המחלקה BPP היא המחלקה אשר מתירה טעות דו צדדית קטנה, כלומר טעות קטנה בתשובה "כן", וטעות קטנה בתשובה "לא". הכוונה בטעות קטנה היא שניתן בזמן פולינומי באורך הקלט להקטין אותה לטעות זניחה. מכיוון שיש מספר זניח של טעויות, אז "רוב" המחרוזות הראנדומיות הן מחרוזות שגורמות למכונה שמכריעה שפה ב-BPP להוציא תשובה נכונה (מחרוזות "נכונות"). לכן ניקח מספר פולינומי של פונקציות הפיכות שלאחר שנפעיל אותן על קבוצת המחרוזות הראנדומיות הנכונות נקבל את כל המחרוזות הרנדומיות הקיימות. מאחר שיש לנו קבוצת פונקציות כזאת, אז הנוסחה שתתאים לformula_13 היא formula_14. כלומר לכל קלט ראנדומי קיימת פונקציה שממפה אותו לקלט מהקבוצה של הקלטים הנכונים. הפועל הפונקציות ההפיכות תהיינה פעולות xor עם ערך קבוע.
הוכחה.
נרצה להוכיח עבור שפה formula_15 שמתקיים formula_16. מכיוון ש-BPP סגורה למשלים אז מתקיים גם formula_17, ולכן formula_18.
בלי הגבלת הכלליות ניקח מכונה הסתברותית M המכריעה את L עם הסתברות טעות לכל היותר formula_19. נגדיר formula_20. עכשיו נמצא מספר קטן של פונקציות שיקיימו formula_21, כאשר R הוא מרחב מרחב המחרוזות הרנדומיות (נגדיר הפעלה של פונקציה על קבוצה בתור הפעלה איבר איבר, כלומר formula_22).
אנחנו נתייחס למרחב קלטים ראנדומי באורך r.
למה 1.
נרצה להראות שקבוצה גדולה יכולה לכסות את כל R עם פונקציות מתאימות, או בשפה מתמטית
הוכחה. נבחר באקראי formula_28. נגדיר formula_29.
אז, לכל formula_30,
לכן ההסתברות שקיים לפחות איבר אחד ב-R שאינו נמצא ב-S היא
ולכן
ומכיוון שההסתברות לא 0 קיימות מחרוזות תרגום עבורן הקבוצות S ו-R שוות.
למה 2.
נרצה להראות שקבוצה קטנה לא יכולה לכסות את כל R עם כל מספר פולינומי של פונקציות, או בשפה מתמטית
אם formula_34 אז אין קבוצה קטנה של מחרוזות תרגום שמכסה את R.
ההוכחה טריוויאלית - formula_35, ופולינום כפול מספר זניח הוא מספר זניח, ולכן לא קיים כיסוי עם אף סט קטן של מחרוזות תרגום.
מסקנה.
ראינו שקיימות מחרוזות תרגום עבורן formula_36. לכן ניתן לכתוב
ובגלל ההפיכות של xor, כלומר formula_38, אז אנחנו יודעים מלמה 1 שלכל r תהיה מחרוזת formula_39 כך ש-formula_40, ולכן המכונה תקבל כל מילה בשפה. לעומת זאת, עבור מילים שאינן בשפה קיים r שאין עבורו שום תרגום ל-formula_41, ולכן ההגדרה שלמעלה תקינה. היא גם הגדרה מהצורה של formula_13, ומכאן נובע ש-formula_43, שהרי BPP סגורה למשלים.
מהפכת הציפורנים
מהפכת הציפורנִים (בפורטוגזית: Revolução dos Cravos; שמה הרשמי בפורטוגל הוא מהפכת 25 באפריל בפורטוגזית: Revolução de 25 de Abril) הוא כינוי לסדרת אירועים, שהגיעו לשיאם ב-25 באפריל 1974, במהלכם עברה פורטוגל משיטת ממשל פשיסטית דיקטטורית, לשיטת ממשל דמוקרטית בהסכמה עממית וכמעט ללא שפיכות דמים. שמם של האירועים נגזר מכך שהמשתתפים במהפכה נשאו פרחי ציפורן בקני רוביהם, כאות לאי-אלימות.
רקע.
בשנת 1932 עלה לשלטון בפורטוגל העריץ אנטוניו דה אוליביירה סלזאר, והכריז על שיטת ממשל שנקראה "Estado Novo" או "המדינה החדשה". היה זה משטר פשיסטי מרוכך, אשר בניגוד למשטרים פשיסטיים בארצות כגון ספרד, איטליה וגרמניה הנאצית, כלל שימוש מועט באלימות כלפי אזרחיו.
שלטון "המדינה החדשה" כפה ערכים לאומניים וקתוליים על האוכלוסייה הפורטוגזית, תוך שהוא משבח את המדיניות הקולוניאליסטית הפורטוגזית ורואה בהתפשטותה הקולוניאלית דבר הראוי לשבח. סיסמת השלטון הייתה "Deus, Pátria e Família" - האל, המולדת והמשפחה.
למרות היציבות הכלכלית והמדינית שהביא שלטון זה (שהיה בין השלטונות הפשיסטים מאריכי הימים באירופה כולה), נתקל השלטון בבעיה של ממש בנוגע למושבות, במיוחד המושבות באפריקה - אנגולה ומוזמביק. מרידות התושבים שדרשו עצמאות נתמכו הן על ידי ארצות הברית והן על ידי ברית המועצות, שרצו להרחיב את השפעתן על ידי תמיכה בתנועות שחרור לאומיות. פורטוגל, בתגובה, שלחה אלפי חיילים אל מעבר לים, אשר דיכאו את המרידות באופן ברוטלי, תוך כדי אבדות קשות לשני הצדדים.
הצבא הפורטוגזי, שנשא בעול מדיניות זו, היה מרכז ההתנגדות לשלטון סלזאר, ובשנת 1961 בוצע ניסיון הפיכה, אשר נכשל ברגע האחרון והביא לפיטורי חלק ניכר מן הסגל הבכיר של הצבא.
המשבר הגיע לנקודת שיא עם הסתלקותו של סלזאר מן הזירה. סלזאר לקה בשבץ מוחי בשנת 1968, ופוטר מתפקיד ראש הממשלה. את מקומו תפס מרסלו קייטנו , ששימש עד אז בתפקידים שונים, לרבות שר המושבות.
המהפכה.
בחודש מרץ 1974 פיטר קייטנו שורת קצינים בכירים, בטענה כי אלו לא תמכו במדיניות הממשלה בנוגע למלחמה באפריקה. בין המפוטרים היו הגנרלים אנטוניו דה ספינולה ופרנסישקו דה קושטה גומש.
פיטורי הקצינים הבכירים לא הועילו לקייטנו, שכן בשלב זה כל הצבא היה נגוע בהתנגדות למשטר. הגנרלים תכננו הפיכה ובחרו בשני אותות מוזיקליים כסימני יציאה לפעולה. הראשון היה השיר "אחרי הפרידה" (E depois do adeus) של הזמר פאולו דה קרבליו, שייצג את פורטוגל באותה שנה בתחרות הזמר של האירוויזיון. השיר בוצע על בימת האירוויזיון ב-6 באפריל 1974 בברייטון, בריטניה. האות השני היה זמר הגראנדולה (Grândola, Vila Morena), אותו שידרו ברדיו בשעה 00:25 ב-25 באפריל 1974, ואז יצאו הכוחות למיגור השלטון. החיילים שמו בקני רוביהם פרחי ציפורן כסמל לאי האלימות, והעם נקרא לצאת לרחובות עם פרחים אלו ולתמוך במורדים. במחיר של ארבעה הרוגים, הודח קייטנו, וספינולה הוכרז כנשיא הרפובליקה מטעם החונטה הצבאית. קושטה גומש הוכרז כמפקד הצבא, והוסמך לשאת ולתת עם נציגי תנועות הגרילה האפריקניות.
לאחר המהפכה.
המהפכה הייתה, בסופו של דבר, פרי פעולתם של קצינים צעירים ורדיקלים, שמאלנים בהשקפתם (ויש המייחסים להשפעה סובייטית חלק ניכר במהפכה). ספינולה, שהיה שמרן בהשקפותיו, לא החזיק מעמד זמן רב, ובאוקטובר 1974 הכריזו הקצינים הרדיקלים על קושטה גומש כנשיא.
קושטה גומש נאלץ לתמרן בין קצינים מהימין (בראשות הנשיא הקודם ספינולה), ובין הרדיקלים השמאלנים שיזמו את המהפכה. הפתרון שנמצא היה עריכת בחירות למועצה מכוננת, ללא כל סמכויות חקיקתיות, פרט לעריכת חוקה, כאשר השלטון בפועל הוחזק בידי קואליציה אד הוק של נציגים מהסיעות השונות שייצגו את הציבור הפורטוגזי. בתקופה שבין 1974 ל-1976 פעלו שש ממשלות זמניות מסוג זה ששיקפו, כל אחת בתורה, את יחסי הכוחות המשתנים תדירות. הממשל שלט באמצעות צווים שניתנו על ידי מועצת הקצינים בראשה עמד קושטה גומש, אשר זכה לכינוי "פקק השעם" בשל יכולתו "לצוף אל פני המים" לאחר כל משבר.
בשנת 1976 הוצגה לציבור החוקה החדשה ונערכו בחירות לנשיאות, בהן בחר קושטה גומש שלא להשתתף. החוקה ייצבה את המצב הפוליטי, והביאה לעולם את "הרפובליקה הפורטוגזית השלישית" (מאז 1910). החוקה נתנה למועצת המהפכה הצבאית תפקיד משמעותי של פיקוח על הממשלה האזרחית. אמנם השנים הראשונות של הממשל על פי החוקה החדשה היו סוערות, וממשלות קמו ונפלו (כאשר הממשלה האזרחית הראשונה הייתה ממשלת מיעוט סוציאליסטית), אך בשנת 1982 התייצב המצב באופן שאיפשר תיקונים מקיפים לחוקה וביטול תפקיד מועצת המהפכה הצבאית. בשנת 1986 נבחר הנשיא האזרחי הראשון זה למעלה משישים שנה, מריו סוארש, ובחירה זו נתנה את הגושפנקה להצטרפות פורטוגל למדינות הליברליות והדמוקרטיות של מערב אירופה.
תדמיתה של המהפכה כיום.
כיום עשרים וחמישה באפריל, יום המהפכה, הוא אחד מהחגים העיקריים בפורטוגל. זהו יום של שמחה, למרות התמרמרות מסוימת בקרב חלק מחוגי הימין הקיצוני, הרואים בהתפתחויות שלאחר המהפכה משום אסון למדינה. מצד שני כמה ממנהיגי המהפכה סבורים שפורטוגל של היום סטתה מן האידיאלים השמאליים שבשמם התחוללה המהפכה.
לאחר המהפכה, שונה שמו של גשר סלזאר, אשר נבנה ב-1966 ועובר מעל נהר הטז'ו בליסבון, לגשר 25 דה אבריל לציון יום מהפכת הציפורנים.
עבדאללה הראשון, מלך ירדן
עבדאללה הראשון בן חוסיין (בערבית: عبد الله الأول بن حسين, 2 בפברואר 1882 – 20 ביולי 1951) היה המלך הראשון של הממלכה ההאשמית של ירדן (או בשמה בעת ייסודה: הממלכה ההאשמית של עבר הירדן). נרצח בירושלים בשעה שעמד להיכנס לתפילה במסגד אל-אקצא.
ביוגרפיה.
ראשית דרכו.
עבדאללה, בנו השני של חוסיין בן עלי מלך חג'אז, נולד ב-1882. לאחר תום מלחמת העולם הראשונה הקימו הבריטים שתי מדינות ערביות בחסותם: עיראק ועבר הירדן, שהשלטון בהן הוענק לבניו של חוסיין בן עלי כגמול על עזרתו לבריטים בהובלת המרד הערבי נגד האימפריה העות'מאנית בזמן המלחמה.
התכנית הבריטית המקורית הייתה להמליך את עבדאללה על עיראק ואת אחיו פייסל על סוריה, אולם ביולי 1920 סולק פייסל מדמשק על ידי הצרפתים. בנובמבר 1920 עזב עבדאללה את חצר אביו בחג'אז, עלה צפונה לכיוון סוריה, בראש כוח צבאי שמנה כ-300 לוחמים, וחנה בעיירה מעאן (שהייתה אז בתחומי החג'אז), במטרה לתקוף את הצרפתים. אולם בועידת קהיר במרץ 1921 החליטו הבריטים להמליך את פייסל על עיראק.
במרץ 1921 התמקם עבדאללה בעיירה עמאן, ויצא לירושלים. בפגישה בין וינסטון צ'רצ'יל, הרברט סמואל, לורנס איש ערב ועבדאללה, שנערכה בבניין אוגוסטה ויקטוריה בירושלים ב-21 במרץ 1921, הוצע לעבדאללה לעמוד בראש אמירות עבר הירדן המזרחי, תחת שלטון המנדט הבריטי.