הקמת האוניברסיטה מיוחסת לבישוף רוברט ריד מ, שהוריש סכום כסף נכבד בשנת 1558, אשר עזר להקמתה מאוחר יותר. האוניברסיטה הוקמה על בסיס צ'רטר מלכותי שהעניק ג'יימס השישי, מלך סקוטלנד ב-1582.
במאה ה-18 אוניברסיטת אדינבורו הייתה המרכז המוביל של הנאורות האירופית (ההשכלה הסקוטית), ונחשבה לאחת האוניברסיטאות העיקריות של היבשת. היא זכתה אז לכינוי "אתונה של הצפון". בין בוגרי האוניברסיטה ניתן למצוא את הביולוג צ'ארלס דרווין, הפילוסוף דייוויד יום, ממציא הטלפון אלכסנדר גרהאם בל והסופר ארתור קונן דויל.
קולג'ים ובתי ספר.
בשנת 2002 האוניברסיטה אורגנה מחדש מתשע פקולטות לשלושה 'קולג'ים'. בתוך הקולג'ים הללו נמצאים 'בתי ספר', המייצגים דיסציפלינה אקדמית אחת כמו אינפורמטיקה, או מרכיבים דיסציפלינות אקדמיות סמוכות כמו בית הספר להיסטוריה, קלאסיקה וארכאולוגיה. נכון לשנת 2021, לאוניברסיטה יש 21 בתי ספר בסך הכל:
Martha My Dear
Martha My Dear (בעברית: מרתה יקירתי) הוא שיר פופ רוק בשילוב סגנון מיוזיק הול של להקת הביטלס מ-1968, מהאלבום "The Beatles" ("האלבום הלבן"). השיר נכתב על ידי פול מקרטני (הקרדיט ניתן גם לג'ון לנון). מקרטני הוא החבר היחיד מהלהקה שמופיע בשיר הזה.
השיר הוא בסוגת פופ רוק בשילוב סגנון מיוזיק הול ומלווה בפסנתר לאורך כל השיר. השיר מאופיין באקורד סולם מז'ורי שנותן את הסגנון הג'אזי. מבין חברי הלהקה משתתף בשיר רק מקרטני, שביצע את השיר עם תזמורת. את העיבוד ביצע מפיק הלהקה, ג'ורג' מרטין.
השיר נכתב על חיית המחמד הראשונה של מקרטני, כלבת הצאן האנגלי עתיק מרתה. מקרטני סיפר שג'ון לנון, שנדהם מהיחס האוהב שלו לבעל חיים, נהג לקנטר אותו בבדיחוּת: "מעולם לא ראיתי אותך ככה לפני כן" – אף שמקרטני הדגיש שיחסיו עם מרתה היו אפלטוניים.
נכון לאפריל 2020, מונה ההשמעות של השיר ברשת הזרמת המדיה ספוטיפיי עומד על כ-16 מיליון.
המשפט העממי (תורת המשחקים)
המשפט העממי (Folk theorem) הוא משפט בתורת המשחקים, המאפיין את תשלומי שיווי המשקל במשחקים חוזרים.
המשפט העממי עבור משחקים חוזרים סופיים אומר כי לכל וקטור תשלומים אפשרי וסביר פרטית x, קיים שיווי משקל במשחק החוזר אשר התשלום המתאים לו קרוב עד כדי אפסילון ל-x, או במילים פשוטות יותר - כל מה שסביר במשחק הוא גם אפשרי (פרט לשלילת הברור, אין אפשרות לניבוי). משפט זה מתקיים אך ורק אם לכל שחקן קיים שיווי משקל במשחק הבסיסי שבו הוא מקבל יותר מערך המינמקס שלו.
המשפט העממי עבור משחקים חוזרים אינסופיים אומר כי קבוצת תשלומי שיווי המשקל בכל משחק חוזר אינסופי היא קבוצת וקטורי התשלומים האפשריים והסבירים פרטית במשחק.
במשך מספר שנים משפט זה היה ידוע בקהילה המדעית אף על פי שלא פורסם באף מאמר מדעי. המשפט העממי למשחקים חוזרים סופיים הוכח על ידי Benoit and Krishna בשנת 1985. המשפט העממי למשחקים חוזרים אינסופיים הוכח בשנת 1994 על ידי אומן ושפלי.
מושגי יסוד וסימונים.
המשחק הבסיסי G מוגדר על ידי קבוצת השחקנים, קבוצת הפעולות האפשריות לכל שחקן, ופונק' התשלומים של כל שחקן, כלומר:
formula_1.
קבוצת וקטורי התשלומים V מוגדרת
כאשר
formula_3
הוא ערך המינמקס של שחקן i באסטרטגיות מעורבות.
F = Feasible set, קבוצת התשלומים האפשריים במשחק (קמור התשלומים האפשריים) מוגדרת
Conv { U(a.
formula_5
קבוצת וקטורי התשלומים האפשריים והסבירים פרטית.
formula_6
- וקטור התשלומים לשחקנים במשחק ה-T שלבי, כאשר השחקנים משחקים את וקטור האסטרטגיות
formula_7.
formula_8
קבוצת תשלומי שיווי המשקל במשחק ה-T שלבי.
formula_9
שכן כל שחקן יכול להבטיח לעצמו לפחות את ערך המינמקס.
ניסוח המשפט למשחקים סופיים.
יהי G משחק בסיסי בצורה האסטרטגית. נניח כי לכל שחקן
formula_10
יש שיווי משקל
formula_11
במשחק הבסיסי, המקיים
formula_12
אזי לכל
formula_13
קיים
formula_14
כך שלכל
formula_15
ולכל וקטור תשלומים אפשרי וסביר פרטית
formula_16
קיים שיווי משקל
formula_7
במשחק ה-T שלבי שהתשלום המתאים לו קרוב עד כדי
formula_18
formula_18 &gt;
formula_20
רעיון ההוכחה.
לשם הבנת רעיון ההוכחה, מומלץ לעקוב בעזרת הדוגמה בהמשך דף זה.
נבחר וקטור x ב-formula_5.
מכיוון ש-x נמצא ב-F, ניתן להציג אותו כצירוף קמור של תאים במטריצה. המקדמים בצירוף הקמור יכולים להיות אי-רציונליים. ניתן לקרב כל מקדם על ידי מספר רציונלי. במילים אחרות, קיים צירוף קמור של התאים במטריצת התשלומים עם מקדמים רציונליים השווה לווקטור y הקרוב עד כדי אפסילון ל-x.
נגדיר וקטור אסטרטגיות
formula_7 במשחק ה-T-שלבי
אשר יהיה תלוי ב-3 פרמטרים שלמים R, K, L.
T שלבי המשחק יחולקו ל-R מחזורים באורך K ולזנב באורך L, כלומר
T = RK + L.
K - אורך המחזור, יהיה הכפולה המשותפת המינימלית של מכני המקדמים של המשקלות הרציונליים בהצגה הנזכרת לעיל.
R - מספר המחזורים שישוחקו.
L - מספר השלבים שישוחקו בזנב (יוסבר בהמשך).
וקטור האסטרטגיות formula_7 בנוי באופן הבא:
1. במהלך RK השלבים הראשונים השחקנים משחקים בצורה מחזורית אותה סדרה של K וקטורי פעולות. בכל מחזור, מספר הפעמים ש-formula_7 משחקת כל אחד מתאי המטריצה שווה למונה המתאים בצירוף הקמור שנותן את y. כך, בכל מחזור, ממוצע התשלומים קרוב עד כדי אפסילון ל-x.
2. אם שחקן סוטה באחד מ-RK השלבים הראשונים, שאר השחקנים יענישו אותו על ידי אסטרטגיית הענישה הבאה:
אם שחקן מסוים סוטה בשלב t, החל משלב t+1 שאר השחקנים ישחקו וקטור אסטרטגיות המבטיח שתוחלת התשלום של שחקן זה בכל שלב תהיה לכל היותר ערך המינמקס שלו באסטרטגיית מעורבות.
3. ב-L השלבים האחרונים (הזנב) השחקניו ישחקו בצורה מחזורית את שיוויי המשקל שיווי משקל formula_25במשחק הבסיסי.
אם L קטן יחסית ל-RK, ממוצע התשלומים לפי
formula_7 יהיה קרוב ל-x עד כדי אפסילון.
נראה עתה שזהו ש"מ. אכן, בזנב לשום שחקן לא כדאי לסטות, כי לאורך הזנב השחקנים משחקים בכל שלב ש"מ במשחק החד-שלבי. גם לאורך RK השלבים הראשונים לא כדאי לשום שחקן לסטות, שכן על ידי סטייה יכול שחקן להרוויח לכל היותר 2KM (בכל אחד מ-K השלבים במחזור שבו השחקן סטה הוא יכול להרוויח לכל היותר M, כאשר M הוא הערך המוחלט המקסימלי של תשלום במטריצת המשחק), ולאחר מכן השחקן לא ירוויח (מכיוון שיענש על ידי השחקנים האחרים, ויקבל לכל היותר את ערך המינמקס שלו); אם הזנב ארוך דיו, ניתן לוודא שהענישה אפקטיבית ושהסטייה לא תהיה כדאית.
המשפט העממי למשחקים אינסופיים.
ניסוח המשפט - בכל משחק חוזר אינסופי, קבוצת תשלומי שיווי המשקל היא
formula_5
רעיון הוכחה - נראה כי כל וקטור תשלומים x ב
formula_5
הוא ש"מ במשחק האינסופי.
אם x ניתן להצגה כממוצע משוקלל של וקטורי תשלומים עם מקדמים רציונליים, נגדיר תוכנית בסיסית (אינסופית) בה כל אחד מהשחקנים משחק באופן מחזורי פעולות אשר יביאו לכך שממוצע התשלומים יהיה בדיוק x. (בדוגמה - שחקן 1 ישחק באופן מחזורי את וקטור הפעולות {T,T,B,T}, שחקן 2 ישחק באופן מחזורי את וקטור הפעולות {L,L,R,R}), ונוסיף לכל אסטרטגיה את איום הענישה (בו כל השחקנים מענישים לערך המינמקס באסטרטגיות מעורבות, שחקן שסטה).
בדיקה ישירה מראה כי x הוא ש"מ במשחק האינסופי.
אם x אינו ניתן להצגה כממוצע משוקלל עם מקדמים רציונליים, נקרב את x על ידי הצגות עם מקדמים רציונליים. כלומר, לכל k טבעי, נמצא מקדמים רציונליים
formula_29
כך שמתקיים:
formula_30
במקרה כזה, בתוכנית הבסיסית ישחקו השחקנים בבלוקים, כאשר בבלוק ה-k יש k שלבים:
בבלוק הראשון ישחקו כדי לממש את הממוצע
formula_31, בבלוק השני
formula_32,
וכך הלאה.
מכיוון שככל ש-k גדל ממוצע התשלומים בבלוק ה-k מתקרב ל-x, ממוצע התשלומים במשחק האינסופי מתכנס ל-x.
אם אחד השחקנים סוטה, כאמור מעלה, נעניש אותו בערך המינמקס באסטרטגיות מעורבות (כך נוודא שסטייה אינה כדאית).
בדיקה ישירה מראה כי קיבלנו שיווי משקל במשחק האינסופי.
דוגמה.
נסתכל על המשחק הבא:
ערך המינמקס של משחק זה הוא (2,2) - אסטרטגיית המינמקס של שחקן 1 במשחק הבסיסי היא לשחק B, כך שחקן 2 ירוויח לכל היותר 2, אסטרטגיית המינמקס של שחקן 2 במשחק הבסיסי היא לשחק R, כך שחקן 1 ירוויח לכל היותר 2, ולכן ערך המינמקס של המשחק הבסיסי הוא (2,2).
נרצה לקחת וקטור ב-
formula_5
ונראה שניתן לקרב אותו כתשלום ש"מ במשחק עבור T מספיק גדול.
נבחר את הווקטור
(3.5,4.75) = (6,6)0.5 + (0,0)0.25 + (2,7)0.25
נבנה "מחזור" בן 4 שלבים, בהם נשחק את הפעולות כך שיתאימו לוקטור הנ"ל, כלומר המחזור יראה כך:
נסתכל על זוג האסטרטגיות הבא, בהם השחקנים ישחקו אסטרטגיות לפי המחזור שתוכנן, כלומר:
ממוצע התשלומים הוא בדיוק (3.5,4.75), כדי למנוע סטיות נאיים בהענשה לערך המינמקס (בדוגמה - אם שחקן 1 סוטה בשלב ה-t, שחקן 2 ישחק R מהשלב ה-t+1).
כפי שנכתב בהוכחה, עדיין יש כדאיות סטייה בשלב ה-99 (לדוגמה - בשלב זה, שחקן 1 יחליט לשחק T במקום B, ממהלך זה ירוויח 2 לעומת 0, שחקן 2 לא יוכל להעניש אותו בשלב ה-100, שכן שחקן 1 יכול להבטיח לעצמו את ערך המינמקס באסטרטגיות מעורבות שהוא 2, כפי שהיה אמור לקבל ממילא לפי תוכנית המשחק), לכן נוסיף זנב המכיל 2 ש"מ לשחקנים, כך שיקבלו יותר מתשלום המינמקס, כלומר:
זהו ש"מ מכיוון שבמחזור (4 שלבים) אם שחקן יסטה, הוא ירוויח לכל היותר 3, אך רווח זה קטן מההפסד שיגרם לו בגין הענישה (מינוס 5, במקום 7 ירוויח 2).
נשאר להראות כי ממוצע התשלומים (ללא סטיות) קרוב ל-(3.5,4.75), הממוצע הוא:
formula_34
כלומר עבור
formula_35
מרחק וקטור התשלומים מ-(3.5,4.75) קטן מ-
formula_36