הסיפור מדבר על בית מלון, שחדריו ממוספרים בסדר עולה: 1, 2, 3, וכו'. להבדיל ממלון רגיל, מספר החדרים במלון זה הוא אינסופי, כלומר לכל מספר טבעי קיים במלון חדר שזה מספרו (קבוצת המספרים הטבעיים היא קבוצה אינסופית ובת מנייה, כלומר ניתן למנות את אבריה לפי סדרם).
הסיפור מתחיל כאשר כל החדרים במלון תפוסים. כעת מגיע לקוח נוסף למלון ומבקש חדר. בעל המלון, שאינו מעוניין לגרום ללקוח כעס ואי נעימות, אינו אומר לו שכל החדרים תפוסים, אלא פועל על מנת לספק חדר ללקוח: הוא מבקש מהאורח בחדר 1 לעבור לחדר 2, מהאורח בחדר 2 לעבור לחדר 3, מהאורח בחדר 3 לעבור לחדר 4, וכך אורח חדר n עובר לחדר n+1, והדבר אפשרי משום שיש אינסוף חדרים. את חדר 1 שהתפנה הוא מציע ללקוח הנוסף שהגיע זה עתה.
כעת מגיעה למלון סדרה אינסופית של אורחים, אולם בעל המלון רב התושיה מצליח לשכן גם אותם: הוא מבקש מהאורח בחדר 1 לעבור לחדר 2, מהאורח בחדר 2 לעבור לחדר 4, מהאורח בחדר 3 לעבור לחדר 6 וכן הלאה. בצורה זאת, כל האורחים שהיו עד עכשיו במלון עברו לחדרים הזוגיים, ואילו את האורחים החדשים ניתן לשכן במספר האינסופי של החדרים האי-זוגיים שהתפנו.
כעת מגיעה למלון סדרה אינסופית של אוטובוסים, שבכל אחד מהם סדרה אינסופית של אורחים חדשים. אולם בעל המלון מצליח להתגבר גם על זה: ראשית, הוא מרוקן שוב את החדרים האי-זוגיים, כפי שראינו קודם. כעת, הוא משכן את כל חברי הקבוצה הראשונה בחדרים שמספרם הוא חזקה טבעית של 3, את כל חברי הקבוצה השנייה בחדרים שמספרם הוא חזקה טבעית של 5, וכן הלאה, כשהוא משתמש רק בחזקות של מספרים ראשוניים אי-זוגיים (ולכן מספרי החדרים כולם אי-זוגיים ואין התנגשות עם האורחים שכבר היו במלון). מכיוון שלכל מספר טבעי יש פירוק יחיד למספרים ראשוניים (על פי המשפט היסודי של האריתמטיקה), הרי שלא ייתכן שמספרו של חדר אחד יהיה חזקה של שני מספרים ראשוניים שונים, ולכן השיכון של האורחים במלון מבטיח שלכל אחד יהיה חדר משלו.
גרסה מעט שונה לסיפור האחרון מתארת סדרה אינסופית של אוטובוסים, שהראשון מגיע בשעה 23:00 (שעה לפני חצות), השני מגיע בשעה 23:30 (חצי שעה לפני חצות), השלישי מגיע בשעה 23:45 (רבע שעה לפני חצות), וכן הלאה - כל אוטובוס מגיע במחצית מהזמן שנותר עד חצות. בכל פעם שמגיע אוטובוס חדש, בעל המלון מעביר את כל האורחים הנוכחיים במלון לחדרים הזוגיים, ומשכן את האורחים החדשים בחדרים האי-זוגיים.
בשעה חצות בדיוק עובר בעל המלון בין החדרים כדי לראות מי נמצא בכל חדר. לתדהמתו הוא מגלה שכל החדרים ריקים. כל אורח שהיה בחדר כלשהו (n) שעה אחת לפני חצות, פינה את החדר חצי שעה לפני חצות; כל אורח שהיה שם חצי שעה לפני חצות, פינה את החדר רבע שעה לפני חצות; וכן הלאה. כלומר, כל אורח שהיה בחדר מתישהו, בזמן x לפני חצות, פינה את החדר בזמן x/2 לפני חצות; אף אורח לא נשאר בחדר.
על אף שהגיעו למלון אינסוף קבוצות של אינסוף אנשים, כל החדרים במלון ריקים! להסבר של תופעה זו, ראו את הערך גבול.
פירושו המתמטי של הסיפור.
הילברט בא לתאר בסיפור זה את הדרך הלא-אינטואיטיבית שבה מתנהג האינסוף בתורת הקבוצות. ה"מלון" שלו הוא קבוצת המספרים הטבעיים, שעוצמתה מסומנת formula_1 (קרי: אָלֶף אֶפֶס). כל אחד משלושת המקרים מראה כיצד פעולה אריתמטית מסוימת על העוצמה (כלומר, על גודל הקבוצה) משאירה אותה ללא שינוי. בין הקבוצה שמתקבלת (כל האורחים הקיימים, כולל האורחים החדשים) ובין המספרים הטבעיים (חדרי המלון) קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל - ועל כן הקבוצות שקולות, ועוצמתן זהה.
בעל המלון אינו כל יכול - אם למלון הייתה מגיעה קבוצת אורחים שעוצמתה היא עוצמת הרצף, כלומר עוצמת המספרים הממשיים, הוא לא היה מצליח לשכן אותם. עוצמת הרצף גדולה מאלף אפס ולכן אין דרך להתאים חדר שונה לכל אורח.
העיסוק בקבוצות אינסופיות ובתכונותיהן נוגדות האינטואיציה הוא תרומתו של גאורג קנטור להתפתחות המתמטיקה. רעיונותיו של קנטור עוררו חשדנות, ואף עוינות, בקרב מתמטיקאים רבים, ורק בערוב ימיו הוכרה תרומתו האדירה למתמטיקה. על תרומה זו אמר הילברט: "אף אחד לא יגרש אותנו מגן העדן שקנטור יצר".
הרחבה אפשרית.
בעיה נוספת שיכולה להתייצב בפני בעל המלון היא קבוצה אינסופית של אנשים, שמבקשת חדר לכל תת-קבוצה. כלומר שלושת האנשים הראשונים רוצים חדר לעצמם, כך גם ארבעת האנשים הראשונים, וכן כל האנשים הזוגיים רוצים גם הם חדר לעצמם. על בעיה זו בעל המלון כבר לא יוכל להתגבר. ניתן להראות זאת על ידי השאלה האם בחדר מספר X נמצא אדם שמספרו גם-כן X. ולהמשיך עם הפרכה דומה להוכחה של קנטור ש formula_10.
בתרבות.
בסיפורים אחדים מוצג הרעיון של המלון של הילברט, ובהם:
הופקו גם שני סרטי קולנוע העוסקים במלון של הילברט:
עובר
עוּבָּר הוא הצאצא של יצור חי, שנוצר כתוצאה מהפריה ומתקיים ברחם היונקים או בתוך ביצה, אצל בעלי חוליות אחרים (למעט במקרה פתולוגי של היריון חוץ רחמי ביונקים). העובר נחשב לעובר עד לרגע היוולדו או בקיעתו מהביצה. מרגע היוולד עובר אדם הוא מוגדר כתינוק.
התפתחות עובר האדם.
עובר האדם עובר שני שלבים עיקריים המחולקים לשלבי משנה:
התפתחות העובר והשמירה על פרופורציות נכונות בין האיברים הגדלים בהדרגה, מנוהלת בין השאר, על ידי מורפוגן, חומר המופרש ממספר תאים במרכז העובר המתפתח.
קביעת מין העובר.
בהפריה תקינה, מינו של העובר תלוי בהרכב הכרומוזומים שבתאי הגוף; לכל תא בגוף האדם 46 כרומוזומים (באופן נורמלי מספרם קבוע), אשר כל אחד מהם נושא מידע גנטי הקובע את תכונותיו של האדם. כל הכרומוזומים מסודרים בזוגות, ויש בסה"כ 23 זוגות. 22 זוגות נקראים אוטוזומים (autosomes) וזוג אחד קרוי בשם כרומוזומי מין (גונוזומים) - סה"כ 44 אוטוזומים ו-2 כרומוזומי מין. באופן תקין, כרומוזומי המין נחלקים לשני סוגים: כרומוזום מין נקבי גדול יותר הנקרא X, וכרומוזום מין זכרי קטן יותר הנקרא Y, כאשר כל הורה תורם תא מין אחד ובו כרומוזום מין אחד ע"פ החלוקה הבאה: בתא מין נקבי קיים באופן נורמלי כרומוזום X ואילו בתא מין זכרי קיים באופן נורמלי כרומוזום X או כרומוזום Y. כך שתא המין הזכרי הוא זה ש"קובע" את מין היילוד - באופן תקין אם זרע המכיל X יפרה את הביצית, תיווצר זיגוטה שכרומוזומי המין שלה הם XX והיא תהיה נקבה ואילו אם זרע המכיל Y יפרה את הביצית, תיווצר זיגוטה שכרומוזומי המין שלה הם XY והוא יהיה זכר.
לעיתים נופלות טעויות בשלבים שונים של ייצור תאי המין הנושאים את כרומוזומי המין ולעיתים נופלות טעויות בהפריה עצמה, וכך נוצרים עוברים מרובי כרומוזומי מין (לדוגמה: XXY). לעיתים הגוף ידחה את העובר ותתרחש הפלה ספונטנית (טבעית) ולעיתים תתרחש לידה תקינה אך העובר ייוולד עם מומים שונים - לעיתים קרובות עקרות הנובעת בדרך כלל כתוצאה מאי התפתחות תקינה של מערכת הרבייה של היילוד במהלך גיל ההתבגרות, בשל אותן טעויות בכרומוזומי המין. ישנם מקרים שבהם ייווצר עובר עם סתירה בין מערכות הרבייה הפיזיות לבין ההורמונים או הכרומוזומים, כך שלעיתים לא ניתן להכריע את מינו של היילוד בשל טעויות כרומוזומליות.
חשיבות מדעית של חקר העובר.
התחום בביולוגיה החוקר את ההתפתחות העוברית נקרא אמבריולוגיה. זהו ענף של הביולוגיה ההתפתחותית. המונח אונטוגנזה מתייחס להתפתחות הפרט הבודד, וכולל את ההתפתחות העוברית אך גם את ההתבגרות וההזדקנות.
לחקר ההתפתחות העוברית חשיבות עליונה במחקר הביולוגי. בבעלי חיים איברים מסוימים קיימים בעוברים אך נעלמים במהלך ההריון; מתופעה זו ניתן ללמוד רבות על הפילוגנזה של בעלי חיים, היינו על התפתחותם האבולוציונית, ועל הקשר ומידת הקרבה בין המינים השונים. דוגמה לכך היא הופעת הזנב בשלב מוקדם של התפתחות עוברי האדם, באופן דומה מאוד להופעתו בהתפתחותם של כל שאר עוברי החולייתנים. בבני-אדם ובקופי-אדם הזנב מתנוון עוד לפני הלידה, בעוד שבקופים בעלי הזנב וברוב שאר החולייתנים הוא ממשיך להתפתח. החוק הביוגנטי שהציע ארנסט הקל בסוף המאה ה-19 אף הרחיק לכת וקבע כי שלבי ההתפתחות העוברית חוזרים בסדר מדויק על ההיסטוריה האבולוציונית של המין כולו ("האונטוגנזה חוזרת על הפילוגנזה"), ואולם כיום ידוע כי זהו אינו חוק הנכון תמיד. שמרנותה האבולוציונית של ההתפתחות העוברית נובעת מכך שהופעת איבר אחד לעיתים קרובות הופכת להיות שלב מארגן הכרחי בהתפתחותם של איברים המופיעים לאחריו, ועל כן היעלמותו בתהליך האבולוציה מבלי לגרום נזק כללי תתבצע באופן הפשוט ביותר על ידי הופעתו הזמנית והתנוונותו לאחר שהסתיים תפקידו המארגן. התנוונות כזו מושגת באמצעות מוות "מתוכנת מראש" של תאים: אפופטוזה. באמצעות מחקר עוברי ניתן ללמוד עוד על תופעה זו, לה השלכות רבות בחקר ההזדקנות ומחלת הסרטן.
האיברים השונים בגוף מתפתחים בעובר משלוש שכבות נבט בסיסיות; מכל שכבת נבט מתפתחים איברים מסוימים, ורק הם. חקר הנושא מלמד אותנו על הקשר בין האיברים השונים ועל תפקודם, ויכול להביא להבנה טובה יותר של מחלות.
מעמד משפטי.
באופן כללי, בישראל, על פי לחוק הכשרות המשפטית והאפוטרופסות, הקובע "כל אדם כשר לזכויות ולחובות מגמר לידתו ועד מותו", עובר אינו יכול לזכות בזכויות וחובות שכן זכויותיו וחובותיו של אדם מתגבשות רק עם לידתו. יוצא מכלל זה היא ההוראה בחוק הירושה הקובע זכות ירושה למי שנולד עד 300 יום אחרי מותו של מורישו. בית המשפט העליון שלל את הניסיון להקיש מחוק זה לחוק הגנת הדייר.
העובר בהלכה.
בהלכה עד 40 יום העובר נחשב כמים בלבד, היות שעל פי המדרש ביום הארבעים להיווצרותו נזרקת בו נשמה.
נחמה ליבוביץ'
גבעת השלושה