בהנתן מרחב V, נתן להגדיר מבנה טבעי של מרחב ליניארי על אוסף ההעתקות הליניאריונ מ-V לשדה F. מרחב זה נקרא המרחב הדואלי של V ומסומן ב formula_130.
ההתאמה המתאיה ל-V את המרחב formula_130 היא פנקטור קונטרא-ווריאנטי. זאת אומרת שבהנתן ההעתקה בין מרחבים ליניאריים formula_132 להגדיר באופן טבעי את ההעתקה הדואלית formula_133. אם נתון בסיס לformula_38 ניתן לבנות ממנו באופן טבעי בסיס ל-formula_130 הנקרא הבסיס הדואלי. אם formula_136 נתונה ע"י מטריצה formula_120 (בבסיסים נתונים) אז formula_138 נתונה ע"י המטריצה המוחלפת formula_139 בבסיסים הדואליים. המתריצה המוחלפת מתקבלת מהמתריצה הקורית ע"י החלפת סדר האינדקסים i,j של המטריצה.
אם V מממד סופי אז formula_140 איזומורפי (קנונית) ל-V. אחרת ניתן לראת ב-V תת-מרחב של formula_140. במילים אחרות קיים שיכון טבעי של פנקוטורים מהזהות להרכבת פנקטור הדואליות עם עצמו, ושיכון זה הוא איזומורפיזם עבור מרחבים מממד סופי.
מרחב מנה.
בהנתן מרחב ליניארי V ותת מרחב שלו W ניתן להגדיר את מרחב המנה V/W. זהו מרחב ליניארי שאיבריו הם תתי-קבוצות של V מהצורה v+W, זאת אומרת תת-קבוצות שמתקבלים מ-W ע"י הזזה בווקטור מ-V.
דרך אחרת לראת בניה זאת היא אוסף כל אברי V כאשר אנו מזהים את כל עברי W עם 0, ובהתאם אנו מזהים שני וקטורים ב-V זה עם זה אם הפרשם נמצא ב-W.
וקטורים וערכים עצמיים.
העתקות ליניאריות יכולות להיות מאוד מסובכות. בדיקה על ממדים קטנים מראה סוגים מרובים שלהם. וקטורים עצמיים מפשטים חישובים על העתקות ליניאריות ועל מטריצות.
בהינתן העתקה ליניארית formula_142, וקטור עצמי הוא וקטור formula_143 עם ערך עצמי formula_144 המקיימים:
formula_145.
העתקה ליניארית תיקרא לכסינה אם קיים בסיס של וקטורים עצמיים. אם נייצג את ההעתקה במטריצה בבסיס של הווקטורים העצמיים, המטריצה תהיה מטריצה אלכסונית עם הערכים העצמיים באלכסון. עבור מטריצות, מטריצה תיקרא לכסינה אם היא מייצגת העתקה ליניארית לכסינה, כלומר, היא דומה למטריצה אלכסונית.
אם מטריצה או העתקה ליניארית היא לכסינה, זה יקל מאוד על חישובים. כפל מטריצות, דטרמיננטה ומטריצה הופכית הם דוגמאות לדברים שנוח לחשב כשמטריצה או העתקה ליניארית היא לכסינה. אפשר למשל, באמצעות לכסון, למצוא נוסחה מפורשת לאיברי סדרת פיבונאצ'י (ולמעשה כל סדרה רקורסיבית דומה).
מרחבי מכפלה פנימית.
אלגברה ליניארית חוקרת גם מרחבים וקטוריים עם מבנה נוסף הנקרא מכפלה פנימית. המכפלה הפנימית היא מקרה פרטי של תבנית ביליניארית והיא נותנת למרחב הווקטורי מבנה גאומטרי בכך שהיא מאפשרת להגדיר אורך וזווית. עבור מרחב וקטורי מעל formula_146, מכפלה פנימית היא פונקציה
formula_147
המקיימת שלוש תכונות:
עבור המרחב הווקטורי formula_152, המכפלה הפנימית הסטנדרטית (שנקראת גם מכפלה סקלרית ואין לבלבל בינה לבין כפל בסקלר) ניתנת על ידי הנוסחה:
formula_153
הנוסחה מקיימת את כל שלושת התנאים בבירור. עבור מכפלה פנימית זו, ניתן להוכיח באמצעות משפט הקוסינוסים כי למעשה formula_154, כאשר formula_155 היא הזווית בין הווקטורים. הוכחה זו נעזרת באורך של וקטור וגם בזווית בין שני ווקטורים, דברים שמוגדרים ב-formula_152 אך לא במרחב וקטורי כללי. אבל, גם אורך וגם זווית ניתנים להגדרה עבור מרחב וקטורי כללי.
