הסתברות מותנית
הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו formula_1 תחת ההנחה שמאורע אחר formula_2 קרה. הסתברות מותנית נכתבת בתור formula_3 ומתוארת כהסתברות של formula_1 בהינתן formula_2. התיאור המתמטי של הסתברות מותנית נתון באמצעות הנוסחה
formula_6
ההסתברות המותנית אינה מעידה על קשר סיבתי או כרונולוגי בין המאורעות, אלא רק על תלות של המידע לגבי התרחשות המאורע formula_1 בהתרחשות המאורע formula_2. כך למשל ייתכן כי הסתברותו של המאורע "ראובן הצליח במבחן" גדלה בהינתן המאורע "ראובן ישן היטב בלילה", אך אין זה אומר ששינה טובה גורמת להצלחה; ייתכן למשל כי במקרה של ראובן, שינה טובה מעידה על ביטחון עצמי גבוה מכיוון שראובן למד היטב, וזהו הגורם להצלחה במבחן.
ההסתברות המותנית אינה סימטרית, כלומר ההסתברות של formula_1 בהינתן formula_2 לא בהכרח שווה להסתברות formula_2 בהינתן formula_1. עם זאת, התלות בין מאורעות היא כן סימטרית. במילים אחרות: אם ההסתברות של formula_1 בהינתן formula_2 שונה מההסתברות של formula_1, אז גם ההסתברות של formula_2 בהינתן formula_1 שונה מההסתברות של formula_2. כך למשל ההסתברות למאורע "קלרה דוברת אנגלית" גדלה משמעותית בהינתן כי "קלרה היא תושבת אנגליה", אולם ההסתברות למאורע "קלרה היא תושבת אנגליה" גדלה במידה מסוימת אך לא באופן משמעותי בהינתן כי "קלרה דוברת אנגלית". זאת כיוון שרוב דוברי האנגלית בעולם אינם תושבי אנגליה.
קיים קשר בין ההסתברות המותנית formula_3 לבין ההסתברות המותנית formula_20 . קשר זה מתואר באופן מתמטי באמצעות חוק בייס.
משתנה מקרי מותנה.
אם X הוא משתנה מקרי המוגדר על מרחב formula_21, ו- formula_22 הוא מאורע בעל הסתברות חיובית, אפשר להגדיר את המשתנה המותנה formula_23, שההסתברויות שלו הן formula_24. המשתנה הזה מתקבל מצמצום ההתפלגות של המשתנה X אל המאורע A, כלומר, משינוי מרחב ההתפלגות על ידי הוספת הנחה ש- A אירע.
דוגמה.
מכונית תקועה בצד הדרך. מחצית מהאנשים העוברים בדרך יבחינו במכונית; מחצית מהאנשים אכפתיים מספיק כדי לעצור ליד המכונית; ולמחצית מהאנשים יש ידע טכני מספיק כדי לסייע. ידוע שאין קשר בין ידע טכני, מידת אכפתיות או הבחנה. אדם שעבר בדרך לא חילץ את המכונית. מה ההסתברות לכך שזהו אדם אכפתי?
נגדיר את formula_1 בתור המאורע "עבר אדם אכפתי", ואת formula_2 בתור המאורע "המכונית לא חולצה". המאורע formula_27 הוא "עבר אדם אכפתי, והמכונית לא חולצה". מאורע זה ניתן לפירוק לשני מאורעות משנה: עבר אדם אכפתי שלא מבחין במכונית (הסתברות 1/4, שכן חצי מהאנשים אכפתיים וחצי מהם אינם מבחינים); או - עבר אדם אכפתי שהבחין במכונית אך איננו בעל כישורים טכניים (הסתברות 1/8, שכן חצי מהאנשים אכפתיים, ורק רבע מהם גם מבחינים במכוניות וגם אינם בעלי כישורים טכניים). שני מאורעות המשנה לא יכולים להתרחש יחד, ולכן ההסתברות של המאורע הכולל (עבר אדם אכפתי והמכונית לא חולצה) היא סכום ההסתברויות:
formula_28
כדי לחשב את הסתברות המאורע formula_2, נחשב ראשית את ההסתברות של המאורע המשלים - אדם שעובר יחלץ את המכונית (כלומר יבחין, יהיה אכפתי ויהיה בעל כישורים טכניים) - שהיא 1/8=1/2x1/2x1/2. מכאן, ההסתברות שאדם שעובר לא יחלץ את המכונית היא
formula_30
ולכן:
formula_31.
שמים לוהטים בחצות
שמיים לוהטים בחצות (באנגלית: Hot Sky at Midnight) הוא ספר מדע בדיוני מאת הסופר רוברט סילברברג אשר יצא לאור באנגלית בשנת 1994. בישראל הספר יצא לאור בהוצאת עם עובד בשנת 1995 ותורגם לעברית על ידי ירדנה גבתי.
הספר מורכב משני סיפורים קצרים לפחות:
תמצית העלילה.
רקע.
משבר אקולוגי חריף שינה את פני החיים על כדור הארץ: מקומות מסוימים בעולם נעלמו (יפן), הקרח בקוטב הצפוני נמס והוא מעמיק את קווי החוף לתוך היבשות, בארצות הברית האוויר איננו ראוי לנשימה, החום עלה והשמיים צבועים בצבעי גזים רעילים, כל אזור ארץ ישראל משגשג באקלים נפלא וישראל היא מעצמה.
השולטים בעולם הם תאגידים יפניים בהן נהוג לדרג את העובדים, כאשר דרגה מספר אחת היא הגבוהה ביותר.
באזור ארצות הברית, הצמחייה האוקיינית מאיימת להשתלט על היבשות ומטפסת במהירות מסחררת על הכל. קיימים אנדרואידים והאביטטים שהם כוכבי לוויין מלאכותיים.
העולם האנושי מתגונן במריחת משחות על העור, הרכבת מסיכות ריאות-פנים, נטילת כדורים מחסנים וממריצים למיניהם ומחפש פתרון לבעיה במספר דרכים: מחקר למטרת שינוי גנטי של האדם כדי שיוכל לעמוד בשינויים המחריפים של האטמוספירה, בניית האביטטים ואכלוסם, פיתוח יכולת למסע בין כוכבית במהירות מואצת, במטרה למצוא וליישב עולמות אחרים ראויים יותר למחיה.
במצב הזה, האדם פועל בעיקר מכנית, והוא ממשיך על ידי כך את ההרס האכזרי, בעוד אלה שלא פועלים בצורה מכנית, שפיותם בסכנה.
עלילה.
בתחילת הספר ויקטור פרקש מגיע להאביטט וואלפאראייזו נואבו, הנשלט מזה עשרות שנים בידי דיקטטור ספרדי המכונה אל סופרמו, נתקל בחואניטו, נער השליח שמבקש לעבוד עבורו: להקל את הכניסה, השהות והיציאה ממקום זה.
וואלפאראייזו נואבו הוא מקום מקלט לכל המבקש, והמסוגל לשלם, עבור זה. מי שמגיע למקום זה הוא נמלט או מחפש אחר נמלטים, והשליחים הצעירים מרוויחים מכך.
ויקטור פרקש משכיר את שירותיו של חואניטו על מנת למצוא את ד"ר וו פאנג שווי, לא למטרות נקמה אלא כדי להביאו חזרה להמשך המחקר שלו, הלא האנושות מחפשת דרכים לשנות גנטית את גוף האדם על מנת לשרוד באטמוספירה רעילה ומסוכנת זו שנוצרה בעקבות זלזול מתמשך של האנשים באוצרות כדור הארץ.
ד"ר וו עבר שינוי צורה מוחלט: מגבר סיני הפך לאישה לבנה בגיל העמידה, ולא ניתן כלל לזהות אותו. אלא שוויקטור פרקש, באמצעות ראייתסומא שלו, לא יפספס אותו בשל שינוי קליפתי זה.
ד"ר וו משכנע את חואניטו לעבור לעבוד אצלו תמורת יותר כסף ולתת לו לברוח, הוא איננו מאמין שפרקש אומר אמת, אלא שזו אמתלה לנקמה. באמצעות הראיה המיוחדת שלו, פרקש מתגבר עליהם, שולח את חואניטו, כעונש, למקום בו יבצעו בו ניסויים, ואת ד"ר וו שולח למעבדת "תאגיד קיוסרה מרק".
כך מכיר פרקש את ההאביטט הזה, ולומד להסתדר עליו בכוחות עצמו. סגנו של אל סופרמו, אשר שמע שיש יוזמה שמקורה בדרום קליפורניה להפיל את המשטר בוואלפאראייזו, מבקש מוויקטור פרקש לרחרח במקום ולדווח לו על כך.
על כדור הארץ מתרחשים בזמן זה רצף אירועים אשר יביאו את עינרון משורם ויולנדה ברמודז לבקר בלוויין זה, ובהמשך לבקר שוב יחד עם פול קרפנטר, לאחר שהסתבך בלב אוקיינוס בפרשיה עגומה.
ניק רודס מקבל הצעה מעיתונאי ישראלי בשם עינרון משורם להתראיין על השינויים הגנטיים שחברתו חוקרת ומפתחת. לארוחת ראיון זו מגיעים גם בת זוג שלו איזבל, פול קרפנטר ויולנדה ברמודז.
למרות רומן קצרצר בין יולנדה לקרפנטר, עינרון הוא זה שיתלווה אליה לאחר אותו לילה. הוא שומע מיולנדה על יוזמה שמקורה בדרום קליפורניה להפיל את המשטר בוואלפאראייזו נואבו, כוכב הלוויין המשגשג כל כך, והוא מגלה לה שהוא בעצם מרגל שמחפש הזדמנויות שיכולות להיטיב עם ממשלת ישראל, שהיא עכשיו מעצמה. השניים מחליטים לצאת אל כוכב הלוויין המדובר ולחפש אחר מייק דוידוב, ידידה (אחד מידידיה הרבים) של יולנדה הקשור בתכנון המהפכה על וואלפאראייזו נואבו.
בזמן זה, עוברים משברים לא קלים על ניק רודס: משבר זוגי ומשבר מוסרי. ניק רודס מבין שבידי החברה בה הוא עובד נמצא הכוח לשנות את המין האנושי והוא מתחיל לפחד מכך שכוח כה רב יתרכז בידי תאגיד אחד בלבד. הוא מתייעץ עם פול אשר מציע לו לטפטף מידע לתאגיד רב העוצמה השני ובכך לאזן את הכוחות. לאורך כל הספר מצטייר ניק רודס כבעל אופי חלש: הוא נשאר עם אותה בת זוג אשר התנהגותה אליו בלתי נסבלת ומשפילה, והוא עובר לתאגיד השני כאשר אלה מציעים לו עליה משמעותית בדרגה ובתנאים, ובכך הוא רק מעביר את הכוח לצד אחר ולא מפזר אותו בחוכמה בין שני תאגידים.
פול קרפנטר אשר קיבל הצעה להיות קברניט של ספינה לוכדת קרחונים (בשל מחסור חריף במים נקיים מרעלים), נקלע בלב אוקיינוס בפרשיה שתשנה את חייו מקצה לקצה: פוגש בספינה בה הצוות שבה את הקפטן ואנשיו, והוא מסרב לעזור להם. כאשר חייהם מוטלים בסכנה בעקבות גרירת הקרחון הענקי שמצאו, מסרב להם שוב להעלות אותם לצוללת. לכאורה נראה שלא הייתה לו ברירה אחרת, היה עליו לעמוד במשימה שלו ולא היה מקום בצוללת לאף אדם אחר, בטח לא לאנשים ששפיותם עזבה אותם. בהגיעו חזרה ליבשת נשפט קרפנטנר על נטישת אנשים בלב אוקיינוס (חלקם שרדו), הוא פוטר ואיבד כל שהיה לו. אנשי אותה ספינה עבדו בתאגיד היפני השני - קיוסרה מרק.
משלב זה רק דבר אחד נותר לפול: להתחיל מחדש במקום אחר, וואלפאראייזו נואבו נראיתה מטרה מתאימה.
במשך הביקור הקצר של עינרון ויולנדה בוואלפאראייזו, הם נתקלים בוויקטור פרקש, אותו זיהה ללא בעיה עינרון ממפגש קודם בעבר, ופרקש כמו כל גבר אחר, נשבה בקסמיה של יולנדה גדולת הממדים היפהפייה.
עינרון ופרקש דנים בשמועות על ההפיכה כאשר כל אחד מחליט שהשני נמצא עמוק יותר בעסק זה. הם קובעים לחזור לארץ ולמצוא את דוידוב. בביקורם בכדור הארץ הם פוגשים את קרפנטנר אשר רודס לקח אותו תחת חסותו לאותם ימים קשים, ובניסיון לעזור לו, יולנדה משכנעת את פרקש להציע לו חלק בהפיכה זו.