יישום פשוט במונחי חומרה לניווט יחסי ניתן למצוא בטילי ה-AIM-9 סיידוויינדר המוקדמים. טילים אלו משתמשים במראה פרבולית הסובבת במהירות בתבנית אופיינית כגלאי. אלקטרוניקה פשוטה מאתרת את השגיאה הכיוונית שיש לגלאי עם המטרה (מקור קרינה אינפרה-אדומה), ומפעילה מומנט על המראה הגימבלית הזאת כדי לשמור על צירה מצביע על המטרה. מכיוון שהמראה היא למעשה גירוסקופ היא תמשיך להצביע על המטרה אם לא מופעל כח או מומנט חיצוני, ללא קשר לתנועות הטיל. במתח שהאלקטרוניקה מייצרת כדי להפעיל מומנט על המראה הדרוש כדי לנעול אותה על המטרה נעשה שימוש גם (כשהוא מוגבר) כדי להסיט את משטחי הניהוג שמנחים את הטיל, וכתוצאה משימוש כפול זה קצב הרוטציה של וקטור מהירות הטיל נעשה למעשה פרופורציונלי לקצב הרוטציה של קו הראייה.
לסיום, יש לציין כי טורפים בטבע הקדימו את בני האדם בשימוש בניווט יחסי:" [ניווט יחסי עם 1 &lt; N] הוא קרוב לוודאי הדרך הפשוטה ביותר לפתור את הבעיה של ניווט. בעל חוליות הוא בעל מדי תאוצה שמאפשרים לו למדוד את קצב הפנייה שלו, בעוד שלטרף שלהם יש חיישנים דומים. כך המידע על קצב הפנייה של הטורף, המעובד ביחד עם המידע הכיווני מהעיניים, האוזניים והחושים האחרים במוח, מאפשר לצייד ליירט את הטרף שלו באופן יעיל ככל אפשר".
רקע מתמטי ורעיוני: אנרגיה של עקומה.
היתרון המרכזי של שיטת הניווט היחסי הוא שטיל שמתמרן לפיו ינוע במסלול "החלק" ביותר האפשרי, כלומר הוא יידרש לתמרן בצורה מזערית. לעקרון המזעור של התמרון יש שני היבטים חיוביים, האחד מתמטי והשני פיזיקלי. ההיבט המתמטי נוגע לעובדה שמבחינה פורמלית המסלול שמתקבל בניווט יחסי הוא אכן הטוב ביותר האפשרי, במובן שהוא הקרוב ביותר לקו ישר מבין כל המסלולים עם תנאי ההתחלה ותנאי הסיום הנתונים. ההיבט הפיזיקלי מתייחס לעובדה שלשאיפה למזעור התמרון יש הצדקה גם במנגנונים הפיזיקליים של הטיל; התמרון צורך אנרגיה חשמלית רבה הדרושה כדי להניע את הגאי הטיל כנגד עומס אווירודינמי גבוה מאוד. כדי להיווכח בנכונות ההיבט המתמטי, יש לפתח את הביטוי לאנרגיה של עקומה באמצעות הכלים של חשבון הווריאציות, ולהראות שהמסלול שמתקבל אכן ממזער את האנרגיה של העקומה. ניתן לפתח את הנוסחה לאנרגיה של עקומה באמצעות אנלוגיה פיזיקלית - נחשב את האנרגיה האצורה בקורה אלסטית בעלת צורה מסוימת הנתונה במאמץ אחיד כלשהו "T". כידוע, הלחץ הרדיאלי שאלמנט אורך בעל אורך "ds", רוחב "w" ועקמומיות "C" יוצר הוא: formula_4. לפיכך, האנרגיה שיש להשקיע כדי לקחת חתיכת קורה ישרה הנתונה במתיחות "T" ולעקם אותה לכדי קשת מעגלית בעלת עקמומיות "C" היא האינטגרל על הכוח הרדיאלי כאשר העקמומיות נעה מ-0 ל-C, שיחסי ל-: formula_5. לכן, האנרגיה של קורה אלסטית באורך "s" היא:
formula_6.
קורה אלסטית המקובעת בשני קצותיה ונתונה במאמץ אחיד תשאף למזער את האנרגיה שלה. ניתן לפתח את הביטוי לאנרגיה של עקומה גם בצורה מתמטית ישירה על בסיס משוואות אוילר-לגראנז'. באופן כללי יותר, האנרגיה של מסילה (לא בהכרח גיאודזית) ביריעה רימנית יחסית לאינטגרל של ריבוע העקמומיות הגיאודזית formula_7:
formula_8.
כלל הניווט היחסי (עם "N = 3") ממזער את מאמץ הבקרה הנדרש מטיל, שהוא האינטגרל על תאוצת הטיל בריבוע - כאשר מהירות הטיל קבועה, אינטגרל זה למעשה שקול (עד כדי קבוע) לאינטגרל על עקמומיות המסלול בריבוע. לפיכך נוכחנו לדעת שכלל זה אכן ממזער את האנרגיה של עקומת המסלול.
ניווט יחסי כחוק הנחיה עם מאמץ בקרה מינימלי.
נוכיח שניווט יחסי עם קבוע ניווט N = 3 ובמקרה של מטרה נייחת הוא אופטימלי מבחינת מאמץ הבקרה הנדרש, כלומר שהמסלול המתקבל מביא למינימום את אינטגרל הבקרה בריבוע. אינטגרל הבקרה בריבוע שווה למעשה למכפלת קבוע באינטגרל על עקמומיות המסלול בריבוע, ואינטגרל זה הוא גם גודל מתמטי מגאומטריה דיפרנציאלית המכונה האנרגיה של הפעולה של עקומה. כדי להוכיח זאת נעזר בקירוב של סמיכות למסלול התנגשות (NCC - Near Collision Course). לשם כך יש לחשב את ההשפעה של וריאציות מזעריות בפונקציית הבקרה לפי הזמן על פונקציונל מאמץ הבקרה. יש להוכיח שתחת וריאציה מזערית בבקרה שמקיימת שעדיין יש פגיעה במטרה שינוי אינטגרל הבקרה בריבוע הוא אפס. ברור שלשינויים קטנים בבקרה שמתרחשים בתחילת המסלול יש אפקט גדול יותר על הסטייה הסופית מהמטרה, באופן פרופורציונלי לזמן שנותר עד לסיום המסלול formula_9. לפיכך האינטגרלים על רכיבי הבקרה בציר x וציר Y צריכים לקיים: formula_10.
כאשר formula_11 כש-formula_12 היא זווית הרדיוס וקטור למטרה.
בנוסף, נגזרת אינטגרל הבקרה תחת וריאציה זו צריכה להיות שווה אפס:
formula_13
ההנחה של וריאציה אינפיניטסימלית תבוא לידי ביטוי כעת בעובדה שנניח שהבקרה לזמן היא בקירוב זהה לזו שמתקבלת בניווט יחסי. נעזר בתוצאות מהפיתוח של המטרה הנייחת על התאוצה כתלות במרחק formula_14 ובעובדה שזווית הפגיעה הסופית היא formula_15 (תוצאה זו מתקבלת גאומטריה)ובעובדה ש-formula_16 (כתוצאה מהקירוב של זוויות קטנות) ונקבל משילוב המשוואות:
formula_17. כעת נשים לב שאם נציב תוצאה זו לבקרה בתנאי שנגזרת אינטגרל הבקרה תחת הווריאציה שווה לאפס נקבל את התנאי הראשון כלומר נקבל:
formula_18
וזהו זהותית התנאי שהווריאציה חייבת לקיים.
ניווט יחסי ומרחקי החטאה.
הרעיון הקונספטואלי מאחורי ניווט יחסי הוא לשאוף לנקודה מרוחקת אליה תגיע המטרה בעתיד, כלומר לשאוף למסלול התנגשות (Collision Course). במסלול התנגשות, קו הראייה נותר מקביל לעצמו במהלך תנועת המטרה והטיל, וניתן לשרטט משולש התנגשות (Collision Triangle) שאחד מקודקודיו הוא נקודת הפגיעה במטרה. כדי להבין את המשמעות המתמטית של חוק ההנחיה, נגדיר תחילה את מרחק ההחטאה (miss distance) כמרחק המינימלי שיהיה לטיל עם המטרה אם הוא ימשיך לנוע בקו ישר, ובמקרה של מטרה שלא מתמרנת, כלומר מטרה שנעה בקו ישר (Zero effort miss distance). נניח שמסלולי התנועה של המטרה והטיל קרובים למסלול התנגשות, כלומר שממערכת הייחוס של המטרה, הזווית בין מהירות הטיל formula_19 (ששווה למהירות היחסית) לקו הראייה קטנה. נסמן זווית זו ב-formula_20.
מגאומטריה פשוטה נקבל שמרחק ההחטאה הוא: formula_21 כש-r הוא המרחק הרגעי בין המטרה והטיל.
קצב הרוטציה של קו הראייה (LOS-rate) הוא: formula_22.
מהירות הסגירה מקיימת formula_23 כי הזווית formula_20 קטנה. לכן התאוצה formula_2 שווה:
formula_26 (הוא זמן המעוף הכולל של הטילformula_27).
קיבלנו שתאוצת הטיל יחסית למרחק ההחטאה! ויחסית הפוך לזמן המעוף בריבוע. תאוצת הטיל בניווט יחסי שואפת אם כן, להקטין את מרחק ההחטאה, וגודלה תלוי בזמן המעוף שנותר לטיל ויחסי למרחק ההחטאה.
מספר מקרים פרטיים חשובים של ניווט יחסי.
מקרה 1: מטרה נייחת.
נבחן את המקרה של טיל הנורה לעבר מטרה נייחת ומונחה בשיטת הניווט היחסי. במקרה זה, בשונה מהמקרה של הנחיית מרדף, זו אינה בעיה טרוויאלית. הסיבה לכך שטילים רבים שנורים לעבר מטרה נייחת מיישמים שיטת הנחיה זו חרף העלות הגבוהה של רכיבי הנחיית ניווט יחסי לעומת רכיבי הנחיית מרדף, היא היעדר דיוק מושלם ביריית הטיל לעבר מטרה מרוחקת. נניח שמשגר הטיל נמצא במרחק formula_28 מהמטרה והטיל נורה בזווית formula_29 ביחס לקו הראייה שמחבר בין מיקומו ההתחלתי של הטיל למטרה. כאשר formula_20 היא הזווית בין קו הראייה למטרה לווקטור מהירות הטיל, formula_31 היא הזווית שיוצר קו הראייה ביחס לקו הראייה ההתחלתי ו-formula_32 הזווית שיוצר ווקטור מהירות הטיל, הקינמטיקה של הבעיה נתונה על ידי המשוואות הבאות:
formula_33
formula_34
formula_35
כאשר מתקיים חוק ההנחיה formula_36. נחלק את המשוואה הראשונה בשנייה ונקבל:
formula_37. מחוק ההנחיה נובע שמתקיים formula_38 ולכן: formula_39. מכאן נקבל על ידי אינטגרציה:
formula_40. תאוצת הטיל כתלות במרחק מהמטרה ניתנת על ידי : formula_41. ניתן לראות כי התאוצה היא אינסופית או אפס בנקודת הפגיעה אם formula_42 או formula_43 בהתאמה. זוהי מסקנה חשובה ביותר, למשל, בתכנון טילים נגד טנקים (הטנק איטי מאוד בהשוואה לטיל וניתן להתייחס אליו בקירוב כמטרה נייחת) - קבוע הניווט חייב להיות גדול או שווה 2 כדי לקבל תאוצות סבירות.
מקרה 2: מטרה נעה במהירות קבועה בקו ישר.
לבעיה הכללית של ניווט יחסי אל מטרה שנעה במהירות קבועה בקו ישר לא קיים פתרון אנליטי פשוט. עם זאת קיים לה פתרון אנליטי במקרה הפרטי בו N = 2. נפתח אותו כאן.
נכתוב את משוואות התנועה בקואורדינטות פולריות ממערכת הייחוס של המטרה, כלומר נכתוב את מיקום הטיל בקואורדינטות formula_44. כמו מקודם בדוגמה עם המטרה הנייחת מתקיים שהזווית formula_20 של מהירות הטיל עם הרדיוס וקטור היא formula_46 (בהנחה שבתחילה מהירות הטיל היא בכיוון הרדיוס וקטור). לפיכך מתקיים מגאומטריה שקצב ההתקרבות הרגעי של הטיל והמטרה הוא:
formula_47. כמו כן קצב הסיבוב של קו הראייה הוא:
formula_48.
נחלק את המשוואות זו בזו ונקבל:
formula_49 או:
formula_50
כאשר formula_51. מכאן נקבל:
formula_52.
מכיוון ש-N - 1 = 1 ניתן לסמן formula_53 ולקבל שהאינטגרל שווה:
formula_54 או:
formula_55 והיירוט מתרחש בזווית פגיעה סופית שמקיימת:
formula_56.
יישום טכנולוגי של ניווט יחסי.
פוטוקונדוקטיביות.