הגאומטריה המודרנית חוקרת מספר מחלקות של אובייקטים גאומטריים. יריעות אלגבריות מהוות אחת ממחלקות אלו, לצידם חוקרים גם יריעות טופולוגיות, יריעות חלקות (differentiable manifolds), יריעות אנליטיות, מרוכבות וממשיות, סוגים שונים של יריעות אלגבריות למחצה (למשל יריעות נאש), יריעות אנליטיות p-אדיות, מרחבים אנליטיים קשיחים, מרחבי ברקוביץ', מרחבים פרפקטואידים ועוד. שלוש המחלקות האחרנות הן גרסאות מודרניות ומעודנות יותר של יריעות אנליטיות p-אדיות. יריעות אלה בתורן הן גרסה לא ארכימדית של יריעות אנליטיות מרוכבות וממשיות. יריעות נאש הן יריעות ממשיות חלקות אלגבריות למחצה, הן דומות מאוד ליריעות אלגבריות ממשיות חלקות. אם נקבע formula_444, נראה שטבעי להשוות בין יריעות אלגבריות, יריעות אנליטיות ויריעות חלקות. בהשוואה זאת, יריעות אלגבריות הן המחלקה הקשיחה ביותר, ויריעות חלקות הן המחלקה הגמישה ביותר. כל פונקציה אלגברית היא אנליטית וכל פונקציה אנליטית היא חלקה.
על ציר זה (גמישות/קשיחות) יריעות אנליטיות קרובת בהרבה ליריעות אלגבריות מאשר ליריעות חלקות. אחת הסיבות לכך היא שביריעות חלקות יש את משפט פיצול היחידה בעוד שביריעות אלגבריות ואנליטיות הוא לא יכול להתקיים מכיוון שהוא סותר את משפט היחידות (שלא מתקיים עבור פונקציות חלקות; אך מתקיים עבור פונקציות אלגבריות ואנליטיות). למעשה משפט ג.א.ג.א. של סר מתאר שקילות קטגורית בין יריעות אלגבריות פרויקטיביות מרוכבות ובין יריעות אנליטיות פרויקטיביות מרוכבות.
קשיחות זאת גורמת לכך שבמיקרים רבים על יריעה חלקה אחת יש רצף של מבנים של יריעה אלגברית או אנליטית.
הבדל מובהק בין יריעות אלגבריות ואנליטיות הוא העובדה שמשפט הפונקציה ההפוכה לא תקף במקרה האלגברי. הבדל זה הוא המוטיבציה המרכזית להגדרת טופולוגית אטל על יריעות אלגבריות. טופולוגיה זאת מאפשרת במקרים רבים להחליף את משפט הפונקציה ההפוכה ובכך לצמצם את הפער בין יריעה אלגברית ואנליטית. הבדל נוסף בין יריעות אלגבריות לאנליטיות נובע מכך שבעולם האנליטי (כמו גם בעולם החלק) לכל מד"ר יש פתרון ולרוב המד"רים אין פיתרונות אלגבריים.
ברמה הפרקטית מה שמיחד יריעות אלגבריות משאר האובייקטים בגאומטריוה זה האלגבריות שלהן, זאת אמרת שניתן לתאר כל יריעה אלגברית באמצעות כמות סופית של מידע. דבר זה אינו אפשרי עבור אובייקטים גאומטריים אחרים.
הטבלה הבאה מסכמת את ההבדלים בין העולם האלגברי האנליטי והחלק במקרה הממשי:
דוגמאות.
נקודה ויריעות 0-ממדיות אחרות.
בהינתן שדה סגור אלגברית formula_1, הנקודה היא היריעה האלגברית הקשירה היחידה ממד 0 מעל formula_1. היא האובייקט הסופי בקטגוריה של יריעות אלגבריות מעל formula_1. כל יריעה אלגברית ממד 0 מעל formula_1 היא קו-מכפלה של נקודות. זאת אומרת קבוצה סופית בדידה. לכן מחקר של יריעות אלגבריות ממד 0 לא מהווה עינין. מעל שדה לא סגור המצב מסובך יותר. למשל, אם השדה מושלם אז יריעות 0-ממדיות מעליו ניתנות לתיאור על ידי קבוצות סופיות יחד עם פעולה של חבורת גלואה האבסולוטית של השדה. אובייקט זה מסובך בהרבה, אך אינו גאומטרי כלל והמחקר שלו לא מתבצע במסגרת הגאומטריה האלגברית בדרך כלל. להבדיל, המצב עם סכמות אינו כזה. סכמות ממד 0 מסובכות בהרבה, אומנם הן עדין אובייקט אלגברי ביסודו, אך למחקר שלהן השלכות רבות בגאומטריה אלגברית.
