הבסיס לתורת הרשתות הוא שקיימות נקודות דמיון מבחינת תכונות הרשת של מערכות כל כך שונות כמו כלכלה, האינטרנט או מערכת התאים בגוף.
הדבר נכון גם לרשתות תוצרי אדם (למשל, פייסבוק), לרשתות מתוכננות, למשל, רשת החשמל וגם לרשתות המתארגנות בכוחות עצמן (למשל, מערכת כלי הדם בגוף).
התפתחות מחקרי תורת הרשתות.
תורת הרשתות נשענת על מחקרים שנעשו בתורת הגרפים ובניתוח רשתות חברתיות במאה ה-20:
מחקרים מתורת הגרפים.
את הבסיס המתמטי למחקר על רשתות הניח אוילר ב-1736. הוא פתר את הבעיה הידועה כבעיית הגשרים של קניגסברג, בעזרתה פיתח את יסודות הגרף המהווה צירוף של צמתים וקישורים.
ב-1960 פיתחו שני המתמטיקאים, ארדש ורניי את תיאורית הרשתות האקראיות. על-פי המודל שלהם, הקישורים מפוזרים באופן אקראי בין קדקודי הגרף. רבות מתכונותיו של מודל זה נחקרו ונמצא כי כאשר מספר הקשתות (קשרים) קטן, יורכב הגרף כולו מאיים קטנים שאינם קשורים ביניהם. אך כאשר מספר הקשתות גדול מחצי מספר הקדקודים, תהיה בגרף קבוצת קדקודים המקושרים ביניהם, המהווה חלק משמעותי מהגרף (ובנוסף לכך יהיו בו איים מבודדים קטנים).
אחד ממאפייני המודל האקראי של ארדש-רניי הוא שהתפלגות הקשרים של הצמתים בגרף היא גיאוסיינית או פואסונית, כלומר, למרבית הצמתים יש מספר קשרים הקרוב למספר הממוצע של הקשרים ברשת, עם סטיות תקן.
מדע הרשתות עושה שימוש במודלים אקראיים אלו למשל כדי להנגידם אל מול רשתות "עולם אמיתי" על מנת לבחון תקפות של תזות.
מחקרים של ניתוח רשתות חברתיות.
בסוף שנות ה-60 של המאה ה-20 ערך סטנלי מילגרם, פסיכולוג חברתי, ניסוי מפורסם ברשתות חברתיות, שטבע את המושג "שש דרגות של הפרדה" בתרבות הפופולרית שמאחוריו התזה שכל אדם קשור לכל אדם בכשישה צעדים ברשת החברתית. למרות שהניסוי בפועל לא הוכיח זאת, הנושא נתן השראה למחקרים בנושא
תופעת העולם הקטן. כך, במאמר שפורסם ב-1998 על ידי וואטס וסטרוגאטס הם הוכיחו כיצד נוצרת תופעת העולם הקטן. חיווט מחדש של אחוז קטן של הקישורים במודל הרשת הרנדומית של ארדש ורניי יוצר את טופולוגיית העולם הקטן. הטופולוגיה החדשה מאופיינת שני מדדים עיקריים: מצד אחר נשמרים הקשרים המקומיים של הצמתים הקרובים זה לזה, מדד המוכר בשם (Clustering coefficient). לצד זאת, המרחקים ברשת בין הצמתים קטנים עם הצגתם של חיבורים חדשים, גם אם מעטים, בין קצוות הרשת.
תופעה זו זוהתה בהמשך ברשתות "עולם אמיתי".
ב-1973 הציג הסוציולוג מארק גרנובטר את מאמרו המפורסם "עוצמתם של קשרים חלשים" בו טען כי בתחומים כשיווק, כלכלה או פוליטיקה, קשרים חלשים מאפשרים גישה לאוכלוסיות שאינן נגישות דרך קשרים חזקים, ושקשרים חלשים אלו תורמים יותר להפצת מידע בין בני אדם. כמו כן, המחקר בדק כיצד מבנה ופריסה של רשת חברתית הקיימת בין שני אנשים ומעבר להם עצמם, משפיעים על פריסה של הרשת החברתית עצמה ועל ההפצה של מידע אל מחוץ לאותה רשת חברתית.
מחקר מדע הרשתות.
- התגלית הראשונה של תכונות אוניברסליות של רשתות שאיפשרה את מדע הרשתות, היא התגלית ב-1999 של אלברט-לסלו ברבאשי שהציג לראשונה את התהליך בו נוצרות רשתות אשר התפלגות הקשרים של הצמתים בהן אינה גאוסיינית אלא נראית כהתפלגות בעלת "זנב ארוך". בהתפלגות זו, למעט מאוד צמתים ישנם קשרים רבים ברשת ולשאר הצמתים מספר מועט של קשרים. ברבאשי הגדיר רשתות אלו בשם Scale Free Networks או רשתות חסרות סקאלה/נטולות קנה-מידה:
אם התפלגות הדרגה של הרשת (כלומר, ההסתברות שלצומת שנבחר באקראי יש מספר קשרים מסוים) מקיימת פונקציה מתמטית ייחודית הנקראת Power-Law , המרמזת כי להתפלגות הדרגה של הרשת אין קנה-מידה מאפיין. מנגד, לרשת בעלת קנה-מידה יחידי ומוגדר ישנו דמיון מסוים לרשת סריג פשוטה, בכך שלכל צומת (בערך) אותו מספר קשר. דוגמאות לרשתות בעלות קנה מידה יחיד הם מודל ארדש-רנה לגרף רנדומי והיפרקובייה. ברשת בעלת התפלגות הדרגה נטולת קנה מידה, לחלק מן השיאים ישנה התפלגות הדרגה הגדולה בסדרי גודל מהממוצע - שיאים אלה נקראים נקודות-מוקד (Hubsֿ), על אף שמונח זה מעט מטעה, מכיוון שאין סף קבוע מעליו נחשב צומת לנקודת מוקד. אם היה סף שכזה, לא הייתה הרשת נטולת קנה-מידה.
התעניינות ברשתות נטולות קנה-מידה התחיל בשנות ה-90 המאוחרות, עם הדיווחים על גילויים של התפלגויות Power-Law בעולם האמיתי, כגון World Wide Web, רשתות IP, רשתות-קשר בין חלבונים, ועוד. מרבית מהדיווחים על "Power-Laws" בעולם האמיתי נכשלו במבחן סטטיסטי קפדני יותר, אך הרעיון הכללי של רשתות המראות התפלגויות זנב-עבה באופן מובהק, תופעה שקיימת ברשתות "עולם אמיתי", היה שונה לחלוטין ממה שהיה מצופה מרשת בעלת קצוות אקראיים ולא תלויים (כלומר, המקיימת את התפלגות פואסון).
בכדי להמחיש את רעיון התפלגות "הזנב הארוך", ניתן לדמיין שלעיתים (נדירות) היינו מטיילים ברחוב ופוגשים אדם בגובה 5 מטר... ברבאשי חקר את מאפייני הרשתות הללו ואת התהליכים הגורמים להתפתחותן. לתוצאות מחקריו חשיבות רבה כיוון שהן נוגעות לרשתות מציאותיות חשובות רבות, כגון רשת האינטרנט ורשתות גנטיות בתאים.
רכזות ברשת והתפלגות זנב ארוך.
מחקרי המשך לתגליתו של ברבאשי הראו כי המבנה שלרשתות "עולם אמיתי" אינו תואם למודלים האקראיים של תורת הגרפים.
אחד מהמאפיינים הבסיסיים של רשתות כאלו הוא שישנם בהם מיעוט של צמתים "פופולרים" מאוד ברשת שנראה שהם "שולטים ברשת כולה". דוגמאות לצמתים כאלו באינטרנט הם אתרים כמו Yahoo ו Google. ברשת של אנשים, מדובר באותם אלו שמכירים את כולם וכולם מכירים אותם.
צמתים אלו מכונים "רכזות".
ישנן רכזות בתא, ברשת המולקולות המחוברות באמצעות תגובות כימיות. ישנם מספר נמוך של טלפונים שאחראים לאחוז גבוה של שיחות נכנסות ויוצאות ועוד.
עקרון זה מזכיר את עקרון 80/20 של פארטו. אך ברשת נהוג לתאר את ההתפלגות כקיצונית מ-80/20 ונוטה יותר ל-1/99, כלומר, כאחוז בודד מהרשת אוחז בקשרים רבים וכ-99% מהרשת הם צמתים עם קישורים בודדים. המספרים אינם מדויקים והאחוז המדויק יישתנה מרשת לרשת..
