המערכות הדיגיטליות עדיין בחיתוליהן, ולמרות שיש להן יתרונות רבים על המכונות האנלוגיות, הן עדיין איכותיות מעט פחות, ובדרך כלל גם מהירות מעט פחות (ההבדל במהירות זניח, משום שרוב זמן התהליך נצרך בשהייה בתמיסות הכימיקליות, שבהן הזמן זהה).
מצלמות דיגיטליות.
כיום, התרחבה תפוצת המצלמות הדיגיטליות, והצורך בפיתוח של תמונות ירד באופן משמעותי. אף על פי כן, הדפסת תמונות במעבדת צילום היא איכותית יותר מאשר הדפסה במדפסת ביתית. כמו כן, אפילו במצלמות הדיגיטליות המשוכללות ביותר ניכרת ירידה באיכות לעומת סרטי צילום. כמות הפרטים בכל פיקסל במצלמות דיגיטליות קטנה בהרבה מאשר בסרטי צילום, וחברות מקצועיות (כגון עיתונים) עדיין מעסיקות צלמים אנלוגיים.
גוגול
גוּגוֹל (Googol) הוא המספר 10100, כלומר הספרה 1 ובעקבותיה מאה אפסים. המונח נטבע על ידי מילטון סירוטה בן התשע, אחיינו של המתמטיקאי האמריקאי , והוא מתועד לראשונה במאמר של קאסנר משנת 1938. ב-1940 זכה המספר לפרסום בציבור הרחב, כשקאסנר הציג אותו בספרו "מתמטיקה והדמיון".
כבכל מספר שהוא חזקה שלמה של 10, גורמיו הראשוניים של המספר גוגול הם 2 ו-5 בלבד. בייצוג בינארי הוא נכתב באמצעות 333 ספרות.
למספר גוגול אין כל תפקיד משמעותי במתמטיקה. קאסנר השתמש בו כאמצעי המחשה, על מנת להדגים את ההבדל בין מספר גדול עד מעבר לדמיון, כמו גוגול - שהוא גדול ממספר החלקיקים האלמנטריים ביקום הידוע (כ-1087) לבין האינסוף עצמו. אף על פי שגוגול אכן מספר גדול, פעולות מתמטיות פשוטות מניבות מספרים גדולים יותר. למשל, המספר 70 עצרת (!70) הוא מאותו סדר הגודל של גוגול.
מנוע החיפוש גוגל נקרא על שם המספר גוגול, ומטה החברה אף נקרא גוגלפלקס. בגלל שגיאת כתיב של אחד ממקימי החברה כאשר הוא בדק אם הדומיין לאתר היה פנוי, מנוע החיפוש נקרא גוגל ולא גוגול.
גוגולפלקס.
המספר גוגולפלקס הוא 1 ולאחריו גוגול אפסים, או עשר בחזקת גוגול: formula_1.
מאחר שבגוגולפלקס יש גוגול ואחת ספרות, יהיה בלתי אפשרי לכתוב או לייצג את כל הספרות של גוגולפלקס בייצוג עשרוני, גם אם כל החומר ביקום היה משמש כדיו ונייר או ככוננים קשיחים.
אף שגוגול, ובוודאי גוגולפלקס, נראים מספרים חריגים בגודלם, המשפט הטיפשי של האריתמטיקה מוכיח שכמעט כל המספרים הטבעיים גדולים מגוגולפלקס. מספרים גדולים עוד יותר מופיעים פה ושם במתמטיקה; ראו למשל מספר סקיוז ומספר גרהאם.
הלמה של צורן
הלמה של צורן (Zorn's lemma) במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקבוצות, היא משפט שימושי העוסק בתכונה של קבוצות סדורות חלקית. בין היתר, חשיבותו של המשפט באה לידי ביטוי בכך שהוא שקול לאקסיומת הבחירה, ומשתמשים בו לרוב על מנת להראות קיום של דבר מה בלי להראות דרך מפורשת לבנות אותו. המשפט משמש, בין היתר, להוכיח שלכל מרחב וקטורי יש בסיס, שלכל חוג יש אידיאל מקסימלי, שלכל שדה יש סגור אלגברי, וכן להוכחת משפט טיכונוף בטופולוגיה, להוכחת גרסה אינסופית של משפט החתונה בקומבינטוריקה, ושימושים רבים נוספים.
המשפט קרוי על שם המתמטיקאי מקס צורן, שהשתמש בעקרון דומה ב-1935 כדי להוכיח טענה באלגברה. קדמו לו בניסוח עקרונות מקסימום הנובעים מאקסיומת הבחירה ועקרון הסדר הטוב - פליקס האוסדורף ב-1907, קזימירייז קורטובסקי ב-1922 ו-רוברט לי מור ב-1932.
