הארגון מחדש אינו משפיע על צפון אירלנד, שם הרכבת כבר מופעלת על ידי חברת רכבות צפון אירלנד המשולבות בצורה אנכית וכבר בבעלות ממשלתית מלאה. זה כן משפיע על מפעילי רכבות אחרים, כולל חברות כמו ScotRail, Transport for Wales, London Overground, TfL Rail (Crossrail) וחברת Merseyrail, כמו גם על הרשויות המשולבות המפקחות על רשתות רכבות מקומיות אחרות באנגליה. הממשלים המשולבים, הרשויות המשולבות ורשות לונדון רבתי ימשיכו להפעיל את סמכויותיהן בנוגע לקביעת תעריפים והענקת חוזים ויישארו אחראיות על תשתיות אלה. עם זאת, לפי ממשלת הממלכה המאוחדת, גופים אלה יידרשו לתאם עם "רכבות הממלכה המאוחדת" כדי לספק רשת רכבות לאומית אחת, כולל אתר אינטרנט ואפליקציה משותפת, כמו גם ציות לסטנדרטים לאומיים של מיתוג. "רכבות הממלכה המאוחדת" תהיה הבעלים של כל התשתית המסילתית בסקוטלנד ובוויילס שבבעלות Network Rail.
תחנות.
תחת Network Rail, כל התחנות נמצאות באופן רשמי בידי הציבור מאז 2014, אך רק 20 (בעיקר תחנות גדולות ותחנות מרכזיות) מנוהלות ישירות על ידה. "רכבות הממלכה המאוחדת" תהיה הבעלים של כל התחנות ומרבית התשתיות בבריטניה. ההשכרות הקיימות של תחנות לרשויות תחבורה מסודרות יימשכו. צוותי ניהול תחנות ייעודיים ייווצרו בתוך החטיבות האזוריות לניהול תחנות. "רכבות הממלכה המאוחדת" תפתח תוכניות אב לשיפוץ וחידוש תחנות.
מיתוג.
GBR תשתמש בחץ האדום הכפול ששימש את חברת British Rail ובגופן Rail Alphabet 2 למיתוג. תוכנית וויליאמס-שאפס קובעת שיהיה מותג אחד ומאחד לרכבות, וצפוי שזה יהיה מיתוג מחדש הדרגתי לאורך זמן. לאזורים באנגלית, סקוטלנד ווילס יהיו גרסאות משלהם, אך אלה עדיין ידגישו את האופי הלאומי של "רכבות הממלכה המאוחדת". המסמך הלבן אינו מפרט אם המיתוג של מסילות רכבת מועברות כמו London Overground ו-Merseyrail יושפע מכך.
We Remain
We Remain הוא שיר של הזמרת כריסטינה אגילרה אשר יצא כסינגל מתוך הפסקול, "", ב-1 באוקטובר 2013 על ידי חברות התקליטים RCA רקורדס, ריפבליק רקורדס וליונגייט. השיר נכתב על ידי ראיין טדר, ברנט קטצ'ל ומיקי אקו והופק על ידי השניים הראשונים.
השיר הגיע למקום ה-14 במצעד הסינגלים של ולוניה.
סוגה והצלחה.
מבחינה מוזיקלית, "We Remain" הוא שיר בלדת ארנה פופ ומבחינה לירית, הוא עוסק בהתמדה. מבקרי המוזיקה שיבחו את הלחן והצלילים של השיר וכינו אותו כאחד מרגעי השיא של הפסקול. מבחינה מסחרית, השיר לא זכה להצלחה כאשר דורג במספר מצומצם של מדינות ובמקומות נמוכים.
בסמוך לצאתו, עלה השיר לרשת הזרמת המדיה ספוטיפיי, תוך שהצליח לצבור שם למעלה מ-11 מיליון השמעות.
ג'ק מקלופלין
ג'ק אלן מקלופלין (באנגלית: Jack Alan McLoughlin; נולד ב-1 בפברואר 1995) הוא שחיין אוסטרלי סגן האלוף האולימפי (טוקיו 2020) במשחה ל-400 מטר חופשי.
ביוגרפיה.
מקלופלין נולד וגדל בדרום בריזביין, קווינסלנד.
באולימפיאדת ריו דה ז'ניירו (2016) סיים במקום תשיעי במשחה ל-1500 מטר חופשי בתוצאה של 14:56.02 דקות.
