לדוגמה, שיטת הסיכום של אבל (שפיתח נילס הנריק אבל) מוגדרת באופן הבא: formula_9, גם כאן בתנאי שהגבול קיים. כל טור מתכנס (במובן הרגיל) ניתן לסיכום גם לפי אבל, אבל יש גם טורים שאינם מתכנסים במובן הרגיל, שאפשר לסכם אותם בשיטת אבל. לדוגמה, השוויון formula_10 נכון לכל formula_11, והגבול כאשר x שואף ל-1 מלמטה גם הוא קיים, ושווה ל-formula_12, על ידי הצבת x=1 בפונקציה מימין. לפיכך, אפשר לומר שלפי אבל formula_13, אף על פי שהגבול אינו קיים במובן הרגיל. באופן הזה, שיטת הסיכום של אבל מגדירה פונקציונל formula_14, כאשר 'V הוא המרחב הווקטורי של כל הסדרות המתכנסות לפי אבל (המכיל את המרחב הווקטורי V של הסדרות המתכנסות במובן הרגיל, וגם סדרות נוספות כמו formula_15).
טור המספרים הטבעיים, formula_16, אינו מתכנס אפילו לפי אבל (כלומר, הסדרה formula_17 אינה שייכת למרחב 'V). כדי לסכם אותה בכל זאת, צריך להרחיב עוד יותר את מרחב הסדרות שאפשר לסכם. בהרחבה סתמית יש מעט מאוד תועלת, משום שפורמלית אפשר להתבונן במרחב הווקטורי formula_18, ולהגדיר את הסכום של formula_19 כרצוננו. כדי להגביל את טווח האפשרויות ולקבל שיטות סיכום משמעותיות יותר, מניחים שפעולות טבעיות מסוימות אינן משנות את הסכום. למשל, נגדיר את אופרטור המתיחה formula_20 לפי formula_21. קל להראות שהמתיחה שומרת על המרחב 'V של אבל, ואינה משנה את הסכום שם. יתרה מזו, אם נסמן formula_17, נגלה ש-formula_23. כעת, אם נניח שאפשר להרחיב את הסכום של אבל לשיטת סיכום formula_24 המוגדרת על מרחב formula_25 שמכיל את הסדרה formula_26 וסגור למתיחה, ונניח בנוסף שמתיחה אינה משנה את הסכום ב-formula_25, נקבל מיד ש-formula_28, כלומר, לפי שיטת הסיכום המוכללת הזו, formula_29.
חישוב בעזרת פונקציית זטא של רימן.
הטור formula_30 מתכנס לכל s מרוכב שהחלק הממשי שלו גדול מ-1. הטור מגדיר פונקציה אנליטית formula_31 שיש לה המשכה אנליטית לכל המישור המרוכב עם קוטב ב-1. באופן הזה formula_31 מוגדרת גם בנקודות בהן הטור formula_33 אינו מתכנס. פונקציה זו קרויה פונקציית זטא של רימן.
ההמשכה האנליטית מקיימת את זהות הסימטריה formula_34 כאשר formula_35 ו-formula_36 היא פונקציית גמא. מכיוון ש-formula_37 (ע"ע מספרי ברנולי), נובע מזהות הסימטריה שלכל n אי-זוגי מתקיים formula_38 כאשר formula_39 הוא מספר ברנולי ה-k. בפרט, formula_40. אם נציב n=1 נקבל formula_41.
על כן, אם נזהה פורמלית את הטור formula_33 עם פונקציית זטא של רימן, גם בנקודות בהן הטור אינו מתכנס, נקבל:
חישוב בעזרת סיכום רמנוג'אן.
ניתן לחשב טור זה בעזרת סיכום רמנוג'אן. הנוסחה היא
formula_44
אם נבחר formula_45, נקבל את הטור הרצוי. לכן, נקבל
formula_46
בעזרת הצבה formula_47, נקבל
formula_48
האינטגרל הזה שווה לformula_49,שהיא שווה ל-formula_50. לאחר הצבת הערך נקבל את הסכום הרצוי:
formula_51
סכום המספרים הטבעיים
עוגיה (אינטרנט)
דורון כהן (שחיין)
דורון כהן (נולד ב-18 ביולי 1953) הוא שחיין עבר ישראלי, אלוף ישראל בשחייה. בשנת 1969 הוא זכה בכל 4 משחי החופשי באליפות ישראל בשחייה, במשחה ל-100 מטר חופשי, ל-200 מטר חופשי, ל-400 מטר חופשי ול-1500 מטר חופשי.
ביוגרפיה.
