בשונה ממערכות ליניאריות, הניתנות לביצוע חישובי קירוב והערכות, במערכות לא ליניאריות לא ניתן לבצע חישובים אילו ואף קשה עד בלתי אפשרי ליצור מודל התנהגותי של המערכת. דבר זה מקשה על ביצוע חישובי תחזיות. אחת הדרכים להגיע להצגת תבנית של מערכת לא ליניארית היא לקרב המערכת לתבנית של מערכת ליניארית - תהליך המכונה ליניאריזציה.
ישנן מספר מערכות לא ליניאריות הניתנות לפתרון או שניתן באמצעותן לבצע פעולות אינטגרציה, בעוד שאחרות מאופיינות באי-סדר מוחלט ועל-כן אין להן פתרון או אפילו אומדן קירוב. תחום חקר משוואות לא ליניאריות עדיין אינו מובן בשלמותו, אולם, יישום של מערכות אלה נמצאו במגוון תופעות פיזיקליות הכוללות את תורת הכאוס ובתופעה הנקראת גלים חריגים אשר דוגמאות לכך ניתן למצוא בין היתר בגלי הים.
רקע.
מערכות לא ליניאריות באלקטרוניקה.
באלקטרוניקה, מערכת לא ליניארית מתארת מודל, שבה נמצא רכיב או מספר רכיבים המאופיינים בהתנהגות לא ליניארית.
מערכות לא ליניאריות במתמטיקה.
במתמטיקה מערכת לא ליניארית באה לידי ביטוי כמשוואה או כאוסף של משוואות לא ליניאריות.
תיאור מערכות לא ליניאריות.
מערכות ומשוואות לא ליניאריות הן תחום מחקר שכיח בקרב קהילת המתמטיקאים והפיזיקאים בניסיון ללמוד על תופעות פיזיקליות אשר מטבען הן לא ליניאריות. שכיחות הנושא נובע מריבוי הימצאותן של תופעות לא ליניאריות בטבע לעומת התופעות הליניאריות.
ניתן לתאר את המשוואה הלא ליניארית בצורה: formula_1 עבור משתנה כלשהו formula_2.
על מנת לפתור כל משוואה, נדרש להחליט על מרחב פתרונות, ש-"formula_2" יימצא בו. "formula_2" עשוי להיות מספר ממשי, וקטור או אפילו פונקציה.
בעוד שהפתרון של משוואה ליניארית ייתן למעשה סופרפוזיציה או פתרון נוסף של אותה משוואה, פתרון של משוואה לא ליניארית עשוי להיות מסובך יותר ויכול להופיע אף בצורה של משוואה לא ליניארית חדשה.
משוואות לא ליניאריות מפורשות.
ישנן כמה מערכות לא ליניאריות המובנות היטב, לדוגמה:
ועוד כמה מערכות פולינום. אולם, מערכות לא ליניאריות פולינומיות מדרגה גבוהה יותר הן יותר מסובכות. באותו אופן, ניתן לתאר מערכות לא ליניאריות דיפרנציאליות כגון:
הניתנת לפתרון על ידי שיטת "הפרדת המקדמים" ואילו משוואות אלו מסדר גבוה יותר כגון:
עשויות להוות אתגר לא מבוטל.
כמו כן, עבור מערכת משוואות דיפרנציאליות חלקיות התמונה עשויה להסתבך על אף, שניתן להוכיח את מספר הפתרונות האפשריים.
המשוואה הדיפרנציאלית של מטוטלת מתמטית ניתנת לתיאור על ידי משוואה לא ליניארית:
בעקרון, המשוואה הופכת לליניארית בהינתן formula_10 מספיק קטן (קרי, formula_11) כך ש:
פתרון המשוואה עבור ערכים גדולים יותר של formula_10 או תנועה לא רציונלית של המטוטלת נעשית באמצעות "פירוק לשלבים".
כלים לפתרון מערכות לא ליניאריות.
כיום, ישנן מספר דרכים לפתור מערכות לא ליניאריות:
אלקטרוניקה תקבילית
אלקטרוניקה תקבילית ("אנלוגית") הוא תחום של תכנון מכשירים אלקטרוניים, העוסק במעגל חשמלי הפועל בזרמים ובמתחים נמוכים (בהשוואה למעגלי זרם חזק). השם "תקבילי" הוא תרגום מהותי של המונח "אנלוגי", שפירושו - "מקביל ל-" או "מייצג את-", המתייחס לעובדה שמתח או זרם אנלוגיים מייצגים מידע באופן רציף.
הזרמים האופייניים לרוב המעגלים התקביליים הם בין מיקרו-אמפר למילי-אמפר, והמתחים האופייניים הם מילי-וולטים בודדים עד מספר וולטים.
מעגלים אלקטרוניים אנלוגיים משמשים בתעשיית האלקטרוניקה, בעיקר כמעגלי הגברה, מעגלי קליטה ושידור (של גלים אלקטרומגנטיים), מעגלי משוב, ומעגלי חציצה (Buffers).
מעגלים אלקטרוניים אנלוגיים עושים שימוש ברצף של ערכי זרם ומתח לצורך מימוש המנגנונים השונים (ובעיקר העברת מידע), וזאת בניגוד למעגלים אלקטרוניים דיגיטליים, העושים שימוש בערכים בדידים של זרם ומתח, לצורך מימוש של פונקציות לוגיות.
מיקרואלקטרוניקה
מיקרואלקטרוניקה היא תחום באלקטרוניקה, העוסק בתכנון ובייצור מעגלים אלקטרוניים זעירים. מעגלים אלקטרוניים הם מעגלים חשמליים העובדים בזרמים ומתחים נמוכים ונקראים גם מעגלי זרם חלש.
היסטוריה.
תחילתו של תחום המיקרואלקטרוניקה בהמצאת הטרנזיסטור, שהחליף את שפופרות הריק ששימשו עד אז בתעשיית האלקטרוניקה. הטרנזיסטור התבסס על שימוש בחומרים הנקראים מוליכים למחצה, בעלי תכונות הולכה הנעות בין חומרים מוליכים לבין חומרים מבודדים.
ניתן לקבוע תכונות אלו בזמן תהליך הייצור ולשלוט עליהן (עד למידה מסוימת) בזמן הפעלת המעגל.
מידותיו המזעריות של הטרנזיסטור איפשרו הקטנה משמעותית בגודלם הפיזי של מעגלים חשמליים שהיו בשימוש אז. כמו כן, התפתחו שיטות הייצור של הטרנזיסטור לכדי שיטות של ייצור המוני (mass production) בעלות נמוכה. כתוצאה מכך, הפך הטרנזיסטור לרכיב זול ונפוץ מאוד, מה שאפשר תכנון וייצור של מעגלים אלקטרוניים מורכבים ומסובכים יותר ויותר, המתבססים על מספר גדל והולך של טרנזיסטורים. כיום המיקרואלקטרוניקה היא בפועל ננואלקטרוניקה בה מיוצרים רכיבים בקנה מידה ננומטרי הכוללים ננו-מעגלים.
פריצת הדרך הבאה בתור, הייתה התפתחות תהליכי הייצור, לכדי תהליכים המאפשרים לחבר מספר טרנזיסטורים ביחד עם רכיבים נוספים, כגון דיודות, קבלים ונגדים, למעגל אלקטרוני מזערי על גבי פרוסת סיליקון של המוליך למחצה שממנו מיוצר הטרנזיסטור. מעגלים אלה נקראו מעגלים משולבים (Integrated Circuits או בקיצור IC).
המעגלים המשולבים הראשונים היו מעגלים פשוטים יחסית, המונים עשרות עד מאות אחדות של טרנזיסטורים. מעגלים אלה נקראים כיום Small Scale Integrated Circuits או בקיצור SSI. עם התפתחות תעשיית המיקרואלקטרוניקה, גודלם הפיסי של הטרנזיסטורים הלך וקטן, בעוד שהמעגלים המיוצרים בשיטה זו (הנקראים גם רכיבים) הלכו והתרחבו וכללו מספר גדל והולך של טרנזיסטורים. כיום, רכיב מיקרואלקטרוניקה יחיד, כדוגמת מעבד, יכול להכיל מאות מיליוני טרנזיסטורים. רכיב כזה נקרא Very Large Scale Integrated Circuit או בקיצור VLSI.
התפתחות כלי תכנון ממוחשבים (Computer Aided Design או בקיצור CAD), מאפשרת בתחילת המאה ה-21 שילוב של מספר מעבדים (CPUs) והתקני מולטימדיה (לדוגמה, כרטיס קול וכרטיס מסך) ו/או התקנים אחרים על אותו רכיב VLSI.
בתחילת המאה ה-21, מדברים החוקרים על חומרים פלסטיים שישמשו כמוליך למחצה, אשר בתהליכי הדפסה יעוצבו להתקנים חשמליים או התקנים פולטי-אור. אלה, מן הסתם, לא יחליפו את הסיליקון בזמן הקרוב אלא יוסיפו תכונות וישומים נוספים כמו מסכים גמישים.
בישראל.
ההיסטוריה של מיקרואלקטרוניקה קשורה במרכז ההדרכה והמחקר אשר הוקם בשנת 1979 בטכניון על ידי פרופסור יצחק קדרון ופרופסור אדיר בר-לב.
תהליך הייצור.
תהליכי ייצור של רכיבי מוליכים למחצה מתבסס על מגוון רחב של תהליכי ננוליתוגרפיה כימיים ואחרים, ביניהם פוטוליתוגרפיה, השתלות יונים ואיכול כימי המקנים לחומר תכונות שונות באזורים שונים שלו.
רוב הייצור הסדרתי כיום מתבסס על שימוש בפרוסות של סיליקון גבישי (wafers) אשר מיוצרות ממוט של סיליקון חד-גבישי. בתום תהליך הייצור של רכיבי מיקרו-אלקטרוניקה, מכילה כל פרוסה כזו מאות או אף אלפי רכיבים זהים, שצורתם בדרך כלל מרובעת. רכיבים אלה מופרדים בתום התהליך על ידי חיתוך הפרוסה לאורך ולרוחב. כל מרובע כזה, המכיל רכיב אחד, נקרא פיסת סיליקון (באנגלית "die").
הרכיבים שהופרדו מהפרוסה עוברים תהליך שנקרא זיווד, שבסופו כל רכיב ארוז בתוך אריזה מחומר פלסטי או קרמי, שממנו נשלחים מוליכים לצורך חיבור הרכיב לתוך המעגל האלקטרוני. הרכיב הארוז נקרא שבב ("Chip") והוא משמש להרכבת מעגלים מודפסים.
שימושים.
חלק נרחב מהטכנולוגיה הסובבת אותנו כיום מתבססת על המיקרואלקטרוניקה:
מעבר לשימושים אלה של המיקרואלקטרוניקה, משמשת הטכנולוגיה גם למימוש רכיבים המשלבים אלקטרוניקה עם תחומים שונים אחרים. כיום ניתן למצוא יישומים מחקריים ומסחריים בהם, על גבי הפרוסות, מומשו:
מבנה המחשב
תורת הדגימה (עיבוד אותות)
בתורת האינפורמציה, בעיבוד אותות ובמיוחד במערכות תקשורת, תורת הדגימה היא התחום המדעי העוסק במגבלות ודרישות ממערכות דגימה של אותות וסינתזה שלהם.
דגימה היא התהליך של הפיכת אות רציף (כפונקציה של הזמן או המרחב) לסדרת מספרים או אות בדיד הקיים רק בנקודות בדידות בזמן או במרחב.
המשפט המרכזי של תורת הדגימה - הוא משפט הדגימה של שנון - נייקוויסט שאומר שיש לדגום בתדר שהוא לפחות פי 2 מתדר השידור על מנת להימנע משגיאות.
ההסבר האינטואיטיבי למשפט הדגימה הוא כאשר דוגמים אות רציף אנו מכפילים את האות
במסרק הלמים. כאשר עוברים למרחב התדר, ההכפלה הופכת לקונבולוציה של מסרק הלמים וספקטרום האות ולכן נקבל שכפול מחזורי של צורת הספקטרום של אות המידע כאשר מרכז הספקטרום יושב במכפלות תדר הדגימה. אם נוריד את תדר הדגימה מתחת לפעמיים התדר המקסימלי, השכפולים הללו יחפפו אחד את השני ובתהליך שחזור האות, בו מסננים רק את הספקטרום הבסיסי נקבלו מעוות. תופעה זו נקראת
"התחזות" או "קיפול תדרים" (Aliasing).
מבוא.
formula_1 הוא אות רציף ומוגבל אנרגיה בתחום
formula_3 הוא התמרת פורייה של האות כאשר
formula_6 הוא תדר הדגימה ביחידות - דגימות לשנייה
פרק הזמן בין הדגימות:
יישומים.