המרחב הווקטורי של כל ההעתקות ממרחב וקטורי formula_1 למרחב וקטורי formula_5 מסומן formula_98. אם formula_99 אזformula_100 כלומר: מרחב הווקטורי של כל ההעתקות הליניאריות איזומורפי למרחב המטריצות עם formula_101 שורות ו-formula_47 עמודות.
גרעין ותמונה של העתקה ליניארית.
תהי טרנספורמציה ליניארית formula_6.
הגרעין של formula_3, המסומן formula_105 (מהמילה Kernel - גרעין), הוא קבוצת הווקטורים ב-formula_1 המועתקים על ידי formula_3 לווקטור האפס של formula_5. כלומר:formula_109.
משימוש בתכונות הטרנספורמציה הליניארית קל לראות כי הגרעין הוא מרחב וקטורי חלקי (תת-מרחב) ל-formula_1 - משמע, הוא סגור לחיבור וכפל בסקלר. הגרעין טריוויאלי (דהיינו, שווה לתת-מרחב האפס) בדיוק כאשר formula_3 חח"ע.
התמונה של formula_3, המסומנת formula_113 (מהמילה Image - תמונה), היא קבוצת איברי formula_5 שקיים להם מקור ב-formula_1, כלומר:
formula_116
גם התמונה של טרנספורמציה ליניארית סגורה לחיבור וכפל בסקלר, ולכן מהווה תת-מרחב וקטורי של formula_5.
משפט הדרגה.
משפט הדרגה: לכל מרחב formula_1 מממד סופי ולכל טרנספורמציה ליניארית formula_119 מתקיים:
formula_120.
נשים לב כי בנוסחה אין תלות כלל בממד של הטווח formula_5, אלא רק בממד של התחום formula_1, הגרעין והתמונה. נובעים מן המשפט האי-שוויונות הבאים: formula_123 ולכן formula_124
מטריצה מייצגת של העתקה ליניארית.
יהיו formula_1 ו-formula_5 מרחבים וקטורים מממד סופי מעל שדה כלשהו formula_72, ו-formula_6 העתקה ליניארית מ-formula_1 ל-formula_5. נקבע formula_131 בסיס של formula_1 ו-formula_133 בסיס של formula_5. לכל וקטור ב-formula_1 ניתן להתאים את וקטור הקואורדינטות שלו לפי הבסיס formula_136, formula_137 ובאופן דומה formula_138.
נגדיר את המטריצה המייצגת של formula_3 ביחס לבסיסים formula_140 ו-formula_141, שתסומן formula_142 כמטריצה שמקיימת את הקשר הבא:
formula_143
ניתן לחשב אותה במפורש על ידי הנוסחה formula_144 אך בפועל ישנן דרכים פשוטות יותר לחשב אותה.
ההעתקה הדואלית.
יהיו formula_1 ו-formula_5 מרחבים וקטורים מעל שדה כלשהו formula_72, ו-formula_3 העתקה ליניארית מ-formula_1 ל-formula_5.
נתבונן במרחבים הדואליים formula_168 ו-formula_169 ונגדיר את ההעתקה הדואלית formula_170 על ידי:
formula_171
כאשר formula_172 ו-formula_173. עבור תת-מרחב formula_174 נסמן: formula_175.
שלוש רגלים
שָׁלשׁ רְגָלִים הם שלושה חגים מקראיים – פסח, שבועות וסוכות – שבהם מצווה מהתורה לעלות לרגל לבית המקדש בירושלים. מלבד מצוות העלייה לרגל, התורה מצווה על שתי מצוות נוספות המיוחדות לרגלים: לחגוג אותם ולשמוח בהם. חז"ל פירשו מצוות אלו כחובה על כל עולה רגל להקריב עולת ראייה, שלמי חגיגה, ושלמי שמחה.
מצוות ראייה.
בזמן שבית המקדש היה קיים הייתה מצווה לעלות לבית המקדש שבירושלים, ולהיראות בעזרה. העלייה לרגל מוזכרת מספר פעמים בתורה כמצווה:
חז"ל בתלמוד למדו מהמילה "זכורך", שמצוות העלייה לרגל היא חובה לגברים בוגרים בלבד, אך גם נשים וקטנים היו נוהגים בה. המצווה נקראת במקורות גם "ראייה", כי החובה היא "להראות לפני ה'".
קורבנות הרגל.
חז"ל למדו מהפסוקים כי ישנו חיוב בכל אחד מהרגלים, להקריב שלושה קורבנות:
קרבן ראייה.
