דוד לייב כהן נולד בעת הימים הנוראים בשנת ה'תרנ"ה (1894) בכפר סלובודקה ליד נובוגרודק, בתחום המושב היהודי של האימפריה הרוסית. כהן עצמו היה מספר שנולד בימים הנוראים ולא הזכיר תאריך ספציפי, כך שהתאריך המדויק אינו ידוע. הוא היה הילד רביעי במשפחתו. בצעירותו הושפע מאביו, שהיה רב נודד והשתייך לתנועת החסידות ומאחיו הגדולים יצחק-אייזיק ורייכל, שהתחברו לקבוצה מהפכנית מקבוצת נרודניה ווליה ("נארודניקים"), שלחמה במשטר הצארי ברוסיה במטרה לשנות את סדרי החברה.
כנער הרבה כהן לנדוד בין הערים והעיירות בחבל ווהלין, בין היתר בעיירות שוּר, בפּוּלֶסיה, סלובודקה, נובוגרוּדֳק, קאמי, באבז'יץ, רפאלובקה (Rafaluvka), פרוסקורוב, וולוז'ין, סלונים, מינסק, וילנה וקובנה.
בגיל 13 התקבל כהן לישיבה בפרוסקורוב, אך כעבור זמן קצר עזב אותה לטובת שהות עם קבוצת אינטלקטואלים יהודים ששאפו להשגת אוטונומיה עבור יהודי רוסיה, אשר כינו עצמם "סיימיסטים". כהן היה אחראי על הוראת ילדי הקבוצה קרוא וכתוב בעברית וביידיש, ועבד איתם בחקלאות. בערבים היו חברי הקהילה לומדים מכתבי מרקס וסוגיות פוליטיות בתנועת הפועלים.
בשנות העשרה המאוחרות הצטרף כהן לישיבה בנובוגרודק, שהשתייכה לזרם "שיטת המוסר", אך החליט לעזוב את הישיבה מאחר שאורחותיה לא תאמו לאופיו.
אחיו יצחק-אייזיק, שכבר היה פעיל במחתרת, הפנה אותו ל"שטיבל" (בית כנסת חסידי) של חסידי הרבי מסלונים; עד גיל 17 שהה דוד עם חסידי סלונים, ואז עקר לוולוז'ין והצטרף לישיבה המקומית. באותה הישיבה התלכדה קבוצת תלמידים בעלי נטייה ציונית, ודוד ביניהם, אשר החלה בהפצת עיתון בלשון העברית, שפנה לשני המינים ועיקרו ברעיון תחיית הלשון העברית. לאחר שהתגלה הדבר לראש הישיבה סולקו מהישיבה כל התלמידים המעורבים.
כהן עבר לווילנה, שם למד כתלמיד אקסטרני משום שחסר את הכסף להירשם לבית ספר מסודר. הוא עבד במני עבודות מזדמנות, בין היתר כסבל בשוק ובמתן שיעורי עזר לתלמידים. הוא יצר קשר עם עורכי עיתון "דער טאָג" (יידיש: "היום") והחל לפרסם רשימות מחייו ומחייהם של פשוטי העם, ואף נתחבר לקבוצה מאורגנת של גנבים וזונות שהיו מחלקים ביניהם את הרווחים, לומד את סגנון חייהם ומפרסם רשימות על חייהם בעיתון.
פעילות ציונית בגולה.
עם פרוץ מהפכת אוקטובר בשנת 1917 שב כהן לעיירה נובוגרודק, ושם ייסד ארגון נוער ציוני ולהקת דרמה שעסקה בחומרים ציוניים. יעקב לובצ'נסקי, יהודי בעל אמצעים, העמיד לרשות ארגון הנוער חלקת אדמה וכלי עבודה, והם החלו בהכשרה חקלאית. דוד נשאר בנובוגרודק עד הגעת הבולשביקים, שהתנגדו לציונות, והמשיך בפעילותו הציונית. הוא נעצר, אך הצליח לברוח לווילנה.
עם קבלת עצמאותה של פולין וכינון הרפובליקה הפולנית השנייה נעצר כהן על ידי המשטרה הפולנית כחשוד ב"קשרים עם הקומוניסטים בגרמניה", ושוחרר כעבור שבועיים. לאחר השחרור הצטרף למרכז "החלוץ" בקובנה, בירת ליטא (שזכתה אף היא בעצמאות) וקיבל משרה בעיתון "החלוץ" בקובנה. במסגרת עבודתו הרבה לבקר בעיירות ליטא היהודיות ובקבוצות ההכשרה השונות.
