היוצרים של חבורה יכולים לקיים ביניהם יחסים; למשל, חבורת התמורות של שלושה עצמים נוצרת על ידי התמורות formula_102, המקיימות את היחסים formula_103. חבורה שבין היוצרים שלה אין יחסים כלל נקראת חבורה חופשית; כל חבורה היא חבורת מנה של חבורה חופשית.
את האופן שבו החבורה מכוסה על ידי מלים הולכות ומתארכות מודד קצב הגידול של החבורה. לקצב זה יש קשרים הדוקים למבנה של החבורה.
פעולות יסודיות ואיברים צמודים.
לחבורות יש מעמד מרכזי במתמטיקה בגלל היכולת שלהן לפעול על קבוצות שונות. כמעט בכל מקרה, אוסף הפונקציות ההפיכות ממרחב נתון אל עצמו, השומרות על תכונות מסוימות של המרחב, מהווה חבורה. פעולה של חבורה על קבוצה formula_104 מציגה את אברי החבורה כפונקציות הפיכות מן הקבוצה formula_104 לעצמה, וכך מאפשרת לחקור תכונות מעניינות של formula_104 מחד, ולנתח ביתר קלות את המבנה של החבורה, מאידך.
כל חבורה פועלת על עצמה בשתי דרכים חשובות: על ידי פעולת הכפל (משמאל או מימין), ועל ידי פעולת ההצמדה. פעולת הכפל משמאל מוגדרת באופן שאיבר formula_25 שולח את האיבר formula_26 לאיבר formula_109. בדרך זו הופך האיבר formula_25 לתמורה על אברי החבורה, וכך מתקבלת הוכחה של משפט קיילי: כל חבורה היא תת-חבורה של חבורת תמורות. בפעולת ההצמדה, האיבר formula_25 שולח את formula_26 ל-formula_113; פעולה זו מחלקת את החבורה formula_1 למחלקות שקילות מן הצורה formula_115, הקרויות "מחלקות צמידות". פעולת ההצמדה היא גם אוטומורפיזם של החבורה עצמה, ולכן היא יוצרת הצגה של החבורה, כתת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של עצמה. הצגה זו היא נאמנה אם ורק אם לחבורה יש מרכז טריוויאלי.
כלכלה
כלכלה היא מכלול של פעילות אנושית, המכוונת להשגת האמצעים החומריים הדרושים לאדם לצורך קיומו ורווחתו. כלכלה היא גם תחום מחקר המוגדר על פי רוב כמדעי, העוסק ביחסים האנושיים והחברתיים שקשורים בהשגת אמצעים חומריים, והחוקים והיחסים החברתיים הנוגעים לייצורו וחלוקתו של קניין המשמש לצורכי אדם. בנוסף, המונח כלכלה כולל בתוכו את המסחר בחברה הכוללים את חוקי המדינות והרגולציות לתמרון ושליטה על המסחר במדינה.
המחקר בתחום הכלכלה עוסק באופן בו משאבים נגישים (על סמך ההנחה הבסיסית כי אלה מצויים במחסור), כגון חומרי גלם - משמשים, מעובדים, מיוצרים, מוקצים, מופצים ונצרכים - כמוצרים. כמו כן עוסקת הכלכלה במגוון הקשרים ויחסי החליפין בין בני אדם במהלך ייצור מוצרים, שיווקם וצריכתם. בין השאר, נוגעים תחומי חקר זה בהליכים של ייצור, הפצה, מסחר וצריכה של מוצרים ושירותים.
המונח "אקונומיה" או "אקונומיקה", שפירושו "כלכלה" בשפות רבות הוא מונח שטבע הפילוסוף היווני אריסטו, לתיאור מדע העוסק בחקר חוקי משקי הבית. המילה אקונומיה מורכבת מהמילה היוונית οίκω (אִיקוֹ, בית או משק–בית) עם המילה νέμω (נֶמוֹ או נומוס, חוק). מונחים כמו "כלכלה מדינית", "כלכלה פוליטית", "כלכלה חברתית" או "כלכלה לאומית" שימשו את בני האדם החל מהמאה ה-17, אך במאה ה-20 הפך השימוש במונח "כלכלה" (economics) לבדה כנפוץ ושגור ביותר, בהשראת הספר "עקרונות הכלכלה" של אלפרד מרשל משנת 1890.
הגדרות שונות לכלכלה.
קיימות מספר הגדרות חליפיות לכלכלה. את הפשוטה מביניהן סיפק אדם סמית', מי שנחשב לאבי הכלכלה המודרנית, לפיו כלכלה היא "המדע החוקר את העושר". ביתר פירוט, הכלכלה על פי סמית' היא "חקר הייצור, ההפצה והחליפין" של עושר. ג'ון סטיוארט מיל נתן הגדרה דומה: "המדע המעשי של ייצור והפצת עושר", כאשר את העושר לעניין זה תיאר כ"מלאי הדברים השימושיים".
אלפרד מרשל הסיט את ההגדרה של המדע מעושר לרווחה, כדי לתת ביטוי לפעילות כלכלית שאינה בהכרח קשורה לכסף או מתכות יקרות. לפיכך כלכלה עוסקת במכלול ההיבטים החומריים של החיים והפעילות החברתית המשפיעים על רווחתו ותועלתו של האדם.
ליונל רובינס ניסח הגדרה מודרנית של תורת הכלכלה: כלכלה היא חקר השימוש במשאבים המצויים בצמצום שיש בהם שימושים חלופיים. כלומר, הכלכלה עוסקת בחקר המחסור או בחקר השימוש האנושי באמצעים הנתונים במחסור שיכולים לשמש למטרות שונות. משמעות המונח "מחסור" אינה בצורת או מחסור ביבול וכדומה, אלא שלעולם לא יוכל העולם כפי שהוא בתצורתו הנוכחית לספק באופן מושלם רצון כל אחד שהרי יש גבול וסך מסוים לכל הדברים בעולם, בין אם זה סוגי מתכות, מזון או משאבים אחרים. אם כן כל הדברים והמשאבים המצויים בעולם יש בהם "מחסור" ביחס להשלמת רצון כל האנשים ורווחתם המלאה, ועל בני האדם אפוא להפנות את אותם "משאבים שבצימצום" אל המקומות והצורות שם הם הכי נצרכים והכי מבוקשים. למשל, אדם יכול ליצור מחלב יוגורט או גלידה, או לחלופין לשווקו כמשקה כפי שהוא. בכך עוסקת תורת הכלכלה - להפנות את אותם משאבים אל המקומות בהם הם הכי מבוקשים על ידי האנשים, וכל זה למען רווחתה של החברה האנושית, וכדי שאנשים יחיו ברמת חיים גבוהה יותר. הטענה לפיה לעולם יהיה מחסור כוללת בתוכה רעיונות קודמים על טיבה של ההתנהגות האנושית.
מושגי יסוד בכלכלה.
מוצרים ושירותים.
כל שיטה כלכלית מתמקדת בראש ובראשונה במוצרים (או תוצרים): חומרים שעובדו באופן כלשהו ביד אדם. המכנה המשותף לכל המוצרים הכלכליים הוא, שכולם נוצרו בעקבות מאמץ אנושי מכוון ליצירתם, ויש להם ערך כלשהו עבור היוצר או עבור בני אדם אחרים הצורכים את המוצר. המאמץ האנושי המכוון מודרך על ידי השאיפה להקנות ערך למוצר. כאשר קיים מאמץ כזה ולמוצר יש ערך בעיני יוצרו או בעיני אחרים, ניתן לומר שהוא עבר "כִּילְכּוּל" או "אקונומיזציה"—הוא הפך בעצם למוצר כלכלי. פרי שנקטף הוא מוצר כלכלי וכמוהו גם מטוס, אף שכמותו ומורכבותו של המאמץ הדרוש כדי לייצר אותם משתנה.
בדומה לכך, שירות הוא מוצר שאינו חומרי, אלא פעולה שמבצע אדם המסיבה תועלת, כלומר מייצרת ערך עבורו או עבור אחרים. ייעוץ פסיכולוגי הוא דוגמה לשירות משום שעל אף שאינו מוצר חומרי, יש בו ערך עבור המטופל ונדרש מאמץ אנושי מכוון כדי לספק אותו.
על פי הגדרה זו סך כל המוצרים והשירותים הנצרכים על ידי בני אדם נחשבים כ"רווחה" אנושית.
ייצור באמצעות הון, עבודה ומשאבים נגישים.
הגורמים הראשוניים המעצבים את הכלכלה של חברה מסוימת הם תנאי הסביבה: האקלים, הסביבה הטבעית, תנאי השטח, והמשאבים הנגישים. משאבי הטבע משמשים לייצור מוצרים שונים.
גורם נוסף בייצור הוא ההון - סך כל הנכסים, גם הם כשלעצמם מוצרים, המשמשים לייצור מוצרים אחרים.
הגורם השלישי הוא העבודה, כלומר הזמן והמאמץ שמושקע בתהליך הייצור.
לדוגמה: כדי לעבד יהלום, דרושים כחומר גלם יהלומים גולמיים (משאב טבע), דרושות מכונות לחיתוך, עיבוד וליטוש שלהם (הון), דרושים עובדים מיומנים וזמן עבודה (משאבים), ונדרש לשלב את כל אלה באמצעות עבודה (עבודה).
עקומת התמורה, עלות אלטרנטיבית.
בידי אדם כמו גם בידי החברה בכללותה יש כמות מוגבלת של הון, עבודה וחומרי גלם. הם יכולים להשתמש בהם כדי לייצר מוצרים שונים. עקומת התמורה מייצגת את אפשרויות הייצור השונות, בעולם פשוט שבו יש שני מוצרים בלבד. השיפוע של העקומה בכל נקודה מבטא את עלותה האלטרנטיבית של יחידה מהמוצר האחד במונחי המוצר האחר. עלות זו היא העלות אלטרנטיבית של המוצר: על מה נצטרך לוותר כדי שתהיה לנו יחידה נוספת.
מסחר.
מאחר שישנם אנשים הזקוקים למוצרים שאינם מייצרים בעצמם, מתקיים מסחר, כלומר קשרים בין אנשים למטרת חליפין. קשרי המסחר יכולים להתקיים בחליפין ישירים או סחר חליפין, בהם אנשים מעבירים זה לזה מוצר תמורת מוצר אחר. לעיתים קרובות, מבוצע הסחר תוך שימוש במטבע—מוצר ביניים בעל ערך מוסכם. מחיר הנקוב בכסף מייצג את מחיר המוצר במונחי מצרף של כל המוצרים האחרים.
בכלכלות מורכבות יותר, ישנם אנשים שהתמחותם בתיווך בין יצרנים לבין צרכנים באמצעות השוק. אנשים אלו מכונים "סוחרים".
מקובל להבחין בין סחר פנים, מסחר בין פרטים המשתייכים לאותו משק או לאותה מדינה, לסחר חוץ המתבצע בין המשק לבין משקים אחרים. תוצאה חשובה, פרי ניתוחו הכלכלי של דייוויד ריקארדו היא שסחר חוץ מיטיב עם כל המשתתפים בו, בכך שהוא מאפשר להם להרחיב את עקומת התמורה שלהם ולהשיג רווחה גבוהה יותר משהיו יכולים בכוחות עצמם.
משק.
מושג מרכזי נוסף בכלכלה הוא המשק: מערכת כלכלית שבה פרטים רבים, הקשורה או מיוחסת לאותם פרטים כקבוצה ונמצאת בבעלותם. ישנם סוגים רבים של משקים, שונים בגודלם ובאופיים, המאופיינים בהתייחסות שונה לתחרות, מידת התחרותיות בהם, חלוקת התפקידים, עושרו או עוניו של המשק, מידת פתיחותו של המשק למשקים אחרים, וכן הלאה.
המשקים הכלכליים הפשוטים ביותר הם משקים שכל חבריהם עוסקים בייצור מוצרים אותם יצרכו בעצמם באופן בלבדי. סיפורו של דניאל דפו רובינזון קרוזו משמש בשיח הכלכלני כמשל למשק פשוט כזה. משקים פשוטים הם אוטרקיים, כלומר, הם חיים על אמצעיהם הם וסגורים בפני שווקים אחרים. במשקים פשוטים, לרוב כל יצרן הוא גם צרכן; כל היצרנים-צרכנים עוסקים גם בניהול וגם בחישובים הנוגעים לעלות הכרוכה (מבחינת מאמץ) בייצור מוצר.
במשקים מורכבים יותר נוצרת חלוקת עבודה: חלק מן האנשים מתמחים בעשיית דברים מסוימים, ואילו חלק אחר של האנשים מתמחה בעשיית דברים אחרים. פעולתם של האנשים השונים, לבד או במשולב, מביאה לייצור מוצרים. לדוגמה, כדי ליצור בגד צמר שישמש כסות בחורף, יכולה העבודה להתפצל בין רועה הדואג לכבשים ולתזונתן, גוזז צמר הגוזז את צמרן של הכבשים, אנשים הכובשים את הצמר לסיבים וכאלו האורגים מן הצמר את הבגד. קיום חלוקת עבודה הוא המבחין העיקרי בין משקים פשוטים למשקים מורכבים.