ניתן לראות שכאשר הזווית x קטנה, אורך הניצב הסמוך לזווית הופך דומה לאורך היתר. כלומר, היתר שווה בערך לצלע הסמוכה לזווית, כך שהקוסינוס שווה בערך ל-1. כמו כן, אורך הצלע שמול הזווית הופך דומה לאורך הקשת, ולכן היחס בינה לבין הצלע הסמוכה או בינה לבין היתר, הלא הם ערכי הפונקציות סינוס וטאנגנס, שווים בקירוב לגודל הזווית.
שיקולים אנליטיים לקירוב.
הקירובים הללו זהים לקירוב טור מקלורן מסדר ראשון. טורי טיילור המתאימים לפונקציות הטריגונומטריות השונות הם כלהלן:
כאשר "x" היא הזווית ברדיאנים. עבור ערכי "x" קטנים, החזקות הגבוהות של "x" דועכות במהירות לאפס, כך שניתן להזניח את האיברים הללו ולהכליל אך ורק את החזקה הנמוכה ביותר, היא החזקה הליניארית עבור סינוס וטנגנס, והקבוע 1 עבור קוסינוס. כדי להגדיל את הדיוק של הקירוב ניתן להוסיף את האיברים של החזקות הבאות. הקירוב מסדר שני של הסינוס והטנגנס שווה לקירוב מסדר ראשון, בקוסינוס לעומת זאת קיים איבר מסדר שני, ולכן הקירוב המדויק יותר מסדר שני כולל שני איברים:
דב בר שניאורסון
שופר גבריאל
שופר גבריאל (מכונה גם חצוצרת טוריצ'לי) הוא אובייקט מתמטי בעל שטח פנים אינסופי, אך נפח סופי. אובייקט זה הומצא על ידי אוונג'ליסטה טוריצ'לי אשר עסק בחישוב שטחים בחשבון האינטגרלי. שם האובייקט מושפע מהמלאך גבריאל אשר לפי האמונה הנוצרית יתקע בשופר ביום הדין, ברמיזה על תכונותיו המופלאות של האובייקט. ניתן לחשוב על השופר כעל גרסה תלת-ממדית של פתית השלג של קוך, אשר שטחו סופי אך היקפו אינסופי.
הגדרה מתמטית.
שופר גבריאל נוצר על ידי ציור העקום formula_1 בקטע formula_2, וסיבובו סביב ציר x. על ידי שימוש באינטגרלים ניתן לחשב את נפח ואת שטח פניו של הגוף הנוצר.
נפח השופר.
נפחו של השופר מתקבל לפי הנוסחה
formula_3
חישוב זה למעשה סוכם גלילים קטנטנים. "גובה" כל גליל הוא formula_4 ורדיוס הבסיס שלו הוא formula_5, כלומר נפח הגליל האינפיניטסימלי הוא formula_6.
שטח פני השופר.
שטח הפנים של השופר נתון על ידי הנוסחא
formula_7
חישוב זה למעשה סוכם את ה"אורך"
של העקום formula_1 ומכפיל אותו ב"היקף" הסיבוב אשר נתון על ידי formula_9
פרדוקס הצביעה.
קיומו של השופר מעורר את הפרדוקס (לכאורה) הבא: כיוון שנפחו של השופר הוא formula_10, ניתן למלא את חלקו הפנימי בצבע מתוך דלי המכיל צבע בנפח formula_10 מטרים מעוקבים (משום שformula_10 נמדד ברדיאנים, והרדיאן הוא יחידת מידה חסרת מימד, נוכל לבחור באופן שרירותי את יחידות הנפח בהן נשתמש). מצד שני, שטח פניו של השופר הוא אינסופי, כלומר על מנת לצבוע את שטח פניו נדרשת כמות אינסופית של צבע, אך זהו פרדוקס, כי בעזרת דלי של formula_10 מטרים מעוקבים צבע, מילאנו את כל נפח השופר ובכך גם את כל "דפנותיו". כלומר בעזרת צבע בכמות סופית הצלחנו לצבוע שטח אינסופי.
יישובו של הפרדוקס נובע מההבדלים בין תכונות של חומרים ב"עולם האמיתי" לבין תכונות של מושגים מופשטים במתמטיקה. עוביו של ה"צבע המתמטי" בו השתמשנו למילוי שופר גבריאל הלך וקטן (עד אינסוף) ככל שעוביו של שופר גבריאל הלך וקטן. עם זאת, צבע "אמיתי" לא ניתן לחלוקה אינסופית וקיימת נקודה כלשהי (הניתנת לחישוב) בה עוביו של שופר גבריאל לא יהיה עבה מספיק אפילו בשביל מולקולת צבע אחת ולכן כלל לא ניתן למלא את שופר גבריאל בצבע.
גרסאות נוספות.
ניתן לבנות דוגמאות רבות לעצמים בעלי נפח סופי ושטח פנים אינסופי. למשל, גוף הסיבוב אשר נוצר מהפונקציה
formula_14
כאשר formula_15, הוא בעל נפח סופי (הוא חסום בקוביה עם צלע באורך 1), אך שטח פניו אינסופי, שכן אורך הפונקציה formula_16 בקטע formula_15 אינו מתכנס, ורדיוס הסיבוב אינו דועך לאפס.
סנפיר (פירושונים)
אל תיקח ללב
אהרון ציזלינג
אברהם אהרון בורשטיין
אהרון שויקה
מספרי ארדש
קירוב זוויות קטנות
מחבר XLR
מחבר ה-XLR הוא מחבר חשמלי המיועד לרוב, לאפליקציות מקצועיות של אודיו ווידאו ובדרך כלל למיקרופונים. במערכות שמע ביתיות נעשה שימוש במחבר RCA להעברת הסיגנל החשמלי וגם על ידי מחברי PL למיקרופונים ביתיים ולאפליקציות מחשב.
המחבר ידוע גם בשם "מחבר קנון (Canon)" הנגזר משמו של מייצר המחבר "James H.Cannon" אשר ייסד את חברת "Cannon Electric" הנמצאת בלוס אנג'לס והיום היא חלק מ-ITT Corporation. משמעות ראשי התיבות של המחבר מרמזות על סדרת מחברי "Canon X" אשר מצוידים ב"בריח נעילה - Latch" ו"בבידוד גומי - Rubber".
יש הטוענים שראשי התיבות מרמזים על "סיכוך - X", "שמאל - L", "ימין - R" אולם למחבר זה יכולים להיות יותר משלושה פיני חיבור.
מחברים אלו נכנסו לשימוש במקום מחברי DIN היותר מיושנים.
סוגי מחברים.
המחבר הנפוץ ביותר הוא ה-XLR3 המשמש כמחבר התקני לסיגנל אודיו מאוזן במיקרופונים וציוד אודיו ברמה גבוהה. המחבר היה בשימוש גם באפליקציות MIDI בחלק מהסינתיסייזרים. מחבר ה-XLR4 משמש לאפליקציות תקשורת, חיבורי זרם ישר למצלמות וציוד קולנוע מקצועי וציוד תאורה. מחבר ה- XLR5 הוא המחבר התקני לציוד תאורה דיגיטלי ואמצעי תקשורת. מחבר ה-XLR6 משמש גם לאמצעי תקשורת.
ישנם סוגים רבים אחרים עם כמות פינים שונה. שני הסוגים הבולטים כיום מיוצרים על ידי חברת ITT Canon"." מחבר ה-Power Cannon שנקרא גם XLR-LNE אשר היה מצויד בפינים עטופים ובידוד אדום היה מיועד לחיבור חשמלי ראשי אבל הוחלף על ידי מחבר IEC ולאחרונה על ידי מחבר PowerCon המיוצר על ידי חברת Neutrik.
למחבר הקנון לרמקולים היה בידוד כחול או לבן (תלוי אם המחבר היה זכר או נקבה) והיה מיועד לחיבור רמקולים למגבר. היה זמן שבו נעשה שימוש במחברי XLR3 בצורה נרחבת משום שהמחבר הציג צורת חיבור אמינה. כבל החיבור היה מורכב משני מחברי "XLR - זכר" משני הצדדים כאשר פין חיבור מס' 2 או 3 היה "חם", תלוי ביצרן, ופין חיבור מס' 1 היה תמיד חיבור הארקה. שימוש בשיטה זו כיום הוא מסוכן לציוד אבל עדיין ניתן לראות שימוש בשיטה זו בייחוד בציוד ישן יותר. לדוגמה, לחלק מהרמקולים יש חיבור "XLR - זכר" כחיבור כניסה. שיטה זו הוחלפה על ידי מחבר Speakon של חברת Neutrik.
מחבר ה-"XLR - נקבה" מעוצב בצורה כזו שפין חיבור ההארקה מס' 1 מתחבר ראשון לפני חיבור שאר הפינים כאשר מוכנס מחבר "XLR - זכר". על ידי חיבור ההארקה לפני שאר החיבורים מתאפשר חיבור וניתוק המחברים ללא רעשים נוספים כפי שלמשל קורה בדרך כלל עם מחבר RCA.
באפליקציות תאורה נעשה שימוש נרחב במחבר XLR בעל חמישה פינים. למרות שנעשה שימוש רק בשלושה פינים מתוך החמישה, עיצוב המחבר מאפשר הרחבה לאפשרויות נוספות בכל הקשור לתפעול תאורה וגם מונע בלבול בין מחבר ה-XLR3 הנפוץ המיועד לאודיו. לרוע המזל, אין כל כך הבדל מבחינת איכות האות במחברי XLR בעלי חמישה פינים ולכן רבים מיצרני אפליקציות תאורה ל-DJ ואירועים עדיין משתמשים במחברי XLR בעלי שלושה פינים כסטנדרט.
סכמת חיבורים למחבר XLR3.
כפי שמוצג בסכמה - החיבורים של מחברי הזכר והנקבה הם בצורת תמונת מראה. צריך להיזהר ולא להתבלבל כאשר צריך להכין כבל בעל שני החיבורים.
ישנן אפליקציות אודיו אשר עושות שימוש הפוך בחיבורים 2 ו-3 אולם חיבור מספר 1 יהיה תמיד הארקה.
וסילי הראשון, נסיך מוסקבה
וסילי הראשון (ברוסית: Василий I Дмитриевич; 1371 - 26 בפברואר 1425) היה נסיך ולדימיר ונסיך מוסקבה ממשיך דרכו של אביו בהתמודדות נגד אורדת הזהב ואיסוף אדמות רוסיות סביב נסיכות מוסקבה.
לאחר פשיטה של חאן אורדת הזהב על מוסקבה בשנת 1384 הועבר לחצר החאן בתור בן ערובה. לאחר מספר שנים שוחרר תמורת סכום כסף גדול. בהתאם לצוואה של אביו התמנה לנסיך מוסקבה בשנת 1389. זאת ללא קבלת אשרור מאורדת הזהב, דבר שהיה תקדימי באותם הימים. דמיטרי דונסקוי גם דאג שלא יהיה יריבות פנימית מצד בן דודו ולדימיר, נסיך סרפוחוב שבהיותו נכד של איוואן הראשון, נסיך מוסקבה גם היה יכול להתמודד על התפקיד.
מהלך שלטונו.
כדי לחזק את מעמדו נגד אורדת הזהב כרת ברית עם נסיכות ליטא ולא התנגד לחיזוק מעמדה בסמולנסק וסביבתה.
בשנת 1392 הוא צירף את נסיכות ניז'ני נובגורוד ואת נסיכות מורום לנסיכות מוסקבה. בשנת 1397–1398 הוא הצליח לצרף לנסיכות מוסקבה את וולגדה, ערי הצפון שנוספו ושטחים מאוכלסים על ידי קומי. ניסיונות לקחת מרפובליקת נובגורוד שטחים לאורך נהר דבינה הצפונית לא צלחו.
בשנת 1396 כוחות של טימור לנג פלשו לנסיכות מוסקבה, לאחר מערכה מוצלחת מול אורדת הזהב. אומנם הם נעצרו וחזרו מזרחה. וסילי ניצל את הזדמנות של חולשה באורדת הזהב והפסיק את התשלומים השנתיים לאורדת הזהב.
בתחילת המאה ה-15 התרחש איחוד של ליטא עם פולין והוקם האיחוד הפולני-ליטאי. מעמד המדינה המאוחדת בתקופה זו היה חזק מאוד, בשנים 1403–1404 הם כבשו שטחים רוסים במערב כולל סמולנסק וויאזמה. חיזוק מעמד פולין בנסיכות ליטא גרם להתנגדות הנסיכים הרוסים בתוך נסיכות ליטא. חלק מהם עברו לנסיכות מוסקבה והדבר גרם למתחים בין המדינות. בשנת 1408 החל מאבק צבאי אך הוא לא התפתח לעימות כולל.
בשנת 1408 חאן אורדת הזהב ידיגיי התקדם עד למוסקבה אך העיר עמדה במצור. נסיך טבר קיבל דרישה מהחאן להגיע למוסקבה עם התותחים שלו ולא נענה לדרישה. בסופו של דבר ידיגיי חזר לשטחי האורדה ללא כיבוש מוסקבה. אומנם וסילי נאלץ לחדש תשלומים שנתיים לאורדת הזהב אך מבחינת הרוסים המערכה הייתה די מוצלחת. וסילי נסע לאורדת הזהב רק בשנת 1412.
בכל מהלך שלטונו הייתה רק פשיטה משמעותית אחד של כוחות אורדת הזהב לשטחי הנסיכות, וגם במהלך זו מוסקבה לא נכבשה.