ביום הראשון להקרנותיו בארצות הברית וקנדה, הסרט גרף הכנסות של כ-$5,800,000. בסך כל סוף השבוע הראשון, הוא התמקם במקום השלישי עם הכנסות של $21,312,625. זו הייתה הפתיחה השלישית הכי נמוכה מסרטי דרימוורקס בכל הזמנים, ובהתאמה לאינפלציה ומחירי תלת-ממד - הנמוכה ביותר. ההכנסות המקומיות היוו אכזבה עבור אולפני ההפקה, שציפייתם עבור סרטיהם בקופות אלו הייתה "בין $150,000,000 ל-$200,000,000". על אף שפתח את סוף השבוע הראשון להקרנותיו במקום הראשון ב-32 מדינות, וזכה להצלחה בסין, דרום קוראה וונצואלה, סך הכנסותיו בקופות הבינלאומיות היו נמוך גם כן. ג'פרי קצנברג, המנכ"ל, ייחס את ההכנסות הנמוכות לתאריך יציאתו של הסרט לאקרנים, בו הוא נאלץ להתחרות בקרב על הקהל עם חמישה סרטי הנפשה אחרים, באמצע הקיץ העמוס גם כך. בתחילת 2014, לאחר חישובי הוצאות והכנסות השנה החולפת, קצנברג אישר כי אולפני ההפקה הפסידו כ-$13,500,000 בעקבות הכנסותיו הנמוכות של הסרט, שלדבריו "לא עמד בציפיות שלנו". מאוחר יותר, באמצע השנה, האולפנים נאלצו לספוג ממנו הפסד נוסף, של כ-$2,100,000.
אנטוניו לופז גרסיה
אנטוניו לופז גרסיה (בספרדית: Antonio López García; נולד ב-6 בינואר 1936) הוא צייר ופסל ספרדי, אשר ציוריו מתאפיינים בסגנון סוריאליסטי והיפר-ריאליסטי.
אודות.
נולד בעיר טומליוסו שבמרכז ספרד, כמה חודשים לפני פרוץ מלחמת האזרחים הספרדית, למשפחה של חקלאים. דודו, אשר היה צייר, שם לב לכישרונו ונתן לו שיעורי ציור. בשנת 1949 עבר גרסיה למדריד והתקבל ללימודים באקדמיה לאמנות יפה של סן פרננדו, שם למד בין השנים 1950 ל-1955. במהלך הלימודים פגש בציירת מריה מורנו-אלסו, עמה התחתן בשנת 1961. בשנת 1955 זכה במלגה ללימודים באיטליה, שם התעמק בציור איטלקי בתקופת הרנסאנס.
כבר בשנת 1957 החלה יצירתו להפגין מאפיינים סוריאליסטים שונים, כמו עצמים ודמויות מרחפות באוויר, ואובייקטים המופיעים שלא בסביבה הרגילה שלהם. סגנון זה אפיין אותו לפחות עד לשנת 1964.
האחים הטהורים
האחים הטהורים (פרסית: اخوان الصفا) הייתה אגודת סתרים של פילוסופים מוסלמים אשר פעלו בבצרה שבעיראק במאה ה-10 לספירה. הארגון וזהות חברי הקבוצה לא נהירים לחלוטין לחוקרים מודרניים. יצירתה המרכזית של הקבוצה הן "אגרות האחים הטהורים" , מעין אנציקלופדיה המורכבת מ-52 איגרות. יצירה זאת השפיעה רבות על העולם והמחשבה המוסלמית במהלך השנים, בין השאר על הפילוסוף הנודע אבן ערבי, ועל התקבלות המחשבה האפלטונית בה.
פרדוקס גיבס
בתרמודינמיקה ובמכניקה סטטיסטית, פרדוקס גיבס (על שמו של ג'וסיה וילארד גיבס) הוא סתירה לכאורה, הנוצרת כאשר האנטרופיה של גז אידיאלי במערכת מחושבת ללא התחשבות בחילופיות של חלקיקים, זאת אומרת תוך התייחסות לתמורות של מצבים זהים כשונים. האנטרופיה המחושבת באופן כזה יוצרת ערך שאינו אקסטנסיבי, דבר המוביל לסתירה של החוק השני של התרמודינמיקה, ולהיותה של האנטרופיה פונקציית מצב.
בכלים של תרמודינמיקה בסיסית, פתרון הפרדוקס לא מתאפשר- הדבר נובע מכך שהגדרת האנטרופיה בתרמודינמיקה מתבססת על גדלים מאקרוסקופיים בלבד, וההבחנה בין חלקיק לחלקיק אינה נלקחת בחשבון.
על מנת לפתור את הפרדוקס, יש להשתמש בהגדרה הסטטיסטית של האנטרופיה, המקשרת בינה לבין מספר המצבים האפשריים בהם המערכת יכולה להימצא (פונקציית הריבוי).
תיאור הפרדוקס בתרמודינמיקה.
נתבונן בשתי מערכות סגורות זהות של formula_1 חלקיקים זהים בנפח formula_2, עם אנרגיה פנימית כוללת formula_3, אותן נסמן כ-formula_4. נחכה להגעת המערכות לשיווי משקל תרמודינמי. במצב זה, מעקרון המקסימום של האנטרופיה , האנטרופיה formula_5 בשתי המערכות מקסימלית, ובהתאם לחוק השני של התרמודינמיקה היא גם קבועה. כעת, נציב מחסום באמצע מערכת formula_6, כך שנקבל שתי מערכות בנפח formula_7, עם מספרי חלקיקים formula_8. ניקח מספר חלקיקים formula_1 גדול מספיק ביחס לנפח של המערכת, כך שנוכל להניח כי formula_10 (ההסתברות לכך שאחד מצדי המחיצה ריק שואפת ל-0).
נחכה שמערכת formula_11 תגיע לשיווי משקל תרמודינמי, ונסמן את האנטרופיה שלה כ-formula_12. כעת, נסיר את המחיצה מהמערכת, ושוב נחכה להגעה לשיווי משקל. את האנטרופיה הסופית במערכת נסמן כ-formula_13 בעזרת הנוסחה לשינוי אנטרופיה בתהליך של ערבוב נקבל כי
כאשר formula_15 הוא קבוע בולצמן.
ברם, נשים לב כי המערכת formula_6 נמצאת כעת במצב תרמודינמי זהה לחלוטין לזה של מערכת formula_17, ועל כן, מכיוון שהאנטרופיה היא פונקציית מצב, בהכרח מתקיים formula_18. אם כך, קיבלנו כי בהוספת המחיצה למערכת formula_6, השינוי באנטרופיה הוא
וזאת בסתירה לחוק השני של התרמודינמיקה.
יתרה מכך, קיבלנו סתירה להיותה של האנטרופיה פונקציית מצב של המערכת- כאשר הוספנו את המחיצה למערכת formula_6, על אף שלא דרשנו זאת מפורשות, ניתן להיווכח כי המערכת נותרה בשיווי משקל (לא הוסרה מגבלה כלשהי מהמערכת). עם זאת, האנטרופיה השתנתה בהוספת המחיצה, דבר שאינו מתיישב עם כך שהאנטרופיה היא פונקציית מצב, ועם כך שהיא גודל אקסטנסיבי (במקרה זה לא ניתן להסתכל על האנטרופיה של מערכת formula_6 כסכום של האנטרופיה בשתי תתי מערכות משלימות ב-formula_6).
תיאור הפרדוקס במכניקה סטטיסטית.
נתבונן במערכת תרמודינמית בה formula_1 חלקיקים זהים בלתי תלויים זה בזה (האנרגיה של כל חלקיק אינה מושפעת מזו של שאר החלקיקים), המצומדת לאמבט חום אינסופי בטמפרטורה formula_25, כך שטמפרטורת המערכת קבועה ושווה לזו של אמבט החום. במקרה זה, מדובר במערכת המתאימה לצבר הקאנוני. בהתאם לכך, נרצה לחשב את פונקציית החלוקה, formula_26, בעזרתה נוכל לקבוע את כל הגדלים התרמודינמיים במערכת.
ביטוי שגוי לפונקציית החלוקה של המערכת.
נציג הוכחה שגויה לכך שעבור שני חלקיקים זהים בלתי תלויים זה בזה, פונקציית החלוקה הכוללת formula_27 היא מכפלת פונקציות החלוקה של כל אחד מהחלקיקים, כלומר
formula_28. השוויון השני נובע מכך שהחלקיקים זהים.
פונקציית החלוקה מוגדרת על ידי: formula_29, כאשר הסכום הוא על כל המצבים האפשריים של המערכת. formula_30 היא האנרגיה במצב ה-formula_31, T היא הטמפרטורה ו-formula_15הוא קבוע בולצמן. החלקיקים בלתי תלויים, ולכן מתקיים:
ואכן "הוכחנו" את הרצוי. המעבר שסומן בכוכבית הוא המעבר השגוי, והסיבה לכך שאינו נכון תוסבר בהמשך.
