עם השנים, הפך הפאנק למזוהה יותר ויותר עם השמאל הרדיקלי ביותר: הפאנקיסטים לרוב דוגלים באנרכיזם, בטבעונות ובביטול הלאומים והדתות. לרוב, פאנקיסטים לא רואים עצמם שייכים לשום עם, ובתור "חסרי לאום", הם מסרבים לשרת בצבא. בדומה לשאר זרם השמאל הרדיקלי בעולם, מפנים הפאנקיסטים את מוקד שנאתם אל ארצות הברית, המייצגת בעיניהם את האימפריאליזם, הקפיטליזם, החומרנות ורמיסת החלשים. הפנקיסטים לרוב מתנגדים לנאציזם ולגזענות.
לתנועת הפאנק סיסמאות רבות כגון: "Bomb the Mall" ("הפציצו את הקניון") כמסר אלים כנגד תרבות הצריכה, "McMurder" - עיוות של McDonalds הבא להציג את רשת המזון המהיר מקדונלד'ס כדוגמה לתעשיית המזון העושה שימוש בבשר הנתפס כ"רצח חיות" אצל הפאנקים המתנגדים לכך, "Punk's Not Dead!" ("הפאנק לא מת!") ושלל סיסמאות נגד נאציזם וגזענות. סיסמאות אלה נוהגים הפאנקיסטים לענוד על בגדיהם ועל חפציהם (בפרט גיטרות, תיקים ומערכות תופים) בצורת טלאים ("פאצ'ים"), מדבקות וסיכות. כמו כן, מרבים הפנקיסטים לשאת על גופם את סמל האנרכיה (האות A מוקפת במעגל). פנקיסטים רבים לא מסתפקים בנשיאת הסמלים והסיסמאות על בגדיהם וחפציהם, ומרססים כתובות גרפיטי במקומות ציבוריים, אשר נושאות את מסרי הפאנק.
מוזיקה.
אחד מסממניה של תת-תרבות הפאנק הוא ההאזנה לשירי סוגה מוזיקלית רועשת ואגרסיבית אשר זכתה לכינוי פאנק רוק. מרבית להקות הפאנק רוק עשו שימוש בגיטרות עם דיסטורשן ותופים רועשים אשר הושפעו רבות מלהקות הגלאם רוק של שנות השבעים (להקות ואמנים דוגמת הניו יורק דולס, דייוויד בואי, טי רקס) ומלהקות הגראז' רוק של אמצע שנות השישים (הסוניקס, הסידס, הטראשמן). כמו כן גם מהפרוטו פאנק שפעל בסוף שנות השישים ותחילת השבעים (כינוי שניתן לאחר צמיחת הפאנק ללהקות רוק קודמות שהכילו מרכיבי פאנק, דוגמת הסטוג'ס, הוולווט אנדרגראונד, MC5). תתי תרבויות פאנק שונות נטו לייחד את עצמם באמצעות סגנון פאנק רוק ייחודי להם. חברי להקות הפאנק מנגנים לרוב בכלי הנגינה הקלאסיים של הרוק: גיטרה בס, גיטרה חשמלית ומערכת תופים; המוזיקה באה כמתקפת נגד לשלל סגנונות הרוק האמריקאיים של תחילת-אמצע שנות השבעים, שגישתם, הפקתם, ודרך יצירתם נטו למורכבות ותחכום מוזיקלי, ולזמן ארוך של שירים. הרוק של אמצע שנות השבעים היה נקי ומעודן, והפאנק במידה החזיר את הפרימאליות, הפשטות, והעוצמה שהיו חלק מהרוקנרול של שני עשורים לפני כן, ז'אנר שכמעט ולא היה קיים באמצע שנות השבעים. להקות הפאנק האמריקאיות ובראשיתם הראמונס עשו בדיוק את ההפך מלהקת הרוק הקלאסי הממוצעת של 1975', שירים קצרים, מהירים, רועשים ומלוכלכים (מהבחינה הלירית). הפאנק החל לצבור תאוצה בניו יורק, הועתק ללונדון בזכות הופעה היסטורית של הראמונס, והחל לפרוח במקביל בלוס אנג'לס, וושינגטון, קליבלנד ושאר ערים אמריקאיות, ב-1978 היו מעט מאוד ערים גדולות שהפאנק לא הגיע אליהם.
במהלך השנים התפתחו למוזיקת הפאנק רוק מספר תתי סגנונות בהם:
אופנה.
