נתייחס לפונקציה מרוכבת ורציפה "f" המוגדרת על מסילה חצי-מעגלית
שהינה בעלת רדיוס חיובי "R", הנמצאת בחצי המישור העליון ושמרכזה בראשית. אם הפונקציה "f" היא מהצורה
עם פרמטר "a" חיובי, אז למת ז'ורדן היא האי-שוויון הבא עבור האינטגרל לאורך המסלול החצי-מעגלי:
כאשר שוויון בין אגף שמאל לחסם העליון שבאגף ימין מושג כאשר "g" מתאפסת בכל מקום על המסילה, ובמקרה זה שני האגפים הם זהותית אפס. טענה אנלוגית תופסת עבור מסלול אינטגרציה חצי-מעגלי בחצי המישור התחתון כאשר "0&gt;a".
אם "f" רציפה על המסילה החצי-מעגלית "CR" בעבור "R" גדול במידה שרירותית ו-
(*) formula_4
אז לפי למת ז'ורדן:
formula_5.
יישום של למת ז'ורדן.
למת ז'ורדן מספקת דרך נוחה לחשב את האינטגרל לאורך הציר הממשי של פונקציות מהצורה "f"("z") "ei a z g"("z") שהם הולומורפיות בחצי המישור העליון ורציפות בחצי המישור העליון הסגור למעט אולי מספר סופי של נקודות לא ממשיות "z"1, "z"2, …, "zn". אינטגרלים מסוג זה מופיעים באופן טבעי כאשר מוצאים התמרת פורייה או התמרת לפלס של פונקציות מסוימות, כך שלמת ז'ורדן היא שימושית ביותר בחישובים כאלו. כדי להיווכח בכך, נסתכל על המסילה הסגורה "C" שהיא השרשור של המסלולים "C"1 ו-"C"2 הנראים באיור. לפי הגדרה
מכיוון שעל "C"2 המשתנה "z" הוא ממשי, האינטגרל השני הוא ממשי:
אגף שמאל יכול להיות מחושב בעזרת משפט השארית וכך נקבל, עבור כל "R" הגדול יותר מהמקסימום של "z"1|, |"z"2|...|"zn"|, ש-
כאשר Res("f", "zk") מסמל את השארית של "f" בנקודות הסינגולריות "zk". לפיכך, אם "f" מקיימת את התנאי (*), אז לאחר לקיחת הגבול שבו רדיוס החלק המעגלי של המסילה "R" שואף לאינסוף, האינטגרל המסילתי לאורך "C"1 מתאפס לפי למת ז'ורדן ומתקבל ערך האינטגרל הלא אמיתי
דוגמה.
הפונקציה
מקיימת את התנאי של למת ז'ורדן עבור כל "R" גדול מ-"0" ושונה מ-"1", והפרמטר "a" שלה הוא "1". נשים לב שבעבור "R" &gt; 1,
ולכן התנאי (*) תופס. מכיוון שהקוטב היחידי של "f" בחצי המישור העליון הוא ב-"z" "i", היישום לעיל מניב
מכיוון ש-"z" "i" הוא קוטב פשוט של "f" ו-("z"2+1 ("z" + "i")("z" − "i", מקבלים
כך ש-
תוצאה זו מדגימה את האופן שבו אינטגרלים שקשה לחשב בעזרת שיטות קלאסיות מחושבים בקלות בעזרת אנליזה מרוכבת.
הוכחת למת ז'ורדן.
לפי הגדרת האינטגרל המרוכב הקווי נקבל
בעוד אי שוויון המשולש בגרסתו האינטגרלית
נותן
בעזרת שימוש בהגדרת "MR" כפי שמופיעה בניסוח של למת ז'ורדן ובסימטריה sin "θ" sin("π" – "θ"), נקבל
מקעירות גרף הפונקציה sin "θ" באינטרוול "θ" ∈ [0, "π" ⁄ 2] נובע שהוא נמצא מעל הקו הישר שמחבר בין נקודות הקצה שלו "(0,0)" ו-"("π" ⁄ 2 ,1)", ולפיכך
בעבור כל "θ" ∈ [0, "π" ⁄ 2], מה שגורר גם
לואיז, נסיכת בלגיה
לואיז מארי אמליה, נסיכת בלגיה הייתה בתם של לאופולד השני, מלך הבלגים ואשתו מריה הנרייטה, ארכידוכסית אוסטריה.
ילדות.
הנסיכה לואיז נולדה ב-18 בפברואר 1858, בתו הבכורה של לאופולד השני, מלך הבלגים ואשתו מריה הנרייטה, ארכידוכסית אוסטריה. ב-1865 הוכתר אביה כמלך הבלגים. אביה ואמה לא הסתדרו היטב, ואמה העבירה את מרבית זמנה בעיר ספא ליד הארדנים. לאופולד הזניח את לואיז ואחותה סטפני והתעניין בעיקר בבנו לאופולד, בעוד מריה הנרייטה התמקדה בבנותיה והעניקה להן חינוך מעולה.
ב-1869 מת אחיה לאופולד בגיל תשע. המוות הכניס את אביה להלם שממנו לא התאושש עוד. הוא התפייס עם אמה לזמן מה בניסיון ללדת בן זכר נוסף שיירש אותו, אולם התוצאה הייתה לידתה של בת נוספת, הנסיכה קלמנטין ב-1872. לאופולד איבד לחלוטין עניין במשפחתו, והשקיע את מרבית תשומת לבו בקונגו (אשר הייתה מושבה פרטית שלו) ובמספר פילגשים. ב-1895 אמה פרשה סופית מחצר המלוכה והתגוררה בעיר ספא למשך שארית חייה.
נישואים ראשונים וילדים.
לואיז התחתנה עם בן דודה השני פיליפ, נסיך סקסוניה-קובורג-גותה בבריסל, ב-4 בפברואר/ 4 במאי 1875. הכלה הייתה בת 17 בלבד והחתן היה בן 31. לזוג נולדו שני ילדים:
אביה הסתייג מהנישואים, והתייחס לכך כאל ברית לא רצויה עם פרוסיה, אך אמה אישרה זאת משום שפיליפ חי בהונגריה.
היחסים בין לואיז לפיליפ לא היו מאושרים. מאוחר יותר כתבה לואיז כי ברחה מבית השינה בהקדם האפשרי בבוקר שלאחר חתונתה, במצוקה קשה. אומרים שפיליפ שלט, ולואיז הגיבה בכך שחיה אורח חיים מפואר בחצר וינה, שם משכה תשומת לב רבה.
בשנת 1880 הציעה את הנישואים בין אחותה סטפני לבין רודולף, נסיך הכתר האוסטרי.
שערורייה וגירושין.
בשנת 1895 לואיז ניהלה מערכת יחסים עם הרוזן גזה מטאיצ'יץ' (Mattacic, 1868-1923), בנו החורג של אוסקר קגלביץ', רוזן בוזין. מטאיצ'יץ' היה סגן בגדוד קרואטי של הצבא האוסטרי. הם נפגשו בפראטר בווינה.
בינואר 1897, היא עוררה שערורייה בווינה בכך שהשאירה לצמיתות את בעלה, הנסיך פיליפ, למטאכיץ' ולקחה את בתה איתה. הם נסעו תחילה לפריז, אחר כך לקאן, וחיו ביעדים אחרים בדרום צרפת ובשאר אירופה. בנה התנתק ממנה, כי הוא הרגיש שמעשיה הרסו את סיכוייו לירושה. עד מהרה עזבה בתה את אמה בעצת ארוסה, הדוכס של שלזוויג-הולשטיין.
בשנת 1898, הנסיך פיליפ ומטאכיץ' לחמו דו-קרב בווינה, תחילה עם רובים, אחר כך עם חרבות, שבו הנסיך נפצע.
מטאיצ'יץ' נעצר בזאגרב ונכלא לארבע שנים בגין זיוף.
לואיז והנסיך פיליפ התגרשו לבסוף בגותה ב-15 בינואר 1906, כמעט שמונה שנים לאחר שהחלה בהליכי גירושין.
חיים מאוחרים יותר.
מנוכרת ומנושלת מאביה לאופולד השני, התגרשה מבעלה ונפרדה מילדיה, ההוצאות הבזבזניות של לואיז הכניסו אותה עמוק יותר ויותר לחובות. למרות היותה בתו של המלך העשיר ביותר של העידן, היא נאלצה לתבוע פשיטת רגל לאחר שנודע כי מאטצ'יץ' זייף את חתימתה של אחותה של לואיז, הנסיכה סטפני, על שטרי חוב לתכשיטים בשווי של כ-2,500,000 דולר. כתוצאה מפרק זה, במאי 1898 היא הוחזקה בבית משוגעים במשך שש שנים בהוראת המלוכה האוסטרית, שהייתה נבוכה ושערורייתית על ידיה ועל ידי בעלה. מטאיצ'יץ' נידון לארבע שנות מאסר בגין זיוף. לאחר שגזר דינו נגמר, הוא עזר ללואיז להימלט מבית המשוגעים בשנת 1904; השירות החשאי של הקיסר פרנץ יוזף,הם החלו את חייהם כנמלטים. מצב זה הסתיים כתוצאה ממלחמת העולם הראשונה והתפוררות האימפריה האוסטרית.
אבל כאשר לאופולד השני מת בשנת 1909, הנסיכה ושתי אחיותיה גילו כי אביהם השאיר את ממונו לפילגש הראשית שלו, הרוזנית הצרפתייה קרוליין לקרואה וחלק מהקרן המלכותית. האחיות החלו בתביעה נגד המדינה הבלגית, שהעלתה טענות משלה על עושרו העצום של המלך. תוצאת התביעה הייתה חשובה במיוחד ללואיז, ולא לאחיותיה, כי היא הייתה חסרת פרוטה. אף על פי שהפסידה במאבק המשפטי, המדינה הבלגית העניקה לה סכום כסף, אותו תקבל רק שנים רבות לאחר מכן בשל פרוץ המלחמה.
לאחר המלחמה חזרו לואיז ומאטצ'יץ' לפריז, שם כתבה את זיכרונותיה. ספר הזיכרונות של לואיז, ""ענייניי שלי"," פורסם בשנת 1921.
בריאותו של מאטצ'יץ' התדרדרה במהלך 1923 עד מותו באותו סתיו. לאחר מותו עברה לואיז בפעם האחרונה לוויסבאדן שבגרמניה. לאחר מותו של מאטצ'יץ ' היא קיבלה בית על ידי אליזבת מבוואריה, מלכת הבלגים, אשתו של בן דודה, אלברט הראשון, מלך הבלגים. נפטרה בוויסבאדן ב-1 במרץ 1924.
לאחר מותה, החצר המלכותית בבריסל נכנסה לאבל למשך חודש שלם.
מרי קוסטה
מרי קוסטה (באנגלית: Mary Costa; נולדה ב-5 באפריל 1930) היא זמרת אופרה ושחקנית אמריקאית.
ביוגרפיה.
קוסטה נולדה בנוקסוויל, שם גרה חלק ניכר מילדותה. היא גדלה כבפטיסטית ומגיל שש שרה סולו בבית ספר של יום ראשון בו למדה. בתיכון היא שרה במקהלה. כשהייתה בשנות העשרה המוקדמות שלה, עברה עם משפחתה להתגורר בלוס אנג'לס, שם סיימה את לימודי התיכון. לאחר בית הספר היא למדה בקונסרבטוריון למוזיקה בלוס אנג'לס. בשנים 1948–1951 הופיעה עם הקומיקאי אדגר ברגן בתוכנית הרדיו שלו. היא גם שרה עם דין מרטין וג'רי לואיס.
בשנת 1952, לאחר שפגשה אנשים במסיבה עם בעלה לעתיד, הבמאי פרנק טשלין, היא נבחנה לתפקיד הנסיכה אורורה בסרט "היפהפייה הנרדמת" של חברת וולט דיסני. מספר שעות לאחר מבחן הבד נודע לה שהיא התקבלה לתפקיד.
ב-1953 שיחקה בסרט הקומדייה "Marry Me Again".
בשנת 1958 נקראה קוסטה להחליף את אליזבת שוורצקופף בקונצרט גאלה. בעקבות הביקורות הטובות שקיבלה, היא הוזמנה להופיע בתפקיד הראשי בהפקה האופראית "The Bartered Bride", שהופקה על ידי המפיק הגרמני קרל אברט.
ב-1972 גילמה את אשתו של יוהאן שטראוס בסרט ביוגרפי על חייו.
חופש הביטוי בישראל
במשפט הישראלי חופש הביטוי בישראל היא זכות יסוד. עם זאת. בדומה לזכויות אחרות (דוגמת הזכות לשוויון חופש הדת וחופש ההתארגנות) חופש הביטוי אינו מוזכר ב או בכל חוק יסוד אחר (ולמעשה בשל כך ניתן לבטלו בהליך דמוקרטי). עם זאת, בפועל, הזכות לחופש הביטוי הוכרה כנגזרת של הזכות לכבוד במספר רב מאוד של פסקי דין החל משנת 1994 ועד היום.
חופש הביטוי מול ביטחון המדינה.
פסק הדין הראשון שבו נבחנו בישראל גבולותיו של חופש הביטוי, כשהוא מתנגש עם ביטחון המדינה ושלום הציבור, ידוע בשם בג"ץ קול העם: