בהיסטוריה של המוזיקה, התאוריות המתמטיות, שפותחו על ידי היוונים בין 500 ל-530 שנה לפני הספירה, היוו את הבסיס להבנת הצלילים בפעם הראשונה, ולבניית מערך מרווחים וסולמות. הגילוי כי קיים יחס בין אורכי המיתרים ובין הצלילים המופקים מתנודותיהם, נעשה על ידי פיתגורס. הוא לקח שני מונוקורדים, באחד הוא לחץ על המיתר במיקום מסוים (לדוגמה באמצעו), את השני הוא השאיר מתוח ללא שום לחיצה, פרט על שניהם יחד, ושמע גובהי צליל שונים. פיתגורס גילה כי קיים יחס ישר בין מיקום הלחיצה במונוקורד, לבין הפרשי גובה הצלילים הנשמעים משני המונוקורדים גם יחד. על סמך ממצאים אלו, פיתגורס ניסח את מיקומי הלחיצה במונוקורד, כך שיוכל ליצור מרווחים שונים קבועים, דבר שהיווה בסיס למערך המרווחים המוזיקליים שנוסד בהמשך. בנוסף לתרומה החשובה של תגלית זו לעולם המוזיקה, הייתה לתגלית השפעה עצומה גם על עולם המתמטיקה; בעקבות התגלית, הסיק פיתגורס שניתן לתרגם כל דבר למספרים ושכל דבר הוא התגלמות של מספר או נוסחה מספרית.
לאחרונה, גילה בוגר אוניברסיטת פרינסטון דימיטרי טימוצ'קו (Dmitri Tymoczko), שהיחסים בין הצלילים קיימים בצורות גאומטריות רב ממדיות. טימוקסקו גילה זאת כששרטט בטור, על דף נייר, את כל המרווחים האפשריים שניתן ליצור משני תווים. אחרי שעשה זאת בדק טימוקסקו את האפשרות שישנו דפוס מסוים לתווים.
טימוקסקו חתך את הנייר לשני משולשים, הפך אחד מהמשולשים (והפנה את קודקודו מטה) וחיבר חזרה את המשולשים במקומות שבהם המרווחים חפפו. טימוקסקו הבחין בכך שהמרווח שבקצה אחד של הנייר החדש, היה בדיוק ההיפוך של המרווח שבקצה השני. כשהוא עיקם את הנייר וחיבר את שני קצותיו, המרווחים הסתדרו בשורה.
מרווחים בעלי שני תווים (כאשר התווים מנוגנים בו זמנית), מיוצגים בצורה גרפית על ידי טבעת מביוס, צורה דו ממדית שמוטמעת בתוך מרחב תלת מימדי. כאשר מנגנים יותר משני צלילים בד בבד (אקורד), הצורה הגאומטרית שנוצרת נעשית מסובכת יותר (עם כל צליל שנוסף). אקורדים בעלי שלושה צלילים מיוצגים על ידי צורות תלת ממדיות מעוותות ואקורדים בעלי ארבעה תווים מיוצגים על ידי צורות עם ארבעה ממדים.
יש לציין כי לצורות הנוצרות בדרך כלל יש משמעות בעיני המתבונן (נוצרות צורות בעלות משמעות אסתטית כגון: כוכב, קשתות וכדומה).
ישנם עוד עקרונות מתמטיים רבים שמיושמים בעולם המוזיקה.
ישנם גם עקרונות מתמטיים רבים שחלים על כל הז'אנרים המוזיקליים ושגם יושמו, ללא כוונה, על ידי מלחינים כבר בימי הביניים. המשמעות של ממצאים אלה היא בעיקר להוראה וליישום חוקים מוזיקליים.
ניתוח מוזיקלי.
ניתוח מוזיקלי הוא המאמץ לתאר ולהסביר מוזיקה. ניתוח מוזיקלי, על רגל אחת, הוא מונח כללי המתאר את תהליך הפירוש של כל חלק במוזיקה. הניתוח המוזיקלי מתייחס גם לתחומי ניתוח ספציפיים כמו האנליזה הרשמית או האנליזה הסגנונית.
האנליזה הרשמית מנסה לענות על שאלות העוסקות בהיררכיה ובצורה של המוזיקה, בעוד האנליזה הסגנונית מנסה לתאר את סגנון היצירה. לעיתים קרובות שני התחומים הללו חופפים.
האנליזה המנתחת מבנים הרמוניים עושה שימוש בדרך כלל בספרות רומיות בעת ניתוח. עם זאת, במהלך השנים, כאשר המוזיקה ותורת המוזיקה התפתחו, נוצרו שיטות רבות וחדשות לניתוח המוזיקה והן עושות שימוש בסימונים נוספים לצד או ללא הספרות הרומיות.
שתי שיטות חדשות, שהפכו פופולריות במיוחד, הן: שיטת שנקריין (Schenkerian) ותאוריית נאו- ריימניין (Neo-Riemannian).
שיטת שנקריין מנסה "לצמצם" מוזיקה לשכבות של "חזית", "אמצע" ו"רקע"; לו מייחסים חשיבות רבה יותר.
שיטת הנאו-ריימניין (או השיטה הטרנספורמציונאלית), החלה בתור הרחבה של התאוריות המוזיקליות של הוגו ריימן (Hugo Riemann). יוצרי השיטה, הרחיבו את המונחים התפיסתיים של ריימן על המושגים "צליל" ו"שינוי מוזיקלי", והפכו אותם לשפה מתמטית עשירה העוזרת לנתח מוזיקה.
בעוד ששתי התאוריות הנ"ל החלו כשיטות לניתוח מוזיקה טונאלית, שתיהן הורחבו עם הזמן וכיום משתמשים בהן גם לניתוח מוזיקה אטונאלית.
פיתוח שמיעה.
מיומנות שמיעתית היא היכולת לזהות דפוסים מוזיקליים בעזרת האוזן (וע"י כך לכתוב תווים משמיעה בלבד). למרות שמונח זה נשמע קצר ופשוט, על המאזין לפתח מיומנות שמיעתית רבה במגוון רחב של נושאים מוזיקליים על מנת שיוכל להגיע לזיהוי כל הדפוסים הקיימים במוזיקה. שמיעה מפותחת היא מיומנות חשובה בשביל מוזיקאי והיא בדרך כלל נלמדת לצד לימודי התאוריה של המוזיקה.
רוב לימודי (או בעצם "אימוני") פיתוח השמיעה, מתמקדים בפיתוח חוש קצב ושמיעה יחסית אצל התלמיד, (שמיעה יחסית היא היכולת לזהות מרווחים מוזיקליים בצורה אינטואיטיבית).
סולפג' (היכולת לשיר מוזיקה לא מוכרת ישירות מהתווים הכתובים וללא סיוע), הוא חלק חשוב ומרכזי בשיעורי פיתוח השמיעה.
שמיעה אבסולוטית היא היכולת לזהות צליל בשמו על פי תדר בלבד, דהיינו - על פי גירוי שמיעתי בודד, ולא בהסתמך על היחס בינו לבין צלילים נתונים אחרים (שלא כמו בשמיעה יחסית).
הרכב מוזיקלי
הרכב מוזיקלי הוא המונח לתיאור קבוצה של מוזיקאים המתאגדים כדי לנגן מוזיקה. ההרכבים במוזיקה ממויינים על פי מספר המוזיקאים המשתתפים בהם ועל פי מגוון הכלים בו הם מנגנים, כמו כן הם ממוינים על פי הז'אנר המוזיקלי אותו הם מנגנים.
מוזיקה קלאסית.
המונחים דואט, שלישייה, קוורטט, קווינטט, סקסטט, ספטט, אוקטט ונונט משמשים כדי לתאר הרכבים מוזיקליים המורכבים משניים, שלושה, ארבעה, חמישה, שישה, שבעה, שמונה או תשעה מוזיקאים (בהתאמה). קוורטט נפוץ במיוחד הוא רביעיית מיתרים, הוא מכיל שני כינורות, ויולה וצ'לו. ישנה גם חמישיית מיתרים - הרכב דומה לרביעיית מיתרים, רק ששם מוכפלת גם הויולה, או הצ'לו. חמישיית פסנתר היא בדרך כלל חמישייה המכילה רביעיית מיתרים ופסנתר. עוד הרכב נפוץ מאוד במוזיקה הקלאסית הוא חמישיית כלי נשיפה, המכילה חליל צד, אבוב, קלרינט, בסון וקרן יער.
הרכב גדול יותר המכיל יותר כלים הוא התזמורת. תזמורת קטנה נקראת תזמורת קאמרית, שבה יש אותם כלים כמו בתזמורת הסימפונית, רק שבה מכל כלי יש אחד, בעוד שתזמורת גדולה תקרא תזמורת סימפונית. תזמורת סימפונית יכולה להכיל עשרות ואף יותר ממאה כלי נגינה, והיא מחולקת לסקציות (מחלקות): כינורות, ויולות, צ'לים, קונטרבסים, כלי נשיפה מעץ, כלי נשיפה ממתכת וכלי הקשה. כמו כן, ישנה הסינפונייטה, זוהי תזמורת קטנה יותר מהתזמורת הסימפונית, אך גדולה יותר מן התזמורת הקאמרית.
תזמורת מיתרים היא תזמורת המורכבת רק מכלי מיתר (קלאסיים בדרך כלל), כלומר: כינורות, ויולות, צ'לים וקונטרבסים.
ג'אז.
בג'אז, שלישייה סטנדרטית תהיה מורכבת מפסנתר, תופים ובס (גיטרה בס או קונטרבס). קוורטט "סטנדרטי" בג'אז יהיה מורכב משלישייה סטנדרטית וכלי נשיפה.
הרכבים גדולים במיוחד המנגנים ג'אז (מקבילים לתזמורת הסימפונית) נקראים ביג־בנד, בעוד שהרכבים צנועים יותר (מקבילים לתזמורת הקאמרית) נקראים קומבו.
מוזיקה קלה.
במוזיקה קלה (רוק, פופ וכדומה) הרכב נקרא להקה והוא בדרך כלל לא מכיל יותר מ-6 מוזיקאים (אף על פי שישנם יוצאי דופן). להקות רוק ופופ מורכבות בדרך כלל מזמר, גיטרה מובילה, גיטרת ליווי, גיטרה בס, מערכת תופים ולעיתים גם קלידים. לעיתים אחד מחברי הלהקה שר ומנגן באחד הכלים (בדרך כלל גיטרה) בו זמנית.
ישנן להקות שנולדו מהתאגדות טבעית של החברים בהן, וישנן להקות אחרות שהוקמו באופן מתכונן על ידי מפיקים או חברות התקליטים המממנות אותן.
בין להקות הרוק הפופולריות או המשפיעות מקובל למנות את "הביטלס", "הרולינג סטונז", "לד זפלין", "קווין" ו"פינק פלויד", חמשתן להקות בריטיות שהחלו את פעילותן בשנות ה־60 של המאה ה־20. בשנות ה־90 של המאה ה־20 נחשבה להקת "נירוונה", מסיאטל, ארצות הברית, ללהקה המשפיעה ביותר.
במוזיקה אלקטרונית פחות נפוצים הרכבים מוזיקליים.
קשר קוולנטי
קשר קוֹוָלֵנְטִי (בעברית: קשר שיתופי) הוא קשר כימי בין שני אטומים על ידי שיתוף אלקטרון ערכיות (ברמה הקוולנטית).
האל-מתכות משתפות ביניהן מספר אלקטרונים מאלקטרוני הערכיות שלהם. בקשר קוולנטי כל אטום משני אטומי הקשר תורם לקשר מספר זהה של אלקטרונים - ועל שם כך הקשר נקרא "קוולנטי" ("קו" - שיתוף, "וולנט" - ערכיות).
קשר קוולנטי הוא אחד משלושת סוגי הקשרים הכימיים הראשוניים, יחד עם קשר יוני וקשר מתכתי, ומהווה אחד מן הקשרים הכימיים החזקים ביותר.
אלקטרוני הקשר ממלאים יחדיו אורביטלי מולקולרי, כאשר צפיפות ענן האלקטרונים באורביטלים (אלקטרושליליות) אלו סביב אטומי הקשר יכולה להיות:
אלקטרונים.
בדומה לכל הקשרים הכימיים הראשוניים: הבסיס ליצירת קשר קוולנטי הוא השאיפה של האטומים להיות בעלי סידור אלקטרונים שלם, בו כל הקליפות והאורביטלים בהן, מלאות או ריקות לחלוטין מאלקטרונים, בדומה לסידור האלקטרונים של אטומי הגזים האצילים. במקרה של מפגש בין שני אטומי אל-מתכת, האטומים מושכים את האלקטרונים אחד של השני ומספקים שאיפה זו על ידי שיתוף מספר אלקטרונים אשר יחדיו ימלאו את רמת האלקטרונים המאוכלסת החיצונית ביותר שלהם. הרי שכל הרמות מתחת כבר מלאות, מילוי אותה רמה יביא לסידור אלקטרונים שלם.
סידור האלקטרונים.
כל אורביטל יכול להכיל אלקטרון בודד עד שניים. לאלקטרונים עדיף אנרגטית להתפרס באורביטלים בעלי רמת אנרגיה זהה, ביחידים. על פי כלל הונד רק ברגע שכל האורביטלים מאוכלסים על ידי אלקטרון בודד יתמלאו אורביטלים מאוכלסים כבר. ובשום צורה לא לפני כך.