המתמטיקאי האיטלקי בן המאה ה-17 בונאוונטורה קאוואליירי בישר את האינטגרציה המודרנית כאשר פיתח את עקרון קאוואליירי. קאוואליירי גילה את נוסחת האינטגרציה של קאוואליירי שמכלילה את עבודתו של ארכימדס על הפרבולה. בנוסח מודרני הנוסחה קובעת שלכל n טבעי:
פייר דה פרמה מצא דרך לחישוב אינטגרל, ובכך סיפק לניוטון וללייבניץ בסיס חשוב לפיתוח המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. פרמה מצא שיטה למציאת מרכז הכובד של גופים, והשפיע על המשך המחקר בתחום זה. במשך שנים רבות היה מקובל לחשוב שניוטון גילה את החשבון האינפיניטסימלי באופן עצמאי. ב-1934 גילה לואיס טי. מור הערה של ניוטון לפיה השיטות שלו מבוססות על השיטה של פרמה לשרטוט משיקים.
לייבניץ וניוטון.
ניוטון פיתח את התאוריה שלו בין חורף 1664 לאוקטובר 1666, והפקיד סיכום של עבודתו בידי ג'ון קולינס, יועצו של מזכיר החברה המלכותית הבריטית. לייבניץ החל לעבוד בנושא ב-1673. ניוטון פרסם מעט מאוד משיטותיו בתחום זה עד 1693, ולא סיפק הסבר מלא עד 1704. מאוחר יותר טען ניוטון כי התעכב בפרסום רשימותיו מחשש שילעגו לו. לייבניץ, לעומת זאת, פרסם הסבר מלא של השיטות שלו כבר ב-1684. הרשימות של לייבניץ היו מפורטות ביותר לגבי הפיתוחים שלו לעומת רשימותיו של ניוטון שהציגו פיתוחים סופיים בלבד.
הסימון של ניוטון לנגזרת היה "סימון הנקודה של ניוטון" ואילו לייבניץ הסתמך על "סימון דיפרנציאלי" והאחרון הוא שאומץ בקרב מתמטיקאים רבים יותר. לפי סימונים אלה formula_2 כאשר אגף ימין הוא הסימון של לייבניץ לנגזרת ואילו אגף שמאל הוא הסימון של ניוטון. אף הסימונים האחרים של לייבניץ בחשבון האינפיניטסימלי נחשבו למקובלים יותר מאשר אלו של ניוטון. בסימוניו של לייבניץ: סימן האינטגרל, המסמל S לטינית מוארכת, מהמילה "סומא" (summa), וה-d המשמשת לדיפרנציאל מהמילה הלטינית "דיפרנטייה" (differentia).
ב-1699 החלו ניוטון ולייבניץ בעימות ארוך שנים לגבי זכות הראשונים על המצאת החדו"א. כל אחד מן השניים טען שהוא זה שגילה את החדו"א והאחר העתיק ממנו, ומכיוון שהאנגלים תמכו בניוטון ואילו המתמטיקאים בשאר מדינות אירופה תמכו בלייבניץ, נוצרה הפרדה בין הפעילות המתמטית באנגליה לזו של שאר אירופה (כתוצאה מכך התעכבה ההתפתחות של החשבון האינפיניטסימלי בממלכה המאוחדת, ורק בתחילת המאה ה-19 אימצו הבריטים את מערכת המושגים והסימונים האירופית). ניוטון אף גייס את החברה המלכותית, שהוא היה מזכירה, וב-1712 פורסם מסמך מטעמה שטען כי זכויות הגילוי הן של ניוטון וכי לייבניץ הוא רמאי. אמינותו של המסמך הוטלה בספק כאשר התברר מאוחר יותר כי ניוטון עצמו הוא שכתב חלקים ממנו. העימות וההפרדה שנוצרה השפיעו לרעה על התפתחות המתמטיקה באירופה במשך מאה שלמה. חלפו למעלה מ-200 שנה עד שהמצב התברר לאשורו וכיום ניתן הקרדיט על המצאת החדו"א הן לניוטון והן ללייבניץ, והמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי נקרא גם משפט ניוטון-לייבניץ.
