גרף טוראן formula_2 הוא גרף עם n צמתים שמחולק ל-t קבוצות זרות של צמתים. מתוכן יש formula_3 קבוצות של formula_4 צמתים ובשאר formula_5 הקבוצות יש formula_6 צמתים (לפשר הסימונים ראו חשבון מודולרי ופונקציית הערך השלם). כלומר הקבוצות שוות בגודלן ככל הניתן (ההפרשים במספר הצמתים ביניהן הוא לכל היותר 1). במקרה בו t מחלק את n מתקבל המקרה הפשוט ביותר - בכל t הקבוצות יש formula_7 צמתים בדיוק. בגרף טוראן כל שני צמתים מקבוצות שונות מחוברים בקשת, וכל שני צמתים מאותה קבוצה אינם מחוברים בקשת.
משפט טוראן קובע כי מבין כל הגרפים עם n צמתים שאינם מכילים קליקה formula_1, ל-formula_2 יש את מספר הקשתות הגדול ביותר.
קל לחשב את מספר הקשתות ב-formula_2. למען הפשטות נעסוק במקרה בו t מחלק את n. בין כל שתי קבוצות יש formula_11 קשתות (לפי עקרון הכפל, כי לכל אחד מבין formula_7 הצמתים בקבוצה הראשונה יש קשת לכל אחד מבין formula_7 הצמתים בקבוצה השנייה). ובסך הכל ישנם formula_14 זוגות של קבוצות (ראו מקדם בינומי ומספר משולשי). ואין אף קשת נוספת בגרף. לכן מספר הקשתות הכולל ב-formula_2 כאשר t מחלק את n הוא:
לכן משפט טוראן קובע שזהו חסם עליון על מספר הקשתות המקסימלי בגרף עם n צמתים שאינו מכיל קליקה formula_1 (תקף גם כאשר t אינו מחלק את n). לשם השוואה, בהיעדר הגבלה על גודל הקליקה המותרת, הגרף המקסימלי הוא הגרף השלם formula_18 שלו formula_19 קשתות.
הוכחות.
ידועות הוכחות רבות למשפט טוראן. הספר Proofs from THE BOOK, שמאגד הוכחות יפות, מביא חמש הוכחות שונות למשפט.
הוכחה באינדוקציה.
ההוכחה המקורית של טוראן הראתה שמספר הקשתות של גרף טוראן אכן חוסם את מספר הקשתות האפשרי תחת התנאי הנתון. ההוכחה נעשית באינדוקציה על n לכל t קבוע.
נסמן ב-formula_20 את גרף עם n צמתים ועם מספר הקשתות מקסימלי שמקיים את התנאי (קיים כזה כי מספר הקשתות חסום על ידי המקרה השלם). אם formula_21 אז formula_22 (כי בכל מקרה אי אפשר להכיל קליקה עם יותר צמתים מבגרף עצמו). ואז מספר הקשתות מקיים:
ולכן המשפט נכון לכל n כזה (כולל n=1 שהוא בסיס האינדוקציה). עתה נניח כי formula_24. formula_20 מכיל את formula_26, אחרת ניתן להוסיף לו קשת בלי לקבל את formula_1 בסתירה למקסימליות שלו. נחלק את הצמתים של formula_20 לשתי קבוצות זרות, formula_29 שמכילה את צומתי הקליק formula_26 ו-formula_31 שמכילה את שאר הצמתים בגרף. ב-formula_29 יש formula_33 קשתות. ב-formula_31 יש formula_35 צמתים, ולכן לפי הנחת האינדוקציה יש בה לכל היותר formula_36 קשתות. בין כל צומת ב-formula_31 לבין קבוצת הצמתים ב-formula_29 יש לכל היותר formula_39 קשתות. אחרת הם יוצרים יחדיו קליקה formula_1 בניגוד לתנאי. כלומר בין formula_29 ל-formula_31 יש לכל היותר formula_43 קשתות. נחבר הכל יחדיו כדי לקבל חסם על מספר הקשתות ב-formula_20:
כנדרש.
הוכחה ישירה.
להלן הוכחה ישירה כי גרף formula_46 עם n צמתים ועם מספר הקשתות מקסימלי שמקיים את התנאי הוא בהכרח גרף טורן.
