ההולנדי אדריאן אנטוניזון השיג במאה ה־16 דיוק בן שש ספרות אחרי הנקודה. הוא הציג את formula_1 באמצעות השבר formula_18.
בשנת 1596 השתמש ההולנדי לודולף ואן צאולן בשיטתו של ארכימדס, וחישב את formula_1 בדיוק של 20 ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 35 ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו ל־formula_1 בשם מספר לודולף.
התפתחות החשבון האינפיניטסימלי במאה ה־17 הביאה שיטות חדשות לחישובו של formula_1. שיטות אלו מתבססות על ייצוגו של formula_1 כסכום של טור אינסופי.
טכניקה לא שגרתית לחישובו של formula_1 היא "שיטת מונטה־קרלו": על לוח עץ נצייר ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות. נצייר מעגל חסום בריבוע זה (זהו מעגל שרדיוסו שווה ליחידה אחת), ונתחיל להטיל חיצים אל הריבוע (לא נכוון את החץ למרכז הריבוע, אלא אל הריבוע כולו, באופן אקראי). לאחר מספר רב של הטלות, היחס, בין מספר הפעמים שהחצים פגעו בתוך המעגל למספר הפעמים שבהם פגעו בתוך הריבוע, שואף ליחס שבין שטחי שתי הצורות, שהוא formula_24.
הדוגמה הראשונה לרעיון זה היא שיטת המחט של בופון: כאשר מטילים מחט על משטח שמצוירים עליו קווים ישרים מקבילים שהמרחק ביניהם שווה לאורך המחט, הסיכוי שהמחט תגע בקווים שווה ל־formula_25. ב־1777 ז'ורז' לואי לה קלרק, הרוזן בופון, ביצע את הניסוי כדי להעריך את ערכו של formula_1. הניסוי עורר את עניינם של המתמטיקאים בני התקופה, והביא לדיון ער בהבנת מושג ההסתברות.
בשנת 1789 חישב הסלובני יורי וגה (Jurij Vega) את 140 הספרות הראשונות של formula_1 (רק 127 מתוכן היו נכונות).
השתכללות המחשבים ומציאת אלגוריתמים יעילים יותר לחישובו של formula_1 מאפשרים דיוק של מספר רב של ספרות. האלגוריתם המוביל הוא אלגוריתם צ'ודנובסקי. סיבוכיות האלגוריתם כדי לחשב formula_29 ספרות היא formula_30. בנוסף נעזרים לבדיקת התוצאות באלגוריתמים המאפשרים חישוב ספרה מסוימת ללא צורך בפיתוח כל הספרות (נוסחת BBP). השיא העולמי בחישוב הספרות של formula_1 היה במרץ 2019 היה למעלה מ-formula_32 ספרות. באוגוסט 2021 חושבו למעלה מ-formula_33 ספרות. תוצאות כאלו מפגינות את יעילותם של האלגוריתמים ושל מערכות המחשוב.
קירובים של פאי.
קירוב מקובל של formula_1 כמספר עשרוני הוא 3.14. צורת שבר פשוטה המקרבת את formula_1, היא formula_36 או formula_37. קירובים אלה מתלכדים עם ערכו האמיתי של formula_1 בדיוק של שתי ספרות בלבד מימין לנקודה.
ההצגה של formula_1 כשבר משולב פותחת ב־formula_40.
הצגה זו מספקת סדרה של קירובים, שהראשון מביניהם הוא הערך השלם 3, ואחריו באים:
formula_41
רמנוג'אן הציע קירוב מסוג אחר ל-formula_1: formula_47. קירוב זה סוטה מערכו האמיתי של formula_1 רק בספרה התשיעית מימין לנקודה העשרונית.
קירוב נוסף הוא formula_49, השווה בערך ל-3.146. קירוב זה סוטה מערך formula_1 רק בספרה השלישית אחרי הנקודה העשרונית.
קירוב נוסף הוא formula_51 השווה בערך ל-3.1418. קירוב זה סוטה מערך formula_1 רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.
קירוב נוסף הוא formula_53, השווה בערך ל-3.1413. קירוב זה סוטה מערך formula_1 רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.
ערכי פאי במקורות יהודיים.
