כאשר אנו מטילים מטבע, קל לומר באופן אינטואיטיבי שההסתברות שהוא ייפול על "עץ" היא 50%. בקביעה זו חסרה עדיין הגדרה פורמלית של המושג הסתברות. כאשר אנו מטילים מטבע 10 פעמים, נוכל לצפות שב-5 מקרים יֵצא "עץ" וב-5 מקרים יֵצא "פלי", אך ברור שאין כל ודאות בכך - ייתכן שבכל 10 ההטלות התוצאה תצא "עץ". מהי, אם כן, המשמעות של "הסתברות של 50%" בהקשר זה? התשובה של תורת ההסתברות לשאלה זו היא שההסתברות משקפת את השכיחות היחסית במספר גדל והולך של ניסיונות.
שאלות של הסתברות עולות בהקשרים שונים:
בניתוחן של שאלות העוסקות בהסתברות עוסקת תורת ההסתברות.
מידת הסתברות.
בלשון הדיבור, מידת ההסתברות של מאורע היא הסיכוי שהמאורע יתרחש. באופן פורמלי, מרחב הסתברות הוא שלשה formula_1 המורכבת מ
הגדרה מדויקת של מושגים אלו מתקבלת על ידי ניסוח מסודר של אקסיומות ההסתברות.&lt;BR&gt;
דוגמה: אם המטבע שקול (אינו מזויף, כלומר עגול לחלוטין, בעל גובה אחיד בדיוק וצפיפות המסה שלו שווה בכל חלקיו), ומוטל באופן שאין דרך לדעת מראש אם תוצאת הטלתו תהיה "עץ" או "פלי", ההנחה המקובלת היא שקיימת הסתברות שווה לכל אחת משתי התוצאות האפשריות (התוצאה שהמטבע ייפול ויעמוד על קצהו אינה מובאת בחשבון). ניתן לנבא כי במספר גדול של הטלות, מחציתן (בקירוב) יקבלו את הערך "עץ" ומחציתן (בקירוב) - את הערך "פלי". ככל שיגדל מספר ההטלות, כן תשאף התפלגותן ליחס 50:50.
במהלך המאה ה-17, ובמהלך השנים בכלל, נערכו ניסויים רבים ובהם בדקו את ההסתברות בהטלת מטבע. במהלך הניסויים הטילו מטבע מאות אלפי פעמים, ונוכחו לגלות שבכל פעם התפלגות התוצאות הייתה קרובה ליחס 50:50 ובדרך כלל, ככל שגדל מספר הניסויים - כן התקרבו התוצאות ליחס זה. בעקבות ניסויים אלה התפתחה תורת ההסתברות.
בהתאם להגדרה זו של הסתברות, כאשר למרחב המדגם עוצמה אינסופית, ייתכן מאורע אפשרי שהוא בעל הסתברות 0 (למשל: ההסתברות שבבחירה אקראית של מספר בקטע [0,1] של הממשיים יתקבל מספר רציונלי). באופן דומה ייתכן שלא יתרחש מאורע בעל הסתברות 1 (למשל: ההסתברות שבבחירה אקראית של מספר בקטע [0,1] של הממשיים יתקבל מספר אי רציונלי). כאשר מרחב המדגם סופי, הסתברות 0 פירושה מאורע בלתי אפשרי, והסתברות 1 פירושה מאורע ודאי.
יחס הסתברויות.
דרך נוספת לבטא את הסבירות שמאורע מסוים יתרחש, הנפוצה בעיקר בהקשרי הימורים, היא בשימוש ביחסי הסתברויות. באופן אינטואיטיבי, יחס הסתברויות (לפעמים נקרא גם כן סיכוי; באנגלית: odds) הוא הערכה למספר הפעמים שהמאורע צפוי להתרחש לעומת מספר הפעמים שהאירוע צפוי שלא להתרחש. לדוגמה, במרוץ סוסים, מנהל ההימור מעריך את הסיכוי שאחד הסוסים ינצח. אם, למשל, הוא צריך שאם המירוץ יתרחש מספר רב של פעמים, הסוס ינצח פעמיים על כל 3 פעמים שהוא יפסיד, אומרים שיחס הסיכוי שלו לנצח הוא 2:3 (במילים: שתיים לשלוש). לעיתים, מתייחסים ליחס כאל שבר: בדוגמה לעיל, יחס ההסתברויות יכול להיות מוצג כ- (על אף שההסתברות במקרה כזה היא 2/5).
