תורת שדה ממוצע (Mean Field Theory - MFT) היא שיטה בפיזיקה סטטיסטית ותורות הסתברות נוספות המאפשרת תיאור והבנת מערכות סטוכסטיות על ידי מיצוע על דרגות חופש מיקרוסקופיות (לכן "ממוצע") ורדוקציה של ממדיות הבעיה לתיאור מקרוסקופי. קירובים כאלו ממצעים על דרגות חופש כגון מיקום יחסי, צפיפות מסה, תנע, תנע זוויתי, מגנטיזציה וכדומה, כתלות בבעיה אותה מנסים לפתור.
דרגות החופש יכולות לבוא באינטראקציה אחת עם השנייה (למשל - ספין של חלקיק אחד בא באינטראקציה עם ספין סמוך לו. שני הספינים נחשבים לדרגות חופש מיקרוסקופיות נפרדות), והמיצוע צריך להתחשב בכך. לרוב נייצג את ההשפעה של כל השכנים של חלקיק מסוים על דרגות החופש של החלקיק באמצעות שדה ממוצע. כך ניתן לצמצם בעיה רב גופית, שאינה פתירה עקרונית באופן אנליטי דטרמיניסטי, לבעיה דו-גופית של החלקיק והשדה הממוצע. השיטה גם מכונה "פיתוח עקבי-עצמי" כיוון שניתן כעת לסכום על כל החלקיקים ולשחזר את השדה מהממוצע, מה שמניב, באופן כללי, משוואה אינטגרלית.
הרעיון הופיע לראשונה בפיזיקה בעבודתו של פייר קירי ופייר ווייס כדי לתאר מעברי פאזה. גישות נוספות שאימצו את השיטה תרמו למחקר ויישומים במודלים אפידמיולוגיים, תורת התורים, ביצועי רשתות מחשבים גדולות ותורת המשחקים.
בעיה עם גופים רבים עם אינטראקציות באופן כללי אינה פתירה במדויק (אפילו בהתייחסות סטטיסטית לבעיה ושימוש בפונקציית החלוקה) למעט למקרי קיצון פשוטים בעלי סימטריה רבה (כגון תורת שדה אקראי ומודל איזינג בממדים נמוכים מ-3). בתורת שדה ממוצע, הבעיה הרב-גופית מוחלפת בבעיה חד-גופית בשדה חיצוני הנבנה על ידי מיצוע אינטראקציות מיקרוסקופיות - המיצוע למעשה מחליף את האינטראקציות מכל שאר החלקיקים על חלקיק שרירותי בשדה אפקטיבי, דרגת חופש יחידה. הקושי הגדול (למשל של חישוב פונקציית החלוקה) נעוץ בדרך כלל בספירה קומבינטורית של כמות האינטראקציות הנוצרות בעקבות רכיבי האינטראקציה בהמילטוניאן כאשר סוכמים על כל המצבים. המטרה של תורת השדה הממוצע היא לפתור את הבעיות הקומבינטריות האלו. הקלות שבה השיטה מובילה לתובנות וניבויים הנוגעים לגבי התנהגות המערכת (כתוצאה מאוניברסליות של מערכות מורכבות) הופכת אותה לטכניקה נפוצה.
טכניקות המשתמשות בתורת שדה ממוצע כהנחה מרכזית כוללות את קירוב בראג-וויליאמס, מודלים על עץ קיילי, תורת לנדאו לניתוח מעברי פאזה, קירוב פייר-ווייס ועוד.
בתורת שדות, ניתן לפתח את ההמילטוניאן בטור חזקות של גודל התנודות סביב ממוצע השדה. בהקשר הזה ניתן לחשוב על השדה ממוצע עצמו כ"סדר אפס" של הפיתוח, ממנו כבר ניתן להסיק התנהגויות חשובות של המערכת. למעשה ניתן להשתמש בתורת הפרעות כדי להשתמש בפתרון עבור שדה ממוצע עבור חישוב הסדרים הבאים, ולהשיג תובנות רבות נוספות.
באופן כללי, לממדיות הבעיה תפקיד חשוב בקביעה האם תורת שדה ממוצע תניב תוצאות טובות. ככל שיותר אינטראקציות פועלות על חלקיק יחד במערכת המקורית, כך המיצוע יתן תוצאה מדויקת יותר. זה קורה במערכות בממדים מרחביים גבוהים או בעלות אינטראקציות ארוכות-טווח. קריטריון גינזבורג נותן אומדן פורמלי לכמה התנודות מעבר לשדה הממוצע הופכות את תורת שדה ממוצע לפחות אפקטיבית, כתלות במספר הממדים המרחביים של המערכת.
ניסוח פורמלי.
הבסיס הפורמלי של תורת השדה הממוצע הוא אי שוויון בוגוליובוב. על פי משפט זה, בהינתן מערכת עם המילטוניאן המטרה אותו נרצה לחקור:formula_1כאשר פירקנו את ההמילטוניאן להמילטוניאן formula_2 פשוט ותוספת formula_3 שיכולה לכלול אינטראקציות בין זוגות חלקיקים או תרומות לא ליניאריות אחרות. במקרה זה ניתן לשים חסם עליון על האנרגיה החופשית:formula_4כאשר formula_5 היא האנטרופיה של המערכת והממוצע נלקח על צבר של המערכת בשיווי משקל תרמודינמי תחת ההמילטוניאן formula_2. במקרה הפרטי בו formula_7 מתאר מערכת ללא אינטראקציות של דרגות חופש פנימיות, נוכל לכתוב:formula_8כאשר formula_9  מסמל את רשימת כל דרגות החופש של חלקיק יחיד (מיקום, תנע, תנ"ז, ספין וכו'), והאינדקס formula_10 רץ על כל החלקיקים במערכת, עד למספר החלקיקים formula_11. במקרה זה נוכל להביא למינימום את הצד הימני של אי השוויון. למעשה מערכת היחוס formula_7 היא הקירוב הטוב ביותר למערכת בהזנחת קורלציה בין דרגות החופש של המערכת, והיא ידועה כקירוב השדה הממוצע.
במקרה הנפוץ בו המילטוניאן המטרה מכיל רק אינטראקציות דו-חלקיקיות, כלומר:formula_13כאשר formula_14 היא קבוצת כל זוגות החלקיקים שבאים באינטראקציה, ניתן לבצע את המינימיזציה הנ"ל באופן פורמלי.
לצורך העניין, נוכל לבצע מינימיזציה על האנרגיה החופשית:formula_15כאשר formula_16 היא ההסתברות למצוא את מערכת היחוס formula_17 במצב המיקרוסקופי המתואר על ידי המשתניםformula_18.  הסתברות זו ניתן לתאר בטמפרטורה formula_19 באמצעות התפלגות בולצמן:formula_20כאשר formula_21 היא פונקציית החלוקה, formula_22 ו- formula_23 הוא קבוע בולצמן. לכן נוכל להציב בביטוי עבור האנרגיה החופשית:formula_24
נוכל כעת לבצע מינימיזציה של הביטוי לאנרגיה החופשית כדי למצוא את התפלגות השדה הממוצע הסבירה ביותר. על מנת לעשות זאת יש לגזור את הביטוי ביחס להסתברויות החד-חלקיקיות formula_25 ולאלץ נורמליזציה של ההתפלגות באמצעות כופל לגראנז'. התוצאה המתקבלת בתהליך זה היא מערכת משוואות בעלת התייחסות עצמית עקבית (לכן הפיתוח מכונה "עקבי-עצמי"):formula_26כאשר השדה הממוצע נתון על ידיformula_27
דוגמאות.
תורת שדה ממוצע ניתנת ליישום מוצלח במספר מערכות פיזיקליות כדי לתאר תופעות כגון מעבר פאזה.
מודל איזינג.
מודל איזינג הוא מודל מתחום המחקר של מצב מוצק, המתאר התנהגות של פרומגנט. במודל דרגות חופש ספינוריות (נמדד ביחס לציר ספציפי) המסודרות בסריג קובי d-ממדי, אשר באות באינטראקציה עם שדה מגנטי חיצוני formula_28 ואחת עם השנייה בין שכנים קרובים. ההמילטוניאן של המודל נתון על ידי:formula_29 כאשר formula_30 הוא הספין של האתר ה-formula_10 בסריג, ו- formula_32 מסמן סכימה על כל זוגות השכנים הקרובים.
נניח כעת שדה מגטזיציה ממוצע באתר ה- formula_10, formula_34, כך שנוכל לכתוב את הספין באתר באמצעות הפלקטואציות מהממוצע:formula_35כאשר נגדיר formula_36  - הפלקטואציה של הספין באתר ה- formula_37. אם נפתח את הסוגריים בצד הימני של המשוואה, נקבל איבר אחד שתלוי בממוצעי הספינים בלבד. זהו איבר מסדר אפס, והוא כמובן לא משפיע על התכונות הסטטיסטיות של המערכת. האיבר הבא הוא איבר שכולל מכפלה של הממוצע והפלקטואציה. לבסוף נקבל איבר שכולל מכפלה של שתי פלקטואציות.
קירוב השדה הממוצע למעשה נכנס כאן, בתהליך ליניאריזציה בו מתעלמים מאיברים מסדר שני ומעלה - כלומר זהו הגבול בו הסטיה מהשדה הממוצע היא קטנה ולכן ניתן להזניח את האיבר האחרון בצד הימני של המשוואה (באותו אופן שבו מקבלים את משוואת הגלים במערכת לא ליניארית). ההמילטוניאן שנקבל:formula_38בממדים נמוכים, הפלקטואציות הופכות למשמעותיות ולכן בלתי ניתנות להזנחה, מה שהופך את קירוב השדה הממוצע לטוב יותר עבור ממדים גבוהים יותר.
כעת נניח כי כל ספין מרגיש את אותו שדה ממוצע (ללא תלות באתר), וכך נוכל לוותר על האינדקסים השונים (אך לא על הסכימה) - זוהי למעשה הכלה של סימטריה (לטרנזלציה) על ההתפלגות שאנו מחפשים. נציב את formula_39 ונסדר מחדש באופן הבא:
formula_40
נוכל לכתוב את הסכימה על שכנים כ- formula_41  כאשר formula_42 זו קבוצת כל השכנים הקרובים של אתר formula_43. כדי להימנע מספירה כפולה נוסף פקטור formula_44. כעת ניתן לספור באופן קומבינטורי ולחשב את הסכומים. נגיע לביטוי הבא:formula_45כאשר formula_46 הוא מספר השכנים של כל אתר, או מספר קואורדינציה. נשים לב שהגענו לשדה אפקטיבי שפועל על כל ספין המורכב מהשדה החיצוני formula_47 והשדה הממוצע formula_48. כדאי לשים לב לתלות המפורשת של הביטוי במספר השכנים, ולכן במספר הממדים (למשל, עבור סריג קובי formula_49-ממדי, formula_50).
כעת נציב את ההמילטוניאן האפקטיבי שקיבלנו בפונקציית החלוקה:formula_51כאשר formula_52 הוא מספר האתרים בסריג ושוב השתמשנו בסימון formula_22.
כעת נוכל להסיק את כל הפוטנציאלים התרמודינמיים, ולחשב אקספוננטים קריטיים של מעברי פאזה, באמצעות תורת לנדאו. נוכל למשל לחשב את המגנטיזציה הממוצעת m כפונקציה של הטמפרטורה, ולקבל, בממדים גדולים מ-2, סינגולריות בנגזרת בטמפרטורה formula_54. . מודל זה מתאר למעשה את מעבר הפאזה הפרומגנטי, והטמפרטורה הקריטית היא קירוב לטמפרטורת קירי.
גביש נוזלי.
גביש נוזלי הוא תיאור לאוסף של מצבי צבירה בין נוזל למוצק שמתרחשים בצבירים של מולקולות מוארכות. ניתן לתאר את מעבר הפאזה מנוזל איזוטרופי - בו כל המולקולות מצביעות בכיוונים אקראיים, לגביש נוזלי נמטי - בו המולקולות מצביעות לכיוון אחיד, באמצעות תורת לנדאו ובחירת פרמטר הסדר כשדה ממוצע. לשם הדוגמה נציג מודל של אלפרד זָאוּפֶּה ווילהלם מָאיֶר לתיאור מעבר הפאזה איזוטרופי-נמטי, בו מניחים אינטראקציות בין המולקולות שפרופורציונליות לחתך הפעולה של שתי המולקולות, ומזניחים את אפקט הדחיה הסטרית התלוי בטמפרטורה.
נתבונן על סידור מולקולה אחת במרחב שמרכז המסה שלה ממוקם ב- formula_55. נשתמש בקואורדינטות formula_56 כאשר נבחר formula_57, הכיוון הממוצע בו יסתדרו המולקולות בפאזה הנמטית (באמצעותו נבנה את השדה הממוצע).
נסמן ב- formula_58 את התפלגות הזוויות formula_56 בנקודה formula_60 בצבר. אנו נניח את הסימטריות הבאות, שיהיו תקפות לשתי הפאזות: