אם נמתח אלכסונים בתוך מחומש משוכלל, נקבל פנטגרם, ובמרכזו של כל פנטגרם נקבל מחומש משוכלל חדש, וכך ניתן להמשיך את הסדרה עד אינסוף. גודלה של זווית פנימית במחומש משוכלל הוא 108 מעלות, ולכן הזווית בכל אחד מקודקודי הפנטגרם היא בת 36 מעלות.
הפנטגרם הוא אחת מהצורות הגאומטריות שבהן מתגלה באופן טבעי יחס הזהב. בפנטגרם מתחלקות הצלעות המרכיבות אותו למספר קטעי צלעות באורכים שונים. היחס בין כל שני אורכים עוקבים שווה ליחס הזהב.
סוברים, כי תוך התבססות על קשר זה, הוכיחו הפיתגוראים כי אין מידה משותפת לצלע ולאלכסון של המחומש (כלומר מדובר ביחס שהוא מספר אי רציונלי) - מה שמתקשר להיותו של יחס הזהב מספר אי רציונלי. על כך נסמכת טענה נוספת - מי שגילה את יחס הזהב היו כבר הפיתגוראים.
זווית הזהב.
אם נחלק את המעגל (360 מעלות) ביחס הזהב, נקבל זווית בת כ-°222.5. הזווית המשלימה זווית זו ל-360° נקראת זווית הזהב והיא שווה בקירוב ל-137.5°.
זווית הזהב היא:
תצפיות של חוקרים על נביטת עלי צמחים הראו שעלים חדשים נוטים להופיע בזווית זו על הגבעול.
יחס הזהב ויחסים אחרים.
יחס הזהב הוא המוכר בסדרה של יחסים, או קבועים מתמטיים, הנקראים ממוצעי הכסף (silver means), ששוויים הוא פונקציית הזהב:
יחס הזהב מתקבל עבור n=1 ואילו עבור n=2 מתקבל קבוע הנקרא יחס הכסף. יחסים נוספים מובאים בטבלה משמאל. היחסים הללו פותרים את המשוואה הריבועית
ושווים גם לביטוי:
סדרה בעלת מיקום סידורי m שבה האיבר האפסי הוא 0, האיבר הראשון הוא 1 והיחס בין שני איבריה העוקבים שואף לממוצע הכסף formula_48, היא בעלת הנוסחה הסגורה:
formula_49
עבור n=1 מתקבלת הנוסחה הסגורה לסדרת פיבונאצ'י, ואילו עבור n=2 מתקבלת הנוסחה הסגורה לסדרת פל. עבור המספר n, החוקיות של הסדרה היא שכל איבר שווה ל-n פעמים כפול האיבר הנמצא מקום אחד לפניו, ועוד האיבר הנמצא שני מקומות לפניו. כלומר:
formula_50
תחומים בהם מופיע יחס הזהב.
יחס הזהב קיבל הילה מיסטית מסוימת, עד כדי כינויו בשם "הפרופורציה האלוהית" בספרו של פאצ'ולי. מנגד, נמצא ב-1994 שוויון המקשר את יחס הזהב דווקא למספר החיה (666) - מספרו של האנטיכריסט:
בעוד שאין חולק על תכונותיו המתמטיות המיוחדות של המספר, רבים רואים בנטייה לחפש את היחס בתחומים מסוימים כאדריכלות ואמנות כנטיית לבם של חסידי המספר ותו לא, וזאת מהטעם שערכו של המספר קרוב מאוד לשבר העשרוני 1.6.
יחס הזהב מופיע, או נטען ככזה, בתחומים הבאים:
מלבן הזהב באמנות ובאדריכלות.
יצירות אמנות חזותיות ואדריכליות משמשות את חסידי יחס הזהב ככר פורה. ברוב המקרים קשה להוכיח או להפריך את הטענות בדבר שימוש ביחס הזהב, הן בשל בעיות מדידה (וקרבתו של היחס למספר 1.6), והן בשל היעדר כל תיעוד.
נטען כי השימוש ביחס הזהב החל כבר באדריכלות של יוון הקלאסית. מבנים קלאסיים כגון הפרתנון באתונה נבנו ביחס קרוב ליחס הזהב, אם כי יש מומחים המפקפקים בכך וטוענים, כי מדידת הפרתנון עשויה להיערך בכל מיני צורות, והאומדן כי יחס הזהב היה מעורב בבנייה היא שרירותית.
יש הטוענים שאת יחס הזהב ניתן לראות גם במבנה הפירמידה הגדולה של גיזה, בה היחס בין גובה הפירמידה לבסיסה הוא 1.618. כמו כן, יחס הגבהים בין הראש לרגל לבין המרחק מהטבור לרגל הוא 1.618.
יש המנסים לראות את יחס הזהב גם בממדיו של ארון הברית, שהיחס בין אורכו לרוחבו הוא 1.66 (אמתיים וחצי לאמה וחצי).
בימי הביניים נעשה שימוש ביחס הזהב באדריכלות האסלאמית. לדוגמה, כיפת הסלע בירושלים נבנתה במידות פרופורציונליות מדויקות התואמות את יחס הזהב, אם כי קיים קושי להראות כי אכן מדובר ביחס הזהב.
יש הסבורים כי יחס הזהב נחשב באמנות כפרופורציה המושלמת והיפה ביותר שאדם יכול לתאר. אמני הרנסאנס בתחום הציור, הפיסול והאדריכלות השתמשו בפרופורציות אלה כדי להשיג את מה שנחשב ליופי המושלם. פרופורציות של חתך הזהב ניתן למצוא בשפע בציוריו של לאונרדו דה וינצ'י ושל אמנים גדולים אחרים.
אנשי הרנסאנס פיירו דלה פרנצ'סקה ולוקה פאצ'ולי כתבו שניהם ספרים העוסקים ביחס הזהב. ספרו של פאצ'ולי "על הפרופורציה האלוהית" ("De divina proportione") נכתב במילאנו בשנים 1496–1498 ופורסם בוונציה ב-1509. את הספר אייר לאונרדו דה וינצ'י.
בציורו המפורסם של לאונרדו דה וינצ'י, המונה ליזה, ניתן למדוד יחס זהב מדויק בפני המונה ליזה. גם בציור "הירונימוס הקדוש" משנת 1483 השתמש דה וינצ'י ביחס הזהב. בציור מתואר הירונימוס הקדוש יושב ולמרגלותיו אריה. הירונימוס הקדוש עצמו תחום במלבן זהב. גם על טענות אלה קמו חולקים.
גם כיום משתמשים במלבן הזהב באדריכלות ובגרפיקה. מספר בניינים מודרניים נבנו בעולם לפי יחס הזהב. למשל, היחס בין גובהו (152 מטר) ורוחבו (95 מטר) של בניין המזכירות של האומות המאוחדות בניו יורק הוא היחס 1.621 שקרוב מאוד לחתך הזהב. כרטיסי אשראי וכרטיסים מגנטיים נוספים קרובים במידותיהם למלבן הזהב.
ארגון צבאי לאומי
הארגון הצבאי הלאומי בארץ ישראל (בראשי תיבות: אצ"ל) היה ארגון צבאי מחתרתי עברי, שנוסד בירושלים, בשנת 1931. הארגון הוקם על ידי מפקדים שפרשו מארגון "ההגנה", בשל דרישתם לפעולה נחרצת נגד התוקפנות הערבית של אותם ימים, בעיקר זו של מאורעות תרפ"ט. מרבית אנשיו היו צעירים מתנועת הנוער הרוויזיוניסטית בית"ר. מטעמי חשאיות לא נהגו לקרוא לארגון בשמו כי אם "ההגנה" או "המעמד". אנשי הארגון הצטרפו לצה"ל עם הקמתו.
האצ"ל נחשב בעיני ממשלת המנדט הבריטי כארגון טרור. לקביעה זו היו שותפים חלק ממתנגדי הארגון, כמו גם גורמים נוספים אחרים כגון ועדת החקירה האנגלו-אמריקאית לענייני ארץ ישראל, הסוכנות היהודית ועיתונים בינלאומיים בתקופה שלפני קום המדינה.
ישנם היסטוריונים הרואים במאבק, שבו השתתף האצ"ל, גורם משמעותי ביציאת הבריטים מארץ ישראל. היסטוריונים אחרים רואים במאבק נגד הבריטים גורם משני בהשפעתו על החלטת הבריטים לוותר על המנדט ובסופו של דבר לעזוב את הארץ.
הקמת הארגון ואופיו.
חברי האצ"ל הגיעו בעיקר משורותיהן של בית"ר והתנועה הרוויזיוניסטית בארץ ישראל ובגולה. התנועה הרוויזיוניסטית העניקה למעשה חזות ציבורית לארגון המחתרת. זאב ז'בוטינסקי, מחולל הציונות הרוויזיוניסטית, היה המנהיג העליון בארגון עד פטירתו. הוא קבע את הקווים הכלליים לפעולת הארגון, כמו בעניין ההבלגה ושבירתה, ובהשראת תורתו פעלו אנשי המחתרת. עם זאת, כפיפותו הפורמלית של האצ"ל להנהגה מדינית חיצונית נחלשה עם השנים. מקורות רעיוניים נוספים לרוח הלחימה היו מורשת "ברית הבריונים" ושירת אורי צבי גרינברג. סמל הארגון - הכיתוב "רק כך" ולצדו יד אוחזת רובה על רקע ארץ ישראל משתי גדות הירדן - ביטא שאיפה לעצמאות עברית על ארץ ישראל כולה, שתושג רק בכוחו של נשק עברי. הסמל נהגה לראשונה על ידי לילי שטרסמן-לובינסקי, פעילה בתנועה הרוויזיוניסטית בפולין ועורכת ביטאון הארגון "ירושלים המשוחררת" שהיה לשבועון האצ"ל בפולין. סמל זה היה אחר כך לסמל האצ"ל, ועוצב על ידי יהושע אדרי, המאייר והקריקטוריסט של העיתון הרוויזיוניסטי "המשקיף".
מספר חברי הארגון השתנה במשך השנים, ונע בין כמה מאות בשנות משבר לכמה אלפים בתקופות שיא. מרבית חבריו היו אנשים שקיבלו את מרות המחתרת, ובמסגרתה מילאו משימות ותפקידים (לעיתים קרובות בניגוד לחוקי הממשלה הבריטית). רובם היו אנשים "רגילים" מן היישוב אשר החזיקו משלח יד או עבודה סדירה, ורק עשרות בודדות עסקו במלאכת הארגון באופן בלעדי.
כלפי ההנהגה המדינית הנבחרת של היישוב וכלפי ההסתדרות הציונית העולמית, האצ"ל חלק הן על האסטרטגיה, הן על תפיסות היסוד והן על הטקטיקה המדינית הצבאית וההסברתית, בנושאים רבים כמו - השימוש בכוח ובנשק למען הגשמת מטרות הציונות, היחס לאוכלוסייה הערבית בזמן פרעות והיחסים עם בריטניה השולטת בארץ ישראל. אי לכך, האצ"ל נהג לפסול את החלטות ההנהגה הציונית ומוסדות היישוב. אי קבלת מרותם והמאבקים הרעיוניים של אנשי האצ"ל מול מחנה הסתדרות העובדים הכללית, שהייתה הגורם הדומיננטי בהסתדרות הציונית, הביאה את המוסדות הנבחרים לשלול את קיומו העצמאי של האצ"ל, ובמשך רוב שנות קיומו נתפס ארגון "הפורשים" על ידיהם כבלתי אחראי, וככזה שאת פעולותיו ראוי למנוע. על כן ליווה האצ"ל את פעולותיו החמושות בפעולות הסברה פוליטיות, שמטרתן שכנוע הציבור בצדקת דרכו והוקעת המחדלים, לפי השקפתו, שבהתנהלותה הפוליטית של הנהגת היישוב הרשמית. הארגון פרסם כרוזים רבים, עיתונות מחתרתית, ואף הפעיל תחנת רדיו עברית עצמאית ראשונה - "קול ציון הלוחמת".
גיל חברי וחברות הארגון נע בעיקר בין 16 ל-25, מרביתם רווקים ורווקות. בארגון היו יותר עולים מאשר ילידי הארץ. 27% מהם היו ממוצא ספרדי, בדומה לשיעור הספרדים בקרב האוכלוסייה היהודית בארץ. אחוז הנשים באצ"ל עמד על כ-15, בהנחה שמספר הפעילים והפעילות בו עמד על כ-6,200.
מבנה, פיקוד, סמלים.
כארגון מחתרת, לא נהגו חבריו לכנותו בשמו הרשמי, ותחת זאת עשו שימוש בכינויים שונים. בשנים הראשונות הוא נודע בעיקר כ"ההגנה הלאומית" וכן בשמות "ארגון ב'", "הגנה ב'", "הארגון המקביל" ו"הארגון הימני". בשנים המאוחרות יותר כונה הארגון בעיקר "המעמד", וכן "הלבב" ו"הלימן". כהמנון הארגון אומץ השיר "חיילים אלמונים" של אברהם שטרן (יאיר), מפקד בארגון. בהמשך, אחרי פרישתו של שטרן מהאצ"ל לשם הקמת ארגון הלח"י, שונה ההמנון לבית השלישי של "שיר ביתר" מאת זאב ז'בוטינסקי.