בשנת 2021 יצא לאור ספרו של שמעון אדף בעל השם הפלינדרומי "הלשון נושלה".
פלינדרום לפי מילים.
משפט כזה מסודר כך שסדר המילים מהסוף להתחלה, ומההתחלה לסוף, נקרא בצורה זהה, אם כי הפיסוק יכול להיות שונה.
פלינדרומים ארוכים בעברית.
הפלינדרום הארוך ביותר בעברית (הכולל 1,111 מילים, מתוכם 767 שמות) נוצר על ידי הפלינדרומאי נעם דובב, ושם סיפורו הפלינדרומי: "מות תום" (ובאנגלית: "Name sold, I'd lose man"). דובב יצר גם את הפלינדרום השני באורכו, סיפור בשם: "יוצר מלוע שמים השמש, ה' מימש עולם רצוי", שאף הוא פלינדרום (ובאנגלית: "!Do, God").
הרב יהודה (יוליוס) הירש כתב הספד פלינדרומי על אביו, רש"ר הירש, שמתחיל במילים: ומסתיים, בהתאמה, במילים:
פלינדרום זה, שפורסם בסוף המאה ה-19, היה ככל הידוע הפלינדרום הארוך ביותר שנכתב בעברית במשך כ-127 שנה.
פלינדרומים בשפות אחרות.
באימפריה הביזנטית נהוג היה לחרות על אגן טבילה (למשל בכנסיית איה סופיה) את הפלינדרום ביוונית ΝΙΨΟΝ ΑΝΟΜΗΜΑΤΑ ΜΗ ΜΟΝΑΝ ΟΨΙΝ שפירושו: "רחץ חטאיך, לא רק פניך"
אנגלית:
גרמנית:
בלטינית נכתב פלינדרום בעל אופי דומה לזה של "פרשנו רעבתן...": Sator Arepo tenet opera rotas. פלינדרום זה נמצא כגרפיטי שנרשם על קיר בפומפיי בשנת 79 והוא ככל הנראה הפלינדרום העתיק בעולם הידוע כיום.
S A T O R
A R E P O
T E N E T
O P E R A
R O T A S
ברוסית כתבו פלינדרומים משוררים פוטוריסטים כמו חלבניקוב (הפואמה "ראזין") ומאיאקוסקי ואחריהם אי. סלווינסקי וסביילי גרינברג. דוגמה לפלינדרום מאת סביילי גרינברג:
הפלינדרום בן 19 האותיות בפינית "Saippuakivikauppias", שפירושו "מוכר סבון", נכנס לספר השיאים של גינס כמילה הפלינדרומית הארוכה ביותר.
פלינדרומים במוזיקה.
ישנן מספר יצירות מוזיקליות שנחשבות לפלינדרומיות. הסימפוניה מספר 47 של יוזף היידן מכונה "הפלינדרום". בפרק השלישי, מינואט וטריו, חציו השני של המינואט הוא היפוכו של חציו הראשון ובדומה לכך גם הטריו. לאחר מכן חוזר המינואט.
באופרה "לולו" של אלבן ברג יש אינטרלוד פלינדרומי.
תורת החישוביות.
בתורת החישוביות, בהיררכיה של חומסקי, פלינדרומים הם דוגמה ידועה לשפה שהיא חסרת הקשר אך לא שפה רגולרית בכל אלפבית (פרט לאונרי). דהיינו אין אוטומט סופי (מכונה עם זיכרון קבוע) שיכולה לזהות פלינדרומים. יתרה מזאת, אין גם אוטומט מחסנית דטרמיניסטי שיכול לזהות פלינדרומים. מאידך, ידועים אלגוריתמים עם סיבוכיות זמן ריצה ליניארית שיכולים לזהות את תת-המחרוזת הפלינדרומית הארוכה ביותר של מחרוזת נתונה.
זוג סדור
זוג סדור הוא זוג של שני עצמים מתמטיים, עם חשיבות לסדרם. סימונו של הזוג הסדור: ⟨a,b⟩ כאשר a הוא האיבר הראשון בזוג הסדור ו-b הוא האיבר השני.
כמו כן, זוג סדור הוא איבר של מכפלה קרטזית. זוהי קבוצה בת שני איברים (שנסמנם לצורך הדוגמה a,b), כאשר יש חשיבות לסדר הופעתם והם אינם חייבים להיות שונים, כלומר יש איבר "ראשון" ו"שני" והם יכולים להיות זהים, בניגוד לקבוצה רגילה בה אין לסדר חשיבות ואין משמעות להופעת איבר פעמיים.
כאשר הזוג הסדור משמש לציון נקודה במישור, האיבר הראשון (השמאלי) בזוג נקרא גם אבסציסה (Abscissa) והשני (הימני) נקרא גם אוֹרְדִינָּטָה (Ordinate).
זוג סדור נכתב בתוך סוגריים, כאשר פסיק מפריד בין האיבר הראשון לאיבר השני: (a,b).
שני זוגות סדורים שווים אם ורק אם האיבר הראשון שלהם זהה וגם האיבר השני שלהם זהה. כלומר (a,b)=(c,d) אם ורק אם a=c וגם b=d. בכתיבה פורמלית:
formula_1
זאת לעומת הקבוצות הבסיסיות (על פי תורת הקבוצות), שבהן הסדר אינו חשוב, וכך {a,b} = {b,a}. ובכתיבה פורמלית:
formula_2
זוג סדור כקבוצה.
בשנת 1921 המתמטיקאי היהודי-פולני קזימיר קורטובסקי מצא דרך להגדיר זוג סדור כקבוצה שאם יוחלף בה סדר האיברים, היא כבר לא תהווה את אותה הקבוצה, למרות שבדרך כלל סדר האיברים בקבוצה בסיסית אינו חשוב. הנה נוסחתה:
formula_3
נוסחה זו משמשת בצורה נרחבת בתורת הקבוצות כדי להוכיח הרבה מאוד משפטים מחושבים הנוצרים בהיסק ממנו.
הגדרה זו נסמכת על כך שמספר האיברים בקבוצה תמיד חשוב לצורך זיהויה או השוואתה עם קבוצה אחרת, ושתי קבוצות המכילות מספר איברים שונה, בהכרח אינן זהות זו לזו.
הקבוצה הסדורה, המוגדרת בנוסחתו של קורטובסקי, מכילה שני איברים, כמו הזוג הסדור, אלא ששני אברי הקבוצה הסדורה הם בעצמם קבוצות, נקרא להם איבר-קבוצה-א' ואיבר-קבוצה ב'. איבר-קבוצה-א' מכיל רק את "איבר המוצא" a - האיבר הראשון של הזוג הסדור (a,b), ואילו איבר-קבוצה-ב' מכיל בעצמו שני איברים: את איבר המוצא a ואיבר היעד b, כלומר את האיבר הראשון של הזוג הסדור ואת האיבר השני שלו.
לקבוצה המוגדרת על פי נוסחת קורטובסקי, אין זהות עם זוג סדור בסדר מהופך מהמקור (b,a), כי עכשיו b תופיע הן באיבר-קבוצה-א' והן באיבר-קבוצה-ב' בעוד a הפעם תופיע רק באיבר-קבוצה-ב'. ואם איבר a אינו זהה לאיבר b, הקבוצה שהוגדרה על פי (a,b) לא תהיה זהה לקבוצה שהוגדרה על ידי (b,a).
n-יה סדורה - סדר מספרים קבוע.
הכללה של זוג סדור למקרה הכללי של מספר כלשהו של רכיבים נקרא n-יה סדורה (הנהגית בעברית במלעיל: "אֶנְיָה סדורה". שימו לב אות n היא האות האנגלית הקטנה N, ולא האות העברית ח).
הינדואיזם
הינדואיזם הוא שם כולל לדת הרווחת בהודו, בה חיים 96% מההינדואים בעולם. המאמינים בהינדואיזם נקראים הינדואים (Hindu). להינדואיזם, המכונה בידי חוקרים אקדמיים גם ברהמיניזם, מספר גדול של אופני פולחן, זרמים ותפיסות פילוסופיות. ועם כ-1.05 מיליארד מאמינים, היא הדת השלישית בגודלה בעולם, והדת הפוליתאיסטית הגדולה ביותר.
ההינדואיזם מהווה רוב בהודו ובנפאל. ההינדואיזם היא דת מרכזית גם במאוריציוס.
מבוא.
להינדואיזם תפיסה רב-אלית, ובתפיסה הפילוסופית העמוקה של הדת, האלים גם נתפסים כהתגלמויות שונות של המהות העליונה האחת, הברהמן. בקהילות שונות קיימים דגשים שונים מבחינת חשיבותם של האלים למאמינים, וההיררכיה הקיימת ביניהם. אלה הנחשבים בדרך כלל לחשובים שבין האלים הם ברהמה, וישנו, אינדרה, קאלי ושיווה, והם מיוצגים על ידי דמויות במקדשים (murti).
כתבי הקודש המרכזיים של הדת הם הוודות. הוודות הובאו להודו בסביבות 1500 שנה לפני הספירה, ככל הנראה על ידי דוברי שפות הודו אירופאיות. הוודות היא השכבה העתיקה ביותר של פעילות דתית בהודו ומהווה את המסורת העיקרית שעצבה את ההינדואיזם לדת. התרגולות הרוחניות של הדת נקראות בשם הכולל יוגה .
ההינדואיזם מכיל בתוכו גם תפיסה חברתית, וכיום מאמיניו מתחלקים למעמדות הידועים גם בשם הפורטוגלי "קאסטות". בין הקאסטות קיימת חלוקה היררכית וחלוקת תפקידים. בראש הפירמידה עומד מעמד הכוהנים, הברהמינים, המופקדים על הפולחן, פירוש כתבי הקודש והנהגת הקהילה. אחריהם באות קאסטות נוספות דוגמת אלו של אנשי הממשל והמסחר. בתחתית המדרג החברתי עומדים "הטמאים", אלה שאינם נכללים במדרג, אין להם שייכות קבוצתית והמגע איתם אסור על השייכים לקאסטות.
עם השנים, ובעיקר מאז הופעת זרם הטנטרה, התפתחו בחברה ההינדית מסגרות הקוראות תגר על הסדר הזה. היום ניתן למשל למצוא מורים רוחניים אשר אינם ברהמינים, הם נוטלים לעצמם תפקידים של הובלה רוחנית וטקסית, והם זוכים לתארים דוגמת גורו, אצ'אריה וסוואמי.
באופן היסטורי המונח הינדו קדם להתייחסות להינדואיזם כאל דת. בפרסית "הינדו" משמעותו נהר, והמילה התייחסה במקור לאנשים שגרו מעברו המזרחי של נהר האינדוס. בזמן השלטון הבריטי בהודו, החל השימוש במונח "הינדו", באופן מעורפל מעט, לציין את אוסף ההשקפות הדתיות והמונח "הינדואיזם" לציין את דתם של ההינדואים, אף שהיה קיים בספרות כבר לפני כן. התנגדותם של הודים לשימוש במונח "הינדואיזם" נובעת בעיקר מכך שמדובר במונח שנטבע על ידי זרים, ולדעת רבים מהם אינו משקף הבנה מעמיקה של התרבות הרוחנית ההודית.
המונח החדש-יחסית הזה עורר דיונים רבים. יש הרואים בהינדואיזם יותר "דרך חיים" מאשר דת מאורגנת, ויש הרואים במונח סנטנה דהרמה (Santana Dharma) הלקוח משפת הסנסקריט, שפירושו הדרך הנצחית, מונח מתאים יותר.
על פי השקפה אחרת, ההינדואי הוא אדם המאמין בפילוסופיה המובאת בכתבי הקודש ההודיים הנקראים ודות. הוודות הן קרוב לוודאי כתבי הקודש העתיקים ביותר בעולם . ההשקפה העיקרית המובעת בהן טוענת שטבע האדם אלוהי. האל הוא הברהמן, המהות הרוחנית שקיימת בתוך כל גוף. הדת היא החיפוש אחרי הכרה עצמית, החיפוש אחרי העצמי הרוחני. הוודות מצהירות שהאדם אינו זקוק ל"ישועה", ולעולם אינו אבוד. במקרה השלילי, אדם יכול לחיות ללא מודעות לטבעו האמיתי ועצמיותו הנצחית.
הודאנטה (פירוש המילה המילולי הוא "סוף הוודות"), מכירה בכך שניתן להגיע אל האל בדרכים שונות ותקפות. כל דרך מוסמכת של תרגול רוחני יכולה להביא לאותו מצב של מודעות עצמית. הוודאנטה מטיפה לכבוד לכל הדתות, והיא מעודדת סובלנות לאמונות אחרות.
בפועל, זרמים הינדואיים מדגישים אמונה באל או אלה מסוימים, בדרך כלל באמצעות ייצוגים ביתיים או במקדש המכונים מורטי. האלים נתפסים על ידי מספר זרמים בהינדואיזם כהתגלמויות שונות של הברהמן האחד. בין האלים הראשיים של ההינדואיזם: ברהמה "הבורא" ובת זוגו סרסווטי אלת ההשכלה, וישנו ואשתו לקשמי, שיווה ואשתו פרוואטי, שאקטי (עוצמה) אלת החיים, קאלי היא אלת המוות וגַנֶש. בשל המגוון הרעיוני, קיים דיון ער בשאלה האם ההינדואיזם הוא מונותיאסטי (מוקדש לאל אחד), פוליתיאסטי (מוקדש לאלים רבים) או פאנתיאסטי (הרואה את קיום האל בכל).