בתורת החבורות, חבורת התמורות הזוגיות הוא שמה של תת חבורה נורמלית מסוימת וחשובה של החבורה הסימטרית. לכל מספר טבעי formula_1, מחצית מבין formula_2 התמורות בחבורה הסימטרית formula_3 הן בעלות סימן formula_4, ומחצית הן בעלות סימן formula_5. הקבוצה של formula_6 התמורות בעלות סימן חיובי היא תת-חבורה מאינדקס 2 של formula_3 - חבורת התמורות הזוגיות. מקובל לסמן חבורה זו באות formula_8 (Alternating Group). בעקבות המיון של מערכות שורשים, סימון זה מתאר בהקשרים אחרים גם את הטיפוס של החבורה הסימטרית עצמה, בתור חבורת קוקסטר.
כל תמורה ניתנת לכתיבה כמכפלה של חילופים (טרנספוזיציות). ניתן להציג תמורה נתונה כמכפלה של חילופים באופנים שונים, ומספרם של החילופים אינו בהכרח קבוע; עם זאת, הזוגיות של מספר החילופים, כלומר השארית בחלוקה לשתיים, אינה משתנה. חבורת התמורות הזוגיות כוללת את התמורות שהן מכפלת מספר זוגי של חילופים. מכיוון שסימן של מכפלת תמורות שווה למכפלת הסימנים (formula_9), מכפלה של תמורות זוגיות היא זוגית, ולכן אוסף התמורות הזוגיות מהווה חבורה.
לדוגמה, formula_10 כוללת את כל המחזורים באורך 3, בעלי הצורה formula_11. קבוצת המחזורים באורך 3 יוצרת את formula_12. אם formula_13 אפשר ליצור את החבורה באופן דומה, על ידי התמורות מהצורה formula_14 כאשר formula_15 שונים זה מזה.
חשיבותן הרבה של החבורות formula_8 נובעת מכך שהן חבורות פשוטות לכל formula_17. בפרט, החבורה formula_18, שסדרה 60, היא החבורה הפשוטה הקטנה ביותר (שאינה ציקלית). משפחה זו של חבורות פשוטות היא הראשונה שהתגלתה. שאר החבורות הפשוטות הסופיות, פרט ל-26 החבורות הספורדיות, הן חבורות של מטריצות מעל שדות סופיים. העובדה שהחבורות formula_19 הן פשוטות לכל n &gt; 4, משמשת, לדוגמה, בהוכחת אחד המשפטים המרכזיים בתורת גלואה - שלא קיימת נוסחה כללית לפתרון פולינום מדרגה &gt; 4.
מן העובדה ש-formula_8 פשוטה נובע שזוהי תת-החבורה היחידה מאינדקס 2 של החבורה הסימטרית formula_3; עובדה זו נכונה אפילו כאשר formula_22. אם formula_17 אז אין לחבורה הסימטרית אף תת-חבורה אחרת מאינדקס formula_24 (זוהי תוצאה של העידון של משפט קיילי). לעומת זאת, לחבורה formula_25 יש שלוש תת-חבורות מאינדקס 3, שכולן איזומורפיות לחבורה הדיהדרלית מסדר 8.
החבורות הקטנות.
חבורת התמורות הזוגיות formula_26 אינה פשוטה: יש לה סדרת ההרכב
חבורה זו מספקת את הדוגמה הנגדית הקטנה ביותר לכיוון ההפוך של משפט לגראנז': אין לה תת-חבורה מסדר 6.
מבין הגופים האפלטוניים, חבורת התמורות של הטטרהדרון בן 4 הפאות המשולשות, שווה לחבורה formula_26. חבורות התמורות של הקובייה ושל האוקטהדרון בן 8 הפאות המשולשות איזומורפיות שתיהן לחבורה הסימטרית formula_25. המילטון הוכיח ב-1856 שחבורת תמורות של הדודקהדרון בן 12 הפאות המחומשות ושל האיקוסהדרון בן 20 הפאות המשולשות איזומורפית ל- formula_18.
לתיאור גאומטרי זה של החבורות יש קשר הדוק להצגה שלהן לפי יוצרים ויחסים:
להשלמת התמונה, יש לציין כי החבורה formula_34 אינסופית וגרף קיילי שלה מרצף את המישור באמצעות משולשים ותריסריונים משוכללים.
בכמה מקרים אפשר להציג חבורה של תמורות זוגיות גם כחבורה של מטריצות מעל שדה סופי:
formula_35,
formula_36 ו-formula_37. לעומת זאת, formula_38 ו- formula_39 הן חבורות פשוטות לא-איזומורפיות מאותו סדר
אהרן ברנע
אהרן (אהרל'ה) ברנע (נולד ב-9 ביולי 1944) הוא עיתונאי ואיש טלוויזיה ישראלי. בעשור השני של המאה ה-21 הגיש תוכניות בחדשות 2 ובערוץ הכנסת.
ביוגרפיה.
נולד בחיפה בשם אהרן זילברשיץ. הוא בן דודם של השחקנים שמוליק סגל ויוסי סגל. סבו הוא הרב חיים משה זילברשיץ (1869 – 1954), שהיה מנהל ישיבת "אורח לחיים" בזלוטשוב ומחבר סדרת ספרי "משנה ברורה" על המשניות וספר "חמדת ישראל" על מעלת עם ישראל.
למד בבית הספר הריאלי בעיר מגוריו והיה חניך בשבט "משוטטי בכרמל" של תנועת הצופים. בצה"ל הוא שירת בחיל המודיעין בשירות חובה ובהמשך גם בשירות קבע. בין השאר שימש כמפעיל סוכנים וכחוקר שבויים ביחידה 504 והשתתף גם בין היתר בפעולת כראמה, שם קרא ברמקול לנצורים הפלסטינים להסגיר עצמם. לאחר שחרורו מצה"ל למד מזרחנות, גילה התעניינות רבה בספרות המצרית ועשה דוקטורט בחוג לספרות ערבית של אוניברסיטת תל אביב, על הדיאלקט הערבי של תושבי עזה. במקביל עבד ברנע בקריינות להשלמת הכנסה.
בעקבות שיחות השלום בין ישראל ומצרים עזב את עבודת הדוקטורט באמצע ועבר לסקר את האירועים בקול ישראל.
בתחילת 1980 עם פתיחת שגרירות ישראל בקהיר נתמנה לנספח העיתונות של השגרירות. מתוקף תפקיד זה, היה בין מקימי השגרירות, אשר עסקו בארגון הראשוני שלה. לאחר כחצי שנה, לקראת לידת בתו, קיצר את שהותו במצרים וחזר לישראל, להיות כתב ופרשן לענייני ערבים בקול ישראל.
בשנת 1986 ברנע כתב יחד עם מי שהייתה אז רעייתו, עמליה ארגמן ברנע, את רב המכר "ללכת שבי" - סיפור תיעודי על פגישותיו עם בכיר לוחמי ארגון החבלה אש"ף צלאח תעמרי ורעייתו המלכה דינה, גרושתו של חוסיין מלך ירדן, וקשרי ידידות אמיצה שנוצרו בין הזוגות. בספר נטען שתעמרי מעולם לא השתתף בלחימה עצמה, או בפעולות חבלה, אף שהיה מפקדם של יחידת הלוחמים בפעולת כראמה.
ביולי 1991, לאחר 20 שנות עבודה בקול ישראל, עזב ברנע והצטרף, כפרשן לענייני ערבים, לצוות התוכנית "שבע וחצי בעולם" ששודרה בערוץ 2 הניסיוני. במקביל בשנים 1992–1993 עבד ככתב ופרשן לענייני ערבים של העיתון "חדשות". במאי 1993 מונה כדוברו של הנשיא עזר ויצמן. בהמשך חזר לחדשות ערוץ 2 ושימש הפרשן לענייני ערבים עד פברואר 2001, אז הוחלף בידי אהוד יערי. בקיץ 2001 החל להגיש את "אולפן שישי", אותה הגיש עד ינואר 2008, אז הוחלך בידי יאיר לפיד. כמו כן הנחה את התוכנית "מסע לילי" בשידורי קשת החל מינואר 2006, אך היא ירדה משידור לאחר זמן קצר עקב הרייטינג הנמוך שלה. משנת 2008 עד אמצע שנת 2014 שימש ברנע כשליח חברת החדשות של הערוץ השני בארצות הברית. בתום שליחותו, שב לישראל לשמש מגיש בתוכניות אקטואליה בערוץ 2.
