פקיסטן היא המדינה החמישית בגודל אוכלוסייתה בעולם. עובדה זו, יחד עם הגידול הטבעי הגבוה של פקיסטן (1.6%), עלולה לגרום להתפוצצות אוכלוסין במדינה. אם קצב הגידול הטבעי ימשיך ברמתו הנוכחית, עד 2030 תהיה פקיסטן המדינה המוסלמית הגדולה בעולם, ובשנת 2050, המדינה השלישית בגודל אוכלוסייתה בעולם. תוחלת החיים במדינה עומדת, נכון לשנת 2011, על 68 שנים לנשים ו-64 לגברים.
דת בפקיסטן.
כ-95% מהפקיסטנים הם מוסלמים. מרביתם סונים, עם מיעוט שיעי שמוערך בכ-10% עד 20% מהאוכלוסייה, וכ-2% אחמדים. יש מספר מצומצם של מיעוטים שונים, בעיקר הינדים (1.6%), נוצרים (1.6%) ומעט סיקים ובודהיסטים.
יהדות פקיסטן.
בתחילת המאה ה-20 חיו בעיר קאראצ'י כ-2,500 יהודים ועוד כמה עשרות בעיר פשאוור. רובם המכריע עלו לישראל לאחר הקמת המדינה. קהילה יהודית קטנה מתגוררת עדיין בקראצ'י.
שפה.
השפה הרשמית היא אורדו. אנגלית משמשת בתור שפת הממשלה, העסקים הגדולים והאליטה המשכילה. כל האוניברסיטאות במדינה מלמדות באנגלית. אורדו משמשת כשפתם של פשוטי העם. פרט לשפות אלה, כמעט כל הפקיסטנים מדברים שפות נוספות, כגון פאשטו (בעיקר פתאנים), פנג'אבי ועוד.
תרבות.
התרבות הפקיסטנית מגוונת מאוד. המקור לרב-תרבותיות נמצא בכיבושים הרבים שעברו על האזור הזה. העמים הכובשים השתנו במהלך השנים וכך תרמו מתרבותם לאזור. בין הכובשים ניתן למנות את: ההונים, פרסים, ערבים, טורקים, מונגולים, אנגלים וכמה עמים נוספים.
למרות היחסים המתוחים עם הודו, הסרטים ההודים פופולריים מאוד בפקיסטן. הקרנת סרטים אלה אסורה על-פי החוק, אך למרות זאת ניתן למצוא רבים מהם בקלות רבה במדינה. תעשיית הקולנוע המקומית נקראת לוליווד (Lollywood), ומייצרת בערך 40 סרטים באורך מלא מדי שנה. המוזיקה גם היא פופולרית מאוד והרוב אוהבים מוזיקה מקומית או מערבית. יש גם ניסיונות לשלב בין השתיים.
הגלובליזציה הגדילה את השפעת המערב על התרבות הפקיסטנית. רשתות מזון מהיר כמו מקדונלד'ס ופיצה האט הקימו סניפים רבים במדינה. בו בזמן קיימות תנועות המתנגדות לגלובליזציה וקוראות לחזרה לערכים הישנים.
פזורה פקיסטנית גדולה חיה בחו"ל, בעיקר בממלכה המאוחדת, ארצות הברית, קנדה ואוסטרליה. מספר לא מבוטל של פקיסטנים חי במזרח התיכון. המהגרים משפיעים על פקיסטן בהבאת רעיונות חדשים והשקעות חוץ דולריות.
ענף הספורט החשוב ביותר הוא הקריקט ונבחרת פקיסטן אף זכתה פעם אחת בגביע בינלאומי בענף זה. הוקי שדה נמנה גם הוא עם ענפי הספורט הפופולריים.
14 באוגוסט
14 באוגוסט הוא היום ה-226 בשנה (227 בשנה מעוברת), בשבוע ה-33 בלוח הגרגוריאני. עד לסיום השנה, נשארו עוד 139 ימים.
פאקיסטאן
פאקיסטן
ציפור
אופטימיזציה (מתמטיקה)
אוֹפּטִימִיזַצְיָה מתמטית, או מִטּוּב, הוא תת-תחום במתמטיקה שימושית שעוסק במציאת הערך האופטימלי של פונקציה תחת מגבלות אילוצים נתונות. בעיות אופטימיזציה מופיעות בתחומים רבים כגון: מדעי המחשב, הנדסה, חקר ביצועים וכלכלה.
בעיות אופטימיזציה יכולות לעסוק בפונקציות ממשיות, בפונקציות במספר משתנים, בפונקציות מרוכבות, בפונקציונלים וגם בפונקציות שמקבלות ערכים בדידים בלבד.
הקביעה איזה ערך נחשב לאופטימלי תלויה בנתוני הבעיה. בבעיות מסוימות הערך האופטימלי הוא הערך המינימלי שמקבלת הפונקציה הנתונה תחת הגבלות האילוצים, ובבעיות מסוימות זהו הערך המקסימלי. הקושי במציאת הערך האופטימלי תלוי בפונקציה העלות המבוקשת ובתחום בו יש לבצע אופטימיזציה.
הצורה הסטנדרטית.
הצורה הסטנדרטית של בעיית אופטימיזציה היא:
ומקיים את האילוצים:
כאשר:
formula_4 ו-formula_5 ביחד נקראות האילוצים (לפעמים גם ההגבלות) של הבעיה.
כאשר formula_8, הבעיה נקראת בעיית אופטימיזציה לא מאולצת (כלומר הבעיה היא מציאת מינימום גלובלי של הפונקציה במרחב formula_9).
כאשר הבעיה היא בעיה של מציאת מקסימום (לדוגמה בעיית תרמיל הגב, שבה נדרש למקסם את שווי המחיר של העצמים בתיק), נוכל להפוך אותה לבעיית מציאת מינימום על ידי החלפת פונקציית העלות formula_2 בפונקציה formula_11 כך:
אזי יתקיים השוויון הבא:
ולכן כל נקודת מקסימום של הפונקציה formula_14 היא נקודת מינימום של הפונקציה formula_15, ומכך נקבל שהבעיה של מציאת מינימום של הפונקציה formula_15 שקולה למציאת מקסימום של הפונקציה formula_14.
היסטוריה.
כבר במאה ה-17 הוכיח פרמה את משפט פרמה לזיהוי נקודות קיצון על ידי נגזרות. לגראנז' הציג את כופלי לגראנז', שנועדו לאפשר מציאת נקודות קיצון מקומיות של הפונקציה בכפוף לאילוצים. ניוטון וגאוס היו הראשונים להציג שיטות איטרטיביות שמתכנסות לעבר המינימום. ניוטון הציג זאת על ידי הכללה של שיטת ניוטון רפסון, וגאוס על ידי אלגוריתם גאוס-ניוטון, שהוא למעשה תיקון של השיטה הקודמת.
בשנות ה-30 של המאה ה-20 פיתח לאוניד קנטורוביץ' את התכנון הליניארי, ובשנות ה-40 פיתח ג'ורג' דנציג את שיטת הסימפלקס. בשנות ה-50 פיתח ריצ'רד בלמן את משוואות בלמן למציאת אופטימליות בבעיות בקרה, ואת אלגוריתם בלמן-פורד למציאת המסלול הקל ביותר מצומת מסוים לכל שאר הצמתים בגרף. באותה תקופה פרסם רוברט פלויד את אלגוריתם פלויד-וורשאל ודייקסטרה פיתח את אלגוריתם דייקסטרה.
שיטות חישוביות.
קיימים אלגוריתמים שונים לפתרון בעיות אופטימיזציה, חלקם מסתיימים לאחר מספר סופי של צעדים, חלקם מבוססים על שיטות איטרטיביות המתכנסות לפתרון וישנם אלגוריתמים שמבוססים על היוריסטיקה שעשוים לתת קירוב לפתרון לבעיה (אך לא מובטחת בהם התכנסות לפתרון).
שיטות אופטימיזציה איטרטיביות.
אופטימיזציה רציפה.
שיטות איטרטיביות נפוצות לפתרון בעיות תכנון לא-ליניארי, וניתן לסווג אותן על פי התבססותן על ערך הפונקציה בלבד, על הגרדיאנט של הפונקציה או על ההסיאן שלה. שיטות המבוססות על הגרדיאנט או על הסיאן עשויות להתכנס מהר יותר עבור פונקציות שיש להן כאלו, אך לעיתים החישוב שלהם מורכב חישובית.