כחלק מהחיוב לעלות לרגל, ישנה חובה נוספת על כל זכר להביא קרבן "עולת ראייה" שאותו היו אמורים מקריבים עולי הרגל. העולה לרגל שלא הקריב קורבן זה – מלבד שביטל מצות עשה – עבר על הלאו של .
קרבן חגיגה.
מלבד קרבן ה'ראיה' ישנו חיוב להביא קרבן נוסף – קרבן חגיגה. מקור המצווה בפסוק: (). חז"ל פירשו שהכוונה היא שיש להביא קורבן חגיגה בשלוש הרגלים.
קרבן שלמי שמחה.
בזמן שבית המקדש היה קיים, היה ניתן לקיים את מצות 'שמחת הרגלים' (ראה להלן) דווקא על ידי אכילת בשר של קורבנות, לכך היו מקריבים קורבן נוסף שנקרא 'שלמי שמחה' על מנת לקיים מצווה זו.
אך מאחר שעיקר מצוות שלמי שמחה אינה מצווה להקריב קורבן שלמים, אלא לאכול מבשר הקורבן. לפיכך ניתן לקיים את המצווה גם באמצעות אכילת בשר קורבנות אחרים, ככתוב במשנה (חגיגה א,ד): "ישראל (מי שאינם כהנים) יוצאין ידי חובתן (חובת שלמי שמחה) בנדרים ונדבות (קורבנות נדבה שהקריבו, אף שלא הוקדשו כ"שלמי שמחה") ובמעשר בהמה, והכהנים בחטאות ואשמות ובבכור ובחזה ושוק (של קורבן שלמים או תודה; כל אלו הם קורבנות או חלקי קורבנות שנאכלים על ידי הכהנים).
מצות שמחה.
בכל אחד משלוש הרגלים ישנה מצוות שמחה כמזוכר בתורה:
בזמן הזה.
בזמן הזה שאי אפשר לקיים את מצוות השמחה על ידי אכילת בשר קדשים, עיקר מצות שמחה היא בשתיית יין. וכך אמרו בתלמוד:
שמות החגים ומהותם.
שלוש הרגלים ב:
חג הפסח.
חג הפסח מכונה בתורה חג המצות, פסח חל בט"ו בחודש העברי ניסן. ממצוות הפסח הם אכילת קרבן הפסח בזמן שבית המקדש היה קיים, ואיסור אכילת חמץ.
חג השבועות.
חג השבועות מכונה בתורה חג הקציר וכן יום הביכורים. לחג השבועות לא נכתב תאריך מפורש בתנ"ך אלא הוא מצוין כיום החמישים לספירת העומר שמתחילה במוצאי יום טוב ראשון של פסח. כיום, כשלא מקדשים את החודש על פי ראיית הירח, חג השבועות חל תמיד בו' בסיוון. לדעת הבייתוסים והקראים ספירת העומר מתחילה במוצאי שבת וחג השבועות חל ביום ראשון, בלוח השנה במגילות קומראן הוא חל ב-15 בחודש כשאר הרגלים.
חג הסוכות.
חג הסוכות מכונה בתורה חג האסיף, בדומה לפסח אף הוא חל בט"ו לחודש, בחודש תשרי.
משמעות.
על פי המסורת היהודית, שלוש הרגלים מציינים אבני דרך בתקומתו של עם ישראל, ובנוסף מסמלים גם ציוני דרך בשנה החקלאית ותקופות שונות בחייו של היחיד.
חמץ
חמץ הוא קמח של אחד מחמשת מיני דגן (חיטה, שעורה, כוסמין, שיבולת-שועל ושיפון) שבא במגע עם מים, וכתוצאה מכך תפח. מרבית דברי המאפה, כגון לחם, עוגות וביסקוויטים, הם חמץ, כמו גם משקאות שמקורם בחמשת מיני הדגן, כדוגמת בירה, וכן עמילן שמקורו בחמשת מיני הדגן (למעט עמילן המופק מתירס), ונמצא במוצרים רבים.
בתורה ישנם שני איסורים התלויים בחמץ:
האחד הוא בחג הפסח שבו יש איסור לאכול כל דבר שיש בו מרכיב של חמץ.
איסור נוסף הקשור בחמץ קשור לבית המקדש (ועל כן אינו מעשי כיום), והוא איסור להקריב חמץ כקורבן, וזאת בכל ימות השנה, להוציא מספר חריגים.
איסור אכילת חמץ בפסח.
על פי התורה קיים איסור לעם ישראל לאכילת חמץ והימצאות שאור בבית למשך שבעה ימים. על פי ההלכה חמץ אסור באכילה ובהנאה החל מחצות של ערב פסח ועד צאת שביעי של פסח, וישנו אף איסור על הימצאותו ברשותו של יהודי. יש מצווה מיוחדת לבער את החמץ טרם כניסת הפסח. איסור אכילת החמץ בפסח הוא איסור חמור, והעונש על העובר עליו במזיד על פי ההלכה הוא כרת.
איסור אכילת החמץ נקבע לזכר המסופר בספר שמות, שבצקם של בני ישראל בצאתם ממצרים לא הספיק להחמיץ בשל ההכנה החפוזה, ולכן אכלו בני ישראל מצות ולא לחם. לזכר כך ישנה מצווה על אכילת מצה בפסח, ומנגד איסור על אכילת חמץ.
על פי סקרים, רוב האוכלוסייה היהודית בישראל אינה אוכלת חמץ בפסח.
מצוות עשה ולא תעשה בפסח.
במניין המצוות מנויות מצוות עשה אחת וחמש מצוות לא תעשה הקשורות לאיסור חמץ בפסח.
הלאו באשר לאכילת חמץ בפסח עצמו הוא החמור ביותר, והעונש עליו במזיד הוא כרת. לעומת זאת, אכילת חמץ בערב פסח לאחר חצות, אכילת תערובת חמץ, בל יראה ובל ימצא – הם לאוים שעונשם במזיד הוא מלקות. המשהה חמץ ברשותו קודם לפסח אינו לוקה על בל יראה ובל ימצא, היות שזה לאו שאין בו מעשה. רק הרוכש או יוצר חמץ בפסח עצמו – לוקה על לאווים אלו.
הגדרת 'חמץ'.
לפי ההלכה ישנו איסור על אכילת חמץ גמור בפסח, הנאה ממנו ואף החזקתו ("בל יראה ובל ימצא"). חמץ גמור מוגדר כמאכל המורכב בעיקרו מקמח חמשת מיני דגן שהחמיץ ('תפח').
קמח חמשת מיני דגן שבא במגע עם מים אינו תופח ולא נחשב לחמץ עד אשר ישהה ללא התעסקות בו שיעור זמן של לפחות 18 דקות מרגע ערבוב הקמח והמים ועד תחילת האפייה. עם זאת, בעת הכנת המצות מקובל להקפיד שזמן ההכנה הכולל מהוספת המים לקמח ועד הכנסת המצה לתנור לא יעלה על פרק זמן זה של 18 דקות, וזאת ללא כל המתנה בשלבי הכנת העיסה.
חמץ מוגדר כמזון הראוי למאכל אדם, או מאכל בהמה ('ראוי למאכל כלב'). דבר העשוי מחמשת מיני דגן שאינו ראוי אף למאכל כלב – כבר אינו נחשב לחמץ.
מרבית מפעלי המזון בישראל עוברים לקראת הפסח לייצור מזון כשר לפסח, באמצעות הפסקת הייצור והכשרת כל הכלים בתהליך הייצור. מפעלים מסוימים שמחזור הכנת המוצר שלהם ארוך, כגון יקבים, מקפידים במשך כל השנה שקו הייצור יהיה כשר לפסח על מנת שמוצריהם יהיו כשרים לפסח. בתי מזון שונים סוגרים את שעריהם בפסח כדי להימנע מהטורח של הכשרתם לפסח.
מבחינה רעיונית, היו הוגים שראו בחמץ סמל לתכונות אנושיות שליליות, כגאווה ויצר הרע, ובמצה סמל לענווה, פשטות וחירות. הוגים אלה הדגישו את החובה לבער את החמץ שבלב, בד בבד עם ביעור החמץ החומרי.
תערובת חמץ.
דיני חמץ ידועים בחומרתם בהלכות רבות, ביניהן דיני תערובת חמץ. בדרך כלל, במקרה בו דבר איסור התערב עם דבר היתר, קובעת ההלכה שהאיסור בטל ברוב או בביטול טעם האיסור. כך הדין גם באיסור החמץ בפסח מדאורייתא אך חכמים החמירו וקבעו שחמץ אוסר תערובת בה הוא נמצא ב"משהו", ואפילו אם יש נגדו פי 1000, החמץ אינו בטל, והתערובת אסורה באכילה ובהנאה.
הטעם לחומרה זו נובעת מכך שהתורה עצמה החמירה בהלכות חמץ יותר מבשאר איסורי תורה.