תחומי המחקר של נאש היו בתורת המשחקים, בגאומטריה דיפרנציאלית ובמשוואות דפרנציאליות חלקיות. התאוריות והמחקרים שלו משמשים עד היום בכלכלה המודרנית.
נפלאות התבונה.
הספר.
העיתונאית סילביה נסאר כתבה עבודת מחקר על נאש במשך יותר משנתיים, ובעקבותיה כתבה את הספר "נפלאות התבונה", ביוגרפיה של נאש המתארת את חייו האישיים והמקצועיים. הספר יצא לאור בשנת 1998.
הספר מתאר שלושה שלבים בחייו של נאש: גאון צעיר ופורץ דרך, חולה נפש, ומבריא הזוכה בפרס נובל. הספר חושף פרטים אישיים רבים אודות נאש, והיו שראו בו פגיעה גסה בפרטיותו.
הסרט.
ב-2001 יצא לאקרנים הסרט "נפלאות התבונה" בבימויו של רון הווארד, שהוא עיבוד הוליוודי לסיפור חייו של נאש. הסרט היה מועמד לשמונה פרסי אוסקר ב-2002, ומתוכם זכה בארבעה. על הסרט "נפלאות התבונה" נמתחה ביקורת כי הוא אינו מציג באופן מדויק את חייו של נאש ואת מחלת הסכיזופרניה. כמו כן נטען, בהסתמך על הביוגרפיה של נאש, כי הוא היה אנטישמי בהשקפותיו ולא אחת שיתף את הסובבים אותו בדעותיו. ג'ון נאש הודה כי היו לו התבטאויות אנטישמיות בעבר אך הוא התחרט עליהן, וטען גם כי ההאשמות יצאו מפרופורציות ראויות. נוסף על כך, נטה נאש באותה תקופה לבטא דעות אנטי אמריקאיות ולאמץ תאוריות קשר. מומחים רבים טוענים כי השמצות גזעניות יכולות היו לנבוע ממצבו הנפשי המעורער.
הסרט התיעודי Brilliant Madness של רשת השידור PBS, המתאר גם הוא את חייו של נאש, נחשב למדויק יותר.
ראו גם.
מושגים על שמו בתורת המשחקים:
המשפט היסודי של האריתמטיקה
המשפט היסודי של האריתמטיקה או משפט הפירוק לראשוניים הוא המשפט מתמטי הקובע כי כל מספר טבעי יכול להיכתב כמכפלה ייחודית של מספרים ראשוניים, עד כדי שינוי הסדר של הגורמים. בכלל זה מכפלה של גורם אחד (כאשר המספר הוא ראשוני בעצמו), ומכפלה ריקה של אפס גורמים (המספר 1).
למשל, את המספר formula_1 ניתן לכתוב כמכפלה הבאה של מספרים ראשוניים:formula_2. ואין שום דרך אחרת לכתוב את המספר הזה בתור מכפלת ראשוניים.
המשפט מראה כי למספרים הראשוניים חשיבות רבה - הם מהווים את "אבני הבניה" הבסיסיות של כל המספרים. למשפט שימושים רבים, החל במציאת המחלק המשותף המקסימלי של מספרים וכלה בהוכחת משפטי האי-שלמות של גדל.
הוכחת המשפט.
המשפט היסודי של האריתמטיקה הוכח על ידי אוקלידס. להוכחה זו שני מרכיבים: בראשון מוכיחים כי לכל מספר טבעי קיים פירוק לגורמים ראשוניים, ובשני מוכיחים כי פירוק כזה הוא יחיד.
שלב א' - קיום.
ההוכחה היא באינדוקציה שלמה. עבור formula_3 טבעי, נניח שכל מספר קטן מ-formula_3 ניתן לכתוב כמכפלת גורמים ראשוניים, ונראה שהדבר גורר שניתן לכתוב את formula_3 עצמו כמכפלת גורמים ראשוניים.
ברור שהטענה נכונה עבור formula_6, שהוא מכפלה ריקה.
שלב ב' - יחידות.
היחידות מבוססת על הלמה של אוקלידס: אם מספר ראשוני formula_15 מחלק מכפלה, אז הוא מוכרח לחלק אחד מן הגורמים.
נוכיח יחידות באינדוקציה שלמה על formula_3.
הכללות.
