מסורות של זמרים-יוצרים התקיימו במוזיקת עם ומוזיקה פופולרית של יהדות מזרח אירופה (סלומון שמולביץ', מקס ורשבסקי, אהרון לבדף), המגרב (שייח זוזו) ועיראק (סאלח אל כוויתי) מתחילת המאה ה-20 או לפני, חלקם כמו אל כוויתי ואף יוסף רוזנבלט או סמי אלמגריבי עלו ופעלו בארץ. בין הדוגמאות המוקדמות הנודעות יותר ניתן למצוא גם את טולי רביב וישראל יצחקי. החל משנות ה-50 זכו זמרים-יוצרים כמו ג'ו עמר ובני ברמן לפופולריות יוצאת דופן, כשבמקביל פעלו זמרים-יוצרים אחרים בסצינות פופולריות פחות כמו שירי עם (האחים שלם) ואף מחתרתיות כמו זו התימנית של אותה תקופה (שלמה מוקעה, שלמה דחיאני, אהרן עמרם ואחרים).
ברוק הישראלי, במוזיקה הים-תיכונית ובמוזיקה הפופולרית נכללים זמרים-יוצרים כמו שלום חנוך, יהודית רביץ, מאיר אריאל, קרן פלס, דני סנדרסון, דיקלה, שלמה ארצי, עידן רייכל, עלמה זהר, ברי סחרוף, מרגלית צנעני, אביב גפן ועידן עמדי.
זמר יוצר
מילון אבן־שושן
יארוסלב הראשון
סרט הפילנפיל של פו הדוב
משפט פרובניוס (תורת המספרים האלגברית)
משפט פרובניוס הוא משפט בתורת המספרים האלגברית, העוסק בתכונות הפירוק של פולינומים בעלי מקדמים שלמים, כאשר מתבוננים בהם מודולו מספרים ראשוניים שונים. את המשפט הוכיח פרדיננד פרובניוס ב-1880, והוא התפרסם ב-1896, לאחר שריכרד דדקינד ניסח (ב-1894) את העקרונות של תורת המספרים האידיאליים. באותו זמן שיער פרובניוס את משפט הצפיפות של צ'בוטרב, המכליל את התוצאה שלו; צ'בוטרב הראה שההשערה נכונה ב-1922.
פירוק פולינום לגורמים מעל שדה סופי הוא בעיה שיש לה פתרונות אלגוריתמיים, ומשפט פרובניוס מאפשר להשתמש באותן שיטות גם כדי לנתח פולינומים מעל המספרים השלמים.
מבוא.
תבנית פירוק.
יהי f פולינום מתוקן בעל מקדמים שלמים. לכל מספר ראשוני p, אפשר להתבונן בפולינום גם מעל חוג המנה formula_1, שהוא שדה סופי. בשדה זה הפולינום מתפרק לגורמים אי-פריקים: formula_2; וקטור המעלות של הגורמים האלה נקרא תבנית הפירוק של f מודולו p.
כאשר מתבוננים במספר ראשוני יחיד, הקשר בין הפירוק של f מעל השלמים לפירוק מודולו p הוא חד סטרי: הפירוק מעל השלמים נשאר נכון גם מודולו p, ושם כל גורם שהיה אי-פריק מעל השלמים, עשוי להתפרק עוד יותר. לכן תבנית הפירוק מודולו p מהווה עידון של תבנית הפירוק המקורית.
לדוגמה, הפולינום formula_3 מתפרק לגורמים formula_4 מודולו 3, ולכן תבנית הפירוק שלו שם היא 2,2. מודולו 5 הפולינום מתפרק לגורמים formula_5, ותבנית הפירוק שלו היא 1,3. מהשוואת התבניות האלה לבדה אפשר להסיק שהפולינום אי-פריק מעל השלמים, והוא אכן אי-פריק מודולו 7.
חבורת גלואה ומבנה מחזורים.
נניח שהדיסקרימיננטה של f אינה אפס. כלומר, כל השורשים של הפולינום הזה בשדה הפיצול K מעל הרציונליים, שונים זה מזה. לפולינום יש חבורת גלואה, הפועלת כחבורת תמורות על n השורשים, כאשר n היא מעלת הפולינום.
כל תמורה אפשר לכתוב באופן יחיד כמכפלה של מחזורים זרים, ולאוסף של אורכי המחזורים קוראים מבנה המחזורים של התמורה.
משפט פרובניוס.
יהי f פולינום עם מקדמים שלמים ושורשים שונים בשדה הפיצול.
המשפט קובע שהצפיפות של קבוצת הראשוניים שעבורם יש לפולינום תבנית פירוק נתונה, שווה לסיכוי שלאיבר אקראי בחבורת גלואה של הפולינום יש מבנה מחזורים כזה. (הצפיפות כאן היא צפיפות דיריכלה, אבל אריך הקה הוכיח שהמשפט נכון גם עבור הצפיפות הטבעית).
בפרט, לקבוצת הראשוניים שעבורם הפולינום מתפרק לגורמים ליניאריים מודולו p יש צפיפות formula_6, כאשר G היא חבורת גלואה. בשיטה הזו אפשר להעריך במהירות ובקלות יחסית את גודלה של חבורת גלואה של פולינום נתון.
דוגמה. חבורת גלואה של הפולינום formula_7 מעל הרציונליים היא formula_8, החבורה הדיהדרלית שסדרה 8 (שדה הפיצול הוא formula_9). בחבורה הזו יש איבר אחד שמבנה המחזורים שלו הוא 1,1,1,1 (הזהות), שני איברים שמבנה המחזורים שלהם הוא 4, שני איברים שמבנה המחזורים שלהם 2,1,1, ושלושה שמבנה המחזורים שלהם הוא 2,2. מבנה המחזורים 3,1 אינו מופיע כלל. בהתאמה לפרופורציה 1:2:2:3 של מבני המחזורים, הפרופורציות של תבנית הפירוק המתקבלת מ-1228 הראשוניים עד 10000 הן 0.96:2.05:2.03:2.98.
קשרים לתוצאות אחרות.
ממשפט פרובניוס אפשר להוכיח את המסקנה הבאה: מספר הגורמים של f שווה לתוחלת מספר השורשים מודולו ראשוני אקראי p. תוצאה זו, שהוכיח לאופולד קרונקר ב-1880, הביאה את פרובניוס לנסח ולהוכיח את המשפט.
את משפט פרובניוס עבור הפולינום formula_10 אפשר להסיק ממשפט דיריכלה.
ירון אזרחי
ירון אזרחי (19 באפריל 1940 – 29 בינואר 2019) היה פילוסוף וחוקר ישראלי בתחום מדע המדינה, ההיסטוריה והמוסר, שכיהן
כפרופסור במחלקה למדע המדינה באוניברסיטה העברית בירושלים. זכה בפרס על מפעל חיים מטעם האגודה הישראלית למדע המדינה בשנת 2009.
ביוגרפיה.
ירון אזרחי נולד וגדל בתל אביב לכנר והמוזיקאי יריב אזרחי, לשעבר מנהל קונסרבטוריון רון שולמית ולחנה. למד בבתי הספר העממיים "הכרמל", "דובנוב" ו"הקליר" בתל אביב, ב"תיכון חדש" בתל אביב ושנה אחת ב"תיכון בית הכרם" בירושלים. לאחר שרותו בצה"ל החל ב-1960 ללמוד פילוסופיה ומדע המדינה באוניברסיטה העברית. בין מוריו הבולטים היו הפרופסורים שמואל נח אייזנשטדט, יוסף בן-דוד, שמואל הוגו ברגמן ונתן רוטנשטרייך. נסע ללימודי דוקטורט באוניברסיטת הרווארד ב-1966 וקיבל תואר דוקטור מטעם אוניברסיטה זו ב-1972. בין מוריו הבולטים בהרווארד היו הפרופסורים הנרי קיסינג'ר, דון פרייס, רוברט מרטון, קרל דויטש וג'ודית שקלאר, אשר בהדרכתה כתב את עבודת הדוקטורט. נושא עבודת הדוקטורט שלו היה: "התנאים החברתיים והפוליטיים להתגבשות המדע המודרני ושרידותו במשטרים דמוקרטים ולא דמוקרטים". בתקופת לימודיו שימש יועץ למדיניות המדע של ארצות הברית בבית הלבן ובאקדמיה הלאומית למדע בוושינגטון. בסיום לימודיו ב-1971 הצטרף לסגל האוניברסיטה העברית עד לפרישתו ביוני 2008. מונה למרצה ב-1972, למרצה בכיר ב-1977, לפרופסור חבר ב-1990 ולפרופסור מן המניין ב-1998. החליף את פרופסור יוסף בן-דוד כראש התוכנית לפילוסופיה והיסטוריה של המדעים ולאחר מכן כיהן כמופקד הקתדרה על שם משפחת גרשטן למדעי המדינה.
