ההנחה החמישית שקולה לטענה כי דרך נקודה שמחוץ לישר עובר מקביל אחד ויחיד, המכונה "אקסיומת המקבילים". בניגוד לשאר ההנחות והאקסיומות, הנראות פשוטות ומובנות מאליהן, אקסיומת המקבילים נראתה למתמטיקאים לאורך ההיסטוריה פחות טבעית, והם ניסו למצוא דרך להוכיח אותה משאר ההנחות. רק במאה ה-19 הוכח שהיא בלתי ניתנת להוכחה, על ידי יצירת הגאומטריה ההיפרבולית שבה כל ארבע האקסיומות הראשונות נכונות אך החמישית איננה נכונה. תחום זה של הגאומטריה נקרא גאומטריה לא-אוקלידית, בניגוד ל"גאומטריה אוקלידית" שבה מניחים את כל חמש ההנחות.
המוסכמות וההנחות שהציע אוקלידס אינן מספיקות לביסוס של הגאומטריה במידת הקפדנות המקובלת היום; במקומן מקובל להשתמש במערכת האקסיומות של הילברט שהציע דויד הילברט בסוף המאה ה-19.
פיתוח גאומטריית המרחב דורש את מושג המישור, המאופיין בכך שדרך 3 נקודות שאינן נמצאות על ישר אחד עובר מישור אחד ויחיד.
זכויות יוצרים
זכות יוצרים (באנגלית: Copyright) היא ההגנה שניתנת ליוצר או לבעלים של יצירה מפני שימוש בלתי מורשה ביצירה שהיא קניין רוחני שלו.
ההגנה הניתנת לזכויות יוצרים באה להגן על דרכי ביטוי, ומטרתה לעודד את העשרת עולם הביטויים. נהוג לסמן יצירה שרוצים להדגיש שיש למישהו זכויות שמורות עליה באמצעות הסימון © (האות C בתוך עיגול, קיצור של המילה copyright) - ולידו הביטוי "כל הזכויות שמורות", אך ברוב מדינות העולם (ובכלל זה בישראל) הדבר איננו הכרחי, והיצירה תהיה מוגנת גם ללא הסימון, אם היא עומדת בתנאים מהותיים אחרים.
היסטוריה של דיני זכויות היוצרים.
המצאת הדפוס בשלהי המאה ה־15 הפכה את יצירתם והפצתם של עותקים לעניין כלכלי, והתפתחות הדפוס בהמשך הקלה מאוד על שכפול עותקי יצירות שנעשו על ידי אחרים. כבר בראשית המאה ה־16 ניתן למצוא איסורים וחרמות שבאו להגן על המדפיסים מפני מתחרים לפרק זמן של כמה שנים. בשנת 1517 פרסם הקיסר מקסימיליאן והאפיפיור לאו העשירי איסור מסוג זה על הדפסת התנ"ך לפרק זמן של 4 שנים.
חקיקת זכויות היוצרים הראשונה התקבלה בפרלמנט הבריטי בשנת 1709. החוק נקרא חוק המלכה אן, והוא נחשב לחוק זכות יוצרים המודרני הראשון בעולם. ההגנה ניתנה בשעתה למשך 14 שנה, עם אפשרות להארכה בעוד 14 שנה. בארצות הברית נכנסו זכויות היוצרים לחוקה ביוזמתו של ג'יימס מדיסון, על ידי הסמכת הקונגרס לחוקק חקיקת קניין רוחני. בחוקת ארצות הברית הוגבלו זכויות היוצרים ליצירות ספרותיות, ולזמן מוגבל. במשך השנים, הלכה תקופת ההגנה והתארכה עד שבשנות האלפיים, ברוב מדינות העולם, היא נמשכת על כל חיי היוצר ועד שבעים שנה לאחר מותו.
בהכרזה לכל באי עולם בדבר זכויות האדם, אומצה על ידי העצרת הכללית של האו"ם ביום 10 בדצמבר 1948, ומתארת את זכויות האדם היסודיות שצריכות לחול בכל מדינות האו"ם, נכלל גם סעיף כז(2) שבו נאמר "כל אדם זכאי להגנת האינטרסים המוסריים והחומריים הכרוכים בכל יצירה מדעית, ספרותית, או אמנותית שהיא פרי רוחו".
זכויות יוצרים במשפט העברי.
