כאשר מקדמי המשוואה הם ממשיים, מספר הפתרונות הממשיים תלוי בדיסקרימיננטה: אם היא גדולה מאפס, יש שני פתרונות. אם היא שווה לאפס, יש פתרון יחיד (אבל כפול), ואם היא קטנה מאפס, אין פתרון ממשי, אבל יש פתרונות מרוכבים.
משפט ויאטה.
מקרה פרטי של משפט ויאטה, הקרוי על שמו של המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט, מציג קשר בין שני שורשיה של משוואה ריבועית. כאשר נתונה המשוואה הריבועית הכללית
formula_1
ושורשיה הם formula_13, הרי מתקיים הקשר הבא:
formula_14
formula_15
קל להוכיח קשר זה על בסיס נוסחת השורשים המופיעה לעיל.
משפט ויאטה נותן טכניקה נוספת לפתרון משוואה ריבועית, ובמשוואות פשוטות (כאלה שמקדמיהן הן מספרים שלמים קטנים) הוא מאפשר להגיע אל הפתרון בצורה מיידית.
בנוסחאות אלה אפשר להשתמש גם כדי לבדוק מתי שורשי המשוואה שוני סימן, שווי סימן, חיוביים ושליליים.
משוואה ריבועית
פולינום אי-פריק
נחום היימן
נחום (נַחצֶ'ה) היימן (6 במאי 1934 – 17 באוגוסט 2016) היה מלחין, מוזיקאי ופזמונאי ישראלי, הנחשב לאחד מגדולי המלחינים בזמר העברי, וחתן פרס ישראל בתחום זה (2009).
קורות חיים.
היימן נולד בעיר ריגה שבלטביה, לפנינה לבית מטלין וחיים היימן. בשנת 1939, כשהיה בן חמש, עלה ארצה עם משפחתו. בילדותו החל לנגן בפסנתר, אך לאחר שחלה בגיל תשע בשיתוק ילדים (פוליו) עבר לנגן באקורדיון ובמפוחית. במשך כשלוש שנים וחצי שכב בבית חולים מחובר לריאת ברזל, עד שהתגבר על מחלתו. בגיל 14, בעקבות גירושי הוריו, עבר להתגורר כילד חוץ בקיבוץ נען וזכה להדרכה מוזיקלית מחברי הקיבוץ יהודה אורן והמלחין דוד זהבי.
לאחר נישואיה השניים של אמו, עבר להתגורר עמה ברחובות. שם הוא הלחין כבר בגיל 17 את שירו הראשון, "ניצנים נראו בארץ", לפי מילים מ"שיר השירים". מאחר שלא הסתדר עם אביו החורג עבר לכפר המכבי, שם פגש את מתתיהו שלם מהקיבוץ הסמוך, רמת יוחנן. היימן עבד אתו ברעיית צאן וקיבל ממנו ומחבריו הדרכה מוזיקלית. בשלב מאוחר יותר בחייו הפך לאקורדיוניסט בחוגים לריקודי עם בהשפעת גורית קדמן, מחלוצות ריקודי העם בישראל.
במסגרת שירותו בצה"ל שימש היימן אקורדיוניסט מחליף למלחין דובי זלצר בלהקת הנח"ל בגרסתה הראשונה. בתקופת שירותו הצבאי נישא לדליה קולטון ועבר איתה לקיבוץ בית אלפא. בשירות המילואים עבר לשרת כלוחם בפלס"ר שריון. הוא נפצע ברגלו מהתפוצצות מוקש במלחמת סיני, נפגע מקליע במלחמת ששת הימים, במלחמת יום הכיפורים נפצע באורח קשה מהפצצה אווירית, אושפז במשך כחצי שנה ועבר סדרה ארוכה של ניתוחים.
היימן נישא והתגרש שלוש פעמים בחייו. הוא אביהן של בילי ושל הזמרת והמוזיקאית סי היימן.
נפטר ב-17 באוגוסט 2016, בגיל 82, לאחר קריסת מערכות בעקבות חיידק אלים. למחרת נקבר בבית העלמין האזרחי מנוחה נכונה בכפר סבא.
יצירתו.
היימן נשלח מטעם קיבוץ בית אלפא ללימודים במדרשה למורים למוזיקה ולמד אצל המלחין פאול בן-חיים. בתום ההשתלמות הקים את חמישיית גלבוע, חמישייה כלית שאף נמנה עם חבריה כנגן אקורדיון. ב-1961 החל לעבוד עם הגבעטרון, ויזם את הוצאת תקליטיו הראשונים. הלהקה כללה ברפרטואר שלה חלק משיריו, כשהמפורסם שביניהם השיר "לאן נושבת הרוח" על שני לחניו.
