כאשר N atoms", הוא מספר האטומים בתא יחידה, V atom" הוא הערך של האטום ו- "V unit cell" הוא הנפח המלא של התא יחידה. הוכח באופן מתמטי, שבמבנים בעלי רכיב יחיד, לסידור הכי צפוף של אטומים יש APF של 0.74 בקירוב. במציאות, מספר זה יכול להיות גבוה יותר – בשל גורמים בין-מולקולריים ספציפיים. במבנים מרובי-רכיבים APF יכול להיות גדול מ-0.74.
דוגמה בפעולה.
מבנה גבישי דמוי קובייה מרוכז גוף.
מבנה BCC
תא יחידה פרימיטיבי למבנה גבישי דמוי קובייה מרוכז גוף (BCC) כולל כמה מקטעים, שמקורם מכמה אטומים – אטום אחד בכל פינה של הקובייה, ואטום אחד במרכז. מאחר שנפחו של כל אטום פינה שכזה הוא משותף לכמה תאים סמוכים, הרי שכל תא BCC מכיל שני אטומים.
כל אטום פינה נוגע באטום המרכזי. אם תשרטטו קו, שיעבור מפינה אחת של הקובייה דרך מרכזה ועד לפינה האחרת - יעשה הקו דרך של 4r, כאשר r הוא רדיוס האטום. בהתבסס על הגאומטריה - אורך האלכסון הוא a√3, ועל כן אורך כל פינה במבנה BCC זה קשור ברדיוס האטום, לפי נוסחה להלן:
ביודענו זאת וביודענו את הנוסחה לנפח של הכדור (formula_3) נוכל לחשב את APF באמצעות הנוסחה כדלקמן:
מבנה גבישי סגור הקסגונלי.
מבנה HCP
במבנה הקסגונלי סגור (HCP) צורת החישוב דומה. אורך הפינה של ההקסגון יצוין, לעת עתה, כגובה של ההקסגון, ויסומן באות C. אז נקבל: -
אז נוכל לחשב את APF באמצעות הנוסחה כדלקמן:
APF במבנים נפוצים.
בעזרת הליכים דומים, נוכל למצוא את מקדמי האריזה האטומית האידיאליים של מבנים גבישיים שונים. אלה הנפוצים נאספו כאן בתור ערכי ייחוס, כשהם מעוגלים למאית הכי קרובה.
סמל תורינגיה
סמל תורינגיה (בגרמנית: Thüringer Landeswappen) הוא סמלה הרשמי של המדינה הגרמנית תורינגיה. הסמל אומץ ב-3 באוקטובר 1990 ונקבע בחוקת המדינה ב-30 בינואר 1991.
הסמל מעוצב ממגן כחול שבו מוטען אריה לודוווינגני זקוף, צבוע בשמונה פסים אדומים וכסופים לסירוגין וכתרו וטפריו זהובים, סמלו של דוכס תורינגיה קונרד מתורינגיה מהמאה ה-13.
מאז עצמאותה של הסן ב-1264 משמש האריה כסמלה כאשר ראשו לבן ורגליו אדומות וראשו אינו מוכתר אלא הסמל כולו. הוא מוקף בשמונה כוכבים כסופים המייצגים את הדוכסיות ההיסטוריות ששכנו בתחום המדינה. כוכבים אלו הופיעו גם בסמל המדינה מ-1920, אלא שבו היו רק שבעה, כיוון שחלקה הצפוני של המדינה היה בשליטת פרוסיה.
על פי חוקת המדינה, מותר רק למוסדותיה הרשמיים להשתמש בסמל, ועל כן עוצב גם סמל לשימוש אזרחי.
הסמל בין השנים 1921-1933.
הסמל נחנך ב-7 באפריל 1921. הוא מציג 7 כוכבים משושים כסופים על רקע אדום. הכוכבים מייצגים את שבע המדינות שמוזגו למדינת תורינגיה ב-1 במאי 1920.
הסמל בין השנים 1933-1945.
בשנת 1933 עם עליית הנאצים לשלטון שונה הסמל בגלל הכוכבים שהזכירו בצורתם מגן דוד ולא היו לרוחם של השלטונות. בסמל החדש נראה אריה ההסני (סמלו של דוכס תורנגיה) אוחז בצלב קרס צהוב. בחלק העליון ניתן לראות את סמל דוכסות ארנשטיניש ואת הנשר של בית שוורצבורג בחלק התחתון את האריה של בית רויס ואת התרנגולת של נסיכות הנהברגר.
