ב-1558 נבנה מבצר סאו סבסטיאו (Fortaleza de São Sebastião) בקצהו הצפוני של האי, והוא היה לבירת מזרח אפריקה הפורטוגזית ולמוקד מסיונרי חשוב. בשנים 1607 ו-1608 נהדפו התקפות הולנדיות על האי, והוא שמר על מעמדו כנמל חשוב בדרך לאסיה שדרכו עברו, בין היתר, זהב, שנהב ותבלינים. המושבה במקום החלה לשקוע בסוף המאה ה-17, אך זכתה לפריחה מחודשת במאה שלאחר מכן בזכות הפיכתה למרכז לסחר עבדים.
עם פתיחתה של תעלת סואץ ירדה חשיבותו של האי לחלוטין. ב-1898 הוא איבד את מעמדו כבירה לטובתה של לורנסו מרקס, כיום מפוטו בירת מוזמביק. באמצע המאה ה-20 נפגע גם מעמדו של האי כנמל, כאשר את מקומו ירש נמל נקאלה (Nacala) הסמוך.
מפיק טלוויזיה
ארתור מוריץ שנפליס
ארתור מוריץ שֶנְפְליס (; 17 באפריל 1853 – 27 במאי 1928) היה מתמטיקאי גרמני יהודי הידוע בשל תרומותיו ליישום תורת החבורות לקריסטלוגרפיה ועבודתו על טופולוגיה.
חייו.
שנפליס נולד בלנדסברג על נהר הווארתה (Landsberg an der Warthe; כיום גוֹז'וּב ויילקוֹפוֹלסקי (Gorzów Wielkopolski) שבפולין). הוא למד מתמטיקה באוניברסיטת ברלין בין השנים 1870 ל-1875 בהדרכת ארנסט קומר (Ernst Eduard Kummer) וקארל ויירשטראס. במרץ 1877 קיבל תואר דוקטור והחל ב-1878 לימד מתמטיקה כמורה בבית ספר תיכון, שנתיים בברלין וארבע שנים בקולמאר שבאלזס. במקביל הכין שנפליס את עבודת ההסמכה לפרופסורה (בגרמנית habilitation – עבודה שיש להגיש לאחר קבלת דוקטורט על מנת לקבל מינוי כפרופסור) והיא אושרה ב-1884 באוניברסיטת גטינגן. ב-1891 קיבל שנפליס את ראשות הקתדרה למתמטיקה שימושית באוניברסיטת גטינגן ועזב ב-1899 על מנת למלא תפקיד דומה באוניברסיטת קניגסברג. בשנת 1911 עבר ללמד באקדמיה של מדעי החברה והכלכלה בפרנקפורט, שהפכה לאוניברסיטת פרנקפורט ב-1914 ושנפליס התמנה לדקאן הפקולטה למדעים. הוא התגורר בפרנקפורט עד מותו ב-1928 ולימד באוניברסיטה עד 1922, כאשר בסוף התקופה כיהן כרקטור האוניברסיטה.
שנפליס היה חבר באקדמיה הגרמנית למדעים לאופולדינה (Deutsche Akademie der Naturforscher Leopoldina) באקדמיה למדעים של בוואריה (Bayerische Akademie der Wissenschaften), חבר כבוד בפדרציה הגרמנית למדעים (Deutsche Wissenschafter-Verband) ובין מייסדיה של החברה המתמטית הגרמנית (Deutsche Mathematiker-Vereinigung).
שנפליס היה נשוי לאמה לוין ולזוג נולדו חמישה ילדים; שניים מהם נרצחו בשואה. הוא היה קרוב משפחה של כמה מדענים ואנשי רוח יהודים נודעים. ביניהם, הפילוסוף ולטר בנימין, הסופרים גרטרוד קולמר (Kolmar) ויוליוס אליאס (Julius Elias) והארכאולוג גוסטב הירשפלד (Hirschfeld).
עבודתו.
תחילה עסק שנפליס בקינמטיקה, אבל בסוף שנות ה-80 של המאה ה-19 הציע לו פליקס קליין (Felix Klein) למצוא את החבורות הסימטריות המרחביות הקריסטלוגרפיות. במחקר הנושא קדם לשנפליס הפיזיקאי הגרמני לאונרד זונקה שלזכותו נזקפת תגלית מושג החבורה המרחבית. את הרעיון העלה זונקה לראשונה ב-1867 וב-1879 יצא לאור בלייפציג ספרו "Entwicklung der Theorie einer Kristallstruktur" (התפתחותה של תאוריית מבנה הגביש), ובו פירט את 65 החבורות המרחביות שגילה. עשר שנים אחר-כך מצא שנפליס כי הרשימה של זונקה היא חלקית משום שלא לקח בחשבון אלמנטים של סימטריה ועד לשנת 1891 הוא הוסיף עוד 165 חבורות מרחביות על הרשימה שלו על מנת לקבל את סך כל 230 החבורות המרחביות המוכרות כיום. ב-1892 פרסם שנפליס את תוצאות מחקריו המתבססות על תורת החבורות בספר Kristallsysteme und Kristallstruktur . במקביל ובאופן בלתי תלוי הגיע גם המתמטיקאי הרוסי יבגראף פיודורוב לאותה התוצאה ולכן נחשבים שניהם כמגלי הרשימה. שנפליס התכתב עם פיודרוב ואף תיקן טעויות שמצא בסיווגים שעשה פיודרוב. ב-1923 פרסם שנפליס מחדש את סיווג החבורות המרחביות והוציא לאור ספר על קריסטלוגרפיה (Theorie der Kristallstruktur).
