דֶּאוּטֶרְיוּם (או דיטריום), הידוע גם בשם מימן כבד, הוא איזוטופ יציב (אינו רדיואקטיבי) של מימן. גרעין הדאוטריום, הנקרא דאוטרון, מכיל פרוטון אחד ונייטרון אחד (ראו תמונה), וזאת בניגוד לגרעין הנפוץ יותר של מימן המכיל רק פרוטון אחד ללא נייטרון. סמלו הכימי של הדאוטריום הוא 2H או D.
כמעט כל הדאוטריום ביקום נוצר במהלך המפץ הגדול לפני 13.8 מיליארד שנים, ביחס של 26 אטומי דאוטריום לכל מיליון אטומי מימן.
רובו הדאוטריום קשור לאטום מימן רגיל בגז הנקרא "מימן-דאוטריום", וקיימות רק בכמויות זניחות של גז דאוטריום, שסמלו הכימי הוא 2H2 או D2.
מבחינה כימית הדאוטריום מתנהג באופן דומה למימן, והשינויים העיקריים מתבטאים באנרגיות ובאורכי קשר. מים כבדים שבהם יש אטום דאוטריום במקום אטום מימן, מתנהגים באופן דומה למים רגילים.
דאוטריום מופק בעיקר ממי ים. המדינה המובילה בהפקת דאוטריום היא קנדה, ומספקת אותו בעיקר בצורת מים כבדים. החברה לאנרגיה אטומית של קנדה (AECL) משתמשת במים הכבדים שהיא מייצרת להאטת נייטרונים בכור גרעיני מסוג קנדו.
שימושים.
הדאוטריום שימושי בתהליכי היתוך גרעיני, במיוחד אם מעורב עם טריטיום. בתהליך ההתכה הגרעינית מתרכב הדאוטריום עם הטריטיום ליצירת הליום ובתהליך זה משתחררת אנרגיה רבה.
בכימיה ובמיוחד בביוכימיה משתמשים בדאוטריום כעוקב אחר איזוטופים שאינם רדיואקטיביים בתגובות כימיות, וזאת היות שמבחינה כימית, הוא מתנהג כמימן, אך עדיין ניתן לזהות את מיקומו לעומת מימן על ידי בדיקה פשוטה בספקטרומטר מסות או בספקטרומטר תת-אדום.
היסטוריה.
איזוטופי יסודות קלים (כמו ניאון) נצפו עוד בשנת 1913 ואף הוכחו על ידי ספקטרומטר מסות בשנת 1920. התאוריה העיקרית באותו זמן הייתה כזו שהסבירה את קיום האיזוטופים על ידי "מספר שונה של אלקטרונים גרעיניים". התאוריה טענה, שמשום שמימן נמדד במסה אטומית ממוצעת קרובה מאוד ל-formula_1 ומשום שגרעינו נחשב לבנוי מפרוטון אחד (שנתגלה זה מכבר), הוא אינו יכול להכיל "אלקטרונים גרעיניים", ולכן, הוא חסר איזוטופים.
הראשון שטען לקיום הדאוטריום היה וולטר ראסל בשנת 1926. הוא נתגלה לראשונה על ידי הרולד יורי בשנת 1931 מאוניברסיטת קולומביה. יורי מצא את הדאוטריום על ידי בדיקה ספקטרומטרית של 5 ליטרים מימן נוזלי. מתוך 5 הליטרים, מצא יורי עקבות זעירות של תוצאה ספקטרומטרית שונה שהצביעה על מיקום הדאוטריום. יורי קבע את שמו מן המלה היוונית והלטינית ל"שניים", כיוון שמסת הדאוטריום היא 2, בעוד שמסת המימן היא 1.
למידע נוסף לגבי היסטוריית הײצור ושימוש של דאוטריום ראו: מים כבדים.
אנטי-דאוטריום.
אנטי-דאוטריום הוא אנטי-חומר של איזוטופ הדאוטריום. בדומה לאנטי-פרוטון, זהו איזוטופ של אנטי-מימן המכיל בגרעינו אנטי-פרוטון ואנטינייטרון. גרעין האנטי-דאוטריום נחשב לאנטי-חומר הראשון שנוצר מלאכותית, במאיץ החלקיקים של CERN ב-1965. אטום שלם, עם פוזיטרון סביב הגרעין, לא יוצר עדיין, נכון לשנת 2008. סמלו של האנטי-דאוטריום דומה, אך יש בו סימן מינוס, כדי לזהותו כאנטי-חומר.
