בטופולוגיה אלגברית, משפט ואן קמפן (van Kampen theorem) הוא משפט המאפשר למצוא חבורה יסודית של מרחב טופולוגי באמצעות מכפלת היתוך של החבורות היסודיות של שתי תתי קבוצות פתוחות שלו, המקיימות תנאים מסוימים. זהו משפט יסודי וחשוב בטופולוגיה אלגברית, המהווה את אחד הכלים המרכזיים לחישוב חבורות יסודיות. בפרט, משתמשים בו כדי לחשב את החבורה היסודית של מרחבי CW.
השימוש במשפט בפועל דורש לעיתים הבנה גאומטרית עמוקה של האובייקטים אותם מעוניינים לחקור. הבנה זו והשימוש במשפט עוזרים בתחומים נוספים, כמו בהומולוגיה טופולוגית.
ניסוח.
יהי formula_1 מרחב טופולוגי קשיר מסילתית, ויהיו formula_2 שתי תתי קבוצות פתוחות, המקיימות:
אזי החבורה היסודית formula_6 איזומורפית למכפלת ההיתוך
formula_7
כאשר ההעתקות formula_8 הן הומומורפיזמי ההכלה היחסיים (למשל, formula_9).
הדיאגרמה הבאה ממחישה את שרטוט החבורות:
כאן formula_10 הוא ההומומורפיזם הנובע מבניית מכפלת ההיתוך, וטענת המשפט היא שהוא איזומורפיזם.
שימושים.
דוגמאות בסיסיות.
formula_27
formula_30
רואים זאת בעזרת משפט ואן קמפן - לוקחים את formula_13 להיות דיסק על השפה, ואת formula_14 להיות ה-formula_11 טורוס בלי דיסק שיושב ממש בתוך formula_13, כך שיש ביניהם טבעת חפיפה. אז formula_13 כוויץ החיתוך שקול למעגל. הפענוח של formula_14 הוא גאומטרי - לאחר הוצאת דיסק מהטורוס ניתן להרחיב את החור סביב הכיוונים האופקי והאנכי, ואז מקבלים מרחב השקול ל-formula_32 זר. ההעתקה שחשוב להבין היא מהשפה (מעגל) לתוך הזר - שיקולים גאומטריים מראים כי ההעתקה על יוצר של חבורת השפה היא formula_40. מכאן החישוב נעשה ישירות לפי משפט ואן קמפן.
formula_43
כדי לראות זאת פועלים באופן דומה: הוצאת דיסק מהמרחב מביאה מרחב השקול ל-formula_11 זר של מעגלים (למעשה, של טבעות מביוס), והעתקה החשובה הפעם היא formula_45.
מרחבי CW.
ניתן להשתמש במשפט ואן קמפן כדי לקבוע מפורשות מהי החבורה היסודית של מרחבי CW. בפועל, החבורה נקבעת על ידי השלד ה-2-ממדי בלבד.
ראשית, נשים לב ששלד 1-ממדי הוא גרף; נניח כי זהו גרף קשיר (אחרת נחלק את המרחב המקורי למרכיבי הקשירות המסילתית שלו).
לכל גרף קשיר ניתן למצוא עץ פורש. כל עץ הוא כוויץ, ולכן הוא פשוט קשר. נראה, בעזרת משפט ואן-קמפן, כי כל צלע שנוספת על העץ הפורש נותנת עוד יוצר חופשי לחבורה היסודית: יהי formula_13 המסלול עד הצלע שנוספה ובחזרה עד השורש, formula_14 הוא אותו מסלול רק בלי הצלע שנוספה. אז formula_48 שניהם פשוטי קשר, ו-formula_49 ולכן החבורה היא formula_50. לכן באינדוקציה, החבורה היסודית של עץ שנוספו לו formula_51 צלעות היא formula_52.
בפרט, אם בגרף (הקשיר) יש formula_53 קדקודים ו-formula_54 צלעות, בעץ פורש שלו יהיו formula_55 צלעות, ולכן החבורה היסודית שלו היא formula_56.
