כאשר תור האמיתי נעדר ונחשב למת במהלך אירועי "מלחמת אזרחים", טוני סטארק משתמש באסופה משיערותיו, ויחד עם ריד ריצ'רדס והנרי פים יוצר שיבוט DNA של האל האסגרדי, ומשלב אותו יחד עם הטכנולוגיה של "תעשיות סטארק". מעשם של סטארק, ריצ'רדס ופים מביא ליצירתו של כפיל קיבורג, הנשלח לקרב מול גיבורי-על המתנגדים לחוק רישום העל-אנושיים, ומחייב אותם לחשוף את זהותם הסודית. הקרב יוצא מכלל שליטה כאשר הכפיל רוצח גיבור-על הידוע כגוליית, לאחר מכן יוצא הכפיל לרדוף אחר יתר המתנגדים לחוק. בעקבות כך, ריצ'רדס מכבה אותו באמצעות פקודה קולית, ומנתח את מוחו לבל הטעות תחזור על עצמה. תור החדש חוזר לקרב הסופי בין הכוחות המתפלגים, אך מובס כאשר הרקולס וסטורם מרוצצים את גולגולתו בעזרת המקבת שלו בטענה כי עצם קיומו מהווה עלבון לבן אודין האמיתי. בסופו של דבר, נלקחים שרידיו של תור החדש למחקר וניסויים במעבדה.
במהלך אירועי "פלישה סודית", נגלה כי הנרי פים, אשר עזר ליצור את הכפיל, היה למעשה מתחזה מגזע הסקרול החייזרי משני הצורה. פים הניח בשרידיו של הכפיל תוכנית למקרה חירום במידה והפלישה תיכשל. אם קוד מיוחד - אותו רק המתחזה יודע - לא יוכנס למערכת מדי 18 שעות, הכפיל יתעורר. וכך, עם מותו של המתחזה, תוכנית זו התבצעה. הכפיל התעורר והאמין כי הוא תור האמיתי, ולאחר מכן איים על ברון פון בליצשלאג - ראש הצוות המדעי במחנה האמונד - להחזיר לעצמו את המקבת שלו ושם לעצמו למטרה להשמיד את "יוזמת האוונג'רס", ונוטל את שם הקוד "ראגנארוק", בתואנה כי "יביא לקיצו של הכל". ראגנארוק נעצר רק בזכות התערבותו של פון בליצשלאג, שכוחותיו החשמליים היו חסינים לברקיו של ראגנארוק. פון בליצשלאג הראה לראגנארוק תצלומים של יצירתו, והראה לו כי תור האמיתי חזר והקים מחדש את אסגרד מעל שמי העיר. ראגנארוק נגעל מכך ורואה במעשו כביזוי זכרה של אסגרד. לאחר מכן, עוזב ראגנארוק את מחנה האמונד, זאת כדי להתעמת מול תור, הקרב בין השניים נערך בסוף אירועי "מצור", ובסופו הביס תור את ראגנארוק בקלות.
בהמשך, נורמן אוסבורן מורה לארגון A.I.M לבנות מחדש את ראגנארוק, כדי שזה האחרון יצטרף לגלגולה השני של קבוצת האוונג'רס האפלים שאותה הוא מקים. ראגנארוק נבנה מחדש תחת שלטונו של אוסבורן, ונשלח להתעמת עם קבוצת האוונג'רס החדשים. ראגנארוק מגיע לעימות עם האוונג'רס החדשים כשהוא סובל מפציעות רבות, הוא מובס בעימות וכמעט נהרס על ידי ספיידרמן ווולברין. בהמשך, מופיע ראגנארוק מחדש, זה בתור חבר בקבוצת ת'נדרבולטס. מאוחר יותר, עוזב ראגנארוק את קבוצת ת'נדרבולטס וחובר בשנית לאוונג'רס האפלים.
טריקשוט
טריקשוט (באנגלית: Trickshot) הוא דמות בדיונית של נבל-על המופיעה בחוברות הקומיקס האוונג'רס האפלים ביקום מארוול קומיקס. הדמות הופיעה לראשונה בחוברת "The Avengers #64" ממאי 1969 ונוצרה על ידי הכותב רוי תומאס והמאייר ג'ין קולאן.
