החקירות האנליטיות של גאוס על הפונקציה ההיפרגאומטרית החלו במובנים רבים את פריחת תת-ענף הספרות המתמטית ששמות בולטים מהעשורים הבאים כמו ארנסט קומר, ברנהרד רימן, הרמן שוורץ ולזרוס פוקס היו כה מעורבים בפיתוחו. סוד ההשפעה שלהן טמון בכך שהן רמזו על קשר אינטימי בין תורת החבורות לתאוריה האיכותית של משוואות דיפרנציאליות במישור המרוכב; כיוון שגאוס הראה שניתן לקבל פתרון אחד של המשוואה ההיפרגאומטרית מפתרון אחר באמצעות הפעלת טרנספורמציה מתאימה על formula_43, הדבר רמז על כך שהיחסים הפנימיים בין כל הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית ניתנים לקידוד בעזרת פעולת חבורה של טרנספורמציות. במאמרו המפורסם מ-1857, רימן תיאר את ההתנהגות ה"גלובלית" של הפונקציה דרך הבנייה של מטריצת המונודרומיה שלה והצגת הטרנספורמציות הליניאריות הקשורות בה; הגישה הקונספטואלית של רימן הביאה לבשלות את הנושא, ואפשרה לגזור את כל התכונות הידועות של הפונקציה ההיפרגאומטרית בעזרת כמות מועטה בהרבה של חישובים אלגבריים, תוך התייחסות גם למקרה הכללי יותר של מיקום שרירותי של נקודות הסינגולריות. מושא החקירות הללו הוכנס בסופו של דבר למסגרת עם ניסוח הבעיה ה-21 של הילברט (בעיית רימן-הילברט), שדורשת להוכיח קיום של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות עם חבורת מונודרומיה נתונה.
יסודות האנליזה המרוכבת.
עדות נוספת להבנתו של גאוס את הנושא של היסודות הרעיוניים של האנליזה המרוכבת היא מכתבו לפרידריך בסל מ-1811, שזכור כמסמך הראשון שבו מופיעה הקביעה של "המשפט היסודי של פונקציות של משתנה מרוכב" - משפט האינטגרל של קושי (כ-15 שנה לפני עבודתו היסודית של אוגוסטן לואי קושי בתחום), שקובע שהאינטגרל הקווי של פונקציה מרוכבת הולומורפית לאורך מסלול סגור שווה לאפס (כל עוד התחום אינו מכיל נקודות סינגולריות) - ובשל ההבנה שהוא הציג על הרב-ערכיות של פונקציות מרוכבות מסביב לנקודות סינגולריות. במכתבו מסביר גאוס את הרב-ערכיות של פונקציית הלוגריתם formula_48 כתוצאה של אינטגרציה קווית במישור המרוכב של הפונקציה formula_49 לאורך קונטור מעגלי מסביב לנקודת הסינגולריות שלה ב-"z = 0", תוך זיהוי נכון של ערך השארית formula_50 שמתווספת בכל מחזור אינטגרציה (דוגמה זאת למעשה שופכת אור על נוסחת אוילר באנליזה מרוכבת). במקום אחר בכתביו הוא כתב כי: "ידיעה מלאה של טבעה של פונקציה אנליטית חייבת לכלול גם הבנה של התנהגותה בעבור ערכים מדומים של הארגומנט שלה. לעיתים קרובות האחרונה היא חיונית אפילו בעבור הערכה נאותה של התנהגות הפונקציה בעבור ארגומנט ממשי.". מילים אלו מתכתבות במידת מה עם אחד ההישגים המרכזיים של תורת הפונקציות המרוכבות במאה ה-19 - התרתם של אינטגרלים ממשיים סבוכים באמצעות כלים מאנליזה מרוכבת.
