בעבר היו שפקפקו בתיארוכה של המנהרה לזמן חזקיהו, או לתקופת הברזל השנייה בפרט, וראו בה מפעל חשמונאי. מאחר שהכתובת חקוקה בכתב העברי הקדום שרווח בשלהי תקופת הברזל, והיא חקוקה על דופן המנהרה, הרי שהיא מעניקה את זמן חקיקתה לזמן חציבת המנהרה. עם זאת, גם לאחר בדיקות הפחמן 14, שאיששו את שיוכה לתקופת הברזל השנייה, עדיין קיימים חוקרים המטילים ספק בשיוכה של המנהרה למפעליו של חזקיהו בזמן המצור, בין השאר עקב אי-התאמתה של פעולת נקיבה איטית ומתוכננת לזמן מלחמה, כמו גם חוסר מתאם מובהק לטקסט המקראי. גם לדעה הרואה את מפעל חציבת הנקבה, יחד עם מפעלי מים אחרים מאותה תקופה, כמפעל שנועד למטרת השקיית גן המלך המפואר, אולי השפעת גני נינוה, אין על מה לסמוך.
חוקר המקרא יגאל בן נון שילב את הממצאים הידועים על הכתובת עם ניתוחיו של הטקסט המקראי, והציע שהכתובת שנמצאה היא העתק של כתובת מקורית קדומה יותר מימי מנשה, שבן נון מעריך שבימיו נחצבו התעלות בפועל. על פי הערכתו של בן נון, הכתובת –שלא נותנת קרדיט לאף מלך, בשונה מהסגנון המקובל בכתובות הקדשה מלכותיות במזרח הקדום – הועתקה מחדש בימי יאשיהו ללא הקרדיט למנשה מין הכתובת המקורית.
סגנון כתיבתה הספרותי של הכתובת החשידו גם הם את חוקריה. היו שטענו שמדובר ביצירה ספרותית, או בהעתקה ממקור ספרותי כלשהו. היו שהרחיקו לכת וטענו שמדובר בקטע מתוך היצירה האבודה "ספר דברי הימים למלכי יהודה" המוזכר בספר מלכים א'.
האלכסון של קנטור
האלכסון של קנטור היא הוכחתו של גאורג קנטור משנת 1891 שהמספרים הממשיים אינם בני מנייה. כלומר, לא קיימת פונקציה חד-חד-ערכית בינם לבין המספרים הטבעיים.
פול דו בואה ריימון הוא זה שהתחיל את המחקר בתחום זה. קנטור הוכיח את הטענה עוד ב-1874 עם הוכחה מוכרת פחות. עם זאת לאלכסון של קנטור ערך מוסף שכן הרעיון שבבסיסה, שנקרא "לכסון", שימש בעוד הוכחות רבות נוספות.
הוכחה.
ההוכחה כאן מתבססת על ההצגה העשרונית של המספרים הממשיים, אך היא עובדת עם כל בסיס ספירה שאינו בסיס אונרי. כל מספר ממשי ניתן להציג כסדרה אינסופית של ספרות (לעיתים כולן 0 החל ממקום מסוים). ניתן להוכיח שהקטע הפתוח (0,1), המכיל את כל המספרים בין 0 ל-1, שווה בעוצמתו לכל הישר הממשי (כלומר קיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בינו לבין כל המספרים הממשיים). בקטע זה, ההצגה של כל מספר מתחילה בספרה 0, אחריה נקודה עשרונית ואחריה סדרה אינסופית של ספרות. נשמיט את כל המספרים שמסתיימים בסדרה אינסופית של 9, שכן סדרות אלו מייצגות מספר ממשי שניתן לייצגו בדרך אחרת. כעת יש לנו התאמה חד-חד-ערכית ועל בין הסדרות האינסופיות של הספרות לבין המספרים הממשיים בקטע (0,1), שכן כל מספר ממשי בקטע מיוצג על ידי סדרת ספרות אחת בדיוק.
כעת נוכיח בדרך השלילה שהמספרים הממשיים בקטע (0,1) אינם בני מנייה; כלומר, נניח שלכל מספר ממשי בקטע ניתן להתאים מספר טבעי כלשהו. עתה יש לנו רשימה אינסופית של מספרים בקטע שאת הפריטים שלה נסמן כך: formula_1. כעת נראה שיש מספר חסר ברשימה.
נבנה את המספר הזה כך:
נבחן את הרשימה. אם הספרה במקום ה-n בפיתוח העשרוני של המספר formula_2 היא 0, במספר שלנו הספרה ה-n תהיה 1. אחרת, היא תהיה 0.
בצורה פורמלית, אם formula_3 הוא הפיתוח העשרוני של המספר formula_2, (הספרות העליונות הן אינדקסים שמציינים את מיקום הספרה בפיתוח של המספר) הרי שהמספר שלנו יוגדר בתור formula_5 כאשר
formula_6
דוגמה:
נניח שסדרת המספרים שלנו היא כזו:
הספרות הבולטות הן הספרות שמעניינות אותנו. בדוגמה הנוכחית, המספר שאנו בונים ייראה כך: formula_15
לפי הפיתוח העשרוני שלו, המספר אותו בנינו נמצא בקטע (0,1). אך לא ייתכן שהוא נכלל ברשימה שערכנו, שכן עבור כל מספר טבעי n דאגנו שהמספר שבנינו יהיה שונה מהמספר formula_2 בספרה אחת לפחות. נוצרה סתירה כיוון שהנחנו שכל המספרים בקטע ערוכים ברשימה ובכל זאת מצאנו אחד שאינו ברשימה. מכאן שההנחה כי אפשר בכלל לערוך רשימה לא נכונה ולכן הקטע (0,1) איננו בן מנייה.
הוכחה זו מראה שיש לפחות שתי עוצמות אינסופיות שונות, כלומר שני גדלים שונים של אינסוף: העוצמה של המספרים הטבעיים, שאותה סימן קנטור באות העברית formula_17 (קרי: אָלֶף אֶפֶס), ועוצמת הממשיים, שאותה סימן באות formula_18 (זה הסימון המקובל בקרב המתמטיקאים עד היום). משפט קנטור מראה שקיימים אינסוף גדלים שונים של אינסוף, שכן לכל קבוצה אינסופית, קבוצת החזקה שלה היא בעלת עוצמה גדולה יותר.
עיר
עִיר היא דפוס התיישבות אנושי המאופיין בצפיפות גבוהה ובריכוז גבוה של אוכלוסייה ליחידת שטח, ביחס לצורות התיישבות אחרות. התהליך הדמוגרפי בו מתרחש מעבר של אוכלוסייה מיישובים כפריים לסוגים שונים של התיישבות עירונית מכונה עיור.
הגדרת עיר.
עיר היא מושג סוציולוגי, המעיד על אופי המקום אולם משתנה ממקום למקום. מקס ובר בספרו "העיר", ניסה להגדיר עיר על פי מאפיינים מוגדרים. המודל היה העיר האירופאית מנקודת מבט אתנוצנטרית, בעלת אוטונומיה משפטית פוליטית, ישות עירונית המנהלת את עצמה בפני עצמה. העיר גדולה באופן משמעותי מהכפרים שמסביבה ומהווה מרכז כלכלי, תרבותי ודתי לסביבתה. לעיר של ימינו בסיס כלכלי המושתת בדרך כלל על מסחר, שירותים, מלאכה ותעשייה, בניגוד לכפר, המושתת על חקלאות. בעיר המודרנית יש שלטון מקומי המחוקק חוקים מקומיים ומספק שירותים ותשתיות לתושבי העיר. בערים מתרכז הכוח הפוליטי, הדתי והתרבותי, לכן השפעתן על החברה בארץ או במדינה בדרך כלל גדול יותר מאשר היישובים הכפריים. מודל זה מצומצם ביותר ואינו כולל ערים מוסלמיות, מזרח-אסייתיות ואחרות. הערים המוסלמיות שונות היו במרכיביהן ולכן לא התאימו לקטגוריות של ובר.
להשוואה, הנה תיאור של משורר קדום, לפני למעלה מ-4,000 שנה, המתאר מהי עיר טובה בעיניו:
בעוד נקודת המבט המודרנית והמערבית של ובר מאפיינת עיר על פי יחסה כלפי חוץ, המשורר הקדום מעדיף תיאור של חיי העיר גופא, ובעיקר חיי הרגש. היחס אל החוץ מתמצה בציון מבקרים מן החוץ, שהם כמו חיות מחמד מופלאות לתענוג יושבי העיר. אפשר להבין הבדל זה ביחס לעיר מתוך כך שהתיאור הקדום נכתב בעת שהערים היו בנות פחות מאלפיים שנה, מעט מזעיר מכלל בני האדם היו יושבי ערים ועצם קיומן כישויות היה מקור לפליאה, תהיה ואף ספק. כיום אחרי ששת אלפי שנים של ערים והיסטוריה העיר גופא אינה יוצאת הדופן, אלא תקן הקיום לרוב בני האדם בעולם המתועש. העיר עצמה מובנת מאליה, ויחסה אל סביבתה הפך למוקד ההגדרה והשוואתה לערים אחרות.
