אלגברת פואסון היא אלגברה קומוטטיבית המצוידת במבנה פואסון, שהוא סוגריים formula_53 המהווים סוגרי לי, ולכל formula_54 ההעתקה formula_55 מהווה דריבציה; במילים אחרות, לכל formula_56 מתקיים formula_57.
לכל אלגברת לי formula_58 ניתן להתאים מעטפת פואסון, שהמבנה שלה כאלגברה קומוטטטיבית היא האלגברה הסימטרית של formula_25, כלומר אלגברת פולינומים במשתנים פורמליים המתאימים לאיברי בסיס של formula_25, ומבנה הפואסון מושרה על ידי formula_61 לכל שני איברי בסיס formula_62.
המבנה של אלגברות לי סוף-ממדיות.
תורת המבנה של אלגברות לי ידועה בעקבות עבודות של אלי קרטן ואחרים. לאלגברת לי מממד סופי יש רדיקל פתיר (אידיאל פתיר מקסימלי), ומודולו הרדיקל האלגברה פשוטה למחצה, ומתפרקת לסכום ישר של אלגברות לי פשוטות.
כדי לנתח את המבנה של אלגברת לי פשוטה למחצה (מממד סופי, מעל שדה סגור אלגברית formula_63), יש לקבוע תת-אלגברה נילפוטנטית formula_64. שורש של formula_25 הוא פונקציה formula_66 המתאימה לכל וקטור formula_67 ב-formula_64 ערך-עצמי של האופרטור הצמוד לו, formula_69, המוגדר לפי formula_70. פירוק לפי שורשים הוא פירוק של formula_25 לסכום ישר formula_72, כאשר formula_73 הם שורשים, ו-formula_74 הוא מרחב עצמי מוכלל של formula_75, עם ערך עצמי formula_76, לכל formula_77. כלומר:
מתברר שלכל formula_64 נילפוטנטית קיימים די שורשים לפירוק כזה של formula_25. מרכיבי הפירוק מקיימים formula_81, כך שהאלגברה formula_25 מדורגת ביחס לקבוצת השורשים (שהיא סופית).
לכל אלגברת לי פשוטה למחצה formula_25 קיימת תת-אלגברת קרטן formula_84, שהיא תת-אלגברה אבלית (כלומר, מקיימת את הזהות formula_85) מקסימלית. מכיוון ש-formula_84 נילפוטנטית, אפשר לפרק את formula_25 לפי קבוצת שורשים של formula_84; בפירוק כזה, formula_84 היא המרכיב המתאים לשורש 0.
על קבוצת השורשים ביחס לתת-אלגברת קרטן formula_84 של formula_25 אפשר לחשוב כקבוצה של וקטורים במרחב הדואלי formula_92, שהוא מרחב מכפלה פנימית ביחס לתבנית קילינג של formula_25. באופן כזה, מקיימת קבוצת השורשים מספר אקסיומות גאומטריות, ובראשן העובדה שהיא סגורה לשיקוף ביחס לכל אחד מן האיברים שלה. מאקסיומות אלה נובע, למשל, שהזווית בין שני שורשים יכולה להיות ישרה או קהה. את הזוויות האלה אפשר לקודד במטריצת קרטן, שממנה אפשר לשחזר את לוח הכפל של formula_25 כולה. את אלגברת לי אפשר לתאר גם באמצעות דיאגרמות דינקין המקודדות את המבנה של מערכת השורשים של האלגברה.
התכונות המיוחדות למטריצות קרטן מאפשרות למיין את כל האלגברות הפשוטות מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין 0: ישנן ארבע משפחות אינסופיות formula_95, ועוד חמש אלגברות 'ספורדיות': formula_96. מיון דומה מופיע גם בתחומים אחרים של המתמטיקה: חבורות קוקסטר, חבורות סופיות פשוטות, טיפוסי סינגולריות בגאומטריה אלגברית, ועוד.
הקשר לאלגברות ז'ורדן.
