בהיררכיית המבנים האלגבריים, שדות ניתנים לאפיון בתור חוגים קומוטטיביים formula_174 שבהם כל איבר שונה מ-formula_175 הוא איבר הפיך (מה שאומר כי לכל איבר יש הופכי). באופן דומה, שדות הם חוגים קומוטטיביים עם בדיוק שני אידיאלים, formula_176 ו-formula_174. שדות גם מאופיינים בתור החוגים הקומוטטיביים בהם formula_176 הוא האידיאל הראשוני היחיד.
בהינתן חוג קומוטטיבי formula_174, יש שתי דרכים להגדיר שדה הקשור ל-formula_174, כלומר שתי דרכים לשנות את formula_174 כך שכל איבריו השונים מ-formula_175 יהיו הפיכים: יצירת שדה שברים, ויצירת שדה מנה. עבור חוג השלמים formula_129, שדה השברים הוא שדה הרציונליים formula_50 בעוד ששדות המנה של formula_129 הם השדות הסופיים formula_145.
שדה שברים.
בהינתן תחום שלמות formula_174, שדה השברים שלו formula_188 בנוי על ידי השברים של שני איברים של formula_174 בדיוק כפי ש-formula_50 נבנה מתוך formula_129. ביתר דיוק, האיברים של formula_188 הם שברים מהצורה formula_193 כאשר formula_4 ו-formula_6 הם איברים ב-formula_174 וגם formula_38. שני שברים formula_193 ו-formula_199 הם שווים אם ורק אם formula_200. הפעולות על השברים פועלות בדיוק כפי שהן פועלות על מספרים רציונליים. למשל:
formula_201
ניתן להראות ישירות כי אם formula_174 הוא תחום שלמות, מה שתיארנו כאן יוצר שדה.
דוגמה מפורסמת לשדה שברים הוא השדה formula_203 של פונקציות רציונליות מעל שדה formula_11, שהוא שדה השברים של חוג הפולינומים formula_205. השדה formula_206 של טורי לורן
formula_207
מעל שדה formula_11 הוא שדה השברים של החוג formula_209 של טורי החזקות הפורמליים מעל שדה formula_11 (שבו formula_211). אבל כיוון שכל טור לורן ניתן להצגה בתור טור חזקות מחולק בחזקת formula_159, אין הרבה חשיבות להצגה של איברי השדה כשברים.
שדה מנה.
בנוסף לשדה השברים, שמעביר את formula_174 לשדה בהעתקה חד-חד-ערכית, ניתן לבנות שדה מתוך חוג קומוטטיבי formula_174 בהעתקה על formula_11. בהינתן אידאל מקסימלי formula_216, חוג המנה formula_217 הוא שדה, הנקרא שדה המנה.
למשל, בהינתן חוג פולינומים formula_218, האידיאל הנוצר על ידי פולינום formula_146 הוא מקסימלי אם ורק אם הפולינום formula_146 הוא אי פריק מעל formula_221, כלומר לא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של שני פולינומים אחרים ב-formula_222. אם האידיאל אכן מקסימלי, זה יוצר את השדה
formula_223
השדה הזה כולל איבר formula_159 (מחלקת השקילות של formula_225) שמקיים formula_226. ניתן לשכן את formula_221 ב-formula_11, שכן כל איברי formula_221 הם פולינומים ממעלה formula_96 ב-formula_222 ומחלקות השקילות שלהם שונות. כלומר, השדה formula_11 זו מעין הרחבה של השדה formula_221, שכוללת שורש לפולינום formula_146.
כך למשל, ניתן לבנות את השדה formula_45מהשדה formula_44, באמצעות הוספת שורש לפולינום formula_237. קל לבדוק שזהו אכן פולינום אי-פריק ב-formula_238, ולכן נוכל לבנות את השדה
formula_239
עמירם סיוון
יחס (תורת הקבוצות)
במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, יחס בינארי או רלציה בין קבוצות כלשהן formula_1 ו-formula_2 הוא קבוצה של זוגות סדורים של איברים, כך שהאיבר הראשון בכל זוג שייך ל-formula_1, והשני ל-formula_2. קיימים גם יחסים formula_5-אריים, שהם קבוצות של formula_5-יות מקבוצות נתונות formula_7.
אם formula_8 נאמר ש-formula_9 עומד ביחס עם formula_10 ונסמן formula_11.
שוויון, אי-שוויון, וכל פונקציה במשתנה אחד או יותר, כולם דוגמאות ליחסים.
הגדרה פורמלית.
יחס formula_12 בין הקבוצות formula_1 ו-formula_14 הוא קבוצה המקיימת formula_15.
יחס n-ארי formula_16 בין הקבוצות formula_17 הוא תת-קבוצה formula_18.
תכונות של יחסים.
יחס formula_19 ייקרא:
דוגמאות ליחסים.
מושג היחס מהווה אבן יסוד להגדרת מושגים בסיסיים רבים במתמטיקה:
פעולות על יחסים.
הרכבת יחסים – לכל שני יחסים formula_68 ניתן להגדיר יחס שלישי, formula_69 כהרכבה של שניהם:
לפי הגדרה זו - הרכבת פונקציות היא למעשה מקרה פרטי של הרכבת יחסים. הרכבת יחסים רפלקסיביים או טרנזיטיביים היא רפלקסיבית או טרנזיטיבית בהתאמה.
היחס ההופכי – עבור היחס formula_71 נגדיר את היחס ההפוך formula_72 על ידי היפוך הזוגות הסדורים:
הרכבת יחס עם היחס ההופכי, כמו גם איחודם, מניבה יחס סימטרי.
כל יחס formula_74 על קבוצה formula_1 ניתן להשלים באופן מינימלי ליחס רפלקסיבי, סימטרי או טרנזיטיבי על ידי לקיחת החיתוך של אוסף כל היחסים בעלי אותה תכונה שמכילים אותו. כיוון שתכונות אלו נשמרות תחת החיתוך, הקבוצה המתקבלת, המכונה הסגור של formula_74 ביחס לתכונה המבוקשת (רפלקסיביות, סימטריות או טרנזיטיביות), היא היחס המינימלי שמכיל את formula_74 ומקיים את אותה תכונה.
פרס ישראל
פרס ישראל הוא פרס שמעניקה מדינת ישראל במגוון רחב של תחומים. הענקת הפרס נערכת מדי שנה במוצאי יום העצמאות בירושלים בטקס ממלכתי בהשתתפותם של ראשי המדינה, אך שמות הזוכים מתפרסמים חודשים אחדים קודם לכן. הענקת הפרס החלה בשנת 1953 ביוזמתו של שר החינוך, בן-ציון דינור (אשר זכה בעצמו בפרס בשנת 1958 ובשנת 1973).
דינור אמר על הפרס:
מאפייני הפרס.
פרס ישראל מוענק לאזרחי ישראל שהיו תושבים בה בשלוש השנים שקדמו להצעת מועמדותם לפרס, כיחידים או כחלק מקבוצה, ובעבר גם לתאגידים ישראליים (במקרים מיוחדים ניתן הפרס לאזרחים זרים תושבי ישראל) אשר הצטיינו באחד המקצועות והתחומים המזכים בפרס (כמפורט להלן). כל תושב ישראל רשאי להמליץ על אחר כמועמד לקבלת הפרס. הזוכים בפרס נבחרים על ידי ועדת שופטים ציבורית, בהחלטה המתקבלת פה אחד. לכל אחד מתחומי הפרס ועדת שופטים משלו, וזו ממונה רק לשנה אחת. ועדות השופטים מגישות לשר החינוך את המלצתן להענקת הפרס, ובדרך כלל השר מקבל המלצה זו.
יוקרתו הרבה של פרס ישראל אינה נובעת מגובה הפרס. בשנת 2008 היה גובה הפרס 75,000 ש"ח, סכום נמוך יחסית לגובהם של פרס וולף, פרס דן דוד ופרס א.מ.ת, המוענקים אף הם בישראל.
התחומים שבהם מוענק הפרס.
על מנת להקיף את כל התחומים האפשריים, הוחלט כי פרס ישראל יינתן בכל שנה בתחומים אחרים, ותהיה מחזוריות של התחומים במהלך השנים. התחומים הראשיים ותחומי משנה שבהם מוענק כיום הפרס הם:
מדעי היהדות, מדעי הרוח ומדעי החברה:
מדעי החיים ומדעים מדויקים:
תרבות, אמנות, תקשורת וספורט:
טכנולוגיה ומחשבים
מפעל חיים - תרומה מיוחדת לחברה ולמדינה
בשנת 1968 הוחלט להעניק לדוד בן-גוריון פרס ישראל למפעל חיים, אך הוא סירב לקבלו. בשנת 1972 החליטה הממשלה להוסיף תחום זה לתחומי הפרס, והזוכה הראשון בתחום זה היה אברהם הרצפלד.
מחזוריות תחומי המשנה.
תחומי המשנה משתנים משנה לשנה, במחזורים של בין ארבע ושבע שנים.
בשנת תשס"ז, למשל, הוענקו פרסים בתחומים הבאים:
זוכי פרס ישראל.
מרבית התחומים שבהם מוענק הפרס הם תחומי מחקר מדעי, ובעקבות זאת מרבית הזוכים הם חוקרים באוניברסיטאות בישראל. הפרס על מפעל חיים מוענק בכל תחומי החיים בישראל, ובהתאם לכך קהל הזוכים בו מגוון יותר. גם בתחומי התרבות, האמנות, התקשורת והספורט יוצא הפרס מגבולות האוניברסיטאות.
בדרך כלל מוענק הפרס לזוכים בשלב מתקדם של הקריירה שלהם ולארגונים ותיקים בישראל. בפרט נהוגה גישה זו בפרס על מפעל חיים. ישנם ארגונים שחרגו מהכלל הזה והוחלט להעניק להם "פרס על מפעל חיים", כגון התזמורת האנדלוסית הישראלית, שהוכרזה כזוכה בפרס לשנת תשס"ו לאחר 12 שנות פעילות בלבד, והמכון הישראלי לדמוקרטיה, שלאחר 16 שנים של פעילות ציבורית, הוחלט שיקבל את הפרס בשנת תשס"ט.
הזוכה הצעירה ביותר היא דינה פייטלסון, שהייתה בת 27 בעת קבלת הפרס לחקר החינוך בשנת 1953. הזוכה הצעיר ביותר הוא עזרא פליישר, שהיה בן 31 בעת קבלת הפרס לספרות יפה בשנת 1959. פליישר היה ידוע בשם העט י' גולה, ובעת הענקת הפרס ישב בכלא ברומניה עקב פעילותו הציונית.
עם הזוכים בפרס ישראל גם כאלה שזכו בפרסים בינלאומיים יוקרתיים. שישה מעשרת חתני פרס נובל הישראלים, ש"י עגנון, אברהם הרשקו, אהרן צ'חנובר, ישראל אומן, עדה יונת ודן שכטמן, זכו בפרס זה לאחר זכייתם בפרס ישראל. שלושה מחמשת חתני פרס טיורינג הישראלים, מיכאל רבין, אמיר פנואלי ועדי שמיר, זכו בפרס זה קודם לזכייתם בפרס ישראל.
תקנון הפרס קובע כי "אפשר לקבל את פרס ישראל פעם אחת בלבד". טרם הוספת כלל זה זכו בפרס פעמיים בן-ציון דינור, ש"י עגנון ויעקב כהן.
תקנון הפרס קובע כי במקרים יוצאים מן הכלל ניתן להעניק את פרס ישראל גם לאדם שהלך לעולמו:
בחלוקת הפרס הראשונה, בשנת תשי"ג ניתן הפרס לגדליה אלון שלוש שנים לאחר פטירתו, בשנת תשי"ז קיבל יוחנן לוי את הפרס כ-12 שנה לאחר מותו. חמישה זכו בפרס בשנת פטירתם - בתש"ל זכתה בפרס לאה גולדברג, בתשנ"ב זכה בפרס אבות ישורון, בה'תשס"ח זכה בפרס ניסן נתיב, בתשע"ג זכה בפרס רון נחמן ובתשע"ט זכתה בפרס רונה רמון.
מחלוקות סביב פרס ישראל.
סביב רבים ממקבלי הפרס שורר קונצנזוס באשר לזכותם לפרס זה, בזכות מוניטין שצברו בציבור הרחב. רבים אחרים מוכרים בעיקר בתחום האקדמי שבו הם פעילים, וזוכים לתמיכתו. עם זאת, יוקרתו של הפרס, כפרס הממלכתי העיקרי בישראל, מביאה לכך שלעיתים נכרכת ההחלטה על מתן הפרס במחלוקת פוליטית עזה.
עתירות לבג"ץ.