המופתי של ירושלים, אמין אל-חוסייני, דרש מרוב חברי המועצה המוסלמית העליונה להיות נוכחים בישיבות. המופתי עצמו הוזמן לתת את עדותו בישיבה ה-46. עדותו נשמעה במשך חמש ישיבות. אולם בשל מעמדו כ"מופתי הגדול", הוא לא נדרש להופיע בפני ועדת החקירה. הוועדה באה אליו למשרדו.
לצורך עדותו, החליף אל-חוסייני את המתורגמן הנוצרי שלו, ח'ליל א-סכאכיני, במתורגמן מוסלמי, מוסא אל-עלמי, וזאת כדי להדגיש כי הנושא המרכזי הוא מוסלמי, עתיד החרם א-שריף (הר הבית). הוא ערך סקירה היסטורית של העוול שעשתה לדבריו המדיניות הבריטית לפלסטינים. הוא טען שהבריטים מפרים הבטחות לערבים, החל בהבטחה במכתבי חוסיין-מקמהון, וציין לדוגמה שהממשלה שסללה כבישים ליישובים יהודיים אולם לא נענתה לבקשתו לסלול כביש באורך שני קילומטרים ל. עורך הדין הבריטי שלו, הנרי סטוקר, הביא איתו לוועדה עותק של הספר "הפרוטוקולים של זקני ציון" בערבית ובצרפתית, ואל-חוסייני נראה כשהוא קורא בו בזמן הדיונים. עורכי הדין של היהודים שאלו את המופתי על ההוכחות שפרסם למזימת ההשתלטות היהודית כביכול על הר הבית והצביעו על הקשר בין הספר ובין הטענות הפלסטיניות לגבי רצון היהודים להשתלט על ההר.
כאשר נשאל על חלקו באירועים של 1920 ו-1929, הכריז המופתי כי הוא חף מפשע. כשאר נשאל מדוע תבעו אותו למשפט, הקביל את עצמו לישו הנוצרי שנידון לצליבה, ואמר: "גם אז נקבע פסק הדין לפי דרישת היהודים".
קו הטיעון הערבי בוועדה היה שבמאורעות הייתה התנפלות יהודית על ערבים.
מסקנות והמלצות של הוועדה.
מסקנותיה.
וולטר שו כתב בדו"ח: "הסיבה העיקרית לעוינות ולאלימות של שנת 1929, היא האכזבה של הערבים מכך שתביעותיהם הלאומיות והפוליטיות לא מומשו וחששם מפני עתידם הכלכלי".
הערבים אמנם התחילו את המאורעות, אך זאת בשל חששם מהשתלטות יהודית על שטחי ארץ ישראל ובשל המתיחות הקיימת. כמו כן עשויה להתהוות סכנה לנישול הערבים מאדמותיהם. בנוסף פטורה הממשלה מאשמה לפרעות.
הוועדה לא הטילה את האשמה להתפרצות האלימה על אמין אל-חוסייני, וניקתה אותו מאחריות למאורעות.
המלצותיה.
הצבת הגבלות ליהודים בענייני עליה והתיישבות והפסקת רכישת הקרקעות. מומלץ להקים מוסד מחוקק בארץ בו יהוו הערבים רוב. כמו כן יש להרחיב את היקף כוחות הביטחון המנדטורים, ולבטל את סמכויות ההסתדרות הציונית.
ניתן לומר כי הוועדה התעלמה בסיכומיה מאחריות הבריטים והערבים לפרוץ מהומות הרצחניות. האחריות הושלכה על עליית היהודים ולאור כך גובשו המלצותיה.
חלק מדו"ח ועדת שו עסק במשטרת המנדט וכללה ביקורת חריפה עליה, במיוחד על איכות וכמות המודיעין שנאסף על ידי מחלקת החקירות הפליליות של משטרת המנדט. בעקבות דו"ח זה מינה משרד המושבות את הרברט דאוביגין לבחון את פעילות משטרת המנדט ולהמליץ המלצות לגבי ארגונה מחדש.
דעת מיעוט.
דוח הוועדה התקבל ברוב קולות חבריה. הארי סנל , נציג מפלגת הלייבור, הסתייג מרוב מסקנותיה והמלצותיה. הוא סבר שלמופתי היה חלק גדול באחריות למאורעות, ומתח ביקורת על הימנעות הממשלה ממתן נשק ליהודים לצורך התגוננות. הוא דרש להגשים את מדיניות המנדט ושיבח את הישגי היהודים בארץ ישראל בעשור שקדם למאורעות.
דו"ח הופ-סימפסון.
ממשלת המנדט אימצה באופן עקרוני את המלצות ועדת שו, וב-1930 שלחה מומחה להתיישבות, ג'ון הופ סימפסון, על מנת שיבדוק סוגיות בנושאי התיישבות, הסדר קרקעות, הגירה ופיתוח. הוועדה באשותו של סימפסון סיירה בארץ ישרא כחודשיים והגישה את מסקנותיה (דו"ח הופ-סימפסון) ב-22 באוגוסט 1930, קביעתו הייתה כי בשל התנאים קיימת הגבלה על כושר הקליטה הכלכלי של הארץ.
בעקבות ועדת שו ודו"ח הופ-סימפסון, ומסקנותיהם המשותפות על ההכרח לבלום את ההתיישבות היהודית, פורסם הספר הלבן של פאספילד.
פוביאה
טור פורייה
טור פורייה הוא טור (סופי או אינסופי) של פונקציות מחזוריות, שמטרתו לקרב פונקציה נתונה.
ברמה עקרונית, "טור פורייה" הוא דרך לתאר כל סוג של פונקציה מחזורית בעזרת חיבור של פונקציות טריגונומטריות בסיסיות (הפונקציות הטריגונומטריות - סינוס וקוסינוס) וההרמוניות שלה (שהן אותה פונקציה בסיסית עם תדר הולך וגדל)
שיטה זו פותחה על ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה.
ניתן להוכיח שאפשר להציג כל פונקציה חלקה מספיק כסכום (ליתר דיוק, טור) של הרמוניות. המרה כזו נקראת פירוק פורייה, והסכום שנוצר נקרא טור פורייה. המרה זו היא שימושית ביותר בתחומים רבים כגון פיזיקה והנדסת אלקטרוניקה, והיא הכלי העיקרי לעיבוד תמונות ועיבוד אודיו.
במתמטיקה, לעיתים קרובות נוח להציג פונקציה מסוימת בתור סכום או טור של פונקציות פשוטות יותר. בצורה זו ניתן להעמיק את ההבנה של התנהגות הפונקציה על ידי הבנת התנהגות אברי הסכום (הטור). טור פורייה הוא סוג של טור שכזה, שבו מוצגת פונקציה כסכום (טור) של פונקציות מחזוריות.
בפיזיקה ובהנדסה, בעיקר בתחומים הנוגעים לגלים, נוח להציג את המידע בצורת סכום (טור) של הרמוניות. גם יישומי מחשב העוסקים בעיבוד תמונה וקול משתמשים רבות בטורי פורייה לצורך ניתוח ודחיסה של המידע.
בניסוח פורמלי יותר, טור פורייה הוא הצגה של פונקציה שריבועה הוא אינטגרבילי-לבג בקטע סופי כטור אינסופי של פונקציות הרמוניות וטריגונומטריות. זוהי בעצם גרסה בדידה להתמרת פורייה (או טרנספורם פורייה).
מבוא ורקע כללי.
טור פורייה הוא תוצאה פרטית של התורה העוסקת בבסיסים אורתונורמליים על מרחב הילברט.
מבחינה אלגברית, מדובר בהצגת איבר במרחב וקטורי על ידי צירוף ליניארי של איברי בסיס אורתונורמלי של המרחב. כלומר, עבור בסיס אורתונורמלי
formula_1
האיבר
formula_2
מוצג על ידי
formula_3
כיוון שהבסיס הוא אורתונורמלי, את המקדמים אפשר לחשב באמצעות הטלה:
formula_4
ומובטח שהמקדמים יתאפסו עבור כל איברי הבסיס פרט לקבוצה בת-מנייה. לכן אפשר לרשום את ההצגה של כל איבר במרחב זה בצורה
formula_5
טור פורייה הוא מקרה פרטי של בנייה זו. מאחר שמדובר בטור אינסופי, יש לטפל בבעיות התכנסות ולהראות שהטור אכן מתכנס אל האיבר שאותו מציגים. בסעיפים הבאים נעסוק בנושאים הקשורים ישירות לטור פורייה הטריגונומטרי. זהו טור פורייה הנפוץ ביותר ולעיתים קרובות כאשר אומרים "טור פורייה" סתם, מתכוונים אליו.
הגדרה פורמלית.
