"עקרון הפונקטוריאליות" משדך את פונקציות L של החבורות הרדוקטיביות השונות. בהינתן שתי חבורות רדוקטיביות formula_75 ומורפיזם formula_76בין חבורות ה-L שלהן, ההשערה מתאימה בין ההצגות האוטומורפיות של שתי החבורות, בדרך המתיישבת עם פונקציות L המתאימות להן. זוהי השערה חזקה מאוד, שממנה נובעות כל האחרות שהוצגו עד כאן. מטבען של ההצגות המושרות. ניסיונות להציע בנייה ישירה של הפונקטור הניבו עד כה רק תוצאות חלקיות ומותנות.
רקע היסטורי.
תוכנית לנגלנדס לא צמחה בחלל ריק. בדיעבד, אפשר לזהות לה מקורות השראה אפשריים אחדים.
אחד מאלה הוא הצעתם של המתמטיקאים האריש-צ'נדרה וישראל גלפנד שאפשר לבנות הצגות של חבורות לי באינדוקציה מהצגות קאספידליות של תת-חבורות פרבוליות, ברוח עבודותיו של האריש-צ'נדרה על חבורות לי פשוטות למחצה. מקור אחר הוא נוסחאות העקבה של סלברג ואחרים.
החידוש הגדול בתוכנית של לנגלנדס, מלבד העומק הטכני, הוא ההצעה לקשר ישיר בין תורת ההצגות לתורת המספרים, יחד עם ארגון עשיר בפרטים של ההשערות (ה"פונקטוריאליות").
לדוגמה, בעבודות של האריש-צ'נדרה אפשר למצוא את העיקרון שלפיו טכניקה שהצליחה עבור חבורת לי פשוטה למחצה (או אף חבורה רדוקטיבית) אחת, אמורה להצליח לכולן. לפיכך, ברגע שהובן התפקיד שממלאות כמה חבורות לי מדרגה נמוכה, כמו formula_69, בתאוריה של תבניות מודולריות (ובדיעבד אפשר לראות ב-formula_78 את המקרה של תורת שדות המחלקה), הדרך הייתה פתוחה לפחות לשער כיצד נכנסת לתאוריה formula_26 ל-n כללי.
הרעיון לבנות על תבניות חוד (cusp forms) הגיע מן התבניות האלה בעקומים מודולריים, אבל היה להן תפקיד מוחשי גם בתורה הספקטרלית, בתור "ספקטרום בדיד" של מרחב ההצגות, בהשוואה לספקטרום הרציף שאותו מסבירות סדרות אייזנשטיין. עבור חבורות לי מדרגה גבוהה יותר, המיון נעשה הרבה יותר מורכב, משום שיש יותר תת-חבורות פרבוליות שצריך לקחת בחשבון.
בכל הגישות האלה לא היה מחסור בשיטות טכניות, בדרך כלל אינדוקטיביות באופיין ומבוססות על פירוק לוי של חבורות לי, למשל, אבל התחום בכללו היה מאז ומעולם קשה ביותר, והוא עדיין נחשב לכזה.
בתבניות המודולריות אפשר לראות הכללות של התבניות המודולריות של הילברט, התבניות המודולריות של זיגל, ואף פונקציות תטא.
התוכנית הגאומטרית.
"תוכנית לנגלנדס הגאומטרית", שהוצעה על ידי ז'ראר לומון בעקבות רעיונות של ולדימיר דרינפלד, עולה מניסוח גאומטרי של תוכנית לנגלנדס המקורית, האלגברית. במקרים פשוטים, היא מקשרת את ההצגות ה-formula_36-אדיות של "חבורה יסודית etale-ית" של עקום אלגברי, לאובייקטים של הקטגוריה הנגזרת של אלומות formula_36-אדיות על ה-moduli stack של אגדים וקטוריים של היריעה.
מדליית פילדס הוענקה ב-2010 לנו באו צ'או על הוכחת "הלמה היסודית" של תוכנית לנגלנדס הגאומטרית.
פרדריק בראון
פרדריק בראון (באנגלית: Fredric Brown; 29 באוקטובר 1906 – 11 במרץ 1972) היה סופר מדע בדיוני ומתח ומסתורין אמריקאי, אשר ספרים וסיפורים רבים פרי עטו זכו לעיבודים לקולנוע ולטלוויזיה. ספר המתח הראשון שכתב ב-1946, The Fabulous Clipjoint זכה ב-1948 בפרס אדגר.
חייו.
בראון נולד בסינסינטי, ב-1906, בנם היחיד של קרל לואיס בראון, עיתונאי ואמה אמיליה (לבית גראהם). אמו מתה בהיותו בן 14 ושנה אחריה מת גם אביו. הוא עבר לאפוטרופסותו של דודו, הפסיק ללמוד בצורה מסודרת ועבד בשורת מקצועות זמניים ומקריים. בשעות הערב למד בקולג', אף כי לא סיים ולא קיבל תואר. ב-1929 נישא לראשונה, להלן רות, ועבר למילווקי, שם עבד כמגיה עבור עיתון מקומי. מנישואין אלה נולדו לו שני בנים.
החל מ-1936 היה בראון בעל טור ב-"The American Printer" ומשנת 1937 החל לכתוב סיפורים קצרים באופן מקצועי, אך רק בשנת 1945 זכה לפרסום שאיפשר לו להתפרנס מכתיבה. הוא לא גויס לצבא ארצות הברית במלחמת העולם השנייה, למרות שהתנדב לכך, וזאת עקב מחלותיו השונות (אסתמה ועוד). בשנים שלאחר המלחמה הוא חי במקסיקו ולאחר מכן במקומות שונים בקליפורניה ובטוסון, אריזונה.
בראון התגרש ב-1947 ושנה לאחר מכן נישא שוב לאליזבת (לבית שרליה), לה נשאר נשוי עד מותו ב-1972, בן 66 בלבד. הסיפור האחרון שלו נכתב ב-1965, יחד עם מחבר שותף - Eine Kleine Nachtmusik.
כרבים מסופרי סוגת הספרות הזולה בזמן בו כתב, הוא מעולם לא נהנה מיציבות כלכלית, ולעיתים פרסם בקצב מוגבר רק על מנת לשלם את חשבונותיו. יש המייחסים לעובדה זו את הרמה הלא אחידה המופגנת בסיפוריו. בראון היה גם שתיין כבד, דבר שהשפיע לעיתים על כמות ואיכות כתיבתו. עם זאת ניכר בו כי היה אדם משכיל וקורא רב תחומי, שתחומי העניין אותם הפגין היו מעבר לאלו שהשתקפו ביצירות סופרי סגות הספרות הזולה האחרים בתקופתו. נראה כי היה בעל ידע ועניין בנגינה בחליל, במשחק השחמט והפוקר וביצירותיו של לואיס קרול.
כתיבתו.
בעוד שלא נמנה בימי חייו בשורה הראשונה של הכותבים בסוגות בהן כתב, זכה בראון לקהל מעריצים שנותר נאמן לכתיבתו גם למעלה מארבעים שנה לאחר שפסק מלכתוב. יצירותיו עודן מודפסות ומתורגמות לשפות שונות, נכללות באנתולוגיות וזוכות לקהל קוראים במדינות רבות, ביניהן ארצות הברית, יפן ובמיוחד בצרפת שם הוסרטו מספר סרטים על פי סיפוריו.
בראון ידוע במיוחד בשל השימוש שעשה בהומור ושליטתו בז'אנר "הסיפור הקצרצר" - סיפורים שאורכם בין עמוד לשלושה עמודים, המשתמשים לרוב באמצעי עלילה מתוחכמים ובעלי סוף מפתיע. ההומור וראיית העולם הפוסט מודרנית במידת מה, נמצאים גם בספריו הארוכים.
בראון טען כי הוא כתב ספרי מסתורין לפרנסתו ומדע בדיוני להנאתו. רבים מסיפורי המדע הבדיוני שכתב היו קצרים מאלף או אפילו מחמש מאות מילים. סיפורים אלו היו חביבים ביותר על עורכי מגזינים. פרט להיותם סיפורים מצוינים המותירים רושם על הקורא, הם גם היו שימושיים ביותר לסתימת "חורים" בפורמט של המגזין.
נובלת המדע הבדיוני הקלאסית שכתב, "הרפתקה בחלל" ("What Mad Universe") (1949), היא פארודיה אוהדת על מוסכמות ספרות המדע הבדיוני הזולה בזמנו. כפארודיה טובה, הנובלה היא בעת ובעונה אחת ביקורת על הסוגה בה נכתבה, ודוגמה עילאית לכתיבה בסוגה זו. ייתכן שספר זה השפיע על פיליפ ק. דיק כאשר עסק לאחר מכן בנושאים של מציאויות חלופיות אישיות. "בני מאדים, לכו הביתה" ("Martians, Go Home") (1955) הוא פארסה מבדחת על האיוולת האנושית כפי שהיא נראית דרך עיניהם של מיליארד בני מאדים המגיעים לכדור הארץ שלא על מנת לכבוש אותו, אלא על מנת לשגע את תושביו. נובלה רצינית יותר, שיש בה גם מן התחזית שהתגשמה היא "האורות בשמים הם כוכבים" ("The Lights in the Sky Are Stars") (1952), סיפורו של אסטרונאוט זקן, המנסה להקים מחדש את תוכנית החלל לאחר שהקונגרס האמריקאי הפסיק לממנה.
סיפורי המתח והמסתורין של בראון מצטיינים אף הם ברמה גבוהה מעל למקובל בכתיבת "ספרות זולה" בזמנו. ספריו של בראון נהגו לרמוז על איום של כוח על-טבעי, בטרם הגיעו להסבר הטבעי בסופם. נובלת המסתורין הראשונה שלו, "The Fabulous Clipjoint", זיכתה אותו בפרס אדגר ליצירת המסתורין הראשונה המצטיינת. בעקבותיה החל בראון לכתוב סדרת ספרי מסתורין בכיכובם של "אד ואמברוז האנטר", המתארים את חניכתו של אדם צעיר על ידי דודו המבוגר, בלש פרטי לשעבר.
בין הידועים בספרי המסתורין שלו נמנים: "Night of the Jabberwock", "The Screaming Mimi" (שעובד בשנת 1958 לסרט קולנוע בכיכובה של אניטה אקברג), "The Far Cry", "Here Comes a Candle" ו-"The Lenient Beast". ספרים אלו ערכו ניסיונות עלילתיים וספרותיים כגון שילוב קטעי תסכית רדיו, משדר חדשות או מאמר מהעיתון בעלילה, הבאת נקודות ראות שונות המוגשות בגוף ראשון, בין היתר מנקודת ראותו של רוצח סדרתי בעל אובססיה לדת. כן עסקו הספרים בנושאים שנויים במחלוקת כיחסים הגזעיים בין האוכלוסייה ההיספנית והאוכלוסייה הלבנה בניו מקסיקו.
סיפוריו פורסמו בחוברות שונות, באנתולוגיות ובמגזינים שונים. בשנת 1984, כעשור לאחר מותו, הוציא בית ההוצאה "דניס מקמילן" סדרה של 19 ספרים תחת הכותרת "Fredric Brown in the Detective Pulps" (פרדריק בראון בסיפורי הספרות הזולה), בהם אוגדו כל סיפורי הבלש והמסתורין שלו, מספר סיפורי מדע בדיוני שלא נאספו באנתולוגיות קודמות, מעט שירה, נובלות שלא פורסמו ויצירות נוספות.
עיבוד לקולנוע ולטלוויזיה.
ספרים וסיפורים קצרים רבים של בראון זכו לעיבודים שונים, לקולנוע ולטלוויזיה. בין השאר:
ועוד.
השפעתו.
בראון היה במידה רבה "סופר של סופרים" שנהנה מהערכה של עמיתיו הסופרים יותר מאשר מפופולריות בציבור הרחב. הסיפור הקצר "זירה" ("Arena") שכתב, נבחר על ידי איגוד סופרי המדע הבדיוני של אמריקה כאחד מ-20 הסיפורים הקצרים הטובים ביותר שנכתבו לפני 1965. סיפוריו זכו לשבחים מאת סופרים ידועים כסופר המדע הבדיוני פיליפ ק. דיק, סופר המתח מיקי ספיליין ואף איין ראנד. בראון הוא אחד משלושת האנשים להם הקדיש רוברט היינליין את ספרו הקלאסי "גר בארץ נכריה".
בראון והקורא העברי.
ספרי המתח של בראון טרם תורגמו לעברית, ויצירתו בתחום המתח לא חדרה לתודעת הקורא העברי. עם זאת, בתחום המדע הבדיוני נהנה בראון מקהל קוראים נאמן בעברית. ספרו של בראון "הרפתקה בחלל" תורגם לעברית בסוף שנות ה-50 על ידי חלוץ המדע הבדיוני העברי עמוס גפן, ויצא בהוצאת "מצפן". כן הופיעו סיפוריו במגזין המדע הבדיוני "קוסמוס - סיפורי מדע דמיוני" קצר הימים, שיצא לאור בסוף שנות ה-50.