תורת הקבוצות היא תחום קרוב לתורת הקטגוריות. בשני התחומים הבסיס הוא חקר העתקות ותכונות שלהם. תורת הקטגוריות לוקחת רעיונות מתורת הקבוצות, כמו זה של פונקציה (מורפיזם), פונקציה חד-חד-ערכית (מונומורפיזם) ואיזומורפיזם, ונותנת להן מינוח כללי.
פורמלית, אוסף כל הקבוצות הוא קטגוריה המסומנת Set. המורפיזמים בה הם פונקציות בין קבוצות. ההגדרה של המורפיזמים השונים במובן הקטגורי מתאימה להגדרה של פונקציות ותכונותיהן בתורת הקבוצות.
היות שקבוצות הן אובייקט בסיסי במתמטיקה, יש חשיבות רבה מאוד לפונקטורים מהן לקטגוריות אחרות ולהפך. למשל, אובייקט חופשי נבנה מעל "קבוצת" יוצרים.
בתורת החבורות.
המחלקה Grp המורכבת מכל החבורות הקיימות - אלו הן קבוצות שמשויכות להן פעולות בינאריות בין עצמי הקבוצה. במקרה זה המורפיזמים הם ההומומורפיזמים של החבורות. ההומומורפיזם של חבורה משמר את מבנה החבורה באופן מאוד מסוים: זהו "תהליך" הממפה חבורה אחת לשנייה באופן המעביר לחבורה השנייה אינפורמציה על מבנה החבורה הראשונה, בכך שתוצאה של הפעולה של החבורה האחת על איברים שלה תמיד עוברת אל תוצאת הפעולה של החבורה השנייה על "תמונות" האיברים בחבורה השנייה. חקר ההומומורפיזמים משמש כלי לחקר תכונות כלליות של חבורות והשלכותיהן של אקסיומות החבורות.
בטופולוגיה אלגברית.
תורת הקטגוריות נפוצה במיוחד בטופולוגיה אלגברית. בפועל, תורת הקטגוריות התפתחה מטופולוגיה אלגברית, בה הבינו לראשונה את הקשרים בין מבנים שונים, כמו מרחבים טופולוגיים וחבורה.
כאשר מנסים להוכיח ששני מרחבים טופולוגיים הומיאומורפיים, ישנן מספר דרכים להפריך קיום הומיאומורפיזם: לבדוק האם שני המרחבים קשירים (קשירות נשמרת תחת הומיאומורפיזם), לבדוק את עוצמת הקבוצות, לבדוק קומפקטיות. אלו הם תנאים הכרחיים ולא מספיקים, ולעיתים לא נראית לעין תכונה המפרידה שני מרחבים. כאן נכנסת תורת הקטגוריות - על ידי פונקטור אנו מתאימים לכל מרחב טופולוגי חבורה, כמו החבורה היסודית - שלוקחת כל מרחב טופולוגי לחבורה המורכבת מכל הלולאות הסגורות שניתן ליצור במרחב עד כדי הומוטופיה ביחס לקצוות. כך, קיבלנו עוד תנאי הכרחי לקיום הומיאומורפיזם בין מרחבים טופולוגיים - היות שמדובר בפונקטור - כלומר התאמה השומרת על איזומורפיזמים - אם החבורות היסודיות שלהם לא איזומורפיות אז הם לא הומיאומורפיים. פונקטורים נוספים בטופולוגיה אלגברית הם חבורות ההומולוגיה וחבורות ההומוטופיה מסדרים גבוהים יותר.
מלחמת אוגדן
מלחמת אוגדן הייתה סכסוך מזוין בין סומליה ואתיופיה בין השנים 1977 ל-1978 על אזור אוגדן שבאתיופיה.
סומליה ניצלה את המצב הפוליטי ששרר באתיופיה בעקבות נפילת שלטונו של היילה סלאסי לכיבוש אוגדן, בטענה שהאזור הוא חלק מסומליה הגדולה. מלחמה זו הייתה חלק מהמלחמה הקרה, בזמן מלחמה זו ברית המועצות החליפה את תמיכתה מסומליה לאתיופיה, שלפני כן נתמכה על ידי ארצות הברית והמערב, וגרמה לארצות הברית להתחיל לתמוך בסומליה. המלחמה הסתיימה כאשר הצבא הסומלי הסיג את כל כוחותיו חזרה לגבול.
רקע.
