בגיל 32 בלבד, נבחר פואנקרה לאקדמיה הצרפתית למדעים, נעשה לנשיאה ב-1906, ונבחר לאקדמיה הצרפתית ב-1909. ב-1893 הוא הצטרף ללשכה הצרפתית לקווי אורך, שהעסיקה אותו בתיאום הזמן בכל העולם. ב-1897 הוא חזר בו מהצעה לא מוצלחת של מעבר לשיטה העשרונית במדידת העיגול, ולפיכך גם בזמן ובקווי האורך. עבודה זו הובילה אותו לחשוב על השוואה בין שעונים שנעים במהירות גבוהה. ב-1898, ב"מדידת הזמן", הוא ניסח את עקרון היחסיות, שלפיו אין כל ניסוי שיכול להבחין בין מצב של תנועה אחידה למצב של מנוחה. יחד עם התאורטיקן הנדריק לורנץ הוא הגיע לגבולות הפיזיקה של אז, על מנת להסביר את תנועתם של אלקטרונים מהירים. רק אלברט איינשטיין, שהיה מוכן לשנות את כל המבנה של הפיזיקה, הוא שהצליח ליצור את המודל היחסותי המוצלח.
ב-1895 פואנקרה פרסם מאמר מהפכני בעולם המדעי שחקר גופים טופולוגים בחלל לפי שיטות של אלגברה. דרך מאמר זה ייסד פואנקרה את תחום הטופולוגיה האלגברית. כל תקופה מסוימת פואנקרה ערך מחדש את המאמר וקידם ופיתח אותו. בגרסה של המאמר משנת 1904 פואנקרה היה אחראי לניסוח אחת מהבעיות המפורסמות ביותר במתמטיקה, "השערת פואנקרה". הבעיה הייתה מניע חשוב להתפתחויות רבות בטופולוגיה ותחומים אחרים במתמטיקה במהלך המאה ה-20, עד שנפתרה לבסוף ב-2002. במהלך שנות ה-90 של המאה ה-19, פואנקרה עבד על כתיבת סדרת מאמרים בת שלושה כרכים על מכניקה שמיימית שמטרתם הייתה להגדיר את כל מערכות התנועה המכניות.
בשנת 1899, ושוב בהצלחה רבה יותר ב-1904, הוא התערב במשפטים של אלפרד דרייפוס. בשנת 1900 קיבל מדליית זהב מהאגודה המלכותית של לונדון לנושא האסטרונומיה. בשנת 1912 הוא נותח בשל בעיית ערמונית, ומת מתסחיף ב-17 ביולי 1912, ביום שאמור היה להשתחרר מבית החולים לאחר הניתוח. הוא היה בן 58 במותו. פואנקרה נקבר בבית הקברות מונפרנאס ברובע הארבעה-עשר של פריז.
אופיו ועמדותיו.
ביוגרף ופסיכולוג מאותה תקופה, א. טולוז, שחקר את אופן עבודתו של פואנקרה, סיפר כי פואנקרה שמר על שעות עבודה מדויקות מאוד. הוא עסק במחקר מתמטי במשך ארבע שעות ביום, מעשר בבוקר ועד הצהריים ושוב מחמש בערב עד שבע. הוא קרא מאמרים בכתבי עת מאוחר יותר בערב. ייתכן והרגלי העבודה שלו התבססו על מחלה שממנה סבל שנים ארוכות שהאטה את תהליך העיכול שלו והובילה אותו לעיתים קרובות לנוח בצהריים עד שלוש שעות לאחר ארוחת צהריים. היה לו זיכרון יוצא מן הכלל, והוא זכר כל שורה בטקסט שקרא. כמו כן, הוא זכר באופן מושלם דברים ששמע. הנוהג הרגיל שלו בעבודה, היה לפתור בעיה בראשו, ואז להעביר את הפתרון המושלם לנייר. יכולתו לזכור באופן מושלם את ששמע הועילה לו בהרצאות, שכן הוא היה כל כך קצר רואי עד שלא ראה את הלוח. הוא היה מגושם מבחינה פיזית, תמיד מיהר ולא אהב לחזור אחורה לתיקונים או שינויים.
פואנקרה היה חבר הכנסייה הרומית-קתולית מילדותו ועד גיל 18, עת החשיב את עצמו איש מחשבה חופשית. הוא התנגד נחרצות לדוגמות קתוליות חריפות כמו גם להתערבות של המדינה בחיי הדת וקרא לשוויון זכויות פוליטי מוחלט. פואנקרה נהנה ממוזיקה קלאסית, כאשר ריכרד וגנר היה המלחין האהוב עליו. בעת לימודיו באקול פוליטקניק התנסה בנגינה בפסנתר לזמן קצר. ב-1908 פואנקרה העביר הרצאה בפסיכולוגיה על כיצד חקר את ההתנהלות של מוחו. הוא ניחן בריכוז גבוהה ובהתעניינות מרובה במגוון רחב של תחומים. אחת הגדיר את עצמו "דבורה שנעה ממגדל למגדל."
פואנקרה התבטא בפומבי בהקשר למאורע פוליטי-חברתי רק פעם אחת, במהלך פרשת דרייפוס. הוא תקף את הטענות המדעיות חסרות הבסיס שהובאו כראיות נגד דרייפוס. ב-1899 שלח מכתב למועצת המלחמה של רן, האחראית על השיפוט של קפטן אלפרד דרייפוס, ובו הטיח ביקורת על שיטות הניתוח של האיגרת המפלילה (הבורדרו) שהייתה לראיה שעל בסיסה דרייפוס הואשם. ב-1904 היה בין החותמים על מכתב עצומה שביקר את התנהלות רשויות המשפט ודרש משפט חוזר לניקוי שמו של דרייפוס, תהליך שהושלם רק ב-1906. בתוך המכתב פואנקרה רשם את ההוכחה המתמטית לשימוש השגוי של החקירה המקורית בחוק בייס בתורת ההסתברות שבעזרתו דרייפוס הופלל. בראש ובראשונה פואנקרה תקף את חוקר הזיהוי המשטרתי אלפונס ברטיון אשר העיד כמומחה וטען כי דרייפוס הוא הכותב האמיתי של הבורדרו.
פועלו המדעי.
פואנקרה תרם תרומות רבות וחשובות לתחומים רבים ושונים של מתמטיקה טהורה ושימושית, כגון: מכניקה שמימית, מכניקת הזורמים, אופטיקה, חשמל, טלגרפיה, נימיות, אלסטיות, תרמודינמיקה, תורת הפוטנציאל, תורת הקוונטים, תורת היחסות וקוסמולוגיה. נוסף על כל אלה הוא גם כתב על מתמטיקה ופיזיקה באופן פופולרי, ופרסם מספר ספרים לציבור הרחב. בין התחומים שלהם נודעה השפעה לתרומתו: טופולוגיה אלגברית; התאוריה של פונקציות אנליטיות של כמה משתנים מרוכבים; התאוריה של פונקציות אבליות; גאומטריה אלגברית; פואנקרה היה אחראי לניסוח אחת מהבעיות המפורסמות ביותר במתמטיקה, שידועה כהשערת פואנקרה, השערה בטופולוגיה; גאומטריה היפרבולית; תורת המספרים; בעיית שלושת הגופים; התאוריה של משוואות דיופנטיות; תורת האלקטרומגנטיות; תורת היחסות הפרטית; במאמר משנת 1894, הוא הציג את המושג של החבורה היסודית; בתחום המשוואות הדיפרנציאליות פואנקרה הגיע לתוצאות רבות שחשיבותן קריטית עבור התאוריה האיכותית של המשוואות הדיפרנציאליות, לדוגמה הספירה של פואנקרה ומפת פואנקרה; פרסם מאמר משפיע המספק טענה מתמטית מקורית שתומכת במכניקת הקוונטים; פואנקרה היה מהמייסדים של התורה הארגודית כאשר הציג את משפט הנשנות של פואנקרה (שנוסח והוכח בצורה מדויקת רק מאוחר יותר על ידי קרתיאודורי ב-1919).
בעיית שלושת הגופים.
בעיית שלושת הגופים היא בעיה ותיקה ומפורסמת במכניקה, המבקשת לתאר את תנועתם ההדדית של שלושה גופים תחת השפעתו של כוח המשיכה. מכיוון שהבעיה מתאימה לתיאור תנועתם של גופים כגון השמש, כדור הארץ והירח, יש לה חשיבות תאורטית רבה באסטרונומיה של מערכת השמש (ובפרט בסוגיית יציבותה של מערכת השמש). את בעיית שני הגופים פתר ניוטון באופן מלא באחד היישומים הראשונים של החשבון הדיפרנציאלי. ניוטון הראה ששני גופים הנעים תחת השפעת כוח הכובד בלבד, נעים זה ביחס לזה במסלול המהווה חתך חרוט: אליפסה, פרבולה או היפרבולה. בניגוד לכך, בעיית שלושת הגופים היא בעיה קשה באופן כללי ואין עבורה משוואת מערכת סגורה אוניברסלית, על אף מחקרים ממושכים בידי מתמטיקאים רבים, בעיקר בתקופה שלאחר פואנקרה, מכיוון שהוא זה שהעניק פרסום רב לבעיה.
הבעיה העקרונית היא לחזות את תנועותיהם של שלושה גופים (כגון כוכבים או כוכבי לכת) הנמשכים הדדית האחד לשני על ידי כוח הכבידה, בהתחשב במיקומים ובמהירויות ההתחלתיים שלהם. עבודתו הראשונה של פואנקרה בנושא נכתבה במענה לתחרות בחסות אוסקר השני, מלך שוודיה. הבעיה (הראשונה) שהוצעה לכותבים עסקה ביציבות המערכת של שלושה גופים. השופטים - גוסטה מיטג-לפלר, קארל ויירשטראס ושארל הרמיט, התקשו בתחילה לקרוא את פתרונו של פואנקרה, אך לאחר שהלה הגיש הבהרות שארכו כמעט מאה עמודים, בחרו בו כזוכה. בפתרון זה התגלתה שגיאה, ועוד לפני שהספיק פואנקרה לתקן אותה, כעבור פחות מחודש, וחרף ההוצאות הכבדות, אילץ אותו מיטג-לפלר למשוך את כל העותקים המודפסים של הפתרון. במחקרו נעזר פואנקרה במשתנים מגבילים, כך שהמשוואה שהציג, שהעמידה חמישה פיתרונות אפשריים, לא הייתה אוניברסלית על כל מקרה.
מיטג-לפלר, שתמך בגישתו האינטואיטיבית של פואנקרה, חשש שבית הספר הגרמני בראשותו של לאופולד קרוֹנֶקר יראה בשגיאה הוכחה ניצחת לביקורת שלו כנגד עבודתו של פואנקרה, שלא הייתה קפדנית דיה לטעמו. בעקבות כך, כתב פואנקרה בשנים 1892–1899 חיבור בן שלושה כרכים על "שיטות חדשות במכניקה השמימית", שהתניע את המחקר המודרני במערכות דינמיות. באופן מעשי פותרים את בעיית שלושת הגופים, ואף את הבעיה הכללית יותר של מספר רב של גופים, בעזרת שיטות נומריות. לצורך כך, מחלקים את התנועה לפרקי זמן קצרים, ומחשבים את הכוחות הפועלים בין הגופים בכל קטע זמן. ככל שפרקי הזמן קצרים יותר יהיו החישובים מדויקים יותר, אך השגת דיוק מלא היא משימה קשה ביותר. פואנקרה גילה שיכולים להתקיים מסלולים לא-מחזוריים, שאינם מתרחקים או מתקרבים לנקודה קבועה. דרך גילוי זה החל פואנקרה את חקר תורת הכאוס. על סמך הוכחה זאת, הוכיח פואנקרה כי לא ניתן לחשב פתרון אוניברסלי לבעיה.
סימולציות מראות שבעת אינטראקציה בין שלושה גופים, ישנם שני שלבים: תחילה השלב הכאוטי שבמסגרתו שלושת הגופים מושכים זה את זה עד לנקודה שגוף אחד נפלט הרחק מהשניים האחרים המתמקמים למסלול בצורת אליפסה (בעיית שני הגופים). במקרה והגוף השלישי נמצא במסלול תחום, הוא ישוב בסופו של דבר לכיוון הצמד הנותר ומיד לאחר מכן השלב הראשון יחזור על עצמו. תנועת הגופים הסובבים האחד את השני מסתיימת כאשר בשלב השני, אחד הגופים נפלט למסלול לא תחום ולא שב אף פעם.
פילוסופיה.
פואנקרה החזיק בהשקפות פילוסופיות המנוגדות לאלו של ברטרנד ראסל וגוטלוב פרגה, שהאמינו כי מתמטיקה היא ענף של הלוגיקה. פואנקרה סירב לקבל השקפות אלה, וטען שאינטואיציה היא מנת חלקו של המחקר המתמטי, ולא לוגיקה. למע, הא טען שלוגיק חוסמת ומגבילה רעיונות ופיתוח. פואנקרה מספק נקודת-מבט מעניינת בספרו מדע והיפותזה: