כל חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית (ובפרט כל חבורה אבלית נוצרת סופית) היא פולי-ציקלית. כל חבורה פתירה סופית היא פולי-ציקלית. לכל חבורה פולי-ציקלית יש ייצוג סופי.
אנטולי מלצב הוכיח שכל תת-חבורה פתירה של formula_1 היא פולי-ציקלית; Auslander ו-Swan הוכיחו שגם ההפך נכון: כל חבורה פולי-ציקלית (ואפילו ההולומורף של חבורה פולי-ציקלית) אפשר לשכן בחבורת המטריצות מעל השלמים.
חבורה פולי-ציקלית למעשה.
חבורה שיש לה תת-חבורה פולי-ציקלית מאינדקס סופי נקראת פולי-ציקלית למעשה (virtually polycyclic). לחבורה כזו יש תת-חבורה פולי-ציקלית נורמלית, ולכן היא מהווה הרחבה של חבורה סופית בחבורה פולי-ציקלית. חבורות כאלה מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות, והן מוצגות סופית.
אינדקס הירש של חבורה פולי-ציקלית הוא מספר הגורמים האינסופיים בסדרה הנורמלית שגורמיה ציקליים. לכל התת-חבורות הפולי-ציקליות מאינדקס סופי של חבורה formula_2 יש אותו אינדקס הירש.
למרות שחבורה פולי-ציקלית למעשה אינה בהכרח פתירה, הירש הוכיח שלחבורות כאלה יש סדרה נורמלית סופית שכל המרכיבים שלה סופיים או ציקליים.
חבורות פולי-ציקליות למעשה הן residually finite. יתרה מזו, הירש הוכיח (1946) שאם כל המנות הסופיות של חבורה כזו הן נילפוטנטיות, אז היא נילפוטנטית בעצמה. ההשלמה הפרו-סופית של חבורה פולי-ציקלית למעשה, קובעת את החבורה עד כדי מספר סופי של מחלקות איזומורפיזם (Grunewald–Pickel–Segal, 1980).
לחבורות פולי-ציקליות למעשה יש חשיבות מיוחדת בתורת המבנה של אלגברות חבורה. אלו הן הדוגמאות היחידות שאלגברת החבורה שלהן הוא חוג נותרי או בעל ממד אינג'קטיבי סופי.
ב'לאנה טורס
לוטננט ב'לאנה טורס (באנגלית: B'Elanna Torres) היא דמות בדיונית ביקום הבדיוני של זיכיון "מסע בין כוכבים", המופיעה בסדרת הטלוויזיה "". היא מתוארת כחצי קלינגונית חצי אנושית אשר נולדה בשנת 2349 במושבת הפדרציה "קסיק IV". טורס הצטרפה אל המאקי בשנת 2370 ושירתה על סיפון ה"ואל ז'אן" כאשר נלקחה אל רביע דלתא. מאוחר יותר, כאשר הצטרפה אל ספינת החלל "וויאג'ר", הוענקה לה דרגה זמנית של לוטננט זוטר והיא הוצבה לשרת כמהנדסת. לאחר זמן מה, היא קודמה לדרגת לוטננט ומונתה לתפקיד המהנדסת הראשית. בשנת 2377 היא נישאה לטום פאריס וילדה את בתם מיראל בתחילה השנה שלאחר מכן, בה "וויאג'ר" חזרה הביתה, לרביע אלפא. את דמותה מגלמת השחקנית רוקסן דוסון.
יצירה ופיתוח הדמות.
ב'לאנה טורס היא חצי-אנושית/חצי-קלינגונית בשנות ה-20 לחייה, שותפה למרד של ארגון המחתרת המכונה "המאקי".
המפיקים רצו שחקנית שתוכל להביע את המאבק הפנימי של ב'לאנה בין האנושיות שבה לבין הקלינגונית שבה. לאחר שרוקסן דוסון נבחנה לתפקיד, היא הייתה הראשונה מבין צוות שחקני "" אשר לוהקה לסדרה.
במקור, האיפור של דוסון בפועל היה שונה מזה שבעיצוב המתוכנן הסופי. היא הסבירה שבמקור, היה לה מצח ואף קלינגוניים הרבה יותר בולטים והיא נאלצה ללבוש סט של שיניים קלינגוניות, שגרמו לה להרגיש לא בנוח. היא ביקשה מהמפיקים ומהמאפר מייקל ווסטמור להפוך אותה לאטרקטיבית יותר, ולמתן את האיפור הקלינגוני. בסופו של דבר הועלה עיצוב שרוקסן הייתה מרוצה ממנו, משהו שהיא תיארה כ-"איפור מפלצת יופי".
דוסון הייתה ספקנית בנוגע לתסריט של הפרק "Faces" מהעונה הראשונה; היא הרגישה שאירועי הפרק (מפורטים בהמשך) קורים עבורה מוקדם מדי בסדרה ושהיא עדיין לא מכירה מספיק טוב את הדמות כדי לשחק אותה כשני אנשים נפרדים. אבל היא ניצלה את האירוע כחוויה לימודית ולמדה עוד על הדמות שלה, ובסופו של דבר - פרק זה הפך לאחר מהפרקים האהובים עליה ביותר. אחרי שהפרק שודר, דוסון התקשרה אל ההורים שלה כדי לשאול את דעתם על הפרק, והם השיבו לה: "את היית טובה, אבל הבחורה ששיחקה את הקלינגונית הייתה באמת נהדרת!"; דוסון קיבלה זאת כמחמאה.
אף על פי שדמותה של טורס הייתה בת 25 כאשר הסדרה החלה, דוסון הייתה למעשה בת 36.
במהלך צילומי העונה הרביעית של התוכנית, דוסון נכנסה להריון עם הילד הראשון שלה. הכותבים החליטו שהם לא רוצים שב'לאנה טורס תיכנס להריון, ולכן למשך תקופת ההריון של דוסון, ניתן לה חלוק מעבדה, ששימש לכיסוי הריונה הגובר. עם זאת, במהלך הפרק "The Killing Game", שבו ההירוג'נים משתלטים על "וויאג'ר" ומאלצים את הצוות לקחת חלק באימוני לחימה שונים על ההולודק, אשר כללו את מלחמת העולם השנייה באירופה, דמות ההולודק בגילומה של ב'לאנה טורס מוצגת כבהריון עם תינוקו של קצין נאצי.
במהלך עונתה החמישית של "", דוסון נפגשה עם המפיקים והכותבים של התוכנית כדי לדון בדמות שלה. דוסון הסבירה להם שהיא מרגישה שלב'לאנה יש צד אפל קיצוני שטרם נחקר, וכתוצאה מפגישה זו, נוצר הפרק ""Extreme Risk". דוסון סיפרה כי לאחר שהפרק שודר היא קבלה מכתבי מעריצים המשבחים את העלאתן של בעיות כגון דיכאון וקונפליקט פנימי, אשר אנשים רבים הזדהו עימן.
בפרק "Barge of the Dead" של עונה 6, דוסון סוף סוף קיבלה את ההזדמנות לחקור את המורשת הקלינגונית של ב'לאנה בזכות פרק אשר במקור נהגה על ידי רונלד ד. מור עבור ". בפרק זה, לב'לאנה יש חוויית סף מוות בה היא מגיעה אל "גרת'ור" ("Grethor"), הגיהנום הקלינגוני, שם היא פוגשת את אמה, מיראל. ב'לאנה מגלה כי הביאה קלון על משפחתה, ועל כן על אמה להישאר לנצח בגרת'ור. הפרק בוחן כמה היבטים מרתקים באופיה של ב'לאנה, כמו גם מעניק תובנה נוספת למיתולוגיה הקלינגונית. דוסון מאמינה כי לפרק יש הרבה שכבות, וכי זה בעצם סיפור ההתבגרות של ב'לאנה וקבלתה הסופית של המורשת הקלינגונית שלה.
במהלך העונה השביעית, עלילת הריון נכתבה עבור דמותה של ב'לאנה.
בסוף הסדרה, דוסון תארה את התהליך שעברה דמותה של ב'לאנה לאורך כל הסדרה כמו זה של אישה צעירה ופרועה שמתבגרת ומבשילה במשך שבע שנים.
סקירה.
ב'לאנה מוצגת כמי שנולדה בשנת 2349 במושבה של הפדרציה על "קדיק IV". לטורס הייתה ילדות קשה; אביה האנושי, ג'ון טורס, ואימה הקלינגונית, מיראל, היו רבים לעיתים קרובות ובסופו של דבר אביה עזב את הבית כשהייתה בת שש שנים (הצהרות סותרות גם מצביעות על כך שהיא הייתה אולי בת 12). הוא חזר לכדור הארץ, והשאיר אותה לגדול אצל אמה.
עם גנטיקה מעורבת של בני אדם ושל קלינגונים, טורס מוצגת כנוטה להתפרצויות אגרסיביות. פעם היא תקפה את חברה ללימודים דניאל בירד, אחרי שהוא שוב ושוב לעג לה, וקרא לה "ראש צב" בשל רכסי גולגולתה. טורס בעלת התנהגות תוקפנית זו לאורך כל החיים שלה, אבל לבסוף היא למדה לשלוט בה.
