ישנם פוסקים האוסרים לומר סליחות מתחילת הלילה עד חצות הלילה, היות שעל פי הקבלה, החצי הראשון של הלילה הוא זמן דין, ואין לבקש בו רחמים. אולם ישנם שכתבו שמותר לומר סליחות מתחילת האשמורת התיכונה של הלילה, כלומר משעתיים לפני חצות, וכך נהוג במספר קהילות אשכנזיות. דעת הרב משה פיינשטיין שכאשר יש חשש שיתבטלו הסליחות יש לאומרם בכל זמן.
בסליחות הראשונות של האשכנזים, הנאמרות במוצאי שבת, רווח המנהג לאומרן דווקא בלילה, ולא לפני תחילת שחרית, ולכן קהילות נוספות נוהגות לאומרן לפני חצות הלילה.
זמן סיום אמירת הסליחות.
לפי רוב המנהגים, אמירת הסליחות שמחוץ לתפילה נמשכת עד ט' בתשרי, ערב יום הכיפורים, וביום הכפורים עצמו משולבים קטעי סליחות בתוך התפילות וביניהן. מנהג חסידות חב"ד שונה, ולפיו אומרים סליחות רק עד צום גדליה, כאשר הסליחות עד ערב ראש השנה נאמרות בנפרד מסדר התפילה, ואילו הסליחות ביום צום גדליה נאמרות כחלק מן התפילה, כמו בשאר הצומות. ובאר הרב מנחם מנדל שניאורסון (הצמח צדק), שלשיטתם התוספת בעבודת ה' שבדיבור תמה בר"ה, וממנו ואילך מוסיפים במעשה ובמחשבה.
סדר הסליחות ונוסחן.
הסליחות מורכבות מפסוקים, תפילות וקטעי פיוט הנעים בין תפילות 'י"ג מידות', 'וידוי', ו'נפילת אפים'.
קטעי הפיוט נכתבו על פי רוב בתקופת הגאונים ובימי הביניים, ויש כמה קטעים המוזכרים בגמרא. בין כותביהם נמצאים רבנים מפורסמים כרבי שלמה הבבלי, רבנו גרשום, רבי שמעון בן יצחק, רבי שלמה אבן גבירול, רש"י, רבי אלעזר מוורמייזא ועוד.
ברוב נוסחי הסליחות, פותחים באמירת מזמור אשרי יושבי ביתך ובחצי קדיש, וחותמים בקדיש תתקבל.
עד לסוף תקופת הראשונים בחירת הפיוטים הייתה נתונה לבחירתו האישית של החזן או השמש. במהלך השנים, התקבעו סדרי פיוטים קבועים בקהילות, בהם נקבע מראש אילו פיוטים יאמרו באיזה יום ובאיזה סדר. באשכנז, הקהילה האחרונה בה נקבע סדר סליחות קבוע היא וורמייזא, לאחר חידוש הקהילה בשנת ה'תנ"ט. המנהג המקורי השתמר בקהילות איטליה עד לא מכבר, ברם בתקופה האחרונה נתקבע מעין נוסח אחיד של פיוטים בקהילות שעדיין שומרות על מנהג זה.
הנוסח האשכנזי משמר תבנית קבועה המורכבת משלוש עשרה מידות, וידוי ופסוקים עם פיוטים מתחלפים מדי יום, בעוד הנוסח ברוב קהילות הספרדים אינו משתנה מיום ליום. במספר קהילות בצפון אפריקה קיימים סדרי סליחות הכוללים פיוטים מתחלפים לימים שונים, כגון שפתי רננות של יהודי לוב וג'רבא שמכיל מעמדי סליחות לימי שני, חמישי ושבת (בשאר הימים נאמרות הסליחות הספרדיות הרגילות) וסליחות כפי מנהג גרדאיא באלג'יריה. בקרב חלק מקהילות גאורגיה, נהוג להוסיף אחרי פיוט "אדון הסליחות", פיוט על סדר הא' ב' הפותח במילים "יה אדיר אדיר אתה", ובסיום הסליחות את הפיוט "בת אהובת אל קמה בשחר".