הסמל בין השנים 1945-1952.
ביולי 1945 החליפה תורינגיה את סמלה בפעם השלישית. בסמל אריה זהוב על רקע אדום עם 8 כוכבים כסופים. החל משנת 1952 בוטלו כל המדינות בגרמניה המזרחית וחולקו ל-14 אזורים. לאזורים האלו לא היו סמלים אך לעיתים היה שימוש בסמל היסטורי ליצוג אזור מסוים.
פישר פרייס
פישר פרייס (במקור: Fisher-Price) היא חברה המייצרת צעצועים לפעוטות ולילדים. את החברה הקימו הרמן פישר, הלן של ואירווינג פרייס בשנת 1930, במהלך השפל הגדול. מאז 1993 "פישר פרייס" היא חברה בת בבעלות מלאה של חברת "מאטל". בשנת 2004 עמד מחזור המכירות של החברה על סכום של כ-1.9 מיליארד דולר. החברה מייצרת, בין השאר, משחקים התפתחותיים שונים המותאמים לשלבי התפתחות התינוק ומשחקי חשיבה לגילאים בוגרים יותר.
משפט החלוקה של אוילר
משפט החלוקה של אוילר הוא משפט הקובע שמספר החלוקות של מספר לחלקים שונים זה מזה שווה למספר החלוקות של המספר לחלקים אי-זוגיים (לא בהכרח שונים).
את המשפט הוכיח לאונרד אוילר ב-1748 באמצעות פונקציות יוצרות, שיטה חדשנית בזמנו.
רקע.
חלוקה של מספר טבעי היא הצגה שלו כסכום של מספרים טבעיים. למשל הם דוגמאות לחלוקות של 5. שתי חלוקות הנבדלות רק בסדר המחוברים נחשבות לאותה החלוקה. חלוקה נבדלת היא חלוקה שבה כל החלקים שונים זה מזה. למשל היא חלוקה נבדלת של 7, ואילו אינה כזו כי 3 מופיע פעמיים. חלוקה אי-זוגית היא חלוקה שכל חלקיה הם מספרים אי-זוגיים, למשל היא חלוקה אי-זוגית בעוד ש- אינה כזו.
את מספר החלוקות הנבדלות השונות של מספר formula_1 נסמן formula_2. את מספר החלוקות האי-זוגיות של מספר formula_1 נסמן formula_4. משפט החלוקה של אוילר קובע ש-formula_5 לכל n טבעי.
הפונקציה היוצרת של formula_2 היא טור החזקות formula_7. אנו מתעניינים בפונקציה היוצרת רק כאובייקט אלגברי המאגד את המידע על formula_2 בצורה הנוחה לנו, ואין לנו עניין בשאלת ההתכנסות של הטור. באופן דומה formula_9 היא הפונקציה היוצרת של formula_4.
ההוכחה של אוילר.
ההוכחה של אוילר עושה שימוש במניפולציות אלגבריות כדי להראות שהפונקציות היוצרות של formula_2 ושל formula_4 זהות זו לזו, ולכן מספר החלוקות הנבדלות ומספר החלוקות האי-זוגיות שווים זה לזה. ייחודה של ההוכחה בכך שהיא מוכיחה תוצאה בקומבינטוריקה ובתורת המספרים ללא שימוש בכלים האלמנטריים מתורות אלו.
תכונה של הפונקציה היוצרת של formula_2, היא שניתן להציג אותה כמכפלה אינסופית, כך שאם נפתח סוגריים במכפלה נקבל את הפונקציה היוצרת:
בפתיחת הסוגרים נקבל פעם אחת בדיוק כל מכפלה מהצורה formula_15, אותה ניתן לבטא לפי חוקי החזקות כך: formula_16.
ניתן לשים לב, שלפני חיבור איברי המעריך התוצאה שתתקבל היא של מעריכים שכולם שונים זה מזה, ולאחר חיבור איברי המעריך נקבל כל מעריך מספר פעמים זהה לערכה של החלוקה הנבדלת שלו. למשל formula_17 יתקבל 3 פעמים מפתיחת הסוגריים: formula_18, פעם אחת לכל חלוקה נבדלת, ולכן המקדם שלו בסכום שיתקבל הוא formula_19.
באופן דומה גם את הפונקציה היוצרת של formula_4 ניתן להציג כמכפלה אינסופית (שכל גורם בה הוא סכום אינסופי):
במקרה הזה כאשר נפתח סוגריים נקבל פעם אחת בדיוק כל מחובר מהצורה formula_22, כאשר המעריכים כולם אי-זוגיים (ולא בהכרח שונים). למשל formula_17 יתקבל 3 פעמים: formula_24, פעם אחת לכל חלוקה אי-זוגית, ולכן המקדם שלו הוא formula_25.
נשים לב כי הסכום formula_26 הוא למעשה סכום של סדרה הנדסית (עם מנה formula_27) ולכן לפי הנוסחה לסכום סדרה הנדסית הוא שווה ל-formula_28. לכן ניתן לכתוב:
ביטאנו כל אחת מן הפונקציה היוצרות כמכפלות אינסופיות, וכעת נותר להראות שהמכפלות שוות. הדבר נעשה במניפולציה אלגברית פשוטה. מהזהות הידועה של הפרש ריבועים formula_30 מקבלים formula_31, ולכן:
כל אחד מהמונים מצטמצם עם אחד מהמכנים שאחריו ונשארים רק המכנים האי-זוגיים:
קיבלנו formula_34, ולכן formula_5 כפי שרצינו להוכיח.
הוכחה אלמנטרית.
נבנה התאמה חד-חד-ערכית ועל שמתאימה לכל חלוקה אי-זוגית חלוקה נבדלת יחידה ולהפך. לכן מספר החלוקות בשני המקרים זהה.
נניח formula_36 היא חלוקה אי-זוגית של המספר n (formula_37 הוא מספר שלם אי-שלילי ששווה למספר העותקים בסכום של המחובר formula_38). נציג כל formula_37 בבסיס בינארי, כלומר כסכום של חזקות שונות של 2: formula_40. נקבל חלוקה נבדלת של n:
זוהי חלוקה נבדלת כי כל שני איברים בה נבדלים בחזקה המקסימלית של 2 המחלקת אותם או במספר האי-זוגי המקסימלי שמחלק אותם.
גם הכיוון ההפוך מוגדר היטב. לכל חלוקה נבדלת נקבץ יחדיו את המחוברים שיש להם אותו מחלק אי-זוגי מקסימלי. בגלל שהחלוקה נבדלת הם יבדלו בחזקה המקסימלית של 2 המחלקת אותם. לכן סכום החזקות של 2 קובעות הצגה בינארית של מקדם formula_37 באופן יחיד.
הכללה.
המשפט הוא מקרה פרטי של משפט גליישר , שקובע כי עבור שלם d, מספר החלוקות לחלקים שאינם מתחלקים ב-d, שווה למספר החלוקות המקיימות ששום חלק לא חוזר d פעמים או יותר (במילים אחרות, כל חלק חוזר לכל היותר d-1 פעמים). משפט החלוקה של אוילר הוא משפט גליישר עבור d=2.
רודריגו גונזלס
רודריגו גונזלס (נולד ב-16 בינואר 1981) הוא יוצר ומפיק תוכן דוקומנטרי. התגלה לראשונה ב"קחי אותי שרון". השתתף במספר סדרות טלוויזיה וסרטים, ובעונה השלישית של "רוקדים עם כוכבים" בה זכה במקום הראשון.
ביוגרפיה.
גונזלס נולד בצ'ילה ב-1981 לאם יהודייה ואב נוצרי. בשנת 1992, כשהיה בן 11 עלה לישראל. בוגר הדרך - בית הספר לביטוי בימתי בניהול איל כהן. בעל תואר ראשון בתקשורת במסלול האקדמי המכללה למנהל. מתמחה ביצירת תוכן וידאו לרשתות חברתיות, קולנוע דוקומנטרי ותקשורת שכנועית. את שירות הצבאי עשה כלוחם בסיירת גולני וב-2006, השתתף כלוחם-מילואים במלחמת לבנון השנייה וסבל בעקבותיה מהפרעת דחק פוסט-טראומטית.
קריירה.
פרסומו הראשון היה כאשר השתתף בתוכנית המציאות "קחי אותי שרון" (2003), שבה התחרה על לבה של שרון איילון. גונזלס הודח במהלך התוכנית, אך הוחזר על ידי קהל הצופים במסגרת "גלגל הצלה", ובסופו של דבר הגיע למקום השלישי.