בגאוגרפיה, גבול הוא קו המפריד בין ישויות גאוגרפיות השונות זו מזו. אספקט גאוגרפי של אזור, יוצר גבול גאוגרפי, או גבול טבעי. לדוגמה גבול ימי, גבול אקלימי וגבול טופוגרפי קרוי גבול טבעי. משתמשים במונח "גבול מדיני" כדי לסמן הפרדה בין מדינות, אך גם לציין "גבול עירוני" להפרדה בין ערים באותה מדינה, גבול מחוזי להפרדה בין מחוזות שלטון מחוזות וגבול אף קיים בין חצרות בתים. להצגת קו הגבול משמשת גם מפה. גבול המפריד בין מדינות נקרא לעיתים גבול בינלאומי.
גבול מדיני.
כאשר גבול מוסדר בין מדינות כתוצאה מהסכם שלום הוא נקרא גבול מוסכם. שינויי גבול יכולים להיקבע על ידי התיישבות מדינית בשטח שאין עליו ריבונות של מדינה כלשהי, מה שמעביר שטח זה לריבונותה של המדינה המיישבת. נוסף על כך, שינויי גבול יכולים להיווצר על ידי קניית שטחים או כיבושם ממדינה אחרת; מה שמביא ליצירת הסכם גבולות חדש. הגבול המדיני קובע את תחום הריבונות של המדינה ואת תחום השיפוט שלה. אין מדינה רשאית לשנות את גבולה עם מדינה אחרת אלא בצורת הסכם משפטי מסודר.
סכסוכי גבול.
לעיתים מיקומו המדויק של קו הגבול שנוי במחלוקת. במקרים קיצוניים גורמת מחלוקת זו לעימות מזוין ולעיתים ארוך-טווח. סכסוך הגבולות בין בוליביה ופרגוואי על השליטה באזור הצ'אקו התפתח בשנת 1932 למלחמת הצ'אקו. במלחמה שפרצה בשנת 1998 בין אתיופיה לאריתריאה בעקבות סכסוך גבול ביניהן נהרגו אלפי חיילים משני הצדדים. כיום מצויים כ-80 סכסוכי גבול בפועל אך רק לעיתים רחוקות הם מתפתחים לעימות צבאי אלים.
אמצעים דיפלומטיים לקביעת הגבול.
גבול מדיני נקבע בהסכם שלום בין שתי המדינות, או בהסכמים נחותים ממנו, שבהם נקבע הגבול למעשה, כגון הסכם שביתת נשק או הפסקת אש. הגבולות הנוכחיים של ישראל עם מצרים וירדן נקבעו בהסכמי השלום עם מדינות אלה, ואילו בתום מלחמת העצמאות נקבעו גבולות אלה בהסכמי שביתת הנשק. עד לחתימת הסכמי שביתת הנשק היה הגבול קו הפסקת האש. בחוזה ורסאי שנחתם לאחר מלחמת העולם הראשונה נקבעו גבולותיה של גרמניה.
פעמים אחרות נכפה הגבול בהחלטה של חבר הלאומים או של האו"ם. בדרך זו נקבע בשנת 1921 קו הגבול בין יוגוסלביה לאלבניה, לשם סיום סכסוכי הגבול בין שתי מדינות אלה.
טופוגרפיה של הגבול.
גבול טבעי הוא גבול של אזור בעל מאפיינים פיזיים (טבעיים) ללא התערבות האדם. לעיתים משתמשים באלמנט גאוגרפי פיזי, כמו נהר או שרשרת הרים כדי לסמן בהם קו גבול. לדוגמה, הגבול בין ישראל לירדן, עובר בחלקו לאורך נהר הירדן. הנהר אורוגוואי משמש בחלקו העליון גבול בין ארגנטינה לברזיל ומורד הנהר משמש גבול בין ארגנטינה לאורוגוואי. נהר סנט לורנס משמש בחלקו גבול בין ארצות הברית לקנדה ואילו נהר הריו גרנדה משמש כגבול בין מקסיקו לארצות הברית. רכס הרי הפירינאים משמש גבול בין צרפת לספרד, ורכס ראש הנקרה משמש כחלק מגבול ישראל - לבנון.
