קירוב מספרים נעשה בדרך כלל על ידי עיגול המספר לדיוק מסוים (לערך שלם, לדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית וכיוצא בזאת). שגיאת הקירוב במקרה זה נקראת על פי רוב שגיאת עיגול. מספרים רציונליים ניתן להציג בדיוק מלא בכתיב כשבר עשרוני, ולכן ייצוגם בקירוב נעשה משיקולי נוחות. מספרים אי-רציונליים לא ניתן להציג בדיוק מלא בכתיב כשבר עשרוני, משום שמספר הספרות שלהם מימין לנקודה העשרונית הוא אינסופי ואינו מחזורי, ולכן הצגתם כשבר עשרוני מחייבת קירוב, שבו מוצגות רק הספרות הראשונות שמימין לנקודה העשרונית.
אינטואיטיבית, המילה עיגול נובעת מכך שניתן לדמיין כל מספר כעיגולים והעיגול האחרון הוא השלם או חלק מהשלם האחרון, ועיגולו לשלם נעשה באמצעות מילויו (עיגול כלפי מעלה) או ריקונו (עיגול כלפי מטה).
ערכם של מספרים טרנסצנדנטיים שונים מחושב כסכום של טור אינסופי מתאים. כאשר קיימים טורים אחדים המתכנסים למספר הנדרש, ניתן להשוות ביניהם בהתאם ליעילות שבה מושג הקירוב הנדרש באמצעות כל טור. טור שבו הקירוב הנדרש (למשל 5 ספרות מימין לנקודה העשרונית) מושג באמצעות סיכום של מספר קטן יותר של איברי הטור, נחשב יעיל יותר.
קירוב פונקציות.
קירוב פונקציות מתמטיות נעשה בדרכים רבות, אך ביסודן עיקרון דומה: פירוק הפונקציה לגורמים בעלי סדר גודל הולך וקטן ובחירת האיברים הדומיננטיים ביותר. תורת הקירובים באנליזה נומרית היא ענף שלם העוסק בכך.
טור טיילור למשל מאפשר לבצע קירוב פולינומי מסדר כלשהו לפונקציה מתמטית בסביבת נקודה קבועה כלשהי. אם משמיטים את כלל האיברים פרט לאיבר מסדר אפס ולאיבר הליניארי - מתקבל קירוב ליניארי לפונקציה (קירוב מסדר ראשון). אם מוסיפים גם את האיבר הריבועי, מתקבל קירוב מסדר שני וכן הלאה. התמרת פורייה מאפשרת לקרב את הפונקציה על ידי בחירת התדרים הבולטים ביותר, גם כאן, ככל שיותר תדרים יתווספו לקירוב, כך שגיאת הקירוב תהא קטנה יותר.
על פי רוב האיברים קלים לחישוב ולכן מועדפים לצורך ניתוחים אנליטיים, וככל שנבחרים יותר איברים לייצג את הפונקציה - כך הקירוב טוב יותר, אך בעלות חישוב גבוהה יותר. דוגמה נפוצה לקירוב פונקציה מתמטית היא קירוב זווית קטנה המספק קירוב מסדר ראשון לחישוב של הפונקציות הטריגונומטריות עבור זוויות קטנות.
קירובים שימושיים הנובעים מטורי טיילור.
הקרובים תקפים עבור מספרים קטנים, formula_1:
קירוב צורות.
קירוב צורות גאומטריות בדרך כלל מתייחס לצורה מורכבת או לא מוגדרת כאל אחת מהצורות הבסיסיות לצורך פישוט החישובים הקשורים באותה הצורה. דוגמה נפוצה לקירוב צורות ניתן לראות בחישובים הנוגעים לצורתו של כדור הארץ. מרבית הניתוחים הפיזיקליים מתייחסים לכדור הארץ כאל כדור מושלם, אף על פי שהוא למעשה גאואיד. למרות שניתן להשתמש בניתוח הפיזיקלי בנוסחאות הגאואיד, הקירוב לכדור מדויק מספיק למרבית הצרכים (חישובי כבידה לדוגמה) ומקל משמעותית על הניתוח ולכן מעדיפים להשתמש בו. אם נדרש דיוק יוצא דופן בניתוח, למשל בשיגורי מעבורות לחלל וכיוצא בזאת, קירובים גסים כגון אלו אינם מבוצעים ומשתמשים בערכים המדויקים יותר (שגם הם על פי רוב קירובים בפני עצמם, אך בעלי שגיאה נמוכה יותר).
קירוב (מתמטיקה)
שגיאת קירוב
שגיאת קירוב בנתונים מוגדרת כמידת חוסר ההתאמה שבין הערך המדויק לבין הקירוב שלו. שגיאת קירוב נובעת ממדידה לא מספיק מדויקת של הנתונים (בגלל מכשירי המדידה) או בשל שימוש מודע בקירובים במקום בערכים מדויקים (למשל 3.14 במקום formula_1). במתמטיקה, באנליזה נומרית, היציבות הנומרית מציינת את מידת דיוקו של האלגוריתם הנומרי ובהתאם את שגיאת הקירוב המוערכת שלו. בקירוב ערכים מספריים נקראת שגיאת הקירוב על פי רוב שגיאת עיגול.
שגיאת קירוב יכולה להימדד באופן מוחלט, כלומר בסדר הגודל של ההפרש בין הערך המדויק לערכו של הקירוב, או באופן יחסי ואז השגיאה תימדד באחוזים או בקטע היחידה. למשל אם הערך המדויק הוא 100 והקירוב הוא 99, אז השגיאה המוחלטת תהיה 1, והשגיאה היחסית תהיה 1/100=0.01=1%. השגיאה היחסית משמשת לעיתים קרובות להשוואה בין קירובים מספריים של ערכים שונים משמעותית. שגיאה מוחלטת של 1 למשל היא הרבה יותר משמעותית כאשר הערך המדויק הוא 100 מאשר שגיאה מוחלטת של 1 כאשר הערך המדויק הוא 1,000,000 ושימוש בשגיאה יחסית יכול להציג זאת נאמנה (0.01 לעומת 0.000001).
הגדרות.
בהינתן ערך מספרי מדויק "v" וקירוב לאותו הערך "v"approx, השגיאה המוחלטת היא:
כאשר השגיאה נמדדת בערך מוחלט שכן אין משמעות לסימן השגיאה.
אם formula_3 אז השגיאה היחסית מוגדרת כ:
והשגיאה היחסית באחוזים היא:
את ההגדרות הללו ניתן להרחיב לוקטורים n-ממדיים על ידי החלפת הערך המוחלט בנורמה ל-n ממד.
גיורגי הראשון מרוסיה
שגיאת עיגול
סולם פרמינגהם
סולם פרמינגהם הוא מדד להערכת מידת הסיכון של אדם לחלות במחלות לב וכלי דם על סמך גורמי הסיכון לטרשת עורקים. סולם זה נבנה על ידי חוקרים מאוניברסיטת הרווארד העוקבים אחרי תושבי העיירה פרמינגהם אשר במדינת מסצ'וסטס, ארצות הברית.
מרכיבי סולם פרמינגהם.
סולם פרמינגהם כולל את גורמי הסיכון הקלסיים לטרשת עורקים, כגון עישון, עודף LDL, חוסר HDL, מין (זכר), גיל, סוכרת ויתר לחץ דם.
קירוב ליניארי
קירוב ליניארי או קירוב מסדר ראשון הוא מושג במתמטיקה המתאר קירוב של פונקציה מתמטית כלשהי באמצעות פונקציה ליניארית (ליתר דיוק, פונקציה אפינית). לקירובים ליניארים יש שימוש נרחב במדעים ובמתמטיקה כדי לקבל קירוב לערך הפונקציה בסביבה של ערך קבוע מראש. היות שפונקציות ליניאריות הן קלות לחישוב ולפתרון, קירובים ליניארים מועדפים כמעט תמיד בניתוחים אנליטיים ונומריים אם הם מספקים את הדיוק הנדרש.
כאשר לפונקציה קיים קירוב ליניארי, נאמר שהפונקציה דיפרנציאבילית.
הגדרה.
בהינתן פונקציה formula_1 על מרחב הממשיים שהיא רציפה וגזירה ושנגזרתה רציפה גם היא בסביבה של formula_2, מתקבל מטור טיילור עבור formula_3 כי:
formula_4
כאשר formula_5 הוא איבר השארית המייצג את סכום האיברים מסדר גבוה יותר. קירוב ליניארי, או קירוב מסדר ראשון, מתקבל על ידי השמטת השארית, כך שמתקבלת הנוסחה:
formula_6
ככל ש-formula_7 יהא קרוב יותר ל-formula_2 כך שגיאת הקירוב תהא קטנה יותר שכן האיברים של החזקות הגבוהות יותר של formula_9 ישאפו מהר יותר לאפס ויהיו זניחים ביחס לאיבר הליניארי ב-formula_9 והאיבר הקבוע.
למעשה הנוסחה שלעיל היא בדיוק משוואת המשיק לגרף של הפונקציה formula_1 בנקודה formula_12.
ניתן לבצע קירוב ליניארי לפונקציות וקטוריות דיפרנציאביליות באופן דומה. לדוגמה, בהינתן פונקציה דיפרנציאבילית formula_13 על המספרים הממשיים, הקירוב הליניארי של formula_13 עבור formula_15 קרובים ל-formula_16 נתון על ידי הנוסחה:
formula_17
דוגמה.
ניתן לחשב קירוב לערך formula_18 על ידי קירוב ליניארי של הפונקציה formula_19, כלומר לחשב את הקירוב על ידי חישוב הערך formula_20.
התוצאה המתקבלת, 2.926, קרובה למדי לערך האמיתי של המספר: 2.924. שגיאת הקירוב המוחלטת היא 0.002, ושגיאת הקירוב היחסית היא 0.0684%.
קירוב מסדר ראשון
גראטיות
כריבדיס
באזאר
באזאר (בכתב לטיני: Bazzar; בטורקית ובטטרית: Pazar; בפרסית: بازار) הוא מונח שמקורו בשפה הפרסית של תקופת האימפריה הסאסאנית, המציין מקום מפגש שבו התנהל סחר חליפין בין-שבטי, או מקטע מיישוב שבו מתנהלים בקביעות חיי מסחר והמכיל בתי מסחר בתחומים שונים.
מאוחר יותר, הופץ השימוש במילה גם לשטחי האימפריה המוסלמית וספיחיה, האימפריה העות'מאנית ודרכן לכל האזורים אשר היו נתונים לשליטתן. הביטוי הפך לחלק מהפולקלור בישויות אילו ולמשל בסיפורי אלף לילה ולילה, חלק מהשתלשלות העלילות, מתרחש בבאזאר, שהיה גם מקום מפגש לקבוצות חברתיות. כמו כן, הפך הביטוי סטריאוטיפ לשווקים במזרח הקרוב, על שלל מאפייניהם כגון מגוון רחב של סחורות ומוצרים בתחומים שונים, רובם בתפזורת. המחירים אינם אחידים, נקבעים במקח וממכר, תוך תחרות קולנית של הסוחרים, על ליבו של הקונה.
בחלק מן המקרים, התפתח מסביב לאתר ששימש כבאזאר מקום יישוב, אשר שמו נגזר מהייעוד המקורי. דוגמה לכך היא העיר פאזארדז'יק בבולגריה.
בערים גדולות התפתח הבאזאר לכדי רובע שלם מהעיר ובערים קטנות יותר, היה זה רחוב ארוך ובו חנויות שונות. במשך השנים התפתחה ארכיטקטורה ייחודית לבאזארים, הם נבנו מקורים עם שערי קשתות למעבר בין החלקים השונים וכן לכניסה והיציאה מהמתחם.
חלק מהבאזארים הקדומים נותרו פעילים גם בימינו; לדוגמה: הבאזאר הגדול שבעיר איסטנבול בטורקיה, והבאזאר בעיר ביטולה שבמקדוניה. אתרים אילו במדינות רבות הפכו למוקדי משיכה לתיירים רבים.
ברבות השנים הפך השימוש במילה לבינלאומי ומציין בנוסף לייעוד המקורי, גם ירידי מכירות של מוצרים משומשים וירידי מכירות לשם צדקה.
זנון מאלאה
טוכטמיש
טוכטמיש (במונגולית: Тохтамыш, נפטר ב-1406) היה החאן האחרון של אורדת הזהב המאוחדת.
אורדת הזהב.
טוכטמיש היה ממוצא מונגולי, מצאצאי ג'ינגיס חאן. בשנת 1377 הוא החל בניסיונות להשתלט על אורדת הזהב, וזאת בתמיכה צבאית של טימור לנג. במהלך שנת 1378 הוא כבש את החלקים המזרחיים והחל להתקדם לכיוון מערב האורדה, אזור שהיה בשליטת ממאי. בשנת 1380, לאחר ניצחון על ממאי, הוא השלים את המלאכה והתמנה לחאן אורדת הזהב. הוא שלח הודעה לנסיכים רוסים על הדחת ממאי וקיבל מהם שגרירים. אף על פי שדמיטרי דונסקוי עמד בראש הכוח הרוסי שניצח את אורדת הזהב בקרב קוליקובו, טוכטמיש אשרר את המשך כהונתו כנסיך.