משחק הדיקטטור הוא משחק פשוט המשמש תפקיד חשוב בחקר כלכלה התנהגותית וקבלת החלטות. במשחק שחקן אחד מחלק סכום כסף בין שני שחקנים. בשונה ממשחק האולטימטום, שבו השחקן השני מחליט אם לאמץ את החלוקה או להותיר את שניהם בידיים ריקות, כאן תפקידו של השחקן השני פסיבי לחלוטין. תוצאות ניסיוניות במשחק הדיקטטור נראות לפעמים כסותרות את מודל ההתנהגות של "האדם הכלכלי" לפיו הפרט הרציונלי דואג לאינטרסים הפרטיים שלו בלבד.
המשחק.
במשחק הדיקטטור, השחקן הראשון, "המציע", מחליט על חלוקה של שלל (למשל פרס כספי). השחקן השני, "המגיב", מקבל את שארית השלל שנשאר לאחר שהמציע לקח ממנו את חלקו. תפקיד המגיב הוא פסיבי לחלוטין (למגיב אין שום אסטרטגיה במשחק או השפעה על תוצאתו). כתוצאה מכך, משחק הדיקטטור איננו משחק באופן פורמלי (במובן בו משתמשת תורת המשחקים במונח משחק). על מנת שמשחק ייחשב משחק מבחינה פורמלית, התועלת של כל שחקן חייבת להיות תלויה בפעולות של שחקנים אחרים. מכיוון שהתועלת של השחקן המציע תלויה אך ורק בהחלטותיו שלו עצמו, המצב המתואר שייך יותר לקבלת החלטות מאשר לתורת המשחקים. למרות הגדרה פורמלית זו, משחק הדיקטטור מתועד בספרות של תורת המשחקים כמשחק מנוון. נעשה שימוש במשחק זה על מנת לבחון את מודל האדם הכלכלי של הפרט הבודד: אם פרטים היו דואגים אך ורק לטובתם הכלכלית האישית, מציעים (המשחקים כדיקטטורים) היו מקציבים את כל השלל לעצמם ולא היו נותנים דבר למגיב. תוצאות ניסוייות מראות כי פרטים בודדים לעיתים קרובות מקציבים כסף למגיב, ובכך מפחיתים את סכום הכסף שהם מקבלים בעצמם. מחקרים מראים כי תוצאות אלו אינן מקריות והן מרבות לחזור על עצמן: לדוגמה, Henrich ואחרים ערכו מחקר מקיף על פני תרבויות שונות בנושא וגילו כי מציעים אכן מקציבים סכום השונה מאפס מהשלל למגיב.
ניסויים אחרים מראים כי המשתתפים בניסוי מגלים רמה גבוהה של עקביות לאורך וריאציות שונות של משחק הדיקטטור בהן העלות של נתינה משתנה. השערה שעלתה בעקבות ניסויים אלו היא שההתנהגות במשחק הדיקטטור היא אכן אלטרואיזם ולא אי יכולת או כישלון במקסום רווח אישי. ניסויים אחרים הראו כי קיים קשר בין מעורבות פוליטית למשחק הדיקטטור, מכך ניתן ללמוד כי מעורבות פוליטית יכולה להוות סמן לדאגה לרווחתם של אחרים.
אתגור.
מחברים שונים הציעו כי נתינה במשחק הדיקטטור לא מצביעה על רצון של הפרט למקסם את התועלת של סביבתו (אלטרואיזם). במקום זה הם משערים שהפרט מפיק תועלת שלילית מכך שהוא נתפס כחמדן על ידי אחרים, והוא מנסה להימנע מלהיתפס כחמדן על ידי עורך הניסוי. כמה ניסויים בוצעו כדי לבחון השערה זו, אך לא התקבלה מסקנה חד משמעית, אלא תוצאות מעורבות.
ניסויים נוספים הבודקים מסקנות ניסוייות נערכו. בארדסלי ערך ניסויי שבו לפרטים ניתנה ההזדמנות לתת כסף, לא לתת כלום או לקחת כסף מהמגיב. רוב הנבדקים היו רחוקים מלהראות אלטרואיזם ולקחו את הכסף לעצמם. בהשוואה שנערכה בין משחק הלקיחה למשחק הדיקטטור הנערכים שניהם עם אותו שלל התחלתי, רוב האנשים שבחרו לתת למגיב חלק מהשלל במשחק הדיקטטור בחרו לקחת הכול לעצמם במשחק הלקיחה. Bardsley הציע שני פירושים לתוצאות אלו.
הראשון, יכול להיות שמבחר האפשרויות המוצגות מספקות רמזים שונים לנבדקים המשתתפים בניסוי לגבי מה מצופה מהם. "נבדקים יכולים לתפוס את משחק הדיקטטור כמשחק שהנושא שלו הוא נתינה, מאחר שהם יכולים או לא לעשות כלום או לתת, ולכן הם שואלים את עצמם כמה לתת. בעוד שמשחק הלקיחה יכול להיתפס כמשחק שהנושא שלו הוא לקיחה מסיבות אנלוגיות, ולכן הנבדק שואל את עצמו כמה לקחת". לפי פירוש זה נתינה במשחק הדיקטטור היא תגובה למאפיינים הנדרשים על ידי הניסוי.
שנית, ההתנהגות של הנבדקים יכולה להיות מושפעת על ידי סוג של אפקט הפללתי. מה שהנבדק מחשיב להתנהגות נאותה תלויה בתחום ההתנהגויות האפשרי. במשחק הלקיחה, מרחב ההתנהגויות כולל אלטרנטיבה גרועה יותר מאשר מרחב ההתנהגויות במשחק הדיקטטור. כתוצאה מכך, לתת פחות או לקחת יכולים להיתפס כנחמדים במידה שווה.
משחק אמון.
משחק האמון מרחיב את משחק הדיקטטור על ידי כך שגודל השלל ההתחלתי שהדיקטטור מחליט באופן חד צדדי כיצד לחלקו בינו לבין המגיב, נקבע באופן חלקי על ידי מתנה ראשונית מהמגיב. הצעד הראשוני נעשה על ידי השותף למשחק של הדיקטטור, שעליו להחליט כמה מהשלל ההתחלתי שלו להפקיד בידיו של הדיקטטור (בתקווה לקבל חלק מזה חזרה). באופן טבעי, הוא מעודד לתת משהו לדיקטטור על ידי הגדרות המשחק שקובעות כי החלק שיקבל מהשלל שייתן יוכפל בפקטור מסוים. הניסוי מסתיים לעיתים נדירות בשיווי משקל תת-משחקי משוכלל בו "אין אמון". למעשה, מאמר שהתפרסם ב-2008 בכתב העת PNAS בו המשתתפים במשחק האמון היו תאומים זהים ותאומים לא זהים מצביע על כך שהבדלים בין אישיים בהתנהגות במשחק האמון הם מוסברים, לפחות בחלקם, על ידי רכיב תורשתי.
עזנייה
עזנייה הוא שם עממי לשני מיני עופות דורסים גדולים מאוד שניזונים בעיקר מנבלות של בעלי חיים. העוזנייה מזכירה מאוד את הנשר, קרוב משפחתה. השם המקראי - "עוזנייה", כפי שמתרגם ראב"ע: "כי מן העוז בא שמה" (כוחה הרב במקורה העצום, באמצעותו יכולה למשוך עגל).
השם עזנייה מתאר שני מינים יחידים בסוגם עופות מתת-משפחת נשרי העולם הישן:
העזנייה השחורה נחשבת לעוף הגדול ביותר במשפחת הנציים ובסדרת דורסי היום לאחר מיני הקונדוריים - נשרי העולם החדש.
עזניה
אי-שוויון איזופרימטרי
אי-שוויון אִיזוֹפֶּרִימֶטְרִי הכרוך בבעיה אִיזוֹפֶּרִימֶטְרִית (בעיה שומרת-היקף), הוא תואר שניתן בשימוש מודרני למספר אי-שוויונות העוסקים ביחס המקסימלי בין שטח קבוצה לאורך מעטפתה. בשימוש המקורי של המונח, במישור, הייתה הבעיה קביעת השטח המרבי שניתן לתחום במישור בצורה סגורה בעלת היקף נתון, והיא שקולה לבעיית קביעת ההיקף המינימלי של צורה בעלת שטח נתון. ניתן להכליל את הבעיה גם לממדים נוספים ולקבוצות שאינן מרחבים אוקלידיים.
הבעיה האיזופרימטרית על המישור.
הבעיה האיזופרימטרית על המישור היא מציאת עקומה, מבין כל העקומות הסגורות בעלות אורך נתון, שממקסמת את השטח שהיא תוחמת (אם יש כזו), או, לחלופין, מציאת עקומה בעלת אורך מינימלי שתוחמת שטח נתון (אם יש כזו). פתרון הבעיה הוא שיש בדיוק עקומה אחת כזו, והיא מעגל. מהבעיה נגזר אי-השוויון האיזופרימטרי על המישור, לפיו אם L אורך עקומה סגורה, ו-A השטח התחום על ידיה, הרי ש:
formula_1.
שוויון מתקבל רק כאשר העקומה היא מעגל.
עבור כל עקומה סגורה, המקדם האיזופרימטרי הוא היחס בין השטח התחום בתוכה לשטח מעגל שהיקפו זהה. כלומר, אם Q הוא המקדם האיזופרימטרי,
formula_2
ואי-השוויון האיזופרימטרי אומר ש formula_3.
משפט דומה אומר שמבין כל המצולעים בעלי היקף נתון ו-"n" צלעות, השטח שמקיף המצולע המשוכלל הוא הגדול ביותר. המקדם האיזופרימטרי של מצולע משוכלל שכזה הוא:
formula_4.
רקע היסטורי.
הבעיה האיזופרימטרית ופתרונה היו ידועים כבר ליוונים הקדמונים. פאפוס ותיאון מאלכסנדריה, מתמטיקאים יוונים שחיו במאה הרביעית לספירה, הזכירו את הבעיה בכתביהם וייחסו את התוצאות לזנודורוס , מתמטיקאי שחי במאה השנייה לפנה"ס ושכתביו אבדו. הוכחת זנודורוס (כפי שהובאה בידי פאפוס) אינה שוקלת במקרי קצה, ואין בה כדי לשכנע מתמטיקאי מודרני. גם ארכימדס חקר את הבעיה, אך עבודתו אבדה.
בתקופת הרנסאנס ובעת החדשה שב והתחדש העניין בבעיה. קפלר התייחס לבעיה בחוקרו את צורת מערכת השמש. יאקוב ברנולי היה הראשון שנתן לה ניסוח מודרני, ולאונרד אוילר חקר אותה. בשנת 1842 פרסם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב שטיינר הוכחה גאומטרית טהורה לבעיה, אולם דיריכלה הצביע על שגיאה: שטיינר הראה שאם קיימת עקומה הממקסמת את השטח, היא חוסמת מעגל; עדיין ייתכן שיש סדרה של עקומות באותו אורך, החוסמות שטחים הולכים וגדלים, אף על פי שאף אחת מהן אינה חוסמת מעגל. ויירשטראס הוא שסיפק את ההוכחה המלאה הראשונה במקרה הדו ממדי. ההוכחה הראשונה למקרה התלת-ממדי (ראו למטה) ניתנה בידי המתמטיקאי הגרמני הרמן שוורץ (Hermann Schwarz) ב-1890. ב-1902 פרסם אדולף הורוויץ (Adolf Hurwitz) הוכחה כללית שהסתמכה על טורי פורייה.
הבעיה האיזופרימטרית ידועה גם כ"הבעיה של דידו", על שם דידו, מייסדת קרתגו ומלכתה הראשונה. לפי האגדה, דידו, שנחתה בחופי צפון אפריקה אחרי שברחה מצור, ביקשה מבני המקום רשות להקים עיר על השטח שתוכל לכסות בעורו של פר. היא גזרה את עור הפר לרצועות והקיפה בהן גבעה שלמה, שהספיקה לה לבניית קרתגו. הסיפור מופיע באיניאס של ורגיליוס, שנכתב במאה הראשונה לפנה"ס:
לפי גרסאות אחרות של הסיפור, דידו רצתה כי עירה תפנה אל הים, והקיפה רק חצי עיגול, כשקו החוף משלים את החסר. אם מניחים כי קו החוף ישר, הרי שזו אותה בעיית מקסימיזציה.
הבעיה האיזופרימטרית על הספֵירה.
תהי C עקומה סגורה על ספירה ברדיוס 1, ויהי A השטח התחום בתוכה. אי-השוויון האיזופרימטרי על הספירה אומר כי:
formula_5,
וכי שוויון מתקבל רק אם העקומה היא מעגל. משפט זה הוכח ב-1919 בידי המתמטיקאי הצרפתי פול לוי.
הבעיה האיזופרימטרית במרחבים אוקלידיים ממימד שרירותי.
ניתן להכליל את הבעיה האיזופרימטרית למרחבים אוקלידיים מכל מימד: במרחב ממימד n, השטח המינימלי של צורה המכילה נפח נתון הוא שטח הפנים של ספירה ממימד n-1. עבור מרחבים בני שלושה ממדים, הצורה המתקבלת היא כדור, ואי השוויון הוא:
formula_6
כאשר "V" נפח החלל התחום ו-"A" שטח הפנים של המעטפת.
ככלל, לכל קבוצה formula_7 שלסגור שלה מידת לבג סופית,
formula_8