עיקר תורתו של בעל הסולם סובבת על עניין האגואיזם והאלטרואיזם או "הרצון לקבל" ו"הרצון להשפיע". לדבריו, מטרתו של האדם בחייו היא להפוך את עצמו מאגואיסט לאלטרואיסט. תפיסה זו עולה בקנה אחד עם התפיסות הקומוניסטיות האלטרואיסטיות שלו. עם זאת, הוא הדגיש שהרצון לתת צריך להיות "לשם השם יתברך", ולא למטרה אנושית. לכן כתב בשנת 1933 שברית המועצות מתקשה לדאוג לרווחתם הכלכלית של אזרחיה ואף צפה את נפילתה.
חזונו לחברה העתידית כולל מציאות אלטרואיסטית התנדבותית, שתצמח מתוך תהליך חברתי כולל שייצור מבנה חברתי שיתופי על בסיס השפעה-לזולת.
השפעת החברה.
לרב אשלג תפיסה קיצונית אודות הבחירה החופשית. לדבריו, לאדם אין כלל בחירה חופשית מלבד בבחירת ההשפעה החברתית שאליה ייחשף.
עשה לך רב.
בלי רב מקובל בעל השגה רוחנית אי אפשר להתקדם לרוחניות:
צורה חדשה ללימוד הקבלה.
הרב אשלג ראה חשיבות רבה בהנגשת לימוד הקבלה לציבור ופעל לכך באמצעות כתיבת ספריו העיקריים: פירוש הסולם וספר תלמוד עשר הספירות.
הרב אשלג מסביר בהקדמתו לתלמוד עשר הספירות כי החשש העיקרי שראו חכמים בהפצת חוכמת הקבלה היה חשש ההגשמה, שבו עוברים על איסור של "לא תעשה לך פסל וכל תמונה". על כן האריך בביאוריו באופן השולל הגשמה של זמן ומקום בעניינים רוחניים.
במאמר "עת לעשות" הוא מתבטא בתקיפות על מצב הדור, ועל כך שאנשים לא הגונים חיבלו בחכמת הקבלה. הוא מוסיף ואומר שלא שינה ולא הוסיף על דברי האר"י כקוצו של יו"ד, אלא כל מטרתו לתת פנים חדשות לעבודת ה' ולתיקון ישראל וכלל האנושות.
ממשיכי דרכו.
הרב אשלג לא הורה על ממשיך רשמי שלו ולאחר פטירתו תלמידיו לא התיימרו לתפוס את מקומו אלא רק עסקו בהפצת חכמת הקבלה בקרב העם, כפי שביקשם.
בין תלמידיו וממשיכי דרכו בלימוד ובהפצת הקבלה:
חיבוריו.
שני חיבוריו העיקריים הם:
חיבורים נוספים:
מעוין
מעוין הוא מרובע שווה-צלעות. מעוין הוא מקרה פרטי של דלתון (דלתון קמור שווה-שוקיים) ושל מקבילית (מקבילית שוות שוקיים). ריבוע הוא מקרה פרטי של מעוין שבו הזוויות שוות.
בגאומטריה אנליטית ניתן להגדיר מעוין, שאלכסוניו p ו-q מונחים על הצירים, כמקום הגאומטרי של הנקודות ("x, y") שמקיימות:
פאון שכל פאותיו הן מעוינים נקרא "מעוינון".
האלכסונים.
את אורך האלכסונים "p = AC" ו- "q = BD" ניתן להציג לפי אורך הצלע ואחת הזוויות באמצעות הנוסחאות הבאות, שנובעות ממשפט הקוסינוסים:
שטח המעוין.
קיימות דרכים אחדות לחישוב שטח המעוין:
ריצוף המישור.
באמצעות מעוינים זהים ניתן ליצור ריצוף של המישור בשלוש דרכים:
תכונות דואליות.
המצולע הדואלי של המעוין הוא המלבן:
טרפז
טְרָפֶּז הוא מרובע אשר לו זוג צלעות נגדיות מקבילות. ההגדרה המרחיבה אינה מטילה כל תנאי על הצלעות האחרות (אם הן מקבילות זו לזו, הרי שהטרפז הוא מקבילית). במקורות רבים מוגדר הטרפז בצורה מצמצמת, כ"מרובע אשר לו זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות", ולפי הגדרה זו המקבילית אינה טרפז.
בטרפז שאינו מקבילית, שתי הצלעות המקבילות נקראות "בסיסי הטרפז" (לפעמים קרויה "בסיס" רק הצלע הארוכה יותר), ושתי האחרות "שוקי הטרפז". בטרפז כזה ניתן להמשיך את שוקי הטרפז עד שהן ייפגשו בנקודה, ובצורה זו נוצר משולש המכיל את הטרפז. זוג הזוויות הסמוכות לכל אחד מהבסיסים נקרא זוויות הבסיס.
קטע אמצעים בטרפז, הוא קטע אשר מחבר בין אמצעי שוקי הטרפז. קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסי הטרפז ואורכו הוא ממוצע האורכים שלהם.
מרובע הוא טרפז אם ורק אם יש לו שתי זוויות סמוכות שסכומן 180 מעלות.
אטימולוגיה.
מקור המונח "טרפז" במונח היווני τραπέζιον, טרפזיון, שמשמעותו "שולחן קטן". זוהי צורת ההקטנה של τράπεζα, טרפזה, שמשמעותו "שולחן". גם המילה "טרפזה" מורכבת משתי מילים: τετράς, טטרס (ארבע) ו-πέζα, פזה (רגל), כלומר "טרפזה" משמעו "בעל ארבע רגליים".
הגדרה מצמצמת לטרפז.
מקורות רבים העוסקים בגאומטריה (ובהם האנציקלופדיה העברית והאתר של משרד החינוך בישראל), מגדירים טרפז כ"מרובע שבו יש זוג יחיד של צלעות המקבילות זו לזו" (או, "מרובע אשר לו זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות").
הגדרה זו מוציאה את המקבילית ממשפחת הטרפזים ויוצרת חריגות:
עם זאת, אין הגדרה "נכונה" יותר. הגדרות אינן יכולות להיות נכונות או שגויות. הגדרה נבחנת רק לפי השאלה אם היא מוגדרת היטב.
שטח.
את שטח הטרפז ניתן לחשב כמכפלת המרחק בין שתי הצלעות המקבילות (זהו גובה הטרפז) והממוצע החשבוני של אורך הצלעות הללו. כך ניתן להגיע לנוסחה הידועה של שטח משולש, בחישוב המשולש כטרפז בו אחת הצלעות המקבילות מכווצת לנקודה בודדת (כלומר בעלת אורך 0).
נוסחאות לחישוב שטח טרפז כלשהו (a,b הם הבסיסים; c,d הן הצלעות):
או (a,b,c,d הן הצלעות):
האלכסונים יוצרים ארבעה משולשים: מכפלת שטח שני המשולשים הנוצרים עם הבסיסים שווה למכפלת שטח שני המשולשים הנוצרים עם השוקיים.
טרפזים מיוחדים.
טרפז נקרא שווה-שוקיים אם זוויות הבסיס שלו שוות. בטרפז שווה-שוקיים שתי השוקיים שוות באורכן ושני האלכסונים שווים. טרפז שבו שתי השוקיים שוות באורכן הוא טרפז שווה-שוקיים או מקבילית. כל טרפז החסום במעגל הוא שווה-שוקיים משום שסכום הזוויות הנגדיות בכל מרובע החסום במעגל שווה ל-180 מעלות.
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
אגרה (הודו)
אגרה (בהינדית: आगरा) היא עיר על הנהר יאמונה במדינת אוטר פרדש שבצפון הודו. אגרה מרוחקת כ-363 ק״מ מבירת המדינה לאקנאו, וכ-200 ק״מ מהבירה הפדרלית ניו דלהי. העיר היא אחת הערים המאוכלסות במדינת אוטר פרדש והעיר ה-23 בגודל אוכלוסייתה בהודו.
עיקר תפארתה היה בתקופה בה שימשה כבירת השליטים המוגולים (1526 עד 1658). בניינים מרהיבים רבים מאותה תקופה שרדו עד היום, ביניהם מצודת אגרה - עיר מוקפת חומה שבמתכונתה הנוכחית נבנתה על ידי אכבר (Akbar), אשר בתוך חומותיה נמצאים ארמונם של אכבר, ג'האנגיר ושאה ג'האן, מסגד הפנינה ומבנים רבים אחרים. המבנה הבולט והמוכר ביותר הוא הטאג' מאהל, שנבנה על ידי שאה ג'האן כמאוזוליאום בעבורו ובעבור אשתו.
היסטוריה.
למרות ההיסטוריה הארוכה של אגרה התקופה הידועה ביותר הייתה בזמן האימפריה המוגולית, אך אגרה הוקמה זמן רב לפני כן, ויש עדויות לכך כבר משנת 1,000 לפני הספירה. הסולטאן סיקנדר לודי, שליט הסולטנות של דלהי, ייסד את אגרה הנוכחית בשנת 1504. לאחר מותו הסולטנות עברה לשליטת בנו, איברהים לודי, והסולטאן החדש שלט על האימפריה שלו מאגרה עד נפילתו בקרב פאניפט הראשון ב-1526.
תור הזהב של אגרה החל בתקופת האימפריה המוגולית. באותה תקופה העיר נודעה בשמה אכברבאד ונשארה בירת האימפריה תחת השליטים אכבר, ג'האנגיר ושאה ג'האן. בשנת 1649 שאה ג'האן העתיק את בירתו לשאהג'האנבאד.
מאז התקופה בה אכברבאד הייתה אחת הערים החשובות ביותר בהודו תחת המוגולים, בעיר נבנו הרבה בניינים. באבור, מייסד השושלת המוגולית, יצר את הגן הפרסי הראשון על גדות נהר היאמונה. נכדו, אכבר, הזניק את בנייתה של המצודה האדומה והידועה של אגרה. נוסף על כך, אכבר הפך את אגרה למרכז לימודי, אמנותי, מסחרי ודתי. אכבר בנה גם עיר בירה נוספת במרחק 35 קילומטר מהעיר וקרא לה פטהפור סיקרי.
לבנו של אכבר, ג'האנגיר, הייתה חיבה גדולה לעולם הצומח והחי והוא יצר גנים רבים בשטחי המצודה הגדולה. בנו, שאה ג'האן, היה ידוע בעניין הרב שגילה באדריכלות, והוא שנתן לעיר את המונומנט המפורסם ביותר שלה, טאג' מאהל, כמאוזוליאום לאשתו המנוחה מומתאז מאהל (נבחרת הארמון). בניית המאוזוליאום הושלמה בשנת 1653.
במהלך שלטונו העביר שאה ג'האן את בירת האימפריה לדלהי, אך לאחר מכן בנו, אורנגזב, החזיר את בירתו לאכבראבאד, תפס את שלטון אביו ואסר אותו במצודה. אגרה נשארה בירת הודו תחת שלטון אוראנגזב עד שהעתיק את בירתו כאלף קילומטר דרומה לאורנגאבאד שברמת דקאן ב-1653. לאחר התפוררותה של האימפריה המוגולית, אכברבאד עברה לשלטון המרתים ונקראה אגרה, עד שנפלה לידי חברת הסחר הבריטית בשנת 1803.
ב-1835, כאשר הבריטים ייסדו את נשיאות אגרה, העיר הפכה למושבה של ממשלה, ושנתיים לאחר מכן הייתה העיר עדה לרעב המוני שנמשך כשנה-שנתיים. במהלך המרד ההודי הגדול ב-1857 חברת הסחר הבריטית בהודו הרגישה מאוימת, החדשות על ההתקוממות הגיעו לאגרה ב-11 במאי וב-30 במאי שני גדודים של חיל הרגלים התמרדו וצעדו לדלהי. למחרת קבוצות חיילים הודיים ילידי המקום אולצו להתפרק מנשקם, וב-15 ביוני העיר גבאלייאר, שנמצאת מדרום לאגרה, הצטרפה להתקוממות. ב-3 ביולי הבריטים נאלצו לסגת משם אל המצודה. יומיים לאחר מכן כוח בריטי קטן בסוצ'טה הובס ונאלץ לסגת גם הוא לאגרה, אולם המתקוממים המשיכו לדלהי ובכך אפשרו לבריטים להחזיר את הסדר על כנו חמישה ימים מאוחר יותר. דלהי נפלה לידי הבריטים בספטמבר, ובחודשים הבאים מורדים שנמלטו מדלהי, יחד עם מורדים ממרכז הודו, ניסו לעלות על אגרה אך הובסו. לאחר מכן שלטון הכתר הבריטי שלט בעיר עד למתן העצמאות להודו בשנת 1947.
שני האתרים המוכרים באגרה הם הטאג' מאהל ומצודת אגרה שהם אתרי מורשת עולמית לשימור של אונסק"ו.
תחבורה.
תחבורה אווירית.
שדה התעופה של אגרה ממוקם כ-12 ק״מ ממרכז העיר, אך משמש כבסיס לחיל האוויר ההודי בלבד, ולא לטיסות נוסעים.
מסילות ברזל.