בשנת 1870 עזב פיסארו יחד עם קלוד מונה את צרפת בשל מלחמת צרפת–פרוסיה, והשניים התיישבו בלונדון. באנגליה שהה כשנה, שבמהלכה נשא אשה. מונה ופיסארו התרשמו מאוד מציירי הנוף האנגלים ואט-אט החלו לגבש דרכם בזרם עצמאי, שלימים ייקרא "אימפרסיוניזם". תמונותיהם, שנראו ממבט קרוב מדי כמריחות צבע לא מובנות, היו הופכות ממרחק מסוים לעשירות בפרטים, אם כי מטושטשים מדי בעיני מבקרי האמנות בני התקופה, שלא חיבבו את הסגנון החדש ודחו את עבודותיהם של פיסארו ומונה. לאור עמדת המבקרים השניים לא מצאו אכסניה להצגת יצירותיהם, וקיימו תערוכה עצמאית (בשנת 1874). בעקבותיה, הציג פיסארו את יצירותיו בתערוכות נוספות, שזכו להצלחה מסוימת. הסגנון החדשני פרץ לו נתיבים בקרב הציבור והסעיר אמנים נוספים שהצטרפו אל הזרם שפיתחו.
דירתו של פיסארו נפרצה ורכושו נבזז בעת שהותו באנגליה, והוא עבר להתגורר בכפר פונטואז, סמוך לפריז. שם הרבה לצייר כדי לפצות עצמו על רבים מציוריו שהושמדו בעת היעדרו. מנופי הכפר שאב רעיונות לרבים מציוריו הבאים.
פיסארו לא חדל להתחדש כל ימיו ואף קידם בברכה ציירים מן הזרם הפוסט-אימפרסיוניסטי כפול גוגן ופול סזאן. בתערוכה האחרונה של התנועה האימפרסיוניסטית, שהתקיימה בשנת 1886, אף הציג תמונות בסגנון הפוינטיליזם שפיתח ז'ורז' סרה.
פיסארו היה אב לשבעה ילדים והתקשה לפרנס את משפחתו. רק אחרי גיל 60 זכה להצלחה כלכלית. ראייתו כהתה בשל מחלה, אך למרות זאת המשיך לצייר עד ימיו האחרונים. בשנת 1903 נפטר, והותיר אחריו כ־1,600 ציורים.
קאמי פיסארו היטיב לצייר מראות נוף פשוטים. בנופיו משולבים בתים ואיכרים בעבודתם, בתיאורים מלאי שלווה ובצבעים רעננים.
פיסארו והשפעתו המתמדת על תלמידיו.
פיסארו, צאצא למשפחה יהודית ספרדית ממוצא אנוסים, הוא האמן בעל הביטוי הברור ביותר מבין שאר הציירים האימפרסיוניסטים. אישיותו, מסירותו המוחלטת לאמנות, פשטותו המופלאה והיעדר כל משוא פנים הצליחו להשפיע השפעה מתמדת על רעיו ותלמידיו כל חייו. את אישיותו האמנותית פיתח פיסארו מחוץ לכותלי בית האולפנה בוויכוחים עם ציירים וסופרים צעירים, הם שתרמו לגיבוש ההשקפות על האימפרסיוניזם יותר מכל לימוד ומחקר. הוא הבין את מהותה המהפכנית של התנועה ונחשב לראש בית-אב של האימפרסיוניזם. הוא חי על פי אמנותו ולמען אמנותו בלבד.
מודוס (מוזיקה)
מודוסים הם וריאציות טונאליות של הסולמות המוזיקליים עליהם הושתתה המוזיקה של ימי הביניים והרנסאנס (מודוס משמעו מודל/תבנית ביוונית). בעידן הטונלי (החל מהמאה ה־17) השימוש בהם במוזיקה מערבית פחת. כיום משתמשים במודוסים בעיקר במוזיקה ערבית, בפלמנקו, בג'אז, בחזנות ובמוזיקה קלאסית מודרנית. מודוסים שונים שימשו בזמר העברי המוקדם. מודוסים משמשים גם במוזיקה לסרטים ויוצרים מצבי אווירה ייחודיים שלא קיימים בסולם מז'ורי או מינורי הרגילים.
פירוט רשימת המודוסים (ה"טבעיים" או הכנסייתיים).
כדי להבין את המודוסים, נתבונן לדוגמה בתוים דו, רה, מי, פה, סול, לה וסי המרכיבים את סולם דו מז'ור, שצליל הטוניקה שלו הוא דו. אם נשתמש באותם הצלילים של דו מז'ור אך נתייחס לטוניקה שונה, יתקבל מודוס אחר. לדוגמה, אם נתייחס לרה כאל הטוניקה במקום דו יתקבל מודוס בשם רה דורי (פירוש המילה דורי הוא שהסולם מורכב מ-7 צלילי היסוד - הקלידים הלבנים בפסנתר, ללא שימוש בסימני היתק). רה דורי הוא בעצם סולם מינורי שהדרגה השישית בו שונתה וכעת היא סקסטה גדולה (ראו: מרווח) מן השורש, ולא סקסטה קטנה כמו בסולם מינור טבעי.
אותה השיטה מיושמת גם לכל שאר המודוסים: כאשר מייחסים בנגינת צלילי הסולם דו מז'ור לדו כאל הטוניקה מתקבל מודוס הנקרא "יוני" (שהוא למעשה סולם מז'ורי); כאשר מתייחסים לרה כאל הטוניקה מתקבל המודוס "דורי"; כאשר מתייחסים למי מתקבל המודוס "פריגי"; כאשר מתייחסים לפה מתקבל המודוס "לידי"; כאשר מתייחסים לסול מתקבל המודוס "מיקסולידי"; כאשר מתייחסים ללה מתקבל המודוס "אאולי" (מינור טבעי); וכאשר מתייחסים לסי מתקבל המודוס "לוקרי".
את המודוסים מחלקים לשתי קבוצות: מודוסים מז'וריים ומודוסים מינוריים. כך אפשר לאמוד את השינויים בהם לעומת הסולם המז'ורי והמינורי ביתר קלות. המודוסים המז'וריים הם: יוני, לידי ומיקסולידי; המודוסים המינוריים הם: דורי, פריגי ואאולי. מודוס יוצא דופן הוא המודוס הלוקרי, הוא נקרא "סולם חצי מוקטן", משום שהדרגה הראשונה, השלישית, החמישית והשביעית שלו יוצרות אקורד חצי מוקטן (המדרגה החמישית בלוקרי מונמכת).
קיימים 7 מודוסים כמספר צלילי הסולם הדיאטוני. להלן הגדרה כללית של המודוסים:
מודוסים הנגזרים מסולם מינור מלודי ומינור הרמוני.
בדומה לאופן בו ניתן לגזור מודוסים מהסולם המז'ורי, ניתן לגזור מודוסים גם מסולם מינור מלודי. המודוסים הללו נמצאים בשימוש בעיקר במוזיקת ג'אז, ונקראים בדרך כלל על שם המודוס המקביל להם הנגזר מהסולם המז'ורי בתוספת השינוי היחסי (לעיתים, מטעמי דמיון, השם נגזר דווקא תוך התייחסות למודוס שאינו מקביל. בכל מקרה לחלק מהמודוסים הללו יש יותר משם מקובל אחד). כך אם נתייחס לדרגה השנייה של מינור מלודי כצליל הראשון בסולם נקבל את המודוס דורי במול 2; אם נתחיל מהדרגה השלישית של המלודי, נקבל לידי דיאז 5; מהרביעית, לידי במול 7 (מודוס זה מכונה גם מיקסולידי־לידי); מהדרגה החמישית נקבל מיקסולידי במול 6; מהדרגה השישית נקבל לוקרי 9 בקר; ומהדרגה השביעית נקבל מודוס הנקרא אולתרד המשמש כסולם דומיננטי מרכזי בג'אז.
כמו כן, ניתן לגזור מודוסים מסולם מינור הרמוני, דהיינו מינור עם דרגה שביעית מוגבהת. מודוסים אלו נמצאים בשימוש בעיקר במוזיקה ערבית וכלייזמר. אם למשל נתחיל מהדרגה החמישית של הסולם המינור הרמוני, נקבל את סולם פריגיש, או "אהבה רבה", הנפוץ מאוד במוזיקה יהודית ובמוזיקת כלייזמר. סולם זה דומה לסולם מינור פריגי, אך עם דרגה שלישית מוגבהת. המקאם המקביל למודוס זה נקרא מקאם חיג'אז, מקאם נפוץ במוזיקה הערבית. סולם נוסף, הנפוץ גם הוא במוזיקה יהודית ובמוזיקת כלייזמר, הוא סולם מי שברך, או לחלופין מקאם נגריז, שנגזר מסולם מינור הרמוני כאשר מתחילים מהדרגה הרביעית. דרך נוספת לתאר מודוס זה, היא כמודוס דורי עם דרגה רביעית מוגבהת, אך מבחינה מוזיקלית הוא בנוי ממינור הרמוני.
מודוסים נוספים.
מודוסים נוספים שאינם ניתנים לגזירה מתוך סולמות המז'ור או המינור ההרמוני, נמצאים לעיתים קרובות בשימוש במוזיקת הג'אז.
המודוס הסימטרי (הנקרא לעיתים קרובות גם: סולם מוקטן) הוא סולם בן שמונה צלילים (אוקאטוני) הבנוי מתבנית של טון, חצי טון, טון, חצי טון לכל אורכו. לדוגמה: דו, רה, מי במול, פה, סול במול, לה במול, לה, סי, דו. או בצורתו השנייה: חצי טון, טון, חצי טון, טון (לדוגמה: דו, רה במול, רה דיאז, מי, פה דיאז, סול, לה, סי במול, דו). בצורה הראשונה משמש המודוס כסולם לאלתור ובנייה על אקורד מוקטן ובצורתו השנייה משמש לעיתים קרובות באלתור ובנייה על גבי אקורד דומיננטי מסוג שבע תשע מונמך.
סולם טונים שלמים הוא מודוס בן שישה צלילים הבנוי כולו מרווחים של טונים שלמים. לדוגמה: דו, רה, מי, פה דיאז, סול דיאז, סי במול, דו. לעיתים קרובות משמש גם מודוס זה לאלתור על אקורד דומיננטי.
אסון התאומים
מחלק משותף מקסימלי
בתורת המספרים, מחלק משותף מרבי (או מחלק משותף גדול ביותר, ממג"ב; וכן gcd קיצור של greatest common divisor) של שני מספרים שלמים הוא המספר השלם הגדול ביותר שמחלק את שניהם ללא שארית. למשל, המחלק המשותף המרבי של 12 ו־18 הוא 6. במושג זה, שהוא אבן פינה בתורת המספרים האלמנטרית, עסק כבר אוקלידס, שאף כלל בספרו, יסודות, אלגוריתם לחישוב המחלק המשותף המרבי.
המחלק המשותף המרבי של שני מספרים הוא מכפלה של כל הגורמים הראשוניים המשותפים לשני המספרים. תכונתו החשובה ביותר של המחלק המשותף המרבי היא שאפשר להציג אותו כצירוף שלם של שני הגורמים שלו. לדוגמה, המחלק המשותף המרבי של 9 ו-14 הוא 1, ואפשר להציג formula_1. תכונה זו מאפשרת לחשב הפכי מודולרי ולפתור משוואות מודולריות; מכיוון שניתן למצוא את הצירוף בצורה יעילה, עולה מכך שניתן לבצע חשבון מודולרי בצורה יעילה.
מקובל לסמן את המחלק המשותף המרבי של שני מספרים formula_2 בסימון formula_3, או בקיצור formula_4.
שני מספרים שהמחלק המשותף המרבי שלהם הוא 1 (כדוגמת 9 ו-14) נקראים מספרים זרים או "ראשוניים הדדית".
למחלק המשותף המרבי יש שימושים רבים בענפים אחרים של האלגברה המופשטת; בדומה למחלק המשותף המרבי של זוג מספרים שלמים, אפשר להגדיר מחלק משותף המרבי גם לזוג פולינומים או שלמים אלגבריים, ובאופן כללי ביותר, לזוג איברים בכל תחום שלמות.
תכונות המחלק המשותף המרבי.
המחלק המשותף המרבי של formula_5 ו-formula_6 מוגדר היטב, פרט למקרה ש-formula_7 (אז כל מספר מחלק את שניהם). מקרים מיוחדים אחרים הם: formula_8; formula_9; formula_10. תכונה חשובה נוספת, העומדת בבסיס ההגדרה של חבורת אוילר: אם formula_2 זרים, אז לכל formula_12, formula_13. כמו כן, הוא מחלק כל צירוף ליניארי במקדמים שלמים של formula_5 ו-formula_6 (ולכן בפרט הוא המספר החיובי הקטן ביותר שניתן לקבל כצירוף ליניארי במקדמים שלמים שלהם).
חישוב המחלק המשותף המרבי.
את המחלק המשותף המרבי של שני מספרים אפשר לחשב בנקל מתוך הפירוק לגורמים שלהם; כך לדוגמה המחלק המשותף המרבי של 495 ו-525 הוא 15, לפי החישוב:
formula_16.
עם זאת, מציאת הפירוק לגורמים היא בעיה קשה, והרבה יותר קל מבחינה חישובית למצוא את המחלק המשותף המרבי ישירות, ללא חישוב הגורמים הראשוניים.