נניח כי בפני פרט נתון עומדת קבוצת הגרלות formula_70 על קבוצת הפרסים formula_71 וכי הפרט מקיים את אקסיומות פון-נוימן מורגנשטרן
הגדרה: תהי formula_72 הגרלה על פרסים כספיים ותהי formula_73 תוחלת הפרס בהגרלה. הפרט יקרא שונא סיכון אם לכל הגרלה formula_36 כנ"ל
formula_75
המחשה למושג שנאת הסיכון ניתן לראות בגרף. פונקציית התועלת של הפרט קעורה ולכן מדובר בפרט שונא סיכון. ואכן התועלת שמניבה ההגרלה לפרט (תוחלת התועלת) היא formula_76 והיא נמוכה מהתועלת של תוחלת הפרס formula_2.
המדד.
על מנת לבצע השוואה בין פרטים שונים העומדים בפני מצבי החלטה זהים, קיים צורך במציאת מדד שיאפשר השוואה זו וייתן ביטוי למסקנה האינטואיטיבית כי קיים קשר בין "רמת" הקעירות של פונקציית התועלת לבין שנאת הסיכון של הפרט. יתרה מזאת, מכיוון שפונקציית התועלת של פרט המקיים את אקסיומות פון-נוימן מורגנשטרן יחידה עד כדי טרנספורמציה אפינית, נרצה שהמדד המדובר יהיה אינווריאנטי תחת טרנספורמציות אפיניות.
פיתוח המדד.
תהי formula_78 פונקציית תועלת מונוטונית עולה ממש, קעורה ממש וגזירה פעמיים ברציפות ב formula_79 ויהי פרט formula_80 כך ש formula_78 פונקציית התועלת של פרט זה מכסף והמקיים את אקסיומות פון-נוימן מורגנשטרן.
נניח שבידי הפרט רכוש תחילי בגובה formula_1 וכי הוא עומד בפני הגרלה שבה ירוויח או יפסיד סכום כסף קטן formula_83 בהסתברויות שוות (כפי שמופיע בגרף). נסמן ב formula_84 את ההון של הפרט לאחר ההגרלה.
בפני הפרט עומדת ההגרלה הבאה formula_85. היות שפונקציית התועלת של הפרט היא ליניארית בכסף וקעורה ממש מתקיים
formula_86). בנוסף מתקיים formula_87.
נסמן ב formula_88 את הפסד התועלת של הפרט עקב הצורך להשתתף בהגרלה. ומתקיים
formula_89
formula_78 פונקציה גזירה ברציפות פעמיים ומפיתוח טיילור סביב formula_1 מתקיים
formula_92
formula_93
ולכן
formula_94
נסמן ב formula_95 את ההון המקיים formula_96 וכן formula_97.הפרט שונא סיכון ולכן מתקיים formula_98.
formula_2 פונקציה מונוטונית עולה ממש ומכאן formula_100.לבסוף :
formula_101
ובעצם, האינטואיציה מאחורי מדד שנאת הסיכון של ארו-פראט היא השאלה מהו הסכום המקסימלי ששחקן עם הון התחלתי formula_1 מוכן לשלם על מנת להימנע מהשתתפות בהגרלה הוגנת (כאשר הסכום נמדד ביחידות של שונות ההגרלה).
נוודא כי מדד זה אינווריאנטי תחת טרנספורמציות אפיניות. תהי formula_103 טרנספורמציה אפינית על formula_2 אזי
formula_105
שנאת סיכון גלובלית.
המדד שהוצג לעיל הוא מדד לוקאלי ביחס לרמת ההון התחילי formula_1. אך מה אם אנו מעוניינים להשוות בין שנאת הסיכון של שני פרטים לכל רמת הון תחילי? ישנן 3 דרכים טבעיות לבצע השוואה זו
בהינתן שני פרטים המקיימים את אקסיומות פון נוימן מורגנשטרן. אם לפרט א' פונקציית תועלת formula_2 ולפרט ב' פונקציית תועלת formula_108 ,נאמר כי פרט א' הוא בעל שנאת סיכון גדולה יותר אם לכל רמת הון תחילי formula_1 מתקיים
formula_110
נאמר כי פרט א' הוא בעל שנאת סיכון גדולה יותר מפרט ב' אם פונקציית התועלת של פרט א',formula_2, "קעורה" יותר מפונקציית התועלת של פרט ב',formula_108. פורמלית, אם קיימת פונקציה formula_113 מונוטונית עולה, קעורה ממש וגזירה פעמיים ברציפות כך שמתקיים :
formula_114
בבניית מדד שנאת הסיכון הלוקאלי של אראו-פראט התבוננו בפרט בעל הון תחילי formula_1 העומד בפני הגרלה הוגנת. יהי formula_116 הרווח בהגרלה זו - משתנה מקרי המקיים formula_117.
הגדרה: פרמיית הסיכון בהגרלה תסומן formula_118 והיא רמת העושר המקסימלית שפרט A מוכן לוותר עליה על מנת להימנע מההימור formula_116. זאת אומרת ,formula_118 מקיימת
formula_121
עבור פרט שונא סיכון ובעל פונקציית תועלת קעורה ממש מתקיים formula_122 לכל רמת עושר תחילי formula_1.
אנו נאמר כי פרט א' הוא שונא סיכון יותר מפרט ב' אם formula_124.
שלושת הדרכים הללו לטיפול בשנאת סיכון גלובלית הן טבעיות, אך נראה כי קשה לבחור באחת מהן על פני האחרות ועולה השאלה איזו מהן היא הנכונה יותר. מסתבר כי תחת הנחות מסוימות על פונקציות התועלת של הפרטים מתקיים המשפט הבא:
משפט: [Pratt]
תהיינה formula_125 פונקציות תועלת גזירות פעמיים ברציפות, מונוטוניות עולות ממש וקעורות. הטענות הבאות שקולות:
הוכחה:
formula_134
נגדיר את formula_135 באופן עקיף על ידי formula_128. מכך ש formula_125 מונוטוניות נובע כי formula_135 מוגדרת היטב. על ידי גזירת שני האגפים פעמיים נקבל :
formula_139
formula_140
מהשורה הראשונה ומכך ש formula_141 מונוטונית עולה ממש נקבל formula_142.על ידי חלוקת השורה השנייה בראשונה נקבל כי
formula_143
ולכן קיבלנו את הדרוש.
formula_144
נשים לב לכך שמתקיימים אי השוויונים הבאים:
formula_145
כאשר אי השוויון נובע מאי-שוויון ינסן. ממונוטוניות formula_146 נקבל formula_130.
formula_148
יהי formula_116 משתנה מקרי שרירותי קטן כלשהו ונתבונן במשפחת המשתנים המקריים formula_150. תהי formula_151 פונקציה של formula_152 בקטע formula_153. נתבונן בקירוב טיילור עבור formula_151 סביב formula_155:
formula_156
מהגדרת formula_151 מתקיים כי formula_158 ולכן formula_159. על ידי גזירת שני אגפי ההגדרה פעמיים נקבל :
formula_160
formula_161
מהצבת formula_155 בשני השוויונות נקבל כי formula_163 וכן formula_164, כאשר formula_165 היא השונות של formula_116.
על ידי הצבת formula_167 אל תוך קירוב טיילור נקבל:
formula_168
ולכן לכל רמת עושר תחילי formula_1 ולכל משתנה מקריformula_116, עבור ערכי formula_152 קטנים מספיק פרמיית הסיכון תלויה באופן מונוטוני ברמת שנאת הסיכון. מכאן: formula_172.
לקריאה נוספת.
שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, הוצאת הספרים ע"ש י"ל מאגנס, 2008.
Arrow, K.J.,1965, "The theory of risk aversion," in Aspects of the Theory of Risk Bearing, by Yrjo Jahnssonin Saatio, Helsinki. Reprinted in: Essays in the Theory of Risk Bearing, Markham Publ. Co., Chicago, 1971, 90–109.
Pratt, J. W., "Risk aversion in the small and in the large," Econometrica 32, January–April 1964, 122–136.
J.Segura,C.R.Braun (Edward Elgar Publishing Limited,2004). "
An Eponymous Dictionary of Economics"
Varian H.R (3ed.,Norton,1992)."Microeconomic analysis"
שבלול (איבר)
השבלול (שם מדעי: "Cochlea") הוא חלק מהאוזן הפנימית. זהו חלל בצורת ספירלה בתוך העצם. חלק חשוב מהשבלול הוא איבר קורטי - איבר החישה של השמיעה.
מבנה.
השבלול הוא חלל ספיראלי בתוך עצם הגולגולת. לשבלול אין דופן חיצונית. קירות השבלול מצופים רקמת אפיתל דקה. בתוך השבלול כמה קרומים היוצרים כמה חללים: מעלת הפרוזדור, מעלת האמצע ומעלת התוף.
מבנה תוך השבלול הוא שתי תעלות גדולות ובניהם תעלה אחת יותר קטנה, שמלאות בנוזל. בין שתי התעלות הגדולות, מעלת הפוזדור ומעלת התוף, נמצאת תעלה קטנה יחסית בשם תעלת האמצע, שעל דופנה נמצא איבר קורטי בו מתבצעת התמרת האות הקולי לאות חשמלי. בתוך איבר זה נמצאים תאים בעלי מבנים דקים היוצאים מגוף התא, הנראים כמו שערות קטנות. תנודת שערות אלו ביחס לרטט נוזל השבלול, גורמות לפתיחת תעלות יוניות על גוף, לשינוי פוטנציאל הממברנה של תאי השערה וכתוצאה מכך לשליחת אות חשמלי למערכת העצבים המרכזית.
תפקוד.
עצמות השמע מרעידות את החלון הסגלגל בפתח השבלול. רעידות החלון הסגלגל מרעידות את הנוזל הממלא את השבלול. תנודת הנוזל מניעה את השעריות שעל תאי השערה. תאי השערה יוצרים פוטנציאל חשמלי המפעיל את תאי העצב של השמיעה ואותם תאי עצב עוברים דרך העצב השמיני ישירות למוח. מבנה השבלול מסייע לפרק את צלילי הסביבה לתדרים: ככל שמתרחקים מהחלון הסגלגל לאורך השבלול, תנודות הממברנה הבזילרית מתאימות לתדרי שמיעה נמוכים יותר ויותר.
צילום נשים שחורות במאה ה-19
תצלומי נשים שחורות אינם מהווים מוכרת וממוסדת בהיסטוריה של הצילום, ולכן הם כמעט ולא נחקרו כשלעצמם. ההיסטוריה של תצלומי גופן של נשים שחורות, כמו כל ההיסטוריה של הצילום, מצביעה על מה נכלל ומה הודר, מה שועתק ומה הודחק, מה הוגדר כ״אמנות״ ומה הורד בדרגה אל אפלת הארכיבים. באופן כללי, בהיסטוריה של הצילום, המבט של המצלמה על נשים שחורות מונח לרוב על גופן העירום.
באירופה של המאה ה-19, גוף האישה השחורה סימל לרוב שלוש תמות: קולוניאליזם, אבולוציה מדעית ומיניות. במשך המאה ירידים עולמיים הציגו לראווה ולבידור גופים עירומים של גברים ונשים שחורים, ותצלומים שלהם, תחת איצטלת האתנוגרפיה, וסייעו בכך לעצב את התפיסה המערבית של האדם השחור כ"אדם הפרימיטיבי". תפקיד נוסף שמלאו תצלומי נשים שחורות במאה ה-19 היה פורנוגרפיה. נשים שחורות רבות עבדו כזונות כדי להתקיים ומכאן נתפסו כחפץ שניתן לרכוש.
באופן יחסי ישנם מעט תצלומים של נשים שחורות במאה ה-19 וזאת כיוון שדמות האישה השחורה לא נתפסה כנושא ראוי דיו, שכן לא הייתה נושאה של אף יצירת אמנות, ואם כן הייתה, היא הוצגה בדמות "פרא" ותמיד כחלק מהרקע.
התצלומים שאנו יכולים למצוא, כגון ייצוגי גוף האישה השחורה באמנות המערב בכלל, מושפעים רבות מגישות ודעות קדומות אודות גזע, מגדר ומיניות.
מאחר שתצלומי הנשים השחורות לא זכו להיכלל בקנון של הצילום, לא נקבע להן שווי שוק גבוה, ורובן מצוי עדיין בידיים פרטיות. בספרי היסטוריה של הצילום מוצגות תמונות ספורות בלבד, במטרה לזעזע את הצופים בהן.