מרחב אפיני ומרחב פרויקטיבי.
המרחב האפיני הוא הארכי טיפוס של הירעות האפיניות. לשאלות רבות על יריעות אפיניות יש רדוקציה למרחבים אפיניים. לדוגמה, ניתן לשכן את קטגורית האלומות הקוהרנטיות על יריעה אפינית לתוך קטגורית האלמות הקוהרנטיות על המרחב האפיני. למרות פשטותו היחסית, יש מספר השערות קשות הקשורת אליו. המפורסמת בהן היא השערת היעקוביאן.
חבורת האוטומורפיזמים של מרחב אפיני עשירה מאוד. היא אינסוף ממדית ומסובכת. ישנן מספר השערות הקשורות לחבורה זאת.
באופן דומה המרחב הפרויקטיבי הוא הארכי טיפוס של היריעות הפרויקטיביות. לשאלות רבות על יריעות פרויקטיביות יש רדוקציה למרחבים פרויקטיביים. יתר על כן, באמצעות הלמה של צ'ו ניתן גם להכליל תשובות לשאלות אלה ליריעות שלמות.
חבורת האוטומורפיזמים של מרחב פרויקטיבי עשירה למדי אך לא מסובכת. היא החבורה האלגברית הליניארית (מממד סופי) formula_449.
עקומים.
עקום אלגברי הוא יריעה אלגברית חד-ממדית. בדרך כלל דושים שעקום יהיה בלתי-פריק. אם לא דורשים זאת אז דורשים שכל רכיבי האי-פריקות שלו יהיו חד ממדיים. עקום שלם הוא תמיד פרויקטיבי.
למרות פשטותם היחסית, המחקר של עקומים אלגבריים הוא עשיר ומאתגר.
משפטים רבים בגאומטריה אלגברית הוכחו תחילה עבור עקומים ואחר כך הוכללו עבור יריעות כלליות. במקרים רבים הוכחת המשפט לעקומים שונה מאוד מהרדוקציה מיריעה כללית לעקום. בהרבה מקרים ההוכחה לעקומים בתבססת על חישובים מפורשים בעוד שהרדוקציה למקרה של עקום מתבססת על כלים כללים של גאומטריה אלגברית.
עקומים שלמים חלקים.
יש מיון ידוע של עקומים חלקים שלמים. האינווריאנט הממיין הראשי של עקומים כאלה הוא הגנוס. במקרה formula_450 המרחב formula_451 הוא משטח טופולוגי סגור אורינטבילי, והגנוס של formula_29 הוא הגנוס של formula_451 כמשטח טופולוגי. מזה נובע שמחלקת הדיפאומורפיזם של formula_451 תלויה רק בגנוס של formula_29 אם formula_29 הוא עקום שלם חלק מרוכב. בהינתן גנוס קבוע formula_457 יש מבנה של יריעה אלגברית (ליתר דיוק של סטק דלין ממפורד) על אוסף כל מחלקות האיזומורפיזם של עקומים מגנוס formula_457.
יש עקום יחיד מגנוס 0. הוא הישר הפרויקטיבי. זה העקום החלק השלם היחיד המהווה יריעת פאנו. עקומים מגנוס 1 נקראים עקומים אליפטיים. יש משפחה חד פרמטרית של עקומים כאלה (הפרמטר נקרא אינווריאנט formula_459 של העקום והוא רץ ב-formula_1). לעקומים אליפטיים מקום מיוחד בחקר העקומים ובגאומטריה אלגברית בכלל. על כל עקום אליפטי יש מבנה של חבורה אלגברית. חבורת האוטומורפיזם של עקום אליפטי (כשחושבים עליו כיריעה) היא הרחבה סופית של העקום עצמו (כשחושבים עליו כחבורה). עקומים אליפטיים הם העקומים החלקים השלמים היחידים המהווים יריעות קאלאבי-יאו.
עקום אלגברי שלם חלק שהתפרסם בזכות הקשר שלו למשפט פרמה הוא עקום פרמה.