אם כך, במערכת התרמודינמית הנתונה, הוכחנו שלכאורה מתקיים formula_34. בהתאם, האנרגיה החופשית של הלמהולץ במערכת זו היא
על מנת להמשיך מכאן, עלינו לדעת מה היא formula_36, שכן האנטרופיה נתונה על ידי הביטוי
חישוב שגוי עבור גז אידיאלי.
על מנת לחשב פונקציית החלוקה עבור אטום יחיד של גז אידיאלי מונואטומי בקופסה בנפח formula_2, יש לפתור את בעיית החלקיק בקופסה. לאחר החישוב, פונקציית החלוקה נתונה בקירוב על ידי:
כאשר formula_40 היא "הצפיפות הקוונטית של המערכת". על כן, בעזרת הביטוי הנ"ל של האנרגיה החופשית של המלהולץ, נקבל
כעת, אם ניקח זוג מערכות זהות בנפח formula_2 המכילות גז אידיאלי מונואטומי בלחץ וטמפרטורה שווים, האנטרופיה של זוג המערכות המופרדות ביחד תהיה לכאורה
אם נפתח בחזרה את המחסום בין שתי המערכות, נקבל מערכת אחת עם formula_44 חלקיקים ונפח של formula_45 כך שהאנטרופיה תהיה כעת
קיבלנו שעם פתיחת המחסום, האנטרופיה גדלה ב formula_47 אף על פי שאיחוד זוג המערכות הזהות היה בשיווי משקל (מצב בו האנטרופיה מקסימלית), זאת בסתירה להיותה של האנטרופיה פונקציית מצב. בנוסף, ישנה סתירה לחוק השני של התרמודינמיקה- אם כעת נחזיר את המחסום, האנטרופיה לכאורה תקטן בחזרה בערך זה.
דרך נוספת לראות את הבעיה בצורה מעט יותר מתמטית היא להתבונן בביטוי שקיבלנו לאנטרופיה של המערכת. הציפייה היא שכל פונקציית מצב תרמודינמית תהיה גודל אקסטנסיבי- כלומר, שניתן יהיה לכתוב: formula_48. ניתן באופן מיידי לראות כי הדבר לא מתקיים עבור הביטוי שקיבלנו לאנטרופיה- הכפלה פי 2 של מספר החלקיקים תוביל להכפלה פי 2 של האנטרופיה, אך אם מכפילים גם את הנפח פי 2 מקבלים תוצאה שגדולה יותר מהכפלה של האנטרופיה המקורית פי 2.
פתרון הפרדוקס.
הבעיה בחישוב שבוצע לעיל, היא השימוש בכך ש-formula_34. ההוכחה שבוצעה לכך אכן נכונה במקרה שבו החלקיקים שונים זה מזה, וניתן להבדיל ביניהם בצורה כלשהי. עם זאת, במקרה שמתואר בפרדוקס החלקיקים זהים לחלוטין. משמעות הדבר היא שהמצב המיקרוסקופי formula_31 עבורו formula_51, בו לחלקיק 1 יש אנרגיה formula_52 ולחלקיק 2 יש אנרגיה formula_53, זהה למצב formula_54, בו לחלקיק 1 יש אנרגיה formula_53 ולחלקיק 2 יש אנרגיה formula_52.
קיים אם כך צורך להתחשב בחילופיות החלקיקים - כל התמורות האפשריות של אנרגיות החלקיקים צריכות להיספר פעם אחת בלבד בחישוב פונקציית החלוקה.
משיקולים קומבינטוריים, עבור formula_1 חלקיקים זהים לכל מצב אפשרי יש formula_58 תמורות, ולכן פונקציית החלוקה תהיה (בקירוב)
ביטוי זה מקורב שכן מלכתחילה ישנם מצבים שנספרו פעם אחת בלבד- לצורך העניין, במקרה של שני חלקיקים, המצב formula_60 בכל מקרה נספר רק פעם אחת. למרות זאת, אפשר לדרוש ממערכת מסוימת שהסיכוי שלשני חלקיקים שונים תהיה אנרגיה זהה (כלומר החלקיקים יהיו באותו מצב קוונטי) יהיה אפסי, ובמקרה זה החלוקה ב- formula_58 היא אכן קירוב טוב. על התנאי המדויק שהסיכוי יהיה אפסי יורחב בהמשך.
חישוב נכון עבור גז אידיאלי.
ניעזר שוב בקשר formula_62, ומתוכו נקבל: