משפט גיבארד-סטרת'ווייט (על-שם Allan Gibbard ו- Mark Satterthwaite) הוא משפט בתורת ההצבעות, המתייחס למערכת שבה כל מצביע מדרג את המועמדים ותוצאת ההצבעה היא בחירה של מועמד אחד. המשפט קובע שאם יש יותר משני מועמדים, כל שיטת בחירות שאינה דיקטטורית והנותנת לכל מועמד אפשרות לזכות, חשופה להצבעה טקטית; כלומר, בתנאים מסוימים, יש מצביעים שכדאי להם להצביע אחרת מן ההעדפה האמיתית שלהם.
גרסאות חזקות יותר של המשפט מראות שהתוצאה חלה אפילו כאשר מרשים למצביעים לדרג רק באופן חלקי (ולהשאיר אפשרויות שקולות).
לשם השוואה, משפט אי-האפשרות של ארו מתייחס למערכות הצבעה שבהן התוצאה היא דירוג של המועמדים (ולא מועמד זוכה יחיד), וקובע שאין מערכת הצבעה הוגנת שאינה דיקטטורית. משפט דוגן-שוורץ עוסק במערכות הצבעה שבהן התוצאה היא קבוצה (לא ריקה) של זוכים, ללא דירוג פנימי; ואילו משפט הולמשטרום מגביל, באופן דומה למדי, את המערכות האפשריות לתמרוץ סוכנים.
הכנה להוכחה.
המשפט.
תהי A קבוצת האפשרויות לבחירה, ויהי formula_1 וקטור בחירות, כאשר formula_2 היא קבוצת הבוחרים.
אם formula_3, ואם formula_4 היא פונקציית בחירה חברתית המקיימת את עקרונות המונוטוניות ואת עקרון הפה אחד, אז formula_5 דיקטטורית.
רעיון ההוכחה.
לפי formula_5 נגדיר פונקציית רווחה חברתית formula_7. נראה ש-formula_7 מקיימת את עקרונות האי תלות באפשרויות לא רלוונטיות, ופה אחד. לפי משפט ארו נקבל ש- formula_7 היא דיקטטורה, ובעזרתה נראה שגם formula_5 היא דיקטטורה.
סימוני עזר.
יהיו formula_11, formula_12 שני יחסי העדפות חזקים.
formula_13 תת-קבוצה של אפשרויות.
נסמן ב formula_14 את יחס ההעדפות המוגדר באופן הבא:
בנוסף נסמן: formula_21, formula_22, formula_23
דוגמה: נניח שקבוצת האפשרויות היא formula_24, ו- formula_25.
אם יחסי ההעדפות formula_11ו- formula_12מוגדרים באופן הבא:
formula_28
formula_29
אז היחס formula_14 יהיה מוגדר כך:
formula_31
משפט עזר 1.
תהי formula_5 פונקציית בחירה חברתית מונוטונית.
יהיו formula_33, formula_34 נתונים. יהי formula_13. נסמן formula_36, ונניח formula_37, אז נקבל ש- formula_38.
זה נובע מהגדרת המונוטוניות (לא הרענו את מצבו של formula_39 ב- formula_40 ביחס למצבו ב- formula_33 ).
מסקנה: אם formula_37 וגם formula_43, אז נקבל ש- formula_44.
משפט עזר 2.
תהי formula_5 פונקציית בחירה חברתית המקיימת את עקרונות המונוטונית והפה אחד.
יהיו נתונים formula_33,formula_47 (יש עוד מועמדים).
אם formula_48 formula_49 formula_50 formula_51.
הוכחה: נסמן formula_52, ונסתכל על formula_53.
אז בגלל עקרון הפה אחד: formula_54.
מהמסקנה של משפט עזר 1, נסיק ש- formula_51.
הוכחת משפט גיבארד–סטרת'ווייט.
הגדרה פונקציית הרווחה החברתית formula_7.
יהי formula_57 פרופיל העדפות חזקות כלשהו, קבוע לאורך כל ההוכחה.
לכל פרופיל העדפות חזקות formula_33 נגדיר יחס בינארי formula_59 באופן הבא:
לכל שתי אפשרויות שונות formula_60 מתקיים:
formula_61 formula_50 formula_63
formula_64 formula_50 formula_66
כדי שהיחס יהיה רפלקסיבי, נגדיר בנוסף:
formula_67, formula_68.
