בשנת 2002 חזרה הלהקה לאולפן עם קלידן להקת "החשמליות" בועז כהן שהצטרף להרכב לקראת סיום ההקלטות האחרונות של האלבום השלישי "דנה ראתה עב"מ", שבמפתיע הפך לאלבום המצליח ביותר, מבחינה מסחרית, של הלהקה. פונץ' הקליטה מחדש את השיר "הוא מסתכל בה כל הזמן", שהופיע במקור באלבום "הצוללת", וגם גרסה חדשה להמנון הלאומי "התקווה" שהוקלט במקור לפרויקט עבודה עברית, אבל לא זכה להיכנס אליו.
ביוני 2002 חברת NMC הוציאה מחדש, תחת השם "נדמה שישוב", מארז הכולל את כל שירי הראשון ורוב שירי האלבום השני של פונץ', שאזלו מן השוק והפכו עם השנים לפריט אספנים. "דנה ראתה עבמ", שיצא באוגוסט 2002 החזיר את להקת פונץ' לעשייה בזירת המוזיקה המקומית. האלבום זכה לביקורות מצוינות והלהקה קיבלה, לראשונה, גם סיקור אוהד נרחב בתקשורת.
ב-2003 פרש שלום גד מן ההרכב, לטובת קריירה עצמאית. המתופף שלומי רוזנבלום פרש לעסקים פרטיים והוחלף בשמעון בן-לולו מ"החשמליות" וללהקה צורפה גם דנה בקר כסולנית נוספת לצדו של בבליקי.
בהרכב הזה הוציאה פונץ' את האלבום הרביעי של הלהקה ב-2007, "פינוקיו" ששירים אחדים מתוכו נחשפו קודם לקהל במסגרת סדרת הטלוויזיה של עוזי וייל "8 דקות ביום". השקת האלבום התקיימה בשלושה ערבים רצופים של "פסטיבל פונץ'" בתיאטרון תמונע בתל אביב. הערב הראשון נקרא "אלכוהול" והתארח בו רמי פורטיס, בשני, "הנגאובר", התארח מיכה שטרית ובשלישי, "עד הלקוח האחרון", חברי הלהקה לדורותיה: שלום גד, שלומי רוזנבלום וגיל פדידה, וגם דויד פרץ ונדב אזולאי והבסיסט החדש איתי מאור. מתוך שלושת ימי הפסטיבל נבחרו 30 קטעים שיצאו באלבום הכפול "חור בשמיים כחולים" שיצא לאור ב-2009.
בינואר 2013 – בדיוק שש שנים לאחר "פינוקיו" – הוציאה פונץ' את אלבום האולפן החמישי (והאחרון) שלה, "רמז לעתיד". לאחר סיבוב הופעות קצר חדלה לפעול.
צמיד Livestrong
צמיד Livestrong הוא צמיד צהוב שפותח על ידי חברת נייקי ורוכב האופניים שורד מחלת הסרטן לאנס ארמסטרונג בקיץ 2004. הצמיד הוא חלק מהתוכנית ללבישת צהוב, שמטרתה היא לגייס כסף לחולי סרטן ולעורר המודעות למחלה. הצמיד נמכר בחבילות של 10, 100 ו-1200 יחידות, במחיר של דולר אחד ליחידה, במטרה לאסוף חמישה מיליון דולר לקרן ארמסטרונג בשיתוף עם חברת נייק. הצבע הצהוב נבחר בגלל חשיבותו ברכיבת אופניים מקצועית, בעיקר "החולצה הצהובה" בטור דה פראנס, שאותה לובש המוביל במירוץ. הצמיד נהפך לפריט אופנתי, וענדו אותו צעירים רבים. במהלך 2004 יובא הצמיד לישראל ומכירותיו נחלו הצלחה רבה.
הצמיד נהיה פופולרי במיוחד בסוף הקיץ ומפורסמים רבים הופיעו איתו, ביניהם המועמד לנשיאות ארצות הברית ג'ון קרי, השחקן מאט דיימון ומספר אתלטים באולימפיאדת אתונה.
הצמידים עשויים מסיליקון, מוטבע עליהם המוטו "Live Strong". הצמידים נמכרים עד היום ונכון לעכשיו, נמכרו כ-80 מיליון צמידים. ההצלחה של הצמידים הובילה למכירת צמידים מזויפים שההכנסות ממכירתם הלכה לכיסי המזייפים ולא לתרומה למטרה שלשמה לכאורה הם נקנו.
ההצלחה הובילה למספר רב של מיזמים דומים בהם נמכרים צמידים בצבעים שונים למען מטרות שונות, כמו צמיד אדום למאבק באיידס, צמיד ורוד עבור סרטן השד, צמיד כחול למען צער בעלי חיים, סיוע לנפגעי הצונאמי ועוד. כמו כן אירועי ספורט כגון אולימפיאדות, צעדות, וכדומה גם קבוצות מענפי ספורט שונים החלו להשתמש בצמידי סיליקון ממותגים.
עם הזמן צמידי סיליקון הפכו מאוד נפוצים, גופים עסקיים, מוסדות, וארגונים רבים אימצו את הרעיון לפרסם או לעורר מודעות לנושאים חשובים עבורם והחלו לרכוש צמידי סיליקון עם מסרים, דבר שהוביל להוזלה במחירו וכך הפכו הצמידים למוצר פרסום זול ויעיל.
מפציצנית מרעישה
מפציצנית מרעישה (שם מדעי: "Brachynus crepitans") היא חיפושית ממשפחת הרצניתיים.
מאפיינים.
אורכה בבגרות 8 מילימטרים. החיפושית נפוצה במרכז ודרום אירופה, כשבית הגידול הוא סלעי גיר וכן בין אבנים. צורת ההתפחות שלה היא גלגול מלא והיא ניזונה מחסרי חוליות קטנים.
שמה ניתן לה בשל דרך התגוננותה המיוחדת מפני תוקפיה. כאשר מתקרב אליה טורף כלשהו ונוגע בה, היא מפרישה נוזל חומצי ואדמדם שריחו הדוחה מתפשט בסביבה כענן אדים. הנוזל הוא תערובת של חומרים כימיים רעילים, המופרשים מבלוטות הנמצאות בקצה הבטן ואשר הטמפרטורה שלהם מסוגלת להגיע עד 100 מעלות צלזיוס. פליטת הנוזל מלווה בפיצוץ וגורמת לפגיעה צורבת בעור. החיפושית מכוונת את הנוזל אל התוקף וגורמת למנוסתו. כלפי יצור גדול היא ממשיכה להפריש ברצף את הנוזל עד אשר הוא משתכנע להסתלק.
רגליה של המפציצנית חזקות וארוכות, ולכן היא מיטיבה לרוץ במרדף אחר טרפה, שאותו היא מגלה באמצעות מחושיה הארוכים. בתופסה את טרפה, לרוב מיני רמשים ותולעים, היא נושכת אותו בלסתותיה החזקות ומפרישה לגופו חומר הממיס את רקמותיו. אחרי כן היא מוצצת את לשדו ונוטשת את המעטה החיצוני. כנפי התעופה שלה מנוונות ולכן אינה מסוגלת לעוף. צבע כנפי החפייה הוא ירוק-כחלחל, והן משמשות לה כשריון מגן בהיותן מאוחות. שאר איברי הגוף צבעם חום-אדמדם.
המנון בולגריה
מילה רודינו (בולגרית Мила родино - "מולדת יקרה") הוא ההמנון הלאומי של בולגריה. הוא נכתב והולחן בידי צבטאן טסבטאקוב ראדוסלאבוב כשזה יצא להילחם במלחמת סרביה-בולגריה ב־1885. השיר התקבל כהמנון ב־1964. הבית האחרון מושמט בדרך-כלל באירועים רשמיים.
בין השנים 1886 ל-1944 שימש השיר "המריצה גועש" ("Шуми Марица") כהמנונה הלאומי של בולגריה. לאחר מכן נעשה שימוש בשיר "הריעי, רפובליקה שלנו" ("Републико наша, здравей!") עד 1950, ומ-1950 עד 1964 היה השיר "בולגריה היקרה, ארץ הגיבורים" ("Българио мила, земя на герои") להמנון הלאומי של בולגריה.
משפט קושי (תורת החבורות)
בתורת החבורות, אחד המאפיינים של חבורות סופיות הוא העובדה המפתיעה שאפשר להסיק רבות על המבנה של חבורה מתוך הסדר שלה. אחת הדוגמאות המוקדמות לתופעה הזו היא משפט קושי (שגילה אוגוסטין קושי ב- 1845): אם formula_1 חבורה סופית, אז לכל formula_2 מספר ראשוני שמחלק את סדר החבורה (כלומר formula_3 מספר שלם) קיים ב-formula_4 איבר מסדר formula_2.
תוצאה כללית יותר, העוסקת בקיום של תת-חבורות מכל סדר שהוא חזקה של מספר ראשוני, מנוסחת במשפטי סילו.
שימושים.
למשפט יסודי זה שימוש נרחב בתורת החבורות, ודרכה גם בתחומים אחרים באלגברה, בפרט בתורת גלואה. לדוגמה, אם formula_6 הוא פולינום אי-פריק ממעלה formula_2 מעל שדה formula_8, אז שדה ההרחבה formula_9 הוא ממימד formula_2, ולכן גם הממד של שדה הפיצול formula_11 של formula_12, המכיל את השדה הראשון, מתחלק ב-formula_2. אבל לפי המשפט היסודי של תורת גלואה, הסדר של חבורת גלואה שווה לממד של formula_11 מעל formula_8, ולכן - לפי משפט קושי - היא כוללת איבר מסדר formula_2.
הוכחה.
הוכחה באינדוקציה.
תהי formula_4 חבורה מסדר המתחלק בראשוני formula_2. צריך להוכיח שיש ב-formula_4 איבר מסדר formula_2.
ראשית צריך להוכיח את המשפט לחבורות אבליות, למשל באינדוקציה על הסדר: אם formula_21 הוא איבר מסדר המתחלק ב-formula_2, אז יש לו חזקה מסדר formula_2. אחרת, אפשר לעבור לחבורת מנה ביחס לתת-החבורה הציקלית הנוצרת על ידי formula_24.
כעת נוכיח את המשפט במקרה הכללי (שוב באינדוקציה על הסדר). אם formula_25 אז כל איבר לא-טריוויאלי הוא מסדר formula_2 (לפי משפט לגראנז'). נניח שהטענה נכונה לכל החבורות מסדר קטן מ-formula_27.
הוכחה באמצעות פעולה של formula_59.
נסתכל על קבוצת ה-formula_2-יות של איברים שמכפלתם היא היחידה:
formula_61
מכיוון שלכל formula_62 יש השלמה יחידה לווקטור ב-formula_63, גודל הקבוצה הוא formula_64, המתחלק ב-formula_2. אנו רוצים להוכיח קיום של איבר בקבוצה formula_63 מהצורה formula_67 כאשר formula_68. על ידי הצמדה ב-formula_69, קל לראות ש formula_70 אם ורק אם formula_71. לכן, נוח לחשוב על כל וקטור כמעגל של מספרים, המסודרים כמו על חוגה של טלפון ישן, ולחלק את A למחלקות שקילות, כך ששני איברים ייקראו שקולים אם הם סיבוב אחד של השני.
ה"עוקץ" בהוכחה נעוץ בכך שאורך כל וקטור formula_72 הוא ראשוני. לכן, גודל כל מחלקת שקילות חייב להיות formula_2 או 1. ניתן להבין זאת מכך שאם וקטור שווה לסיבוב של formula_74 צעדים של עצמו, אז הוא בהכרח שווה גם לסיבוב של formula_75 צעדים, formula_76 צעדים, וכך הלאה. אך מכיוון ש-formula_2 ראשוני, ניתן להגיע לסיבוב בכל מספר של שלבים על ידי סיבוב חוזר ב-formula_74 צעדים. זאת מכיוון שלכל formula_79 כך ש-formula_80 (טענה זו שקולה לטענה שכל איבר בחבורה הציקלית formula_81 יוצר אותה). לכן, אם קיים סיבוב של הווקטור שבו הוא חוזר לעצמו, אז בכל סיבוב הוא יחזור לעצמו, והוא מהצורה formula_67
נשים לב ש-formula_63 היא איחוד זר של מחלקות השקילות שלה, ולכן גודלה הוא סכום גודלי מחלקות השקילות, שגודל כל אחת מהן הוא 1 או formula_2. נזכור גם ש-formula_2 מחלק את גודל formula_86 ושאנו יודעים כי קיימת מחלקת שקילות בגודל 1 - המחלקה formula_87. אך אם גודל כל מחלקות השקילות האחרות היה formula_2, אז formula_2 לא יכול היה לחלק את formula_86, כי סכום של מספרים המתחלקים ב-formula_2 ועוד 1 לא יכול להתחלק ב-formula_2. לכן, קיבלנו כי חייבת להיות לפחות עוד מחלקה בגודל 1 (למעשה חייבות להיות עוד formula_93 כאלה), כלומר מחלקות מהצורה formula_67, ולכן קיים formula_95 כך ש-formula_96.
סדרה גיאומטרית
התפלגות גאומטרית