התהליך פותח באלגברה (לאו דווקא אסוציאטיבית) עם אינוולוציה מטיפוס מסוים, ומחזיר אלגברה עם אינוולוציה מאותו טיפוס. כאשר מיישמים אותו לשדה המספרים הממשיים, מתקבל בצעד הראשון שדה המספרים המרוכבים, ואחריו אלגברת הקווטרניונים של המילטון ואלגברת האוקטוניונים של קיילי. התהליך בונה כל אלגברת קווטרניונים מהרחבה ריבועית של שדה הבסיס, וכל אלגברת אוקטוניונים מאלגברת קווטרניונים מתאימה.
תיאור כללי.
אלגברות מדרגה 2 עם אינוולוציה.
בניית קיילי-דיקסון מתייחסת לאלגברות, לאו דווקא אסוציאטיביות, מעל שדה (כלשהו) formula_1, המצוידות במבנה נוסף: אינוולוציה formula_2, המקיימת את התנאים formula_3 ו- formula_4 לכל x. באלגברה כזו כל איבר מקיים פולינום ממעלה שנייה מעל השדה, formula_5, ולכן זו אלגברה ריבועית (היינו אלגברה מדרגה 2). בנוסף לזה מניחים שהתבנית הריבועית formula_6 אינה סינגולרית.
בגלל הזהות formula_7, האיברים ההפיכים ב-A הם אלו שהנורמה שלהם אינה מתאפסת. כאשר A אלטרנטיבית, היא אלגברת חילוק אם ורק אם תבנית הנורמה היא "תבנית אנאיזוטרופית" (כלומר, אין לה אפסים לא טריוויאליים). ראו כאן לגבי אלגברת קיילי-דיקסון מממד 16.
הבניה.
בבניית האלגברה החדשה נכנסים שני מרכיבים: אלגברה formula_8 עם אינוולוציה כאמור, וסקלר ‏‏formula_9 סקלר. הרחבת קיילי-דיקסון הנוצרת מ-formula_10 ו- formula_11 היא האלגברה formula_12, שאבריה נכתבים כסכומים פורמליים formula_13 עבור formula_14, והכפל בה מוגדר לפי היחסים formula_15, היינו, formula_16. בפרט, C מכילה את A כתת-אלגברה, יש לה יחידה formula_17, והיוצר הנוסף z מקיים formula_18.
האינוולוציה מורחבת ל-C לפי הנוסחה formula_19. האינוולוציה על C מקיימת את התכונות formula_3 ו- formula_4 לכל formula_22, ולכן גם הרחבת קיילי-דיקסון של A היא אלגברה מאותו סוג; כך אפשר להמשיך את הבניה פעמים נוספות. הנורמה מורחבת לפי formula_23, והיא איזומורפית למכפלה הטנזורית formula_24, כאשר formula_25 היא הנורמה של formula_8, ו- formula_27 היא תבנית פיסטר מסדר ראשון. בפרט, אם formula_28 היא תבנית פיסטר, גם הנורמה החדשה היא כזו.
תכונות של הרחבת קיילי-דיקסון.
האלגברה C היא קומוטטיבית אם ורק אם A=F; אסוציאטיבית אם ורק אם A קומוטטיבית; אלטרנטיבית אם ורק אם A אסוציאטיבית; ותמיד מקיימת את הזהות הגמישה. יש לה אותם איברים סימטריים כמו ל-A, והמרכז שלה מורכב מן האיברים הסימטריים במרכז של A (אלא אם A=F).
אלגברות קיילי-דיקסון.
בבניה הקלאסית של שדה המספרים המרוכבים, הקווטרניונים של המילטון והאוקטוניונים, בוחרים formula_29. ראו אלגברות קיילי-דיקסון. הבחירה formula_30 בשלושת הצעדים נותנת, במקום זה, את הסכום הישר formula_31, את אלגברת המטריצות formula_32, ואת אלגברת האוקטוניונים המפוצלת מעל formula_33.
אחת הסיבות לחשיבות של בניית קיילי-דיקסון היא האפשרות לחזור על התהליך עם האלגברה המורחבת, וליצור הרחבות נוספות בממדים הולכים וגדלים. האלגברות המתקבלות באופן כזה משדה הבסיס נקראות אלגברות קיילי-דיקסון (אף על פי שבמובן הצר, המונח מתייחס לפעמים רק לאלגברות המתקבלות מן הבניה מעל שדה המספרים הממשיים, עם הקבוע 1- בכל צעד של ההרחבה).
מעל שדה כללי, אם A היא ההרחבה הריבועית K/F, הבניה נותנת את אלגברת הקווטרניונים formula_34. בדומה לזה, אם A היא אלגברת הקווטרניונים formula_35, הבניה נותנת את אלגברת האוקטוניונים formula_36. אלגברות אלו הן היחידות עם נורמה כפלית (כזו המקיימת את הזהות formula_37).
מכיוון שקבועי המבנה אינם מתאפסים, כל אלגברות קיילי-דיקסון הן פשוטות, מרכזיות וריבועיות. הזהויות שהן מקיימות הופכות אותן לאלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות; בפרט, הן אלגברות גמישות בעלות חזקה אסוציאטיבית בהחלט.
איזומורפיזמים ואוטומורפיזמים.
החלפת המשתנה formula_38 ב- formula_39 (כאשר formula_40) מגדירה איזומורפיזם formula_41, בתנאי ש- formula_42, כל האסוציאטורים formula_43, ולכל a,b ב- A מתקיים formula_44. במקרה זה, formula_45. אם A אסוציאטיבית, זהויות אלה מתקיימות לכל k, ואז הכפלת formula_46 בנורמה של איבר מ-A אינה משנה את האלגברה formula_47. לכן יש התאמה בין ההרחבות האפשריות של A, לבין חבורת המנה formula_48.
כאשר formula_8 אסוציאטיבית, הכפלת formula_38 באיבר formula_51 שהנורמה שלו 1 היא אוטומורפיזם של A, אף על פי שיש גם אוטומורפיזמים אחרים. חבורות האוטומורפיזמים (מעל formula_1) של אלגברות קיילי-דיקסון הראשונות, היינו השדה F והרחבות ריבועיות שלו, הן סופיות. האוטומורפיזמים של אלגברת קווטרניונים מהווים חבורה אלגברית מטיפוס formula_53, וחבורות האוטומורפיזמים של אלגברת אוקטוניונים היא חבורה אלגברית ספורדית, מטיפוס formula_54.
טוסייהא
גורמי מוטיבציה לתכנות במיזמי קוד פתוח
ציפור הרעם
אליהו קפשאלי
ר' אליהו קפשאלי בן אלקנה (1490, הרקליון, כרתים - נפטר בסביבות 1555), היה החכם האחרון במשפחת קפשאלי, והנודע שבהם. נותרו ממנו כתבים רבים; אחד מהם הוא 'סדר אליהו זוטא', שבו הוא מתאר את הלכי הרוח באזור בו חי לאורך מספר שנים. רבי אליהו חתום גם על חלק מתקנות קנדיאה, ונמנה עם עורכי התקנות.
קורות חייו.
נולד בקנדיה שבאי כרתים לר' אלקנה, שהיה מתלמידי מהר"י מינץ בפדובה.
בכתביו לא נזכרה שנת הולדתו במפורש, אך מתוך כתביו ניתן לשער זאת: בספרו "סדר אליהו זוטא" נכתב על אירוח אנשים שגורשו מספרד על ידי אביו ושם כותב הרב קפשאלי: ; בהתייחס לכך שיצא ללמוד בפדובה בגיל 25, יוצא שנולד בשנת רמ"ה בערך.
בילדותו למד תורה מפי אביו, ואחר כך נשלח ללמוד בישיבת פדובה המפורסמת, אליה הגיע ביום כ"ז בכסלו ה'רס"ט. מספר ימים לאחר הגעתו נפטר ראש הישיבה מהר"י מינץ, ובנו רבי אברהם מונה לכהן תחתיו. את עיקר תורתו קיבל מפי רבי ישראל מפירושא (רבי ישראל ב"ר יחיאל אשכנזי), שהיה תלמיד חבר של מהר"י מינץ.
בשלב מסוים עבר לוונציה, שם המשיך ללמוד מפי רבי ישראל מפירושא, ומפי אחי אמו, רבי מנחם בן שמואל דלמדיגו. בשנת רע"ד עזב את ונציה וחזר למקום הולדתו קנדיה, שם התמנה לראש הקהל. בשנת רפ"ח מונה לכהן כרב הכולל של כל קהילות קנדיה, ותיקן תקנות חשובות. הרב קשפאלי לא היה נוטל שכר עבור משרתו, והיה מחלק מכספו למטרות צדקה ולפדיון שבויים.
