המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי או המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי הוא משפט מתמטי הקושר בין שני מושגי היסוד של החשבון האינפיניטסימלי: הנגזרת והאינטגרל. המשפט מראה שגזירה ואינטגרציה הן פעולות הופכיות זו לזו: אם פונקציה רציפה עוברת אינטגרציה ואחר כך גוזרים את התוצאה, חוזרים לפונקציה המקורית. פרט לקשר זה, המשפט גם מספק שיטה מעשית לחישוב האינטגרל המסוים, שהוא מושג שמוגדר בצורה שאינה מאפשרת חישוב פשוט, באמצעות האינטגרל הלא מסוים, שלחישובו יש דרכים רבות יותר.
המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי קובע, שעבור פונקציות אינטגרביליות שיש להן פונקציה קדומה, האינטגרל המסוים בקטע כלשהו, שווה להפרש הערכים של האינטגרל הלא המסוים שלה בנקודות שבקצוות הקטע.
לכאורה שני מושגים אלה שונים, ובאים מעולמות שונים, אבל המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע את הקשר העמוק בין שני התחומים.
ניסוח פורמלי.
המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי מורכב בעצם משני משפטים:
משפט.
תהי formula_1 פונקציה אינטגרבילית בקטע formula_2 ויהי formula_3 אינטגרל מסוים שלה, כך ש-formula_4. אזי:
יתרה מזאת, לכל קבוע formula_13 מתקיים formula_14 פונקציה קדומה של formula_1.
נוסחת ניוטון-לייבניץ.
תהי formula_16 פונקציה אינטגרבילית שיש לה פונקציה קדומה formula_8 בקטע formula_18. אם נסמן formula_19 אזי
נשים לב שאין חשיבות לשאלה איזו פונקציה קדומה של formula_16 לוקחים, מכיוון שכל הפונקציות הקדומות של formula_16 נבדלות זו מזו בקבוע, והוא מתבטל כאשר מחשבים את ההפרש בין ערכי הפונקציה הקדומה בשתי נקודות שונות.
הנוסחה היסודית של החשבון האינפיניטסימלי מאפשרת לחשב אינטגרלים מסוימים של פונקציות מסוג מסוים.
בתורת המידה מוכללת נוסחה זו למשפחה רחבה יותר של פונקציות, הפונקציות הרציפות בהחלט. ניתן להראות גם שזו משפחת הפונקציות הרחבה ביותר עבורה מתקיימת נוסחה זו. ישנן פונקציות רציפות וגזירות כמעט בכל מקום (אבל לא בכל מקום) שאינן האינטגרל של נגזרתן (ראו פונקציה סינגולרית).
הוכחה.
הפונקציה formula_5 רציפה.
נתון ש־formula_24 אינטגרבילית לפי רימן ולכן היא חסומה, כלומר קיים formula_25 כך ש־formula_26 לכל formula_27. יהיו formula_28, אזי מתקיים:
כלומר formula_30 מקיימת את תנאי ליפשיץ ב־formula_31, ולכן היא רציפה במידה שווה (וּבִֿפֿרט רציפה).
הפונקציה formula_1 היא נגזרת של formula_5 בנקודות הרציפות שלה.
תהא formula_34 נקודת רציפות של formula_16. אנו רוצים להראות כי formula_36 כאשר formula_37.
בסימון פורמלי יותר: אנו רוצים להראות כי formula_38.
על פי ההגדרה ואדיטיביות האינטגרל המסוים, אנו יודעים שמתקיים: formula_39.
כמו כן מתקיים formula_40, שכן formula_41 היא קבוע, ולכן האינטגרל שלה על הקטע formula_42 הוא פשוט אורך הקטע כפול formula_41.
לכן מתקיים, על פי אי שוויון המשולש האינטגרלי: formula_44.
נזכור כי formula_45 רציפה בנקודה formula_34, ולכן עבור formula_47 כלשהו קיים formula_48 כך ש-formula_49 גורר formula_50.
אם formula_51 אז לכל formula_52 מתקיים formula_49. לכן:
formula_54.
כלומר, הראינו כי לכל formula_47 ניתן למצוא formula_48 כך שלכל formula_57 יתקיים formula_58, כלומר formula_38, כמבוקש.
מ.ש.ל.
קיום פונקציה קדומה בקטע ונוסחת ניוטון-לייבניץ.
הוכחת המשפט במקרה פרטי של פונקציה רציפה.
אם formula_16 רציפה בכל הקטע formula_18 אז היא בפרט אינטגרבילית בו (רציפות גוררת אינטגרביליות) ואז כפי שראינו קודם, הפונקציה formula_62 מקיימת לכל נקודה שבה formula_16 רציפה (במקרה זה, כל הקטע) formula_64. לכן formula_65 היא פונקציה קדומה של formula_45 בקטע.
על פי הגדרה: formula_67.
כעת, כל שתי פונקציות קדומות של formula_45 נבדלות ביניהן בקבוע. כי נניח ש-formula_69 שתיהן פונקציות קדומות של formula_45, אז formula_71, כלומר הפונקציה formula_72 היא קבוע, כלומר formula_73.
על כן: formula_74, וזאת לכל פונקציה קדומה formula_75 של formula_45.
בזאת הושלמה הוכחת הנוסחה היסודית עבור פונקציה רציפה.
מ.ש.ל.
הערות:
הוכחה לנוסחת ניוטון-לייבניץ שאינה מתבססת על המשפט היסודי.
תהי formula_78 חלוקה כלשהי של formula_18. אז לפי משפט הערך הממוצע של לגראנז' מתקיים:
formula_80
עבור formula_81; כעת נגדיר
formula_82
ונקבל
formula_83
כלומר
formula_84
נסכום את המשוואה האחרונה עבור formula_81 ונקבל:
formula_86
נשים לב ש- formula_87(שהרי זהו סכום טלסקופי) ונקבל:
formula_88
עבור כל חלוקה formula_89. אם כך מהגדרת האינטגרל התוצאה נובעת ישירות
formula_90
הכללות.
הכללה טבעית של המשפט היסודי של החדו"א לשני ממדים היא משפט גרין. בממדים גבוהים יותר קיימות הכללות מורכבות יותר, כגון משפט גאוס, משפט סטוקס ומשפט הדיפרנציאציה של לבג.
Multipurpose Internet Mail Extensions
Multipurpose Internet Mail Extensions (או בקיצור MIME) הוא תקן להרחבת יכולות העברת המידע באמצעות דואר אלקטרוני. תקן MIME מוסיף לדואר אלקטרוני תמיכה ב:
לסוגי התוכן המוגדרים בתקני ה-MIME חשיבות גם מחוץ לדואר האלקטרוני. תקן ה-HTTP, לדוגמה, מעביר הודעות בפורמט MIME, למרות שהודעות אלו לא חייבות להיות הודעות דואר אלקטרוני.
תמיכה בתקן.
פרוטוקול הדואר האלקטרוני הבסיסי הוא SMTP. פרוטוקול זה תומך בהודעות המקודדות בתווי ASCII בני 7 סיביות, ולכן לא תומך ברוב השפות ובצירוף רוב הקבצים. MIME מגדיר מנגנון שמרחיב את עולם הדואר האלקטרוני לשפות שונות ומאפשר צירוף קבצים שונים. הודעות הדואר ממופות אל ומתוך פורמט MIME בשרתי הדואר האלקטרוני או בתוכנות הלקוח.
תקן MIME מגדיר שדות אופציונליים נוספים לפתיח של הודעת דואר אלקטרוני, ואת דרך הטיפול בהן. שדות אלו יקראו בשרת או בתוכנת הלקוח, ויתורגמו בהתאם.
אחד היעדים של מפתחי תקן MIME הייתה תמיכה לאחור על מנת למנוע צורך בשדרוג כל השרתים הקיימים. פיתוח התקן החדש חייב היה לאפשר לשרתים הישנים שלא תומכים בתקן להמשיך לשלוח ולקבל הודעות דואר אלקטרוני בפורמט טקסט רגיל ("plain-text") גם משרתים שתומכים בתקן החדש. מטרות אלו הושגו על ידי הוספת שדות ספציפיים ל- MIME לפתיח של הודעת דואר אלקטרוני. שדות אלו הם אופציונליים ובעלי ערכי ברירת מחדל. משמעות הדבר היא, שבמידה והם לא קיימים, משתמשים בערכי ברירת המחדל שמגדירים את ההודעה כהודעת טקסט רגיל. כך הובטח שהודעות המגיעות משרת ישן, ולכן לא מכילות שדות MIME בפתיח, ויתקבלו בשרת תומך MIME יתורגמו בהתאם כטקסט רגיל. במקביל, הודעת טקסט נקי משרת תומך MIME תתורגם כרגיל בשרת ישן שאינו תומך ב MIME, כיוון שזה יתעלם מהשדות הלא מוכרים לו בפתיח.
דעת מקרא
דעת מקרא הוא מפעל פרשנות אורתודוקסי-מודרני לתנ"ך, בן 30 כרכים. ייחודו של הפירוש הוא שילוב בין פרשנות מסורתית ובין ממצאי המחקר התנ"כי המודרני התואמים לה, והגשתם לקורא בבהירות רבה.
דרך הפירוש.
דרך הפירוש שאבה השראה מגישתו של רשב"ם בפירושו: "וגם רבנו שלמה אבי אמי מאיר עיני גולה שפירש תורה נביאים וכתובים נתן לב לפרש פשוטו של מקרא... והודה לי שאילו היה לו פנאי היה צריך לעשות פרושים אחרים לפי הפשטות המתחדשים בכל יום". מפרשי "דעת מקרא" שאפו לפרש את המקרא כפשוטו והתייחסו בפירושם לגילויים המדעיים בנושאי גאוגרפיה, ארכאולוגיה של ארץ ישראל, בוטניקה, זואולוגיה ועוד.
בפירוש זה, המפרש את המקרא באופן מסורתי, כמעט ללא ביקורת הנוסח ומתוך אמונה בקדושת הכתובים, אך מסתייע בממצאי המחקר המודרני, יש פולמוס סמוי עם ביקורת המקרא, ללא התמודדות ישירה עם דעותיהם ושאלותיהם של החוקרים השייכים לאסכולה זו, אך תוך פירוש אשר מנסה לתת מענה לבעיות. דרך התמודדות זו שונה מזו של רבי דוד צבי הופמן, אשר התפלמס באופן ישיר עם אנשי ה"ביקורת" וניסה לקרוא תיגר על עצם מדעיותן של מסקנותיהם, והיא שונה אף מדרכו של הרב מרדכי ברויאר, אשר קיבל הרבה מממצאי ביקורת המקרא בתחום הניתוח הספרותי אך פירש ממצאים אלה מתוך אמונה בקדושת המקרא.
אטלס דעת מקרא.
אטלס דעת מקרא הוא חיבור של אוסף ערכים ותמונות גאוגרפיים-היסטוריים מתקופת המקרא, בעריכת יהודה קיל ויהודה אליצור.
אנשי המערכת.
בראש הפרויקט עמד יהודה קיל, איש החינוך הממלכתי דתי, שאף כתב פירוש לכמה ספרים. על תפקיד זה הוענק לו פרס ישראל במדעי היהדות לשנת תשנ"ב.
בכתיבת הפירוש לספרי המקרא השתתפו המומחים: פרופ' יהודה אליצור, פרופ' פיבל מלצר, עמוס חכם (הזוכה הראשון בחידון התנ"ך), פרופ' מרדכי זר-כבוד, פרופ' אהרן מירסקי ואחרים (ראה פירוט להלן). את מפעל הפרשנות ליוו מומחים נוספים בתחומם: הרב מרדכי ברויאר היה אחראי על קביעת נוסח ספרי המקרא, פרופ' יהודה פליקס ייעץ בתחומי הבוטניקה והזואולוגיה, והרב שאול ישראלי ייעץ מן ההיבט ההלכתי.
שני הכרכים הראשונים של פירוש "דעת מקרא" יצאו לאור בשנת תש"ל: ספר יהושע פורש על ידי יהודה קיל, וספר איוב פורש על ידי עמוס חכם.
Once in a livetime
Six Degrees of Inner Turbulence