בתורת ההסתברות, בעיית אוסף הקופונים היא בעיה קלאסית הדנה במשחק שבו נאספים קופונים מתוך תיבה עם formula_1 קופונים שונים, בהסתברות שווה עם החזרה, והמטרה היא לאסוף את כל הקופונים. מהי ההסתברות שנדרשות לפחות formula_2 דגימות כדי לצפות בכל formula_1 הקופונים לפחות פעם אחת? ניתוח מתמטי מראה שתוחלת מספר הדגימות הנדרש כדי לצפות בכל קופון לפחות פעם אחת גדלה כתלות ב-formula_1 לפי formula_5 (לדוגמה כאשר מספר הקופונים הוא n = 50, נדרשות בממוצע כ-225 דגימות).
עיקרון חשוב להבנת הבעיה הוא שנדרש מספר דגימות מועט מאוד כדי לאסוף את הקופונים הראשונים, ואילו כדי לצפות בקופונים האחרונים (אלו שלא נצפו קודם לאחר שכמעט כל הקופונים נצפו) נדרש מספר גדול של דגימות. למשל כאשר יש 50 קופונים ו-49 מהם כבר נצפו, ידרשו בממוצע כ-50 דגימות כדי לצפות בקופון האחרון.
פתרון הבעיה.
נסמן formula_6 כזמן הנדרש (או מספר הדגימות) לאיסוף formula_1 קופונים, נסמן בformula_8 את הזמן הנדרש לאיסוף הקופון ה-formula_9 לאחר שנאספו formula_10 קופונים. נתייחס אל formula_6 ו-formula_8 כאל משתנים מקריים. נשים לב שההסתברות לאיסוף קופון חדש (לא אחד מתוך ה-formula_10 שכבר נצפו) היא formula_14. הזמן הנדרש לאיסוף הקופון ה-formula_9 (formula_8) מתפלג לפי התפלגות גאומטרית עם תוחלת של formula_17. באמצעות ליניאריות התוחלת ניתן למצוא את תוחלת הזמן הנדרש לאיסוף כל הקופונים, formula_6:
formula_19
כאשר formula_20 הוא המספר ההרמוני ה-formula_21. בניתוח אסימפטוטי מקבלים שכאשר formula_22:
כאשר formula_24 הוא קבוע אוילר-מסקרוני. באמצעות אי-שוויון מרקוב ניתן לחסום את ההסתברות שהזמן הנדרש לאיסוף כל הקלפים יעלה על formula_25:
חישוב השונות.
ניתן לקבל חסם למספר התצפיות הנדרש לפי השונות. תוך שימוש בכך שהמשתנים המקרים formula_8 בלתי תלויים:
formula_28
כאשר formula_29 הוא ערך של פונקציית זטא של רימן. (ראו בעיית בזל). באמצעות אי-שוויון צ'בישב מתקבל החסם:
מוזיאון הציירים הגדולים
מוזיאון הציירים הגדולים (בגרמנית: Gemäldegalerie Alte Meister) הוא מוזיאון לאמנות בעיר דרזדן, גרמניה. המוזיאון מציג כ-750 ציורים מן המאה ה-15 ועד המאה ה-18.
היסטוריה.
בשנת 1560 ייסד אוגוסט הראשון בדרזדן את "לשכת האומנות" של הנסיכים הבוחרים מסקסוניה. בתקופה זו, אספנות של ציורים הייתה חלק מאוספים כללים של אמנות, מדע ותחומי עניין אחרים של בעליהם. רק בתחילת המאה ה-18 החלו אוגוסט השני ובנו אוגוסט השלישי שהיה גם מלך פולין, באיסוף שיטתי של ציורים, ובמשך תקופה של כ-60 שנה הורחב האוסף באופן משמעותי.
בשנת 1745 נרכשו 100 מן הציורים הטובים ביותר שהיו בבעלותו של דוכס מודנה וצורפו לאוסף.
בשנת 1747 הועבר האוסף מטירת דרזדן שבו אוחסן עד אז לבניין אורוות הנסיכים שהיה גדול מספיק על מנת לאפשר את אחסונן והצגתן של היצירות.
בתקופה זו התפרסם אוסף הציורים ברחבי אירופה והמשיך להתרחב באמצעות רכישת עבודות מרחבי היבשת כאשר המפורסמת מכולן הייתה הרכישה בשנת 1754, של המדונה הסיסטינית, יצירתו של רפאל משנת 1512.
בשנת 1838 הזמין פרידריך אוגוסט השני מסכסוניה את האדריכל גוטפריד סמפר, לתכנן משכן חדש וראוי לאוסף. האגף החדש של המוזיאון בארמון צווינגר נבנה בשנים 1847 ועד 1854 ובשנת 1855 נפתח "המוזיאון המלכותי החדש" בגלריית סמפר.
