שימוש נפוץ לקירוב זומרפלד הוא חישוב תכונות אלקטרוניות שונות, כגון קיבול חום במתכות, שבהן תקף . בחישובים אלה הפונקציה formula_6 מייצגת את צפיפות המצבים הקוונטיים עבור יחידת אנרגיה. בנוסף, formula_16 מזוהה עם הטמפ' ההופכית ו-formula_17 כפוטנציאל הכימי. מכאן שהקירוב הנ"ל תקף עבור מערכות בהן formula_16 גבוהה (כלומר טמפ' נמוכה).
על פי מודל האלקטרון החופשי ניתן לקרב את האלקטרונים במתכת לגז פרמיונים. עבור גז כזה, ניתן להוכיח כי התלות של הפוטנציאל הכימי בטמפרטורה היא:
formula_19כאשר formula_20 היא אנרגיית פרמי, formula_21 היא הטמפטורה וformula_22 הוא קבוע בולצמן. מכאן שהפוטנציאל הכימי מזוהה עם formula_20 עד כדי תיקון מסדר שני של formula_21. נשים לב ש- formula_25, כאשר formula_26 היא טמפרטורת פרמי שערכה עבור רוב המתכות הוא מסדר גודל של formula_27. לשם השוואה, טמפרטורה החדר הנה formula_28, כלומר מסדר גודל של formula_29. מכאן שעבור מרבית השימושים הפרקטיים, ניתן להניח כי הטמפטורה אכן נמוכה, ושקירוב זומרפלד אכן מדויק גם בסדרים הנמוכים.
פיתוח הקירוב מסדר שני בטמפרטורה.
אנחנו מעוניינים לפתח את האינטגרל עד הסדר השני בטמפ', כלומר formula_30, כאשר formula_31 היא התוצר של המכפלה של הטמפ' בקבוע בולצמן. נתחיל בהחלפת המשתנים formula_32:
נפצל את האינטגרל לשניים, formula_34, ונשכתב את formula_35 בעזרת החלפת המשתנה formula_36:
לאחר מכן, נבצע טריק אלגברי על המכנה של formula_39:formula_40
ונקבל:formula_41
עתה נחבר את שני האינטגרלים ונציב בחזרה את המשתנה המקורי, formula_42, באיבר הראשון של formula_35:
ניתן לפתח את המונה באיבר השני בעזרת קירוב טיילור מסדר ראשון, בהינתן ש- formula_45 (כלומר קטן דיו מ-formula_17):
formula_47נציב ונקבל:formula_48ערכו של האינטגרל המסוים באיבר השני הוא:formula_49ומכאן ש:
פיתוח הקירוב עבור סדרים גבוהים יותר.
נרצה לפתח לטור את האינטגרל:
formula_51תחת ההנחה שכאשר formula_52 הפונקציה formula_53 דועכת לאפס, וכאשר formula_54, הפונקציה אינה מתבדרת חזק יותר מאשר formula_55 דועכת. אם כן נגדיר:formula_56כך ש:
formula_57עתה נוכל לבצע אינטגרציה בחלקים ולקבל:
formula_58כאשר האיבר הראשון הראשון מתבטל מתוך ההנחה שלנו לגבי ההתנהגות של formula_53 באינסוף.
נשים לב ש- formula_55 שואפת לאפס כאשר formula_61 גדול מאוד מ- formula_62 formula_63, ושואפת לאחד כאשר formula_61 קטן מאוד מ- formula_62, ולכן עיקר התרומה שלה לאינטגרל היא כאשר formula_66. בהנחה ש- formula_53 אינה סינגולרית ואינה משתנה מהר מידי באזור formula_68, הגיוני להניח כי עבור פיתוח של formula_69 בטור טיילור סביב formula_68, נקבל כי האיברים הראשונים הם המשמעותיים ביותר. במקרים בו ההנחה הזו אינה מתקיימת הקירוב עדיין תקף, אך אינו שימושי כיוון שנצטרך לחשב כמות גדולה של איברים בטור.
אם כן נפתח את formula_69 סביב formula_68:formula_73
עכשיו נוכל להציב את formula_69 באינטגרל. נשים לב שהאיבר המוביל יניב רק formula_75, כיוון ש:
formula_76
בנוסף על כך, כיוון ש- formula_77 היא פונקציה זוגית סביב formula_62, כל האיברים שבהם formula_79 אי-זוגי יתאפסו. אם כן, לאחר הצבת הטור והחלפת משתנים מ- formula_69 בחזרה ל- formula_53 נקבל:
formula_82את האינטגרל שמופיע בסכום נוכל להציג כטמפ' בחזקת formula_79 המוכפלת באינטגרל חסר ממדים. נוכל לבצע החלפת משתנים formula_84 ולהציג אותו כך:
formula_85
בעזרת מניפולציות אלגבריות, ניתן לפשט את המקדמים formula_86 לצורה:formula_87כאשר formula_88 הנה פונקציית זטא של רימן.
אז לבסוף קיבלנו את הפיתוח המבוקש:
formula_89
עבור פיתוח מסדר ראשון נקבל:formula_90
פיתוח עבור סדרים גבוהים יותר בעזרת פונקציות יוצרות.
אנחנו יכולים להשיג איברים מסדר גבוה יותר עבור קירוב זומרפלד, על ידי שימוש בפונקציות יוצרות עבור מומנטים של התפלגות פרמי. אלו נתונים לנו על ידי:
formula_91כאשר formula_92 ופונקציית המדרגה formula_93 מחסרות את תרומת הטמפ' האפסיות. פיתוח בחזקות של formula_94 ייתן לנו לדוגמה:
ניתן ליצור פונקציה יוצרת דומה עבור המומנטים האי זוגיים של פונקציית בוזה-איינשטיין:
formula_101
ברנאט זינגר
הרב ברנאט זינגר (בהונגרית: Singer Bernát; שאטוראליאויהיי, 5 בדצמבר 1868 – סובוטיצה, 21 ביוני 1916) היה רב ותאולוג הונגרי. הוא בנו של הרב ישראל זינגר.
ביוגרפיה.
ברנאט זינגר נולד כאמור בשאטוראליאויהיי, לשם עברו הוריו מסגד. בין 1887 לבין 1893 היה תלמיד בית המדרש לרבנים בבודפשט. בשנת 1892 נחנך כדוקטור למדעי הרוח בבודפשט, ובשנת 1894 קיבל סמיכה לרבנות. תחילה כיהן כרב בעיר טפולצה במשך שמונה שנים ואחר כך משנת 1902 עד מותו כרב ראשי בסובוטיצה.
עבודותיו.
מאמרים בכתבי עת.
מאמריו פורסמו בכתבי העת "שוויון" (Egyenlőség), "עבר ועתיד" (Múlt és Jövő), ב"אוטונומיה" (Autonómia), בסקירה היהודית-הונגרית, ב"מחוז זמפלן" (Zemplén Vármegye), ב"באצ'קאי הירלפ" (Bácskai Hirlap), ב"יומן מחוז באץ'" (Bácsmegyei Napló) וב"טפולצה והאזור" (Tapolca és Vidéke). הוא היה אחד המחברים והמתרגמים של ההיסטוריה האוניברסלית של היהודים (1906).
How Can I Keep from Singing?
(מוכר כ-My Life Flows On in Endless Song) הוא שיר עם אמריקאי שנוצר במקור כמזמור נוצרי על ידי השר הבפטיסטי האמריקאי רוברט וודסוורת' לורי. השיר מצוטט ומוזכר לעיתים קרובות, אם כי בטעות, כפזמון קוואקרי או שייקר מסורתי. הלחן והטקסט המקורי שלו מופיעים בכמה מזמורים ואוספי שירים, הן בצורתם המקורית והן בצורה מתוקנת שמשמיטה את רוב התוכן הנוצרי המפורש ומכילה תוספת מחודשת.
מחבר ומילים.
הפרסום הידוע הראשון של מילות השיר אירע ב-27 באוגוסט 1868 ב"The New York Observer", בשם "Always Rejoicing". הקרדיט ניתן לפאולין טי. הטקסט כלל:
גרסתה של אניה.
הוקלט מחדש בשנת 1990, על ידי הזמרת-יוצרת והמוזיקאית האירית אניה, עבור אלבום האולפן השלישי שלה, "Shepherd Moons". השיר יצא לאור שנה לאחר שהוקלט, על ידי חברת התקליטים וורנר מיוזיק גרופ, כסינגל השני מתוך "Shepherd Moons". הוא הופץ על גבי תקליט 12 אינץ'.
השיר זכה להצלחה במצעדי הפזמונים והגיע למקום ה-32 במצעד הסינגלים הבריטי.
תביעה משפטית.
אניה וחברת התקליטים שלה נתבעו על הפרת זכויות יוצרים על ידי סנגה מיוזיק בע"מ על הקלטת השיר מכיוון שהיא כינתה אותו בטעות כ"מזמור שייקר מסורתי", ובכך הניחה שהוא נחלת הכלל. לאחר דיונים ושינויים מסוימים, הוחלט כי אניה לא תצטרך לשלם תמלוגים עליו, תוך תיקון הדברים שהיו צריכים לתקן.
וידאו קליפ.
בווידאו קליפ ניתן לראות את אניה שרה בכנסייה באזור הכפרי גווידור. הקליפ כולל קטעי ארכיון של אישים פוליטיים כמו נלסון מנדלה ובוריס ילצין, בין היתר, והתייחסויות למלחמת המפרץ ולרעב. בין היתר, כלל הקליפ אזכור לגנאדי ינאייב, פוליטיקאי רוסי, קומוניסט, שמרני דוקטרינרי, שעמד בשנת 1991 בראש הפיכת ינאייב להפלת שלטונו של מיכאיל גורבאצ'וב.
גרסאות נוספות.
במרוצת השנים הקליטו את השיר עשרות אמנים ואמניות, כדוגמת:
דולר אמריקני
אליפות אירופה בשחייה 2021
אליפות אירופה בשחייה נערכה בבודפשט, הונגריה ובאגם לופה, מה-10 במאי ועד ה-23 במאי 2021. תחרויות השחייה, שחייה צורנית ותחרויות הקפיצה למים נערכות בדנובה ארנה , ותחרויות השחייה במים פתוחים נערכות באגם לופה. התחרות נדחתה ממאי 2020 בשל מגפת הקורונה. עקב כך, נודעה התחרות גם בשמה המקורי: אליפות אירופה בשחייה 2020.
שחייה.
המנצחות והמנצחים.
נשים.
(*) שחייניות ששחו בשלב המוקדמות וזכו אף הן במדליות
גברים.
(*) שחיינים ששחו בשלב המוקדמות וזכו אף הם במדליות
קבוצתי (2 שחייניות ו-2 שחיינים).
(*) שחיינים ששחו בשלב המוקדמות וזכו אף הם במדליות
הבו לי חירות או הבו לי מוות!
"הבו לי חירות או הבו לי מוות!" (באנגלית: Give me liberty, or give me death!) הוא ציטוט המיוחס לפטריק הנרי מנאום שנשא בוועידת וירג'יניה השנייה ב-23 במרץ 1775, בכנסייה האפיסקופלית של סנט ג'ון בריצ'מונד, וירג'יניה.
הנרי הצליח להפר את האיזון בין נוכחי הועידה ושכנע את משתתפיה להעביר החלטה שתאפשר לחיילי כוחות וירג'יניה להשתתף במלחמת העצמאות של ארצות הברית. בין הנציגים באותה ועידה, היו נשיאי ארצות הברית לעתיד תומאס ג'פרסון וג'ורג' וושינגטון.
פרסום.
הנאום פורסם בדפוס לראשונה רק בשנת 1816 בכתב העת "The Port Folio" . גרסת הנאום הידועה כיום הופיעה לראשונה בביוגרפיה של פטריק הנרי, שנכתבה על ידי ויליאם וירט ב-1817, "Sketches of the Life and Character of Patrick Henry". קיימת מחלוקת בין היסטוריונים האם הקרדיט על כתיבת הנאום ומילות הסיום המפורסמות הוא של הנרי או של וירט.
ביקורת וקבלה.
לדברי אדמונד רנדולף, לאחר שפטריק הנרי סיים את נאומו, שררה דממה בוועידה למשך מספר דקות. תומאס מרשל אמר לבנו, ג'ון מרשל, שהיה לימים נשיא בית המשפט העליון הרביעי של ארצות הברית, כי הנאום היה . אדוארד קרינגטון שהאזין ליד חלון הוועידה, ביקש להיקבר באותו מקום, וב-
מנסח הצהרת הזכויות של וירג'יניה , ג'ורג' מייסון , אמר כי: באופן מיידי יותר, ההחלטה , שהכריזה על התנתקות שלוש עשרה המושבות מממלכת בריטניה הגדולה, התקבלה, והנרי מונה ליו"ר הוועדה שמשימתה הייתה כעת הקמת מיליציה.
המושל מטעם בריטניה, ג'ון מאריי, דוכס דנמור , הגיב בהשתלטות על מחסני אבק השריפה בויליאמסבורג , וירג'יניה במהלך קרבות לקסינגטון וקונקורד.