בימים הבאים המשיך הניסוי להידרדר. ולעיתים אפילו הליכה לשירותים נמנעה מן האסירים. לפני נעילת התאים הלילית, האסירים הורשו ללכת לשירותים במשותף פעם אחת אחרונה. ראשיהם מכוסים בשקים, אזיקים לרגליהם, ידיהם על כתפי האסיר שלפניהם, הם רצים במהירות לשירותים תוך צעקות של הסוהרים. אחרי נעילת התאים הלילית בשעה 22:00 הוכרחו האסירים לעשות את צורכיהם בדלי שהושאר בתאם. פעמים שהסוהרים לא אישרו לרוקן את הדליים והכלא הסריח משתן ומצואה.
שלושה ימים לאחר התחלת הניסוי, החל אחד האסירים לסבול מהפרעה נפשית חמורה, שכללה מחשבה לא מסודרת, בכי וזעם. החוקרים, שנכנסו גם הם לתפקידם בניסוי כמנהלי הכלא, חשבו שהאסיר מנסה לשטות בהם על מנת שישחררו אותו ולכן הציעו לו בהתחלה לשתף פעולה עם הסוהרים בתמורה לכך שלא יטרידו אותו. לבסוף, הוא "שוחרר" מהניסוי. ביום הרביעי לניסוי נערך ביקור קצר של הורים וחברים. חלק מההורים היו המומים מהמצב של בניהם ופנו לחוקרים בנושא; הללו הפנו את האשמה מהניסוי אל ה"אסירים" עצמם. בהמשך שוחרר אסיר נוסף.
החוקרים החליטו להפסיק את הניסוי לאחר שישה ימים בלבד, לאחר שחברתו של זימברדו, שהגיעה לצפות בניסוי, הייתה עדה להתאכזרות הסוהרים אל האסירים וערערה על הלגיטימיות המוסרית של הניסוי. התנהגות החוקרים במחקר זה ספגה ביקורות רבות: על כך שלקח להם זמן רב מדי להבין שהמשתתף בניסוי מפגין סימני מצוקה נפשית אמיתיים עד שהותר לו לצאת מהניסוי, ועל כך שלמרות פניות ההורים על מצב בניהם וההתנהגות הסדיסטית של הסוהרים, לא הופסק הניסוי מוקדם יותר. זימברדו הגיב לכך בביקורת עצמית והודה שהוא נכנס לתפקידו כמנהל הכלא; כאשר היו שמועות על בריחה מתוכננת, הוא לא ישב מהצד וצפה בהתרחשויות אלא היה מוטרד מהבטיחות של הכלא שלו. הוא אף התרגז כאשר משטרת פאלו אלטו לא אישרה לו להעביר את הניסוי לכלא הישן שלה.
מטרת הניסוי הייתה לבחון התנהגות בשבי, אך ממצאיו ממחישים בראש ובראשונה את האכזריות החייתית בה עשויים לנקוט בעלי סמכות כלפי פקודיהם. הסוהרים שהשתתפו בניסוי היו אנשים מן השורה, ובכל זאת הגיעו תוך ימים ספורים ליחס מרושע ואטום כלפי הנתונים למרותם. ממצאי הניסוי גם ממחישים כיצד האדם נכנס לתפקיד החברתי שיועד לו. אחד ה"אסירים" בניסוי כתב לזימברדו לאחר מכן שהוא הרגיש חסר זהות, שהאדם בעל השם שהוא היה, מתרחק ממנו, והוא הופך להיות למספר האסיר שלו. הממצאים ממחישים גם את הציות של אנשים כאשר ניתנת להם אידאולוגיה שיוצרת לגיטימציה להתנהגות מסוימת, ובנוסף לאידאולוגיה ישנה תמיכה חברתית וממסדית.
זימברדו טוען שלניסוי לא היו השפעות נפשיות ארוכות טווח, אף על פי שחלק מהמשתתפים הפגינו סימנים של התמוטטות נפשית במהלך הניסוי.
דיון במסקנות הניסוי.
קיימת דעה רווחת לפיה הניסוי מצביע על פוטנציאל אלימות ופטרונות חבוי, שעשוי להתעורר אצל בני אדם בהינתן סיטואציות שמעודדות התנהגות כזו (בדומה לניסוי של מילגרם ותאוריית ה-Pecking Order). אך מסקנה זו היא חלקית וגם אינה חד משמעית. בין הסוהרים למשל, היו סטודנטים שלא פיתחו דפוסים של אלימות. חוקרים ופסיכולוגים מצביעים על תופעה חברתית רחבה המתחדדת על בסיס ניסוי הכלא בסטנפורד: אנשים נוטים לסגל דפוסי התנהגות "כמצופה" "מהם" במסגרת קבוצות וארגונים (בהתאמה לפונקציה ולתדמית שלהם בקבוצה). טשטוש האינדיבידואליות, בתוך מערך ארגוני או אידאולוגי של קבוצה, הוא שעשוי להוביל להקצנת דפוסי התנהגות.
