לכן, אם לחוג יש מנה המקיימת IBN, אז גם החוג מקיים את התנאי. כמסקנה מכך, כל חוג קומוטטיבי מקיים IBN - שכן (לפי הלמה של צורן) יש לו אידיאל מקסימלי והמנה היא שדה, שכאמור מקיים IBN.
כל חוג נתרי, חוג ארטיני, חוג עם חילוק, חוג עם זהויות וחוג מקומי למחצה מקיים את IBN.
כל חוג סופי באופן חלש (weakly finite) (כלומר חוג שבו לכל שתי מטריצות ריבועיות formula_23 גורר formula_24) מקיים IBN. זהו תנאי מעט חזק יותר מהתנאי לעיל.
אם חוג מקיים IBN, גם כל חוג מטריצות מעליו מקיים IBN, אבל התכונה אינה נשמרת על ידי שקילות מוריטה.
חוג שלא מקיים IBN.
לא כל חוג מקיים את התנאי -- למשל חוג האנדומורפיזמים formula_25 של מרחב וקטורי מממד בן מנייה formula_26 איננו מקיים את התנאי: מתקיים formula_27, שכן אפשר ליצור בעזרת formula_28 וקטורי הבסיס של formula_26 את formula_30 וקטורי הבסיס של formula_31. למעשה מתקיים formula_32 לכל שני טבעיים.
לוס ריוס
מחוז לוס ריוס (בספרדית: Región de Los Ríos; נהגה: [loz ˈri.os]; מילולית: "מחוז הנהרות") הוא אחד מ-16 המחוזות של צ'ילה, שטחו 18,429 קמ"ר, ורק ארבעה מחוזות בצ'ילה קטנים ממנו. הוא גובל במחוז אראוקניה בצפון בפרובינציית נאוקן הארגנטינאית במזרח, ובמחוז לוס לאגוס בדרום, וכמרבית מחוזות צ'ילה- באוקיינוס השקט במערב. מבחינה מנהלית מחולק מחוז לוס ריוס לשתי פרובינציות: ואלדיביה וראנקו ושכוללות בתוכן 12 קומונות, שהבולטות שבהן הן ואלדיביה שמשמשת גם כבירת המחוז ולה אוניון. ובמפקד האוכלוסין שנערך בשנת 2017 התגוררו באראוקניה 384,837 תושבים.
בעוד שמרבית מחוזות צ'ילה הוקמו ב-1974, לוס ריוס הוא אחד משני מחוזות חדשים שהוקמו ב-2007 (בנוסף למחוז אריקה ופרינאקוטה). עד אז, היה המחוז פרובינציה של מחוז לוס לאגוס, בשם ואלדיביה.
היסטוריה.
ואלדיביה זכתה למעמד של מחוז בסמוך לעצמאות צ'ילה. העיר אמנם לא הייתה חשובה במיוחד באותה העת, אך ראשי המדינה הצעירה חששו כי התושבים הספרדים הרבים באזור יהוו איום על עצמאות המדינה כולה אם לא תינתן להם מידה מסוימת של אוטונומיה. במהלך המאה ה-19 התפתחה העיר, עקב הגעת מהגרים רבים, בעיקר מגרמניה, ועד 1900, כבר הייתה לאחת הערים המתועשות במדינה. עם זאת, רעידת האדמה הגדולה שפקדה את האזור ב-1960, שבמהלכה נהרגו כ-6,000 בני אדם, גרמה לנזק רב בעיר, והיא החלה לדעוך.
ב-1974, בעקבות ההפיכה הצבאית, החליט ממשלו של אוגוסטו פינושה לחלק מחדש את מחוזות המדינה. במסגרת החלטה זו הוחלט כי ואלדיביה תהפוך לפרובינציה במחוז לוס לאגוס, שבירתו פוארטו מונט.
בשנת 2005 יזם נשיא צ'ילה ריקארדו לאגוס את הקמת המחוז מחדש, ולאחר אישור הקונגרס, המהלך נכנס לתוקף ב-5 באפריל 2007. כחלק מהמהלך, נשקלה האפשרות לכלול במחוז גם את פרובינציית אוסורנו, ואחת האפשרויות הייתה אף להפוך את העיר אוסורנו לבירת המחוז החדש כולו, ואולם במשאל עם שנערך בפרובינציית אוסורנו ב-2006 העדיפו התושבים להישאר במחוז לוס לאגוס.
גאוגרפיה.
ככלל, כולל המחוז ארבע רצועות גאוגרפיות, ממזרח למערב: רכס הרי האנדים, הפרקורדיירה ("קדם הרכס"), העמק המרכזי ורכס החוף. באזור האנדי מספר הרי געש פעילים: ויאריקה (2,847 מ'), מוצ'ו-צ'וסוונקו (2,422 מ'), קטרופיאן (2,360 מ'), פויווה-קורדון קאויה (2,236 מ') וקאראן-לוס ונאדוס (1,114 מ').
מההרים זורמים מערבה נהרות רבים, המעניקים למחוז את שמו. בין הנהרות הבולטים: בואנו (130 ק"מ), קרוסס (125 ק"מ), סן פדרו (77 ק"מ), פילמאיקן (68 ק"מ) וקאיה-קאיה (55 ק"מ). במחוז גם אגמים רבים, ובהם האגם הרביעי בגודלו בצ'ילה, אגם ראנקו (410 קמ"ר), וכן פויווה (157 קמ"ר), קלאפקן (121 קמ"ר), פאנגיפויי (116 קמ"ר), אגם רינייווה (77 קמ"ר), מאיווה (49 קמ"ר) ופיריווייקו (40 קמ"ר). האזור הכולל את האגמים קלאפקן, פאנגיפויי, רינייווה ופיריווייקו, וכן את האגמים נלטומה, פייאיפה ופויינקה, מכונה אזור שבעת האגמים.
בתחומי המחוז שלושה פארקים לאומיים: אלרסה קוסטרו, ויאריקה (שחלקו הצפוני במחוז אראוקניה) ופויווה (שחלקו הדרומי במחוז לוס לאגוס).
פרובינציות וערים.
המחוז מחולק לשתי פרובינציות:
אן פאוסטו סטרלינג
אן פאוסטו סטרלינג (באנגלית: Anne Fausto-Sterling; נולדה ב-30 ביולי 1944) היא פרופסור לביולוגיה ולימודי נשים באוניברסיטת בראון. רבים ממחקריה עוסקים בסקסולוגיה, והיא כתבה רבות על ביולוגיה של מגדר, זהות מינית, זהות מגדרית ותפקידי מגדר.
קריירה אקדמית.
פאוסטו סטרלינג קיבלה תואר ראשון בזואולוגיה מאוניברסיטת ויסקונסין בשנת 1965, ותואר דוקטור בגנטיקה התפתחותית מאוניברסיטת בראון בשנת 1970. מאותה שנה היא מלמדת באוניברסיטת בראון כפרופסור במחלקה לביוכימיה וביולוגיה של התא.
היא פרסמה זוג ספרים המיועדים לקהל הרחב: "מיתוסים מגדריים", שראה אור בשנת 1985 ו"הזיהוי המיני של הגוף: פוליטיקה מגדרית והבניית המיניות" שראה אור בשנת 2000. לגבי האחרון אמרה פאוסטו סטרלינג שהיא ניסתה "לשכנע את הקוראים והקוראות כי יש צורך בתאוריות המאפשרות מגוון אנושי רחב ושמשלבות את הכוח הניתוחי של המדעים ביולוגיים והחברתיים לתוך ניתוח מערכתי של ההתפתחות האנושית".
במאמרה "חמשת המינים" מציעה אן ניסוי מחשבתי בטענה שהמערכת של שני המינים הנפוצה בחברה שלנו איננה מספיקה כדי לתאר את כל הקשת המגוונת של המיניות האנושית. במסגרת הניסוי אן יוצרת מערכת מגדר אלטרנטיבית המקטלגת אנשים לחמישה מינים: זכרים, נקבות, הרמים (herms, מהמלה הרמאפרודיט), מרמים (merms) ופרמים (ferms). רבים פירשו את הניסוי המחשבתי כהצעה רצינית, או אף כתאוריה, למרות שאן הסבירה שהמאמר כוון להיות פרובוקטיבי ולא נכתב ברצינות מלאה. מספר פעילים לזכויות אינטרסקס ביקרו את המאמר וטענו כי הוא מטעה, מבלבל ולא מועיל לאינטרסים של אנשים אינטרסקס, ובמאמר מאוחר יותר בשם "דיון מחדש בחמשת המינים" התייחסה אן לביקורות אלה.
חיים אישיים.
אן נשואה לפאולה ווגל, פרופסור באוניברסיטת ייל ומחזאית זוכת פרס פוליצר.
תקרית נהר היאנגצה
תקרית נהר היאנגצה היא אירוע שהתרחש בשנת 1949, במהלך מלחמת האזרחים הסינית, בו פריגטה של הצי המלכותי הבריטי הייתה נצורה על ידי הכוחות הקומוניסטים בנהר היאנגצה בסין במשך 102 ימים עד אשר הצליחה להיחלץ (בין החודשים אפריל–יולי). בתקרית נהרגו 46 מאנשי הצי הבריטי.
התקרית.
הפריגטה אמטיסט נבנתה במהלך מלחמת העולם השנייה. בשנת 1949 היא הייתה מוצבת בצי הבריטי במזרח הרחוק. ב-20 באפריל שטה האונייה באפיק נהר היאנגצה לכיוון צפון-מערב בדרכה משאנגחאי לנאנג'ינג, כדי להחליף את המשחתת קונסורט ולהוות משמר צף לשגרירות הבריטית שם. ב-08:30 בבוקר נורו לעברה אש נשק קל ופגזי ארטילריה מעמדות של צבא השחרור העממי (הקומוניסטי) בגדה הצפונית של הנהר, אך היא לא נפגעה. ההשערה הייתה שהירי כוון לעמדות הלאומנים הסינים בגדה הדרומית של הנהר. האונייה הניפה דגל בריטי גדול על דופנה והמשיכה בדרכה. כעבור שעה, ליד גְ'יָאנְגְיִין (江陰), נורה לעברה מטח פגזים נוסף שפגע בה. נגרם לה נזק, קברניט האונייה נהרג, צוות הגשר נפגע, השליטה על האוניה אבדה והיא עלתה על שרטון. עקב נזקי ההפגזה לא ניתן היה להשיב אש לעבר התוקפים. קצין שתפס את הפיקוד הצליח לדווח בשידור רדיו על מקומה ומצבה של האונייה. פגזים המשיכו לפגוע באוניה. בהמשך הבוקר פקד מפקד האוניה לפנות ממנה אנשי צוות לחוף בסירה, אך הסינים ירו לעבר הסירה והפינוי הופסק. מאוחר יותר הצליחו 63 אנשי צוות ועמם חלק מהפצועים קשה להגיע לגדה הדרומית של הנהר שהוחזקה על ידי הלאומנים הסינים. הם הועברו משם על ידי דיפלומטים בריטים לשנגחאי. על האונייה הפגועה נותרו כ-60 אנשי צוות. הירי לעברה פסק אך לא ניתן היה לנוע מבלי לעורר אותו מחדש. בסך הכל פגעו באונייה כ-50 פגזים. חלקם פערו בה פרצות מתחת לקו המים, אך הן נאטמו.
סגן מפקד הצי הבריטי במזרח הרחוק פקד על המשחתת קונסורט, הסיירת לונדון והפריגטה בלאק סוון לחוש לעזרת האמטיסט, האחת מננקינג והאחרות משנגחאי. הקונסורט התקרבה לאמטיסט בשלוש אחר הצהריים בניסיון לחבר אליה כבל גרירה. נורתה לעברה אש סינית שגרמה לה נזקים ואבדות בנפש. למרות שהשיבה באש תותחים כבדה לעבר עמדות האויב שעל גדת הנהר היא נאלצה לנטוש את ניסיון החילוץ ולנוע במורד הנהר אל מחוץ לטווח האש הסינית.
אחרי חצות הלילה נחלצה האמטיסט מהשרטון לאחר שהוסר ממנה משקל, אך היא לא הייתה מסוגלת להימלט על נפשה שכן כל תזוזה שלה גררה אש לעברה. האוניות לונדון ובלאק סוון ניסו להגיע אליה לעזרה אך ספגו גם הן פגיעות מאש סינית ונסוגו. ב-22 באפריל הגיע אל האוניה סגן הנספח הימי הבריטי בסין, לוטננט קומנדר ג'ון קירנס (John Kerans), ונטל את הפיקוד עליה.
בשבועות הבאים נותרה האמטיסט תקועה במקומה וללא יכולת לקבל אספקה חיונית, בעוד משא ומתן עקר מתנהל עם הקומוניסטים הסינים בניסיון להביא לשחרורה. הקומוניסטים הסינים לא הכירו באמנות שנעשו בעבר בין סין לבין בריטניה, ארצות הברית וצרפת וטענו לפיכך ששהות של כוחות מזוינים שלהן ברחבי סין הייתה בלתי חוקית, והם דרשו כי שלוש המדינות יסיגו את כוחותיהן ממנה לאלתר. הקומוניסטים גם טענו שהאמטיסט פתחה באש ראשונה.
היחלצות האנייה.