כעת בהינתן נקע בחומר, אחת המסות חסרה. ללא הגבלת הכלליות ניתן להניח כי בור הפוטנציאל במיקום n=0 ריק, כך שהמסה 0 נתונה בבור formula_24 והמסה 1 נתונה בבור formula_25. מכאן שהכוח על מסה n הוא
formula_26
formula_27
בשיווי משקל הכוח השקול מתאפס כך שהפתרונות לשתי המשוואות הם
formula_28
formula_29
על ידי הצבת הפתרונות במשוואות הכוחות, וכן השוואת שני הפתרונות עבור המיקומים n=0,1 נקבל
formula_30
formula_31
formula_32
כאשר הכוח החיצוני המופעל גדול מספיק, מסה 0 הנתונה בשיווי משקל במיקום formula_24 תתגבר על בור הפוטנציאל ותנוע מעבר למיקום formula_34 כך שהנקע, כלומר בור הפוטנציאל הריק, ינוע בכיוון זה גם הוא.
כוח קריטי זה יחושב על ידי הפתרון עבור formula_35
formula_36
formula_37
הכוח המקסימלי הדרוש להזזת המסות ממקומן אל בור הפוטנציאל הסמוך הוא formula_38 בין אם קיימים נקעים או לאו. קיום הנקעים מוביל לפונקציית ה-formula_39 וכך מקטין את הכוח הדרוש לעיוות הגביש.
פיתוח זה מלמד על ההבדלים בין הכוח המדוד לבין זה התאורטי שהוצגו בסעיף 1.1.
אנרגיה של נקעים ותנאים היווצרם.
האנרגיה הפוטנציאלית הדרושה ליצירת נקעים.
כדי למצוא את האנרגיה הדרושה ליצירת נקע נתייחס לגביש תלת ממדי ובו נקע בורג שנקבע כראשית הצירים. וקטור קו הנקע מקביל לציר formula_40 ולכן סטיית המיקום גם היא בכיוון זה formula_41. נתייחס אל תורת האלסטיות הליניארית עבורה סטיית המיקום רציפה בכל המרחב מלבד בסביבת הנקע.
האנרגיה הפוטנציאלית היא אם כך
formula_42
a הוא קבוע בעל יחידת אורך שנבחר להיות אורך וקטור בורגרס של הנקע (שאורכו כקבוע הסריג) ו-μ קבוע לאמה. בשיווי משקל סטיית המיקום מקיימת את משוואת לפלס formula_43, ולכן הפתרון שיבחר הוא פונקציה אנליטית מרוכבת, בעלת אי רציפות בעת הקפה סביב מרכז הנקע. אי רציפות זו מייצגת את ווקטור בורגרס.
formula_44
פתרון זה מקיים קפיצה באורך וקטור בורגרס בעת הקפה סביב הראשית כדרוש. הצבה של פתרון זה בביטוי לאנרגיה הפוטנציאלית תניב
formula_45
האינטגרל מתבצע בין סביבת הנקע - מרחק וקטור בורגרס מהראשית - ובין גבול הגביש R. האיבר formula_46 מייצג את אנרגיית מרכז הנקע אשר לא ניתנת לחישוב באינטגרל מפאת התבדרות בראשית.
זו, אם כך, האנרגיה הדרושה לשם יצירת נקע בורג יחיד. בהינתן שני נקעים הממוקמים במרחק formula_47 זה מזה ובעלי ווקטורי בורגרס זהים בגודלם אך הפוכים בכיוונם הפתרון עבור סטיית המיקום יינתן כך
formula_48
והאנרגיה המתקבלת, על פי חישוב זהה לזה שנעשה עבור נקע יחיד:
formula_49
מתן אנרגיה, כמו הפעלת כוח או אנרגיית חום, מביא ליצירת נקעים בגביש בהתאם לביטויים הנ"ל.
טמפרטורה קריטית ליצירת נקעים.
ניתן לראות כי האנרגיה של נקע יחיד מתבדרת עבור גביש גדול מאוד formula_50, אך יחד עם זאת קיומם של נקעים מתאפשר מתוך שיקולי אנטרופיה והאנרגיה החופשית של המערכת.
