פרמטר סדר הוא מדד המייצג את מידת הסדר באזור מעבר הפאזה. במערכת בה יש סימטריה ביחס לפרמטר הסדר ערכו של פרמטר הסדר נע בין אפס עבור הפאזה המתקבלת בטמפרטורות גבוהות (בהן אי הסדר גדול יותר, אין הכרח לטמפרטורה, אלא כל שני פרמטרים, שדה מגנטי, לחץ וכדומה) לערך שונה מאפס בפאזה המתקבלת בטמפרטורות נמוכות. ערכו של פרמטר הסדר יכול להיות מיוצג בדרכים שונות ביניהן סקלר, מספר מרוכב, וקטור וטנזור, כאשר ייצוג פרמטר הסדר תלוי במערכת המדוברת ובסוג מעבר הפאזה. דוגמה מייצגת עבור פרמטר הסדר היא המגנטיזציה במערכת פרומגנטית בסמוך לטמפרטורת קירי.
לנדאו הציע שכאשר מערכת מסוימת נמצאת בטמפרטורה הקרובה לטמפרטורה הקריטית ניתן יהיה לתאר את האנרגיה החופשית של המערכת כטור טיילור בפרמטר הסדר, כאשר בהיעדר שדה מסדר (כלומר כאשר המערכת סימטרית ביחס לפרמטר הסדר) הטור יכלול רק חזקות זוגיות של פרמטר הסדר ומכיוון שקרוב לטמפרטורה הקריטית פרמטר הסדר קטן, ניתן להסתכל רק על האיברים הראשונים בטור:
formula_1
כאשר formula_2, formula_3, formula_4 היא האנרגיה החופשית, formula_5 הוא פרמטר הסדר, formula_6 היא הטמפרטורה, formula_7 היא הטמפרטורה הקריטית ו-formula_8 הם פרמטרים התלויים במערכת. במצב של שיווי משקל האנרגיה החופשית מינימלית ולכן נוכל למצוא את formula_9 על ידי מציאת נקודות המינימום של המשוואה.
מעבר פאזה רציף.
עבור מודל זה ההנחה של לנדאו הייתה שערכו של formula_10 הוא קבוע חיובי וש- formula_11 פרופורציונלי ל-formula_12, כלומר:
formula_13
כאשר formula_14 ו-formula_15 קבועים חיוביים.
בעקבות הנחה זו מתקבל כי המינימום הגלובלי של האנרגיה החופשית מתקבל בנקודות (כאשר האיבר formula_16 מוזנח):
formula_17
ניתן לראות מהתוצאה הנ"ל כי פרמטר הסדר משתנה בצורה רציפה אך לא גזירה בטמפרטורה הקריטית ולכן מודל זה מתאר מעבר פאזה מסדר שני. מסקנה נוספת המתקבלת מהפיתוח הנ"ל היא כי האקספוננט הקריטי הוא formula_18 ללא תלות בפרמטרים formula_19, כלומר ישנה אוניברסליות המצביעה על כך שישנה מחלקה של מערכות בעלות אותה התנהגות קריטית למרות ההבדלים המבניים ביניהן. יש לשים לב כי תורת לנדאו מניחה כי ישנו רק רכיב אחד לפרמטר הסדר וכן מתעלמת ממספר הממדים של המערכת ולכן נותנת תיאור של מספר מערכות מצומצם יחסית.
ישנם תופעות רבות (שאינן מתחום הטמפרטורה) אשר מתבצעות בהן מעברי פאזה מסדר שני. כאשר אנו מתעסקים בחומרים, כלל האנרגיות רציפות, כאשר מתקבלת סבירת סימטרייה תחת מעוות (החומר עדיין מוצק) תתקבל שינוי בפונקציית האנרגיה ויתקבל מעבר פאזה.
מעבר פאזה לא רציף.
מעבר פאזה מסוג שונה מתקבל כאשר ההנחה היא כי formula_10 משנה סימן כאשר שאר האיברים חיוביים (מניחים כי formula_21 הוא פונקציה יורדת בטמפרטורה אך הוא מתאפס בטמפרטורה נמוכה יותר מ- formula_22). עבור מקרה זה מקבלים פרמטר סדר ספונטני:
formula_23
כאשר על מנת שהפתרון יהיה אפשרי נדרש כי formula_24 וכי formula_25, כלומר הטמפרטורה הקריטית מתקבלת מהתנאי:
formula_26
עבור ערך זה נקבל כי מעט מתחת לטמפרטורה הקריטית:
formula_27
כלומר ישנה קפיצה פתאומית בפרמטר הסדר מאפס לערך סופי, מעבר פאזה מסוג זה נקרא מעבר פאזה לא רציף וזהו מעבר פאזה מסדר ראשון.
קשר לא מקומי.
כאשר ישנן תנודות מרחביות בשדה המגנטי תורת לנדאו הסטנדרטית אינה מספיקה והיא מוכללת לתאוריה כללית יותר בעזרת מתן תלות מרחבית לפרמטר הסדר, כלומר formula_28. במצב זה מתייחסים לפרמטר הסדר כפונקציה חלקה במרחב, ניתן לעשות זאת מכיוון שלרוב לתנודות קצרות תווך ישנה עלות אנרגטית גבוהה, ולכן הן נדירות ביותר. המסקנה היא כי השתנות פרמטר הסדר נגרמת בעיקר מקשרים לא מקומיים. בהקבלה לתורה הסטנדרטית האנרגיה החופשית היא:
formula_29
כאשר formula_30 הוא שדה מגנטי חיצוני וכעת נוסף איבר הגרדיאנט של פרמטר הסדר הלוקח בחשבון את הגדלת האנרגיה החופשית בעקבות ההשתנות המרחבית של פרמטר הסדר. כדי למצוא את formula_31 הממזער את האנרגיה החופשית יש לדרוש שהנגזרת הפונקציונלית של formula_4 תקיים formula_33 לכן נקבל:
formula_34
בעזרת אינטגרציה בחלקים ושימוש בכך ש-formula_35 בשפת המערכת מתקבלת המשוואה:
formula_36
מכיוון שמשוואה זו נכונה לכל formula_37 נקבל מהתנאי על הנגזרת הפונקציונלית של האנרגיה החופשית את משוואת גינזבורג-לנדאו:
formula_38
כאשר עבור formula_39 נקבל כצפוי את תאוריית לנדאו הסטנדרטית.
פרמטר סדר בעל מספר פרמטרים.
במקרים רבים פרמטר סדר סקלרי אינו מספיק כדי לתאר מערכת פיזיקלית. למשל, עבור נוֹזְלוּת-על של הליום-4 וכן עבור מוליכי על נדרש פרמטר סדר בעל שני רכיבים (המיוצג על ידי מספר מרוכב), מודל פוץ (potts model) מסדר formula_40 דורש formula_41 רכיבים ובגבישים נוזליים פרמטר הסדר מיוצג על ידי טנזור סימטרי וחסר עקבה.
בדומה למקרה הסקלרי, הדרישה במקרה זה היא כי האנרגיה החופשית בהיעדר שדה מסדר תשמור על הסימטריה של הבעיה המקורית. כאשר פרמטר הסדר הוא וקטורי וישנה סימטריה ביחס לכיוון הווקטור, נדרש שהאנרגיה החופשית תהיה תלויה רק בגודלו של הווקטור. כלומר ניתן להציב:
formula_42
כאשר formula_43 הוא הרכיב ה-formula_44 של פרמטר הסדר ו-formula_45 הוא מספר הרכיבים. עבור פרמטר סדר טנזורי formula_46 האנרגיה החופשית תתואר על ידי גדלים הנשמרים תחת טרנספורמציות למערכת הצירים. מכיוון שעקבה של מטריצה נשמרת תחת טרנספורמציות כאלו, נהוג לתאר את האנרגיה החופשית באמצעות:
formula_47
formula_48
עבור פרמטר סדר בעל מספר פרמטרים, מציאת מצב שיווי המשקל תתבצע על ידי מינימיזציה של האנרגיה החופשית ביחס לכל הפרמטרים של פרמטר הסדר.
אזיליה בנקס
אזיליה אמנדה בנקס (באנגלית: Azealia Amanda Banks; נולדה ב-31 במאי 1991) היא ראפרית, זמרת, פזמונאית ושחקנית אמריקאית. כבר בגיל צעיר התעניינה בנקס במוזיקה ובתיאטרון ולמדה בתיכון לה גוארדיה לאמנויות הבמה. בשנת 2008 אימצה בנקס את השם "$Miss Bank", החלה לפרסם שירים שלה דרך הרשת החברתית מייספייס ולאחר מכן, בגיל 17, הוחתמה בנקס בחברת התקליטים "XL Recordings". מאוחר יותר הוחתמה בנקס בחברות התקליטים אינטרסקופ ופולידור.
