ידועים מספר תנאים המבטיחים קיום מסלול או מעגל המילטוניים, אולם הם רחוקים מאפיון מלא (ראו הפסקה על סיבוכיות). כך, ידוע שבגרף תחרות (שהוא גרף מכוון), תמיד יש מסלול המילטוני ויש מעגל המילטוני אם ורק אם הגרף קשיר היטב. בגרפים צפופים מאוד מובטח כי יהיה מסלול המילטוני. כך, למשל,משפט Ore הקובע כי כי לגרף עם formula_1 קודקודים אם לכל שני קודקודים x,y שאינם שכנים n ≤ deg(x) + deg(y) אזי הגרף מכיל מעגל המילטוני. ונובע ממנו משפט דיראק שקובע כי גרף עם formula_1 צמתים בו הדרגה המינימלית היא לפחות formula_3 הוא בהכרח המילטוני. בהיפרקוביה מכל מימד יש מעגל המילטוני והמעגלים הללו מתאימים לקוד גריי.
בגרף מקרי ידועים ערכים מדויקים של הסף ממנו ניתן לצפות כי יהיה מסלול המילטוני בגרף בהסתברות גבוהה. בגרף מקרי עם formula_4 צמתים ו-formula_5 קשתות הנבחרות באקראי, ההסתברות כי יהיה המילטוני שואפת ל-formula_6. אם מוסיפים את הקשתות בזו אחר זו עד שהדרגה המינימלית מגיעה ל-2 (זהו תנאי הכרחי לקיומו של מעגל המילטוני), אז הסיכוי לכך שהגרף אינו המילטוני שואף לאפס כאשר n גדל.
סיבוכיות ואלגוריתמים.
מספר בעיות הנוגעות למסלולים המילטוניים הן בעיות NP - שלמות, ומכאן שלא ידוע אלגוריתם יעיל לפתרונן. כאלו הן, למשל, מציאת מסלול המילטוני בגרף שבו קיים מסלול כזה; הקביעה האם קיים מסלול המילטוני בגרף נתון. הבעיות נכללות ברשימה המקורית של 21 הבעיות של ריצ'רד קארפ. הבעיה היא שלמה ל-NP אף בגרפים מישוריים שדרגתם שלוש. בעיית ספירת המסלולים ההמילטוניים בגרף היא שלמה ל-. בעיית מציאת מסלול המילטוני בגרף קשורה בקשר הדוק לבעיית מציאת מעגל המילטוני בגרף - גרף בעל מעגל המילטוני יכול להתקבל מגרף בעל מסלול המילטוני על ידי הוספת צומת חדש לגרף שמחובר לכל שאר הצמתים (זה יהיה צומת המוצא והסיום). בעיית מציאת מעגל המילטוני היא מקרה פרטי של בעיית הסוכן הנוסע, כאשר משקלי כל הקשתות הם 1.
לבעיית מציאת מסלול המילטוני יש אלגוריתם שסיבוכיותו מעריכית בלבד, (ולא formula_7 כפי שיהיה לאלגוריתם שיעבור על כל המסלולים האפשריים), באמצעות תכנות דינמי. בגרפים מקריים ידועים אלגוריתמים יעילים המוצאים את המעגל ההמילטוני בהסתברות הצלחה הדומה להסתברות שהמעגל קיים.
בעיית מציאת מסלול המילטוני הייתה הדוגמה הראשונה עבורה הודגם חישוב מולקולרי (מחשוב DNA) העושה שימוש ב-DNA ובביולוגיה מולקולרית, במקום באמצעים האלקטרוניים הרגילים. ב-1994 הדגים לאונרד אדלמן מאוניברסיטת דרום קליפורניה שימוש ב-DNA לצורך פתרון הבעיה על גרף עם שבעה צמתים.
גרף מטרי
עץ פורש
בתורת הגרפים, עץ פורשׂ של גרף קשיר G הוא תת גרף קשיר של G, המכיל את כל צומתי G, ואין לו מעגלים. תת-גרף כזה הוא עץ.
אפשר לקבל עץ פורש על ידי הסרת קשתות מן הגרף, בזו אחר זו, כל עוד הקשירות לא נפגעת. אם הגרף כולל מעגל (כלומר, סדרה של קודקודים formula_1 שבה כל זוג קודקודים סמוכים, וכן הזוג formula_2, מחוברים בקשת), נוכל להסיר את אחת מקשתות המעגל בלי לפגוע בקשירות. על תהליך זה אפשר לחזור עד שבגרף אין מעגלים, והתוצאה היא עץ פורש. מכיוון שמספר הקשתות בעץ תלוי רק במספר הקודקודים שלו, לכל העצים הפורשים של אותו גרף יש אותו מספר קשתות (formula_3 כאשר מספר הקודקודים בגרף הוא formula_4). דרכים יעילות יותר למציאת עץ פורש הם באמצעות אלגוריתם חיפוש לעומק או אלגוריתם חיפוש לרוחב. אלגוריתמים אלו ירוצו בזמן ליניארי במספר הקשתות בגרף.
ספירת העצים הפורשים.
את מספר העצים הפורשים של גרף אפשר לקבל ממשפט קירכהוף: אם A היא מטריצת השכנויות של הגרף ו- D המטריצה האלכסונית שרכיבי האלכסון שלה הם הדרגות של הקודקודים, אז המטריצה formula_5 אינה הפיכה (שכן שורותיה מסתכמות לאפס). עם זאת, מכפלת הערכים העצמיים השונים מאפס שווה למספר העצים הפורשים, כפול במספר הקודקודים (זהו מספר העצים הפורשים, כשסופרים עצים עם שורש).
במקרה המיוחד של הגרף השלם על n קודקודים (הגרף שכל שני קודקודים שלו מחוברים בקשת אחת), מספר העצים הפורשים הוא formula_6. לתוצאה זו, הקרויה נוסחת קיילי, ידועות מספר הוכחות, בהן זו של פרופר המבוססת על התאמה חד חד ערכית בין העצים הפורשים של גרף שלם לבין המילים באורך n-2 מעל אלפבית של formula_7 אותיות אפשריות.
עץ פורש מינימלי.
כאשר בגרף הנתון יש "משקל" לכל קשת (כלומר, זהו גרף ממושקל), טבעי לחפש עץ פורש שלו משקל כולל מינימלי. עץ כזה נקרא עץ פורש מינימלי. לבעיה של מציאת עץ כזה יש השלכות מעשיות רבות. לדוגמה, כאשר רוצים לסלול רשת כבישים בין ערים כך שיהיה מסלול בין כל שתי ערים ולעשות זאת במחיר מינימלי, מחפשים את העץ הפורש המינימלי של הגרף שצמתיו הם הערים וקשתותיו הכבישים הפוטנציאליים ביניהן (המשקל הוא אורך הכבישים שיהיה צורך לסלול).
גרף ממושקל
גרף ממושקל הוא גרף עבורו לכל קשת בגרף משויך "משקל" - לרוב מספר ממשי.
מבחינה פורמלית, זהו גרף formula_1 ופונקציית משקל formula_2.
הצמדת משקל לקשתות בגרף מאפשרת למדל בעיות מעניינות רבות, ובכללן עץ פורש מינימלי, מציאת המרחק הקצר בגרף בין שני צמתים, מציאת כל המרחקים הקצרים ביותר בגרף, ועוד.
מקרה פרטי של גרף ממושקל הוא גרף מטרי, שהוא גרף ממושקל מלא אשר פונקציית המשקל שלו משרה מרחב מטרי, דהיינו - מתקיים אי שוויון המשולש, כלומר לכל שלושה צמתים formula_3 בגרף מתקיים formula_4 - כאשר formula_5 הוא המרחק בין formula_6 ל-formula_7, או משקל הקשת formula_8 וכן מתקיים כי formula_9 עבור כל שני קודקודים formula_10 בגרף
תת גרף
עץ פורס מינימלי
טראנס
בן ג'ונסון
צ'רלס דיקנס
פרסף חיוור
פרסף חיוור (שם מדעי: "Rhinolophus mehelyi") הוא מין של עטלף החי בדרום אירופה, בדרום אפריקה ובאסיה מטורקיה ועד אפגניסטן. המין היה מצוי בחבל הים תיכוני, הזואולוג ישראל אהרוני מספר שאחרוני הפרספים החיוורים נראו בתל אביב ומאז נכחדו מארץ ישראל.
בשנת 2002 נלכד פרט במערת עלמה, אשר זוהה כפרסף חיוור. עם זאת המין מוכר כנכחד מישראל כיום.
מאפיינים.