בתקופת מלחמת העולם השנייה היה המוזיאון סגור. יצירות האומנות נשמרו במקום בטוח אך המבנה עצמו ניזוק באופן קשה כתוצאה מההפצצה המאסיבית על העיר. לאחר המלחמה הוחרמו הציורים על ידי יחידות התגמול של הצבא האדום ונמצאו ציורים שהוחבאו על ידי הנאצים במכרות והם שוחזרו והועברו למוסקבה ולקייב ואוכסנו במוזיאון פושקין. בשנת 1955 הוחזרו 1,240 ציורים לדרזדן והוצגו בקומת הקרקע ההרוסה למחצה של גלריית סמפר.
תהליך הבנייה מחדש של המוזיאון הסתיים בשנת 1960 וגלריית הציירים הגדולים נפתחה מחדש. למרות ניסיונות השימור, התברר כי 206 ציורים נהרסו ו-507 ציורים אחרים נעלמו. במשך השנים אותרו חלק קטן מן הציורים האבודים אך כיום חסרים עדיין 450 מן האוסף המקורי.
האוסף.
כיום מוצגים במוזיאון 750 ציורים המהווים כ-40% מהאוסף. בין המוצגים יצירות מופת מתקופת הרנסאנס והבארוק פרי עבודתם של רפאל, טיציאן, רובנס, רמברנדט, ורמיר ואחרים. במוזיאון מוצג האוסף הגדול ביותר מעבודותיהם של לוקאס קראנאך האב ולוקאס קארנך הבן.
קירות אולמות התצוגה של האוספים במוזיאון מובחנים ביניהם בצבעי רקע שונים עבור כל סגנון. אמנות איטלקית מוצגת על רקע ארגמני, אומנות הולנדית ופלמית על רקע ירוק ואומנות ספרדית וצרפתית על קירות ברקע אפור.
במוזיאון הציירים הגדולים מבקרים כ-500,000 איש מדי שנה. בסמוך אליו קיים "מוזיאון הציירים החדשים" המציג אמנות מן המאה ה-19 וה-20.
BMP-2 (ר"ת של Боевая Машина Пехоты; "בוייבייה משינה פחוטי", מילולית: "רכב קרבי של חיל הרגלים") הוא נגמ"ש לחימה אמפיבי ואופני מתוצרת ברית המועצות.
ה-BMP-2 פותח כמחליף משופר ל-BMP-1 והוא נחשב לאחד מכלי הרכב הצבאיים הנמכרים בעולם. כיום מסביב לעולם משתמשות בו כ-31 מדינות, עיצובו המוצלח הביא לכך שהיה בייצור ברוסיה למעלה משני עשורים בין 1980 ל-2008.
פיתוח.
אמנם ה-BMP-1 עוצב בצורה מהפכנית, החימוש העיקרי שלו (2A28 Grom ומשגר הטילים 9M14M Malyutka-M) נהפכו למיושנים. לכן ברית המועצות החליטה לייצר גרסה משודרת ומשופרת של ה-BMP-1, עם דגש על שדרוג כוח האש המיושן.
במלחמת יום הכיפורים נגמ"שי BMP מצריים הראו פגיעות ממקלעים כמו 12.7 מ"מ נאט"ו בצדדים ומאחורה, התותח (2A28 Grom) הציג אי דיוקים בתנאי שטח מעבר ל-500 מטר, וטילי ה9M14 מליוטקה היו קשים להכוונה מעמדתם על הצריח.
הצוותים הטכניים הסובייטים הוטסו לסוריה כדי לבחון כלים שעברו את הלחימה, ומתוך הלקחים והתובנות שנלמדו פותח מחליפו ה-BMP-2.
תחילה ברית המועצות הוציאה שיפור ל-BMP, ה-BMP-1P שנועד כממלא מקום כדי לטפל בבעיות החשובות יותר עם העיצוב הקיים, נוספו ל-BMP מדוכות עשן וטילי ה9M14 מליוטקה הוחלפו בטילי ה9M111 פאגוט, ה-BMP-1P שודרג הדרגתית עד שנת 1980.
עיצוב.
באופן כללי ה-BMP-2 זהה ל-BMP-1. השינויים המשמעותיים היו:
היסטוריית שירות.
בברית המועצות ה-BMP-2 היה בדרך כלל ביחידות ממוכנות, ביחידה ממוכנת היה BMP אחד וביחידות שריון היו שתיים.
במדינות ברית ורשה ה-BMP-2 היה נפוץ ביותר, לדוגמה, במזרח גרמניה ביחידה ממוכנת היו שלושה BMP.
פולין תכננה להחליף את כול ה-BMP-1 שלה ב-BMP-2 אך בגלל בעיות כספיות התכנון לא יצא לפועל.
מערכות בהן היו BMP-2
קיריל מוסקלנקו
קיריל סמיונוביץ' מוסקלנקו (ברוסית: Кири́лл Семёнович Москале́нко) (11 במאי 1902 - 17 ביוני 1985), מרשל ברית המועצות, מצביא סובייטי במלחמת העולם השנייה. לאחר המלחמה היה מפקד חיל הטילים האסטרטגיים של ברית המועצות.
ביוגרפיה.
מוסקלנקו נולד ב-11 במאי 1902 בכפר בפלך יקטרינוסלב, שהשתייכה לאימפריה הרוסית, למשפחת איכר אוקראינים. בשנת 1920 התגיסס מוסקלנקו לצבא האדום, ולחם בשורותיו במהלך מלחמת האזרחים ברוסיה. בשנת 1935 מונה למפקד חטיבת הטנקים ה-23, ובשנת 1936 מונה לקצין מטה בקורפוס הממוכן ה-45. בשנת 1939 מונה למפקד הארטילריה של דיוויזיית הרובאים ה-51, ולחם עמה במהלך מלחמת החורף.
במאי 1941 מונה מוסקלנקו למפקד חטיבת הנ"ט ה-1, ולחם עמה במהלך מבצע ברברוסה בגזרה הדרומית, ובכלל זה בקרב ברודי ובקרב קייב. לאחר מכן לחם עם חטיבתו בקרב על מוסקבה, ובפברואר 1942 מונה למפקד קורפוס הפרשים ה-6. במרץ 1942 מונה למפקד הארמייה ה-38, וביוני אותה שנה מונה למפקד ארמיית הטנקים הראשונה. באוגוסט 1942 מונה מוסקלנקו למפקד ארמיית המשמר הראשונה, ולחם עמה במבצע אורנוס ובמבצע סטורן קטן. באוקטובר 1942 מונה מוסקלנקו למפקד הארמייה ה-40, ולחם עמה בקרב חרקוב השלישי, בקרב קורסק ובקרב דנייפר. באוקטובר 1943 מונה שוב למפקד הארמייה ה-38, ולחם עמה במבצע דנייפר-קרפטי ובמבצע לבוב-סנדומייז'. לאחר מכן לחמה הארמייה שבפיקודו בקרבות בקרפטים, המוראביה, ובקרב על פראג.
לאחר המלחמה מילא מוסקלנקו תפקידים שונים, ובשנת 1953 מונה למפקד המחוז הצבאי מוסקבה. ב-25 ביולי 1953 שיתף מוסקלנקו פעולה עם חרושצ'וב וז'וקוב, והביאו למעצרו של לברנטי בריה ולהוצאתו להורג. כמחווה לסיועו בתפיסת השלטון, הועלה מוסקלנקו ב-11 במרץ 1955 לדרגת מרשל ברית המועצות. בשנת 1960 מונה מוסקלנקו למפקד חיל הטילים האסטרטגיים של ברית המועצות, ובשנת 1962 מונה למפקח הכללי של משרד ההגנה. בשנת 1983 פרש מוסקלנקו לביתו, וב-17 ביוני 1985 מת בביתו שבמוסקבה, ונקבר בבית העלמין נובודוויצ'יה.
בוגוינו
בּוּגוֹיְנוֹ (בבוסנית: Bugojno) היא עיר ורשות מקומית בבוסניה והרצגובינה השוכנת במחוז מרכז בוסניה אשר בפדרציה של בוסניה והרצגובינה, השוכנת 130 קילומטרים צפונית מערבית לבירה סרייבו.
היסטוריה.
היישוב נוסד ככל הנראה במהלך המאה ה-13 עת נשלט האזור על ידי ממלכת הונגריה. ב-1463 נכבש האזור על ידי האימפריה העות'מאנית והעות'מאנים שלטו בשטח עד 1878, עת סופחה בוסניה לאימפריה האוסטרו-הונגרית. לאחר מלחמת העולם הראשונה נכללה בוגוינו בשטחי ממלכת יוגוסלביה. באפריל 1941, במהלך מלחמת העולם השנייה, פלשה גרמניה הנאצית ליוגוסלביה והכניעה אותה תוך ימים אחדים. העיר הועברה לחזקת שלטון הבובות של המדינה העצמאית של קרואטיה שנשלטה על ידי האוסטאשה. לאחר המלחמה נכללה בוגוינו בשטחי יוגוסלביה וב-1992, לאחר התפרקות יוגוסלביה נכללה בשטחי בוסניה והרצגובינה.
הקהילה היהודית.