ההוכחה הראשונה של משפט דיריכלה השתמשה בפתרון משוואת פל למקרים בהם ל-formula_7 יש גורמים ראשוניים המשאירים שארית 3 בחלוקה ל-formula_20. עבור שאר המקרים, את מקומה של משוואת פל מחילפה המשוואה formula_21, והיא פשוטה מאוד.
אנליזה מתמטית וקשריה עם תורת המספרים.
האנליזה המתמטית פותחה במאה ה-17 על-ידי אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ (אף שניצניה הופיעו מאות רבות קודם לכן, החל לפחות בעבודותיו של ארכימדס). האנליזה המתמטית פותחה לצורך מחקר הפיזיקה, מתמטיקאים רבים הוסיפו לפתח את האנליזה המתמטית ובמרוצת השנים היא נהייתה שימושית מאוד במגוון תחומים במתמטיקה ובמדעים אחרים.
האנליזה המתמטית איפשרה לטפל באופן שיטתי בסכומים אינסופיים. סכומים כאלה נקראים טורים. לאונרד אוילר פיתח מאוד את תורת הטורים והשתמש בה (ובכלים נוספים מהאנליזה) לטובת תורת המספרים. אפשר לראות בעבודותיו אלה של אוילר את לידתה של תורת המספרים האנליטית, אולם השימוש של אנליזה בתורת המספרים אצל אוילר היה הרבה פחות מובהק מאשר בהוכחה של משפט דיריכלה. לכן רבים ראים בהוכחה של משפט דיריכלה, בתור נקודת לידתה של תורת המספרים האנליטית המודרנית.
האנליזה המתמטית פותחה תחליה ללא הגדרות והוכחות ריגורוזיות. במשך השנים היא קיבלה צורה מתמטית ריגורוזית. בתהליך השתתטפו מתמטיקאים רבים והוא הושלם רק לקראת סוף המאה ה-19, אולם כבר בתחילת המאה ה-19 הכלים האנליטיים שבהם השתמש דיריכלה בהוכחתו היו ריגורוזיים למדי, כך שהוכחתו של דיכילה נחשבת למלאה גם בסטנדרתים מודרניים.
עבודותיו של אוילר.
במאה ה-18, חקר לאונרד אוילר את התפלגותם של מספרים ראשוניים. הוא חקר את הפונקציה שלימים הורחבה על ידי רימן ונקראה פונקציית זטא של רימן. פונקציה זאת היא ארכיטיפוס של משפחה רחבה של פונקציות הנקראות פונקציות L. לפוקציות אלה (כמו גם לפונקציית זטא של רימן) היה תפקיד מכריע בהוכחה של דיריכלה.
אוילר פיתח את נוסחת המכפלה של אוילר עבור פונקציית זטא של רימן, נוסחה זאת הפכה לימים כלי מרכזי בתורת המספרים האנליטית בכלל ובהוכחת משפט דיריכלה בפרט. באמצעות נוסחה זאת הוכיח אוילר (בשנת 1737) כי טור ההופכיים של המספרים הראשוניים מתבדר.
אוילר גם העלה את ההשערה (בשנת 1785) שמשפט דיריכלה תקף עבור סדרות חשבוניות מהסוג formula_22.
בנוסף, עבודתיו של אוילר על חבורת המספרים ההפיכים מודולו formula_23 התבררו לימים חיונית להוכחה.
ניסוח המשפט.
בשנת 1798 ניסח אדריאן-מארי לז'נדר את משפט דיריכלה ואף הציג הוכחה בשבילו. אולם הוכחה זאת הייתה שגויה. הוא השתמש בטענה טכנית מסוימת וכתב שקל להוכיח אותה. אולם לא כך היה הדבר. טענה זאת הופרכה בשנת 1858 על-ידי אתאנאס דופרה (Athanase Dupre). עם זאת לז'נדר נתן הוכחה נכונה למספר מקרים פרטיים.
תבניות ריבועיות.
בשנת 1801 פרסם קרל פרידריך גאוס את הספר מחקרים אריתמטיים, שבנוסף לידע שהיה קיים אז בתורת המספרים, הכיל גם עבודות חדשות של גאוס על תבניות ריבועיות. בעבודותיו אלה חקר את השאלה איזה מספרים שלמים אפשר לבטא בצורה formula_24 כאשר formula_25 שלמים נתונים ו- formula_18 משתנים שלמים. פונקצוית מהצורה formula_24. במחקריו של גאוס הופיע אינווריאנט הנקרא מספר המחלקה של תבנית ריבעית. כמו כן, כלל גאוס בספר זה את ההוכחות הראשונות (שלו) להדדיות הריבועית.
