לבליעת קרני UVB (קרינה באורכי גל 280-320 nm הגורמת את עיקר הנזק לעור) משתמשים בדרך כלל בנגזרות של חומצה צינמית Cinnamic acid כדוגמת OMC (אוקטיל-מתוקסי-צינמאט Octyl methoxycinnamate), ששיא הבליעה שלו נמצא ב-308 nm. החומר יעיל מאוד בבליעת UVB, אבל נשטף במים.
כדי לקבל קרם עמיד בפני רטיבות מוסיפים Octyl salicylate, אסטר של חומצה סליצילית (כרומופור בולע UV) ו-Ethylhexanol שהוא אלכוהול שומני המקנה תכונות שומניות (יציבות לשטיפה במים). הבליעה של Octyl salicylate נמוכה יותר, אבל החומר ישאר ספוח לעור גם במים.
לבליעת קרינת UVA (קרינה באורכי גל 320-400 nm) מוסיפים תרכובות כדוגמת בנזופנון. בנוסף, מוכנסים לקרם גם חומרים מפזרי אור כדוגמת טיטניום דו חמצני (רוטיל) TiO2.
המשפט הקטן של פרמה
בתורת המספרים, המשפט הקטן של פרמה קובע שלכל ראשוני p ולכל מספר שלם a, ההפרש formula_1 מתחלק ב-formula_2, כלומר formula_3.
משפט אוילר מכליל את המשפט הקטן של פרמה, מאחר ש-formula_4 לכל formula_5 ראשוני.
למשפט מגוון שימושים בתורת המספרים. הוא עומד בבסיסם של מבחני ראשוניות רבים (למשל אלגוריתם מילר-רבין) ומכאן חשיבותו הגדולה בקריפטוגרפיה.
הוכחות.
השוואה של מערכות שאריות.
נסתכל על קבוצת כל השאריות (מלבד 0) מודולו formula_5:
formula_7. נכפיל את כל האיברים בקבוצה ב-formula_8, ונקבל את formula_9.
נראה שגם ב-B מופיעות אותן שאריות, כמו ב-A: הקבוצה אינה כוללת את formula_10, מכיוון שכל המספרים הם מכפלות של שני מספרים זרים ל-formula_5, שהוא ראשוני, ולכן גם המכפלה זרה ל-formula_5. מלבד זה, אין בקבוצה formula_13 שני מספרים זהים (הוכחה: נניח בשלילה ש- formula_14. מאחר ש-formula_8 זר ל-formula_5, ניתן לחלק בו את שני צידי המשוואה ומתקבל ש-formula_17, מה שמוביל לסתירה).
כעת, מאחר ששתי הקבוצות זהות, גם מכפלת איבריהן שווה: formula_18; ומאחר ש-formula_19 הוא מכפלת מספרים זרים ל-formula_5, הרי שגם הוא זר ל-formula_5 (למעשה הוא שווה ל-1- לפי משפט וילסון), ולכן ניתן לחלק בו את שני צידי המשוואה ולקבל את המשפט: formula_22.
אינדוקציה.
לכל formula_23 המונה מתחלק ב-p והמכנה לא, ולכן המנה מתחלקת ב-p. מכאן שלכל formula_24 מתקיים formula_25. בפרט, באינדוקציה על a,
formula_26.
פעולת החבורה הראשונית.
החבורה הציקלית formula_27 פועלת, על ידי סיבוב, על קבוצת הווקטורים באורך p מעל קבוצת הערכים formula_28, שגודלה כמובן formula_29. וקטור מהווה נקודת שבת ביחס לפעולה רק אם כל הרכיבים שלו שווים, וכאלה וקטורים יש בדיוק a. גודלו של כל מסלול חייב לחלק את סדר החבורה p, ולכן formula_30 הווקטורים שאינם נקודות שבת שייכים למסלולים בגודל p; מכאן ש- p מחלק את formula_30.
רעיון דומה מאפשר להוכיח את משפט קושי על קיום איבר מסדר ראשוני בחבורה. פעולה מסוג זה, של חבורה על וקטורים, היא נקודת המוצא של תורת פולייה.
הוכחה קומבינטורית.
ניתן להוכיח את המשפט באמצעות פתרון השאלה הבאה (זהו ניסוח אלמנטרי של ההוכחה הקודמת): צובעים את הצלעות של מצולע משוכלל עם p צלעות, כל צלע באחד מ-a צבעים נתונים. כמה מצולעים אפשר ליצור, השונים זה מזה גם לאחר סיבוב? תשובה: אם הצביעה מכילה יותר מצבע אחד, אז כל סיבוב של המצולע מביא אותו לצורה שונה משום ש-p ראשוני. המקרה היחיד שבו הסיבוב אינו משפיע הוא כאשר כל הצלעות צבועות באותו הצבע. מספר האפשרויות לצבוע את המצולע הוא formula_29, מתוכן a צביעות בצבע אחד, והשאר, formula_30, בשני צבעים שונים לפחות. כל צביעה כזו מופיעה בדיוק p פעמים, ולכן מספר המצולעים השונים הוא formula_34. זהו מספר שלם, ולכן formula_3. (חישוב זה הוא מקרה פרטי של הלמה של ברנסייד, עבור הפעולה של החבורה הציקלית מסדר p על אוסף הצביעות).
בסיס עשרוני
מספרים זרים
שני מספרים שלמים נקראים מספרים זרים, אם המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא 1, כלומר, אין אף מספר גדול מאחת שמחלק את שניהם.
על-פי המשפט היסודי של האריתמטיקה אפשר לכתוב כל מספר טבעי באופן יחיד כמכפלה של גורמים ראשוניים. שני מספרים הם זרים אם ורק אם אין ברשימת הגורמים שלהם אף ראשוני משותף; לדוגמה, formula_1 זר ל- formula_2.
דוגמאות נוספות:
שלשה של מספרים נקראת 'שלשה זרה' (ולפעמים 'שלשה פרימיטיבית') אם אין אף מספר גדול מאחת המחלק את כולם; וכן לרביעייה, חמישייה או קבוצה גדולה יותר. אם המספרים בקבוצה זרים גם זה לזה, אומרים שהם 'זרים בזוגות'. ייתכן שבקבוצת מספרים המספרים יהיו זרים בלי להיות זרים בזוגות. למשל 6,10,15 - אין מספר גדול מאחד המחלק את שלושתם, אך כל זוג מתוכם אינו זר.
תכונות של מספרים זרים.
אם קיימים מספרים שלמים a,b כך ש- formula_3, אז n,m זרים, משום שכל מחלק משותף שלהם מחלק גם את אגף ימין בשוויון הזה. מאידך, מכיוון שחוג המספרים השלמים הוא תחום ראשי, לכל שני מספרים זרים n ו-m קיימים a ו- b כך ש- formula_3. האלגוריתם של אוקלידס מוצא את המקדמים הללו בזמן קצר יחסית. מתכונה זו מתקבלת הוכחה קלה של משפט השאריות הסיני.
קבוצת המספרים בין 1 ל- n הזרים ל-n היא חבורה ביחס לכפל מודולו n, הנקראת חבורת אוילר של n. גודלה של חבורה זו שווה ל-formula_5, כאשר formula_6 היא פונקציית אוילר.
אם n ו- m זרים, אז הכפולה המשותפת המינימלית שלהם שווה למכפלתם nm.
עבור כל שני מספרים זרים n ו- m מתקיים שכל אחד מהם זר לכל העלאה בחזקה של האחר (לדוגמה, n זר ל-m3), וכן מתקיים שכל אחד מהם זר לסכומם n+m.
ההסתברות ששני מספרים יהיו זרים.
נסמן ב-formula_7 את ההסתברות ששני מספרים טבעיים קטנים מ-N שנבחרים באקראי (בהתפלגות אחידה בדידה) יהיו זרים. כאשר N שואף לאינסוף, formula_7 שואף ל-formula_9. על כן ניתן לומר שההסתברות ששני מספרים טבעיים כלשהם יהיו זרים היא formula_10 (תיאור ההסתברות כגבול דרוש משום שאי אפשר לבחור שני מספרים טבעיים סתם, בהתפלגות אחידה).
המקור לטענה הוא בנימוק הבא: נבחר שני מספרים באופן אקראי (למען הפשטות, נוותר על הדיוק ונניח שניתן לבחור מספרים טבעיים לא חסומים באופן אחיד). המספרים זרים אם ורק אם אין ראשוני שמחלק את שניהם. הסיכוי שראשוני formula_11 מחלק כל אחד מהם היא formula_12, ולכן הסיכוי שהוא מחלק את שניהם היא formula_13. מכאן שהסיכוי שהוא לא מחלק את שניהם הוא formula_14. לכל שני ראשוניים שונים, המאורעות הללו בלתי תלויים (מכיוון שמספר מתחלק בשני ראשוניים שונים אם ורק אם הוא מתחלק במכפלה שלהם). מכאן שההסתברות שאין ראשוני שמחלק את שני המספרים שנבחרו היא מכפלת ההסתברויות שכל ראשוני בנפרד לא מחלק את שניהם. כלומר ההסתברות היא:
כאשר המכפלה עוברת על כל הראשוניים. קיבלנו את ההופכי של מכפלת אוילר של פונקציית זטא של רימן בנקודה formula_16, ולכן ההסתברות שווה ל-formula_17. לפי הפתרון של בעיית בזל, ערך זה שווה ל-formula_10.
הכללות.
בחוגים כלליים, לטענה שאיברים a ו- b זרים יכולה להיות שתי משמעויות: או שאין איבר לא הפיך שמחלק את שניהם, או שאין אידיאל שמחלק את שניהם (ובמלים אחרות, האידיאל formula_19 שווה לכל החוג). האפשרות השנייה תמיד חזקה מן הראשונה, ובתחומי אידיאלים ראשיים הן מתלכדות.
אומרים ששני אידיאלים (של חוג כלשהו) הם זרים (או קו-מקסימליים, או מקסימליים הדדית), אם סכומם שווה לכל החוג. זוהי תכונה מרכזית בהכללה של משפט השאריות הסיני לחוגים כלליים.
מגדל ויליס
מגדל ויליס (באנגלית: Willis Tower), המוכר גם בשמו הקודם מגדל סירס (באנגלית: Sears Tower), הוא גורד שחקים הממוקם ברחוב ווקר דרייב דרום 233 (233 S. Wacker Drive), שיקגו, אילינוי, ארצות הברית. הבניין מתנשא לגובה של 443 מטרים והוא בעל 110 קומות. בזכות כך, החזיק בתואר "הבניין הגבוה ביותר בעולם" בין השנים 1973–1998, עד השלמת בנייתם של מגדלי פטרונס שבמלזיה. כיום הוא הבניין השלישי בגובהו בארצות הברית (אחרי מגדל החירות ומגדל סנטרל פארק) וה-23 בגובהו בעולם. מגדל ויליס הוא אחד היעדים המועדפים על תיירים המגיעים לשיקגו וכ-1.3 מיליון איש פוקדים את קומת התצפית שלו בכל שנה. במרץ 2009, לאחר רכישת המגדל על ידי קבוצת ויליס הבריטית, הוחלט לשנות את שמו ממגדל סירס למגדל ויליס. שמו שונה רשמית ב-16 ביולי 2009.
באוגוסט 2012 העבירה חברת יונייטד איירליינס את משרדיה מבניין יונייטד, הממוקם בווקר דרייב מערב 77, למגדל ויליס. נכון ל-2014, חברת יונייטד היא השוכר הגדול ביותר במגדל ומשרדיה מתפרסים על פני 20 קומות.
במרץ 2015, רכשה קבוצת בלקסטון את הבניין תמורת 1.3 מיליארד דולר אמריקאי.
היסטוריה.
תכנון ובנייה.