הפרסף החיוור הוא עטלף בינוני בגודלו, עם שפתיים חיוורות ואוזניים אפורות-חומות וקרום תעופה אפור-חום. הפרווה שלו היא יחסית עבה, כאשר בסיסי השערות הן בצבע אפור-לבן. פרוות הבטן היא כמעט לבנה, בעוד שפרוות הגב היא אפורה-חומה; הגבול המבדיל בין פרוות הבטן לפרוות הגב הוא יחסית חד.
הפרסף החיוור גר במערות עם העדפה למערות אבן גיר ליד מקווי מים. הוא גר במערות שחיים בהם גם מיני פרספים אחרים. בניגוד למיני עטלפים אחרים, הוא אינו משתמש בבתי עטלפים מלאכותיים ולכן מצב שימורו מוגדר כ"פגיע".
הפרסף החיוור הוא עטלף חרקים וניזון מחרקים, בעיקר עשים, אותם הוא צד. הוא יוצא לשחר לטרף בשעת הדמדומים, ובעת הציד הוא עף נמוך מעל הקרקע, בעיקר מעל מדרונות גבעות חמים אך גם מעל עצים ושיחים. את החרקים הוא מאתר באמצעות איכון הד. הוא משדר קולות בתדרים שנעים בין 105 ל-112 קילוהרץ, עם צניחה בתדירות בסיום האות, שנמשך בדרך כלל בין 20 ל-30 מילישניות. יש חפיפה בתדרים עם מיני פרספים אחרים.
גחן מצוי
הגחן המצוי או גחן מנוקד (שם מדעי: "Genetta genetta") הוא יונק טורף בעל תפוצה נרחבת באפריקה, באסיה ובאירופה. המין היה מצוי בעבר בישראל, אך נכחד ממנה. להבדיל משאר הגחניים, הוא חובב אזורים יבשים וכן אזורים מיוערים בהיותו טפסן מצוין.
החוקר ישראל אהרוני זיהה את החיה כתַּלֵּא אִילָן על פי הפירוש: "תחש"(צבע מנומר) "שהיה בימי משה... מכסה אחד היה, ודומה תלא אילן".
תיאור מראה.
מבנה גופו ארוך ורזה, גמיש ביותר וגפיו קצרות. אורך הגוף והראש (ללא הזנב) 60-49, אורך הזנב 54-42 ס"מ, משקלו 3-1 ק"ג.
לגחן פרווה רכה, צהבהבה-אפורה בגווניה, כתמים שחורים פזורים על גבה ופסי שחור-לבן מעטרים את זנבה. הראש מפוספס, החוטם שחור ומסביב לעיניים ולפה כתמים לבנים. לגחנים באזורים הצחיחים, פרווה בהירה יותר ודוגמאות דהויות יותר מהגחנים באזורים רוויי המים.
לגחן בלוטות ריח מפותחות ביותר באזור פי הטבעת, המשמשות לסימון טריטוריה. לנקבות 4 פטמות ולזכר איבר מין מפותח. בכפות הרגליים יש 5 אצבעות גלויות בעלות כריות שעירות. הטפרים נראים לעין אך ניתנים להסתרה חלקית (בניגוד לחתוליים שטפריהם מוסתרים לגמרי) העיניים עגולות וגדולות, האוזניים ארוכות ומשולשות. לגחן 40 שיניים.
תזונה.
הגחן ניזון גם מחומר צמחי בנוסף להיותו אוכל בשר מובהק. עיקר תזונתו מורכבת מפירות, מכרסמים קטנים, עופות, זוחלים וחסרי חוליות שונים.
רבייה וגידול צאצאים.
הגחן מסוגל להתרבות במהלך כל השנה, אך הנקבה מיוחמת על פי רוב במהלך עונת הגשמים או בתקופה בה קיים מחסור במזון. ההזדווגות נמשכת כ-5 דקות ובאה אחרי חיזור שנמשך כשעה. בזמן ההזדווגות ישמיעו הזכר והנקבה יללות. ההיריון נמשך 11 שבועות בקירוב, ובסופו נולדים 3-1 גורים עיוורים וחסרי ישע. הם נגמלים מהיניקה בגיל 8 שבועות, על אף שאוכלים מזון מוצק בכמות קטנה עוד לפני כן. מגיעים לבגרות מינית בהגיעם לשנתיים. תוחלת החיים היא 13 שנים בקירוב.
התנהגות.