העיטור הזה תוכנן להינתן בסיום המלחמה ל־12 החיילים המצטיינים של הוורמאכט מכל הזרועות והדרגות, בפועל הוענק רק לטייס השטוקה הנס אולריך רודל בתאריך 29 בדצמבר 1944.
תנאי הזכאות: יהלומים לצלב האבירים ומעשה גבורה החורג מחובותיו של החייל.
הצלב הגדול של צלב הברזל.
הוענק רק פעם אחת לרייכסמרשל הרמן גרינג על המערכה האווירית המוצלחת של הלופטוואפה בזמן כיבוש צרפת.
הכוכב של הצלב הגדול.
העיטור אמור היה להיות מוענק לגנרל הגרמני המצטיין ביותר במלחמה, אולם בעקבות תבוסת גרמניה לא הוענק מעולם.
ההוצאה המחודשת של 1957.
מכיוון שצלב הקרס הופיע על צלב הברזל של 1939, ובעקבות איסור הצגת סמל זה במערב גרמניה, הממשלה הגרמנית הנפיקה מהדורה מחודשת של העיטור – בה הוחלף צלב הקרס בסמל עלי האלון הנטול משמעות פוליטית. העיטור החדש יועד לחלוקה לחיילים ותיקי מלחמת העולם השנייה שזכו בצלב הברזל בזמן המלחמה.
אחרי המלחמה ענידת העיטור הייתה אסורה בכל הצבאות מלבד הבונדסוור (הורשה ענידה רק בגרסת 1957), הצבא הפיני והצבא הספרדי.
סמלים.
צלב הברזל עדיין משמש כסמלו של הבונדסוור, צבאה המודרני של גרמניה.
האלגוריתם האוקלידי
פנתנייקוס
פנאתינאיקוס (כדורסל)
מועדון הכדורסל פנאתינאיקוס (ביוונית: ΚΑΕ Παναθηναϊκός), הידועה בקיצור כפאו או בשמה המלא פנאתינאיקוס אתונה, היא קבוצת כדורסל יוונית מעיר הבירה אתונה, המתמודדת בליגת העל היוונית. פנאתינאיקוס זכתה שש פעמים בגביע אירופה, והיא קבוצת הכדורסל המצליחה והמעוטרת ביותר ביוון ואחת הקבוצות המצליחות והמעוטרות ביבשת.
פנאתינאיקוס בליגה היוונית.
פנאתינאיקוס אתונה זכתה ב-35 אליפויות יוון, והיא הקבוצה הבכירה ביותר בארצה. במהלך השנים מתחרותיה העיקריות בליגה היו אריס סלוניקי ואולימפיאקוס. בעונת גברה פנאתינאיקוס על אולימפיאקוס בגמר הפלייאוף בתוצאה 0:3 (76:82, 68:79, 70:82), לאחר שבעונה הרגילה סיימה במקום הראשון, במאזן של 24 ניצחונות ו-2 והפסדים. בנוסף, פנאתינאיקוס זכתה גם בגביע היווני, כאשר גברה על אריס סלוניקי בגמר, בתוצאה 57:68. ביוני 2011 זכתה הקבוצה באליפות תשיעית ברציפות, לאחר שגברה על אולמפיאקוס 1-3 בסדרת הגמר. ב-2012 הפסידה את האליפות לאולימפיאקוס, שניצחה אותה בסדרת הגמר 3:2, אחרי סדרה זו הודיע מאמנה ז'ליקו אוברדוביץ' על עזיבת הקבוצה לאחר 13 שנים.
פנאתינאיקוס באירופה.
פנאתינאיקוס נחשבת לאחת הקבוצות הבכירות באירופה, וב-14 השנים האחרונות הופיעה 8 פעמים בפיינל פור, 5 פעמים הגיעה לגמר, ו-4 פעמים זכתה בגביע הנכסף. הזכייה הראשונה שלה הייתה ב-1996, כאשר פגשה את ברצלונה בגמר שנערך בפריז שבצרפת. לאחר משחק צמוד ניצחה פנאתינאיקוס בתוצאה 66:67. זכייתה השנייה הייתה בשנת 2000, בגמר שנערך בסלוניקי שביוון. לעיני 8,500 אוהדים, גברה פנאתינאיקוס אתונה על מכבי תל אביב 67:73. ב-2002 פנאתינאיקוס זכתה שוב, כאשר ניצחה את קינדר בולוניה בבולוניה, בתוצאה 83:89.
בעונת 2005/2006 הייתה פנאתינאיקוס אחת הקבוצות המבטיחות במפעל, אך הופתעה על ידי טאו ויטוריה בשלב ההצלבה (רבע הגמר), בתוצאה 2:1 בסדרת "הטוב משלושה משחקים".
בשנת 2007 זכתה באליפות אירופה בפעם הרביעית בתולדותיה, לאחר שגברה במשחק הגמר על צסק"א מוסקבה 91:93, בסיומו של טורניר הפיינל פור אותו אירחה פנאתנייקוס באולמה הביתי באתונה.
בשנת 2009 זכתה באליפות אירופה בפעם החמישית בתולדותיה, לאחר שגברה במשחק הגמר על צסק"א מוסקבה 71:73, בסיומו של טורניר הפיינל פור אותו אירחה ברלין.
בשנת 2011 זכתה בפעם השישית ביורוליג לאחר ניצחון על מכבי תל אביב בתוצאה 78 - 70 בגמר של טורניר הפיינל פור אותו אירחה ברצלונה.
בשנת 2012 פנאתינאיקוס ניצחה את הקבוצה הישראלית מכבי תל אביב בהצלבה והפסידה בחצי הגמר לצסקא מוסקבה. בשנת 2013 הפסידה פנאתינאיקוס לברצלונה בהצלבה, ובשנת 2014 הפסידה בהצלבה לצסק"א מוסקבה. ב-12 באפריל 2018 הודיעה פנאתינאיקוס על פרישה מהיורוליג לאחר מחלוקת בין בעלי הקבוצה להנהלת היורוליג, אך לאחר מכן חזרה בה מהחלטתה.
אוהדים ויריבות.
היריבה הגדולה ביותר של פנאתינאיקוס היא אולימפיאקוס פיראוס. היריבות הגדולה בין שני המועדונים הובילה פעמים רבות למהומות רבות, עד לכדי פציעות בקרב האוהדים משני הכיוונים. לא אחת התקיימו המשחקים בין הקבוצות ללא קהל, לאור החשש מהתפרצויות אלימות. היריבות בין המועדונים קיימת גם בענף הכדורגל, והמשחקים ביניהם מכונים דרבי היריבות הנצחיות.
וירג'ינל
וירג'ינל הוא כלי נגינה ממשפחת כלי המקלדת אשר היה פופולרי באירופה בסוף תקופת הרנסאנס ובתחילת תקופת הבארוק.
הווירג'ינל נראה כמו דגם קטן של הצ'מבלו, וקדם לו בהתפתחות כלי המקלדת. הפקת הצליל דומה לזו של הצ'מבלו, אלא שהמיתר נפרט באמצעו, ולכן גון הצליל שונה וצלול יותר, ופעולת הקלידים איטית יותר. מיתרי הווירג'ינל מתוחים בניצב לקלידים, ולא במקביל להם, כמו בצ'מבלו. על כל פנים, ההבדל לא תמיד חד וחלק, ואותו כלי נקרא לפעמים בכמה שמות שונים.
קוריוז נפוץ מסביר ששמו של הווירג'ינל נבע מכך שנשים צעירות ולא נשואות באירופה היו נוהגות לנגן עליו כדי לבדר מחזרים ואורחים שבאו לבתי המשפחות שלהן, ומכאן שמו (virgin - בתולה). ככל הנראה הדבר אינו נכון שכן המילה "Virga" או "Virgula" בלטינית, משמעותה "ענף" או "מקל" ככינוי כנראה לפיסות העץ שהיו יורדות על המיתרים בלחיצה על הקלידים.
עיטור
מבחני התכנסות לטורים
מבחני התכנסות לטורים במתמטיקה נועדו לבדוק האם טור אינסופי מתכנס למספר סופי. מבחנים אלו אינם מראים מהו סכום הטור, אלא רק מכריעים בשאלת ההתכנסות. ההגדרה הפורמלית להתכנסות טור היא שסדרת הסכומים החלקיים מתכנסת.
על התכנסות הטור משפיע רק זנבו, כלומר ניתן להוריד מספר סופי של איברים מתחילת הטור מבלי לשנות את התכנסותו (אך ייתכן שתוך שינוי של הסכום שאליו יתכנס). על כן אין צורך שדרישות המבחנים יתקיימו עבור כל אברי הטור, אלא רק עבור כל האיברים החל ממקום מסוים.
תנאי הכרחי להתכנסות טורים.
תנאי הכרחי להתכנסות טורים הוא שהאיבר הכללי שואף ל-0 כאשר formula_1
דוגמה.
הטור formula_2 הוא טור מתבדר מכיוון שהאיבר הכללי שלו אינו מתכנס ל-0.
התנאי אינו מספיק, כפי שמדגים הטור ההרמוני שמתבדר.
טורים חיוביים.
