ניתן להגדיר באופן כללי את הפונקציה המעריכית באמצעות פיתוח חוקי החזקות של חתכי דדקינד מתוך פעולת החזקה של המספרים הרציונליים, בלי תלות בפונקציית האקספוננט.
תכונות הפונקציה המעריכית.
כל תכונות הפונקציה המעריכית נובעות מתכונות האקספוננט. כך, הפונקציה המעריכית היא פונקציה רציפה וגזירה. הפונקציה המעריכית הפיכה כאשר בסיסה שונה מאחד, כלומר formula_14 (כלומר כאשר formula_15 ).
הפונקציות המעריכיות מעבירות חיבור לכפל, וכפל לחזקה כלומר מתקיימות התכונות:
למעשה, קל לראות שאם פונקציה כלשהי מעבירה כפל לחזקה (מקיימת את התכונה השנייה), אז היא בהכרח פונקציה מעריכית. לעומת זאת פונקציה שמעבירה חיבור לכפל (מקיימת את התכונה הראשונה) איננה בהכרח פונקציה מעריכית, אם היא לא רציפה.
פונקציה מעריכית ממשית גדלה מהר יותר מכל פולינום (formula_18, לכל formula_19 ולכל formula_20), אבל לאט יותר מכל חזקה חיובית של פונקציית העצרת (formula_21).
דוגמאות.
כש-formula_26 היא הכמות המקורית, formula_27 היא הכמות שנשארת אחרי זמן formula_28,
formula_29 הוא חצי אורך החיים של החומר, formula_30 הוא אורח החיים הממוצע של החומר ו-λ הוא קבוע הדעיכה.
שלושת הפרמטרים formula_28, formula_32,ו-λ קשורים על ידי המשוואות
כש-(ln(2 הוא הלוגריתם של 2 (בערך 0.693)
יואש (מלך ישראל)
יְהוֹאָשׁ (או יוֹאָשׁ) הוא דמות מקראית, לפי הכרונולוגיה המסורתית מלך על ממלכת ישראל בשנים 800 עד 784 לפנה"ס. מוזכר גם בכתובת האשורית של אדד-ניררי השלישי, שנכתבה על גבי אסטלה שנמצאה בתל א-רימאח, כמעלה מס לאשור, .
יהואש מלך לאחר ימי השפל של ממלכת ישראל בימי אביו יואחז. על המפנה במצבה המדיני של ישראל שחל בימי יהואש נכתב בספר מלכים:
חוגי הנביאים ובראשם אלישע הנביא (שהיה אז זקן מופלג) עודדו את מלך ישראל למסע שחרור לאומי ולמלחמת חורמה בארם. אלישע הזקן קרא ל"חֵץ-תְּשׁוּעָה לַיהוָה וְחֵץ תְּשׁוּעָה בַאֲרָם וְהִכִּיתָ אֶת-אֲרָם בַּאֲפֵק עַד-כַּלֵּה" (). באורח סמלי תבע הנביא ממלך ישראל "לְהַכּוֹת חָמֵשׁ אוֹ-שֵׁשׁ פְּעָמִים" (שם, יט). מפנה מדיני זה כרוך כנראה בתבוסת ארם בידי מלך אשור אדד-ניררי השלישי בשנת 804 לפנה"ס.
על עוצמתה החדשה של ישראל מעידה העובדה שאמציה מלך יהודה שכר מיואש 100,000 חיילים על מנת לשתפם במסעו נגד אדום: "וַיִּשְׂכֹּר מִיִּשְׂרָאֵל מֵאָה אֶלֶף גִּבּוֹר חָיִל בְּמֵאָה כִכַּר-כָּסֶף" (דבה"ב כה, ו). לפי המסורת המובאת בספר דברי הימים, ויתר אמציה בסופו של דבר על השימוש בחיל זה ושילחם חזרה לישראל, מה שעורר את כעסם של החיילים המוחזרים ובתגובה לכך הם פשטו על ערי יהודה, בזזו ביזה והרגו הרג רב: "וּבְנֵי הַגְּדוּד אֲשֶׁר הֵשִׁיב אֲמַצְיָהוּ מִלֶּכֶת עִמּוֹ לַמִּלְחָמָה וַיִּפְשְׁטוּ בְּעָרֵי יְהוּדָה מִשֹּׁמְרוֹן וְעַד-בֵּית חוֹרוֹן וַיַּכּוּ מֵהֶם שְׁלֹשֶׁת אֲלָפִים וַיָּבֹזּוּ בִּזָּה רַבָּה (שם, יג). כנראה בתגובה על כך נאמר במלכים ובדברי הימים שאמציה, לאחר ששב ממסעו באדום שלח למלך ישראל הכרזת מלחמה. מלך ישראל ניסה אמנם להניאו מצעד זה אך המלחמה פרצה בסופו של דבר וצבא יהודה הובס. צבא ישראל פרץ את חומת ירושלים ולקח את כל הזהב והכסף שבאוצרות המקדש ובאוצרות בית המלך.
