בשנת 1890 חזר שטיין ליפו ונמנה עם מייסדי "לשכת שער ציון" של בני ברית אשר הקימה מוסדות ציבור כדוגמת הספרייה הציבורית "שער ציון" ובית החולים "שער ציון" אותו ניהל. כרופא דאג גם למניעת מחלות ולא רק לריפויין. השקפה זו הניעוהו ליזום הקמת שכונה חדשה מרוחקת מיפו המזהמת היא שכונת "נווה צדק" שאחד מרחובותיה נקרא כיום על שמו (המשכו של רחוב לילינבלום).
ד"ר שטיין עסק בפעילות ציבורית ענפה פרט לרפואה, הוא יזם והקים בית ספר לילדים שהיו בטלים מלימודים ובו אחותו הייתה הגננת. בית ספר זה היה בית הספר העברי הראשון בארץ ישראל. הוא הוציא את עיתון הילדים הראשון בארץ בעברית "עולם קטן" שיצא כמוסף ל"הצבי", בנוסף היה ראש אגודת "בני משה" ומפעילי מסדר "בני ברית" ביפו. דמותו הייתה מרכזית ביפו ומשה סמילנסקי הגדיר זאת באופן הבא: "כל מה שהיה ביפו רוחני התרכז סביב לביתו של ד"ר מנחם שטיין". בהיותו מלומד ובעל אופקים רחבים, שימש מעין שגריר לביל"ויים ונשלח בשנת 1883 לטורקיה (התעקש לנסוע על חשבונו) כדי לנסות להשפיע על השלטונות שם בעניין פריסת חסות על קבוצת הביל"ויים בארץ וקבלת אדמות מתאימות להתיישבות הביל"ויים ואחרים. בשנת 1884 הגה שטיין את רעיון ההתיישבות של בעלי מלאכה וכתב על כך מאמר בשם "שיבת החרש והמסגר".
גם לתעשייה הישראלית המתפתחת באותם הימים ההם תרם ד"ר שטיין תרומה נכבדה. הוא העלה מצרפת בסוף 1887 או בשנת 1888 את אחיו המהנדס ליאון שטיין ומימן עבורו הקמת בית חרושת למכונות. שטיין האח חולל מהפכה תעשייתית וחקלאית בייצור המשאבה המונעת בכוח מנוע שהחליפה את האנטיליה - משאבה שהונעה באמצעות בעל חיים שהיה מסתובב סביב באר. יוזמה תעשייתית נוספת לה היה שותף ד"ר שטיין, התרחשה בשנת 1893 עת עלה במוחו רעיון לייסד יקב בגדרה. בשלהי אותה שנה הוקם למטרה זו ועד בן 5 חברים שכלל את פינס וד"ר שטיין, והועד הוא שנתן את השם "אגודת תירוש". יקב ממש לא הוקם אלא לייצור קוניאק בלבד, וגם זה רק לזמן קצר ואת ענבי גדרה שלחו ליקב בראשון לציון.
תקופת פתח תקווה וירושלים.
בשנת 1900 עבר ד"ר שטיין לפתח תקווה לאחר שהסתכסך עם שמעון רוקח - מייסד ומנהל בית החולים "שער ציון", ובית החולים נסגר. בפתח תקווה התגורר ד"ר שטיין במקום בו נפגשים היום הרחובות מונטיפיורי וסלור. בפ"ת היו מקרים רבים של מלריה. גם בכפרים הערבים שבסביבה היו חולים רבים ומצב זה דרש מד"ר שטיין עבודה רבה ומאומצת.
למרות עזיבתו את יפו המשיך שטיין לבקר בה כשלוש פעמים בשבוע.
באחד הכפרים הוא גילה מקרה של כולירע ולפי דרישתו אסר ועד המושבה על הכפריים את הכניסה לפ"ת ומנגד נאסר על תושבי פ"ת כל מגע איתם. הודות לכך עלה בידיו לשמור על התושבים גם כאשר היו בסביבה מקרי מוות רבים. בפ"ת נשאר ד"ר שטיין כ-3 שנים בלבד כי שכרו לא שולם וגם אדיקותם של תושבי המושבה לא הייתה לרוחו ובשנת 1904 הוא חזר ליפו, לשכונת נוה שלום כרופא פרטי. בהמשך היה שטיין ממייסדי ההסתדרות הרפואית בישראל, ונטל בה חלק פעיל, אחת לשבועיים התקיימו בתל אביב ישיבות ההסתדרות והוא בא מנווה שלום להשתתף בהן ולשאת הרצאות.
