אם פונקציה היא רציפה בכל נקודה formula_5 בקטע, אומרים שהיא רציפה בקטע. במקרה כזה מותר למהירות שבה מתקרבים הערכים של formula_16 לערכים של formula_17 (כשהיא נמדדת בגודל של formula_18 עבור formula_19 נתון) להיות תלויה ב- formula_5. הפונקציה רציפה במידה שווה אם לכל formula_21 אפשר לבחור את formula_18 באופן שאינו תלוי ב- formula_5; זוהי תכונה חזקה יותר. מאידך, לפי משפט קנטור, אם פונקציה רציפה בכל נקודה של קטע סגור (ובאופן כללי יותר קבוצה קומפקטית במרחב מטרי), אז היא רציפה במידה שווה.
מקובל לומר שפונקציה רציפה היא פונקציה בקטע ש"אפשר לצייר בלי להרים את העפרון מהדף". תיאור זה נכון לפונקציות רציפות במידה שווה, אבל סתם פונקציה רציפה (המוגדרת על קטע סופי שאינו סגור) עלולה להיות בעלת אורך אינסופי בקטע; למשל הפונקציה formula_24 בקטע formula_25.
תכונות של פונקציות רציפות.
שני המשפטים נכונים באופן כללי יותר, עבור פונקציה ממשית רציפה המוגדרת על קבוצה קומפקטית (בכל מרחב טופולוגי).
נקודות אי רציפות.
נקודה שבה הפונקציה אינה רציפה נקראת נקודת אי רציפות. ניתן למיין את נקודות אי הרציפות לשלושה סוגים:
אפיון קבוצת נקודות הרציפות של פונקציה.
אם formula_26 פונקציה, כאשר formula_27 מרחבים מטריים, אזי קבוצת נקודות הרציפות של formula_1 היא קבוצת formula_29, דהיינו חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות. ממשפט הקטגוריה של בייר ניתן להראות שקבוצת המספרים הרציונליים אינה קבוצת formula_29, ולכן אין פונקציה ממשית שרציפה רק במספרים הרציונליים, ואינה רציפה במספרים האי-רציונליים.
הגשש החיוור
הגשש החיוור היה הרכב קומי-מוזיקלי שפעל בענף הבידור הישראלי במשך כ-37 שנים. חברי הלהקה הם גברי בנאי, שייקה לוי וישראל פוליאקוב, המכונים גם "הגששים".
את הלהקה הקים האמרגן והמפיק אברהם דשא (פשנל) שהיה ההוגה, המייסד והמוביל שלה לאורך כל שנות פעילותה. פשנל, שהיה ידוע במקוריותו בבחירת שמות, הוא גם שהעניק להרכב את השם "הגשש החיוור".
לדברי דן אלמגור, שם הלהקה נלקח מן הספר "המוהיקני האחרון" מאת ג'יימס פנימור קופר.
ההרכב יצר דפוס תרבות שהשפיע על הלשון העברית ועל סגנון החיים שנגע כמעט לכל פרט בחברה הישראלית, ואף זכה בפרס ישראל עבור תרומה לחברה (ה'תש"ס).
במעמד מתן הפרס נאמר כי ההרכב:
היסטוריה.
שלושת חברי הלהקה, גברי בנאי ("גברי"), שייקה לוי ("שייקה") וישראל פוליאקוב ("פולי"), היו בוגרי להקת "התרנגולים", אשר פעלה בשנות השישים בהדרכת נעמי פולני.
ב-1963 החליט האמרגן אברהם דשא (פשנל) לקחת את השלושה תחת חסותו ולהקים להקה ייחודית לעומת מה שהיה מוכר עד אז. התכנון הראשוני היה לשלב בין השירים מערכונים קצרים כקטעי אתנחתא, אך כעבור זמן מה הסדר התחלף והמערכונים היו אלה שהיוו את העיקר.
