הפרדוקס מביא אותנו למסקנה שהעיירה אינה קיימת: הנחות היסוד של הפרדוקס שגויות, ומכאן נובעת הסתירה. פרדוקס הספר הוא ניסוח פופולרי לאנטינומיה (סתירה פנימית) שאפשרית בהגדרת הקבוצה בתורת הקבוצות הנאיבית. לפי ההגדרה הנאיבית של מושג הקבוצה, קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן כאיבר היא קבוצה קיימת. הגדרה זו מובילה לסתירה כיוון שהקבוצה הזו לא יכולה להכיל את עצמה, וכן גם לא יכולה שלא להכיל את עצמה. כדי להימנע מסתירות כאלו, פיתחו ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל בתחילת המאה העשרים מערכת של אקסיומות שמתארות באופן ריגורוזי את מושג הקבוצה, וכך נמנעות מסתירות פנימיות. מערכת זו היא הבסיס לתורת הקבוצות האקסיומטית.
שיטת מונטה קרלו
שיטת מונטה קרלו היא שיטה לפתרון בעיות חישוביות באמצעות מספרים אקראיים (בניגוד לאלגוריתמים דטרמיניסטיים הנהוגים בדרך כלל).
אלגוריתמי מונטה קרלו הם אלגוריתמים חישוביים שמגרילים מספרים אקראיים מספר גדול של פעמים ומבצעים חישובים על המספרים שהוגרלו. לעיתים קרובות משתמשים באלגוריתמי מונטה-קרלו כדי לבצע סימולציות על מערכות פיזיקליות או מתמטיות מורכבות. השימוש העיקרי בהם הוא כדי לפתור בעיות שאינן ניתנות לפתרון מתמטי מדויק, או כדי לחסוך בכוח חישוב.
אלגוריתמים אלו מוצלחים במיוחד עבור מערכות שבהן יש הרבה דרגות חופש שתלויות אחת בשנייה, כמו בהידרודינמיקה, מבנים תאיים ובפיזיקת חלקיקים. שימוש נוסף חשוב שנעשה בהם הוא לצורך חישוב אינטגרלים רב ממדיים. זו שיטה מצוינת לחישוב של סיכונים, טובה יותר משיטות מתמטיות אחרות ומאינטואיציה אנושית.
השם "שיטות מונטה קרלו" (Monte-Carlo methods) ניתן לאלגוריתמים אלו על ידי פיזיקאים אמריקאיים במעבדה הלאומית לוס אלמוס. שם זה נובע מהטכניקה האקראית שביסוד השיטה, ומהמוניטין שיצא לקזינו של מונטה קרלו, והוא ניתן לשיטה על ידי חלוציה: הפיזיקאי אנריקו פרמי והמתמטיקאים סטניסלב אולם, ג'ון פון נוימן וניק מטרופוליס.
שיטות אקראיות לביצוע חישובים היו בשימוש עוד לפני המצאת המחשב. בשנת 1930 השתמש פרמי בשיטה כזו לחישוב תכונותיו של הנייטרון, שהתגלה באותה עת. עם זאת, המצאת המחשב, שאיפשרה ביצוע סימולציות בקלות רבה, נתנה דחיפה עיקרית לחקירתן של שיטות אלה ולהתפתחותן. בפרט, שיטות אלה שימשו בהיקף נרחב בפרויקט מנהטן לפיתוח פצצת אטום.
שיטה דומה היא שיטת לאס-וגאס שבה האלגוריתמים מניבים תמיד תוצאה נכונה, אך זמן החישוב לרוב ארוך יותר.
מבנה האלגוריתמים.
ישנה קבוצה גדולה של אלגוריתמים שנמצאים בשימוש נרחב שנקראים אלגוריתמי מונטה-קרלו. לרוב האלגוריתמים האלו במבנה הבא:
הדגמה על ידי חישוב פאי.
דוגמה פשוטה למימוש שיטה זו היא השיטה הבאה לחישוב π:
מובן שמימוש פיזי של שיטה זו, באמצעות הטלה של חצים מוחשיים, עלול להיות מייגע. דרך מייגעת פחות תהיה כתיבת תוכנית מחשב שמבצעת סימולציה של פעולה זו.
לחישובו של π קיימות שיטות פשוטות יותר ומדויקות יותר, אך לפתרונן של בעיות חישוביות מסובכות יותר עשויה שיטת מונטה-קרלו להיות הדרך הפשוטה והמהירה לקבלת תוצאה ברמת דיוק סבירה. לשיטה זו חשיבות רבה בפיזיקה חישובית.
פריס
פָּרִיס (שם מדעי: "Paris") הוא סוג בסדרת השושנאים. רוב המינים גדלים באסיה, בעיקר בסין, אך מינים אחדים נפוצים עד אירופה.
חלק מהמינים משמשים ברפואה הסינית כמשככי כאבים ונוגדי קרישה. הצמח משמש כאחד המרכיבים העיקריים לתרופה Yunnan Baiyao ובשל כך נקטף במספרים גדולים.
גלילאו גליליי
גַּלִילֵאוֹ גַּלִילֵיי (באיטלקית: Galileo Galilei; 15 בפברואר 1564 – 8 בינואר 1642) היה פיזיקאי, אסטרונום, מתמטיקאי ופילוסוף איטלקי. פעל בתקופת המהפכה המדעית. הישגיו כוללים גילויים אסטרונומיים רבים שגילה באמצעות הטלסקופ שבנה, וחיזוק המודל ההליוצנטרי, לפיו כוכבי הלכת נעים סביב השמש. בין היתר חקר גלילאו את מופעי נוגה, גילה את ארבעת ירחיו הגדולים של צדק (שהיו היחידים שנתגלו אז) ואת הכתמים על פני השמש והירח. גילויים אלה הובילו אותו לעימות חריף עם הכנסייה הקתולית.
גלילאו, יחד עם מדענים אחרים בני דורו, הניח את היסודות למדע המודרני בתרבות המערבית, המבוסס על ניסויים ותצפיות, ובניית תאוריות המסבירות תופעות נצפות. גלילאו נחשב ל"אבי המדע המודרני" ו"אבי הפיזיקה המודרנית" בתקופה הקלאסית שלה, ולאחד מאנשי המדע הדגולים בכל הזמנים, אשר השפעתם ניכרת עד היום.
נעוריו.
גלילאו גליליי נולד בפיזה, איטליה, ב-15 בפברואר 1564, בן בכור לוינצ'נצו גליליי, מוזיקאי שתרם רבות להתפתחות התאוריה המוזיקלית. לאחר מות אמו הוא הופקד לשמור על אחיו ולדאוג לו. משפחתו של גלילאו נשארה בפיזה עד שהיה כבן שמונה, ואז עברה לפירנצה. אביו של גליליי עסק במכירת צמר, אך כאשר נשלח גלילאו למנזר קמלדולזה ללימודים, הבין אביו שמכירת צמר לא תספק אותו, והחליט שעל גלילאו ללמוד רפואה.
בהגיעו לגיל 17 אמר גלילאו לאביו שהוא רוצה להיות נזיר כמו מוריו במנזר קמלדולזה. אביו לא אהב את הרעיון, ולכן שלח אותו ללמוד רפואה באוניברסיטת פיזה. גלילאו לא אהב את הלימודים, אך עשה תחילה כדברי אביו. לאחר ארבע שנים, עבר מלימודי הרפואה ללימודי מתמטיקה, אותם אהב. כשלמד באוניברסיטת פדובה הכיר גלילאו את מרינה גמבה, איתה ניהל מערכת יחסים, ועל אף שהשניים מעולם לא נישאו, נולדו להם שלושה ילדים. בשנת 1600 נולדה בתם הבכורה וירג'ינה (שבהמשך שינתה את שמה למריה סלסט); השנייה, ליוויה, נולדה ב-1602; ובשנת 1606 נולד בנם וינצ'נצו. בשל המתכונת שלא הייתה מקובלת באותה תקופה של חיי הזוג, הוגדרו בנותיו של גלילאו כ"בלתי ניתנות לנישואין" ונשלחו למנזר סאן מטאו, שם גרו עד סוף חייהן. בנו של גלילאו הותר לנישואין ונשא לאישה את ססטיליה בוקצ'ינרי.
עיקרי עבודתו כמדען.
כתב היד המוקדם ביותר של גלילאו שנמצא נכתב בערך בתקופה שבה עזב את האוניברסיטה של פיזה ב-1585. בכתב יד זה אין כמעט מקוריות, האסטרונומיה של קופרניקוס מוזכרת אך נדחית בתוקף, ובו עדיין לא חלק על העקרונות המקובלים של "הפילוסופיה הטבעית" של אריסטו. בחיבורו "דה מוטו", שכתב בפיזה, עדיין הסכים כי האדמה היא מרכז היקום, אך אחדים מפרקיו מוקדשים להתקפה על הפיזיקה של אריסטו. בחיבור זה טען גלילאו כי זמני נפילה של גופים העשויים אותו חומר ונופלים דרך אותו תווך, שווים, ללא קשר למשקלם.
המסה המקורית הראשונה שלו נכתבה ב-1586 בנושא שיווי משקל הידרוסטטי. בערך באותם ימים החל לכתוב גם על התנועה. גלילאו מצא דרך מעשית לקבוע את מרכז הכובד של מוצקים מסוימים, מה שזיכה אותו בהכרה רחבה. הפעמים הראשונות הידועות בהן ביטא העדפה קופרניקאית היו מכתב אל מדוני ב-1597, בו השווה את אפלטון לאריסטו, ומכתב תודה ליוהאנס קפלר, שהיה תומך נלהב של קופרניקוס, אז כבר הודה בקבלת "האסטרונומיה החדשה".
בשנת 1592 החל ללמד באוניברסיטת פדובה, בה נותר 18 שנה. בפדובה לימד גאומטריה, פיזיקה ואסטרונומיה עד שנת 1610. במהלך תקופה זו גילה תגליות משמעותיות בתחומים שונים, בהם תורת התנועה ואסטרונומיה, ופיתח טלסקופ מתקדם יותר. בנוסף, התמחה באסטרולוגיה, תחום נחשב בזמנו, שנקשר ללימודי מתמטיקה ואסטרונומיה. ביוני 1610 עזב את משרתו בפדובה, לשם קבלת משרת המתמטיקאי הבכיר באוניברסיטת פיזה. שנה לאחר מכן הפך לחבר השישי באקדמיה דיי לינסאי שברומא וחזר לפיזה.
גלילאו והטלסקופ.
בטלסקופ נתקל גליליי ב-1609, מכשיר אשר בנוגע לראשוניות ההמצאה אין תמימות דעים בקהילייה ההיסטורית, אך ידוע כי אל גליליי הגיעו שמועות על הדגם ההולנדי אשר על מסמכיו חתום הנס ליפרסהיי. גליליי התחיל לבנות טלסקופים בעצמו בשנת 1609, לאחר שחקר את ההמצאה. בתחילה נקרא הטלסקופ שלו Perspicillum - עדשת מעקב, ואחר כך השתמש במונח הלטיני טלסקופיום, ממנו נגזרים שמות המכשיר בשפות שונות. הוא בנה את המכשירים שלו תוך שימוש בזכוכית משלו, בעיבוד עצמי של העדשות, מבלי להיעזר בעדשות של יצרנים אחרים. הטלסקופים שלו היו בעלי יכולות אופטיות טובות פי 10 מאלו של המכשירים שקדמו לשלו.
גליליי ערך שורה של ניסויים ופיתוחים כדי להוכיח שהדמויות הנראות בטלסקופ אינן תוצאה של פגמים אופטיים או של אשליות הנוצרות על ידי העדשות. הוא שיפר את הרזולוציה של הטלסקופ והפחית את האפקטים הנגרמים עקב "קרני האור האלכסוניות" כפי שקרא להן, הידועות היום כסטיות אופטיות. בנוסף לטעויות שמקורן בטבעו של האור ובחוש הראייה, ועם שכלול המכשיר האופטי החדש, נוצר צורך לפתור בעיות הכרוכות באופן שבו ניתן לפרש תמונה ויזואלית כידע פיזיקלי. ב-10 במרץ 1610 פרסם גליליי את ספרו "Sidereus Nuncius" (השליח הכוכבי), אותו הקדיש לפטרונו קוזימו השני דה מדיצ'י, הדוכס הגדול של טוסקנה, בו חשף את תגליותיו באמצעות הטלסקופ, ובכך הפך למדען הראשון המפרסם תצפיות אסטרונומיות המתבססות על שימוש בטלסקופ.
באמצעות הטלסקופ גילה גליליי כי: