הוכחת המשפט איננה טריוויאלית כלל, ומערבת משפטים לא פשוטים רבים:
אפשר לשים לב שהמשפט לא נכון עבור formula_7, זאת משום שאז הפונקציה תהיה שלמה וחסומה, ולכן לפי משפט ליוביל - קבועה.
הוכחה.
נוכיח את הניסוח הבא של המשפט: יהי formula_8 תחום פשוט קשר. יהי formula_9. אז קיימת פונקציה אנליטית וחח"ע ב formula_10 יחידה כך ש formula_11. לצורך ההוכחה נסמן ב F את קבוצת כל הפונקציות האנליטיות המעתיקות באופן חח"ע את formula_10 ל D (לא בהכרח על). נוכיח את המשפט בשלבים:
שלב ראשון- נוכיח ש formula_13:
יהי formula_14הפונקציה formula_15לא מתאפסת ב formula_10ולכן יש לה שורש אנליטי g שהוא בבירור חח"ע. נטען ש formula_17. אחרת יש formula_18 כך ש formula_19 לכן formula_20ולכן formula_21 אבל אז formula_22בסתירה לכך ש g לא מתאפסת ב formula_10.נבחר formula_24. לפי משפט העתקה הפתוחה, formula_25 קבוצה פתוחה. לכן קיים r&gt;0 כך ש formula_26. תהי formula_27. אז היא מעבירה באופן חח"ע את formula_28לתוך D וכיוון ש formula_29נקבל ש formula_30.
שלב שני- נמצא את f:
כל formula_31 אנליטית וחח"ע ב formula_10 ולכן הנגזרת שלה לא מתאפסת שם. לכן formula_33. מנוסחת האינטגרל של קושי נקבל כי formula_34סתירה.
שלב חמישי- נוכיח יחידות:
נניח ש f,g מקיימות את התכונות. נגדיר formula_35אז S אז formula_36ומלמת שוורץ נקבל שיש קבוע c, formula_37 כך שמתקיים formula_38. מקבלים ש formula_39לכן c ממשי ולכן c=1 ונקבל את הדרוש.
מסקנות ושימושים.
המשפט מהווה תוצאה חזקה מאוד בתחום האנליזה המרוכבת, ויש לו תוצאות חשובות רבות:
משפט המיפוי של רימן
דימיטריס מיטרופאנוס
דימיטריס מיטרופּאנוס (ביוונית: Δημήτρης Μητροπάνος; 2 באפריל 1948 – 17 באפריל 2012) היה זמר יווני שהתפרסם בביצוע מוזיקת לאיקו, רבטיקו ולאיקו מודרנית.
ילדותו.
דימיטריס מיטרופאנוס נולד בשנת 1948 בכפר אייה (אגיה) מוני (Αγία Mονή) על יד העיר טריקלה בצפון-מערב תסליה כילד השני (אחרי בת בכורה) לאשה מקומית ולאב שמוצאו גם כן בתסליה, בכפר קאפה שעל יד קרדיצה. מיטרופאנוס חי באזור הולדתו עד גיל 16. גדל ללא האב, אותו פגש רק כשהיה בן 29. שנים רבות חשב שאביו נהרג במלחמת האזרחים, אך בגיל 16 הגיע לידיו מכתב ממנו, מרומניה, המדינה שבה האב מצא מקלט כקומוניסט פליט. מיטרופאנוס עבד מנעוריו בחופשות הקיץ כדי לעזור בפרנסת המשפחה, קודם כמלצר בטברנה של דודו, אחר כך בגזירת עצים. הדוד היה בעצמו גולה פוליטי והתגורר בבית משפחת מיטרופאנוס עד שנעצר כעבור שנתיים. הוא השתחרר מהכלא ב-1959 והתיישב באתונה. בגיל 16 בשנת 1964 הפסיק דימיטריס את לימודי התיכון ועבר לגור אצל אותו הדוד באתונה, ברחוב אכרנון. באותה שנה התחיל את הקריירה שלו כזמר.
הקריירה המוזיקלית.
הנער התוודע מגיל קטן למוזיקה הביזנטית המושרת בכנסיות האורתודוקסיות היווניות. באתונה זימר באחד המפגשים בחברה שניהל דודו ומשך את תשומת לבו של הזמר המפורסם גריגוריס ביתיקוציס שהשתתף באירוע. בעידודו של ביתיקוציס ביקר מיטרופאנוס בחברת ההקלטות "קולומביה- האחים למברופולוס". הבעלים של החברה, תאקיס למברופולוס, הכיר לו את נגן הבוזוקי והמלחין המפורסם יורגוס זמבטס. זמבטס הפך למנטור ומעין "אב שני" של מיטרופאנוס והיה כפי שהתוודה הזמר בשנת 2009, המוזיקאי היחיד שסייע לו מבלי לבקש תמורה. יחד עם זמבטס הוציא את אלבום "קסימרומטה". בשנת 1966 פגש מיטרופאנוס את מיקיס תאודורקיס וערך איתו סיור הופעות ברחבי יוון ובקפריסין עם שיריו המגויסים של המלחין ("רומיוסיני",אקסיון אסטי"). בשנת 1967 הקליט את אלבום הסינגל הראשון שלו, "תסלוניקי". אחר כך את השיר "כאמני פסכליה" שצונזר על ידי רשויות המשטר הרודני של הקולונלים ושיווקו נעצר.
במהלך השנים שיתף מיטרופאנוס פעולה עם הטובים שבמלחיני המוזיקה הקלה והעממית העירונית ביוון, כמו מיקיס תאודורקיס, סטברוס קסרחקיס, יורגוס זמבטס, יאניס ספנוס, מנוס חג'ידקיס, מריוס טוקס ותאנוס מרוציקוס והצטיין כאחד מזמריה החשובים של יוון למשך ארבעים שנה.
בשנת 1972 הקליטו מיטרופאנוס ופטריס סלפאס את השיר "אגיוס פברואריוס" (פברואר הקדוש) מאת המלחין דימוס מוציס והמשורר מאנוס אלפתריו, שיר הנחשב לציון דרך בהתפתחות מוזיקת הפולק היוונית. ביוני 1999 הופיעו שוב מיטרופאנוס ומוציס ביחד על במת ה"הירודיאון" באתונה עם הזמרות דימיטרה גאלאני וג'וליה סוגלאקו במשך שני לילות בפסטיבל אתונה. ההופעות הוקלטו והוצאו לאור בתקליטור כפול חודשיים מאוחר יותר. בהמשך שר מיטרופאנוס את "קיתירה" מאת יורגוס קאצארוס ואת "טה סינאקדאריה" מאת יורגוס חדזינאסיוס, "טא לאדאדיקה. פאראה מה אנא איליו" מאת מריוס טוקס. במהלך הקריירה שלו שיתף פעולה מיטרפאנוס עם מלחינים מובילים בתחום מוזיקת ה"לאיקו" ו"אנדכנו" כמו זמבטס, תאודורקיס, מוציס, אפוסטולוס קאלדארס, טרקיס מוסאפיריס, כריסטוס ניקולופולוס (מלחין השיר "פארה אפופאסיס" על מילים מאת לפטריס פאפדופולוס), יאניס ספאנוס ואחרים.
ב-1997 וב-2010 ערך הזמר סיורי הופעות בארצות הברית. את הסיור האחרון נאלץ להפסיק בגלל בעיות בריאות אחרי קונצרט מהדהד באולם "רדיו סיטי מיוזיק" בניו יורק. שבו הופיע יחד עם הזמרת מרגריטה זורבאלה.
ב-17 באפריל 2012 הזמר הוזעק לבית החולים "היגיה" באתונה בעקבות אוטם שריר הלב. הוא נפטר למחרת מבצקת ראות. הובא לקבורה בבית הקברות הראשון של אתונה, לא רחוק מקברה של הזמרת ריטה סקלאריו.
דימיטריס מיטרופאנוס השאיר אשה, וֶניה ושתי בנות. לפי בקשתו המפורשת של המנוח, המשפחה סירבה לטקס לווייה ממלכתי וערכה את הלוויה בכוחות עצמה.
מבחר שירים בביצועו.
הרפרטואר שלו חזר בביצועם של זמרים אחרים כמו פסחאליס טרזיס, דימיטריס באסיס, זפיריס מאלאס, לוקאס יורקאס, אנדוניס רמוס, יאניס קוציראס, מרינלה, ניקוס מקרופולוס, סטליוס רוקוס, פגי זינה, דספינה ואנדי וכו'.
קלנטן
קלנטן (במלאית: Kelantan) היא מדינה במלזיה. בראש המדינה עומד סולטאן. קלנטן נמצאת בחלקה המערבי של מלזיה, בחצי האי המלאי, והיא גובלת בתאילנד בצפון-מערב, ים סין הדרומי בצפון-מזרח, טרנגנו במזרח, פהנג בדרום ופרק במערב. בירתה, המשמשת גם כבירה המלכותית שלה (מקום מושבו של הסולטאן), היא קוטה בהרו.
שמה המורחב של המדינה הוא קלנטן דרול נאים (במלאית: Kelantan Darul Naim, בג'אווי: كلنتن دار النّعيم).
היסטוריה.
עד המאה ה-15 קלנטן נשלטה על ידי אימפריות אזוריות שונות, כמו סריביג'איה (Srivijaya), מג'פהיט וסיאם. ב-1411 הרג'ה של קלנטן הכריז על עצמאותה מסיאם והיא נהפכה למרכז מסחרי חשוב באזור בהמשך המאה ה-15. ב-1499 היא הפכה למדינה וסאלית של סולטנות מלאקה.
ב-1511 סולטנות מלאקה הופלה על ידי פורטוגל וקלנטן התפרקה לשבטים קטנים ששילמו מס לממלכת פטני (Kerajaan Pattani). עד תחילת המאה ה-17 פטני הצליחה להשתלט לחלוטין על מרבית אזור קלנטן.
ב-1760 אזורי קלנטן אוחדו והיא הפכה להיות מדינת חסות של סולטנות טרנגנו. בשלב מסוים בסוף המאה ה-18 פרצה בקלנטן מלחמת אזרחים בין תומכי טרנגנו ובין המתנגדים לה אשר בסופה קלנטן הפכה לעצמאית וב-1800 הוכתר הסולטאן הראשון שלה. בהמשך קלנטן חתמה על ברית עם סיאם, אותה ניצלה האחרונה כדי להשתלט על קלנטן.
ב-1909 נחתם חוזה בין בריטניה וסיאם במסגרתו הועברו מספר שטחים סיאמיים, בהם קלנטן, לידי הבריטים. ב-1941, במהלך מלחמת העולם השנייה, קלנטן נכבשה כמו יתר חצי האי המלאי על ידי האימפריה היפנית. היפנים העבירו את קדה עם עוד מספר שטחים מלאים לבעלת בריתם תאילנד. ב-1945, עם סיום המלחמה, קלנטן הוחזרה לבריטניה.
ב-1946 קלנטן צורפה לאיחוד המלאי, שהפך ב-1948 לפדרציית מלאיה. ב-1957 פדרציית מלאיה קיבלה את עצמאותה והיא הייתה בין הישויות שהרכיבו את מלזיה ב-1963.
כלכלה.
כלכלת קלנטן מתבססת בעיקר על חקלאות, הכוללת בין היתר גידול אורז וטבק. בנוסף לחקלאות הכלכלה מסתמכת על דיג ותיירות.
קלאנטאן
דמרטן-אן-גואל
דמרטן-אן-גואל (בצרפתית Dammartin-en-Goële) היא קומונה בת למעלה מ-8,000 תושבים, בפרווריה הצפון-מזרחיים של פריז, כ-30 קילומטר ממרכז פריז.
הקומונה שייכת לקנטון דמרטן ברובע מו במחוז סן ומארן, בחבל איל-דה-פראנס בצרפת.
המקום התפרסם בינואר 2015 כאשר מבצעי הפיגוע במשרדי המגזין "שרלי הבדו" התבצרו בבית דפוס בעיר.
פירוק אינטרפולטיבי
באנליזה נומרית פירוק אינטרפולטיבי (Interpolative decomposition) מציג מטריצה כמכפלה של שתי מטריצות; האחת בנויה מחלק מהעמודות של המטריצה המקורית, והשנייה מכילה תת-מטריצת יחידה וכל שאר האיברים שלה קטנים מ-2 בגודלם.
הרעיון של הפירוק, ומכאן גם שמו, הוא להציג מטריצה עם יתירות בעמודות (היתירות מתבטאת בדרגה נמוכה יותר ממספר העמודות) כהרחבה (או אינטרפולציה) של עמודות נבחרות מתוך המטריצה.
באנליזה נומרית משתמשים בפירוק לא רק עבור המקרה שבו הדרגה נמוכה, אלא גם עבור המקרה שבו הדרגה הנומרית נמוכה, ואז הפירוק המתקבל מקרב את המטריצה המקורית בדיוק החישוב.
את הפירוק אפשר באופן דומה לבצע על שורות במקום עמודות.
הגדרה.
תהי formula_1 מטריצה בגודל formula_2 מדרגה formula_3, אז ניתן להציג את formula_1 כ:
כאשר:
דוגמה.
אם formula_1 היא מטריצה בגודל formula_18 מדרגה 2 :
formula_19
אז הפירוק האינטרפולטיבי שלה ע"פ עמודות הוא:
ולפי שורות:
אלגוריתם לחישוב הפירוק.
עבור מטריצה formula_22 בגודל formula_23, נחשב באופן הבא את הפירוק האינטרפולטיבי שלה מסדר formula_24:
נחשב פירוק QR של A עם פרמוטצית עמודות: AP=QR