כאשר גל אלקטרומגנטי פוגע במבנה של שכבות אחידות ואיזוטרופיות (בפרט תווך של שני חומרים המתואר בחוקי פרנל) קיימים שני קיטובים עצמיים של המבנה, קיטוב ניצב למישור הפגיעה (מישור הנפרש על ידי וקטור כיוון התקדמות הגל והווקטור הניצב למשטח) הידוע כקיטוב 's', וקיטוב מקביל למישור הפגיעה הידוע כקיטוב 'p'. אור המקוטב בקיטובים אלו לא ישנה את קיטובו בהחזרה ובשבירה. מקדמי ההחזרה וההעברה של משוואות פרנל כתובים בנפרד לכל קיטוב עצמי. על מנת לחשב את ההחזר עבור קיטוב כללי יש צורך לפרקו בבסיס של הקיטובים העצמיים, לחשב את ההחזרה/שבירה של השדה החשמלי לכל קיטוב בנפרד על פי משוואות פרנל ולחברם בחזרה.
לדוגמה אם הגל הנכנס הוא בעל קיטוב מעגלי ימני formula_9.
כאשר formula_11 הם ווקטורי היחידה בכיוון הקיטוב הניצב formula_12 ובכיוון הקיטוב במקביל formula_13
אזי הקיטוב בהחזרה יהיה,
ובדומה הקיטוב הנשבר יהיה
כאשר formula_16 וformula_17 הם מקדמי ההחזרה והשבירה של משוואות פרנל בהתאמה עבור הקיטובים העצמיים השונים.
ניתן לראות שהקיטוב יהפוך לקיטוב אליפטי לאחר ההחזרה/העברה עבור כל זווית פגיעה השונה מאפס. זאת מכיוון שעל פי חוקי פרנל המשרעת של הגל החוזר אינה שווה עבור שני הקיטובים העצמיים בכל זווית פרט לפגיעה ניצבת formula_18 או פגיעה שטוחה formula_19. בסביבת שני מצבי קצה אלו ההחזר והשבירה בקירוב טוב, אינם תלוים בקיטוב של הגל הפוגע, ולפיכך כל קיטוב הוא קיטוב עצמי של המבנה בזוויות אלו.
זווית ברוסטר.
ניתן להראות ממשוואות פרנל עבור מקדם ההחזרה של הקיטוב המקביל (formula_20) שבכל מעבר תווך דיאלקטרי חייב המקדם להתאפס בזווית כלשהי. זווית זו נקראת זווית ברוסטר על שם הפיזיקאי דייוויד ברוסטר שגילה אותה, האור המוחזר במקרה זה יהיה מקוטב בקיטוב מאונך (formula_21) ועל כן ברוסטר קרא לזווית, זווית הקיטוב. ברוסטר גילה את זווית הקיטוב באופן ניסיוני כעשור לפני שפרנל פיתח את משוואותיו. קיימים חומרים כיראלים (לא ניתן לתארם רק בעזרת אינדקס שבירה) בהם קיימת זווית קיטוב אך עוצמת ההחזר (formula_20) אינה יורדת לאפס.
המשוואות (סימונים שונים).
קיימות גרסאות רבות למשוואות פרנל. נביא כאן כמה מהגישות מספרי אופטיקה נפוצים המתארים את מקדמי ההחזרה והעברה של השדה החשמלי (למשל Born &amp; Wolf), העוצמה (formula_23) ושטף העוצמה (למשל Siegmann). כל המשוואות הן עבור חומרים ליניארים איזוטרופים ללא תגובה מגנטית.
שדה חשמלי.
המשוואות עבור מקדמי ההחזרה וההעברה לשדה החשמלי הן (מחוק סנל + תנאי שפה על השדה החשמלי והמגנטי) :
כאשר formula_32 הוא היחס בין מקדם השבירה בשני החומרים, formula_33 היא ההגדלה האופטית.
כמו כן, מקדמי ההעברה תלויים במקדמי ההחזרה לפי:
משוואות פרנל אינן תלויות ישירות באורך הגל אלא רק בזווית הכניסה ובחומרים, התלות באורך הגל של האור היא רק דרך הנפיצה של החומר.
עוצמת השדה.
עוצמת השדה החשמלי מוגדרת כ formula_23, ולכן המשוואות עבור מקדמי ההחזרה והעברה הן בפשטות formula_37 ו formula_38. בניגוד למשוואות השדה משוואות העוצמה אינן תלויות בבחירת מערכות הצירים בהעברה והחזרה בגלל שהבדלי הסימן נעלמים כאשר מעלים את השדה בריבוע:
להלן דוגמה של מקדמי ההחזרה (עוצמת השדה) עבור הקיטובים השונים במעבר בין תווך דיאלקטרי בעל מקדם שבירה formula_41 לתווך דיאלקטרי בעל מקדם שבירה formula_42.
שטף האנרגיה.
בבעיות פיזור של אור קיים חוק שימור של שטף העוצמה. כלומר שטף האנרגיה הנכנס שווה לשטף האנרגיה היוצא. במקרה של חוקי פרנל פיזור במפגש של שני תווכים אחידים אופטית, השטף היוצא הוא סכום שטף האנרגיה המוחזר והנשבר. מתמטית הדבר זהה לחוק שימור זרם ההסתברות במכניקת הקוונטים. שטף האנרגיה תלוי בעוצמה אך גם תלוי במהירות הגל בחומר ובזווית התקדמותו יחסית למפזר.
שטף העוצמה החשמלית היא האנרגיה ליחידת זמן החוצה במאונך את המפגש בין שני התווכים ולכן מוגדר כ:
formula_43, ולכן המשוואות עבור מקדמי ההחזריות והמעבריות הם:
formula_44 ו formula_45.
על פי חוק שימור שטף העוצמה formula_46.
הפרש המופע בהחזרה ושבירה.
משוואות פרנל עבור השדה החשמלי (בניגוד לעוצמה החשמלית) המוחזר והמועבר מתארות את השינוי במשרעת והפרש המופע של הגל המוחזר והנשבר ביחס לגל הפוגע. תכונה זאת של הפרש מופע אינה מופיעה ברבים מספרי האופטיקה, ניתן להמחיש אותה בסימולציה בראש ערך זה בה הגל המוחזר מקבל היפוך מופע ולמועבר אין הפרש מופע.
בהנחה שהאור הפוגע מקוטב ליניארית בקיטוב כללי הכולל גם s וגם p, אזי כל הבדל בין מקדמי פרנל עבור הקיטובים השונים יגרום להפיכת הקיטוב לאליפטי. הפרש המופע של קיטובי s ו p שונה עבור אור בהחזרה מלאה. תכונה זאת אפשרה לפרנל להנדס כבר לפני 200 שנה את מעוין פרנל אשר הופך קיטוב ליניארי/מעגלי לקיטוב מעגלי/ליניארי.
ניתן לסכם את הפרשי המופע של מקדמי פרנל עבור מעבר בין שני חומרים דיאלקטרים איזוטרופים כדלקמן:
"אזהרה, הפרשי המופע תלויי הגדרה, ניתן למצוא הגדרות בהן היפוך המופע לקיטוב p בהחזרה הוא עד ברוסטר, ואין היפוך מעבר לברוסטר. מה שאינו תלוי הגדרה הוא שהפרש המופע כתלות בזווית הכניסה רציף לקיטוב s ובעל קפיצה של formula_47 (היפוך מופע) בזווית ברוסטר עבור קיטוב p."
דוגמה להשפעה של המופע בהחזרה מלאה באופטיקה היא עקומות הנפיצה של אופנים מולכים במוליך גלים. אופני תנודה אלו הם בעלי קיטוב TE/TM, גלים אלו לכודים בתוך המוליך על ידי החזרה מלאה, אך הם יכולים להתקיים באופן יציב רק כאשר הם מתאבכים באופן בונה עם עצמם. תנאי ההתאבכות הבונה הוא:
כאשר formula_50 הוא הרכיב הניצב למשטח של וקטור ההתקדמות של הגל בטווח, formula_51 הוא רוחב מוליך הגלים וformula_52 הוא הפרש המופע בהחזרה במפגש בין טווח מוליך הגלים לתווך מצד אחד או מצד שני וformula_53 הוא סדר האופן המולך (כלומר כמה פעמים השדה מתאפס לאורך חתך של מוליך הגלים). וקטור ההתקדמות אינו תלוי בקיטוב, אך הפרש המופע בהחזרה שונה עבור קיטובי s ו p, ולפיכך תנאי ההולכה שונה לאופנים בעלי קיטוב s (אופני TE) ולאופנים בעלי קיטוב p (אופני TM), מה שמסביר את ההבדל ביחס הנפיצה.
פיתוח.
פרנל פיתח את חוקיו ממודל מכני של תגובת החומר לאור, אך כיום מקובל לפתח את החוקים ישירות ממשוואות מקסוול תחת ההנחה של תגובה ליניארית ותווך ללא זרמים ומטענים חופשיים.
