הראשון שהראה שגודלו של הווקטור "A" נשמר עבור בעיית קפלר היה המתמטיקאי יאקוב הרמן (1710). הוא אף קישר בין גודל זה לבין אקסצנטריות המסלול. מאוחר יותר באותה שנה, הכליל יוהאן ברנולי את עבודתו של הרמן והראה כי גם כיוונו של הווקטור נשמר. בסוף המאה ה-18 (1799) גילה מחדש לפלס כי A נשמר. לפלס עשה זאת תוך שימוש בשיטות אנליטיות, להבדיל משיטות גאומטריות בהן השתמשו הרמן וברנולי. באמצע המאה ה-19 (1847) פיתח המילטון את וקטור האקסצנטריות (השקול לווקטור A), והראה בעזרתו כי בבעיית קפלר וקטור התנע p נע על פני מעגל. בתחילת המאה ה-20 (1901) קיבל גיבס את אותו וקטור על ידי שימוש באנליזה וקטורית. פיתוח זה של גיבס הופיע כדוגמה בספר לימוד בנושא אנליזה וקטורית של רונגה (1919).
הספר של רונגה צוטט על ידי לנץ במאמר שעסק בניתוח אטום המימן במסגרת "תורת הקוונטים הישנה" (1924). מעט מאוחר יותר (1926) השתמש פאולי בווקטור על מנת לקבל את ספקטרום האנרגיה של אטום המימן במסגרת "תורת הקוונטים החדשה". פאולי עשה זאת תוך שימוש בשיטות אלגבריות ולא הסתמך על משוואת שרדינגר. בעקבות המאמרים הנ"ל, נכנס הווקטור לתודעת קהיליית הפיזיקאים כ"וקטור רונגה-לנץ". בשנות ה-70, בעקבות מחקריו של הרברט גולדשטיין על ההיסטוריה של הווקטור, הוסף גם שמו של לפלס לשם הווקטור.
הגדרה מתמטית.
הגדרת וקטור לנץ עבור מערכת פיזיקלית של חלקיק יחיד הנע בהשפעת כוח ריבועי הפוך מן הצורה formula_1, נתונה על ידי:
formula_2
כאשר:
הגדרה זו תקפה גם לתנועה היחסית בין שני גופים לבעיה דו גופית עם כוח ריבועי הפוך. במקרה זה formula_10 היא המסה המצומצמת, formula_11 היא הקואורידנטה היחסית בין שני הגופים ו-formula_12 הם התנע והתנע הזוויתי של התנועה היחסית.
ניתן להגדיר וקטורים נוספים השקולים לווקטור לנץ. הגדרה מקובלת היא של וקטור האקסצנטריות:
formula_13
זהו בעצם וקטור לנץ המנורמל על מנת לקבל גודל חסר ממד.
תכונות בסיסיות.
נוכיח זאת.
לפי חוק שימור התנע הזוויתי L קבוע ולכן:
formula_15
נגזרת התנע לפי הזמן היא הכוח formula_16. כזכור, הכוח הווקטור מוגדר עבור הכוח formula_17. לפיכך:
formula_18
התנע הזוויתי כפונקציה של המהירות הזוויתית ω:
formula_19
כאשר formula_20 וקטור הכיוון המאונך ל-formula_20 ול-formula_20 (רכיבי המיקום והזווית). לפיכך,
formula_23
אולם, מתקיים:
formula_24
ולכן,
formula_25
כמו כן,
formula_26
משני הביטויים הקודמים מתקבל כנדרש:
formula_27
פתרון בעיית קפלר בעזרת וקטור לנץ.
בעזרת שימוש בווקטור לנץ ניתן לקבל את צורת המסלול בבעיית קפלר באופן הבא. נתבונן במכפלה הסקלרית formula_28 (θ היא הזווית בין הווקטורים A ו-r [ציור 2]). מתקיים:
formula_29
חישוב המכפלה המשולשת נותן:
formula_30
כלומר קיבלנו כי:
formula_31
ולאחר ארגון מחדש של האיברים, נקבל משוואה עבור המסלול formula_32 :
formula_33
זו משוואה של חתך קוני עם אקסצנטריות formula_34.
את "A" ניתן להביע בעזרת האנרגיה formula_35 והתנע הזוויתי "L". על ידי חישוב המכפלה הסקלרית של A עם עצמו מתקבל:
formula_36
וכך ניתן להביע את פתרון בעיית קפלר בעזרת תנאי ההתחלה (האנרגיה והתנע הזוויתי)
formula_37
לניתוח הפתרון שהתקבל ראו בעיית קפלר וחוקי קפלר.
התנהגות וקטור התנע בבעיית קפלר.
על ידי שימוש בעובדה כי וקטור לנץ ווקטור התנע הזוויתי נשמרים בבעיית קפלר, ניתן להראות כי וקטור התנע (או לחלופין וקטור המהירות) נע על גבי מעגל. חישוב המכפלה הווקטורית של L ו-A מניב משוואה עבור וקטור התנע:
formula_38
נקבע מערכת צירים בה ציר z בכיוון L וציר x בכיוון A, ונקבל כי מתקיים:
formula_39
כלומר וקטור התנע נע על פני מעגל ברדיוס "mk/L" שמרכזו ב-(0, "A/L") [ציור 3].
קבועי תנועה וסופראינטגביליות בבעיית קפלר.
בבעיית קפלר קיימים שבעה קבועי תנועה (גדלים שמורים): האנרגיה "E", שלושת רכיבי התנע הזוויתי L ושלושת רכיבי וקטור לנץ A. קיימים שני קשרים בין הגדלים הנ"ל - A · L = 0 ו- "A2 = m2k2 + 2 m E L2", כך שבסך הכל ישנם חמישה קבועי תנועה בלתי תלויים.
סלבדור סגי
סלבדור סגי רובינט (קטלאנית: Salvador Seguí Rubinat; 1886 - 10 במרץ 1923) מנהיג מתון בארגון האנרכו-סינדיקטי (ה-CNT) בקטלוניה שבספרד.
סגי נולד בליידה ונאלץ לצאת לעבודה בגיל צעיר. הוא עבד כצבע של בתים ונודע בכינוי "ילד הסוכר". סגי הושפע מכתבי ניטשה ונודע כרטוריקן מעולה וכריזמטי. נתמנה למזכיר איגוד פועלי הבניין של ברצלונה וארגן ספרייה ופעילות תרבותית עבור הפועלים. סגי היה סינדיקליסט, אך האמין באחדות של כל הפועלים ותמך בשנת 1910 בחזית משותפת עם הארגון הסוציאליסטי UGT. בשנים 1916 ו-1917 ניהל שיחות לשיתוף פעולה עם ה-UGT. מצד שני, סגי תמך בעצמאות ארגוני הפועלים ממפלגות פוליטיות ופעל בכיוון זה נגד מפלגתו הרדיקלית של אלחנדרו לרו והאנרכיסטים הממוסדים. סגי התנגד לפעולות טרור של עמיתיו האנרכיסטים. סגי היה קטלאני לאומי, וטען שעל הפועלים לעמוד לצידם של עמים הדורשים אוטונומיה או עצמאות מספרד.
במרץ 1919 הוא היה זה שקרא לעובדים לחזור לעבודה לאחר השביתה הכללית בברצלונה לאור ההסכמות שהושגו עם המושל האזרחי של העיר. הפרת ההסכמות לגבי שחרור העצורים על ידי הצבא הביאה לירידה בכוחו בארגון ה-CNT ולעליית כוחם של הקיצוניים בארגון. עם זאת, בדצמבר 1922 הוא נתמנה למזכיר הכללי של ה-CNT, וזכה לביקורת מצד אנרכיסטים טהורים על קשריו עם פוליטיקאים בשמאל הפוליטי הקטלני.
סגי נרצח ב-10 במרץ 1923, בהוראתו של מושל קטלוניה מרטינז אנידו. לאחר מותו דמותו הועלתה על נס על ידי מספר מפלגות בשמאל של ספרד, שכל אחת טענה לקרבה רעיונות אליו, גם אם בחייו הם בקרו אותו.
אנסטסיוס מנקה הצמר
אנסטסיוס מנקה הצמר (מת בשנת 304) הוא קדוש נוצרי בכנסייה הקתולית. אנסטסיוס היה מנקה צמר שהתגורר באקוויליה ועבר משם לסולין (או על פי גרסאות אחרות לספליט).
המסורת הנוצרית מחשיבה את אנסטסיוס למרטיר בשל מותו על אמונתו הנוצרית: הוא הוצא להורג בטביעה לאחר שהכריז על אמונתו הנוצרית קבל עם ועדה וצבע צורת צלב בפתח ביתו.
אנסטסיוס נחשב לקדוש המגן של מנקי הצמר והאורגים. יום חגו הוא ה-7 בספטמבר.
קיי אר רייקיאוויק
ליברפול (מועדון כדורגל)
רחוב דובאל
רחוב דובאל (באנגלית: Duval Street) הוא הרחוב הראשי של העיירה קי וסט באיי הקיז במדינת פלורידה שבארצות הברית. הרחוב חוצה את האי מצפון לדרום, כאשר קצהו הצפוני גובל במפרץ מקסיקו וקצהו הדרומי באוקיינוס האטלנטי בואכה קובה.
הרחוב מהווה אתר תיירות פופולרי, לאורכו מצויים חנויות, מסעדות ובתי מרזח (פאבים) רבים, בהם הפאב סלופי ג'ו. הרחוב קרוי על שמו של ויליאם פופ דובאל, המושל הראשון של טריטוריית פלורידה.
בחלקו הצפוני של הרחוב, בסמוך לכיכר מלורי מצויות חנויות בגדים (חולצות T ובגדי ים) ומזכרות רבות המיועדות לתיירים הרבים הפוקדים את האי (בעיקר אלו המגיעים לכיכר מלורי באוניות הנוסעים העוגנות בסמוך לה). בחלקו המרכזי של הרחוב מצויות חנויות יקרות יותר המיועדות בעיקר לתושבי האי. חלקו הדרומי של הרחוב מכיל חנויות המיועדות לתושבי האי (חנויות קמעונאיות שאינן מיועדות לתיירים המוכרות מוצרי צריכה שונים).
מערבית לרחוב נמצאים מתחם טרומן ובסיסי צי ארצות הברית, וכן מגדלור קי וסט ובית ארנסט המינגוויי. בסמוך לקצהו הדרומי של הרחוב נמצא אתר "הנקודה הדרומית ביותר בארצות הברית".
הרחוב מהווה מרכז לקהילה ההומוסקסואלית של קי וסט, וממוקמים בו פאבים רבים, מועדונים וכן בית קולנוע המשמשים את הקהילה.
"זחילת דובל" - "Duval Crawl".
רחוב דובל ידוע בחיי הלילה שלו ובמספר הפאבים הרב שבו. תושבי האי מכנים במונח "זחילת דובל" (באנגלית: Duval Crawl) על מנת לתאר באופן ציורי, תוך השאלת שם הרחוב, את התנהגותם הם ואת התנהגות התיירים העוברים מפאב לפאב לאורך הרחוב.
תומאס לואיס דה ויקטוריה
תומאס לואיס דה ויקטוריה (בספרדית: Tomás Luis de Victoria; 1548 - 27 באוגוסט 1611) היה מלחין ספרדי בשלהי תקופת הרנסאנס. הוא היה המלחין המפורסם ביותר בספרד של המאה ה-16 ואחד המלחינים החשובים ביותר של הקונטרה-רפורמציה, לצד ג'ובאני פלסטרינה ואורלנדו לאסוס.
חייו.
ויקטוריה נולד באווילה ובילדותו למד כנראה אצל אסקובדו בסגוביה. ידוע שנסע לרומא בסביבות 1564, שם נכנס למנזר גברים, שייסד איגנטיוס מלויולה כחלק ממאבקו בלותרניות. ייתכן שוויקטוריה למד אצל פלסטרינה בערך באותה תקופה, אם כי הראיה לכך נסיבתית; מה שברור הוא, שהושפע מן הסגנון האיטלקי. בשנת 1575 הוסמך לכמורה, לאחר פרק זמן של שירות במנזר כמאסטרו די קאפלה. מכל מקום, הוא לא נשאר באיטליה; בשנת 1586 חזר לספרד, הפעם בשירות הקיסרית האלמנה מריה, שנכנסה אותו זמן למנזר של דסקאלסאס ריאלס במדריד. ויקטוריה נשאר במנזר הנשים הזה עד סוף חייו ומילא שם כמה תפקידים - כומר, מלחין, מנצח מקהלה ונגן עוגב.
יצירתו.
ויקטוריה הוא אחד הנחשבים ביותר במלחיני מוזיקת הקודש בשלהי הרנסאנס, סוגה שלכתיבתה התמסר בלעדית. יצירותיו זכו במאה ה-20 להתחדשות, שבאה לביטוי במספר רב של הקלטות עכשוויות. פרשנים רבים שומעים במוזיקה שלו דריכות מיסטית ופנייה ישירה אל הרגשות, תכונות החסרות, לדעת חלק מהם, במוזיקה של פלסטרינה, הרוגעת יותר מבחינה רתמית והרמונית.