המשנה גם משתמשת בפרוטה בהקשר עקיף בדונה בגודל המינימלי של חור בכלי המטהר אותו מטומאה מפני שהוא שבור, וכותבת:
בגמרא.
הגמרא מביאים דינים נוספים לגבי הפרוטה.
במסכת בבא מציעא מובאת גרסה של לוי לחמשת הדינים הנוגעים לפרוטה, השונה מהגרסה במשנה:
שני הדינים המופיעים אצל לוי ולא במשנה (אונאה וישיבת הדיינים) נתונים על פי הגמרא במחלוקת:
הגמרא מביאה גם אמרות המעידות על השווי הקטן של הפרוטה:
ערך הפרוטה בתקופת המשנה והתלמוד.
המשנה מציינת את ערכה של הפרוטה: "וכמה היא פרוטה, אחד משמונה באיסר האיטלקי."
אולם בגמרא מובאת ברייתא הטוענת ששווי הפרוטה הייתה נתונה במחלוקת בימי רבן שמעון בן גמליאל:
הגמרא מביאה גם מחלוקת זאת בין חכמים בדור המעבר בין תנאים לאמוראים:
הגמרא בקידושין מספרת: "סבר רב יוסף למימר (=לאמר) פרוטה כל דהו (=כל שהוא)"
הריטב"א מסביר את דברי רב יוסף שלפרוטה אין ערך קבוע אלא היא השווי של המטבע הכי קטנה באותו מקום: "כל שיוצאת באותו מקום שהיו הקדושין ואף על פי שאינה אחד משמנה באיסר דכיון דנפקא בההיא דוכתא חשיבא ממון".
בהלכה.
בנוסף לחמשת הדינים שנמנו במשנה, הפרוטה מוזכרת בהלכות נוספות, ביניהם:
בהלכה, הערך הממוני המינימלי מבחינה משפטית שווה ערך לפרוטה. ערך הנמוך מכך לא קיים מבחינה הלכתית (אם כי ניתן לצרף מספר חפצים כאלה על מנת לקבל ערך של שווה פרוטה). בהתאם, דנו הפוסקים בערכו המדויק של הפרוטה. על פי השיטה המקובלת, פרוטה מחושבת בהתאם למחיר הכסף בעולם. שווי הפרוטה מחושב לפי מחיר של 1/40 גרם (0.025 גרם) כסף. לדוגמה, כאשר אונקיית כסף שמשקלה 31.1 גרם, שווה 71.24 שקלים, שווי פרוטה הוא לערך 5.7 אגורות.
הרב אברהם קוסמן סובר שיש לחשב את הפרוטה בהתבסס על השכר הממוצע במשק, יחסית לשכר הפועלים בזמן חז"ל. על פי החישוב שלו, שווי פרוטה הוא כשקל וחצי. חישוב זה גורם לחומרה רבה בחלק מהמקרים, לדוגמה המרת מעשר שני על פרוטה צריכה להתבצע על לפחות שקל וחצי.
במחקר.
בקרב החוקרים, החל מסוף שנות ה-50, מקובל לכנות את מטבע הנחושת השכיח ביותר בממצאים מתקופת בית שני בשם "פרוטה", אף על פי שהמקור המוקדם ביותר של המילה היא מהמשנה והיא אינה מוזכרת, למשל, בכתבי יוסף בן מתתיהו. כך, דניאל שפרבר כותב שבספרות התלמודית ה"פרוטה" מתייחסת תמיד למטבע ברונזה שהיה בשימוש מאוד נפוץ. יצחק אייזיק הלוי כותב שמכך שהתנאים בדורו של רבן שמעון בן גמליאל חלקו בנוגע לשווי הפרוטה, יוצא שהפרוטה כבר לא הייתה מטבע מוכרת בימיהם. הפרופסור אמיל שירר טען שהפרוטה אינה תואמת את שאר המטבעות המובאות במשנה השייכות למערכת המטבעות הרומית ושמה הוא שמי, ועל כן הפרוטה כנראה קדומה לתקופה הרומית.
מטבעות הנחושת המקובלות במחקר כפרוטות מתוארכות לתקופה שבין 134 לפני הספירה ועד 70 לספירה. מתקופה זאת לא נמצאו מטבעות כסף שהוטבעו ביהודה ועל כן מניחים שלשלטונות ביהודה לא היה רשות להטביע מטבעות כסף ושמטבעות הנחושת היו המטבעות השכיחות ביותר. הפרוטה הקדומה ביותר, על פי הזיהוי המקובל, שנמצאה בחפירות ארכאולוגיות היא מתקופתו של אנטיוכוס השביעי. אריה קינדלר טען שהפרוטה בתקופה החשמונאית הייתה בערך של שני לפטון יווני. אחרים כתבו שהלפטון היה שם אחר לפרוטה. מטבעות הברונזה היו באיכות נמוכה והיה הבדל גדול בגודל ובמשקל בין מטבעות שונים מאותן סדרות שהיה להן אותו מראה.