במקרא בספר מלכים א' () (מתוארך למאה השישית לפנה"ס) יש התייחסות (לא מדויקת) להיקף המעגל, לפיה היחס הוא אחד לשלושה, . ההסבר הרווח לאי-הדיוק הניכר הוא שדרכו של המקרא היא לעגל מספרים, כך שאין ללמוד מכך על תפיסת הערך המדויק של formula_1 בזמנם, או בהסבר שמדובר בקוטר חיצוני ובהיקף פנימי. בנוסף, יש המסבירים זאת בכך שכלי זה לא היה עיגול מושלם עקב העדר טכנולוגיה מתאימה לביצוע מדויק, כלומר ים הנחושת היה אליפטי.
יש שציינו שהיחס בין הקבוע formula_1 ובין המספר 3 המובא בפסוק – יחס השווה בקירוב למספר 1.04719, נרמז בקרי וכתיב של המילה שנכתבת קוה ונקראת קו; היחס בין הגימטריה של המילה קוה (111) לשל המילה קו (106) הוא בקירוב 1.04716, שנותן תוצאה נכונה עד כדי ארבע ספרות אחר הנקודה. הדבר הנרמז כאן הוא שעל אף שלמעשה היה ראוי לכתוב את המספר המלא של הקבוע formula_1, לצורך נוחות הקריאה נכתב רק העיגול של המספר. בנוסף, היו שניסו לתת פרשנויות אחרות.
במשנה במסכת עירובין (פ"א מ"ה) נשנה הכלל: "כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח", כלומר היקף המעגל הוא פי שלושה מהקוטר (3=formula_1). כלל זה בא לידי ביטוי גם במסכת סוכה (דף ז'-ח') שם עוסקת הגמרא בממדיה של סוכה עגולה, ומביאה קירובים שונים להיקף המעגל ואורך האלכסון של ריבוע. גם התוספות במסכת סוכה (ח, א) מתייחסים אל formula_1 כשווה ל-3. באופן זה במסכת בבא בתרא (י"ג: – ט"ו.) מחושב היחס בין היקפו של האורך של ספר התורה לבין רוחבו, וגם שם הגמרא מתייחסת ל-formula_1 כשווה ל-3. מפרשים שונים עמדו על הפער בין ה-formula_1 כפי שהוא מנוסח בימינו, לבין שיעור חכמים, והסבירו כי דברי חכמים מכוונים להלכות מעשיות, ולכן הביאו מידת קירוב לשימוש האדם ביום יום - וכי לא הייתה כוונתם כלל לעסוק בדיוק החשבוני
בעלי התוספות, ראב"ע וראשונים נוספים מפנים לברייתא של מ"ט מידות שבה נמצא ערך מדויק יותר ל-formula_1. בברייתא ההיא נאמר בין היתר "...לפי שאמרו בני ארץ, בעגולה שהסביבה (ההיקף) מחזקת שלוש פעמים ושביע בחוט (ביחס לקוטר)". הרי שאף על פי שייתכן והיה ידוע ערך טוב יותר ל-formula_1, לא ראו החכמים צורך להתייחס אליו מבחינה הלכתית.
הרמב"ם, בן המאה ה-12, הביא, בפירושו למשנה, כי "צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להיקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצדנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו שייוודע. אבל אפשר לשערו בקירוב". בשפת ימינו ניתן להבין את דבריו של הרמב"ם כמשקפים את הטענה ש־formula_1 הוא מספר אי־רציונלי. דברים דומים נאמרו גם על ידי כמה מתמטיקאים מוסלמים קודמים לרמב"ם, כגון אל-חוואריזמי ואל-בירוני.
נוסחאות הקשורות בפאי.
formula_1 מופיע בנוסחאות מתמטיות רבות. ניתן לצפות שיופיע בנוסחאות הקשורות לשטחי ונפחי צורות מעגליות, שכן הוא מוגדר באמצעות מעגל, אך לעיתים הוא מתגלה גם בתחומים שלכאורה אין בינם ובין גאומטריה או מעגלים קשר ישיר.
פיזיקה.
ניתן לקבל את ערכו של formula_1 באמצעות מערך ניסוי שכולל משטח נטול חיכוך, קיר ושתי מאסות שיחס המסות ביניהן הוא חזקה שלמה של 100, כשכל התנגשויות אלסטיות לחלוטין. במערך הניסוי הגוף בעל המסה הקטנה ניצב במנוחה בין המסה הגדולה והקיר. המסה הגדולה מחליקה במהירות קבועה כלפי המסה הקטנה. בעת ההתנגשות (האלסטית לחלוטין) של הגוף המסיבי בגוף הפחות מסיבי נהדף האחרון כלפי הקיר, פוגע בו ומוחזר כלפי הגוף המסיבי, וחוזר חלילה עד שהגוף המסיבי מאבד את כל המהירות בכיוון הקיר ומתרחק במהירות שווה או גדולה למהירות הגוף הפחות-מסיבי הלאה מהקיר. מספר ההתנגשויות בין המסה קטנה לבין הקיר והגוף המסיבי נותן את ספרות formula_1, וככל שהחזקה ב 100 בחזקת יחס המסות גבוהה יותר יתקבלו עוד ספרות של formula_1.
שברים משולבים.
אפשר להציג את formula_1 באמצעות שברים משולבים רבים, בהם:
formula_89
תורת המספרים.
בתורת המספרים יש קשר בין formula_1 לבין מספר תוצאות:
כאן אנו מניחים שההסתברות והממוצע נלקחים על קבוצת המספרים הטבעיים עד N, כאשר N שואף לאינסוף.
בעיות פתוחות.
בחקר מאפייניו של formula_1 ישנן בעיות פתוחות אחדות. הבולטת שבהן היא השאלה האם formula_1 הוא מספר נורמלי – מספר ממשי שהספרות שלו מתנהגות כאילו הוגרלו באקראי, כאשר לכל ספרה יש הסתברות שווה להופיע. הידע בסוגיה זו מצומצם ביותר, ובין השאר לא ידוע האם בייצוג העשרוני של formula_1 כל אחת מהספרות 0,…,9 מופיעה אינסוף פעמים. בשנת 2000 הראו דייוויד ביילי וריצ'רד קרנדל ששאלת הנורמליות של formula_1 בבסיס בינארי שקולה להשערה ידועה בתורת הכאוס.
בעיה פתוחה נוספת היא השאלה האם הקבוצה formula_98 תלויה אלגברית מעל המספרים הרציונליים.
ב-1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה formula_99 היא בלתי תלויה אלגברית מעל formula_100.
הצעות לסימון חלופי.
מתמטיקאים ומדענים שונים סברו שבמקום להשתמש ב- formula_1 כקבוע המעגל היסודי, יש להעדיף למטרה זו את formula_16 כדי לפשט ביטויים מתמטיים ואת השימוש ברדיאנים. המתמטיקאי הצרפתי ארמן לורן נהג לכתוב משוואות בהן formula_16 משמש כסמל אחד. בשנת 2001 המתמטיקאי האמריקאי רוברט פלאיס הציע להשתמש בסימן formula_104 לייצוג סיבוב אחד. תחת זאת, בשנת 2010 הציע הפיזיקאי מייקל הארטל את האות היוונית formula_105 (לציון Turn). וראו גם סרטון של וי הארט בנושא.
פאי בתרבות.
קיימים משפטים שונים המשתמשים כעזרי זיכרון עבור ערכו של formula_1, בכך שמספר האותיות בכל מילה שלהם שווה לספרה המתאימה של formula_1, למשל זה של המדען האנגלי ג'יימס ג'ינס:
(מילולית: כמה אני רוצה משקה, אלכוהולי כמובן, אחרי ההרצאות המתישות על מכניקת קוונטים).
יש החוגגים את 14 במרץ (שנרשם בצורת כתיבת התאריכים הנהוגה בארצות הברית כ־3.14) כ"יום פאי", ואחרים חוגגים ביום קירוב formula_1 ב-22 ביולי (מכיוון שתוצאת החילוק של 22 ב-7 היא בקירוב 3.1429, מעט קרובה יותר ל-formula_1 מאשר 3.14). מהדרי החג חוגגים אותו בדרך כלל בשעה 1:59 אחר הצהריים (3.14159).