עבור קרן גאוסיאנית המתקדמת בכיוון ציר z, המשרעת המרוכבת של השדה החשמלי נתונה על ידי
כאן
הפונקציות formula_15 (רוחב הקרן), formula_20 (רדיוס העקמומיות של הקרן) ו-formula_21 (מופע/פאזה) הם פרמטרים שמאפיינים את האלומה הגאוסיאנית ויוגדרו בהמשך.
עוצמת הקרן, ממוצעת על פני הזמן, היא
כאשר formula_23 היא עוצמת האלומה על צירה במותן (z=0,r=0). הקבוע formula_24 הוא העכבה האופיינית של התווך בו נמצאת האלומה. עבור ריק formula_25.
פרמטרים של אלומה גאוסיאנית.
הגאומטריה וההתנהגות של אלומה גאוסיאנית נשלטים על ידי פרמטרי האלומה המתוארים להלן.
רוחב האלומה.
עבור אלומה גאוסיאנית המתקדמת בריק, גודל הכתם שיוצרת האלומה, שנקרא גם "רוחב האלומה", formula_15 יקבל ערך מינימלי formula_18 בנקודה כלשהי לאורך ציר הקרן. נקודה זו, בה רוחב הקרן מזערי נקרא המותן (לפעמים "מותניים") של הקרן (באנגלית: "beam waist"). עבור אלומה גאוסיאנית עם אורך גל formula_28 במרחק z מהמותן, רוחב האלומה נתון על ידי
כאשר ראשית הצירים מוגדרת להיות במרכז האלומה במותן, ו-z נמדד ממותן האלומה.
כמו כן,
נקרא טווח ריילי (או "מרחק קונפוקלי").
טווח ריילי והפרמטר הקונפוקלי.
במרחק z ממותני הקרן השווה לטווח ריילי formula_31, רוחב האלומה הוא:
המרחק בין שתי הנקודות הללו נקרא "הפרמטר הקונפוקלי ("confocal parameter") או "עומק המוקד" ("depth of focus") של הקרן:
רדיוס עקמומיות.
formula_20 הוא רדיוס העקמומיות של חזיתות הגל המרכיבות את האלומה. ערך הרדיוס זה תלוי במיקום לאורך ציר z ונתון על ידי:
במותני האלומה רדיוס העקמומיות אינסופי וחזית הגל מישורית. ככל שמתרחקים מטווח ריילי הרדיוס שואף ל-z, כמו בגל כדורי המתפשט מנקודה גאומטרית. כידוע, גל מישורי אינסופי וגל כדורי הם שני פתרונות של משוואת הגלים. אלומה גאוסיאנית משלבת, מבחינת רדיוס העקמומיות, גל מישורי במותניים עם גל כדורי במרחק גדול.
התבדרות האלומה.
הפרמטר formula_15 שואף לפונקציה ליניארית ב-z עבור formula_37. הזווית בין קו ישר זה לציר הקרן (ציר z) נקרא "התבדרות" ("divergence") הקרן. הוא נתון על ידי:
ההתבדרות הזוויתית הכוללת של הקרן נתונה על ידי:
כלומר, פעמיים זווית הסטייה מהציר.
בגלל תכונה זו, אלומה גאוסיאנית הממוקדת לנקודה קטנה מתבדרת ומתפשטת במהירות כשהיא מתקדמת הרחק ממותניה. כדי למנוע התבדרות גדולה של אלומה גאוסיאנית במרחק גדול יש להתחיל מקוטר מותניים גדול. היחס בין רוחב האלומה להתבדרותה נגרם עקב עקיפה. גם אלומות לא-גאוסיאניות מציגות אפקט דומה, אך קרן גאוסיאנית היא מקרה פרטי ומיוחד בו מכפלת הרוחב וההתבדרות היא הקטנה ביותר האפשרי. במילים אחרות, נוהגים לומר שלאלומה גאוסיאנית יש את איכות האלומה המיטבית האפשרית.
מאחר שהמודל של אלומה גאוסיאנית משתמש בקירוב הפרקסיאלי, הוא נופל ונכשל כאשר חזיתות הגל מוטות בזוויות גדולות מכ-30 מעלות מציר האלומה. מהביטוי לעיל עבור התבדרות האלומה נובע שהמודל המתמטי עבור אלומה גאוסיאנית תקף רק כאשר מותני הקרן גדולים מ-formula_40.
