אכילס מתעלל בגופתו של הקטור: הוא רוצע את עקביו, קושר את הגופה למרכבתו ומקיף את החומה כשהגופה נגררת ופניה למטה. הריטואל חוזר מדי יום, עד שזאוס מחליט להפסיקו. הוא שולח את האל הרמס אל המלך פריאמוס, שיוצא בעגלה אל המחנה היווני בתחפושת של קבצן, ובחסות מסתור הערפל שמספקים לו האלים. הוא מגיע אל אכילס, נושא בפניו נאום המזכיר לו את אביו שלו, ומחלה את פניו במתנות יקרות. אכילס מזמין את פריאמוס לארוחה, משיב לו את הגופה, ופריאמוס חוזר אל העיר שפונה להתאבל על הקטור. לוויית הקטור חותמת את האפוס.
השוואת תרגומים לעברית.
המשורר שאול טשרניחובסקי תרגם את האיליאדה לעברית בתחילת שנות ה-20 של המאה ה-20. הוא הקפיד לשמור על המשקל האפי (הקסמטר דקטילי) וכתב בהברה אשכנזית. הוא תובע מהקורא היכרות מעמיקה עם השפה העברית לרבדיה השונים ויש שימצאו אותו קשה לקריאה.
תולדות היצירה והפולמוס בשאלת המחבר.
המועד המדויק שבו חוברה האיליאדה אינו ידוע. בעקבות הרודוטוס, שמציין שהומרוס והסיודוס חיו "רק ארבע מאות שנה לפנַי", כלומר במהלך המאה ה-9 לפנה"ס, מרבית החוקרים מאחרים את חיבור היצירה מעט, וגורסים שהאיליאדה חוברה במהלך המאה ה-8 לפנה"ס. האירועים המתוארים ביצירה מתאימים מבחינת פרטים חומריים למציאות בשלהי תקופת הברונזה המאוחרת, דהיינו שקיעת יוון המיקנית, לקראת סוף המאה ה-13 לפנה"ס. היצירה, אפוא, מאוחרת בכארבע מאות שנה לתקופה שבה היא עוסקת, ובמהלך המאות הללו שקעה התרבות ביוון ובמערב אסיה עד מאוד, לרבות אובדן ידיעת הכתב, ולכן מעט מאוד ידוע עליה. אף על פי כן, דומה שהאיליאדה מכילה שקיעים אותנטיים של התרבות המיקנית, שעברו בעל-פה מדור לדור עד ששובצו באיליאדה. דוגמה בולטת היא הקטע הארוך המכונה "קטלוג האניות", בשיר השני של האיליאדה, שהוא עשיר בשמות מקומות ועמים, אשר משקפים את המציאות בשלהי התקופה המיקנית, לפני הפלישה הדורית, ולא את המציאות של המאה ה-8 לפנה"ס.
כתב היד השלם הקדום ביותר של האיליאדה הוא Venetus A, אשר מצוי בספריית מרקוס הקדוש בוונציה, והוא מתוארך למאה ה-10 לספירה.
התרגום היחיד ללטינית ששרד עד היום הוא איליאס לטינה והוא בוצע במאה ה-1 לפנה"ס.
שירה אפית
שירה אפית (או אֶפּוֹס, וכן שירת עלילה בעברית) היא סוגה (ז'אנר) של שירה נרטיבית, אשר מגוללת סיפור על חיים ומעשים של גיבור או של קבוצת גיבורים, היסטוריים או אגדיים. 'עלילות גילגמש' הוא האפוס הענק הראשון בתולדות הציוויליזציה. דוגמאות קלאסיות נוספות לשירה אפית הן האיליאדה והאודיסיאה מאת הומרוס. כיום השימוש בסוגה קלאסית זו אינו נפוץ, אך המונח אפוס משמש עדיין לתיאור יצירות ספרותיות או קולנועיות עצומות ממדים המתארות מעשי גבורה ואירועים היסטוריים רחבי היקף. האפוסים הקדומים קשורים קשר הדוק למסורת השירה שבעל-פה; במקרים רבים העתיקו חברות אורייניות את הצורה האפית, ודוגמה מובהקת לכך היא איניאיס הרוֹמִית מאת המשורר ורגיליוס, שמְחקה את הסגנון ואת הנושא של הומרוס.
גם במקרא ישנם קטעים המזוהים בחקר המקרא כשירה אפית כמו ספר איוב ושירת דבורה. לטענת הפרופ' משה דוד קאסוטו, דוגמאות אלו וכן רסיסי שירות נוספות במקרא גופו מעידים על קיומה של שירת עלילה (שירה אפית) קדומה שהתקיימה בישראל קודם העלאת המקרא על הכתב.
אלגברה
אלגברה (מהמילה הערבית: الجـَبـْر (אַל-גַ'בְּר) שפירושה: "חיבור של חלקים שבורים") היא תחום במתמטיקה העוסק בפעולות, פונקציות ויחסים עם דגש על המבנים שהם יוצרים.
אלגברה מתחלקת לכמה תחומים:
ביטוי ערכים אלגבריים.
אלגברה לא תמיד השתמשה בסמלים לביטוי ערכים, שכיום השימוש בהם מקובל במתמטיקה. לאלגברה היו שלושה שלבים ברורים של ביטוי ערכים:
היסטוריה.
היסטוריה מוקדמת של האלגברה.
ניתן למצוא ראיות ראשוניות לעיסוק באלגברה אצל הבבלים העתיקים, שפיתחו שיטה אריתמטית מתקדמת שבה יכלו לחשב בדרך דמוי אלגוריתמית. הבבלים פיתחו נוסחאות לחישוב פתרונות של שאלות שהיום לפתרונם משתמשים במשוואות ליניאריות, משוואות ממעלה שנייה, ומשוואות ליניאריות לא מוגדרות. בניגוד לכך רוב המתמטיקאים המצרים, הסינים והיוונים של המילניום הראשון לפני הספירה פתרו בעיות כאלה בעזרת שיטות גאומטריות, כדוגמת אלה המתוארות בפפירוס רינד, ביסודות של אוקלידס, ובתשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה. הכתבים הגאומטריים של היוונים, המוצגים ביסודות, היו לקווי יסוד להכללה של נוסחאות שפתרו מקרים פרטיים לשיטות יותר כלליות לביטוי של ופתירת משוואות, אף על פי שהמצוין לעיל לא מומש עד שהמתמטיקה התפתחה באסלאם היְמֵי-בֵּינַיְמִי.
עד שהגיעה תקופת אפלטון, המתמטיקה היוונית השתנתה מאוד. היוונים פיתחו סוג של אלגברה גאומטרית שבה ערכים הוצגו על ידי צדדים של עצמים גאומטריים (לרוב קווים), עם אותיות המשויכות להם. דיופנטוס היה מתמטיקאי יווני אלכסנדרי מהמאה השלישית לספירה, שכתב סדרת ספרים בשם אריתמטיקה, שעסקו בפתרון של משוואות אלגבריות, שהובילו בתורת המספרים למושג המשוואה הדיופנטית.
המסורות המוקדמות המוזכרות לעיל השפיעו מאוד על המתמטיקאי הפרסי מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי (780 בערך - 845 בערך). הוא זה שכתב את הספר "אל-כתאב אלמח'תצר פי חיסאב אל-ג'בר ואל-מוקאבלה" ("הספר התמציתי לחישוב על ידי השלמה ואיזון"), שביסס את האלגברה כתחום מחקר מתמטי שנפרד מהאריתמטיקה ומהגאומטריה.
המתמטיקאים ההלניסטים דיופנטוס והרון מאלכסנדריה וגם מתמטיקאים הודים כגון בראהמגופטה המשיכו את המסורות של מצרים העתיקה ושל בבל, אך ספריהם אריתמטיקה של דיופנטוס ובראהמספהוטסידהאנטה של בראהמגופטה היו ברמה גבוהה יותר. לדוגמה, הפתרון האריתמטי המלא הראשון (זה שכולל פתרונות שהם אפס או שליליים) למשוואות ריבועיות תואר בספר של בראהמגופטה, בראהמספהוטסידהאנטה. בתקופה יותר מאוחרת, מתמטיקאים ערבים ופרסים פיתחו שיטות אלגבריות שהיו מתוחכמות ומורכבות בהרבה מהקודמים להם. למרות שדיופנטוס והבבלים השתמשו בעיקר בשיטות אד הוק מיוחדות לפתרון משוואות, התרומות של אל-ח'ואריזמי היו עצומות. הוא פתר משוואות ליניאריות וריבועיות ללא סמלים אלגבריים, מספרים שליליים או אפס, ולכן היה צריך להבדיל בין סוגים שונים של משוואות.
בהקשר שבו האלגברה מזוהה עם תורת המשוואות, המתמטיקאי היווני דיופנטוס נחשב ל"אבי האלגברה", ובהקשר שבו אלגברה מזוהה כדרך וחוקים לפתירת משוואות ולשימוש בהן, אל-ח'ואריזמי נחשב ל"אבי האלגברה". בתקופתנו מתקיים דיון מי מבין השניים זכאי יותר לכינוי "אבי האלגברה" (באופן כללי). אלה שתומכים בדיופנטוס טוענים שהאלגברה שנמצאת באל ג'בר היא יותר בסיסית מהאלגברה באריתמטיקה, שבאריתמטיקה האלגברה סינקופית ובאל ג'בר האלגברה היא מילולית בלבד. אלה שתומכים באל-ח'ואריזמי טוענים שהוא זה שהמציא והנהיג את הרדוקציה, את העברת אגפים ואת המכנה המשותף, שאליהם המונח אל-ג'בר התייחס בהתחלה. אל-ח'אריזמי גם נתן הסבר מקיף לפתרון משוואות ריבועיות, שנתמך על ידי הוכחות גאומטריות, וגם התייחס אל האלגברה כתחום מחקר משל עצמו. האלגברה שלו כבר לא טיפלה ברצף של בעיות שצריכות להיפתר אלא היא הייתה אקספוזיציה שמתחילה עם ביטוי ראשוני שבו הקומבינציות צריכות לתת את כל התשובות האפשריות שממנו, שמכאן והלאה זה הכתיב את המטרה האמיתית של תחום המחקר. אל-ח'ואריזמי גם בחן משוואות מטעם הבחינה שלהן ומבחינה כללית, כך שההגדרה היא לא של בעיה יחידה, אלא של מספר בעיות אינסופי.
למתמטיקאי פרסי נוסף בשם עומר ח'יאם מיוחס הזיהוי של הבסיס של גאומטריה אלגברית, ומציאת פתרון גאומטרי כללי לפונקציה ממעלה שלישית. הספר שלו "מאמר על הדגמה של בעיות של אלגברה", שנכתב ב-1070, הניח את היסודות של האלגברה, והיה חלק מרכזי מתמטיקה פרסית ומאוחר יותר הועבר גם לאירופה. מתמטיקאי פרסי נוסף, שרף אל-דין אל-טוסי, מצא פתרונות נומריים ואלגבריים למספר מקרים של משוואות ממעלה שלישית, וגם פיתח את מושג הפונקציה. המתמטיקאים ההודים מאהבירה ובהאסקארה, המתמטיקאי הפרסי אל-כרג'י והמתמטיקאי הסיני ז'ו שיז'יה פתרו מגוון מקרים של משוואות ממעלה שלישית, רביעית, חמישית, ומשוואות פולינומיות ממעלות יותר גבוהות בעזרת שיטות נומריות. מציאת הפתרון המלא למשוואה ממעלה שלישית במאה ה-13 על ידי פיבונאצ'י מייצגת את התחייה מחדש של המתמטיקה האירופאית. במאה ה-15 אבו חסן אבן עלי אל-קצאדי הערבי לקח את הצעדים הראשונים להנהגת סמלים אלגבריים. הוא גם חישב את סכום המספרים הטבעיים בחזקת שתיים ובחזקת שלוש (עד ל-n), ומצא דרך רציפה לאומדן שורשים ריבועיים. כשהמתמטיקה הערבית הידרדרה, המתמטיקה האירופאית פרחה, וכאן המתמטיקה התפתחה יתר על כן.
היסטוריה מודרנית של האלגברה.
עבודתו של פרנסואה וייט על אלגברה חדשה בסוף המאה ה-16 הייתה צעד חשוב לעבר האלגברה המודרנית. ב-1637 רנה דקארט הוציא את ספרו לה גאומטרי, בו המציא את