כל אלו ורבות אחרות משמשות בד בבד נקודות ציון, מקור לרעיונות חדשים שהגדירו ותחמו תקופות ותרבויות וכולן יחד מהוות חלק ניכר ממארג ההיסטוריה. באור זה קל לטעות ולראות בהיסטוריה את תולדות הערים בלבד, אך רבים מהתהליכים רבי העוצמה בהיסטוריה החלו באזורים שלא הייתה בהם ולו עיר אחת: ההתפשטות ההינדו-אירופית. החורבן שהביאו גויי הים על אימפריית הסחר הפיניקית וימי הביניים הקטנים שבאו בעקבות חורבן זה. לחץ הפושטים ההונים ומפולת הדומינו של נדודי העמים שהחריבו את האימפריה הרומית. המונגולים שכבשו את האימפריה בעלת הרצף היבשתי הגדול ביותר מאז ומעולם. יתר על כן - מעצם ההגדרה עיר תלויה לקיומה בעורף חקלאי או מסחרי - לרוב שילוב של השניים. התפתחויות בטכניקות של חקלאות, אימוץ גידולים חדשים וזנים חדשים, פתיחת וסכירת נתיבי מסחר שמו כולם חסם מוגדר היטב לעצם אפשרות קיומן של ערים ולמידת שגשוגן.
הגדרת "עיר" לפי חוקי מדינת ישראל.
בישראל, בסמכות שר הפנים לסווג את הרשויות המקומיות לעיריות ולמועצות מקומיות. פקודת העיריות קובעת שאם שר הפנים חושב שרצוי שישוב מסוים יוכר כעירייה, הוא רשאי לצוות על הקמת ועדת חקירה שתחקור את הנושא, ולאחר שהגישה הוועדה דו"ח לעיונו, רשאי השר להחליט על פי שיקול דעתו שהישוב הוא עירייה. הפקודה קובעת שהשר לא יכריז שישוב עם פחות מ-10,000 תושבים הוא עירייה, אלא בנסיבות מיוחדות, וגם בנסיבות כאלה אין להכריז על ישוב עם פחות מ-5,000 תושבים כעירייה. עם זאת, אחד הקריטריונים שנבחנים בשיקול למתן מעמד של עיר הוא מספר תושבים גבוה מ-20,000. ישנם גם קריטריונים שאינם קשורים למספר התושבים, כגון: אופי שאינו כפרי, מקורות תעסוקה שאינם חקלאיים, ניהול תקין, יציבות קואליציונית ורמת השירותים לתושבים. הקריטריונים הדמוגרפיים והאחרים מותירים טווח רחב לשיקול דעת. לדוגמה: ברמת השרון, בעת שהייתה עדיין מועצה מקומית, התגוררו מעל 35,000 תושבים.
לכל עירייה יש ראש עירייה ומועצה, הנבחרים בבחירות המקומיות שמקיים משרד הפנים. מספר חברי המועצה נקבע בהתאם למספר התושבים:
חוג (מבנה אלגברי)
במתמטיקה, חוג הוא מבנה אלגברי בעל שתי פעולות בינאריות, המקיימות מספר אקסיומות (שיפורטו להלן), המכלילות כמה תכונות בסיסיות של חוג המספרים השלמים ושל חוג המטריצות מעל שדה.
תורת החוגים, העוסקת במבנה של חוגים שונים, היא מן התחומים המרכזיים באלגברה.
הגדרה ומבנים יסודיים.
חוג הוא מבנה הכולל קבוצה formula_1 עם שתי פעולות בינאריות המסומנות "formula_2" ו-"formula_3", המקיימות מספר אקסיומות:
אם פעולת הכפל גם היא חילופית, החוג נקרא "חוג חילופי". לדוגמה, חוג המספרים השלמים חילופי, אך חוג המטריצות אינו חילופי.
קיום איבר יחידה.
מבנה אלגברי שבו מתקיימות כל האקסיומות, פרט לקיומו של איבר יחידה, נקרא "חוג בלי יחידה". לעיתים משתמשים בטרמינולוגיה הפוכה, וחוג מציין מבנה המקיים את האקסיומות לעיל ללא איבר היחידה. באנגלית מקובל גם הסימון rng לציון חוג-בלי-יחידה (לעומת ring לציון חוג). ייתכן שבחוג-בלי-יחידה תהיה "יחידה-משמאל" (איבר formula_8 המקיים formula_9 לכל formula_10), ואף יחידות-משמאל רבות; או יחידה-מימין, ואף יחידות-מימין רבות; אבל אם יש גם יחידה-מימין וגם יחידה-משמאל, אז יש לחוג איבר יחידה אחד ויחיד. חוג האפס, הכולל רק איבר אחד, הוא חוג בלי יחידה.