במהלך המירוץ לאפריקה חולקו אדמות סומליה בין המעצמות הקולוניאליות של אותה תקופה. האימפריה האתיופית השתלטה על חבל אוגדן, האימפריה האיטלקית על סומליה הדרומית, האימפריה הבריטית על צפון סומלי והאימפריה הצרפתית השתלטה על ג'יבוטי.
ב-1960 נתנה בריטניה עצמאות לחבל הארץ שבשליטתה ונוסדה מדינת סומליה שכללה גם את החלק שהיה בעבר בשליטה איטלקית. הסומלים כבר אז רצו את חבל אוגדן אולם האתיופים סירבו למסור אותו, וזאת על סמך הסכמות בינלאומיות קודמות.
לפני מלחמת אוגדן מנה הצבא הסומלי הלאומי (SNA) כ-23,000 איש. הוא החזיק בכוח השריון הגדול ביותר באזור, שצויד ביותר מ 250 טנקים מדגמי T-34, T-54 ו-T-55 ויותר מ-300 נגמ"שים. עם ציוד זה היה SNA גדול פי שלושה מהצבא האתיופי בזמנו. חיל האוויר הסומלי (SAF) הקדם מלחמתי היה גדול אף הוא מחיל האוויר האתיופי. ב-1976 ה-SAF היה בעל 52 מטוסי קרב, 24 מהם היו מדגם מיג-21. נגדם עמד חיל אוויר האתיופי (EAF) שמנה בין 35 ל-40 מטוסים. אתיופיה בזמן זה הייתה בתהליך של רכש מטוסי קרב מאיראן מדגם נורתרופ F-5. בתחילת הלחימה, לאתיופיה היו כ-16 מטוסים כאלה.
ב-1974 הממשלה הקיסרית של אתיופיה עמדה בפני התמוטטות, ובספטמבר קבוצה של קצינים צבאיים הדיחו את היילה סלאסי. בתוך כך קבוצות אתניות בתוך אתיופיה ביקשו לפרוש מהאימפריה. כשהכאוס התפשט ברחבי אתיופיה אחרי נפילת משטרו של היילה סלאסי, הגדילה סומליה את התמיכה שלה בכמה קבוצות של תנועות סומליות לאומיות באתיופיה, המשמעותית שבהן הייתה החזית לשחרור מערב סומליה (WSLF) שנודעה אחרי שנת 1977 כחזית לשחרור לאומי של אוגדן. לקראת סוף 1975 ה-WSLF תקף יישובים אתיופיים רבים באוגדן. ביוני 1977 האשימה אתיופיה את סומליה בשליחתן של יחידות ה-SNA לביצוע ההתקפות. סומליה הכחישה את האשמה הזו והתעקשה שהיו אלה "מתנדבים" שעזבו את ה-SNA ללחימה עם ה-WSLF. בסוף 1977 הכוחות של "מתנדבי" ה-SNA וכוחותיהם של ה-WSLF מנו כ-50,000 איש באוגדן.
המלחמה.
תחילת הלחימה.
אחרי שממשלת סומליה שלחה את ה-SNA לאוגדן, הפסיק הסכסוך להיות חלק מפעולות גרילה, והחל להיות מלחמה שגרתית, משוריינת עם חייל רגלים וכוח אווירי ששיחקו תפקידים מכריעים. ה-SNA התאים את הארגון שלו למציאות של שדה הקרב. מערכת הלוגיסטיקה הסומלית סיפקה לגדודים כ-600 ל-1,000 מערכי לחימה ליחידות ממוגדישו. כדי להקל על המבצעים, מרכז הלוגיסטיקה והמפקדה של הכוחות עבר לצפון סומליה לעיר הרגייסה, הגזרה הצפונית לשעבר של מפקדת ה-SNA. הסכסוך התחיל, חיל הרגלים הכיל שנים עד ארבעה גדודים ומספר כולל של בין 1,200 ל-2,000 חיילים.
במשך הקיץ של 1977 ה-SNA ו-WSLF השיגו כמה ניצחונות, אך גם סבלו כמה מפלות משמעותיות. ביולי 1977 הם לכדו את העיר גוד, שממוקמת על נחל השאביל ו-550 קילומטרים בתוך אתיופיה, והצליחו להשיג שליטה על 60 אחוז מאוגדן. באמצע ספטמבר 1977 אתיופיה דיווחה ש-90 אחוז מאוגדן נכבש על ידי ה-SNA. ה-SNA סבל שני עיכובים באוגוסט כאשר ניסה לכבוש את הערים דירה דאווה וג'יג'יגה. הצבא האתיופי הצליח לגרום להפסדים כבדים של ה-SNA. בדירה דאווה אחרי שהסומלים תקפו העיר על ידי גדוד של טנק אחד וחטיבת חיל רגלים שנתמכה על ידי יחידות ארטילריה. בג'יג'יגה איבדו הסומלים יותר מחצי מכוחם, שהיה כשלושה גדודי טנקים. כל האבדות של הסומלים היו כיותר משלושים טנקים.
הניצחון הגדול ביותר של סומליה התרחש באמצע ספטמבר 1977, כאשר הכוחות הסומליים שהיו בדרכם לג'יג'יגה, עם שלושה גדודי טנק, גרמו לאתיופים לצאת מן העיר. חרף הצלחה זאת, כמה גורמים מנעו ניצחון של סומלי מוחלט. ההפסדים של גדודי הטנקים הסומליים בדירה דאווה ובסביבות ג'יג'יגה ובהרר היו כבדים. בזירה האווירית חיל האוויר האתיופי הצליח להשיג עליונות אווירית מול חיל האוויר הסומלי. נוסף אל אלו מזג האוויר הרע לא שיחק לטובתם של הסומליים וגרם להם להיתקע באדמה.
המעורבות הקומוניסטית.
העזרה הצבאית הסובייטית לאתיופיה, הייתה השנייה בגודלה אחרי העזרה לסוריה במשך מלחמת יום הכיפורים באוקטובר 1973, העזרה כללה יועצים צבאיים סובייטיים ייחד עם 15,000 חיילים קובניים. ארצות קומוניסטיות אחרות הציעו לאתיופיה עזרה, דרום תימן הציעה עזרה צבאית וקוריאה הצפונית עזרה לאמן חיילים אתיופים, מזרח גרמניה הציעה גם לאמן חיילים, וגם עזרה בהנדסה ובכוחות תומכי לחימה. המדד של העזרה הקומוניסטית התבהר בנובמבר 1977, כאשר סומליה ניתקה את יחסיה עם ברית המועצות, וגירשה את כל האזרחים הסובייטיים מסומליה. לא כל המדינות הקומוניסטיות תמכו באתיופיה. בגלל הפיצול הסיני-סובייטי, סין תמכה בסומליה באופן דיפלומטי וגם באופן של עזרה צבאית סמלית. רומניה תחת הנהגתו של ניקולאה צ'אושסקו שברו את המדיניות של ברית המועצות ותמכו באופן דיפלומטי בסומליה.
החלטת ברית המועצות לעזור לאתיופיה חרצה את גזר דינה של המלחמה להפסד סומלי באוגדן. בספטמבר 1977, אתיופיה מסרה שהסומליים השתלטו רק על 10% מאוגדן והסומליים טענו שהאתיופים נדחפו לתוך אזוריים שאינם באוגדן כמו מחוז הררג, בלה, וסידאמו. מאוקטובר 1977 דרך ינואר 1978 יותר 20,000 אנשי גרילות של WSLF וה SNA יזמו התקפות בהרר, היכן שכמעט 50,000 חיילים אתיופים קובצו מחדש, והיו מצוידים בטנקים סובייטיים ועם ארטילריה כבדה והיו מגובים עם עד 11,000 חיילים קובנים ו 1,500 יועצים סובייטיים. אף על פי שהסומליים נלחמו בדרך להרר בנובמבר 1977 ל SNA היה חוסר בהספקה וכוח-אדם ללכוד את העיר. לאחר מכן, הסומליים נערכו מחדש מחוץ להרר וחיכו להתקפת נגד אתיופית.
בתחילת פברואר 1978 כוחות קובניים ואתיופיים שיגרו שני התקפת נגד בכיוון ג'יג'יגה. במפתיע, אף על פי כן, טור של חיילים קובנים ואתיופים עברו צפונה ומזרחה ועברו את הרמות בין ג'יג'יגה לגבול הסומלי, כאשר הם עוקפים את חיילי סומליה המתחפרים במעבר מארדה. לכן, כוח ההתקפה שהגיע יוכל להתקיף את הסומלים משני צדדים וללכוד מחדש את העיר ג'יג'יגה אחרי יומיים של לחימה שבהם יותר מ 30,000 סומליים איבדו את חייהם האתיופים לכדו את העיר. בתוך שבוע, אתיופיה כבשה מחדש את כל העיירות העיקריות באוגדן. ב-9 במרץ 1978 הסומליים נסוגו וחזרו לקו הגבול.
ב 1988 הייתה מתיחות נוספת בין צבאות שתי המדינות אולם העימות לא הגיע למצב של מלחמה.
תוצאות המלחמה.