מרחב המספרים הממשיים, שהוציאו ממנו את הראשית, אינו קשיר. ניתן להציג אותו כאיחוד של שתי קבוצות: formula_10, ששתיהן פתוחות.
לעומת זאת, המישור, שהוציאו ממנו את הראשית (או אף קבוצה בת-מניה כלשהי של נקודות), הוא עדיין קשיר.
המרחב formula_11 אינו קשיר. ניתן להציג אותו כאיחוד של שתי הקבוצות formula_2, formula_5. הקבוצות הללו הן אמנם סגורות ב-formula_1 אבל הן פתוחות במרחב formula_15.
באופן כללי: תת-מרחב של formula_1 הוא קשיר, אם ורק אם הוא קטע.
מרחב המספרים הרציונליים אינו קשיר, וכך גם קבוצת קנטור.
הגדרות שקולות.
מכיוון שהמשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה, הקבוצות המהוות פירוק של המרחב הן גם סגורות. מכאן עולה שמרחב הוא קשיר אם ורק אם אי אפשר לכתוב אותו כאיחוד זר של שתי קבוצות סגורות זרות (לא ריקות).
אותו טיעון מעיד על נוסח שקול נוסף: מרחב הוא קשיר אם ורק אם אין לו תת-קבוצה לא טריוויאלית (לא הקבוצה הריקה ולא המרחב כולו) שהיא פתוחה וסגורה כאחת. קבוצה כזאת נקראת "סגוחה" (clopen).
תנאי נוסף השקול לקשירות הוא תכונת ערך הביניים: מרחב formula_15 הוא קשיר, אם ורק אם לכל פונקציה רציפה formula_18 מ-formula_15 אל formula_1 (המספרים הממשיים), התמונה formula_21 היא קטע ב-formula_1. הוכחת שקילות: אם formula_15 לא קשיר, הפונקציה ששולחת את אחת מהקבוצות הפתוחות ל-formula_24 והשנייה ל-formula_25 היא רציפה. בכיוון השני, אם formula_26 ו-formula_27 בתמונה אך formula_28 לא, התמונות ההפוכות של formula_29 ושל formula_30 הן פתוחות.
קשירוּת ורציפות.
תמונה רציפה של קבוצה קשירה היא קבוצה קשירה.
בפרט, כל מרחב מנה של מרחב קשיר הוא מרחב קשיר, כי העתקת המנה היא רציפה.
אם לכל פונקציה רציפה מהמרחב לעצמו יש נקודת שבת, אז המרחב קשיר (משום שאם formula_31 פירוק לקבוצות פתוחות, עם נקודות formula_32, אז לפונקציה השולחת נקודות ב-formula_33 ל-formula_34 ונקודות ב-formula_35 ל-formula_36 אין נקודות שבת).
מכפלה של קבוצות קשירות.
המכפלה של מרחבים טופולוגיים היא קשירה אם ורק אם כל המרחבים המשתתפים במכפלה קשירים.
סגור ופנים של קבוצה קשירה.
הסגור של קבוצה קשירה הוא קבוצה קשירה. מעבר לכך, אם formula_37 קשירה, אז גם כל formula_38 קשירה. באופן פיגורטיבי: כאשר מוסיפים לקבוצה קשירה נקודות ה"נוגעות" בה, הקשירות אינה נפגמת.
לעומת זאת, הפנים של קבוצה קשירה הוא לא תמיד קבוצה קשירה. למשל, במישור, איחוד של שני עיגולים סגורים משיקים הוא קשיר, אבל הפנים של איחוד זה (שהוא איחוד של הפנימים של שני העיגולים) אינו קשיר.
איחוד וחיתוך של קבוצות קשירות.
איחוד של קבוצות קשירות אינו בהכרח קשיר. למשל, האיחוד של שני קטעים פתוחים זרים ב-formula_1, אינו קשיר.
אולם, אם חיתוכן של הקבוצות אינו ריק, אז איחודן הוא קשיר. כך קובע "משפט הפרח": אם formula_40 היא משפחה של תת-קבוצות קשירות שהחיתוך של כל שתיים מהן לא ריק, אז formula_41 גם קשירה. לדוגמה, איחוד של ישרים במישור העוברים דרך הראשית (בצורת "פרח") הוא קשיר. התוצאה נכונה גם כאשר מניחים רק שכל שתי קבוצות במשפחה אינן מופרדות.
