כאשר הצורה היא מצולע שכל קודקודיו נמצאים על הרשת ניתן לחשב את השטח במדויק על פי משפט פיק.
ישנה שיטה נוספת שבה סופרים את מספר המשבצות שבתוך הצורה ומכפילים בשטח של משבצת אחת. לאחר מכן מחסרים את מספר המשבצות שמחוץ לצורה ממלבן המכיל את הצורה, ומכפילים את התוצאה בשטח של משבצת אחת. לבסוף משקללים את שני השטחים, והממוצע הוא קירוב של השטח.
מהלך אקראי באמצעות מחשב.
שיטה דומה למשבצות היא תחימת הצורה בתוך ריבוע בגודל ידוע, והצבת נקודות אקראיות בריבוע, הנבחרות באמצעות מחשב (שיטת מונטה-קרלו). שטח הצורה בקירוב הוא מספר הנקודות בתוך הצורה חלקי מספר הנקודות הכולל כפול שטח הריבוע. דיוק השיטה גדל כמו שורש מספר הנקודות.
אינטגרל.
האינטגרל של פונקציה שווה לשטח שבין הפונקציה לציר ה-x. אם ניתן לכתוב היקף של צורה סגורה באמצעות שתי פונקציות, אז שטח הצורה הוא הפרש האינטגרלים של הפונקציות.
אינטגרל קווי על השפה של צורה סגורה ניתן להפוך באמצעות משפט גרין לאינטגרל כפול של פונקציה קבועה, הנותן את שטח הצורה. אם הצורה הסגורה מלבנית, ניתן לחשב את השטח באמצעות משפט גרין הדיסקרטי.
פלנימטר.
פלנימטר הוא מכשיר מכני המודד שטח של צורה כלשהי, כאשר מעבירים את זרוע המכשיר על פני ההיקף של הצורה. המכשיר פועל בהסתמך על משפט גרין ונוסחת הסקטור של לייבניץ, והומצא בשנת 1814.
דוקטרינת טרומן
דוקטרינת טרומן (באנגלית: Truman Doctrine) היא מדיניות אמריקנית על פיה תתמוך ארצות הברית ב"עמים חופשיים הנאבקים בניסיונות שעבוד על ידי מיעוטים חמושים או כתוצאה מלחץ מגורם חיצוני".
במקורה, הייתה הדוקטרינה מדיניות נגד לפעולות ברית המועצות (בעיקר באירופה) ובמיוחד נגד תמיכתה בתנועות הקומוניסטיות באיראן, טורקיה ויוון.
ב-12 במרץ 1947 הודיע נשיא ארצות הברית הארי טרומן בנאום בפני הקונגרס האמריקני שיתמוך במדינות שיבקשו סיוע מארצות הברית, כדי לשמור על חירותן (העניק ליוון ולטורקיה סיוע ע"ס 400 מיליון דולר). בזאת תמה סופית תקופת דוקטרינת מונרו והוחלפה בגישה המבוססת על תורת הבלימה של ג'ורג' קנאן.
מניעיו של טרומן היו אידאולוגים ופרגמטיים:
בתקופת המלחמה הקרה היעד העיקרי היה בלימת ההתפשטות הסובייטית האנטי-קפיטליסטית. תחילה באמצעות תמיכה כלכלית במדינות אירופה, כמו בתוכנית מרשל. בהמשך ביצירת חזית מדינית-ביטחונית, על ידי רשת בריתות הגנה אזוריות כגון נאט"ו.
במהלך שנות החמישים התפתחה תאוריית הדומינו שטענה כי נפילת מדינה אחת לידי הקומוניסטים תביא לנפילת אחרות. בהתאם לתאוריה זו יצאה ארצות הברית למספר מלחמות על מנת למנוע מתנועות קומוניסטיות או הנתמכות על ידי ברית המועצות מלהשתלט על מדינות באסיה: מלחמת קוריאה בתחילת שנות החמישים, ופעילות בדרום-מזרח אסיה שנמשכה עד להתפרצותה של מלחמת וייטנאם בתחילת שנות השישים.
