מדוע דווקא בחתיכה אחת משתי חתיכות חייבה התורה אשם תלוי? ספק זה נולד ממעשה האדם, כל חתיכה היא בוודאי חלב או כשרה (גם אם אני לא יודע לזהות כל אחת), והספק הוא איזה מהם נאכלה. שאר הספקות נולדו עוד לפני שהאדם עשה מעשה, כמו ספק אם האשה נדה או לא. התורה לא חייבה קרבן על דבר מסופק, ובמיוחד לסוברים שספק דאורייתא לחומרא הוא מדרבנן, שאפילו לכתחילה אין להחמיר בספק כזה. אך בחתיכה אחת משתיים החתיכה אינה מסופקת, אלא יש כאן חתיכה אחת שהיא ודאי אסורה. הספק נולד במעשה האכילה האם הוא היה אסור, ועל כן יש צד שהוא צריך להביא קרבן, ועל זה עליו להביא אשם תלוי.
מקרים.
דין זה ישפיע על הפסיקה במקרים הבאים:
עשה מלאכה.
כאשר אדם עשה מלאכה שאסורה בשבת, והיו צמודים שבת וחול ואינו יודע באיזה יום מביניהם עשה את המלאכה, או שעשה מלאכה בשבת ולא ידע מעין אי זו מלאכה עשה. והלכה שמביא קרבן אשם תלוי. אבל שבת ויום הכפורים ועשה מלאכה בין השמשות שביניהן הרי זה פטור מקרבן ואינו מביא חטאת שהרי אינו יודע עצמו של חטא (שכל חטא חיובו אחר), ואינו מביא אשם תלוי שהרי יודע בוודאי שחטא.
ספק באיסורי עריות.
היו אשתו ואחותו ובא על אחת מהן ואינו יודע על איזו מהן בא, חייב. אבל הבא על אשה שהיא ספק נדה, או ספק ערוה של קירוב בשר, פטור מאשם תלוי.
ראתה לאחר זמן.
במסכת נידה מובא מקרה לדוגמה של "ראתה לאחר זמן" והוא מקרה בו אשה ששימשה עם בעלה ולאחר מכן בדקה עם עד ומצאה את העד טמא. יוצא אם כך ישנו חשש שהייתה נידה מקודם לכן ואז חייבים מדין בעילת נידה. ומובא שם שחייבים אשם תלוי לדעת התנא (שחולק לכאורה על המשנה בדף הקודם שבה אמר התנא שפטורים מן הקרבן). ומבארת הגמרא שבמשנה אמרו שפטורין מן הקרבן מפני שלדעת התנא במשנה "בעינן [צריכים] חתיכה משתי חתיכות" כדי לחייב אשם.
רבי אבא בר כהנא
רבי אבא בר כהנא היה אמורא שפעל בארץ ישראל, ובעל מאמרי אגדה רבים. היה בנו של האמורא רב כהנא.
נולד בבבל, ולמד בבית מדרשו של רבי חייא בר אשי, וחבריו היו האמוראים רבי לוי ורבי זעירא.
מאמריו.
בתלמוד ירושלמי מופיע כי רבי אבא בר כהנא שיבח את חברו רבי לוי על דרשותיו באגדה (ירושלמי הוריות, פרק ג), ואילו במדרש רבה לפעמים הוא מתנגד בחריפות לתוכן דרשתו (ב"ר מז:ט). הרבה רבי ברכיה הכהן למסור מאמרי אגדה בשמו, וככל הנראה היה תלמידו.
משוואות סטוקס
בתורת הזורמים, זרימה זוחלת או זרימת סטוקס היא זרימה בה השפעת איברי האינרציה במשוואות נאוויה-סטוקס זניחות ביחס להשפעת כוחות הצמיגות (גבול שמתקיים במספרי ריינולדס נמוכים formula_1). משוואות התנועה עבור זרימה זוחלת הן משוואות סטוקס. זרימה כזו מתקיימת כאשר מהירות הזרימה איטית, הצמיגות גבוהה או שמימד האורך בבעיה קטן יחסית.
זרימה זוחלת נחקרה לראשונה כשנוצר צורך במידול של שימון וסיכה. הזרימה נפוצה בטבע במקרים רבים, לדוגמה: שחיה של מיקרו אורגניזמים, וזרימת לבה (שמתאפיינת במהירות נמוכה ובצמיגות גבוהה). הזרימה מופיעה גם בהנדסה, כשהיא מתרחשת בצביעה, במכשירי MEMS ובזרימה צמיגה של פולימרים.
משוואות סטוקס.
משוואות התנועה עבור זרימות זוחלות הן משוואות סטוקס. ניתן לקבלן על ידי ביצוע ליניאריזציה של משוואות נאוויה-סטוקס במצב מתמיד. ניתן להזניח את איברי האינרציה ולקבל את מאזן המומנטום של משוואות סטוקס:
כאשר formula_3 הוא טנזור מאמצים המייצג את הכוחות הנובעים מכוחות הצמיגות והלחצים החיצוניים ו formula_4 הוא כוחות הגוף הפועלים על הזרימה.
משוואת סטוקס המלאה כוללת בתוכה גם את חוק שימור המסה:
formula_5
כאשר formula_6 הוא צפיפות הנוזל, formula_7 היא מהירות הנוזל וformula_8 הנגזרת החומרית. בזרימה לא דחיסה מתקיים כיformula_6 קבוע ולכן הנגזרת שלו שווה לאפס וניתן לצמצמו מהאיבר השני של המשוואה:
formula_10
מאפיינים.
משוואות סטוקס מייצגות פישוט ניכר ממשוואות נאוויה-סטוקס, במיוחד עבור המקרה של זורמים בלתי דחיסים וניוטוניים. כאמור, משוואות סטוקס מתקבלות ממשוואות נאוויה-סטוקס במצב בו הצמיגות משמעותית יותר מהאינרציה. גבול זה מתקיים במצב בו מספר ריינולדס שואף ל-0.
מיידיות.
משוואות סטוקס לא כוללות נגזרות בזמן של שדה המהירויות והמשוואות הלא דחיסות לא כוללות את משתנה הזמן כלל ולכן בהינתן תנאי שפה למשוואות ניתן למצוא את הזרימה באופן מיידי בלי תלות במצב המערכת בזמנים קודמים.
הופכיות בזמן.
משוואות סטוקס מקיימות סימטריית הופכיות הזמן, ולכן אם הופכים את הכיוון של הלחצים החיצוניים על המערכת הזרימה שתתקבל הפוכה במדויק לזרימה המקורית. תופעה זו מאפשרת להפריד במדויק שני זורמים שנראים כאילו עורבבו באמצעות זרימת זוחלת, ומעידה על כך שקשה לבצע ערבוב כזה.
שני המאפיינים האלה נכונים לזרימה בלתי דחיסה של זורמים ניוטוניים, והם אינם נכונים במקרה של זרימה זוחלת כללית.
פרדוקס סטוקס.
פרדוקס סטוקס הוא הכינוי לעובדה שלא קיים פתרון מתמטי המקיים זרימת סטוקס דו-ממדית מסביב לגליל כאשר המהירות באינסוף היא קבועה. הפרדוקס מציג את הבעייתיות בשימוש במשוואות סטוקס כאשר מדובר על זרימה במרחקים גדולים, ופתרונו נמצא בכך שלא ניתן להשתמש במשוואות סטוקס במצב כזה.
זרימה בלתי דחיסה של זורמים ניוטונים.
משוואת סטוקס של זורמים ניוטוניים בלתי דחיסים היא:
כאשר formula_12, מייצג את המהירות של הזורם, formula_13 את גרדיאנט הלחצים, formula_14 את הצמיגות, ו-formula_4 מייצג את כוחות הגוף. משוואה זו היא ליניארית במהירות והלחץ, מה שמקל מאוד על פתרון שלה ביחס לפתרון המלא של משוואות נאוויה-סטוקס.
קואורדינטות קרטזיות.
בקואורדינטות קרטזיות אפשר לכתוב formula_16 ו- formula_17. ולפתח את הצורה הווקטורית של המשוואות לארבע המשוואות הבאות:
הגענו למשוואות אלה לאחר שהנחנו ש formula_19 והצפיפות formula_20 היא קבועה.
שיטות לפתרון.
שימוש בפונקציית זרם.
משוואת שימור המסה מספקת למשוואות סטוקס צורה המזכירה את משוואת לפלס, המופיעה לדוגמה עבור שדות חשמליים באלקטרוסטטיקה. עבור שדות חשמליים מתקיים formula_21 ולכן ניתן לכתוב מתקיים formula_22 (כאשר formula_23 השדה החשמלי ו-formula_24 הפוטנציאל החשמלי) ובמקרה בו אין מטענים במערכת מתקיים formula_25, מה שיוצר את משוואת לפלס formula_26.
היחסים במשוואת סטוקס עבור זורמים ניוטוניים בלתי דחיסים מסובכים מעט יותר. משוואת סטוקס מקיימת formula_27 ולכן קיימת פונקציה (הקרויה פונקציית זרם) עבורה formula_28. הערבוליות של המערכת מקיימת formula_29. מצד שני, בהתאם למשוואת התנע בזרימת סטוקס מתקיים formula_30 ובמקרה בו כל הכוחות החיצוניים על הגוף הם כוחות משמרים מתקיים formula_31, ולפיכך formula_32. זוהי משוואה סגורה עבור פונקציית הזרם, וניתן להשתמש בה כדי למצוא את פונקציית הזרם ולפתח ממנה את שדה המהירויות. שיטה זו שימושית במיוחד כאשר ישנה סימטריה במערכת, כגון במקרה בו הזרימה דו-ממדית או שקיימת בה סימטריה גלילית או כדורית, במצבים כאלה פונקציית הזרם תלויה רק בשתי קואורדינטות ומשוואת הזרם מקבלת את אחת מהצורות הבאות:
שימוש בפונקציית גרין: הסטוקסלט.
העובדה שמשוואת סטוקס בזורמים ניוטוניים בלתי דחיסים היא משוואה ליניארית מאפשרת פתרון של הזרימה באמצעות פונקציית גרין. בטכניקה זו פותרים את משוואות סטוקס עם אילוץ המוחלף בכוח נקודתי הפועל בנקודה מסוימת במרחב, ותנאי שפה נעלמים באינסוף.
כאשר formula_34 הוא פונקציית דיראק, ו-formula_35 מייצג את הכוח הנק' הפועל בנקודה. הפתרון עבור הלחץ "p" והמהירות u עם |u| ו"p" שואף לאפס באינסוף וניתן על ידי
כאשר: formula_37 הוא טנזור מסדר שני.
הפתרון הניתן על ידי הטנזור formula_38 נקרא סטוקסלט. הסטוקסלט מדמה הוא מצב בו אין מאמצים חיצוניים בשום מקום במערכת חוץ מנקודה אחת, בה מופעל כוח (או המאמץ) formula_39. ניתן להקביל פתרון זה לאלקטרוסטטיקה, שם ניתן לפתור לשדה חשמלי במצב של פיזור מטענים כללי על ידי שימוש בפונקציית גרין המחשבת את השדה החשמלי כתוצאה מהימצאות מטען נקודתי בנקוד מסוימת.
עבור פילוג כוח (כוח מפורס) formula_40 הפתרון יכול להימצא על ידי סופרפוזיציה:
formula_41
פתרון אינטגרלי זה מקיים שדה מהירויות שדועך באינסוף. במקרה של תנאי שפה אחרים ניתן למצוא פונקציית גרין המקיימת את תנאי השפה ולבנות פתרון מלא בצורה דומה.
הפתרון של פפקוביץ-ניובר ().
כאשר כוחות הגוף החיצוניים מתאפסים ניתן לפתור את משוואת סטוקס באמצעות שימוש בשני פונקציות הרמוניות, אחת וקטורית formula_42 ואחת סקלרית formula_43 כאשר מתקיים:
formula_44. מציאת פונקציות הרמוניות המקיימות את תנאי השפה פשוטה יותר ממציאת פונקציה בי-הרמונית הנדרשת לפתרון באמצעות פונקציית הזרם.
משפטים המתקיימים בזרימת סטוקס.
חוק סטוקס.
בניגוד לזרימה אוילרית, בה כוח הגרר על גוף המונח בזרימה מתאפס (פרדוקס ד'אלמבר), בזרימה זוחלת מתקבל כוח גרר הפרופורציונלי למימד האורך של הגוף ולמהירותו. סטוקס חישב במדויק את הכוח הפועל על כדור הנע במהירות formula_45 בתוך זורם הנמצא במנוחה וגילה שמתקיים: formula_46כאשר formula_47 רדיוס הכדור.
חוק פאקסן.
פאקסן הרחיב את חוק סטוקס למצב בו הכדור נע בתנועה בתוך זורם שלא נמצא במנוחה, במצב זה על הכדור פועל כוח ומומנט כוח. עבור כדור הנע במהירות formula_45 ומסתובב במהירות זוויתית formula_49 בתוך זורם ששדה המהירויות שלו הוא formula_50 ושדה הערבוליות שלו הוא formula_51 מתקיים:
formula_52
formula_53
משפט ההדדיות של לורנץ.