מרחבים טופולוגיים מופיעים כמעט בכל ענפי המתמטיקה, ומכאן חשיבותה הרבה של הטופולוגיה.
התובנה שסיפקה תמריץ להתפתחות הטופולוגיה היא שכמה בעיות גאומטריות תלויות לא במבנה המדויק של העצמים המעורבים, אלא בדרך שבה הם מקובצים יחדיו. לדוגמה, לריבוע ולמעגל יש תכונות רבות במשותף (מנקודת מבט טופולוגית): שניהם עצמים חד-ממדיים ושניהם מחלקים את המישור לשני חלקים - בתוכם ומחוץ להם.
אחת הבעיות הראשונות בטופולוגיה הייתה שאלת הגשרים של קניגסברג, שנפתרה בידי לאונרד אוילר, במסגרתה נקבע כי בלתי אפשרי למצוא מסלול שעובר דרך העיר קניגסברג שיחצה כל אחד משבעת הגשרים שלה בדיוק פעם אחת. תוצאה זו לא התבססה על אורך הגשרים, וגם לא על מרחקם אחד מהשני, אלא על תכונות הקשירות שלהם: אילו גשרים מחוברים לאילו איים או גדות נהר. בעיה זו, שבעת הגשרים של קניגסברג, היא כעת בעיה מפורסמת המוצגת רבות בהקדמות לקורסים במתמטיקה, והיא הוליכה לענף המתמטיקה הקרוי תורת הגרפים.
באופן דומה, משפט הכדור השעיר בטופולוגיה אלגברית טוען כי "לא ניתן לסרק את השיער שעל פני כדור כך שהשיער לא יבלוט, מבלי להשאיר קרחת". טענה זו מתקבלת על ידי רוב האנשים באופן אינטואיטיבי, אף על פי שהם עשויים לא לזהות את הניסוח המתמטי המדויק של המשפט, שאין שדה וקטורים משיקים רציף על הספירה שאינו מתאפס בנקודה אחת לפחות. כמו במקרה של הגשרים של קניגסברג, התוצאה לא מתבססת על גודלה המדויק של הספירה, היא נכונה גם עבור אגסים ולמעשה כל סוג של צורה חלקה, כל עוד אין לה חורים.
במטרה לעסוק בבעיות הללו שאינן מסתמכות על הצורה המדויקת של העצמים, נדרש להבהיר על אילו תכונות הבעיות הללו כן מסתמכות. מצורך זה נוצר המושג של הומיאומורפיזם. אי האפשרות לחצות כל גשר פעם אחת בדיוק מתקיים בכל סידור של הגשרים שהומיאומורפי לזה שבקניגסברג, ואת משפט הכדור השעיר ניתן ליישם לכל מרחב שהומיאומורפי לספירה.
באופן אינטואיטיבי, שני מרחבים הם הומיאומורפיים אם ניתן לעוות אחד מהשנים לצורה של השני מבלי לחתוך אותו או להדביק חלקים מנוגדים יחדיו. בדיחה ידועה מספרת כי טופולוגיסט אינו מבדיל בין ספל קפה לדונאט (טורוס), ומכיוון שטורוס גמיש מספיק ניתן לעיוות לצורתו של ספל קפה (כפי שנראה באנימציה), באמצעות יצירת גומה והרחבה מתמשכת שלו, שבמהלכה מכווצים את החור לידית.
הומיאומורפיזם יכול להיחשב לשקילות הטופולוגית הבסיסית ביותר. שקילות טופולוגית אחרת היא שקילות הומוטופיה. קשה יותר לתאר את המושג הזה מבלי להיכנס לפרטים הטכניים, אך התנאי ההכרחי הוא ששני עצמים "X" ו-"Y" הם שקולים הומוטופית אם קיים עצם נוסף "Z" כך ש-"Z" מכיל גם את "X" וגם את "Y" והוא ניתן לכיווץ בדרכים שונות ל-X ו-Y. מקרה חלקי ופשוט הוא כאשר אנו לוקחים את Z כאחד מ-X ו-Y, נניח X. במקרה זה, Y מוכל ב-X ו-X ניתן לכיווץ ל-Y.
ענף נוסף של הטופולוגיה, הנקרא "טופולוגיה קבוצתית" עוסק בחקירת מרחבים טופולוגיים באמצעות אוסף הקבוצות הפתוחות שלהם. למעשה, אוסף הקבוצות הפתוחות של מרחב מסוים הוא מה שמגדיר את הטופולוגיה של אותו מרחב. הטופולוגיה הקבוצתית החלה כהכללה של האנליזה על הישר הממשי, בה הקבוצות הפתוחות מוגדרות כקבוצות המכילות סביבות פתוחות לכל נקודה בקבוצה. הסביבות הבסיסיות הן "הכדורים הפתוחים" formula_1. ההכללה הראשונה של הישר הממשי היא מרחב מטרי, כלומר: מרחב המצויד במטריקה המודדת מרחק בין כל שתי נקודות. בשלב הבא נחקרו מרחבים טופולוגיים שהם לא בהכרח מטריים. במרחבים אלה הטופולוגיה הוגדרה באמצעות קבוצות פתוחות, וכך גם רציפות של פונקציה בין מרחבים טופולוגיים. נושא מרכזי במרחבים אלה הם אקסיומות ההפרדה: באיזו מידה ניתן להפריד נקודות או קבוצות זרות באמצעות עטיפתן בקבוצות פתוחות זרות. מרחבים בהם ניתן להפריד שתי נקודות נקראים מרחבי האוסדורף. תוצאות חשובות בנושא זה הם הלמה של אוריסון ומשפט טיטצה. מבחינה זו, המרחב שבו תכונות ההפרדה הן החזקות ביותר הוא המרחב המטרי. נושא נוסף של מחקר בטופולוגיה קבוצתית הוא קומפקטיות. בישר הממשי קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא קבוצה סגורה וחסומה. הטופולוגיה הקבוצתית מכלילה מושג זה למרחב טופולוגי כלשהו באמצעות שימוש במושג כיסוי פתוח - כלומר: כיסוי הקבוצה באוסף של קבוצות סופיות. נושא מחקר נוסף הוא קשירות של מרחבים טופולוגיים. דוגמה לקבוצה מעניינת שנחקרה במסגרת הטופולוגיה הקבוצתית היא קבוצת קנטור.
רציפות והומיאומורפיזמים.
פונקציה ממרחב טופולוגי אחד לאחר נקראת רציפה אם הדמות ההופכית של כל קבוצה פתוחה היא גם פתוחה. אם הפונקציה ממפה את המספרים הממשיים למספרים הממשיים (שניהם מרחב עם טופולוגיה סטנדרטית), אז הגדרה זו של רציפות זהה להגדרה של רציפות שניתנת בחשבון אינפיניטסימלי. אם פונקציה רציפה היא חד חד ערכית ועל והפונקציה ההופכית לפונקציה גם היא רציפה, אז היא נקראת הומיאומורפיזם והתחום של הפונקציה הומיאומורפי לטווח. דרך אחרת לחשוב על זה היא שלפונקציה יש הרחבה טבעית אל הטופולוגיה. אם שני מרחבים הם הומיאומורפיים, אז יש להם תכונות טופולוגיות זהות, והם נחשבים זהים מבחינה טופולוגית. הקובייה והספירה הם הומיאומורפיים, כמו גם ספל קפה והבייגלה (טורוס). אך המעגל אינו הומיאומורפי לטבעת.
אבא קובנר
אַבָּא קוֹבְנֶר (ביידיש: קאָוונער; 14 במרץ 1918 – 25 בספטמבר 1987) היה משורר עברי, סופר, אמן, חבר מחתרת, מנהיג פרטיזנים ולוחמים מגטו וילנה, מראשי חבורת "הנקם", שניסתה לנקום בנאצים על ידי הריגה של כשישה מיליון גרמנים, לאחר מלחמת העולם השנייה, קצין התרבות של "חטיבת גבעתי" במלחמת העצמאות וממקימי בית התפוצות.
קורות חייו.
ראשית חייו.
קובנר נולד בשנת 1918 לישראל ורחל (לבית טאובמן) בסבסטופול שבחצי האי קרים, אז חלק מהרפובליקה הסובייטית הרוסית. למד בגימנסיה העברית "תרבות" שבווילנה, והיה ממנהיגי תנועת "השומר הצעיר" בעיר יחד עם בן דודו, בר קובנר (לימים מאיר וילנר), ואסתר נוביק (לימים אסתר וילנסקה), ואחר כך גם ממנהיגי התנועה בליטא ובפולין. בנעוריו חלה אביו ונפטר. קובנר החל בלימודי אמנות פלסטית ב-1940 באקדמיה לאמנויות שליד אוניברסיטת וילנה ובסמינר למורים. לפרנסתו עבד במשמרות לילה בבית חרושת לצעצועי ילדים. במהלך לימודיו באוניברסיטה החל קובנר בכתיבה ובפרסום של שיריו. הוא שאף לעלות לארץ ישראל עם חבריו, אולם קובנר נאלץ להפסיק את לימודיו בעקבות פרוץ מלחמת העולם השנייה וכיבוש פולין וליטא (וילנה נכבשה בידי הנאצים ב-24 ביוני 1941).
בשואה.
בתחילה הסתתר עם 16 חברי השומר הצעיר במנזר האחיות הדומיניקניות שבפרוורי העיר. לשבע מהנזירות שהסתירו אותו ואת חבריו, בהן אנה בורקובסקה, הוענקו לימים אותות חסידי אומות העולם. תוך זמן קצר שב לעיר והיה עד לאקציה הראשונה ב-2 בספטמבר ולאיסוף היהודים לעבודות כפייה. בתוך ימים אחדים הוקמו בווילנה שני גטאות, ובהם רוכזו כל יהודי העיר, בהם קובנר. אחר כך המשיך בפעילות מחתרתית במסגרת השומר הצעיר.
לאחר שנודע לקובנר על רצח העם היהודי, הוא קרא באספת התנועות החלוציות בווילנה שהתכנסה בליל 31 בדצמבר 1941 את הכרוז "אל נלך כצאן לטבח!", "היטלר זומם להשמיד את כל יהודי אירופה. על יהודי ליטא הוטל להיות הראשונים בתור. נכון, חלשים אנו וחסרי מגן, ואולם, התשובה היחידה לאויב היא התנגדות!".
הייתה זו הפעם הראשונה שבה הועלתה בכתב ההנחה שהאירועים אינם מקריים אלא תולדה של תוכנית כוללת ומרכזית שמקורה בדרגים הגבוהים ביותר של הגרמנים והיא מכוונת נגד כל יהדות אירופה.
בינואר 1942 נמנה קובנר עם מקימי המחתרת הלוחמת שהוקמה בגטו, ארגון הפרטיזנים המאוחד (פ–פּ–אוֹ; FPO) (כינויו המחתרתי היה "אוּרי"). לאחר שמפקדו הראשון של הארגון, יצחק ויטנברג, הוסגר לידי הנאצים, התמנה קובנר ביולי 1943 למפקד הארגון. במקביל החל בארגון בריחת צעירים מן הגטו ליערות לצורך חבירה לפרטיזנים.
משאפסו הסיכויים להילחם במרד כללי, יצא אל היערות שבסביבת וילנה והצטרף עם חבריו לתנועת הפרטיזנים היהודיים.
ב-23 בספטמבר 1943, יום חיסול הגטו, יצא מהגטו דרך תעלות הביוב בראש קבוצת צעירים מחתרת ארגון הפרטיזנים המאוחד שכללה גם חברו שלמה גורפינקל. חלק מצעירי הגטו הצטרפו לקבוצת המילוט מהגטו על אף שקובנר סירב לכך מחשש שקבוצה גדולה מדי עלולה להיתפס. חברי הקבוצה נמלטו מהגטו ליערות רודניקי (Rudninkai) שבקרבת וילנה והצטרפו לתנועת הפרטיזנים היהודיים.
אמו של קובנר נרצחה בפונאר, במסגרת חיסול הגטו, ביום שבו יצא מן הגטו ליער. אחיו הצעיר מיכאל נהרג בשורות הפרטיזנים הסובייטים. אבא קובנר פיקד על גדוד 'הנוקם' במחנה היהודי ביער.
תנועת הבריחה וארגון "הנקם" בתום המלחמה.
לאחר המלחמה, היה בין מארגני תנועת "הבריחה", וגם הקים עם חבריו את הארגון "די"ן - דם ישראל נוטר", "הנקם". הגיע לארץ ישראל לראשונה באוגוסט 1945 (באונייה שמפוליון) כדי להשיג אמצעי לחימה לארגון הנקם, כשבינתיים משמש סגנו, יצחק אבידב (רייכמן), כמפקד "הנקם", אך נתפס ונעצר על ידי הבריטים. קובנר ישב - יחד עם ידידיה צפריר וחגי אבריאל - כמה חודשים במאסר, תחילה בקהיר שבמצרים, ואחר כך הועבר לכלא הקישלה ולכלא במגרש הרוסים שבירושלים. בתום המאסר, בראשית מרץ 1946, הצטרף עם קבוצה מחבריו הנוקמים לקיבוץ עין החורש, שבו היה חבר עד יום מותו. קובנר ייצג את הקיבוץ בוועד הפועל של הקיבוץ הארצי.
פרשת הדף הקרבי לאחר נפילת ניצנים במלחמת העצמאות.