המתודולוגיה של הניסוי ספגה ביקורת והוא מעולם לא שוחזר בהצלחה.
מעדויות מאוחרות יותר של הניסוי עולה שההתמוטטות הנפשית של האסיר הראשון הייתה מזויפת, והוא ביצע אותה כדי לקבל שחרור מהכלא בשביל ללמוד למבחנים. בשנים האחרונות נחשפו גם הקלטות המעידות לכאורה שמתכנני הניסוי עודדו את הסוהרים לנהוג במידה רבה של קשיחות כלפי האסירים. טענות ועדויות אלו מבקשות לומר שהניסוי כולו, יחד עם מסקנותיו, הם זיוף. ד"ר בן בלום, שהוציא לאור ספר ובו הוא שוטח את טענותיו כנגד הניסוי טוען שיש להתעלם מהניסוי ויש להסיר את אזכורו מתוכניות הלימודים באקדמיה.
אל-קעידה
שדה (פיזיקה)
שָׂדֶה בפיזיקה הוא תכונה (במינוח מתמטי פונקציה) של המרחב, כלומר התאמה של מספר/וקטור/טנזור לכל נקודה במרחב. לדוגמה, טמפרטורה היא שדה משום שלכל נקודה במרחב מותאם מספר - הטמפרטורה שלה. שדה הוא מונח כללי הכולל סוגים רבים של פונקציות.
שדה יכול להיות בעל ממד אחד ואז יכונה השדה שדה סקלרי, השדה יכול להיות וקטור (ואז יהיה זה שדה וקטורי), טנזור, או גם פונקציה מורכבת יותר.
לעיתים נהוג לקרוא לשדה סקלרי פוטנציאל בגלל האנלוגיה לפוטנציאל חשמלי ואילו לשדה וקטורי נהוג לקרוא לעיתים שדה כוח או סתם "שדה".
דוגמאות לשדות:
פרדוקס הערמה
פרדוקס הערמה הוא פרדוקס המייצג משפחה של פרדוקסים העוסקים בגבולות ועמימות, לרוב של השפה. משפחה זו מכונה פרדוקסים סוריטיים, על שם הפרדוקס המקורי שנקרא ביוונית "פרדוקס סוֹרִיטֶס" ("סורוס" ביוונית היא ערמה). פרדוקסים אלה עוסקים במתח שבין תיאורים הנתפסים לכאורה כברורים ומדויקים, לבין ניסיונות לכמת אותם לכדי מונחים מספריים ברורים. השאלה שניצבת במרכזו של פרדוקס הערמה היא "כמה גרגרים צריכים להיות בערמה כדי שתיחשב ערמה?". מחד נדמה שיש הסכמה כללית שגרגר חול אחד אינו נחשב ערמה, ומאידך כמות מסוימת של גרגרים כן נחשבת לערמה לכל הדעות. אם כן מהו המספר המדויק שעד אליו אוסף הגרגרים אינו נחשב ערמה, וממנו והלאה כן? נדמה שלא ניתן לתת על כך תשובה חד משמעית.
ניתן לתאר את הפרדוקס כמבוסס על שתי ההנחות הבאות:
אינדוקציה מתמטית מסיקה מן ההנחות האלה את הטענה המופרכת בעליל, שלא קיימות ערימות חול בעולם. כלומר, שכל אוסף סופי של גרגרי חול אינו מהווה ערמה. הרי עבור המקרה N=1, כלומר גרגר חול אחד, הטענה נובעת מההנחה הראשונה. ואם הטענה נכונה עבור N כלשהו, מההנחה השנייה נובע כי גם N+1 גרגרים אינם מהווים ערמה. כלומר אין ערימות חול בעולם.
הפרדוקס מדגים את העמימות המובנית של השפה האנושית. המונח "ערמה" אינו מבוסס על הגדרה החלטית ומדויקת, כי אם על מושג שתפיסתו היא מעורפלת וגמישה. יש שיאמרו שאין כלל מקום להפעיל על מונח לשוני זה כלים לוגיים פורמליים מהסוג שהודגם כאן.
