בשנת 48 לפנה"ס מלכו הראשון שלח רוכבי גמלים לעזור ליוליוס קיסר במצרים. לאחר רציחתו של יוליוס קיסר, נוצרה ברית בין אוגוסטוס ובין מרקוס אנטוניוס. קלאופטרה מלכת מצרים דרשה מאהובה מרקוס אנטוניוס שיספח לממלכתה את הממלכה הנבטית, הוא נענה לה חלקית וסיפח למצרים חלקים שהיו שייכים לממלכה הנבטית, כמו אזור יריחו שנחשב אזור עשיר מאוד, מכיוון שגידלו שם תמרים וצמחים שמהם הפיקו בשמים. הורדוס מלך יהודה נפגש עם קלאופטרה וחכר ממנה את אזור יריחו. הורדוס יצא למלחמה בנבטים בדיוספוליס וניצח אותם. הנבטים נערכו מחדש בקנתא שבסוריה, אך נסוגו מלפני צבאו של הורדוס. בעקבות התערבות צבאה של קלאופטרה במלחמה, חזר הצבא הנבטי והורדוס נוצח ונסוג. בשנת 31 לפנה"ס ניצלו הנבטים את רעידת האדמה החזקה שפקדה את ארץ ישראל, ופלשו לממלכת יהודה, במלחמה נוצחו הנבטים על ידי צבאו של הורדוס. הממלכה הנבטית איבדה שטחים בעבר הירדן ובדרום סוריה, שטחים אלו סופחו לממלכת יהודה.
בשנת 30 לפנה"ס עלה עבדת השלישי לשלטון, זוהי כנראה תקופה של פריחה ושגשוג בממלכה. כנראה בתקופה זו נוסד היישוב עבדת שבמרכזו מקדש נבטי. בתקופה זו (25 לפנה"ס), הצבא הרומי בפיקודו של אליוס גאלוס ניסה להגיע לדרום ערביה ולאתר את מקור הבשמים שמהם מפיקים הנבטים את עושרם, אולם המשלחת הצבאית נכשלה במשימתה.
בשנת 67 לספירה הוכיחה הממלכה הנבטית שהיא בעלת ברית נאמנה של האימפריה הרומית, והמלך מלכו השני שלח לאספסיאנוס אלף פרשים וחמשת אלפים רגלים לדיכוי המרד הגדול שפרץ ביהודה. הממלכה הנבטית המשיכה לשגשג כממלכה שכפופה לאימפריה הרומית, אך לא נשלטת על ידה. מצב זה נמשך עד שנת 106 לספירה כאשר הקיסר טראיאנוס ניצל את מותו של המלך רבאל השני, ופלש לממלכה הנבטית וסיפח אותה לאימפריה הרומית. הממלכה הנבטית הפכה לפרובינקיה ערביה שבירתה בצרה.
תרבות והישגים.
הממלכה הנבטית נשלטה על ידי מלכים שכנראה רובם לא ידועים לנו, בשיאה הממלכה שלטה על שטח רב שכלל את צפון ערב, עבר הירדן, דרום סוריה, הנגב ודרום ומרכז סיני. בתחומי הממלכה התגוררה אוכלוסייה מגוונת שכללה נבטים ושבטים ערבים אחרים, אדומים, יטורים, יהודים והלנים. הכלכלה הנבטית התבססה על מסחר בבשמים ששווקו לרחבי האימפריה הרומית, בממון הרב שצברו הנבטים הם השקיעו בבניית יישובים, מקדשים לאליהם, וחציבת קברים מפוארים כמו שניתן לראות בפטרה. הממלכה הטביעה מטבעות שבתחילה הזכירו מטבעות הלניסטיים מהדוגמה של אלכסנדר הגדול, כאשר בצד אחד מופיע פרופיל של אתנה, ובצד השני מופיעה דמותה של ניקה. לאחר המחצית של המאה הראשונה לפנה"ס המטבע הנבטי מציג בצד אחד את המלך הנבטי עם שמו, ובצד השני קרנות שפע כמו במטבעות החשמונאים (וכמו בשני שקלים חדשים של היום). הנבטים הגיעו לשיאים בקדרות בתקופת הממלכה הנבטית, במחצית המאה ה-2 לפנה"ס. הם הצליחו לייצר קרמיקה מאוד דקה (אנגלית: egg Shell) שכללה בעיקר קערות עם עיטורים צמחיים. כנראה במאה ה-1 לפנה"ס גם החקלאות נוספה לכלכלה של הממלכה הנבטית. הצבא הנבטי לא נחשב כצבא חזק במיוחד, אך כאשר הוא נאלץ להתמודד על הגנת המולדת הוא הצליח לנצח צבאות רבים כמו צבאות הלניסטיים והצבא של אלכסנדר ינאי, צבא זה התבסס בעיקר על חיל רגלים, קלעים ורוכבי גמלים.
חוסר זיכרון (הסתברות)
בתורת ההסתברות, חוסר זיכרון הוא תכונה של התפלגויות, המתאר מקרים בהם ההתפלגות של "זמן המתנה" לקבלת מאורע מסוים אינה תלויה בזמן שחלף לקבלתו. כדי למדל התפלגות כזאת, יש "לשכוח" באיזה מצב המערכת נמצא בכל נקודת זמן; כלומר, ההסתברות למאורע מסוים אינה תלויה בהיסטוריה של התהליך. רק שתי התפלגויות הן חסרות זיכרון: ההתפלגות הגאומטרית הבדידה וההתפלגות המעריכית הרציפה.
דוגמאות.
התפלגות בדידה.
יהי formula_1 המשתנה המקרי המוגדר כמספר הטלות קובייה הוגנת עד לקבלת הספרה formula_2. כלומר formula_3 (מתפלג גאומטרית עם פרמטר formula_4). מספר הטלות הקובייה אינו משפיע על ההסתברות לקבלת הספרה formula_2 בכל הטלה. גם אם הטלנו formula_6 הטלות למשל, בהטלה הבאה ההיסטוריה של תוצאות ההטלה הקודמות "נשכחת", וההסתברות לקבלת formula_2 היא שוב formula_8.
התפלגות רציפה.
יהי formula_1 המשתנה המקרי המוגדר כמשך החיים של נורה חשמלית, כלומר הזמן שחולף מתחילת השימוש בה עד שהיא נשרפת. נניח שידוע שנורה נשרפת אחרי 1000 שעות הדלקה בממוצע, כלומר שתוחלת מספר השעות היא formula_10. אם אחרי 100 שעות הדלקה הנורה לא נשרפה, ההסתברות שתישרף ב-1000 השעות הבאות, כלומר כעבור 1100 שעות בסך הכל, זהה להסתברות שתישרף ב-1000 השעות הראשונות. זאת מההנחה, שבכל רגע ההסתברות שהנורה תישרף זהה, ללא תלות בגילה של הנורה. לכן אם היא פעלה זמן מסוים, ואחר כך הפעלנו אותה שוב, הזמן הממוצע בו תישרף מרגע ההדלקה לא משתנה. אנו אומרים ש-formula_11 (מתפלג אקספוננציאלית עם פרמטר formula_12).
הגדרה פורמלית.
חוסר זיכרון של משתנה מקרי בדיד.
יהי formula_1 משתנה מקרי בדיד שמקבל ערכים אי שליליים. אומרים שהתפלגותו חסרת זיכרון אם לכל formula_14 מתקיים:
כלומר, ההסתברות המותנית ש-formula_1 יקבל ערך גדול מ-formula_17 בהינתן שערכו גדול מ-formula_18, זהה להסתברות שיקבל ערך גדול מ-formula_19. בהתייחס לדוגמה שלעיל, ההסתברות שהקובייה תוטל יותר מ-formula_6 פעמים עד שיתקבל formula_2 לראשונה אם יודעים שהיו כבר יותר מ-formula_22 הטלות, זהה להסתברות שהיו יותר מ-formula_23 הטלות: תוצאות formula_22 ההטלות הראשונות לא משפיעות על ההטלות הבאות אחריהן.
ההתפלגות הבדידה היחידה שחסרת זיכרון היא ההתפלגות הגאומטרית.
חוסר זיכרון של משתנה מקרי רציף.
יהי formula_25 משתנה מקרי רציף המקבל ערכים אי שליליים. אומרים שהתפלגותו חסרת זיכרון אם לכל formula_26 מתקיים:
אם נחזור לדוגמת הנורה, ההסתברות שהנורה תישרף כעבור יותר 1100 שעות אם ידוע שלא נשרפה ב-100 השעות הראשונות, זהה להסתברות שתישרף כעבור 1000 שעות: מכיוון שהנורה נשרפת ברגע אקראי, formula_28 השעות הראשונות לא משפיעות על ההסתברות שהנורה תישרף בנקודת זמן כלשהי אחריהן.
ההתפלגות הרציפה היחידה שחסרת זיכרון היא ההתפלגות האקספוננציאלית.
מעגל אוילרי
חניון גבעתי
סיבית קשה
בתורת הקריפטוגרפיה, סיבית קשה של פונקציה חד-כיוונית formula_1, היא פונקציה formula_2 בעלת פלט של סיבית אחת (זוהי הסיבית ה"קשה") שקשה לנחשה גם כאשר הערך formula_3 ידוע.
הגדרה.
תהי formula_4 פונקציה חד-כיוונית.
הפונקציה formula_5 נקראת "סיבית קשה" של formula_1 אם מתקיימים התנאים הבאים:
formula_11
שימושים.
ביט-קשה של פונקציה חד-חד ערכית חד כיוונית, יכול לשמש עבור פרוטוקול התחייבות לביט, בו משתמש מתחייב לביט מסוים, מבלי לגלות מהו הביט. למשל, כאשר שני משתמשים (אליס ובוב), שאינם נמצאים זה ליד זה, רוצים להטיל מטבע יחדיו באופן אקראי, מבלי שאחד הצדדים יוכל לרמות.
פתרון אפשרי הוא שאליס תתחייב לביט מסוים formula_2 על ידי שליחת הערך formula_3. כיוון שהביט הנ"ל הוא קשה בוב אינו יודע מהו הביט אליו אליס מחויבת. בוב ממשיך על ידי בחירת ביט אקראי formula_19. כעת אליס מגלה את הערך formula_20, ובוב בודק שאכן formula_3 הוא הערך שאליס שלחה בהתחייבות, ומחשב את הביט שאליו אליס מחויבת, formula_2.
הביט שהוגרל בשיטה זו הוא formula_23. שני הצדדים אינם יכולים לרמות: בוב אינו יודע את הערך של formula_2, ולכן אינו יכול להטות את התוצאה על ידי בחירת formula_19. אליס אינה יכולה לשנות את התחייבותה, מכיוון שהפונקציה חד-חד ערכית ולכן, לפי הגדרה, לא קיים formula_26 כך ש-formula_27. מכאן נובע ששני הצדדים בחרו ביט מבלי לדעת מה האחר בחר, ולכן הביט הסופי הוא "הוגן".
שימוש נוסף עבור ביט-קשה הוא בניית מחולל פסבדו אקראי קריפטוגרפי. בהינתן גרעין formula_28 מפעילים עליו שוב ושוב את הפרמוטציה החד-כיוונית, ועבור כל הפעלה מחשבים את הביט-הקשה. המחרוזת הנוצרת מהביטים הקשים מהווה פלט פסבדו אקראי במובן הקריפטוגרפי. באופן פורמלי, המחולל formula_29 ניתן לתיאור עלי-ידי
formula_30
כאשר formula_31 הוא פולינומי באורך הקלט formula_28, ו-formula_33 משמעותו הפעלת הפרמוטציה formula_34 פעמים, לדוגמה formula_35.
קיום.
בשנת 1989, הוכיחו מדעני המחשב עודד גולדרייך ולאוניד לוין, שכל פונקציה חד-כיוונית ניתן לשנות לפונקציה חד-כיוונית בעלת סיבית קשה (חישובית).
בהינתן פונקציה חד-כיוונית formula_1, נגדיר את הפונקציה formula_37 עבור formula_38. פונקציה זו היא חד-כיוונית והסיבית formula_39 היא סיבית קשה של formula_40.
ההוכחה מתבססת על כך שאם קיים אלגוריתם לניחוש הסיבית הקשה, ניתן להשתמש בו על מנת להפוך את הפונקציה החד-כיוונית formula_40: בהינתן formula_3 האלגוריתם "מנחש" את ערך הביט-הקשה עבור כמות קטנה של ערכי formula_43, (נאמר, formula_44 קלטים כנ"ל). בעזרת ניחוש זה ניתן לבנות קבוצה גדולה של ערכי formula_43 שהם בלתי-תלויים בזוגות.
אם קיימת מכונה אשר מגלה את הביט הקשה בהסתברות בלתי-זניחה, ניתן להפעיל את המכונה על הקבוצה הגדולה של ה-formula_43ים, ולהשוות אל הערכים שניחשנו. משיקולים הסתברותיים, ניתן יהיה לזהות מהו הניחוש הנכון של הביטים הקשים עבור הקבוצה ההתחלתית הקטנה, בהסתברות בלתי-זניחה.
מכיוון שכל ערך formula_43 הוא פונקציה ליניארית של סיביות formula_20, מספיקה ידיעת formula_49 ערכים בלתי-תלויים על מנת לחשב את כלל הסיביות של formula_20.
עבדי-ח'פה
ירושלים בתקופת הברונזה
מרכז רפואי שערי צדק
אבויו