סדרה (סופית) של נקודות formula_14 נקראת חלוקה של הקטע formula_6. את הסדרה אפשר לפרש כאילו היא מחלקת את הקטע ל־formula_16 תת־קטעים formula_17, החותכים זה את זה רק בנקודות הקצה שלהם. לכל חלוקה formula_18 אפשר להגדיר את קוטר החלוקה (או פרמטר החלוקה) באופן הבא: formula_19. מכיוון שסכום אורכי הקטעים הוא formula_20, הקוטר של חלוקה בת formula_16 קטעים הוא לפחות formula_22. מכאן שכדי לקרב את קוטר החלוקה לאפס, יש להגדיל את מספר הנקודות באופן שאינו חסום.
חלוקה formula_23 היא עידון של חלוקה formula_18, אם החלוקה הראשונה כוללת את כל הנקודות המופיעות בחלוקה השנייה. לדוגמה, formula_25 מעדנת את formula_26. ברור שבמקרה כזה, formula_27.
הגדרת האינטגרל המסוים באמצעות סכומי רימן.
בחלוקה נתונה formula_14, אפשר לבחור נקודה formula_29 מכל תת־קטע. חלוקה כזו, יחד עם הנקודות שנבחרו מהתת־קטעים, נקראת חלוקה מסומנת. לחלוקה כזו אפשר להגדיר את סכום רימן formula_30. זהו השטח הכולל של המלבנים שבסיסם הוא הקטע formula_31 וגובהם formula_32 (עבור formula_33), כאשר השטח הוא "שטח מכוון" (העשוי להיות חיובי או שלילי, בהתאם לסימן של הפונקציה בנקודה formula_34). כל סכום רימן מהווה קירוב לשטח שמתחת לגרף הפונקציה, בקטע המדובר formula_6.
פונקציה formula_36, המוגדרת בקטע formula_6, היא אינטגרבילית לפי רימן, אם לכל בחירה של סדרת חלוקות מסומנות formula_38 בעלות גדלים formula_39 השואפים לאפס, הגבול formula_40 קיים (היינו, הסדרה מתכנסת). במקרה כזה, כל הגבולות formula_40 שווים זה לזה, והאינטגרל המסוים מוגדר כערך (המשותף) של כל הגבולות; ערך זה הוא השטח שבין גרף הפונקציה לציר ה־formula_1. אם לא כל הגבולות האלה קיימים, הפונקציה אינה אינטגרבילית לפי רימן.
את ערך האינטגרל מסמנים כך: formula_43. הביטוי שבתוך האינטגרל, formula_36, נקרא אינטגרנד. המשתנה formula_1 בביטוי זה הוא "משתנה האינטגרציה", והוא קשור לתחום האינטגרציה – המשמעות היא שהנקודה השמאלית בתחום היא formula_46 והנקודה הימנית היא formula_47. אם מחליפים את משתנה האינטגרציה, כדי לשמור על ערך האינטגרל יש לשנות את תחום האינטגרציה בהתאמה. לדוגמה, אם formula_48, אזי מתקיים: formula_49.
הגדרה באמצעות סכומי דארבו.
נניח ש־ formula_50 חסומה בקטע הסגור formula_6. לכל חלוקה formula_52, אפשר לחשב בנפרד את השטח שהחלוקה מאתרת מתחת לגרף, ואת השטח שהחלוקה מאתרת מעל לגרף. לצורך כך נסמן בכל תת-קטע formula_53 של החלוקה, את החסם העליון של הפונקציה ב־ formula_54, ואת החסם התחתון ב־ formula_55 (אם לפונקציה יש בתת-הקטע הזה ערך מינימלי או מקסימלי, אלו יהיו הערכים של formula_55 ושל formula_54 בהתאמה). באופן הזה, מובטח ש־ formula_58 לכל formula_59 בתת-הקטע. משום כך סביר לקבוע ששטחו של התחום המישורי המוגבל על ידי ציר ה־x, גרף הפונקציה, והישרים formula_60 ו־ formula_61,
גדול או שווה לשטח המלבן formula_62, וקטן (או שווה) לשטח המלבן formula_63.
אם נסכם את כל המלבנים, הסכום formula_64 נקרא הסכום התחתון של החלוקה, ואילו
formula_65 הוא הסכום העליון שלה. קל להוכיח שאם formula_66 מהווה עידון של formula_52, אז formula_68, ולכן, כאשר מעדנים את החלוקה, המרחק בין הסכום העליון לתחתון מצטמצם.
החסם התחתון של כל הסכומים העליונים formula_69, עבור כל החלוקות האפשריות, הוא האינטגרל העליון. החסם העליון של כל הסכומים התחתונים formula_70 הוא האינטגרל התחתון. הפונקציה אינטגרבילית לפי דארבו, אם שני ערכים אלו שווים זה לזה (פירושו של השוויון הוא שקיימת סדרה של חלוקות formula_71 המעדנות זו את זו, כך שההפרש formula_72 שואף לאפס).
אפשר להוכיח שהגדרת אינטגרביליות של פונקציה חסומה באמצעות סכומי רימן שקולה להגדרה באמצעות סכומי דארבו, ושהאינטגרל המתקבל בשני המקרים שווה.
ההגדרה שנתנה לעיל מתאימה לפונקציות חסומות, ולחישוב מעל קטע סגור. עם זאת, אפשר להרחיב את ההגדרה גם למקרים כלליים יותר – ראו אינטגרל לא אמיתי.
מרחב הפונקציות האינטגרביליות.
הסכום של פונקציות אינטגרביליות (לפי רימן) והכפולה של פונקציה אינטגרבילית בסקלר נותנים פונקציות אינטגרביליות; לכן אוסף הפונקציות האינטגרביליות מעל קטע קבוע formula_6 מהווה מרחב וקטורי מעל שדה המספרים הממשיים, ואף מוגדרת בו מכפלה פנימית.
משפט לבג מאפיין אינטגרביליות באופן הבא: פונקציה חסומה היא אינטגרבילית במובן רימן, אם ורק אם קבוצת נקודות אי־הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס.
לדוגמה, כל פונקציה רציפה וכל פונקציה מונוטונית בקטע סגור, היא אינטגרבילית. גם פונקציית רימן אינטגרבילית (והאינטגרל שלה הוא אפס). לעומת זאת, פונקציית דיריכלה אינה אינטגרבילית לפי רימן.
ההתאמה formula_74 היא פונקציונל ליניארי המוגדר על המרחב הזה, משום שהאינטגרל של פונקציות מקיים את התכונה formula_75. האינטגרל מונוטוני, במובן הבא: אם formula_76 אינטגרביליות בקטע formula_6, ולכל formula_78 מתקיים formula_79, אז formula_80 ואם formula_81 לכל formula_82 אז מתקיים אי השוויון החזק formula_83.
חישוב האינטגרל המסוים.
הנוסחה היסודית של החשבון האינפיניטסימלי מחשבת את האינטגרל המסוים, אם ידוע האינטגרל הלא־מסוים (ראו להלן). במקרים אחרים יש להפעיל שיטות אנליטיות מיוחדות, או שיטות נומריות.
האינטגרל הלא מסוים.
הגדרה.
פונקציה formula_84 נקראת פונקציה קדומה של formula_85 בקטע כלשהו, אם לכל נקודה בקטע formula_86. כלומר formula_85 היא הנגזרת של formula_84 בקטע.
האינטגרל הלא מסוים של פונקציה formula_89 מוגדר לרוב בתור אוסף הפונקציות הקדומות שלו. בסימון: formula_90, כאשר formula_91 היא פונקציה קדומה של formula_89 ו-formula_93 הוא קבוע שרירותי.
ניתן להצדיק את הסימון בכך שכל הפונקציות הקדומות של פונקציה ניתנות לכתיבה בתור קבוע ועוד פונקציה קדומה כלשהי. מצד אחד, אם formula_94 אז ברור כי גם formula_95 כי נגזרת של קבוע היא 0. מצד שני, אם formula_96 פונקציות קדומות של formula_89 אז מתקיים formula_98, כלומר הפונקציה formula_99 קבועה, כלומר formula_100, כנדרש.
