ניתן להוסיף גם את אישושי תאוריית המפץ הגדול כאישושים לתורת היחסות הכללית וזאת משום שהתפשטות היקום ותחילת היקום מנקודה סינגולרית (המפץ הגדול) הן פתרונות של תורת היחסות הכללית (פתרון פרידמן).
לתורת היחסות הכללית היו השלכות משמעותיות על הקוסמולוגיה וחקר התפתחות היקום. אמנם גם תורת הכבידה של ניוטון חוזה את עיקומו של אור בשדה כבידה, כי ניוטון האמין שאור הוא חלקיקי; אך תורת איינשטיין חזתה עיקום גדול פי 2, וזאת כיוון שלא רק המרחב מתעקם סביב מסה, אלא גם הזמן.
מדידה עקיפה של גלי כבידה (1974).
הולס, טיילור ווייסברג מדדו ב-1974 עליה בתדירות הסיבוב של צמד כוכבי נייטרונים, דבר היכול להעיד בעקיפין על מערכת המאבדת אנרגיה באמצעות פליטתה כגלי כבידה. עצם קיומם של גלי כבידה הוא תחזית של תורת היחסות הכללית - בכבידה ניוטונית אין גלי כבידה כי הכבידה אינה שדה דינמי המתעדכן במהירות האור - וגם קצב איבוד האנרגיה במערכת זו (ומערכות דומות נוספות מאז) התאים לתחזית ע"פ תורת היחסות הכללית.
מדידה ישירה של גלי כבידה (2016).
בפברואר 2016 הודיעו מדענים כי מדדו באופן ישיר גלי כבידה, באמצעות אינטרפרומטר LIGO. בריצת התצפית הראשונה (O1) של הגלאים נמדדו שלושה אירועים של התמזגות זוגות חורים שחורים, כאשר גלי הכבידה מתאימים לצפוי ע"פ תורת היחסות הכללית.
נצפו גלי כבידה בעוד שלשה אירועים שונים במתקן LIGO. כמו כן סוכנות החלל האירופית אישרה את תוכנית LISA, לפיה יבנה אינטרפרומטר המורכב משלש גשושיות בחלל, במרחקים של 2.5 מיליון קילומטרים זו מזו, ויאפשר החל מ-2034 יכולות תצפית רגישות יותר בגלי כבידה.
ראו גם.
פיזיקה - רקע:
פיזיקה - יישומים:
מתמטיקה:
פונקציה
במתמטיקה, פוּנְקְצִיָּה (נקראת גם העתקה) היא התאמה, המשייכת לכל איבר בקבוצה אחת, איבר יחיד בקבוצה שנייה. זהו מושג כללי ביותר, המופיע בכל תחומי המדעים המדויקים, וגם מחוץ להם. הפונקציה משמשת בין השאר ככלי לבטא תלות בין משתנים (מצב בו שני משתנים תלויים זה בזה) וככזו מאפשרת הצגה פורמלית של אופי התלות בין גדלים שונים בתחומי המדע, ההנדסה והכלכלה.
הגדרה פורמלית.
פונקציה מקבוצה formula_1 לקבוצה formula_2 היא אוסף של זוגות סדורים, כך שלכל איבר x ב־X יש איבר יחיד y ב־Y שעבורו הסוג הסדור (x,y) שייך לאוסף. הסימון formula_3 פירושו ש־formula_4 היא פונקציה מ־X ל־Y.
הקבוצה formula_1 היא התחום של הפונקציה. זוהי קבוצת כל האיברים עליהם הפונקציה מוגדרת. הקבוצה formula_2 קרויה טווח הפונקציה. זוהי קבוצת כל האיברים שהפונקציה יכולה להתאים לאיבר מ־formula_1. אומרים שהפונקציה "קולטת" איברים מהתחום formula_1 ו"מחזירה" איברים מהטווח formula_2. המונח "ערכים שהפונקציה מקבלת" מתייחס בעיקר לערכים שהיא מחזירה, אם כי אפשר לפרש אותו גם כערכים שהיא קולטת.
מבחינה פורמלית פונקציה formula_4 היא תת־קבוצה של המכפלה הקרטזית formula_11 (כלומר קבוצה של זוגות סדורים שהאיבר הראשון בכל זוג הוא מ־formula_1 והשני מ־formula_2) שמקיימת את שני התנאים הבאים:
קבוצת הזוגות הסדורים המרכיבה את formula_4 קרויה גרף הפונקציה. זאת משום שבמקרה הפרטי של פונקציות ממשיות ניתן לתאר אותה באופן ויזואלי כגרף במערכת צירים קרטזית.
מסמנים formula_23 אם ורק אם formula_16. במקרה כזה האיבר formula_25 קרוי התמונה (או הדמות) של formula_26, ו־formula_26 קרוי מקור של formula_25 (אך לא המקור שכן ייתכנו כמה מקורות לאיבר מסוים. אם קיים לכל איבר מקור יחיד, נאמר שהפונקציה חד־חד־ערכית). התנאי הראשון מבטיח שלכל formula_26 ב־formula_1 יש תמונה. התנאי השני מבטיח שתמונה זו היא יחידה. יחס שהוא גם חד ערכי וגם מלא נקרא פונקציה.
אם מוותרים על התנאי הראשון (לא לכל איבר יש בהכרח תמונה) אז מתקבלת פונקציה חלקית, ואם מוותרים על התנאי השני (ייתכנו איברים עם יותר מתמונה אחת) מתקבלת פונקציה מרובה. אם מוותרים על שני התנאים יחדיו מתקבל יחס במובנו הכללי.
שתי פונקציות formula_31, עם אותו תחום וטווח (פורמלית אין צורך להניח כי יש להן את אותו טווח, רק אותו תחום), מוגדרות כשוות רק כאשר formula_32 לכל formula_33.
לכל formula_34 (תת־קבוצה כלשהי של formula_1) הקבוצה formula_36 (לפעמים מסומנת גם formula_37) היא תת־קבוצה של formula_2 המוגדרת: formula_39. כלומר זוהי התת־קבוצה של formula_2 הכוללת את כל האיברים שהם תמונות של איברי formula_41. אומרים על formula_36 שהיא התמונה של formula_41. בפרט, הקבוצה formula_44 הכוללת את כל האיברים ב־formula_2 שהם תמונה של איבר כלשהו ב־formula_1, נקראת התמונה של הפונקציה formula_4 ומסומנת לעיתים formula_48 או formula_49.
לכל formula_50 הקבוצה formula_51 היא תת־קבוצה של formula_1 המוגדרת: formula_53. כלומר זוהי התת־קבוצה של formula_1 הכוללת את כל האיברים שהתמונה שלהם היא איבר ב־formula_41. אומרים על formula_51 שהיא המקור של formula_41.
אם formula_58 היא פונקציה, ו־formula_34, אז הפונקציה formula_60 המוגדרת formula_61, נקראת הצמצום של formula_4 ל־formula_41. זוהי הפונקציה שזהה לפונקציה formula_4, רק שתחומה הוא formula_41.
תכונות של תמונות ומקורות.
לכל איבר ב־formula_1 יש תמונה יחידה, אבל לאיבר ב־formula_2 יכולים להיות כמה מקורות או אף מקור בכלל. לכן באופן כללי לא תמיד מתקיים formula_68 או formula_69. היחסים הבאים תמיד מתקיימים:
תכונות של פונקציות.
בתחומים שונים של המתמטיקה חוקרים ומתעניינים בתכונות שונות ומגוונות של פונקציות. על פי רוב מדובר בתכונות הקשורות במבנה המוגדר על התחום או הטווח של הפונקציה (למשל רציפות של פונקציות ממשיות ושימור מרחק של איזומטריות). עם זאת ישנן מספר תכונות כלליות של פונקציות שאינן תלויות כלל במבנה של הקבוצות עליהן הן מוגדרות.
מקרים בסיסיים.
להלן דוגמאות לפונקציות בסיסיות המוגדרות באופן כללי לקבוצות ללא תלות במבנה מסוים.
פונקציית הזהות.
פונקציית הזהות על קבוצה formula_1 היא פונקציה formula_106 המוגדרת formula_107 לכל formula_14. כאשר רוצים להדגיש שמדובר בפונקציית הזהות של קבוצה מסוימת formula_1 מסמנים את הפונקציה כ־formula_110. פונקציית הזהות היא פונקציה חד־חד־ערכית ועל (ולכן גם תמורה). כל איבר ב־formula_1 הוא נקודת שבת שלה. הפונקציה ההופכית שלה היא היא עצמה (formula_112). פונקציית הזהות היא איבר היחידה ביחס להרכבת פונקציות (כמפורט בהמשך). היא משמשת כדי להראות שכל קבוצה שקולה לעצמה.
הפונקציה הריקה.
הפונקציה הריקה לקבוצה formula_2 היא הפונקציה היחידה formula_114. כלומר זוהי הפונקציה היחידה מהקבוצה הריקה לקבוצה כלשהי formula_2. מכיוון שבקבוצה הריקה אין איברים, הפונקציה לא קולטת שום איבר ואינה מחזירה אף איבר. הפונקציה מקיימת את התנאים שבהגדרת הפונקציה באופן ריק. הפונקציה היא חד־חד־ערכית (באופן ריק), אך אינה על, למעט במקרה formula_116.
פונקציה קבועה.
פונקציה formula_58 שמקיימת שלכל formula_118 מתקיים formula_119 נקראת פונקציה קבועה. הפונקציה הריקה היא קבועה באופן ריק. אם formula_4 היא פונקציה קבועה שאינה הפונקציה הריקה, אז קיים formula_121 כך שלכל formula_14 מתקיים formula_123 (ואז מסמנים formula_124). אם formula_1 אינה ריקה ואינה יחידון, אז אף פונקציה קבועה ממנה אינה חד־חד־ערכית (לעומת זאת כל פונקציה מיחידון היא חד־חד־ערכית). אם formula_2 אינה ריקה ואינה יחידון, אז פונקציה קבועה אליה אינה על.
פונקציה מציינת.
פונקציה formula_127 נקראת פונקציה מציינת של תת־קבוצה formula_34 אם לכל formula_14 מתקיים:
כלומר זאת פונקציה שמחזירה formula_131 לכל איבר של formula_41, ומחזירה formula_133 לכל איבר שאינו ב־formula_41.
הפונקציה המציינת מסומנת גם formula_135.
פונקציה formula_136־מקומית.
פונקציה formula_136־מקומית או פעולה formula_136־ארית היא פונקציה מהצורה formula_139. כאשר formula_140 היא קבוצת ה־n־יות הסדורות של איברי formula_1. כאשר רושמים את התמונה של פונקציה formula_136־מקומית מקובל להשמיט את הסוגריים של ה־formula_136־יה הסדורה. כלומר רושמים formula_144 במקום formula_145.
פונקציה formula_131־מקומית נקראת גם פעולה אונארית. זוהי פשוט פונקציה formula_99 רגילה.
המקרה החשוב ביותר הוא של פונקציה formula_148־מקומית, הקרויה גם פעולה בינארית. זוהי פעולה המתאימה לכל זוג סדור של איברים בקבוצה, איבר בקבוצה. הדוגמאות המוכרות ביותר לפעולות בינאריות הן ארבע פעולות החשבון המוגדרות על קבוצות של מספרים. במקרה כזה נהוג להחליף את הסימון הסטנדרטי לתמונת הפונקציה בסימן פעולה שמופיע בין איברי הזוג. במקום לסמן formula_149 מסמנים formula_150 כאשר formula_151 הוא סימן מוסכם כלשהו שמסמן את פעולת formula_4.
פונקציה formula_153־מקומית נקראת פעולה טרינארית.
הרכבת פונקציות.
על קבוצה של פונקציות ניתן להגדיר פעולה בינארית בסיסית הקרויה הרכבת פונקציות. בהינתן פונקציה formula_58 ופונקציה formula_155, מגדירים את ההרכבה שלהן formula_156 בתור פונקציה formula_157 המוגדרת לכל formula_14 בתור formula_159. כלומר תוצאת ההרכבה היא פונקציה המוגדרת על ידי הפעלת formula_4 על איבר ועל התמונה המתקבלת מפעילים את formula_161. הרכבת פונקציות אינה פעולה קומוטטיבית (לרוב formula_162 גם אם שני האגפים מוגדרים). עם זאת, זוהי פעולה אסוציאטיבית (כאשר יש שרשרת של פעולות הרכבה בזו אחרי זו, ניתן להוסיף בתוכה סוגריים היכן שרוצים בלי לשנות את התוצאה).