דוד אלעזר נולד בסרייבו (בבוסניה, אז חלק מממלכת הסרבים, הקרואטים והסלובנים), למשפחה ממוצא ספרדי משושלת משפחת אלעזר, שהגיעה לאזורי האימפריה העות'מאנית לאחר גירוש ספרד. אמו זהבה נפטרה כשהיה בן שש וחצי ובהמשך גדל אצל סבותיו. אביו, סולומון (שלמה), היה קצין בצבא יוגוסלביה.
בגיל 12 נסע אלעזר לזגרב (היום בירת קרואטיה) לשם לימודים, והצטרף לקן של השומר הצעיר. בתקופה זו הכיר את חיים ברוצלבסקי (לימים חיים בר-לב) עמו התיידד, ואת פליקס דויטש (לימים פליקס דותן). עקב החשש מפלישת גרמניה ליוגוסלביה, בעקבות פרוץ מלחמת העולם השנייה, ובשל הנהגת נומרוס קלאוזוס לתלמידים יהודים בבתי הספר, התארגנה קבוצת צעירים יהודים שכללה את אלעזר במסגרת עליית הנוער לצורך עלייה לארץ ישראל. הקבוצה עלתה ארצה בסוף שנת 1940, זמן קצר לפני הפלישה הנאצית ליוגוסלביה.
היא נסעה לארץ ישראל ברכבת, דרך סוריה ולבנון, ועל אף שהחזיקה בסרטיפיקט של עליית הנוער, הועברה למחנה מעצר לעולים בלתי חוקיים בעתלית. אלעזר הוחזק שם עד מרץ 1941, אז הצטרף לקבוצה שנייה, שנשלחה כחברת נוער לקיבוץ שער העמקים. לאחר מכן, בעקבות החלטת "השומר הצעיר" יצאה הקבוצה כהשלמה לקיבוץ עין שמר. אלעזר נשלח להדרכה וזמן קצר לאחר הגיעו, נבחר למזכירות הקיבוץ.
בשנת 1946 נאלץ לעזוב את הקיבוץ כדי להתגייס לפלמ"ח, לאחר שבקשתו להתגייס לא אושרה על ידו. אלעזר הוצב בפלוגה ז' (פלוגת הסיירים) של גדוד "המטה" וצורף למחלקת "משמרות", בפיקודו של חיים פוזננסקי, שנקראה על שם קיבוץ משמרות בו ישבה.
בשנת 1947 היה חניך בקורס מ"כים בפיקודו של חיים בר-לב בקיבוץ דליה. בר לב ויגאל אלון העידו שכבר אז התבלט כחניך מצטיין של הקורס. לאחר הקורס נשלח לחולתה בגליל העליון לפקד על מחלקה שעסקה בסיורים והחדרת מסתערבים לסוריה וליווי עולים במסגרת ההעפלה מארצות המזרח. בפעילות זו התאפשר לו ללמוד על הכנותיה של סוריה למלחמה.
בנובמבר חזר למטה הפלמ"ח ובדצמבר השתתף בפעולת תגמול נגד כלי רכב ברמלה ובפשיטה על מחסן נשק בבסיס של הצבא הבריטי בתל ליטוינסקי.
תחילת הקריירה בצה"ל 1948–1964.
בראשית 1948 השתתף בקורס מזורז למפקדי מחלקות בנתניה. במהלך מלחמת העצמאות השתתף בקרבות שונים בגדוד הרביעי ("הפורצים"), של חטיבת הראל, בהם שיירת חולדה, הקרב על מנזר סן סימון והפריצה לעיר העתיקה. דדו תואר כמי שנשאר רגוע תחת אש, דאג לפצועים והקפיד לצאת לפעולה עם פקודיו. הוא התקדם מהר בתפקידים, הן עקב תכונותיו כמפקד אך גם בשל הנפגעים הרבים שהיו לשדרת הפיקוד של הפלמ"ח. בסוף מאי התמנה למפקד פלוגה ובאמצע יולי נתמנה למפקד "גדוד הפורצים" בחטיבת הראל של הפלמ"ח. בינואר 1949 מילא הגדוד בפיקודו תפקיד חשוב בקרבות באזור רפיח, בשלב השני של מבצע חורב.
לאחר תום הקרבות ב-1949, השתתף אלעזר בכנס הפלמ"ח, בניגוד לפקודות, ועל כך קיבל נזיפה והתראה מהרמטכ"ל יעקב דורי. לאחר מכן היה חניך בקורס המג"דים השני, תחת פיקודו של יצחק רבין. באותה העת דרגתו הייתה רב-סרן. בינואר 1950 נתמנה כמדריך בשלב א' בקורס המג"דים השלישי ובאותה שנה הוענקה לו דרגת סגן אלוף. ביוני 1951 מונה למדריך ראשי בשלב ב' – קורס קצינים מתקדם. הוא הדריך בקורס במשך שלוש שנים, ובתקופה זו התגבשה מחשבתו הצבאית. לצד חיים בר-לב, היה דדו בין הקצינים הבכירים הראשונים שעברו קורס צניחה וענדו כנפיים.
