מוסכם כי ערכה של מכפלה ריקה (שאין בה גורמים כלל) הוא 1, משום שהוספת קבוצה ריקה של גורמים למכפלה אחרת אינה משנה את ערכה, בדיוק כמו הכפל ב-1. משום כך נקבע כי formula_9 לכל מספר שונה מאפס x, וקביעה זו עקבית עם כללי החזקות הרגילים, כגון formula_10. לעומת זאת, משמעות הביטוי formula_11 תלויה בהקשר. בקומבינטוריקה נוח להגדיר את ערך הביטוי כ-1 (בהתאם להגדרת החזקה של עוצמות בתור העוצמה של קבוצת פונקציות מתאימה), ובאנליזה הביטוי בדרך-כלל אינו מוגדר (משום שלכל מספר חיובי, formula_9, בעוד ש- formula_13).
מאותן סיבות נקבע כי ערכה של פונקציית העצרת של אפס הוא 1 (formula_14). הסדר הריק (שאינו כולל אף מרכיב) הוא הדרך היחידה לסדר את אברי הקבוצה הריקה.
משפטי סילו
משפטי סילו הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בתת-חבורות-p מקסימליות של חבורה סופית. חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני formula_1 נקראות חבורות p, וכולן נילפוטנטיות. משפטי סילו מאפשרים לחקור חבורות סופיות באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד היסודי שלהן בתורת החבורות.
את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורווגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים את משפט קושי שנוגע למקרה formula_2.
במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה formula_3 של formula_4 חייב לחלק את הסדר של formula_4. משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק formula_6 של הסדר של formula_4 שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר formula_6. משפטי סילו קובעים גם שכל תת-החבורות שסדרן הוא חזקת-formula_1 מקסימלית, צמודות זו לזו.
הגדרות.
אם formula_1 הוא מספר ראשוני המחלק את הסדר של החבורה הסופית formula_4, אז קיימת חזקה מקסימלית של formula_1 המחלקת את הסדר. כלומר formula_13 מחלק את סדר החבורה, אבל formula_14 אינו מחלק. לתת-חבורה של formula_4 שסדרה שווה ל-formula_13 קוראים חבורת p-סילו של formula_4. הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת formula_1-סילו היא תת-חבורה של formula_4 שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל-formula_1.
לדוגמה, אם formula_21 אז תת-חבורה מסדר formula_22 היא חבורת formula_22-סילו של formula_4, ותת-חבורה מסדר formula_25 היא חבורת formula_26-סילו של formula_4.
ניסוח המשפטים.
נניח ש-formula_4 חבורה סופית וש-formula_13 היא חזקה מקסימלית של ראשוני formula_1 המחלקת את הסדר של formula_4. נסמן ב-formula_32 את מספרן של חבורות p-סילו השונות של formula_4. נציין מיד שאם formula_34 חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות formula_1-סילו.
משפט סילו הראשון.
לכל חבורה formula_4 קיימת חבורת formula_1-סילו. (דהיינו formula_38).
הכללה של משפט זה קובעת שלכל חזקת formula_1 המחלקת את הסדר של formula_4, לאו דווקא החזקה המקסימלית, קיימת תת-חבורה בגודל זה.
משפט סילו השני.
כל חבורות formula_1-סילו של formula_4 צמודות זו לזו. יתרה מזו, כל תת-חבורה של formula_4, שהיא חבורת formula_1, מוכלת באיזושהי חבורת formula_1-סילו של formula_4.
חבורת formula_1-סילו היא יחידה (כלומר formula_48) אם ורק אם היא תת חבורה נורמלית של formula_4.
משפט סילו השלישי.
מספרן של חבורות formula_1-סילו של formula_4 שקול לאחת מודולו formula_1. כלומר formula_53.
formula_32 מחלק את הסדר של formula_4. אם נסמן formula_56 (כאשר n מקסימלי), נובע מכך ש-formula_32 מחלק את formula_58, משום שלפי משפט סילו השלישי formula_32 זר ל־formula_1.
הוכחה: מספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה formula_3 של formula_4 שווה לאינדקס של המנרמל של formula_3 ב-formula_4, שהוא תת-חבורה המכילה את formula_3. אבל המנרמל מכיל את formula_3, לכן האינדקס שלו מחלק את זה של formula_3, וממילא הוא זר ל-formula_1.
דוגמה לשימוש.
נראה שלכל חבורה formula_4 מסדר formula_70 מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית. formula_71, ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר formula_22, formula_73 ו-formula_74. מספרן של החבורות מסדר formula_22 שקול ל-formula_76 מודולו formula_22 ומחלק את formula_78 - ולכן הוא formula_76 או formula_74. באופן דומה מספרן של החבורות מסדר formula_73 הוא formula_76 או formula_83, ושל אלו מסדר formula_74 הוא formula_76 או formula_86. אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש formula_74 חבורות מסדר formula_22, שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן formula_89 איברים מסדר formula_22. באופן דומה יש formula_91 איברים מסדר formula_73 ו-formula_93 מסדר formula_74. ביחד יותר מ-formula_70, וזה בלתי אפשרי.
הוכחות.
למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של formula_4. ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של formula_4 על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון.
הוכחת המשפט הראשון. נסמן ב-formula_98 את אוסף כל תת-הקבוצות בגודל formula_13 של formula_4. מכיוון ש-formula_101, וזו חזקת-formula_1 גדולה מדי). מכאן יוצא ש-formula_103 אינה יכולה לנרמל את formula_34 (אחרת formula_105 היא תת-חבורה).
כעת תהי formula_34 חבורת formula_1-סילו; בתור תת-חבורה של formula_4, גם formula_34 פועלת על formula_110 בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על formula_111. גודלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של formula_34, ולכן הם כולם חזקות של formula_1. יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם formula_76, ואלה שגודלם מתחלק ב-formula_1. אם formula_103 היא נקודה יחידה במסלול, אז formula_34 מנרמלת את formula_103, וזה בלתי אפשרי - אלא אם formula_119. כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו formula_76, והוא המסלול המכיל את formula_34 בלבד. גודלי שאר המסלולים מתחלקים ב-formula_1, ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של formula_111) שקול ל-formula_76 מודולו formula_1.
הוכחת המשפט השלישי. מספיק לבחור formula_126 בטענה.
הוכחת המשפט השני. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל-formula_76 מודולו formula_1. אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית.
המפלגה הרפובליקנית של ארצות הברית
הפוגה
הפוגה היא שלב בעימות צבאי שבו ישנה הפסקת לחימה זמנית, לשם פינוי פצועים, ציון חג חשוב וכדומה, והיא נובעת במידה רבה מעייפות הצדדים הלוחמים. ההפוגה נקבעת בהסכמה בין הצדדים הלוחמים, ולעיתים נקבע לה זמן קצוב מראש.
הפוגה היא הדרגה הנמוכה ביותר של הפסקת לחימה, והיא פחותה מהפסקת אש. להבדיל מהפסקת אש ומשביתת נשק, שבהן כוונת הצדדים היא להביא את הלחימה לידי סיום (אם כי לא תמיד מתממשת כוונה זו), הרי בהכרזה על הפוגה המסר הוא "אנו עוד נשוב להילחם".
לעיתים נדרש זמן מה לייצובה של ההפוגה, משום שהצדדים עדיין מנסים להגיע לשיפור עמדות של הרגע האחרון.
דוגמה מובהקת למצב של הפוגה ניתן למצוא במלחמת העצמאות, שבמהלכה הוכרזו שתי הפוגות, שלאחריהן התחדשה הלחימה.
סוד הגן הנעלם
סוד הגן הנעלם הוא ספר ילדים שכתבה הסופרת פרנסס הודג'סון ברנט המספר על ידידות מיוחדת שנרקמת בין שלושה ילדים - מרי היתומה, קולין, בן דודה החולה של מרי, ודיקון, ילד מיוחד וחובב טבע, על רקע גילויו של גן סודי וקסום.
הספר פורסם לראשונה בשנת 1911 ונחשב לאחד מספריה הידועים ביותר של ברנט. הספר תורגם לעברית על ידי אוריאל אופק בשנת 1968. בשנת 2006 זכה הספר לתרגום חדש על ידי עידית שורר, תחת השם "הגן הנסתר". תרגום זה זכה בעיטור אנדרסן לשנת 2008. בשנת 2014 פורסם תרגום חדש של הספר, במסגרת סדרת 'הרפתקה' של הוצאות מודן ואוקיינוס. הסופרת הגר ינאי העניקה לסיפור הקלאסי תרגום מחודש, והשיבה לו את שמו המקובל יותר בעברית - סוד הגן הנעלם.
"סוד הגן הנעלם" הומחז פעמים רבות, בין השאר למחזמר שהועלה בשנת 1991 בברודוויי שזכה להצלחה רבה, והיה מועמד לשבעה פרסי טוני שמתוכם זכה בשנים. בשנת 1993 יצא למסכים סרט בשם 'סוד הגן הנעלם', שהוא העיבוד הקולנועי השלישי של הספר (הסרט הראשון הופק בשנת 1919 ונחשב לאבוד, השני הופק ב-1949 בידי MGM).בשנת 2020 יצא הסרט 'סוד הגן הנעלם' שהוא העיבוד הקולנועי הרביעי של הספר.
עלילה.
עלילת הספר מתחילה בתיאור חייה של הילדה האנגלייה מרי לנוקס בהודו, מרי היא ילדה עשירה ומפונקת, שהוריה מזניחים אותה ולמעשה מגדלים אותה המשרתים והאומנת שלה. מרי מאבדת את הוריה במגפת כולרה ונשלחת לגור באחוזת דודה מצד אמה, מר קרייבן, המתגורר ביורקשייר שבאנגליה.
מרי נשארת מבודדת באחוזה, תחת השגחת סוכנת הבית גברת מדלוק, כאשר דודה, הבורח ממות אשתו שרודף אותו, נעדר באופן קבוע מהאחוזה. האדם היחיד שמקדיש למרי תשומת לב היא החדרנית מרתה, ובמהלך שיחותיהן היא מספרת למרי על גן נעול וחתום בחומות, שהיה הגן האהוב על גברת קרייבן, ושאותו נעל בעלה לאחר מותה, וקבר את המפתח.
במהלך שיטוטיה של מרי בגני האחוזה היא מוצאת את המפתח ולאחר מכן את הדלת לגן ונכנסת לתחומיו. כאשר היא נכנסת לגן מגלה מרי שלמרות נבילת הוורדים, חלק מהפרחים עדיין חיים, והיא מחליטה להתחיל לעבוד על הגן בעצמה, אולם לשמור על כך בסוד, במקרה שדודה, או גברת מדלוק יגלו שהגן נפתח וינעלו אותו בשנית.