המספרים המרוכבים יכולים להירשם כזוג סדור formula_1 של מספרים ממשיים formula_2 ו-formula_3, עם חיבור שמוגדר רכיב רכיב ומכפלה שמוגדרת כך:
formula_4
מספר מרוכב שהרכיב השני שלו שווה לאפס מתלכד עם מספר ממשי: המספר המרוכב formula_5 הוא המספר הממשי formula_2.
על המספרים המרוכבים אפשר להגדיר אופרטור הצמדה, לפי formula_7. לפונקציה הזו יש התכונה
formula_8, כך שכפל של מספר בצמוד שלו נותן תמיד מספר ממשי אי שלילי. בדרך זו, הצמדה מגדירה נורמה, שהופכת את המספרים המרוכבים למרחב נורמי מעל המספרים הממשיים: הנורמה של מספר מרוכב formula_9 היא:
formula_10.
אפשר לראות בפעולת ההצמדה הכללה של פונקציית הזהות על הממשיים. במובן זה, תכונת המספרים הממשיים להיות צמודים לעצמם אבדה בתהליך, והיא אינה נכונה עוד במספרים המרוכבים.
צעד שני: הקווטרניונים.
אלגברת הקווטרניונים של המילטון מתקבלת מן המספרים המרוכבים באופן דומה. החיבור של זוגות סדורים הוא לפי רכיבים, ואת פעולת הכפל מגדירים לפי הנוסחה formula_11; מכיוון ש-formula_12, המרוכבים מהווים תת-חוג של האלגברה החדשה, שאינה קומוטטיבית. גם לאלגברת הקווטרניונים יש אינוולוציה, המוגדרת לפי formula_13, ומקיימת formula_14. מכיוון שתוצאת הכפל היא מספר ממשי הפיך, כל איבר שונה מאפס הוא הפיך ולכן האלגברה היא אלגברה עם חילוק.
צעד שלישי: האוקטוניונים.
אותה נוסחת כפל עבור זוגות סדורים של קווטרניונים, formula_11, מגדירה אלגברה חדשה הנקראת אלגברת קיילי, שאינה אסוציאטיבית (הדוגמה המוכרת ביותר לאלגברת קיילי היא אלגברת האוקטוניונים). האלגברה הזו מקיימת זהות חלשה יותר: היא אלטרנטיבית. תבנית הנורמה שלה, בתור מרחב וקטורי מממד 8 מעל הממשיים, היא סכום של שמונה ריבועים. הנורמה כפלית, ונותנת נוסחת כפל לסכומים מסוג זה (שאינה קיימת בממדים גבוהים יותר).
ממד 16 ואילך.
אותה נוסחת כפל, המיושמת לזוגות סדורים של אוקטוניונים, נותנת אלגברה מממד 16, הנקראת "אלגברת הסדניונים". אלגברה זו אינה אלטרנטיבית. באופן כזה אפשר להמשיך לבנות אלגברות מממד formula_16 לכל n. אלגברות אלו מקיימות כולן את הזהות הגמישה, formula_17.
תבנית הנורמה של אלגברת קיילי-דיקסון מממד formula_18 היא סכום של ריבועים כמספר הזה. מעל שדה סדור זוהי תבנית אנאיזוטרופית, ולכן כל האיברים באלגברות קיילי-דיקסון הם הפיכים, כלומר לכל איבר formula_19 קיים formula_20 כך ש-formula_21. עם זאת, באלגברת קיילי-דיקסון מממד 16 יש מחלקי אפס, והיא אינה אלגברת חילוק: לא לכל המשוואות formula_22 יש בה פתרון יחיד.
Yngwie Malmsteen
דורה החוקרת
וליד חאג'-יחיא
וליד חאג'-יחיא (ידוע גם בשם וליד צאדק ורוֹוחת כתיבת שמו גם בצורה "ואליד צאדק"; בערבית: وليد حاج يحيى; 1936, טייבה – 19 במרץ 2015, טייבה) היה פוליטיקאי ומחנך ערבי-ישראלי, שכיהן כחבר הכנסת מטעם מחנה של"י ומרצ, כסגן יושב ראש הכנסת ה-14 וכסגן שר החקלאות בממשלת רבין השנייה (1992–1996).
ביוגרפיה.
חאג'-יחיא נולד ב-1936 בטייבה, צעיר בניה של משפחת חקלאים אמידה המתגוררת במקום מאות שנים ובעלת שדות רבים. כשהיה בן ארבע נפטר אביו, ומאותה עת עברה אמו לנהל את משק הבית, והיא זו שעיצבה את דמותו של וליד ועודדה אותו. בגיל שמונה עשרה החל ללמוד באוניברסיטה העברית בירושלים יחסים בינלאומיים וסוציולוגיה. לימים העיד על עצמו שעד תחילת לימודיו האקדמיים לא הכיר את תושביה היהודים של ישראל ונתקל בהם פעמים ספורות בלבד.
ב-1956, לאחר תום לימודיו האקדמיים, החל חאג'-יחיא לעבוד כמורה בבית הספר התיכון של קיבוץ גן שמואל. בהמשך דרכו הורה בבית ספר התיכון בטייבה וכיהן כסגן-מנהל בית הספר.
חאג'-יחיא החל בצעירותו בפעילות פוליטית במפ"ם. ב-1977 הצטרף למפלגת מחנה של"י עם הקמתה, וב-1981 נכנס מטעמה לכנסת עם התפטרותו של אורי אבנרי, בהתאם להסכם הרוטציה שנקבע במפלגה לפני הבחירות. הוא הספיק לכהן בה בארבעת חודשי כהונתה האחרונים והיה חבר ועדת החינוך והתרבות.
לכנסת השלוש עשרה והארבע עשרה נבחר מטעם מרצ. בכהונתו זו היה חבר ועדת החינוך והתרבות והוועדה למאבק בנגע הסמים. בכנסת הארבע עשרה כיהן כסגן יושב ראש הכנסת. בשנים 1992–1996, בתקופת ממשלתו השנייה של יצחק רבין ובממשלת פרס שהמשיכה אותה לאחר הרצחו של רבין, כיהן גם כסגנו של שר החקלאות ופיתוח הכפר יעקב צור.
בשנת 2012 פרסם בהוצאה עצמית ספר אוטוביוגרפי בשם "גולה בארצו: מטייבה לכנסת".
חאג'-יחיא היה אב לשישה.
הוא הלך לעולמו ב-2015 ממחלת לב, בגיל 79.
תחבורה בתל אביב
התחבורה בתל אביב-יפו היא ממערכות התחבורה העמוסות והמסובכות בישראל בשל אופייה המטרופוליני של העיר. מדי יום נכנסים לעיר מאות אלפי יוממים, והעיר סובלת מעומסי תנועה כבדים וממחסור במקומות חניה. בעיות התחבורה מעצימות את מפגעי הרעש וזיהום האוויר, מכבידות על התושבים ועל בעלי העסקים, ומהוות נושא מרכזי בשיח הציבורי.
בהיעדר רכבת קלה או רכבת תחתית פעילה, מבוססת התחבורה בתל אביב על הרכב הפרטי, על אוטובוסים, שברוב הרחובות חולקים את אותם נתיבים עם הרכב הפרטי, ועל אופניים.
מדיניות התחבורה.
עיריית תל אביב-יפו ומשרד התחבורה מנסים להתמודד עם עומסי התנועה והחניה במספר דרכים, המושפעות מהתמודדות של מטרופולינים בעולם עם בעיות דומות. המדיניות המוצהרת כוללת את עידוד השימוש בתחבורה ציבורית בעיר, על ידי יישום התוכנית להפעלת רכבת קלה החוצה את העיר, הצפויה לפעול כרכבת תחתית בחלק מהמסלול. מתכננת הפרויקט היא חברת נת"ע. דרך נוספת היא תכנון מחודש של מערך האוטובוסים והקצאת נתיבים בלעדיים לתחבורה ציבורית בצירים הראשיים. מנגד מנסה העירייה לצמצם את תנועת האוטובוסים ברחובות הצרים.
בנושא החנייה, מתבצעת אכיפה חלקית של חוקי החנייה, ומקודמות תוכניות להקמת חניונים תת-קרקעיים גדולים בלב העיר, ולהקמת חניוני חנה וסע בכניסות לעיר שישרתו את היוממים. הקמת החניונים שנויה במחלוקת. יש הרואים במדיניות זאת כמהלך חיוני בשל המחסור הגדול במקומות חניה במרכז העיר, ומנגד יש הרואים בכך מדיניות שתעודד כניסת כלי רכב למרכז העיר שתגביר את בעיות העומס והזיהום. כמו כן מתבצעות עבודות להסדרת צמתים עמוסים ולהקמת מחלפים, גשרים ושיקוע כבישים, במיוחד בדרך בגין.
ב-2012, כחלק ממדיניותה לעודד את השימוש ברכב הפרטי, אפשרה העירייה לכל תושב תל אביב לחנות בחינם בשעות היום בכל רחבי העיר. קודם לשינוי ניתנה הזכות לחנייה חינם רק באזור המגורים. כמו כן הכפילה העירייה את מספרי חניוני "קרוב לבית" שבהם יכולים התושבים לחנות בשעות הלילה בחינם, והעניקה לתושבים הנחה של 75% בחניונים העירוניים של אחוזות החוף. העירייה גם נמנעת מלאכוף את איסור החנייה על מדרכות ברחובות שאינם ראשיים, אך לא פרסמה מדיניות רשמית בנושא.
בתחילת המאה ה-21 החלה העירייה לנקוט במדיניות של עידוד הנסיעה באופניים, במסגרתה היא סוללת שבילי אופניים בשדרות וברחובות ומפעילה באמצעות זכיין שירות להשכרת אופניים (תל אופן).
תחבורה ציבורית.
שירותי אוטובוס.
בעיר פועל מערך קווי אוטובוס עירוניים של חברות "דן", "אגד", "קווים", "מטרופולין" ו"אפיקים". אך דן אחראית ליותר מ-80% מתנועת האוטובוסים העירוניים בעיר והיא גם החברה העיקרית האחראית לנסיעות בתוך העיר, בעוד ששאר החברות אחראיות לקישור תל אביב עם הערים הסמוכות. בעיר פועלים התחנה המרכזית החדשה, ומספר מסופי אוטובוס שהחשובים שבהם הם מסוף 2000 בסמוך לתחנת הרכבת תל אביב מרכז, מסוף כרמלית, מסוף רדינג, מסוף עתידים, מסוף תחנת הרכבת תל אביב אוניברסיטה ומסוף האוניברסיטה. הן בשל מיקומה הגאוגרפי במרכז הארץ ובלב גוש דן, והן בשל חשיבותה של העיר, יוצאים ממנה קווי אוטובוס לכל חלקי הארץ. בעבר רווחה הגישה כי על שירותי תחבורה ציבורית בין עירונית להתחיל ולהסתיים בתחנה מרכזית אחת, אולם זה מספר שנים שבהתאם לתפיסה מודרנית יותר, מופעלים שירותים בין עירוניים למרחקים קצרים ובינוניים גם מנקודות מפתח אחרות בעיר. שירותים אלה ניתנים על ידי מספר חברות, ובראשן אגד. שני הקווים המרכזיים והוותיקים של מרכז העיר הם קו 4 העובר לאורך הרחובות אלנבי ובן-יהודה וקו 5 לאורך רוטשילד ודיזנגוף. ב-1 ביולי 2009 החלו לפעול קווי לילה בכל ימות השבוע (למעט שישי) בתל אביב ובפרבריה לתקופת הקיץ, בשיתוף של רוב חברות התחבורה הציבורית בגוש דן. קווי הלילה ממשיכים לפעול גם במהלך השנה בלילות חמישי ושבת בלבד.
ב-23 באוגוסט 2010 החל יישום השלב הראשון ברפורמה מקיפה לתחבורה הציבורית בגוש דן, הוספו שלושה קווים חדשים ובוטל קו קיים. ב-1 ביולי 2011 התרחש השלב השני והגדול מבין ארבעת השלבים המתוכננים והוכנסה מערכת קווי האוטובוס החדשה בתל אביב ובגוש דן. במסגרת הרפורמה, בוטלו עשרות קווים ומהלכם או מספרם של אחרים שונה. בסך הכל בוטלו כעשרים קווים. הרפורמה כוללת קווים ראשיים, אשר מהווים "קווי מזלג". כל קו מזלג כזה הוא שניים או שלושה קווים, להם מסלול משותף מרכזי, רובו בתחומי העיר תל אביב, בעוד בקצה אחד (או שניים) המסלול מתפצל למספר זרועות. הרעיון העומד מאחורי פיזור כזה הוא תדירות גבוהה (כחמש דקות) בקטע המשותף, ותדירות רגילה בקטע נפרד. הרפורמה אף יצרה שלושה אזורי תעריף חדשים במקום האזורים הרבים שהיו קיימים קודם לכן. האזורים החדשים מבוססים על מרחק ממרכז המטרופולין כמקובל בעולם. כרטיסי הנסיעה החדשים מאפשרים (בתנאי שהנוסע אוחז בכרטיס נסיעה "חכם", הרב-קו) נסיעה נוספת באותו אזור מחיר בתוך 90 דקות מרגע רכישתם. כרטיסים אלו תקפים, בדומה לכרטיסי "חופשי חודשי", בכל מפעילי התחבורה הציבורית.