למרות הצטרפותה של הונגריה לאיחוד האירופי בשנת 2004, המטבע שבשימוש במדינה הוא הפורינט ההונגרי.
פרדיננד דה סוסיר
מוסטפה קמאל אתא טורק
הכח האלקטרומגנטי
משפט החתונה
בקומבינטוריקה, משפט החתונה, שמיוחס למתמטיקאי האנגלי פיליפ הול (1935), הוא משפט שמגדיר תנאי הכרחי ומספיק לבחירת נציגים ייחודיים עבור משפחה של קבוצות.
נניח שיש לנו שתי קבוצות זרות, "קבוצת הנשים" ו"קבוצת הגברים", וכל אישה מעוניינת בחלק מהגברים. נשאלת השאלה, באילו תנאים ניתן לשדך לכל אחת מהנשים גבר יחיד שהיא מעוניינת בו (באופן מונוגמי). ברור כי תנאי הכרחי הוא שמספר הגברים יהיה לפחות כמספר הנשים. ניתן להכליל דרישה זו לכל תת-קבוצה של הנשים. כלומר, תנאי הכרחי הוא שכל formula_1 נשים תהיינה מעוניינות (יחדיו) בלפחות formula_1 גברים. משפט החתונה של הול טוען כי זהו גם תנאי מספיק.
ניסוח פורמלי.
תהא formula_3 משפחה של קבוצות סופיות. קבוצת נציגים ייחודיים של המשפחה הזו היא קבוצה של איברים formula_4 כך שכל שני איברים שונים זה מזה, formula_5, וכן formula_6 (איבר זה הוא הנציג של אותה קבוצה).
על פי משפט החתונה, תנאי הכרחי ומספיק לקיום של קבוצת נציגים ייחודיים למשפחת קבוצות נתונה הוא שלכל תת-קבוצה של המשפחה, formula_7 יתקיים formula_8 כלומר בכל formula_9 קבוצות שונות של המשפחה יש לפחות formula_9 איברים שונים בכל הקבוצות.
קל לראות שהתנאי הכרחי - אם עבור formula_9 קבוצות כלשהן יש פחות מ-formula_9 איברים שונים, בהכרח כל בחירת נציגים עבור הקבוצות תהיה כזו שבה נציג אחד נבחר לפחות פעמיים.
המשפט ניתן להרחבה גם עבור מספר אינסופי של קבוצות, תוך שימוש בלמה של צורן.
למשפט יש גם הרבה שימושים מעניינים שאינם קשורים ישירות לשידוכים. לדוגמה, בהינתן חפיסת קלפים סטנדרטית, שמחולקת באופן שרירותי ל-13 רביעיות, ניתן להראות באמצעות משפט החתונה שניתן לבחור קלף אחד בדיוק מכל רביעייה כך ש-13 הקלפים הנבחרים יכילו בדיוק קלף אחד מכל 'מספר' (אס, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, נסיך, מלכה ומלך).
ניסוח עבור גרפים.
דרך אחרת לנסח את המשפט היא עבור גרפים דו צדדיים. אם formula_13 הוא גרף דו צדדי, אז קיים בו שידוך המכסה את צד formula_14 אם ורק אם לכל תת-קבוצה formula_15 מתקיים formula_16, כאשר formula_17 הוא אוסף השכנים של צמתים ב-formula_18. הדמיון לניסוח הקודם ברור - הקבוצה formula_19 מייצגת את משפחת הקבוצות שעבורן בוחרים נציגים, הקבוצה formula_20 את אוסף האיברים שהקבוצות במשפחה יכולות להכיל, וקשת מייצג קשר של הכלה.
הוכחה.
ההוכחה היא לפי הניסוח של המשפט עבור שידוך בגרף דו צדדי.
formula_21 נתון גרף דו צדדי formula_22 עם צדדים formula_23 ונניח שהשידוך המקסימלי מכסה את כל הקודקודים formula_19. נראה שלכל formula_25 מתקיים formula_26:
נסמן ב-formula_27 שידוך שמכסה את כל הקודקודים ב-formula_19. תהי formula_29 קבוצת כל הקודקודים ב-formula_20 שהותאמו לקבוצה נתונה formula_25. על פי הגדרת שידוך, formula_32. היות שכל האיברים ב-formula_29 הם שכנים של formula_34, מתקיים formula_35 ולכן, formula_36. מכך יוצא ש-formula_37.
formula_38 נתון גרף דו צדדי formula_22 עם צדדים formula_23 ונניח את תנאי המשפט - לכל formula_25 מתקיים ש formula_26.
