יהי formula_29 וקטור בליבה. אזי formula_30 לכל קואליציה formula_31. לכן, formula_29 מקיים את כל האילוצים הקיימים בבעיה הדואלית. כמו כן, ערך פונקציית המטרה ב-formula_29 הוא formula_34. לכן, formula_35 כנדרש.
שלב רביעי.
בשלב זה נראה את הכיוון ההפוך, כלומר אם formula_28 אז הליבה אינה ריקה.
יהי formula_29 וקטור אפשרי בבעיה הדואלית שבו מתקבל המינימום, כלומר formula_38. מכיוון ש-formula_29 מקיים את האילוצים של הבעיה הדואלית, הוא סביר קבוצתית. נראה כי formula_40. מכיוון שההנחה היא ש - formula_28, מתקיים כי formula_42. עבור formula_43 האילוץ formula_44 הוא למעשה formula_45, כלומר נקבל כי formula_34. לכן, formula_29 נמצא בליבה, כלומר הליבה אינה ריקה, כנדרש.
שלב חמישי.
לסיום ההוכחה נראה כי formula_48 אם ורק אם תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים.
ממבט על הבעיה הפרימאלית formula_48 אם ורק אם לכל פתרון אפשרי formula_50 מתקיים formula_51, וזהו בדיוק תנאי בונדרבה-שפלי. בשלב השני הוכחנו כי formula_52 ובשלבים שלוש וארבע הראינו כי formula_35 אם ורק אם הליבה אינה ריקה.
בסה"כ קיבלנו כי הליבה אינה ריקה אם ורק אם מתקיים תנאי בונדרבה-שפלי. _______________________________________________________
formula_54
ברכת השיר
ברכת השיר היא ברכה הנאמרת בסיום ליל הסדר לאחר קריאת ההלל. ישנן דעות חלוקות באשר לזהותה של הברכה, אשר ראשיתן בתקופת האמוראים ולמעשה לא באו לידי הכרעה עד היום, ובהגדות השונות ישנם מנהגים שונים באשר לברכה.
מקור הברכה ופירושי האמוראים.
המשנה במסכת פסחים מציינת כי "כוס רביעי גומר עליו את ההלל ואומר עליו ברכת השיר". בתלמוד שם נחלקו שני אמוראים מה היא "ברכת השיר"; רב יהודה סבר שהיא ברכת יהללוך (ברכה הנאמרת באופן רגיל אחרי קריאת ההלל) ורבי יוחנן סובר שהיא תפילת נשמת כל חי.
שיטות הראשונים והמנהגים כיום.
הראשונים נחלקו הן בפירוש דברי האמוראים והן כיצד יש להכריע ביניהם. ישנן ארבע שיטות עיקריות שהובאו בראשונים כפי שיפורט להלן; למעשה כיום קיימים רק שני מנהגים - בנוסח אשכנז נוהגים כמו השיטה השלישית ובכל שאר הנוסחים כמו השיטה הרביעית, ברם בעבר כל השיטות נהגו בפועל בקהילות מסוימות.
ברכת השיר היא ברכת "יהללוך".
רב עמרם גאון בסידורו פוסק שההלכה היא כשיטת רב יהודה, דהיינו מברכים אך ורק את ברכת יהללוך ומציין שכך נוהגים בשתי ישיבות שבבבל (ישיבת סורא וישיבת פומבדיתא) וכן מציין רב סעדיה גאון בסידורו. גם הרי"ף מציין שמנהג העולם כרב יהודה, ואף הרמב"ם פוסק שלאחר אמירת ההלל יש לומר את ברכת יהללוך ולאחריה אומרים את הלל הגדול. ר' אברהם בן נתן בספר המנהיג מזכיר שכן היה בזמנו מנהגם של יהודי ספרד ויהודי פרובנס (צרפת הדרומית).
ברכת השיר היא שתי ברכות.
לעומת שיטה זו, אצל חכמי צרפת הצפונית של אותה תקופה אנו מוצאים שיטה אחרת, לפיה אמרו את שתי הברכות. הרשב"ם בפירושו לתלמוד מציין כי ר' יוחנן אינו חולק על רב יהודה, אלא כוונתו שיש להוסיף את נשמת כל חי על ברכת יהללוך, שכן ברכת יהללוך נאמרת בכל מקרה אחרי קריאת ההלל, לפיכך לא מסתבר שדברי המשנה ב"ברכת השיר" מכוונים אליה, אלא לתוספת ייחודית לפסח. לפי שיטה זו כך הוא הסדר: לאחר גמר ההלל אומרים את ברכת יהללוך, לאחר מכן אומרים את ההלל הגדול ולאחריו את נשמת כל חי. כשיטה זו מובא גם במחזור ויטרי. התוספות אף הם מזכירים שיטה זו כמנהג הנפוץ ור' אברהם בן נתן הירחי כמנהגם של יהודי צרפת (הצפונית). גם בעל שיבולי הלקט, מחשובי חכמי יהדות איטליה מציין כי כך נהוג אצלם. מנהגם של יהודי צרפת הצפונית התבטל עם גירושם בשנת 1394, אך השתמר אצל יהדות איטליה עד לפני כמה מאות שנה.
שתי ברכות וחתימה בנשמת.
התוספות מציינים כי המנהג במקומם היה לומר את שתי הברכות. ברם הם מביאים את מנהגו של ר' חיים כהן שלא היה חותם בברכה את יהללוך אלא בנשמת כל חי בלבד, שכן כתוב "ברכת השיר" ומשמע ברכה אחת ולא שתי ברכות. אף בעל הטורים פוסק כר' חיים כהן להלכה ומציין שכך היה מנהגו של אביו, הרא"ש, וזהו המנהג המקובל בנוסח אשכנז עד היום, וכן הוא בנוסח איטליה המאוחר.
וריאציה אחרת של שיטה זו היא מנהג הגר"א שלא לומר יהללוך כלל.
שתי ברכות וחתימה ביהללוך.
לעומת שיטתו של הרמב"ם במשנה תורה, בפירושו על המשנה (על פי תרגומו של הרב יוסף קאפח) הוא כותב כי ברכת השיר "היא נשמת כל חי עד סופה. וכן גם יהללוך עד סופה נקראת ברכת השיר. ואם צירף שתיהן הרי זה משובח". לשון זו עמומה במקצת, אך הרב קאפח מדייק ממנה כי יש לחתום חתימה אחת. שיטה דומה לשיטה זו מביא ר' יוסף קארו בבית יוסף בשם ר' מאיר ן' עראמה: "גומר את ההלל ואינו אומר יהללוך כלל, ואחר גמר ההלל אומר הלל הגדול ונשמת כל חי וישתבח עד ומעולם עד עולם אתה אל ואז יאמר יהללוך עד מלך מהולל בתשבחות", וכן הוא פוסק בשולחן ערוך, וכשיטה זו נוהגים כיום בכל קהילות הספרדים והתימנים ואף בנוסח ספרד של האשכנזים.
בשתיית חמש כוסות.
כאשר שותים חמש כוסות ישנן דעות אחרות באשר לאמירת ברכת השיר. יש שנוהגים במקרה כזה לומר יהללוך אחר ההלל ולשתות כוס רביעית, לאחר מכן, לומר הלל הגדול ו"נשמת כל חי" על הכוס החמישית, ולשתותה. במחזור שד"ל, הסדר הוא כדלהן: מברך על כוס רביעי אחרי הלל. אחר כך מוזגין כוס חמישי, אומרים עליו הלל הגדול, נשמת, אז רוב ניסים, אומץ גבורותיך, כי לו נאה, ואחר כך מברכים עוד הפעם בורא פרי הגפן על כוס החמישי.
מחצבות חפציבה
מחצבות חפציבה היו מחצבות לרגלי הר הגלבוע שסיפקו חומרי גלם לחברת אבן וסיד. מדובר בשני אתרי חציבה, אחד שסיפק שיש בין השנים 1942–1952, והשנייה, מחצבת סוגי סלע שונים שנחנכה ב-1950 על ידי גבריאל רפפורט ("גברוש"), איש בית אלפא, שעדיין פועלת בחלקה. המחצבה הוכרה כאתר מורשת על ידי המועצה לשימור אתרי מורשת בישראל ועל ידי תוכנית ציוני דרך.
מחצבת השיש.
בשנת 1939, עם פרוץ מלחמת העולם השנייה נפסק ייבוא השיש מאיטליה, שהפכה למדינת אויב. במקביל, סיור של אנשי "אבן וסיד" גילה בגלבוע מחשוף שיש אמיתי. הצוות, בראשות זאב פל, יצא להשתלמות באיטליה לחציבת שיש והביא עמו מכונת חיתוך המבוססת על כבל פלדה בעובי 4 מ"מ הנע על מערכת גלגלות 24 שעות ביממה וחותך את הסלע תוך חיכוך מוגבר הנוצר על ידי שפיכה מתמדת של חול רטוב על מקום הניסור. הנתחים הוסעו על גבי קרוניות, שנעו על גבי מסילה. בנוסף הוקמו במקום מבני-שירות כמגדל מים, מתקן להובלת חול ומתקן לאספקת חשמל. המחצבה פעלה עד שנת 1952, בה הפכה לבלתי-כלכלית עם חידוש הייבוא מאיטליה. המחצבה ננטשה ובאתרה נותר רק קידוח-מים המספק עד היום שפע מים מליחים לבריכות דגים באזור.
יוסי חצור ויעקב מימרן תיארו מבחינה גאולוגית את תופעת הופעת השיש במקום:
לאחר שמחצבות השיש הפסיקו לתפקד וננטשו, לקחה על עצמה הקרן לשיקום מחצבות את פעילות השיקום הנופי. אתר למבקרים נפתח לציבור במרץ 2009 והוא מיוחד לתצוגה גאולוגית. בכך היו המחצבות לגן גאולוגי ומצפורים לנוף עמק יזרעאל (אחד מהם, "מצפה גברוש" על שם גבריאל רפפורט). האתר הוא המקום היחיד בארץ בו נחשפו שכבות שיש אמיתי. במסגרת שיקום האתר נחנכה עמדת הכבל שהניעה את המכונות לחיתוך השיש – ששוחזרה ביוזמת המועצה לשימור אתרים.
מחצבות חפציבה-בית אלפא.
מחצבת חפציבה-בית אלפא בצוק הגלבוע, מעל בית אלפא מספקת מגוון מוצרים לבנייה במשך שנים, בהם חול, אבן גיר קשה גרוסה לגדלים שונים, בזלת ועוד. המחצבה נוסדה כפתרון להרחבת ענפי משק בית אלפא מיד לאחר מלחמת העצמאות, ביוזמת גבריאל רפפורט והתרחבה גם אל אזורי גן השלושה ורמת יששכר.
רבינו שלמה יצחקי
מרדכי הרטל
מרדכי הרטל (נולד ב-11 בספטמבר 1954) סופר ומשורר ישראלי.
ביוגרפיה.
נולד ברומניה בעיר יאשי. בשנת 1964 עלה לישראל עם משפחתו. כחודשיים לאחר העלייה מת אביו. הוא התגורר עם משפחתו בשכונת נווה דוד בחיפה. בוגר תיכון עירוני א' בעיר. לאחר סיום השירות הצבאי נרשם לאוניברסיטת חיפה ולמד בחוג לספרות. כבר משנות ה-80 החל לפרסם שירים ומשנות ה-90 החל לכתוב סיפורים. בשנת 2010 התפרסם ספרו החדש בשם "ההריון הבא יהיה במינכן" בהוצאת עיתון 77 שגם הוא קובץ סיפורים קצר.
כיום הוא מורה לספרות בבית הספר עירוני ג' שבחיפה.
בנו הצעיר, אבינועם הרטל, הוא מורה להיסטוריה ומשורר בעצמו.
מקדש ג'ונגמיו
דין הדם
דין הדם (בלטינית: Jus sanguinis), הוא הדרך הקדומה ביותר לקביעת אזרחותו של פרט ולהגדרת מדינת לאום. דין הדם מגדיר את ההשתייכות ללאום או הזכות לקבלת אזרחות על פי האתניות של הפרט ובייחוד מוצאו האתני ושפתו. החלופה לדין הדם היא דין הקרקע.
המשפט הרומי היה מבוסס על דין הדם, עד שבמאה השלישית ניתנה אזרחות לכל האנשים החופשיים ברחבי האימפריה הרומית, ובכך נעשה מעבר לדין הקרקע (פרט לעבדים, נשים וילדים). בימי הביניים נסוג דין הקרקע ושב דין הדם, אך עם היווצרות המדינות המודרניות ובמיוחד לאחר המהפכה הצרפתית והמהפכה האמריקאית זכה דין הקרקע לפופולריות מחודשת ובמדינות רבות התקבל במקום דין הדם, אך לרוב לצידו.
בתקופה המודרנית טוהר הדם שימש אידאולוגיות בעלות מאפייניים גזעניים, כדוגמת גרמניה הנאצית ואיטליה הפאשיסטית, אולם גם מדינות כדוגמת ארצות הברית עשו שימוש בדין הדם כשקבעו מכסות הגירה אליהן לפי הרכב אוכלוסייה מסוים. לעומת הדוגלים בדין הדם, מדינות דוגמת צרפת הרפובליקנית עשו שימוש בלבדי בדין הקרקע והתעלמו לחלוטין מקיומן של קבוצות אתניות. כאמור, במרבית המדינות מקובל להשתמש בשתי הדרכים, עם דגשים תואמים לצרכים המיוחדים של המדינות השונות.
דרך קיבוץ גלויות
דין הקרקע