ב-1518 נתנו רבני ונציה הסכמה לשלושה מספרי רבי אליהו בחור ואסרו את הדפסתם למשך 10 שנים. בנימוקיהם הם כותבים "כי ידענו האיש הזה ואת שיחו כי... חִבר החִבורים הנזכרים בטורח ובעמל ובאבוד זמנו ימים רבים... ובאולי יש שורש פורה ראש ולענה אשר ימלא לבו להדפיס גם הוא החבורים הנזכרים או כולם או אחת מהן בדפוס יותר נאה מזה, ונמצא זה הר' אליה והאחים הנזכרים זריזים ונפסדים...וכל המדפיס אותם, או הוא או שלוחו, יהא בכלל פורץ גדר וישכנו נח"ש. והקונה ממנו בידיעה והכרה אחרי שמעו גזרותינו, יהא באלה ובשמתא, וכל ישראל יהיו ברוכים".
דיון הלכתי חשוב בשאלת זכותו של מדפיס למנוע מאחרים להדפיס מופיע בתשובתו של רבי משה איסרלש (הרמ"א) בשנת 1550, שעניינו הוא הפרשה הידועה בין מהר"ם מפאדובה ושותפו המדפיס הנוצרי אלויזי בראגאדין לבין המדפיס הנוצרי מרק אנטוניו יושטיניאן בעניין הדפסת משנה תורה לרמב"ם, שבו כתב בין היתר "דין הוא עם הגאון, שהוא ימכור ספריו ראשונה" ושיש איסור למדפיס השני למכור וכן לקנות ממנו. במקרים אלו פוסקי ההלכה, קצבו את האיסור לזמן מסוים (בין 10 שנים אצל רבי אליהו בחור, ל-25 שנים בפסק רמ"א) וחיזקו את האיסור בחרם על הקונים.
התייחסות במשפט העברי לזכויות היוצרים בשלב זה אינה מצד נושא הקניין הרוחני, אלא מצד הפסד כספי מטעם של "הסגת גבול". עיקר דין זה של הסגת גבול מתייחס לאיסור על גזלת שטח קרקע באמצעות שינוי סימני הגבול, אך בחז"ל הורחב איסור זה גם לאיסור לקיפוח פרנסתו של אדם בחדירה לתחומי עיסוקו, והחל ממהפכת הדפוס לאיסור על הדפסת ספרים שאדם יצר לפרק זמן קצוב. היו גם דעות מנוגדות, כמו הרב מרדכי בנט אב בין הדין ניקלשבורג, שלא קיבלו את הטעם של "הסגת גבול", וטענו שהאיסור צריך להיות מושתת על טעמים אחרים.
הרב עמוס ראבילו ממכון משפטי ארץ סקר כמה יסודות להגנה על זכויות על פי ההלכה:
מסקנת הרב ראבילו שיש תוקף הלכתי לחוק זכויות יוצרים הן במקרים בהם הוא מגן על היוצר יותר מאשר ההלכה מגנה, והן במקרה שהוא מגן על היוצר פחות מאשר ההלכה מגנה. אולם יש לפרש את החוק על פי עקרונות המשפט העברי ואין לקבל את פרשנות בתי המשפט.
חוקי זכויות יוצרים בארץ ישראל ובישראל.
האימפריה העות'מאנית חוקקה חוק זכות יוצרים, בהשראת החוק הצרפתי, בשנת 1910, והוא חל בכל שטחיה, כולל ארץ ישראל.
לאחר כיבוש הארץ בידי הבריטים ולאחר החלת השלטון האזרחי, נחקקה פקודת זכות יוצרים ב-1920, אולם זו לא האריכה ימים. חוק השיפוט הזר האנגלי משנת 1890 עם דבר המלך במועצה על ארץ ישראל בעניין זכויות יוצרים משנת 1922 אפשר למלך ולשלטונות המנדט הבריטי להחיל בארץ ישראל חקיקה בריטית. לפי סמכות זו, בשנת 1924, הוחל ' האימפריאלי משנת 1911 בארץ ישראל, ובצידו נחקקה ' באותה שנה.
החוק משנת 1911 והפקודה משנת 1924 נותרו בתוקפם, גם לאחר קום המדינה, לפי פקודת סדרי שלטון ומשפט, 1948 עד לכניסתו לתוקף של , ב-25 במאי 2008. חוק זה החליף את החקיקה המנדטורית, למעט הסדרים אחדים. עם זאת, החוק החדש קובע () הוראות מעבר, שלפיהן החוק הישן עשוי להוסיף ולחול במצבים מסוימים.
החקיקה עד 2007.
חוק זכות יוצרים, 1911, קבע רשימה של סוגי יצירות שעשויות להיות מוגנות בזכויות יוצרים, שהוגדרו .
