החרסים מלמדים גם על שמות נפוצים בממלכת ישראל, שכמו בממלכת יהודה כללו שמות תאופוריים לרוב, אולם בעוד ביהודה הסיומת הנפוצה היא "יהו", בחרסי שומרון נפוצות הסיומות "בעל" ו"יו".
חרס מס' 1
חרס מס' 6
חרס מס' 19
לא ידוע מה פירוש המונח 'רחץ' או אף כיצד יש לנקד מילה זו. במחקר שפרסם זהר עמר הוא הציע לקרוא למונח בשם "שמן רָחֻץ" (כשם סביל), והראה ששם זה השתמר בכמה מקורות שנכתבו בערבית בספרי רפואה ורוקחות (מאות 10 – 12 לסה"נ), ויש בהם להעניק פרשנות חדשה ופתרון לביאור כתובות שומרון. מקורות אלה מציינים לשבח את שמן הזית האיכותי שיוצר בארץ-ישראל, בשמו הערבי "זית אלמע'סול", דהיינו שמן השטוף, הרחוץ. על פי הכתובים העתיקים, שמן הזית עבר תהליך שטיפה במים בתוך כלים עם פתחי ניקוז בתחתיתם, על מנת להסיר את ריחו וטעמו על מנת להפכו לשמן בסיס, כשמן נושא נייטרלי, לצורך ערבובו בבשמים או בשמנים ארומטיים אחרים. במסגרת המחקר נערכו אף ניסיונות שיחזור על פי ההנחיות המפורטות שבטקסטים הקדומים, ובסופם התקבל בתהליך האמולסיה "שמן רחוץ", בעל צמיגות משחתית, לבנבנה וחסרת ריח לוואי.
בעקבות המחקר של זהר עמר נמצא הסבר לתעלומת כלי חרס גדולים מנוקבים בתחתיתם שנמצאו באתרים שונים בארץ ישראל בתקופת הברזל, כמו במגידו, תל בית שמש, בתל חצור, בתל לכיש, בתל מקנה ובתל גורן (עין גדי) – שם נמצא כלי כזה כחלק ממכלול תעשייתי ששימש להפקת בשמים.
הקבוצה השנייה.
הקבוצה השנייה מונה שבעה אוסטרקונים נמצאה בחפירות שנערכו במקום בשנים 1931–1935 על ידי משלחת חפירות מאוחדת, המורכבת מאוניברסיטת הרווארד, הקרן האנגלית לחפירות בארץ ישראל, האקדמיה הבריטית, בית הספר הבריטי לארכאולוגיה בירושלים, והאוניברסיטה העברית. ניהל את החפירות ג'ון וינטר קרופוט.
בקבוצה השנייה של החרסים בולט אוסטרקון השעורים, וגם הוא מתוארך למאה השמינית לפני הספירה.
אוסטרקון השעורים (מסומן: c1011)
אוסטרקון נוסף (מסומן: c2101) מכיל רשימת שמות, בשבר האוסטרקון שנמצא רשומים 5 שמות ב-5 שורות, כל השמות מוכרים לנו בצורתם מהמקרא, והם מתאפיינים בכתיבה הישראלית המקוצרת (בה שם ה' נהגה ונכתב יהו , והתוספת התאופורית יהו לשמות אנשים נהגת ונכתבת "יו" ). זמנו של האוסטרקון הוא המחצית השנייה של המאה השמינית לפני הספירה (750 - 700 לפנה"ס).
השמות המופיעים באוסטרקון הם:
דניס קולודין
דניס אלכסייביץ' קולודין (ברוסית: Денис Алексеевич Колодин; נולד ב-1 בינואר 1982) הוא כדורגלן עבר רוסי ששיחק בעמדת הבלם. שיחק בעבר בנבחרת הלאומית של רוסיה והשתתף עימה ביורו 2008. לאחר פרישתו ממשחק פעיל עבר לאימון. נכון להיום (2021) קולודין הוא עוזר מאמן של קבוצת קיזילז'אר מליגת העל הקזחית
קריירת המועדונים.
במהלך הקריירה שלו, קולודין שיחק עבור מספר מועדונים רוסים. הוא התחיל את הקריירה שלו במועדון הכדורגל אולימפיה וולגוגרד, ושיחק בו במשך שנתיים, שבהן הרשים רבות עם 14 שערים ב-66 משחקים. הוא עבר לאוראלן בשנת 2002. הוא ערך 44 הופעות עבור הקבוצה, וכבש שלושה שערים. ב-2004 הוא עזב לקריליה סובטוב סמארה, במדיה ערך 39 הופעות וכבש שני שערים עד תחילת שנת 2005.
קולודין עבר לאחד מהמועדונים החשובים ביותר בכדורגל הרוסי, דינמו מוסקבה, ב-2005. בדינמו הוא הגיע לתקופה המוצלחת ביותר בקריירה שלו. הוא כבש 12 שערים עבור הקבוצה, נכון למרץ 2009. הוא ביסס את מעמדו כאחד משחקני ההגנה הטובים ביותר בליגת העל הרוסית: הוא זכה פעם אחת ברשימת הכדורגלנים הטובים של העונה של התאחדות הכדורגל הרוסית כבלם השמאלי הטוב ביותר ברוסיה ב-2006, זכה ברשימת הכדורגלנים הטובים של העונה של התאחדות הכדורגל הרוסית כבלם הימני הטוב ביותר ברוסיה ב-2008, וסיים במקום השני בתואר זה ב-2007. אחרי היורו ועד 2012 רדפו אחריו לא מעט פציעות אשר הפריעו לו להיכנס להרכב הקבוצה.
בינואר 2012 הושאל לרוסטוב עד סוף העונה. ערך את הופעת הבכורה שלו ב-5 במרץ 2012 במשחק חוץ מול קרסנודאר שנגמר 0:1 לזכות הקבוצה היריבה.
בקיץ 2013 חתם בוולגה ניז'ני נובגורוד מהליגה הרוסית השנייה.
באוקטובר 2017 הודיע על פרישה ממשחק פעיל.
נבחרת לאומית.
קולודין זומן לראשונה לסגל הנבחרת הלאומית של רוסיה בשנת 2004. מאז הוא שיחק 19 פעמים במדי הנבחרת הלאומית. בשנותיו הראשונות בנבחרת הוא לא הצליח להגיע עם נבחרתו לאף טורניר גדול (גביע העולם ואליפות אירופה).
קולודין זומן על ידי חוס הידינק להשתתף עם נבחרת רוסיה ביורו 2008. הוא היה אחד מהשחקנים הבולטים בנבחרתו, שהעפילה לחצי גמר הטורניר לראשונה בתולדותיה. הוא שיחק בכל שלושת המשחקים של רוסיה בשלב הבתים, נגד , ו. במשחק רבע הגמר נגד הוא קיבל כרטיס אדום, אך מיד לאחר מכן השופט ביטל את הרחקתו. אף על פי כן, הוא נעדר ממשחק חצי הגמר עקב צבירת כרטיסים צהובים.
סגנון משחק ותרומה.
קולודין הוא בלם התקפי, הידוע בשל יכולתו לבעוט בעיטות חזקות ממרחק. הוא גם נחשב למצטיין בבעיטות עונשין, והוא הבועט הקבוע של מצבים אלו בדינמו מוסקבה. למרות הצטיינותו, הוא לא היה מוכר מספיק לאוהדי הכדורגל מחוץ לרוסיה, בשל העובדה שעד ל-2009 הוא מעולם לא שיחק עם דינמו מוסקבה בטורניר אירופי גדול למועדונים, כדוגמת ליגת האלופות וגביע אופ"א. קולודין החל את הקריירה שלו בעמדת החלוץ, אך הוסט לעמדת הקשר, ולאחר מכן הועבר לשחק בעמדת ההגנה והתקבע בה.
משפט בונדרבה-שפלי
משפט בונדרבה-שפלי, הוא משפט בתורת המשחקים, בתחום של משחקים שיתופיים. המשפט נותן לנו תנאי הכרחי ומספיק לכך שהליבה של משחק אינה ריקה.
המשפט נקרא על שם המתמטיקאים אולגה בונדרבה ולויד שפלי
אשר הוכיחו אותו כל אחד בנפרד (בונדרבה ב-1963, שפלי ב-1967).
רקע.
כאשר אנו בוחנים משחק בצורה קואליציונית בו משתתפים מספר שחקנים, נרצה לדעת אילו קואליציות יכולים אותם שחקנים ליצור על מנת שיוכלו למקסם את הרווח האישי שיוכלו להשיג במשחק, או לחלופין למזער את ההפסד שלהם. כמובן שכל שחקן ירצה להשתתף בקואליציה שתיתן לו את הרווח הגדול ביותר, כלומר, קואליציה חייבת למקסם את רווח כל השחקנים על מנת שחבריה יהיו מרוצים, ולא יפנו להרכבת קואליציה אחרת. ניתן לחשוב על אינספור דוגמאות למשחקים כאלו ביומיום, בעולם העסקים, ההיי-טק, הפוליטיקה ולמעשה בכל ענף עליו נסתכל.
בבואנו לחשוב על וקטור תשלומים לפיו נקבע את חלוקת הרווח בין חברי הקואליציה, ניתן לחשוב על עקרונות מנחים שבעזרתם נוכל להניח האם חברי הקואליציה מרוצים או לא מרוצים מהקואליציה שהם יצרו. בין עקרונות אלה נמנים יעילות, סבירות פרטית וסבירות קבוצתית. הליבה של המשחק היא בדיוק הקבוצה שמכילה את כל הווקטורים המקיימים תנאים אלה. הליבה היא מושג מרכזי בתחום תורת המשחקים והיא נותנת לנו את אותם וקטורים שבהם חברי הקואליציה מקבלים יחדיו לפחות את שווי הקואליציה. סביר שוקטור התשלומים שיתקבל מחלוקת הרווח הכולל יהיה בליבה.
לכן, כאשר נסתכל על משחק בצורה קואליציונית, נרצה פעמים רבות לשאול האם ישנם וקטורים בליבה, מהם נוכל לבחור את וקטור התשלומים. משפט בונדרבה-שפלי עונה בצורה מסוימת על שאלה זו, כאשר הוא נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך שליבה של משפחה מסוימת של משחקים אינה ריקה. כלומר, אם נוכל לסווג את המשחק עליו אנו מסתכלים ולשייך אותו לאחת מאותן משפחות שמקיימות את תנאי המשפט, נוכל לומר האם הליבה של אותו ריקה או לא ריקה.
המשפט.
המשפט מתאר תנאי הכרחי ומספיק לקיום ליבה לא ריקה, ולמעשה מגדיר משפחה של משחקים הנקראים משחקים מאוזנים. כלומר, כל משחק העונה על התנאי המוצג במשפט – נקרא משחק מאוזן, לכן ניתן לומר שהליבה של משחק איננה ריקה אם ורק אם המשחק הוא משחק מאוזן.
למשפט ישנם שני ניסוחים שקולים. הניסוח השני נועד להביא את הבעיה לצורה של בעיית תכנון ליניארי ועל ידי כך לפשט את הוכחת המשפט. הוכחת המשפט שמוצגת כאן היא עבור הניסוח השני של המשפט, ומשתמשת בפתרון בעיית תכנון ליניארי.
ניסוח ראשון.
עבור המשחק formula_1, כאשר formula_2 היא קבוצת השחקנים ו formula_3 היא הפונקציה הקואליציונית.
תנאי הכרחי ומספיק לכך שהליבה של המשחק formula_1 איננה ריקה הוא שלכל אוסף מאוזן formula_5 של קואליציות ולכל אוסף של וקטורי מקדמים מאזנים formula_6 מתקיים:
formula_7.
ניסוח שני.
נסמן את אוסף הקואליציות הלא ריקות ב - formula_8. נסמן ב-formula_9 את אוסף כל המשקלות המאזנים חלש את formula_10:
formula_11
כאשר נשים לב כי formula_12 הוא וקטור החילה של הקואליציה formula_13.
המשפט: תנאי הכרחי ומספיק לכך שהליבה של המשחק formula_1 איננה ריקה הוא שלכל formula_15 מתקיים:
formula_16.
הוכחת המשפט.
הוכחת המשפט היא עבור הניסוח השני שלו. היא תינתן בשלבים ותיעשה בעזרת פתרון בעיית תכנון ליניארית.
שלב ראשון - הגדרת בעיית תכנון ליניארי (הבעיה הפרימאלית).
נתבונן בבעיית התכנון הליניארי במשתנים formula_17:
חשב את: ___________________________________________________ formula_18
תחת האילוצים: ______ formula_19
הערה: בסימונים רגילים של בעיית תכנון ליניארי: formula_20
קבוצת הפתרונות האפשריים של בעיה זו היא formula_21, שהיא קבוצה קומפקטית ולא ריקה, ולכן formula_22 סופי.
שלב שני - הבעיה הדואלית.
ניתן להראות כי הבעיה הדואלית לבעיה שהוגדרה בשלב הראשון היא:
חשב את: ________________________________ formula_23
תחת האילוצים: _____________ formula_24
כפי שראינו formula_22 סופי, ולכן ממשפט הדואליות של תכנון ליניארי נובע ש-formula_26 אף הוא סופי ומתקיים formula_27.
שלב שלישי.
בשלב זה נראה שאם הליבה אינה ריקה אז formula_28.