המהירויות המוכללות של המערכת מוגדרות לפי הנגזרת המלאה של הקואורדינטות המוכללות לפי הזמן formula_28. המהירות של חלקיק במערכת היא הנגזרת המלאה לפי הזמן של וקטור המיקום, והיא מתקשרת למהירויות המוכללות לפי הנוסחה formula_29. בתיאור לעיל הנגזרות החלקיות formula_30 הן פונקציות של הקואורדינטות המוכללות והזמן, ולא של המהירויות המוכללות. אם הקשרים לא תלויים ישירות בזמן אז הנגזרות החלקיות הן פונקציות של הקואורדינטות המוכללות בלבד.
אנרגיה קינטית.
במערכת קואורדינטות קרטזיות, האנרגיה הקינטית מקיימת formula_31 והיא פונקציה של המהירויות בלבד, ולא של הקואורדינטות הקרטזיות. לעומת זאת, במערכת קואורדינטות מוכללת בה הקשרים לא תלויים ישירות בזמן מתקיים:
formula_32
כך שהאנרגיה הקינטית היא פונקציה של הקואורדינטות המוכללות ופונקציה הומוגנית מסדר שני של המהירויות המוכללות. אם הקשרים בין הקואורדינטות תלויים בזמן אז האנרגיה הקינטית היא פונקציה כללית של הקואורדינטות המוכללות, המהירויות המוכללות והזמן.
תנעים מוכללים.
הלגראנז'יאן של המערכת הפיזיקלית מוגדר על ידי formula_33 ובמקרה הכללי הוא פונקציה של הקואורדינטות המוכללות, המהירויות המוכללות והזמן. הנגזרות החלקיות של הלגראנז'יאן לפי המהירויות המוכללות formula_34 הן התנעים המוכללים. משוואות אוילר-לגראנז' מקשרות בין הנגזרות לפי הזמן של התנעים המוכללים לנגזרות של הלארנז'יאן לפי המיקום formula_35. ההמילטוניאן של המערכת הוא התמרת לז'נדר של הלגרנז'יאן ביחס למהירויות המוכללות, והיא פונקציה של הקואורדינטות המוכללות, התנעים המוכללים והזמן. הקואורדינטות המוכללות יחד עם התנעים המוכללים יוצרים סט של קואורדינטות קנוניות ביחס להמילטוניאן.
דוגמאות.
מטוטלת מתמטית.
מטוטלת מתמטית מורכבת ממסה formula_36 הנעה במרחב דו-ממדי, המחוברת באמצעות כבל באורך formula_37, לנקודה שניתן לסמנה בראשית הצירים. בצורה זו, המטוטלת שהיא מערכת עם דרגת חופש אחת, מתוארת באמצעות שתי קואורדינטות. האילוץ לפיו הכבל באורך קבוע ניתן להיכתב באמצעות המשוואה formula_38. ניתן להסתכל על הזווית בין המטוטלת לציר ה-formula_39. בתיאור זה, הקואורדינטות מקיימות formula_40 והמיקום של המטוטלת מתואר באמצעות קואורדינטה מוכללת יחידה - formula_41.
דסקה מתגלגלת במדרון.
דסקה היא דוגמה לגוף קשיח דו ממדי. תנועתה הכללית יכולה להיות מתוארת באמצעות שלוש קואורדינטות - formula_42 הקואורדינטות הקרטזיות של מרכז הדסקה, ו-formula_41 הזווית שקו מסוים על הדסקה מקיים עם ציר ה-formula_44. כשהדסקה מונחת על מדרון בעל שיפוע קבוע, היא מקיימת משוואת אילוץ מהצורה formula_45, וניתן לתאר את תנועת הדסקה באמצעות שתי קואורדינטות, לדוגמה - הזווית formula_41 והמרחק formula_47 שהדסקה עברה מנקודת תחילת התנועה, כאשר מתקיים formula_48.
אם תנועת של הדסקה היא גלגול ללא החלקה, קיים אילוץ נוסך המקשר בין הזווית למרחק שהדסקה עברה: formula_49 (כאשר formula_50 הוא רדיוס הדסקה).
אורנה אלרואי-שטיין
אורנה אלרואי-שטיין (נולדה ב-20 באפריל 1957) היא גנטיקאית מולקולרית ישראלית ופרופסור מן המניין בבית הספר שמוניס למחקר ביו-רפואי וחקר הסרטן ובבית הספר סגול למדעי המוח באוניברסיטת תל אביב.
ביוגרפיה.
אלרואי-שטיין נולדה וגדלה בישראל.
את לימודיה האקדמיים לתואר ראשון בביולוגיה השלימה בטכניון בשנת 1980 ובאותה שנה המשיכה ללימודי תואר שני בהנדסה גנטית. את לימודיה לתואר שלישי בהנדסה גנטית, ביצעה במכון ויצמן למדע בהנחיית פרופ' יורם גרונר, שמעבדתו עסקה בהבנת התהליכים המולקולריים שגורמים לתסמונת דאון (טריזומיה של כרומוזום 21). עבודת הדוקטורט שהגישה בשנת 1988 הוכיחה שביטוי יתר של הגן SOD1 שנמצא על גבי כרומוזום 21 הוא הגורם לחוסר האיזון של פעילות מוליכים עצביים, על אף שהוא למעשה מקודד לאנזים חיוני לנטרול רדיקלים חופשיים של חמצן.
לאחר מכן, יצאה אלרואי-שטיין למרילנד, ארצות הברית, ושהתה במשך שלוש שנים כעמיתה בתר-דוקטורית במחלקה למחלות ויראליות במכון הלאומי לאלרגיה ומחלות מידבקות (NIAID), במעבדתו של ד"ר ברנרד מוס. בשנים אלה פיתחה מערכת מלאכותית לייצור מוגבר של חלבונים לצרכים רפואיים ותעשייתיים תוך ניצול יתרונות אלמנטים גנטיים של וירוסים הרותמים את מערכת התרגום באופן מקסימלי.
באוקטובר 1991 שבה לישראל וזכתה במלגת אלון לחוקרים צעירים מצטיינים. היא הקימה מעבדת מחקר העוסקת בבקרת תרגום בבריאות ומחלה במחלקה לחקר התא ואימונולוגיה בפקולטה למדעי החיים באוניברסיטת תל אביב. מחקריה תרמו להבנת מנגנון אלטרנטיבי להתחלת תרגום דרך רצפים גנטיים הנקראים IRES Elements. בשנים 2000–2001 שימשה כחוקרת אורחת במעבדה לביטוי גנים איקריוטיים במכון הלאומי לבריאות הילד ולפיתוח אנושי (NICHD) על שם יוניס קנדי שרייבר במרילנד.
בשנת 2009 קודמה לדרגת פרופסור מן המניין, ובשנה שלאחר מכן מונתה לראש המחלקה לחקר התא ולאימונולוגיה, וכיהנה בתפקיד זה עד לשנת 2013.
בשנים 2014–2015 התארחה במחלקה לנוירוביולוגיה בבית הספר לרפואה באוניברסיטת ניו יורק.
בשנת 2019 הופקדה אלרואי-שטיין על הקתדרה על שם דניאל ס' אברהם לוויסות תהליכים מולקולריים.
אלרואי-שטיין נשואה ואם לשניים, מתגוררת בתל אביב.
מחקר.
מחקרה של אלרואי-שטיין מתקשר לבקרת הביטוי של גנים בתאי יונקים תוך מתן דגש על ויסות תרגום mRNA לחלבונים, ומתמקד בשני אפיקים עיקריים:
האחד, הוא ויסות של סינתזת חלבונים בתהליך יצירת מיאלין ובתיקונו, כמו גם בתפקודי מוח כוללים. אלרואי-שטיין חוקרת את מכלול הסיבות המובילות למחלת היעלמות החומר הלבן (VWM), שהיא מחלה נוירו-דגנרטיבית גנטית הנגרמת ממוטציות בפקטור התרגום eIF2B הידוע כחיוני להתחלת התרגום ולוויסותו בתגובה לתנאי עקה פיזיולוגיים. אלרואי-שטיין וקבוצתה פיתחו את מודל העכבר הראשון למחלה שמאפשר מחקר בתאי גלייה מוטנטים. המחקר הוביל לפענוח הקשר המולקולרי בין המוטציה ב-eIF2B לבין תפקוד לקוי של נשימה תאית על ידי המיטוכונדריות שגורם לעקה מטבולית. בנוסף לחקר בסיסי של המנגנונים המולקולריים והתאיים המובילים למחלה, המעבדה עוסקת בחיפוש תרופה תרפויטית עבורה.
השני, הוא ויסות סינתזת חלבונים במהלך מחזור התא עם דגש על שלב חלוקת התאים (מיטוזה). לצורך אנליזה מדויקת של אוכלוסיות ה-mRNA שעוברות תרגום אקטיבי בכל זמן נתון, פותחה במעבדתה שיטה ייחודית בשם (PUNCH-P (Puromycin-associated nascent chain proteomics, שמאפשרת את פענוח זהות החלבונים המתורגמים בכל שלב.
לאלרואי-שטיין ותק רב בביולוגיה תאית ומולקולרית, בפרט בבקרת ביטוי גנים בתאי יונקים. מחקרה כולל שאלות העוסקות בוויסות של סינתזת חלבונים בתנאים נורמליים ובתנאי דחק, כמו גם שינויים בקצבי תרגום של תתי-מחלקות של mRNA ותרומה של פקטורים ייחודיים לוויסות התרגומי, הן במחזור התא בהקשר לסרטן והן במוח בריא או חולה.
מחקרה של אלרואי-שטיין משלב גישה אינטגרטיבית רב-תחומית בדגש על אנליזות כמותיות הקשורות לוויסות גנים, הכוללות בדיקות של transcriptome (), translatome () ו-proteome () במצבים פיזיולוגיים משתנים. לאלרואי-שטיין שלושה פטנטים וכן כתבה פרקים בתשעה ספרים. היא חברה בסגל העורכים של כתבי העת Cells ו-RNA Biology.
פלה&quot;ק
סימון בוקאנגרה
סימון בוקאנגרה (באיטלקית: Simon Boccanegra) היא אופרה בת שלוש מערכות מאת ג'וזפה ורדי. הלברית נכתבה על ידי פרנצ'סקו מריה פיאבה בהתבסס על הדרמה של אנטוניו גרסיה גוטיארז באותו שם. הבכורה שלו התקיימה ב-12 במרץ 1857 בתיאטרון לה פניצ'ה בוונציה.
עלילה.
פּרוֹלוֹג.
פאולו אלביאני ופייטרו השאפתניים נחושים לשכנע את האנשים לבחור בפיראט לשעבר, סימון בוקאנגרה, כדוג'ה. בוקאנגרה מופתע מההצעה, אך מקבל את המועמדות כיוון שהוא מקווה לראות שוב את אהבתו הגדולה, מריה, אותה מסתיר מהעולם הפטריקי המתנשא פיאסקו, כי אינו רוצה לחתן אותה עם הפיראט נחות הדרגה שממנה אף נולדה למריה ילדה. פיאסקו מוכן להתפייס עם בוקאנגרה בתנאי שיקבל את נכדתו. עם זאת, הוא לומד מבוקאנגרה שהילדה נעלמה באופן מסתורי. בוקאנגרה פורץ בכוח לארמון פיאסקו, שם הוא מוצא את אהבתו מתה. בכיכר חוגגים את הדוג'ה שזה עתה נבחר.
מערכה ראשונה.
על החוף, אמֶליה גרימלדי הצעירה שנמצאת תחת אפוטרופסותו של פיאסקו, בשם הבדוי פאטר אנדריאה, מהרהרת. היא זוכרת את ילדותה, שנחטפה ונקרעה מאביה. אמליה אוהבת את גבריאלה אדורנו, אחד המנהיגים הצעירים של הפטריקים המורדים בסימון בוקאנגרה שהוא ממוצא פלבאי. פיאסקו מספר לגבריאל שאמליה אומצה והיא למעשה ממעמד נמוך. הגבר בכל זאת דבק בתוכנית הנישואים שלו. יחד עם אדורנו, פיאסקו מארגן התקוממות נגד הדוג'ה. בינתיים, הדוג'ה מגיע ורוצה לבקש את ידה של אמליה עבור אחד מנאמניו ואיש סודו, פאולו. אמליה מודה בפני הדוג'ה שהיא אוהבת מישהו אחר וחוץ מזה, היא עצמה לא מי שחושבים שהיא. לאחר שסיפרה לדוג'ה והראתה לו את דיוקן אמה, הדוג'ה מזהה בה את בתו. האבא והבת בוכים זה בצווארו של זה. הדוג'ה מודיע לפאולו שעליו לוותר על אמליה. פאולו מחליט לנקום. הוא מסכם עם פייטרו לחטוף את הנערה והם עצמם עוברים לצד הפטריקים המורדים.