נפתור קודם כל את המקרה הפשוט ביותר: formula_86 כאשר y פונקציה רגילה מהממשיים לעצמם. נשתמש באיטרציות של פיקאר כדי לפתור את המשוואה הזו:
כאשר את המעבר השני אפשר להוכיח באינדוקציה. קל לראות שהאיטרציות מתכנסות לפונקציה formula_90, שפותרת את המשוואה. בצורה דומה, ניתן לראות שהפתרון הכללי עבור תנאי התחלה formula_91 הוא:
למעשה, אותה שיטה בדיוק יכולה לפתור גם את המשוואה הדיפרנציאלית formula_93 כאשר A מטריצה ריבועית. על ידי האיטרציות של פיקאר מתקבל, כמו קודם, שהפתרון למשוואה עם תנאי ההתחלה formula_91 הוא הגבול:
האיבר האחרון בשוויונות הוא האקספוננט המטריציאלי של המטריצה formula_96 מוכפל בוקטור b.
המטריצה formula_97 היא מטריצה יסודית של המשוואה.
באופן דומה למקרה הכללי, אפשר להראות שהמטריצה היסודית שמתאימה למשוואה formula_98 היא המטריצה formula_99.
רדוקציה למשוואה מסדר n.
כל משוואה ליניארית מסדר n ניתנת להצגה כמערכת של n משוואות ליניאריות על ידי המעבר הבא: אם formula_100
המשוואה האחרונה מתקבלת מהמשוואה המקורית formula_105 על ידי ההחלפה formula_106.
באופן הזה מתקבלת מערכת משוואות ליניאריות שפתרונה שקול לפתרון המשוואה המקורית.
משפט לגראנז' (בחשבון אינפיניטסימלי)
חולה גוסס מת
חולה גוסס מת הוא משחק ילדים, שבו המשתתפים עומדים במעגל ומתמסרים עם הכדור ביניהם ומנסים לפסול זה את זה. פסילה מתרחשת כאשר הכדור פוגע בגופו של השחקן, אך הוא אינו מצליח לתפסו. לאחר פסילה ראשונה, עובר הנפסל למצב חולה - הוא נאלץ להמשיך לשחק בעמדו על רגל אחת. לאחר פסילה שנייה, הנפסל עובר למצב גוסס, בו הוא ממשיך לשחק כשהוא כורע. בפגיעה הבאה הנפסל משחק בישיבה, בזאת שלאחריה בשכיבה על הגב ולאחר מכן על הבטן. הפסילה שלאחר מכן מביאה את הנפסל למצב מת, כלומר הוא מפסיד במשחק.
המשתתף יכול לעלות בחזרה שלב אחד למעלה אם הוא תופס את הכדור, 3 פעמים ברציפות מבלי להפיל אותו.
עם התקדמות הפסילות קשה יותר להתחמק מפגיעה, כיוון שהתנועה הופכת מוגבלת יותר.
במקומות מסוימים שם המשחק מבוטא על ידי הילדים במלעיל (הטעמה על "חו" ו"גו"), באחרים הוא נקרא "חי גוסס מת".
משחק דומה קרוי אחד בקיר ויש לו חוקים דומים:
המנצח הוא האחרון שנשאר בחיים.
גומי (משחק ילדים)
גומי (או בשמו האחר גומי הולנדי) הוא משחק ילדים, העושה שימוש בטבעת ארוכה (מספר מטרים) של גומי גמיש מאוד ("גומי תחתונים"). למשחק דרושים לפחות שלושה משתתפים. לפחות שניים מן המשתתפים פוסקים את רגליהם מעט, ומשמשים כעמודים, המחזיקים את טבעת הגומי הנמתחת ביניהם. המשתתף הפעיל קופץ על הגומי לפי תבנית קבועה מראש, עד שהוא מחמיץ קפיצה, והתור עובר למשתתף הבא בתור. בהגיע שוב תורו של המשתתף שנפסל, הוא ממשיך מאותה נקודה, כלומר ניצב מול אותו אתגר שהוצב בפניו קודם לכן.
שלבי המשחק, המכונים "ראשון", "שני" "שלישי" וכן הלאה (במלעיל), הם בדרך כלל: גומי בגובה הקרסוליים, אמצע השוק, ברך, אמצע הירך, מותן, בית השחי, צוואר.
אחת מתבניות הקפיצה היא לקפוץ על הקו הראשון של הגומי, לקפוץ אל בין פסי הגומי, לקפוץ על הקו השני, מעבר לו, לקפוץ על הראשון ולצאת. תבניות קפיצה אחרות כרוכות בפיתול שני פסי הגומי בין הרגליים באמצעות קפיצה סיבובית.
למשחק רמות קושי:
בהיעדר מספר המשתתפים המינימלי, ניתן להשתמש בכיסא או כל דבר אחר סביבו ייכרך הגומי, בגבהים מקבילים לחלקי הגוף בשלבים השונים.
המשחק נפוץ בעיקר בקרב בנות. הוא מצריך מיומנות, יכולת פיזית ודיוק מוטורי.
תפסוני
תפסוני הוא משחק ילדים המיועד לשתי קבוצות.
מהלך המשחק.
כל קבוצה עומדת בשורה או מאחורי קו מסומן, במרחק של מספר מטרים זו מזו. נציג של אחת הקבוצות ניגש אל הקבוצה השנייה, אשר חבריה מושיטים את כפות ידיהם הפתוחות. הנציג חובט בכף ידו על שלוש כפות ידיים שונות, באומרו "תִּפ" על הראשונה, "סוּ" על השנייה וכמובן "נִי" בהכותו בשלישית. את ההברה האחרונה בדרך כלל הנציג אינו מספיק לבטא, מכיוון שברגע שהכה בכף היד, נפתח מרדף, בו הנציג המכה בורח מן השחקן שעל כף ידו הכה שלישי.
המרדף נמשך עד הגעתו של הנרדף אל מעבר לקו של קבוצת האם שלו. אם הצליח הנרדף להתחמק, הופך הרודף לשבוי של הנרדף. הוא עומד מאחוריו במשך שארית המשחק, או עד לשחרורו. נתפס הנרדף קודם להגיעו לקו, הופך הנרדף לשבוי של הרודף. שחקן משתחרר כאשר השחקן אשר לקח אותו בשבי נופל בשבי בעצמו.
אל תפהק.
אל תפהק הוא גרסה של משחק תפסוני. השחקנים מתחלקים לקבוצה ולשחקן יחיד. הקבוצה מסודרת על קו, כשכפות ידיה מושטות. היחיד מכה על כפות הידיים ארבע מכות לפי ההברות אל-ת-פ-הק, ונמלט אל מעבר לקו מרוחק, המהווה "בית". זה שידו הוכתה בהברה הק רודף אחריו. הצליח הנמלט להגיע לבית, הרודף נפסל. הצליח הרודף לתפוס את הנמלט - חוזר הנמלט לשורה והרודף הופך לנמלט החדש.
סימני דרך
סימני דרך הוא משחק ילדים המיועד לשני משתתפים לפחות ומצריך גיר, אף כי השימוש באבן גיר נפוץ יותר. המשתתפים מתחלקים לקבוצה בורחת וקבוצה רודפת, כאשר אם יש מעט משתתפים מספיק שחקן אחד בקבוצה הבורחת. הקבוצה הבורחת מתחילה לנוע, בעוד הקבוצה הרודפת ממתינה (נותנת "פור"). הקבוצה הבורחת מסמנת חיצים על המדרכה, אשר מסמנים את נתיב הבריחה שלה. על הקבוצה הרודפת לאתר את החצים ולהשיג את הקבוצה הבורחת.
ניתן לראות משחק זה, כגרסה מפושטת של משחק "חפש את המטמון".
בתרבות האנגלו-סקסית מכונה המשחק "תפסו את השועל", ואופן סימון הדרך הוא באמצעות פתיתי נייר צבעוני ולא באמצעות סימני גיר. לפי חוקי המשחק אסור מרחק של יותר מאשר 6 רגל בין סימני הדרך. המשחק מוזכר בצורתו זו בספרה של ג'ין ובסטר, אבא ארך רגליים, שיצא לאור בשנת 1912, ואשר מתרחש בארצות הברית של תחילת המאה העשרים, וכן בספרה של אדית נסביט, ילדי המסילה, המתרחש באנגליה ויצא לאור בשנת 1906.
חם קר
חם קר הוא משחק ילדים בו אחד המשתתפים מחביא חפץ והאחר מנסה למוצאו באמצעות רמזים מהמחביא.
במשחק זה אחד המשתתפים הוא המחביא והאחר או האחרים הם מחפשים; ניתן להתחלף בתפקידים לסירוגין. המחביא מסתיר חפץ, ונותן למחפשים רמזים באשר למיקומו של החפץ באמצעות מילים המתארות מידות חום ושינויים בהן, על פי קרבתם של המחפשים לחפץ. המילים הבסיסיות המשמשות כרמזים הן חם או קר, ויש המוסיפים מילים המתארות דרגות חום נוספות, כגון קפוא, לוהט, שורף, מתחמם, מתקרר, פושר, חמים, קריר. כאשר מתקרבים לנקודה, קצב הדיבור לרוב הופך מהיר יותר וההתלהבות עולה. כאשר המחפש מוצא את החפץ עשוי המחביא להכריז: אש.
ניתן לשחק את המשחק גם ללא החבאת חפץ. אחד המשתתפים בוחר בדמיונו את אחד החפצים בחדר ועליו להכווין את שאר המשתתפים לחפץ הנבחר.
כסאות מוזיקליים
הדגל
הדגל, דגליים, דגלים, כיבוש דגלים, שני דגלים, תפוס את הדגל או כבוש את הדגל הוא משחק קבוצות מלחמתי בו המשתתפים מחולקים לשתי קבוצות, ומסומנים באופן חזותי בולט (למשל באמצעות סרטי מצח או סרטי יד בצבעים שונים). במהלך המשחק לכל קבוצה דגל, עליו עליה להגן. בו זמנית, על כל קבוצה להשיג את הדגל השייך לקבוצה השנייה.
לשחקנים אפשרות לפסול שחקנים אחרים, כתלות באמצעי הזיהוי המקובלים: על ידי תלישת סרטים בגרסה הקלאסית, בנגיעה בשחקן הקבוצה היריבה. או על ידי ירי כדורי צבע בגרסאות שונות. גרסאות אחרות כוללות שבייה של שחקן הנתפש בשטח האויב, כאשר יש לו אפשרות להשתחרר רק על ידי 'כיף' מצד שחקן מקבוצתו. עד אז עליו לחכות בקרבת הדגל, בעומק שטח האויב.
אסטרטגיה נפוצה היא חלוקת הכוח לתוקפים ולמגנים, כאשר תפקיד המגנים להישאר בקרבת הדגל, ולתפוס את שחקני האויב הפולשים לשטח, ותפקיד התוקפים להשיג את דגל היריבים.
המשחק עשוי להימשך עד ל"גנבת הדגל" על ידי אחת הקבוצות, או שהוא קצוב בזמן. במקרה שהזמן הסתיים מבלי שאחת הקבוצות השיגה את דגל היריבה, תנצח זו שברשותה יותר שבויים או סרטי היריבה.
על מנת למנוע משחק סביל (פאסיבי) של התגוננות בלבד, לעיתים מתגמלים הגעה אל דגל היריבה, גם ללא גנבתו, בשווה ערך לכמות מוגדלת של שבויים או סרטים.
זהו משחק קלאסי עבור "פעולה צופית" בתנועת נוער.
המשחק נפוץ גם במשחקי מחשב מסוג ירי בגוף ראשון ומכונה Capture the flag &amp;רלמ;(CTF). מטרת השחקן להביא את דגל הקבוצה היריבה מספר פעמים למקום הדגל של הקבוצה שלו, כאשר הדגל נמצא במקומו. המפות של סוג משחק זה הן בדרך כלל סימטריות.
כדור פגיעה
כדור פגיעה הוא משחק ילדים. המשחק מיועד לקבוצת משתתפים ומצריך כדור. המשתתפים מתמסרים בכדור, ומנסים לפגוע זה בגופו של זה, בדומה למתרחש במשחק חולה גוסס מת. אם כדור נתפס ישירות מן האוויר, המוסר יושב על הקרקע. אם הכדור פגע בגופו של השחקן, אך השחקן לא תפס אותו, השחקן הנפגע יושב על הקרקע. אם הכדור נתפס לאחר שפגע בקרקע, אין התרחשות מיוחדת. שחקן יושב, שתפס כדור מן האוויר, מורשה לקום ולשוב ולהשתתף במשחק.
אף כי המשחק נראה כמשחק המשלב קבוצה שלמה לאורך זמן, בניגוד למשל למשחק כגון כסאות מוזיקליים בו קבוצת המשתתפים הפעילים מדלדלת, וקבוצת הילדים ככלל מאבדת עניין במשחק, בפועל אין הדבר כך. השחקנים המיומנים פוסלים במהירות את השחקנים החלשים יותר, וממשיכים לשחק בין השחקנים החלשים, היושבים בלי להפריע להם. סיכוייו של שחקן יושב לתפוס כדור ולחזור למשחק נמוכים ביותר משתי סיבות: ראשית, קשה יותר לשחקן יושב לתפוס כדור, משום ניידותו המוגבלת והשטח הקטן שהוא תופס. שנית, מעצם שרידתם מאוחר יותר, בהסתברות גבוהה השחקנים הנותרים הם שחקנים טובים יותר מן השחקנים היושבים, והסיכוי לכך שיעשו שגיאה קטן.
הרצל אמר