בעזרת התיאור הטופולוגי לעיל, ניתן לתת מבנה של מרחב CW ל-formula_1. ניעזר בשני הפירושים הטופולוגיים - ראשית, formula_1 הוא דיסק formula_2-ממדי תחת זיהוי נקודות אנטיפודיות על שפת ההימספירה - שהיא formula_55, וזיהוי זה בדיוק מגדיר את formula_56. לכן מתקיים formula_57, כאשר formula_58 היא ההדבקה שמגדירה את formula_56.
לכן, בכל ממד יש תא אחד: formula_60, וההדבקות בכל שלב הן בדיוק ההדבקות מהבנייה.
אינווריאנטים טופולוגיים.
החבורה היסודית.
כאמור לעיל, formula_10 מהווה מרחב כיסוי מסדר 2 של formula_1. היות ש-formula_10 פשוט קשר לכל formula_64, הוא מהווה מרחב כיסוי אוניברסלי של המרחב הפרויקטיבי. לכן, formula_65 לכל formula_66. יוצר לחבורה הוא התמונה של העתקה המהווה חצי סיבוב על הספירה בין שתי נקודות אנטיפודיות.
משיקולים אלו ניתן להוכיח שמרחב פרויקטיבי הוא אוריינטבילי אם ורק אם ממדו אי-זוגי - קרקטר האוריינטציות שלו פועל על הלולאה הסגורה כלעיל כ-formula_67, ולכן הוא טריוויאלי אם ורק אם formula_2 אי-זוגי.
חבורות ההומוטופיה.
ביתר כלליות, בעזרת הסדרה המדויקת הארוכה של חבורות ההומוטופיה היחסיות המופעלת על הכיסוי formula_69, ניתן לחשב את כל חבורות ההומוטופיה של המרחב:
formula_70
חבורות ההומולוגיה.
בעזרת מבנה ה-CW כלעיל ובעזרת האלגוריתם לחישוב חבורות ההומולוגיה, ניתן לחשב את כל חבורות ההומולוגיה של formula_1 - הן שוות
&lt;math&gt;H_i(\mathbb{R}P^n) =
\mathbb{Z} &amp; i = 0 \mbox{ or } i = n \mbox{ odd,}\\
\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} &amp; 0
n-מישור פרויקטיבי.
n-מישור פרויקטיבי הוא סכום קשיר של formula_2 מישורים פרויקטיביים, מסומן formula_73. זהו משטח סגור, ויחד עם הספירות והטורוסים הוא משלים את אוסף כל המשטחים הסגורים.
למרחב זה חבורה יסודית formula_74 (ראו משפט ואן קמפן לפרטים); האבליניזציה שלה formula_75 היא חבורת ההומולוגיה הראשונה שלו, והיחידה שאיננה אפס.
מרחב זה איננו אוריינטיבילי אף פעם. באופן כללי, אף מחובר בסכום קשיר עם מרחב לא אוריינטיבילי (ובפרט, עם formula_76) איננו אוריינטבילי.
מרחב פרויקטיבי ממשי אינסוף-ממדי.
המרחב הפרויקטיבי האינסופי formula_77 הוא הגבול הישר של המרחבים הפרויקטיביים הממשיים הסוף-ממדיים. באופן זה מושרית עליו טופולוגיה, כגבול של מרחבים טופולוגיים. בדומה למקרה הסופי, הספירה האינסוף-ממדית formula_78 מהווה כיסוי מסדר 2 למרחב. היות שהיא כוייצה, היא מהווה כיסוי אוניברסלי. כן, formula_77 הוא בעל חבורת הומוטופיה לא טריוויאלית אחת בלבד, כלומר הוא מרחב אילנברג-מקליין formula_80.
קונסטנטין אנטול
קונסטנטין אנטול (ברומנית: Constantin Anatol, שמו בלידה: לודוויג פרידמן, 28 במרץ 1921 - 10 ביולי 2019) היה שחקן ובמאי תיאטרון, מתרגם וכן שחקן קולנוע וטלוויזיה רומני וישראלי, יהודי יליד טרנסילבניה.
אנטול לימד במכון לתיאטרון בעיר קלוז'. הוא נמנה, בין השאר, עם מייסדי "התיאטרון הסקלרי" בטרגו מורש, שהקדים את הקמת התיאטרון הלאומי בעיר זו. כמו כן, הוא ייסד את "התיאטרון העממי" בסיביו. אנטול הצטיין במשחקו הרב-גוני וכבמאי בעל השראה על במות תיאטראות בערים קלוז', טימישוארה, טרגו מורש, ואחרי 1980 בישראל - בחיפה ובאר שבע. הוא שיחק בארבע שפות: רומנית, הונגרית, גרמנית ועברית.
