על כן יש להוסיף את מספר המקרים שבהם נמען א' ונמען ב' שניהם מקבלים את מכתביהם, אך זו הוספה מופרזת, משום שכך מונים יתר על המידה את המקרים שבהם נמען א', נמען ב' ונמען ג' מקבלים יחדיו את מכתביהם. לפיכך צריך להוסיף ולהפחית לסירוגין.
בתורת ההסתברות ובתורת הגרפים נעשה שימוש נרחב בקומבינטוריקה. כמו כן, קיימת קומבינטוריקה גאומטרית החוקרת למשל את האפשרויות לסידור מיטבי של כדורים בתיבה.
תורת ההסתברות
תורת ההסתברות היא ענף של המתמטיקה המשמש לניתוח כמותי של מאורעות שיש בהם אקראיות וחוסר ודאות, כגון ההסתברות שבהטלת שתי קוביות ייצא הצירוף 6/6.
לתורת ההסתברות חשיבות רבה כבסיס לסטטיסטיקה, לתורת המשחקים, לעיבוד אותות, לאלגוריתמיקה, לתורת התורים, לכלכלה, לתורת האינפורמציה ולתחומים רבים נוספים.
רקע היסטורי.
באמצע המאה ה-16 החלו מתמטיקאים בתהליך שהוביל להתפתחותה של תורת ההסתברות, המטפלת באקראיות באופן מתמטי. בשלביה המוקדמים נעשו חישובים הסתברותיים נאיביים באופן אינטואיטיבי, עד לביסוסה המתמטי במאות ה-19 וה-20, בהן היא הפכה לתורה מתמטית נפוצה ונחקרת העומדת על בסיס אקסיומטי איתן.
לכל אורך ההיסטוריה של תורת ההסתברות היא הייתה בעלת השפעה גדולה על ענפי מדע שונים. בתחילה היא השפיעה על ענפים כמו דמוגרפיה, אפידמיולוגיה ואסטרונומיה, בהמשך התרחבה השפעתה גם על מתמטיקה וסטטיסטיקה, במידה ניכרת גם על אלגוריתמיקה ומדעי המחשב, וכן על ענפי מדעי הטבע, כמו פיזיקה ובפרט פיזיקה סטטיסטית ומכניקת הקוונטים. להתפתחות תורת ההסתברות הייתה השפעה מכריעה על התפתחותם של תחומים יסודיים בתוך כל ענפי המדע הללו, ותמצית השפעתה הייתה המסגרת הפורמלית שהיא סיפקה כדי לכמת גדלים שאינם ידועים; גדלים נצפים-אמפיריים, גדלים חישוביים וגדלים תאורטיים. במקרים רבים גם לענפי המדע הללו הייתה השפעה על התפתחותה של תורת ההסתברות.
מושגי יסוד.
מושג בסיסי בתורת ההסתברות הוא מאורע פשוט, שהוא תוצאה אפשרית אחת מתוך כלל התוצאות האפשריות במרחב המדגם. מאורע הוא קבוצה כלשהי של תוצאות (תת-קבוצה מתאימה של מרחב המדגם). בהטלת מטבע בודד מרחב המדגם כולל שתי תוצאות אפשריות: "עץ" או "פלי". כל הטלה של מטבע היא מאורע פשוט, שניתן לשייך לו הסתברות. אם נניח שמרחב המדגם הוא סימטרי, נקבל שההסתברות למאורע הפשוט בו המטבע נופל על הצד "עץ" היא בדיוק חצי.
בהטלת קובייה יש שש תוצאות אפשריות (הערכים 1 עד 6 המתקבלים בצד העליון של הקובייה). במקרה זה תוצאות אלה הן מאורעות זרים (כלומר אינם יכולים להתרחש בבת אחת) ושווי הסתברות, בהנחה שהקובייה סימטרית. מאורעות נחשבים כבלתי תלויים אם ההסתברות להתרחשות של כל אחד מהם אינה מושפעת מהעובדה שהאחר כבר קרה. שתי הטלות נפרדות של קובייה, למשל, הן מאורעות בלתי תלויים.
אחת התכונות הבסיסיות של מרחבי הסתברות היא שההסתברות של איחוד מאורעות זרים שווה לסכום ההסתברויות של כל אחד מהמאורעות. תכונה זו מתאימה להנחה האינטואיטיבית שהסיכוי שלפחות אחד משני מאורעות יתרחש הוא סכום הסיכויים שכל אחד מהם יתרחש בנפרד, כל עוד אין ביניהם חפיפה. לדוגמה, בהטלת קובייה סימטרית ההסתברות לכל תוצאה אפשרית היא שישית. למאורע "תתקבל תוצאה זוגית", שהוא איחוד של המאורעות הזרים, שיתקבל 2, 4, או 6, יש הסתברות של חצי – שלוש שישיות.
ההסתברות של חיתוך של מאורעות בלתי תלויים, כלומר ההסתברות שכל המאורעות הללו יקרו יחדיו, שווה למכפלת ההסתברויות של כל אחד מהמאורעות. דוגמה: מה ההסתברות שבשלוש הטלות רצופות של מטבע התוצאה "עץ" תופיע לפחות פעם אחת? המאורע המשלים למאורע זה הוא שבכל שלוש הזריקות הופיעה התוצאה "פלי". ההסתברות של מאורע זה שווה למכפלת ההסתברויות של התוצאה "פלי" בכל אחת משלוש הזריקות, כלומר ההסתברות של המאורע המשלים היא חצי כפול חצי כפול חצי, שהיא שמינית. לפיכך ההסתברות שבשלוש הטלות רצופות של מטבע התוצאה "עץ" תופיע לפחות פעם אחת היא שבע שמיניות.
הסיכויים שהקובייה תיפול על המספר 6, הם 1/6. הסיכוי שבשתי קוביות יתקבל המספר 6 הוא 1/36 והסיכוי שבשלוש קוביות יתקבל 6 הוא 1/216. כלומר, ככל שמספר הקוביות גדל, הסיכוי שכולן יפלו על אותו המספר קטן. לצורך חישוב הסתברויות של מאורעות מורכבים יותר במרחבים בדידים וסימטריים, נעשה שימוש בשיטות קומבינטוריות.
הצגה לא מדויקת של בעיות בהסתברות עלולה להביא לתוצאות פרדוקסליות. דוגמה בולטת לכך היא פרדוקס המעטפות.
טלוויזיה בכבלים בישראל
בוזוקי
בוזוקי (ביוונית: Μπουζούκι) הוא כלי מיתר בעל ארבעה זוגות מיתרים המשמש במוזיקה היוונית והים תיכונית.
הבוזוקי הוא פיתוח מאוחר של הבגלמה, כלי מיתר מונגולי שהובא אל אגן הים התיכון עם מסעות הכיבוש המונגולים בימי הביניים. במזרח התיכון שונה מבנה תיבת התהודה והוספו סריגים. השם בוזוקי שנבחר לכלי גזור מהמילה "בוזוק" שמשמעותה "צוואר" וזאת משום צווארו הארוך והצר של הבוזוקי. נגני בוזוקי הם מהמוזיקאים המוערכים ביותר ביוון ובקהילה היוונית בישראל, והם נמדדים בין השאר במהירות נגינתם.
בבוזוקי היווני המסורתי יש שלושה זוגות מיתרים. בשנת 1955 החלו לייצר בוזוקי שבו ארבעה זוגות מיתרים, האחראי לכך היה נגן הבוזוקי הידוע, מנוליס חיוטיס. שינוי זה הפך את הבוזוקי לכלי שניתן לנגן בו אקורדים כמו בגיטרה, ונגינת קטעים מלודיים בווירטואוזיות רבה. ביוון יש עדיין נגני בוזוקי רבים שמשמרים את הנגינה בבוזוקי שבו שלושה מיתרים ובכך שומרים את המסורת של מוזיקת הרמבטיקו. חלק מנגני המוזיקה הים-תיכונית מוסיפים לצוואר הבוזוקי סריג ביניים צף (לא מקובע לצוואר), בדומה לאופן שבו נעשה הדבר על גיטרה חשמלית. הסריג הצף מאפשר לנגן גם רבעי טונים, בדומה לעוד ולבגלמה הטורקית ובניגוד לסריגים הרגילים של הבוזוקי, שמאפשרים לנגן רק חצאי טונים.
בישראל נגינת הבוזוקי תפסה תאוצה עוד בשנות ה-70 המוקדמות. נגני בוזוקי ליוו זמרים מהז'אנר אשר השתמשו בלחנים יוונים עליהם כתבו מילים בעברית, דוגמת זוהר ארגוב שבין שיריו המוכרים היו אלינור ועינייך החומות.
בישראל מספר רב של נגני בוזוקי מקצועיים כחלק מפופולריות שצברה המוזיקה היוונית בישראל. בין נגני הבוזוקי המוכרים בישראל הוא יוסי אהרון, נגן בוזוקי וירטואוז שגם חיבר ספר לימוד נגינה בשם "קסם הבוזוקי" היצא לאור בשנת 2009.
ריקוד
ריקוד הוא תנועה של גוף האדם תוך יצירת תבניות תנועתיות הנושאות משמעות או מידע (אסתטי, רגשי, חברתי), בדרך כלל באופן קצבי ולצלילי מוזיקה, המתבצעת או כאומנות מול קהל או למטרות בילוי, טקסים חברתיים, מסורתיים או דתיים, פולחן, ספורט, ריפוי וכדומה.
הריקוד ידוע משחר ההיסטוריה האנושית וקיים בכל התרבויות. הוא מקושר בעיקר עם רגשות של שמחה ואירועים משמחים (כגון טקסים של לידה, חתונה וכדומה), אך קיים גם בהקשרים של טקסים דתיים ותרבותיים, ועוד.
המילה ריקוד מתארת גם שרשרת מסוימת, מוגדרת ומקובעת, של תנועות ריקוד, למשל: הריקוד "צדיק כתמר" או ריקוד גשם אינדיאני. בהרחבה מתאר המושג התנועעות של חיות או עצמים המזכירה ריקוד אנושי: "דבורת הדבש רוקדת ריקוד המודיע על מיקומו וכמותו של מזון"; .
בעברית של ימינו משתמשים במושג מחול לתיאור כל סוג ריקוד שמיועד להיות מבוצע מול קהל ונתפס כאומנות, בניגוד לצורות ריקוד שמבוצעות למטרות אחרות. כוריאוגרפיה היא מקצוע בו יצירת אמנות מבוססת על הריקוד, כלומר- הכוריאוגרף בוחר מוזיקה מסוימת ומתאים לה תנועות ריקוד מסוימות, המהוות את עיקר היצירה.
הריקוד מאפשר לבטא רגשות במודע ובאופן בלתי-מודע. מסיבה זו, כל רקדן נוטה לפתח סגנון ריקוד שונה, התלוי גם במצב רוחו ובחברה בה הוא רוקד.
היסטוריה.
הריקוד נוצר בשחר האנושות, כחלק מרכזי של הפולחן האלילי (ראו למשל, ריקוד אפריקאי). במהלך ההיסטוריה נחשב הריקוד לתחום עממי יחסית לשאר האומנויות, בעיקר משום שאינו דורש השכלה וחומרי גלם.
הריקוד החל להיות מופץ באירופה בתקופת הרנסאנס, עם תרבות הנשפים שהתפתחה בקרב האצולה באותה תקופה (על אף שהאמנים עצמם לא עסקו בריקוד)
רק במאות האחרונות קיבל הריקוד מעמד השקול לשאר האומנויות, בעיקר עם פיתוח אמנויות הבמה.
כמו כן, כל תרבות מפתחת סגנונות ריקוד משלה, המשתנים לאורך ההיסטוריה.
ריקוד שלא כאומנות.
דוגמאות לתכליתו של ריקוד לא אומנותי, או שהאומנות היא מטרה משנית שלו:
סוגי ריקוד.
ריקוד עממי.
בסוג זה קהל הריקוד רוקד בעצמו, לעיתים בהתאם למוזיקה המנוגנת על ידי אמן. ריקודים אלו הופכים ברוב המקרים לחלק בלתי נפרד מהתרבות המאפיינת את האדם הפשוט. דוגמאות לריקודים כאלו הם:
בריקוד העממי הישראלי הצעדים כתובים במלואם, והחופש של הרקדן לבחור צעדים ולאלתר במסגרת הריקוד מוגבל בדרך כלל.
ריקודי נשף.
מכונים גם "ריקודים סלוניים", ולעיתים גם "ריקודי שנות השישים".
בדרך כלל ריקודי זוגות. כל ריקוד נשף מתאים למוזיקה משלו. למשל, ואלס מתאים למקצב של שלושה רבעים, טנגו - למקצב של ארבעה רבעים שבו הפעמה השנייה מודגשת.
החופש של הרקדן לאלתר בריקודי הנשף הוא בינוני: יש מבנה קבוע לצעדים, אך במסגרת המבנה הזה יכול הרקדן לבחור את הכיוונים ואת האלמנטים כרצונו.
בארץ נחשבים הריקודים הלטיניים לריקודי נשף.
ריקודי הנשף מהווים חלק ממסגרות שונות:
בין הריקודים הסלוניים (פרט ללטיניים) המקובלים היום בארץ נמנים:
קפואירה.