ויליאמס עיבד את המנגינה של השיר מההקלטה של "You'll Still Be in My Heart" של ט. טקסס טיילר מ-1945. בפרקו של הביוגרפיה על ויליאמס בתוכנית "American Masters" קבע היסטוריון מוזיקת הקאנטרי קולין אסקוט כי ויליאמס התרגש לכתוב את "Cold, Cold Heart" לאחר שביקר את אשתו, שסבלה מזיהום קשה בעקבות הפלה לא מבוקרת שבוצעה ללא ידיעתו של ויליאמס, בבית החולים. אסקוט משער שאשתו, אונדרי, ניהלה מספר מערכות יחסים במקביל לנישואיה עם ויליאמס. פאפי ניל מקורמיק, סולן להקת פלורידה, נכח במפגש בין השניים ומאוחר יותר אמר: .
הטיוטה הראשונה של השיר נכתבה ב-23 בנובמבר 1950 בערך. היא הקולטה לראשונה בליווי להקה, ששמה אינו ידוע, ב-21 בדצמבר 1950. בדומה לסינגל הקודם של ויליאמס, "I'm So Lonesome I Could Cry", גם "Cold, Cold Heart" פורסם כבי-סייד של "Dear John". "Dear John" הגיע בשיאו למקום השמיני במצעד הקאנטרי של מגזין הבילבורד, ואילו "Cold, Cold Heart" התגלה כשיר ג'וקבוקס סטנדרטי, שהושמע רבות בדיסקוטקים השונים. בעקבות נתוני ההשמעות הגבוהים שלו, הגיע למקום הראשון באותו מצעד.
גרסתו של טוני בנט.
באותה השנה הוקלט השיר בגרסת פופ על ידי טוני בנט, עם עיבוד תזמורתי של פרסי פיית'. הקלטה זו פורסמה כסינגל על ידי קולומביה רקורדס, כמספר קטלוגי 39449. היא הגיעה לראשונה למצעד של מגזין בבילבורד ב-20 ביולי 1951, עלתה למקום הראשון, ושהתה בו 27 שבועות רצופים.
הפופולריות של גרסתו של בנט סייעה לחשיפת מוזיקת הקאנטרי לקהל בין-לאומי, שאהד בעיקר את סוגת הפופ. ביל ג'נוביץ, כתב "Allmusic", הדגיש את השילוב החדשני הזה בין קאנטרי לפופ בכתבה שסקרה את השיר. . ויליאמס אף התקשר לבנט ואמר לו בהלצה: "מדוע הרסת את השיר שלי?", אף שהשמיע אותו רבות בקרב אמני הקאנטרי של אותה תקופה. בנט עדיין נוהג לבצע את השיר בקונצרטים ובאירועים אליהם מוזמן. בשנת 1997 בוצע השיר על ידי קלינט בלאק, שהיה אורח בתוכנית המוזיקה של בנט, "A&amp;E's Live By Request". לאחר ההופעה סיפר על תהליך היצירה של השיר, והתאמתו לז'אנר הפופ. הוא אף הקליט גרסה מחודשת לשיר עם טים מקגרו, שנכללה ב-"" (2006). בשנת 2012 פורסם דואט של בנט עם ויקנטיקו, שנכלל ב-"Viva Duets", אלבום אולפן משותף של בנט עם כוכבי המוזיקה הלטינו-אמריקאית.
טווח של פונקציה
במתמטיקה, טווח של פונקציה אחד משלושת המרכיבים של פונקציה, לצד תחום וכלל התאמה. הטווח, הוא קבוצת כל הפלטים שהפונקציה מחזירה. בסימון formula_1 הטווח של הפונקציה formula_2 הוא הקבוצה formula_3.
הגדרה.
באופן פורמלי, טווח הוא חלק מפונקציה formula_2, אם formula_2 מוגדרת על ידי השלשה הסדורה formula_6 כאשר formula_7 הוא התחום של formula_2, formula_3 הטווח שלה ו-formula_10 כלל ההתאמה ביניהם.
ההבדל בין טווח לתמונה.
טווח של פונקציה הוא מונח שונה מתמונה של פונקציה. התמונה מוגדרת להיות קבוצת כל האיברים מהצורה formula_11, כאשר formula_12 נע על פני איברי התחום formula_7, נקרא התמונה של formula_2. באופן בלתי פורמלי, הטווח הוא קבוצת כל האיברים שהפונקציה יכולה להגיע אליהם, ואילו התמונה היא קבוצת כל האיברים שהפונקציה אכן מגיעה אליהם. היות שתמונה של פונקציה היא תת-קבוצה של הטווח שלה, היא לא בהכרח שווה לטווח. כלומר, ייתכן שקיימים איברים בטווח שלמשוואה formula_15 אין פתרון עבורם. אם התמונה והטווח של formula_2 שווים, אז formula_2 היא פונקציה על.
דוגמאות.
עבור הפונקציה formula_18 המוגדרת על ידי כלל ההתאמה formula_19 הטווח של formula_2 הוא formula_21, אבל formula_2 לא מגיעה לשום מספר שלילי. לפיכך התמונה של formula_2 היא הקבוצה formula_24; כלומר, הקטע formula_25.
דוגמה נוספת היא הפונקציה formula_26: formula_27 עם כלל ההתאמה formula_28.
אף על פי שהפונקציות formula_2 ו-formula_26 מתאימות לכל formula_12 בתחום את אותו ה-formula_32 בטווח, הן פונקציות שונות, מכיוון שיש להן טווחים שונים.
נגדיר פונקציה שלישית formula_33 על ידי כלל ההתאמה formula_34. התחום של formula_33 לא יכול להיות formula_36, אבל ניתן להגדיר בתור תחום את formula_24: formula_38.
נבדוק את ההרכבות formula_39 ו-formula_40.
formula_39 אינו שימושי. התמונה של formula_2 אינה ידועה; ידוע רק שהיא תת-קבוצה של formula_21. מסיבה זו, ייתכן ש-formula_33, כאשר היא מורכבת עם formula_2, עשויה לקבל ארגומנט שלא מוגדר עבורו פלט. שהרי מספרים שליליים אינם איברים בתחום של formula_33, שהיא פונקציית השורש הריבועי. לכן הרכבה של פונקציה היא מושג שימושי רק כאשר הטווח של הפונקציה formula_2 היא תת-קבוצה של התחום של הפונקציה formula_26.
הטווח משפיע על האם הפונקציה היא פונקציה על. הפונקציה היא על אם ורק אם הטווח שלה שווה לתמונה שלה. בדוגמה, formula_26 פונקציה על בעוד formula_2 לא. הטווח אינו משפיע על האם פונקציה היא חד חד ערכית.
דוגמה שנייה להבדל בין טווח לתמונה מודגמת על ידי העתקות הליניאריות בין שני מרחבים וקטוריים. בפרט, כל העתקות הליניאריות מ-formula_51 לעצמו, שיכולות להיות מיוצגות על ידי מטריצות עם מקדמים ממשיים. כל מטריצה מייצגת מפה עם תחום formula_51 וטווח formula_51. עם זאת, התמונה אינה ודאית. לחלק מההעתקות עשויות להיות תמונה שווה לכל הטווח (במקרה זה המטריצות מדרגה ) אך רבות לא. במקום זאת ממפות לתת-מרחב קטן יותר (מטריצות מדרגה או ). למשל, המטריצה:formula_54 מייצגת העתקה ליניארית הממפה את הנקודה formula_55 ל-formula_56. הנקודה formula_57 אינה בתמונה של formula_58 אבל היא עדיין בטווח, שכן ההעתקות הליניאריות הן מ-formula_51 ל-formula_51. בדיוק כמו כל המטריצות בגודל , formula_58 מייצגת איבר בקבוצה זו. בחינת ההבדלים בין התמונה לטווח יכולה לעיתים קרובות להיות שימושית לגילוי מאפיינים של הפונקציה המדוברת. לדוגמה, ניתן להסיק של-formula_58 אין דרגה מלאה, מאחר שהתמונה שלה קטנה יותר מהטווח.
תורת הקבוצות.
בתורת הקבוצות רצוי לאפשר לתחום של פונקציה להיות מחלקה נאותה formula_7, ובמקרה אלו, אין דבר כזה שלשה סדורה formula_6. עם הגדרה כזו אין לפונקציות טווח, אף על פי שחלק מהכותבים עדיין משתמשים בו באופן לא רשמי, לאחר הצגת פונקציה בצורה formula_1.
הנובר (מחוז לוזרן, פנסילבניה)
המועצה האזורית האנובר היא מועצה אזורית במחוז לוזרן, פנסילבניה, ארצות הברית. נכון למפקד האוכלוסין שנערך בשנת 2010, מנתה אוכלוסיית האנובר 11,076 נפשות, והיא המועצה האזורית המאוכלסת ביותר במחוז.
היסטוריה.
האנובר הייתה אחת מהעיירות המקוריות שנבנו על ידי חברת סאסקהאנה מהמושבה האמריקאית בקונטיקט. הסרן לזרוס סטיוארט ועשרות מאנשיו עברו ממחוז לנקסטר לעמק ויומינג ב־1770; הם נלחמו בצד של קונטיקט במלחמות היאנקי-פנמיטים. עבור שירותם לקונטיקט, הסרן סטיוארט ואנשיו קיבלו שטח אדמה שהפך לעיר האנובר, שנקראה על שם עיר הולדתו של סטיוארט, האנובר במחוז דופן, פנסילבניה. בתחילת שנות ה־70 של המאה ה־18 בנה סטיוארט את הבית הראשון בחלקת ברסלאו של העיירה (בין נחל סולומון לנהר סאסקהאנה).
פשיטות אינדיאניות היו נפוצות מאוד בעמק ויומינג במאה ה־18. ב־3 ביולי 1778, טבחו כוחות בריטיים ואינדיאנים במתיישבים אמריקאים באקסטר של ימינו. יותר משני תריסר מתושבי הנובר נהרגו בקרב (ובהם הסרן לזרוס סטיוארט).
העיירה המקורית תפסה את כל הקרקע מווילקס-באר ועד ניופורט, ואת כל הקרקע שבין נהר סאסקהאנה לנהר ליהיי. במאה ה־19, הצטמקה העיירה המקורית כאשר תושבי חלקים ממנה התנתקו כדי ליצור רשויות מקומיות חדשות. בעשורים הבאים הפכה כריית הפחם לתעשייה העיקרית בעיר האנובר ובסביבתה. מפעלי עיבוד פחם נבנו ברחבי האזור.
גאוגרפיה.
על פי לשכת מפקד האוכלוסין של ארצות הברית, להאנובר שטח כולל של 49.8 קילומטרים רבועים, מתוכם 48.9 קמ"ר שטח יבשתי ו־0.9 קמ"ר מים. נהר סאסקהאנה מנקז את העיר ומפריד אותה מלארקסוויל ומפלימות'. הצד הצפוני של העיר – ליד הנהר – הוא ברובו בגובה נמוך (150–200 מטרים מעל פני הים); רוב בתי העיר ועסקיה שוכנים בחלקיה הצפוניים והמרכזיים. החלק הדרומי של העירייה הררי, ומתנשא לגובה של 655 מטרים בפסגת הר הייסטאק בגבול הדרום מזרחי. העיר מצויה בדיוק בין הערים וילקס־באר ונאנטיצ'וק.
אקלים.
ברחבי המועצה האזורית שורר אקלים יבשתי לח ("Dfa"/"Dfb") ואזור העמידות הוא 6a למעט בדנדי, שם הוא 6b. הטמפרטורות החודשיות הממוצעות נעות בין -3.17°C בינואר לבין 22.1°C ביולי.
שלטון מקומי.
האנובר מנוהלת על ידי מועצה בת שבעה חברים.
דמוגרפיה.
לפי מפקד האוכלוסין של שנת 2000, התגוררו בהאנובר 11,488 נפשות, ב־4,951 משקי בית ו-3,153 משפחות. צפיפות האוכלוסין הייתה 235.7 אנשים לקילומטר רבוע. ההרכב האתני של העיר, בקטגוריות אמריקאיות, היה 98.08% לבנים, 0.96% אפרו-אמריקאים, 0.02% אינדיאנים, 0.17% אסייתים, 0.12% מ"גזעים" אחרים ו-0.64% משני "גזעים" או יותר. היספנים או לטינים מכל "גזע" היו 0.60% מהאוכלוסייה.
נמל התעופה הבין-לאומי אלכסנדריה - א-נוזהה
נמל התעופה הבינלאומי אלכסנדריה א-נוזהה
אולם הספורט של אוניברסיטת פקינג
יחיאל בוחבוט
הרב יחיאל בוחבוט (ז' באייר ה'תר"ץ, מאי 1930 - ט' בניסן ה'תשפ"ב, 10 באפריל 2022) היה רבה הספרדי של קריית שמונה וראש מכון "אוצרות הגאונים".
ביוגרפיה.