בעברית, מבחינים בין מעגל, שהוא הקו העגול (שפתו של העִגול), ובין עיגול, שהוא התחום החסום על ידי קו זה. הבחנה זו קיימת רק בצורה גאומטרית זו. למרות זאת, אנו מדברים בעברית על היקף המעגל (אם כי נראה שראוי היה יותר לומר אורך המעגל או היקף העיגול) ושטח העיגול. במשולש, מרובע, מלבן וכו' - בכולם השם מתייחס גם להיקף וגם לשטח. ערך זה עוסק בצורה הגאומטרית על מכלול תכונותיה, כלומר הוא עוסק במעגל ובעיגול גם יחד.
כבכל כדור, קווי הרוחב של כדור הארץ הם מעגלים. ארבעה מהם נקראים 'חוג': חוג הסרטן, חוג הגדי ושני חוגי הקוטב - החוג הארקטי והחוג האנטארקטי. הבחנה זו אינה קיימת בשפות האירופאיות הנפוצות וחוגים אלה נקראים בהן מעגל.
מושגים בסיסיים.
המעגל מהווה את שפת העיגול, כלומר מעגל הוא הקו התוחם את שטח העיגול.
קטעים במעגל.
קטע המחבר בין שתי נקודות על המעגל נקרא מיתר.
רדיוס (מחוג) הוא קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה הנמצאת על שפת המעגל. אורכו מסומן באות formula_1.
מיתר העובר דרך מרכז המעגל נקרא קוטר, ואורכו שווה לפעמיים רדיוס המעגל, כלומר formula_5 (ניתן לסמן אותו גם באות formula_6).
ישרים.
לישר ולמעגל עשויות להיות 2 נקודות חיתוך, נקודת חיתוך אחת או אפס נקודות חיתוך.
א. אם לישר יש שתי נקודות חיתוך עם המעגל, הוא נקרא חותך למעגל.
ב. אם לישר יש נקודת חיתוך אחת עם המעגל, הוא נקרא משיק למעגל.
ג. אם לישר אין נקודות חיתוך עם המעגל, הוא נקרא ישר חיצוני למעגל.
אם נתונות משוואת הישר ומשוואת המעגל, ניתן להבחין בין שלושת המקרים בעזרת סימנה של הדיסקרימיננטה המתקבלת בפתרון מערכת המשוואות.
זוויות.
זווית שקודקודה במרכז המעגל נקראת זווית מרכזית (שוקיה הם שני רדיוסים במעגל).
זווית שקודקודה על היקף המעגל נקראת זווית היקפית (שוקיה הם שני מיתרים במעגל).
זווית שקודקודה בתוך שטח המעגל נקראת זווית פנימית (שוקיה הם שני חלקי מיתרים במעגל).
זווית שקודקודה מחוץ לשטח המעגל נקראת זווית חיצונית (שוקיה הם שני חותכים למעגל).
קשתות.
שתי נקודות על שפת המעגל תוחמות ביניהן חלק מהיקף המעגל, הנקרא קשת. מאחר שנוצרות שתי קשתות, נהוג להתייחס לקשת הקטנה ביניהן (אלא אם נאמר אחרת; אם הקשתות שוות נדרש מידע נוסף). הקטע הישר בין אמצע הקשת לאמצע המיתר עליו היא נשענת נקרא סַגִיטָה (חץ בלטינית).
הזווית של הקשת היא הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת, שאותה מודדים במעלות או ברדיאנים.
משפטים על המעגל.
משפטים נוספים:
עיגול.
עיגול סגור הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, קטן או שווה לגודל קבוע. ניתן להגדיר עיגול סגור גם כמשטח המוגבל על ידי מעגל, לרבות המעגל עצמו.
עיגול פתוח הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, קטן מגודל קבוע.
ניתן להגדיר עיגול פתוח גם כמשטח המוגבל על ידי מעגל, למעט המעגל עצמו.
עיגול הוא כל צורה המכילה את כל הנקודות התחומות על ידי מעגל ואולי גם נקודות על המעגל עצמו (בפרט עיגולים פתוחים ועיגולים סגורים הם עיגולים).
חלקים של העיגול.
גזרה היא צורה הכלואה בין שני רדיוסים במעגל לבין קשת על המעגל.
היחס בין שטח הגזרה לכלל שטח המעגל שווה ליחס בין זווית הגזרה לסיבוב שלם, השווה ליחס בין אורך הקשת של הגזרה לבין היקף המעגל כולו. כלומר ששטח הגזרה יהיה שווה:
formula_7
כאשר formula_8 הוא אורך הקשת והזוויות ברדיאנים.
מקטע הוא צורה הכלואה בין מיתר לקשת המתאימה לו.
שטח המקטע שווה להפרש בין שטח הגזרה הנכלאת בין 2 הרדיוסים המחוברים לקצוות המיתר לבין שטח המשולש שצלעותיו הן המיתר ו-2 הרדיוסים המחוברים לקצוותיו. כלומר שטחו שווה ל:
formula_9
כאשר formula_10 הוא מרחק המיתר.
המעגל והעיגול בגאומטריה אנליטית.
משוואת המעגל בגאומטריה אנליטית היא
כאשר formula_12 היא מרכז המעגל ו-formula_13 הוא מחוגו, מעגל שמרכזו בראשית הצירים formula_14 נקרא מעגל קנוני. העיגול הסגור מוגבל על ידי אי-השוויון החלש formula_15, ואילו העיגול הפתוח מוגבל על ידי אי-השוויון החזק formula_16.
באופן כללי, התבנית הריבועית formula_17 מתארת מעגל אם ורק אם המרכיב הריבועי הוא כפולה של formula_18 (כלומר formula_19 ו-formula_20).
ארבע נקודות formula_21 (עבור i=1,2,3,4) נמצאות על אותו מעגל אם ורק אם formula_22, כאשר formula_23 היא החבורה הסימטרית, ו-formula_24 הוא הסימן של התמורה.
במקורות היהדות.
התוספות מציגים שיטה לחישוב שטח העיגול: בתוך המעגל יוצרים בחוטים סדרה של מעגלים קונצנטריים, ממרכז העיגול ועד שפתו. את סדרת המעגלים חותכים ברדיוס שלו. ייווצרו לנו חוטים רבים, כאשר הראשון הוא הכי ארוך, וכל אחד ואחד פוחת אורכו מעט מקודמו. לאחר יישור החוטים נוצר משולש שווה-שוקיים. את המשולש חותכים מהקודקוד לבסיס, ואת שני המשולשים שנוצרים הופכים ויוצרים מהם מלבן. שטח המלבן (אורך כפול רוחב) הוא שטח העיגול. למעשה הנוסחה לחישוב השטח המוצגת כאן היא היקף כפול רדיוס חלקי שתיים. השיטה המוצגת בתוספות היא שיטתו של אברהם בר חייא.
"סאה שהיא מוטה על צדה באוויר אינה מביאה את הטומאה תחת כולה עד שיהיה בהיקפה ד' טפחים ומחצה בקרוב כדי שיהיה גובה הצד העליון טפח ומחצה ויהיה הטפח על טפח ממנה גבהו מעל הארץ טפח לפיכך אם הייתה גבוהה מעל הארץ חצי טפח והיה בהיקפה שלשה מביאה את הטומאה וכן עמוד עגול שהוא מוטל לאוויר ומונח על הארץ אינו מביא טומאה תחת דפנו עד שיהיה בו היקף כ"ד טפחים ואם אין בהיקפו עשרים וארבעה טפחים טומאה בוקעת ועולה בוקעת ויורדת זה שהצריכו עשרים וארבעה טפחים על העיקרין שסומכים עליהן חכמים בחשבון כל המשפטים שכל שיש בהיקפו שלשה יש בו רוחב טפח וכל טפח על טפח ברבוע יש באלכסונו טפח ושני חומשין לפיכך אם היה בהיקף העמוד עשרים וארבעה טפחים נמצא תחת כל דפנו טפח על רום טפח מרובע ויתר מעט שחשבונות אלו בקרוב הן."
המעגל בתרבות.
בעבר שימש המעגל בסיס לתרבויות רבות, אך לאורך הזמן השימוש בו הלך ונתמעט במרבית החברות. עם זאת, חוקרים מראים כי כיום חוזרת העטרה ליושנה וצורת הישיבה במעגל שבה לשמש בהקשרים הולכים ורבים בחברה המודרנית.
המעגל, כצורת התכנסות או התוועדות של אנשים מאפשר מפגש "שוויוני" בו כל אחד פונה ומסתכל אל כולם, להבדיל ממפגש פרונטלי כמו מרצה וכיתה, או שחקן מול קהל. ניתן למצוא דוגמאות להתכנסות מעגלית של בני אדם בתרבויות שבטיות המתכנסות לטקס סביב למדורה, באגדת אבירי השולחן העגול של המלך ארתור, בריקודי עם וכדומה.
