על פי הקונצנזוס המדעי, הסתירה נובעת מההשפעות הקטנות של הצמיגות. התיאוריה הפוטנציאלית מזניחה לחלוטין את קיומן אך במציאות יש להן חשיבות על הזרימה. במהלך המאה ה-19 היו התקדמויות עצומות בתחום של חיכוך בזרימה צמיגה; התקדמויות אלו כללו התקדמויות ניסיוניות ותאורטיות. בפרט, בעניין הפרדוקס, התקדמויות אלו הגיעו לשיאן בגילוי ותיאור של שכבות גבול דקות על ידי לודוויג פרנטל ב-1904. פרנטל גילה שאפילו במספרי ריינולדס גבוהים מאוד, ייוצרו שכבות גבול דקות כתוצאה מכוחות הצמיגות. על אף ששכבות אלו דקות, פרנטל הראה שקיומן יוצר אזור לחץ נמוך במרד הזרם ובכך יוצר גרר על גופים.
מבחינה מעשית, הפרדוקס נפתר בהתאם לתיאור שהוצע על ידי פרנטל. אך מבחינה פורמלית - מתמטית - חסרה הוכחה שהזרימה אותה פרנטל הציע היא הזרימה המתקבלת מפתרון מלא של משוואות נאוייה-סטוקס (אשר בהן משתמשים לתאר זרימה צמיגה). הוכחה זו קשה לספק, כמו בבעיות רבות אחרות בזרימה המערבות את משוואות נאוויה-סטוקס.
חיכוך צמיגי: סן-ונה, נאוויה, וסטוקס.
הצעדים הראשונים לקראת פתרון הפרדוקס נעשו על ידי סן-ונה, שמידל חיכוך נוזל צמיג. הוא כתב בשנת 1847:
זמן קצר לאחר מכן, בשנת 1851, סטוקס חישב את הגרר הפועל על כדור בזרימת סטוקס, המכונה חוק סטוקס. זרימת סטוקס מתרחשת בגבול התחתון של מספרי ריינולדס בהן משוואות נאוויה-סטוקס עוסקות.
עם זאת, כאשר הזרימה מתוארת על ידי המשוואות הלא-ממדיות, משוואות נאוויה-סטוקס הצמיגות מתכנסות למשוואות אוילר הבלתי צמיגות בגבול של מספרי ריינולדס גבוהים. דבר זה מעיד שהזרימה צריכה להתכנס לפתרון הבלתי צמיג של זרימה פוטנציאלית. כלומר, הגבול התאורטי של משוואות הזרימה במספר ריינולדס גבוה מוביל לתוצאה תאורטית של אפס גרר עליה מצביע פרדוקס ד'אלמבר. באופן מעשי הזורם מפעיל גרר לא אפסי בזרימה זו. לכן, שאלות הנוגעות לאמינות של מכניקת זורמים הועלו שוב במחצית השנייה של המאה ה-19.
היפרדות של זרימה לא צמיגה: קירכהוף וריילי.
במחצית השנייה של המאה ה-19, המוקד עבר שוב לכיוון שימוש בתאוריית זרימה לא צמיגה לתיאור של גרר - בהנחה שהצמיגות הופכת להיות פחות חשובה במספרי ריינולדס גבוהים. המודל המוצע על ידי קירכהוף וריילי היה מבוסס על התאוריה של הלמהולץ ומורכב משובל תמידי מאחורי הגוף. ההנחות אשר חלו על האזור של השובל כוללות: מהירות הזורם שווה למהירות הגוף, והלחץ קבוע. האזור של שובל זה מופרד מהזרימה הפוטנציאלית שמחוץ לגוף ולשובל בעקבות מערבולות סדורות עם קפיצות רציפות במהירות המשיקית על פני הממשק. על מנת לקבל שאין אפס גרר על הגוף, אזור השובל חייב להמשיך עד אינסוף. ניתן לפתור באופן מלא את התיאוריה הזו עבור זרימת קירכהוף בניצב למשטח. התאוריה קובעת בצורה נכונה שכוח הגרר צריך להיות פרופורציונלי לריבוע של המהירות. בהתחלה, התאוריה יכלה להיות מיושמת רק לזרימות המופרדות בקצוות חדים. מאוחר יותר, בשנת 1907, התאוריה הורחבה על ידי לוי-צ'יוויטה לזרימות המופרדות מגבולות חלקות ומעוגלות. כבר בעת פיתוח התיאוריה, היה ידוע שחלק מהנחות התיאוריה אינן מתקיימות במציאות מאחר שבאופן מעשי בזרימות כאלו השובל אינו יציב, שכן, המערבולת הסדורות פיתחו אי יציבות קלווין – הלמהולץ. מודל זה של זרימה מתמידה נחקר עוד בתקווה שעדיין יוכל לתת אומדן סביר של גרר.
עם זאת, התנגדויות בסיסיות התעוררו כנגד גישה זו: קלווין ציין שאם משטח נע במהירות קבועה דרך הנוזל, והמהירות בשובל שווה לזו של המשטח. ההיקף האינסופי של השובל - המתרחב ככל שהמרחק מהמשטח מתרחק כפי שמתקבל מהתאוריה - משמעותו שיש אנרגיה קינטית אינסופית בשובל. משמעות שאנחנו חייבים לדחות על בסיס פיזיקלי. יתר על כן, הפרש הלחצים הנצפה בין החלק הקדמי והחלק האחורי של המשטח וכוחות הגרר כתוצאה מכך, הם הרבה יותר גדולים מהצפוי: למשטח שטוח בניצב לזרימה מקדם הגרר המחושב הוא formula_1, ואילו בניסויים formula_2. זאת, בעיקר בשל שאיבה בצד השובל של המשטח, הנגרם על ידי הזרימה הבלתי יציבה בשובל האמיתי (בניגוד לתאוריה שמניחה מהירות זרימה קבועה ששווה למהירות של המשטח). לכן, תאוריה זו אינה מספקת כדי להסביר את הגרר שפועל על גוף בזרימה.
שכבות גבול דקות: פרנטל.
הפיזיקאי הגרמני לודוויג פרנטל הציע בשנת 1904 כי ההשפעות של שכבת גבול צמיגה דקה אולי יכולה להיות המקור של גרר משמעותי. פרנטל שיער, שבמהירויות גבוהות ומספרי ריינולדס גבוהים, תנאי שפה של אי-החלקה גורם לווריאציה משמעותית של מהירויות הזרימה בשכבה דקה בקרבת הגוף. זה מוביל ליצירה של ערבוליות ופיזור צמיג של אנרגיה קינטית בשכבת הגבול. פיזור האנרגיה, אשר חסרה בתאוריות של זרימה לא צמיגה, מסבירה את ההפרדה של הזרימה על גבי גופים שאינם פשוטים. הלחץ הנמוך באזור השובל יוצרות גרר צורה, אשר יכול להיות גדול יותר מאשר גרר החיכוך בשל לחץ הגזירה הצמיגי על הקיר.
ניתן לראות ראיות לכך שהתרחיש של פרנטל קורה עבור גופים לא פשוטים בזרימה של מספרי ריינולדס גבוהים בהסתכלות על זרימה המתחילה באימפולסיביות סביב גליל. בתחילה הזרימה דומה לזרימה פוטנציאלית, לאחר מכן הזרימה נפרדת מהמשטח ליד נקודת הסטגנציה האחורית. לאחר מכן, נקודות ההפרדה מתחילה לנוע במעלה הזרם, וגורמת לאזור לחץ נמוך של זרימה מופרדת.
פרנטל שיער שהתופעות של צמיגות חשובות בשכבות דקיקות - הנקראות שכבות גבול - סמוכות לגבולות מוצקים, ושלצמיגות אין כל חשיבות מחוץ לגבולות אלו. עובי שכבת הגבול הופך להיות קטן יותר כאשר הצמיגות פוחתת. הבעיה המלאה של זרימה צמיגה, שתוארה על ידי משוואות נאוויה סטוקס הלא ליניאריות, היא לא פתירה מבחינה מתמטית באופן כללי. עם זאת, בשימוש בהשערתו (וגיבויה על ידי ניסויים) פרנטל היה מסוגל להפיק מודל משוער לזרימה בתוך שכבת הגבול, הנקראת תיאורית שכבות-גבול, והזרימה מחוץ לשכבת הגבול יכולה להיות מטופלת באמצעות התאוריה של זרימה בלתי צמיגה. תיאורית שכבת גבול ניתנת להרחבה אסימפטוטית לקבלת פתרונות מקורבים. במקרה הפשוט ביותר של משטח המקביל לזרימה, תאוריית שכבת-גבול תניב גרר (חיכוך) בעוד שכל תאוריה של זרימה לא צמיגה תחזה גרר אפס.
במקרים אווירודינמיים, התאוריה של פרנטל ניתנת ליישום ישירות לגופים יעילים כמו כנפיים דקים בהם, יש גרר על המשטח כתוצאה ויש גם גרר צורה אשר נובע מההשפעה של שכבת הגבול הדקה והשובל הדק שנוצר על הפיזור לחצים מסביב לכנפיים דקות.
