ג'ון צ'ארלס פילדס שנולד בשנת 1863 בהמילטון קנדה היה מתמטיקאי באוניברסיטת טורונטו. בשנים 1919–1924 עמד בראש המכון המלכותי הקנדי שעסק בקידום המדע. בשנת 1931 התקבלה הצעתו לפיה יוקדש פרס מיוחד מטעם הקונגרס הבין-לאומי של המתמטיקאים למתמטיקאים מצטיינים. פילדס לא זכה לראות את הגשמת רעיונו בימי חייו. הוא נפטר ב-9 באוגוסט 1932 ובצוואתו ציווה 47,000 דולר קנדי לקרן הפרס. הפרס ניתן לראשונה בשנת 1936, ומשנת 1950 הוא ניתן באופן סדיר מדי ארבע שנים. מכון פילדס למחקר במדעי המתמטיקה השוכן בקמפוס של אוניברסיטת טורונטו קרוי על שמו.
תנאי הזכייה.
מדליית פילדס כונתה בעבר לעיתים "פרס נובל למתמטיקה" וזאת בזכות היוקרה הרבה שבפרס. עם השקת פרס אבל בשנת 2003, הפך הוא למקבילה לנובל בתחום המתמטיקה שכן הוא בעל מאפיינים דומים יותר לפרס נובל. למדליית פילדס תנאי גיל: הזוכה חייב להיות צעיר מגיל 40 ב-1 בינואר של השנה שבה מוענקת לו המדליה. תנאי זה מנע ממתמטיקאים דגולים רבים את הפרס, לאחר שתרומתם בתחום המתמטיקה זכתה להכרה רק לאחר שהיו מבוגרים מגיל 40. תנאי הגיל מבוסס על רצונו של ג'ון צ'ארלס פילדס כי הפרס יוענק כהכרה לאיכות תרומתו של הזוכה ובה בעת לעודדו להישגים בעתיד. סכום הפרס המוענק לזוכי מדליית פילדס הוא 15,000 דולר קנדי. על זהות הזוכים מחליט גוף בוחר מטעם האיחוד המתמטי הבין-לאומי.
ההשוואה לפרס נובל נולדה ככל הנראה ב-1966, כאשר התקשורת האמריקאית נדרשה לתאר את הפרס במונחים מוכרים. באותה שנה זכה בפרס סטיבן סמייל, שהיה ממנהיגי הפעילות נגד מלחמת וייטנאם באוניברסיטת קליפורניה בברקלי, והוזמן להעיד בפני ועדת מק'ארתי ביום שבו קיבל את הפרס בקונגרס, שהתקיים באותה שנה במוסקבה.
מגבלת הגיל של הפרס מנעה את הענקתו ב-1998 לאנדרו ויילס, שהוכיח את המשפט האחרון של פרמה בגיל 41, אף שלדעת רבים היה ראוי לפרס. תחת זאת, ניתן לו פרס מיוחד בטקס הפתיחה של הכינוס באותה שנה.
מדליית פילדס מוענקת על פריצת דרך חד-פעמית ולעומתה פרס אבל ניתן למתמטיקאים מבוגרים יותר על הישגיהם המצטברים לאורך השנים.
נכון לשנת 2022, אילון לינדנשטראוס הוא הישראלי היחיד שזכה בפרס (2010), מרים מירזחאני היא האשה הראשונה שזכתה בפרס (2014) ומריאנה ויזובסקה היא האשה השנייה שזכתה בפרס (2022).
זוכי מדליית פילדס.
כ-25 אחוז מזוכי המדליה הם ממוצא יהודי.
המדליה.
מדליית פילדס עוצבה על ידי הפסל הקנדי רוברט טייט מקנזי.
בעיית מונטי הול
בעיית מונטי הול או בעיית "עשינו עסק" היא בעיה בתורת ההסתברות שפתרונה אינו אינטואיטיבי. הבעיה מכונה גם "הפרדוקס של מונטי הול".
הבעיה.
הבעיה קרויה על שם שעשועון הטלוויזיה האמריקאי המצליח "Let's Make a Deal " בהנחיית מונטי הול. בסוף התוכנית מציגים בפני השחקן שלוש דלתות. מאחורי אחת מהן מצוי פרס יקר ערך - מכונית - ומאחורי שתי הדלתות האחרות - עזים. השחקן מעדיף כמובן את המכונית, אבל הוא אינו יודע איזו דלת מסתירה אותה, ונאלץ לבחור באקראי. אם יבחר בדלת הנכונה, יזכה בפרס; אחרת, לא יקבל דבר.