בהנחה כי בריבוע באורך צלע formula_51 וקבוע סריג formula_25 יש formula_53 אתרים למיקום מרכז הנקע, האנטרופיה היא
formula_54
הצבה של האנטרופיה והאנרגיה של נקע יחיד בביטוי לאנרגיה החופשית של המערכת תניב
formula_55
בטמפרטורה הקריטית האנרגיה החופשית מתאפסת. מכאן שהטמפרטורה הקריטית היא
formula_56
בטמפרטורה הגבוהה מטמפרטורה זו ייווצר נקע, והסדר הגבישי יופר כצפוי. על כן כשחומר נחשף לטמפרטורה גבוהה ייווצרו בו נקעים רבים שיובילו לעיוות וכך גם למעבר פאזה.
שצמן
שצמן הוא שם משפחה יהודי-אשכנזי, ככל הנראה נגזרת מהשם ש"ץ או המורכבת מן המילים הגרמניות "שאץ" שפירושה "אוצר" ו"מאן" שפירושה "אדם, גבר" (איש האוצר?)
משפט פון נוימן-מורגנשטרן
משפט פון נוימן-מורגנשטרן בתורת ההחלטות הוא משפט האפיון של פונקציית התועלת, והוא קובע שאם לשחקן יחס ההעדפות שלם וטרנזיטיבי, ואם יחס ההעדפות מקיים ארבע אקסיומות מסוימות, אז ניתן לתאר את יחס ההעדפות של השחקן באמצעות פונקציית תועלת ליניארית. פונקציה פשוטה כזו נוחה מאוד בניתוח משחקים בעלי תוצאות לא ודאיות, מכיוון שהתועלת של כל הגרלה L תהיה שווה לתוחלת התועלת של התוצאות לפי L.
המודל.
מרחב הפעולה.
תחילה אנו מניחים שמקבל ההחלטות עומד בפני מצב עם מספר סופי של תוצאות אפשריות: formula_1.
כדי לנתח סיטואציות שבהן תוצאת המשחק אינה ודאית, כלומר היא הגרלה על קבוצת התוצאות, יש להרחיב את יחס ההעדפות של השחקן להתפלגויות על O. הגרלה formula_2 שבה כל תוצאה אפשרית formula_3 יכולה להתקבל בהסתברות formula_4 תסומן על ידי formula_5, וקבוצת ההגרלות על formula_6:
formula_7
כאשר השתמשנו בסימון של הסימפלקס ה-K ממדי: formula_8.
מתברר שכדי להוכיח את המשפט עלינו להרחיב את יחס ההעדפות של השחקן להגרלות על הגרלות. הגרלה מורכבת formula_9 שבה כל הגרלה formula_10 יכולה להתקבל בהסתברות formula_11 תסומן על ידי formula_12, וקבוצת ההגרלות המורכבות על formula_6:
formula_14
יחס ההעדפות ופונקציית התועלת.
כעת נגדיר את העדפותיו של השחקן. יחס העדפות formula_15 הוא יחס בינארי על formula_16 המייצג את העדפותיו של השחקן formula_17. תהיינה formula_18 שתי הגרלות מורכבות. במידה והשחקן formula_17 מעדיף את הגרלה formula_20 על פני הגרלה formula_21, נסמן formula_22. אם השחקן אדיש בין שתי ההגרלות, נסמן formula_23.
ברור שכדי לנתח משחק בצורה מתמטית עלינו לדרוש שיחס ההעדפות יהיה שלם, כלומר שהשחקן יכול להשוות בין כל שתי הגרלות מורכבות, ובנוסף יחס ההעדפות צריך להיות טרנזיטיבי, שהרי אם יחס ההעדפות אינו טרנזיטיבי אנו עלולים לקבל מצבים שיש בהם סתירה לוגית כמו למשל: "השחקן מעדיף במבה על פני בייגלה, ומעדיף בייגלה על פני ביסלי, אך הוא מעדיף ביסלי על פני במבה". יהי אם כן formula_15 יחס העדפות שלם וטרנזיטיבי על formula_16, המייצג את העדפותיו של השחקן formula_17.
נפנה להגדרת פונקציית התועלת. העתקה formula_27 נקראת פונקציית תועלת המייצגת את יחס ההעדפות formula_28 אם לכל הגרלה מורכבת formula_29 מתקיים:
formula_30
יש לשים לב שלפי הגדרה זו ניתן לייצג יחס העדפות על ידי פונקציות שונות ורבות. למעשה, u היא פונקציית תועלת אורדינלית, כלומר מייצגת רק את סדר ההעדפות על התוצאות ואין בה שום חשיבות למידת ההעדפה של תוצאה כזו או אחרת. פונקציית תועלת formula_27 נקראת ליניארית אם לכל הגרלה formula_32 מתקיים:
formula_33
כלומר ה"ליניאריות" היא בהסתברויות על ההגרלות הפשוטות.
ארבע האקסיומות של פון נוימן ומורגנשטרן.
הנחות יסוד:
הגרלה formula_35, הגרלה בה נקבל תוצאה formula_36 בהסתברות formula_37. נסמן: formula_38.
כאשר נגדיר הגרלה מורכבת באופן הבא:
formula_39 היא הגרלה שבה:
formula_40 מתקיים ש formula_41 הגרלה, formula_42
תחת ההנחות הללו, ארבע האקסיומות בתועלת פון ניומן-מורגנשטרן הן רציפות, מונוטוניות, פישוט והצבה.
רציפות.
עבור שחקן formula_43 מתקיים :
לכל שלושה פרסים formula_44 קיים formula_45 כך ש:
formula_46
כלומר,עבור יחס ההעדפות שלעיל לגבי שלושה פרסים formula_47 ,קיים מספר formula_45 עבורו ניתן ליצור הגרלה חדשה בה השחקן יזכה בפרס formula_49 בסיכוי formula_50 ובפרס formula_51 בסיכוי formula_52, והשחקן יוותר אדיש בין הגרלה זו לבין זכייה בפרס formula_53.
מונוטוניות.
יהיו formula_54 ונניח כי formula_55 אזי:
formula_56 אם ורק אם formula_57
כלומר,אם שחקן מעדיף את פרס formula_51 על פני פרס formula_53, אזי הוא יעדיף כל הגרלה הנותנת לו את פרס formula_51 בסיכוי
formula_61, על פני הגרלה הנותנת לו את formula_51 בסיכוי נמוך יותר.
אקסיומת הפישוט.
לכל formula_63 תהי formula_64 ההגרלה הפשוטה:
formula_65
ותהי ההגרלה המורכבת:
formula_66
לכל formula_67
נגדיר:
formula_68
(כלומר,בהסתברות formula_69 נזכה בתוצאה formula_64, ואז בסיכוי formula_71 נזכה בפרס formula_72. כאשר נסכום לכל formula_73 נקבל את ההסתברות ל formula_72 ) כך נוצרת ההגרלה הפשוטה:
formula_75
אזי:
formula_76
כלומר, בהינתן הגרלה המגדירה את ההסתברויות לזכות באוסף פרסים, כל הגרלה שתגדיר את אותן הסתברויות, גם אם היא בעלת יותר או פחות שלבים מההגרלה המקורית, שקולה להגרלה המקורית מבחינת יחס ההעדפות של השחקן.
הצבה.
תהי
formula_66 הגרלה מורכבת ו formula_78 הגרלה פשוטה.
אם formula_79 אזי:
formula_80
האקסיומה דורשת כי אם בתוך הגרלה מורכבת נחליף הגרלה פשוטה בהגרלה השקולה לה, אזי השחקן יישאר אדיש בין ההגרלה המורכבת הראשונית לבין זו שבה החליפו את ההגרלות הפשוטות.
משפט פון נוימן-מורגנשטרן.
אם יחס ההעדפות formula_15 על formula_82 של שחקן formula_17 הוא שלם וטרנזיטיבי ומקיים את ארבע האקסיומות של פון נוימן ומורגנשטרן, אזי יחס ההעדפות ניתן לייצוג על ידי פונקציית תועלת ליניארית.
הוכחה.
טענת עזר. אם יחס ההעדפות של שחקן מקיים את אקסיומות הרציפות והמונוטוניות, ואם formula_84 ו- formula_85, אזי הגודל formula_86 המוגדר באקסיומת הרציפות יחיד.
הוכחת המשפט. יהי formula_15 יחס העדפות המקיים את תנאי המשפט. נטפל במקרה שבו formula_97.
שלב ראשון:
הגדרת פונקציה formula_98 על קבוצת ההגרלות.
לפי טענת עזר, לכל formula_99 קיים מספר ממשי יחיד formula_91 המקיים:
formula_101
כעת נגדיר פונקציה formula_98 על קבוצת ההגרלות המורכבות formula_16. תהי נתונה הגרלה מורכבת formula_104, שבה formula_105, ו-formula_106 הן הגרלות פשוטות הנתונות על ידי formula_107.
לכל formula_90 נגדיר:
formula_109