עברית בקליק הוא מאגר מתוקשב להוראת עברית בבתי ספר יהודיים בבריטניה (כיתות ג'-ו'), שפותח במשותף עם ארגון Jewish Curriculum Partnership) JCP) ובתמיכת קרן מוריס ווהל. פיתוח המאגר הושלם ב-2012 והוא מוטמע כיום בכל בתי הספר היהודיים באנגליה ומשווק גם לבתי ספר יהודיים במדינות אחרות בעולם. במהלך 2018 רכשו כמה בתי ספר בעולם (בדרום אפריקה, באוסטרליה, בארצות הברית ועוד) הרשאות לשימוש במאגר עבור המורים והתלמידים שלהם.
אליזבת
סטיב האריס (מוזיקאי)
סטיבן (סטיב) פרסי האריס (באנגלית: Stephen (Steve) Percy Harris), או "ארי" בפי האוהדים (נולד ב-12 במרץ 1956 בלייטונסטון לונדון, אנגליה) הוא הבסיסט ומייסד להקת ההבי מטאל האנגלית איירון מיידן, מלחינה הראשי ומנהיגה. האריס הקים את הלהקה כשהיה בן 18, ב-1975. האריס הוא חבר הלהקה היחיד שחבר בה לאורך כל שנותיה מאז שנוסדה בשנת 1976, ואחד משני החברים היחידים, לצד הגיטריסט דייב מארי, שלקח חלק בהקלטת כל אלבומי הלהקה.
לפני שהקים את הלהקה, הוא עבד כשרטט במשרד אדריכלות באיסט אנד של לונדון. בצעירותו שיחק כדורגל בקבוצת הנוער של ווסט האם יונייטד. האריס הוא אוהד מושבע של הקבוצה ועל הגיטרה שלו מופיע סמל הקבוצה. בהופעה הגדולה בריו דה ז'ניירו לבש הריס את מדי הקבוצה.
האריס למד בעצמו לנגן על הבס כשהיה בן 17. סגנונו הושפע מבסיסטים כמו כריס סקוויר (יס), מייק רות'רפורד (ג'נסיס), גדי לי ("ראש") אנדי פרייזר (פרי, ג'ון מיאל והבלוזברייקרס), גיזר באטלר (בלאק סבאת') וג'ון אנתוויסל (המי).
השפעותיו של האריס באות מלהקות הארד רוק, רוק מתקדם והבי מטאל של שנות ה-70 כמו בלאק סבאת', דיפ פרפל, אמרסון לייק ופאלמר, ג'נסיס, ג'ת'רו טאל, לד זפלין, פינק פלויד, ת'ין ליזי, UFO, Wishbone Ash ויס.
הלהקה הראשונה בה היה חבר נקראה "אינפלואנס" (Influence) ששינתה אחר-כך את שמה ל"ג'יפסי'ס קיס" (Gypsy's Kiss). מאוחר יותר הוא הצטרף ללהקת "סמיילר", ששאר החברים שלה היו מבוגרים ממנו במספר שנים, אך עזב משום שחבריה הבהירו לו שהם מסתייגים מבסיסט שקופץ על הבמה וכותב שירים, והקים את הלהקה איירון מיידן. את ההשראה לשם "איירון מיידן" נתן הסרט "האיש עם מסכת הברזל", שבו ראה את מכשיר העינויים בעל השם הזהה ("בתולת הברזל").
האריס נחשב לאחד מנגני הבס הטובים והמשפיעים בעולם, ומאופיין בהשתוללותו על הבמה עם הבס ובנגינה מהירה עם מיקס של חילופי סאונד גבוהים ונמוכים. הוא אינו משתמש במפרט ואינו מתחמם לפני הופעותיו. בנוסף ליכולותיו כבסיסט, האריס מנגן גם בקלידים בחלק קטן משירי הלהקה. כמו כן, לוקח הריס חלק הולך וגדל בעיבוד והפקת אלבומי הלהקה, ובבימויים של חלק מהקליפים של הלהקה (במיוחד של הופעות חיות). בבעלותו הייתה חווה ובה מתקני הקלטה, אשר נמכרה בשנת 2012.
בתו הבכורה לורן היא זמרת.
