formula_4. שלשה של מספרים כאלה קרויה שלשה פיתגורית, וידוע שיש אינסוף שלשות מסוג זה. דוגמה לשלשה פיתגורית הם המספרים 3,4,5 שכן הם מקיימים את המשוואה: formula_6.
היסטוריה של משפט פיתגורס.
את המשפט עצמו הכירו בתרבויות עתיקות זמן רב לפני פיתגורס. בקרב חוקרי ההיסטוריה של המתמטיקה אין הסכמה לגבי השאלה האם משפט פיתגורס התגלה פעם אחת, ונדד בין התרבויות השונות בעת העתיקה, או שמא התגלה בכמה מקומות באופן עצמאי ובלתי תלוי.
המתמטיקאי ההולנדי ברטל לינדרט ואן-דר-ורדן סבר כי המשפט התגלה בבריטניה הנאוליתית, וממנה הופץ למצרים ולמסופוטמיה. בהמשך הועבר הידע להודו, לסין וליוון. השערה זו מבוססת על גילויים של מבנים פרהיסטוריים באיים הבריטים, הבנויים בזוויות ישרות וצלעות שהיחסים בין אורכיהן הם מספרים שלמים. מבנים אלו מתוארכים למאה ה-25 לפנה"ס.
הוכחות מפורסמות.
למשפט פיתגורס התפרסמו הוכחות רבות. ייתכן אף שמשפט פיתגורס הוא המשפט המתמטי בעל המספר הגדול ביותר של הוכחות (ראו בהמשך קישור ל-367 הוכחות).
עם האנשים שמצאו הוכחות חדשות למשפט נמנים לאונרדו דה וינצ'י והנשיא ה-20 של ארצות הברית, ג'יימס גרפילד.
אוקלידס.
בספרו הנודע של אוקלידס, "יסודות", כרך ראשון, משפט מספר 47, מצויה ההוכחה הבאה למשפט:
יהי "ABC" משולש ישר-זווית, כאשר "C" היא הזווית הישרה.
מנקודה "C" מעבירים גובה ליתר, כך שיחצה את הריבוע המונח עליו לשני מלבנים. ההוכחה מראה ששטחי המלבנים האלו שווים לשטחים של הריבועים המונחים על הניצבים בהתאמה. כפי שניתן לראות בציור משמאל, ההוכחה מבוססת על המרת כל אחד משני הריבועים המונחים על הניצבים למקבילית בעלת אותו שטח, השווה גם לשטחו של המלבן המתאים.
להלן פרטי ההוכחה:
לאונרדו דה וינצ'י.
הסבר להוכחתו של לאונרדו דה וינצ'י, המתוארת בסקיצה משמאל:
המרובעים האפורים AJIC ו-ABGD חופפים ולכן שטחם שווה. כך גם המרובעים הלבנים DGFE ו-CIHB. מתקבל כי שטח המשושים AJIHBC ו-ABGFED שווה.
שטח המשושה AJIHBC שווה ל- formula_8
שטח המשושה ABGFED שווה ל- formula_9
מהשוואת שני הביטויים שהתקבלו, המייצגים את אותו שטח, מתקבל משפט פיתגורס.
הנשיא גרפילד.
ג'יימס גרפילד, שכיהן כנשיא ארצות הברית במחצית השנייה של המאה ה-19, חיבר בשנת 1876 (טרם בחירתו לנשיא) הוכחה יפה למשפט פיתגורס, המבוססת על הנחת שני עותקים של המשולש ישר-הזווית לאורכו של קו ישר כמודגם בציור משמאל. מתקבל טרפז, שאת שטחו ניתן לחשב בשני אופנים:
מצד אחד, שטחו שווה ל-formula_10, כיוון ששטח טרפז שווה למכפלת גובהו במחצית סכום בסיסיו.
מצד שני, שטחו שווה ל-formula_11 כי הוא שווה לסכום שטחם של שני המשולשים האפורים והמשולש הלבן שביניהם.
מהשוואת שני הביטויים, המייצגים את אותו שטח, מתקבל משפט פיתגורס.
שיטות הוכחה נוספות.
כאמור, למשפט פיתגורס התפרסמו עשרות רבות של הוכחות המבוססות על שיטות שונות. רובן הגדול של ההוכחות מבוסס על גאומטריה: חישוב של אותו שטח בשתי דרכים שונות, בחלקן תוך סידור מחדש של השטח; שימוש במשולשים דומים ובמשולשים חופפים; שימוש בקווים מיוחדים במעגל: רדיוס ומשיק.
הוכחות פחות שגרתיות מתבססות על כלים מתמטיים מתקדמים יותר, כמו חשבון דיפרנציאלי ואנליזה ממדית.
השוואת שטחים.
דרך אחת להוכחת המשפט היא חישוב שטח של צורה נתונה בשתי דרכים שונות, שההשוואה ביניהן נותנת את משפט פיתגורס. דוגמה להוכחה בדרך זו, היא הוכחתו של הנשיא גרפילד שהוצגה לעיל.
וריאציה אחרת של שיטה זו, היא חישוב שטח של צורה מסוימת, סידור מחדש של השטח על ידי חיתוך והרכבה, חישוב מחדש של השטח, וכמו קודם, מהשוואת השטחים מתקבל משפט פיתגורס.
דוגמה להוכחה בשיטה זו, היא הוכחתו של לאונרדו דה וינצ'י. דוגמאות נוספות לגישה זו, בהנפשות הבאות:
חפיפה ודמיון משולשים.
אחת הדרכים הנפוצות להוכחת המשפט היא שימוש בחפיפת משולשים, כמו בהוכחתו של אוקלידס, או שימוש בדמיון משולשים, כמו בדוגמה הבאה:
נתון משולש ישר-זווית "ABC", כאשר formula_12 היא הזווית הישרה.
מהקודקוד "C" מורידים גובה לצלע "AB" ומקבלים שלושה משולשים דומים: "ACB", "ADC", "CDB".
את המשך ההוכחה ניתן לראות בציור משמאל.
פרשנים טוענים שההוכחה הייתה ידועה לאוקלידס כאשר כתב את "יסודות", אך כיוון שרצה לכלול את משפט פיתגורס כבר בכרך הראשון של ספריו, לפני המשפטים שעוסקים בדמיון משולשים, הוא השתמש בהוכחה מורכבת יותר.
שימוש בחשבון דיפרנציאלי.
בגישה זו, אורך אחד הניצבים formula_13 הוא קבוע ובודקים כיצד משתנה אורך היתר formula_14 בהתאם לשינוי באורך הניצב השני formula_15, כפי שניתן לראות בדיאגרמה משמאל.
באמצעות דמיון משולשים מקבלים את המשוואה: formula_16.
ואחרי העברת אגפים, מתקבלת המשוואה הדיפרנציאלית: formula_17.
התרתה של משוואה זו (באמצעות אינטגרציה של שני האגפים) מביאה לפתרון:
formula_18.
מכיוון שעבור המקרה שבו formula_19 מתקבל כי formula_20, אזי הקבוע בפתרון הוא בדיוק formula_21.
הצבתו של הקבוע במשוואה מביאה לתוצאה הדרושה: formula_22.
שימוש באנליזה ממדית.
את משפט פיתגורס ניתן להוכיח גם משיקולים של אנליזה ממדית. זוויות המשולש הן חסרות ממד; אורכיהן של צלעות המשולש הן מממד L; שטח המשולש הוא מממד L2.
את שטח המשולש ניתן להביע כפונקציה של היתר ושל אחת מהזוויות החדות במשולש שתסומן באות היוונית formula_23.
מכיוון ש-formula_23 חסר ממד, "c" מממד L והשטח מממד L2 הרי ששטח המשולש "ABC" שווה ל- formula_25.
הגובה מקודקוד "C" פוגש את הצלע "AB" בנקודה "D".
מאותם שיקולי ממד מקבלים ששטח המשולש "ACD" שווה ל- formula_26 ואילו שטח המשולש "BCD" שווה ל- formula_27.
מכיוון ש-formula_28 הרי ש-formula_29.
לאחר צמצום בגורם formula_30 ששונה מ 0 מתקבל משפט פיתגורס.
המשפט ההפוך.
המשפט ההפוך למשפט פיתגורס נכון גם הוא:
כל משולש שצלעותיו formula_31 מקיימות את המשוואה "a"2 + "b"2 = "c"2, הוא משולש ישר-זווית.
משפט זה מופיע גם כן בכרך הראשון של ה"יסודות" של אוקלידס, כמשפט 48.
ניתן להוכיח את המשפט באמצעות משפט הקוסינוסים (ראו גם בהמשך תחת הכללות), או באמצעות משפט פיתגורס עצמו, באופן הבא:
יהי "ABC" משולש שצלעותיו formula_31 מקיימות את המשוואה
"a"2 + "b"2 = "c"2
כדי להוכיח שהזווית בין הצלעות "a" ו-"b" היא זווית ישרה, בונים משולש ישר-זווית שארכי ניצביו הם "a" ו-"b". לפי משפט פיתגורס, אורך היתר במשולש החדש הוא "c".