טריקשוט הוא האלטר אגו של צ'ארלס ברנרד "בארני" בארטון, אחיו הבכור של קלינט בארטון, הידוע כחבר האוונג'רס הוקאיי. הוא גדל בווייברלי, איווה, ואיבד את שני הוריו לאחר שאביו האלכוהוליסט איבד שליטה על רכבם והתנגש בעץ. בארני וקלינט נשלחו לבית יתומים, שם שהו כשש שנים עד שברחו והצטרפו לקרנבל "קארסון הפלא הנודד". אמן החרבות, החבר בקרנבל, בחר בקלינט להיות עוזרו האישי, ובארני הרגיש מוזנח והפך מריר ומלא קנאה באחיו. כאשר קלינט נפצע אנושות לאחר שגילה כי אמן החרבות מעל בכספי הקרנבל, בארני גינה את אחיו הצעיר על כי לא שמר אמונים למורה הרוחני שלו. בארני מאס בחיי הקרנבל והתגייס לצבא. הוא הציע לקלינט לשכוח מהעבר העכור ביניהם ולהצטרף עמו לצבא, אך קלינט סרב. בארני הודיע לו כי ההצעה בעינה עומדת וכי יחכה לו אם ישנה את דעתו. בוקר למחרת, כאשר בארני המתין לאוטובוס הוא ראה שקלינט אינו מגיע, ובעצבות רבה השאיר את חייו הקודמים מאחוריו. קלינט הגיע לאחר מכן, אך גילה כי איחר את המועד.
מאוחר יותר, בארני הפך לסוכן FBI, ומשימתו הראשונה הייתה לעבוד עבודה סמויה כשומר ראש עבור פושע בשם מארקו. ללא ידיעתו, קלינט והמורה הרוחני שלו טריק-שוט ניסו לשדוד את אחוזתו של הפושע. זאת ועוד, בארני נורה בחץ בידי קלינט. כאשר נודע לקלינט דבר מעשהו, הוא סירב לעזוב את אחיו והפנה עורף לטריק-שוט. זה האחרון פצע את קלינט ועזב.
במסגרת עבודתו השנייה כסוכן סמוי, בארני פנה לעזרת האוונג'רס ובמהלך המשימה הקריב את חייו. לאחר שהתגלו בה סימני חיים קלושים, גופתו של בארני נגנבה והונחה בתא החלמה, אך נשכחה בידי האוונג'רס. לאחר הלווייה, קלינט קיבל מכתב מסוכן FBI שמאשר את חייו הכפולים של בארני וכי בארני מודע לחייו הכפולים של קלינט כהוקאיי. בארני נמצא בידי ברון זמו, שבשל טינה להוקאיי הפנה את אחיו נגדו. בארני וזמו שוכרים את שירותו של טריק-שוט, המורה הרוחני לשעבר של הוקאיי (שמחלת הסרטן קיננה בגופו), כדי לאמן את בארני בחץ וקשת. עם סיום האימונים, טריק-שוט הוכה קשות והסרטן שבגופו החמיר. בארני העביר את גופתו הגוססת של טריק-שוט לאחוזת האוונג'רס כמסר להוקאיי. בתגובה, הוקאיי החל לחקור את נסיבות מותו של טריק-שוט, אך נקלע למארב של אחיו. בארני החל לקרוא לעצמו בשם טריקשוט כמחווה למורה הרוחני של שני האחים, הכניע את אחיו והעביר אותו לברון זמו. זמו ערך בין שני האחים קרב עד מוות, והוקאיי הצליח להתגבר על טריקשוט למרות שהתעוור בעקבות פציעה ישנה. או אז, זמו התעמר בהוקאיי על כי הצליח להמריד את אחיו בו. טריקשוט נכלא, ובארני מסכים להשתלת מח עצם באחיו להשבת ראייתו בתנאי שיתמודד שוב מול הוקאיי בעתיד.
בהמשך, נורמן אוסבורן מביים את מותו של בארני בבית החולים, ומזמין אותו להצטרף לגלגולה השני של קבוצת האוונג'רס האפלים. למרות הצלחה ראשונית של הקבוצה החדשה, הוא מפסיד בקרב נגד מוקינגבירד לאחר שהוזרק לה נסיוב משולב של נוסחת סופר-חייל ונוסחת האינסוף.
מרגלת
וולקנית
אשכנז (פירושונים)
שקילות הומוטופית
משפט נילסן-שרייר
בתורת החבורות, משפט נילסן-שרייר קובע שכל תת-חבורה של חבורה חופשית היא חופשית בעצמה.
טענה מקבילה לחבורות אבליות, שכל תת-חבורה של חבורה אבלית חופשית היא אבלית חופשית, הוכחה על ידי ריכרד דדקינד. יאקוב נילסן הוכיח ב-1921 שהמשפט נכון לכל תת-חבורה נוצרת סופית. אוטו שרייר הוכיח את המשפט במלואו בהביליטציה שלו ב-1926.
להוכחת המשפט נחוצה אקסיומת הבחירה, וקיימים מודלים של ZF ללא אקסיומת הבחירה בהם המשפט לא נכון. בהינתן אקסיומות צרמלו-פרנקל (ZF), המשפט גורר גרסה חלשה של אקסיומת הבחירה, לקבוצות סופיות.
להבדיל מתת-החבורות, שכולן חופשיות, חבורת מנה של חבורה חופשית עשויה להיות כל חבורה שהיא.
הוכחה.
הוכחה קצרה המבוססת על טופולוגיה אלגברית נמצאה על ידי ריינהולד בר ופרידריך לוי.
תהי formula_1 חבורה חופשית. נסתכל על המולטיגרף עם צומת אחד ועם formula_2 קשתות המחברות את הצומת לעצמו. זהו מרחב טופולוגי המתקבל מלקיחת formula_2 מעגלים והדבקתם זה לזה בנקודה אחת משותפת לכל המעגלים. החבורה היסודית של המולטיגרף היא formula_1 - כל לולאה המקיפה את אחת הקשתות פעם אחת היא יוצר (נובע ממשפט ואן קמפן). כל תת-חבורה של החבורה היסודית היא חבורה יסודית של מרחב כיסוי. קל לראות שכול מרחב כיסוי של מולטיגרף הוא גם מולטיגרף. מכאן שאם נוכיח שהחבורה היסודית של מולטיגרף היא תמיד חופשית, נקבל את משפט נילסן-שרייר.
נבחר עץ פורש של המולטיגרף (להוכחת קיומו נחוצה אקסיומת הבחירה, אם הגרף אינסופי) ונמשוך את ענפיו לתוך השורש באופן רציף. פורמלית, אנחנו מסתכלים על העתקת המנה של מרחב המנה של המולטיגרף מודולו העץ הפורש (כל הנקודות על העץ מזוהות כנקודה אחת). באופן כזה נקבל מולטיגרף שקול הומוטופית למולטיגרף המקורי שיש לו צומת אחד. החבורה היסודית נשמרת תחת שקילות הומוטופית וכבר קבענו שהחבורה היסודית של מולטיגרף עם צומת אחד היא חבורה חופשית, ומכאן שכל חבורה יסודית של מולטיגרף היא חופשית.
הוכחה נוספת.
נביא הוכחה נוספת, דומה אך קומבינטורית יותר (ללא שיקולים כלל מטופולוגיה אלגברית)
תהי formula_5 חבורה חופשית הנוצרת על ידי formula_6 ותהי formula_7 תת-חבורה שלה. נבנה גרף formula_8 בצורה הבאה: הקודקודים יהיו המחלקות השמאליות של formula_7, ותהיה קשת מהקודקוד formula_10 עם הסימן formula_11 לקודקוד formula_12 (קל לראות שזה מוגדר היטב) כיוון שהכפלה ב-formula_11 היא פרמוטציה על המחלקות, לכל קודקוד נכנסת בדיוק קשת אחת עם כל יוצר ויוצאת בדיוק קשת אחת. (למרות שתהיה חשיבות לכיוון של הקשתות, כללית נתייחס לגרף כלא מכוון, כלומר הילוכים בגרף יוכלו לעבור בקשתות גם נגד כיוונן)
כעת נסמן formula_14. לכל קודקוד formula_15 ולכל איבר מ-formula_16, "ללכת על האיבר" פירושו יהיה: אם האיבר הוא formula_11, לעבור לקודקוד formula_18 כך שיש קשת מ-formula_15 ל-formula_18 עם הסימן formula_11, ואם האיבר formula_22, לעבור לקודקוד formula_18 כך שיש קשת מ-formula_18 ל-formula_15 עם הסימן formula_11, ואם האיבר formula_22. (מוגדר היטב כי ראינו שלכל יוצר וקודקוד יש קשת אחת נכנסת ואחת יוצאת מכל סימן) כמו כן למילה formula_28 נגדיר "ללכת על המילה" ללכת אחד אחד על איבריה. קל לראות באינדוקציה שאם נצא מהקודקוד formula_10 ונלך על המילה formula_28 נגיע לקודקוד formula_31. מכאן נובע מייד שהגרף קשיר כי כדי להגיע מהקודקוד formula_10 לקודקוד formula_33 אפשר ללכת על המילה formula_34.