גבול הפוך של מערכת פרויקטיבית של חבורות טופולוגיות סופיות הוא תת-מרחב סגור של מרחב המכפלה שלהן. החבורות מצוידות בטופולוגיה הדיסקרטית, ולכן כל אחת מהן בלתי קשירה לחלוטין ובעלת תכונת האוסדורף. תכונות אלו עוברות למרחבי מכפלה, ובירושה לתת-מרחבים. מכאן שהגבול ההפוך הוא האוסדורף ובלתי-קשיר לחלוטין. בנוסף, כיוון שכל החבורות קומפקטיות (משום שהן סופיות), גם המכפלה שלהם קומפקטית (לפי משפט טיכונוף); תת-מרחב סגור של מרחב קומפקטי הוא קומפקטי בעצמו, ולכן הגבול ההפוך קומפקטי. מכאן שגבול הפוך במערכת פרויקטיבית של חבורות טופולוגיות סופיות הוא האוסדורף, קומפקטי ובלתי-קשיר לחלוטין.
formula_2
תהי G חבורה טופולוגית בעלת תכונת האוסדורף, קומפקטית ובלתי-קשירה לחלוטין. נתבונן בקבוצת הפונקציות הרציונליות שמקדמיהן בשדה מסוים, וקבוצת המשתנים שלהן היא איחוד חבורות המנה של החבורה המקורית על-פי תת-החבורות הנורמליות והפתוחות שלה. החבורה המקורית פועלת על קבוצת פונקציות זו באופן טבעי, וניתן להתבונן בכל איבר שלה כאוטומורפיזם של קבוצת הפונקציות. בהתאם, ניתן להגדיר את החבורה המקורית כחבורת גלואה של הרחבת שדות - כאשר ההרחבה היא קבוצת הפונקציות, והשדה המקורי הוא שדה השבת של החבורה.
formula_3
חבורת גלואה מצוידת באופן טבעי בטופולוגית קרול (הקרויה על שם המתמטיקאי הגרמני וולפגנג קרול). טופולוגיה זו מוגדרת על ידי כך שאוסף חבורות גלואה ששדות השבת שלהן הם הרחבות נורמליות וסופיות של השדה המקורי מהווה בסיס מקומי של היחידה. כיוון שההרחבות סופיות, האינדקס שלהן בחבורה כולה סופי - ומכאן שחבורות המנה של החבורה המקורית מעליהן סופיות ודיסקרטיות. נקבע את יחס ההכלה בין ההרחבות כיחס סדר על חבורות המנה שלהן, ונקבל מערכת פרויקטיבית של מרחבים סופיים ודיסקרטיים. החבורה המקורית היא הגבול ההפוך במערכת.
דוגמאות.
חבורה פרו-סופית G מקיימת את תכונת המניה השנייה אם ורק אם יש בה סדרה יורדת G_i של תת-חבורות נורמליות עם חיתוך טריוויאלי. בחבורה כזו אפשר להגדיר מטריקה: המרחק בין שני איברים הוא אחד חלקי הסדר של המנה האחרונה G/G_i שבה האיברים עדיין שווים. כל חבורה פרו-סופית נוצרת סופית מקיימת את תכונת המניה השנייה.
תת-חבורות.
בקטגוריה של חבורות טופולוגיות, מורפיזמים הם כאלו השומרים על המבנה הטופולוגי, ולכן התמונה של מורפיזם היא תת-חבורה סגורה. בהתאם לכך, המונח "תת-חבורה" מתייחס בדרך כלל לתת-חבורה סגורה. כל תת-חבורה סגורה של חבורה פרו-סופית היא פרו-סופית, וכל חבורת מנה של חבורה פרו-סופית, ביחס לתת-חבורה נורמלית סגורה, היא חבורה פרו-סופית. גם המכפלה של חבורות פרו-סופיות היא פרו-סופית, והגבול ההפוך במערכת פרויקטיבית של חבורות פרו-סופיות (אפילו אם אינן סופיות) הוא חבורה פרו-סופית.
משפט נילסן-שרייר קובע שתת-חבורה של חבורה חופשית היא חופשית. תכונה זו אינה נכונה במלואה עבור חבורות פרו-סופיות. עם זאת, תת-חבורה (סגורה) של חבורה פרו-סופית חופשית היא חופשית, אם היא פתוחה, ובאופן כללי יותר אם היא תת-חבורה אמיתית פתוחה של תת-חבורה (סגורה) כלשהי; אם היא מכילה את תת-חבורת הקומוטטורים; ואם היא חיתוך אמיתי של שתי תת-חבורות נורמליות (סגורות) כלשהן.
