"Sir Duke" הגיע למקום הראשון בבילבורד הוט 100 ובבילבורד רית'ם אנד בלוז, שם שהה במשך שלושה שבועות ושבוע, בהתאמה. בבריטניה הגיע השיר למקום השני.
"Isn't She Lovely" אשר לא שוחרר כסינגל (בגלל סירובו של וונדר), הפך לאחד השירים הכי פופולרים של וונדר וללהיט בצמרת המצעד הבריטי.
ביקורת.
האלבום קיבל ביקורות חיוביות ונחשב לסיור מודרך, באמצעות מגוון רחב של סגנונות מוזיקליים, לחייו ורגשותיו של האמן.
האלבום כלל שירים המדברים על זיכרונות ילדות, אהבה ראשונה ואהבה אבודה, אהבה בין כל האנשים, אמונה ועל צדק חברתי למען העניים והמדוכאים.
מוזיקאים רבים ציינו את איכותו והשפעתו של האלבום על עבודתם, ביניהם אלטון ג'ון, ג'ורג' מייקל, מרי ג'יי בלייג', מריה קארי, ויטני יוסטון וקניה ווסט.
משפט גרונוולד-ואנג
בתורת המספרים האלגברית, משפט גרונוולד-ואנג קובע שפרט ליוצאי דופן ידועים, איבר של שדה מספרים formula_1 הוא חזקת-n של מספר אחר, אם ורק אם הוא חזקת-n כמעט בכל השלמה formula_2. למשל, מספר רציונלי הוא ריבוע אם ורק אם הוא ריבוע כמעט בכל שדה מספרים p-אדי. למשפט יש גם גרסאות המאפשרות לבנות הרחבות ציקליות של K באמצעות מידע על השדות המקומיים המתאימים לו.
המשפט פורסם לראשונה על ידי המתמטיקאי הגרמני וילהלם גרונוולד בשנת 1933 ותוקן על ידי המתמטיקאי הסיני ואנג בשנת 1948.
היסטוריה.
גרונוולד, שהיה סטודנט של הלמוט הסה, פרסם ב-1933 את הטענה שאיבר בשדה מספרים הוא חזקת-n אם ורק אם הוא חזקה כזו כמעט בכל השלמה של השדה. ב-1948 מצא ואנג דוגמה נגדית: 16 הוא חזקה שמינית בכל שדה מספרים p-אדי ל-p אי זוגי, אבל אינו כזה בשדה המספרים ה-2-אדי (וגם לא בשדה המספרים הרציונליים). בתזת הדוקטורט שלו, שנכתבה (ב-1950) תחת הנחייתו של אמיל ארטין, מצא ואנג גרסה נכונה למשפט, שבה מטפלים בגורמים הדיאדיים (הראשוניים המחלקים את 2) באופן מיוחד.
המספר 16 אינו יכול להיות חזקה שמינית ב-formula_3, משום שהערך ה-2-אדי שלו, 4, אינו מתחלק ב-8. מעל כל שדה F, 16 הוא חזקה שמינית אם ורק אם לפולינום formula_4 יש שורש בשדה, כלומר, אם ורק אם בשדה יש שורש לאחד המספרים formula_5. לפי התכונות הבסיסיות של שאריות ריבועיות, אחד המספרים האלה מוכרח להיות ריבוע מודולו p, וזאת לכל ראשוני p. לפי הלמה של הנזל, מקיום הפתרון מודולו p, כאשר p אי-זוגי, נובע שיש פתרון גם ב-formula_6.
משפט גרונוולד-ואנג.
לשם הקיצור, נסמן ב- formula_7 את שורש היחידה הפרימיטיבי מסדר formula_8. לכל formula_9, השדה הציקלוטומי מסדר formula_8 הוא השדה formula_11. נאמר ששדה הוא s-מיוחד, אם הוא כולל את formula_12, אבל אינו כולל אף אחד מהמספרים formula_13.
יהי K שדה מספרים, עם קבוצה סופית של ראשוניים S, ויהי n מספר שלם. משפט גרונוולד-ואנג קובע שכל מספר שהוא חזקה n-ית בכל השלמה formula_2 עבור formula_15, פרט למקרה המיוחד שבו מתקיימים התנאים המצטברים הבאים: קיים s כך ש-formula_16, K הוא s-מיוחד, ו-S כולל את כל "הראשוניים המיוחדים", שהם הראשוניים formula_17 שעבורם formula_2 הוא s-מיוחד (ראשוניים אלה הם בהכרח דיאדיים, ולכן מספרם סופי). אפילו במקרה המיוחד, העקרון הלוקאלי-גלובלי נכשל רק באופן סופי: חבורת המנה של חזקות-n-מקומיות מודולו חזקות-n היא מסדר 2.
לדוגמה, נתבונן שנית בדוגמה הנגדית של ואנג. שדה המספרים הרציונליים הוא 2-מיוחד, מכיוון שהוא מכיל את formula_19, אבל לא אף אחד מהמספרים formula_20. הראשוני המיוחד היחיד הוא 2. לכן, מעל הרציונליים, המקרה המיוחד מתרחש רק אם n מתחלק ב-8 ו-S כולל את הראשוני 2. משום כך ייתכנו מספרים שהם חזקת-8 בכל השלמה אי-זוגית, ואינם כאלה מעל השדה עצמו. אפשר לתקן את הטענה גם כך: כל מספר שהוא חזקה n-ית *בכל* השלמה (לרבות ה-2-אדית), הוא חזקת-n רציונלית.
מן הדוגמה הנגדית של ואנג נובע שלא קיימת הרחבה ציקלית K מממד 8 של הרציונליים, שבה 2 הוא "אינרטי לחלוטין" (כלומר formula_21 ממימד 8).
השדה הציקלוטומי
חטיפות בריטים על ידי האצ&quot;ל
חטיפות בריטים על ידי האצ"ל נעשו לשם ביטול עונש מוות שנגזר על לוחמי אצ"ל והמרתו למאסר עולם.
רקע.
לאחר התקפת אצ"ל על מחנה חיל האוויר הבריטי בעקיר (כיום- מחנה תל נוף) ב-28 בינואר 1946 והחרמת ציוד צבאי, פרסמו השלטונות הבריטים תקנות חדשות לשעת חרום. בתי הדין הצבאיים הוסמכו לגזור עונש מוות על העבירות הבאות:
החטיפות היו (לפי סדר כרונולוגי):
רק חטיפת הקצינים הבריטים השיגה את מטרתה.
חטיפת הקצינים הבריטים.
ב-13 ביוני 1946 דן בית הדין הצבאי את לוחמי האצ"ל יוסף שמחון ומיכאל אשבל, למוות בתלייה. הם נתפסו לאחר שנפצעו בהתקפת אצ"ל על מחנה סרפנד לשם החרמת נשק.
בצהרי ה-18 ביוני 1946 פרצה חוליית לוחמי אצ"ל למלון "הירקון" בתל אביב שם שוכנו קצינים בריטים והיה להם מועדון. תוך זמן קצר הופרדו הקצינים מהחיילים. הכוונה הייתה לחטוף קצינים בכירים אבל הקצינים באותו הזמן במקום היו בדרגת קפטן בלבד. שלושה הוסעו לבית ערבי מבודד ברחוב סלמה ושנים הוסעו למרתף ברחוב ישראלס.
אותו זמן נעצר בירושלים קצין צבא בכיר שהיה בדרכו לפגישה עם גנרל בארקר. הוא הוחזק במקום מסתור בשכונת הבוכרים אך כעבור יומיים הצליח להימלט.
הפעולה זעזעה את הממשלה הבריטית. דוד בן-גוריון ששהה באותו זמן בלונדון, התבקש לעשות לשחרורם המיידי של הקצינים.
נציגי ההגנה נפגשו עם נציגי אצ"ל בתנועת המרי העברי וניסו לשכנע אותם כי הבריטים לא יירתעו מתליית שני הנידונים למוות, מטעמי יוקרה אימפריאלית, גם אם יעלה הדבר בחייהם של הקצינים ואילו שחרורם של אלה עשוי להיות פתח להצלתם. נציגי אצ"ל לא קבלו הערכה זו.
בינתיים הסתבר שמקום המסתור ברחוב ישראלס עומד להתגלות והאצ"ל שחרר את שני הקצינים שהיו כלואים שם. לאחר שההגנה הודיעה שהקצינים שוחררו על פי הוראה מטעם מפקדת תנועת המרי, הבהיר האצ"ל בהודעה ששודרה ב"קול ציון הלוחמת" כי שני הקצינים שוחררו בתוצאה של שיקול והחלטה של אצ"ל בלבד.
ניסיון נוסף לשדל את אצ"ל לשחרר את הקצינים נעשה על ידי ישראל רוקח, ראש עיריית תל אביב, אך ללא תועלת.
לבסוף, ב-3 ביולי 1946 שידר קול ירושלים הודעה כי מפקד הצבא בארץ ישראל אישר את חיובם בדין של אשבל ושמחון וגזר דין המוות שהוצא נגדם אבל ה.מ. הנציב העליון בתוקף הסמכויות שניתנו לו לפי סעיף 16 של דבר המלך במועצתו מהשנים 1922–1940, החליף את גזר דין המוות במאסר עולם.
אצ"ל מיהר לשחרר את הקצינים כי רצה לסיים את הפרשה היות שהקצינים החלו בשביתת רעב ולא היה עניין לאצ"ל שייגרם להם נזק. הם הושמו בתוך ארגז גדול. משאית הביאה אותם לשדרות רוטשילד פינת שד"ל. הארגז הורד וממנו יצאו הקצינים. אחד מהם ניסה לרוץ אחרי המשאית אך מעד ונפל לעיני רבים שהתקהלו מסביב לארגז.
עיריית תל אביב קבעה לוחיות זיכרון על קיר הבית בו עמד קודם מלון "הירקון" ממנו נחטפו חמשת הקצינים הבריטים ברחוב הירקון 64 ועל קיר הבית בו הוחזקו שלושת הקצינים הבריטים, בדרך שלמה 162.
חטיפת השופט וינדהאם ומייג'ור קולינס.
ב-1 בינואר 1947 נידון דב גרונר למוות על חלקו בהתקפה על משטרת רמת גן. גנרל בארקר אישר את גזר הדין ב-24 בינואר 1947 וביצועו נקבע ל-28 בינואר 1947.
למרות נקיטת אמצעי זהירות על ידי הבריטים הצליחו לוחמי אצ"ל לתפוס ב-26 בינואר 1947, בירושלים, קצין ביון בריטי, מייג'ור ה.מ. קולינס.
מאחר שלא באה כל הודעה חדשה על שינוי בגזר הדין החליט אצ"ל לבצע פעולה חורגת מהפעולות הרגילות ולחטוף שופט מחוזי.
ב-27 בינואר 1947 נעצרו בצהריים מוניות אחדות לפני בית הדין המחוזי ברחוב יהודה הלוי בתל אביב ומתוכן יצאו 14 צעירים. הם עלו לאולם בית המשפט שבו התנהל משפט בראשותו של השופט ראלף וינדהאם. באקדחים שלופים הם ניגשו לשופט ובקשו ממנו להתלוות אליהם. השופט הובא כשהוא עוטה גלימת שופט ופאה נכרית לראשו. הוא הוכנס למונית והוסע לצריף מבודד שבו התגוררה משפחה אוהדת אצ"ל בשכונת זיכרון מאיר בבני ברק.
עוצר הוכרז בירושלים ובתל אביב. באותו ערב פורסמה ידיעה ממשלתית שמסרה שמפקד הצבא דחה את ביצוע גזר הדין לפרק זמן בלתי מוגבל. הנציב העליון הזמין את גולדה מאיר, אליעזר קפלן וישראל רוקח והזהיר אותם שאם קולינס ווינדהאם לא ישוחררו תוך 48 שעות יופעל מצב צבאי באזורים בהם היו החטיפות והתוצאות תהינה קשות ביותר.
מפקדת האצ"ל החליטה לשחרר את השניים בגלל מספר שיקולים:
וינדהאם שוחרר בבוקר ה-28 בינואר 1947 וקולינס, ב-29 בינואר 1947. שניהם סיפרו על יחס הוגן.
בלונדון תקף וינסטון צ'רצ'יל את הממשלה הבריטית שאין לה עוז לבצע בעקביות את החלטותיה.
דב גרונר נתלה לבסוף ב-16 באפריל 1947. באותו יום נתלו גם יחיאל דרזנר, אליעזר קשאני ומרדכי אלקחי.