בעקבות הדרישה הגוברת למפות מדויקות לצורכי ניווט, נהפכה הטריגונומטריה לענף מרכזי במתמטיקה. הגרמני בן המאה ה-16 ברתולומיאוס פיטיסקוס (Bartholomaeus Pitiscus) היה הראשון להשתמש במונח, עם פרסום ספרו "טריגונומטריה" ("Trigonometria") ב-1595. המלומד ההולנדי גמה פריזיוס (Gemma Frisius) היה הראשון לתאר את שיטת הטריאנגולציה המשמשת עד היום בחישוב מרחקים ומיקומים. המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר פיתח את השימוש במספרים מרוכבים בטריגונומטריה. עבודותיהם של המתמטיקאים הסקוטיים ג'יימס גרגורי (במאה ה-17) וקולין מקלורן (במאה ה-18) השפיעו רבות על פיתוחן של סדרות טריגונומטריות.
בספרות רבנית מימי הביניים כונה הסינוס - "בקע", והקוסינוס - "תשלום הבקע". את המונח "בקע" טבע רבי יצחק הישראלי, בעל הספר "יסוד עולם".
פונקציות טריגונומטריות.
מספר פונקציות טריגונומטריות המתארות יחסים בין צלעות במשולשים ישרי זווית.
במשולש ישר-זווית כלשהו (x בין 0° ל-90° במעלות או בין 0 ל-π/2 ברדיאנים):
formula_1
formula_2
השם קוסינוס הוא קיצור של complement sine - סינוס הזווית המשלימה.
הפונקציות מקיימות formula_3
ממשפט פיתגורס נובע כי סכום ריבועי הסינוס והקוסינוס של אותה זווית שווה ל-1.
formula_4
הטנגנס מתקבל גם על ידי חלוקת סינוס בקוסינוס, ובאופן הזה ניתן להגדיר אותה לאורך כל הישר הממשי.
הפונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה.
הסינוס והקוסינוס מורחבות גם לזוויות שאינן יכולות להופיע במשולש ישר-זווית, בהן formula_5 או formula_6, על ידי הגדרתן באמצעות הקואורדינטות של מעגל היחידה, שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 1. לפי הגדרה זו, הסינוס של הזווית α הוא קואורדינטת ה-y של הנקודה הנוצרת על היקף מעגל היחידה עם "סיבוב" הרדיוס נגד כיוון השעון החל מקרן המספרים החיוביים בציר ה-X לאורך זווית α, וקוסינוס הזווית הוא קואורדינטת ה-x של אותה נקודה. לפי הגדרה זו, עבור זוויות כלליות ייתכן שהסינוס או הקוסינוס יהיו שליליים (מה שלא אפשרי עבור זוויות שבין 00 ל-900, שם הפונקציות מייצגות יחס בין אורכים), אך סכום הריבועים שלהם הוא לעולם אחד. מסיבה זו, ערכם המוחלט חסום על ידי 1.
יישומי הטריגונומטריה.
ישנם שימושים רבים לטריגונומטריה ולפונקציות טריגונומטריות. לדוגמה, טכניקת הטריאנגולציה משמשת באסטרונומיה למדידת המרחק של כוכבים סמוכים, בגאוגרפיה למדידת המרחק בין עצמים שונים במרחב ובתקשורת לזהוי מקור האות של הטלפון הסלולרי. פונקציות הסינוס והקוסינוס הן עקרונות בסיסיים בתאוריית הפונקציה המחזורית, כגון אלו המתארות את התנהגות גלי האור והקול. תחומים נוספים בהם עושים שימוש בטריגונומטריה כוללים פיזיקה, סייסמולוגיה, ארכיטקטורה, פונטיקה, כלכלה, קריסטלוגרפיה ופיתוח משחקי מחשב.
שימושים בקרטוגרפיה.