הן לההדדיות הריבועית והן למספר המחלקה היה תפקיד חשוב בהוכחתו של דיריכלה, אם כי חלק מההוכחות המאוחרות יותר לא משתמשות בהן.
טור פורייה.
בתחילת המאה ה-19 פיתח ז'וזף פורייה שיטה לקרב כל פונקציה מחזורית על ידי קומבינציה של פונקציות טריגונומטריות.
שיטה זאת היא אנליטית מטבעה ועוסקת באובייקטים רציפים. עד היום מרבית השימושים בשיטה הם אנליטיים ורציפים. אולם לימים התברר שגרסה דיסקרטית של השיטה בעלת תפקיד מפתח בהוכחת משפט דיריכלה.
הוכחת המשפט.
בשנים 1837–1839 הוכיח גוסטב דיריכלה את המשפט בסדרת מאמרים. בשנת 1837 דיריכלה הצהיר על כך שהוכיח את המשפט ופרסם את ההוכחה עבור formula_7 ראשוני. הוא גם הצביע על הטעות בהוכחתו של לז'נדר. את ההוכחה למקרה הכללי פרסם דיריכלה ב-1839.
הוכחתו של דיריכלה מתבססת על התמרת פוריה דיסקרטית על חבורת אוילר ועל משפחה של פונקציות שהוא הגדיר הנקראת כיום פונקציות formula_29 של דיריכלה המהוות הכללה של פונקציית זטא של רימן. השלב הראשון בהוכחתו של דיריכלה מהווה רדוקציה לאי-התאפסות של פונקציות formula_29 בנקודה 1. שלב זה הופיע במאמרים מ-1837 למקרה הכללי. דיריכלה גם נתן במאמרים אלו נוסחה מפורשת לערך של פונקציות formula_29 בנקודה 1 והצליח להוכיח מנוסחה זאת את אי-ההתאפסות עבור formula_7 ראשוני. במאמרים משנת 1839 הציג דיריכלה נוסחה אחרת לערך של פונקציות formula_29 בנקודה 1 הקושרת בין ערך זה לאינווריאנט מסוים של תבנית ריבועית הנקרא מספר המחלקה שלה. נוסחה זאת נקראת נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה והוכחתה מתבססת על עבודותיו של גאוס על תבניות ריבועיות. הנוסחה גוררת באופן מידי את אי-ההתאפסות של פונקציות formula_29 בנקודה 1 ובכך משלימה את ההוכחה.
הוכחתו של דיריכלה נותנת גם מידע כמותי על התפלגות הראשוניים בסדרה חשבונית: היא מוכיחה שצפיפות דיריכלה שלהם מבין כל הראשוניים היא חיובית.
אולם היא לא נותנת מידע על הצפיפות הטבעית של קבוצת הראשוניים בסדרה חשבונית.
הוכחות מאוחרות יותר.
כאמור ההוכחה של משפט דיריכלה מחולקת לשני חלקים:
החלק הראשון כמעט ולא השתנה עם השנים. ישנם מספר גרסאות לחלק זה, אך הן דומות למדי. הדרכים המודרנית להציג את ההוחכה שונות במקצת מההצגה המקורית.
לאומת זאת, במרוצת השנים, מתמטיקאים רבים מצאו גרסאות רבות ושונות לחלק השני של ההוכחה.
ישנן גם הוכחות מועטות למשפט דיריכלה שאינן עוברות דרך פונקציית formula_29 כלל.
עבודותיו של דדקינד על תרת המספרים האלגברית.
במחצית השנייה של המאה ה-19 כתב ריכרד דדקינד את הספר הרצאות בתורת המספרים (Vorlesungen über Zahlentheorie). הספר סיכם את עבודותיו של דיריכלה והכיל מספר תוספות של דדקינד. בספר זה הוא ניסח מחדש את הוכחתו של דיריכלה בצורה מודרנית וקונספטואלית יותר. בגרסאות המאוחרות של הספר, הוא פיתח את התורה של חוגי השלמים בשדות מספרים והאידיאלים שלהם. תורה זאת מאפשרת ניסוח מחדש של מושג מספר המחלקה במונחים של הרחבות ריבועיות של formula_37 במקום תבניות ריבועיות. בכך היא מאפשרת גם הכללת מוסג זה עבור שדות מספרים כלליים. דדקינד הוכיח הכללה של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה לשדות מספרים כללים. הכללה זאת נקראת נוסחת מספר המחלקה של דדקינד. היא מספקת הוכחה נוספת למשפט דיריכלה. הוכחה זאת לא עושה שימוש בהדדיות ריבועית, ובמובן מסוים קונספטואלית יותר, אבל היא פחות אלמנטרית מכיוון שהיא עושה שימוש בכלים מתקדמים יותר מתורת המספרים האלגברית. בפרט היא החליפה את השימוש במשוואת פל (הפשוטה יחסית) בשימוש במשפט היחידות של דיריכלה המהווה הכללה של משוואת פל.
ההוכחות האלמנטריות של מרטנס.
בשלהי המאה ה-19 הציג פרנץ מרטנס (Franz Mertens) מספר הוכחות אנליטיות אלמנטריות לאי-התאפסות של פונקציית formula_29 בנקודה 1. ההוכחות האלה היו יותר פשוטות מהוכחתו של דיריכלה. הן לא עברו דרך נוסחת מספר המחלקה. למעשה הן לא נתנו מידע ישיר על הערך של פונקציית formula_29, אלא רק את העובדה שהיא לא מתאפסת.
הרחבה של פונקציית זטא ופונקצוית L למישור המרוכב.
בשנת 1859 פרסם ברנהרד רימן את מאמרו על מספר הראשוניים מתחת לגודל נתון בו הוא הרחיב את ההגדרה של פונקציית זטא של רימן (שהוגדרה במקור על ידי אוילר עבור משתנה ממשי גדול מ-1) עבור כל משתנה מרוכב. הרחבה זאת איפשרה לקבל מידע רב על מספרים ראשוניים באמצעות אנליזה מרוכבת, ובכך סללה את הדרך להוכחת משפט המספרים הראשוניים.
מספר מתמטיקאים (Kinkelin, A. Hurwitz, R. Lipschitz) הרחיבו את תוצאותיו של רימן עבור פונקציות L של דיריכלה.
משפט המספרים הראשוניים וגרסה מדויקת יותר של משפט דיריכלה.
בשנת 1896 הוכיחו ז'אק אדמר ושארל דה לה ואלה פוסן את משפט המספרים הראשוניים, בהתבסס על עבודוריו של רימן. ביחד עם הוכחותיהם למשפט המספרים הראשוניים, הוכיחו אדמר ודה לה ואלה פוסן גרסה של משפט דיריכלה שנותנת מידע על הצפיפות הטבעית של קבוצת המספרים הראשוניים בסדרה חשבונית. הוכחתם משלבת בין הוכחתו של דיריכלה והוכחת משפט המספרים הראשוניים.
ההוכחות הקצרות של לנדאו.
בתחילת המאה ה-20 מצא אדמונד לנדאו שתי הוכחות אנליטית נוספת לאי ההתאפסות של פונקציית L ב-1. הוכחות אלו קצרות אף יותר מההוכחות של מרטנס, אך משתמשות בכלים של אנליזה מרוכבת ובכך פחות אלמנטרית.
ההוכחות ללא פונקציות L של דיריכלה.
החל מאמצע המאה ה-20 נמצאו מספר הוכחות (על ידי אטלה סלברג, הרולד שפירו, הנס זסנהאוס ואחרים) למשפט דיריכלה אשר לא משתמשות בפונקציית L של דיריכלה. הוכחות אלה משתמשות בכלים מאנליזה ואינן אלמנטריות או פשוטות יותר מהוכחתו של דיריכלה. אולם הן שונת ממנה באופן מהותי.
ההוכחות מתבססות בין היתר על הכלים שפותחו על ידי סלברג ופאול ארדש בהוכתם האלמנטרית של משפט המספרים הראשוניים. אחת מההוכחות של סלברג למשפט דיריכלה מוכיחה את הגרסה על הצפיפות הטבעית של הראשוניים בסדרה החשבונית. בדומה להוכחה של סלברג וארדש למשפט המספרים הראשוניים, הוכחה זאת לא משתמשת באנליזה מרוכבת אלה רק באנליזה ממשית.
הכללות.
למשפט דיריכלה נמצאו הכללות במשך השנים. כמו כן מספר השערות ידועות מהוות הכללות שלו.
ההכללה האולטימטיבית של כל אי ההתאפסויות האלה היא השערת רימן המוכללת.
שימושים.