בשל סיבות אסטרטגיות סללו הבריטים אחרי מלחמת העולם הראשונה, תוך כדי עבודות הנדסיות נרחבות, מסילת ברזל מג'רמוד שליד פשאוור ועד לגבול האפגני, סמוך ללנדי קוטל. המסילה נפתחה לתנועת רכבות ב-1925. במלחמת העולם השנייה הוצבו במעבר שיני דרקון מאחר שהבריטים חששו מפלישה גרמנית להודו.
עימותים נוכחיים.
בזמן מלחמת אפגניסטן הנוכחית שימש מעבר ח'ייבר כנתיב אספקה מרכזי לכוחות נאט"ו שבזירה האפגנית של העימות. בהכירם בחשיבות המעבר, ניסו כוחות הטליבאן לחסום אותו בשלהי 2008 ובתחילת 2009 וכך יצרו עימות נוסף, בין הטליבאן ובין השלטונות בפקיסטן.
בפברואר 2009 פוצץ גשר בנתיב המוליך למעבר, 24 קילומטר ממערב לפשאוור. מבצעי הפיצוץ המשוערים הם כוחות המזוהים כתומכים בטליבאן. על אף שפיצוץ הגשר לא גרם לשיבוש חמור במאמץ המלחמתי של כוחות הקואליציה המערביים, הוא הביא כנראה להאצת המאמץ למצוא נתיבי אספקה חלופיים. אם דרך איראן ואם דרך מספר מדינות במרכז אסיה שבהן יעבור הנתיב ויגיע לצפון אפגניסטן.
האזור מוכר כמקום ייצור כלי ירייה מתוצרת פרטית.
מצביאים וצבאות שחצו את מעבר ח'ייבר.
כל המפקדים שהנהיגו כוחות שחצו את מעבר ח'ייבר נעו מזרחה במגמה לכבוש חלקים מהודו; רק הכוחות בפיקוד צ'נדרגופטה מאוריה, ג'ורג' פולוק ורנג'יט סינג נעו מערבה בכיוון ההפוך.
הערות שוליים.
היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות
משוואה פולינומית היא משוואה בה מופיעים אך ורק מקדמים וחזקות של משתנה מסוים (וכן מספרים קבועים, שהם למעשה מקדמים של formula_1) כמו formula_2 או formula_3.
משוואות פולינומיות נקראות כך משום שלמעשה באופן כללי, פולינום במשתנה אחד, formula_4, הוא הצירוף
formula_5
כאשר המקדמים formula_6 הם מספרים, והחזקות הן מספרים טבעיים (לרבות אפס). באופן כללי, הבעיה של פתרון משוואה פולינומית formula_7 זהה למציאת שורש של פולינום מתאים.
החזקה הגבוהה ביותר של המשתנה נקראת "מעלת המשוואה", "דרגת המשוואה" או "סדר המשוואה". כך, למשל, המשוואה formula_8 או formula_9 כאשר formula_10 פרמטרים (אם אין הגבלה על ערכם, שתי המשוואות זהות למעשה, כי ניתן לקבל מהאחת את השנייה על ידי החלפת הסימן של formula_11) היא משוואה ממעלה ראשונה, בעוד המשוואות שהובאו בראש הפרק הן ממעלה שנייה ושמינית בהתאמה. פתרונן של משוואות ממעלה ראשונה הוא פשוט מאוד (formula_12 בניסוח הראשון, או formula_13 בניסוח השני), אך מעבר להן הפתרון כבר איננו מיידי.
הרעיון שעומד בבסיס הפתרון של משוואה ממעלה שנייה היה ידוע כבר לבבלים ולאנשי יוון העתיקה, אך הפתרון של משוואה ממעלה שלישית נמצא רק במאה ה-16, ומעט לאחריו נמצא הפתרון של משוואה ממעלה רביעית. פתרון המשוואה ממעלה שלישית היה בין ההשגים הגדולים של המדע בתקופת הרנסאנס וסימן, במידה מסוימת, את סיום תקופת ה"עצירה" שניכרה בעולם המתמטי במהלך ימי הביניים (והאימפריה הרומית).
פתרון משוואות מסדר גבוה יותר, חמישי ומעלה, היה אתגר למתמטיקאים במשך שנים רבות, עד אשר הובן במהלך המאה ה-19, בעזרת כלים מתמטיים מתוחכמים יחסית (ומתקדמים יותר מאשר האלגברה הבסיסית שבעזרתה נפתרו הבעיות של המשוואות ממעלה שלישית ורביעית), כי לא ניתן להגיע לפתרון של משוואות אלו בעזרת ארבע פעולות חשבון ושימוש בשורשים.
משוואה ריבועית.
"משוואה ממעלה שנייה" או "משוואה ריבועית" היא משוואה מהצורה formula_14 כאשר formula_15 הם פרמטרים.
רעיון המשוואה כפי שאנו מכירים אותו כיום היה זר לתרבויות העתיקות, כך שדיון ב"פתרון משוואות" בהקשרן איננו מדויק. עם זאת, כבר הבבלים (כארבע מאות שנים לפני הספירה) ידעו לפתור בעיות שהיום, בכתיב מתמטי מודרני, היה פתרונן מתרגם למשוואות ריבועיות. הבבלים ידעו להשתמש בשיטת ההשלמה לריבוע (ראו הסבר בערך משוואה ממעלה שנייה) על מנת למצוא פתרונות של מספר בעיות. הבבלים לא הכירו בקיומם של מספרים שליליים ותשובותיהם היו לרוב חיוביות, כאשר לרוב פתרונות אלו היו למעשה אורכים שונים. בדומה לכך, כמאה שנים לאחר מכן, גם אוקלידס פתר בעיות שבמובן המודרני מתקשרות למשוואות ריבועיות, אך למעשה עסק בפתרון בעיות גאומטריות.
ראשית העיסוק בנושא בצורה שקרובה מאוד למודרנית הגיע עם המתמטיקה ההינדית, כאשר בראהמגופטה (598–668) שכלל את השיטות הבבליות בנותנו סימונים לנעלמים וכשהוא מכיר בקיומם של מספרים שליליים.
המתמטיקה המוסלמית בימיו של אל-ח'ואריזמי לא הכירה במספרים שליליים או באפס, כך שעבורו "התפצלה" הבעיה למספר מקרים פרטיים. כך, למשל, המשוואות formula_16 ו- formula_17 עבור מקדמים חיוביים היו מבחינתו שתי בעיות נפרדות, אף על פי ששתיהן מקרים פרטיים של המשוואה הכללית בראשית פרק זה, כאשר מאפשרים לפרמטרים לקבל ערכים שליליים. אל-ח'ואריזמי מנה בספרו (התפרסם בשנת 830) שישה סוגים של משוואות ריבועיות ופרט אלגוריתמים לפתרונן כולל הוכחות גאומטריות המתבססות על השלמה לריבוע.
פתרון מלא של הבעיה התפרסם באירופה בספרו של אברהם בר חייא "חיבור המשיחה והתשבורת" (תאריך הפרסום המדויק איננו ברור, בערך בשנת 1140, להרחבה ראו אברהם בר חייא).
משוואה ממעלה שלישית או רביעית.
משוואה ממעלה שלישית היא משוואה מהצורה formula_18, ומשוואה ממעלה רביעית היא משוואה מהצורה formula_19,
כאשר המקדמים formula_20 הם פרמטרים (באופן כללי, ניתן להפוך כל משוואה אחרת מסדר שלישי או רביעי למשוואה מסוג זה על ידי העברת כל האיברים לאגף שמאל וחילוק במקדם של החזקה הגבוהה ביותר).
בשנים 1501–1502 כיהן לוקה פאצ'ולי באוניברסיטת בולוניה. בספרו "Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita" פרסם סיכום של ידע מתמטי חשוב עד זמנו, כתוב בצורה הדומה מאוד למודרנית. בספר פרסם דעה לפיה לא ניתן למצוא פתרון למשוואה ממעלה שלישית. אולי בדירבון כתוצאה ממאמר זה, הראשון לפתור משוואה ממעלה שלישית היה שיפיונה דל פרו, שהיה אף הוא מרצה באוניברסיטת בולוניה, לערך בשנת 1515. פתרונו לא היה מושלם עקב היעדר ידע מתאים על שימוש במספרים שליליים. על אף מנהגו לשמור על עבודתיו בסוד ולחלוק אותן עם קומץ חברים וסטודנטים בלבד, שמר דל פרו רישום של עבודותיו במחברת. לאחר מותו בשנת 1525, עברה הבעלות על המחברת לידי יורשו, בעלה של בתו של דל פרו, אניבאל דלה נאווה, שהיה מתמטיקאי אף הוא, תלמידו של דל פרו ומחליפו לאחר מותו.
בשנת 1535 התמנה ניקולו טרטליה לראש הפקולטה למתמטיקה בוונציה. באופן בלתי תלוי, בנפרד מעבודתו של דל פרו, טרטליה התפרסם בשנת 1535 לאור הצלחתו בפתרון משוואה ממעלה שלישית, אך נמנע מלגלות את שיטת הפתרון לאחרים. לאור פרסום זה, אחד מתלמידיו של דל פרו, אנטוניו פיור שמו, החליט להזמין את טרטליה לתחרות בפתרון משוואות, בה ניצח טרטליה שהצליח לשכלל את שיטת הפתרון של דל פרו גם למשוואות שלגביהן לא הייתה תקפה.
בשנת 1539, לאחר ניסיונות שכנוע רבים, הצליח ג'ירולמו קרדאנו, שעבד על נושא זה בעצמו, לשכנע את ניקולו טרטליה לגלות לו את שיטת הפתרון שלו לפתרון משוואה ממעלה שלישית, בתמורה להבטחתו שלא לפרסם אותו לפני שטרטליה יפרסמו בעצמו. קרדאנו ולודוביקו פרארי תלמידו עבדו על הכללת שיטתו של טרטליה, ותוך כדי מחקרם, בהיעזר בשיטתו של טרטליה לפתרון משוואה ממעלה שלישית, גילה פרארי את השיטה לפתרון משוואה ממעלה רביעית.
קרדאנו ופרארי נקלעו לבעיה, שכן לא יכולים היו לפרסם את הפתרון מבלי להפר את ההבטחה שניתנה לטרטליה. בסופו של דבר, נפתרה, לכאורה, בעיה זו לאחר שבפגישה עם דלה נאווה, יורשו של דל פרו, נוכחו קרדאנו ופרארי שלמעשה דל פרו פתר את המשוואה ממעלה שלישית עוד לפני טרטליה אך פשוט שמר את הפתרון בסוד, ולכן הבטחתו של קרדאנו לטרטליה, לכאורה, בטלה. פתרונו של פרארי לבעיה התפרסם בספרו של קרדאנו "האומנות הגדולה" בשנת 1545.
הוויכוח על זכות הראשונים.
עם צאת הספר "האומנות הגדולה", טרטליה זעם על פרסום הפתרון למשוואה ממעלה שלישית. הסכסוך קיבל היבט אישי כשטרטליה החל בחלופת מכתבים מעליבים עם קרדאנו ובהמשך פרארי, שבשלב מסוים הפכה פומבית. העימות הגיע לכדי תחרות פתרון משוואות בשנת 1548, ככל הנראה לאחר שטרטליה רצה להפגין את כישוריו כראוי למשרת מרצה בעירו ברשה. טרטליה הגיע למילאנו, שם נערכה התחרות באחת הכנסיות, כאשר מושל העיר שימש כשופט. פרארי, שהייתה לו זו תחרות ראשונה מסוג זה, הביא עמו קהל גדול שיצפה בו בתחרות ואילו טרטליה, שהיה מנוסה ובטוח בניצחונו, הביא עמו רק את אחיו כצופה. אנשים רבים נקהלו לצפות בתחרות. בסוף יומה הראשון החליט טרטליה, שידו הייתה בבירור על התחתונה, לעזוב עם לילה וכך זכה פרארי בתחרות.
פיתוחים נוספים.
מתמטיקאים רבים, ובהם פרנסואה וייט, לאונרד אוילר, תומאס הריוט, גוטפריד וילהלם לייבניץ ורנה דקארט, המשיכו לעסוק בנושא כדי לשכלל את שיטות הפתרון, ללמוד מהן ולהוכיח את הנוסחאות הרלוונטיות בצורה אלגברית.
תומאס הריוט (1560-1621) הראה שמשוואה ממעלה שלישית מקיימת formula_21 כאשר formula_22 הם פתרונות המשוואה. בעזרת הוכחה זו הוכיח לייבניץ את הנוסחה לפתרון המשוואה ממעלה שלישית בצורה אלגברית-אנליטית, לראשונה ללא שימוש בכלים גאומטריים.
היבטים מתמטיים.
למעשה, ניתן "להעלים" את האיבר הריבועי מכל משוואה כללית ממעלה שלישית formula_23 על ידי החלפת משתנה formula_24 (הסבר לדרך קביעת ערכו של formula_25 נמצא בערך משוואה ממעלה שלישית). אם כך, נדרשו המתמטיקאים של אותה התקופה, ששליטתם בעבודה עם מספרים שליליים הייתה מוגבלת, לפתור את המשוואות הבאות, המצומצמות, עבור ערכים חיוביים של הפרמטרים p ו- q: