גובה המשולש המסומן ב - formula_3 ניתן להצגה באופן הבא:
אבל גם באופן הזה:
ולכן:
מאחר שזה נכון ל-2 זוויות שנבחרו באופן שרירותי, זה נכון לכל זוג זוויות במשולש.
כאשר המשולש קהה-זווית, תהליך ההוכחה כולל שלב ביניים לפי הזווית המשלימה לזווית הקהה ולאחר מכן חוזרים לזווית הקהה עצמה על פי הזהות formula_8. כאשר המשולש ישר-זווית המשפט הוא פשוט הגדרת הסינוס.
אם מרכז המעגל החוסם הוא O, נמשיך את BO עד שהוא נפגש עם המעגל ונקרא לנקודת החיתוך D.
נתבונן במשולש BDC.
במשולש ישר-זווית זה
(זווית ההיקפית BCD היא בת 90 מעלות בגלל שהיא נשענת על קוטרו של המעגל).
נסמן ב -formula_9 את הזווית CDB ואז
אבל זווית formula_9 שווה לזווית formula_12 כי הן נשענות על אותה קשת, לכן
כנדרש.
נשים לב שמהחלק השני של ההוכחה נובע בנקל החלק הראשון של הטענה
שכן הבחירה בצלע a ובזווית שמולה formula_12 הייתה שרירותית ויכולנו באותה מידה לבחור בצלע b ובזווית שמולה formula_17.
ההסתדרות החדשה
הגהה
הגהה היא שלב של עריכת טקסט, לרוב לאחר שהוא גמור. הליך ההגהה כולל בעיקר תיקון טעויות לשוניות, טעויות פיסוק, וכן עיצוב, סידור וגימור של הטקסט.
הגהה יכולה להתבצע עבור טקסט בכל פלטפורמה שהיא, לדוגמה עריכת טקסט דיגיטלי עבור אתר אינטרנט או עריכת טקסט שעתיד להיות מודפס עבור כתבה בעיתון. כל הגהה שכזו בעלת מאפיינים אחרים.
הגהה לקראת הוצאה לאור של יצירה מודפסת.
בתהליך ההוצאה לאור של יצירה כתובה שבו עוברת היצירה, לאחר סידורה ועימודה, ישנה קריאה קפדנית שמטרתה איתור שגיאות טכניות שנפלו בה: שגיאות כתיב, טעויות העתקה וטעויות דפוס, כדי לעשותה ראויה לדפוס.
העברת הספר לסדר היישר ממעבד התמלילים של הכותב, כמקובל החל משלהי המאה העשרים, מבטיחה שכמעט לא ייווצרו טעויות העתקה וטעויות דפוס במהלך הסידור. בכל זאת יש לבדוק את הסדר, בין היתר כדי לגלות שיבושים שקרו בתהליך זה, כגון בחירה שגויה של גופן, סידור לא נכון של קטעים מורכבים (כגון טבלאות, נוסחאות, סימנים מיוחדים ועוד). בספר המסודר, שאיכות הדפסתו גבוהה משל מעבד תמלילים מצוי, מתגלות גם טעויות שחמקו מעין המחבר בהגיהו את כתב היד.
עם תום העימוד יש לבצע הגהה נוספת, שבה יש לוודא בעיקר שלא חל שיבוש בעימוד. שיבושי עימוד כוללים:
לצורך ההגהה מופקת טיוטת הגהה של הספר המסודר. לשם תקשורת תקינה וחד-משמעית בין המגיה לסדר, הוגדרו סימנים מיוחדים לסימון דפי ההגהה: ביטול אותיות, הוספת אותיות וכדומה. ניתן לבטל את הצורך בתקשורת זו כאשר ההגהה נעשית ישירות על הטקסט המעומד המוצג בפורמט WYSIWYG בתוכנת הסידור והעימוד.
חשיבות גדולה במיוחד מיוחסת להגהתם של ספרי התנ"ך, מפאת קדושתם. דוגמה לכך מוצגת בדפוס של חמישה חומשי תורה משנת 1666, שבתחילתם נאמר על המו"ל:
למרות ההגהות החוזרות ונשנות שעובר הספר עלולות בכל זאת לחמוק שגיאות מעיני המגיה. במהדורה אנגלית של התנ"ך, שנדפסה בשנת 1631, נשמטה המלה "לא" מהדיבר השביעי "לא תנאף". בדרך כלל שגיאות הדפוס קלות יותר, כאלה שלא יפגמו ביכולת הקורא להבין את הטקסט. אף-על-פי-כן אין לזלזל בהן, כפי שאמר מארק טוויין: "הישמר והיזהר כאשר אתה מעלעל בספר העוסק בנושאי בריאות – אתה עלול למות משגיאת דפוס".
ההגהה היא לרוב מלאכה חדגונית, ופעמים רבות נמצאת במקום נמוך בסולם העדיפויות של המו"ל הישראלי. חשיבותה של ההגהה ניכרת בעיקר כאשר היא נכשלת, כפי שעולה מביקורתו של יורם ברונובסקי:
לתיקון טעויות שחמקו גם בשלב ההגהה משמש דף אראטה המצורף לספר, אם כי השימוש בו אינו נפוץ.
משפט הקוסינוסים
משפט הקוסינוס הוא משפט טריגונומטרי שמציין את הקשר בין צלעות משולש לאחת מזוויותיו. המשפט הוא הכללה של משפט פיתגורס למשולש כלשהו.
עבור משולש שצלעותיו הן formula_1 והזווית שמול c היא formula_2, משפט הקוסינוס קובע:
formula_3
משפט פיתגורס מתקבל במקרה הפרטי שבו formula_4 ולכן:
formula_5.
היסטוריה.
משפט הקוסינוסים מופיע כבר בספר 'יסודות' של אוקלידס מהמאה השלישית לפנה"ס. הספר מכיל גרסה גאומטרית, ללא שימוש בפונקציות טריגונומטריות (כיוון שטרם הוגדרו).
המשפט מופיע בכרך 2 של ה'יסודות' כמשפט 12 עבור משולש קהה-זווית וכמשפט 13 עבור משולש חד-זווית.
בציור משמאל, גרסת המשפט עבור משולש חד-זווית: formula_6.
מכיוון ש formula_7 מתקבל משפט הקוסינוסים בגרסתו המוכרת. גרסה זו נוסחה בימי הביניים בעקבות פיתוחו של ענף הטריגונומטריה על ידי מתמטיקאים מוסלמים.
בתחילת המאה העשירית האסטרונום והמתמטיקאי המוסלמי אל-בתאני הכליל את המשפט לגאומטריה ספירית. הכללה זו אפשרה לו לחשב את המרחק הזוויתי בין כוכבים.
המתמטיקאי ג'משיד אל-קאשי מסמרקנד בן המאה ה-15 חישב ערכים של פונקציות טריגונומטריות. חישוביו הפכו את משפט הקוסינוסים ממשפט תאורטי למשפט שימושי. בצרפתית משפט הקוסינוסים נקרא משפט אל-קאשי.
הוכחות.
הוכחה טריגונומטרית.
הוכחה זו כאמור, נכונה עבור משולש כלשהו. בהוכחות רבות הנעזרות בטריגונומטריה, נעשית הפרדה בין משולשים חדי-זווית למשולשים קהי-זווית.
שימוש במשפט פיתגורס.
ניקח משולש בעל צלעות formula_15, formula_16 ו-formula_17, ובעל זוויות formula_18, formula_19 ו-formula_2 ממול לכל צלע בהתאמה. נוריד גובה מקודקוד הזווית formula_18 לצלע b. את המשוואה נקבל באמצעות משפט פיתגורס על המשולש ישר הזווית השמאלי:
היות ש:
שימוש במשפט תלמי.
את המשולש "ABC" שצלעותיו "BC" = "a" "AC" = "b" "AB" = "c",נחסום במעגל, כפי שניתן לראות בשרטוט משמאל.
נבנה משולש "ABD" החופף למשולש המקורי: "AD"="BC" ו "BD"="AC".
מהקודקודים "C,D" נעביר גבהים החותכים את הצלע "AB" בנקודות "F,E" בהתאמה.
כעת, ממשפט תלמי נקבל:
שימוש באנליזה וקטורית.
את המשפט קל להוכיח באמצעות חשבון וקטורים. וקטור הוא גודל ליניארי מופשט הקיים במרחב וקטורי. על וקטורים במישור formula_29 ניתן לחשוב כעל חצים בעלי אורך וכיוון, ובאמצעותם לייצג צורות גאומטריות, ובפרט מצולעים כגון משולש.
קל לראות מהאיור ש-formula_30.
נשתמש במכפלה סקלרית ונקבל:
שכן הזווית formula_2 שמול הצלע c במשולש שווה לזווית בין הווקטורים formula_33 ו-formula_34 (שכן הן זוויות בין ישרים מקבילים הנוצרים מהעתקה מקבילה של הווקטור formula_34 ).
האנלוג המרחבי של משפט הקוסינוסים.
עבור סימפלקסים רב-ממדיים (מממד גבוה מ-2) קיימות נוסחאות טריגונומטריות בעלות צורה דומה לזו של משפט הקוסינוסים. במקרה התלת-ממדי, הסימפלקס המתקבל הוא הטטראדר, והנוסחה האנלוגית למשפט הקוסינוסים קושרת בין השטחים של שלוש פאות והזוויות הדיהדרליות ביניהן לשטח הפאה הרביעית. אם נסמן את השטחים של ארבע הפאות של הטטראדר ב-"α","β","γ","δ" ואת הזווית הדיהדרלית בין שתי פאות בסימון (למשל) formula_36, אז:
הוכחה.
השלב המרכזי בהוכחה הוא להראות שאם נשרטט וקטור ניצב לכל פאה אשר אורכו שווה לשטח שלה, אז סכום ארבעת הווקטורים שיתקבלו יהיה אפס. אם נציב את הראשית באחד מקודקודי הארבעון ונניח שכיוון כל אחד משלושת הווקטורים המייצגים את שלוש הצלעות שנפגשות באותו קודקוד הוא אל הראשית (ולא החוצה), אז אם נסמן את שלושת הווקטורים הללו ב-formula_38, נקבל ששלושת הווקטורים המייצגים את שלוש הצלעות הנותרות הם: formula_39. כל אחד מוקטורי הנורמל לפאות שווה למחצית המכפלה הווקטורית שמתאימה לו:
formula_40
בעוד המכפלה הווקטורית המתאימה לפאה האחרונה היא:
אם נחבר את ארבעת וקטורי הנורמל תוך שימוש בדיסטריביוטיביות המכפלה הווקטורית, נקבל:
חוק הקוסינוסים בעבור טטראדר מתקבל מעובדה זו בצורה מיידית באמצעות שוויון הנורמה בריבוע של formula_43 עם המכפלה הסקלרית
formula_44, ממנו מקבלים:
אבל, מהגדרת הזווית הדיהדרלית נובע: formula_46, מה שמשלים את ההוכחה.
קראטה
קראטה (ביפנית: ) היא אמנות לחימה יפנית-אוקינאווית מודרנית (גנדאי בודו) וספורט לחימה שהתפתחה מקבוצה של כמה עשרות אמנויות לחימה בעלות שורשים היסטוריים קרובים. אמנויות לחימה אלה נחשבות כיום 'יפניות'. בפועל, מקורן בממלכת ריוקיו ששלטה באי אוקינאווה, היום חלק מיפן. ניכרת בהן השפעה משמעותית של אמנויות לחימה שמקורן בדרום סין. כיום ישנה הפרדה ברורה בין סגנונות קראטה 'יפניים' (ויותר מודרניים) לאלה הנחשבים 'אוקינאווים'.
כל סגנונות הקראטה מאופיינים בדגש על שימוש בהכאה כאמצעי מרכזי ללחימה והגנה עצמית, חולקים ביניהם מגוון רחב של טכניקות ותנוחות גוף דומות או זהות, ומשתמשים בקאטה כאמצעי מרכזי לתרגול והעברת ידע. במהלך המאה ה-20, כל סגנונות הקראטה אימצו את הלבוש ואת שיטת הדירוג שפותחה על ידי ג'יגורו קאנו עבור ג'ודו. התלבושת הנהוגה נקראת קייקוגי ואותה משלימה חגורה צבעונית המייצגת את דירוג המתרגל.
בדומה לאמנויות לחימה רבות אחרות מן המזרח, הקראטה המסורתי מלווה ברבדים תרבותיים עמוקים, המשליכים על אופן תרגול האמנות, ולרוב דורשים את אימוצה כ-'דרך חיים'. כזה הוא אופיו של הקראטה המסורתי. בו-בעת, קיימים גם סגנונות קראטה פחות מסורתיים ויותר ספורטיביים, שמאפיינים אלה פחות בולטים בהם, או שאינם קיימים כלל. מעבר להבחנה בין השיטות ובתי ספר השונים כיום מקובלת בעולם ההבחנה בין הקראטה המסורתי (Traditional Karate) לבין הקראטה המודרני \ ספורטיבי. שני זרמים אלה שונים מהותית זה מזה בהיבטים הפילוסופיים, טכניים ותחרותיים ומנוהלים בהתאמה על ידי שני הגופים העולמיים WTKF (מסורתי) ו-WKF (מודרני). בישראל קיימים בהתאמה שני גופים המוכרים על ידי משרד הספורט - איגוד הקראטה המסורתי והתאחדות הקראטה הכללי.