ספרו של רנה דקארט משנת 1644, עקרונות הפילוסופיה טען שגופים יכולים לפעול אחד על השני רק דרך מגע: עקרון שהביא אנשים, וביניהם הוא עצמו, להעלות היפותזה לפיה קיים מדיום או תווך אוניברסלי הנושא אינטראקציות כגון אור או כבידה - האתר. טעות אחרת הייתה טיפולו בתנועה מעגלית, אבל למרות זאת, טעות זאת הניבה תוצאות מאוחר יותר בכך שהיא הביאה אנשים לזהות את התנועה המעגלית כבעיה הקשורה באופן הדוק לעקרון ההתמדה. כריסטיאן הויגנס פתר את הבעיה הזו בערך בשנות ה־50 של המאה ה־17 ופרסם את פתרונו זמן רב מאוחר יותר.
תפקידו של ניוטון.
במהלך חייו כסטודנט, ניוטון עיין בקפידה בחיבורים הללו, או במקרים מסוימים, במקורות המבוססים עליהם, והחל לכתוב יומן שכותרתו "שאלות על פילוסופיה". בתקופה זו (1664-1666), הוא החל לנסח את הבסיס לקלקולוס, ולהעלות את ניסוייו הראשונים באופטיקה של הצבעים. בנוסף הוא התקדם שני צעדים מכריעים בדינמיקה: ראשית, בנושא האינטראקציה בין שני גופים, הוא הסיק נכונה שמרכז המסה של המערכת נשאר בתנועה אחידה, ושנית, הוא ביצע את ניתוחו הראשוני, והמוטעה, של תנועה מעגלית בהניחו שחייב לפעול כוח צנטריפוגלי החוצה. הוכחתו שהאור הלבן הוא תערובת של צבעי הקשת והתאוריה שנוסחה בעקבותיה החליפה את התאוריה השלטת בנוגע לצבעים וקיבלה יחס מועדף בידי מרבית המדענים, אך גרמה למחלוקת מרירה בינו לבין רוברט הוק ואחרים, אשר אילץ אותו לפתח את רעיונותיו עד כדי שהשלים חיבור חלקים מספרו אופטיקה כבר בשנות ה־70. הוא חיבר ופרסם חלקים מן הקלקולוס שפיתח במספר עבודות ומכתבים, וביניהם שנים ללייבניץ. הוא נעשה לחבר בחברה המלכותית והוענקה לו הקתדרה למתמטיקה ע"ש לוקאס באוניברסיטת טריניטי שבקיימברידג'.
בשנת המגפה ב־1665, ניוטון כבר הבין כי עוצמת הכבידה יורדת ביחס הפוך לריבוע המרחק, באמצעות המרת החוק השלישי של קפלר לביטוי שגזר עבור הכוח הצנטריפוגלי (הוא ערבב תחילה בין המושגים בגלל הבנתו השגויה את התנועה המעגלית). תאוריה שאותה אהב לספר ניוטון לפיה הוא הגיע למסקנותיו אלו כאשר צפה בתפוח הנושר מעץ במהלך שהותו בוולסתורפ נפוצה מאוד בקרב הציבור הרחב, אולם היסטוריונים רבים מפקפקים בנכונותה.
הרהורים על מה שניתן להסיק באמצעות השכל הישר לגבי היבטים שונים של התנועה המעגלית, הובילו אותו לקונספט "המרחב המוחלט". ב"פרינקיפיה" מציג ניוטון את הדוגמה של דלי מים מסתובב כדי להראות שבחיי היום יום ניתן להבחין כי בתנועת סיבוב מעורב גורם נוסף פרט לתנועה היחסית של גופים.
ניוטון עדיין לא השלים את כתיבת ה"פרינקיפיה" בשנת 1681, כאשר כוכב שביט נצפה משנה את כיוון תנועתו מסביב לשמש. האסטרונום המלכותי, ג'ון פלמסטיד, זיהה את שינוי מגמת תנועת השביט, בניגוד לרוב המדענים שהאמינו שהיו שני שביטים, אחד שנעלם מאחורי השמש, ואחר שהופיע מאוחר יותר מאזור היעלמותו של הקודם. המחלוקת שהתעוררה בין ניוטון ופלמסטיד מראה שפלמסטיד לא הבין והכיר באוניברסליות של חוק הכבידה.
תוכן הספר.
מטרתו המוצהרת של הספר ונושאיו.
בהקדמה ל"פרינקיפיה", ניוטון כתב:
הפרינקיפיה דן בראש ובראשונה עם גופים מאסיביים בתנועה, תחת מגוון של תנאים התחלתיים וחוקים היפותטיים של כוח בתווכים ללא התנגדות ועם התנגדות, ומציע קריטריונים להכריע, באמצעות תצפיות, איזה חוקים של כוח פועלים בתופעות הספציפיות שנצפות. הספר הוא ניסיון לכסות תנועות היפותטיות או אפשריות של גופים שמימיים וקליעים ארציים. הוא חוקר את הבעיות הקשות של תנועה המופרעת על ידי מספר כוחות משיכה מרכזיים. הספר השלישי והאחרון עוסק בפרשנות לתצפיות על תנועת כוכבי הלכת והירחים שלהם. הוא מראה כיצד תצפיות אסטרונומיות מוכיחות את חוק היפוך הריבוע של הכבידה (ברמת דיוק שהייתה גבוהה יחסית לסטנדרטים של זמנו של ניוטון); מציע אומדנים למסות היחסיות של הפלנטות הענקיות הידועות ושל כדור הארץ והשמש; מגדיר את התנועה האיטית של השמש יחסית למרכז מערכת השמש; מראה כיצד התאוריה של הכבידה יכולה להסביר חלק מהמורכבויות של תנועת הירח; מזהה ומעריך את הפחיסות בצורה של כדור הארץ; מספר הסבר כמותי מקורב למחזורי הגאות הנובעים מההשפעה הכבידתית של הירח והשמש על מימי כדור הארץ; מסביר את הפרצסיה של נקודת השוויון כתוצאה של האפקט הכבידתי של הירח על התפיחה המשוונית של כדור הארץ; ומספק בסיס תאורטי להסבר וחישוב מגוון תופעות הקשורות בשביטים ומסלוליהם המוארכים, הכמעט פרבוליים.
ה"פרינקיפיה" פותחת בסדרה של "הגדרות", ו-"אקסיומות או חוקי תנועה", וממשיכה בשלושה ספרים:
ספר 1, על התנועה של גופים.
הספר הראשון, שכותרתו על התנועה של גופים עוסק בתנועה של גופים בהיעדרו של תווך בעל התנגדות. כמבוא קצרצר לספר הראשון של הפרינקיפיה, מביא ניוטון סדרה של חמישה טיעונים תחת הכותרת "תכונות, סיבות, ותוצאות של תנועה", בהם עשה אבחנה בין מרחב, זמן ותנועה יחסיים למוחלטים. "טיעון הדלי" המפורסם מובא כטיעון האחרון במבוא זה.
הספר פותח בתיאור מתמטי של צורה גאומטרית של החשבון האינפיניטסימלי, הבאה בעקביות יחד עם הגדרות בדינמיקה בסיסית וההיסקים הראשוניים המבוססים עליהם.
חלקו השני של הספר מבסס את הקשר בין כוחות צנטריפטליים לחוק השטחים, הידוע כחוק השני של קפלר (טענות 1–3), מקשר בין מהירות תנועה מעגלית ורדיוס עקמומיות לכוח רדיאלי (טענה 4), ומקשר בין כוחות צנטריפטליים המשתנים לפי היפוך ריבועו של המרחק מהמרכז למסלולים בעלי צורה של חתכי חרוט (גזירת חוקי קפלר, טענות 5–10).
החלקים השלישי עד השישי של הספר כוללים את טענות 11–31, שמבססות תכונות של תנועה במסלולים בצורה של חתכי חרוט אקסצנטריים (כולל אליפסות) ואת הקשר שלהם לכוחות היפוך ריבועיים המכוונים למוקד, וכוללות (בחלק השישי) את משפט ניוטון על עקומים סגורים (למה 28). חלקים 4 ו-5 הם בעלי עניין מתמטי נטו, ואין להם תפקיד מרכזי בהמשך הפרינקיפיה. בחלקים אלו ניוטון מציג כמה מתגליותיו הגאומטריות על חתכי חרוט וטרנספורמציות פרויקטיביות, ומציג את פתרונו הסינתטי לבעיית פאפוס העתיקה. כדי לפתור את הבעיה ניוטון פיתח אלמנטים של גאומטריה פרויקטיבית, ובחלק 5 הוא מראה כיצד לבנות חתך חרוט שעובר דרך formula_1 נקודות נתונות ומשיק ל- formula_2 ישרים נתונים (כאשר n בין 0 ל-5).
טענות 43–45 כוללות הדגמה של התכונה שבמסלול אקסצנטרי תחת כוח מרכזי בו האפסיד עשוי לנוע, אוריינטציה יציבה ולא נעה של קו האפסיד הוא אינדיקציה נוספת לחוק משיכה היפוך-ריבועי. טענות אלה כוללות את הטענה הידועה כמשפט ניוטון על מסלולים סובבים (Newton's theorem of revolving orbits), אותה ניוטון הוכיח כניסיון להסביר את פרצסיית האפסיד של הירח.
החלק העשירי הוא בגדר סטייה קלה מהקו המרכזי של הפרינקיפיה (אין לתוצאות בחלק זה תפקיד בהמשך הפרינקיפיה), וניוטון עוסק בו בהכללת התוצאות של הויגנס על האיזוכרוניות של מטוטלות ציקלואידיות, ובבעיה של תנועה מאולצת - תיאור התנועה של חלקיק על משטחים עקומים בהשפעת כוח מרכזי המכוון למוקד שאינו בהכרח במישור התנועה הרגעי של החלקיק. בין היתר ניוטון מכליל בטענה 55 בחלק זה את החוק השני של קפלר לתנועות בהן מרכז הכוח נמצא מחוץ למישור התנועה של החלקיק (מצב שמתאפשר עקב הקיבוע למשטח העקום). בעיה חשובה זו נחקרה מאוחר יותר על ידי כמה מבני משפחת ברנולי ואוילר.
הספר הראשון מכיל כמה הוכחות עם קשר חלש לדינמיקה של העולם האמיתי, אך יש בו גם מספר חלקים שלהם יש ישימות מרחיקת לכת למערכת השמש והיקום:
טענות 57–69 דנות בתנועה של מספר גופים הנתונים להשפעת כוחות המשיכה ההדדיים שלהם. טענות אלה הן בעלות חשיבות ראשונה במעלה לחקר בעיות הנוגעות לדינמיקה של מערכת השמש, וכוללות את טענה 66 ואת 22 התוצאות הנגזרות ממנה, שהייתה תרומה חשובה מוקדמת לתורת הפרטורבציות האסטרונומיות. בטענה זו ניוטון תיאר בצורה כמותית את האפקט הפרטורבציוני שיש לכבידה שמפעילה השמש על מסלול הירח סביב כדור הארץ (שהיה מהווה חתך חרוט אלמלא אפקט זה היה קיים). בטענות אלה ניוטון עשה את הצעדים הראשונים בהגדרת ומחקר הבעיה של תנועת שלושה גופים מסיביים הנתונים להשפעת כוחות המשיכה ההדדיים שלהם, בעיה שזכתה לתהילה (בגלל הקושי הרב שלה) כבעיית שלושת הגופים.
הטענות האחרונות בספר זה, טענות 70–84, דנות בכוחות המשיכה שיוצרים גופים כדוריים. טענות אלה כוללות את ההוכחה מבוססת האינטגרציה של ניוטון לטענה שגופים כדוריים מושלמים מפעילים משיכה כאילו כל המסה שלהם נמצאת במרכזם. תוצאה יסודית זאת, הידועה כמשפט הקליפה (shell theorem), מאפשרת לחוק היפוך הריבוע של הכבידה להיות מיושם למערכת השמש האמיתית בדרגה גבוהה מאוד של קירוב.
בחלק ה־13 של הספר ניוטון עוסק בכוחות המשיכה שיוצרים גופים לא-כדוריים, והוא מציג את הפתרון למשיכה שיוצר ספרואיד בצורה של טור אינסופי. בנוסחה שלו לחישוב הווריאציה של הכבידה על ספרואיד הוא עשה שימוש בספר השלישי במסגרת חישוב האליפטיות של כדור הארץ.
ספר 2.