בעיית הגלריה לאמנות היא בעיה תאורטית מפורסמת בתחום הגאומטריה החישובית, העוסקת במבנה של מצולעים מישוריים. הבעיה, שהוצגה בשנת 1973 על ידי המתמטיקאי ויקטור קלי, מבקשת למצוא את מספר השומרים הקטן ביותר שיוכלו, מבלי לעזוב את משמרתם, להשגיח על כל פינה בגלריה לאמנות, שקירותיה ישרים.
באופן פורמלי, נקודה A "משגיחה" על נקודה B בתוך מצולע, אם הקו הישר המחבר אותן נמצא כולו בתוך המצולע. בהינתן מצולע חסר חורים, השאלה היא מהו המספר הקטן ביותר של נקודות שכל נקודה במצולע נתונה תחת השגחתה של אחת מהן.
חסם עליון.
ואצלב כבטל (Václav Chvátal) הראה כי בכל מצולע ללא חורים בעל n קודקודים formula_1 שומרים מספיקים. ההוכחה להלן מבוססת על טיעון של סטיבן פיסק.
היא מסתמכת על היכולת למצוא שילוש עבור כל מצולע פשוט. השיטה היא זו: ראשית מוצאים שילוש למצולע המבוקש. אחר כך צובעים בשלושה צבעים את הקודקודים של המצולע, כך ששני קודקודים המחוברים בקו לא יהיו בעלי אותו צבע. ניתן להוכיח כי צביעה שכזו תמיד אפשרית וגם לספק אלגוריתם למציאתה (ההוכחה מבוססת על כך שהגרף הדואלי למצולע המשולש הוא בהכרח עץ, עבור מצולעים ללא חורים).
כעת בוחרים את הצבע שבו נצבע מספר הקודקודים הקטן ביותר וה"שומרים" הם הנקודות שצבועות באותו צבע.
מכיוון שקודקודי כל אחד מהמשולשים בשילוש של המצולע צבועים בכל שלושת הצבעים (כי כל שני קודקודים מחוברים בקו, ולכן אם היו שני קודקודים בעלי אותו צבע, זה היה בסתירה לדרישת הצביעה) הרי שבכל אחד מהמשולשים נמצא שומר. מכיוון שמשולש הוא צורה קמורה, די בשומר זה כדי לשמור על כל המשולש. לכן קבוצת השומרים שנבחרה מספיקה כדי לשמור על המצולע כולו.
אם למצולע formula_2 קודקודים, הרי שמספר הנקודות שנצבעו בצבע שהופיע הכי מעט פעמים לא עולה על formula_1. ניתן להוכיח כי זהו חסם עליון למספר השומרים, דהיינו קיימים מצולעים שבהם נדרש כמספר הזה של שומרים.
סיבוכיות.
הבעיה של מציאת המספר המינימלי של שומרים עבור מצולע מסוים (שיכול להיות קטן בהרבה מ-formula_1, למשל, למצולע קמור די בשומר יחיד) היא בעיה NP-קשה.
אקול נורמל סופרייר
אֵקוֹל נוֹרְמַל סוּפֶּרְיֱיר- PSL (מצרפתית: École normale supérieure; בעברית: בית הספר התִקנִי להשכלה גבוהה) הוא אוניברסיטה בפריז הנמנית עם אוניברסיטאות גרנד אקול ואחד המוסדות המרכיבים את אוניברסיטת פריז למדעים ואמנויות (מצרפתית: Paris Sciences et Lettres University, מקוצר לרוב ל- PSL). הקמפוס העיקרי שלו שוכן ברובע הלטיני שבפריז (מכונה גם נורמל סופ', ENS, או אוּלְם על שם הרחוב בו הוא שוכן).
בית הספר נוסד בהוראת ועדת ההוראה הציבורית לאחר המהפכה הצרפתית, ב-30 באוקטובר 1794. בית הספר פתח את שעריו בינואר 1795, אך בשל המצב הכלכלי והפוליטי הקשה באותה תקופה, נסגר כעבור זמן קצר. לאחר יותר מעשור, ב-17 במרץ 1808 נוסד מחדש על ידי נפוליאון בונפרטה.
