עם כיבוש פולין יצא עם בני משפחתו לוורשה, במטרה להסתתר בה מהגרמנים שהיו מעוניינים בלכידתו, בהנחה שבעיר הגדולה יקל עליו להתחבא מפניהם. בהפצצה האחרונה לפני כיבוש ורשה נפגע הבית ברחוב ואליצוב 10 שבו הסתתר הרבי, נהרג אחיינו שהיה גם חתנו, רבי יצחק מאיר אלתר, ונפגעה שמיעתו. הגרמנים אכן חיפשו, גם בגור וגם בוורשה את "ה-Wunderrabbi אלתר" (האדמו"ר אלתר). בנו הבכור, רבי מאיר נחשד על ידי הגרמנים כי הוא הרבי ושלחו לו הזמנה לחקירה. הוא הסתתר, ובתגובה חתם הגסטפו את ביתו עד להתערבותו של אדם צ'רניאקוב וחברים נוספים ביודנראט ששכנעו את הגרמנים שאין זה הרבי אותו הם מחפשים. ב-20 בינואר 1940 כתב צ'רניאקוב ביומנו: "הזמנה אל האס-אס יחד עם הרב אלתר, שלא מצאוהו בביתו. את דירתו של אלתר סגרו וחתמו. המשפחה נעלמה". כעבור ארבעה ימים כתב: "נאמר לי שעליו להופיע בין-שבוע ושלא יעשה לו כל רע. כמו כן ליוויתי את הרב אלתר אל האס-אס. יצא בשלום".
אירועים אלו הגבירו את חששם של החסידים כי לנאצים יש עניין מיוחד בתפיסתו של הרבי. הוא נרשם בשם בדוי והועבר מדירה לדירה. במקביל הועברה ידיעה על מצבו לארצות הברית באמצעות מכתב שהעביר ד"ר חיים שושקס שיצא מפולין לארצות הברית. במכתב נאמר כי "נחוץ להציל בהקדם את אדמו"ר שליט"א. זהו פיקוח נפש ממש". מכתב זה גרם לחסידיו בארצות הברית בראשות רבי מנחם מנדל כשר לפעול להצלתו. הם גייסו רבנים (בכללם הרבנים הראשיים לישראל), סנטורים ודיפלומטים שונים כדי לפעול להצלת הרבי. הם הצליחו להעביר עשר ויזות איטלקיות עבור הרבי, אשתו, בניו רבי ישראל ורבי פנחס מנחם, שלושת חתניו (יצחק מאיר לוין, הרב שלמה יוסוקובץ' והרב יצחק אהרון היינה), אחד הנכדים שהתייתם מאביו בהפצצה על ורשה, רופא מלווה, משה פראגר ואדם נוסף שהיה מעורב ביוזמת ההצלה. בנו רבי שמחה בונים היה תושב ארץ ישראל ששהה בפולין בפרוץ המלחמה, ולא נזקק לויזה. בורשה נותרו בנו הבכור רבי מאיר שסירב לעזוב, בנותיו, כלותיו ועשרות נכדיו.
למרות ניסיונות לשמור על הדבר בחשאיות, דבר יציאתו התפרסם ומאות חסידים המתינו ליד ביתו וליד תחנת הרכבת. בראש חודש ניסן ת"ש (אפריל 1940) יצא רבי אברהם מרדכי ברכבת מורשה, דרך קרקוב, וינה וטריאסטה, ובחול המועד פסח עלה על אונייה בדרכו לארץ ישראל. ב־3 במאי הגיע לחיפה. על פי דיווחים שהתפרסמו בעיתונות, מבצע ההצלה התבסס על שוחד רב ששולם לאנשי הגסטפו ואנשי ממשל איטלקים.
בארץ ישראל.
לאחר הגיעו לארץ התיישב בדירה בירושלים בסמוך לישיבת שפת אמת. באוגוסט 1940 הרים תרומה למגבית שנועדה לרכישת מטוסי קרב לחיל האוויר הבריטי להגנת ארץ ישראל.
בתקופה זו הפך לאחד מנשיאי אגודת ישראל בארץ (יחד עם חתנו יצחק מאיר לוין שהפך לאחד מראשיה), והשתתף בוועידתה ב־1941. ב־1944 פרסם את התנגדותו להשתתפות בבחירות לאספת הנבחרים.
בשלהי 1942, לאחר שהחלו להגיע לארץ ישראל השמועות הראשונות על רצח יהודי פולין כונסה ביוזמתו (ובסיוע בנו שמחה בונים) ובשיתוף כנסת ישראל הרבנות הראשית לישראל עצרת זעקה, צום ותפילה בבית הכנסת החורבה בירושלים, לה היו שותפים מרבית הרבנים בארץ ישראל. רבי אברהם מרדכי שהיה ראשון הנואמים אמר: . על העצרת העיבה היעדרותו של הרב דושינסקי, ממנהיגי אגודת ישראל בארץ, שהחרים את הכינוס וקבע יום צום נפרד, בשל התנגדות עקרונית של אנשי העדה החרדית לשיתוף פעולה עם מוסדות ציונים ועם הרבנות הראשית. הדבר יצר קרע בתנועת אגודת ישראל בארץ, ואף גרר תקרית אלימה בבית כנסת.
על הכרזת האו"ם מכ"ט בנובמבר על הקמת מדינה יהודית התבטא במאמר חז"ל לפיהם גאולתם של ישראל באה קמעה קמעא כמו אילת השחר שזורחת מעט מעט. כעבור זמן קצר הרים תרומה לקרן 'ביטחון העם'.
בשמונה שנותיו האחרונות בארץ ישראל סבל רבי אברהם מרדכי אלתר מחולשה וממחלות, ובהתנהלותו היום-יומית הסתייע בבניו רבי ישראל ורבי שמחה בונם. נפטר בשבועות תש"ח בעיצומה של מלחמת העצמאות. בגלל המלחמה לא ניתן היה לקוברו בבית הקברות בהר הזיתים במערה שרכש שנים קודם לכן, והוא נקבר בקבורה זמנית בחצר ישיבת שפת אמת במרכז העיר ירושלים סמוך לשוק מחנה יהודה. בנו וממלא מקומו, רבי ישראל אלתר, הספידו במילים: "לא היה בדורות האחרונים כמוך, שהכניס כל כך הרבה אמונה בלבות כל כך הרבה המונים". עשרות שנים לאחר מכן חפץ בנו רבי שמחה בונים אלתר להעביר את קברו ל"מערת גור" בהר הזיתים, אך לבסוף חזר בו. לימים נקבר לצידו בנו הצעיר, רבי פינחס מנחם אלתר.
בצוואתו המקורית שנכתבה בשנת ה'תרצ"ו כתב כי את מקומו צריך למלא אחיו, רבי משה בצלאל אלתר, אך בצוואתו האחרונה שבה ציווה גם לשרוף את כתביו, הוא מסר את ההנהגה לבנו ר' ישראל. בשנת ה'תש"א אחר בואו לארץ ישראל הוסיף לצוואתו: "כל זה נכתב קודם השערוריות אולם כאשר פנים חדשות בא אני מוסר ההנהלה לבני מ' ישראל שיחיה".
על שמו המושב בדרום בני רא"ם הסמוך לצומת ראם ('מסמיה'), "ישיבת אמרי אמת" בירושלים, "ישיבת אמרי אמת" בבני ברק ורחוב "אמרי אמת" בבית שמש.
משפחתו.
רבי אברהם מרדכי אלתר היו נשוי פעמיים. היה נשוי לחיה ראדא בת נח שחור מביאלה. בשנת 1922 נפטרה אשתו והוא נישא בשנית (בגיל 56) לאחייניתו פייגה מינטשע, בתו של הרב יעקב מאיר בידרמן, שילדה לו את בן זקוניו פנחס מנחם כשהוא בן 60. אשתו השנייה תוארה כבעלת נטייה ציונית, מודרנית (חבשה פאה נוכרית במקום שביס), משכילה ודוברת מספר שפות. יוחסו לה השפעה על בעלה בנושא ארץ ישראל ועל התארגנותה של הכשרה מקרב 'בנות אגודת ישראל' בוורשה.
לרבי אברהם מרדכי היו חמישה בנים וארבע בנות. שלושה מבניו שימשו כאדמו"רים זה אחר זה. האדמו"ר הנוכחי, רבי יעקב אריה אלתר הוא נכדו.
ספרייתו וכתביו.
ה"אמרי אמת" התפרסם גם כאיש ספר. בספרייתו היו עשרות אלפי כרכים והוא היה בקיא בהם. רבי שאול משה זילברמן מוויערושוב העיד בשמו שלא היה מכניס אף ספר לספרייה לפני שהיה עובר עליו. ביבליוגרפים מקצועיים התייעצו עמו.
כתבי יד רבים שכתב במשך כחמישים שנה, הוחבאו באדמה בוורשה בפולין בפרוץ המלחמה, אך לא נמצאו עד היום למרות המאמצים והחיפושים הרבים שנערכו במקום. לאחר פטירתו הוציא נכדו, רבי בנימין אלתר ליקוטים מתורתו כפי שרשמו החסידים בסדרת הספרים "אמרי אמת", הכוללת חמישה כרכים על חמישה חומשי תורה ושני כרכים נוספים בעניינים שונים בשם "אמרי אמת - ליקוטים".
שדה המספרים הניתנים לבנייה
שדה המספרים הניתנים לבנייה הוא השדה הכולל את כל המספרים שאפשר לבנות בסרגל ובמחוגה.
אפשר לבנות את השדה הזה כך: בתחילה נתונות רק שתי נקודות במישור ריק (אלו הנקודות שיתאימו לאיבר האפס ואיבר היחידה של השדה). הסרגל מאפשר להעביר קו ישר בין שתי נקודות נתונות; המחוגה מאפשרת להקצות מעגל שמרכזו הוא נקודה נתונה, והרדיוס שלו הוא המרחק בין שתי נקודות נתונות; לבסוף, אפשר לחתוך כל שני קווים (או מעגלים) ולהוסיף את הנקודות המתקבלות לאוסף הנקודות שלנו.
לדוגמה, בשלב הראשון אפשר להעביר רק את הקו הישר דרך formula_1 ו-formula_2, ואת שני המעגלים שרדיוסם formula_2, ומרכזיהם formula_1 ו-1. חיתוך הקווים האלו מעשיר את האוסף שלנו בנקודות formula_5. כעת אפשר להעביר עוד שמונה ישרים ועוד 22 מעגלים, לחתוך את אלו זה עם זה, וכן הלאה.
לאחר שזיהינו את המישור עם שדה המספרים המרוכבים, האוסף formula_6 של כל הנקודות שאפשר לקבל באמצעות תהליך סופי של העברת ישרים ומעגלים וחיתוכם מהווה תת-קבוצה של שדה המספרים המרוכבים. הדרך הקלה להוכיח שאוסף זה הוא שדה, כוללת שני שלבים: בראשון בודקים שאוסף המרחקים האפשריים בין נקודות ב-formula_6 סגור לחיבור וחיסור, לכפל ולפעולת ההיפוך formula_8. מזה נובע ש-formula_6 (כאוסף של מספרים מרוכבים) סגור לחיבור וחיסור. בשלב השני מראים שבמחוגה וסרגל אפשר לחבר זוויות, וכך (על-פי נוסחאות דה-מואבר) מוכח ש-formula_6 סגור גם לכפל וחילוק.
תכונה חשובה של השדה formula_6 היא העובדה שהוא סגור גם להוצאת שורש (שוב, כדי לראות זאת מספיק להוכיח שאפשר להוציא ב-formula_6 שורש ממספרים ממשיים, ושורשים מרוכבים מתקבלים על ידי חציית זוויות). למעשה, formula_6 הוא תת-השדה הקטן ביותר של formula_14 הסגור להוצאת שורש, כלומר הסגור הריבועי של המספרים הרציונליים. מכאן נובע שהוא מכיל כל הרחבת גלואה של שדה המספרים הרציונליים מממד חזקת-2, ולהפך: הממד של סגור גלואה של כל תת-שדה מממד סופי של formula_6 הוא חזקת-formula_16. ממילא, כל מספר מרוכב שהפולינום המינימלי שלו ממעלה שאיננה חזקת-formula_16 (או שאינו מספר אלגברי), אינו שייך ל-formula_6, ולכן אינו ניתן לבנייה.
הבעיות של ימי קדם.
כדי להראות שהבעיות הגאומטריות של ימי קדם אינן ניתנות לפתרון, נשאר לבדוק מהם הפולינומים המינימליים של המספרים שהן מבקשות מאיתנו לבנות: אי אפשר להכפיל את הקובייה, משום שהצלע המבוקשת, formula_19, יוצרת שדה מממד formula_20. אי אפשר לבנות זווית של formula_21 מעלות, משום ש- formula_22 הוא שורש של הפולינום האי-פריק formula_23 (את הזווית של formula_24 מעלות אפשר לבנות, ומכאן שלא ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים). אי אפשר לרבע את המעגל משום ש- formula_25 מספר טרנסצנדנטי ולכן אינו ניתן לבנייה. אי אפשר לבנות משובע משוכלל משום שהשורש השביעי של היחידה הוא בעל פולינום מינימלי formula_26, ו-formula_27 אינו חזקה של formula_16.
ארכיטקטורת פון נוימן