אחראי נוסף לחיבור שנוצר בין האשק הצעיר והוקי קרח היה סבו של האשק, שלקח אותו דרך קבע למשחקים של הקבוצה המקומית, טסלה פרדוביצה. האשק החל לשחק בקבוצות הגילאים של המועדון, ובגיל 16 נקרא לראשונה לקבוצה הבוגרת כשוער מחליף בשל פציעת אחד השוערים בקבוצה, ומשזה החלים היה למעשה השוער השלישי. שנה לאחר מכן, בגיל 17, החל לשחק בנבחרת צ'כוסלובקיה עד גיל 20.
הקריירה בצ'כוסלובקיה.
האשק התקדם בהיררכיית השוערים בקבוצה ובגיל 18 הפך להיות השוער הראשון שלה. ב-15 בפברואר 1983 ערך גם את הופעת הבכורה שלו בנבחרת צ'כוסלובקיה הבוגרת במשחק ידידות מול נבחרת שוודיה בגטבורג, ובכך הפך לשוער הצעיר ביותר בהיסטוריה של נבחרת צ'כוסלובקיה. באליפות העולם באותה שנה שיחק האשק בשני משחקים.
עוד באותו קיץ נבחר האשק בדראפט ה-NHL על ידי שיקגו בלאק הוקס. למרות שכבר נחשב לאחד השוערים הצעירים המבטיחים בעולם, נבחר האשק במקום נמוך מאוד - 199 (סיבוב 11), כיוון שבשל המלחמה הקרה היה ספק באותה תקופה אם אי פעם יוכל לצאת מארצו ולשחק ב-NHL.
בעונה הבאה, 1983/84, כבר השתלט האשק לחלוטין על עמדת השוער הראשון בקבוצתו. בזירה הבינלאומית עבר האשק זמנים קשים, לאחר שלא זומן לנבחרת צ'כוסלובקיה לאולימפיאדת סרייבו, ובגביע קנדה באותה שנה השתתף בכישלון הנבחרת שסיימה במקום האחרון עם ארבעה הפסדים ותיקו אחד. התקופה הרעה נמשכה עונה אחת לאחר מכן, כאשר בעקבות יכולת חלשה שלו למשך מרבית העונה נופה שוב מהנבחרת ולא השתתף באליפות העולם ב-1985, שנערכה בפראג.
בעונת 1985/86 חל שיפור ניכר ביכולתו של האשק, שנבחר לשוער העונה בצ'כוסלובקיה וסייע לקבוצתו להעפיל עד חצי גמר הפלייאוף. האשק חזק גם לנבחרת ושיחק באליפות העולם ב-1986 שבה סיימה צ'כוסלובקיה במקום החמישי. השיפור נמשך בעונת 1986/87, בה הוביל האשק את קבוצתו לאליפות צ'כוסלובקיה, ואת הנבחרת למדליית ארד באליפות העולם. האשק נבחר לשחקן העונה בצ'כוסלובקיה ולשוער המצטיין באליפות העולם. גם בגביע קנדה בסיום העונה הצליחה צ'כוסלובקיה יותר הפעם, והגיעה לחצי הגמר שם הודחה בידי נבחרת קנדה.
עונת 1987/88 הייתה קשה יותר עבור האשק. באולימפיאדת קלגרי, חלק האשק את עמדת השוער הראשון בנבחרת צ'כוסלובקיה שסיימה במקום השישי המאכזב. גם בליגה עברו האשק וקבוצתו עונה קשה, והפסידו את תואר האליפות לאחר הדחה ברבע גמר הפלייאוף. למרות זאת זכה האשק בתואר שוער העונה בצ'כוסלובקיה בפעם השלישית ברציפות. עונה אחת לאחר מכן החזירו האשק וחבריו לקבוצה את תואר האליפות לפרדוביצה, ועם נבחרת צ'כוסלובקיה זכה במדליית ארד באליפות העולם.
בעונת 1989/90 גויס האשק לשירות חובה בצבא צ'כוסלובקיה, והוצב בקרבת העיר ייהלבה. מחוסר ברירה ונגד רצונו עבר לשחק בקבוצה המקומית, דוקלה ייהלבה, שם היה מעורב בתקרית בה זייף פציעה בתחילת המשחק מול קבוצתו לשעבר, טסלה פרדוביצה, והשליך את החולצה של דוקלה ייהלבה לפח האשפה בדרכו לחדר ההלבשה. בתום אותה עונה, ולאחר מהפכת הקטיפה שפתחה את השערים למערב, יכל האשק לצאת מצ'כוסלובקיה ולהתחיל את קריירת ה-NHL שלו.
קריירת NHL.
שיקגו בלאקהוקס.
האשק הגיע לקבוצה שבחרה אותו בדראפט 7 שנים קודם לכן, שיקגו בלאקהוקס. בסגל של הבלאקהוקס היו כבר מספר שוערים מנוסים ובראשם אד בלפור, ומאמן השוערים היה שוער העבר האגדי ולדיסלב טרטיאק. האשק מצא עצמו למשך רוב תקופתו בבלאקהוקס משחק באינדיאנפוליס אייס, הקבוצה-הבת של הבלאקהוקס בליגה המשנית IHL.
הסימנים לכך שהאשק הופך לשוער NHL ברמה גבוהה מאוד נראו היטב במשחק מספר 4 בסדרת גמר גביע סטנלי ב-1992, מול האלופה פיטסבורג פינגווינס על שלל כוכביה ובראשם מריו למיה. האשק נקרא להחליף את בלפור וגילה יכולת מצוינת, תוך הפגנת חלק מהמאפיינים של סגנונו הייחודי - היפרשות לכל פינות השער, התאמה מהירה למצבים משתנים ויציאות רחוק מאוד משערו כדי לבלום התקפות מתפרצות, תוך ניצול של מהירות התגובה, יכולת ההחלקה והגמישות יוצאות הדופן בהן ניחן. למרות יכולתו של האשק, הוא לא הצליח למנוע מהפינגווינס העדיפים ניצחון במשחק ובסדרה כולה.
זה היה גם המשחק האחרון של האשק בבלאקהוקס - למרות היכולת שגילה בו, הוא הועבר לבאפלו סייברס תמורת שוער אחר ובחירות דראפט.
באפלו סייברס.
האשק הגיע לבאפלו סייברס כמחליף, ומעמדו בסגל הקבוצה הורע עוד יותר כשלקבוצה הגיע גרנט פיור, שוער וותיק שהיה מכוכבי אדמונטון אוילרס של שנות ה-80. כשפיור נפצע עם תחילת עונת 1993/94 עלה האשק לעמדת השוער הראשון ועד מהרה השתלט עליה תוך הפגנת יכולת משובחת. הוא סיים אותה כשוער העונה ב-NHL וזכה בפעם הראשונה בגביע וזינה, עם נתוני סטטיסטיקה מעולים - ממוצע ספיגה של 1.95 שערים למשחק, שבעה משחקים עם רשת נקייה והצלת 93% מהמכות לשערו. בעונת 1994/95 שקוצרה בשל סכסוך עבודה עם איגוד השחקנים היה האשק שוב שוער העונה ב-NHL וזכה בגביע וזינה שני ברציפות. למרות יכולתו, בשתי העונות לא רווה נחת בפלייאוף כאשר הסייברס הודחו בסיבוב הראשון.
לאחר עונה פחות טובה חזר האשק ושיפר את ביצועיו בעונת 1996/97, אולם שורה של תקריות העיבו על ביצועיו, החל מסכסוך עם מאמנו טד נולן, ועד תקרית קשה בסיבוב הראשון בפלייאוף מול אוטווה סנטורס לאחר שספג ביקורת בעיתון מקומי על כך שמיהר לצאת ולהתחלף במשחק מספר 3 בעקבות פציעת ברך קלה. האשק תקף את העיתונאי שביקר אותו וספג קנס כבד והשעיה משולשה משחקים. ללא האשק הצליחו הסייברס לעבור את הסנטורס ולעלות לסיבוב השני, אולם האשק טען שברכו עדיין פגועה ולא השתתף בהפסד בסיבוב השני לפילדלפיה פליירס. למרות כל זאת זכה האשק שוב בגביע וזינה כשוער העונה ב-NHL.
התקריות העיבו על יחסיו עם הקהל בבאפלו. המאמן טד נולן, שהיה פופולרי מאוד בקרב האוהדים, סירב לחדש את חוזהו ועזב. חלק ניכר מאוהדי הקבוצה האשים את האשק בעזיבתו של נולן, והאשק זכה לקריאות בוז מאוהדי הקבוצה בשבועות הראשונים של עונת 1997/98. עם זאת, לאור יכולת מצוינת שהפגין, שכך כעסו של הקהל. האשק סיים את העונה עם כמות גבוהה מאוד של משחקים אותם סיים עם רשת נקייה (13) וזכה בסיום העונה שוב בגביע וזינה, ועליהם הוסיף לראשונה את גביע הארט ופרס לסטר פירסון כ-MVP הן מטעם הליגה והן מטעם איגוד שחקני ה-NHL. עד היום האשק הוא אחד השוערים הבודדים שזכו בגביע הארט.
עונת 1998/99 הייתה הטובה ביותר של האשק, הן מבחינה אישית והן מבחינה קבוצתית עד אז. הוא קבע שיאי קריירה של ספיגת שערים למשחק (1.85)ואחוז הצלות (93.7, שיא NHL שהחזיק מעמד עד עונת 2010/11), וזכה בפעם השלישית ברציפות (והחמישית בסך הכל) בגביע וזינה, ובפעם השנייה ברציפות בגביע הארט ובפרס לסטר פירסון. בכך הפך לשוער הראשון בתולדות ה-NHL, והיחיד עד היום, שזכה בגביע הארט פעמיים. בפלייאוף הגיעו הסייברס עם האשק בשערם עד לסדרת גמר גביע סטנלי, בה נוצחו על ידי דאלאס סטארס בשישה משחקים. המשחק השישי הגיע לשלוש הארכות, כאשר שער ההפסד שספג האשק מידי כוכב הסטארס ברט האל היה בבירור בלתי חוקי - האל נכנס אל רחבת השער של האשק לפני הדיסקית. למרות שחוסר חוקיות השער הוכח בבדיקת וידאו החליטו השופטים לאשר את השער.
תנופת ההצלחה של האשק נקטעה כאשר החמיץ 40 משחקים בעונת 1999/2000 בשל פציעה במפשעה, אולם הוא חזר להפגין את יכולתו בעונת 2000/01 כאשר זכה בגביע וזינה בפעם השישית. בפלייאוף סייע האשק לקבוצתו לעבור את פילדלפיה פליירס בטרם נכנע עם חבריו לפיטסבורג פינגווינס בסיבוב השני.
דטרויט רד וינגס.
לאחר עונת 2000/01 נפרדו דרכם של דומיניק האשק ובאפלו סייברס. הפרידה הייתה לשמחת שני הצדדים - הסייברס רצו לחסוך את משכורתו הגבוהה של האשק ולפנות את תקציבם לצרכים אחרים, ואילו האשק - שכבר נחשב לאחד השוערים הגדולים בהיסטוריה של ה-NHL - שאף להגשים חלום ולעבור לקבוצה בעלת סיכוי גבוה יותר לזכות בגביע סטנלי. הוא מצא את מבוקשו בדטרויט רד וינגס שהייתה אחת הקבוצות החזקות בליגה.
כבר בעונתו הראשונה ברד וינגס הגשים האשק את חלומו. הוא עזר להוביל את הקבוצה למאזן הטוב ביותר בליגה הרגילה, וזכה איתה בגביע סטנלי לאחר ניצחון בסדרת הגמר על קרוליינה הוריקנס. בפלייאוף קבע שיא NHL עם שישה משחקים בהם שמר על רשת נקייה (שיאו נשבר בעונה שלאחר מכן על ידי מרטן ברודר). לאחר הזכייה בגביע סטנלי והגשמת חלומו הגדול הודיע האשק על פרישתו ממשחק כדי להקדיש זמן רב יותר למשפחתו. האשק ומשפחתו חזרו לצ'כיה, שם שמר על כושר כששיחק הוקי רולר בליגה מקומית, והסתבך בתקרית בה תקף שחקן יריב.
פרישתו של האשק מה-NHL החזיקה מעמד עונה אחת בלבד, ולקראת עונת 2003/04 ביקש האשק לחזור לרד וינגס, שבסגל שלה היו כבר שני שוערים בכירים. האשק נפצע שוב במפשעתו כבר בתחילת העונה וחזר לצ'כיה על מנת לעבור ניתוח ולהשתקם. הוא ויתר על חלק ניכר משכרו באותה עונה שהייתה האחרונה בחוזהו.
אוטווה סנטורס.
בקיץ 2004 חתם האשק באוטווה סנטורס, אולם עונת 2004/05 בוטלה לאחר סכסוך עבודה ממושך בליגה והאשק החל לשחק בקבוצה בעונת 2005/06. הוא הפגין יכולת גבוהה בחלק הראשון של העונה, אולם באמצע העונה נפצע כששיחק בנבחרת צ'כיה באולימפיאדת החורף בטורינו. האשק לא שב עוד לשחק באותה עונה, והסנטורס לא חידשו את חוזהו למרות שהביע רצון להישאר בקבוצה ולשחק עבורה בשכר בסיס נמוך מאוד יחסית של חצי מיליון דולר בלבד.
שוב בדטרויט.