אם כן, האנרגיה הקינטית ליחידת מסה, Ek היא:
הננס הלבן יהיה בשיווי משקל כאשר האנרגיה הכוללת שלו, Ep+Ek תהיה מינימלית. בשלב זה, האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית תהיינה מאותו סדר גודל. לכן:
כאשר מבודדים את R, רדיוס הננס הלבן, מקבלים:
לכן, הקשר בין רדיוס הננס הלבן למסתו הוא:
דהיינו, הרדיוס פרופורציוני ביחס הפוך לחזקה השלישית של מסת הננס הלבן.
הפתרון משתמש בנוסחה הלא יחסותית formula_12, ולכן היחס המתקבל אינו יחסותי. על מנת לנתח את המערכת עבור אלקטרונים הנעים במהירות הקרובה למהירות האור, האנרגיה הקינטית של האלקטרונים תהיה בקירוב formula_13 (מכפלת התנע במהירות האור). לכן:
אם משווים את גודל זה לאנרגיה הפוטנציאלית, מתקבל ש-R מצטמצם ויוצא שהמסה חייבת להיות:
על מנת לפרש תוצאה זו, יש לשים לב לכך שכאשר מסת הננס הלבן גדלה, רדיוסו קטן. לכן, לפי עקרון אי הוודאות, התנע גדל, כלומר המהירות של האלקטרונים גדלה. כאשר המהירות הזו מתקרבת למהירות האור, הביטוי הנ"ל מדויק יותר, כלומר המסה של הננס הלבן מגיעה למסתו הגבולית. על כן, מסתו המרבית של ננס לבן היא Mlimit - מסה גבוהה מזו פירושה שהאלקטרונים ינועו במהירות העולה למהירות האור, בניגוד לעקרונות תורת היחסות.
ניתן להגיע לקשר מדויק יותר באמצעות פיתוח של משוואת מצב עבור הננס הלבן. ממשוואה זו עולה הקשר בין הצפיפות ללחץ בחומר של הננס הלבן. אם הלחץ והצפיפות קבועים כפונקציה של המרחק מהמרכז, אזי פתרון מערכת המשוואות של המשוואה ההידרוסטטית ושל משוואת המצב ייתן את מבנה הננס הלבן בשיווי משקל. לפי הפיתוח הלא יחסותי מקבלים שהרדיוס פרופורציוני ביחס הפוך לשורש השלישי של המסה. תיקונים יחסותיים מגלים שהרדיוס של הננס הלבן מתאפס בגבול מסה סופי. הגבול הזה הוא גבול צ'נדראסקאר - הגבול שבו הננס הלבן כבר לא נתמך על ידי לחץ הניוון של האלקטרונים.
כל החישובים הללו מתייחסים לננס לבן שאינו סב על צירו. אם הננס הלבן מסתובב, המשוואה ההידרוסטטית חייבת לקחת בחשבון את הכוח הצנטריפוגלי המדומה הנובע ממערכת הייחוס הלא אינרציאלית המסתובבת. עבור ננס לבן המסתובב במהירות אחידה וקצובה, גבול המסה המרבית גדל אך במעט. אם הננס הלבן מסתובב בקצב שאינו אחיד ומזניחים את השפעת הצמיגות, אזי, כפי שקבע פרד הויל ב-1947, לא קיים חסם עליון למסתו, כך שמתקיים שיווי משקל סטטי.
קרינה והתקררות.
הקרינה הנצפית שנפלטת על ידי ננס לבן נעה בטווח צבעים (או אורכי גל) רחב. קרינה זו נעה בין אור כחול-לבן של כוכב סדרה ראשית מסוג O, לבין אור אדום של ננס אדום מסוג M. טמפרטורת פני השטח של ננס לבן יכולה לנוע בין 150,000 קלווין ל-4,000 קלווין. לפי חוק סטפן-בולצמן, עוצמת הקרינה גדלה עם הטמפרטורה (וליתר דיוק עם ריבוע הטמפרטורה). טמפרטורה זו מתאימה לעוצמת קרינה בתחום שבין פי 100 מזו של השמש, לבין פי 10-5 מזו של השמש. ננסים לבנים חמים, עם טמפרטורה של 30,000 קלווין או יותר פולטים קרינת רנטגן "רכה", כלומר בעלת אנרגיה נמוכה. לכן ניתן לחקור את הרכבם של ננסים לבנים אלו באמצעות טכניקות של אסטרונומיה של קרינת UV או רנטגן.
בהנחה שהננס הלבן לא סופח חומר מכוכבים שכנים, מקור הקרינה הזו הוא באנרגיית החום הפנימית שלו. אנרגיה זו דועכת עם הזמן, ויוצאת בצורה של קרינה אלקטרומגנטית. משום שלננסים לבנים שטח פנים קטן מאוד, הספק קרינת החום שלהם נמוך ביותר, והם נותרים חמים לאורך זמן. כאשר ננס לבן מתקרר, טמפרטורת פני השטח שלו יורדת, הקרינה הנפלטת הופכת לאדומה יותר (כלומר, אורך הגל שלה גדל) ובהירותו דועכת. משום שהממשק היחיד להוצאת האנרגיה של הננס הלבן הוא הקרינה, קצב ההתקררות דועך עם הזמן. לשם ההמחשה, ננס לבן בן 0.59 מסות שמש בטמפרטורה של 7140 קלווין יתקרר ב-500 מעלות תוך כ-0.3 מיליארד שנים. הוא ימשיך להתקרר ב-500 מעלות כעבור עוד 0.4 מיליארד שנים, וב-500 מעלות נוספות רק מקץ עוד 1.1 מיליארד שנים. על אף שבתחילת דרכו ננס לבן מורכב מפלזמה (כלומר, תערובת של גרעיני אטומים ואלקטרונים), מחקרים ניבאו בשנות ה-60 שננס לבן יהפוך בשלב מסוים לגביש, כאשר תהליך ההתגבשות יחל במרכזו. בשנת 1995 מדידות סייסמוגרפיות אסטרונומיות של ננסים לבנים אפשרו בחינה תצפיתית של השערת ההתגבשות. ב-2004 צוות של חוקרים מאוניברסיטת הרווארד העריך על סמך מדידות אלו שכ-90% מהמסה של הננס הלבן BPM 37093 התגבשה.
טמפרטורת פני השטח של רוב הננסים הלבנים שנצפו עד היום גבוהה יחסית, ונעה בין 8,000 ל-40,000 קלווין. אולם, משום שננס לבן מתקרר בהדרגה, פרק הזמן שבו לננס הלבן יש טמפרטורה גבוהה קצר יחסית. על כן, יש להניח שיש יותר ננסים לבנים קרים מאשר חמים. עם זאת, רק למעטים מהננסים הלבנים שנצפו עד היום יש טמפרטורת פני שטח נמוכה מ-4,000 קלווין. הסיבה לכך היא שגיל היקום הוא סופי. כלומר, הננסים הלבנים הזקנים ביותר לא הספיקו להתקרר לטמפרטורה של פחות מ-4,000 קלווין. על סמך זאת ניתן להעריך מתי החלו להיווצר ננסים לבנים. ההערכה הנוכחית עומדת על 8 מיליארד שנים.
באופן תאורטי, ננס לבן יתקרר לכדי ננס שחור, שנמצא בשיווי משקל תרמי עם סביבתו ועם קרינת הרקע הקוסמית; אולם בגלל קצב ההתקררות האיטי, לא ידוע על קיומם של ננסים שחורים כיום.
אטמוספירה.
על אף שנהוג לחשוב שרוב הננסים הלבנים מורכבים מפחמן וחמצן, ספקטרוסקופיה של האטמוספירה מגלה שהיא מורכבת בעיקר ממימן או מהליום. היסוד השכיח ביותר באטמוספירה נמצא בשיעור הגבוה פי 1000 מכל יסוד אחר. הסיבה לכך נובעת מהכבידה החזקה הפועלת בפני השטח. הכבידה החזקה שבפני השטח מפרידה את האטומים שבאטמוספירה, כך שהיסודות הכבדים נמצאים מתחת ליסודות הקלים. האטמוספירה של ננס לבן עשויה להכיל שאריות משכבות הענק האדום וחומר בין כוכבי. האטמוספירה מהווה כ- 1/10,000 ממסת הננס הלבן.
אף על פי שהשכבות החיצוניות דקות, הן קובעות את ההתפתחות התרמית של הננס הלבן. החלק הפנימי של הננס הלבן, המורכב מאלקטרונים מנוונים, מוליך חום היטב. לכן, רוב המסה של הננס הלבן היא איזותרמית ובעלת טמפרטורה גבוהה מאוד. לננס לבן שטמפרטורת פני השטח שלו היא בין 8,000 ל-16,000 קלווין, תהיה ליבה בעלת טמפרטורה בתחום שבין 5,000,000 ל-20,000,000 קלווין. הננס הלבן נותר חם לאורך זמן הודות ל"אטימות" השכבות החיצוניות שלו לקרינה.
