את הפעולות ניתן, כאמור, לפרש בשתי דרכים: מחד, אלו פעולות בין קבוצות, כאשר formula_8 היא פעולת החיתוך, formula_9 היא פעולת האיחוד, ו-formula_10 היא פעולת המשלים. מאידך, אלו פעולות לוגיות, כאשר formula_8 היא הקשר 'וגם', formula_9 היא הקשר 'או', ו-formula_10 היא קשר השלילה. במקרה הראשון 0 היא הקבוצה הריקה, ובמקרה השני - שקר. לדוגמה, הטענה הלוגית לפיה לא ייתכן שגם "a" וגם שלילתה יהיו נכונות, formula_19, מקבילה לטענה בתורת הקבוצות לפיה החיתוך של "A" עם משלימתה שווה לקבוצה הריקה: formula_20.
אלגברה בוליאנית כקבוצה סדורה חלקית.
כמו כל סריג, אלגברה בוליאנית ("A", formula_11, formula_12) מגדירה סדר חלקי על "A" על ידי כך שמגדירים a ≤ b אם ורק אם formula_26 (או תנאי השקול לכך - formula_27).
קל להבין תנאי זה באלגברה הבוליאנית של קבוצת החזקה של קבוצה נתונה: באלגברה זו מתקיים a ≤ b אם ורק אם formula_28, או במילים אחרות אם ורק אם formula_29 (באלגברה זו, כזכור, "a" ו-"b" הן תת-קבוצות של קבוצה נתונה "S").
למעשה, ניתן להגדיר אלגברה בוליאנית כסריג דיסטריבוטיבי ("A", ≤) (כאשר מתייחסים ל-"A" כקבוצה סדורה חלקית) עם איבר קטן ביותר "0" ואיבר גדול ביותר "1" כך שלכל איבר "x" קיים משלים "x¬" כך ש
כאשר formula_8 ו-formula_9 מסמנים את האינפימום והסופרמום של שני איברים.
ניתן להשתמש בתכונות האלגבריות ותכונות הסדר של האלגברה לסירוגין, ובעזרתן "לייבא" לתורה של אלגבראות בוליאניות תוצאות מתורת הסדרים החלקיים ומאלגברה אוניברסלית.
עיקרון הדואליות.
האלגברה המתקבלת מהחלפה בין הפעולות formula_8 ו-formula_9 ומהחלפת האיברים "0" ו-"1" זה בזה אף היא אלגברה בוליאנית. יתר על כן, כל טענה אלגברית הנכונה באלגבראות בוליאניות ניתנת להתמרה לטענה דואלית על ידי החלפת formula_8 ו-formula_9 זה בזה והחלפה של הופעות של האיברים "0" ו-"1" זה בזה. טענה היא נכונה אם ורק אם הטענה הדואלית לה נכונה.
לדוגמה, הטענה הדואלית לטענה formula_38 היא הטענה formula_39.
שיטות סימון נוספות.
לפעולות של האלגברה הבוליאנית יש מספר סימונים מקובלים. לעיתים הן מסומנות פשוט על ידי המילים האנגליות AND, OR ו-NOT. בתיאור מעגלים דיגיטליים רווח השימוש גם בסימונים NOR, NAND ו-XOR.
מתמטיקאים, מהנדסים ומתכנתים נוהגים לעיתים קרובות להשתמש בסימון "+" בשביל OR, בסימון "·" בשביל AND, ובקו מעל הביטוי (מכונה לעיתים "גג") בשביל לסמן את שלילתו.
הומומורפיזמים ואיזומורפיזמים.
הומומורפיזם בין האלגבראות הבוליאניות "A" ו-"B" הוא פונקציה formula_40 כך שלכל זוג איברים "a" ו-"b" ב"A" מתקיים:
מתנאים אלו ומאקסיומות האלגברה הבוליאנית נובע כי, בנוסף, לכל "a" ב"A" מתקיים:
אוסף כל האלגבראות הבוליאניות ביחד עם הומומורפיזמים מהווה קטגוריה.
הומומורפיזם בין אלגבראות נקרא "איזומורפיזם" אם הוא חד חד ערכי ועל, ובמקרה זה אומרים כי "A" ו-"B" איזומורפיות.
חוגים בוליאניים, אידיאלים ומסננים.
בהינתן אלגברה בוליאנית ("A", formula_11, formula_12, formula_48) ניתן להגדיר חוג ("A", +, *) על ידי כך שמגדירים formula_49 (פעולה זו נקראת הפרש סימטרי במקרה של קבוצות, או XOR במקרה של לוגיקה) ו-formula_50. איבר ה-"0" של החוג מתלכד עם איבר ה-"0" של האלגברה הבוליאנית, ואיבר היחידה של החוג שווה לאיבר "1" באלגברה הבוליאנית.
בדרך זו מתקבל חוג "A" שמקיים שלכל "x" ב-"A" מתקיים formula_51. חוג המקיים שוויון זה נקרא חוג בוליאני. בחוג בוליאני, לכל a מתקיים ש-formula_52.
להפך, בהינתן חוג בוליאני "A", נוכל להפוך את "A" לאלגברה בוליאנית על ידי כך שנגדיר formula_53, formula_54 ו-formula_55. מכיוון ששתי פעולות אלה הופכיות אחת של השנייה, הרי שנוכל לומר כי כל אלגברה בוליאנית נוצרת מחוג בוליאני, ולהפך. יתר על כן, העתקה "f" בין אלגבראות בוליאניות היא הומומורפיזם של אלגבראות בוליאניות אם ורק אם היא הומומורפיזם של חוגים עבור החוגים הבוליאנים המתאימים. במילים אחרות, הקטגוריה של אלגבראות בוליאניות שקולה לקטגוריה של חוגים בוליאנים.
אידיאל "I" באלגברה בוליאנית "A" הוא תת-קבוצה של "A" כך שלכל "x" ו-"y" ב-"I" מתקיים ש-formula_56, וכן לכל "x" ב-"I" ולכל "a" ב-"A" מתקיים ש-formula_57. מושג זה מתלכד עם המושג אידיאל בתורת החוגים כאשר "A" מתייחסים אל "A" כאל חוג בוליאני. אידיאל "I" השונה מ-"A" נקרא ראשוני אם כל פעם שמתקיים formula_58 אז לפחות אחד מבין "x" ו-"y" שייך ל-"I". אידיאל "I" השונה מ-"A" נקרא מקסימלי אם "A" הוא האידיאל היחיד המכיל את "I". גם מושגים אלו מתלכדים עם המושגים המקבילים של אידיאל ראשוני ואידיאל מקסימלי מתורת החוגים.
המונח הדואלי למושג האידיאל נקרא מסנן (או פילטר). לפיכך, תת-קבוצה "F" של אלגברה בוליאנית "A" נקראת מסנן אם לכל זוג "x" ו-"y" ב-"F" מתקיים ש formula_59 ולכל "x" ב-"F" ולכל "a" ב-"A" מתקיים ש-formula_60.
הצגות של אלגבראות בוליאניות.
כל אלגברה בוליאנית סופית איזומורפית לאלגברה של כל תת-הקבוצות של קבוצה סופית כלשהי. בפרט, מספר האיברים באלגברה בוליאנית סופית הוא תמיד חזקה של שתיים.
עבור אלגברות אינסופיות, משפט הייצוג של סטון קובע כי כל אלגברה בוליאנית איזומורפית לאלגברה של קבוצות. ספציפית, המשפט מראה כי היא איזומורפית לאלגברה של כל הקבוצות שהן גם סגורות וגם פתוחות במרחב טופולוגי כלשהו (שהוא האוסדורף קומפקטי בלתי קשיר לחלוטין).
שלמות ודיסטריביוטיביות.
אלגברה בוליאנית נקראת שלמה אם לכל תת-קבוצה שלה יש חסם תחתון מקסימלי (אינפימום) וחסם עליון מינימלי. המשמעות של השלמות היא שניתן להרחיב את הפעולות formula_61 גם לקבוצות אינסופיות. למשל, אלגברת כל תת-הקבוצות של קבוצה S היא שלמה, בעוד שהאלגברה הבוליאנית של כל תת-הקבוצות הסופיות והקו-סופיות של קבוצה אינסופית איננה שלמה.
כל אלגברה בוליאנית ניתן להשלים באופן יחיד, עד כדי איזומורפיזם, לאלגברה בוליאנית שלמה, שנוצרת מתוך איברי האלגברה המקורית באמצעות הפעולות formula_61, כאשר אנו מתירים להן לפעול גם על קבוצות אינסופיות.
נעיר כי אלגברה בוליאנית שלמה לא בהכרח מקיימת את כלל הדיסטריביוטיביות האינסופי:
אם היא מקיימת אותו היא תקרא דיסטריביוטיבית. במקרים רבים היא מקיימת את הכלל עד כדי הגבלת העוצמה של A או של B. במקרים האלו היא תקרא formula_64-דיסטריביוטיבית, בהתאם לעוצמות של A ושל B בהן הכלל עובד.
קיים קשר הדוק בין מידת הדיסטריביוטיביות של אלגברה בוליאנית שלמה לבין עוצמת הקבוצות אותן הכפייה שנעשית על ידי האלגברה מוסיפה.
היסטוריה.
המונח "אלגברה בוליאנית" נקרא על שמו של המתמטיקאי האנגלי ג'ורג' בול (1815-1864). המערכת האלגברית הלוגית שהוא ניסח ב-1854 במאמרו "The Laws of Thought" שונה מהמערכת שתוארה בערך זה במספר היבטים חשובים. לדוגמה, בול לא התייחס לפעולות 'או" ו"וגם" כפעולות דואליות. תחום האלגבראות הבוליאניות נולד בשנות ה-60 של המאה ה-19 במספר מאמרים שפרסמו ויליאם ג'בונס וצ'ארלס פאריס. ב-1890 הגדיר לראשונה ארנסט שרודר את המושגים אלגברה בוליאנית וסריג הדיסטריבוטיבי במאמרו "Vorlesungen".
החיבור המקיף הראשון בנוגע לאלגבראות בוליאניות שנכתב באנגלית הוא "Universal Algebra" שנכתב ב-1898 על ידי אלפרד נורת' וייטהד. ההתייחסות לאלגבראות בוליאניות כמבנה אלגברי במובן האקסיומטי המודרני החלה ב-1904 במאמר של אדוארד ורמיל האנטינגטון. עבודות חשובות נוספות בתחום בוצעו על ידי מרשל סטון בשנות ה-30 של המאה ה-20, וכן במאמרו של גארט בירקהוף "Lattice Theory" משנות ה-40 של המאה ה-20. בשנות ה-60 של המאה ה-20 השתמשו פול כהן, דנה סקוט ואחרים בכלים של אלגבראות בוליאניות על מנת להוכיח תוצאות עמוקות בתחום הלוגיקה ובתורת הקבוצות האקסיומטית, בעיקר בתחום הכפייה.
קרס (כוכב לכת ננסי)
קֶרֶס (מלטינית: Cerēs; לעיתים נקרא צֶרֶס; שם מלא: 1 קרס; באנגלית: , נהגה סיריז; סמל: ) הוא כוכב לכת ננסי בחגורת האסטרואידים והעצם הגדול ביותר שבין מאדים לצדק. הוא התגלה ב-1 בינואר 1801 על ידי האסטרונום האיטלקי ג'וזפה פיאצי והיה לגוף הראשון שהתגלה באזור זה בחלל. שנים ספורות לאחר הגילוי סווג ככוכב לכת (יחד עם פאלאס, יונו, וסטה, ואסטריה) אולם בשנת 1852 סווג מחדש כאסטרואיד לאחר שחוקרים שחקרו את האזור הבינו כי בחלל בין מאדים לצדק אין כוכב לכת אלא אלפי גופים קטנים. מעל 150 שנה קראו המתנגדים לשינוי סיווגו של קרס בשל גודלו, ובשנת 2006 הוחלט לשנות את סיווגו לכוכב לכת ננסי. העצם נקרא בתחילה "קרס פרדיננדי" על שם האלה הרומית קרס ועל שמו של המלך פרדיננד הראשון, מלך שתי הסיציליות אולם רק השם "קרס" תפס.
גילויו.
קרס התגלה במקרה כאשר האסטרונום האיטלקי ג'וזפה פיאצי חיפש אחר כוכב לכת אחר, אך בגלל טעות בקואורדינטות הוא זיהה אובייקט דמוי כוכב, אך קטן בהרבה. פיאצי חשב שזהו שביט. הוא צפה בקרס 24 פעמים נוספות, עד שלבסוף החליט לפרסם את תגליתו ברבים. הוא שלח מספר מכתבים שבהם הוא כתב "כיון שהוא זז כה לאט ובגלל צורתו, סבורני שיש סיכוי שזהו משהו טוב יותר מסתם כוכב שביט". התברר שהוא צדק.