אולם בשנת 359, עקב המצב ששרר אז בארץ והקשיים בפרסום מועד ראש החודש, קבע רבי הלל בן רבי יהודה נשיאה (הנשיא) את חשבונות לוח השנה העברי הרבני כפי שהוא מקובל עד לימינו. ומאז לא נוהגים הפרושים - והרבניים ממשיכיהם (ובכללם האורתודוקסים) לקדש ראשי חודשים לפי ראיית הירח אלא לפי חשבונותיו של הלל. לפי שיטה זו, מספר הימים בכל חודש (29 או 30) קבוע מראש, ואינו קשור לראיית הירח, כך יוצא שראש החודש לא חל באותו יום של הראייה אלא יכול לחול לפניו או אחריו בכמה ימים.
בנוסף, היהודים הרבניים קובעים את לוח השנה שלהם על פי ארבע דחיות. כלומר, הם קבעו ארבעה כללים, שלפיהם יום ראש השנה (ואיתו כל השנה) יידחו למרות החישוב של המולד הממוצע. כך למשל ראש חודש תשרי אינו יכול לחול בימים א', ד' או ו'. לפי שיטת היהודים הרבניים, אם חל ראש החודש באחד מימים אלו - הוא נדחה ביום.
היהודים הקראים אינם מקבלים תקנות רבניות אלו, משום שאז החגים והמועדים לא חלים בתאריכים המדויקים בהם הם צריכים להיות. לפי שיטתם יש לדבוק בעקרון ראיית הירח ולקדש ראשי חודשים לפי אפשרות ראיית הירח, כלומר ראש החודש חייב לפול בתאריך בו אמור להיראות הירח, גם אם לא נראה במקום כלשהו עקב תנאים מקומיים כמו עננות יתר או אובך. כל חודש בשנה יכול להיות חסר (בן 29 ימים) או מלא (בן 30 ימים), לפי אפשרות ראיית הירח הבא. כיום, בעקבות ההתפתחות הטכנולוגית וההתקדמות העצומה בידע האסטרונומי שבידינו, מתאפשר לחזות מראש מתי יהיה מולד הירח ומתי הוא יראה לראשונה. אם כך הלוח העברי הקראי הוא לוח עברי שבו אמורים ראשי החודשים לפול בדיוק בתאריך של אפשרות ראיית הירח, ולכן התאריכים בלוח העברי הרבני ובלוח העברי הקראי לא תמיד חופפים.
לוח השנה הקראי מוכן כיום בידי בית הדין של הקראים בישראל בסיוע אנשי מדע. בשל הצורך של הקראים להזדקק לתצפיות מדעיות עדכניות עלולות לחול שגיאות בלוחות שלהם שתוכננו מראש. כך אירע ב-1990 (תשנ"א), אז נתברר לבית הדין הקראי שעליו להכריז מחדש על לוח השנה. בעקבות אירוע זה גובשו עקרונות חדשים להכנת הלוח באופן שיבטיח שיחזה נכון את אפשרות ראיית הירח החדש.
לחודשים בלוח העברי הקראי יש שמות מספריים כמו 'החודש הראשון' ו'החודש השביעי', החל מהחודש הראשון הוא חודש ניסן "הַחֹדֶשׁ הַזֶּה לָכֶם, רֹאשׁ חֳדָשִׁים: רִאשׁוֹן הוּא לָכֶם, לְחָדְשֵׁי הַשָּׁנָה" (). כיום נוהגים הקראים להשתמש גם בשמות החודשים של לוח השנה הרבני שמקורם בבלי.
עיבור השנה.
הלוח העברי מבוסס גם על שנת השמש (ולא רק על 'החודש הירחי'): בצאתם מארץ מצרים ציווה אלוהים על בני ישראל לשמור על חודש האביב, כלומר לדאוג לכך שהחודש הראשון (חודש ניסן) יפול תמיד באביב: "שָׁמוֹר, אֶת-חֹדֶשׁ הָאָבִיב, וְעָשִׂיתָ פֶּסַח, לַ-ה' אֱלֹהֶיךָ: כִּי בְּחֹדֶשׁ הָאָבִיב, הוֹצִיאֲךָ ה' אֱלֹהֶיךָ מִמִּצְרַיִם -- לָיְלָה." (). הבעיה היא ש-12 חודשי ירח עבריים קצרים בכ11 יום מאורכה של שנת השמש (משך סיבוב כדור הארץ סביב השמש), שהיא השנה המתאימה לעונות השנה. כדי למנוע פיגור הולך ומתמשך של השנה העברית ביחס למחזור השמש, שיגרום לכך שחג הפסח ינדוד לכיוון החורף ולא יפול באביב - מעברים את השנה. עיבור השנה הוא הוספת חודש נוסף לשנה כך שבמקום שיהיו בה 12 חודשים כמו בשנה רגילה יהיו בשנה מעוברת 13 חודשים.
