באופן מסורתי נחלקת העיר למספר שכונות או רבעים: "אדיס עאלם", בו מתגוררים רוב התושבים המוסלמים; "כאילה מיאדה", בה חיו יהודי אתיופיה; "אבון בית", מעונו של האבונא("אבינו" בגעז), ראש הכנסייה האורתודוקסית האתיופית; ו"קאגן בית", אזורם של האצילים. גונדר היא המרכז ללימודים כנסייתיים של הכנסייה האורתודוקסית האתיופית, וידועה בריכוז של 44 כנסיות. במרכז העיר גונדר ניכרת השפעתה של תקופת הכיבוש האיטלקי שהחלה באמצע שנות ה-30 של המאה ה-20. מאפייניו העיקרים הם הכיכר המרכזית שסביבה חנויות, בית הקולנוע ובנינים ציבוריים אחרים בסגנון איטלקי מודרני. בעיר שוכנים אוניברסיטה ושדה תעופה קטן הנמצא מדרום לה.
אתרי העיר.
בפאסיל גמב ניצבים ארמונותיהם של הקיסרים פאסילדס, ייאסו הראשון ומאנטאוואב, היכל דווית, אורוות, שני מבנים המיוחסים ליוהנס הראשון ומספר כנסיות. כקילומטר וחצי צפונית-מערבית לפאסיל גמב שוכנים מרחצאות פאסילידס שבנייתם מיוחסת לו, והלאה מהם נמצא קומפלקס קוסקאם שנבנה על ידי הקיסרית מאנטאוואב. שלושת האתרים האלה מוכרזים מאז 1979 כאתר מורשת עולמית. בנוסף שוכנים בגונדר ראס גמב, ארמונו של ראס מיכאל סהול מהמאה ה-18, וכנסיית דברה ברהן סלאסי.
אינטרפולציה
אִינְטֶרְפּוֹלַצְיָה (באנגלית: Interpolation; בעברית: בִּיּוּן) היא שם כולל לשיטה בתחום האנליזה הנומרית. הרעיון המרכזי העומד מאחורי גישה זו הוא האפשרות לייצר מידע חדש מאוסף נתונים סופי. בפרט, היכולת לשחזר או ליצור פונקציה שערכה או נגזרותיה ידועים בנקודות מסוימות.
בשימושים ההנדסיים, פיזיקליים וכדומה - מטרת האינטרפולציה היא להתאים פונקציה שתקרב בצורה הטובה ביותר את התנהגותו האמיתית של אובייקט הניסוי. לדוגמה, נניח שבמסגרת ניסוי פיזיקלי נדגום מיקום של גוף במרחב בכל 5 שניות, כשהניסוי נמשך דקה. נקבל 13 נתונים: מיקומו של הגוף בזמן ההתחלה, מיקומו כעבור 5 שניות וכן הלאה. ברור כי אוסף מידע זה אינו מספק את כל המידע על התנהגות הגוף בכל נקודת זמן שהיא במהלך דקת הניסוי. בשלב זה נכנס כלי האינטרפולציה לפעולה ומאפשר ליצור פונקציה המגדירה את המיקום המשוער לכל אורך הניסוי על בסיס הנתונים שנדגמו.
הגדרה.
בהינתן סדרה של formula_1 נקודות formula_2 הנקראות צמתים ו-formula_1 נקודות מתאימות formula_4, אזי הפונקציה:
formula_5
נקראת אינטרפולציה של נקודות המידע formula_6.
דוגמה.
נניח כי נתונות 6 נקודות המידע הבאות, המייצגות למשל תוצאות מדידה כלשהי:
נרצה לדעת מה ערך הפונקציה הנעלמת בנקודה formula_7 - לשם כך נוכל להיעזר באינטרפולציה.
כאן המקום להסביר, כי אינטרפולציה הוא שם למגוון רחב של כלים נומרים אשר מטרתם לאפשר קירוב של פונקציה שאינה ידועה, או לקרב על ידי עקום נקודות במישור או במרחב (או שילוב של שני האלמנטים הללו). לכל שיטת אינטרפולציה יש יתרונות וחסרונות, ולפני בחירת שיטה זו או אחרת יש להתייחס לכמה בחינות, כגון: מידת החלקות של הפונקציה המבוקשת, מספר נקודות המידע העומדות לרשותנו, מידת הדיוק הדרושה, כמות משאבי החישוב הנדרשים כדי לעמוד בדרישותינו, ועוד. לאחר שנענה על שאלות מסוג זה נוכל לבחור בשיטה לביצוע אינטרפולציה. בדרך כלל ננסה לדעת בנוגע לכל שיטת אינטרפולציה מהי מידת החלקות של הפונקציה המתקבלת מחד, ומאידך לחקור את ה"טעות" המתקבלת מחישוב ערכים חדשים על ידי הפונקציה המתקבלת מהאינטרפולציה.