הניסיון הראשון למיין את ספקטרום הפליטה של ננסים לבנים נעשה על ידי ג'. פ. קויפר בשנת 1941. השיטה הנוכחית למיון ננסים לבנים על פי הספקטרום שלהם פותחה על ידי אדווארד סיון ב-1984. שיטת המיון מבוססת על רצף אותיות ומספרים. כל רצף מורכב מהאות D, ולאחריה אות המייצגת את המאפיין הראשי של הספקטרום (כפי שמופיע בטבלה). בהמשך מופיע מספר חסר יחידות המייצג את הטמפרטורה (50,400 קלווין, מחולק בטמפרטורת הננס הלבן).
לדוגמה, ננסים לבנים בעלי סיווג ספקטרלי DA הם בעלי אטמוספירה המורכבת בעיקר ממימן. כוכבים אלו מהווים כ-75% מכלל הננסים הלבנים. ליתר הסיווגים (DB, DC, DO, DZ, DQ) יש אטמוספירה המורכבת בעיקר מהליום. בהיעדר מתכות ופחמן, הסיווג הספקטרלי של הננס הלבן תלוי רק בטמפרטורה שלו. בין 100,000 ל-45,000 קלווין, הסיווג יהיה DO, עם הליום מיונן חלקית. בין 30,000 ל-12,000 קלווין הסיווג יהיה DB, עם קווים של הליום נייטרלי. בטמפרטורה נמוכה מ-12,000 קלווין, הספקטרום יהיה נטול מאפיינים כלשהם - DC.
שדה מגנטי.
פטריק בלאקט שיער ב-1947 את קיומם של שדות מגנטיים בעלי עוצמה של כמיליון גאוס בננסים לבנים, בעקבות חוק פיזיקלי שהציע, שלפיו גוף מסתובב, לא טעון, ייצור שדה מגנטי בעוצמה הפרופורציונית לתנע הזוויתי שלו. חוק זה מעולם לא התקבל, ובשנות ה-50 בלאקט דחה אותו. בשנות ה-60 הוצע כי לננסים לבנים יש שדה מגנטי בגלל שימור השטף המגנטי הכולל במהלך המעבר מכוכב רגיל לננס לבן. שדה מגנטי בגודל של כ-100 גאוס על פני השטח של הכוכב המקורי יהפוך לשדה מגנטי בגודל של כ-106 גאוס לאחר שהכוכב התכווץ ברדיוסו פי 100. הננס הלבן הראשון שאצלו נמדד שדה מגנטי הוא GJ742 ב-1970. השדה שלו בפני השטח הוא 300 מיליון גאוס. מאז נמדדו שדות מגנטיים ביותר מ-100 ננסים לבנים, בין 2,000 ל-109 גאוס. לפי הערכות, לכ-10% מכלל הננסים הלבנים יש שדה מגנטי בעוצמה של למעלה ממיליון גאוס.
ננסים לבנים משתנים.
מחישובים מוקדמים עולה כי ייתכנו ננסים לבנים שבהירותם משתנה אחת לכ-10 שניות. חיפושים אחר ננסים לבנים שכאלו בשנות השישים לא העלו תוצאות. הננס הלבן המשתנה הראשון שנמדד היה HL Tau 76, וזמן המחזור שלו היה 12.5 דקות. הסיבה לזמן המחזור הארוך ביחס למצופה היא תנודות לא רדיאליות של גלי כבידה.
ננסים לבנים במערכות מרובות כוכבים.
סופרנובה מסוג Ia.
ננס לבן עשוי לספוח אליו חומר מסביבתו, עד שמסתו תעבור את גבול צ'נדראסקאר. בשלב זה לחץ הניוון של האלקטרונים לא יספיק כדי לאזן את כוח הכבידה והננס לבן יתחיל לקרוס. העלייה בטמפרטורה תתחיל תהליך היתוך מואץ אשר יוביל לפיצוץ סופרנובה, במהלכה הננס הלבן נהרס. מאחר שסופרנובות מסוג Ia מתרחשות קרוב לגבול צ'נדראסקאר, עוצמתן כמעט אחידה לגמרי, מה שמאפשר שימוש בהן כנר תקני. באמצעות שימוש כזה, גילה צוות בראשות בריאן שמידט בשנת 1998, שהתפשטות היקום מואצת. המחקר נערך על ידי אדם ריס, והגילוי הזה הוביל להנחה של קיום אנרגיה אפלה. הגילוי זיכה את שמידט, ריס וסול פרלמוטר בפרס נובל בפיזיקה לשנת 2011.
מוצא האדם (ספר)