לכל formula_5. כאמור לעיל, איזומטריה היא תמיד חד-חד-ערכית (אחרת, לו שתי נקודות שונות ב- formula_6 היו ממופות לאותה נקודה ב- formula_7, מהגדרת האיזומטריה המרחק ביניהן היה אפס, כלומר הן אותה הנקודה בסתירה). איזומטריה גלובלית היא איזומטריה שהיא גם על, ועל כן היא הפיכה, וגם ההופכית לה היא איזומטריה.
איזומטריות שומרות על מסילות גאודזיות.
איזומטריות במישור האוקלידי.
איזומטריות של המישור שומרות על אורכי קטעים, ולכן (לפי משפט החפיפה צלע-צלע-צלע) הן שומרות זוויות. התכונה הבסיסית של איזומטריות של המישור היא שהן מוכרחות לשמור על הקווים הישרים (כלומר, קו ישר תמיד יעבור לקו ישר). בהתאם לכך, יש שלושה סוגים בסיסיים של איזומטריות: שיקוף, סיבוב, והזזה. בעזרת פעולות אלה אפשר לתאר את כל שאר האיזומטריות, השייכות לאחת מבין ארבע משפחות:
אחרי שקובעים את הראשית, אפשר לכתוב כל איזומטריה בצורה formula_8 כאשר formula_9 היא מטריצה אורתוגונלית ו-formula_10 הוא וקטור ההזזה. כאן formula_9 היא איזומטריה שמשמרת את הראשית. לכן ניתן לחשוב על איזומטריה כאיבר ב- formula_12 (formula_13 היא חבורת המטריצות האורתוגונליות)
במכפלה הזו, המרכיב formula_13 פועל על המישור לפי פעולת המטריצות. ביתר פירוט, אם formula_15 עבור formula_16, אז formula_17.
פרוש הדבר הוא שחבורת האיזומטריות של המישור היא מכפלה חצי ישרה של formula_13 ושל formula_19.
המלחמה הפלופונסית
המלחמה הפֶּלוֹפּוֹנֶסִית פרצה ב-431 לפנה"ס בין הליגה הפלופונסית, בראשות ספרטה, לבין הליגה האטית-דלית, בראשות אתונה (לעיתים מכונה גם האימפריה האתונאית הראשונה). המלחמה תועדה על ידי ההיסטוריונים תוקידידס וקסנופון.
למלחמה היו שני חלקים עיקריים עם הפוגה של כמה שנים באמצע.
הרקע.
לאחר הפלישה הפרסית בשנת 480 לפנה"ס והדיפתה בקרבות פלטאיה וסלמיס, האתונאים קראו למסע מלחמה כנגד הפרסים על מנת לשחרר את אחיהם באיים בים האגאי ובאיוניה. הספרטנים, הכוח הדומיננטי ביוון באותה תקופה, סירבו, ולכן האתונאים הרכיבו את הליגה האטית-דלית ללחימה בפרס. עם הזמן, כוחה של אתונה גדל והברית הפכה לאימפריה האתונאית. בעלות הברית שביקשו לפרוש, הוענשו בצורה קשה.
הסיבות לפרוץ המלחמה וסדר הכוחות.
לפי תוקידידס, הגורם העיקרי למלחמה היה החשש הספרטני מהתחזקות נוספת של אתונה לאחר יציאתה כמנצחת הגדולה במלחמה בפרסים בין 480 ל-449 לפנה"ס.
העילה לפרוץ המלחמה הייתה פעולות צבאיות של אתונאים נגד קורינתוס, חברה מרכזית בליגה הפלופונסית. הצי האתונאי התערב לטובת קרקירה (קורפו) נגד הקורינתים והביס את הצי הקורינתי בקרב סיבוטה. בנוסף לכך האתונאים הטילו סנקציות כלכליות על מגארה, בעלת ברית נוספת של ספרטה. אף על פי שתוקידידס מתעלם כמעט לחלוטין מהסנקציות כסיבה לפרוץ המלחמה, חוקרים מודרניים סבורים, שאיסור הסחר עם האימפריה האתונאית העשירה היה מכה קשה על הכלכלה של מגארה, וזו בתורה הטילה את כל כובד משקלה למען המלחמה נגד אתונה.
סדר הכוחות.
ספרטה הייתה בעלת צבא יבשתי גדול, שבתוספת בעלות בריתה עלה על 60,000 חיילים, לפחות מחציתם הופליטים. הצי של הברית הפלופונסית היה קטן ולא עלה על 100 אוניות.
