תורת המבנה של מידות הטלתיות שואפת לייחס קבוצת אינווריאנטות לכל מידה הטלתית אשר מאפיינת אותה לחלוטין עד כדי דמיון אוניטרי. המוטיבציה למציאת אינווריאנטות שכאלה נובעת מהתפקיד שמידות הטלתיות משחקות בתורה הספקטרלית, בה מייצגים אופרטורים נורמליים כאופרטורי אינטגרציה ביחס למידה הטלתית. אפיון של מחלקת המידות ההטלתיות עד כדי דמיון אוניטרי נותן כלי לבדיקה אם שני אופרטורים נורמליים על מרחב הילברט הם דומים אוניטרית (לפרטים נוספים, ראו משפט הפירוק הספקטרלי).
האפיון המדובר ניתן על ידי משפט האן-הלינגר, הקרוי על שמם של האנס האן וארנסט הלינגר. למשפט יש שני נוסחים ונציג את שניהם. כדי להימנע מקשיים טכניים, נציג את המשפט במקרה בו המידה ההטלתית פועלת על מרחב הילברט מרוכב וספרבילי. נשתמש בסימון formula_139, כאשר formula_56 ו-formula_141 הן מידות חיוביות על אותו מרחב מדיד, אם formula_56 היא רציפה בהחלט ביחס ל-formula_141, כלומר אם formula_144 לכל קבוצה מדידה formula_27. אם מתקיים formula_139 וגם formula_147, נאמר ש-formula_56 ו-formula_141 הן מידות שקולות ונסמן formula_150. פירוש הדבר הוא של-formula_56 ו-formula_141 יש את אותן קבוצות ממידה אפס. זהו יחס שקילות ומחלקת השקילות של formula_56 ביחס זה תסומן formula_154.
משפט האן-הלינגר (נוסח ראשון): תהי formula_28 מידה formula_1-הטלתית על מרחב מדיד formula_7 ונניח ש-formula_1 הוא מרחב הילברט מרוכב ספרבילי. אזי קיימת סדרה של מידות חיוביות סופיות formula_159 על formula_7 והעתקה אוניטרית formula_161 כך ש-formula_162 לכל formula_138 ולכל formula_164.
אם formula_165 היא סדרה נוספת של מידות חיוביות סופיות עם התכונה לעיל (כלומר, קיימת עבורה העתקה אוניטרית formula_166 כך ש-formula_167 לכל formula_168 ולכל formula_169), אז לכל formula_126, המידות formula_171 ו-formula_172 הן שקולות.
מהוכחת המשפט גם נובע שהמחלקה formula_173 המתאימה למידה formula_28 היא טיפוס ספקטרלי מקסימלי עבור formula_28. בכך לומר ש-formula_176 עבור איזשהו formula_44 ומתקיים formula_178 לכל formula_179.
לצורך הצגת הנוסח השני של משפט האן-הלינגר, נגדיר קודם מספר מושגים:
משפט האן-הלינגר (נוסח שני): תהי formula_28 מידה formula_1-הטלתית על מרחב מדיד formula_7 ונניח ש-formula_1 הוא מרחב הילברט מרוכב ספרבילי. אזי קיימת סדרה של מידות חיוביות סופיות סינגולריות הדדית formula_204 על formula_7 והעתקה אוניטרית formula_206 כך ש-formula_162 לכל formula_138 ולכל formula_209.
אם formula_210 היא סדרה נוספת של מידות חיוביות סופיות סינגולריות הדדית עם התכונה לעיל, אז formula_211 לכל formula_212.
אם כן, סדרת המחלקות formula_213 המיוחסת ל-formula_28 במשפט האן-הלינגר היא אינווריאנטה של formula_28 המאפיינת אותה לחלוטין עד כדי דמיון אוניטרי. בתורה הספקטרלית נעשה שימוש במושגים הבאים באופן שכיח:
לסלו לובאס
לסלו לובאס (בהונגרית: Lovász László; נולד ב-9 במרץ 1948 בבודפשט) הוא מתמטיקאי הונגרי, הידוע בעיקר בזכות עבודותיו בקומבינטוריקה, שעליהן קיבל את פרס וולף.
ביוגרפיה.
כשהיה תלמיד תיכון זכה לובאס במדליית זהב באולימפיאדת המתמטיקה הבינלאומית (בשנים 1964, 1965 ו-1966). הוא סיים דוקטורט במתמטיקה בשנת 1970 באקדמיה ההונגרית למדעים, בהנחיית טיבור גאלאי. משנת 1990 שימש לובאס כפרופסור באוניברסיטת ייל והיה חבר במעבדות המחקר של מיקרוסופט עד שנת 2006. כיום הוא ראש המחלקה למתמטיקה באוניברסיטת בודפשט.
בשנת 1975, בעבודה משותפת עם המתמטיקאי פול ארדש, הוכיח לובאס את למת המקומיות של לובאס (lovász local lemma), שהוא משפט מרכזי בתורת ההסתברות.
בשנת 1978 הוכיח את השערת קנזר בתורת הגרפים באמצעות משפט בורסוק-אולם הטופולוגי. צעד מפתיע זה נחשב לראשיתו של ענף הקומבינטוריקה הטופולוגית.
בשנת 1982 זכה בפרס פולקרסון עם עמיתים נוספים.
בשנת 2001 זכה בפרס גדל על עבודה משותפת עם קבוצת מדעני מחשב שהובילה לפיתוח משפט ה-PCP.
בשנים 2007–2010 שימש לובאס כנשיא האיחוד המתמטי הבינלאומי (IMU). הוא קיבל את פרס בויאי בשנת 2007, ונבחר כחבר בחברה המדעית המלכותית השוודית. הוא זכה גם בחברות כבוד בחברה המתמטית של לונדון. בשנת 2010 זכה בפרס קיוטו על תרומתו למדעי המתמטיקה בתחום אלגוריתמי מיטוב בדידים.
בשנת 2012 זכה בשנית בפרס פולקרסון.
בשנת 2021 זכה בפרס אבל (יחד עם אבי ויגדרזון).
אשרף ארמאן
אֶשרֶף ארמַאַן (בטורקית Eşref Armağan, נולד ב-1953, באיסטנבול) הוא צייר טורקי עיוור מלידה. כילד וכנער לא זכה ארמאן להשכלה או הכשרה פורמלית, אך לימד את עצמו לכתוב ולצייר. הוא מצייר באמצעות שימוש בידיו ואצבעותיו ובמכחולים, לרוב בצבעי שמן. בשלושים וחמש השנים האחרונות יצירתו הגיעה לרמה גבוהה ביותר.
ארמאן הציג את עבודותיו בעשרות תערוכות בטורקיה, הולנד, ארצות הברית, איטליה, סין ובצ'כיה. הוא הופיע מספר פעמים בטלוויזיה הטורקית ואף בתוכנית של ה-BBC.
בשנת 2009 הוא השתתף בפרסומת של הדגם החדש של חברת המכוניות השוודית וולוו. במהלך הפרסומות הוא מצייר את המכונית (אשר כלל לא מוצגת בצורה ישירה בפרסומת). הציור עצמו מוצע למכירה ברשת Ebay כאשר ההכנסות יתרמו לקרן עולמית למען עיוורים.
תהליך היצירה.
ארמאן מעיד כי הוא זקוק לדממה מוחלטת כאשר הוא מצייר וכך הוא מרגיש שהוא "נכנס" אל תוך הציור שלו.
הציורים הראשונים של ארמאן כילד היו קווים ששרטט בחול, אבל כבר בגיל שש הוא עבר לנייר ועפרון ואחר כך לצבעי שמן, ומאוחר יותר לצבעי אקריליק.
לרוב הוא ממשש את מושא ציוריו בשלב הראשון, לאחר מכן הוא יוצר בעזרת חֶרֶט ברייל את קווי המתאר לציור וכאשר הוא מרוצה הוא מתחיל במלאכת הצביעה עצמה.
לעיתים הוא מניח גבולות המשמשים כקוי מתאר בעזרת רצועות גבס.
הוא מחכה כיומיים לאחר שהוא שם כל צבע, על מנת שהצבע הקודם יתייבש.
שיטה זו היא ייחודית לארמאן אשר גם לימד את עצמו לצייר לפי חוקי פרספקטיבה.
כדי לצייר דיוקן, הוא משתמש בתצלום, כך צייר, בין השאר, דיוקן של ראש הממשלה והנשיא.
הוא מבקש מאדם רואה לעבור בעפרון על קווי המתאר ואז הוא הופך את נייר הצילום, ממשש את הקווים בידו השמאלית ומצייר את מה שלמדו אצבעותיו עם ידו הימנית.
ארמאן ומחקרים אקדמיים.
בשנת 2004 הוא היה מושא למחקר על יכולות התפיסה האנושית באוניברסיטת טורונטו שבקנדה המחקר נערך על ידי הפסיכולוג ג'ון קנדי.
קנדי הניח לפני ארמאן שורה של חפצים: קובייה, חרוט וכדור וביקש ממנו לצייר אותם כמה פעמים, כאילו שבכל פעם הוא רואה את העצמים מזווית שונה - מימין, משמאל, מהצד הנגדי והתבקש לצייר שורה של כוסות המשתרעת עד האופק. קנדי מספר שנשימתו נעתקה לנוכח ציוריו של ארמאן המציגים פרספקטיבה מושלמת, כזאת שגם אנשים רואים היו מתקשים להעביר אל הנייר. הוא שרטט סדרה של רישומים בהם הקוביה נראית בכל פעם מזווית שונה וביטא תפיסת תלת ממד מפתיעה.
ב-2008 חוקרים מאוניברסיטת הרווארד, אלוורו פסקל-ליאוני והישראלי, ד"ר אמיר עמדי סרקו את המוח של ארמאן בשעה שהוא ממלא משימות, סריקה שממפה פעילות חשמלית בחלקיו השונים של המוח. הוטל עליו לצייר עצמים שאותם הוא מדמיין ואחרים שמישש ביום הקודם והעלה בזכרונו. החוקרים רצו לראות האם הקורטקס הוויזואלי, האזור בקליפת המוח שידוע כאחראי על עיבוד מידע חזותי, יכול לשנות יעוד ולטפל במידע שאינו נובע מראיה. כיום ידוע שאצל קוראי ברייל אזורי הראייה במוח הפכו לפעילים במילוי משימות הקשורות בזיכרון מילולי.
כאשר ארמאן נזכר במה ש"ראו" אצבעותיו, קורה לו מה שקורה במוחות של אנשים רואים, כשהם נזכרים בדימוי חזותי - הקורטקס הוויזואלי עובד, אומנם ברמה פחותה בהרבה בהשוואה לאדם רואה. אך כשארמאן מתחיל לצייר את מה שנגלה לאצבעותיו, רמת הפעילות בקורטקס הראייה שלו מזנקת מעלה, ממש כפי שזה מתרחש במוח של אדם רואה כאשר עיניו נתקלות במראות חדשים והמידע מעובד במוח.
לסלו לובס
לאסלו לובס
ממפיס בליק
מליק טוסטון קוקס (אנגלית: Malik Thuston Cox; נולד ב-23 ביוני 1978) ידוע יותר בכינויו ממפיס בליק (Memphis Bleek) או בליק הוא ראפר ומפיק מוזיקלי בעל חברת תקליטים גט לואו רקורדס. בליק הוציא עד כה (2009) ארבעה אלבומים, ואלבום חמישי אמור לצאת בשנת 2010. פירוש שמו של ממפיס הוא: "Making Easy Money Pimping Hoes In Style".
קריירה.