פונקציה רציפה ממרחב קומפקטי היא רציפה במידה שווה. תכונה זו אינה מאפיינת מרחבים קומפקטיים. מרחב מטרי שכל פונקציה רציפה ממנו (למרחב מטרי אחר) היא רציפה במידה שווה, נקרא מרחב Atsuji. התכונות הבאות שקולות:
לפי משפט קושי, כל מרחב קומפקטי הוא Atsuji.
כל מרחב Atsuji הוא שלם. בדומה לאפיון של מרחבים שלמים באמצעות משפט החיתוך של קנטור, אפשר לאפיין מרחבי Atsuji באופן הבא: מרחב מטרי formula_132 הוא Atsuji אם ורק אם לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות formula_133 שעבורה formula_134, יש נקודה משותפת; כאן formula_135.
מעבד תמלילים
מעבד תמלילים הוא תוכנה המשמשת להקלדה, לעריכה ולעיצוב של מסמכים. עיבוד תמלילים הוא אחד השימושים הראשונים שנעשו במחשב האישי ואחד הנפוצים ביותר עד היום. מרבית מעבדי התמלילים המודרניים משתמשים בממשק משתמש גרפי ובטכניקת WYSIWYG.
השפעתו של מעבד התמלילים על ההתבטאות בכתב.
במשך אלפי שנות כתיבה השתנו והשתכללו כלי הכתיבה בהתמדה: איזמל לחקיקה באבן, יתדות לכתיבה על חומר, דיו לכתיבה על פפירוס או קלף, עט לכתיבה על נייר, לחיצה על קלידים במכונת כתיבה. ואולם לכל האמצעים הללו יש מאפיין משותף שלא השתנה: אי־הפיכות. מלל שנכתב באמצעות כל אחד מהם אינו ניתן לשינוי בקלות, בלי מחיקת המלל שנכתב קודם או כתיבת המלל מהתחלה. מובן שקל יותר להעתיק מחדש מלל שנכתב על דף אחד לדף אחר בהשוואה לחקיקה חוזרת של כתובת אבן באמצעות איזמל, אך בשני המקרים היה צורך ליצור מהתחלה עותק חדש ולזרוק את הישן. מגבלה טכנית זו הנחתה את הכותבים לזהירות גדולה בניסוח דבריהם קודם ולתכנון מדוקדק טרם העלאתם על הכתב, ולכן כוונו טכניקות הכתיבה כך שהגרסה הראשונית תהיה סופית ככל האפשר.
השימוש במעבד תמלילים יצר מהפכה בשיטת העבודה, משום שאפשר, בפעם הראשונה, לשנות מלל באופן חופשי עוד לפני שזה יקבל ממד פיזי. כך, לדוגמה, אפשר במחי לחיצת מקש לשנות כל תו, מילה או משפט בטקסט, להזיז מלל ממקום למקום, לכתוב פסקאות מחדש, להעביר פסקאות ממקום למקום, וכן הלאה – והכל בלי שיהיה צורך כלשהו בהעתקה חוזרת של הטקסט.
יתרונה של שיטת העבודה במעבד תמלילים גדול במיוחד כאשר נדרש הכותב לבצע החלפות חוזרות לאורך כל הטקסט (לדוגמה, כאשר יש צורך בשינוי איותה של מילה או בהחלפת שמה של דמות ברומן), החלפת מילה החוזרת פעמים רבות במילים נרדפות, מיספור מחודש של סעיפים, וכדומה. כך משחרר מעבד התמלילים את הכותב מהחלק הפחות יצירתי של מלאכת הכתיבה: העתקה חוזרת ונשנית של הטקסט במהלך שכתובו. הקלות שבה נעשית מלאכת העריכה מאפשרת שיכתוב של הטקסט פעמים רבות יותר, לשם השגת תוצאה טובה יותר.
כותבים רבים הדגישו את תרומת מעבד התמלילים לנוחות עבודתם. דוגמה לכך הם דבריה של עמליה כהנא-כרמון (בריאיון לזיסי סתוי, "ידיעות אחרונות", 30.3.90):
יש גם כאלה שהטכנולוגיה אינה מדברת אליהם, והם מעדיפים את השיטות הישנות. אריקה ג'ונג מוצאת בעט יתרון שאין במעבד התמלילים, כפי שהיא מתארת בספרה "פחד חמישים":
מעבדי תמלילים ראשונים פותחו במהלך שנות ה-70 של המאה ה-20. ביניהם הי מעבד שפותח על ידי אוולין ברזין שעבד על מחשב ייעודי בגודל של מקרר.
תוכנות עיבוד תמלילים בישראל.
עם תחילת עידן המחשוב האישי בישראל, עלתה במלוא חומרתה בעיית ההתאמה של הטכנולוגיה החדשה לדרישותיה של השפה העברית, באשר זו כוללת הן מערכת תווים מיוחדת והן כיוון כתיבה "הפוך" מזה הנהוג בעולם הרחב. כמענה לצורך פותחו בישראל מעבדי תמלילים ישראלים מקוריים ובעלי עוצמה אשר פתרו את הבעיות המיוחדות של השפה העברית ואיפשרו את התפתחותו של תחום המיחשוב המשרדי העברי. מעבד התמלילים הראשון שהיה פרי פיתוח ישראלי מקורי היה "תמליל" שהותקן באגף תקציבים במשרד האוצר בירושלים ב-15 בספטמבר 1979. תמליל פותח על ידי חברת 2001 שירותי מערכות ומחשבים בע"מ בשותפות עם מושב יעד. תמליל הפך במהירה למעבד התמלילים התקני של כל משרדי הממשלה, צה"ל והקיבוצים.
מעבדי התמלילים החלוציים שפעלו במחשבים אישיים היו "וורדמיל" (פותח על ידי אבינועם גוזנר), "תמר" (פותח על ידי שבתאי גרשון), "ורד" (פותח על ידי ערן סיטניק), "א-ב" (פותח על ידי עמי גרינברג), "נועם" (פותח על ידי אלון צוקר) ו"קיוטקסט" (פותח על ידי קיבוץ דביר).
לצד הפיתוחים הישראליים המקוריים הופיעו בשוק התוכנה הישראלי גם כמה תרגומים והתאמות של מעבדים אמריקאיים כמו "איינשטיין", "וורד-פרפקט" ו"וורדסטאר". עם המעבר לתוכנת "חלונות" פותח מעבד התמלילים תואם החלונות הישראלי הראשון: "דגש" (על ידי אירווין רוזנבאום).
מתן פתרונות הולמים לבעיית עיבוד התמלילים העברי היה בעל השפעה מכרעת על תפוצתם של המחשבים האישיים בתחילת דרכם.
כיום נפוצות תוכנות עיבוד תמלילים לסביבת חלונות הפועלות היטב בעברית:
נגישות.
מעבד התמלילים חוסך מהקורא את הצורך להתמודד עם כתב יד, ומסייע לאנשים עם מוגבלות בכתיבה, כגון דיסגרפיה, בעיות תנועה בידיים או מוגבלות בראייה. מעבד התמלילים מכיל גם תת-תוכנות שאנשים עם מוגבלות נוטים להשתמש בהן יותר מן האוכלוסייה הכללית. בין תת-תוכנות אלו ניתן למנות את המאקרו, התמליל האוטומטי, תיקון השגיאות האוטומטי והזום. ניתן לכוונן את מעבד התמלילים כך שהשימוש בתת-תוכנות אלה יהפוך לנוח יותר מהרגיל. מעבר לזאת, ניתן לקנות תוספי נגישות למעבד התמלילים כמו משוב קולי.
מעבד התמלילים עשוי לשמש גם כאביזר נגישות לפעולות שונות מכתיבה, כגון קריאה. אדם שמתקשה בקריאה בספר עשוי לסרוק את עמודי הספר, להורות למחשב שיפענח את צילומי העמודים בתוכנת OCR ויעביר את החומר המפוענח אל מעבד התמלילים כדי לערוך בו שינויים שיהפכו אותו לנגיש. שינויים כאלה יכולים להיות הגדלה של הרווחים בין השורות ובין המילים, הסרת כתמי דיו מן הדף, והשלמת צורת האותיות במקרה שההדפסה דהויה. מניפולציות פשוטות יותר על חומר הקריאה, כמו הגדלת הטקסט ושינוי הצבע בו הוא כתוב (למשל משחור על גבי לבן לצהוב על גבי שחור).
אברהם אבן עזרא
רבי אברהם בן מאיר אִבּן עזרא (מכונה ראב"ע; ד'תתנ"ב, 1092 – א' באדר א' ד'תתקכ"ז, 23 בינואר 1167) משורר, בלשן, פרשן מקרא, ופילוסוף בתקופת תור הזהב בספרד. הוגה יהודי בולט בימי הביניים. עסק גם באסטרולוגיה, מתמטיקה ואסטרונומיה (על שמו נקרא מכתש אבן עזרא בירח). רבים מספריו נכתבו בעברית.
תולדות חייו.
בספרד המוסלמית.
אבן עזרא נולד בעיר טודלה שבספרד בשנת ד'תתמ"ט (1089) או בשנת ד'תתנ"ב (1092). הוא עזב את טודלה כנראה בצעירותו, נדד ברחבי ספרד, ועבר בערים טולדו, אליסנה וקורדובה שהייתה מרכז השכלה וחוכמה בתקופה זו ובה שהה שהייה ממושכת. הוא עסק באותה תקופה כנראה בעיקר בשירה, ונהנה מאוד משהייתו בספרד. ככל הנראה רבי אברהם אבן עזרא לא הצליח כלכלית באותה תקופה, אף על פי שניסה למצוא מקצוע מכניס.
בצפון אפריקה.
אבן עזרא נדד בארצות צפון אפריקה: (מרוקו, אלג'יריה ותוניסיה). יש המשערים שנדודים אלו היו בשנותיו המוקדמות שבהן התגורר בספרד, לפני נדודיו בארצות הנוצרים. רבי שלמה פרחון מספר על הגעתו לצפון אפריקה יחד עם רבי יהודה הלוי. במהלך מסעותיו הוא התיידד עם רבי יוסף בן עמראן, דיין סיג'ילמסה שבמרוקו. רבי אברהם, ששהה אצלו תקופה ממושכת, הביע התפעלות מחכמתו ואף הקדיש מספר שירים המספרים בשבחיו. כמו כן התיידד עם רבי שמואל אבן ג'אמע, אב בית הדין בעיר גאבס שבדרום תוניסיה, הוא גר בביתו תקופה ממושכת ושיבחו בשיר: "ארי קם בתוך צאן והיה לגואל". מידידיו הנוספים היה איוב שלמה אבן אלמועלם, משורר ורופא בחצר מלך מורביטון בעיר מרקש, וכהרגלו הוא שורר לכבודו מספר שירים. לאחר הפרעות בקהילות היהודיות בספרד וצפון אפריקה, בתקופת שלטון אל-מוואחידון, חיבר רבי אברהם את הקינה אהה ירד עלי ספרד, בה הוא ביכה על חורבן הקהילות, שאותן הוא מנה אחת לאחת.
המעבר לארצות הנוצרים.
בשנות הארבעים לחייו עזב רבי אברהם את ספרד, והתחיל במסע נדודים בקהילות היהודיות בדרום אירופה ובמערבה. השנה המדויקת בה יצא מספרד אינה ידועה, אך נראה שיצא לנדודיו סביב שנת ד'תתק"ה (1145) או אף קודם לכן בשנת ד'תת"ק (1140). ישנם אף תיאורים כי רבי אברהם יצא מספרד עוד בשנת ד'תתצ"ח (1138) וחזר אליה שוב מעט לאחר מכן, ויציאתו הידועה לנו היא היציאה השנייה, אך כמו פרטים רבים הנוגעים לחייו האישיים העובדות חסרות. הסיבה לנדודיו אינה ברורה, אך לפי דבריו "הוצאתני מארץ ספרד חמת המציקים", כמו גם בהתאמה למציאות השלטונית בחצי האי האיברי המתוארת היטב, סביר כי נאלץ להימלט מספרד עקב הרדיפות האנטי-יהודיות של השושלת המוסלמית אל-מוואחידון הקיצונית, שעלתה לשלטון במרוקו ובאנדלוסיה באותה עת.
במכתב ששלח לרבי שמואל אבן ג'אמע כתב רבי אברהם: "...ואשמע את השם מדבר אליי, ביד הנדוד נפשך מסורה". ד"ר יוסף כהן העלה השערה כי רבי אברהם האמין שהכוכבים קבעו כי ייגזר עליו לנדוד. אין זה בלתי סביר להניח כי צירוף של גורמים הביאו לנדודיו, בהם גם תקווה לרווחה כלכלית, בהמשך לחיי דוחק למיטב המידע ההיסטורי.
בנדודיו הוא נשא בגאון את הכינוי "אברהם הספרדי", הקפיד לכתוב בעברית צחה ומדויקת, וכך הפיץ את חוכמת יהדות ספרד, אשר הייתה כתובה ברובה בערבית יהודית. כמעט כל ספריו נכתבו במהלך נדודיו.
באיטליה.