התחום מוקדש בעיקרו לבחינת "בעיות ישירות" על המספרים השלמים, הבוחנות האם ניתן לבטא מספר טבעי על ידי סכום של מספרים מתת קבוצה של המספרים הטבעיים. שתי בעיות קלאסיות מסוג זה הן השערת גולדבך (שהיא ההשערה ש-2"P" מכיל את כל המספרים הזוגיים הגדולים משניים, כאשר "P" הוא קבוצת הראשוניים ) ובעיית וארינג (ששואלת כמה איברים מסוג מסוים (חזקות), צריך בשביל לבטא כל מספר טבעי).
רבות מהבעיות הללו נלמדות באמצעות כלים משיטת המעגל של הארדי-ליטלווד ומשיטות נפה . לדוגמה, וינוגרדוב הוכיח שכל מספר אי זוגי גדול מספיק הוא סכום של שלושה ראשוניים, ולכן כל מספר זוגי גדול מספיק הוא סכום של ארבעה ראשוניים. הילברט הוכיח כי עבור כל מספר שלם "k" &gt; 1, כל מספר שלם לא שלילי הוא סכום של מספר מוגבל של "k" -th חזקות.
צפיפות שנירלמן, אף היא כלי מרכזי בבעיות בתורת המספרים האדיטיבית.
קישורים חיצוניים.
"Additive number theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] *
Weisstein, Eric W. "Additive Number Theory". MathWorld. *
ועידת הכנסייה בהייריאה
ועידת הכנסייה בהייראיה הייתה ועידה אקומנית שכונסה על ידי הקיסר קונסטנטינוס החמישי, קיסר האימפריה הביזנטית, מ-10 בפברואר עד 8 באוגוסט 754. בזמן עריכתה, נחשבה לוועידה האקומנית השביעית. הוועידה התקיימה בהייריאה (כיום שכונת פנרבחצ'ה באיסטנבול), ארמון קיסרי על הגדה האסיאתית של מיצרי הבוספורוס, סמוך לקונסטנטינופול. החלטתה החשובה ביותר של הוועידה הייתה לאסור על עבודת האיקונות, ועל כן היא ידועה כוועידה האיקונוקלאסטית. הוועידה האקומנית הבאה של הכנסייה, ועידת ניקיאה השנייה (787), ביטלה את ההחלטות של הוועידה בהייראיה, לא קיבלה את היותה אקומנית והכריזה על החלטותיה כבלתי-אורתודוקסיות.
הרקע לוועידה.
האיקונות הן ייצוגים חזותיים, בדרך כלל של ישוע, מריה הקדושה, או של קדושים, המיועדות לצורכי פולחן בנצרות. העמדה הנוצרית הרשמית, החל מראשית הנצרות, התנגדה באופן עקרוני לייצוגים חזותיים – בהתחלה, ככל הנראה, בשל הרקע היהודי שלהם, ובהמשך, אבות כנסייה כאוריגנס וקלמנס מאלכסנדריה הביעו התנגדות שנוסחה גם במונחים פלטוניסטיים. ברם, למעשה, שרדו תיעודים רבים מן העת העתיקה המאוחרת של אמנות נוצרית. כותבים נוצרים מסוימים, על אף שהתפלמסו עם הפגאנים, לא דנו כלל באמנות נוצרית, אך היו כאלו שתקפו איקונוגרפיה נוצרית של ישוע אף לפני המאה ה-6 – על אף שהאותנטיות של טקסטים אחרונים אלו מוטלים בספק.
פולחן האיקונות היה כנראה נפוץ בקרב אנשים מכלל המעמדות, בעיקר באימפריה המזרחית. באופן כללי, חוקרים טוענים כי יש לראות פולחן זה בתוך ההקשר הרחב יותר של פולחן קדושים ושרידי קדושים, שבמסגרתו נתפסו הקדושים כמי שיכולים להתערב לטובת המתפלל אליהם בפני האל. שרידי הקדושים והאיקונות מילאו גם אחר צורך של נוכחות פיזית של האל ושל שליחיו בחיי המאמין. במאות ה6–7, התעצם השימוש הפולחני בייצוגים ויזואליים. פולחן האיקונות כלל בעיקר השתחוויה, תפילה הקטרת קטורת והדלקת נרות. בשנת 726 או 730, לאון השלישי, קיסר האימפריה הרומית המזרחית והראשון לשושלת האיסאורית, הוציא צו האוסר על עבודות האיקונות. בכך החלה התקופה המכונה "משבר האיקונוקלאזם", שלמעשה הורכבה משתי תקופות עיקריות של איסור קיסרי על איקונוקלאזם: בשנת 787, ועידת ניקיאה השנייה בראשות הקיסרית אירנה ביטלה את האיקונוקלאזם, ב-815 הוא הושב על כנו על ידי הקיסר לאון החמישי ובוטל סופית על ידי הקיסרית תאודורה השנייה בשנת 843.
לא ברור לחלוטין מדוע אסר לאון השלישי על פולחן האיקונות. ברם, הכרוניקות המתעדות את התקופה אכן מתעדות צו כזה, ואף כיצד לאון שלח שליח להרוס את האיקונה של ישו בכניסה לארמון האימפריאלי – מקרה שאף הוביל ללינץ' שבוצע בשליח. הכרוניקות הקרובות ביותר לתקופה, תאופאנס וניקפורוס, תולים זאת בתגובתו של ליאו התפרצות של הר הגעש באי ת'רה (סנטוריני) בשנת 726.חוקרים מאוחרים יותר ניסו להציב את הדבר בהקשר פוליטי חברתי – ליאון היה האחרון בשרשרת של קיסרים מתחלפים. ליאון, שהיה מצביא מוצלח ביותר, שאף לייצר יציבות שושלתית, בין השאר על ידי כך שהמליך את בנו קונסטנטינוס ה-V, כאימפרטור שותף בגיל שנה. כחלק מחיזוק סמכותו, ביקש לאון לערוך רפורמות בדת – והאיקונוקלזם היווה הזדמנות עבורו.
קונסטנטינוס החמישי (קיסר 741–775), יורשו של לאון, המשיך את המדיניות האיקונוקלאסטית של אביו. ברם, בניגוד אליו, קונסטנטינוס היה תאולוג, ואף כתב ספר בשם "שאלות" (peuseis), המנמק את עמדתו האיקונוקלאסטית (פרגמנטים מן הספר השתמרו אצל ניקפורוס, שהתפלמס עמו לטובת האיקונות). טענתו של קונסטנטינוס הייתה כריסטולוגית בעיקרה: ייצוגים של ישו יכולים לייצג רק את טבעו האנושי, ועל כן הם מפרידים בין טבעו האנושי לאלוהי של ישו.
הוועידה.
רקע, מהלך עניינים והחלטות.
מספר שנים לפני הוועידה, קונסטנטינוס ערך דיונים עם אנשי דת ושאף לשכנעם בדעותיו האיקונוקלאסטיות. לבסוף, בשנת 754, בין ה-10 בפברואר ל-8 באוגוסט, כינס קונסטנטינוס את הוועידה בארמון האימפריאלי בהייריאה. הוועידה היתה, בעת קיומה, הוועידה האקומנית השביעית, תואר שנושלה ממנו על ידי ועידת ניקיאה השנייה בדיעבד. 338 בישופים נכחו בוועידה, בעיקר מאזור קונסטנטינופול אך גם מאיטליה, דלמטיה, יוון וסיציליה. אין שום ראיות שנציגים מטעם האפיפיור השתתפו בוועידה. תאודוסיוס, בישוף אפסוס, ניהל את הוועידה – בדרך כלל נוהלו ועידות על ידי פטריארך קונסטנטינופול, אך הקודם מת ועוד לא מונה לו מחליף. הוועידה, כנראה, הייתה בשליטתו של קונסטנטינוס, ואכן אישרה את המדיניות שלו, שהתנגדה לאיקונות.
הוועידה חזרה ואישרה את התפיסות הכריסטולוגיות של הוועידות הקודמות, והוסיפה עליהן איסורים הנוגעים לייצוגים חזותיים: יש לעבוד את האל "בעין הנפש" ולא באמצעות "צבעים גופניים", אסור לנסות לייצג לא את המהות האלוהית האינסופית ולא את האיחוד בין המהות האלוהית לאנושית, ולא את המהות האנושית של ישו. בשמם של מריה והקדושים יש לנקוב בתפילה בלבד, ו"תמונותיהם" נמצאות בנשמות המאמינים ולא בייצוגים ויזואליים מתים. הוועידה מטילה חרם על כל מי שלא עומד בהכרזות אלו.
הצדקות תאולוגיות לאיקונוקלאזם.
ההחלטות (Acta) של הוועידה לא שרדו, אך ההגדרות (Horos) שלה נשתמרו במלואן בפרוטוקול של ועידת ניקיאה השנייה, שהביאה אותו על מנת להתפלמס עמו. בהורוס, הוועידה מציגה את עצמה כממשיכה וכמאשרת של הוועידות האורתודוקסיות הקודמות, וכהמשך של הנצרות הניקיאנית. הדיון בוועידה גם הוא כריסטולוגי בעיקרו. התומכים באיקונות דבקים למעשה בדוקטרינות שהוכרזו כמינות על ידי הוועידות הקודמות: נסטוריאניות או מונופיזיטיות, מפני שייצוג של ישו מציג או רק את טבעו האנושי, בנפרד מטבעו האלוהי (נסטוריאניות), או, אם הייצוג מייצג גם את הטבע האנושי וגם את הטבע האלוהי של ישו, הוא מציג את הטבע האלוהי כמוגבל וכזהה לטבע האנושי (מונופיזיטיות). ההגדרות מתעקשות על כך שבגלל האיחוד בין הטבע האנושי לאלוהי, גם גופו נעשה לאלוהי. לפיהן, הייצוג האמיתי היחיד של ישוע הוא הלחם והיין של האוכריסטיה, מפני שהם מצד אחד לא מאבדים את טבעם החומרי, ומצד שני נעשים לאלוהיים על ידי הסקרמנט.
ההגדרות התייחסו גם לייצוגים של מריה הקדושה ושל הקדושים – למרות שהטיעון הכריסטולוגי איננו נוגע אליהם, ההגדרות טענו כי אם ייצוגים של ישו אסורים, אזי אין צורך בייצוגים אחרים גם – ייצוגים אלו עושים עוול לכבודם של מריה ושל הקדושים, מפני שאמנות הייצוג שאולה מהפגאנים.
ההגדרות מבססות את ההתנגדות לייצוגים חזותיים על מגוון של מקורות – החל מהמקרא והברית החדשה ועד אבות הכנסייה. מן הברית החדשה מצוטט פאולוס (השנייה אל הקורינתים 5:16): "אם הכרנו את המשיח על-פי ראות אנושית, הרי כעת איננו מכירים אותו עוד באופן כזה". מבין אבות הכנסייה, מציגות ההגדרות את אפיפניוס מסלמיס, השולל ייצוגים חזותיים באופן חד משמעי (הוועידה בניקיאה טענה כי מקור זה מזויף). העדות הפטריסטית החשובה השנייה, שאותה מביאות ההגדרות, היא מכתבו של אוסביוס לקונסטנטיה, אחותו של הקיסר קונסטנטינוס הראשון, שבו הוא דוחה את בקשתה לציור של האל, מפני שלא ניתן לייצג את כריסטוס לאחר הקימה לתחייה.
לפי לסלי ברובאקר, ההגדרות מציגות תאולוגיה שבמרכזה השילוש הקדוש: הסמל היחיד שיש בו חשיבות הוא הצלב, המזכיר את צליבתו של ישו והיה הסמל של הקיסרים, החל מקונסטנטינוס הקדוש. הוועידה ביקשה להפריד באופן חד בין הבשר לרוח בעקבות זאת, נדחתה גם הפרקטיקה של פולחן שרידי הקדושים, אם כי לא עצם הפנייה אליהם. לפי ברובאקר, משמעות נוספת של החלטות אלו, הדוחות למעשה צורות אישיות של פולחן ומבקשות למקד את הפולחן באוכריסטה ובתפילה, היא התעצמות של הכנסייה כמוסד והשתלטותה על חיי הרוח של המאמינים.
לאחר הוועידה.
השלכות הוועידה.