חוג עם זהויות (או חוג עם זהויות פולינומיות, ובקיצור חוג PI - Polynomial Identity) בתורת החוגים הוא חוג שיש לו זהות פולינומית, כלומר פולינום לא אפסי באלגברה האסוציאטיבית החופשית במספר משתנים (מעל שדה קבוע) שמתאפס בכל הצבה מתוך החוג.
לחוגים עם זהויות תפקיד חשוב בתורת החוגים, בכך שהם מכלילים את התורה הקומוטטיבית (אכן, כל אלגברה קומוטטיבית היא PI, באמצעות זהות הקומוטטור) ומהווים נדבך חשוב נוסף בין החוגים הקומוטטיביים לחוגים הלא קומוטטיביים. לחוגים עם זהויות ישנו מדד, שנקרא דרגת ה-PI והוא דרגת הזהות הפולינומית המינימלית של החוג.
אידיאל הזהויות שמקיים חוג.
ב-1948, מצאו עמיצור ולויצקי את הזהויות המינימליות של חוג המטריצות מסדר formula_1 מעל שדה - והיא הזהות הסטנדרטית מסדר formula_2. הזהות הסטנדרטית מוגדרת כך: formula_3.
מעל שדה אינסופי, כל זהות פולינומית שקולה לזהות מולטילינארית. אוסף הזהויות של אלגברה הוא "אידיאל-T", כלומר אידיאל של האלגברה החופשית (בכמות בת מנייה של משתנים לא קומוטטיביים) הסגור לאנדומורפיזמים שלה. אומרים כי שני חוגים עם אותן זהויות בדיוק הם שקולים-PI. משפט קמר קובע כי כל אלגברה עם זהויות, שהיא נוצרת סופית מעל שדה ממאפיין אפס היא שקולת-PI לאלגברה סוף ממדית מעל שדה.
מציאת בסיס לאידיאל הזהויות, כלומר מציאת קבוצת זהויות מפורשת לחוג, כך שמהן נובעות כל הזהויות שלו היא בעיה קשה ופתוחה באופן כללי - כבר עבור מטריצות מסדר 3 מעל שדה לא ידוע בסיס כזה (עבור 2 בסיס כזה הוא הזהות הסטנדרטית וזהות קפלי, לפיה ריבוע הקומוטטור הוא במרכז). בעיית Specht שואלת האם לכל חוג PI שהוא אלגברה נוצרת סופית מעל חוג נותרי יש בסיס סופי לאידיאל הזהויות.
תכונות בסיסיות וקשר למחלקות נוספות של חוגים.
תת-חוג של חוג עם זהויות מקיים (לפחות) את אותן זהויות. מכפלה ישרה סופית של חוגים עם זהויות היא חוג עם זהויות. מכפלה ישרה כלשהי של חוגים עם אותה זהות, מקיימת את אותה זהות. לפי משפט של רגב, המכפלה הטנזורית של אלגברות PI היא אלגברת PI. אלגברה שהיא סכום של שתי תתי-אלגברות שלה המקיימות זהויות פולינומיות, מקיימת אף היא זהות פולינומית.
כל אלגברה שהיא מודול נוצר סופית מעל המרכז שלה היא PI. חוג המטריצות מעל חוג PI הוא PI.
תורת מבנה.
כל חוג פרימיטיבי עם זהויות הוא חוג פשוט ארטיני, סוף ממדי מעל המרכז שלו (משפט זה הוכח על ידי אירווינג קלפנסקי).
רדיקלים.
אלגברות עם זהויות מקיימות את השערת קתה (סכום אידיאלים שמאליים ניליים בהן הוא נילי) ואת השערת קורוש (אלגברה PI, אפינית ואלגברית היא מממד סופי). משפט Razmyslov-Kemer-Braun קובע כי רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה נוצרת סופית (מעל חוג קומוטטיבי נותרי) עם זהויות הוא נילפוטנטי.
אידיאלים ראשוניים.
אלגברת PI אפינית מעל חוג נותרי מקיימת את תנאי השרשרת העולה על אידיאלים ראשוניים למחצה. Small הוכיח שהאידיאלים הראשוניים באלגברה אפינית עם זהויות מקיימים את תנאי השרשרת היורדת.
הרחבה שלמה formula_4 של חוגים עם זהויות מקיימת את התכונות Lying over, Going up, Incomparability (בהקשר הזה, אומרים שאידיאל ראשוני formula_5 מונח מעל הראשוני formula_6 אם formula_7 ראשוני מינימלי מעל formula_8). באמצעות שיטת חוג העקבות הראו Razmyslov ו-Schelter כי אם formula_9 אלגברת PI נוצרת סופית מעל המרכז שלה, formula_10 אז קיימים formula_11 מרכזיים כך שהאלגברה formula_12 היא מודול נוצר סופית מעל formula_13. בעזרת רעיון זה הראה Schelter שחוגים עם זהויות הם קטנריים. חוגים עם זהויות מקיימים גרסה לא קומוטטיבית של משפט האפסים של הילברט.
רואן הוכיח כי באלגברת PI ראשונית למחצה, לכל אידיאל (לא אפסי) ישנו חיתוך לא טריוויאלי עם המרכז. משפט פוזנר קובע כי לכל חוג ראשוני עם זהויות ישנו חוג שברים קלאסי, איזומורפי לחוג פשוט מממד סופי מעל המרכז שלו (שהוא שדה השברים של המרכז של החוג המקורי).
תחומים עם זהויות מקיימים את תנאי Ore (לפי הלמה של Jategaonkar) ולכן משוכנים בחוגים עם חילוק.
הצגות.
ממשפט פוזנר נובע שחוג ראשוני עם זהויות ניתן לשיכון בחוג פשוט מממד סופי מעל המרכז שלו; הדבר נכון לחוג חוג ראשוני למחצה המקיים זהות (תוצאה שהוכחה על ידי עמיצור). אלגברה עם זהויות שהיא נותרית ונוצרת סופית מעל שדה (או באופן כללי יותר, מעל המרכז שלה), משוכנת בחוג מטריצות מעל שדה כלשהו.
עמיצור, סמול ואירווינג בנו דוגמות שונות לחוגים שמקיימים את כל הזהויות של מטריצות (מסדר כלשהו) מעל חוג קומוטטיבי, אך אינם משוכנים באף חוג מטריצות מעל חוג קומוטטיבי.
פאיום
קרב תל-חי
הכל דיבורים
הכול דיבורים הייתה תוכנית חדשות ואקטואליה של רשת ב', ששודרה לראשונה בשנת 1989 ברצועה יומית בין השעה 10 בבוקר ל-12 בצהריים. את התוכנית הגישו ברוטציה בכירי השדרנים ועורכי התוכן של קול ישראל ברשות השידור.
התוכנית שילבה חדשות ואקטואליה בנושאים שעומדים על סדר היום הציבורי, כאשר המגישים ניסו לבחון בראיונות עומק סוגיות שונות בתחומי כלכלה, חברה, תרבות, ממשל, ביטחון ועוד.
במהלך שנותיה עוררה התוכנית דיון ציבורי בסוגיות רבות. היא שימשה פלטפורמה תקשורתית מכובדת ונחשבה לאחד מעוגני השידור הציבורי של קול ישראל ברדיו.
התוכנית האחרונה שודרה ב-10 במאי 2017. עם המעבר של קול ישראל לשידור בתאגיד השידור הישראלי, לא חודש שידור התוכנית.
בין מגישיה נמנו יוסי הדר שהגיש את התוכנית במשך 3 שנים בין 2011-2014, ירון דקל, רזי ברקאי, שלי יחימוביץ', ענת דוידוב, דליה יאירי, אסתי פרז, גבי גזית ואילה חסון. עדי מאירי ובני טיטלבוים הגישו את התכנית בשנים 2017-2014.
תיק ביצים
תיק ביצים (באנגלית: Ootheca) הוא מבנה קשיח הנוצר על ידי מינים שונים (בעיקר מקרב חרקים ורכיכות) ומכיל מצבור ביצים.
המילה Ootheca היא לטיניזציה של צירוף מילים שמקורן ביוונית: "oo" - תחילית שמשמעותה ביצים, ו-"theca" שמשמעותה מכסה או מיכל. ביוונית "Ootheke" משמעותה שחלה.
תיק הביצים מכיל לרוב מספר רב של ביצים מוקפות בקצף חלבון המתקשה במגע עם האוויר ליצירת מעטה קשיח המגן על הביצים. חרקים הידועים בתיקי הביצים שלהם הם תיקנאים שאף קיבלו את שמם על שום התיק שנושאת הנקבה וגמלי שלמה, על אף שפעמים רבות מכנים בעברית בטעות את תיק הביצים של גמלי שלמה תטולה.
אברהם דבלמס
אמריקן קאפ
מלכי ספרטה
ספרטה נשלטה בידי מלכים על פי הנוהג שלטו תמיד שני מלכים, כאשר כל אחד היה ממשפחה אחרת.
אמריקן קאפ ה-34
רשימה של מלכי ספרטה
עבאס חילמי הראשון
עבאס חלמי
עבאס פאשא
איזבלה בומפרי
אוריה לוי
אוריה פיליפס לוי (באנגלית: Uriah Phillips Levy; 22 באפריל 1792 - 26 במרץ 1862) היה קומודור בצי האמריקאי. היהודי הראשון שהגיע לדרגה בכירה זו. לזכותו נזקף ביטול עונש המלקות שנהג באותה תקופה בצי, כמו בציים מלחמתיים אחרים.
קורות חיים.
לוי נולד ב-1792 בפילדלפיה, פנסילבניה, ילדם השלישי (מתוך ארבעה), של מיכאל לוי (1755–1812), יהודי ספרדי יליד אנגליה, ורחל פיליפס לוי (1769–1839). אמו, רחל הייתה בתו של מהגר יהודי מגרמניה, ג'ונאס פיליפס (1736–1803), ממייסדי בית הכנסת קהל קדוש מקוה ישראל בפילדלפיה ולוחם במיליציה של פילדלפיה במלחמת העצמאות האמריקאית. אמה, רבקה מקאדו, סבתו של לוי השתייכה למשפחה מפורסמת של יהודים ממגורשי פורטוגל, שהראשונים שבהם הגיעו לאמריקה עוד ב-1654. אחיינו, ג'פרסון מונרו לוי (1852–1924), בנו של אחיו הצעיר ג'ונאס פיליפס לוי (1807–1883), היה חבר הקונגרס האמריקאי במשך שלוש קדנציות, נציג מדינת ניו יורק מטעם המפלגה הדמוקרטית.
כשהיה לוי בן 10 בלבד, הוא ברח מהבית והפך לנער סיפון על אוניית סוחר. הוא חזר הביתה, לחגוג את הבר מצווה שלו ובגיל 15 חזר לים. בתוך ארבע שנים אחר כך, עד גיל 19 הפך לשותף בבעלות על ספינת סוחר בשם "ג'ורג' וושינגטון" וגם רב החובל שלה.
שנה אחר כך פרצה מלחמת 1812 בין ארצות הברית לבריטניה, ולוי בן ה-20 התנדב לצי המלחמתי. בתוקף היותו רב חובל על ספינת סוחר הוא קיבל דרגת לוטננט בפועל. ספינתו של לוי, ה"ארגוס", הטביעה כמה ספינות בריטיות ושבתה כמה אחרות, אך בסך הכל, בסופו של דבר, לוי הספיק להילחם במלחמת 1812 רק מעט יותר משנה, בטרם נפלה ה"ארגוס" בשבי האויב. הצוות כולו נלקח לאנגליה ושהה שם 16 חודש בבית כלא, עד תום המלחמה ב-1815.
אנטישמיות.
ב-1816, כשנה לאחר שחרורו מהכלא האנגלי הוצב לוי באוניית הצי "פרנקלין" וקיבל דרגת רב חובלים ("sailing master"), דרגת קצונה זוטרה של קצין ניווט. אולם גם תקופת שרותו על ה"פרנקלין" הייתה קצרה למדי. אחד מעמיתיו הקצינים השמיע כלפיו הערות אנטישמיות והזמינו לדו-קרב. לוי ניסה תחילה להימנע, אולם משנאלץ בסופו של דבר להילחם, ידע לעשות כן היטב והרג את יריבו האנטישמי. הוא הועמד לדין צבאי (משפט צבאי ראשון מתוך ששה), וזוכה, אך לא הוחזר לספינתו אלא הוצב בספינה אחרת. עם זאת, קידומו לא נעצר וב-1817 הוא קיבל דרגת לוטננט שלישי.