היסטוריה.
הגדרה אקסיומטית ראשונה של חוג ניתנה בשנת 1914 על ידי אברהם הלוי פרנקל, בהשפעת הגישה האקסיומטית של שטייניץ לשדות, האסכולה האמריקאית של א.ה. מור, ובעיקר עבודתו תחת קורט הנזל על שדה המספרים ה-p-אדיים. האקסיומות של פרנקל תארו מה שמוכר היום כחוג עם יחידה, שבו כל איבר רגולרי הוא הפיך ("חוג קלאסי"), וכך שלכל שני איברים formula_11 יש איברים רגולריים formula_12 כך ש-formula_13. ב-1921 פרסמה אמי נתר מאמר פורץ דרך, ובו נתנה את ההגדרה המקובלת כיום לחוג חילופי. אחד ההבדלים בין פרנקל לנתר הוא בשאלה האם נדרש איבר יחידה לכפל. פרנקל דרש זאת, ואילו נתר לא דרשה זאת. עד לשנות ה-60 הייתה מקובלת במרבית ספרי האלגברה גישתה של נתר, אך החל ממועד זה הלכו והתרבו הספרים, בפרט ספרים מתקדמים מאת מחברים נודעים כאמיל ארטין, מייקל עטייה ואיאן מקדונלד, ניקולא בורבקי וסרז' לאנג, שקיבלו את גישתו של פרנקל. עם זאת, עדיין נפוצים ספרים המתבססים על גישתה של נתר.
הומומורפיזמים ואידיאלים.
פונקציה formula_14 מחוג לחוג היא "הומומורפיזם של חוגים", אם היא שומרת על החיבור והכפל ועל איבר היחידה. הגרעין של הומומורפיזם הוא אידיאל של החוג formula_15, ו"משפט האיזומורפיזם הראשון" קושר את החוגים שהומומורפיזם מגדיר באופן טבעי: formula_16.
תת חוגים.
תת קבוצה של חוג formula_17 שהיא חוג בפני עצמה, ביחס לאותן פעולות וקבועים, נקראת "תת-חוג". למשל, חוג המספרים השלמים הוא תת-חוג של שדה המספרים הרציונליים (המהווה שדה שברים שלו). אפשר להגדיר גם תת-חוג-בלי-יחידה, שממנו אין דורשים להכיל איבר יחידה. לדוגמה, אוסף המספרים הזוגיים הוא תת-חוג-בלי-יחידה של חוג המספרים השלמים.
לדוגמה, המרכז של חוג, הכולל על-פי ההגדרה את כל האיברים formula_18 המקיימים formula_19 לכל formula_20, הוא תת-חוג קומוטטיבי של החוג (אם כי יכולים להיות לחוג תת-חוגים קומוטטיביים גדולים יותר).
בניות של חוגים.
תורת החוגים עשירה בדרכים לבנות חוגים חדשים. בין הפשוטות והמוכרות ביותר:
מכפלה.
המכפלה של שני חוגים formula_21, היא מכפלה הקרטזית formula_22 עם הפעולות על הרכיבים. משפט השאריות הסיני קובע כי המנה של חוג נתון מעל מכפלת אידיאלים קו-מקסימליים שלו איזומורפית למכפלת המנות.
ביתר כלליות, ניתן להגדיר מכפלה של כל משפחת חוגים formula_23 כקבוצה formula_24 עם פעולות רכיב רכיב. מהמכפלה ניתן להגדיר הטלות formula_25 לכל אחד מהחוגים המשתתפים בה, אך אי אפשר לשכן אותם באופן טבעי במכפלה - ההעתקה המעבירה איבר לקואורדינטה המתאימה לו איננה הומומורפיזם, שכן איננה שומרת יחידה. המכפלה מקיימת את התכונה האוניברסלית הבאה: אם formula_26 חוג כלשהו, ונתונות העתקות formula_27, אז קיים ויחיד הומומורפיזם formula_28 המקיים formula_29. כלומר, כל הומומורפיזם מכל החוגים "עובר דרך" המכפלה.
במקרה של מכפלה סופית, יש התאמה מוחלטת בין האידיאלים של החוגים לאידיאלים של המכפלה - כל אידיאל של המכפלה הוא בהכרח מהצורה formula_30, כאשר formula_31 אידיאל של formula_32. במקרה האינסופי אין זה נכון (יש עוד אידיאלים). יש גם התאמה בין הספקטרום של המכפלה הסופית לספקטרום של החוגים - אידיאל במכפלה הוא ראשוני אם ורק אם הוא מהצורה formula_33, כאשר formula_34 אידיאל ראשוני של formula_34.
פולינומים.
לכל חוג formula_1, אוסף הפולינומים במשתנה בלתי תלוי formula_10 עם מקדמים מ-formula_1 הוא חוג, ביחס לפעולות החיבור והכפל של פולינומים, המסומן formula_39. הוא מכיל את formula_1 כתת-חוג. את הבניה הזו אפשר להכליל למספר כלשהו של משתנים- לאו דווקא סופי או בן-מניה, אך הפולינומים סופיים. אם formula_41 הוא שדה, אז formula_42 הוא חוג אוקלידי ותחום ראשי, וגם ההפך נכון.
מנה.
בהינתן חוג formula_1 ואידיאל (שמאלי) formula_44, למנה formula_45 יש מבנה של חוג. בדרך זו אפשר לבנות חוגים רבים נוספים. לדוגמה, כל חוג קומוטטיבי הוא מנה של חוג פולינומים במספר (אולי אינסופי) משתנים מעל חוג השלמים formula_46.
חוגי מנה הם הבסיס בדרך להבנת משפטי האיזומורפיזם של חוגים, ויש להם תפקיד בסיסי ומרכזי בתאוריה.
מטריצות.
חוג מטריצות formula_47 מורכב מן המטריצות מסדר formula_48 שרכיביהן שייכים ל-formula_1, יחד עם פעולות החיבור רכיב-רכיב וכפל המטריצות, המושרות מפעולות החוג. גם כאן, אפשר לזהות את formula_1 עם תת-החוג הכולל את המטריצות הסקלריות. החוג הזה לעולם אינו קומוטטיבי (אלא אם formula_51), איננו חוג עם חילוק ואף בעל נילפוטנטים. יש התאמה מלאה בין האידיאלים של formula_1 לאידיאלים של חוג המטריצות מעליו, ולכן, כאשר formula_1 חוג פשוט, גם החוג formula_47 פשוט. אם formula_55 הוא חוג עם חילוק, אז חוג מטריצות מעליו הוא ארטיני ופשוט. ההפך נכון לפי משפט ודרברן-ארטין.
תורת המבנה.
תורת המבנה של החוגים האסוציאטיביים התפתחה באינטנסיביות במהלך המאה ה-20, עם קפיצות מדרגה בשנות ה-30 (פיתוח תורת הרדיקלים) ושנות ה-60 (משפטי גולדי). כיום מזוהים בספרות המקצועית מאות משפחות של חוגים, שביניהן אפשר למנות: חוגים ארטיניים, נתריים, ראשוניים, פרימיטיביים ופשוטים, תחומי שלמות, ועוד רבים אחרים.
לוט (כלי נגינה)
משחק רביעיות
משחק רביעיות או משחק רביעייה הוא משחק קלפים לילדים אשר מכיל 28 קלפים או יותר. המשחק הומצא בהולנד, ובמקור נקרא "Kwartet". הקלפים מחולקים לרביעיות בנושאים שונים. מטרת המשחק היא להשלים רביעיות לפי נושא המשחק. אפשר גם לשחק עם קלפים רגילים כאשר לכל מספר יש ארבע צורות ובלי ג'וקר.
אלופת העולם ברביעיות היא מכבי חיפה.
כהכנה למשחק מחלקים לכל שחקן ארבעה קלפים וקובעים את סדר השחקנים.
לכל שחקן ישנה זכות לדרוש קלף משחקנים שונים באותו התור אם לא זכה לשלילה. מותר לדרוש רק קלף השייך לרביעייה שלשחקן עצמו יש לפחות נציג אחד שלה. לעיתים מותר לדרוש רק קלף אחד בתור, ולעיתים מותר לדרוש קלפים בזה אחר זה כל עוד השחקן לא נענה בשלילה. לשחקן אסור לשקר - אם דרשו ממנו קלף שיש לו, הוא חייב לתת אותו. המנצח הוא זה שהצליח להשלים את המספר הגדול ביותר של רביעיות.