הגאון מווילנה, בספר קול התור המיוחס לתלמידו רבי הלל משקלוב, הרבה לאפיין את משיח בן יוסף ותפקידו המיוחד. מדובר בהובלה של מהלכים ארציים לתחיית האומה, בהסתר ובצניעות, בהדרגה ומתוך עניות ומסכנות. על פי המיוחס לגר"א, משיח זה אינו חייב להיות גבר, וגם אסתר המלכה הייתה בבחינת משיח בן יוסף בדורה.
ישנם סידורים שבהם מובא שלעתיד לבוא משיח בן יוסף עתיד להישחט על ידי ארמילוס הרשע לכן צריך להתפלל עליו שלא ימות.
כמיהה למשיח.
הכמיהה למשיח מאפיינת יהודים בדורות רבים, והיא מתבטאת גם במעשים. בתפילה המרכזית, תפילת שמונה עשרה, מופיעות בקשות על ביאת המשיח והגאולה, כאשר הברכה הבולטת והמרכזית שבהם היא "את צמח דוד עבדך מהרה תצמיח וקרנו תרום בישועתך כי לישועתך קיוינו כל היום...".
הכמיהה לבואו של משיח כרוכה הייתה לעיתים בתופעת מחשבי קיצין, שביקשו לשער מתי בדיוק הוא יבוא. אולם גם המתנגדים לתופעה זו, התנגדו במידה רבה בשל עוצמתה של הציפייה למשיח, וחששם מהשפעתן של אכזבות מרות כאשר התאריך המשוער יגיע והמשיח עדיין לא.
על פי הרמב"ם האמונה בביאת המשיח היא מעיקרי היהדות ונמנית עם 13 העיקרים שלו. בעקבותיו חובר נוסח דוגמטי מפורסם של י"ג העיקרים ('אני מאמין באמונה שלמה' וכו') שנתווסף לסידורי תפילה רבים, ושם מופיעה התוספת הבאה: "ואף על פי שיתמהמה [המשיח], עם כל זה אחכה לו בכל יום שיבוא". ואכן, כבר הרמב"ם עצמו פסק כי חובת האמונה בביאת המשיח כוללת ציפייה מוחשית לבואו:
כבר בתלמוד אנו עדים לדו-שיח המתנהל בעניין זה. כאשר חז"ל מתארים את חרדתם מהאירועים שיקדימו את בוא המשיח - "יתא ולא אחמיניה" (יבוא ולא אראנו), רב יוסף לעומתם ביקש "יתי ואזכה ואשב בצלא דכופתא דחמרא" (יבוא ואזכה לשבת בצל צואת חמורו).
התלמוד עוד מתאר מפגש בין רבי יהושע בן לוי לבין המשיח בשערי רומי, וכאשר הוא שואל אותו מתי יבוא, המשיח משיב לו "היום". וחז"ל מפרשים שהכוונה היא לפסוק, "היום – אם בקולו תשמעו".
לפני פטירתו ציווה האמורא רבי ירמיה שיקברוהו מלובש בתכריכים לבנים מגוהצים ונאים, נעליו ברגליו ומקלו בידו, שכאשר יבוא המשיח יהיה מוכן ומזומן לקראתו.
מנגד, בכמה מקומות בתלמוד מופיעה הכמיהה למשיח כציפייה עתידית רחוקה ולא כציפייה קרובה ומיידית. במסכת סוטה, בתוך דיון על זמן ביטולם של האורים ותומים, מסבירה הגמרא פסוק מספר עזרא המתייחס לכך, ומסבירה כי כוונתו היא
מחבר הספר "לקט יושר" תלמידו של הרב ישראל איסרלין ("תרומת הדשן") מהמאה ה-15 מספר ששאל את רבו: "זקן כמותך, מה הנאה יש לך במשיח?" והשיב לי, "מי יתן שאראה משיח רק חצי שעה ואחר כך אמות ברצון", ולא היה בי זריזות לשאול לו הטעם" (ב, 100).
הרב יהודה ליאון אשכנזי מציין כי סוגיית המשיח לא נלמדה במתכוון בארצות אשכנז, כדי למנוע בלבול בין המשיחיות הנוצרית ליהודית והפכה לחלק מתורת הנסתר, בעוד שבארצות האסלאם סוגיה זו נלמדה והמשיכה להיות חלק מתורת הנגלה. אי למידת סוגיה זו גרמה לתפיסתו למיתולוגיזציה של המשיח, ולשכחה שמדובר לא רק במשיח אחד אלא במספר משיחים בעלי מהות ופונקציונליות שונה, ומכאן נוצר, לדעתו, בלבול אצל יהדות אשכנז, כלפי הציונות, אותה הוא מזהה עם משיח בן יוסף.
דעת ישעיהו ליבוביץ בנושא היא שמה שנאמר: "אחכה לו בכל יום שיבוא" פירושו שהאדם צריך תמיד להיות במצב של "אחכה לו", ולכן מציאות של ביאת המשיח בעולם כפי שאנו מכירים אותו לא תיתכן, וביאת משיח היא באחרית הימים, דהיינו העולם בצורה שאיננו מכירים.
זרמים משיחיים ביהדות.
במשך השנים הוכרזו אנשים כמשיח. בר כוכבא הוכרז כמשיח על ידי רבי עקיבא וחכמי דורו. האמורא רב אמר שאם המשיח הוא בין החיים באותו דור, הרי הוא רבו רבי יהודה הנשיא. האמורא רב נחמן אמר על עצמו שהוא מועמד אפשרי למשיח. היו עוד אישים שרמזו כי הם יכולים להיות המשיח של הדור. רמז כזה מופיע בספר אור החיים ועוד. היו אדמו"רים שחסידיהם ראו בהם משיח פוטנציאלי של הדור, כמו רבי ישראל מרוז'ין ועוד.
במשך הזמן קמו אנשים שסחפו אחריהם קהל רב של יהודים והתבררו כמשיחי שקר: שבתי צבי, יעקב פרנק, אבו עיסא, דוד אלרואי, שלבסוף התאסלמו או התנצרו, ולרוב הקהילה שהאמינה בהם נטשה את דרכם, אך היו מקרים שעל אף המרת הדת המשיכו ללכת בדרכם ואף המירו את דתם יחד עם משיחם.
עוד במאה ה-19 הגו מבשרי הציונות הדתית את הרעיון של יישוב ארץ ישראל והבאת המשיח על ידי פעולות יישוב הארץ. הופיעו רבנים שקראו לעלות לארץ ישראל וליישבהּ. הרב צבי קלישר מפוזנן שבפולין, קרא לעם היהודי לעלות לציון ולא לחכות לגאולה נסית, אלא היציאה מהגולה (הגאולה הטבעית) היא שתביא להתגלות המשיח. גם הרב יהודה חי אלקלעי מסרביה, קרא לעלייה והבאת גאולה בדרך טבעית מבלי להמתין למשיח. ראשי הציונות הדתית, שישבו בקונגרסים של ההסתדרות הציונית, פעלו ברוח דבריהם של מבשרי הציונות הדתית. מאוחר יותר המשיכו בקו זה תנועות התיישבות חדשות כגון "גוש אמונים" (אם-כי גוש אמונים מורכב גם מחלקים חילוניים, וספק האם כוונתם הייתה להביא לביאת המשיח - אדם מסוים, על ידי פעולותיהם).
בניגוד להם קמו רבנים שגרסו, שאין להעפיל בכוח משום שלוש השבועות, ויש לחכות למשיח שיבוא וייקח את עם ישראל לארצו (זו הסיבה בגללה חסידי סאטמר סבורים כי אין זכות קיום למדינה הציונית).
משיחיות בחסידות חב"ד.
בקהילות רבות בדורות עברו היה מקובל להצביע על אישיות רבנית כעל אדם הראוי לתואר משיח. בגמרא מסופר על תלמידים שראו את רבם כמשיח. בדור האחרון בולט העיסוק הציבורי בנושא המשיחיות, בשל פעילות של חסידי חב"ד המשתמשים בין היתר בשלטי חוצות לפרסום אמונתם בנושא המשיח. בשנת 1990 הפיקה רחל בולטון, שניהלה במשך כעשור את כל פעילות הפרסום של צעירי אגודת חב"ד, קמפיין ארצי שנשא את הסלוגן "היכונו לביאת המשיח". מאוחר יותר, החלו חלק מהחסידים לפרסם את רבם מנחם מנדל שניאורסון כמשיח תוך שימוש בסיסמה "יחי אדוננו מורנו ורבנו מלך המשיח לעולם ועד". גם לאחר פטירתו ב-ג' בתמוז תשנ"ד 1994, ממשיך הזרם המשיחיסטי בחב"ד לפרסמו כמשיח. אמונה זו עוררה ביקורת מצד חוגים שונים ופולמוס פנימי בחסידות.
חיתוך הזהב
לאונרדו פיבונצ'י
סדרת פיבונאצ'י
במתמטיקה, סדרת פיבונאצ'י (Fibonacci) היא הסדרה ששני איבריה הראשונים הם 1, 0 וכל איבר לאחר מכן שווה לסכום שני קודמיו. בהתאם לכך, איבריה הראשונים של הסדרה הם formula_1. איברי הסדרה נקראים "מספרי פיבונאצ'י".
סדרת פיבונאצ'י קרויה על שם לאונרדו מפיזה (הידוע בכינוי "פיבונאצ'י"), שתיאר אותה לראשונה באירופה בספרו "ספר החשבונייה" בשנת 1202 (קדמו לו מתמטיקאים הודים). שם הסדרה הוענק לה על ידי אדוארד לוקאס. פיבונאצ'י השתמש בסדרה כדי לתאר את מספר הארנבים במשפחה של זוג ארנבים, אם מניחים שכל זוג ארנבים שהגיע לגיל חודשיים, ממליט מדי חודש זוג נוסף. באוכלוסייה כזו, מספר זוגות הארנבים בחודש ה-n (כולל ההורים) יהיה שווה ל- formula_2.
למעט הסדרות החשבוניות וההנדסיות, ושילובים שלהן, סדרת פיבונאצ'י היא הדוגמה הפשוטה ביותר לסדרה המוגדרת ברקורסיה.
בניסוח פורמלי יותר, הגדרה רקורסיבית של הסדרה ניתנת על ידי תנאי ההתחלה formula_3, ונוסחת הנסיגה formula_4.
למספרי פיבונאצ'י יש תכונות רבות ומעניינות. ספרים שלמים נכתבו עליהם ואף קיים כתב עת מתמטי, The Fibonacci Quarterly, שמוקדש כולו לתגליות במספרי פיבונאצ'י והכללות שלהם. כמו כן, נוסדה אגודת פיבונאצ'י שמטרתה לגלות מופעים חדשים של סדרת פיבונאצ'י.
סדרת פיבונאצ'י יוצרת גם את שבלול פיבונאצ'י, אם נצייר ריבועים שהצלעות שלהם הם מספרי פיבונאצ'י ונעביר קשתות בין קודקודיהם ייווצר שבלול המכונה שבלול פיבונאצ'י.
מספרי פיבונאצ'י ויחס הזהב.
היחס בין שני איברים עוקבים של סדרת פיבונאצ'י שואף ליחס הזהב:
מספר אי-רציונלי שערכו ...1.61803398, כפי שהראה לראשונה יוהאנס קפלר. יחס הזהב מושג בקירוב טוב כבר באיבר ה-11 של סדרת פיבונאצ'י:
formula_5
ובאיבר ה-16 הדיוק משתפר לרמה של 5 ספרות אחרי הנקודה העשרונית:
formula_6
תכונה זו אינה מפליאה אם מציגים את יחס הזהב כשבר המשולב: formula_7.
חלק סופי משבר אינסופי זה הוא יחס בין שני מספרי פיבונאצ'י עוקבים, אם קוטעים את החישוב במקום המתאים.
לדוגמה, עבור האיברים 3 ו-5 השבר מקבל את הערך 1.666:
formula_8
הצגה גאומטרית של מספרי פיבונאצ'י.
אחת מההצגות הגאומטריות של הסדרה מתחילה בריבוע שאורך צלעו 1, כגודל האיבר הראשון, ומתווספים לו ריבועים באופן הבא:
לריבוע הראשון מתווסף ריבוע נוסף בגודל 1x1. שני הריבועים יוצרים מלבן שרוחבו 1 ואורכו 2 - כגודל שני האיברים F2 ו-F3.
בשלב הבא נוסיף ריבוע בגודל 2x2, ונקבל מלבן בגודל 2x3. תוספת של ריבוע בגודל 3x3 תוביל למלבן בגודל 3x5. התוצר של הבנייה על ידי הוספת ריבוע שצלעו כאיבר פיבונאצ'י מביאה למלבן שצלעותיו הן שני איברי פיבונאצ'י עוקבים.
בהמשך הבנייה, המלבנים מתקרבים יותר ויותר למלבן הזהב, שהוא מלבן שהיחס בין צלעותיו הוא יחס הזהב - 1.618 בקירוב. ליחס הזהב ולמלבן הזהב מופעים שונים בטבע, באדריכלות ובאמנות.
תכונות נוספות של הסדרה.
זהות קאסיני.