הספר השני של יסודות הוא הספר השני מתוך שלושה עשר חלקים בשם יסודות (או האלמנטים) שמיוחס למתמטיקאי ההלניסטי אוקלידס מאלכסנדריה, מראשית המאה השלישית לפנה"ס. כחלק מארבעת הספרים הראשוניים, ספר זה עוסק בגאומטריה של המישור, ובאופן פרטני בנושא של השוואת שטחים. הספר קצר ביחס לספרים האחרים ומכיל רק 2 הגדרות ו-14 טענות. ספר זה, ביחד עם ספרים אחדים אחרים של "יסודות", היווה חלק חשוב בוויכוח בין היסטוריונים של המתמטיקה באשר לנוכחות של רעיונות אלגבריים בחיבור של אוקלידס ובמתמטיקה היוונית בכלל, במיוחד לאור כך שהוא ספר גאומטרי העוסק בהשוואת שטחים.
מבנה הספר.
הספר מחולק לשני חלקים: הגדרות וטענות. ניתן לראות שהטענות מתחלקות לשני חלקים: עשרת המשפטים הראשונים הם למעשה משפטים המהווים תשתית עבור החלק השני שהוא ארבעה משפטים שהם טענות מסוג בעיות ומשימות בנייה.
הוכחה.
נראה כדוגמה איך אוקלידס הוכיח בספר את משפט 5:
יהי AB נתון הנחצה בנקודה C נתונה, ונחתך לשני קטעים לא שווים בנקודה D.
אני טוען שהמלבן המוכל על ידי AD ו-DB ביחד עם הריבוע על CD שווה לריבוע על CB.
יהי CEFB הריבוע המתואר על CB ונצייר את BE (נובע ממשפט I.46 ["לבנות על קו ישר נתון ריבוע"])
דרך D נצייר את DG במקביל לCE או לBF, ודרך H [נקודת החיתוך של DG ו-BE] ונצייר עוד קו KM במקביל לAB או לBM (נובע ממשפט I.31 ["לצייר דרך נקודה נתונה קו ישר המקביל לקו ישר נתון"])
כעת, המשלים CH שווה למשלים HF (נובע ממשפט I.43 ["בכל מקבילית המשלימים של המקביליות על הקוטר שוות זו לזו"]).
מכאן, CM שווה לDF, אך CM שווה לAL כי AC גם הוא שווה ל BC (נובע ממשפט I.36 ["מקביליות על בסיסים שווים ועל אותו מקבילים שווים זו לזו"]). לכן AL גם שווה לDF.
נוסיף את CH לכל אחד מהם [כל אחד מהמלבנים המוזכרים] ואז AH יהיה שווה לגנומון NOP. אך AH הוא המלבן AD, DB כי DH שווה לDB. לכן הגנומון NOP שווה גם למלבן AD,DB.
נוסיף את LG, השווה לריבוע על CD, לכל אחד מהם.
מכאן, הגנומון NOP וLG שווים למלבן המוכל על ידי AD,DB והריבוע על CD.
אך הגנומון NOP וLG הם הריבוע CEFB המתואר על CB.
לכן המלבן המוכל על ידי AD,DB יחד עם הריבוע על CD שווה לריבוע על CB.
מ.ש.ל.
פרשנויות באשר למשמעות הספר.
הספר עצמו לא מכיל תוצאות חדשות (בניגוד לספרים העיקריים של ארכימדס ואפולוניוס) וככל הנראה אוקלידס עצמו לא הוכיח את הטענות המופיעות בספר, אך ערכו היה בכך שהוא לקח את הדברים הנראים לו יסודיים ביותר, כמעיין ארגז כלים שאותו כל מתמטיקאי יווני יצטרך בהמשך הדרך, והוא היה מיוחד בכך שאיגד בתוכו בצורה שיטתית וכרונולוגית (מבחינת הוכחות) את הבסיס של המתמטיקה היוונית (ומכאן למעשה שמו: "יסודות"). במשך מאות שנים, בגלל התשתית והמבוא שהוא סיפק, הפך ספרו של אוקלידס לנכס צאן ברזל של המדע, ושל המתמטיקה בפרט, עד למאה ה-18. הוא אף היווה חומר חובה עבור הסטודנטים באוניברסיטאות אירופה בימי הביניים עבור נושאי האריתמטיקה והגאומטריה. אך עם התפתחות האלגברה בקרב מתמטיקאים ערבים החל מהמאה ה-8 ובקרב מתמטיקאים אירופאיים בימי הביניים המאוחרים והרנסאנס, חלקים ממנו החלו להיות משוכתבים תוך צירוף שיח ורעיונות אלגבריים. באמצע המאה ה-19 היסטוריונים שחקרו את תולדות האלמנטים והציגו מהדורות ביקרויותיות והיסטורגפיות לקחו את הדבר הזה, והציגו את זה כאילו זאת הייתה כוונתם המקורית של היוונים, כלומר החלה להתפתח נקודת מבט לפיה המתמטיקה היוונית העתיקה היא למעשה "אלגברה בתחפושת גאומטרית".
אלגברה גאומטרית.
אלגברה גאומטרית היא תפיסה היסטוריוגרפית לפיה המתמטיקה היוונית הקדומה, המנוסחת מוגדרת ומוכחת ברובה המוחלט באופן גאומטרי, היא למעשה אלגברה, שמסיבות מסוימות (כגון צרכים ריגורוזיים), לובשת "תחפושת" גאומטרית. מכאן, אם רוצים להסתכל על המתמטיקה של היוונים העתיקים בצורה היסטורית, זה נכון ואף רצוי להסתכל עליה בכלים אלגברים מודרניים, כי "היא אלגברית במהותה". לפי קו מחשבה זה אין סכנה של פירוש מוטעה בהמרת הטיעונים לשפת האלגברה ובשימוש בסימון מודרני.
כך למשל, את הטענות שבספר השני של יסודות ניתן (ואף צריך) לפרש בצורה הבאה:
היסטוריונים שפיתחו או קידמו רעיון זה במיוחד היו: , תומאס הית', , . ישנם גם היסטוריונים שייחסו רעיון זה בנוסף אל מתמטיקה עתיקה של עמים אחרים כגון הבבלים והמצרים כגון: אוטו נויגבאואר, ו.
גישה זאת הוסיפה לפופולריות של "יסודות", שכעת היווה לא רק את הבסיס הקדום של המתמטיקה, אלא הכיל אף טענות אלגבריות מודרניות ומתקדמות שהיו "חבויות" מתחת למעטה של גאומטריה ואריתמטיקה עתיקה.
רעיון זה של האלגברה הגאומטרית נהפך למוסכם כללית בתחום חקר ההיסטוריה של המתמטיקה בחצי השני של המאה ה-19, והיה מאוד פופולרי בקרב רוב מייסדי האלגברה המודרנית (וייט, דקארט, פרמה) ונשאר ככזה למשך יותר מ-100 שנה.
ביקורת.
למרות שהפרשנות בסגנון של האלגברה הגאומטרית הייתה הגישה ההיסטוריוגרפית השלטת כמאה שנה, החל מהרבע האחרון של המאה העשרים החלו כמה מתמטיקאים והיסטוריונים להעלות התנגדות לפרשנות זאת בטענה שהיא מטעה, אנכרוניסטית ושגויה. ראוי לציון במיוחד מאמרו פורץ הדרך (ומעורר המחלוקת אז) של שבתאי אונגורו ב-1975 שקרא לשכתב מחדש את ההיסטוריה של המתמטיקה היוונית במה שהוא מכנה "על בסיס היסטורי שפוי".
אונגורו טוען שאין שום בסיס היסטורי מספק לגישת האלגברה הגאומטרית המקובלת, ושהיא המצאה דמיונית של מתמטיקאים מודרניים שקוראים טקסטים קדומים דרך משקפיים מודרניות. הוא תוקף אותה בנימוקים הבאים:
אונגרו במאמרו מנסה להביא סיבות לעלייתה של גישה זאת, הוא טוען ש:
אונגורו במאמרו מציין שהוא לא היחיד שיצא כנגד עמדה זאת באותה התקופה, הוא מציין בין היתר גם את כתביהם של , ובמיוחד את שסתרו וביקרו את הרעיון והמאפיינים של האלגברה הגאומטרית. אונגורו לא היה היחיד או הראשון שביקר את התפיסה השלטת, אך מאמרו היה פורץ דרך בטענות שלו, בטון שלו, ובהשלכות שלו.
באותו הזמן תקף גם תפיסה זאת.
דוגמה לשוני בין הגישות.
נתייחס למשפט 5, שהוכחתו לפי אוקלידס כבר מפורטת למעלה, ונראה כיצד היא מתפרשת היסטורית מנקודת המבט של האלגברה הגאומטרית (המיוצגת בכתיביו של הית' לדוגמה, אשר תרגומו לאנגלית של ספר יסודות היה מאוד פופולרי בקרב היסטוריונים) ומנקודת המבט של שלילתה (נקח לדוגמה את אונגורו) בצורה שונה.
הית'.
בתרגומו לספר השני של "יסודות" הית' רושם בהערותיו לאחר הוכחתו של אוקלידס את משפט 5 שלמעשה הדבר הכי חשוב על משפטים 5,6 זה הכיוון שלהם על פתרון גאומטרי למשוואה ריבועית. הוא מראה שאם נסמן את אורך AB בתור formula_5, ואת אורך DB בתור formula_6, אז שטח המלבן AH, שהוא גם שטח הגנומון NOP, הוא formula_7. ואם שטחו של הגנומון נתון, למשל formula_8, אז בעיית פתרון המשוואה formula_3 היא, בשפה גאומטרית: "עבור קו ישר (בגודל formula_5), ליישם מלבן השווה לריבוע נתון (שגודלו formula_8) אם מורידים ממנו ריבוע אחר".
אונגורו.
אונגורו מצביע על העובדה שבכתביו של אוקלידס עצמו אין בדל של משוואות לגבי הוכחת משפט זה, ובכלל בכל ספרו, ואף בשום מקום במתמטיקה היוונית הקלאסית. ההוכחה היא בצורה גאומטרית טהורה ומכילה שרשור לוגי של טענות על עצמים גאומטרים. אין כאן שום סימולים, ובפרט, שום פעולות שנעשים על הסימולים הללו. מה שכמובן מאפיין גאומטריה ולא אלגברה. ובכלל אונגורו טוען שהערתו של הית' לא מראה שום דבר: היוונים לא ידעו מהי משוואה ריבועית בכלל, ובפרט לא ידעו איך לפתור אותה.
תוצאה והמצב כיום.
מאמרו השנוי במחלוקת והתקיף של אונגורו לא התקבל בעיין יפה בקרב החוקרים, וזכה לתגובות נגד משמעותיות שלהם אונגרו ענה במאמר נוסף בשנת 1979. אך ברבות הזמן החלו עוד אנשים להמשיך תקוף את רעיון האלגברה הגאומטרית: אונגורו ו ב 1981 ושוב ב 1982, קנור שוב ב 1986, קן סאיטו ב 1986, ב 1996, אונגורו ומיכאל נ. פריד ב 2001. ומלבד זאת, החלו חוקרים לדבר על אנלוגיות בין מתמטיקה יוונית עתיקה, במיוחד זו שבאה לידי ביטוי ביסודות, לבין מתמטיקה מודרנית ללא כפיית גישת באלגברה הגאומטרית.
כיום הפרדיגמה התהפכה: רוב ההיסטוריונים של המתמטיקה דוחים את העמדה של האלגברה הגאומטרית, והיא נחשבת מיעוט לא משמעותי היום. בין האנשים היחידים שעדיין מסנגרים על גישה זאת בולט ויקטור בלאשו שבמאמרו משנת 2015, מנסה להדוף את הביקורות של המאמרים העיקריים שיצאו נגד שיטה זאת. הוא טוען ש"לגאומטריה האלגברית מגיע משפט הוגן", ו"שהגיע הזמן לקחת צעד אחורה ולהפסיק את ההתנגדות השטחית האוטומטית כלפי הגאומטריה האלגברית ולהסתכל עליה במבט חדש עם ראש פתוח".
Myrtus communis
קנדה (תואר)
קנדה או קוּנְדוּ או קינדי (בהונגרית: Kende או Kündü) היה תואר כבוד הונגרי בזמן הנסיכות הכפולה, לפני הכיבוש של אגן הקרפטים (התיישבות המדיארים במרכז אירופה), היה הנסיך הראשי וגם המנהיג הדתי.
אנו יודעים על קיומו של משרת שליטה וכבוד מכתביו של הוחמד ג'אהני , שהיה ככל הנראה חוקר ומדינאי מבוכרה דובר פרסית, כותב בערבית, שמצטט את אחמד אבן רוסתה. גם גרדיזי , (שהיה היסטוריון ופקיד פרסי מהמאה ה-11, בולט בזכות כתיבת "זאין אל אחבאר", אחד מספרי ההיסטוריה המוקדמים ביותר שנכתבו בפרסית החדשה) כתב כמאה שנים מאוחר יותר דבר מה דומה - להונגרים יש שני מלכים, אחד הוא הנקוב, הסמלי, שאותו מכבדים מאוד והוא מכונה "קנדה", השני הוא. הדג'ולה (גיולה), שמחלק את הפקודות, שמוביל את הצבאות ואת קרבות המלחמה והוא זה שממנה את כל בעלי המשרה הצבאיים והמינהליים.
הנסיכות הכפולה של הכוזרים.