לכל מספר ממשי אי-שלילי יש שורש ריבועי ממשי, ולכל מספר ממשי שלילי אין שורש ריבועי ממשי. למספרים שליליים יש שורש מדומה. למעשה, השורשים באים בזוגות: אם formula_5 אז formula_6 שניהם שורשים ממשיים של formula_7 ואם formula_8 אז formula_9 שניהם שורשים מדומים של formula_10. באופן כללי, הפתרון של משוואה ריבועית הוא שני מספרים מרוכבים (כולל ריבוי). כל מספר ממשי הוא גם מספר מרוכב.
ההצגה העשרונית.
כל מספר ממשי אפשר להציג כשבר עשרוני, בעל מספר סופי או אינסופי של ספרות מימין לנקודה.
מרחק וטופולוגיה.
בטופולוגיה, קבוצת המספרים הממשיים יוצרת מרחב מטרי, שבו המרחק בין formula_13 ל-formula_14 מוגדר כערך המוחלט formula_15. בדרך זו התאמתם של המספרים הממשיים לנקודות על הישר הממשי מאפשרת לבטא את אורכו של כל קטע במישור.
על פי תכונת ארכימדס, לכל מספר ממשי קיים מספר טבעי שגדול ממנו. נובע מכאן שהמרחב המטרי של המספרים הממשיים הוא מרחב ספרבילי, משום שקבוצת המספרים הרציונליים, שהיא בת מנייה, היא קבוצה צפופה (שכן כל קטע פתוח מכיל מספר רציונלי). הארכימדיות מאפשרת להגדיר את הערך השלם של formula_13, בתור המקסימום של formula_17.
דטרמיניזם
דֵּטֶרְמִינִיזְם או כָּרְחָנוּת היא השקפה פילוסופית לפיה כל מאורע בעולם, פעולות, החלטות או מחשבות אנושיות נקבעים באופן בלעדי על ידי אירועים קודמים. דטרמיניזם עולה בהקשרים רבים, ביניהם המדע, הדת ופילוסופיה של המוסר.
ההיבט הלוגי.
אריסטו היה הראשון שניסח היבט זה ובחן אותו. לפי הלוגיקה, מתקיים "חוק השלישי הנמנע", לפיו כל טענה היא אמיתית או שקרית, ואין אפשרות שלישית. אריסטו בחן טענה זו על משפטים מן העתיד: טענה אודות העתיד היא אמיתית או שקרית כיום, ואין אפשרות שלישית. לכן, הייתה הטענה אמיתית או שקרית מאז ומעולם. אם הייתה כזאת מאז ומעולם, אזי היא תתרחש בהכרח.
ההשקפה הסיבתית.
בסיס המושג נעוץ בתפיסה שלכל אירוע יש אירועים מקדימים, שמשפיעים עליו או גורמים להתרחשותו. או בלשון אחרת, לכל מסובב יש סיבות.
פילוסופים מאסכולה זו טענו שכאשר עוקבים אחורה בשרשרת הסיבות (מה גרם למה גרם למה, וכן הלאה) ניתן להגיע, תאורטית לפחות, עד ל"מניע הראשון", שבמקרים רבים זוהה עם אלוהים, או, ואחרים זיהו אותה עם המפץ הגדול. הגישה שלפיה קיים מניע ראשון היא דאיזם. הדטרמיניזם טוען, בין היתר, גם כי לכל דבר יש סיבה.
אחד מראשוני הפילוסופים שהחזיקו בתפיסה זו היה דמוקריטוס, שהשתייך לאסכולה האטומיסטית בפילוסופיה הקדם-סוקרטית. דמוקריטוס טען שתנועת האטומים ומיקומם היא שרירותית מבחינת תכליתה, והכרחית מבחינת סיבותיה.
ההשקפה התכליתית.
דרך הסתכלות נוספת על מושג הדטרמיניזם היא הסתכלות תכליתית ולא סיבתית. אם מניחים שכל פעולה גוררת פעולה אחרת, אז ניתן לומר שלכל פעולה יש "סיבה" שגרמה לה, אך גם כי לכל פעולה יש "תוצאה" שלה, או "מטרה" שלה.
לפיכך, תאורטית, בהינתן מספיק נתונים (כלל כל הדברים ביקום, אם מתחשבים באפקט הפרפר) ניתן לחזות מה יקרה לכל דבר.
בניגוד לפאטאליזם (אמונה בגורל), אשר שם דגש על תוצאה ידועה ובלתי נמנעת בעתיד, שם הדטרמיניזם דגש על כך שההווה הוא בלתי נמנע. בעוד שהפאטליסטים מאמינים שהתוצאה הסופית היא זהה, ללא תלות בדרך, הדטרמיניסטים טוענים שבחירה בדרך אחרת מעולם לא הייתה אפשרות. גם תהליך הבחירה הוא תוצר של מכלול הסיבות שהוביל אליו.
עקרון הדטרמיניזם, הסותר את עקרון הבחירה החופשית, מוביל למסקנה שתחושת הבחירה החופשית היא אשליה. התלבטויותיו של אדם הן תהליך קוגניטיבי חישובי לאורך זמן, שלא ניתן לחזות את תוצאותיו מראש, אך תוצאתו יחידה, ואינה יכולה להיות אחרת. בעוד שחלק מהפטליסטים מאמינים ביד מכוונת, בישות כלשהי בעלת תוכנית או בכוונה סופית כלשהי, הדטרמיניזם מאמין שההתרחשויות בעולם הן טבעיות לחלוטין.
דטרמיניזם דתי.
תפיסת האלוהים כמי שיודע הכול, כל יכול ועושה הכול, משמעותה לכאורה שהאל עושה ויודע כיצד יתנהל העולם וכיצד ינהג אדם מאז ומעולם ובכל רגע נתון, ולכן כל מה שיקרה, בהכרח יקרה: אין לאדם חופש בחירה חדש לשנות עכשיו את מה שידוע היה מראש. כך למשל, אם האל יודע מראש הכול, הרי שמראש לא ייתכן שהאדם יבחר אחרת (כי אז בחירתו ההפוכה של האדם תהפוך למפרע את ידיעתו מראש של האלוהים לידיעה שגויה). הנחות דתיות אלו מובילות לכאורה לדטרמיניזם.
מעבר לבחירתו של האדם, גם התרחשויות הטבע נתפסות כהכרחיות אם חוכמת האלהים וטובו הם העומדים מאחורי הטבע, שהרי האל בחר מראש את החכם והטוב ביותר שיתרחש, ואם כן דבר לא יוכל להתרחש אחרת. הפילוסוף הגרמני גוטפריד וילהלם לייבניץ הציג עמדה זו במאה ה-18. נוסף על כך, מעצם הגדרתו של אלוהים כ"טוב אינסופי", נובע, על פי לייבניץ, כי העולם בו חיים בני האדם אמנם התרחש בהכרח ונקבע על פי אלוהים, אולם בשל טובו האינסופי של אלוהים, עולם זה הוא הטוב מבין כל העולמות האפשריים. לכן, אם מתרחש אסון כלשהו, אזי ברי לכל שהיה מן ההכרח שאסון זה יתרחש, כדי שימשיך להתקיים הטוב מבין העולמות האפשריים, ולאלוהים הטוב ודאי יש סיבות משלו לגרום להתרחשות אסון זה. תפיסה זו משקפת אופטימיות לגבי העולם ועתידו. הפילוסוף הצרפתי וולטר לעג לעמדה זו בספרו הסאטירי "קנדיד", שנכתב לאחר רעידת האדמה בליסבון.
אם תפיסת האלוהות מובילה לדטרמיניזם, הרי שהתפיסה הדתית את חובת האדם מובילה לשלילתו: הדטרמיניזם הוא בעייתי מבחינה דתית משום שאם אין בחירה חופשית, קשה להטיל על האדם אחריות למעשיו, ועקרון השכר והעונש האלוהי על מעשי האדם איננו מוסרי.
ביהדות מוצגת התמודדות עם התפיסה הדטרמיניסטית (על פי אחד הפירושים) בספר קהלת. למשל, ב: "מה שהיה הוא שיהיה ומה שנעשה הוא שייעשה". לפי התפיסה בפסוק, דבר אינו משתנה. האדם אינו מסוגל לשנות דבר, כיוון שגורלו נקבע מראש. אולם, יש המבינים את דברי קהלת על תוכן המעשים, שהם הדחפים היצרים והסיפוקים של האדם אשר לא משתנים לעולם. תפיסה זו מוצגת לאורך רוב הספר, ולכן בימי קדם התלבטו האם לצרף אותו לתנ"ך. לבסוף צורף הספר, משום ש"תחילתו וסופו בדברי תורה", כלומר: המחבר מבצע חקירה לוגית-פילוסופית בדבר משמעות האדם ומה צריכה להיות דרכו בחיים על מנת להיות מאושר. במשך רוב הספר פוסל המחבר את כל האפשרויות לאושר שמציע העולם ומראה שאין ביכולתן להביא לשלוות הנפש אותה מחפש האדם. בסוף הספר, אחרי שקהלת פסל כמעט כל דבר – מגיע השיא, היא האמת על פי המחבר: "סוף דבר, הכול נשמע: את-האלוהים ירא ואת-מצוותיו שמור, כי-זה כל-האדם. כי, את-כל-מעשה, האלוהים יביא במשפט, על כל-נעלם: אם-טוב, ואם-רע." מכאן ניתן לראות בבירור ניגוד חריף לדטרמיניזם, אשר אינו מאפשר משפט, מאחר שאין בחירה חופשית.
הפרדוקס הדתי בין האמונה בדטרמיניזם האלוהי המוחלט ובין ההנחה הדתית שיש לאדם בחירה חופשית, העסיק גם את חז"ל. כך למשל נקבעו שני הקטבים הפרדוקסליים בקביעה דוגמטית אחת במסכת אבות: "הכל צפוי והרשות נתונה" (בשמו של רבי עקיבא). אמרה אחרת ניסתה להתיר את הסבך על ידי הקביעה "הכל בידי שמים חוץ מיראת שמים": הדטרמיניזם האלוהי שליט על הכל, אבל יש לו יוצא דופן אחד ויחיד – בחירתו החופשית של האדם להיות ירא שמים.
בתולדות המחשבה הדתית היהודית ישנן דוגמאות מעטות, יחסית, לדטרמיניזם דתי השולל מן האדם את יכולת הבחירה החופשית. רבי חסדאי קרשקש הציע תפיסה דטרמיניסטית חמורה, שלפיה כל מעשה של האדם תלוי בגורמים קודמים שהיוו עילה למעשיו. מקרה אחר של הוגה יהודי הדוגל בדטרמיניזם דתי קיצוני נמצא בתנועה החסידית בהגותו יוצאת הדופן של הרבי מאיזביצה, ר' מרדכי יוסף ליינר בספרו "מי השילוח".
הבחינה המדעית.
מבחינה מדעית היה הדטרמיניזם בסיס להבנה שהמדע מתנהל בצורה חד-ערכית ושכל אירוע נגרם על ידי אירוע אחר, ואם ידוע מצב של מערכת בזמן מסוים, ואילו היו כל חוקי הטבע ידועים, ניתן היה לחזות את מהלך האירועים עד קץ הדורות. טענה זו העלה לראשונה המדען פייר-סימון לפלס. הוא טען שבאופן תאורטי אם היה בנמצא מחשב-על שיכול לחשב את כל פעולות היקום, ניתן היה לחזות כל דבר.
האופי ההסתברותי של מכניקת הקוונטים, שלפיה תוצאות תהליכים בסיסיים בטבע נקבעים באקראיות, ערערה על קביעה זו. אחת הסיבות שאלברט איינשטיין חלק על מכניקת הקוונטים היא אמונתו בדטרמיניזם. הוא ביטא זאת באמירתו המפורסמת "אלוהים לא משחק בקוביות".
עם זאת, תחת מכניקת הקוונטים הדטרמיניזם הקלאסי מוחלף בדטרמיניזם קוונטי, הטוען שאומנם לא ניתן לחזות בוודאות את התוצאות של כל תהליך, אך תאורטית ניתן במקום זאת לחזות את ההסתברות המדויקת להתרחשותה של כל תוצאה.
ביקורת הסוציולוגים.
סוציולוגים ביקורתיים הוסיפו כי דטרמיניזם הוא מושג בעייתי, היות שהוא מבטל את חופש הבחירה של הפרט. לדוגמה, סוציולוגים רבים נדרשו לשאלה על אודות דטרמיניזם טכנולוגי, במיוחד בקשר למחקר על אודות המהפכה התעשייתית: חוקרים ממדעים שונים טענו כי המהפכה הוּבלה על ידי דטרמיניזם טכנולוגי ולכן הייתה חייבת לפרוץ. הסוציולוגים הביקורתיים דוחים קביעה זו ומציינים שקיימת התעלמות מהסיבות ההיסטוריות, החברתיות והכלכליות שהובילו לפרוץ מהפכה זו דווקא בתקופה שפרצה.
עיון מדעי בכתבי הקודש
בריליום
בריליום (Beryllium) הוא יסוד כימי מסדרת המתכות האלקליות-עפרוריות, שסמלו הכימי Be ומספרו האטומי 4. נקרא גם גלוציניום.
תכונות.