משהסתיימה בניית בית הכנסת עבר אלכסנדר לפוליטיקה הכללית וב-1897 הוא נבחר לראשונה לראשות העיר בויסי, שש שנים בלבד לאחר שהגיע לעיר. הוא כיהן כראש העיר בשנים 1897–1899, נמנע מלרוץ לבחירות במשך שנתיים ואז חזר ונבחר וכיהן כראש עיריית בויסי בשנים 1901–1903.
מושל איידהו.
ב-1908 ניסה אלכסנדר את כוחו לראשונה בבחירות לכהונת מושל איידהו. הוא ניצח אמנם בבחירות המקדימות בתוך המפלגה הדמוקרטית, אחרי מאבק קשה, אבל לאחר מכן הפסיד למועמד הרפובליקני ג'יימס בריידי, בבחירות הכלליות. כעבור שש שנים, בנובמבר 1914 רץ אלכסנדר שוב לכהונת מושל איידהו והפעם הוא ניצח כנגד המושל המכהן הרפובליקני ג'ון היינס. בכך היה אלכסנדר למושל ה-11 של איידהו, והיהודי הראשון שנבחר לתפקיד מושל מדינה בארצות הברית. הוא רץ שוב לכהונת המושל ב-1916 וניצח שוב, ברוב הקטן ביותר בהיסטוריה של איידהו.
אלכסנדר כיהן בסך הכל במשך ארבע שנים כמושל איידהו (4 בינואר 1915 - 6 בינואר 1919), במקביל להתנהלותה של מלחמת העולם הראשונה. הוא גייס את המדינה שלו והכין אותה למלחמה ואיידהו תרמה את חלקה ויותר, לטובת ארצות הברית כולה, הן בגיוס חיילים והן בייצור.
בניגוד לדעותיו הליברליות יותר בצעירותו, מדיניותו של אלכסנדר כמושל התאפיינה במשמעת תקציבית הדוקה ובפעולות לצמצום הממשל. הוא איחד משרדים וסוכנויות ממשל מדינתי וביטל אחרים. בלי ליצור גירעון תקציבי הוא הצליח להתחיל במהלך כהונתו תנופת בנייה של רשת דרכים בינעירוניות ברחבי איידהו, העביר חוק לפיצויים לעובדים, ונוספו למדינה עוד שמונה מחוזות חדשים, כאשר מאידך הורדו תשלומי המיסים המדינתיים. אלכסנדר דגל באיסור על שתייה ומסחר באלכוהול (Prohibition) וב-1916 הוא הצליח להעביר במדינתו "חוק יובש", שלוש שנים לפני שהאיסור על האלכוהול נכנס לתוקף בארצות הברית כולה. ועם כל זאת, בצד הליברלי, הוא היה אחד מתומכי התנועה הסופרג'יסטית ופעל למתן זכות בחירה לנשים.
ב-1918 נמנע אלכסנדר מניסיון בחירה נוסף לכהונת המושל, אף שיכול היה לעשות כן חוקית, אולם כעבור ארבע שנים, ב-1922 חזר ורץ למשרת המושל מטעם המפלגה הדמוקרטית. הפעם הוא כשל במירוץ והגיע למקום השלישי אחרי המועמדים הרפובליקני והפרוגרסיבי כאחד. בעקבות זאת הוא החליט להימנע מהשתתפות במערכות בחירות נוספות, אף כי נשאר פעיל פוליטי במפלגה הדמוקרטית במשך כל עשר השנים שלאחר מכן, כמעט עד ליום מותו.
דגל אזוואד
דגלה של אזוואד, מדינה אפריקאית שאינה-מוכרת שהכריזה על עצמאותה ממאלי בשנת 2012, מבוסס על הצבעים הכלל-אפריקאיים - טריקולור בצבעי ירוק-אדום-שחור, עם משולש צהוב בצד התורן. הדגל אומץ עם הכרזת העצמאות של אזוואד, ב-6 באפריל 2012. דגל זהה משמש גם את התנועה הלאומית לשחרור אזוואד.
במהלך התקוממויות קודמות של בני שבטי הטוארג, הוצעו שני דגלים אחרים עבור מדינת אזוואד: הצעה אחת כללה דגל ביקולור אופקי בצבעי כחול-לבן עם משולש אדום בצד התורן, והצעה נוספת כללה דגל לבן מעוטר בסהר וכוכב.
רגמים (ירושלים)
דלידע
משפט אקס-גרותנדיק
בגאומטריה אלגברית ובאנליזה מרוכבת, משפט אקס-גרותנדיק קובע כי העתקה פולינומית מ-formula_1 ל-formula_1 שהיא חד חד ערכית היא גם על. באופן כללי יותר, הטענה נכונה גם אם נחליף את שדה המספרים המרוכבים בשדה (סגור אלגברית) כלשהו.
את המשפט הוכיחו - באופן בלתי תלוי - ג'יימס אקס ואלכסנדר גרותנדיק.
למשפט יש גרסה כללית יותר שבה מחליפים את formula_1 ביריעה אלגברית כלשהי.
הוכחה.
רעיונות הוכחתו של גרותנדיק היו כדלקמן:
אם formula_4 שדה סופי אז כל פונקציה מ-formula_5 לעצמו שהיא חד-חד-ערכית היא גם על. בפרט נכון הדבר עבור העתקות פולינומיות.
יהי formula_4 שדה סופי מסדר formula_7, אזי הסגור האלגברי של formula_4, נאמר, formula_9 שווה לאיחוד שרשרת השדות הסופיים מסדר formula_10 לכל formula_11. כעת תהי formula_12 העתקה פולינומית מ-formula_13 לעצמו, אזי יש שדה סופי גדול דיו שמכיל את כל המקדמים של formula_12. לכן על כל שדה סופי גדול דיו בשרשרת formula_12 מוגדרת (באמצעות צמצום טבעי) והחד חד ערכיות נשמרת, מכאן שעל פי הצעד הראשון היא על כל שדה סופי גדול דיו. לכן formula_12 על.
עקרון ליפשיץ הוא שם כולל לתכונות התורה מסדר ראשון של שדות סגורים אלגברית. בפרט, בתורה זו ישנו חילוץ כמתים והיא קטגורית לכל עוצמה גדולה דיה (תורה היא formula_17-קטגורית אם כל שני מודלים מעצמה formula_17 שלה איזומורפיים זה לזה).
את משפט אקס-גרותנדיק ניתן לנסח כסכמת פסוקים בלוגיקה מסדר ראשון. עבור כל אחד מהפסוקים האלו, אם קיימת דוגמה נגדית בשדה F סגור אלגברית ממציין p כלשהו, אז קיימת גם דוגמה נגדית בסגור האלגברי של השדה הסופי עם p איברים (שהוא תת-מודל של F, ובעזרת חילוץ הכמתים - תת-מודל אלמנטרי). לכן, הצעד השני מוכיח את משפט אקס-גרותנדיק לכל שדה סגור אלגברית ממאפיין חיובי.
ממשפט הקומפקטיות נובע כי אם פסוק מסדר ראשון תקף עבור שדות סגורים אלגברית ממאפיין חיובי גדול שרירותית אז הוא תקף גם לשדה סגור אלגברית ממאפיין אפס, והדבר משלים את הוכחת משפט אקס-גרותנדיק.
למשפט ניתנו הוכחות נוספות, ובין היתר ארמנד בורל הביא הוכחה טופולוגית.
הכללות.
ההוכחה שלעיל תקפה גם כשמחליפים את formula_1 ביריעות אלגבריות מעל שדה כלשהו. יתר על כן ניתן להכלילה עבור סכמות תחת הגבלות מסוימות.
בספרו 'יסודות הגאומטריה האלגברית' (EGA) מביא גרותנדיק שתי הכללות:
בנוסף קיימים מספר ניסוחים לטענות הפוכות (באשר להעתקות על שהופכות לחד חד ערכיות).
קידוח ימי
קידוח ימי הוא תהליך מכני של יצירת חלל עמוק בשכבות תת-הקרקע של הים. לרוב מתבצעים הקידוחים על מנת לאתר מרבצי גז טבעי ונפט פוסילי (מאובן) בעומק תת-הקרקע, ומיועדים להפקת אנרגיה. המרבצים נוצרים כתוצאה מצמחים ובעלי חיים שנרקבו בשכבות תת-הקרקע במשך עשרות ומאות מיליוני שנים. החומר האורגני נצבר תוך שהוא מכוסה בשכבות. תהליכי חום ולחץ לאורך מילוני השנים הופכים את מצבור החומר האורגני לחומר דלק נוזלי (נפט), גז (גז טבעי) ומוצק (פצלי שמן).
