עם התקרבות הצבא האדום לשטחי גרמניה הכריז האנקה על העיר ברסלאו (כיום ורוצלב שבפולין) כמבצר. החוקר אנטוני ביוור מייחס להאנקה בספרו "נפילת ברלין" את גירוש מקצת האוכלוסייה האזרחית הגרמנית מן העיר בינואר 1945 ואת מותם של רבים מהם ברעב ובחשיפה לקור. בעיר הושלט משטר אימים, והאנקה תלה את ראש העיר הקודם. בפברואר 1945 השלימו הרוסים את המצור על העיר כשהם לוכדים בתוכה חיל משמר בן 80,000 חיילים גרמנים וכן אזרחים רבים, כלפיהם הפעיל האנקה וכן הפלדמרשל פרדיננד שרנר אמצעים של טרור כדי לגרום להם להילחם, כאשר שאר ערי גרמניה (לרבות ברלין) כבר נכנעו. ברסלאו נכנעה ב-6 במאי 1945, לאחר שבמצור נהרגו עשרות אלפי אזרחים.
בסוף אפריל פיטר היטלר את היינריך הימלר מכל משרותיו, מכיוון שהימלר נשא ונתן עם הרוזן פולקה ברנדוט על כניעה. עם מותו של היטלר מינה זה בצוואתו את האנקה ל"רייכספיהרר אס אס" במקומו של הימלר. סמוך לתאריך זה, במועד בלתי ידוע, חמק האנקה מן העיר ברסלאו הנצורה, תוך שימוש מבצעי באחד המסוקים הראשונים, בדרכו אל פראג.
גורלו אינו ברור, ויש הסבורים כי נשבה בידי פרטיזנים צ'כים כשהוא לוחם עם יחידת אס.אס, והוכה למוות כשניסה לחמוק מטור של שבויים צועדים.
משפט רמזי
בקומבינטוריקה, משפט רמזי (באנגלית: Ramsey's theorem) עוסק במבנים המוכרחים להופיע בגרף שלם שהקשתות שלו צבועות בשני צבעים, נאמר אדום וכחול. המשפט קובע שלכל n, אם הגרף שצובעים גדול מספיק, לא ניתן להימנע מיצירת תת-גרף שלם בגודל n שכל הקשתות שלו צבועות בצבע אחיד. את המשפט הוכיח פרנק רמזי, ובעקבותיו פותח תחום שלם בשם תורת רמזי.
משפט רמזי האינסופי.
משפט. לכל צביעה של הגרף האינסופי השלם formula_1 בשני צבעים, קיים תת-גרף אינסופי formula_2 אשר כל קשתותיו צבועות באותו הצבע.
ניתן להכליל את המשפט לכל מספר סופי של צבעים.
הוכחה.
ההוכחה תתבצע על ידי בניית סדרה של קודקודים. נסמן את שני הצבעים באדום וכחול.
נתחיל בקודקוד שרירותי formula_3. בהכרח קיימים לו אינסוף שכנים המחוברים בקשת אדומה, או אינסוף שכנים המחוברים בקשת כחולה. נוכל להניח שקבוצת השכנים האדומים, שאותה נסמן ב-formula_4, היא אינסופית. כך אפשר להניח, באינדוקציה, שבחרנו קודקוד formula_5 וקבוצה אינסופית formula_6, שכל קודקודיה מחוברים בקשת אדומה לכל אחד מן הקודקודים formula_7. כעת יש שתי אפשרויות: אם קיים formula_8 לו אינסוף שכנים אדומים ב-formula_6, נבחר אותו ונסמן ב-formula_10 את קבוצת הקודקודים המחוברים ל-formula_11 בקשת אדומה. אם התהליך ממשיך, נקבל באינסופו של דבר סדרה של קודקודים, אשר כל אחד מהם קשור לכל האחרים באמצעות קשת אדומה, היינו תת-גרף אשר כל הקשתות שלו אדומות. אחרת, התהליך נעצר בקבוצה אינסופית formula_12, אשר לכל אחד מן הקודקודים שלה יש מספר אינסופי של שכנים כחולים ורק מספר סופי של שכנים אדומים. לכן, אם נחזור על התהליך עבור הקשתות הכחולות בקבוצה formula_12, התהליך לא יעצר ונקבל קבוצה אין סופית של קודקודים שכל שניים ממנה מחוברים בקשת כחולה.
ניתן להכליל את הטענה גם עבור formula_14 צבעים, באמצעות טיעון אינדוקטיבי, על ידי התבוננות בקשתות בעלות צבע מסוים, וקשתות ב- formula_15 הצבעים הנותרים.
הכללות.
משפט ארדש-רדו: יהי formula_16 מונה אינסופי. בכל צביעה ב-formula_16 צבעים (או פחות מזה) של הגרף השלם שעוצמת קבוצת הקודקודים שלו גדולה מ-formula_18, יש תת-גרף מונוכרומטי שעוצמתו גדולה מ-formula_16. למשל, בכל צביעה של הגרף השלם שעוצמת קבוצת הקודקודים שלו גדולה מ-formula_20, יש תת-גרף מונוכרומטי שאינו בן מניה.
משפט רמזי הסופי.
מספר רמזי formula_21 הוא הגודל הקטן ביותר של גרף שלם שקשתותיו צבועות בשני צבעים, נאמר אדום וכחול, המבטיח שהגרף יכיל תת-גרף שלם בן n קודקודים שכולו אדום, או תת-גרף שלם בן m קודקודים שכולו כחול. העובדה שמספרים אלה קיימים היא משפט רמזי. ההוכחה, באינדוקציה, מראה שלמעשה formula_22, ומכיוון ש- formula_23, מתקיים formula_24. הערכים המדויקים של מספרי רמזי formula_25 אינם ידועים עבור formula_26. ידועים החסמים formula_27. ב-2020 הצליח Ashwin Sah, בעזרת שיטות של קוואזי-אקראיות, להכפיל את החסם העליון בגורם של formula_28 כאשר c קבוע .
את ההגדרה לעיל אפשר להרחיב למספר סופי כלשהו של צבעים, ולגרפים כלשהם במקום תת-הגרפים השלמים.
ניסוח מהופך של המשפט קובע שבכל צביעה בשני צבעים של הגרף השלם על n קודקודים, יש תת-גרף חד-צבעי בן d קודקודים, כאשר formula_29; תוצאה זו היא הטובה ביותר האפשרית.
הוכחת המשפט.
ההוכחה תעשה באינדוקציה על formula_30
ברור ש-formula_31 לכל n,m, משום שקודקוד בודד הוא גרף שלם בגודל 1 (וכל אפס הקשתות שלו אדומות וגם כחולות).
עבור formula_32 נראה כי formula_33.
נניח נתון גרף מלא formula_1 בגודל formula_35 שקשתותיו צבועות בכחול ואדום. נבחר ממנו צומת v ונסמן ב B את כל הצמתים שיש מהם קשת כחולה ל v ונסמן ב A את כל הצמתים שיש מהם קשת אדומה ל v.
על ידי סימון זה מקבלים ש formula_36. לא ייתכן שגם formula_37 וגם formula_38 - נניח תחילה ש formula_39.
אם בגרף הנפרש על ידי צומתי formula_40 יש קליקה בגודל formula_41 שכל הקשתות בה צבועות בצבע אדום, אז יחד עם הצומת formula_42 מקבלים קליקה בגרף formula_1 בגודל formula_44 שכל קשתותיה אדומות. אחרת, מהנחת האינדוקציה מקבלים שבגרף הנפרש על ידי צומתי formula_40 ישנה קליקה בגודל formula_46 שכל קשתותיה כחולות.
בצורה דומה, אם formula_47 אז או שבגרף הנפרש על ידי formula_48 יש קליקה בגודל formula_44 שכל קשתותיה צבועות באדום, או שיש קליקה בגודל formula_50 שכל קשתותיה צבועות בצבע כחול, ואז יחד עם formula_42 מקבלים קליקה ב formula_1 בגודל formula_46 שכל קשתותיה צבועות בצבע כחול.
סה"כ מקבלים שב formula_1 ישנה קליקה אדומה בגודל formula_44 או קליקה כחולה בגודל formula_46.
קבוצה סגורה
במתמטיקה, קבוצה סגורה היא קבוצה שמכילה את השפה שלה, כלומר שכל הנקודות ש"צמודות לה" שייכות לה. זוהי המשמעות האינטואיטיבית ביותר של המושג, אך משמעותו המדויקת תלויה בהקשר המסוים שבו משתמשים בו. דוגמה לקבוצה סגורה היא הקטע formula_1 שעל הישר הממשי, אשר כולל את כל הנקודות בין 0 ל-1, ואת השפה שהיא 0 ו-1, ולכן הוא סגור.
באנליזה, כאשר עוסקים במרחב האוקלידי ה-n ממדי, קבוצה formula_2 היא סגורה אם היא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. הגדרה זו תקפה גם עבור מרחב מטרי כלשהו.
ניתן גם להגדיר קבוצה סגורה בעזרת שימוש במושג הסגור: קבוצה סגורה היא קבוצה ששווה לסגור שלה.
במרחב טופולוגי כללי לא מוגדר בהכרח מושג המרחק, ולכן לא ניתן להגדיר קבוצות סגורות באמצעותו. לכן מגדירים קבוצה סגורה בתור קבוצה שהמשלים שלה הוא קבוצה פתוחה. נשים לב כי במרחבים מטריים כלליים העובדה שקבוצה שמשלימתה סגורה היא קבוצה פתוחה נכונה תמיד, ניתן להוכיח זאת מתכונות המרחב, ולכן הגדרה זו היא הכללה של מושג הקבוצה הסגורה.
קבוצה יכולה להיות גם פתוחה וגם סגורה. לדוגמה, בכל מרחב טופולוגי, הקבוצה הריקה וכן המרחב כולו הן קבוצות שגם פתוחות וגם סגורות. מרחב טופולוגי הוא קשיר אם ורק אם אלו הקבוצות היחידות שגם פתוחות וגם סגורות. כמו כן, קבוצה יכולה להיות לא סגורה ולא פתוחה.
ניתן גם להשתמש בקבוצה הסגורה בתור מושג היסוד שעליו נבנית הטופולוגיה של המרחב - עבור קבוצת אברי המרחב בוחרים משפחה של קבוצות חלקיות לה שמקיימות מספר תכונות מיוחדות (המתקיימות לקבוצות סגורות במובן המטרי) ומגדירים אותן "קבוצות סגורות". מהגדרה זו ינבעו כל הקבוצות הפתוחות שבמרחב, ועל כן דרך הגדרה זו אינה שונה מהגדרת טופולוגיה באמצעות קבוצות פתוחות. התכונות הבסיסיות של קבוצות סגורות הן שחיתוך כלשהו של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה ואיחוד סופי של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה. איחוד אינסופי של קבוצות סגורות אינו בהכרח סגור.
רב (תואר)
העבודה משחררת
העבודה משחררת (בגרמנית: Arbeit macht frei; נהגה: "אַרְבַּיְיט מַאכְט פְרַיְי") היא אִמרה גרמנית שהתנוססה בשערי מספר מחנות הריכוז הנאציים, כחלק ממערך התעמולה הנאצית, הטעייה ואחיזת העיניים שהופנתה כלפי קורבנות גרמניה הנאצית.
מקורות הביטוי והשפעתו עד 1933.
האמרה הייתה נפוצה בגרסאות שונות בקרב איכרים גרמנים וגרמנים-שווייצרים כחלק ממוסר העבודה הפרוטסטנטי.
מקורו של הביטוי כפי שהיה מוכר בתחילת המאה ה-20, הוא בשמו של רומן משנת 1873 שחיבר הבלשן הגרמני לורנץ דיפנבאך (Lorenz Diefenbach). במשמעותו המקורית שימש הביטוי ברומן לתיאור הדרך שבה עוברים מהמרים ונוכלים תהליך של "חזרה בתשובה", ואימוץ של נורמות מוסריות של יושר, באמצעות עבודה יצרנית היוצרת ערך ותועלת להם ולסביבתם.
במקביל, ניתן לזהות בביטוי יסודות של רעיונות על ערכה של הפרודוקטיביזציה, ועל ערכה של העבודה במשנות הוגי הדעות במאה ה-19 וברעיונות הסוציאליזם. רעיונות שאומצו בין השאר על ידי הוגי הדעות של הציונות הסוציאליסטית. כך למשל, א"ד גורדון פרסם מאמר שכותרתו "בעבודה לקינו ובעבודה נרפא". כותרת מאמרו של גורדון הייתה פרפרזה או התכתבה עם רעיונות מקובלים באירופה לפני מלחמת העולם הראשונה.
בשנת 1920 נעשה שימוש בביטוי גם על ידי הפסיכיאטר והנוירולוג הצרפתי אוגוסט פורל (Auguste-Henri Forel).
בשנת 1922 הונפקו תעודות חבר חתומות, שנשאו את הביטוי, בידי ארגון לאומני–גרמני בווינה שבאוסטריה.