דמויות האלים היו מואנשות והם היו, במידה רבה, מעין אדם-על. בעיקרו של דבר, דמו בצורתם החיצונית לזו האנושית ובתכונותיהם לאלה של בני האדם, אך היו חזקים יותר ובעלי חיי נצח. הם יכלו להיפצע, אך חוסנם הגופני היה רב והם החלימו בקלות, כשנפצעו דמם היה זהב קסום שנקרש במהירות רבה. היו להם רגשות של בני תמותה, כמו תשוקה, אהבה, קנאה ושנאה, והם יכלו לעשות מעשים לא מוסריים, אך לבני האדם אסור היה לבקרם על מעשיהם. לעיתים היו האלים חוברים אל בני האדם, מקיימים איתם יחסים (למשל, זאוס), ואף יולדים ילדים חצי-אנושיים, כמו הסיפור המיתי על הרקלס (הידוע יותר בשמו הרומי - הרקולס).
שנים עשר האלים החשובים ביותר נקראו האלים האולימפיים, כיוון ששכנו - לפי המיתולוגיה - על פסגתו של הר האולימפוס, הגבוה שבהרי יוון. הם שמרו על חיי נצח בעזרת מזון האלים - האמברוסיה ומשקה האלים - נקטר. באמנות אפשר לזהות את דמויות האלים השונים על-פי סמלים מקובלים שהיו ידועים לכל - לבוש, חיה או חפץ שנחשבו לסמליהם האישיים. האלים הופיעו לעיני בני האדם בגלגולי צורה ובתחפושות שונות.
הדחף הבסיסי לאמונה באלים היה ניסיון להסביר את כוחות הטבע הלא מוסברים ולנסות לגייס אותם למען האדם, כמו גם להסביר מאורעות היסטוריים. ניסיון הפקת הלקח הוא מוטיב ידוע במיתולוגיה היוונית (כמו סיפור לידתו של המינוטאורוס). היו כאלו שלא רק שעבדו אלים ידועים, אלא אף כאלו שלא ידועים. באתונה הייתה עבודה של "האל הלא ידוע", כנראה במטרה לכסות את כוחות הטבע שלא זוהו - עובדה שהיוותה פתח להמרתם לנצרות מאוחר יותר.
על פי המיתולוגיה, לבני האדם יש נשמה (הקרויה פסיכה) שיוצאת מגופם בזמן מותם ומגיעה לשאול (מקום תת-קרקעי), שכדי להגיע אליו יש לחצות באמצעות סירה נהר תת-קרקעי בשם סטיקס. לשם חציית הנהר צריך היה לשלם באובול לזקן ששט בסירה, כארון. לשם כך צוידו היוונים שמתו באובול אחד תחת לשונם בעת קבורתם. קרברוס, כלב תלת ראשי, שמר על פתח השאול כך שאיש לא יוכל להיכנס או לצאת, בתוך השאול ממוקם טרטרוס שהוא מדור עמוק יותר של השאול, שם כלואות המפלצות האיומות ביותר במיתולוגיה ובהם קרונוס, אבי האלים ומנהיג הטיטאנים.
מקורות המיתולוגיה.
השפעתן של המיתולוגיות המזרחיות (מיתולוגיה בבלית, מיתולוגיה פרסית, מיתולוגיה כנענית ומיתולוגיה מצרית) ניכרת במיתולוגיה זו. אפשר למצוא מקבילות אפילו לסיפורי התנ"ך (השוו לדוגמה את פרשת המבול המקראית למיתוס המבול של דאוקליון ואשתו פירה).
סיפורי המיתולוגיה רווחו בקרב היוונים כתורה שבעל פה עד שהועלו על הכתב בעיקר על ידי שני משוררים: הסיודוס והומרוס. שני המקורות אינם משלימים או חופפים זה את זה ואף ניתן למצוא סתירות ואי התאמות בין שני המקורות.
הומרוס.
הומרוס הוא היוצר הקדום מבין השניים. המקור העיקרי לסיפורי המיתולוגיה שלו הן הפואמות איליאדה ואודיסיאה המתוארכות למאה השמינית לפנה"ס. המשורר מתאר את האלים בדומה לשושלת מלוכה עם חצר אצילים המהווים משפחה רחבה. הוא כמעט אינו מתייחס לסיפור הבריאה ותולדות העולם, אלא לעלילות האלים האולימפיים ושאר גיבורי המיתולוגיה. בשירתו נתן בסיס לדת האולימפית הממוסדת.
הסיודוס.