ניסוח.
תהא formula_1 קבוצה סדורה חלקית לא ריקה. אם לכל שרשרת בתוכה (קבוצה חלקית ל-A שהצמצום של formula_2 אליה הוא יחס סדר ליניארי) קיים חסם מלעיל ב-A, אז ב-A יש איבר מקסימלי.
הוכחת הלמה מעקרון המקסימום של האוסדורף.
לפי עקרון המקסימום של האוסדורף (השקול לאקסיומת הבחירה) קיימת ב-A שרשרת מקסימלית C. יהי a חסם מלעיל של C. נוכיח כי a מקסימלי ב-A: נניח בשלילה ש-a איננו מקסימלי. לכן, קיים formula_3 כך ש-formula_4 מתקיים formula_5. מכאן, לכל formula_6 מתקיים formula_7. נתבונן בקבוצה formula_8. הקבוצה הנ"ל מהווה שרשרת ומאחר ו-formula_9 אז אנו מקבלים ש-formula_10, כלומר שיש שרשרת גדולה מ-C וזאת בסתירה לכך ש-C היא שרשרת מקסימלית ב-A.
דוגמה לשימוש בלמה של צורן.
נוכיח לדוגמה, תוך שימוש בלמה של צורן כי בכל חוג עם יחידה קיים אידיאל מקסימלי. יהי "R" חוג עם יחידה, ותהי "P" קבוצת כל האידיאלים האמיתיים ב"R" (כלומר, האידיאלים שאינם שווים לחוג R עצמו), סדורה על ידי יחס ההכלה. "P" אינה ריקה שכן אידיאל האפס שייך ל"P".
תהי C שרשרת ב-"P". האיחוד U של כל האידיאלים בשרשרת הוא אידיאל (הוא סגור לכפל באיבר r של החוג משום שכל איבר x בתוכו שייך לאידיאל בשרשרת, המכיל גם את המכפלות rx ו-xr, וסגור לחיבור משום שאם x,y באיחוד אז יש אידיאלים formula_11 כך ש-formula_12 ו-formula_13; אבל C שרשרת ולכן אפשר להניח ש-formula_14, ואז formula_15 מכיוון ש-T סגור לחיבור). כעת מבצע איבר היחידה את תפקידו החיוני בהוכחה: הוא אינו שייך לאף אידיאל בשרשרת (משום שכולם אידיאלים אמיתיים), ולכן גם אינו שייך ל-U -- מכאן שגם U אידיאל אמיתי.
לפי הלמה של צורן, יש ב-"P" איבר מקסימלי, שהוא אידיאל מקסימלי של החוג. הוכחה זו אינה עובדת בחוגים ללא יחידה, ואכן ישנם חוגים כאלה ללא אידיאל מקסימלי (לדוגמה, בחוג הפולינומים השבריים formula_16 אין אידיאל מקסימלי; formula_17 עצמו הוא האידיאל המקסימלי היחיד של אותו חוג בתוספת יחידה, formula_18).
האלגוריתם של אוקלידס
אנטינייטרינו
אנטינייטרינו הוא האנטי-חלקיק של הנייטרינו. כמו הנייטרינו, האנטינייטרינו הוא חלקיק יסודי נייטרלי. האנטינייטרינו הוא לפטון בעל ספין של ½. חלקיקי אנטינייטרינו נוצרים, בין היתר, בדעיכת בטא מינוס. חלקיקי אנטינייטרינו מגיבים עם חלקיקים אחרים דרך שני כוחות בלבד: הכוח החלש והכבידה. לכן, קשה מאוד לגלותם בניסוי.
כמו חלקיקי נייטרינו, גם לחלקיקי אנטינייטרינו יש שלושה טעמים אפשריים: אנטינייטרינו אלקטרוני, אנטינייטרינו מואוני ואנטינייטרינו טאואוני.
לחלקיקי אנטינייטרינו ישנה מסה, אך היא קטנה מאוד. נכון ל-2017, ניסויים מראים כי סכום המסות של שלושת טעמי האנטינייטרינו הוא כ-.
חלקיקי אנטינייטרינו וחלקיקי נייטרינו נושאים את אותו מטען חשמלי, 0, אך יש לשניים גם מספרים קואנטיים הנגדיים זה לזה, כגון המספר הלפטוני והאיזוספין החלש (T3). למרות זאת, על פי ניתוחים תאורטיים מסוימים, ייתכן כי הנייטרינו והאנטינייטרינו הם למעשה אותו חלקיק. חלקיקים בעלי תכונה זו הם פרמיוני מאג'ורנה (). אם חלקיקי נייטרינו הם אכן פרמיוני מאג'ורנה, ייתכן כי מתקיימות דעיכות בטא כפולות נטולות חלקיקי נייטרינו. הוצעו מספר ניסויים שמטרתם לבחון תהליכים כאלו, אך עד היום, הם טרם התגלו.
פיטר בוגדנוביץ'
פיטר בוגדנוביץ' (באנגלית: Peter Bogdanovich; 30 ביולי 1939 – 6 בינואר 2022) היה במאי קולנוע ושחקן קולנוע יהודי אמריקאי.
ביוגרפיה.
פיטר בוגדנוביץ' נולד ב-30 ביולי 1939 בקינגסטון, ניו יורק שבארצות הברית, לאם יהודייה ילידת אוסטריה, ולאב סרבי-נוצרי-אורתודוקסי.
בוגדנוביץ' החל את דרכו כמבקר קולנוע ועורך של תוכניות הקולנוע במוזיאון לאמנות מודרנית בניו יורק. ב-1966 עבר עם אשתו ללוס אנג'לס מתוך מטרה לעסוק בבימוי.
סרטו המפורסם ביותר של בוגדנוביץ' הוא הצגת הקולנוע האחרונה (1971), על פי תסריט שבוגדנוביץ' כתב ביחד עם לארי מק'מרטרי. הסרט, סיפורם של שני צעירים הגדלים יחדיו בעיר בטקסס, היה מועמד לפרס אוסקר בשמונה קטגוריות שונות וזכה לבסוף בשני פרסים. במהלך צילומי הסרט בוגדנוביץ' התאהב בסיביל שפרד ששיחקה בו בתפקיד ראשי, רומן שנמשך כ-8 שנים והוביל לגירושיו של בוגדנוביץ' מאשתו.
בין הסרטים שבוגדנוביץ' ביים בולטים גם מה נשמע, דוק?, קומדיה של טעויות מ-1972 בכיכובם של ברברה סטרייסנד וראיין אוניל, וירח של נייר, דרמה קומית מ-1973 בכיכובם של ראיין אוניל ובתו טייטום.
ב-1980 בוגדנוביץ' ביים קומדיה רומנטית בשם "הם צחקו על כולם" (). במהלך הצילומים התאהב בשחקנית בת ה-20 דורותי סטראטן (), שהייתה "נערת השנה" של מגזין פלייבוי באותה השנה. הרומן ביניהם הוביל את בעלה של סטראטן לרצוח אותה ולהתאבד, זמן קצר לאחר השלמת צילומי הסרט. הרצח של סטראטן השפיע קשות על בוגנוביץ', שחדל לביים למספר שנים, וכתב ספר על המאורעות. ב-1988, כשהוא בן 49, התחתן בוגדנוביץ' עם לואיס סטראטן (Louise Stratten), אחותה הצעירה של דורותי, שהייתה אז בת 20.
לאחר תקופה שבה לא ביים סרטים, חזר בוגדנוביץ' לביים ב-1985 עם הסרט מסכה שזכה לשבחי הביקורת. ב-1990 ביים סרט המשך ל"הצגת הקולנוע האחרונה", טקססוויל, שלא הצליח לשחזר את ההצלחה של קודמו.
בוגדנוביץ' אף ביצע כמה תפקידים כשחקן: הוא גילם את הדמות הראשית בסרטו הראשון ושיחק בתפקיד הפסיכולוג של ד"ר מלפי בסדרה "הסופרנוס". בשנת 1997 שיחק בסרט הטלוויזיה "נשות המאפיה" לצד ונסה רדגרייב ונסטסיה קינסקי. ב-2018, לאחר עכובים של עשרות שנים, יצא סרטו האחרון של אורסון וולס בו משחק בוגדנוביץ', הצד האחר של הרוח. בוגדנוביץ' גם סייע להשלמת עריכת הסרט שצולם במהלך השנים 1970–1976.
בוגדנוביץ' מת בביתו שבלוס אנג'לס ב-6 בינואר 2022.
סדר טוב
במתמטיקה, סדר טוב על קבוצה הוא סדר מלא שבו לכל תת-קבוצה לא ריקה יש איבר ראשון. הסדר הטוב מאפשר להשתמש בטכניקה של אינדוקציה טרנספיניטית על מנת להגדיר או להוכיח תכונות עבור כל אברי הקבוצה. דבר זה מהווה הכללה של מושג האינדוקציה המתמטית הרגילה שמוגדרת רק על המספרים הטבעיים.