אינטגרל לבג
אינטגרל לבג הוא הכללה של אינטגרל רימן לפונקציות מדידות שפותחה על ידי המתמטיקאי אנרי לבג במסגרת מחקרו בתורת המידה. אינטגרל לבג מתבסס על מידת לבג המוגדרת מעל הישר הממשי. לכל פונקציה שהיא אינטגרבילית רימן (המושג יוגדר להלן) אינטגרל לבג קיים, וערכו זהה לערכו של אינטגרל רימן.
באינטגרל לבג מחושב השטח באמצעות התמונה של הפונקציה ולא באמצעות התחום שלה. היתרון בגישה זו הוא שלרוב התמונה של הפונקציה פשוטה יותר ו"פתולוגית" פחות מתחום ההגדרה של הפונקציה. כלומר, עבור פונקציות שתחום ההגדרה שלהן מסובך והתמונה שלהן פשוטה, ניתן לעיתים לחשב את אינטגרל לבג אך לא את אינטגרל רימן, ולעיתים ניתן לחשב את אינטגרל רימן הלא אמיתי אך לא את לבג.
מבוא.
אינטגרציה היא פעולה מתמטית שבאופן אינטואיטיבי אפשר לתארה כחישוב השטח הכלוא בין העקומה לבין ציר ה־formula_1. ארכימדס הצליח לבצע אינטגרציה במקרים מסוימים אחדים, אך לא פיתח שיטה כללית לאינטגרציה. במאה ה-17 פיתחו אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ (כל אחד בנפרד) שיטה לביצוע אינטגרציה, המבוססת על כך שאינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. את תוצאתם ניסחו במשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, המתאר את הקשר בין אינטגרל לנגזרת, ונותן נוסחה לביצוע אינטגרציה עבור מחלקה גדולה של פונקציות. שיטתם של ניוטון ולייבניץ לא הייתה מבוססת על הגאומטריה, אלא על חשבון אינפיניטסימלי - תחום שבתקופתם לא היה מבוסס מבחינה לוגית. כך, ההוכחות שכתבו לא היו ריגורוזיות והכילו סתירות (ראו גם: אינפיניטסימל).
במאה ה-19 פיתח אוגוסטין לואי קושי תורה ריגורוזית של גבולות והעניק בסיס מוצק לחשבון אינפיניטסימלי. ברנהרד רימן לקח את המנגנון של קושי ובאמצעותו הגדיר את האינטגרל באופן ריגורוזי, הגדרה שנודעה כאינטגרל רימן. רימן חילק את השטח שמתחת לעקומה למלבנים קטנים, שרוחבם קטן באופן שרירותי וגובהם תלוי בערכה של הפונקציה בתוך הקטע המגדיר את בסיס המלבן. אינטגרל רימן הוא גבול סכום שטח המלבנים כאשר רוחב המלבן שואף לאפס. כלומר:
עם זאת, רימן גילה שקיימות פונקציות שעבורן לא קיים גבול של סדרת שטחי המלבנים. על כן, לא היה ניתן לחשב עבורן אינטגרל רימן. לפונקציות כאלה קראו פונקציות שאינן אינטגרביליות לפי רימן. בעקבות תגלית זו נקטו מתמטיקאים כמה גישות לטיפול בבעיה:
לבג נקט בגישה השלישית, אך גם סיפק אפיון מלא לפונקציות שהן אינטגרביליות רימן: פונקציה היא אינטגרבילית רימן אם ורק אם היא חסומה וקבוצת נקודות אי-הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס. כלומר, כאשר יש לפונקציה "יותר מדי" נקודות אי-רציפות, לא ניתן לחלק את תחום הפונקציה למלבנים בהם התמונה אחידה יחסית, ואז אינטגרל רימן לא מוגדר.
לבג החליט להכליל את אינטגרל רימן. ראשית, חקר לבג בתורת המידה והגדיר את מידת לבג על הישר הממשי (אותה נסמן באות m). מידת לבג היא הכללה של מושג האורך ומאפשרת למדוד אורך של קבוצות שהן לאו דווקא איחוד סופי של קטעים (אורך של קטע קל לחישוב: אם קצות הקטע formula_3 הם formula_4 ו-formula_5 אזי אורך הקטע הוא formula_6). אחרי שהכליל את מושג האורך באמצעות פונקציית מידה פנה לבג להגדיר את האינטגרל.
