העיור במדינות מתפתחות נחשב לתופעה חדשה יחסית וגורם לבעיות רבות. במרבית המדינות המתפתחות נוצר מדרג עירוני המכונה "עיר ראשה" קרי למעלה מ-50% מאוכלוסיית המדינה מתגוררת בעיר הראשית שהיא לרוב עיר הבירה (בניגוד למדרג מאוזן יותר הקיים במדינות המפותחות). מצב זה יוצר לחץ בלתי סביר מבחינה כלכלית, דמוגרפית ואנושית על המשאבים הקיימים בעיר ולכן גורם בין השאר לעוני רב. חלק גדול מהמהגרים הרבים וחסרי האמצעים הנוהרים לערים, לא מסוגלים לרכוש דיור בר קיימא ומקימים שכונות ורבעים שלמים של בתים ארעיים (מפח, עץ, וכל הבא ליד) ללא תשתיות בסיסיות. שכונות העוני הללו קיבלו מספר כינויים שהידוע ביותר מביניהם הוא הפבלות בברזיל. הסיבות להגירה לעיר הן רבות ומגוונות אך בראש ובראשונה מדובר בהיעדר היכולת למצוא פרנסה מחוץ לעיר.
עוצמה (מתמטיקה)
המונח המתמטי עוצמה, מספר קרדינלי או מספר מונה מתאר גודל של קבוצה, באופן שאינו מתחשב במבנה שלה (אם יש לה כזה).
ניתן לחשוב על עוצמות כהכללה של כמויות "רגילות" כמו מספרים טבעיים. הצורך בעוצמות עולה בגלל תוצאה בסיסית בתורת הקבוצות: לפי פרשנות של תורה זו, קיימות קבוצות אינסופיות ה"גדולות" יותר מקבוצות אינסופיות אחרות. עוצמות בהקשר הזה, הן שיוך "כמות" למספר האיברים בקבוצות בין אם סופיות או אינסופיות. לפיכך גם מספרים טבעיים הן עוצמות - של קבוצות בעלי מספר סופי של איברים.
העוצמות מתחלקות לסופיות ואינסופיות.
העוצמות הסופיות הן המספרים הטבעיים (כולל אפס), והן מתאימות למונח האינטואיטיבי של מספר האיברים בקבוצה. לדוגמה:
דוגמאות לקבוצות עם עוצמה אינסופית:
את העוצמה של קבוצה formula_1 מסמנים formula_2.
שקילות בין קבוצות.
רבים מהדברים שאפשר להגיד על קבוצות נשמעים מובנים מאליהם בקבוצות סופיות, ומקבלים משמעות עמוקה, ולעיתים מפתיעה, בקבוצות אינסופיות.
דוגמה לכך היא התשובה לשאלה "מתי שתי קבוצות הן באותו גודל". עבור שתי קבוצות סופיות זו שאלה פשוטה - סופרים, ואם מגיעים לאותו המספר, אז יש אותה עוצמה.
הקושי עם הגדרה זו הוא שאין אפשרות להכליל אותה לקבוצות אינסופיות, לכן יש צורך להגדיר מושג שונה מעט. ההגדרה של עוצמה מורכבת יותר, אך חלה הן על קבוצות סופיות והן על קבוצות אינסופיות, כאשר עבור קבוצות סופיות ההגדרה מתלכדת עם ההגדרה האינטואיטיבית של המושג "גודל".
שתי קבוצות נקראות שקולות או חופפות (כלומר, יש להן אותה עוצמה), אם אפשר לסדר את האיברים שלהן בזוגות, בכל זוג יש אבר אחד מכל קבוצה, כך שכל אבר משתתף רק בזוג אחד, וכל האיברים משתי הקבוצות משתתפים.
ההגדרה המתמטית היא מורכבת יותר: חפיפה של קבוצות מוגדרת כפונקציה חד-חד ערכית מקבוצה אחת על הקבוצה השנייה. כאשר מדובר בקבוצות סופיות, פעולת הספירה של איבריהן יוצרת התאמה חד-חד ערכית בין איבריהן.
אחת התוצאות המפתיעות הראשונות של ההגדרה הזו היא שקבוצה יכולה לחפוף לתת קבוצה שלה. לדוגמה, קבוצת כל המספרים הטבעיים formula_3 חופפת לקבוצת כל המספרים הזוגיים formula_4, כאשר ההתאמה או הזיווג הוא של כל מספר טבעי formula_5 עם המספר הזוגי formula_6.
ברור שההתאמה הזו מסדרת את המספרים משתי הקבוצות בזוגות, ושהזוגות ממצים את כל המספרים משתי הקבוצות.
כלומר, לקבוצת המספרים הטבעיים ולקבוצת המספרים הזוגיים יש אותה עוצמה.
במערכת המונחים המתמטיים לוקחים את התכונה המפתיעה הזו של קבוצות אינסופיות, שהן יכולות לחפוף לתת קבוצה ממש שלהן (כלומר, תת-קבוצה שאינה אותה קבוצה), והופכים אותה להגדרה של קבוצות אינסופיות: קבוצה אינסופית היא קבוצה החופפת לתת קבוצה ממש של עצמה.
תוצאה שאינה מובנת מאליה היא הוכחתו של גאורג קנטור שהמספרים הרציונליים החיוביים הם קבוצה בת מנייה, כלומר, קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל בינם לבין המספרים הטבעיים. אכן, אם formula_7 מספר רציונלי (כאשר formula_8 שלמים), נקרא ל-formula_9 הגובה של formula_10. לכל formula_5 טבעי יש מספר סופי של שברים מגובה formula_5, ולכן אפשר למנות את הרציונליים על ידי מעבר על השברים מגובה 1, אחר-כך על השברים מגובה 2, וכן הלאה.
ריבוי עוצמות.
למרות התוצאות שהודגמו להלן, אין זה נכון שלכל הקבוצות האינסופיות יש אותה עוצמה: משפט קנטור קובע שעוצמתה של קבוצת החזקה של formula_1 גדולה מעוצמתה של formula_1, ובפרט, לכל קבוצה קיימת קבוצה בעלת עוצמה גדולה יותר. אוסף כל העוצמות הוא כה גדול עד שבתורת הקבוצות האקסיומטית הוא אינו נחשב לקבוצה אלא למחלקה (ולכן אין לו עוצמה).
נימוק האלכסון של קנטור מראה כי המספרים הממשיים אינם בני מנייה. יתר על כן, כל קטע (פתוח או סגור) של מספרים ממשיים אינו בן מנייה. בנוסף, עוצמת כל קטע שווה לעוצמת הרצף, מאחר שניתן להגדיר פונקציה הפיכה מהקטע לקבוצת הממשיים.
את העוצמה של המספרים הטבעיים סימן קנטור באות העברית formula_15 (קרי: אָלֶף אֶפֶס), ואת עוצמת הממשיים (עוצמת הרצף) סימן באות formula_16 (כיום משתמשים גם בסימון formula_17 לעוצמה זו). למעשה עוצמת המספרים הממשיים שווה לעוצמת קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים, כלומר formula_18.
אריתמטיקה של עוצמות.
אפשר להגדיר פעולות חיבור, כפל וחזקה בין עוצמות, באופן המכליל את פעולות אלה בין מספרים טבעיים. כדי לעשות פעולות אלה בין עוצמות יש לבחור קבוצות שעוצמתן שווה לעוצמות הנתונות. ניתן להוכיח שהפעולות אינן תלויות בבחירת הקבוצות, לכן הפעולות מוגדרות היטב.
חיבור. הסכום formula_19 מוגדר כעוצמת האיחוד formula_20, בתנאי שהקבוצות formula_1 ו-formula_22 זרות. זוהי פעולה קומוטטיבית ואסוציאטיבית, אך קיומן של עוצמות אינסופיות אינו מאפשר להגדיר את פעולת החיסור: formula_23 לכל formula_5 טבעי, ואפילו formula_25. הסכום של קבוצה כלשהי של עוצמות מוגדרת באותה צורה כעוצמה של האיחוד של קבוצות מעוצמות מתאימות, שזרות זו לזו בזוגות. ראו עקרון החיבור.
כפל. המכפלה formula_26 מוגדרת כעוצמתה של המכפלה הקרטזית formula_27. גם פעולה זו היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית, ואף דיסטריבוטיבית ביחס לחיבור. המכפלה של קבוצה כלשהי של עוצמות מוגדרת באותה צורה כעוצמת המכפלה הקרטזית של קבוצות מעוצמות מתאימות. ראו עקרון הכפל.
