על פי פרק 7 של מגילת האו"ם, מועצת הביטחון של האו"ם היא הגוף היחיד של האו"ם המוסמך, במקרה של "איום לשלום, הפרות שלום או פעולות של תוקפנות", להטיל סנקציות (ובכלל זאת אמברגו) על מדינה מסוימת ואף להתיר שימוש בכוח נגדה "למען שמירת או השבת השלום והביטחון הבינלאומי". דוגמה לכך היא החלטה 665 (אוגוסט 1990) שאישרה שימוש בכח כדי לאכוף את הסנקציות שהוטלו על עיראק בהחלטות 660 ו-661 עקב פלישתה לכווית. ההחלטה הובילה לפרוץ מלחמת המפרץ. החלטת מועצת הביטחון 1973 (17 במרץ 2011) התירה למדינות החברות לנקוט "בכל אמצעי דרוש" כדי להבטיח את שלום האזרחים בלוב. ההחלטה המריצה התערבות בינלאומית בסכסוך והביאה לנפילת משטרו של הרודן מועמר קדאפי. מקרה אחר של אכיפה כזו היה בעניין דרום אפריקה בשנות ה-80, שעליה הטילה המועצה סנקציות רבות שהחלישו אותה וסייעו בהפלת משטר האפרטהייד בה.
מועצת הביטחון התכנסה לראשונה בלונדון ב-17 בינואר 1946, וקיבלה את החלטתה הראשונה ב-23 בינואר. מיום היווסדה ועד 23 בפברואר 2017 קיבלה המועצה 2,343 החלטות.
הגדלת מספר חברי הקבע במועצה.
בביקורו כנשיא ארצות הברית בניו דלהי בנובמבר 2010, הכריז אובמה כי יתמוך בצירופה של הודו כחברה קבועה במועצת הביטחון וכעבור שבוע הכריז ביוקוהמה כי יתמוך במושב קבע ליפן ובכך אישר הבטחות קודמות בנושא.
נשיא המועצה.
תפקיד נשיא המועצה עובר ברוטציה מדי חודש בין חברות המועצה על פי סדר שמות המדינות באנגלית. תקופת הכהונה הוסדר בהחלטה 14 של מועצת הביטחון של האו"ם.
ישראל במועצת הביטחון.
ישראל היא המדינה הראשונה, שגונתה על ידי מועצת הביטחון ב-13 בנובמבר 1966 בעקבות פעולת התגמול בכפר סמוע, אז בממלכת ירדן. הגינוי היה ברוב של 14 קולות ונמנעת אחת, ניו זילנד.
ישראל מעולם לא נבחרה לכהן במועצת הביטחון. משנת 2000 עד שנת 2004, ישראל לא הייתה חברה באחד הגושים הבלתי-פורמליים שמהם נבחרות המדינות המועמדות לחברות במועצה, אלא לישראל היה מעמד של חברה זמנית בקבוצת מערב אירופה ומדינות אחרות. ב-30 באפריל 2004 העביר בית הנבחרים של ארצות הברית החלטה הקוראת לשלב את ישראל באופן מלא בקבוצת מערב אירופה ומדינות אחרות, והדבר הושג במאי 2004, אז קיבלה ישראל מעמד קבועה בהליכי בקבוצת מערב אירופה ומדינות אחרות.
הסכסוך בין ישראל למדינות ערב הסמוכות לה והסכסוך הישראלי-פלסטיני הם נושאים מרכזיים בדיוניה של מועצת הביטחון. מדיניותה של ישראל, שלעיתים אינה מקובלת על הקהילה הבינלאומית, מביאה לכך שפעמים עולות להצבעה החלטות המגנות את המדיניות הזו. החלטות אלה לעיתים זוכות לתמיכה של כמעט כל חברות המועצה ורק וטו של ארצות הברית, או איום בווטו כזה, מונע קבלת החלטות אלה. בין השנים 1989 - 2008 הטילה ארצות הברית וטו 13 פעמים, 11 פעמים מתוכן בהחלטות העוסקות בסכסוך הישראלי-פלסטיני. באוגוסט 2011 הועלתה במועצת הביטחון הצעה לניסוח הצהרה נשיאותית לגינוי מתקפת הטרור בדרום ישראל. ההצעה זכתה לתמיכת רוב חברות המועצה, אך לא אושרה עקב דרישת לבנון להוסיף להצהרה גינוי לפעולת התגובה של ישראל בעזה.
