תקופת שלטונו הראשונה לא התארכה. ב-139 לפנה"ס הפעילות הפרתית אילצה את דמטריוס לנקוט בפעולה. הוא יצא לקרב כנגד מיתרידטס הראשון, מלך פרתיה. המלחמה בתחילתה הייתה מוצלחת, אך דמטריוס הובס בהרים האיראניים, נלקח בשבי והמחוז הבבלי של האימפריה הסלווקית עבר לשליטה פרתית. לאחר נפילתו בשבי של דמטריוס (138 לפנה"ס) עלה אחיו, אנטיוכוס השביעי סידטס, לשלטון. (והנחיל לטריפון מפלה באפמאיה בשנת 138 לפנה"ס). המלך מיתרידטס שמר על דמטריוס השני בחיים, ואף השיא לו נסיכה פרתית. עם זאת, דמטריוס היה חסר מנוחה ופעמיים ניסה להימלט ממקום גלותו בהורקניה על חוף הים הכספי ניסיונות שנכשלו. מסיבות פוליטיות הפרתים טיפלו בדמטריוס השני בחביבות, ולא הענישו אותו על ניסיונות הבריחה שלו.
ב-130 לפנה"ס אנטיוכוס סידטס הרגיש בטוח מספיק לצאת למסע קרב כנגד פרתיה, ואף נחל הצלחות ראשוניות מסיביות. עכשיו פראטס השני עשה את מה שהוא חשב למהלך רב עוצמה: הוא שחרר את דמטריוס, בתקווה ששני האחים יתקוטטו במלחמת אזרחים. עם זאת, סידטס הובס ונהרג במארב בשנת 129 לפנה"ס, זמן קצר לאחר שחרורו של אחיו, ומעולם לא פגש אותו. ואילו דמטריוס השני חזר לכס המלכות.
תקופת שלטונו השנייה וסוף שלטונו.
כעת הממלכה הסלאוקית הייתה צילה של עברה. דמטריוס התקשה לשלוט אפילו בסוריה. זיכרון אכזריותו ומידותיו הרעות - יחד עם תבוסתו המשפילה- גרמו לו להיות שנוא מאוד. קלאופטרה השנייה, מלכת מצרים הקימה צבא לדמטריוס, בתקווה שיעסוק בו במלחמותיה, נגד אחיה תלמי השמיני, אבל דבר זה רק הוסיף לצערו. החיילים ערקו די מהר, והמלך תלמי השמיני בתגובה הקים כנגדו טוען לכתר בשם אלכסנדר זבינא, שטען כי הוא בן מאומץ של אנטיוכוס השביעי. במלחמה ביניהם ב-126 לפנה"ס דמטריוס נחל מפלה בקרבת דמשק ואיבד את השלטון, לטובת אלכסנדר זבינא ששלט באנטיוכיה ובחלק מסוריה. דמטריוס ברח לעכו אך אשתו קלאופטרה תאה סגרה את השערים נגדו, כיוון שבשנים שהיה בשבי, לא הייתה נאמנה לו והתחתנה עם אחיו, וכאשר חזר חששה מתגובתו. הוא נהרג על ספינה ליד צור, לאחר שאשתו נטשה אותו.
מותו האומלל לאחר שנתפס ואולי עונה, היה מצבה הולמת לחסרונות הרבים של שלטונו. דמטריוס השני בהחלט לא היה מסוגל לטפל באיומים מתפתחים לאימפריה הסלווקית, אבל המוניטין האכזרי שצבר לא היה כל כך מוצדק. בעת הכתרתו היה רק בן ארבעה-עשר, והכוח האמיתי היה בידיהם של אחרים. לאחר שמת הוחלף על ידי המלכה קלאופטרה תיאה, ולאחר מכן על ידי שני בניהם, סלאוקוס החמישי פילומטור ואנטיוכוס השמיני.
מנדוויל (ג'מייקה)
מנדוויל (באנגלית: Mandeville) היא עיר הבירה והעיר הגדולה ביותר של מחוז מנצ'סטר שבג'מייקה. אוכלוסייתה מונה כמעט 50,000 תושבים ויחד עם הפרברים הסובבים אותה היא מונה כ-72,000 תושבים. היא ממוקמת ברמה הפנימית של ג'מייקה בגובה של 628 מעל פני הים ובמרחק של 103 ק"מ ממערב לבירה קינגסטון. מנדוויל היא היחידה מבין כל בירות המחוזות בג'מייקה שאינה שוכנת על חוף ים או על גדות נהר ראשי.
היסטוריה.