תוכנית מרשל
תוכנית מרשל, או בשמה הרשמי התוכנית להבראת אירופה (באנגלית: European Recovery Program), הייתה התוכנית המרכזית של ארצות הברית לשיקום אירופה לאחר מלחמת העולם השנייה. היוזמה נקראה על שמו של מזכיר המדינה האמריקאי ג'ורג' מרשל והייתה בעיקר פרי תכנונם של בכירים במחלקת המדינה של ארצות הברית, כוויליאם קלייטון וג'ורג' קנאן.
מימוש התוכנית נמשך כ-4 שנים, במהלכן הושקעו כ-13 מיליארד דולר (כ־130 מיליארד דולר ב־2016, במונחים ריאליים) בתמיכה כלכלית ובייעוץ טכני למדינות אירופה שהצטרפו לארגון ה־OEEC (הארגון לשיתוף פעולה כלכלי אירופי, כיום OECD). מדינות הגוש המזרחי לא השתתפו בתוכנית שכן סטלין, מנהיג ברית המועצות, ראה בה איום.
בעוד שבעבר ייחסו לתוכנית את הצלחת שיקום אירופה לאחר המלחמה, כיום הדעות חלוקות לגבי תועלתה. יש הטוענים כי היא שיפרה אך במעט את תהליכי ההבראה שכבר החלו להתרחש באירופה, ולמעשה שירתה בעיקר את היצרנים האמריקאים, אשר תוצרתם זכתה לשוק גדול באירופה בזכות מאמצי התוכנית.
רקע.
אירופה לאחר מלחמת העולם השנייה.
לאחר 6 שנות מלחמת העולם השנייה נותרה אדמת אירופה חרוכה והרוסה. קרבות המלחמה התקיימו לכל אורכה ורוחבה של היבשת וכילו שטח גדול בהרבה מזה שכיסתה מלחמת העולם הראשונה. חלק ניכר מעריה הגדולות של אירופה ניזוק קשות בהפצצות האוויריות, ואזורים תעשייתיים - שהיוו יעד מועדף להפצצות - נהרסו כליל. ערים גדולות ומפותחות ביבשת, כמו ורשה וברלין, היו לעיי חורבות, ואחרות - כלונדון ורוטרדם - נפגעו במידה זו או אחרת של חומרה. כלכלת אירופה הייתה מרוסקת, מיליוני אנשים הפכו לחסרי-בית וההרס הרב באזורים החקלאיים הביא לתנאים שהיו קרובים לרעב בחלק ניכר מן היבשת. התשתית, במיוחד זו של התחבורה, ניזוקה עד מאוד: מסילות רכבת, כבישים וגשרים הופצצו ונהרסו. בעיות אלה לא היו קלות לפתרון, הואיל וקופות המדינות ואוצרותיהן נוצלו עד תום בימי המלחמה הארוכה והקשה.
עד 1947 חלה התקדמות קלה בלבד. בצורת באותה שנה ולאחריה חורף קשה רק החמירו את המצב. כלכלת אירופה לא הראתה סימנים של שיקום, כאשר אבטלה גבוהה ומחסור במזון הביאו לשביתות ולאי-שקט במספר מדינות. הכלכלה האירופית הראתה סימנים בודדים של צמיחה ועדיין הייתה במצב גרוע; הייצור החקלאי עמד על 83% מהרמות של 1938, הייצור התעשייתי עמד על 88% והייצוא על 59% בלבד.
בעיית המחסור במזון הייתה בעיה חמורה בפני עצמה. לפני המלחמה הסתמכה מערב אירופה על עודפי המזון ממזרח אירופה, אך אלו הפסיקו להגיע עם השתלטותה של ברית המועצות על האזור. המצב היה קשה במיוחד בגרמניה, שם עמדה צריכת הקלוריות הממוצעת ליום על 1,800 קלוריות ליום בלבד, כמות שאינה מספקת בטווח הארוך כדי לשמור על תזונה מספקת. ויליאם קלייטון, היועץ לממשל האמריקאי בעניינים כלכליים, דיווח לממוניו כי "אט-אט גוועים מיליוני אנשים ברעב".
בעיה נוספת, חמורה לא פחות, היא המחסור בפחם, שהורגש במיוחד בחורף הקר של 1947-1948; בגרמניה, למשל, לא חוממו הבתים וכתוצאה מכך קפאו מאות אנשים למוות.
