דברי המסילת ישרים שהובאו בפתיח, מדמים את העולם כולו למבוך גדול שבו אדם אינו יודע לאן ללכת ולפנות כדי להגיע למוצא הנכון שהוא בעצם עשית רצון האלוהים. ולכן האדם צריך לשמוע לעצות הנאמרות מפי חז"ל שהם כמו האדם שעומד במבוך מלמעלה ורואה לאן כל הדרכים מובילות.
חיי שרה (משחק ילדים)
חיי שרה (מוכר גם כשבויים, קיפודון, אגוזים פגוזים, מלך השבויים, הורדות שבויים, כיפדור, חממות, פצצות או כלואים) הוא משחק ילדים המשוחק עם כדור ספוג או פונפון בישראל, המשחק מוכר בשמות שונים, בהתאם לסלנג המקומי. המשחק מזכיר באופיו את משחק המחניים, אך בעל חוקים וכללים מעט שונים, כאשר גם המטרה שונה והיא לפסול את כל הסובבים, בשונה ממשחק המחניים שבו המטרה היא לפסול את חברי הקבוצה הנגדית.
מהלך המשחק.
נוהגי המשחק משתנים מאזור לאזור משום שהוא עובר מפה לאוזן.
המשחק מתחיל כאשר אחד מן השחקנים מטיל כדור משחק כלפי מעלה (להפריק, בלשון המשחק). נהוג כי בזמן ההטלה יצעק: "חממות המרים הוא לא קדוש",או "חממות המרים הוא הקדוש", או שהוא צועק "שבויים המרים את הכדור" או "חיי שרה", בהתאם למה שנהוג באזור. לאחר שהכדור נגע ברצפה שלוש פעמים (חברי המשחק סופרים את מספר הפעמים בקול רם), השחקנים הקרובים לכדור מנסים לתפוס אותו כדי להטילו על השחקנים הסובבים כדי לפסול אותם. בסבב הראשון לא ניתן לפסול את השחקן אשר הטיל את הכדור כלפי מעלה.
במהלך המשחק, השחקנים ממשיכים לנסות לתפוס את הכדור ולזרוק אותו על שחקנים אחרים על פי החוקים הבאים:
שחקן מוגדר כשבוי טכני, שבוי משחק או נפסל על פי החוקים הבאים:
ממד (אלגברה)
באלגברה מופשטת, ממד הוא ערך מספרי המתאים לאובייקט מופשט, בדרך כלל חוג, שדה או מודול, המתאר עד כמה האובייקט מורכב. הדוגמה הבסיסית היא מושג הממד באלגברה ליניארית, אבל ישנם ממדים רבים אחרים, המודדים תכונות מסובכות יותר. להלן כמה דוגמאות.
ממד קרול.
ממד קרול הקלאסי של חוג שווה לאורך המקסימלי של שרשרת אידיאלים ראשוניים בחוג, והוא עשוי להיות סופי או אינסופי. ממד קרול, המוגדר באמצעות שרשראות של תת-מודולים בחוג כמודול מעל עצמו, מודד עד כמה חוג נותרי קרוב להיות ארטיני (חוגים בעלי ממד קרול 0 הם ארטיניים). ממד קרול שווה לממד קרול הקלאסי לחוגי PI (ובפרט לכל חוג קומוטטיבי).
הממד הגלובלי.
ממדים של מודולים.
למודול M מגדירים ממד פרויקטיבי כאורך הרזולוציה הפרויקטיבית הקצרה ביותר (הממד קטן או שווה ל-n אם יש שרשרת מדויקת מהצורה formula_1, כאשר כל ה-formula_2 פרויקטיביים). באותו אופן מוגדר הממד האינג'קטיבי לפי הרזולוציה האינג'קטיבית הקצרה ביותר (בכיוון ההפוך, כמובן), והממד השטוח לפי הרזולוציה השטוחה הקצרה ביותר (ראו מודול שטוח).
הממד הגלובלי של חוג.
הממד הגלובלי של חוג הוא הממד הפרויקטיבי הגדול ביותר של מודולים מעליו; זהו גם הממד האינג'קטיבי הגדול ביותר של מודולים מעל החוג. הממד הגלובלי הוא אפס אם ורק אם החוג ארטיני פשוט למחצה. הממד הגלובלי שווה ל-1 אם החוג תורשתי. הממד השטוח הגדול ביותר של מודולים מעל החוג נקרא הממד הגלובלי החלש, והוא קטן או שווה לממד הגלובלי, עם שוויון עבור חוגים נותריים.
ממד קוהומולוגי.
אם G חבורה, הממד הפרויקטיבי של חוג החבורה formula_3 נקרא גם הממד הקוהומולוגי של החבורה G. זהו גם המספר n הקטן ביותר שעבורו כל חבורות הקוהומולוגיה formula_4, עבור formula_5, מתאפסות.
הממד הקוהומולוגי של שדה מוגדר כממד הקוהומולוגי של חבורת גלואה האבסולוטית שלו. לדוגמה, לשדות formula_6 ו-formula_7 (כאשר k סגור אלגברית) יש ממד קוהומולוגי n.
ממד גלפנד קירילוב.
ממד גלפנד קירילוב של אלגברה מודד את קצב הגידול שלה ביחס לקבוצת יוצרים. הוא שווה ל-0 אם האלגברה בעלת ממד סופי (במובן הרגיל), ויכול להיות גם 1, כל מספר ממשי גדול או שווה ל-2, או אינסוף.
הממד האחיד.
הממד האחיד (uniform dimension) של מודול M הוא מספר המחוברים הישרים האחידים המרכיבים תת-מודול עיקרי (תת-מודול הוא עיקרי אם הוא נחתך עם כל תת-מודול שאינו אפס; מודול שכל תת-המודולים שלו עיקריים נקרא אחיד), או אינסוף אם אין סכום ישר כזה. מסמנים את הממד הזה בסימון formula_8; נקרא גם ממד גולדי. מודול האפס הוא היחיד שיש לו ממד 0; ממד 1 יש רק למודולים אחידים. הממד של סכום ישר שווה לסכום הממדים. הממד של תת-מודול תמיד קטן או שווה לזה של המודול; הממדים שווים אם ורק אם תת-המודול הוא עיקרי. מכאן שבמודול בעל ממד n אי-אפשר ליצור סכום ישר של יותר מ-n תת-מודולים. בפרט, הממד האחיד של מרחב וקטורי מעל שדה הוא הממד הרגיל.
ג'ון פורבס נאש
ג'ון פורבס נאש הבן (באנגלית: .John Forbes Nash, Jr; 13 ביוני 1928 – 23 במאי 2015) היה מתמטיקאי אמריקאי. זכה בפרס נובל לכלכלה לשנת 1994 על מחקריו פורצי הדרך בתחום תורת המשחקים, ובפרס אבל לשנת 2015 על מחקריו במשוואות דיפרנציאליות חלקיות.
תולדות חייו.
השנים הראשונות.
נאש נולד וגדל בבלופילד שבווירג'יניה המערבית. אביו, ג'ון פורבס נאש האב, היה טכנאי אלקטרוניקה ואמו, מרגרט ורג'יניה מרטין, הייתה מורה לאנגלית וללטינית בבית הספר המקומי. כשהיה בן שנתיים נולדה אחותו מרתה.
בילדותו קרא בעיקר מאמרים בנושאי טבע ומדע ואנציקלופדיות. בגיל 13 החל לערוך ניסויים מדעיים בחדרו. בגלל עליונותו האינטלקטואלית מצא עצמו בודד פעמים רבות. נאש לא היה מקובל על חבריו לכיתה ולרוב דחו אותו מחברתם. גם מרתה, אחותו הצעירה, לא קיימה עמו קשר הדוק.
בביוגרפיה שלו נאש טוען שהספר Men of Mathematics ("אנשי המתמטיקה") של אריק טמפל בל עורר בו את האהבה ואת העניין במתמטיקה. במקביל ללימודיו בתיכון של בלופילד הוא השתתף גם בשיעורים שנערכו בקולג' של בלופילד. אחרי סיום לימודיו בתיכון, ב-1945, החל ללמוד במכון קרנגי לטכנולוגיה בפיטסבורג, פנסילבניה. למד כימיה והנדסה כימית לפני שהחליף את המגמה שלו ללימודי מתמטיקה. סיים את לימודיו במכון זה וקיבל את התואר הראשון והשני ב-1948. לאחר שסיים עבר נאש לווייט אוק שבמרילנד, שם עבד במחקר עבור חיל הים האמריקאי.
לימודיו ומחקריו.
נאש התקבל כסטודנט ללימודי מוסמכים בפקולטה למתמטיקה באוניברסיטת פרינסטון ב-1948. הפרופסור שלו במכון קרנגי לטכנולוגיה שלח מכתב המלצה לאוניברסיטת פרינסטון בו הוא כתב רק: "האיש הזה הוא גאון".
בפרינסטון עבד על בעיות שיווי משקל בתורת המשחקים. קיבל את תואר הדוקטור ב-1950 על הגדרת מה שנקרא לימים שיווי משקל נאש (אוסף תכסיסים בו אף אחד מהשחקנים לא מרוויח יותר אם ישנה את דעתו ויבחר בתכסיס אחר בעוד האחרים אינם משנים את דעתם) והוכחת משפט נאש הקובע שבכל משחק מרובה משתתפים קיים שיווי משקל נאש, אם מרשים שימוש בתכסיסים מעורבים ובו כלל המעורבים מאפשרים יצירת רווח כמעט זהה, תוך החרמת הגורם שיכול לגרום לרווח הגדול ביותר לאחד מהמתחרים במקרה ויזכה בזיכיון. בנוסף לזה עסק בתחומי הגאומטריה האלגברית. נאש הוכיח שכל יריעה רימנית ניתנת לשיכון איזומטרי במרחב אוקלידי כלשהו - טענה מרכזית בגאומטריה דיפרנציאלית ששוערה על ידי רימן.
דבר נוסף שנאש עשה בימיו בפרינסטון היה פיתוח משחק ההקס והוכחה כי לשחקן הראשון יש אסטרטגיה מנצחת.
חיי המשפחה.
ב-1951 עבר נאש לעבוד בפקולטה למתמטיקה במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס. כשנה מאוחר יותר הכיר ג'ון נאש את אלינור סטיר, אחות במקצועה. כאשר הייתה אלינור בהריון עם בנם, ג'ון דייוויד סטיר, נפרדו בני הזוג. מאוחר יותר פגש ג'ון נאש את אלישה לופז-הריסון (נולדה ב-1 בינואר 1933), שהייתה סטודנטית לפיזיקה מאל סלוודור. נאש ואלישה התחתנו בפברואר 1957, ואף על פי שנאש היה אתאיסט, החתונה נערכה בכנסייה קתולית. שנתיים אחר כך, ב-1959, היא הייתה שותפה לאשפוזו בבית חולים פסיכיאטרי עקב מחלת הסכיזופרניה. זמן קצר לאחר מכן נולד להם בן, ג'ון צ'ארלס מרטין נאש, אשר קיבל את שמו רק כשנה לאחר הולדתו, מפני שאלישה חיכתה עד שג'ון ישתחרר מבית החולים ויהיה גם הוא שותף לבחירת שמו של בנם.
נאש ואלישה התגרשו ב-1963, אך חזרו זה לזו ב-1970 לאחר שאלישה הבינה שטעתה באשפוזו. אלישה הגדירה את החזרה כ"שני אנשים זרים החיים תחת אותו גג", והדגישה שלא היו יחסים רומנטיים ביניהם. על פי ספרה של סילביה נסאר, "נפלאות התבונה", ביוגרפיה על חייו של נאש שיצאה לאור בשנת 1998, הם חזרו לנהל מערכת יחסים זוגית לאחר שנאש קיבל את פרס נובל לכלכלה ב-1994. נאש ואלישה התחתנו שוב ב-2001.
ב-23 במאי 2015 נהרגו נאש ואשתו בתאונת דרכים בניו ג'רזי.
המחלה.
נאש החל להראות סימנים של פרנויה בשנות הנישואים הראשונות שלו. אשתו הגדירה את מצבו כ"לא יציב", ואמרה שהוא מדבר לדמויות בדיוניות שהוא סבור שמסכנות את חייו. נראה שנאש האמין שהיה ארגון שרדף אחריו, שבו כולם לבשו עניבות אדומות. ב-1959 אושפז לראשונה בבית חולים פסיכיאטרי ושם אובחן כמי שסובל מסכיזופרניה. לאחר שחרורו מבית החולים התפטר מהמכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס, לקח את כספי הפנסיה שלו ונסע לאירופה כדי למצוא בית חולים פסיכיאטרי לקבלת טיפול. לאחר חיפוש לא מוצלח ותקריות לא נעימות באירופה חזר לארצות הברית, שם אושפז בבתי חולים לחולי נפש לסירוגין עד 1970, ומאז לא אושפז עוד.
הכרה וקריירה מאוחרת.
נאש זכה בפרסים רבים, הבולט ביניהם הוא פרס נובל לכלכלה לשנת 1994 (יחד עם עוד שניים). נאש זכה בפרס על עבודתו בתורת המשחקים שכתב כשהיה סטודנט בפרינסטון. בסך הכול פרסם עשרים ושלושה מאמרים בשנים 1945–1996.