פונקציית האנטרופיה "S" היא פונקציית מצב בתרמודינמיקה, והיא מוגדרת לפי הדיפרנציאל שלה, formula_4
פונקציית האנטרופיה היא אקסטנסיבית, שכן היא תלויה בגודל המערכת דרך התלות בכמות החום.
האנטרופיה מוגדרת לפי הדיפרנציאל שלה, במילים אחרות, היא לא מוגדרת באופן מוחלט, ומוגדרים רק הפרשי האנטרופיה לפי תהליך בין מצב "A" למצב "B":
formula_33
אם formula_34 אז התהליך נקרא הפיך, ואם formula_35 אז התהליך הוא תהליך בלתי הפיך, כלומר לא ניתן להפוך אותו למצבו ההתחלתי.
הפיזיקאי הגרמני רודולף קלאוזיוס (1862) קשר בין נושא ההפיכות של המערכת ושל האנטרופיה לסידור החלקים בגוף עובד, או במערכת עובדת.
שנים אחריו, ניסה הפיזיקאי האוסטרי לודוויג בולצמן לתרגם את השינויים בסדרים אלה להסתברות של סדר ואי סדר במערכות מולקולריות במצב גז, במילים אחרות הוא חשב על הסיכויים למצוא סדר מסוים במערכת הנמצאת במצב כלשהו.
אחת המשוואות הפשוטות של סדר ואי סדר האנטרופיה פותחה בשנת 1984 על ידי הפיזיקאי פיטר לנדסברג המבוססת על טענות מתרמודינמיקה ומתורת האינפורמציה, משוואה זו מתארת את כמות האי סדר במערכת המכילה n מצבים מובחנים לפי: formula_36, כאשר formula_37 לא ידוע.
בשילוב שתי מערכות זהות מבודדות למערכת אחת, formula_38 יוחלף ב-formula_39, משום שכל מצב מהמערכת הראשונה יכול להשתלב עם כל מצב מהמערכת השנייה, ואת האנטרופיה
formula_40.
מתוך הצבה ב-formula_41 מתקבל:
formula_42
לעומת זאת, כמות האי-סדר צפויה להיות משתנה אינטנסיבי, כלומר: השילוב של שתי מערכות זהות בעלות אותו אי סדר formula_41 גורר שהמערכת המתקבלת גם היא בעלת אותו סדר, כלומר formula_44. ממשוואות אלו נובע כי formula_45 . בהתאם לכך ולעובדות אחרות, המדענים הסיקו שמתקיים formula_46, כאשר "C" קבוע.
מהצבה ב-formula_41 נובע:
formula_48
באשר הקבוע "C" נבחר להיות קבוע בולצמן לקבלת משוואה ללא ממדים, ו-formula_49.
אנטרופיה בתהליכים אדיאבטים.
תהליך אדיאבטי בתרמודינמיקה הוא תהליך המתרחש בתוך מערכת ללא מעבר חום או חומר לסביבה.
כלומר formula_50. אם מציבים זאת בהגדרת הפרש האנטרופיה, מתקבל
formula_51
נמצא כי בתהליכים הפיכים formula_52, ובתהליכים בלתי הפיכים formula_53 משום שמתקיים formula_54.
ולכן, בתהליכים המתרחשים במערכת אדיאבטית formula_55, לפיכך, אין שום תהליך במערכת אדיאבטית שבו מתרחש formula_56. במילים אחרות, האנטרופיה לעולם לא פוחתת.
האנטרופיה של מערכת אדיאבטית בתהליך הפיך גדלה עד הגעת המערכת לשיווי משקל, ומכאן שבשיווי משקל האנטרופיה מרבית במערכת אדיאבטית, ובתהליך ספונטני האנטרופיה גדלה, כאשר תהליך ספונטני הוא שינוי בזמן של מערכת המתרחש ללא צורך השקעת אנרגיה במערכת.
האנטרופיה במכניקת הקוונטים.
במכניקה סטטיסטית קוונטית, האנטרופיה של מערכת מוגדרת על ידי מטריצת הצפיפות שלה, formula_57, בנוסחה:
formula_58
כאשר Tr היא פעולת העקבה. ביטוי זה פותח על ידי המתמטיקאי ההונגרי-אמריקאי ג'ון פון נוימן בשנת 1948, ולכן הוא ידועה גם בשם אנטרופיית פון נוימן.
ביטוי זה שווה ערך להגדרה הקלאסית של האנטרופיה:
formula_59
אנטרופיה והאנרגיה הפוטנציאלית הכובדית.
האנטרופיה של גז היא מקסימלית כשהאטומים מתפלגים הומוגנית, אך ההתפלגות ההומוגנית הזו איננה משתלטת באוויר הפלנטות כמו ההאטמוספירה של כדור הארץ, אשר השדה הגרביטציוני משפיע על צפיפות שכבות האטמוספירה, ומתקבל שהשכבות הנמוכות יותר הן בעלות צפיפות יותר גבוהה מזו של השכבות העליונות.
בעקבות זאת תתקבל סתירה בין שתי המסקנות הבאות:
במקרה כזה ייתכן רק מצב אחד, או מקסימום אנטרופיה או מינימום אנרגיה.
מכאן, ניתן להגדיר את האנרגיה החופשית:
formula_60
כאשר formula_61 היא האנרגיה הפוטנציאלית, T הטמפרטורה ו-S היא האנטרופיה.
ואז אנרגיה זו תהיה מינימלית, והטמפרטורה היא הגודל הדומיננטי.
בטמפרטורות גבוהות.
בגבול של טמפרטורות גבוהות האנרגיה הפוטנציאלית באנרגיה החופשית ניתנת להזנחה ו-"F" תהיה במינימום שלה משום שהאנטרופיה "S" תהיה מקסימלית. ולכן האטמוספירה של כוכבי לכת חמים תפוזר בחלל. בפרט, למרקורי (כוכב חמה) – כוכב הלכת החם ביותר – אין כלל אטמוספירה.
בטמפרטורות נמוכות.
בגבול של טמפרטורות נמוכות, האנטרופיה "S" ניתנת להזנחה, ו-"F" תגיע למינימום משום ש-"U" במינימום. כוכבי הלכת הקרים, שנמצאים רחוק מהשמש שמרו את כל הגזים שלהם, אפילו גז המימן הקל.
אנטרופיה של חורים שחורים.
גם לחור שחור צריכה להיות אנטרופיה. אחרת, אפשר יהיה לזרוק לתוכו חומר שלו אנטרופיה גבוהה, ובכך להוריד את האנטרופיה הכוללת ביקום, בניגוד לחוק השני של התרמודינמיקה. הפיזיקאי הישראלי יעקב בקנשטיין היה הראשון שהציע בשנת 1970 לייחס אנטרופיה לחור שחור. הוא הציע, על סמך הגילוי של סטיבן הוקינג כי השטח הכולל של אופק האירועים כתוצאה ממיזוג בין חורים שחורים לא יכול לקטון, שהאנטרופיה של חור שחור היא פרופורציונלית לשטח אופק האירועים שלו.
בתחילה, התקבלה טענתו בביטול בקהילייה המדעית, כולל מצד הוקינג עצמו, שכן אם לחור שחור יש אנטרופיה, אמורה להיות לו גם טמפרטורה, ואז הוא צריך לקרון כמו גוף שחור. אולם ב־1975 גילה הוקינג כי חור שחור יכול לפלוט קרינה, כתוצאה מזוגות חלקיקים וירטואליים הנוצרים קרוב לפני אופק האירועים שלו. קרינה זו נקראת קרינת הוקינג, וחישובים מתאימים הראו שקרינה זו אכן מתאימה לקיומה של אנטרופיה הפרופורציונלית לשטח החור השחור. בעקבות גילוי זה, נעשה הרעיון למקובל, ואנטרופיה זו מכונה אנטרופיית בקנשטיין־הוקינג.
ארץ ישראל
ארץ ישראל (נקראת בלועזית: פָּלֶשְׂתִּינָה, ובערבית فلسطين, בתעתיק לעברית: פָלַסְטִין) היא חבל ארץ הנמצא בדרום-מערב יבשת אסיה, באגן הים התיכון ובחלק של המזרח התיכון המכונה לבנט, אשר מחולק בין המדינות ישראל, ירדן, לבנון וסוריה. אדמת ארץ ישראל (באנגלית: Land of Israel) הוא מינוח המתייחס לשטח בו נחלו שנים עשר שבטי ישראל משני עברי הירדן. ארץ ישראל המערבית חופפת בקירוב לחלק המערבי של פלשתינה א"י המנדטורית. ארץ ישראל ממזרח לנהר הירדן בה נחלו שניים וחצי השבטים ובכללה הגולן מכונה בשם עבר הירדן המזרחי. ב-1921 הוציאה בריטניה (שקיבלה מנדט על שני עברי הירדן) את רובו הגדול של עבר הירדן המזרחי מתחום ארץ-ישראל (פלשתינה), וייסדה בו את אמירות עבר הירדן לימים מדינת ירדן. שטחי רמת הגולן נכבשו על ידי מדינת ישראל מסוריה, במלחמת ששת הימים.
