אלא שאלגוריתמים אלו אינם בעלי אופי קומבינטורי, אלא מבוססים על תכנון ליניארי ואלגוריתם האליפסואידים.
עבור גרפים מיתריים, ידועים אלגוריתמים קומבינטוריים יעילים מאוד.
להלן מספר אלגוריתמים יעילים עבור בעיות שידועות כ-NP-קשה על גרפים כלליים.
אלגוריתמים אלו מסתמכים על כך שלגרף מיתרי קיים סדר הסרה מושלם.
קליקה מקסימלית.
בהינתן גרף מיתרי formula_10 עם סדר הסרה מושלם
formula_6, אזי לפי ההגדרה לכל צומת formula_8 מתקיים כי
formula_8 ביחד עם השכנים שלו שמופיעים אחריו ב-formula_1,
מהווים קליקה.
אם כן, האלגוריתם סורק את צומתי הגרף וכאשר הוא מטפל בצומת formula_8 הוא סופר את מספר השכנים של formula_8 אשר מופיעם אחריו ב-formula_1, ובוחר את הקליקה הגדולה ביותר מבין כל אלו שנסרקו.
צביעה של גרף מיתרי.
בהינתן גרף מיתרי formula_10 עם סדר הסרה מושלם
formula_19,
האלגוריתם סורק את צומתי הגרף בסדר הפוך (כלומר מתחיל ב-formula_20 ומסיים ב-formula_21),
וצובע את צומתי הגרף באופן חמדני.
ביתר פירוט- כאשר האלגוריתם מטפל בצומת formula_8 הוא צובע אותו בצבע formula_23
המינימלי כך שאף אחד משכניו של formula_8 אינו צבוע בצבע שמספרו formula_23.
קל לראות שאלגוריתם זה מוביל לצביעה במספר מינימלי של צבעים. נניח בשלילה שלא כך הוא, ונתבונן בגרף מיתרי formula_10 ובפעם הראשונה שהאלגוריתם משתמש ביותר צבעים מאשר המינימום ההכרחי.
כעת, מאחר ש-formula_10 מיתרי, הוא בפרט מושלם ולכן מספר הצביעה של formula_10
הוא בדיוק כגודל הקליקה המקסימלית ב-formula_10.
אבל אז, משמעות הדבר היא שבחרנו עבור צומת כלשהו את הצבע המינמאלי שאינו בשימוש על ידי אף אחד משכניו, ומספר זה גדול יותר מאשר גודל הקליקה המקסימלית ב-formula_10.
זה כמובן לא ייתכן, כי מספר שכניו בהכרח קטן (בלפחות 1) מגודל הקליקה המקסימלית.
יצחק טייב
רבי יצחק טייב (ה'תקמ"ו, 1786 – ה'תקפ"ח, 1828), היה מגדולי רבני תוניסיה ומחבר סדרת הספרים ערך השלחן.
ביוגרפיה.
נולד לרבי בנימין טייב. למד אצל רבי יוסף זרקא, בן דורו של החיד"א. בתחילת דרכו שימש כדיין אצל רבי נהוראי ג'רמון, ופסקים ממנו מפוזרים בספרי הרבנים בני דורו. לאחר פטירתו של רבי דוד חזקיה גז בשנת תקע"ח (1818) נתמנה לראש רבני תוניס, תפקיד בו שימש עד פטירתו.
נפטר בשנת ה'תקפ"ח (1828), ונקבר בבית הקברות היהודי הישן בתוניס. עם הפקעתו של בית הקברות הישן הועברו עצמותיו לבית הקברות בורג'ל בתוניס, בסמוך לציון אחיינו רבי יצחק חי טייב.
יחידת אתג&quot;ר
במוצאי יום מנוחה
"בְּמוֹצָאֵי יוֹם מְנוּחָה" הוא שמו של פיוט המושר בקרב קהילות רבות בעם ישראל ונהוג לשירו במוצאי שבת. כותב הפיוט הוא הרב יעקב מלוניל (שחי ופעל במאה ה-12).
כותב הפיוט.
כפי שמעיד האקרוסטיכון, הרב יעקב הוא כותב הפיוט. בנוסח המקובל של הפיוט, האקרוסטיכון הוא "יעקב מנוי", אולם בנוסח הנמצא בכתבי היד (והוא הנוסח המובא כאן) של הפיוט האקרוסטיכון הוא 'יעקב מן יריחו', אך אין הכוונה לעיר יריחו שבארץ ישראל, אלא לעיר לוניל מפרובאנס שבדרום צרפת, שקיבלה את הכינוי 'יריחו' בפיהם של היהודים (משום ש-Luna משמעו ירח).
תוכן הפיוט.
בפיוט בולטים כמה וכמה דברים; העצב ואת הדבר הזה ניתן ללמוד ממשפטיו של הפיוט; "בְּמוֹצָאֵי יוֹם מְנוּחָה / הַמְצֵא לְעַמְּךָ רְוָחָה / שְׁלַח תִּשְׁבִּי לְנֶאֱנָחָה / וְנָס יָגוֹן וַאֲנָחָה" ויש הסוברים שבגלל המשפטים הללו החלק של הפיוט המדבר על הגאולה מקבל משמעות אחרת ושונה. הכותב, מבליט את צפייתו לביאת הגואל (המשיח) וגם לביאתה של השמחה המובטחת שתבוא עם הגואל.
את סוף הפיוט (המקורי) חותמות מילים מן השורש ש.מ.ח. בשל המשפטים הללו; "יְהִי הַחֹדֶשׁ הַזֶּה / כִּנְבוּאַת אֲבִי חוֹזֶה / וְיִשָּׁמַע בְּבַיִת זֶה / קוֹל שָׂשׂוֹן וְקוֹל שִׂמְחָה" היו שחשבו כי הפיוט נכתב למוצאי שבת של ראש חודש או למוצאי שבת שמברכים בה את הלבנה.
אלכסנדרה סטאן
אלכסנדרה סטאן (ברומנית: Alexandra Stan; נולדה ב-10 ביוני 1989) היא זמרת רומנייה מצליחה אשר הוציאה את אחד הסינגלים הנמכרים בהיסטוריה, "Mr. Saxobeat" אשר זכה להצלחה עולמית והצליח בשיאו להגיע למקום ה-21 במצעד הבילבורד הוט 100, ולמכור למעלה מ-1,000,000 עותקים בארצות הברית בלבד. סטאן אף הצליחה לזכות בפרס EMA אחד בקטגוריית האמן הרומני הטוב ביותר, וזכתה בפרסים רבים אחרים.
ביוגרפיה.
סטאן או בשם לידתה אלכסנדרה סטאן, נולדה בקונסטנצה שברומניה ב-10 ביוני 1989. עוד כשהייתה רק ילדה סטאן התעסקה במוזיקה ואהבה לשיר בעיקר שירי פופ רגילים. כשהייתה רק בת 15 הוזמנה סטאן לתוכנית טלוויזיה, וכבר אז ידעו שהיא כשרונית. כשהייתה בת 20 התחילה סטאן את הקריירה המוזיקלית שלה, תחילה הוציאה סינגל שלא זכה להצלחה אך אחריו הוציאה את אחד הסינגלים הנמכרים ביותר בכל הזמנים, שביסס את מעמדה כאחת מהזמרות הרומניות המצליחות ביותר בכל הזמנים. סטאן זכתה להצלחה בינונית גם בארצות הברית.
קריירה.
סטאן הייתה ידועה כפזמונאית. תחילה הופיעה סטאן בתוכניות טלוויזיה רבות ובין לבין שרה שירי פופ. לאחר מכן החליטה סטאן כי היא רוצה להתחיל בקריירת סולו וכך היה. סטאן הוציאה את הסינגל הראשון שלה, והוא זכה להצלחה בינונית ברחבי העולם. לאחר מכן הוציאה את הלהיט הגדול ביותר שלה והפכה לאחת מהזמרות הרומניות המצליחות ביותר בכל הזמנים.
2009–2012: Saxobeats.
בשנת 2009 הוציאה לאור את סינגל הבכורה שלה, "". הסינגל זכה להצלחה נמוכה בעולם אך בכל זאת הצליח להגיע למקום ה-18 במצעד ברומניה. שנה לאחר מכן הוציאה לאור את הסינגל השני שלה "Mr. Saxobeat". במהרה הסינגל זכה להצלחה רבה כאשר הפך לאחד מהסינגלים הנמכרים ביותר בשנת 2011, ולנמכר ביותר בכל ההיסטוריה של הזמרת. הסינגל נכנס למצעדים רבים והצליח להעפיל לצמרת במצעדי מדינות שונות כגון: רומניה, פולין, סלובקיה, גרמניה, ישראל, דנמרק, איטליה, אוסטריה ועוד.
ב-18 במרץ 2011, הוציאה סטאן את הסינגל השלישי מן האלבום הנקרא, "". הסינגל זכה להצלחה פחותה מקודמו אך בכל זאת הצליח להיכנס למצעדים רבים ואף לזכות בסלובקיה, ולהגיע למקום ה-2 בפולין. לאחר הוצאת שלושת הסינגלים הראשונים מהאלבום, ב-29 באוגוסט 2011, יצא אלבום הבכורה שלה הנקרא, Saxobeats. לבסוף ב-20 בינואר 2012, יצא הסינגל הרביעי והאחרון מן האלבום הנקרא "1.000.000". הסינגל זכה להצלחה רבה ורבים כינו אותו כאחד מהשירים הטובים ביותר של הזמרת.