עם החלטות המועצה העוסקות בישראל נמנות:
תלות ליניארית
תלויה ליניארית הוא מושג באלגברה ליניארית המתאר קבוצת וקטורים במרחב וקטורי, אשר אפשר להציג אחד מהווקטורים שלה כצירוף ליניארי של וקטורים אחרים בקבוצה.
לדוגמה, שלושת הווקטורים (1, 0, 0), (0,1,0) ו-(0, 0, 1) ב-formula_1 בלתי תלויים ליניארית, אולם (2, 1-, 1), (1, 0, 1) ו-(3, 1-, 2) הם וקטורים תלויים ליניארית (מפני שהווקטור השלישי הוא סכום שני הווקטורים הראשונים).
הגדרה.
יהא formula_2 תת מרחב ליניארי מעל שדה formula_3. אם formula_4 הם וקטורים ב formula_2, נאמר שהם תלויים ליניארית מעל formula_3 אם ישנם סקלרים formula_7 ב-formula_3, לא כולם אפסים, כך ש- formula_9. באופן מקוצר: formula_10. אם לא קיימים סקלרים כאלה אומרים כי formula_11 בלתי תלויים ליניארית, או בקיצור בת"ל.
מכאן נובע כי הווקטורים formula_4 הם בלתי תלויים ליניארית אם ורק אם מן השוויון formula_13 נובע בהכרח כי formula_14 לכל formula_15.
המרחב המוקרן על ידי תלות ליניארית.
תלות ליניארית בין וקטורים formula_4 היא וקטור
formula_17 עם formula_18 סקלרים, לא כולם אפס, כך שמתקיים
formula_19
אם קיימת תלות כזו, הווקטורים הם תלויים ליניארית. כיוון שמכפלה בסקלר של מקדמי התלות נותנת מקדמים של תלות ליניארית, ומכיוון שסכום של מקדמי תלויות נותן גם הוא מקדמים של תלות ליניארית, הרי נובע שקבוצת כל התלויות הליניאריות בין הווקטורים formula_4 יחד עם וקטור האפס היא מרחב וקטורי, שהוא תת-מרחב של formula_21.
דוגמאות.
הנה מספר דוגמאות שנועדו להבהיר את רעיון התלות הליניארית:
דוגמה א'.
הווקטורים (1, 1), (2, 3-) ב formula_22 הם בלתי תלויים ליניארית
הוכחה:
יהיו formula_23 ו formula_24 שני מספרים ממשיים כך שמתקיים
וכן
formula_28
אם נפתור עבור formula_23 ועבור formula_24 נמצא כי formula_31 ו formula_32.
דוגמה ב'.
יהי formula_33 נסתכל על הווקטורים הבאים ב formula_2
אז e1,e2...,en הם בלתי תלויים ליניארית.
הוכחה:
נתבונן בקבוצת סקלרים formula_39 שעבורם מתקיים
מכיוון ש
מתקיים
formula_42 עבור כל i מ 1 עד n.
מפדל
וקטור (אלגברה)
וקטור תשלומים
וקטור
בסיס (אלגברה)
בסיס הוא קבוצת וקטורים במרחב וקטורי בה אפשר להציג כל איבר במרחב כצירוף ליניארי של הקבוצה, באופן יחיד. ניתן להגדירו באופן שקול בכמה צורות:
לכל מרחב וקטורי יש בסיס, ומספר הווקטורים שבבסיס מוגדר באופן חד-משמעי, והוא נקרא ממד. לבסיסים חשיבות עקרונית באלגברה ליניארית, בכך שבסיס קובע לכל וקטור את וקטור הקואורדינטות המתאים לו. לפיכך, בחירה של בסיס מאפשרת 'לממש' עצמים מופשטים המתייחסים למרחב (כגון העתקה ליניארית) על ידי מבנים קונקרטיים (כגון מטריצה).
בסיס יכול להיות סופי, או אין-סופי. אם במרחב יש קבוצה פורשת סופית, אז הוא בעל בסיס סופי (ולכן גם ממד סופי). ההוכחה לכך שלכל מרחב וקטורי יש בסיס מסתמכת על הלמה של צורן, וממילא תוצאה זו דורשת את אקסיומת הבחירה.
בסיס שהווקטורים בו מופיעים בסדר מסוים נקרא בסיס סדור. פעמים רבות כשמתייחסים לבסיס מניחים שהוא אכן סדור בסדר שרירותי כלשהו.