ממוצע המשקל של מטבעות הפרוטה של אנטיוכוס השביעי ויוחנן הורקנוס הם 2.47 גרם ו-2.15 גרם בהתאמה.
מטבעות הפרוטה שנשאו את שמו של אלכסנדר ינאי הן בעלות משקלים ממוצעים של 2.15, 1.81, 1.71, 1.20, 0.81 גרם. המטבע שבו הוא מכונה לראשונה בתואר מלך המשקל הוא הגבוה ביותר. המטבע הקל ביותר הוא גם השכיח ביותר. הועלו השערות שונות האם מטבע זה הוא של פרוטה או חצי פרוטה. סדרת מטבעות העופרת של אלכסנדר ינאי היא במשקל ממוצע של 4.10 גרם. ההנחה היא שמטבעות אלו הן מטבעות פרוטה ומשקלן כפול בגלל הבדל השווי בין עופרת ונחושת.
מימי מתתיהו אנטיגונוס השני יש שלוש סדרות של מטבעות במשקלים ממוצעים של 14, 7.19 ו-1.68 גרם. ההנחה היא שאלו מייצגים מטבעות של 8 פרוטות, 4 פרוטות ופרוטה אחת, בהתאמה. במטבעות של הורדוס המטבע השכיח ביותר הוא במשקל ממוצע של 1.42 גרם, ומטבע זה מזוהה כפרוטה. מטבע במשקל ממוצע של 0.86 גרם מזוהה כחצי פרוטה. במטבעות של ארכלאוס מזוהות שתי סדרות של פרוטה וחצי פרוטה במשקלים ממוצעים של 2.06 גרם ו-1.19 גרם בהתאמה. הפרוטות בתקופת הנציבות הראשונה היו במשקל ממוצע של 1.90 גרם, בתקופת אגריפס הראשון במשקל ממוצע של 2.33 גרם ובתקופת הנציבות שלאחר אגריפס 2.27 גרם. מטבעות מימי המרד הגדול נמצאו במשקל ממוצע של 2.51 גרם.
בתקופות מאוחרות.
בימי הביניים נעשה שימוש במילה פרוטה לציין מטבע בשווי קטן של המדינה. למשל, בכתובה משנת 1498 ממצרים מצוין השווי של כל דינר זהב בכתובה: "דשווי כל דינר מנהון תלת מאה כספים מפרוטות משא ומתן של מצרים".
שווה פרוטה
התיקון החמישי
חרדת מתמטיקה
חרדת מתמטיקה היא תגובה רגשית ועקבית של אי שקט, מתח ודאגה, המשבשת את יכולת החשיבה והפעולה של הפרט בשעה שעליו להתמודד עם בעיה בתחום המתמטיקה. התחושה עשויה להופיע החל כשעולה צורך בחישוב חשבוני פשוט ביום יום, וכלה במהלך למידה, והגשת מטלות או בחינה במסגרת חינוכית, ועל כן השלכותיה עלולות להיות הרסניות.
הגורם לחרדת מתמטיקה הוא ברוב המקרים חסך (כלומר, חוסר) בידע מתמטי (ובזה גם בידע פרוצדורלי המשמש לפתרון פרקטי של הבעיות המתמטיות השונות) שהוא בסיסי הרבה יותר משעלול להיות נדמה לפרט עצמו או למערכת החינוך ממנה הוא חלק (תהיה זו יסודית או אקדמאית). כפי שיתואר בהמשך. השלמת הידע בהקשר לחסך זה עשויה לסייע להשתדרג במתמטיקה ולצמצם מאוד את החרדה או אף "למחוק" אותה. כמו כן, טיפול ספציפי בבעיות אשר נדמה שנובעות מחרדת המתמטיקה, או שהן מחריפות אותה, גם הוא עלול לסייע בחלק מהמקרים.
נגזרת אפשרית של חרדת מתמטיקה היא חרדת סטטיסטיקה, והטיפול בה עלול להסתכם בסילוק של חרדת המתמטיקה עצמה (מה שיאפשר למידה של סוגיות סטטיסטיות בנחת), אם כי במקרים מסוימים חרדת הסטטיסטיקה בעצמה תדרוש טיפול עצמאי, לאחר מכן, או בפני עצמו.
חרדת מתמטיקה מתבטאת לרוב במתמטיקה עד רמה תיכונית, אך מתקיימת גם בלימודים אקדמיים בתחומים כמו מדעי החברה ומדעי החיים, שבהם נדרש ידע מתמטי.
מאפיינים.
חרדת מתמטיקה באה לידי ביטוי באופנים שונים. בדומה לתופעות דומות של חרדה, עולות בין השאר תגובות פיזיולוגיות, כגון פעמת וכאבי בטן; תגובות קוגניטיביות, כגון חוסר ריכוז ובלבול מחשבתי; ותגובות רגשיות, כגון תחושת חוסר אונים ואף תגובה עצבנית. אנשים עשויים למשל להתקשות ליישם ידע נלמד לגבי בעיה מתמטית מסוימת במקרים דומים אחרים, או לחשוב בדרכים יצירתיות על פתרון הבעיה, ללא התערבות של גורם דידקטי. תלמידים רבים חוששים לחשוף את הידע שלהם בשל חרדתם ממתמטיקה ולעיתים חשיפת הידע בכיתה עלולה לגרור השלכות שליליות בהתאם לתגובה החברתית של הסובבים אותו.
גורמים.
לחרדת מתמטיקה מספר גורמים עיקריים. הגורם השני הוא דרכי ההוראה של המתמטיקה. השלישי הוא המעמד הגבוה של המתמטיקה בחברה, והגורם האחרון הוא הלומד ומאפייניו.
דרכים לאבחון חרדת מתמטיקה.
האבחון הראשוני של חרדת מתמטיקה מתבצע, למעשה, על ידי זיהוי התגובות הרגשיות המלוות את הלוקים בחרדה. מתח, בלבול וכעס יכולים להעיד על קיומה של החרדה אצל התלמיד. דרך נוספת לאבחון החרדה מתבצעת על ידי הצוות הפדגוגי בבית-הספר. הישגים נמוכים במקצוע המתמטיקה המלווים בהישגים ממוצעים ומעלה בשאר המקצועות, יכולים להעיד על מידה מסוימת של חרדה ממתמטיקה.
הטיפול בחרדת מתמטיקה.
כדי לנסות להקטין את החרדה או לחסלה (או ביטויים ספציפיים שלה כגון חרדה מבחינה מתמטית) ניתן לנקוט גישות שונות, וביולוגיות ודידקטיות כאחת. על פי היכרותו עם עצמו יפנה הפרט להיעזר בשיטה מסוימת, וייתכן שהיא תיבחר בעזרת הכוונתו של איש מקצוע מן התחום הדידקטי או תחום בריאות הנפש (כגון פסיכולוג חינוכי) או רופא (בהנחה שיכלול הדבר שימוש בתרופה (כגון חוסמי בטא). להלן יוצגו דרכי הטיפול השונות:
רכישה וארגון מחדש של ידע מתמטי.
טיפול לא פולשני לחיסול החרדה יהיה "היכרות מחדש" עם המתמטיקה, למשל על ידי הפניית הפרט לספרות לימודית מותאמת המאפשרת למידת מתמטיקה בסיסית בצורה מסודרת, אינפורמטיבית, מפורשת, והדרגתית-לכאורה, תוך הדגשת ההיגיון המתמטי הפשוט והפרוצדורות המתמטיות הטריוויאליות ביותר המתבססות עליו, באופן הראוי לו, עם או בלי הכוונה מצד איש מקצוע, וכאשר הספרות הספציפית הזו תוכננה לכך בקפידה ותתחיל בהסברים מוחשיים או קונקרטיים כך שתתרום לפיתוח הפשטה מתמטית בהדרגה במהלך הלימוד (להרחבה ראו חשבון להורים, ספר מאת פרופסור רון אהרוני)
מטרת תוכנית כזו היא לפצות על כל החסכים שנגרמו בגלל דילוג על שלבים או נדבכים מתמטיים (אשר ברמה הנפשית הם סכמות נוירו-פסיכולוגיות), הנבנים בהדרגה זה על גבי זה, ומהווים למעשה את המנגנונים הנפשיים המשמשים לפתרון הבעיות המתמטיות. התוכנית אפוא תגרום, בהנחה שהפרט החרד רכש בהצלחה את הידע המתמטי הבסיסי, ל"סתימה" של כל החורים והפערים שנוצרו בהשכלתו מסיבות שונות (כגון מערכת חינוך קלוקלת או בעיות לימוד שגרמו לכך) בהשכלתו המתמטית כך שמעתה יוכל לתמרן עם מתמטיקה עד-תיכונית כמו אלו שכן רכשו את הידע הנדרש בהקשרה בהצלחה.