שאלות פתוחות.
לוודא, כפי שפרנטל הציע, שלגורם בעל משמעות זניחה (השפעת הצמיגות זניחה ככל שמגדילים את מספר ריינולדס) יש השפעה גדולה - גרר משמעותי - עשוי להיות משימה קשה מאוד. המתמטיקאי גארט בירקהוף בפרק הפתיחה של ספרו הידרודינמיקה, כותב על מספר פרדוקסים של מכניקת זורמים (כולל פרדוקס ד’אלמבר) ומביע ספק ברור בפתרונות הרשמיים שלהם:
בפרט לפרדוקס ד’אלמבר, הוא מעלה עוד דרך אפשרית ליצירתו של גרר: חוסר יציבות של הפתרונות האפשריים של הזרימה הפוטנציאלית למשוואות אוילר. בירקהוף קובע:
ב-1951 המתמטיקאי ג'יימס ג'יי סטוקר מבקר בחריפות את הפרק הראשון בספרו של בירקהוף:
במהדורה השנייה והמתוקנת של הידרודינמיקה של בירקהוף, שתי ההצהרות שלעיל לא הופיעו. החשיבות והתועלת של ההישגים שנעשו בנושא פרדוקס ד’אלמבר נבדקו על ידי סטיורטסון שלושים שנה לאחר מכן. מאמר הסקירה הארוך שלו מתחיל:
לפרדוקסים רבים בפיזיקה, הפתרון שלהם לעיתים קרובות נמצאת במעבר מעבר לתאוריה הזמינה. במקרה של פרדוקס ד’אלמבר, המנגנון החיוני לפתרונו סופק על ידי פרנטל באמצעות הגילוי והמידול של שכבות גבול צמיגות ודקות - אשר על אף שהן דקות הן אינן זניחות במספרי ריינולדס גבוהים.
הוכחה של אפס גרר בזרימה פוטנציאלית תמידית.
זרימה פוטנציאלית.
שלוש ההנחות העיקריות בגזירה של פרדוקס ד'אלמבר הן שהזרימה הקבועה היא בלתי דחיסה, לא צמיגה, ואי רוטציונית. נוזל לא צמיג מתואר על ידי משוואות אוילר, שבזרימה בלתי דחיסה נראות כדלהלן:
כאשר formula_4 הוא מהירות הזורם, formula_5 הלחץ, formula_6 הצפיפות, וformula_7 הוא אופרטור הגרדיאנט. ההנחה שהזרימה היא רוטציונית גוררת שהמהירות מקיימת formula_8 ולכן אנחנו מקבלים:
כאשר השוויון הראשון הוא זהות והשוויון השני נובע מהעובדה שהזרימה אי-רוטציונית. בנוסף, לכל זרימה אי-רוטציונית, קיימת פונקציית מהירות formula_10 כך שformula_11. הכנסת כל זה למשוואת שימור התנע נותן:
לכן, החלק שבסוגריים חייב להיות קבוע (כל תלות שיש בזמן יכולה להתבטל על ידי הגדרה מגדש של formula_10). בהנחה שהזורם נמצא במנוחה באינסוף ושהלחץ מוגדר כאפס שם, הקבוע שווה לאפס, ולכן:
formula_14:
שזה משוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית לא יציבה.
אפס גרר.
אם גוף נע במהירות קבועה formula_15 דרך הנוזל שנמצא במנוחה רחוק מאוד - באינסוף. לכן שדה המהירות של הנוזל חייב להקבע על ידי הגוף, ולכן הוא מהצורה formula_16 כאשר formula_17 הוא הקוארדינטה של הווקטור המרחבי, ולכן:
מכיוון שformula_19, אפשר לעשות אינטגרציה לפי formula_17 ולקבל:
הכוח formula_22 שהנוזל מפעיל על הגוף מחושב באמצעות אינטגרל משטחי:
כאשר formula_24 הוא שטח הגוף, וformula_25 הוא וקטור הנורמל למישור הגוף. אבל ממשואה (2) אנחנו מקבלים:
לכן:
כאשר התרומה של formula_28 לאינטגרל שווה לאפס.
בשלב זה נהיה הרבה יותר פשוט לעבוד עם רכיבי הווקטור. הרכיב הformula_29 של המשוואה הזאת הוא:
אם formula_31 הוא הנפח של הנוזל, אזי על פי משפט גאוס: