בין הרדיקלים האלו מתקיים תמיד היחס הבא: formula_36. בחוגים ארטיניים (ובפרט באלגברות מממד סופי), כולם מתלכדים. בחוגים נותריים ובחוגים עם זהויות, formula_37. בחוג עם זהויות שהוא אפיני מעל חוג נותרי קומוטטיבי, formula_38 (משפט Razmyslov-Kemer-Braun). באלגברה מונומיאלית נוצרת סופית מעל שדה, formula_39 אבל ייתכן ש-formula_40.
הרדיקלים לעיל מתאפסים, לפי הסדר, אם: אין אידיאלים נילפוטנטיים; אין אידיאלים ניליים מקומית; אין אידיאלים ניליים; אין אידיאל שמאלי נילי; אין אידיאל קוואזי הפיך (החוג פרימיטיבי למחצה); החוג הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים פשוטים עם יחידה.
תאוריה כללית של רדיקלים.
בשנות החמשים של המאה ה-20 פיתחו שמשון עמיצור ואלכסנדר קורוש תאוריה כללית של רדיקלים, היוצקת תשתית פורמלית לגישה הרואה ברדיקל של חוג אידיאל "בעייתי" שיש לסלק. לפי תאוריה זו, מחלקה רדיקלית היא מחלקה formula_41 של חוגים בלי יחידה, הסגורה תחת המעבר לתמונות הומומורפיות, תחת איחוד של שרשראות, ותחת הרחבות (אם formula_42 אז formula_43). בהינתן מחלקה רדיקלית formula_41, אפשר להגדיר את ה-formula_41-רדיקל formula_46 של חוג formula_5 להיות סכום כל האידיאלים של formula_5 השייכים למחלקה. המחלקה מאפיינת שתי תכונות מנוגדות: חוג formula_5 הוא formula_41-רדיקלי אם formula_51, ו-formula_41-פשוט-למחצה אם formula_53 (את קבוצת החוגים הפשוטים למחצה ביחס ל-formula_41 מסמנים ב-formula_55; מחלקה כזו נקראת מחלקה פשוטה למחצה). את הרדיקל formula_46 אפשר גם לאפיין כחיתוך כל האידיאלים formula_7 שעבורם formula_58, והמנה formula_59 היא תמיד formula_41-פשוטה-למחצה. לכל מחלקה רדיקלית, אם formula_7 אידיאל של חוג formula_5, אז גם formula_63 אידיאל של formula_5 (זהו משפט Anderson-Divinsky-Sulinski).
מחלקה של חוגים הכוללת מנה שונה מאפס של כל חוג (בלי יחידה), נקראת מחלקה רגולרית; בפרט, כל מחלקה פשוטה למחצה היא רגולרית. בכיוון ההפוך, אם formula_65 מחלקה רגולרית, אז המחלקה formula_66 של חוגים שאין להם אף תמונה הומומורפית ב-formula_65 היא רדיקלית (זוהי המחלקה הרדיקלית הגדולה ביותר שאין לה אף חוג שונה מאפס משותף עם formula_65). לכל מחלקה רדיקלית formula_41 מתקיים formula_70, כך שהמחלקות הרדיקליות מתאימות למחלקות הפשוטות-למחצה. את המחלקות הפשוטות-למחצה אפשר לאפיין ישירות, באופן הבא: מחלקה של חוגים היא פשוטה למחצה אם ורק אם היא תורשתית (אידיאל של חוג במחלקה שייך גם הוא למחלקה), קו-אינדוקטיבית (אם המנה של formula_5 ביחס לכל אחד מהאידיאלים בשרשרת יורדת שחיתוכה 0 היא במחלקה, אז גם formula_5 במחלקה), וסגורה להרחבות.
השערת קתה ותכונת עמיצור.
מתברר שהשערת קתה, מן ההשערות הפתוחות החשובות בתורת החוגים שקולה לטענה הבאה: אם formula_5 חוג נילי אז formula_74 שווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו. בעוד השערה זו עדיין פתוחה, גרסאות שונות שלה נפתרו; בפרט, ידוע כי formula_74 לא חייב להיות נילי (גם אם formula_5 נילי), אבל תמיד שווה לרדיקל בהרנס של עצמו. הגרסה ה'דיפרנציאלית' של השערת קתה שואלת מהי תכונת הרדיקל החזקה ביותר בחוג הפולינומים הדיפרנציאליים formula_77 בהינתן ש-formula_5 מקיים תכונת רדיקלים (חזקה יותר). כאן, כל הגרירות ידועות: אם formula_5 שווה לרדיקל הראשוני של עצמו אז formula_77 נילפוטנטי מקומית, אך אם formula_5 'רק' נילפוטנטי מקומית, החוג formula_77 לא מוכרח להיות רדיקל ג'ייקובסון.
בכיוון ההפוך, שמשון עמיצור הוכיח כי רדיקל ג'ייקובסון של חוג הפולינומים formula_74 שווה ל-formula_84, חוג הפולינומים שמקדמיהם ברדיקל הנילי של formula_5. תכונה זו אינה מתקיימת עבור חוג הפולינומים הדיפרנציאלי formula_77: הוא יכול להיות רדיקל ג'ייקובסון מבלי ש-formula_5 נילי; ומצד שני, לאלגברה מעל שדה אינסופי מתקיים תמיד ש-formula_88 לאידיאל "כלשהו" formula_89 (בפרט הדבר נכון עבור חוג הפולינומים, כאשר formula_90), וזאת לכל תכונה רדיקלית formula_41.
רדיקלים באלגברות מדורגות.
בהיבטים תורת-מבניים שונים, מבנה מדורג מעניק לאלגברה תכונות מיוחדות. ניתן לראות זאת בראי תורת הרדיקלים. להמשך הסעיף, תהי formula_5 אלגברה מדורגת.
אומרים כי אלגברה היא מדורגת-נילית אם כל אבר הומוגני הוא נילפוטנטי. לפי משפט של Bergman, רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה מדורגת הוא מדורג-נילי. Lance Small ויפים זלמנוב שאלו האם ההפך נכון (אולי תחת הנחות מסוימות על שדה הבסיס); שאלה זו נענתה בשלילה על ידי אגטה סמוקטונוביץ', שבנתה אלגברות נוצרות סופית, מדורגות-ניליות שאינן ג'ייקובסון מעל כל שדה.
תופעה זו מגיעה לכדי קיצון במובן הבא: אומרים כי אלגברה היא מדורגת-נילפוטנטית אם כל תת-חוג שנוצר על ידי איברים הומוגניים מאותה דרגה הוא נילפוטנטי. קיימות אלגברות מונומיאליות, נוצרות סופית מדורגות-נילפוטנטיות ופרימיטיביות (ולכן לא ג'ייקובסון). יצוין כי הדירוג שמושת עליהן איננו הדירוג הטבעי לפי המעלה הכוללת (הנורש מן האלגברה החופשית).
רדיקל של מודול.
הרדיקל formula_102 של מודול formula_33 שווה לחיתוך תת-המודולים המקסימליים של formula_33. הרדיקל מתאפס אם ורק אם המודול הוא מודול פשוט למחצה (כלומר סכום ישר סופי של מודולים פשוטים). הרדיקל של המנה formula_105 הוא תמיד אפס. הרדיקל של סכום ישר שווה לסכום ישר של הרדיקלים המתאימים. כל הומומורפיזם של מודולים formula_106 משרה הומומורפיזם formula_107, שהוא על אם ורק אם ההומומורפיזם המקורי הוא על (זו הלמה של נקאימה למודולים).
מושג הרדיקל של מודול מכליל את רדיקל ג'ייקובסון: אם formula_5 הוא חוג, הרדיקל שלו כמודול מעל עצמו שווה ל-formula_109. תורת המודולים הפשוטים למחצה היא למעשה תורה של מודולים מעל חוגים פרימיטיביים למחצה, משום שכל מודול פשוט למחצה מעל חוג formula_5 מהווה מודול גם מעל המנה formula_111.
רדיקלים באלגברות לא אסוציאטיביות.
הרדיקל הפתיר.
אידיאל formula_112 של חוג הוא אידיאל פתיר אם קיים formula_113 כך ש-formula_114, כשמגדירים formula_115 ו-formula_116. מכיוון שהסכום של שני אידיאלים פתירים הוא אידיאל פתיר, לכל אלגברה מממד סופי (גם אם אינה אסוציאטיבית) יש אידיאל פתיר מקסימלי יחיד, הנקרא הרדיקל הפתיר של האלגברה. רדיקל זה מכיל את כל האידיאלים הפתירים, ובחוג המנה ביחס אליו אין אידיאלים פתירים. לרדיקל הפתיר תפקיד מרכזי בתורת המבנה של אלגברות לי מממד סופי וממאפיין אפס (או, באופן כללי יותר, בתורת המבנה של אלגברות מלצב מאותו סוג), משום שהמנה ביחס אליו היא, כפי שקורה במחלקות רבות אחרות (אבל לא תמיד), אלגברה פשוטה למחצה.
גם בחבורות אפשר להגדיר רדיקלים שונים; מביניהם, הרדיקל הפתיר, שהוא תת-החבורה הנורמלית הפתירה הגדולה ביותר, הוא כנראה המשמעותי מכולם. סוזוקי הראה שאת הרדיקל הפתיר של חבורה סופית אפשר לזהות מתוך סריג תת-החבורות של החבורה.
הרדיקל של פשטות-למחצה.
הרדיקל של פשטות-למחצה מוגדר כאידיאל הקטן ביותר formula_117 שהמנה ביחס אליו מתפרקת לסכום ישר של חוגים פשוטים. הרדיקל הזה קיים בכל אלגברה (לא אסוציאטיבית) מממד סופי, והוא תמיד מכיל את הרדיקל הפתיר, גם אם אינו פתיר בעצמו. בכל המחלקות החשובות של אלגברות לא אסוציאטיביות (אלגברות אלטרנטיביות, אלגברות ז'ורדן ואלגברות מלצב, ובכלל זה אלגברות אסוציאטיביות ואלגברות לי) הרדיקל של הפשטות-למחצה שווה לרדיקל הפתיר.
הרדיקל הנילפוטנטי.
הרדיקל הנילפוטנטי הוא הרדיקל שהגדיר ג'וזף ודרברן כשייסד את תורת המבנה של החוגים (ראו המשפט הראשי של ודרברן). עם זאת חשיבותו משנית, משום שהוא אינו קיים בחוגים אסוציאטיביים כלליים, או אפילו באלגברות לא אסוציאטיביות מסוימות מממד סופי.
אידיאל formula_112 של חוג הוא אידיאל נילפוטנטי אם קיים formula_119 כך ש-formula_120, כשמגדירים formula_121 ו-formula_122 (במקרה האסוציאטיבי די כמובן בהגדרה formula_123). בחוג אסוציאטיבי, הסכום של שני אידיאלים נילפוטנטיים הוא נילפוטנטי, ולכן לאלגברה אסוציאטיבית מממד סופי יש אידיאל נילפוטנטי מקסימלי יחיד, שהוא הרדיקל הנילפוטנטי; כך גם באלגברות ז'ורדן ובאלגברות אלטרנטיביות מממד סופי. הרדיקל הנילפוטנטי של אלגברות ז'ורדן ואלגברות אלטרנטיביות מתלכד עם הרדיקל הפתיר.
באלגברות שאינן אסוציאטיביות, ייתכן שהאידיאל formula_7 של formula_112 ואלגברת המנה formula_126 יהיו שניהם נילפוטנטים, אף על פי ש-formula_112 עצמה אינה נילפוטנטית; לכן הרדיקל הנילפוטנטי אינו קיים באלגברה לא אסוציאטיבית כללית. אכן, באלגברה לא אסוציאטיבית (ואפילו אם היא קומוטטיבית) יכולים להיות כמה אידיאלים נילפוטנטים מקסימליים שונים זה מזה.
הרדיקל הנילי.
הרדיקל הנילי, שהוא האידיאל הגדול ביותר שכל אבריו נילפוטנטים, קיים בכל אלגברה עם חזקות אסוציאטיביות. הרדיקל הזה מכיל את הרדיקל הפתיר (אבל אינו בהכרח שווה לו: באלגברות לי, הרדיקל הנילי שווה לאלגברה כולה). באלגברות אלטרנטיביות ובאלגברות ז'ורדן מממד סופי, הרדיקל הנילי הוא נילפוטנטי, ובמקרים אלה הוא שווה לרדיקל הנילפוטנטי.
בעיית אלברט (שהציע אדריאן אלברט) שואלת האם הרדיקל הנילי שווה לרדיקל הפתיר בכל אלגברה קומוטטיבית עם חזקות אסוציאטיביות.
אלגברת הפעולות
פקיד הכתר בגנזך
קבוע מהירות
מזכירה
מונדר דג'אני
רובר החזק
רובר החזק (820 - 2 ביולי 866) היה אביהם של אודו, מלך צרפת ושל רובר הראשון, מלך צרפת וסבא רבא של איג קאפה, מלך צרפת, מייסד השושלת הקאפטינגית.
ביוגרפיה.