היקף הסחר הדו-צדדי בין פורטוגל לסלובקיה הסתכם בשנת 2016 ב-490.6 מיליון אירו, עם עודף סחר של 75.9 מיליון אירו לטובת פורטוגל. בשנת 2016 סחרו 1,041 חברות פורטוגזיות עם סלובקיה.
בשנת 2016 ייבאה סלובקיה סחורות ושירותים בשווי 283.3 מיליון אירו מפורטוגל. חלק הסחורות הסתכם ב-225.9 מיליון אירו, מתוכם 28.0% מכונות ומכשירים, 14.8% כלי רכב וחלקי רכב, 11.1% פלסטיק וגומי, 7.9% מוצרי טקסטיל ו-6.1% עורות. ההבדל בין חלק הסחורות לבין סך כל התוצאות נובע מחלק השירותים, שמורכב בעיקר מהוצאות תיירים סלובקיים בפורטוגל.
באותה תקופה, פורטוגל ייבאה סחורות ושירותים מסלובקיה בשווי 207.3 מיליון אירו, מתוכם 205.2 מיליון אירו סחורות. 40.3% מהסחורות היו כלי רכב וחלקי רכב, 26.2% מכונות והתקנים, 8.8% מוצרי מתכת, 8.6% עורות, ו-6.4% פלסטיק וגומי.
פונקציה רציפה בהחלט
בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, פונקציה רציפה בהחלט היא פונקציה ממשית, המקיימת תכונת "חֲלָקוּת" בקטע, שהיא חזקה יותר מרציפות במידה שווה, וממילא גם מרציפות נקודתית. המושג של רציפות בהחלט מאפשר להכליל את הקשר בין שתי הפעולות המרכזיות של החדו״א – גזירה ואינטגרציה. מערכת יחסים זו מתוארת בדרך כלל (במשפט היסודי של החדו״א) במסגרת אינטגרל רימן, אך בעזרת רציפות בהחלט אפשר לנסח אותה במונחים של אינטגרל לבג. בהקשר של פונקציות ממשיות שמוגדרות על הישר הממשי, קיימים שני מושגים הקשורים זה בזה: רציפות בהחלט של פונקציות ורציפות בהחלט של מידות. ניתן להכליל את שני המושגים האלה בכיוונים שונים. לדוגמה, הנגזרת הרגילה של פונקציה קשורה לנגזרת רדון־ניקודים של מידה.
בתת־קבוצה קומפקטית של הישר הממשי מתקיימת שרשרת ההכלות הבאה למחלקות של פונקציות:
ואילו בקטע סגור,
רציפות בהחלט של פונקציות.
פונקציה רציפה formula_1 אינה רציפה בהחלט אם היא אינה רציפה במידה שווה, מה שעשוי לקרות אם התחום שבו מוגדרת הפונקציה אינו קומפקטי – דוגמאות לפונקציות שכאלה:
עם זאת, פונקציה רציפה formula_1 עשויה לא להיות רציפה בהחלט אפילו בקטע סגור. ייתכן שהיא אינה גזירה כמעט בכל מקום (כמו פונקציית ויירשטראס שאינה גזירה באף נקודה). ייתכן שהיא דווקא גזירה כמעט בכל מקום ואף ש־formula_8 היא אינטגרבילית לבג, אך ההפרש בין האינטגרל הלא־מסוים של formula_8 ל־formula_1 עצמה אינו קבוע. זה קורה למשל בפונקציית קנטור.
הגדרה.
יהי formula_11 קטע מוכלל. נאמר ש־formula_12 היא רציפה בהחלט ב־formula_13 אם לכל מספר חיובי formula_14, קיים מספר חיובי formula_15 כך שכל סדרה סופית של תת־קטעים זרים בזוגות formula_16 שֶׁל formula_13 שמקיימת
formula_18
מקיימת גם
formula_19
אוסף כל הפונקציות הרציפות בהחלט ב־formula_13 מסומן formula_21.
הגדרות שקולות.
התנאים הבאים בפונקציה ממשית formula_1 בקטע סגור formula_23 שקולים:
אם תנאים שקולים אלה מתקיימים, אזי בְּהֶכְרֵחַ formula_33 כמעט בכל מקום.
השקילות בין (1) ל־(3) ידועה גם בתור הכללת לבג למשפט היסודי של החדו״א או המשפט היסודי של החדו״א לאינטגרל לבג.
להגדרה שקולה בהקשר של מידות, עיינו בפסקה הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט.
דוגמאות.
הפונקציות הבאות רציפות במידה שווה אך אינן רציפות בהחלט:
הפונקציה הבאה רציפה בהחלט אך אינה מקיימת את תנאי הלדר ביחס ל־formula_50:
הפונקציה הבאה רציפה בהחלט וגם מקיימת את תנאי הלדר ביחס ל־formula_50, אך אינה ליפּשיצית:
הכללות.
יהי formula_58 מרחב מטרי, ויהי formula_11 קטע מוכלל. נאמר ש־formula_60 היא רציפה בהחלט ב־formula_61 אם לכל מספר חיובי formula_14, קיים מספר חיובי formula_15 כך שכל סדרה סופית של תת־קטעים זרים בזוגות formula_64 שֶׁל formula_13 שמקיימתformula_66מקיימת גםformula_67
אוסף כל הפונקציות הרציפות בהחלט מ־formula_61 ל־formula_69 מסומן formula_70.
הכללה נוספת היא המרחב formula_71 של העקומות formula_72 כך שלכל formula_73
formula_74עבור formula_75 כלשהי (מרחב Lp).
תכונות של ההכללות האלה.
formula_83
רציפות בהחלט של מידות.
הגדרה.
נאמר שמידה formula_84 על קבוצות בורל של הישר הממשי היא רציפה בהחלט ביחס למידת לבג formula_44 (או נשלטת על ידי formula_44) אם לכל קבוצה מדידה formula_87, formula_88 גורר formula_89, וּנסמן: formula_90.
ברוב היישומים, אם נאמר שמידה על הישר הממשי רציפה בהחלט – מבלי לציין ביחס לאיזו מידה היא רציפה בהחלט – נתכוון שהיא רציפה בהחלט ביחס למידת לבג.
אותו עיקרון תקף לגבי מידות על קבוצות בורל של formula_91 כאשר formula_92.
הגדרות שקולות.
התנאים הבאים עבור מידה סופית formula_84 בקבוצות בורל של הישר הממשי שקולים:
להגדרה שקולה בהקשר של פונקציות, עיינו בפסקה הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט.
כל פונקציה אחרת שמקיימת את (3) שווה ל־formula_29 כמעט בכל מקום. פונקציה כזו נקראת נגזרת רדון־ניקודים, או צפיפות, של המידה הרציפה בהחלט formula_84.
השקילות בין (1), (2) ו־(3) מתקיימת גם ב־formula_91 לכל formula_106.
לפיכך, המידות הרציפות בהחלט ב־formula_91 הן בדיוק אלה שיש להן צפיפות; כמקרה פרטי, מידות ההסתברות הרציפות בהחלט הן בדיוק אלה שיש להן פונקציית צפיפות.
הכללות.
אם formula_84 ו־formula_109 הן שתי מידות באותו מרחב מדיד formula_110, נאמר ש־formula_84 היא רציפה בהחלט ביחס ל־formula_109 אם formula_113 לכל קבוצה formula_87 שעבורה formula_115,
וּנסמן: formula_90. כלומר:formula_117
רציפות בהחלט של מידות היא רפלקסיבית וטרנזיטיבית, אבל אינה אנטי־סימטרית, ולכן היא קדם־סדר אך לא סדר חלקי. במקום זאת, אם formula_90 וגם formula_119, נאמר שהמידות formula_84 ו־formula_109 שקולות. לפיכך רציפות בהחלט משרה סדר חלקי של מחלקות שקילות כאלה.
אם formula_84 היא מידה מסומנת או מרוכבת, נאמר ש־formula_84 היא רציפה בהחלט ביחס ל־formula_109 אם ההשתנות הכללית שלה formula_125 מקיימת formula_126 או, באופן שקול, אם כל קבוצה formula_87 שעבורה formula_115 היא formula_84־אפסית.