נראה ש-formula_7 היא פונקציית רווחה חברתית.
על מנת להראות ש formula_7 היא פונקציית רווחה חברתית, יש להראות שהיחס formula_59 הוא שלם וטרנזיטיבי.
היחס שלם.
כל האפשרויות השונות מ- formula_39 ו- formula_73 מועדפת פחות מ- formula_39 על ידי כל הבוחרים, לכן לפי משפט עזר 2, אף אחת מאפשרויות אלה אינה יכולה להיות formula_75 . לכן formula_76 .
לפי הגדרת היחס הבינארי formula_59 נקבל שלכל זוג אפשרויות formula_39 ,formula_73 שונות זו מזו ב formula_15, מתקיים: formula_66 או formula_63, כלומר, formula_59 הוא יחס העדפות שלם על formula_15.
נשים לב גם שאין אדישות ב- formula_59, כלומר, או שהחברה מעדיפה ממש את formula_73 על formula_39, או שהחברה מעדיפה ממש את formula_39 על formula_73.
היחס טרנזיטיבי.
נניח בשלילה כי היחס אינו טרנזיטיבי, כלומר קיימים formula_90 כך ש:
formula_63, ו- formula_92 אבל formula_93.
נשים לב לזהות הבאה: formula_99.
על formula_100 יחס הסדר נקבע בשני המקרים על ידי formula_33, ועל המשלים של formula_100 יחס הסדר נקבע בשני המקרים על ידי formula_103. לכן השוויון הנ"ל מתקיים.
מכך ש- formula_63 נובע כי formula_61, ולפי הזהות הקודמת, נקבל ש- formula_106.
בפרט נקבל ש- formula_107, ולפי משפט עזר 1, נסיק כי formula_108.
כלומר, הראינו ש- formula_108 formula_110 formula_63.
באופן דומה, מכך ש formula_92, נקבל ש- formula_113.
כמו כן, מכך ש formula_93, נקבל ש- formula_115.
סך הכל קיבלנו ש- formula_116.
מצד שני, לכל formula_117, מתקיים: formula_118.
הסבר: לכל formula_119 כזה מתקיים formula_120, ולפי משפט עזר 2 נקבל ש- formula_118.
אבל אם כך, מתקבל ש- formula_122, וזה בסתירה להגדרת הבחירה החברתית formula_5. מכאן שהנחת השלילה שהיחס formula_59 אינו טרנזיטיבי אינה נכונה, ולכן היחס כן טרנזיטיבי.
הראינו שהיחס formula_59 הוא שלם וטרנזיטיבי, לכן formula_7 היא פונקציית רווחה חברתית.
נותר להראות ש- formula_7 מקיימת את עקרון הפה אחד, ואי תלות באפשרויות לא רלוונטיות.
נראה ש- formula_7 מקיימת את עקרון הפה אחד.
יהי formula_33 המקיים formula_48, formula_131. צריכים להראות ש- formula_63.
לשם כך יש להוכיח ש- formula_133.
אכן, נשים לב שביחסים formula_134, formula_39 ממוקם במקום הראשון לכל formula_136. כיוון ש-formula_5 מקיימת את עקרון הפה אחד, אז השוויון formula_133 מתקיים.
לכן formula_7 מקיימת את עקרון הפה אחד.
נראה ש- formula_7 מקיימת את עקרון האי תלות באפשרויות לא רלוונטיות.
יהיו formula_33, formula_34, formula_39, formula_73 המקיימים:
formula_131 formula_48 formula_147 formula_148.
יש להוכיח ש- formula_63 formula_147 formula_151, או באופן שקול: formula_152.
ואכן זה מתקיים משום ש- formula_153, ולכן formula_7 מקיימת את עקרון האי תלות באפשרויות לא רלוונטיות.
ממשפט ארו, נקבל ש- formula_7 היא דיקטטורית, כלומר קיים formula_136 כך ש- formula_157 מתקיים formula_158.
סיום ההוכחה – נראה ש- formula_5 היא דיקטטורית, עם אותו דיקטטור formula_136.
יהי formula_33 כלשהו, ותהי formula_39 האפשרות בעדיפות ראשונה לפי formula_163 של בוחר formula_136.
יש להוכיח כי formula_165.
נניח בשלילה ש- formula_166, אז לפי משפט עזר 1 מתקיים ש- formula_167.
לכן, לפי הגדרת formula_7 נקבל שהחברה כולה מעדיפה את formula_73 על פני formula_39, או באופן שקול: formula_66, וזאת בסתירה לכך ש- formula_136 דיקטטור לפי formula_7.
לכן קיבלנו שגם formula_5 היא דיקטטורית, עם אותו דיקטטור formula_136.
משפט אי-האפשרות של ארו
רונלד ראלדס
רונלד ראלדס בלקאסר (בספרדית: Ronald Raldes Balcázar; נולד ב-20 באפריל 1981 בסנטה קרוס דה לה סיירה) הוא כדורגלן בוליביאני המשחק בעמדת הבלם בקבוצת אוריינטה פטרולרו ובנבחרת בוליביה.
קריירה.
ראלדס החל את הקריירה בקבוצת קלוב דסטרוירס בשנת 1998. לאחר שנתיים במועדון, חתם בקבוצת אוריינטה פטרולרו, עימה זכה באליפות ליגת העל הבוליביאנית בשנת 2001. לאחר כמה עונות מרשימות מאוד בליגה הבוליביאנית ובנבחרת, הוחתם ראלדס על ידי המועדון הארגנטינאי רוסאריו סנטראל בשנת 2003.
בשנת 2008, לאחר חמש עונות בארגנטינה, הכריז ראלדס שיעזוב את המועדון ברגע שתסתיים עונת הקלאוסורה, באמצע חודש יוני. זמן קצר לאחר הודעתו, חתם במועדון הסעודי אל-הילאל. ב-20 במרץ 2009, לאחר תקופה קצרה ביותר בערב הסעודית, חתם ראלדס בשורות המועדון המקסיקני קרוס אסול. הוא ערך את הופעת הבכורה שלו במקסיקו ב-22 באפריל 2009, במשחק נגד אטלנטה, במשחק הראשון מבין שניים של גמר ליגת האלופות של CONCACAF. אחרי שתי הופעות ליגה בלבד בקרוס אסול, רונלד החליט לוותר על חוזהו במקסיקו על מנת לחתום במועדון הישראלי מכבי תל אביב בספטמבר 2009, ובמדיה שיחק עונה אחת.
ב-10 במאי 2010 חזר ראלדס לארגנטינה, וחתם בקבוצת קולון דה סנטה פה. ב-9 בינואר 2014 חזר לקבוצה הבוליביאנית אוריינט פטרולרו, במדיה שיחק שלוש שנים נוספות. בפברואר 2017 חתם בקבוצת בוליבר.
קריירה בינלאומית.
ראלדס משחק במדי נבחרת בוליביה משנת 2001. הוא היה שותף לסגל נבחרתו במהלך טורניר הקופה אמריקה בשנת 2007 ובשנת 2011. בשנת 2015 פרש ראלדס מהנבחרת ביחד עם מרסלו מורנו בגין חילוקי דעות עם המאמן חוליו ססאר בלדביאסו. בשנת 2016, לאחר שבלדביאסו הוחלף בגיירמו אנחל אויוס, חזרו ואלדס ומורנו לנבחרת.
ארה נוביליס
קומיסאר
אניית משא
הלל מנוח
תהילה (סרט 2009)
אמנואיל זימברקקיס
אמנואיל זימברקקיס (ביוונית: Εμμανουήλ Ζυμβρακάκης; 1861, נאפפליו, ממלכת יוון – 1928, אתונה, הרפובליקה ההלנית השנייה) היה גנרל יווני, מפקד גיס בחזית המקדונית עליו פיקד בקרב סקרה שבמהלכו הובס צבא ממלכת בולגריה.
תחילת הקריירה.
זימברקקיס נולד למשפחת גולים מהאי כרתים. הוא למד באקדמיה הצבאית היוונית והוסמך בדרגת סגן משנה ב-1881. זימברקקיס נשלח להמשך לימודים באקדמיה הצבאית באורליאן שבצרפת וב-1898 הצטרף כמתנדב למרד כנגד האימפריה העות'מאנית בכרתים, שהוביל להקמת רפובליקה עצמאית באי.