ההוכחה לא רק מראה קיום אלא גם מראה דרך מפורשת לבנות את האיבר, ולמעשה מוכיחה שכמעט כל האיברים ב-formula_10 יוצרים את ההרחבה.
משפט ארטין-שרייר
פיברוזיס
משפט ארטין-שרייר (הרחבות ציקליות)
בתורת השדות, משפט ארטין שרייר נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך שחבורת גלואה של הרחבה סופית מעל שדה ממציין formula_1 תהיה ציקלית מסדר formula_1. בכך הוא מצטרף למשפט קומר שעושה זאת על הרחבות מסדר זר למציין השדה.
המשפט.
תהי formula_3 הרחבת שדות לא טריוויאלית, כאשר formula_4. אז היא גלואה וחבורת גלואה שלה מעגלית מסדר formula_1 אם ורק אם formula_6 עבור formula_7 המקיים formula_8.
הוכחה.
כיוון אחד: נניח formula_9 מעגלית מסדר formula_1. יהי formula_11 יוצר שלה. אז
ולכן ממשפט 90 של הילברט, יש formula_13 כך ש-formula_14. מכאן formula_15 ומכאן formula_16. אז formula_17 כי formula_18, וכיוון ש-formula_19 אז formula_20 ולכן
ובסך הכל formula_22 ולכן formula_6. כמו כן לכל formula_24 מתקיים
ולכן formula_26 נמצא בשדה השבת formula_27, כלומר: formula_28.
כיוון שני: נניח formula_6. נסמן formula_30. אז לכל j מתקיים formula_31 לפי המשפט הקטן של פרמה. לכן formula_32 מתפצל ב-formula_33. הוא גם פולינום ספרבילי כי הוא זר לנגזרת שלו (שהיא 1-) ולכן formula_3 הרחבת גלואה. כל איבר בה, formula_11, הוא K-אוטומורפיזם של formula_33 ולכן מעביר את formula_37 לשורש כלשהו של formula_32, formula_39. לכן אפשר להגדיר פונקציה formula_40 המקיימת formula_41. כאן formula_42 הוא השדה הראשוני מסדר p אבל אנו מסתכלים עליו כעל החבורה האבלית formula_43 עם חיבור מודולו p. נראה ש-formula_44 הוא איזומורפיזם של חבורות: יהיו formula_45. אז
ולכן formula_44 הומומורפיזם. תמונתו היא תת-חבורה של formula_48, לכן טריוויאלית או כולה. אבל אם היא הייתה טריוויאלית גם ההרחבה הייתה טריוויאלית, בסתירה להנחה. כמו כן הגרעין של formula_44 הוא formula_50 לכן הוא איזומורפיזם. לכן החבורה מעגלית מסדר formula_1 כרצוי.
מ.ש.ל.
טרי מק'אוליף
היורשים (דיסני)
היורשים (באנגלית: Descendants) הוא סרט טלוויזיה מוזיקלי מקורי של ערוץ דיסני ששודר לראשונה ב-31 ביולי 2015. הסרט מתעד את חיי ילדיהם של חלק מנבלי דיסני הגדולים ביותר כשהם לומדים בבית הספר יחד עם ילדיהם של הגיבורים. בסרט מככבים מיטשל הופ, שרה ג'פרי, ג'דדיה גודאייקר, דיאן דואן, בראנה דאמיקו, דאב קמרון, בובו סטיוארט, קמרון בויס וסופיה קרסון.
בשנת 2016 יצא לאור באנגלית ספר של "היורשים" ששמו "חזרה לאי האבודים", אותו כתבה הסופרת מליסה דה לה קרוז (כותבת "המכשפות מאיסט אנד"). לסרט יצא סרט המשך הממשיך את עלילותיהם של ארבעת ילדי הנבלים.
עלילת הסרט.
לאחר שבל והחיה נישאו, הם הקימו יחד עם הממלכות האחרות את "ארצות הברית של אורדון", איחוד של כל הממלכות, ונבחרו להיות שליטיה. את הנבלים מכל הממלכות, ביניהם קרואלה דה ויל, מליפיסנט, המלכה הרעה, וג'אפר, הם שלחו לאי הנמצא בסמוך ליבשה ונקרא "אי האבודים", עליו שומר קסם המונע מכל השוכנים בו לברוח או להשתמש בקסמים בעצמם.
שנים חלפו מאז ועתה לכולם, הגיבורים והנבלים, כבר יש ילדים. בן, בנם המתבגר של בל והחיה, צפוי לעלות לכס המלוכה בקרוב והוא כבר החליט מה תהיה ההכרזה הראשונה שלו: גאולה ליורשיהם של הנבלים. כניסיון לתוכנית החדשה הוא משחרר מהאי את קרלוס, מאל, איווי וג'יי, ילדיהם של ארבעת הנבלים שצוינו מעלה (Rotten To The Core). הארבעה מגיעים לבית הספר בו לומדים ילדיהם של כל הגיבורים מהאגדות עם משימה מהוריהם: עליהם לגנוב את שרביט הקסמים של הפיה הסנדקית על מנת שיוכלו לשחרר את שוכני "אי האבודים" מכלאם.
באמצעות מראת הקסמים של איווי, ארבעת היורשים מאתרים את שרביט הקסמים במוזיאון שנמצא סמוך לבית הספר. לאחר שפרצו למוזיאון, מאל נתקלת בפסל של אימה, והיא מתחילה לחקור את המשמעות של להיות טוב לעומת רע (Evil Like Me). ארבעתם נכשלים במשימה לאחר שג'יי מפעיל בטעות את האזעקה, והם בורחים.
ביום הראשון ללימודים, ג'יי מתגייס לקבוצת הפוטבול של בית הספר, קרלוס משתחרר מפחד הכלבים שלו ומתיידד עם הכלב של בית הספר, איווי פוגשת את צ'אד מקסים, שמנצל את התאהבותה בו כדי שתעשה לו את שיעורי הבית, ואילו מאל מתיידדת עם ג'יין, בתה של הפיה הסנדקית. מל מנצלת את חוסר הביטחון של ג'יין כדי להתיידד איתה, ומכשפת אותה כדי שתיראה יפה יותר, מה שגורם ללוני, בתה של מולאן, ולבנות אחרות לבקש ממאל שתעשה להן מהפך. איווי לומדת באמצעות בנו של שטיא, דאג שהפיה הסנדקית תשתמש בשרביט הקסמים בטקס ההכתרה של הנסיך בן, וכל בית הספר, כולל ארבעת היורשים המרושעים, מוזמן. הנסיך בן מבקר את מאל, שמבקשת ממנו לשבת קרוב לשרביט בטקס, אך בן עונה לה שרק המשפחה שלו והמשפחה של החברה שלו, אודרי, מורשים לשבת קרוב לשרביט. מאל רוקמת תוכנית כדי להפוך לחברה של בן ולקבל גישה לשרביט. בעת הכנת שיקוי האהבה, מאל ושאר חבריה מגלים שהם זקוקים לדמעה שנוצרה כתוצאה מעצב אמיתי, כדי לסיים את השיקוי. לוני מופיעה ומפריעה לקבוצה, ותוך כדי העלאת זיכרון ישן, היא מתחילה לדמוע על הארבעה שלא יודעים אהבה מהי, אפילו לא מהוריהם. מאל מזדרזת ולוקחת את הדמעה של לוני בלי ידיעתה, ומשתמשת בה כדי להשלים את השיקוי. לאחר מכן, מאל נותנת לבן את השיקוי, בצורה של עוגייה, והשיקוי נכנס לתוקף. אחרי שבן, ג'יי וקרלוס עובדים יחד כדי לנצח במשחק הפוטבול, בן מצהיר על אהבתו למאל (Did I Mention), מה שמרגיז את אודרי וגורם לה לפלרטט עם צ'אד, אשר בתורו מרגיז את איווי.
צ'אד גונב את מראת הקסמים של איווי, והיא נאלצת להיבחן במבחן מבלי לרמות. כשהיא מקבלת את הציון "טוב" במבחן, היא מבינה שהיא למעשה אינטליגנטית ושהיא מעולם לא הייתה צריכה את מראת הקסמים שלה, ומספרת על כך לדאג, שמתאהב בה. בן מזמין את מאל לדייט, ואיווי עוזרת לה להתכונן. בדייט, בן ומאל מתחילים להכיר אחד את השנייה. בן מזמין אותה לשחות, אך מאל מסרבת. בעודה צופה בו שוחה, מאל מתחילה לתהות אם הרגשות שלה כלפי בן הם אמיתיים (If Only). כשהיא אינה רואה אותו, היא קופצת למים במטרה לחפש אותו, אך מכיוון שהיא אינה יודעת לשחות, היא מתחילה לטבוע. בן מושך אותה מהמים, ושואל אותה אם היא באמת אוהבת אותו, היא משיבה לו שהיא אינה מכירה את התחושה של לאהוב. בן אומר לה שאולי הוא יוכל ללמד אותה את התחושה.
ביום ההורים (Be Our Guest), כל הארבעה משוחחים עם הוריהם בצ'אט, מכיוון שהם אינם יכולים לעזוב את "אי האבודים". בן מציג את מאל בפני הוריו, שמוכים תדהמה. עד מהרה, יום ההורים נהפך לאסון וכל הגיבורים וילדיהם מנדים ומשפילים את מאל, איווי, קרלוס וג'יי. איווי מרססת את צ'אד בשיקוי שינה שקיבלה ממאל, ולאחר מכן, כל הארבעה עוזבים בכעס, ובל וביסט מאשימים את בן בהשתלשלות האירועים. לאחר מכן, במהלך ארוחת צהריים, כל הנערים לועגים לארבעה. מאל מבטלת את קסם היופי שהטילה על ג'יין ומאיימת שתעשה את אותו הדבר לשאר הבנות.
ביום ההכתרה, מאל מגיעה לטקס עם מגש בראוניז, שבתוכו יש נוגדן לשיקוי האהבה, במטרה להתנצל בפני בן, אך מגלה שהשפעת השיקוי פגה בדייט שלהם, כשהוא נכנס לאגם במטרה לשחות, ולמעשה הוא היה מודע לכך כל הזמן, בבהלה, מאל שואלת אותו אם הוא זייף את הרגשות שלו כלפיה, והוא עונה לה שהרגשות שלו כלפיה אמיתיים ונותן לה את טבעת החותם שלו, באמונה שמאל נתנה לו את השיקוי מפני שהיא באמת מאוהבת בו. לאורך כל הטקס, מאל מתלבטת האם היא צריכה לגנוב את השרביט ולתת אותו לאימה, או אולי להיות אדם יותר טוב כפי שבן מצפה ממנה להיות. לפתע, ג'יין גונבת את השרביט במטרה לעשות לעצמה מהפך קסום, אך בטעות מבטלת את הקסם שמוטל על "אי האבודים", מה שמאפשר למליפיסנט, קרואלה דה ויל, ג'אפר והמלכה הרעה לברוח. מל מצליחה לחטוף את השרביט מג'יין, כדי למלא את רצונה של אימה, אך מנגד מסתפקת מפני שהיא מאוהבת בבן, שמשכנע אותה שהיא טובה ושהיא וחבריה צריכים לעשות את הבחירות שלהם ולא לחזור על הטעויות של הוריהם. בעודה מחזירה את השרביט לפיה הסנדקית, מל מודה שהיא אוהבת את החברים שלה ושלהיות עם בן בבית הספר זה מה שיעשה אותה מאושרת. מליפיסנט מופיעה פתאום ומקפיאה את כל הנוכחים בטקס למעט ארבעת היורשים המרושעים. מליפיסנט כועסת על מאל ואומרת לה שהיא נכשלה. מליפיסנט לוקחת את השרביט, אך כשמאל, איווי, קרלוס וג'יי מנסים למנוע ממנה לעשות זאת, היא הופכת לדרקון ענקי ותוקפת את הארבעה. מאל מצליחה להכניע את אימה, שנהפכת ללטאה קטנה. כל הנוכחים מופשרים, ומאל, איווי, קרלוס וג'יי בוחרים להיות טובים. לאחר מכן, במסיבה, כולם רוקדים ושרים יחד (Set It Off), אך מאל מחייכת חיוך ערמומי לעבר הצופה, רומזת לו שזה לא סוף הסיפור.
הפקת הסרט.
ב-12 בדצמבר 2013, ערוץ דיסני הודיע על ​​הפקת הסרט ושיחרר את תוכן העלילה. הצילומים החלו באביב 2014. קני אורטגה, במאי שעבד בעבר עם ערוץ דיסני על הטרילוגיה המצליחה היי סקול מיוזיקל, הכריז שיביים את הסרט.
הסופרת מליסה דה לה קרוז כתבה רומן שמהווה פריקוול לסרט בשם "אי האבודים", אשר יצא לאור ב-5 במאי 2015.
שידור הבכורה בארצות הברית זכה לכ-6.6 מיליון צפיות.
בישראל, הסרט הוקרן לראשונה ב-31 באוגוסט 2015.
ספיישל מאחורי הקלעים.
ב-9 באוגוסט 2015, בערוץ דיסני שידרו ספיישל מיוחד המתאר את הנעשה מאחורי הקלעים של הסרט, במהלכו השחקנים סיפרו על חוויית הצילומים על הסט. הספיישל שודר בערוץ דיסני ישראל ב-10 בספטמבר 2015.
ספין אוף אנימציה.