אלישע ביקש מהאלמנה כי תרחיק ממנה כל כלי שתמלא, על מנת שיתפנה מקום לכלי הבא אחריו, " וְיָצַקְתְּ, עַל כָּל-הַכֵּלִים הָאֵלֶּה; וְהַמָּלֵא, תַּסִּיעִי". מכאן ברור כי הייתה זקוקה לבניה שיקרבו אליה את הכלים, כדי שתוכל לצקת בתוכם את השמן מתוך האסוך, מבלי להזיזו ממקומו, כפי שרש"י פירש: "ואת המלא תסיעי מלפניך, ותתני כלי אחר למלאותו וצלוחית השמן לא תזיזי ממקומו". ישנם מספר פרשנויות באשר להוראה זו של אלישע. הפרשן הספרדי רבי יעקב פידנקי שאל מדוע היה על הבנים לטרוח בטלטול כל החביות והכדים, בשעה שאפשר היה ביתר קלות לטלטל את פך השמן הקטן. רלב"ג השיב כי הוראתו של אלישע אפשרה לאלמנה לצקת את השמן ביציקה אחת, ללא הפסקה, כדי שהנס יוכל להתרחש ברציפות. הרד"ק הציע "כי מעשה נס לא יהיה אלא במקום שהתחיל בו" , ואילו רש"י סבר כי אלישע התכוון לדמות את נס אסוך השמן למעיין נובע. ומכיוון שמעיין אינו יכול לזוז ממקומו, על הבנים היה לזוז במקומו.
צמצום הנס.
הרב סמט מבהיר כי דימוי אסוך השמן למעיין שממנו נובעים מים באופן תמידי, נועד לקשור את הנס לתופעה הקיימת בטבע, כדי לצמצם במידת מה את חריגותו. לכן כאשר פסקה היציקה לאחר שכל הכלים התמלאו, הפסיק השמן להתרבות. "וַיְהִי כִּמְלֹאת הַכֵּלִים, וַתֹּאמֶר אֶל בְּנָהּ: הַגִּישָׁה אֵלַי עוֹד כֶּלִי וַיֹּאמֶר אֵלֶיהָ: אֵין עוֹד כֶּלִי, וַיַּעֲמֹד הַשָּׁמֶן". זאת ועוד, אלישע הבין כי מטרתו הושגה וכי אין צורך להרחיב את הנס, ביודעו כי "נס שאין בו הכרח הוא מיותר". כמו כן מגמת צמצום הנס, נועדה גם למנוע מצג שווא, כאילו האישה ניחנה בכוחות על טבעיים. הרמב"ם, התייחס אף הוא לצמצום הנס באיגרת תחיית המתים: "דע, כי המופת בדברים הנמנעים בטבע אינו משתהה כלל, ולא יאריך, ולא ישאר במצבו. כי אילו התמיד הדבר, היה אפשר לחשוד במופת. כי אילו נשאר המטה תנין, היו חושדים שהוא היה תנין מעיקרו..."
השימוש בשמן.
רד"ק הבהיר מדוע חזרה האלמנה אל אלישע לאחר שכל הכלים התמלאו בשמן, "וַתָּבֹא, וַתַּגֵּד לְאִישׁ הָאֱלֹהִים". הוא הסתמך על מדרש מתוך 'תרגום של תוספתא' והניח כי האלמנה
באה לומר לנביא, כי השמן התרבה ועתה רוצה היא לוודא אם אכן נועד השמן למכירה כפי שסברה מלכתחילה, והאם חייבת היא בתשלום מעשר על שמן זה שמקורו בנס. אלישע ענה לאישה "לכי מכרי את השמן ושלמי את נשיך". במילים הללו הוא הורה לה למכור את השמן, אך פטר אותה מתשלום מעשר ולמעשה הצביע על כך כי אין להתייחס לשמן שמקורו בנס, כלשמן רגיל. בהמשך דבריו, "וְאַתְּ בניכי (וּבָנַיִךְ) תִּחְיִי בַּנּוֹתָר", הודיע לה כי למרות מגבלתו של הנס, שנעשה יש מיש, שנעשה במקום אחד, שנעשה כמעט באין רואים, היא ובניה לדורותיהם ימשיכו ליהנות מפירותיו.
משפט הקירוב של ויירשטראס
משפט הקירוב של ויירשטראס הוא תוצאה יסודית בתורת הקירובים ובאנליזה פונקציונלית, הקובעת שכל פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום ניתנת לקירוב במידה-שווה על ידי פולינומים. במילים אחרות, המשפט קובע שתת-מרחב הפולינומים מהווה קבוצה צפופה במרחב הפונקציות הרציפות על קטע סגור וחסום.
