קטע מרוץ סטנדרטי מורכב מסמן דרך התחלתי, שבדרך כלל מנחה את הצוות להגיע למדינה שונה, ואז סדרה של 2 או יותר סמני דרך, הכוללים משימת צומת אחת ומחסום אחד, ולבסוף סמן דרך אחרון שמנחה את הצוותים להגיע לשטיח הצ'ק-אין בנקודת סוף קטע המירוץ. הצוותים נדרשים להשלים כל אחת מהמשימות לפי הסדר. קטע מרוץ עשוי להימשך יותר מיום אחד, בדרך כלל כשהצוותים נתקלים במשימה שפעילה רק בשעות מסוימות ביממה, ואז הצוותים בדרך כלל ישנים בחוץ, ליד אתר המשימה הבאה או במקום לינה סמוך.
שטיח הצ'ק-אין.
כשצוותים מגיעים לנקודת סוף קטע המירוץ, כל חברי הצוות חייבים לדרוך על שטיח הצ'ק-אין (באנגלית: The Check-in Mat) - קו הסיום הרשמי לקטע המירוץ - לפני המנחה ואדם מקומי שמייצג את המדינה שבה הם נמצאים (מלבד בעונה 1, כשהמנחה עמד לבד). צורת השטיח השתנתה בין העונות (בעונה 1, שטיח הצ'ק-אין בנקודת סוף קטע המירוץ ייצג את התרבות המקומית. בעונה 2 ו-3, הם היו שחורים עם שוליים צהובים ואדומים. החל מעונה 4, הם היו מקושטים במפת העולם. בעונה 8 השטיח היה שחור עם שוליים לבנים וצהובים).
אם הצוות הוענש במהלך קטע המירוץ או נכשל בהשלמת משימה כלשהי, המנחה יבקש מהצוות לרדת מהשטיח ולחכות את זמן העונש, או לחזור ולהשלים את המשימה שלא השלימו.
צוות שהשלים את קטע המירוץ כנדרש יקבל מהמנחה הודעה לגבי מיקומו במירוץ בסיום הקטע הנוכחי. הצוות האחרון שמגיע לנקודת סוף קטע המירוץ מודח, למעט אם זהו אחד מקטעי המירוץ ללא הדחה שנקבעו מראש. בגרסה האמריקאית, הדחה זאת קיבלה את השם "Philimination" הלחם של שם מנחה התוכנית (Phil) והמילה "הדחה" (elimination). כינוי זה ניתן על ידי קהילת מעריצי המירוץ למיליון.
בכמה מקטעי המירוץ, הצוות הראשון שהגיע זכה בפרס. החל מעונה 6 ניתנים פרסים לראשונים בכל קטע מרוץ מסוים כגון פרס כספי מסוים, טיול במדינה מסוימת ואפילו כרטיס האקספרס וכרטיס ההצלה.
צוותים בדרך כלל משלימים את כל המשימות, ועושים צ'ק אין לפני שהם מודחים. לעיתים, בקטעי מרוץ עם הדחה, אם כל שאר הצוותים עשו צ'ק-אין, והצוות האחרון הרחק מאחור, סמני הדרך יכולים להפנות אותם ללכת ישר לנקודת סוף קטע המירוץ בלי להשלים את שאר המשימות (פגי וקלרי, מרי ופיץ' בעונה 2, מייקל וקת'י, אנדרה ודיימון בעונה 3, פיטר ושרה בעונה 10, יוצ'ינה וג'ויס בעונה 11, "פלייט טיים" ו"ביג איזי" בעונה 15). באופן הפוך, יכול המנחה ללכת למיקום הצוותים כדי להדיח אותם אם הם לא יכולים לסיים את המשימה (מרשל ולאנס בעונה 5, לינה וקריסטי בעונה 6, מריה וטיפאני בעונה 15, דנה ואדריאן, ג'ו והיידי בעונה 16, חנה ומרגלית בעונה 1 של הגרסה הישראלית, ברגן וקורט בעונה 26).
נקודת סוף קטע המירוץ.
נקודת סוף קטע המירוץ (באנגלית: Pit Stops) היא היעד הסופי בכל אחד מקטעי המירוץ, אליו מגיעים הצוותים הלא מודחים אחרי שטיח הצ'ק אין. בנקודות הסיום יכולים המתמודדים לנוח, לאכול, לישון, ולהכיר את המתמודדים האחרים. בחלק מהעונות שודרו קטעים ממפגשים אלה. צוות ההפקה מספק לינה (מדירות פשוטות, אוהלים או מיטה מתקפלת ועד למלונות מפוארים) ואוכל ללא הגבלה למתמודדים (אוכל במשך קטעי המירוץ חייב להירכש עם הכסף שהמתמודדים מקבלים). במשך המנוחה, הצוותים מתראיינים כדי לספק פרשנות ותובנות על קטע המירוץ שסיימו. הצוותים חופשיים לנצל את הזמן שנותר לכל מטרה שהם רואים לנכון, תחת מגבלות מסוימות.
לרוב, הצוותים מוזנקים לקטע המירוץ הבא 12 שעות לאחר שסיימו את הקטע הקודם. לעיתים קטע המנוחה מתארך, ונמשך עד ל-24 שעות, ככל הנראה מסיבות בטיחותיות, על מנת שהצוותים לא ינהגו בעצמם בשעות הלילה, או כדי למנוע מצוותים להשיג זכות גישה לטיסות מוקדמות שיכולות לשבש את הצילומים. זמני העצירות לעולם לא דווחו על ידי התוכנית, אבל צופים אדוקים של התוכנית גילו אותם על ידי מעקב אחרי נתוני טיסות, לכידות מסך, ומידע על התוכנית. העצירה הארוכה ביותר הייתה בתוניסיה במהלך העונה 1, ונמשכה 60 שעות, עקב סופת חול, שהכריחה את ההפקה למקם מחדש את העצירה. צוותים נדרשים להיות מוכנים לקטע המירוץ הבא בזמן המיועד עבורם ליציאה; לא ניתן תוספת זמן אם צוות מפספס את זמן היציאה שלו (פגי וקלרי בעונה 2, אנדה ודיימון בעונה 3, ברנט וקייטי בעונה 16, צא'ד וסטפני בעונה 17, ג'ט וקורד וכן קנת וויקסן בעונה 18, הדס וענבל בעונה 1 של הגרסה הישראלית ודניאל ומאירי בעונה 4 של הגרסה הישראלית).
קטע מרוץ כפול.
עונה 6 הציגה את קטע המירוץ הכפול (באנגלית: Double-length legs) הראשון ששודר במשך 2 פרקים. הפרק בטלוויזיה הסתיים עם "המשך יבוא" במקום נקודת סוף קטע המירוץ. בחצי השני של קטע המירוץ היו מעקף ומחסום בשנית. גם בעונות 7, 8, 9, 10, 14, 18 היה קטע מרוץ כפול.
גם במירוץ למיליון אוסטרליה היה קטע מרוץ כפול.
קטעי "המשך יבוא" נוצרו בעקבות אירוע לא מתוכנן בעונה 6. קטע מרוץ השישי בהונגריה תוכנן במקור להיות שני קטעי מרוץ ללא הדחה ביניהם. הצוות שהגיע אחרון לקטע המירוץ הראשון אמור היה להיענש באיבוד כל כספו. אך ההפקה גילתה במהלך המירוץ שעונש כספי הוא בלתי חוקי בהונגריה. כדי לשמור על האפקט של קטע מרוץ ללא הדחה, ולשמור על מספר הצוותים במשחק, נשלחה הודעת וידאו לצוותים בה נמסר להם על המשימה הראשונה בחצי השני של קטע המירוץ.
קטע מרוץ ללא הדחה.
בקטע מרוץ ללא הדחה (באנגלית: Non-elimination leg) הזוג האחרון שמגיע לנקודת הסיום איננו מודח. לרוב, הוא נענש בדרך כלשהי (אובדן כל הכסף, ויתור על החפצים שלהם חוץ מדרכון והבגדים שהם לובשים, להמתין חצי שעה ליד קו הסיום, משימה נוספת באמצע המרוץ, שרק הוא מבצע ושעלול לעכב אותם, כשהשאר ממשיכים במשימותיהם).
קטע מרוץ עם הדחה כפולה.
קטע מרוץ עם הדחה כפולה (באנגלית: Double-elimination leg) התרחש בעונה 10 לראשונה, בהפתעה בהדחה, כשהצוות האחרון שהגיע לנקודה באמצע קטע-המירוץ, הודח. בסוף קטע-המירוץ הייתה הדחה רגילה בשטיחון, כך שבסך הכל שני צוותים הודחו באותו קטע מרוץ.
בעונה ה-19 הופיע לראשונה קטע הדחה כפולה על ידי כך ששני הצוותים האחרונים שמגיעים לנקודת "הצ'ק אין" מודחים.
קטע המירוץ האחרון.
קטע המירוץ האחרון (באנגלית: Final leg) מתרחש לרוב בארץ המקור שבה משודרת התוכנית. שלושת הצוותים האחרונים שנותרו במירוץ מבצעים משימות אחרונות ומסיימים לרוב באתר מפורסם. בקו הסיום השטיח מוחלף בשטיח ענק בצבע אדום שעליו מודפס לוגו התוכנית. כל הצוותים המודחים ממתינים ליד קו הסיום ומחכים לצוות הזוכה שמקבל את הפרס הגדול.
חוקים ועונשים.
חוקים.
אסור לקחת יותר ממעטפת רמז אחת מהתיבה, לדלג על המשימה (אלא בעונה השנייה הישראלית, אך הדילוג גרר עונש של שעה עיכוב), לקחת חפצים של צוותים אחרים ואסור לקבל טרמפ מהמקומיים (כמו נייט וג'ין בעונה 12 שלקחו טרמפ מהמקומיים וכמעט הודחו).
חובה על המתמודדים לנסוע במחלקת תיירות, צוות שלא יסע במחלקת תיירות יפסל או יקבל עונש (כמו האחים עזריה והנדקיה בעונה 12 שגילו 10 דקות לפני הטיסה שהכרטיסים שלהם מיועדים למחלקת עסקים ולא הספיקו לקבל כרטיסים למחלקת תיירות ובעקבות כך הודחו מהמירוץ).
אסור לאבד את הדרכונים; זה קרה לזב וג'סטין ולדאלאס וטוני וכמעט קרה לקנט וויקסון שגילו שאיבדו את הדרכונים ומצאו אותם במחלקת האבדות ומציאות שבתחנת הרכבל שנמצאת ליד המקום בו התרחש המשימה שאחריה גילו שהם איבדו את דרכוניהם.
אם הפקת התוכנית קבעה טיסה למתמודדים (דבר שקורה בדרך כלל בגלל מיעוט טיסות או בשביל שלא יהיו פערים בין הצוותים), והמתמודדים יפספסו אותה, הם יצטרכו לעלות על טיסה אחרת (דבר שיעכב אותם) וגם יקבלו עונש של 30 דקות.
עונשים.
עבירה על חוק במרוץ גוררת בדרך כלל המתנה בסיום קטע המירוץ (חצי שעה עד ארבע שעות) ליד קו הסיום או הנחיה לחזור למשימה שבה נעברה העבירה ולהתחיל שוב.
כשצוות בוחר לדלג על משימה בגרסה האמריקאית אם מדלגים על משימה רגילה מקבלים עונש של שעתיים בקו הסיום, אם מדלגים על צומת מקבלים עונש של שש שעות המתנה ליד קו הסיום ואם מדלגים על מחסום מקבלים ארבע שעות המתנה ליד קו הסיום. בגרסה הישראלית אם מדלגים על משימה רגילה מקבלים עונש של שעתיים בקו הסיום, ואם מדלגים על מחסום מקבלים עונש של שעה בקו הסיום.
אלגברות קיילי-דיקסון
במתמטיקה, אלגברות קיילי-דיקסון הן האלגברות המתקבלות באמצעות בניית קיילי-דיקסון (עם הקבוע 1-) מן השדה של המספרים הממשיים. האלגברה הראשונה בסדרה היא שדה המספרים המרוכבים. אחר-כך מקבלים את אלגברת הקווטרניונים של המילטון ואת אלגברת האוקטוניונים. בהמשך הסדרה מתקבלות אלגברות לא אסוציאטיביות פשוטות ממימד 16, 32, 64, וכן הלאה.
לכל אלגברת קיילי-דיקסון יש אינוולוציה המכלילה את פעולת הצמוד המרוכב, ובאמצעותה מוגדרת תבנית נורמה: הנורמה של איבר היא מכפלתו בצמוד שלו. האלגברות המתקבלות במהלך הבניה מאבדות תכונות חשובות בזו אחר זו: השדה הממשי הוא האלגברה היחידה שכל איבריה סימטריים; השדה המרוכב הוא האלגברה הקומוטטיבית האחרונה; אלגברת הקווטרניונים היא האלגברה האסוציאטיבית האחרונה; ואילו אלגברת האוקטוניונים היא האלגברה האלטרנטיבית האחרונה, וגם האחרונה שאין בה מחלקי אפס. עם זאת, כולן ריבועיות ומקיימות את הזהות הגמישה. הן פשוטות, והמרכז שלהן שווה לשדה הבסיס.
אפשר להכליל את הבניה כך שתעבוד מעל כל שדה בסיס. באופן כזה מתקבלות בצעד השני של הבניה כל אלגברות הקווטרניונים, ובצעד השלישי כל אלגברות האוקטוניונים -- ראו בניית קיילי-דיקסון.
מספרים מרוכבים כזוג סדור.