שיח האהבה הרומנטית ממשיך להתקיים כיום באינטימיות. שומוויי כותב שמצד אחד אהבה רומנטית מרמזת על סוג של הרפתקה ורגשות עזים, המאפשרת למצוא את הנפש התאומה מצד שני, מערכות יחסים אינטימיות מספקות תקשורת עמוקה, חברות וחילופי דברים ארוכים.
הפופולריות של האהבה.
מושג האהבה הרומנטית פופולרי בתרבות המערבית בעזרת המושג אהבה באדיבות. אבירים בימי הביניים היו בדרך כלל מעורבים בפרשיות לא פיזיות ומחוץ לנישואים עם נשות האצילים אותם שירתו. מערכות יחסים אלה היו מורכבות מאוד והיו שקועות במסגרת המסורת, הנובעת מתורת הנימוס המבוססת על אבירות ומכונה קוד האתיקה.
דידג'רידו
דידג'רידו (או בקיצור דידג') הוא כלי נשיפה קדום שפותח על ידי תושביה המקוריים של אוסטרליה, האבוריג'ינים. אף שאין מידע מדויק לגבי גילו, ישנן עדויות שהשימוש בו החל כבר לפני 1,500 שנה, והוא מתואר פעמים רבות ככלי הנשיפה העתיק בעולם. שמו המקורי של כלי הנגינה הוא "יאדקי", ו"דידג'רידו" הוא השם שבו הוא מכונה במערב.
באופן מסורתי עשוי הדידג'רידו מענף של אקליפטוס שחלקו הפנימי כורסם על ידי טרמיטים. בכלי מנגנים על ידי נשיפה לתוכו והרעדת השפתיים, פעולות שיוצרות רטט בענף ובכך נוצר הצליל. הצליל של הדידג'רידו הוא בעל תו אחד אך יכול להישמע מגוון על ידי הוספת קולות של הנגן עצמו (כגון צעקות), הקטנת האוויר בלחיים או לחלופין ניפוח הלחיים, הזזת הלשון בתוך חלל הפה ועוד.
בדומה לכלי נשיפה אחרים, ביכולתם של נגני דידג'רידו מיומנים לנשוף אוויר מהפה אל תוך הכלי ובו-זמנית לשאוף אוויר מהאף אל הריאות (סירקולציה), וכך לנגן ברציפות ובמקצועיות לפרקי זמן ארוכים. פעולה זו מכונה "נשימה מחזורית" והיא ניתנת לשימוש בכלי נשיפה רבים.
בתרבות האבוריג'ינית העתיקה הכלי שימש לטקסים פולחניים ולתיאורי זמן החלום.
כיום התרבות המערבית אימצה את הכלי ופיתחה בו סגנון נגינה ומקצבים שונים. כמו כן מכינים דידג'ים לא רק מאקליפטוס אלא גם מעצים אחרים כגון אגבה, במבוק, אזדרכת ועוד.
הערות שוליים.
[[קטגוריה:כלי נשיפה מעץ]]
[[קטגוריה:אבוריג'ינים]]
חברת טבע
מספר משוכלל
מספר משוכלל (או: מספר מושלם) הוא מספר טבעי השווה לסכום כל המחלקים הטבעיים שלו מלבד המספר עצמו. המספר המשוכלל הראשון הוא 6=1+2+3, ואחריו באים 28=1+2+4+7+14, 496 ו־8128 (). עיקר העניין במספרים משוכללים היה בימי הביניים, מסיבות נומרולוגיות. היום הם משמשים אבן בוחן ליכולת החישוב בבדיקת ראשוניותם של ראשוניים גדולים.
היסטוריה.
ארבעת המספרים המשוכללים הראשונים היו ידועים כבר ליוונים הקדמונים. אוקלידס היה הראשון שהבחין שכל המספרים האלה תואמים לתבנית formula_1, כאשר formula_2 הוא מספר ראשוני (ההוכחה לכך שכל מספר מצורה זו הוא משוכלל מובאת בהמשך).
רק בשנת 1356 התגלה המספר המשוכלל החמישי, 33,550,336, שגם הוא תואם לנוסחה של אוקלידס (עם n=13).
כדי ש־formula_2 יהיה ראשוני, נדרש שגם formula_4 עצמו יהיה ראשוני. מספרים ראשוניים מן הצורה הזו נקראים מספרי מרסן ראשוניים, על שמו של המתמטיקאי הצרפתי מרן מרסן (Marin Mersenne), שהודיע – בטעות – על מציאת מספרים משוכללים חדשים בשנת 1644.
לאונרד אוילר הראה שכל מספר משוכלל זוגי מתאים לתבנית שמצא אוקלידס. השאלה האם קיימים אינסוף מספרים משוכללים זוגיים, או לחלופין האם קיימים אינסוף מספרי מרסן ראשוניים, עודנה פתוחה.
בשנת 1952 החלו להיעזר במחשבים לשם מציאת מספרים משוכללים ובאותה שנה כבר נודעו 17 מספרים שכאלה. מאז ממשיך החיפוש ביתר שאת בעזרת מחשבי-על ובעזרת חישוב מבוזר קהילתי, ונכון ל-2020 ידועים כבר 51 מספרים משוכללים. החיפוש הוא אחר ראשוניי-מרסן, שמהם נוצרים מספרים משוכללים זוגיים בלבד, ולכן אין בו כדי לסייע בתשובה לשאלת הקיום של מספרים משוכללים אי-זוגיים.
מספר משוכלל הוא מספר המקיים את המשוואה formula_5כאשר formula_6היא פונקציית סכום המחלקים. מספרים שעבורם formula_7נקראים מספרים חסרים, ואלו שעבורם formula_8נקראים מספרים שופעים.
הראשון מחכמי ישראל שמזכיר מספרים משוכללים, הוא הפילוסוף היהודי פילון האלכסנדרוני שכתב, בהתבסס על פילוסופיה יוונית, על מספרים וחשיבותם בסיפור בריאת העולם. לדעתו המספרים המשוכללים הם ביטוי לשלמות, ומשום כך נברא העולם בשישה ימים. גם רבי אברהם אבן עזרא הזכיר מספרים אלה בפירושו לתורה (), הוא מכנה אותם "מספרים שווים".
הנוסחה למציאת מספרים משוכללים.
מספרים משוכללים רבים הם מהצורה formula_1עבור formula_4 כך ש-formula_2 הוא מספר מרסן ראשוני. להלן הוכחה לכך שכל המספרים מהצורה הזו הם אכן משוכללים:
נתון שהמספר formula_12 ראשוני, שנסמן מעתה באות formula_13. עלינו להוכיח שהמספר formula_14 הוא מספר משוכלל.
ראשית נמצא את כל מחלקיו של המספר (מלבד המספר עצמו):
formula_15
כעת נראה כי סכום איברים אלה שווה למספר עצמו. נחשב את המספר כך:
formula_16
ומאחר שסכום כל חזקות ה-2 עד formula_17 כלשהו שווה ל:formula_18 (מכיוון שזהו סכום של סדרה הנדסית), ניתן לכתוב סכום זה כך:
formula_19
וזהו בדיוק המספר המקורי, ובכך הושלמה ההוכחה.
מספרים משוכללים זוגיים.
בערך 2000 שנה אחרי אוקלידס עשה המתמטיקאי לאונרד אוילר צעד משמעותי, כאשר הוכיח שכל מספר משוכלל זוגי הוא בהכרח מן הצורה המתוארת לעיל.
הוכחה:
נניח ש-formula_4 הוא מספר משוכלל זוגי. ניתן לרשום את formula_4 בצורה formula_22 כאשר formula_23 ו-formula_24 הוא מספר אי זוגי שבפרט זר ל-formula_25. נרצה לחשב את formula_26, כאשר formula_27 היא פונקציית סכום המחלקים.
מכיוון ש-formula_27 היא פונקציה כפלית על מספרים זרים, מתקיים:
formula_29, אבל באותו הזמן formula_4 משוכלל, ולכן
formula_31.
מצירוף השוויונות מתקבל formula_32, ומכאן ש-formula_33 מחלק את formula_34; אבל formula_33 ו-formula_36 זרים, ולכן formula_33 מחלק את formula_24, ונכתוב formula_39.
אם נציב הצגה זו של formula_24 במשוואה האחרונה ונצמצם, נקבל: formula_41.
בין המחלקים של formula_24 אפשר למנות לפחות את formula_43 ואת formula_24 עצמו (השונים זה מזה), ולכן formula_45. מכאן שאי-השוויון החלש הוא למעשה שוויון, ולכן formula_46 ו-formula_43 הם המחלקים היחידים של formula_24; אבל 1 מחלק את formula_24, ולכן formula_50. הוכחנו כי formula_51, וכי הוא ראשוני.
מספרים משוכללים אי-זוגיים.
באשר למספרים משוכללים אי-זוגיים, לא ידוע האם קיים ולו אחד כזה. שאלת קיומם היא כנראה הבעיה המתמטית הפתוחה העתיקה ביותר שטרם הוכרעה, והיא רמוזה ביסודות שכתב המתמטיקאי אוקלידס בראשית המאה השלישית לפנה"ס. כן ידוע שלמספר משוכלל אי-זוגי (אם קיים) יש לפחות 1,500 ספרות עשרוניות, לפחות 101 גורמים ראשוניים (כולל כפילויות - גורמים ראשוניים החוזרים כמה פעמים) ולפחות 10 גורמים ראשוניים שונים זה מזה, גורם ראשוני הגדול ביותר, גדול מ-100,000,000, גורם שהוא חזקת ראשוני הגדול מ-formula_52 (ב.י. מושקאט, 1966), גורם ראשוני שני בגודלו, הגדול מ-10,000 (P. Hagis Jr., 1980), גורם ראשוני שלישי בגודלו, הגדול מ-100, ומספר מחלקים אי זוגי .
אייסטיין אור חקר את היחס בין מספר המחלקים של n לבין סכום ההפכיים של המחלקים; אם n משוכלל, אז היחס הזה שלם. אור שיער שאם n אי-זוגי היחס אינו שלם (חוץ מהמספר 1) (זו הכללה של ההשערה המפורסמת על אי קיומו של משוכלל אי-זוגי).
מספרים מושלמים
מצבת מישע
מַצֶּבֶת מֵישַׁע היא מצבת זיכרון לכמוש, אלוהי המואבים, שהוצבה מטעם מישע מלך מואב בעיר דיבון, במחציתה השנייה של המאה ה-9 לפני הספירה, לציון ניצחונותיו על ממלכת ישראל, בתקופת שלטונם של מלכי שושלת בית עמרי. המצבה התגלתה בשנת 1868, והיא מהווה את אחד הגילויים החשובים בארכאולוגיה של תקופת המקרא בשל היותה העדות החוץ-מקראית הראשונה למתואר בתנ"ך. המצבה נמצאת כיום במוזיאון הלובר שבפריז.
תיאור המצבה.
המצבה עשויה אבן בזלת והסיתות על פניה עבודת אומן. גובהה כמטר ורוחבה כ-60 ס"מ. בכתובת נשתמרו 34 שורות מתוך 36 השורות שככל הנראה היו קיימות בה. היא כתובה באלפבית הפיניקי-עברי ולשונה מואבית, שפה קרובה לעברית המקראית. בין מילה למילה מפרידה נקודה, ובין משפט למשפט מפריד קו.
בימי עמרי ואחאב היה מישע כפוף לישראל, ולאחר שמת אחאב נאמר: .
ואכן, בכתובת מספר מישע על התקופה בה מואב הייתה משועבדת לישראל, על השחרור מעול השיעבוד, על כיבוש ערים בתחום ממלכת ישראל ועל מפעלי הבניה הכבירים שביצע בארצו.
גילוי המצבה.