במהלך התקופה שקדמה לפרסום חיבורו על משטחים עקומים (בשנים 1825–1827), גאוס הכליל בכתבים לא מפורסמים חלק מהתוצאות שבחיבור כדי לכלול גם את המקרה של קווים שאינם ישר בגאומטריה הנתונה, וכך הגדיר את המושג הכללי של עקמומיות גיאודזית. הוא הראה שבדומה לעקמומיות גאוס, גם גודל זה הוא אינווריאנט של המשטח עליו הוא מוגדר; הווה אומר, אם מעוותים את המשטח על ידי טרנספורמציה איזומטרית, העקמומיות הגיאודזית בכל נקודה נשארת זהה - בפרט, עקומים גאודזיים נשארים כאלה לאחר העיוות. במסגרת זו הכליל גאוס את המשפט האלגנטי גם למקרה ששפת המשולש אינה מורכבת מצלעות גיאודזיות בלבד, וניסח והוכיח את המשפט המוכר בכינויו, משפט גאוס-בונה, העומד על הקשר בין הגאומטריה של משטח לבין טופולוגיה, משפט בעל חשיבות בהנחת יסודות הטופולוגיה.
התיאורמה אגרגיום.
ה"משפט הנהדר" של גאוס הוא אולי גולת הכותרת של עבודתו בגאומטריה דיפרנציאלית. המשפט מראה שעל אף שההגדרה הראשונית של עקמומיות גאוס עושה שימוש ישיר באופן שבו המשטח נח במרחב, היא נשמרת גם כאשר מעקמים או מפתלים אותו. לכן המשפט מראה שעקמומיות גאוס, שהיא תכונה תלת ממדית מובהקת (לפחות לכאורה), אינה תלויה בשיכון של המשטח במרחב, אלא שהיא תכונה פנימית של המשטח, וניתנת לחישוב מנקודת מבט דו ממדית על ידי ביצוע מדידות על גבי המשטח עצמו; למשל מדידת סכום זוויות של משולשים על המשטח. בהדגמת התכונות ה"שמורות", כלומר בלתי תלויות, של שיכון המשטחים במרחב התלת ממדי, הוא סלל את הדרך למושג היריעה, היא מרחב מתמטי מופשט העומד בזכות עצמו, ללא קשר לשיכון שלו במרחב בממד גבוה יותר. מעבר לחשיבותו המתמטית המכוננת, למשפט היו גם השלכות פילוסופיות בדמות דחיית הטענה של עמנואל קאנט על הטבע האפריורי של הגאומטריה האוקלידית.
טופולוגיה.
אחד ההיבטים הידועים פחות של עבודתו של גאוס הוא שהוא היה גם חלוץ מוקדם של ענף הטופולוגיה, או כפי שנקראה בזמנו, analysis sytus. ההוכחה הראשונה שלו את המשפט היסודי של האלגברה כללה טיעון טופולוגי במהותו; הוא שב ופיתח את הטיעון הטופולוגי בהוכחה האחרונה שלו למשפט זה (מ-1849). אחד המסמכים משנותיו המוקדמות ביותר מתאר רשימה של קשרים אותה הכין ב-1794, כאשר באותה שנה הוא המציא גם שיטת סימון מיוחדת לקשרים המקודדת בתוכה את התכונות של קשר נתון (קוד גאוס). מאוחר יותר הוביל גאוס את ענף הטופולוגיה המוקדם בשלוש הזדמנויות שונות, כאשר בכל אחת הוא הגה רעיונות שהפכו למרכזיים בתחום.
ב-1804, בהקשר של חקירותיו באסטרונומיה, עסק גאוס לכאורה בשאלה פרקטית - קביעת התחום השמיימי שבו שביטים ואסטרואידים עשויים להופיע - אותו הוא מכנה zodiacus. בפתרון הבעיה גאוס הצביע על 3 מקרים אפשריים: כאשר המרחק המינימלי של השביט גדול מהמרחק המקסימלי של כדור הארץ מהשמש, ההפך, והמקרה השלישי הוא כאשר מסלול כדור הארץ ומסלול השביט שזורים (linked) זה בזה. במקרים הראשון והשני גאוס מצא את ה-zodiacus, ואילו במקרה השלישי הוא כותב כי מסיבות טופולוגיות התחום השמיימי הוא הספירה כולה. בכך נתעוררה בפעם הראשונה בעיה טופולוגית במחקר אסטרונומי. ב-1848 גאוס שב לבעיית ה-zodiacus ופרסם מאמר קצרצר על התחום השמיימי שבו עשוי להופיע האסטרואיד החדש שנתגלה, אייריס; במאמר הוא מרחיב את הדיון האיכותי בחישוב ה-zodiacus.