וזוהי הבעיה:
ניתוח פשטני של הסיטואציה מציג בפנינו את הדילמה הבאה: מצד אחד, הסיכוי שהשחקן בחר בדלת הנכונה היה 1/3, וברגע הבחירה ברור לו שמבין שתי הדלתות האחרות לפחות אחת מסתירה עז. אם כך, המנחה שפתח דלת לא גילה לשחקן שום דבר שלא ידע מראש, ולכן הסיכוי שהדלת שבחר היא הנכונה צריך, לכאורה, להישאר שליש, כשהיה.
מצד שני, לאחר שהמנחה פתח את הדלת שלו, נותרו שתי דלתות סגורות, ורק אחת מהן מסתירה את הפרס. לכן (אפילו מנקודת המבט של צופה חיצוני, שאינו יודע באיזו דלת בחר השחקן), הסיכויים שהפרס נמצא מאחורי הדלת הנותרת הם 1/2. גישה שלישית טוענת שעל הדלת שהמנחה לא פתח לא למדנו דבר - כך שהסיכוי שלה להסתיר את הפרס היה ונשאר 1/3, והסיכוי של הדלת עליה הצבענו אמור להיות 2/3.
כפי שיוסבר בהמשך, בניסוח הזה אין שום דרך לחשב את הסיכויים הנכונים, ועל כן נתגלו אי-הסכמות בין מי שניסו לחשב אותם בכל זאת. נתבונן בניסוח מדוקדק יותר של הבעיה:
בניסוח הקודם של הבעיה המנחה פותח דלת ומגלה מאחוריה עז, ובניסוח השני מתברר שהוא לא פעל סתם כך, אלא היה מחויב לעשות כן לפי כללי המשחק. מתברר שאבחנה עדינה זו מספיקה כדי שאפשר יהיה לחשב באופן מדויק את הסיכויים לכך שהפרס מסתתר מאחורי הדלת שלא נפתחה: 2/3. בתנאים אלה, בוודאי שעדיף לעבור לדלת השנייה. לכאורה נדמה שזו תוצאה אבסורדית, שכן (כאמור לעיל) על עצם הקיום של דלת מסתירת-עז שלא בחרנו בה, ידענו ממילא, ואם כך מה חידש המנחה? ומה היתרון של השחקן על-פני אורח שהזדמן לאולפן אחרי שהדלת נפתחה (ומבחינתו הסיכויים לכל אחת משתי הדלתות הסגורות שווים)? הסיבה לכדאיות ההחלפה תוסבר בהמשך.
מקורה של הבעיה.
השם "הבעיה של מונטי הול" ניתן לבעיה זו על ידי סטיב סלווין , לאחר שהציג אותה במאמר שפורסם בפברואר 1975 בכתב העת American Statistician , אף שבשעשועון המקורי אין בחירה חוזרת - לאחר שהשחקן בחר באחת משלוש הדלתות, מסתיים הסיפור.
הבעיה הוצגה עוד קודם לכן, בשנת 1959, על ידי מרטין גרדנר, בטורו בירחון Scientific American. אצל גארדנר היא קרויה "בעיית שלושת האסירים" וניסוחה:
בנוסח זה של הבעיה יש מעט פחות עמימות מאשר בנוסח הראשון שלנו ל"בעיה של מונטי הול", אם כי קל לראות ששתי הבעיות שקולות זו לזו. זו בעיה בפסיכולוגיה של סוהרים ויחסי אנוש, ולא בתורת ההסתברות.
לראשונה הופיעה הבעיה עוד בשנת 1889, בספרו של ז'וזף ברטראן Calcul des probabilités.
ניתוח הגרסה הראשונה.
התשובה הנכונה לשאלה בגרסה הראשונה היא שאי אפשר לדעת מה עדיף. כפי שהבעיה מנוסחת שם, המנחה יכול היה שלא לפתוח אף דלת, ואולי אפילו יכול היה לפתוח את הדלת עם הפרס. מכיוון שכך, המנחה יכול להיות משתף פעולה ולהמליץ על החלפה רק אם השחקן טועה (עם מנחה כזה, הסיכויים להצליח בהחלפה הם 100%), או רודף סנסציות שממליץ על החלפה רק אם השחקן צודק (ואז הסיכויים להצליח בהחלפה הם 0).
על ידי מיזוג שתי התכונות האלה, אפשר "לחשב" שהסיכויים להצליח בהחלפת הדלתות הם כל מספר שנרצה. גם כאן, הבעיה הופכת להיות סוגיה בפסיכולוגיה של מנחי טלוויזיה, ולא בהסתברות.
ניתוח הגרסה השנייה.
נקודת המפתח בגרסה זו היא מחויבות המנחה לפתיחת דלת שמאחוריה מסתתרת עז, מה שמשאיר במשחק שתי דלתות.
אם השחקן צודק בניחוש הראשון ובוחר במכונית (הסיכוי לכך הוא 1/3), החלפת הדלת תגרום לו להפסיד. ואם טעה ובחר בעז, המנחה פותח את הדלת השגויה האחרת, ומשאיר סגורה את הדלת הנכונה; במקרה כזה ההחלפה תבטיח לשחקן את הפרס, וזה קורה בסיכוי של 2/3.
היתרון של השחקן על-פני האורח שנכנס אחרי פתיחת הדלת הוא באינפורמציה שאינה ידועה לו: השחקן בחר את הדלת שלו כשהיא הייתה אחת משלוש, ולכן הסיכוי שלה להסתיר את הפרס הוא 1/3. מבחינת האורח, דלת זו היא אחת משתיים, והסיכוי שלה להסתיר את הפרס הוא 1/2. האבחנה הזו (איזו דלת נכונה בסיכוי 1/3 ואיזו נכונה בסיכוי 2/3) היא הדבר שהשחקן יודע והאורח אינו יודע. הסיכוי תלוי בנקודת המבט. נאמר שהאורח מצביע על אחת הדלתות. מבחינתו, הסיכוי שזוהי הדלת הנכונה הוא חצי. השחקן יודע שהסיכוי הוא שליש או שני שלישים (תלוי כמובן באיזו דלת מדובר). באותה עת, מבחינת המנחה הכל-יודע, הסיכוי הוא אפס או אחת.
ההסבר הוא פשוט:
אם בחרת מראש מכונית, שינוי הבחירה תמיד יגרום לך לקבל עז. אם בחרת מראש בעז, הרי שינוי הבחירה שלך יגרום לך תמיד לקבל מכונית.
אבל מה ההסתברות שבחרת מראש בעז?
מכיוון שיש 2 עיזים ומכונית אחת, הסיכוי שבחרת בהתחלה עז גדול פי שניים מזה שבחרת מכונית (2/3). לכן שינוי הבחירה יזכה אותך במכונית בהסתברות כפולה, קרי 2/3.
במבט ראשון פתרון הבעיה נראה מנוגד לאינטואציה, ניתן גם להציג את הבעיה בצורה מעט אחרת, שהופכת את הפתרון לקל יותר להבנה:
פתרון הסתברותי לגרסה השנייה.
נבחין כי בתחילת השעשועון כאשר המשתתף יבחר את הווילון באופן שרירותי (נניח כי הבחירה שלו היא X) ההסתברות לבחירה שווה ולכן - P(X)=P(Y)=P(Z)=1/3
כעת נחשב את ההסתברות לזכייה במכונית כאשר המשתתף החליף וילון, וכאשר הוא לא החליף וילון.
מקרה ראשון - המשתתף לא החליף וילון - P(X|B):
נחשב את ההסתברות שהמכונית תהייה מאחורי הוילון הראשון בהינתן שהיא לא מאחורי הוילון השני.
P(X ∩ B) = P(B|X)xP(X)=1/2 x 1/3=1/6
1/2=P(B)=P(B|X)xP(X)+P(B|Y)xP(Y)+P(B|Z)xP(Z)=1/6+0 x 1/3 +1 x 1/3
P(X|B)=P(X ∩ B) / P(B) =(1/6)/(1/2)=1/3
הסיכוי לזכייה במכונית נשמר והוא 1/3.
מקרה שני - המשתתף החליף וילון - P(Z|B):
נחשב את ההסתברות שהמכונית תהייה מאחורי הוילון השלישי בהינתן שהיא לא מאחורי הוילון השני.
P(Z|B)=P(Z ∩ B) / P(B)=(P(B|Z)xP(Z))/P(B)=(1/3)/(1/2)=2/3
הסיכוי לזכייה במכונית הוא 2/3.
נבחין כי הסיכויים לזכות במכונית לאחר החלפת הוילון אכן גודלים יותר מהסיכויים לזכות במכונית ללא החלפת הוילון הנבחר בתחילת השעשועון.
P(Z|B) = 2/3 &gt; 1/3 = P(X|B).
אנדרו ויילס
סר אנדרו ויילס (באנגלית: Andrew Wiles; נולד ב-11 באפריל 1953) הוא מתמטיקאי בריטי שחי בארצות הברית, התפרסם לאחר שהוכיח את השערת טניאמה-שימורה אשר גררה את נכונות המשפט האחרון של פרמה.
קורות חיים.
ויילס למד בבית הספר לייס שבקיימברידג', וב-1974 קיבל תואר ראשון במתמטיקה באוניברסיטת אוקספורד. ב-1979 השלים עבודת דוקטורט בקולג' קלייר שבאוניברסיטת קיימברידג', תחת הנחייתו של ג'ון קוטס. כעת הוא פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת פרינסטון.