שדה המספרים הסוריאליסטיים הוא שדה סדור (שאינו קבוצה אלא מחלקה), וכל שדה סדור ניתן לשיכון בתוכו באופן יחיד.
סדר וטופולוגיה.
בשדה ניתן לסידור, מוגדרת טופולוגיית Harrison על אוסף הסדרים האפשריים, שהבסיס שלה כולל את הקבוצות formula_43 לכל a שאינו אפס. הטופולוגיה הזו היא תמיד קומפקטית והאוסדורף מממד אפס (כלומר, יש לה בסיס של קבוצות שהן פתוחות וסגורות). כל מרחב טופולוגי קומפקטי האוסדורף ובעל ממד אפס הומיאומורפי למרחב הסדרים של שדה מתאים.
סגוֹרים.
שדה סדור נקרא סגור ממשית (real closed), אם אין לו הרחבה אלגברית סדורה (לדוגמה, שדה המספרים הממשיים הוא סגור ממשית). כל שדה כזה הוא בוודאי אוקלידי.
כל שדה סדור F מוכל בשלושה שדות formula_44, שכולם אלגבריים מעל F, והם מקיימים את התכונות הבאות: formula_45 סגור ממשית (שלא כמו בניית הסגור האלגברי, בנייה זו אינה זקוקה ללמה של צורן); formula_46 הוא שדה אוקלידי, שאפשר לקבל כשרשרת של הרחבות, שבכל אחת מהן מוסיפים לשדה הקודם את כל השורשים של איברים חיוביים; ואילו formula_47 הוא שדה פיתגורי, המתקבל כחיתוך של כל תת-השדות הפיתגוריים של formula_45 המכילים את F.
חתכי דדקינד
חתכי דדקינד מהווים אחת משתי השיטות הקלאסיות לבנייה של שדה המספרים הממשיים מתוך שדה המספרים הרציונליים. אלו הן הבניות הראשונות של שדה זה שאינן תלויות באקסיומות גאומטריות. את הבניה הציג ריכרד דדקינד ב- 1872. באותה שנה הציע גאורג קנטור את הבניה באמצעות "סדרות קושי".
חתך במספרים הרציונליים הוא חלוקה שלהם לשתי קבוצות לא ריקות formula_1 ו-formula_2, כך שכל איבר של formula_1 קטן מכל איבר של formula_2, וכך של-formula_1 אין מקסימום. לדוגמה, אם formula_6 הוא מספר רציונלי, אפשר לבחור formula_7 ו- formula_8; אז formula_9 הוא החתך המתאים ל-formula_6. חתכים אלה, שאותם אפשר לאפיין גם בכך שלקבוצה B יש מינימום, נקראים "החתכים הרציונליים".
אפשר להגדיר פעולות חיבור וכפל בין חתכים, והאוסף המתקבל הוא שדה, שאוסף החתכים הרציונליים מהווה תת-שדה שלו. יתרה מזו, קל לסדר את השדה החדש (formula_9 גדול מ- formula_12 אם formula_1 מכיל את formula_14), ואז השיכון של הרציונליים בשדה החתכים (המתאים לכל מספר רציונלי את החתך שלו) שומר על יחס הסדר.
ישנם גם חתכים לא רציונליים. למשל, אפשר לקחת את formula_2 להיות קבוצת המספרים "הרציונליים" החיוביים, שריבועם גדול מ-2, ואת formula_1 להיות המשלים של formula_2. במקרה זה formula_9 הוא חתך שריבועו שווה לחתך המתאים ל-2, ולכן אינו יכול להיות רציונלי (שהרי השורש הריבועי של 2 אינו רציונלי).
מתברר שהשדה החדש הוא שדה סדור שלם ארכימדי, והוא השדה היחיד בעל תכונות אלה. לשדה זה קוראים שדה המספרים הממשיים. את אוסף החתכים אפשר לבנות עבור כל שדה סדור, אלא שהתוצאה אינה שדה אלא אם השדה המקורי הוא ארכימדי. אוסף החתכים בשדה ארכימדי איזומורפי בכל המקרים לשדה המספרים הממשיים.
ב-1972 הכליל את הרעיון ג'ון קונוויי, ובנה את מה שכונה אחר-כך מספרים סוריאליסטיים.
הכללה.
