את הזהות גילה האסטרונום האיטלקי ג'ובאני דומניקו קאסיני. הזהות אומרת כי formula_9, כלומר מספר פיבונאצ'י בריבוע הוא כמעט מכפלת שני המספרים לידו, ההפרש ביניהם הוא 1. מי גדול יותר זו שאלה שתלויה בזוגיות של המיקום של מספר הפיבונאצ'י שלקחנו. למשל, בסדרה יש את הרצף 3,5,8, שבו formula_10ו-formula_11 וההפרש ביניהם הוא באמת 1. את הזהות ניתן להוכיח בכמה דרכים: דרך אחת היא באמצעות אינדוקציה מתמטית, שכן כך הסדרה מוגדרת. דרך אחרת היא להשתמש בעובדה שדטרמיננטה היא כפלית ולרשום:
formula_12
סדרת לוקאס.
סדרה דומה לסדרת פיבונאצ'י היא סדרת לוקאס. הסדרה מוגדרת על ידי:
formula_13
formula_14
formula_15
סדרת פיבונאצ'י וסדרת לוקאס הן סדרות מהסוג הבא:
formula_16
formula_17
formula_18
formula_19
formula_20
לכן formula_21.
ישנה עוד נוסחא המקשרת בין שתי הסדרות:
formula_22
בנוסף, בדומה לנוסחא הכללית של סדרת פיבונאצ'י
formula_23
גם לסדרת לוקאס יש נוסחא כללית:
formula_24
תכונות מודולריות של סדרת פיבונאצ'י.
אחת הסיבות לחשיבותה של סדרת פיבונאצ'י בתורת המספרים היא ההתנהגות המעניינת של השאריות שלה בחלוקה למספר ראשוני קבוע. לדוגמה,
כאשר מתבוננים בסדרה מודולו כל מספר טבעי m, היא יכולה לקבל רק מספר סופי של ערכים, ולכן אין תימה שהסדרה מחזורית. כאשר בוחנים את הסדרה מודולו מספר ראשוני p, ישנם ארבעה מקרים: ראשית, מודולו p=2, סדרת השאריות היא formula_25 ומחזורה 3. מודולו p=5 המחזור הוא 20. כאשר formula_26, המספר formula_27 מקיים formula_28, כאשר המקדם הוא סימן יעקובי, השווה ל-1 אם 5 הוא שארית ריבועית מודולו p (זה קורה כאשר p מסתיים בספרות 1,4,6 או 9), ול־1- אחרת. אם 5 הוא שארית ריבועית אז formula_29 וכן formula_30, וכך אפשר להוכיח שמחזור הסדרה מחלק את p-1. אם 5 איננו שארית ריבועית אז formula_31 ו- formula_32, ובמקרה זה formula_33 (החישוב נובע מן התכונה formula_34), והמחזור מחלק את formula_35. תכונות אלה של סדרת פיבונאצ'י משמשות במבחני ראשוניות (ראו גם סדרת לוקאס).
לכל מספר טבעי m, אורך המחזור של סדרת פיבונאצ'י מודולו m הוא לכל היותר 6m. אורך המחזור הוא 6m אם ורק אם m שווה לכפליים חזקה של 5.
משפט זקנדורף.
כל מספר טבעי ניתן להצגה בצורה יחידה כסכום של מספרי פיבונאצ'י שונים שאין ביניהם שניים עוקבים (סמוכים זה לזה בסדרה). הצגה זו נקראת הצגת זקנדורף, על שמו של הרופא הצבאי הבלגי אדואר זקנדורף (1901-1983), שהיה מתמטיקאי חובב והוכיח שהיא אכן תמיד קיימת.
את הצגת זקנדורף אפשר למצוא באמצעות אלגוריתם חמדן. מכיוון שכל מספר פיבונאצ'י עשוי להופיע בסכום לכל היותר פעם אחת, ההצגה המתקבלת נראית כמו הצגה בינארית: הספרה '1' במקום ה-n מסמנת שמספר פיבונאצ'י formula_36 משתתף בסכום, וספרת '0' מציינת שהמספר אינו משתתף. למשל הצגת זקנדורף של מאה היא: formula_37.
חידות שסדרת פיבונאצ'י היא פתרונן.
בספר החשבונייה מספרי פיבונאצ'י מופיעים בהקשר לחידה העוסקת בארנבים. על-פי החידה זוג ארנבים צעיר הופך לאחר שנה לזוג ארנבים מבוגר. לצורך החידה הארנבים לא מתים אף פעם. זוג ארנבים מבוגר בכל שנה מוליד זוג ארנבים נוסף. מתחילים מזוג ארנבים צעיר אחד, כמה זוגות ארנבים יהיו מעתה כל שנה?
הפתרון לחידה הוא סדרת פיבונאצ'י. הסדרה מופיעה גם כפתרון לחידות קומבינטוריות רבות. לדוגמה, דבורה יכולה להיכנס לכוורת שבאיור דרך המשושה המסומן ב־1, או דרך המשושה המסומן ב־2. הדבורה יכולה לעבור ממשושה מסוים לשכנו, בתנאי שמספרו של המשושה החדש גדול ממספרו של המשושה בו היא נמצאת. בכמה דרכים שונות יכולה הדבורה להגיע למשושה ה־n?
חידה נוספת: אם אדם צריך לעלות בסולם n שלבים, וכל פעם עליו להחליט אם לעלות שלב אחד או שניים, כמה אפשרויות יש לו?
גם הפתרון לחידה זו הוא סדרת פיבונאצ'י, מפני שיש להסתכל על המהלך הראשון, במהלך הראשון יכול האדם לעלות שלב אחד או שניים, אם יעלה שלב אחד - אזי מספר האפשרויות הנותרות יהיה בדיוק כמספר האפשרויות לעלות n-1 שלבים, ואם יעלה 2 שלבים יהיה מספר האפשרויות הנותרות כמספר האפשרויות לעלות n-2 שלבים.
נוסחה ישירה לאברי הסדרה.
אפשר לקבל את אברי הסדרה בצורה ישירה על פי הנוסחה formula_38 כאשר formula_39 הם הפתרונות של המשוואה
formula_40 המאפיינת את יחס הזהב. יש המייחסים לאדוארד לוקאס את גילוי הנוסחה. אולם הנוסחה הייתה ידועה כבר לז'אק פיליפ מארי בינה בשנת 1843, ואולי אף ללאונרד אוילר ב-1765 ואפילו לאברהם דה-מואבר ב-1730.
מכיוון ש- formula_41, מתקיים formula_42, ומכאן שהיחס בין אברי הסדרה שואף ליחס הזהב.
את הנוסחה קל להוכיח באינדוקציה. כדי לקבל אותה, כמו נוסחאות לסדרות רקורסיה ליניאריות אחרות, אפשר לכתוב את הגדרת הסדרה בעזרת מטריצה מתאימה:
מכיוון שהמשוואה האופיינית בלכסון המטריצה היא משוואת יחס הזהב, אפשר לכתוב:
והצבה בנוסחת הרקורסיה המטריציונית נותנת את הנוסחה הישירה עבור אברי הסדרה.
שימושים במדעי המחשב.
ישנם אלגוריתמים ומבני נתונים כגון ערימת פיבונאצ'י המשתמשים בתכונות של מספרי פיבונאצ'י להוכחת סיבוכיות.
אוורסט
האֶווֶרֶסְט (בטיבטית: ཇོ་མོ་གླང་མ צ'וֹמוֹ לוּנְגְמַה, בנפאלית: सगरमाथा סאגרמטהה, בסינית: 珠穆朗玛 ז'ומולנגמא, באנגלית: Mount Everest) הוא ההר הגבוה בעולם (8,848 מטרים מעל פני הים), ומתנשא בחלקו המזרחי של רכס הרי ההימלאיה בגבול שבין נפאל לבין טיבט שבסין. רוב שטחו מצוי במחוז האוטונומי הטיבטי שבשליטת סין, וחלקו הדרומי שוכן בתחומי הפארק הלאומי סגרמאטהה שבנפאל.
משמעות שם ההר בטיבטית הוא "אלת אם העולם" ומשמעות השם הנפאלי הוא "ראש הרקיע". השם הנפוץ "אוורסט" הוא על שם המודד הבריטי סר ג'ורג' אוורסט (ההגייה הנכונה של שמו היא אִיוְרֶסְט, בניגוד לשם המקובל היום להר - אֶווֶרֶסְט), שהיה המודד הראשי של הודו והאחראי השני למיפוי הטריגונומטרי הגדול של הודו.
האוורסט הוא ההר הגבוה ביותר יחסית לגובה פני הים, אבל אם לוקחים בחשבון מדידת גובהו של הר גם מתחת לפני הים, הרי שההר מאונה קיאה שבהוואי עוקף את האוורסט, שכן גובהו המלא הוא 10,203 מטרים מעל קרקעית האוקיינוס השקט. בכך מאונה קיאה הוא למעשה ההר הגבוה ביותר בעולם לפי צורת מדידה זו.
מדידת האוורסט ומתן שמו.
המיפוי שהתנהל בעזרת תאודוליטים גדולים החל מ-1802 מהקצה הדרומי של הודו לכיוון צפון, ונועד במקורו למדוד קשת לאורך המרידיאן ובכך לקבל מידע מדויק על עקמומיות כדור הארץ, הגיע אל מרגלות ההימאליה רק עם פרישתו של איוורסט וחזרתו לבריטניה. ממשיכו בתפקיד, אנדרו וו (Andrew Waugh), שנכנס לתפקיד ב-1843, החל למדוד מתוך צפון הודו את גובהם של ההרים ברכס ההימלאיה. את החישובים ביצע בכלכותה המתמטיקאי ההודי רד'נאת סידקאר שהיה "המחשב האנושי" של הפרויקט באותה עת. כבר ב-1847 גילו השניים כי רבות מהפסגות בהימלאיה גבוהות יותר מפסגות הרי האנדים, שעד אז היו הגבוהות ביותר שנמדדו, אולם וו לא פרסם את הממצאים, והחליט לבדוק קודם האם קיימות פסגות גבוהות יותר, שטרם נצפו ונמדדו, במקבץ הפסגות הרחוק יותר על גבול נפאל וטיבט. הפסגות נמדדו ממרחק של מאות קילומטרים, באותה שנה, ושוב ב-1849, ולאחר תהליכים של זיהוי הפסגות מהמקומות השונים שבהן נמדדו, והחישובים הטריגונומטריים של סידקאר, הגיעו (בשנת 1852) השניים למסקנה שהפסגה שלה הם קראו פסגה XV, היא הגבוהה ביותר, והיא כנראה הנקודה הגבוהה ביותר על פני כדור הארץ.
וו עדיין התמהמה בפרסום הממצאים, ורק ב-1856 דיווח על תוצאות המדידה, והודיע ש"פסגה XV" שבהימאליה הנפאלית גובהה הוא 29,002 רגל (8,840 מטר), ושזהו כפי הנראה ההר הגבוה ביותר בעולם. על פי סיפור שמידת מהימנותו אינה ברורה, הגובה אליו אנשי הצוות הגיעו ממיצוע המדידות היה 29,000 רגל, ושני רגל הוספו על מנת להימנע מיצירת רושם בציבור כאילו מדובר בערך מקורב.
מאוחר יותר הציע וו לקרוא לפסגה (שלטענתו, לא מצא שיש לה שם מקומי) על שם קודמו, שהיה עוד בין החיים באותה עת. איוורסט, שהקפיד כמודד הראשי של הודו להשתמש בשמות מקומיים, אם היו כאלה, השמיע התנגדות רפה למדי לכבוד שהוצע לו, ולמרות התנגדויות שנשמעו, החליטה החברה הגאוגרפית המלכותית הבריטית ב-1865, שנה לפני מותו של איוורסט, לקרוא להר על שמו. איוורסט עצמו, לא רק שלא היה על ההר, גם ככל הנראה מעולם לא צפה בו. ההתעלמות משמותיו המקומיים של ההר מעוררים כעס בטיבט, סין ונפאל ואף ישנם הדורשים להחזיר להר את שמו הטיבטי המקורי ולנטוש את השם אוורסט.
תנועה ציבורית, שמרכזה בהודו, דורשת לקרוא את ההר על שמו של סידקאר, שנטען שהיה הראשון שהבין שהמדובר בהר הגבוה בעולם.