באופן כללי, אם נתונה ההסתברות p להתרחשותו של מאורע כלשהו, ונניח כי p&lt;1 ממש, אז יחס ההסתברויות o לאותו מאורע מתקבל בנוסחה:
ובכיוון ההפוך:
מהגדרה זו נובע שיחס ההסתברויות הוא פונקציה: ממרחב המדגם לקטע formula_7. להלן מספר דוגמאות:
אם p קטן מאוד, ההסתברות ויחס ההסתברויות שואפים לאותו מספר (formula_8). למשל, אם p=, אז o= (הבדל של אחוז אחד), ואם p=, אז o= (ההבדל של 0.1 אחוז).
שימושים.
אם מנסים להעריך את ההסתברות הפוסטריורית למאורע לאחר ביצוע מבחן (כלומר, ההסתברות למאורע A בהינתן שתוצאת המבחן הייתה T), חוק בייס מאפשר לחשב את יחס ההסתברויות הפוסטריורי באמצעות יחס הנראות:
הרקליטוס
הֵרַקְלֵיטוֹס מאפסוס (ביוונית עתיקה: Ἡράκλειτος ὁ Ἐφέσιος) היה פילוסוף יווני קדם-סוקרטי, יליד אפסוס שבאסיה הקטנה, שפעל בסביבות סוף המאה ה-6 לפנה"ס ותחילת המאה ה-5 לפנה"ס. סגנונו המעורפל זיכה אותו בכינויים כמו "האפל" ו"איש החידות". ככל הנראה, היה בשיא פעילותו בסביבות 500 לפנה"ס.
הפילוסופיה של הרקליטוס מדגישה את השינוי כאלמנט מרכזי של המציאות, ואת האחדות הקיימת בין הניגודים. הוא נוטה לבקר את הפילוסופים שקדמו לו, בהם פיתגורס וקסנופנס, וכן את הומרוס והסיודוס. לא ברור אם הוא עצמו עסק בכתיבה פילוסופית או שאמרותיו לוקטו לקובץ לאחר מותו, אך מקובל להניח כי היה קיים חיבור פרי עטו. סגנונו של הרקליטוס, הכולל פרגמנטים קצרים העומדים כל אחד בפני עצמו, משקף במידה רבה את אופן הכרת המציאות שלו, שמבכרת תפיסה אינטואיטיבית על פני היקשים לוגיים. בדומה לכך, הפרדוקסליות של חלק ממשפטיו, כמו גם חוסר העקביות בינם לבין עצמם, עולות בקנה אחד עם הדינמיות המרכזית לתורתו.
חייו.
אין ידיעות מדויקות בנוגע לחייו של הרקליטוס. הביוגרף היווני דיוגנס לארטיוס מקדיש לו כרך ביצירתו "חייהם ודעותיהם של פילוסופים מפורסמים", אך מידת הדיוק של מקור זה מוטלת בספק. לפי דיוגנס, שם אביו של הרקליטוס היה בלוסון (Blosôn) או הראקון (Herakôn). הוא פרח בתקופת האולימפיאדה ה-69, כלומר בין 504 ל-500 לפנה"ס. אפלטון סבור כי הוא פעל אחרי פרמנידס, אך סביר יותר להניח כי הוא חי וכתב לפניו: בעוד שאצל הרקליטוס לא מופיע שמו של פרמנידס, בניגוד לפילוסופים אחרים אותם ביקר, באחד מכתביו של פרמנידס ניתן להבחין בהשפעתו הפילוסופית של הרקליטוס. דיוגנס מצטט את טימון מפליוס, שכינה את הרקליטוס "איש החידות". כינויו הנוסף, "האפל", מופיע אצל סטראבון.
ככל הנראה, הרקליטוס היה צאצא של משפחה מלכותית בעיר: דיוגנס מייחס לאנטיסתנס את הסיפור לפיו הרקליטוס ויתר על תאריו וזכויותיו - שהיו טקסיים בעיקרם - לטובת אחיו. עוד מסופר כי הרקליטוס יצא נגד אנשי אפסוס עירו, לאחר שאלה גירשו מהעיר את ידידו הרמודורוס, וטען כי מוטב ש"יביאו קץ לחייהם, כל הגברים הבוגרים שביניהם, וישאירו את העיר לילדים חסרי זקן". אנשי העיר ביקשו ממנו כי יחוקק עבורם חוקים, אך הוא לעג להם ועבר להתגורר במקדש של ארטמיס. לקראת סוף ימיו הוא התרחק מחברת בני האדם, ושוטט בהרים כשהוא ניזון מעשבים וצמחים שונים.
דיוגנס כותב כי הרקליטוס לא היה תלמידו של איש, ולמסקנותיו הפילוסופיות הוא הגיע דרך התבוננות עצמית, אך מוסיף כי יש הטוענים שהוא היה תלמידו של קסנופנס. לפי דיוגנס, הרקליטוס כתב ספר אחד בשם "על הטבע", שהיה מחולק לשלושה חלקים: חלק אחד הוקדש לעולם הטבע, חלק שני לפוליטיקה, וחלק שלישי לתאולוגיה. את הספר הפקיד הרקליטוס במקדש של ארטמיס.
סגנון.
מהפרגמנטים ששרדו עד תקופתנו ניכר כי הרקליטוס הרבה להשתמש באמצעים פואטיים, כגון לשון נופל על לשון. הוא לא כתב בפרוזה אלא התמקד באפוריזמים, משפטים ואמרות כנף העומדים כל אחד בזכות עצמו, תוך שימוש בסמלים ובחשיבה ציורית. סגנון הכתיבה שלו מעורפל, ולפיכך נתון לפרשנות. דיוגנס טוען כי הרקליטוס כתב בסגנון זה כדי להרחיק את ההדיוטות ולהבטיח שרק אנשים נבונים יוכלו להבינו, ומוסיף כי לפי תאופרסטוס, הרקליטוס לא השלים חלק גדול מכתיבתו בשל המלנכוליה שתקפה אותו.
סגנון כתיבתו של הרקליטוס נדון רבות בספרות המחקר. יש הטוענים שרעיונותיו היו מתקדמים ביחס לשפה ולמושגים שעמדו לרשותו, וכי באמצו סגנון כתיבה פואטי הוא ביקש להתגבר על כך. בנוסף, קיימת טענה לפיה כתיבתו של הרקליטוס, שמאלצת את הקורא להתאמץ כדי להבין, מאפשרת לו להגיע למשמעויות עמוקות יותר (ובכך היא מהווה מקבילה אפיסטמולוגית למורכבות האונטולוגית של הקוסמוס).
תורה פילוסופית.
בדומה לרוב הפילוסופים, את תורתו של הרקליטוס יש להבין על רקע הפילוסופיה של קודמיו. חברי האסכולה המילטית - תאלס, אנכסימנדרוס ואנאקסימנס - חיפשו את האחדות שמסתתרת מאחורי ריבוי התופעות בעולם, את היסוד האחד שממנו מורכבים כל הדברים (מים אצל תאלס, אוויר אצל אנאקסימנס). תפיסה פילוסופית זו מבטלת, למעשה, את ריבוי הדברים בעולם, ורואה אותו כתופעה בלבד. הרקליטוס יוצא כנגד עמדה זו, וטוען כי לא ניתן לבטל את הריבוי, ואי אפשר להעמיד את העולם על יסוד אחד בלבד. לדבריו, "אם כל הדברים היו לעשן, היה מבחין בהם האף" (פר' 7).
למרות זאת, הרקליטוס עצמו מודה כי "מן החוכמה להקשיב - לא לי, כי אם ללוגוס - ולהודות כי כל הדברים הם אחד" (פר' 50). אלא שהאחדות אליה מכוון הרקליטוס אינה אחדות של חומר, אלא אחדות של הרוח, התבונה האחראית לסדר בעולם. "החוכמה היא דבר אחד", טוען הרקליטוס, "ומשמעותה היא לדעת את הלוגוס לפיו כל הדברים מוכוונים דרך כל הדברים" (פר' 41).
לוגוס.
למלה "לוגוס" ביוון של אותה תקופה הייתה משמעות רחבה. היא שימשה לציין כל דבר כתוב, כמו מאמר או סיפור, וגם דברים שנאמרו בעל פה, כמו נאום. מכאן נגזרה לה גם משמעות של הסכם, פקודה או דין וחשבון. היא גם שימשה לציין ערך חיובי, שם טוב, מחשבה, דעה ונימוק. מבחינה טכנית היא ציינה יחס מתמטי ופרופורציה. אך הרקליטוס יוצק למלה משמעות חדשה - עקרון, חוק כללי, שכל או תבונה. הרקליטוס עצמו משתמש במלה כדי לציין גם את העקרון התבוני המסדיר את המציאות, גם את המחשבה האנושית ואופן ביטויה במילים, וגם את המשפטים שלו עצמו.