במאי 1690 פרסם מאמר שבו הראה שבעיית הטאוטוכרון, למציאת העקומה שהזמן שלוקח לכל חפץ המחליק עליה להגיע לנקודה התחתונה שלה יהיה בלתי תלוי בנקודת ההתחלה שלו, שקולה לפתרון משוואה דיפרנציאלית ממעלה ראשונה, ופתר את המשוואה בטכניקה של הפרדת משתנים. במאמר זה טבע את המונח "אינטגרל", ובעקבות זאת הסכים לייבניץ לקרוא ליצירתו "חשבון אינטגרלי". בשנת 1696 פתר את המשוואה formula_7, המוכרת כיום בשם משוואת ברנולי או בשם המשוואה הדיפרנציאלית של ברנולי (כדי להבחין בינה ובין משוואת ברנולי הקרויה על שם אחיינו, דניאל ברנולי).
בשנת 1694 תיאר לראשונה את העקומה הקרויה הלמניסקטה של ברנולי - עקומה שבקואורדינטות פולריות משוואתה היא formula_8. בשנת 1695 פרסם את הגרסה הלטינית לספרו של דקרט, "La Géométrie", ובה הערות ותיקונים של ברנולי.
בשנת 1713, שמונה שנים לאחר מותו, יצא לאור ספרו Ars Conjectandi, שלו השפעה גדולה על תורת ההסתברות (ראו בהרחבה בערך היסטוריה של תורת ההסתברות#ברנולי). בספר סקר ברנולי את עבודותיהם של הויגנס, פסקל ואחרים, והוא ספר היסוד המוקדם ביותר לתורת ההסתברות שהיה מוגדר ככזה וכחיבור מחקרי מתמטי של ממש. הספר כולל הצגה שיטתית של הקומבינטוריקה, ודוגמאות רבות של תוחלת הזכייה במשחקי מזל שונים. בין השאר הספר מציג את סדרת מספרי ברנולי, והמושג "ניסוי ברנולי" מקורו בספר זה.
Lynyrd Skynyrd
אלגוריתם בלמן-פורד
אלגוריתם בלמן-פורד הוא אלגוריתם הפועל על גרף מכוון וממושקל, ומשמש למציאת המסלול הקל ביותר מצומת אחד מסוים אל כל אחד משאר הצמתים בגרף. בכך, אלגוריתם זה משיג אותה תוצאה כמו אלגוריתם דייקסטרה, אך בניגוד לאלגוריתם דייקסטרה הוא עובד גם כאשר הגרף מכיל קשתות בעלות משקל שלילי. יתר על כן, אם הגרף מכיל מעגל שסכום משקלי קשתותיו שלילי (מה שגורם לכך שאין תשובה מוגדרת לשאלת המסלולים הקצרים) הוא מסוגל לזהות זאת ולהתריע על כך. בגרף בעל formula_1 צמתים ו-formula_2 קשתות, זמן הריצה של האלגוריתם הוא formula_3, זמן ארוך יותר מאשר אלגוריתם דייקסטרה.
תיאור אינטואיטיבי.
האלגוריתם משתמש בטכניקה המכונה "הקלה" (Relaxation), ומתבסס על הפעלת הקלה על כל קשתות הגרף עד אשר בוודאות נמצאו המסלולים הקלים ביותר.
לכל צומת formula_4 בגרף אנו מתאימים משתנה formula_5 שמייצג את משקל המסלול הקל ביותר שנמצא עד כה של מסלול מ-formula_6 (הצומת ההתחלתי) ועד formula_4. בתחילת ריצת האלגוריתם formula_8 לכל צומת שאינו formula_6 (כי עדיין לא נמצא מסלול כלשהו), ואילו formula_10 (כי המסלול הטריוויאלי מ-formula_6 אל עצמו שאינו מכיל קשתות הוא במשקל 0).
לכל צומת אנו שומרים גם משתנה שיצביע על הצומת הקודם לו במסלול הקל ביותר. בתחילת הריצה כל המשתנים הללו מאותחלים ל-NULL, שפירושו שעדיין לא קיים צומת כזה. בעזרת המשתנים הללו יהיה ניתן לשחזר את המסלולים הקלים ביותר לאחר סיום ריצת האלגוריתם.
כאשר מבצעים פעולת הקלה על קשת formula_12, בודקים האם מתקיים formula_13 כאשר formula_14 הוא משקל הקשת. אם אי השוויון מתקיים, פירוש הדבר שהמסלול הקל ביותר אל formula_4 שהיה ידוע עד כה הוא כבד יותר מאשר המסלול שמגיע אל formula_16 במסלול הקצר ביותר שידוע עבורו, ואז עובר מ-formula_16 אל formula_4 באמצעות הקשת formula_12. לכן, אם אי השוויון מתקיים, מעדכנים את formula_16 להיות הקודם ל-formula_4 במסלול הקל ביותר, ומעדכנים את formula_5 להיות שווה ל-formula_23.
האלגוריתם של בלמן-פורד פועל כך: הוא מבצע formula_24 איטרציות, כאשר בכל איטרציה הוא עובר על כל הקשתות בגרף ומבצע הקלה על כל אחת מהן. כל איטרציה משפרת את רמת הדיוק של המסלולים הקלים שנמצאו עד כה, וניתן להוכיח כי לאחר formula_24 איטרציות יימצאו המסלולים הקצרים ביותר, בתנאי שבגרף אין מעגלים שליליים.
לאחר סיום ריצת האיטרציות, האלגוריתם עובר פעם נוספת על כל הקשתות ובודק האם עדיין מתקיים formula_13, כלומר "עדיין יש מה לתקן". זה יכול לקרות אם ורק אם הגרף מכיל מעגלים שליליים, ולכן אפשר לתקן אותו "עד אינסוף", כי כל מסלול יכול להיכנס אל תוך המעגל השלילי וללכת עליו כמה פעמים שירצה כדי להקטין את משקלו.
תיאור פורמלי.
"// Define datatypes for a graph"
record vertex {
"list" edges
"real" distance
"vertex" predecessor
record edge {
"node" source
"node" destination
"real" weight
function BellmanFord("list" vertices, "list" edges, "vertex" source)
"// This implementation takes in a graph, represented as lists of vertices"
"// and edges, and modifies the vertices so that their "distance" and"
"//" predecessor "attributes store the shortest paths."
"// Step 1: Initialize graph"
for each vertex v in vertices:
if v is source then v.distance = 0
else v.distance = infinity
v.predecessor = null
"// Step 2: relax edges repeatedly
for i from 1 to size(vertices) - 1:
for each edge uv in edges:
u := uv.source
v := uv.destination "// uv is the edge from u to v"
if v.distance &gt; u.distance + uv.weight
v.distance := u.distance + uv.weight
v.predecessor := u
"// Step 3: check for negative-weight cycles"
for each edge uv in u.edges:
u := uv.source
v := uv.destination
if v.distance &gt; u.distance + uv.weight
error "Graph contains a negative-weight cycle"
ולנטינה טרשקובה
ולנטינה ולדימירובנה טרשקובה (; נולדה ב-6 במרץ 1937) היא קוסמונאוטית סובייטית, שטסה במשימת ווסטוק 6 ב-1963 והייתה לאישה הראשונה בחלל. חברת דומה מטעם רוסיה המאוחדת.
ביוגרפיה.
ראשית חייה.
טרשקובה נולדה בכפר קטן מסלניקובו במחוז ירוסלבל שבמרכז רוסיה. היא נולדה למשפחת פועלים מהמעמד הנמוך, אביה היה נהג טרקטור ואמה הייתה תופרת במפעל טקסטיל. אביה של ולנטינה גויס בשנת 1939 לצבא האדום ונהרג במהלך מלחמת החורף ב-1940. אמה גידלה אותה ואת שני אחיה לבד. ולנטינה עבדה עם אמה במפעל הטקסטיל, למדה הנדסאות תעשייה קלה ועסקה בצניחה במועדון טיס מקומי.
ווסטוק 6.
לאחר טיסתו ההיסטורית של יורי גגארין, החליטה רוסיה לשלוח אישה לחלל. ולנטינה שמעה על המבצע ושלחה מכתב לסוכנות החלל הרוסית וביקשה להפוך לקוסמונאוטית. בשנת 1962 הוצע לה להצטרף כקוסמונאוטית לתוכנית החלל הסובייטית, והיא נבחרה עם ארבע נשים נוספות מתוך יותר מ-400 מועמדות. ניקיטה חרושצ'וב, מנהיג ברית המועצות, השתתף בעצמו במיון הסופי של המועמדות. לאחר שהתקבלה לתוכנית, היא גויסה באופן פורמלי לחיל האוויר הסובייטי. בתום ההכשרה הוענקה לה דרגת סגן משנה.
התוכנית המקורית הייתה שטרשקובה וולנטינה פונומריובה, קוסמונאוטית נוספת, יטוסו בשתי חלליות ווסטוק בו זמנית וייצרו קשר רדיו בחלל. התוכנית לא יצאה אל הפועל משום שפונומריובה נפסלה ברגע האחרון מסיבה של "אי-התאמה אידאולוגית". בסופו של דבר המריא ולרי ביקובסקי בווסטוק 5 וטרשקובה שוגרה יומיים מאוחר יותר בווסטוק 6. השניים טסו במרחק של 5 ק"מ זה מזה בשלב מסוים ויצרו קשר רדיו ישיר.
ב־16 ביוני 1963 היא שוגרה לחלל בטיסה האחרונה של תוכנית ווסטוק, והייתה לאישה הראשונה שטסה לחלל. היא שהתה קרוב ל-71 שעות במסלול סביב כדור הארץ, יותר מהזמן הכולל של כל האסטרונאוטים האמריקאים שהגיעו לחלל עד אותה עת. אות הקריאה שלה במשימה היה "צ'איקה" (ברוסית: שחף, שם עצם ממין נקבה).
לאחר שהחללית נכנסה למסלול גילתה טרשקובה שהיא מתרחקת מכדור הארץ במקום להתקרב אליו. טרשקובה לא הייתה טייסת ולא ניתנה לה שליטה על כלי הטיס, ולכן היא הסתפקה בדיווח למרכז הבקרה. חייה ניצלו משום שניתן היה לטעון נתונים חדשים לטייס האוטומטי. הנתונים נשלחו לטרשקובה בעזרת שידורי רדיו והיא טענה אותם ידנית. לבקשת סרגיי קורוליוב דבר השגיאה נשמר בסוד במשך שנים. טרשקובה סיפרה על כך רק בשנת 2007. לטענתה היא החליטה להתראיין בנושא זה רק בעקבות הדלפה של בכיר בסוכנות החלל מספר שנים לפני כן.
אף על פי שהיו תוכניות לשיגור קוסמונאוטיות נוספות, לא שוגרה אף קוסמונאוטית אחרת מהצוות שלה, ורק כעבור 19 שנה שוגרה האישה השנייה לחלל, סבטלנה סאוויצקאייה.
המשך הקריירה.
טרשקובה הייתה לאישיות מפורסמת בברית המועצות, והעיתונות עקבה אחר פעולותיה. בחורף 1963–1964 היא יצאה לביקורים במדינות אפריקה והמזרח התיכון. בפברואר 1964 ביקרה בלונדון כדי לקבל עיטור כבוד של האגודה הבריטית לחקר החלל ובמאי 1965 ביקרה בפריס.
לאחר חזרתה המוצלחת היא פנתה ללימודים באקדמיית חיל האוויר על שם ז'וקובסקי וסיימה לימודי הנדסת חלל ב-1969. בשנת 1977 קיבלה תואר דוקטור להנדסה. בשנת 1975 היא הועלתה לדרגת קולונל בחיל האוויר הסובייטי.
טרשקובה גם כיהנה בסובייט העליון (הפרלמנט של ברית המועצות). בשנת 1974 זכתה במקום קבע בפרזידיום (נשיאות) שלו. עד 1991 הייתה חברת הוועד המרכזי של המפלגה הקומוניסטית.
בשנת 1995 היא הועלתה לדרגת גנרל-מיור בכוחות המזוינים של הפדרציה הרוסית. נכון ל-2013 טרשקובה היא האישה היחידה שהגיע לדרגת גנרל בצבא הרוסי.
בשנת 1997 פרשה מתפקידיה בהוראה נשיאותית. טרשקובה ייצגה את מדינתה באירועים בינלאומיים והייתה פעילה בקידום נשים. לאחר נפילת הקומוניזם, נעלמה מעיני הציבור הרחב. בשנת 2011 נבחרה לדומה הממלכתית של הפדרציה הרוסית ואף קיבלה מינוי של סגן יו"ר הדומה.
טרשקובה קיבלה אותות כבוד רבים, בהם מכתש על הירח שנושא את שמה ואסטרואיד בשם צ'איקה, אות הקריאה שלה בחלל.
משפחתה.