מד pH אלקטרוני מתבסס על השפעת החומציות על התכונות החשמליות של התמיסה. מדי pH אלקטרוניים הם מדויקים מאוד ומאפשרים מדידה ברמת דיוק של מאית יחידת pH. המדידה נעשית על ידי מדידת פוטנציאל החיזור התקני של התמיסה (למעשה, במד pH קיימת ממברנת זכוכית, המאפשרת למדוד רק את השפעת ריכוז יוני ההידרוניום על פוטנציאל החיזור, ולהתעלם מהשפעת המומסים האחרים). מתוך הפוטנציאל ניתן לחשב את ריכוז היונים על ידי שימוש במשוואת נרנסט.
טווח הערכים של ה-pH.
הערך formula_7 מתייחס לרמת החומציות של מים מזוקקים, או תמיסה נייטרלית אחרת. משמעותו של pH=7 היא שריכוז יוני ההידרוניום ( +H3O) שווה לריכוז יוני ההידרוקסיד ( -OH). מי ברז או מי גשם אינם טהורים, ומכילים חומרים מומסים שונים, ולכן ה-pH שלהם עשוי להיות שונה במעט מ-7.
ערכי pH הגבוהים מ-7 הם בסיסיים יותר, בהם ריכוז ה +H3O נמוך מריכוז -OH. ערכים נמוכים מ-7 מייצגים חומציות לוגריתמי (לפי בסיס 10), כלומר ההבדל בין pH 1 ל-pH 2 הוא יחס ריכוזים שונה פי 10.לדוגמה, בקפה שחור עם ערך pH=5 החומציות גבוהה פי 100 מבמים, בעגבנייה, שלה pH=4 החומציות גבוהה פי 1,000 מבמים, בחומץ עם ערך pH=3 החומציות היא פי 10,000 מבמים, וכן הלאה.
התחום הנפוץ של סולם ה-pH הוא בין 0 ל-14, ורוב התמיסות בטבע הן בתחום pH זה. עם זאת, אין שום משמעות מיוחדת לערכים 0 או 14 שמונעת לעבור אותם, ועבור חומצות או בסיסים חזקים במיוחד ייתכן pH שחורג מתחום זה. למשל, לתמיסת HCl רוויה (בריכוז 37% משקלי) יש pH= -1.1 בערך, ולעומת זאת לתמיסה רוויה של NaOH יש pH=15 בערך. בטבע נמצאו אף תמיסות בעלות pH= _3.6.
ישנן כמה סיבות שבגללן pH שלילי אינו נפוץ והוא קשה למדידה:
הערה:
הסימון H+ לסימון יוני מימן נפוץ מאוד בספרות, אם כי הוא אינו מדויק מבחינה כימית. למעשה, יון המימן מגיב עם מולקולת המים לתת יון הידרוניום +H3O, ואינו קיים כפרוטון בסביבה מימית. למרות זאת, השימוש בסימון H+ השתרש, וניתן להשתמש בו, כל עוד משמעותו מובנת.
pH של תמיסה נייטרלית.
pH של תמיסה נייטרלית הוא 7. הסיבה לכך היא שגם מים מזוקקים מכילים יוני הידרוקסיד (אך גם יוני הידרוניום בריכוז זהה). הימצאות יוני הידרוניום נובעת מכך שמים מתפרקים באופן טבעי לפי התגובה:
formula_9
תגובה זו נקראת תגובת דיסוציאציה. זוהי תגובת שיווי משקל, ולכן מכפלת ריכוזי היונים קבועה (כאשר הטמפרטורה קבועה). בניסויים נמצא כי מכפלת הריכוזים שווה כמעט בדיוק formula_10. בתמיסה נייטרלית, ריכוז יוני ההידרוניום שווה לריכוז יוני ההידרוקסיד. אם משלבים נתון זה עם כך שמכפלתם שווה ל formula_11 בטמפרטורה של 25°C, אפשר להסיק כי בתמיסה נייטרלית מתקיים:
formula_12, ולכן,
formula_13.
זהו ריכוז נמוך מאוד, והוא לרוב זניח כאשר מחשבים pH של תמיסה של חומצה או בסיס.
תלות ה-pH בטמפרטורה.
כיוון שתגובת הדיסוציאציה של המים להידרוניום ולהידרוקסיד אנדותרמית הרי שלפי עקרון לה שטליה ככל שהטמפרטורה גבוהה יותר תתפרקנה יותר מולקולות מים (קבוע שיווי המשקל של התגובה יגדל) ולכן ה pH (וכמוהו ה pOH) של מים טהורים קטן ככל שהטמפרטורה עולה.
קישורים חיצוניים.
על pH שלילי:
פונקציית ויירשטראס
פונקציית ויירשטראס היא הדוגמה הראשונה שפורסמה לפונקציה רציפה בכל נקודה על הישר הממשי אך לא גזירה באף נקודה.
לפי משפט הקטגוריה של בייר, אוסף הפונקציות הרציפות formula_1 הגזירות בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה. בצורה פשטנית אומר המשפט כי "רוב" הפונקציות הרציפות אינן גזירות באף נקודה, אולם המשפט אינו מצביע על פונקציה מסוימת כזו. הדוגמה הראשונה שפורסמה לפונקציה כזו היא זו שנתן קארל ויירשטראס בשנת 1872 (היסטורית, הדוגמה של ויירשטראס קדמה להוכחת משפט הקטגוריה).
הגדרת הפונקציה היא: formula_2 כאשר formula_3 שלם אי זוגי כך ש-formula_4. להלן גרף עבור פונקציית ויירשטראס
formula_5:
פונקציית ויירשטרס מורכבת מאינסוף עותקים של הרמוניה בסיסית, העוברת שני שינויי סקלה (במשרעת ובתדירות).
גרף הפונקציה הוא פרקטל, שממד האוסדורף שלו הוא formula_6.
ניתן להוכיח שהפונקציה רציפה, משום שהטור מתכנס במידה שווה (ממבחן M של ויירשטראס), וכל סכום חלקי מהווה פונקציה רציפה (ולכן נוכל להשתמש במשפט הגבול האחיד , הגורס כי אם סדרת פונקציות רציפות מתכנסת במידה שווה, אז הפונקציה הגבולית רציפה). ההוכחה שהפונקציה אינה גזירה באף נקודה מורכבת יותר.
קבוצה קומפקטית
בטופולוגיה, קבוצה קומפקטית היא תת-קבוצה של מרחב טופולוגי, המקיימת את התכונה הבאה: מכל כיסוי פתוח של הקבוצה, אפשר לשלוף תת-כיסוי סופי (ראו ההגדרות להלן). אם המרחב הטופולוגי כולו מקיים את התכונה הזו, הוא נקרא מרחב קומפקטי, ולעיתים קומפקט.
מושג הקומפקטיות מכליל תכונות טובות של קטעים סגורים וחסומים על הישר הממשי, כדוגמת הקטע formula_1. כדי להגדיר במלואו את מושג ה'קטע' מן הישר הממשי למרחבים כלליים יותר, נזקקים למבנה העדין של הישר הממשי, המתבטא ביחס הסדר ובמטריקה, ואלו בדרך כלל אינם זמינים. עם זאת, מתברר שתכונות רבות של הקטעים הסגורים נובעות ישירות מכך שאם מכסים קטע סגור בקטעים פתוחים, אפשר להסתפק במספר סופי של קטעים מבין אלה המשתתפים בכיסוי. לקטעים פתוחים יש אפיון טופולוגי פשוט: הם מהווים קבוצות פתוחות, ולכן אפשר להכליל את תכונת הכיסויים בקלות.
קומפקטיות היא תכונה בעלת חשיבות יסודית באנליזה מתמטית, משום שמשפטים חשובים הנוגעים לפונקציות רציפות בקטע סגור, כגון משפט קנטור על רציפות במידה שווה ומשפטי ויירשטראס, תקפים גם עבור פונקציות ממשיות שהן רציפות בקבוצה קומפקטית.
במרחב מטרי, כל קבוצה קומפקטית היא סגורה וחסומה. משפט היינה-בורל קובע שבמרחבים האוקלידיים formula_2, גם ההפך נכון: כל קבוצה סגורה וחסומה במרחב כזה היא קומפקטית.
היסטוריה.
מושג הקומפקטיות הופיע בצורה מפורשת רק בתחילת המאה העשרים, אך ניצניו מצויים בהתפתחויות עיקריות באנליזה המתמטית מתחילת הרבע האחרון של המאה התשע-עשרה. ב-1817 אפיין בולצאנו את תכונת החסם העליון של הממשיים, שעל בסיסה הוכיח ויירשטראס ב-1877 את משפט בולצאנו-ויירשטראס: קבוצה בממשיים כוללת גבול לכל סדרה אם ורק אם היא סגורה וחסומה. במקביל לגישה זו שחקרה את הממשיים באמצעות סדרות, התפתחה גישה הלומדת אותם באמצעות קטעים פתוחים. ב-1872 הוכיח אדוארד היינה (1821-1881) שפונקציה רציפה בקטע סגור היא רציפה במידה שווה (דיריכלה הוכיח זאת כבר ב-1852, אלא שהגרסה שלו לא פורסמה עד 1904). בהמשך לעבודתו של היינה, הראה ארמנד בורל בעבודת הדוקטורט שלו ב-1894 שקטע סגור בממשיים הוא, במונחים מודרניים, קומפקטי. מושג הרציפות במידה שווה עמד ביסוד משפט ארצלה-אסקולי (1883 ו-1893) על התכנסות במידה שווה של סדרות של פונקציות רציפות.
מוריס פרשה היה זה שזיהה את החשיבות של הקומפקטיות כמושג עצמאי, ואף טבע את המונח ב-1906, כשהוא מגדיר מה שידוע היום כקומפקטיות יחסית (לקבוצה יש סגור קומפקטי). את ההגדרה המקובלת היום טבעו פבל אלכסנדרוב ופבל סמואילוביץ' אוריסון ב-1923 (בתחילה בשם "בי-קומפקטיות"). בורבקי (בשנות הארבעים) כינה מרחבים קומפקטיים בשם קוואזי-קומפקטיים, כשהוא שומר את המונח עצמו למרחבים קומפקטיים האוסדורף.
כיסויים וקומפקטיות.
כיסוי פתוח של קבוצה formula_3 במרחב טופולוגי הוא אוסף של קבוצות פתוחות, שהקבוצה formula_3 מוכלת באיחוד שלהן. במילים אחרות, כל נקודה של formula_3 שייכת לאחת הקבוצות באוסף. אם אוסף קטן יותר מהווה כיסוי של אותה קבוצה formula_3, הוא נקרא תת כיסוי.
קבוצה קומפקטית היא קבוצה בעלת התכונה הבאה: לכל כיסוי פתוח של הקבוצה, קיים תת-כיסוי סופי. לדוגמה, כל קבוצה סופית היא קומפקטית, ובמידת מה אפשר לחשוב על הקומפקטיות כעל הכללה טופולוגית של מושג הסופיות; הקבוצות הקומפקטיות הן 'הקבוצות הקטנות' של המרחב הטופולוגי. אם המרחב הטופולוגי כולו מקיים את התכונה הזו, הוא נקרא מרחב קומפקטי.
בעזרת הדואליות בין קבוצות פתוחות וקבוצות סגורות, אפשר לנסח את תכונת הקומפקטיות גם באופן הבא: במרחב קומפקטי, אם אוסף של קבוצות סגורות מקיים את תכונת החיתוך הסופי (החיתוך של כל מספר סופי של קבוצות מהמשפחה אינו ריק), אז גם החיתוך של המשפחה כולה אינו ריק.
בספרים אחדים (במיוחד בתחום הגאומטריה האלגברית) מייעדים את התואר 'קומפקטי' רק למרחבי האוסדורף, אולם זוהי הגדרה פחות מקובלת של המושג. בספרים אלו מרחב שהוא קומפקטי ואינו האוסדורף נקרא קוואזי-קומפקטי.
תכונת לינדלוף וקומפקטיות מנייתית.
אפשר לפרק את תכונת הקומפקטיות לשני מרכיבים חלשים יותר. קבוצה מקיימת את תכונת לינדלוף אם לכל כיסוי אינסופי שלה יש תת-כיסוי בן מנייה; וקבוצה נקראת קומפקטית מנייתית אם לכל כיסוי בן מנייה שלה, יש תת-כיסוי סופי. כמובן, קבוצה קומפקטית מקיימת את שתי התכונות האלה. באופן יותר כללי, בהינתן מונה formula_7, נאמר שמרחב טופולוגי הוא formula_7-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו יש תת-כיסוי שעוצמתו קטנה ממש מ-formula_7.
קומפקטיות סדרתית.
אחת התכונות החשובות של קבוצות קומפקטיות במרחבים מטריים מתוארת במשפט בולצאנו-ויירשטראס: לכל סדרה בקבוצה קומפקטית יש תת-סדרה מתכנסת המתכנסת לנקודה בקבוצה. קבוצה המקיימת תכונה זו היא קומפקטית סדרתית. במרחב מטרי התכונה שקולה לקומפקטיות, אבל במרחבים טופולוגיים כלליים אלו שתי תכונות שונות, שאינן בהכרח גוררות זו את זו. במרחבים המקיימים את תכונת המניה הראשונה, קומפקטיות סדרתית שקולה לקומפקטיות מנייתית.