הוכחה: יהי formula_57 ערך עצמי של formula_1 עם וקטור עצמי מנורמל formula_59. נקבל :formula_60. מאי שוויון המשולש נקבל ש-formula_61 . יהי formula_62 הווקטור שערכיו הם הערכים המוחלטים של formula_59. מקבלים ש formula_48 ומתקיים: formula_65 וסיימנו.
טענה 3: הריבוי הגאומטרי של formula_30 הוא 1.
הוכחה: נניח בשלילה שיש וקטור formula_67 בלתי תלוי ב-formula_23 וקטור עצמי עבור formula_30. בה"כ נניח שהוא ממשי (אחרת אפשר להסתכל על החלק הממשי והחלק המדומה בנפרד). הווקטור formula_23 הוא חיובי ולכן יש formula_44 כך שהווקטור formula_72 הוא וקטור אי שלילי עם קואורדינטה אחת לפחות שמתאפסת. מצד שני, formula_73 איננו וקטור האפס כי formula_74 בלתי תלויים ליניארית. מצד שני formula_73 הוא וקטור עצמי אי שלילי ביחס לערך העצמי formula_30 ולכן כמו בטענה 1 נקבל שהוא וקטור חיובי בסתירה.
טענה 4: הריבוי האלגברי של formula_30 הוא 1.
הוכחה: הרעיון הוא לקרב את formula_1 על ידי מטריצה ממשית formula_79 ששווה ל-formula_30 בקואורדינטה הראשונה ומתאפסת על שאר אברי העמודה והשורה הראשונות.
כמו בטענה 1 אפשר למצוא וקטור עצמי שמאלי חיובי formula_81 של הערך העצמי formula_30 . יהי formula_83 המרחב המאונך ל-formula_73 במכפלה הפנימית הסטנדרטית כלומר formula_85
מקבלים שאם formula_86 אז formula_87 ולכן formula_88. קיבלנו אם כן ש-formula_83 מרחב אינוורינטי ביחס ל-formula_1. נשים לב ש-formula_91 כי שני הווקטורים העצמיים חיוביים. לכן formula_92 וניתן להשלים אותו לבסיס של formula_93 של formula_27. יהי formula_79 המטריצה formula_1 ביחס לבסיס formula_97 אז נקבל ש-formula_79 מהצורה formula_99 כאשר המטריצה formula_100 היא מטריצה ממשית. כיוון שהמטריצות formula_101 דומות, יש להן את אותו ריבוי אלגברי וגאומטרי (ריבוי גאומטרי 1) לערך העצמי formula_30. הפולינום האופייני של formula_1 הוא formula_104. נניח בשלילה שהריבוי האלגברי הוא יותר מ-1. נקבל ש-formula_30 הוא ערך עצמי של המטריצה formula_100 עם וקטור עצמי formula_107. יהי formula_108 נקבל ש-formula_109 שני וקטורים עצמיים בלתי תלויים של formula_79 ולכן הריבוי הגאומטרי של formula_79 (ואז גם של formula_1) הוא לפחות 2 בסתירה.
טענה 5: אם formula_67 הוא וקטור עצמי חיובי של formula_1 אז הוא כפולה חיוביות של formula_23.
הוכחה: יהי formula_57 הערך העצמי המתאים ל-formula_67. מכיוון ש-formula_67 ו-formula_1 חיוביות נקבל ש-formula_120. עבור formula_44 קטן מספיק נקבל שהווקטור formula_72 וקטור חיובי עבור i מסוים נקבל ש-formula_123. כמו בטענה הראשונה נקבל ממקסמליות ש-formula_30 ערך עצמי של formula_73 ולכן גם של formula_67. כעת נקבל את הדרוש מטענה 3.
טענה 6: אם formula_57 ערך עצמי של formula_1 השונה מ-formula_30 אז formula_130.
הוכחה: נניח בשלילה ש-formula_131 ויהי formula_59 וקטור עצמי מנורמל של formula_57 .יהי formula_62 הווקטור שערכיו הם הערכים המוחלטים של formula_59. מקבלים:
formula_136 ממקסימליות formula_67 נקבל ש-formula_30 ערך עצמי המתאים לוקטור formula_67 ולכן האי שוויון לעיל הוא בעצם שוויון. לכן נקבל שכל האיברים formula_140 נמצאים על אותה הקרן היוצאת מ-0 במישור המרוכב. כיוון שאברי המטריצה formula_1 ממשיים וחיוביים נקבל שכל האיברים formula_142 על אותה הקרן היוצאת מ-0 במישור המרוכב. לכן יש formula_143 כך שהווקטור formula_144 הוא וקטור עצמי חיובי ומטענה 5 נקבל ש-formula_145 בסתירה.
הו, ג'ף... גם אני אוהבת אותך... אבל...
הו, ג'ף
Oh, Jeff
צביקה צוק
צְבִיקָה צוּק (באנגלית: Tsvika Tsuk; נולד ב-16 בנובמבר 1953) הוא ארכאולוג, גאוגרף, מדריך טיולים ישראלי ומומחה בינלאומי לחקר מפעלי מים עתיקים בישראל. היה הארכאולוג הראשי של רשות הטבע והגנים במשך 22 שנים. לדבריו: "כל דבר שאתה מגלה - זה מרגש. אתה לא יודע מה תמצא בעוד רגע".
ביוגרפיה.
צביקה צוק (גורודצקי) הוא בנם של אורה ושמואל גורודצקי, ונינו של צבי למפרט בן למייסדי המושבה פתח תקווה. צוק נולד בשנת 1953 ברמת גן ולמד בתיכון אוהל-שם. בשנת 1972 התגייס לצה"ל ושירת כלוחם בסיירת חרוב ולאחר מכן כקצין ידיעת הארץ בבית הספר לקצינים וכסגן ראש מדור ידיעת הארץ. זכה במקום ראשון בחידון צה"ל בידיעת הארץ בשנת 1973. בשנת 1979, סיים תואר ראשון בהצטיינות בארכאולוגיה וגאוגרפיה באוניברסיטת תל אביב ואת לימודי התואר השני בארכאולוגיה סיים בשנת 1985. בשנת 2000 סיים את עבודת הדוקטורט בארכאולוגיה באוניברסיטת תל אביב, בנושא "מפעלי מים קדומים בארץ ישראל מהתקופה הנאוליתית ועד שלהי תקופת הברזל", בהנחיית פרופסור זאב הרצוג ודוקטור זאב משל.
צוק הוא מדריך טיולים החל משנת 1974 והדריך עד כה אלפי ימי טיול בארץ וכ-100 טיולים ברחבי העולם.
נשוי לעמית ואב לבן אחד - איתן ומתגורר ברמת גן.
קריירה.
בשנים 1979–1984 עבד בחברה להגנת הטבע, שם הקים את בית ספר שדה ירקון בפתח תקווה, וכן במחלקת ייעוץ טיולים. בשנים 1992–1995 ניהל את המרכז לחקר מערות בישראל (מלח"ם) של החברה להגנת הטבע. בשנים 1995–1998 ניהל את מחלקת ההדרכה ברשות הגנים הלאומיים. משנת 1998 עד שנת 2020, ניהל את אגף הארכאולוגיה ברשות הטבע והגנים. בתפקידו זה, עסק בהגנה ושימור אתרי עתיקות בגנים לאומיים ושמורות טבע וכן בהגשת אתרי מורשת עולמית להכרזה באונסקו. ביוזמתו הוכרזו עד כה 5 אתרי מורשת עולמית בישראל: התילים המקראיים – תל מגידו, תל חצור ותל באר שבע (2005), דרך הבשמים וערי המדבר בנגב – עבדת, ממשית, שבטה וחלוצה והדרך מאורחן מור לעבדת (2005), מערות הכרמל (2012), מערות מרשה ובית גוברין (2014), מערות בית שערים (2015). בשנים 1975–2019 חקר את מערכת המים הקדומה של העיר צפורי, המתוארכת לתקופות הרומית והביזנטית. במרכז המחקר חפירת מאגר המים הענק ששימש לוויסות המים לעיר. מאגרים נוספים, המכונים מאגרי הקשתות ובריכת משהד והבריכה המערבית נחפרו בשנים 2002-2019 והוסיפו מידע חשוב למחקר זה.
בשנים 1986–1988, ערכו צביקה צוק ופרופסור אבי גופר חפירה משותפת במערת נחל קנה. בחפירה התגלו 8 מטילים דמויי טבעת, עשויים זהב ואלקטרום. כל הטבעות נעשו ביציקה, וצורתן דומה לצורת טבעות המופיעות על ציורי קיר מאוחרים יותר במצרים. מטילי הזהב הללו נחשבים לזהב הקדום ביותר במזרח התיכון, והם מתוארכים לתקופה הכלקוליתית (לפני כ-6,000 שנה).
בשנים 2010–2018, חפר את מפעל המים של תל גזר בניהול משותף עם משלחת מטעם הסמינר התאולוגי הבאפטיסטי של ניו-אורלינס, בראשות פרופסור ג'ים פרקר (חוקר מקרא וסגן נשיא הסמינר התאולוגי הבפטיסטי של ניו אורלינס). המשלחת תיארכה את מפעל המים לתקופת הברונזה התיכונה 2 ב', הנחשב עד כה למפעל המים הכנעני הגדול בעולם.
חפירות עיקריות נוספות בהן השתתף וניהל היו: אפולוניה (מגדל העוז), בקעת עובדה (אתר 17), תל גריסה (מפעל המים), חורבת זיכרין (בית המרחץ וסקר בורות מים), יריחו - נחל פרת (אמות המים), לגיו - מגידו (אמת המים), הרצליה (מנהרת הניקוז), סוסיתא (אמות המים), שבטה (סקר בורות מים), מגדל צדק (בית האחוזה ומערות קברים מימי הבית השני), תל אפק - אנטיפטריס (התיאטרון), יבנה ים (מערת החניון) ובית שערים (מאגר המים).
שיטת קודאי
שיטת קודאי (באנגלית:
The Kodály Method) המוכרת גם בשם "הרעיון של קודאי", היא גישה לחינוך מוזיקלי, שהמלחין ההונגרי זולטאן קודאי פיתח בהונגריה באמצע המאה ה-20. הגותו בנושא החינוך שימשה השראה לשיטה, שפותחה בשנים הבאות בידי עמיתיו למקצוע, ביניהם רוברטו גויטרה, מנצח מקהלה ומורה איטלקי והמחנכת קטינקה דניאל, שהייתה חלוצת השיטה בארצות הברית לאחר שהיגרה לשם בשנת 1960.
היסטוריה.
קודאי החל להתעניין בחינוך מוזיקלי לילדים בשנת 1925, כשהזדמן לו לשמוע תלמידים מזמרים שירים שלמדו בבית הספר. קודאי נחרד מרמת השירה של הילדים, וגמר אומר לעשות משהו לשיפור מערכת החינוך המוזיקלי בהונגריה. הוא כתב כמה וכמה מאמרים, טורים ומסות מעוררי מחלוקת בכוונה להביא למודעות לנושא החינוך המוזיקלי. בכתביו, מתח קודאי ביקורת על בתי הספר, שעשו שימוש במוזיקה נחותה ולימדו מוזיקה רק בחטיבת הביניים. קודאי טען, שמערכת החינוך המוזיקלי זקוקה למורים טובים יותר, לתוכנית לימודים משופרת ולהקצאת זמן רב יותר להוראת מוזיקה.
החל ב-1935 החל קודאי, יחד עם עמיתו ינו אדם, במיזם ארוך-טווח להכנסת תיקונים בהוראת המוזיקה בבתי הספר היסודיים ובחטיבות הביניים, באמצעות יצירה פעילה של תוכנית לימודים חדשה ושיטות הוראה חדשות, לצד כתיבת יצירות מוזיקליות חדשות לילדים. עבודתו הביאה להוצאה לאור של כמה ספרים עתירי השפעה, שהטביעו חותם עמוק על החינוך המוזיקלי, הן בהונגריה והן מחוצה לה.
מאמציו של קודאי נשאו לבסוף פרי ב-1945, כשהממשלה ההונגרית החדשה החלה ליישם את רעיונותיו בבתי הספר הציבוריים. הפיקוח הסוציאליסטי על מערכת החינוך זירז את מיסודן של שיטות קודאי ברחבי המדינה. בית הספר היסודי המוזיקלי הראשון, שבו הייתה הוראת מוזיקה יום-יומית. נפתח ב-1950. בית הספר נחל הצלחה רבה כל כך, שמעל מאה בתי ספר יסודיים למוזיקה נפתחו במהלך העשור הבא. אחרי כחמש-עשרה שנים, היו כמחצית מבתי הספר היסודיים בהונגריה לבתי ספר מוזיקליים.