כעת, נעבור בבנייה של מרחבי CW לשלד ה-2 ממדי. בכל שלב, מדביקים את השפה של דיסק לפי העתקות ההדבקה ממבנה ה-CW. כדי למצוא את החבורה היסודית אחרי ההדבקה, נעזר שוב במשפט ואן קמפן - נסמן ב-formula_13 את המרחב שהתקבל עד כה, יחד עם חלק מהדיסק, ואת formula_14 להיות הדיסק יחד עם קצת מהמרחב שהתקבל עד כה. אזי החיתוך הוא טבעת, כלומר formula_59, המרחב הראשון הוא בעל נסג עיוותי למה שהיה קודם, והמרחב השני הוא בעל נסג עיוותי לדיסק, שהוא פשוט קשר. לכן לפי משפט ואן קמפן, נקבל כי אחרי ההדבקה החבורה היא formula_60, כאשר ההעתקה formula_61 מוסיפה את היחסים שבאים מהעתקות ההדבקה.
כעת, נראה שזה מספיק - כאשר נדביק כדורים מממדים גבוהים יותר, החיתוך יהיה formula_62 שהוא פשוט קשר, ולכן החבורה היסודית תישאר כמו קודם.
דוגמה.
כדי להמחיש את הבנייה, נביט במבנה CW עם formula_63, כלומר הגרף הוא עיגול ולכן בעל חבורה formula_64, ואת ההדבקה של הדיסק ניקח להיות הדבקה ששולחת סיבוב אחד על שפת הדיסק ל-formula_65 סיבובים על הגרף. אז היחס הנובע מההדבקה הוא formula_66, ולכן החבורה היסודית היא formula_64 בתוספת היחס, כלומר formula_68.
לכל חבורה מתאים מרחב CW.
הבנייה של החבורה היסודית של מרחב CW מאפשר להסיק שלכל חבורה (גם לא נוצרת סופית) יש מרחב CW שהיא החבורה היסודית שלו. כדי לראות זאת, ניקח הצגה של החבורה. את השלד ה-1 ממדי במבנה ה-CW ניקח להיות גרף עם כמות מעגלים ככמות היוצרים. לכל יחס בחבורה, נוסיף דיסק שישרה את היחס הזה. לפי הבנייה לעיל נקבל כי החבורה היסודית היא בדיוק החבורה שלקחנו.
גלקסיית ספל התה
גלקסיית ספל התה היא גלקסיה במרחק מוערך של 1.1 מיליארד שנות אור מכדור הארץ בקבוצת הכוכבים רועה דובים. לגלקסיה גרעין גלקטי פעיל שזורק חומר אל מחוץ לגלקסיה ונותן לה צורה מיוחדת המזכירה ספל תה.
היסטוריה.
הגלקסיה התגלתה בשנת 2007 במהלך סקר מקיף של שמי הלילה שנערך במצפה הכוכבים אפאצ'י שבניו מקסיקו, ארצות הברית וקיבלה את הסימון "SDSS J143030+133912". הגלקסיה זוהתה כבעלת גרעין גלקטי פעיל במחקר משנת 2011 ובו גם זכתה לכינוי "ספל התה" לאחר שהתגלו מסביבה אזורים של גז מיונן בצורת לולאה שמזכירה ידית של ספל, ופולטים קרינה של גלי רדיו. בפברואר 2015 פורסמו תצפיות על בגלקסיה שבוצעו על ידי המערך הגדול מאוד וגילו ראיות לקיומו של חור שחור על-מסיבי בליבת הגלקסיה.
מאפיינים.
קוטר הגלקסיה כ-55,000 שנות אור והתצפיות בגלי רדיו מראות שתי "בועות" של חומר שמגיע למרחק של כ-35,000 ממרכז הגלקסיה משני צידיה וכן סילונים "קטנים" יותר, בגודל של 2,000 שנות אור המאיצים את הגז עד למהירויות של 1,000 קילומטר לשנייה (3.6 מיליון קמ"ש). נראה שהחור השחור המסיבי מונע אפשרות של יצירת כוכבים ברחבי הגלקסיה על ידי כך שהוא מחמם ומעיף את ענני הגזים המשמשים על פי דעת החוקרים כ"חומר הגלם" ליצירת הכוכבים, אל מחוץ לגלקסיה. מליבת הגלקסיה נפלטת קרינה חזקה שעוצמתה מוערכת בכ- ארג לשנייה ( ואט) הכוללת ספקטרום פליטה של מימן, הליום, חמצן וחנקן ולכן היא מסווגת כגלקסיית סייפרט מסוג II. עם זאת נראה שהפעילות בליבה נחלשת ועוצמת הקרינה ממנה פוחתת בקצב של כ- ארג לשנייה בשנה, כך שתוך כ-500 שנים עוצמתה תהיה פחות מ-1043 ארג לשנייה שמקובל כגבול התחתון להגדרתה של גלקסיה כגלקסיית סייפרט.
שיווק בזמן אמת
שיווק בזמן אמת או פרסום בזמן אמת (Real time marketing או בקיצור RTM) הוא במקור כינוי לטכניקת מכירה במסגרתה מחירי המוצרים אינם קבועים מראש אלא משתנים ונקבעים סופית במהלך המכירה.
בעולם השיווק באינטרנט המונח מתאר פרסום בזמן אמת. הכוונה למהלכים שיווקיים, בדרך כלל בדיגיטל וברשתות החברתיות, המתייחסים למאורע המתרחש כעת בשיח הציבורי. במסגרת שימוש בטכניקת פרסום זו, חברות מתחומים שונים אך בעיקר חברות גדולות המייצרות מותגים מוכרים, עולות בקמפיינים מידיים תוך זמן קצר יחסית, המתייחסים לאירועים עדכניים.
רקע.
במקור המונח שימש לתיאור של הליך מכירה במסגרתו הצעת המכר, ובפרט מחיר המוצר, הניתנת ללקוח נקבעת תוך כדי מפגש המכירה על בסיס מאפיינים אישיים וסביבתיים המצויים בידי המוכר, מותאמת אישית במטרה להציע את ההצעה המתאימה ביותר לצרכן המסוים ברגע הנתון. טכניקת שיווק זו שונה מטכניקת מכירה בה המחיר נקבע מראש, באופן אחיד לכל הצרכנים בסביבה מסוימת, ומטכניקת מכירה שבה המוכר אוסף נתונים במשא ומתן ראשוני, ומגיש הצעת מכר במועד מאוחר יותר. דוגמה: אוטומט מכירות למכירת משקאות קלים המכיל מדחום למדידת טמפרטורת הסביבה, ובהתאם לכך קובע את מחיר המשקה המוצע (גבוה יותר ביום קיץ חם).
גישה זו יכולה להיות מיושמת על ידי נציגי מכירות על סמך מידע קיים על הלקוח והתפתחות השיחה אתו, אך היא אופיינית בעיקר למדיה הדיגיטלית, שבה מיושמת הגישה באמצעים אוטומטיים, על סמך נתונים כגון פרופיל אישי והיסטוריה של אינטראקציה עם אתרים או אלמנטים בתוכם, הנמדדת לפי פרמטרים כגון צפיות ולחיצות. לעיתים קרובות כוללים פתרונות שיווק בזמן אמת תהליכי למידה שמטרתם לשפר את הצלחתם במהלך הזמן על סמך הניסיון הנצבר.
בעולם השיווק הדיגיטלי.
שימוש בנוסף במונח RTM בשיווק התפתח בעיקר מאז נוצרו רשתות חברתיות. בתחום זה, המונח RTM מתייחס לנקיטת מהלך שיווקי, בדרך כלל ברשתות החברתיות, המתייחס למאורע המתרחש כעת בשיח הציבורי. המפרסמים בעצם עושים שימוש בתופעות מקומיות או בינלאומיות לצורך יצירת תוכן עדכני, דינאמי ורלוונטי לצרכים שיווקיים.
במקביל לעבודה על קמפיניים הכוללת גיבוש מסרים פרסומיים, יצירת בריף הכולל מטרות, מסרים ותגובות אפשריות, פגישות עם לקוחות על מנת לדייק את המסר הפרסומי, עבודה קריאייטיבית ממושכת ויסודית כמו צילומים בסטילס או בווידאו, משווקים מעדיפים לעיתים להגיב ולצאת בפרסום בזמן אמת הכולל הקשרים תרבותיים לאירועים מרכזיים שהתרחשו בפוליטיקהף אקטואליה, עולם הצרכנות ועוד, כדי לתפוס את תשומת לבם של הצרכנים.
אך על פי שלשימוש בטכניקות RTM יש פוטנציאל ליצירת חשיפות גבוהות ומעורבות גבוהה מהרגיל, קיימת גם ביקורות על שימוש מוגזם בטכניקה.
יעקב מושלי
יעקב מושלי (21 בדצמבר 1885 יפו - 26 ביולי 1960 ציריך, שווייץ) היה מהנדס מכונות ישראלי, ממקימי מסילת הרכבת החיג'אזית, שעבד שנים רבות בחברת הרכבות בארץ. מייסד חברת מים בחיפה. ממציא פטנטים בתחום ההנדסה. מייסד שכונה בחיפה (כיום רחוב שושנת הכרמל), וממקימי התיאטרון בארץ.
ביוגרפיה.