מאפיין חשוב נוסף של כוכבי הלכת הוא שיפוע ציר (Axial Tilt) אשר קובע את הזווית של כוכב הלכת ביחס לקו המשווה של השמש. מאפיין זה משפיע ישירות על כמות האור שמקבל כל קוטב של כוכב הלכת, וכך נוצרות העונות של כוכבי הלכת ושינויי אקלים לאורך השנה. בצדק שיפוע הציר מאוד נמוך ולכן התנודות העונתיות שלו מינימליות. אורנוס לעומת זאת, בעל שיפוע ציר כה קיצוני עד שהוא נמצא כמעט על צידו.
כוכבי הלכת, כמו השמש ושאר גרמי השמיים, נראים "זורחים" במזרח ו"עורבים" במערב (בגלל סיבוב כדור הארץ סביב עצמו). אבל, אם משווים את המיקום של כוכב לכת יחסית לכוכבי השבת לילה אחרי לילה ניתן להבחין שכוכבי הלכת "גולשים" לאט לכוון מזרח של מפת השמיים. גלישה זאת (הנקראת תנועה קדומנית) היא איטית ביותר ואי אפשר להבחין בה במהלך לילה אחד. מאדים, למשל, ישלים סיבוב שלם מזרחה על פני מפת השמיים במשך כמעט שנתיים. תופעה זאת נובעת מכך שכוכבי הלכת נעים כל לילה עוד קצת "מזרחה" במסלולם סביב השמש.
פעם בזמן מה (במחזור שאורכו כאורך המחזור הסינודי של כוכב הלכת) כוכב הלכת מאט את תנועתו מזרחה על פני מפת השמיים, נעצר, ומתחיל לנוע בכיוון ההפוך - כלומר מערבה על פני מפת השמיים. זאת היא התנועה האחורית (או הנסיגה) של כוכב הלכת. התנועה האחורית (כמו הקדומנית) היא איטית וניתן להבחין בה רק על ידי השוואת מיקום כוכב הלכת לשאר מפת השמיים מלילה ללילה. הנסיגה ממשיכה במשך כמה שבועות (בין 41 יום אצל מאדים ועד 158 יום אצל נפטון) ואז כוכב הלכת מאט שוב את תנועתו אחורנית, עומד שוב, וחוזר לתנועתו הרגילה מזרחה על פני מפת השמיים.
כוכבי לכת ננסים.
לפני שנת 2006 מרבית הגופים הגדולים שהתגלו סווגו ככוכבי לכת, ואולם בשנה זו חלק מגופים אלה סווגו מחדש ככוכבי לכת ננסיים היות שהמסה והרכב שלהם היו שונים מכוכבי הלכת המקובלים.
נכון להיום חמישה גופים סווגו ככוכבי לכת ננסים:
כוכב לכת חוץ-שמשי.
כוכב לכת חוץ-שמשי הוא כוכב לכת שלא נמצא בתחומה של מערכת השמש, ומקיף כוכב שאינו השמש. נכון לינואר 2016, אושר גילויים של 2,049 כוכבי לכת כאלה וזוהו עוד אלפי מועמדים. ב-18 בינואר 2007 שוגר הלוויין COROT של סוכנות החלל האירופאית שמטרתו לגלות כוכבי לכת חוץ-שמשיים נוספים. ב-6 במרץ 2009 שוגר טלסקופ החלל קפלר שמיועד גם הוא למצוא כוכבי לכת חוץ-שמשיים. נכון ל-2011 התפלגות המועמדים לכוכבי לכת (כולל אלה שעדיין לא אושרו) שקפלר מצא היא כ-50% דמויי נפטון ואורנוס כ-40% כוכבי לכת סלעיים וכ-10% דמויי צדק או גדולים מצדק. בנוסף ישנם גם סוג של כוכבי לכת הנקראים כוכבי לכת ארציים, שהראשון ביניהם שנתגלה הוא קפלר 10B.
גאומטריה לא-אוקלידית
גאומטריה לא־אוקלידית היא תורה גאומטרית, שבה מתקבלות תוצאות שונות מהגאומטריה של אוקלידס, על ידי שינוי חלק מהאקסיומות שבבסיסה.
