תיאור קו ישר במישור.
רנה דקארט הראה שאפשר לתאר את המישור האוקלידי באמצעות מערכת צירים קרטזית. במערכת זו, ישנו ציר אופקי שנקרא ציר ה-x וציר אנכי, הניצב לו, שנקרא ציר ה-y. אפשר לחשוב על כל ציר כמעין "סרגל" שמאפשר לתת לכל נקודה במישור שני מספרים המתארים את מיקומה.
משוואתו הכללית של קו ישר במישור היא formula_7, בתנאי שאחד המקדמים a,b אינו אפס. אם formula_8 הקו הוא גרף הפונקציה formula_9. הקו מקביל לציר ה-x אם a=0 ומקביל לציר ה-y אם b=0.
האופן הנפוץ לכתוב משוואת קו ישר הוא
כאשר m הוא שיפוע הישר, ו-n הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y (קל לראות שעבור x=0 מקבלים y=n). באמצעות טריגונומטריה ניתן להראות ש-
כאשר formula_12 היא הזווית בין הישר לציר ה-x.
משוואת ישר עם שיפוע m שעובר דרך הנקודה (a,b) נתונה על ידי
או באופן שקול
משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות formula_15 (בהנחה ש-formula_16, המקרה בו הם שווים הוא טריוויאלי) היא
ישר במרחב וקטורי כללי.
במרחב וקטורי כללי מעל שדה F ניתן להגדיר קו ישר באופן הבא: יהיו formula_21 שני וקטורים כאשר formula_22:
ישר שכיוונו formula_23 העובר דרך הנקודה formula_24 ("ישר אפיני") מתואר על ידי
ישר העובר דרך הראשית (formula_26) מתואר בפשטות על ידי
הגדרת ישר העובר בין שתי נקודות (שונות), המיוצגות על ידי הווקטורים formula_28
מערכת משוואות ליניאריות.
במקרים רבים יש לפתור מערכת משוואות ליניארית, כלומר קבוצה של מספר משוואות ליניאריות, ולא משוואה בודדת. במקרה כזה מחפשים פתרון למערכת - כלומר, פתרון שמתאים לכל המשוואות יחד. מערכת משוואות תיכתב בצורה הכללית ביותר כך:
formula_30
formula_31
formula_32
זוהי מערכת של m משוואות ב-n נעלמים. נשים לב כי האינדקס של המקדמים הוא כפול: המספר הראשון בו אומר מה היא השורה שבה מופיע המקדם (כלומר, מספר המשוואה) והאינדקס השני - מהו מספר המשתנה שאליו צמוד המקדם.
מערכת משוואות שבה formula_33 תיקרא מערכת משוואות הומוגנית.
הצגה באמצעות מטריצות.
את מערכת המשוואות נוח להציג בצורה מטריציונית. בצורת הצגה זו, n-ית הנעלמים מוצגת כוקטור עמודה formula_34 מממד n ואילו אוסף המקדמים מוצג כמטריצה A מסדר formula_35 ואילו m-ית המקדמים החופשיים formula_36 מוצגת כוקטור עמודה מממד m. בצורה זו המערכת תיוצג כשוויון בין מכפלת מטריצת המקדמים בוקטור הנעלמים לבין וקטור המקדמים החופשיים. כלומר: formula_37. באופן מפורש:
formula_38
איכות סביבה
The Age
The Age הוא עיתון יומי אוסטרלי, בבעלות חברת "Fairfax Media".
העיתון נוסד ב-17 באוקטובר 1854, והופץ מהעיר מלבורן על ידי "The Age Company LTD". העיתון הופץ תחילה במדינת ויקטוריה, אך מופיע כיום גם במרבית האזורים האחרים בדרום אוסטרליה. כיום העיתון קיים גם בגרסת אינטרנט.
מטריצה
במתמטיקה, מַטְרִיצָה (Matrix) היא מערך דו-ממדי, שרכיביו הם סקלרים, לרוב מספרים, או איברים בחוג כללי יותר.