עקומים חלקים.
לכל עקום אלגברי חלק יש קומפקטיפיקציה (זאת אומרת עקום שלם המכיל אותו כתת-קבוצה פתוחה צפופה) חלקה יחידה. לכן ניתן למיין עקומים אלגבריים חלקים באמצעות עקומים חלקים שלמים. באופן מפורש יותר, כדי לתאר עקום חלק, צריך לתאר עקום חלק שלם ולהוציא ממנו קבוצה סופית של נקודות.
עקומים סינגולריים.
אם העקום אינו חלק אז כל הסינגולריות שלו מבודדות. לכן נהוג לחקור עקומים לא חלקים רק מקומית בסביבת הסינגולריות. אין מיון מלא של כל הסינגולריות האפשריות של עקומים, אבל בהנחות מסוימות על הסינגולריות לעיתים קיים מיון. אחד הדברים שמקלים על המיון הזה היא העובדה שעקום נורמלי הוא תמיד חלק. לכן נורמליזציה של עקום מהווה התרת סינגולריות קנונית שלו.
עקומים מישוריים.
עקום מישורי אפיני הוא עקום השוכן במישור האפיני בתור תת-קבוצה סגורה. עקום כזה תמיד ניתן להגדרה על ידי משוואה אחת (משני משתנים). המעלה של המשוואה הזאת נקראת המעלה של העקום. באופן דומה עקום מישורי פרויקטיבי ממעלה formula_1 הוא עקום במישור הפרויקטיבי הנתון על ידי משוואה הומוגנית אחת ממעלה formula_1 משלושה משתנים. אוסף כל העקומים המישוריים הפרויקטיבים ממעלה formula_463 הוא מרחב פרויקטיבי ממד
formula_464
ניתן לחלק מרחב זה לתתי יריעות לפי הטיפוסים השונים של העקומים. מיון של עקומים מישוריים ממעלה נתונה איננה משימה פשוטה. מנקודת מבט מודרנית, מבין כל משימות מיון העקומים המישוריים, קל יותר למיין עקומים מישוריים פוריקטיביים מעל שדה סגור אלגברית (למשל formula_465).
ולכן בדרך כלל מתחילים במקרה זה, אחר כך מנסים לעדן את המיון שיתאים לשדות אחרים (למשל formula_213) ולמקרה האפיני. אולם, היסטורית, שדה המרוכבים והגאומטריה הפרויקטיבית התפתחו מאוחר, לכן עקומים ממעלה נמוכה נחקרו תחילה במקרה הממשי האפיני.
עקומים מישוריים ממעלה 1 הם ישרים. אפשר לראות במיון של עקומים מישוריים ריבועיים כנקודת ההתחלה של הגאומטריה האלגברית, הוא היה ידוע עוד ביוון העתיקה.
במקרה האפיני הממשי הם:
המקרה הפרויקטיבי המרוכב פשוט יותר. יש רק שני סוגים של עקומים כאלה: ישר פרויקטיבי וזוג ישרים פרויקטיבים נחתכים.
המיון של עקומים מישוריים ממעלה שלישית מסובך בהרבה, הוא התבצע באופן חלקי על ידי ניוטון ובאופן מלא על ידי פלוקר וכלל למעלה מ-100 מקרים. בשונה ממעלות נמוכות יותר, יש אינסוף מחלקות איזומורפיזם של כאלה עקומים. אולם, במקרה הפריקטיבי המרוכב ניתן לתאר את כל העקומים האלה בקלות יחסית:
formula_467
הגנוס של עקום מישורי פרויקטיבי חלק ממעלה formula_463 הוא formula_470
משטחים.
משטח אלגברי הוא יריעה אלגברית דו-ממדית. משטחים אלגבריים מסובכים בהרבה מעקומים אך עדיין פשוטים יותר מיריעות כלליות. משטחים חלקים שלמים הם תמיד פרויקטיביים אולם משטחים שלמים שאינם חלקים לאו דווקא.
סינגולריות של משטחים.
סינגולריות של משטח נורמלי היא תמיד מבודדות, לכן כשחוקרים אותה בדרך כלל מתמקדים בסביבה של נקודה סינגולרית. גם כאן כמו בעקומים אין מיון כללי אולם אם מגבילים את הסינגולריות לפעמים ניתן למין אותן.