אפשר לנקוט בשלוש גישות לגבי מהותם של המספרים הטבעיים. הראשונה, להניח שהמספרים הטבעיים הם, כשמם, ישות טבעית שקיומה הוא הנחה אינטואיטיבית ומקובלת. השנייה, להניח, כאקסיומה בסיסית במתמטיקה, שקיימת מערכת פאנו. ושלישית, לקבל את אקסיומות היסוד של תורת הקבוצות (כגון המערכת של צרמלו-פרנקל), ולבנות מאלו גם מערכת פאנו. גישה זו, השלישית, היא זו שהציעו גוטלוב פרגה וברטראנד ראסל, והיא המקובלת היום על רוב המתמטיקאים. כך בונים מערכת פאנו:
בדרך זו נקבל:
עתה, נגדיר קבוצה אינדוקטיבית: קבוצה אינדוקטיבית היא קבוצה המכילה את 0 (הקבוצה הריקה) וכן, עבור כל איבר בקבוצה, היא מכילה את העוקב לו. אזי, קבוצת המספרים הטבעיים formula_1 מוגדרת כקבוצה האינדוקטיבית הקטנה ביותר (המתקבלת מחיתוך של כל הקבוצות האינדוקטיביות).
כעת ניתן להגדיר על הטבעיים סדר חלקי פשוט באמצעות הכלה (כהגדרתה בתורת הקבוצות) באופן הבא: לכל formula_35 טבעיים נגדיר formula_38 אם ורק אם formula_61. לפי עקרון הסדר הטוב זהו סדר טוב.
אמנת האופיום הבינלאומית
אמנת האופיום הבינלאומית שנחתמה בהאג ב-23 בינואר 1912 הייתה האמנה הבינלאומית הראשונה לפיקוח על סמים. בתגובה לביקורת גוברת על הסחר באופיום הזמינה ארצות הברית לכנס של ועדת האופיום הבינלאומית שנערך ב-1909 בשאנגחאי שבסין 13 מדינות. האמנה נחתמה על ידי גרמניה, ארצות הברית, סין, צרפת, בריטניה, איטליה, יפן, הולנד, פרס, פורטוגל, רוסיה וסיאם. באמנה נכתב כי "כל המדינות החתומות יעשו כמיטב יכולתם לפקח, או יפעלו לפקח, על כל האנשים המייצרים, מייבאים, מפיצים, ומייצאים, מורפיום, קוקאין, והמלחים הנלווים, כמו גם על המבנים בהם אנשים אלו פועלים לייצר או לסחור במוצרים אלו".
ב-1915 יישמו את האמנה ארצות הברית, הולנד, סין, הונדורס ונורווגיה. האמנה נכנסה לתוקף גלובלי ב-1919 כאשר היא נכללה בחוזה ורסאי.
אמנת אופיום בינלאומית מתוקנת נחתמה ב-19 בפברואר 1925 ונכנסה לתוקף ב-25 בספטמבר 1928. באמנה המתוקנת נכללה לראשונה מערכת בקרה סטטיסטית בפיקוח הוועד המרכזי הקבוע לאופיום (כיום International Narcotics Control Board – הוועד הבינלאומי לפיקוח על סמים פסיכואקטיביים), גוף סמך של חבר הלאומים. מצרים, בתמיכת סין וארצות הברית, המליצה שלאמנה יתווסף איסור על חשיש, ותת-ועדה הציעה את הנוסח הבא:
הודו וארצות נוספות התנגדו לניסוח זה, כשהן מצטטות מנהגים חברתיים ודתיים ואת העובדה כי צמחי הקאנביס הגדלים פרא נפוצים במידה כזו שיהיה זה קשה מאוד לאכוף את חוק זה. דעתן התקבלה ותוספת זו לא נכללה בסופו של דבר באמנה הסופית. הושגה פשרה על פיה נאסר יבוא של "קנבוס הודי" לארצות שאסרו את השימוש בו, וארצות המייבאות אותו חייבות להנפיק תעודות המאשרות את היבוא ומצהירות שהמשלוח נדרש "אך ורק עבור מטרות רפואיות או מדעיות." בפשרה גם נדרש מהצדדים "ליישם פיקוח יעיל שטבעו ימנע את הסחר הבלתי חוקי הבינלאומי בקנבוס הודי ובייחוד בשרף המופק ממנו." מגבלות אלו השאירו מספיק פרצות על מנת לאפשר למדינות לייצר קאנביס, לסחור בו בתוך המדינה, ולהשתמש בו למטרות בילוי.
האמנה הוחלפה ב-1961 על ידי האמנה היחידה על סמים פסיכואקטיביים (Single Convention on Narcotic Drugs).
א-תוואני
אַ-תֻּוַאנִי (בערבית: ﺍﻟﺘﻮﺍﻧﻲ), הנקרא גם אַ-תֻּוַאנֶה (ﺍﻟﺘﻮانة) או אַ-טֻּוַאנִי (ﺍﻟﻄﻮﺍﻧﻲ), הוא כפר פלסטיני קטן בדרום הר חברון, הנמצא מדרום-מזרח לעיירה יטא. אוכלוסיית הכפר מונה כ-330 נפש, וחלק מתושביו מתגוררים במערות. במרחק כקילומטר מדרום-מזרח לכפר נמצא תל טוואני, שלידו הוקמה ב-1981 ההתנחלות מעון. בין תושבי הכפר למתנחלים יש לא אחת עימותים על השימוש בשטחים, בדרכים ובמקורות המים שבסביבה.
ח'ירבת א-תוואני.
הכפר א-תוואני בנוי על שרידי ח'ירבת א-תוואני. בסקר ארכאולוגי שנערך בשנת 1968 נמצאו במקום שרידים מועטים של מבנים וגדרות. החורבה שהייתה במקום, ח'ירבת א-תוואני, נהרסה ובמקומה הוקמו מבנים חדשים. התושבים שהתגוררו במקום השתמשו גם במבנים הקדומים ובמערות הטבעיות למגורים ולמכלאות. ממצאי קדרות שנמצאו במקום על ידי הארכיאולוגים היו משתי תקופות, התקופה הביזנטית ותקופת ימי הביניים. הארכיאולוג צבי אילן מצא במקום מבנה גדול, חלקו חצוב וחלקו בנוי, שאותו הוא זיהה כבית כנסת מהתקופה הרומית. בשטח המבנה התגלו פריטים מעוטרים רבים שכיום אינם נמצאים במקום. כיום, עם התרחבות היישוב באתר, מרבית השרידים שבו נהרסים, והאבנים הקדומות נלקחות לבניית בתים חדשים. הארכיאולוג וחוקר האזור יובל ברוך חפר מצפון לחורבה ומצא מערת קבורה יהודית מהמאות הראשונה והשנייה לספירה. במערה החצובה התגלו סרקופגים עשויים מאבן גיר קשה, שהם טיפוס מאוחר של ארונות קבורה.
על פי מפת הקרן לחקר ארץ ישראל מ-1880, החורבה נמצאת ליד דרך קדומה המובילה מהכפר יטא למדבר יהודה עד עין גדי. לאורכה של דרך זו סקר ברוך עשרות יישובים קדומים שהתקיימו לאורכה החל מתקופת הבית השני ועד לסוף התקופה הביזנטית.
היישוב בא-תוואני.
תושבי המקום באו אל א-תוואני במהלך המאה ה-20 מהכפר יטא, המשמש להם עד היום יישוב האם. האנתרופולוג והמזרחן יעקב חבקוק שהה בקרב יושבי המערות בין השנים 1977–1980, שבמהלכן היה גם בא-תוואני וזכה לשיתוף פעולה. הוא כותב כי אנשים מיטא עזבו את כפר האם והתיישבו בחורבות נטושות, תוך ניצול האדמות הראויות לעיבוד, כרי המרעה לרעיית צאן ואת שפע המערות הטבעיות למגורים.
התושבים שהשתקעו במערות היו ממשפחות שלא יכלו לרכוש קרקעות להקמת בתים בכפרי האם, וכן רועי צאן שלא עמדו לרשותם די שטחים למרעה. הגברים נשלחו להשתלט על חורבות נטושות בסביבה, וכאשר נמצא כי המקום ראוי למגורים וניתן להתקיים בו הביאו את בני משפחתם. לאחר שיישובי הבת הוקמו, הם הפכו למקום מקלט ומפלט לבני חמולות ומשפחות שהסתכסכו עם משפחות אחרות.
כיום (2008) מתגוררים חלק מהתושבים במבני בטון שנבנו מעל המערות. בתחום הכפר כמה בורות מים ובאר מים קדומה בשם עין א-תוואני. בסיוע גורמים בינלאומיים הותקנה בכפר מערכת חשמל. בסוף שנות ה-90 של המאה ה-20 הוקם בכפר בית ספר יסודי המשרת כמה כפרים קטנים בסביבה.
אוכלוסייה.
במפקד האוכלוסין שנערך בימי המנדט הבריטי בשנת 1931 היישוב לא היה קיים. בסקר מיפוי מטעם הצבא הבריטי שנערך בשנת 1944 נכתב כי במקום מצויה "חורבה". במפקד האוכלוסין שנערך על ידי ממלכת ירדן, בנובמבר 1961 היה מספר התושבים 127. במפקד הישראלי משנת 1967 עלה מספר התושבים ל-175 נפש. בשנת 1997 ירד מספרם ל-76 ובשנת 2002 הוערך מספרם בכ-100. במפקד האוכלוסין של הרשות הפלסטינית ב-2007 נמנו במקום 326 תושבים.
עימותים בין אנשי כפר טוואני למתנחלים.
מאז ראשית המאה ה-21 יש עימותים בין תושבי א-תוואני לבין תושבי התנחלויות סמוכות. העימותים נסובו על השימוש באדמות, שטחי מרעה ומעבר בדרכים הקרובות למעון. בשל עימותים בין תושבי טוואני לתושבים ביישובים הסמוכים צה"ל החל ללוות את ילדי הכפר בדרכם אל בתי הספר ובחזרה מהם, באתר ומדי פעם נערכות במקום הפגנות. פעולות אלה נסקרות בהרחבה באמצעי התקשורת הבינלאומיים. בשנת 2004 האשימו בני הכפר את המתנחלים בהרעלת באר המים באמצעות זריקת פגרי תרנגולות למי התהום - טענה אשר לא נבדקה ולכן מהימנותה נתונה בספק.
החיים בכפר טוואני.
בצמוד לכביש 317, שעובר כ-300 מטר מצפון לכפר, הקים צה"ל, מעקה בטון בגובה 82 סנטימטר ובאורך 41 קילומטר. המעקה נועד למנוע פיגועי ירי ולהגן על היישובים היהודיים הסמוכים. המכשול ניתק למעשה את תושבי א-תוואני מעיר המחוז, יטא, וכן מחלק מאדמותיהם. בהוראת בג"ץ פורק המעקה בשנת 2007.
משך זמן רב לא היה לכפר א-תוואני חיבור למים זורמים. תושבי הכפר משקיעים מאמצים רבים בפניות לשלטון הצבאי ולמנהל האזרחי, וכן למקורות ולרשות המים, כדי שידאגו לחיבור הכפר לרשת המים. האגודה לזכויות האזרח ועמותת "במקום" הצטרפו למאמצים בפנייה לסגן שר הביטחון מתן וילנאי, שיקדם את חיבור הכפר (המצוי בשטח C ולכן תחת אחריותו). בנוסף, חברי הכנסת חיים אורון ודב חנין התחייבו להגיש למשרד הביטחון שאילתה בנושא חיבור הכפר למים זורמים. כיום מחובר הכפר לתשתית מים של חברת מקורות.
גם הזכות לקורת-גג נפגעת, מאחר שחלק מבתי הכפר ואדמותיו אינם נמצאים בתוך תחום תוכנית המתאר שהמנהל האזרחי הפקיד לאישור. חלק מהתושבים הגישו התנגדות לתוכנית זו, שטרם אושרה. כחודשיים לאחר תחילת המאבק, ביולי 2010, הודיע המנהל האזרחי כי הוחלט שהכפר יחובר למים.
בשנת 2009 נבנתה בא-תוואני מכספי תרומות מרפאה שנועדה לשרת את תושבי הסביבה, וכן נבנה מבנה שמטרתו לתעד את ההתנגדות לכיבוש .
בספר האוטוביוגרפי גדולה הייתה הבדידות מאת בנימין ברנר, אחיו של יוסף חיים ברנר, מספר הכותב על ילדותו שעברה עליו, בין היתר, בקרב בני שבט א-תוואני שבנגב. הילד אומץ על ידי השייח ג'אבר מהשבט ועבר לגור עמו בכפר. את חוויותיו כרועה גמלים בכפר ואהבותיו הצעירות תיאר בספר בגוף ראשון.
מפרט הגורל
"מפרט הגורל" (באנגלית: Pick of Destiny) הוא סרט קומדיה / רוק מוזיקלי, המבוסס על המופע המוזיקלי שנכתב על ידי להקת הרוק "טניישס די", בבימויו של הבמאי והבובנאי ליאם לינץ'. בשני התפקידים הראשיים מככבים חברי הלהקה - ג'ק בלאק וקייל גאס. הסרט שתקציבו עמד על 20 מיליון דולר נכשל בקופות עם רווח כולל של שמונה מיליון דולר בלבד בארצות הברית.
עלילת הסרט.