נסתכל על שידוך בגודל מקסימלי formula_27 לצמתי formula_19. נסמן את הצמתים שאינם משודכים ב formula_19 על ידי formula_46. נניח בשלילה ש formula_47.
מסלול מרחיב הוא מסלול (שיכול להיות ריק) formula_48 בגרף המתחיל בצומת מ formula_49 כך שהקשתות האי זוגיות formula_50 שייכות ל formula_51 והקשתות הזוגיות formula_52 שייכות ל formula_27.
נניח שקיים מסלול מרחיב המסתיים בצומת ב formula_20 שאינו משודך. נוכל להגדיר שידוך חדש formula_55 שגודלו יהיה לפחות formula_56 בסתירה לכך שהשידוך formula_27 הוא מגודל מקסימלי. לכן כל מסלול מרחיב שמסתיים ב formula_20 חייב להסתיים בצומת ששייך לשידוך formula_27.
נגדיר את formula_60 להיות כל הצמתים מ formula_19 שניתן להגיע אליהם עם מסלולים מרחיבים ונסמן formula_62.
אם formula_63 אז הוא שכן של formula_64 כלשהו. אם הקשת formula_65 המחברת ביניהם אינה שייכת לשידוך, אז קיים מסלול מרחיב P המגיע ל- v, ויחד עם הקשת formula_65 מקבלים מסלול מרחיב המגיע ל- u. ממה שהוכחנו קודם, u בהכרח משודך לצומת formula_67 כלשהו על ידי קשת formula_68. נקבל, ש- P יחד עם הקשתות formula_69 הוא מסלול מרחיב המגיע אל w ולכן formula_70. קיבלנו, אם כן, ש- formula_71 מכיל רק צמתים משודכים ב- M, ובנוסף כי כל הצמתים שמשודכים אליו נמצאים ב formula_72. נוכל איפוא לרשום:
formula_73
ומקבלים סתירה לכך ש formula_74 formula_75
מספר האפשרויות.
מהוכחת המשפט ניתן גם לתת חסם תחתון למספר האפשרויות שבהן ניתן לבחור נציגים ייחודיים. אם formula_9 הוא גודלה המינימלי של הקבוצה הקטנה מכל הקבוצות ו-formula_77 הוא מספר הקבוצות, הרי שאם מתקיים formula_78, מספר האפשרויות הוא לפחות formula_79 אפשרויות. אם formula_80, הרי שיש לפחות formula_81 אפשרויות. נשים לב כי זהו חסם נמוך מאוד, ולעיתים קרובות מספר האפשרויות גדול ממנו בהרבה.
בעיית מניית מספר האפשרויות שבהן ניתן לבחור נציגים ייחודיים, או מניית מספר השידוכים המושלמים בגרף דו צדדי, היא שלמה ל-.
הלוח המוסלמי
לוח השנה המוסלמי, או לוח השנה ההיג'רי (בערבית: تقويم هجري), הוא לוח שנה שעל פיו נקבעים חגי האסלאם ומועדיו. לוח שנה זה הוא לוח שנה ירחי, כלומר מבוסס על מספר קבוע של פעמים שבהן הירח משלים הקפה שלמה סביב כדור הארץ.
עקרונות בסיסיים.
לוח השנה המוסלמי מורכב מ-12 מחזורי ירח, או חודשים, שהם 354–355 יום. יום מוסלמי מתחיל בערב עם שקיעת השמש ומסתיים בשקיעתה הבאה. כל חודש מוסלמי הוא בן 29 או 30 יום וחל עם מולד הירח, הנצפה מיד לאחר שקיעת החמה. מניין החודשים בלוח המוסלמי מבוסס על "ראייה בפועל של מולד הירח" (כלומר, לוח השנה המוסלמי אינו "לוח קבוע"). כאשר ראייה בפועל של מולד הירח אינה אפשרית מיד לאחר שקיעת השמש ביום ה-29, יום זה ייחשב כיום ה-30 לאותו החודש ורק למחרת יחול ראש החודש הבא.
חודשי השנה המוסלמית הם: מֻחַרַם, צַפַר, רביע אל-אוול, רביע א-ת'אני, ג'ומאדא אל-אולא, ג'ומאדא א-ת'אניה, רג'ב, שעבאן, רמדאן, שַׁוַאל, ד'ו אל-קעדה, ד'ו אל-חיג'ה.
כל שנה מוסלמית מתחילה ב-1 במֻחַרַם, החודש הראשון בשנה. מניין השנים המוסלמיות חל למן היום הראשון של שנת ההג'רה, כלומר מ-1 במוחרם, ה-16 ביולי 622. ההג'רה עצמה אירעה במהלך חודש רביע אל-אוול, או ספטמבר 622. להמחשה, שנת 2009 לפי לוח השנה הגרגוריאני, חופפת ברובה לשנת 1430 לספירה המוסלמית. 1 במוחרם לשנת 1430 המוסלמית חל ב-29 בדצמבר 2008, ואילו 1 במוחרם לשנת 1431 המוסלמית חל ב-18 בדצמבר 2009.
בלוח המוסלמי לא נהוג עיבור שנים, והשנה המוסלמית מורכבת מ-12 חודשי ירח בלבד. להגדרה זו אין סייגים. לעומת לוח השנה העברי או לוח השנה הסיני, השנה המוסלמית אינה מתואמת עם השנה הטרופית (קרי, הקפת כדור הארץ את השמש). להמחשה, 33 "שנות שמש" (שנים טרופיות), שוות באורכן בקירוב ל-34 שנים בלוח המוסלמי. לכן, ניתן למצוא כי כל חודש מוסלמי פלוני מקביל לחודש עברי בשנה העברית, אך מדי 2–3 שנים אותו חודש מוסלמי יימצא מקביל לחודש עברי אחר. זאת בשל מנהג עיבור השנים הנהוג בלוח השנה העברי ואינו נהוג בלוח השנה המוסלמי. יחד עם זאת, באיראן ואפגניסטן נהוג לוח השנה ההיג'רי השמשי , שאינו לוח שנה ירחי אלא שמשי.
נכון להיום () הצטבר פער של כ- שנים במניין השנים בין לוחות השנה המוסלמי והגרגוריאני, בעוד על פי המוסלמי חלפו כ- להג'רה, בגרגוריאני עברו .
התאריך המוסלמי היום הוא .
חגי האסלאם ומועדיו.
כאמור, לעומת לוח השנה העברי, לוח השנה המוסלמי מבוסס על מחזורי ירח בלבד ואינו מתואם עם השנה הטרופית. הואיל והשנה המוסלמית קצרה מן השנה הטרופית ואינה מתואמת איתה, יוצא שמדי שנה בשנה חגי האסלאם ומועדיו "נודדים" על פני עונות השנה, בקצב של 10–11 ימים אחורנית (ביחס לשנה גרגוריאנית רגילה). כך יוצא שחגי האסלאם ומועדיו חלים בעונות שנה שונות ולא בעונה קבועה מסוימת. חג מוסלמי המתקיים בקיץ למשך מספר שנים, יתקיים בשנים אחרות בחורף. תופעה זו אינה מאפשרת יצירת חגים עונתיים או חקלאיים (באסלאם אין חגים הקשורים לטבע ולעונות השנה). כצפוי, מדי כמה שנים גם צום הרמדאן זז מעונה לעונה, עובדה המקשה במיוחד על הצמים בצום זה כאשר הצום חל בקיץ.
הלוח הערבי הקדום.
הלוח הערבי הקדום שהיה מקובל בתקופה הטרום איסלאמית, שימש בסיס להחלת הלוח המוסלמי. לעומת הלוח המוסלמי, בלוח הערבי הקדום הונהגו שנים מעוברות כפי שהיה נהוג בלוח השנה הבבלי ועדיין נהוג בלוח השנה העברי.
מנהג עיבור השנים חדל בהחלת לוח השנה המוסלמי. זאת לפי דבר הפסוק בקוראן: "מניין החודשים אצל אללה שנים-עשר חודשים". על-פי המסורת המוסלמית פסוק זה הביא מוחמד מפיו של אללה במהלך חיג'ת אל-ודאע, החג' שקיים מוחמד לפני מותו.
לוח השנה הסיני