משפט סטון-ויירשטראס מהווה הכללה חשובה של משפט זה.
המשפט.
פרספקטיבה אחרת בה ניתן לגשת למשפט זה, היא התייחסות למרחב הפולינומים כתת-מרחב של מרחב הפונקציות הרציפות.
באופן כללי, בהינתן קטע ממשי סגור וחסום formula_2 כלשהו, מסמנים ב-formula_5 את מרחב הפונקציות הרציפות formula_6, שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת formula_7-אינסוף": formula_8.
לא קשה לראות שסדרת פונקציות מתכנסת תחת נורמת formula_7-אינסוף אם ורק אם היא מתכנסת במדה שווה. לפיכך הנוסח הבא שקול לחלוטין למשפט הקירוב בנוסח שהזכרנו:
הוכחה.
קיימות הוכחות שונות למשפט זה. כאן לא נביא את הוכחתו המקורית של ויירשטראס, אלא הוכחה נפוצה של המתמטיקאי הרוסי סרגיי ברנשטיין שבה עושים שימוש בפולינומי ברנשטיין. פולינומים אלו הם תת-קבוצה של אוסף הפולינומים, ובמסגרת הוכחה זו נראה שאפילו תת-קבוצה מסוימת זו צפופה במרחב formula_5.
פולינומי בסיס של ברנשטיין הם פולינומים מהצורה formula_16.
קל לראות מהבינום של ניוטון שמתקיים השוויון:
formula_17
זהות עקרונית נוספת המתקיימת לפולינומים אלה, היא שלכל formula_18 מתקיים אי השוויון:
formula_19.
ניגש להוכחת המשפט. נראה שבהינתן פונקציה רציפה formula_20, לכל formula_21 קיים פולינום formula_22 מתאים כך שמתקיים formula_23.
אם כך, בהינתן פונקציה formula_24 כנ"ל נגדיר לכל n טבעי את הפולינום formula_25. נראה שלכל formula_21, לכל n מספיק גדול מתקיים כי formula_27.
יהי formula_28. נזכור שהפונקציה formula_24 רציפה בקטע סגור וחסום ולכן היא חסומה בו על ידי formula_30 כלשהו. מאותה עובדה נובע גם כי היא רציפה במידה שווה בקטע, לכן לכל formula_21, בפרט עבור formula_32 הנתון, קיים formula_33 מתאים כך שלכל formula_34 אם formula_35 אז formula_36. נחשב:
formula_37
formula_38
formula_39
formula_40
formula_41
formula_42
נשים לב שהחסם שקיבלנו אינו תלוי במשתנה x, ולכן מדובר בחסם במידה-שווה על formula_43, שמתקיים לכל n טבעי. אם כך ברור שעבור N מספיק גדול מתקיים:
formula_44
נמל התעופה הבין-לאומי של סוצ'י
נמל התעופה הבין-לאומי של סוצ'י (ברוסית: Международный Аэропорт Сочи), שכונה בעבר נמל התעופה הבינלאומי של אדלר-סוצ'י (Международный Аэропорт Адлер-Сочи), הוא נמל תעופה השוכן ברובע אדלר במזרחה של העיר סוצ'י ברוסיה. הנמל ממוקם בעמק הנהר מזימטה בגובה של 27 מטרים מעל פני הים, כשני ק"מ מחופי הים השחור וכ-22 ק"מ ממרכז העיר.
היסטוריה.
במקום שכן שדה תעופה קטן אשר הוקם בין 8 ביולי ל-1 בספטמבר 1941 כדי להגן על חופי הים השחור של רוסיה במלחמת העולם השנייה. נמל התעופה נוסד לאחר תום המלחמה, ב-23 בנובמבר 1945, ובשנה שלאחר מכן עשו בו שימוש 17,000 נוסעים. ב-1956 נבנה בנמל טרמינל ונסלל בו מסלול הטיסה הראשון. בשנת 1957 כבר טיפל הנמל ב-35,000 נוסעים ובמטען במשקל כולל של 1,000 טון. במחצית הראשונה של שנות ה-60 של המאה ה-20 הוקמו בנמל טרמינל נוסעים (כיום הטרמינל הישן) ומסוף מטען חדשים וכן בית מלון ובו 200 חדרים. ב-1981 החל הנמל לשרת קווי טיסה בינלאומיים. בשנת 2006, לקראת משחקי החורף האולימפיים של אולימפיאדת סוצ'י, הוחלט להפריט את הנמל, וב-20 בנובמבר 2006 הוא נמכר, תמורת סכום של כ-5 מיליארד רובל, לחברת ההשקעות "בייסיק אלמנט" (Basic Element) שבבעלות אולג דריפסקה. בשנת 2009 נחנך טרמינל הנוסעים החדש, ובשנת 2013 נוסף לנמל טרמינל אח"מ.
הנמל.
בשדה שני מסלולי טיסה מבטון באורך של 2,890 מטר (06-24) ו-2,200 מטר (02-20), אשר שופצו לקראת המשחקים האולימפיים ונסללו מחדש, והוא מסוגל לטפל במטוסי נוסעים עד לגודל של בואינג 767 ואיליושין Il-96. בטרמינל החדש הותקנו 10 שערי עלייה למטוס, וקיבולת הנוסעים שלו עומדת על 3,800 איש בשעה, ו-4 מיליון נוסעים בשנה. בשנת 2013 עשו 2,427,676 מיליון נוסעים שימוש בנמל התעופה, והוא דורג מבחינה זו במקום השמיני ברוסיה. התחבורה הציבורית אל השדה מבוססת על שירותי אוטובוסים ומוניות שירות, וכן קו הרכבת "אירואקספרס" (Aeroexpress) שנחנך בסוף 2013 ומקשר אותו אל מרכז העיר.
משפט קרונקר-קפלי
שימבארה (פירושונים)
ג'ים הארבו
ג'יימס ג'וזף "ג'ים" הארבו (באנגלית: James Joseph "Jim" Harbaugh, נולד ב-23 בדצמבר 1963) הוא שחקן פוטבול לשעבר ששיחק בעמדת הקוורטרבק בליגת ה-NFL. אימן קבוצת סן פרנסיסקו 49' מליגה זו. מאז 2014 מאמן את קבוצת הפוטבול של אוניברסיטת מישיגן.
ביוגרפיה.
נולד בטולדו שבאוהיו. אביו ג'ק היה מאמן פוטבול, והמשפחה נדדה עמו בעקבות עבודתו בקבוצות פוטבול שונות לקנטקי, איווה, מישיגן וקליפורניה. הארבו למד ושיחק פוטבול בתיכון "אן הארבור" במישיגן ותיכון "פאלו אלטו" בקליפורניה, אותו סיים ב-1982. לאחר מכן חזר למישיגן ושיחק שלוש עונות בליגת המכללות בקבוצת הפוטבול של אוניברסיטת מישיגן. ב-1986 הוביל את קבוצתו למשחק הרוז בול (בו היא הפסידה לאוניברסיטת המדינה של אריזונה).
בסיבוב הראשון של דראפט 1987 נבחר על ידי קבוצת שיקגו ברס, בה שיחק עד 1993. לאחר מכן עבר לקבוצת אינדיאנפוליס קולטס; אחד מהישגיו במסגרת משחקו בה היה ב-1995, כאשר הוביל אותה לגמר אליפות ליגת AFC (בו הפסידה לפיטסבורג סטילרס). ב-1998 עבר לבולטימור רייבנס, ומ-1999 שיחק בסן דייגו צ'רג'רס. סך הכול שיחק 14 עונות בליגת NLF, מ-1987 עד 2000.
עוד במהלך תפקידו כשחקן פעיל, מ-1994 עד 2001, עבד ללא תשלום כעוזר מאמן בקבוצת הפוטבול של אוניברסיטת מערב קנטקי, בה עבד אביו כמאמן. ב-2002 הפך למאמן קוורטרבקים בקבוצת ה-NFL אוקלנד ריידרס. משמש כמאמן ראשי החל מ-2004, תחילה בליגת המכללות בקבוצת הפוטבול של אוניברסיטת סן דייגו (3 עונות), לאחר מכן באוניברסיטת סטנפורד (4 עונות, באחרונה הוביל את קבוצתו לזכייה ב"אורנג' בול"), ובשנים 2011 עד 2014 אימן ב-NLF בקבוצת סן פרנסיסקו 49'. בארבע העונות בהן אימן אותה, זכתה הקבוצה פעמיים באליפות בית ה-NFC מערב, שלוש פעמים הגיעה לגמר ה-NFC ופעם אחת העפילה לסופרבול.
הארבו ואחיו הבכור ג'ון הארבו, מאמן קבוצת בולטימור רייבנס, הם זוג האחים הראשון הפועלים כמאמנים ראשיים בהיסטוריה של ה-NFL. קבוצותיהן התחרו זו בזו בגמר ה-NFL, סופרבול XLVII, בינואר 2013; סן פרנסיסקו הפסידה במשחק זה.