הכרך הראשון של ספרו על גאודזיה עוסק בבעיה הקרטוגרפית של בניית העתקות קונפורמיות של אליפסואיד לכדור, לנוחיות שימושם של גאודזיסטים. כיוון שגאוס כבר הראה שלא ניתן למפות אליפסואיד לכדור בלי עיוותים, השיטה שלו התבססה על מיפוי אזורים קטנים של האליפסואיד לאזורים כדוריים באופן כזה שהעיוות יהיה מינימלי, תוך התאמת הפרמטרים של ההעתקה מחדש בכל קו רוחב של האליפסואיד. הטכניקות בהן גאוס השתמש היו מאנליזה מרוכבת וטריגונומטריה ספירית. הכרך הראשון מסתיים במספר בעיות הקשורות במשולשים כדוריים. הכרך השני של ספרו מוקדש לפתרון של בעיות דומות אלא שהפעם הן מתייחסות למשולשים על אליפסואיד. בעזרת ערכים ממוצעים של קווי רוחב ואזימוט גאוס גזר שש נוסחאות אשר פותרות את הבעיה באופן מכני באמצעות שימוש בטבלאות נומריות שחישב בעצמו. הטכניקות שתיאר היו בשימוש נרחב על ידי גאודזיסטים עד סוף המאה ה-19. ספר זה ביחד עם כתבים אחרים שנמצאו בעזבונו, היווה את הבסיס להעתקת Gauss-Kruger שהתפתחה בשנת 1912, וזכתה למעמד איתן כבסיס לפיתוח כל הרשתות הטופוגרפיות המתחשבות בצורה האליפסואידית של כדור הארץ, ומשום כך אומצה במהלך המאה ה-20 ככלי מיפוי בסקלה גלובלית על ידי מדינות רבות.
סטטיסטיקה.
הטיפול בתצפיות עם שגיאות העסיק את גאוס לראשונה בשנים 1794–1795. מאוחר יותר, עבודתו על בעיות אסטרונומיות אילצה את גאוס בעל כורחו להתעסק עם בעיות סטטיסטיות הקשורות במזעור השפעת שגיאות המדידה על תוצאות החיזוי של תהליכי חישוב אסטרונומיים. בספרו על אסטרונומיה מ-1809, גאוס תיאר לראשונה באופן מלא את ההתפלגות הנורמלית. גאוס בספרו תיאר את שיטת הריבועים הפחותים ושיטת אמידת נראות מרבית, שתיהן שיטות יסודיות ביותר המשמשות רבות בסטטיסטיקה, ועשה בהן שימוש על מנת לנתח נתוני מדידות אסטרונומיות שלעיתים סתרו זו את זו. כדי לאמוד את השגיאה של המדידות, גאוס בחר להניח כי הממוצע האריתמטי הוא הערך שממזער את שגיאת המדידה. כלומר, המדידה שמרחקה מן הממוצע האריתמטי הוא המזערי, היא בהסתברות גבוהה הקרובה ביותר לערכים האמתיים. תחת הנחה זו הוא חישב ומצא כי ההתפלגות הנורמלית מתארת את שגיאת המדידה, וסיפק נוסחה של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.
מאוחר יותר, גאוס עשה שימוש בכלים הסטטיסטיים שפיתח במסגרת המדידות הגאודטיות שביצע, ואחת מתרומותיו לגאודזיה הניסויית היא זיהוי השגיאות השיטתיות העיקריות במדידת זוויות, כשלאחר מכן הוא הציע אמצעים להעלים את השפעתן. ענף הגאודזיה והמדידה של צורת כדור הארץ היה אזור נוח במיוחד ליישום הכלים החדשים של הסטטיסטיקה אותם פיתח, וזהו היה התחום אשר בו מצא גאוס את אחד היישומים הפוריים והעשירים ביותר של שיטת הריבועים הפחותים שלו, וכתוצאה הוא פרסם את חיבורו משנת 1823 "תאוריה של תחשיב התצפיות המושפע באופן מינימלי משגיאות" בו דן בקלקולוס התצפיות באופן מעמיק.
בחיבור זה גאוס פרסם הצדקה חדשה ואיתנה יותר לשיטת הריבועים הפחותים; הוא הוכיח ששיטת הריבועים הפחותים מניבה את האומד חסר ההטיה הליניארי הטוב ביותר, במובן שהשונות שלו היא הנמוכה ביותר מבין כל האומדים הליניאריים חסרי ההטיה. תוצאה יסודית זאת, שנחשבת לאבן הפינה באנליזה המודרנית של רגרסיה, נודעה כמשפט גאוס-מרקוב.
בחיבור זה, שהיה לא מוכר יחסית בעולם דובר האנגלית במהלך המאה שלאחר פרסומו, ישנם פיתוחים רבים מעניינים מאוד: גאוס הציג והוכיח את אי-שוויון גאוס (שהוא אי-שוויון מטיפוס צ'בישב), כמו גם אי שוויון על מומנטים מסדר רביעי של שגיאות (Gauss-Winkler inequallity). במאמרים 38–40 של החיבור, גאוס גזר חסם עליון ותחתון לתחום הערכים בו עשויה להימצא השונות של אומדן השונות המדגמית. מאוחר יותר, המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב גילה שהחסם התחתון של גאוס שגוי, וב-1947 פרסם נוסחה מתוקנת. באותו חיבור גאוס גם הציג תהליכים איטרטיביים (שתוארו על ידי דדקינד), ופיתח שיטות ריבועים פחותים רקורסיביות אשר נתגלו מחדש רק ב-1950 על ידי Plackett, כך שהם נחקרו לראשונה לעומק רק לאחרונה.
במאמרו מ-1816 על הדיוק של אומדים סטטיסטיים, גאוס העריך את הדיוק של אומדים של הנעלמים של מערכת משוואות ליניאריות, ושל פונקציות ליניאריות של אלו. הוא הוכיח בו שבעבור סדרת שגיאות מפולגת נורמלית formula_54, המדד לדיוק formula_55 נאמד בצורה הטובה ביותר על ידי
formula_56 מאשר על ידי
formula_57 בעבור "k" שונה מ-2.
זה היה בקונטקסט של עבודתו הנרחבת בעיבוד סטטיסטי של תוצאות מדידות וחישובים אסטרונומיים וגאודטיים שהוא פיתח את הטכניקות הרבות באלגברה ליניארית הנושאות את שמו; הכמויות העצומות של נתונים איתן נאלץ לעבוד כדרך קבע הובילו באופן טבעי למשוואות ליניאריות בנעלמים רבים. בין היתר הציג במאמר 182 של ספרו על אסטרונומיה מ-1809 את תהליך גרם-שמידט, ופירק באמצעותו מטריצה "A" למכפלת מטריצה אורתוגונלית "Q" ומטריצה משולשית עליונה "R" – שיטה שנקראת כיום פירוק QR. כמו כן, במכתב פרטי מ-1823 לעמיתו גרלינג הוא תיאר את שיטת גאוס-זיידל – שיטה איטרטיבית לפתרון סוג מסוים של מערכות משוואות ליניארית, שבמקרים מסוימים מתכנסת מהר יותר לפתרון מאשר שיטות אחרות. בנספח לחיבורו מ-1823 על סטטיסטיקה, הוא תיאר את פירוק שולסקי.
את העיסוק של גאוס במתמטיקה אקטוארית ניתן לפרש כאחד היישומים של עבודתו בסטטיסטיקה. במשך מספר שנים הוא ניהל את קרנות הפנסיה של אלמנות הפרופסורים באוניברסיטת גטינגן, והתוצרים של פרויקט זה - מספר מאמרים שעוסקים בהיבטים שונים של מתמטיקה פיננסית, היוו הדגמה מופתית ליישום של תורת ההסתברות לאנליזה של בעיות כלכליות. גאוס נעזר בנתוני תמותה מפורטים כדי לבצע את החישובים שלו. אחת התוצאות שלו היא נוסחת התמותה של גאוס (Gauss´s Mortality Formula), מקרה פרטי של התפלגות Gompertz, המתארת את התפלגות תוחלת החיים של אוכלוסיות שונות.
יסודות הגאומטריה; גאומטריות לא אוקלידיות.
על אף טענותיו של גאוס, שאלת היקף הקרדיט הניתן לו על גילוי הגאומטריות הלא אוקלידיות נתונה למחלוקת בקרב היסטוריוני המתמטיקה, מחלוקת שחריפה יותר מבכל תחום אחר בו הוא עסק. קשה מאוד להכריע בשאלה עד כמה חזה גאוס את תגליותיהם המאוחרות יותר של בולאי ולובצ'בסקי כי הוא לא כתב שום תיעוד שיטתי של רעיונותיו לפני 1831, ונחוצה בנייה מחדש של תהליך החשיבה שלו על פי נקודת המבט המתמטית המודרנית והמסמכים המעטים שיש בשנים שקדמו ל-1831. היסטוריונים נטו לשייך את "ההרהורים המתמטיים" שלו לשלוש תקופות שונות: תקופת "הגישושים" הראשונית בשנים 1792–1813, התקופה הבשלה יותר רעיונית שבשנים 1813–1831, וזו שמ-1832 (כשנתוודע לראשונה להישגיו של בולאי) ואילך עד מותו.
השנים 1792–1813.
גאוס היה הראשון להגיע לרעיון שניתן לוותר על אקסיומת המקבילים ולקבל בכך גאומטריות שונות בתכלית מהגאומטריה האוקלידית. לפי זיכרונותיו, הוא החל להרהר לראשונה על תקפות אקסיומת המקבילים ב-1792, והגיע למסקנה שדרוש כיוון שונה מזה שנקטו הגאומטרנים במאות השנים האחרונות. בעקבות מסקנה זו הוא החל לתהות מה קורה כאשר האקסיומה החמישית מוחלפת באקסיומה אחרת: "דרך כל נקודה מחוץ לישר נתון עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה". את תקופת הגישושים הראשונית אפיינה חקירה סינתטית של תכונות הגאומטריה ההיפותטית בה האקסיומה החמישית אינה מתקיימת; הכלים בהם נעזר היו בעיקר בניות גאומטריות האנלוגיות לאלו של הגאומטריה האוקלידית, שאפשרו לו להגיע למסקנות יסודיות על תכונות הגאומטריה החלופית. את תקופה זאת אפיין אי ביטחון בתקפות הגאומטריה החדשה, עקב ההשלכות הפילוסופיות של הוויתור על האקסיומה החמישית, שעמדו בניגוד גמור לעמדה הרווחת בחוגים המתמטיים והפילוסופיים באותה עת.
מתוארכים לתקופה זאת מספר כתבים קצרים בעלי אופי מעט היסטורי, המהווים סקירה של הכשלים הלוגיים בניסיונותיהם הקודמים של גאומטרנים לגזור את אקסיומת המקבילים מהאקסיומות האחרות.
תקופת הביניים (1813–1831).
ניתן לתארך את תחילת התקופה השנייה בערך לשנה 1813, שכן במספר מכתבים בשנים 1813–1819 הוא טען שבנה את הגאומטריה החדשה ושהוא "יכול לפתור כל בעיה בגאומטריה החלופית כאשר הקבוע המאפיין אותה נתון". בתקופה זאת הוא החל לפתח את הטריגונומטריה ההיפרבולית והשתכנע שמתקיימים בגאומטריה החלופית כללים טריגונומטריים האנלוגיים לאלו של הגאומטריה הכדורית. הוא חשף מספר תוצאות משמעותיות על הגאומטריה החדשה במכתביו; הבולטות ביותר שבהן הן במכתבו לגרלינג משנת 1819, בו נתן נוסחה לחישוב החסם על השטח המרבי של משולש בגאומטריה היפרבולית בעלת עקמומיות שלילית קבועה לפי גובהו של המשולש האידיאלי המתאים formula_58 (כש-C הוא הגובה של המשולש, שנקרא גם הקבוע של Schweikart), ומכתבו לשומאכר משנת 1831, שהתוצאה הבולטת שלו היא מתן נוסחה להיקף מעגל בגאומטריה היפרבולית לפי הקבוע "k" שמאפיין אותה
formula_59 (שניתן לרשמה גם בעזרת סינוס היפרבולי כך: formula_60). לממצא האחרון היו השלכות מעניינות ביותר, שכן לפי הנוסחה שבו עולה שבגאומטריה החדשה מתקיים שבעבור רדיוסים גדולים בהשוואה לקבוע האופייני "k" ההיקף גדל מעריכית עם הרדיוס.