באחד ממסעותיו לעיירה קובנה פגש בבית הילדים של זיגפריד להמן – יהודי ממוצא גרמני שהגיע לליטא משום שמאס בתרבות הגרמנית לאחר מלחמת העולם הראשונה, וחיפש אחר תחיית התרבות העברית. להמן אסף ילדים יתומים והקים בית ילדים – "קינדער היים" – בעל משנה חינוכית ציונית המבוססת על רעיון "חברת הנוער". כהן התרשם והושפע מאוד ממפעל זה. ד"ר ליהמן ועשרות מילדי בית היתומים שלו עלו לארץ ישראל מאוחר יותר, והקימו, יחד עם קבוצת נערים מ"הנוער העובד" את כפר הנוער "בן שמן". הקשרים בין ד"ר להמן לדוד כהן נשמרו גם בארץ.
הביקור בארץ ישראל.
באביב 1924 ביקר כהן לראשונה בארץ ישראל, במסגרת ביקור שארגן העיתון "די אידישע שטימע" ("הקול היהודי") שבו עבד. הייתה זו משלחת בת יותר ממאתיים איש, בהם חברי "החלוץ". כהן שהה בארץ כחודש, טייל בגליל, בתל אביב ובירושלים, עשה ליל סדר עם אנשי "גדוד העבודה", חגג את האחד במאי עם אנשי עמק יזרעאל בעין חרוד וביקר בבית הוועד הפועל של ההסתדרות. בספרו "ביתי בין נערים" ציין דוד כי יותר מכל התרשם לרעה ממצב הנוער העובד שבו נתקל בביקורו. בתל אביב פגש בברל כצנלסון, וסיפר לו את רשמיו. כצנלסון שיתף אותו בקשייה של ההסתדרות במציאת פטרון לנוער העובד, לדאוג להשכלתו ולארגונו, היות שלא היה באותה תקופה חוק שיגן על הנערים העובדים. בשיחה זו סיפר כהן לכצנלסון על כוונתו לעלות לארץ, וכצנלסון ביקש ממנו להתמסר לפעולה עם הנערים העובדים לשיפור מצבם לכשיעלה.
פעילותו בארץ עם הנוער העובד.
כחצי שנה לאחר מכן עלה כהן עם אשתו לובה ובנם, שמואל (מולה), לארץ ישראל, והחל לעבוד עם הנוער העובד כאיגוד עובדים וכתנועה חינוכית. תנועת הנוער העובד החלה מכמה התאגדויות ספונטניות ויוזמות שיצרו הנערים העובדים עצמם, לעצמם. דוד כהן, שלימים נקרא "האבא" של הנוער העובד, לא היה מייסד התנועה בפועל, אולם עם עלייתו לארץ מצא את דרכו אל בני הנוער החיים בתנאי מצוקה, ואל ההתארגנויות שהחלו לצמוח על ידי הנערים בכוחות עצמם. התארגנויות אלה, שהחלו כתאים בתל אביב, חיפה, ירושלים, פתח תקווה וכפר סבא, פנו להסתדרות בבקשה לליווי ועזרה בארגון. עם הקמת ארגון הנוער העובד ב-1924 החליטו בני הנוער כי ההחלטות והסיכומים של התנועה יתקבלו על ידי הנערים עצמם. כהן היה שותף של הנערים לעמדה זו וראה עצמו כ"שַמָּש" עבור בני הנוער.
באופן פורמלי מונה כהן (בעצת ברל כצנלסון) כאיש הקשר בין שתי ההסתדרויות – הכללית וזו של הנוער העובד – והיה מאז ועד לפרישתו לגמלאות עובד במרכז לחינוך של הוועד הפועל של ההסתדרות. משכורתו ההתחלתית הייתה 4 לירות בחודש, ואשתו תמכה בפרנסת המשפחה.
במסגרת תפקידו היה כהן שותף ומנהיג במאבק ההסתדרותי מול ממשלת המנדט הבריטי ליצירת "חוקי מגן על הנוער העובד". בין הדרישות שהוצבו להגנה על הנערים היו יום עבודה של 6 שעות שיאפשר התפתחות השכלתית ומנוחה, איסור על עבודת לילה או עבודות המוגדרות כמסוכנות לבריאות ועוד. בסוף שנת 1927 פורסמה על ידי ממשלת המנדט "חוקת-הגנה על נוער ונשים בעבודה", שכללה חלק מן הדרישות שהוצבו. יום העבודה הוגבל ל-8 שעות, ונאסרה העסקה של בני נוער בלילה. חסרונו העיקרי של החוק היה היותו בלתי מפוקח ונאכף. הפקיד הערבי שהופקד על אכיפת החוק ברמה הארצית, בנוסף לשאר תפקידיו, ביקש מכהן כי ההסתדרות עצמה תפקח על תעסוקת הנוער ותדווח לו על מקרים חריגים, שאותם יגיש בדו"ח לממשלה, וזאת בתנאי שיסופק לו נייר לכתיבת הדו"ח משום שזה אינו כלול בתקציב.
באותם הימים עסק כהן בשכנוע בני נוער עובדים להצטרף לאיגוד, ובמאבק ושכנוע מעסיקים לאפשר את ההתארגנות בעסקיהם. במסגרת חברותו בתנועה הותיר את קבלת ההחלטות לנוער ושימש רק כיועץ. הוא עסק בחיפוש מקורות כלכליים לתנועה, איסוף תרומות, וקשירת קשרים בינה לבין חלקים אחרים בתנועת העבודה.
עיתון התנועה, "במעלה", היה מפעל חשוב מאוד בעיניו של כהן, והוא הרבה לכתוב בו מאמרים ראשיים, כתבות ואגדות חסידיות – פעמים רבות בשמות עט, בהם שמואל, אורי ורחל (כשמות ילדיו), חבר, צופה, אחא וכו'. על אגדותיו היה חותם בשם העט הקבוע "אלקנה".
כהן עודד את הנערים לכתוב על עצמם על מצוקותיהם ושמחותיהם. הוא היה שוהה רבות במערכת העיתון וחולק מניסיונו העיתונאי לעורכים השונים, משה בן אלול, דב מייזל ומשה מוסינזון. את העיתון היה נהוג לשלוח לאחר הדפסתו לכל השותפים בכתיבת הגיליון, וכהן היה מצרף לכל כותב דברי הערכה בכתב ידו. כהן אף יצר את הקשר בין העיתון לקואופרטיב "דפוס אחדות", שפועליו הסכימו לקבל את שכר העבודה תמורתו רק לאחר שיימכרו העיתונים. עוד יוזמה שטיפח בתנועה הייתה רעיון "העיתון החי", כלומר מעין "עיתון" שהוקרא בעל-פה. ראשית רווח מנהג זה בסניף תל אביב, ולאחר מכן בסניפים רבים אחרים. ההקראה כללה דרשות, יצירות, סאטירות וכו'.
כהן נהג להביא את תנועת העבודה לסניפי התנועה ולכינוסיה, להרצאות ולשיחות, בהיותו מאמין גדול של השיחה הישירה וב"תורה שבעל-פה"; כך זכו הנערים למפגשים תרבותיים עם ברל כצנלסון, דוד בן-גוריון, יצחק טבנקין ויוצרים ואנשי רוח מהשורה הראשונה של התקופה כדוד שמעוני, שאול טשרניחובסקי וחיים נחמן ביאליק.
כהן קישר בין חברי קבוצת העבודה של הנוער העובד ברחובות לבין המהפכן היהודי-רוסי מנחם מנדל רוזנבוים, שליח של תנועה יהודית אנרכיסטית שביקשה לרכוש אדמות בארץ-ישראל. על בסיס קשר זה נקנתה אדמת נענה שלימים הפכה לקיבוץ הראשון שהוקם על ידי נערים בני הארץ – קיבוץ נען. בהמשך היה כהן שותף לכל הקשרים שנרקמו בין הנוער העובד למרכז החקלאי ולגורמי התיישבות והקיבוץ, בפרט הקיבוץ המאוחד, בתהליך ההשתלבות בקיבוצים הקיימים והעלייה לקרקע של גרעיני התנועה. הוא המשיך לקיים קשר רציף עם שלל קיבוצי התנועה, והיה נוכח קבוע בטקסי בר המצווה של הנערים בקיבוצים (ואף בחלק מטקסי בר המצווה של מושבים וקבוצות), שבהם הוענקו לנערים "פנקסי חבר" ו"סמלי תנועה" – במקרים רבים על ידו באופן אישי.
נשיא המדינה זלמן שזר התייחס לפועלו של דוד כהן בנאום שנשא במסיבה בבית הנשיא:
משפרש דוד כהן לגמלאות מתפקידו הרשמי, עבר לגור באלונים עם בני משפחתו, ושם נפטר בשנת 1976. עד מותו המשיך לשמור על קשר עם מפעלי התנועה, והוזמן לחגי התנועה במקומות השונים כאורח כבוד. שלושת ילדיו, מולה, רחל'ה ואורי, למדו בבית חינוך לילדי עובדים, היו חברים בנוער העובד, והתגייסו לפלמ"ח. בשנת 1971 זכה כהן בפרס העבודה של ההסתדרות על 45 שנות פעילות חינוכית.