טורים חיוביים, כלומר טורים שכל אבריהם לא שליליים, ניחנים בתכונה החשובה שסדרת הסכומים החלקיים שלהם היא סדרה מונוטונית עולה. מכיוון שכל סדרה מונוטונית עולה מתכנסת אם היא חסומה, כל שצריך להראות הוא שהסכומים החלקיים של הטור חסומים. עובדה זו מהווה בסיס למספר מבחנים. אם טור חיובי אינו חסום, הוא מתבדר לאינסוף.
מבחן ההשוואה.
מבחן ההשוואה הוא הכלי הבסיסי לבחינת התכנסות טורים, ומסתמך על השוואת הטור הנבדק לטור אחר, שכבר ידוע עליו אם הוא מתבדר או מתכנס.
מבחן ההשוואה הראשון.
יהיו formula_3 שני טורים אינסופיים. אם מתקיים החל ממקום מסוים formula_4, אז:
מבחן ההשוואה השני (הגבולי).
יהיו formula_9 שני טורים חיוביים אינסופיים, שעבורם הגבול formula_10 קיים. אז:
דוגמאות. נרצה לבדוק אם הטור האינסופי formula_22 מתבדר או מתכנס. נערוך את מבחן ההשוואה עם הטור ההרמוני:
formula_23
זאת בהתבסס על העובדה כי formula_24.
כעת ידוע כי הטורים מתבדרים ומתכנסים ביחד ומכיוון שהטור ההרמוני מתבדר, גם הטור שלנו מתבדר.
מבחן השורש של קושי.
יהי formula_6 טור חיובי אינסופי. נסמן formula_26.
(למעשה, קיים ניסוח כללי יותר: אם קיים formula_27 כך שכמעט לכל האיברים בסדרה מתקיים formula_31, אז הטור מתכנס).
מבחן המנה של ד'אלמבר.
יהי formula_6 טור אינסופי. נסמן formula_33.
(למעשה, קיים ניסוח כללי יותר: אם קיים formula_27 כך ש-formula_38 כמעט לכל איברי הסדרה, אז הטור מתכנס, ואם formula_39 כמעט לכל אברי הסדרה, אז הטור מתבדר).
מבחן השורש חזק יותר ממבחן המנה. כלומר - מבחן השורש מכריע עבור כל טור שעבורו מבחן המנה מכריע, אבל מבחן המנה לא בהכרח מכריע עבור כל טור שעבורו מבחן השורש מכריע. למשל, נסתכל על הטור הבא:
formula_40,
- ברור כי הטור מתכנס. עם זאת, אם נפעיל עליו את מבחן המנה, נקבל שני גבולות חלקיים לסדרת היחסים בין איברים עוקבים - formula_41 ו-formula_42 -ולפיכך הגבול של סדרת המנות אינו קיים. לעומת זאת, אם נפעיל את מבחן השורש, נקבל: formula_43, כלומר קיבלנו הכרעה בשאלת ההתכנסות של הטור.
הסיבה להבדל בין החוזק של שני המבחנים מתבהרת כאשר עושים שימוש באי שוויון הממוצעים כדי להראות שהגבול של מכפלת השורשים ה-n-ים של המנות של איברים עוקבים בטור (זוהי מכפלה טלסקופית, ולכן שווה לשורש ה-n-י של האיבר האחרון בטור), שהוא גם הגבול של הממוצע הגאומטרי של המנות, הוא קטן מהגבול של הממוצע החשבוני של המנות - ועל פי משפט צזארו, הגבול של הממוצע החשבוני של סדרה שווה לגבול שלה (במידה ויש התכנסות). נקודת המבט של אי שוויון הממוצעים מאפשרת להבין טוב יותר את ההבדל בין מבחן המנה למבחן השורש - בעוד שמבחן המנה לוקח בחשבון רק את היחס האחרון, ולפיכך רגיש לתנודתיות בערך הזה (כמו שקרה בדוגמה האחרונה), מבחן השורש מסתכל על התנהגות היחסים "באופן ממוצע", ולכן מטיב יותר לתאר את ההתנהגות של טורים עם איבר כללי מורכב.
עם זאת, במקרים רבים נוח יותר להשתמש במבחן המנה מאשר במבחן השורש.
מבחן האינטגרל.
יהי formula_44 מספר טבעי ו-formula_45 פונקציה חיובית מונוטונית יורדת המוגדרת בקטע formula_46, אזי סכום הסדרה החיובית formula_47 מתכנס אם ורק אם האינטגרל formula_48 הוא סופי. בפרט, אם האינטגרל מתבדר אז גם הטור מתבדר.
מבחן ראבה.
יהי formula_6 טור חיובי אינסופי.