מפה, ניתן להגדיר אורך של וקטור על ידי formula_157 ולהוכיח את אי-שוויון קושי-שוורץ האומר כי לכל שני וקטורים,
formula_158
ברישום אחר, האי-שוויון אומר כי formula_159, מה שנותן לנו את האפשרות לסמן גודל זה בקוסינוס בין הזוויות.
תוצאות מרכזיות.
העתקות ומטריצות.
formula_170
פירוקי מטריצות.
מלבד הפירוקים שהוזכרו מעלה, יש עוד מספר פירוקים חשובים ושימושיים של מטריוצות למכפלת מטריצות מצורה מסוימת. רובם מיתיחסים למטריצות ריבועיות אך לחלקם יש גרסאות גם למטריצות מלבניות.
שימושים.
אלגברה ליניארית היא תחום בסיסי ביותר במתמטיקה. חלק ניכר מהמתמטיקה מתבסס על אלגברה ליניארית בצורה כזאת או אחרת. האלגברה הליניארית לצידה של החדו"א הם התחומים המתמטיים השימושיים ביתר מחוץ למתמטיקה.
באלגברה.
אלגברה ליניארית משמשת דוגמה בסיסית לתחומים רבים באלגברה. ההתנהגות של מרחבים ליניאריים, פשוטה בהרבה מההתנהגות של אוביקטים אלגבריים אחרים, והיא מהווה צעד ראשון להבנתם. לדוגמה מודולים מעל חוג הם הכללה של מרחבים ליניאריים מעל שדה. חלק גדול מחקר מודולים מנסה לענות על השאלה "עד כמה הם שונים ממרחבים ליניאריים?". מאידך ניתן לחקור מודולים ע"י בניית מרחבים לינאריים מהם (בדרך כלל ע"י להכפיל אותם טנזורית עם שדה מעל חוג ההגדרה).
רובה של תורת ההצגות מהווה חקר של הפעולה של אוביקטים אלגברייום על מרחבים ליניאריים.
בגאומטריה.
מרחב לינאירי (בדרך כלל מממד סופי מעל ) הוא אחד האוביקטים הגאומטריים הבסיסיים ביותר. אוביקטיים גאומטריים רבים נחקרים באמצואת מרחבים ליניאריים, למשל ע"י שיכונם לתוך מרחבים ליניאריים או הדבקתם ממרחבים ליניאיריים.
ניתן ליראות באלגברה הליניארית בתור "גאומטריה אלגברית ממעלה 1": בעוד שהגאומטריה האלגברית עוסקת בקבוצות הפתרונות של מערכות משוואות פולינומיאליות, האלגברה הלינארית עוסקת בקוצות הפתרונות של מערכות משוואות פולינומיאליות ממעלה 1, זאת אומרת מערכות משוואות ליניאריות. מנקודת מבט זאת, האלגברה הליניארית היא צעד ראשון לקראת הגאומטריה האלגברית. למעשה חלקים באלגיברה הלינארית עוסקים גם בפולינומים ממעלה יותר גבוהה. למשל תבניות ריבועיות הן פולינומים ממעלה שניה, ולכן מיון של תבניות ריבועיות הוא חלק חשוב במיון השניניות
באנליזה.
אחד הרעיונות המכוננים באנליזה הוא הקריוב של פונקציה כללית על ידי פונקציה ליניארית. במקרה של פונקציות במשתנה אחד, פונקציה לינארית מאופינת ע"י השיפוע שלה, ולכן קירוב זה מוביל למושג הניגזרת. אולם במקרה של הרבה משתנים (והרבה ערכים) פונקציות ליניאריות הם מרכבות יותר, ולא ניתן לגלם אותם ע"י מספר אחד. חקר של פונקציות לינאריות עם מספר ערכים במספר משתנים הוא למעשה האלגבה הליניארית.
שימוש נוסף של האלגברה הליניארית באנליזה הוא האנליזה הפונקצאונלית. האנליזה הפונקציאלנלית חוקרת מרחבי פונקציות במקום להתמקד בפונקציה בודדת. מרחבי הפונקציות בהם עסקת האנליזה הפונקצאונלית הם בדרך כלל מרחביום וקטוריים טופולוגיים אינסוף ממדיים. בכך אפשר לראות באנליזה פונקציאונלית הרחבה של האלגברה הליניארית העוסקת במרחבים וקטוריים שעליהם נתונה גם טופולוגיה.
במדעי המחשב התיאורטיים.
שאלות אלגוריתמיות רבות במדעי המחשב מתמקדות בבעיות חישוביות באלגברה ליניארית. דוגמה נפוצה לבעיות אלה היא ביצוע יעיל ומדיוק של פרוקי המטריצות השונים שהוזכרו מעלה. התחום העוסק בשאלות אלה נקרא אלגברה ליניארית חישובית שהוא חלק מתחום האלגריתמים המהווה את אחד מהתחומים המרכזיים במדעי המחשב התאורטיים.
אלגברה ליניארית מעל שדה סופי שימושית בקריפטוגרפיה, מיכיוון שאפשר להציג כל מידע בתור וקטור במרחב ליניארי מעל שדה סופי, ופעולות כמו הצפנה או קידוד הופכות לטרנספורמציות בין מרחבים ליניאריים מעל שדה סופי. אומנם לא תמיד די בטרנספורמציות ליניאריות, אך אלה מהוות נקודת התחלה טובה.
סולם ריכטר
סולם ריכטר הוא סולם מדידה לגודלה ("מגניטודה" בלעז) של רעידת אדמה. כיום נהוג לתאר רעידות אדמה לפי סולם ריכטר כאשר פונים לציבור הרחב, אף שכבר אינו בשימוש על ידי סייסמולוגים. סולם זה מתאים למדידת גודל רעידת אדמה בהיקף מקומי, וכיום משתמשים סייסמולוגים בסולם מגניטודה לפי מומנט, הנחשב מדויק יותר ואינו מוגבל לנתונים מקומיים בלבד.
הסולם ושיטת המדידה.
סולם ריכטר פותח בשנת 1935 על ידי הגאולוג צ'ארלס ריכטר (Charles Francis Richter) בשיתוף עם בֶּנוֹ גוטנברג, שניהם מהמכון הטכנולוגי של קליפורניה ("קאלטק").
סולם ריכטר מציג את גודלן של רעידות אדמה בסקאלה לוגריתמית (לפי בסיס formula_1). הדרגה בסולם ריכטר היא מדד יחסי של כמות האנרגיה שהשתחררה במוקד רעידת האדמה, בדומה למדידת דציבל. כלומר, רעידת אדמה שדרגתה 7 בסולם ריכטר גדולה פי 30 מזו של רעידת אדמה שדרגתה 6 מבחינת כמות האנרגיה שהשתחררה במוקד. הצורך בסקאלה לוגריתמית נובע מכך שעוצמתה של רעידת האדמה החזקה ביותר שנמדדה (9.5 בסולם ריכטר) גדולה פי 1,600,000,000 מזו של רעידה בעוצמה 0.
הבסיס למדידה הוא תנודה של סייסמוגרף (מסוג מסוים) במרחק של 100 ק"מ ממוקד הרעש. מגניטודה של 1.0 בסולם ריכטר היא תנודה של מאית מיקרון. מגניטודה של 2.0 היא תנודה של עשירית מיקרון. מגניטודה של 3.0 היא תנודה של מיקרון וכן הלאה. כאמור, כמות האנרגיה המשתחררת בין דרגה אחת לשנייה בסולם ריכטר שקולה לפי 30 מהדרגה הקודמת. לכל רעידת אדמה מגניטודה אחת בלבד והיא תמיד מתייחסת רק למוקד הרעש. לסולם ריכטר אין סף עליון תאורטי, ואין סף תחתון.
דוגמה להמחשה.