אינטרפולציה ליניארית.
בשיטה זו, שהיא הפשוטה ביותר לחישוב, נחבר בקו ישר כל שתי נקודות מידע עוקבות. באופן כללי, בהינתן: formula_8 שתי נקודות מידע עוקבות, אזי הפונקציה הליניארית המחברת אותן היא:
formula_9
כעת נוכל לענות על השאלה מה ערכה של הפונקציה בנקודה formula_10. נעשה זאת על ידי בחירת formula_11 והצבת הערך המבוקש בפונקציה המתקבלת.
ברור כי מחד גישה זו קלה לחישוב, אך מאידך תוצאתה אינה מדויקת על פי רוב.
חיסרון נוסף בשיטה זו היא שהפונקציה המתקבלת אינה גזירה בנקודות formula_2 (הצמתים).
אינטרפולציה באמצעות פולינום.
אינטרפולציה באמצעות פולינום היא הכללה של האינטרפולציה הליניארית. בהינתן אוסף נקודות formula_13 קיים פולינום אחד ויחיד ממעלה שאינה עולה על formula_14 אשר עובר דרך כל הנקודות הנתונות, וכל שנותר הוא לחשב אותו.
צורת לגראנז'.
דרך אחת לחשב פולינום לאינטרפולציה היא באמצעות צורת לגראנז': מגדירים
כך שלכל formula_16 מתקיים formula_17, וכן formula_18.
מכאן נובע שהפולינום בצורת לגראנז',
מקיים formula_20, לכל
formula_21. במילים אחרות, הפולינום שהוגדר בצורת לגראנז' אכן עובר דרך הנקודות הנתונות.
צורת ניוטון.
דרך נוספת לחשב את הפולינום היא באמצעות צורת ניוטון. לשיטה זו יתרונות על פני השיטה הקודמת בכך שהיא דורשת פחות פעולות חישוב, וקל להוסיף לפולינום הקיים נקודות נוספות, בעוד שבשיטת לגראנז' יש לחשב הכול מחדש.
צורת ניוטון מחושבת כך:
formula_22
כאשר הביטוי formula_23 נקרא "הפרש מחולק", והוא מוגדר בצורה הרקורסיבית הבאה:
formula_24
formula_25
שיטה זו מניבה את אותו הפולינום שהניבה שיטת לגראנז', אך השימוש בה יעיל יותר; כדי להוסיף נקודה נוספת לאינטרפולציה די לחשב את האיבר החדש שמוסיפים לסכום, ואין צורך לחשב את הסכום כולו מחדש.
חלוקת סוד
בקריפטוגרפיה, חלוקת סוד (באנגלית: Secret sharing), היא בעיה של פיצולו של סוד בין קבוצת שותפים, באופן שאינו ידוע לאף אחד מהם לחוד וניתן לגלותו רק באמצעות שיתוף פעולה של כל או חלק מחברי הקבוצה. הסוד בהקשר של מדעי המחשב הוא ערך מספרי כלשהו ויכול להיות בעל חשיבות קריפטוגרפית כגון מפתח הצפנה או סיסמה. סכימת חלוקת סוד היא שיטה לפתרון בעיית חלוקת הסוד כך שניתן לחלק מידע נתון formula_1 ל-formula_2 חלקים (באנגלית: Shares) formula_3, באופן כזה שניתן לשחזר את formula_1 בידיעת formula_5 חלקים בלבד, גם כאשר formula_6 חלקים הלכו לאיבוד. אולם לא ניתן לשחזר את הסוד בידיעה של רק formula_7 ממנו או ששחזורו קשה מאוד לביצוע ליריב בעל עוצמת חישוב מוגבלת. מאפיין זה נקרא סכימת סף formula_8 (באנגלית: Threshold scheme) כאשר formula_9. כאן formula_2 מייצג את סך כל החלקים ו-formula_5 את המספר החלקים המינימלי הדרוש לשחזורו.
שימושים אפשריים.
סכימת חלוקת סוד שימושית להגנה על מפתח הצפנה. כדי להגן על מידע אפשר פשוט להצפינו, אולם כדי להגן על מפתח ההצפנה יש צורך בשיטה אחרת. הצפנת המפתח באמצעות מפתח הצפנה אחר אינה פותרת את הבעיה אלא רק משנה אותה לבעיית הגנה על המפתח השני. אפשר לאחסן עותק בודד של המפתח במקום שמור היטב (במחשב, כספת או במוחו של בעל המפתח) אולם במקרה אסון (קריסת המחשב, חבלה או מוות פתאומי) המפתח הולך לאיבוד ואין דרך לשחזר את המידע. פתרון מובן מאליו הוא לגבות את המפתח במספר עותקים במקומות שמורים ובכך להקטין את הסיכון שבאובדן המפתח. אולם שיטה זו יוצרת דילמה; מצד אחד להבטחת האמינות רצוי לשמור מספר גדול של עותקים אולם אז הסכנה שבחשיפת המפתח תגדל. סכמת חלוקת סוד מאפשרת לאחסן בביטחה מפתח הצפנה במספר העותקים הדרוש להבטחת אמינות גבוהה, תוך שמירה על סודיות גבוהה במקרה של כשל, בגידה או טעות אנוש.
שימוש נוסף לשיטת חלוקת סוד הוא פיזור סמכויות. כגון מורשי חתימה בארגון, שברשות כל אחד מהם מפתח חתימה דיגיטלית. אם כל מורשה יחזיק בעותק של מפתח החתימה הסודי של הארגון זה יהיה נוח אך יוצר סיכון לשימוש בלתי הולם מצד אחד המורשים. אם יוחלט שדרושות חתימות כל המורשים יחדיו כדי שהחתימה תהיה תקפה, הסיכון נמוך כי לא סביר שכל מורשי החתימה יקשרו קשר נגד הארגון, אולם לא נוח במקרים בהם אחד המורשים אינו זמין. הדרך האידיאלית היא לחייב שיתוף פעולה של לפחות formula_12 מורשים כלשהם כאשר formula_13. קל ליישם זאת עם סכימת סף formula_8. באופן זה יקטן הסיכון להונאה כיוון שדרוש שיתוף פעולה של מספר גורמים.
מאפיין נוסף של שיטת סכימת סף הוא האפשרות להעניק משקל רב יותר לגורמים שונים בארגון בהתאם לדרגת סמכותם. אפשר לעשות זאת באמצעות מתן מספר גדול יותר של חלקים לאחדים מהם. לדוגמה ניתן לקבוע מדיניות כזו שמנהל הארגון יהיה מוסמך לחתום על המחאות לבדו, שני סגניו יוכלו לחתום רק בשיתוף פעולה של שניהם ויתר הבכירים יידרשו לשיתוף פעולה של שלושה חברים לפחות כדי להשיג סמכות דומה. במקרה כזה המנהל יקבל שלושה חלקים, שני סגניו יקבלו שניים כל אחד ויתר המנהלים הזוטרים אחד.
מקרה דומה הוא הצורך בהגנה על קוד הפעלה קריטי כמו קוד הפעלה של משגר טילים (גרעיניים). בדרך של חלוקת סוד אפשר לאלץ את המפעילים המורשים להשיג שיתוף פעולה מלא של כל או חלק מהגורמים המוסמכים, בטרם יוכלו לשחזר את קוד ההפעלה. שיטות חלוקת סוד מאפשרות השגת איזון בין סודיות לאמינות (כמו במקרה של שמירת מפתח הצפנה) ובין נוחות לבטיחות (כמו במקרה של חתימה דיגיטלית משותפת וקוד הפעלה קריטי).
היסטוריה.
הצורך בחלוקת סוד התעורר בהקשר של ניהול מפתחות הצפנה בסביבות 1977. עדי שמיר וג'ורג' בלקלי פרסמו בנפרד את רעיונות חלוקת הסוד בשנת 1979. עדי שמיר במאמרו "איך לשתף סוד" הסביר את עקרונות השיטה; חלוקת סוד, פיזור סמכויות וסכימת-סף והציע דרך מעשית ליישום מנגנון חלוקת סוד באמצעות אינטרפולציה של פולינומים. הרעיון של עדי שמיר (ראו להלן) מבוסס על תכונה ידועה של פולינומים; דרך formula_5 נקודות עובר רק פולינום יחיד מסדר formula_7. (למשל - דרך שתי נקודות עובר קו יחיד, דרך שלוש נקודות עוברת פרבולה יחידה וכן הלאה).