השקפותיו על העבדות וזכויות המדינות.
נלסון היה אחד מכותבי פסקי הדין הפוריים ביותר בתקופת נשיאותו של טוני בבית המשפט העליון, אך כמה מפסקי הדין שלו נגעו לשאלות החוקתיות הבוערות ביותר באותה תקופה: העבדות וזכויות המדינות.
ב-1834 טענה מרי מרטין שג'ק "מרטין", אדם שחור מניו יורק, היה העבד שלה בלואיזיאנה. היא הגישה תביעה להשבתו ללואיזיאנה. ג'ק התנגד, בטענה שהן הוא והן מרי מרטין היו באותה עת תושבי ניו יורק, ושהוא היה אדם חופשי על פי חוקי מדינת ניו יורק, שביטלה את העבדות בתחומיה. מדינת ניו יורק חוקקה בנפרד חוק בנוגע לנוהל להחזרת עבדים נמלטים. הרשם של העיר ניו יורק הוציא מסמך להחזרתו של ג'ק מרטין, אך בה בשעה גם הוציא צו הביאס קורפוס לאור עתירתו. בית המשפט המחוזי פסק לטובתה של מרי מרטין, אך התיק הועבר לבית המשפט העליון של מדינת ניו יורק. פסיקתו של בית המשפט הזה, שנכתבה על ידי נלסון, קבעה שהסמכות לחוקק חוקים הנוגעים לעבדים נמלטים הייתה אך ורק בידי הקונגרס, ולפיכך החוק של מדינת ניו יורק בטל מעיקרו. פסיקה זו אושרה על ידי בית המשפט העליון של ארצות הברית בפסק הדין "פריג נגד פנסילבניה" .
דרד סקוט נגד סנדפורד.
בפסק דין דרד סקוט נגד סנדפורד הוטלה מלכתחילה על נלסון משימת כתיבת פסק הדין של הרוב. חוות דעת זו אישרה את החלטת בית המשפט של מדינת מיזורי נגד סקוט (בפסק הדין סקוט נגד אמרסון), אך בשאלה הצרה אם סקוט הפך לאדם חופשי בשל מגוריו הזמניים במדינת חירות. נלסון, שכהרגלו נמנע ממחלוקות ומהזדהות עם מחנה מסוים בהרכב השופטים, לא התייחס לאף אחת מהשאלות שעלו בתיק, כמו שאלת אזרחותם של השחורים ותאימותה לחוקה של פשרת מיזורי.
בעת שנלסון עסק בהכנת פסק הדין, החליטו השופטים ג'ון מקלין ובנג'מין רובינס קרטיס לכתוב חוות דעת מיעוט תקיפות. כשנודע לו על כך, החליט הנשיא טוני, בתמיכתם של השופטים הדרומיים האחרים, לכתוב את חוות דעת הרוב שבה הוכנסה ההשקפה הדרומית בסוגיות אלו: ששחורים לא יכולים להיות אזרחים ושהמגבלות של הפשרה על העבדות נגדו לחוקה.
על אף שינוי מהלך הדברים בבית המשפט, נלסון לא שינה את דעותיו. ב-6 במרץ 1857 פסק בית המשפט ברוב של שבעה מול שניים שדרד סקוט ומשפחתו נותרו עבדים. נלסון הגיש חוות דעת משלימה לפסק הדין. בחוות דעת זו הוא הסביר את נימוקיו הנפרדים. הוא כתב ששאלת העבדות היא כזאת שכל מדינה אחראית להחליט באופן עצמאי, "בין אם באמצעות חקיקה או בין אם באמצעות החלטות בתי המשפט, ולפיכך, בהתייחס למקרה שהובא לפנינו, עניינה של מדינת מיזורי - השאלה באופן בלעדי נוגעת לחוקי מיזורי, וכאשר היא הוגדרה על ידי מדינה זו, זוהי חובתם של בתי המשפט הפדרליים ללכת בעקבות קביעתה של המדינה. במילים אחרות, למעט במקרים בהם הסמכות מוגבלת על ידי חוקת ארצות הברית, בסוגיית העבדות חוקי המדינה גוברים בתחום שיפוטה". כתוצאה מכך, לבתי המשפט הפדרליים אין שום סמכות שיפוטית ויש לדחות את הדיון בעתירה ללא דיון נוסף. בעוד שנימוקיו של נלסון היו שונים מאלו של טוני, הוא פסק שמעמדו של דרד סקוט כעבד היה עדיין תקף. נלסון היה דמוקרט צפוני ותומך האיחוד, ונאמר עליו שהוא נטה להשקפות נגד העבדות.