הסיודוס תיאר את הבריאה ותולדות העולם בספרו "מעשים וימים" ובפואמה "תאוגוניה". פואמה זו נכתבה כנראה כמה עשרות שנים לאחר הפואמות של הומרוס. כחלק מתיאור הבריאה מספר המשורר על האלים הכתוניים ומורגשת בסיפוריו השפעתן של המיתולוגיות המזרחיות. על סיפורי אלים אלה מבוססת הדת היוונית הכתונית הפרטית, המסתורית יותר וכנראה גם הקדומה יותר מזו הבאה לידי ביטוי אצל הומרוס.
ההמנונים ההומריים.
אוסף של 33 שירי הלל יווניים עתיקים שחוברו בידי משוררים אלמונים לכבוד האלים. הכינוי "הומריים" דבק בהם, כפועל יוצא מן העובדה שהם בעלי משקל אפי זהה לזה שבאיליאדה ובאודיסיאה המיוחסות להומרוס.
מקורות נוספים.
עלילות האלים וגבורת הגיבורים סופרו בטרגדיות של אייסכילוס, סופוקלס ואוריפידס. אפולוניוס מרודוס תיאר בפואמה "ארגונאוטיקה" את סיפור מסע הארגונאוטים. ה"ביבליותקה" היא מעין סיכום של המיתוסים היוונים בשלושה ספרים. סיפורו של האל דיוניסוס נכתב על ידי נונוס ביצירתו "דיוניסיאקה" בתחילת ימי הביניים. ראוי להזכיר גם את הפואמה "איניאדה" מאת המשורר הרומי ורגיליוס, המקבילה לסיפור ה"אודיסיאה". מקור חשוב הוא גם המטמורפוזות מאת אובידיוס, אף על פי שהיא מכילה יותר מיתולוגיה רומית.
תוספות (אפיטטים) לשמות האלים.
לרוב, היו האלים בעלי אפיטט (ἐπίθετον), כלומר כינוי מלווה הצמוד לשמם כמו "הרה לבנת הזרועות", "זאוס מכנס העבים", וכן "אפרודיטה המוזהבת".
היו אלים בעלי תיאורים אחדים, למשל אתנה שזכתה לאפיטט ניקה ("אתנה ניקה" - אלת הניצחון) וכן לאפיטטים פוליאס, פרומכוס, פרתנוס. וזאוס שזכה לאפיטט "זאוס של האבות" ו"זאוס הנעלה".
חמשת הדורות.
היוונים ערכו חלוקה של הזמן, לחמשה דורות. לפי הסיודוס, מקור האלים ובני האדם אחד הוא. ואחר-כך התפצלו ביניהם. כאשר החלה ירדה בדורות עד התקופה הנוכחית של המשורר.
תור הזהב - הדור הראשון של בני-אדם נוצרו בימי מלכותו של קרונוס, אבי זאוס. הדור זה חי ביחד עם האלים על הר האולימפוס, טרם הפרידו ביניהם את הארץ. שמו של הדור נקרא תור הזהב, בשל חוסר הדאגות וחייהם נטולי הזקנה והמחלות. בתקופה זו הייתה רק עונה אחת, אביב. מסיבה לא ברורה, אחר עליית זאוס לשלטון, לא המשיך דור זה להתקיים.
תור הכסף - אחרי תור הזהב, הגיע תור הכסף, אלו היו בני אדם שחיו לתקופה קצובה, אך ארוכה מהרגיל, כמאה שנה. בימיהם נוספה עונה נוספת, פרט לאביב. אך הם בזו לאלים ולא כיבדו אותם ועסקו במעשים שפלים. אזי, על חטאיהם, זאוס הענישם וטמן אותם עם דור הזהב באדמה.
תור הארד - אחרי שחדלו להתקיים דור הכסף, הגיע תור הארד. דור זה היה גס ואלים, הוא נוצר מעץ המילה, וכן, היה לראשון הדורות אשר עסק בחקלאות. הדור הזה חטא כאשר פרומתאוס הביא לבני האדם את האש, אז זאוס יצר את פנדורה וזו פתחה את התיבה והביאה את הצרות על העולם. סופו של תור הארד הוא במבול, בו ניצל דיוקלתיון בנו של יאפטימוס ופנדורה עם אשתו פירה.