מכיוון שאורכי הצלעות במשולש המקורי שווים לאורכי הצלעות במשולש החדש, נובע בהכרח שהמשולשים חופפים ולכן גם הזוויות שלהן שוות. לכן, המשולש המקורי הוא בהכרח ישר-זווית.
הכללתו של המשפט ההפוך, נותנת כלי פשוט לקביעה האם משולש שצלעותיו formula_33, כאשר "c" הצלע הארוכה ביניהן, הוא חד-זווית, ישר-זווית או קהה-זווית:
בניסוח קומפקטי, שנוסח על ידי אדסחר דייקסטרה, המבוסס על פונקציית הסימן:
formula_34.
שימושים.
שימושים יומיומיים במשפט פיתגורס יושמו עוד לפני שפיתגורס ניסח אותו.
הוכחות גאומטריות למשפטים מתמטיים שונים.
משפט פיתגורס משמש בהוכחת משפטים רבים מתחום הגאומטריה, למשל נוסחת הירון או המשפט ההפוך למשפט פיתגורס.
בטריגונומטריה, משפט פיתגורס מהווה כלי חשוב בהוכחתן של זהויות. למשל: במשולש ישר-זווית שאורך היתר שלו הוא 1, ואחת מזוויותיו החדות היא "x", אורכי הניצבים הם formula_35.
ממשפט פיתגורס מקבלים את הזהות formula_36.
כמו כן, ניתן להשתמש במשפט פיתגורס כדי לתת הוכחה גאומטרית למשפטים מתחומים אחרים במתמטיקה, כמו המקרה formula_37 של אי שוויון הממוצעים.
מרחק במרחב האוקלידי.
במרחב האוקלידי מגדירים את המרחק במערכת הקואורדינטות הקרטזיות באמצעות משפט פיתגורס:
בהינתן שתי נקודות ("x"1, "y"1), ("x"0, "y"0) ב-formula_38, המרחק האוקלידי ביניהן נתון על ידי הנוסחה: formula_39
את הנוסחה הנ"ל ניתן להרחיב גם למרחב האוקלידי ה-"n" ממדי באופן הבא:
בהינתן הנקודות formula_40, formula_41 ב- formula_42, המרחק האוקלידי ביניהן נתון על ידי הנוסחה: formula_43
ציוד המרחב האוקלידי בפונקציית מרחק לפי משפט פיתגורס הופכת אותו למרחב מטרי שהמטריקה שלו קרויה "המטריקה האוקלידית".
מושג קרוב למרחק הוא אורך. במרחב האוקלידי הסטנדרטי האורך מוגדר בדומה למרחק לפי משפט פיתגורס. האורך האוקלידי של וקטור formula_44 הוא formula_45. זוהי הנורמה הסטנדרטית המושרת על המרחב האוקלידי כמרחב מכפלה פנימית עם מכפלה סקלרית.
הגדרה בסיסית זו של אורך של וקטור (שהוא קו ישר) מאפשר להגדיר אורך של כל עקומה בעלת אורך. האורך של עקומה מתקבל על ידי חלוקת העקומה למקטעים ישרים, שאורך כל אחד מהם קטן מ formula_46, סכימת האורכים של המקטעים (המחושבים לפי פיתגורס) ולבסוף חישוב הגבול של אורך זה כאשר ערכו של formula_46 שואף ל-0.
הערך המוחלט של מספר מרוכב מתקבל גם הוא ממשפט פיתגורס. זהו האורך של המספר כווקטור במישור המרוכב.
בניית שורשים של שלמים בעזרת סרגל ומחוגה.
לכל מספר טבעי n, משפט פיתגורס מאפשר לבנות קטע באורך formula_48 בעזרת סרגל ומחוגה. כדי לבנות את formula_7 בונים את היתר של משולש ישר-זווית עם ניצבים באורך 1. כדי לבנות formula_50 בונים את היתר של משולש יש זווית עם ניצב באורך 1 וניצב באורך formula_7 וכן הלאה.
באופן כללי, נבנה את השורש של n באינדוקציה. בהינתן שבנינו כבר את formula_52, אז נבנה משולש ישר-זווית עם ניצב באורך זה וניצב באורך 1, ולפי משפט פיתגורס נקבל יתר שאורכו: formula_53.
בנייה זו מעידה שהשורשים הריבועיים של המספרים הטבעיים נמצאים בשדה המספרים הניתנים לבנייה.