האפשרות לרכז במטריצה מידע רב ולהפעיל עליה שיטות וכלים סטנדרטיים, מוצאת למטריצות שימושים רבים. השימוש השכיח ביותר במטריצות הוא לפתרון של מערכת משוואות ליניאריות באמצעות דירוג מטריצות. מלבד זה חשיבותן העיקרית של המטריצות במתמטיקה, ובעיקר של מטריצות ריבועיות, נובעת מכך שניתן לייצג בעזרתן טרנספורמציות ליניאריות, באופן כזה שפעולת הכפל מתאימה לפעולת ההרכבה של הטרנספורמציות. מסיבות דומות יש לאלגברות של מטריצות תפקיד מרכזי בתורת החוגים.
הגדרה.
כאשר n ו-m הם מספרים טבעיים, מטריצה מסדר m על n (או: מסדר formula_1) היא מערך שבו m שורות ו- n עמודות. הרכיבים הם בדרך כלל מספרים - כך למשל "מטריצה ממשית" היא מטריצה שרכיביה מספרים ממשיים, ו"מטריצה מרוכבת" היא מטריצה שרכיביה מספרים מרוכבים. אם R הוא מבנה אלגברי, "מטריצה מעל (מבנה אלגברי) R" היא מטריצה שרכיביה שייכים ל- R.
את רכיבי המטריצה מסמנים בזוג אינדקסים: הרכיב במקום שבו נפגשות השורה ה-i והעמודה ה-j במטריצה A נקרא formula_2, או לפעמים formula_3.
לדוגמה, המטריצה formula_4 היא מסדר 4 על 3; הרכיבים הם formula_5, וכן הלאה.
פעולות על מטריצות.
אוסף המטריצות מסדר m על n מעל שדה נתון F מהווה מרחב וקטורי מעל אותו שדה, כאשר פעולת הכפל בסקלר ופעולת החיבור מוגדרות באופן טבעי, על כל רכיב בנפרד. מקובל לסמן מרחב זה בסימון formula_6. את הכפל של מטריצות אין מגדירים באותה דרך, רכיב ברכיב, אלא באופן מסובך מעט יותר. המכפלה formula_7 מוגדרת רק בתנאי שמספר השורות של B שווה למספר העמודות של A.
אם עבור מטריצה מתקיים formula_8, כלומר מספר העמודות במטריצה שווה למספר השורות בה, המטריצה נקראת מטריצה ריבועית. במטריצה ריבועית A, האלכסון שרכיביו formula_9 נקרא האלכסון הראשי.
מטריצה כייצוג של העתקה ליניארית.
אחד השימושים העיקריים למטריצות הוא ייצוג של העתקות ליניאריות בין מרחבים מממד סופי: אם קובעים בסיסים סדורים לשני מרחבים V ו-W, ניתן להתאים לכל העתקה ליניארית מ-V ל-W מטריצה יחידה, וכל מטריצה מייצגת טרנספורמציה ליניארית יחידה. התאמה חשובה זו היא איזומורפיזם בין מרחב ההעתקות הליניאריות למרחב המטריצות מהגודל המתאים.
כדי לתאר העתקה ליניארית באופן מלא, מספיק לדעת לאן היא מעבירה וקטורי בסיס של התחום. בעזרת מידע זה ותכונת הליניאריות של ההעתקה, ניתן לדעת לאן עובר כל וקטור, כפי שנדגים מיד.
נניח כי formula_10 היא העתקה ליניארית formula_11, ונניח גם שנתונים formula_12 בסיס ל formula_13, ו-formula_14 בסיס ל formula_15 (ברור כי ממדי המרחבים הם formula_16 ו-formula_17 בהתאמה).
עתה, נניח כי אנו יודעים איך פועלת ההעתקה על וקטורי הבסיס formula_18. משמע, אנו יודעים לייצג כל וקטור formula_19 על פי הבסיס formula_20. נכתוב זאת במפורש:
formula_21
formula_22
formula_23
וכך הלאה עד
formula_24
עבור formula_25 איברי המטריצה formula_26 המתוארת בהמשך.
בעזרת מידע זה בלבד, נוכל לדעת עבור כל formula_27 את formula_28 על ידי שימוש בליניאריות. ניקח וקטור כלשהו formula_29, שייצוגו לפי הבסיס formula_30 הוא
formula_31, נשתמש בליניאריות כדי לקבל
formula_32
אך כפי שאמרנו, אנו יודעים בדיוק למה שווה כל formula_33, ולכן נציב ונקבל
formula_34.
