גם בבנייה הזו אנחנו מרוויחים תכונה חדשה: לכל מספר formula_16 שאינו אפס, יש מספר formula_21 הופכי ביחס לכפל. קבוצה בעלת כל התכונות האלה נקראת שדה סדור. השדה הסדור המתקבל נקרא שדה המספרים הרציונליים ומסמנים אותו באות formula_34. איבריו של השדה הזה הם מספרים רציונליים.
המספרים השלמים עדיין איתנו: אלו הם המספרים מהצורה formula_35. אפשר לחבר ולהכפיל אותם כמספרים שלמים (באמצעות הפעולות שהוגדרו ב- formula_23) או כמספרים רציונליים, ומתקבלת אותה תוצאה.
מספרים אלגבריים.
במערכת המספרים הרציונליים formula_37 אפשר לחלק, אבל יש לה שני חסרונות בולטים אחרים:
את הבעיה הראשונה אפשר לפתור עבור כל פולינום ופולינום באופן פרטני, על ידי יצירת הרחבות מתאימות של שדה הרציונליים (שדות אלו נקראים שדות מספרים). מכל ההרחבות האלה יחד אפשר לבנות את הסגור האלגברי של שדה הרציונליים (הנקרא שדה המספרים האלגבריים), שבו יש שורש לכל פולינום.
גישה זו של פתרון משוואות פולינומיות אינה מתגברת על חוסר השלמות שציינו קודם לכן. בנוסף לזה, כיוון שעדיין לא בנינו שדה גדול יותר, לא ברור איך לחבר איברים של הרחבות שונות זה עם זה, ולכן הבנייה של הסגור האלגברי די מסובכת (היא דורשת את הלמה של צורן). מתברר שגישה אחרת, המתמודדת רק עם החיסרון השני, פותרת בדרך אגב גם את הבעיה הראשונה, ולכן בפיתוח מסודר של מערכות המספרים לא רואים צורך לעצור בדרך לשם בנייה של שדה המספרים האלגבריים.
מספרים ממשיים.
כפי שציינו, שדה המספרים הרציונליים אינו שלם, והדבר מכביד מאוד על פיתוח מסודר של האנליזה.
המעבר לשדה שלם הוא מסובך יותר מהשלבים הקודמים, ולכך יש סיבה עקרונית. כל המערכות שראינו עד כאן: הטבעיים, השלמים, הרציונליים ואפילו המספרים האלגבריים, הן בנות מנייה. בבניית השדה השלם, שדה המספרים הממשיים, אנחנו צריכים לייצר קבוצה בעלת עוצמה גדולה יותר, במקרה הזה עוצמת הרצף.
את אי-השלמות של המספרים הרציונליים אפשר לנסח בשתי דרכים:
כנגד שתי המגבלות האלה של שדה הרציונליים, הוצעו ב-1872 שתי גישות לבניית שדה המספרים הממשיים.
ריכרד דדקינד הציע בנייה המבוססת על חתכי דדקינד, שהם קבוצות formula_41 של מספרים רציונליים (בשלב זה - אלו המספרים העומדים לרשותנו) המקיימות ארבע דרישות:
קבוצה בעלת תכונות אלה נקראת כאמור 'חתך דדקינד', וחתכים אלו הם המספרים הממשיים. דדקינד הראה איך להגדיר חיבור וכפל על קבוצות אלה, באופן שיכבד את כל התכונות הקודמות. את יחס הסדר מגדירים בעזרת ההכלה (מספר קטן יותר מוכל במספר גדול ממנו). אפשר לזהות את המספר הרציונלי formula_3 עם הקבוצה formula_48, וכך, פעם נוספת, מכילה הקבוצה החדשה עותק של הקבוצה הקודמת שבנינו.
את קבוצת החתכים מסמנים באות formula_49. זהו שדה סדור שלם מינימלי: הוא מוכל בכל שדה סדור שלם אחר. מכיוון שכך, שדה המספרים הממשיים הוא השדה הסדור השלם המינימלי היחיד (אם יש שניים כאלה, הם מוכלים זה בזה ולכן שווים).
באותה שנה הציע גאורג קנטור שיטה אחרת להשגת אותה מטרה. אצל קנטור 'מספר ממשי' הוא מחלקת שקילות של סדרות קושי של מספרים רציונליים, כאשר שתי סדרות קושי שקולות זו לזו אם סדרת ההפרשים מתכנסת לאפס. החיבור והכפל מוגדרים על-פי רכיבים. גם כאן התוצאה היא שדה סדור שלם מינימלי, ומכאן שקנטור ודדקינד בנו (באופנים שונים) את אותה המערכת.
מספרים מרוכבים.
לשדה המספרים הממשיים יש עדיין חיסרון אחד: אין בו שורש של מספרים שליליים. זו אינה בעיה ייחודית למספרים הממשיים - בכל שדה סדור (שדה שיש בו סדר, ולכן מספרים חיוביים ושליליים) המכפלה של חיובי בחיובי היא חיובית, וגם המכפלה של שלילי בשלילי היא חיובית, ומכאן שאין מספר שריבועו שלילי. אם רוצים שורשים למספרים שליליים, מוכרחים לוותר על יחס הסדר.
שדה כזה אפשר לקבל על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל על זוגות סדורים של מספרים ממשיים:
formula_50 ו- formula_51. את הזוג (a, b) מסמנים ב-a+bi. הקבוצה formula_52 הופכת תחת פעולות אלה לשדה סגור אלגברית שהוא גם מרחב מטרי שלם. שדה זה, אותו מסמנים ב-formula_53, נקרא שדה המספרים המרוכבים, והוא המצע לכל הפעילות באנליזה. בתור אוסף של זוגות סדורים, formula_53 הוא מרחב וקטורי מעל השדה הממשי, וממדו 2. אינטואיטיבית, מספר מרוכב הוא למעשה תוצאת חיבור של מספר מדומה, כלומר שורש של מספר שלילי, עם מספר ממשי - שורש של מספר חיובי.
יצירתם של המספרים המרוכבים מיוחסת לג'ירולמו קרדאנו בתחילת המאה ה-16, שנעזר בהם כדי לפתור את המשוואה ממעלה שלישית. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי רפאל בומבלי. באותה עת נחשבו מספרים כאלה לבלתי קיימים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן למספרים אלה. דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של אוילר וגאוס.
מערכות מספרים נוספות.
אלגברות קיילי-דיקסון.
מערכות מספרים גדולות משדה המספרים המרוכבים אינן מקיימות את מלוא התכונות של אלה, אבל יש להן כמה תכונות מעניינות. המבנה הטיפוסי כאן צריך להיות מרחב וקטורי מעל formula_49, שאפשר להגדיר בו פעולת כפל מוצלחת. מערכות כאלה אכן קיימות, אלא שבהיפוך מוזר של המגמה שראינו עד כה, בכל צעד של הבנייה מאבדים תכונה חשובה. מעל לשדה המספרים המרוכבים בנה ויליאם רואן המילטון את אלגברת הקווטרניונים, שאינה שדה אלא אלגברה לא קומוטטיבית עם חילוק. בקווטרניונים ישנם אינסוף עותקים של שדה המספרים המרוכבים.
אלגברת הקווטרניונים היא אלגברה אסוציאטיבית. קיימת אלגברה מממד 8, אלגברת האוקטוניונים, שהיא עדיין אלגברה עם חילוק (כלומר, לכל איבר שאינו אפס קיים הפכי), אבל אינה אסוציאטיבית: זוהי אלגברה אלטרנטיבית, המכילה עותק של אלגברת הקווטרניונים.
המעברים מן הממשיים למרוכבים, מן המרוכבים לקווטרניונים ומשם לאוקטוניונים הם כולם מקרים פרטיים של הבנייה של אלגברות קיילי-דיקסון, המייצרת מאלגברה עם אינוולוציה מממד n אלגברה חדשה, מממד 2n. האלגברה של קיילי-דיקסון מממד 16 היא אלגברה לא אסוציאטיבית שאינה אפילו אלטרנטיבית.
מערכות מספרים אריתמטיות.
שדות אחרים שאפשר לראות כמערכות של מספרים הן שדה המספרים ה-p-אדיים שהוא ההשלמה של השדה הרציונלי ביחס להערכה לא ארכימדית, והשדה של המספרים הסוריאליסטיים.
מספרים סודרים.
המעבר מן המספרים הטבעיים אל השלמים מבוסס על פעולת החיסור. אם מוותרים על פעולה זו ומעדיפים להכליל את תכונות הספירה של המספרים הטבעיים (כך שיכולו גם על גדלים אינסופיים), מתקבלים המספרים המונים, או המספרים הסודרים, הכוללים את המונים בתוכם.
מערכות מספרים בפילוסופיה של המתמטיקה.
מושגי מערכות המספרים עוררו תהיות פילוסופיות רבות. האם המספרים השלמים, הממשיים והמרוכבים "קיימים" באותה מידה? גם הוגיהם הראשונים של המספרים המדומים והמרוכבים סברו שמדובר במספרים דמיוניים. כך, לדוגמה, לאופולד קרונקר טען כי "אלוהים יצר את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה האדם".
ניתן לשאול בהקשר זה האם ניתן למצוא הקבלה לעולם החושי במספרים שונים. אפשר להקביל את המספר הטבעי 2 לשני תפוחים, את המספר השלם השלילי 2- לחוב של שני תפוחים ואת המספר הרציונלי 1/2 כחציו של תפוח. במספרים האי-רציונליים נתקלים בקושי מסוים במודל התפוחים, אך עבור אלו מהם הנכללים בשדה המספרים הניתנים לבנייה קל לפתור אותו. כך למשל את המספר האי רציונלי השורש הריבועי של 2 ניתן להציג, על פי משפט פיתגורס, כיחס בין אורך היתר לאורך הניצב במשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים.
לעומת זאת, עבור מספרים שאינם ניתנים לבנייה, ועל אחת כמה וכמה שאינם ממשיים, קשה למצוא עצם חוץ מתמטי שיקיים את תכונותיהם. עם זאת, המספרים המרוכבים שימושיים, בין השאר, בתורת החשמל ובמכניקת הקוונטים, כך שיש להם גם נגיעה לעולם הממשי.
התומכים בעמדה לפיה מעמדם של המספרים הממשיים והלא ממשיים שווה מזכירים כי כל מערכות המספרים נבנו כדי למלא חוסרים במערכת המוכלת בהם, וטוענים כי לפיכך אין הבדל מהותי בין בניית 2- כ"2 פחות 4" לבין בניית i כ"שורש הריבועי של 1-". אכן, מבחינה היסטורית המספרים השליליים והאי-רציונליים זכו ליחס מפקפק לא פחות מהמדומים, ובפרט ידוע סיפור העם על פיו השליכו תלמידיו של פיתגורס את תלמידו היפאסוס לנהר בשל גילוי האי-רציונליות של השורש הריבועי של 2. למעשה, האמירה לפיה פיתגוראים גילו את קיומם של מספרים אי-רציונליים היא אנכרוניזם. כל תגליתם היא שקיימים קטעים חסרי מידה משותפת, מה שמקביל בעיניים מודרניות לקיום מספרים אי-רציונליים, ולפיכך ניתן לראות שגם מה שנראה כגילוי שאין להכחישו, מקבל פרשנות אחרת בהתאם לחשיבה של אותו זמן. באופן דומה, בכל תקופת תור הזהב של המתמטיקאים היוונים איש מהם לא דן במספרים שליליים, רעיון שהתפתח רק בהודו במאה ה-7, פחות או יותר, אף על פי שהיו ידועות משוואות שתוצאותיהן, לכאורה, שליליות. באופן דומה, גם המספרים המרוכבים התקבלו רק כשהבשילו התנאים. ג'ירולמו קרדאנו, בבואו לפתור את המשוואה formula_56, הגיע לביטוי שכלל את המספר formula_57. בספרו "האמנות הגדולה" (Ars magna) פרסם קרדאנו פתרון הכולל התייחסות ראשונה לרעיון כי ייתכן מספר שהוא שורש ריבועי של מספר שלילי, אך קרדאנו לא הבין את גודל תגליתו וראה במספרים אלו "מספרים חסרי תועלת", והתפתחות המתמטיקה המתקדמת בנושא זה מאוחרת יותר. בכל אופן, גילוי () המספרים השליליים, האי-רציונליים והמרוכבים קדם לניסוח הריגורוזי של בנייתם מהמערכת הקודמת.