כאשר formula_4 היא הזווית (בין 0° ל-180°) שבין formula_1 במישור המכיל את שניהם, ו-formula_6 הוא וקטור יחידה, שמאונך למישור הנקבע על ידי שני הווקטורים. חשוב לשים לב כי המכפלה הווקטורית בין שני וקטורים שונים מאפס מתאפסת אם ורק אם הם מקבילים (בניגוד למכפלה סקלרית, בה המכפלה מתאפסת אם ורק אם הווקטורים ניצבים).
כיוונו של formula_7 נקבע על פי כלל היד הימנית המוגדר באופן הבא: אם מכופפים את כף יד ימין בצורת חצי עיגול, כך שהיא מתווה מעגל בכיוון של הווקטור הראשון במכפלה אל עבר הווקטור השני במכפלה דרך הזווית הקטנה שביניהם, האגודל מצביע בכיוון של וקטור התוצאה.
ניתן להגדיר מכפלה וקטורית באופן שקול על ידי הגדרת הכפל על וקטורי היחידה. בשלושה ממדים, וקטורי היחידה מוכפלים כך:
formula_8
formula_9
formula_10
formula_11
ולכן, מתקבל כי באופן כללי, שני וקטורים נכפלים כך:
formula_12.
בעזרת מכפלה סקלרית, קל לוודא כי וקטור התוצאה ניצב לשני הווקטורים המוכפלים.
עוד דרכים לחשב את כיוון הווקטור:
תיאור על פי וקטורי יחידה.
כאמור, לעיתים קרובות נוח יותר לחשב את המכפלה הווקטורית באמצעות הצגת הווקטורים המוכפלים על ידי וקטורי יחידה, כלומר:
לאחר חישוב ישיר, ניתן לקבל כי
קל יותר לזכור צורה זו על ידי כתיבת הדטרמיננטה הבאה:
formula_39
כאשר הדטרמיננטה מפותחת על פי השורה הראשונה.
חשוב להדגיש שהשימוש בדטרמיננטה כאן הוא רק בתור סימון שמטרתו להקל על זכירת הנוסחה, ואין מדובר בדטרמיננטה אמיתית: המטריצה איננה מעל השדה שבו אנו עוסקים, והתוצאה איננה סקלר כמו בדטרמיננטה רגילה אלא וקטור.
הכללה ל-n ממדים.
את המכפלה הווקטורית ניתן לכתוב בצורה טנזורית בצורה:
&lt;BR&gt;
formula_40
&lt;BR&gt;
כאשר formula_41 - טנזור לוי-צ'יוויטה, הוא טנזור אנטי סימטרי לחלוטין, שערך כל איבר בו הוא 1 אם סדר האינדקסים הוא ציקלי, 1- אם הסדר הוא אנטי ציקלי, ואפס במקרה אחר (כלומר אם אינדקס חוזר פעמיים). האינדקסים formula_42 רצים על מספר הממדים (1,2,3 או formula_43).
הגדרה זו ניתן להרחיב למספר ממדים כלשהו:&lt;BR&gt;
formula_44
דבר זה מרמז לנו שגם בשלושה ממדים התוצאה של כפל שני וקטורים אינה וקטור, כי אם פסאודו וקטור. השרירותיות של כיוון התוצאה גם היא דומה לשרירותיות בכיוון של הפסאודו-וקטור.
לעומת זאת מכפלה וקטורית של וקטור ופסאודו וקטור תיתן וקטור.
מדינות ערב
אופק (משפחת לוויינים)
אופק היא סדרה של לוויינים ישראליים. שני הלוויינים הראשונים בסדרה נועדו לניסויים, והיתר הם לווייני ריגול שנועדו לצילום לצורך איסוף מודיעין צבאי. רוב לווייני אופק שוגרו מבסיס פלמחים על גבי משגר ה"שביט" הישראלי. הלוויינים חגים מסביב לכדור הארץ בגובה נמוך ומשלימים סיבוב כל 90 דקות לערך. סדרת לוויינים זו ובעיקר שיגורו של הלוויין אופק 1 מבסיס פלמחים ב־19 בספטמבר 1988 הפכו את ישראל למדינה השמינית שמצליחה לשגר בכוחות עצמה לוויין מתוצרתה. הלוויינים והמשגרים פותחו ונבנו על ידי התעשייה האווירית לישראל.
תוכנית הלוויינים הישראלית.
תוכנית החלל הישראלית החלה עם שיגור הרקטה שביט 2 לחלל ב־5 ביולי 1961, לצורכי מחקר. לאחר שיגור שביט 2 פורסם שיבצעו שיגורים של רקטות נוספות, לצורך מחקר על הסטרטוספירה והיונוספירה לצורכי מדע. אולם אחר כך, במשך שנים רבות, עיקר המחקר הישראלי בתחום התמקד בפיתוח טילים לצורכי ביטחון (דוגמת "גבריאל" ו"יריחו").
תוכנית הלוויינים הישראלית החלה בשנת 1981, כאשר ראש אגף המודיעין, האלוף יהושע שגיא, הקציב חמישה מיליון דולר לבדיקת היתכנות פרויקט לבניית משגר לוויינים, לוויינים ומצלמות טלסקופיות. בנוסף אושרה הקמתה של מנהלת תוכנית החלל. במקביל, כתגובה לפרויקט "לוויין התקשורת הערבי" - Arabsat, יוזמה של הליגה הערבית שהושקה ב-1976 , קבוצה בראשות מאיר עמית (לשעבר ראש המוסד ושר התקשורת) עם יזמים נוספים ביקשה לשגר לוויין תקשורת ישראלי. בספרו האוטוביוגרפי כתב עמית שתחילה ביקשו לעניין את חברת פרצ'יילד האמריקאית בפרויקט (החברה בנתה בשנות ה-70 את לוויין התקשורת ). בשיחות עם הנהלת החברה התברר כי יש לשריין תחילה את המקום בשמיים (slot בשפה המקצועית), באמצעות איגוד הטלקומוניקציה הבינלאומי, אך באותן שנים רק ממשלות ולא חברות פרטיות, יכולו לשריין מקום בחלל. לכן עמית וכרמל פנו לשר התקשורת, מרדכי ציפורי, וקיבלו אישור של ממשלת ישראל לפעול בשמה. חברת פרצ'יילד לבסוף לא הייתה מעוניינת להשתתף בפרויקט והם שכרו את שירותיה של התעשייה האווירית לתכנון וייצור של לווייני התקשורת. ב-1983 חתמו על הסכם עם מדינת ישראל על פיו הלוויינים יהיו בבעלות משרד התקשורת, והחברה הכללית לשירותי לוויין תספק את שירותי התקשורת באמצעות חברת "בזק" בישראל וללקוחות זרים. הפרויקט הושק רשמית בנובמבר 1984, בשם AMS - Affordable Modular Satellite.
בשנת הוקמה 1983 סוכנות החלל הישראלית במסגרת משרד המדע והפיתוח שהוקם שנה קודם, במטרה, בין השאר שישמש כמסווה לפעילות הסודית לפיתוח פרויקט לוויין הריגול הישראלי. באוגוסט 1985 הודיע דרור שדה, ראש סוכנות החלל הישראלית, כי ישראל מתכננת לשגר לוויין.
בשנת 1984 שר הביטחון, משה ארנס, יוזם החלטת ממשלה לקידום פיתוח פרויקט לוויין הריגול, בנוסף התעשייה האווירית גברה על רפא"ל בתחרות על פיתוח וייצור הלוויין ומשגר הטילים "שביט". בשנה זה התעשייה האווירית החלה להיות מעורבת בפרויקט לוויין התקשורת "עמוס". החל משנת 1985 הוקצו כ-45 מיליון דולר מדי שנה לפרויקט.
הלוויין הראשון בסדרה, "אופק 1" היה הלוויין הישראלי הראשון בחלל. על־פי ההודעות הרשמיות, נועד אופק 1 לבדוק את יכולתה של ישראל להכניס לוויין למסלול סביב כדור הארץ ולבחון את מערכותיו בתנאי חלל. גם הלוויין השני בסדרה, "אופק 2", היה לוויין ניסוי ששוגר באפריל 1990. לאחר שיגורו הכריז שר הביטחון משה ארנס כי בקרוב ישראל תשגר לוויין בעל יכולת מודיעינית. אולם רק לאחר חמש שנים ושני שיגורים כושלים שוגר "אופק 3" באפריל 1995.