חיתוך של קבוצות קשירות אינו בהכרח קשיר. למשל, חיתוך של שני מעגלים במישור (שאינם משיקים) הוא שתי נקודות.
תת-קבוצות קשירות.
תת-קבוצה formula_33 של מרחב formula_15 היא קשירה, אם היא מהווה מרחב קשיר בטופולוגיה היחסית שלה. כדי לתאר הגדרה זו במונחי הטופולוגיה של formula_15, יש לעדן את מושג הפירוק: קבוצות לא ריקות formula_45 שהסגור של כל אחת מהן זר לשנייה, הן קבוצות מופרדות, והאיחוד שלהן מופרד. תת-קבוצה היא קשירה, אם ורק אם לא ניתן לכסות אותה באיחוד של קבוצות מופרדות, אלא אם היא מכוסה מלכתחילה על ידי אחד המרכיבים.
רכיבי קשירות.
תת-הקבוצות הקשירות המקסימליות של מרחב נקראות רכיבי קשירות, וכל מרחב טופולוגי מתפרק לאיחוד זר של רכיבי קשירות. כל רכיב קשירות הוא קבוצה סגורה (כי בהינתן רכיב formula_46 שהוא מחלקת שקילות המתאימה לאיבר formula_47, מכך ש-formula_48 מתקיים formula_49, ובנוסף מכך ש-formula_46 קשיר נובע שגם formula_51 קשיר. אבל formula_46 הקבוצה הקשירה המקסימלית שמכילה את formula_47, ולכן formula_54. לכן formula_55, מה שאומר ש-formula_46 סגור).
נקודות השייכות זו לקבוצה אחת וזו לאחרת בהפרדה של המרחב, נקראות נקודות מופרדות. נקודות שאינן ניתנות להפרדה שייכות לאותן קבוצות פתוחות-וסגורות. היחס "לא ניתנות להפרדה" הוא יחס שקילות, ומחלקות השקילות שלו הזה הן רכיבי קוואזי-קשירות. כל רכיב קשירות מוכל ברכיב קוואזי-קשירות של המרחב. אם למרחב יש רק רכיב קוואזי-קשירות יחיד, אז הוא קשיר (ולכן אין צורך להגדיר את המושג "מרחב קוואזי-קשיר"). במרחב האוסדורף קומפקטי מרכיבי הקוואזי-קשירות ומרכיבי הקשירות מתלכדים.
קשירות מסילתית.
מסילות במרחב הטופולוגי מאפשרות להגדיר גם יחסי שקילות עדינים יותר. כל תמונה רציפה של הקטע formula_2 במרחב נקראת מסילה, והקצוות שלה קשורים מסילתית. אם המסילה אינה חותכת את עצמה, היא נקראת קשת, והקצוות שלה קשורים קשתית. קשירות מסילתית וקשירות קשתית של נקודות הם יחסי שקילות, ויש להן מחלקות שקילות, הנקראות, בהתאמה, רכיבי קשירות מסילתית ורכיבי קשירות קשתית.
מרחב קשיר מסילתית מקומית שבנוסף לכך הוא קשיר, הוא קשיר מסילתית. זה נובע מכך שבמרחב קשיר מסילתית מקומית, כל רכיב קשירות מסילתית הוא קבוצה פתוחה, לכן רכיבי קשירות שונים (שהם תמיד זרים זה לזה) יתנו פירוק לפתוחות זרות, בסתירה לקשירות. לכן במרחב כזה קיים רכיב קשירות מסילתית יחיד.
הקשר בין המרכיבים השונים.
רכיבי הקוואזי-קשירות במרחב הם הגדולים ביותר. כאמור, כל רכיב קוואזי-קשירות הוא איחוד של רכיבי קשירות. אלו, בתורם, הם איחוד של רכיבי קשירות מסילתית, ואת האחרונים אפשר לכתוב כאיחוד של רכיבי קשירות קשתית. יש דוגמאות המראות שהרכיבים (ויחסי השקילות המתאימים להם) עשויים להיות שונים זה מזה.