אחת מאמות המידה החשובות בהקשר של שיטות איטרטיביות הוא מספר הפעמים שנדרשים לשערך את ערך הפונקציה, שכן שערוך הפונקציה עשוי להיות יקר. עבור פונקציה בעלת N משתנים, שערוך של הנגזרת עשוי להיות כרוך בלפחות formula_18 שערוכים של הפונקציה, ואילו שערוך של הנגזרת השנייה (לצורך מטריצת ההסיאן) עשוי להיות כרוך בסדר גודל של formula_19 שערוכים של הפונקציה. לדוגמה, הרחבת שיטת ניוטון-רפסון לאופטימיזציה שמתבססת על נגזרת שנייה מצריכה בכל איטרציה לשערך את הפונקציה בסדר גודל של formula_19 פעמים, ולעומתה שיטה המתבססת על הגרדיאנט בלבד מצריכה סדר גודל של formula_21 שערוכים של הפונקציה. עם זאת, שיטות מבוססות גרדיאנט ידרשו לרוב יותר איטרציות עד להתכנסות.
בין השיטות המשתמשות בחישוב ההסיאן ניתן למצוא את הרחבת שיטת ניוטון-רפסון לאופטימיזציה, ואת אלגוריתם פרנק-וולף שמשמש לפתרון בעיות אופטימיזציה קמורה, ובין השיטות המשתמשות בחישוב הגרדיאנט ניתן למצוא את Gradient descent.
אופטימיזציה בדידה.
בין השיטות האיטרטיביות באופטימיזציה בדידה נוכל למצוא את אלגוריתם חיפוש מקומי שבכל איטרציה בוחר את האפשרות הטובה ביותר להתקדם מהמצב הנוכחי עד להגעה למצב שטוב יותר מכל שכניו (כלומר אין למצב שכנים טובים ממנו). אלגוריתמים כאלו יכולים לפתור לדוגמה הרחבה של חידת 8 המלכות בעבור formula_22 מלכות.
שיטות אופטימיזציה היוריסטיות.
בין השיטות שמשתמשות בהיוריסטיקה באופטימיזציה בדידה נוכל למצוא את חיפוש A* לחיפוש בגרף ובאופטימיזציה רציפה נוכל למצוא את אלגוריתם Hill-Climbing.
אופטימיזציית הנחיל ואופטימיזציית הגחלילית הן שיטות אופטימיזציה מטה-היוריסטיות. דהיינו, לא נסמכות על תכונה כלשהי של הבעיה לפתרון אלא מספקות מנגנון כללי למציאת פתרון.
שימושים.
כלכלה.
מיקרו-כלכלה.
הניתוח הבסיסי של מיקרו-כלכלה מתבסס על הנחות התחרות המשוכללת, שבה אחת מהנחות היסוד היא התנהגות רציונלית של המוכרים והקונים. כלומר מניחים שמטרת הקונים היא למקסם את התועלת שלהם, בעוד שחברות והמוכרים ינסו למקסם את הרווח שלהן. בהתקיים הנחות אלו, על פי הכלכלה הנאו-קלאסית, השוק יתנהל לפי חוקי הביקוש וההיצע, וישאף להגיע לשיווי משקל וליעילות פארטו באמצעות מנגנון "היד הנעלמה". תחת הנחות אלו אפשר להפעיל שיטות אופטימיזציה כדי לחזות את התנהגות השחקנים בשוק. בעקבות התפתחות הענף של כלכלה התנהגותית שמצביע על כך שהשחקנים פועלים עם רציונליות מוגבלת והטיות קוגניטיביות, כלכלנים פיתחו מודלים של אופטימיזציה סטוכסטית שמתבססים על תאוריית תוחלת התועלת של ג'ון פון נוימן ואוסקר מורגנשטרן, ועל כלים מתורת המשחקים שמסוגלים להגיע לתוצאות אופטימליות תוך התחשבות בתנאי אי ודאות.
בעיות רבות במיקרו-כלכלה הן בעיות אופטימיזציה, לדוגמה: בעיית מיקסום התועלת (כיצד הקונה יכול למקסם את התועלת שלו) היא בעיית אופטימיזציה.
מקרו-כלכלה.
במקרו-כלכלה כלכלנים משתמשים במודלים של אופטימיזציה סטוכסטית כדי לתאר את תנודות השוק כתוצאה מהחלטות אופטימליות של צרכנים, מוכרים, חברות וממשלות.
חקר ביצועים.
בחקר ביצועים נעשה שימוש באלגוריתמי אופטימיזציה סטוכסטית כדי למדל קבלת החלטות בתנאי אי ודאות. לדוגמה, בתורת ההחלטות. נעשה גם שימוש באלגוריתמי אופטימיזציה בדידה כדי למצוא את הדרך היעילה ביותר לנצל משאבים מוגבלים. לדוגמה, פיזור מיטבי של מוקשיים ימיים או תחנות מכ"ם.
הנדסה.
תחומים רבים בהנדסה משתמשים בשיטות אופטימיזציה בתכנון העבודה:
הנדסת חשמל.