דוגמה: נתון המספר ההקסדצימלי AF34BD. ניקח כל ספרה הקסדצימלית, ונהפוך אותה למספר בינארי בן 4 ספרות.
A בבסיס 16 שווה ל-1010 בבסיס 2
F בבסיס 16 שווה ל-1111 בבסיס 2
3 בבסיס 16 שווה ל-0011 בבסיס 2
4 בבסיס 16 שווה ל-0100 בבסיס 2
B בבסיס 16 שווה ל-1011 בבסיס 2
D בבסיס 16 שווה ל-1101 בבסיס 2
כעת נכתוב את כל ספרות המספרים הבינאריים לפי הסדר ההקסדצימלי: 101011110011010010111101 (אם הספרה השמאלית ביותר של התוצאה היא 0 יש להשמיטה עד שנגיע למצב בו הספרה השמאלית ביותר היא 1).
קיבלנו שהתוצאה 101011110011010010111101 היא AF34BD בערכים בינאריים.
המרת מספר בינארי למספר הקסדצימלי.
כדי להעביר מספר בינארי למספר הקסדצימלי ניתן לחלק את המספר הבינארי לקבוצות של 4 ספרות כל אחת (במידה, ומספר הספרות הבינאריות אינו מתחלק ב-4 כמו מספר בעל 7 ספרות יש להוסיף 0 משמאל למספר כדי להגיע למספר ספרות המתחלק ב-4). לאחר מכן יש להפוך כל 4 ספרות בינאריות מימין לשמאל בספרה ההקסדצימלית המתאימה לה, ולבסוף לכתוב אותן לפי הסדר הבינארי.
דוגמה: נתון המספר הבינארי 110110110
המספר הבינארי בעל 9 ספרות, ולכן יש להצמיד לשמאלו שלושה אפסים כדי להביאו למצב שבו מספר הספרות יתחלק ב-4: 000110110110
0001 בבסיס 2 שווה ל-1 בבסיס 16
1011 בבסיס 2 שווה ל-B בבסיס 16
0110 בבסיס 2 שווה ל-6 בבסיס 16
כעת נכתוב את כל ספרות המספרים ההקסדצימליים לפי הסדר הבינארי: 1B6
קיבלנו שהתוצאה 1B6 היא 110110110 בערכים הקסדצימליים.
התכונה הזו, המעבר הפשוט מבינארי להקסדצימלי ולהפך, הוא מה שהופך את השיטה ההקסדצימלית לשימושית בעולם המחשבים. במקום לזכור רצפים של אחדות ואפסים שנמצאים בזיכרון המחשב, יותר קל להכניס ערכים הקסדצימליים והסיכוי לטעות נעשה נמוך יותר.
החתול של שרדינגר
הֶחתול של שרדינגר הוא ניסוי מחשבתי בעל אופי פרדוקסלי בתורת הקוונטים, אותו הגה ארווין שרדינגר, מיוצריה של תורה זו.
את הרעיון העלה שרדינגר כדי להמחיש את הבעייתיות של פרשנות קופנהגן במעבר ממערכות תת-אטומיות אל מערכות מאקרוסקופיות. בניסוי המחשבתי נמצא חתול במצב אבסורדי: גם חי וגם מת.
הניסוי נועד להמחיש את המוזרויות שבמכניקה הקוואנטית ואת המתמטיקה הדרושה לתיאור מצבים קוונטיים. הרעיון של חלקיק הנמצא בסופרפוזיציה קוונטית של שני מצבים אפשריים, אף שהוא מוגדר כעובדה במכניקה הקוונטית, הוא קונספט שלא מועבר בקלות למערכות בקנה מידה גדול (מאקרוסקופיות), כמו חתול, או מדענים הבודקים את מצבו.
רקע תאורטי.
מכניקת הגלים.
בהתבסס על עבודותיהם של אלברט איינשטיין ולואי דה ברויי, פיתח שרדינגר את משוואת שרדינגר, שהיא משוואה דיפרנציאלית שפתרונותיה הם פונקציות גל, המתארות כיצד פרושה מערכת קוונטית במרחב, וכיצד היא מתפתחת בזמן. שרדינגר יצא מההנחה של דה-ברויי, שלכל חלקיק מתאימה חבורת גלים, שסכומם מגיע לערך מרבי במקום בו נמצא החלקיק על פי המכניקה הקלאסית. בחישובים שנעשו מתוך הנחה זו, התקבלו תוצאות שתאמו היטב תופעות שנצפו בניסויי חלקיקים, שעד אז נראו בלתי הגיוניות בשביל חלקיקים, אך טריוויאליות בעבור גלים.
שרדינגר גילה מתאם בין מקום השיא של הגל לבין מיקומו של החלקיק. אך את הפירוש שקשר זה הוא הסתברותי הציע הפיזיקאי מקס בורן. על פי פירוש זה, ריבוע האמפליטודה (עוצמת הגל) בכל מקום וזמן מבטא את ההסתברות שהחלקיק יהיה שם באותו זמן. איינשטיין ושרדינגר התנגדו לפירוש ההסתברותי, מאחר שהוא מפר עקרונות יסוד של הפיזיקה הלא-קוונטית, כגון דטרמיניזם, סיבתיות ומקומיות.
בניסיון לפתור את בעיית המקומיות, הציע איינשטיין תאוריות משתנים חבויים. ג'ון סטיוארט בל הראה באמצעות משפט בל, שניתן לבחון את הרעיון בניסוי. מאז כל הניסויים שנעשו תמכו בפירוש ההסתברותי של בורן ולא ברעיונו של איינשטיין.
פרשנות קופנהגן.
לפי פרשנות קופנהגן למכניקת הקוונטים, שהגה נילס בוהר, אפשר לדעת את מצבו של חלקיק קוונטי רק כאשר מתבצעת מדידה של גודל פיזיקלי כלשהו שלו. במינוח מדויק, פירושו של המונח "מדידה" הוא: קריאה של תוצאה מספרית על התקן ששייך לעולם המאקרוסקופי. מאחר שקריאה כזו היא חד-משמעית, ולא צירוף קוונטי (סופרפוזיציה) של אפשרויות אחדות, אומרים (במינוח שהתקבל במסגרת הפרשנות) שהתרחשה קריסת פונקציית הגל ממצב רב-משמעי אל תוצאת המדידה. כל עוד לא קרסה הפונקציה, יש רק מידות שונות של הסתברות לאפשרויות השונות של המצב החלקיקי, והחלקיק נמצא בסופרפוזיציה של כל התוצאות האפשריות. בניסוי שני הסדקים יש למשפט זה מובן פיזיקלי מדיד. האלקטרון בניסוי זה מתנהג כמו גל, שכל עוד לא נמדד מקומו הוא נמצא בו-זמנית בכל המקומות האפשריים, ומבצע התאבכות עם עצמו. אך הקריסה מתרחשת רק כאשר צופה מן הצד מבצע מדידה של האופי החלקיקי של האלקטרון (למשל אם הוא עבר בסדק הימני או בשמאלי).
ניסוי המחשבה של שרדינגר.
פרשנות קופנהגן תקפה רק לעולם המיקרוסקופי. שרדינגר, שהתנגד לפרשנות הזו, ביקש להמחיש את האבסורד שבתפיסה שחוקי הטבע משתנים, כביכול, כאשר מספר האטומים גדל מעבר לסף מסוים. לצורך כך הוא הגה את הניסוי המחשבתי הבא:
הניסוי הבסיסי.
מניחים חתול בתיבה אטומה; בתוך התיבה נמצא מתקן ובו אטום בודד של חומר רדיואקטיבי, שיש לו הסתברות של 50% (אין חשיבות לדיוק) להתפרק במהלך הניסוי. בתיבה נמצא גלאי קרינה המחובר לכמוסת-רעל חשמלית, ובמקרה שהאטום מתפרק - מפעיל הגלאי את הכמוסה שממיתה את החתול. אם האטום לא מתפרק עד לפתיחת התיבה, יישאר החתול בחיים. בתום הזמן הקצוב לניסוי פותחים את התיבה (כלומר "מבצעים מדידה" של מצב החתול), ואז יודעים אם הוא חי או מת. השאלה שאין לה תשובה ברורה היא - מה מצבו של החתול כל עוד התיבה סגורה. על פי פרשנות קופנהגן, התשובה היא: "לא חי ולא מת, אלא חצי מזה וחצי מזה"; ובניסוח מדויק יותר: בסופרפוזיציה של "חי" ושל "מת".
מסקנות.
ניסוי "החתול של שרדינגר" המחיש את הבעיות הנובעות מניסיון לפרשנות של תורת הקוואנטים בדרך של סופרפוזיציה. שרדינגר הגה את הניסוי המחשבתי כדי להפריך את פרשנות קופנהגן, בכך שהביא את התוצאה של הפרשנות עד אבסורד, מפני שעל פי אינטואיציה בסיסית, גוף מאקרוסקופי כמו חתול אינו יכול להיות גם חי וגם מת. גם אלברט איינשטיין ניסה לעשות זאת, ובאורח דומה; שרדינגר ואיינשטיין לא הסכימו לקבל את האבסורדים שנבעו ממכניקת הקוונטים, והניסוי המחיש את אי-הסכמתם. הם ואחרים העדיפו לדבוק במה שלדעתם נבע בהכרח מהאינטואיציה היסודית ביותר ומ"השכל הישר". אך במהלך השנים, רוב המדענים קיבלו את הפרשנות של בוהר, ואת העובדה שהמציאות הפיזיקלית מתנהגת בניגוד לאינטואיציה האנושית, שכנראה התפתחה בהתאמה לתצפיות של העולם המאקרוסקופי. שרדינגר נותר עם איינשטיין במיעוט בהתנגדותם לפרשנותו של בוהר.
וריאציות על הניסוי.
וריאציות נוספות כוללות שלבים נוספים בניסוי וסיבוכים מחשבתיים נוספים. כל וריאציה נועדה לתקוף זווית בעייתית אחרת בניסוח ההסתברות והקריסה.
וריאציה נפוצה היא זו המערבת מספר מודדים. בווריאציה זו, הניסוי מתבצע במדינה אחת, שם המודד הראשון פותח את התיבה, רושם אם החתול חי או מת, ומכניס את הפתק למעטפה; מודד שני נמצא במדינה אחרת, ומקבל את התוצאה בדואר. כאשר מגיעה אליו המעטפה, נשאלת השאלה - מה מצבה לפני שהמודד השני פתח אותה? המודד השני איננו יודע מה היו תוצאות הניסוי, ומבחינתו הפתק נמצא בסופרפוזיציה (שבין הכתובת "החתול חי" לבין הכתובת "החתול מת"), אך פירוש הדבר שגם המודד הראשון נמצא בסופרפוזיציה.
וריאציה נוספת מערבת דווקא את תורת היחסות הפרטית: מבצעים את הניסוי בתחנת חלל. המדענים בתחנה כבר יודעים את מצב החתול, אבל מפני שמהירות העברת המידע מוגבלת למהירות האור, קיים פרק זמן בו כל תחנת החלל נמצאת בסופרפוזיציה (ביחס לכדור הארץ), כי המידע לא יכול להגיע אל כדור הארץ בפרק הזמן הזה.
פרשנות העולמות המרובים.
פירוש העולמות המרובים ("Many Worlds Theory" או "Many Worlds Interpretation"), שהגה יו אברט נועד לפתור לפחות את בעיית הסיבתיות. לפי גישה זו, אין קריסה של פונקציית הגל, אלא "פיצול קוואנטי" למספר עולמות, כך שבכל עולם מתרחשת אחת מהתוצאות האפשריות.
לפני המדידה מצב החתול הוא:
ולכן מצב המערכת המורכבת מהחתול ומהמודד בוהר הוא:
ואילו אחרי המדידה (שמתבצעת על ידי, נניח, המדען בוהר) המצב הוא:
כלומר, בכל עולם נשזרת תוצאת המדידה בתודעת הצופה, כך שהוא תופש בחושיו כאילו התרחשה קריסה של פונקציית הגל, והוא איננו מודע לקיומם של העולמות האחרים (בהם התקבלו תוצאות שונות).
תאורטית, זהו פתרון אפשרי לפרדוקס החתול של שרדינגר. אולם הוא לוקה בבעיה שהוא אינו מגדיר היטב מתי מתרחש "פיצול קוונטי" (במקום "קריסה" בפרשנות קופנהגן); וכן הוא פתרון "בזבזני" מאוד המנוגד לשאיפתם של מדענים לבנות מודל פשוט ככל האפשר של המציאות, על פי כלל התער של אוקם. על כן פתרון זה שנוי במחלוקת, ופיזיקאים ברחבי העולם עדיין מתווכחים עליו במרץ.
החתול של שרדינגר בספרות ובאמנות.
קולנוע.
בסרט "יהודי טוב" (2009) של האחים כהן, הגיבור, לארי גופניק הוא מרצה לפיזיקה שחייו קורסים סביבו. במהלך הרצאה הוא מסביר לתלמידיו את פרדוקס החתול של שרדינגר. בשיחה אישית עם סטודנט מתוודה גופניק "אפילו אני לא ממש מבין את החתול". מאוחר יותר במהלך הסרט משקף הפרדוקס הזה את מצבו שלו - "האם הוא מת או חי?", "האם יש משמעות לעולם, או אין?"
מלחמת יום כיפור
המצאות בישראל
בישראל צמחה והתפתחה פעילות מדע ומחקר מפותחת. כמה וכמה המצאות, תגליות מדעיות ופיתוחים טכנולוגיים שמקורם בישראל זכו לתהודה עולמית.
עוזי