גם השפה המתמטית עשויה להיות קשה להבנה למתחילים. למילים כגון "או" יש משמעות מדויקת, ולעיתים שונה, מבלשון היומיומית. בנוסף, מילים כגון "פתוח" ו"שדה" קיבלו משמעות מתמטית מיוחדת. הז'רגון המתמטי כולל מונחים טכניים חדשים רבים, כגון הומיאומורפיזם ואינטגרביליות. ישנה סיבה לכל הסימונים והמונחים המיוחדים: המתמטיקה דורשת דיוק רב בהרבה מלשון היום-יום. המתמטיקאים קוראים לרמת הדיוק הזו בשפה "ריגורוזיות".
ריגורוזיוּת היא מרכיב יסודי בכל הוכחה מתמטית. המתמטיקאים מעוניינים שהמשפטים שהם מנסחים ינבעו מאקסיומות באמצעות הסקת מסקנות שיטתית. רק כך ניתן להימנע מ"משפטים" שגויים, המבוססים על אינטואיציה בלבד, שכמותם הופיעו רבים במהלך ההיסטוריה המתמטית (ראו למשל :משפט ארבעת הצבעים). רמת הריגורוזיות המקובלת אצל המתמטיקאים השתנתה במשך ההיסטוריה. היוונים, שטיפלו בעיקר בייצורים גאומטריים קונקרטיים, דרשו טיעונים מפורטים. בתקופתו של אייזק ניוטון היה מקובל להשתמש בשיטות פחות קפדניות, וגם ההגדרות שנתנו ניוטון ולייבניץ למושגי היסוד של האנליזה, כמו הגבול של סדרה, לא היו מדוקדקים די הצורך בסטנדרטים מודרניים.
בעיות מהותיות בהגדרת מושג הפונקציה, שהתעוררו בעיקר סביב עבודתו של פורייה, הובילו לתחייה המחודשת של ניתוח מדוקדק והוכחות פורמליות במאה ה-19. גם כיום, המתמטיקאים ממשיכים להתווכח בינם לבין עצמם בנוגע להוכחות מתמטיות בעזרת מחשב. חישובים בהיקף גדול קשים לאימות, ולכן יש הטוענים כי הוכחות כאלה אינן ריגורוזיוֹת מספיק.
בהשקפת העולם המסורתית, אקסיומות היו "אמיתות מובנות מאליהן", אך תפיסה זו היא בעייתית. במישור הפורמלי, אקסיומה היא שרשרת של סמלים, המקבלת משמעות רק בהקשר של נוסחאות הנגזרות ממערכת אקסיומטית. מטרתה של תוכנית הילברט הייתה לבסס את כל המתמטיקה על בסיס אקסיומטי מוצק, אך לפי משפטי האי שלמות של גדל בכל מערכת אקסיומטית חזקה מספיק קיימים משפטים שלא ניתן להוכיחם, ולכן אקסיומטיזציה כפי שהציע אותה הילברט אינה אפשרית. למרות זאת, לעיתים קרובות מדברים על המתמטיקה, בכל הנוגע לתוכן הפורמלי שלה, כעל אקסיומטיזציה של תורת הקבוצות ותו לא - במובן שבו כל טענה מתמטית ניתנת לייצוג על ידי נוסחאות בתחום תורת הקבוצות.
אחת מדרישות הריגורוזיות היא הסתמכות על דדוקציה ולא על אינדוקציה. בניגוד למדעי הטבע, בהם הסקת מסקנות מכמות גדולה של מקרים פרטיים אל הכלל מתקבלת כראייה מספקת לנכונותה של טענה, במתמטיקה נדרשות הוכחות ש"לוכדות את האינסוף" ולא רק מספר סופי של מספרים, גדול ככל שיהיה. דרישה זו יכולה להיראות קנטרנית, אך במהלך ההיסטוריה התברר שהיא הכרחית. לדוגמה, משפט המספרים הראשוניים, שמספק את הקירוב formula_1 למספר הראשוניים הקטנים מ-x. (היחס בין ערך זה לבין הפונקציה formula_2, x מחולק בלוגריתם הטבעי שלו, שואף ל-1). הערכה זו מפריזה במספר הראשוניים לכל ערך שעבורו היא נבדקה, אך ג'ון אדנזור ליטלווד הראה שבשלב כלשהו הנוסחה תמעיט בכמות המספרים הראשוניים. משום כך השערות חשובות כמו המשפט האחרון של פרמה והשערת רימן נשארו פתוחות במשך שנים רבות (האחרונה עד היום), אף על פי שנמצאו להן ראיות, באמצעות מחשבי-על, התקפות למספרים רבים.
פילוסופיה של המתמטיקה.
הפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף בפילוסופיה שמטרתו הבהרת מהותה של המתמטיקה. הוא נועד לענות על שאלות כמו: האם למתמטיקה תקפות אוניברסלית או שהיא תלויה בחשיבה האנושית, עד כמה המשפטים המתמטיים תקפים במציאות הגשמית, האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה, מדוע המתמטיקה כה שימושית בתיאור היקום וכיוצא בזאת.
המושגים והמשפטים במתמטיקה אינם מתאימים בהכרח לעצמים בעולם הגשמי. אמנם, קיימת התאמה מסוימת, ואף על פי שמתמטיקאים עשויים לבחור אקסיומות וטענות הנראות הגיוניות ואינטואיטיביות, אין זה נחוץ שההנחות הבסיסיות במסגרת מערכת אקסיומטית יהיו נכונות במובן נסיוני או פיזיקלי. מכאן, אף על פי שמערכות אקסיומטיות רבות נגזרות מתפיסתנו ומניסויים, הן אינן תלויות בהם. לדוגמה, נוכל לומר כי את המושג הפיזיקלי של שני תפוחים ניתן להסביר באמצעות המודל המתמטי של המספרים הטבעיים - המספר 2. בעוד הדימוי של ההגדרות האקסיומטיות של המספרים הטבעיים כאוספים של תפוחים שימושי לצורכי הוראה, ההגדרה עצמה אינה תלויה או נגזרת מגופים גשמיים כלשהם. אף על פי כן, המתמטיקה היא עדיין כלי שימושי בפתרון בעיות ממשיות.
שאלת תקפותה של המתמטיקה העסיקה הוגים רבים בכל הזמנים. היו שסברו שהמתמטיקה קיימת באותה מידה בה קיימים עצמים מוחשיים, ולפיכך היא מתגלה, ואילו אחרים טענו שהמתמטיקה נבנתה על ידי האדם, ולפיכך היא מומצאת. נושא זה הוא גרעין המחלוקת בין האסכולות בפילוסופיה של המתמטיקה:
שאלה אחרת היא מדוע המתמטיקה פועלת, ותורמת כל כך למדעי הטבע בפרט ולתיאור העולם בכלל. ניסח זאת אלברט איינשטיין: "כיצד ייתכן כי המתמטיקה, שהיא אחרי הכל תוצר של החשיבה האנושית ואינה תלויה בהתנסות, מתאימה בצורה כל מופלאה לתאר את המציאות?".
שאלה זו הועלתה גם במאמרו המפורסם של יוג'ין ויגנר, "היעילות הבלתי סבירה של המתמטיקה במדעי הטבע". אחת הטענות שהיא שבמתמטיקה קיים מעין-אמפיריציזם, כלומר שהיא במידה מסוימת תלויה בהתנסות. תשובתו של איינשטיין עצמו הייתה: "אם חוקי המתמטיקה מתייחסים למציאות, הם אינם ודאיים; ואם הם ודאיים, הם אינם מתייחסים למציאות" - דווקא היותה יציר המוח האנושי הופך אותה לוודאית אף יותר מהמדע ולבסיס מוצק עבורו.
נושאים נוספים בפילוסופיה של המתמטיקה: האתיקה של העיסוק בה בהתחשב בשימושיה הצבאיים (הצפנה, בניית פצצות), האסתטיקה של המתמטיקה (ספר חשוב בנושא זה הוא התנצלותו של מתמטיקאי) ועוד.
מתמטיקאי.
מתמטיקאי הוא אדם העוסק במתמטיקה. בניגוד למדענים אחרים, שעוסקים בתיאור העולם הגשמי, המתמטיקאי עוסק בהסקת טענות חדשות, הנקראות "משפטים", מתוך טענות אחרות אשר הוכחו כבר, או מתוך משפטים יסודיים הנקראים אקסיומות. הוכחת הטענות מתבצעת בחשיבה לוגית בלבד, ללא צורך למצוא להן תימוכין ניסיוניים. התוצר העיקרי של מתמטיקאי העוסק במחקר הוא הוכחות, המתפרסמות בצורת מאמרים בכתבי-עת מתמטיים. לעיתים מסתפק המתמטיקאי, מחוסר הוכחות, בהעלאת השערה, ומותיר לעמיתיו את מלאכת ההוכחה של השערה זו.
מתמטיקאים פעילים בעיקר באוניברסיטאות, בהוראה ובמחקר בענפי המתמטיקה הרבים. עם זאת, מתמטיקאים פעילים גם בתעשיית ההיי-טק והפיננסים, בעיקר בפיתוח של אלגוריתמים מתקדמים ובניית מודלים מתמטיים שיתארו בעיה מהמציאות ויספקו תובנות כיצד לפתור אותה בצורה המיטבית.
השראה ואסתטיקה.
המתמטיקה דרושה לפתרון בעיות העוסקות בכמות, מבנה, מרחב או שינוי. בעיות כאלו נמצאו לראשונה במסחר, במדידת שטחים ומאוחר יותר באסטרונומיה; כיום, הן קיימות בכל המדעים, ואף בתוך המתמטיקה עצמה. הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן המציא את ניסוח אינטגרלי המסלול של מכניקת הקוונטים באמצעות שילוב של טיעונים מתמטיים ותובנה פיזיקלית; כיום תורת המיתרים, תאוריה מדעית שעודה בתהליכי פיתוח ואשר מנסה לאחד את ארבעת כוחות היסוד של הטבע, מהווה השראה לפיתוח מתמטיקה חדשה (אדוארד ויטן, פיזיקאי שהוא מאבות תורת המיתרים, זכה במדליית פילדס, שהיא הפרס החשוב ביותר במתמטיקה).
רעיונות מסוימים במתמטיקה משמשים אך ורק בתחום שהיווה השראה ליצירתם, אך לעיתים רעיונות שנוצרו במקור על מנת לפתור בעיות בתחום מסוים מוכיחים את עצמם כשימושיים בתחומים רבים נוספים, והם מצטרפים לאוסף הכולל של הרעיונות המתמטיים. העובדה הלא-רגילה כי לעיתים קרובות ניתן למצוא יישומים מעשיים אף לרעיונות המתמטיים ה"טהורים" ביותר היא מה שכינה הפיזיקאי יוג'ין ויגנר "היעילות הבלתי-הגיונית של המתמטיקה" במאמר משנת 1960.
כמו ברוב תחומי המחקר, גם במתמטיקה נוצר צורך בהתמקצעות עקב הגידול המהיר בהיקף הידע בעידן המדעי. רוב המתמטיקאים בוחרים, לעיתים כבר במהלך לימודי התואר הראשון, להתמקצע באחד מתתי-הענפים של המתמטיקה, ובפרט מתמטיקה טהורה או מתמטיקה שימושית. מספר תחומים במתמטיקה השתלבו עם תחומים חוץ-מתמטיים והפכו לתחומי מחקר בפני עצמם, ובכלל זה חקר ביצועים ומדעי המחשב.
עבור העוסקים במתמטיקה, קיים לתחום זה פן אסתטי בלתי מבוטל. מתמטיקאים רבים מדברים על האלגנטיות של המתמטיקה, האסתטיקה העצמית והיופי הפנימי שבה. פשטות והכללה הם עקרונות אסתטיים מוערכים. לדידם, ישנו יופי בכל הוכחה פשוטה ואלגנטית, כגון ההוכחה בדרך השלילה של אוקלידס לקיום אינסוף מספרים ראשוניים, ואף בשיטה נומרית נאה אשר מאיצה חישובים, כגון התמרת פורייה מהירה. גודפרי הרולד הארדי טען בספרו "התנצלותו של מתמטיקאי" כי שיקולים אסתטיים אלו הם, כשלעצמם, סיבה מספקת לעיסוק במחקר במתמטיקה טהורה, ואתו מסכימים רבים מהמתמטיקאים. מתמטיקאים שואפים לעיתים קרובות למצוא הוכחות אלגנטיות ככל האפשר למשפטים מתמטיים, תהליך אליו התייחס פאול ארדש כמציאת הוכחות מתוך "הספר בו אלוהים כתב את ההוכחות החביבות עליו". הפופולריות לה זוכים שעשועי מתמטיקה מעידה על ההנאה והעניין אשר רבים מוצאים בפתרון בעיות מתמטיות.
מקומה של המתמטיקה בין המדעים.
המדען והמתמטיקאי, קרל פרידריך גאוס כינה את המתמטיקה "מלכת המדעים".
במקור הלטיני "Regina Scientiarum", וגם בגרמנית (שפתו של גאוס) "Königin der Wissenschaften", המילה המציינת "מדע" פירושה "תחום ידע", ואין ספק שמבחינה זו, המתמטיקה היא אכן מדע. אם נצמצם את הגדרתו של מדע כמתייחס לחקר העולם החומרי בלבד (שבו עוסקים מדעי הטבע), אז מתמטיקה - או לפחות מתמטיקה טהורה - אינה מדע.