כאשר formula_3 הן הקואורדינטות ו-formula_4 הם המומנטים של החלקיק ה-i בעל מסה m. סך הכוח הפועל על החלקיק ה-i הוא:
formula_5,
כאשר formula_6 היא האנרגיה הפוטנציאלית בין זוג חלקיקים, ו-formula_7 הוא פוטנציאל חיצוני.
על ידי אינטגרציה על חלק מהמשתנים, ניתן להפוך את משוואת ליוביל לשרשרת משוואות שהראשונה שבהן קושרת את ההתפתחות של פונקציית צפיפות ההסתברות של חלקיק בודד לפונקציית צפיפות ההסתברות של שני חלקיקים, המשוואה השנייה קושרת בין פונקציית צפיפות ההסתברות של שני חלקיקים, עם זו של שלושה חלקיקים וכן הלאה.
באופן כללי, המשוואה ה-s קושרת בין פונקציית צפיפות ההסתברות של "s" חלקיקים -formula_8
לבין פונקציית צפיפות ההסתברות של "(s+1)" חלקיקים.
הקשר בין פונקציית צפיפות ההסתברות של s חלקיקים לזו של (s+1) חלקיקים נתון ע"י:
formula_9.
קשר זה עבור פונקציית צפיפות הסתברות של s חלקיקים מתקבל על ידי ביצוע אינטגרציה על משוואת ליוביל על-פי המשתנים formula_10.
הבעיותיות במשוואה המתארת את הקשר בין פונקציות צפיפות ההסתברות formula_11 ו-formula_12, היא שהמשוואה איננה סגורה - כדי לפתור את formula_11 יש לדעת קודם מה היא formula_12, שבתורה דורשת לדעת מה היא formula_15, וכן הלאה עד שמקבלים שוב את משוואת ליוביל השלמה.
עם זאת, אם ישנה אפשרות למדל את formula_12, יהיה ניתן לפתור את formula_11. דוגמה למקרה כזה היא משוואת בולצמן עבור הפונקציה formula_18, שבמסגרתה נעשה מידול ל-formula_19 בהתבסס על הנחת הכאוס המולקולרי. למעשה, במשוואת בולצמן formula_20 התהליך המוגבל של קבלת משוואת בולצמן מתוך משוואות ליוביל מוכר כגבול בולצמן-גראד.
שימושים ופירושים פיזיקליים.
סכמטית, משוואת ליוביל נותנת לנו את ההתפתחות בזמן של מערכת שלמה בעלת "N" חלקיקים החל מ-formula_21 - ביטוי לזרם הבלתי-דחיס של צפיפות ההסתברות במרחב הפאזה. לאחר מכן, ניתן להגדיר באופן הדרגתי את פונקציות ההתפלגות המופחתות על ידי ביצוע אינטגרציה על דרגת חופש נוספת של החלקיק formula_22.
משוואה במדרג "BBGKY" מספרת לנו שההתפתחות בזמן של formula_11 ניתנת כתוצאה ממשוואת ליוביל, אבל עם תיקון המייצג את השפעת הכוח של N-s החלקיקים העצורים:
formula_24.
הבעיה העיקרית עם פתרון מדרג "BBGKY" עבור מקרים שונים, היא שהמדרג קשה לפתירה כמעט כמו פתרון משוואת ליוביל המקורית. עם זאת, ניתן בצע קירובים למדרג "BBGKY" בקלות, וקירובים אלו מאפשרים קיטוע של שרשרת המשוואות, כך שמתקבלת מערכת משוואות סופית. הערך של קירובים אלו הוא שמשוואות התפלגות מסדרים גבוהים יותר - formula_25 ישפיעו על ההתפתחות בזמן של formula_11 באופן מרומז בלבד, על ידי formula_12.
קיטוע של שרשרת "BBGKY" הוא נקודת התחלה שכיחה ליישומים רבים של תאוריה קינטית שניתן להשתמש בהם על מנת לגזור את משוואות הקינמטיקה הקלאסיות או הקוונטיות. בפרט, באמצעות קיטוע ההירכייה במשוואה הראשונה, או בשתי המשוואות הראשונות ניתן לגזור את משוואות בולצמן הקלאסיות או הקוונטיות.
קירובים נוספים, כמו ההנחה שפונקציית צפיפות ההסתברות תלויה רק במרחק היחסי בין החלקיקים, או ההנחה של שליטת ההידרודינמיקה, יכולים גם כן להפוך את שרשרת "BBGKY" לנגישה לפתרון.
ביבליוגרפיה.
פונקציות התפלגות של "s" חלקיקים הוצגו לראשונה במכניקה סטטיסטית קלאסית על ידי ז'אק איבון בשנת 1935. מדרג "BBGKY" של משוואות התפלגות נכתבה ויושמה עבור גזירת משוואות קינטיות על ידי בוגוליובוב, התקבלה בשנת 1945 ופורסמה בשנת 1946 ברוסית ובאנגלית. תיאורית הטרנספורטציה הקינטית הוצגה על ידי קירקווד במאמר שהתקבל באוקטובר 1946, ופורסם במרץ 1946. כמו כן, פורסמו מאמרים עוקבים בנושא זה. המאמר הראשון שפרסמו בורן וגרין עסק בתיאוריות קינטיות כלליות של נוזלים, פורסם בדצמבר 1946.
אוסה אופות
אוסה אופות (באנגלית: Nsé Ufot) היא פעילה, מארגנת קהילתית ומנכ"לית "פרויקט ניו ג'ורג'יה", מוסד ללא כוונת רווח לתמיכה בבוחרים ופעולות משפטיות, שהוקם על ידי סטייסי אברמס בשנת 2013. מאמצי ההתארגנות של אופות בבחירות לנשיאות ארצות הברית 2020 בג'ורג'יה תרמו לכך שחבר האלקטורים של המדינה הלכו למפלגה הדמוקרטית. בשנת 2021 היא נבחרה לרשימת טיים 100 נקטס של מגזין טיים.
ביוגרפיה.
אופות נולדה בניגריה וגדלה בדרום מערב העיר אטלנטה שבמדינת ג'ורג'יה בארצות הברית. אופות מציינת את חוויותיה כאזרחית אמריקאית כמניע למחויבותה להבטחת זכויות הבחירה. כשהייתה בת 14 היא שימשה כשליחה של בית הנבחרים בג'ורג'יה. היא למדה במכון הטכנולוגי של ג'ורג'יה ללימודי התואר הראשון שלה, שם קיבלה B.Sc בפסיכולוגיה בשנת 2002. לאחר מכן למדה בבית הספר למשפטים באוניברסיטת דייטון, שם קיבלה את תואר ה-J.D. שלה .
אופות החלה את דרכה כעורכת דין תאגידית לפני שהפכה ללוביסטית למען זכויות עובדים. היא הייתה עוזרת המנהל של האגודה הקנדית למורי האוניברסיטאות, איגוד הסגל הגדול ביותר בקנדה, ובהמשך שימשה כלוביסטית בכירה וקצינת יחסי ממשל של האגודה האמריקנית לפרופסורים באוניברסיטאות.
לאחר מכן היא הפכה למנכ"לית פרויקט ניו ג'ורג'יה, מוסד ללא כוונת רווח, שהוקם על ידי סטייסי אברמס כדי לחנך ולרשום מצביעים מקבוצות מיעוט אתניות בג'ורג'יה, והקרן הביצועית הנלווית לה, שתומכת ברפורמות להגברת המעורבות האזרחית של קהילות מיעוט אתניות. לפני הבחירות לנשיאות ארצות הברית 2020, פרויקט ניו ג'ורג'יה רשם מעל חצי מיליון אזרחי מדינת ג'ורג'יה להצבעה.
אפורבה מהטה
אפורבה מהטה (באנגלית: Apoorva Mehta) הוא המייסד והמנכ"ל ההודי - קנדי של חברת משלוחי המצרכים Instacart. בשנת 2020 מהטה הפך למיליארדר בגיל 33. נכון לשנת 2021, שווי החברה שלו הוא 39 מיליארד דולר.
ביוגרפיה.
מהטה נולד בשנת 1986 בהודו. הוא עבר עם משפחתו ללוב זמן קצר לאחר שנולד, ולאחר מכן לקנדה כשהיה בן 14. הוא סיים לימודי הנדסת חשמל באוניברסיטת ווטרלו.
מהטה עבד כמהנדס עיצוב בחברות בלקברי וקוואלקום לפני שהצטרף לאמזון בשנת 2008. בהיותו באמזון עבד כמהנדס שרשרת אספקה. מהטה עזב את אמזון ועבר לסן פרנסיסקו בשנת 2010. בין 2010 ל-2012 הוא השיק 20 סטארטאפים, שכולם נכשלו.
הוא הקים את Instacart בשנת 2012. עד שנת 2020 מהטה הפך למיליארדר בגיל 33 עם אחזקה של 10% בחברה שלו. בשנת 2021 הוערך ערכה של Instacart בסכום של 39 מיליארד דולר.
מהטה נכלל ברשימת פורבס 30Under30 בשנת 2013. בשנת 2021 הוא נכלל ברשימת טיים 100 נקסט.
הסחרה
הריבב&quot;ן
חדקן ירוק
חדקן ירוק (שם מדעי: Acipenser medirostris) הוא מין של דג סחוס גרמי ממשפחת החדקניים, המצוי בצפון האוקיינוס השקט מסין ורוסיה במזרח עד לקנדה ואלסקה במערב. הוא אחד משני מיני חדקניים המצויים לחופי קליפורניה לצד חדקן לבן.
מבחינה טקסונומית החדקן הירוק קרוב לחדקן סחלין ("Acipenser mikadoi").
תיאור.
חדקן זה בעל חוטם מכופף וגמיש ולסתות בעלות שפתיים גדולות וחסרות שיניים. הוא בעל שורות לוחיות קשיחות לאורך גופו עשוי הסחוס עד הזנב, סנפיר גבי מעל הזנב וזנב ממוזלג ארוך. החדקן יכול להגיע לאורך של 210 ס"מ ומשקל של 159 ק"ג, אך לרוב הוא קטן יותר. הפרט המבוגר ביותר תועד בגיל 42 אך נראה שהוא יכול לחיות גם על גיל 60 או 70 שנה.
החדקן נפוץ לחופי הימים הממוזגים של צפון האוקיינוס השקט, במים מליחים ואף נודד לנהר רוג ונהר סקרמנטו דבמפרץ קליפורניה כדי להשריץ. החדקן מגשש עם זיפיו סמוך לקרקעית ומחפש טרף של דגים, חסילונים (בעיקר חסילוני Mysida) ותולעים טבעתיות.
החדקן מצוי בסיכון עקב דיג להכנת קוויאר ועקב הקמת סכרים וייבוש נחלים בהם הוא התרבה. כיום המצב של החדקן התאזן עקב פעולות שימור אך הוא עדיין פגיע.
חדקן סחלין
חדקן סחלין (שם מדעי: Acipenser mikadoi) הוא מין של דג סחוס גרמי, המצוי בצפון האוקיינוס השקט שבין חופי יפן, קוריאה, סין ורוסיה עד לים ברינג ומצוי גם במים מליחים ומים מתוקים בהם הוא מתרבה וניזון, בייחוד בנהר טומן.
מבחינה טקסונומית חדקן סחלין הוא קרובו של החדקן הירוק הנפוץ גם במערב האוקיינוס השקט. מספר חוקרים הציעו לראות בו תת-מין אך רוב החוקרים רואים בו מין נפרד. הוא תואר לראשונה ב-1892 בידי החוקר הגרמני פרנז מרטין הילגנדורף.
החדקן יכול להגיע לאורך 150 ס"מ והוא בעל גוון ירוק-זית עד ירוק כהה עם לוחיות צד צהובות-לבנות. החדקן בעל חוטם רחב ושפה מפוצלת לשתיים והוא חסר שיניים. לצד חוטמו החדקי מספר זיפים ארוכים המשמשים לזיהוי טרף כמו דגים וסרטנים.
החדקן מצוי בסכנת הכחדה חמורה בטבע עקב דיג יתר להכנת קוויאר, פגיעה מסירות, תפיסה כשלל לוואי, זיהום מים והקמת סכרים.
קיידן בויד
קיידן בויד (באנגלית: Cayden Boyd נולד ב־24 במאי 1994) הוא שחקן קולנוע וטלוויזיה אמריקאי.
ראשית חייו.
בויד נולד בבדפורד, טקסס לדבי ומייק בויד. אחותו הגדולה, ג'נה בויד, היא גם שחקנית. בויד מנגן בכינור וצ'לו ושיחק כדורגל בתיכון. הוא בוגר אוניברסיטת פפרדיין, במנהל עסקים.
קריירה.
בויד קיבל את תפקידיו הראשונים, תפקידי טלוויזיה קטנים ופרסומות, כבר בגיל 6 ו -7.
הוא גילם את בנו של טים רובינס בסרט בקולנוע מיסטיק ריבר.
בשנת 2004 לוהק לתפקיד הראשי של מקס בסרט "הרפתקאות שארקבוי ולבהגירל" שהוקרן לראשונה בשנת 2005.
הוא שיחק את וורן וורת'ינגטון השלישי בסרט , והוא לוהק לתפקיד הראשי בסרט "יש חלומות, נצא למסע" משנת 2007.
הוא הופיע בפרקים של סדרות טלוויזיה רבות בהן, "פשע מן העבר", וסקראבס.