עלו טיעונים מצד החוקרים, הגורסים שהיטלר היה גם בעל נטיות הומוסקסואליות, אך רוב החוקרים שוללים זאת. ההיסטוריון פרופ' איאן קרשו, מחברה של הביוגרפיה "היטלר" (בשני כרכים), כתב שהיטלר "נגעל מהומוסקסואליות"; וזאת מלבד העובדה שהתנועה הנאצית, שהיטלר היה מראשי מתווי דרכה, התנגדה התנגדות אקטיבית להומוסקסואליות, והענישה בעלי נטייה זו בעונשים חמורים.
ישנן דעות אחרות במחקר, המייחסות להיטלר נטיות נוספות על רקע מיני (דהיינו שהיה ביסקסואל, א-מיני) או מזוכיסט.
תת-קבוצה
בתורת הקבוצות, אומרים שהקבוצה הנתונה formula_1 היא תת־קבוצה של הקבוצה הנתונה formula_2 אם כל איבר של הקבוצה formula_1 שייך גם לקבוצה formula_2. (בניסוח פורמלי: לכל formula_5 מתקיים formula_6).
את הקשר "formula_1 מוכלת ב־formula_2" (או: formula_1 חלקית ל־formula_2, או: formula_1 תת־קבוצה של formula_2, או, formula_2 מכילה את formula_1) מסמנים כך: formula_15, והוא מכונה יחס ההכלה.
מאפיינים.
הקבוצה הריקה היא קבוצה חלקית לכל קבוצה נתונה. זאת מכיוון שלא קיים בקבוצה הריקה איבר שלא נמצא בקבוצה הנתונה (הטענה נכונה באופן ריק כיוון שלקבוצה הריקה אין איברים כלל).
ליחס ההכלה המאפיינים הבאים:
אם כן, יחס ההכלה הוא יחס סדר חלקי: הוא רפלקסיבי, אנטיסימטרי חלש וטרנזיטיבי. היחס אינו שלם: כי יש זוגות של קבוצות (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הישראלים, או הקבוצה formula_25 והקבוצה formula_26) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.
יחסים נוספים.
באמצעות יחס ההכלה ניתן להגדיר את יחס השוויון בין קבוצות; אומרים שהקבוצה formula_2 שווה לקבוצה formula_1 אם ורק אם הקבוצה formula_2 מכילה את הקבוצה formula_1 וגם הקבוצה formula_1 מכילה את הקבוצה formula_2. (בכתיב פורמלי: formula_33).
באמצעות יחס ההכלה ויחס השוויון ניתן להגדיר יחס נוסף; כאשר הקבוצה formula_2 מכילה את הקבוצה formula_1 אך אינה שווה לה (יש איבר בקבוצה formula_2 שהוא אינו איבר בקבוצה formula_1, ובניסוח פורמלי formula_15 וגם formula_39), נאמר שהקבוצה formula_2 מכילה ממש את הקבוצה formula_1, או במילים שקולות: הקבוצה formula_1 היא חלקית ממש לקבוצה formula_2. יחס זה מסמנים formula_44. (בכתיב פורמלי: formula_45).
הסימון formula_46 עשוי להטעות: בעוד שכאן (ובמרבית הספרים והמאמרים המודרניים) מציינים formula_47 ו־formula_46 הכלה ו"הכלה ממש" בהתאמה, יש ספרים שבהם משתמשים בסימונים formula_46 ו־formula_50 לאותן מטרות, בהתאמה.
סימטריה
סִימֶטְרִיָּה (מיוונית: συμμετρεῖν - למדוד ביחד)
בשפה היומיומית מתארת תחושה של פרופורציה, הרמוניה ושיווי משקל, או מושג מתמטי מדויק, שמשתמשים בו במסגרת החוקים של מערכות פורמליות, כגון גאומטריה ופיזיקה לתאר בדרך כלל אובייקט שאינו משתנה תחת כמה טרנספורמציות. מכיוון שיש קשר בין שתי המשמעויות, הן נדונות יחד בערך זה. ההפך של סימטריה הוא אסימטריה.
במתמטיקה.
בגאומטריה.
