במשך שנים לאחר פרסום המשפטים רווחה ההנחה שאמנם קיימות טענות שלא ניתן להוכיח או להפריך אך הן "לא טבעיות", כלומר לא סביר שבמהלך פיתוח סטנדרטי של תורה מתמטית ניתקל במשפטים כאלו. ההנחה הזו התבררה כשגויה באופן קיצוני בעקבות הוכחת העצמאות של השערת הרצף. השערת הרצף שהוצעה על ידי גאורג קנטור, טוענת כי לא קיימת קבוצה שעוצמתה גדולה מזו של המספרים הטבעיים וקטנה מזו של המספרים הממשיים. השערה זו נחשבה לאחת מהבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה בתחילת המאה ה-20 (זו הבעיה הראשונה ברשימת 23 הבעיות של הילברט). בשנת 1937 הוכיח גדל כי לא ניתן להפריך השערה זו במסגרת אקסיומות ZFC ובשנת 1963 הוכיח פול כהן כי לא ניתן להוכיח השערה זו במסגרת ZFC.
משפט האי-שלמות השני של גדל.
במשפט האי-שלמות השני הוכיח גדל כי תורה עקבית שהיא מספיק חזקה לקיים את אקסיומות פיאנו (שהאריתמטיקה הרגילה מכילה אותה) ובפרט כזאת שמקיימת את האקסיומות של תורת הקבוצות (ZF) לא יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. משמעות הדבר היא שאין אפשרות להוכיח בתוך המערכת כי האקסיומות הן עקביות. מזה נובע שלעולם לא נוכל להיות בטוחים לחלוטין שהמערכת עקבית ולא כוללת סתירות נסתרות – כי או שהיא אינה עקבית, או שהיא עקבית אך לא נוכל להוכיח זאת. אולם, האפשרות שאי אפשר להפריך את העקביות של עצמה תלויה במערכת האקסיומות שלה (יכול להיות שטענה זאת בלתי תלויה במערכת האקסיומות שלך ויכול להיות שהיא לא נכונה).
תנאי המשפט אינם מחייבים מספר סופי של אקסיומות. כלומר, גם אילו היו בידינו אינסוף אקסיומות של תורת המספרים, היה המשפט מתקיים בתנאי הרגיל, שניתן יהיה לזהות בקלות האם טענה נתונה היא אקסיומה של המערכת (תכונה זו נקראת אפקטיביות).
רעיון זה הופיע עוד קודם לכן בכתביו של אחד מצמד מחברי "פרינקיפיה מתמטיקה", אלפרד נורת' וייטהד. וייטהד טען טענה דומה בספרו "המדע והעולם המודרני" (1925), על כך שכל מערכת טענות תהא פתוחה, כך שיוותרו בה טענות שלא יהיו ניתנות לאישוש או להפרכה. רעיונות דומים הופיעו זמן רב לפני כן. בספר השישי לפוליטאה, למשל, מתאר אפלטון את המתמטיקה ואת כל מדעי הדיאנויה (מחשבה), כמדעים היפותטיים, בהם יש טענות שניתן להניחן אך לא להוכיחן או להפריכן מתוך המערכת עצמה (בדומה לאקסיומות של הגאומטריה).
ההשפעה של המשפט.
ההשפעה של המשפט על התפתחות המתמטיקה הייתה רבה. משפט האי-שלמות למעשה ייתר את תוכנית הילברט ובכך פגע אנושות בניסיון לבצע אקסיומטיזציה של המתמטיקה. לאחר ההוכחה, חדלו המתמטיקאים בהדרגה לעסוק בנושא בניית יסודות המתמטיקה שהעסיקם רבות בראשית המאה ה-20 עקב תחושה של יאוש מהנושא.
משפט גדל היווה גם, על פי תפיסות מסוימות, הפרכה לתפיסה הפורמליסטית של המתמטיקה כאוסף כללים חסרי משמעות מחוץ למערכת או שמשמעותם מחוץ למערכת אינה עניין מתמטי. חוסר היכולת לקבוע פורמלית את נכונותם של משפטים אלו ואחרים שימש כראייה לכך שהאדם לא מסוגל לתפוס כל אמת, שהרי כל הוכחה הידועה לאדם מבוססת על מערכת אקסיומות סופית.
טענה אחרת דווקא מסיקה מהמשפט את עליונותו של האדם. על פי טענה זו, ישנן אמיתות שאף מחשב תאורטי לא יכול להכילן (מדובר על מודל של מחשב, בלי תלות בקיומו הממשי, ראו מדעי המחשב ומכונת טיורינג), כיוון שעל פי תזת צ'רץ'-טיורינג כל ההוכחות האפשריות של המחשב המושלם (מכונת טיורינג) יכולות להיות מאורגנות בצורת מערכת פורמלית. ואולם, האדם יהיה מסוגל לדעת גם טענות שלא כלולות במערכת זו (דוגמה המובאת לטענה זו היא עקביות המערכת הפורמלית בה משתמש המחשב). הפיזיקאי רוג'ר פנרוז התבסס על משפטי האי-שלמות של גדל בהעלותו את ההשערה כי האינטליגנציה האנושית ניתנת להסבר רק על ידי קיומן ההיפותטי של אינטראקציות קוונטיות במוח. אף לא אחת מטענות אלו מוסכמת על כלל הפילוסופים, ובוודאי ששתיהן אינן עומדות בדרישות הריגורוזיות המתמטית.
ההשפעה מחוץ לתחומי המתמטיקה הייתה רבה אף היא. משפט האי-שלמות משמש את חסידי העידן החדש על מנת לנגח את יומרתו כביכול של המדע לדעת הכל. לטענתם, אם אפילו המערכות המתמטיות הבסיסיות ביותר אינן ניתנות להוכחה, אזי ישנה בעייתיות בגישה על פיה מסוגל המדע להבין את העולם. משפט זה נכרך לעיתים קרובות יחד עם מכניקת הקוונטים בידי גורמים עוינים למדע על מנת להוכיח את אי היכולת של המדע לדעת הכול. אך גדל עצמו לא היה מסכים לכך. כי הפוסטמודרניזם עמד בניגוד מוחלט לגדל, שהיה פלטוניסט.
בספרו שלוש מהפכות קופרניקניות הציג הפרופסור זאב בכלר את משפטי האי-שלמות של גדל כהפרכה אחת מני רבות לתפיסה אותה הוא מכנה "אקטואליזם". במקרה זה, טענתו היא שהמתמטיקה מכילה תוכן ולא רק צורה, בניגוד לתפיסות אקטואליסטיות שטוענות להפך. זאת, בהתאם להתמקדותם הכללית (על פי המתואר בספר) בצורניות ובשפה ולא בעולם, מתוך ההנחה ש"אין משמעות למושג האמת" – פילוסופיה שתקפה הן לגבי המוסר והן לגבי המדע והמתמטיקה. בכך הולך בכלר בדרכו של גדל עצמו במידת מה, בניגוד לתפיסות הפוסטמודרניות, שכן גדל האמין באמת אחת והתכוון שמשפטו יהווה הפרכה לפורמליזם שראה כמרוקן את המתמטיקה מתוכנה.
קורט גדל
קורט גֶדֶל (בגרמנית: ; 28 באפריל 1906 – 14 בינואר 1978) היה לוגיקן ומתמטיקאי אוסטרי שהיגר לארצות הברית. נחשב לאחד מגדולי הלוגיקנים של כל הזמנים.
תולדותיו.
נולד ב-28 באפריל 1906 בעיר ברנו שבאימפריה האוסטרו-הונגרית (כיום בצ'כיה), לאב שהיה מנהל מפעל טקסטיל. בגיל 18 התחיל גדל את לימודיו באוניברסיטת וינה, שם לקח קורסים בפיזיקה, במתמטיקה ובפילוסופיה, כשבסופו של דבר התמקד בלוגיקה מתמטית והיה חבר בחוג הווינאי. בשנת 1930 סיים את עבודת הדוקטורט שלו, שבה הוכיח את שלמותו של תחשיב יחסים מסדר ראשון. טענה זו ידועה בשם משפט השלמות של גדל.
מראשית ימי המתמטיקה ועד למאה העשרים פעלו המתמטיקאים מתוך תחושה שכל טענה מתמטית ניתנת להוכחה או, לחלופין, להפרכה (כלומר הוכחת אי נכונות הטענה). בשנת 1931 הוכיח גדל, במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה בפרינציפיה מתמטיקה ובמערכות דומות", שבכל מערכת אקסיומות עקבית לתורת המספרים, המקיימת את התנאי שיש אלגוריתם (תוכנית מחשב, בלשון ימינו) שמחליט לכל נוסחה אם היא אקסיומה או לא, יש טענה שלא ניתן להוכיחה או להפריכה. בנוסף הוכיח שהעקביות של המערכת עצמה אינה ניתנת להוכחה. אלו הם משפטי אי השלמות של גדל, משפטים שהם אבני פינה של הלוגיקה המתמטית המודרנית.