כהן נולד וגדל בקיבוץ כפר הנשיא והתאמן בקבוצת הפועל כפר הנשיא ביחד עם שלומית ניר בהדרכת טרי פלוצקי.
באליפות ישראל שנערכה בבת גלים בחיפה בספטמבר 1968 זכה כהן ב-3 מדליות, כסף ו-2 ארד. מדליית כסף במשחה ל-200 מטר גב בתוצאה של 2:33.5 דקות, אחרי יואב יעקובי מהפועל תל אביב (2:28.0 דקות) ולפני דורון שפע ממכבי חיפה (2:33.5 דקות). מדליות ארד, במשחה ל-400 מטר חופשי בתוצאה של 4:35.5 דקות, אחרי אמנון קראוס מברית מכבים עתיד (4:31.7 דקות) ומשה גרטל מהפועל גוש זבולון (4:32.0 דקות) ובמשחה ל-1500 מטר חופשי בתוצאה של 18:39.8 דקות, אחרי משה גרטל שקבע שיא ישראלי חדש של 18:21.8 דקות ודני רבס מהפועל גוש זבולון (18:37.4 דקות).
באליפות ישראל לנוער שנערכה בגבעת חיים (איחוד) באוגוסט 1969 זכה כהן ב-4 מדליות זהב במשחה ל-100 מטר חופשי בתוצאה של 56.7 שניות, במשחה ל-200 מטר חופשי בתוצאה של 2:06.6 דקות, במשחה ל-100 מטר גב בתוצאה של 1:10.4 דקות ובמשחה ל-200 מטר מעורב אישי בתוצאה של 2:28.6 דקות.
אלוף ישראל.
באליפות ישראל בשחייה שנערכה בבת גלים באוקטובר 1969, זכה כהן ב-5 מדליות אישיות, 4 מדליות זהב בכל משחי החופשי ומדליית כסף אחת. מדליות זהב, במשחה ל-100 מטר חופשי בתוצאה של 58.6 שניות, לפני אברהם מלמד (59.2 שניות) וברוך צ'יש (59.2 שניות), במשחה ל-200 מטר חופשי בתוצאה של 2:08.9 דקות, לפני דן ברנר (2:10.1 דקות) ומשה גרטל (2:10.7 דקות), במשחה ל-400 מטר חופשי בתוצאה של 4:37.6 דקות, לפני דן שטרן (4:42.6 דקות) ודן ברנר (4:46.3 דקות) ובמשחה ל-1500 מטר חופשי בתוצאה של 18:51.0 דקות, לפני דן שטרן (19:17.5 דקות) ועמרי שוחטוביץ (19:18.0 דקות) ומדליית כסף, במשחה ל-200 מטר גב בתוצאה של 2:31.9 דקות, אחרי יואב יעקובי (2:25.5 דקות).
באליפות ישראל בשחייה שנערכה בבת גלים בחיפה באוקטובר 1970, זכה כהן ב-5 מדליות אישיות, זהב, 2 כסף ו-2 ארד. מדליית זהב במשחה ל-100 מטר חופשי בתוצאה של 58.6 שניות, לפני דן ברנר (59.3 שניות) ומשה גרטל (59.4 שניות), מדליות כסף, במשחה ל-100 מטר גב בתוצאה של 1:09.5 דקות, אחרי יואב יעקובי (1:08.2 דקות) ולפני מרדכי לוי מהפועל מעיין צבי (1:10.1 דקות) ובמשחה ל-200 מטר גב בתוצאה של 2:32.2 דקות, אחרי דן שטרן (2:29.6 דקות) ויואב יעקובי (2:30.6 דקות) ושתי מדליות ארד במשחה ל-200 מטר חופשי בתוצאה של 2:09.1 דקות, אחרי משה גרטל (2:07.8 דקות) ודן ברנר (2:08.2 דקות) ובמשחה ל-400 מטר חופשי בתוצאה של 4:43.0 דקות, אחרי משה גרטל (4:29.4 דקות) ודן ברנר (4:41.7 דקות).
באליפות ישראל בשחייה שנערכה בבת גלים בחיפה באוקטובר 1971, זכה כהן במדליית זהב במשחה ל-100 מטר חופשי בתוצאה של 58.3 שניות, לפני יואל סמואל (58.3 שניות) וחברו לקבוצה אמיר נמינוב (58.5 שניות) ומדליית כסף, במשחה ל-100 מטר גב בתוצאה של 1:09.5 דקות, אחרי יואב יעקובי (1:07.3 דקות) ולפני דב ניסמן (1:12.7 דקות).
הגשש החיוור במועדון הסנטר הכפול- שמחת זקנתי
כפיפת בטן
כפיפת בטן (ברבים: כפיפות בטן) היא תרגיל התעמלות פיזית נפוץ, המבוסס על הפעלת מסתו של פלג הגוף העליון על שריר הבטן כנגד כוח הכבידה.
כפיפות בטן מיועדות לחזק בעיקר את קבוצת שרירי הבטן הכוללים את: שריר הבטן הישר, שריר הבטן המלוכסן החיצוני, שריר הבטן המלוכסן הפנימי והשריר הרחב בטני.
תרגיל זה פופולרי היות שאפשר לבצע אותו בכל מקום וללא ציוד מיוחד. בארגונים המבוססים על משמעת (כגון בית סוהר או צבא) משמש התרגיל גם כצורת ענישה. עד לא מזמן התרגיל היווה חלק מהציון הכולל של הנבחנים בבוחן בר אור בצה"ל (ביחד עם ריצה ושכיבות סמיכה).
התרגיל מתבצע בצורה הבאה:
ישנם סוגים שונים של כפיפות בטן:
ישנם דרכים רבות ומגוונות למיקום הידיים בעת התרגיל:
בעוד כפיפת בטן היא תרגיל דינמי לשרירי הבטן, קיימים גם תרגילים סטטיים לאותה קבוצת שרירים, כגון פלאנק.
חשיבות ביצוע כפיפות בטן.
ביצוע נכון של כפיפת בטן מחזק את שרירי הבטן בגוף, משטיח את הבטן מבחינה אסתטית ומונע בעיות בריאותיות באזור. בנוסף, כדי לייצר יציבה נכונה עלינו לחזק את הבטן כך שתתמוך כראוי בעמוד השדרה המותני ותייצר מתח שרירי שימנע עומס יתר. העומס עלול להביא לגרימת נזק ומתבטא באי-נוחות, במתח שרירי ובהמשך בכאב ובמוגבלות. ביצוע כפיפות בטן בצורה לקויה עלול גם כן לגרום נזק לגוף שלנו ברצפת האגן ובגב התחתון. אין זה אומר שלא צריך בכלל לעשות כפיפות בטן, אך כן יש לעשות זאת בצורה נכונה ובמידה, ולהוסיף לחיזוק הבטן תרגילים רבים אשר מייצבים את הבטן בצורה איזומטרית.
כפיפות בטן
בפטיסטית
אייליה
אכיש
אָכִישׁ הוא דמות מקראית, מלך פלשתים בגת בימי המלכים שאול ודוד. דמותו מופיעה ב וב. השם אכיש מופיע גם בכתובת עקרון.
סיפור המעשה.
כאשר דוד ברח מפני שאול ביקש לו דוד מקלט בעירו גת. יועצי המלך מבשרים לאכיש כי דוד הגיע לגת. נראה שלפי דבריהם הכירו עבדי המלך את דוד על סמך השיר ששרו בישראל לאחר ניצחונו את גָּלְיָת: הִכָּה שָׁאוּל בַּאֲלָפָו, וְדָוִד בְּרִבְבֹתָו הדיו של השיר הגיעו עד גת. אזכורו של השיר מציב את מעמדו של דוד במקביל למעמדו של שאול המלך הנוכחי בעיני הפלשתים. השיר הושר בעקבות מפלתו של גָּלְיָת מבני העיר. דוד מבין שחייו בסכנה מדברי עבדי מלך גת. דוד חשב כי יוכל להיות בגת כאדם אנונימי אך כעת נודע דבר בואו והפלשתים יכולים לנקום את מותו של גָּלְיָת בן עירם. דוד מעמיד פני מטורף: וַיְשַׁנּוֹ אֶת-טַעְמוֹ בְּעֵינֵיהֶם, וַיִּתְהֹלֵל בְּיָדָם. בכך רצה להשיג כמה דברים: שאכיש לא יאמין שהאיש לפניו הוא גיבור הקרב עם גָּלְיָת ושאכיש יגרש אותו מהעיר. אכיש בא בתלונות לעבדיו על הימצאותו של דוד במחיצתו: חֲסַר מְשֻׁגָּעִים אָנִי כִּי הֲבֵאתֶם אֶת זֶה, לְהִשְׁתַּגֵּעַ עָלָי; הֲזֶה יָבוֹא אֶל-בֵּיתִי. מדרש ילקוט שמעוני מציג את טירופו של דוד בהקבלה לביתו של אכיש : .
הגירוש לא נאמר במפורש אך מן הכתוב ניתן להבין שדוד אכן גורש.
הקושי המוסרי ב.