ב-11 בינואר 1912, כאשר מספר הרופאים היהודים בארץ עמד על 32, הוחלט באספה שהתקיימה בביתו של ד"ר דב מאיר קרינקין בתל אביב ברחוב אלנבי, לייסד אגודה שתיקרא "אגודה מדיצינית עברית ליפו ומחוז יפו", שאליה יוכלו להתקבל רופאים, וטרינרים ופרוביזורים (רוקחים מוסמכים). הנוכחים באספה שנחשבו למייסדי האגודה היו: ד"ר יהודה לייב פוחובסקי, ד"ר חיים חיסין, ד"ר בת שבע יוניס גוטמן, ד"ר דב מאיר קרינקין, ד"ר מנחם שטיין וד"ר משה שרמן והרוקח זאב אורבוך. צורפו אליהם ד"ר סוניה בלקינד, ד"ר יעקב ברנשטיין-כהן מפתח תקווה, ד"ר וויצברד מראשון לציון וד"ר אברהם צבי מוסקוביץ מרחובות. באספה נקבע שיעור דמי החבר באגודה ונערכו בחירות חשאיות להנהלה, שעל פיהן נבחרו ד"ר פוחובסקי ליושב ראש, ד"ר קרינקין לסגן יושב ראש וד"ר משה שרמן למזכיר. .
בשנת 1914 השתתף בוועידה הארצית בנושא מיגור הגרענת. הוועדה התכנסה בד' בניסן תרע"ד ב"בית חולי עיניים העברי", בירושלים.
בשנת 1915, במלחמת העולם הראשונה, בגיל 60 גויס ד"ר שטיין אל הצבא העות'מאני ונשלח לבית החולים העירוני בירושלים. בשנת 1916 - שנה מאוחר יותר, נדבק שטיין בטיפוס הבהרות ונפטר בחג הראשון של פסח. הוא נקבר בבית הקברות בהר הזיתים.
שטיין היה נשוי לד"ר שרלוטה שטיין ואב לישראל (מהנדס) ולרחל אשת הפרדסן נחמן גלמן בפתח תקווה.
דברים אודותיו.
ד"ר הלל יפה אמר עליו: .
שולמית לסקוב מעידה בספרה "הביל"ויים", על פי ריאיון עם דבורה גור לבית רבינוביץ, בת אחותו של ד"ר שטיין (אשתו של אסף גור וכלתו של יהודה גור), ועפ"י עיתונות מאז: .
הסופר יהודה גור-גרזובסקי כתב: .
הנצחתו.
על שמו רחוב בשכונת "נווה צדק" בתל אביב.
פרשת וגנר (ספר)
פרשת וגנר (מגרמנית: Der Fall Wagner) הוא ספר פילוסופיה גרמני מאת פרידריך ניטשה, אשר פורסם לראשונה בשנת 1888. בספר ביקר ניטשה את המוזיקאי ריכרד וגנר והסביר כי בשל התקרבותו של ואגנר לפולקיזם ולאנטישמיות, הוא מכריז גט כריתות על המלחין (שנפטר כמה שנים קודם לכן). לדבריו של ניטשה, המוזיקה של וגנר הפסיקה להיות בעלת "השפעה פילוסופית", ובאופן אירוני מושווה לזו של ז'ורז' ביזה (שנחשבת לגרועה בעיני רבים) אמנם, ניטשה מתייחס לפרשת וגנר רק כתסמין של "מחלה כללית" הפושה לדבריו ברחבי אירופה, הלא היא מחלת הניהיליזם.
הדעה המוצגת בספר מנוגדת בתכלית להערצה הראשונית של ניטשה אל וגנר. בחלקו השני של הולדת הטרגדיה, הוא משבח את וגנר כמי שהצליח לייצר מוזיקה הפורצת את גבולות ההבנה האנליטית חסרת הרגש למוזיקה. התרחקותו של ניטשה מוגנר באה לידי ביטוי עוד לפני פרסום פרשת וגנר ובאחת היצירות האחרונות בחייו, "ניטשה נגד וגנר", הוא חוזר לעסוק בפרשה ומנסה להוכיח מתוך כתביו, כי עמדתו העקרונית לגבי מוזיקה נשארה עקבית ורק היחס הראשוני לוגנר היה מוטעה.
בהר
בחוקותי
בשלח
האזינו
וארא
ואתחנן
פרשת ואגנר
הרפובליקת אדיגיה
רפובליקת דאגסטן
הרפובליקה של אינגושטיה
רפובליקת קברדינו-בלקריה
רפובליקת קאראצ'אי-צ'רקסיה
רפובליקת צפון אוסטיה - אלניה
Fear, uncertainty and doubt
אלגברת הרכבה
באלגברה מופשטת, אלגברת הרכבה היא מבנה אלגברי הכולל אלגברה, שאינה בהכרח אסוציאטיבית מעל שדה F, עם תבנית ריבועית לא מנוונת N, המקיימת את תנאי ההרכבה formula_1. בגלל תכונת הכפל, התבנית N נקראת גם נורמה.
הדוגמה המוכרת ביותר לאלגברה כזו היא שדה המספרים המרוכבים, כאלגברה מעל הממשיים, שם התבנית היא formula_2.
ידוע שהממדים האפשריים לאלגברת הרכב, בין אם יש לה איבר יחידה ובין אם אין איבר כזה, הם 1, 2, 4 או 8. (זוהי תוצאה של משפט הורוויץ על תבניות ריבועיות כפליות). יתרה מזו, ידוע שכל אלגברת הרכבה עם איבר יחידה היא אחד מן הבאים: שדה הבסיס, סכום ישר של שני עותקים שלו, הרחבה ריבועית של שדה הבסיס, אלגברת קווטרניונים, או אלגברת קיילי. בפרט, אלגברת הרכבה עם יחידה היא אלטרנטיבית וריבועית.
מן התבנית הריבועית N אפשר לחשב תבנית בי-ליניארית סימטרית formula_3, הנקראת התבנית הפולרית של N. במאפיין שונה מ-2 אפשר לשחזר את N מתוך B, באמצעות הנוסחה formula_4.
אלגברות הרכבה עם יחידה.
התנאים הבאים שקולים זה לזה, עבור אלגברה עם יחידה:
אם C אלגברת הרכבה עם יחידה, אפשר להגדיר את האינוולוציה האמורה לפי הנוסחה formula_8, כאשר B התבנית הפולרית של N.
מיון.
אלגברות הרכבה עם יחידה מתקבלות מן הצעדים הראשונים בתהליך קיילי-דיקסון. כל אלגברת הרכבה עם יחידה מעל שדה F היא אחת מן האלגברות הבאות:
אלגברות אלו נקראות אלגברות הורוויץ.
תבנית הנורמה.
אלגברת הרכבה היא אלגברת חילוק אם ורק אם תבנית הנורמה שלה אנאיזוטרופית. תבנית הנורמה של אלגברת הורוויץ היא תבנית פיסטר, כלומר, תבנית ריבועית עם מקדמים formula_12 בממד 2, מקדמים formula_13 בממד 4, ומקדמים formula_14 בממד 8. אם תבנית כזו היא איזוטרופית (היינו, מייצגת את 0 באופן לא טריוויאלי), אז היא תבנית ריבועית היפרבולית. שתי אלגברות הורוויץ הן איזומורפיות אם ורק אם יש איזומטריה בין תבניות הנורמה שלהן. מכאן נובע שיש בדיוק אלגברת קווטרניונים אחת שאינה אלגברת חילוק - הלוא היא אלגברת המטריצות formula_15; כמו כן, יש בדיוק אלגברת אוקטוניונים אחת שאינה אלגברת חילוק - אלגברת האוקטוניונים המפוצלת.
אלגברות הרכבה בלי יחידה.
כרגיל בתורת החוגים, "אלגברה הרכבה בלי יחידה" היא מערכת המקיימת את כל האקסיומות שהוזכרו במבוא, למעט הדרישה לקיום איבר יחידה. בסעיף זה נכתוב "אלגברת הרכבה", ונתכוון לכאלו שבהן אין מניחים קיומו של איבר יחידה.
איזוטופית לאלגברה עם יחידה.
כל אלגברת הרכבה מממד סופי איזוטופית לאלגברת הרכבה עם יחידה, במובן הבא: אם M אלגברת הרכבה עם תבנית ריבועית N, אז קיים איבר formula_16 כך ש- formula_17; אז פעולות הכפל מימין ומשמאל formula_18 ו- formula_19 הפיכות, והפעולה formula_20 הופכת את M לאלגברת הרכבה עם יחידה (ביחס לאותה נורמה N). מכאן נובע שהממד של אלגברת הרכבה מממד סופי (גם ללא איבר יחידה) הוא 1, 2, 4 או 8. כל איזומורפיזם בין אלגברות הרכבה עם יחידה הוא גם איזומטריה של תבניות הנורמה, ומכאן נובע שכל אלגברות ההרכבה עם יחידה הדומות ל-M, איזומורפיות זו לזו. עם זאת, יש אלגברות הרכבה בלי יחידה מממד אינסופי.
אלגברות הרכבה סימטריות.