אחד משידוריו הזכורים ביותר של ברנע היה ההודעה על מות ראש הממשלה יצחק רבין. בתחילת אותו ערב, ברנע לא היה בכיכר מלכי ישראל, בה התקיימה עצרת בהשתתפות רבין. הוא כלל לא היה אמור לשמש בתפקיד באותן שעות. בהמשך הערב, עם הבנת גודלה של העצרת, הסכים ברנע לבקשתו של רוני דניאל להתלוות אליו על מנת לעזור לגדי סוקניק בדיווח על העצרת. מיד בתום האירוע, החל ברנע לצעוד לעבר רכבו שהוחנה בסמוך, תוך כדי שהוא מקבל הודעה למכשיר הזימונית אשר בה נאמר "דב גיל-הר מוסר שיש שמועות על יריות בכיכר וכי רבין נפצע". ברנע התעלם מההודעה כי סבר שמדובר בבדיחה, אך לאחר מכן קיבל הודעה נוספת מהמערכת על שידור מבזק מיוחד על ההתנקשות מפי יורם ארבל.
עם קבלת ההודעה, טלפן ברנע אל המפיק בשטח של חדשות ערוץ 2, וזה הורה לו להגיע במהירות לבית החולים איכילוב, ולדווח משם בהמשך הערב. ומשם העביר את הדיווחים על מצבו של ראש הממשלה לכל אורך הערב. כולל מסירת הידיעה על מותו של רבין. שלאחריה אמר למגיש יעקב אילון: "הרבה שנים אני עובד במקצוע הזה של התקשורת יעקב, מעולם לא העליתי בדעתי שאני אהיה זה שאבשר לך על כך".
בנובמבר 2014 הוכרז ברנע כזוכה בפרס מפעל חיים מטעם אגודת העיתונאים.
בינואר 2015 החל להגיש בערוץ הכנסת תוכנית בשם "מחוץ לזמן" בה הוא מקיים ראיונות אישיים עם דמויות ישראליות שונות. בהמשך, החל להגיש בערוץ הכנסת, במקביל ל"מחוץ לזמן", תוכנית נוספת של ראיונות אישיים, בשם "היו ימים".
בראשית נובמבר 2018 הודיע על פרישה מחברת החדשות ויציאה לגמלאות.
חיים אישיים.
ברנע היה נשוי לשלוש נשים: אשתו הראשונה הייתה דניאלה שינדל. נישואיו השניים היו לעמליה ארגמן-ברנע, לה היה נשוי במשך 20 שנה, עד 1997. ב-2013 נישא בשלישית לחוקרת ורופאה ישראלית-אמריקאית ד"ר עפרה ("עופי") פורת-סולדין-ברנע, שנפטרה ממחלת הסרטן פחות משנה לאחר מכן, בפברואר 2014.
לברנע חמישה ילדים מארבע נשים: בן מאשתו הראשונה דניאלה, בת ובן מנישואיו לעמליה ארגמן-ברנע, רעות ואור, בת נוספת מחוץ לנישואים, בעת שהיה נשוי לעמליה ארגמן-ברנע ובן ממערכת יחסים עם אורנה בנאי. בריאיון לירחון "את" בשנת 2009 סיפרה בנאי שברנע מתכחש לקשר עם בנו אמיר. דבר הבת הנוספת נודע לעמליה, אשתו לשעבר, בשנת 2013, והיא פרסמה בעיתון מאמר בשם "מכתב אל הבת הסודית", בו האשימה את ברנע שממשיך להתנכר לאמיר, בנו מאורנה בנאי, וכן לשאר ילדיו.
ברנע מתגורר בגבעתיים והחל מ-2015, הוא בן זוגה של רחל אדטו. כלתו של ברנע היא אור אלתרמן ברנע, יזמת חברתית ואשת תקשורת.
הוריישו קיצ'נר
הרוזן הוריישו הרברט קיצ'נר (באנגלית: Horatio Herbert Kitchener) מח'רטום (24 ביוני 1850 - 5 ביוני 1916) היה פילדמרשל ומדינאי בריטי. ידוע כמי שביסס את עליונותה הצבאית של בריטניה באפריקה במחצית השנייה של המאה ה-19, וכן כשר המלחמה הבריטי בתחילת מלחמת העולם הראשונה עד למותו.
שנות חייו המוקדמות.
קיצ'נר נולד במחוז קרי באירלנד בן לקולונל אנגלי. הוא למד בשווייץ ובאקדמיה הצבאית המלכותית בוולוויץ'. בשנת 1870 התנדב להילחם לצד צרפת במלחמת צרפת–פרוסיה, וב-1871 הצטרף לחיל ההנדסה המלכותי. הוא שירת בארץ ישראל, במצרים ובקפריסין כמודד, למד את השפה הערבית והכין מפות טופוגרפיות של האזורים בהם סייר. בין השנים 1874–1877 עמד בראש המשלחת ל"סקר ארץ-ישראל המערבית" מטעם הקרן לחקר ארץ ישראל, יחד עם עמיתו קלוד קונדר.