דאוטריום בתרבות.
תגובת חומר עם אנטי-חומר (דאוטריום עם אנטי-דאוטריום) הם הבסיס לתנועה במהירות גבוהה ממהירות האור בסדרה מסע בין כוכבים (וויאג'ר, אנטרפרייז). לפי תורת היחסות הכללית, התגובה שבין חומר ואנטי-חומר מייצרת אנרגיה בנצילות תאורטית של 100% ולכן, בסדרות אלו, דאוטריום ואנטי-דאוטריום משמשים כדלק כדי להגיע למהירויות אלו.
משוואה דיפרנציאלית
במתמטיקה, משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה הנעלם הוא פונקציה, כאשר המשוואה מתארת תלות בין הפונקציה ונגזרותיה. למשוואות דיפרנציאליות שימוש רב בתחומי המדע וההנדסה השונים.
משוואה דיפרנציאלית רגילה היא משוואה שבה הפונקציה היא פונקציה של משתנה יחיד, בניגוד למשוואה דיפרנציאלית חלקית, שבה הפונקציה היא פונקציה בכמה משתנים, והנגזרות הן נגזרות חלקיות.
למשל formula_1 היא משוואה דיפרנציאלית רגילה שפתרונה הוא כל פונקציה מהצורה formula_2 (אקספוננט) כאשר formula_3 מספר קבוע.
סיווג משוואות דיפרנציאליות.
משוואות דיפרנציאליות מסווגות על פי שני קריטריונים עיקריים: סדר ומעלה.
מעלת המשוואה היא החזקה (המעריך) הגבוהה ביותר של הפונקציה הנעלמת, המופיעה בה. הסדר הוא סדר הנגזרת הגבוהה ביותר של הפונקציה.
שימוש במשוואות דיפרנציאליות.
למשוואות דיפרנציאליות יש שימושים בכל תחומי המדע: פיזיקה, הנדסה, ביולוגיה, כלכלה ומטאורולוגיה. הסיבה לכך היא שלרוב אנו יודעים לכתוב משוואה המתארת את החוק שלפיו משתנה האובייקט שאותו אנחנו חוקרים: לדוגמה, מיקום או מהירות של חלקיק, טמפרטורה של נקודות שונות במרחב, ביקוש והיצע של מוצרים, וכן הלאה. משוואות כאלה הן לרוב משוואות דיפרנציאליות, ולכן הן צצות ועולות בכל תחום מדעי שבו מנסים לתאר את העולם בכלים מתמטיים.
דוגמאות למשוואות דיפרנציאליות בתחומים שונים:
פתרון משוואה דיפרנציאלית.
ככלל, פתרון משוואה דיפרנציאלית עשוי להיות מורכב. אין שיטה כללית לפתרון של משוואה כזו, ולעיתים ניתן להגיע רק לקירוב של הפתרון ולא לפתרון עצמו.
עם זאת, לסוגים מסוימים של משוואות יש שיטות מתודיות לפתרונן. ברוב המקרים הבעיה של מציאת פתרון למשוואה דיפרנציאלית הופכת לבעיה של מציאת אינטגרל לפונקציה כלשהי, אם כי גם מציאת אינטגרל אינה שיטתית ולא תמיד ניתנת לביצוע. פתרונות הנתונים על ידי אינטגרל, גם אם לא פתור, יכולים להיות שימושיים מאוד, וניתן לחשב את ערכם המקורב לכל צורך מעשי.
כדי להקל על כתיבת המשוואה מסומנות בדרך כלל הפונקציות (ונגזרותיהן) באות בודדת בלבד.
פתרון משוואה דיפרנציאלית רגילה ליניארית מסדר ראשון.
באופן כללי, משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון היא משוואה מהצורה formula_4 כאשר המשתנה בפונקציה שלנו הוא formula_5. אם formula_6 אזי הפונקציה ידועה ואין צורך להמשיך. (אומרים ש- formula_6 אם מתקיים שלכל x בתחום, formula_8)
לכן, נניח כי formula_9. לכן, מותר לחלק ב- formula_10 ולקבל משוואה מהצורה formula_11.
נסמן formula_12 ונקבל משוואה מהצורה: formula_13 ולכן כשנרצה לפתור משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון, נסתכל על הצורה הזאת.
דוגמה:
נרצה לפתור את המשוואה formula_14
נכפיל את 2 האגפים ב- formula_15 ונקבל: formula_16
אך אגף שמאל הוא בדיוק שווה ל- formula_17 ולכן נקבל:
formula_18
formula_19
formula_20
ואכן, לכל formula_21 שנבחר, הפונקציה שתתקבל פותרת את המשוואה.
כעת, נרצה למצוא דרך לכל המשוואות הדיפרנציאליות הליניאריות מסדר ראשון.
שיטה אחת היא, בדומה לדוגמה, למצוא פונקציה formula_22 כך שכשנכפיל את כל המשוואה בה, נקבל באגף שמאל את הנגזרת של formula_23 ואז רק נשאר לבצע אינטגרציה על 2 האגפים ולקבל formula_24 ומשם לחלק ב- formula_22 ולהגיע לפתרון. השאלה היא מהי אותה formula_22.
נראה כי אנחנו בעצם דורשים: formula_27 (חיפשנו פונקציה שע"י כפל שלה במשוואה, נקבל את הנגזרת של (הפונקציה כפול y))
נראה כי formula_28 ולכן בהכרח מתקיים formula_29 ולכן formula_30. מכאן נגיע לתוצאות הבאות:
formula_31
ואכן, כפל המשוואה בפונקציה זאת, תמיד יגרום לנו לקבל באגף שמאל נגזרת של formula_32 וכל מה שנשאר לעשות זה אינטגרציה וחילוק ב- formula_33.
משוואות דיפרנציאליות
קרקוב
קרקוב (בפולנית: Kraków, , בפולנית נהגה השם: קְרָקוּף; בגרמנית: Krakau) היא העיר השנייה בגודלה בפולין ואחת מעריה העתיקות של המדינה. העיר, שהוקמה במאה ה-7, שוכנת על גדות נהר הוויסלה. היא הייתה בירת פולין בשנים 1038–1596, ובירת דוכסות קרקוב הגדולה בשנים 1846–1918. כיום היא משמשת כבירת מחוז פולין קטן.
קרקוב היא עד היום אחד ממרכזי המדע, התרבות והאמנות של פולין. לאור ההיסטוריה שלה, נשארה העיר כמרכז הרוחני של המדינה. היא משמשת אטרקציה חשובה לתיירים מקומיים וזרים, ובשל מגוון אתרי המורשת הנמצאים בה הכריז עליה אונסק"ו בשנת 1978 כאתר מורשת עולמית.
אטימולוגיה.
נהוג לזהות את מקור שמה של העיר במייסד האגדי שלה, הנסיך קרקוס (Karkus, Krak, Grakch), שהיה שליט של שבט פולני. עם זאת, אזכורו הראשון של הנסיך קרקוס מופיע בשנת 1190, שנים רבות לאחר ייסודה של העיר. יש המייחסים את שם העיר למילה הפרה-סלאבית "krakula", שמתייחסת למשפט, או למילה הפרה-סלאבית "krak", שמשמעותה "אלון", הנחשב לעץ קדוש.
שמה הרשמי המלא של העיר הוא עיר הבירה המלכותית קרקוב (בפולנית: Królewskie Stołeczne Miasto Kraków), אך שם זה משמש רק באירועים טקסיים.
בעברית היה נפוץ בעבר כתיב שמה של העיר בצורה קראקא.
היסטוריה.
ימי הביניים.
הממצאים הארכאולוגיים בגבעת ואוול מעידים על התיישבות אנושית בקרקוב כבר בתקופת האבן, אך מקובל שהעיר נוסדה במאה ה-7. לפי האגדה נוסדה העיר על ידי הנסיך קרקוס הנ"ל שבנה אותה מעל למערה בה התגורר הדרקון של ואוול (Smok Wawelski). האזכור הראשון של העיר בכתובים מיוחס ליהודי אברהם בן יעקב אשר ציין ב-985 כי העיר היא מרכז מסחרי חשוב, ונבנו בה מבני לבנים, כולל טירת ואוול, וכנסיות רומנסקיות. משנת 1038 החלה העיר לשמש כבירת פולין.