אפשר להציג חבורת קווטרניונים מוכללת באמצעות מטריצות בגודל formula_5 מעל formula_6, כחבורה הנוצרת על ידי formula_7, כאשר formula_8 הוא שורש היחידה הפרימיטיבי מסדר n. חבורה זו מוכלת באלגברת הקווטרניונים של המילטון, שם היא נוצרת על ידי formula_9 ו- formula_10.
כל תת-חבורה אבלית של formula_11 היא ציקלית. כל חבורת-p סופית עם תכונה זו היא או ציקלית, או חבורת קווטרניונים מוכללת. בחבורת קווטרניונים מסדר חזקת-2 יש תת-חבורה יחידה מסדר 2, ושוב, כל חבורת-p סופית שיש לה תת-חבורה יחידה מסדר p היא או ציקלית או חבורת קווטרניונים מוכללת. כל חבורה סופית שכל תת-החבורות שלה הן נורמליות היא או אבלית, או מכפלה ישרה של חבורת קווטרניונים מוכללת מסדר חזקת-2 וחבורת-2 אבלית אלמנטרית (כלומר, מכפלה ישרה של עותקים של החבורה הציקלית מסדר 2).
חבורת 2-סילו של חבורת המטריצות formula_12 מעל שדה סופי F מסדר אי זוגי, היא חבורת קווטרניונים מוכללת.
מקורות.
Group Theory, Scott.
בצלאל פרחודניק
צלק פרחודניק
מלונות הרצליה (חיפה)
דגל עץ הדקל
ראש המטה הכללי של צבא ארצות הברית
אברהם צבי בראון
אברהם צבי בַּרְאוֹן (A. Zvie Bar-On; 13 במאי 1920 – 3 באוגוסט 1996) היה חוקר שואה ופרופסור לפילוסופיה באוניברסיטה העברית בירושלים.
ביוגרפיה.
נולד בוורשה בירת פולין. בנעוריו היה איש "השומר הצעיר. עם פרוץ מלחמת העולם השנייה נמלט מוורשה ונכלא בגטו קובנה, שם היה חבר במחתרת הציונית. בראון הוברח מהגטו, כחבר בקבוצת לוחמים חמושים, ליערות רודניקי ליד וילנה שם נלחם כפרטיזן ביערות. לאחר המלחמה עלה לארץ ישראל. למד באוניברסיטה העברית לתואר ראשון (1952), שני (1957) ותואר דוקטור (תשכ"ד-1964) על עבודה שכותרתה "תורת הקטגוריות בפילוסופיה של ימינו בפרספקטיבה היסטורית" (The contemporary theory of categories in historical perspective).
עם סיום התואר השני היה לעוזר הוראה, ועם קבלת תואר הדוקטור התמנה למרצה. ב-1964 הועלה לדרגת מרצה בכיר. ב-1965–1966 היה עמית מחקר באוניברסיטת ייל. ב-1970–1 היה מרצה אורח באוניברסיטת סנט אנדרוז בסקוטלנד.
את עיקר השכלתו רכש באוניברסיטה העברית ועסק בה בהוראת הפילוסופיה. בשנים 1977–1980 שימש כראש החוג לפילוסופיה. מחקריו עוסקים בפילוסופיה ובתחומים נוספים, בהם השואה.
היה נשוי (1959–1996) לוורדה אסתר לבית גולדברג (נפטרה ב-5 בדצמבר 2010), ולהם שני ילדים, שבעה נכדים ונין.
רמי יוסיפוב
רם (רמי) יוסיפוב (נולד ב-30 במאי 1966) הוא גיטריסט ישראלי, וחבר בלהקת טיפקס.
ב-1989 הצטרף יוסיפוב ללהקה "טיפקס". הוא הלחין ללהקה מספר שירים, בהם "ביום שייפלו הכוכבים", "ואתה", "ואלס הזמר" ו"שיר סופה בים" (שהוקלט גם כקטע אינסטרומנטלי בשם "הבלדה לסופי").
לאחר כעשרים שנה במהלכן הלהקה נודעה בציבור, היא נבחרה לייצג את ישראל באירוויזיון עם השיר "Push the Button" (כפתור אדום). בשנת 2009 התפרקה הלהקה.
כמה חודשים לאחר פירוק הלהקה הוציא יוסיפוב אלבום עם 14 קטעים מוזיקליים יחד עם גלעד אפרת. לאחר הוצאת האלבום צירפו השניים את אדם מדר להרכב מוזיקלי בשם "אקו".
יוסיפוב גרוש ולו שלושה ילדים. הוא מתגורר בבנימינה ומלמד גיטרה.