הגאומטריה האוקלידית, המוגדרת על ידי האקסיומות שתיאר אוקלידס ביסודות, נחשבה מאות בשנים לגאומטריה המתארת את הטבע. עם זאת, האקסיומה החמישית של אוקלידס, אקסיומת המקבילים, מורכבת ביחס לשאר האקסיומות, והיא נתפסה כפחות טבעית. לפיכך נעשו מאמצים רבים להוכיח שאקסיומה זו נובעת מהאקסיומות האחרות, כלומר – אינה אקסיומה אלא משפט. מאמצים אלה עלו בתוהו במשך מאות שנים, עד שבראשית המאה ה-19 הבינו מתמטיקאים אחדים שנדרש כיוון שונה.
לרעיון שניתן להחליף את אקסיומת המקבילים באקסיומה אחרת, ובכך לקבל גאומטריה שונה מהגאומטריה האוקלידית אך תקפה באותה מידה, הגיע לראשונה גאוס, שחשש לפרסם רעיון כה חדשני. גאוס גילה רבות מהתכונות היסודיות של הגאומטריה הלא אוקלידית (או, באופן ספציפי יותר, של הגאומטריה ההיפרבולית): אי-האפשרות של צורות דומות, קיומו של אורך אבסולוטי א-פריורי (absolute length), גילה והוכיח את הקשר בין האינטגרל על עקמומיות המשטח לגירעון הזוויתי של משולש על פניו (ההפרש בין סכום זוויותיו ל-180 מעלות), מצא נוסחה לשטח המקסימלי של משולש בגאומטריה היפרבולית, וכן נוסחה להיקף מעגל בגאומטריה היפרבולית. אחריו, בשנות העשרים של המאה ה-19, הגיעו לרעיון באופן בלתי תלוי המתמטיקאי הרוסי ניקולאי איוונוביץ' לובצ'בסקי וקצין הצבא ההונגרי יאנוש בויאי. אחת הגרסאות הלא־אוקלידיות, הגאומטריה ההיפרבולית, אומרת שדרך נקודה מחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה (ולא אחד בלבד כבגאומטריה האוקלידית). בגרסה אחרת של גאומטריה לא־אוקלידית, הגאומטריה הפרויקטיבית והגאומטריה הכדורית, שאותן פיתח ברנהרד רימן, תלמידו של גאוס, אומרת האקסיומה שכל שני קווים ישרים - נפגשים. בגאומטריה זו לא קיימים ישרים מקבילים.
מאוחר יותר פיתח רימן את הגאומטריה הרימנית שמכלילה את כל הגאומטריות הנ"ל והניחה את היסודות לתחום הנקרא גאומטריה דיפרנציאלית, המטפל בין השאר ביריעות בעלות עקמומיות משתנה. ב-1868 נעזר אוגניו בלטרמי בשיטה הכללית של רימן כדי לבנות מודלים לגאומטריה ההיפרבולית. בשנות השבעים של המאה ה-19 חיבר אנרי פואנקרה את הרעיונות האלה אל הנושאים המרכזיים במתמטיקה של תקופתו, והפך אותם לכלי חיוני בתורת המספרים האנליטית.
עד סוף המאה ה-19 התברר שהגאומטריות הלא־אוקלידיות אינן רק תרגיל ביסודות האקסיומטיים של הגאומטריה: כשם שהגאומטריה האוקלידית מהווה בסיס למכניקה של אייזק ניוטון, כך מהווה הגאומטריה הדיפרנציאלית (שמאפשרת מרחב לא-אוקלידי) המיושמת על יריעה פסאודו-רימנית (כלומר: יריעה בה הטנזור המטרי לא חיובי לחלוטין) בסיס לתורת היחסות הכללית, והיא הגאומטריה שמתארת נאמנה את המרחב-זמן.
עקביות הגאומטריה הלא-אוקלידית.
הדרך הטובה ביותר להשתכנע שהתורה החדשה עקבית, כלומר, שאין בה סתירות, היא לבנות מודל שלה במסגרת תאוריה אחרת, מקובלת יותר. פירושו של דבר הוא שבמסגרת התאוריה הוותיקה, בוחרים קבוצה שתייצג את המישור בגאומטריה הלא-אוקלידית, ומאפיינים את הנקודות ואת הקווים הישרים במישור זה. כל שנדרש מן המודל הוא שהקווים והנקודות שלו יקיימו את האקסיומות של התורה החדשה. אם קיים מודל כזה, אז העקביות של התאוריה החדשה נובעת מזו של התאוריה הישנה.
המודלים המקובלים לגאומטריה לא-אוקלידית הם במסגרת הגאומטריה האוקלידית. קיומם של מודלים כאלה מוכיח כי אם הגאומטריה האוקלידית עקבית, הרי שבהכרח תכונה זו חלה על הגאומטריה הלא-אוקלידית. זו בפני עצמה הוכחה שאקסיומת המקבילים (האוקלידית) בלתי תלויה באקסיומות הגאומטריות האחרות (העקביות של הגאומטריה האוקלידית עצמה נשענת על העקביות של תורת הקבוצות, דרך המודל הסטנדרטי של המרחב האוקלידי).
ניתן לפרש חלק מהגאומטריות הלא־אוקלידיות כגאומטריה של פני משטח עקום במרחב אוקלידי תלת־ממדי. בפירושים אלה הגאומטריה ההיפרבולית היא הגאומטריה על פני אוכף ואילו הגאומטריה של רימן היא גאומטריה על פני כדור.
גיאומטריה לא-אוקלידית
בניות בסרגל ומחוגה
גאומטריה
גאומטריה (מיוונית עתיקה – γεωμετρία. γεω – "אדמה" או "קרקע"; μέτρον – "מדידה") היא ענף של המתמטיקה העוסק בצורות ובמבנים, ובהם הישויות: נקודות, קווים ישרים, עקומות, משטחים, מעגלים ופאונים. הגאומטריה עוסקת בהוכחת טענות לגבי הישויות בעזרת משפטים, המתבססים על אקסיומות. דוגמה למשפטים גאומטריים מהווים משפטי חפיפה. דוגמאות לאקסיומות מופיעות בערך נקודה. המבנים היסודיים של הגאומטריה (בדרך כלל, נקודה, קו ישר, מישור, ולעיתים גם הזווית והמרחק) מתוארים באמצעות האקסיומות שהם מקיימים. גישה כזו אינה מסתפקת בתיאור שיטות ואבחנות גאומטריות, אלא מתארת במפורש את הנחות היסוד (האקסיומות), וגוזרת מהן בדרך של הוכחה את המשפטים המתייחסים לאותם מבנים.
היסטוריה.
גאומטריה היא מענפי המתמטיקה העתיקים ביותר. הגאומטריה התחילה להתפתח במזרח אסיה ובמצרים העתיקה. היוונים הקדמונים עסקו בה בהרחבה והביאו אותה לכדי מיצוי. הבסיס והמבוא השיטתי לה, מופיע בספריו של אוקלידס "יסודות".
המלה "גאומטריה" באה מלשון גאיה - אלת האדמה במיתולוגיה היוונית ומטריה - מדידה. מקור זה מעיד על שורשיה המעשיים של הגאומטריה - מדידת חלקות אדמה, אך כבר היוונים הקדמונים הפכו את הגאומטריה למדע עיוני העומד בפני עצמו, שאינו זקוק לתמריצים חיצוניים. המחשת המשמעות העיונית המנותקת מצרכים מעשיים של הגאומטריה, ניתנת – למשל – בבעיות בנייה בסרגל ומחוגה בלבד.
התיאור הראשון של הגאומטריה שבו נעשה מאמץ לדייק בניסוחים ולהניח תשתית אקסיומטית הוא סדרת הספרים (מגילות) "יסודות" של אוקלידס, במאה השלישית לפני הספירה (להרחבה בנושא זה, ראו גאומטריה אוקלידית). יצירתו של אוקלידס הציבה רף גבוה של קפדנות מתמטית, ובמשך יותר מאלפיים שנה לא הורגש צורך לשפר את הטיפול במושגי היסוד הגאומטריים. במשך השנים נעשו ניסיונות רבים להוכיח את אקסיומת המקבילים מתוך האקסיומות האחרות. ניסיונות אלה נכשלו כולם, עד השליש הראשון של המאה ה-19, שבו הביאו לפיתוח הגאומטריות הלא-אוקלידיות.
בסוף המאה ה-19, במקביל לייסוד תורת הקבוצות, הוברר שהמערכת של אוקלידס אינה עומדת בסטנדרטים המודרניים. לדוגמה, הוא מתייחס למושגים כמו חפיפה או השוואה של זוויות כמושגים 'טבעיים', והאקסיומות שלו אינן מפרטות את תכונותיהם. בפרט, גישה זו אינה מספיקה לתיאור הגאומטריה האוקלידית כשפה מסדר ראשון.