עד 1937 חי קורט עם אמו ואחיו, ונפגש לפרקים עם ארוסתו לעתיד, אדל. בשנים 1933–1934 הוזמן לבקר במכון למחקר מתקדם שבסמוך לאוניברסיטת פרינסטון, לאחר שפון נוימן התרשם מהישגיו בלוגיקה. כשחזר גדל לרפובליקה האוסטרית, סבל מהתמוטטות עצבים ואושפז. כשהחלים ב-1935, הוזמן שוב למכון.
בשנת 1936 רצח סטודנט נאצי את מוריץ שליק, מייסד החוג הווינאי, אשר עורר בגדל את העניין בלוגיקה. המאורע השפיע רבות על גדל, שהיה נתון ללחצים מצד משפחתו, והוא סבל שוב מהתמוטטות עצבים. את רוב שנת 1936 בילה בבתי חולים לחולי נפש בווינה. עד האביב של 1937 הספיק להחלים, ולימד קורס באוניברסיטה של וינה. בספטמבר 1938, כמה חודשים לאחר האנשלוס, נשא לאישה את אדל, ואז שוב הוזמן למכון בפרינסטון, ואחר-כך לאוניברסיטת נוטרדאם באינדיאנה (לשם ברח הלוגיקאי קרל מנגר הבן, שגדל השתתף בסמינר שלו בשנים עברו).
בקיץ 1939 חזר גדל לווינה, שם נבדק ונמצא - במפתיע - כשיר לשירות צבאי. בסמוך לכך הוכה ברחוב על ידי חבורת נאצים, שחשבו כי הוא יהודי. כדי להמשיך ללמד באוניברסיטה, נדרש גדל להצהיר כי אינו יהודי, וסירב. בינואר 1940 ביקשו בני הזוג לעזוב את אוסטריה, מחשש שגדל יגויס לצבא הגרמני. עקב המצור הימי הבריטי הם הוכרחו לנסוע צפונה ללטביה, משם ברכבת הטרנס-סיבירית, ליפן ומשם לארצות הברית, בחזרה למכון למחקר מתקדם.
גדל השתקע בפרינסטון, ומאותה עת עזב את המכון רק לעיתים רחוקות. שם פגש את אלברט איינשטיין והפך לידידו הקרוב. בשנת 1940 הגיע להישג חשוב נוסף, כשהוכיח שאקסיומת הבחירה והשערת הרצף אינן סותרות את האקסיומות האחרות של תורת הקבוצות. הוא עשה זאת בעזרת מודל של תורת הקבוצות שנקרא קבוצות ניתנות לבנייה. בשנת 1946 קיבל משרה קבועה במכון.
באותן שנים ניסה גדל להוכיח שהשערת הרצף אינה מתחייבת משאר האקסיומות של תורת הקבוצות, ובכך להשלים את פתרונה של הבעיה הראשונה של הילברט, אבל בסביבות 1943 נטש את הניסיון (הבעיה נפתרה בסופו של דבר על ידי פול כהן). הוא עבר לעבוד על המשוואות של תורת היחסות. תוצאות שלו בכיוון זה, מסוף שנות הארבעים, הוערכו מאוד על ידי איינשטיין.
בשנת 1948 קיבל גדל אזרחות אמריקאית. אנקדוטה ידועה מספרת שלאחר שגדל למד את עקרונות החוקה לקראת הבחינה לקבלת אזרחות, הוא סיפר לאוסקר מורגנשטרן שמצא פרצה בחוקה האמריקאית שיכולה לאפשר לדיקטטור להשתלט על המדינה באופן חוקי. מורגנשטרן ואיינשטיין ליוו את גדל לראיון ומבחן הקבלה לאזרחות, ובמהלך המבחן סיפר גדל לשופט שערך את הבחינה על הפרצה שגילה. למזלו של גדל, השופט, שהיה מכר של איינשטיין, מיהר להסב את השיחה לנושאים מקובלים יותר, ובסיום הריאיון העניק לגדל את הגושפנקה הנחוצה לקבלת אזרחות.
בשנת 1960 נקרא על שמו האסטרואיד 3366 גדל.