האיכות של אלומת לייזר נמדדת באופן כמותי באמצעות מכפלת פרמטרי האלומה (beam parameter product, בקיצור BPP). עבור אלומה גאוסיאנית, ה-BPP היא מכפלת התבדרות הקרן ברוחב מותניה formula_41. ערך ה-BPP של קרן אמיתית נמצא על ידי מדידת הקוטר המינימלי של הקרן והתבדרותה בשדה הרחוק, ואז ביצוע מכפלת שני המספרים. היחס בין ה-BPP של הקרן האמיתית לבין BPP של קרן גאוסיאנית באותו אורך גל מסומן כ-"M²" (מבוטא "M squared"). הערך של M² עבור קרן גאוסיאנית הוא 1. לכל שאר קרני הלייזר המופקות בפועל מלייזר, הגודל "M²" גדול מ-1, אך עבור קרניים איכותיות קרוב מאוד ל-1.
מופע גוּי.
"פיגור המופע הרוחבי" ("longitudinal phase delay"), או "מופע גוּי" ("Gouy phase") הוא:
זהו המופע (פאזה) של הקרן הגאוסיאנית.
פרמטר הקרן המרוכב.
פרמטר הקרן המרוכב מוגדר על ידי
והוא מספר מרוכב המשמש לתיאור קומפקטי של קרן גאוסיאנית.
יותר נוח בדרך כלל לעבוד עם ההפכי שלו
כאשר formula_15 הוא רוחב הקרן ו-formula_20 הוא רדיוס העקמומיות שלה, כפי שהוגדרו לעיל.
פרמטר הקרן המרוכב ממלא תפקיד מרכזי בניתוח התקדמותה של קרן גאוסיאנית, בייחוד בניתוח של חלל מהוד אופטי באמצעות חשבון מטריצות ABCD הידוע מהקירוב הפראקסיאלי.
במונחי פרמטר האלומה המרוכב q, השדה הגאוסיאני בממד אחד הניצב לציר z מתכונתי ל-
ב-2 ממדים ניתן לכתוב קרן בעלת חתך אליפטי כמכפלה
שעבור המקרה הנפוץ של סימטריה מעגלית, בה formula_49 and formula_50 נותן
זהו תיאור קומפקטי של האלומה הגאוסיאנית.
הספק ועוצמה.
הספק דרך צמצם.
ההספק "P" שעובר דרך צמצם או מפתח עגול ברדיוס r דרך מישור הניצב לכיוון התקדמות האלומה הגאוסיאנית, כתלות במיקום הצמצם "z" ביחס למותן האלומה, הוא:
כאשר:
הוא ההספק הכולל של הקרן.
עבור מפתח בעל רדיוס formula_54, החלק היחסי של ההספק שמועבר הוא
כדי ש-95% מההספק יעברו דרך המפתח, על רדיוסו להיות באורך formula_56.
עוצמה.
את עוצמת השיא של אלומה גאוסיאנית במרחק z מהמותן ניתן לחשב באמצעות כלל לופיטל כגבול של ההספק הכלוא בתוך עיגול ברדיוס r חלקי שטח העיגול (שהוא formula_57):
אנו רואים, אם כן, שעוצמת השיא היא פעמיים העוצמה הממוצעת (אותה מחשבים על ידי סך ההספק חלקי השטח הכלוא בעיגול ברדיוס
formula_15).
התקדמות במרחב במערכת אופטית.
התקדמות של אלומה גאוסיאנית במרחב, בתווך אופטי או דרך אלמנט אופטי ניתן לתאר על ידי השינוי בפרמטר האלומה המרוכב q, או ליתר דיוק בהפכי שלו, כאשר הוא מחושב לפי חשבון מטריצות ABCD לפי הקירוב הפראקסיאלי בשיטה זו, הפרמטר 'q אחרי האלמנט האופטי מתואר על ידי
כאשר A,B,C,D הם פרמטרים התלויים במערכת האופטית ו-q הוא פרמטר האלומה המרוכב לפני האלמנט האופטי.
מרחב חופשי.
עבור מרחב חופשי ההתקדמות של אלומה מ-formula_61 ל-formula_62 מתוארת על ידי
ולכן formula_64.
עדשה.
עבור התקדמות דרך עדשה ניתן לחשב את התקדמות האלומה הגאוסיאנית לפי תכונות התנהגותה אחרי העדשה והעובדה שעדשה הופכת אלומה גאוסיאנית מקורית לאלומה גאוסיאנית אחרת. בפרט, רוחבי הקרניים על העדשה (אך משני צידיה) שווים
ורדיוס העקמומיות שלה מקיים
פתרון שתי המשוואות נותן
מאחר ש- formula_68 ניתן להראות שהשתנות הפרמטר המרוכב דרך עדשה נתונה על ידי
כלומר: formula_71.
מיקום הדמות בעדשה של אלומה גאוסיאנית עם מותן ב-formula_72 נמצא ב-:
ניתן לראות שעבור אלומה שהמותן שלה נמצא במוקד העדשה, המותן של אלומת הדמות יתקבל במוקד מצידה השני של העדשה.
בנוסף, ההגדלה של אלומה גאוסיאנית דרך עדשה היא
מודים מסדר גבוה יותר.
אלומות גאוסיאניות הן רק פתרון אחד אפשרי למשוואת הגלים הפרקסיאלית. ישנן מספר קבוצות של פתרונות אורתוגונליים (זה לזה) המשמשים לתאר קרני לייזר. במקרה הכללי, אם בסיס שלם של פתרונות נבחר, ניתן לתאר כל קרן לייזר כצירוף ליניארי של פתרונות מהבסיס. תכנון הלייזר קובע איזה בסיס של פתרונות הוא השימושי ביותר. במקרים מסוימים, ניתן לתאר את קרן הלייזר כאופן אחד יחיד מסדר-גבוה. אופני (אופן=מוד) הרמיט-גאוס הם הנפוצים ביותר, שכן מערכות לייזר רבות הן בעלות סימטריית שיקוף קרטזית במישור הניצב לכיוון התקדמות האלומה.
אופני הרמיט-גאוס.
אופני הרמיט-גאוס הם תיאור נוח של אלומת לייזר היוצאת מלייזר בו החלל הוא לא בעל סימטריה מעגלית, אלא יש הבחנה בין הכיוון האופקי לכיוון האנכי. במונחי פרמטר הקרן המרוכב q, התפלגות העוצמה במישור x-z פרופורציונלי ל-
כאשר m הוא מספר שלם, formula_76 הוא מספר ממשי, formula_77 היא פונקציית גאמה ו formula_78 היא הפונקציה ההיפרגאומטרית המתלכדת.
מספר תת-משפחות של אופני גאוס ההיפרגאומטריים (HyGG) ניתן לרשום כפונקציות בסל מותאמות (modified), כאקספוננטים מותאמים של מודים גאוסיאניים וכן פולינומי לאגר המותאמים. ברם, משפחת HyGG הם יותר משלמים (כלומר: ישנה יתירות של מודים ולא צריך את כל המשפחה כדי לפרוש את כל המרחב) ולא אורתוגונליים. למרות הפרופיל המסובך שלהם, למודי HyGG יש פרופיל די פשוט במישור הצמצם/מפתח,
וזה מסביר מדוע גל הבא מהולוגרמת קלשון (pitch-fork) הוא תת-משפחה של אופני HyGG. הפרופיל של אופן HyGG כאשר האלומה מתקדמת לאורך formula_80 הוא בעל שינויים משמעותיים ולא יציב מתחת לטווח ריילי.
יחסי ישראל–צרפת
היחסים בין ישראל לבין צרפת (בצרפתית: Relations Israël-France) התאפיינו בדינמיות רבה לאורך השנים. במשך תקופות מסוימות התקיימו יחסים מיוחדים וקרובים מאוד בין שתי המדינות ואילו בתקופות אחרות התדרדרו היחסים עד לכדי קרירות ועוינות. מאז שנת 2005 ישנה התחממות מחודשת ביחסים בין צרפת לבין מדינת ישראל.
היסטוריה.
היווצרותו של קשר ראשוני: המאבק להקמת מדינת ישראל.
בחורף 1939–1940 יזם ד"ר נחום גולדמן הקמת גדוד יהודי שיפעל במסגרת צבא צרפת. הוא נשא ונתן בנושא זה עם השר ז'ורז' מנדל, ועם ראש הממשלה ושר הביטחון אדואר דאלאדיה, והממשלה נתנה הסכמתה, אלא שתבוסת צרפת לגרמניה הביאה לגניזת היוזמה.