הרעיון הכללי בשיטת האלכסון הוא לבנות אובייקט מתמטי קביל המתייחס לעצמו באופן עקיף. אופי ההתייחסות תלוי בטענה שאותה רוצים להוכיח. הוכחה כללית בשיטה זו בנויה כך: בהינתן אוסף של איברים formula_271 ואוסף של אובייקטים מהצורה formula_272, לכל formula_273. נניח שכל אובייקט formula_272 פועל בצורה כלשהי על איברי formula_271. נסמן את הפעולה של formula_272 על formula_277 כ-formula_278 (ניתן לחשוב על formula_272 כפונקציה של איברי formula_271). מגדירים אובייקט formula_281 שנקרא ה"אלכסון", כך שתוצאת הפעולה formula_282 נקבעת על פי תוצאת הפעולה formula_283. אם קיים formula_284 כך ש-formula_285, אז הכרח שהוא מתייחס לעצמו, שכן לפי ההגדרה, formula_286 נקבע על פי formula_287, כלומר על פי עצמו.
השם "אלכסון" מקורו בהמחשה הוויזואלית של שיטת ההוכחה, כפי שהיא מודגמת בטיעון האלכסון של קנטור. הרעיון הוא לדמיין טבלה (אינסופית לרוב) שכל שורה בה מייצגת איבר formula_268 וכל עמודה בה מייצגת אובייקט formula_272 (באותו הסדר). בהצטלבות בין השורה של formula_290 לעמודה של formula_272 מופיע formula_292. אובייקט ה"אלכסון" formula_281 נבנה על סמך התאים בטבלה שהם מהצורה formula_283, שמסודרים בקו אלכסוני לאורך ורוחב הטבלה.
להלן דוגמאות חשובות להוכחה בשיטת האלכסון:
משפט קנטור בתורת הקבוצות האקסיומטית ובתורות חלופיות.
הפרדוקסים שנתגלו בגישתו של קנטור לתורת הקבוצות – גישה שלימים נקראה תורת הקבוצות הנאיבית – הביאו לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית. התורה האקסיומטית מסתמכת על מערכת של אקסיומות בסיסיות ומוגדרות היטב, כדי למנוע את הופעתם של פרדוקסים. המערכת המקובלת היא מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (ZF). במערכת זו משפט קנטור תקף לגבי כל קבוצה. אקסיומת קבוצת החזקה מבטיחה את קיומה של קבוצת החזקה ואקסיומת ההחלפה מבטיחה את קיומה של הקבוצה formula_101 הנדרשת בהוכחה. אקסיומת האינסוף קובעת את קיומה של קבוצה אינסופית, ולכן המסקנה ממשפט קנטור כי יש אינסוף עוצמות אינסופיות שונות, אף היא תקפה. הפרדוקסים אינם מופיעים ב-ZF, כי במערכת זו אוסף כל הקבוצות ואוספים דומים לו אינם קבוצות.
בגישות חלופיות לתורת הקבוצות משפט קנטור עשוי שלא להיות תקף. בתורות טיפוסים שונות להוכחת משפט קנטור אין משמעות, כי לא ניתן להשוות בין formula_1 ל-formula_91 שלהן טיפוסים שונים. כדי להתגבר על כך מגדירים קבוצה formula_349 שיש לה טיפוס זהה ל-formula_91, ולגביה אכן מתקיים formula_351 בהתאם למשפט קנטור. לאור העובדה שבתורת הטיפוסים קיימת קבוצת כל הקבוצות formula_203, נשאלת השאלה כיצד בתורה זו נמנעים הפרדוקסים של קנטור ושל ראסל. התשובה היא שבתורת הטיפוסים הפונקציה formula_353 המוגדרת formula_209 אינה קיימת. למעשה בתורה זו formula_355. בתורת הטיפוסים, כאשר מתקיים formula_356, הקבוצה נקראת "קבוצה קנטורית" ולגביה מתקיים משפט קנטור במובנו הרגיל.
אסכולת הקונסטרוקטיביזם בפילוסופיה של המתמטיקה לא מכירה בקיומם של אובייקטים שלא ניתן לבנות אותם במפורש ובאופן סופי. בפרט, חברי האסכולה אינם מכירים בקבוצות שאינן בנות מנייה ולכן משפט קנטור לא יכול להיות נכון. לשיטתם, הוכחת המשפט אינה תקפה משום שהיא נעשית בדרך השלילה, בעוד שהם אינם מכירים בכלל השלישי מן הנמנע.
ב-1922 הציג תוראלף סקולם את פרדוקס סקולם שעוסק בסתירה לכאורה בין משפט קנטור לבין קיום מודל בן מנייה של תורת הקבוצות האקסיומטית, כפי שנובע ממשפט לוונהיים-סקולם. סקולם הציג גם פתרון לפרדוקס, המראה שסתירה אינה קיימת באמת.
הכללות.
משפט קניג, שהוכח על ידי המתמטיקאי ההונגרי גיולה קניג (נודע גם כיוליוס קניג; 1849-1913) הוא הכללה מרחיקת לכת של משפט קנטור. המשפט קובע שלכל קבוצה formula_1, אם לכל formula_358 נתונות זוג עוצמות formula_359 ו-formula_360, כך שמתקיים formula_361, אז:
אגף שמאל הוא סכום העוצמות formula_359, ואילו אגף ימין הוא מכפלת העוצמות formula_360. האי-שוויון טריוויאלי כאשר העוצמות והקבוצה סופיים, אבל כלל אינו ברור מאליו למקרים אינסופיים. אם למשל תוחלף המכפלה באגף ימין בסכום, עשוי להתקיים שוויון (מה שבוודאי לא נכון במקרה הסופי).
משפט קנטור מתקבל כמקרה פרטי של משפט קניג. אם לכל formula_358 בוחרים formula_366 ו-formula_367, אז ממשפט קניג נקבל:
משפט קניג מניח את אקסיומת הבחירה, ולמעשה שקול לה.
מגדירים את הקופינליות של עוצמה formula_369 בתור העוצמה הקטנה ביותר formula_370 שמקיימת את התנאי הבא: לכל formula_371 קיימת עוצמה formula_372 כך שמתקיים: formula_373. מסמנים את הקופינליות של formula_369 בסימון formula_375. נשים לב שתמיד ניתן לבחור formula_376, ואז formula_377. לכן תמיד מתקיים formula_378.
ממשפט קניג נובע מיד ש-formula_379 (בוחרים את formula_1 ממשפט קניג להיות formula_381 מהגדרת הקופינליות). מהזהות האחרונה נקבל שלכל קבוצה אינסופית formula_1 מתקיים formula_383. ההוכחה נעשית בדרך השלילה:
קיבלנו שלקבוצות אינסופיות מתקיים האי-שוויון החזק formula_383. זהו אי-שוויון חזק יותר מאשר משפט קנטור משום ש-formula_387, וייתכנו מקרים בהם formula_388.
תוצאות אנלוגיות למשפט קנטור מראות אי קיום איזומורפיזם בין מבנים מסוימים לבין מבנים המורכבים מתת-מבנים שלהם (למשל קבוצות סדורות). משפט קנטור מתקבל לעיתים כמקרה פרטי של משפטים כאלה, כאשר נבחר מבנה טריוויאלי, כך שאוסף התת-מבנים הוא קבוצת החזקה וכל פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא איזומורפיזם.
היסטוריה.
ראשיתה של תורת הקבוצות בתגליות של גאורג קנטור מראשית שנות השבעים של המאה ה-19, בעת שעסק במחקר בתחום האנליזה המתמטית. ב-1874 הוכיח קנטור לראשונה שישנה יותר מעוצמה אינסופית אחת בכך שהראה שאין פונקציה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת המספרים הממשיים לקבוצת המספרים הטבעיים. כיוון שחקר האינסוף לא נחשב עיסוק מתמטי באותם ימים, קנטור התייחס לתגליתו בעיקר כהוכחה לכך שמרבית המספרים הממשיים הם טרנסצנדנטיים (שכן המספרים האלגבריים הם בני מנייה). בשנים שלאחר מכן פרסם קנטור סדרת מאמרים שהרחיבה את התורה.
ב-1891 פרסם קנטור מאמר בגרמנית בשם "Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre" ("על שאלה אלמנטרית בתורת הקבוצות"). במאמר מופיע האלכסון של קנטור, ומיד לאחריו כתב קנטור:
בהמשך המאמר, פונה קנטור להוכחת המשפט. ההוכחה המקורית של קנטור זהה במהותה לנוסח המודרני של ההוכחה, אך היא נוסחה בצורה שונה במעט. במקור קנטור הראה שאין התאמה חד-חד-ערכית ועל בין formula_1 לבין קבוצת הפונקציות המציינות של formula_1 (כאמור, נוסח זה שקול לנוסח על קבוצת החזקה). קנטור טען שאילו הייתה התאמה כזו, הרי שהייתה קיימת פונקציה דו-מקומית formula_391, כך שלכל פונקציה מציינת formula_230 שהותאם לה האיבר formula_53 מתקיים: formula_394. כעת קנטור בונה פונקציה מציינת formula_395 שמוגדרת כהיפך מ-formula_396 (ניתן להגדיר כך: formula_397). לפי ההנחה קיים formula_398 כך ש-formula_399, ולכן מקבלים סתירה: formula_400.
לנוסח המודרני של ההוכחה אחראי ארנסט צרמלו. משפט קנטור והוכחתו מופיעים במאמר של צרמלו משנת 1908 שבו ייסד את תורת הקבוצות האקסיומטית. צרמלו הוא גם זה שקרא למשפט על שמו של קנטור.
טרבלינקה
טְרֶבְּלִינְקָה (בגרמנית: Treblinka) הוא אחד מבין שלושת מחנות ההשמדה הגדולים שהופעלו על ידי האס אס במסגרת מבצע ריינהרד להשמדת יהדות פולין (בלז'ץ, סוביבור וטרבלינקה). המחנה נמצא באזור מרוחק מיישוב אך בקרבה יחסית לעיר ורשה (כשעה וחצי ברכבת).
הרציחות במחנות אלו היו חלק מהשמדת יהודי אירופה הכבושה על ידי גרמניה הנאצית במהלך מלחמת העולם השנייה ("הפתרון הסופי"). אומדן כל הנספים בטרבלינקה נע בין 870,000 ל-880,000 בני אדם, מהם 99.5% היו יהודים ורוב הנותרים צוענים. שטח המחנה הקטן, ומבנהו, הוכיחו כבר במשפט אייכמן, שהמחנה נועד להשמדה, והחזיק בחיים מספר קטן של יהודים לעבודה בניצול שאריות היהודים - ביגוד, חפצי ערך, נעליים, שיני זהב ואף השיער שלראש המומתים. במקום הופעל תא גז המופעל ככל הנראה בדיזל, וכן הומתו חולים בירי. הגופות הושארו בבורות ענק במרכז אזור ההשמדה במחנה, אך לאחר המפלה הגרמנית בסטלינגרד, החלו בשריפת הגופות ומחיקת הראיות לנעשה שם. בעקבות מרד שפרץ במקום הצליחו כמאתיים אסירים להימלט ומיעוטם שרד את הבריחה. לאחר המרד המחנה פורק ונחרש, אך נותרו תמונות שמפקד המחנה צילם וכן מידע ארכאולוגי ועדויות הניצולים. מפקד המחנה וסגנו הוסגרו מדרום אמריקה וישבו בכלא, אך מפקד הכלא שוחרר מסיבות בריאות ומת בביתו.
היסטוריה.
הקמת המחנה ותפעולו.
מחנה ההשמדה טרבלינקה שכן כ-85 קילומטרים צפון-מזרחית לוורשה וכ-3.5 קילומטרים דרום-מזרחית לכפר טרבלינקה, לא הרחק ממאלקיניה גורנה, שבה תחנת רכבת על קו מסילת הרכבת הראשית ורשה-ביאליסטוק. המחנה מוקם באזור דליל אוכלוסין מכוסה יער והוסתר בחורש סביב.