באליפות העולם שנערכה בבודפשט, הונגריה ביולי 2017 סיים במקום 11 במשחה ל-1500 מטר חופשי בתוצאה של 15:01.55 דקות ובמקום 13 במשחה ל-800 מטר חופשי בתוצאה של 7:53.51 דקות. נוסף לכך הוא השתתף בתחרויות במשחים במים פתוחים וסיים במקום 23 במשחה ל-5 ק"מ בתוצאה של 55:05.8 דקות ובמקום רביעי במשחה שליחים 4x1.25 ק"מ משולב (2 שחייניות ו-2 שחיינים) בתוצאה של 54:42.9 דקות.
במשחקי חבר העמים שנערכו בגולד קוסט, קווינסלנד בתחילת אפריל 2018 הוא זכה בשתי מדליות, זהב וכסף. מדליית זהב במשחה ל-1500 מטר חופשי בשיא אישי חדש של 14:47.09 דקות, לפני דניאל ג'רוויס מוויילס (14:48.67 דקות) ומק הורטון (14:51.05 דקות) ומדליית כסף במשחה ל-400 מטר חופשי בתוצאה של 3:45.21 דקות, אחרי מק הורטון (3:43.76 דקות) ולפני ג'יימס גאי מאנגליה (3:45.32 דקות).
מדליית זהב באליפות עולם.
באליפות העולם שנערכה בקוואנגג'ו, קוריאה הדרומית ביולי 2019 זכה במדליית זהב במשחה שליחים 4x200 מטר חופשי לאחר ששחה בשלב המוקדמות. כשחיין שני קבע ב"זינוק שליחים" תוצאה של 1:46.80 דקות. נוסף לכך, הוא סיים במקום רביעי במשחה ל-800 מטר חופשי בתוצאה של 7:42.64 דקות, במקום שישי במשחה ל-400 מטר חופשי בתוצאה של 3:45.19 דקות, בשלב המוקדמות הוא קבע תוצאה של 3:44.79 דקות ועלה מהמקום השלישי למשחה הגמר ובמקום 16 במשחה ל-1500 מטר חופשי בתוצאה של 15:04.64 דקות.
במבחנים האוסטרלים לאולימפיאדת טוקיו (2020) שנערכו באדלייד, אוסטרליה הדרומית ביוני 2021 הוא זכה במדליית כסף במשחה ל-400 מטר חופשי בשיא אישי חדש של 3:43.27 דקות, אחרי אלייג'ה ווינינגטון (3:42.65 דקות) ולפני מק הורטון (3:43.92 דקות).
סגן אלוף אולימפי.
במשחקים האולימפיים עצמם זכה במדליית כסף במשחה ל-400 מטר חופשי בתוצאה של 3:43.52 דקות, אחרי אחמד חפנאווי מתוניסיה (3:43.36 דקות) וקירן סמית' מארצות הברית (3:43.94 דקות). נוסף לכך, הוא סיים במקום חמישי במשחה ל-800 מטר חופשי בתוצאה של 7:45.00 דקות ובמקום עשירי במשחה ל-1500 מטר חופשי בתוצאה של 14:56.98 דקות.
משפט בליכפלדט
משפט בליכפלדט הוא משפט מתמטי בגיאומטריה של מספרים, הקובע שבהינתן קבוצה חסומה בעלת שטח formula_1 במישור האוקלידי, ניתן להזיזה כך שהיא תכלול בתוכה לפחות formula_2 נקודות סריג. באופן שקול, הקבוצה מכילה לפחות formula_2 נקודות אשר הקואורדינטות שלהן שונות זו מזו בוקטור שלם. המשפט תקף גם לסריגים לא ריבועיים ובממד גבוה יותר, וניתן לפרש אותו כגרסה רציפה של עקרון שובך היונים. הוא נקרא על שם המתמטיקאי הדני-אמריקאי הנס פרדריק בליכפלדט, אשר פרסם אותו ב-1914. מקורות מסוימים מכנים את המשפט עקרון בליכפלדט או למת בליכפלדט.
ניסוח והוכחה.
המשפט ניתן לניסוח בצורה הפשוטה ביותר בעבור קבוצת נקודות במישור האוקלידי. בעבור גרסה זו של המשפט, תהי formula_4 קבוצה מדידה כלשהי, ויהי formula_1 שטחה, אז נעגל את המספר הזה כלפי מעלה אל הערך השלם הקרוב ביותר formula_6 (פונקציית התקרה). משפט בליכפלדט קובע ש-formula_4 ניתנת להזזה כך שהעותק המוזז שלה מכיל לפחות formula_8 נקודות עם קואורדינטות שלמות.
