בערך בשנת 307 לפנה"ס הקים בית ספר לפילוסופיה בתוך גן שרכש, שהיה ממוקם בין הסטואה שבה לימד זנון מקיטיון לבין חורשת הזיתים שבה נמצאה האקדמיה האפלטונית. משיצא שמו כמורה מוכשר, נהרו אליו תלמידים רבים מיוון, רומי ואסיה הקטנה. בית הספר שלו קיבל את הכינוי "הגן", כי הלימודים נערכו בתוך הגן ותלמידיו נקראו "הפילוסופים של הגן". אפיקורוס הורה לתלמידיו לשנן בעל פה את עקרונות הפילוסופיה שלו.
האליטה של תקופתו הביעה מורת רוח רבה על כך שפתח את שערי בית ספרו גם לנשים ולעבדים. חלק ממבקריו ניסו לתאר את הגן, שרבים מהתלמידים התגוררו בתוכו, כמקום של שחיתות מוסרית והפקרות מינית. ביקורת זו נגדה לחלוטין את המציאות – בגן הייתה הקפדה על צניעות ומשמעת.
משנתו.
לאחר שהתעמק בתורת דמוקריטוס, אפלטון ואריסטו, הגיע אפיקורוס למסקנה כי מטרת הפילוסופיה היא להגיע למצב של שלוות נפש. הוא חיפש דרך להקל על הסבל ועל הצער האנושיים ולהגיע למצב של אושר. כנראה התווכח עם הפילוסופים מן האסכולה הסטואית, עם פולמון מן האקדמיה האפלטונית והשפיע על תורת האושר של תאופרסטוס מן האסכולה הפריפטטית.
אפיקורוס אימץ מדמוקריטוס את התפיסה שהחומר עשוי כולו אטומים הנמצאים בתנועה מתמדת, והוסיף על תורתו את הרעיון שתנועת האטומים אינה קבועה, אלא עשויה להיות נתונה לשינויים אקראיים, ובכך ביטל את הדטרמיניזם שבתורת דמוקריטוס ואפשר את הנחת קיומה של בחירה חופשית. באמצעות האטומים החושים מעבירים אלינו את תחושותינו ואת הרגשותינו. מדובר לא רק במושג שאנו מקבלים על אודות כל העצמים שמסביבנו, אלא גם בתחושות נפשיות הנוצרות באמצעות אטומים טהורים ביותר. המסרים שהחושים מעבירים אלינו הם תמיד נכונים, ורק המוח האנושי מסלף אותם. אפיקורוס מסביר באמצעות אטומים את היקום, את גרמי השמיים, את האלים את הנפש ואת המוות.
גם הנפש נתפסה על ידי אפיקורוס כעשויה אטומים, והיא חלק בלתי נפרד מהגוף – עם מות הגוף, גם הנפש מתפרקת ומפסיקה להתקיים. אפיקורוס הגדיר את הפילוסופיה כרפואה לנפש שמטרתה לגרום לנו להבין כי אין טעם בפחד מפני המוות, מכיוון שבמותם האנשים אינם קיימים עוד, וממילא לא יכול להתאנות להם בכך כל רע.
תורת האטומים של אפיקורוס משמשת כבסיס לתורת המוסר שלו המורכבת מן הדברים שבהם עלינו לחפוץ ומן הדברים שמהם עלינו להימנע למען רווחתנו. הוא טען שכל היצורים מרגע שהם נולדים רודפים אחר ההנאה ושונאים את הכאב. הוא הגדיר את ההנאה כתכליתם של חיים מאושרים. מדובר לא רק בהנאות החושים, אלא בעיקר בהנאות הנפש. שלוות נפש והימנעות מכאב משמען מצב של מנוחה, שמחה ותענוג שבו קיימת הרמוניה פנימית משוללת כאב וצער. אין משמעו של דבר שכל הנאה היא טובה וכל כאב הוא רע. עלינו להימנע מהנאות הגורמות למחלות, ולקבל את הכאב המוביל לבריאות טובה יותר. זו משמעותם של חיים מאושרים שהתבונה והזהירות מאפשרות לנו.
אפיקורוס לא הכחיש את קיומם של האלים, אך סבר כי הם מורכבים מאטומים ושוכנים בין עולמות מרובים. הם נתפסו בעיניו כאדישים לגורל האדם ולא מתערבים בענייניו, ולכן דחה את פולחן האלים והקרבת הקורבנות.
את תכלית חיי האדם ראה כחיפוש ההנאה והימנעות מסבל. הוא סלד מרדיפה אחר כבוד, כסף וסיפוק מיידי – שנתפסו בעיניו כאמונות שווא ממש כמו הפחד מפני המוות והאלים. את האושר האמיתי ראה אפיקורוס כפונקציה של חיים פשוטים, צנועים וישרים.
אפיקורוס ראה בידידות ערך עליון אך המליץ להימנע מפעילות ציבורית ומקשרי נישואין ואהבה בהם ראה מקור לסבל עתידי. את משנתו סיכם במילים: .
מורשתו.
אפיקורוס כתב מספר רב של כתבים, אבל מתוכם שרדו עד ימינו רק קטעים מעטים מחיבורו "על הטבע", שלוש איגרות, קובץ של אמרותיו, וכן צוואתו.
האסכולה האפיקוראית המשיכה להתפשט גם לאחר מותו, וקנתה חסידים רבים, והפכה לאחת מהדיסציפלינות הפילוסופיות הפופולריות במרחב ההלניסטי ובעיקר ברומא. עם זאת, קרנו ירדה עם התפשטות הנצרות וקריסתה של חברת המשכילים ההלניסטית-רומית עד שבימי הביניים לא נודע כלל. עיקר הידיעות על משנתו מגיעות ממקורות חיצוניים, ובעיקר משירתו הפילוסופית של המשורר הרומי בן האסכולה האפיקוראית, לוקרטיוס, "על טבע היקום", שהתגלתה מחדש רק ב-1417.
ביהדות מופיע המושג אפיקורוס כתואר לכופר. על-פי הרמב"ם, אפיקורס הוא אדם הכופר בנבואת משה רבנו, בנבואה בכלל, או . בעברית המודרנית התואר מתייחס למי שכופר באל או בתורה. המקור הקדום ביותר בעברית למושג זה נמצא כבר במשנה במסכת אבות, . בהקדמה לפרק חלק הסביר הרמב"ם כי המילה אפיקורוס . עם זאת, במורה הנבוכים הוא מוזכר מספר פעמים כפילוסוף "מי שאינו יודע מציאות ה' יתרומם ויתהדר, אלא דמה כי הדברים הווים ונפסדים בהתקבצות ובהתפרקות באופן מקרי, ושאין שם מנהיג ולא מסדר מציאות, והוא אפיקורוס וסיעתו ודומיו כפי שמספר אלכסנדר".
בתרבות המערבית, לעומת זאת, המילה "אפיקורואית" מתארת גרגרנות ונהנתנות.
הפירושים הללו מבוססים על תפיסה חלקית של אפיקורוס, שכאמור, לא דגל ברדיפה בלתי מרוסנת אחרי תענוגות.
יחס הזהב
יחס הזהב (או חיתוך הזהב) הוא קבוע מתמטי המעסיק את המדע והאמנות כבר מאות שנים. זהו מספר אי רציונלי המסומן באות היוונית פי (formula_1 ולעיתים formula_2):
formula_3.
יחס הזהב הוא הפתרון החיובי של המשוואה: formula_4
לפי ההשערות, יחס זה התגלה על ידי אחד מתלמידיו של פיתגורס; הוא תואר בספרו של אוקלידס, "יסודות", לפני כ-2,300 שנים. לוקה פאצ'ולי, מתמטיקאי איטלקי מתקופת הרנסאנס, הקדיש ליחס הזהב ספר שלם, וכינה אותו "הפרופורציה האלוהית".
היחס מייצג מידות וגדלים רבים בטבע, והחל מתקופת יוון הקלאסית, הוא גם משמש באמנות ובאדריכלות. את האות פי לתיאור היחס הציע המתמטיקאי האמריקני מארק באר.
הגדרות מתמטיות.
הצגה גאומטרית של ההגדרה.
שני גדלים a ו-b מקיימים את יחס הזהב אם היחס בין סכום הגדלים לבין הגדול מביניהם שווה ליחס שבין הגדול מביניהם לקטן מביניהם. בנוסחה:
באותה מידה, יחס הזהב מתקיים כאשר היחס בין הגדול לקטן שווה ליחס שבין הקטן לבין הפרש הגדלים. בנוסחה:
בהתקיים שוויון זה, היחס בין הגדלים האמורים שווה ליחס הזהב:
הצגה אלגברית של ההגדרה.
אם נסמן את יחס הזהב ב-"formula_8", נקבל את המשוואה האלגברית formula_9, הנגזרת
מהדרישה formula_10 שלעיל, או באופן שקול, מ-formula_11. משוואה זו שקולה למשוואה הריבועית formula_12, שלה פתרון חיובי ופתרון שלילי. הפתרון החיובי הוא
זהו המספר הממשי החיובי היחיד שמקיים את המשוואה הריבועית לעיל.
תכונות מתמטיות של יחס הזהב.
כמו כן, יחס הזהב שווה לשני הביטויים הבאים:
יחס הזהב וסדרת פיבונאצ'י.
סדרת פיבונאצ'י היא סדרת מספרים ששני איבריה הראשונים שווים ל-1, ולאחר מכן כל איבר בסדרה הוא סכום של שני האיברים הקודמים לו. תחילתה של הסדרה היא המספרים 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. (יש המגדירים את הסדרה כמתחילה במספר 0). נהוג לסמן ב-formula_17 את האיבר ה-n בסדרה. יוהאנס קפלר הראה שהמנה של כל שני איברים עוקבים בסדרת פיבונאצ'י שואפת ליחס הזהב. עם זאת, גם אם נחשב את היחס בין שני איברים עוקבים גדולים מאוד בסדרה, לעולם לא נקבל בדיוק את יחס הזהב, משום שכאמור, יחס זה אינו מספר רציונלי.
תכונה זאת אינה מיוחדת לסדרת פיבונאצ'י דווקא, אלא כל סדרה רקורסיבית בעלת התנאי formula_18, לכל תנאי התחלה, היחס formula_19 שואף ליחס הזהב ככל ש-n גדל.
אחת ההצגות הגאומטריות של הסדרה מתחילה בריבוע שאורך צלעו 1, כגודל האיבר הראשון. לריבוע זה מוצמד ריבוע נוסף בגודל 1x1, כך ששני הריבועים יוצרים מלבן שרוחבו 1 ואורכו 2, כגודל שני האיברים formula_20 ו-formula_21. בשלב הבא נצמיד למלבן ריבוע בגודל 2x2, ונקבל מלבן חדש בגודל 2x3. תוספת של ריבוע בגודל 3x3 תיצור מלבן בגודל 3x5, וכך הלאה. בכל שלב, ההוספה של ריבוע שאורך צלעו הוא האיבר הבא בסדרת פיבונאצ'י יוצרת מלבן שאורכי צלעותיו הם שני איברי פיבונאצ'י עוקבים. המלבנים המתקבלים מתקרבים יותר ויותר למלבן הזהב - מלבן שהיחס בין צלעותיו הוא יחס הזהב.
יחס הזהב מושג בקירוב טוב כבר באיבר ה-11:
באיבר ה-16, הדיוק משתפר:
חזקות.
חזקות טבעיות של יחס הזהב ניתנות להבעה על ידי צירופים של מספרי פיבונאצ'י, בצורה הכללית הבאה:
כך מתקבל
סדרות נוספות הקשורות ליחס הזהב.
סדרה נוספת הקשורה ליחס הזהב היא סדרת מספרי לוקאס, הנפתחת במספרים 2,1 וממשיכה כסדרת פיבונאצ'י כך שכל מספר הוא סכום שני הקודמים לו:
סדרה זו ידועה בכך ש-formula_33 formula_34 formula_35 ככל ש-n גדל. למשל: formula_36 ואילו formula_37.
גאומטריה של יחס הזהב.
מלבן הזהב.
מלבן הזהב הוא מלבן שהיחס בין צלעותיו הוא יחס הזהב.
תכונתו המיוחדת של מלבן הזהב היא שהוספת ריבוע אליו יוצרת מלבן זהב חדש. נראה זאת: אם נוסיף למלבן הזהב שמשמאל את הריבוע שצלעו a, נקבל מלבן חדש שצלעותיו הן a ו-a+b, שהיחס ביניהן הוא יחס הזהב - formula_1, זאת מאחר שאם
formula_39
כלומר היחס בין a+b ל-b הוא יחס הזהב בריבוע, אך היחס בין a ל-b הוא יחס הזהב, ולכן גם היחס בין a+b ל-a הוא יחס הזהב, שכן
formula_42.
קיימת טענה כי היוונים הקדמונים והמצרים הקדמונים התייחסו אל יחס הזהב כאל יחס אסתטי במיוחד, ולכן ניתן למצוא יחס זה במבנים מהעולם העתיק, כגון הפרתנון באתונה, וביצירות אמנות. השימוש ביחס הזהב, ככל שהוא קיים בתחומים אלה, מתבטא בעיקר באמצעות מלבן הזהב.
יחס הזהב, מחומשים ופנטגרמים.
למחומש משוכלל ולפנטגרם תכונות הקושרות אותם במישרין ליחס הזהב.