יהי n מספר טבעי. המספרים a,b שקולים מודולו n אם n מחלק את ההפרש a-b. המספרים a,b שקולים אם ורק אם הם נותנים אותה שארית בחלוקה ב-n. במקרה זה מסמנים formula_4. (אומרים גם ש-a,b קונגרואנטיים מודולו n).
החשבון המודולרי מודולו formula_5 מתבצע באופן פורמלי על אוסף מחלקות שקילות של המספרים השלמים, כאשר יחס השקילות הוא היחס שהוגדר בפסקה הקודמת. אפשר לבחור במספרים השלמים מ-formula_6 ועד formula_7 כנציגים סטנדרטיים של המחלקות, ואז התוצאה של חישוב מודולרי תהיה מוגבלת לקבוצת השאריות האפשריות המתקבלות מחילוק מספר כלשהו בformula_5.
תכונות השקילות המודולרית.
יחס השקילות המודולרית הוא אכן יחס שקילות, כלומר הוא
בנוסף לזה, פעולות החיבור והכפל בין מחלקות השקילות מוגדרות היטב: אם formula_4 וכן formula_18, אזformula_19 וכן formula_20. לכן קבוצת המספרים השלמים מודולו formula_21 מהווה חוג קומוטטיבי, עם הכפל והחיבור הטבעיים, שאותו מסמנים ב- formula_22 או ב-formula_23 (הסימון האחרון רומז לכך שזהו חוג מנה של חוג המספרים השלמים ביחס לאידיאל של המספרים המתחלקים ב-n). החוג הזה הוא תחום שלמות אם ורק אם formula_21 מספר ראשוני (ואז הוא שדה).
הופכי ביחס לכפל.
איבר formula_25 הוא הפיך אם קיים formula_26 כך ש- formula_27. במקרה זה, b הוא ההופכי כפלי של a. את ההופכי שלו מסמנים כנהוג ב- formula_28.
מציאת הופכי כפלי מודולרי, כלומר פתרון המשוואה formula_29, נעשית באמצעות אלגוריתם אוקלידס המורחב, המספק ערכים x,y המקיימים formula_30, משום שאז formula_31. לדוגמה: ההופכי כפלי של formula_32 הוא formula_33 כיוון ש-formula_34 לכן formula_35.
חילוק.
כפל של formula_10, בהופכי כפלי של שלם formula_11 כלשהו שקול לחילוק ב-formula_11, כלומר formula_39 שקול ל-formula_40 (מודולו formula_5).
מכיוון שלא כל מספר הפיך מודולו n, לא תמיד אפשר לחלק שוויונות מודולריים. למעשה, אם formula_42, אז מובטח רק ש- formula_43.
משפט אוילר.
שני מספרים שלמים נקראים זרים אם המחלק המשותף המרבי שלהם הוא 1. פונקציית אוילר המסומנת formula_44 מייצגת את מספר השלמים בטווח formula_45 הזרים ל-formula_5. כלומר שהמחלק המשותף המרבי שלהם עם formula_5 הוא formula_48. אם formula_5 ראשוני אזי כל המספרים עד formula_7 זרים ל-formula_5, כיוון שמספר ראשוני אינו מתחלק באף אחד מהמספרים הנמוכים ממנו מעצם ההגדרה. משפט אוילר קובע שעבור כל שלם formula_52 שזר ל-formula_53
מתקיים formula_54. כאשר formula_55 מספר ראשוני מתקבל כמקרה פרטי המשפט הקטן של פרמה: formula_56, לכל formula_52 שלא מתחלק ב-formula_55.
חבורות מודולריות.
פעולת החיבור בחשבון מודולרי היא, בדומה לחיבור הרגיל, קומוטטיבית ואסוציאטיבית, וכן יש בה איבר יחידה (0), ולכל מספר יש איבר נגדי. לפיכך חיבור בחשבון מודולרי יוצר חבורה קומוטטיבית שהיא החבורה הציקלית מסדר n.
גם פעולת הכפל בחשבון מודולרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית, ואיבר היחידה בה הוא 1, אך לא לכל איבר יש איבר הופכי (כלומר, כזה שמכפלתם של שני האיברים תהיה איבר היחידה 1). לכן אוסף השאריות מודולו n הוא מונויד ולא חבורה. במונויד הזה יש מחלקי אפס, כגון formula_59. לאבר שהוא מחלק אפס לא יכול להיות הפכי כפלי; ובמונויד של השאריות מודולו n זו המניעה היחידה לקיומו של הפכי. מספר הוא הפיך מודולו n אם הוא זר ל-n, ומחלק אפס אחרת. אוסף השאריות השונות מאפס הוא חבורה אם ורק אם n ראשוני. באופן כללי יותר, אוסף השאריות ההפיכות נקרא חבורת אוילר של n.
