באקה יצאה ממילאנו לעבר המזרח התיכון בהסתמכה על טרמפים של האוכלוסייה המקומית בכל אחת מהמדינות בהן היא עברה. באופן סמלי, באקה לבשה שמלת כלה, בצטטה את שירו של המשורר האיטלקי פבריציו דה אנדרה: "עייפנו כבר ממלחמות, הגיעה העת לשוב לעבודה, בבגדי כלה או דבר מה לבן".
ב-31 במרץ 2008, לאחר הגיעה לגבזה שבצפון מערב טורקיה, נעלמו עקבותיה. גופתה זוהתה ב-11 באפריל והמשטרה הטורקית התחקתה אחר עקבותיו של הנהג האחרון שהסיע את באקה בטרמפ, וזה נעצר, הודה בביצוע הרצח ושחזר את האירוע. ב-25 ביוני 2009 נידון הרוצח בבית המשפט של איזמיט למאסר עולם.
"כלות בדרכים".
מסעה של באקה היה חלק ממאמץ לקידום השלום העולמי שנקרא "כלות בדרכים". המסע יצא ממילאנו ב-8 במרץ 2008 והאמניות שהשתתפו בו לבשו שמלות כלה. במסגרת המסע עברו המשתתפות באיטליה, סלובניה, קרואטיה, בוסניה והרצגובינה ובולגריה, וב-20 במרץ 2008 הגיעו לטורקיה. בהמשך הן תכננו לנסוע בטרמפים לסוריה, לבנון ומשם לישראל, לרשות הפלסטינית ובחודש מאי להגיע ליעד הסופי: ירושלים. שם הן התכוונו לכבס את שמלות הכלה שליוו אותן במהלך כל המסע כאות לשטיפת כל פגעי המלחמות ופתיחת עידן חדש של שלום.
ג'וזפינה פסקואלינו די מרינאו
חבורת סימטריות נקודתית
בקריסטלוגרפיה, חבורת סימטריות נקודתית היא חבורה של העתקות ליניאריות שומרות זווית, שאיבריה מעבירים את הנקודות על סריג כלשהו לנקודות אחרות של אותו סריג, תוך שמירה על נקודה אחת (לפחות) במקומה הקבוע.
לחבורות של סימטריות נקודתיות יש חשיבות רבה במיון הסריגים, בעיקר במרחב הדו-ממדי ובמרחב התלת-ממדי. גם החבורות עצמן מוכרות היטב, וכל אחת מהן זכתה לסימון מיוחד משלה (בממד 3 יש 32 כאלה). על-פי ההגדרה, חבורת סימטריות נקודתית פועלת בנאמנות על סריג נתון, אך אין היא שווה בהכרח לחבורת הסימטריות המלאה של אותו סריג עם אותה נקודה קבועה. למעשה, ממיינים את חבורות הסימטריות הנקודתיות למשפחות, בדיוק לפי גודלן של חבורות הסימטריה המלאות של הסריגים השונים. מאידך, כל חבורת סימטריות מרחבית (בממד 3 יש 230 כאלה) שייכת לאחת מחבורת הסימטריות הנקודתיות (המייצב של נקודת סריג כלשהי תחת פעולת החבורה); כל החבורות המרחביות השייכות לחבורה נקודתית נתונה מרכיבות יחד "מחלקת סריגים".
בהקשר רחב יותר, עשויים לקרוא לכל חבורה של סימטריות צפידות הקובעות את הראשית חבורת סימטריות נקודתיות, בין אם החבורה פועלת על סריג כלשהו, ובין אם לאו.
חבורות סימטריה נקודתיות והסריגים שלהן.
אפשר לתאר סריג במרחב האוקלידי formula_1 באמצעות מטריצות. אם formula_2 הוא סריג, אפשר לכתוב כל נקודה עליו כצירוף שלם של וקטורים formula_3 (כלומר, formula_4). כעת אפשר לאסוף את הווקטורים formula_3 לעמודות של מטריצה ריבועית L, והסריג שווה לאוסף הנקודות formula_6, כאשר formula_7 הוא אוסף וקטורי העמודה באורך n עם רכיבים שלמים.
