הסימן × לציון כפל הוצג לראשונה בשנת 1631 על ידי הכומר והמתמטיקאי האנגלי ויליאם אוטרד. במאה ה-18 התבסס השימוש בנקודה במרכז השורה, "·", לציון כפל, ובאלגברה מקובל להשמיט כליל את הסימן (" ab", למשל, פירושו "a" כפול "b").
הסימן ÷ לציון חילוק הופיע לראשונה בשנת 1659 בספר אלגברה מאת המתמטיקאי השווייצרי יוהאן רן ; יש המשערים שג'ון פל, שערך את הספר, הוא שהכניס לתוכו את הסימן. סימנים נפוצים יותר לציון חילוק הם הנקודתיים : והלוכסן /.
הגדרות פורמליות.
חיבור.
את החיבור במספרים הטבעיים מגדירים תוך שימוש באקסיומת העוקב של אקסיומות פאנו (לכל מספר טבעי קיים מספר עוקב ולא קיים מספר שהעוקב שלו 0), שאותן מקיימים המספרים הטבעיים. אם formula_56 הוא הסימון לעוקב של formula_57, אז החיבור מוגדר באינדוקציה כך:
לדוגמה: formula_60.
כפל.
גם את הכפל במספרים טבעיים ניתן להגדיר אינדוקטיבית על ידי שימוש בהגדרת העוקב:
לדוגמה: formula_63
חיסור מוגדר כחיבור עם הנגדי וחילוק ככפל בהופכי.
פעולות החשבון בקבוצות אחרות.
הפעולות שהראינו כאן מוגדרות על קבוצות אינסופיות של מספרים, אך ניתן להגדיר אותן גם על קבוצות סופיות - ראו חשבון מודולרי.
הפעולות שהראינו כאן מוגדרות על קבוצות של מספרים, אולם באלגברה מופשטת מעוניינים לחקור את תכונותיהן של פעולות שמוגדרות על קבוצות כלשהן, לא בהכרח של מספרים, אך שמזכירות את פעולות החשבון על המספרים.
מעל שדות נוהגים להגדיר פעולות של "חיבור" ו"כפל", ולדרוש שפעולות אלו יקיימו את תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות והדיסטריביוטיביות שהראינו קודם, וכן שיהיה קיים איבר נייטרלי לכל אחת מהפעולות, ואיבר הופכי לכל אחת מהפעולות. אם כל הדרישות הללו מתמלאות, הרי שהפעולות שהוגדרו אכן מזכירות בתכונותיהן את הפעולות שמוגדרות מעל המספרים, וניתן להגדיר חיסור וחילוק באמצעותן. מכאן ניתן לראות שקבוצות המספרים הרציונליים, הממשיים והמרוכבים, עם הפעולות שהוגדרו עליהן, הם בעצם מקרים פרטיים (חשובים מאוד) של שדות.
ארבע פעולות חשבון
לחץ הדם
חיבור
באריתמטיקה, חיבור היא פעולה יסודית שמשמעותה צירוף של שני אוספי פריטים לאוסף הכולל את שניהם. את החיבור מסמנים בעזרת הסימן + (פלוס). למספרים שמחברים קוראים "מחוברים" ולתוצאה קוראים "סכום". התמונה משמאל מדגימה את הביטוי 2+3=5: אם נצרף 3 צורות מלמעלה ו-2 צורות מלמטה, נקבל ביחד 5 צורות. לפעולה קוראים "פלוס" או "ועוד" לכן את הביטוי ניתן לקרוא כ"שתים ועוד שלוש" או "שתים פלוס שלוש". הדוגמה מדגימה את המשמעות היסודית של חיבור, היא חיבור מספרים טבעיים, אולם ניתן להגדיר גם חיבור מספרים שליליים, אי-רציונליים ואף מרוכבים, וכמו כן חיבור פונקציות, וקטורים, מטריצות, עוצמות ועוד.
הגדרות.
חיבור מספרים טבעיים ניתן להגדיר בצורה נאיבית בעזרת לוח החיבור:
הלוח משמש לחיבור מספרים חד ספרתיים, כדי לחבר מספרי גדולים יותר יש לכתוב אותם זה מעל זה ולחבר את הטורים מימין לשמאל, וכאשר מתקבל מספר הגדול מ-9 יש להוסיף את ספרת העשרות שלו לטור הבא.
כדי להגדיר בצורה פורמלית מגדירים תוך שימוש באקסיומת העוקב של אקסיומות פאנו (לכל מספר טבעי קיים מספר עוקב ולא קיים מספר שהעוקב שלו 0), שאותן מקיימים המספרים הטבעיים. אם formula_1 הוא הסימון לעוקב של formula_2, אז החיבור מוגדר ברקורסיה כך:
מכאן ניתן להוכיח מספר תכונות מעניינות באינדוקציה (ראו להלן).
מערכות מספרים אחרות.
מספרים שלמים.
בבנייה פורמלית של המספרים השלמים, מגדירים יחס שקילות על formula_6, כך ש-formula_7. תחת הגדרה זו, כל מספר שלם הוא מחלקת שקילות של זוג סדור כלשהו. מגדירים formula_8.
במילים אחרות, formula_9 כאשר formula_10 מספרים טבעיים.
מספרים רציונליים.
בבנייה פורמלית של המספרים הרציונליים, מגדירים יחס שקילות על formula_11, כך ש-formula_12. תחת הגדרה זו, כל מספר רציונלי הוא מחלקת שקילות של זוג סדור כלשהו. מגדירים formula_13.
במילים אחרות, חיבור מספרים רציונליים מוגדר בצורה הבאה:
מספרים ממשיים.
בבניית המספרים הממשיים, מגדירים יחס שקילות על קבוצת סדרות קושי של מספרים רציונליים, כך ש-formula_15. תחת הגדרה זו, כל מספר ממשי הוא מחלקת שקילות של סדרה כלשהי. מגדירים: formula_16.
מספרים מרוכבים.
חיבור של מספרים מרוכבים מוגדר בצורה הבאה:
עוצמות.
הסכום formula_18 כאשר formula_19 עוצמות מוגדר כך:
בוחרים קבוצות A, B זרות המקיימות formula_20, formula_21
העוצמה formula_22 מוגדרת כעוצמת האיחוד formula_23.
וקטורים.
חיבור של וקטורים הוא חיבור של הקואורדינטות שלהם. כדי לחבר את ההצגה הגאומטרית, משתמשים בכלל המקבילית המגדיר כי formula_24.
סוגריים.
כאשר יש לנו תרגיל עם סוגריים, כאשר מופיע הסימן + לפני הסוגריים, ניתן "לפתוח" את הסוגריים, או במילים אחרות להוריד או להעלים אותם. משום שפעולת החיבור לפני סוגריים לא תשנה את מה שיש בתוך הסוגריים ולא יהיה הבדל אם התרגיל יהיה גם ללא סוגריים, מה שמבדיל בין שאר הפעולות המתמטיות שכאשר הן נמצאות לפני סוגריים לא ניתן להעלים את הסוגריים ללא ביצוע פעולה מסוימת התלויה בסימן עצמו.
תכונות.
לחיבור כמה תכונות בסיסיות:
קישורים חיצוניים.
הוכחת תכונת החילופיות של חיבור
חיסור
באריתמטיקה, חיסור היא פעולה בינארית ההפוכה לחיבור. הפעולה במשמעותה הבסיסית מציינת הפחתה. את החיסור מסמנים בסימן "-". את הפעולה קוראים "מינוס" או "פחות". את המספר שממנו מחסרים מכנים "מחוסר". המספר שאותו מחסרים נקרא "מחסר", והתוצאה נקראת "הפרש". בתמונה משמאל, מודגם בעזרת תפוחים התרגיל formula_1: אם ניקח 5 תפוחים, ונמחוק 2 מהם, נישאר עם 3. בדוגמה זו, 5 הוא המחוסר, 2 הוא המחסר, ו 3 הוא ההפרש.
פעולת החיסור אינה קומוטטיבית או אסוציאטיבית. היא אינה סגורה ביחס לקבוצת המספרים הטבעיים, כיוון שחיסור של שני מספרים עשוי להניב מספר שלילי, אולם היא סגורה ביחס לקבוצת המספרים השלמים.
את החיסור מגדירים בדרך כלל כחיבור של המספר הנגדי. באופן כזה, ניתן להגדיר חיסור של מספרים ממשיים או מרוכבים, וכמו כן חיסור פונקציות, וקטורים ומטריצות, על פי המוסבר בערך חיבור.
מובנים של חיסור.
החיסור משמש בכמה מובנים:
חיסור במאונך.
שיטה פופולרית לחסר היא "חיסור במאונך". אופן השיטה הוא כזה: רושמים את המספרים אחד מעל השני (אחדות מעל אחדות וכו') עוברים מימין לשמאל, וכל פעם מחסרים את המספר שלמטה מהמספר שלמעלה. אם המספר שלמטה גדול יותר, מפחיתים מהספרה הבאה 1, ואת הספרה הנוכחית מעלים ב-10.
כפל
כֶּפֶל הוא פעולה בין מספרים, ובאופן כללי יותר פעולה בינארית על מבנים אלגבריים כלליים. כפל הוא אחד מארבע פעולות החשבון (יחד עם חיבור, חיסור, וחילוק). כמה מהתכונות הבסיסיות של כפל של מספרים משמשות מודל אקסיומטי למבנים אלגבריים מרכזיים, כמו חבורות או חוגים.
כפל של מספרים טבעיים הוא למעשה פעולת חיבור חוזרת: 4 כפול 3 הוא הסכום formula_1, ובאופן כללי "a כפול b" הוא a פעמים b, כלומר b ועוד b ועוד b וכן הלאה, a פעמים או הסכום של a קבוצות שגודל כל אחת מהן הוא b. במערכת פאנו המייצגת את המספרים הטבעיים, הכפל מוגדר באינדוקציה בעזרת פעולת החיבור: formula_2, ו- formula_3.
את פעולת הכפל של המספרים הטבעיים אפשר להכליל למערכות מספרים גדולות יותר: במספרים הרציונליים הכפל של השברים formula_4 ו- formula_5 הוא השבר formula_6. במספרים המרוכבים הכפל נובע מן הדיסטריבוטיביות ביחס לחיבור ומההנחה ש-formula_7 כי: formula_8.
השטח של מלבן מוגדר כמכפלת האורך שלו ברוחב או כמכפלת הרוחב שלו באורך - בשתי הדרכים נקבל אותה תוצאה. באותו אופן אפשר להגדיר למשל גם נפח של תיבה (מכפלת האורך, הרוחב והגובה).
המספרים שמוכפלים נקראים "גורמים" או "מספרים נכפלים". באלגברה, המספר המכפיל משתנה (למשל 3 ב-3"xy"2) נקרא מקדם. הפעולה ההפוכה לכפל היא החילוק: אומרים ש-"a לחלק ל-b הם c" אם b כפול c שווה ל-a.
במבנים אלגבריים שיש בהם פעולה אחת, כמו חבורה למחצה, מונואיד או חבורה, מקובל לקרוא לפעולה הבינארית "כפל" גם אם אין לה דבר עם פעולת הכפל של מספרים. בדומה לזה, במבנים שיש בהם שתי פעולות, כמו חוג או שדה, מקובל לקרוא לפעולות "חיבור" ו"כפל". כמעט כל המבנים האלה נוצרו כמודלים לטיפול בקבוצות מסוימות של מספרים, ולכן נשמר שמן המקורי של הפעולות.
סימון ומונחים.
את הכפל מסמנים בסימן "×" או בסימן "·" בין הגורמים המוכפלים. לדוגמה, formula_9 (במילים, "שתי פעמים 3 שווה ל-6", או "שתיים כפול שלוש שווה ל-6"). לפי כללי קדימות אופרטורים הכפל קודם לחיבור ולחיסור בסדר הפעולות: formula_10. הכפל הוא אסוציאטיבי, ולכן אין צורך להנחות באמצעות סוגריים בביטוי שיש בו כמה פעולות כפל: formula_11. באלגברה משמיטים לפעמים את סימן הכפל כליל, ורישום משתנים בסמיכות מייצג כפל שלהם (למשל XY שווה ל-X פעמים Y, ו-5X שווה לחמש פעמים X).
בשפות תכנות רבות מסומנת פעולת הכפל בכוכבית (כמו ב 2*5) מכיוון שהיא מופיעה בכל סוגי לוחות המקשים. החלה בכך שפת התכנות Fortran.
הסימון לכפל גורמים רבים.
כפל סדרתי של איברים מסומן בסימן הַמַּכְפֵּלָה, שהוא האות Π (פאי) גדולה באלפבית היווני: formula_12. הציון התחתי (במקרה זה, האות "i") מציין פרמטר, המופיע עם הגבול התחתי ("m"), ואילו הכתב העילי מציין את הגבול העליון ("n"). ערך הביטוי הוא המכפלה של הגורמים formula_13 עבור ערכי הפרמטר מן הגבול התחתון לעליון. לדוגמה, formula_14. במקרה ש-"m" = "n", התוצאה של המכפלה היא "x""m". אם "m" &gt; "n", זוהי מכפלה ריקה, ומוסכם שערכה 1.