המכפלה הסקלרית של formula_53 עם עצמו היא אופרטור חשוב אחר, הנקרא לפלסיאן.
לעיתים נקרא הסימון המשולש של האופרטור בשם "נבלא" או "נבלה", על שום דמיונו לנבל (בתחביר LaTex הוא מוצג על ידי הפקודה codice_1). בספרים רבים נהוג לכתוב את המשולש ההפוך של הדל בגופן (פונט) מודגש, במקום לרשום חץ קטן למעלה. מטרת שני הסימונים היא להדגיש שמדובר בווקטור.
גרדיאנט.
גרדיאנט הוא אופרטור המקבל פונקציה סקלרית (פונקציית פוטנציאל) ומחזיר פונקציה וקטורית שרכיביה הם הנגזרות החלקיות של הפונקציה המקורית.
המשמעות הגאומטרית של הגרדיאנט היא שהוא מחזיר את השינוי בפוטנציאל (השדה הסקלרי) כתוצאה מ"תזוזה" במרחב. מאחר שמדובר במרחב תלת-ממדי, הכיוון משפיע על השינוי של הפונקציה בנוסף לגודל התזוזה. הכיוון של הווקטור שמחזיר הגרדיאנט הוא הכיוון בו השינוי בפונקציה מקסימלי.
הגרדיאנט מוגדר באופן הבא:
באמצעות אופרטור הדל, אפשר פשוט לרשום ש
כלומר הפעלה של האופרטור הווקטורי דל על הפונקציה הסקלרית בצורה של כפל בסקלר, וקבלה של פונקציה וקטורית.
עבור כל שדה סקלרי, אופרטור הגרדיאנט מחזיר שדה וקטורי שנקרא "Gradient Field" ובו החצים מכוונים לכיוון בו הפונקציה עולה וגודלם של החצים מייצג את השיפוע של השדה הסקלרי. הכיוון של הגרדיאנט הוא הכיוון שבו יש שינוי מקסימלי בערך של הפונקציה.
דוגמה פיזיקלית: הפוטנציאל האלקטרוסטטי מסומן ב formula_56, מחוקי האלקטרוסטטיקה ידוע לנו ש formula_57 כאשר E הוא השדה החשמלי.
נגזרת כיוונית.
נגזרת כיוונית או נגזרת מכוונת של שדה סקלרי היא מספר המתאר כמה השתנתה הפונקציה כאשר הערך שהיא מקבלת השתנה בגודל אינפיניטסימלי בכיוון מסוים formula_58.
כמו כל נגזרת, ההגדרה הפורמלית נעשית באמצעות גבול:
אם השדה או הפונקציה דיפרנציאביליים בתחום, אפשר לחשב את הנגזרת הכיוונית בקלות באמצעות הגרדיאנט, על ידי הנוסחה
כאשר ה formula_61 הוא סימון למכפלה סקלרית.
דוגמה:
נניח formula_62. &lt;br&gt;
אזי formula_63
ואילו הנגזרת הכיוונית שלה כאשר נעים לאורך האלכסון הראשי של קובייה, כלומר formula_64, היא
דיברגנץ.
הדיברגנץ הוא מעין מדד לכמות השטף של שדה וקטורי שיוצא מנקודה כלשהי במרחב.
שטף.
יהי formula_66 שדה וקטורי.
אזי השטף של השדה F דרך שטח A מוגדר על ידי formula_67 . אם השדה F קבוע אזי השטף שווה פשוט ל formula_68 כאשר formula_69 הוא וקטור שגודלו הוא גודל השטח A ובכיוונו הוא ניצב לשטח A (נורמל).
כדי להבין אינטואיטיבית את מושג השטף כדאי להשתמש באנלוגיה מתחום הנוזלים והזרימה ולהסתכל על מרחב בו זורמים מים, ובו יש "ברזים" ו"חורי ניקוז" שיכולים להוסיף או לגרוע מים מהמרחב.
אם מסתכלים על קובייה דמיונית, ומודדים כמה מים זורמים דרך כל פאה ובאיזה כיוון (מים שיוצאים החוצה נספרים באופן חיובי ואילו מים שנכנסים פנימה באופן שלילי), ומחשבים את מאזן המים הכולל דרך הקוביה, אפשר לדעת מה סה"כ הספיקה של הברזים או חורי הניקוז. אם למשל יש רק ברזים שווים שמפוזרים, הרי מכל קובייה כזו יהיה שטף חיובי, ויהיה אפשר לדעת בעזרת מדידת השטף דרך דפנות הקובייה מה כמות הברזים הכלואה בה. אפשר לחשב גם את צפיפות ה"ברזים" (או "חורי ניקוז", אם השטף שלילי), על ידי חלוקה בנפח הקובייה.
הגדרת הדיברגנץ.
הדיברגנץ מודד בדיוק את אותו דבר - את צפיפות ה"ברזים"/"חורי ניקוז" - בנקודה במרחב. כדי לחשב את הגודל הזה, "בונים" סביב הנקודה קובייה אינפינטסימלית בעלת נפח V, ואז לוקחים את הגבול כאשר הנפח שלה שואף ל 0, כלומר:
כאשר האינטגרל הוא על המשטח (הסגור) העוטף את הנפח V.
בקואורדינטות קרטזיות, אפשר להראות שאת הדיברגנץ אפשר לחשב על ידי מכפלה סקלרית של אופרטור הדל בשדה:
כלומר על ידי מכפלה סקלרית סימבולית של האופרטור הווקטורי דל (משמאל) בפונקציה וקטורית (מימין) שנותן פונקציה סקלרית.
רוטור (Curl).
הרוטור (או Curl), הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת.
הרוטור מוגדר כך:
כאשר formula_73 מסמל גודל של משטחונים המחלקים שטח פנים של נפח מסוים, formula_74 מסמל את העקומים התוחמים כל אחד ממשטחונים אלו ו formula_75 מסמל את וקטורי היחידה המאונכים למשטחונים אלו.
ניתן להראות שבקאורדינטות קרטזיות הרוטור ניתן לחישוב על ידי מכפלה וקטורית של האופרטור דל בשדה:
צורת רישום קלה יותר לזכירה של הנוסחה לעיל היא באמצעות הדטרמיננטה של המטריצה הבאה:
כלומר,
בתנאי שמפתחים לפי השורה הראשונה. יש להדגיש כי זהו סימון שגוי מבחינה מתמטית (שהרי אופרטור גזירה אינו יכול להיות איבר במטריצה).
צורה אחרת היא באמצעות טנזור לוי-צ'יויטה:
כאשר formula_80 ושומר סימן לכל תמורה ציקלית של האינדקסים, הופך סימן עבור תמורה אי-זוגית של האינדקסים ומקבל את הערך אפס אם יש שני אינדקסים זהים. כמו כן,
הוא סימון מקוצר לנגזרת החלקית (למשל: formula_82 היא גזירה לפי x כאשר y ו-z מוחזקים כקבועים).
לפלסיאן.
הלפלסיאן הכללי מוגדר בקואורדינטות קרטזיות:
כיוון שזהו אופרטור סקלרי הוא יכול לפעול הן על פונקציה סקלרית (על ידי כפל סימבולי רגיל משמאל), והן על פונקציה וקטורית (על ידי כפל בסקלר סימבולי משמאל).
לפלסיאן על פונקציה סקלרית.
כאשר הלפלסיאן מופעל על פונקציה סקלרית ניתן להביע אותו גם כ
כלומר הדיברגנץ של הגרדיאנט של הפונקציה.
בקואורדינטות פולריות (קוטביות),
formula_85
בקואורדינטות כדוריות (ספריות),
ביטוי זה נכון רק כשהוא פועל על פונקציה סקלרית.
פונקציה שהלפלסיאן שלה שווה לאפס בקבוצה פתוחה כלשהי נקראת פונקציה הרמונית על קבוצה זו.
אינטגרלים.
האינטגרל של שדה סקלרי או שדה וקטורי.
אינטגרל משטחי.
באנליזה וקטורית ישנם שני סוגי אינטגרל משטחי:
כאשר formula_89 הוא וקטור משטח אינפיניטסימלי שגודלו כגודל השטח האיפיניטסימלי וכיווני ניצב למשטח (הווקטור formula_58 הוא וקטור יחידה נורמל הניצב למשטח).
גרב (מחלה)
גָּרָב או אֶקְזֵמָה (Eczema) היא מחלת עור נפוצה מאוד, או ליתר דיוק תגובה של העור לתנאים שונים, חיצוניים ופנימיים.
תסמיני המחלה הם פריחה, גירוי, חטטים, שלפוחיות ולעיתים גם נפיחות בעור.
סוגים.
למחלת הגרב יש מספר סוגים, שהם:
גרב (פירושונים)
חץ (מערכת נגד טילים)
מערכת החץ היא מערכת נשק ליירוט טילים בליסטיים אשר פותחה על ידי מפעל מלמ בישראל בסיוע מימון אמריקני ובשיתוף עם חברת בואינג האמריקנית. המערכת מפעילה שני סוגי מיירטים, חץ 2 וחץ 3, ומורכבת ממערכת שו"ב וניהול ירי, "אתרוג זהב", מרכז בקרת משגרים, "אגוז חום" ומכ"מים ייחודיים – "אורן ירוק" ו"אורן אדיר". המערכת מבצעית בחיל האוויר הישראלי מחודש אוקטובר 2000, ומופעלת בצה"ל על ידי יחידת "חרב מגן" הכפופה למערך ההגנה האווירית, המספק לישראל את מערך ההגנה הרב-שכבתית מפני ירי תלול מסלול.
פיתוח וניסויים.
תחילתו של הפרויקט כאשר ארצות הברית החליטה לשתף את ישראל בפרויקט "מלחמת הכוכבים", של הנשיא רונלד רייגן. ב־6 במאי 1985 נחתם מזכר הבנה בין ממשלות ארצות הברית וישראל. שנה לאחר מכן נקבעה מערכת טיל נגד טילים בליסטיים כמתאימה לחלק הישראלי בתוכנית, כאשר ארצות הברית משתתפת ב־80 אחוז מעלות הפיתוח של הפרויקט. מהצד הישראלי מנוהל פיתוח המערכת בידי מנהלת חומה במפא"ת ומהצד האמריקאי בידי הסוכנות להגנה מפני טילים.
בעקבות מספר ניסויים מוצלחים ב"חץ 1" (ספטמבר 1992, 1993, וקיץ 1994) הוכחה הטכנולוגיה של החץ כמוצלחת. בשנים 1995 עד 2003 בוצעו 10 ניסויים ב"חץ 2", שהוא גרסה של ה"חץ 1" בו שופרו יכולות רבות, ובהם הטווח, הגובה, זמני התגובה והניידות. ב-5 בינואר 2003 נערך ניסוי מטחים, בו שוגרו 4 טילים.
הניסויים היחידים ב"חץ" כנגד טילי סקאד אמיתיים נערכו בארצות הברית ב־29 ביולי 2004. בניסוי הראשון הצליח טיל ה"חץ" ליירט לראשונה טיל סקאד חמוש ששוגר לעברו מלב ים ממרחק של מאות קילומטרים. כל רכיבי המערכת תפקדו בניסוי זה בצורה מלאה, אך בניסוי השני כשל טיל ה"חץ" ביירוט. בניסוי השני, שנערך בקליפורניה בטיל סקאד מדגם מתפצל, הצליח ה"חץ" להבחין בין הראש הקרבי של הטיל לבין גופו. תקלה בשלב היירוט הסופי של הטיל מנעה את הצלחת הניסוי. כישלון זה לא הרתיע את מנהלי הפרויקט, שטענו שמדובר בליקוי קטן ובר תיקון.
ניסוי נוסף של טיל ה"חץ" נערך בבוקר ה־2 בדצמבר 2005. ה"חץ" יירט את טיל המטרה "אנקור שחור" אל מול חופי בסיס פלמחים. הניסוי הוכתר בהצלחה ובדק את יכולות המערכת אל מול איומים הדומים לאיום האיראני. הניסוי בוצע בגרסת המערכת החדשה של החץ, "בלוק 3", המשפרת משמעותית את מעטפת הביצועים של הטיל ומאפשרת לו התמודדות טובה יותר אל מול מטחים צפופים של טילים.
ב-11 בפברואר 2007 בוצע ניסוי מוצלח נוסף במערכת. מטרות הניסוי היו בחינת הביצועים המשופרים שהוקנו למערכת הכוללים הרחבת מעטפת היירוט. בניסוי זה נבחנה המערכת בתצורה מבצעית משולבת בהשתתפות שתי סוללות מרוחקות גאוגרפית תוך בחינת הפקת הלקחים מהעבר. הטיל המיירט, מסדרת הייצור המשותפת לתעשייה האווירית וחברת בואינג, שוגר בתנאי חשיכה, בתרחיש דמוי מבצעי, לגובה הרב ביותר עד כה. כל מרכיבי מערכת הנשק פעלו בתצורתם המבצעית.
ב-26 במרץ 2007 בוצע ניסוי מוצלח נוסף של הטיל, שבו נבדקו מערכות הטיסה בלבד, ולא הופעלו מערכות אחרות (כגון מכ"ם או טיל מטרה) לאחר ששופרו חלק ממערכות הטיל.