מאוחר יותר, בהקשר של חקירותיו על גאומטריה דיפרנציאלית ויסודות הגאומטריה, גאוס גילה את משפט גאוס-בונה. כן חקר את התמונה של משטחים שונים על ספירת היחידה תחת פעולת מיפוי גאוס; חקירה זו הובילה אותו לגרסה ראשונית של מושג האוריינטציה של משטחים, ונושא האוריינטציה מופיע בהקשר אחר בהתכתבויותיו מ-1846, שם עולה הנושא של הבחנה בין מערכות צירים ימניות לשמאליות. בפסקה מחיבורו על גאומטריה דיפרנציאלית, גאוס אף הביע את רצונו לחקור באופן מעמיק יותר תצורות של משטחים הממופים על ספירת היחידה (בעזרת מיפוי גאוס). במכתב לשומאכר מ-1825 שבו דיווח על ניסיונותיו להכליל את חקירותיו על משטחים עקומים לכיוונים חדשים, הוא כתב: "...(בחקירות הללו) יש להתחקות אחר כל השורשים של העץ עד קצותיהם, וכמה מהניסיונות הללו לקחו לי שבועות של חשיבה מאומצת. חלק ניכר מהחקירות הללו הוא בעל זיקה ל-Geometria situs, תחום כמעט לא מעובד עד עכשיו".
לבסוף, גאוס הרים תרומה יוצאת מן הכלל לתורת הקשרים, כאשר ב-1833, בהקשר של חקירותיו באלקטרומגנטיות, הגדיר את אינדקס השזירה (linking number) של שני עקומים סגורים במרחב ופיתח נוסחה לחשבו בעזרת אינטגרל כפול מתאים (Gauss's linking integral):
formula_62
לא ידוע מה הוביל אותו לכתוב את נוסחת האינטגרל שלו, ומשערים שהבעיה הספציפית אותה פתר עסקה בחישוב העבודה הדרושה כדי להזיז מונופול מגנטי בחוזק מסוים לאורך מסלול סגור בשדה המגנטי המופק על ידי לולאת זרם מסוימת. פתרונה הראה שערכה הוא למעשה אינווריאנט טופולוגי, מדד לדרגת השזירה של מסלול המונופול ולולאת הזרם. אינטגרל השזירה שב ונתגלה מחדש באופן בלתי תלוי ב-1867 בידי ג'יימס קלארק מקסוול, בהקשר של חקירות אלקטרומגנטיות. בפיזיקה עכשווית מתקיימת אינטראקציה פורה מאוד בין תחום הטופולוגיה לחישובים פיזיקליים מורכבים, ובמסגרתה הגישה של גאוס ומקסוול לחשב שמורות טופולוגיות באמצעים אנליטיים התגלתה כמועילה מאוד. בעשורים האחרונים מושג אינדקס השזירה עבר הכללות מרחיקות לכת דרך עבודתם של חוקרים הפועלים בממשק שבין מתמטיקה טהורה ופיזיקה בסיסית, הכללות המאפשרות למשל להגדירו גם עבור שזרים בעלי יותר משני מרכיבים. באותה הערה קצרה גאוס גם מלין על ההתקדמות המעטה שנעשתה בתחום: "על ה-geometria sytus, שלייבניץ הרחיק לראות, ואשר רק צמד גאומטרנים (אוילר וונדרמונד) זכו למבט חטוף בו, אנו יודעים, כעבור מאה וחמישים שנים, כמעט דבר. בעיה מרכזית של ה-geometria sytus תהיה למנות את מספר הליפופים של שני עקומים סגורים או אינסופיים אחד מסביב לשני".
מחברותיו של גאוס מכילות מספר רישומים מעניינים, שמעידים שהוא היה בין הראשונים לחקור גם תופעות טופולוגיות בעלות זיקה לקשרים כמו צמות (braids), לגביהן ניסה לפתח שיטת סימון המבוססת על קואורדינטות מרוכבות, או מארג (tangle) שפשרו עדיין לא מובן היטב. העורך של עבודותיו הגאומטריות של גאוס, המתמטיקאי Paul Stackel, שם דגש על העובדה שעמיתו של גאוס, אוגוסט פרדיננד מביוס, התייחס במפורש להרצאה בעל פה שניתנה על ידי גאוס בה הוא הדגים תכונות של משטח לו הוא קרא "טבעת כפולה"; על פי הפרשנות המתמטית המודרנית, בהרצאתו רמז גאוס למביוס שהמשטח שהדגים היה שקול טופולוגית לטורוס מנוקב, ושהטורוס המנוקב אינו פשוט קשר. כמו כן, בהערה שלו מ-1840 מופיעה ההתייחסות המוקדמת ביותר לבעיית הקשירות הטופולוגית של משטחים, וקרוב לוודאי שלבעיה שהציע בהערה זו הייתה השפעה מסוימת על רימן. בשנים 1825 - 1844 גאוס עסק בנושא שמסווג כיום כטופולוגיה קומבינטורית, והכין רשימה של קשרים עם מספר צמתים שאינו עולה על 4, וכמו כן שיער השערה מסוימת על רצף האותיות במילות גאוס (Gauss's words), שהוכחה לבסוף כמעט כמאה שנה מאוחר יותר, על ידי Julius v. Sz. Nagy. הערותיו ותוצאותיו בתחום קובצו ברשימה קצרה יחסית בכרך השמיני של הנכלאס שלו. השפעתו בשנותיו האחרונות הייתה בעיקר במתן גירוי ראשוני לתלמידיו לפתח את התחום, וראויה לציון העובדה שתלמידו, יוהאן בנדיקט ליסטינג, בחר להקדיש את ספרו על טופולוגיה לגאוס.
אנליזה נומרית.
בעבודתו היומיומית גאוס נעזר לעיתים קרובות באלגוריתמים יעילים כדי לפשט את עבודתו. כיוון שלעיתים קרובות הוא נעזר בעדות מספרית אמפירית כדי למצוא חוקיות מתמטית בתחומי המחקר שלו (למשל במקרה של משפט המספרים הראשוניים וההכללות שלו), השימוש באלגוריתמים יעילים היה חשוב מאוד לו. בהקשר זה, גאוס עשה תרומות רבות לאנליזה נומרית והמציא אלגוריתמים מתמטיים רבים. ב-1814 הוא פרסם את מאמרו הארוך יחסית על אינטגרציה נומרית "שיטה חדשה לחישוב ערכי אינטגרלים על ידי קירוב", בו תיאר את שיטת התרבוע הגאוסיאני (Gaussian quadrature). המאמר היווה השראה עבור חוקרים רבים בתחום להמשיך לפתח את הכלים של האינטגרציה הנומרית. בהקשר של חקירותיו על הממוצע האריתמטי גאומטרי, הוא המציא את אלגוריתם גאוס-לז'נדר, שיצר (יחד עם תרומות של חוקרים רבים אחרים) את הבסיס לכמה מהאלגוריתמים המהירים ביותר לחישוב פאי.
בהקשר של עבודתו האסטרונומית, גאוס פיתח במאמרו הארוך "שיטה חדשה לטיפול בתאוריית האינטרפולציה" מ-1805 את הגרסה המוקדמת ביותר של ה-FFT (אלגוריתם ה-Fast Fourier Transform) - התמרת פורייה מהירה, שתואר כ"אלגוריתם הנומרי החשוב ביותר של זמננו". הוא נעזר באלגוריתם זה כדי לעשות אינטרפולציה על מסלוליהם של פאלאס ויונו. למעשה, האלגוריתם שלו דומה לאלגוריתם הגנרי של ה-FFT ומתייחס למקרה כללי יותר מאשר בגרסה הידועה כ-radix 2; במאמר 28 של חיבורו זה הוא הדגים את פעולת האלגוריתם שלו למקרה של פאלאס, בו מתקבלת סדרה בעלת מספר פריק (formula_63) של ערכים השונה מחזקה של שתיים (במקרה של פאלאס התקבלה סדרה בעלת 12 ערכים). מבחינה היסטורית, חיבור זה לא היה חסר השפעה, שכן עותקים ספורים שלו הגיעו למכריו של גאוס ולמתמטיקאים נוספים במהלך המאה ה-19.