צ'רטוף היה אחד ממנסחי חוק הפטריוט" השנוי במחלוקת, אשר נחתם על ידי הנשיא ג'ורג' וו. בוש באוקטובר 2001, והרחיב את חופש הפעולה של ארגוני אכיפת החוק. כראש האגף הפלילי במשרד המשפטים, המליץ צ'רטוף ל-CIA להשתמש בעינויים.
בשנת 2000, צ'רטוף עבד כיועץ מיוחד לוועדת המשפט של בית הנבחרים של ניו ג'רזי, בחקירת מיצוב "פרופילים גזעניים" בניו ג'רזי. באותה שנה גם היה פעיל בקמפיין לנשיאות של מי שהיה אז מושל טקסס, ג'ורג' וו. בוש, כמגייס תרומות ויועץ לענייני חוק ופשע. ב-2003-2001 עמד בראש האגף הפלילי במשרד המשפטים, כשהוא מוביל את התביעה במשפט שהתנהל נגד החשוד בטרור, זקריה מוסאווי. צ'רטוף ניהל את התביעה גם במשפט נגד נגד פירמת רואי החשבון ארתור אנדרסן, על השמדת מסמכים הנוגעים להתמוטטות חברת אנרון. תביעה זו הייתה שנויה במחלוקת, כיוון שהפירמה התפרקה למעשה. אמנם התביעה השיגה הרשעה, אבל בית המשפט העליון ביטל את ההרשעה ודחה את הבקשה למשפט חוזר. במהלך תפקידו כראש האגף הפלילי משרד המשפטים, ספג ביקורת נוקבת על היותו אחד הארכיטקטים המרכזיים של מדיניות המלחמה בטרור של ממשל בוש, ובמיוחד על עצירת אלפי מהגרים מזרח תיכוניים.
ב-5 במרץ 2003, צ'רטוף מונה לבית המשפט לעירעורים של המחוז המקיף השלישי של פילדלפיה ומינויו אושר בסנאט ברוב של 88-1 ביוני של אותה שנה.
המזכיר לביטחון המולדת.
בשלהי 2004, המועמד השנוי למחלוקת, ברנארד קאריק אולץ להסיר את מועמדותו ולדחות את הצעתו של הנשיא בוש להחליף את השר היוצא לביטחון המולדת, טום רידג'. לבסוף בוש מינה את צ'רטוף לתפקיד ב-2005, כשהוא מציין את ניסיונו של צ'רטוף בחקיקה (שנועדה להגדיל את חופש הפעולה של ארגוני אכיפת החוק ולייעל את המאבק בטרור) שלאחר פיגועי 11 בספטמבר. מינויו אושר פה אחד בסנאט, ב-15 בפברואר 2005.
לאחר סופת הוריקן קתרינה, רוב הביקורת הופנתה כלפי FEMA, הרשות לטיפול במצבי חירום של ארצות הברית, אך גם המשרד לביטחון המולדת ספג ביקורת על היעדר הכנות מספקות לאירוע מהסוג הזה.
צ'רטוף נחשב לאדם המרכזי בממשל בוש (הבן) שקידם את הצעת החוק לרפורמה כוללת בהגירה, אשר הושהה בידי הסנאט ביוני 2007.
בניית הגדר בגבול ארצות הברית–מקסיקו.
באפריל 2008, צ'רטוף ספג ביקורת מעיתון הניו יורק טיימס על עיכוב החוק להגנה על זנים בסכנת הכחדה, החוק למים נקיים וחקיקה נוספת בנושא הגנת הסביבה, במאמציו לזרז בניית גדר של 700 מייל לאורך גבול ארצות הברית–מקסיקו. הגדר יועדה לעצור הסתננות של מהגרים בלתי חוקיים. המגזין טיים כתב כי "לרשימה הארוכה של הדברים שממשל בוש מוכן להרוס בדהירתו לפיוס דעתם של ניצי ההגירה, אתה יכול להוסיף כעת עשרות של חוקים סביבתיים חשובים ומאות אלפי אקרים [יחידת מידה] של בתי גידול שבריריים בגבול הדרומי".
לפי אדם ליפטק, בעל טור בניו יורק טיימס, צ'רטוף דחה, במהלך עבודתו במחלקה לביטחון המולדת, "חוקים הכוללים הגנה על הסביבה, זנים בסכנת הכחדה, נדידת עופות, עיטם לבן-ראש, עתיקות, חוות, מדברים, יערות, קברי אינדיאנים וחופש דת". ליפטק כתב גם: "אבטחת גבולות המדינה היא כה חשובה, אומר הקונגרס, שוודאי שלמזכיר לביטחון המולדת, מייקל צ'רטוף, הסמכות להתעלם מכל חוק שעומד בדרכה של בניית גדר הגבול".
בדו"ח שהוכן על ידי רשות שירותי המחקר של הקונגרס (CRS), המחלקה הא-מפלגתית למחקר של ספריית הקונגרס, נכתב כי האצלת הסמכויות הבלתי מאוזנת לצ'רטוף היא חסרת תקדים: "לאחר בחינה של החוק הפדרלי, בעיקר דרך חיפושים במאגרי מידע אלקטרוני והתייעצויות עם מומחי מחקר שונים ב-CRS, לא עלה בידינו לאתר הוראת סעיף לכתב וויתור הזהה לזה של חוק בית הנבחרים 418, קרי, הוראת סעיף שמכילה מלל של 'אף-על-פי-כן', אשר נותן למזכיר באיזה סוכנות של הרשות המבצעת את הסמכות לוותר על כל החוקים שהשר רואה כהכרחי [לוותר עליהם], ומורה למזכיר לוותר על חוקים שכאלה".
פעולות כנגד הגירה בלתי חוקית.
בספטמבר 2007, צ'רטוף אמר לוועדה בקונגרס כי המחלקה לביטחון המולדת לא תסבול התערבות בידי ערים בעלות חוקים של עיר מקלט למהגרים, שיחסמו את בדיקת מספר הזהות בתוכנית "בייסיק פיילוט", אשר דורשת מסוגים מסוימים של מעסיקים לוודא את המעמד החוקי של עובדיהם. הוא אמר כי המחלקה לביטחון המולדת בוחנת מהם הכלים החוקיים העומדים לרשותה, וכי בכוונתה לנקוט פעולה במטרה למנוע את ההפרעות האלו ל(יישום ה)חוק.
מייקל מיוקייסי
מייקל מקייסי
הקבוצה הנגזרת
בטופולוגיה, הקבוצה הנגזרת של קבוצה formula_1 במרחב טופולוגי היא קבוצת כל נקודות ההצטברות שלה. מקובל לסמן את הקבוצה הנגזרת ב-formula_2. את המושג הגדיר גאורג קנטור ב-1872. במידה רבה הוא פיתח את תורת הקבוצות כדי לחקור את הנגזרות של קבוצות בישר הממשי.
תכונות.
הסגור של קבוצה formula_1 במרחב טופולוגי formula_4 הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את formula_1. באופן שקול, הוא שווה לאיחוד formula_6. ברור כי formula_1 סגורה אם ורק אם היא שווה לסגור שלה, ולכן נובע כי זה קורה אם ורק אם formula_8.
קיימות קבוצות שהקבוצה הנגזרת שלהן ריקה, אלה הקבוצות שנקודותיהן מבודדות. בצד השני קיימות קבוצות השוות לקבוצה הנגזרת שלהן, אלה מכונות קבוצות מושלמות, ואלה קבוצות ללא אף נקודה מבודדת. במרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת ההפרדה T1, כלומר כזה שבו כל היחידונים סגורים, כל קבוצה נגזרת היא סגורה. בפרט כל קבוצה מושלמת במרחב כזה היא סגורה.
"קבוצה דקה" (meager set) היא קבוצה שאפשר להציג כאיחוד בן מניה של קבוצות בעלות נגזרת ריקה.
אופרטור הנגזרת קובע את הטופולוגיה.
שני מרחבים טופולוגיים הם הומיאומורפיים אם יש העתקה רציפה וחד־חד־ערכית מהראשון על משנהו, שהיא גם פתוחה, כלומר מעבירה את הקבוצות הפתוחות מן המרחב הראשון אל הקבוצות הפתוחות בשני. אם formula_9 הומאומורפיזם אז לכל קבוצה formula_1 בתחום של formula_9 מתקיים formula_12. מתברר שבמרחב המקיים אקסיומת הפרדה T1 גם ההפך נכון: אם formula_9 פונקציה חח״ע ועל המקיימת formula_12, אז היא הומאומורפיזם. זאת כי במרחב כזה, קבוצה formula_15 היא פתוחה אם ורק אם היא זרה לקבוצה הנגזרת של משלימתה, formula_16.
אופרטור הנגזרת מקיים את התכונות הבאות:
דרגת קנטור-בנדיקסון.
לכל מספר סודר formula_27 אפשר להגדיר את נגזרת קנטור-בנדיקסון מסדר formula_27 של מרחב טופולוגי formula_4, באינדוקציה טרנספיניטית:
סדרת הנגזרות של כל מרחב טופולוגי היא יורדת ומוכרחה לעצור בסופו של דבר (ייתכן שהיא תסתיים בקבוצה הריקה). הסודר הקטן ביותר שעבורו formula_35 נקרא דרגת קנטור-בנדיקסון של המרחב. המרחבים המושלמים הם אלו שהדרגה שלהם היא 0.
משפט קנטור-בנדיקסון קובע שכל קבוצה סגורה במרחב פולני ניתנת לפירוק יחיד כאיחוד של שתי קבוצות: האחת בת מניה והאחרת היא קבוצת נקודות ההתעבות שלה. בפרט נובע שבמרחב פולני, כל קבוצה סגורה היא מושלמת. למעשה המשפט קובע שדרגת קנטור-בנדיקסון של כל מרחב פולני היא בת-מניה. משפט זה שקול לאקסיומת הבחירה, וקבוצת ברנשטיין מהווה דוגמה נגדית במודל ללא אקסיומת הבחירה.
קבוצה מושלמת
האפאקס לגומנון
הפקס לגומנון
האפקס לגומנון
בפס
הבפס
אומברטו דה
אומברטו דה (בישראל הופץ הסרט בשם: "בודד אך לא בדד") הוא סרט איטלקי נאו ריאליסטי משנת 1952 של הצמד ויטוריו דה סיקה וצ'זארה זאוואטיני (במאי ותסריטאי בהתאמה). כיאה לסרט נאו ריאליסטי, מרבית שחקניו אינם מקצועיים, כולל הדמות הראשית. העלילה מתמקדת בסיפורו של אומברטו דומניקו פררי, פקיד מדינה בגמלאות החי בדוחק. ללא משפחה או חברים קרובים, היצור הקרוב אליו ביותר הוא כלבו הנאמן פלאג. הסרט נחשב לאחד השיאים בזרם הנאו-ריאליסטי, ומסמל את סיומה של התקופה הנאו-ריאליסטית הגדולה של דה סיקה.
הסרט הוקדש לאביו של דה סיקה, אומברטו.
בשנת 2008 פרנסיס האסטר ביים רימייק של הסרט.
עלילה.
הסרט פותח בתהלוכת מחאה של פנסיונרים עובדי מדינה לשעבר המוחים על הפנסיה העלובה שהם מקבלים כעת מהמדינה. הואיל וההפגנה נערכה ללא אישור משטרתי, משטרת רומא מגיעה ומפזרת את המפגינים המבוגרים בחוסר רגישות באמצעות כלי רכב נוסעים. אומברטו דה, פקיד מדינה בגמלאות גם כן, הוא אחד מהמפגינים באירוע. במנוסתו הוא מוצא מחסה בחדר מדרגות של אחד מהבתים בסביבה, ומביע את מחאתו בפני חבריו על כך שלא הודיעו לו שההפגנה היא ללא אישור, שכן אחרת לא היה משתתף בה.
הוא חוזר לביתו נכלם ופוגש בבעלת ביתו המאיימת לגרשו עד סוף החודש אם לא ישלם לה את שכר הדירה במלואו לקראת החודש הקרוב. גאוותו של אומברטו לא נותנת לו לעזוב את הבית, והוא מוכר את שעונו האישי ואת ספריו כדי להשלים את הסכום הנדרש לשכירות. אך גם לאחר שמכר את אלו הוא מגיע רק למחצית מהסכום הנדרש, ובעלת הבית מסרבת לקבל סכום שאינו הסכום המלא.
הוא מנסה להשפיע על בעלת הבית באמצעות מריה עוזרת הבית המחבבת את אומברטו, אך מריה מגלה לו כי היא בהיריון ולכן גם היא תפוטר בקרוב מהמלון. גרוע מכך, היא אף אינה יודעת מי האב שכן קיימה יחסים עם שני חיילים שונים באותו הזמן. לכל אחד מהם סיפרה כי הוא זה שהכניס אותה להיריון, אך שניהם התנערו מאחריותם כלפיה. לחזור למשפחתה אינה מוכנה בשל תגובתם הצפויה וכך מתחזק הקשר בינה לבין אומברטו, כקשר של שניים שהעולם הפנה להם עורף.