ארצות הברית סייעה כלכלית לאירופה כדי לתרום לשיקומה גם בשנים אלו, לפני ביצוע תוכנית מרשל, והוציאה כ-9 מיליארד דולר במסגרת זו. חלק גדול מעזרה זו היה עקיף, באמצעות הסכמי השאל-החכר. בנוסף, חיילים אמריקאים סייעו לשיקום התשתית המערב-אירופית ובעזרה לפליטים הרבים. מספר הסכמים לסיוע דו־צדדי נחתמו, ביניהם שליחת סיוע צבאי אמריקאי ליוון ולטורקיה. האו"ם, שהיה בחיתוליו, החל גם הוא בעזרה הומניטרית, שרובה ככולה מומנה בידי ארצות הברית. למאמצים אלה הייתה חשיבות עליונה, אך הם נעדרו כל ארגון או תכנון וכך כשלו במתן מענה לצרכיה הבסיסיים של אירופה באותה התקופה.
ארצות הברית שלאחר המלחמה.
המדינה הגדולה היחידה בה לא נפגעה התשתית הייתה ארצות הברית. שטחה הותקף פעמיים בלבד במהלך כל המלחמה: במתקפת הפתע על פרל הארבור ובהתקפת הטעייה על האיים האלאוטיים שבאלסקה. מאגרי הזהב של ארצות הברית נותרו בלא שינוי והודות לבסיס החקלאי והיצרני העצום שברשותה, היא נהנתה מכלכלה חסונה ובריאה. למרות זאת, כלכלת ארצות הברית נשענה בעיקר על מסחר ושגשוגה הכלכלי היה תלוי בקיומו של שוק אירופאי משוקם.
בפני ארצות הברית עמד הלקח שנלמד מהתקופה שלאחר מלחמת העולם הראשונה. באותה מלחמה ניזוקה כלכלת אירופה קשות, דבר שהביא לחוסר יציבות כלכלית ושפל עולמי עמוק אשר הגיע לבסוף גם לארצות הברית. ארצות הברית נקטה באותן שנים בעיקר במדיניות בדלנית והיה חשש שחזרה על מדיניות זו תביא ל"שפל גדול" חדש. לפיכך, מחלקת המדינה של ארצות הברית, תחת הנהגתו של הנשיא הארי טרומן, פעלה להמשך מדיניות חוץ פעילה מצידה של ארצות הברית, אך הקונגרס היה פחות מעוניין בכך. מלכתחילה, קיוו במדינה כי לא יהיה צורך בעשייה רבה כדי לשקם את אירופה; הצפי היה כי בריטניה וצרפת, בעזרת מושבותיהן, ישקמו במהירות את כלכלותיהן.
הפילוג באירופה.
מניע נוסף לביצוע התוכנית, והבדל משמעותי מהתקופה שלאחר מלחמת העולם הראשונה, היה תחילתה של המלחמה הקרה. גורמים בממשל האמריקאי הביעו חשדות עמוקים לגבי פעולות ברית המועצות. בזמן בו החלה תוכנית מרשל לקרום עור וגידים, בריתות המלחמה נותרו שלמות והמלחמה הקרה עדיין לא החלה ממש; החשש מפני האיחוד הסובייטי לא היה בר קיימא בקרב רבים מבין התורמים לקידומה של התוכנית. עם זאת, הכוח והפופולריות של מפלגות קומוניסטיות מקומיות במערב אירופה עוררו דאגה מסוימת. בצרפת ובאיטליה העניק העוני שבא אחרי המלחמה תמריצים למפלגות הקומוניסטיות באזור, ששיחקו תפקיד חשוב בתנועת ההתנגדות למלחמה. מפלגות אלה זכו להצלחה רבה בבחירות שלאחר המלחמה. אף על פי שכיום גורסים מרבית ההיסטוריונים שהצלחת הקומוניסטים בצרפת ובאיטליה הייתה מוגבלת, בכירים בממשל האמריקאי ראו אז את ההתרחשויות בחומרה וייחסו להן חשיבות רבה. ממשלתו של הארי טרומן החלה להיות מודעת לבעיות אלו ב־1946. דוקטרינת הבלימה החלה להופיע, וזו טענה כי יש לסייע למדינות אירופאיות לא-קומוניסטיות כדי לעצור את ההתפשטות הסובייטית מערבה. בנוסף, הייתה גם תקווה כי מדינות מזרח אירופה יצטרפו לתוכנית ובכך יצאו מהגוש הסובייטי.
רעיונות ראשוניים.