האניטה בישרה את תחילת הקץ: המכונה עצמה, הייתה מבוססת על שפופרות, ועדיין הציגה ממשק משתמש כמו של מכונת חישוב מכנית עם לוח מקשים מלא, והייתה גדולה, כבדה, ויקרה יותר ממכונות החישוב המכניות. יתרונותיה, השקט והמהירות לא הספיקו כדי שהאניטה עצמה תהווה איום ממשי על תעשיית מכונות החישוב, אבל מכונות החישוב האלקטרוניות שבאו אחריה נפטרו מהחסרונות הללו זה אחרי זה: חברות נוספות, בתחילה יצרניות מכונות חישוב מכניות כמו מונרו, פרידן ו-SCM האמריקאיות, אוליבטי באיטליה, פסיט השוודית, שארפ היפנית ועוד, ומאוחר יותר חברות נוספות שהגיעו מתחומים אחרים, ביניהן Wang ו-HP האמריקאיות, החלו לייצר מכונות חישוב אלקטרוניות, כשטרנזיסטורים, ומאוחר יותר מעגלים משולבים מחליפים את השפופרות, לוח מקשים של 10-ספרות מחליף את לוח המקשים המלא, ותצוגת דיודות פולטות אור (LED), ומאוחר יותר גם תצוגת גביש נוזלי, מחליפות את התצוגות המגושמות מסוג Nixie שאפיינו את מכונות החישוב האלקטרוניות הראשונות. מכונות החישוב של Wang ו-HP הוסיפו פונקציונליות שלא קיימת במכונות מכניות, לבצע חישובים "מדעיים" בנוסף לארבע פעולות החשבון: חישובים טריגונומטריים, ולוגריתמיים. המכונות של וואנג ו-HP, וכמה מהמכונות האלקטרוניות האחרות, הציגו גם יכולת תכנות מוגבלת, ותמיכה בנקודה צפה.
רוב המכונות הללו השתמשו בזיכרון ליבה מגנטית, ועשו שימוש בטרנזיסטורים למימוש יחידת החישוב, שהתבססה על טכנולוגיות מתחום המחשבים.
לקראת סוף העשור, חברות אמריקאיות ויפניות פיתחו מעגלים משולבים שאפשרו לבנות מכונת חישוב בעזרת מספר קטן יחסית של רכיבים - כמה עשרות במקום כמה מאות, ומספר חברות יפניות פיתחו מכונות חישוב שנמכרו תחת שמן, ותחת שמות יצרנים אחרים, כמו פסיט השוודית ואחרות. מכונות חישוב אלו דמו בדרך כלל למחשבונים מודרניים בממשק: לוח ספרות בן עשר ספרות, מקשים לפעולות השונות, ותצוגה בסגנון "שבעה סגמנטים" .
חברת Busicom היפנית, פנתה ב-1970 לשתי חברות אלקטרוניקה אמריקאיות לפיתוח מעגל משולב למכונת חישוב. אחת החברות הללו הייתה אינטל, שהציעה כפתרון פיתוח מעבד זעיר, ובכך עשתה היסטוריה - המעבד, 4004, נחשב בדרך כלל למיקרו-מעבד הראשון בעולם. החברה השנייה הייתה Mostek, שפתרה את הבעיה בצורה שונה - היא פיתחה מכונת חישוב על שבב יחיד. הפיתוח ארך זמן רב יותר, אבל היה פתרון טוב יותר עבור מכונת חישוב: מכונת החישוב שהשתמשה במעבד של אינטל הכילה מספר גדול יחסית של שבבים - כדי שהמעבד יוכל לפעול הוא נזקק לשבב זיכרון, שבב זיכרון קריאה בלבד (ROM), ומספר רכיבים נוספים, כמו בקר קלט/פלט. לעומת זאת, השבב הייעודי הצריך הרבה פחות תמיכה היקפית, ואפשר מכונות חישוב קטנות וזולות יותר, ומאוחר יותר מחשבונים. חברות נוספות, ובראשן טקסס אינסטרומנטס (TI), ייצרו שבבים דומים, ובעקבות מלחמת המחירים שהתפתחה, למכונות החישוב המכניות לא היה מה להציע: תוך זמן קצר הופיעו מכונות אלקטרוניות שהיו קטנות, זולות, מהירות, שקטות, ונוחות להפעלה במידה ששום מכונת חישוב מכנית לא יכלה להתחרות בה. בחברות בהן מכונות החישוב המכניות יוצרו במחלקה (כמו, למשל, בורוז), המחלקה נסגרה, וחברות בהן מכונות חישוב מכניות היו המוצר העיקרי או היחיד, נסגרו.
חברת FACIT השוודית, שבתחילת 1970 העסיקה מספר שיא של 14,000 עובדים, עם מחזור מכירות שנתי של כמיליארד קרונות, הגיעה תוך פחות משנתיים למצב של פיטורים המוניים, ובסוף 1972 יצאה למעשה מתחום מכונות החישוב לחלוטין. ההתמוטטות המהירה של החברה ידועה עד היום בשוודיה כ"כשל פסיט".
יצרנים רבים של מכונות חישוב מכניות פיתחו וייצרו דגמים של מכונות חישוב אלקטרוניות, אבל הן נעלמו למעשה כגורמים משמעותיים בשוק המחשבונים, אחרי מלחמת מחירים אגרסיבית בתחילת שנות ה-70 של המאה ה-20, שצמצמה למעשה גם את שוק "מכונות החישוב" האלקטרוניות, לטובת מחשבונים.
פונקציה קמורה
במתמטיקה, פונקציה ממשית היא פונקציה קמורה בקטע מסוים, אם לכל שתי נקודות על גרף הפונקציה (שערך ה-formula_1 שלהן נמצא בקטע), הקו המחבר ביניהן נמצא מעל לגרף הפונקציה (או עליו). ההגדרה שכיחה בעיקר עבור פונקציות של משתנה ממשי אחד, והדוגמה הטיפוסית היא הפונקציה formula_2, שהיא קמורה בכל הישר הממשי. הפונקציה נקראת קמורה כי היא תוחמת מלמטה קבוצה קמורה.
מושג הקמירות מוגדר גם לפונקציות של כמה משתנים, ובאופן כללי עבור כל פונקציה המוגדרת בתחום קמור של מרחב וקטורי ומקבלת ערכים ממשיים. לפונקציות קמורות יש חשיבות רבה באנליזה פונקציונלית, בעיקר במספר אי-שוויונות יסודיים בתחום זה כמו אי-שוויון ינסן. כאן נעסוק רק בפונקציות של משתנה אחד.
אף על פי שעל פי ההגדרה הלשונית של המילים "קמור" ו"קעור", העקום המתקבל הוא קעור מלמעלה, בהגדרה המתמטית העקום נבחן מלמטה ולכן הוא מכונה פונקציה קמורה.
במערכת החינוך התיכוני בישראל נקראת הפונקציה גם "פונקציה קעורה כלפי מעלה".
הגדרה.
כאמור לעיל, פונקציה קמורה היא כזו שהקו המחבר שתי נקודות על הגרף שלה נמצא תמיד על או מעל לגרף:
אפשר לנסח זאת גם כך: לכל formula_8.
מסקנות מן ההגדרה.
formula_19 פונקציה אינטגרבילית אזי
formula_20.
קמירות במובן החלש ובמובן החזק.
פונקציה המקיימת את התנאי formula_21 שתואר להלן, לכל formula_22 בקטע ולכל formula_23, היא קמורה במובן החלש. פונקציה קמורה במובן החזק היא כזו שמקיימת את התנאי החזק יותר, formula_24 לכל formula_25 בקטע ולכל formula_26. בדרך כלל אין מבחינים בין שתי הגרסאות, וקוראים "קמורה" גם לפונקציה קמורה במובן החלש.
לדוגמה, פונקציה ליניארית היא קמורה במובן החלש, וגם קעורה במובן החלש; רק פונקציה ליניארית יכולה להיות קמורה וקעורה בעת ובעונה אחת (ואף זאת, במובן החלש בלבד). הוספה של פונקציה ליניארית לפונקציה formula_27 אינה משנה את הקמירות של formula_27.
קמירות בקטע וקמירות מקומית.
שלא כמו רציפות או גזירות, לקמירות אין משמעות בנקודה אחת, אלא רק בקטע. אומרים שהפונקציה קמורה מקומית ב-formula_1 (או קמורה בנקודה formula_1), אם קיימת סביבה של formula_1 שבה הפונקציה קמורה.
משפט: אם הפונקציה formula_27 קמורה בקטעים פתוחים formula_4 ו- formula_34 שאינם זרים, אז היא קמורה גם באיחוד שלהם formula_35.
