נקבל formula_18, כך שבזמן מנוחה, כלומר במהירות formula_16, הכמות של מסת מנוחה שווה לכמות המסה היחסית, וניתן לכתוב את המשוואה formula_7 כ־formula_13: אין הבדל מלבד שייתכן כי נצטרך לומר כי formula_5 הוא עבור formula_16. אזי, תוך שימוש במסה היחסית, המשוואה formula_24 שבכותרת חייבת להיכתב כ־formula_13 ואינה ישימה לעצמים הנעים במהירות כלשהי, אלא רק במהירות אפס, משום ש־formula_5 שכאן הוא רק עבור formula_16.
המשוואה הכללית ביותר היא
שימוש במסת מנוחה.
פיזיקאים מודרניים כמעט שאינם עושים שימוש במסה יחסית, והם נוהגים להשתמש ב־m לציין מסת מנוחה כך ש־E = mc² היא "אנרגיית מנוחה", כלומר האנרגיה של העצם כשהוא במנוחה. במקרה זה המשוואה ישימה רק לעצמים נייחים. הצורה המודרנית של המשוואה עבור עצם בעל מהירות כלשהי היא:
כאשר formula_30 הוא התנע היחסותי של העצם. עובדה זו מצמצמת את E = mc² למקרה של מהירות אפס. לצורך הבהירות, למרות צורת השימוש המודרנית, בהמשכו של ערך זה נעשה שימוש ב־m עבור מסה יחסית וב־m0 עבור מסת מנוחה.
קירוב במהירויות הנמוכות מאוד יחסית למהירות האור.
מכיוון שאנרגיה המנוחה היא m0c², וסך האנרגיה היא אנרגיה קינטית ועוד אנרגיית המנוחה, אזי האנרגיה הקינטית היחסית מבוטאת על ידי
ובמהירויות הנמוכות מאוד יחסית למהירות האור formula_32 מתאים ביטוי זה לביטוי הקלאסי של אנרגיה קינטית.
ניתן להראות ש־formula_34 על ידי הרחבת formula_35 תוך שימוש בטורי טיילור.
הצבה מחדש במשוואה המקורית תתן:
מכאן, שבאנרגיות נמוכות הביטוי הקלאסי לאנרגיה קינטית הוא קירוב של האנרגיה הקינטית היחסותית. אולם תורת היחסות מוסיפה עוד אנרגיה שלא הוגדרה קודם - אנרגיית המנוחה, שיש לגוף מעצם קיום המסה שלו. איינשטיין הראה כבר כי המכניקה הקלאסית שגויה במצבים של מהירויות גבוהות או של כבידה חזקה. אולם עבור המקרים שנדונו בעת פיתוח המכניקה הקלאסית, ושרלוונטיים ברוב המוחלט של חיי היום יום, המכניקה הקלאסית היא קירוב טוב של המכניקה היחסותית.
לידת המשוואה.
תרומות קודמות.
איינשטיין פרסם את המאמר שבו הודיע על תגליתו בשנת 1905, אך שורשי התגלית נעוצים בהנחות שונות, שמקורן שנים רבות קודם לכן. איינשטיין לא היה היחיד שקשר אנרגיה למסה, אבל היה הראשון שהציג זאת כחלק מתאוריה רחבה ויותר מכך, הסיק את הנוסחה מתוך ההנחות של תאוריה זו.
ניתן לחלק את תיאור פיתוח המשוואה לפי גורמיה:
E – אנרגיה ו - m – מסה.
אחת מהנחות הבסיס שעליהן נשענת המשוואה היא, שאנרגיה אינה יכולה להיווצר או להיעלם, אלא רק להחליף צורה – הנחה שמהווה את חוק שימור האנרגיה, הקובע שכמות האנרגיה במערכת סגורה היא קבועה ואינה מסוגלת להיעלם או להיווצר, ואת החוק הראשון של התרמודינמיקה שמרחיב את חוק שימור האנרגיה ומחיל אותו גם על אנרגיה בצורת חום. משום כך, האנרגיה העודפת שתוזרם למערכת לא תוכל להמשיך לתפקד כאנרגיה ולא תוכל להיעלם; היא תיאלץ, בסופו של דבר, להפוך למסה.
בדומה לאנרגיה, הנחת בסיס חשובה נוספת לתיאוריה היא חוק שימור החומר, הקובע שחומר אינו יכול להיווצר או להיעלם בתוך מערכת סגורה, אלא רק לשנות את צורתו.
