לאחר פירוק ההרכב, המשיך מורלו להופיע עם אומנים שונים ולהוציא אלבומים רבים נוספים. בסך הכול השתתף בלמעלה מ-120 אלבומים במהלך הקריירה שלו, כ-60 מהם עם רביעיית דייב ברובק. משנות ה-70 ואילך, לאחר שראייתו הידרדרה, התמקד מורלו בהוראה והוציא תחת ידיו מתופפים רבים (בין תלמידיו גם דייוויד ריץ', מהמורים החשובים לתופים בישראל במהלך העשורים האחרונים). כמו כן, מורלו כתב ספרי הדרכה למתופפים והקליט סרטוני וידאו בהם הוא מלמד את טכניקת התיפוף שלו.
מורלו נפטר בגיל 82 בביתו שבאירוינגטון, ניו ג'רזי.
רפואה טקטית
רפואה טקטית היא ענף בתחום הרפואה הדחופה הטרום אשפוזית (Pre Hospital Trauma Life Support) המתייחסת לטיפול הניתן לפצועים בסביבה הטקטית.
מטרות הרפואה הטקטית: מתן טיפול לפצועים בנקודת הפציעה, מניעת פצועים נוספים והשלמת המשימה.
היסטוריה.
הרפואה הטקטית החלה באמצע שנות ה-90 של המאה ה-20 בארצות הברית. באחד מהקרבות המפורסמים בהם נטל חלק צבא ארצות הברית, קרב הים השחור, עליו מבוסס הסרט בלאק הוק דאון (Black hawk down) פעל כוח שמנה 160 לוחמים מהיחידות המיוחדות של צבא ארצות הברית במוגדישו, סומליה על מנת לתפוס את מנהיג המורדים מוחמד פארח איידיד וסגניו. במהלך ניסיון לכידתו נתקלו הכוחות האמריקאיים בהתנגדות רבה מצד תומכיו של איידיד וניסיון לכידתו עלה בתוהו. לאחר 16 שעות לחימה ספגו הכוחות המיוחדים 78 פצועים, 18 הרוגים ושבוי אחד עד שיצא אחרון החיילים אל שטח ההתכנסות והסתיים המבצע.
מיד לאחר האירועים במוגדישו נעשה תחקיר מקיף על כל אחת ואחת מהפציעות והמסקנה הייתה כי קיים צורך ממשי לאפיין, לאמן ולצייד את כוחות הלוחמים ביכולת רפואית המותאמת לתא שטח הפעילות שלהם ומביאה לידיי ביטוי את המאפיינים הייחודים של סביבה זו ושל הפציעות בה.
בשנת 1996 סיימה מפקדת הכוחות המיוחדים של צבא ארצות הברית לפתח פרוטוקולים רפואיים חדשים המותאמים לטיפול בפצוע טראומה בשדה הקרב ומטמיעה אותם בקרב היחידות המיוחדות. התוצאות המתקבלות משדה הקרב מראות כי הפרוטוקולים החדשים מצליחים להשפיע באופן חיובי על שרידותם של הפצועים וב-2001 קמה הוועדה לרפואה טקטית (Committee for Tactical Combat Casualty Care)ובשנת 2006 פרסמה לראשונה את פרוטוקול הטיפול החדש ב-PHTLS. מאז ועד היום מבססת הרפואה הטקטית את מעמדה כסטנדרט הטיפולי החדש לכל כוח הפועל בסביבה מורכבת ומאוימת.
Tactical Combat Casualty Care - TCCC.
TCCC הוא השם שניתן לפרוטוקול הטיפול בפצוע טראומה בסביבה הטקטית. בשונה מה-PHTLS המתייחס לטיפול בפצוע בסביבה האזרחית, ה-TCCC מכניס למשוואה הטיפולית גם שיקולים טקטיים כגון, איום אפקטיבי, חוסר באנשי רפואה, חוסר בציוד רפואי, רעש, בעיות תקשורת, זמני פינוי משתנים ועוד וכמו כן ביסוס מדעי ומחקרי על אופי הפציעות בשדה הקרב המודרני כגון, פציעות הניתנות להצלה לעומת פציעות קטלניות, מיקום הפציעות הזמן הממוצע שחולף מרגע הפציעה ועד המוות ועוד.
שלבי הטיפול:
ציוד רפואי טקטי.
ציוד רפואי טקטי הוא ציוד בעל מאפיינים ייחודים המותאמים לסביבה הטקטית ולאופי הפציעות. דוגמאות לציוד רפואי טקטי: חסם עורקים, תחבושות המוסטטיות, ערכות לפתיחה כירורגית של דרכי האוויר, ציוד ניטור ועוד.
ציוד זה פותח במיוחד לסביבה טקטית ועל כן עליו להיות קומפקטי, עמיד, קל נשיאה, בעל צבעים כהים ואופן שימוש פשוט ויעיל.
רפואה טקטית בישראל.
לישראל חלק מרכזי בתחום הרפואה הטקטית העולמית, אף על פי שנכון להיום צה"ל לא אימץ באופן מלא את ה-TCCC. הצבא הישראלי רווי ניסיון, מוביל ויוזם מחקרים רבים בתחום ובוחן דרכים ושיטות לאמן את הלוחמים ואנשי הרפואה להעניק טיפול מיטבי בשדה הקרב.
ניתן לראות בצה"ל מספר שינויים שנעשו עם התקדמות והתפתחות הנושא כדוגמת הצטיידות בתחבושות המוסטטיות, חסמיי עורקים מתקדמים ועוד.
בשוק הפרטי, ישנן בישראל מספר חברות אשר מציעות שירותים בתחום הרפואה הטקטית כגון אימונים, ציוד ועוד. חלק מהחברות מספקות שירותים אלה לצבא ולארגוני ביטחון אחרים.
שער דמשק
מספר קרמייקל
בתורת המספרים, מספר קרמייקל או מספר פסאודו-ראשוני מוחלט הוא מספר טבעי פריק formula_1 המקיים את מסקנת המשפט הקטן של פרמה: formula_2 לכל formula_3 שלם.
המספרים נקראים כך על שם המתמטיקאי רוברט דניאל קרמייקל, שמצא את מספר קרמייקל הקטן ביותר: formula_4, והעלה את ההשערה שישנם אינסוף מספרים כאלו.
רקע.
משפט פרמה הקטן קובע שאם n ראשוני, אז formula_5 לכל formula_3. כאשר n אינו ראשוני השוויון בדרך כלל אינו מתקיים, ואפשר לבסס על כך מבחנים פשוטים לראשוניות של n. אם n אינו ראשוני ובכל-זאת formula_5, הוא נקרא פסאודו-ראשוני ביחס ל-b. מספרי קרמייקל הם פסאודו-ראשוניים ביחס לכל הבסיסים.
מספרי קרמייקל נדירים יחסית. למשל, יש 20,138,200 מספרי קרמייקל בין 1 ל-1021, כלומר בערך 1 מכל 50 מיליארד מספרים בטווח זה, והם נעשים נדירים יותר ככל שהמספרים גדלים.
קריטריון קורסלט.
התנאים הבאים שקולים עבור מספר פריק formula_1:
השקילות של 1 ו-2 קרויה קריטריון קורסלט (Korselt). קריטריון זה משמש לזיהוי מספרי קרמייקל באלגוריתמים לבדיקת ראשוניות כמו אלגוריתם מילר-רבין. מסקנה מיידית מקריטריון קורסלט היא שכל מספרי קרמייקל הם אי-זוגיים: מתנאי 1 נובע שקיים למספר קרמייקל formula_1 מחלק ראשוני אי-זוגי formula_10 (כי הוא לא חזקה של 2). כעת, אם מספר קרמייקל הוא זוגי, לפי תנאי 2 נובע formula_17. אבל formula_18 הוא אי-זוגי, ואילו formula_19 הוא זוגי, ומספר זוגי לעולם לא יכול לחלק מספר אי-זוגי. ולכן לא ייתכן ש-formula_1 הוא מספר זוגי.
מסקנה נוספת: למספר קרמייקל יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים. אחרת המספר הוא מהצורה formula_21 כאשר p,q ראשוניים, ו-p-1 מחלק את formula_22, כלומר p-1 מחלק את q-1; וגם להפך; לכן p=q, בסתירה לתנאי הראשון.
הוכחה.
