לנקה מתגוררת כיום בין סידני לברוקלין, ניו יורק. לנקה נשואה לאמן החזותי ג'יימס גוליבר הנקוק. ב-27 בספטמבר 2011, היא הודיעה שהיא בהריון. במרץ 2012, היא הודיעה ברשתות החברתיות שהולידה את בנה הבכור, קווין.
יריעה קוואזי-פרויקטיבית
בגאומטריה אלגברית, יריעה קוואזי-פרויקטיבית (Quasi-projective variety) היא תת-קבוצה פתוחה המוכלת ביריעה פרויקטיבית, לפי טופולוגיית זריצקי. קבוצות קוואזי-פרויקטיביות נחשבות לכלליות יותר בגאומטריה אלגברית - כל יריעה פרויקטיבית וכל יריעה אפינית היא קוואזי-פרויקטיבית, ולא להפך. בהקשר של יריעות קוואזי-פרויקטיביות ישנם מספר משפטים בסיסיים, המלמדים על המבנה שלהן ובפרט על מבנה של יריעות פרויקטיביות ואפיניות.
הגדרה.
יהי formula_1 מרחב פרויקטיבי מממד formula_2 (מעל שדה סגור אלגברית formula_3). יריעה קוואזי-פרויקטיבית היא תת-קבוצה פתוחה של יריעה פרויקטיבית מתוך formula_1.
יריעה קוואזי-פרויקטיבית היא אי-פריקה אם הסגור שלה אי-פריק (בתור יריעה פרויקטיבית).
העתקות.
העתקה formula_7 בין יריעות קוואזי-פרויקטיבית formula_8 היא העתקה רציונלית אם קיימים פולינומים הומוגניים formula_9 ב-formula_2 משתנים, כך ש-formula_11. ייצוג זה אינו יחיד, ולמעשה ניתן להוכיח ששני ייצוגים formula_12 הם שקולים אם ורק אם מתקיים formula_13, לכל formula_14. כאשר הפולינומים כולם מתאפסים בנקודה מסוימת, נאמר שהנקודה היא סינגולרית תחת ייצוג זה. אם נקודה היא סינגולרית תחת כל ייצוג, נאמר שהיא סינגולרית עבור ההעתקה. אוסף הנקודות הסינגולריות תחת כל הייצוגים הוא קבוצה סגורה (בטופולוגיית זריצקי), ועל המשלים שלה (שהיא קבוצה פתוחה) הפונקציה מוגדרת. היות שכל קבוצה פתוחה בטופולוגיית זריצקי היא קבוצה צפופה, ההגדרה "מספיק טובה".
איזומורפיזם בי-רציונלי הוא העתקה רציונלית, כך שיש העתקה רציונלית הפוכה לה (על תחום הגדרתה). שתי יריעות קוואזי-פרויקטיבית נקראות שקולות בי-רציונלית אם קיים ביניהן איזומורפיזם בי-רציונלי.
מורפיזם יריעות קוואזי-פרויקטיביות הוא העתקה רציונלית המוגדרת על כל התחום, כלומר אין לה נקודות סינגולריות. איזומורפיזם הוא העתקה שעבורה קיימת העתקה הפוכה לה (המוגדרת על כל הטווח), ובמקרה כזה אומרים ששתי היריעות הן איזומורפיות.
שני המושגים הנ"ל שונים מהותית. כך למשל, מבנה האיזומורפיזמים של מישור פרויקטיבי formula_1 (אל עצמו) ידוע היטב - זוהי החבורה הליניארית הפרויקטיבית (Projective linear group)formula_16. מאידך, המבנה של חבורת האוטומורפיזמים הבי-רציונליים של formula_1 הרבה יותר מסובכת ועשירה. חבורה זו נקראת חבורת קרמונה (Cremona group), והיא מהווה נושא מחקר פורה גם בימינו (ראו גם ).
מכפלה.
כמו במקרה האפיני, גם כאן נרצה להגדיר מכפלה בין יריעות. במקרה הקוואזי-פרויקטיבי זה מעט יותר מסובך.
ראשית, נשים לב שמספיק להגדיר את המיפוי על מישורים פרויקטיביים (אז נצמצם את המיפוי על קבוצות קוואזי-פרויקטיביות כלליות).
מכפלה של שני מרחבים פרויקטיביים formula_18 איננה משוכנת לתוך formula_19 (בניגוד למקרה האפיני). למעשה, קורדו סגרה הציג את הפתרון המלא לבעיה הקרוי גם שיכון סגרה - ניתן לשכן את formula_18 לתוך formula_21 רק עבור formula_22. השיכון נתון על ידי מכפלת כל הרכיבים, ומפורשות:
formula_23
תמונת formula_18 תחת המיפוי היא הקבוצה הסגורה הנתונה על ידי המשוואות
formula_25
מבנה.
נציג כעת את משפטי המבנה הבסיסיים של יריעות קוואזי-פרויקטיביות, מהם גם ניתן להסיק על תכונות של יריעות פרויקטיביות ואפיניות.
משפט: לכל נקודה של יריעה קוואזי-פרויקטיבית יש סביבה שאיזומורפית ליריעה אפינית.
מבחינה טופולוגית, מורפיזמים הן פונקציות רציפות:
משפט: לכל מורפיזם בין יריעות קוואזי-פרויקטיביות, המקור של קבוצה פתוחה (סגורה) היא קבוצה פתוחה (סגורה).
משפט (ההטלה הסגורה): אם formula_26 יריעה פרויקטיבית, formula_27 יריעה קוואזי-פרויקטיבית, אזי העתקה ההטלה formula_28 היא סגורה.
כמסקנה מהמשפט הקודם, מקבלים:
משפט: בתנאי המשפט הנ"ל, אם formula_29 מורפיזם, אז formula_30 קבוצה סגורה. (כדי להוכיח זאת, יש להביט בגרף של formula_31, שהוא קבוצה סגורה, ולהשתמש במשפט ההטלה הסגורה).
כעת נציג כמסקנה הכללה של משפט ליוביל לגאומטריה אלגברית:
משפט: כל מורפיזם formula_32, כאשר formula_26 יריעה פרויקטיבית ו-formula_34 יריעה אפינית, הוא קבוע.
פונקציות רציונליות.
לכל יריעה קוואזי-פרויקטיבית אי-פריקה ניתן להגדיר את שדה הפונקציות הרציונליות שלה. עבור כל העתקה מהיריעה למרחב פרויקטיבי חד ממדי (או בשקילות אל הספירה של רימן), כלומר מהצורה formula_35, מגדירים פונקציה רציונלית על ידי מנת שני הערכים שהיא מקבלת, כלומר formula_36. כך מתקבל שדה, המסומן formula_37.
כעת, אם formula_38 העתקה בין יריעות קוואזי-פרויקטיביות, ניתן לבנות העתקה דואלית formula_39, הנתונה על ידי formula_40.
שדה זה מכיל למעשה את כל המידע על היריעה.
"משפט" - formula_41 איזומורפיזם אם ורק אם formula_42 איזומורפיזם שדות.
יריעה נקראת רציונלית אם היא שקולה למרחב אפיני. לפי המשפט, יריעה היא רציונלית אם ורק אם שדה הפונקציות הרציונליות שלה הוא formula_43, כלומר שדה השברים של חוג פולינומים.
הקיסרית גוו שנגטונג
גְווֹ שֶׁנְגְטונְג בסינית מסורתית: 郭聖通; בסינית מפושטת: 郭圣通; בפין-יין: Guō Shèngtōng, נפטרה ב-52 לספירה) הייתה קיסרית בשושלת האן המזרחית. היא הייתה הקיסרית הראשונה של הקיסר גוָאנְגְווּ מהָאן, מייסד האן המזרחית. בשנת 41 לספירה סר חינה בעיני בעלה, והיא הודחה. עם זאת, גם לאחר ההדחה נהגו בכבוד בה ובבני משפחתה.
רקע משפחתי ונישואיה ללְיוֹ שְׂיוֹ'.
גְווֹ הגיעה ממשפחה אמידה. אביה גְווֹ צָ'אנְג היה בעל אדמות מוכר באזור גֶ'נְדִינְג. אמה הייתה בתו של לְיוֹ פּוּ, הנסיך גונְג מגֶ'נְדִינְג, דור שישי לקיסר גִ'ינְג מהָאן המערבית. לפיכך נחשבה צאצאית של המשפחה הקיסרית של שושלת האן המערבית, ונשאה בתואר "גבירה". עם מות הנסיך גונְג מגֶ'נְדִינְג ירש את התואר בנו, דודה של גְווֹ, לְיוֹ יָאנְג. אולם כאשר תפס וָאנְג מָאנְג את השלטון, הוא הורד לרמת דוכס, ובשנה לאחר מכן נלקח ממנו התואר לחלוטין והוא הוגדר פשוט-עם.
בסביבות שנת 23, עם תחילת התפוררותה של שושלת שִׂין של ואנג מאנג, פתח לְיוֹ יָאנְג במרד ודרש שוב את תואר הנסיך שנשלל ממנו. עקב ההיסטוריה של המשפחה כשולטת בשטח גֶ'נְדִינְג, ההמונים שם נהו אחריו בטבעיות, והוא הפך לכוח משמעותי בכל האזור. הוא טען כי הוא פועל בשירות הקיסר הקיסר גֶנְגְשְׁה מהָאן, אולם כאשר התקומם הטוען לכתר וָאנְג לָאנְג נגד הקיסר גנגשה, בטענה כי הוא בנו של הקיסר צֶ'נְג מהָאן, תמך בו לְיוֹ יָאנְג.