תור הגבורה - אחר המבול, קם דור הגבורה, אלו חצאי אלים נשגבים, כל גיבורי יוון הגדולים. ראשון הידועים הוא פרסאוס, קוטל מדוזה, ואחריו הרקולס, יאסון ותזאוס מלך אתונה. בתקופה זו, התרחשו סיפורים כמו מלחמת שבע נגד תבאי של בית אדיפוס, גיבורים וחצאי אלים מתוך תור הגבורה מתו זמן רב לפני מלחמת טרויה והחליפו אותם גיבורים אחרים (כגון אכילס, אודיסאוס...) ועלילות מלחמת טרויה. סופו של תור הגבורה הוא בחורבן טרויה ומותם של הנוטלים חלק במלחמה.
תור הברזל - התקופה הנוכחית, דור בני-התמותה, החיים בסבל ועול קשה מנשוא. חייהם קצרים, נתונים למחלות ולמלחמות בלתי פוסקות. הוא מסיים את התקופה המיתולוגית הקסומה, ומביא אל ההווה העגום וחסר מעוף הכנף.
טבע במיתולוגיה היוונית.
בסיפורי המיתולוגיה היוונית, גם אם הם דמיוניים, ניתן למצוא הרבה אזכורים לעקרונות מדעיים או תופעות טבע, וכן ניסיונות להסבירם גם אם לא בצורה מדעית.
בריאת העולם.
כאוס יצר את הטיטאנים הראשונים, ביניהם גאיה - אלת האדמה, ואת אורנוס - אל השמים. שניהם מהווים ביחד את כדור הארץ.
למה השמיים לא נופלים על האדמה.
לאחר המלחמה הראשונה נגד הטיטאנים, זאוס מקלל את אטלס להיות מחזיק השמיים (אוראנוס- השמיים עצמם).
עונות השנה.
העונות החמות מתקיימות בזמן שפרספונה אצל אמה דמטר, ובזמן שפרספונה עם בעלה האדס, מתקיימות העונות הקרות.
בריאת האדם.
הטיטאנים פרומתאוס ואפימתאוס קיבלו שתי חביות מלאות בחימר שניתן להפיח בו חיים.
חיים לאחר המוות.
כשבן אדם מת, נשמתו נשלחת לשאול, שם היא נשפטת על ידי האדס אל השאול.
אש נוצרה על ידי אל האש והנפחות, הפייסטוס, מסופר שבניו ובנותיו, בעלי כוח שליטה באש .
ברק.
האל היווני זאוס יוצר הברק. הקיקלופים, מחשלים את הברקים של זאוס.
צונאמי ורעידות אדמה.
צונאמי ורעידות אדמה קורות על ידי האל פוסידון, בדרך כלל כשהוא חש רגשות סוערים כמו כעס ותסכול.
מספר אלגברי
מספר אלגברי הוא מספר מרוכב המהווה שורש של פולינום בעל מקדמים רציונליים (או שלמים, אין הבדל). בפרט, כל מספר רציונלי formula_1 הוא אלגברי, משום שהוא פותר את המשוואה formula_2. מספר (מרוכב) שאינו אלגברי נקרא מספר טרנסצנדנטי.
אוסף כל המספרים האלגבריים מהווה שדה, הנקרא שדה המספרים האלגבריים. שדה זה סגור אלגברית: השורשים של פולינום בעל מקדמים אלגבריים הם בעצמם אלגבריים.
אוסף המספרים האלגבריים הוא בן מנייה, בעוד שהמשלים לו אינו בן מנייה. תכונה זו הוכחה על ידי גאורג קנטור. במובן זה ישנם הרבה יותר מספרים שאינם אלגבריים מאשר מספרים אלגבריים, למרות שבאופן מעשי קשה ביותר להוכיח שמספר נתון (כגון e או פאי) אינו אלגברי (להוכחות ראו טרנסצנדנטיות של e ומשפט לינדמן).
דוגמאות.
ההגדרה המובאת כאן מסתפקת בכך שמספר אלגברי יהיה שורש לפולינום בעל מקדמים רציונליים. הגדרה מקובלת אחרת דורשת שהמספר יהיה שורש לפולינום בעל מקדמים שלמים. שתי ההגדרות שקולות זו לזו, משום שפולינום במקדמים רציונליים אפשר להפוך לפולינום במקדמים שלמים על ידי כפל בגורם משותף. את ההגדרה הראשונה אפשר להכליל למושג איבר אלגברי בהרחבה כללית של שדות; אחרי הכל, מספר אלגברי אינו אלא איבר אלגברי של שדה המספרים המרוכבים מעל שדה המספרים הרציונליים. באופן צורף, ההגדרה השנייה הולמת אם חושבים על שדה המספרים המרוכבים כאלגברה מעל חוג המספרים השלמים: האיברים האלגבריים בהרחבה זו הם בדיוק המספרים האלגבריים.
שלמים אלגבריים.