במתמטיקה, אלגברת מלצב היא אלגברה לא אסוציאטיבית, המתקבלת מאלגברה אלטרנטיבית באותו אופן שבו אפשר לקבל אלגברת לי מכל אלגברה אסוציאטיבית. לפיכך, כל אלגברת לי היא אלגברת מלצב, ואפשר להכליל מרכיבים משמעותיים בתורת המבנה של הסוג הראשון, אל המבנה הכללי יותר. מאידך, כמעט כל אלגברת מלצב פשוטה היא אלגברת לי. האלגברות נקראות על-שם אנטולי מלצב, שהגדיר והחל לחקור אותן ב-1955.
הגדרה.
ככל אלגברה לא אסוציאטיבית, אלגברת מלצב היא מרחב וקטורי M מעל שדה, עם תבנית ביליניארית formula_1. התבנית נדרשת לקיים את האקסיומות הבאות:
אלגברות לי מוגדרות על ידי החלפת האקסיומה השנייה בזהות יעקובי formula_6, שהיא בבירור חזקה יותר. את האקסיומה השנייה אפשר לכתוב כ- formula_7. בפרט, כל איבר מהצורה formula_8 שייך ל- formula_9.
תכונות ומבנה.
אם formula_10 [[אלגברה אלטרנטיבית]], הפעולה formula_11 מגדירה עליה מבנה של אלגברת מלצב.
אלגברה לא אסוציאטיבית שכל תת-אלגברה שלה הנוצרת על ידי שני איברים היא אלגברת לי, נקראת אלגברת לי בינארית. במאפיין שונה מ-2, אפשר לתאר תכונה זו באמצעות אקסיומות: formula_12 ו- formula_13. כל אלגברת לי היא אלגברת מלצב, וכל אלגברת מלצב היא אלגברת לי בינארית (כפי שאלגברה אלטרנטיבית עם שני יוצרים היא אסוציאטיבית).
במאפיין שונה מ-2, אלגבראות מלצב פשוטות מתחלקות לשני סוגים: [[אלגברת לי|אלגבראות לי]] פשוטות, או (כאשר המאפיין שונה מ-3) החלק הטהור ב[[אלגברת קיילי]] פשוטה ביחס לפעולת הקומוטטור. האלגברה האחרונה היא אלגברה 7-ממדית מעל השדה; שתי אלגבראות כאלה איזומורפיות אם ורק אם אלגבראות הקיילי המתאימות הן איזומורפיות.
במאפיין 0, המבנה של אלגבראות מלצב נחקר לעומק - מוגדרת עליהם [[תבנית ביליניארית|תבנית עקבה]] (trace form), כלומר סימטרית ואסוציאטיבית, על ידי formula_14, כאשר formula_15 הוא אופרטור ההכפלה מימין ב-x. האלגברה פשוטה למחצה אם ורק אם התבנית רגולרית (בדומה ל[[תבנית קילינג#הקשר לאלגברות לי פשוטות למחצה|קריטריון המתאים]] באלגבראות לי בעזרת תבנית קילינג). במקרה זה, האלגברה מתפרקת לסכום ישר של אלגבראות 7-ממדיות לעיל. ה[[אלגברה לא אסוציאטיבית#נילפוטנטיות, פתירות ורדיקלים|רדיקל הפתיר]] של אלגברת מלצב מתלכד עם החלק המאונך של formula_16 ביחס לתבנית K, ועל כן A פתירה אם ורק אם formula_17.
בנוסף, ניתן להגדיר תורת מודולים מעל אלגבראות מלצב, וללמוד בעזרתה הצגות של האלגבראות. בתחום זה תוצאות דומות לתורת ההצגות של אלגבראות לי, במיוחד במחקר אלגבראות ניליות.
[[קטגוריה:אלגברה לא אסוציאטיבית]]
אלגברת לי בינארית
רשד&quot;ם
מהרשד&quot;ם
יחיאל מיכל פיינשטיין
הרב יחיאל מיכל פיינשטיין (ד' בתמוז תרס"ז, 16 ביוני 1907 – ט"ז באייר תשס"ג, 17 במאי 2003) היה ראש ישיבת בית יהודה בתל אביב ולאחר מכן בבני ברק.
ביוגרפיה.
ילדות ונערות.
נולד בעיירה אוזדה, על יד מינסק, שהייתה אז חלק מן האימפריה הרוסית. אביו, הרב אברהם יצחק פיינשטיין, נפטר בהיותו בן שבע. לאחר שהתייתם לקח אותו תחת חסותו דודו, הרב משה פיינשטיין, ששימש באותה עת כרבה של הקהילה החסידית באוזדה. לאחר זמן מה עבר לגור עם סבו הרב דוד פיינשטיין בסטרבין, שבה כיהן כרב המקומי.
