אינטואיטיבית, במשולשים דומים משולש אחד הוא בעצם הגדלה של המשולש השני, הגדלה שבה כל הפרופורציות של המשולש המקורי נשמרות.
משולשים חופפים הם גם משולשים דומים, אך משולשים דומים אינם בהכרח חופפים.
מדידת גדלים במשולש.
אם במשולש, אורכי הצלעות הם a, b ו-c, אז:
שטח המשולש.
ישנן כמה נוסחאות לחישוב שטח המשולש, שהידועה בהן משתמשת באורך b של אחת הצלעות, ובאורך h של הגובה היורד אל אותה צלע: formula_6 (האיור המצורף מוכיח נוסחה זו).
נוסחת הרון משמשת לחישוב שטח המשולש לפי אורכי שלוש צלעותיו.
פירוט נוסחאות לחישוב שטח המשולש:
כאשר formula_16 הוא רדיוס המעגל החסום במשולש ו-formula_17 הוא רדיוס המעגל החוסם של המשולש, ו-formula_18 הוא מחצית היקף המשולש (formula_19)
משולשים מיוחדים.
משולש ישר-זווית.
משולש שאחת מזוויותיו שווה ל-90° נקרא משולש ישר-זווית. במשולש זה, הצלע שמול הזווית בת ה-90° נקראת יתר ואילו שתי הצלעות האחרות נקראות ניצבים.
משולש שווה-שוקיים.
משולש שווה-שוקיים הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות זו לזו. הצלעות השוות נקראות שוקיים, והצלע השלישית נקראת בסיס.
במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות, ולהפך - משולש ששתיים מזוויותיו שוות הוא שווה-שוקיים. במשולש שווה-שוקיים, חוצה הזווית של זווית הראש, התיכון לבסיס, האנך האמצעי לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים, ולהפך - משולש בו שניים מהם מתלכדים הוא שווה-שוקיים. כמו כן, שני הגבהים לשוקיים שווים זה לזה, וכן התיכונים לשוקיים וחוצי זוויות הבסיס, ולהפך.
משולש שווה-צלעות.
משולש שווה-צלעות הוא משולש שמהווה מצולע משוכלל - מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות. הזווית הפנימית בכל קודקוד של משולש שווה-צלעות היא בת 60° וזווית הנוצרת עם צלעות משולש שווה-צלעות ומחוץ לו היא בת 300°.
כל משולש שווה-צלעות הוא גם שווה-שוקיים (בשלוש דרכים שונות).
כל המשולשים שווי הצלעות דומים זה לזה.
במשולש שווה-צלעות, חוצה הזווית, התיכון, הגובה והאנך האמצעי מתלכדים לקו אחד.
באמצעות משפט פיתגורס ניתן להוכיח כי
"משולש הזהב".
בשם "משולש זהב" נקרא משולש שווה-שוקיים שבו היחס בין השוק לבסיס או הוא יחס הזהב. היחס בין הזוויות במשולש זה הוא formula_23 formula_24.
בישראל ניתן הכינוי "משולש הזהב" גם למשולש ישר-זווית שזוויותיו הן בנות 90, 60 ו-30 מעלות; במשולש זה, היתר גדול פי 2 מהניצב שנמצא מול הזווית השווה ל 30°, והניצב הגדול (שנמצא מול הזווית השווה ל 60°), גדול פי formula_25 מהניצב הקטן, כך שאפשר לתאר את היחס בין הצלעות (מהגדולה לקטנה) formula_26 בנוסף מוזכר בישראל "משולש כסף", שהוא משולש שווה-שוקיים בעל זווית בסיס של 45 מעלות. משולש זה הוא ישר-זווית ושווה-שוקיים בו זמנית. אורך היתר בו גדול פי שורש 2 מכל אחד מהניצבים.
מרחב ההשתנות של משולשים.
ניתן לחקור את אוסף כל המשולשים עד כדי דמיון בכלים של גאומטריה אלגברית. בהקשר זה הוא נקרא מרחב ההשתנות (variety) של משולשים. אוסף זה הוא באופן טבעי מנה של יריעה אלגברית ממשית תחת פעולה של חבורה אלגברית ממשית. מנה כזאת היא באופן טבעי סטק אלגברי (או גם גרופואיד בקטגוריית היריעות האלגבריות). מרחב השתנות זה הוא דוגמה קלאסית פשוטה לסטק אלגברי.
גופים שפאותיהם כוללות משולשים.
שלושה מחמשת הגופים האפלטוניים הם גופים שפאותיהם כוללות משולשים: הארבעון (טטראדר), שכל ארבע פאותיו הן משולשים, התמניון (אוקטאדר), שכל שמונה פאותיו הן משולשים, והעשרימון (איקוסהדרון), שכל עשרים פאותיו הן משולשים. בנוסף, במנסרה משולשת שני הבסיסים הם משולשים.
המשולש בגאומטריות לא אוקלידיות.
גאומטריות לא אוקלידיות הן גאומטריות שבהן אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה אחרת. אחד המאפיינים הבולטים המבדילים בין הגאומטריה האוקלידית לגאומטריות הלא אוקלידיות הוא סכום הזוויות במשולש (והתכונות הנגזרות ממנו).
בגאומטריה אוקלידית, סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות.
בגאומטריה היפרבולית מוחלפת אקסיומת המקבילים באקסיומה: דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה. בגאומטריה זו סכום הזוויות במשולש תמיד קטן מ-180 מעלות.
בגאומטריה פרויקטיבית ובגאומטריה ספירית מוחלפת אקסיומת המקבילים באקסיומה: כל שני ישרים במישור נפגשים בנקודה. בגאומטריות אלו סכום הזוויות במשולש תמיד גדול מ-180 מעלות.
בגאומטריה אוקלידית, שטח המשולש אינו תלוי בסכום זוויותיו. בגאומטריה ההיפרבולית ובגאומטריה הספירית שטח המשולש יחסי לפער שבין סכום זוויותיו ל-180 מעלות.
התנחלות
התנחלות היא יישוב יהודי בשטח שנמצא בשליטה ישראלית אך לא בריבונות ישראלית, לרוב בשטחים המוחזקים על ידי ישראל מאז מלחמת ששת הימים. כיום המונח מתייחס ליישובים ביהודה ושומרון ובעבר הוא כלל יישובים בסיני (עד החזרתו למצרים בשנת 1982, במסגרת הסכמי קמפ דייוויד), רצועת עזה (עד ההתנתקות ב-2005), ורמת הגולן (עד לסיפוחה בשנת 1981).
בסוף 2021 התגוררו בהתנחלויות כ-857,000 איש, מתוכם כ-492,000 ביהודה ושומרון, וכ-375,000 במזרח ירושלים בשכונות שניבנו לאחר מלחמת ששת הימים., המהווים יחד כ-9% מאוכלוסיית ישראל. רובם של המתנחלים ביהודה ושומרון מתגוררים במרחב התפר שבין הקו הירוק וגדר ההפרדה.
מכיוון ששטחי יהודה ושומרון לא סופחו למדינת ישראל, הריבון באזור זה הוא אלוף פיקוד המרכז של צה"ל ותושבי ההתנחלויות נתונים רשמית תחת ממשל צבאי. בפועל, חלקים רבים מהחוק הישראלי הוחלו על ההתנחלויות באמצעות צווים צבאיים, שבראשם "תקנות יו"ש". משטרת ישראל נוכחת בשטחים אלה דרך מחוז ש"י, שנוסד ב-1994, ומחזיקה בגזרתם מספר תחנות משטרה. כמו כן, הצבא והמשטרה מקיימים באזור זה מנגנון של תיאום ביטחוני עם המשטרה הפלסטינית.
רוב הקהילה הבינלאומית וחלקים בציבור הישראלי מתנגדים להתיישבות בשטחים שמעבר לקו הירוק, וההתנחלויות הן אחד מסלעי המחלוקת בפוליטיקה בישראל. לאחר מלחמת ששת הימים הוקמו מספר התנחלויות בחסות ממשלת ישראל בראשות המערך, ובשנים 1977–1986 עלה מספרן במהירות בתמיכת ממשלות בגין, שמיר ופרס. התמיכה בהתנחלויות מזוהה עם הימין ועם הדתיים, וההתנגדות להן מזוהה עם השמאל. המצדדים בהתנחלויות רואים בהן מימוש זכות היסטורית או דתית של עם ישראל על יהודה ושומרון, צורך ביטחוני קיומי, צורך אזרחי בשל הגדלת עתודות הקרקע לבנייה, וכן גורם המונע השתלטות פלסטינים על השטח והקמת מדינה פלסטינית. מתנגדי ההתנחלויות רואים בהן מכשול לתהליך השלום הישראלי-פלסטיני (הכולל את רעיון חילופי השטחים, במסגרתו יכללו גושי התנחלויות מסוימים), סכנה להמשך קיומה של ישראל כמדינה יהודית ודמוקרטית (עקב תרחיש מדינה דו-לאומית), וכן גורם המקשה כלכלית וביטחונית על המדינה. יש הרואים את ההתנחלויות גם כהפרה של זכויות אדם ושל החוק הבינלאומי.
מעמדן של ההתנחלויות מבחינת המשפט הבינלאומי שנוי במחלוקת. בקהילה הבינלאומית ובשמאל בישראל מקובל שההתנחלויות מנוגדות לחוק הבינלאומי, בעיקר משום שסעיף 49 באמנת ז'נבה הרביעית אוסר על מדינה כובשת להעביר את אזרחיה לשטח הכבוש, ועקב הטענה כי ההתנחלויות מפרות את הזכות להגדרה עצמית של הפלסטינים. מנגד, למדינת ישראל יש השגות על הפרשנות לסעיף 49, ועל עצם תחולתה של אמנת ז'נבה הרביעית על יהודה ושומרון. בנוסף נטען על ידי ישראל כי גם אילו היה מקום להכיר בזכות להגדרה עצמית לפלסטינים, הרי שאין הכרעה ברורה באיזה שטח הם אמורים לקיים זכות זו, שכן הקו הירוק אינו קו גבול.
לאור זאת, עמדתה של מדינת ישראל היא שהקמת ההתנחלויות מותרת על פי המשפט הבינלאומי, וארצות הברית הצטרפה לעמדה זו בהצהרה בנובמבר 2019.
משמעות המונחים "התנחלות" ו"מתנחלים".
בהגדרתו הבסיסית, המושג "התנחלות" מקביל להתיישבות ב"נחלה". המילה התנחלות באה מהשורש נ-ח-ל גזרת פ"י בניין התפעל, שפירושו, על פי מילון אבן-שושן: ירש, קיבל לרשותו אחוזה. הביטוי "נחלת אבות" מתייחס לחלקת ארץ העוברת מדור לדור כירושה משפחתית. כלומר, למונח "התנחלות" (שהוא בעיקרו מילה נרדפת ל"התיישבות") יש מובן שונה במקצת מ"התיישבות". "התנחל" מופיע פעמים אחדות בספר במדבר, למשל: . במשמעות זו הוא עוסק בהתנחלות בכל שטחי ארץ ישראל.
הביטוי "התנחלות" מציין מעבר של קבוצת אוכלוסייה לאזור בו לא נמצאו בעבר, בין אם מדובר במעבר של שבטים נוודים מהמדבר לארץ נושבת ובין אם מדובר בהגירה מארץ לארץ.
בתולדות הציונות שימש המושג "התנחלות" לתיאור ההתיישבות היהודית, ובמיוחד ההתיישבות החלוצית, בארץ ישראל. למשל, ראשוני המתיישבים ברמת השרון ראו בעצמם "מתנחלים" ובעיר נקרא רחוב "המתנחלים" על שמם. אפשר למצוא את המושג "התנחלות" גם בדברי חיים ארלוזורוב: . המונח "התיישבות" (וכן "מושבות", שנקראו בתחילה גם "קולוניות") שימש גם הוא לתיאור ההתיישבות היהודית, אולם, בד בבד, שימש גם כתרגומו של המונח "קולוניזציה" ("קולוניות") שרווח בלשונות אירופה בתקופת הקולוניאליזם.
לאחר מלחמת ששת הימים החל כינוי זה לשמש גם לציון יישובים יהודיים שהוקמו או שוקמו מעבר לקו הירוק, בדומה לתיאור ההתיישבות היהודית בראשית הציונות המודרנית. בשיח היומיומי הישראלי, המונח "התנחלות" מתייחס בדרך כלל להתנחלויות שבעומק השטח, ולא ליישובים הסמוכים לקו הירוק.