האומדים formula_43 ו formula_44 הם אינם מוטים (unbiased)
כדי לבסס קביעה זו עלינו להגדיר מסגרת שבה האומדנים הללו הם משתנים אקראיים. אנו מחשיבים את השאריות formula_19 כמשתנים אקראיים הנדגמים באופן בלתי תלוי מהתפלגות כלשהי עם תוחלת 0. במילים אחרות, עבור כל ערך של formula_2, הערך המתאים של formula_3 נוצר כתגובה ממוצעת formula_62 בתוספת משתנה אקראי נוסף formula_63 הנקרא "מונח השגיאה", השווה לאפס בממוצע. לפי פרשנות כזו, האומדנים הקטנים ביותר בריבועים formula_22 ו formula_23 יהיו עצמם משתנים אקראיים שהאמצעים שלהם ישתווה ל"ערכים האמתיים" formula_66. זוהי ההגדרה של אומדן חסר הטיה.
רווחי סמך.
הנוסחאות שניתנו בסעיף הקודם מאפשרות לחשב את "אומדני הנקודות" של ו- - כלומר, המקדמים של קו הרגרסיה עבור קבוצת הנתונים הנתונה. עם זאת, הנוסחאות הללו אינן אומרות לנו עד כמה ההערכות מדויקות, כלומר, כמה האומדנים formula_43 ו formula_44 להשתנות ממדגם למדגם עבור גודל המדגם שצוין. רווחי סמך נוצרו כדי לתת קבוצה סבירה של ערכים לאומדנים שיכולים להיות אם יחזור על הניסוי מספר רב מאוד של פעמים.
השיטה הסטנדרטית לבניית רווחי סמך עבור מקדמי רגרסיה ליניארית מסתמכת על הנחת הנורמליות, המוצדקת אם אחת מהן:
המקרה האחרון מוצדק על ידי משפט הגבול המרכזי.
הנחת נורמליות.
על פי ההנחה הראשונה לעיל, זו של נורמליות איברי השגיאה, האומדן של מקדם השיפוע יתחלק באופן נורמלי עם ממוצע ושונות formula_69 כאשר היא השונות של איברי השגיאה (ראה הוכחות הכוללות ריבועים קטנים רגילים ). באותו זמן סכום השיירים בריבוע מתחלק באופן יחסי ל - עם דרגות חופש, ובאופן בלתי תלוי מ formula_44. זה מאפשר לנו לבנות ערך
כאשר
היא "שגיאת התקן" של האומדן formula_44.
לערך זה יש התפלגות t תלמיד עם דרגות חופש. באמצעותו נוכל לבנות רווח סמך עבור :
ברמת ביטחון , שבו formula_75 הוא ה formula_76 quantile של התפלגות . לדוגמה, אם אז רמת הביטחון היא 95%.
באופן דומה, רווח הסמך עבור מקדם החותך ניתן על ידי
ברמת ביטחון (1 − "γ" ), שבו
רווחי הסמך עבור ו- נותנים לנו את הרעיון הכללי היכן יש סבירות גבוהה ביותר להיות מקדמי רגרסיה אלו. לדוגמה, ברגרסיית חוק האוקון המוצגת כאן, ההערכות הנקודתיות הן
רווחי הסמך של 95% לאומדנים אלה הם
על מנת לייצג מידע זה בצורה גרפית, בצורת פסי הביטחון סביב קו הרגרסיה, יש להתקדם בזהירות ולהתחשב בהתפלגות המשותפת של האומדנים. ניתן להראות שברמת ביטחון (1-"γ" ) לרצועת הביטחון יש צורה היפרבולית הניתנת על ידי המשוואה
כאשר המודל הניח ש formula_82, השגיאה הסטנדרטית של המדרון הופכת ל:
עם: formula_84
הנחה אסימפטוטית.
ההנחה השנייה החלופית קובעת שכאשר מספר הנקודות במערך הנתונים "גדול מספיק", חוק המספרים הגדולים ומשפט הגבול המרכזי הופכים לישימים, ואז ההתפלגות של האומדנים היא נורמלית בקירוב. בהנחה זו כל הנוסחאות שנגזרו מהסעיף הקודם נשארות תקפות, למעט החריג היחיד שהquantile "t*" "n" −2 של התפלגות "t-student" מוחלף ב*quantile "q" של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.
דוגמה מספרית.
מערך נתונים זה נותן מסות ממוצעות לנשים כפונקציה של גובהן במדגם של נשים אמריקאיות בגילאי 30-39. למרות שהמאמר של OLS טוען שיהיה נכון יותר להפעיל רגרסיה ריבועית עבור נתונים אלה, מודל הרגרסיה הליניארי הפשוט מיושם כאן במקום זאת.
ישנן "n" = 15 נקודות במערך הנתונים הזה. חישובי ידיים יתחילו על ידי מציאת חמשת הסכומים הבאים:
כמויות אלה ישמשו לחישוב האומדנים של מקדמי הרגרסיה, ושגיאות התקן שלהם.
השברון 0.975 של התפלגות t-student עם 13 דרגות חופש הוא formula_87, ולפיכך רווחי הסמך של 95% עבור ו- הם
ניתן גם לחשב את מקדם המתאם של מוצר-רגע:
דוגמה זו גם מדגימה שחישובים מתוחכמים לא יתגברו על השימוש בנתונים שהוכנו בצורה גרועה. הגבהים ניתנו במקור באינצ'ים, והוסבו לסנטימטר הקרוב ביותר. מכיוון שההמרה הציגה שגיאת עיגול, זו "אינה" המרה מדויקת. ניתן לשחזר את האינצ'ים המקוריים על ידי Round(x/0.0254) ולאחר מכן להמיר מחדש לשיטה מטרית ללא עיגול: אם זה נעשה, התוצאות הופכות
לפיכך לשונות קטנה לכאורה בנתונים יש השפעה ממשית.
קישורים חיצוניים.
הסבר של Wolfram MathWorld's על הריבועים הפחותים וחישובם (אנגלית)
פולקסווגן קראפטר
פולקסווגן קראפטר (בגרמנית: Volkswagen Crafter) היא מכונית מסחרית מתוצרת פולקסווגן אשר מיוצרת משנת 2006 ועד היום. החל משנת 2017 מיוצר דגם חשמלי.
היסטוריה.
פיתוח הגדם בוצע על ידי מרצדס-בנץ במקביל לפיתוח מכונית זהה לעבור החברה. ייצור הדור הראשון בוצע במפעלי מרצדס-בנץ אך עם מנוע של פולקסווגן. המוכנית צוידה עם מנועים של 2.0 או-2.5 ליטר בעלי יכולת 88–161 כוח סוס. קראפטר מצויד בכריות אוויר קידמיות בדגם בסיסי ובכריות אוויר צדדיות כאופציה, מערכת בקרת משיכה ו-ABS. המכונית יכולה להעביר מטען במשקל עד 3–5 טונות.
בשנת 2006 מכונית זכתה בתואר "מכונית השנה" באנגליה ואוסטרליה.
בשנת 2017 החל ייצור הדור השני. תכנון בוצע על ידי מהנדסי פולקסווגן. ייצור עבר לפולין בו הוקם מפעל חדש עם יכולת ייצור של 85 אלף מכוניות בשנה.
בשנת 2017 החל ייצור דגם חשמלי עם יכולת נסיעה של 280 ק"מ ומטען של כ-2 טונות.
בשנת 2016 בסין החלו לייצר העתק של הקראפטר בשם "Huanghai Raytour".
פרובינציית ייליך-קלווה-ברג
פרובינציית ייליך-קלווה-ברג (בגרמנית: Provinz Jülich-Kleve-Berg) הייתה פרובינציה של פרוסיה מ-1815 עד 1822. ייליך-קלווה-ברג הוקמה בשנת 1815 משטחים שסופחו על ידי ממלכת פרוסיה מצרפת והדוכסות הגדולה של ברג, ופורקה בשנת 1822 כאשר אוחדה עם הדוכסות הגדולה של הריין התחתון ויצרה את פרובינציית ריינלנד. קלן הייתה בירת המחוז.
היסטוריה.
לאחר המלחמות הנפוליאוניות, קונגרס וינה החזיר את דוכסות קלווה לממלכת פרוסיה, אשר שילב את השטחים עם שאר נחלות הריין שנלקחו בחזרה מצרפת (חלרה הפרוסית ונסיכות מורס) עם האדמות הרייניות שנרכשו בווינה - דוכסות ייליך ורוזנות ברג יחד עם חלקים מנסיכות הבוחר מקלן והעיר החופשית וההנזה של קלן ועוד כמה טריטוריות קטנות יותר.
ב-30 באפריל 1815, השלטונות הפרוסיים ארגנו מחדש את מדינות הממלכה ל-10 מחוזות "", אשר ייליך-קלווה-ברג הייתה אחת מהם. שם המחוז התייחס לדוכסויות המאוחדות של יוליך-קלווה-ברג, טריטוריה לשעבר של האימפריה הרומית הקדושה שהכילה את רוב האזור.
בירת הפרובינציה הייתה קלן, כאשר המחוז חולק ל-Regierungsbezirke (מחוזות) של דיסלדורף, קלווה וקלן החל מה-22 באפריל 1816. נשיא המחוז היה פרידריך, רוזן סולמס-לאובאך.
ב-22 ביוני 1822, צו של הקבינט הפרוסי איחד את המחוז עם הדוכסות הגדולה של מחוז הריין התחתון, עם בירתה בקובלנץ, כדי ליצור את פרובינציית ריינלנד.
צפון סין
צפון סין (בסינית: 华北), או הואביי הוא אזור גאוגרפי בסין, המורכב מהמחוזות בייג'ינג, טיינג'ין, חביי, שאנשי, ומונגוליה הפנימית.
בתקופה המודרנית אזור צפון סין השתנה באופן מהותי מבחינת ההרכב החברתי-פוליטי והכלכלי. אזור צפון סין הושפע לאורך השנים באופן ניכר מהמרקסיזם, וממערכות התעשייה הסובייטיות, תוך שהייתה גם הקפדה על שימור התרבות הילידית הסינית המסורתית. אחד מהגידולים החקלאיים הבולטים ביותר באזור צפון סין הם גידולי החיטה.
רוב תושבי אזור צפון סין מדברים בניבים של שפות צפון סיניות כמו מנדרינית, ובמיוחד הניב המקומי הדומיננטי של מנדרינית - ניב בייג'ינג. ניב בייג'ינג מהווה כיום במידה רבה את הבסיס לסינית התקנית (המכונה גם "מנדרינית תקנית"), אשר היא השפה הרשמית של הרפובליקה העממית של סין.
ערים שמכילות מעל למיליון תושבים.
בירות מחוז מוצגות להלן עם טקסט מודגש.
מזרח סין
מזרח סין (בסינית: 中国东部) הוא אזור גאוגרפי ותרבותי המשתרע על פני אזור החוף המזרחי של סין.
בשנת 1949 הממשל הסיני הגדיר באופן רשמי, למטרות כלכליות, את אזור מזרח סין כך שיכלול את המחוזות הבאים - אנחווי, פוג'יין, ג'יאנגסו, שאנדונג וג'ג'יאנג, וכמו גם את העיר שאנגחאי. בשנת 1961, התווסף מחוז ג'יאנגשי לאזור מזרח סין. בשנת 1978 חדלה להתקיים הגדרה רשמית למחוזות שנכללים באזור מזרח סין.
ערים שמכילות מעל למיליון תושבים.
בירות מחוז מוצגות להלן עם טקסט מודגש.
East China
יהדות מרילנד
יהודים התיישבו במרילנד מאז המאה ה-17. נכון לשנת 2018, האוכלוסייה היהודית במרילנד עמדה על 3.9% עם 201,600 איש. האוכלוסיות היהודיות הגדולות ביותר במרילנד נמצאות במחוז מונטגומרי ובאזור המטרופולין של בולטימור, במיוחד בפייקסוויל ובצפון מערב בולטימור. נכון לשנת 2010, בולטימור ומחוז בולטימור היוו את עיקר הקהילה היהודית במדינה, וכמות היהודים בה הוערכה ל-100,000 איש. בפרברי מרילנד של וושינגטון הבירה (מחוז מונטגומרי ומחוז פרינס ג'ורג') מספרה של האוכלוסייה היהודית עמד על כ-116,700, נכון לשנת 2017, כאשר רובם מתגורר במחוז מונטגומרי התחתון. ברוקוויל ובפוטומק מאוכלסת עיקר האוכלוסייה היהודית של מחוז מונטגומרי, וקהילות נוספות קיימות גם באזור בת'סדה ובצ'בי צ'ייס ובשכונת קעמפ מיל של סילבר ספרינג. קהילות יהודיות קטנות יותר קיימות גם בערים נוספים, כמו גיית'רסבורג, גרמנטאון, וויט אוק, אולני וטקומה פארק. גם בקולומביה, בפרדריק ובאנאפוליס קיימות קהילות יהודיות קטנות.
היסטוריה.
ג'ייקוב למברוזו הוא התושב היהודי הידוע הראשון של מרילנד, לאחר שהתיישב בפרובינציית מרילנד בשנת 1656.