מספרים גדולים בלתי נמנים: בתנ"ך מופיעים מספר פעמים אזכורים המלמדים שלאדם הייתה תחושה, ואולי אף ידיעה, כי מצויים עצמים המופיעים בכמויות גדולות מאוד שאין ביכולתו לדעת את מספרם. חול הים, העשוי מגרגרים בודדים רבים, סיפק מטפורה מפורסמת לכמות גדולה מאוד, עצומה: "כחול אשר על שפת הים לרוב" (; ; ; ; ; ); " כחול הים אשר לא יספר מרב" (). יש כאן, אולי, ביטוי קדום למושג המתמטי-לוגי המכונה בפינו אינסוף. ודומה שכבר בעת העתיקה נקבע שיש ערכים שהם גדולים מן האינסוף (או לחלופין שזהו אינסוף גדול יותר) כפי שמבטא ספר תהילים: "אספרם, מחול ירבון" ().
ביטוי אחר הוא "צבא השמים" () או "צבא המרום" (), וידוע האתגר שהציב האל בפני אברהם אבינו () לאמור: "ויוצא אותו החוצה ויאמר, הבט נא השמימה וספר הכוכבים, אם תוכל לספור אותם..". אברהם ככל הנראה לא התחיל במשימה, שנראית מלכתחילה בלתי אפשרית לביצוע. לעומתו, מסופר על יוסף, כי לאחר שעלה לגדולה במצרים, נאמר "ויצבור יוסף בר כחול הים הרבה מאוד עד כי חדל לספור כי אין מספר" (). יש להניח כי מדובר כאן בגרגרי הדגן ממש, שנראים, שעה שהם צבורים לערימות גדולות, כגרגרי חול.
גם הארבה מהווה דוגמה לתופעה שבאה בכמויות עצומות. כאשר מתאר המקרא את נוכחות המדיינים בימי גדעון, נאמר "הם ומקניהם יעלו ואהליהם ובאו כדי ארבה לרב ולהם ולגמליהם אין מספר" ().
ייצוג.
הכתיב העשרוני בו משתמשים בחיי היום-יום, אינו נוח לכתיבת מספרים גדולים, מכיוון שמספר הספרות שלהם גדול ולעיתים הוא אף מספר גדול בעצמו. לכן בעולם המדע מקובל לכתוב מספרים בכתיב מדעי שהוא מהצורה formula_2 כש-a הוא מספר ממשי כלשהו שקטן בערכו המוחלט מ-10 וגדול או שווה ל-1, ו-b מספר טבעי. לכל מספר קיים ייצוג בדרך זו. למשל formula_3 ייכתב כ-formula_4. כתיב מדעי מקצר משמעותית את אורך הייצוג של המספר, בעיקר אם מעוניינים רק בסדר גודל של המספר ואז ניתן לכתוב בכתיב מדעי קירוב פשוט ברמת העיגול הרצויה.
אולם המספרים הגדולים המופיעים במתמטיקה הם לעיתים קרובות גדולים מדי גם מכדי לייצגם בצורה נוחה בשיטה המדעית. לכן פותחו לשם ייצוג מספרים גדולים במיוחד כמה שיטות.
חזקות וטטרציות.
לעיתים נוח להציג מספר גדול כ"מגדל חזקות" מהצורה formula_5. לדוגמה מספר פרמה ה-100 הוא formula_6.
כשם שכפל הוא חיבור חוזר, פעמים אחדות, של מספר נתון, וחזקה היא כפל חוזר, פעמים אחדות, של מספר נתון; כך ניתן להגדיר פעולה שנקראת טטרציה (Tetration), שהיא הפעלה חוזרת, פעמים אחדות, של חזקה על מספר. או בסימנים: formula_7 - a בחזקת עצמו n פעמים. את הפעולה מסמנים ב-formula_8. לדוגמה formula_9. יש לשים לב שחזקה אינה פעולה קיבוצית ולכן חשוב לבצע קודם את החזקות העליונות ביותר כדי לקבל את התוצאה הנכונה.
חסרונה של השיטה היא שיש מספרים בעלי שימוש, הגדולים מדי אף להצגה בשיטה זו.
החץ של קנות'.