הסינגל הראשון של בנקס "212", בהשתתפות לייזי ג'יי, יצא לאור בשנת 2011 כחלק מהמיני-אלבום הראשון של בנקס, "1991".
ביוגרפיה.
אזיליה אמנדה בנקס נולדה ב-31 במאי 1991. אמהּ של בנקס גידלה אותה ואת שתי אחיותיה בהארלם שבניו יורק, לאחר שאביה מת מסרטן הלבלב כשהייתה בת שנתיים. לפי בנקס, לאחר מות אביה החלה אמהּ להתעלל בה ובאחיותיה פיזית ומילולית: היא "חבטה בנו עם אלות בייסבול, דפקה את ראשנו בקירות ותמיד הייתה אומרת לי שאני מכוערת. אני זוכרת שפעם היא זרקה את כל האוכל שהיה במקרר כדי שלא יהיה לנו מה לאכול". בעקבות ההתעללות שעברה, בגיל 14 עזבה בנקס את בית אימה ועברה לגור עם אחותה הגדולה. כבר בגיל צעיר החלה בנקס להתעניין במשחק ושירה.
קריירה.
בגיל עשר החלה בנקס להופיע במחזות זמר באוף ברודוויי ולמדה בתיכון "לה גוארדיה לאומניות הבמה" שבמנהטן. בגיל 16 נשלחה בנקס לאודישנים ל-TBS, ניקלודיאון וחוק וסדר, אך לא התקבלה. בנקודה זו החליטה בנקס לזנוח את קריירת המשחק, ובעקבות זאת החלה לכתוב שירי ראפ ו-R&amp;B כפורקן יצירתי. במקום לסיים את לימודיה בתיכון התמקדה בנקס בחלומה להיות זמרת. ב-9 בנובמבר 2008, בשם "$Miss Bank", פרסמה בנקס באינטרנט את השיר הראשון שהקליטה, "Gimme a Chance". באותה השנה הוחתמה בנקס בחברת התקליטים אקס-אל רקורדינגס, אך עזבה אותה לאחר מכן.
2011–2012: 1991 ו-Fantasea.
בעקבות עזיבתה את חברת התקליטים XL Recordings, זנחה בנקס את השם "$Miss Bank" והחלה להשתמש בשמה, אזיליה בנקס, כשם הבמה שלה. באותה תקופה עברה בנקס למונטריאול, שם העלתה גרסאות דמו של שיריה, ביניהם השיר "L8R" וקאבר לשיר "Slow Hands" של אינטרפול. לאחר שפג תוקפה של הוויזה הקנדית שלה, חזרה בנקס לניו יורק, שם התפרנסה ממכירת מחזיקי מפתחות במועדון ג'אז במנהטן ומריקוד במועדון חשפנות בקווינס. בנקס תיארה את התקופה הזו בחייה ואמרה כי "בתקופה הזאת הייתי ממש מדוכאת, לא היה לי מנהל, לא היה לי בן זוג, לא היו לי חברים ולא היה לי כסף. עבדתי במועדון חשפנות וניסיתי לא לומר את המילים הלא נכונות ולהיגרר לריב עם הבנות".
בספטמבר 2011 פרסמה בנקס הורדה חינמית לשיר "212", שיצא לאור כסינגל הראשון שלה מהמיני-אלבום הראשון שלה "1991". הסינגל זכה להצלחה במצעדי סינגלים של מדינות אירופה, ביניהן בריטניה, שם הגיע למקום ה-12. פחות משנה לאחר מכן, ב-28 במאי 2012, יצא לאור המיני-אלבום "1991", שהגיע למעמד פלטינה באוסטרליה, ובנוסף באותו החודש הודיעה בנקס על כוונתה להוציא מיקסטייפ בשם "Fantasea". המיקסטייפ פורסם בעמוד הטוויטר של בנקס ב-11 ביולי באותה השנה.
2013–2016: Broke with Expensive Taste.
בשנת 2012 הודיעה בנקס כי אלבום האולפן הראשון שלה יקרא "Broke with Expensive Taste" וציינה כי צפויים להכלל בו שיתופי פעולה עם טוקו יאסאדה, תיאופילוס לונדון, קווין חוסיין ואריאל פינק. לפי בנקס, הסינגל הראשון מהאלבום היה אמור להיות השיר "Miss Amor", אך לבסוף, בינואר 2013, הוחלט להוציא את השיר "Yung Rapunxel" במקומו, שיצא לאור במרץ באותה השנה דרך SoundCloud.