ניתן להשאיל את הפרדוקס על מגוון של מונחים לשוניים. למשל מאיזה גובה בדיוק אדם נחשב "גבוה"? או מאיזה אורך גל, ייחשב הצבע לאדום? וכדומה. ניתן גם להפעיל אותו על שאלות מוסריות, כמו כמה אסירים יש לשחרר כדי להציל חיים של חף מפשע? איזו הסתברות מספיקה כדי להרשיע אדם בפלילים?
פיטר מינויט
פיטר מינְיוּאיט (Peter Minuit; 1580 – 1638) היה הולנדי, שניהל חברות קולוניאליות ביבשת אמריקה.
ביוגרפיה.
מיניואיט נולד בעיר וזל (Wesel) היום בשטח גרמניה.
נשלח על ידי חברת הודו המערבית ההולנדית לנהל את נכסיה ביבשת אמריקה, ומונה על ידה כמנכ"ל הולנד החדשה במסגרת זו הוא קנה בשנת 1626 את האי מנהטן מידי הילידים המקומיים תמורת מוצרים בשווי 60 גילדן הולנדי (24 דולר של ארצות הברית באותו זמן). הוא הקים שם את ניו אמסטרדם, שלימים הפכה לעיר ניו יורק. הוא פוטר מן החברה בשנת 1631, ואז נכנס למשא ומתן עם השוודים, כדי לגלות קולוניות חדשות. ב-20 בנובמבר 1637 הפליג מנמל גטנבורג עם משלחת שוודית ליבשת אמריקה, כדי לגלות את שוודיה החדשה.
הוא נפטר בשנת 1638 בסערת הוריקן באיים הקריביים באי סנט כריסטופר.
אלגברה ליניארית
אלגברה ליניארית (נהגה: לִינֵאָרִית) היא ענף של האלגברה העוסק במערכות של משוואות ליניאריות כמו formula_1 ובהעתקות ליניאריות כמו formula_2 והצגותיהן בעזרת מטריצות ומרחבים וקטוריים (בהתאמה).
אלגברה ליניארית היא תחום מרכזי במתמטיקה שחיוני לתחומים רבים אחרים. למשל, אלגברה ליניארית חיונית להצגה מודרנית של גאומטריה, שכן היא מגדירה את מונחי היסוד של נקודה, ישר ומישור. נעשה שימוש נרחב באלגברה ליניארית במסגרת האלגברה המופשטת, האנליזה הפונקציונלית והגאומטריה האנליטית. כמו כן נעשה שימוש באלגברה ליניארית גם במסגרת מדעי הטבע, מדעי המחשב, הנדסה ומדעי החברה.
היסטוריה.
אחד מיסודות האלגברה הליניארית הונחו על ידי רנה דקארט שפיתח את מערכת הצירים הקרטזית (הקרויה על שמו) ב-1637 לתיאור המישור והשתמש בה במסגרת הגאומטריה האנליטית לתקוף בעיות של הגאומטריה הקלאסית. על מנת לציין נקודה במישור, השתמש בסימון של זוג סדור formula_3.
עוד יסוד של האלגברה הליניארית הונח על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ, שהשתמש במושג הדטרמיננטה לפתירת מערכות משוואות ב-1693. לאחר מכן, ב-1750, פיתח גבריאל קרמר נוסחה לחישוב פתרון של מערכת משוואות, הנקרא כיום כלל קרמר. מאוחר יותר, השתמש המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס בשיטת החילוץ של גאוס (הנקראת גם שיטת הדירוג של גאוס) לפתירת מערכות משוואות.
האלגברה הליניארית המודרנית החלה את דרכה בשנים 1843 ו-1844. ב-1843 גילה ויליאם רואן המילטון (שטבע את המונח וקטור בהקשרו האלגברי) את אלגברת הקווטרניונים. ב-1844 פרסם הרמן גראסמן את ספרו "על אלגברה ליניארית".
ב-1857 הגדיר ארתור קיילי את המטריצה - אחת מאבני היסוד של האלגברה הליניארית. אך למרות פיתוחים אלו, מרבית האלגברה הליניארית המודרנית פותחה במאה ה-20.
מושגי יסוד.
שדה.
כל דיון באלגברה ליניארית מתחיל בקביעת שדה הגדרה מסוים, שלאיבריו קראים סקאלרים. הם משחקים תפקיד של מספרים. ואכן במקרים רבים שדה זה הוא אוסף המספרים מסוג מסוים, למשל שדה המספרים הממשיים, שדה המספרים המרוכבים או שדה המספרים הרציונליים.