נניח בשלילה כי קיים formula_22 הסותר את המשפט. מתקיים:
לכן formula_24 נמצא בקטע formula_16 (ההפרש בינו לבין formula_8 קטן מ-1) והוא אינו שורש של formula_9 ואין אף שורש כזה בינו לבין formula_8 (ההפרש בינו לבין formula_8 קטן מההפרש של formula_8 מכל שורש והוא לא שווה ל-formula_8 כי formula_8 אי-רציונלי).
לפי משפט הערך הממוצע של לגראנז' קיים formula_33 בין formula_34 ל-formula_8 כך שמתקיים:
מכיוון ש-formula_8 שורש ושני האגפים שונים מאפס:
נרשום את formula_9 במפורש כפולינום במקדמים שלמים: formula_40. נוכל להעריך:
האי-שוויון נובע מכך ש-formula_34 אינו שורש ולכן המונה הוא מספר שלם גדול מאפס.
נציב זאת בשוויון הקודם שקיבלנו:
האי-שוויונות נובעים מהגדרת formula_44 ו-formula_11. הגענו לסתירה ולכן ההנחה שגויה והמשפט הוכח.
מסקנה: כל מספר ליוביל הוא טרנסצנדנטי.
הוכחה: נניח בשלילה שמספר ליוביל formula_1 הוא אלגברי, ממעלה n. הוכחנו שהוא אינו רציונלי, ולכן, לפי המשפט, קיימים formula_47 כך שלכל formula_34 מתקיים formula_49. נבחר formula_50 כך ש-formula_51. לפי הגדרת מספר ליוביל קיים formula_22 כך שמתקיים formula_53, וזו סתירה למשפט.
מספרי ליוביל.
המשפט מראה שכל מספר ליוביל הוא טרנסצנדנטי. כדי להראות כי קיימים מספרים טרנסצנדנטיים מספיק לתת דוגמה למספר ליוביל. הדוגמה המוכרת ביותר היא קבוע ליוביל שניתנה על ידי ליוביל ב-1851:
הספרה 1 מופיעה בפיתוח העשרוני של המספר במקום ה-formula_55 לאחר הנקודה העשרונית לכל j טבעי (ראו עצרת) ובכל מקום אחר מופיעה הספרה 0.
נגדיר סדרות:
לכל n טבעי מתקיים:
מכאן שקבוע ליוביל הוא מספר ליוביל, וזו הדוגמה הראשונה הידועה למספר טרנסצנדנטי.
במקום כל ספרה 1 בפיתוח העשרוני של קבוע ליוביל ניתן לשים כל ספרה אחרת שאינה 0 והמספר יוותר מספר ליוביל. מכיוון שיש אינסוף מופעים של 1 בפיתוח, ניתן להחליפם בכל סדרת ספרות שונות מאפס, ולכן יש אינסוף מספרי ליוביל ועוצמת הקבוצה של מספרי ליוביל היא עוצמת הרצף. עם זאת קיימים מספרים טרנסצנדנטיים שאינם מספרי ליוביל. למעשה, אוסף מספרי ליוביל הוא קבוצה ממידה אפס, בעוד קנטור הוכיח כי כמעט כל המספרים הם טרנסצנדנטיים. לכן כמעט כל המספרים הטרנסצנדנטיים אינם מספרי ליוביל.
הכללות.
ב-1955 שיפר K.F. Roth תוצאות קודמות של Thue, Siegel ו-Dyson, והראה שמספר אלגברי אינו ניתן לקירוב דיופנטי מסדר גבוה מ-2. זהו שיפור משמעותי לחסם שנותן משפט ליוביל (שהוא מעלת הפולינום המינימלי של המספר). בעזרת תוצאה זו ניתן להוכיח את הטרנסצנדנטיות של קבוצה רחבה בהרבה של מספרים שאינם בהכרח מספרי ליוביל.
1956 בברית המועצות
1956 בברית המועצות הייתה שנה בה נחגגה השנה ה-39 למהפכת אוקטובר.
הנהגה.
מעשית, החל משנת 1953 השלטון בהדרגה התרכז בידי ניקיטה חרושצ'וב
אירועים בולטים.
בהתאם להחלטת הממשל בשנת 1954 החלה מערכה רחבה של עיבוד חקלאי של אדמות בקזחסטן, סיביר, ודרום אורל בשטח של אלפי קילומטרים ריבועים. המערכה הסתיימה רק בשנת 1961. במהלכה כ-6 מיליון רוסים ואוקראינים עברו להתגורר בקזחסטן. במבצע זו הושקעו כ-20% מכלל ההשקעות של ברית המועצות בחקלאות באותן שנים. התוצאות תחילה היו מעודדות ותפוקת הדגנים גדלה בהיקף משמעותי, אך ההשפעה האקולוגית של הנעשה הייתה כבדה מאוד. במרוצת השנים הופסק עיבוד חקלאי של חלק גדול מהאדמות.
שביל קליפות התפוזים
שביל קליפות התפוזים, (או בשמו המלא: שביל קליפות התפוזים: הרפתקאות מראשית ימי תל אביב) הוא רומן היסטורי לילדים ונוער שנכתב על ידי נחום גוטמן. הספר מגולל את הסיפור של גירוש תל אביב במהלך מלחמת העולם הראשונה, ואת ראשית ימי השלטון הבריטי בארץ. כבכל ספריו, גוטמן אייר את הספר, והציורים מהווים חלק בלתי נפרד מהעלילה. הספר יצא לאור לראשונה בשנת 1958 בהוצאת "יבנה", ומאז הודפסו גרסאות מתוקנות רבות. הספר זיכה את גוטמן בעיטור כבוד על שם אנדרסן לספרות ילדים ונוער.
בהקדמה הקצרה, הדגיש גוטמן כי אירועי הספר התרחשו במציאות, וכי התיאורים הציוריים באים להמחיש לקורא את האווירה של התקופה.
רקע היסטורי לספר.
במלחמת העולם הראשונה התעורר החשש אצל השלטונות העות'מאנים מפני פלישה ימית של הצי הבריטי לארץ ישראל. על כן, הוצאו צווים לפינוי ערי הנמל בארץ לכל אורכו של חוף הים התיכון. בין הערים הללו הייתה יפו והשכונה תל אביב הסמוכה. הן פונו רשמית מתושביהן, אך בפועל הפינוי יושם רק אצל התושבים היהודים ולא אצל הערבים. תושביה היהודים של השכונה הצעירה נאלצו לנדוד בכל רחבי היישוב היהודי בארץ, כאשר היעדים המרכזיים למפונים היו המושבות העבריות ובכלל זה פתח תקווה, יישובי הגליל וירושלים.
לבסוף, הבריטים לא פלשו לארץ ישראל מן הים כי אם דרך מדבר סיני. הגייסות הבריטים הלמו בטורקים וכבשו את כל ארץ ישראל. בעקבות הכיבוש הצבאי הורשו גם תושבי תל אביב לשוב לבתיהם.
עלילה.
הספר מסופר בגוף ראשון בידי דמותו של נחום, נער כבן 15 שגר בשכונה תל אביב. בעקבות הגירוש, הוא ומשפחתו היו לפליטים בסוכות ארעיות בפאתי המושבה פתח תקווה. בזמן זה קרבות נערכים לכל רוחבה של הארץ בין הצבא הבריטי ובין הטורקים, והאחרונים מחפשים מגויסים חדשים לכוחותיהם ותופסים צעירים ברחובות ובדרכים. בהפצרת סבתו, נחום בורח דרך הפרדסים כדי שלא יגויס.
במהלך הבריחה, נחום נפגש בנער נוסף (אלמוני עד סוף הספר), שצריך להגיע לתל אביב לרגל שליחות חשובה ביותר. כדי להגיע לעיר, הוא עוקב אחרי שביל של קליפות תפוזים שהשאירו חבריו. נחום והנער נקלעים אל חזית הקרב המשתולל, אך מצליחים בסופו של דבר להסתנן דרך החזית לתוך העיר.
בהגעתם לעיר, נפצע הנער מבקבוק סודה ומאושפז בבית החולים הקטן של תל אביב. תוך כדי מתגלה גם מטרת שליחותו של הנער - לפני שגורשו מן העיר, החביאו פרנסי העיר את ארכיונה מתחת לרצפת אחד הבניינים בתקווה לשוב לשם ביום מן הימים. אחד התיקים נשא את השם "ככלות כל הקיצים", ובו מטבעות זהב שנאספו מיהודי התפוצות, ואמור היה לסייע להישרדות היישוב היהודי בימי המלחמה. הבעיה היא שהצבא הבריטי קבע את מפקדתו באותו בניין, ולכן אי אפשר להוציא את התיקים מהרצפה.
הילד הפצוע ונחום נעזרים בחברם גן גנין, שקשר קשרים עם אחדים מאנשי הצבא, כדי לארגן מסיבה לכבוד החיילים הבריטיים, בהשתתפות רבים מתושבי העיר. תוך כדי המסיבה, כאשר החיילים עסוקים בחגיגות, זכריה פונימיו, המכונאי של מגדל המים אשר ניצב בתחילת שדרות רוטשילד, נכנס בחשאי לתוך הבניין ומוציא את התיק מהרצפה. לאחר שהאוצר הגנוז בידיהם, מבריחים הנערים את התיק באמצעות מכונית צבאית של הכוחות האוסטרליים, אשר מביאה אותם לפתח תקווה ולמפגש עם מנהיגי היישוב היהודי.
השפעה.
בהשראת הספר הוקם ב-1997 פארק "שביל התפוזים" בפרדס הסמוך לקיבוץ גן שמואל ולעיר חדרה.
360° (סיבוב הופעות)
360° הוא סיבוב הופעות של הלהקה האירית U2, סיבוב הופעות זה הוא סיבוב ההופעות המכניס ביותר בכל הזמנים עם הכנסות של למעלה מ-700 מיליון דולר, כאשר באפריל 2011 שבר את השיא של סיבוב ההופעות the bigger bang של הרולינג סטונז.
סיבוב ההופעות נקרא 360° מכיוון שהבמות שהלהקה מופיעה עליהם מעוצבות בצורת עיגול.
גביזון
השערת ברטראן
השערת ברטראן היא משפט שניסח לראשונה המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ברטראן בשנת 1845, בצורת השערה. לפי טענה זו, לכל מספר טבעי n הגדול מ-3, קיים לפחות מספר ראשוני אחד בקטע formula_1.
ברטראן העלה השערה זו לראשונה ב-1845, ואף וידא את תקפותה לכל n טבעי קטן מ-3 מיליון. למעשה השם "השערה" אינו מתאר נכונה טענה זו, שכן בשנת 1850 הציג המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב הוכחה מלאה לטענה, ועל כן היא בגדר משפט. לפיכך, היא נקראת לעיתים "משפט ברטראן-צ'בישב" או "משפט צ'בישב". המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן הציג בשנת 1919 הוכחה פשוטה יותר למשפט, הנעזרת בתכונות של פונקציית גמא, ופאול ארדש הציג בשנת 1932 הוכחה פשוטה מזו
הנעזרת בפונקציית צ'בישב ובמקדמים בינומיים.
נימוק היוריסטי.
ממשפט המספרים הראשוניים נובעת טענה חזקה בהרבה: לכל formula_2, אם n גדול מספיק אז יש ראשוניים בקטע formula_3. הסיבה לכך היא שלפי המשפט, מספר המספרים הראשוניים הקטנים או שווים ל-x הוא בקירוב formula_4. (הפונקציה ln x מסמלת את הלוגריתם הטבעי. הפונקציה formula_5 מסמלת את פונקציית ספירת הראשוניים הקטנים או שווים ל-x.
המשפט מאפשר לחשב בקירוב את מספר הראשוניים בקטע. נקבל: formula_6.
כאשר n שואף לאינסוף, ההפרש -- שהוא מספר הראשוניים בקטע -- שואף לאינסוף.
ז'וזף ברטראן
ז'וזף לואי פרנסואה ברטראן (בצרפתית: Joseph Louis François Bertrand; 11 במרץ 1822- 5 באפריל 1900) היה מתמטיקאי צרפתי, שעסק בתורת המספרים, גאומטריה דיפרנציאלית, תורת ההסתברות, כלכלה והתרמודינמיקה. ב-1845 העלה את השערת ברטראן ופיתח את מודל ברטראן, משפט ברטראן והפרדוקס של ברטראן, הקרויים על שמו.
ביוגרפיה.
ברטראן נולד ב-11 במרץ 1822 בפריז, צרפת, לרופא אנכסנדר ז'אק פרנסואה ברטראן. אביו מת כשהיה רק בן תשע, אך ז'וזף היה מחונן וכבר בגיל תשע דיבר לטינית שוטפת והבין מושגים גאומטריים, אלגבריים ואלמנטריים שונים. מגיל 11 עד גיל 17 הוא קיבל שני תארים ראשונים, רישיון ודוקטורט עם עבודת גמר על התיאוריה המתמטית של החשמל. בשנת 1839 התקבל לבית הספר אקול לפוליטכניקה.
בנו הוא הגאולוג מרסל אלכסנדר ברטראן.