את המושגים "איבר אי-פריק" ו"איבר ראשוני" אפשר להגדיר בכל תחום שלמות: איבר לא הפיך הוא אי-פריק אם לא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של איברים לא הפיכים, והוא ראשוני אם הוא אינו יכול לחלק מכפלה בלי לחלק את אחד מגורמיה. בחוג המספרים השלמים שני המושגים מתלכדים, ובדרך כלל מגדירים "מספר ראשוני" דווקא בהגדרה המתאימה לאיבר אי-פריק של החוג. איבר ראשוני הוא תמיד אי-פריק, אבל ההפך אינו נכון.
המשפט היסודי של האריתמטיקה, או גרסאות אחרות שלו, מתקיים בתחומי שלמות מסוימים, אך לא בכולם. תכונת הקיום - כל איבר (לא הפיך) אפשר לכתוב כמכפלה של איברים אי-פריקים - מגדירה סוג של תחומי שלמות הנקראים "אטומיים", והיא מתקיימת בכל תחום שלמות נותרי. לעומת זאת, פירוק לגורמים ראשוניים עשוי שלא להיות קיים אפילו בתחום נותרי: אם קיים פירוק לגורמים ראשוניים, אז הוא יחיד, עד כדי סדר (בין כל הפירוקים לגורמים אי-פריקים).
יחידות הפירוק, כאמור, היא עניין סבוך יותר. תחום שבו מתקיים המשפט היסודי של האריתמטיקה - כל איבר (לא הפיך) מתפרק באופן יחיד לגורמים אי-פריקים - נקרא תחום פריקות יחידה. בדיוק כמו בחוג השלמים, בחוג כזה מתלכדים המושגים "איבר ראשוני" ו"איבר אי-פריק". הדוגמאות הבולטות לחוג כזה: כל תחום ראשי (ובפרט - כל תחום אוקלידי), וגם כל חוג פולינומים מעל שדה, בכל מספר של משתנים. החוג formula_25 (עם אינסוף משתנים) הוא דוגמה לתחום פריקות יחידה שאינו נותרי.
הכללה בכיוון אחר מתקבלת ממשפט ז'ורדן-הולדר לפיו סדרת הרכב של חבורה סופית היא יחידה עד-כדי סדר ועד-כדי איזומורפיזם של חבורות. במקרה של חבורות מהצורה formula_26 - זהו ניסוח שקול למשפט היחידות של הפירוק לראשוניים. משפטים דומים לגבי קיום ויחידות סדרת ההרכב מתקיימים גם במבנים אלגבריים נוספים.
נקודת שיווי משקל נאש
שלוש מקלות
שלוש מקלות (את המילה 'מקלות' מבטאים, לעיתים, במלעיל) הוא משחק ילדים שהוא למעשה תחרות בקפיצה משולשת. לפי כללי הדקדוק העברי יש לומר "שלושה מקלות", אך המשחק מכונה בפי הילדים "שלוש מקלות", בניגוד לכללים.
בין המשתתפים במשחק נקבע סדר כך שנקרא מי ראשון, מי שני וכן הלאה. שלושה מקלות מסודרים במקביל זה לזה כאשר המרווח ביניהם קבוע. בתחילת המשחק המרחק בין המקלות יהיה קטן. כל משתתף בתורו צריך לעבור שלושה מקלות בקפיצה משולשת, כלומר, לעבור את שלושת המקלות בדילוגים, כאשר בין מקל למקל רשאי המשתתף להניח את אחת מרגליו פעם אחת בלבד. מי שלא מצליח, כלומר אינו עובר את המקל השלישי או מי שדורך פעמיים ברווח בין מקל למקל - נפסל ויוצא. על פי הקפיצה של הקופץ האחרון, הוא "המרחיק", מזיזים את המקל האחרון (יש מקומות שבהם נהוג אף להזיז את המקלות האחרים), ומתקנים את מיקומו של המקל האמצעי כך שהמרחק בין שלושת המקלות ישאר שווה.
ג'ון נאש
שיווי משקל נאש
בתורת המשחקים, שיווי משקל נאש (באנגלית: Nash equilibrium, על שם ג'ון פורבס נאש) הוא מושג המשמש בחקר משחקים שאינם שיתופיים, כלומר משחקים שבהם השחקנים אינם מתקשרים ביניהם, ולכן אינם יכולים לקבל החלטות משותפות.
נקודת שיווי משקל במשחק היא צירוף של אסטרטגיות השחקנים (תכסיסים), כך שלאף אחד מהשחקנים לא משתלם לשנות את האסטרטגיה שלו אם שאר השחקנים אינם משנים את האסטרטגיה שלהם. שיווי משקל נאש אינו בהכרח מצב יעיל פארטו כפי שמדגימה דילמת האסיר, ובמקרה בו נוצר שיווי משקל שאינו יעיל פארטו, קיים תמריץ לאחד או יותר מהשחקנים להציע תשלום צד לשחקנים אחרים כדי להביא את המערכת למצב יעיל פארטו.
הסבר אינטואיטיבי ודוגמה בסיסית.
על מנת שיתקיים שיווי משקל נאש נדרש שכל שחקן יבחר אסטרטגיה שאילו גם היה יודע לגבי האסטרטגיה שבה יבחר כל אחד מבין השחקנים האחרים, לא היה מתחרט לגביה. במקרה של דילמת האסיר, נקודת שיווי המשקל היא במקרה ששני השחקנים בוחרים להסגיר זה את זה. ההסבר לכך הוא שאילו היה שחקן A מביניהם בוחר באסטרטגיית השתיקה, היה מתחרט על כך בכל מקרה (אילו B היה בוחר לשתוק, היה A מעדיף להסגיר את B ולצאת ללא עונש ואילו B היה בוחר להסגיר את A, היה A מעדיף להסגיר גם את B מאשר לרצות את העונש המקסימלי במקרה זה). לפיכך שיווי המשקל הוא כאשר כל אחד מבין השחקנים A ו-B בוחרים להסגיר את חברם.
שיווי משקל בתכסיסים טהורים.
נניח שיש formula_1 שחקנים וכל שחקן formula_2 יכול לבחור אסטרטגיה (תכסיס) אחת מתוך קבוצת האסטרטגיות הקיימות עבורו: formula_3. נסמן את צירוף האסטרטגיות של כל השחקנים באות formula_4 (ללא סימון שחקן): formula_5 . תוצאת המשחק נקבעת לפי צירוף האסטרטגיות וכך גם ווקטור התשלום לשחקנים: formula_6. נהוג לכתוב את צירוף האסטרטגיות מנקודת מבטו של שחקן formula_7 כך: formula_8 . כלומר, האסטרטגיה שלי והאסטרטגיה של שאר השחקנים.
צירוף האסטרטגיות formula_9 הוא שיווי משקל נאש אם לכל שחקן i מתקיים:
formula_10 לכל formula_11
כלומר אין formula_12 שיכול להביא לתשלום גבוה יותר כל עוד שאר השחקנים "תקועים" עם formula_13.
דוגמה:
נניח שני שחקנים. שחקן 1 יכול לבחור בין תכסיסים formula_14 ושחקן 2 יכול לבחור מתוך הקבוצה formula_15 . התשלומים מתוארים בעזרת הטבלה הבאה (כל משבצת היא כמו הפונקציה
formula_16 כאשר formula_4 הוא הצירוף הרלוונטי של השורה והטור (Ae לדוגמה). התשלום של שחקן 1 מופיע קודם ואחריו התשלום של שחקן 2.
עבור כל אחד מהצירופים של האסטרטגיות אנחנו יכולים לבדוק האם הוא שיווי משקל נאש. ישנם שני שיוויי משקל נאש במשחק זה. הראשון הוא formula_18 עם תשלומים formula_19. כל עוד שחקן 1 בוחר A, הדבר הטוב ביותר ששחקן 2 יכול לעשות זה לבחור d. כל אסטרטגיה אחרת מצד שחקן 2 תפחית את התשלום עבורו. אם יבחר e יקבל 3 ואם יבחר f יקבל 2. כעת, אם שחקן 2 בוחר ב-d, הדבר הטוב ביותר ששחקן 1 יכול לעשות זה לבחור A. כל אסטרטגיה אחרת מצד שחקן 1 תפחית את התשלום שלו מ-4 ל-2, לכן לא משתלם לו לסטות מ-A.
שיווי משקל נוסף הוא formula_20 עם תשלומים formula_21 . אם שחקן 1 בוחר B, שחקן 2 אינו יכול לשפר את מצבו. הוא יכול להשיג אותו תשלום אם יבחר d, אך הוא לא יוכל להשיג יותר מ-3. לכן אין לו בעיה להישאר עם f. כעת, אם שחקן 2 נשאר על f, הדבר הטוב ביותר ששחקן 1 יכול לעשות זה לבחור B.
דוגמאות נוספות: בדילמת האסיר שיווי משקל הוא כששניהם בוגדים, ובמשחק השפן שיווי משקל הוא כשאחד נוסע ישר והשני סוטה.
שיווי משקל בתכסיסים מעורבים.