ב-9 במרץ 1826 נוסד "École préparatoire", המכינה לאקול נורמל סופרייר, ששכנה במתחם של בית הספר "לואי הגדול" (Lycée Louis-le-Grand).
כיום מורכב בית הספר מאיחוד שנעשה ב-1985 של האקול נורמל סופרייר שברחוב אולם ואקול נורמל סופרייר לצעירות (École normale supérieure de jeunes filles) מרחוב סבר (Sevres, הוקם בשנת 1880).
"אקול נורמל סופרייר" יועד במקורו להיות מוסד ציבורי להכשרת מורים, בו "מכל קצות הרפובליקה יגיעו אזרחים בעלי ידע מדעי קודם, כדי ללמוד מהמורים הטובים ביותר מכל התחומים את אמנות הלימוד". אך לבסוף הפך בית הספר למוסד יוקרתי ביותר להכשרת חוקרים, פרופסורים ועובדי מדינה בכירים. המוסד מתמקד בהוראה דרך מחקר, תוך מתן גמישות בקביעת תוכנית הלימודים.
המחקר ב-ENS הוא בטווח רחב מאוד של דיסציפלינות, מדעיות וספרותיות, בהן ההוראה מחולקת לשלוש-עשרה מחלקות (ביולוגיה, כימיה, פיזיקה, גאוגרפיה, היסטוריה, תקשורת, מדעים קוגניטיביים, מדעים בעת-העתיקה, מדעי החברה, פילוסופיה, מתמטיקה, ספרות ושפות, אקולוגיה).
ישנם בצרפת כיום עוד שני "אקול נורמל סופרייר", בקשאן (אקול נורמל סופרייר דה קשאן) ובליון (אקול נורמל סופרייר דה ליון), אך זה שברחוב אוּלם בפריז נחשב לראשון וליוקרתי מבינם. האקול נורמל סופרייר נחשב לאחד היוקרתיים והסלקטיביים ביותר מבין "בתי הספר הגדולים" (grandes écoles) של צרפת, לצד בתי ספר כגון האקול פוליטקניק (École Polytechnique).
עם בוגרי בית הספר נמנים הבולטים באנשי המדע והרוח בצרפת, מהם כמה וכמה זוכי פרס נובל, כמו גם אחדים מהפוליטיקאים הבולטים.
בוגרים מפורסמים.
מבין בוגרי האקול נורמל סופרייר התפרסמו רבים:
הביולוג לואי פסטר; הפיזיקאים: פייר דוהם, לאון ברילואן, ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה, פול לנז'בן, אדואר ברנלי (Édouard Branly); חתני פרס נובל לפיזיקה: ז'אן-בטיסט פרין (Perrin, זכה ב-1926), קלוד כהן-טנוג'י (1997), לואי אז'ן פליקס נאל (Louis Eugène Félix Néel, זכה ב-1970), פייר ז'יל דה-זֶ'ן (1991), גבריאל ליפמן (זכה ב-1908), אלבר פר (2007), אלפרד קסטלר (1966), סרז' הרוש (2012); הכימאי פול סבטייה, זוכה פרס נובל לכימיה (1912).
הפילוסופים: ז'אן איפוליט, לואי אלתוסר, רמון ארון, אלן באדיו, אטיין באליבר, אנדרה גלוקסמן (Glucksmann), סימון דה בובואר, ז'אק דרידה, ז'אק רנסייר, סימון וייל (אחותו של אנדרה וייל), איפוליט טֶן (Taine), ולדימיר ינקלביץ' (Jankélévitch), אדואר לה רואה (Édouard Le Roy), בני לוי, מוריס מרלו-פונטי, מישל סר (Serres), מישל פוקו, אלן פינקלקראוט, אנדרה קונט-ספונוויל, ז'ורז' קונגילם (Canguilhem), ז'אן-פרנסואה רבֶל (Revel), אמיל שארטייה; הפילוסופים זוכי פרס נובל לספרות: אנרי ברגסון (1927), ז'אן-פול סארטר (1964-דחה את הפרס).
המתמטיקאים: איבון שוקה-ברואה, אמיל בורל, אווריסט גלואה, ז'אק אדמר, אנדרה וייל (אחיה של סימון וייל, חבר בקבוצת בורבאקי), אנרי לבג, אדוארד לוקאס, אלי קרטן (Élie Cartan), אנרי קרטן (בנו של אלי קרטן וממייסדי קבוצת בורבאקי), אנטואן אוגוסטן קורנו, לוק אילוזי, גסטון ג'וליה, ז'אן לרה, אנדרה ליכנרוביץ', שולם מנדלברוט (ממייסדי קבוצת בורבאקי), ז'אן דיידונה (Jean Dieudonné ממייסדי קבוצת בורבאקי), לואי קוטורה (Louis Couturat), ז'אן גסטון דארבו, ז'אק-לואי ליון (Jacques-Louis Lions), מוריס רנה פרשה (Maurice René Fréchet), אמיל פיקאר (Émile Picard); זוכי מדליית פילדס: ז'ן-כריסטוף יוקוז, ז'אן-פייר סר (Serre), לורן שוורץ, רנה תום, פייר לואי ליון (Lions), לורן לפורג (Lafforgue), ונדלן וורנר (Wendelin Werner), אלאן קון (Alain Connes), נו באו צ'או.
הסוציולוגים: פייר בורדייה, אמיל דורקהיים, מוריס האלבווקס (Maurice Halbwachs); ההיסטוריונים: מרק בלוך, ז'אק לה גוף, עמנואל לה רואה לדורי, לוסיאן פבר, ז'אק סוסטל (אתנולוג ופוליטיקאי צרפתי); הפסיכולוג תאודול ריבו; הפסיכואנליטיקאי ז'אק אלן מילר (Miller); הכלכלן * ז'ראר דברה, זוכה פרס נובל לכלכלה (1983).
הסופרים, המחזאים והמשוררים: שארל פגי, ז'אן ז'ירודו, אריק-עמנואל שמיט, ז'וליין גרק (Julien Gracq), ברנאר-אנרי לוי, פול ניזן (Nizan), אמה סזר (Aimé Césaire), רומן רולן, זוכה פרס נובל לספרות (1915); הפילולוג ז'ורז' דומזיל; הגאוגרף פול וידאל דה לה בלאש (Paul Vidal de la Blache).
הפוליטיקאים: ז'אן ז'ורס, אלן ז'ופה, לורן פביוס, לאון בלום (ראש ממשלת צרפת לשעבר), אדואר הריו (Édouard Herriot), ז'ורז' פומפידו (נשיא צרפת לשעבר), פול פנלבה (מתמטיקאי וראש ממשלת צרפת לשעבר).
מורים מפורסמים.
מבין מורי המוסד, שרובם היו גם בוגריו, התפרסמו: לואי אלתוסר, אלן באדיו, אמיל בורל, סמואל בקט, פול צלאן, נומה דני פוסטל דה קולנז' (Numa Denis Fustel de Coulanges), ז'אק דרידה, ז'אק לאקאן וז'אן פייר סר.
פוליגון
בעיית גלריית האומנות
הסכם סייקס פיקו
פאן-ערביות
פאן-ערביות או כל-ערביות (בערבית: الوحدة العربية) היא תנועה הקוראת לאיחוד מדיני, חברתי וכלכלי בין העמים והמדינות הערביות במזרח התיכון. המונח קשור קשר הדוק ללאומיות הערבית. באופן מסורתי, הפאן ערביות אימצה זהות חילונית, סוציאליסטית, ואנטי מערבית. יש המרחיקים את שורשיו של הרעיון עד לשושלת האומאית הראשונה.