בהינתן חבורה formula_1 ותת חבורה נורמלית formula_130, יש התאמה חח"ע ועל בין תת-החבורות של formula_1 שמכילות את formula_2, לבין תת-החבורות של חבורת המנה formula_3. כלומר, אם נסמן formula_134 ו-formula_135, אז יש התאמה חח"ע ועל formula_136, והיא נתונה על ידי formula_137 לכל formula_138.
המגיד מדובנא
מקס פלאנק
מקס קרל ארנסט לודוויג פלאנק (בגרמנית: Max Karl Ernst Ludwig Planck; 23 באפריל 1858 – 4 באוקטובר 1947) היה פיזיקאי גרמני, זוכה פרס נובל לפיזיקה ב-1918 על גילוי קוונט האנרגיה. נחשב לאחד מאבות מכניקת הקוונטים בשל גילוי זה, שבו השתמש כדי להסביר את ספקטרום הקרינה של "גוף שחור".
קורות חייו.
פלאנק נולד בקיל שבצפון גרמניה, הצעיר מבין שישה ילדים. כשהיה בן 9 עברה משפחתו למינכן. כבר בגיל צעיר התגלה כישרונו במדעים מדויקים, ואחד ממוריו, הרמן מילר, עודד את הצעיר ולימד אותו אסטרונומיה, מכניקה ומתמטיקה. פלאנק סיים את לימודיו בתיכון מוקדם מהרגיל, בגיל 17. הוא התעניין גם במוזיקה, ולמד שירה ונגינה בפסנתר, באורגן ובצ'לו ואף חיבר מספר שירים ואופרות.
בשנת 1874 החל פלאנק ללמוד פיזיקה באוניברסיטת מינכן. בתחילה התמקד במחקר ובניסויים בפעפוע של מימן דרך פלטינה מחוממת, אך במהרה עבר לעסוק במחקר בפיזיקה תאורטית. ב-1877 עבר לברלין כדי ללמוד אצל הפיזיקאים הרמן פון הלמהולץ וגוסטב קירכהוף והמתמטיקאי קארל ויירשטראס. הוא סיים את עבודת הדוקטורט ב-1879: "על הטענה היסודית השנייה על מכניקה של חום" (בגרמנית: Über den zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie). פלאנק חזר למינכן, ובשנים 1880–1885 עבד כמרצה ובמקביל ערך מחקרים בתרמודינמיקה, ואף העלה, באופן בלתי תלוי, טענות דומות לאלו של ג'וסיה וילארד גיבס. בהמשך עבר לאוניברסיטת קיל ומונה לפרופסור זוטר לפיזיקה תאורטית. בקיל עסק בעיקר בתאוריות הקשורות לאנטרופיה, ובמיוחד ביישומיה בכימיה פיזיקלית. כמו כן הציע ביסוס תרמודינמי לתאוריה של סוונטה אוגוסט ארהניוס על הפרדה אלקטרוליטית.
בשנת 1889 מונה לממשיכו של קירכהוף באוניברסיטת ברלין, ושלוש שנים לאחר מכן מונה לפרופסור מן המניין. ב-1907 קיבל הצעה להחליף את לודוויג בולצמן בווינה, אך דחה אותה ונשאר בברלין. הוא הצטרף לקהילת הפיזיקאים הגרמנים, ולזכותו נזקף איחוד קהילות הפיזיקאים המקומיות בגרמניה לגוף אחד: "החברה הגרמנית לפיזיקה" (Deutsche Physikalische Gesellschaft, DPG), שאף כיהן כנשיאה בשנים 1905 - 1909. לאורך השנים היה מנחה של סטודנטים במחקר, בהם שני זוכי פרס נובל לפיזיקה, מקס פון לאואה וולתר בותה. פלאנק פרש מעבודתו באוניברסיטת ברלין בשנת 1926, וכמחליפו מונה ארווין שרדינגר.
ב-1886 נשא לאישה את מרי מרק (Merck), אחות חברו לספסל הלימודים. לזוג נולדו ארבעה ילדים, קרל (1888), התאומות אמה וגרטה (1889) וארווין (1893). ביתם של הזוג פלאנק היה למוקד חברתי של מדעני ברלין בני התקופה, ועם חבריהם נמנו אלברט איינשטיין, אוטו האן, ליזה מייטנר ואדולף פון הרנאק. ביולי 1909 נפטרה אשתו, ושנתיים מאוחר יותר נישא למרגה פון הסלין, שילדה את בנו הרמן ב-1911. טרגדיות נוספות פקדו את משפחתו: בנו הבכור, קרל, נהרג במלחמת העולם הראשונה (1916), ובנו ארווין נשבה על ידי צבא צרפת באותה מלחמה; בתו גרטה נפטרה בעת שילדה את בתה הבכורה ב-1917, ואחותה התאומה נפטרה בנסיבות דומות שנתיים מאוחר יותר; בנו ארווין הוצא להורג ב-1945 על ידי הנאצים, על חלקו בניסיון ההתנקשות בחיי אדולף היטלר שנה קודם לכן.
במהלך מלחמת העולם השנייה הופצצה ברלין קשות, ופלאנק עבר עם משפחתו לאזור כפרי מרוחק. בפברואר 1942 הופצץ ביתו מהאוויר ונחרב כליל, ומרבית רשימותיו המדעיות ומכתבים ששמר אבדו. מאוחר יותר עברה המשפחה לגטינגן, שם נפטר בגיל 89.
עבודתו.
בשנת 1894 החל פלאנק לעסוק בקרינת גוף שחור, בעזרת מימון מחברות חשמל שקיוו כי יגלה איך ניתן לצמצם את צריכת האנרגיה בהפקת אור מנורות. הבעיה הוצגה ב-1859 על ידי קירכהוף כך: כיצד תלויה עוצמת קרינה אלקטרומגנטית הנפלטת מגוף שחור בתדירות הקרינה ובטמפרטורה של הגוף? פלאנק הציע פתרון לבעיה ב-1899, שבו הסתמך על התוצאות האמפיריות של חוק וין, וקרא לו בשם חוק וין-פלאנק. די מהר הסתבר שתוצאות הניסויים סתרו את החוק. פלאנק התגבר על תסכולו וניסח את הגרסה הראשונה של "חוק פלאנק לקרינת גוף שחור", המסביר את ספקטרום הקרינה של גוף באורכי גל שונים. הוא הציג את החוק לראשונה ב-19 באוקטובר 1900 בפגישה של ה-DPG, ופרסמו לבסוף ב-1901. בגרסה זו עדיין לא השתמש בהסבר הקוונטי ובמכניקה סטטיסטית. רק בנובמבר 1900 הוסיף את הפרשנות הסטטיסטית של לודוויג בולצמן לחוק השני של התרמודינמיקה. בבסיס הניסוח החדש, שגם הוצג לראשונה בכנס אחר של ה-DPG, הייתה ההשערה כי אנרגיה אלקטרומגנטית יכולה להיפלט אך ורק במכפלות של היחידה הבסיסית: E = hν, כאשר h הוא קבוע פלאנק ו-ν הוא תדירות הקרינה. בעזרת קבוע פלאנק הוא גם הגדיר מערכת חדשה של יחידות מידה בשם יחידות פלאנק.
בתחילה החשיב פלאנק את הקוונטיזציה (כימות) כ"הנחה פורמלית בלבד" ולא הקדיש לה מחשבה רבה, אך כיום נחשבת הנחה זו לבסיסה של מכניקת הקוונטים ולהישגו הגדול ביותר של פלאנק (על אף שבולצמן העלה את הרעיון כי מצבי האנרגיה של מערכת פיזיקלית הם בדידים עוד לפניו, במאמר משנת 1877). פירוש מלא יותר להשלכות המרעישות של עבודתו של פלאנק ניתן על ידי אלברט איינשטיין ב-1905, והיו אף שטענו (בהם הפילוסוף תומאס קון) כי איינשטיין היה צריך לקבל קרדיט גדול ממנו על הגילוי. פלאנק זכה בפרס נובל על גילוי זה ב-1918.
בשנים שלאחר מכן ניסה פלאנק לעמוד על מלוא המשמעות של קוונט האנרגיה. הקהילה המדעית התייחסה אליו בחשדנות, ומדענים שעסקו אף הם בבעיית הקרינה של גוף שחור, ג'ון ויליאם סטראט ריילי, ג'יימס ג'ינס והנדריק לורנץ, סירבו לקבל את ההשלכות של הקבוע שהוסיף פלאנק, וקבעו את ערכו כך שיתאפס וישתלב בכך עם הפיזיקה הקלאסית.
בשנת הפלאות (1905) פרסם אלברט איינשטיין, עד אז מדען אלמוני, את ארבעת מאמריו פורצי הדרך. פלאנק היה מהבודדים שזיהו מיד את חשיבותה של התאוריה שהציג איינשטיין על תורת היחסות הפרטית, ועזר להפצתה בגרמניה. אולם השערתו של איינשטיין בדבר האפקט הפוטואלקטרי נדחתה על ידי פלאנק בתחילה. הוא סירב להתנער מהתאוריה המקובלת של מקסוול. ב-1910 הצביע איינשטיין על התנהגות חריגה של קיבול חום בטמפרטורות נמוכות במיוחד כדוגמה נוספת לתופעה שאינה מוסברת על ידי הפיזיקה הקלאסית. שנה מאוחר יותר ארגנו פלאנק וולטר נרנסט כנס בבריסל, כדי להבהיר ולפתור את הסתירות שהצטברו בין הפיזיקה הקלאסית והמודלים החדשים שהוצעו. בכנס זה הצליח איינשטיין לשכנע את פלאנק בתקפותן של התאוריות שלו. באותה תקופה קיבל פלאנק מינוי כדיקן אוניברסיטת ברלין, וניצל את השפעתו כדי להשיג לאיינשטיין מינוי במוסד (1914). השניים החלו בשיתוף פעולה פורה ואף הפכו לחברים קרובים.
בסוף שנות ה-20 ניסחו נילס בוהר ותלמידיו ורנר הייזנברג ווולפגנג פאולי את פרשנות קופנהגן, שנדחתה על ידי מדענים רבים, לרבות פלאנק, שחשש כי תורת הגלים ומשוואת שרדינגר ידחקו את רגליה של מכניקת הקוונטים.
פוליטיקה.
בימים לאחר פרוץ מלחמת העולם הראשונה נתן פלאנק את שמו למנשר התשעים ושלושה, שהכחיש את הטענות שגרמניה פתחה במלחמה, הפרה את הנייטרליות וביצעה פשעי מלחמה, ללא שידע את נוסח המנשר, אולם במהרה התחרט על כך. הוא הדגיש את הצדדים החיוביים של המלחמה, כמו האחדות של כל המפלגות בגרמניה והתבטא שהוא גאה להיות גרמני בתקופה כזאת. בתחילת 1915, כאשר וילהלם וין הוציא מנשר שקרא להחרמת כתבי עת בריטיים בטענה שהבריטים גנבו גילויים של מדענים גרמניים וערבבו אמת ושקר, סירב פלאנק לחתום עליו מכיוון שראה בו הצהרה חסרת תועלת, הגם שהסכים עם תוכנו. בהמשך 1915, בהשפעת הנדריק לורנץ, החל פלאנק לשנות את עמדותיו. במרץ 1915 הביע בשיחות פרטיות חרטה על חתימתו על מנשר התשעים ושלושה, והסביר שחתם רק מפני שראה בה מלחמה על קיומה של גרמניה, ורצה לשמור על האחדות הגרמנית. בתחילת 1916 כתב ללורנץ מכתב הסבר על מנשר התשעים ושלושה שבו כתב שהוא אינו עומד מאחרי כל מעשה של הצבא הגרמני. ביוני 1915 סירב לחתום על קריאה של 1,347 אנשי אקדמיה לסיפוח שטחים במערב ובמזרח לגרמניה. במקום זאת חתם על מנשר נגדי שקרא לגבולות בני הגנה אך לא על ידי סיפוח, וכן לרפורמות פנימיות בגרמניה.
בשנים שלאחר מלחמת העולם הראשונה החזיק פלאנק במספר משרות בכירות במוסדות הפיזיקה של גרמניה: אוניברסיטת ברלין, האקדמיה הפרוסית למדעים, DPS (החברה הגרמנית למדעים) ומכון הקייזר וילהלם (כיום מכון מקס פלאנק). ב-1920 הקים, יחד עם פריץ הבר, קרן שמטרתה לתמוך במחקרים שהתקשו להשיג מימון. תפקידיו הרבים בתקופה זו גזלו את מלוא זמנו והוא כמעט ולא עסק במחקר. הוא אף הצטרף כחבר למפלגת העם הגרמנית, מפלגה לאומית-ליברלית שהקים גוסטב שטרזמן.