קיימים גם סיבים הקרויים סיבי פורקינייה (Purkinje Fibers) שתפקידם הוא להעביר את הזרם החשמלי לאורך שריר הלב בחדרים על מנת שהזרם יגיע בצורה מסודרת לכל דפנות החדרים, כאשר האות החשמלי שמגיע מהם מתפזר לתוך עובי שריר הלב.
אם יש כשל לבבי, גם סיבי פורקינייה מסוגלים לייצר קצב פעימות משלהם, שהוא 20–40 פעימות בדקה, רק כאשר הקוצבים אינם פועלים.
ויסות פעימות הלב.
קצב האותות החשמליים נקבע על ידי הורמונים שאותם משחרר הגוף אל זרם הדם. בזמן פעילות גופנית, למשל, משחרר הלב הורמונים הגורמים לו להתכווץ מספר פעמים רב יותר, כדי לספק לשרירים את החמצן לו הם זקוקים בזמן מאמץ. לעיתים פועם הלב בעוצמה גם כאשר מתרגשים או פוחדים, תופעה שנגרמת בשל שחרור ההורמון אדרנלין, שחלק מהשפעותיו הן הגברת קצב פעימות הלב. ישנם אנשים שהקוצב הטבעי בגופם אינו מתפקד כראוי ויש צורך להשתיל בגופם קוצב לב מלאכותי, שמתזמן את התכווצויות לבם.
מחזור הדם.
מחזור הדם מחולק לשניים:
מחזור הדם הקטן
מחזור הדם הגדול
הלב אצל בעלי חיים אחרים.
לבם של רוב היונקים דומה מאוד במבנהו ותפקודו ללב האנושי. גם לבם של העופות מורכב מארבעה מדורים, לדגים, לעומת זאת, יש לב בעל שני מדורים. בחינת לבם של בעלי חיים שונים מציגה את השלבים השונים בהתפתחות האבולוציה של הלב: ממערכות פרימיטיביות של הנעת נוזלים דרך מבנה צינורי בעזרת שערות נעות, דרך כלי דם עשויים רקמת שריר, לבבות בעלי שני מדורים ושלושה מדורים ועד ללבבות בעלי ארבעה מדורים.
בהכללה, ככל שבעל החיים קטן יותר כך ליבו פועם בתדירות רבה יותר (גם בין צאצא ובוגר מאותו המין). ליבו של לווייתן (היונק הגדול ביותר) פועם 9 פעמים בדקה, של פיל 25 פעמים בדקה, של אדם כ-70 פעמים בדקה, אצל עכבר כ-500 פעמים בדקה וכדומה. קיים יחס הפוך בין קצב פעימות הלב לבין תוחלת החיים הכללית של בעל החיים. ככל שקצב הפעימות גדול יותר, כך תוחלת החיים קצרה יותר.
שיטת ניוטון-רפסון
שיטת ניוטון-רפסון (או כלל ניוטון) היא אלגוריתם יעיל באנליזה נומרית, למציאת שורשים של פונקציה ממשית כלשהי, דהיינו נקודות בהן הפונקציה מתאפסת. השיטה פותחה באופן בלתי תלוי בידי אייזק ניוטון וג'וזף רפסון.
תיאור.
השיטה מבוססת על הרעיון הבא: בהינתן פונקציה שאת השורש שלה אנחנו מחפשים, ואנו מגבילים את עצמנו לתחום בו יש לפונקציה רק שורש אחד, אם נבחר נקודה קרובה לשורש, השורש של המשיק לפונקציה באותה נקודה יהיה קרוב יותר לשורש שאנו מחפשים. בכל איטרציה של הלולאה, יתקבל קירוב טוב יותר ויותר.
סדר הפעולות בשיטת ניוטון רפסון הוא:
אם בחירת הנקודה ההתחלתית הייתה טובה, הנקודה החדשה שהתקבלה קרובה יותר ממנה לשורש, ויש לחזור על התהליך עם הנקודה החדשה כנקודת ההתחלה. אם לא, הנקודה המתקבלת תחרוג מהתחום הנידון. תחת תנאים מסוימים ניתן להבטיח שהשיטה תעבוד היטב, גם עבור נקודות התחלתיות רחוקות מאוד מהשורש.
ניסוח מתמטי.
תהי formula_1 פונקציה גזירה בקטע formula_2. נתחיל את האיטרציה מהנקודה formula_3. שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו הוא formula_4.
אם כך, אנחנו מחפשים את משוואת הישר שעובר דרך הנקודה formula_5 ושיפועו formula_4. זהו למעשה הקירוב הליניארי לפונקציה formula_7 בנקודה formula_3. על פי הגאומטריה האנליטית נקבל שמשוואה זו היא formula_9. מאחר שאנו מחפשים את החיתוך של ישר זה עם ציר formula_10, נציב formula_11 ונקבל, לאחר העברת אגפים:
formula_12
כאשר formula_13 הוא נקודת החיתוך המבוקשת.
נסתכל כעת בסדרה formula_14 המוגדרת רקורסיבית על ידי
formula_15
סדרה זו מתכנסת לשורש המבוקש, בהינתן בחירה מתאימה של formula_3.
דוגמאות.
נראה כיצד ניתן להשתמש בשיטה זו כדי לחשב בקלות שורשים. נניח כי אנו רוצים לחשב את formula_17 עבור formula_18 כלשהו. מספר זה הוא השורש החיובי של הפונקציה
formula_19. נגזור ונקבל formula_20. בתור אבר ראשון באיטרציה נבחר את formula_21 עצמו (ניתן להוכיח כי בבחירה זו מובטח שהשיטה תיתן את הפתרון). כלומר, נביט בסדרה formula_14 המוגדרת כך:
formula_23
formula_24
בעזרת משוואה זו, ניתן לחשב תוך לכל היותר 10 איטרציות ערך מדויק עד 10 ספרות אחרי הנקודה של כל מספר עד 1,000. במספר איטרציות גדול יותר, השיטה עובדת עבור כל מספר ממשי חיובי.
נדגים עבור formula_25:
formula_26
formula_27
formula_28
formula_29
formula_30
בתוך ארבע איטרציות הושג דיוק של 10 ספרות אחרי הנקודה. לפעמים נוח יותר להוציא גורם משותף של חצי, ולהתייחס לחישוב כאל ממוצע בין שני ערכים, דבר שגם מסביר אינטואיטיבית את החישוב.
דוגמה נוספת, מעט יותר מסובכת: formula_31:
הנגזרת היא: formula_32.
נסמן: formula_26
formula_34
formula_35
formula_36
formula_37
ושוב, לאחר ארבע איטרציות בלבד הושג דיוק של 10 ספרות אחרי הנקודה.
התכנסות.
עבור פונקציות מסוימות, ניתן להוכיח ששיטת ניוטון-רפסון תתכנס לפתרון המבוקש, בהתחשב בנגזרת הראשונה והשנייה:
תהא formula_38 גזירה פעמיים ברציפות בקטע formula_2, יש לה שורש יחיד בקטע זה - formula_40, ונניח שהנגזרת והנגזרת השנייה אינן משנות סימן בקטע. אם כל הערכים formula_41 הם חיוביים, או ששניים מהם שליליים והשלישי חיובי, אז האיטרציה מתכנסת לפתרון.
במקרים אלו ניתן גם לתחום את גודל השגיאה, על ידי אי השוויון
formula_42
כאשר
&lt;math&gt;M=\sup_{a&lt;x.
הוכחה.
ההוכחה מתבססת על שימוש בטור טיילור מסדר שני. נראה אותה עבור המקרה הראשון - עבור שאר המקרים הרעיון זהה.
חלק א: הוכחת התכנסות.
תהי formula_14 הסדרה המתקבלת מאיטרצית ניוטון. נניח כי formula_44. כעת נפתח את טור טיילור של formula_45 סביב formula_46, עם טעות מסדר שני:
formula_47
formula_48
כעת נשתמש בהגדרת הסדרה formula_14 ונקבל:
formula_50
נעביר אגפים:
formula_51
כעת נזכור כי על פי הנתון formula_52 ולכן הביטוי באגף ימין חיובי. מכאן כי גם הביטוי באגף שמאל חייב להיות חיובי. על פי הנתון, formula_53 ולכן בהכרח מתקיים:
formula_54 כלומר formula_55
הראינו שהסדרה חסומה מלרע על ידי formula_56. כעת נראה שזו סדרה יורדת: על פי הנוסחה ידוע כי formula_57. הנגזרת חיובית, כלומר הפונקציה עולה בקטע, ומאחר ש-formula_44 הרי ש-formula_59 ולכן formula_60 ומכאן שמתקיים formula_61. הראינו שהסדרה יורדת.
משפט בסיסי באנליזה קובע כי סדרה יורדת וחסומה מלרע מתכנסת לגבול. אם כן, נסמן formula_62. אז מתקיים: formula_63 ולכן formula_64 ונקבל מיידית formula_65. מכיוון ש-formula_40 הוא השורש היחיד בקטע, formula_67. הראינו שהסדרה מתכנסת אל השורש המבוקש.
חלק ב': הוכחת הערכת השגיאה.
נפתח הפעם את טור טיילור של formula_68 סביב הנקודה formula_46:
formula_70
formula_71
formula_72
כעת, לפי משפט הערך הממוצע של לגראנז' קיימת formula_73 המקיימת:
formula_74 וקיבלנו:
formula_75. כעת נציב את formula_76:
formula_77.
ובכך הושלמה ההוכחה.
הכללות.
לממדים גבוהים.
בשנת 1879 פרסם המתמטיקאי ארתור קיילי לראשונה הכללה של השיטה לפונקציות מרוכבות.
בדומה, ניתן להכליל את השיטה גם לשדות סקלריים, באמצעות כלל הנסיגה,
formula_78
כאשר formula_79 הוא מטריצת יעקבי של formula_45 בנקודה formula_81.
לאופטימיזציה.
במקרים רבים, אופטימיזציה מצריכה מציאת נגזרת של פונקציה והשוואתה לאפס. דרך אחת לבצע זאת היא על ידי שיטת ניוטון-רפסון לנגזרת. במילים אחרות, תחת קיומה של נגזרת שנייה ל-formula_45 ותנאים טכניים נוספים, הסדרה שמוגדרת על ידי כלל הנסיגה
formula_83
מתכנסת לנקודת קיצון של formula_45.
קיימת הרחבה גם של שיטה זו לממדים גבוהים יותר.
השוואה לשיטות אחרות.
יתרונה הגדול של שיטת ניוטון-רפסון הוא סדר ההתכנסות הריבועי. חסרונותיה העיקריים:
כדי להתגבר על החסרון הראשון, משתמשים לעיתים בשיטה אחרת, המבטיחה התכנסות (למשל שיטת החצייה), כדי להגיע לסביבת השורש, ושם מפעילים את שיטת ניוטון-רפסון. אם לא ניתן לחשב את הנגזרת, או שחישוב הנגזרת גוזל משאבי חישוב, משתמשים בשיטת המיתר, שסדר ההתכנסות שלה הוא קרוב לזה של שיטת ניוטון-רפסון.
אם השורש הוא בעל ריבוי גדול מ-1, השיטה תתכנס, אך קצב ההתכנסות לא יהיה ריבועי, אלא ליניארי (סדר ההתכנסות הוא 1). אם השורש הוא מסדר formula_85 השיטה האיטרטיבית המוגדרת על ידי formula_86 תתכנס, וקצב ההתכנסות יהיה ריבועי.
דלקת ריאות
דלקת ריאות (בלועזית: נמוניה, Pneumonia) היא מחלה זיהומית של הריאות. זוהי מחלה נפוצה אשר יכולה להופיע בכל הגילים. דלקת ריאות מביאה בדרך כלל לבעיות כגון קשיי נשימה, חום, כאבי חזה ושיעול. המחלה נגרמת כתוצאה מחדירת אורגניזמים מזהמים והרס של רקמת הריאה מכך שאזורים בריאה אשר סופגים חמצן (נאדיות הריאה) מתמלאים בנוזל דלקתי ולא מסוגלים לעבוד ביעילות. דלקת ריאות נגרמת כתוצאה ממחוללים שונים, כגון חיידקים, נגיפים, פטריות וטפילים. ניתן לאבחן דלקת ריאות על בסיס תסמינים קליניים ובדיקה פיזיקלית של המטופל בלבד, על ידי ביצוע צילום חזה, בדיקת כיח ובדיקות נוספות. במקרים קשים יותר, חלק מהמטופלים נזקקים לאשפוז בבית החולים, והטיפול במרבית המקרים הוא אנטיביוטי. סוגים שונים של דלקת ריאות ניתנים למניעה על ידי חיסון ספציפי.
תסמינים קליניים.
דלקת ריאות עלולה להופיע עם הסימנים והתסמינים הקליניים הבאים:
תסמינים וסימנים פחות שכיחים כוללים:
אצל אנשים מבוגרים, ייתכן והתסמינים יכללו מצב בלבולי (שהחמיר או שהתחיל לראשונה) והיפותרמיה.
אצל תינוקות קטנים, התסמינים עלולים לכלול קשיים בהאכלה, צהבת בעור, ישנוניות יתר.
סיבות.