נוכיח כי היחס "אין קשת בין formula_47 ל-formula_48" הוא יחס שקילות בין הצמתים בגרף:
הוכחנו כי "אין קשת בין formula_47 ל-formula_48" הוא יחס שקילות בין צומתי formula_46. לכן צומתי formula_46 מתחלקים למחלקות שקילות, כך שבין כל שני צמתים יש קשת אם ורק אם הם ממחלקות שקילות שונות. מספר מחלקות השקילות קטן מ-formula_78, אחרת נוכל לבחור נציג אחד מכל מחלקת שקילות ונקבל קליקה formula_1 בניגוד לתנאי. מצד שני, formula_46 בהכרח מכיל קליקה formula_26, אחרת ניתן להוסיף לו קשת בלי לקבל את formula_1 בסתירה למקסימליות שלו. צמתים שונים בקליקה formula_26 חייבים להיות ממחלקות שקילות שונות, כי יש ביניהם קשת, ומכאן שיש בדיוק formula_84 מחלקות שונות.
עד כה קיבלנו שצומתי formula_46 מחולקים ל-formula_84 מחלקות זרות, כך שכל צומת מקושר לכל צומת מקבוצה אחרת ולאף צומת מהקבוצה שלו. כדי להוכיח כי formula_46 גרף טורן נותר רק להראות שכל המחלקות כמעט באותו הגודל (ההפרש ביניהן הוא לכל היותר 1). נשים לב כי לכל מחלקה formula_88 ולכל צומת formula_89 מתקיים formula_90 (v מקושר לכל הצמתים שלא ב-A). נניח בשלילה כי ישנה מחלקה formula_91 שיש בה לפחות שני צמתים יותר מבמחלקה אחרת formula_92. נמחק צומת מ-formula_48 מ-formula_91 ונוסיף צומת ב-formula_95 ל-formula_92. מספר הקשתות שיתווספו הוא: formula_97, בסתירה למקסימליות של formula_46.
מכאן ש-formula_46 הוא בהכרח גרף טוראן.
המקרה t=2.
משפט טוראן למקרה הפרטי t=2 ידוע עוד משנת 1907 ושמו משפט מנטל. המשפט קובע שהגרף המקסימלי מגודל n שאינו מכיל משולשים (קליקה formula_100) הוא גרף דו צדדי שבכל צד מופיעים חצי מהצמתים (אם n אי-זוגי, בצד אחד יש אחד יותר). וכל צומת מקושר לכל הצמתים מהצד השני (זהו formula_101). מספר הקשתות במקרה כזה יהיה formula_102, בערך חצי ממספר הקשתות האפשריות ללא הגבלת משולשים.
הכללה של משפט מאנטל אומרת שכל גרף עם n צמתים ולפחות formula_103 קשתות הוא או גרף טוראן formula_101, או שהוא מכיל מעגל מכל אורך שהוא עד n (ולא רק משולש).
האדמו&quot;ר מויזניץ
יעקב יהודה דסקל
יענקי דסקל (נולד בשם: יעקב יהודה דסקל ב-תשמ"א, 1981) הוא מלחין וזמר חסידי. סולן החצר של חסידות ויז'ניץ.
ביוגרפיה.
נולד בשנת תשמ"א, נשוי ואב לשבעה.
אחיו הוא הזמר שלמה דסקל.
קריירה.
דסקל החל את דרכו המוזיקלית כאשר החל לשיר את התפילות והיצירות בשולחנות שנערכו בוויזניץ בשבתות וחגים בהשתתפות אלפי חסידים, לפני כעשור החל לשמש כסולן הראשי במקהלת ויז'ניץ בהופעותיה ובאלבומים שלה, בטקס סיום הש"ס שנערך בהיכל הספורט יד אליהו בשנת 2005 שר דסקל כסולן ראשי בפני קהל של רבבות וזכה לחשיפה רבה, את עיקר פעילותו המוזיקלית הוא מבצע בחסידות ויז'ניץ בחגים ובאירועים שונים אך בעיקר בשבתות בהם הוא שר בתפילות ובשולחנות את היצירות של החסידות, הוא מופיע אף באירועים ציבורים שונים של הציבור החרדי.
דסקל השתתף בהפקות מוזיקליות חסידיות רבות, כמו הסדרה הפופולרית לחיים טיש של יוסף משה כהנא ואחרים, אך בעיקר משמש כסולן ביצירות המופקות על ידי חסידי ויז'ניץ, כמו הסדרה המוזיקלית "א ויזניצר ניגון", האלבומים "שבת און ויזניץ", "עתיקין" ועוד.
את תפילות הימים הנוראים הוא עושה בשנים האחרונות בבית הכנסת המרכזי בלייקווד, שם הוא מופיע לפני קהל המתפללים כחזן בראש השנה ויום הכיפורים. מיד לאחר מכן הוא שב לישראל לחג הסוכות ומשתתף בשמחת בית השואבה המרכזית בחצר ויז'ניץ.
דסקל אף הלחין מספר יצירות לחצר ויז'ניץ, וכמה מהן התפשטו גם מחוץ לחסידות זו, ובהן: "הכל יודוך", "ואילו פינו מלא שירה", "מרן דבשמיא", "קרוץ מחומר". בשנים האחרונות מלחין דסקל את ה'מארש' השנתי המסורתי בחצר ויז'ניץ מדי ראש השנה.
הלחין ושר גם את היצירה "לראות בנים" (המוכרת גם בשם ויהיו זרעי), היצירה זכתה למספר גרסאות כיסוי בין היתר על ידי זאנוויל ויינברגר. והלחין עבור הזמר מוטי שטיינמץ את הלהיט ויהי נועם מתוך אלבומו הנשמה בקרבי (בהמשך ביצע דסקל עצמו קאבר לשיר).
קוזמוס
קוזמוס (געז: ቆዝምሰ) היה נזיר שהוביל מערכה צבאית של ביתא ישראל כנגד האימפריה האתיופית בשלהי המאה ה-14.
המידע הידוע על קוזמוס, מגיע כולו מהגיוגרפיה של הנזיר האתיופי יפקרנה אגזי. לפי הגיוגרפיה זו, קוזמוס היה נזיר נוצרי שחי במנזר וינה שבתיגראי וכאשר ראה אותו יפקרנה אגזי ניבא עליו שהוא יתפקר. בעקבות אותה הנבואה ציווה אגזי להעביר בכוח את קוזמוס על נזירותו ולהשקותו ביין ולהאכילו בבשר. בתגובה לכך ברח קוזמוס לבגמדר ולאחר שלושה ימי הליכה הגיע לסמין ולצלמת והתקבל על ידי המקומיים. על פי ההגיוגרפיה:
על פי המקור, אותם יהודים החלו לראות בנזיר דמות משיחית והוא עצמו טען להיותו בן האלוהים. היהודים שבראשם קוזמוס אספו צבא ותקפו כנסיות ומנזרים בבגמדר ודמביה. לאחר שהביסו את מושל דמביה הוא הצטרף אליהם והם המשיכו לתקוף ולשרוף מבני דת נוצריים. כאשר הגיעו לאנפרז הם הרגו את המנהיגים הנוצרים יחד עם 37 תלמידיהם והרגו רבים נוספים. בתגובה לכך שלח הקיסר דווית הראשון כוח רענן בפיקודו של אקחדום מושל תיגראי שהביס את צבא קוזמוס והרגו.
אחות קטנה
אָחוֹת קְטַנָּה הוא פיוט שפותח את תפילות ראש השנה ומושר בעיקר על ידי קהילות הספרדים, אך מודפס גם במחזורים אשכנזיים.
הפיוט חובר על ידי הרב והמקובל אברהם חזן מגירונה, בן חבורתו של הרמב"ן מהמאה ה-13, שרמז את שמו באקרוסטיכון בראש בתי הפיוט.
תוכן הפיוט.
הפיוט מתאר את מצבה השפל של כנסת ישראל, שמכונה בבית הראשון "אחות קטנה", כאשר היא נמצאת בגלות, והציפייה שלה לגאולה ולישועה. כל בתי הפיוט מסתיימים בשורה "תכלה שנה וקללותיה" מלבד הבית האחרון, בו ניתן ביטוי לאמונה ולשמחה בבוא הגאולה ("חזקו וגילו כי שוד גמר") והוא מסתיים במילים "תחל שנה וברכותיה". הדבר בא לידי ביטוי גם בנגינה, שבהרבה מן הקהילות משתנית בבית זה למנגינה מיוחדת יותר, הנותנת משקל מיוחד למילים אלו.
לרוב נהוג שאת המילים החוזרות בסוף הבתים אומר כל הקהל ביחד. הפיוט נאמר עם שקיעת החמה בערב הראשון של ראש השנה, כאשר השנה הקודמת מסתיימת ומתחילה שנה חדשה.
בחלק מהמחזורים הודפס הבית הרביעי המתחיל במילים "הקם משפלות לראש ממלכת" באותיות קטנות ובמחזורים אחרים הוא לא הודפס כלל מחשש שמילותיו יתפרשו כרצון למרוד בשלטון.
קוזמס