מספר (מרוכב) המהווה שורש של פולינום מתוקן (כלשהו) בעל מקדמים שלמים, נקרא שלם אלגברי. אוסף השלמים האלגבריים בשדה מהווה חוג. מקורו של השם שלמים אלגברים הוא בכך שמספר רציונלי הוא שלם אלגברי אם ורק אם הוא שלם (במובן הרגיל). תורת המספרים האלגברית, העוסקת בתכונות של שלמים אלגבריים והמבנים הקשורים אליהם, היא הכללה של תורת המספרים הקלאסית.
איבר הוא שלם אלגברי אם ורק אם הפולינום המינימלי שלו (מעל הרציונליים) הוא בעל מקדמים שלמים.
הכללה.
על איברים אלגבריים בהרחבה של שדות, או באופן כללי יותר באלגברה, ראו בערך איבר אלגברי.
עמירם סיון
עמירם סיון (1938 - 25 בספטמבר 2003) היה מנכ"ל משרד האוצר (1976–1980) ועמד בראש בנק הפועלים (1986–2002).
ביוגרפיה.
סיון נולד בתל אביב. בשנת 1965 סיים לימודי כלכלה וסטטיסטיקה באוניברסיטה העברית, ובמקביל עבד במשרד האוצר, במינהל הכנסות המדינה. לאחר סיום לימודיו עבד ככלכלן בלשכת היועץ הכלכלי לשר האוצר, וב-1969 מונה לסגן הממונה על התקציבים לענייני חברה ורווחה. בשנת 1974 מונה למנכ"ל המוסד לביטוח לאומי, וב-1976 מונה למנכ"ל משרד האוצר, על ידי שר האוצר, יהושע רבינוביץ. ב-1980 פרש משירות המדינה ומונה ליו"ר חברת תיעוש (תיעוש אזורי פיתוח בע"מ, קונצרן שהוקם בשנת 1958 כשותפות של הממשלה וההסתדרות הכללית במטרה לפעול לתיעוש אזורי הפיתוח. בשנת 1967 עברה מלוא הבעלות לידי חברת העובדים), שהחזיקה מפעלי תעשייה באזורי פיתוח. בין השנים 1973-1978, ובשנית בין 1983-1989, היה חבר מועצת עיריית ירושלים.
ב-1 ביוני 1986 מונה ליו"ר הנהלת בנק הפועלים, בעקבות התפטרותו של מנהל הבנק הקודם, גיורא גזית, על פי מסקנות ועדת בייסקי בפרשת ויסות מניות הבנקים. סיון שיקם את הבנק והביא אותו ממצב של משבר לרווחיות גבוהה. בתקופתו עברו ביצועי בנק הפועלים את אלה של בנק לאומי. בשנת 2000 הגיע הבנק לרווח של מיליארד ושש מאות מיליון שקלים, רווח שיא לחברות ישראליות עד לאותו מועד. הוא גם תוגמל בהתאם והשתכר כ-10 מיליון שקלים באותה שנה.
ב-1997 עברה השליטה בבנק הפועלים לידי קבוצת אריסון-דנקנר. בעלי השליטה החדשים השאירו את סיון בתפקיד המנכ"ל, והוא עמד בראש הבנק עד פרישתו ב-1 באפריל 2002. למעשה, הודח סיון מתפקידו עקב מחלוקת שהייתה לו עם הבעלים של הבנק. החליף אותו בתפקיד אלי יונס. בתקופת עבודתו בבנק הפועלים הוביל את הבנק לראש דירוג הבנקים בישראל, ונחשב בשנות ה-90 של המאה ה-20 לבנקאי הבכיר בישראל. לאחר פרישתו ניסה סיון להקים קרן השקעות בישראל, אך לא הצליח בגיוס ההון הדרוש.
לאחר מותו הוקם לזכרו "המרכז למפעלות חברתיים על שם עמירם סיון" הפועל באוניברסיטת תל אביב ואשר מטרתו להגדיל את נגישותן של קבוצות חברתיות שונות להשכלה גבוהה. זכרו הונצח גם ברחוב על שמו בשכונת רמת בית הכרם בירושלים.
הצרחה
במשחק השחמט, הצרחה היא מהלך משותף של המלך והצריח הנחשב כמסע אחד ומתבצע בשני שלבים:
זהו המקרה היחיד בו מוזזים שני כלים ובו המלך זז יותר מערוגה אחת, במסע אחד.
ההצרחה היא המהלך האחרון שהוסף לחוקי השחמט והוא מופיע בספרו של המחבר הצרפתי Claude Gruget בשנת 1560.
הצרחה תתבצע בתנאים הבאים:
על-פי כללי המשחק, כדי לבצע הצרחה יש להזיז את המלך תחילה, ואחר כך יש להזיז את הצריח. נגיעה בצריח קודם להזזת המלך, אינה מאפשרת הצרחה ומחייבת מהלך שבו זז רק הצריח (על פי החוק "נגעת-נסעת"). מבחינים בין "הצרחה קטנה" שהיא הצרחה "לצד המלך" ובין "הצרחה גדולה" שהיא הצרחה "לצד המלכה". אם רק אחד הצריחים הוזז, ניתן להשתמש בצריח השני לצורך ביצוע הצרחה. אם הערוגה ב1 מאוימת, ניתן לבצע הצרחה גדולה (משום שהמלך אינו עובר דרכה). גם אם הצריח עצמו מאוים מותר לבצע הצרחה.
ברישום התנועות, מציינים הצרחה "קטנה", בה הצריח נע שתי משבצות, על ידי הסימון O-O ואילו הצרחה "גדולה", בה הצריח נע שלוש משבצות, על ידי הסימון O-O-O.
הצרחה היא מהלך חשוב בשלבים המוקדמים של המשחק, משום שהיא משרתת שתי מטרות חשובות: היא מזיזה את המלך למקום מוגן יותר מאשר מרכז הלוח בו התחיל להתפתח הקרב, והיא מביאה את הצריח לעמדת התקפה טובה יותר במרכז הלוח. במקרים מסוימים עלולה הצרחה שאיננה מחושבת כראוי, להביא למילכודו של המלך ולהפסד במשחק. לדוגמה, אם לאחר ההצרחה השחקן המצריח מביא את המלך שלו לפינת הלוח ולאחר מכן מצמיד את הצריח למלך ולא מזיז מתחילת המשחק את הרגלים שמלפני המלך השחקן חושף את המלך שלו לסיכון למט חנק.
שדה (מבנה אלגברי)
שדה הוא קבוצה שעליה פועלים חיבור, חיסור, כפל, וחילוק המתנהגים כמו הפעולות המתאימות על המספרים הרציונליים והממשיים. על כן, שדה הוא מבנה אלגברי בסיסי אשר נעשה בו שימוש נרחב באלגברה (במיוחד באלגברה מופשטת), תורת המספרים, ותחומים רבים אחרים במתמטיקה.
השדות הידועים ביותר הם שדה המספרים הרציונליים, שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים. שדות רבים אחרים, כגון שדות של פונקציות רציונליות, שדות מספרים ושדות p-אדיים, נלמדים ומשמשים רבות במתמטיקה, במיוחד בתורת המספרים ובגאומטריה אלגברית. רוב הפרוטוקולים הקריפטוגרפיים נשענים על שדות סופיים, כלומר שדות עם כמות סופית של איברים.
הקשר בין שני שדות מתבטא ברעיון של הרחבת שדות. תורת גלואה, אותה התחיל אווריסט גלואה במאה ה-19, מוקדשת להבנת הסימטריות (האוטומורפיזמים) של הרחבות שדה. בין היתר, תורה זו מראה כי לא ניתן לשלש זווית או לתרבע מעגל באמצעות סרגל ומחוגה. יתרה מזאת, היא מראה כי משוואות ממעלה חמישית אינן ניתנות לפתרון אלגברי.
שדות משמשים כרעיונות יסוד במספר תחומים מתמטיים. זה כולל ענפים שונים של אנליזה מתמטית, המבוססים על שדות עם מבנה נוסף. משפטים בסיסיים באנליזה מצביעים על המאפיינים המבניים של שדה המספרים הממשיים. כל שדה עשוי לשמש כסקלרים עבור מרחב וקטורי, שהוא ההקשר הכללי הסטנדרטי עבור אלגברה ליניארית. שדות מספרים, אחיהם של שדה המספרים הרציונליים, נלמדים לעומק בתורת המספרים.
הגדרה.
מבוא אינטואיטיבי.