אחריו שלט בנו ירבעם השני, בימיו הגיעה ממלכת ישראל לשיא גודלה.
ירבעם השני
יָרָבְעָם בֶּן יוֹאָשׁ, נודע גם כירבעם השני, הוא דמות מקראית, מלך ישראל. לפי הכרונולוגיה המסורתית שלט על ממלכת ישראל בשנים 789 עד 784 לפנה"ס כעוצר, ובשנים 784 עד 748 לפנה"ס כמלך. הוא מלך בישראל אחרי אביו, יואש. ירבעם הוא המלך הישראלי שתקופת מלכותו הייתה הארוכה ביותר - 41 שנים.
התיאור אודות ירבעם השני בספר מלכים כולל שבעה פסוקים בלבד, בהם נאמר בקיצור נמרץ, שירבעם בן יואש כבש את דמשק והרחיב את גבולות ישראל (); וכן (שם, כח), אך למרות התמיכה הנבואית במפעלו הוא מתואר באור שלילי: (שם, כד).
התעצמות הממלכה בימיו.
לפי המקרא, בתקופת מלכותו של ירבעם השני הגיעה מלכות ישראל לשיא מבחינת גודלה. המלך ירבעם המשיך במלחמות עם ארם, שהתחיל בהן יואש אביו, ומגמתן הייתה לשחרר את חבל עבר הירדן מהשלטון הארמי. פרטים על מלחמה זו אינם ידועים, אך נראה ששני קרבות מכריעים נערכו בה - בקרנים שבבשן, ובלא-דבר שבגלעד. זאת למדים מנבואות עמוס שניבא בתקופת ירבעם ב':
מתברר מכאן וממה שנאמר במובאה מספר מלכים, שישראל הרחיבה את גבולה עד לבוא-חמת בצפון (לבנה שבבקעת הלבנון) ועד לנחל הערבה בדרום. כיבושי ירבעם בסוריה הדרומית והתעצמותה של ממלכת ישראל התרחשו בתקופת ירידה יחסית בהשפעתה ובמעורבותה של אשור בסוריה בימי אשור-דן השלישי (773-755 לפנה"ס) ואשור-ניררי החמישי (755-745 לפנה"ס), ולאחר שפסקו המסעות האשוריים נגד ארם. דמשק עצמה, ככל הנראה, נפלה בידי ישראל לאחר מסעו של שלמנאסר הרביעי נגד דמשק בשנתו התשיעית (774 לפנה"ס). פחות ברור הוא מתי בדיוק נפלה חמת תחת מרותה של ישראל - האם לאחר מסעו של שלמנאסר הרביעי נגד חדרך (חמת) בשנתו העשירית והאחרונה (773 לפנה"ס), או לאחר המסע של יורשו אשור-דן השלישי נגד חדרך בשנתו השישית (766 לפנה"ס) או בשנתו האחרונה, השנה השמונה עשרה (755 לפנה"ס). גם עצם הרחבת ההשפעה הישראלית על חמת איננה כה ברורה, שכן לפי עמוס ו, יד: ולפי מלכים ב יד, כה: , מדובר על הרחבת גבול ישראל בצפון רק עד לבוא-חמת ורק בפסוק כח בספר מלכים (שם) מדובר על השבת חמת: "וַאֲשֶׁר הֵשִׁיב אֶת-דַּמֶּשֶׂק וְאֶת-חֲמָת לִיהוּדָה בְּיִשְׂרָאֵל".
על הרחבת גבולה של ישראל והגידול בהשפעתה בסוריה השפיעה לא רק עובדת ירידת כוחה של דמשק, אלא גם העובדה שלאחר שלמנאסר הרביעי, נכנסה אשור פעם שנייה לתקופת משבר וירידה. בדומה לתקופת שלטונו של שלמנאסר הרביעי, גם על תקופת שלטונם של שני יורשיו - אשור-דן השלישי ואשור-ניררי החמישי אין כמעט ידיעות, והמקור היחיד עליהם הוא הכרוניקה האפונימית.
