מיכאל לוי רודקינסון
בסתיו ימי הביניים
יוהאן הוזינחה
מעטפת (מתמטיקה)
בגאומטריה, המעטפת (באנגלית: Envelope) של משפחה של עקומים במישור היא העקום אשר משיק לכל עקום במשפחה הזו בנקודה כלשהי. באופן קלאסי, ניתן לחשוב על נקודה על המעטפת כנקודת החיתוך של שני עקומים "סמוכים", כלומר הגבול של נקודות החיתוך של עקומים סמוכים. המעטפת של משפחת העקומים "תוחמת" את משפחת העקומים, במובן שכל נקודה על כל עקום כלשהו השייך למשפחה נמצאת בתוך האזור התחום על ידי המעטפת. הרעיון הזה יכול להיות מוכלל למעטפת של משטחים במרחב, וכך הלאה לממדים גבוהים יותר.
באופטיקה גאומטרית, הקאוסטיקה היא המעטפת של משפחה של קרני אור, כפי שניתן לראות באיור.
תיאור מתמטי: מעטפת של משפחה של עקומים.
נניח שכל עקום "C""t" במשפחה נתון כפתרון של המשוואה "f""t"("x", "y")=0
(ראו עקום בלתי מפורש), כאשר "t" הוא פרמטר. נכתוב "F"("t", "x", "y")="f""t"("x", "y") ונניח ש-"F" גזירה.
המעטפת של המשפחה "C""t" מוגדרת כאוסף הנקודות עבורם מתקיים :formula_1 עבור ערך כלשהו של t.
משמעות התנאי הראשון היא שהנקודה (x,y) נמצאת על העקום "C""t", ומשמעות התנאי השני היא שכאשר נעים אל העקום "C""t+dt" הנקודה (x,y) נותרת קבועה במקומה, דהיינו (x,y) היא נקודת החיתוך של העקומים "C""t" ו-"C""t+dt", כלומר הגבול של נקודות החיתוך של העקום "C""t" עם עקומים סמוכים. התנאי השני אינו מובן מאליו כלל וכלל שכן עבור נקודות אחרות (שלא על המעטפת) מתקיים שהשינוי ב-F(t, x, y) שווה לאפס עבור שינוי משולב ב-t, x ו-y.
מקרה פרטי חשוב הוא כאשר "F"("t", "x", "y") הוא פולינום ב-t. מקרה זה כולל, באמצעות סילוק המכנים, את המקרה ש-F(t, x, y) הוא פונקציה רציונלית ב-t. במקרה זה, מן ההגדרה ניתן להסיק ש-t הוא שורש כפול של F(t, x, y), ומשוואת המעטפת ניתנת למציאה באמצעות השוואה בין הדיסקרימיננטה של F ל-0.
לשם דוגמה, יהי "C""t" הקו הישר אשר משוואתו היא מהצורה:
formula_2. אם נסלק את השברים נקבל: :formula_3. כלומר עבור כל נקודה (x,y) יש לכל היותר שני ערכים של t עבורם הישר המתאים עובר דרך הנקודה (x,y), ואינטואיציה גאומטרית עוזרת להבין זאת, כי קיים בוודאות ישר אחד שעובר דרך הנקודה (הישרים מכסים יחדיו את כל האזור התחום על ידי המעטפת) ולאחר מכן ניתן "לנוע" לאורך הישר הנתון באמצעות נקודות החיתוך עם ישרים סמוכים עד שמגיעים לנקודה הנ"ל. אולם, נקודות (x,y) הנמצאות על המעטפת מוגדרות כגבול של נקודות חיתוך של עקומים "סמוכים" ולפיכך לכל נקודה על הגבול יש בדיוק ישר אחד שעובר דרכה. המשמעות היא שלמשוואה הריבועית לעיל יש פתרון יחיד t, ולפיכך המעטפת היא אוסף כל הנקודות (x,y) עבורם למשוואה הריבועית: formula_4 יש פתרון יחיד. לפיכך משוואת המעטפת היא הדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית שווה לאפס::formula_5.
דוגמאות.
הוכחה: משפחת הישרים היא אוסף כל הישרים שמשוואתם מהצורה formula_9 כאשר t בין 0 ל-1 (כולל). המעטפת של משפחת הישרים היא אוסף כל הנקודות שמקיימות formula_10. לכן:
formula_11
לכן, אחרי העברת אגפים והוצאת מכנה משותף, נקבל: formula_12
ומהצבה בביטוי ל-Y כפונקציה של X נקבל: formula_13
ומכאן formula_14, וזוהי משוואת האסטרואידה.
יישומים.
משוואות דיפרנציאליות רגילות.
מעטפות גאומטריות קשורות למחקר של משוואות דיפרנציאליות רגילות, ובאופן מיוחד בהקשר של פתרונות סינגולריים למד"ר. ניקח, כדוגמה, את המשפחה בת פרמטר אחד של קווים משיקים לפרבולה "y" = "x"2. אלה מתקבלים באמצעות המשפחה היוצרת "F"("t",("x","y")) = "t"2 – 2"tx" + "y". הצבת רמת האפס "F"("t"0,("x","y")) = 0 נותנת את המשוואה של המשיק לפרבולה בנקודה ("t"0,"t"02). המשוואה "t"2 – 2"tx" + "y" = 0 ניתנת תמיד לפתרון בצורה של y כפונקציה של x ולכן:
הצבה :formula_16
נותנת את המד"ר:
באופן לא מפתיע, "y" = 2"tx" − "t"2, כולם פתרונות למד"ר הזו. כמו כן, גם המעטפת של המשפחה בת-פרמטר אחד של קווים אלו, שהיא הפרבולה "y" = "x"2, היא פתרון למד"ר הזו.
קאוסטיקות.
באופטיקה גאומטרית, הקאוסטיקה היא המעטפת של משפחה של קרני אור. בתמונה זו ישנה קשת של מעגל. קרני האור מגיעות ממקור "באינסוף" ולכן מגיעות מקבילות. כשהן פוגעות בקשת המעגלית קרני האור מפוזרות בכיוונים שונים לפי חוק ההחזרה. כשקרן אור פוגעת בקשת בנקודה האור יוחזר כאילו הוא היה מוחזר על ידי הקו המשיק לקשת בנקודה זו. המעטפת של הקווים הללו נקרא הקאוסטיקה הרפלקטיבית. קאוסטיקה רפלקטיבית תהיה מורכבת באופן גנרי מנקודות חלקות ונקודות חוד (cusp).
מנקודת המבט של חשבון הווריאציות, עקרון פרמה (בצורתו המודרנית) קובע כי קרני האור הם אקסטרמלים של פונקציונל האורך:
לאורך העקום החלק γ ב-["a","b"], עם נקודות קצה γ("a") ו-γ("b"). הקאוסטיקה הנוצרת על ידי נקודה נתונה "P" (בתמונה הנקודה היא באינסוף) היא האוסף של conjugate points ל-"P".
עקרון הויגנס.
אור עשוי לנוע דרך תווך לא איזוטרופי ולא הומוגני בקצבים שונים בתלות בכיוון ונקודת המיקום ההתחלתי של הקרן. השפה של האזור אליו אור יכול לנוע מנקודה נתונה q אחרי זמן t נקראת חזית הגל אחרי זמן t, ומסומנת כאן Φq("t"). היא מורכבת בדיוק מאותן הנקודות שניתן להגיע אליהן מ-q בזמן "t" באמצעות תנועה במהירות האור (שעשויה לשתנות בחומר). עקרון הויגנס מאשר שאוסף חזיתות הגלים (Φq0("s" + "t הוא המעטפת של משפחה של חזיתות גלים Φq("s עבור q ∈ Φq0("t"). באופן כללי יותר, הנקודה q0 יכולה להיות מוחלפת בכל עקום, משטח או קבוצה סגורה במרחב.
קונג פו פנדה 3
קונג פו פנדה 3 (באנגלית: Kung Fu Panda 3) הוא סרט קומי בהנפשה ממוחשבת של דרימוורקס אנימציות. הוא בוים בידי ג'ניפר יו נלסון, נכתב על ידי ג'ונתן אייבל וגלן ברגר, הופק על ידי מליסה קוב והמפיק בפועל הוא גיירמו דל טורו. לסרט קדמו הסרטים "קונג פו פנדה" (2008) ו"קונג פו פנדה 2" (2011). הסרט יצא ב-29 בינואר 2016.
תקציר העלילה.
פו מתאחד עם אביו הביולוגי האמיתי וחוזר למקום הולדתו – גן עדן סודי מלא בפנדות כמוהו וכמו אביו – והוא אינו מתאים לו. הוא פוגש את מיי מיי, דובת פנדה יפהפייה איתה שודך. אבל אז, כשרוח מרושעת ומסתורית הנקראת קאי מטילה אימה ברחבי סין וגונבת את כוחותיהם של מאסטרי קונג פו מובסים שניצחה, פו חייב ללמד ולאמן כפר שלם של פנדות מגושמות כמוהו, על מנת ליצור קבוצת לוחמים, להתייצב מול קאי ולהביסה ולהציל את סין כולה מפניה.
הפקה.
בשנת 2010 הודיע מנכ"ל דרימוורקס ג'פרי קצנברג, כי יצאו 6 סרטים של קונג פו פנדה. ביולי 2012, צאת הסרט אושרה באופן רשמי על ידי ביל דאמאשק, סמנכ"ל קריאייטיב בדרימוורקס אנימציות.
הסרט ייעשה כהפקה משותפת בין דרימוורקס אנימציות לאוריינטל דרימוורקס, אולפן סיני משאנגחאי, שנוסד ב-2012 כשותפות בין דרימוורקס אנימציות למספר חברות סיניות. שליש מהסרט ייוצר בסין, ושאר הסרט בארצות הברית. היוצרים עובדים בשיתוף פעולה הדוק עם הצנזורה הסינית כדי להבטיח שהסרט יתקבל במדינה.
בספטמבר 2012, הוכרז כי קונג פו פנדה 3 יצא ב-18 במרץ 2016. הסרט יבויים בידי ג'ניפר יו נלסון, יופק על ידי מליסה קוב, התסריט ייכתב על ידי יונתן אייבל וגלן ברגר וגיירמו דל טורו יהיה המפיק בפועל. ב-9 באפריל 2013, הוכרז כי תאריך היציאה של הסרט הוקדם מ-18 במרץ 2016 ל-23 בדצמבר 2015. כמו כן, הוכרז כי בריאן קרנסטון, מאדס מיקלסן ורבל וילסון יצטרפו לצוות המדבבים של הסרט. בדצמבר 2014, תאריך יציאת הסרט הוחזר ל-18 במרץ 2016 על מנת לא להתחרות בסרט . באפריל 2015, התאריך שונה ל-29 בינואר 2016.
ב-18 ביוני 2015 שוחרר הטיזר טריילר הראשון של הסרט לרשת היוטיוב מפי אולפני ההנפשה של דרימוורקס.
מוזיקה.
את המוזיקה לסרט כתב והלחין הנס צימר, שכתב את המוזיקה לשני הסרטים הקודמים יחד עם ג'ון פאוול, שלא המשיך בעבודתו.
קישורים חיצוניים.
ביקורות:
כח המחץ
כח וידאו
כח גדעון
כח ג'י
קצה המחר
קצה המחר (באנגלית: Edge of Tomorrow) הוא סרט פעולה-מדע בדיוני אמריקני בכיכובם של טום קרוז ואמילי בלאנט. הסרט בוים על ידי דאג לימן והוא עיבוד לנובלה היפנית "צריך רק להרוג" (ביפנית: オール・ユー・ニード・イズ・キル) מאת הירושי סאקוראזאקה.
תקציר העלילה.
עלילת הסרט מתרחשת בעתיד הלא רחוק כאשר גזע חייזרים עוין המכונה "מימיקס" (חקיינים) פולש לכדור הארץ, מצליח להשתלט על מרבית יבשת אירופה, ומנסה כעת להשמיד את המין האנושי. צבאות העולם מתקשים לעמוד במתקפת החוצנים. הסרט נפתח בסיקור תקשורתי ממנו למדים שהחייזרים תמיד חזו מראש את מהלכי צה"מ (צבא ההגנה המאוחד) עד לקרב בעיר ורדן שרק בו צה"מ הצליח לנצח בקרב, ומשם, הוא החל להתכונן לצליחה של תעלת למאנש בחושבו שיוכל לנצח במלחמה.
הקצין האמריקני מייג'ור ויליאם קייג' (מגולם על ידי טום קרוז), הוא דובר שאחראי על מערך יחסי הציבור של הצבא. פחות מיממה לפני הקרב הגדול של כוחות הקואליציה שמתוכנן להיערך נגד החייזרים בחופי צרפת, קייג' מתבקש על ידי גנרל ברינגהם לסקר את נחיתת הכוחות על החוף. קייג' מסרב מכיוון שחושש למות בקרב ומאיים על הגנרל להשתמש בכישורי היחצ"נות שלו כדי להביא להאשמתו בכישלון האפשרי של הקרב, וכשהגנרל מורה לעוצרו באשמת סירוב פקודה, קייג' מנסה לברוח ומהומם על ידי המשטרה הצבאית. הוא מתעורר כשהוא באזיקים במחנה הטירונות שהוקם בנמל התעופה לונדון הית'רו, שם הוא מגלה שהוא הורד לדרגת טוראי ונחשב לעריק, ועל אף חוסר הניסיון שלו הוא מצוות לכיתה ג'יי כדי לצאת איתם לקרב כחייל לכל דבר.