במקרה הכללי, העיקרון קובע שגודל האיחוד של כמה קבוצות שווה לסכום מתחלף: סכום הגדלים של כל הקבוצות, פחות סכום הגדלים של חיתוכים של שתי קבוצות, ועוד סכום הגדלים של חיתוכים של שלוש קבוצות, פחות סכום הגדלים של חיתוכים של ארבע קבוצות, וכן הלאה.
נוסחת ההכלה וההפרדה לגודל האיחוד של שלוש קבוצות היא formula_10.
נראה כיצד ניתן לחשב את מספר התמורות על formula_11 איברים שבהן אף איבר אינו נשאר במקומו. כדי להפעיל את עקרון ההכלה וההדחה, נסמן ב-formula_12 את קבוצת התמורות שבהן האיבר ה-i דווקא נשאר במקומו. השאלה היא כמה תמורות נמצאות מחוץ לכל הקבוצות, ומכיוון שמספר התמורות הכללי הוא formula_13, די לספור כמה תמורות שייכות לקבוצה אחת לפחות; כלומר, לחשב את formula_2. בחיתוך של k קבוצות נמצאות התמורות שמשאירות את k האיברים המתאימים במקומם, בלי קשר לשאלה מה הן עושות בשאר האיברים. לכן גודל החיתוך הוא formula_15, וזאת לכל אחת מ- formula_16 הבחירות של האיברים השונים formula_17. לפי עקרון ההכלה וההדחה, formula_18. הסיכוי שתמורה אקראית תהיה שייכת לקבוצה הזאת הוא formula_19, שהוא קירוב טוב מאוד למספר formula_20.
הוכחת העיקרון.
כדי להוכיח את השוויון formula_5, נבדוק כמה פעמים נספר איבר x בשני האגפים. אם x אינו שייך לאף קבוצה, אז הוא נספר פעם אחת באגף שמאל, ופעם אחת (במסגרת החיתוך הריק, עבור k=0) באגף ימין. אחרת, נניח שהוא שייך בדיוק ל-m קבוצות, ומטעמי סימטריה אפשר להניח שאלו הן הקבוצות formula_22; בפרט, x אינו שייך לקבוצות formula_23. במקרה כזה האיבר נספר באגף ימין בדיוק formula_24 פעמים לפי נוסחת הבינום של ניוטון, בדיוק כמו באגף שמאל.
ארון הברית
אֲרוֹן הַבְּרִית, הקרוי גם ארון האלוהים או אֲרוֹן הָעֵדוּת, הוא הארון בו נשמרו לוחות הברית, לפי המסורת היהודית. ארון זה הושם בתוך קודש הקדשים שבבית המקדש. הוא צופה זהב ועוטר בזר מזהב.
מבנה הארון.
מבנה הארון מתואר בפרשת תרומה בחומש שמות (). שם מתואר שהיה עשוי מעצי שיטה, ומצופה זהב מצידו החיצוני והפנימי. גודלו מתואר: "... אמתים וחצי אורכו ואמה וחצי רוחבו ואמה וחצי קומתו", אולם, נחלקו תנאים במהותה של אמה זו - לדעת רבי מאיר מדובר באמה הסטנדרטית, בעלת שישה טפחים, ולדעת רבי יהודה, מדובר ב"אמת הכלים" המכילה רק חמישה טפחים. הארון היה נישא על ידי מוטות עצי שיטים מצופים בזהב, שהוכנסו לטבעות זהב שנוצקו לצידי הארון.
על פי הגמרא במסכת יומא, הארון היה מורכב משלושה ארגזים פתוחים מלמעלה אחד בתוך השני. הארגז הפנימי עשוי זהב, האמצעי עשוי עצי שיטים והחיצוני גם הוא מזהב. השפה העליונה מחופה בזהב וכך מתקיים הציווי "מבית (מבפנים) ומחוץ תצפנו (זהב)".
שפת הארון החיצוני הייתה גבוהה במעט מהפנימיים, התוספת הייתה בצורת זר כך שכאשר הונחה הכפורת על הארון נראתה ככתר. מכסה הארון, ה"כפורת", היה לוח זהב בעובי טפח ועליו היו שני כרובי זהב שפניהם איש אל אחיו. בצידי הארון היו טבעות זהב שבהן היו קבועים בדים - שני מוטות עץ המצופים זהב, וישנו איסור להוציאם מהטבעות.
בפרשת תרומה מתואר כי מעל ארון-הקודש ועל שלחן לחם-הפנים נעשה "זֵר זָהָב סָבִיב" אם ארון הברית היה בנוי בצורת תיבת עץ מלבנית המצופה זהב מבפנים ומחוץ, הרי הפירוש המתבקש של המונח "זֵר זהב סביב" הוא מעין "פס זהב מעובד, יצוק או רקוע, המחובר לקצה העליון של דפנות התיבה" . ברוח זו מפרש רש"י את פסוק י"א ומגדיר את זֵר הזהב "כמין כתר מקיף לו סביב למעלה משפתו" של ארון-הברית. בעקבות פירוש זה, בנה האמן את ארון הקודש של בית-כנסת במודנה שבאיטליה בשנת 1472. הוא עיצב אותו כתיבת עץ והקיף את קצהו העליון בכרכוב מגולָּף ומוזהב.
יאשיה דרבי העריך שעובי ציפוי הזהב של הארון היה 1/64 אינץ' (=0.04 ס"מ), ועל כן בהנחה של אמה באורך 45.7 סנטימטר, העריך את משקל זהב הארון ללא הכפורת בכ-39 קילוגרם. משקל הכפורת, בהנחה שעוביו היה 1/16 אינץ' הדרוש כדי שישמור על יציבות, הוערך בכ-23.9 קילוגרם והכרובים הוערכו כשוקלים כ-17.9 קילוגרם. את משקל העץ של הארון הוא מעריך בכ-22.5 קילוגרם ואת משקל הלוחות בכ-27 קילוגרם. המשקל הכולל של הארון ותכולתו על פי הערכה זאת הגיע לכ-130.3 קילוגרם. לטענת דרבי, ארבעה אנשים לא היו יכולים לשאת משקל זה והיה צורך להסיע את הארון או לשאתו על ידי יותר אנשים. אליהו שץ מציג הערכה נמוכה יותר, על פיה משקל הארון על תכולתו הגיע ל-83 קילוגרם בלבד, משקל שארבעה אנשים יכולים לשאת ללא קושי מיוחד. לטענתו של שץ, הזהב של הארון לא היה טהור לגמרי, עם משקל סגולי של 19.2 גרם לסמ"ק, אלא סביר יותר להעריך את משקלו הסגולי כ-17 גרם לסמ"ק. שץ טוען שעובי ציפוי הזהב היה כ-0.02 סנטימטר, מחצית מזה של דרבי, וכן טוען לאמה של 43.2 ס"מ בלבד. כן טוען שץ שהלוחות שקלו רק כ-5 קילוגרם. רוב המפרשים לא התייחסו למשקל הארון. על פי עמדת חז"ל, הארון היה ניסי ועל כן יכול היה לשאת את עצמו, גם אם היה כבד בהרבה מההערכות לעיל.
תולדות הארון.
במדבר.
יצירת הארון.
על פי המסופר בספר שמות, הארון נבנה על ידי בצלאל בן אורי על פי ציווי ה' את משה רבנו. עד להשלמתו, הלוחות הונחו בארון עץ שמשה נצטווה להכין לפני שקיבל את הלוחות השניים.
נשיאת הארון בכתף.
בתקופת נדודי עם ישראל במדבר סיני בדרכו לארץ ישראל, כאשר בית המקדש התקיים באופן ראשוני על ידי משכן נייד הניתן לפירוק והרכבה, היה על הלוויים לפרק ולהרכיב את המשכן, ולשאתו בדרך ממקום למקום.
משפחת קהת נשאה את כלי המשכן - ארון הברית, שולחן לחם הפנים ועוד. מפאת קדושתם של הכלים נצטוו הקהתים לשאת את הכלים בידיהם, ולא בעגלה, ככתוב: "כי עבודת הקדש עליהם, בכתף ישאו".
מהכניסה לכנען עד בניית בית המקדש.
לפני ששכן ארון הברית בבית המקדש הוא היה במשכן, מקדש נייד שנשאו בני ישראל במדבר ובכניסתם לכנען. במועד פרשת פילגש בגבעה כתוב שמקומו היה בבית אל ובפרשת פסל מיכה ובספר שמואל כתוב שמקומו היה בעיר שילה. בספר שמואל א' מסופר על נפילת הארון בשבי על ידי הפלשתים. כנהוג במזרח הקדום, ארון הברית (כמו חפצים דתיים אחרים) נלקח אל שדה הקרב בתקווה שהאל יעזור ללוחמים. בשל תבוסת בני ישראל נפל הארון בשבי ונלקח אל אשדוד, אל מקדש האל דגון. על פי המסופר, בבוקר למחרת, פסלו של דגון היה מונח על הרצפה כשידיו כרותות ומונחות על מיפתן הדלת לפני ארון הברית. ארון הברית הועבר לעקרון וגרם שם למגפה. לאחר כ-7 חודשים החליטו סרני הפלשתים (מנהיגי הערים הפלשתיות) להשיב את הארון לבני ישראל. הארון נשלח חזרה לבית שמש וגם שם גרם למגפה בקרב כל מי שראה את הארון, בה נפגעו רבבות אנשים. הארון נלקח לבית אבינדב (קריית יערים) בגבעה ושם נשמר עד שדוד העלה אותו לירושלים.
עת נלקח הארון בשבי, איש בנימין שנס מן המערכה העביר את הבשורה לעלי הכהן. האיש מן המערכה תיאר את נפילת הארון כחלק מתיאור רשימת אסונות, שסודרו מן הקל לכבד. ראשית, תיאר את התבוסה האסטרטגית (העם נסוג מן המערכה), הנופלים בקרב (30 אלף נפש), מותם של חפני ופינחס ולבסוף נפילת ארון הברית בשבי. הכתוב בספר שמואל מתאר כי עם הזכרת האסון האחרון, נפל עלי הכהן ומת. חוקר המקרא יאיר זקוביץ מסביר כי יש רגלים לסברה כי המילה "איש בנימין" הוא חילוף מאוחר, שנעשה בכוונת מכוון על-ידי עורכי הסיפור לדורותיהם. כך, במקור נכתב "איש בנוסו מן המערכה", אך בהמשך, ביקשו להחליף את הביטוי ב"איש בנימין", על-מנת להציג את המלך שאול באור בזוי.
דוד המלך הביא בימיו את הארון לירושלים בחגיגה גדולה, ושם היה עד בניית בית המקדש. ובנו
ארון הברית בבתי המקדש.
שלמה בן דוד העביר את הארון אל קודש הקודשים, הדביר, של בית המקדש שבנה. הארון הוצב תחת שני כרובים עשויים זהב שסוככו מעליו, וכונו "הדום ה'". לדביר, רק הכהן הגדול הותר להיכנס, ורק פעם אחת בשנה - ביום כיפור. מלבד הארון שכן בדביר גם מטה אהרן הכהן, הכהן הגדול הראשון. גורלו של ארון-הברית לאחר שהעבירוהו למקדש אינו ידוע. ברשימות שלל המשיסה של נבוכדנצר, וזו של הכלים שהשיב כורש מלך פרס לבניין המקדש השני, הארון לא נזכר, וספק אם חפץ זה, הקדוש והיקר ביותר באוצרות המקדש (והיהדות), היה נלקח מבלי שיוזכר בתנ"ך.
הארון נקרא בכמה שמות: "ארון העדות" (בספר שמות) "ארון ברית ה'" (בספר דברים ויהושע), ו"ארון ה'" ו"ארון האלוהים" בנביאים ראשונים.
מיקומו של הארון היה במקום הקדוש ביותר במקדש, בקודש הקודשים:
גניזת הארון.
יש שלוש דעות בחז"ל לגבי מקום הימצאו של ארון הברית לאחר חורבן בית ראשון. רבי אליעזר ורבי שמעון סבורים שהארון גלה לבבל. לעומתם רבי יהודה טוען שהארון נגנז במקומו במקדש, ואילו לדעת חכמים בברייתא הארון נגנז תחת לשכת העצים.
למעשה, ישנם רמזים בכתוב (המפורשים אצל חז"ל), כי ארון הברית נגנז על ידי המלך יאשיהו. כך נאמר ב:
חז"ל הבינו ש"תנו את ארון הקודש בבית" חייב להיות גניזה במחילות מתחת לבית, שהרי הארון מלכתחילה היה בבית. וכך אמרו על כך (; וכן ):
וה מספר שהארון הוסתר בדיר העצים של המקדש ומפרט:
סיכם את הדברים רד"ק בפירושו על הפסוק:
מאחר שלא נמצא ארון הברית, בבית המקדש השני לא היה ארון.
טענות אחרות על מיקומו הנוכחי.
לפי אחת ההשערות, הארון הוברח בימי מנשה, מלך יהודה ובנו של חזקיהו, מבית המקדש למצרים, למקום הנקרא באר הנשמות. משם אולי הוא נלקח לאי יב (אלפנטינה), אי על נהר הנילוס שבו שכן מקדש יהודי. לפי טענה זו, הארון המשיך במסעו וכיום הוא שוכן בכנסיית גבירתנו מרים מציון בעיר אקסום שבאתיופיה.