מכאן מסיקים כי אם formula_216 אז למכפלה formula_217 יש המשכה אנליטית לחצי המישור formula_218. לכן מכיוון שמקדמי הטור formula_206 הם חיוביים, הלמה של לנדאו גוררת שטור זה מתכנס כאשר formula_218. זה מוביל לסתירה כי:
formula_221
הוכחה אלמנטרית.
ההוכחה האלמנטרית מתבססת על שיערוך הטור
formula_222
כאשר formula_223 גדול.
ראשית מקבלים חסם מלרע:
formula_224
לאחר מכן משתמשים בפירוק
formula_225 המבוסס על הפירוק
formula_226
ובשיטת ההיפרבולה של דיריכלה כדי לקבל שיערוך אסימפטוטי של הסכום
formula_227 לשם כך יש לקבל את השיערוכים האסימפטוטיים הבאים:
formula_228
formula_229
formula_230
כאשר formula_231 קבוע מתאים.
כל אלה נותנים את השיערוך
formula_232
כך שאם formula_216 זה מוביל לסתירה עם החסם מלרע.
המקרה הלא ממשי.
קל למדי להתאים את ההוכחה שמשתמשת באנליזה מרוכבת לכל קרקטר formula_127. ההוכחה האלמנטרית נהיית מסורבלת בהרבה אם מנסים להתאימה לקרקטר כללי, כך שהדבר לא נעשה מכיוון שהוא מיותר.
הוכחות אלגבריות.
כאמור, אין הוכחות אלגבריות לחלוטין למשפט דיריכלה. אולם ישנן הוכחות הדומות באופיין להוכחות האלגבריות למעלה להתבדרות formula_193, או באופן שקול לעובדה שיש הרבה ראשוניים המקיימים formula_198. היתרונות בהוכחות האלגבריות הוא שהן מפורשות יותר ונותנות נוסחה מפורשת לערך formula_145 כאשר formula_127 הוא קרקטר ממשי. נוסחה זאת נקראת נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה.
גישה אלמנטרית.
הרעיון הוא למצוא פולינום כך שחלק ניכר מהמחלקים הראשוניים של ערכיו (בנקודות שלמות) יקיימו formula_198. אולם הפעם לא די בכך, מכיוון שאנו צריכים שלפולינום יהיו די ערכים כדי לגרור את התבדרות הטור המתאים. לכן זה צריך להיות פולינום במספר משתנים, מכיוון שקבוצת הערכים של פולינום לא ליניארי ממשתנה אחד דלילה מידי.
מתברר שהפולינום המתאים הוא formula_240 כאשר formula_241 מספר שלם מסוים התלוי בformula_127 (עד כדי כפל בסימן וב-2 זה המנחה של formula_127). הנקודה המרכזית בחלק זה של ההוכחה היא הלמה הבאה:
למה זאת איננה פשוטה כלל, והוכחתה משתמשת בהדדיות ריבועית. עם זאת ניתן להוכיח אותה בצורה אלמנטרית ואלגברית לחלוטין.
כדי להשלים את ההוכחה, די להראות כי יש אחוז חיובי של מספרים מהצורה formula_244 עד גודל formula_141 מסוים. אינטואיטיבית הדבר די ברור. הרי אם formula_246 הם בטווח formula_247 אז מספר האפשרוית ל formula_244 הוא כ-formula_249 והם כולם קטנים (בערכם המוחלט) מ- formula_250. אולם מכיוון שהפולינום formula_40 איננו פונקציה חח"ע זאת אינה הוכחה. כדי לקבל הוכחה יש לחסום את מספר הזוגות השונים שנותנים את אותו הערך בהצבה ל-formula_40. בפרט יש להבין את פתרונות המשוואה
formula_253
כאשר formula_241 חיובי זאת משימה קלה מאוד. כאשר formula_241 שלילי, משוואה זאת נקראת משוואת פל וניתוחה מצריך עבודה מסוימת.
ניתן להביא טיעון זה לידי הוכחה ריגורוזית, אך הדבר קשה מבחינה טכנית. הוכחתו המקורית של דיריכלה הייתה לאורך קווים אלו. דדקינד פיתח שיטה אלגנטית ופשוטה להציג טיעון זה באמצעות כלים מתקדמים יותר מתורת המספרים האלגברית.
גישה המשתמשת בתורת המספרים האלגברית.
בהינתן שדה מספרים formula_51 (ז.א. הרחבה סופית של formula_37), ניתן להגדיר את חוג השלמים בו formula_258 להיות חוג כל איברי formula_51 המהווים שלמים אלגבריים. פונקציית זטא של דדקינד של השדה formula_51 מוגדרת כך:
formula_261כאשר הסכום הוא על כל האידיאלים ב formula_258.
דדקינד הוכיח כי (עד כדי מודיפיקציה קלה) פונקציה זאת שווה לפונקציה formula_263 עם בוחרים את formula_51 להיות הרחבה ריבועית מסוימת של formula_37 המתאימה ל-formula_127. טענה זאת היא גרסה מתקדמת של הלמה למעלה, והוכחתה משתמשת בפריקות יחידה לאידיאלים בחוגי דדקינד ובהדדיות ריבועית.
כעת נותר להוכיח את ההתבדרות של formula_267 בנקודה 1. לשם כך נשים לב ש: formula_268
כאשר הסכום הוא על כל האידיאלים הראשיים ב formula_258 (ז.א. אידיאלים הנוצרים על ידי איבר אחד). לכן די להוכיח ש:
formula_270
קל לרארת ש:
formula_271 כאשר formula_272 הוא הערך המוחלט של נורמת גלואה של formula_6. כמו כן, קל לראות ש formula_274 אם"ם formula_275 כאשר formula_276 מסמן את חבורת האיברים ההפיכים ב formula_258. מכאן מקבלים ש:
formula_278
במקרה ש formula_279 היא הרחבה ריבועית החוג formula_258 איזומורפי כחבורה אבלית לסריג formula_281. הפונקציה formula_282 היא (ערך מוחלט של) פונקציה ריבועית על סריג זה. החבורה formula_276 היא חבורה סופית (במקרה שההרחבה formula_279 היא מרוכבת) או חבורה ציקלית חופשית המתוארת על ידי משוואת פל (במקרה שההרחבה formula_279 היא ממשית). לכן קל למדי להראות את התבדרות הטור formula_286 ובכך לסיים את הוכחת המשפט.
ניתן גם לנתח באופן מדויק את האסימפטוטיקה של formula_287 כאשר formula_288. לשם כך יש להעריך את היחס formula_289. במילים אחרות צריך להבין מהוא חלקם של האידיאלים הראשיים מתוך כלל האידיאלים. חלק זה נמדד באמצעות חבורת המחלקה שגודלה נקרא מספר המחלקה של formula_51. מכיוון שהאסימפטוטיקה של formula_287 כאשר formula_288 קשורה בקשר ישיר לערך formula_145, אנו מקבלים נוסחה הקושרת ערך זה למספר המחלקה. נוסחה זאת נקראת נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה. נוסחה זאת גוררת באופן מידי את אי-ההתאפסות formula_152
הערות:
המקרה הלא ממשי.
ניתן להתאים את ההוכחות האלגבריות למקרה הלא ממשי. את מקומה של ההרחבה הריבועית formula_51, תתפוס ההרחבה הציקלוטומית formula_305. פונקציית זטא של דדקינד של הרחבה זאת נותנת (לאחר מודיפיקציה קלה) את הפונקציה formula_306 שהוגדרה מעלה, שהיא מכפלת כל פונקציות ה-formula_29 של דיריכלה עם קרקטרים בעלי מנחה formula_7. טענה זאת נובעת מפריקות יחידה לאידיאלים ראשוניים בחוג דדקינד, בדומה לטענות למעלה. במובן מסוים טענה זאת פשוטה יותר מכיוון שאיננה משתמשת בהדדיות ריבועית. דבר זה אינו מפתיע, מכיוון שאחת ההוכחות של ההדדיות הריבועית משתמשת בסכום גאוס המראה שניתן לשכן כל הרחבה ריבועית להרחבה ציקלוטומית. כך שאם מלכתחילה אנו עובדים עם הרחבה ציקלוטומית חלק זה נחסך מאיתנו.
כדי להשלים את ההוכחה בגישה זאת, נותר להראות שפונקציית זטא של דדקינד של הרחבה ציקלוטומית מתבדרת ב formula_92. למעשה פונקציית זטא של דדקינד של כל שדה מספרים מתבדרת ב formula_92. ההוכחה של טענה זאת דומה להוכחה למקרה של הרחבה ריבועית, אך מסובכת יותר, מכיוון שבמקום ניתוח משוואת פל יש לנתח את חבורת האיברים ההפיכים בחוג השלמים בשדה מספרים כללי. ניתוח זה מהווה את משפט היחידות של דיריכלה.
גם כאן ניתן לקבל מידע מדויק יותר לגבי האסימפטוטיקה של פונקציית זטא של דדקינד ב formula_92. ספציפית עבור כל שדה מספרים formula_51 אפשר להביע את הגבול formula_313 באמצעות מספר המחלקה של formula_51 ואינווריאנטים נומריים נוספים של formula_51. קשר זה נקרא נוסחת המחלקה של דדקינד. בשונה מהמקרה הריבועי, הגבול formula_313 איננו ערך של פונקציית formula_29 מסוימת. אולם אם formula_51 הרחבה ציקלוטומית אז גבול זה שווה (עד כדי מודיפיקציה קלה) למכפלה
formula_319
באופן מפורש יותר אפשר לסכם את הגישה הזאת באמצעות הלמה הבאה:
הפולינום formula_40 הוא למעשה נורמת גלואה בחוג השלמים של הרחבה ציקלוטומית. זה פולינום מסובך למדי אך מפורש לחלוטין.
מלמה זאת קל להסיק את הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה עבור הסדרה החשבונית formula_157. כאמור גרסה זאת גוררת את משפט דיריכלה באופן כללי.
נשים לב כי הפולינום formula_40 מההוכחה האלגברית האלמנטרית למעלה הוא צימצום של הפולימום formula_40 כאן, לישר. כך שההוכחה כאן היא למעשה הרחבה של הארגומנט האלמנטרי עבור משפט דיריכלה לסדרה החשבונית formula_157 כך שיתן גם חסם כמותי יעיל על צפיפות דיריכלה של הראשוניים על סידרה זאת.
סיכום.
ניתן לתאר את רוב ההוכחות השונות לפי הסכמה ההבאה:
מגיש טלוויזיה
אלכסנדר יעקובסון
אלכסנדר יעקובסון (נולד ב-5 באוקטובר 1959) הוא היסטוריון ישראלי, פרופסור חבר להיסטוריה עתיקה באוניברסיטה העברית בירושלים, פעיל פוליטי ופובליציסט.
ביוגרפיה.
אלכסנדר יעקובסון נולד במוסקבה ב-1959, ועלה לישראל עם הוריו בהיותו בן 13. למד את כל לימודיו הגבוהים מהתואר הראשון עד לשלישי באוניברסיטה העברית. קיבל תואר ראשון בהיסטוריה ובמדע המדינה בשנת 1985, קיבל תואר שני ב-1989, עבודת המאסטר עסקה ביחס הקיסרים הרומיים לקודמיהם והיא נערכה בהדרכת הפרופסורים חנה כותן ויוסי גייגר. למד לדוקטורט בשנים 1990–1994, נושא עבודת הדוקטורט שלו היה: "בחירות, מערכות בחירות, ותפקודן של אסיפות הבחירות ברפובליקה הרומית המאוחרת." והיא נערכה בהדרכת הפרופסורים חנה כותן וישראל שצמן. בשנים 1994–1995 עשה פוסט-דוקטורט באוניברסיטת קלן. מונה למרצה להיסטוריה עתיקה באוניברסיטת חיפה ב-1995, שם לימד עד שנת 1997. מונה למרצה להיסטוריה עתיקה באוניברסיטה העברית ב-1998, מונה למרצה בכיר עם קביעות בהיסטוריה עתיקה (בחוג להיסטוריה) באוניברסיטה העברית בשנת 2000. בשנת 2011 מונה לפרופסור חבר להיסטוריה עתיקה באוניברסיטה העברית.