להלן דוגמה של מהלך משחק עבור לוח 5*3 כאשר משבצת ההפסד (1,1) מסומנת באדום:
הסבר:
במצב זה ניצחונו של שחקן 2 מובטח כי בתור הבא יאלץ שחקן 1 לבחור במשבצת ההפסד (1,1).
הכללה של המשחק לממדים גבוהים.
ניתן להגדיר גרסה מורחבת של משחק צ'ומפ, המכלילה את חוקי המשחק עבור ממדים גבוהים יותר (כלומר משחקים בהם מטריצת המשבצות היא מממד גדול מ-2).
לדוגמה, במשחק התלת-ממדי (המשוחק על לוח תלת-ממדי), מהלך הוא בחירה במשבצת (I,j,k), שתגרור מחיקה של כל המשבצות שהקואורדינטות שלהן גדולות או שוות ל-I,k,j (בהתאמה). המפסיד במשחק זה יהיה השחקן אשר יבחר במשבצת (1,1,1).
בצורה כזו, ניתן להגדיר לוחות ומשחקים בכל מימד שנרצה.
קיומה של אסטרטגיה מנצחת.
מעיון באפיון המשחק, ניתן לראות כי המשחק מקיים את תנאי משפט פון נוימן (Von Neumann, 1928, המכונה לעיתים גם משפט צרמלו), בהיותו משחק שני שחקנים, סופי, בעל ידיעה שלמה המסתיים תמיד בניצחון של אחד השחקנים.
לפיכך, בכל משחק צ'ומפ לאחד משני השחקנים קיימת אסטרטגיה מנצחת, שאם ינהג לפיה יזכה בניצחון עבור כל תגובה אפשרית של השחקן היריב.
זהות השחקן המנצח.
מתברר, שבכל משחק צ'ומפ סופי (הנקבע על-פי ערכי N ו-M) השחקן המסוגל להבטיח לעצמו ניצחון הוא שחקן 1. ההוכחה לכך היא על דרך השלילה כדלקמן: נניח בשלילה כי קיים לוח משחק סופי (M*N) עבורו לשחקן 2 יש אסטרטגיה מנצחת המבטיחה לו ניצחון לכל אסטרטגיה של שחקן 1 (על-פי המשפט לאחד השחקנים חייבת להיות אסטרטגיה כזו, והנחת השלילה היא שלא מדובר בשחקן 1). בפרט, עבור בחירה של שחקן 1 במשבצת (M,N) כמהלך הפתיחה שלו, קיים מהלך תגובה כלשהו (x,y) של שחקן 2, שאחריו הוא יכול לכפות ניצחון לכל אסטרטגיה של שחקן 1.
אולם אם היה שחקן 1 פותח במהלך (x,y), היה מגיע לאותו הלוח בדיוק (שכן כל מהלך ובפרט (x,y) מוחק ממילא את המשבצת (M,N), ולכן מחיקתה בהתחלה לא משנה), ומכאן יכול היה לכפות ניצחון, בסתירה להנחת השלילה.
לצורך המחשה, נניח שבלוח 6*3 (M=3, N=6) לשחקן 2 יש אסטרטגיה מנצחת. אז עבור בחירה של שחקן 1 במשבצת (3,6), נניח כי התגובה המובילה ללוח זכוי עבור שחקן 2 היא בחירה במשבצת (2,4) בצורה הבאה:
אם היה שחקן 1 בוחר במשבצת (2,4), היה זוכה באותו "לוח משחק זכוי" שהיה קודם לכן לשחקן 2 בסיום תורו:
מכאן, יוכל שחקן 1 להמשיך כפי ששחקן 2 היה ממשיך קודם לכן ולהבטיח לעצמו ניצחון, וזאת כמובן בסתירה להנחה כי לשחקן 2 "אסטרטגיה מנצחת" הכופה ניצחון עבורו.
הוכחה זו תקפה גם להכללות של המשחק לכל מספר סופי של ממדים.
מציאת אסטרטגיה מנצחת.
כיום, עדיין לא ידועה אסטרטגיית ניצחון עבור M ו-N כלליים, ולמרות שניתן לחשב פתרון עבור כל לוח נתון בעזרת מחשב, הדבר יהיה קשה מבחינה חישובית עבור N ו-M גדולים.
יחד עם זאת קיימים מספר לוחות שבהם ניתן להגדיר אסטרטגית ניצחון בצורה מפורשת.
לוח N*N.
עבור לוח סימטרי מגודל N*N נסתכל על האסטרטגיה הבאה ונוכיח שהיא אסטרטגיית ניצחון-
השחקן הראשון בוחר במהלך הפתיחה במשבצת (2,2) ויוצר את לוח המשחק הבא (לצורך המחשה נסתכל על לוח 4*4):
נשים לב כי הלוח שנוצר לאחר הפעולה, הוא לוח סימטרי שבו ישנן משבצות בשורה הראשונה והעמודה הראשונה בלבד ומספרן זהה. נכנה לוח כזה בכינוי לוח "L". בשלב הבא, בהינתן ששחקן 2 מקבל בתורו לוח "L" סימטרי, שחקן 1 יגיב על כל בחירה של שחקן 2 בבחירה במשבצת הסימטרית לה, כלומר על בחירה במשבצת מהסוג (1,i) שחקן 1 יבחר במשבצת (i,1) ולהפך. בצורה כזו שחקן 2 יקבל בתור הבא שלו לוח "L" סימטרי נוסף שבו i-1 משבצות בשורה הראשונה ו-i-1 משבצות בעמודה הראשונה.
לפיכך, על-מנת להוכיח שאסטרטגיה זו מביאה לניצחון עלינו להוכיח שלוח "L" בסיסי (בגודל מינימלי) גורר הפסד של שחקן 2 ואז באינדוקציה, נקבל שהאסטרטגיה המתוארת מהווה אסטרטגיית ניצחון לשחקן 1. נשים לב, שמקרה הבסיס טריוויאלי, שכן "לוח L" בגודל 1, הוא לוח המכיל את המשבצת (1,1) בלבד. לוח זה מבטיח כמובן, הפסד של שחקן 2 המחויב לבחור במשבצת זו.
לוח 2*N.
גם עבור לוח זה (-המורכב בה"כ משתי שורות ו-N עמודות) נתאר אסטרטגיית ניצחון עבור שחקן 1 בדרך אינדוקטיבית.
בהינתן N קבוע, המהלך הראשון של שחקן 1 יהיה בחירה במשבצת הימנית העליונה, כך שיתקבל הלוח הבא (לצורך המחשה נסתכל על לוח 5*2, בו N=5):
מטעמי נוחות נכנה לוח זה, שבו N-1 משבצות בשורה העליונה ו-N משבצות בשורה התחתונה בשם "לוח Z מגודל N" (בדוגמה שלעיל קיבלנו לוח Z מגודל 5).
הטענה האינדוקטיבית שלנו היא שבהינתן ששחקן 2 מקבל "לוח Z מגודל N" לכל תגובה שלו מתקיים:
הוכחה:
כעת משהוכחנו ששחקן 1 יכול להבטיח, על ידי שימוש באסטרטגיה הנ"ל, ששחקן 2 (ורק שחקן 2) יקבל תמיד בתורו לוח Z מגודל הולך וקטן, כל שנשאר להוכיח על-מנת להבטיח שזוהי אכן אסטרטגיית ניצחון עבור שחקן 1, הוא שבמקרה הבסיסי (הגודל המינימלי) "לוח Z" גורר הפסד של שחקן 2.
אולם, נשים לב כי לוח Z מגודל 1 הוא למעשה הלוח בעל המשבצת הבודדת (1,1) הגורר בהכרח הפסד של שחקן 2, הנאלץ לבחור במשבצת זו.
לוחות אינסופיים.
ניתן להרחיב את הגדרת המשחק גם עבור לוחות אינסופיים בני מנייה (שבהם לפחות אחד מממדי המטריצה הוא אינסופי).
יש לציין כי במקרה כזה המשחק אינו מקיים את תנאי משפט פון נוימן ולפיכך המסקנות שלנו אודות קיום אסטרטגיה מנצחת בכלל, ולשחקן הפותח בפרט, אינן תקפות בהכרח.
יחד עם זאת, נראה כי ניתן להוכיח מפורשות (בדרך קונסטרוקטיבית) את קיומה של אסטרטגיית ניצחון גם בלוחות אלו:
לוח 2*אינסוף.
לוח 2*אינסוף הוא לוח המכיל 2 שורות ואינסוף עמודות (או באופן סימטרי 2 עמודות ואינסוף שורות).
לוח זה, הוא הלוח היחידי בו קיימת אסטרטגיה מנצחת לשחקן 2, הגורסת כי:
לוח K*אינסוף.
לוח זה מורכב מ-K שורות (בה"כ) ואינסוף עמודות. בלוח זה קיימת אסטרטגיה מנצחת לשחקן ה-1, שגורסת כי עליו לפתוח במהלך (3,1). לאחר מהלך זה קיבלנו חזרה לוח 2*אינסוף שבו שחקן 1 במשחק המקורי הוא כעת "שחקן 2". על-כן הוא יכול להמשיך לשחק באסטרטגיה המתוארת לעיל ולהבטיח את ניצחונו.
לוח אינסוף*אינסוף.
לוח זה מתאר מצב פתיחה שבו שני הממדים אינסופיים. בלוח זה שחקן 1 יכול להבטיח את ניצחונו בשתי אסטרטגיות ניצחון שונות (לפחות):
רנאטה ויגנו
רנאטה ויגנו (באיטלקית: Renata Vigano; 1900–1976) הייתה סופרת איטלקייה, אחות במקצועה.
בנעוריה כתבה שירה ואף הוציאה קובצי שירה. אך בשל מצבה הדחוק הייתה חייבת לעבוד כאחות בית חולים בבולוניה, ואל הכתיבה שבה רק מאוחר יותר.
בימי מלחמת העולם השנייה ובעת הכיבוש הגרמני, הצטרפה אל הפרטיזנים בהרים שבצפון איטליה ולחמה בשורותיהם כחברה במפלגה הקומוניסטית האיטלקית. בשנת 1937 נישאה לסופר הקומוניסט האיטלקי אנטוניו מלוצ'י וביתם בבולוניה הפך למרכז לאנשי רוח ויוצרים בעלי השקפות שמאליות, לא רק מבולוניה העיר אלא מכל איטליה. היא ובעלה עבדו בביטאון הקומוניסטי הנודע "ל'אוניטה" והיו מקורבים מאוד לאנטוניו גראמשי, ממנהיגי הקומוניסטים האיטלקיים.
ספריה עוסקים בנושאים הללו של לחימת נשים וחיי נשים במלחמה. ספרה הידוע, שבשלו התפרסמה, הוא "אנייזה הולכת למות", 1949. הרומן תורגם ללשונות רבות ובהן גם עברית, בידי לאה גולדברג, 1951. והוא נחשב לאחד מציוני הדרך הספרותיים החשובים של הזרם האמנותי הנאו-ריאליסטי. הספר גם הוסרט וזכה להצלחה רבה.
רשימת המלכים מכרנכ
רשימת המלכים מכרנכ היא רשימה של מלכי מצרים אשר נמצאה על קיר ב"אולם הפסטיבל של תחותמס השלישי" במתחם אמון-רע בכרנך שבמצרים העליונה. הקיר שעליו הרשימה נמצא כיום במוזיאון הלובר בפריז.
הרשימה כללה במקורה 61 שמות של מלכים. היא נוצרה בתקופתו של תחותמס השלישי מלך מצרים מהשושלת ה-18, שמלך במאה ה-15 לפנה"ס בתקופת הממלכה החדשה. הרשימה החלה מהמלך סנפרו מהשושלת הרביעית (תקופת הממלכה הקדומה) שמלך במאה ה-26 לפנה"ס. מהרשימה המקורית שרדו 39 שמות קריאים של מלכים. שם של מלך אחד לא נכתב בכרטוש.
הרשימה המקורית לא כללה את כל המלכים, מלכים נוספים היו ידועים ממקורות עתיקים אחרים, חשיבותה הנוספת של הרשימה נובעת מכך שהיא כללה רשימות של מלכים מתקופת הביניים הראשונה והשנייה שנעדרו מהרשימות האחרות.
הרשימה תוארה לראשונה על ידי האגיפטולוג הבריטי ג'יימס ברטון (James Burton) בשנת 1825. בשנת 1843 משלחת גרמנית, ברשותו של האגיפטולוג הגרמני קארל ריכרד לפסיוס (Karl Richard Lepsius), עשתה את דרכה לאורך הנילוס לכיוון כרנכ. הארכאולוג והאגיפטולוג הצרפתי אמיל פריס ד'אוואן (Emile Prisse d'Avennes), ששהה במצרים שנים רבות ורצה להבטיח את הממצא לצרפתים, פירק את האבנים בקיר שהכילו שמות של מלכים ושלח אותן לצרפת. חלק מהאבנים ניזוקו. במקדש בכרנך מוצג העתק של הרשימה.
רשימה זו ביחד עם רשימות מלכים אחרות שנמצאו - אבן פלרמו, רשימת המלכים מטורינו, רשימת המלכים מאבידוס, ספרו של מנתון "אגיפטיקה" ועוד - שימשו את האגיפטולוגים במחקרם ליצירת רשימה של מלכי מצרים בעת העתיקה, וכתיבת הכרונולוגיה המצרית, תוך הצלבת המידע מהמקורות השונים.
קארה
אבולקר
חגורת מביוס
ארץ ישראל בתקופה הביזנטית
קולומנה
קולומנה (ברוסית: Коломна) היא עיר במחוז מוסקבה, ברוסיה, במפגש של נהר מוסקבה עם נהר אוקה, 114 קילומטרים מדרום למוסקבה.
נכון ל-2010 חיים בעיר 144,589 תושבים. העיר נוסדה ב-1177 ונשרפה על ידי המונגולים במהלך הפלישה המונגולית לאירופה, בתחילת 1238, לאחר קרב קולומנה.
ערים תאומות.
לקולומנה ארבע ערים תאומות:
ארץ ישראל בתקופה הצלבנית
חיים עוזר גרודז'נסקי
ערבית חג'אזית