דן ביצירה ספרותית, דרמטית, מוזיקלית ואמנותית (המונחים הללו מוגדרים – סעיף ההגדרות של החוק). הרשימה הזו סגורה, אך תוכנן של הקטגוריות הללו אינו סגור וכולל שורה ארוכה של הגדרות.
הן החוק מ-1911 והן הפקודה מ-1924 תוקנו על ידי הכנסת במהלך השנים, אולם תיקונים אלה הביאו למצב שבו ישנם לכאורה סעיפים בשני החוקים הסותרים זה את זה. כך למשל, החוק מ-1911 קובע תקופת הגנה של 50 שנה לאחר מות המחבר, ואילו הפקודה מאריכה את התקופה במפורש ל-70 שנה לאחר מות המחבר.
חוק זכות יוצרים, 1911, נועד במקורו לטפל ביצירות הקלאסיות שהיו קיימות באנגליה בעת חקיקתו: ספר, לחן, שיר, וציור. בעקבות ההגדרות בחוק זה, בתי המשפט נאלצו להכפיף את המציאות להגדרות החוק - ובהתאם מבחינת בתי המשפט, ספר היה כל יצירה המובאת לדפוס, בין אם מדובר בעיתון, ספר טלפונים, תפריט או קוד תוכנה - כל עוד ענו להגדרה, נחשבו ליצירה ספרותית, מבלי דרישה לערך אמנותי.
עם זאת קבע החוק שני חריגים, שבהם נדרש ערך אמנותי על מנת שהיצירה תקבל הגנה:
הפסיקה הרחיבה במהלך השנים, ועם השתנות העתים והנסיבות, והכירה למעשה בסוגי יצירות נוספים כמוגנים בזכויות יוצרים: סיסמת פרסומת קצרה, מדריכים מסווגים, מעגלים חשמליים וכן תוכנות מחשב.
החקיקה העדכנית.
חוק זכות יוצרים, התשס"ח-2007 מגדיר את סוגי היצירות שעליהן חלה הגנת זכות יוצרים :
עונה לשאלה מהי זכות יוצרים:
תחומים שאינם בני הגנה.
זכות היוצרים אינה מגינה על רעיונות, אלא רק על צורת הביטוי הספציפית לאותם רעיונות. בהתאם לכך, קבע המחוקק כי זכות יוצרים לא תחול על:
אולם, על דרך ביטויים של אלה חלה זכות היוצרים.
מצב זה זהה בפועל למצב שהיה קיים קודם לחקיקת החוק בשנת 2007.
דוקטרינת האיחוד.
דוקטרינת האיחוד מהווה חריג לפיו לא זכאי ביטוי מקורי של רעיון להגנה לפי דיני זכויות היוצרים. מדובר במצבים שבהם יש רק דרך אחת לבטא את הרעיון. כדי להימנע מהגנה משפטית לרעיון, מתייחס המשפט למיזוג בין הרעיון לביטוי כאל רעיון, שאינו מוגן.
הגישה במשפט האמריקאי.
מקורה של דוקטרינת האיחוד הוא במשפט האמריקאי, אשר פיתח את הדוקטרינה, בו הוא הביא גישה חדשה, בו הוא מראה דרך נוספת לצורת הביטוי שעליו אין הגנה.
הדוקטרינה קובעת כי ישנם מקרים בהם ליוצר היצירה נותרות רק אפשרויות הביטוי מועטות להביא הרעיון לידי ביטוי, בכך הביטוי מוכתב למגבלות של הרעיון.
במקרים מעין אלו בהם עומד היוצר מעשית מול טווח קטן של צורות ביטוי שאותו הוא יכול להביא מהרעיון, הביטוי אותו יצר יזכה להגנה חלשה ומועטה בלבד על יצירתו, ולא כפי שהיה ניתן לחשוב שתהיה הגנתו חזקה ככל צורת ביטוי המוגנת היטב על ידי דיני זכויות היוצרים. כי אם לא יעשו כן, ייווצר מצב בו יהיה ליוצר מעין מונופול על הרעיון.
המקרה המפורסם ביותר בו ניתן ליישם את הדוקטרינה הוא בפסק דין אמריקאי, שם דובר בהעתקת "כללי משחק", בו הכללים של המשחק הובאו בצורה כה ברורה, פשטנית וחד משמעית. במצב זה אם היו משאירים לידי כותבי הכללים את ההגנה שניתנת לפי זכויות יוצרים על ביטוי, היו מעניקים להם בכך גם את ההגנה על הרעיון.