ראש המטה של צבא ארצות הברית
רודקי (אוקראינה)
רודקי (באוקראינית: Рудки; בפולנית: Rudki; בפי היהודים נקראה רידיק) היא עיירה קטנה במחוז לבוב באוקראינה, בין הערים לבוב וסאמבור. נכון ל-2007 התגוררו במקום 5,700 בני אדם.
היסטוריה.
רודקי שוכנת בחבל גליציה שמצפון להרי הקרפטים. נוסדה לפני 1667. כבר בסוף תקופתה של פולין העצמאית שימשה רודקי כמרכז נפת רודקי.
לאחר חלוקת פולין ב-1772 ועד לשנת 1918 הייתה תחת שלטון האימפריה האוסטרו-הונגרית. בתקופה זו היו רודקי וקומרנו שני היישובים המרכזיים בנפה שהשתייכה למחוז לבוב, ובהם היו המוסדות השלטוניים ששירתו את תושבי הנפה. ב-1860, בעקבות התפתחותה של רודקי ושיפור המצב הכלכלי, היא הפכה לעיר המחוז, אליה השתייכו קומרנו וכ-70 כפרים נוספים. החל מ-1880 נוהלה העיר על ידי ראש עיר ומועצה נבחרת. החל משנה זו נערך ברודקי כל עשר שנים מפקד אוכלוסין.
ב-1903 נחנך קו הרכבת ללבוב שעבר דרך רודקי. תושבי הנפה התפרנסו מחקלאות, שהתבססה על משקים קטנים ובינוניים ועל חוות חקלאיות של בעלי האחוזות הגדולות.
בין שתי מלחמות העולם הייתה גליציה חלק מהרפובליקה הפולנית השנייה ("פולין קטן") להוציא מספר חודשים בראשית התקופה בהם הייתה נתונה תחת שלטון הרפובליקה העממית של אוקראינה.
ב-12 בספטמבר 1939 פלשו חיילי הורמאכט לרודקי והחלו לפגוע ברכוש של יהודים ולהפחידם, אולם כעבור שבועיים, בהתאם להסכם ריבנטרופ–מולוטוב, עברה רודקי לשליטת ברית המועצות. ב-3 ביולי 1941, במסגרת מבצע ברברוסה, נכנסו שוב הגרמנים לעיירה לאחר שהצבא האדום נסוג ממנה.
בין השנים 1945–1991 הייתה רודקי חלק מברית המועצות, וכיום היא משתייכת לאוקראינה.
אוכלוסייה.
קודם השואה הורכבה אוכלוסיית העיר מרוב של יהודים ופולנים ומיעוט של אוקראינים.
הקהילה היהודית.
יהודים גרו בעיר במשך דורות רבים. את השירותים הדתיים והקהילתיים הם קיבלו מקהילות קומארנו ולבוב הוותיקות והמבוססות. נראה שבראשית המאה ה-19 כבר הייתה קיימת ברודקי קהילה יהודית עצמאית ולה היו מסונפים כמה יישובים יהודיים וכפרים קטנים הסמוכים לה.
ב-1772, שנת סיפוח גליציה לאוסטריה, מנו יהודי העיר כ-614 נפשות בנוסף ל-184 יהודים שהתגוררו בכפרים הסמוכים. בעקבות הסיפוח לאוסטריה הוטלו על היהודים מיסים גבוהים וגזירות שונות שבוטלו רק בשנת 1848.
על פי מפקדי האוכלוסין שנערכו בין השנים 1900-1880, יהודי העיר מנו כמחצית מהתושבים. יהודי העיר עסקו בעיקר במסחר בתבואות, בבקר ובעורות. עם פרוץ מלחמת העולם הראשונה גויסו מרבית הגברים בעיירה. שאר יהודי העיירה נאלצו לעזוב את ביתם ולברוח, ובהמשך, לאחר חזרתם סבלו ממחסור במזון ומוצרים בסיסיים.
בין שתי מלחמות העולם פעלו ברודקי אגודות ציוניות שונות, נפתחו סניפים של תנועות נוער ואף הוקם בית ספר עברי. לצידם התקיימו ארבעה בתי כנסת ושאר מוסדות הקהילה, אגודות עזרה הדדית, תלמודי תורה, סניף של אגודת ישראל ובית ספר לבנות של רשת "בית יעקב". רבים מיהודי העיירה השתייכו לחסידות בעלז ולחסידויות משושלת רוז'ין. בעיירה התגורר האדמו"ר פנחס נתן ספרין משושלת קומרנו (נפטר תרצ"ב, 1932), בנו של רבי אליעזר צבי ספרין. רבה האחרון של הקהילה היה הרב יצחק אייכנשטיין שמילא את מקום אביו הרב משה אייכנשטיין שנפטר ב-1912.
ערב מלחמת העולם השנייה גרו ברודקי לפי אומדן משוער כ-500 משפחות יהודיות, בהם כ-2500 נפשות, בעוד שמספר הפולנים היה כ-1300 נפשות ומספר האוקראינים כ-200 נפשות. ב-3 ביולי 1941 נכנסו הגרמנים לרודקי והחלו בהשפלת היהודים ובהטלת גזירות שכללו ענידת טלאי וסימון הרכוש היהודי. ביום שבת, 13 ביולי 1941 כונסו יהודי העיר בכיכר המרכזית ומתוכם נלקחו כ-40 מנכבדי הקהילה, בהם הרב אייכנשטיין, והוצאו להורג ביער בז'זינה על ידי אנשי הגסטפו והמילציה האוקראינית. באותו יום נשרפו גם בתי הכנסת של העיירה.
בסוף 1941 הוקם גטו ברודקי בו רוכזו יהודי רודקי וקומרנו והוקמה מועצת "יודנראט". תושבי הגטו סבלו מצפיפות רבה ומתנאים סניטריים קשים והוכרחו לעבוד עבור הגרמנים. במרץ 1942 נערכה ה"אקציה" הראשונה בגטו במהלכה נלקחו רבים מתושבי הגטו למחנה ההשמדה בלז'ץ. האקציה השנייה נערכה ב-11 בנובמבר 1942, בה נלקחו כ-800 מיהודי הגטו גם כן למחנה בלז'ץ. הגטו חוסל סופית ב-4 באפריל 1943, אז נלקחו כ-300 יהודים ליער בז'ז'ינה, שם נורו ונקברו בקבר אחים גדול שהוכן מראש.
לערנער
זעקל לייב וורמסר
בעל השם ממיכלשטאדט
רידיק
The gathering storm (ספר)
סקר ארץ ישראל המערבית
מקלט אטומי
אריה דוסטרובסקי
אריה דוֹסְטְרוֹבְסקי (25 בפברואר 1887 – 1975) היה רופא עור ומין ירושלמי, ממייסדי בית הספר לרפואה של האוניברסיטה העברית בירושלים ובית החולים הדסה.
קורות חיים.
דוסטרובסקי נולד בשנת 1887 בכפר קִירוֹ שבקרים, בדרום האימפריה הרוסית למשה, וליוכבד לבית שרייבר. למד בגימנסיה רוסית באודסה ולאחר מכן למד רפואה באוניברסיטת בזל וכן באוניברסיטת וינה והתמחה ברפואת עור ומין. עבד כרופא בבתי חולים בשווייץ וברוסיה. היה פעיל ב"פועלי ציון" באודסה, חבר ועד המפלגה וחבר מטעמה בוועד הקהילה היהודית בעיר.
בשנת 1902 נשא לאשה את סוניה לבית פּוֹלְיַאקִין. לאחר ביקור בארץ ישראל ב-1912, עלו השניים ב-1919 לארץ ישראל עם בתם יוכבד ועם בנם התינוק, ישראל, על סיפון האנייה "רוסלאן".
דוסטרובסקי בנה צריף בשכונת רחביה בירושלים שלאחר מכן נבנה במקומו בניין – זאת, לצד צריפם של יצחק בן-צבי ורחל ינאית בן-צבי, שתי המשפחות היו חלוצות ההתיישבות במקום.
מיד עם הגיעו לירושלים החל לעבוד במחלקה לעור ומין בבית החולים הדסה, ועם הקמת בית החולים על הר הצופים ב-1938 היה למנהל המחלקה. במקביל ניהל קליניקה פרטית בשנות ה-30 דוסטרובסקי הוביל כמעט יחידי את המאבק במחלת הצרעת בארץ ישראל. דוסטרובסקי הציע לדרוש בידוד חובה לחולים במחלה ולצורך כך דרש להעלות את תנאי בית החולים לצרעת ולהקים מוסדות נפרדים ליהודים ולערבים.
דוסטרובסקי היה קשור לאוניברסיטה העברית משנת 1938 והיה בצוות שהוביל את הקמת בית הספר לרפואה בשנת 1949. עם הקמת בית הספר נבחר להיות דקאן בית הספר לרפואה והועלה לדרגת פרופסור. דוסטרובסקי המשיך לכהן כדקאן עד שנת 1953.