תנאי שפה.
בעזרת חוק גאוס ניתן להראות ש:
בעזרת משפט סטוקס ניתן להראות ש:
בהנחה שאין תגובה מגנטית לחומר, כלומר formula_54 (דבר הנכון לחומרים ידועים בתחום האור הנראה), ניתן להראות שדרישות תנאי השפה הרוחביות עבור שדה חשמלי ומגנטי של גל מישורי המוחזר ונשבר על פי הזוויות של חוק ההחזרה וחוק סנל, חייב לקיים את ארבע המשוואות הבאות.
הרחבה לחומרים אחרים.
בנוסף למעבר בין שני תווכים דיאלקטרים איזוטרופים, ללא תגובה מגנטית, ניתן להרחיב את חוקי פרנל לתווכים אחרים, כאשר ההתייחסות תמיד היא למעבר מחומר דיאלקטרי כגון אוויר לתווך בעל החומר המדובר.
תגובה מגנטית.
המשוואות ניתנו עבור חומרים ללא תגובה מגנטית (formula_55).
גבישי שבירה כפולה.
פרנל עצמו כמו חוקרים רבים בזמנו חקרו את תכונת הקיטוב של האור בגבישי שבירה כפולה, בפרט קלציט. באופן כללי גבישים אשר אינדקס השבירה שלהם אינו אחיד לכיוון ההתקדמות של הגל האלקטרומגנטי אינם מקיימים את תכונת הקיטוב העצמי של קיטובי s ו-p, זאת משום שהקיטוב הרגיל והבלתי רגיל נעים בכיוונים שונים בתוך הגביש.
ספקטרום השמש
ספקטרום השמש הוא ספקטרום רציף של אור הנפלט מהשמש. את ספקטרום השמש ניתן לתיאור על ידי מודל גוף שחור, אך גם נראים בו קווי פליטה בדידים, שלפיהם ניתן לדעת על שכיחות היסודות הכימיים על פני השמש. השכיחות הגדולה ביותר היא של מימן והליום. קיומו של היסוד הליום התגלה לראשונה מהספקטרום של השמש, ובתחילה נחשב ליסוד המצוי רק על פני השמש, ומכאן שמו (רק מאוחר יותר הוא התגלה גם על פני כדור הארץ).
היסטוריה.
בשנת 1666, אייזק ניוטון ערך ניסוי בו הציב מנסרה משולשת אל מול סדק בתריס, דרך הסדק עברה אלומת אור מהשמש אשר התפצלה לצבעי הקשת בעוברה במנסרה, זאת כך אשר ניוטון ראה על פני מסך שהציב מאחורי המנסרה את ספקטרום השמש. ניוטון לא הבחין בקווי הבליעה על פני הספקטרום כיוון שהאמצעים האופטיים שהיו בידיו, ככל הנראה, לא היו מספיק מדויקים. ניוטון קבע כי המנסרה מפרידה את האור למרכיביו - צבעי הספקטרום, מה שעורר פולמוס באותה תקופה, כיוון שעד גילוי זה רווחה הדעה כי גורם כלשהו במנסרה עצמה מעניק לאור את צבעיו.
ב-1802 ויליאם וולסטון הבחין בקווים הכהים בספקטרום השמש. הוא חשב כי מדובר בגבולות טבעיים כלשהם של הצבעים ודיווח על תגליתו אך לא התעמק בעניין.
מספר שנים לאחר מכן, בשנת 1814, יוזף פראונהופר הצליח לספור את הקווים הכהים כאשר השתמש בטלסקופ במקום במסך של ניוטון. הוא הגיע לכדי 576 קווים כהים. ולכן קווים אלה נקראו על שמו - קווי פראונהופר. הוא אף החל להבחין כי הקווים הכהים זהים במיקומם ובמרחקם זה מזה לקווי הפליטה אשר מופיעים בספקטרום הפליטה של יסודות מסוימים.
גילוייו הובילו את החוקרים גוסטב קירכהוף ורוברט בונזן ב-1861 למציאת הסבר לקווי פראונהופר בספקטרום השמש. השניים צלחו בזיהוי היסודות על פני השמש על ידי השוואת קווי הבליעה המתקבלים לקווי פליטה של יסודות שונים. הם העלו את הטענה כי חלק מן האור המגיע מן השמש נבלע בכרומוספירה של השמש על ידי היסודות הנפוצים בה, ולכן על כדור הארץ מתקבל ספקטרום רציף עם קווי פראונהופר.
קירכהוף ניסח חוקים בעקבות הממצא: