נגדיר פונקציה formula_77 באופן הבא: formula_78 אם formula_79 מסוג ראשון, ו-formula_80 אחרת. כעת נוכיח כמה טענות קלות:
הוכחה באמצעות למת נקודת השבת.
מסמנים ב-formula_106 את קבוצת החזקה של formula_1.
ראשית, נוכיח למה: תהי formula_108 פונקציה שומרת הכלה (כלומר, אם formula_109 אז formula_110). אז יש לה נקודת שבת (כלומר קבוצה formula_111 כך ש-formula_112). הוכחה: נתבונן באוסף formula_113 של כל הקבוצות formula_114 כך ש- formula_115. (זהו אוסף לא ריק כי הקבוצה הריקה מקיימת את התנאי). נסמן ב-C את איחוד כל הקבוצות באוסף. לכל formula_116 יש formula_117 כך ש-formula_118 ואז formula_119, כלומר formula_120. הוכחנו, אם כך, ש-formula_121. מכיוון ש-formula_122 שומרת הכלה, מתקיים formula_123, כלומר formula_124, ולפי ההגדרה של formula_125 כאיחוד, formula_126. לכן formula_125 היא נקודת שבת.
כעת נבחר formula_128. ברור שהפונקציה הזו שומרת הכלה, ולפי הלמה יש לה נקודת שבת, שנסמן ב-formula_125. מכיוון ש-formula_130, קיבלנו ש-formula_131, ולכן formula_132.
דוגמה לשימוש במשפט.
נחשב את formula_133 (כלומר עוצמת קבוצת הפונקציות מהטבעיים לעצמם, שמסומנת גם formula_134):
ראשית נשים לב שמתקיים formula_135 כי כל פונקציה מהטבעיים לקבוצה formula_136 היא בפרט פונקציה מהטבעיים לטבעיים, וכל פונקציה מהטבעיים לטבעיים היא בפרט פונקציה מהטבעיים לממשיים.
פונקציית הזהות היא תמיד חד-חד-ערכית, ולכן אם קבוצה מוכלת בקבוצה אחרת אז עוצמתה לא גדולה ממנה. מכאן:
formula_137
לפי ההגדרה המוכללת לחזקה, האי שוויון הנ"ל שקול ל:
formula_138 (כאשר formula_139 היא אָלֶף אֶפֶס ו-formula_140 היא עוצמת הרצף)
אבל מתקיים formula_141 וכמו כן, על פי חוקי החזקות: formula_142 (להוכחת השוויון formula_143, ראו כאן)
לכן formula_144, ועל פי משפט קנטור-שרדר ברנשטיין נקבל formula_145, משמע קיבלנו formula_146.
פרשת אלטלנה
אלטלנה
אָלטָלֶנָה (באיטלקית: Altalena - נדנדה) הייתה ספינה שנרכשה על ידי האצ"ל בקיץ 1947 והוטבעה על ידי צה"ל ב-22 ביוני 1948, במהלך ההפוגה הראשונה במלחמת העצמאות. הספינה הפליגה לישראל ביוני 1948 כשהיא מובילה על סיפונה כ-930 עולים, ציוד צבאי רב וציוד רפואי. הספינה הגיעה לחופי ישראל כחמישה שבועות לאחר קום מדינת ישראל וכשלושה שבועות לאחר שארגון האצ"ל הסכים להתפרק מנשקו ולהשתלב במסגרת צה"ל.
במהלך המשא-ומתן, שהתקיים טרם הגעת הספינה לחופי ישראל בין הנהגת האצ"ל בראשות מנחם בגין לבין נציגי ממשלת ישראל, התגלעו חילוקי דעות קשים בשאלה לאן יועבר הציוד הצבאי שעל הספינה.
המדינה ראתה במטען הנשק דבר רצוי, אך ראתה בפריקת הנשק לידי יחידות חמושות שאינן בפיקוד צה"ל איום על ריבונות המדינה. הוסכם בין פיקוד האצ"ל לבין הממשלה שהאונייה תגיע לחוף כפר ויתקין ותפרוק שם את מטענה בחשאי ולא בנמל תל אביב. בשעות הערב המאוחרות ב-20 ביוני 1948 הגיעה האונייה לחוף ויתקין, ושם הורדו העולים והחלה פריקת הציוד הצבאי שעל סיפונה. הממשלה החליטה לרכז כוח גדול שירתיע את אנשי האצ"ל מלקחת את הנשק וימנע קרב. בשעות הבוקר כותר אזור הנחיתה על ידי כוחות מחטיבת אלכסנדרוני, ומפקד החטיבה, דן אבן, הציב לאנשי אצ"ל אולטימטום למסור באופן מיידי את הנשק שנפרק מהאונייה לידי צה"ל. לאחר שנפרק חלק מהנשק, התגלתה האוניה בידי האו"ם. בעקבות דחיית האולטימטום על ידי פיקוד האצ"ל, פרצו בשעות הערב של 21 ביוני חילופי אש בין כוחות צה"ל וכוחות האצ"ל, במהלכם נהרגו ארבעה אנשי אצ"ל ושני חיילי צה"ל. במקביל, חלק מחיילי אצ"ל נטשו את עמדותיהם וניסו להגיע לכפר ויתקין, ובקרב ליד בית דגן נהרגו שני אנשי אצ"ל נוספים. הספינה נמלטה מחוף כפר ויתקין והפליגה דרומה לכיוון תל אביב, בתקווה ששם יוכלו אנשי האצ"ל לפרוק בביטחה את הנשק שעל סיפונה.
לאחר הגעת "אלטלנה" לחופי תל אביב בליל 22 ביוני, נעשו ניסיונות נוספים להגיע לעמק השווה אבל ללא הועיל. בבוקר התחדשו חילופי האש, ובשעות אחר הצהריים הורה הפיקוד העליון של צה"ל על הפצצת הספינה, היא הופגזה ועלתה באש, ונותרה שרופה על שרטון מול חופי תל אביב. למעלה משנה לאחר מכן הוטבעו שרידי הספינה מול חוף נבי רובין.
בעימותים בין כוחות צה"ל ולוחמי האצ"ל נהרגו 16 לוחמי אצ"ל, שלושה חיילי צה"ל, ונפצעו עשרות. זמן קצר לאחר סיום הפרשה נעצרו כ-200 אנשי אצ"ל במסגרת מבצע שנקרא על ידי הממשלה מבצע "טיהור". הארגון פורק ואנשיו השתלבו בצה"ל. הסוגיות שעלו בפרשה, ובהן הנחיצות בצבא מאוחד, שאלת הציות לממשלה והעיקרון של הימנעות ממלחמת אחים, ממשיכות לעורר פולמוס ציבורי ופוליטי לוהט עד ימינו. לימים כונה האירוע בשם "פרשת אלטלנה".
הרקע לפרשה.
פרשת אלטלנה התרחשה במהלך ההפוגה הראשונה במלחמת העצמאות (11 ביוני - 9 ביולי 1948), זמן קצר לאחר הקמת מדינת ישראל. באותה תקופה הייתה המדינה היהודית הצעירה נתונה במצב צבאי קשה, בעקבות פלישת צבאות ערב לשטח ארץ ישראל המנדטורית, שהחלה ב-15 במאי 1948. היא סבלה ממחסור חמור בציוד צבאי מכל הסוגים, ובמיוחד בנשק כבד (כלי רכב משוריינים, מטוסים וכלי ארטילריה), ונסיונותיה לרכוש נשק ולהביאו לישראל, נתקלו בקשיים חמורים עקב האמברגו שהוטל על ידי מועצת הביטחון של האו"ם, על אספקת נשק לצדדים היריבים במלחמה בא"י.
ההכנות להפלגת "אלטלנה", כולל מימון רכישת האונייה, איושה וציודה, נעשו לפני חתימת ההסכם לפירוק אצ"ל, אך הפלגתה והגעתה לחופי ישראל התרחשו לאחר שההסכם נחתם ב-1 ביוני. לפי ההסכם כוח האצ"ל בירושלים, שכונה "הגדוד הירושלמי", שמר על עצמאותו, אך יחידות אצ"ל אחרות הוכפפו לצה"ל, ושולבו במסגרת חטיבה 7, 8 ו-18. ההסכם נחתם על רקע שאיפתו של ראש הממשלה, דוד בן-גוריון לאחד את כל הכוחות הצבאיים, שפעלו במסגרת היישוב היהודי בא"י (ההגנה, הפלמ"ח, האצ"ל והלח"י) תחת מסגרת צבאית אחת (צבא הגנה לישראל), שתהיה כפופה למרות הממשלה הזמנית של מדינת ישראל.
לתהליך זה הייתה משמעות עמוקה עבור היישוב היהודי, שכן החלוקה לארגוני המחתרת השונים, הייתה מעוגנת בהתפלגות תרבותית ופוליטית של תנועות ערכיות שונות. תנועות אלו שאפו לשמר את עצמאותן, ולכן התנגדו למהלכיו של בן-גוריון להביא ליצירת מערכת ביטחונית ממלכתית אחת, שכולם סרים למרותה, לאחר הקמת המדינה. ההתנגשות והמתח הטבעי בין נטיית הממשלה לקבוע כי למדינה יש מונפול בלעדי על השימוש בכוח צבאי לבין נטיית תנועות פוליטיות שונות (במיוחד אצל מי שנקראו בשם "ארגוני הפורשים", שלפני קום המדינה לא קיבלו את מרות הנהגת ההסתדרות הציונית והנהגת היישוב) להמשיך במצב הקודם, שימשה מצע נוח לפרוץ עימותים סביב נושא זה, אשר פרשת אלטלנה סימנה את שיאם.
מהלך הפרשה.
הרכש והפלגת האונייה.
האונייה "אלטלנה" נרכשה בארצות הברית בקיץ 1947 על ידי "הוועד העברי לשחרור האומה", שהיה גוף פוליטי של אצ"ל בארצות הברית. היא שימשה במקור כנחתת טנקים של חיל הים האמריקני בשם LST 138. השם החדש שניתן לאונייה, "אלטלנה", שמשמעותו "נדנדה" באיטלקית, היה שם העט של זאב ז'בוטינסקי. במקור נועדה האונייה להביא עולים חברי אצ"ל מאירופה לארץ ישראל, אולם בסוף השנה הוחלט להשתמש בה גם כאוניית נשק. באונייה הפליגו כ-930 עולים שחלקם נועדו לגיוס לאצ"ל, חלקם ניצולי השואה, והיא הובילה על סיפונה ציוד צבאי רב. מרבית הציוד הצבאי שהועמס על האונייה (נשק ששוויו הוערך בכ-153 מיליון פרנק) הועבר לידי האצ"ל בחינם על ידי ממשלת צרפת, במסגרת הסכם חשאי שנחתם בין נציגי הארגון לג'ורג' בידו, שר החוץ הצרפתי, פרטי ההסכם והמניעים שגרמו לממשלת צרפת להעביר את הנשק לידי האצ"ל אינם ברורים. הסבר אפשרי הוא חששה של ממשלת צרפת מהשתלטות צבא עבר-הירדן על ירושלים, ורצונה לשמור על האינטרסים המיוחדים של צרפת בעיר באמצעות חימוש הצבא הישראלי (הצרפתים היו מעוניינים שירושלים תישאר מובלעת בחסות בינלאומית, בהתאם להחלטת החלוקה). חלק קטן מהנשק, שהיה על סיפון "אלטלנה", נקנה על ידי נציגי האצ"ל מידי ארגונים ספרדים אנטי פשיסטיים בצרפת, קומוניסטים צרפתיים ולוחמי מחתרות אנטי נאציות.
לפי עדותו של מפקד האונייה, אליהו לנקין, הציוד הצבאי שהועמס על "אלטלנה" כלל כ-5,000 רובים, 450 מקלעים, 5 זחל"מים, כמה אלפי פצצות מטוסים וכארבעה מיליון כדורים. כמו כן הכילה האונייה ציוד רפואי רב (כולל חדר ניתוח) ומדים לרוב. רב החובל של האונייה היה מונרו (עמנואל) פיין, יהודי ששירת בצי האמריקאי.
האונייה הייתה אמורה להגיע לישראל ב-15 במאי 1948, אך מאחר שרכישת הנשק וארגון הלוחמים ארכו זמן רב, יציאתה התעכבה, והיא הפליגה מצרפת רק ב-11 ביוני. עיכוב זה היה משמעותי ביותר, שכן כתוצאה ממנו "אלטלנה" הגיעה לחופי ישראל רק לאחר כניסתה לתוקף של ההפוגה הראשונה במלחמה בא"י. בינתיים, נחתם ב-1 ביוני הסכם על שילוב אצ"ל בצה"ל, במסגרתו הוסכם, שאצ"ל יפסיק כל פעילות עצמאית לרכישת נשק. בעקבות ההסכם מסרו נציגי אצ"ל לממשלת ישראל על קיום אוניית הנשק ועל תוכנית ההפלגה שלה, אך מועד ההפלגה המדויק שלה מצרפת לא היה ידוע להם.
את ההחלטה על מועד ההפלגה הסופי של האונייה קיבל שמואל כץ, ששימש כמנהל מפקדת האצ"ל באירופה. הוא החליט לא להודיע להנהגת האצ"ל בישראל על מועד ההפלגה, משום שלטענתו "לא חשב שהדבר נחוץ", טעות שהתבררה בדיעבד כגורלית.