מכרוניקה זה עולה תמונה של אי-שקט מתמיד בארץ אשור בין השנים 765 לפנה"ס, כאשר אשור-דן השלישי נשאר בראשונה בארצו ולא יצא למסע מלחמה, עובדה המשקפת אי-שקט בפנים ארץ אשור, ועד לשנת 745 לפנה"ס עת תפס תגלת-פלאסר השלישי את הכס בעקבות הפיכת חצר שקדמה לה מרידה בעיר הבירה כלח. נסיגה זו בכוחה של אשור ובמעורבותה בסוריה אפשרה לממלכת ישראל להתעצם בלא מפריע.
התפשטות ממלכת ישראל בעבר-הירדן.
ממלכת ישראל התפשטה בימי ירבעם ב' גם בעבר הירדן המזרחי, וזאת בעקבות קריסת כוחה של ארם דמשק. על התפשטות שבטי ישראל בעבר הירדן בימי ירבעם נכתב בדברי-הימים:
רשימות אלו משקפות ללא ספק את המצב ערב ההגליה של שבטים אלו בידי תגלת-פלאסר השלישי, וזאת בעקבות המפקד שנערך בקרבם בימי יותם מלך יהודה וירבעם מלך ישראל כנאמר בפסוק יז. מרשימות אלו עולה, שבני מנשה התפשטו בבשן עד סלכה ועד החרמון, ואילו אזור הנדידה של בני ראובן התרחב עד נהר הפרת. התפשטות שלטונה של ממלכת ירבעם בעבר-הירדן חייבת הייתה לכלול גם את שיעבודן של עמון ומואב, דבר שאיפשר לירבעם להרחיב את גבולו (מל"ב יד, כה) - היינו עד ים המלח, ו (עמוס ו, יד). רק מאוחר יותר, בימי יותם, עבר אזור זה לשלטון יהודה: (דה"ב כז, ה).
המצב הפנימי בממלכת ירבעם השני.
בימי ירבעם שררו יחסי שלום בין ישראל ויהודה, בה שלט המלך עוזיהו. שליטת ירבעם בחבלים נרחבים בעבר הירדן המזרחי, וקשריה של ממלכת ישראל עם ממלכת יהודה השולטת על המחצבים בערבה ועל הדרך לים אילת – הגדילו במידה ניכרת את הכנסותיה של ממלכת ישראל ממסחר החליפין, וסייעו להתעשרותם המופלגת של שריה. שגשוג זה הוביל על פי המקרא לשחיתות, סיאוב והחרפת הפערים החברתיים, ואלה עוררו את תוכחות הנביאים הושע, עמוס ומיכה.
כיבושם של הבשן והחורן, שהיו אסם התבואה של ארץ ישראל, נתן לממלכת ישראל בסיס כלכלי-חקלאי מוצק, שחסרונו היה ניכר עד כה. אין זה מן הנמנע, שההתנחלות הישראלית המחודשת בצפון הגלעד, בבשן ובחורן הייתה תוצאה של מדיניות מלכותית שעודדה התפשטות זו, וזאת במגמה לחזק את אחיזתה של ישראל במקומות אלו.
הפריחה הכלכלית נתנה את אותותיה גם בקצב הבניה ובהיקפה. עליהן קיימת עדות מחפירות בעיר שומרון. נחשף שם ארמון המלך מימי ירבעם השני ונמצא בו אוצר של קישוטי שנהב לרהיטים. שנהבים אלו מורים על עושרה של המלכות ועל פאר ארמונה בשומרון בעת ההיא. מפעלי בנייה אלו היוו מטרה להתקפותיו של עמוס הנביא: (). בעקבות נבואותיו החריפות של עמוס פנה אמציה כהן בית אל למלך ירבעם, האשימו במרד ודרש לגרשו מהממלכה, אך עמוס לא נרתע וניבא נבואה קשה גם עליו.
לפי התלמוד, ירבעם סירב להאמין לדברים שאמר אמציה על עמוס, כיוון שהתנגד לקבלת לשון הרע.
מדענות
מדענות הוא כינוי להשקפה אפיסטמולוגית, המשליכה מן הידע המדעי לתחומים שאינם מדעיים, או חולקת על ידע שמקורותיו אינם מדעיים.
ישנם אנשי מדע ואחרים שעצם הגדרת המדענות או הכינוי שניתן לה אינו מקובל עליהם, אם משום שהם אינם מבחינים בין המדע והמדענות, ובעיניהם ההשקפה המכונה "מדענות" היא עמדת המדע עצמו, ואם להפך, משום שהם סבורים שגישת המדענות מופרכת לחלוטין, אינה מדעית, או אינה קיימת כלל, ועל כן עצם קריאתה על שם המדע מהווה עלבון למדע.
האבחנה בין מדע למדענות משמשת רבות תאולוגים ופוסט-מודרניסטים לצורך הגנה על עמדותיהם, הנתפסות לעיתים כבלתי מדעיות.
הגדרת המדענות.