הסימטריה הידועה ביותר היא סימטריה גאומטרית. לרוב, עצם גאומטרי נחשב סימטרי אם קיימת איזומטריה המשמרת אותו במקום. לדוגמה, למעגלים וכדורים יש מספר אינסופי של איזומטריות שיעבירו אותן לעצמן, למשל סיבוב סביב מרכזם. יש מספר סוגי סימטריה במישור, כל אחד מתקשר לסוג שונה של איזומטריה:
סימטריית שיקוף.
שיקוף של מישור ביחס לישר הוא העתקה שמעבירה כל נקודה לנקודה הנמצאת במרחק שווה מהישר, כך שהקו המחבר ביניהן מאונך לישר (כלומר הישר הוא אנך אמצעי שלו). את הישר מכנים ציר הסימטריה. הנקודות שעל הישר עצמו נשארות במקומן. זוהי הפעולה המתקבלת כאשר מתבוננים במישור דרך מראה המוצבת על הישר הקבוע. לדוגמה, שיקוף ביחס למראה מאונכת יעביר את האות גימל לאות זין (בכתב יד), וישאיר ללא שינוי את האותיות שין או חית. שיקוף היא העתקה שומרת מרחקים.
השיקוף מתאפיין בכך שהוא העתקה שומרת מרחקים מסדר 2, כלומר, הפעלת השיקוף פעמיים, ביחס לאותו ישר, מחזירה את המרחב לקדמותו. בדומה לזה, הפעלה של שני שיקופים ביחס לישרים מקבילים מהווה הזזה בכיוון המאונך לישרים ובאורך הכפול מהמרחק ביניהם, ואילו הפעלה זו של שני שיקופים ביחס לישרים נחתכים הוא סביב סיבוב של המישור ביחס לנקודת החיתוך שלהם ובזווית כפולה מהזווית ביניהם. כל איזומטריה של המישור ניתנת להגדרה כהרכבה של עד שלושה שיקופים ובהזזה נוכל לקבל צורה.
בניגוד לסיבוב והזזה, השיקוף היא פעולה הופכת אוריינטציה, כלומר את כיוון העצמים. לדוגמה, אם נתון משולש שסדר קודקודיו הם ABC בכיוון השעון, אז הוא יעבור למשולש 'A'B'C שסדר קודקודיו נגד כיוון השעון.
בתורת החבורות.
חבורות רבות הן תמורות על איברי קבוצה מסיימת, תחת התנאי שהפעולה משמרת מספר תכונות. דוגמאות לכך הן החבורה הדיהדרלית, חבורת איזומטריות וחבורת ההעתקות פרויקטיביות. עבור מבנה מתמטי, חבורת הסימטריות היא למעשה חבורת האוטומורפיזמים של המבנה.
בפילוסופיה.
בדיאלוג טימאוס משווה אפלטון את חמשת הפאונים האפלטוניים לארבעת היסודות וליקום. בהתאמה זו, היקום מתאים לתריסרון, שהוא הקרוב ביותר בצורתו לכדור, שהוא "המושלמת בין הצורות והדומה ביותר לעצמה". כל הפאונים האפלטוניים סימטריים, אבל הכדור נחשב בעיני אפלטון ליותר סימטרי מהם, משום שיש אינסוף דרכים להעתיק אותו אל עצמו.
סימטריה היא מושג מרכזי בענף הפילוסופי אסתטיקה.
אריסטו גרס כי "צורות היופי העיקריות הן סדר, סימטריה ומוגדרות, הבאים לידי ביטוי במיוחד במדעי המתמטיקה" (אריסטו, מטאפיזיקה).
סימטריה לרוב נתפסת כדוגמה לאסתטיקה וליופי, ולכן בניינים, קומפוזיציות, פסלים וגנים לרוב נעשים בצורה סימטרית. באדריכלות של העת העתיקה וימי הביניים הייתה שאיפה לבנות מבנים סימטריים, כאשר הסימטריה העיקרית היא סימטריית שיקוף ימין-שמאל. יש חוקרים הטוענים שהסימטריה בכנסיות ימי הביניים הייתה רק מקורבת ובכוונה נשתלו בה פגמים קטנים כדי להעביר מסר שרק אלוהים הוא מושלם.
אף על פי כן, האמנות המודרנית דווקא אינה דוגלת תמיד בסימטריה. כך, למשל, לה קורבוזיה, מהאדריכלים הנודעים של המאה ה-20, טען כי "הסימטריה היא ההרמוניה של העניים", והעדיף את השימוש ביחס הזהב.
בכימיה.
פעולת סימטריה, המשאירה מולקולה ללא שינוי, כלומר, באוריינטציה זהה למקורית, נקראת פעולת זיהוי (המושג אוריינטציה זהה אינו זהה למושג אוריינטציה שקולה). כאשר מסובבים את ציר C2 פעם אחת, אז מתקבלת אוריינטציה שקולה, ורק הסיבוב השני ייתן אוריינטציה זהה. ציר C3 בסיבוב °120 סביב ציר יתן לנו אוריינטציה שקולה למקורית, כך גם סיבוב ב- °240, ורק הסיבוב השלישי סביב ציר המולקולה תוביל לזהות.
פעולת הזיהוי מסמנים ב-I. אי פעולה אף היא זהות: אם אין משנים את מצבה של מולקולה, הרי ברור שהוא נשאר כפי שהיה.
אפשר לסובב מולקולות במגמת השעון ונגד מגמת השעון. למשל, פעולות C3 במגמת השעון ונגד מגמת השעון נותנות אוריינטציות שקולות, אך לא זהות.
בפיזיקה.
בפיזיקה המודרנית נעשה שימוש רב בסימטריות. כאשר קיימת סימטריה מסוימת למערכת פיזיקלית ניתן ללמוד מכך רבות על התכונות של אותה המערכת. הדוגמה החשובה ביותר לכך היא משפט נתר לפיו כל סימטריה גוררת חוק שימור בקואורדינאטה הצמודה. לדוגמה, סימטריה של חוקי הפיזיקה בזמן גוררת את חוק שימור האנרגיה.
הסימטריה המרחבית היא כלי מאוד חשוב בקריסטלוגרפיה, בה מטפלים לרוב בגבישים בעלי מבנה מחזורי (חתיכות גדולות של סריגי בראבה או סריג בראבה עם בסיס).
נושא הסימטריות התגלה כחשוב ביותר גם בפיזיקה של חלקיקים אלמנטריים, כאשר יובל נאמן ומארי גל-מאן גילו שאם מסדרים קבוצה מסוימת של חלקיקים לפי התכונות שלהם מקבלים מבנה של חבורה. יש קשר בין הסימטריות של חבורה זו למבנה המרחב-זמן. במסגרת תורת המיתרים נידון גם הנושא של סימטריית-על. יוג'ין ויגנר זכה בפרס נובל על "תרומתו לתאוריה של גרעין האטום והחלקיקים הבסיסיים ובייחוד התגלית והיישום של עקרונות הסימטריה הבסיסיים".
בגאולוגיה.
הסימטריה בגאולוגיה קיימת בתחום הסטרוקטורלי (מבני) בכל הקשור למבנים כמו אנטיקלינה או סינקלינה. הם יכולים להיות בעלי מבנה סימטרי - שהמדרונות שלהם משני צידי הקמר או הקער הם סימטריים, או אסימטריים.
בביולוגיה.
למולקולות כיראליות, היינו סימטריות, יכול להיות תפקוד שונה לחלוטין במערכות ביולוגיות, לעיתים הגוף יודע לנצל רק צורת מראה אחת של מולקולה, לעומת השנייה.
דחפור
הדַּחְפּוֹר, או בשמו הלועזי: בּוּלְדוֹזֶר (Bulldozer), הוא טרקטור זחלי שמצויד בכף קדמית ("סכין" או "להב" בעגה של מפעילי הצמ"ה) שמטרתה להזיז עפר ולדחוף אדמה. הדחפור מצויד לרוב גם במעקר אחורי ("רוטר") לעקירת סלעים ותיחוח קרקע טרשית. הדחפור משמש לעבודות עפר, חישוף, יישור קרקע, פריצת צירים, ניהול מטמנות, בנייה והריסה וניתן למצוא אותו במיזמי הנדסה אזרחית גדולים כגון מחצבות, מכרות, בניית תשתיות וסלילת כבישים, וכן בהנדסה צבאית וחקלאות.
בעברית למונח דחפור יש שתי משמעויות: הראשונה היא שם כללי לציוד מכני הנדסי (צמ"ה) כבד, והשנייה היא שם ספציפי לסוג מסוים של כלי צמ"ה: טרקטור בעל כף/להב דחפור. הכפילות הזאת קיימת גם בשפה האנגלית, ביחס למילה בולדוזר.
היסטוריה.