מן הצורה של הטור נובע מיידית שערך הסכום באגף ימין נותר ללא שינוי כאשר formula_2 מוחלף ב-formula_3; ולפיכך המחזור 1 של הפונקציה formula_4 מתגלה ישירות כבר ממבט על הפיתוח לטור שלה. אייזנשטיין הראה שפונקציות אליפטיות, אשר הן פונקציות בעלות שתי מחזורים בלתי תלויים (מעל "R") במישור המרוכב, ניתנות לכתיבה על ידי ביטויים אנלוגיים לביטוי שתואר מקודם, כמו למשל:
כאשר formula_6 מספר טבעי ו-formula_7 הם מספרים מרוכבים כלשהם. בדומה למקרה החד-ממדי (שתואר מקודם), טור זה נותר ללא שינוי כאשר מחליפים את formula_8 ב-formula_9 או ב-formula_10. מאוחר יותר במהלך המאה ה-19 נתגלה שטור אייזנשטיין עם חזקה formula_11 הוא תבנית מודולרית ממשקל formula_11.
טורי אייזנשטיין עבור החבורה המודולרית.
יהי formula_13 מספר מרוכב עם חלק מדומה חיובי. נגדיר את טור אייזנשטיין ההולומורפי formula_14 ממשקל formula_11 על ידי הטור הבא:
טור זה מתכנס בהחלט לפונקציה הולומורפית של formula_13 בחצי המישור העליון. זוהי עובדה מפתיעה שטור אייזנשטיין הוא תבנית מודולרית. למעשה, תכונת המפתח שלו היא שסכומו מותמר באופן מסוים תחת פעולת formula_18. באופן מפורש יותר, אם formula_19 ומתקיים formula_20, אז:
הוכחה.
נרשום את טור אייזנשטיין החדש, שבו formula_13 מוחלף ב-formula_23:
אם formula_20 אז:
כלומר לכל זוג סדור formula_27 יש מקור יחיד formula_28, כך ש-
היא התאמה חד-חד ערכית ועל formula_30 → formula_30. כלומר:
כך שבסיכום הכל, אם formula_20 אז:
ו-formula_14 הוא על כן תבנית מודולרית ממשקל formula_11.
הערה: נשים לב גם שהוכחה זאת מצביעה למעשה שטורי אייזנשטיין מן הצורה formula_37 מתאפסים זהותית עבור משקלים שאינם כפולה שלמה של 4; formula_38 הוא תבנית מודולרית ממשקל formula_39 במשתנה formula_13, ולכן טרנספורמציה של formula_41 אל עצמו על ידי ההצבה formula_42 (טרנספורמציה זאת משתייכת לחבורה המודולרית) מתמירה את ערך טור אייזנשטיין באופן הבא: formula_43. מכיוון ש-formula_44 מקבלים שטרנספורמציה זו מותירה את ערך הטור בעינו, כך ש- formula_45. עבור
formula_46 מקבלים formula_47, מה שגורר מיידית formula_48.
סכימת טורי אייזנשטיין.
על אף שעבודתו זו כלל לא פורסמה בזמנו, קרל פרידריך גאוס היה הראשון לחשב סכומים של טורי אייזנשטיין, כפי שעולה מהערה 61 מיומנו. באנלוגיה לפתרון בעיית בזל, שם הקבוע formula_49 משחק תפקיד מרכזי בחישוב ערכי פונקציית זטא formula_50 עבור ערכים זוגיים של formula_51, גילה גאוס שקבוע הלמניסקטה formula_52 משחק תפקיד מרכזי בסכימה של טורי אייזנשטיין. גאוס מצא שהערכים של formula_53, המייצגים את הטור:
(כאשר formula_55 הם השלמים הגאוסיים ו-formula_56 הוא טור אייזנשטיין ממשקל formula_57) שווים לקבוע רציונלי כפול חזקה מתאימה של קבוע הלמניסקטה - formula_58. באמצעות התאוריה שלו על פונקציות אליפטיות, הוא סכם מקרים פרטיים של טורי אייזנשטיין, ומצא למשל כי:
וכו'. אולם, המתמטיקאי הראשון שהגיע לממצאים אלו (באופן בלתי תלוי) וגם פרסם אותם היה אדולף הורוויץ, לקראת סוף המאה ה-19. הורוויץ מצא ש-:
כאשר formula_62 נקראים מספרי הורוויץ וערכיהם הראשונים הם: formula_63. מספרי הורוויץ formula_64 מתאפסים עבור ערכים של formula_39 שאינם כפולות שלמות של 4 בגלל תכונות הסימטריה והמודולריות של טורי אייזנשטיין (הוכחה לכך הובאה מקודם).
מוריץ סטילר
מוריץ (משה) סטילר (Mauritz Stiller; 17 ביולי 1883, הלסינגפורס, הדוכסות הגדולה של פינלנד, האימפריה הרוסית – 18 בנובמבר 1928, סטוקהולם, שוודיה) היה שחקן, תסריטאי ובמאי יהודי, יליד פינלנד, מחלוצי הראינוע השוודי. בשנים 1912–1927 ביים 51 סרטים והופיע כשחקן בשמונה הפקות. נודע כמי שגילה וקידם את השחקנית גרטה גרבו.
קורות חייו ופועלו.
מוריץ (משה) סטילר נולד בפינלנד למשפחה יהודית שמוצאה בפולין וברוסיה. בילדותו התייתם מהוריו וגדל אצל ידידי המשפחה. אין ידיעות ברורות על לימודיו. בגיל 16 החל את דרכו כשחקן בתיאטרון השוודי בהלסינקי ובהמשך פעל כבמאי. סטילר עבר לשוודיה מפינלנד כדי להימלט מהגיוס הכפוי לצבא רוסית הצארית. ב-1910, אחרי סגירת "התיאטרון האינטימי" של סטרינברג בסטוקהולם , השתמש סטילר במבנה להעלאת מחזות בבימויו ושינה את שמו ל-Lilla Teatern (כונה גם Lillan) – "התיאטרון הקטן".
ב-1912 נשכר על ידי קרל מגנוסון לכתוב ולביים סרטים קצרים לצד ויקטור שיוסטרום . לשניהם מיוחסת פריצת הדרך של הראינוע השוודי.
הסרטים שבחר לביים נגעו בתחומים שונים – מריאליזם חברתי ועד עלילות היסטוריות ורומנטיות. ראויות לציון הגירסות החדשניות והפיוטיות שלו לרומנים האפיים של סלמה לגרלף. סרטו מ-1924, "אגדת יסטה ברלינג" , שנעשה לפי ספרה של לגרלף מ-1891 והופק בכיכובה של גרטה גוסטפסון בת התשע-עשרה, הקנה לו מוניטין בינלאומיים.
סטילר הגיע ב-1925 לארצות הברית עם גרטה גרבו בת טיפוחיו בהזמנת לואי ב. מאייר, ממקימי חברת הסרטים מטרו גולדווין מאייר. הוא הספיק לביים שלושה סרטים והשתתף בבימוי סרטים נוספים, אך לא מצא את דרכו בשיטת האולפנים ההוליוודית, שלא איפשרה לו שליטה מלאה בהפקה. אחרי מחלוקות עם ראשי מג"מ וחברת סרטי פרמאונט חזר ב-1928 לשוודיה ונפטר באותה שנה.
סטילר לא הקים משפחה. הוא נקבר בחלקה היהודית בבית הקברות הצפוני בסטוקהולם.
ב-1960 הונצח בשדרת הכוכבים של הוליווד (1713 Vine Street). כתיב שמו שובש (Maurice Diller) והטעות תוקנה רק ב-1988. אנדרטה לזכרו הוקמה בעיר קריסטנסטאד , שבה פעל אולפן הסרטים השוודי הראשון (Svenska Biografteatern), ובה התחיל סטילר את דרכו בראינוע.
קישורים חיצוניים.
מוריץ סטילר; סרט תיעודי מ-1987, באורך 57 דקות, על חייו ועבודתו
פרדיננד אומורווה
פרדיננד אומניאלה אומורווה (באנגלית: Ferdinand Omanyala Omurwa; נולד ב-2 בינואר 1996 בניירובי שבקניה) הוא אתלט קנייתי, אלוף אפריקה (2022) בריצת 100 מטר.
קריירה מקצועית.
בשנת 2017 הושעה אומורווה מפעילות למשך 14 חודשים בשל עבירת סימום, לאחר שחומר אסור נמצא בגופו. בשנת 2019 זכה אומורווה באליפות קניה בריצת 100 מטר.
ב-30 במרץ 2021 קבע אומורווה שיא קניה חדש בריצת 100 מטר לאחר שזכה עם תוצאה של 10.01 שניות בתחרות שנערכה בלאגוס שבניגריה. באולימפיאדת טוקיו 2020 שנערכה בשנת 2021 שבר אומורווה פעם נוספת את שיא קניה בריצת 100 מטר, עם תוצאה של 10.00 שניות במקצה חצי הגמר, שלא הספיקה לו על-מנת להעפיל למקצה הגמר. בחודש אוגוסט הוא שבר פעם נוספת את שיא קניה, עם תוצאה של 9.86 שניות, והפך לקנייתי הראשון ששובר את מחסום עשר השניות. ב-18 בספטמבר הוא שבר את שיא אפריקה בריצת 100 מטר בתחרות שנערכה בניירובי שבקניה, עם תוצאה של 9.77 שניות.
אלוף אפריקה.
אומורווה זכה במדליית זהב בריצת 100 מטר באליפות אפריקה באתלטיקה שנערכה בסנט פייר שבמאוריציוס, עם תוצאה של 9.927 שניות בגמר.
פרס דוד כהן
היילנד פארק (אילינוי)
היילנד פארק (באנגלית: Highland Park) היא עיר הממוקמת במחוז לייק שבמדינת אילינוי אשר בארצות הברית. לפי מפקד האוכלוסין האמריקני של שנת 2010 הכילה העיר באותה העת 29,763 תושבים, וצפיפות אוכלוסין של העיר הייתה 939.47 נפש לקמ"ר.
היילנד פארק, אשר משתייכת ליישובי אזור הנורת' שור, מאופיינת בעושרה ובקהילה היהודית הגדולה יחסית שנמצאת בה.
היילנד פארק כוללת מספר אטרקציות, כולל רובע קניות במרכז העיר ופסטיבל רוויניה אשר פעיל ברוב ערבי עונת הקיץ, ואשר מארח קונצרטים מז'אנרים רבים ושונים על מדשאה בגודל 20,000 מ"ר ובביתן המכיל 3,500 מושבים, או באודיטוריום סגור קטן יותר להופעות פחות פופולריות.
גאוגרפיה.
לפי לשכת מפקד האוכלוסין של ארצות הברית העיר משתרעת על פני 31.68 קילומטר רבוע, מתוכם 31.6 קילומטר רבוע הם שטחי קרקע ו-0.09 קמ"ר הם שטחי מים.
דמוגרפיה.
לפי מפקד האוכלוסין של שנת 2010 באותה העת הכילה היילנד פארק 29,763 תושבים. צפיפות האוכלוסין הייתה 939.47 תושבים לקמ"ר. מתוך 29,763 תושבי היילנד פארק 91.05% היו לבנים, 1.84% היו אפרו-אמריקאים, 0.18% היו אינדיאנים, 2.9% היו אסייתים, 0.03% היו מאיי האוקיינוס השקט, 2.51% היו מגזעים אחרים, ו-1.48% השתייכו לשני גזעים או יותר. מכלל אוכלוסיית היישוב 7.28% היו היספנים או לטינים מכל גזע.
מיקולאס אלקנה
מיקולאס אלקנה (בליטאית: Mykolas Alekna; נולד ב-28 בספטמבר 2002 בליטא) הוא אתלט ליטאי, סגן אלוף העולם (יוג'ין 2022) בזריקת דיסקוס.
ביוגרפיה.
אלקנה הוא בנו של, וירגיליוס אלקנה, אלוף האולימפי ואלוף העולם בזריקת דיסקוס.
אלוף העולם עד גיל 20.
באליפות העולם עד גיל 20 שנערכה בניירובי, קניה זכה אלקנה במדליית זהב בזריקת דיסקוס בתוצאה של 64.04 מטר.
סגן אלוף עולם.
באליפות העולם שנערכה ביוג'ין, אורגון, ארצות הברית ב-19 ביולי אותה שנה הוא זכה במדליית כסף בזריקת דיסקוס בתוצאה של 69.27 מטר, אחרי כריסטיאן צ'ה שקבע שיא אליפות חדש של 71.13 מטר ולפני חברו לנבחרת אנדריוס גודז'יוס (67.55 מטר).
כריסטיאן צ'ה
כריסטיאן צ'ה (בסלובנית: Kristjan Čeh; נולד ב-17 בפברואר 1999 בפטוי שבסלובניה) הוא אתלט סלובני אלוף העולם (יוג'ין 2022) בזריקת דיסקוס.
ביוגרפיה.
באליפות אירופה עד גיל 23 שנערכה ביבלה שבשוודיה זכה אלקנה במדליית זהב בזריקת דיסקוס בתוצאה של 63.82 מטר.
באליפות העולם שנערכה בדוחה שבקטר סיים במקום 31 בתוצאה של 59.55 מטר.
באולימפיאדת טוקיו 2020 סיים צ'ה במקום חמישי בתוצאה של 66.62 מטר.