כדי לראות מהיכן מגיעים הרכיבים ההקונטרוואריאנטיים והקוואריאנטיים נניח כי המרחב לא אוקלידי, עם זאת נציין כי זה נכון גם למרחב אוקלידי. לשם פשטות נציג דוגמה דו-ממדית, בה מערכת הקואורדינטות עקומה אך קבועה (כלומר הזווית קבועה בין כל זוג ווקטורי יחידה formula_2 כך שמתקיים formula_3 ,formula_4 ,formula_5, כמתואר באיור 1)
הקשר בין הקאורדינטות והבסיסים.
לאחר בחירת וקטורי בסיס {formula_6} ניתן לתאר באמצעותם את הווקטור formula_7 לפי כלל המקבילית (זוהי הצורה הסטנדרטית לתיאור וקטור, כלומר כמה וקטורי בסיס צריך לחבר כדי להגיע לווקטור formula_7). בצורה זו נקבל את רכיבי הווקטור המתאימים להצגה זו. לרכיבים בהצגה זו נקרא רכיבי הווקטור הקונטרוואריאנטיים ונסמן אותם באמצעות אינדקס עליון formula_9. במקרה הפרטי של הדוגמה הדו-ממדית formula_10 זוהי ההטלה המקבילה למערכת הצירים(ראו איור 1).
ישנה דרך נוספת לתאר את הווקטור באמצעות וקטורי הבסיס, וזאת באמצעות לקיחת מכפלה סקלרית של הווקטור formula_11 עם וקטורי הבסיס ובכך נקבל את הרכיבים הקווארינטים שמתארים את הווקטור,
נסמן רכיבים אלו עם אינדקס תחתון formula_12. לפיכך במקרה הפרטי של הדוגמה הדו-ממדית formula_13 זוהי ההטלה הניצבת עבור מערכת הצירים הנתונה (ראו איור 1).
נשים לב כי מקרה פרטי עבור ההצגה הקונטרוואריאנטית והקוואריאנטית היא במערכת צירים קרטזית, במקרה זה לא יהיה אף הבדל בין הרכיבים הקונטרוואריאנטיים והרכיבים הקוואריאנטיים. לפיכך במערכת קרטזית, שהיא מערכת אוקלידית חסרת עקמומיות, אין צורך להבדיל בין האינדקס העליון לאינדקס התחתון.
כעת אחרי הגדרת הרכיבים הקונטרוואריאנטיים שהם מתאימים לבסיס הנתון formula_2, נרשום את ההצגה הקונטרוואריאנטית של הווקטור (זוהי ההצגה הרגילה עבור וקטור בבסיס המתאים לו). לפי הסכם הסכימה של איינשטיין formula_15. או בדוגמה הדו-ממדית נוכל להציג את הווקטור באופן הבא: formula_16.
כעת אחרי שהגדרנו מהם הרכיבים הקונטרוואריאנטיים אשר מתאימים לבסיס הנתון formula_6 והצגנו את הווקטור formula_7 .
נתמקדת בריכיבים הקוואריאנטיים של הווקטור. את הרכיבים הקוואריאנטיים עבור הווקטור formula_7 ניתן לקבל באמצעות מכפלה סקלרית בין הווקטור formula_7 בין כל וקטור יחידה במערכת הצירים הנתונה. כלומר נרשום formula_21 . עבור הדוגמה הדו-ממדית נקבל את הרכיבים:formula_22 ו-formula_23.
כעת נרצה להגדיר עבור הרכיבים הקוואריאנטיים בסיס. הבסיס החדשה יהיה ניצב לבסיס formula_6, ונסמן את וקטורי הבסיס בצורה הבאה:formula_25 . כלומר בהצגה הגרפית הדו-ממדית הבסיס הווקטורי הדואלי יהיה formula_26 ו-formula_27. באופן הגדרתי הקשר בין שני הבסיסים {formula_28} ו-{formula_29} הוא שמתקיים formula_30 לפיכך בדוגמה הדו-ממדית נוכל לומר כי formula_26 מאונך ל-formula_32, וגם מתקיים כי formula_27 מאונך ל-formula_34 (ראו איור 2 עבור הצגת שני הבסיסים והרכיבים שמתאימים לכל בסיס).
הגדרה.
כדי להבין כיצד מקבלים את הווקטורים הקונטרוואריאנטיים והווקטורים הקוואריאנטיים, יש להגדיר טרנספורמציה כללית בין שתי מערכות קואורדינטות. כלומר אם במערכת קואורדינטות הראשונה יש לנו קבוצת מספרים המתארת את הווקטור, נרצה לעבור לקבוצת מספרים אחרת שתתאר את אותו הווקטור.
ההגדרה הכללית של נקודה במרחב היא קבוצת מספרים הנקראים קואורדינטות. לדוגמה, הקואורדינטות במערכת הקרטזית התלת-ממדית יהיו formula_35. קיימות מערכות formula_36-ממדיות בהן יש קבוצה של formula_36 מספרים formula_38 ורשימה זו מתארת כל נקודה במרחב הformula_36-ממדי. ניתן לומר כי מספר האיברים ברשימה תלוי בבחירת מערכת הקואורדינטות. כדי לקבל את הווקטורים הקוואריאנטיים והווקטורים הקונטרוואריאנטיים יש לבצע טרנספורמציית קואורדינטות בין מערכת יחוס אחת לשנייה. ראשית הגדרת טרנספורמציה כללית של קואורדינטות תתבצע באופן הבא: נניח כי formula_40 ו-formula_41 הם מרחב וקטורי formula_36-ממדי, יהיו בו formula_38 ו-formula_44 קואורדינטות של נקודה בשתי מערכות יחוס שונות. כמו כן נתונה הפונקציה formula_45 שהיא חד-חד-ערכית, על ורציפה בנגזרותיה. לפיכך קיימים formula_36 קשרים בלתי תלויים בין הקואורידנטות של שתי המערכות, כלומר ניתן לרשום formula_47 כאשר formula_48 רץ מformula_49 עד formula_36. כמו כן מתקיימת הטרנספורמציה ההפוכה בשל החד-ערכיות, רציפות ונגזרות רציפות.
כל וקטור formula_7 בכל נקודה במרחב, ניתן לייצג כעת באמצעות שני בסיסים של אותה מערכת הקאורידנטיות formula_44, סימון בסיסים אלו על ידי formula_53 ו-formula_54 .ולרכיבי הווקטור הקונטראווארינטי והווקטור הקוואריאנטי בבסיסים אלו
נסמן formula_55 ו-formula_56 בהתאמה : formula_57 . נסביר את הקשר בין טרנספורמציית קואורדינטות ממערכת אחת למערכת שנייה. למעשה ניתן יהיה לראות שעבור אותה מערכת קואורדינטות שאליה נעבור ניתן יהיה לבצע טרנספורמציה בשתי אופנים. בכך נקבל במערכת השנייה את הרכיבים הקונטרוואריאנטיים וגם נוכל לקבל את הרכיבים הקוואריאנטיים, חשוב לזכור ששתי המערכות יוצגו עם אותם הקואורדינטות החדשות רק שאלו יהיו שתי הצגות שונות.
וקטורים קונטרוואריאנטיים - הגדרה.
במערכת קואורדינטות ראשונה formula_38 רכיבי וקטור formula_7 יהיו formula_60, ותהיינה מערכת קואירידניטות שנייה formula_61 כך שרכיבי הווקטור יסומנו כ- formula_62 .
לפי הסכם הסכימה של איינשטיין נרשום את הטרנספורמציה formula_63, הוגדל formula_64 מייצג את רכיבי הווקטור הקונטרוואריאנטים.
וקטורים קוואריאנטים - הגדרה.
יהיו אותם שתי מערכות הקואורדינטות formula_38 וformula_44 (הערה - יש לשים לב כי תיאור הווקטור אחרי הטרנספורמציה נעשה באותה מערכת הקואורדינטות) עם זאת נרשום את רכיבי הווקטור במערכת הקואורדינטות הראשונה כ- formula_67 ובמערכת קואורדינטות השנייה כ-formula_68 (יש לשים לב כי במקרה זה האינדקס המתאר את הקואורדינטה של הווקטור בשתי מערכות הקואורדינטות השונות הוא תחתון ולכן לפי ההסכם מדובר ברכיב הקוואריאנטי של הווקטור עבור בסיס מתאים) .
לפי הסכם הסכימה של איינשטיין נרשום את הטרנספורמציה עבור רכיבי הווקטור ממערכת הקואורדינטות הראשונה לשנייה formula_69, ונקרא לגודל formula_70 רכיבי וקטור קוואריאנטי.
טרנספורמציה של בסיסים כאשר עוברים ממרחב אוקלידי למרחב כללי.
אם הטרנספורמציה הייתה ממרחב אולקידי למרחב כלשהו ניתן יהיה להשתמש בנוסחאות הבאות. לכן אחרי שבוצעה הטרנספורמציה למערכת קואורדינטות השנייה, קיימים שני בסיסים למערכת הקואורדינטות החדשה. כלומר כדי לקבל את הבסיס הקוואריאנטי אשר מתאים לרכיבי הווקטור הקונטרוואריאנטיי נבצע את טרנספורמציית
הבסיס הבאה: formula_71.
כדי לקבל את הבסיס הקונטרוואריאנטי שמתאים לרכיבי הווקטור הקוואריאנטיים נבצע את טרנספורמציית הבסיס הבאה: formula_72.
סיכום.
כל וקטור formula_7 בכל נקודה במרחב ניתן לייצג את הווקטור הזה באמצעות שני בסיסים של מערכת הקואורדינטות formula_74: הבסיס formula_54 והבסיס formula_76, נסמן בהתאמה את הרכיבים בבסיסים אלו הרכיבים הקוואריאנטים formula_70 והרכיבים הקונטרוואריאנטיים formula_64 . בכך מקבלים את ההצגה של הווקטור formula_7 בשני בסיסים שונים באותה מערכת הקוארדינטות
formula_80
מיהאי טומפה
מיהאי טומפה (בהונגרית: Tompa Mihály, 28 בספטמבר - 30 ביולי 1868) היה משורר לירי הונגרי. לצדם של שנדור פטפי ויאנוש אראן נמנה טומפה עם שלישיית המשוררים הגדולים הצעירים של הספרות הלאומית ההונגרית של המאה ה-19. חבר בהתכתבות באקדמיה ההונגרית למדעים, הוא היה כומר רפורמי בהכשרתו.
קורות חייו.
ילדות וצעירות.
מיהאי טומפה נולד בשנת 1819 בבית קטן ברימאסומבאט (כיום רימבסקה סובוטה בדרומה של סלובקיה) אז במחוז גמר ובחבל פלווידק שבצפון ממלכת הונגריה, באימפריה האוסטרית, במשפחתם של מיהאי טומפה האב, סנדלר מייצר מגפיים, ושל ז'וז'אנה לבית בארדוש, משרתת. המשפחה מצד האב השתייכה לבני האצולה הנמוכה שירדו בנכסים
. אבות המשפחה זכו לתוארי אצולה באמצע המאה ה-17 בימי הקיסר האוסטרי לאופולד הראשון. האם מתה בשנת 1822 עקב דלקת ראות זמן קצר אחרי שילדה את בנה השני . מיהאי הבן נשלח אז לגדול בבית סבו מצד האב, גיירג' טומפה, ביישוב איגריצי, במחוז בורשוד, לא רחוק מן העיר מישקולץ . האב התיישב במישקולץ ,התחתן שנית וניתק קשר. באיגריצי בילה טומפה את ילדותו והתוודע לנופים ולבני עמו השורשיים הפשוטים ולמסורותיהם. בבית הספר הבחין המורה בשם גיירג' ביהרי בכישרונות הילד, לימד אותו את יסודות השפה הלטינית ומקצועות אחרים והמליץ עליו בפני בעלי האחוזות המקומי, משפחת סנטימריי. בעזרתם נרשם טומפה למכללה הרפורמית בשארושפטק. סבל שם חיי מחסור אך הצטיין בלימודים. בשלב מסוים הלחצים הכלכליים ועוולות מצד אחד המורים גרמו לו לעזוב את המכללה ולנסוע ליישוב שארבוגארד, בו עבד לפרנסתו בשנים 1838-1837 כעוזר מורה כפרי.כעבור זמן חזר למכללה בשארושפטק להשלים את לימודיו. עד שנת 1844 למד שם תאולוגיה ומשפטים בשני קורסים בני שנתיים כל אחד.