בעזרת פונקציות מספר המסלולים ניתן להכליל בקלות תכונות מוכרות. חבורה אוליגומורפית G תיקרא n-הומוגנית אם formula_68, ו-n-טרנזיטיבית אם formula_69. אם G היא n-הומוגנית או n-טרנזיטיבית לכל n טבעי, G תיקרא על-הומוגנית או על-טרנזיטיבית בהתאמה. (הגדרות אלו מתיישבות עם הגדרות מוכרות). לפי החסם על מספרי המסלולים, כל חבורה על-טרנזיטיבית היא על-הומוגנית.
לדוגמה, החבורה הסימטרית formula_70 היא על-טרנזיטיבית (כל תמורה נמצאת בה) ולכן גם על-הומוגנית.
חבורת התמורות ששומרות על הסדר של formula_71, המסומנת formula_72, היא על-הומוגנית אבל לא על-טרנזיטיבית. יהיו formula_73,formula_74 שני n-צירופים, נסדרם כך שיהיו עולים ממש. נוכל לשלוח כל formula_75 ל-formula_76, וכל קטע formula_77 לקטע formula_78 על ידי כפל והזזה במספר רציונלי מתאים. נרחיב את התמורה לכל formula_71 וקיבלנו איבר של החבורה. אז formula_68, זה נכון לכל n ולכן החבורה על-הומוגנית. מצד שני היא לא על-טרנזיטיבית, כי תמורה שומרת סדר לא יכולה להחליף בין שני מספרים שונים, ולכן formula_81.
עבור חבורה על-טרנזיטיבית, כמסקנה מהחסם הקודם מתקיים formula_82, כאשר formula_83 הוא מספר בל.
תכונות.
פונקציות מספר המסלולים הן מונוטוניות עולות. לכל חבורה אוליגומורפית, formula_84, ומתקיים שוויון אם ורק אם formula_85. טענה קצת פחות טריוויאלית היא שמתקיים גם formula_86.
אם formula_87, חבורות אוליגומורפיות, אז formula_88, וכן formula_89, כי מורידים איברים ב-H שמצמצמים את מספר המסלולים. יתרה מכך, formula_90, כלומר קצב הגידול של מספר המסלולים בתת-חבורה הוא גדול יותר.
ניתן לנסח באלגנטיות טענות על פונקציות מספר המסלולים על ידי שימוש בפונקציות יוצרות. עבור formula_52 אין חשיבות לסדר, ולכן לכל G ניתן להשתמש בפונקציה היוצרת formula_92. עבור formula_53 יש חשיבות לסדר, ולכן אפשר להתבונן בפונקציה היוצרת המעריכית formula_94.
עבור מכפלה ישרה, מתקיים formula_95, וכן formula_96.
לדוגמה, אם H על-הומוגנית, אז formula_97, כלומר formula_98 היא סדרת הסכומים החלקיים של formula_99. בפרט, אם S היא החבורה הסימטרית, ניתן להוכיח (באינדוקציה על k) כי formula_100.
עבור מכפלת זר, המצב מורכב יותר. מתקיים כי formula_101. בניגוד למכפלה ישרה, את formula_102 אי אפשר לחשב באופן ישיר מהפונקציות המתאימות של המרכיבים במכפלת זר, אבל ניתן לחשב זאת בכלים קומבינטוריים.
סדרות קומבינטוריות מפורסמות מתבררות להיות פונקציות מספר המסלולים של חבורות אוליגומורפיות. למשל, formula_103 הוא מספר פיבונאצ'י ה-n, ו-formula_104 כאשר formula_105 הוא מספר החלוקות של n, ו-S היא החבורה הסימטרית.
טופולוגיה.
ניתן להגדיר באופן טבעי טופולוגיה על חבורת התמורות הפועלות על formula_1 כאשר הוא בן-מניה. תהי formula_107 מניה של formula_1. נאמר שסדרה של תמורות formula_109 מתכנסת ל-formula_110 נקודתית אם ורק אם לכל k טבעי, עבור כל n גדול מספיק, מתקיים formula_111. כעת ניתן להגדיר על formula_70 את הטופולוגיה של התכנסות נקודתית. (כלומר הטופולוגיה המושרית על התמורות של formula_1 מטופולוגיית המכפלה של formula_114).