בימי הבית השני היה פולמוס גדול בין הזרמים היהודיים - כיצד להתאים את חודשי השנה העבריים עם עונות השנה, על מנת שחודש ניסן ופסח יצאו תמיד בתקופת האביב (כהוראת התורה). כת מדבר יהודה לא הייתה צריכה להתמודד עם בעיה זו כלל, היות שהנהיגה לוח שנה על פי שנת השמש, ובכך עונות השנה מותאמות לחודשי השנה. לעומת זאת, עקב זה שחז"ל (הפרושים) הורו שהשנה העברית היא שנת ירח, על מנת להתאים את חודשי השנה עם עונות השנה, עיברו את השנים לפי עקרון 'מציאת האביב בארץ ישראל'. פירוש המילה אביב הוא מצב מסוים של הבשלת השעורה "וְהַפִּשְׁתָּה וְהַשְּׂעֹרָה, נֻכָּתָה: כִּי הַשְּׂעֹרָה אָבִיב, וְהַפִּשְׁתָּה גִּבְעֹל." (שמות ט' ל"א). הגעת האביב נקבעה לפי מידת הבשלת השעורה בארץ ישראל. אם לא הגיע האביב בחודש השנים עשר הוא חודש אדר, אז היו מעברים את השנה כלומר מוספים חודש נוסף בסופה - אדר ב'. כך נדחה למעשה חג הפסח בחודש ונפל באביב.
היהודים הרבניים (ובכללם האורתודוקסים) נוהגים כיום לפי עקרון חשבון 19 השנים (כפי שתיקן הלל נשיאה במאה הרביעית). לפי שיטה זו בכל 19 שנים יש שתים-עשרה שנים פשוטות ושבע שנים מעוברות (ה-3, 6, 8, 11, 14, 17, 19 למחזור). חשבון זה אינו מדויק כמו חשבון הראייה, אלא רק מותאם לו בקירוב.
לעומת זאת, כשנוסדה הקראות לא היו שיטות מוכרות נוספות לשנה העברית מלבד שיטת חז"ל (שנת ירח שמעברים אותה אחת לכמה שנים על מנת להתאימה לשנת השמש). לכן קיבלו ראשי הקראים את שיטה זו גם כשיטתם. גם לאחר שנתרחקו הקראים מהחקלאות הם שמרו על זיקתם לארץ ישראל ולאדמתה. מדי שנה הקראים שלחו שליחים לבקש את האביב בארץ ישראל ואם לא נמצא האביב בסוף השנה, עוברה השנה. עקרון זה של לוח השנה העברי היה כה חשוב עבור הקראים עד שבכתובה הקראית קיים תנאי בו מתחייבים בני הזוג לשמור את הלוח לפי עקרון האביב ולפי עקרון ראיית הירח. יש הטוענים שתנאי זה הוסף לכתובה כדי שיקוימו החגים לפי ההלכה הקראית גם בנישואין בין קראים לרבניים.
אולם במרוצת הימים בעקבות ההתפשטות הקראית הנרחבת ברחבי העולם - מפרס במזרח ועד מערב אפריקה, ממצרים בדרום ועד ליטא בצפון, לא יכלה עוד עדות ה'אביב' להגיע אל כל קהילות הקראים, וקהילות קראיות החלו לאמץ אט-אט את מחזור 19 השנים הרבני. בתחילה רק הקהילות הקראיות המרוחקות מארץ ישראל נאלצו לוותר על עיבור השנה לפי עקרון 'מציאת האביב' מחמת קשיי הריחוק ואי יכולתן לקבל דיווחים על מצב הבשלת השעורה בארץ ישראל. עם זאת, אותן קהילות לא כפרו בעקרון שצריך לעבר את השנה לפי תצפיות על מצב השעורה בארץ אלא טענו שבמצבן הן אינן מסוגלות לעשות כן. חכמים קראיים מהמאה ה-15 דיווחו שהיו שנים בהן קהילות בארץ ישראל, שפעלו לפי עקרון מציאת האביב, וקהילות בגולה, שפעלו לפי מחזור 19 השנים, לא עיברו את אותן שנים. בסביבות המאה ה-19 נטשו גם קראי ארץ ישראל את שיטת עיבור השנה לפי מציאת האביב ועברו למחזור 19 השנים הרבני, וזאת כדי למנוע פער במועדי החגים בין הקהילות הקראיות השונות.
כיום, עם שיבתם של הקראים לארץ ישראל, ישנה מגמה של חזרה לשיטה המקורית של עיבור השנה לפי מציאת האביב בארץ ישראל.
חגים ומועדים.
הקראים הם יהודים המקבלים אך ורק את התנ"ך, ולכן הם מציינים רק את החגים והמועדים שמופיעים בתנ"ך:
אנליזה מתמטית
אָנָלִיזָה מָתֶמָטִית היא ענף מרכזי במתמטיקה החוקר פונקציות מתמטיות ממשיות ומרוכבות. רציפות של פונקציה, גזירותה, אינטגרביליות והתכנסות של טור איברים - כל אלה הן הפעולות המרכזיות בהן עוסקת האנליזה. כדי להגדיר פעולות אלו במדויק יש צורך להשתמש במושג הגבול - והוא הרעיון המרכזי שמפריד בין האנליזה ליתר חלקי המתמטיקה: באנליזה יש מעברים גבוליים.
האנליזה החלה בחקירת פונקציות ממשיות, ובפרט, פונקציות רציפות. פונקציות רציפות הן פונקציות אותן "ניתן לצייר מבלי להרים את העט מהדף" - פונקציות שאינן נקטעות או קופצות בחדות בין ערכים. הגדרה מדויקת של רציפות מחייבת שימוש במושג הגבול. משפטים מרכזיים בתחום זה הם משפט ערך הביניים, משפטי ויירשטראס ומשפט קנטור לרציפות במידה שווה.
בתוך משפחת הפונקציות הרציפות מתמקדת האנליזה בפונקציות הגזירות - אלו שאין להן "שפיצים" והן חלקות - כלומר, השינויים בהן אינם מיידיים וקיצוניים. לשם כך מוגדר מושג הנגזרת.
סכימה של פונקציה בדרך של מעבר גבול היא האינטגרציה. בדרך זו מתקבל סכום מדויק יותר מסכומים שמתבססים על דגימת הפונקציה בנקודות נפרדות, מכיוון שהאינטגרל מביא בחשבון את ערכי הפונקציה בכל אחת מנקודותיה.
האנליזה עוסקת גם בטורים אינסופיים - סכומים אינסופיים שיכולים להיות של מספרים (ואז נשאלת השאלה האם גם סכום הטור הוא מספר) או פונקציות (ואז נשאלת השאלה מהו סוג הפונקציה אליה מתכנס הטור, אם בכלל). בהקשר של טורי פונקציות עולה מושג ההתכנסות במידה שווה, שהוא סוג ההתכנסות של טורי הפונקציות ששומר על תכונות הפונקציות שהן אברי הטורים. מקרה פרטי מיוחד בחקר טורי הפונקציות הוא טורי החזקות, שלהתכנסותן מספר תכונות מיוחדות; רבות מהפונקציות המוכרות לנו ניתנות להבעה באמצעות טורים אלו, שקל יחסית לחשבם.
רציפות, גזירות, אינטגרציה וסכימת טורים של פונקציות ממשיות - אלה חלקי האנליזה הקלאסיים.
אנליזה מתקדמת.
חקירת פונקציות מרוכבות ובעלות מספר משתנים. חקירת פונקציות של מספר משתנים מכלילה את המושגים המוכרים מפונקציות של משתנה אחד, ומרחיבה אותם - למשל, מושג הדיפרנציאביליות, שמבטא את היכולת לקרב פונקציה מרובת משתנים בצורה ליניארית, הוא הכללה של מושג הנגזרת במשתנה יחיד. גם לפונקציות מרוכבות ניתן להגדיר את המושגים הבסיסיים של האנליזה, כגון נגזרת ואינטגרל, אך בשל תכונות המרחב המרוכב, תכונות אלו הן חזקות יותר ובעלות השלכות עמוקות יותר מאשר במקרה הממשי.