חבורת הסימטריות של הסריג מורכבת מסיבובים והזזות, ומהרכבות של אלו. הסיבובים שומרים על נקודת האפס של הסריג במקומה. סימטריה של סיבוב אפשר לתאר כפעולת כפל (משמאל) במטריצה אורתוגונלית, כלומר, מטריצה השייכת לחבורה הקומפקטית formula_8. כפל במטריצה A כזו שומר על הסריג formula_6, אם ורק אם קיימת מטריצה הפיכה מעל השלמים, formula_10, כך ש- formula_11, דהיינו, אם formula_12. מכאן שחבורת סימטריות הסיבובים של formula_6 שווה לחיתוך formula_14. החיתוך הזה סופי, משום שהחבורה הראשונה קומפקטית והשנייה דיסקרטית.
כאמור לעיל, "חבורת סימטריות נקודתית" (מממד n) היא תת-חבורה של formula_14, עבור מטריצה הפיכה L כלשהי. במילים אחרות, מדובר בתת-חבורות של formula_16, המוכלות גם בתת-חבורה צמודה ל- formula_17.
טיפוסים.
בחבורה formula_16 יש מטריצות בעלות דטרמיננטה 1 (השומרות על זוויות וכיוונים) ודטרמיננטה formula_19 (השומרות על זוויות אבל הופכות יד ימנית לשמאלית). תת-החבורה formula_20, הכוללת מטריצות מן הסוג הראשון בלבד, נקראת 'החבורה האורתוגונלית המיוחדת'. זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 של formula_16.
חבורת סימטריות נקודתיות היא מ"טיפוס ראשון", אם היא מוכלת ב- formula_22, ומ"טיפוס שני" אם לא. אם G חבורת סימטריות מטיפוס שני, אז formula_23 היא תת-חבורה מאינדקס 2 של G.
כאשר n אי זוגי, מטריצת השיקוף formula_24 אינה שייכת ל- formula_25, ואז formula_26 (מכפלה ישרה פנימית). במקרה כזה, אפשר להראות שכל חבורת סימטריות נקודתיות מטיפוס שני, שאינה מכילה את I-, איזומורפית (כחבורה מופשטת) לחבורת סימטריות נקודתית מטיפוס ראשון. מכאן יוצא שבמיון החבורות המופשטות העשויות להופיע כחבורות סימטריה נקודתיות, אפשר להניח שהחבורה היא מטיפוס ראשון בעצמה, או שהיא מן הצורה formula_27, כאשר formula_28 מטיפוס ראשון.
יש להבחין כי שתי חבורות צמודות מוכרחות להיות מאותו טיפוס (משום שפעולת ההצמדה שומרת על הדטרמיננטה). באותו אופן, אם חבורה מכילה את השיקוף formula_29, אז גם כל חבורה צמודה לה מכילה אותו (משום שזוהי מטריצה סקלרית, המתחלפת עם כל פעולת הצמדה).
חבורות הסימטריה הנקודתיות מממד 2.
סקירה.
יש 10 חבורות סימטריה נקודתיות מממד 2: 5 מטיפוס ראשון, ו-5 מטיפוס שני. חבורות אלה איזומורפיות ל-9 חבורות מופשטות: החבורות הציקליות מסדר 1,2,3,4 ו- 6, והחבורות הדיהדרליות שסדרן 4,6,8 ו- 12. מכל אלה, רק החבורה הציקלית מסדר 2 מופיעה בשתי הצגות שונות: סימטריית הסיבוב ב-180 מעלות, formula_30, וסימטריית השיקוף formula_31. מאלה, רק ארבע חבורות עשויות להופיע כחבורות סימטריה נקודתיות מלאות של סריג, כפי שיתואר בהמשך.
פרטים והסבר נוסף.
החבורה האורתוגונלית המיוחדת formula_32 מורכבת מסיבובים של המישור, שהמטריצות המייצגות אותן הן
formula_33. אם מטריצה כזו שייכת, לאחר הצמדה, לחבורה formula_34, אז העקבה שלה, formula_35, היא מספר שלם. מכאן נובע שהסיבוב הוא בזוויות של 0, 60, 90, 120 או 180 מעלות. מאידך, כל תת-חבורה סופית של formula_32 היא ציקלית, ולכן חבורות הסימטריה הנקודתיות מטיפוס ראשון, מממד 2, הן החבורות הציקליות מסדר 1,2,3,4 ו- 6.
חבורת סימטריות מטיפוס שני אפשר להצמיד, כך שהיא תכיל את השיקוף ביחס לציר x. נובע מכאן שחבורות הסימטריה מטיפוס שני הן החבורות הדיהדרליות formula_37 ו- formula_38 (כאשר הסדר של formula_39 הוא 2n).
מיון הסריגים הדו-ממדיים לפי חבורות הסימטריה שלהם.
נקבע נקודה בסריג L במרחב האוקלידי הדו-ממדי. את הסריג אפשר להזיז, כך שנקודה זו ממוקמת בראשית (הנקודה השחורה השמאלית בתרשים). בסריג יש נקודה קרובה ביותר לראשית, שאפשר לסמן ב-a. לאחר מתיחה, וסיבוב מתאים, אפשר להניח שהווקטור מן הראשית לנקודה זו הוא וקטור יחידה A המצביע ימינה מהראשית, כמתואר בחץ השחור בתחתית התרשים משמאל. בסריג יש נקודות נוספות; אפשר לבחור כזו שהיא קרובה ביותר למעט הראשונה, ולסמנה ב-b. מכיוון שלנקודה הזו אפשר להוסיף כפולות (שלמות) של A, שעור ה-x שלה מוכרח להיות בין 1/2- ל-1/2, כך שהיא נמצאת בין שני הקווים האנכיים הקיצוניים בציור. מכיוון שהנקודה הראשונה שבחרנו הייתה הקרובה ביותר, הנקודה השנייה נמצאת מחוץ למעגל היחידה, המאויר באפור; כלומר, היא נמצאת בתחום הירקרק, או על אחד הקווים התוחמים אותו (למעשה, על ידי הזזה ב-A אפשר להניח ש-b איננה על הקו התוחם השמאלי).
חבורות הסימטריה הנקודתיות מממד 3.
כמו בכל בעיית מיון, יש לקבוע היטב מתי שני אובייקטים מן הקבוצה שאותה מבקשים למיין, נחשבים שקולים זה לזה. נאמר ששתי חבורות סימטריה נקודתיות formula_28 ו-formula_45 הן צמודות, אם קיימת העתקה אורתוגונלית A, כך ש- formula_46. חבורות צמודות הן גם איזומורפיות כחבורות מופשטות, אך ההפך אינו נכון. (חבורה מופשטת מתוארת על ידי לוח הכפל שלה, אבל היא יכולה לפעול על המרחב האוקלידי בדרכים שונות באופן מהותי. למשל, הפעולות "שיקוף" ו"סיבוב ב-180 מעלות" של המישור, אינן צמודות, אף-על-פי שהחבורה המופשטת שהן יוצרות היא בשני המקרים החבורה היחידה מסדר 2).
במיון חבורות הסימטריה הנקודתיות שהמבנה שלהן ידוע באופן מופשט (היינו, הן איזומורפיות לחבורה ידועה H), יש למצוא את ההצגות הנאמנות, הממשיות, מממד 3, עם קרקטר של הצגות שלם - עד כדי הצמדה (ההצגות אינן בהכרח אי-פריקות).
תכונות מפתח.
נניח ש- G חבורת סימטריות נקודתיות מטיפוס ראשון. כל איבר של G הוא מטריצת סיבוב תלת-ממדית; אם המטריצה מסובבת בזווית t סביב ציר מסוים, אז העקבה שלה היא formula_47, וזה מוכרח להיות מספר שלם. מכאן יוצא שזווית הסיבוב היא 0, 60, 90, 120 או 180 מעלות, והסדר של האיבר הוא 1,2,3,4 או 6. מעובדה זו, בצירוף הדרישה שכל טבלת הקרקטרים של החבורה תהיה שלמה, אפשר להסיק שסדר החבורה הוא מחלק של 24. יש 32 חבורות מופשטות מסדר כזה, והמיון מתקבל מסקירת ההצגות של כל אחת ואחת מהן (הפרטים לא יינתנו כאן).
סקירת המיון.
יש 32 חבורות סימטריה נקודתיות (עד כדי צמידות). 11 מאלה הן מטיפוס ראשון, ועוד 21 מטיפוס שני. בין החבורות מטיפוס שני, יש 11 הכוללות את השיקוף formula_24, ועוד 10 שאינן כוללות אותו.
כל חבורה מן הטיפוס הראשון איזומורפית לחבורה מופשטת משלה, המיוצגת באופן הזה רק פעם אחת. טענה דומה נכונה גם לחבורות מן הטיפוס השני הכוללות את השיקוף formula_24. בין 10 החבורות הנותרות מן הטיפוס השני, יש שני זוגות של חבורות איזומורפיות, ועוד שש שאינן איזומורפיות זו לזו. בסך הכל, יש 18 חבורות מופשטות המיוצגות כחבורות סימטריה נקודתיות (מטיפוס ראשון או שני).