לעיתים ישנן צורות שונות להציג את אותו החוג. הדרך לזהות שתי הצגות של אותו החוג היא למצוא "איזומורפיזם" בין שתי ההצגות. כלומר: העתקה בין שני חוגים תקרא הומומורפיזם אם היא מכבדת את פעולות החיבור והכפל ואת איברי היחידה. היא תיקרא מונומורפיזם אם היא גם חד חד ערכית, ותיקרא אפימורפיזם אם היא על. במקרה שהיא גם מונומורפיזם וגם אפימורפיזם, היא נקראת איזומורפיזם. במילים אחרות, חוגים באותו הגודל הם איזומורפיים, אם ניתן לזהות את האיברים שלהם בהתאמה מלאה השומרת על שתי הפעולות.
שלושת משפטי האיזומורפיזם של חוגים מספקים צורה כללית לאיזומורפיזם בין חוגי מנה שונים של חוג נתון.
חוגים חילופיים.
חוג קרוי חילופי אם פעולת הכפל המוגדרת בו היא חילופית. חוגים חילופיים מדמים מערכות מספרים מוכרות, ומאפיינים שונים של חוג חילופי בודקים עד כמה הוא דומה למספרים השלמים. בתורת החוגים החילופיים מספרים מוחלפים לעיתים קרובות באידיאלים, ואידיאל ראשוני מכליל את המספר הראשוני בחוג המספרים השלמים. חוגים חילופיים הם גם בעלי חשיבות בגאומטריה אלגברית - בעזרתם ניתן לחקור מאפיינים של עצמים גאומטריים, כמו חוגי קואורדינטות וממד.
תחום שלמות, שהוא חוג חילופי עם יחידה כפלית שאין בו מחלקי אפס (כלומר: אם formula_21, אז בהכרח formula_22 או formula_23), מכליל תכונה נוספת של השלמים. תחום ראשי (או "תחום אידיאלים ראשיים") הוא תחום שלמות שכל האידיאלים שלו הם ראשיים, כלומר מהצורה formula_24. תחומים ראשיים מקיימים תכונה של חוג המספרים השלמים שהיא מהותית לתורת המספרים האלמנטרית: לכל זוג איברים מחלק משותף מקסימלי שאפשר להציג כצירוף שלהם.
חוג אוקלידי הוא חוג חילופי שבו אפשר לבצע חילוק עם שארית, וכך לממש את האלגוריתם של אוקלידס לחישוב מחלק משותף מקסימלי. הדוגמאות המוכרות ביותר לחוג כזה הן חוג המספרים השלמים וחוג פולינומים מעל שדה, וההגדרה מכלילה ואורגת את התכונות המשותפות לשתיהן. לתכונת האוקלידיות יש גם השלכות חישוביות, בפרט בתורת המספרים האלגברית, וגם לבעיות הקשורות ביצירה של חבורות אלגבריות. כל חוג אוקלידי הוא תחום ראשי.
חוג בזו הוא חוג בו כל אידיאל נוצר סופית נוצר על ידי איבר אחד, כלומר ראשי. חוג ראשי מיוחד הוא חוג בזו מקומי וארטיני. לחוגים אלו מבנה נוח למדי - יש להם רק מספר סופי של אידיאלים, כולם חזקות של האידיאל המקסימלי היחיד. משפט זריצקי-סמואל קובע כי כל חוג בזו ניתן לכתוב כמכפלה של תחומים ראשיים וחוגים ראשיים מיוחדים.
גאומטריה אלגברית.
גאומטריה אלגברית היא ענף במתמטיקה העוסק בחקירה של עצמים גאומטריים באמצעות אלגברה מופשטת (לרוב קומוטטיבית). גאומטריה אלגברית קלאסית עוסקת בחקר אוסף הפתרונות של מערכת משוואות פולינומיליות. כאשר ישנו יותר ממשתנה אחד, שיקולים גאומטריים הופכים להיות חשובים לצורך הבנת התופעות השונות המתרחשות. הגאומטריה האלגברית עוסקת לרוב בניסיון להבין את מכלול הפתרונות של משוואות פולינומיליות, ולרוב אינה עוסקת בחיפוש פתרון מסוים. מספר משפטים מאלגברה קומוטטיבית מהווים את הבסיס בגאומטריה האלגברית הקלאסית, כמו משפט הבסיס של הילברט ומשפט האפסים של הילברט.
אלכסנדר גרותנדיק נתן הגדרות מודרניות נחרצות לעצמים של הגאומטריה האלגברית. הוא הגדיר ספקטרום של חוג חילופי כמרחב של האידיאלים הראשוניים עם טופולוגיית זריצקי, והרחיב מינוח זה בעזרת אלומה וסכמה של חוגים.
תורת המספרים האלגברית.
תורת המספרים האלגברית היא תת-תחום של תורת המספרים, הנעזר במונחים אלגבריים (חילופיים) כדי לחקור עצמים כמו חוגי שלמים ושלמים אלגבריים בעזרת חוגים.
מונח מרכזי בתורה זו הוא חוג דדקינד - חוג חילופי נתרי נוצר סופית, בו כל אידיאל ראשוני הוא מקסימלי (כלומר בעל ממד קרול 1). הוא המהווה הכללה נחוצה לחוג ראשי, ובכך פותר את הבעיה של פירוק לראשוניים בחוגי שלמים כלליים - בחוג דדקינד כל אידיאל ניתן לכתוב כמכפלה סופית ויחידה של אידיאלים ראשוניים. בחוג דדקינד לכל אידיאל שברי קיים אידיאל שברי הפכי לו. לכן חבורת מחלקות האידיאלים היא אכן חבורה, ואף חבורה אבלית חופשית לה תפקיד מרכזי באפיון החוג. לכל חוג דדקינד ניתן להגדיר הערכה לפי אידיאל ראשוני, כחזקה המקסימלית שבה הוא מופיע בפירוק של האידיאל. כך ניתן להבין אובייקטים בתורת המספרים האלגברית בעזרת תורת ההערכות.
חוגים לא חילופיים.
חוג לא חילופי הוא חוג בו פעולת הכפל איננה חילופית. לחוגים לא חילופיים תורת מבנה עשירה ומסובכת יותר מזו של חוגים חילופיים. אובייקט המרכזי בתורה זו הוא חוגי מטריצות. חוגים לא חילופיים המקיימים תנאי שרשרת על האידיאלים השמאליים שלהם, כמו חוגים ארטיניים ונתריים, מהווים נושא חשוב למחקר. למשל, משפט הופקינס-לויצקי קובע כי כל חוג ארטיני שמאלי הוא נתרי שמאלי.
חוגים לא חילופיים נחקרים גם על ידי המודולים שלהם, וטענות רבות קושרות בין חוג למודולים מעליו, כמו הלמה של נקאימה.
חוג מטריצות.
חוגי מטריצות הם הדוגמה הקלאסית לחוגים לא חילופיים. חוג מטריצות (מסדר נתון) מעל חוג נתון, הוא אוסף כל המטריצות מאותו סדר באיברי החוג, עם פעולת החיבור (רכיב רכיב) וכפל מטריצות, המושרות מפעולות החוג המקורי. כל חוג מטריצות מסדר גדול מ-1 איננו חילופי ובעל מחלקי אפס. תורת המבנה של חוגי מטריצות מעל חוגים כלליים היא עשירה ומסובכת. כל חוג שקול מוריטה לחוג מטריצות מעליו, בכל מספר משתנים, מה שמכליל את האפיון במשפט ודרברן-ארטין. חוגים רבים מתקבלים כחוגי מטריצות מעל חוגים מיוחדים, כמו חוגים עם חילוק.
חוג עם חילוק.
חוג עם חילוק הוא חוג בו לכל איבר שונה מאפס יש הפכי (דו צדדי) לכפל. חוג חילופי עם חילוק הוא שדה. לעומת זאת, במקרה הלא קומוטטיבי, התורה עשירה הרבה יותר. המשפט הקטן של ודרברן קובע כי כל חוג סופי עם חילוק הוא שדה, ולכן עיקר העניין הוא בחוגים אינסופיים. דוגמה לחוג כזה היא אלגברת הקווטרניונים של המילטון. משפט ודרברן-ארטין קובע כי כל חוג ארטיני פשוט הוא חוג מטריצות מעל חוג עם חילוק. כל מודול מעל חוג עם חילוק הוא מודול חופשי.
חוג פשוט למחצה.
חוג פשוט למחצה הוא חוג המהווה מודול פשוט למחצה מעל עצמו, כלומר חוג השווה לתשתית (סכום האידיאלים הפשוטים) שלו. חוג הוא פשוט למחצה אם ורק אם כל מודול מעליו הוא פריק לחלוטין.
משפט ודרברן-ארטין קובע כי חוג הוא פשוט למחצה אם ורק אם הוא איזומורפי למכפלה של חוגי מטריצות מעל חוג עם חילוק. חוג חבורה של חבורה סופית הוא פשוט-למחצה אם ורק אם המאפיין של שדה הבסיס זר לסדר החבורה (הכיוון הקשה הוא משפט משקה).
חוג ראשוני למחצה.
חוג ראשוני למחצה הוא חוג ללא אידיאלים נילפוטנטיים. רדיקלים רבים, כמו רדיקל ג'ייקובסון, הם ראשוניים למחצה.
חוג נקרא פרימיטיבי למחצה אם רדיקל ג'ייקובסון הוא אפס. כל תחום שלמות אפיני (מעל שדה) הוא פרימיטיבי למחצה; בתורה הלא חילופית המונח עשיר יותר.
משפט גולדי קובע כי כל חוג גולדי ראשוני למחצה משוכן כחוג שברים בחוג פשוט למחצה. חוג פרימיטיבי למחצה ארטיני הוא פשוט למחצה.
יישומים.
חוג קואורדינטות של יריעה אלגברית אפינית.
כאשר X היא יריעה אלגברית אפינית, הקבוצה של כל הפונקציות הרגולריות על X יוצרת חוג הקרוי קוראים חוג הקואורדינטות של X. ליריעה אלגברית פרויקטיבית מוגדר חוג אנלוגי, הקרוי חוג הקואורדינטות ההומוגני.
שמורה פולינומית.
שמורה פולינומית ביחס לפעולה של חבורה G על מרחב וקטורי formula_25 היא פולינום formula_26 הנשמר תחת הפעולה: formula_27 לכל formula_28. השמורות תלויות בחבורה G, ובאופן שבו היא פועלת על המשתנים formula_29 (המהווה הצגה ליניארית שלה על המרחב V). אוסף השמורות מהווה תת-חוג של חוג הפולינומים, שאותו מקובל לסמן ב-formula_30. תורת השמורות הפולינומיות סובבת סביב המבנה של חוג הפולינומים, החל ממציאת יוצרים מפורשים עבור חבורה נתונה (היינו, קבוצת שמורות שאפשר להציג בעזרתה כל שמורה אחרת), וכלה בפרטי המבנה האלגברי של החוג. לפי משפט שהוכיח דויד הילברט, המכונה המשפט היסודי של תורת האינווריאנטים, אם formula_31 חבורת אוטומורפיזמים הפועלת ליניארית על אלגברה אפינית formula_32 (הליניאריות פירושה שגם formula_33), אז formula_34 אף היא אפינית - כלומר קיימים מספר סופי של אינווריאנטים היוצרים את formula_34 מעל השדה. משפט זה היה משפט חשוב מאוד שהוכיח הילברט, לאחר שרבים ניסו להוכיח אותו למקרים פרטיים.
יעקב שטארק
יעקב שטארק (1881 - 11 באוקטובר 1915) היה צייר וטיפוגרף עברי יליד פולין.
ביוגרפיה.
יעקב שטארק נולד בקרקוב, פולין, בשנת 1881. בשנת 1906 עלה לארץ ישראל מגליציה והצטרף כתלמיד ל"בצלאל, בית מדרש לאמנות ולמלאכות-אמנות". בשנת 1911 נשא לאשה את הניה בן יעקב. בשנים 1913-1912 יצר שטארק את ציור-הקיר בנושא "עשרת השבטים" בבית הכנסת עדס בשכונת נחלאות בירושלים. בזמן מלחמת העולם הראשונה נפטר שטארק ממחלה. עיקר יצירתו היה בתחום הטיפוגרפיה. העבודות שיצר שטארק הושפעו מזרם ה-"אר נובו" וה"יוגנדסטיל" האירופי, כמו גם מעיצוב הערבסקות האיסלמיות.
נחום גוטמן שיער כי דמותו של שטארק שימשה את עגנון בתיאור דמותו של יעקב בלויקוף, שבספר תמול שלשום.
יעקב שטרק
סמי סגול
סמי סגול (נולד ב-1943) הוא תעשיין ישראלי, בעל השליטה בחברת כתר פלסטיק.
ביוגרפיה.