בשנת לימודיו השנייה החל גלואה משתעמם בשיעורי הרטוריקה, אף שזכה לציונים לשבח במקצועות הלטינית והיוונית העתיקה, בזכות הידע שהעניקה לו אמו, אך כשגילה את קסם המתמטיקה זנח את כל המקצועות האחרים. הוא למד את ספר הגאומטריה "Éléments de Géométrie" ("יסודות הגאומטריה") מאת לז'נדר, שהיווה חידוש בתוכנית הלימודים באותה תקופה, ואת ספריו של ז'וזף לואי לגראנז'. קודם שהגיע לגיל 15 הספיק להשתלט על ספרי יסוד באלגברה שהיו מיועדים למתמטיקאים מקצועיים.
חייו של גלואה בבית הספר נעשו קשים מיום ליום, בכל המקצועות שאינם מתמטיים הוא סומן כעושה צרות, ונענש תדירות. עד מהרה עלה הידע המתמטי שצבר על זה של מוריו, והשיעורים הפכו לקלים מדי עבורו, אולם יכולתו לפתור את הבעיות המסובכות ביותר לא נזקפה לזכותו אצל מוריו. הם תבעו ממנו להסביר את פתרונותיו בפרטי פרטים, שהיו נטולי חשיבות לגביו, והדבר קומם אותו. מוריו לגלגו עליו באמרם כי פקחותו היא אגדה שאין הם יכולים לאשרה.
תחילת דרכו כמתמטיקאי.
בגיל 16, מבלי שידע על עבודתו המוקדמת של אָבֶּל, סבר גלואה שמצא פתרון כללי למשוואה ממעלה חמישית, אך טעה בו כשם שאבל טעה באופן דומה. למשך זמן קצר האמין שחולל את הפלא, אך לבסוף הודה בטעותו. הייתה זו רק אחת משורת תופעות דומות בחייהם של גלואה ואבל, המתמטיקאי הנורווגי הצעיר שמת חסר כול בגיל 26.
ורנייה, מורהו למתמטיקה, ניסה לשדלו לעבוד בצורה שיטתית ולהעלות את הפתרון על הכתב, אולם גלואה לא שעה לעצתו. ב-1828 הוא ניגש לבחינות הכניסה ל"אקול פוליטקניק" (École Polytechnique), שהיה באותה עת המוסד החשוב ביותר למתמטיקאים בצרפת, אך נכשל כיוון שלא התכונן באופן המקובל לבחינות אלה. עד ניסיונו השני להתקבל למוסד, החל גלואה ללמוד במוסד נחות יחסית בהוראת המתמטיקה, École préparatoire, המכינה של אקול נורמל סופרייר.
אחד ממוריו, לואי פול אמיל רישאר, היה אחד הראשונים שזיהה את כישרונו הגדול של גלואה. ניתן ללמוד על כישרונו של גלואה מאמירתו של רישאר כי "תלמיד זה פועל רק בעולמותיה הגבוהים של המתמטיקה", ומכך שרישאר תבע כי גלואה יתקבל לאקול פוליטקניק ללא מבחני כניסה. באותה תקופה הגיע גלואה לכמה מהישגיו הבולטים באלגברה.
באפריל 1829 פרסם גלואה את מאמרו הראשון, שעסק בשברים משולבים. במאמר זה סטה גלואה מתחום העניין העיקרי שלו - פתרון משוואות. לאחר מכן כינס את כל תגליותיו בשני חיבורים ומסרם לאקדמיה הצרפתית למדעים. החיבורים התקבלו אצל המתמטיקאי המפורסם אוגוסטין לואי קושי, אולם הדבר לא הניב תוצאות. על פי מכתב של קושי, שהתגלה רק בשנת 1971 בארכיון האקדמיה, קושי אכן התרשם מכתבי היד ותכנן להציגם בפני האקדמיה, אך שלח אותם חזרה לגלואה עם דרישה שיסביר את תוצאותיו באופן בהיר ומפורט יותר, וכן שיאחד את שני החיבורים לאחד.
ב-28 ביולי 1829 התאבד אביו של גלואה, בעקבות ויכוח פוליטי מר עם כומר העיירה, שהתנגד לדעותיו הליברליות של האב והעליל עליו עלילות שווא. בהלוויה התפתחה תגרה בין תומכי האב למתנגדיו. האסון הותיר חותם עמוק על גלואה והשפיע על מהלך חייו. בחינת הכניסה השנייה של גלואה לאקול פוליטקניק נערכה זמן קצר לאחר שאביו התאבד, בטרם הספיק להתאושש. לא ידוע במדויק מה קרה בבחינה, אך נראה כי גלואה הותיר רושם רע על בוחניו בשל הרגלו לחשב את כל החישובים המתמטיים בראשו ולרשום על הלוח רק את התוצאה הסופית, וסבלנותו פקעה כשבוחניו דרשו שיסביר את חישוביו. האגדה מספרת כי בתסכולו השליך גלואה את הסחבה ששימשה לניקוי הלוח על בוחניו. כך בא הקץ לתקוותו להתקבל למוסד, שכן איש לא הורשה לגשת לבחינות הכניסה יותר מפעמיים.
לאחר הכישלון השני ניגש גלואה למבחני המכינה על מנת להמשיך לאקול נורמל סופרייר. גלואה התקבל לאקול נורמל אף שהתקשה בבחינות שעסקו במדעי הרוח - הבוחן שלו בספרות אמר ש"הוא אינו יודע דבר. סופר לי שלתלמיד הזה יש כישרון עצום במתמטיקה. זה מפתיע אותי מאוד".
באותה שנה נתקל גלואה במאמר שחיבר אָבֶּל ופורסם לאחר מותו, ושעסק בנושא בו גלואה התעניין - פתרון משוואות אלגבריות. בעקבות המאמר איחד גלואה את שני חיבוריו הקודמים למאמר אחד, ובפברואר 1830 הגיש אותו לתחרות שערכה האקדמיה למדעים, תחת הכותרת "על התנאים לפתרון משוואה באמצעות שורשים". המאמר היווה פריצת דרך חשובה בתחומו וקושי התרשם מהמאמר, ואף העריך כי יזכה בתחרות. אך מזכיר האקדמיה, ז'וזף פורייה, נטל את כתב היד לביתו ונפטר בטרם הגישו לוועדת הפרס. בשל כך אבד המאמר וכלל לא הגיע לעיון בוועדה, והפרס הוענק לאבל ולקרל גוסטב יעקובי. למרות אכזבתו הקשה, שערערה את אמונו בממסד המדעי, פרסם גלואה שלושה מאמרים באותה שנה. בשניים מהמאמרים הניח את היסודות לתורת גלואה, והשלישי עסק בתורת המספרים והציג לראשונה את המושג שדה סופי.
קריירה פוליטית.
גלואה היה רפובליקני בדעותיו והתנגד נחרצות למשטר המלוכני. לאחר שמאמרו פורץ הדרך אבד בנבכי האקדמיה למדעים, חש גלואה כי הדבר נעשה במכוון בשל דעותיו הפוליטיות הקיצוניות. ממורמר מחוסר ההערכה כלפיו כמתמטיקאי, פנה גלואה להיאבק למען מטרות הרפובליקנים בצרפת.
בעת מהפכת יולי 1830 היה גלואה סטודנט באקול נורמל. רבים מהסטודנטים היו שותפים לדעותיו הפוליטיות, אך לא כך מנהל המוסד, גואיניו, שהיה מלוכני בהשקפתו. הואיל והיה מודע לדעותיהם של הסטודנטים במוסדו, סגר אותם גואיניו במעונות ונעל את שערי הקולג', במטרה למנוע מהם מלהשתתף בהפיכה. גלואה ניסה לטפס על חומת המוסד, אך נכשל, ונאלץ לוותר, לתסכולו הרב, על השתתפות בהפיכה. החיכוכים בין גלואה לבין הנהלת המוסד הלכו והחריפו, ובדצמבר 1830 פרסם גלואה בעיתון "Gazette des Écoles" מכתב שהוקיע את המוסד ואת מנהלו בשל צביעותם. אף שהמכתב פורסם בשם "תלמיד באקול נורמל", נפל החשד מיד על גלואה, שהיה ידוע במוסד יותר כעושה צרות מאשר כמתמטיקאי מוכשר, והוא גורש מן המוסד.
עוד בטרם גורש גלואה מהאקול נורמל הוא התגייס לגדוד הארטילריה של המשמר הלאומי, אך זמן קצר לאחר שהצטרף פורק הגדוד, ב-31 בדצמבר 1830, וגלואה נותר ללא תעסוקה. כדי להתפרנס, הוא פתח קורס פרטי לאלגברה, אך נחל הצלחה מועטה בשל דרישותיו הגבוהות מהתלמידים. גם במתמטיקה נחל באותה תקופה אכזבה נוספת - הוא הגיש שוב תזכיר לאקדמיה שעסק בפתרון משוואות, אך לא זכה לתגובה כלשהי. המתמטיקאית סופי ז'רמן תיארה במכתב את מצבו העגום של גלואה, וכתבה שהיא חוששת כי הוא עלול לצאת מדעתו.
באפריל 1831 הואשמו 19 מאנשי הארטילריה של המשמר הלאומי בקשר להפלת המשטר. כולם זוכו, וב-9 במאי 1831 ערכו כמאתיים צעירים מתומכי הרפובליקה סעודה כדי לחגוג את האירוע. בהם היה גם גלואה וכן הסופר הצרפתי המפורסם אלכסנדר דיומא, שתיעד מאוחר יותר את השתלשלות האירועים. במהלך ארוחת הערב הרים גלואה את כוסו תוך שהוא אוחז בידו השנייה פגיון, וקרא "ללואי פיליפ!", קריאה שהתפרשה כאיום על חיי המלך. גלואה נעצר למחרת בבוקר והוחזק במעצר כחודש, עד שהועמד לדין ב-15 ביוני. במשפט טען גלואה כי אמר "ללואי פיליפ, אם יבגוד", וכי המילים האחרונות לא נשמעו בשל שריקות הבוז שעורר שמו של לואי פיליפ. גלואה זוכה לאחר דיון קצר בן כחצי שעה.
התמרמרותו של גלואה הלכה וגברה. ב-14 ביולי, יום הבסטיליה, הוא נעצר שנית במהלך הפגנה כשהוא לבוש במדי גדוד הארטילריה שפורק (לבישת המדים הייתה בלתי חוקית באותה עת) ונושא כלי נשק. הוטל עליו עונש כבד יחסית של שישה חודשי מאסר, ואת זמנו בכלא בילה בעבודות מתמטיות. מצבו הנפשי התערער, והוא החל לשתות לשוכרה לאחר ששותפיו למאסר הקניטו אותו. הרדיפות הפוליטיות לא פסקו בהיותו במאסר - צלף ירה מעליית הגג לתוך תאו של גלואה, ופגע בשותפו לתא, אך גלואה היה משוכנע כי הכדור כיוון אליו. בהיותו במאסר קיבל את תשובת האקדמיה לגבי המאמר שהגיש ב-17 בינואר 1831. התשובה נשלחה כבר בתחילת יולי, אך עקב מאסרו הגיעה אליו רק באוקטובר. מצבו הנפשי הורע עוד יותר עקב החשש שיפגעו בחייו ועקב חוסר ההערכה לעבודתו המתמטית (אותה ייחס לאפליה על רקע דעותיו הפוליטיות הקיצוניות), והוא ניסה לדקור את עצמו למוות בהיותו שתוי, אך ניצל הודות לשותפיו לכלא.
במרץ 1832, כחודש לפני תום מאסרו, פרצה מגפת כולרה בפריז וכל האסירים, ובהם גלואה, שוחררו. מאוכזב מיחס האקדמיה למדעים לעבודתו, פרסם גלואה את מאמריו הבאים באופן פרטי באמצעות חברו אוגוסט שבלייה.
מותו בדו-קרב.
הרקע לדו-קרב שבו מצא גלואה את מותו אינו ברור באופן ודאי עד היום. לפי גרסה אחת, ב-29 במאי 1832 הסתבך גלואה בקטטה עם יריב פוליטי והחל מעליבו לעיני כול. זה שלף את חרבו כדי להגן על כבודו, וכך גם עשה גלואה. על כן, הזמינו היריב לדו-קרב וגלואה, מפאת כבודו, הסכים, אף כי היה ברור לו כי לא ינצח בהתמודדות זו. על פי גרסה אחרת, שהיא הגרסה המקובלת ביותר, נערך הדו-קרב על רקע רומנטי. קיימות עדויות שגלואה היה מאוהב באישה מאורסת בשם סטפני פליס דו-מוטל, וכאשר ארוסה גילה זאת, הוא הזמין את גלואה לדו-קרב. גרסה שלישית קושרת את המשטרה החשאית לדו-קרב, ולפיה אותה אישה נועדה לפתות את גלואה, ולגרום לו להיקלע לדו-קרב נגד שוטר חשאי שהתחזה לארוסה של האישה.