לפרקטלים יש גם שימוש רב בגרפיקה ממוחשבת מכיוון שהם מאפשרים ליצור בפשטות תמונות הנראות כמו יצירי טבע כגון עלים, עצים, הרים, וכו'. לפרקטלים יש תפקיד גם בכלכלה (לגרפים המתארים מחירי מניות יש תכונות פרקטליות - לכן כאשר צופים בגרף כזה קשה להבחין אם הוא מתאר מסחר במשך יום אחד, חודש, שנה, או יותר) וגם בפיזיקה ובמיוחד בתורת הכאוס.
דוגמאות לפרקטלים.
פרקטלים נוצרים במתמטיקה על-פי רוב בשיטות המבוססות על רקורסיה, כלומר על חזרה על אותה פעולה מספר רב (בגבול מספר אין-סופי) של פעמים. לדוגמה ניתן ליצור את משולש שרפינסקי באופן הבא: מתחילים ממשולש שווה-צלעות, ומסירים ממנו את המשולש המרכזי, כמו שנראה באיור השני משמאל. עתה נוצרו שלושה משולשים שחורים קטנים. בשלב הבא מכל אחד מהם מסירים את המשולש האמצעי. כל שלב נקרא איטרציה ולאחר אין-סוף איטרציות נוצר משולש שרפינסקי.
דוגמה נוספת היא בניית פתית השלג של קוך. בבנייה מתחילים מקו אחד, ובכל איטרציה מחליפים את החלק האמצעי בקו, בשני קווים היוצרים פינה. ארבע האיטרציות הראשונות מתוארות באיור:
עוד שיטה רקורסיבית ליצירת פרקטלים היא על ידי העתקה וכיווץ: מתחילים מצורה מסוימת, ואז בכל שלב מעתיקים מספר עותקים מוקטנים של התמונה. את התמונה המתקבלת שוב מעתיקים באופן מוקטן, וכך ממשיכים עד אינסוף. את הפעולה המעשית של ציור פרקטל בדרך זו ניתן לבצע גם בעזרת מכונת צילום או תוכנה לעיבוד תמונה: מזינים תמונה כלשהי לתוך מכונת צילום, והמכונה מדפיסה על אותו דף שלושה עותקים מוקטנים של התמונה המקורית. עתה את התמונה המתקבלת מחזירים כקלט לתוך המכונה, וחוזרים על הפעולה הזאת אין סוף פעמים.
הפרקטל שנראה בתמונה דמוית העלה מתקבל בשיטה זאת, והוא אכן דומה מאוד לעלה.
באופן מתמטי ניתן להוכיח כי ההעתקה המכווצת של התמונה היא העתקה ליניארית במרחב האוסדורף, והפרקטל הוא נקודת השבת של ההעתקה.
דוגמה נוספת לפרקטל היא קבוצת קנטור. עקרון האיטרציה של קבוצת קנטור הוא השמטת השליש האמצעי על כל ישר שהתקבל מאלה שהיו לפניו. על כן, מתקבלות פעולות איטרטיביות אלגוריתמיות שחוזרות על עצמן ולמעשה משקפות את כל מה שהיה לפניהן.
היסטוריה.
הפרקטלים הראשונים החלו להתגלות החל מסוף המאה ה-19, ונחקרו בתור קוריוזים מתמטיים, או דוגמאות נגד לרעיונות שונים. בשנת 1872 מצא המתמטיקאי קארל ויירשטראס פונקציה שהיא רציפה בכל נקודה, אך אין נקודה שהיא גזירה בה, הנקראת פונקציית ויירשטראס על שמו. במושגי ימינו פונקציה זו היא פרקטל. בשנת 1904 יצר המתמטיקאי השוודי הֶלגֵה פון קוך את פתית השלג של קוך, צורה פרקטלית מובהקת.
גאורג קנטור נתן דוגמה נוספת לקבוצה בעלת אופי פרקטלי, קבוצת קנטור. בניסיון להבין את משמעותם של עצמים מסוג זה, מתמטיקאים כקונסטנטין קרתיאודורי ופליקס האוסדורף הכלילו את מושג הממד, כך שיוכל לקבל גם ערכים שאינם מספרים טבעיים (ראו ממד האוסדורף).
תנופה משמעותית לחקר הפרקטלים ניתנה בתחילת שנות השישים על ידי המתמטיקאי האמריקאי בנואה מנדלברוט, שעבד במעבדות המחקר של IBM, והתבסס על עבודתו של המתמטיקאי בן זמנו גסטון ג'וליה. בשנת 1975 טבע מנדלברוט את המונח "פרקטל" לציון עצמים הדומים לעצמם. מנדלברוט חקר סדרות של מספרים מרוכבים מהצורה formula_1. קבוצת מנדלברוט, הקרויה על-שמו, כוללת את המספרים formula_2 שעבורם הסדרה formula_3 חסומה.
ממדים שבריים.
בדוגמאות שהובאו קודם לכן ניתן לקבל תחושה מדוע יש בעיה להגדיר מהו הממד של פרקטל. לדוגמה, בבנייה של משולש שרפינסקי התחלנו ממשולשים מלאים שהם צורות דו-ממדיות ולכן ניתן לצפות שמשולש שרפינסקי הוא דו-ממדי. מצד שני, אם היינו משרטטים רק את קווי המתאר של המשולשים, היינו מקבלים את אותה תוצאה סופית בדיוק, אלא שבמקרה זה הבנייה הייתה מסתמכת על קווים בלבד ולכן ניתן היה לצפות שמשולש שרפינסקי יהיה חד-ממדי.
בשיטת הבנייה של פתית השלג של קוך, ניתן ליצור פרקטלים כגון עקומת הילברט ועקום פאנו, שממלאים ריבוע שלם. מכיוון שהבנייה כולה מתבססת על קווים, היינו מצפים שהתוצאה תהיה חד-ממדית, איך ייתכן שמקבלים צורה דו-ממדית?
כדי להחיל את מושג הממד על צורות פרקטליות היה צורך לתת הגדרות מדויקות יותר למושג הממד, שניתן יהיה להשתמש בהם גם עבור פרקטלים.
ממד האוסדורף.
לפי תפיסת הממד הקלאסית, כאשר שרטוט עובר קינום, חלקים בעלי N ממדים בו גדלים ביחס ישר ליחס הקינום בחזקת N. למשל, כאשר מגדילים קו חד-ממדי פי שלושה, הוא גדל פי שלושה או פי 3 בחזקת גודל הממד - 1. לעומת זאת, ישות דו-ממדית כמו ריבוע כאשר מגדילים את אורכה של הצלע פי שלושה, שטחו של הריבוע, יגדל פי תשעה או פי 3 בחזקת גודל הממד - 2. קו פרקטלי, ככל שנגדיל אותו תגלה העין, שקו שהיה נראה ישר קודם למעשה מפותל. פתית השלג של קוך כאשר מגדילים אותו פי שלושה מגלים שצלע שאמורה לגדול פי שלושה גדלה פי ארבעה, לכן הממד שלו הוא: formula_4 .
ברכה
בְּרָכָה היא תפילה קצרה שנאמרת בזמן קיום מצווה, מועד או חוויה יוצאת-דופן בחייו של אדם. כמו כן ישנה חובה הלכתית, לברך קודם האכילה ולאחריה.
הברכה הדתית כוללת את המילים "ברוך אתה ה'", ומכילה דברי שבח, הודאה או בקשה לה'. המצווה לברך היא אחת משבע מצוות דרבנן.
המקור ההלכתי.
ברכות מדאורייתא.
מדאורייתא, ישנה חובה לברך רק שתי ברכות:
השורש 'ברך' נמצא בתנ"ך פעם ראשונה ב.
ברכות מדרבנן.
שאר הברכות הן מדברי חכמים, והן תוקנו על ידי עזרא הסופר ובית דינו, הלוא הם אנשי כנסת הגדולה. גם הברכות שמקורן מהתורה - נוסחן נקבע על ידי אנשי כנסת הגדולה. ברכות הנהנין מבוססות על הסברא ש'אסור לו לאדם להנות מהעולם הזה בלא ברכה'.
מאה ברכות.
לפי תקנה המיוחסת לדוד המלך חובה לברך בכל יום מאה ברכות. ביום חול, אין צורך במאמץ מיוחד כדי לקיים תקנה זו, שכן מניין הברכות שבסדר התפילה הוא קרוב לתשעים, ובתוספת ברכות הנהנין - קל להגיע למאה ברכות. אולם בשבת וימים טובים, שבתפילת העמידה שלהם ישנם רק שבע ברכות בלבד, על מנת להגיע למאה ברכות יש להוסיף ברכות שונות כגון על מאכלים ועל בשמים.
סוגי הברכות.
לפי הרמב"ם, הברכות נחלקות לשלוש קבוצות:
ברכות השבח וההודאה כוללות את הברכות הבאות:
משמעות הברכה.
מספר פירושים למשמעות המילה ברכה, ולתפקידו של המברך:
נוסח הברכה.
פותח בברוך וחותם בברוך.
הברייתא במסכת ברכות קובעת כי . לכלל זה יש ארבעה יוצאים מן הכלל: ברכת הפירות וברכת המצוות, ברכה הסמוכה לחברתה (רצף של שתי ברכות או יותר), ברכה אחרונה של קריאת שמע וברכת הטוב והמטיב. הראשונים סיפקו הסברים שונים למקרים החריגים. על סמך דברי המשנה והתוספתא במסכת ברכות פסק הרמב"ם: "מקום שהתקינו לחתום בברוך אינו רשאי שלא לחתום, ומקום שהתקינו שלא לחתום אינו רשאי לחתום, מקום שהתקינו שלא לפתוח בברוך אינו רשאי לפתוח, מקום שהתקינו לפתוח אינו רשאי שלא לפתוח".
ברכה בשם ומלכות.
מלבד התוכן המיוחד לברכות רבות קיימת פתיחה כללית: "ברוך אתה אדוני אלוהינו מלך העולם" - פתיחה המכונה "שם ומלכות". בשולחן ערוך נפסק על סמך דברי רב ורבי יוחנן במסכת ברכות: "כל ברכה שאין בה הזכרת שם ומלכות אינה ברכה". כלומר, אין מקיימים את חובת הברכה אם הנוסח אינו כולל את אמירת שם ה' והזכרת מלכותו - "מלך העולם".
לכלל זה קיימים כמה חריגים, כגון ברכות תפילת שמונה עשרה, ברכת אלוהי נשמה וברכה מעין שבע שבהן לכאורה אין ציון למלכות ה' בעולם. בתוספות ובבית יוסף הובאו הסברים להשמטה בברכות אלו. על סמך דבריהם כתב המגן אברהם שגם במקרים אחרים בהם נמצא נוסח של ברכה ללא שם ומלכות, אין להניח שמדובר בטעות, אלא יש למצוא את הסיבה לכך. נוסחים נוספים שבהם התקיים דיון בפוסקים לגבי חוסר אזכור שם ומלכות הם: תפילת הדרך, נוסח ההבדלה "ברוך המבדיל בין קודש לחול" שנאמר במוצאי שבת וברכת הזימון. לעיתים, כאשר קיים ספק האם יש חובה לברך ברכה כלשהי או לא, העדיפו הפוסקים להכריע שלא לברך על מנת להימנע מחשש של ברכה לבטלה, ובמקום זאת הציעו לומר את נוסח הברכה ללא הזכרת שם ומלכות.
המשנה ממטבע שטבעו חכמים.
במסכת ברכות נחלקו התנאים רבי מאיר ורבי יוסי לגבי מי ששינה ואמר נוסח אחר מכפי שתיקנו חכמים: "ראה פת ואמר כמה נאה פת זו ברוך המקום שבראה יצא, ראה תאנה ואמר כמה נאה תאנה זו ברוך המקום שבראה יצא, דברי ר' מאיר. ר' יוסי אומר, כל המשנה ממטבע שטבעו חכמים בברכות לא יצא ידי חובתו". בהלכות ברכות סיכם הרמב"ם: כלומר, לכתחילה אין לשנות כלל מהנוסח המקובל שאותו תיקנו חכמים, אך בדיעבד מי שבירך בנוסח שונה, ואפילו בלשון חול, אם הזכיר שם ומלכות ואמר את עיקר העניין עליו נסובה הברכה, יצא ידי חובתו ואינו צריך לחזור ולברך.
ההשלכות של סוגיה זאת נוגעות הן לאמירת הברכה בנוסח שונה או בלשון שאינה לשון הקודש, והן להחסרת או הוספת מילים בתוך נוסח הברכה (דבר שהיה מצוי בקהילות שנהגו לומר פיוטים בברכות קריאת שמע). רבי יוסף קארו פסק בשולחן ערוך שאם במקום "ברכת הזן", הברכה הראשונה בברכת המזון, אמר בארמית: "בריך רחמנא מלכא מריה דהאי פיתא" - יצא ידי חובתו, כיוון שהזכיר שם ומלכות ואמר את עיקר עניין הברכה. לדעה זו גם דברי המשנה "מקום שאמרו...לחתום - אינו רשאי שלא לחתום" נאמרו רק לכתחילה, אמנם לדעה הנוספת שהובאה בשולחן ערוך צריך גם לחתום ב"בריך רחמנא דזן כולא".