הקידוח בשטח הים מתבצע באמצעות אסדת קידוח ייעודית. מרבצי הנפט והגז מאותרים באמצעות ציוד מיוחד שמצוי באסדות. הקידוחים עשויים להגיע לעומק של מספר קילומטרים ובזוויות שונות על מנת לקבל גישה פיזית אל מרבצי הגז או הנפט ולהשמישם כבאר פרודוקטיבית.
עם מציאת באר נפט רווחית מותקנת אסדת קידוח עמידה תוך בניית יסודות פלדה ובטון או באמצעות כבלי מתכת. תפוקת השימוש בבאר נפט ממוצעת תלויה באיכות ובכמות החומר האורגני. אורך חיי באר נמשך כ-10–20 שנים בממוצע (עד להתרוקנותה).
הסיכון לים.
תהליך הקידוח בים נחשב לפעולה מכנית עוצמתית בעלת סיכונים תפעוליים רבים ובעלי השלכות סביבתיות וכלכליות רבות. תקלה בתהליך הקידוח תגרום לזיהום חופים נרחב למשך תקופה ארוכה, לפגיעה קשה ולמותם של החי והצומח הימי. פגיעה אקולוגית מסוג זה תגרום להפחתת מספר המינים, לירידה בכמות הפרטים ולירידה באופן פיזורם. בין המינים הנפגעים דגים, ציפורים, צבים ויונקים ימיים אחרים. זיהום קיצוני הפוגע באיכות המים, בקרקע ובמשקעי החול יביא לפגיעה כוללת בחי ובצמחיה הימית. עקב כך, עלולים להיווצר פגיעה במקורות המזון בבתי הגידול הימיים ואובדן החי והצומח. שינויים בתנאי הסביבה ושינויים במקורות המזון עלולים לגרום לאורגניזמים שונים להימנע מאזורים מסוימים, ששימשו עבורם בעבר כבתי גידול או כנתיבי נדידה.
בחיפוש והפקת גז ונפט מצויים פליטות וגורמי זיהום נפוצים. במסגרת הפעילות התפעולית והתהליכית מתקיימות השלכות פסולת קידוח (Cuttings) ובוץ קידוח לים, הזרמה לים של ביוב, מי שיפוליים לאחר טיפול (נוזלי מכונות וסביבתן), רכז התפלה, מי קירור, פסולת ביתית וחומרים מסוכנים באסדה. כך למשל, במקרה של זיהום ים בשמן ידלוף חומר הידרוקרבון לסביבה הימית. לחלופין עלולה להתרחש תקלה חמורה בבסיס הקידוח (BOP), התנגשות של כלי שיט באסדה, חבלה וכדומה
השלכות חברתיות כלכליות.
ההשפעה הכלכלית של הפגיעה בסביבה ובמערכות האקולוגיות החופיות כוללת אובדן אפשרות לפעילות עסקית כגון, התפלה, דייג, נופש ותיירות ופעילויות ספורט. זיהום הים והנזקים שהוא גורם מנוגדים להסכמים בינלאומיים רבים שישראל התחייבה עליהם (הסכם מדינות הים התיכון שנחתם באמנת ברצלונה, והארגון לשיתוף פעולה ולפיתוח כלכלי OECD) ועלול להביא לידי השלכות דיפלומטיות ובינלאומיות שליליות.
המשמעויות הכלכליות של אסון סביבתי מסוג זה נרחבות וכבדות משקל בסדרי גודל חסרי תקדים מבחינה ישראלית. בנוסף לפגיעה הממושכת בסביבה הימית וההשלכות השליליות על כל המערכת האקולוגית, תקלה בקידוח הימי (העדר יכולת התמודדות כלכלית לשקם ולשפות את הניזוקים מצד החברה הקודחת) יסחוף את כל המשק למשבר כלכלי עמוק. הנזקים יבואו לידי ביטוי בתחומי הבאים:
תאונות וזיהומי ים מפורסמים.