פעמים אחרות נקבע הכל גבול מדיני נקבע על ידי אדם. לעיתים נקבע קו גבול לאורך מעלות אורך או רוחב גאוגרפי - גבול מצרים לוב נמשך בעיקרו לאורך קו האורך 25 מזרח וגבולה עם סודאן עובר לאורך קו הרוחב 22 צפון. לעיתים נקבע קו הגבול כקו ישר בין שתי נקודות. חלק ניכר מקו הגבול בין ישראל למצרים, למשל, עובר באזור שאין בו עצמים גאוגרפיים בולטים, ולכן נמתח הגבול בעיקרו בקו ישר שעובר בין חוף הים התיכון בסמוך לרפיח לחוף מפרץ אילת בסמוך לטאבה. גבול קנדה-ארצות הברית, אשר נקבע באמצע המאה ה-19, נמשך בחלקו בקו ישר לאורך קו הרוחב ה-49, ללא התחשבות בתוואים טופוגרפיים כלשהם.
במקרים קיצוניים עובר קו הגבול בתוך עיר, תוך שהוא מפריד בין יושביה. דוגמה מפורסמת לכך הוא הגבול בין מזרח גרמניה ומערב גרמניה, שעבר בין שני חלקי ברלין מסיום מלחמת העולם השנייה (1945) ועד איחוד גרמניה (1990), שלשם מניעת חצייתו הוקמה חומת ברלין. כך גם הגבול החוצה, דרך העיר ניקוסיה, בין קפריסין לבין קפריסין הצפונית, הטורקית. דוגמאות ישראליות הן רפיח (משנת 1982, עת השלימה ישראל את נסיגתה מחצי האי סיני, עד הנסיגה מרצועת עזה ב-2005), ירושלים (מחתימת הסכם שביתת הנשק עם ירדן ב-1949 ועד איחוד העיר וסיפוחה למדינת ישראל ב-1967), וע'ג'ר (משנת 2000, עם סיום השהות ברצועת הביטחון וההתבססות לאורך הקו הכחול).
גבול שטח השיפוט.
גבול שטח השיפוט קובע את תחומה של רשות מקומית: עיר, מועצה מקומית וכו'. לגבול זה יש חשיבות בכל הנוגע לתחומי אחריותה של הרשות המקומית: תכנון עירוני, היתריי בניה, אספקת מים, ניקיון, תחזוקת כבישים וכו'.
סדרה (מתמטיקה)
במתמטיקה, סדרה היא קבוצה סדורה של עצמים, הנקראים איברי הסדרה. בסדרה, כל איבר נקבע בצורה יחידה על פי מיקומו בסדרה, כך שאיברים במקומות שונים יכולים להיות שווים זה לזה. סדרה יכולה להיות סופית, או אינסופית. סדרה סופית קרויה גם וקטור, או רשימה סדורה.
מקובל לסמן את אברי הסדרה בסימון formula_1 ובקיצור formula_2, או formula_3 וכדומה. בסימון formula_4, האות formula_5 היא סימן המציין את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו-formula_6 הוא אינדקס, המציין את מספרו הסידורי של האיבר בסדרה. למשל, בסדרה של המספרים הטבעיים formula_7 מתקיים formula_8.
פורמלית, ניתן להגדיר סדרה אינסופית בתור פונקציה מקבוצת המספרים הטבעיים לקבוצת ערכי הסדרה. בצורה זו, לכל מספר טבעי מותאם ערך כלשהו (ניתן להתאים את אותו ערך יותר מפעם אחת). האינדקסים של סדרה הם מספרים טבעיים, אולם ניתן להכליל ולהגדיר סדרות עם אינדקסים סודרים.
סדרות באנליזה מתמטית.
סדרות הן מרכיב יסודי בשפה של האנליזה המתמטית. מושג ההתכנסות של סדרה, המתאר את ההתנהגות של אבריה כאשר האינדקס גדל לאינסוף, מאפשר לתאר מושגים חשובים אחרים, כגון רציפות של פונקציות או תכונות של המרחב שממנו מגיעים אברי הסדרה. אומרים על סדרה שהיא מתכנסת אם ורק אם קיים לה גבול. סדרה שאיבריה שייכים למרחב מטרי (כגון הישר הממשי) היא סדרה חסומה אם קיים מספר ממשי formula_9 כך שמרחקם של אברי הסדרה מנקודה formula_10 אינו עולה על formula_9. הסדרה היא סדרת קושי אם המרחק בין שני איברים שואף לאפס כאשר שני האינדקסים שואפים לאינסוף.
