הפלואוריד מרכיב כ-0.06–0.09 אחוזים מקרום כדור הארץ. הריכוז הממוצע בקרום הוא 300 מ"ג לק"ג. פלואורידים קיימים בריכוזים ניכרים במגוון רחב של מינרלים, בהם פלואוריט, פוספוריט, קריאוליט, אפטיט, נציץ, הורנבלנדה ואחרים. הפלואוריט, formula_1, הוא מינרל פלואוריד נפוץ בעל מסיסות נמוכה הקיים בסלעים געשיים ובסלעי משקע. הפלואוריד קשור, אופיינית, באפר געשי ובגזים חמים. גם מים תרמיים, במיוחד אלו בעלי pH גבוה, הם עשירים בפלואוריד. מינרלים להם חשיבות מסחרית כוללים קריאוליט ופוספוריט.
הפלואוריד נמצא בכל המים הטבעיים בריכוז מסוים. מי ים מכילים ריכוז אופייני של 1 מ"ג לליטר בזמן שבנהרות ובאגמים ערכי הריכוז קטנים מ-0.5 מ"ג לליטר. במי תהום עשויים להיות ריכוזים משתנים של פלואוריד. הרכבו של המסלע הסובב את מי התהום, הוא יהיה המשפיע העיקרי על ריכוזים אלה: ריכוזי הפלואוריד במים מוגבלים, מכיוון שמסיסותו של המקור העיקרי ליוני פלואוריד, פלואוריט formula_1, מוגבלת. לפיכך, בנוכחות 40 מ"ג סידן לליטר, יוגבל ריכוז הפלואוריד ל-3.1 מ"ג לליטר. רק במצב של חוסר סידן בתמיסה, יכולים ריכוזים גבוהים יותר להיות יציבים. ריכוזי פלואוריד גבוהים צפויים, אם כן, במי תהום מאקוויפרים עניי סידן ובאזורים בהם נפוצים מינרלים מכילי פלואוריד. ריכוזי פלואוריד עשויים להיות גבוהים, גם במי תהום בהם התרחש חילוף קטיוֹנִי של סידן בנתרן.
מים שבהם ריכוזי פלואוריד גבוהים, נפוצים ברצועות גאוגרפיות נרחבות, שבהן מתקיים אחד משלושה גורמים:
שימוש ברפואת שיניים.
יון הפלואוריד משפר עמידות אמייל השן לעששת משום שהפלואוריד הופך חלק מההידרוקסילאפטיט שיוצר את האמייל לפלואוראפטיט שהוא בסיס חלש יותר ולכן נתקף פחות על ידי חומצה (כדוגמת חומצת חלב שנוצרת על ידי רובד חיידקי השן).
formula_3
פלואוריד משמש מאז 1945 במדינות שונות להפלרת מי-שתייה לצורך הגנה על השיניים מעששת. הפלואוריד הוא גם מרכיב ברוב משחות השיניים. נוסף על כך, קיימים תוספי פלואוריד נוספים נפרדים ממי שתייה וממשחות השיניים, הניתנים לילדים ומבוגרים שנמצאים בסיכון גבוה לעששת שיניים ואינם מקבלים הגנה מספקת מפלואוריד במי שתייה או במשחות שיניים. תוספים אלו כוללים:
פלואורוזה
פלואורוזה (Fluorosis), הנקראת גם רעלת פלואור, היא מחלה הנגרמת עקב חשיפה גבוהה לפלואור או נטילה מופרזת של פלואוריד. מצב זה יכול להתפתח רק בילדים עד לגיל 8, כיוון שעד לגיל זה מתפתחות מתחת לחניכיים השיניים הקבועות.
פלואורוזה מתבטאת בשינויים בצבע זגוגית השן, המשתנה בהתאם לחומרה בבהירות ובצורה.
היסטוריה.
בשנת 1901 במדינת קולורדו תוארה לראשונה תופעה של "שיניים מנומרות" (mottled enamel).
היה זה פגם אסתטי שהתבטא בכתמים מצבע לבן דמוי גיר עד צבע חום. בשנת 1916 פורסמו תוצאות סקרים אפידמיולוגיים שיטתיים ראשונים, שקשרו את התופעה לצריכת מי-שתייה ממקורות שונים.
בשנת 1931 נמצא שמה שאפיין את המים שניתן לייחס להם את תופעת "השיניים המנומרות", היה פלואוריד ברכוז הגבוה מ-13 חלקים למיליון (ppm). אז שונה המונח "שיניים מנומרות" ל- "פלואורוזיס". כבר במחקרים הראשונים נמצא כי קיים קשר הפוך בין פלואורוזיס לבין עששת – באזורים שניצפתה בהם תופעת הפלואורוזיס בשיני התושבים היה שיעור נמוך של תחלואה מעששת.
באותה תקופה דר' T. Dean, אמריקאי, קצין רפואת שיניים בשירותי בריאות הציבור, ערך מחקר אפידמיולוגי על קשר בין תחלואה בפלואורוזיס לבין פלואוריד במי השתייה. מסקנותיו היו הבסיס לפרקטיקה של הפלרת מי-שתייה.
מאז 1945 מטפלים במדינות שונות במי השתייה: אם יש ריכוז גבוה של פלואוריד, מורידים את הריכוז כדי למנוע פלואורוזה.
פעולה קומוטטיבית
פעולה קומוטטיבית (או חילופית) היא פעולה בינארית המקיימת את התנאי formula_1 לכל a,b (כאשר * הוא הסימן לפעולה).
פעולת החיבור של מספרים, למשל, היא פעולה קומוטטיבית, משום שלכל שני מספרים a,b מתקיים formula_2. פעולת החיסור, לעומת זאת, אינה קומוטטיבית, משום שלמשל formula_3.
קומוטטיביות (או העדרה) היא אחת התכונות הבסיסיות ביותר של מבנים אלגבריים. במבנים אלגבריים בעלי שתי פעולות בינאריות, כגון חוגים או שדות נהוג לסמן את הפעולה הקומוטטיבית הבסיסית בסימן + המשמש לחיבור מספרים. חבורה שבה הפעולה קומוטטיבית נקראת "חבורה אבלית" על שם המתמטיקאי נילס הנריק אבל שתרם לפיתוח תורת החבורות.
גם כאשר הפעולה אינה חילופית, נאמר על שני איברים כי הם מתחלפים ביחס לפעולה formula_4 אם מתקיים formula_1.
היעדר תלות באסוציאטיביות.
אין קשר ישיר בין קומוטטיביות לתכונה אחרת של פעולות בינאריות, אסוציאטיביות:
קומוטטיבי
אסוציאטיבי
ערך מוחלט
במתמטיקה, ערך מוחלט הוא פונקציה המודדת את גודלם של איברים בשדה. הערך המוחלט של מספר ממשי או מרוכב הוא המרחק שלהם מנקודת האפס.
הערך המוחלט של מספר ממשי |x| הוא הערך האי שלילי של x מבלי להתייחס לסימן. |x=|x אם x&gt;0, ואילו x|=-x| אם x&lt;0.
התכונות העיקריות של הערך המוחלט הזה נלקחו כאקסיומות, המאפשרות להגדיר מושג דומה עבור שדות כלליים.
נהוג לסמן את הערך המוחלט של formula_1 כך: formula_2.
ערך מוחלט בשדה המספרים הממשיים.
בשדה המספרים הממשיים, ערך מוחלט של מספר הוא המרחק בינו לבין נקודת האפס על ציר המספרים. כלומר, אם המספר חיובי, הערך המוחלט שלו הוא המספר עצמו, ואם המספר שלילי ערכו המוחלט יהיה המספר הנגדי לו. ערכו המוחלט של 0 הוא 0.
תכונות.
הערך המוחלט מגדיר קטעים לפי המרחק מנקודת האמצע. בדומה לזה, formula_10 ו-formula_11 (הסימן formula_12 מסמל "או").
הגדרה.
אם "F" הוא שדה, ערך מוחלט הוא פונקציה formula_13, כאשר formula_14 הוא שדה המספרים הממשיים, המקיימת את ארבע האקסיומות הבאות:
דרישות אלה מתקיימות כמובן בערך המוחלט המקובל של מספרים ממשיים או מרוכבים (עם הקבוע C=2).
ערך מוחלט מגדיר על השדה טופולוגית האוסדורף, שבה הסדרה formula_21 מתכנסת ל-x אם ורק אם formula_22 בטופולוגיה הסטנדרטית של המספרים הממשיים (כאשר formula_23 הוא הערך המוחלט הסטנדרטי על המספרים הממשיים). שני ערכים מוחלטים הם שקולים אם הם מגדירים את אותה טופולוגיה. מחלקת השקילות נקראת לפעמים מחלק ראשוני של השדה. כל חזקה חיובית קבועה של ערך מוחלט היא ערך מוחלט, המגדיר את אותה טופולוגיה, ושני ערכים המגדירים את אותה טופולוגיה מתקבלים זה מזה על ידי העלאה בחזקה חיובית קבועה. כאשר C=2, התנאי הרביעי שקול לאי-שוויון המשולש,
ולכל ערך מוחלט יש חזקה המקיימת תנאי זה. מכאן שהטופולוגיה שערך מוחלט מגדיר היא מטריזבילית. עם זאת, אי-שוויון המשולש אינו נשמר תחת העלאה בחזקה של הערך המוחלט (לדוגמה, חזקה גדולה מ-1 של הערך המוחלט הממשי הסטנדרטי אינה מקיימת את אי-שוויון המשולש). ערך מוחלט המקיים תנאי חזק יותר - formula_25, נקרא אולטרה מטרי או לא-ארכימדי; אחרת הוא נקרא ערך מוחלט ארכימדי. כל חזקה של ערך מוחלט שאינו ארכימדי היא ערך מוחלט שאינו ארכימדי.
בגלל אי-השוויון formula_26, הערך המוחלט הוא תמיד פונקציה רציפה מהשדה F (ביחס לטופולוגיה המטרית) אל המספרים הממשיים (עם הטופולוגיה הרגילה). ערך מוחלט עם formula_27 הוא פונקציה רציפה במידה שווה.
ערך מוחלט המוגדר על שדה אפשר להמשיך לכל הרחבה אלגברית של השדה
. פונקציה המוגדרת על תחום שלמות D ומקיימת את ארבע האקסיומות, אפשר להרחיב לערך מוחלט המוגדר על שדה השברים של D, באמצעות הנוסחה formula_28.
משפט הקירוב.
ערכים מוחלטים שאינם שקולים הם שונים מאוד זה מזה, במובן הבא. יהיו formula_29 ערכים מוחלטים שאינם שקולים על שדה formula_30. לכל formula_31 ולכל formula_32, קיים formula_33 כך ש-formula_34. במילים אחרות, השיכון האלכסוני של השדה במרחב המכפלה formula_35 (כאשר ברכיב ה-i מוגדרת הטופולוגיה המושרית על ידי הערך המוחלט ה-i) הוא צפוף.
עבור שדה מספרים הרציונליים עם קבוצה סופית של ערכים מוחלטים p-אדיים (לראשוניים שונים p), משפט הקירוב אינו אלא משפט השאריות הסיני.
ערך מוחלט בשדה המספרים המרוכבים.
בשדה המספרים המרוכבים ההגדרה האינטואיטיבית של הערך המוחלט עדיין תקפה - בוחנים את המרחק בין המספר המרוכב ובין ראשית המישור המרוכב. עבור המספר המרוכב formula_36, הערך המוחלט יהיה formula_37 - נוסחת המרחק האוקלידי. תכונות 1-4 של הערך המוחלט מתקיימות גם עבור מספרים מרוכבים, וכמו כן מתקיים formula_38, כאשר formula_39 הוא הצמוד המרוכב של formula_40 .
ביחד עם הזווית שיוצר הוקטור של המספר עם ציר ה-x, משמשים הערך המוחלט (שמסומן ב-r) והזווית (שמסומנת ב-formula_41) כדרך נוספת להגדיר מספר מסוים. על-פי נוסחת אוילר, ניתן להציג את המספר כ-formula_42. דרך זו משמשת, למשל, להכפיל, להעלות בחזקה ולהוציא שורש בקלות.
ערך מוחלט p-אדי.
על שדה המספרים ה-p-אדיים formula_43 מוגדרת הערכה דיסקרטית formula_44 (בהנחה ש-formula_45), וזו מגדירה ערך מוחלט לפי formula_46 ומטריקה (formula_47), המגדירה טופולוגיה. תחת הטופולוגיה הזו, חוג השלמים ה-p-אדיים, שהוא כדור היחידה הסגור בשדה, הוא קבוצה קומפקטית, הומיאומורפית לקבוצת קנטור. השדה אינו קומפקטי, אבל הוא קומפקטי מקומית.
הערך המוחלט ה-p-אדי הוא ערך מוחלט לא-ארכימדי, ומקיים דרישה חזקה יותר מאי-שוויון המשולש, שהיא
תכונה זו מגדירה אומנם טופולוגיה מטרית, אך מספר תכונות בה שונות מהטופולוגיה המטרית הרגילה, למשל: טור אינסופי מתכנס במטריקה ה-p-אדית אם ורק אם האיבר הכללי שואף לאפס
בעוד שבמטריקה הרגילה הטור ההרמוני formula_51 מתבדר, אף על פי ש-formula_52 שואף ל-0.