הוא למד בתקופה זו עם סבו, ועם דודו הרב מרדכי פיינשטיין, לימים רבה של שקלוב. בשל תקופה זו דבק בו מאוחר יותר הכינוי "מיכל סטרבינר".
לאחר בר המצווה שלו עברה אמו הרבנית אסתר לגור בבית הוריה בסלוצק והוא החל ללמוד בישיבת סלוצק אצל הרב איסר זלמן מלצר. הרב מלצר חיבב אותו לאחר שענה על שאלה שהציב לו כמבחן, באותה תשובה שענה תלמידו המפורסם, הרב נפתלי טרופ. בזמן המהפכה הבולשביקית עברה הישיבה לקלצק (אז בפולין), שבה שהה חתנו של הרב מלצר, הרב אהרן קוטלר, בראש סניף של הישיבה. הרב מלצר קיבל את אישור האלמנה פיינשטיין ולקח עמו את בנה. בקלצק שמע גם את שיעוריו של הרב קוטלר. אחרי שלוש שנים בסלוצק-קלצק, ולאחר עליית הרב מלצר לארץ ישראל, עבר לישיבת מיר, שם למד אצל ראש הישיבה הרב אליעזר יהודה פינקל והמשגיח הרב ירוחם ליבוביץ. למרות גילו הצעיר תיאם לו המשגיח, חברותא עם יחיאל מיכל שלזינגר. חברו לחדר בבית שבו התאכסן, היה דוד פוברסקי. "חברותות" נוספים שלו במיר התפרסמו בעולם התורני: רבי אריה לייב מאלין, רבי יונה קרפילוב, ושלושה עילויים צעירים נוספים שנספו בשואה: אייזל וילנר, שלמה חומסקר ונפתלי וסרמן.
בעת לימודיו בישיבת מיר הגיעה אליו הידיעה על פטירת אמו. לעילוי נשמתה החל ללמוד, מלבד חומר הלימודים הישיבתי, גם את סדר טהרות. ברבות הימים נעשה מומחה לסדר זה, ולאחר פטירתו נדפסו כמה כרכים מחידושיו בו. הוא נסמך לרבנות בידי רבה של מיר, רבי אברהם צבי קמאי.
בחודש חשון ה'תר"ץ בא הרב מלצר מירושלים לחנוכת היכלה החדש של ישיבת קלצק. במעמד זה התייעץ עמו פיינשטיין לגבי המשך דרכו, ולפי עצתו נסע לבריסק ללמוד מפי רבה של העיר, רבי יצחק זאב סולובייצ'יק. בעקבות נסיעתו עם אחרים לבריסק נוצר בישיבת מיר נוהל קבוע שלפיו נסעו תלמידים מובחרים לתקופות השתלמות בבריסק, ללמוד את שיטת לימוד זו. בשנתיים שבהן למד בבריסק רכש בקיאות בסדר קדשים. לאחר שנתיים חזר לישיבת מיר למשך עשר שנים שבהן שב עוד פעמיים לבריסק לתקופות קצרות יחסית. כדי להיפטר משירות צבאי נסע להיבדק אצל רופא בסמוך להורדנה שנודע כמי שמנפיק אישורים על רקע בריאותי בקלות. בדרכו לשם נסע לראדין כדי לקבל את ברכתו של החפץ חיים. בדרכו חזרה מן הרופא התעכב כחצי שנה ללימוד בישיבת שער התורה מפי רבי שמעון שקופ.
תקופת מלחמת העולם השנייה.
כשפרצה מלחמת העולם השנייה עבר עם בחורי ישיבות רבים אחרים לווילנה. בווילנה התקרב לרב חיים עוזר גרודזינסקי. גם הרב מבריסק הגיע באותם ימים לווילנה, ופיינשטיין נרתם לעזרתו, הכין עבורו מצות לפסח, וארגן מחדש את ה"קיבוץ", קבוצת הבחורים ששמעה שיעורים מפיו.
עם רבים מתלמידי ישיבת מיר נמלט ברכבת הטרנס-סיבירית לאורכה של ברית המועצות, לולדיווסטוק וממנה לקובה שביפן, באמצעות אשרות הכניסה שהנפיק הקונסול היפני בקובנה, חסיד אומות העולם צ'יאונה סוגיהארה. מכריו ששהו בארצות הברית סידרו עבורו אשרת כניסה ובמהלך שנת 1941 הגיע לארצות הברית, באונייה היפנית האחרונה שיצאה לחופי ארצות הברית בטרם פרוץ מצב המלחמה בין שתי המדינות.
לאחר המלחמה.
בארצות הברית מינה אותו הרב יוסף דב סולובייצ'יק לעמוד במקומו בראשות ישיבת "היכל רבינו חיים הלוי" בבוסטון, כאשר עבר לכהן כראש ישיבת רבנו יצחק אלחנן. כעבור שנה הזמינו דודו, הרב משה פיינשטיין, לעבוד לצדו כראש מתיבתא תפארת ירושלים בניו יורק. הוא צורף לאגודת הרבנים, היה פעיל בזירה הציבורית ונמנה עם ראשי ועד ההצלה. במסגרת פעילותו זו נסע לאחר תום המלחמה לצרפת כדי לסייע לפליטים היהודים. בחנוכה ה'תש"ו השתתף בכנסייה המכינה של אגודת ישראל בלונדון.
בהמשך השנה הגיע הרב פיינשטיין לארץ ישראל, הוא נקרא לשוחח בלימוד עם רבו לשעבר, הרב מבריסק, ובהמשך התארס ונישא לבתו ליפשא. החתונה התקיימה בירושלים בי"ז באב ה'תש"ו, והרב איסר זלמן מלצר היה מסדר הקידושין. שנתיים אחרי חתונתו (1948) חזר הזוג לארצות הברית שבה המשיך הרב פיינשטיין לכהן כראש ישיבה בישיבת תפארת ירושלים.
בישראל.
בשנת ה'תשי"ב, 1952, עלה לישראל על מנת להשתקע בה בקביעות. הוא התיישב בתל אביב והקים בה כולל אברכים שנקרא "ישיבת בית יהודה". בתקופה זו נהג להתייעץ עם החזון איש שגר בבני ברק הסמוכה. בכולל זה למד והעביר שיעורים במשך חמישים שנה עד פטירתו. הוא היה מעביר 16 שיעורים בשבוע. השיעור בסוגיה הנלמדת בשעות הבוקר נמשך בשנים הראשונות כ-4 שעות מדי יום. בתקופות מאוחרות יותר הצטמצם זמן השיעור לכדי שעתיים.
בשנת תשל"ג (1973) נפטרה אחת מבנותיו ולאחר פטירתה עבר לגור בבני ברק. בשנת תשמ"ד (1984) חנך בניין חדש לכולל, ובו העביר כעשרים שיעורים מדי שבוע.
הרב פיינשטיין המשיך את השקפת בריסק. הוא התנגד לחוק טל, לנח"ל החרדי ולכל צורה של לימודים אקדמיים לחרדים. זמן קצר לפני פטירתו כתב: "לאחרונה פרצו הנציגים החרדים פרצות חמורות בחומת היהדות והישיבות בהקמת הנחל החרדי ומכונים להכשרת מקצועית, והעבירו חוק טל להחדרת חרב מסלולי הגיוס והתבוללות בהיכלי התורה, והם מחטיאי הרבים במעל שאין גרוע ממנו ובכוונתם להמשיך בדרך זה"..
בשבת ט"ו באייר ה'תשס"ג פונה לבית החולים תל השומר ועם צאת השבת נפטר. נקבר למחרת בהר המנוחות בירושלים.
משפחתו.
בנו הרב חיים הוא ראש כולל "בית יהודה" וראש ישיבת עטרת שלמה בראשון לציון שבראשות הרב שלום בער סורוצקין.
בנו הרב דוד הוא ראש כולל "בית יהודה".
חתנו הוא הרב צבי קפלן, ראש ישיבה בדרך בריסק בירושלים.
בתו הינדה הייתה נשואה במשך כעשור לרב אריה מלכיאל קוטלר. לבני הזוג לא נולדו ילדים. לאחר פטירת אביו, הרב שניאור קוטלר, בשנת 1982, נקרא הבן למלא את מקומו בראשות ישיבת לייקווד בניו ג'רזי. הינדה סרבה להגר עמו לארצות הברית או להתגרש ממנו, ובסופו של דבר קיבל הרב קוטלר היתר מאה רבנים לשאת אישה נוספת. הפרשה משכה תשומת לב רבה.
ספריו.
בשנת תש"ו הדפיס את הספר מעלות התורה לאחי הגר"א, יחד עם הרב ניסן וקסמן. חידושיו למסכת כריתות נדפסו בסוף חידושי חותנו הרב מבריסק לאותה מסכת.
לאחר פטירתו הוציאה משפחתו את חידושיו למסכתות חגיגה, סוטה, בבא קמא ח"ב, סנהדרין, שבועות, זבחים ח"א, מנחות ח"ד וח"ה, בכורות ח"א, כלים ג"כ, ומקוואות.
מאמרים תורניים שפרסם בקבצים תורניים יצאו לאור תחת השם "חידושי הגרי"מ".
שאר כתביו יוצאים לאור על ידי הרב אריה זאב קראוס.
אמיץ (סרט)
אילקה רווה