החבורה formula_17 היא מודל טופולוגי של החבורה formula_21. במילים אחרות, הגדרה זו אומרת שחבורת הצמות היא חבורת מחלקות ההעתקות (Mapping class group) של דיסק עם formula_1 חורים. זוהי שיטת הסתכלות שימושית העוזרת בהוכחת טענות על חבורת הצמות.
החבורה היסודית של מרחב התצורה.
הגדרה נוספת של חבורת הצמות היא בתור החבורה היסודית של מרחב התצורה (Configuration space) של המרחב המרוכב formula_23.
נגדיר formula_24 - כלומר, זוהי קבוצה פתוחה במרחב האפיני המרוכב, המהווה משלים של הקבוצה האפינית formula_25. על קבוצה זו פועלת באופן טבעי החבורה הסימטרית, על ידי החלפת הקורדינאטות, וכך מתקבל המרחב formula_26. העתקת המנה formula_27 היא העתקת כיסוי מסדר formula_28.
בהינתן נקודה כלשהי formula_29, מגדירים את חבורת הצמות הטהורה ה-formula_1 להיות formula_31.
המרחב formula_26 הוא מרחב קשיר מסילתית, ועל כן מוגדרת, באי-תלות בנקודת המרכז, החבורה היסודית של המרחב, והיא מוגדרת להיות חבורת הצמות ה-formula_1.
מבנה ומקרים פרטיים.
יש הומומורפיזם טבעי מחבורת הצמות אל החבורה הסימטרית, המתקבל מכך ש"שוכחים" את המבנה הטופולוגי של הצמות ומתחשבים רק בפעולה שלהן על n הנקודות. הפעולה שולחת את יוצר קוקסטר formula_34 אל החילוף formula_35 (ההעתקה היא על, משום שהחילופים יוצרים יחד את החבורה הסימטרית). הגרעין של ההעתקה הזו מכונה חבורת הצמות הטהורה ומסומן formula_36. כך מוגדרת סדרה מדויקת קצרה formula_37.
יש ייצוג של חבורת הצמות עם היוצרים formula_38 (עבור formula_39), והיחסים formula_40 כאשר formula_41, ו-formula_42 כאשר formula_43. ייצוג סימטרי זה הוצע על ידי Birman-Ko-Lee.
חבורת הצמות הטהורה נוצרת על ידי האיברים formula_44 (עבור i&lt;j), המתארים העברה של הפתיל ה-j מתחת לפתילים i+1...,j-1, ואז מעל ומסביב לפתיל ה-i, ובחזרה מתחת לפתילים הנזכרים לעיל. ידוע ייצוג על ידי יוצרים ויחסים של formula_45 במונחי יוצרים אלה. יוצרי חבורת הצמות פועלים על היוצרים formula_46 באופן הבא: formula_47, ו-formula_48 לכל k אחר.
יש אפימורפיזם מ-formula_49 ל-formula_50, המתקבל ממחיקת הפתיל ה-n-י (ובמונחי היוצרים, על ידי איפוס היוצרים formula_51). הטלה זו מגדירה סדרה מדויקת קצרה formula_52, שבה הגרעין הוא חבורה חופשית, הנוצרת על ידי ה-formula_51. בפרט, לכל formula_54 יש ל-formula_49 תת-חבורה חופשית לא אבלית.
צמות וקשרים.
צמות הן במידה מסוימת הכללה של קשרים.
כל צמה ניתן 'לסגור' (ללא קשר נוסף) ולקבל קשר. התאמה זו של צמות אל קשרים היא על - כלומר כל קשר הוא צמה סגורה, אך איננה חח"ע (למשל, צמות צמודות הולכות אל אותו הקשר).
ניתן לעבור בין כל שתי צמות על ידי מספר סופי של צעדי ריידמייסטר. במקרה של שתי צמות שמייצגות אותו הקשר (כולל אוריינטציה), הטענה חזקה יותר - ניתן לעבור בין כל שתי צמות כנ"ל על ידי מספר סופי של צעדים כלהלן: איזוטופיית צמות, יצוב (stabilization) וא-ייצוב (destabilization), המכונים צעדי מרקוב. במקרה של הקשר הטריוויאלי, הטענה עוד יותר טובה - כל צמה המייצגת את הקשר הטריוויאלי ניתן להעביר ליוצר על ידי איזוטופיית צמות, יצוב וצעדי המרה (exchange moves).
ראו את המאמר של בירמן וברנדל לפרטים מלאים.
הצגות.
חבורת הצמות היא חבורה ליניארית (אינסופית), כלומר ניתן לשכן אותה בחבורת מטריצות מסדר סופי, או במילים אחרות יש לה הצגה ליניארית נאמנה.
ההצגות של חבורת הצמות קשורות קשר הדוק באפימורפיזם formula_58 - אף על פי שהגרעין שלו עצום (אינסופי), העתקה זו מאפשרת להרים הצגות של formula_59 (שהמבנה שלהן ידוע בצורה דיי טובה בעזרת דיאגרמות יאנג) להצגות של formula_21.
הצגת בוראו.
הצגת בוראו (Burau representation) היא הרמה של ההצגה הנאמנה של formula_59 המתאימה לדיאגרמת יאנג formula_62. ההצגה (אותה גילה בוראו באופן בלתי תלוי) formula_63 נתונה מפורשות על ידי שליחת היוצרים formula_64. הצגה זו, כמו ההצגה של formula_59 המתאימה לדאיגרמת יאנג formula_62, מתפצלת לשתי הצגות, אחת מממד אחד והשנייה מממד formula_67, המכונה הצגת באראו המצומצמת, ונתונה על ידי formula_68 השולחת יוצרים: formula_69.
הצגת בוראו נאמנה עבור formula_70, אך איננה נאמנה עבור formula_71, ולא ידוע האם היא נאמנה עבור formula_5.
בעזרת הצגת בוראו ניתן לחשב ישירות את פולינום אלכסנדר, שהוא אינווריאנט קשרים: אם formula_73 הנה צמה המתאימה אל הקשר formula_74, פולינום אלכסנדר שלו הוא formula_75.
בעזרת הצגת בוראו ניתן להכליל את פולינום אלכסנדר לפולינום בשני משתנים - פולינום ה-HOMFLY - שגם הוא אינווריאנט קשרים, וממנו גם ניתן להסיק כמקרה פרטי את פולינום ג'ונס. לפולינום ה-HOMFLY תכונות טובות מאוד (לפרטים, ראו במאמר של בירמן וברנדל).
הצגת לורנס-קרמר.
ההצגה הבאה שנציג היא הצגה על שמם של המתמטיקאית הישראלית רות לורנס ושל דן קרמר.
לורנס הציגה מספר מונחים כלליים יותר, הצגות לורנס. הצגות לורנס-קרמר הן מקרה פרטי שלה. אלו הן ההעתקות formula_76, אשר מהוות הצגה נאמנה לכל formula_1.
בכך הוכח שחבורת הצמות היא חבורה ליניארית. לעובדה זה יש שימושים בתחומים שונים, כמו בהצפנה (ראו בהמשך).
צורה נורמלית.
אחת ממעלותיה של חבורת הצמות היא שיש לה צורה נורמלית נוחה במיוחד, שגם ניתנת למימוש פשוט במחשב.
צורת גרסייד.
הצורה הראשונה שתוצג מכונה צורת גרסייד (Garside normal form).
כדי להגיע לצורה זו, יש ראשית להגדיר את הצמות החיוביות להיות כל הצמות שנוצרות מחזקות חיוביות בלבד של היוצרים. נסמנם formula_78.
אחד הצמות (החיוביות) החשובות היא הצמה היסודית (The fundamental Braid):
formula_79. איבר זה בריבוע יוצר את המרכז של החבורה, כלומר formula_80.
איבר זה מקיים תכונה חשובה, והיא formula_81.
בנוסף, נגדיר צמה פשוטה: עבור יחס הסדר formula_82 על formula_83, נאמר שצמה P היא פשוטה אם formula_84 (כאשר 1 הוא איבר היחידה). יש התאמה בין הצמות הפשוטות לאיבר החבורה הסימטרית (ובפרט כמותם היא formula_28), ולמעשה יותר מכך - איברים אלו הם המקורות הקצרים ביותר של כל איברי formula_59 לפי האפימורפיזם לעיל formula_58.
כעת הגענו למשפט ההצגה של גרסייד: כל צמה אפשר להציג ביחידות מהצורה formula_88, כאשר t מספר שלם וformula_89 צמות פשוטות. צורה זו מכונה הצורה הנורמלית של האיבר. קיים אלגוריתם המוצא את הצורה הנורמלית של צמה נתונה בעל זמן ריצה formula_90, ואלגוריתם טוב יותר ביעילות formula_91.
על האלגוריתם המפורט להבאת צמה שרירותית לצורה הנ"ל, ראו בקריאה נוספת (D. Garber).
צורת בירמן.
צורה נורמלית נוספת (ובמובנים מסוימים אף טובה יותר) היא צורת בירמן, על השם המתמטיקאית ג'ואן בירמן (Joan Birman).
נביט כעת באיבר formula_92. הוא בעל תכונות דומות לצמה היסודית, ומתקיים formula_93.
צורת בירמן של צמה כללית היא הצגה יחידה בצורה formula_94, כאשר formula_95, המכונים גורמים קנוניים (Cannoical factors), ידועים מראש, כפונקציה של formula_96 מהסעיף הקודם.
היתרון בצורה זו הוא שכמות הגורמים הקנוניים היא כמספר קטלן: formula_97 ששווה אסימפטוטית ל-formula_98. יותר מכך, יש אלגוריתם יותר יעיל למציאת צורה זו, ביעילות formula_99.
חבורת הצמות והצפנה.
חבורת הצמות היא אחד המועמדים הטבעיים והטובים ביותר בפרוטוקולי הצפנה שונים בהצפנה לא קומוטטיבית.
הצגתה הנוחה שהוצגה לעיל, כמו גם העובדה שהיא ליניארית, מאפשרות לממש ייצוג במחשב שבעזרתו ובעזרת תכונות החבורה אפשר להכפיל ולהשוות את האיברים בצורה יעילה. בנוסף, לחבורה בעיית חיפוש מצמיד קשה במיוחד, מה שפותח את הדלת לשימוש בפרוטוקולים רבים, כמו Ko, Lee, et. al או Anshel-Anshel-Goldfeld.
תת-החבורות (שצריכות להתחלף ביניהן) שאפשר לבחור בפרוטוקולים כלעיל הן formula_100. על פי אחת ההמלצות המקובלות, יש להשתמש בפרוטוקולים כמו הנ"ל בחבורת הצמות מסדר 80 ובתת חבורות עם 12 יוצרים לפחות.
חבורת הצמות האינסופית.
מתוך ההגדרה לעיל, ניתן להגדיר את חבורת הצמות האינסופית. את חבורת הצמות מסדר n ניתן לשכן באופן טבעי בחבורת הצמות מסדר n+1, כלומר אפשר לומר כי formula_101. אם כן, חבורת הצמות האינסופית מוגדרת בתור הקו-גבול: formula_102; הלכה למעשה, ניתן לחשוב על כך כעל האיחוד על פני השרשרת formula_103. הצגה אינסופית שלה היא
formula_104.
על חבורה זו ניתן להגדיר טופולוגיה כך שתהיה חבורת מחלקות ההעתקות של דיסק עם מספר בן מנייה של חורים.
חבורת הצמות הטהורה האינסופית איזומורפית לחבורה היסודית של קוביית הילברט (Hilbert Cube) formula_105 פחות האיברים מהצורה formula_106.
פיל לחימה
דיאקוב
דיאקוב (ברוסית: Дьяков) הוא שם משפחה.
מרינר
מרינר הוא שם פרטי ושם משפחה.
חזי דין
חזי דין (נולד ב-29 באפריל 1980) הוא קוסם, מנחה טלוויזיה ושיאן גינס ישראלי. עוסק במופעיו במגוון קסמים, אשליות, טלפתיה וקסמי "אקסטרים".
ביוגרפיה.