הוכחה: מן הרציפות נובע שהנגזרת השנייה חיובית בסביבה של formula_65.
לסיכום, בתחום שבו הפונקציה גזירה פעמיים מתקיים:
formula_100 formula_101 הפונקציה קמורה במובן החלש formula_102 הפונקציה קמורה במובן החזק formula_102 formula_104.
פונקציה קמורה בחציה.
שתי הטענות לעיל הן מקרים פרטיים של המשפט שהוכח באופן בלתי תלוי על ידי בלומברג וואצלב שרפינסקי:
פונקציה קעורה.
formula_27 היא פונקציה קעורה אם הקו המחבר כל שתי נקודות על הגרף עובר תמיד מתחת לגרף, כלומר הפונקציה הנגדית formula_126 קמורה. מכאן שהנגזרת השנייה מאפשרת להכריע בין קמירות לקעירות: בקטעים שבהם הנגזרת השנייה חיובית הפונקציה קמורה (במובן החזק), ובקטעים שבהם היא שלילית הפונקציה קעורה. הנקודות שבהן הפונקציה עוברת מקמירות לקעירות או להפך (ולכן הנגזרת השנייה מתאפסת, אם היא מוגדרת בסביבת הנקודה) נקראות נקודות פיתול.
פונקציה לוג-קמורה.
פונקציה חיובית formula_3 המוגדרת בקטע formula_4 נקראת פונקציה לוג-קמורה אם formula_129 היא פונקציה קמורה בקטע formula_4 (formula_4 הוא קטע כלשהו, סופי או אינסופי). אם formula_3 גזירה פעמיים, תנאי זה שקול לכך ש-formula_133. לדוגמה, הפונקציות formula_134 ופונקציית גמא הן לוג-קמורות.
קל לראות שפונקציה לוג-קמורה היא קמורה, אך ההפך אינו נכון. לדוגמה, הפונקציה formula_2 קמורה, אבל
formula_136 אינה קמורה.
גרף של פונקציה
גרף של פונקציה הוא אוסף כל הזוגות הסדורים של משתנה מסוים עם ערך הפונקציה המתאים לו, כלומר גרף הפונקציה אמור להתבסס על פי שתי אותיות [X+Y] המסמנות את הגרף עצמו. בתרגיל מסוים של משוואות ה - x תקדים את ה - y. עבור פונקציה מסוימת. לרוב הכוונה היא לציור של אוסף זה בתור נקודות במישור לפי מערכת צירים קרטזית, אולם צורת הצגה זו אפשרית רק עבור פונקציות ממשיות במשתנה יחיד; עם זאת, מושג הגרף קיים גם עבור פונקציות במספר משתנים.
במערכת צירים דו ממדית את ציר איברי תחום הפונקציה לרוב נהוג לסמן כ-formula_1 ואת ציר איברי הטווח נהוג לסמן כ-formula_2. בנקודה (זוג סדור) בגרף במערכת צירים דו ממדית, האיבר הראשון (שיעור X של הנקודה) בזוג נקרא גם אבסציסה (Abscissa) והשני (שיעור Y) נקרא גם אורדינטה (Ordinate).
הגדרה פורמלית.
בהינתן פונקציה formula_3 שתחומה formula_4, גרף הפונקציה היא הקבוצה של הזוגות הסדורים formula_5.
נשים לב כי עבור פונקציה ממשית ב- formula_6 משתנים, גרף הפונקציה הוא תת-קבוצה של המרחב האוקלידי formula_7. המקרה הפרטי המוכר הוא זה של פונקציה במשתנה יחיד, אז הגרף הוא תת-קבוצה של המישור - formula_8.
דוגמאות.
נקודות מיוחדות על גרפים של פונקציות ממשיות:
פונקציה ליניארית
פונקציה ליניארית או פונקציה קווית היא מושג שמשמש במתמטיקה לתיאור שני מושגים שונים במקצת.
בגאומטריה אנליטית, פונקציה ליניארית היא פונקציה פולינומית ממעלה ראשונה בצורת: formula_1 כאשר m ו- n הם קבועים.
יש המגדירים את הפונקציות הנ"ל כפונקציות אפיניות.