ערב מלחמת האזרחים פעל נלסון להשגת פשרה כדי למנוע את פרוץ המלחמה. בחורף 1861 הצטרף נלסון לשופט קמפבל כמגשרים בין תומכי הפרישה במדינות הדרום לבין הנשיא הנבחר אברהם לינקולן. גם לאחר פרוץ הקרבות, הוא ניסה למצוא פשרה. נלסון חש מצוקה בשל כישלונו. אף על פי שהוא התנגד בתוקף לקיום המלחמה, ומתח ביקורת על רבים מצעדיו של הנשיא לינקולן, הוא נותר נאמן לאיחוד.
פסק דין תיקי הפרס.
אחד מפסקי הדין הבולטים ביותר שנכתבו על ידי נלסון הייתה חוות דעת המיעוט שלו בפסק הדין "תיקי הפרס" . הנשיא לינקולן הכריז על סגר על נמלים במדינות הפורשות שייאכף על ידי צי ארצות הברית. ספינות הצי לכדו את הספינות שניסו לשבור את המצור והן נחשבו לפרס על פי המשפט הימי. בעלי הספינות עתרו להשבת ספינותיהם, בטענה שהמצור היה בלתי חוקי בשל העובדה שלנשיא לא הייתה הסמכות החוקתית להטיל אותו.
ב-1863 קבע בית המשפט ברוב של חמישה מול ארבעה שהמצור הוטל בהתאם לחוקה. נלסון כתב חוות דעת מיעוט, שאליה הצטרפו הנשיא טוני והשופטים ג'ון קאטרון ונתן קליפורד. הוא טען שהטלת סגר על נמלים ותפיסת רכוש של האויב היו פעולות מלחמתיות, ועל פי החוק הבינלאומי יכלו להיות מבוצעות רק לאחר הכרזה רשמית על מצב מלחמה. נלסון כתב ש"מלחמה לא יכולה להיות מוכרזת באופן חוקי על חלק של ארצות הברית ללא חקיקת חוק של הקונגרס, ושחוק כזה, כמובן, הוא הודעה רשמית לכל העולם, ושווה ערך להכרזה הפורמלית ביותר". לפיכך, הטלת הסגר על נמלי הדרום על ידי הנשיא לינקולן נגדה את החוקה. על נלסון נמתחה ביקורת רחבה על חוות דעתו זו.
לאחר המלחמה דחק נלסון בממשלה לצמצם את הענישה על הדרום המובס. נאמנותו של נלסון לאיחוד הוטלה בספק בשל עמדותיו.
שנותיו האחרונות.
ב-1871 מינה הנשיא יוליסס סימפסון גרנט את נלסון לשמש כחבר בוועדה משותפת עליונה לגישור בסוגיית . באותה עת הוא נעדר באופן זמני מכס השיפוט. זמן קצר לאחר מכן התדרדרה בריאותו וב-1872, זמן קצר לפני מותו, הוא התפטר מחברותו בוועדה.
חיים אישיים.
ב-1819 נשא נלסון לאישה את פמלה וודס, בתו של ג'ון וודס. לשניים נולדו שני ילדים. ב-1825, לאחר פטירתה של אשתו הראשונה, נשא נלסון לאישה את קתרין אן ראסל, בתו של חבר בית הנבחרים של ארצות הברית ג'ון ראסל. השניים גידלו את שני ילדיו מנישואיו הראשונים והביאו לעולם שישה ילדים נוספים. הבן הרביעי שילדה לו קתרין, רנסלר ראסל נלסון, היה לעורך דין ומונה כשופט הראשון בבית המשפט הפדרלי של מחוז מינסוטה.
סמואל נלסון נפטר ב-13 בדצמבר 1873 בקופרסטאון שבמדינת ניו יורק. הוא נטמן בבית הקברות לייקווד המקומי.
קוהומולוגיית הוכשילד
במתמטיקה, הומולוגיית הוכשילד היא תורת הומולוגיה עבור אלגברות אסוציאטיביות. המבנה הוגדר על ידי גרהרד הוכשילד ב-1945 עבור אלגברות מעל שדה, והוכלל לאלגברות מעל חוגים כלליים יותר על ידי אנרי קרטן וסמואל איילנברג (1956). ב-1962 הראה מארי גרסטנהבר כיצד לפרש את הקוהומולוגיה במונחים של דפורמציות.
הגדרה.
תהי A אלגברה אסוציאטיבית מעל שדה k. קוהומולוגיית הוכשילד של בי-מודול M מעל A (מימין ומשמאל) היא סדרה formula_1 של מרחבים וקטוריים מעל k, המקודדים תכונות יסודיות של A ושל M.
אפשר להגדיר את מרחבי ההומולוגיה והקוהומולוגיה באמצעות הפונקטורים הנגזרים Tor ו-Ext, כדלקמן: formula_2 ו- formula_3, כאשר formula_4. להלן נציג הגדרה מפורשת.
הרזולוציה החופשית.
האלגברה A היא בי-מודול מעל עצמה. כל חזקה טנזורית formula_5 היא בי-מודול מעל A, לפי הפעולה על הגורמים בקצוות. קומפלקס הוכשילד הוא הקומפלקס formula_6, שהדיפרנציאלים שלו מוגדרים לפי formula_7; כאן formula_8 היא פעולת הכפל. זוהי רזולוציה חופשית של A. משפט כללי באלגברה הומולוגית מראה שההגדרה של מרחבי הקומוהולוגיה אינה תלויה ברזולוציה (היינו אפשר היה לבחור רזולוציה פרויקטיבית כלשהי).
קומפלקס הקו-שרשרת.
כעת יהי M בי-מודול מעל A-A. הקוהומולוגיה ביחס ל-M מתקבלת על ידי הפעלת הפונקטור formula_9 על הרזולוציה שניתנה לעיל. לשם כך נוח לזהות formula_10. קומפלקס הקו-שרשרת המתאים ל-M הוא
formula_11, כאשר
formula_12.
הקומוהולוגיה.
מכיוון ש-formula_13 מתקיים גם formula_14, ולכן formula_15. בהתאם לכך, מגדירים את מרחבי הקוהומולוגיה (עבור formula_16) כמנות formula_17, כאשר formula_18.
הממד.
אם M בימודול אינג'קטיבי, אז formula_19 לכל formula_20. אם A אלגברה ספרבילית (כלומר, A פרויקטיבי כבי-מודול מעל A-A), אז formula_19 לכל formula_20 ולכל בי-מודול M. הממד של A מוגדר כ-n הגדול ביותר שעבורו formula_23 למודול כלשהו (או אינסוף אם אין כזה n). אם כך, הממד של אלגברה ספרבילית הוא אפס. גם הכיוון ההפוך נכון: לאלגברה יש ממד 0 אם ורק אם היא ספרבילית. אלגברה מממד אחד נקראת חופשית למחצה, או חלקה פורמלית בקטגוריה של אלגברות לא-קומוטטיביות.
מרחבי הקוהומולוגיה הראשונים.
לפי ההגדרה, formula_24 (ה"מרכז" של M).
נגזרות.
הגרעין של formula_25 הוא אוסף הנגזרות הפורמליות formula_26, בעוד שתמונת formula_27 כוללת את הנגזרות הפנימיות, formula_28. אם כך, formula_29 אם ורק אם כל נגזרת היא פנימית. כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב
formula_30 ממיין את המשלימים של M במכפלה הישרה למחצה formula_31 שהם איזומורפיים ל-A, עד כדי הצמדה באיברים מהצורה formula_32.
הרחבות.
הרחבה של A על ידי M היא אלגברה B המכילה את M כאידיאל כך ש-formula_33 ו-formula_34, כאשר פעולת A על M (מימין ומשמאל) מתלכדת עם המבנה של M כבי-מודול. שתי הרחבות הן שקולות אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות על M ועל A. שוב כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב formula_35 ממיין את ההרחבות של A על ידי M עד כדי שקילות; לכן formula_36 אם ורק אם כל הרחבה מתפצלת (כלומר שקולה למכפלה הישרה למחצה).
דפורמציות.