תהי formula_6 פונקציה, formula_7. כאשר formula_8 הוא אוסף הפונקציות המדידות שריבוען אינטגרבילי-לבג בקטע. אזי את formula_6 אפשר להציג כפיתוח לטור אינסופי באופן הבא:
formula_10
כאשר מקדמי פורייה, formula_11, נתונים על ידי
formula_12
(נוסחה זאת נובעת משיקולי אורתוגונליות, ראו להלן). כל איבר בטור זה נקרא "אופן תנודה", Fourier mode או "הרמוניה". על ידי שימוש בנוסחת אוילר formula_13 אפשר להציג את הטור כצירוף ליניארי של סינוסים וקוסינוסים באופן הבא:
formula_14
כאשר המקדמים נתונים על ידי:
formula_15
formula_16
את הקשר בין מקדמים אלה למקדמים formula_11 ניתן לחלץ בקלות והוא formula_18 כאשר formula_19. באמצעות החלפת משתנים ניתן להכליל את הפיתוח הזה לכל קטע סופי שהוא.
דוגמה.
תהי formula_20 הפונקציה הליניארית formula_21 בקטע formula_22. כדי שטור פורייה שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להרחיב אותה באופן מחזורי. הפונקציה המורחבת נקראת גם "גל שן מסור". נשים לב, שהרחבה זו איננה פונקציה רציפה, אך הפיתוח לטור פורייה עדיין קיים.
נחשב את מקדמי פוריה שלה בהצגה הטריגונומטרית (נוח להשתמש בהצגה זו עבור פונקציות זוגיות או אי-זוגיות כפי שנראה להלן).
מאחר ש-formula_23 היא פונקציה אי-זוגית, וformula_24 הן פונקציות זוגיות לכל n, המכפלות הן פונקציות אי זוגיות. כתוצאה מכך כל המקדמים של הקוסינוסים מתאפסים:
formula_25
כעת, נחשב את מקדמי הסינוסים:
formula_26
בסך הכל, טור פורייה של formula_21 בקטע הוא
formula_28
חישוב סכומים חלקיים של איברי הטור ייתן קירוב של הפונקציה, שיהיה טוב יותר ככל שניקח יותר איברים, כמודגם בתמונה.
בטור זה אפשר להשתמש כדי לחשב את הערך של פונקציית זטא של רימן עבור formula_29 בעזרת שוויון פרסבל המאפשר להמיר את בעיית חישוב הטור לבעיה של חישוב אינטגרלים (אותה אפשר לחשב מפורשות).
תאוריה.
המרחב formula_30.
המרחב formula_31 כולל את הפונקציות שריבוען אינטגרבילי-לבג בקטע, כלומר, עבור formula_7, formula_33 פונקציה מדידה ומתקיים formula_34. מרחב זה הוא מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית
formula_35,
כאשר formula_36 הוא הצמוד המרוכב של formula_37.
במרחב הילברט זה – על אף שהוא מממד אינסופי – קיימת מערכת אורתונורמלית שלמה, הפורשת קבוצה צפופה במרחב. ניתן לראות בכך הכללה של מושג הבסיס (ובפרט בסיס אורתונורמלי) של מרחב וקטורי מממד סופי (לעיתים קוראים גם למערכת אורתונורמלית שלמה אינסופית בשם "בסיס"). המתמטיקאי ז'וזף פורייה וממשיכיו הוכיחו שהפונקציות ההרמוניות יוצרות מערכת אורתונורמלית שלמה.
טור פורייה הוא למעשה דרך להציג איבר במרחב formula_38 כצירוף ליניארי (בדרך כלל אינסופי) של איברי הבסיס הזה, כאשר המקדמים של הצירוף הליניארי נקראים מקדמי פורייה. ניתן לעשות זאת גם עם בסיסים אורתונורמליים אחרים, אבל ביישומים רבים מתגלה השימוש בטורי פורייה כיעיל במיוחד.
אורתונורמליות.
בסיס ההרמוניות formula_39 הוא בסיס אורתונורמלי, כי
formula_40
כאשר formula_41 היא הדלתא של קרונקר.
מכאן נובעות הנוסחאות לחישוב המקדמים:
formula_42
באופן דומה גם בסיס הסינוסים והקוסינוסים הוא אורתונורמלי:
אפשר להשתכנע בכך בבדיקה ישירה או מכך שמקבלים אותו על ידי התמרה אוניטרית מבסיס ההרמוניות.
התכנסות.