תוך זמן קצר החל להתחרות במשחקים בינלאומיים בדרגת נכות A. ב-1975 השתתף במשלחת נכי צה"ל לתחרויות ספורט לעיוורים בגרמניה, שם זכה במקום הראשון בתחרויות הדיפת כדור ברזל וריצת 50 מטר ובמקום השני בתחרויות שחייה ובזריקת כדור תלי. באולימפיאדת הנכים בטורונטו (1976) השתתף בתחרויות הדיפת כדור ברזל (מקום שישי), זריקת דיסקוס (מקום רביעי), ריצת 60 מטר (מקום שישי) קפיצה לרוחק (מקום 17) וזכה במדליית כסף בתחרות קרב חמש.
באולימפיאדת הנכים בארנהם (1980) השתתף במשחקי נבחרת הכדורשער, בתחרויות זריקת דיסקוס (שם הגיע למקום שישי) ובריצת 60 מטר. הוא זכה פעם נוספת במדליית כסף בקרב חמש.
באולימפיאדת הנכים בסיאול (1988) היה חבר, פעם נוספת, בנבחרת הכדורשער.
פרח נשוי ואב לחמישה.
אוריינטביליות
כיסוי האוריינטציות
בטופולוגיה, כיסוי האוריינטציות של יריעה הוא מרחב כיסוי של היריעה שאפשר להפוך גם לאגד או לאלומה. באמצעות כיסוי האוריינטציות ניתן להגדיר קרקטר כפלי של החבורה היסודית formula_1 המודד באיזו מידה היריעה אינה אוריינטבילית. קרקטר זה נקרא קרקטר האוריינטציות. אפשר לזהות דרך כיסוי האוריינטציות את כל האוריינטציות האפשריות של היריעה. ניתן להתייחס אל כיסוי האוריינטציות כאל תחליף אוריאנטבילי עבור יריעה לא אוריאנטבילית.
רקע.
אוריינטציה היא מבנה מופשט שניתן (לעיתים) להגדיר על יריעה. לא על כל יריעה ניתן להגדיר אוריינטציה. יריעה שעליה ניתן להגדיר
אוריינטציה נקראת אוריינטבילית . על יריעה אוריינטבילית קשירה ניתן להגדיר בדיוק שתי אוריינטציות. שתי האוריינטציות האלה נקראות מנוגדות (או לעיתים הפוכות). אם מסמנים אחת מהן ב-formula_2 אז את השנייה מסמנים ב-formula_3. יריעה אוריינטבילית שעליה נקבעה אוריינטציה נקראת מכוונת (oriented).
המשמעות האינטואיטיבית של אוריינטציה היא כיוון. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על עקום, שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. בממדים גבוהים יותר, מושג האוריינטציה הופך מורכב, אך במקרים מסוימים עדיין ניתן לתארו בצורה אינטואיטיבית. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על משטח במרחב, שקולה לבחירת "צד" של המשטח. כיוון שלטבעת מביוס לא ניתן "לבחור צד", היא אינה אוריינטבילית.
הגדרת הכיסוי.
אוריינטציה בנקודה.
כיסוי האוריינטציות מבוסס על מושג האוריינטציה בנקודה. תהי formula_4 יריעה חלקה. ו-formula_5 נקודה עליה. אוריינטציה של formula_4 ב-formula_5 מוגדרת בתור אוריינטציה על המרחב המשיק formula_8 באופן כללי יותר אם formula_4 יריעה טופולוגית אז אוריינטציה של formula_4 ב-formula_5 מוגדרת בתור יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית formula_12
כיסוי האוריינטציות.
נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה formula_5 ב-formula_14 (זו קבוצה בת שני איברים). ניתן לאגד קבוצות אלו למרחב כיסוי formula_15 באופן הבא:
כאשר הטופולוגיה על formula_15 מוגדרת מקומית על ידי זיהוי של סביבה פתוחה formula_17 עם formula_18, ודרכה זיהוי של formula_19 עם formula_20. קל לראות שהטופולוגיה המתקבלת על formula_21 אינה תלויה בזיהוי.
המרחב formula_15 מצייד בהעתקה טבעית formula_23 ולפי הבנייה, העתקה זו היא כיסוי. הזוג formula_24 נקרא כיסוי האוריינטציות, זהו כיסוי דו-יריעתי.
כיסוי האוריינטציות הוא טריוויאלי (זאת אומרת איזומורפי ל-formula_25) אם ורק אם formula_4 אוריינטבילית. אם formula_4 קשירה אז כיסוי האוריינטציות קשיר אם ורק אם formula_4 לא אוריינטבילית.
החבורה formula_29 פועלת על הסיבים של כיסוי האוריינטציות באופן חופשי וטרנזיטיבי. כיסוי עם פעולה כזאת נקרא formula_30-טורסור.
אפיון של כיסוי האוריינטציות.
המרחב המכסה formula_15 הוא תמיד אוריינטבילי. יתר על כן, מרחב זה מצויד באוריינטציה טבעית
מאידך, אם formula_4 יריעה קשירה לא אוריינטבלית ו-formula_33 כיסוי דו-יריעתי אוריינטבילי שלה, אז הכיסוי formula_34 איזומורפי לכיסוי האוריינטציות.
קרקטר האוריינטציות.
נקבע נקודה formula_35. אנו מקבלים פעולת מונודרומיה
של החבורה היסודית formula_1 על הסיב של formula_15. פעולה זו מגדירה קרקטר כפלי,
formula_38
קרקטר זה נקרא קרקטר האוריינטציות. הוא שולח כל (מחלקה של) מסילה סגורה אל formula_39 אם היא שומרת על האוריינטציה, ואל formula_40 אחרת. יריעה קשירה formula_4 היא אוריינטבלית אם ורק אם קרקטר האוריינטציות שלה טריוויאלי, כלומר כל איבר של החבורה היסודית (ואף של ההומולוגיה הראשונה של היריעה) שומר על האוריינטציה.
אגד האוריינטציות.
את כיסוי האוריינטציות formula_42 ניתן להפוך לאגד האוריינטציות formula_43. באופן אינטואיטיבי הסיב של formula_43 בנקודה formula_45 הוא ישר העובר דרך שתי הנקודות של formula_46 באופן פורמלי formula_43 מוגדר להיות מרחב המנה של formula_48 תחת יחס השקילות הבא: formula_49 זהו אגד קווי.
קיים איזומורפיזם קנוני בין formula_50 לאגד הטריוויאלי. במילים אחרות formula_51.
לבניה זאת יש גם גרסה ליניארית: עבור מרחב ליניארי formula_52 ניתן להגדיר את ישר האוריינטציות עליו formula_53. זהו מרחב ליניארי חד ממדי שקבוצת האוריינטציות על formula_52 היא תת-קבוצה בתוכו. התכונות של אגד האוריינטציות מתקיימות גם עבור ישר האוריינטציות.
אגד הצפיפויות.
באופן אינטואיטיבי אפשר לחשוב על תבנית בתור נפח מכוון (זאת אומרת נפח עם סימן). לדוגמה אם formula_55 היא התבנית הסטנדרטית על formula_18 אז formula_57 הוא הנפח של המקבילון הנפרס על ידי formula_58 אולם formula_59 לאו דווקא חיובי. אפשר לחשוב על אוריינטציה בתור זיקוק הסימן מהתבנית. באופן דומה אפשר להגדיר את מושג הצפיפות שהוא זיקוק הנפח מהתבנית.
את אגד הצפיפויות ניתן להגדיר בעזרת אגד האוריינטציות:
formula_60
כאשר formula_61 הוא אגד התבניות הדיפרנציאליות.
מכאן אנו מקבלים את הפירוק:
ניתן להפוך את הפירוק הזה למפורש יותר באופן הבא: תהי formula_62 תבנית דיפרנציאלית הפיכה. נסמן ב-formula_63 את האוריינטציה המתאימה. ניתן לחשוב על formula_63 כעל חתך של formula_42 או לחלופין של formula_43. נסמן
formula_67
אנו מקבלים
formula_68
במילים אחרות, ניתן לחשוב על תבנית דיפרנציאלית הפיכה בתור שילוב של האוריינטציה (הסימן של התבנית) וצפיפות (הערך המוחלט של התבנית). אינטואיטיבית, צפיפות היא אפשרות להגדיר נפח. להבדיל מתבניות דיפרנציאליות, ניתן להגדיר אינטגרל של צפיפות גם ללא בחירת אוריינטציה. מכאן, צפיפות מגדירה מידה (לאו-דווקא חיובית). למעשה מושגים אלה כמעט שקולים.
המקרה ליניארי.
בדומה לתבניות ולאוריינטציות, גם צפיפויות ניתן להגדיר עבור מרחב ליניארי וגם שם מתקיים אותו הפירוק. במקרה הליניארי ניתן לחשוב על שלושת האובייקטים האלה כעל פונקציות על קבוצת הבסיסים formula_69
תהי formula_70
תיאור זה מסביר את הפירוק למעלה. כמו כן אפשר להבין מתיאור זה מדוע ניתן להגדיר אינטגרל של צפיפות ולא של תבנית, לאור העבדה שבנוסחת החלפת המשתנים של אינטגרל מרובה, מופיע הערך המוחלט של היעקוביאן ולא היעקוביאן עצמו.
אלומת האוריינטציות.
את כיסוי האוריינטציות formula_42 ניתן גם להפוך לאלומת האוריינטציות formula_83 באופן דומה לבניית אגד האוריינטציות. עבור קבוצה פתוחה קשירה formula_17 נגדיר
formula_85
כאשר formula_86 היא קבוצת האוריינטציות על formula_4 והפעולה של formula_30 היא אלכסונית. בעזרת אקסיומות האלומה ניתן להכליל הגדרה זאת לקבוצות פתוחות כלליות.
אלומת האוריינטציות היא אלומה קבועה מקומית . הרחבת סקלרים של אלומה זו ל-formula_89 היא אלומה קבועה מקומית של מרחבים ליניאריים, במילים אחרות מערכת מקומית . הגדרה שקולה של מערכת מקומית היא – אגד עם קישוריות שטוחה. כך אנו מקבלים אגד עם קישוריות שמתאים לאלומת האוריינטציות. אגד זה איזומורפי קנונית לאגד האוריינטציות. מכאן שקיבלנו קישוריות שטוחה על אגד האוריינטציות.
אלומת האוריינטציות היא מקרה פרטי של מושג הקומפלקס המדאל (dualizing complex). לכל מרחב טופולוגי formula_90 (קומפקטי מקומית) ניתן להגדיר את הקומפלקס המדאל. זהו אובייקט בקטגוריה הנגזרת
של האלומות על formula_91 אם formula_90 היא יריעה אז האובייקט המדאל הוא אלומת האוריינטציות מוזזת למקום ה-formula_93
סוגי ערים לפי אזורים גיאוגרפיים
גן העדן האבוד (פירושונים)
פרוטאומיקה
פרוטאומיקה הוא תחום החוקר חלבונים בהיקף נרחב (large-scale) ובמיוחד מבנה ותפקוד של חלבונים. תחום זה הוא תחום בין-תחומי מתפתח החוקר את הרכב החלבונים בתא, מבנה ותבניות תפקוד של חלבונים.
חלבונים הם מרכיב חיוני באורגניזמים חיים והם האחראיים המרכזיים לתהליכים מטבוליים בתא. המונח פרוטאומיקה ("proteomics") נטבע לראשונה ב-1997, באנלוגיה לגנומיקה החוקרת את הגנים. המונח פרוטאום ("proteome"), שנטבע לראשונה ב-1994 על ידי המדען האוסטרלי מארק וילקינס כצימוד של protein ו-genome, מתאר את מכלול החלבונים בתא, מערכת או אורגניזם ואת המודיפקציות הקורות בחלבונים אלו. הפרוטאום עשוי להשתנות עם הזמן, בעקבות תנאים שבהם שרוי התא ובעקבות גירויים שונים.
מורכבות הבעיה.
פרוטאומיקה היא רובד מחקר נוסף אחרי גנומיקה וטרנסקריפטומיקה בחקר מערכות ביולוגיות. הפרוטאומיקה מורכבת יותר מהגנומיקה, שכן הגנום פחות או יותר קבוע בכל אורגניזם, ואילו הפרוטאום משתנה מתא לתא, ומזמן לזמן.