פונקציית הזהות היא איבר יחידה (שמאלי או ימני) ביחס להרכבת פונקציות. בהינתן פונקציה formula_163 מתקיים formula_164 וכן formula_165. אם formula_4 הפיכה, אז מתקיים גם formula_167 וכן formula_168.
מהתכונות שנמנו כאן נובע שקבוצת הפונקציות מקבוצה כלשהי formula_1 לעצמה (פונקציות מהצורה formula_99) היא מונואיד ביחס לפעולת הרכבת הפונקציות. פונקציית היחידה formula_110 היא איבר היחידה (הדו־צדדי) של המונואיד. האיברים ההפיכים במונואיד הם הפונקציות ההפיכות.
קבוצת הפונקציות formula_172.
את קבוצת הפונקציות מקבוצה formula_1 לקבוצה formula_2 מסמנים formula_172. סימון זה אינו מקרי. יש קשר הדוק בין קבוצה זו לפעולת החזקה.
לכל קבוצה יש עוצמה שניתן לתארה אינטואיטיבית כ"מספר האיברים" בה. העוצמות של קבוצות סופיות הן מספרים טבעיים. לקבוצות אינסופיות יש עוצמות אינסופיות, שעשויות להיות שונות זו מזו (תורת הקבוצות מבחינה בין גדלים שונים של אינסוף). את העוצמה של קבוצה formula_1 מסמנים formula_177.
אם formula_1 ו־formula_2 הן קבוצות סופיות, אז מספר הפונקציות בקבוצה formula_172 הוא מספר האיברים ב־formula_2 בחזקת מספר האיברים ב־formula_1. בניסוח קומפקטי לפי הסימונים שהנהגנו זה עתה: formula_183. הזהות נובעת משיקול קומבינטורי פשוט שמסתמך על עקרון הכפל: נניח שבקבוצה formula_1 יש formula_136 איברים, ובקבוצה formula_2 יש formula_187 איברים. נבחר איבר ראשון ב־formula_1, הוא יכול לעבור לכל אחד מ־formula_187 איברים. נבחר איבר שני ב־formula_1, גם הוא יכול לעבור לכל אחד מ־formula_187 איברים. וכן הלאה עד שנגיע לאיבר ה־formula_136 ב־formula_1. נכפיל את כל האפשרויות יחדיו לכל איברי formula_1 כדי לקבל את מספר האפשרויות הכולל ונקבל formula_195.
לקבוצות אינסופיות מחליטים לקבל זהות זו כהגדרה של חזקה בין עוצמות אינסופיות. לכל זוג עוצמות formula_196 מגדירים formula_197. זוהי הגדרה מוצלחת, שכן היא מקיימת את חוקי החזקות והיא עדיין מהווה פעולת כפל מקוצר ביחס לכפל המוגדר בין עוצמות.
רמת אנרגיה
רמת אנרגיה היא מושג פיזיקלי המתאר את המצב האנרגטי שבו נמצאת מערכת תחת השפעה של פוטנציאל, כאשר היא במצב קוונטי קשור. על פי מכניקת הקוונטים, רמות אנרגיה הן בדידות, כלומר מערכת יכולה לקבל מספר סופי ובדיד של רמות אנרגיה, שערכן הוא מספר שלם מוכפל בקבוע פלאנק. הערכים המותרים של האנרגיה נקבעים על ידי הפרמטרים של המערכת (מסה, מטען חשמלי וכדומה) וסוג הפוטנציאל הקושר.
תיאור פורמלי.
את המערכת הפיזיקלית יש לייצג באמצעות המילטוניאן, אשר מהווה ייצוג המכיל את כל משוואות התנועה של המערכת והפרמטרים שלה (מסה, מהירות, תנע).
בהינתן מערכת פיזיקלית עם המילטוניאן
פותרים את משוואת שרדינגר כדי למצוא את המצבים העצמיים של המערכת ואת ההתפתחות שלהם בזמן. מצב עצמי של משוואת שרדינגר מקיים
כאשר formula_3 היא האנרגיה העצמית של המערכת.
פתרונות המערכת מייצגים את רמות האנרגיה הבדידות המותרות במערכת.
ההתפתחות של מצב עצמי בזמן נתונה על ידי:
רמות אנרגיה באטומים.
על-פי מודל האטום העכשווי, בנוי האטום מגרעין, בו נמצאים הנייטרונים, חסרי מטען חשמלי, והפרוטונים, בעלי מטען חשמלי חיובי, ומסביבו נעים האלקטרונים בעלי מטען חשמלי שלילי ושקול למטען החיובי של הפרוטונים. האלקטרונים נעים באורביטלים מוגדרים הנמצאים ברמות אנרגיה מדורגות. כל רמת אנרגיה מכילה אורביטל אחד או יותר, על פי סדר מסוים בו ככל שהרמה גבוהה יותר כך היא כוללת יותר אורביטלים. כל אורביטל מאכלס עד 2 אלקטרונים.
האלקטרונים מסודרים ברמות האנרגיה באופן קבוע, כך שמספר האלקטרונים המקסימלי בכל רמת אנרגיה אינו תלוי בסוג היסוד אליו הוא שייך.
על-פי התאוריה הנוכחית, מבנה אטום של גזים אצילים (הליום, ניאון וכו') הוא הדגם השלם של סידור האלקטרונים ברמות האנרגיה השונות, וזהי השאיפה האנרגטית של כל אטום, להגיע למצב דמוי זה.
מספר האלקטרונים בכל רמת אנרגיה בכל אטום של גז אציל במצב נייטרלי ניתן לתיאור בטבלה משמאל (K, L וכו' מסמלים את רמות האנרגיה השונות). מספר האלקטרונים המרבי בכל רמת אנרגיה הוא 2n2. [כאשר n מסמל את מספר הקליפה]
כתוצאה מדחייה חשמלית בין האורביטלים השונים בכל רמת אנרגיה, האנרגיה של האורביטלים השונים משתנה ונוצרות לכל רמת אנרגיה (מלבד שתי הראשונות) תת-רמות. כל תת-רמה כוללת קבוצת אורביטלים מאותו סוג, ולכן, מספר תת-הרמות בכל רמה שווה למספר סוגי האורביטלים השונים באותה רמה. כלומר, ככל שהרמה גבוהה יותר, כך היא מכילה יותר תת-רמות.
Dynamic Host Configuration Protocol
Dynamic Host Configuration Protocol (בראשי תיבות: DHCP; בתרגום חופשי: פרוטוקול הגדרת מארחים דינמי) הוא פרוטוקול תקשורת המשמש להקצאה של כתובות IP ייחודיות למחשבים ברשת מקומית (LAN). בנוסף לכתובת ה-IP, שרת DHCP בדרך כלל יספק למחשב גם נתונים כמו ה-Subnet mask, כתובת שרת ה-DNS וכתובת שער הגישה (Gateway), כך שהמחשב יוכל להתחיל לתפקד ברשת ללא צורך בנתונים נוספים. DHCP הוגדר לראשונה בתקן RFC 1531 באמצע שנות ה-90.
DHCP מתפקד בשכבת היישום של מודל ה-OSI ובשכבת היישום של מודל ה-TCP/IP. הוא פועל מעל פרוטוקול התעבורה UDP על גבי פורטים 67 (שרת) ו-68 (לקוח) ומעל פרוטוקול הרשת IP, כאשר כל עוד הלקוח לא קיבל כתובת IP הוא משתמש באפסים (0) על־מנת לייצג את כתובתו והוא מזוהה על פי הכתובת הפיזית.
בעוד שאופן פעולת הפרוטוקול נשאר זהה, ברוב המוחלט של המקרים בימינו אין שימוש בשרתי DHCP ייעודיים - שרת DHCP יהיה בדרך כלל באותו הרכיב המאפשר שירותים נוספים, כמו נתב, שרת DNS ועוד.
השימוש ב-DHCP ברשתות מקומיות פתח צוהר להתקפות שונות כגון הונאת DHCP. טכניקה זו יכולה להיות חלק מלוחמת סייבר. כדי לבצע מעקב אחר השימוש ב-DHCP ולוודא שלא נעשה בו שימוש לרעה ניתן להפעיל על מתגי הרשת המקומית אפשרות הנקראת DHCP snooping.
אופן פעולת הפרוטוקול.
שלבי הפרוטוקול.
להלן החבילות שנשלחות במהלך הפרוטוקול, בין הלקוח (המחשב המבקש כתובת) לבין שרת DHCP:
זמן הקצאה.
לשרת DHCP קיימת אפשרות להקצות כתובת עבור לקוח ברשת המקומית לזמן מוגבל - זהו זמן ההקצאה (lease time). אם השרת אכן פועל באופן זה, הוא שולח את זמן ההקצאה בפאקטת ה-acknowledge. על פי שיטה זו, למחשב אין כתובת IP קבועה, אלא הוא 'שוכר' כתובת מהשרת.
במקרה של השכרת כתובת, המחשב חייב לפנות אל השרת שוב, כדי לקבל את הכתובת לזמן נוסף, או לקבל כתובת חלופית. פנייה כזו תתבצע כתלות בזמן, וגם בעת עליית המחשב. במקרה הראשון, כאשר מגיע חצי מזמן ההקצאה, פונה המחשב בבקשה נוספת אל השרת, על מנת להאריך את זמן השכרת הכתובת. במקרה שהשרת לא עונה (למשל כי הוא נפל), יחכה המחשב עוד חצי מהזמן הנותר (כלומר שלושת-רבעי (3/4) הזמן מזמן ההקצאה הכולל) וינסה לפנות שוב. כך ימשיך המחשב עד שיענה לו השרת. אם השרת לא עונה לו, ינסה המחשב לפנות אל שרת אחר במטרה להאריך את זמן ההקצאה של הכתובת. אם גם תהליך זה כשל, יפנה המחשב בבקשה לכתובת חדשה.
למרות שמקובל לחשוב שכתובות DHCP הן "דינמיות" בפועל לאחר שהונפקה כתובת למערכת היא תשתנה במקרה שמתבצע שחרור כתובת (Release) והשרת מספק את הכתובת למחשב אחר לפני בקשת החידוש, או במקרה של זמן חיבור ארוך מהמותר על פי הגדרות ה-Lease time בשרת ה-DHCP, או במקרה של אי חיבור לרשת במשך זמן רב.
שחרור כתובת.
אפשרות נוספת בפרוטוקול היא השחרור (release), בו הלקוח שולח פאקטה ב-unicast אל השרת ממנו קיבל את הכתובת בבקשה לשחרר את הכתובת, ומוחק אותה אצלו. זהו לא חלק סטנדרטי מהפרוטוקול - בדרך כלל השאיפה של המשתמש היא לשמור על אותה הכתובת לאורך זמן ארוך ככל האפשר.
המשתמש יכול לבצע שחרור באופן עצמאי. מצב כזה קורה למשל כאשר המשתמש קיבל כתובת לזמן אינסופי אך הוא מתכוון לעזוב את הרשת המקומית, או לצורך טיפול בבעיית רשת כלשהי. כאשר המשתמש שולח בקשה לשחרור כתובת, אין הוא צריך לקבל תשובה על הצלחה/כישלון - שכן שחרור כתובות איננו חלק רשמי של הפרוטוקול, והלקוח "עושה טובה" לשרת שהוא משחרר את הכתובת.
גם כאשר המשתמש איננו משחרר כתובת באופן עצמאי, לשרת יש יכולת לדעת שכתובת מסוימת איננה בשימוש זמן רב, ולקחת אותה מהמשתמש הנוכחי. לדוגמה כאשר לשרת לא נותרו כתובות פנויות לחלוקה הוא יכול לבדוק מי הן הכתובות שלא ביצעו בקשה לחידוש הקצאה תקופה ארוכה, ולהעביר אחת מהן עבור הבקשה החדשה. יכולת זו משחררת את מנהל הרשת מהצורך לעדכן את השרת לגביי מערכות שיצאו משימוש.
אופן פעולת שרת DHCP.
חלוקת כתובות.
שרת DHCP יכול לעבוד באחד משלושה מצבים:
בשרת DHCP ישנה אפשרות לעבוד בכל הדרכים לעיל בו זמנית - ניתן להגדיר כתובות לחלק מהמחשבים באופן ידני, והשאר באופן אוטומטי, עם או בלי הגבלת זמן.
תקשורת בין שרתי DHCP.
אף על פי שלכל רשת מקומית מספיק שרת DHCP אחד, לעיתים מנהל רשת יכלול מספר שרתי DHCP - בעיקר לצורך גיבוי, שכן אם שרת DHCP יחיד נופל הרשת לא תוכל להתנהל באופן סדיר לאורך זמן. במקרה כזה, עלולה להיווצר התנגשות - למשל כאשר לקוח יבצע שחרור כתובת מהשרת שהקצה לו אותה.
כדי למנוע בעיות כאלה, לפרוטוקול נוספו במקרים מסוימים אפשרויות של תקשורת בין השרתים לצורך סנכרון.
תחלופה ל-DHCP.
APIPA.
אם מחשב המבקש כתובת לא מקבל אותה לאחר זמן מסוים, הלקוח רשאי להקצות לעצמו כתובת מסוג APIPA - זוהי כתובת IP בטווח 169.254.0.1-169.254.254.254, אותה בוחר המחשב באופן אקראי. גם לאחר הקצאת הכתובת, ישאף המחשב לקבל כתובת חוקית ברשת משרת DHCP.