תהי formula_25 אלגברת לי מעל חוג קומוטטיבי שבו 2,3 הפיכים. איבר formula_98 שעבורו formula_99 נקרא איבר ז'ורדן. לכל איבר ז'ורדן ניתן לצייד את formula_25 בפעולה חדשה: formula_101; נסמן ב-formula_102 את האלגברה formula_103 עם הפעולה המושרית מ-formula_104 על מנה זו. זוהי [[אלגברת ז'ורדן]], המקודדת חלק מן המידע הצפון ב-formula_25. למשל, אם formula_25 אלגברת לי עם זהות פולינומית, אז גם formula_102מקיימת זהות (ז'ורדן) פולינומית.
קישורים חיצוניים.
[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:אלגבראות לי|*]]
[[קטגוריה:אלגברה לא אסוציאטיבית]]
[[קטגוריה:חבורות לי]]
בנימין גיבלי
בנימין גיבלי (1919 – 19 באוגוסט 2008) היה איש צבא (בתפקידו הבכיר ביותר כיהן כראש אמ"ן) ותעשיין, שנודע במעורבותו בפרשות מאיר טוביאנסקי, ו"העסק הביש".
ביוגרפיה.
גיבלי נולד בפתח תקווה. בין 1944 ל-1948 שירת במשטרת היישובים העבריים והיה פעיל בשירות הש"י. עם קום מדינת ישראל מונה לקצין המודיעין של מחוז ירושלים. גיבלי נמנה עם החוקרים והשופטים במשפט השדה המהיר שנערך לסרן מאיר טוביאנסקי, שנאשם במסירת ידיעות לאויב ונגזר עליו עונש מוות. המשפט וההוצאה להורג היו ב-30 ביוני 1948 בכפר בית ג'יז (כיום בסמוך לקיבוץ הראל). על אף שמאוחר יותר התברר כי טוביאנסקי הוצא להורג על לא עוול בכפו, והליך החקירה והמשפט היה לקוי ביותר, גיבלי לא נענש על כך וקידומו לא עוכב. עם זאת העיד במשפט של איסר בארי שפיקד על האירוע.
בתחילת 1949 התמנה למפקד ענף מודיעין 1 שכלל את המודיעין הקרבי ויחידות המחקר. ביוני אותה שנה מונה לסגן ראש שירות המודיעין. בשנת 1950 התמנה לראש מחלקת מודיעין במטכ"ל. בתקופתו שם דגש על פיתוח יחידות ההאזנה של המחלקה, כולל פתיחת בסיסים ברחבי הארץ, הפעלת יחידה 131, והרחבת מחלקת המודיעין של חיל האוויר.
לאחר תקופת לימודים בחו"ל מונה בסוף מרץ 1954 לראש אגף מודיעין, בדרגת אלוף-משנה.
בתפקידו כראש אגף מודיעין בדרגת אלוף-משנה היה אחראי לגיוסה ולהפעלתה של חוליית יהודים במצרים על ידי יחידה 131. החוליה נלכדה ביולי 1954, עניין שנודע לימים בשם "העסק הביש". במשך שנים רבות הוסתרה זהותו של גיבלי בהקשר זה, והוא נודע רק בכינוי "הקצין הבכיר". עניין "העסק הביש" ומידת אחריותו של גיבלי היו שנויים במחלוקת שנים רבות. יחד עם זאת, אין חולק על כך שגיבלי הוא ששלח את חברי החוליה למשימתם: חבלה במתקנים של ארצות הברית ובריטניה במצרים, לשם ערעור יחסיה של מצרים עם מדינות אלה. סלע המחלוקת העיקרי בעניין זה הוא האם הפקודה לחברי החוליה ניתנה ביוזמתו הבלעדית של גיבלי, או שהוא פעל בהנחייתו של שר הביטחון, פנחס לבון (התשובה לשאלה זו היא חסרת משמעות מבחינת מידת אחריותו של גיבלי ל"עסק הביש"). מידת אשמתו ומעורבותו של גיבלי קיבלה גוונים חמורים נוספים עם היחשפה, במהלך השנים, של עובדת פעולותיו לכיסוי וטיוח מעורבותו, שכללה מעשי זיוף (ראו בהרחבה בערך "דליה כרמל") וניסיונות הפחדה והטיה של אברי אלעד, סוכן כפול שנודע בכינוי "האדם השלישי". בריאיון שנתן לערוץ 2 בשנת 2004 האשים את לבון בפרשה, אך אמר: "אין לי הוכחות".
בעקבות הבירורים בפרשת "העסק הביש" הועבר גיבלי מתפקידו ומונה לראש מטה פיקוד הצפון באמצע מאי 1955, ולאחר מכן למפקד חטיבת גולני, שעליה פיקד במבצע קדש.
גיבלי נמנה עם יוזמי ומתכנני הפלגת הספינה בת גלים אל עבר תעלת סואץ, בספטמבר 1954, בניסיון לפרוץ את הסגר הימי שהטילה מצרים על ישראל. ניסיון זה הסתיים במעצר אנשי הצוות ובאובדן הספינה.
בסרט הדוקומנטרי "לא בגדתי" נטען כי גיבלי, שהיה ראש אגף מודיעין, שלח חוליית לוחמים, במבצע צרצר בדצמבר 1954, להשיב מכשיר קשר סודי לארץ מסוריה, על אף שידע כי הסורים כבר איתרו את המכשיר והתכוננו לבואה של חוליה. חברי החוליה נפלו בשבי הסורי, ואורי אילן התאבד בשבי זה. לאחר ששאר חברי החוליה שבו לארץ בעסקת חילופי שבויים, גיבלי הכחיש כי ידע על כך.
ב-1957 מונה לראש מטה פיקוד המרכז ובשנים 1958 עד 1960 שימש כממלא מקום אלוף פיקוד המרכז. דוד בן-גוריון סירב להעלותו לדרגת אלוף בגלל חלקו בפרשת "העסק הביש".
בשנים 1960–1961 היה נספח צה"ל בבריטניה ובסקנדינביה. בשנת 1961 פרש מצה"ל. במשך שנים רבות המשיך לטעון לחפותו ואף הבטיח לפרסם ספר שבו יציג את עמדתו. הוא כתב ספר כזה (בעזרתו של אריה קרישק כסופר צללים), אך נמנע מלפרסמו. למרות ניסיונות תיווך נמרצים של עו"ד דב וייסגלס -מסרבת האלמנה ד"ר אלישבע גבלי לשחרר את כתב-היד. ב-2016 חשף משרד הביטחון התכתבויות בפרשת "עסק הביש", בהן גיבלי פעל לטהר את שמו.
קריירה עסקית.
לאחר שירות הצבאי נתמנה בשנת 1961 למנהל הפיתוח של מפעל המכוניות הישראלי קייזר אילין, שהיה בבעלות איש העסקים אפרים אילין.
בשנת 1967 מונה למנכ"ל מפעל "שמן", שהיה חלק מקונצרן "כור". עם הקמת חטיבת המזון בקונצרן, בשנת 1970, מונה גיבלי לעמוד בראשה, וכיהן בתפקיד זה עד 1987, בין השאר יזם את הקמת מפעל השוקולד "ורד הגליל" במטרה להתחרות בחברת "עלית" ששלטה בשוק הישראלי. בתחילת שנות ה-70 שימש כמנהל מכון היצוא.
בשנים 1986–1989 כיהן כיו"ר חברת החשמל.
ב-1988 מונה לנציגו בישראל של איש העסקים אריה גנגר. בסוף 1989 מונה ליו"ר פעיל של חברת "תעשיות לייזר" אותה רכש גנגר. בנוסף ניהל עבור גנגר את השקעתיו בתחום התקשרות, רכישת השבועון "העולם הזה", והקמת יומון הספורט "עולם הספורט".
חיים אישיים.
גיבלי נישא בשנות ה-40 לאסתר לבית פנחסי. לשניים נולדה הבת תמר. בשנות ה-60 הכיר את אשתו השנייה אלישבע, עמה התחתן לאחר שהתגרש מאשתו הראשונה.
בנימין גיבלי נפטר בגיל 89 בתל אביב ונטמן במתחם בתי הקברות בכפר סמיר שבחיפה.
אלכסנדר השני, קיסר רוסיה
אלכסנדר ניקולאייביץ' השני (ברוסית: Александр II Николаевич; 17 באפריל 1818 – 13 במרץ 1881) היה צאר האימפריה הרוסית, מלך פולין והדוכס הגדול של פינלנד משנת 1855 ועד 1881. אלכסנדר השני הנהיג קו ליברלי ורפורמות מקיפות, בייחוד שחרור הצמיתים ב-1861, וחתר ליציבות ביחסי החוץ של המדינה.