משפט: יהי formula_57 מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית ויהי formula_67 פונקציונל ליניארי חיובי על formula_58. אז קיימת מידת רדון (כלומר מידה חיובית סופית מקומית ורגולרית) יחידה formula_69 על formula_57 המקיימת
למידה זו יש גם שתי תכונות נוספות:
משפט זה מהווה קשר חשוב בין תורת המידה ואנליזה פונקציונלית ומספק דרך אפקטיבית לבנות מידות על מרחבים מסוימים. לדוגמה, formula_76 הוא מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית וסיגמא-קומפקטי וההעתקה formula_77 (כאשר כאן האינטגרל הוא אינטגרל רימן הרגיל) מגדירה פונקציונל ליניארי חיובי על formula_78. תנאי המשפט מתקיימים והמידה formula_69 המייצגת את הפונקציונל formula_67 היא מידת לבג על formula_76.
משפט ההצגה לפונקציונלים ליניאריים חסומים על (C0(X.
כמו קודם, נניח כי formula_57 הוא מרחב טופולוגי. המשפט הבא, המכונה לעיתים "משפט ריס-מרקוב", מראה שניתן להציג כל פונקציונל ליניארי רציף על המרחב formula_83 כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה מרוכבת מסוימת. המרחב formula_83 מורכב מכל הפונקציות formula_59 שהן רציפות ומתאפסות באינסוף, כלומר לכל formula_86 קיימת תת-קבוצה קומפקטית formula_87 כך ש-formula_88 לכל formula_89. זהו מרחב נורמי, כאשר פעולות החיבור והכפל בסקלר מוגדרות נקודתית והנורמה היא נורמת הסופרמום. מובן ש-formula_90.
מידה מרוכבת formula_69 על formula_57 נקראת רגולרית אם מידת ההשתנות הכוללת שלה, כלומר formula_93, היא מידת רדון רגולרית כפי שהמושג הוגדר לעיל עבור מידות חיוביות. מרחב כל המידות המרוכבות הרגולריות על formula_57 מסומן formula_95 והוא מהווה מרחב וקטורי תחת הפעולות הסטנדרטיות של חיבור וכפל בסקלר של מידות. בנוסף לכך, ההעתקה formula_96 מגדירה נורמה על formula_95 והופכת אותו למרחב בנך. בהינתן מידה formula_98 ניתן להגדיר פונקציונל ליניארי רציף על formula_83 על ידי
משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי רציף על formula_83 הוא מצורה זו, בהנחה ו-X הוא מרחב טופולוגי "סביר". נוסחו הפורמלי הוא כדלקמן.
משפט: יהי formula_57 מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית. אז ההעתקה
היא איזומורפיזם של מרחבי בנך, כלומר:
ל-formula_105 יש גם תכונה שימושית נוספת. הפונקציונל formula_113 הוא פונקציונל ליניארי חיובי אם ורק אם המידה formula_69 היא מידה חיובית.
משפט ההצגה לפונקציונלים ליניאריים חסומים על (Lp(μ.
יהי formula_115 מרחב מידה ויהי formula_116 מרחב כל הפונקציות המדידות formula_59 שנורמת-p שלהן היא סופית: formula_118 (ראו מרחב Lp). מגדירים גם את formula_119 בתור מרחב כל הפונקציות המדידות formula_59 עבורן formula_121 (כאשר formula_122 הוא המספר הקטן ביותר formula_123 שעבורו formula_124 ל-formula_69-כמעט כל formula_126).
