במובנים מסוימים, אקסיומת מרטין מאפשרת לבצע בניות באורך עד לעוצמת הרצף, שבאופן סטנדרטי ניתן לבצע אותם רק עד לאורך formula_1.
הגדרה.
יחס סדר חלקי P מקיים את תנאי אנטי-השרשרת בת המנייה (c.c.c) אם בכל אוסף לא בן מנייה של איברים של P יש זוג איברים r,s שיש להם המשכה משותפת, כלומר יש ב-P איבר t, formula_2. אם לזוג איברים יש המשכה משותפת נאמר שהם "מתיישבים".
בשיטת הכפייה אנחנו מצרפים למודל הבסיס מסנן גנרי על P, כלומר קבוצת איברים G שמוכלת ב-P, כל שני איברים בה מתיישבים והיא נחתכת עם כל הקבוצות הצפופות של P שנמצאות במודל הבסיס. קבוצה כזו תהיה חיצונית למודל הבסיס, למעט במקרים טריוויאליים. הקבוצה G תיקרא D-גנרית, (כאשר D אוסף של קבוצות צפופות) אם היא נחתכת עם כל קבוצה מתוך האוסף D. כאשר D היא קבוצה קטנה יותר מאוסף כל הקבוצות הצפופות, ייתכן שתהיה קבוצה D-גנרית כבר בתוך מודל הבסיס.
אקסיומת מרטין (MA) גורסת כי:
באופן דומה, ניתן לנסח את האקסיומה MA(k)‎ כאשר k הוא מונה כלשהו בין formula_3 לעוצמת הרצף, כקיום אותו התנאי עבור קבוצות D מעוצמה k. כלומר, MA היא למעשה הדרישה שיתקיים MA(k)lrm; לכל k שקטן מהרצף.
תמיד מתקיים formula_4. למעשה בכל כפייה שהיא, גם כזו שאינה מקיימת c.c.c., לכל אוסף בן מנייה של קבוצות צפופות D, ניתן למצוא קבוצה G שכל איברים מתיישבים והיא נחתכת עם כל קבוצה מתוך D: נמספר את הקבוצות הצפופות שב-D ובשלב ה-n נוסיף ל-G איבר שקטן יותר מכל האיברים הקודמים שהכנסנו לקבוצה ששייך לקבוצה הצפופה ה-n-ית. זה אפשרי לפי ההגדרה של קבוצה צפופה.
מצד שני, לא יכול להתקיים formula_5, כיוון שהוספת ממשי כהן היא כפייה המקיימת c.c.c והיא בעלת רצף קבוצות צפופות. כל מסנן שנחתך עם כל הקבוצות הצפופות יוסיף בהכרח מספר ממשי חדש למודל, ולכן יהיה חיצוני למודל הבסיס.
מסקנות.
לאקסיומת מרטין יש מספר גדול מאוד של מסקנות, וביניהן:
נדגים את השימוש באקסיומת מרטין לגבי התוצאה האחרונה. נניח כי יש לנו אוסף A של סדרות של מספרים טבעיים. אנחנו רוצים להראות שיש סדרה f (שנחשוב עליה כפונקציה מהטבעיים אל הטבעיים), כך שלכל איבר g של A, formula_6. נשתמש במושג כפייה הבא (השקול להוספת ממשי כהן): formula_7 כאשר כרגיל formula_8 הוא אוסף המספרים הטבעיים. יחס הסדר על P יהיה יחס ההכלה ההפוכה כלומר p חזק מ-q אם p מכיל את q (כלומר למעשה p מרחיב את הפונקציה q). אוסף הקבוצות הצפופות איתן נדרוש שהמסנן הגנרי ייחתך הוא:
כל אחת מהקבוצות formula_11 היא צפופה כיוון שבהינתן תנאי p, כדי לקבל תנאי q חזק מ-p בתוך הקבוצה הזו, אפשר פשוט להרחיב את p עד מעבר ל-n (על ידי הוספת ערכים שרירותיים), אם יש צורך, ואז לבחור m&gt;n שעדיין לא קבענו את ערכו ולקבוע את p(m)‎ להיות גדול יותר מ-a(m)‎.
אקסיומת מרטין מבטיחה לנו קיום מסנן D-גנרי G. מסנן זה מגדיר סדרה formula_12, וכיוון שהמסנן נחתך עם כל קבוצה ב-D - היא תקיים את התכונה הרצויה ותנצח כל סדרה מ-A אינסוף פעמים.
נעיר כי את אותה תוצאה לגבי A בת מנייה ניתן להשיג באופן ישיר על ידי ליכסון.
הוכחת ההתיישבות.
הוכחת ההתיישבות של אקסיומת מרטין ביחס ל-ZFC, כאשר עוצמת הרצף יכולה להיות גבוהה כרצוננו, נעשית באמצעות טכניקה הנקראת חזרה על כפייה. הטכניקה הזו ממירה שרשרת ארוכה של כפיות עוקבות בכפייה יחידה במודל הבסיס.
כדי לכפות את התקיימות אקסיומת מרטין נרצה לעבור על כל יחסי הסדר שמקיימים c.c.c. ולכל אחד מהם לכפות מסנן גנרי. כיוון שבתהליך נוצרים יחסי סדר חדשים שמקיימים c.c.c., אנחנו צריכים להמשיך לכפות מסננים גנריים גם ליחסים החדשים שנוצרו וכן הלאה. שיטת החזרה על כפייה מאפשרת לאחד את שרשרת הכפיות האינסופית הזו לכפייה בודדת במודל הבסיס, ומבטיחה גם כי אנחנו "תופסים את הזנב", כלומר כל יחס סדר שנוצר במהלך התהליך כבר טופל בשלב מתקדם מספיק של התהליך.
מרכיב קריטי להצלחת התהליך הוא ההגבלה של העוצמה של אוסף יחסי הסדר בהם צריך לטפל. ניתן להראות שכדי שאקסיומת מרטין תתקיים, למעשה מספיק לטפל רק ביחסי סדר שעוצמתם קטנה מעוצמת הרצף.
בחינה של מושג הכפייה שמתקבל מראה כי הוא גם מקיים c.c.c ולכן הוא לא ממוטט מונים.
הרחבות.
לאקסיומת מרטין יש מספר הרחבות, כלומר אקסיומות כפייה אחרות שמחלישות את תנאי ה-c.c.c. ובכך משיגות סגירות של המודל תחת מחלקה רחבה יותר של כפיות. בדרך כלל, לא ניתן לבסס את העקביות של ההרחבות האלו רק מתוך ZFC, ולשם כך נדרשים מונים גדולים.
שאלות לגבי חוזק ההתיישבות המדויק של אקסיומות הכפייה השונות הן שאלות מרכזיות בתחום המונים הגדולים בתורת הקבוצות.
הרחבה רבת עוצמה של אקסיומת מרטין היא PFA - אקסיומת הכפייה הנאותה, הגורסת את אותם תנאי הסגירות עבור מחלקה רחבה של כפיות (הכפיות הנאותות), כאשר אנחנו מגבילים את גודל קבוצת הצפופות D ל-formula_1. כדי להראות את העקביות של האקסיומה הזו נעשה שימוש במונה על-קומפקטי.
הרחבה חזקה עוד יותר היא MM - המקסימום של מרטין, שדורשת את תנאי הסגירות עבור כל הכפיות שמשמרות את קבוצות השבת של formula_14. גם העקביות של האקסיומה הזו הוכחה ביחס לקיום מונה על-קומפקטי.
אקסיומה זו היא מקסימלית, במובן שלא ניתן להניח את קיום תנאי הסגירות עבור כפיות שלא משמרות קבוצות שבת - לכל כפייה שהורסת קבוצת שבת של formula_14, יש אוסף צפופות D בגודל formula_1 כך שאין במודל הבסיס מסנן D-גנרי.
כפר השעשועים
כפר השעשועים היא רשת חנויות צעצועים ומשחקים ישראלית. הרשת משווקת צעצועים ומשחקים, מכשירי כתיבה ומוצרי פופ, מוצרים לימי הולדת ומסיבות, גאדג'טים ועוד. הרשת מפעילה 48 סניפים ברחבי הארץ. הסיסמה של הרשת היא "הכי זולים בלי בלבולים".
היסטוריה.
הרשת הוקמה ב-1993 על ידי אבי כץ ורונן לוי. נסיבות הקמת הרשת היו בעסקה כושלת בה רכש אבי כץ מחברה איטלקית תכולה של מפעל צעצועים שנסגר, בתמורה למיליון דולרים; את הסחורה היה אמור לקבל ב-75 מכולות, אך הגיעו רק 13, שהכילו סחורה בשווי של 300 אלף דולרים בלבד. כץ נאלץ למכור את כל רכושו כדי לכסות את החובות. הוא פנה לרונן לוי, בעל חנות צעצועים בכפר סבא בשם "כפר השעשועים", והציע לו לפתוח ביחד רשת, תוך שימוש ב-13 המכולות.
קבוצת כפר השעשועים התרחבה לאורך השנים, וכללה גם רשתות שיווק כגון "ששת" ו"הכול בדולר".
ב-1995 רכשו הרולד ומייקל זקס, משקיעים דרום-אפריקנים, 50% ממניות הקבוצה מהאחים כץ ומרונן לוי, שעד אז החזיקו כל אחד בשליש מהחברה.