מנדוויל נוסדה ב-1816 ונקראה על שמו של ויקונט מנדוויל, בנו הבכור של הדוכס ממנצ'סטר, שהיה אז מושל ג'מייקה.
עד היום ניתן לראות עדיין רבים מהמבנים המקוריים של העיר, כמו בית המשפט, מבנה מרשים שנבנה ב-1820, הבנוי אבן גיר כשגרם המדרגות שלו מעוצב בצורת פרסה והפורטיקו שלו נסמך על ידי עמודים דורים.
במרכזה של מנדוויל שוכנת כיכר ראשית, כנסייה ומגדל שעון, יחד עם מבנים נאים וגדולים מראשית המאה ה-19 הניצבים לאורכם של רחובות מתפתלים במרכז העיר. הכיכר, שבה שתול דשא, מהווה ריאה ירוקה ומנדוויל מתוארת כעיר האנגלית ביותר בג'מייקה.
בפרברי העיר נבנו בתי מגורים גדולים על ידי תושבי ג'מייקה ששבו מצפון אמריקה ומבריטניה. מנדוויל היא מרכז מסחרי חשוב והיא מקום משכנם של אוניברסיטת צפון הקריביים ושל מכון הלימוד של הכנסייה האדוונטיסטית של היום השביעי.
רבים מהחברות המסחריות הוותיקות בג'מייקה החלו את דרכן במנדוויל. מלון מנדוויל, אחד הוותיקים בקריביים, החל לפעול כאן ב-1875. מסלול הגולף שלו שהוקם ב-1868 היה הראשון בקריביים. הספרייה הראשונה בג'מייקה הוקמה כאן ב-1938.
התנופה בגידול העיר זכתה לדחיפה משמעותית כאשר חברת הבוקסיט "אלקן", במיזם משותף עם ממשלת ג'מייקה, פתחה ב-1957 את המפעל שלה בקרבת מקום.
מגזין אלקטרוני
משה חלאווה
רבי משה חלאווה (ידוע כמהר"ם חלאווה) היה רב ספרדי במאה ה-14, פרשן התלמוד הבבלי ופוסק הלכה מן הראשונים.
ביוגרפיה.
נולד לרב דוד מקנגי, היה מתלמידי רבי יהודה בן הרשב"א, חי ופעל בעיר טורטושה שבספרד והיה מעורה בחיי הציבור היהודי במרחב בו פעל. ידועה התערבותו בפולמוס על משרת הרב הראשי ליהדות צרפת בין רבי ישעיה אשטרוק ורבי יוחנן טריוויש, במהלכה התעמת עם רבי מאיר בן ברוך מווינה.
עמד בקשרי מכתבים עם הר"ן, ועם רבנו פרץ הכהן, וכפי הנראה קיים קשרים עם תלמידם הריב"ש.
מתוך חיבורו על התלמוד, שרד רק הפירוש על מסכת פסחים. תשובותיו בהלכה הודפסו לראשונה בה'תשמ"ז (1987) מתוך כתב יד.
הוא האריך ימים עד סוף המאה ה-14 ואולי אף יותר. בנו רבי יהודה חלאווה חיבר את הספר "אמרי שפר״, ביאור על ספר בראשית. בין תלמידיו נמנה הרב חיים גליפפה.
משפט הורוויץ (אלגברה)
באלגברה מופשטת ובאנליזה מרוכבת, משפט הורוויץ (Hurwitz theorem) הוא משפט הנותן פתרון מלא למשוואות מהצורה formula_1, כאשר formula_2 משתנים ליניאריים ב-formula_3. המשפט קובע בדיוק לאילו מספרים טבעיים formula_4 יש פתרון.
מבחינה אלגברית, בעיה זו שקולה למיון כל אלגבראות ההרכבה מעל שדה ממאפיין לא 2.
המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי אדולף הורוויץ (Adolf Hurwitz), שעסק בבעיה במקרה המרוכב ופתר אותה לקראת סוף המאה ה-19.
ניסוח.
יהי formula_5 שדה ממאפיין לא 2.
נביט במשוואות מהצורה formula_1, כאשר formula_4 מספר טבעי (משתנה), המשתנים formula_8 טרנסצנדנטיים מעל השדה, והמשתנים formula_2 הם מהצורה formula_10, עם formula_11 כלומר משתנים ליניאריים לפי formula_12.
המשפט קובע כי למשוואות אלו יש פתרון שבו כל formula_13 הוא כנ"ל, אם ורק אם formula_14.
דוגמאות.
זהויות דומות ומעט מסובכות יותר ניתן לתת עבור formula_20 (לפרטים מדויקים, ראו בקריאה נוספת).
הקשר לאלגברות הרכבה.
כעת נציג את קשר הבעיה לאלגברת הרכבה.
אלגברת הרכבה.
אלגברת הרכבה היא אלגברה לא אסוציאטיבית formula_21 עם יחידה, יחד עם תבנית ריבועית רגולרית formula_22 שהיא כפלית, כלומר מקיימת formula_23.
לכן, קביעת כל אלגברות ההרכב תוביל למציאת כל הפתרונות למשוואה לעיל ולהוכחת משפט הורוויץ.
התכונה החשובה של אלגברות הרכבה היא שאלגברה היא אלגברת הרכבה אם ורק אם היא אלגברה אלטרנטיבית עם אינוולוציה, עבורה formula_24, כאשר 1 הוא איבר היחידה ו-formula_22 תבנית רגולרית.
תכונה מעניינת נוספת של כל אלגברת הרכבה עם תבנית ריבועית אנאיזוטרופית (תבנית בה formula_26 רק עבור formula_27), היא שכל אלגברה כזו היא אלגברה עם חילוק - הפכי של formula_28 הוא formula_29.
הכפלת האלגברה.
כעת נתאר בנייה חיונית עבור המשפט והתאוריה.
בהינתן אלגברה formula_21 כלעיל, ואיבר formula_31, האלגברה ה-c מוכפלת (c-double algebra) (גם אלגברת קיילי-דיקסון) היא אלגברת בעלת ממד כפול מזה של formula_21, שנסמנה formula_33. כמרחב וקטורי, formula_34. פעולת הכפל נתונה על ידי formula_35.
קל לבדוק שהמבנה שהוגדר הוא אלגברה, וממדה ודאי כפול מזה של formula_21. ניתן להגדיר גם אינוולוציה שנובעת מהאינוולוציה הקודמת על ידי formula_37, ומתקייםformula_38.
התכונות החשובות של האלגברה המוכפלת הן:
כעת, נשים לב שאלגברות הרכבה הן אלטרנטיביות. לכן, אם מתחילים מ-formula_46 שדה, הכפלה אחת תיתן אלגברה 2-ממדית קומוטטיבית ואסוציאטיבית, המכונה אלגברה ריבועית. הכפלה שנייה תיתן אלגברה 4-ממדית אסוציאטיבית ולא קומוטטיבית, המכונה אלגברת קווטרניונים מוכללת. הכפלה נוספת תיתן אלגברה 8-ממדית אלטרנטיבית, המכונה אלגברת אוקטוניונים. כעת, לאחר ההכפלה השנייה קיבלנו אלגברה לא קומוטטיבית (משום שהאינוולוציה בריבוע איננה הזהות), ולכן האוקטוניונים הם אלגברה לא אסוציאטיבית, כלומר הכפלה שלהם איננה אלטרנטיבית, ולכן איננה אלגברת הרכבה.
סיום תהליך ההכפלה מעיד על נכונותה משפט, אשר את הוכחתו נראה מיד.
הוכחת המשפט.
לפי כל האמור לעיל, ניסוח שקול למשפט הוא כזה:
מיון מלא של כל אלגברות ההרכבה של שדה formula_5 ממאפיין לא 2 הוא כלהלן:
בהוכחה ניעזר בלמה:
"למה": תהי formula_21 אלגברת הרכבה עם תבנית formula_22, ונניח כי formula_50 תת-אלגברה ממש של formula_21, הנשמרת תחת האינוולוציה formula_52. אז formula_50 מוכלת באלגברה formula_54, עבור formula_31 כלשהו. (הוכחת הלמה ראו בקריאה נוספת).
הוכחת המשפט: תהי formula_21 אלגברת הרכבה. אם formula_57 קיבלנו את מקרה 1. אחרת, לפי הלמה, formula_21 מכילה אלגברה ריבועית הנשמרת תחת האינוולוציה. אם formula_21 שווה לה, סיימנו לפי מקרה 2. אחרת, שוב נעזר בלמה ונקבל כי formula_21 מכילה אלגברת קווטרניונים (הנשמרת על ידי האינוולוציה). אם formula_21 שווה לה, סיימנו לפי מקרה 3. אחרת, שוב לפי הלמה, formula_21 מכילה אלגברת אוקטוניונים. זו בהכרח כל האלגברה formula_21, אחרת לפי הלמה formula_21 תכיל הכפלה של אלגברת אוקטוניונים לא אלטרנטיבית, בעוד ש-formula_21 אלטרנטיבית, בסתירה.
המקרה המרוכב.