לצורך הדוגמה נעזר בטבלה הבאה: (בהנחה שאלו פרסים קבועים שאינם משתנים, מספר המשתתפים בהגרלה הוא 16,273,488 והמחיר להשתתפות בהגרלה הוא 2.9 ₪).
ניתן לחשב את תוחלת הרווח הצפוי בצורה הבאה:
formula_28
כלומר, אם לדוגמה עלות השתתפות במשחק זה היא 2.9 ₪ אזי תוחלת אחוז הרווח הצפוי שווה ל-40.1371575% (2.9 / 1.163977569) מההשקעה.
תוחלת ההפסד הצפוי מן ההשתתפות בהגרלה היא 1.736022431 = 2.9 (עלות ההשתתפות=תוחלת עלות ההשתתפות) פחות 1.163977569 (תוחלת הרווח הצפוי).
תוחלת ההפסד הצפוי מהווה 59.8628425% מעלות ההשתתפות בהגרלה (1.736022431 חלקי 2.9, או 100% פחות 40.1371575%).
דרך נוספת לחישוב תוחלת הרווח הצפוי:
1.163977569 ≈ 15,594,054/16,273,488 * (0-2.9) + 539,400/16,273,488 * (10-2.9) + . . . 6/16,273,488 * (500,000-2.9) + 1/16,273,488 * (4,000,000-2.9) + 2.9
דרך נוספת לחישוב אחוז תוחלת הרווח הצפוי (אחוז ההחזר)
40.1371575% ≈ 15,594,054/16,273,488 * 0/2.9 + 539,400/16,273,488 * 10/2.9 + . . . 6/16,273,488 * 500,000/2.9 + 1/16,273,488 * 4,000,000/2.9
יש להבדיל בין תוחלת הזכייה/תוחלת ההפסד (שבה הערך המתקבל מייצג את סכום הרווח/ההפסד) לבין תוחלת הרווח הצפוי/תוחלת ההפסד הצפוי (שבה הערך המתקבל מייצג את הסכום הממוצע שמוחזר בכל הגרלה) הנובעות מההשתתפות בהגרלה, בשני המקרים האחוז זהה אך התוחלת שונה.
תכונות התוחלת.
אופרטור התוחלת formula_29 הוא ליניארי, ולפיכך (כאשר formula_30 משתנים מקריים המוגדרים על אותו מרחב הסתברות, ו-formula_31 מספרים ממשיים):
תוחלת של זמן המתנה.
אם formula_4 הוא משתנה מקרי המקבל רק ערכים טבעיים, אז התוחלת שלו מקיימת formula_42 (לנוסחה זו יש גם גרסאות כלליות יותר). ביטוי זה לחישוב התוחלת שימושי במקרה שהמשתנה מייצג את זמן ההמתנה עד להתרחשותו של מאורע (כגון הופעתה הראשונה של המלה "אנציקלופדיה" בסדרה של תווים אקראיים).
יהדות ספרד
יהדות ספרד הייתה הקהילה היהודית שהתקיימה בחצי האי האיברי החל מהתקופה רומית בספרד דרך התקופה הוויזיגותית, המוסלמית ולאחר מכן בממלכת ספרד הנוצרית, עד גירוש ספרד בשנת 1492. שיא תפארתה היה במאות ה-9 ועד ה-13, תחת השלטון המוסלמי בתקופה הנקראת תור הזהב, תקופה שציינה את הפריחה התרבותית והכלכלית שלהם ובמהלכה היוותה הארץ את המרכז הדתי, התרבותי והכלכלי של כל יהודי העולם. יהדות ספרד פיתחה מאפיינים ייחודיים שכללו את נוסח הספרדים ומסורת פסיקת הלכה דומיננטית, שהחלה לכל המאוחר ברבנו חננאל עבור בחכמי תור הזהב ורבי יוסף קארו ועד ימינו, שהשפעתה גם על יתר התפוצות הייתה עצומה (הגיית לשון הקודש המכונה "הברה ספרדית" מקורה עתיק יותר וקודם ליהדות ספרד). בעקבות הגירוש ב-1492 נאלצו היהודים שלא התנצרו להגר לפורטוגל הסמוכה, ממנה גורשו לאחר מכן, לצפון אפריקה, לאימפריה העות'מאנית, למערב אירופה, ליתר המזרח התיכון ולאיטליה (חלק מהמגורשים היגרו מאוחר יותר גם לעולם החדש). המגורשים, שבלטו מבחינה תרבותית ודתית, השליטו בהדרגה את מסורותיהם ואת נוסח התפילה שלהם על קהילות יהודי ארצות האסלאם אליהן הצטרפו, כמו המוסתערבים והרומניוטים. כך נוצרה זהות דתית-הלכתית משותפת שבעטייה כונו כולם "ספרדים" בערך מן המאה ה-19.
רוב ספרות ההגות היהודית של חכמי יהדות ספרד בימי הביניים (מורה נבוכים, הכוזרי, מקור חיים, חובות הלבבות, ספר העיונים והדיונים, אור השם ויצירות נוספות) נכתבה בערבית יהודית וכך גם חלק מספרי פרשנות המקרא וההלכה. זאת לעומת שירת ימי הביניים של יהדות ספרד, שנכתבה בעיקר בעברית.
במדינת ישראל מרבית עולי ארצות הבלקן, חלק גדול מעולי צפון אפריקה וצאצאי הישוב הספרדי הוותיק בישראל, מזוהים בשם "ספרדים", בשל עברם התרבותי-גאוגרפי, שפות הלאדינו והערבית-יהודית בהן דיברו ויצרו, נוסח התפילה הספרדי, שמות פרטיים ושמות משפחה בעלי זיקה ליהדות ספרד והיותם צאצאים למגורשי ספרד שהיגרו למדינות אגן הים התיכון. לצד זאת, גם חלק מיהודי מערב אירופה, כמו רבים מהקהילה היהודית באמסטרדם, מגיעים (לפחות באופן חלקי) ממוצא ספרדי.
היסטוריה מוקדמת.
המסורת על יישוב יהודי בחצי האי האיברי, מספרת כי כבר בתחילת ימי בית ראשון התיישבו יהודים בספרד. היהודים בספרד נהגו להראות את קברו של אדנירם, גובה המס של שלמה המלך שלפי האגדה נהרג בספרד, בעיר סגונט. המסורת מספרת גם כי העיר טולדו, שכינויה העברי היה "טוליטולא", נבנתה בידי גולי יהודה לאחר חורבן בית ראשון. משפחת אברבנאל, מהמשפחות המיוחסות והוותיקות בספרד, מיוחסת לשושלת דוד המלך. על פי מסורת משפחתית, היא הגיעה לספרד עוד קודם חורבן בית שני. המסורת המקובלת בקרב יהודי ספרד בימי הביניים הייתה שהם צאצאים של גולים מהעיר ירושלים.
התיעוד הארכאולוגי מועט: נמצאה מצבה מהמאה ה-3 לספירה ועליה שם של נערה יהודייה, מצבה אחרת מטורטוסה מהמאה ה-4, וכן תבליט מבית כנסת באלש. כמו כן, נמצאה בטרגונה מצבה בשלוש שפות: עברית, לטינית ויוונית. הידיעה ההיסטורית הברורה הראשונה על יישוב יהודי בספרד היא משנת 306 לספירה. בשנה זו התכנסה בגרנדה, אנדלוסיה, ועידה כנסייתית בראשות הבישוף מקורדובה, וקיבלה שורת החלטות, ובהן ארבע החלטות הנוגעות להפרדה בין יהודים ונוצרים. מאוחר יותר, בשנת 418, התחוללו באיים הבלאריים פרעות ביהודים.
תחת השלטון הרומי, גדל היישוב היהודי בספרד. יהודים התיישבו בעיקר בערי החוף המזרחי ובערים הדרומיות. קיימות ראיות על קשרים בין יהודים לנוצרים ועל חקלאים יהודים. בחודש מאי 589 קיבל עליו המלך הוויזיגותי רֶקָארֶד הראשון, את הנצרות הקתולית. על היהודים נאסר לכהן במשרות ציבוריות המקנות לנושאיהן סמכות להעניש נוצרים. נאסרו גם נישואי תערובת וגיור עבדים. תקנות אלו הוחלו בראשית המאה ה-7 גם נגד מומרים יהודים.
בשנת 613 הוציא המלך סיסיבוט צו האוסר על יהודים להתגורר בספרד, ולמעשה יצר את גירוש ספרד במאה השביעית. יהודים רבים עזבו את ספרד לצרפת הסמוכה ולארצות צפון-אפריקה. הרוב, כ-90 אלף אחרים, נאנסו להתנצר למראית עין. יש הטוענים כי ההתנצרות לוותה באיום על חייהם. בימי המלך סוינטילה שבו מרבית המתנצרים ליהדותם. בשנת 633 גזר סיסינט כי מותר ליהודים להתגורר בספרד, אך על המתנצרים נאסר לשוב ליהדות. בשנים אלו נרדפו המתנצרים עד חורמה, ונגזרו עליהם גזרות רבות במטרה למנוע מהם לשוב ליהדותם. בהשפעת כמרים הוחלט לקחת בכוח את ילדי האנוסים ולמוסרם למנזרים ולנוצרים אדוקים כדי שישארו נאמנים לדתם הנוצרית, אם יפרו את הצו יילקחו הילדים כעבדים. בשנת 681 גזר המלך ארוויג איסור מוחלט על קיום מצוות הדת היהודית בפרהסיה. כתוצאה מכך, נטשו יהודים רבים את ספרד אל צפון אפריקה, וחברו למוסלמים שהתכוננו לכיבוש חצי האי האיברי.
מתור הזהב לגירוש ספרד.
ביולי 711 כבשו המוסלמים את מרבית ספרד, ואז החלה תקופה המכונה תור הזהב של יהדות ספרד. בתקופה זו הייתה רווחה ליהודים, שמילאו תפקידי מפתח וחוו תקופה של פריחה ושגשוג רוחני דתי ותרבותי. עוד בעצם ימי הכיבוש מילאו היהודים תפקיד חשוב והיו מתווכים בין הנוצרים למוסלמים. המוסלמים גם הפקידו בידי היהודים מבצרים לשמירה. מדינאים ומלומדים יהודים פעלו בחצרות השליטים המוסלמים. כך תפש רבי חסדאי אבן שפרוט עמדה רבת השפעה בחצר הח'ליף בקורדובה (המאה ה-10), ורבי שמואל הנגיד התבסס בגרנדה (מחצית המאה ה-11). תקופת "תור הזהב" העמידה רבנים ואנשי רוח, הן בלימודי קודש והן בפילוסופיה, בשירה ובדקדוק. הפילוסופיה היהודית ניסתה לגשר בין המסורת וההגיון, כשהיא מושפעת מהפילוסופיה היוונית ומהעולם המוסלמי. כמו כן עסקו היהודים בתורת הסוד היהודית – הקבלה. תקופה זו התאפיינה גם ביוצרים, משוררים והוגים יהודיים חשובים רבים כמו רבי שלמה אבן גבירול, רבי יהודה הלוי, רבי משה אבן עזרא, רבי שמואל הנגיד, רבי מנחם בן סרוק, רבי יונה אבן ג'נאח, ובמיוחד הרמב"ם, שהשפעתו על יהדות ספרד הייתה מכרעת.
בשנת 1066 חלו פרעות גרנדה, שפגעו קשות בקהילת יהודי גרנדה הגדולה. מקובל לסבור שתור הזהב ליהדות ספרד הגיע לקצו בסוף המאה ה-11, משנכבשה ספרד בידי המורביטון. ביטחון היהודים החל להתערער ומעמדם המשפטי והחברתי הורע. עם עליית שושלת אל-מוואחידון שרדפה באכזריות את היהודים בשטחה, יהודים רבים נהרגו ואחרים נמלטו לנסיכויות הנוצריות או מזרחה לכיוון מצרים הפאטמית. בין הפליטים היו הרמב"ם ור' אברהם אבן עזרא. האחרון חיבר קינה על חורבן הקהילות, בשם אהה ירד עלי ספרד, בה הוא מונה את הקהילות שנחרבו אחת לאחת. עם זאת הקהילות היהודיות בספרד התחדשו לאחר נפילת השושלת, ועל אף חוסר היציבות נמשכה היצירה התרבותית היהודית גם בחלק מהממלכות המוסלמיות וגם בחלקים מספרד הנוצרית.
עם תחילת הרקונקיסטה, כיבושה מחדש של צפון ספרד על ידי הנוצרים, החלה התדרדרות במעמדם של היהודים. אולם הממלכות הנוצריות בצפון נזקקו לשרותי היהודים במלחמותיהם וסמכו עליהם את נאמנותם. כך ישבו רבים מהם על קרקע באזורי הספר. הכנסייה תבעה אמנם להחמיר עם היהודים, אך כל עוד השליטים היו זקוקים לשרותם, לא הקפידו בביצוע ההגבלות. במאות ה-12 וה-13 שגשגו הישיבות בספרד, ומרכז הכובד של הישיבות באירופה עבר מצרפת לספרד. התפרסמו במיוחד בתקופה זאת רבי משה בן נחמן, רבי שלמה בן אדרת, רבי יונה גירונדי, ורבים נוספים.