ניתנת לפירוק ל formula_74. בפירוק לרוב משמיטים את המחזורים באורך אחד (בדוגמה זו זהו המחזור formula_75), כיוון שמחזור באורך אחד הוא למעשה תמורת הזהות.
מבנה המחזורים של התמורה, כלומר אורך המחזורים הזרים ומספרם, מספק מידע חשוב לגבי התמורה. לדוגמה, סדר התמורה הוא הכפולה המשותפת המינימלית של אורכי המחזורים. בנוסף, הפירוק למחזורים זרים הוא שמורה תחת איזומורפיזמים: אם formula_76 תמורה כלשהי, אז להצמדה formula_77 יש מבנה מחזורים זהה לזה של formula_25.
כשגודל התמורה שואף לאינסוף, תוחלת האורך של המחזור הארוך ביותר של תמורה שואף להיות ליניארי בגודל התמורה כאשר המקדם הוא קבוע גולומב-דיקמן.
סימן של תמורה.
כל תמורה אפשר להציג כהרכבה של חילופים, בדרכים שונות. אף על פי שמספר החילופים אינו קבוע, הזוגיות של מספר זה לא תלויה בהצגה. בהתאם לכך, התמורה האמורה היא תמורה "זוגית", כלומר בעלת סימן "formula_79"; או "אי-זוגית", כלומר בעלת סימן "formula_80". לדרך זו של הקצאת סימנים לתמורות יש תכונה חשובה: הסימן של מכפלת תמורות שווה למכפלת הסימנים, כך שהעתקת הסימן, formula_81, מהווה הומומורפיזם. הגרעין של הומומורפיזם זה הוא חבורת התמורות הזוגיות.
תמורות ושעשועים מתמטיים.
תמורות משחקות תפקיד גם בחידות ומשחקים רבים. משחקים לשחקן בודד כגון חידת ה-15 וחידת הקובייה ההונגרית הם למעשה משחקי תמורות:
בחידת ה-15, המספרים מ-1 עד 15 כתובים על לוחיות המסודרות במטריצה בגודל 4x4, כאשר אחת המשבצות נותרת ריקה. במשחק בכל מהלך ניתן להזיז אל תוך המשבצת הריקה את אחת הלוחיות הסמוכות אליה. מטרת המשחק היא לשנות את המיקום של הלוחיות בעלות המספרים 14 ו-15. את המשחק ניתן לראות כמשחק תמורות. כל מצב במשחק מהווה תמורה על 16 איברים (כולל המשבצת הריקה) וחוקי המשחק מתארים את הפעולות המותרות למעבר מתמורה אחת לאחרת. מכאן שהמצבים שניתן להגיע אליהם במשחק מהווים חבורה, שהיא תת-חבורה של כל התמורות על 16 איברים. התרגום של החידה לשפה מתמטית תהיה: "האם למצב ההתחלתי ולמצב הסופי אותה זוגיות?", התשובה לכך שלילית: כלומר לא ניתן לפתור את המשחק.
גם הקובייה ההונגרית, שהומצאה על ידי ארנה רוביק בשנת 1974 היא דוגמה למשחק תמורות, אם כי מורכב יותר.
גלאב פחה
הכרמל
הַכַּרְמֶל (בערבית: جبل الكرمل (הר הכרמל), בתעתיק: ג'בל אלכרמל) הוא שלוחה צפונית-מערבית של רכס הרי השומרון המשתרעת עד למפרץ חיפה ומתנשאת לגובה מרבי של 546 מטר מעל פני הים ("רום כרמל" ליד עספיא). שלושה אזורים לכרמל: רכס אמיר – רכס הרים בדרום מזרח הכרמל, רמות מנשה במרכז ו"רכס הכרמל" בצפון-מערב – משולש הנתחם על ידי עמק יזרעאל ממזרח ומצפון, עמק זבולון מצפון, מישור חוף הכרמל במערב ורמות מנשה בדרום. ראשו הצפון מערבי של הכרמל נושק לים וחודר אליו.
שמו של ההר - הכרמל - שנגזר מן המילה כרם בתוספת העיצור "ל", מעיד על צמחייה של כרמים ומטעים שאפיינה אותו לאורך ההיסטוריה. בימינו, בזכות נופי היער והחורש ירוקי העד, הוא נודע כ"הר הירוק כל ימות השנה".
אטימולוגיה.
יש הרואים את מקור השם, בהקשר לאזכוריו במקרא, כנגזר מהמילה כרם שבתוספת העיצור "ל" מורחבת משמעותה למקום של מטעי פרי בכלל, ולפירושה כחבל ארץ עשיר בכרמים וגני פרי.
לפי פרשנות, האותיות ההומופוניות כ' דגושה וק', הנשמעות בצורה זהה, מתחלפות ביניהן. לכן השם מופיע גם בצורה "קרמל", שם ירק, שהוא צמח הלוף, מה שמחזק את הקשר בין שם המקום/הירק - "כרמל"/"קרמל" - לבין הצבע הירוק.
התלמוד הירושלמי, העוסק בהגדרת הצבע הירוק העז, הציע ש"הירקרק שבירוקים", הוא "כ"שושנת קרמל"". ייתכן ומדובר בצמח ממשפחת השושניים או בעלי הצמח שושנת הכרמל.