רבי אליהו קפשאלי היה בעל השכלה כללית רחבה, והוא החזיק ברשותו ספרייה גדולה וענפה בה היו בין השאר כתבי יד יהודיים נדירים. במהלך השנים הכתבים התגלגלו, וכיום הם מצויים בספריית הוותיקן ברומא, ומהווים את אחד האוספים החשובים ביותר של כתבי יד יהודיים. בין השאר מצוי שם כתב יד עתיק ומפורסם של הספרא עם ניקוד בבלי.
אליהו קפשלי
שלמה בר אברהם בן פרחון
שלמה בן פרחון
שלמה בן אברהם בן פרחון
אבן פרחון
בן פרחון
פורום קורנת שהוואן
פורום קורנת שהוואן (בערבית: لقاء قرنة شهوان, בתעתיק מדויק: לקאא קרנה שהואן; בתרגום מילולי: מפגש קורנת שהוואן) הוא ארגון פוליטי לבנוני המורכב מפוליטיקאים, אינטלקטואלים ואנשי עסקים, רובם נוצרים, בעלי מגוון אידאולוגיות, הנעות בין מרכז-ימין למרכז-שמאל. הארגון איננו ארגון פוליטי במובן הקלאסי, כלומר חבריו משתייכים, ואף חלקם מנהיגים, מפלגות פוליטיות. הארגון הוא מעין קואליציה, שלא ברורה כוונתה למנף זאת לבחירות. הארגון פועל לפי שבעה עקרונות על מנת לקדם חמש מטרות מוצהרות.
היסטוריה.
הארגון הוקם ב-30 באפריל 2001 על ידי 29 חברים ממפלגות פוליטיות ותנועות אזרחיות שונות, וכמו כן מאזרחים עצמאיים. שמו של הארגון שאוב משם העיירה שבה ממוקמים משרדיו, קורנת שהוואן , השוכנת בנפת מתן שבמחוז הר הלבנון ואשר בה נמצא מקום מושבו של הארכיבישוף המארוני של הנפה. הארגון הוקם בברכת הפטריארך המארוני נסראללה בוטרוס ספיר ובהנהגת הבישוף האזורי יוסף בישארה, אך הרכב חברי הארגון השתנה מאז הקמתו, כשחלקם עזבו ואחרים הצטרפו, ואף נסראללה ספיר עזב את הארגון (יש האומרים בלחץ ממשלתי).
כהקדמה לנסיגה המלאה של כוחות סוריה מהמדינה, תמך ארגון קורנת שהוואן להיערכות מחדש של הסורים באזור הבקאע, והוא תיאר את ישראל כסכנה העיקרית ללבנון. בתגובה לחיסולו של ראש הממשלה לשעבר רפיק אל-חרירי ב-14 בפברואר 2005, קרא הארגון לנסיגה מיידית של הכוחות הצבאיים והמודיעיניים הסוריים מהמדינה ולעריכת בחירות חדשות לפרלמנט ולנשיאות, שיהיו נקיות מהשפעה חיצונית. ב-16 במרץ 2005, הצהיר חבר הארגון סמיר פרנג'יה כי על הבחירות לפרלמנט להיות להיערך לפני הבחירות לנשיאות, מפני שהפרלמנט הנוכחי (שנבחר בשנת 2000, ועל פי טענות שונות, חילק את אזורי הבחירה בצורה לא הוגנת על מנת להקנות יתרון לרוב הפרו-סורי) ייטה לבחור נשיא פרו-סורי שיחליף את אמיל לחוד, אשר כונה "בובה סורית" על ידי חברי אופוזיציה.
תוצאות בחירות 2005 היו קטסטרופליות עבור פורום קורנת שהוואן, מפני שרוב מועמדיהם הפסידו לזרם הפטריוטי החופשי של מישל עאון, אשר נציגיו השיגו 21 מושבים בלב האזור הנוצרי. רק 14 מחברי הארגון הצליחו להיכנס לפרלמנט, ביניהם נאילה מעווד, אלמנתו של הנשיא לשעבר רנה, סולנג' ג'ומאייל, אלמנתו של בשיר, וג'ובראן תוויני.
עקרונות הארגון.
הארגון פועל על פי שבעת העקרונות הבאים:
מטרות הארגון.
הארגון פועל לקידום חמש מטרות מרכזיות:
מפלגת אל-וסט
מפלגת אל-וסט ("מפלגת האמצע", בערבית: حزب الوسط) היא מפלגה מצרית שהוקמה בשנת 1996. המפלגה לא זכתה להכרה מהממשל המצרי.
ייסוד המפלגה.