חשיבות הקבוצה הריקה במתמטיקה.
המתמטיקה שואפת להשתמש במספר קטן ככל האפשר של הנחות יסוד (אקסיומות) ושל הגדרות יסוד. תורת הקבוצות מבוססת על מושג אטומי אחד, מושג הקבוצה, ועל יחס אחד - יחס השייכות. אחת האקסיומות במערכת צרמלו-פרנקל קובעת שיש קבוצה ריקה ("קיים formula_20 כך שלכל formula_21, לא נכון ש-formula_22", כלומר, יש קבוצה שאין לה איברים), והגדרת השוויון מבטיחה שקבוצה זו היא יחידה (לכל שתי קבוצות ריקות יש בדיוק אותם איברים).
הקבוצה הריקה משמשת מעין 'אבן בניין' שממנה ניתן לבנות קבוצות רבות נוספות, מה שהופך אותה במובן מסוים לעצם היסודי והבסיסי ביותר במתמטיקה. כך לדוגמה ניתן להגדיר את formula_23 (הקבוצה המכילה את הקבוצה הריקה) ואת formula_24 (הקבוצה המכילה את הקבוצה המכילה את הקבוצה הריקה). באמצעות בניות בנוסח זה ניתן לבנות הגדרות למושגים בסיסיים במתמטיקה כגון מספרים, פונקציות ואובייקטים גאומטריים כגון נקודות, קווים ומעגלים.
מספרים.
בשנת 1923 הציג ג'ון פון נוימן שיטה (המכונה מספור סודר) לבניית המספרים הטבעיים המבוססת על הקבוצה הריקה:
באמצעות המספרים הטבעיים ניתן לבנות את כל מערכות המספרים החשובות: את המספרים השלמים (שנבנים בתור זוג סדור של מספרים טבעיים - כך שהמספר השלם הוא כביכול תוצר החיסור של המספר השני מהמספר הראשון), המספרים הרציונליים (כזוגות סדורים של מספרים שלמים), המספרים הממשיים (כגבול לסדרות של מספרים רציונליים) ואת המספרים המרוכבים (כזוגות סדורים של מספרים ממשיים). באמצעות השיטה הקרטזית ניתן להגדיר מונחים בגאומטריה באמצעות מספרים: נקודה במרחב n ממדי מוגדרת כקבוצה סדורה של formula_31 מספרים ממשיים, קו מוגדר כאוסף נקודות, וכן הלאה.
משחקים.
המתמטיקאי ג'ון הורטון קונוויי פיתח בנייה הקרויה 'מספרים סוריאליסטיים' שלה שימושים רבים בתיאור משחקי אסטרטגיה (כמו נים, איקס עיגול, הקס, דמקה ושחמט) ומבוססת אף היא על תורת הקבוצות ועל הקבוצה הריקה.
הבנייה של קונויי משמשת לתיאור משחקים בהם יש שני שחקנים, ולא מעורבים בהם מזל (כמו במשחקי קובייה) או חוסר ידיעה (כמו במשחק טקטיקו). בבנייה זו כל מצב במשחק מתואר באמצעות שתי קבוצות, הראשונה מתארת את המצבים שאליהם יכול להגיע השחקן הראשון אם זה תורו, והשנייה מתארת את המצבים אליהם יכול להגיע השחקן השני אם זה תורו. המצב הבסיסי במשחק הוא:
formula_32
שפירושו שלאף שחקן אין מהלכים אפשריים, כלומר מי שתורו לשחק מפסיד. ומכאן ניתן לבנות מצבים נוספים, לדוגמה:
formula_33
הוא מצב שבו לשחקן הראשון יש מהלך שמביא את המשחק למצב האפס, ואילו לשחקן השני אין מהלך לבצע. למצבים מעין זה ניתן להצמיד ערך מספרי שפרושו כמה מהלכים עודפים יש לשחקן הראשון לבצע, יחסית לשחקן השני. על מצבים כאלה ניתן לערוך פעולות חשבון כמו חיבור וכפל, בדומה למספרים רגילים. מנגד אפשר לתאר בבניה של קונויי גם מצבים שלא ניתן להצמיד להם ערך מספרי רגיל, כמו המצב:
formula_34
שפירושו שלשני השחקנים יש מהלך אחד אפשרי המביא את המשחק למצב האפס, שממנו מפסיד היריב; במילים אחרות - מי שתורו לשחק מנצח.
