כעת נבחין כי formula_221 ולכן:
באופן זה חישבנו את formula_220 בעזרת שבע פעולות כפל בלבד. חמש פעולות כדי לחשב את איברי הסדרה ושתי מכפלות נוספות כדי להגיע לתוצאה הסופית. על אף שמדובר במעריך קטן למדי, זה עדיין משמעותית פחות מ-36 פעולות כפל להן נדרשים בחישוב ישיר. אלגוריתמים סבוכים יותר מסוגלים לחשב אף במספר קטן יותר של פעולות, אך לא במידה משמעותית.
שיטה זו פועלת לא רק למספרים, אלא לכל מקרה של חזקה מופשטת (עם חזקות קיבוציות). שימוש מעניין באלגוריתם הוא לחישוב מספרי פיבונאצ'י גדולים באמצעות חישוב חזקה של מטריצה (כקיצור של כפל מטריצות). הנוסחה הישירה לאיברי הסדרה מספקת את הזהות:
הפעלת האלגוריתם על המטריצה הפשוטה formula_225 כבסיס, תחשב ביעילות כל שלשה של מספרי פיבונאצ'י סמוכים, גם כאשר האינדקס שלהם גדול מאוד.
פעולות הפוכות.
לא בכל הישר הממשי מתקיימים כללי הצמצום לגבי חזקה, ולכן אין לחזקה פעולה הפוכה מוגדרת היטב. בכל זאת, שימושי להגדיר לחזקה שתי פעולות שהפוכות לה תחת מגבלות מסוימות.
הסיבה לכך שיש שתי פעולות הפוכות ולא אחת כמו בחיבור (חיסור) וכפל (חילוק) היא שחזקה אינה חילופית ואין סימטריה בין המעריך לבסיס (ככלל, לא ניתן להחליף ביניהם בלי לשנות את התוצאה). לכן נדרשות שתי פעולות נפרדות למציאת כל אחד.
פונקציות מבוססות חזקה.
פונקציות מבוססות חזקה הן פונקציות אלמנטריות בעלות מקום מרכזי באנליזה מתמטית.
מצירופים אריתמטיים והרכבת פונקציות ניתן לקבל מפונקציות אלו ואחרות עוד פונקציות רבות מבוססות חזקה. למשל formula_239.
עצרת מעריכית היא פעולה מבוססת חזקה שדומה לעצרת (המבוססת על כפל). שתי הפונקציות מוגדרות ברקורסיה זהה, רק שבמקרה של עצרת מעריכית חזקה מחליפה את הכפל.
תל פארעה
איחוד הנסיכויות הערביות
הים הכספי
הים הכספי או ים מזנדראן (בחלק מן השפות המקומיות: הים הכוזרי) הוא אגם מלוח המצוי בין אסיה לאירופה. הים הכספי הוא האגם הגדול בעולם, ושטחו 371,000 קמ"ר (דומה לשטחה של יפן).
הים הכספי נמצא בין המדינות: רוסיה, אזרבייג'ן, איראן, טורקמניסטן וקזחסטן, וממערב לו נמצאים הרי הקווקז. אין ממנו יציאה כלשהי למקור מים אחר, ומפלס המים בו נשמר על ידי התאדות בלבד. המליחות בים הכספי היא 1.2% (12 גרם לליטר), בערך כשליש מהמליחות הממוצעת של מי ים.
הים קרוי על שם , עם עתיק שחי באזור.
היסטוריה.
הים הכספי, בדומה לים השחור ולימת אורמיה, הוא שארית מהים העתיק פארטתיס. לפני כ-5.5 מיליון שנים, בעקבות התרוממות טקטונית וירידה בגובה הים הפך הים למוקף יבשה.
מפה מדויקת ראשונה של האגם נוצרה ב-1716 על ידי אלכסנדר בקוביץ'-צ'רקסקי, שנשלח לאזור בפקודת פיוטר הגדול. הוא אף הקים שלושה מבצרים על גדות האגם, כבסיס להתפשטות האימפריה הרוסית מזרחה, לאזור ה"טרנס-כספי", כלומר מרכז אסיה.
תוכניות סובייטיות שאפתניות לחיבור הים הכספי לים האזובי, חלקו הצפוני של הים השחור, באמצעות פרויקט תעלת אירואסיה המכונה לעיתים "תעלת מניץ'", החלו במרץ רב משנת 1932, אך העבודה מעולם לא הושלמה בפועל. כיום ברוסיה נחשבת התוכנית לבלתי כדאית מבחינה כלכלית, אם כי הנושא חוזר ועולה מדי פעם.
בשנת 1980, על רקע דאגה מירידת מפלס מי הים הכספי עקב אידוי, נחסמה התעלה שהוליכה מים ממנו אל לגונת גאראבוגאזקול, וזו התייבשה כליל עד 1984. ביוני 1992, לאחר שמפלס מי הים הכספי שב לעלות, נפרץ המחסום בתעלה שבינו לבין הלגונה והיא הוצפה שוב.
בשנת 2003 נחתם הסכם בין רוסיה, אזרבייג'ן וקזחסטן לחלוקת חלקו הצפוני של הים הכספי (64% מהאגם) ביניהן. איראן וטורקמניסטן לא הסכימו לחלוקה זו.
בעלי חיים ודגה.
בים הכספי גדל החידקן הרוסי, שהוא דג אשר מביציו מופק הקוויאר. דיג יתר הביא לסכנת הכחדה של דגי החידקן באזור, וכיום פעילי איכות הסביבה פועלים להפסקת הדיג בים הכספי.
בנוסף, שכן באזור זה, עד לאמצע המאה ה-20, הטיגריס הכספי.
אוצרות טבע.
באזור הים הכספי נמצאים שדות עשירים של נפט וגז טבעי.
על פי התחזיות, כושר ייצור הנפט מהים הכספי, יגיע לכ-1.5 מיליון חביות ליום (240,000 קוב ליום), שווה ערך לתפוקת הנפט של מקסיקו. קיימות הערכות שונות לגבי היקף העתודות באזור, הערכות הנעות בין 32–220 מיליארד חביות של נפט.
אקולוגיה.
הים הכספי מהווה למעשה אגם סגור. נהר הוולגה ונהר האורל מהווים 80% מהזרימה לאגם. אין לים הכספי מוצא, והוא מאבד את מימיו בהתאיידות בלבד. גובה פני הים משתנה באופן קיצוני במהלך השנים.
תחבורה.
מספר מעבורות חוצות את הים הכספי.
לאו טסה
ליסבון
ליסבון (בפורטוגזית: Lisboa; , נהגה: ליז'בואה, בעבר: לישׂבונה) היא בירת פורטוגל, העיר הגדולה ביותר בה, והמרכז הכלכלי והתרבותי החשוב במדינה. כן משמשת ליסבון כבירתם של המחוז והנפה הנושאים את שמה.
שטחה של ליסבון כ-100 קמ"ר, ובשנת 2017 התגוררו בה כ-505,000 אלף תושבים. במטרופולין שלה, הכוללת גם את הערים לייריה וסטובל התגוררו באותה שנה כ-2.8 מיליון תושבים.
משערים כי ליסבון נוסדה בידי הפיניקים או היוונים. ביוונית נקראה העיר אוליסיפו, ובהמשך שונה שמה לאוליסיפונה וליסיפונה. כאשר המוסלמים המורים השתלטו על העיר, הם קראו לה אל-ליסבונה, ומשם נגזר לבסוף השם הפורטוגלי. יום החג הרשמי של העיר הוא של אנטוניוס מפדובה, החל ב-13 ביוני.
גאוגרפיה.
ליסבון היא המערבית בבירות אירופה. היא ממוקמת במערב פורטוגל, לחוף האוקיינוס האטלנטי, בשפך נהר הטז'ו.
גבולות העיר תחומים בגבולותיה של ליסבון ההיסטורית. מסביב לעיר התפתחו מספר ערי לוויין, כגון לורש, אודיבלש, אמדורה ואואיירש, היוצרות את המטרופולין של ליסבון. המרכז ההיסטורי של העיר בנוי על שבע גבעות תלולות, ומסיבה זו חלק מרחובות העיר מאפשרים תנועת הולכי רגל בלבד. במערב העיר נמצא פארק מונסאנטו, הפארק העירוני הגדול בעולם. בעיר שני גשרים המחברים בין חלקיה, מעל נהר הטז'ו: גשר 25 דה אבריל (לציון יום מהפכת הציפורנים), שנבנה בשנת 1966, וגשר ואסקו דה גאמה. אורכו של האחרון 17.2 קילומטרים, והוא הארוך בגשרי אירופה והתשיעי באורכו בעולם.
אקלים.
בליסבון אקלים ים תיכוני מתון המושפע בעיקר מזרם הגולף, והיא שטופת שמש לאורך רוב ימות השנה.
הקיץ חם ויבש. בשעות היום הטמפרטורות המרביות מגיעות ל-26°C עד 29°C בממוצע, ובלילה הן יורדות ל-16°C עד 18°C. החורפים קרירים וגשומים והטמפרטורות נעות בהם בין 8°C ל-16°C מעלות. האביב והסתיו בליסבון בדרך כלל מתונים, ולעיתים אף חמים במהלך שעות היום.
כמות המשקעים השנתית בעיר מגיעה לכ-611 מילימטרים, היורדים בכ-100 ימי גשם בשנה, בדרך כלל מספטמבר עד מאי. השלג נדיר במיוחד בעיר. ב-29 בינואר 2006 וב-28 בינואר 2007 ירד בה מעט שלג, בשל גלי הקור הארקטיים שהשפיעו על כל אירופה באותה תקופה, אך היו אלה השלגים הראשונים מזה 40 שנה.
היסטוריה.
לפי האגדה הוקמה העיר, על קבוצה של שבע גבעות הנודעות כשבע גבעות ליסבון (פורטוגזית "Sete Colinas de Lisboa"). משערים כי העיר נוסדה בידי הפיניקים או היוונים. בהמשך, הייתה העיר חלק מהפרובינקיה הרומית לוסיטניה, אך לא הייתה העיר החשובה בה, ואמריטה אוגוסטה הייתה בירת הפרובינקיה.
בשנת 711 נכבשה העיר על ידי המורים, ובשנת 1147 נכבשה מחדש על ידי דום אפונסו הראשון מלך פורטוגל הראשון. ב-1260 הייתה לבירת פורטוגל, וב-1290 נוסדה בה אוניברסיטת ליסבון.
קהילה יהודית התקיימה בעיר כבר מהמאה ה-12, בארבעה רבעים, הגדול בהם ברובע באיישה (Baixa).רב העיר היה רבי יוסף בן אברהם חיון, בשנת 1492 הגיעו לפורטוגל ולעיר ליסבון בפרט עשרות אלפי יהודים מגורשי ספרד. הם נרדפו וב-1497 הוטבלו אלפים מהם בכפייה. אך העוינות כלפי היהודים שהמירו בכפייה את דתם ("אנוסים") לא פסקה ובמאי 1506, בפוגרום ליסבון נרצחו בין 3000 ל-4000 באירוע אדיר ממדים ואכזרי. באופן פורמלי עד המאה ה-19, אז היגרו לליסבון יהודים ממרוקו וגיברלטר, לא התקיימה קהילה יהודית בעיר, אף שהיו אנוסים שהמשיכו לקיים את הדת בהיחבא. כיום מעריכים שבליסבון כ-750 יהודים.
ב-26 בינואר 1531 נהרסה העיר ברעידת אדמה ונהרגו אלפים מתושביה. עם זאת, המאה ה-16 הייתה תור הזהב של האימפריה הפורטוגזית, וליסבון שגשגה, בהיותה שער לסחורות מהמזרח הרחוק, ולזהב שיובא מברזיל. ב-1 בנובמבר 1755 פקדה את העיר רעידת אדמה נוספת, בה נהרגו כ-90,000 בני אדם וכ-85% מהמבנים בעיר נהרסו. לאחר רעידת האדמה נבנתה העיר מחדש לפי תוכניותיו של ראש הממשלה סבשטיאאו דה מלו, המרקיז מפומבל.
במאה ה-20 הייתה ליסבון מוקד לשתי הפיכות: ב-1910, בה הודח מרסלו קייטאנו ומהפכת הציפורנים ב-1974.
ב-1 בדצמבר 2009 נחתמה בעיר "אמנת ליסבון", האמנה הבינלאומית מכוחה פועל כיום האיחוד האירופי.
דמוגרפיה.
בשנת 2017 התגוררו בליסבון עצמה כ-505,000 תושבים, ובאזור המטרופוליטני שלה כ-2,800,000 תושבים. צפיפות האוכלוסין בעיר היא כ-6,500 תושבים לקמ"ר. האזור המטרופוליטני של ליסבון כולל בתוכו גם את ליסבון רבתי, שעל גדותיו הצפוניות של הטז'ו, ואת חצי האי סטובל בדרום, שהם שני אזורי המשנה בנפת ליסבון. כמו רוב הערים הגדולות, ליסבון מוקפת פרברים רבים, וכמיליון בני אדם נכנסים לליסבון מדי יום מפרבריה. במטרופולין ליסבון מתגוררים מעל לשליש מאוכלוסיית פורטוגל כולה.
כלכלה.
רוב חיי הכלכלה הענפים בעיר מתבססים על מוסדות השלטון והתרבות המצויים בה. בשנים האחרונות גם התרחבה מאוד תעשיית התיירות בעיר.