אנו מעוניינים בראשוניים בסדרה החשבונית formula_113. באופן עקרוני ניתן לבודד ראשוניים אלה על ידי שימוש בפונקציית משקל שתהיה הפונקציה המציינת של הסדרה החשבונית. אולם פונקציה זאת איננה קרקטר, ולכן מכפלת אוילר לא תקפה עבורה. דיריכלה התמודד עם קושי זה בכך שהוא הציג את הפונקציה המציינת של הסדרה החשבונית בתור צירוף ליניארי של קרקטרים. באופן ספציפי, הוא הוכיח את הטענה הבאה:
טענה זאת היא מקרה פרטי של התמרת פוריה על חבורות אבליות סופיות:
למשפט זה יש הכללה לחבורת אבליות טופולוגיות קומפקטיות מקומית ואף לחבורת לא אבליות.
ניתן להוכיח את המשפט על ידי ליכסון משותף של אופרטורים ממרחב הפונקציות formula_114 לעצמו המתקבלים מהזזה באיברי formula_115. אך יש למשפט גם הוכחות אלמנטריות יותר. שלא משתמשות באלגברה ליניארית. למשל הוא נובע בקלות יחסית מהלמה הבאה:
עובדה זו (הנכונה בנוסח המוכלל formula_116 לכל חבורה סופית) נובעת מ"יחס שור השני" על טבלת הקרקטרים. ניתן להסיק אותה גם מן הלמה הבאה:
למה זאת נובעת בקלות ממשפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית המראה ש-x שייך למחובר ישר ציקלי; אך ניתן גם להוכיח אותה ישירות על ידי הרחבה הדרגתית של קרקטר מתת-חבורה לכל החבורה. כמו כן, במקרה שרלוונטי למשפט דיריכלה formula_117 ניתן גם להוכיח אותה באמצעות ניתוח המבנה של החבורה formula_105 המבוסס על משפט השאריות הסיני.
רדוקציה להתכנסות ואי-התאפסות של פונקציית L של דיריכלה.
עבור פונקציה חסומה formula_119 נסמן formula_120
משפט דיריכלה נובע מהטענה הבאה:
formula_121
כאשר formula_122 היא הפונקציה האופיינית שהוגדרה מעלה.
מאידך formula_123
באופן דומה להסבר מעלה, מכאן, ניתן להסיק ש:
formula_124
כאשר formula_125 היא פונקציה חסומה בקרן formula_126.
אם formula_127 הוא הקרקטר הטריוויאלי אז formula_128 דומה מאוד לפונקציית זטא של רימן, ובפרט formula_129. לכן formula_130. כך שכדי להוכיח ש formula_131 די להוכיח ש formula_132 חסום בסביבת formula_92 עבור formula_127 לא טריוויאלי. במילים אחרות, די להוכיח ש: formula_135
הערה: לשוויונים מעלה יש משמעות ריגורזית רק כאשר formula_88. כמו כן, פונקציית הלוגריתם איננה מוגדרת ביחידות, כך שהטיעון שהוצג איננו ריגורוזי. ניתן לקבל טיעון ריגורוזי בהתבסס על הלמה הפשוטה הבאה:
התכנסות של פונקציית L של דיריכלה.
נקבע קרקטר לא טריוויאלי formula_127 בעל מחזור formula_7.
ההתכנסות (בתנאי) של הטור formula_139 היא טענה פשוטה למדי. היא נובעת בקלות ממבחן דיריכלה להתכנסות טורים ומהלמה הפשוטה הבאה:
למעשה קל להסיק מלמה זאת גם חסם יעיל על קצב ההתכנסות של הטור.
לפיכך, כדי להוכיח את המשפט דיריכלה, די להוכיח את המשפט הבא:
משפט זה לא פשוט כלל, ולמעשה מהווה את עיקר הקושי בהוכחת משפט דיריכלה, אולם, יש הבדל עקרוני משמעותי בינו לבין משפט דיריכלה:
בעוד שגם עבור סידרה חשבונית נתונה, משפט דיריכלה אינו טריוויאלי כלל, משפט זה קל לבדיקה לכל קרקטר דיריכלה נתון: כדי להוכיח את המשפט לקרקטר נותון די לחשב את הסכום החלקי formula_140 עד ל formula_141 גדול מספיק כך שהערכה לשגיאה בחישוב הטור תהיה קטנה מערך הסכום החלקי. אומנם בהיעדר חסם מלרע לערך של פונקציית formula_29 ב -1, אין דרך לדעת כמה זמן יערוך חישוב כזה, אך (בהנחה שהמשפט מתקיים; מה שאנו יודעים בדיעבד) החישוב בהכרח יוכיח אותו בזמן סופי עבור הקרקטר הנתון.
כיוון שיש מספר סופי של קרקטרי דיריכלה עם מנחה (conductor) נתון, טיעון זה מאפשר להוכיח את משפט דיריכלה עבור כל סידרה חשבונית נתונה באמצעות חישוב סופי. במחשב מודרני, קל לבצע את החישוב עד ערכי formula_7 גדולים למדי (אלפים). גם באמצעות חישוב ידני אפשר להוכיח את המשפט לערכי formula_7 שעבורם הוא לא היה ידוע בטרם דיריכלה פיתח שיטה זאת.
מההתכנסות של formula_145 יחד עם הנוסחה למעלה, קל להסיק שההתבדרות של formula_146 גוררת את ההתבדרות של formula_147 לכל formula_6 זר ל- formula_7. במילים אחרות מקבלים רדוקציה של הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה למקרה בו formula_150. עם זאת רדוקציה זאת לא תקפה לגרסה הרגילה של משפט דיריכלה. כך שההוכחה האלגברית שהוסברה למעלה למשפט דיריכלה למקרה formula_150 איננה מספיקה כדי לסיים את ההוכחה. אולם ניתן להתאים את ההוכחה הזאת לכדי הוכחה של הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה ובכך לסיים את ההוכחה. ראו פרוט למטה.
המקרה הלא ממשי.
דיריכלה מצא טיעון פשוט ואלגנטי להוכיח ש formula_152 כאשר לא כל ערכי formula_127 ממשיים. לא כל ההוכחות למשפט דיריכלה משתמשות בטיעון זה. זאת כיוון שאת רוב ההוכחות לאי-התאפסות formula_145 במקרה שערכי formula_127 ממשיים ניתן להתאים גם למקרה הכללי. עם זאת, התאמות אלה בדרך כלל מכבידות על ההוכחה. לכן, הרבה מקורות מציגים את הטיעון של דיריכלה למקרה הלא ממשי בנפרד, ובכך מפשטים את שאר ההוכחה. כך גם נראתה ההוכחה המקורית של דיריכלה.
אפשר לראות בטיעון זה של דיריכלה כטעון דיכוטומיה: או שformula_145 לא מתאפס, או שהוא מתאפס באופן מובהק מספיק שיגרור מסקנות לא הגיונית על התפלגות הראשוניים בסדרה חשבונית שיובילו לסתירה. באופן פורמלי יותר, הטיעון מבוסס על הלמה הבאה:
הרעיון בהוכחת הלמה מבוסס על ניתוח צפיפות דיריכלה של הראשוניים בסדרה החשבונית formula_157: כאמור מעלה צפיפית זאת נתונה על ידי הנוסחה
formula_158
כאשר formula_125 היא פונקציה חסומה בקרן formula_126.
נסמן ב formula_161 את הקרקטר הטריוויאלי.
באופן לא ריגורוזי, אם מניחים בשלילה ש-formula_162 ומציבים formula_92 לנוסחה מקבלים:
formula_164
מה שלא ייתכן כי formula_165.
אמנם אין כל משמעות ריגורוזית לחיבור וחיסור של ערכים אינסופיים, אבל ניתן להפוך טיעון זה לריגורוזי:
L(s,\chi)&lt;/math&gt;
מכאן קל להסיק ש:
formula_166
ולכן גם:
formula_167
קל לראות (על ידי מבחן דיריכלה) ש formula_168 מתכנס עבור formula_127 לא טריוויאלי.
לכן אם מניחים בשלילה ש: formula_170 אז מקבלים ש
formula_171
כמו כן, על ידי השוואת פונקציית זטא של רימן לאינטגרל formula_172 קל להראות כי formula_173 לכן formula_174
בסתירה למה שקיבלנו קודם.
מלמה זאת קל להסיק אי-התאפסות של פונקציית formula_29 לקרקטר לא ממשי:
מטענה זאת ומהנוסחה למעלה קל להסיק את משפט דיריכלה (בגרסה הכמותית) עבור formula_6 שאינו ריבוע מודולו אף מחלק גדול מ-2 של formula_7.
כמו כן, בשיטה דומה, אפשר לקבל רדוקציה של משפט דיריכלה לטענה הבאה:
formula_178
כאשר formula_179 היא הפונקציה המציינת של קבוצת המספרים שהם ריבוע מודולו formula_7.
מהלמה למעלה קל גם להסיק את הטענה הבאה:
קיים formula_181 כך שמשפט דיריכלה נכון לכל formula_7 שאינו מחלק את formula_181. כמו כן, על ידי חישוב של מספר סופי של פונקצוית L, ניתן לחסום מלרע את הערך של formula_181 על ידי חסם גבוהה כרצוננו.
רדוקציה להתבדרות פונקציית זטא של דדקינד.
נקבע קרקטר דיריכלה ממשי formula_127.
נגדיר
formula_186
על ידי פתיחת סוגריים קל להראות כי זהו טור דיריכלה עם מקדמים חיוביים. למעשה (עד כדי מודיפיקציה קלה) זוהי פונקציית זטא של דדקינד עבור הרחבה ריבועית מסוימת של שדה המספרים הרציונליים.
השלב הבא ברוב ההוכחות של משפט דיריכלה הוא להראות שהתבדרות של טור זה ב - formula_92 גוררת ש - formula_188. באופן אינטואיטיבי אפשר להסביר זאת בכך שאם formula_189 אז
formula_190
קל להפוך טיעון זה לריגורוזי, באופן דומה להוכחת הלמה למעלה
קל לראות ש:
formula_191
מתכנס כש formula_92 לכן התבדרות formula_193 שקולה למעשה להתבדרות
formula_194
השקולה להתבדרות
formula_195
זאת בתורה שקולה להתבדרות הטור
formula_196
ההתבדרות האחרונה היא למעשה מקרה פרטי של הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה. ואכן למקרה זה יש הוכחות אלגבריות כמעט לחלוטין שלא עושות שימוש בכל הארגומנטים לעליל, כך שאפשר לראות בכל ההוכחה עד כאן בתור רדוקציה למקרה זה. אולם יש גם הוכחות אנליטיות למקרה זה אשר משתמשות בטיעונים לעליל וספציפית בפירוק
formula_197
שאותו לא ניתן לראות סתם מחקר של קבוצת הראשוניים המקיימים formula_198.
המקרה של קרקטר לא ממשי.
אומנם הראינו איך ניתן לטפל במקרה של קרקטר לא ממשי למעלה, אבל ניתן לטפל גם בו באמצעות פונקציית זטא של דדקינד מתאימה. זאת היא הפונקציה
formula_199
זאת למעשה פונקציית זטא של דדקינד עבור השדה הציקלוטומי formula_200 (עד כדי מודיפיקציה קלה).
גם במקרה זה קל להראות שהתבדרות פונקציה זאת ב formula_92 גוררתformula_152 עבור כל formula_203 ושקול להתבדרות הטור
formula_204 גם במקרה זה, ניתן להוכיח זאת הן בגישה אלגברית והן בגישה אנליטית, אך הוכחות אלה מסובכות יתר מההוכחות למקרה הממשי.
הוכחות אנליטיות.
ההוכחות האנליתיות מתבססות על תופעת הדיכוטומיה הבאה: אם formula_205 אז לא רק שטור הדיריכלה formula_206 מתכנס ב formula_92 אלא הוא גם מתכנס עבור כל formula_90 חיובי. זה מוביל לסתירה מכיוון שקל לראות שהטור formula_209 מתבדר.
באופן מפורט יותר, תחילה כותבים את הפונקציה formula_206 כטור דיריכלה: formula_211 ומוכיחים את הלמה הפשוטה הבאה:
מכאן יש 2 גישות:
הוכחה המשתמשת באנליזה מרוכבת.
תחילה מוכיחים (באמצעות מבחן דיריכלה) שהטור formula_128 מתכנס (בתנאי) כאשר formula_213. לאחר מכן שמים לב כי עבור formula_214 מתקיים:
formula_215