לפרדוקס השקרן יש וריאציות רבות, וכמעט כל פרדוקס שסיבתו הפניה-עצמית מבוסס עליו. לדוגמה, "במשפת זה יש שלוש שגיעות!" - במשפט יש שתי שגיאות כתיב (במילים "משפת" ו"שגיעות"); אבל אם המשפט נכון, אלו הן שתי השגיאות היחידות, ולכן המשפט אינו נכון. ואם אינו נכון, אז הוא עצמו מהווה שגיאה שלישית, ולכן המשפט נכון. אך במשפט זה חוסר המיקוד בשפה הוא גורם הפרדוקס, שאם נמקד את המשפט בשפה שמחלקת שבין שגיאות כתיב לשאר דברים לא נכונים יבוטל הפרדוקס, כגון "במשפת זה יש שלוש שגיעות כתיב", שהוא משפט שאינו נכון ללא כל פרדוקס.
מיקוד הפרדוקס ופתרונו.
יש הרואים את הבעיה בפרדוקס בכך שהמילה "זה" לא מוגדרת בו היטב. המילה "זה", היא מאזכר, ומכיוון שהיא מתייחס לאותו משפט, משמעות המשפט היא למעשה "המשפט 'המשפט הזה הוא שקר' הוא שקר", ולפיכך "המשפט 'המשפט "המשפט הזה הוא שקר" הוא משפט שקר' הוא משפט שקר", וכן הלאה עד אינסוף.
יש הטוענים כי הפרדוקס "לא קיים במציאות", אלא קיים אך ורק באופן הצגת הדברים, ובדומה לפרדוקס של זנון בה אין מונע אמיתי מאכילס לחלוף על פני הצב, כך כאן אין מונע אמיתי מהבנת הפסוק באופן חד ערכי, ועל פיו לקבוע את אמיתות או שקריות המשפט.
על מנת להבין סוג פתרון זה ניתן להראות משפט "כמעט" פרדוקסלי, ולפתור באופן דומה את הפרדוקס. לדוגמה: פלוני טוען בבוקרו של יום, שבמקום בו הוא עומד כעת חצות לילה. לא נוכל לקבל את טענתו, כי אנו יודעים שהיא שקרית, "ואילו ניסינו לקבל את דבריו כאמת" היינו נתקלים במידע הקובע שאין לקבל את טענתו. לעומת זאת, כשנבוא לדחות את דבריו, אין סתירה בין החלטתנו ובין הפסוק שנדחה, שכן הוא נדחה, ואין מה לעיין בדבריו.
מקרה יותר קרוב לפרדוקסלי הוא כאשר פלוני טוען שהוא משקר תמיד. לא נוכל לקבל את טענתו, ונקבע שהוא משקר לעיתים - בטענת "ממה נפשך": אנו חייבים לדחות את דבריו, שכן אם נרצה לקבל אותם, אנו מניחים כי טענתו היא אמת, טענה הסותרת את טענתנו. וכאשר אנו באים לדחות את דבריו, דחיית דבריו הפעם תקֵיפה, כי ייתכן ש"לעיתים" פלוני משקר, אך לא "תמיד" כדבריו.
לאור התבוננות זו, ובאופן דומה, אם נביט בפסוק: "משפט זה הוא שקר" - ובמידה שיש לפסוק כזה משמעות יותר מאשר לפסוק: "משפט זה הוא מלפפון כחול" - עלינו לשלול את הטענה של הפסוק, בטענת "ממה נפשך": אנו חייבים לדחות את דברי ה"תוכן" של המשפט, כי תוכנו סותר את אמיתות הפסוק עצמו. אבל כאשר אנו באים לקבוע את דחיית תוכן הפסוק לקבוע שהפסוק אינו בעל "אמת" אנו קובעים שהוא - והפעם אנו מדברים על הפסוק ולא על תוכנו, נדחה בלא סתירה, מכיוון שבשקר יש מידה מסוימת של אמת, אבל לא כולה אמת. כלומר אמת, היא רק אמת מוחלטת, אבל שקר הוא כל מה שאינו אמת מוחלטת, ויכול להכיל גם חלקים שהם אמת. בדרך זו, על פי ההבנה האנושית (הסמנטיקה), גם מבחן רב-ברירתי שבו אחת האפשרויות היא "אף תשובה אינה נכונה" - אינה פרדוקסלית, מכיוון שברור לעונה על השאלון שכוונת השואל אינה כוללת את התשובה הזו עצמה.
לחלופין, דרך נוספת לדחות את המשפט היא לקבוע שהפסוק הוא "אינו אמת" בבחינת חוסר המשמעות שלו. באופן זה בדומה לדוגמה עם פלוני ו"חצות לילה" - אין צורך להתבונן בתוכן המשפט מרגע שדחינו אותו, מכיוון שאין לו משמעות, ומשמעות זו הייתה מושגת רק אם הטענה הייתה מתייחסת למשהו שאפשר לאמת או להכחיש.
אם נחזור לדוגמה הראשונה בערך זה, בו פלוני אומר: "אני משקר עכשיו", ניתן לאמת את דבריו ולהגיד: נכון, אתה משקר עכשיו. שקר זה כולל מידה מעטה של אמת, שאינה מורידה מערך השקר הכללי. אמת זו היא שהוא אכן משקר (באופן כולל ובדבר שאין אפשרות לבדוק אותו, כי לא ברור מה משמעות השקר ומהו הדבר שאותו ניתן לאמת או להכחיש).
לעומת זאת אם בדוגמה, הפלוני היה אומר: "אין במה שאני אומר ולו מידה זעירה של אמת", היינו בוחרים להבין את דבריו כויתור על משמעות, כאילו אמר "הריני מוותר לכם על המשך בחינת הדברים שאני אומר", והיינו משווים זאת לאדם האומר: "משפט זה הוא מלפפון כחול", שגם אותו אנו דוחים, ללא כל חשש לפרדוקס.
השוואה לפרדוקסים אחרים.
פרדוקס השקרן נחשב לפרדוקס אמיתי, כזה המאלץ אותנו לשנות את הנחות היסוד (כגון ההנחה שאפשר לייחס לכל טענה ערך אמת). פרדוקס הספר דומה לפרדוקס השקרן בכך שכל ערך אמת שמייחסים לטענה (הספר מספר את עצמו; הספר אינו מספר את עצמו) מוליך לסתירה. עם זאת, פרדוקס הספר הוא פרדוקס רק אם מניחים שהספר אכן קיים. במובן זה אפשר לראות בו לא פרדוקס, כי אם הוכחה שהספר אינו קיים. על פי סיווג הפרדוקסים של קווין , פרדוקסים כאלה נקראים פרדוקסים ורידיקליים (כאלו המביאים להוכחה שטענה מסוימת היא אמיתית) או פולסידיקליים (כאלו המביאים להוכחה שטענה מסוימת – ובמקרה זה הטענה שהספר קיים – היא שקרית). אכן, הפרדוקס של ראסל, שאפשר לראות בו ניסוח מתמטי של פרדוקס הספר, מראה שקבוצת כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן אינה יכולה להתקיים; ומכאן שלא כל נוסחה מגדירה קבוצה. במובן זה, פרדוקס הכל-יכול דומה לפרדוקס הספר, משום שאחת הדרכים להתיר אותו היא לראות בו הוכחה לאי-קיומה של ישות כל-יכולה.
שימוש בהוכחות מתמטיות.
הראשון לנצל את הסתירתיות בבסיס פרדוקס השקרן לשם הוכחה מתמטית היה גאורג קנטור. קנטור הוכיח את משפט קנטור על ידי כך שהניח שהמשפט שגוי, והסיק מכך כי קיימים קבוצה formula_1 ואיבר formula_2, כך שאם formula_3, אז formula_4, ואם formula_4, אז formula_3. סתירה זו הובילה אותו למסקנה כי משפט קנטור נכון.
קורט גדל עשה שימוש בגרסה של פרדוקס השקרן לשם הוכחת משפט האי שלמות הראשון המפורסם שלו. במהלך ההוכחה הוא הראה כיצד בתורות מסוימות ניתן לבנות טענה שמעידה על עצמה "טענה זו אינה ניתנת להוכחה", ולכן היא עצמאית. אלפרד טרסקי הראה כי לא ניתן לבנות בתורות כאלה טענה שאומרת "טענה זו שקרית".
אלן טיורינג הראה שבעיית העצירה היא לא-כריעה באמצעות לכסון. ההוכחה משתמשת בהנחה בשלילה כדי להראות מקרה בו מכונה שפותרת את בעיית העצירה תניב תוצאה שגויה, באמצעות בניית מכונה חדשה על גבי המכונה שפותרת את בעיית העצירה ומתנהגת הפוך ביחס לניבוי שלה, ובכך הראה שמכונה כזו לא יכולה להתקיים.
פרדוקס
פרדוקס (מיוונית עתיקה: παράδοξος – פרדוקסוס) הוא סדרה של טענות, שמוכיחה כי ידיעותיו או אמונותיו של האדם סותרות זו את זו. באופן כללי ניתן להגדיר את הפרדוקס כמושג או טענה, אשר הסיבה לאמיתותם הופכת בסופו של דבר להיות הסיבה להפרכתם, וחוזר חלילה.
פרדוקסים יכולים לשכנע אנשים וקהילות חוקרות לשפר את ידיעותיהם או לשנות את אמונותיהם. פרדוקסים יכולים להתברר גם כניסוחים שגויים של טענות, המציגים רק בעיה לכאורה.
הפרדוקס יכול לבטא סתירה חיצונית כאשר הוא סותר ידע או הנחה קודמים, או סתירה פנימית כאשר ממנו עצמו נובעים דבר והיפוכו.
הגעה לפרדוקס יכולה להיות טכניקה בתחומי ידע שונים. הגעה לפרדוקס בתורת הנאום, יכולה לשכנע את המאזינים, לנטוש את דעותיהם הקודמות.
פרדוקסים יכולים להוות סיבה לבחינה מחודשת של תורה מתמטית. לדוגמה, פרדוקס ראסל הביא לבחינה מחודשת של הגישה הנאיבית לתורת הקבוצות ולפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.
הפרדוקס ביוון העתיקה.
מקור המילה פרדוקס הוא מיוונית עתיקה: "para" = ליד, מעבר; "doxa" = אמונה, דעה.
המשמעות המקורית היא דבר שבמחשבה ראשונה נראה חסר מובן או בלתי אפשרי, אך לאחר עיון מעמיק מתברר שהוא נכון.
הפילוסוף זנון מאלאה השתמש בפרדוקסים על תנועה כדי להוכיח את תפיסת מורו - פרמנידס - על כך שהחושים מטעים אותנו, ויש להסתמך רק על המחשבה.
אצל סוקרטס הפרדוקסים מביעים את התוכן של תפיסתו המוסרית:
הפרדוקס ככלי מדעי.
פרדוקס יכול להתגלות בחיי היומיום, בסתירה לאמיתות הרווחות בציבור, או במסגרתן של תאוריות מדעיות, בסתירה למכלול הידע הקיים בהן.
בהשקפה נראה הפרדוקס כמטעה או מבלבל, אך לאמיתו של דבר נוטלים הפרדוקסים חלק חשוב במדע בפרט ובידע האנושי בכלל. נביעתו של פרדוקס מהנחה היא מן הדרכים הנפוצות להפרכתה של הנחה שגויה.
הפרדוקס מכריח אותנו לבחון מחדש את הידע שלנו, כדי לברר האם הסתירה נובעת מכשל סמוי בפרדוקס, כלומר הפרדוקס אינו נכון ואין כל סתירה, או שהפרדוקס מצביע על טעות בהנחות היסוד שלנו, ולכן עלינו לשנותן. הבהיר זאת פרופ' אסא כשר:
סוגי פרדוקסים.
ניתן לסווג פרדוקסים לקטגוריות העיקריות הבאות:
פרדוקסים מפורסמים.
להלן כמה פרדוקסים מפורסמים, שחלקם היו בעלי השפעה רבה על החשיבה המדעית במהלך ההיסטוריה.
הפרדוקס של בוחן הפתע
הפרדוקסים של זנון
הפרדוקסים של זנון הם פרדוקסים שחיבר הפילוסוף היווני זנון מאליאה שחי במאה החמישית לפני הספירה. פרדוקסים אלו עוסקים בתנועה, בזמן ובמרחב ובעיקר בבעיית האינסופיות שלהם. כל אחד מפרדוקסים אלה מציג "הוכחה" הסותרת את המציאות הגלויה לעין, ובא לתמוך בגישתו של פרמנידס לפיה אל לנו לסמוך על החושים המטעים אותנו. בין פרדוקסים אלה מוכרים בעיקר: פרדוקס אכילס והצב, פרדוקס הדיכוטומיה ופרדוקס החץ הנע.
החשבון האינפיניטסימלי שפותח על ידי מתמטיקאים, החל מהמאה ה-17 מתייחס למושג האינסוף אשר נמצא בבסיס הפרדוקסים.
פרדוקס אכילס והצב.
הפרדוקס מתאר תחרות ריצה בין הלוחם האגדי, אכילס, לבין צב: אכילס רץ במהירות פי עשרה גדולה יותר מן הצב ולכן הוא מחליט להתחשב בצב ונותן לו יתרון של 100 מטרים בתחילת התחרות. מניסיון החושים ברור שאכילס יעבור את הצב תוך זמן קצר, אך לטענתו של זנון – בתנאים אלה אכילס לעולם לא ישיג את הצב.