נקבץ את המקדמים של כל formula_35, ונקבל
formula_36
בכתיבה פשוטה יותר, וקטור הקואורדינטות של formula_37 לפי הבסיס formula_38 הוא
formula_39
הסימון formula_40 משמעו וקטור הקואורדינטות של הווקטור formula_41 לפי הבסיס formula_20.
כך אנו יודעים כיצד פועלת ההעתקה על וקטור כלשהו formula_43. נשים לב כי לאחר שבחרנו בסיסים, מספיק לדעת את המקדמים formula_44 כדי להגדיר את ההעתקה ואין צורך ברצף המשוואות המסורבל המופיע למעלה, בתנאי שמסכימים מראש על הסדר. המוסכמה המקובלת היא כי המטריצה המייצגת את ההעתקה לפי הבסיסים הנתונים היא
formula_45
מציאת התמונה של וקטור כלשהו, הופכת עתה לפעולה פשוטה של כפל מטריצות. אם ניקח וקטור כלשהו formula_27, שייצוגו על פי formula_48 הוא
formula_31,
על מנת למצוא את תמונתו נצטרך פשוט לבצע את כפל המטריצות
formula_67
הסימון formula_68 משמעו וקטור הקואורדינטות של הווקטור formula_43 לפי הבסיס formula_70.
ההתאמה בין ההעתקות למטריצות.
האיזומורפיזם בין העתקות למטריצות המייצגות אותן הוא שימושי מאוד:
נוכח התאמה מרשימה זו, שגיאה נפוצה היא לזהות מטריצה עם העתקה ליניארית. כזכור, לכל מטריצה מתאימה העתקה ליניארית יחידה, רק לאחר שנבחר בסיס בתחום ובטווח. לפני הגדרת בסיסים אלה כל מטריצה (שאינה סקלרית) יכולה לייצג אינסוף העתקות ליניאריות, ולהפך. כמו כן, יש לשים לב כי המוסכמה היא ייצוג של טרנספורמציות הפועלות על וקטורים כמטריצות הפועלות על וקטורי עמודה בכפל מימין, אך באותה מידה ניתן היה להגדיר את ההפך - כפל משמאל. אז מטריצה מסדר formula_1 הייתה מייצגת טרנספורמציה ממרחב formula_17 ממדי למרחב formula_16 ממדי והווקטורים היו וקטורי שורה.
מרחבי שורות, עמודות ופתרונות.
מרחב השורות של מטריצה formula_104 בגודל formula_105 הוא המרחב הנפרש על ידי וקטורי שורותיה (formula_106 וקטורים ב-formula_107), ומרחב העמודות של מטריצה הוא המרחב הנפרש על ידי עמודותיה (formula_108 וקטורים ב- formula_109).
ממד מרחב השורות של מטריצה תמיד שווה לממד מרחב העמודות שלה. מספר זה נקרא דרגת המטריצה.
מרחב הפתרונות של formula_110 הוא מרחב כל הווקטורים שפותרים את המשוואה formula_111. משפט בסיסי קובע שסכום ממד מרחב הפתרונות של formula_110 עם הדרגה של formula_110 הוא מספר העמודות שלה, n.
מבנה אלגברי.
אוסף כל המטריצות מסדר formula_114 מעל שדה formula_115 המסומן formula_116 מהווה מרחב וקטורי מממד formula_117. מקרה חשוב במיוחד הוא אוסף כל המטריצות הריבועיות מסדר formula_118 מעל שדה formula_115. קבוצה זו מסומנת formula_120 ומהווה חוג לא קומוטטיבי עם יחידה, שלו מספר תת-חוגים מעניינים. אוסף כל המטריצות ההפיכות מסדר formula_118 מעל שדה formula_115 המסומן
formula_123 (General linear group)
מהווה חבורה ביחס לכפל מטריצות. אוסף כל המטריצות ההפיכות מסדר formula_118 מעל שדה formula_115, שהדטרמיננטה שלהן היא אחד, המסומן formula_126 (Special linear group) הוא תת-חבורה חשובה שלו.
מטריצה משוחלפת.
מטריצה משוחלפת (Transposed Matrix) היא מטריצה שהתקבלה ממטריצה אחרת על ידי הפיכת כל שורה לעמודה (שחלוף).