בחישוב אינטגרל לבג מופיעה סכימה שונה מזו המופיעה באינטגרל רימן. באינטגרל רימן מותאם לכל קטע הגובה שלו (שהוא ערך שמקבלת הפונקציה בו). לעומת זאת, באינטגרל לבג מתייחסים דווקא לטווח הערכים של הפונקציה. לכל ערך שהפונקציה מקבלת מתאימים את המידה של קבוצת הנקודות בתחום המקבלת ערך זה. כלומר:
formula_7
באופן פורמלי, ראשית מקרבים את הפונקציה formula_8 על ידי סדרה של פונקציות פשוטות (פונקציות המקבלות מספר סופי של ערכים, כלומר סכום של פונקציות מדרגה). הסדרה נבנית כך שהקירוב של formula_8 הולך ומשתפר. אינטגרל לבג של פונקציה פשוטה הוא סכום סופי והוא קל לחישוב. האינטגרל של formula_8 ייקבע כגבול של האינטגרלים של הפונקציות הפשוטות, כאשר הוא קיים. את תהליך הבנייה נפרט להלן.
כלומר, כל פונקציה חסומה ואינטגרבילית רימן היא אינטגרבילית לפי הגדרת לבג. למעשה, אינטגרל לבג קיים לכל הפונקציות המדידות. זו אומנם מחלקה רחבה יותר מהפונקציות שהן אינטגרביליות רימן, אך קיימות פונקציות שאינן אינטגרביליות לפי לבג. לפונקציות אינטגרבילית הן לפי רימן והן לפי לבג ישנו ערך זהה לשני סוגי האינטגרלים. כמו כן, ערכו של אינטגרל לבג זהה לערך אינטגרל רימן גם ברוב המקרים של אינטגרלים לא אמיתיים אך לא בכולם - למשל באינטגרלים שאינם מתכנסים בהחלט כמו אינטגרל דיריכלה. אינטגרל הנסטוק הוא כללי יותר משני סוגי האינטגרלים, וממנו אפשר להסיק גם את אינטגרל רימן וגם את אינטגרל לבג.
בניית אינטגרל לבג.
בסעיף זה מוסברת בניית אינטגרל לבג והרעיון שבבסיסה. מומלץ לקרוא על אינטגרל רימן ואת מידת לבג לפני שקוראים קטע זה.
אינטגרל לבג של פונקציות פשוטות חיוביות.
פונקציה פשוטה היא פונקציה שמקבלת מספר סופי של ערכים, כלומר, הטווח שלה הוא קבוצה סופית. כל פונקציה פשוטה (שהמציינים שלה הן על קבוצות מדידות) היא פונקציה מדידה.
תהי formula_11 פונקציה פשוטה, כאשר formula_12 הוא תחום ההגדרה שלה. לכל ערך בטווח של הפונקציה המקורית formula_13 מתאימים את מידת לבג של הקבוצה formula_14 (קבוצת כל האיברים שערך הפונקציה formula_8 בהם הוא formula_16). אינטגרל לבג של formula_8 מוגדר להיות
כאשר formula_19 היא התחום עליו מתבצעת האינטגרציה, והוא מתוך תחום ההגדרה של formula_8. עבור פונקציה פשוטה הטווח הוא סופי, ולכן הסכום סופי. כך, כל עוד formula_21 ו-formula_8 מקבלת ערכים סופיים בלבד, הסכום יתכנס. במקרה בו formula_23 ו-formula_24 מכפלת שניהם מוגדרת להיות אפס.
מכיוון ש-formula_25 מקבלת רק מספר סופי של ערכים, אפשר להציגה כ-formula_26,כש-formula_27 הוא ערך שהפונקציה מקבלת, formula_28 הוא הקבוצה שעליה הוא מתקבל, ו-formula_29 הוא הסימון לפונקציה מציינת של formula_30. כך, מההגדרה לעיל אינטגרל לבג של הפונקציה formula_31 לפי המידה formula_32 יהיה formula_33.