לארץ ישראל, השוכנת במיקום אסטרטגי בין מצרים, סוריה וחצי האי ערב, נודעה חשיבות רבה מבחינה דתית, תרבותית, מסחרית ופוליטית. מהאלף ה-2 לפנה"ס ועד לימינו, אוכלסה הארץ על ידי עמים שונים וקבוצות אתניות שונות, בהם כנענים, עברים (יהודים), פלשתים, אדומים, יוונים וערבים, וחלקים ממנה היו תחת שלטונן של אימפריות ומדינות שונות, בהן מצרים העתיקה, ממלכות ישראל ויהודה, אשור, בבל, פרס, מצרים התלמיית, הממלכה הסלאוקית, יהודה החשמונאית, האימפריה הרומית, האימפריה הביזנטית, הערבים המוסלמים, הצלבנים, הממלוכים, העות'מאנים, בריטניה, ישראל, ירדן ומצרים. כיום, בתחום ארץ ישראל המערבית חיים מספר כמעט שווה של יהודים ומוסלמים.
בארץ ישראל התחולל חלק ניכר מן ההיסטוריה של עם ישראל, ועל פי התנ"ך היא הארץ אותה הבטיח אלוהים לזרעם של אברהם, יצחק, ויעקב, הקרוי גם בשם "ישראל". לכן העם היהודי, "", רואים בה מרכז לאומי יהודי. כמו כן, האסלאם והנצרות רואות בארץ ישראל מרכז דתי בעל חשיבות היסטורית רבה.
החל מסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20 היה האזור למוקד של סכסוך לאומי בין התנועה הציונית לתנועה הלאומית הפלסטינית. כיום, למעט רצועת עזה, כל שטחה של הארץ, שהיה לפני קום המדינה תחת שלטון המנדט הבריטי, נשלט על ידי מדינת ישראל. הקו הירוק הוא גבול המדינה המוכר על ידי הקהילה הבינלאומית, בעוד בקעת הירדן וחלקים מיהודה ומהשומרון, השוכנים בליבה של הארץ, מוחזקים צבאית על ידי ישראל מאז מלחמת ששת הימים, ומיושבים חלקית בישראלים שהתנחלו באזור. המחלוקת על מעמדו של שטח זה מהווה את אחד מנושאי הליבה של הסכסוך הישראלי-פלסטיני.
על פי נתוני הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה והמנהל האזרחי, בשנת 2022 יהודים ו״אחרים״ היוו 49.84% מהאוכלוסייה בארץ ישראל, לעומת 50.16% פלסטינים. עם זאת, הגיאודמוגרף ארנון סופר ציין כי מדדים אלה אינם מביאים בחשבון קבוצות רבות של מי שאינם יהודים, אשר מספרם הכולל מגיע לכ–650 אלף נפש, וכי עובדה זו מורידה את שיעור היהודים בארץ ישראל ל–46%–47% בלבד.
שמה של הארץ.
השם המקובל בלשונות אחרות לאזור הגאוגרפי המכונה בעברית "ארץ ישראל" הוא פלשתינה (על גרסאותיו בשפות השונות). אף בעברית, השם הרשמי שנתנה בריטניה לשטח המנדט הבריטי, שכלל בעיקר שטחים מארץ ישראל, היה "פַּלֶשְׂתִינָה (א"י)", וכיום בפי הערבים הוא מכונה "פָלַסְטִין". בפי נוצרים מקובל לכנות את הארץ גם בשם "הארץ המובטחת" ו"הארץ הקדושה" ואצל היהודים מקובל לכנותה בשם "ארץ הקודש". כינויים אלה קיימים כמעט בכל השפות שבהן מדברים נוצרים או יהודים בהתייחס לארץ ישראל.
במקרא מכונה ארץ ישראל בשמות רבים בהם: ארץ כנען, ארץ זבת חלב ודבש, הארץ הטובה, ארץ הצבי, ארץ חמדה, ארץ העברים, או בכינוי הארץ ללא כל תוספת. הצירוף המקראי ארץ ישראל מתייחס לרוב לשטחי ממלכת ישראל, ומופיע בספר שמואל, בספר מלכים, בספר יחזקאל ובספר דברי הימים.
ארץ כנען.