, נבדוק כי וקטור זה אכן שייך לליבה:
1. formula_67
(תנאי היעילות מתקיים).
2. formula_68
(תנאי הסבירות מתקיים לכל קואליציה משום שקיימת רק קואליציה אחת לא ריקה והיא השחקן formula_69
עצמו).
לכן
formula_62
נמצא בליבה.
נניח כי המשפט מתקיים עבור
formula_71
ונוכיח אותו עבור
formula_72 :
1. formula_73
(תנאי היעילות מתקיים, כאשר בוצע שימוש ביעילות הווקטור באורך
formula_74
מהנחת האינדוקציה).
2. תהי קואליציה כלשהי
formula_75
, נבדיל בין שני מצבים אפשריים:
formula_76 ו- formula_77 .
formula_78
ולכן נקבל:
formula_79
ישירות מהנחת האינדוקציה עבור כל קואליצה, בשל קיום תנאי הסבירות במשחק בגודל
formula_71
formula_81
כעת נוכל להשתמש בשקילות של משחק קמור לפי הטענה שהוכחה לעיל (תנאי 3) עבור השחקן ה-
formula_82
ולקבל:
formula_83 .
מכאן נובע ש-
formula_84
מהנחת האינדוקציה ידוע שתנאי הסבירות מתקיים עבור המשחק עם
formula_74
שחקנים, ולכן
formula_86 .
נציב זאת באי השיווין שהתקבל קודם לכן
formula_87.
formula_88
ולכן גם תנאי הסבירות מתקיים.
formula_62
נמצא בליבה והמשפט מוכח לכל formula_82 טבעי.
ערך שפלי של משחק קמור.
ערך שפלי של משחק קמור אף הוא נמצא בליבה.
בהוכחה שהליבה של משחק קמור אינה ריקה, הגדרנו את וקטור התשלומים formula_91 לפי סדר שרירותי של השחקנים במשחק. למעשה, לכל תמורה על אוסף השחקנים formula_92 ניתן להגדיר באופן דומה וקטור תשלומים formula_93:
formula_94
משום שבהוכחה על הליבה של משחק קמור סידרנו את השחקנים באופן שרירותי, ההוכחה תקפה לכל וקטור תשלומים formula_93 כזה, ולכן גם הוא בליבה.
הנוסחה לחישוב ערך שפלי היא הממוצע המשוקלל של הווקטורים הללו: formula_96. הליבה היא קבוצה קמורה, ומזה נובע שגם ערך שפלי נמצא בה.
דוגמה למשחק קמור.
כל משחק שוק הוא משחק קמור.
משחק שוק הוא למעשה הסתכלות על מודל של שוק שבו נמצאים מצרכים, צרכנים ויצרנים בתור משחק שבו כל השחקנים מסוגלים לתקשר ביניהם ולהגיע להחלטות משותפות ולהסכמים הניתנים לאכיפה.
סרדינים
הגזע הקווקאזי
פגאסוס (משגר לוויינים)
פגאסוס (באנגלית: Pegasus) הוא משגר לוויינים אווירי, הנישא על ידי מטוס, ומוטל ממנו בגובה רב. המשגר פותח על ידי חברת אורביטל סיינסס (OSC) האמריקאית. משגר זה משגר לוויינים מסחריים, לווייני מחקר ולוויינים צבאיים. זהו משגר הלוויינים האווירי הראשון בשימוש מסחרי, והיחיד עד כה.
אופן הפעולה של המשגר.
משגר הלוויינים פגאסוס נישא לאוויר מתחת לגחונו של מטוס מיוחד שהותאם למשימה, מסוג לוקהיד L-1011. המטוס נושא את המשגר לגובה של כ-12 ק"מ (40 אלף רגל), שם מוטל המשגר ונופל חופשית מספר שניות, בטרם יופעל מנועו הרקטי. בעת פעולת המנוע הרקטי של השלב הראשון מסתייע הטיל במשטח זנב להיגוי וכן בכנף בתצורת דלתא, המספקת עילוי. עם גמר הדלק במנוע, מושלך החלק האחורי של המשגר, כולל הכנף, וניצת המנוע של השלב השני.
היסטוריית השיגורים של המשגר פגאסוס.
פגאסוס טס 45 משימות בין 1990 ל-2021:
מרדכי שרגא פרידמן
רבי מרדכי שרגא פייבוש פרידמן מהוסיאטין (כ' באייר תקצ"ד, 29 במאי 1834 – כ"ב באייר תרנ"ד, 28 במאי 1894) היה מממשיכי דרכו של אביו רבי ישראל פרידמן מרוז'ין, אבי חסידות הוסיאטין.
תולדות חייו.
רבי מרדכי שרגא פייבוש נולד בכ' באייר ה'תקצ"ד (1834) לרבי ישראל פרידמן ברוז'ין, והיה הקטן מבין ששת בניו.
בשנת 1850 נישא רבי שרגא-פייבוש לברכה דינה בת רבי דוד צבי קובלנסקי (בת אחות אמו, בנותיו של רבי משה אפרתי מברדיטשוב), וארבעה חודשים לאחר נישואיו נפטר אביו.
בתחילה ישב יחד עם אחיו באחוזה בפוטיק, ועל אף שהיה צעיר האחים היה הוא הראשון שעזב והשתקע בעיירה מיקלניץ, שם התחיל להנהיג את חסידיו במשך שלוש שנים. בשנת תרט"ו העתיק משם לעיר סטריסוב. בשנת תרכ"ה (1865) בגיל שלושים עבר להוסיאטין יחד עם חסידיו ומשפחתו. לפני בואו הייתה בהוסיאטין קהילה קטנה של יהודים, עם בואו החלה הקהילה לגדול ובמקביל החלה העיר להתפתח.
הרבי הקים בעיר מקווה בתי כנסת, בתי ספר וכל התשתיות הדרושות לחצרו, בין הישגיו החשובים של הרב היו:
משפחתו.
בניו:
אברקרומבי אנד פיץ'
אַבֶּרקְרוֹמְבִּי אֶנד פִיץ' (באנגלית: Abercrombie &amp; Fitch) הוא מותג אופנה אמריקאי יוקרתי שנוסד על ידי המעצבים דייוויד אברקרומבי ועזרא פיץ'. המותג שקיים משנת 1892 ובעל מחזור כספי שנתי של מיליארדי דולרים בשנה, נחשב למותג המצליח ביותר בארצות הברית והוא ממותג כקז'ואל יוקרתי, הכולל את חמשת המותגים: אברקרומבי ופיץ', אברקרומבי קידס, הוליסטר, גילי היקס ו־RHUEL No. 925. המותג פועל בעיקר בארצות הברית, קנדה ובריטניה.
היסטוריה.
אברקרומבי ופיץ' נוסד על ידי היזם האמריקאי דייוויד אברקרומבי ב־4 ביוני 1892 בניו יורק, תחילה כחברה לציוד ספורט שנקראה "Abercrombie Co.". בשנת 1900 הצטרף אליו שותפו עזרא פיץ' והחברה הפכה ל-Abercrombie &amp; Fitch Co (החברה מוכרת גם כ"A&amp;F", "ANF" ו"AF".). באופן רשמי. בשנת 1907, לאחר מחלוקת בין שני השותפים, עזב דוד אברקרומבי את החברה והשאיר אותה לידי עזרא פיץ'. מרגע זה אופייה של החברה השתנה וזו הפכה לחברת אופנה, תחילה לביגוד נשים. ב-1920 נפתחה החנות הראשונה של המותג, בשדרה החמישית במנהטן, ניו יורק (חנות הפועלת עד היום). במשך הזמן המותג התבסס כאחד המותגים החמים ביותר בשוק האופנה בארצות הברית. ב־15 באוקטובר 2004 הפכה החברה לראשונה שהחרימה את הצמר האוסטרלי (בשל התעללות בכבשים). ב־2007 נפתחה החנות הראשונה של המותג מחוץ לצפון אמריקה, בלונדון. בסוף שנת 2008 חלה ירידה של כמעט שליש במכירות של החברה, ככל הנראה בגלל המשבר הכלכלי העולמי, ובשל העובדה שבניגוד ליריבותיה, החברה סירבה להוריד מחירים. ב־אוקטובר 2009 נפתחה חנות דגל במילאנו שבאיטליה, וכן נפתחה חנות דגל בטוקיו, שהיא החנות הגדולה ביותר של המותג בעולם, והגבוהה ביותר במזרח, בעלת 11 קומות.
מוצרים.
החברה מייצרת בגדים בבסיס יומיומי הנחשבים על ידיה ועל פי טענתה לאיכותיים ונשמרים לאורך זמן. החברה אינה מייצרת ביגוד ערב אלגנטי, אלא ביגוד ליום יום בעיצוב צעיר. פעמים רבות החברה התחילה אופנות משלה. בנוסף לבגדים רגילים, מייצרת החברה גם בגדי ספורט, כגון כפכפים, כובעים, תכשיטים, בשמים ועוד. סמליל המותג הוא ציור של אייל קורא.
שיווק.
לאברקרומבי ופיץ' שיטת שיווק מיוחדת. לפי השיטה, החברה פותחת מספר מצומצם של חנויות, מה שהופך את המותג למסתורי ולקשה להשגה, וחנויותיה הייחודיות הופכות לפופולריות ועמוסות במיוחד. בנוסף, בחנות המקוונת נמכרים כמעט ורק עודפים. למרות המחירים הגבוהים במיוחד של מוצריה, אלה נמכרים בקצב גבוה, והמותג נחשב למותג המצליח ביותר בארצות הברית. החברה הייתה לחברה הראשונה בעולם שמפרסמת באמצעות קטלוגים שנמכרים בכסף. הקטלוגים של החברה מאופיינים בצילומי דוגמנים בשחור לבן, ובהם דוגמנים המוצגים באופן מיני. שיטת שיווק זו הוכחה רבות כשיטת שיווק יעילה ביותר. דוגמני החברה נבחרים מדי שנה מתוך המוכרים בחנויותיה, שבהן מקפידים להעסיק מוכרים לפי המראה החיצוני שלהם (דבר הגרם למספר לא קטן של תביעות כנגד החברה). חנויות הדגל של החברה ממוקמות בניו יורק, בלוס אנג'לס, בלונדון, במילאנו ובטוקיו, ואלו מפורסמות בשל התורים הארוכים בכניסה לחנות. החנויות של החברה מעוצבות באופן ייחודי; מרבית החנויות חשוכות ומושמעת בהן מוזיקת דאנס בעוצמה גבוהה, אולם אינן בולטות מבחוץ. החנות המפורסמת ביותר של החברה היא חנות הדגל בשדרה החמישית במנהטן, ניו יורק. חנות בעלת 4 קומות ומפורסמת בעיקר בגלל התור הארוך במיוחד המשתרך בכניסה אליה ובעלת העיצוב החשוך והמוזיקה החזקה וריח הבושם המפורסם של החברה.
לאורך השנים המותג צבר תאוצה ועם זאת החלו השערוריות. באמצע 2013 נפתחה מחאה אינטרנטית ויראלית שסחפה אחריה המוני גולשים זועמים על היחס של החברה אל קבוצות בחברה.
באחד מראיונותיו אמר מייק ג'פריס, מנכ"ל החברה כי: "בחברה יש ילדים מגניבים ויש ילדים לא מגניבים, אנחנו הולכים עם הילדים המגניבים".
על כל זאת, החברה הפסיקה לייצר בגדים מעל המידה הבינלאומית LARGE ולכן חלק מהאוכלוסייה לא יכול ללבוש את בגדי המותג.
אחרי ראיונו של ג'פריס התחילה מחאה אינטרנטית ויראלית שנקראה Fitch The Homeless ומטרתה הייתה לייצב את המותג כנגיש לכל שכבות האוכלוסייה ולמחוק את מיתוג הקזואל היוקרתי.
בשנת 2002 החברה קיבלה קנס על כך שדיווחים על הגדלת פעילותה לא היו אמינים. החברה הייתה מעורבת במספר סוגיות משפטיות קשורות עם מדיניות תעסוקה וטיפול בלקוחות. בשנת 2002 היא האשימה את "אמריקן איגל אאוטפיטרס" שהיא מייצרת בגדים דומים מאוד למותגים של אברקרומבי אנד פיץ'. הנושא לנסגר בבית משפט לטובת אמריקן איגל. בשנת 2002 החברה קיבלה קנס על כך שדיווחים על הגדלת פעילותה לא היו אמינים. בשנת 2019 החברה הואמשה בכך שהיא ניצלה מוצר של חברה ישראלית "גלאסבוקס" לקבלת ושימרת מידע על לקוחותיה ללא ידיעתם.
המותג בישראל.
עד שנת 2010 לא התקיים ייבוא רשמי של החברה לישראל, למרות המאמצים להביא את המותג הייחודי לארץ. בשנת 2010, היה ניתן למצוא עודפים של Abercrombie &amp; Fitch ברשת החנויות 'J' קניון ארנה הרצליה וממילא.