גונטיס אולמניס
גונטיס אולמניס (בלטבית: Guntis Ulmanis; נולד ב-13 בספטמבר 1939) הוא פוליטיקאי לטבי שכיהן כנשיא לטביה החמישי בין השנים 1993-1999.
ביוגרפיה.
אולמניס נולד בריגה ב-13 בספטמבר 1939. סבו היה אחיו של הנשיא וראש הממשלה קרליס אולמניס. בשנת 1941 אולמניס ומשפחתו הוגלו למחוז קרסנויארסק שסיביר ובשנת 1946 חזרו ללטביה, אך המשפחה לא הורשתה לגור בריגה עצמה.
בשנת 1949 המשפחה עברה ליורמלה, שם סיים את לימודיו התיכוניים והחל ללמוד כלכלה באוניברסיטת לטביה
בשנת 1963 אולמניס גויס לצבא הסובייטי. ב-1965 הצטרף למפלגה הקומוניסטית של ברית המועצות והחל לעבוד ככלכלן בתחום הבנייה. הוא התקדם בתחום זה, עד שבשנת 1971 פוטר מעבודתו בשל הקשר המשפחתי לקרליס אולמניס, והוא המשיך לעבוד בדרגים נמוכים. הוא אף עבד כמורה לכלכלה באוניברסיטת לטביה ובאוניברסיטה הטכנית של ריגה. עם פירוק ברית המועצות, וכשלטביה הייתה בדרך לחזור להיות מדינה עצמאית, הוא פרש מן המפלגה הקומוניסטית וחזר להשתמש בשם משפחתו המקורי- אולמניס. ב-1992 הוא התמנה לחבר מועצת הבנק הלאומי של לטביה. בשנת 1993 בחר בו הסאימה לכהן כנשיא לטביה הראשון מאז החזרה המלאה של עצמאותה.
כנשיא, התמקד מאוד במדיניות החוץ של לטביה. הוא ביטל את עונש המוות, לפי הסטנדרטים האירופאים. בשנת 1996 נבחר לקדנציה שנייה ברוב קולות. את הקדנציה השנייה שלו סיים בשנת 1999 ופרש מהפוליטיקה.
הוא זכה במספר אותות ועיטורים, כמו חברת במסדר הכבוד של הרפובליקה הפדרלית של גרמניה ומסדר הפיל.
כפכפים
כפכפים הם סוג של נעלי אצבע פתוחות שהשימוש בהן נעשה בעיקר בשל הנוחות שבנעילתן.
ישנם כמה סוגי כפכפים, כאשר ההבדל המשמעותי ביותר הוא בצורה. ישנם שלושה סוגים נפוצים: כפכפי אצבע, כפכפים פתוחים וכפכפים סגורים. כפכפי האצבע הם ברובם בעלי סוליה ורצועה החוצצת בין הבוהן לאצבע, ומתפצלת לשני חלקים המתחברים לסוליה באמצע כף הרגל משני הצדדים. לעומתם, הכפכפים הפתוחים דומים בצורתם, אך רצועתם מעוצבת בצורה שונה מעט - היא מתחברת לסוליה בשני צדי כף הרגל במספר רצועות המשתנה מדגם לדגם. הכפכפים הסגורים שונים בעיצובם - הם פתוחים רק בצד האחורי של הכפכף כדי לאפשר הכנסה של כף הרגל לכפכף.
הכפכפים מיוצרים מגומי, מעור, מבד, מעץ ואף מחומרים נוספים.
כיום ישנם שימושים שונים לכפכפים: כפכפי האצבע משמשים, בין השאר, כנעליים נוחות להליכה בחוף הים ובבריכה. הכפכפים הפתוחים והכפכפים הסגורים יכולים להיות נוחים להליכה בבית או ברחוב. הנוחות של הכפכפים מתבטאת בטווח המחירים הגמיש המתחיל ממחירים זולים מאוד, ובקלות נעילתם.
מיפוי אובייקטי-רלציוני
מיפוי אובייקטי-רלציוני (באנגלית: ORM - object-relational mapping) היא טכניקת תכנות בשפות תכנות מונחות-עצמים, להמרת נתונים בין מערכות טיפוסים בלתי-תואמות: טיפוסים מורכבים (אובייקטים) בשפות תכנות מונחות-עצמים, וטבלאות בבסיסי נתונים יחסיים (רלציוניים). למעשה, השימוש בטכניקה זו יוצר "בסיס נתונים מונחה-עצמים וירטואלי" (virtual object database), הניתן לשימוש מתוך שפת התכנות. קיימות חבילות תוכנה מסחריות וגם חופשיות לביצוע מיפוי אובייקטי-רלציוני (ראו: Hibernate לדוגמה), אם כי יש מתכנתים הבוחרים ליצור כלי ORM משלהם.
סקירה.
בתכנות מונחה-עצמים, משימות של ניהול נתונים (data management) בדרך כלל ממומשות על ידי מניפולציה של אובייקטים שהם כמעט תמיד ערכים לא-סקלריים. לדוגמה, נחשוב על רשומה בפנקס כתובות, המייצגת אדם אחד ביחד עם אפס או יותר מספרי טלפון ואפס או יותר כתובות. ניתן למדל רשומה כזאת במימוש מונחה-עצמים על ידי אובייקט "Person" עם משתני מחלקה שכל אחד מהם מחזיק נתונים המרכיבים את הרשומה: השם של האדם, רשימת מספרי טלפון, ורשימת כתובות. רשימת מספרי הטלפון עצמה תכיל אובייקטי "PhoneNumber", וכן הלאה. בשפת התכנות, מטפלים ברשומת פנקס הכתובות כאובייקט יחיד (לדוגמה, ניתן לקשר אליה על ידי משתנה יחיד המכיל מצביע אל האובייקט). ניתן לשייך לאובייקט מתודות (פונקציות) שונות, כגון מתודה המחזירה את מספר הטלפון המועדף, מתודה המחזירה את כתובת המגורים, וכו'.
לעומת זאת, בסיסי נתונים פופולריים רבים, כגון בסיסי נתונים המבוססים על שפת SQL, יכולים לשמור ולבצע פעולות רק על ערכים סקלריים פשוטים כדוגמת ערכים מספריים (integer, float, double) ומחרוזות, המאורגנים בטבלאות. על מנת לאחסן אובייקטים מורכבים (כמו רשומה בפנקס כתובות מהדוגמה למעלה) בבסיס נתונים, על המתכנת להמיר את האובייקטים לקבוצות של ערכים פשוטים יותר (וגם להמיר אותם חזרה לצורה של אובייקטים כאשר הוא מאחזר נתונים מבסיס הנתונים), או להשתמש רק בערכים סקלריים פשוטים במסגרת התוכנית. מיפוי אובייקטי-רלציוני משמש למימוש הגישה הראשונה.
עיקר האתגר הוא בתרגום הייצוג הלוגי של אובייקטים לצורות אטומיות הניתנות לאחסון בבסיס נתונים, תוך שימור התכונות (properties) של האובייקטים, והיחסים ביניהם, כך שבמועד מאוחר יותר ניתן יהיה לטעון אותם חזרה מבסיס הנתונים, וליצור אובייקטים. אם פונקציונליות זו של אחסון ואחזור ממומשת עבור אובייקטים, נאמר עליהם שהם persistent.
השוואה עם טכניקות מסורתיות לגישה לנתונים.
בהשוואה לטכניקות מסורתיות להעברת נתונים בין שפת תכנות מונחית-עצמים לבסיס נתונים רלציוני, שימוש ב-ORM בדרך כלל מקטין את כמות הקוד שצריך לכתוב.
החסרונות של כלי ORM באים לידי ביטוי במקומות בהם טכניקות קנייניות, או ספציפיות לבסיס נתונים מסוים עברו אופטימיזציה. רוב כלי ה-ORM אינם מתפקדים היטב בזמן ביצוע של מחיקות מרובות של נתונים או ביצוע של פעולות Join. פרוצדורות מאוחסנות עשויות להיות בעלות ביצועים טובים יותר, אבל הן אינן פורטביליות.
בנוסף לכך, יש הטוענים כי הסתמכות כבדה על תוכנות ORM, שימשה כגורם משמעותי ליצירת בסיסי נתונים שאינם מתוכננים היטב.
בסיסי נתונים שאינם מבוססי SQL.