כאשר formula_4 ו-formula_5 מחושבים מודולו formula_1. המיפוי הסטנדרטי מתאר בצורה מדויקת מערכת פיזיקלית של סביבון מוכה (Kicked Rotor). מערכת זאת מורכבת ממוט המוחזק בקצהו האחד על ידי ציר חסר חיכוך, ומקבל מכות בקצהו השני באופן מחזורי. המשתנים formula_5 ו-formula_4 מייצגים, בהתאמה, את המיקום הזוויתי של המוט ואת התנע הזוויתי לאחר המכה ה-formula_9-ית. הקבוע formula_10 מייצג את עוצמת המכות.
מיפוי זה הוא מן הנחקרים ביותר בכאוס הקלאסי, ומהווה את אחד המודלים החשובים והשימושיים ביותר. הוא משמש לבחינת שיטות לתיאור מעברים מתנועה מסודרת לתנועה כאוטית, ולתיאור התכונות הסטטיסטיות של מצבי כאוס גלובלי. המיפוי הסטנדרטי נותן תיאור מדויק או מקורב של מערכות פיזיקליות רבות, ולמרות פשטותו הוא שומר על התכונות המורכבות הטיפוסיות למערכות כאוטיות. בין השאר, המיפוי הסטנדרטי משמש לתיאור מערכות פיזיקליות בתחומי הפיזיקה של מאיצי חלקיקים, פיזיקה של פלסמה, ופיזיקת מצב מוצק.
מיפוי זה הוצע לראשונה על ידי בריאן טיילור (Bryan Taylor) ופותח באופן בלתי תלוי על ידי בוריס צ'יריקוב (Boris Chirikov) לצורך תיאור הדינמיקה של קווי שדה מגנטי.
קבלת המיפוי הסטנדרטי.
בסעיף זה נראה כיצד מתקבל המיפוי הסטנדרטי מתוך ההמילטוניאן של מערכת סביבון מוכה. נניח, ללא הגבלת הכלליות, כי מומנט האינרציה של המוט הוא 1. קצה אחד של המוט מוחזק על ידי ציר חסר חיכוך, ואילו הצד השני מקבל מכות בעוצמה של formula_11 בצורה מחזורית. ההמילטוניאן של המערכת נתון על ידי:
אם נפעיל את משוואות המילטון על ההמילטוניאן, נקבל את משוואות התנועה של המערכת:
בין מכה למכה המערכת נעה בצורה חופשית. נבצע אינטגרציה על מחזור אחד בין המכות ונקבל את משוואות המיפוי:
המיפוי מספק למעשה צילום סטרובוסקופי של תנועת המוט במרחב הפאזה. המיקום (הזווית) מקבל ערכים בתחום 0 עד formula_1 והתנע אינו חסום, לכן מרחב הפאזה מוגבל לצילינדר. מרחב הפאזה מחזורי בציר התנע, עם מחזור formula_1 (תוספת של formula_1 לתנע לא משנה את המיקום), ולכן אפשר להציג את המיפוי, ללא הגבלת הכלליות, בתוך טורוס בגודל formula_20.
מרחב הפאזה של המיפוי הסטנדרטי.
עבור formula_21 משוואות המיפוי מקבלות את הצורה:
הדינמיקה במקרה זה היא אינטגרבילית, שכן formula_24 הוא קבוע תנועה. אם התנע של נקודת ההתחלה הוא מספר רציונלי, formula_25 (formula_9 ו-formula_27 הם מספרים שלמים ללא גורם משותף), אז נקבל מסלול מחזורי בעל מחזור formula_9. כלומר, אחרי formula_9 צעדים המסלול יחזור על עצמו מודולו formula_1. אם התנע ההתחלתי, formula_31, הוא מספר אי-רציונלי, אז formula_5 לא יחזור על עצמו לעולם והמעגל האינווריאנטי יתכסה באופן צפוף (ארגודי).