אזרחי שהה כעמית מחקר במכון למחקר מתקדם במדעי ההתנהגות בסטנפורד (1977-8); שימש כפרופסור אורח באוניברסיטאות פנסילבניה (1973-4) באוניברסיטת דיוק (1986-4), הרווארד (1990-1986), פרינסטון (1992-3), בראון (2008) ובמכון רוקפלר בבלג'יו (2011).
כיהן כיועץ למדיניות מדע בישראל לאקדמיה הלאומית הישראלית למדעים (1983-1973). השתתף כחבר המועצה למדיניות מדע של נשיא המדינה בתקופת כהונתו של הנשיא אפרים קציר. ב-1992 הצטרף כעמית בכיר למכון הישראלי לדמוקרטיה ועסק עד 2003 בסוגיות האיומים הפנימיים על הדמוקרטיה הישראלית, בעיקר בשני נושאים עיקריים: השפעת ההון על ריכוז השליטה בעיתונות הישראלית וסכנות הנובעות מהעדר חוקה. השתתף בכתיבת מסמכים והצעת חוקה למדינת ישראל במסגרת ועדה שבראשה עמד נשיא בית המשפט העליון לשעבר מאיר שמגר. כחלק מפרויקט החוקה לישראל, כתב אזרחי יחד עם פרופסור מרדכי קרמניצר את הספר "ישראל לקראת דמוקרטיה חוקתית", שפורסם על ידי המכון ב-2001.
במסגרת המכון לדמוקרטיה נלחם נגד הצעות חוק המכוננות משאל עם בישראל ונגד תופעות של שחיתות שלטונית. הרצה במכללה לביטחון לאומי (2009-2007) ושימש חבר בוועדה האקדמית שלה.
במשך שנות ה-80 היה שותף פעיל בשיחות שהתקיימו באירופה עם אינטלקטואלים פלסטינים שחלקם התמנו אחר כך לנציגים פלסטינים רשמיים בשיחות השלום. בהמשך עסק בסכנה הקיימת לדעתו בהתנחלויות לדמוקרטיה הישראלית. לדעתו, הקפאת חלות החוקים והליכי אכיפה מול תהליך כוחני של בניית ההתנחלויות במשך עשרות שנים יצרו תת-תרבות של אי-לגאליזם, שעודד אלימות שגלשה לחברה הישראלית כולה. מגמות אלה שקיבלו תמיכה, בחלקן הגדול בהסתר, מממשלות ישראל והצבא, קטעו את תהליך הקונסטיטוליזציה (constitutionalization) של מדינת ישראל, שהתקדם מ-1948 עד 1974 לערך באורח סביר. בשעה שהמדינה החלה מרשה וממשיכה להרשות קיום מערכת שלמה של כוחנות מחוץ לחוקי המדינה, ישראל כמדינת חוק נמצאת בתהליך מסוכן של התדרדרות למצב של אלימות לא מוסדרת, של "מדינה בדרך" - מצב שקדם להקמת המדינה. זאת מעבר לתוצאות החמורות של מגמות אלה ללגיטימציה הבינלאומית של ישראל כדמוקרטיה וכמדינה שוחרת שלום.
שימש כמומחה ופרשן לפוליטיקה בישראל בעיתונות בישראל ובעיתונות הבינלאומית. בנוסף להיותו מרואיין לעיתים קרובות לעיתונים וערוצי הטלוויזיה בישראל. אזרחי רואיין פעמים רבות על ידי "הניו יורק טיימס", "וושינגטון פוסט" ו"טיים מגזין". מאמריו פורסמו ב-"Foreign Affairs", ומאמר (עם בנו, עורך הדין אריאל אזרחי) פורסם בעיתון "El Hayat". אזרחי רואיין אף על ידי הרשתות BBC, CNN, ובתוכניות כ-"60 דקות", "Charlie Rose", ועוד.
אזרחי השתייך לשמאל פוליטי בישראל ונטל חלק פעיל בשיח הציבורי ובהפגנות נגד ההתנחלויות.
משפחתו.