ככלל, במנהגי הסליחות השתמר פיצול רב יותר בין הקהילות מאשר בנוסחי התפילה הקבועה ומנהגי החגים. דרך משל, אף על פי שבין האשכנזים התקיימו בכל השנה שני ענפי-נוסח בלבד – נוסח אשכנז המזרחי (נוסח פולין) ונוסח אשכנז המערבי – בסדר הסליחות ענפים אלו מפוצלים למנהגים קטנים יותר, לעיתים של קהילה בודדת. למעשה, שלשה עשר סדרי סליחות שונים זכו לשרוד באשכנז עד לדפוס: אשכנז הכללי (פפד"מ), ב) עלזאס, ג) פיורדא-נירנברג, ד) וורמייזא, ה) פלאס , ו) שוואבן-שווייץ, ז) קוילן, ח) האשכנזים שבאיטליה, ט) ליטא, י) פולין, יא) בהמן-אונגארן, יב) פוזנא-הורודנא, יג) בית הכנסת הישן בפראג. נוסחאות א-ח שייכים לענף אשכנז המערבי, ואילו נוסחאות י-יג שייכים לענף אשכנז המזרחי. לרוב, לכל ענף היה מבנה כללי קבוע, והנוסחים השונים התפלגו בסדר הספציפי של הסליחות. מבין נוסחים אלה, הנפוצים ביותר בקהילות בישראל ובארצות הברית כיום הם פולין (י) וליטא (ט), ואילו נוסח בהמן (יא) הוא הנפוץ בקהילות אנגליה.
בקשות שנכתבו בארמית.
בסליחות ישנן בקשות שנכתבו בארמית, כגון מחי ומסי ועוד. על בקשות אלה יש מחלוקת האם ניתן לומר אותן בתפילת יחיד, והדעה המקובלת היא שאין לאומרם ללא מניין. על פי התלמוד,חלק מן הפוסקים כתבו שאסור ליחיד לומר בקשות בלשון ארמי אלא רק כאשר הם נאמרים בתפילת הציבור, וכך נפסק בשולחן ערוך. על פי פסיקה זו, קבע רבי אליה שפירא שיחיד האומר סליחות ידלג הבקשות שנכתבו בארמית, ודבריו הובאו בפוסקים האחרונים, כגון משנה ברורה וילקוט יוסף. מנגד, ישנם פוסקים הסבורים שממקורות אחרים עולה שמותר לומר בקשות בלשון ארמי, ושכך היה המנהג בעדות שונות (עיראק, תוניס, תימן ומרוקו), ולכן מתירים אמירת הסליחות שבארמית גם ביחידות.
פיוטים בולטים.
הפיוט אדון הסליחות הוא הפיוט המפורסם ביותר בתרבות הישראלית, ומסמל עבור רבים את אווירת הסליחות ויום הכפורים. הפיוט מקובל בכל קהילות הספרדים, מיהדות מרוקו שבמערב ועד יהדות הודו שבמזרח. בנוסף, הפיוט מושר בנוסח איטליה.
הפיוט מכניסי רחמים עורר פולמוס סוער, שכן הוא כתפילה אל המלאכים, דבר המנוגד לדברי רבי יודן בתלמוד הירושלמי: , וכן לעיקר האמונה החמישי לפי הרמב"ם. לעומת המתנגדים, התומכים מסתייעים בכך שהתפילה מופיעה כבר בסדר רב עמרם גאון, וכן במאמרי חז"ל דוגמת , וכן . התומכים באמירתו, מחלקים בין בקשה מהמתים או המלאכים עצמם, שאסורה, לבין הבקשה שיבקשו מהבורא רחמים, ובפיוט, שיכניסו את תפילותינו. אחרים טענו שבתפילה זו הכוונה לבקשה מהבורא עצמו, בדרך מכובדת: .
הפולמוס לא הוכרע, וגם בימינו, יש האומרים אותו ויש הנמנעים מאמירתו.
סליחות במועדים אחרים.
נוהגים לומר סליחות גם בתענית ציבור, בין בתעניות החורבן הקבועות (שבעה עשר בתמוז, תענית אסתר ועשרה בטבת) ובין בתעניות ציבור אחרות, כתענית בה"ב הנהוגה בקרב האשכנזים. יש הנוהגים להתענות ולומר סליחות גם בערב ראש חודש, המכונה יום כיפור קטן, ובימי השובבי"ם. בנוסף על כך, בקהילות רבות היו נהוגות תעניות ציבור מקומיות לרגל מאורעות שאירעו באותה קהילה, ואף בהן נאמרו סליחות, לעיתים סליחות שנכתבו במיוחד עבור יום זה ולעיתים סליחות רגילות. למשל, ביהדות פולין נהגו לומר סליחות בכ' בסיוון על פי תקנת הש"ך וועד ארבע ארצות, לזכר גזירות ת"ח-ת"ט. כיום השתמר מנהג אמירת הסליחות רק במספר חצרות חסידיות. יום זה נקבע כיום תענית כבר בזמן הראשונים עקב עלילת הדם בבלואה בצרפת בשנת ד'תתקל"א 1171, ואף אז נקבעו סליחות ביום זה.
המנהג המקורי הוא לומר סליחות בתענית ציבור בתוך חזרת הש"ץ, בברכת סלח לנו (ומכאן השם 'סליחות'), אולם במרבית הקהילות עברו לומר אותן לאחר חזרת הש"ץ, בחלק התחנון, בעקבות פסק השולחן ערוך.
בתשעה באב נהגו בבבל בימי הגאונים לומר סליחות כבכל תענית ציבור (כמופיע למשל בסדר רב עמרם גאון ובסידור רב סעדיה גאון), וכך נהגו גם בנוסח ספרד העתיק. אולם, בתקופה מסוימת חדלו הספרדים מכך, וכיום אין מנהג האומר סליחות בתשעה באב, אלא קינות לתשעה באב.
בצום גדליה, למנהג האשכנזים (למעט חב"ד) אין אומרים סליחות בתפילת שחרית ככל תענית ציבור, כיוון שכבר אמרו סליחות באשמורת הבוקר ככל ימי עשי"ת (אולם משלבים בסליחות באשמורת פיוטי סליחות שעוסקים בצום גדליה). בנוסח הספרדים ובנוסח איטליה אומרים סליחות פעמים, הן באשמורת ככל עשי"ת והן בתפילת שחרית כתענית ציבור.
נוסף לסליחות בתענית ציבור, היו קהילות אשכנזיות שנהגו לומר סליחות בליל הושענא רבה. כמו כן, היו חברות שומרים לבקר שנהגו לומר סליחות בכל יום שאומרים בו תחנון, ואמרו תחינות ופיוטים אחרים בימים שאין בהם תחנון.
מרחב מכפלה
בטופולוגיה, מרחב מכפלה הוא מרחב טופולוגי שהתקבל ממרחבים קיימים על ידי מכפלה קרטזית שלהם, עם טופולוגיה המכונה "טופולוגיית המכפלה", המוגדרת כך שההטלות על הרכיבים הן פונקציות רציפות.
הגדרה פורמלית.
תהיה formula_1 משפחה של מרחבים. מכפלתם היא המכפלה הקרטזית שלהם
עבור כל קואורדינטה formula_3 קיימת פונקציית ההטלה formula_4 שלכל נקודה במרחב המכפלה מחזירה את ערך הקואורדינטה formula_3 שלה. טופולוגיית המכפלה על המרחב הזה תוגדר בתור הטופולוגיה החלשה ביותר (כלומר, בעלת המספר הקטן ביותר של קבוצות פתוחות) שעבורה כל ההטלות הן פונקציות רציפות.
ניתן לאפיין בקלות יחסית תת-בסיס של טופולוגיה זו: התת-בסיס מורכב ממכפלה קרטזית של קבוצה פתוחה formula_6 בשאר המרחבים. כלומר, formula_7. קבוצה מהצורה הזאת נקראת "קבוצה גלילית". הבסיס מתקבל על ידי לקיחת כל החיתוכים הסופיים של קבוצות גליליות. כלומר, אם קבוצה היא פתוחה במרחב המכפלה אז ההטלה שלה לכל קוארדינטה היא פתוחה, וההטלה שלה לכמעט כל המרחבים היא המרחב כולו. יש לציין כי כאשר המכפלה היא סופית, הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה ה"נאיבית" של טופולוגיית המכפלה, שבה תת-הבסיס הוא קבוצות גליליות, ואם קבוצה היא פתוחה אז ההטלה שלה לכל מרחב היא פתוחה. כדאי לשים לב כי גרירה זו נכונה רק בכיוון אחד - גם אם כל ההטלות של קבוצה לכל המרחבים היא פתוחה, אין זה אומר שהקבוצה היא פתוחה.
כדאי לשים לב גם כי ההטלות הן תמיד העתקות פתוחות. כלומר, הטלה של כל קבוצה פתוחה לכל תת-מרחב היא פתוחה. ההעתקות, לא חייבות להיות סגורות - אם הן היו סגורות אז קבוצות במרחב המכפלה היו פתוחות אם ורק אם ההטלה שלהן לכל רכיב הייתה פתוחה, וזה לא מתקיים. ניתן לקחת כדוגמה נגדית פשוטה את ההטלות של גרף פונקציה ההפכית: formula_8. הגרף סגור ב-formula_9 (קל לראות כי המשלים שלו פתוח) אך ההטלה של גרף זה לכל אחד מהצירים הוא הישר כולו פרט לאפס, וזו כמובן אינה קבוצה סגורה.
התכונה האוניברסלית של מרחבי מכפלה.
ניתן לאפיין מרחבי מכפלה גם בצורה הבאה: