התיאטרון הראשון בו כוגן שיחק היה "קומדיה ארצישראלית". אחיו הכיר מברלין את ג'ניה ברגר, הציירת של התיאטרון והיא ארגנה לו ראיון. הם עשו חזרות ל"המכשפה" והיו זקוקים לסטטיסטים. ב"קומדיה ארצישראלית" הכיר את המוזיקאי מרק לברי והשחקן והרקדן קוליה כוגן, שהקימו את להקת "רמפ"א" (ראשי תיבות של ריקוד, מוזיקה, פנטומימה, אופרטה). בין השאר הם הציגו את "החטיפה מן ההרמון" של מוצרט. כוגן גילם חייל שחוצה את הבמה בריקוד. "רמפ"א" הציגו בכל רחבי ארץ-ישראל, בין הרקדניות היו גם חנה מרון, שהייתה אז ילדה.
אחר-כך שב לישראל הבמאי יצחק משה דניאל והקים ביחד עם קבוצת שחקנים, ביניהם כוגן את תיאטרון "סדן". השחקנים הנוספים היו מרים שינדלר, משה חורגל, אריאלי, יוסף גולנד וקלמן קונסטנטינר (לימים קלמן גלעדי). במרוצת הזמן הצטרפו גם ורוניקה זלצמן ורחל מרכוס. התיאטרון הציג בסך-הכול שלוש הצגות עד שהתפרק, כולן היו בבימויו של דניאל. הם הציגו באולם ההתעמלות של "הפועל", ברחוב נחמני, בו הציגו במרוצת השנים הקאמרי והבימה. ההצגה השנייה אותה הציגו הייתה "השגעון הגדול", עיבוד של דניאל ואביגדור המאירי לרומן פרי עטו של המאירי. התיאטרון לא שילם משכורות לשחקנים וכוגן התפרנס מעבודה בבית חרושת לקרח.
אחר-כך כוגן שיחק בתיאטרון "המטאטא", ביחד איתו הצטרפה מרים שינדלר. הוא שיחק בהצגה "יעקב וכריסטיאן", פרי עטו של סמי גרונמן. בין השחקנים ששיחקו ב"מטאטא" היו שמואל רודנסקי, בצלאל לונדון ויעקב טימן.
י"מ דניאל, ביחד עם נתן כוגן, זרנוב, סוניה ברונקוב ועלינה סטרניצקה ייסדו את קפה סמדר, בית הקפה הראשון בתל אביב. במקום האורחים רקדו לצלילי תזמורת שניגנה והוצג גם קברט. כוגן שר את שירו הידוע "לו הייתי בהמה", פזמון גרמני שנתן אלתרמן תרגם ודניאל הלחין. כעבור זמן קפה סמדר גווע וב-1939 י"מ דניאל הקים את קברט "הרקיע השישי". דניאל עשה זאת בשביל זוגתו דאז, סוניה ברונקוב, ששרה וניגנה בפסנתר. כוגן שר מעט והציג את הקטעים השונים. באותה עת כוגן עבד בחברה לייצוא וייבוא של פירות ירקות במהלך היום ובלילה הופיע בקברט.
ב-1939 הגיע לארץ ישראל אברהם בן-יוסף, אחיו של כוגן והאחים הופיעו יחדיו במחזה "האנייה דנסיטי", שתורגם מצרפתית, בו שיחקו גם שינדלר וקלמן קונסטנטינר. אחר-כך הופיע ביחד האחים בהצגת הילדים "הדובון והזאב הרשע", שאת המוזיקה לה הלחין משה וילנסקי. בהצגה הזו שיחקו גם אהובה קוטאי, קלמן קונסטנטינר וברטה וילנסקי; הבמאי ואמרגנן של שתי ההצגות היה י"מ דניאל. האחים הופיעו יחדיו גם בתוכנית אחת בלהקת "כל הרוחות".
כוגן ואחיו שיחקו בתיאטרון "פפילון", אותו הקימו סטלה קדמון ומרטין רוסט. התיאטרון הופיע בבית הקפה "שלושה כושים", בפינת הרחובות אלנבי וביאליק בתל אביב. "פפילון" הציג מערכונים ושירים וכעבור תוכנית אחת התפרק. אחר-כך שיחק בהצגות שונות. בין השאר עם השחקן אברהם שקלרש. אחת מהן הייתה ערב מערכונים של צ'כוב, בו שיחק יחד עם רחל מרכוס ושקלרש. כמו כן שיחק בהצגה "גסטפו במוסקבה" לצד שקלרש, א"א וולף, איתן פריבר ורחל מרכוס.
ב-1941 שיחק כוגן באופרטה "העטלף" לפי מאילק והלוי ומוזיקה של יוהאן שטראוס הבן, שהציגה ב"אופרה הארצישראלית העממית". הוא החליף את אחיו, שהיה צריך לעבור ניתוח דחוף, בתפקיד גבריאל פון איזנשטין. אחר-כך שיחק שוב ב"העטלף", הפעם כמחליפה של נדיה ליובובסקיה, בתפקיד הרוזן אורלובסקי.
באוגוסט 1942 נתן כוגן התגייס לצבא הבריטי והפך מייד לתושב חוקי, מכיוון שהבריטים נזקקו למתגייסים. הוא הצטרף ל"", אותה ייסד צבי פרידלנד מתיאטרון הבימה. בלהקה היו גם חברים יעקב אורלנד שהופקד על הכתיבה, הצייר אריה ארוך שעיצב את התפאורה, ומשה גורלי (ששמו אז היה משה ברוזנפט) ומרדכי זעירא שהופקדו על המוזיקה. פרט לחזרות הלהקה עברה מדי יום אימונים צבאיים. כעבור אחד עשר חודשים פרידלנד השתחרר מהצבא ובכך פורקה הלהקה. כוגן נשלח לפלוגה שתיים, בה הוצבו המתגייסים החדשים לבריגדה היהודית. כוגן לחם כמקלען, הפלוגה הוצבה במצרים ואחר-כך בחזית האיטלקית.
בשוך הקרבות, בשנים 1943–1944 הוקמה להקת "גיצים וחצים". בין חבריה היו המוזיקאי צבי בן-יוסף, שלמוני שכתב את התוכנית, שמשון לימון, אביגדור בורקצ'וב וישראל טנאי מהבימה. הלהקה הציגה שירים ובמערכונים בפני חיילים. אחר-כך עברה הלהקה ביחד עם הפלוגה להולנד ובלגיה ובשלהי המלחמה סייעה בהצלת יהודים. הם הופיעו במשך שבועיים ביידיש ובעברית בברגן-בלזן. אחר-כך הופיעו באנטוורפן ובפריז בהופעות שרווחיהן הלכו לקרן הקיימת לישראל. בתמורה החיים זכו בחופשה בת חודש בפריז, בה כוגן צפה בסרטי קולנוע והצגות תיאטרון. בתום החופשה החיילים שוחררו וחזרו לארץ-ישראל.
עם שחרורו מהצבא שיחק נתן כוגן כמה חודשים בתיאטרון "האהל". בשנת 1945 הצטרף לתיאטרון הקאמרי, שאחיו אברהם בן-יוסף היה ממקימיו ושהיה אז בראשיתו ושיחק בו עד לפרישתו לפנסיה. נתן כוגן גילם למעלה ממאה דמויות בהצגות שונות. משרדי הקאמרי שכנו אז בדירת חדר ברחוב העלייה מספר אחד, שם נערכו גם החזרות; אחר-כך עברו לרחוב בן יהודה 28, לדירת שלושה חדרים. אנשי התיאטרון בילו יחדיו בשעות הפנאי שלהם ושררו ביניהם שיתוף ושוויון.
בתחילה כוגן שולב כמחליף בהצגות קיימות, בהן "משרתם של שני אדונים", "העולם בו אנו חיים" ו"חתונת הדמים". בתחילה התיאטרון אורגן כקולקטיב, הרפרטואר נקבע באמצעות דיונים משותפים, אם כי יוסף מילוא, הבמאי היחידי בראשית ימיו של הקאמרי, הכריע בדבר וגם ליהק לתפקידים השונים. התיאטרון היה להיט בשנותיו הראשונות, בעיקר אצל הנוער. הוא היה התיאטרון הראשון שהעלו הצגות מקור ישראליות. הקאמרי נסע לסיבובי הופעות ברחבי ישראל והופיע גם ביישובים וקיבוצים מרוחקים והגיעו עד אילת ועפולה. לפעמים הם לנו בבתי התושבים. ביישובים שלא הייתה במה, הקימו הניחו קרשים על ערמות תבן.
כוגן שיחק לצד אחיו בהצגות שונות, בהן "דודתו של צ'רלי", "הן לא תקחהו עמך", "קרא לי סמיוקה" ו"אדם לכל עת".
ב-1956 הקאמרי הופיע בפסטיבל האומות בפריז, עם ההצגות "הנפש הטובה מסצ'ואן" ו"הוא הלך בשדות", שזכתה במקום הראשון בפסטיבל. ב-1957 הצטרף לסיבוב הופעות ארוך באירופה עם להקת המחול ענבל כקריין ואמר דברי קישור והסברה באנגלית, צרפתית או גרמנית, בהתאם לשפה בה דיברו בארץ בה הופיעו.
ב-1957 הגיע לארצות הברית ושהה בה קרוב לשנה. הוא השתתף כשומע חופשי בבית הספר למשחק של לי שטרסברג בניו יורק. באותו זמן יוסי ידין היה בניו יורק אף הוא ולוהק לתוכנית טלוויזיה אמריקאית. ההפקה חיפשה דובר רוסית לתפקיד קצין ריגול סובייטי וידין המליץ על כוגן לתפקיד. כוגן שהה תקופה מסוימת בהוליווד וגילם את דמותו של אב בסרט Juvenile Delinquency. פעמים בודדות שיחק מחוץ לקאמרי, אחת מהן בתיאטרון האהל, בתפקיד סטנלי קוולסקי, בהצגה "חשמלית ושמה תשוקה, בבימויו של מנחם גולן ב-1959. פעם אחרת שיחק בהצגה "טופז" בתיאטרון השחר, בבימויו של יואל זילברג ב-1969.
בין הצגותיו הבולטות בקאמרי: "עוץ לי גוץ לי" בו גילם את דמותו של שר האוצר במספר הפקות שהשתרעו על פני למעלה משלושים שנה, "רצח", "דודתו של צ'רלי", "השחף", "הם יגיעו מחר" של נתן שחם, "ענבי זעם", "הן לא תיקחהו עימך", "חשיבותה של רצינות", "ענבי זעם", מחזות קלאסיים של שייקספיר, מולייר, צ'כוב, מחזאות ישראלית בת זמננו ועוד. הוא קיבל מלגות והשתלם במשחק בלונדון ובארצות הברית.
כוגן קריין בעשרות תסכיתי רדיו מאז שנת 1960 ועד למותו, בהן הדמות הראשית בתוכנית הבלשית שנחלה הצלחה "אלרי קווין" ובעל הארמון בהצגה "בעלת הארמון" של לאה גולדברג.
הוא הופיע ביותר מ-70 סדרות טלוויזיה ישראליות בערוץ 1, ערוץ 2 וערוצי הכבלים, בהן: "מישל עזרא ספרא ובניו" בבימויו של נסים דיין, "סיטון" בבימויו של אורי ברבש, "כתב פלילי" בבימויו של חיים בוזגלו ו"החיים זה לא הכול" בבימויו של עדי בנימינוב.
ב־1962 שיחק בסרט "חבורה שכזאת" בתור המפקד דודיק. ב-1968 שיחק בסרט "השכונה שלנו" של הגששים, בבימויו של אורי זוהר. ב-1970 שיחק בסרט "התמהוני" של דן וולמן.
ב-1974 שיחק במערבון האמריקאי שצולם בישראל "בילי שני כובעים", בבימויו של טד קוטצ'ף, לצידו של גרגורי פק.
הוא זכור במיוחד בשל תפקידו בסרטו של בועז דוידזון "צ'רלי וחצי" (1974). בסרט גילם את דמותו של חיים זוהר, אביה של גילה (חיה קציר), אהובתו של צ'רלי (יהודה ברקן). ב-1977 שיחק בסרטו של מנחם גולן "מבצע יונתן". ב-1980 שיחק בסרט האמריקאי "האדומה הגדולה ה-1" בבימויו של סמואל פולר, שצולם בישראל.
באותה שנה שיחק בשני סרטי קולנוע בגרמניה. בארצות הברית שיחק בסרט הטלוויזיה בניו-יורק “Top Secret Mission". בערוץ CBS בהוליווד, קליפורניה שיחק ב"Juvenile Delinquency", בבלגיה הופיע ב"שלום ישראל" - בטלוויזיה של בריסל. ב-1982 שיחק בסדרת הטלוויזיה האמריקאית "אישה ושמה גולדה", בה גילם את דמותו של לוי אשכול ושיחק לצידה של אינגריד ברגמן, שגילמה את דמותה של גולדה מאיר. ב-1998 שיחק בסרטה של מיכל בת-אדם "אהבה ממבט שני" לצידה של מיכל זוארץ.
לאחר יציאתו לגמלאות לוהק פחות ופחות לתפקידים בקאמרי, בעיקר בתור מחליף. ב-1997 שיחק נתן כוגן את הצגותיו האחרונות בתיאטרון הקאמרי ובאותה שנה בגיל 83 פתח בקריירת קולנוע בינלאומית והרבה לטוס ולהצטלם במקומות שונים ברחבי תבל כמו בלגיה, מרוקו ועוד. הוא ידע שפות רבות, מה שעזר לו בכך. הוא הוזמן להשתתף בתפקידים ראשיים גם בסרטים צרפתיים שזכו להצלחה רבה בהם: