ויילס נודע ברבים לאחר שהוכיח את השערת טניאמה-שימורה, אבל היו לו מוניטין של חוקר מבריק בתורת המספרים כבר בזמן שעבד עם קוטס על עקומים אליפטיים, שעה שהשניים עשו את הצעדים הראשונים להוכחתה של השערת בירץ' וסווינרטון-דייר (אחת מבעיות המילניום של מכון קליי). יחד עם בארי מזור הוא עשה עבודה חשובה לגבי ההשערה המרכזית של תורת איווסווה.
גם לאחר שפתר בעיה שנחשבה לאתגר הגדול של תורת המספרים, המשיך ויילס לחקור בתחום, והוא נחשב למומחה מוביל בעקומים אליפטיים בכלל ובהשערת בירץ' וסווינרטון-דייר בפרט. בשנת 1999 חנך את "מרכז ויילס לטכנולוגיה" בבית הספר היוקרתי קינגס קולג' שבאנגליה.
עניין במתמטיקה מגיל צעיר.
ויילס גדל בעיר קיימברידג' שבאנגליה. מילדותו אהב לפתור את הבעיות המתמטיות שפגש בבית הספר, וחיבר כמה בעיות משלו. המשפט האחרון של פרמה לכד את תשומת לבו, מפני שזוהי בעיה שקל להציג ולהבין, ובכל זאת היא עמדה בפני ניסיונות ההוכחה של המתמטיקאים במשך מאות שנים. כאשר ויילס היה בן 10, הוא מצא בספרייה העירונית את הספר "הבעיה האחרונה" שכתב אריק טמפל בל על המשפט, וניסה לפתור את הבעיה בעצמו, בחושבו שאולי יצליח לגלות משהו שנעלם מעיני אחרים. הוא למד שיטות שונות שפותחו כדי להתמודד עם הבעיה, אבל החליט שהן אינן מספיקות. כשסיים את לימודי התואר הראשון עזב את הבעיה, ועבר לעבוד תחת הנחייתו של קוטס.
עקומים אליפטיים, תבניות מודולריות והמשפט האחרון של פרמה.
בשנות ה-50 וה-60 הגו המתמטיקאים היפנים יוטקה טניאמה וגורו שימורה השערה שקישרה עקומים אליפטיים לתבניות מודולריות. ההשערה נודעה במערב לאחר שאנדרה וייל הקדיש לה מאמר שבו הציג ראיות התומכות בה. כבר לפני שנמצאה הוכחה להשערת טניאמה-שימורה, נכתבו מאמרים על התוצאות שאפשר יהיה להסיק ממנה, כאשר תוכח.
במהלך שנת 1984 גרהרד פריי הציע טענה שאם מישהו יצליח להוכיח את השערת טניימה-שימורה הוא גם יוכיח את המשפט האחרון של פרמה. אך בטענה זו היה פגם שמנע את אימותה שלה. את הטענה הזו הוכיח ותיקן קן ריבט ב-1986, הראתה שממשפט טניאמה-שימורה, אפילו אם הוא נכון רק במקרה ה"יציב למחצה", נובע המשפט האחרון של פרמה. עבודתו זו של ריבט הביאה את ויילס להפנות את עיקר מרצו להוכחת ההשערה של טניאמה ושימורה, מאחר שכעת היה ברור שהוכחה כזו תפתור גם את האתגר מן המאה ה-17, המשפט האחרון של פרמה.
חוקרים רבים סברו שאין כל דרך לתקוף את השערת טניאמה-שימורה, הקובעת כאמור שכל עקום אליפטי רציונלי הוא מודולרי, מפני שאפילו לא היה ידוע אם לשני המבנים יש אותו מספר של פונקציות L. ריבט סובר שאפשר לייחס את הצלחתו של ויילס בפתרון השערת טניאמה-שימורה לכך שהייתה לו התעוזה לתקוף את ההשערה למרות קשיים אלה. אף על פי שוויילס הסתפק, בתחילה, בפתרון המקרה היציב למחצה, התברר שמקרה זה אינו קל בהרבה מן ההשערה המלאה.
בתחילת עבודתו של ויילס על השערת טניאמה-שימורה, הוא נהג להזכיר את הבעיה של פרמה בפני עמיתיו, אבל העניין שאזכורים כאלה עוררו הרתיע אותו. הוא רצה להתרכז בבעיה, וביקש לעבוד לבדו (סיימון סינג משער שרצונו של ויילס לסיים את ההוכחה בכוחות עצמו, תרם לבידוד מרצון). במשך אותן שנים, ויילס המשיך לעבוד בפרינסטון. הוא כתב מאמרים על נושאים רחוקים מהשערת טניאמה-שימורה, המשיך להיות נוכח בסמינרים, להרצות ולהנחות סטודנטים.
ההשערה של טניאמה-שימורה היא, בסופו של דבר, בעיה של ספירת הנקודות שיש לעקום אליפטי כאשר מצמצמים אותו לשדה סופי. לשם כך, חקר ויילס הצגות גלואה (שהן הצגות של חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונליים) המתקבלות מן העקום האליפטי, תבניות מודולריות, וערכים מיוחדים של פונקציות L המתאימות.
הצהרה על ההוכחה.
ביוני 1993 העביר ויילס סדרה בת שלוש הרצאות תחת הכותרת "תבניות מודולריות, עקומים אליפטיים והצגות גלואה" במכון אייזק ניוטון בקיימברידג', במסגרת כנס על פונקציות L ואריתמטיקה. המארגנים הקצו לו בתחילה רק יומיים, אבל ג'ון קוטס ויתר על זמן ההרצאה שלו כדי לאפשר לו לסיים את הנושא.
לאחר ההרצאות אמר בארי מזור שלמרות הרעיונות המבריקים הרבים בסדרה, המתח נשמר עד לסוף ההרצאה האחרונה.
המאמר של ויילס.
את המאמר שכתב על ההוכחה של המקרה היציב-למחצה של השערת טניאמה-שימורה (שממנו, כאמור, נובע המשפט האחרון של פרמה), הגיש ויילס לכתב העת החשוב Inventiones Mathematicae, ובארי מזור, אחד העורכים, הרכיב צוות של שישה אנשים לצורך ביקורת עמיתים למאמר. בצוות כלל מזור את קן ריבט, ניק כץ וריצ'רד טיילור. בגרסה הראשונה, ההוכחה נצרכה לבניה של "מערכת אוילר", שהצוות מצא בה פגם מהותי. בעבודתו ווילס החליט, שהוא ישתמש בשיטת הוכחה בה מוכיחים מקרה אחד. לאחר מכן מוכיחים שמפני שמקרה א' נכון, גם מקרה ב' מוכרח להיות נכון, וכן הלאה. בדיוק כמו דומינו עד אינסוף. כדי להוכיח שמקרה א' משליך על מקרה ב' הסתמך ויילס על שיטה ששמה: "שיטת קליווגין-פלאך". הפגם היה, שלא הייתה ערובה לכך ששיטה זו אכן תעבוד כמו שוויילס תכנן ותיצור את אפקט הדומינו הרצוי. במקור שיטה זו עבדה רק בנסיבות מסוימות. ויילס האמין, שהוא חיזק אותה מספיק כדי שהיא תעבוד במקום שהוא נזקק לה. אך בפועל המצב לא היה כזה והתוצאות היו הרסניות. אף על פי שמאמריו של ווילס סיפקו חידושים ותגליות רבות, ללא החלק הזה בהוכחה כל ההוכחה להשערת טניאמה- שימורה נפלה ואיתה ההוכחה למשפט האחרון של פרמה. במשך שנה חשב ויילס שלמרות העבודה הרבה והתוצאות החשובות שהשיג, לא ניתן לגשר על הפער ולהגיע אל המטרה הנכספת. לפני שנכנע, הוא החליט לנסות ניסיון אחרון, בעזרת ריצ'רד טיילור, שכתב את עבודת הדוקטורט שלו בהנחיית ויילס ב-1988. זמן מועט לפני המועד בו ווילס החליט לנטוש את עבודתו התחוור לו ששיטת קליווגין-פלאך יכולה לגרום ל"תאוריית איווסווה" אותה ניסה שלוש שנים קודם לכן, לעבוד. השילוב בין שתי השיטות היה כל מה שוויילס נזקק לו כדי למצוא את התשובה האמיתית. הגרסה הסופית של ההוכחה של ויילס, השונה מן הגרסה המקורית, פורסמה בגיליון 141 של ה-Annals of Mathematics בשנת 1995, יחד עם מאמר תומך שכתבו ויילס וטיילור במשותף, ונקראה "תכונות בתורת החוגים של אלגברות הקה מסוימות".
ההוכחה המלאה של השערת טניאמה-שימורה.
לאחר שההתפעלות מן ההישג שבהוכחת משפט פרמה שככה, העבודה הוצגה בתור צעד חשוב לקראת מטרה חשובה אף יותר - השערת טניאמה-שימורה המלאה, העומדת במרכז התורה האריתמטית של עקומים אליפטיים. למרבה ההפתעה, מטרה זו הושגה בתוך זמן קצר יחסית, בשנת 1999, כאשר טיילור נעזר ברעיונות של ויילס כדי לפתור את השערת ארטין עבור הצגות גלואה שבהן המסלול של הנקודה 1/2 תחת פעולת חבורת המטריצות formula_1 מתאים לחבורת התמורות הזוגיות formula_2
פרסים.
לוויילס הוענקו מספר פרסים מרכזיים במתמטיקה: פרס רולף שוק למתמטיקה (1995), המדליה המלכותית (1996), פרס קול (1996), פרס וולף (1996),פרס וולפסקהל (1997) פרס המלך פייסל (1998), פרס המחקר של מכון קליי (1999), פרס שאו (2005) ופרס אבל (2016). ויילס הוכתר כאביר של מסדר האימפריה הבריטית בשנת 2000. ויילס הוכיח את השערת טניאמה-שימורה כשהיה בן 41, וכך לא יכול היה לזכות במדליית פילדס, המוענקת על-פי צוואתו של ג'ון צ'ארלס פילדס למתמטיקאים מתחת לגיל 40. כתחליף לכך הוענק לו לוח כסף מאת האיחוד הבינלאומי למתמטיקה (1998).
זוכה מדליית קופלי לשנת 2017.
תלמידים.
ויילס הנחה כ-14 תלמידים בעבודת הדוקטורט שלהם. ביניהם ריצ'רד טיילור ואהוד דה-שליט, שהיה מראשוני תלמידיו, ומכהן כיום כפרופסור למתמטיקה באוניברסיטה העברית בירושלים.
ביולוגיה מולקולרית
בִּיּוֹלוֹגְיָה מוֹלֵקוּלָרִית (Molecular Biology) היא ענף מרכזי בביולוגיה, המתמקד בפעילויות ביולוגיות במישור המולקולרי, ובייחוד במבנה ושימור ה־DNA, תהליכי ביטוי גנים אשר כוללים שעתוק, תרגום, ועוד. בבסיס הדיסציפלינה עומדת הַדּוֹגְמָה הַמֶּרְכָּזִית () אשר נוסחה במקור על ידי זוכה פרס נובל פרנסיס קריק. על פי הַדּוֹגְמָה, מידע ביולוגי ארוז ב-DNA, ואותו המידע "זורם" דרך RNA לתצורה פעילה – שהיא חלבון. על פי הניסוח המקורי, ברגע שחלבון נוצר, הוא לא יכול להציג את המידע הגנטי המקורי.
הביולוגיה המולקולרית בכללותה חוקרת את הַדּוֹגְמָה הַמֶּרְכָּזִית, ובפירוט היא עוסקת בין היתר במנגנוני שימור ה-DNA, בתהליך השעתוק של RNA מ־DNA, בתרגום חלבונים על סמך RNA, ובאינטראקציות השונות של מרכיבי המערכת.
תחום זה מכיל כלי מחקר טכניים רבים, גבולותיו אינם מוגדרים היטב והוא חופף בחלקו לתחומים אחרים בביולוגיה, בעיקר גנטיקה וביוכימיה. בעוד ביולוגיה מולקולרית ממוקדת בקשרי הגומלין בין המערכות השונות של התא, כולל הקשרים בין ה-DNA, ה-RNA והסינתזה של החלבונים, הביוכימיה עוסקת באופן מיוחד באינטראקציית חלבון-חלבון ובזרימת מידע על ידי מסלולים מטבוליים. גנטיקה עוסקת באופן מיוחד, כמו גם הביולוגיה המולקולרית, ב-DNA. עם זאת, הגנטיקה מציגה זרימת מידע גנטי בקנה מידה של דורות, לעומת הביולוגיה המולקולרית אשר עוסקת בגנום של אורגניזם בודד.
ויליאם אסטבורי, מאבות התחום, תיאר ב-1961 בכתב העת Nature את הביולוגיה המולקולרית כך:
היסטוריה.
התחום נוסד בשנות השלושים, והמושג "ביולוגיה מולקולרית" נטבע בידי וורן ויבר ב-1938. ויבר היה מנהל מחלקת מדעי הטבע במכון רוקפלר, והוא חשב כי הביולוגיה צפויה לעבור שינוי משמעותי בעקבות התקדמות משמעותית בתחום הקריסטלוגרפיה. לפיכך הוא העביר תקציבים רבים לתחומים הביולוגיים.