ב-8 באוגוסט 1952 נישא דדו לחברתו, תלמה (בתו של המשורר, הסופר, העורך והמתרגם צבי ארד, ממייסדי קיבוץ עין שמר), כאשר מלאו לה 18, ואז חזר ונתקבל כחבר הקיבוץ, שהוסיף לשמש כביתם במשך מספר שנים.
בשנות ה-50 מילא אלעזר מספר תפקידי מטה. ב-1952 הוחלט על הקמת פיקוד נוסף לשלושת הפיקודים ("פיקוד 8"), וביוני מונה דדו לקצין אג"ם וסגן ראש המטה של הפיקוד, אולם הקמתו לא יצאה אל הפועל וב-1953 הוא מונה לקצין אג"ם בפיקוד מרכז. בתקופה זו למד יחד עם ישראל טל לבחינות הבגרות ועבר אותן בהצלחה. בתחילת נובמבר 1953 יצא לחופשת לימודים באוניברסיטה העברית בירושלים. בשל סירוב הקיבוץ לאשר לו את החופשה, נאלץ דדו להפסיק את חברותו בו. הוא התגורר בירושלים ולמד במשך שנה כלכלה ולימודי המזרח התיכון. בשמונה השנים שחלפו מאז התגייס לפלמ"ח כחניך "השומר הצעיר", השתנו השקפותיו הפוליטיות והוא הזדהה עם התפיסה האקטיביסטית של "אחדות העבודה".
בשנים 1954–1955 היה דדו ראש מחלקת תורת לחימה במטה הכללי. בשנים הללו נהג ללוות כמשקיף ואף להצטרף אל הכוח הלוחם בפעולות התגמול, לצורך הפקת לקחים.
בסוף 1955 התמנה למפקד חטיבת חי"ר מוגברת 12 (חטיבת הנגב). ב-15 ביוני 1956 נתמנה למפקד בית הספר לחיל רגלים והועלה לדרגת אלוף-משנה. בסוף אוקטובר 1956 נפתח מבצע קדש, במהלכו פעלה החטיבה שתחת פיקודו ברצועת עזה והוא עצמו קיבל את כתב כניעת הכוחות המצריים ברצועה מידי הגנרל דיגווי. לאחר מכן עסקה החטיבה בהחזקת הרצועה, בתפקידי שיטור ובחיפושים אחר מחבלים. בתקופת הישיבה ברצועה, החליט לעבור הסבה לשריון. ב-6 במרץ 1957 בוצעה הנסיגה מהרצועה וב-9 ביולי הוצב דדו בגייסות השריון. לדעת הביוגרף חנוך ברטוב, ההחלטה לעבור הסבה לשריון הייתה "ראשית הזינוק הגדול" שלו בחזרה אל "לב-לבה של העשייה והמחשבה של צה"ל" ותחילת התקדמותו לעבר צמרת הצבא. בתוקף הנסיבות, עברה משפחת אלעזר להתגורר בדרום הארץ, בכפר מנחם, למשך 4 שנים. דדו עשה את מסלול ההסבה בשלמותו – תקופת הכשרה שנמשכה למעלה משמונה חודשים, וב-15 במרץ 1958 מונה למפקד חטיבה 7. ב-15 באפריל 1959 נסתיימה כהונתו כמפקד החטיבה והוא מונה לסגנו של מפקד גייסות השריון, חיים בר-לב. בעת שכיהן בתפקיד זה סייע לרב-סרן אברהם ארנן במימוש יוזמתו להקמתה של סיירת מטכ"ל.
ב-25 ביוני 1961 מונה למפקד גייסות השריון. הוא הועלה לדרגת אלוף והצטרף ל. בתקופה זו עברה משפחת אלעזר להתגורר בהרצליה וכעבור זמן מה ברמת אביב. דדו שירת בתפקידו זה שלוש שנים וארבעה חודשים, ובתקופה זו ביקש לרומם את קרנו של חיל השריון. בין יוזמותיו לשם מטרה זו, היו עריכת "יום גייסות השריון" השנתי, הקמת מקהלת 300 גברי השריון תחת ניצוחו של יצחק גרציאני, הקמת נבחרת כדורגל והנהגת טקסי השבעה במצדה.
אלוף פיקוד צפון 1964–1972.
ב-2 בנובמבר 1964 נכנס אלעזר לתפקידו כאלוף פיקוד הצפון. בתקופה זו הייתה מתיחות רבה עם סוריה ותקריות שנודעו כמלחמה על המים, על רקע ניסיונות סוריה להטות את מקורות נהר הירדן ולמנוע מישראל את השימוש במוביל הארצי. התקריות היו מלוות בהפגזות מסיביות של יישובי אצבע הגליל. אמרה המיוחסת לאלעזר מאותה תקופה היא "אם חיי היישובים שלנו יהיו בלתי-נסבלים, יהיו בלתי-נסבלים גם החיים ממזרח לגבול".
בסוף ספטמבר 1966 נכנסה לתוקפה תקופת שירות נוספת של אלעזר בצבא הקבע, ומשפחתו עברה להתגורר בצפון, בטבעון.
ב"תקופת ההמתנה" ערב מלחמת ששת הימים ב-1967, נמנה אלעזר עם מפקדי צה"ל שדחפו לכיבוש רמת הגולן, על רקע חלקה של סוריה באירועים שהוליכו למלחמה. בזמן המלחמה, פיקד אלעזר בתפקידו כאלוף פיקוד צפון, על כיבוש השומרון, שהיה בשליטת ממלכת ירדן, ועל כיבוש רמת הגולן מסוריה. הלחימה על הרמה החלה רק ביום החמישי של המלחמה, ה-9 ביוני, לאחר תום הקרבות בחזית המצרית ובחזית הירדנית. אז התרכזו בגיזרה כוחות, שנאספו מכל חלקי הארץ (שתי חטיבות הובאו מזירת הדרום וארבע חטיבות הובאו מהגיזרה הירדנית). במקביל לתקיפה אווירית מרוכזת של חיל האוויר הופעלו שבע חטיבות, בפיקודו של אלעזר, בהתקפה על רמת הגולן. ההתקפה התרכזה בגיזרת הבניאס וצפון רמת הגולן, שם היה השיפוע בעלייה לרמה מתון יחסית, וכוחות השריון יכלו לעלות לרמה ולהתקדם כמעט עד מחצית הדרך לקוניטרה. בדרום הרמה תקפו כוחות רגלים וצנחנים את המוצבים הסורים והשיגו גם הם התקדמות לא מעטה. במהלך הלילה הרחיבו כוחותיו של אלעזר את הטריז דרומה, עד לאזור גשר בנות יעקב. בבוקר יום שבת, ה-10 ביוני, פרצו כוחות שריון וחיל רגלים מזרחה תחת סיוע אווירי, והצליחו להגיע, בצפון רמת הגולן, אל מעלה החרמון ואל קוניטרה, ובדרום רמת הגולן אל צומת רפיד. ב-10 ביוני בשעה 14:00 נפסקו הקרבות ברמת הגולן ונסתיימה למעשה הלחימה.
לאחר מלחמת ששת הימים, החלה מלחמת ההתשה בבקעת הירדן. ב-16 בפברואר 1968 ביטא האלוף אלעזר את המדיניות שהתגבשה בצה"ל בתגובה לחדירות המחבלים וההפגזות מירדן: "פעולת צה"ל תורמת לשקט יותר מאשר התאפקות ממושכת. אם התושבים שלנו לא יוכלו לחיות בשקט – לא יוכלו גם התושבים בצד השני לחיות בשקט". בערב פסח אותה שנה, אמר בראיון: "חייבים אנו לנהל את המלחמה באופן שתהיה בלתי־נסבלת למדינות שמהן חודרים המחבלים. לישראל תהיה זו מלחמה קשה, קטלנית ויקרה – אבל תהיה נסבלת".
בעקבות פעילות ארגון הפת"ח מלבנון, טבע אלעזר ב-1969 את הכינוי "פתחלנד" לאזור בדרום-מזרח המדינה שנשלט על ידי הארגון.
בריאיון ל"מעריב", התייחס אלעזר למלחמת ההתשה: "אני אומר, שאפשר להמשיך ולחיות כך. עלינו לראות את התקופה הזאת כחלק ממלחמתו של העם היהודי על מולדת ועל מדינה עצמאית. ואם נראה את המצב כך, ניווכח כי מלחמתנו מתנהלת בתנאים לגמרי לא רעים. עברנו שלבים הרבה יותר גרועים... הבעיה אינה צבאית, כי אם מדינית וכלכלית... היום התחזקנו. מצבנו טוב... אני לא יכול להגיד שזהו הדגם לחיים מאושרים, אבל זה הולך להיות טוב יותר ויותר".
אלעזר הזדהה עם ההתנחלות ברמת הגולן והציב בראש סולם העדיפויות של פיקוד צפון את קידום אכלוסה. הוא היה מעורב באופן פעיל בהכנת התשתית וסייע באופן ישיר להיאחזויות הראשונות, ובראשן מרום גולן, אף בנושאים אזרחיים לחלוטין.
ב-23 בדצמבר 1969 מונה אלעזר לראש אג"ם.