השימוש בטריגונומטריה נמצא ביסודה של כל מדידת שטח-ממגרש לבנייה ועד ליבשות. זוויות קל יחסית למדוד בדייקנות, אבל יותר קשה למדוד מרחקים, במיוחד במקומות שבהם פני הקרקע הם בעייתיים. משום כך, מודדים מתחילים בדרך כלל ממדידה מדויקת של אורך אחד, קו הבסיס, שהוא המרחק בין שתי נקודות ציון מסוימת. אחר כך הם יוצרים רשת של משולשים ומשתמשים בזוויות שנמדדו ובטריגונומטריה לחישוב צלעותיהם של המשולשים האלה. באופן כזה אפשר לבנות מפה מדויקת של אזור שלם. התהליך ידוע בשם טריאנגולציה. על מנת לבדוק את הדיוק בתוצאות, אפשר לבצע מדידה שנייה של מרחק, אחרי שהטריאנגולציה הושלמה. בשנת 1751 ערכו סקר מדידות בדרום אפריקה על ידי האסטרונום אבה ניקולה לואי דה לאקאי. מטרתו העיקרית הייתה לערוך קטלוג על כוכבים בשמי חצי הכדור הדרומי, אבל כדי לעשות זאת בדייקנות היה עליו למדוד תחילה את הקשת של קו אורך מתאים. לשם כך הוא פיתח טריאנגולציה של האזור עד צפונה לקייפטאון. התוצאות שלו הצביעו על כך שהעקמומיות של כדור הארץ בקווי הרוחב הדרומיים יותר קטנה מזו שבקווי הרוחב הצפוניים - תוצאה מפתיעה שאושרה במדידות מאוחרות יותר. כדור הארץ הוא במובן מסוים דמוי אגס. הצלחתו בעבודת הקיטלוג הייתה רבה מאוד: הוא נתן שמות ל-15 מתוך 88 קבוצות הכוכבים המוכרות היום, צפה בלמעלה מ-10,000 כוכבים, תוך שימוש בטלסקופ שבירת אור קטן.
מדען מחשב
מדען מחשב הוא אדם העוסק במחקר במדעי המחשב.
הכשרה של מדעני מחשב נעשית באוניברסיטאות, במסגרת החוג למדעי המחשב (חוג למדעי המחשב הוקם לראשונה בשנת 1962 באוניברסיטת פרדו שבארצות הברית. מסלול לימודים ראשון לתואר במדעי המחשב בישראל נוסד במכון ויצמן למדע בשנת 1969). כיוון שמדובר בענף מדעי צעיר, הרי העוסקים הוותיקים בו קיבלו את הכשרתם המדעית בתחומים אחרים, בפרט מתמטיקה. עקב צעירותו של התחום נחשבים למדעני מחשב גם כאלה שנפטרו קודם להיווסדו של תחום זה, אך נושאי פעולתם נמצאים בתחום זה (שנוצר במידה רבה בזכות מחקריהם). דוגמה מובהקת לכך הוא אלן טיורינג.
ג'ון פון נוימן
ג'ון לואיס פון נוימן (באנגלית: John von Neumann; 28 בדצמבר 1903 – 8 בפברואר 1957) היה מתמטיקאי ואיש אשכולות הונגרי-אמריקאי ממוצא יהודי, שהמיר דתו לנצרות קתולית. היה שותף לשניים מההישגים הטכנולוגיים הבולטים של המאה ה-20: פיתוח פצצת האטום ופיתוח המחשב האלקטרוני. הוא היה גם יוצרה של תורת המשחקים (יחד עם אוסקר מורגנשטרן), תרם תרומה משמעותית לחקר מכניקת הקוונטים, תורת הקבוצות וענפי מתמטיקה נוספים, ושילב בהצלחה רבה פעילות במחקר טהור וכן מחקר שימושי בענפי מדע רבים.
תולדות חייו.
פון נוימן נולד בבודפשט למשפחה יהודית נאולוגית, בשם יאנוש ליוש נוימן (Neumann János Lajos). אביו, מקס נוימן, היה בנקאי אמיד ובעל דוקטורט במשפטים. עד גיל 10 למד בבית בהדרכת מורים פרטיים, כמנהג עשירי אירופה. סימני גאונות ניכרו בו כבר בילדותו; יוג'ין ויגנר, חתן פרס נובל לפיזיקה לשנת 1963, שלמד יחד עם פון נוימן בבית הספר התיכון הלותרני, אמר עליו מאוחר יותר: "יש שני סוגי אנשים בעולם: ג'וני פון נוימן - ואנחנו, השאר". המורה למתמטיקה בגימנסיה זיהה מיד את כישרונו המתמטי יוצא הדופן והמליץ להוריו לשכור לו מורה פרטי למתמטיקה. ההורים שכרו את מיכאל פקטה שהיה מרצה באוניברסיטת בודפשט, והוא לימד אותו מתמטיקה גבוהה.
למרות מגבלת הנומרוס קלאוזוס התקבל פון נוימן ללימודי מתמטיקה באוניברסיטת בודפשט, ובגיל 19 פרסם את מאמרו המתמטי הראשון, אותו כתב יחד עם מדריכו מהאוניברסיטה מיכאל פקטה, שהצטרף לאחר זמן לסגל האוניברסיטה העברית בירושלים. פון נוימן קיבל תואר דוקטור למתמטיקה מאוניברסיטת בודפשט בגיל 23 (הדוקטורט שלו עסק בתורת הקבוצות). במקביל ללימודי מתמטיקה, למד גם כימיה באוניברסיטת ברלין והנדסה כימית במכון הטכנולוגי של ציריך, משום שאביו ראה במתמטיקה עיסוק שאין בו פרנסה. בעת לימודיו בציריך למד גם מתמטיקה, אצל ג'ורג' פוליה והרמן וייל.
לאחר סיום לימודיו לימד במשך שנים אחדות באוניברסיטאות של ברלין והמבורג, ובמקביל למד באוניברסיטת גטינגן אצל דויד הילברט, שם גם פגש לראשונה את הפיזיקאי רוברט אופנהיימר.
לאחר שפניותיו לקבלת אשרת הגירה לארצות הברית נדחו כמה פעמים, הוא הוזמן לבסוף ב-1929 לאוניברסיטת פרינסטון בסיוע חבריו. לאחר הטבלתו לנצרות קתולית לצורך נישואיו הראשונים, בסוף 1930 היגר לארצות הברית. בפרינסטון עסק בהוראה עד לשנת 1933, שבה נבחר לאחד מששת חברי הסגל הראשונים במכון למחקר מתקדם, מינוי שבו החזיק עד סוף ימיו, במקביל להיותו מרצה אורח באוניברסיטת פרינסטון.
הזוג התגרש ארבע שנים מאוחר יותר. מנישואיו הראשונים נולדה בתו היחידה, מרינה, פרופסור ידועת שם לסחר ומדיניות בינלאומית באוניברסיטת מישיגן.
עם עליית אדולף היטלר והמפלגה הנאצית לשלטון, ניבא נוימן את השתלטות היטלר על אירופה, ואת התוצאות הרות האסון הצפויות ליהודים שם. בשנת 1937 ו-1938 חזר פעמים אחדות לבודפשט על מנת לארגן את יציאתה של משפחתו מהונגריה לארצות הברית, ושם פגש את אשתו השנייה קלארה (קלארי). הוא הצליח להוציא את משפחתה ואת משפחתו לארצות הברית בשנת 1939, רגע לפני שמלחמת העולם השנייה פרצה במלוא עוזה.
במהלך מלחמת העולם השנייה חבר למדען היהודי יליד ניו יורק ריצ'רד פיינמן, והצטרף למזהירים מפני פיתוח נשק גרעיני על ידי גרמניה והצבא הנאצי. הוא השתתף בפרויקט מנהטן, ופיתח בה את ה'עדשה המפוצצת', אחד הרכיבים העיקריים הנדרשים לפיצוץ גרעיני. פון נוימן היה מהתומכים בהמשך פיתוח הטכנולוגיה הצבאית הגרעינית, לעומת הפורשים והמסתייגים ממנה כמו רוברט אופנהיימר ואלברט איינשטיין. לאחר המלחמה סייע גם לפיתוחה של פצצת המימן, היה חבר הוועדה לתחנות כוח גרעיניות, ובשנותיו האחרונות ועד מותו היה ראש הוועדה הסודית של ממשלת ארצות הברית לפיתוח טילים בין-יבשתיים. הוא פעל גם כיועץ לתאגיד ראנד.
בשנת 1928 פרסם מאמר ובו הוכחה ל"משפט המינימקס" שהוא ממשפטי היסוד בתורת המשחקים. בשנת 1944 פרסם, יחד עם אוסקר מורגנשטרן, את הספר Theory of Games and Economic Behavior, שהוא תחילתה של תורת המשחקים כתחום עצמאי.
על ייחודו של פון נוימן כאיש מדע כותבת סילביה נאצר, בספרה "נפלאות התבונה":