היימן החל לארגן ערבי שירה בציבור והחל משנת 1965 הוא ארגן פסטיבל שנתי של מוזיקה וכוריאוגרפיה של בני קיבוצים בשם פסטיבל "ענות".
באותה תקופה הלחין היימן את שירי המחזמר "זרעים של מסטיק" שכתבה לאה נאור. בנוסף לעבודתו כמלחין טיפח היימן זמרים רבים בראשית דרכם, ביניהם אסנת פז, חוה אלברשטיין (לה גם הלחין בין היתר את השירים "עוד חוזר הניגון", "החול יזכור" ואת "כמו צמח בר"), צמד הפרברים (להם הלחין את שיריהם הראשונים, בהם "את אני והרוח", "אילו כל האוהבים", "רק הד קולך", "ריח תפוח אודם שני" ואת הנעימה "פוגה קטנה"), עליזה עזיקרי, הצמד אורנה ומשה דץ (להם הלחין בין היתר את השירים "אנשי הגשם", "שיר למענך"), יזהר כהן (לו הלחין בין היתר את השיר "כמו ציפור מטורפת" למילותיו של איציק איינהורן) וחני ליבנה (לה הלחין בין היתר את השיר "שירים עד כאן" למילותיו של נתן יונתן).
שיתוף פעולה פורה במיוחד היה עם המשורר נתן יונתן, שהוליד עשרות שירים שהיו לקלאסיקה בזמר העברי, ביניהם "חופים", "שיר אהבה ישן" (המוכר בשם "אניטה וחואן") ו"החול יזכור".
היימן הלחין גם פסקולים רבים לסרטי קולנוע. הראשון שבהם היה סרטו של מיכה שגריר "המלחמה לאחר המלחמה" לו הוא הלחין את השיר "מרדף" שכתב ירון לונדון, וביצעה חוה אלברשטיין. ב-1981 הלחין את הפסקול לסרט "סיפור אינטימי" של נדב לויתן. ב-1984 הלחין את הפסקול של הסרט "החורף האחרון". לסרט "אדמה משוגעת" כתב היימן את שיר הנושא, "אני ממשיך לשיר". זהו אחד השירים הבודדים שהיימן כתב את מילותיהם. הנעימה לחליל צד "הנסיעה לירושלים" הולחנה לסרט "אין שמות על הדלתות"(1997) (מושמעת בפתיחת שידורי הבוקר של רשת ב'). ב-1999 הלחין את הפסקול לסרט הטלוויזיה "גופה בחולות".
ב-1967 נסע לצרפת, וזכה להצלחה בינלאומית כשגדולי הזמרים שרו משיריו, בהם ננה מושקורי ומארי לאפורה, וגם ישראלים שהשתקעו בצרפת – בהם מייק בראנט וריקה זראי. ב-1972 עבר ללונדון בה למד במגמת מוזיקה בבית הספר לקולנוע והקים וניהל חברה להקלטות, שהכינה מוזיקה לסרטים, פרסומות ותקליטים. ב-1980 הפיק היימן את אלבומה של חוה אלברשטיין - אני הולכת אלי המורכב כולו מלחניו והוקלט בלונדון עם מוזיקאים מקומיים.
היימן שב לישראל ב-1984, והפיק את המופע "חופים" עם האמנים מאיר בנאי, משה דץ, חני ליבנה וליזה לנג, שהיו בראשית דרכם. כן היה המנהל האמנותי של חגיגות הזמר העברי בערד.
בשנת 2002 הקים את העמותה למורשת הזמר העברי, ששמה לה למטרה להוציא מהדורות חדשות של הקלטות מוזיקה ישנות מראשית ימי הזמר העברי, על שירי העליות, עבודת האדמה ושאר חוויות הקהילה הארץ-ישראלית.
הגיש תוכנית זמר עברי יחד עם גבי ינון ברשת ג' ("נחצ'ה בגימל").
במשך השנים נקלע היימן לקשיים כלכליים.
בעקבות כתבה טלוויזיונית מיולי 2013 על מצוקה כלכלית בה היה שרוי, נפגשו עמו ראש הממשלה בנימין נתניהו ושרת התרבות לימור לבנת והוחלט שישמש כיועץ בפרויקט שיכלול בין השאר הנגשה ותיעוד דיגיטלי של שירים עבריים; בתמורה אמור היה להשתכר סך של 50 אלף ש"ח כל שנה, ברם הדבר לא יצא אל הפועל. היישוב בית אריה-עופרים התנדב לספק לו מגורים ללא תמורה, ואף קרא לאחת הכיכרות ביישוב על שמו. לאחר תקופת מגורים ביישוב, שב להתגורר בפתח תקווה.
קישורים חיצוניים.
בעקבות מותו:
נחום הימן
רב-צורתיות
הקשר הגורדי
מאפיין (אלגברה)
המאפיין (נקרא גם המציין או הקרקטריסטיקה) של שדה הוא המספר הטבעי הקטן ביותר השווה לאפס בשדה.
ביתר פירוט, המספרים formula_1 הם איברים של השדה, ויש שתי אפשרויות: או שכולם שונים זה מזה, ואז אומרים שהשדה בעל מאפיין אפס, או שלא, ואז המאפיין הוא המספר הקטן ביותר של 1-ים שיש לחבר כדי לקבל 0. במקרה זה המאפיין הוא מספר ראשוני (משום שאין מחלקי אפס בשדה).
דוגמאות.
שדה המספרים הרציונליים וכל ההרחבות שלו, כמו המספרים הממשיים והמספרים המרוכבים הם בעלי מאפיין אפס. שדה סופי אינו יכול להיות בעל מאפיין אפס.
בשדה ממאפיין formula_2, כלומר שהעלאה בחזקת p היא איזומורפיזם מהשדה אל עצמו. הומומורפיזם זה הוא תמיד חד-חד-ערכי, ומגדיר שיכון של השדה לתוך עצמו (שהוא על אם השדה סופי, ראו הומומורפיזם פרובניוס).
הכללות.
אפשר להגדיר מאפיין של חוג עם יחידה formula_3 באותה דרך בה מגדירים מאפיין של שדה. ההעתקה מ-formula_4 לסכום של formula_4 פעמים 1, מהווה הומומורפיזם מחוג השלמים ל-formula_3, שהגרעין שלו הוא האידיאל הנוצר על ידי המאפיין. לדוגמה, לכל מערכות המספרים יש מאפיין אפס.
המאפיין של תחום שלמות הוא תמיד אפס או מספר ראשוני, אבל לכל מספר טבעי formula_4 קיים חוג בעל מאפיין formula_4: חוג המנה formula_9.
אפשר להגדיר מאפיין גם עבור חוג בלי יחידה: המאפיין של formula_3 הוא המספר המינימלי formula_4 כך שסכום formula_4 פעמים formula_13 שווה לאפס עבור כל איבר בחוג. המאפיין שווה לאקספוננט של החוג כחבורה קומוטטיבית.
ראו גם.
במקרים רבים מפתחים תאוריות מתמטיות תוך כדי הנחות על המאפיין של השדה. למשל, בגאומטריה אלגברית ובתחומים רבים באנליזה מקובל לעבוד מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס. התאוריה של תבניות ריבועיות מסתבכת מעט במאפיין 2. בתורת גלואה הרחבות של שדות ממאפיין אפס הן תמיד ספרביליות, בעוד שהרחבות של שדות ממאפיין חיובי אינן בהכרח כאלה (ראו הרחבות ציקליות של שדות).
פזמונאי
פזמונאי או תמלילן הוא אדם העוסק בכתיבת שירים או "פזמונאות", כלומר, כותב פזמונים. פזמונאים רבים גם מלחינים את יצירותיהם. המילה "תמלילן" או "ליריקן" מתייחסת בדרך כלל לאדם שאינו מלחין שירים אך כותב להם טקסט המיועד להלחנה או עבור לחן נתון.
ישנם משוררים בישראל שלצד שיריהם הליריים כתבו גם פזמונים - הבולטים שבהם הם נתן אלתרמן, נעמי שמר, אהוד מנור, אבי קורן ועלי מוהר.
פזמונאות עברית.
הפזמונאות הישראלית החלה בשאיפה ליצור בארץ ישראל תרבות חדשה של שירי זמר היונקת מן התרבות היהודית העתיקה. אולם מאז שנות ה-70 ניכרת השפעה רבה של תרבות ארצות הברית על הפזמונאות הישראלית.
שירי הזמר שנכתבו עד שנות ה-70 ביטאו תפיסה הרואה בפזמונאות שירה עממית, שיש בה מסר רעיוני. תופעה זו קשורה בעובדה שהפזמונאות הישראלית גובשה ברובה על ידי הלהקות הצבאיות. השירים נקראו שירים עבריים או ארץ-ישראליים, והם ביטאו ערכים ציוניים ופטריוטיים כגון בניית הארץ וההגנה עליה.