ידוע כי עבור כל formula_127 המרחב formula_116 הוא מרחב בנך ביחס לנורמה formula_129 ושבמקרה formula_130 (ורק בו) נורמה זו מושרית ממכפלה פנימית, אשר ניתנת על ידי formula_131. לכן formula_132 הוא מרחב הילברט ומשפט ההצגה של ריס למרחב הדואלי למרחב הילברט גורר שכל פונקציונל ליניארי רציף על מרחב זה הוא מהצורה formula_133 עבור formula_134 כלשהי. נשאלת השאלה אם ניתן לתת אפיון דומה לפונקציונלים הליניאריים הרציפים על formula_116 עבור formula_136 כללי. יהי formula_137 האקספוננט הצמוד ל-formula_136, כלומר המספר הממשי המקיים את השוויון formula_139 (במקרה formula_140 מסכימים ש-formula_141). תהי formula_142 ונגדיר את ההעתקה הבאה:
מאי-שוויון הלדר נובע שהאינטגרנד formula_145 שייך ל-formula_146 ולכן העתקה זו היא מוגדרת היטב. יתרה מזאת, קל לבדוק שהיא מגדירה פונקציונל ליניארי רציף formula_147. אם מרחב המידה formula_115 הוא "סביר" במובן מסוים ו-formula_149, משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי רציף על formula_116 הוא מצורה זו.
משפט: יהי formula_151 ונניח ש-formula_115 הוא מרחב מידה סיגמא-סופי. אז ההעתקה
היא איזומורפיזם של מרחבי בנך, כלומר:
בעקבות משפט זה, נהוג לומר פשוט ש-formula_161 הוא המרחב הדואלי ל-formula_116 (תחת הנחות המשפט, כמובן).
הערות:
סן סימון (שכונה)
בלש משטרתי
בלש משטרה
אופרה קומית
אופרה קומית (בצרפתית: Opéra comique) היא סוגת אופרה, המכילה דיאלוג מדובר, ולעיתים רצ'יטטיבים, נוסף לאריות. מקורה ב-opéra comiques en vaudevilles של תיאטראות הירידים בסן ז'רמיין וסן לורן (ובמידה פחותה ב-Comédie-. Italienne). ששילבה נעימות פופולריות קיימות עם קטעים מדוברים. על אף שמה, האופרה הקומית, או בשמה הצרפתי "אופרה קומיק", הנקשרת עם התיאטרון הפריזאי באותו שם, אופרה-קומיק, לא תמיד היא קומית או קלילה באופייה. למעשה, כרמן של ביזה, כנראה ה"אופרה קומיק" המפורסמת ביותר, היא טרגדיה. לעיתים מבלבלים אותה עם הגרסה הצרפתית בת המאה ה-18 של האופרה בופה האיטלקית, שנודעה בצרפת בשם אופרה בופון (שהיא מצדה שונה מן ה-opéra bouffe של המאה ה-19).
היסטוריה.
ראשית דברים.
האופרה הקומית נולדה ממופעי תיאטראות ירידים קטנים בראשית המאה ה-18. הירידים הללו הוצגו לפני פשוטי העם ומשום כך גבלו בוולגריות. במטרה ללגלג על פקידי הציבור מטעם התיאטראות הגדולים,ליוו תיאטראות הירידים את מחזותיהם בשירים פופולריים, שקהלם קיבל בעין יפה. המלחינים שאבו חומר מן המורשת הצרפתית אבל גם ממקומות נוכריים, שהוסיפו מקסמן של ארצות אחרות. הסאטירות שלהם על אישים פוליטיים והמוסר המפוקפק של הופעותיהם לא תרמו לשמה הטוב של האופרה הקומית בחצר המלך. לואי ה-14 ניסה להכניעם בהוצאת צווים נגדם ואפילו חיזק תיאטראות אחרים, בתקווה ליצור יתר משיכה לקהל מזו שהייתה למפיקי האופרות הקומיות.
עליית האופרה הקומית.
עם מות לואי ה-14 בשנת 1715, זכתה האופרה הקומית ללגיטימציה והורשתה להתפתח ולשגשג. לא רק המלך ואנשיו רצו להיפטר מן האופרה הקומית ומתיאטראות הירידים, גם התיאטראות המבוססים יותר, כמו הקומדי פרנסז, נתנו עינם לרעה במתחרים. הם לא ידעו, שכאשר אסרו על הדיבור בירידים, "קידמו שלא מדעת את התחבולה הערמומית של קומדיה המושרת בפזמונים פופולריים, שהייתה ליריבה חזקה ומסוכנת פי כמה ממה שקדם לה."
"בני כלאיים".
היו הרבה "בני כלאיים", שנוצרו מן האופרה הקומית. ז'אק אופנבך, ממלחיני התקופה, "קונן על צורות הכלאיים, הנוטות יותר כלפי מסורות הגראנד אופרה, שהרחיקו מלחינים אחדים מן המסורות הטהורות של "אופרה קומיק" ושבהן ראה זרם שהיה לנהר וסופו שעלה על גדותיו."כמה מ"בני הכלאיים" הללו היו "קומדיה, קומדיה לירית, קומדיית-מצעד, אופרה בופון, דרמה לירית... ו-comédie mêlée d'ariettes (קומדיה מעורבת באריות)".-
טרמינולוגיה.
סתירות.
הטרמינולוגיה עומדת במחלוקת רצינית, שמקשה על הגדרת "אופרה קומית", (או "אופרה קומיק"), כשלעצמה. כמה מקורות טוענים, שיש לראות את "אופרה קומיק" באופן מילולי לחלוטין, כאופרה קומית, ואילו מקורות אחרים פוסקים, שכרמן של ביזה היא ה"אופרה קומיק" המפורסמת ביותר והיא ודאי שאינה קומית. אליזבת ק. ברטלט וריצ'רד לנגהאם סמית, כותבי הערך "אופרה קומיק" במילון המוזיקה המקוון של גרוב, גורסים, ש"אופרות קומיות" היו פרודיות והיו קומיות בפירוש עד סביבות המאה ה-19, אז נעשה תוכנן רציני וכבד יותר. עם זאת, הכל תמימי דעים, שאין לבלבל את האופרה הקומית עם אופרה בופון, סוגה אופראית אחרת.".
מאפייני הגדרות.
במאה ה-18, "אופרה קומיק" הכילה דיאלוג מדובר וסאטירה בלוויית קטעי וודביל מוכרים היטב. הופעת "כרמן" של ביזה שינתה את ההגדרה והביאה לכך, שההבדל בין "אופרה קומיק" ל"אופרה" נעלם כמעט לחלוטין.
היו עוד הבדלים בין "אופרה קומיק" לסוגות אופרה אחרות, מלבד דיאלוג מדובר לעומת רצ'יטאטיב. ברטלט וסמית דנים בהבדלים בין מסורות "אופרה קומיק" וגראנד אופרה. את ה"גראנד אופרה" מאפיינים גודש, פזרנות והפרזה בהפקותיה, ואילו "אופרה קומיק" רק לעיתים נדירות משתמשת באמצעים קיצוניים כאלה. זאת ועוד, בלט היה מחויב המציאות (de rigueur) באופרה, ולא כן ב"אופרה קומיק", שהעדיפה התרחשויות רבות משתתפים, שהצריכו כתיבת מקהלתית. (de rigueur מתייחס לצורך או לציפייה האופנתיים שהתקשרו לבלט ולאופרה.) "אופרה קומיק" התייחדה גם בהעדפתה לסופרן ראשית יחידה עם סופרן תומכת "קלה" יותר, בעוד שהאופרה העדיפה להציב שני קולות סופרן דומיננטיים. "אופרה קומיק" גם העדיפה קול גברי קל יותר.
מלחינים מוקדמים.
המלחין המוקדם ביותר של "אופרה קומיק", לפי דניאל הרץ וג'ון א. רייס בספרם "מגאריק עד גלוק: מאמרים על אופרה בעידן האורות" היה אלאן-רנה לסאז'. הוא היה משורר ראשון במעלה לירידים במשך כמה עשורים, אך הוא דבק בוודבילים המסורתיים. שני משוררים היו למתחריו. אלקסיס פירון ושארל פרנסואה פאנאר לקחו חלק גדול יותר בתמורות המהפכניות שהתרחשו ב"אופרה קומיק" בראשית דרכה. הם בחרו ב"יתר חדשנות מוזיקליות". השימוש בשירים הישנים פחת והלך ועקב כך כתב לסאז' Les couplets en procès ליריד של סן-ז'רמן.
פופולריזציה.