הוכחה: נתונות הנקודות formula_36. צריך להוכיח שהקו המחבר את formula_37 ל- formula_38 נמצא מעל לגרף הפונקציה. אם שתי הנקודות formula_22 שייכות לאותו קטע I או J, התוצאה נובעת מן ההנחה על קמירות בכל קטע בנפרד. אחרת, נבחר נקודה כלשהי formula_40. אם הנקודה formula_41 נמצאת מעל לקו, אפשר לבחור נקודות סמוכות מימין ומשמאל ל- formula_42 שנמצאות בחיתוך formula_43, ולהגיע לסתירה. לכן הנקודה formula_41 מתחת לקו, ובעזרתה אפשר להוכיח שכל נקודות הגרף נמצאות מתחת לקו.
מסקנה: אם formula_3 קמורה מקומית בכל נקודה בקטע סגור או פתוח formula_46, אז היא קמורה בכל הקטע.
טענה זו אינה מובנת מאליה, משום שקמירות בקטע אינה מוגדרת כקמירות (מקומית) בכל נקודה שלו. מקמירות מקומית נובע שכל נקודה מוכלת בסביבה שבה הפונקציה קמורה ולכן הגרף שלה נמצא מעל הקווים שמחברים נקודות "קרובות זו לזו" בגרף - אבל לא ברור מדוע תכונה זו מתקיימת לכל שתי נקודות בקטע.
הוכחת המסקנה: ראשית נניח שהקטע סגור. אפשר לכסות אותו בקטעים פתוחים שהפונקציה קמורה בכל אחד מהם, ומכיוון שקטע סגור הוא קומפקטי, לכיסוי זה קיים תת-כיסוי סופי. כעת אפשר לסיים באינדוקציה לפי המשפט הקודם. אם הקטע פתוח, אז לכל שתי נקודות formula_22 בו קיים קטע סגור המוכל ב- formula_46, ועליו חלה ההוכחה של המקרה הסגור.
הקשר בין קמירות ונגזרת שנייה.
הקשר בין תכונת הקמירות לנגזרת השנייה נובע מן האבחנה הבאה, שאפשר להיווכח בנכונותה על ידי הפעלה של כלל לופיטל פעמיים: אם הפונקציה formula_27 גזירה פעמיים בנקודה formula_1, אז
formula_74
formula_75
וזאת לכל formula_76 קבועים. אם formula_77, כפי שנניח מעתה, אז המקדם באגף ימין הוא חיובי.
משפט: אם formula_27 גזירה פעמיים ב-formula_1 וקמורה (במובן החלש) בסביבה של formula_1, אז
formula_81 (מן הקמירות נובע שהמונה באגף שמאל של הזהות הוא חיובי, ולכן הגבול אינו שלילי).
מכאן נובעת מיד
מסקנה: אם formula_27 גזירה פעמיים בקטע, וקמורה שם (במובן החלש), אז formula_81 בכל הקטע.
בכיוון ההפוך:
משפט: אם formula_27 גזירה פעמיים בקטע והנגזרת השנייה מקיימת formula_85 בכל הקטע, אז הפונקציה קמורה בקטע (במובן החלש). בנוסף לזה, אם formula_86 בכל הקטע (או אפילו: הנגזרת השנייה אי-שלילית, ומתאפסת במספר סופי של נקודות), אז הפונקציה קמורה בקטע במובן החזק.
הוכחה: נסמן ב- &lt;math&gt;\ a את קצות הקטע. מספיק להראות שהגרף של formula_3 נמצא מתחת לקו המחבר את הנקודות המתאימות ל- formula_88 ו- formula_89 על הגרף, משום שאז אפשר להפעיל את אותו נימוק על כל זוג נקודות בתוך הקטע. נתבונן בפונקציה formula_90, שהיא קמורה באותם מקומות בהם formula_3 קמורה (משום שההפרש ביניהן הוא פונקציה ליניארית). קל לבדוק ש- formula_92. נניח בשלילה שיש נקודה formula_93; אז לפי משפט הערך הממוצע של לגראנז' קיימת נקודה בקטע formula_94 שבה הנגזרת formula_95 אי-שלילית, וקיימת נקודה בקטע formula_96 שבה הנגזרת אי-חיובית. אבל לפי הנחת המשפט, הנגזרת היא פונקציה עולה (במובן החזק). ההוכחה למקרה של אי-שוויון חלש דומה.
מסקנה: אם formula_97 רציפה בנקודה וחיובית שם, אז formula_3 קמורה בסביבה של הנקודה (במובן החזק).