במרחבים נורמיים יש משמעות להתכנסות של טור, ואז אפשר להגדיר 'בסיס טופולוגי': זוהי קבוצת איברים שאפשר להציג כל וקטור במרחב באופן יחיד כצירוף ליניארי (לאו דווקא סופי) של איבריה. בסיס טופולוגי בדרך כלל אינו בסיס במובן הרגיל (משום שהוא אינו פורש במובן הסופי), ובסיס בדרך כלל אינו מהווה בסיס טופולוגי (משום שנוצרות בו תלויות ליניאריות במובן של טורים).
משפטים מרכזיים.
התוצאה היסודית על בסיסים היא צמד המאפיינים שצוטטו בפתיחה. כדי לפתח את הנושא ללא הנחות מוקדמות, יש להוכיח כצעד ראשון שאם B קבוצה בלתי תלויה מקסימלית ו- C קבוצה פורשת מינימלית, אז formula_1 (למשל באינדוקציה על גודל החיתוך של formula_2 ושימוש בלמת ההחלפה של שטייניץ). לאחר מכן אפשר להוכיח שאם D גם היא קבוצה בלתי תלויה, אז formula_3. מכאן נובע מיד שלכל שתי קבוצות בלתי-תלויות מקסימליות יש אותו גודל. מכאן אפשר להמשיך כך:
משפט. התכונות הבאות שקולות עבור קבוצה A של וקטורים:
משפט. נניח שלמרחב V יש בסיס בגודל n. אז התכונות הבאות שקולות עבור קבוצה A:
כאשר n סופי אומרים של-V יש ממד n, ולפי המשפט n יחיד.
תכונה חשובה נוספת: כל קבוצה בלתי תלויה אפשר להשלים לבסיס, ובאופן דומה, מכל קבוצה פורשת סופית אפשר 'לזרוק' וקטורים עד שתהפוך להיות בסיס.
לבסיס יש חשיבות גם במציאת הפתרונות של מערכת משוואות ליניאריות. העמודות והשורות של מטריצה ריבועית מסדר formula_8 מעל שדה formula_9 מהוות בסיס למרחב formula_10 אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס. תכונה זו נובעת מכך שלפי נוסחת קרמר, באמצעות הדטרמיננטה ניתן לקבוע את ממד מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות שהמטריצה מייצגת, ולפי משפט קרונקר-קפלי ממד מרחב הפתרונות תלוי ישירות בדרגת מרחב העמודות. לכן עבור מרחב וקטורי מממד סופי, השימוש בדטרמיננטה היא דרך חישובית ישירה לקביעה האם קבוצה של וקטורים היא בסיס.
בסיס סטנדרטי.
ישנם מרחבים שהמבנה המיוחד שלהם מאפשר לבנות בסיס באופן פשוט ונוח; בסיסים כאלה נקראים בסיסים סטנדרטיים.
מרחב מכפלה פנימית
באלגברה ליניארית, מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב וקטורי, עבורו מוגדרת פעולה בינארית בין כל שני איברים במרחב, המכונה מכפלה פנימית.
מכפלה פנימית היא פונקציה, הפועלת על זוג איברים מתוך מרחב נתון, ומחזירה סקלר מעל השדה הנתון.
בעזרתה של מכפלה זו, ניתן להכליל מושגים של אורך ושל זווית.
הגדרה פורמלית.
יהי formula_1 מרחב וקטורי מעל השדה formula_2, כאשר formula_2 הוא שדה המספרים הממשיים formula_4 או שדה המספרים המרוכבים formula_5. פונקציה formula_6 תיקרא מכפלה פנימית על המרחב אם היא מקיימת את התכונות הבאות:
formula_7
formula_8
formula_9
formula_10 ושוויון קיים אם ורק אם formula_11
נשים לב לכמה דברים:
מרחב וקטורי formula_16 עם מכפלה פנימית ייקרא מרחב מכפלה פנימית. כאשר formula_17 המרחב formula_16 נקרא מרחב אוקלידי, וכאשר formula_19 הוא נקרא מרחב אוניטרי .
שימושים.
בעזרת המכפלה הפנימית אפשר, בין היתר, להגדיר את מושג הנורמה המהווה הכללה של האורך מהמרחב האוקלידי: נורמה מוגדרת כגודל formula_20 (שימו לב שבזכות תכונת האי-שליליות (חיוביות לחלוטין) גודל זה הוא תמיד אי-שלילי).