באלגברה ליניארית מגדירים פונקציה ליניארית בין מרחבים וקטוריים כפונקציה שמקיימת את שני התנאים הבאים:
כאשר formula_4 ו-formula_5 וקטורים במרחב ו formula_6 קבוע בשדה שמעליו מוגדרים המרחבים הווקטוריים.
תחת הגדרה זו, קל להראות שפונקציה אפינית על המספרים הממשיים היא ליניארית אם ורק אם formula_7.
גרף הפונקציה.
פונקציות ליניאריות (לפי ההגדרה הגאומטרית) נכתבות גם בצורה formula_8 וממוקמות על מערכת צירים קרטזית. על הגרף הפונקציה מהווה קו ישר, ומכאן שמה.
הקבוע m מאפיין את שיפוע הפונקציה שהוא יחס השינוי בין הצירים formula_9. יחס זה קבוע לכל אורך הפונקציה. לדוגמה, פונקציה בעלת שיפוע 2 תעלה שתי נקודות בציר האנכי על כל נקודה בציר האופקי, בפונקציה שבה השיפוע הוא 0.5 היחס הפוך, על כל תזוזה של שתי נקודות בציר האופקי הפונקציה תעלה נקודה אחת. שיפוע יכול להיות גם שלילי. פונקציות בעלות שיפוע שווה הן מקבילות.
בחשבון האינפיניטסימלי יש שימוש בפונקציה הקווית על מנת לתאר התנהגות פונקציות ממעלה שנייה בכל נקודה על הגרף. באמצעות גזירת הפונקציה הפרבולית מתקבל שיפוע הפונקציה הקווית המשיקה לפונקציה המקורית לכל x נתון.
הקבוע n מאפיין את נקודת חיתוך הציר האנכי של הפונקציה. לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת בלבד עם הציר האנכי. על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם הציר האנכי יש להציב formula_10 וכדי למצוא את נקודת חיתוך עם הציר האופקי יש להציב formula_11.
כל פונקציה היא ייחודית על פי שני מאפיינים אלו, ובמקרה של שינוי אחד מהקבועים מתקבלת פונקציה ליניארית אחרת. בפונקציה זו לכל תמונה יש מקור אחד, קרי, לכל y יש x אחד בשונה מפונקציות ממעלות גבוהות.
דוגמאות.
המשוואה מסוג formula_16 אינה פונקציה משום שלמקור אחד יש אינסוף תמונות.
דוגמאות לשימושים מעשיים.
כפי שהוסבר הפונקציה הליניארית מתארת יחס קבוע בין שני משתנים, במילים אחרות, כל משתנה התלוי במכפלת משתנה אחר בקבוע. לדוגמה, אם נתון שכיכר לחם עולה שני שקלים, הסכום שישולם תלוי ביחס ישיר לכמות הכיכרות. במקרה זה התמונה (y) היא הסכום שישולם, המקור (x) הוא מספר הכיכרות והיחס הקבוע (m) הוא מחיר הלחם, שני שקלים. הגרף שיתאר את הסכום הכללי כפונקציית הכיכרות יהיה ליניארי. פונקציה מהסוג formula_17 נקראת יחס ישר.
דוגמאות מעשיות נוספות:
תאוצה
בפיזיקה, תאוצה היא קצב שינוי המהירות של גוף נע. בשפת הדיבור, המונח משמש בצורה דומה להגדרה הפיזיקלית: כאשר מתארים רכב כבעל תאוצה מעולה, הכוונה שביכולתו להגביר את מהירותו תוך פרק זמן קצר בהשוואה לכלי רכב אחרים. עם זאת, לתאוצה בהגדרתה הפיזיקלית יכול להיות גם ערך שלילי, שמשמעותו שהגוף מאיץ את מהירותו בכיוון הנגדי מהציר שהוגדר (הגוף מאט רק כשהתאוצה מנוגדת לכיוון המהירות בה הגוף נע). בשפת הדיבור, תאוצה נגד כיוון המהירות מכונה לעיתים רבות תאוטה.
במערכת היחידות הבינלאומית, יחידות התאוצה הן מטר חלקי שנייה בריבוע. ניתן לחשוב על היחידות גם כ־"מטר לשנייה, לשנייה", כלומר: כמה המהירות (הנמדדת במטר לשנייה) משתנה מדי שנייה.
בחישובים מתמטיים, מקובל לסמן את התאוצה באות a, הרומזת למילה הלטינית "accelere" שמשמעותה "להאיץ".
השינוי בקצב התאוצה נקרא נתירה, והוא משמעותי בהנדסת מערכות מסוימות, בעיקר במערכות מרובות טלטלות המכילות או מורכבות מגופים עדינים ושבירים.
תאוצה בחשבון אינפיניטסימלי.
מבחינה מתמטית, אם x מתאר את המקום של גוף מסוים על קו ישר (העתק), הרי שהמהירות מתארת את קצב השינוי של המקום ביחס לזמן שחלף, כלומר, הגוף נע במהירות ממוצעת גבוהה אם תוך זמן קצר הוא עבר מרחק רב. התאוצה מוגדרת כקצב השינוי של המהירות ביחס לזמן, כלומר, גוף נמצא בתאוצה ממוצעת גבוהה אם הוא הגביר את מהירותו תוך זמן קצר.
בעזרת חשבון אינפיניטסימלי ניתן להגדיר לא רק מהירות ותאוצה ממוצעות שנמדדות בין שתי נקודות זמן, אלא גם מהירות ותאוצה ברגע מסוים. כלומר, המהירות (v) מוגדרת כנגזרת של x לפי הזמן (t), והתאוצה (a) שווה לנגזרת של המהירות לפי הזמן (ולנגזרת השנייה של המיקום לפי הזמן).
באופן פורמלי:
formula_1
פעמים רבות, נתונה דווקא התאוצה כפונקציה של הזמן, formula_2, ונדרש לחשב (בעזרת המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי) את הקינמטיקה של הגוף:
formula_3
formula_4
כאשר formula_5, הם תנאי ההתחלה, כלומר: מצבו של הגוף בתחילת התנועה.
במקרה שבו התאוצה קבועה, מתקבלות משוואות התנועה:
formula_6
formula_7
תאוצה במכניקה הקלאסית.
התאוצה היא וקטור, כלומר יש לה לא רק גודל אלא גם כיוון. כאשר גוף מאיץ, פירוש הדבר שמהירותו בכיוון מסוים משתנה.
החוק השני של ניוטון קובע, כי גוף שפועל עליו כוח שאינו מתבטל על ידי כוח נגדי, נע בתאוצה. כלומר, על מנת להאיץ מסה, יש להפעיל עליה כוח. כיוון התאוצה יהיה בכיוון הכוח, וגודלה יעמוד ביחס ישר לגודל של הכוח (F) וביחס הפוך למסה של הגוף (m).
באופן פורמלי: formula_8
או, בניסוח שקול: formula_9
כאשר פועלים על הגוף כמה כוחות, התאוצה תהיה מושפעת מהסכום הווקטורי של הכוחות:
formula_10
או, באופן שקול:
formula_11
במקרה בו מסת הגוף משתנה (למשל: בטיל שמשליך מעליו דלק), השינוי בתאוצה קשור גם לשינוי במסה:
formula_12
תאוצה משיקית ותאוצה אנכית.
גוף יכול להאיץ גם בכיוון שונה מהכיוון שהוא נע לעברו. ניתן לפרש את התאוצה הכוללת של הגוף ברגע נתון כשילוב של שתי תאוצות:
formula_13
(כאשר
formula_14
הוא וקטור יחידה בכיוון המשיק למהירות).
התאוצה הכוללת של הגוף שווה לסכום שני רכיבי התאוצה:
formula_17
תאוצה רדיאלית.
מקרה בולט בו ההפרדה בין שני רכיבי התאוצה היא משמעותית הוא בתנועה מעגלית קצובה: גוף נע במעגל במהירות משיקית קבועה. אמנם גודל המהירות נשאר קבוע, אך כיוון המהירות משתנה בכל רגע ורגע, ומכאן שיש לגוף תאוצה. תאוצה זו מכוונת כלפי מרכז המעגל (במקביל לרדיוס), ולכן היא קרויה "תאוצה רדיאלית". נוהגים לעיתים לסמן את התאוצה הרדיאלית בסימן formula_18.
גודלה של התאוצה הרדיאלית הוא formula_19, כאשר formula_20 הוא גודלה של המהירות המשיקית, ו-formula_21 הוא רדיוס הסיבוב.
תאוצת קרקע (מקסימלית).