אקדמיית צי הכוכבים והמאקי.
בעודה באקדמיה, ב'לאנה נתקלה כל זמן בבעיות עם כללי צי הכוכבים, וכתוצאה מכך עמדה לדין משמעתי 4 פעמים, והושעתה מלימודיה פעם אחת. טורס הייתה חברה מוערכת בקבוצת ספורט הקרב עשר של האקדמיה, וגרמה לזעם רב בקרב מאמן האתלטיקה, בנוסף לפרופסורים רבים אחרים, שלא היו מרוצים מבחירתה, בסופו של דבר, החליטה טורס לנשור מן הלימודים ולעזוב את האקדמיה. בזמן המסע בוויאג'ר, גילתה טורס שלמרות הזעם שגרמה לפרופסורים רבים, רבים מהם כתבו עליה המלצות ושבחים.
טורס עזבה את האקדמיה של צי הכוכבים בשנת 2368 בהיותה בגיל 19. כמה שנים מאוחר יותר היא הפכה לחברה בקבוצת העריקים המאקי, והחלה לפתח שנאה עמוקה כלפי הקרדאסים. טורס התיידדה עם קפטן של המאקי בשם צ'קוטי, ושירתה תחתיו כמהנדסת ראשית בספינתו, "ואל ז'אן", כאשר הובאו, יחד עם אנשי צוות נוספים, אל רביע דלתא על ידי ה-"Caretaker".
במהלך שירותה עם המאקי, טורס תכנתה-מחדש טיל קרדאסי המכונה "דרדנוט" ("Dreadnought"). הטיל, שנבנה עם בינה מלאכותית, היה ממוקד במקור נגד מתקנים של המאקי. טורס תכנתה-מחדש את מסלולו של הטיל אל עבר מתקן קרדאסי, אבל "דרדנוט" נסחף לרביע דלתא על ידי ה-"Caretaker".
וויאג'ר.
כאשר אנשי צוות "וויאג'ר", יחד עם אנשי צוות ה"ואל ז'אן", הובאו אל רביע דלתא, הארי קים וטורס הועברו לכוכב הבית של האוקמפה, בעוד ששני הצוותים יצאו לחפש אותם. בהיותם שני האנשים היחידים מאותו אזור - רביע אלפא - הם יצרו במהירות קשר, בעוד היא מכנה אותו "צי הכוכבים" בשל אמונתו בפדרציה ובצי הכוכבים. מערכת יחסים זו ממשיכה בכך לאורך כל הסדרה, כאשר השניים, מעת לעת, עובדים יחד, עוד ועוד, על משימות משותפות.
בשנת 2371, ב'לאנה טורס הצטרפה לצוות "וויאג'ר" עם שאר אנשי המאקי מה"ואל ז'אן", כאשר קפטן קתרין ג'יינוויי הציעה להם את ההזדמנות. היא הוצבה במחלקת ההנדסה, אשר לא היה ברור מי עומד בראש, שכן המהנדס הראשי המקורי נהרג במהלך הבאתה של הספינה לרביע דלתא; בסופו של דבר, קפטן ג'יינוויי קידמה את טורס לתפקיד המהנדסת הראשית, בהתבסס על המלצתו של הקצין הראשון החדש של "וויאג'ר", צ'קוטי. בתחילה, טורס הייתה בוטה מאוד בהסתייגותה מההחלטה של ​​הקפטן ג'יינוויי להרוס מערכו של ה-"Caretaker", בעל היכולת לשלוח בחזרה הביתה את "וויאג'ר" מרביע דלתא, ונשאה טינה קטנה כלפי הקפטן. במהלך החודשים הראשונים, טורס החלה לכבד את הקפטן ואת החלטותיה, בהתבסס על מנהיגותה החזקה של ג'יינוויי והעניין המשותף שלהם במדע.
זמן קצר לאחר מינויה לתפקיד המהנדסת הראשית, טורס מפרה את פקודותיה של קפטן ג'יינוויי כאשר "וויאג'ר" נפגשת עם גזע המכונה "סיקאריאנים". לסיקאריאנים יש טכנולוגיה מתקדמת מאוד של טרנספורטר, שיכולה לקצר באופן דרסטי את מסעם בן ה-70 השנה, אבל החוק ה-סיקאריאני אוסר על צוות "וויאג'ר" מלקבל אותו באופן חוקי. טורס הופכת למעורבת עם קבוצה קטנה של קצינים שמשיגים את הטכנולוגיה בשוק הסיקאריאני השחור ומבצעת ניסיון כושל לשלב אותו במערכות של "וויאג'ר".