משפט רדון־ניקודים קובע כי אם formula_84 היא רציפה בהחלט ביחס ל־formula_109, וּשתי המידות הן formula_132־סופיות, אז ל־formula_84 יש צפיפות, או נגזרת רדון־ניקודים, ביחס ל־formula_109, כלומר קיימת פונקציה formula_109־מדידה formula_1 שמקבלת ערכים ב־formula_137 וּמסומנת formula_138, כך שלכל קבוצה formula_109־מדידה formula_87 מתקייםformula_141
מידות סינגולריות.
בעזרת משפט הפירוק של לבג, ניתן לפרק כל מידה לסכום של מידה רציפה בהחלט ומידה סינגולרית (ראו מידה סינגולרית).
הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט.
מידה סופית formula_84 בקבוצת בורל של הישר הממשי היא רציפה בהחלט ביחס למידת לבג אם ורק אם פונקציית הנקודה formula_143 היא פונקציה ממשית רציפה בהחלט. באופן כללי יותר, פונקציה היא רציפה בהחלט מקומית (כלומר בכל קטע סופי) אם ורק אם הנגזרת של פונקציית ההצטברות שלה היא מידה רציפה בהחלט ביחס למידת לבג.
אם מתקיימת רציפות בהחלט, אז נגזרת רדון־ניקודים של formula_84 שווה כמעט בכל מקום לנגזרת של formula_145.
באופן כללי יותר, מניחים ש־formula_84 היא סופית מקומית (ולא סופית) וש־formula_147 מוגדרת כ־formula_148 עבור formula_149, כ־formula_49 עבור formula_151 וכ־formula_152 עבור formula_153. במקרה זה formula_84 היא מידת לבג־סטילטיס שנוצר על ידי formula_145, וגם פה קיים הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט.
יחסי מונגוליה–צ'כיה
יחסי מונגוליה–צ'כיה הם היחסים הדיפלומטיים בין מונגוליה לצ'כיה. צ'כיה מחזיקה במונגוליה שגרירות באולן בטור. שתי המדינות חברות בבנק ההשקעות הבינלאומי (IIB) ובעבר בקומקון.
היסטוריה.
ב־25 באפריל 1950 כוננו מונגוליה וצ'כוסלובקיה יחסים דיפלומטיים. בשנות ה-80, צ'כוסלובקיה הייתה השותפה השנייה בגודלה של מונגוליה, לאחר ברית המועצות. לאחר פירוק צ'כוסלובקיה בשנת 1992, אישרה מונגוליה מחדש את יחסיה עם צ'כיה שזה עתה הוקמה בשנת 1993.
עם זאת, בשנות ה-90, היקפי הסחר ירדו בצורה חדה, אם כי צ'כיה עדיין מהווה כ-1% מהיבוא של מונגוליה. שגרירות צ'כיה באולן בטור נפתחה מחדש רשמית בשנת 1999. נכון לשנת 2005 הוערך סחר דו-צדדי שנתי בין שתי המדינות בכ-5 מיליון דולר. ממשלת צ'כיה הייתה מעורבת גם בתוכניות שונות לפיתוח אספקת מים במונגוליה. בשנת 2002, משרד התעשייה והמסחר הצ'כי פתח תוכניות לספק מי שתייה לדונדגובי באמצעות הפיתוח של מפעל טיהור מים חדש ב-Mandalgovi. בספטמבר 2007, חתמה לשכת המסחר הצ'כית במזרח אסיה על מזכר שיתוף פעולה בהסכמה לתכנן ולהקים מפעלים חדשים לעיבוד שפכים לאולן בטור. מבחינת משלחות מדעיות משותפות המחפשות מאובנים של דינוזאורים במונגוליה, הצד המונגולי הראה לאחרונה גם העדפה לפליאונטולוגים צ'כים על פני אלו מארצות הברית, גרמניה ושווייץ. פקידי מונגוליה וצ'כיה מציינים מספר משותפים בין שתי המדינות המשמשות לבסס את קשריהם, כמו מעבר לכלכלות מבוססות שוק ודמוקרטיזציה של ממשלות שנשלטו בעבר על ידי הקומוניסטים. בשנת 2012 הודיע משרד התעשייה והמסחר הצ'כי על שותפות חדשה בשווי של כארבעה מיליארד קורונה צ'כית הכוללת אספקת תשתיות למונגוליה.
ג'יימס מרטין