מ-1895 ואילך עסק שנפליס במחקר תורת הקבוצות שפיתח גאורג קנטור ובטופולוגיה. יחד עם ולטר נרנסט הוא כתב ספר לימוד על חשבון אינפיניטסימלי (Einfuehrung in die mathematisehe Behandlung der Naturwissenschaften ) שהווה ספר לימוד בסיסי למהנדסים ואנשי מדע על הטיפול המתמטי במדעי הטבע.
משפט שנפליס הוא הכללה של משפט העקום של ז'ורדן (Jordan curve theorem) שקובע שמסילה פשוטה (אינה חותכת את עצמה) וסגורה מחלקת את המישור לשתי קבוצות זרות שהומאומורפיות לעיגול. המשפט (מנוסח עם משטח מתאים) אני ונכון בממדים גבוהים יותר.
טריגונומטריה ספירית
טריגנומטריה ספֵירִית היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית.
הטריגונומטריה הספירית עוסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע:
ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ).
משפטים.
המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה הספירית:
משפט פיתגורס.
משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם formula_4 ו-formula_5, ואורך היתר הוא formula_6, אז formula_7.
בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא:
formula_8.
כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה formula_9 לטור מקלורן: formula_10
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים:
formula_11.
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם formula_12, מקבלים כאשר רדיוס הכדור formula_13 את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית: formula_14.
הוכחת המשפט:
את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא:
הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X.
במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן:
formula_15 ,
formula_16,
formula_17.
את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא:
formula_18.
הצבת השוויונות: formula_3 במשוואה האחרונה מניבה את המשפט:
formula_20.
הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה formula_21.
משפט הסינוסים.
משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן formula_22 והזוויות שמולן הן formula_23 בהתאמה, מתקיים: formula_24.
בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא: formula_25.
כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה formula_26
לטור מקלורן: formula_27.
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור formula_13 : formula_29.
לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית:formula_24.
הוכחת המשפט:
האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D.
האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.
אזי formula_31, formula_32 וגם formula_33, formula_34.
במשולש AED מתקיים: formula_35
ובמשולש AFD מתקיים: formula_36
ולכן formula_37.
במשולש AOE מתקיים: formula_38
ובמשולש AOF מתקיים: formula_39 .
לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים:
formula_40,
כלומר:formula_41.
משפט הקוסינוסים.
משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן formula_22 והזוויות שמולן הן formula_23 בהתאמה, מתקיים: formula_44
בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא:
formula_45.
(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי: formula_46).
כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות formula_47 לטור מקלורן: formula_10, formula_27.
כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים:
formula_50.
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם formula_12, מקבלים כאשר רדיוס הכדור formula_13 את משפט הקוסינוסים בגרסתו האוקלידית: formula_44.
שימושים בתרבות.
ישנן דתות המצוות על מאמיניהם להתפלל כל תפילה כשהגוף מופנה לנקודה מסוימת על פני כדור הארץ (למשל ביהדות - לכיוון ירושלים, ובאסלאם - לכיוון מכה) - בשביל לעשות זאת על המתפלל לדעת את מיקומו על פני כדור הארץ (קו אורך וקו רוחב), ואז באמצעות טריגונומטריה ספירית, לחשב את כיוון התפילה הרצוי.
טאץ' עליז לסטרייט שיעיז
טאץ' עליז לסטרייט שיעיז היא תוכנית מציאות אמריקאית אשר שודרה בין השנים 2003–2007, הצליחה במפתיע, וזכתה בפרס אמי בשנת 2004.
בסדרה מככבים חמישה הומואים מוצהרים. לכל אחד מהם תחום אחריות והתמצאות שונה. החמישייה, המכונה "החמישה המדהימים" (Fab Five), מגיעה כל פעם למועמד אחר שפתוח לקבלת מהפך מבחינת מראה, כיוון חיים, ריהוט דירתו וכדומה. בתחילת הסדרה התמקדו רק בגברים הטרוסקסואלים, והחל מהעונה השלישית גם נשים וגברים הומוסקסואלים השתתפו בתוכנית (בעקבות כך קוצר השם ל-"טאץ' עליז").
בפברואר 2018 עלתה לאוויר ברשת נטפליקס גרסה מחודשת לסדרה בשם "עין קווירית", בכיכובה של חמישייה חדשה.
טאבי