קיימים מקרים אחרים בהם ניתן לתאר את הקשר בין מספר קישורים של כל צומת ברשת לבין ההסתברות למספר הקישורים הזה כקשר חזקתי, כלומר מתקיימת ברשתות התפלגות חזקתית (Power law). חוק החזקה מבטא במונחים מתמטיים את טופולוגיית הרשת אליה התייחס אלברט-לסלו ברבאשי.
אפקט הרשת.
אפקט הרשת הוא מונח שמקורו בכלכלה הנשען על חוק החזקה של תורת הרשתות ומצביע על התרומה שיש לצרכן לערך של מוצר או שירות עבור צרכנים אחרים. הרעיון הוא שככל שיש יותר משתמשים בשירות או יותר אנשים שצורכים מוצר מסוים, התועלת ממנו גדלה וכך גם הערך שלו. דוגמה קלאסית היא הטלפון – ככל שיותר אנשים ישתמשו בטלפון, כך הערך שלו עבור המשתמש היחיד עולה, כיוון שהוא יכול ליצור קשר דרך הטלפון עם יותר ויותר אנשים.
באפקט הרשת מתרחשת תופעה של חיזוק לולאות משוב חיובי. ניתן להסביר איטואיטיבית את מודל התפתחות הרשת שפורסם על ידי אלברט-לסלו ברבאשי על פי אפקט הרשת. מודל התפתחות הרשת מציע תהליך בו ההסתברות שצומת חדש יבחר בצומת מסוים פרופורציונלית למספר הקישורים שיש כבר לצומת הנבחר. כלומר, הצומת ייבחר להקשר לרשת דרך צומת דרכו ניתן להגיע ליותר צמתים ברשת.
יישומים.
העולם כולו בנוי מרשתות שפועלות על פי עקרונות מתמטיים דומים ולכן חוקרים מתחומים שונים בעולם מאמצים את חוקי הרשתות ומנסים לפתור בעיות רבות בעזרת הבנת תכונות הרשת וחוקיה.
להלן מספר דוגמאות מתחומים שונים העושים שימוש בתורת הרשתות:
לקריאה נוספת.
אלברט-לסלו ברבאשי, "קישורים - המדע החדש של רשתות", הוצאת "חמד".
ניקולס א' כריסטאקיס, ג'יימס ה' פאולר, "מחוברים - כיצד פועלים קשרים בין בני אדם ואיך הם מעצבים את חיינו", הוצאת "מטר".
לוגיקה תלמודית
לוגיקה תלמודית הוא ענף של הלוגיקה שקושר בין המחקר בלוגיקה לחקר התלמוד. כבר מראשיתו, בימי הביניים, המחקר ייבא אל התלמוד עקרונות ודרכי חשיבה מהלוגיקה. החל מסוף המאה ה-20, מתקיים מחקר המקשר בין הלוגיקה התלמודית ללוגיקה פורמלית, ואף מייצא עקרונות לוגיים תלמודיים אל הלוגיקה המודרנית.
היסטוריה.
בתלמוד נעשה שימוש בכללי-היסק פורמליים, באמצעותם מסיקים מסקנות ומפרשנים את המקרא, מכריעים בדיני ספקות, במחלוקות הלכתיות וכדומה. התלמוד עצמו כמעט ולא מתייחס ישירות לכללים אלה למעט בכמה מקומות בודדים, הבולטים שבהם הם המקורות התנאיים שמונים את המידות שהתורה נדרשת בהן, או בקיצור "מידות הדרש", המתארות את מערכת כללי ההיסק הלגיטימיים לחילוץ הלכות מתוך המקרא.
כבר בדיונים התלמודיים ניכר כי כללים אלו לא עומדים לדיון כשלעצמם, אלא רק נעשה בהם שימוש לצורכי היסקים הלכתיים שונים. לאחר תקופת התלמוד, בראשית ימי הביניים, התפתחה במקומות מסוימים ספרות העוסקת בכללים אלו כשלעצמם, בעיקר בקהילות יהודיות בצפון-אפריקה. בין הספרים הנודעים ניתן למצוא את "כללי הגמרא" של שמואל הנגיד, "ספר הכריתות" של רבי שמשון משאנץ והספר שייסד את הדיון השיטתי בכללים אלו – "כללי התלמוד" של הרב יצחק קנפנטון. בעת החדשה התפשטה סוגה מחקרית זו גם לארצות אירופה, אם-כי שם קיימת נטייה פחותה לקשור את כללי הלוגיקה התלמודית ללוגיקה האריסטוטלית. חריג לנטייה זו הוא הרמח"ל, בספרו "דרך תבונות".