תוכניתה הראשונה של הלהקה, "שמחת זקנתי" (1964), נכתבה ובוימה על ידי שייקה אופיר. בהמשך הדרך פעלו עם השלישייה יוצרים הנחשבים לטובים בתחום אמנויות הבמה בארץ, בהם: נסים אלוני, יוסי בנאי, ירון לונדון ("שיר הטלפון"), אפרים קישון (שלושה מערכונים) ומוטי קירשנבאום. גם מוזיקאים נחשבים כתבו בעבור "הגשש החיוור", בהם: נעמי שמר, אריה לבנון, יצחק גרציאני, יאיר רוזנבלום, אריאל זילבר ודני סנדרסון. משכנה של הלהקה היה בהתחלה במועדון "הסנטר הכפול" ביפו, אחר כך במקומות שונים, בהם קולנוע דקל בתל אביב, קולנוע רמה ברמת גן ובסוף דרכם קולנוע מקסים בתל אביב. השלישייה העלתה לאורך שנותיה עשרה מופעים, ביניהם "תוכנית ד'" (שהייתה תוכניתם השנייה), "קנטטה לשווארמה", "קרקר נגד קרקר", "בעבור חוקן דולרים" והצגתם האחרונה "כוסות רוח".
הגששים הופיעו בעשרה סרטים הבולטים שבהם הגששים שיחקו את הדמויות הראשיות היו: מוישה וינטלטור (1966), השכונה שלנו (1968), גבעת חלפון (1976, הסרט הידוע ביותר בו השתתפו) שלאגר (1979), והקרב על הוועד (1986).
ב-1975 יצא לאור "ספר הזהב" של הגשש החיוור, שהכיל את תמלילי חמש התוכניות הראשונות של הלהקה. הספר שימש סיכום דרכה של הלהקה עד אז, בהגיעה למצוות (13 שנים), וחברי הלהקה ביטאו אז כי הלהקה הגיעה, כנראה, לסוף דרכה. למרות זאת, פעילותה של הלהקה נמשכה, אף כי שכיחות העלאת תוכניות חדשות בשנים הבאות הייתה נמוכה יותר.
"הגששים" הופיעו גם בקהילות יהודיות בעולם. בארגנטינה "הגששים" הופיעו בקהילות היהודיות במערכונים ביידיש כגון "המכונית המגויסת". אברהם גוֹפְלַט (בעברו שחקן תיאטרון, עיתונאי, סופר ואביו של יוסי פלג, שהיה מנהלה האדמיניסטרטיבי של הלהקה), לקח על עצמו את המשימה, תרגם את המערכונים ליידיש ולימד את הגששים לדבר בגששית יידישאית.
בבחירות 1984 השלישייה הציגה מערכונים בתשדירי התעמולה של המערך, שהיוו עימות קומי לספי ריבלין בתשדירי הליכוד. תשדירים אלו אוזכרו במערכון "מִגרש השדים", בו גילם פולי את עצמו.
חברי הגשש החיוור השתתפו גם בפרסומות קומיות, ברוח מערכוניהם, לחברת המשקאות הקלים קריסטל בשנות השמונים ("החום בוטל, שותים קריסטל") ולטוטו בשנות התשעים ("מעכשיו החשבון שלך מוגבל... מוגדל!").
שלישיית "הגשש החיוור" לקחה את פעילותה ברצינות שהתבטאה בחזרות ובמופעים עצמם. הם לא העלו מופע מבלי שהיו משוכנעים שמיצו את הכול כדי שיהיה בנוי היטב מבחינת הטקסטים והחומר המזומר. כאשר גברי בנאי נשאל, מהו לדעתו סוד ההצלחה של הלהקה, ענה כי לדעתו היו אלה שני דברים: ההתמדה והעקרון שקיבלו ממי שהדריכה אותם ב"תרנגולים", נעמי פולני, שתמיד אמרה: "צריך להסתכל על טובת העניין" וכך הם עשו, תמיד העדיפו את העבודה הקבוצתית והזניחו קטעי סולו, הן בשירים והן במערכונים.
ב-30 באוקטובר 2007 הלך לעולמו ישראל פוליאקוב. יום לאחר פטירתו הוצג ארונו בתיאטרון הקאמרי ונערך מופע לזכרו בו שרו שייקה וגברי את השיר "פנס בודד", כאשר בין המיקרופונים של השניים ניצב מיקרופון ריק. בעקבות פטירתו של פוליאקוב הודיע אסי דיין בטור אישי בידיעות אחרונות על דחיית הוצאתו של סרט ההמשך שתוכנן ל"גבעת חלפון אינה עונה" ל"אחרית הימים", כדבריו.
ב-2013, הוצגו בפסטיגל שירים ומערכונים של השלישייה כמחווה.
ב-2014, לרגל 50 שנה להקמת הגשש החיוור, ערך ערוץ yes קולנוע ישראלי את "העולם מצחיק אז צוחקים" - פרויקט שידורים חגיגי שכלל את כל סרטי הגשש החיוור, שידור יומי של מיטב המערכונים והשירים וחומרים ארכיונים נוספים ונדירים שחלקם לא שודר.
בתחילת 2018, הופיעו גברי בנאי ושייקה לוי בערב של עמותת "מרכז טל" למען צעירים חולי סרטן, כאשר פולי "מצטרף" אליהם בהולוגרמה.
תרומת הלהקה לחברה הישראלית.
מערכוני הלהקה הפכו נכס צאן ברזל של התרבות והלשון הישראלית. השפה המיוחדת של הלהקה, ה'גששית', הפכה חלק מהשפה העברית המדוברת, או מה שמכונה הסלנג הישראלי.
בין השאר העלו מערכוני הלהקה תרומות בדמות מונחים כמו "ישראבלוף", "הצ'ופצ'יק של הקומקום", "זרבוביתי, זרבוביתך..." ו"בוטיק ספרים". מטבעות לשון כמו "דבר אוטוסטרדה", "שאל בני ונען!", "היה מנוע?", "דייג אוהב דגים?", "מה שבע? מה כמה?", "למה? –מה?!", "חם בטבריה!", "טרם הספיקותי", "תכין לי איזה טורקי קטן", "אתה הבנת את זה, ברוך?", "מה תאמר על הבושה?!", "תהיה גבר, תשפיל את עצמך!", "הלו, זה רדיו?" ו"מי צריך לומר שלום, זה שעולה או זה שיורד?"' או שמות ייחודיים, כמו "הסופר א.ב.ג.ד.ה.ו. מנחם", "מיקי בר קיקי", "מנדלה מוכר ספרים בהנחה", "נחצ'ה", "נשרקה", "נצחיה", "רפי לירי" "גברת זליבנסקי" ו"גברת מועלם", "אברהם אדיבי" ואחרים.
בשנת 1976, במלאת 13 שנה לגששים, שודר בטלוויזיה חידון בקיאות על שירי ומערכוני הלהקה, שהיה ערוך בנוסח חידון התנ"ך, כמחווה לתרומתה התרבותית של הלהקה להווי והשפה הישראלים. את החידון כתב, ערך והפיק יוסי פלג, שהיה מנהלה האדמיניסטרטיבי של הלהקה 15 שנים (ושותפו של פשנל בתיאטרון העממי).
בשנת 1992 נערך מצעד מערכוני הגששים, ביוזמת "ידיעות אחרונות" ורשת ג'. 27,000 ישראלים השתתפו במבצע "הגשש החיוור - כל המערכונים" ודירגו את המערכונים האהובים עליהם: למקום הראשון הגיע המערכון "קרקר נגד קרקר", למקום השני הגיע המערכון "הכה את המומחה" ולשלישי - "המכונית המגויסת".
בשנת 2000 הוענק לחברי שלישיית הגשש החיוור פרס ישראל עבור תרומה לחברה. אחד מחברי השלישייה, ישראל פוליאקוב, אמר בתוכנית טלוויזיה לזכרו של אמרגנם פשנל, לאחר שזה לא זכה בפרס ישראל, כי בעצם גזלו מפשנל את מה שהיה ראוי לו יותר מכולם. "בלי פאשה לא היה הגשש"...הוא המציא אותו, הוא יצר אותו, הוא היה הלב שלו."
בשנת 2005 יצא לאור הספר "אז מה היה לנו שם?" בעריכת גברי בנאי, המכיל 200 ציטוטים קלסיים ממערכונים, שירים וסרטים של השלישייה.
שירים בולטים.
שירים שבוצעו על ידי הלהקה זכו להצלחה רבה בזכות המקצועיות שבאה לידי ביטוי בשילוב הקולי, העיבודים והתלבושות.
בשיר "איפה כל החבר'ה", שכתב עמוס קינן, מתוארת הירידה הגדולה מהארץ לפני מלחמת ששת הימים והנהירה לארץ במהלך המלחמה ולאחריה.