האינטואיציה להגדרה היא שאם יש לנו אובייקט A עם בסיס X, ואנחנו רוצים להוציא ממנו פונקציה (משמרת מבנה) למרחב אחר B, מצד אחד, אנחנו יכולים לתת לאיברי הבסיס כל ערך שנרצה (כי הם אינם משפיעים זה על זה), ומצד שני, ערכים אלו יקבעו את הפונקציה כולה (כי כל איבר אחר ב-A נוצר מאיברי X ולכן הפונקציה עליו נובעת מערכי הפונקציה על X).
בנייה.
פעמים רבות אפשר לבנות אובייקט חופשי מקבוצת יוצרים בשתי דרכים: הראשונה, בעזרת כללי הבנייה המדויקים, והשנייה בעזרת מציאת כל האיברים והגדרת יחס שקילות עליהם על פי המבנה, ואז לקיחת מנה כדי לקבל את האובייקט הסופי.
לדוגמה, נניח שאנחנו רוצים לבנות חבורה חופשית מעל היוצרים a,b. כל האיברים בחבורה נוצרים על ידי כפל והופכי, לכן איברי החבורה מוכרחים להיות מילים מעל האלפבית a,b,a-1,b-1. כעת אפשר לנקוט בשתי דרכים:
הדרך השנייה בדרך כלל ישירה פחות, אך נוחה יותר.
דוגמאות.
דוגמאות לאובייקטים חופשיים:
מטאו טרנטין
מטאו טרנטין (באיטלקית: Matteo Trentin; נולד ב-2 באוגוסט 1989) הוא רוכב אופני כביש איטלקי בקבוצת יו. איי. אי. אמירטס. טרנטין הוא סגן אלוף העולם בשנת 2019. יש לו ניצחונות בשלושת מרוצי הגרנד טורס, כאשר ניצח ארבעה קטעים בוואלטה אספנייה (בשנת 2017), קטע בג'ירו ד'איטליה (בשנת 2016), ושלושה קטעים בטור דה פראנס (בשנת 2013, 2014, ו-2019). בנוסף לכך, טרנטין הוא אלוף אירופה באופני כביש לשנת 2018.
קריירה.
קבוצת קוויק סטפ.
ב-2011, טרנטין רכב בקבוצת קוויק סטפ כסטאז'ר. הוא ניצח את אליפות איטליה עד גיל 23.
טרנטין סיים שני בקטע הרביעי של וואלטה או אלגראב, הוא סיים במקום ה-11 במרוץ שלדפרייס. הוא השתתף בטור דה רומאנדי, אך לא בלט. הוא סיים שמיני באליפות איטליה בנגד שעון, 2:09 דקות אחרי דריו קאטלדו המנצח.
טרנטין סיים שני בקטע החמישי של טור טורקיה, אחרי אנדרה גרייפל הגרמני. בחודש מאי, טרנטין התחרה לראשונה בגרנד טור, כאשר נבחר לסגל קבוצתו בג'ירו ד'איטליה. ההישג הטוב ביותר שלו במרוץ היה מקום חמישי בקטע החמישי. לאחר מכן, נבחר טרנטין גם לטור דה פראנס, ורשם את הישג שיאו בתקופה זו, כאשר ניצח את הקטע ה-14.
טרנטין סיים רביעי במרוץ החד יומי, טרופאו סס סאלינס. הוא התחרה בטור דה סוויס, וניצח את הקטע השישי. הוא נבחר לטור דה פראנס שנית, וניצח את הקטע השביעי, לאחר שגבר בספרינט צמוד על פטר סאגאן הסלובקי.
טרנטין סיים שלישי במרוץ הE3 בינקבנק קלאסיק, ושישי במרוץ שלדפרייס. הוא נבחר לטור דה פראנס, ותוצאתו הטובה ביותר הייתה מקום 11 בקטע ה-21. הוא ניצח את הקטע השני והחמישי בטור של פויטו שארן ואת דירוג המאיצים במרוץ. הוא ניצח את הקטע השישי בטור של בריטניה, סיים שלישי במרוץ קופה ברנוקי, שני בג'ירו דל פיימונטה (כיום נקרא גראן פימונטה), וראשון במרוץ פריז–טור.
טרנטין סיים עשירי במרוץ מילאנו - סן רמו, ו-12 במרוץ E3 בינקבנק קלאסיק. הוא ניצח את הקטע ה-18 בג'ירו ד'איטליה, והגיע שני בקטע ה-21. הוא ניצח את הקטע הרביעי בטור דה וואלני, וניצח את קטגוריית המאיצים. הוא ניצח את הקטע הראשון בטור ד'לאן, ואת דירוג המאיצים.
טרנטין סיים תשיעי באומלופ הט ניוסבלד, ורביעי במרוץ קורן–בריסל–קורן. הוא הגיע פעמיים שלישי בטור דה סוויס (קטעים 5 ו8), ונבחר לטור דה פראנס, אך בקטע ה-9 לא עמד במגבלת הזמן ביחד עם רוכבים נוספים וניאלץ לפרוש מהמרוץ. הוא נבחר לראשונה ווואלטה אספנייה, ושלט בתחום המאיצים, כאשר ניצח את הקטע ה-4, ה-10, ה-13 וה-21. אך בסופו של דבר, הפסיד בדירוג המאיצים לכריס פרום הבריטי, בפער של 2 נקודות בלבד, כשפרום עם 158 וטרנטין עם 156. הוא ניצח במרוץ פרימוס - קלאסיק, סיים רביעי באליפות העולם, וניצח במרוץ פריז–טור בסוף העונה.
קבוצת מיצ'לטון - סקוט.
לאחר 7 שנים במדי קבוצת קוויק סטפ, טרנטין הצטרף לקבוצת מיצ'לטון - סקוט האוסטרלית. הוא סיים שביעי במרוץ גנט - וולגם, וניצח את אליפות אירופה, כשהוא מקדים את מת'יו ואן דר פול ההולנדי, וווט ואן ארט הבלגי. הוא נבחר שוב לוואלטה אספנייה, והתוצאה הטובה ביותר שלו הייתה מקום חמישי בקטע השישי. הוא ניצח את הקטע החמישי בטור של גואנשי.
טרנטין ניצח את הקטע השני בוואלטה של ולנסיה, ואת הקטע השני בוואלטה של אנדלוסיה. הוא סיים עשירי במילאנו - סן רמו, שביעי בE3 בינקבנק קלאסיק, שביעי בגנט - וולגם, ועשירי במרוץ אמסטל גולד. הוא סיים שלישי בקטע השני בטור דה סוויס, בטור דה פראנס, ניצח את הקטע ה-17 לאחר פריצה מחבורת החוד. הוא לא הצליח להגן על תוארו כאלוף אירופה, לאחר שסיים שביעי והפסיד את התואר לאליה ויויאני. הוא ניצח את הקטע השני בטור של בריטניה.
בתחילת חודש אוגוסט, הודיעה קבוצת CCC הפולנית שטרנטין חתם בקבוצה, והצטרף לשורותיה בעונת 2020. הוא הספיק לסיים רביעי באומלופ הט ניוסבלד ולערוך הופעה שישית בטור דה פראנס, התוצאה הטובה ביותר שלו במרוץ הייתה מקום 7 בקטע ה-14, והוא סיים שלישי בקטגוריית הנקודות עם 260 כאלו, לעומת 380 של סם בנט ו-280 של פטר סאגאן. הוא סיים את עונתו בבלגיה וסיים שלישי בגנט-וולחם, לאחר שנכנע למאדס פדרסן ופלוריאן סנשל בספרינט הסיום. בשלושת הימים של ברוז'-דה פאנה סיים שישי, 22 שניות מאיב למפרט המנצח.
די (נהר)
ירי סט. יוסטה
מארק מליאר
מארק מליאר (נולד ב-5 במרץ 2000) הוא שחיין פאראלימפי ישראלי המתחרה בדרגות נכות S7. פעמיים אלוף פאראלימפי (טוקיו 2020) ושיאן עולם במשחים ל-400 מטר חופשי ול-200 מטר מעורב אישי. מליאר גם מחזיק בארבע מדליות מאליפויות עולם והוא שיאן עולם במשחים ל-800 מטר חופשי ול-1500 מטר חופשי.
ביוגרפיה.
מארק מליאר נולד עם שיתוק מוחין במרכז הרפואי בני ציון שבחיפה, לאלכס ולדיאנה. יש לו אח-תאום, אריאל מליאר, אף הוא שחיין פאראלימפי.
מליאר החל להתאמן בשחייה בגיל 5 יחד עם אחיו כחלק מטיפול הידרו-תרפי. לאחר מספר שנים, עבר לנבחרת השחייה של איל"ן חיפה והוא מתאמן בבריכת איל"ן בקריית חיים, בהדרכת יעקב ביננסון. במהלך השנים הראשונות התחרה בתחרויות ארציות, ועם הצלחותיו התקדם לאליפויות אירופה והעולם, כאשר בכולן זכה להישגים.
באליפות העולם לנכים שנערכה במקסיקו סיטי, מקסיקו, בדצמבר 2017, זכה מליאר בשתי מדליות ארד, במשחה ל-100 מטר גב ובמשחה ל-100 מטר חזה. בנוסף, סיים במקום חמישי במשחה ל-400 מטר חופשי ובמקום שמיני במשחה ל-200 מטר מעורב אישי.
באליפות אירופה שנערכה בדבלין, אירלנד באוגוסט 2018 זכה מליאר ב-3 מדליות, 1 כסף ו-2 ארד. מדליית כסף במשחה ל-400 מטר חופשי בתוצאה של 4:48.69 דקות ומדליות ארד במשחה ל-100 מטר גב בתוצאה של 1:13.89 דקות ובמשחה ל-100 מטר חזה בתוצאה של 1:24.67 דקות . נוסף לכך, הוא סיים במקום שמיני במשחה ל-200 מטר מעורב אישי בתוצאה של 2:38.69 דקות.
שיאן עולם.
בתחרות שנערכה במכון וינגייט בפברואר 2019 קבע מליאר במשחה ל-1500 מטר שיא עולם חדש של 19:27.26 דקות, שיפור של כמעט 23 שניות לשיא בן 8 השנים.
אלוף עולם.
באליפות העולם לנכים שנערכה בלונדון בספטמבר 2019 זכה מליאר בשתי מדליות, זהב וכסף. מדליית זהב במשחה ל-400 מטר חופשי בשיא עולם חדש של 4:33.64 דקות, שיפור לשיא העולם בן ה-6 שנים של קרייג ג'וזף מהממלכה המאוחדת (4:39.14 דקות), לפני אנדרי טרסוב מאוקראינה (4:40.07 דקות) ואינקי בסילוף מארגנטינה (4:43.30 דקות). מדליית כסף במשחה ל-200 מטר מעורב אישי בשיא ישראלי חדש של 2:33.83 דקות, אחרי קרלוס סרנו מקולומביה, שקבע שיא אליפות חדש של 2:31.11 דקות ולפני אנדריי טרוסוב (2:35.28 דקות). כבר בשלב המוקדמות הוא קבע שיא ישראלי חדש של 2:37.54 דקות. בנוסף, סיים במקום רביעי במשחה ל-100 מטר חזה בתוצאה של 1:22.99 דקות ובמקום חמישי במשחה ל-100 מטר גב בתוצאה של 1:12.95 דקות. בשלב המוקדמות הוא קבע שיא ישראלי חדש של 1:11.92 דקות.
ב-2020, זכה בתואר ספורטאי השנה מטעם ההתאחדות הישראלית לספורט נכים.
באליפות אירופה שנערכה בפונשל, פורטוגל במאי 2021 הוא זכה ב-4 מדליות, 1 זהב, 2 כסף ו-1 ארד. מדליית זהב במשחה ל-100 מטר גב בשיא ישראלי חדש של 1:11.42 דקות, לפני פדריקו ביצ'לי מאיטליה (1:11.66 דקות) ואנדריי טרוסוב (1:12.10 דקות). מדליות כסף במשחה ל-200 מטר מעורב אישי בתוצאה של 2:34.79 דקות, אחרי יבגני בוגודאיקו (2:34.43 דקות) ולפני אנדריי טרוסוב (2:35.89 דקות), שניהם מאוקראינה ובמשחה ל-100 מטר חזה בתוצאה של 1:22.98 דקות, אחרי יבגני בוגודאיקו (1:22.05 דקות) ולפני איוון בנצה מהונגריה (1:27.85 דקות) ומדליית ארד במשחה ל-400 מטר חופשי בתוצאה של 4:46.48 דקות, אחרי אנדריי טרוסוב (4:42.88 דקות) ופדריקו ביצ'לי (4:44.90 דקות).
אלוף פאראלימפי.
ב הוא זכה ב-3 מדליות, 2 זהב ו-1 ארד. מדליות זהב, במשחה ל-400 מטר חופשי דרגת נכות S7 בשיא עולם חדש של 4:31.06 דקות, לפני אנדיר טרוסוב (4:35.56 דקות) ואוון אוסטין מארצות הברית (4:38.95 דקות) ובמשחה ל-200 מטר מעורב אישי SM7 בשיא עולם חדש של 2:29.01 דקות, לפני אנדריי טרוסוב (2:29.99 דקות) וקרלוס סרנו מקולומביה (2:31.58 דקות). כבר בשלב המוקדמות הוא קבע שיא ישראלי חדש של 2:32.86 דקות.מדליית ארד במשחה ל-100 מטר גב בתוצאה של 1:10.08 דקות, אחרי אנדריי טרוסוב שקבע שיא עולם חדש של (1:08.14 דקות) ופיפו קרלומנו מארגנטינה (1:08.83 דקות). נוסף לכך, הוא סיים במקום שישי במשחה ל-50 מטר חופשי בשיא ישראלי חדש של 28.49 שניות.
מליאר מתגורר בקריית מוצקין.
לידר (מפלגה)
ג'ושוע צ'פטגאי