הומולוגיה של מרחב טופולוגי היא טכניקה ללמידת אוסף תכונות ומאפיינים שונים של מרחבים טופולוגיים. בדומה להומוטופיה, הומולוגיה מודדת שינויים רציפים על פני מרחבים טופולוגיים תחת מעברים שונים. לכל מרחב טופולוגי מתאימה סדרה של חבורות אבליות, formula_1, שכל אחת מהן נושאת מידע מסוים על המרחב X.
ההומולוגיה של מרחב טופולוגי גם מאפשרת להבדיל בין מרחבים שונים: למרחבים הומיאומואפיים ואף שקולים הומוטופית אותה ההומולוגיה. במילים אחרות, חבורות ההומולוגיה הן "אינווריאנטים טופולוגיים והומוטופיים". למרות המידע הרב שמספקות חבורות ההומולוגיה, הן אינן מזהות באופן מלא את המרחב - ובאופן כללי ייתכנו מרחבים טופולוגיים לא שקולים בעלי אותן חבורות הומולוגיה; בכל זאת, למשפט וייטהד יש מקבילה הומולוגית, בעזרת משפט הורוויץ.
האינווריאנט ההומולוגי הראשון והפשוט ביותר, החבורה formula_2, סופרת את מספר מרכיבי הקשירות המסילתית של המרחב. החבורה הבאה, formula_3, איזומורפית באופן טבעי אל האבליניזציה של החבורה היסודית של המרחב.
לחישוב ההומולוגיה של מרחב טופולוגי מספר שיטות. הנפוצה והבסיסית ביניהן היא סדרת מאייר-ויאטוריס, המקשרת את ההומולוגיה של מרחב טופולוגי להומולוגיה של כיסוי טוב שלו, ומקבילה במובן מסוים למשפט ואן קמפן בחישוב החבורה היסודית. בעזרתה גם ניתן לפתח שיטה אלגוריתמית לחישוב מחלקה גדולה של מרחבי CW סוף-ממדיים.
תורת הומולוגיה.
הגדרה אלגברית.
תורת הומולוגיה היא אוסף של פנקטורים formula_4. דהיינו, פנקטורים שמתאימים לכל זוג מרחבים טופולוגי formula_5 המקיים formula_6 חבורה אבלית ומקיימים את התנאים הבאים:
formula_18
מעתה נגדיר formula_19, לשם פשטות הסימון.
משפטים בסיסיים.
המשפטים הבאים יהיו נכונים בכל תורת הומולוגיה המקיימת את האקסיומות של הסעיף הקודם:
הילאל מוסא
הילאל מוסא (בערבית: هلال موسى; נולד ב-31 במאי 1990) הוא כדורגלן ערבי-ישראלי המשחק בעמדת הקשר בקבוצת שבאב אל-ח'ליל.
קריירה.
מוסא החל לשחק כדורגל במחלקת הנוער של הפועל חיפה, וכשהיה בן 18 עבר לקבוצת הנוער של מכבי נתניה. בקיץ 2009 חתם בהפועל בני טמרה מליגה א' צפון. ב-16 באוקטובר 2009 ערך את הופעת הבכורה שלו בקריירה, בתיקו 2–2 נגד מ.ס. כרמיאל/צפת, בו אף כבש את שער הבכורה שלו בקריירה. את עונתו הראשונה כשחקן בוגרים סיים עם 5 שערים ב-27 הופעות. לקראת עונת 2010/2011 עבר להפועל ראשון לציון מהליגה הלאומית, עמה עלה לליגת העל בסיום העונה. ב-20 באוגוסט 2011 ערך את הופעת הבכורה שלו בליגת העל, כשפתח בהרכב בניצחון 4–2 על בני סכנין. בקיץ חזר לליגה הלאומית כאשר חתם במכבי אום אל-פחם, ובינואר של אותה עונה עבר למכבי אחי נצרת.
בקיץ חתם בשבאב אל-ח'דר מליגת העל הפלסטינית, במדיה שיחק שנתיים. ב-19 במאי 2014 ערך את הופעת הבכורה שלו בנבחרת פלסטין, בניצחון 1–0 נגד . מוסא היה שותף לזכייה של הנבחרת בגביע האתגר של ה-AFC לראשונה בתולדותיה, שאף העניק לה עלייה לגביע אסיה בכדורגל 2015, ובסך הכל ערך שש הופעות במדי הנבחרת.
ב-17 ביולי חזר לליגת העל כאשר חתם לעונה אחת בהפועל חיפה, אך ב-8 בספטמבר שוחרר מהקבוצה לאחר ששותף רק בשלושה משחקי גביע הטוטו, וכעבור חודש חתם בבני סכנין. ב-24 באוקטובר 2015 ערך את הופעת הבכורה שלו במועדון, כשנכנס כמחליף בתיקו 0–0 מול מכבי נתניה. ב-20 בפברואר 2016 כבש מוסא את שערו הראשון במדי בני סכנין, בניצחון 2–0 על הפועל כפר סבא, ואת עונת 2015/2016 סיים עם שער אחד ב-21 הופעות ליגה. בתחיל עונת 2016/2017 קרע את הרצועה הצולבת, ולא שיחק במהלך כל העונה. במאי חזר להתאמן לראשונה אחרי תשעה חודשים. בעונת 2017/2018 שותף בשמונה משחקי ליגה.
בקיץ התאמן עם הפועל עפולה מהליגה הלאומית ואף שיחק משחק אחד בגביע הטוטו, אך בסופו של דבר החליט לחזור לליגה הפלסטינית וחתם באהלי אל-ח'ליל.
ב-15 בספטמבר , מוסא חתם בהפועל כאוכב.
בקיץ חזר לליגה הפלסטינית וחתם בשבאב אל-ח'ליל.
סדרת מאייר-ויאטוריס
סדרת מאייר-ויאטוריס (Mayer–Vietoris sequence) היא סדרה מדויקת המקשרת את חבורות ההומולוגיה של מרחב טופולוגי אל חבורות ההומולוגיה של כיסוי טוב שלו. היא מהווה כלי מרכזי ובסיסי לחישוב ההומולוגיה של מרחב טופולוגי, ובמובן מסוים מהווה מקבילה למשפט ואן קמפן בחישוב החבורה היסודית.
הסדרה נקראת על שם שני המתמטיקאים האוסטרים לאופולד ויאטוריס ווולטר מאייר, שעסקו רבות בטופולוגיה.
נוסח פורמלי.
יהי formula_1 מרחב טופולוגי. כעת, יהיו formula_2 שני תתי-מרחבים של formula_1, המהווים כיסוי טוב של המרחב (כלומר, איחוד הפנימים שלהם שווה למרחב: formula_4), ונניח שחיתוכם לא ריק. מתקבלת הדיאגרמה שמשמאל, כאשר ההעתקות i,j,k,l הן העתקות ההכלה הטבעית.
לכל n טבעי נביט בסדרה הבאה:
formula_5
ממנה מתקבלת סדרה מדויקת של חבורות ההומולוגיה:
formula_6
כאשר formula_7 היא חבורת ההומולוגיה ביחס לכיסוי.
משפט מאייר-ויאטוריס קובע כי העתקת ההכלה formula_8 משרה איזומורפיזם טבעי של חבורות formula_9, ולכן (אם מרכיבים הומומורפיזם זה בדיאגרמה) מתקבלת סדרת מאייר-ויאטוריס:
formula_10
לרוב נוח להשתמש בסדרת מאייר-ויאטוריס על חבורות ההומולוגיה המצומצמות:
formula_11
טבעיות.
האיזומורפיזם formula_9 שהוזכר לעיל הוא למעשה איזומורפיזם טבעי ביחס להעתקות המכבדות את הכיסוי. כלומר, נניח שנתונים שני מרחבים טופולוגיים בעלי כיסויים טובים formula_13 ,formula_14, והעתקה formula_15 רציפה המכבדת את הכיסויים (כלומר, formula_16. אז ההעתקות בסדרת מאייר-ויאטוריס (ובעיקר ההעתקה המחברת) מתחלפות עם ההעתקה המושרית formula_17, ומקבלים דיאגרמה מתחלפת:
בפרט, המעבר מ-formula_7 אל formula_19 בסדר מאייר-ויאטוריס הוא טבעי.
לטענה זו מספר שימושים, בעיקר בשילוב עם העובדה שהאיזומורפיזם בין ההומולוגיה הראשונה אל האבליניזציה של החבורה היסודית הוא טבעי - ניתן להבין כך העתקות לא טריוויאליות בסדרת מאייר-ויאטוריס ולחשב את החבורות (ראו בדוגמאות).
דוגמאות.
ספירות.
נוכיח שחבורות ההומולוגיה של הספירות הן
formula_20.
נחלק את הספירה לשתי המיספרות עם קצת חיתוך: formula_21, formula_22. שתיהן כוויצות, ולכן formula_23. לכן מסדרת מאייר-ויאטוריס אפשר להסיק:
formula_24
כלומר יש איזומורפיזם, ומסיימים באינדוקציה.
נובעות מכך המסקנות הבאות:
שיקופים, נקודות שבת ושדות וקטוריים.
בסעיף זה נראה טענות מגאומטריה דיפרנציאלית בעזרת הטבעיות של סדרת מאייר-ויאטוריס.
ניישם את הטבעיות למקרה לעיל של הספירות; נוכיח כי השיקוף formula_31, משרה את formula_32 על חבורת ההומולוגיה. ההוכחה באינדוקציה - הטענה עבור formula_33 ברורה; כעת, נחלק את הספירה לכיסוי טוב כלעיל, אך נדאג ש-formula_34 לא יבחרו בציר השיקוף formula_35 (כדי שהשיקוף יכבד את הכיסוי); נשתמש בטבעיות:
כאשר החלק האדום נכון באינדוקציה. לכן: formula_36 כדרוש.
מהטענה לעיל ניתן להעסיק כי כאשר formula_37 זוגי, ההעתקה האנטיפודית formula_38 איננה הומוטופית לזהות formula_39, שכן שתיהן משרות העתקות שונות על ההומולוגיה: הזהות את הזהות, אך האנטיפודית היא הרכבה של formula_40 שיקופים, ולכן משרה את formula_41.
טענה טכנית נוספת היא - אם formula_42 כ ש-formula_43 לכל formula_44, אז formula_45 (רואים זאת על ידי ההומוטופיה formula_46).
מהטענות לעיל ניתן להסיק כי כאשר formula_47 זוגי, לכל העתקה רציפה formula_48 יש נקודה בה formula_49 או formula_50 - אחרת formula_51 ולכן formula_52, וגם formula_53 ולכן formula_54, וביחד formula_55 בסתירה לנאמר לעיל.
מטענה זו ניתן להסיק גם כי כל העתקה רציפה מהמרחב הפרויקטיבי הממשי מממד זוגי formula_56 יש נקודת שבת. ניתן גם להסיק כי כל שדה וקטורי של הספירה מממד זוגי חייב להתאפס.
לכל הטענות יש דוגמה נגדית כאשר formula_47 אי-זוגי.
n-זרים ומשטחים סגורים.
n-זר של ספירות הוא איחוד נקודתי שלהן - formula_58. בעזרת סדרת מאייר ויאטוריס ואינדוקציה ניתן להראות שמתקיים
formula_59
כלומר, זו חבורה אבלית חופשית מסדר כמספר הממדים של הספרות ששווה לסדר החבורה.
את הסעיף הקודם ניתן להכליל ולחשב את חבורות ההומולוגיה של כל המשטחים הסגורים: ממיונם ידוע שהם כוללים את הספירות, ה-n-טורוסים וה-n-מישורים פרויקטיביים.
n-טורוס.
כדי להשתמש בסדרת מאייר-ויאטוריס, ניקח את formula_60 להיות עיגול קטן על ה-formula_47-טורוס, ואת formula_62 להיות כל השאר, עם טבעת חפיפה (כמו במשפט ואן קמפן). אז נקבל formula_63; התיאור של formula_60 הוא גאומטרי - לאחר הוצאת דיסק מהטורוס ניתן להרחיב את החור סביב הכיוונים האופקי והאנכי, ואז מקבלים מרחב השקול ל-formula_65-זר, וההומולוגיה שלו חושבה בסעיף לעיל. אם כן הסדרה היא
formula_66
formula_67
formula_68
כאשר את ההעתקה formula_69 מבינים לפי ההערה לעיל על הטבעיות - ההעתקה המקבילה עבור החבורה היסודית היא (כאמור בחישוב המקביל בערך על משפט ואן קמפן) formula_70, ובמקרה שלנו החבורות אבליות ולכן ההעתקה היא אכן העתקת האפס. שאר החישוב הוא לפי דיוק הסדרה.
המרחב הפרויקטיבי.
החלוקה לסביבות היא בדיוק כמו ב-formula_47-טורוס. במקרה זה, ההעתקה החשובה שנורשת מהחישוב של החבורה היסודית היא formula_72, והחבורות הן:
formula_73
מתיחה של מרחב.
המתיחה של מרחב טופולוגי formula_1 מוגדרת להיות formula_75. ההומולוגיה של המתיחה עולה מדרגה אחת מההומולוגיה של המרחב עצמו, כלומר formula_76. טענה זו מוכיחים בעזרת סדרת מאייר-ויאטוריס - נגדיר
formula_77, formula_78