הצבא היבשתי של האימפריה האתונאית היה קטן יותר. אתונה לבדה יכולה הייתה לגייס כ-16,000 הופליטים. בצירוף לכוחות בעלות בריתה הגיע כוחה לכמחצית כוחו של הצבא הספרטני, אך לעומת זאת הצי האתונאי היה עדיף וכלל לפחות 300–400 אוניות עם אופציה לבניית ספינות חדשות.
המלחמה הארכידמית.
בגלל העדר צי משמעותי בצד הספרטני והכח היבשתי הקטן של האתונאים, כמעט ולא היו קרבות גדולים בין הצדדים. האסטרגיה הספרטנית בשלב הראשון של המלחמה, הידוע בשם "המלחמה הארכידמית" על שמו של המלך הספרטני, ארכידמוס הייתה לפלוש לאטיקה - שטח הפוליס האתונאי, ולהטיל מצור על אתונה. התושבים היו בורחים אל בין החומות הארוכות של אתונה (חומות ארוכות הן החומות שחיברו בין אתונה לפיראוס). סיבה נוספת לאי יעילות הפלישות הספרטניות הייתה שהספרטנים יכלו להישאר על אדמת אטיקה רק מספר חודשים, היות שהצבא היה מורכב מאזרחים שהיו צריכים לדאוג לקציר ולעניינים אחרים הקשורים לביתם.
האסטרטגיה האתונאית תוכננה על ידי הסטרטגוס פריקלס שהציע לא להסתכן בהרפתקאות ולהסתפק בלוחמת הגנה ביבשה. הצי העדיף של האתונאים הצליח לקצור הצלחה נוספת בקרב נאופקטוס. בשנת 430 לפנה"ס פרצה מגפה באתונה (ככל הנראה טיפוס הבטן) ומחתה כרבע מאוכלוסיית העיר והתושבים שהסתתרו בין חומותיה. פריקלס היה בין הנספים. לאחר מותו של פריקלס התחיל קליאון, ממשיך דרכו, לבצר עמדות סביב הפלופונסוס ולפשוט על חופיו. אחת הפלישות התבצעה ליד פילוס, מקום שבו הוכרעה המלחמה הראשונה. בקרב פילוס וקרב ספקטריה הכה קליאון את הספרטנים מכה קשה וכ-700 (לפי מקורות אחרים 300–400) הופליטים ספרטניים נלכדו באי ספקטרה. מספר הלוחמים שעמד לרשות ספרטה היה נמוך יחסית ולא עלה על כמה אלפים, לכן לא יכלו להרשות לעצמם לאבד כמה מאות לוחמים.
בשנת 425 לפנה"ס, לאחר שמצב הנצורים הפך לבלתי נסבל, ביקשו הספרטנים לחתום על חוזה שלום. האתונאים רצו לנצל את ההצלחה ולכן סירבו להצעה הספרטנית. המצביא הספרטני ברסידאס גייס צבא חדש וכבש את הקולוניה האתונאית באמפיפוליס ששלטה על כמה מכרות כסף שהניבו כ-200 טלנטים בשנה (כמחצית מכלל תקציבה של אתונה). קליאון וברסידאס נהרגו בקרבות לשחרור העמדה האסטרטגית (ראו קרב אמפיפוליס ).
לאחר מרחץ הדמים הזה, התרצו האתונאים והסכימו לחתום על חוזה שלום ולהחליף את בני הערובה.
שלום ניקיאס.
עם מותם של האתונאי קליאון והמצביא הספרטני בראסידאס בקרב אמפיפוליס ב-422 לפנה"ס, היו שני הצדדים בשלים לחתימת הסכם אי-לוחמה, אשר נחתם ב-421 לפנה"ס.
שלום ניקיאס היה שלום שברירי שנמשך כ-6 שנים, והיה מלא בהתכתשויות בין הניצים. ארגוס, פוליס חזקה בחצי האי פלופונסוס, ששמרה על עצמאות מספרטה, החלה לבחוש בפוליטיקה הפנימית בין ספרטה ובעלות בריתה, ועם עידוד אתונאי הצליחה לגבש קואליציה של המדינות הדמוקרטיות בחצי האי, שכללה את הפולייס החזקות מנטיניאה ואליס. נסיונותיה של ספרטה לפרק את הברית כשלו, ומנהיגותו של מלך ספרטה אגיס עמדה במבחן. בטוחים בכוחם, הארגיבים יחד עם בני בריתם, ובסיוע כוח אתונאי קטן תחת פיקודו של אלקיביאדס, החליטו לתקוף את העיר טגיאה, הממוקמת בקרבת ספרטה.
בקרב מנטיניאה, אחד קרבות היבשה הגדולים של המלחמה, הלאקדמונים (ספרטנים) ובעלי בריתם ניצבו מול ארגוס, אתונה מנטיניאה וארקאדיה. הקרב הסתיים בתבוסה של כוחות ארגוס ובנות בריתה, שאיבדו כ-1,100 חיילים מול כ-300 הרוגים אצל הספרטנים. בעקבות תוצאות הקרב בו איבדו הארגיבים לבדם כ-700 לוחמים, נפל הממשל הדמוקרטי בארגוס, פורקה הברית עם אליס ואתונה, ארגוס החזירה את השטחים עליהם השתלטה וחתמה על חוזה אי-לוחמה עם ספרטה.
מסע המלחמה לסיציליה.
בשנה ה-17 למלחמה, הגיעו לאתונה ידיעות כי בעלות בריתה בסיציליה נמצאות תחת מתקפה מצד סירקוסאי. אנשי סירקוסאי היו דורים במוצאם (כמו הספרטנים), לעומת האתונאים ובני בריתם בסיציליה שהיו איונים. לפיכך, חשו האתונאים חובה להגן על אחיהם ובני בריתם באי.
אולם, אתונה לא פעלה מרגשות אחווה בלבד, שכן היו לה תוכניות לשלוט בסיציליה כולה, ובמשאבים העצומים שלה. סירקוזה, העיר הדומיננטית באי, הייתה מבחינתם המכשול העיקרי לשאיפתם זו.
בשלבים האחרונים של ההכנות, הואשם אלקיביאדס, מפקד המבצע, בהשחתת פסלי האלים. אלקיביאדס כפר בהאשמות, ודרש לעמוד לדין ללא דיחוי, אולם האתונאים החליטו לשלוח אותו למסע בכל זאת (אולי משום שחשבו שכך יהיה קל יותר להרשיעו). ואכן, זמן קצר לאחר הגעתו לסיציליה נקרא המפקד האתונאי חזרה כדי לעמוד למשפט. אלקיביאדס, שחשש כי יורשע על לא עוול בכפו, החליט לערוק לצד ספרטה, והדליף את תוכניות הכיבוש של אתונה.
הכוח האתונאי כלל יותר מ-100 ספינות מלחמה, למעלה מ-7,000 חיל רגלים, וכמות זעומה של 30 פרשים, שהתבררו כנחותים בהתמודדות מול חיל הפרשים הסיריקוזי, שהיה גדול ואיכותי יותר. עם נחיתת כוחות אתונה הצטרפו אליהם כוחות של כמה מבעלות בריתה, אולם במקום לתקוף מיד, החליט ניקיאס, המפקד החדש, להשתהות, על מנת לארגן את כוחותיו ובעלות בריתו.
ההתמהמהות האתונאית איפשרה לספרטנים לשלוח עזרה לסיציליה. המצביא הספרטני גיליפוס הגיע עם תגבורות, גייס כוחות נוספים באי, ובסדרה של קרבות הביס את הכוחות האתונאים ופרץ את המצור.
מלבד הסיוע לסיציליה, פתחו הספרטנים במלחמה יבשתית ביוון. על פי עצתו של אלקיביאדס, הם כבשו את מבצר דקליאה ליד אתונה ומנעו מאתונאים לקבל אספקה דרך היבשה. לפיכך, כל תנועה הייתה צריכה להיעשות דרך הים, דבר שגרע מהמשאבים האתונאיים.
חברי הליגה הפלופונסית שלחו תגבורות נוספות לסירקוסאי בתקווה לגרש את האתונאים מאדמת סיציליה. במקום לסגת, שלחו האתונאים עוד 100 ספינות ו-5,000 חיילים. בהנהגתו של גיליפוס הצליחו הסירקוסאים ובני בריתם להביס שוב את האתונאים ביבשה, והצי הסירקוסאי, שהוקם בעצת המצביא הספרטני, הטביע את הצי האתונאי, שהגיע לנסות ולחלץ את צבאו של ניקיאס. כוחות אתונה שהיו כעת מנותקים מקווי האספקה, מותשים וללא אפשרות ממשית להימלט, נאלצו להיכנע ונמכרו רובם ככולם לעבדות.
הייתה זאת מכה קשה לאתונה שאבדה כמחצית מבניה בהרפתקה זו.
התאוששות אתונה.
לאחר התבוסה הקשה בסיציליה, יוונים רבים האמינו שהקיץ הקץ על אתונה, אך הם לא העריכו בצורה נכונה את חוסנה הכלכלי, ואתונה הצליחה להתאושש.