חשיבותה של העיר בהיסטוריה.
מקובל לחשוב שהקשר בין עיר לציויליזציה הוא מוחלט ודו סיטרי: הציוילזציה התפתחה בעיקרה בעיר, ולעיר אין קיום ללא מוסדות הציויליזציה. היוונים הקדמונים תלו את קיום הציויליזציה והעיר גם יחד במושג יונומיה, הסדר הטוב. חלק גדול מסיפור התרבות האנושית נקבע בערים. בפרט, התפתחות מוסדות ומוסדות העל, כמו בתי משפט, חוק וחוקה, בנקאות, גילדות של מומחים, ספריות, אוניברסיטאות וכיוצא באלה התחוללה בערים. תהליכי התמחות בצורתם הקיצונית התקיימו ועודם מתקיימים אך ורק בערים. השליט והבירוקרט, המשפטן והפילוסוף, המדען והמהנדס, האדריכל והבנאי, כל אלו נוצרו בערים, התפתחו בערים וקיומם אפשרי רק בעיר, היכן שמתקיים המפגש ההכרחי בין צורך, אפשרות והזדמנות. רעיון העיר, שאולי נראה מובן מאליו כעת, סותר כמיליון שנות אבולוציה אנושית, בהן האדם התקיים כצייד-לקט. לאורך כמעט כל תקופה זו, בה האדם עוצב, חיו בני אדם בקבוצות קטנות בהן כל אדם היה מוכר לכל אדם וגם קשור עמו בקשרי משפחה. אין תימה, איפה, שהערים על 6,000 שנות ההיסטוריה שלהן נאלצו להתמודד עם מכלול בעיות חדשות לניסיון האדם, בעיות הנובעות מעצם הרעיון של כינוס אלפי זרים יחד לחיים זה לצד זה בתחום מצומצם. ניכור אורבני, הבדלי מעמדות ומתח בין עשירים לעניים, מהומות ומרידות, מגפות, שלטון כוחני ועריץ - כל אלו קשורים בטבורם לעיר, והפתרונות להם עדיין בתהליך עיצוב ובחינה.
מכל אלו נובע שחלק עצום מההיסטוריה האנושית הוא ההיסטוריה של ערים: החל בארך, הגדולה בערי העולם עם שחר ההיסטוריה, המגדירה את עליית תרבות שומר, דרך אכד, בבל ואור, המציינות את ערש ההיסטוריה. אוגרית ויורשתה הפניקית קרתגו ששתיהן מציינות את עידן הסחר הפיניקי שהפיץ את רעיון העיר והציויליזציה מערבה. אתונה וספרטה של יוון הקלאסית, אלכסנדריה וסירקוזה הפאן-הלניות, רומא והאימפריה שהקימה שהגדירה בפועל את ראשית תרבות המערב, כמו גם מרכז לנצרות הקתולית שמילאה תפקיד מרכזי בקיפאון ימי הביניים העתיד לבוא. ירושלים בה נולדה דת המערב, וקונסטנטינופול שהתקיימה לאורך אלף שנים כעיר נוצרית והפיצה את הנצרות צפונה ומערבה. בגדאד וקהיר, שהיו מרכז האימפריות הערביות, הפיצו את האסלאם, שימרו גחלת של הידע היווני הקלאסי והניחו חלק מהיסודות להתפתחות המדע במערב עד שהוא יצא מקיפאון ימי הביניים. אנדלוסיה שכיבושה ברקונקיסטה עם ספרייתה המופלאה היה ציון דרך חשוב להשבת פילוסופיה יוונית, ידע יווני ויבוא ניצני מדע ערביים לאירופה של שלהי ימי הביניים. פירנצה של הרנסאנס, פראג של הרפורמציה, לונדון של מקדש החירות האנגלי וגרעין לאימפריה הגדולה ביותר בהיסטוריה ולקולוניאליזם האירופי, פריז של המהפכה הצרפתית.