קבוצה מהצורה formula_14 או formula_15 נקראת "מחלקה" (ימנית או שמאלית, בהתאמה), או "קוסט" של formula_5. תת-החבורה formula_5 נורמלית אם ורק אם לכל formula_3 מתקיים formula_19. במקרה כזה, לכל formula_3 ולכל formula_21 קיים formula_22 כך ש-formula_23.
מכאן גם רואים ישירות כי בחבורה קומוטטיבית כל תת-חבורה היא נורמלית, כי לכל formula_3 ולכל formula_25 מתקיים formula_26.
תת-חבורות נורמליות וחבורות מנה.
בהינתן חבורה formula_1 ותת חבורה formula_28, חבורת המנה formula_29 מוגדרת היטב אם ורק אם formula_11. הסיבה לכך היא שהנורמליות היא הדרישה השקולה לכך שכפל נציגי הקוסטים השונים יהיה מוגדר היטב: תהי formula_31 תת-חבורה של formula_1 ויהיו formula_33. אנו רוצים שהכפל בין הקוסטים יהיה מוגדר היטב באמצעות נציגים, כלומר formula_34. נוכיח זאת: יהיו formula_33 איברים כלשהם ב-formula_1. השוויון formula_34 מתקיים רק אם קיימים formula_38 כך ש-formula_39, ובאמצעות אלגברה נקבל formula_40, ואם נסמן formula_41 נקבל formula_42 לכל formula_43 וקיום תנאי זה אומר ש-formula_31 היא חבורה נורמלית.
ניתן להראות כי גרעין של הומומורפיזם שתחומו formula_1 הוא תמיד תת-חבורה נורמלית של formula_1. יותר מכך, ניתן להראות גם כי כל תת-חבורה נורמלית של formula_1 היא גרעין של הומומורפיזם כלשהו שתחומו formula_1.
הנורמליזטור.
אם formula_1 חבורה ו-formula_31 תת-חבורה, המנרמל (או: הנורמליזטור) של formula_31 ב-formula_1 הוא תת-החבורה formula_53. זוהי תת-החבורה הגדולה ביותר של formula_1 שבתוכה formula_31 נורמלית. המְרכז של formula_31,
formula_57, בוודאי מוכל בנורמליזטור, ואף מתקיים formula_58. האינדקס של הנורמליזטור ב-formula_1 שווה למספר תת-החבורות השונות מהצורה formula_60 (היינו, תת-החבורות הצמודות ל-formula_31).
הליבה של חבורה.
אם formula_62 תת-חבורה (שאינה בהכרח נורמלית), הליבה של formula_31 מוגדרת כחיתוך כל תת-החבורות הצמודות לה: formula_64. זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב-formula_31 (ראו גם העידון של משפט קיילי). מכיוון שבחישוב החיתוך די לקחת נציג אחד formula_6 מכל קוסט ימני של formula_31, אם formula_31 תת-חבורה מאינדקס סופי, אז הליבה שלה היא חיתוך של מספר סופי של חבורות צמודות. מכאן נובע שכל תת-חבורה מאינדקס סופי מכילה גם תת-חבורה נורמלית מאינדקס סופי.
חבורות פשוטות.
חבורה formula_1 אשר תת-החבורות הנורמליות היחידות שלה הן formula_1 עצמה ו-formula_71 נקראת חבורה פשוטה. לחבורות פשוטות חשיבות רבה, שכן הן מהוות את "אבני הבנייה" הבסיסיות של כל החבורות הסופיות, בצורה דומה לזו שבה המספרים הראשוניים מהווים אבני בנייה של המספרים הטבעיים.
תת-חבורות אופייניות.
תת-חבורה נורמלית של formula_1 היא, כאמור, תת-חבורה הנשמרת תחת פעולת ההצמדה בכל איבר של formula_1. סוג חזק במיוחד של תת-חבורה כזו נקרא תת-חבורה אופיינית (או קרקטריסטית): זוהי תת-חבורה הנשמרת תחת כל אוטומורפיזם של formula_1 (ולא רק אוטומורפיזם פנימי). באופן כללי, תת-חבורות כאלה מתקבלות מהפעלת שיקולים מבניים (שאינם תלויים בהצגה מסוימת של formula_1). לדוגמה, המרכז של formula_1 הוא תת-חבורה אופיינית. גם תת-חבורת הקומוטטורים והאיברים האחרים של הסדרה המרכזית היורדת והסדרה המרכזית העולה הם תת-חבורות אופייניות.