1 גורר את 2: נניח ש-formula_1 חופשי מריבועים ולכל מחלק ראשוני formula_10 שלו מתקיים גם formula_11. ראשית נניח ש-formula_3 זר ל-formula_1. לכל גורם ראשוני formula_10 של formula_1 מתקיים formula_30 לפי משפט פרמה הקטן, ולפי משפט השאריות הסיני נובע מכך שגם formula_31. שנית נניח ש-formula_3 ראשוני המחלק את formula_1. לכל גורם ראשוני formula_34 מתקיים formula_35 מאותה סיבה כמו במקרה הראשון, ולכן formula_36, ומכאן ש-formula_37. אבל כל מספר אפשר לכתוב כמכפלה של מספר זר ל-n וגורמים ראשוניים המחלקים את n, ולכן הטענה formula_37 נכונה לכל formula_39.
2 גורר את 3: אם b זר ל-n, אז formula_14 נובע מההנחה formula_12 משום ש-b הפיך מודולו n.
3 גורר את 1: יהי formula_42 מחלק שהוא חזקת מספר ראשוני. אם p=2 נניח מלכתחילה ש-formula_43. בעזרת משפט השאריות הסיני, נבחר מספר a שהוא גם שורש פרימיטיבי formula_44 של formula_45 (זהו איבר מסדר formula_46 בחבורת אוילר formula_47; נאלצנו להניח ש-formula_45 אינו מתחלק ב-8, משום של-8 אין שורש פרימיטיבי), וגם זר לכל גורם ראשוני אחר של n. לכן a זר ל-n, ולפי ההנחה formula_49, ולכן גם formula_50. מכאן ש-formula_51 מתחלק בסדר של formula_44 בחבורת אוילר formula_53, כלומר formula_54. בפרט, formula_55, כנדרש. לצד זה, אם r&gt;1 מתקבל גם formula_56, וזו סתירה לכך ש-formula_57, ומכאן ש-formula_1 גם חופשי מריבועים.
דוגמאות למספרי קרמייקל.
קורסלט היה הראשון שציין תכונות של מספרי קרמייקל, אך הוא לא מצא דוגמאות למספרים כאלו. ב-1910, מצא קרמייקל את מספר קרמייקל הקטן ביותר, formula_59, ומשום כך נקראים המספרים על שמו. ניתן לראות ש-formula_59 מקיים את תנאי משפט קורסלט: הפירוק לגורמים formula_61 לא מכיל ראשוני ממעלה שנייה, ומתקיים formula_62 וגם formula_63 וגם formula_64.
מספרי קרמייקל הבאים הם ():
התפלגות.
נסמן ב-formula_71 את מספר מספרי קרמייקל שקטנים או שווים ל-formula_72. התפלגות מספרי קרמייקל לפי חזקות 10 היא:
בשנת 1953, הוכיח קנדל (Knödel) את החסם:
עבור formula_74 קבוע כלשהו.
ב-1956, שיפר ארדש את החסם:
עבור formula_76 קבוע כלשהו.
ההערכה של formula_76 עבור X=10^N כאשר N הולך וגדל היא באזור: formula_78.
לכיוון השני, הוכיחו ב-1994 ויליאם אלפורד, אנדרו גרנוויל וקרל פומרנץ שקיימים אינסוף מספרי קרמייקל. בפרט, הם הוכיחו שעבור formula_72 גדול דיו:
ב-2005 שיפר הרמן את החסם ל:
צ'רניק הבחין ב-1939 שכל מספר מהצורה formula_82, כאשר שלושת הגורמים ראשוניים, הוא מספר קרמייקל. השאלה האם קיימים אינסוף מספרי קרמייקל מצורה זו היא בעיה פתוחה.
לו וניבור מצאו ב-1992 כמה מספרי קרמייקל גדולים במיוחד, כולל מספר קרמייקל עם 1,101,518 גורמים ומעל 16 מיליון ספרות.
השערת להמר.
המספר הטבעי n הוא מספר קרמייקל אם האקספוננט formula_83 של חבורת אוילר של n מחלק את n-1. מכיוון שהאקספוננט תמיד מחלק את הסדר formula_84, הדרישה formula_85 היא דרישה חזקה יותר. השערת להמר , שעודנה פתוחה, קובעת שאין מספרים כאלה שאינם ראשוניים.
חנה חייטין
חנה חֶיְיטין-ויינשטיין (באנגלית: Khana Kheytin-Weinstein; 1925–2004) הייתה משוררת יידית.
ביוגרפיה.
חֵייטין נולדה בשנת 1925 בשאוולי שבליטא. היא הייתה תלמידה בגימנסיה העברית בעיר. עם סיום הלימודים בגימנסיה, יצאה לעיר קובנה כדי ללמוד להיות גננת, ובתום הלימודים שבה אל עיר הולדתה.