כמענה לבעיה זו, פיתח הילברט מערכת אקסיומטית חלופית, מערכת האקסיומות של הילברט שבה עשרים אקסיומות. כבר מאז עבודתו של דקארט היה ברור שאפשר לבסס את הגאומטריה על בניות אנליטיות כמו הישר הממשי ומערכת הצירים הקרטזית. הבנה זו התחזקה אחרי שהאנליזה עצמה נוסחה במונחי תורת הקבוצות האקסיומטית. היום משתמשים בגישה אקסיומטית כדי לתאר גאומטריות חלופיות, כמו למשל גאומטריה פרויקטיבית סופית והגאומטריה של בניינים. אף על פי שבגאומטריה האוקלידית נוח יותר לטפל בדרכים אחרות, מקומן של האקסיומות של אוקלידס כאבן פינה בהתפתחות המתמטיקה, מובטח לדורות.
כמו כן, התפתחה במאה ה-19 גאומטריה דיפרנציאלית, ועליה התבססה מאוחר יותר תורת היחסות של אלברט איינשטיין.
התפתחות נוספת בגאומטריה המודרנית היא פיתוחה של הגאומטריה הלא קומוטטיבית. מכיוון שמבנים גאומטריים רבים ניתנים לתיאור אלגברי כמבנים קומוטטיבים, הרי שפעמים רבות ניתן לראות במבנים אלגבריים לא קומוטטיבים הכללה גאומטרית של המבנים הקומוטטיבים ובכך לקבל גם להם תמונה גאומטרית.
לדוגמה: מאחר שמרחב הפונקציות הרציפות המתאפסות באינסוף על מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית מהווה אלגברת סי כוכב קומוטטיבית, ומאחר שניתן להראות (משפט הייצוג של גלפנד) שכל אלגברת סי כוכב קומוטטיבית היא מהצורה הזו, הרי שניתן לראות באלגברת סי כוכב לא קומוטטיבית כמודל למושג המופשט מרחב טופולוגי לא קומוטטיבי.
החיבור הראשון בשפה העברית שעסק בגאומטריה באופן שיטתי הוא ספרו של אברהם בר חייא, שחי במאות ה-11 וה-12 בספרד, 'חיבור המשיחה והתשבורת'. במבוא לספרו מסביר בר חייא שהגאומטריה חיונית לחישוב מדויק של שטחי קרקעות המאפשר חלוקה הוגנת של קרקעות המתחייבת ממצוות התורה.
בנייה בסרגל ובמחוגה
בגאומטריה האוקלידית של המישור, בנייה בסרגל ובמחוגה היא בנייה של עצמים גאומטריים, כגון קטעים בעלי תכונות מוגדרות, הנעזרת בסרגל ובמחוגה בלבד. לעניין זה, הסרגל והמחוגה אינם הכלים הפיזיים המשמשים בשרטוט, אלא הפשטות גאומטריות, המממשות את שלוש האקסיומות הראשונות מבין חמש האקסיומות של אוקלידס בספרו "יסודות":
אוינופידיס היה הראשון שהתחיל לחקור את הנושא.
פעולות אפשריות.
סרגל ומחוגה מאפשרים לבצע שתי פעולות יסודיות:
בנוסף לזה אפשר למצוא את:
בניה במחוגה וסרגל היא שרשרת של פעולות כאלו, המגיעה אל התוצאה המבוקשת.
דוגמאות לבניות פשוטות.
ניתן לבנות בעזרת הסרגל והמחוגה בניות רבות ומגוונות. דוגמאות לבעיות בנייה אלמנטריות:
פעולות נפוצות נוספות הן: חיבור וחיסור של אורכי קטעים, כפל וחילוק שלהם במספרים רציונליים, חיבור וחיסור זוויות ועוד.
בעיות בנייה מפורסמות.
פרט לבעיות הקלות שנמנו בסעיף הקודם, בעיות בנייה היו אחד הכוחות שהניעו את התקדמות הגאומטריה לאורך השנים. בין הבעיות הנודעות יותר נמנות:
הבעיות הגאומטריות של ימי קדם.
היוונים הקדמונים ניסחו ארבע בעיות, אשר במשך כ-2,000 שנה היו בעיות פתוחות:
כל ארבע הבעיות הוכחו כבלתי פתירות, באמצעות יישום אלמנטרי של התורה המתמטית העוסקת בהרחבת שדות.
בניית מצולעים.
כדי לבנות מצולע משוכלל בן n צלעות, צריך לבנות את הזווית בת formula_1 מעלות, כלומר לבנות קטע שאורכו formula_2. מספר זה נמצא בתוך שדה ההרחבה מעל הרציונליים של שורש היחידה מסדר n, המכונה גם השדה הציקלוטומי ה-n-י. גאוס הוכיח באמצעות השיטות של תורת גלואה ומחקריו על שורשי יחידה, שאפשר לבנות מצולעים משוכללים שמספר הצלעות שלהם הוא מכפלה של חזקת 2 וראשוני פרמה שונים. בפרט אפשר לבנות את המצולע המשוכלל בן 17 צלעות (גאוס הציג בנייה אלגברית מפורשת למצולע כזה ב-1801), ואת המצולע המשוכלל בן 65,537 צלעות. לעומת זאת, לא ניתן לבנות את המצולע המשוכלל בן 9 צלעות (משום שזה יצריך בניית זווית של 20 מעלות, בנייה שאינה אפשרית בסרגל ומחוגה).
בניית מספרים.
אם נתון קטע היחידה, כלומר קטע שאורכו 1, אז ניתן להגדיר "מספר חיובי הניתן לבנייה". כיוון שאפשר לחבר קטעים, אפשר לקבל כל מספר טבעי. ניתן גם לבצע פעולות נוספות:
כדי לכפול קטעים u ו-v, יש לבנות את הקטע OA שאורכו 1, ו-AC שאורכו u באופן ששלוש הנקודות על אותו ישר. אחר כך בונים OB שאורכו v כך ש-B לא על אותו ישר. בונים מ-C ישר מקביל ל-AB וקוראים לנקודת החיתוך שלהם D. על פי משפט תאלס מתקיים:
כדי לחלק קטעים יש למצוא מספר הופכי, כלומר אם נתון u יש למצוא את formula_5. ניתן לעשות זאת באותה דרך, כאשר הפעם בונים כך ש-OA=u, AC=1 ו-OB=1 ואז: formula_6 ומכאן BD=1\u כמבוקש. מה שהוסבר עד כה מספיק כדי לבנות כל מספר רציונלי חיובי.
פעולה נוספת שניתן לעשות היא הוצאת שורש ריבועי. כדי לעשות זאת יש לבנות קטע AB באורך a (ממנו רוצים להוציא שורש) וקטע BC שאורכו 1 כך ששני הקטעים על אותו ישר. לאחר מכן לבנות מעגל שקוטרו AC, ואז לבנות אנך ל-AC מהנקודה B ולקרוא לנקודת החיתוך שלו עם המעגל D. מתקיים formula_7, ולכן על פי תכונות דמיון משולשים מתקיים formula_8 או formula_9 ומכאן formula_10 כמבוקש.
מספרים מרוכבים.
לאחר שנתונות זוג נקודות, להן אפשר להתייחס כנקודות 0 ו- 1, מגדירים מספר מרוכב כנקודה שהוא מציין על המישור המרוכב. קבוצת המספרים הניתנים לבנייה בצורה כזאת מהווים שדה הנקרא שדה המספרים הניתנים לבנייה. ניתן לבנות מספר a+bi אם ורק אם ניתן לבנות את |a| ואת |b|, אותם בונים כמוסבר לעיל.
למספרים הניתנים לבנייה תכונות נוספות. כך למשל, מספר ניתן לבנייה אם ורק אם הוא שייך לשדה הנמצא בקצה של מגדל הרחבות ריבועיות (הרחבות מממד 2) של שדה המספרים הרציונליים.
הכללות.
אף על פי שבבעיות הבנייה הקלאסיות מקובל היה להשתמש בשני הכלים, הסרגל והמחוגה, ידוע שאפשר להסתפק בהרבה פחות. בשנת 1797 פרסם הגאומטרן האיטלקי לורנצו מסקרוני ספר, שבו הראה שכל בעיה שאפשר לבנות בסרגל ומחוגה, אפשר לבנות גם באמצעות המחוגה לבדה. כדי להראות זאת, הוכיח מסקרוני שבמחוגה ניתן לחבר ולחסר ארכי קטעים, וגם להכפיל ולחלק אורכים זה בזה. (לא ניתן לבנות ישרים, אך ניתן למצוא שתי נקודות המתוות את הישר, ולמעשה לשרטט נקודות כרצוננו הנמצאות על הישר).
כבר ב- 1759 עסק ד'אלמבר בפתרון בעיות בנייה בסרגל בלבד. בעיות אלה מטבען מוגבלות יותר מאשר הבניות במחוגה ובסרגל, משום שהסרגל אינו מאפשר אלא פתרון של משוואות ליניאריות. עבודתו של ד'אלמבר המריצה מתמטיקאים צרפתיים אחרים לעסוק בנושא, שהעניין בו גבר אחרי פרסום ספרו של מסקרוני. באותה עת הציע ז'אן-ויקטור פונסלה (Jean-Victor Poncelet ; 1867-1788) שהוספת מעגל אחד קבוע במישור (יחד עם המרכז של אותו מעגל), די בה כדי לאפשר לסרגל לפתור כל בעיית בנייה במחוגה וסרגל. השערה זו הוכחה ב-1833 על ידי הגאומטרן יאקוב שטיינר, וזכתה לשם משפט פונסלה-שטיינר.
היפיאס הראה שבעזרת קוואדרטריקס, כלי שאיננו בארגז הכלים של הגאומטריה, ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים, וכן הוכח שכלי זה מאפשר את תרבוע העיגול.
כלי אחר שנעשה בו שימוש בהקשר דומה, הוא ה"רצועה", או הסרגל הכפול: סרגל שיש לו שני צדדים ישרים מקבילים, במרחק ידוע. בדומה לסרגל ולמחוגה, אפשר לתאר כלי זה כך:
הרצועה מספקת פתרון נאה לכמה מהבעיות שהוזכרו קודם לכן, כמו הבעיה של הכפלת הקובייה (אותה אפשר לפתור גם באמצעות חיתוך של פרבולות, או בעזרת העקום הקרוי קונכואיד, שבנייתו מיוחסת לניקומדס, בן המאה השנייה לפני הספירה). ארכימדס הראה שאפשר, בעזרת רצועה ומחוגה, לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים.
תורת הקבוצות הנאיבית
תורת הקבוצות הנאיבית הוא שמה של גישה אלמנטרית לתורת הקבוצות, שאותה פיתח גאורג קנטור בסוף המאה ה-19. התורה עוסקת במושג הקבוצה, שהיא אוסף מופשט של איברים, והיא מאפשרת טיפול מתמטי מדויק במושגי יסוד במתמטיקה, כגון יחס, פונקציה, מספר ואינסוף.
תורת הקבוצות המודרנית מבוססת על גישה אקסיומטית מדוקדקת (ראו אקסיומות צרמלו-פרנקל). הטיפול במושג הקבוצה באופן ישיר קרוי "תורת הקבוצות הנאיבית".
תולדות תורת הקבוצות.
את תורת הקבוצות החל לפתח גאורג קנטור ב-1870, בעקבות קשיים שהתעוררו בתורת הפונקציות הממשיות. קנטור חקר קבוצות של נקודות אי-רציפות, ואחר-כך קבוצות כלליות יותר. את מחקריו סיכם בשני מאמרים, שפורסמו ב-1895 וב-1897 תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (במקור - בגרמנית), בכתב-העת "Mathematische Annalen". הגדרתו של קנטור לקבוצה הייתה:
על הגדרה זו העיר אברהם הלוי פרנקל:
בתחילת המאה ה-20 התגלו בתורת הקבוצות פרדוקסים, שנבעו מהיותה מתירנית מידי וחסרת ביסוס אקסיומטי נאות. לשם פתרון בעיות אלה פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, ובעקבות צעד זה, תורת הקבוצות ללא הביסוס האקסיומטי הקפדני נקראת תורת הקבוצות הנאיבית. תורת הקבוצות הנאיבית עוֹדֶנָה נלמדת כקורס בסיסי באוניברסיטאות, שכן היא פשוטה יותר להבנה, ומרבית רעיונותיה נכונים גם בגרסה האקסיומטית.
פרדוקסים.
הגדרת מושג הקבוצה באופן שמאפשר, הלכה למעשה, לכל עצם להיכלל בה, הובילה למספר פרדוקסים.
הפרדוקס של ראסל.
קודם להצגת הפרדוקס, נבהיר: בדרך כלל, קבוצה אינה איבר של עצמה.איבריה של הקבוצה A, שהגדרתה "קבוצת כל המספרים השלמים" הם מספרים, ולכן, הקבוצה A, שאינה מספר, אינה אחד מן האיברים של A. יש גם קבוצות שהן איבר של עצמן: למשל, הקבוצה B, שהגדרתה "קבוצת כל הקבוצות שיש להן הגדרה בת תשע מילים". הגדרתה של B היא בת תשע מילים, ולכן היא איבר של עצמה.
הפרדוקס עוסק בקבוצה D המוגדרת להלן: