כאשר formula_12 and formula_13 הם סקלארים וכניסות אשר משתנות לאורך רצף אינדקסים formula_14. לכן, אם פונקציית כניסה יכולה להיות מיוצגת על ידי רצף של פונקציות כניסה, המחוברות בצורה "ליניארית", כפי שמוצג בדוגמה, אז פונקציית המוצא המתאימה יכולה להיות מיוצגת על ידי רצף פונקציות יציאה מתאימות, באותה טרנספורמציה ליניארית שבכניסה.
התוצאה היסודית במערכות LTI היא שכל מערכת LTI יכולה להיות מאופיינת כולה על ידי פונקציה אחת בשם תגובת ההלם של המערכת. המוצא של המערכת הוא פשוט קונבולוציה של הכניסה עם תגובת ההלם. שיטה זו של ניתוח נקראת לעיתים קרובות נקודת מבט של "מישור הזמן". אותה התוצאה נכונה עבור מערכות קבועות בזמן הדיסקרטי אשר האותות הן בזמן בדיד, והקונבולוציה מוגדרת על רצפים.
באופן שקול, ניתן לאפיין כל מערכת LTI במישור התדר על הפונקציות תמסורת של המערכת, שזה התמרת לפלס של תגובת ההלם של המערכת (או התמרת Z במקרה של מערכות בזמן הבדיד). כתוצאה ממאפיינים אלה, מוצא המערכת במישור התדר הוא סכום של פונקציה המעבר והטרנספורם של הכניסה. במילים אחרות, הקונבולוציה בזמן הבדיד שווה לכפל במישור התדר.
מערכת LTI טובה בתיאור מערכות חשובות רבות. רוב מערכות ה-LTI מתוארות כ"קלות לניתוח", לפחות ביחס לאלה שלא LTI. כל מערכת יכולה להיות ממודלת על ידי משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית עם מקדמים קבועים היא מערכת LTI. דוגמה למערכת כזאת הם מעגלים חשמליים המורכבת מנגדים, קבלים וסלילים (RLC).
מערכת שאינה קבועה בזמן אך ליניארית ניתנת לפתירה על ידי נוסחת גרין, למשל. ניתן להשתמש באותה שיטה כאשר נתוני הבעיה אינם מלאים.
מערכות רציפות.
תגובה להלם וקונבולוציה.
ההתנהגות של מערכת ליניארית וקבועה בזמן עבור הכניסה ("x"("t" ואות מוצא ("y"("t" מתוארת על ידי אינטגרל הקונבולוציה:
כאשר המעבר נעשה על ידי שימוש בתכונת הקומוטטיביות.
כאשר ("h"("t" היא התגובה להלם של המערכת: formula_19.
עבור מערכת ליניארית, "O" צריכה לספק את נוסחה 1:
והפעם Invariance הדרישה היא:
כעת נוכל לרשום את תגובת ההלם כ- formula_22.
באופן דומה:
כאשר הצורה של צד ימין של נוסחה 2 נשמרת עבור המקרה formula_24 ו- formula_25. נוסחה 2 מאפשרת את השלב הבא:
לסיכום, קלט הפונקציה, formula_27, יכולה להיות מיוצגת על ידי רצף של פונקציות הלם מוזזות בזמן, בשילוב "ליניארי", כפי שמוצג ב-Eq.1. תכונת הליניאריות של המערכת מאפשרת את תגובת המערכת להיות מיוצגת על ידי רצף של תגובות הלם מתאימות, מסוכמות באותה הדרך. והפעם תכונת הקביעות בזמן מאפשרת את ייצוג הקומבינציה להיות מיוצגת על ידי אינטגרל הקונבולוציה.
אקספוננטים כפונקציות עצמיות.
פונקציה עצמית היא פונקציה שעבורה הפלט של האופרטור היא מכפלה של אותה פונקציה בקבוע. זאת אומרת, "f" היא פונקציה עצמית של formula_28, אם
כאשר formula_30 הוא קבוע, שנקרא בהקשר זה ערך עצמי.
פונקציות האקספוננט formula_31, כאשר formula_32, הן פונקציות עצמיות של אופרטור ליניארי וקבוע בזמן. ניתן להוכיח זאת באופן הבא: נניח שהכניסה היא formula_33 . היציאה של המערכת עבור תגובה להלם: :formula_34
כאשר לפי תכונת הקומוטטיביות של הקונבולוציה, שקולה ל:
כאשר הסקלר
תלוי רק בפרמטר "s".
אז תגובת המערכת היא טרנספורמציה ליניארית של הכניסה. בפרט, עבור כל formula_37היציאה של המערכת היא הסכום של הכניסה formula_38 והקבוע formula_39. לפיכך, formula_38 הוא פונקציה עצמית של מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן (LTI), והערך העצמי המתקבל הוא formula_39.
הוכחה ישירה.
נאמר כי formula_42 אקספוננט מרוכב והגרסה המוזזת בזמן שלו הוא: formula_43 .
formula_44 כטרנספורמציה ליניארית של האקספוננט לפי הקבוע formula_45 .
formula_46 לפי קביעות בזמן לפי formula_47 .
אז, formula_48 . עבור formula_49 ונקבל:
formula_50
כלומר, עבור אקספוננט מרוכב formula_51 ככניסה, נקבל אקספוננט מרוכב עם אותו תדר במוצא.
התמרת פורייה והתמרת לפלס.
תכונת הפונקציה העצמית של אקספוננטים שימושית מאוד כדי להבין יותר על המערכת LTI. התמרת לפלס:
היא בדיוק הדרך למצוא את הערכים העצמיים מתוך התגובה להלם. בפרט, נתעניין בפונקציות סינוסוידליות טהורות (למשל פונקציות אקספוננציאליים מרוכבים מהצורה formula_53 כאשר formula_54 ו- formula_55). התמרת פורייה formula_56 מביאה את הערכים העצמיים עבור פונקציות סינוסוידאליות מדומות טהורות. שתי הפונקציות formula_39 ו- formula_58 נקראות "תגובת המערכת", "פונקציית המערכת" או פונקציית המעבר.
התמרת לפלס בדרך כלל משמשת אותות חד-צדדים, למשל, אותות ששווה לאפס עבור כל formula_59, כאשר formula_60 ערך קבוע כלשהו.
בגלל תכונת הקונבולוציה של שתי ההתמרות, הקונבולוציה שמביאה את מוצא המערכת יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה במישור התדר, עבור מערכות אשר קיימות במישור התדר:
תכונות חשובות של מערכות.
חלק מהתכונות החשובות ביותר של מערכת הן סיבתיות ויציבות.
סיבתיות.
מערכת נקראת "סיבתית" כאשר מוצא המערכת נקבעת אך ורק על פי ערכי הכניסה בעבר ובהווה.
בייצוג מתמטי:
כאשר formula_73 הוא התגובה להלם. באופן כללי, לא ניתן לדעת האם המערכת היא סיבתית מתוך התמרת לפלס, מפני שההתמרה ההפוכה אינה יחידה. רק כאשר התחום התכנסות ידוע, ניתן לדעת האם המערכת סיבתית.
יציבות.
מערכת נקראת "יציבה במובן BIBO" אם לכל כניסה חסומה נקבל מוצא סופי (כלומר, חסום גם כן). בייצוג מתמטי, אם כל כניסה שמקיימת:
מקבלים מוצא שמקיים:
במישור התדר, תחום ההתכנסות חייבת לכלול את הציר המדומה formula_81.
לדוגמה, מסנן מעביר תדרים נמוכים (LPF) אידיאלי עם תגובה להלם של פונקציית sinc היא לא יציבה במובן BIBO, מפני שנורמת L1 שלה לא סופית. לכן, עבור כניסה חסומה לאו דווקא נקבל מוצא חסום. בפרט, עבור הכניסה אפס ל-formula_82 ושווה לסינוסאויד בתדר cutoff ל- formula_83, אז המוצא לא תהיה חסומה לכל זמן מלבד אלה שחוצות את האפס.
מערכות בדידות.
כמעט לכל מערכת בזמן רציף יש חלק משלים במערכת בזמן בדיד.
מערכות בדידות ממערכות רציפות.
בהקשרים רבים, מערכת זמן בדיד (זמן דיסקרטי, DT) היא למעשה חלק ממערכת זמן רציפה (CT) גדולה יותר. לדוגמה, מערכת הקלטה דיגיטלית לוקחת צליל אנלוגי, מבצעת דיגיטציה, אולי מעבדת את האותות הדיגיטליים, ומשמיעה צליל אנלוגי.
באופן פורמלי, אותות דיסקרטיות שנחקרו כמעט תמיד נמדדים באופן אחיד אותות רציפות. אם formula_15 הוא אות רציף, ממיר אנלוגי לדיגיטלי יהפוך אותו לאות DT:
כאשר "T" זה זמן הדגימה. חשוב מאוד להגביל את טווח התדרים של אות הכניסה לייצוג נאמן באות בדיד, כיוון שמשפט הדגימה מבטיח שאף מידע על אות הרציף לא יאבד. אות בדיד יכול להכיל טווח תדרים של formula_86. תדרים אחרים "יתקפלו" לאותו טווח.
תגובה להלם וקונבולוציה.
יהי formula_87 ייצוג של הרצף formula_88.
יהי הייצוג הקצר יותר formula_89 תייצג formula_90.
מערכת בדידה הופכת לרצף קלט, formula_91 לרצף פלט, formula_92. באופן כללי, כל אלמנט של הפלט תלוי בכל רכיב הקלט. נייצג את אופרטור הטרנספורמציה על ידי formula_93, ועתה אנו יכולים לכתוב:
נשים לב שאם ההתמרה עצמה משתנה עם n, רצף הפלט הוא קבוע בלבד, והמערכת אינה מעניינת. במערכת טיפוסית, [y[n "תלויה בדרך כלל מהאלמנטים של x שהאינדקסים שלהם קרובים ל- n.
עבור מקרה מיוחד של הדלתא של קרונקר, formula_95, רצף המוצא יהיה התגובה להלם:
עבור מערכת ליניארית, formula_93 צריכה לספק את:
והתנאי לקביעות בזמן:
במערכת כזאת, התגובה להלם, formula_100, מתארת את המערכת לגמרי. כלומר, עבור כל רצף קלט, רצף הפלט יכול להיות מחושב במונחים של קלט התגובה להלם. כדי לראות איך זה נעשה, יש לשקול את הזהות:
אשר מייצגת את formula_89 כסכום של דלתאות במושקלים.
לכן,
כאשר עוררנו את נוסחה 4 עבור המקרה formula_104 ו-formula_105.
ובגלל נוסחה 5, נוכל לכתוב:
לכן:
אקספוננציאליים כפונקציות עצמיות.
פונקציה עצמית היא פונקציה שעבורה הפלט של האופרטור היא מכפלה של אותה פונקציה בקבוע. זאת אומרת, "f" היא פונקציה עצמית של formula_28, אם
כאשר formula_30 הוא קבוע, שנקרא בהקשר זה ערך עצמי.
את פונקציות האקספוננט formula_110, כאשר formula_111, הם פונקציות עצמיות של אופרטור ליניארי, וקבוע בזמן. formula_112 הוא קצב הדגימה, וכן formula_113, formula_114, formula_115. הוכחה פשוטה ממחישה את המושג הזה.
נניח שהכניסה היא formula_116 . היציאה של המערכת עבור תגובה להלם formula_117 יהיה:
כאשר לפי תכונת הקומוטטיביות של הקונבולוציה, שקולה ל:
כאשר הסקלר
תלוי רק בפרמטר "z".
אז formula_121 היא פונקציה עצמית של מערכת LTI מפני שתגובת המערכת שקולה לקלט כפול הקבוע formula_122.
התמרת Z והתמרת פורייה הבדידה.
תכנות הפונקציה העצמית של אקספוננציאליים שימושית מאוד כדי להבין יותר על המערכת LTI. התמרת Z:
היא בדיוק הדרך למצוא את הערכים העצמיים מתוך התגובה להלם. בפרט, נתעניין בפונקציות סינוסוידליות טהורות (למשל פונקציות אקספוננציאליים מרוכבים מהצורה formula_124 כאשר formula_54 ו- formula_55). התמרת פורייה הבדידה (DTFT) formula_127 מביאה את הערכים העצמיים עבור פונקציות סינוסוידאליות מדומות טהורות. שתי הפונקציות formula_128 ו- formula_129 נקראות "תגובת המערכת", "פונקציית המערכת" או פונקציית המעבר.
התמרת Z בדרך כלל מופעלת על אותות חד-צדדים, למשל, אות ששווה לאפס עבור כל formula_59, כאשר formula_60 ערך קבוע כלשהו.