באופן לא פורמלי, שדה הוא קבוצה יחד עם שתי פעולות שהוגדרו עליה – פעולת חיבור הנכתבת על ידי formula_1 ופעולת כפל הנכתבת על ידי formula_2 כאשר שניהם מתנהגים באופן דומה לחיבור וכפל אצל מספרים רציונליים ומספרים ממשיים, כולל קיומו של מספר נגדי formula_3 לכל formula_4 ושל מספר הופכי formula_5 לכל formula_6 שונה מאפס. זה מאפשר לשקול גם את מה שנקרא פעולות "הפוכות" של חיסור, formula_7 וחלוקה, formula_8, על ידי הגדרת:
formula_9
formula_10
הגדרה פורמלית.
שדה formula_11 זו קבוצה עם שתי פעולות בינאריות הנקראות חיבור וכפל. תוצאת החיבור של formula_12 מסומנת formula_1 ותוצאת הכפל מסומנת formula_2, או בקיצור formula_15. הפעולות הללו חייבות לקיים את האקסיומות הבאות לכל formula_16 ב-formula_11:
כל זה ניתן לקיצור באמירה כי שדה זו קבוצה עם פעולות חיבור וכפל כאשר השדה עם פעולת החיבור זו חבורה אבלית, השדה בלי 0 עם פעולת הכפל זו חבורה אבלית, ומתקיימת דיסטריבוטיביות. זה ניתן לסיכום אפילו יותר בקצרה באמירה כי שדה הוא חוג קומוטטיבי שבו כל איבר שונה מ-0 הוא הפיך (או במילים אחרות, חוג חילוק קומוטטיבי).
דוגמאות.
מספרים רציונליים.
מספרים רציונליים היו בשימוש נרחב זמן רב לפני המצאת מושג השדה. אלו מספרים שניתן לכתוב כשברים formula_35, כאשר formula_4 ו-formula_6 הם מספרים שלמים עם formula_38. הנגדי לשבר שכזה הוא formula_39 וההופכי אליו (בהנחה כי formula_29) הוא formula_41, שניתן לראות כדלקמן:
formula_42
כל אקסיומות השדה שצריך לקיים אלו תכונות סטנדרטיות של מספרים רציונליים. לדוגמה, ניתן להוכיח דיסטריבוטיביות באופן הבא:
formula_43
מספרים ממשיים ומרוכבים.
המספרים הממשים formula_44, עם הפעולות הרגילות של חיבור וכפל, גם יוצרים שדה. המספרים המרוכבים formula_45 מורכבים מביטויים formula_46 עם formula_47 ממשיים, כאשר formula_48 היא היחידה המדומה, כלומר מספר (לא ממשי) המקיים formula_49.
מספרים הניתנים לבנייה.
בעת העתיקה, מספר בעיות גאומטריות נגעו להיתכנות של בניות גאומטריות מסוימות באמצעות סרגל ומחוגה. למשל, היוונים שיערו כי לא ניתן לשלש זווית באופן זה, אבל ללא הוכחה. ניתן לפתור בעיות אלה באמצעות שדה המספרים הניתנים לבנייה. מספרים ניתנים לבנייה הם, בהגדרה, אורכים של קטעים שניתן לבנות בכמות סופית של צעדים תוך שימוש רק סרגל ומחוגה, בהינתן קטע באורך 1. מספרים אלה, עם חיבור וכפל שמוגדרים עליהם בתור מספרים ממשיים, יוצרים שדה הכולל את שדה הרציונליים formula_50. האיור מראה כיצד ניתן לבנות שורש ריבועי של אורך נתון, שורש שאינו בהכרח מספר רציונלי. בהינתן קטע formula_51 באורך formula_52, ניתן לשרטט את הנקודות formula_53 ו-formula_54עם האורכים המתוארים באיור, יחד עם חצי מעגל שקוטרו formula_55 ואנך לישר הנתון דרך formula_56. הנקודה formula_11, שהיא החיתוך של חצי המעגל ושל האנך, תהיה במרחק של formula_58 מ-formula_56.
לא כל המספרים הממשיים ניתנים לבנייה. ניתן להראות כי formula_60 אינו מספר הניתן לבנייה, מה שמראה כי אי אפשר להכפיל את הקובייה, בעיה נוספת שהציבו היוונים הקדמונים.
שדה עם ארבעה איברים.