עם זאת, לעיתים קרובות אנשים מתכנסים (כיום ובמהלך ההיסטוריה) בצורת מעגל או קשת של מעגל כדי לצפות באירוע המתרחש במרכזו, כמו במופעי רחוב, באצטדיונים (לרוב לא עגולים), באולמי הופעות מסוימים ובאמפיתיאטראות כגון הקולוסיאום.
הצורה המעגלית הלכה והכתה שורשים גם בתחום הפדגוגיה שבחינוך, בשלוש רמות ביטוי שונות: הראשונה, בין התלמיד לבין המערכת הבית ספרית, ובה המעגל יכול ליצור מרחב מכיל ומכבד ביחס לקשיים המסגרתיים שעימם מתמודד התלמיד. השנייה היא בין התלמידים, ובה המעגל מאפשר הדרה חברתית, מציאת פתרונות יצירתיים לקונפליקטים בדרכי שלום, למידה חברתית, הטמעת ערכים, דיאלוג רפלקטיבי ועוד. הרמה השלישית היא בין המורים עצמם.
בחינוך בא רעיון ההתכנסות במעגל לידי ביטוי גם בחינוך בלתי פורמלי, ובתנועות הנוער. תנועות הנוער הציוניות אף הורישו רעיון זה לפלמ"ח. חיים חפר תיאר תרבות זו במאמר בעיתון "דבר" ב-1982, וכינה אותה "תרבות המעגל":
במקומות שונים בעולם קיימת מסורת של ציורי מנדלות שהן שרטוטים ססגוניים מעגליים, לעיתים בעלי משמעות פילוסופית או דתית.
המושג "מעגל" משמש לעיתים בשפה להצגת תהליכים מחזוריים (כגון מעגל החיים, המחזור האינסופי בבודהיזם, גלגל המזלות או מעגל קרבס) או מצבים חסרי מוצא (כגון מעגל העוני או מעגל קסמים).
רוק מתקדם בישראל
החל משנות ה-60, בעיקר בסופן, צמחו מספר יוצרים בארץ ובעולם, אותם נהוג לתאר כ'רוק מתקדם'. בעוד אין מאפיינים ברורים לסגנון ה'מתקדם', מדובר בדרך כלל בתיאור למוזיקה מורכבת יותר ו'מתוחכמת' יותר. המוזיקה מתאפיינת לרוב בגיוון מוזיקלי, שילובים לא צפויים, ניסיוניות, מקצבים, הרמוניות ומלודיות מורכבות ואלמנטים מוזיקליים 'מורכבים' דומים.
בעוד הרוק המתקדם בבריטניה ובארצות הברית זכה לעניין גדול בכל העולם, ולהקות כמו פינק פלויד היו מהמוכרות והנמכרות ביותר, ואף להקות 'מחתרתיות' יותר כמו ואן דר גראף ג'נרייטור הוציאו אלבומים שנמכרו בכמויות באיטליה ובמקומות אחרים- באופן טבעי הלהקות הישראליות (כמו להקות נוספות משאר העולם) זכו לפחות עניין והערכה, הן מהקהל בחו"ל והן מהקהל ומהמבקרים בישראל עצמה.
היסטוריה.
שנות השישים ושנות השבעים: השיא.
ההתחלה: מוזיקה טרום מתקדמת, ניסיונית ופסיכדלית (1965–1967).
החל מאמצע שנות ה-60 מוזיקאים רבים בישראל התחילו להתנסות עם הצליל החשמלי ולקחת אותו לכיוון המתקדם, תוך כדי אימוץ חלקי של אלמנטים שמאוחר יותר יאפיינו את הסגנון.
אולי הראשון שניסה להפוך את ה'רוק' למשהו שונה, מורכב יותר ומתוחכם יותר, היה אריס סאן. כבר ב-1965 הוא היה בין הראשונים להציג סולואי גיטרה ארוכים, וירטואוזים ומתוחכמים, השפעות עממיות מהמזרח ושימוש פסיכדלי באפקטים שונים, ולעיתים רחוקות יותר הוא נגע גם בניסיוניות ומקצבים מורכבים. אריס סאן המשיך ליצור בסגנון דומה עד 1968, אז הוא פנה למוזיקה קלה ומסחרית יותר. בתחילת שנות ה-70 הייתה לו חזרה לסגנון המקורי המורכב יותר.