בטופולוגיה הזו פעולת הכפל וההיפוך הן רציפות, ולכן כל חבורה אוליגומורפית G היא חבורה טופולוגית. G פתוחה ב-formula_70 אם ורק אם היא מכילה את המייצב (הנקודתי) של קבוצה סופית. הקבוצות formula_116, כאשר formula_117, formula_118 הן חליפות מאותו גודל, מהוות בסיס לטופולוגיה. אלו קוסטים של מייצבים (אם החליפות נמצאות באותו מסלול, אחרת זו קבוצה ריקה).
אפשר להגדיר מטריקה על חבורת התמורות באופן הבא – formula_119 משרה את אותה טופולוגיה. היתרון שלה הוא שהיא הופכת את formula_70 למרחב מטרי שלם.
לכל תת-חבורה של G יש טופולוגיה המושרה מהטופולוגיה של G. העובדה ש-formula_70 הוא מרחב מטרי שלם מאפשרת להשתמש במשפט הקטגוריה של בייר, משפט שימושי להוכחות לא קונסטרוקטיביות בטופולוגיה.
יישומים בתורת המודלים.
לחבורות אוליגומורפיות יש שימושים רבים בתורת המודלים. הודות למשפט לוונהיים-סקולם היורד, מותר להניח כי formula_1 הוא בן-מניה מבלי לאבד טענות חזקות.
אם G חבורת תמורות מעל formula_1, אז יש מבנה מעל שפה יחסית (חסרת קבועים) M כך שמתקיים formula_124, וכן ל-G ול-formula_125 יש את אותם מסלולים על formula_126, לכל n.
נוכל לפרק את formula_127 למסלולים formula_128,formula_129. לכל מסלול formula_130 נגדיר יחס formula_131 עם n משתנים אם formula_132. כעת נפרש את formula_131 מעל המודל (איחוד המסלולים) להיות formula_130. לכן formula_124. כעת, כל formula_3-יה המספקת את formula_131 עושה זאת לערך יחיד של formula_138, לכן אם formula_117 ו-formula_118 נמצאים באותו מסלול תחת formula_125, הם מספקים את אותו formula_131 ולכן נמצאים באותו מסלול ב-G.
מבנה זה נקרא המבנה היחסי הקנוני של G.
המודל היחסי הקנוני של חבורה אוליגומורפית שופך אור נוסף על הטופולוגיה שלה. תת-חבורה G של formula_70 היא סגורה אם ורק אם formula_144 עבור מבנה M על formula_1. לא כל שכן, הסגור של חבורת תמורות G בטופולוגיה של formula_70, הוא חבורת האוטומורפיזמים של המבנה הקנוני שלה.
פיתוח הכלים של חבורות אוליגומורפיות בתורת המודלים ובטופלוגיה מובילים לתוצאות חזקות. אפיון אחד חשוב הוא גרסה של משפט Ryll-Nardzewski - מבנה בן-מניה M הוא formula_147-קטגורי (כלומר מבנה מעל תורה formula_147-קטגורית) אם ורק אם formula_125 היא חבורה אוליגומורפית.
פיוס
פלאצו פיזאני גריטי
פלאצו פיזאני
בואינג בואינג
בואינג בואינג (באנגלית: Boeing Boeing) סרט קולנוע מסוגת קומדית פארסה משנת 1965 עם טוני קרטיס, ג'רי לואיס ותלמה ריטר בתפקידים הראשיים.
התסריט מבוסס על הקומדיה הצרפתית "בואינג בואינג" משנת 1960 מאת המחזאי מארק קאמולטי. המחזה זכה להצלחה עצומה ונרשם בשנות ה-60 בספר השיאים של גינס כמחזה המוצג ביותר בעולם, והוא עלה מאז בהפקות שונות ברחבי העולם.
זה היה סרטו האחרון של ג'רי לואיס עם אולפני פרמאונט שאיתם הופיע מאז סרטו הראשון ב-1949.
ג'רי לואיס היה מועמד לפרס גלובוס הזהב לשחקן הטוב ביותר - סרט קומדיה או מוזיקלי. תלמה ריטר הייתה מועמדת לפרס גלובוס הזהב לשחקנית המשנה הטובה ביותר - סרט קולנוע.
תקציר העלילה.
ברנרד לורנס (טוני קרטיס) הוא עיתונאי אמריקאי המוצב בפריז. הוא רודף נשים מושבע ויוצא בו זמנית עם שלוש דיילות שאינן יודעות על קשריו הרומנטיים.
כדי שלא ייתקלו אחת בשנייה בעת שהותן בדירתו הזכורה בפריז, הוא מארגן לוח זמנים מדויק ונעזר בעוזרת הבית הנאמנה שלו ברטה (תלמה ריטר).
שלוש הדיילות הן: ליזה הגרמניה העובדת בחברת לופטהנזה (כריסטיאנה שמידטמר), ויקי האנגליה העובדת בחברת "בריטיש יונייטד איירלינס" (סוזן ליי) וז'קלין הצרפתייה (דני סאבאל) העובדת בחברת אייר פרנס.
ברטה הנאמנה חייבת להתאים את המאכלים לכל אחת: ויקי אוהבת כליות, ליזה אוהבת נקניקיות קנאקוורסט וז'קלין אוהבת סופלה. כן עליה להחליף את המצעים והבגדים של כל אחת ולהחליף בזמן את התמונות שלהן הנמצאות על השידה בסלון.
המצב מסתבך לאחר שחברות התעופה משדרגות את המטוסים שלהם למטוסי בואינג גדולים ומהירים יותר. זה משנה את זמן הגעתן של הדיילות ומאפשר להן לשהות יותר זמן בדירתו של ברנרד ומעלה את הסיכויים שלהן לפגוש אחת את השנייה.
עמיתו של ברנרד, העיתונאי רוברט ריד (ג'רי לואיס) מגלה את סודו של ברנרד וסוחט אותו כדי שיאפשר לו לגור בדירתו. מכאן מתחילה פארסה מטורפת ומהירה של כניסות ויציאות של הדיילות ושקרים על גבי שקרים של הגברים כדי למנוע הסתבכויות. ברטה העוזרת יוצאת מדעתה ומתפטרת.
לבסוף נפגשות שלוש הדיילות והעסק מתפוצץ. שני הגברים נמלטים מהדירה. הם נכנסים למונית שרות נהוגה על ידי בחורה יפה. הם מחייכים ומתחילים לחזר אחריה...
המחזה בישראל.
בישראל הוצג המחזה לראשונה ב-1964 ב"".
שחקנים:
ב-2007 הועלה בתיאטרון הקאמרי.
שחקנים:
שטיבלאך מאה שערים
הווארד צ'ארלס
הווארד צ'ארלס (באנגלית: Howard Charles; נולד ב-6 בספטמבר 1983) הוא שחקן בריטי הידוע בעיקר מהופעתו בתפקיד פורתוס בסדרה "המוסקטרים", עיבוד לרומן "שלושת המוסקטרים" מאת אלכסנדר דיומא.
ביוגרפיה.
צ'ארלס נולד בלונדון. בין שנת 2000 ל-2005 למד בקינגסטון קולג' וקיבל תעודה באמנויות הבמה. אחר כך למד לתואר BA במשחק ובמדיה.
את הכשרתו המקצועית רכש בדרמה סנטר לונדון שם זכה בפרס הדרמה על שם ליידי רות'רמיר ובמלגת לימודים על שם לברהולם.
תיאטרון.
בתיאטרון שיחק צ'ארלס במחזות "Blackta" (תיאטרון יאנג ויק), "מקבת'" ו"הסוחר מוונציה" (עם הלהקה השייקספירית המלכותית), "אנרון" (בתיאטרון פסטיבל צ'יצ'סטר, תיאטרון רויאל קורט בווסט אנד), "Painting A Wall" (תיאטרון פינבורו), "The Hounding of David Olwale" (תיאטראות שונים בהם התיאטרון הרפרטוארי בברמינגהם, אברימן בליברפול, והאקני אמפייר), "שלוש אחיות" (מנצ'סטר רויאל אקסצ'נג'), "The Local Stigmatic" (פסטיבל אדינבורו), "Les Jeudis" (מרכז פומפידו, פריז), "הלילה השנים עשר", "The Lunatic Queen", "טניקו", "מידה כנגד מידה", "Le Cid", "גן הדובדבנים", ו"הכבוד של וינסלו".
בוגאי (מחוז קולו)