בנוסף, בתקופה הקלאסית חלה התרחקות מההרגל הבארוקי להקדיש את היצירה, או כל אחד מהפרקים בה, לתיאור רגש אחד בלבד. במקום זאת, האופנה הייתה ליצור ניגוד בין החלקים והפרקים ביצירה, שהושג במגוון טכניקות: מעבר ממינור למז'ור; מקצביות לקצב אטי יותר, שירתי; ובעיקר מעבר לאזורים שונים בהרמוניה. קטעי מעבר הפכו לחשובים יותר ויותר, כשהמלחינים החלו להקדיש יותר תשומת לב לקטעים אלה, הדגישו אותם, ואף בנו את המתח בציפיית שווא רק כדי להוביל את היצירה דרך קטע מעבר לכיוון חדש, במקום להגיע לפתרון המיוחל.
הסוגות של התקופה הקלאסית.
בניגוד לתקופות אחרות במוזיקה, הקלסיציזם לא ניסה לשבור מוסכמות מוזיקליות. ייחודו בבהירות יצירותיו ובשכלול אמצעים מוזיקליים קודמים, תוך שימוש חסכני בהם. הסוגות העיקריות של המוזיקה הקלאסית הם הצורת-סונאטה, התמות והוריאציות, המינואט והטריו וכן הרונדו.
הסימפוניה.
הסימפוניה שהיא פרי המצאת הברוק, הגיעה לידי שכלול בתקופה הקלאסית. בעוד שעד אז, הסימפוניה שימשה כאוברטורה לאופרה בשלושה פרקים, בתקופה הקלאסית היא הפכה לסגנון בפני עצמו, המבוצע במסגרת קונצרטנטית. לא רק שהתעצמו שלושת פרקי הסימפוניה המקוריים – הקצרים והמשולבים זה בזה לכתחילה. אלא שהם עתה הפכו לעצמאיים והוסף להם פרק רביעי. כמו כן, גדל ורב בה השימוש בכלים – כגון חלילים, אבוב, בסון, קלרינט, חצוצרות וצ'ימבלו, אשר בהם נעשה שימוש בעבר, בידי באך והיידן .
בצורתה המגובשת במאה ה-18, מכילה הסימפוניה ארבעה פרקים:
סגנון הסימפונה החל בווינה, והתפשט בכל הבמות המוזיקליות הרציניות - לרבות בחצר מנהיים. בחצר זאת פעלו מלחינים בני משפחת שטאמיץ, אשר הכניסו בסימפוניה מודולציות ומעברי טונאליות המכונות בשם 'טילי מנהיים'. מלחינים אלו הגבירו את הניגודים בין הצלילים הרכים לצלילים החזקים, ולמעשה המציאו את הקרשנדו והדקרשנדו.
מוצארט התרשם מאוד מהמוזיקה שהוא שמע במנהיים, וכן מצליל הקשת הראשון בסימפוניות הפריסאיות – ואלו באים לידי ביטוי בסימפוניה מס' 31 של מוצרט', ברה מז'ור. למרות הפורמליות של התקופה הקלאסית, אצל מוצארט קשה שלא להתרשם מהסבל המובע בסימפוניה מ' 40 או מהשלווה הטמונה בסימפוניה מס' 41 המכונה 'יופיטר'.
הסגנון הקלסי הגיע לשיאו בשש הסימפוניות האחרונות של מוצרט, ובתריסר הסימפוניות האחרונות של היידן. תשע הסימפוניות של בטהובן והסימפוניות של שוברט (הסימפוניה השמינית הבלתי גמורה, והסימפוניה הגדולה ב-אוט מג'ור) אמנם שייכות לתקופה הקלאסית, אבל הן מבשרות כבר את התקופה הרומנטית.
השפעות התקופה הקלאסית על מלחינים מאוחרים.
ניתן לומר בביטחון שתקופות מוזיקליות לא נעלמות בבת אחת. מאפייניהן מוחלפים בהדרגה, עד אשר הסגנון הייחודי להן נראה מיושן. הסגנון הקלאסי לא מת באחת, אלא השתנה תחת משקל הנסיבות.
כבר אצל מוצרט וקלמנטי ניתן להבחין בצעדים ראשונים לקראת שימוש אחר בהרמוניה, שינויים שהמשיכו בעבודתו של בטהובן, והגיעו לשיא בעבודתו של פרנץ שוברט. שוברט, ומלחינים כמו ג'ון פילד, קארל מריה פון ובר ופליקס מנדלסון בצעירותו נמנו על "הרומנטיים הקלאסיים". קבוצה זו של מלחינים הושפעה מהסגנון הקלאסי ומהמלחינים הקלאסיים, עובדה הניכרת במבנים בהם השתמשו בעבודתם. זאת ועוד, הכלים שעמדו לרשותם כשהלחינו, הן מבחינת מגוון והן מבחינת מספרם, היו אותם כלים שעמדו לרשות המלחינים הקלאסיים.
עם זאת, הכוחות שהביאו לקיצו של הסגנון הקלאסי כבר הופיעו ביצירותיהם של המלחינים האלו. הכוח המניע שמוזכר לרוב הוא החדשנות ההרמונית, כפי שהוזכר, אך גם הנטייה לכתיבה עם ליווי רציף ואחיד קצבית היא מרכיב חשוב. הסונטה לאור ירח של בטהובן, בה שינויים במבנה הקצבי יוצרים את מרב הדרמה, בעוד שהמנגינה פשוט מרחפת לה ממעל, שימשה מודל והשראה לאינספור יצירות רומנטיות. עם הזמן ידיעה טובה יותר של יצירות העבר, רמתם העולה של המבצעים, המגוון ההולך וגדל של הכלים, התרחבותן של אגודות הקונצרטים, ועלייתו של הפסנתר תרמו למעבר הסופי לתקופה הרומנטית.
מתיחת קו ברור בין שתי התקופות היא בלתי אפשרית. חלקים ביצירתו של מוצרט בלתי ניתנים להבחנה בסגנונם ממוזיקה שנכתבה שמונים שנה לאחר מכן, ויצירות בסגנון הקלאסי המשיכו להיכתב עד למאה ה-20. אפילו לפני מותו של בטהובן היו מלחינים שהגדירו עצמם רומנטיים, והשתמשו בכרומטיות, למשל, יותר ויותר בראוותנות.
זקן ממרה
תקופת הגאונים
פונקציית דלתא
פונקציית דלתא של דיראק
פונקציית הדלתא של דיראק, המסומנת formula_1, היא פונקציה מוכללת שימושית בפיזיקה, בהנדסה ובהסתברות. למרות שמה, היא אינה פונקציה במובן המקובל. הגדרתה היא על פי תכונות של האינטגרל המסוים שלה: לכל A ו-B חיוביים מתקיים
התחום של פונקציית דלתא הוא קבוצת המספרים הממשיים. מהתכונה הראשונה ניתן להסיק שהערך של formula_1 הוא אפס לכל x פרט ל-x=0. כדי לקיים את התכונה השנייה, הערך ב-x=0 לא יכול להיות מספר סופי, ולכן הטווח שלה אינו מוכל בקבוצת המספרים הממשיים. אולם ערכי הפונקציה אינם מעניינים בפני עצמם, אלא האינטגרלים שלה.
פונקציית הדלתא של דיראק, שהיא הכללה של פונקציית הדלתא של קרונקר, נוסחה על ידי הפיזיקאי פול דיראק. ניתן להגדיר אותה במספר דרכים, למשל כגבול חלש של סדרה של פונקציות שהשטח מתחת לגרף של כל אחת מהן הוא 1, בעוד שהתחום בו הן אינן מתאפסות זהותית הוא קטע הולך וקטן סביב x=0.
מבוא פורמלי.
ההגדרה השימושית.
לרוב, פונקציית דלתא מוגדרת באמצעות התכונה הבאה
לכל פונקציה רציפה f. אפשר לחשוב על פונקציית דלתא, מבחינה אינטואיטיבית, כפונקציה שמקבלת את הערך 0 בכל נקודה שאיננה אפס ואת "הערך אינסוף" (או ליתר דיוק ערך אינסופי כלשהו) בנקודת האפס, כך שהאינטגרל המוכלל של הפונקציה על הישר הממשי הוא 1. זו אינה פונקציה במובן המקובל, אבל ההצגה הזו מאפשרת להבין חלק מתכונות הפונקציה.
באופן כללי יותר אפשר לרשום:
ניתן לראות את פונקציית דלתא כפונקציית צפיפות של התפלגות בדידה בעלת פונקציית הסתברות המקבלת 0 לפני ערך מסוים ו-1 אחריו, כלומר:
לפונקציית הסתברות כזו קוראים פונקציית הביסייד (פונקציית מדרגה), והיא פונקציה קדומה של פונקציית דלתא. לכן באופן לא-פורמלי אפשר לתאר את פונקציית דלתא כ"נגזרת" של פונקציית הביסייד (למרות שלפונקציה זו יש נקודת אי-רציפות בה לא ניתן להגדיר נגזרת), כלומר:
אינטואיטיבית, סביב כל x שונה מ-0 פונקציית הביסייד היא קבועה, ולכן נגזרתה אפס, אך עבור x=0 יש בפונקציית הביסייד קפיצה עם "שיפוע" אינסופי ולכן נגזרת אינסופית בנקודה זו. תכונות אלה מתאימות לתיאור האינטואיטיבי של פונקציית דלתא.
אין פונקציה שמקיימת את התכונות האלו אך אפשר להגדיר את "פונקציית דלתא" באמצעות שימושים במושגים מתמטיים אחרים: פונקציונל או מידה של אינטגרל לבג.
הגדרות פורמליות לפונקציית דלתא.
כפונקציונל, אפשר להגדיר את פונקציית דלתא באופן הבא:
זהו פונקציונל לגיטימי הפועל על מרחב הפונקציות הממשיות. פונקציונל זה אמנם חסום בנורמת הסופרמום אך הוא אינו חסום (ולכן גם לא רציף) במרחב הילברט formula_10. יתרה מכך, הוא אינו מוגדר היטב באותו מרחב, כיוון ששם שתי פונקציות נחשבות לשוות אם הן נבדלות לכל היותר על קבוצת נקודות בעלת מידה אפס, ולכן אין משמעות לערך הפונקציה בנקודה ספציפית. למרות זאת, מאחר שלפי משפט ההצגה של ריס אפשר לרשום כל פונקציונל ליניארי חסום כמכפלה פנימית (ובמרחב formula_11 כאינטגרל) רושמים גם את הפונקציונל הזה כאינטגרל. זהו רק סימון נוח ואין למעשה שום פונקציה שמקיימת את השוויון.
אפשר גם להתייחס לפונקציית דלתא כאל מידה באופן הבא:
על ידי שימוש במידה זו, אפשר לרשום אינטגרל לבג ולקבל:
רישום זה מבלבל ועדיף עליו הסימון:
כאשר H היא פונקציית הביסייד. את הרישום האחרון אפשר להצדיק במסגרת התורה של אנליזה פונקציונלית ואינטגרלים ספקטרליים.
את פונקציית דלתא אפשר לתאר גם כגבול של סדרת פונקציות. כל פונקציה בסדרה נהיית צרה יותר אך גבוהה יותר יחסית לקודמתה, והשטח שמתחת לגרף שלה נשאר קבוע - 1.
באופן פורמלי, סדרת פונקציות formula_17 תקרא "סדרת דלתא" אם:
לדוגמה נסתכל בסדרה הבאה:
זוהי סדרה של פונקציות שהגרפים שלהן הם מלבנים, או פונקציות מציינות על הקטע formula_23 המוכפלות ב-n, כמתואר בתרשים.
נראה שזוהי סדרת דלתא:
הוכחת חלק מהתכונות.
באמצעות החלפת משתנים באינטגרציה ותכונת הזוגיות אפשר להוכיח ש- formula_35.
באופן כללי יותר מתקיים ש-
כלומר, תחת האינטגרל מתקיים:
כאשר xi הם השורשים של g, כלומר: formula_42.
עבור פונקציית מבחן גזירה, אפשר לחשב את הנגזרת של פונקציית דלתא באמצעות אינטגרציה בחלקים ולקבל ש : formula_50.
אנדרה היידו
אנדרה הַיידוּ (בהונגרית: Hajdu Andre; 5 במרץ 1932 – 1 באוגוסט 2016, כ"ו בתמוז ה'תשע"ו) היה מלחין ואתנומוזיקולוג ישראלי, פרופסור באוניברסיטת בר-אילן ובאוניברסיטת תל אביב, חתן פרס ישראל למוזיקה (1997).
ביוגרפיה.
אנדרה (מרדכי) היידו נולד בבודפשט בירת הונגריה בשנת 1932. אביו, משה, ניהל סניף של חנות גדולה, ואמו, שרה, הייתה נגנית פסנתר ובעלת סטודיו לצילום. הוריו נפרדו ב-1940 והתגרשו ב-1945, אך המשיכו לעבוד יחד בחנותו של האב. אנדרה העביר את ילדותו בבודפשט ושרד עם אמו את ימי השמדת יהודי הונגריה. בשנת 1956, לאחר המרד ההונגרי, היגר עם אמו לפריז. בתחילת שנות השישים שהה בתוניסיה ולימד מוזיקה במקומות שונים. לאחר שובו לפריז, החל להתקרב לדת וחזר בתשובה.
בשנת 1966 עלה לישראל והתיישב בירושלים. בשנת 1969 נישא לרות ונולדו לו שישה בנים.