טורים סופיים אינם אלא דרך מקוצרת לרשום בה חיבור של איברים רבים. באופן כללי, הסימון המקוצר עבור הסכום formula_2 הוא באמצעות האות היוונית סיגמא, בסימון זה: formula_3 כאשר formula_4 הוא מספר האיברים, ו-formula_5 הוא אינדקס העובר על הערכים formula_6.
ישנם כמה סוגי טורים הראויים להתייחסות מיוחדת:
טור חשבוני.
טור חשבוני הוא סכומה של סדרה חשבונית. סכום זה שווה למכפלת חצי מספר האיברים בסכום האיבר הראשון והאחרון: formula_7 (ראו בעניין זה "אנקדוטה אודות קרל פרידריך גאוס").
טור טלסקופי.
טור טלסקופי הוא כינוי לכל טור בו מצטמצמים כל האיברים למעט האיבר הראשון והאחרון, עובדה המקלה על חישוב סכומם. נסתכל למשל בטור formula_8, שבו האיבר ה-formula_5 הוא formula_10. מכיוון ש- formula_11, סכום n האיברים הראשונים הוא formula_12.
שינוי סדר הפעולות מראה שהסכום הזה שווה ל-
formula_13.
טור הנדסי.
טור הנדסי (או טור אקספוננציאלי או גאומטרי) הוא סכום איבריה של סדרה הנדסית. למשל, הטור formula_14 הוא טור של איברי סדרה הנדסית המתחילה ב-1, והמנה - 2.
סכום סופי של סדרה הנדסית כלשהי הוא: formula_15,
כאשר formula_16 היא מנת הסדרה, formula_17 הוא האיבר הראשון בסדרה ומספר האיברים בה הוא formula_4.
הוכחת הנוסחה:
נשים לב כי מתקיים:
כעת, הסכום של טור בן formula_4 איברים, שאיברו הראשון הוא formula_17 ומנתו formula_16 הוא:
לכן, אם נכפול את שני האגפים ב-formula_25 (הערה: עבור המקרה הפרטי formula_26, בו יתרחש כפל בעייתי באפס, הסדרה ההנדסית תהיה גם סדרה קבועה שכל איבריה זהים (כפל ב-1, איבר היחידה בפעולת הכפל), ועבורה נוסחת הסכום מאוד פשוטה לחישוב: formula_27), נקבל מהשוויון שהראינו קודם שמתקיים:formula_28, ומכאן: formula_15.
כאשר הסכום הוא אינסופי ו־formula_30 הטור מתכנס ומכיוון ש-formula_31 נקבל כי
formula_32 (אם formula_33 הטור מתבדר).
זהויות אלגבריות של טורים סופיים.
ניתן לחלק זהויות של טורים סופיים לכאלה שנובעות ממניפולציות על אינדקסים וכאלה שמבוססות על אקסיומות המבנה האלגברי שאת איבריו סוכם הטור. כך למשל, הזהות של "הזזת אינקסים" formula_34 שומרת על סדר הסכימה ולכן לא תלויה באקסיומות של המבנה האלגברי מעליו היא נעשית. לעומת זאת, הזהות formula_35 מבוססת על חוק הפילוג. יותר מכך, הזהות האחרונה היא הכללה של חוק הפילוג, כיוון שזה מתקבל עבור formula_36.
לשם הוכחת הזהויות משתמשים בדרך כלל באינדוקציה מתמטית. כך לדוגמה, הזהות formula_35 מתקיימת בשדה המספרים הממשיים עבור formula_36 לפי חוק הפילוג, ואם מניחים שהשוויון מתקיים עבור formula_4 כלשהו אז על ידי שימוש בהנחת האינדוקציה ובחוק הפילוג נקבל formula_40. מכאן נסיק שהשוויון נכון עבור כל formula_4 טבעי (עבור formula_42 השוויון טריוויאלי). הוכחות זהויות שמשנות את סדר סכימת האיברים הן לרוב יותר מורכבות. לשם ההוכחה של זהויות כאלה ניתן להשתמש בלמה לפיה במבנה אלגברי עם תכונות האסוציאטיביות ו-הקומוטטיבית סכום של קבוצה סופית של איברים לא תלוי בסדר הסכימה.
להלן זהויות נוספות בשדה המספרים הממשיים והאקסיומת מהן הן נובעות:
אסוציאטיביות.
אסוציאטיביות וקומוטטיביות (שינוי סדר הסכימה).
בנוסף קיימות זהויות שעיקרן מניפולציות על אינדקסים:
טורים אינסופיים.
טורים אינסופיים הם הכללה של טורים סופיים, שמאפשרת סכימה של אינסוף איברים. באופן אינטואיטיבי, ניתן לחשוב על סכימה של טור אינסופי כסדרה של צעדים, כשבכל שלב מוספים לסכום מהשלב הקודם איבר נוסף. אם הסכום "הולך ומתקרב" למספר סופי אומרים שהטור מתכנס וסכומו הוא הערך אליו הוא מתקרב. אחרת, הטור מתבדר (לא נהוג לדבר על התכנסות לאינסוף בהקשר של טורים).לדוגמה, הטור formula_55 סוכם את איברי הסדרה formula_56 החל מהאיבר הראשון formula_17. טור אינסופי מוגדר באמצעות סדרה של סכומים חלקיים formula_58, כאשר כל סכום חלקי הוא סכום formula_4 האיברים הראשונים של הטור, כלומר formula_60. אם סדרת הסכומים החלקיים formula_61 מתכנסת, אומרים שהטור מתכנס וסכומו מוגדר להיות גבול הסדרה. בניסוח אחר, טור formula_55 מתכנס אםם קיים formula_63 כך ש- formula_64, ובמקרה זה formula_65.
ההגדרה של טור באמצעות סדרת סכומיו החלקיים מאפשרת להשתמש באריתמטיקה של גבולות לחישוב גבולות של טורים מתכנסים. לדוגמה, ניתן לכליל את חוק הפילוג אותו הוכחנו עבור טורים סופיים לטורים אינסופיים: אם formula_55 מתכנס, אז formula_67. לעומת זאת, לפי משפט רימן תכונת הקומוטטיביות לא מתקיימת עבור כל טור מתכנס, וכך גם ותכונת האסוציאטיביות.
בניגוד לטורים הנדסיים, חשבוניים וטלסקופים עבורם קיימת נוסחה מפורשת לסדרת הסכומים החלקיים, עבור רוב הטורים קשה להגיע לנוסחה כזו אם הדבר בכלל אפשרי (לדוגמה, טור שהאיבר הכללי שלו הוא הספרה ה-n-ית אחרי הנקודה של פאי). יחד עם זאת, ישנם מבחני התכנסות שבעזרתם אפשר לבדוק אם טור מסוים מתכנס. בדרך כלל מבחנים אלה לא מספקים מענה לשאלת סכומו של הטור, אבל לאחר שמצאנו שטור מתכנס נוכל לקבל קירוב טוב שלו באמצעות טכניקות של אנליזה נומרית, המסכמות את האיברים הראשונים של הטור, עד שתוספת של איברים נוספים לסכום אינו משנה מהותית את הסכום הכולל. חישוב כזה נעשה בדרך כלל על ידי מחשב, אבל באופן עקרוני ניתן לעשות אותו גם באופן ידני. חישוב נומרי מבוסס על כך שאכן שאר האיברים של הטור אינם משנים את הסכום הכולל, כלומר שהטור מתכנס. אם הנחה זאת אינה נכונה, והטור מתבדר, הסכום שימצא באנליזה נומרית הוא חסר משמעות.
"התנאי ההכרחי" מספק דרך פשוטה יחסית לשלילת התכנסות של טור. לפי תנאי זה טור מתכנס רק אם האיבר הכללי שלו שואף לאפס. כלומר, על מנת להראות שטור מתבדר מספיק להראות שהאיבר הכללי שלו מתכנס למספר שונה מאפס או מתבדר. תנאי זה אינו תנאי מספיק, ויש טורים מתבדרים שהאיבר הכללי שלהם שואף לאפס (לדוגמה, הטור ההרמוני). עבור טורים כאלה יש צורך להשתמש במבחנים מורכבים יותר. הוכחת התנאי ההכרחי מבוססת על אפיון התכנסות לפי קושי לטורים. לפי אפיון זה טור formula_68 מתכנס אם ורק אם לכל formula_69 קיים formula_70 טבעי, כך שלכל formula_71 ו-formula_72 מתקיים: formula_73. נשים לב שעבור formula_74 מתקיים formula_75, ולכן אם formula_68 מתכנס אז כמעט לכל n טבעי formula_77, ולכן formula_78 סדרה אפסה.
טורים חיוביים.
טור חיובי הוא טור שהאיבר הכללי שלו חיובי לכל formula_4 טבעי. קל להראות שסדרת הסכומים החלקיים formula_58 של טור חיובי formula_86 עולה, ולכן היא מתכנסת אם ורק אם יש לה חסם מלעיל. כלומר, טור חיובי מתכנס אם"ם קיים חסם מלעיל לסדרת הסכומים החלקיים שלו. הטענה האחרונה היא בסיס למבחני ההשוואה הראשון ולמבחני ההשוואה לטורים חיוביים שבאים בעקבותיו, שכן אם formula_87 ו-formula_88 טורים חיוביים כך שלכל formula_4 טבעי מתקיים formula_90, אז formula_88 מתכנס אםם קיים formula_92 ממשי כך שלכל formula_4 טבעי מתקיים formula_94 ומכאן לכל formula_4 מתקיים formula_96. כלומר formula_87 חסום מלעיל ולפי הטענה מתכנס.
התכנסות בהחלט.
הטור formula_98 מתכנס בהחלט אם טור הערכים המוחלטים formula_99 מתכנס. לפי אפיון קושי לטורים, אם formula_100 מתכנס בהחלט אז לכל formula_69 קיים formula_70 טבעי, כך שלכל formula_71 ו-formula_72 מתקיים: formula_105, ולכן לפי אי שוויון המשולש formula_106. מכאן, שוב לפי אפיון קושי formula_100 מתכנס. כלומר, טור מתכנס בהחלט הוא בעצמו טור מתכנס.
טור מתכנס שאינו מתכנס בהחלט, נקרא טור מתכנס בתנאי. לטור המתכנס בתנאי יש תכונה מעניינת: לכל מספר formula_108, אפשר לסדר מחדש את אברי הטור כך שהטור יתכנס וסכומו יהיה formula_108. תוצאה זו נקראת משפט רימן. לעומת זאת, בטור מתכנס בהחלט אפשר לשנות את סדר האיברים, ותמיד יתקבל אותו סכום.
הכנסת סוגריים.
הכנסת סוגריים לטור אינסופי היא פעולה שמגדירה טור חדש, שאיברו הכללי הוא סכום של כמה מאיברי הטור המקורי לפי אותו הסדר.
הטור המתקבל מהכנסת סוגריים בטור מתכנס, מתכנס אף הוא. עם זאת, הכנסת סוגריים יכולה להפוך טור מתבדר לטור מתכנס. כך למשל, הכנסת סוגריים על כל זוג איברים בטור המתבדר formula_110, תיתן את הטור formula_111 המתכנס ל-0.
כאמור, גם אם טור שהתקבל מהכנסת סוגריים מתכנס, אין זה אומר שהטור המקורי מתכנס. עם זאת, אם מתקיים לפחות אחד מהתנאים הבאים, שני הטורים מתכנסים ומתבדרים יחד:
בנוסף, אם טור formula_112 מתקבל מטור מתכנס formula_86 על ידי הכנסת סוגריים, ו-formula_114 ו-formula_115 הן סדרות הסכומים החלקיים המתאימות לכל אחד מהטורים, אז formula_114 סדרה חלקית של formula_115, ולכן שני הטורים מתכנסים לאותו הגבול, כלומר: formula_118.
משפט מרטן קובע כי במכפלת קושי של טורים מתקיימת התכנסות של טור המכפלות שמתקבל מהכנסת סוגריים, על-אף שמספר האיברים אינו בהכרח חסום וסימן האיברים שבסוגריים אינו בהכרח קבוע.
טורים בני-סיכום ותורת טאובר.
מבחינה תאורטית אפשר לחשוב על המושג 'סכום של טור' שהגדרנו להלן, כעל פונקציונל מתת-המרחב של טורים מתכנסים במרחב הטורים formula_119 לשדה המספרים הממשיים formula_120. בהינתן טור מתכנס, הפונקציונל הזה מחזיר את סכומו של הטור.