בשם 'נשמה פגומה' כינו חז"ל את בני ישראל העובדים עבודה זרה (שנשחתו בדעתם ומעשיהם) ובכך מביאים לקלקול העולם. תיקון הנשמה כקלקולה קובעים לפי הקבלה את פני המציאות בעולם הזה. אמנם לפי הקבלה התוכנית האלוהית ברורה וקבועה, ובהכרח תצא לפועל, אך במעשה התיקון העצמי ניתן לקבוע את האופן בו תתממש, אם מתוך ייסורים או נחת.
צער השכינה וזיווג עליון.
הרע שקיים בעולם נובע מהנתק שבין ספירת תפארת לספירת מלכות, או במילים אחרות, בין האור של ההוויה לבין נשמת העולם, בשל גלות ישראל ובשל החטאים. צער השכינה הוא כאב הפירוד הזה, שנחשב לכאב הגדול ביותר. ישנן תפילות מיוחדות שנתקנו (תיקון חצות), שבהן משתתף היחיד בצער השכינה. לעומת זאת, עשיית מצוות מאחדת בין הספירות וגורמת ל"זיווג קוסמי", ואור אלוהי זוהר על השכינה וממנה אל תוך העולם. הקבלה רואה את שיר השירים ואת דמויות הדוד והרעיה כאלגוריה לעניין זה. זהו המקור לבקשה "לשם ייחוד קוב"ה ושכינתא" שהאשכנזים נוהגים לומר לפני ״ברוך שאמר״, והספרדים בקיום הרבה מצוות.
כוחות האדם.
נפש.
נפש נמצאת בכל אדם; הנפש הבהמית היא רוח החיים היסודית. על-פי התורה: "הדם הוא הנפש". מקובל לזהותה עם הצרכים הבסיסיים המשותפים לאדם ולשאר החיות. מקום משכנה בכבד. הנפש הבהמית היא לבוש לנפש הקדושה שהיא חלק אלוה ממעל ממש.
רוח.
ישות אמצעית המקשרת בין הנפש והנשמה, או הנפישה (מנוחה) והנשימה (נשימה "פעילה"). הרוח הוא/היא תנועת החיות הנשימתית המופחת על ידי נותן החיים בגוף החי. הבורא אם כן מחיה את היצורים החיים בכל רגע נתון על ידי שאיפה ונשיפה. הרוח שואפת לנפוש בקרב הגוף החי. ח"ו הפסקת הנשימה = הפסקת החיים.
הרוח שוכנת בלב, כמאמר הפסוק: "לב טהור ברא לי אלהים ורוח נכון חדש בקרבי". בבראשית ב', ז' כתוב: "...ויפח באפיו "נשמת חיים" ויהי האדם ל"נפש חיה"" - תרגם תרגום אונקלוס "והות באדם לרוח ממללא", כלומר הרוח הנמצא באדם זהו כוח הדיבור.
נשמה.
נשמות ישראל כולן הן "חלק אלוה ממעל ממש" כמאמר ספר התניא, אך הנשמה באה רק אצל המקובלים הראויים לכך. הנשמה, בניגוד לשני הכוחות שמתחתיה, איננה יכולה להיפגם, והיא נותרת טהורה תמיד. שוכנת במוח.
חיה.
סוג עילאי של נפש. אור החיים של ההוויה, וזכה לה משה רבנו בנבואתו הצלולה - שהייתה כעין אספקלריה מאירה.
יחידה.
זוהי הבחינה הנקראת עצם הנשמה, עצם ההתאחדות של נברא עם בורא ללא שום ציור "יחידה ליחדך". על דרגה זו נאמר שיהודי לא יכול להפרד מהשם. בכללות, זוהי הדרגה הגבוה ביותר שבנשמה, אך בפרטות, בחסידות מגלים שגם דרגה זו יש מעליה.
השרטוט.
רעיון השרטוט קובע כי מעשי האדם ותכונותיו משתקפים על מצחו (חכמת הפרצוף), על כף ידו או על איברים אחרים, והבקיאים בכך יכולים לקרוא זאת.
גבול של סדרה
בחשבון אינפיניטסימלי, גבול של סדרה ממשית הוא מספר, שאיברי הסדרה הולכים ומתקרבים אליו כך שהמרחק בין האיברים לגבול קטן כרצוננו. מושג זה מהווה אבן פינה באנליזה המתמטית, בכך שהוא מאפשר לנסח ולחקור בכלים סופיים את ההתנהגות של סדרות, פונקציות ותהליכים אינסופיים אחרים. סדרה שיש לה גבול נקראת סדרה מתכנסת. סדרה שאין לה גבול (אינה מתכנסת) נקראת סדרה מתבדרת.
באופן כללי יותר, אפשר להגדיר גבול לסדרה גם אם אבריה אינם דווקא מספרים ממשיים: ראו גבול בטופולוגיה.
סימון.
את הטענה "הגבול של הסדרה formula_1 הוא formula_2" ניתן לכתוב באופן formula_3 או formula_4 (ולפעמים גם formula_5). הצירוף lim הוא קיצור של המילה הלועזית limes שפירושה "גבול". בסימון formula_6, האות formula_7 מציינת את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו-formula_8 הוא אינדקס, המציין את מספרו הסידורי של האיבר בסדרה. הסמל formula_9 מסמל את מושג האינסוף. החץ formula_10 מסמל שאיפה של הביטוי המצוין בתחילת החץ לזה שבסופו. כך ש formula_11 מציין ש-formula_8 שואף לאינסוף.
הגדרת הגבול.
אינטואיטיבית, מספר ממשי הוא גבול של סדרת מספרים אם אברי הסדרה הולכים ומתקרבים אליו. עם זאת הגדרה זו מעורפלת ואינה שימושית. כדי לתת הגדרה מדויקת יותר יש להשתמש במושגים של סביבה ומרחק, שיחולו על אברי הסדרה ממקום מסוים ואילך.
המשמעות של "קירבה לגבול".
קבוצת המספרים שמרחקם מערך נתון formula_7 אינו עולה על גודל קבוע (כלשהו), נקראת סביבה של formula_7. בהקשר זה, מקובל להשתמש באות היוונית אפסילון (formula_15) כדי לייצג את רדיוס הסביבה. רדיוס הסביבה הוא מספר חיובי (formula_16), אשר יכול להיות קטן כרצוננו. סביבה זו כוללת את כל המספרים formula_17 המקיימים את התנאי formula_18.
במסגרת מושגים אלו ניתן להגדיר את אברי הסדרה ה"קרובים" אל הגבול בצורה מדויקת יותר כנמצאים בסביבה של הגבול, כך שהמרחק של formula_6 מ-formula_2 יהיה קטן מ-formula_15; כלומר formula_22.
משום ש-formula_15 יכול להיות קטן כרצוננו, על אברי הסדרה לענות על תנאי זה עבור כל formula_15. הסימון המתמטי של "לכל" הוא formula_25. על כן, נכתוב את התנאי "לכל רדיוס סביבה חיובי אברי הסדרה נמצאים בסביבת הגבול" בצורה הבאה: formula_26.
עם זאת, משום שהגדרנו את אברי הסדרה כ"הולכים ומתקרבים" לגבול ולא כ"קרובים" אליו, אין צורך שכל אברי הסדרה יהיו בסביבת הגבול כדי לענות להגדרה זו. כלומר, מספיק שכמעט כל האיברים יהיו בסביבת הגבול, החל ממקום מסוים שאותו נהוג לסמן באות formula_27 גדולה או formula_28. על כך יורחב בהמשך.
המשמעות של "התקרבות לגבול".
הגדרה מדויקת של מושג הגבול תדרוש כי עבור כל סביבה של הגבול, ניתן למצוא מקום מסוים המסומן באות formula_27 גדולה או formula_28, שהחל ממנו כל אברי הסדרה מצויים בתוך סביבה זו. דהיינו, עבור כל מרחק "קטן כרצוננו" מהגבול, קיים מספר טבעי formula_31 (שיכול להיות גדול מאוד, ותלוי בבחירה של formula_15), כך שכל איברי הסדרה מעבר לאותו מספר נמצאים בתוך מרחק זה מהגבול (הסימן של "קיים" הוא formula_33). כיוון ש-formula_11 עד formula_28 יש רק מספר סופי של אינדקסים וממנו והלאה יש מספר אינסופי של אינדקסים. לכן אפשר לומר שעבור כל formula_15, כמעט כל אברי הסדרה נמצאים במרחק שקטן מ-formula_15 מהגבול - כלומר לא משנה עד כמה נצמצם את הסביבה של הגבול, עדיין כמעט כל הסדרה תישאר בתוך אותה סביבה.
צורת כתיבה נוספת היא:
איתור המספר formula_28 שממנו והלאה אברי הסדרה נמצאים בסביבת הגבול.
יש לשים לב שהאינדקס formula_28 תלוי ב -formula_15. ככל ש formula_15 יהיה קטן יותר, formula_28 המתאים לו, עשוי להיות גדול יותר. לעיתים מסמנים formula_54 או formula_55 במקום formula_28 כדי להדגיש עובדה זו.
כמו כן, יש לזכור שהאינדקס formula_28 הוא מספר טבעי (formula_58). כלומר, על פי הגדרת הגבול עליו להיות מספר שלם חיובי. לעיתים במהלך החישוב או ההוכחה של גבול של סדרה מסוימת יתקבל מספר ממשי חיובי שאינו שלם. במקרה זה האינדקס formula_28 יהיה הערך השלם העליון של המספר שהתקבל בחישוב. שכן משום שהוא גדול יותר מהמספר שהתקבל, גם ממנו והלאה אברי הסדרה יתכנסו לעבר הגבול. כדי להדגיש שמדובר בערך העליון (פונקציית התקרה) הוא יסומן כך: formula_60.
אפיון התכנסות לפי קושי.
תנאי קושי הוא אפיון שקול לכך שסדרה ממשית מתכנסת. סדרה המקיימת את תנאי קושי היא סדרה שהמרחק בין כל שני איברים שגדולים מאינדקס כלשהו, קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שאף על פי שסדרה המקיימת את תנאי קושי בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול אליו הסדרה מתכנסת, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע האם סדרה מתכנסת מבלי להתייחס לגבול אליו היא מתכנסת, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול.
גבול במובן הרחב.
אומרים שסדרה formula_6 שואפת לאינסוף (או שאינסוף הוא גבול הסדרה), אם לכל מספר ממשי formula_68 קיים מספר טבעי formula_28 כך שלכל formula_8 המקיים formula_71 מתקיים formula_72. ההגדרה של שאיפה למינוס אינסוף דומה.
כך למשל סדרה כמו formula_73 שואפת לאינסוף, כי ה"זנב" שלה גדול מכל מספר ממשי שנרצה, אולם הסדרה formula_74 אינה שואפת לאינסוף, כי היא אמנם גדולה כרצוננו, אולם לא כל איברי ה"זנב" גדולים כרצוננו.
הגבול כאופרטור.
בתוך המרחב הווקטורי של כל הסדרות הממשיות, שאותו מסמנים ב-formula_75 או formula_76, אוסף הסדרות המתכנסות מהווה אלגברה, שעליה מוגדר אופרטור הגבול: האופרטור מחזיר, עבור סדרה מתכנסת formula_77, את גבולה formula_78, שהוא מספר ממשי.
לפי אריתמטיקה של גבולות, בהינתן שתי סדרות מתכנסות formula_77 ו-formula_80 מתקיים
כאשר בסעיף האחרון נדרש ש-formula_81 וש-formula_82 לכל formula_8.
מושגים קרובים.
כאשר סדרה אינה מתכנסת, אין לה גבול במובן שהוגדר למעלה, ואז נדרשים כלים מעט אחרים. ההרחבה הטבעית הראשונה היא לסדרות שגבולן אינסוף או מינוס אינסוף, והן "מתכנסות במובן הרחב", כפי שהוסבר לעיל.
גבול של תת-סדרה נקרא גבול חלקי של הסדרה המקורית. כאשר סדרה מתכנסת כל הגבולות החלקיים שלה שווים. אוסף כל הגבולות החלקיים מתאר במובן ידוע את הסדרה המקורית; הגבול החלקי הקטן ביותר נקרא גבול תחתון, והגדול ביותר הוא גבול עליון.
בלייז פסקל
גבול