ניתן להמשיך את סדרת הפעולות "חיבור-כפל-חזקה-טטרציה..." עד אינסוף. הפעולה הבאה היא פנטציה (Pentation) והיא הפעלה חוזרת של טטרציה של מספר על עצמו מספר כלשהו של פעמים. לסימון פעולות אלו הציג דונלד קנות' בשנת 1976 את סימון החץ שלו: formula_10. מגדירים:
formula_11,
formula_12
ובאופן כללי:
formula_13
או בהגדרה רקורסיבית: formula_14, עם תנאי התחלה formula_15 וגם formula_16
לדוגמה: formula_17
החץ של קונוויי.
המתמטיקאי ג'ון קונוויי הציג סימון משלו לייצוג מספרים גדולים, ושיטתו קרויה "סימון החץ המשורשר של קונוויי" (Conway chained arrow notation), או בקיצור "שרשרת קונוויי". זו שיטה חזקה במיוחד המסוגלת להציג מספרים גדולים מאוד במחרוזת קצרה, אך חסרונה הוא בכך שהיא אינה אינטואיטיבית וקשה להעריך את הגודל של מספר המיוצג על ידה.
שרשרת קונוויי היא מספר טבעי שנקבע על פי הכללים הבאים כאשר formula_18 הם מספרים טבעיים ו-formula_19 היא שרשרת קונוויי:
כדי למצוא את המספר אותו מייצגת שרשרת יש לעשות שימוש חוזר בכלל האחרון, כדי לקבל שרשראות ארוכות יותר שכוללות מספרים קטנים יותר, עד שמתקבלים המקרים הפרטיים הפשוטים המפורטים בשאר הכללים, שניתן למצוא את ערכם בקלות.
ניתן להוכיח באינדוקציה כי במקרה הפרטי של שרשרת עם שלושה מספרים מתקבלת הזהות: formula_31 ובכך למעשה מהווה החץ של קונוויי הכללה לחץ של קנות'.
דוגמה לשימוש בחץ של קונוויי היא השרשרת הבאה:
formula_32
בדוגמה, השוויון הראשון נובע מהכללים החמישי והרביעי, השוויון השני נובע מהכללים השני והשלישי, השוויון השלישי נובע מהזהות בין החץ של קונוויי לחץ של קנות' והשוויון האחרון נובע מהגדרת החץ של קנות'. המספר שמתקבל גדול מדי עבור הצגתו בסימון אחר.
במתמטיקה.
תכונת ארכימדס מבטיחה שבמערכות המספרים המקובלות והמוכרות אין מספר גדול ביותר. לכל מספר גדול ככל שיהיה יש אינסוף מספרים גדולים ממנו, ועל כן הגדרה מתמטית של "מספר גדול" תהיה שרירותית וחסרת צידוק מתמטי. בנוסף, היא תגרור תוצאות בלתי רצויות, כגון "המשפט הטיפשי של האריתמטיקה", שבהינתן הגדרה למספר גדול קובע כי כמעט כל המספרים הם מספרים גדולים. לכן במערכות המספרים המקובלות אין מגדירים את המונח "מספר גדול" ולא מתעסקים בו. שדה המספרים המרוכבים בפרט, אינו ניתן לסידור ולכן לא ניתן להשוות בו בין מספרים וליחס להם גודל.
עם זאת, קיימים במתמטיקה מבנים סדורים אחרים, בהם ניתן לתת משמעות מתמטית מדויקת למונח "מספר גדול". בכל קבוצה סדורה בסדר מלא שהיא סופית קיים איבר גדול ביותר. ניתן להוסיף למערכות המספרים השונות, כגון שדה המספרים הממשיים, את אינסוף (אותו מסמנים formula_33) כאיבר של הקבוצה ולהגדיר עליו את פעולות החשבון. במקרה כזה המספר formula_33 מקיים את התכונה, שכל מספר אחר בקבוצה קטן ממנו ולכן ניתן להגדירו כמספר גדול. אולם, הוספת אינסוף כאיבר במבנה, גורמת לאיבוד רבות מהתכונות המועילות שלו, ובפרט, היא גורמת שהקבוצה מפסיקה להיות שדה, ולכן לא מרבים להגדיר את אינסוף כאיבר. באנליזה לא סטנדרטית עוסקים במודל דומה למספרים הממשיים, שבו קיים מספר ממשי גדול מכל שאר המספרים הממשיים.
