטור יחידה. היטל של הווקטור על אחד מכוונים אלה הוא הרכיב של הווקטור באותו כוון או ממד.
לדוגמה במערכת צירים קרטזית במרחב תלת ממדי, וקטורי היחידה הם:formula_14.
ייצוג לפי רכיבים של הווקטור formula_3 במרחב זה מקובל בשתי דרכים:
הייצוג לפי רכיבים מקושר לגודל הווקטור באמצעות:
חיבור וקטורים.
ניתן לחבר וקטורים בצורה גאומטרית או בצורה אלגברית.
בצורה הגאומטרית יש 2 דרכים שקולות:
בשיטה האלגברית רושמים כל וקטור כרכיבים, ומחברים רכיב רכיב:
כפל בסקלר.
כפל וקטור בסקלר הוא פעולה פשוטה, באופן אלגברי
מבחינה גאומטרית זה שקול למתיחת הווקטור פי formula_24 (אם formula_25 ה"מתיחה" היא למעשה כיווץ הווקטור). אם כופלים את הווקטור בסקלר שלילי, בנוסף למתיחתו או כיווצו, כיוונו מתהפך.
מכפלות של וקטורים.
ב-formula_1 מוגדרות עוד שתי מכפלות, שהארגומנטים שלהן הן וקטורים.
מכפלה סקלרית היא מכפלה המקבלת שני וקטורים ומחזירה סקלר, כלומר: formula_27. אפשר להגדירה בשתי גישות. בגישה האלגברית, אם formula_28 ו-formula_29 אזי
בגישה הגאומטרית, ההגדרה היא formula_31 כאשר formula_32 היא הזווית בין הווקטורים. ניתן להראות שהגדרה זו שקולה להגדרה האלגברית. מבחינה אינטואיטיבית, מכפלה סקלרית מחשב את גודל ההיטל של וקטור אחד על וקטור אחר, והיא מקרה פרטי של הטלה. דוגמה למכפלה סקלרית בפיזיקה היא הנוסחה לחישוב העבודה על גוף במהלך פעולת כוח עליו ( formula_33 ).
מכפלה וקטורית היא מכפלה המקבלת שני וקטורים ומחזירה פסאודו-וקטור, כלומר: formula_34. גם אותה ניתן להגדיר בשתי גישות: בגישה האלגברית, אם formula_28 ו- formula_29 אזי
בגישה הגאומטרית המכפלה מוגדרת להיות פסאודו-וקטור שגודלו הוא formula_38 כאשר formula_32 היא הזווית בין הווקטורים, וכיוונו נקבע לפי כלל יד ימין (בכל מקרה, הוא ניצב למישור הנפרש על ידי formula_19 ו-formula_18. מבחינה אלגברית, כלל יד ימין מבוטא על ידי ההגדרה formula_42. גם כאן ניתן להראות שההגדרות שקולות. מבחינה גאומטרית, מכפלה וקטורית מחשבת את השטח של מקבילית שצלעותיה הן a ו-b, ומחזירה וקטור נורמלי למשטח זה, שגודלו כגודל שטח המקבילית. דוגמה למכפלה וקטורית בפיזיקה היא הנוסחה לחישוב גודל הכוח המגנטי הפועל על חלקיק טעון הנע במהירות formula_43 בשדה מגנטי formula_44 ( formula_45 ).
וקטורים וקינמטיקה.
אחד השימושים הנפוצים ביותר בפיזיקה לווקטורים הוא תיאור התנועה של גוף במרחב. הווקטור הבסיסי ביותר הוא וקטור המקום, שמתאר את קואורדינטות המקום ביחס לראשית (נקודת האפס) של מערכת הצירים במערכת צירים קרטזית.
וקטור המהירות הוא השינוי בווקטור המקום חלקי הזמן שעבר:
מאותה סיבה, גם התאוצה היא וקטור ובגלל החוק השני של ניוטון נובע שגם הכוח הוא וקטור. לכן, וקטורים משמשים לתאר שדות כוח במרחב. השדה הווקטורי הידוע ביותר הוא השדה האלקטרומגנטי ובייחוד השדה החשמלי האלקטרוסטטי שקל יחסית לתיאור מתמטי ופיזיקלי.
כדי לנתח שינוי בגדלים וקטוריים פותח תחום המשלב אנליזה מתמטית, אלגברה ליניארית וחשבון אינפיניטסימלי. תחום זה נקרא אנליזה וקטורית.
וקטור פולרי ווקטור אקסיאלי.
הגדרה.
וקטור פולרי נבדל מוקטור אקסיאלי (נקרא גם פסאודו-וקטור) בהתנהגות תחת טרנספורמציית שיקוף.
וקטור אקסיאלי, או פסאודו-וקטור, הוא וקטור שזוכה ל"היפוך סימן" ביחס לווקטור הפולרי כאשר הוא עובר טרנספורמציית שיקוף.
מנקודת מבט מתמטית ניתן להגדיר וקטור אקסיאלי במרחב וקטורי formula_48 בתור איבר במכפלה הטנזורית formula_49 כאשר formula_50 הוא ישר האוריינטציות על formula_48
הדגמה.
ניקח גליל שמסתובב סביב צירו נגד כיוון השעון ושציר הסימטריה שלו מתלכד עם ציר z. אנו טוענים כי המהירות הזוויתית של נקודה על הגליל היא פסאודו-וקטור. נשקף את הגליל במראה המשקפת את ציר x. ניתן לתרגם פעולה זו לנוסחה הבאה:
אם ברגע מסוים, מצב המהירות והמיקום של פס אדום על שפת הגליל ישתנה, ובמערכת המשוקפת רק המיקום של הפס ישתנה, הטרנפורמציה למערכת המקורית תהיה:
מסקנה.
כיוון המהירות הזוויתית, שהיה במערכת המקורית בכיוון ציר z, יהיה במערכת המשוקפת בכיוון השלילי של ציר z: formula_54.
מסקנה זו ניתן להסביר גם באופן אינטואיטיבי: אם נסובב גליל כנגד כיוון השעון, כשנסתכל במראה נראה שהגליל מסתובב עם כיוון השעון שהוא הכיוון ההפוך מהכיוון בו אנו באמת מסובבים את הגליל.
ההגדרה של וקטור המהירות הזוויתית היא:
וקטור המהירות הזוויתית, שלא היה אמור להשתנות בהשפעת טרנספורמציית השיקוף מפני שהוא בכיוון z והטרנספורמציה לא משנה וקטור בכיוון זה, עבר שינוי סימן נוסף.
שינוי הסימן הנוסף היא תכונה המאפיינת את הפסאודו-וקטורים. גדלים רבים בפיזיקה הם פסאודו-וקטורים. כמעט כולם הם גדלים שמוגדרים באמצעות מכפלה וקטורית, כגון תנע זוויתי או שדה מגנטי. למעשה, הפסאודו-וקטור הנפוץ והיומיומי ביותר הוא הכיוונים ימין ושמאל שאנו משתמשים בהם באופן קבוע. מאחר שהימין מוגדר ביחס לשני וקטורים אחרים, ברגע שאחד מהם עובר שיקוף המתבטא בהיפוך כיוון ובשינוי סימן, גם הווקטור השני משנה את סימנו - אף על פי שהוא לא משוקף באופן ישיר.
אופרטור וקטורי.
במכניקת הקוונטים, בה גדלים פיזיקליים מיוצגים על ידי אופרטורים הרמיטיים, שלשת אופרטורים formula_56 תקרא אופרטור וקטורי אם מתקיימים יחסי החילוף הבאים בינה ובין אופרטורי התנע הזוויתי formula_57:
formula_58
מטר
מֶטֶר (באיות הלטיני הבין-לאומי:metre; מסומן בקיצור m; מיוונית: μέτρον, מֵטְרוֹן - מידה) הוא יחידת המידה התקנית למדידת מרחק (אורך) במערכת היחידות הבינלאומית, SI. הגדרתו העדכנית של מטר אחד, התקפה מאז שנת 1983, היא המרחק שעובר האור בריק במשך זמן של 1/299,792,458 שנייה.
המטר הוא הבסיס של השיטה המטרית למדידת גודל פיזיקלי כמו היחידה למדידת שטח - מטר רבוע, היחידה למדידת נפח - ליטר, והיחידה למדידת משקל - גרם.
היסטוריה.
במקור הוגדר המטר בשנת 1793 על ידי האקדמיה הצרפתית למדעים כחלק ה-10,000,000 של המרחק על פני כדור הארץ מהקוטב הצפוני עד לקו המשווה לאורך המרידיאן של פריז. ב-7 באפריל 1795 אימצה צרפת את המטר כיחידה הרשמית למדידת מרחק. חוסר ודאות בנוגע לדיוקה של מדידת המרחק לפיו נקבע המטר, הוביל את הלשכה הבינלאומית למידות ולמשקלות להגדיר מחדש את המטר בשנת 1889 כמרחק בין שני פסים על מוט מסוים העשוי מסגסוגת של פלטינה ואירידיום. המוט נשמר ב-Sevres, פרוור של פריז.
בשנת 1960, בעקבות פיתוח הלייזר, שונתה ההגדרה פעם נוספת בכנס ה-11 למידות ולמשקלות. על פי הגדרה זו המטר הוא אורכם בריק של 1,650,763.73 אורכי גל של קו הפליטה הכתום-אדום של האיזוטופ קריפטון-86. ב-1983 הגדיר מחדש הכנס הכללי למידות ומשקולות את המטר כמרחק שעובר האור בריק, בזמן של 1/299,792,458 שנייה. משום שעל פי הידוע מהירות האור בריק היא קבועה, הגדרה זו עקבית יותר מההגדרות הקודמות, שהתבססו על מדידת היקף כדור הארץ או על אורכו של מוט מתכת מסוים. יתרון נוסף של הגדרה זו הוא שהיא יכולה להימדד בדיוק רב בהרבה מאשר המרחק בין שתי נקודות, או היקף כדור הארץ. בנוסף, אין ערובה שארכו של מוט מתכת או היקף כדור הארץ נשמרים ללא שינוי: למשל ידוע שמוט המתכת מתפשט ומתכווץ, ואפילו בהיקף כדור הארץ עלולים לחול שינויים זעירים עם הזמן.
כפולות.
לכפולות ולחלוקות של המטר ניתנו שמות על פי התחיליות במערכת היחידות הבינלאומית הנהוגות במדע.
על-פי עקרון אי-הודאות, המרחק הקצר ביותר שניתן למדידה קרוי אורך פלאנק, וערכו הוא .
ההוביט
ההוֹבִּיט, או לשם ובחזרה (באנגלית: The Hobbit, or There and Back Again) הוא ספר פנטזיה מאת ג'ון רונלד רעואל טולקין. הספר עוסק במסעו של ההוביט בילבו באגינס יחד עם חבורת גמדאים, במטרה לשחרר את ממלכתם האבודה מאחיזתו של דרקון בשם סמאוג.
הספר מיועד בעיקר לילדים, אך נקרא על ידי בני כל הגילאים. בדומה לספר הרפתקאות אליס בארץ הפלאות, נולד ספר זה מסיפור בהמשכים שנהג הסופר, טולקין, לספר לילדיו. הספר יצא לאור לראשונה ב-21 בספטמבר 1937 בממלכה המאוחדת ובשנים 1976, 1977 ו-2012 יצאו שלושה תרגומים שונים לעברית בישראל.
בין השנים 2012-2014 יצא עיבוד קולנועי בן שלושה פרקים לספר, מאת פיטר ג'קסון.
עלילה.
המסע.
בילבו בגינס, יושב הפלך הרגוע והשלו, נדחף למסע הרפתקאות על ידי הקוסם גנדלף, המצרף אותו לחבורה של 13 גמדים, הכוללת את דאולין, באלין, פילי, קילי, דורי, נורי, אורי, אואין, גלואין (אביו של גימלי), ביפור, בופור, במבר ובראשם תורין צינת-אלון, היוצאים עם גנדלף אל ממלכתם העתיקה.