במחצית השנייה של שנות ה-90 של המאה ה-20 יזמה התעשייה האווירית את פרויקט לווייני "ארוס", במטרה למסחר את הטכנולוגיה של לווייני הצילום הצבאיים מסדרת "אופק" לשיווק בשוק האזרחי. לשם כך הוקם בשנת 1997 מיזם משותף בשם "ווסט אינדיס ספייס", בו היו שותפים: התעשייה האווירית (44%) החברה האמריקאית "קור סופטוור טכנולוג'י" (Core Software Technology) (44%) וחברת אל-אופ יצרנית המצלמה של לווייני "אופק" (12%). התוכנית כללה בתחילה שיגור של 6–8 לוויינים שיבצעו צילום לשימושים אזרחיים, מסחריים ומדעיים עבור מדינות וחברות מסחריות, למטרות שונות בהם: מיפוי של שטחים קרקעיים וימיים לצרכים שונים, ובהם איכות הסביבה, ניצול קרקעות ותכנון תשתיות. הרקע לפיתוח התוכנית היה הערכות שלשוק לווייני הצילום האזרחיים פוטנציאל מסחרי גדול. התוכנית התכוונה במקור לשגר לוויין ראשון באמצע שנת 1998, לאחר שיוצאו מהלוויין הצבאי "אופק" כל המרכיבים שפותחו לתוכנית הצבאית. הלוויין הראשון "EROS A" פותח במקביל ל"אופק 4" והיה מבוסס עליו.
בעקבות כישלון שיגורו של הלוויין "אופק-4", לאחר שיגורו של "EROS A" שילם משרד הביטחון כ-15 מיליון דולר בשנה עבור הזכויות הבלעדיות לקבלת כל הצילומים של שטח ישראל שבצע. זכויות הקליטה הבלעדיות כוללו לא רק את שטח ישראל, אלא גם אזור ברדיוס של כ-2,000 ק"מ, הכולל: במערב - לוב; בדרום - סודאן; במזרח - מפרץ עומאן; ובצפון - חבר המדינות. טווח הכיסוי כלל את כל שטחן של עיראק, איראן וסוריה, כמעט את כל שטח לוב ונתח עיקרי מסודאן ומרפובליקות מוסלמיות במדינות ברית המועצות לשעבר. בנוסף המנהל למחקר ולפיתוח אמצעי לחימה ותשתית טכנולוגית יזם תוכנית, בהיקף של כשלושה מיליארדי שקלים, שהחלה בעקבות כישלון שיגור "אופק 4" לשיגור קונסטלציית לוויינים שיספקו תמונות ומידע בזמן אמת. התוכנית נועדה להגביר את יכולת ההתראה מול איום הטילים להשמדה המונית שמפתחות איראן, עיראק וסוריה. על פי התוכנית, ישראל תפעיל בחלל כמה לווייני ביון במקביל, שיספקו תמונות ומידע בזמן אמת במטרה לסגור פערי זמן בין גילוי האיום לבין המענה ולהבטיח מידע זמין.
באוגוסט 2003, נתן לראשונה ראש מנהלת תוכנית החלל, חיים אשד, ריאיון לעיתונות, בו חשף שעד 2008 תשלים ישראל בהדרגה את פיתוחם של שלושה לווייני צילום לצורכי מודיעין - "אופק 6", "אופק 7" ולוויין מכ"ם ("טקסאר"), בנוסף אמר שתוך כחמש שנים תהיה בידי ישראל יכולת לשגר לוויינים במשקל כ-100 ק"ג ממטוסי אף-15, אולם תחזית זו לא התגשמה.
בפברואר 2005, בעקבות כישלון שיגורו של הלוויין "אופק-6", מערכת הביטחון פנתה למשרד האוצר בבקשה להקצבה מיוחדת של 400–600 מיליון שקל לצורך בניית שני לווייני ריגול. במקביל. אולם משרד האוצר לא נענה לבקשה, ולוחות הזמנים של תוכנית החלל השתנו. הבקשה לתקציב מיוחד הוגשה במסגרת הפקת הלקחים מכישלון השיגור של אופק 6, שאחד מהם היה החלטת מערכת הביטחון לבנות במקביל שני משגרי לוויינים, שני לוויינים, שתי מצלמות טלסקופיות ושתי מערכות מכ"ם כגיבוי במקרה של תקלה עתידית.
מפרט טכני.
לווייני אופק חגים מסביב לכדור הארץ בגובה נמוך ומשלימים סיבוב כל 90 דקות לערך. הלוויינים משמשים בעיקר כדי לאסוף מודיעין, כגון תוכניות הגרעין של איראן והמתקנים הצבאיים במדבר הסורי.