משוואת לנז'בן במימד אחד, על פי החוק השני של ניוטון עבור תנועה של חלקיק בראוני בנוזל, היא:
formula_4
כאשר החלק הדטרמיניסטי מכיל את האיברים:
החלק האקראי של המשוואה הוא R(t), המייצג את ההתנגשות האקראית של חלקיקי הנוזל בחלקיק הבראוני. לחלק זה המאפיינים נובעים מהשיקולים הפיזיקליים הבאים:
כאשר formula_13 היא הדלתא של דיראק, ו- formula_14 היא הדלתא של קרוניקר. שיקול זה נובע מהקירוב עבור הבדלי סדרי הגודל של פרק הזמן של פונקציה R(t) ל- formula_9 ואף להעתק, והופך למדויק רק עבור טווחי זמן גדולים- המתארים תנועה עבור חלקיקים בראונים "מקרוסקופיים" (כאשר מסת החלקיק גדולה משמעותית ממסת חלקיקי הנוזל). הסתכלות דיפרנציאלית על קשר הקורלציה אינו נכון לחלוטין, שכן גם מהירות החלקיק אינה מוגדרת היטב בגבול זה. בטיפול במשוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות כגון משוואת לנז'בן, נהוג לקחת אינטגרל כך ש-
formula_16
formula_17
כאשר בגבול הרצף
formula_18
כאשר formula_19.
החלק האקראי של המשוואה נקרא לעיתים כוח לנז'בן, ועבור חלקיק בראוני, חלק זה מראה כיצד שינויים בטמפרטורה מכתיבים את אופייה הסטוכסטי של התנועה הבראונית.
לדוגמה, נסתכל פתרון של משוואת לנז'בן עבור חלקיק בראוני. אם נכפיל את שני צידי המשוואה ב x(t):
formula_20
כאשר :
formula_21 ו- formula_22
בהצבה במשוואה, ולקיחת ערך ממוצע עבור אנסמבל חלקיקים, נקבל:
formula_23
מכיוון שעבור החלק האקראי ערך ממוצע של אנסמבל חלקיקים מתאפס, חלק זה של המשוואה נופל. מחוק החלוקה השווה אנו יודעים formula_24.
נסמן formula_25,
ונקבל: formula_26
עבור פרקי זמן גדולים מ formula_27, הפתרון formula_28 מתפתח ליניארית בזמן. כלומר:
formula_29
ובכך, הצטמצמנו למקרה הפרטי של פתרון איינשטיין לתנועה בראונית, ושהעתק החלקיק מתכונתי לשורש הטמפרטורה.
אפיון כללי של גישת לנז'בן.
ניתן לתת למשוואות לנז'בן פורמליזם כללי יותר. בהנחה וישנה מערכת שהתנהגותה המקרוסקופית ידועה, וניתן לראות כי חייב להתקיים בה תנודות מסוימות. בשביל תיאור מלא של התנודות הללו יש לבצע את שלושת הצעדים הבאים:
צעד ראשון: יש לרשום את משוואות התנועה המקרוסקופיות של המערכת.
צעד שני: יש להוסיף כוח לנז'בן, המקיים את התכונות הבאות (חלקן אופיינו מוקדם יותר בפיתוח המקרה של תנועה בראונית):
צעד שלישי: יש לדרוש שהקבוע מתאים כך שהפתרון עבור תהליך סטוכסטי סטציונרי, ונותן בחזרה את ערכי ממוצע של התנודות כפי שהן ידועות ממכניקה סטטיסטית (או משיקולים פיזיקליים נוספים).
שלושת צעדים אלו מרכיבים את גישת לנז'בין, בה משתמשים בתחומים רבים בפיזיקה, כימיה וביולוגיה. התנודות אינן בהכרח צריכות לנבוע מתנודות תרמיות או מטבעם הדיסקרטי של חלקיקים. התנודות הסטוכסטיות יכולות לנבוע ממידול אות אקראי הנכנס לקו תמסורת, גדילה של מין ביולוגי תחת השפעת מזג אוויר, עומס אקראי על גשרים וכו'.
דוגמאות.
משוואת לנז'בן עבור פוטנציאל הרמוני.
עבור חלקיק בעל מסה m בממד אחד, הנע תחת פוטנציאל הרמוני (formula_38) משוואות לנז'בן הם:
formula_39
formula_40
כאשר formula_41 . הכוח האקראי הוא תהליך אקראי גאוסיאני, עבורו:
formula_32
formula_43
בהסתכלות על צפיפות ספקטרום התדרים בהתמרת פורייה, נקבל:
formula_44
המאופיין כרעש לבן. אם נבצע את התמרת פורייה על משוואות לנז'בין ולא רק על קשר הקורולציה שלנו:
formula_45
formula_46
מכן ניתן לפתור עבור formula_47 :
formula_48
צפיפות ספקטרום התדרים היא פרופורציונלית ל- formula_49 ולכן :
formula_50
בהתמרה חזרה למרחב הזמן נקבל:
formula_51
אינטגרל זה ניתן לפתור במישור המרוכב, תוך שימוש במשפט השאריות. תוצאתו הסופית תהיה:
formula_52
נשים לב שעבור t=0, נקבל חזרה את חוק החלוקה השווה - formula_53 .
תנודות במעגל חשמלי RC.
אם נסתכל על מעגל חשמלי RC עם התנגדות ליניארית R. המטען Q על קבל (באופן מאקרוסקופי) חווה ריסון עקב ההתנגדות, אליו נוסיף חלק אקראי של רעש L(t).
formula_54
בשיווי משקל תרמי, האנרגיה האלקטרוסטטית הפוטנציאלית ידועה, כמו כן מחוק החלוקה השווה נקבל:
formula_55
הטמפרטורה T היא של המעגל כולו, אך ניתן להניח שזוהי הטמפרטורה של הנגד בלבד, שכן רק שם מיוצר הרעש התרמי. אם כן, אפשר להסתכל על הנגד כמקור לתנודות בזרם formula_56 המתווספות לזרם המקרוסקופי הכולל. ניתן לראות כי formula_57 ושקבוע formula_58 צריך להיות שווה ל- formula_59.ולכן נוכל לראות את הקשר:
formula_60
באופן דומה ניתן לבצע עבור המתח כך ש formula_61 משם ניתן לראות:
formula_62
ואנחנו מקבלים באופן מיידי רעש ג'ונסון-נייקוויסט.
הקשר לאינטגרלי איטו וסטרטונוביץ'.
כפי שהוזכר, קשר הקורלציה עבור R(t) הוא פרופורציונלי לפונקציית דלתא של דיראק, אך אינו בהכרח פונקציית דלתא, אלא פונקציה בעלת עליה חדה עם רוחב המתאים לפרק זמן קצר ביותר (formula_63) . באופן כללי יותר, R(t) היא פונקציה סטוכסטית מוגדרת היטב, כך שנוכל להגדיר את משוואת לנז'בן גם בצורה לא ליניארית. כל עוד R(t) אינה סינגולרית- ניתן לקחת את הגבול ללא בעיה. כאשר פונקציית הדלתא בקשר הקורלציה, אשר מפורשת עבור קפיצה קטנה אך לא אינסופית, ניתן להשתמש באינטגרלי סטרטונוביץ'. עבור שימוש באינטגרלי איטו, יש לדרוש מפורשות שפרק זמן זה הוא אפס. (למידע נוסף ראה הלמה של איטו).
יתרונות.
ישנם יתרונות לשימוש בגישת לנז'בן על פני שיטות דומות, כגון משוואת פוקר-פלאנק:
משוואת לנז'וון
__הפניה_קבועה__
משוואת לנגבין
__הפניה_קבועה__
גרנד פרי שטיריה
גרנד פרי שטיריה הוא מרוץ גרנד פרי שנתי, המתקיים במסגרת אליפות הפורמולה 1. המרוץ מתקיים במסלול רד בול רינג בו מתקיים גם גרנד פרי אוסטריה.
היסטוריה.
התפרצות מגפת הקורונה בעולם הובילה לדחיית פתיחת עונת 2020 ולשינוי בלוח המרוצים המתוכנן. במטרה לאפשר קיום מספר רב ככל האפשר של מרוצים הוחלט לקיים בחלק מהמסלולים שני מרוצים בהפרש של שבוע זה מזה. גרנד פרי אוסטריה היה המרוץ הפותח של העונה, שהתקיים ברד בול רינג. שבוע לאחר מכן נערך באותו המסלול גרנד פרי שטיריה. לואיס המילטון זינק המפול פוזישן וניצח את המרוץ.
אף על פי שהתכנון המקורי היה לקיים את המרוץ כאירוע חד פעמי הוא נוסף ללוח המרוצים גם בעונת 2021 במקומו של גרנד פרי טורקיה שבוטל עקב התפרצות הקורונה במדינה.
משה בן־אליעזר
קז'מיירה ז'ולבסקה
קז'מיירה ז'ולבסקה (בפולנית: Kazimiera Żuławska 22 בפברואר 1883 - 18 באפריל 1971) הייתה חוקרת שפות רומניות, מתרגמת, פעילת זכויות נשים וחסידת אומות עולם מפולין.
ביוגרפיה.
נולדה כקאזימיירה האניקי בצ'מריזי למשפחה בעלת קרקעות, בתם של איגנסי דיוניזי האניקי וזופיה לבית אוסטולסקה. היא סיימה את לימודי הגימנסיה השנייה של ורשה, והוסמכה כמורה לחינוך ביתי. היא למדה לימודי השפה הרומנית באוניברסיטאות בלבוב וברן. בשנת 1910, קיבלה דוקטורט.
בשנת 1907 התחתנה עם הסופר יז'י ז'ולבסקי. עם בעלה ואחיו יאנוש היא טיפסה על האלפים והרי הטטרה. היא ניהלה לזמן מה בית הארחה בזקופנה. במהלך מלחמת העולם הראשונה בעלה התנדב ללגיון הפולני ונהרג בשנת 1915.
לאחר הקמת פולין העצמאית, היא עזבה את זקופנה לטובת טורון עם בניה, וניהלה את בית ההארחה "זופיובקה" בעיירה אול. . לאחר שעברה לוורשה עבדה כפקידה בביטוח לאומי. בוורשה עסקה בתרגום ספרות צרפתית וספרדית וספרי טיפוס הרים. בסוף שנות העשרים חזרה לפעילות בליגת הנשים הפולנית.
מעשה ההצלה.
במהלך מלחמת העולם השנייה היא הסתירה בדירתה יהודים, להם סייעה להשיג מסמכים מזויפים ולמצוא עבודה. על מעשיה זכתה בשנת 1981 באות חסיד אומות העולם. את האות היא קיבלה יחד עם בנה וורז'יניץ', שהיה שותף למעשה ההצלה.
לאחר המלחמה.
היא חיה בוורשה עד מותה. בוורשה ניהלה בית פתוח לאמנים ועסקה באמנות. היא המשיכה לתרגם לפולנית, כולל הדרמה "ג'ודיטה" מאת צ'ארלס דה פיירט-צ'אפוי, שהועלתה על ידי קז'ימייז 'דז'מק בתיאטרון החדש בלודז' (10 בספטמבר 1960) ולאחר מכן בתיאטרון הטלוויזיה שביים סטניסלב וול (1960). ואירנה בבל (1974). לאחר שיצאה לגמלאות נתמכה על ידי בניה - מארק, צייר אמן שחי בגלות בלונדון, יוליוש, סופר ונשיא מועדון פן, ווורז'יניץ' הצעיר ביותר (מוזיקולוג ומלחין).
גטו שווינציאן
גטו שווינציאן היה הגטו בעיר שווינציאן בליטא, בזמן שהייתה כבושה בידי הנאצים (לפני המלחמה - שווינציאן הייתה בשטח הרפובליקה הפולנית השנייה, ולאחר המלחמה - הייתה בשטח ליטא הסובייטית). הגטו התקיים מיולי 1941 עד אפריל 1943. בשיאו התגוררו בו כ-1,500 אסירים. במקומו היום קיים פארק עירוני. לזכר הגטו, המקום מסומן בחנוכיית עץ, שגולפה על ידי יוזפס יקשטס (Juozapas Jakštas) בתחילת שנות התשעים ובשנת 2011.
הקמה ופעולה.
לפני המלחמה היו בשווינציאן כ-9,000 תושבים, מתוכם שליש יהודים. הגטו הוקם זמן קצר לאחר שגרמניה הנאצית תקפה את ברית המועצות ב-22 ביוני 1941. בסוף ספטמבר 1941 הועברו 1,000 עד אלפיים מיהודי שווינציאן לצריפים של שטחי אימונים צבאיים לשעבר ליד שוונצ'יונייליאי. גם שם נאספו יהודים מיישובים סמוכים אחרים. יהודים אלה נטבחו ב-9–10 באוקטובר על ידי נאצים וליטאים מיחידת רצח ליטאיות בשם Ypatingasis būrys . בדו"ח יגר נמנו 3,726 מקרי מוות בעיר (1,169 גברים, 1,840 נשים, 717 ילדים).
הגטו בשווינציאן הוקף בגדר תיל ונשמר על ידי שומרים חמושים. השטח חולק לארבעה רבעים, ולכל אחד מהם היה מפקד יהודי. בנוסף, היה בגטו יודנראט (מועצה) בן חמישה חברים. על פי מפקד האוכלוסין באוגוסט 1942, היו בגטו 566 יהודים, בהם 353 עובדים ועובדות.