בתורת הקבוצות מוגדרים מספרים מונים ומספרים סודרים כהכללה של המספרים הטבעיים, והם כוללים אינסוף מספרים אינסופיים שכל אחד מהם גדול מהקודמים לו ומכל המספרים הטבעיים. בספרו "On Numbers and Games" תיאר ג'ון קונוויי מבנה, הנקרא שדה המספרים הסוריאליסטיים, והוא שדה סדור המכיל בתוכו את כל השדות האפשריים וגם את כל הסודרים. זהו אוסף כה גדול עד שהוא גדול מדי בשביל להיות קבוצה.
קיימים תחומים במתמטיקה בהם משתמשים ברעיונות דומים לרעיון המספר הגדול, כדי לקבל תוצאות מתמטיות מדויקות. בחשבון אינפיניטסימלי מגדירים גבול ורעיונות מרכזיים נוספים, בעזרת מספרים גדולים וקטנים כרצוננו. לדוגמה, מתקיים formula_35 (הגבול של הפונקציה formula_36 כש-formula_37 שואף ל-formula_38 הוא אינסוף) אם ורק אם לכל מספר נבחר גדול כרצוננו קיימת סביבה של formula_38 כך שלכל formula_37 בסביבה formula_36 גדול יותר מהמספר הנבחר. כשהכוונה ב"מספר גדול כרצוננו" היא שניתן לבחור כל מספר שהוא ללא הגבלה על גודלו, ועדין הסביבה המבוקשת תתקיים.
בתורת הקירובים הדיוק של קירובים רבים הולך וגדל ככל שערך הפונקציה שמקרבים גדול יותר. לדוגמה נוסחת סטירלינג המקרבת את פונקציית העצרת אינה שימושית למספרים קטנים אך למספרים גדולים היא קרובה מאוד לערך האמיתי.
בתורת הסיבוכיות יש צורך לכמת את הזמן הדרוש לפתרון בעיה ולקבוע מתי היא ניתנת לפתרון באופן יעיל. כיוון שאין רוצים להגביל את כלליות התורה כך שתחול רק על גבולות שרירותיים התואמים את כוח המחשוב, במקום להגדיר מספרים גדולים שמהווים גבול יעילות הביצוע של מחשב, מגדירים מושג בשם סיבוכיות זמן. סיבוכיות הזמן של בעיה הוא מספר הצעדים הנחוצים לפתרונה כפונקציה של גודל הקלט שלה. בתור חסם ליעילות קובעים שכל בעיה שהסיבוכיות זמן שלה גדלה בקצב פולינומי או תת-פולינומי ניתנת לפתרון יעיל. לדוגמה, בהינתן קלט בגודל formula_42, בעיה שהזמן הדרוש לפתרונה הוא formula_43 נחשבת לבעלת פתרון יעיל שכן זהו פולינום. לעומת זאת לבעיה שהזמן הדרוש לפתרונה הוא formula_44 נחשבת לחסרת פתרון יעיל שכן פונקציה מעריכית גדלה מהר מאוד וערכיה הם מספרים גדולים מאוד ביחס ל-formula_42.
מספרים קטנים.
מספר קטן הוא מונח המתייחס לרוב למספרים שהם הופכיים למספרים גדולים. כלומר מספרים חיוביים קרובים מאוד לאפס. כאשר ניוטון ולייבניץ פיתחו את החשבון האינפיניטסימלי במאה ה-17 הם השתיתו אותו על המושג "אינפיניטסימל" ("זעירון", בעברית) – מספר חיובי שקטן יותר מכל מספר חיובי אחר. הגדרה זו מובילה לסתירות במסגרת מערכת המספרים הממשיים, ולכן כאשר בוסס החשבון האינפיניטסימלי בצורה ריגורוזית על ידי אוגוסטן לואי קושי וקארל ויירשטראס במאה ה-19, הוצא ממנו מושג האינפיניטסימל (ראו היסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי). אולם הוא הוחזר לשימוש באופן מדויק במאה ה-20 במסגרת האנליזה הלא-סטנדרטית.
בתורת המספרים.