בברית המועצות ראו מדענים מסוימים את האיגניקה ככלי להנדסת חברה קומוניסטית אמיתית. הגנטיקאי המרקסיסטי אלכסנדר סרברובסקי טען, ספק בהומור ספק בביטחון, שבאמצעות האיגניקה ניתן יהיה לפתח חברה שתוכל להשלים תוכנית חומש במחצית הזמן. בשנות ה-20 של המאה ה-20 לבשה האיגניקה בברית המועצות צורה של השבחת הגזע על ידי רבייה ולא רצח. הביולוגיה של טרופים ליסנקו אימצה את העקרונות שיוחסו לז'אן-בטיסט דה למארק בדבר הורשת תכונות נרכשות. לטענת הביולוגיה הסובייטית, כפי שמעמד הפועלים עבר דרדור וניוון עקב תנאי חייו, כך יכולה המהפכה לשפר את מצבו הפיזי התורשתי. אלכסנדר סרברובסקי, מעמיתיו של הביולוג ניקולאי קולצוב, שהיה ממייסדי האיגניקה הסובייטית, אמר: "בהזרעה מלאכותית יכולים להיות עד אלף ילדים ליצרן [זרע] מוכשר ורב ערך... בתנאים אלה, הברירה הטבעית תעשה צעד ענק קדימה." במאי 1936 הציע הגנטיקאי הרמן מולר לסטלין תוכנית דומה לתוכנית הלבנסבורן – זיווג בני הגזע העליון במטרה להוליד צאצאים מובחרים – תוכנית בה החל היינריך הימלר בגרמניה הנאצית, חמישה חודשים לפניו. מולר היה ממארגניו של הכנס הבינלאומי השביעי במוסקבה על גנטיקה. הכנס נועד להתקיים בשנת 1937 אך בוטל והתקיים ב-1939 באדינבורו.
בשוודיה העבירה המפלגה הסוציאל-דמוקרטית מספר חוקים שאיפשרו עיקור של חולי נפש. אף על פי שהחוקים התירו עיקור ב"התנדבות" בלבד, מעדויות עולה שהופעל לחץ על אזרחים לקבל את הטיפול. במסגרת החוק עוקרו בארבעת העשורים שבין 1934 ל-1974 כ-60 אלף אזרחים, מה ששם את שוודיה כמדינה האירופית עם תוכנית העיקור הנרחבת ביותר, אחרי גרמניה הנאצית.
בסינגפור נתנה הממשלה, החל ב-1984, זיכויי מס מוגדלים ועדיפות בהרשמת הילדים לבתי הספר, לנשים בוגרות אוניברסיטה שילדו שלושה או ארבעה ילדים. זאת בניגוד למדיניות "שניים זה מספיק" שעדיין הייתה נהוגה אז, במטרה לצמצם את הילודה, וכללה מענק כספי בסך 10,000 דולר סינגפורי לנשים פחות משכילות שהסכימו להסתפק בילד אחד או שניים. ההטבות וההעדפות לנשים משכילות ולילדיהן עוררו מחלוקת, וכבר ב-1985 הן בוטלו בחלקן, וחלקן תוקנו ונארזו מחדש באופן שיפיג את החששות.
בארץ ישראל המנדטורית זכתה האיגניקה לתמיכה בקרב דמויות מפתח בממסד הרפואי היהודי המתהווה. אחד האיגנים הבולטים של תקופת המנדט היה הד"ר יוסף מאיר, שכיהן במשך שלושה עשורים כראש קופת חולים כללית ועל שמו קרוי כיום בית החולים מאיר בכפר סבא. רעיונות כמו סירוס של חולי נפש, עידוד הילודה במשפחות "הנמנות עם האינטליגנציה" והגבלתה "במשפחות העניות יוצאות המזרח", כמו גם מניעת "התהוותם של חיים חסרי תועלת" היו שכיחים למדי. אלו לא יושמו בישראל בכפייה, אך עודדו באופן מובהק על ידי הממסד הרפואי. המוסד העיקרי לקידום רעיונות אלו היה "תחנות העצה". המגמה הייתה לשכנע את מי שלא ראויים ללדת שאל להם לעשות זאת, ולא לכפות זאת עליהם.
האיגניקה היום.
בשני העשורים האחרונים החלו לתהות בקרב חוגים אקדמיים האם מלחמת העולם השנייה גררה התנגדות יתר לאיגניקה. אכן, בתחומים רבים החלו לצוץ מחדש שאלות עם זיקה ישירה למחשבה האיגנית. בכל הנוגע לניהול ופיקוח חברתי (נושאים כגון פיקוח ילודה לאור פיצוץ אוכלוסין, תכנון משפחתי וכו') קמות לתחייה שאלות אתיות שהעסיקו את חוקרי האיגניקה בראשית המאה ה-20. למעשה, יש הרואים בחופש שמקנה הרפואה המודרנית, למשל להפיל עובר שנתגלה בעל מוגבלות, כסוג של "איגניקה חדשה".
עם התקדמות מדע הגנטיקה, ובעיקר עם השלמת פרויקט מיפוי הגנום האנושי, מתפתחת היכולת להתאים יותר ויותר בין תכונות אופי וסממני התנהגות לבין הקוד התורשתי של אדם נתון. יכולת זו מעלה דילמות כגון: האם מוסרי להפלות אדם בהתאם לפוטנציאל הגנטי שלו? שאלות שכאלה נחשבו עד לאחרונה לתהיות סרק הנובעות ממדע מסולף ונגוע בגזענות. כיום ישנם לא מעט מדענים, חוקרי חברה והיסטוריונים המבקשים לנער מעל האיגניקה את עברה כדי לאפשר דיון ענייני בשאלות שהיא מציבה בנוגע לקיומה ושיפורה של חברה אנושית. כך, הסופר והפרופסור לשעבר, ג'ון גלאד, קורא בספרו "האבולוציה האנושית הבאה" להרחיב את העיסוק המודע בהשבחת המין האנושי באופן התואם את ערכי המאה ה-21.
מספר מרוכב
במתמטיקה, מספר מרוכב הוא מספר מהצורה formula_1 כאשר formula_2 ו-formula_3 הם מספרים ממשיים, ו-formula_4 הוא השורש הריבועי של מינוס אחת: formula_5.
המספרים המרוכבים יוצרים את שדה המספרים המרוכבים שמסומן בסימן formula_6.
כיוון שהריבוע של כל מספר ממשי הוא חיובי, למספרים השליליים אין שורש בשדה המספרים הממשיים. המספרים המרוכבים מתקבלים על ידי 'המצאת' מספר שאינו ממשי, formula_4, ושילובו במספרים הממשיים. מספרים מרוכבים, כדוגמת formula_8, מתקבלים באמצעות הפעולות האריתמטיות הרגילות בין המספרים הממשיים לבין המספר ה'חדש'.
שלא כמו במספרים הממשיים, מעל המספרים המרוכבים יש שורש לכל פולינום, לא רק למשוואה formula_9, שעל מנת למצוא לה פתרון הוגדר formula_4 מלכתחילה, אלא גם למשוואות כמו formula_11 או אפילו formula_12. תכונה זו של שדה המספרים המרוכבים מנוסחת במשפט היסודי של האלגברה, והיא שהופכת את המספרים המרוכבים למרכזיים כל כך במתמטיקה המודרנית.
היסטוריה.
יצירתם של המספרים המרוכבים, בתחילת המאה ה-16, מיוחסת לג'ירולמו קרדאנו, שנעזר בהם כדי לפתור את המשוואה ממעלה שלישית. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי רפאל בומבלי. באותה עת נחשבו מספרים כאלה ללא אמיתיים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן להם. דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של אוילר וגאוס.
הגדרה פורמלית של המספרים המרוכבים.
כל מספר מרוכב formula_13 ניתן להציג (באופן יחיד) כסכום formula_14, כך ש-formula_2 ו-formula_3 הם מספרים ממשיים ו-formula_4 הוא היחידה המרוכבת, המקיימת את התנאי formula_18. בניסוח זה, formula_2 נקרא החלק הממשי של המספר, ומסומן formula_20; באופן דומה formula_21 הוא החלק המדומה של formula_13, ומסמנים formula_23
מזהים כל מספר מרוכב formula_1 עם הזוג הסדור formula_25 (או, באופן שקול, עם נקודה במישור האוקלידי), ומגדירים פעולות חיבור וכפל מיוחדות על נקודות אלו. כתוצאה מכך מתקבל שדה אלגברי. (לפרטים נוספים על הבנייה ראו שדה המספרים המרוכבים ולהסבר כללי על שיטת הרחבה זו ראו הרחבת שדות). ניתן לייצג מספרים מרוכבים בצורה גאומטרית על גבי מערכת צירים קרטזית במישור המרוכב.
בחירת השמות 'מספר מדומה' מול 'מספר ממשי' מקורה בחוסר האמון שניתן בתחילה למספרים המרוכבים ובתחושה שהם מציאותיים פחות מהמספרים הממשיים. תחושה זו אינה שוללת את תקפותם כמספרים, ובתקופות שונות שרר חוסר אמון גם במספרים השליליים, ואחריהם במספרים הממשיים שאינם רציונליים.
אריתמטיקה של מספרים מרוכבים.
המספרים המרוכבים מקיימים
כמו כן נהוג להגדיר:
ואז מתקיים: formula_30. תכונה זו מאפשרת לבצע את פעולת החילוק בין שני מספרים מרוכבים באופן הבא: formula_31.
את פעולת החיסור בין שני מספרים מרוכבים ניתן להגדיר בקלות בדומה להגדרת פעולת החיבור: formula_32.
הצגה קוטבית.
מספר מרוכב ניתן להציג גם באמצעות המרחק שלו מהראשית והזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של הציר הממשי (ציר x). הצגה זו נקראת הצגה קוטבית (או הצגה פולרית או הצגה טריגונומטרית). על ידי שימוש בטריגונומטריה, ובסימון formula_33 מקבלים formula_34. באמצעות נוסחת אוילר ניתן לכתוב זאת גם כ-formula_35 כאשר את הזווית formula_36 (שנקרא ארגומנט) ניתן לקבל על ידי הנוסחה formula_37 ואת formula_38 על ידי הנוסחה formula_39. כמו כן formula_40 הוא בסיס הלוגריתם הטבעי, על כל התכונות האלגבריות המשתמעות מכך. בחלק מהספרים מסומן לעיתים formula_41 (כאשר formula_42).
צורת הצגה זו שימושית ביותר. למשל, בהינתן ההצגה הקוטבית של מספר מרוכב פעולות הכפל והחילוק הופכות נוחות ומהירות יותר, מאחר שניתן להיעזר בחוקי חזקות. לדוגמה, בהינתן שני מספרים מרוכבים הנתונים בהצגתם הקוטבית formula_43 נוכל לבצע את פעולת הכפל ביניהם באופן הבא: formula_44. פעולת החילוק תיתן formula_45.
כמו כן, ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר (לפיה formula_46) על מנת למצוא שורש של מספר מרוכב (ראו פירוט בערך שורש של מספר).
שימושים.
יש בעיות רבות במתמטיקה ובפיזיקה שקל יותר לתאר ולפתור בעזרת מספרים מרוכבים, גם כאשר אין למספרים אלו זכר בניסוח הבעיה ואף לא בתוצאה הסופית שלה.
שימושים במתמטיקה.
המספרים המרוכבים הומצאו במקור כדי לפתור משוואות פולינומיות, כגון משוואה ממעלה שלישית, או המשוואה formula_47. מאוחר יותר התגלה, שלכל פולינום בעל מקדמים שהם מספרים מרוכבים יש שורש שהוא מספר מרוכב.
באמצעות משפט השארית אפשר לחשב אינטגרלים ממשיים, בייחוד אינטגרלים מוכללים (המכונים גם לא-אמיתיים או לא-נאותים) על כל הישר הממשי: מאפס (או מינוס אינסוף) עד אינסוף.
כמו כן, באמצעות ההצגה הקוטבית ניתן לפתור גם משוואות דיפרנציאליות.
פונקציית זטא של רימן, שהיא פונקציה מרוכבת, קשורה באופן מפתיע להתפלגות של מספרים ראשוניים (ראו גם השערת רימן).
דוגמאות לשימושים בפיזיקה ובהנדסת חשמל.