משנת 1943 ועד קליטתו לצבא הסדיר בשנת 1978, המארש גם שימש כלחן לשיר של חיל הנשים של צבא ארצות הברית.
בשנת 1951, במהלך כנס המחשוב הראשון שהתקיים באוסטרליה, "מארש הקולונל בוגי" היה המנגינה הראשונה שהשמיע מחשב על אדמת אוסטרליה. המנגינה הושמעה על ידי CSIRAC, מחשב שפותח על ידי ארגון המחקר והתעשייה של הקהייליה.
בסרט משנת 1961, "מלכודת ההורים", החניכות במחנה קיץ לבנות שורקות את מארש הקולונל בוגי בזמן שהן צועדות דרך המחנה. אזכור לסצנה מהסרט "הגשר על הנהר קוואי".
בפרסומות לבירה ומשקאות אלכוהוליים אחרים בגרמניה מנגנים את המארש ברקע באופן רצוף מאז שנות ה-70. עקב השימוש הרב, המוזיקה הפכה לזמריר קלאסי.
בין השנים 1970 ו-1984 שימש המארש כבסיס לקמפיינים פרסומיים של חברת Getty Oil Corporation.
בסרט "מועדון ארוחת הבוקר" משנת 1985, הדמויות הראשיות שורקות את המנגינה בספריית בית הספר בעת שהן בעונש ריתוק בשבת, כאשר המנהל ורנון (בגילומו של פול גליסון) נכנס לחדר. המארש נוגן גם בסרטים "מלכודת ההורים", "תקלה מופלאה" ו"שיגעון בחלל".
בבריטניה, המארש הקולונל בוגי הוא עדיין (נכון ל-2019) אחד השירים הנפוצים ביותר שמנגנים מכוניות גלידה.
בשנת 2019 שימש המארש הקולונל בוגי בסדרת הטלוויזיה "האיש במצודה הרמה", בפרק 8 של עונה 4.
בסרט "הגשר על הנהר קוואי" משנת 1957 מנוגן מארש הקולונל בוגי יחד עם מארש הנהר קוואי, שנכתב לסרט על ידי המלחין האנגלי מלקולם ארנולד. בגלל הסרט מארש הקולונל בוגי נקרא לעיתים בטעות מארש הנהר קוואי.
ס.ד. בורמן השתמש במארש במותחן הריגול ההינדי משנת 1967 "גנב תכשיטים".
אתלקה בנקה
אתלקה בנקה (במקור אתל בלאו; בהונגרית: Benkő Etelka; סבדסאלאש, 5 ביוני 1872 – בודפשט, 28 באוגוסט 1921) הייתה זמרת אופרה יהודייה-הונגרייה (סופרן).
ביוגרפיה.
אתל בלאו נולדה במשפחה יהודית כבתם של מור בלאו, סוחר ופאני הויזלר (או הייסלר). לאחר קורסים בחוג לדרמה באקדמיה הלאומית המלכותית ההונגרית לדרמה (כיום שמה האוניברסיטה לאמנויות התאטרון והקולנוע), שיחקה בתיאטרון של השחקן ומנהל תיאטרון פאל רקודצאי בתיאטרון קישפלודי ובשנת 1894 חתמה חוזה כזמרת אופרטה בתיאטרון גיור-שופרון. בהופעת הקיץ של "חוג התיאטרון של בודה" הכירה את מבקר התיאטרון, הסופר זולטאן אמברוש וב-11 ביוני 1894 הם נישאו בכנסיית בארז'בטווארוש. הנישואין עוררו מאבק רציני עבור אמברוש הקתולי, אך לאחר אלמנות ארוכה בעקבות אובדן אשתו הראשונה, גיזלה טורמאשי, אהבתו הגדולה לאמנית בת ה-22 ניצחה את אמונתו.
אתלקה המשיכה את לימודיה באקדמיה למוזיקה ע"ש פרנץ ליסט והשיגה הצלחה ניכרת. בית האופרה המלכותי ההונגרי (כיום בית האופרה של בודפשט) חתמה איתה חוזה בשנת 1902 כסולנית פרילנס. מסלול הקריירה שלה נסק יפה כלפי מעלה. כישרונה הרבגוני, הרפרטואר הרחב שלה, משחקה המעולה והערכים האנושיים הפכו אותו לפופולרית.
בשיא הצלחתה בקיץ 1921 חלתה בשפעת הספרדית ונפטרה.
שיטת אברת'
שִׁיטַת אָבֵּרְתּ', או שִׁיטַת אָבֵּרְתּ' אֶרְלִיךְ (באנגלית: Aberth-Ehrlich Method) היא אלגוריתם איטרטיבי למציאת שורשים מרובים (ממשיים ומרוכבים) של פונקציה פולינומית בעלת משתנה אחד באופן סימולטני. כלומר, היא מוצאת את הפתרונות למשוואה formula_1, כאשר formula_2 פונקציה פולינומית. היא פותחה בשנת 1967 על ידי המתמטיקאי אוליבר אברת' וכן בגרסה מעט שונה על ידי המתמטיקאי לואיס ו. ארליך ב-1973. השיטה מתחילה במציאה של קירובים לשורשי הפונקציה, אשר מתכנסים אליהם יותר ויותר בכל איטרציה. לשיטה מקדם התכנסות של 3, ולפיכך יותר יעילה מאלגוריתם דורנד-קרנר, שיטה נוספת למציאת שורשים של פולינום בבת אחת, אשר מתכנסת באופן ריבועי (מקדם של 2).
רקע.
בתחומים רבים, ובייחוד ובפיזיקה ובהנדסה, נעשה שימוש במתמטיקה על מנת לתאר מצבים מורכבים. לעיתים קרובות, על מנת לפתור בעיות בתחומים אלו יש לבטא אותן כמשוואה, או כמערכת משוואות, ולמצוא את הפתרונות המתאימים. ניתן להפוך כל משוואה למשוואה מן הצורה formula_3, ולכן נהוג להתייחס לפתרונות של משוואה כשורש של פונקציה זו, כלומר, החיתוך של הפונקציה formula_2עם ציר ה formula_5. אפוא, מציאת שורשי פונקציה זו שקולה לפתירת המשוואה. אחד מסוגי המשוואות הנפוצים ביותר אשר נתקלים בהם הוא משוואה פולינומית. פולינום הוא ביטוי אשר יכול להכיל רק חיבור, חיסור, כפל, חילוק, והעלאה בחזקה כאשר המעריך הוא מספר לא שלילי. פולינום יכול להכיל מספר משתנים, או משתנה אחד בלבד. לדוגמה, הביטוי formula_6 הוא פולינום, עבור המשתנים formula_5 ו-formula_8. פתירת משוואות פולינומיות מכמה משתנים דורשת בדרך כלל יצירה של מערכת משוואות, אך שיטת אברת' מתייחסת לפתירה של משוואה פולינומית בעלת משתנה אחד בלבד. ניתן לפתור משוואות פולינומיות מסוימות באמצעות נוסחאות ישירות. למשל, על מנת לפתור משוואה ממעלה 2, ניתן להשתמש בנוסחה הריבועית המוכרת, ובשביל משוואה ממעלה 3, ניתן להשתמש בנוסחת קרדאנו. עם זאת, כפי שהוכח במשפט אבל-רופיני במאה ה-19, לא ניתן לנסח נוסחה כללית וישירה לפתירה של משוואות ממעלה 5 או יותר. מכאן נובע הצורך לפתח שיטות אחרות לפתרון משוואות אלו. על מנת לענות על קושי זה, פותחו שיטות נומריות למציאת קירובים לפתרונות המשוואה, קרי, לשורשי הפונקציה. שיטות אלו נקראות שיטות למציאת שורשים ( באנגלית : Root Finding Methods ) ואחת מן השיטות המוכרות והמוקדמות ביותר לכך היא שיטת ניוטון-רפסון : formula_9. בשיטה זו, בדומה לשיטות רבות אחרות למציאת שורשים ( כולל שיטת אברת'), בוחרים formula_5 התחלתי, ומשנים אותו שוב ושוב עד שהוא מתכנס לשורש של הפונקציה. שיטות מסוג זה הן איטרטיביות, שכן מבצעים חזרות ( איטרציות ) עד שהקירוב ההתחלתי מתכנס לשורש. עם זאת, בשיטת ניוטון-רפסון, ובאלגוריתמים רבים אחרים כגון שיטת היילי ( Halley's Method ) ושיטת החצייה ( Bisection Method ) ניתן למצוא רק פתרון אחד של המשוואה. מכיוון שפעמים רבות עולה הצורך למצוא את כל פתרונות המשוואה, פותחו שיטות למציאת שורשים מרובים. בין השיטות האיטרטיביות לכך נמנות שיטת דורנד-קרנר ( Durand-Kerner Method ) ,שיטת אברת' ארליך ( Aberth-Ehrlich Method ) ושיטת ניוטון מהיילי. בנוסף, ניתן למצוא שורשים מרובים באמצעות מטריצות מלוות ( Companion Matrices ). בשיטות האיטרטיביות למציאת כל שורשי הפונקציה, נהוג לחשב מספר קירובים התחלתיים לפתרונות, כאשר כל קירוב יתכנס לשורש המתאים לו בפונקציה. למרבית המשוואות הפולינומיות יש גם פתרונות מרוכבים, ולפיכך בשיטות אלה נהוג ליצור קירובים התחלתיים מרוכבים. למשל, אין פתרונות ממשיים למשוואה הפולינומית הידועה formula_11, אלא פתרונות מרוכבים: formula_12, שמסומנים כ formula_13.
היסטוריה.
השיטה פותחה לראשונה על ידי המתמטיקאי אוליבר אברת' בשנת 1967 כשיפור לשיטה שהציגו המתמטיקאים וורסטראס (1891), דורנד (1960) וקרנר (1966). אברת' השתמש בשדות וקטורים ובאלקטרוסטטיקה על מנת להגיע לנוסחה. גרסה דומה לנוסחתו של של אברת התגלתה מאוחר יותר ב-1973 על ידי המתמטיקאי לואיס ו. ארליך, אשר נעזר בשיטת ניוטון-רפסון על מנת להגיע אליה.
בתקציר המאמר המקורי של אברת' נכתב:
כלומר, אברת' פיתח שיטה שבה הקירובים ההתחלתיים מתכנסים מהר יותר לשורשי הפונקציה, מאשר בשיטה שהציעו דורנד וקרנר.
תיאור.
ניתן ליישם את השיטה על פונקציות פולינומיות בעלות משתנה אחד, כלומר:
formula_14
או בקיצור: formula_15
לדוגמה, formula_16
ראשית, יש לחשב את הקירובים ההתחלתיים של השורשים formula_17. למשל, למשוואה ממעלה רביעית יש 4 שורשים (פתרונות), ולכן למשוואה מסוג זה ניצור 4 קירובים התחלתיים, כאשר כל אחד יתכנס לשורש אחר. למשוואה ממעלה חמישית ניצור 5 קירובים, למשוואה ממעלה שישית ניצור 6, וכן הלאה. קירובים התחלתיים אלו אינם מספרים מרוכבים רנדומליים, אלא מספרים מרוכבים אשר מפוזרים באופן שווה על מעגל במישור גאוס שמרכזו ב formula_18 ורדיוסו formula_19, כאשר
formula_20, וכאשר formula_21 הוא החזקה הגבוהה ביותר, formula_22 הוא המקדם של המספר החופשי של הפונקציה, ו formula_23 הוא המקדם של החזקה הגבוהה ביותר בפולינום. ניתן לחשב את formula_19 גם בשיטה נוספת, כאשר formula_25. על מנת להשתמש בשיטה האחרונה, יש לוודא שהמקדם של החזקה הגבוהה ביותר בפולינום שווה ל-1.
אם כן, ניתן לבטא את הקירובים ההתחלתיים כformula_26, או בקיצור לפי נוסחת אוילר: formula_27.
לאחר שחושבו הקירובים ההתחלתיים, יש לשנות אותם בכל איטרציה כך שיתכנסו לשורשים המתאימים. לשם כך, בכל איטרציה נחסיר מכל קירוב הפרש מסוים המתאים לו, כך שיתכנס יותר לשורש המתאים לו.
לפיכך הפרשים אלה מוגדרים כ formula_28, והם מחושבים כך:
formula_29
כאשר formula_30 היא הנגזרת של הפונקציה עבור formula_31.
אם כן, הפרשים אלו יוחסרו מהקירובים, כך שהסט הבא של הקירובים לשורשי הפונקציה יהיה formula_32.
חישוב ההפרשים והחסרתם מהקירובים יתבצעו שוב ושוב עד שהקירובים יתכנסו לשורשי הפונקציה.
מימושים תכנותיים של השיטה.
מימוש השיטה בשפת התכנות פייתון:
from numpy import linspace
from math import sin,cos,pi
from typing import Callable
def random_approximations(coefficients):
""" הפעולה מחזירה רשימה של קירובים התחלתיים, בהתאם לרשימת המקדמים אשר היא מקבלת"""
n = len(coefficients) - 1
radius = abs(coefficients[-1] / coefficients[0]) ** (1 / n)
return [complex(radius * cos(angle), radius * sin(angle)) for angle in linspace(0, 2 * pi, n)]