מסנן מקסימלי, כלומר, כזה שאינו מוכל באף מסנן גדול יותר, נקרא על-מסנן (ultrafilter). עבור כל קבוצה formula_13, על-מסנן מוכרח להכיל את A או את המשלים formula_14. על-מסנן המכיל קבוצה סופית מכיל גם יחידון, ולכן הוא ראשי. על-מסנן שאינו ראשי מוכרח להכיל את המסנן הקו-סופי.
מסנן שחיתוך כל הקבוצות בו הוא ריק, נקרא מסנן חופשי; לדוגמה, המסנן הקו-סופי הוא כזה. מסנן חופשי אינו יכול להיות ראשי. מסנן הסביבות של נקודה במרחב T1 קשיר אינו חופשי, וגם אינו ראשי. לעומת זאת, על-מסנן הוא חופשי אם ורק אם אינו ראשי.
האיחוד של שרשרת עולה של מסננים הוא מסנן. לפי הלמה של צורן, נובע מכך שכל מסנן מוכל בעל-מסנן. תוצאה זו נקראת משפט העל-מסנן, ובעזרת מסנן פרשה נובע ממנה שיש על-מסננים לא ראשיים.
ניסוח במונחי אלגברה בוליאנית.
לכל קבוצה X, קבוצת החזקה formula_15 היא אלגברה בוליאנית; זהו חוג קומוטטיבי, ביחס לפעולות ההפרש הסימטרי כחיבור, והחיתוך ככפל. באלגברה הזו, אידיאל הוא משפחה של תת-קבוצות, הסגורה להקטנה ולאיחוד סופי. מכאן שformula_2 הוא מסנן, אם ורק אם אוסף המשלימים formula_17 הוא אידיאל. המסנן ראשי אם ורק אם האידיאל המתאים לו ראשי, והוא על-מסנן אם ורק אם האידיאל המתאים לו הוא אידיאל מקסימלי.
בסיס.
קבוצה formula_18 תיקרא בסיס למסנן formula_19 אם היא סגורה לחיתוכים סופיים ולכל formula_20 יש formula_21 כך ש-formula_22. (מסנן כזה, אם קיים, הוא יחיד) באופן שקול, formula_23 הוא המסנן הקטן ביותר שמכיל את B.
קבוצה B יכולה להיות בסיס למסנן אם ורק אם היא לא ריקה, לא מכילה את הקבוצה הריקה ולכל formula_24 יש formula_21 כך ש-formula_26.
מסננים מיוחדים.
תורת הקבוצות המודרנית עוסקת רבות במסננים על קבוצת המספרים הטבעיים. לצורך ההגדרות בהמשך, מסמנים (עבור קבוצות של מספרים טבעיים) formula_27 אם ההפרש B-A סופי, ו-formula_28 אם formula_29. מסנן formula_30 המקיים את התכונות השקולות הבאות נקרא נקודת-P:
מהשערת הרצף, או אפילו מההנחה החלשה יותר formula_39, נובע שיש נקודות-P.
הגדרה זו מוליכה ל"היררכיית-P" בת formula_40 שכבות (שיש גם מסננים מעליה). המסננים הראשיים שייכים לשכבה הראשונה formula_41, ואלו שהם נקודות-P לשכבה formula_42. ידוע שאם יש מסננים בשכבה כלשהי של ההיררכיה (מעבר לשכבת המסננים הראשיים; למשל, אם יש נקודות-P), אז יש מסננים בכל שכבה של ההיררכיה.
על-מכפלות.
נקבע מסנן formula_19 מעל קבוצה X. נאמר שתת-קבוצה של X היא "גדולה" אם היא שייכת למסנן, ו"קטנה" אחרת. השימוש החשוב ביותר במסננים הוא לבניית על-מכפלות, באופן הבא: אם לכל formula_44 יש קבוצה formula_45, אפשר להגדיר יחס שקילות על המכפלה קרטזית בהתאם למסנן: formula_46 אם אוסף האינדקסים שעבורם formula_47 שייך ל-formula_19. במילים אחרות, מזהים שני וקטורים, אם הם מסכימים זה עם זה בקבוצת אינדקסים גדולה. מרחב המנה formula_49 נקרא "מכפלה מצומצמת". אם formula_19 על-מסנן, זוהי העל-מכפלה של הקבוצות formula_45.
המשפט היסודי של על-מכפלות (J. Los, 1955) קובע שהעל-מכפלה של מבנים של שפה מסדר ראשון L, מקיימת פסוק של השפה, אם ורק אם הוא מתקיים בקבוצת מודלים גדולה. זוהי תוצאה יסודית בתורת המודלים. לדוגמה, לא רק שעל-מכפלה של מספר בן-מניה של שדות היא שדה -- גם אם משתתפים במכפלה מספר סופי של חוגים שאינם שדות, העל-מכפלה (ביחס לעל-מסנן לא-ראשי) היא עדיין שדה. אם בוחרים לכל נקודה formula_44 את אותו מודל formula_53, מתקבלת על-חזקה formula_54, והיא שקולה אלמנטרית ל-A.
מן המשפט היסודי מתקבלת בנייה מפורשת עבור משפט הקומפקטיות: אם T תורה ספיקה-סופית בשפה מסדר ראשון L (כלומר, יש מודל לכל תת-קבוצה סופית של פסוקים מתוכה), ו-X קבוצת תת-הקבוצות הסופיות של T עם מודלים formula_55 לכל קבוצה סופית formula_56, אז קיים על-מסנן formula_19 על X כך ש- formula_58 הוא מודל לתורה T. ההוכחה אינה קונסטרוקטיבית, משום שהיא נסמכת על הקיום של על-מסננים המכילים את המסנן הקו-סופי, וזו תוצאה של גרסה חלשה של אקסיומת הבחירה.
התזמורת הפילהרמונית של רדיו צרפת
התזמורת הפילהרמונית של רדיו צרפת (בצרפתית: Orchestre Philharmonique de Radio France) היא תזמורת רדיו צרפתית המספקת מוזיקה לרדיו צרפת. התזמורת, שנוסדה בשנת 1937, מתמחה במוזיקה בת ימינו.
מפרץ אונגה
מפרץ אוֹנֵגָה (ברוסית: Онежская губа, Онежский залив "Onezhskaya guba") הוא מפרץ בים הלבן, השוכן בצפון-מערב רוסיה, דרומית-מערבית לארכנגלסק.
מפרץ אונגה אורכו כ-185 קילומטר ורחבו נע בין 50–100 קילומטר. עומקו מגיע ל-36 מטר, כשהממוצע עומד על 16 מטר. הנהרות אונגה, קם (Кемь), ויג (Выг) וסומה (Сума) נשפכים למפרץ.
במפרץ שוכנים מספר איים, כשהגדול והמפורסם שבהם "סולובצקי" או "סולובצקי הגדול" השייך לקבוצת איי סולובצקי. לחופו המערבי של המפרץ ממוקמת העיר בלומורסק ומוצאה של תעלת הים הלבן - הים הבלטי.
על-מסנן
על מסנן
מאפוצ'ה
סונטות שייקספיריאניות
מיונג-וון צ'ונג
מיונג-וון צ'ונג (בקוריאנית: 정명훈, נהגה כ"צ'וֹנְג מיוֹנְג-פוּן" IPA: [ʨʌŋ mjʌŋ.ɸun]; ) הוא פסנתרן ומנצח דרום קוריאני.
ביוגרפיה.
מיונג וון צ'ונג, יליד סיאול, ניגן לפנים עם אחיותיו, הכנרת קיונג-וה צ'ונג והצ'לנית מיונג-וה צ'ונג, בשלישיית צ'ונג. הוא זכה בפרס בתחרות הפסנתר על שם צ'ייקובסקי בשנת 1974. ניצוח למד בבית ספר מאנס למוזיקה ובבית הספר ג'וליארד בניו יורק. צ'ונג כיהן כעוזר מנצח בתזמורת הפילהרמונית של לוס אנג'לס בתקופת כהונתו של קרלו מריה ג'וליני כמנהל מוזיקלי.
באירופה כיהן צ'ונג כמנצח ראשי של תזמורת הרדיו של חבל הסאר משנת 1984 עד 1990. כמו כן היה מנצח אורח ראשי של התיאטרו קומונאלה בפירנצה משנת 1987 עד 1992. הוא ניצח פחות או יותר על כל התזמורות האירופאיות והאמריקאיות החשובות והופיע לראשונה עם המטרופוליטן אופרה בניו יורק בשנת 1986 עם "סימון בוקאנגרה" של ורדי. בסוף עונת 1987-88 קיבל את פרס פרמיו אביאטי ממבקרי המוזיקה האיטלקים, וכעבור שנה זכה בפרס ארטורו טוסקניני. משנת 1989 עד 1994 כיהן מיונג-וון צ'ונג כמנהל מוזיקלי של האופרה הלאומית של פריז. הוטוא פתח את העונה הראשונה של בית האופרה בסטיליה החדש ב"הטרויאנים" של הקטור ברליוז במלואה וחוגי המוזיקה זיכו אותו בשבחים בסקירותיהם. בשנת 1991 הכתירה אותו אגודת מבקרי התיאטרון והמוזיקה של צרפת בתואר "אמן השנה" וב-1992 קיבל את אות לגיון הכבוד על תרומתו לאופרה של פריז. רבות מהקלטותיו הבלעדיות לדויטשה גרמופון מאז 1990 זכו בפרסים ואותות כבוד בינלאומיים, ביניהן "סימפוניית טורנגלילה" ו-Éclairs sur l'au-delà של אוליבייה מסייאן, אותלו של ורדי, הסימפוניה הפנטסטית של ברליוז, "ליידי מקבת ממחוז מצנסק" של דמיטרי שוסטקוביץ' עם תזמורת האופרה בסטיליה; סדרה של בסימפוניות והסרנדות של דבוז'אק עם הפילהרמונית של וינה; סדרה שכולה יצירות קודש גדולות עם תזמורת האקדמיה הלאומית למוזיקה סנטה צ'צ'יליה ובה ההקלטה זוכת הפרס של הרקוויאמים מאת דיריפלה ופורה, עם צ'צ'יליה ברטולי וברין טרפל.
מיונג-וון צ'ונג ניצח על ביצוע הבכורה העולמי של יצירתו האחרונה של מסייאן: "קונצרט לארבעה", לארבעה סולנים ותזמורת, שהמלחין הקדיש לו ולתזמורת הבסטיליה. במקביל הוא מכהן כמנהל מוזיקלי לשם כבוד בתזמורת הפילהרמונית של טוקיו.
מיונג וון צ'ונג זכה בפרסים ובתארי כבוד שונים בצרפת וביפן ואף הוכתר בתואר "איש השנה" מטעם אונסק"ו. הוא שימש שגריר לתוכנית לפיקוח על סמים של האו"ם והיה שגריר כבוד לתרבות של קוריאה, הראשון בתולדות ממשלת קוריאה. משנת 1997 הוא מכהן כמנהל מוזיקלי של התזמורת הפילהרמונית של אסיה, משנת 2000 הוא המנהל המוזיקלי של התזמורת הפילהרמונית של רדיו צרפת, משנת 2001 הוא משמש יועץ אמנותי מיוחד לתזמורת הפילהרמונית של טוקיו ומשנת 2006 הא מנהל אמנותי ומנצח ראשי של הפילהרמונית של סיאול.
הסונטות
ג'ובה
ג'וּבָּה (באנגלית: Juba) היא עיר הבירה של דרום סודאן ושל מדינת אקווטוריה התיכונה, הקטנה מבין עשר המדינות במדינה. העיר ממוקמת על גדות הנילוס הלבן והיא מונה כ-372,410 תושבים.
היסטוריה.
במאה ה-19 שכנה בקרבת ג'ובה תחנת הסחר והמיסיון הנוצרי גונדוקורו ששימשה גם כביתו של סמואל בייקר, מגלה ארצות בריטי, במהלך מסעותיו בדרום סודאן וצפון אוגנדה של ימינו, בין השנים 1863–1865 ו-1871–1873.
בשנת 1922, הגיעה לאזור קבוצה קטנה של סוחרים יוונים שהקימה את חלקה המערבי של העיר בגדה המערבית של הנילוס הלבן. הסוחרים, שהיו ביחסים טובים עם ילידי המקום, בנו את מרכז העסקים הראשי של העיר הכולל את מבנה הבנק המסחרי בופאלו, הבנק המסחרי נילוס, בית המלון פארדייס, בית הקונסול הנורווגי ומבנים נוספים שנבנו במקור על ידם.
בין השנים 1899 ל-1956 הייתה ג'ובה תחת שלטון אנגלו-מצרי, כסודאן כולה. הבריטים שאפו לצרף את אזור הדרום לאוגנדה, אלא שבוועידת ג'ובה ב-1947 נקבע כי צפון סודאן ודרומה יאוחדו למדינה אחת. ב-1955 הצית מרד של חיילים דרומיים בעיר טוריט את מלחמת האזרחים הסודאנית הראשונה, שנמשכה עד 1972.