סומטוטרופין
תיארוך פחמן-14
תיארוך פחמן-14 היא שיטת תיארוך רדיומטרי אשר הומצאה בשנת 1949. זו אחת מהשיטות המדויקות ביותר להערכת גילם של ממצאים גאולוגיים וארכאולוגיים אורגניים. את השיטה פיתח הכימאי האמריקאי וילארד פרנק ליבי (Willard Frank Libby), שזכה בפרס נובל על עבודתו.
הבסיס המדעי.
בטבע מצויים שלושה איזוטופים של פחמן: "פחמן-12" (המהווה כ-99% מהפחמן בטבע), "פחמן-13" (המהווה קצת פחות מ-1% מהפחמן בטבע), ופחמן-14, המהווה טריליונית מהפחמן בטבע (0.0000000001%), בעוד שסוגי הפחמן האחרים הם איזוטופים יציבים, פחמן-14 הוא איזוטופ רדיואקטיבי, כלומר, הוא דועך עם הזמן, והופך ליסוד אחר (לחנקן-14).
קצב הדעיכה הוא קבוע, ונמדד בזמן מחצית חיים. זמן מחצית החיים של פחמן-14 הוא כ־5,730 שנים, כלומר בהינתן כמות מסוימת של פחמן-14, הרי שבמשך תקופת זמן זו, כחצי ממנו דועך והופך לגרעינים אחרים.
ריכוז הפחמן-14 באטמוספירה הוא יציב למדי, וזאת מכיוון שבמקביל לדעיכת פחמן-14 והפיכתו לחנקן-14, אטומים של חנקן-14 הופכים בגובה האטמוספירה לפחמן-14, עקב אינטראקציה בה מחליף נייטרון את אחד הפרוטונים בחנקן-14 (מקור הנייטרונים הוא פגיעת קרינה קוסמית באטמוספירה). תהליך זה מביא לשיווי משקל בין היצירה להתפרקות, וכך מתקבל באטמוספירה ריכוז קבוע של האיזוטופ פחמן-14 יחסית לאיזוטופים האחרים של הפחמן.
פחמן-14 מוטמע בצמחים יחד עם האיזוטופים האחרים של הפחמן תוך כדי תהליך הפוטוסינתזה. מהצמחים הוא עובר ליצורים חיים אחרים באמצעות שרשרת המזון. בתהליך הפוטוסינתזה יש הבדל מסוים בספיגה של צמחים מסוגים שונים את שלושת האיזוטופים של הפחמן, אך הבדל זה כמעט ואינו בא לידי ביטוי במדידות של מרבית הדגימות ובכל מקרה נלקח בחשבון. שיעורו היחסי של פחמן-14 ביחס לאיזוטופים האחרים של הפחמן בצמח נותר זהה לשיעורו באטמוספירה.
תהליך ספיגת הפחמן נעצר כמעט לחלוטין עם מותו של הצמח או של בעל החיים, ומאותו רגע שיעור הפחמן-14 בחומר הולך ופוחת עקב הדעיכה הרדיואקטיבית. לכן, אם ידוע היחס בין הפחמן-14 לאיזוטופי הפחמן האחרים באטמוספירה בתקופת החיים של הצמח או בעל החיים - ניתן לחשב את הזמן שעבר מאז על ידי מדידת היחס בין כמות הפחמן-14 בחומר, לבין כמותם של האיזוטופים היציבים של הפחמן.
לדוגמה, כיוון שזמן מחצית החיים של פחמן-14 הוא כ־5,730 שנים:
ההנחה הראשונית של השיטה הייתה שרמת הפחמן-14 באוויר (ממנו מגיע הפחמן לצמחים) קבועה, ולכן ניתן לשער ששיעור הפחמן-14 באוויר בזמן חיי החומר הייתה זהה לשיעורו באוויר בזמן הבדיקה (כלומר כיום). הנחה זו התבררה כלא מדויקת, כיוון שגורמים שונים יכולים להשפיע על שיעורו של הפחמן-14 באטמוספירה. על מנת לפתור בעיה זו יש לכייל את הנתונים הגולמיים המתקבלים מהמדידות (ראו כדלקמן).
תהליך המדידה.
בעבר המדידות נעשו על ידי שיטות המונות את אטומי הפחמן-14 שדועכים בזמן המדידה. עבור דגימות בגודל מתאים (המכילות לפחות מספר גרמים של פחמן) השיטה הזו עדיין בשימוש נרחב גם בשנות ה-2000. לדוגמה, כל טבעות העצים המשמשות לצורכי כיול (ראו לקמן) נמדדו בשיטת המדידה הזו. אולם שיטת המדידה הזו, אינה רגישה באופן יחסי, וקיים בה חוסר ודאות סטטיסטית עבור דגימות קטנות. זאת מכיוון שכאשר בדגימה יש כמות קטנה של פחמן-14, רק מספר קטן של אטומים מתפרקים במהלך הזמן המיועד לבדיקה, דבר שמשפיע על דיוק הבדיקה.
שיטת בדיקה חדשה העושה שימוש ב"ספקטרומטר מסות מאיץ" () היא רגישה ומדויקת יותר. באמצעות הטכניקה הזו ניתן למנות באופן ישיר את כמות אטומי הפחמן-14 בדגימה, ולא רק את אלו מתוכם שדועכים במשך זמן הבדיקה. באמצעות שיטה זו ניתן לתארך גם דגימות המכילות מיליגרמים בודדים של פחמן.
לרוב, תארוכי פחמן-14 גולמיים (לא מכויילים), מסומנים בשנות "BP", כלומר, במספר שנים "לפני ההווה" (Before Present). כאשר ההווה לצורך העניין נחשב שנת 1950. תיארוך BP מבוסס על שיעורו היחסי של הפחמן-14 באטמוספירה כפי שהיה בשנת 1950 (כלומר, מניחים לצורך המדידה ששיעור הפחמן-14 בזמן החיים של הדגימה היה זהה לשיעורו בשנת 1950). גם ערך זמן מחצית החיים שבאמצעותו מתקבלים התיארוכים הגולמיים, הוא בעל סטיה קלה מזמן מחצית החיים האמיתי, ומבוסס על הערכות ישנות פחות מדויקות. משתמשים בצורת המדידה הזו, על מנת לשמור על עקביות במינוח עם מדידות ישנות יותר.
ישנו גבול גיל, שעד אליו ניתן לעשות תיארוך באמצעות פחמן-14, דגימות מבוגרות יותר מגבול הגיל, לא יכולות להימדד כיוון שהכמות המועטה של אטומי פחמן-14 אותו הן מכילות, נמהל בכמות קטנה של אטומי פחמן-14 החודרים לדגימה מסביבתה, דבר שמביא לתוצאות מוטעות. נכון לשנת 2007, הגבול המקסימלי המקובל שבו דגימה המכילה מיליגרם אחד של גרפיט (צורה מוצקה של פחמן) יכולה להימדד, הוא 60,000 שנה בקירוב. מעבר לגבול זה לא ניתן לקבל תאריכים נכונים בגלל הבעיה שהוזכרה. כך למשל דגימות של יהלומים טבעיים שגילם על פי הסטנדרטים הגאולוגיים המקובלים הוא כ-100 מיליון שנה, הניבו בבדיקת פחמן-14 גיל של 64,920±430 BP.
כיול.
הצורך בכיול.
לא ניתן להשתמש בתאריכים הגולמיים ישירות על מנת לקבל תאריך אמיתי, מכיוון שרמת הפחמן-14 באטמוספירה לא הייתה קבועה באופן מוחלט במהלך השנים.
רמת הפחמן-14 מושפעת משנויים ברמת הקרינה הקוסמית, שהיא עצמה מושפעת משינויים בשדה המגנטי של כדור הארץ. בנוסף לכך, ישנם מאגרים גדולים של פחמן בחומרים אורגניים, באוקיינוסים, במצבורי המתאן שבאוקיינוסים ובסלעי משקע. שינויים באקלים כדור הארץ, יכולים להשפיע על זרימת הפחמן בין מאגרים אלו לאטמוספירה, מה שמוביל לשינוי בשיעור היחסי של פחמן-14 באטמוספירה.
מלבד השינויים שהם תוצאה של תהליכים טבעיים, רמות הפחמן-14 משתנות גם כתוצאה מפעילות אנושית.