לתכונת האופייניות יש יתרון בולט על-פני נורמליות: זוהי תכונה טרנזיטיבית. אם formula_77 תת-חבורה נורמלית של formula_78 ו-formula_78 נורמלית (ואפילו אופיינית) של formula_80, אז formula_77 עשויה שלא להיות תת-חבורה נורמלית של formula_80. לעומת זאת, אם formula_77 אופיינית ב-formula_78, אז התכונות של formula_78 עוברות בירושה ל-formula_77: אם formula_78 נורמלית ב-formula_80 אז כך גם formula_77, ואם formula_78 אופיינית ב-formula_80 אז כך גם formula_77.
תת-חבורות תת-נורמליות.
אם קיימת שרשרת של תת-חבורות formula_93 כך שכל formula_94, אז אומרים ש-formula_95 תת-חבורה תת-נורמלית של formula_1. לדוגמה, כל תת-חבורה של חבורת-p סופית היא תת-נורמלית. לכל חבורה formula_31 אפשר לבנות את השרשרת formula_98; בחבורות סופיות, השרשרת נעצרת כאשר מתקבל שוויון בפעם הראשונה; formula_31 תת-נורמלית אם ורק אם שרשרת הנורמליזטורים מגיעה לחבורה formula_1. חבורה היא כמעט תת-נורמלית אם יש שרשרת כנ"ל, שבה כל צעד הוא או סופי או נורמלי.
חיתוך טריוויאלי.
אם החיתוך של תת-חבורה עם כל תת-חבורה צמודה לה הוא טריוויאלי, אומרים שיש לה "חיתוך טריוויאלי"; תכונה זו נמצאת בקוטב המנוגד לנורמליות. חבורה שכל תת-החבורות שלה הן בעלות חיתוך טריוויאלי נקראת "חבורה בעלת חיתוך טריוויאלי", או חבורת TI .
תת חבורה "formula_31" של "formula_1" נקראת מלנורמלית אם כל הצמדה שלה על ידי איבר שאינו שייך ל-"formula_31" נחתכת עם "formula_31" רק באיבר היחידה. זהו טיפוס קיצוני של תת-חבורה עם חיתוך טריוויאלי.
רוח השמש
רוח השמש המכונה גם הרוח הסולרית היא זרימה של חלקיקים טעונים הנפלטים מן העטרה של השמש החוצה, עקב הטמפרטורה הגבוהה של העטרה שעומדת על כ-2 מיליון מעלות צלזיוס. מהירות החלקיקים הנפלטים היא בין 300 ל-800 קילומטר לשנייה, וצפיפותם קטנה ככל שמתרחקים מן השמש. בסביבות כדור הארץ מגיעה צפיפות החלקיקים לכדי שמונה חלקיקים לסנטימטר מעוקב. רוח השמש נושאת עמה כ- ממסת השמש בשנה.
רוח השמש נחזתה לראשונה ב-1958 על ידי האסטרופיזיקאי האמריקאי יוג'ין פארקר .
הרכב רוח השמש וסיבותיה.
קיימת פליטה קבועה של חלקיקים שהגיעו באקראי למהירות מילוט מכבידת השמש, ובנוסף חלקיקים הנפלטים בהתפרצויות סולריות.
בפליטה הקבועה קל להפריד בין רוח שמש שמקורה בעטרת השמש לבין זו שמקורה במעטפת השמש, שכן הראשונה מהירה באופן ניכר. עד כה לא ברורות לגמרי הסיבות לחום הגבוה של העטרה, שמתבטא גם במהירות הפליטה מהעטרה.
התפרצויות סולריות מתרבות ומתמעטות על פני מחזור בן 11 שנים. המחזור מתחיל משדה מגנטי סדור (בדומה לזה של מגנט). בשל הרכבה של השמש מגזים ומפלזמה, מהירות הסיבוב שלה שונה בין קטביה לקו המשווה שלה. כתוצאה, השדה המגנטי של השמש מפותל וקווי השדה המגנטי מצטופפים. כשהצפיפות גוברת, חלק מקווי השדה המגנטי מתפתלים אל מחוץ לפני השמש, ולאורכם מתרחשות התפרצויות סולריות.
הגדרת גבול מערכת השמש על פי רוח השמש.
לעיתים קרובות מכנים את המעטפת בה השפעת רוח השמש נמוגה מול הגז הקלוש המצוי בחלל הבין-כוכבי בשם גבול מערכת השמש. מידותיו של גבול זה אינן ידועות בדיוק, אף שידוע שהוא נמצא הרחק מעבר למסלולם של כוכבי הלכת. כמו כן, גבול זה אינו קבוע ומשתנה עם שינויי העוצמה של רוח השמש. גבול זה קרוב יותר לשמש בכיוון תנועת השמש בחלל הבין-כוכבי, לערך כיוונו של הכוכב וגה.
מחקר ואמצעי להנעת חלליות.
בשנת 2001 נשלחה הגשושית ג'נסיס על ידי נאס"א למשימה בחלל. היא הייתה אמורה לאסוף מיליוני אטומים ויונים מרוח השמש, שהיו אמורים לעזור להבין טוב יותר איך כוכבים וגרמי שמיים נוספים נוצרו, כיוון שהחלקיקים הסולאריים נמצאים באותו יחס כימי כמו הערפילית הסולארית המקורית - הגז שהוליד את מערכת השמש לפני כ-5 מיליארד שנה. ב־8 בספטמבר 2004 התרסקה הכמוסה ששוגרה מהחללית ובה הממצאים שנאספו, בשל תקלה במד תאוצה, אך רוב הממצאים לא הזדהמו ועיקר מטרות שילוח החללית הושגו.
מהנדסי אסטרונאוטיקה וסופרי מדע בדיוני מרבים להשתעשע ברעיון של הנעת חלליות באמצעות מפרש שיידחף על ידי רוח השמש. ארתור סי. קלארק כתב ספר סיפורים קצרים בשם "הרוח הנושבת מן השמש"; הסיפור שעל שמו קרוי הספר עוסק בכלי תחבורה המונע בעזרת רוח השמש. לארי ניבן עוסק ברוח השמש - אם ככוכבת ראשית או כשחקנית משנה - בכמה מיצירותיו. בסיפור הקצר Inconstant Moon מושמדים רוב תושבי כדור הארץ בהתפרצות סולארית. בספרו הקיסם בעינו של אלוהים חייזרים משתמשים בחללית המונעת על ידי מפרש שמש. גם בעיבוד הקולנועי של חברת וולט דיסני לספרו של רוברט לואיס סטיבנסון, "כוכב המטמון", נעשה שימוש ברוח סולרית על מנת להניע רחפנים.
עד כה הבעיות המעשיות הכרוכות בהנעה זו מנעו שימוש מעשי ברוח השמש. סוכנויות החלל השונות ממשיכות במחקר, שכן אמצעי הנעה ששוקל מעט ואינו זקוק לדלק מהווה פיתוי גדול.
כפר חב&quot;ד
כְּפַר-חַבַּ"ד הוא יישוב במועצה האזורית שדות דן. היישוב נוסד בחודש אייר ה'תש"ט (מאי 1949), ביוזמת האדמו"ר השישי של חסידות חב"ד, רבי יוסף יצחק שניאורסון. במקום מתגוררים חסידי חב"ד והוא מרכז חסידות חב"ד בישראל.
היישוב הוקם כיישוב חקלאי, אך במרוצת השנים גדל ונותרו בו מעט חקלאים פעילים, המחזיקים כוורות ופרדסי אתרוגים ותפוזים. נכון ל־2018 ביישוב כאלף משפחות שבהן כ-7,200 נפשות.
היסטוריה.
הכפר הוקם באייר תש"ט (מאי 1949), כשקבוצת חסידי חב"ד התיישבו בכפר הערבי הנטוש סאפריה. טקס העלייה על הקרקע התקיים בתחילת יוני 1949 בנוכחות זלמן שזר, לוי אשכול, הרב יהודה לייב פישמן מימון, השר חיים משה שפירא ורבנים. כמה שנים אחר כך נבנו בתי הקבע, והשם שניתן ליישוב היה שפריר.