דגל פרגוואי
דגל פרגוואי (בספרדית: Bandera del Paraguay) הוא דגלה הלאומי של פרגוואי. הדגל אומץ בשנת 1842. הסמלים והממדים השתנו לאורך השנים.
האזכור הרשמי הראשון של דגל פסים הוא מה-15 באוגוסט 1812 וההיסטוריה של הדגל מגיעה עד לשנת 1806, אז קראו כוחות צבאיים באסונסיון, חבושי מדים בצבעים אלה, לתמיכה בבואנוס איירס נוכח הפלישות הבריטיות לריו דה לה פלטה.
דגל פרגוואי הוא טריקולור המורכב מפסים בצבע אדום, לבן וכחול כשבמרכז הפס הלבן נמצא סמל. הצבעים הושפעו מצבעי הטריקולור הצרפתי, שהוא סמל של שחרור - קיימת טענה כי חוסה גספר רודריגס דה פרנסיה, שהיה מעריץ של נפוליאון, הנהיג את הדגל בשל כך. סמליות הצבעים היא עשירה מאוד בקרב הפרגוואים. האדום מסמל פטריוטיזם, אומץ, גבורה, שוויון וצדק; הלבן מסמל טוהר, איתנות, איחוד ושלום; והכחול מסמל שלווה, אהבה, ידע, אמת וחירות.
הסמלים משני צדי הדגל שונים, דבר שמייקר מאוד את ייצור הדגל ומהווה תופעה ייחודית בין דגלי מדינות העולם. מהצד הראשי מציג הדגל את הסמל הלאומי של פרגוואי, כוכב מחומש צהוב בתוך עטרה ירוקה שמעליה המילים "Republica del Paraguay". כוכב מאי מסמל את תאריך העצמאות, 14 במאי 1811. בצד השני מוצג חותם האוצר של פרגוואי, אריה עם כובע חרות על עמוד. חותם האוצר מסמל את הגנת החופש הלאומי שמסומל על ידי האריה המגן על מצנפת פריגית. מעליו מופיע הכיתוב "Paz y Justicia", "שלום וצדק".
רצח העם בדארפור
רצח העם בדארפור הוא רצח עם מכוון ושיטתי שמתבצע על ידי צבא סודאן והג'נג'וויד כנגד השבטים האפריקאים הילידים בחבל דארפור שבמערב סודאן מאז 2003 ועד היום. על-פי נתוני האו"ם מוערך כי כ-450,000 אנשים נהרגו או הורעבו למוות במהלך השנים 2010–2003 וכי למעלה משלושה מיליון בני אדם נעקרו מבתיהם ומוגדרים כפליטים.
רצח העם החל במהלך המלחמה בדרפור בין ממשלת סודאן וארגוני מורדים. החל משנת 2006 לערך, במהלך המלחמה, היו לעיתים שיחות שלום בין ממשלת סודאן והמורדים. הסכם שלום כולל נחתם ב-31 באוגוסט 2020 בג'ובה, בין הרשויות הסודניות וסיעות המורדים לסיום פעולות האיבה החמושות. תהליך השלום המשיך לאחר החתימה. עם זאת, לחימה נוספת בין שבטים שונים נמשכה במהלך 2021.
רקע.
סודאן הייתה המדינה הגדולה ביותר באפריקה עד היפרדותה של דרום סודאן בשנת 2011, וחיים בה כיום כארבעים מיליון בני אדם. האוכלוסייה בסודאן מורכבת מ-140 קבוצות אתניות, 36% מתוכן ערביות. בסודאן מדוברות 114 שפות, אולם ערבית היא השפה הרשמית. מאז עצמאותה של סודאן השלטון בה תמיד היה בידי הערבים.
מלחמת הצפון בדרום.
סודאן מעולם לא הייתה ישות מאוחדת לגמרי. גם במאה ה-18, במהלך שלטון האימפריה העות'מאנית, שלטו הערבים מהצפון ביד קשה בשבטים האפריקאים הרבים בפריפריה שבדרום. בתקופת השליטה הבריטית המציאות השתנתה מעט, אך השליטה הכלכלית והפוליטית של הצפון נשמרה.