לייבניץ וניוטון ביססו את החדו"א על מושג האינפיניטסימל שהוא מספר "קטן באופן אינסופי", ובאופן יותר מדויק, מספר אינפיניטסימלי הוא מספר שקטן בערכו המוחלט מכל מספר ממשי חיובי. במערכת המספרים הממשיים, האינפיניטסימל היחיד הוא אפס, אך במערכות מספרים אחרות קיימים אינפיניטסימלים רבים. טענה טיפוסית עשויה להתנהל כך:
כדי למצוא את הנגזרת formula_3 של הפונקציה formula_4, יהי formula_5 אינפיניטסימל שאיננו 0. לכן,
formula_6
כיוון ש-formula_5 קטן לאין שיעור. בשפה מודרנית ניתן לומר שהזנחת המספר האינפיניטסימלי בסוף החישוב נובעת מהגדרת הנגזרת כחלק הסטנדרטי של השיפוע שחושב לעיל.
השימוש באינפיניטסימלים הותקף ונטען נגדו שהוא שגוי על ידי הבישוף ג'ורג' ברקלי בחיבורו "האנליסט". הבעיה הבסיסית, לפי ברקלי, היא שבהתחלה מתייחסים ל-formula_5 כמספר שונה מאפס ומחלקים בו, אבל מאוחר יותר מתעלמים ממנו כאילו הוא היה אפס. גם דייוויד יום תקף את היסודות הלוגיים של החשבון האינפיניסטימלי.
הנוסחה המעשית יותר לחישוב נגזרות של פולינומים לא משתמשת בגבול והיא f(x) = ax^n + b, f'(x) = anx^(n-1) + 0
ניוטון נעזר בחדו"א כדי לפתור מגוון רחב של בעיות: מציאת שטחים, שיפועי משיקים, אורך של עקומות ומינימום ומקסימום של פונקציה. הוא הפנה את החשבון האינפיניטסימלי לפתרון בעיות פיזיקליות של כמויות משתנות והגיע למגוון תוצאות. הוא ביצע עבודה חלוצית בתחום הטורים אינסופיים כשמצא טורים אינסופיים לביטוי פונקציות שונות ואת שיטת הקירוב של טורים אינסופיים, והוא אף התקרב מאוד למושג הגבול. ניוטון הציג לראשונה את משפט הבינום המוכלל (אשר נקרא על שמו - הבינום של ניוטון), המתאר את טור טיילור של הפונקציה formula_9 גם כאשר formula_10 אינו שלם. הוא ביצע קירוב של סכומים חלקיים של הסדרה ההרמונית באמצעות לוגריתמים (בכך הקדים את נוסחת הסכום של אוילר) ותרם רבות לתחום של טורי חזקות. כמו כן גילה נוסחה חדשה לחישוב π.
ביסוס מושגים.
במאה ה-19 הצליח המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין לואי קושי לבסס את מושג הגבול באמצעות גדלים ממשיים וסופיים בלבד. ההגדרות של קושי החליפו את השימוש במושג האינפיניטסימל בשימוש במספרים ממשיים שיכולים להיות "קטנים כרצוננו" או "גדולים כרצוננו". הגדרת הגבול של קושי נהפכה לאבן היסוד של התחום בצורתו המודרנית. את ביסוס תורת הגבולות והטופולוגיה של הישר הממשי ביצעו בנוסף לקושי גם קארל ויירשטראס (שבין השאר הנהיג את ההגדרות המודרניות של מושגים יסודיים כמו גבול ונגזרת, במונחי formula_11 ו- formula_12) ובולצאנו. תרמו גם לגראנז', דארבו ורימן.
בצורתו החדשה, החשבון האינפיניטסימלי היה אמין יותר אך היה מבוסס כולו על תכונות המספרים הממשיים, מושג שהוגדר אז באופן גאומטרי. בסוף המאה ה-19, המתמטיקאים גאורג קנטור ודדקינד בנו ייצוגים קונקרטיים למספרים הממשיים, שהתבססו על תורת הקבוצות, במטרה לבסס את המושגים האנליטיים על מושג הקבוצה. הבנייה של קנטור הסתמכה על השלמה של שדה המספרים הרציונליים באמצעות סדרות קושי, ואילו הבנייה של דדקינד התבססה על חתכי דדקינד.
בתחילת המאה ה-20, נעשו מספר ניסיונות על ידי כמה מתמטיקאים להכליל את מושג האינטגרל. וזאת מכיוון שהאינטגרל של רימן לוקה בכמה חסרונות. לדוגמה, אוסף הפונקציות שעליהן ניתן לבצע אינטגרציה לפי רימן אינו שלם לפי מספר נורמות טבעיות. ההכללה הטובה ביותר הייתה זו של אנרי לבג, הנקראת אינטגרל לבג, אשר מבוססת על תורת המידה (שבמרכזה מידת לבג שהיא מידה המכלילה את מושג האורך).