ב-2002 רכשה קבוצת גאון אחזקות של בני גאון 50% מהקבוצה, לפי שווי חברה של 50 מיליון ש"ח. האחים כץ מכרו אז כ-16% מהמניות והרוויחו סכום של כ-8 מיליון ש"ח.
בתחילת שנת 2005, 50% מאחזקות הרשת היו בידי רונן לוי, האחים שמואל ואבי כץ ודורון ינאי, וה-50% הנותרים בידי גאון אחזקות. בפברואר 2005 רכשה הריבוע הכחול את חלקה של גאון אחזקות ברשת תמורת 30 מיליון ש"ח. ב־2010 מכרו לוי וכץ את יתרת מניותיהם בחברה.
בשנת 2011 החזיקה הרשת בנתח של 19% מענף הצעצועים, עם הכנסות של כ-192 מיליון ש"ח; הרשת הוצבה במקום השני בהחזקת נתח שוק (החברות האחרות היו טויס אר אס עם 21%, וכן הפיראט האדום, הפנינג ועידן 2000).
בפרסומות הרשת כיכב החל מ-2012 השחקן והבדרן יובל שם-טוב (יובל המבולבל).
ב־2013 מכר דודי וייסמן, שהיה אז הבעלים של הריבוע הכחול, 65% מהמניות חזרה לרונן לוי. ב-2015 רכש לוי את מלוא המניות מהריבוע הכחול, והפך לבעלים של הרשת.
במרץ 2017, קבוצת אנשי עסקים בראשות מנכ"ל הרשת גל אלון רכשה את החברה תמורת כ-10 מיליון ש"ח. באפריל ביקש בנק לאומי למנות כונס נכסים לרשת, בעקבות חוב של 9 מיליון ש"ח. ביוני 2017 נמכרה הרשת שוב, לאנשי העסקים חנן אסיאג ויובל עיני, יחד עם קבוצת משקיעים נוספת, שכללה את האחים ניסנוב ומשקיעים נוספים, במחיר של 6.5 מיליון ש"ח.
בינואר 2019 רכשו אסיאג ועיני את מלוא השליטה ברשת מקבוצת המשקיעים הנוספת, במחיר של 6 מיליון ש"ח.
ב-2020 הרשת נרכשה על ידי רשת הצעצועים הרשת המתחרה, "עידן 2000". עקב זאת הפך בני גרינאפל למנכ"ל משותף של שתי הרשתות.
באותה שנה שב יובל המבולבל לככב בפרסומות הרשת. בנוסף, הרשת בחרה בסמליל בשם "מג'יק".
BBC one
תיכון לוסטיג
תיכון לוסטיג הוא בית ספר תיכון חרדי לבנות ברמת גן. נקרא על שם מייסדו הרב שאול לוסטיג.
התיכון נוסד בשנת 1960 על ידי הרב שאול לוסטיג, איש חינוך חרדי יוצא גרמניה. לאחר פטירתו התמנה חתנו הרב בנימין מצגר כמנהל התיכון.
חלק ניכר מבוגרות התיכון ממשיך במסגרת ההמשך של התיכון – "מכון לוסטיג".
בשנת 2014 פרש לגמלאות המנהל הרב מצגר, משמש כרב חינוכי של מכון לוסטיג, אך נפטר בשנת תשע"ט, זמן קצר לאחר פטירת רעייתו.
את מקומו בניהול התיכון ממלא הרב משה לוסטיג, נכדו של המייסד.
הבנות ההולכות לתיכון הן לרוב חרדיות אך ישנן גם דתיות.
בניגוד לבתי ספר חרדיים אחרים תיכון לוסטיג מגיש לבגרות.
קמפוס לוסטיג.
קמפוס (מכון) לוסטיג הוא מסגרת המשך לתיכון לוסטיג, שהוקם בשנת 1989 ופועל כמוסד אקדמי לבנות בית יעקב - כשלוחה של המרכז האקדמי לב (לשעבר בית הספר הגבוה לטכנולוגיה בירושלים). הקמפוס שוכן בבניין של תיכון לוסטיג ברמת גן ומהווה מסגרת המשך לרוב תלמידותיו. כמו כן לומדות בו תלמידות מסמינרים חרדיים ומתיכונים ממלכתיים דתיים.
עד הקמתו התקיימו לימודי המשך על-תיכוניים בתחום ראיית חשבון ולאחר הקמתו נוספו בו לימודי מחשב. חלק משעות הלימודים מוקדש ללימודי מקצועות קודש..
אריק יזרעלוביץ'
מכון לוסטיג
ליונל שרייבר