במהלך המאה השנייה והשלישית לספירת הנוצרים התיישבו הוונדלים בדאקיה ופאנוניה - פרובינקיות רומאיות לאורך נהר הדנובה. זהו הזמן המשוער שבו החלו הוונדלים את פשיטותיהם על האימפריה הרומית. הוונדלים אימצו את הנצרות האריאנית בדומה לגותים לפניהם. בשנת 406 חצו הוונדלים את נהר הריין מערבה מתוך רצון להתיישב בגאליה, אך עקב התנגדות הפרנקים חצו את הרי הפירינאים ובשנת 409 התיישבו בחצי האי האיברי, שבו נמצאת ספרד כיום. ייתכן שהאזור אנדלוסיה, שבעבר נקרא ונדלוסיה, קיבל מהם את שמו. הוונדלים לא שהו בספרד זמן רב, ובלחץ הרומאים המקומיים והוויזיגותים עזבו את הארץ ועברו דרומה.
בשנת 428, לאחר מותו של המנהיג הוונדלי גונדריק, ירש אותו אחיו למחצה גאיזריק. בימי שלטונו הגיעו הוונדלים לשיא עוצמתם. גאיזריק, בנו הנכה של עבד לשעבר, היה קושר ואמן בתמרונים פוליטיים. בהנהגתו חצו הוונדלים את מצר גיברלטר בשנת 429 ופשטו על הפרובינקיות העשירות של צפון אפריקה, שם התיישבו בשכנות לרומאים המקומיים, הקימו את ממלכתם וקבעו בקרתגו את בירתם. השתלטותם של הוונדלים על צפון אפריקה נמשכה 10 שנים.
הוונדלים הקימו צי שהטיל אימה על כלי שיט בים התיכון. בעזרת צי זה פשטו על סיציליה ועל דרום איטליה. הקמת הצי הוונדלי פגעה בהגמוניה הרומאית ארוכת השנים בחופי הים התיכון, שאותו כינו Mare Nostrum ("הים שלנו").
ב-2 ביוני 455 פלשו הוונדלים לרומא ובזזו אותה.
המאבק בנצרות הקתולית.
בממלכת הוונדלים המשימות המנהליות נשארו בידי הפקידות הרומאית, אך לא אימצו את הכנסייה הקתולית מכיוון שהוונדלים היו נוצרים אריאנים. בשלטונם של גאיזריק ובנו הונריך רדפו הוונדלים את הקתולים. הוונדלים סיפקו בכך חומר רב לכותבי הסיפורים המבעיתים על חיי הקדושים בימי הביניים.
הסיפורים על הנעשה לנוצרים הקתולים הובילו לאיחוד שני חלקי האימפריה הרומית בפעם האחרונה, בשנת 468, במסע מלחמה כנגד הוונדלים. מסע מלחמה זה כשל, אך כוחם של הוונדלים לא עמד להם לאורך זמן רב לאחר מות גאיזריק. הלוחמים הוונדלים נכנעו לפיתויים שזימנו הארצות העשירות שבהן חיו, הפכו מנוודים לעובדי אדמה ולכן הפכו לחלשים ובלתי מאורגנים ובשל כך פגיעים. בשנת 533 הם הובסו במהירות על ידי צבא האימפריה הביזנטית ששלח הקיסר הביזנטי יוסטיניאנוס הראשון. בסופו של דבר נטמעו הוונדלים לחלוטין באוכלוסייה המעורבת המקומית.
חוזה פאריס
רספטור
רץ (שחמט)
רץ הוא כלי במשחק השחמט. לכל שחקן שני רצים, הנעים על ערוגות בצבע שונה: רץ אחד שנע על משבצות לבנות בלבד, ורץ אחר שנע על משבצות שחורות בלבד. הרצים מתחילים על המשבצות הסמוכות למלך ולמלכה (ג1 ו-ו1 ללבן, ג8 ו-ו8 לשחור). כוחו מוערך בכשלושה רגלים, בדומה לפרש. שני הכלים נחשבים שווי ערך, ועל כן שחקנים נוהגים להחליף רץ בפרש ולהפך.
הרץ יכול לנוע באלכסון בכל כיוון כל מרחק שיחפוץ השחקן, כל זמן שאינו חסום על ידי כלי אחר (של השחקן או של היריב). בדומה לכל כלי השחמט האחרים, הרץ מכה את כלי היריב על ידי מעבר לערוגה שבה עמד הכלי המוכה. הרץ נקרא באנגלית Bishop והכלי מעוצב בצורת כובע בישוף נוצרי.
הרץ לעומת הפרש.
בדרך כלל מעניקים לרץ ולפרש הערכת ניקוד דומה (3 נקודות), כמדד לכוחם, אך בגלל היכולת של הרץ לנוע למרחק גדול יותר, ערכו עולה לקראת סוף המשחק כשכלים רבים יורדים מהלוח. לעומת זאת, בתחילת המשחק לפרש יש כושר תנועה רב יותר בגלל שהלוח עמוס בכלים ועל כן גוברת היכולת שלו לדלג מעל כלים אחרים ובאופן יחסי כוחו מעט גדול יותר מזה של הרץ. באופן כללי, ככל שמצב הלוח "סגור" וצפוף יותר הפרש עדיף על הרץ בגלל יכולתו לדלג, וככל שהמצב "פתוח" יותר, הרץ עדיף בגלל התנועה שלו למרחקים ארוכים.
כמו כן, הפרש יכול לבצע איום "מזלג" בצורה יעילה יותר מהרץ.
אם כן, במשחק שח יש יתרון קל מאוד של הפרש על הרץ, ויתרון קל של שני רצים על פני שני פרשים. אולם בגרסה קטנה יותר של לוח שח - במשחקי מיני-שח 6X6 - בגלל שהלוח קטן יותר - הפרש והרץ נחשבים לגמרי שקולים זה לזה.
המשפט היסודי של האלגברה
המשפט היסודי של האלגברה קובע שלכל פולינום לא קבוע עם מקדמים מרוכבים יש לפחות שורש מרוכב אחד. זה כולל כמובן פולינומים עם מקדמים ממשיים שכן כל מספר ממשי הוא בפרט מרוכב עם חלק מדומה 0. ניסוח שקול של משפט זה הוא ששדה המספרים המרוכבים הוא שדה סגור אלגברית. שימוש חשוב של משפט זה, שהוא למעשה ניסוח שקול שלו, אומר כי כל פולינום מעל המרוכבים ניתן לכתוב כמכפלה של גורמים ליניאריים.
לעומת שמו של המשפט, אין לו הוכחה שמשתמשת אך ורק באלגברה שכן הגדרת המספרים המרוכבים דורשת את תכונת השלמות של שדה המספרים הממשיים, ודרוש שימוש כלשהו בה. ישנן הוכחות שאופיין אלגברי במהותו, אבל כולן משתמשות במשפטים או כלים כלשהם מאנליזה, כדוגמת משפט ערך הביניים.
מן המשפט נובע שכל פולינום מעל המרוכבים מקבל כל ערך מרוכב (כלומר הוא מעתיק את המישור המרוכב על עצמו). זאת מכיוון שהטענה שלמשוואה formula_1 יש פתרון שקולה לטענה שלפולינום formula_2 יש שורש.
מסקנה מהמשפט.
מסקנה חשובה של המשפט היא מיון פולינומים אי-פריקים מעל הממשיים. יהי formula_3 פולינום בעל מקדמים ממשיים ונאמר שהוא אי פריק מעל הממשיים. נפרק אותו לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים: formula_4. אפשר לראות די בקלות כי עבור שורש מרוכב של p, גם הצמוד של המספר הזה הוא שורש מרוכב של p. לכן, ניתן לכתוב מחדש formula_5 כאשר formula_6 שורש לא ממשי (בהנחה שיש כזה, אם אין אז p בבירור ליניארי כי הוא אי-פריק) ועכשיו, אפשר להסתכל על p כמכפלה של formula_7 פולינום ממשי (אם נפתח סוגריים, נראה כי כל המקדמים ממשיים) ופולינום מרוכב אחר. הפולינום המרוכב הזה הוא גם ממשי, כי הוא מכפלה של ביטויים מצורה דומה. לכן, בהנחה שהפולינום הנוסף הזה הוא לא הפולינום הקבוע 1, קיבלנו סתירה לאי-פריקות p מעל הממשיים. סך הכול קיבלנו את המשפט הבא:
הוכחות למשפט היסודי.
הוכחה באמצעות משפט ליוביל.
נניח formula_8 פולינום לא קבוע ללא שורשים מרוכבים, המקיים formula_9. אם נסתכל על הפונקציה formula_10, הגבול שלה באינסוף הוא 0, ומהיותה פונקציה שלמה (כהרכבה של פונקציות שלמות כאשר ל-formula_11 אין אפסים) בפרט היא גם חסומה. ממשפט ליוביל נקבל שהפונקציה formula_11 קבועה, וזאת בסתירה להנחה המקורית שהפולינום formula_11 לא קבוע. דהיינו שלפולינום לא קבוע מעל המרוכבים יש לפחות שורש מרוכב אחד.
הוכחה באמצעות עיקרון המינימום.
עיקרון המינימום הוא מסקנה מעקרון המקסימום האומרת כי עבור פונקציה הולומורפית לא קבועה formula_14, כאשר U קבוצה פתוחה וקשירה (תחום), ל-formula_15יש מינימום מקומי ב-formula_16אם ורק אם formula_17. ההוכחה של עיקרון המינימום היא להניח בשלילה אחרת, ולהסתכל על הפונקציה formula_18שמקבלת מקסימום מקומי ב-formula_16, דבר הנוגד את עיקרון המקסימום. פולינום היא פונקציה כזו על כל formula_20, ומתקיים שעבור formula_8 פולינום, formula_9 ולכן ניתן למצוא מינימום גלובלי לפונקציה (קיים מינימום מקומי בקבוצה סגורה גדולה מספיק, כך שמחוץ לה, formula_23הוא גדול מידי). המינימום הגלובלי הזה, מעיקרון המינימום, הוא 0 וזה מסיים את ההוכחה.
הוכחה באמצעות תורת גלואה.
הוכחה זו מבוססת על משפט ערך הביניים, ממנו ניתן להסיק כי לכל פולינום ממעלה אי-זוגית מעליו יש שורש (ממשי). מכאן שפולינום אי-פריק ממעלה אי-זוגית מוכרח להיות ליניארי.
נניח בשלילה שקיימת הרחבה ממימד סופי formula_24. מכיוון שגם formula_25 ממימד סופי, קיימת הרחבה נורמלית ממימד סופי המכילה אותה. מכיוון שכל הרחבה נורמלית מעל שדה ממאפיין אפס היא ספרבילית, נובע ש-formula_26היא הרחבת גלואה.
תהי formula_27חבורת גלואה של ההרחבה formula_25. תהי formula_29חבורת 2-סילו של formula_30. האינדקס formula_31 של formula_32 ב-formula_30 הוא אי זוגי. לכן הממד של שדה השבת formula_34 מעל formula_35הוא אי-זוגי, אבל אז הפולינום המינימלי של כל איבר הוא ליניארי, כלומר formula_36. מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע ש-formula_37, כלומר formula_30 היא חבורת-2, כלומר הסדר שלה הוא חזקה של 2. לכן קיימת לה תת-חבורה מאינדקס 2 formula_39. שוב מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע שקיימת הרחבת ביניים formula_40 כך ש-formula_41. אבל כל פולינום ממעלה 2 מעל formula_20מתפרק לגורמים ליניאריים לפי הנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שנייה והוצאת שורש לפי משפט דה מואבר. מכאן ש-N=1 והממד של K מעל הממשיים הוא 2, כלומר formula_43.
הוכחה באמצעות טופולוגיה אלגברית.
הוכחה זו מסתמכת על החבורה היסודית של מעגל היחידה, שכידוע מקיימת formula_44. נשתמש בסימון formula_45 למסילה formula_46 שמקיפה את המעגל formula_47 פעמים (כשהסימן של formula_47 הוא הכיוון). אנו יודעים כי כל מסילה כזו נמצאת במחלקת שקילות אחרת בחבורה היסודית של מעגל היחידה.
יהי formula_11 פולינום מדרגה formula_47. נוכל להניח בלי הגבלת הכלליות כי הפולינום מתוקן ונוכל לרשום formula_51. נניח כעת כי לפולינום אין שורשים, ונוכיח שנובע formula_52.
לכל formula_53 נגדיר מסילה formula_54. קל להבחין כי זו מסילה על מעגל היחידה (formula_55) עם נקודות קצה formula_56.
עבור formula_57, מתקיים formula_58, ולכן formula_59.
בנוסף, ברור כי לכל formula_60 המסילות formula_61 ו-formula_62 הן הומוטופיות (בעזרת ההומוטופיה formula_63), ומכאן formula_64.
נקבע formula_60 גדול יותר מ-formula_66 וגדול יותר מ-formula_67.
כעת, לכל formula_68 כך ש-formula_69 מתקיים:
formula_70
formula_71