כחלק ממחאתם נגד החברה, אימצו מרבית הפאנקיסטים הופעה חיצונית יוצאת דופן, המאופיינת בפרטי לבוש דמויי-עור, עור וג'ינס, נעליים צבאיות, מגפיים, עגילים ונזמים. חלק ממטרתה של הופעה חיצונית זו הוא להדגיש את ההתנגדות לתרבות המקובלת. סימן ההיכר המזוהה ביותר עם הפאנק הוא תספורת המורכבת מראש מגולח, כאשר רק במרכזו כרבולת ארוכה, לרוב צבועה בשלל צבעים. תספורת זו ידועה בכינוי "מוהיקן", "מוהוק" או "רקז". אחת הטענות היא כי מטרתה של הופעה חיצונית זו היא לומר: "אל תסתכל בקנקן אלא במה שיש בו".
אף על פי כן, ישנם גם פנקיסטים רבים אשר טוענים כי תרבות הפאנק צריכה להיות מוגדרת על ידי המוזיקה והאידאולוגיות שלה ולא על ידי אופנה. גישה זו נפוצה בעיקר בארצות הברית בסצנת ההארדקור פאנק מסוף שנות השמונים ועד היום, בה פנקיסטים רבים נוטים לעיתים רבות ללבוש חולצות טי ומכנסי ג'ינס.
סרטים.
לאורך השנים הופקו סרטי פאנק רבים בנוסף לוידאו קליפים של מוזיקת פאנק רוק.
ישנן מספר להקות מפורסמות אשר השתתפו בסרטים בהם הראמונס בסרט "Rock 'n' Roll High School" והסקס פיסטולס בסרט "The Great Rock 'n' Roll Swindle". כמו כן, לאורך השנים הופקו גם מספר סרטים ביוגרפיים אשר עלילתם התמקדה בפנקיסטים נודעים כגון הסרט "סיד וננסי" משנת 1984 אשר מספר את סיפורם של סיד וישס (מגולם על ידי גארי אולדמן) מלהקת הסקס פיסטולס וחברתו לחיים ננסי ספאנג'ן.עוד דוגמה לסרט ביוגרפי הוא Heart Like a Hand Grenade של גרין דיי שעוקב אחרי יצירת אלבום אופרת הרוק American idiot.
כמו כן, לעיתים רבות נעשה גם שימוש בקטעי וידאו מקוריים של מופעי פאנק בסרטי תעודה אשר מתמקדים בלהקות עצמן.
סגנון חיים.
פאנקים רבים בוחרים, מסיבות אידאולוגיות או מבחירה אחרת, באורח חיים שונה קיצונית מאורח החיים החברתי הקיים. מגורים בסקוואטים (בניינים נטושים אשר הופכים לבתים או מעיין קומונות), תרבות של "דאמפסטר דייבינג" (איסוף שאריות אוכל משווקים, מסעדות ופחי אשפה), הימנעות מעבודה ויצירת קבוצות פאנקים אשר מבלות את מרבית זמנם יחד.
הפאנק בישראל.
סצנת הפאנק בארץ התחילה באמצע שנות השבעים, כשהחלו לפעול להקות כמו מים חמים וקילר הלוהטת. בשנות השמונים צמח הפאנק בסצנה של מועדון ה"פינגוין" ובתחילת שנות התשעים סצנת הפאנק התעוררה בצפון הארץ ובמיוחד בחיפה.
ב-1994 החלה לפעול להקת יוסלס איי.די.
אחת מלהקות הפאנק הבולטות הם "בוא לבר", אשר מנגנים שירים הומוריסטים על עישון סמים ושתיית אלכוהול.
בישראל, הפן הפוליטי-רדיקלי של הפאנק מתקשר לסכסוך הישראלי-פלסטיני, אשר בו נוקטות להקות הפאנק הפוליטיות בישראל עמדה פרו-פלסטינית קיצונית או עמדה אנטי-לאומית אנרכיסטית.
נדמה כי כיום נוצרת הפרדה ברורה בסצנת הפאנק הישראלית בין להקות ההארדקור ללהקות הפופ-פאנק.
בשנת 2004 הופק הסרט התיעודי "חצוצרות יריחו" בבימויה של ליז נורד העוסק בסצנת הפאנק בישראל.
