ונהוג לסמן את המשחק באופן הבא: formula_9 או בקיצור, כאשר ברור על איזה וקטור משקולות מדובר: formula_10
דוגמה.
דוגמה טובה למשחק רוב משוקלל היא הבחירות לכנסת.
נניח שבכנסת ישראל- בה יושבים 120 חברי כנסת ובה על מנת להרכיב ממשלה יש צורך ברוב של יותר מ-61 חברים מתקבלות התוצאות הבאות:
אזי תתקבל מערכת המשקולות הבאה:
המשחק יכתב כך: formula_16
והפונקציה הקואליציונית תוגדר בצורה הבאה:
ניתן לשים לב שישנן מספר קואליציות שונות המסוגלות ליצור רוב משוקלל. כך למשל: formula_18 אבל formula_19
הצגה הומוגנית והצגה מנורמלת.
משחק פשוט ומונוטוני נקבע על ידי אוסף הקואליציות המינימליות הזוכות בו, המסומן ע"י: formula_20
&lt;br&gt;
הצגה formula_9 של משחק פשוט formula_22 נקראת הצגה הומוגנית אם formula_23 שווה, לכל קואליציה מינימלית זוכה formula_24.
&lt;br&gt;
הצגה formula_9 של משחק פשוט formula_26 נקראת הצגה מנורמלת אם formula_27.
&lt;br&gt;
משחק פשוט formula_28 נקרא משחק הומוגני אם יש לו הצגה הומוגנית.
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
כך למשל ההצגה formula_29 היא הצגה הומוגנית, formula_30 הצגה הומוגנית מנורמלת ו-formula_31 הצגה לא הומוגנית (וכולן הצגות של אותו משחק רוב משוקלל!). &lt;br&gt; לעומת זאת, למשחק formula_32 אין הצגה הומוגנית כלל.
גרעינון של משחק רוב משוקלל סכום קבוע.
סימונים.
יהי formula_28 משחק פשוט ו-formula_34 וקטור כלשהו. נסמן:
formula_35.
&lt;br&gt;
&lt;br&gt; ע"פ סימון זה, formula_36 היא הצגה של משחק הרוב המשוקלל formula_10.
&lt;br&gt; formula_36 הצגה הומוגנית אם ורק אם לכל formula_24 מתקיים formula_40
גרעינון של משחק רוב משוקלל סכום קבוע.
משפט: יהי formula_41 משחק רוב משוקלל סכום קבוע, ויהי formula_41 הגרעינון של המשחק, אזי formula_41 היא הצגה מנורמלת של המשחק. &lt;br&gt;
&lt;br&gt;
הוכחת המשפט &lt;br&gt;
על מנת להוכיח את המשפט, להלן שתי טענות עזר:
&lt;br&gt; &lt;br&gt;
טענת עזר 1: יהי formula_44 וקטור המקיים formula_45. יהי formula_28 משחק פשוט מונוטוני סכום קבוע. formula_47 היא הצגה של formula_28 אם ורק אם formula_49.
&lt;br&gt;
הוכחת טענת עזר 1: &lt;br&gt;
בתחילה, נניח formula_47 הצגה של formula_28. קואליציה מנצחת במשחק אם ורק אם סכום המשקולות של חבריה גדול או שווה ל-formula_52. נניח בשלילה formula_53. כלומר, קיימת קואליציה מינימלית מנצחת formula_54 כך ש: &lt;br&gt;
formula_55 &lt;br&gt;
כלומר, גם formula_56 מנצחת, בסתירה לכך שהמשחק סכום קבוע (formula_57).
&lt;br&gt;
כעת, נניח formula_49. תהי קואליציה formula_6.
&lt;br&gt;
אם formula_6 מנצחת אזי היא מכילה קואליציה זוכה מינימלית formula_61 ולכן formula_62.
&lt;br&gt;
אם formula_6 מפסידה אזי formula_64 מנצחת (שכן המשחק סכום קבוע) ומתקיים formula_65. כלומר formula_66
&lt;br&gt;
בסה"כ קיבלנו formula_67 (כלומר formula_6 זוכה) אם ורק אם formula_69.
&lt;br&gt;
כלומר formula_47 היא הצגה של formula_28
&lt;br&gt; &lt;br&gt;
טענת עזר 2: יהי formula_28 משחק פשוט מונוטוני סכום קבוע. ויהי formula_73 הגרעינון של המשחק. אזי לכל formula_74 מתקיים formula_75. (הערה: formula_76 היא קבוצת וקטורי התשלומים ב-formula_28)
&lt;br&gt;
הוכחת טענת עזר 2:&lt;br&gt;
יהי formula_74 כלשהו. formula_79 הוא הגרעינון ולכן formula_80 כלומר:&lt;br&gt; &lt;br&gt; formula_81. &lt;br&gt;
כמו כן מתקיים: &lt;br&gt;
formula_82
&lt;br&gt;&lt;br&gt;
כאשר שוויון (1) מתקיים, שכן formula_83 (כי למשל formula_84 היא קואליציה זוכה עם עודף 0), &lt;br&gt;
השוויון (2) מתקיים שכן formula_85 (עבור קואליציה מפסידה formula_86 ו- formula_87, מכיוון ש- formula_74). &lt;br&gt;
השוויון (3) מתקיים שכן formula_89 לכל השחקנים ( formula_74) ולכן על מנת למקסם את formula_91 יש למזער את formula_92 על פני הקואליציות הזוכות המינימליות (וניתן למקסם עליהן בלבד, שכן המשחק מונוטוני). &lt;br&gt;&lt;br&gt;
לפיכך מתקיים: &lt;br&gt;
formula_93
&lt;br&gt;&lt;br&gt;
הוכחת המשפט:&lt;br&gt;
תהי formula_94 הצגה מנורמלת של formula_10. ע"פ טענת עזר 1 מתקיים formula_96. מטענת עזר 2, מתקיים formula_97, כלומר formula_98. &lt;br&gt;
מכיוון ש- formula_99, ע"פ טענת עזר 1 נקבל formula_100 היא הצגה מנורמלת של המשחק.
גרעינון של משחק רוב משוקלל סכום קבוע הומוגני.
טענה: יהי formula_28 משחק רוב משוקלל הומוגני. אז יש לו הצגה הומוגנית שבה שחקני אפס מקבלים 0.&lt;br&gt;
הוכחה: תהי formula_10 הצגה הומוגנית של המשחק. לכל קואליציה זוכה מינימלית formula_103 מתקיים formula_104 . תהי formula_105 קבוצת שחקני האפס. נגדיר:
&lt;br&gt;
formula_106
&lt;br&gt;
formula_107
&lt;br&gt;
נותר לראות כי formula_94 היא הצגה הומוגנית של המשחק: &lt;br&gt;
תהי קואליציה זוכה מינימלית formula_103. ממינימליות formula_6, נקבל כי formula_6 לא מכילה שחקני אפס, ולכן מתקיים: &lt;br&gt;
&lt;br&gt;
formula_112
&lt;br&gt;
כלומר: formula_113. ולכן formula_94 הצגה הומוגנית של המשחק.
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
משפט: יהי formula_41 משחק רוב משוקלל סכום קבוע הומוגני. הגרעינון הוא ההצגה המנורמלת ההומוגנית היחידה שבה המשקל של כל שחקן אפס הוא 0.
הוכחת המשפט: &lt;br&gt;
מקרה א': קיים שחקן i עבורו formula_116. &lt;br&gt;
formula_28 משחק סכום קבוע ולכן formula_118, כלומר formula_119. המשחק מונוטוני ולכן: formula_120,&lt;br&gt;
וסה"כ נקבל formula_121, &lt;br&gt;
כלומר i דיקטטור. &lt;br&gt;
במקרה זה, ההצגות ההומוגניות המנורמלות של המשחק נתונות על ידי formula_10 עבור כל formula_123 ועבור וקטור משקולות formula_124 המקיים formula_125 ו-formula_126. &lt;br&gt;
ההצגה המנורמלת היחידה בה משקל כל שחקן אפס הוא 0, היא זו בה formula_127 ווקטור המשקולות הוא: formula_128. &lt;br&gt;
וקטור משקולות זה הוא הגרעינון של המשחק (וגם ערך שפלי), מכיוון ששחקני אפס מקבלים 0 בגרעינון.
מקרה ב': לכל שחקן i מתקיים formula_129. &lt;br&gt;
נסמן את קבוצת שחקני האפס במשחק ב-formula_105. מהטענה שהוכחנו - יש למשחק הצגה הומוגנית שבה המשקל של כל שחקן אפס הוא 0. נסמן את ההצגה ב-formula_131, ומתקיים formula_132. נגדיר את הפאון (פוליטופ) formula_133 הבא:
&lt;br&gt;
formula_134
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
הווקטורים ב-formula_133 יעילים וסבירים פרטית, כלומר formula_136. &lt;br&gt;
formula_137 היא הצגה הומוגנית שבה משקל כל שחקן אפס הוא 0 ולכן formula_138, כלומר formula_139. &lt;br&gt;
מהמשפט הקודם (אודות גרעינון של משחק רוב משוקלל סכום קבוע), הגרעינון, נסמנו ב-formula_79, הוא הצגה מנורמלת של המשחק, ולכן לכל formula_103 מתקיים formula_142. &lt;br&gt;
מטענת עזר ב' (שבהוכחת המשפט הקודם), formula_139 גורר formula_144, ולכן לכל formula_24 מתקיים formula_146. &lt;br&gt;
כלומר, formula_147. &lt;br&gt;
נניח בשלילה formula_148. כלומר ב-formula_133 יש לפחות שתי נקודות קיצון: formula_150 ו-formula_151 כך ש-formula_152. כלומר, קיים אי שוויון בהגדרת formula_133 שמקבל שוויון עבור formula_151 אך מתקיים אי שוויון חזק עבור formula_150. עבור formula_150 כל האי-שוויונים formula_157 מתקיימים כשוויון (שכן formula_131 הצגה הומוגנית, כלומר: formula_159). לכן בהכרח formula_160. &lt;br&gt;
בפרט formula_161 (שכן לכל formula_162 מתקיים formula_163). &lt;br&gt;
נסמן ב-j את השחקן שמקיים formula_164 ו- formula_165. &lt;br&gt;
j אינו שחקן 0 ולכן קיימת קואליציה formula_6 כך ש-formula_86 אך formula_168. תהי formula_169 קואליציה מינימלית שעבורה מתקיים הדבר. מתקיים אפוא: formula_170.
&lt;br&gt;
formula_169 מפסידה, ולכן, formula_172 מנצחת (שכן המשחק סכום קבוע) ומתקיים: formula_173. לכן: &lt;br&gt;
&lt;br&gt;
formula_174
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
אי שוויון (1) מתקיים כיוון ש-formula_175 לכל קואליציה formula_176 מנצחת, ו-formula_172 היא קואליציה מנצחת &lt;br&gt;
אי שוויון (2) מתקיים מסיבה דומה, עבור הקואליציה המנצחת formula_178. &lt;br&gt;
&lt;br&gt;
סה"כ מתקיים formula_179, וזוהי סתירה לטענת עזר 1 (שבהוכחת המשפט הקודם). &lt;br&gt;
לפיכך מתקבל: formula_180. כלומר הגרעינון הוא ההצגה ההומוגנית היחידה שבה המשקל של כל שחקן אפס הוא 0.
מחוזות גינאה המשוונית
מבחינה מנהלית גינאה המשוונית מחולקת ל-2 מחוזות (region) ו-8 פרובינציות.
תקלה היימנות, מלך גוג'אם
אבא נאמן
אַבָּא נֶאֱמָן (נֶיְמָן, י"ח באדר תרל"ב, 1872, ליטא, האימפריה הרוסית – 20 בנובמבר 1960, א' בכסלו תשכ"א, תל אביב) היה תעשיין וממציא ארץ-ישראלי, ממייסדי תל אביב.
קורות חייו.