ב-1805, במסגרת מחקריו האסטרונומיים הלא מפורסמים על פתרון משוואת קפלר, גאוס נתן ביטוי אסימפטוטי למקדמי הטור הטריגונומטרי המייצג את ההפרש בין האנומליה האמיתית והממוצעת. כחלק ממחקרו זה גילה גם את תופעת גבול לפלס , תופעה במסגרתה הטור הטריגונומטרי הנידון מתבדר בעבור ערכי אקסצנטריות הגדולים מערך קריטי מסוים (כשני עשורים לפני עבודתו הבלתי תלויה של לפלס בנושא). ממצאיו על ההתנהגות האסימפטוטית של מקדמי הטור הטריגונומטרי תאמו את הנוסחה שנמצאה על ידי יעקובי ב-1849, אולם הדרך בה הגיע אליה הייתה לאין ערוך קצרה יותר. כדי "לפצח" את התנהגות המקדמים, גאוס הפעיל טרנספורמציה מדומה מסוימת. אף שלא הסביר את הרעיון מאחורי ההצבה, מתמטיקאים מאוחרים יותר הראו כי בחירת הצורה המדויקת של הטרנספורמציה מרמזת על שימוש סמוי בנוסחת השאריות על אינטגרציה במישור המרוכב, כך שניתן לראות בפתרונו לבעיה אסטרונומית זו את אחד היישומים של רעיונותיו על יסודות האנליזה המרוכבת. בערוב ימיו הביע גאוס בפני שומאכר (במספר מכתבים מ-1850) את רצונו לכתוב חיבור על ההתכנסות של טורים טריגונומטריים, אשר יכלול גם את ההקשרים ל"דוקטרינה של גדלים מרוכבים".
עם כל זאת, כל מה שהשיג בנושא נתגלה רק לאחר מותו, וגאוס לא לקח בחלק בבנייה בפועל של תורת הפונקציות המרוכבות; זו נעשתה באופן שיטתי וישיר על ידי קושי, אבל, יעקובי, ליוביל, רימן ואחרים.
העתקות קונפורמיות.
מנקודת מבט מתמטית מודרנית, עבודתו של גאוס על העתקות קונפורמיות קשורה בקשר הדוק לרעיונותיו על יסודות האנליזה המרוכבת, אם כי לא ברור אם היה מודע למלוא ההיקף של ההקשרים האנליטיים והגאומטריים של התורה של העתקות אלו. הפרסום המרכזי שלו בהקשר זה הוא מאמרו זוכה הפרס של האקדמיה הדנית למדעים משנת 1823, "פתרון כללי לבעיה של מיפוי משטח אחד על משטח אחר כך שהשניים יהיו דומים זה לזה בחלקיהם הקטנים ביותר", שבו עסק בפן המתמטי הטהור של התורה של מיפויים קונפורמיים. מטרתו המוצהרת של המאמר הייתה קביעת הפונקציות שמעתיקות את פני השטח של משטח כללי כלשהו אל פני השטח של משטח אחר באופן משמר-זוויות, וגאוס במכוון התייחס להעתקות אלו בתור פונקציות מרוכבות. תחילה הוא חוקר את המקרה של העתקה ממישור למישור, ובהתייחס אליו מציג את הטענה החשובה שהעתקה היא קונפורמית אם ורק אם היא הולומורפית או אנטי-הולומורפית; כלומר אנליטית במובן המרוכב. מיד לאחר מכן הוא חוקר את המבנה המרוכב שמשרה המטריקה של משטחים עקומים, ונעזר בבנייה זו כדי לגזור קריטריון קונפורמיות כללי בין שני משטחים. תוך כדי כך הוא נעזר באופן לא מפורש בכלי אנליטי חזק שרלוונטי לבעיה של מיפוי משטחים עקומים - משוואת בלטרמי, שהיא משוואה דיפרנציאלית חלקית שמקיימות העתקות מרוכבות בין משטחים, אשר ניתן לחשוב עליה כעל הכללה של משוואות קושי-רימן למשטחים בעלי עקמומיות שונה מאפס. הוא עשה בה שימוש כדי להוכיח קיום מקומי של קואורדינטות איזותרמיות על משטח עם מטריקה אנליטית רימנית. בהמשך מאמרו הדגים את המשפט שלו למקרים של מיפוי קונפורמי של משטח שרירותי על גבי מישור, חרוט וכדור, וסיים בדיון במיפוי קונפורמי של משטח על גבי האליפסואיד הכללי.
במאמר זה מופיעה בפעם הראשונה הפרמטריזציה של משטח עקום באמצעות מספרים מרוכבים, באופן שמזכיר את הרעיון המודרני של יריעה מרוכבת. ראויה לציון העובדה שרימן העריך במיוחד את מאמרו של גאוס על העתקות קונפורמיות, שכן הוא קרא אותו ביסודיות רבה והתייחס אליו במפורש בעבודת הדוקטורט הזכורה שלו מ-1851, אשר יצרה בסיס גאומטרי אוניברסלי לתורה של פונקציות מרוכבות בדמותם של משטחי רימן.
כמו במרבית תחומי עיסוקו של גאוס, חלקה הלא מפורסם של עבודתו על מיפויים קונפורמיים מרשים אף יותר ממה שפרסם בחייו. השיא של עבודתו בנושא עסק בבעיה של בניית העתקה קונפורמית במישור המרוכב מפנים האליפסה לעיגול היחידה הפתוח – בשונה מהבעיה של מיפוי חלקה החיצוני של האליפסה (תחום המישור שאינו נמצא בתוכה) לעיגול היחידה, בה ניתן לבנות את ההעתקה בקלות יחסית בעזרת התמרת ז'וקובסקי, במקרה זה הפתרון קשה בהרבה ומערב פונקציות אליפטיות. במספר קטעים מתמטיים המתוארכים ל-1839 הוא חקר את הבעיה ותיעד את פתרונו; ממצאיו תאמו את הנוסחה שנמצאה הרבה מאוחר יותר על ידי הרמן אמדאוס שוורץ (אשר מצאה בעזרת טכניקות ששולבו מאוחר יותר בהוכחות קונסטרוקטיביות של משפט ההעתקה של רימן). הפתרון שמצא מעיד גם שהיה מודע לזיקה בין תורת המיפויים הקונפורמיים לתורת הפוטנציאל, שכן כדי למצאו הוא התבסס הן על עבודתו המוקדמת על אינטגרלים אליפטיים ופונקציות תטא והן על רעיונותיו מתורת הפוטנציאל – רעיונות אשר גיבש בתקופה שקדמה לפתרונו זה – תקופה בה חקירות פיזיקליות על פוטנציאלים היו במוקד עיסוקיו.
אנליזה ממשית.
תגלית נוספת שלו מנושא אחר לגמרי היא התפלגות Gauss-Kuzmin, שמופיעה בהערה 113 ביומנו. התגלית העמוקה הזאת מתארת את השכיחות האסימפטוטית של מספרים טבעיים בפיתוח לשבר משולב של משתנה מקרי המתפלג באופן אחיד בקטע (0,1). גאוס כתב כי:
formula_51
כאשר formula_52 ו-formula_53 מסמלת את פונקציית הרצפה. במכתב ללפלס מ-1812 גאוס דיווח לו על ממצא זה, ואף הציע לו לעסוק בבעיה ההסתברותית של הערכת גורם השגיאה בחוק האסימפטוטי שלו. גאוס כתב כי יש לו הוכחה בהירה לעובדה הזאת, אולם רק בשנת 1928 הצליח Kuzmin לבנות אותה מחדש, שאף נתן חסם על קצב ההתכנסות – ובכך ענה על השאלה שהעלה גאוס. ההערה הזו מרשימה במיוחד לאור העובדה שהיא נכתבה יותר ממאה שנים לפני שכלים מודרניים "חזקים" כמו תורת המידה והתורה הארגודית נוצרו, וכיוון שגאוס לא הותיר הרבה מסמכים הנוגעים לחוק הזה, לא ברור כיצד הוא הגיע לתוצאה זו.
גאודזיה.
מתוך עבודתו על הסקר הגאודזי של הנובר צמחו מספר עבודות תאורטיות, שהבולטות שבהן כללו מאמר אחד מ-1828 בו סיכם את רעיונותיו על צורת כדור הארץ, המאמר "מדידת הפרש קווי הרוחב בין אלטונה וגטינגן" (1828) שנעשה בו שימוש מיומן ברגרסיה ליניארית, והחשוב מכל הוא ספרו "מחקרים על היסודות של גאודזיה גבוהה" (1843 ו-1846) שפורסם בשני חלקים והתבסס על המיפוי הקונפורמי של האליפסואיד לספירה. שתי העבודות היו בעלות השפעה אדירה על התפתחות הגיאודזיה, הן מהצד התאורטי והן מהצד המעשי.