לפני מחקרו של איינשטיין, עמדו שני חוקי השימור הללו בפני עצמם. E=mc² חיברה ביניהם: לא רק שאנרגיה יכולה להפוך לאנרגיה בצורה אחרת וחומר יכול להפוך לחומר בצורה אחרת, אלא שאנרגיה יכולה להפוך לחומר, וחומר יכול להפוך לאנרגיה. תגלית זו הפכה את שני חוקי השימור הללו לבלתי מדויקים, ובמקומם נוסח חוק מאוחד שנקרא "חוק שימור האנרגיה-מסה", שקובע כי בכל תהליך שהוא סכום האנרגיות והמסות של הגופים והמערכות המשתתפים בתהליך נשאר קבוע.
c – מהירות האור.
הנחת בסיס חשובה נוספת, שביסס איינשטיין בתורת היחסות הפרטית, היא שמהירות האור בריק היא הגבול העליון למהירות שבה יכולים חלקיק או אנרגיה לנוע. לכן, כאשר כמות האנרגיה שמוכנסת למערכת מאיצה את המהירות קרוב למהירות האור, היא אינה יכולה להמשיך בהאצת המהירות, ובהתאם לחוק שימור האנרגיה גם לא תוכל להיעלם, ולכן תהפוך למסה.
formula_38 – בריבוע.
אייזק ניוטון הגדיר את האנרגיה של חומר כלשהו כמכפלה של המסה שלו ומהירותו, כלומר formula_39. לדוגמה, אם גוף במשקל 6 קילוגרמים ינוע במהירות של 10 קמ"ש, הוא יאצור 60 יחידות אנרגיה. הפיזיקאי גוטפריד לייבניץ, לעומת זאת, התנגד לדעתו של ניוטון וסבר ש־formula_40. אך מסקנותיו היו תאורטיות בלבד והוא לא הצליח להוכיחן.
בתחילת המאה השמונה עשרה חקרה המדענית אמילי די שאטלה, יחד עם הפילוסוף וולטר, את הנוסחאות של ניוטון ולייבניץ. די שאטלה הסכימה עם דעתו של לייבניץ, אך לא יכלה לקבל אותה ללא הוכחות מעשיות. לבסוף מצאה את ההוכחות בניסויים של החוקר ההולנדי וילם סחרווסנדה, שעסקו במדידת נפילה חופשית אל קרקע רכה. הניסויים תמכו באופן חד משמעי במשוואה של לייבניץ; לדוגמה, כאשר הופלו אל משטח רך שני כדורים באותו משקל שאחד מהם נע במהירות גדולה פי שלושה, הכדור שמהירותו גבוהה יותר שקע פי 9 עמוק יותר בקרקע, ולא פי 3.
כך הגיעה די שאטלה למסקנה ש־formula_40. משוואה זו היוותה גם היא בסיס חשוב למשוואה של איינשטיין, משום שקבעה שהאנרגיה מתייחסת למהירות בריבוע, אך היא התייחסה לאנרגיה הקינטית בלבד ולא לאנרגיה שאצורה במסת החומר.
פרסום המאמר.
ב־27 בספטמבר 1905 שלח איינשטיין לשנתון הפיזיקה מאמר בן כ־30 עמודים בשם "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" ("על האלקטרודינמיקה של גופים נעים"), בו שטח את מסקנותיו לגבי תורת היחסות. מספר שבועות לאחר מכן הוא הגיע למסקנה נוספת הנובעת מתורת היחסות, ומיהר לשלוח לעיתון תוספת של שלושה עמודים למאמר, בשם "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?" ("האם ההתמדה של גוף תלויה בתכולת האנרגיה שלו?"). בתוספת זו נוסחה לראשונה משוואתו המפורסמת. מאמר זה הוא אחד מהמאמרים הידועים כיום כמאמרי שנת הפלאות שלו.
איינשטיין לא ניסח במאמר משוואה זו בדיוק; בסמלים שבהם השתמש איינשטיין המשוואה נראתה כך - formula_42 (כשהאות "L" מייצגת אנרגיה במקום "E", ו-"v" מייצגת את מהירות האור). במאמר נכתב: קרינה היא במקרה זה אנרגיה קינטית, והמסה היא מושג המסה כפי שהיה בשימוש באותה תקופה, מה שקרוי כיום מסת מנוחה או מסה אינווריאנטית. באותה תקופה הייתה קביעה זו השערה תאורטית שלא הוכחה בניסויים.
לאחר שנים העתיק איינשטיין את מאמר היחסות המקורי שלו בכתב ידו, כדי למכור אותו במכירה פומבית. תוך כדי כתיבה הוא שאל את מזכירתו, שהכתיבה לו את המאמר, "זה מה שאמרתי?" היא השיבה בחיוב. "הייתי יכול לומר את זה בצורה הרבה יותר פשוטה", הוא אמר.
קבלה ראשונית.
בתחילה התאוריה התקבלה בפקפוק רב, ואף בבוז, בקרב הפיזיקאים. הפיזיקאי זוכה פרס נובל, ארנסט רתרפורד, אמר על הנושא בכנס מדעי בלונדון: כאשר ניסה איינשטיין להתקבל כמרצה באוניברסיטת ברן הוא צירף למכתבו את מאמר היחסות שלו, אך נדחה. הפרופסור טירינג מאוניברסיטת וינה אמר כי
בשלב זה גם איינשטיין עצמו לא היה בטוח לחלוטין במסקנותיו. הוא הודה בפני ידידו, קונרד הביכט:
הניסוי הראשון שהוכיח לבסוף את התאוריה של איינשטיין התבצע ב־1932. הפיזיקאים ג'ון קוקרופט וארנסט וולטון מאוניברסיטת קיימברידג' הצליחו להאיץ גרעיני מימן, עד שפגעו בגרעינים של ליתיום. בהתנגשות נוצרו שני גרעינים של הליום (חלקיקי α, המכילים שני פרוטונים ושני נייטרונים), אשר נעו במהירות גבוהה בכיוונים הפוכים. סכום המסות של הפרוטון וגרעין הליתיום הוא יותר גדול מן המסה של שני חלקיקי α. המסה שהלכה לאיבוד בתהליך הזה הפכה לאנרגיה הקינטית של שני חלקיקי α. כך אישר ניסוי זה את התופעה של הפיכת מסה לאנרגיה, והוכיח שהמאזן הכמותי בין שתיהן נקבע על ידי הנוסחה E=mc^2.
השלכות.
השלכות תאורטיות.
ערעור המכניקה הקלאסית.
המשוואה ערערה חלק מהעקרונות שהתקבלו קודם לכן על ידי הקהילה המדעית, כגון אחת ההנחות של המכניקה הקלאסית של ניוטון, לפיה לגוף במנוחה אין אנרגיה. על פי המשוואה של איינשטיין, לעומת זאת, לגוף במנוחה יש אנרגיה – בצורת מסה.
למרות זאת, המכניקה הניוטונית יכולה להתקיים במצבים מסוימים ללא סתירה ל-E=mc². המכניקה הניוטונית התייחסה למצבים פשוטים ויומיומיים, שהתנועה בהם הייתה כה איטית ביחס למהירות האור עד שהיה אפשר להתעלם ממנה. כך הצליחה להסביר היבטים שונים בהנדסה ובפיזיקה, מלבד הנושאים העוסקים בחקר האטומים וגרמי השמיים. לכן, המכניקה הניוטונית ניתנת לשימוש לגבי תופעות מסוימות, אך ההשקפה הכללית שלה מוטעית; ניוטון האמין כי המרחב והזמן הם ישויות פיזיקליות "מוחלטות" - קבועות ויציבות לחלוטין, וקביעה זו הייתה בסיס מרכזי לתאוריות שלו. אך כיום, לאחר תורת היחסות, נחשבים עקרונותיו של ניוטון כמקרה פרטי מתוך מערכת רחבה יותר.
מקור אנרגיית הכוכבים.
לאחר פרסום המשוואה וקבלתה, מדענים רבים ניסו להסביר באמצעותה את מקור האנרגיה של השמש; ההבנה שאנרגיה רבה כל כך עשויה להיות אצורה במסה קטנה כל כך, אפשרה להבין את מקור האנרגיה של השמש ושאר הכוכבים ביקום. אך עד אז הניסויים הוכיחו את יעילות המשוואה בחומרים רדיואקטיביים בלבד, ולא נמצאו שום עקבות של חומרים רדיואקטיביים על השמש. בתחילת המאה ה-20, הדעה הרווחת הייתה שהשמש עשויה מ-66% ברזל טהור. מתכות רדיואקטיביות פולטות אנרגיה בקלות משום שהאטומים שלהם לא יציבים ומתפרקים במהירות. ברזל, לעומת זאת, הוא יסוד יציב במיוחד. אילו השמש הייתה עשויה מברזל היא לא הייתה מסוגלת לפלוט אנרגיה רבה כל כך במשך זמן רב.