ברור כי זהו שינוי פשוט בסדר האיברים, כי כל איבר מהטור ההרמוני המתחלף יופיע גם בטור החדש פעם אחת ויחידה. נקבץ איברים ונקבל (מותר לקבץ את הטור לקבוצות של שלוש כי בחינה מדוקדקת של הסכומים החלקיים תגלה שההפרשים בין כל שלושה סכומים עוקבים שואף ל-0):
formula_22
כלומר סכום הטור השתנה לחצי מסכום הטור לפני שינוי סדר האיברים.
הוכחה.
יהי formula_2 טור מתכנס בתנאי. נניח ללא הגבלת הכלליות כי אין בטור איברים השווים לאפס (הם אינם משפיעים על סכום הטור ולכן ניתן להתעלם מהם). נפריד את איברי הטור לשני טורים זרים; טור האיברים החיוביים formula_24 וטור האיברים השליליים formula_25. מכיוון שהטור הכללי מתכנס בתנאי, ידוע לנו שהטורים החיובי והשלילי אינסופיים ומתבדרים לאינסוף ומינוס אינסוף בהתאמה. כמו כן מכיוון שהטור הכללי מתכנס, ידוע לנו שסדרת האיברים של כל אחד מן הטורים מתכנסת לאפס (האיבר הכללי של הטורים הולך ומתקרב לאפס).
התכנסות לסכום סופי.
יהי formula_11 מספר ממשי חיובי (ההוכחה למספר שלילי אנלוגית), נראה כי קיימת תמורה של איברי formula_2 כך שהסכום מתכנס ל-formula_11. ראשית נסכום את איברי הטור החיובי לפי הסדר עד המספר formula_29 שהוא הראשון שלגביו מתקיים formula_30, כלומר:
עתה נמשיך בכך שנוסיף לסכום את איברי הטור השלילי לפי הסדר עד המספר formula_32 שהוא הראשון שלגביו מתקיים
נחזור לטור האיברים החיוביים ונמשיך לסכום עד formula_34 שהוא הראשון שלגביו הטור חוזר להיות גדול מ-L, ואז עוברים לטור השלילי וכן הלאה עד אינסוף. זהו תהליך מוגדר היטב שקל לראות שהוא מגדיר תמורה על איברי הטור. בכל פעם ההפרש בין L לטור הולך וקטן, שכן מצורת הבנייה ההפרש ביניהם הוא האיבר האחרון שמוסיפים לטור, כלומר: formula_35 או formula_36, ואיברי הטור הולכים וקרבים לאפס ותרומתם לסכום קטנה, ובפרט formula_37. פורמלית, לכל formula_38 קיים formula_39 כך שלכל formula_40 מתקיים formula_41, ולכן ההפרש בין formula_11 והסכום עד formula_43 והלאה בהכרח קטן מהאיבר האחרון שבו חל חילוף יחס הסדר, ואיבר זה קטן מ-formula_44 . לכן הטור מתכנס ל-formula_11.
התבדרות לאינסוף.
כדי שהטור יתבדר לאינסוף נסכום את האיברים החיוביים עד שהסכום גדול מ-formula_46 (האיבר הראשון בטור השליליים) ואז נחבר איבר זה. נחזור לטור החיוביים ונחבר מספיק מחוברים כך שהסכום גדול מ-formula_47 ומחברים גם אותו. ובאופן כללי מחברים מספיק מחוברים כך שהסכום יהיה גדול מ-formula_48 ואז מחברים את formula_49. מכאן שבדרך זו הסכום גדול מכל מספר טבעי ולכן הטור מתבדר לאינסוף. באופן דומה ניתן להחליף בין התפקיד של החיוביים והשליליים ולקבל טור המתבדר למינוס אינסוף.
התבדרות שלא לאינסוף.
נבחר שני מספרים, נניח 0 ו-1. נסכום את האיברים החיוביים עד שהסכום גדול מ-1, נוסיף את האיברים השליליים עד שהסכום קטן מ-0, ונחזור להוסיף חיוביים עד שהסכום גדול מ-1 וכן הלאה. 0 ו-1 יהיו שניהם גבולות חלקיים של סדרת הסכומים החלקיים ולכן הסכום לא יתכנס גם במובן הרחב.
המשפט ההפוך.
אם הדיון מוגבל לטורים מתכנסים, הרי שהמשפט ההפוך נכון גם הוא. טור שסכומו יכול להשתנות עם שינוי סדר הסכימה הוא בהכרח טור מתכנס בתנאי. כלומר, בטור מתכנס בהחלט ניתן לשנות את סדר הסכימה בחופשיות.
ליגת העל לתיכונים
ליגת העל לתיכונים ("ליגת אורביט") היא הליגה הבכירה בכדורסל בישראל לנבחרות בנים ובנות של בתי ספר תיכוניים. משחקי הליגה משודרים בערוץ ONE. ליגת התיכונים בחסות אורביט פועלת במהלך ארבעה חודשים ומרכזת בליגה אחת את בתי הספר התיכוניים המובילים בכדורסל, ומהווה קרש קפיצה חשוב ופרסום לשחקנים המובילים שבו. בין השחקנים אשר שיחקו בליגה בעבר היו יוגב אוחיון, גל מקל, שרון ששון, דני אבדיה ואחרים.
הליגה פועלת במתכונת של שלב בתים, ולאחריו שלבי ההצלבה החל משמינית הגמר. גמר הבנים וגמר הבנות נערכים באותו יום ובאותו אולם (אשר מיקומו משתנה כל שנה).
ליגת התיכונים בה יכולים לקחת חלק כל שחקני התיכון, מכל הגילאים (כולל י"ב) שונה מליגת ה-ISF בכך שבשנייה יכולים לקחת חלק רק שחקני י' - י"א והיא נמשכת זמן קצר יותר וחשיפה מועטה יותר. המנצחת בגמר ה-ISF מייצגת את ישראל באליפות העולם לבתי ספר תיכוניים.
עוגת שרוסברי
עוגת שרוסברי או עוגיית שרוסברי (באנגלית: shrewsbury cake או shrewsbury biscuit) היא עוגייה במטבח האנגלי המוגשת כקינוח והנקראת על שם העיר שרוסברי שבשרופשייר. העוגייה עשויה סוכר, קמח, ביצה, חמאה ואגוז מוסקט. לעיתים מוסיפים לעוגה מי ורדים וזרעי קימל.
היסטוריה.
מקורן של עוגיות אלה בראשית המאה ה-16. העוגה מוזכרת במחזהו של ויליאם קונגריב משנת 1700 "דרכו של העולם". המתכון הקדום ביותר של העוגיה מופיע בספר הבישול של אנה וולי "The Queen-like Closet or Rich Cabinet" משנת 1672 (מתכון הכולל מי ורדים) ולאחר מכן בספר הבישול של אליזה סמית', "The Compleat Housewife", משנת 1728. שיר משנת 1840 מציין כי העוגה הומצאה על ידי אופה בשם פאלין, בשנת 1760, אולם אין בסיס לאגדה אורבנית זו. העוגה יוצרה תחת השם המסחרי "עוגיות פאלין" עד מלחמת העולם השנייה עת שהמחסור במזון הביא להפסקת הייצור התעשייתי.
עוגיית שרוסברי
הטור ההרמוני המתחלף
לחמניית סאלי לן
לחמניית סאלי לן (באנגלית: Sally Lunn bun) היא לחמנייה עשויה בצק שמרים שמקורה בעיר באת' שבדרום מערב אנגליה.
מקורה של הלחמנייה במאה ה-17 והיא מבוססת על מתכון שהביאה מהגרת מצרפת לעיר באת'.
הלחמנייה עשויה בצק שמרים, ומתובלת בלימון. נהוג להגישה כשהיא פרוסה, ומרוחה בחמאה, או שמנת מוקצפת. הלחמנייה נחשבת למאכל מסורתי בעיר באת'.
רבים מתבלבלים בין לחמנייה זו לבין לחמניית באת' האופיינית אף היא לעיר באת'.
היסטוריה.
מסורת מקובלת משייכת את המתכון לסולאנג' (סולי) לויון (Solange (Sollie) Luyon), מהגרת הוגנוטית שהגיעה לעיר באת' בשנת 1680. לויון התפרנסה ממכירת מוצרי מזון שרכשה מאופים אחרים, ובהמשך ממכירת לחמניות שאפתה בעצמה.
מסורות מאוחרות יותר קישרו בינה לבין מבנה הידוע בשם "בית סאלי לן" (אינגלוז של שמה), שנחשב לאחד הבתים העתיקים ביותר בעיר באת'. על פי מסורת זו לויון עבדה בבית זה והגישה בו את הלחמניות שלה (המקום משמש כבית קפה המגיש לחמניות אלה גם כיום).
הלחמנייה הפכה למאכל פופולרי באנגליה במהלך המאה ה-18 בשל מרקמה העדין של הלחמנייה דמוית הבריוש.
לחמניית סאלי לאן
לחמניית באת'
לחמניית באת' (באנגלית: Bath bun) היא לחמנייה עשויה בצק שמרים עשיר. צורתה של הלחמנייה עגולה, והיא מזון מסורתי הנמכר בעיר באת' שבאנגליה. הלחמנייה מאופיינת בכך שגוש סוכר מונח בתחתית הבצק בעת האפייה, וסוכר נזרה עליה לאחר תום האפייה. לעיתים מוכנסים לבצק הלחמנייה קליפות הדרים מסוכרות, או צימוקים.
היסטוריה.
מקורה של הלחמנייה בראשית המאה ה-18. האזכורים הראשונים של הלחמנייה הם משנת 1763 ובהם מצוין שהיא תוצר של העיר באת'.
על פי המסורת, הלחמנייה הומצאה על ידי דוקטור ויליאם אוליבר אשר טיפל במבקרים במרחצאות הרומיים של באת'. הלחמנייה המקורית הייתה עשויה בצק שמרים עם ביצים, צימוקים וזרעי קימל. מאכל נוסף שהומצא על ידי אוליבר וחולק לבאי המרחצאות היה ביסקוויט שנקרא באת' אוליבר על שמו.
אסיפת לונדון
באת' אוליבר
באת' אוליבר (באנגלית: Bath Oliver) הוא ביסקוויט או קרקר דק, העשוי קמח, חמאה, שמרים וחלב, הנאכל לרוב עם גבינה.
הביסקוויט הומצא על ידי ד"ר ויליאם אוליבר מהעיר באת' שבדרום מערב אנגליה בשנות ה-50 של המאה ה-18 ונקרא על שמו ועל שם העיר.
הביסקוויט הומצא עבור הבאים להירפא ולנפוש במרחצאות הרומיים של העיר, אשר היו מקום מרפא ונופש פופולרי במהלך המאה ה-18. אוליבר, אשר עבד כרופא המרחצאות, המציא עבור הנופשים את לחמניית באת', אולם זו הייתה עשירה ביותר וחולי הרומטיזם לא יכלו לאכול אותה, ולכן המציא אוליבר את הביסקוויט מחומרי גלם דומים, אולם מבלי שהבצק יעבור התפחה ארוכה.
במותו הוריש אוליבר את המתכון לרכבו, אטקינס, אשר הקים מפעל לייצור הביסקוויט והפך אותו לפופולרי.
דיליה סמית'
דיליה סמית' (באנגלית: Delia Smith; נולדה ב-18 ביוני 1941) היא שפית בריטית, כותבת ספרי בישול ומגישת תוכניות בישול טלוויזיונית. סמית' היא אבירה בדרגת מפקדת במסדר האימפריה הבריטית.
למעלה מ-21 מיליון עותקים מספריה נמכרו ברחבי בריטניה.
כמו כן סמית' היא הבעלים של מועדון הכדורגל נוריץ' סיטי.
קורות חיים.
סמית' נולדה בווקינג שבסארי למשפחה ממוצא וולשי. סמית' למדה בבית הספר בקסליהית' (Bexleyheath School) אולם נטשה את לימודיה בגיל 16 ולא קיבלה תעודת בגרות. סמית' החלה לעבוד כספרית ולאחר מכן עבדה כזבנית בחנות וכסוכנת נסיעות. בגיל 21 החלה לעבוד במסעדה בפדינגטון שבלונדון בשם "השף המזמר" (The Singing Chef). בתחילה עבדה כשוטפת כלים, לאחר מכן כמלצרית ובהמשך החלה לבשל במטבח המסעדה. לצורך זה החלה לקרוא מתכונים בחדר הקריאה של הספרייה הבריטית כיום - חדר הקריאה של המוזיאון הבריטי, וניסתה את המתכונים על המשפחה אצלה התגוררה.
בשנת 1969 החלה סמית' לכתוב בעיתון ה"דיילי מירור" ככתבת בישול. במערכת העיתון פגשה את העורך מיילק וין-ג'ונס, אשר לימים הפך לבעלה.
בשנת 1972 החלה לכתוב ב"איוונינג סטנדרד" בו כתבה כ-12 שנים, עד שנת 1984.