צורת המסלולים במרחב הפאזה תלויה בגודל של פרמטר ההפרעה formula_10. עבור formula_10 קטן התנועה ברוב מרחב הפאזה היא יציבה, וככל ש-formula_10 גדל, מופיעים אזורים הולכים וגדלים של תנועה כאוטית. כל אחד מהמסלולים המחזוריים המסודרים ב-formula_21 (שכאמור מתאים לנקודת התחלה בעלת תנע רציונלי) הופך לשרשרת של איים. שרשרת של איים מטיפוס formula_37 היא "שרשרת" של formula_9 איים המתוחמים מלמעלה ולמטה על ידי שכבות כאוטיות. בכל איטרציה, אי מועתק לאי המופרד ממנו על ידי formula_39 פערים של המסלול המסודר המתאים. השכבה הכאוטית העליונה והתחתונה מוגבלות על ידי מסלולים קוואזימחזוריים עם מספר רוטציה אי-רציונלי הנקראים מסלולים רוטציוניים אינוואריאנטים (Rotational Invariant Circles – RIC). המסלולים האלה משתרעים מ-0 עד formula_1 באופן רציף ומונעים את התפשטות הכאוס, לכן הכאוס בשכבות הכאוטיות הוא כאוס לוקלי.
כאשר מגדילים את formula_10 עוד יותר ה-RICs נשברים ומוחלפים על ידי קווים מחוררים הנקראים קנטורים (כי יש להם מבנה טופולוגי דומה לזה של קבוצת קנטור). המסלולים באזורים הכאוטיים יכולים לחצות את הקנטורים דרך החורים שלהם. אחרי שכל ה-RICs נשברים, כל האזורים הכאוטיים מתחברים לאזור אחד גדול, ומתקבל כאוס גלובלי. ה-formula_10 הקריטי, שבו מתרחש המעבר לכאוס גלובלי במיפוי הסטנדרטי, הוא formula_43. עבור formula_10 שגדול מהערך הזה, התנע והאנרגיה של מסלולים באזור הכאוטי יכולים לגדול עד אינסוף.
עבור ערכים גדולים של formula_10, לא קיימים איים ברי הבחנה וכל מרחב הפאזה מתמלא בצורה ארגודית צפופה על ידי מסלול אחד.
אפוכרומטי
אלפרד מאהאן
מציאות
מציאות או ממשות היא מושג המבטא בשימושו היום-יומי את מצב הדברים הקיימים (השייכים ל"קיום"), כפי שהם באמת (לעיתים בניגוד לכפי שהם נראים או נתפסים או כפי שחושבים שהם). במובן הרחב יותר של המושג, המציאות כוללת את כל מה שיש, בין אם ניתן להבחין בו או להבין אותו ובין אם לאו. המושג קשור קשר הדוק למושגי הקיום והאמת וההבחנה ביניהם אינה תמיד ברורה. כמו לרבים מהמושגים הבסיסיים ביותר של המחשבה, במהלך השנים ניתנו למציאות הגדרות רבות ואין הגדרה מוסכמת אחת.
בפילוסופיה.
העיסוק במציאות בפילוסופיה הוא כפול: עיסוק במציאות עצמה ועיסוק ביחס בין המציאות לבין התפיסה של בני האדם. העיסוק במציאות עצמה נעשה במסגרת התחום הפילוסופי שנקרא אונטולוגיה. במסגרת עיסוק זה במציאות עצמה, השאלה הבסיסית ביותר היא מהי המציאות, מה טיבה, ומה פירוש לומר על משהו שהוא חלק מהמציאות. שאלות אלו מעלות שאלות רבות נוספות, ספציפיות יותר, שקשורות, כל אחת מהן, במידה אחרת לשאלה הבסיסית ביותר.
נושאים מרכזיים באונטולוגיה.
ממה מורכבת המציאות
כבר הפילוסופים היוונים הקדם-סוקרטיים הציגו ניסיונות להשיב על שאלה זו. זכורים בעיקר תאלס שטען שהכל מים, אנכסימנס שטען שהכל אוויר ואנכסימנדרוס שטען שהכל מורכב מיסוד אחד, בלתי-מוגבל ובלתי-מאופיין - האפיירון. מאוחר יותר פיתחו אמפדוקלס ואריסטו תפיסות על פיהן ישנם ארבעה יסודות. רעיון היסודות שרד עד ימינו, הגם שהתפיסה של המדע המודרני בימינו היא מורכבת יותר (מתבטאת בפיזיקה המודרנית ובכימיה), והיסודות הרבים שמוכרים מסודרים על פי חוקיות בטבלה המחזורית.
הפילוסוף היווני דמוקריטוס טען שבסופו של דבר מגיעים ליחידות שאינן ניתנות לחלוקה (אטומים) ושיחידות אלו מרכיבות את המציאות כולה. תפיסה זו מהווה את הבסיס לתפיסה המודרנית, בה באמצעות תיאור יחסים וחוקים השוררים בין חלקיקים ברמה המיקרוסקופית ניתן למעשה להסביר את המתרחש ברמה המקרוסקופית).
מה פירוש נמצא במציאות (-"קיים") או לא נמצא
הפילוסוף היווני פרמנידס החזיק בעמדה על-פיה הדברים שאינם קיימים אינם קיימים בשום אופן, והגיע מקביעה פשוטה ואינטואיטיבית זו ("היש ישנו והאין איננו") למסקנות מרחיקות לכת, כגון שהתנועה היא בלתי-אפשרית. תלמידו ובן-זוגו זנון המשיך את דרכו והציג טיעונים נוספים לכך שהתנועה היא בלתי-אפשרית, המוצגים בפרדוקסים של זנון. בימינו שאלת משמעותם של משפטי אי-קיום עלתה במלוא עוצמתהּ במסגרת הפילוסופיה האנליטית, ופילוסופים-לוגיקנים כגון גוטלוב פרגה וברטראנד ראסל הציעו לה פתרונות לוגיים, תוך שהם טוענים כי עיקר הבעיה הוא לשוני. פילוסופים אחרים, בעיקר מהזרם הקונטיננטלי, עסקו באופן ישיר ב"יש" (ההוויה, being) וב"אין" (nothingness). בלטו ביניהם מרטין היידגר והפילוסופים האקזיסטנציאליסטים.
הפילוסוף היווני אפלטון לא רק שהאמין בקיומם של הישים המופשטים, הוא אף האמין שקיומם הוא הראשוני - כלומר, הישים המופשטים (אצל אפלטון, האידיאות) קיימים "באמת", ואילו הישים הרגילים, קיימים רק "באופן חיוור", או פחוּת, או שקיומם מתאפשר רק על ידי קיומן של האידיאות. דוגמה קלאסית בה משתמשים על-מנת להמחיש תפיסה זו היא העובדה שכל צורה גאומטרית שניצור או נצייר במציאות, לעולם לא תהיה מושלמת (הקו הישר שנצייר על דף לעולם לא יהיה ישר באופן מושלם, המעגל שנצייר לעולם לא יהיה מעגל מושלם, שכל נקודה בו באמת נמצאת באותו מרחק מהמרכז). אפלטון מפרש זאת כך שהמושג המופשט, האידיאה, של המעגל או של הקו הישר, הוא זה שקיים באופן ראשוני. בעקבות תפיסתו של אפלטון התפתח זרם האפלטוניזם.
הפילוסוף עמנואל קאנט, למשל, סבר כי הם חלק מהתפיסה של בני האדם. לעומתו אייזק ניוטון החזיק בתפיסה שהמרחב והזמן הם מוחלטים (מהווים חלק מהמציאות) ואילו הפילוסוף והמתמטיקאי גוטפריד וילהלם לייבניץ החזיק בתפיסה שהמרחב והזמן אינם חלק מהמציאות כשלעצמם, אלא הם רק יחסים בין דברים שקיימים במציאות.
לעיתים המושג מציאות משמש על מנת לתאר את כל ההוויה (באנגלית: Being), כולל ה"אין" או ה"לא-כלום" (באנגלית - The Nothing), ואילו המושג קיום (באנגלית - Existence) נשמר לתיאור רק מה שקיים באמת. שימוש זה הוא רק אחד מני רבים אפשריים והשאלה על היחס בין המושגים הבסיסיים הנ"ל היא שאלה פילוסופית.
שאלות נוספות:
כאמור, הפילוסופיה עוסקת לא רק במציאות עצמה אלא גם ביחס בין המציאות לבין התפיסה של בני האדם - באפשרות של בני האדם לתפוס את המציאות ובאופן שבו הם יכולים לעשות זאת. עיסוק זה בקשרים בין המציאות לבין התפיסה, נעשה בעיקר במסגרת התחום הפילוסופי של האפיסטמולוגיה.
נושאים מרכזיים באפיסטמולוגיה.
הן האונטולוגיה והן האפיסטמולוגיה עוסקות בדברים נוספים מלבד השאלות על המציאות שהוצגו כאן. גם הגבול בין שני התחומים אינו תמיד חד וברור, וישנן שאלות שהתשובה עליהן דורשת הן שיקולים אונטולוגיים והן שיקולים אפיסטמולוגיים. ניתן להבחין גם שהעיסוק במציאות כולל שאלות רבות ומגוונות - דבר זה נובע מכך שמושג המציאות הוא כל-כך בסיסי, עד שהוא קשור כמעט לכל שאלה פילוסופית שיש.
רבי מנחם מענדל אביגדורס
קצח זעיר פרחים