2012–2013: (Cliché (Hush Hush.
לאחר הצלחת אלבום הבכורה, הוציאה סטאן ב-3 ביוני 2012, סינגל חדש בשם, "Lemonade" מתוך המיני-אלבום הראשון שלה הנקרא, . הסינגל זכה להצלחה רבה והפך לסינגל השני המצליח ביותר של סטאן, כאשר ביוטיוב צבר הווידאו קליפ קרוב ל-100 מיליון צפיות, והוא השני הנצפה ביותר של סטאן. לאחר הצלחת הסינגל הראשון מן המיני אלבום, הוציאה סטאן ב-27 בספטמבר 2012, את הסינגל השני הנקרא, "" כשם המיני אלבום. הסינגל זכה להצלחה בינונית בעולם. לאחר הוצאת שני הסינגלים יצא הסינגל האחרון מן המיני אלבום ב-7 במאי 2013, הסינגל נקרא "All My People". הסינגל לא זכה להצלחה רבה ונכנס למצעדים מועטים.
ביוני 2013, אושפזה אלכסנדרה בבית חולים, וההופעות שלה בוטלו. בעוד תחילה טען הצוות שלה כי הייתה מעורבת בתאונה, היא האשימה מאוחר יותר את מנהלה האישי, כי הכה אותה. ב-18 ביוני, הגישה נגדו תלונה פלילית בטענה לסחיטה. לאחר המאורעות שקרו לסטאן, ב-10 באוקטובר 2013, יצא לאור המיני-אלבום הראשון שלה, "Cliché (Hush Hush)". המיני אלבום הכיל את כל שלושת הסינגלים שהוציאה סטאן ב-2012 - 2013.
2014–2015: Unlocked.
ב-28 באפריל 2014, יצא הסינגל הראשון מתוך אלבום האולפן השני שלה, "Thanks for Leaving". הסינגל זכה להצלחה מועטה ברחבי העולם, ולא הצליח להיכנס למצעדים רבים ולמכור כמויות רבות של עותקים. לאחר מכן הוכרז כי האלבום יקרא Unlocked. ב-28 במאי 2014, יצא הסינגל השני מהאלבום הנקרא, "Cherry Pop". הסינגל זכה להצלחה קטנה ברומניה והצליח להיכנס לכמה וכמה מצעדים ולמכור כמויות עותקים נכבדות. ביוטיוב הווידאו קליפ לשיר צבר כמות נכבדת של צפיות. ב-18 ביולי 2014, יצא הסינגל השלישי מן האלבום הנקרא, "Dance". הסינגל זכה להצלחה נמוכה ברחבי העולם, אך הווידאו קליפ לסינגל זכה לכמות צפיות מכובדת.
ב-20 באוגוסט 2014, יצא הסינגל הרביעי מן האלבום הנקרא, "Give Me Your Everything". הסינגל היה הסינגל הכי פחות מצליח מכל חמשת הסינגלים כאשר לא מכר כמויות רבות של עותקים ולא נכנס כמעט למצעדים. לבסוף ב-24 בדצמבר 2014, יצא הסינגל החמישי והאחרון מן האלבום הנקרא "Vanilla Chocolat". הסינגל זכה להצלחה קטנה ברחבי העולם והצליח להיכנס למצעדים אחדים ולמכור כמויות נכבדות של עותקים. לאחר הוצאת כל חמשת הסינגלים, ב-27 באוגוסט 2014, יצא לאור אלבום האולפן השני של סטאן, Unlocked.
2016–הווה: Alesta.
ב-9 במרץ 2016, הוציאה סטאן את אלבום האולפן השלישי שלה הנקרא על שמה בקיצור Alesta. מהאלבום יצאו שישה סינגלים שונים והשניים המצליחים ביותר מהאלבום הם "Écoute", "", ו-"We Wanna". שלושת הסינגלים האחרים זכו להצלחה בינונית כאשר הצליחו להיכנס למצעדים אך ברוב המצעדים לא הצליחו להגיע למקום ה-1. האלבום זכה להצלחה נאה, כאשר הצליח להיכנס למקום ה-34 במצעד האלבומים היפני.
בשנת 2020 החלה להשתתף בתוכנית המציאות "הזמר במסכה רומנייה" בתור הארנבת, והודחה שביעית.
שבר מצרי