הקשר בין פונקציית זטא למספרים הראשוניים נובע מנוסחת המכפלה של אוילר: formula_9, כאשר המכפלה עוברת על כל המספרים הראשוניים.
המשכה אנליטית והמשוואה הפונקציונלית.
כפי שהיא מוגדרת בדרך כלל, על ידי הסכום formula_2, הפונקציה מתכנסת רק לערכים מימין לישר formula_11. כדי להגדיר את הפונקציה על כל המישור, יש לבצע המשכה אנליטית: formula_12. האינטגרל בביטוי האחרון מתכנס מימין לישר formula_13, ואפשר להשתמש בשוויון הזה כדי להגדיר את הפונקציה בתחום הרחב יותר.
אם מגדירים formula_14, כאשר formula_15 היא פונקציית גמא, אז מתקיים השוויון formula_16 לכל formula_1 מרוכב שאינו שלם. משוואה זו, המדגימה את הסימטריה של פונקציית זטא ביחס לציר formula_18, היא הבסיס לתאוריה הענפה של פונקציה זו, ושל פונקציות זטא בכלל. אפשר להוכיח אותה מן הזהות formula_19 שמקיימת פונקציית תטא formula_20. לפונקציית זטא של רימן יש גם גרסה סימטרית, שהיא פונקציית קסי של רימן, המוגדרת formula_21.
קישורים חיצוניים.
[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות|זטא]]
[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]
[[קטגוריה:תורת המספרים האנליטית]]
[[קטגוריה:פונקציות זטא]]
[[קטגוריה:לאונרד אוילר]]
[[קטגוריה:טורים מתמטיים]]
[[קטגוריה:השערת רימן]]
מטאליקה
מטאליקה (באנגלית: Metallica) היא להקת הבי מטאל ות׳ראש מטאל אמריקאית, שנוסדה בלוס אנג'לס, קליפורניה בשנת 1981. חברי הלהקה הנוכחיים הם הסולן והגיטריסט ג'יימס הטפילד והמתופף לארס אולריך שגם ייסדו את הלהקה, הגיטריסט המוביל קירק האמט והבסיסט רוברט טרוחיו. בין חברי להקה לשעבר ניתן למנות את הגיטריסט המוביל דייב מאסטיין והבסיסטים רון מק'גובני, קליף ברטון וג'ייסון ניוסטד. במרוצת השנים, שיתפה מטאליקה פעולה ארוכות עם בוב רוק, שהפיק את אלבומי הלהקה בין השנים 1990–2003, ואף שימש כבסיסט זמני בתקופה בין עזיבתו של ניוסטד להצטרפותו של טרוחיו.
מטאליקה החלה כלהקת ת'ראש מטאל, ועד וכולל האלבום "...And Justice for All" מ-1988 היא ניגנה ודבקה בסגנון זה. למעשה, אלבום האולפן הראשון של הלהקה, "Kill 'Em All" מ-1983, נחשב על פי רבים לאלבום הת'ראש מטאל הראשון, ולמשפיע מאוד בז'אנר. אלבום האולפן החמישי של הלהקה, "Metallica", הידוע גם בתור "האלבום השחור" ("The Black Album") מ-1991, סימן את השינוי בכיוון של מטאליקה מסגנון הת'ראש מטאל של ארבעת אלבומי האולפן הקודמים שלה, לכיוון של של מטאל מסחרי יותר, ופנה לקהל המיינסטרים. בהמשך, לאחר שהתנסתה בז'אנרים וכיוונים שונים, מטאליקה חזרה לשורשי הת'ראש מטאל שלה עם יציאת אלבומה התשיעי, "Death Magnetic" מ-2008.
