ב-10 במרץ 1610 פרסם גלילאו את ספרו "Sidereus Nuncius", בו חשף את תגליותיו המרעישות בעזרת הטלסקופ. בכך היה גלילאו הראשון לפרסם תצפיות אסטרונומיות שמתבססות על שימוש בטלסקופ. תגליתו הראשונה הייתה כי פני הירח אינם מושלמים וחלקים, כפי שמקובל היה לחשוב, אלא מחורצים בהרים ובעמקים, בדומה לפני כדור הארץ. בכל מקום ברקיע שאליו הפנה גלילאו את הטלסקופ התגלו כוכבים חדשים. שביל החלב, שלעין הבלתי מזוינת נראה בעבר רק כזוהר חיוור בשמיים, התגלה כמצבור עצום של כוכבים. אך התגלית המרכזית הייתה גילוי ארבעת הירחים הגדולים של צדק. תצפיות אלו הוכיחו, אליבא דגלילאו, כי אותה פיזיקה שולטת בשמים ובארץ, וכי תנועת גרמי השמיים אינה סובבת סביב כדור הארץ. לאחר פרסום הספר גלילאו גילה עוד, בעזרת הטלסקופ, את הטבעות של שבתאי, את העובדה שכוכב הלכת נוגה סובב סביב השמש, והצליח להסביר את הכתמים על פני השמש. ישנם חוקרים אשר רואים בשימוש שעשה גלילאו בתמונות ניסיון של המדען לשכנע באופן ויזואלי את קוראיו באמיתות טענותיו ובאמינות מכשירו - ניסיון שנבע מחוסר יכולתו להסביר באופן מדעי כיצד פועל המכשיר.
לאחר פרסום הספר, שעורר סערה גדולה ונתקל בהתנגדות, הוביל גלילאו מסע נמרץ לאישור תגליותיו ולקבלת מכשירו ככלי החדש שאיתו יש לצפות ברקיע. התגובה הראשונית של העולם האקדמי הייתה לדחות את טענותיו המדהימות, לא רק משום טבען יוצא הדופן אלא גם משום שנעשו באמצעות טלסקופ, מכשיר שנתפס כלא אמין ויוצר אשליות. במסגרת נסיונותיו לבסס את מעמדו וסמכותו של הטלסקופ ככלי מדעי, שלח גלילאו לאסטרונומים חשובים את הטלסקופים שייצר, כדי שיוכלו לצפות במו עיניהם בתגליותיו, ובכך יאשרו ויתַקֶפו את תצפיותיו. התשובה שקיבל מכמה קולגות הייתה סירוב לבדוק את המכשיר, משום שחשבו שהדימויים שמראה המכשיר אינם משתקפים דרכו אלא נוצרים על ידיו (כמו בקלידוסקופ). אחרים טענו שאם אלוהים היה מעוניין שבני אדם ישתמשו בהמצאות מעין אלו כדי להשיג ידע על העולם, הוא היה מצייד אותם בעיני טלסקופ.
טלסקופ מחזיר אור.
כבר ב-1616 הגה הנזיר האיטלקי ניקולו זוקי את השימוש במראה קעורה במקום בעדשה על מנת לרכז את האור, אולם הוא לא הצליח לייצר מראה קעורה מדויקת דיה. אייזק ניוטון בנה טלסקופ מחזיר אור 40 שנה מאוחר יותר, ועל שמו נקרא המודל טלסקופ ניוטוני.
בטלסקופ ניוטוני מותקנת מראה ראשית בעלת חתך של פרבולה, המרכזת את קרני האור לעבר מראה משנית שטוחה. המראה המשנית מוחזקת בזווית בת 45 מעלות לציר האופטי של המראה הראשית, וכך מחזירה את חרוט האור המתקבל מן המראה הראשית לצד הטלסקופ, בו ממוקמת עדשת העינית.
המודל הניוטוני סבל מתחילת דרכו מהקושי בייצור מראה בעלת חתך פאראבולי. בנוסף לכך סובל הטלסקופ הניוטוני מעיוות ההולך וגובר ככל שזווית האור הנכנס מתרחקת מהציר האופטי של המראה הראשית.
מודלים אחרים המשתמשים במראות פותרים בעיות אלו באמצעות חתכים שונים וארגון שונה של המראות. ראויים לציון הטלסקופ של מקסוטוב, המשתמש במראה ספרית עם עדשת מיניסקוס מתקנת ומספק חדות גבוהה מאוד, וטלסקופ של ריצ'י-קרטיין המשתמש בזוג מראות ששתיהן בעלות חתך של היפרבולה ומצטיין בשדה נטול עיוותים גאומטריים.
מודל ריצ'י-קרטיין הוא הנפוץ ביותר לטלסקופים המשמשים למחקר, דוגמת טלסקופ החלל האבל. לעומת זאת המודל הניוטוני עדיין נמצא בשימוש רחב בקרב חובבי אסטרונומיה בזכות עלות יצורו הנמוכה.
סוגי טלסקופים.
כל הטלסקופים נועדו לאסוף גלי אור או גלים אלקטרומגנטיים אחרים למקדם ולתרגמם לתמונה שהצופה יכול להבין. כל אחד מסוגי הטלסקופים שבהמשך נועד לטפל בגלים באורך גל שונה.
טלסקופים אופטיים.
טלסקופ אופטי אוסף ומרכז אור בעיקר מהתחום הנראה של הספקטרום האלקטרומגנטי, ישנם טלסקופים שעובדים בתחום התת אדום והעל סגול. טלסקופים אופטיים מתחלקים ל-3 סוגים.
בשנים האחרונות מתנהל מאמץ מחקרי לבחון את השימוש בעקרונות האופטיים של עדשות פרנל לבניית טלסקופי חלל שיהיו קלים בהרבה מאשר טלסקופים מחזירי אור באותה עצמה.
טלסקופ רדיו.
רדיו-טלסקופ הוא טלסקופ שמשתמש בקרינת רדיו, שהיא קרינה אלקטרומגנטית המאופיינת בתדירות נמוכה יחסית ואורכי גל ארוכים. קרינת רדיו נפלטת על ידי מגרמי שמים שונים בחלל, כמו כוכבים וגלקסיות. לרוב, טלסקופי רדיו בנויים בצורת אנטנות צלחת פארבוליות ענקיות, או מערכים של צלחות קטנות יותר.
טלסקופ קרני גמא וקרני רנטגן.
טלסקופים הצופים בקרינת גמא ובקרני רנטגן קשים לעיצוב ולהרכבה כיוון שסוגי קרינה אלה עוברים דרך רוב המתכות והזכוכיות. טלסקופים אלה מותקנים לרוב על לוויינים או בלונים המשייטים בגובה גבוה, היות שהאטמוספירה של כדור הארץ חוסמת ומעמעמת חלק זה של הספקטרום האלקטרומגנטי.
חלקי הטלסקופ האופטי ומאפייניו.
בטלסקופ פשוט המרחק בין העינית והעצמית שווה לסכום אורכי המוקד שלהם.
בטלסקופ גלילאו המרחק בין העינית והעצמית שווה להפרש אורכי המוקד שלהם.
פירוק לגורמים של מספר שלם
במתמטיקה, פירוק לגורמים של מספר שלם הוא פירוקו של המספר למספרים קטנים יותר, הקרויים גורמים, כך שמכפלת הגורמים זה בזה תתן את המספר המקורי. לדוגמה, את המספר 6936 ניתן לפרק לגורמים ראשוניים 172 · 3 · 23 = 6936.
לפי המשפט היסודי של האריתמטיקה, לכל מספר טבעי גדול מ-1 קיימת הצגה יחידה כמכפלה של מספרים ראשוניים (עד כדי שינוי סדר הופעת הגורמים). תכונה זו של המספרים הראשוניים הופכת אותם למעין "אטומים" של המספרים השלמים.
ידיעת הפירוק לגורמים ראשוניים של מספר מסוים מספקת ידיעה מלאה על כל מחלקיו של מספר זה. דוגמה: הפירוק לגורמים של המספר 6936 המופיע לעיל מלמד אותנו שכל מחלק של מספר זה הוא מהצורה formula_1 כאשר
formula_2.
&lt;br&gt;זה מביא אותנו ל-3 · 2 · 2 · 2 = 24 מחלקים בסך הכל.
פירוק לגורמים של מספר שלם גדול במיוחד (בן מאות ספרות) הוא בעיה שפתרונה, באמצעות האלגוריתמים הידועים כעת למטרה זו, דורש מאות שנים, גם כאשר משמשים למטרה זו המחשבים המהירים ביותר. קושי זה הוא הבסיס לשיטות הצפנה א-סימטרית רבות.
פירוק מספר גדול לגורמים.
עד אמצע המאה ה-20 הבעיה העסיקה מעטים שהתמידו בחיפוש שיטות יעילות יותר לפירוק מספרים גדולים לגורמים. בחצי השני של המאה העשרים, עם התפתחות המחשבים ועלייתה של הקריפטוגרפיה, במיוחד מערכות אבטחה אסימטריות שמסתמכות על פירוק לגורמים ככלי הצפנה כמו RSA ודומיה, עלתה רמת העניין בבעיה זו. כיום הבעיה נחשבת לאחת הבעיות החשובות בתורת המספרים והיא מעסיקה מתמטיקאים רבים מכל העולם. חשיבותה נודעת לא רק מהיבט קריפטוגרפי אלא בעיקר כבעיה חישובית המשמשת כמדד יכולת וידע טכנולוגי. חברת RSA פרסמה בעבר רשימת מספרים שהם כפולה של שני ראשוניים גדולים, שהציבה כאתגר לציבור עם פרס בצידם למי שיצליח לפרקם לגורמים. מספרים אילו מכונים מספרי האתגר של RSA ומיוצגים על ידי RSA-xxxx כשה-xים מציינים את מספר הספרות (בבסיס בינארי, ולעיתים בבסיס עשר). למשל הפרס למי שיצליח לפרק לגורמים את המספר RSA-2048 (בגודל 617 ספרות עשרוניות) היה 200,000 דולר. אולם פרויקט האתגר בוטל בראשית 2008.
לפני שלוש מאות שנה, שיער המתמטיקאי הצרפתי מרן מרסן שהמספר formula_3 פריק. 100 שנים מאוחר יותר הוכח שהוא צדק, עם זאת אפילו רק לפני כשני עשורים, המאמץ שנדרש לפירוק מספר זה היה כמעט מעבר ליכולת הטכנולוגית באותה עת. ב-1984 ההערכה הייתה שלפירוק המספר יידרשו formula_4 שנים בקירוב. המספר פורק בהצלחה באותה שנה בתוך 32 שעות, שיא עולמי. אם בשנת 1970 בקושי ניתן היה לפרק מספר בן 20 ספרות עשרוניות, הרי שתוך פחות מעשור לאחר מכן חלה התקדמות משמעותית.
ב-1980 הצליחו ג'ון ברילהרט ומייקל מוריסון לפרק לגורמים מספר בן 50 ספרות עשרוניות באמצעות שברים משולבים בהתבסס על רעיון של מאוריס קרייצ'יק. ב-1990 הצליח צוות מתמטיקאים לפרק לגורמים מספר בן 116 ספרות עשרוניות תוך שימוש באלגוריתם הנפה הריבועית של קרל פומרנץ ובשנת 1994 באמצעות אותו אלגוריתם פורק בהצלחה מספר האתגר RSA-129. במאי 2005 הסתיים באוניברסיטת בון מאמץ ממושך שהחל בסוף 2003 בפירוק המספר RSA-200 (כ-663 סיביות) לגורמים. הפירוק בוצע באמצעות אלגוריתם נפת שדה מספרים הכללי של ג'ון פולרד, האחים לנסטרה (הנדריק וארג'ן) ומרק מאנס, בזמן של 55 שנות מעבד אופטרון 2.2GHz יחיד, על ידי צוות מתמטיקאים בראשות בוהר, בוהם, פרנק וקלנג'ונג. בנובמבר 2005 הצליח אותו צוות עם אותו אלגוריתם לפרק לגורמים את המספר RSA-640 (בגודל 193 ספרות עשרוניות) במאמץ של כ-30 שנות מעבד אופטרון 2.2GHz בתוך חמישה חודשים,
בשנת 2020 פורק המספר הגדול ביותר עד כה, , שהוא בעל 250 ספרות עשרוניות (829 ספרות בבסיס בינארי).
מספרי פרמה ומספרי קנינגהם.
מספרי פרמה formula_5 קרויים על שמו של פייר דה פרמה, שהתעניין בפירוק לגורמים בשל הקשר למספרים משוכללים ומספרים ידידים. הוא טען והוכיח, כי מספרים מהצורה formula_6 יכולים להיות ראשוניים רק אם formula_7 הוא חזקה של formula_8. הוא האמין שמספרים אלו ראשוניים כולם. כיום ידוע שלא, למשל formula_9 מתחלק ב-641, אם כי פרמה עצמו החמיץ עובדה זו מסיבה לא ידועה. שנים לאחר מכן הוכיח גאוס את חשיבות מספרי פרמה בגאומטריה אלמנטרית, ומתמטיקאים רבים ניסו כוחם בפירוק מספרי פרמה תוך שימוש במיטב האלגוריתמים הידועים בתקופתם.