על פי משפט הגבול המרכזי, הממוצע של formula_27 משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות בעלי תוחלת formula_28 ושונות סופית וחיובית formula_4 מתפלג אסימפטוטית נורמלית, כלומר formula_30. תהי formula_31, ולכן formula_32. מכאן נקבל כי ל-formula_33 יש התפלגות אסימפטוטית נורמלית עם תוחלת formula_34 ושונות formula_35.
רגרסיה לוגיסטית.
נתבונן במודל formula_36, ונסמן ב-formula_37 את אמדן הנראות המקסימלית ל-formula_38. מכיוון שזהו אמד נראות מקסימלית ידוע כי התפלגותו היא אסימפטוטית נורמלית עם תוחלת formula_38 ושגיאת תקן formula_40, כאשר formula_41 נאמדת על ידי שימוש באינפורמציה של פישר. חוקרים מתעניינים בדרך כלל בערך formula_42 שמפורש כיחס הסיכויים של formula_43 בהינתן formula_44. מכיוון ש-formula_45 היא פונקציה רציפה שנגזרתה רציפה, נקבל כי לאמדן יחס הסיכויים formula_46 יש התפלגות אסימפטוטית נורמלית עם תוחלת formula_47, ולאמוד את שגיאת תקן שלו על ידי formula_48.
מכאן נוכל לקבל כי רווח סמך ברמת סמך formula_49 ליחס הסיכויים הוא formula_50. כן נוכל לבדוק את ההשערה כי יחס הסיכויים שווה ל-1 על ידי הסטטיסטי formula_51.
האזור המטרופוליטני פלורנס-מאסל שולס
האזור המטרופוליטני פלורנס-מאסל שולס (באנגלית: Florence–Muscle Shoals metropolitan area; ידוע גם בכינוי The Shoals, "השרטונים", על שם השרטונים הרבים באזור על גדות נהר טנסי; או Quad-Cities, "מרובע הערים") הוא אזור בצפון-מערב אלבמה, ארצות הברית, המורכב מארבע ערים סמוכות: פלורנס (Florence), מאסל שולס (Muscle Shoals), שפילד (Sheffield) וטסקמביה (Tuscumbia) וכולל שני מחוזות: מחוז לודרדייל ומחוז קולברט. בערי האזור, בפרברים ובחוות החקלאיות הסמוכות, חיים כ-200,000 תושבים, כאשר למעלה מ-400,000 מתושבי הסביבה מגיעים אליו מדי יום לעבודה, לימודים, רפואה ומסחר. נהר הטנסי עובר באזור, כאשר פלורנס, הגדולה מבין הערים, מצפונו ושלוש האחרות (Tri-Cities) על גדתו הדרומית.
אוניברסיטת צפון אלבמה (University of North Alabama (UNA), הוותיקה מבין האוניברסיטאות במדינה (נוסדה ב-1830) ממוקמת בפלורנס. טסקמביה ידועה כעיר הולדתה של הלן קלר ומרכזת מיזמי תיירות וחינוך הקשורים בסופרת החרשת-עיוורת (בכללם בית ילדותה, Ivy Green). במאסל שולס פעלו אולפני FAME שהפיקו מוזיקת נשמה ומוזיקת קאנטרי ובהם הקליטו יוצרים רבים, בהם וילסון פיקט, אוטיס רדינג, פרסי סלדג', אריתה פרנקלין, אטה ג'יימס, בובי ג'נטרי ולהקת האחים אולמן. בין מאסל שולס לשפילד פעלו בין 1969 ל-1979 אולפני Muscle Shoals Sound Studio, שייסדו פורשי FAME ושם הקליטו אמנים כהאבנים המתגלגלות, בוב דילן, סיימון וגרפונקל, דייר סטרייטס, רוד סטיוארט, לנרד סקינרד וג'יי ג'יי קייל. האזור הוא מקום הולדתם של אנשי מוזיקה רבים. פלורנס היא עיר ילדותם של המפיק סם פיליפס ושל "אבי הבלוז" וו. סי. הנדי ומארחת פסטיבל בלוז שנית לזכרו. שפילד היא עיר הולדתו של "אבי הקאנטרי-סול", ארתור אלכסנדר. הזמר פרסי סלדג' נולד וחי בעיירה לייטון, הסמוכה למאסל שולס. בטסקמביה ממוקם היכל התהילה למוזיקה של אלבמה (Alabama Music Hall of Fame).
פלורנס.
העיר, בירת מחוז לודרדייל, נוסדה ב-1826, נכון ל-2017 מוערכת אוכלוסייתה בכ-40,000 נפש. המקום נבחר ותוכנן להתיישבות ב-1818 על ידי מתיישב איטלקי שקרא לה עם שם פירנצה. בעיר נמצא בית החולים המרכזי של האזור, Eliza Coffee Memorial Hospital ואוניברסיטת צפון אלבמה, הוותיקה מבין האוניברסיטאות במדינה.
מאסל שולס.
העיר נוסדה ב-1923 כחלק ממיזם התיישבות ותעשייה של הנרי פורד. נכון ל-2017 מוערכת אוכלוסייתה בכ-14,000 נפש. העיר הוקמה כעיר מתוכננת שתכליתה להעביר תעשייה לאזור, שהתבסס על חקלאות וגידול כותנה. שמות הרחובות נקראו על שם רחובות העיר דטרויט. אולם תוכניתו של פורד להפוך את כל האזור למגלופוליס תעשייתית בסגנון דטרויט נבלמה כיוון שהאדמות באזור השתייכו לרשות עמק טנסי, שסירבה למכור את האדמות לפורד. לחברת פורד היה מפעל במקום, שנסגר ב-1982. העיר ידועה בעיקר בזכות אולפני ההקלטות והצליל הייחודי שהפיקו שתי קבוצות של נגני אולפן קבועים של האולפנים, חטיבת כלי נשיפה (Muscle Shoals Horns) וחטיבת קצב (Muscle Shoals Rhythm Section שנקראו גם The Swampers), אשר השתתפו בהקלטת מאות שירים ויצרו צליל ייחודי ומזוהה בתחומי הקאנטרי, בלוז, פ'אנק, רית'ם אנד בלוז, מוזיקת הנשמה והרוק הדרומי שנקרא Muscle Shoals Sound. ב-2013 ראה אור הסרט התעודי "Muscle Shoals" המגולל את סיפור האולפנים.
שפילד.
העיר נוסדה ב-1885, לאחר שאדמותיה נרכשו על ידי אנדרו ג'קסון וקצינים ששירתו עמו במלחמת 1812. נכון ל-2017 מוערכת אוכלוסייתה בכ-9,000 נפש.
טסקמביה.
העיר, בירת מחוז קולברט, נוסדה ב-1815, נכון ל-2017 מוערכת אוכלוסייתה בכ-8,400 נפש. הייתה זו ההתיישבות הלבנה הראשונה באזור, מיד לאחר מלחמת 1812 שבעקבותיה עזבו את המקום אנשי הצ'רוקי שהתגוררו בו לפני כן. המתיישבים הגיעו מוירג'יניה ומרילנד. בתחילה נקראה Ococoposa, ב-1821 שונה שמה ל-Big Spring ושנה לאחר מכן שונה לטסקמביה, על שם הצ'יף של שבט הצ'יקאסו. בעיר מספר אטרקציות תיירותיות, בהן האזור ההיסטורי, המשמר כמה מהמבנים העתיקים ביותר באלבמה; בית ילדותה של הלן קלר (Ivy Green) הכולל מוזיאון ומרכז חינוכי והיכל התהילה למוזיקה של אלבמה (Alabama Music Hall of Fame).
תשתיות באזור.
סכר וילסון.
את נהר הטנסי חוצה סכר וילסון. הסכר הוקם בין 1918 ל-1924 לצורך הפקת חשמל בתחנת כוח הידרואלקטרית כחלק מרשות עמק טנסי. הסכר יוצר את אגם וילסון בערוץ הנהר.
נמל התעופה האזורי.
סמוך למאסל שולס נמצא נמל התעופה Northwest Alabama Regional Airport (IATA: MSL) המשמש לטיסות פנים קצרות מן המרכז האזורי בנמל התעופה הבינלאומי הרטספילד-ג'קסון אטלנטה.
הכבישים המהירים 72 ו-43.
הכביש המהיר 72 (U.S. Route 72 ) חולף דרך האזור מצפון לדרום ומקשר אותו לערים ממפיס וצ'טנוגה שבמדינת טנסי. הכביש מצטלב באזור עם הכביש המהיר 43 (U.S. Route 43 ) המוביל לעיר מוביל.
מסילת רכבת.
אחת ממסילות הרכבת הוותיקות בארצות הברית והעתיקה ביותר האלבמה, Tuscumbia Railway נסללה ב-1830 בין טסקמביה לשפילד. ב-1832 נסללה מסילת Tuscumbia, Courtland and Decatur Railroad אשר שימשה לשיווק תוצרת הכותנה מהאזור ומשתמשת עד היום כציר מרכזי המחבר את האזור לצומת התחבורתי בדיקייטר.
הקהילה היהודית.
היהודים הראשונים התיישבו באופן קבוע באזור בערך באמצע המאה ה-19, ובכמויות משמעותיות בתקופת השיקום שלאחר מלחמת האזרחים האמריקנית בפלורנס, בשפילד ובטסקמביה. באותה תקופה הקהילה הייתה עדיין מצומצמת מאוד, וההלוויה היהודית הראשונה ב-1871 נערכה על ידי כומר בפטיסטי שהשיג סידור יהודי.
היהודי החשוב ביותר בהיסטוריה המקומית היה ככל הנראה הבנקאי אלפרד הוגר מוזס מהעיר מונטגומרי שקנה קרקעות באזור, הקים את "חברת שפילד לקרקע, ברזל ופחם" (Sheffield Land, Iron, and Coal Company) ביחד עם אחיו מרדכי מוזס (שהיה גם ראש עיריית מונטגומרי), ייסד את שפילד ב-1885 והיה ראש העיר הראשון שלה בשנותיה הראשונות.
הקהילה גדלה וב-1900 היו באזור כ-15 חנויות בבעלות יהודים. באותן שנים היהודים, בעיקר בפלורנס, החלו להתאגד כדי ליצור קהילה מסודרת. הם החלו לקיים תפילות ביחד, ב-1889 "חברת שפילד" תרמה קרקע להקמת בית קברות יהודי, וכעבור כמה שנים הוקם בפלורנס בית ספר יהודי קטן בעזרת רב מהאנטסוויל. בתחילת המאה ה-20 כבר היו בפלורנס רבנים במשרה חלקית וב-1908 הוקם בה "בית הכנסת בני ישראל". שנה קודם לכן נאמד מספר היהודים באזור ב-110.
בשנים שלאחר מכן הייתה מחלוקת בין חברי הקהילה האם היא צריכה להיות אורתודוקסית או רפורמית, עד שהרוב הכריע בעד הרפורמים בשנות ה-30, וכעבור מספר שנים קהילת בני ישראל הצטרפה לאיחוד הקהילות העבריות האמריקניות הרפורמי. בניגוד למרבית הקהילות הרפורמיות, היהודים המקומיים תמכו בציונות, תרמו להסתדרות הציונית הדסה ונפגשו עם דוד בן-גוריון שבא להתרשם ממתקני רשות עמק טנסי בסביבה ב-1951.
הצמיחה הכלכלית של האזור לאחר מלחמת העולם השנייה הביאה לגידול באוכלוסייה וביחד לגידול בקרב היהודים. ב-1954 נבנה בית כנסת חדש וכמות החברים הרשמית הגיעה לשיא של כ-60 חברים ב-1962. לאחר מכן כמות היהודים צנחה בהדרגה והקהילה עזבה את האיחוד הרפורמי כי חשבה שאינו תורם לקהילות קטנות, אך היא עדיין קיימת ופעילה נכון ל-2017 ומשרתת אותה רבה שבסיסה בנאשוויל שבטנסי.
מאסל שולס
מאסל שולס (באנגלית: Muscle Shoals) היא העיר הגדולה ביותר במחוז קולברט במדינת אלבמה בארצות הברית, והעיר השנייה בגודלה באזור המטרופוליטני פלורנס-מאסל שולס, המתפרס על הפינה הצפון-מערבית של אלבמה, אחרי פלורנס. בעיר מתגוררים כ-14 אלף תושבים (הערכה ל-2017).
העיר שוכנת על הגדה הדרומית של נהר טנסי בצמידות לאגם וילסון המלאכותי שנסכר על ידי סכר וילסון. העיר משתרעת על שטח של כ-43 קמ"ר.
היסטוריה.