ראשית חייו.
אנטול נולד בשנת 1921 במשפחה יהודית בעיר סיביו, ברומניה, בשם לודוויג פרידמן.
הוריו, חנה והרמן פרידמן, ניהלו חנות נעליים. בטקס ברית המילה קיבל הילד את השם העברי "אריה בן צבי". כישוריו הלשוניים והסביבה הרב לשונית בסיביו, על תושביה הרומנים, הסקסונים, ההונגרים, היהודים והצוענים, סייעו מאוחר יותר לאנטול בקריירה שלו בתחום התיאטרון.
בגיל 11 נסע אנטול לטימישוארה, בה למד במסגרת פנימייתית בתיכון היהודי המקומי (Liceul evreiesc).
מילדותו היה חובב קריאה ונמשך לספרות ולמשחק. עוד על במת בית הספר התיכון ביים מחזה מקורי בחמש מערכות שכתב, "משה", כשהמוזיקה המלווה הולחנה על ידי תלמיד אחר, המנצח והמלחין העתידי לסלו רוט.
אחרי שנת 1940 כשסטודנטים מהאוניברסיטה הרומנית של קלוז', שנמצאה אז בגלות סיביו, ערכו חזרות למופע תיאטרון, שאלו לדעתו של אנטול שצפה בחזרה. בשומעם את דעתו המלומדת, הציעו לו לאלתר להיות להם לבמאי. כך לדברי אנטול, פרצה הקריירה שלו כאיש תיאטרון.
כמעט התקבל כתלמיד לתיאטרון במכון לסטודנטים יהודים שקם בבוקרשט בימי חוקי הגזע, אחרי שדיקלם בפני חבר השופטים שיר מאת יון מינולסקו, אולם הוריו לא הרשו לו לעבור לבוקרשט
בסופו של דבר למד אנטול את מקצוע המשחק והבימוי בעצמו ללא מסגרת לימודים פורמליים.
אחרי נפילת משטר אנטונסקו, המשטר החדש מינה אותו בראש התיאטרון העממי בסיביו, אותו הקים מחובבים, מקרב הפועלים והסטודנטים ששהו בעיר.
בשנת 1945 נסע לבוקרשט כדי לחפש רפרטואר לתיאטרון בסיביו ובהזדמנות זאת התוודע לשחקנית דינה קוצ'ה.
פעילותו האמנותית ברומניה.
אנטול התקבל בשנת 1945 ללהקת התיאטרון של דינה קוצ'ה בבוקרשט, Teatrul nostru ("התיאטרון שלנו") בתור שחקן ודרמטורג. אחר כך שיחק ב"תיאטרון המודרני" שבניהול פויו מקסימיליאן. באותה תקופה למד הרבה מסודות הבימוי מהבמאי והמחזאי הידוע, ויקטור יון פופה. בהמשך חזר לטרגו מורש
בה שיחק בשפה הונגרית בתיאטרון הסקלרי, שהוקם בשנת 1946 תחת הנהגתו של מיקלוש טומפה ונמנה עם מייסדיו. טומפה היה לאחד ממוריו האהובים.
בשנים 1964-1952 פעל אנטול כשחקן ובמאי בתיאטרון הלאומי בעיר קלוז', הבירה ההיסטורית של טרנסילבניה. שיחק וביים גם על במת התיאטרון ההונגרי בקלוז' ועבד במקביל כמורה במכון לתיאטרון המקומי. כעדותו היה לו באותן השנים שיתוף פעולה פורה עם כמה דמויות מרכזיות בחיי התיאטרון כמו אאוג'ן ז'ליאפוב, שניהל את התיאטרון הלאומי בקלוז' בשנים 1950–1952, והשחקנית, הבמאית והמורה לתיאטרון הידועה, מרייטה סדובה.
עם תלמידי אנטול בקלוז' נמנו שחקנים כמו אאורל ג'ורומיה, אלכס מונטה, תאופיל ולקו, לימים מנהל התיאטרון הלאומי ביאשי וגאורגה ליאהו, לימים מנהל התיאטרון הלאומי בטימישוארה.
בשובו לטימישוארה, בשנים 1969-1964 פעל בה אנטול פעילות עשירה ומגוונת כשחקן ובמאי על במות שלושת התיאטראות הממלכתיים של העיר: הרומני, ההונגרי והגרמני. ב-1980-1969 עבד שוב בטרגו מורש, בתיאטרון הלאומי בשפה הרומנית ובמחלקה ההונגרית שלו.
אנטול הצטיין בתפקידים כמו המלט במחזה בעל אותו שם מאת שייקספיר, מירויו ב"כוכב בלי שם" מאת מיכאיל סבסטיאן, היגינס ב"פיגמליון" מאת שו, אדגר ב"Play Strindberg" מאת דירנמט, מנואל ב. מנואל ב"האי" מאת מיכאיל סבסטיאן, ורבים אחרים.
קונסטנטין אנטול שיחק גם בסרטי קולנוע - התפקיד של דוד בקו-פרודוקציה הרומנית-איטלקית "Baltagul"("הגרזן"), בתפקיד הראשי גזה באראדלה בסרט הטלוויזיה ההונגרי של זולטן פאברי Plusz minusz egy nap (יום יותר, יום פחות) (1972-1973) ומאוחר גילם את הדמויות הראשיות בשני סרטים הונגרים נוספים
של הבמאי אנדראש פרנץ, Veri az ördög a felesége (השד הכה את אשתו) (1973) ו-"Vadon" (יער עבות)
(1989).
פעילותו כשחקן ובמאי בישראל.
בשנת 1980 עלה אנטול לישראל, בה התיישבו הוריו עוד בשנת 1950. אחרי שחיזק את שליטתו בעברית, ביים הצגות בתיאטרון העירוני חיפה ושיחק בכמה מחזות על במות התיאטראות בחיפה ובאר שבע.
בשנת 1983 שובץ בתפקיד הספר הצבאי בקו-פרודוקציה הישראלית-גרמנית "ספיחס" (מן הסדרה "אסקימו לימון") ובתפקיד קסלר בהפקה הישראלית-אמריקאית "מינטאור",לפי ספרו של בנימין תמוז.
אחרי המהפכה הרומנית (1989) יצא אנטול בשנת 1997 לסיור ברומניה שקטף שם שבחים רבים.
ביים ושיחק בשתי הצגות בתיאטרון טרגו מורש ברומנית ובהונגרית, והופיע במונודרמה " מלון סיביר".
קיים הופעות גם בבוקרשט ובערים אחרות.
ב-55 שנות קריירה אמנותית, ביים אנטול מעל מאה הצגות בתיאטראות שונים ברומניה, ביוגוסלביה ובישראל. כמו כן שיחק במעל מאה תפקידים בארבע שפות: רומנית, הונגרית, גרמנית ועברית.
אנטול תרגם כמה מחזות וכתב מונולוג דרמטי בשם "עפרונות צבעוניים", בו שיחק בירושלים. כמו כן, הוא כתב ספר זיכרונות תחת הכותרת "צייד הפרפרים, כרוניקה ספרותית על אנשים, תיאטרון ו... לא רק" (2003) בשפה הרומנית.
קונסטנטין אנטול התחתן באמצע שנות ה-40 עם יהודית טירפלד. נולדו להם בן ובת.
נפטר ב-10 ביולי 2019.
מבחר תפקידים בתיאטראות.
בישראל.
בתיאטרון העירוני חיפה:
בתיאטרון באר שבע:
בתיאטרון החאן בירושלים:
מבחר הצגות שביים.
בהונגרית בטרגו מורש -1975
קישורים חיצוניים.
זנו פודור - בעיתון "קובנטול ליבר" על קונסטנטין אנטול, פרק ב, בסדרה "התיאטרון הרומני בטרגו מורש, 50 שנים ב-50 פרקים.
אמנת מאלמה
אמנת מאלמה (בשוודית: Malmö recess) הייתה הסכם בין ממלכות שוודיה ודנמרק לסיום מלחמת העצמאות השוודית שנחתם ב-1 בספטמבר 1524 בעיר מאלמה שבדנמרק (כיום חלק משוודיה). ההסכם נחתם תחת חסותם של ברית ערי הנזה, בין גוסטב ואסה ודנמרק-נורווגיה. וכך נקבע:
כל מי שתפר הסכם זה תחויב לשלם 100,000 זהב (gyllen), אשר יחולקו מחצית לצד השני ומחצית למתווכים (ברית ערי הנזה).
עד 1532 לא הושג הסכם, ובוהוסלן חזרה לדנמרק תמורת 1,200 זהב (Guilder).
תורת שדה ממוצע