השילוב בין המקצבים המהירים, הכלים, והנגינה האגרסיבית מיצבו את הלהקה כאחת מ"ארבע הגדולות" - הלהקות המרכזיות בסגנון הת'ראש מטאל, לצד מגאדת', סלייר ואנתרקס. הלהקה צברה בסיס מעריצים הולך וגדל בקהילת המוזיקה המחתרתית וזכתה לשבחי הביקורות בארבעת האלבומים הראשונים שלה; אלבומה השלישי, "Master of Puppets" (1986), תואר כאחד האלבומים המשפיעים ביותר בז'אנר הת'ראש מטאל. מטאליקה זכתה להצלחה מסחרית משמעותית עם אלבומה החמישי - הידוע כאלבום השחור - שהיה האלבום הראשון של הלהקה שהגיע למקום הראשון במצעד הבילבורד 200. באלבום זה הרחיבה הלהקה את כיוונה המוזיקלי ואת קהל מאזיניה. בשנת 2000 הייתה מטאליקה בין האמנים שהגישו תביעה נגד נאפסטר על שיתוף החומר המוגן בזכויות היוצרים של הלהקה בחינם וללא הסכמה מצד חברי הלהקה. לבסוף הושג הסדר, ונאפסטר הפך לשירות בתשלום. פרשת נאפסטר חזתה למעשה את השינוי המאסיבי בתעשיית המוזיקה, שהביאו עמו שירותי סטרימינג ואלבומים דיגיטליים. בשנת 2003 הוציאה הלהקה לאור את האלבום "St. Anger" , שעל אף שהגיע למקום הראשון במצעד הבילבורד 200, גרם לתחושת ניכור בקרב מעריצים וותיקים שהתאכזבו מצלילו השונה, היעדר סולואי הגיטרה וצליל התופים "המתכתי" המזוהה עם הלהקה. סרט בשם "Some Kind of Monster" תיעד את תהליך ההקלטה של "St. Anger" והמתחים בין חברי הלהקה באותו זמן. בשנת 2009 נכנסה מטאליקה להיכל התהילה של הרוק אנד רול.
בשנת 2012 הקימה מטאליקה חברת תקליטים עצמאית בשם Blackened Recordings ותבעה בעלות מלאה וזכויות יוצרים על כל האלבומים והווידאו קליפים שלה. הלהקה זכתה בתשעה פרסי גראמי וחמישה מאלבומיה ניצבו בפסגת מצעד הבילבורד 200. האלבום החמישי של הלהקה מכר מעל 16 מיליון עותקים בארצות הברית – האלבום הנמכר ביותר בעידן SoundScan. לאחר שמכרה מעל 110 מיליון תקליטים ברחבי העולם, נמנתה מטאליקה כאחת מהלהקות המצליחות ביותר בכל הזמנים. מטאליקה הופיעה ברשימות "האמנים הגדולים בכל הזמנים" במגזינים רבים, כולל ב"רולינג סטון", שם דורגה במקום ה-61 ברשימה זו. נכון לדצמבר 2012, עם מכירות של בסך הכל 54,260,000 אלבומים בארצות הברית, מטאליקה היא אמן המוזיקה השלישי המצליח ביותר מאז החל המעקב של SoundScan בשנת 1991.
היסטוריה.
1981–1983: הקמה ושנים ראשונות.
מטאליקה נוסדה באוקטובר 1981 בלוס אנג'לס, קליפורניה על ידי המתופף לארס אולריך והגיטריסט והזמר ג'יימס הטפילד. כשמלאו למתופף לארס אולריך 17 שנים, היגר עם משפחתו מדנמרק ללוס אנג'לס שבארצות הברית.
אולריך, שהתמקד כל ילדותו בטניס, נחשף בשנות העשרה שלו למספר להקות הבי מטאל מבריטניה, ואט-אט זנח את הטניס לטובת תחביבו החדש, מוזיקה, ובעיקר הבי מטאל. לארס החליט שהוא רוצה לתופף בלהקת הבי מטאל משלו. הוא פרסם מודעה בעיתון וכך הכיר את הגיטריסט והזמר ג'יימס הטפילד. השניים החליטו להקים להקה מחתרתית, שתנגן בסגנון שונה מכפי שהיה נהוג עד אז.
השניים אימצו סגנון אגרסיבי, מהיר, "מלוכלך", שהתעלם מהיבטים תדמיתיים חיצוניים (מה שהיה נפוץ בשנות ה-80, תקופת ה"גלאם מטאל"/"הייר מטאל"). הצמד צירף ללהקה את הגיטריסט דייב מאסטיין והבסיסט רון מק'גובני, והלהקה החלה להופיע באזור לוס אנג'לס.
באחד המועדונים שבו הופיעה מטאליקה הופיעה גם להקה בשם Trauma, שהבסיסט שלה, קליף ברטון, הרשים את חברי הלהקה ומיד אחרי ההופעה הציעו לו חברי מטאליקה להצטרף אליהם.
ברטון הסכים בתנאי שהלהקה תעבור לנגן בסן פרנסיסקו. חברי הלהקה קיבלו את הצעתו של ברטון לעבור לסן פרנסיסקו, צירפו אותו ללהקה, ובמקביל פיטרו את רון מק'גובני. הלהקה החלה להופיע באזור סן פרנסיסקו, והפכה עם הזמן לאחת הלהקות המוכרות באזור.
מטאליקה הוציאה הקלטת דמו בשם No life 'til leather, שהופצה בכל רחבי ארצות הברית, וזכתה להצלחה רבה בקרב חובבי המטאל. חברת תקליטים מניו יורק בשם Megaforce שמעה את החומר של מטאליקה והציעה למטאליקה חוזה להקלטת אלבום הבכורה שלהם. האלבום היה אמור להיקרא תחילה Metal Up Your Ass!, אך אנשי ההפקה דחו את הרעיון, ולבסוף הוחלט שהאלבום ייקרא Kill 'Em All ("לחסל את כולם", הכרזה שמכוונת כנראה אל חברות התקליטים).
הגיטריסט דייב מאסטיין פוטר מהלהקה על ידי הגיטריסט השני, ג'יימס הטפילד, עוד לפני צאת האלבום הראשון. לטענתו של הטפילד, הסיבה לכך הייתה נטייתו של מאסטיין לאלימות בזמן שהחברים היו משתכרים ביחד, מה שלא מצא חן בעיני שאר חברי הלהקה.
את מקומו של מאסטיין תפס הגיטריסט קירק האמט, אשר לימים נודע כווירטואוז בעל יכולות מרשימות מבחינת טכניקה ומהירות. מאסטיין, לעומת זאת, התפרסם לימים כמקימה וכסולנה של להקת המטאל האמריקאית המצליחה מגאדת', הנחשבת בעיני רבים למתחרה של מטאליקה, הן מבחינה אמנותית (בשל הדמיון בסגנון המוזיקלי) והן מבחינה אישית (בשל היריבות בין הטפילד למאסטיין).
1983–1986: "Kill 'Em All", "Ride the Lightning" ו-"Master of Puppets".
בשנת 1983 הוציאה מטאליקה את אלבום הבכורה שלה, "Kill 'Em All". הלהקה רצתה לקרוא לאלבום "Metal Up Your Ass", אולם מכשנתקלו בסירוב חברת התקליטים לשם הבוטה הסכימו חברי הלהקה על השם Kill 'Em All, המבטא את כעסם כלפי מנהלי חברות התקליטים. מבחינה מוזיקלית, זה האלבום ה"טכני" ביותר של מטאליקה, והוא מאופיין יותר מכל שאר אלבומי הלהקה בדגש על הכלים, קצב מהיר, ופחות דגש על מלודיה; האלבום מלא בריפים מורכבים וסולואים של גיטרה חשמלית בקצב מהיר על ידי הגיטריסט קירק האמט. המנגינות עצמן פשוטות ונוטות לכיוון פאנקיסטי. דייב מאסטיין מילא תפקיד משמעותי בכתיבת האלבום, אך עזב את הלהקה לפני תחילת ההקלטות ועל כן אינו מוזכר בקרדיטים של האלבום.
Kill 'Em All הוא אחד מאלבומי הת'ראש מטאל הראשונים (אם לא הראשון), ועל כן נחשב לאבן דרך בתולדות הסוגה. אף על פי שבתקופת יציאתו לשוק לא הסב לה הצלחה כלכלית יתרה, האלבום הרחיב משמעותית את קהל המעריצים של הלהקה בסצנת המטאל של שנות השמונים המוקדמות. האלבום היווה מקור השראה ללהקות רבות שקמו באותה תקופה וניסו ללכת בדרכה של מטאליקה, כגון מגאדת', סלייר, אנתרקס ועוד. שירים אחדים באלבום, כמו "Motorbreath", היוו את הבסיס לסוגת ה-crossover thrash metal- ת'ראש מטאל מעורב עם הארדקור פאנק.
בשנת 1984 הוציאה מטאליקה אלבום שני, "Ride the Lightning"." הן מבחינה מוזיקלית והן מבחינת ליריקה, Ride the Lightning הוא אלבום הרבה יותר קודר ואפל מקודמו. משמעות הביטוי Ride the Lightning היא עגה אמריקאית להוצאה להורג בכסא חשמלי, שגם מוצג על העטיפה"." האלבום אף נבחר בסקר שערך מגזין הרוליג סטון לאחד מעשרת אלבומי הרוק הכבד החשובים ביותר בכל הזמנים"."