הרעיון הבסיסי של ההוכחה הוא לחתוך את formula_4 לחתיכות על פי הריבועים של הסריג, ואז להזיז את כל אחת מהחתיכות הללו בוקטור שלם כך שהיא תימצא בתוך ריבוע היחידה אשר ראשית הצירים היא הפינה הימנית התחתונה שלו. ההזזה הזו עשויה לגרום לנקודות מסוימות להיות מכוסות יותר מפעם אחת, אך אם מחשבים את סכום השטחים של האזורים השונים תוך כדי שקלול הריבוי שלהם, אז השטח הכולל של הקבוצה נשאר ללא שינוי, ושווה ל-formula_1. כדי להוכיח את המשפט, מספיק להוכיח שיש נקודה עם ריבוי formula_8. לשם כך, נניח בשלילה שכל נקודות ריבוע היחידה הן בעלות ריבוי של לכל היותר formula_12. אם זה כך, פירוש הדבר הוא ששטח הקבוצה הוא לכל היותר formula_12, פחות מ-formula_1. לפיכך, נקודה כלשהי formula_15 בריבוע היחידה חייבת להיות מכוסה בריבוי של לפחות formula_8. הזזה שתיקח את formula_15 לראשית תיקח גם את formula_8 הנקודות של formula_4 שכיסו את formula_15 לנקודות שלמות (נקודות סריג), וזה מה שנדרש.
באופן כללי יותר, המשפט תקף לקבוצות formula_21-ממדיות formula_4, עם נפח formula_21 ממדי formula_1, ולסריג formula_21-ממדי שרירותי formula_26. בדיוק כשם שסריג היחידה הריבועי מחלק את המישור לריבועי יחידה, סריג שרירותי מחלק את המרחב לתחומים יסודיים (הנקראים מקבילונים יסודיים) עם התכונה שכל אחד מהתחומים האלו ניתן להזזה אל כל אחד מהאחרים על ידי חיבור של וקטור שלם. אם formula_27 הוא הנפח ה-formula_21-ממדי של המקבילון היסודי, אז משפט בליכפלדט קובע ש-formula_4 ניתנת להזזה כך שהיא תכלול לפחות formula_30 נקודות של formula_26.
יישומים.
למת מינקובסקי.
למת מינקובסקי, שהוכחה מוקדם יותר בהשוואה למשפט בליכפלדט (על ידי הרמן מינקובסקי), קובעת שכל קבוצה קמורה במישור בעלת סימטריה ביחס לראשית, עם שטח גדול מארבע (או קבוצה קומפקטית סימטרית עם שטח שווה בדיוק לארבע) מכילה נקודת סריג שונה מאפס. באופן כללי יותר, קבוצה בעלת סימטריה מרכזית ביחס לראשית ובעלת נפח גדול מ-formula_32, מכילה נקודת סריג שונה מאפס.
אף על פי שהוכחתו המקורית של מינקובסקי הייתה שונה, בעזרת משפט בליכפלדט ניתן לתת הוכחה קלה ללמת מינקובסקי. תהי formula_33 כל קבוצה קמורה בעלת סימטריה מרכזית עם נפח גדול מ-formula_32. נשנה את קנה המידה של הצורה בפקטור שניים בכל הכיוונים כדי לקבל קבוצה שנסמנה formula_35 שהיא בעלת נפח גדול מ-formula_27. לפי משפט בליכפלדט, formula_35 מכילה לפחות שתי נקודות formula_15 ו-formula_39 אשר הפרש הקואורדינטות שלהן שייך לסריג (כלומר, הוא וקטור שלם). אם נהפוך על פניו את טיעון הכיווץ, אז formula_40 ו-formula_41 שייכים ל-formula_33. מהסימטריה המרכזית נובע ש-formula_43 שייך גם ל-formula_33, ומקמירות הקבוצה formula_33 נובע שכל מיתר המחבר שתי נקודות בקבוצה מוכל בה במלואו. כיוון שכך, אמצע המיתר המחבר את formula_40 עם formula_43 משתייך ל-formula_33. אבל אמצע מיתר זה הוא הנקודה formula_49, ועל פי הגדרת formula_15 ו-formula_39 (שקיומן נובע ממשפט בליכפלדט), זוהי נקודת סריג.
יישומים אחרים.