אקסיומת הקבוצה האינסופית
אקסיומת הקבוצה האינסופית (או אקסיומת האינסוף) היא אחת האקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית. לפי אקסיומה זו, קיימת קבוצה אינסופית, ובפרט, קיימת קבוצה כזו שכוללת את המספרים הטבעיים (על פי הבנייה של פרגה).
ניסוח.
קיימות מספר דרכים לנסח את האקסיומה, אולם הפשוטה והמקובלת ביותר מביניהן אשר איננה עושה שימוש בהגדרתם של מספרים סודרים היא זאת:
קיימת קבוצה formula_1 כך שמתקיים formula_2, ולכל formula_3 מתקיים formula_4, כאשר formula_5. כלומר, formula_6.
הקבוצה formula_1 כוללת את המספרים הטבעיים, משום שעל פי הבנייה של פרגה, אפס מוגדר בתור הקבוצה הריקה, ופונקציית העוקב
מוגדרת בתור הפונקציה formula_8.
עצמאות.
אקסיומת האינסוף עצמאית ביחס לשאר אקסיומות ZFC, בהנחה שהיא עקבית.
ניתן לבנות מתוך ZFC מודל שמקיים את כל האקסיומות חוץ מאקסיומת האינסוף - זה יהיה אוסף כל הקבוצות הסופיות תורשתית - formula_9 בסימון של יקום פון-נוימן. אוסף זה מורכב מכל הקבוצות הסופיות שכל איבריהן הן קבוצות סופיות תורשתית (הגדרה זו איננה מעגלית, לפי אקסיומת היסוד). קל לראות שמודל זה מקיים את כל האקסיומות של ZFC למעט אקסיומת האינסוף.
אקסיומת האינסוף מבטיחה את קיום המונה האינסופי הראשון 0א (אָלֶף אֶפֶס). כמו שהערנו, אוסף כל הקבוצות שמתחתיו (במובן של הדרגה שלהן ביקום פון-נוימן) הוא מודל ל-ZFC כאשר אנחנו מחליפים את אקסיומת האינסוף בשלילתה. מהבחינה הזו, 0א מתנהג כמו מונה גדול ולכן יש מתמטיקאים שמתייחסים לאקסיומות שעוסקות בקיום מונים גדולים כחיזוקים של אקסיומת האינסוף.
ירח
ירח (או לוויין טבעי) הוא עצם טבעי המקיף כוכב לכת, כוכב לכת ננסי או עצם אחר הגדול ממנו כתוצאה מהשפעת כוח הכבידה. טכנית, גם כוכבי לכת יכולים להיחשב ירחים של הכוכב אותו הם מקיפים, או כוכבים המקיפים את מרכז הגלקסיה, אולם שימוש זה במילה ירח אינו מקובל.
מקור הירחים.
לווין טבעי המקיף מקרוב את כוכב הלכת שלו במסלול קרוב למעגל נוצר ככל הנראה מאותו אזור קריסה של הדיסקה הקדם-פלנטרית שממנה נוצר כוכב הלכת. בניגוד לכך, ירחים לא-שגרתיים, המקיפים את כוכב הלכת במרחק גדול ממנו, במסלולים אקסצנטריים או כאלה שהם נגד כיוון הסיבוב של כוכב הלכת, הם ככל הנראה אסטרואידים שנלכדו בכוח המשיכה של כוכב הלכת. לעיתים אסטרואיד אחד כזה מתפרק לכמה חלקים ויוצר מספר ירחים מסוג זה.
בדרך כלל, ירחיו של עצם שמימי קטנים ממנו באופן ניכר. מערכת כדור הארץ-הירח ומערכת פלוטו-כארון הן יוצאות דופן בכך שההבדל בין גודל כוכב הלכת שבהן וירחו אינם גדולים. קוטר הירח גדול מעט מרבע קוטרו של הארץ וקוטרו של כארון גדול אך במעט ממחצית קוטרו של פלוטו. כל אחת משתי המערכות האלה נוצרה, ככל הנראה, מהתנגשות של שני גרמי שמיים.
מאפייני המסלול של הירחים.
למרבית הירחים הרגולריים במערכת השמש יש צד אחד ש"נעול" על כוכבי הלכת שאותם הם מקיפים. משמעות הדבר היא שהם איבדו תנע זוויתי כתוצאה מפעולת כוח של כוכב הלכת על בליטת הגאות הפונה אל כוכב הלכת ונעים בהקפה סינכרונית, כך שהם מפנים תמיד את אותו צד כלפי כוכב הלכת. יוצאים מכלל זה הירח היפריון המקיף את שבתאי ומסתובב באופן כאוטי בשל מגוון השפעות חיצוניות, כמו ירחי פלוטו הידרה וניקס. בניגוד לכך, מרבית הירחים החיצוניים של ענקי הגז - ירחים אי-רגולריים נמצאים רחוק מספיק מכדי להינעל. לדוגמה הירח הימליה של צדק, הירח פיבי של שבתאי והירח נראיד של נפטון הם בעלי משך סיבוב של 10 שעות בהשוואה למשך הקפתם את כוכב הלכת שלהם הנמדדת במאות ימים.
מצב שבו שלושת הגופים (הירח, הכוכב וכוכב הלכת) נמצאים על קו ישר אחד יכול לגרום לליקוי מאורות (ליקוי ירח או ליקוי חמה).
ירחים של ירחים.
במערכת השמש אין דוגמה ל"ירח של ירח". אין ביטחון שמערכת כזו תוכל להיות יציבה בטווח ארוך. במרבית המקרים, כוח הכבידה של כוכב הלכת יהפוך מערכת כזו לבלתי יציבה. כאשר מחשבים את מסלולו של "ירח של ירח" יש לקחת בחשבון את כוחות הכבידה של הכוכב, של כוכב הלכת, של הירח ושל ירחים אחרים וכל אלו עלולים לשנות את מסלולו של העצם הנדון עד שהוא יתפרק, יתרחק או יקרוס לתוך כוכב הלכת.
ירחים טרויאניים.
לשני ירחים במערכת השמש ידוע שיש מלווים קטנים בנקודות לגראנז' L4 ו-L5, כלומר 60 מעלות לפני ואחרי העצם, באותו המסלול. מלווים אלה מכונים ירחים טרויאניים, משום שמיקומם דומה לאסטרואידים טרויאניים ביחס לצדק. הירחים שבהם מדובר הם הירחים של שבתאי טלסטו וקליפטו הנחשבים לירחים שבאים לפני ואחרי תטיס, וכן הלנה ופולידיקוס, החולקים את מסלולו של דיוני.
ירחים של אסטרואידים.
גילויו בשנת 1993 של ירחו של האסטרואיד 243 אידה, שזכה לשם דקטיל הוכיח כי לכמה אסטרואידים יש ירחים. אחרים כמו אנטיופה, הם מערכות של אסטרואיד כפול המכילות שני אסטרואידים בגודל דומה. לאסטרואיד סילביה יש שני ירחים.
ירחים במערכת השמש.
במערכת השמש עשרות רבות של ירחים, ומדי שנה מתגלים מספר ירחים נוספים, בעיקר סביב צדק ושבתאי. בעוד שמרבית הירחים הסובבים את כוכבי הלכת החיצוניים (וגם ירחי מאדים) הם אסטרואידים שנלכדו, בסוף המאה ה-20 החלו להתגלות אסטרואידים רבים אשר להם גם ירחים.
לכדור הארץ יש ירח אחד. למאדים יש שני ירחים. לצדק (הנקרא גם יופיטר) 79 ירחים, בהם ארבעה גדולים שניתן לראות במשקפת הקרויים גם הירחים הגליליאניים, ובהם ל-50 יש שמות. לשבתאי 82 ירחים ובהם ל-53 יש שמות. לאורנוס 27 ירחים. לנפטון 14 ירחים. לפלוטו 5 ירחים. לאריס ירח אחד. להאומיה שני ירחים.
חלק מהאסטרואידים מלווים גם הם בירח או במספר ירחים. לדוגמה, האסטרואיד 243 אידה מלווה בירח בשם דקטיל (Dactyl). גם את האסטרואיד סדנה, המצוי בחגורת קויפר מקיף ירח.
נכון לשנת 2021, טרם נתגלו ירחים חוץ-שמשיים אף על פי שנתגלו הרבה כוכבי לכת חוץ-שמשיים. מדענים משוכנעים שיש כוכבי לכת וירחים רבים מחוץ למערכת השמש, אלא שבשל תכונותיהם הפיזיות, קשה, לפי שעה, לצפות בהם אף שישנם כמה ירחים משוערים.
טרמינולוגיה.
עד לגילוי ארבעה מירחי צדק בידי גלילאו בשנת 1610, הירח היחיד שהיה מוכר היה הירח של כדור הארץ. ולפיכך לא זכו עצמים אלה לסיווג מיוחד. גלילאו בחר להתייחס לעצמים שגילה פשוט כאל כוכבי לכת, אך מגלים מאוחרים יותר בחרו במונחים אחרים כדי להבדיל בין העצמים הללו מהגוף אותו הם מקיפים.