זהו תיאור של פלנטריום. לפי פאפוס מאלכסנדריה, ארכימדס כתב חיבור (שכעת אבוד) על הבנייה של מכניזמים כאלה תחת הכותרת על הכנת כדור (On Sphere-Making). קיקרו אף מוסיף ומציין כי מכונות דומות נבנו בעבר על ידי תאלס איש מילטוס ואאודוקסוס מקנידוס, אך לפי קיקרו, מכונתו של ארכימדס הצטיינה בכך שהוא תכנן דרך להניע את הפלנטות במדויק, ועל ידי מכשיר יחיד, בהתאם למסלוליהם השונים וקצבי המהירות המשתנים שלהם, ובכך זכתה להערכה מיוחדת. מבין המצאותיו של ארכימדס, הקדמונים העריכו במיוחד את המצאת הפלנטריום (שנראתה פלאית באותה עת), ומצבור הראיות ההולך וגדל מעיד שהייתה מסורת יוונית של בניית התקנים מכניים מורכבים שראשיתה בארכימדס.
מתמטיקה.
נוסף לפרסומו כמתכנן של מכשירים מכניים, נודע ארכימדס גם בזכות הישגיו במתמטיקה. הישגים אלה מעידים על יצירתיות וחזון. פלוטרכוס כתב עליו: "הוא הפנה את מלוא החיבה והשאיפה שלו לתחומים הטהורים הללו אשר אין להם קשר לצרכים הרגילים של החיים".
ארכימדס היה הראשון שהשתמש בגדלים אינפיניטסימליים. באמצעות חלוקת קבוצה לאינסוף תת-קבוצות השואפות בגודלן לאפס, הוא הגיע לדיוק המרבי האפשרי לגבי גודל הקבוצה. שיטה זו ידועה בשם "שיטת המיצוי", והיא מהווה צעד ראשון לקראת החשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. ארכימדס נעזר בשיטה זו כדי לחשב את שטחו של עיגול, בכך גילה את הנוסחה המפורסמת לשטח מעגל המיוחסת לו formula_1 כאשר
S הוא שטח המעגל, formula_2 הוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו ו-R הוא רדיוס המעגל. הוא אף הציג שיטה לחישוב formula_2 בכל דיוק רצוי, וחישב את ערכו בין הסכום לסכום . ב-"על הכדור והגליל", ארכימדס קובע שכל גודל כאשר הוא מתווסף לעצמו מספיק פעמים יעבור כל גודל נתון. זה ידוע כתכונה הארכימדית של המספרים הממשיים.
ארכימדס לא הסתפק בחישוב שטחו של עיגול. הוא נעזר שוב בשיטת המיצוי והמציא שיטות לחישוב שטחים ונפחים, חישב שטחים החסומים בפרבולות ובספירלות, נפחי גלילים, פרבולואידים ומקטעים כדוריים. הוא מצא את מרכזי הכובד של ההמיספירה (חצי ספירה), ושל טריז גלילי, ובכך חזה שוב את החשבון האינטגרלי. הוא הוכיח ששטחו ונפחו של כדור הם ביחס של לשטחו ונפחו של גליל החוסם כדור זה. כיוון שנוסחאות לחישוב שטח ונפח של גליל היו ידועות, הוכחתו של ארכימדס סיפקה לראשונה נוסחאות לחישוב שטח ונפח של כדור.
ארכימדס היה הראשון, ואולי אף היחיד, מבין המתמטיקאים היוונים שעסק בעקומים מכניים (כאלה שנוצרים על ידי נקודה נעה), בראותו עקומים אלה כנושא ראוי לחקירה, בניגוד לדבקותם של המתמטיקאים היוונים בבנייה בסרגל ומחוגה בלבד. במסגרת חקירתו זו השתמש בספירלת ארכימדס לשם תרבוע העיגול, ולשם שילוש הזווית (בחיבורו "על ספירלות"). ב-"על ספירלות" ארכימדס גם פיתח טכניקות למציאת משיקים לספירלות, ובכך היה הראשון שמצא דרך למציאת משיק לעקומה שאינה מעגל.
למרות שעיקר הישגיו היו בגאומטריה ומכניקה, ארכימדס עשה גם התקדמויות משמעותיות בחישוב נומרי; בחיבורו "המדידה של המעגל", מצא ארכימדס את השורש הריבועי של 3 כגדול מ- וקטן מ-. לפי אומדן זה הספרות הראשונות של שורש 3 בשבר עשרוני הן 1.7320508, ולכן אומדן זה מדויק מאוד. ככל הנראה הוא הגיע להערכה זאת באמצעות שיטות חדשות למציאת שורשים שפיתח, אך הוא לא תיאר ולא הסביר את שיטותיו. מנקודת מבט מתמטית מודרנית, החסמים שנתן הם ערכי ביניים בפיתוח לשבר משולב של formula_4, מה שהוביל לספקולציות רבות לגבי התקדמויות מסוימות בתורת המספרים שייתכן שעשה.
בחיבורו "תרבוע הפרבולה", הוכיח ארכימדס שהשטח הכלוא על ידי פרבולה וקו ישר שווה ל-4/3
כפול שטחו של המשולש בעל גובה ובסיס שווים. במהלך הפתרון הוא סיכם לראשונה את הטור הגאומטרי האינסופי בעל מנה 1/4:
formula_5.
ב"מחשב החול", ניסה ארכימדס לחשב את מספר גרגירי החול שהיקום עשוי להכיל. במטרה להראות שמספר גרגירי החול ביקום אמנם גדול מאוד אבל סופי. כדי לספור את גרגירי החול, ארכימדס המציא שיטה חדשה שהתבססה על הסמל היווני לרבבה (10,000) לרישום מספרים גדולים עד formula_6.
כתבים חדשים שנכתבו על ידי ארכימדס ונתגלו בזמננו חשפו במידה מסוימת את הרקע הרעיוני לכתיבת חיבוריו, שהתבסס על הבנה עמוקה של האינסוף. נתגלו בהם תובנות של המושגים של אינסוף וקבוצה בת מנייה, תובנות אשר לא הושגו עד לזמנו של גאורג קנטור, שחי כ-2,000 שנה אחרי ארכימדס (ארכימדס התחבט בגרסה של פרדוקס גלילאו). בכתבים הללו, ובמיוחד בספר "השיטה" של ארכימדס, מופיעות שיטות אחרות לקבלת התוצאות של ארכימדס שהופיעו בכתבים אחרים שלו. רעיונות ייחודיים לחיבור זה הם שימוש בגרסה מוקדמת של סכומי רימן ואינטגרציית רימן, כמו גם חישובי נפחים של צורות אחדות אשר לא מופיעים בשום מקום אחר בכתביו. כמו כן, בעקבות עבודות שחזור ומחקר שנעשו על הפלימפססט של ארכימדס הועלתה ההשערה, שארכימדס עסק בשאלות קומבינטוריות, יותר מאלפיים שנה לפני המצאת מדע הקומבינטוריקה.
חיבורים.
ארכימדס כתב חיבורים רבים על תוצאות מחקריו, אשר אותם הוא שלח כמכתבים לבני דורו. מעטים מכתביו המקוריים ביוונית השתמרו, ורובם אבדו במהלך אירועים כמו שריפת הספרייה הגדולה של אלכסנדריה בשנת 391, או בזיזת קונסטנטינופול במהלך מסע הצלב הרביעי בשנת 1203. בקטלוג מהמאה הרביעית מצוין שבין כתביו של האפיפיור היו שני אוספים של ספרי ארכימדס, הנקראים 'קודקס A' ו'קודקס B'. ספרים אלו היוו מקור השראה לרבים מהמדענים של תקופת הרנסאנס, כמו לאונרדו דה וינצ'י או גלילאו גלילאי, ובהמשך - אייזק ניוטון שהושפע ישירות מעבודתו. הקודקסים הללו אבדו, אך תרגומים של חלק מספריו לערבית השתמרו. אוסף שלישי של כתבי ארכימדס, הידוע היום כהפלימפססט של ארכימדס התגלה בשנת 1907.
בין ספריו של ארכימדס ניתן למצוא את:
חיבורים אבודים של ארכימדס.
פאפוס מאלכסנדריה מציין עבודה על פאונים (פאונים ארכימדיים) שנכתבה על ידי ארכימדס ואבדה. פאפוס מציין כי ארכימדס מנה 13 פאונים כאלה, אך לא ידוע אם הוכיח כי אלו היחידים (יוהאנס קפלר היה הראשון להוכיח כי יש רק 13 פאונים ארכימדיים). תיאון מאלכסנדריה מצטט הערה על שבירה של אור מהעבודה, שכעת אבודה, Catoptrica. ספר הלמות מיוחס לארכימדס על פי ת'אבת אבן קורה אף כי האותנטיות שלו מוטלת בספק. מקורות ערבים מייחסים לו חיבור שכותרתו "על בניית המשובע המשוכלל" (On the construction of the heptagon), בו תיאר ארכימדס שיטה לבנות את הזווית formula_7 (הבנייה אינה אפשרית בסרגל ומחוגה, וארכימדס נעזר בסוג של neusis construction כדי לבנות את הזווית). מוערך שארכימדס אף גילה והוכיח את נוסחת הירון לחישוב שטח משולש מאורכי צלעותיו, מקרה פרטי של נוסחת ברהמגופטה.
אוקלידס
אֵוּקלידס (ביוונית: Εὐκλείδης, 365 לפנה"ס - 275 לפנה"ס) הידוע גם כאוקלידס מאלכסנדריה, היה מתמטיקאי יווני הנחשב לאבי הגאומטריה. הוא היה פעיל באלכסנדריה במהלך שלטונו של תלמי הראשון (323-283 לפני הספירה). בספרו "היסודות" ערך בצורה שיטתית את מרבית הידע המתמטי והתוצאות המתמטיות שנצברו עד לאותה תקופה. בספרו ה"יסודות" הסיק אוקלידס את העקרונות של מה שנקרא כיום בשם "גאומטריה אוקלידית" מאוסף קטן של אקסיומות. ספר זה הוא אחת היצירות המשפיעות ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה, והיה ספר הלימוד המרכזי במתמטיקה (במיוחד בגאומטריה) מזמן פרסומו עד סוף המאה ה-19 או תחילת המאה ה-20.
אוקלידס כתב גם על פרספקטיבה, חתכי חרוט, גאומטריה כדורית וריגורוזיות.
ביוגרפיה.
מעט ידוע על חייו של אוקלידס, מכיוון שיש מעט אזכורים שלו בספרות. תאריך ומקום הולדתו של אוקלידס כמו גם תאריך ומקום מותו אינם ידועים, והם מוערכים בצורה גסה בצמוד לדמויות התקופתיות הנקשרות בשמו באזכורים. אין שום תיאור של מראהו החיצוני של אוקלידס אשר שרד ולכן תיאורו במסגרת יצירות אמנות מודרניות נשען אך ורק על דמיונו של האמן ולמעשה, רפאל צייר את עמיתו דונטו ברמנטה בדמותו של אוקלידס. יש גם הסוברים כי הדמות מתייחסת לארכימדס.
האזכורים ההיסטוריים המעטים לאוקלידס נכתבו מאות שנים אחרי חייו, על ידי פרוקלוס ופאפוס מאלכסנדריה. פרוקלוס מציג את אוקלידס בקצרה בלבד בחיבורו מהמאה ה-5 "הערות על היסודות" כעורך של "היסודות", מציין שהוא הוזכר על ידי ארכימדס, ושהמלך תלמי שאל אותו האם יש דרך קצרה יותר ללמוד גאומטריה מאשר באמצעות יצירתו היסודות ואוקלידס השיב לו כי "אין דרך המלך ללימוד גאומטריה". אף על פי שהציטוט לכאורה של אוקלידס בידי ארכימדס נתברר בסופו של דבר כעיבוד של עורכים של עבודותיו, עדיין סביר להניח כי אוקלידס כתב את עבודותיו לפני אלו של ארכימדס. בנוסף, אמיתות אנקדוטת "שביל המלך" מוטלת בספק ומכיוון שהיא מזכירה מאוד סיפור דומה על מנכמוס ואלכסנדר הגדול. באזכור המפתח הנוסף והיחידי לאוקלידס פאפוס מציין כי אפולוניוס "בילה זמן רב מאוד בחברת תלמידיו של אוקלידס באלכסנדריה, וזאת הייתה הדרך בה רכש הרגלי חשיבה כה מדעיים". מן הממצאים ההיסטוריים עולה כי ככל הנראה שאוקלידס למד באקדמיה של אפלטון באתונה.
היסודות.