בשנת 24, קיים לְיוֹ שְׂיוֹ', אז עדיין פקיד תחת הקיסר גנגשה, שיחות עם לְיוֹ יָאנְג בניסיון להשקיט את האזור. תוצאת השיחות הייתה ברית בין השניים, במסגרתה נשא לְיוֹ שְׂיוֹ' את אחייניתו של לְיוֹ יָאנְג - גְווֹ שֶׁנְגְטונְג. באותה תקופה כבר היה נשוי לְיוֹ שְׂיוֹ' למי שתיוודע לימים בתור הקיסרית יִין לִינְחְווָה. לא ברור מה המעמד היחסי שהוגדר לשתי הנשים זו ביחס לזו, אך בכל מקרה, יִין לא הייתה נוכחת באזור אלא נשארה בביתו של לְיוֹ שְׂיוֹ'.
בשנת 25, לאחר שלְיוֹ שְׂיוֹ' הכריז על עצמו מחייה השושלת, תחת השם הקיסר גוָאנְגְווּ מהָאן, קיבלה גְווֹ את התואר בת-זוג קיסרית. באותה שנה היא ילדה את בנו הבכור, לְיוֹ גְ'יָאנְג. מעמדה לא נפגע אף כאשר נחשד הדוד לְיוֹ יָאנְג במרד שבעקבותיו נהרג בשנת 26. למעשה, בן דודה של גְווֹ אף זכה לרשת את השלטון בגֶ'נְדִינְג מאביו למרות החיכוכים, אם כי הורד לדרגת מרקיז בשנת 37 במסגרת ארגון מחדש של תוארי האצולה.
בשנת 26 גם שקל הקיסר להכריז על קיסרית. בתחילה בחר באהבתו הראשונה, יִין, אולם מאחר שבשלב זה לא ילדה לו עדיין בנים, היא דחתה את ההצעה ותמכה במינוי הרעיה הקיסרית גְווֹ לתפקיד. בשל כך הכריז הקיסר גוָאנְגְווּ על גְווֹ קיסרית, ועל בנה, הנסיך גְ'יָאנְג יורש העצר.
קיסרית.
הקיסרית גְווֹ ילדה חמישה בנים, והייתה אחת הקיסריות שילדו הכי הרבה נסיכים במהלך שושלת האן, וגם הרעיה הקיסרית יִין זכתה לכך. אולם בחלוף השנים המשיך הקיסר להעדיף את הרעיה הקיסרית יִין על פני הקיסרית גְווֹ, וזאת על אף יחסו הטוב לאחיה גְווֹ קוָאנְג כפקיד וקידומו במספר הזדמנויות. גְווֹ נהגה להתלונן רבות על היחס הקר כלפיה, דבר שהכעיס את הקיסר גוָאנְגְווּ עד שלבסוף הדיח אותה מתפקיד הקיסרית בשנת 41, ומינה את יִין במקומה.
בניגוד לקיסריות אחרות שהודחו המהלך ההיסטוריה, לא סבלה הקיסרית גְווֹ ממאסר ולא הוצאה להורג. למעשה, בנה לְיוֹ פֿוּ, שהיה לפני כן דוכס ככל בניו של הקיסר גוָאנְגְווּ, קיבל קידום לתואר נסיך ג'ונְגְשָׁאן, ולה הוענק התואר "הנסיכה האם של ג'ונְגְשָׁאן", תואר שלא היה קיים לפני כן, וגם לאחריה לא ניתן לאמו של אף נסיך בעוד בעלה בחיים.
הנסיכה האם.
לאחר הדחתה של הקיסרית גְווֹ, המשיך הקיסר גוָאנְגְווּ להרעיף על משפחתה כיבודים שהיו שמוראים בדרך כלל למשפחה של קיסרית. אחיה גְווֹ קוָאנְג, אשר היה כבר מרקיז, זכה לנחלת-ספר שניחנה בעושר כה רב עד שאנשי הבירה לְווֹיָאנְג כינו אתה "מכרה הזהב". אחייניה גְווֹ גִ'ינְג וגְווֹ קוָאנְג (השם נכתב שונה משמו של האח) קיבלו אף הם תוארי מרקיז על הישגיהם בממשלו של הקיסר, וכך גם בעלה של בת דודתה צֶ'ן מָאו.
בשנת 44 הועבר תחום שלטונו של הנסיך פֿוּ אל תחומי פֵּי, והנסיכה האם הצטרפה אליו.