חזקה. החזקה formula_28 מוגדרת כעוצמתה של קבוצת הפונקציות formula_29. הפעולה מקיימת את האקסיומות הרגילות של החזקה, כדוגמת formula_30 ו-formula_31. מכיוון שיש בדיוק פונקציה אחת מן הקבוצה הריקה לכל קבוצה (הלא היא הפונקציה הריקה), מתקיים formula_32 לכל עוצמה; בפרט formula_33. ממשפט קנטור ומההתאמה בין קבוצת החזקה לקבוצת הפונקציות מקבוצה formula_1 לקבוצה formula_35 מקבלים formula_36. בהשוואה לזה, עקבי להניח את השערת הרצף formula_37, את שלילתה formula_38, ואפילו את הגרסה החזקה יותר של השלילה, formula_39 (ראו משפט איסטון ).
אם מניחים את אקסיומת הבחירה, ולפחות אחת מהעוצמות formula_40 היא אינסופית, אז מתקיים formula_41. לכן עיקר העניין הוא במכפלות ובסכומים אינסופיים של עוצמות.
מספרים מונים.
הגדרת העוצמה כמחלקת שקילות של קבוצות בעלות אותו מספר איברים (כפי שהוגדרה להלן), היא בעייתית במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, משום שבהגדרה הזו כל עוצמה היא מחלקה ולא קבוצה. לכן, תחת ההגדרה הנאיבית, לא ניתן לדבר על קבוצות של עוצמות ומושגים דומים במסגרת השפה מסדר ראשון של ZFC. ניתן להתגבר על הבעיה הזו באופן כללי על ידי שימוש ב"טריק" של דנה סקוט, באמצעות שימוש באקסיומת היסוד - נגדיר את העוצמה של הקבוצה X להיות אוסף כל הקבוצות בעלות דרגה מינימלית שיש פונקציה חח"ע ועל ביניהן לבין formula_42. ניתן להראות כי אוסף זה הוא אכן קבוצה.
בהנחת אקסיומת הבחירה ניתן לפתור את הבעיה באופן פשוט יותר, באמצעות הגדרת המונה של פון-נוימן: מונה הוא סודר formula_43 כך שלכל סודר formula_44 אין העתקה חח"ע מ-formula_43 ל-formula_46. אקסיומת הבחירה שקולה לכך שכל עוצמה מיוצגת על ידי מספר מונה - כלומר שלכל קבוצה formula_42 יש מונה שעוצמתו היא formula_48.
כיוון שהמונים הם סודרים - הם סדורים היטב, ולכל מונה יש מונה מינימלי שגדול ממנו שנקרא המונה העוקב. למשל המונה הראשון שגדול מ-formula_15 מסומן ב-formula_50. ניתן להמשיך ולהגדיר באינדוקציה טרנספיניטית את סדרת ה"אלף" - סדרת העוצמות של המונים האינסופיים:
מקובל לסמן ב-formula_52 את המספר המונה שמתאים לעוצמה formula_53. אם אקסיומת הבחירה לא מתקיימת, הסדרה הזו לא ממצה את כל העוצמות ויש עוצמות שלא שוות לאף formula_53 - אלו העוצמות של הקבוצות אותן לא ניתן לסדר היטב. למרות זאת, אין אף עוצמה שגדולה מכל סדרת האלף, כלומר לכל קבוצה formula_42 אפשר למצוא מספר אלף formula_56 כך שאין פונקציה חד חד ערכית formula_57 (זהו מספר הרטוגס של formula_42).
סדרת האלף היא סדרה נורמלית (כלומר היא עולה ממש ולכל סודר גבולי formula_46 מתקיים formula_60) ולכן יש לה נקודות שבת, כלומר יש מונים שמקיימים formula_61. למשל, הגבול של הסדרה formula_62 הוא נקודת שבת של סדרת האלף.
רפואת חירום
רפואת חירום היא ענף במדעי הבריאות העוסק בטיפול במצבי חירום רפואיים בתנאי שדה, כלומר, שלא במסגרת בית חולים.
בין בעלי המקצוע העוסקים בענף זה ניתן למנות מגיש עזרה ראשונה (מע"ר), חובש (לסוגיו השונים), ופרמדיק, כאשר האחרון הוא בעל הסמכות הבכיר ביותר בענף רפואת החירום ומתפקד כמנהל הטיפול הרפואי.