העתקה ליניארית
באלגברה ליניארית, העתקה ליניארית או טרנספורמציה ליניארית, היא העתקה אדיטיבית והומוגנית בין שני מרחבים וקטוריים (מעל אותו שדה). במילים אחרות, זוהי פונקציה ממרחב וקטורי למרחב וקטורי, השומרת על החיבור והכפל בסקלר. מכיוון שהעתקה ליניארית שומרת על כל הפעולות, היא מהווה מורפיזם בקטגוריה של המרחבים מעל השדה.
העתקה בין מרחבים מממד סופי אפשר לתאר באמצעות מטריצה; כל מטריצה מתארת באופן חד-משמעי העתקה ליניארית, וכל העתקה ליניארית ניתנת לייצוג ככפל של מטריצה בוקטורי קואורדינטות (באופן פורמלי: מרחב ההעתקות ומרחב המטריצות איזומורפיים).
להעתקה ליניארית ממרחב formula_1 אל עצמו, כלומר formula_2, נהוג לעיתים לקרוא אופרטור ליניארי, אך המושג אופרטור ליניארי משמש גם לתיאור העתקה ליניארית כלשהי.
הגדרה.
העתקה formula_3 ממרחב וקטורי formula_1 מעל שדה F אל מרחב וקטורי formula_5 (מסמנים formula_6) תקרא העתקה ליניארית או טרנספורמציה ליניארית, אם מתקיימים התנאים הבאים:
משמעות התנאים הללו היא שאין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה formula_3 (אשר מניבה את תמונת הפונקציה) על כל וקטור בנפרד ואחר כך מחברים את התמונות, או שמחברים את הווקטורים formula_8 ולאחר מכן מפעילים על הסכום את העתקה - התוצאה תהיה זהה, דהיינו נשמר החיבור (אדיטיביות). באותו אופן, אין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה formula_3 על התוצאה של כפל הווקטור formula_12 בסקלר formula_14, או שמפעילים את ההעתקה על הווקטור formula_12 ולאחר מכן כופלים את התמונה בסקלר formula_14 - הכפל נשמר (הומוגניות). שתי תכונות אלו מרכיבות את תכונת הליניאריות.
מההגדרה נובעת התכונה הכללית, שבהינתן וקטורים formula_23 וסקלרים formula_24 מתקיים:
formula_25
מסקנה נוספת אשר נובעת מההגדרה, היא שהגרעין של העתקה ליניארית לעולם אינו הקבוצה הריקה ותמיד כולל את וקטור האפס formula_26:
formula_27
מסקנה נוספת מכך היא קריטריון הכרחי לכך שפונקציה בין מרחבים וקטוריים היא העתקה ליניארית. אם formula_6 היא העתקה ליניארית אז formula_29. מאחר שקל לבדוק תנאי זה הוא מהווה כלי יעיל כדי לשלול את היותה של פונקציה חשודה העתקה ליניארית: אם "T" לא מעבירה אפס לאפס אז היא לא העתקה ליניארית.
סוגי העתקות ליניאריות.
יהיו formula_1 ו-formula_5 מרחבים וקטוריים מעל שדה כלשהו formula_72, ו-formula_3 העתקה ליניארית מ-formula_1 ל-formula_5.
מרחבים הם איזומורפיים אם קיימת ביניהם העתקה ליניארית הפיכה, ומתברר כי שני מרחבים וקטוריים איזומורפיים זה לזה אם ורק אם הם שווי-ממד. הממד מונוטוני תחת העתקות ליניאריות: אינו יורד תחת העתקה חח"ע, ואינו עולה תחת העתקה על. אם מתקיים שוויון בין ממדי המרחבים formula_1 ו-formula_5, אזי שלוש התכונות לעיל (חח"ע, על, הפיכות) שקולות זו לזו. אומרים כי המרחב הווקטורי "formula_1" הוא הופפיאני וקו-הופפיאני במובן זה שאינו איזומורפי לתמונה או לתת מרחב אמיתיים שלו.
מרחב ההעתקות הליניאריות.
אוסף כל ההעתקות הליניאריות מ-formula_87 ל-formula_88 מהווה בעצמו מרחב וקטורי מממד formula_89. על מנת שמשפט זה יהיה מוגדר כהלכה, עלינו להגדיר חיבור של העתקות ליניאריות וכפל בסקלר. את זאת נעשה בדרך הטריוויאלית. אם formula_90 הן העתקות ליניאריות מ-formula_91 ל-formula_92, ו-formula_93 הוא אבר בשדה אז נגדיר חיבור בין העתקות וכפל של העתקה בסקלר כך:
וקטור האפס הוא טרנספורמציית האפס.