אפשר להגדיר בצורה דומה חתכים לכל קבוצה סדורה. תהי A קבוצה הסדורה ביחס סדר מלא &gt;. נגדיר חתך להיות קבוצה לא ריקה C בלי מקסימום, המקיימת שאם x ב-C ו-y&lt;x אז גם y ב-C. את הקבוצת הקבוצות המתקבלות D נסדר על פי יחס ההכלה (שקל לראות שמסדר אותן בסדר מלא), ונגדיר את ההטלה הקנונית מ-A ל-D על ידי x עובר לקבוצת המספרים הקטנים מ-x. זהו שיכון (כלומר פונקציה חח"ע) שהוא איזומורפיזם על תמונתו (משמר סדר) ולכן ניתן להגיד ש-A מוכל ב-D. אז A צפוף ב-D, ולכל קבוצה חסומה ולא ריקה ב-D יש סופרמום. בנוסף, אם נסתכל על טופולוגיית הסדר על D, אז A צפוף ב-D (במובן הטופולוגי), ואם A צפוף (במובן של סדר) אז D מרחב קשיר.
הקבוצה המתקבלת D מקיימת את "תכונת השלמות": לכל תת-קבוצה לא ריק וחסומה מלעיל יש סופרמום. יתרה מכך, כל איבר שנוסף ב-D ולא היה קודם ב-A הוא סופרמום של תת-הקבוצה שהוא מייצג (ועל כן אם A מקיימת את תכונת השלמות, D איזומורפית ל-A).
יחס סדר מלא
אלבה (נהר)
אלבה (צ'כית: Labe, ; גרמנית: Elbe; סורבית: Łobjo), נהר הנובע בהרי קרקונושה בצפון-מערב צ'כיה וזורם צפון-מערבה דרך גרמניה עד שנשפך לים הצפוני. הוא אחד הנהרות העיקריים במרכז אירופה, ואורכו 1,170 קילומטרים.
החל מ-1842 שימש נהר האלבה כנתיב מים לאוניות סוחר, וניתן להגיע באמצעותו אף עד פראג. נהר האלבה מחובר במערכת תעלות לאזורי תעשייה בגרמניה, לנהר האודר, לנהר הריין ולים הבלטי.
מקור שמו של נהר האלבה הוא במילה "älv", שמשמעותה "נהר" בשפות סקנדינביות. בשנת 9 נכשלו הרומאים בניסיון להזיז את גבולם מזרחה מנהר הריין לנהר האלבה בקרב יער טויטובורג, ולאחריו לא ניסו זאת שנית.
נהר האלבה סימן את גבולה המזרחי של אימפריית הפרנקים בתקופתו של "קארל הגדול".
בתקופת נפוליאון בונפרטה היווה נהר האלבה את אחד מקווי המתאר לגבול בין פרוסיה לברית הריין.
לאחר חתימת חוזה ורסאי בשנת 1919 הוכרז אפיק נהר האלבה מאתר האיחוד עם נהר הוולטאבה ועד השפך לים הצפוני כשטח בינלאומי, הכרזה שבוטלה בהסכם מינכן בשנת 1938. לקראת תום מלחמת העולם השנייה, ב-25 באפריל 1945, נפגשו על גדות הנהר אלבה הכוחות הסובייטיים שהתקדמו ממזרח עם כוחות בעלות הברית המערביות שהתקדמו מכיוון מערב.
לאחר מלחמת העולם השנייה היה נהר האלבה אחד מנתיבי הגבול שבין גרמניה המזרחית לגרמניה המערבית.
חתך דדקינד
אהרון ליכטנשטיין
ויליאם וואלס
סלאבי
"סלאבי" או "סלאבוני" עשוי להתייחס לאחד מן הבאים:
מרדכי נאור
מרדכי (מוטקֶה) נאור (נולד ב־19 באוגוסט 1934) הוא סופר וחוקר תולדות ארץ ישראל, מפקד גלי צה"ל בשנים 1974–1978.
ביוגרפיה.
מרדכי נאור נולד בשנת 1934 בתל אביב למשפחה רחובותית. הוא גדל ברחובות, פרט למספר שנים שבהן נאלצה המשפחה לעבור לגן יבנה עקב בעיות פרנסה. לאחר סיום לימודיו התגייס לנח"ל ונמנה עם מקימי קיבוץ נחל עוז, בו נשאר לאחר סיום שירותו הצבאי, מ־1953 עד 1956, ובו התחתן עם אשתו לאה. בסוף 1956, עזב את הקיבוץ והחל לעבוד בעיתונות. נאור כתב עבור עיתון הנוער העובד "במעלה", עבור "במחנה נח"ל", עבור השבועון "רימון", אליו נתקבל על ידי יעקב אגמון, וב"דבר". בשנת 1958, היה נאור סגן עורך של "במחנה נח"ל". באותה שנה זכה באופן חלקי בפרס עמוס לב על כתבה שתיארה את קיבוצו, נחל עוז. בשנת 1961 היה לעורך "במחנה גדנ"ע" ו"במחנה נח"ל". בשנה זו החל ללמוד בבית הספר הגבוה למשפט ולכלכלה ואותו סיים עם תואר ראשון במדע המדינה וסוציולוגיה בשנת 1964. המשיך ללמוד לתואר שני בירושלים, ואת התואר השני במדע המדינה קיבל ב-1970.
נאור היה סגן מפקד גלי צה"ל ושידר בתחנה פינה שבועית ותוכניות שונות. ביוני 1974 נתמנה למפקד גלי צה"ל. במהלך מלחמת יום הכיפורים עברה התחנה לשדר מסביב לשעון, ונאור נאבק לאחר כניסתו לתפקיד להמשיך מתכונת שידורים זו. במהלך כהונתו יזם חידושים כמו שימוש ב"טלפון האדום" לקבלת ידיעות מהמאזינים ו"האוניברסיטה המשודרת". נאור נאבק על עצמאות גלי צה"ל אל מול רשות השידור. ביוני 1978 סיים את תפקידו בגלי צה"ל, ועבר להיות העורך הראשי של משרד הביטחון – ההוצאה לאור.
נאור קיבל תואר דוקטור במסגרת בית הספר למדעי היהדות של אוניברסיטת תל אביב; עבודת הדוקטור שלו, שכותרתה: "פנחס ספיר (בתקופת השנים 1930–1949) לבחינת דרכו של מנהיג מהרמה המקומית ללאומית, על רקע ההתפתחות הפוליטית והכלכלית של היישוב בשנים אלו", נעשתה בהדרכת פרופ' מתתיהו מינץ ואושרה בשנת 1984.
מלבד היותו מרצה להיסטוריה, מרבה נאור בכתיבת ספרים פופולריים בתולדות ארץ-ישראל (ביניהם זכתה להצלחה גדולה הסדרה "מסיפורי ארץ אהבתי"), וכן ביוגרפיות על אישיה (בין היתר כתב ביוגרפיות על הברון רוטשילד, פנחס ספיר, הרמטכ"לים יעקב דורי וחיים לסקוב ואליהו דובקין, "שר העלייה של המדינה שבדרך"). בשנת 1962 הציע לו שאול ביבר לכתוב גיליון מיוחד של כתב העת "מערכות שריון" לציון 15 שנים לחטיבה 7, ונאור ניצל את ההזדמנות והציע להוציא לאור ספר, שהיה לספרו הראשון, "כאן השריונים". בשנות ה-60 כתב ספרים נוספים על צה"ל: "על הגובה" – על חיל האוויר (1965); "ימי יוני" – על מלחמת ששת הימים, יחד עם זאב ענר; ו"השבח להם" – על מקבלי צל"שים.
במסגרת המכון לתקשורת יהודית באוניברסיטת תל אביב, בראשות שלום רוזנפלד, ערך את כתב העת "קשר" לתקשורת יהודית וישראלית, שיצא לאור במשך 16 שנה (33 חוברות, 1987–2003).
נאור היה שותף במשך שנים לזאב ענר בתוכנית הרדיו "מחפשים את המטמון", שבה התוודעו המאזינים דרך שעשוע וכתב חידה לפרקים בתולדות ארץ-ישראל.
ספרו "17 המדרגות" הוא רומן שבאמצעותו הוא עוקב אחרי פרקים בתולדות הארץ דרך גיבורו, דב בן ליש, דמות מסתורית שהייתה נוכחת כמעט בכל אתר ונקודה חשובה בהיסטוריה של עם ישראל וארצו.
נאור הוא חוקר וסופר פורה, ובספרייה הלאומית בירושלים אצורים כ-200 כרכים משלו: ספרים שכתב, ספרים שהיה שותף לכתיבתם, ספרים שערך, קטלוגים לתערוכות, וכן רומן אחד וכמה ספרי סיפורים לבני הנעורים. הוא משמש כיועץ וכאוצר מוזיאונים, כגון מוזיאון הרעות במצודת כ"ח (נבי יושע), אתר רכבת העמק בכפר יהושע, מוזיאון ההגנה בתל אביב, ובית ראשונים בהרצליה.
חיים אישיים.
מרדכי נאור נשוי למשוררת וסופרת הילדים לאה נאור, ולהם שתי בנות ובן.
מספריו.
בין הספרים שכתב בנושאי ארץ-ישראל והעם היהודי:
סיפורת:
ספרי ילדים ונוער:
בין הספרים והפרסומים שערך:
קישורים חיצוניים.
על ספריו:
שטיבל