תולדות החדו&quot;א
אליפות ישראל בכדורסל
וולפראם
בריאנט מארקסון
טג'יקים
טג'יקים (בפרסית: تاجیکان‎ בטאג'יק; טג'יקית: Тоҷикон; ברוסית: Таджики) הוא שם כללי לקבוצה גדולה של עמים דוברי פרסית ממוצא איראני שמוצאם מן האזור שבו שוכנות היום אפגניסטן (9-11 מיליון איש, שם הם מהווים 27% מהאוכלוסייה), טג'יקיסטן (7 מיליון איש-80% מהאוכלוסייה) ודרום אוזבקיסטן (1.5 מיליון איש) . אוכלוסיות טג'יקיות גדולות ניתן למצוא גם באיראן ובפקיסטן (220 אלף איש, אף כי בשנים האחרונות ישנה חזרה לארץ המוצא) כתוצאה מתנועת פליטים במהלך מלחמת אפגניסטן. אף ברוסיה יש כ-200,000 טג'יקים (נכון לשנת 2010), שרובם הגיעו למדינה לאחר התפרקות ברית המועצות ועובדים כפועלים זרים. טג'יק היא מילה בטורקית-מונגולית שמשמעותה המילולית היא "לא טורקי" והיא כנראה ניתנה כשם לעמים אלו על ידי העמים הטורקיים ששכנו באזור. הטג'יקים נמנים בין 56 הקבוצות האתניות בהן מכירה ממשלת סין, והם מונים במדינה כ-51 אלף איש.
כיום, רוב העם הטג'יקי הוא מוסלמי-סוני, עם מיעוט שיעי.
וולפרם אלפא
וולפרַם אַלפַא (באנגלית: Wolfram Alpha) הוא מנוע חיפוש חישובי, שפותח על ידי מעבדות וולפרם והושק במאי 2009. ייחודו הוא בביצוע שאילתות בשפה טבעית, בשילוב עם חישובים והחזיית מידע (ויזואליזציה) נרחבת.
טכנולוגיה.
וולפרם אלפא מבוסס על תוכנת Mathematica ומאגרי מידע בתחומים כגון היסטוריה, מזג אוויר, נתונים מקרו-כלכליים, מוזיקה ועוד. הוא מאפשר גם ביצוע ניתוח נתונים אישי על סמך מידע בפייסבוק.
וולפרם אלפא נמצא בשימוש על ידי מנועי החיפוש Bing ו-DuckDuckGo ועל ידי מערכות בינה מלאכותית (כגון עוזרות אישיות דיגיטליות) של אפל, סמסונג ובלקברי.
ישנו ויכוח בנוגע לזכויות קניין לתשובות שמספק מנוע חיפוש אוטומטי.
דסלקט
מחלת השינה האפריקאית
מחלת השינה האפריקנית
טיפוס (מחלה)
דוכסות טשן
דוכסות טשן היא דוכסות שהתקיימה באזור צ'שין בשלזיה בין השנים 1290–1918, התחילה כדוכסות עצמאית, ובהמשך תחת בית הבסבורג.
צ'שין שלזיה נקרעה מפולין בשנת 1281 ובשנת 1290 הייתה לדוכסות בשליטת שושלת פיאסט. בשנת 1315 התפצלה ממנה דוכסות אושוונצים. בשנת 1327, קזימיר הראשון, דוכס טשן נשבע אמונים ליוהאן מלוקסמבורג מלך בוהמיה, והדוכסות הייתה לאוטונומיה בתוך ממלכת בוהמיה. לאחר מות הדוכסית האחרונה לשושלת פיאסט, אליזבט לוקרטה, בשנת 1653, עברה השליטה בדוכסות לבית הבסבורג.
בתחילת המאה ה-18 ניתנה הדוכסות ללאופולד, דוכס לורן. בשנת 1804 הוכללה הדוכסות באימפריה האוסטרית ועם הקמת האימפריה האוסטרו-הונגרית בשנת 1867 הייתה לחלק ממנה. עם התפרקות האימפריה האוסטרו-הונגרית תבעו צ'כוסלובקיה ופולין את הדוכסות והיא חולקה ביניהם רשמית בשנת 1920.
נביטה
הנביטה היא שמו של מכלול תהליכים הגורמים לעובר, הנמצא בתרדמה בתוך זרע, לחדש את התפתחותו ולהפוך לצמח.
קליטת מים ותחילת הנביטה.