סדרה שאבריה הם מספרים ממשיים נקראת סדרה ממשית. על סדרות כאלה אפשר להחיל את מושג המונוטוניות: סדרה היא עולה ממש אם לכל אינדקס formula_6 מתקיים formula_13, ועולה (או "לא יורדת") אם מתקיים formula_14. באותו אופן אומרים שהסדרה יורדת ממש אם מתקיים formula_15 ושהיא יורדת (או "לא עולה") אם מתקיים formula_16. בשני המקרים הללו אומרים שהסדרה מונוטונית. סדרה שהיא גם עולה וגם יורדת מוכרחה להיות סדרה קבועה, כלומר סדרה שכל איבריה זהים. לא כל סדרה היא מונוטונית, אבל לכל סדרה קיימת תת-סדרה מונוטונית.
סדרת הסכומים החלקיים של סדרה נתונה נקראת טור.
תת-סדרה.
תת-סדרה היא סדרה המכילה, לפי הסדר, איברים השייכים לסדרה אחרת. בצורה פורמלית, אם formula_17 היא סדרה, וקיימת סדרה עולה ממש formula_18 שאבריה הם קבוצה חלקית לקבוצת הסודרים של הסדרה המקורית, אז formula_19 היא תת-סדרה של formula_17 לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה ממשית חסומה יש תת-סדרה מתכנסת. מנקודת מבט טופולוגית, אפשר לתרגם זאת לטענה שכל תת-קבוצה סגורה וחסומה בישר הממשי היא קומפקטית סדרתית.
סדרות מיוחדות.
יש סדרות שאפשר לתאר בקלות את האיבר הכללי שלהן. סדרה חשבונית היא סדרה שבה formula_21, כאשר formula_22 קבועים; סדרה כזו מאופיינת בהפרש formula_23 קבוע. סדרה הנדסית היא סדרה שבה formula_24, כאשר formula_25 קבועים; סדרה כזו מאופיינת במנה formula_26 קבועה.
סדרה פולינומית היא סדרה שבה האיבר הכללי מתואר על ידי פולינום, formula_27. המעבר מסדרה formula_1 לסדרת ההפרשים formula_29, שבה האיברים הם הפרשי האיברים העוקבים בסדרה המקורית, מוריד את מעלת הפולינום. לכן, כאשר נתונים איברים מסדרה פולינומית, ודרגת הפולינום ידועה, אפשר למצוא את הפולינום על ידי המעבר לסדרת ההפרשים, סדרת הפרשי ההפרשים וכו'.
דוגמה: מצא את האיבר הכללי של הסדרה הבאה: formula_30.
פתרון: נתבונן בסדרת ההפרשים, שהיא: formula_31. זוהי סדרה חשבונית, שאיברה הראשון (formula_32) הוא formula_33, והפרשה (formula_34) הוא formula_35. סכומה של סדרה כזו הוא formula_36.
לכן
formula_37.
האיבר הראשון בסדרה המקורית הוא formula_38, ולכן formula_39.
סדרות כמרחב וקטורי.
אוסף הסדרות מעל שדה נתון (כלומר, הסדרות שאיבריהן הן איברים בשדה) מהוות מרחב וקטורי מעל formula_40, כאשר פעולת החיבור מוגדרת formula_41 ופעולת הכפל בסקלר מוגדרת formula_42.
הגאון מוילנא
הגאון מווילנה
רבי אליהו בן שלמה זלמן (ט"ו בניסן ה'ת"ף, 23 באפריל 1720 – י"ט בתשרי ה'תקנ"ח, 9 באוקטובר 1797), שנודע בכינויים: הגאון מווילנה (ביידיש: דער וילנער גאון), הגאון החסיד ואף בפשטות - הגאון, או בראשי תיבות: הַגְּרָ"א (הגאון רבנו אליהו), היה פוסק, מקובל ואיש אשכולות, שבלט במעמדו החריג בתקופת האחרונים כסמכות רבנית עליונה. הגר"א היה גדול במקרא, בתלמוד ובקבלה, פוסק מקורי ומרכזי, ובקיא במדעים. אגדות רבות נכרכו בשמו. הוא היה ידוע בהתמדתו הבלתי רגילה.
הגר"א סירב לשמש במשרת רבנות בווילנה או בכל מקום אחר, כנראה בשל רצונו להימנע מכבוד, פרסום ושררה על הציבור. הוא היה מהמנהיגים האידאולוגיים של ההתנגדות לחסידות במזרח אירופה.
תולדותיו.
נולד לטריינה ולרב שלמה זלמן, בכפר סלץ שליד בריסק שבליטא (שהייתה אז חלק מהאיחוד הפולני-ליטאי), בט"ו בניסן ה'ת"פ, 23 באפריל 1720.