בהינתן פונקציה formula_89 אינטגרבילית בקטע הסגור formula_102 ניתן להגדיר פונקציה באופן הבא:
ערכה של פונקציה זו בכל נקודה הוא ערך האינטגרל המסוים של formula_89 בין נקודה זו לנקודת מוצא כלשהי. פונקציה זו היא תמיד רציפה, אך אינה בהכרח גזירה ולכן אינה בהכרח פונקציה קדומה של formula_89. עבור פונקציית מדרגה, למשל, לא יהיה אינטגרל זה גזיר, שכן פונקציית מדרגה אינה מקיימת את תכונת הנגזרת הבאה לידי ביטוי במשפט דארבו.
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי אומר ש formula_91 גזירה בכל מקום בו formula_89 רציפה. כלומר: אם formula_89 רציפה ב formula_109 אזי מתקיים ש formula_110. כלומר, formula_91 היא פונקציה קדומה של formula_89 באופן כללי, formula_91 לא חייבת להיות גזירה בכל מקום.
על כן, המשפט היסודי קושר בין האינטגרל המסוים formula_114 ובין האינטגרל הלא מסוים של הפונקציה, וממנו נגזרת הנוסחה היסודית formula_115 המאפשרת לחשב אינטגרל מסוים באמצעות שימוש בפונקציה קדומה.
דוגמה.
ידוע כי הנגזרת של formula_116 היא formula_117. על כן כל פונקציה קדומה של formula_117 נבדלת מ-formula_116 בקבוע, ונכתוב: formula_120.
מציאת האינטגרל הלא מסוים.
בניגוד לפעולת הגזירה, שהיא טכנית בעיקרה ומבוססת על כמה כללים ברורים היטב, אין "מתכון" בטוח למציאת אינטגרל לא מסוים של פונקציה. באמצעות נוסחאות הגזירה ניתן למצוא מיידית אינטגרלים לפונקציות האלמנטריות הבסיסיות, ועל מנת לבצע אינטגרציה לפונקציות מסובכות יותר ישנן שיטות אינטגרציה (החלפת משתנים, אינטגרציה בחלקים ועוד) שמאפשרות לפשט את הפונקציה ולהפוך אותה לפונקציה אחרת, שעבורה קל יותר למצוא את האינטגרל.
גם אם לא ניתן לבטא את האינטגרל הלא מסוים באמצעות פונקציה אנליטית, אין זה אומר שהאינטגרל המסוים אינו קיים. בהרבה מקרים (למשל במשוואות דיפרנציאליות) ביטויים מהצורה formula_121 נחשבים לפתרון קביל.
הערות.
למעשה, סכום רימן הוא חלוקה של הקטע למלבנים צרים שגובהם הוא formula_122, סיכום שטחיהם ומעבר לגבול כאשר פרמטר החלוקה שואף לאפס. באנליזה נומרית יש חשיבות גדולה לבחירת נקודות הביניים כדי לקבל התכנסות מהירה של הקירוב הנומרי לערך המדויק (שלרוב אינו ניתן לחישוב).
הכללות של אינטגרל רימן.
אינטגרל לבג.
אינטגרל לבג הוא הכללה של אינטגרל רימן לפונקציות מדידות שפותחה על ידי המתמטיקאי אנרי לבג במסגרת מחקרו על תורת המידה. אינטגרל לבג מתבסס על מידת לבג המוגדרת מעל הישר הממשי והוא מזדהה עם אינטגרל רימן לכל פונקציה חסומה שהיא אינטגרבילית במובן רימן.
בהיות האינטגרל של לבג הכללה של אינטגרל רימן, מאפשר מושג זה לחשב אינטגרל לפונקציות שאינן אינטגרביליות במובן רימן. הרעיון באינטגרל לבג הוא לחשב את השטח לפי התמונה של הפונקציה ולא לפי התחום שלה. היתרון בגישה זו היא שלרוב התמונה של הפונקציה פשוטה בהרבה ו"פתולוגית" הרבה פחות מתחום הגדרתה. לכן, מחלקת הפונקציות שהן אינטגרביליות במובן לבג רחבה יותר ממחלקת הפונקציות האינטגרביליות רימן. למעשה, גם פונקציות שאינן רציפות באף מקום יכולות להיות אינטגרביליות לבג (בעוד שאינן אינטגרביליות רימן). אחת הדוגמאות הבסיסיות והיפות לפונקציה כזאת היא פונקציית דיריכלה.
אינטגרל רימן־סטילטיס ואינטגרל לבג־סטילטיס.
אינטגרל רימן-סטילטיס הוא הכללה אחרת של אינטגרל רימן.