ובתוספתא מציעים ש"הירקרק שבירוקין" הוא "כשעוה וכקירמל" ושוב מוזכר צמח הקרמל.
גאולוגיה.
הכרמל מאופיין במורדות תלולים ובקרקע סלעית ומחורצת היוצרת ערוצי נחלים עמוקים ומצוקיים. הקרקע עשויה ברובה מסלעי משקע מתקופת הקרטיקון העליון, אך ניתן למצוא גם סלעים מתקופת הקרטיקון התחתון בחלקו הצפון-מזרחי ומתקופת הפליסטוקן בשוליו. אופי הסלעים ועובי השכבות אינו אחיד ומשתנה בין אזורי הכרמל השונים בשל העובדה שבתקופת הקרטיקון עבר אזור הכרמל מהים הרדוד לים העמוק, וכן בשל הגעשיות שהותירה בו סלעי בזלת וטוף ושינתה את תוואי השטח. תהליך התרוממותו של הכרמל מעל פני השטח החל, ככל הנראה, בתחילת תקופת הפליוקן ונמשך, בקצב איטי מאוד, גם היום. במקומות רבים בכרמל מצויים צנירים.
גאוגרפיה.
הכרמל - המשתרע מראש הכרמל לכיוון רמות מנשה והשומרון - מחלק את מישור החוף לשתי יחידות:
מכל הרי ישראל, הכרמל הוא הקרוב ביותר לים התיכון. הצמחייה הרבה הנובעת מכמות המשקעים הרבה העניקה לו את הכינוי "ההר הירוק".
הכרמל כולו מורכב משלושה אזורים גאוגרפיים הנבדלים זה מזה בגאולוגיה, באקלים ובצמחייה. החלק המזרחי הוא רכס אמיר (הרי אום אל-פחם), מערבה ממנו רמות מנשה, ובחלק המערבי הנושק למפרץ חיפה ולחוף הכרמל הר הכרמל עצמו, המופרד מרמות מנשה על ידי נחל יקנעם. שטחו של הרכס 232 קמ"ר והוא מתחלק לשלוש יחידות נוף עיקריות: בצפון - "הכרמל הגבוה", המתנשא לרום של כ־450-500 מטר וכולל את הפסגות רום כרמל (546 מ') הר אלון (516 מ') וקרן הכרמל (המוחרקה) (474 מ'), במרכז - "הכרמל התיכון", המתאפיין בשטח מחורץ יותר, בפסגות בולטות מעל פני השטח ובנחלים מחורצים ופסגתו היא הר שוקף (497 מ'), ובדרום - "הכרמל הנמוך", שהוא מעין רמה נמוכה בגובה של כ־200 מטר מעל פני הים ומתאפיינת בבקעות ובשלוחות רחבות כדוגמת בקעת מהר"ל ושלוחת הנדיב. שלוחת הנדיב היא השלוחה הדרומית ביותר של ההר, ומסתיימת בחוטם הכרמל בדרום, ובצוקי חוטם בדרום-מערב, מעל לשפך נחל תנינים.
גבולות הכרמל: במזרח - עמק יזרעאל, במערב - מישור חוף הכרמל, ובדרום-מזרח - אזור הגבעות הקרטוניות של רמות מנשה, שהוא חבל המעבר בין הר כרמל לצפון הרי שומרון.
אקלים.
האקלים ברכס הכרמל הוא ים-תיכוני ממוזג והאזור עשיר במשקעים בזכות הקרבה לים התיכון והמורדות התלולים הפונים אליו במערב הכרמל. כמות המשקעים הממוצעת נעה בין 600–700 מ"מ בשנה ובפסגות (רום כרמל) היא מגיעה אף ל־750 מ"מ בשנה, זאת לעומת 550 מ"מ בלבד בנמל חיפה הנמוך יותר. שלג בכרמל הוא נדיר ביותר, וכיסה את פסגות ההר בפברואר 1950 (50 ס"מ), בינואר-פברואר 1992, בינואר 1998, ובינואר - פברואר 2015. הטמפרטורה הממוצעת היא כ-19 מעלות. בשל הקרבה לחוף דומה הטמפרטורה לזו של מישור החוף וגבוהה מהטמפרטורה שבהרי השומרון והגליל. הלחות היחסית היא 69% בממוצע רב-שנתי.
חי וצומח.
מבנה הקרקע והאקלים הגשום הביאו להתפתחות צמחייה עשירה בכרמל, המורכבת ברובה מחורש ים תיכוני. באזורי ההר בולטות ארבע חברות צומח של עצים ירוקי עד, שהיקנו לו את הכינוי "ההר הירוק כל ימות השנה":
בנוסף, בכרמל שטחי יערות שונים - נטועים בידי אדם. ייחודיים לכרמל צמחים הגדלים רק בו, כמו שיח הרתמה הקוצנית, שמלווה עצי האורן. כמו כן, ניתן למצוא בעיקר בכרמל צמחים, לרבות: אכסף מבריק וחלבלוב השיח, כרוב כרתי רומוליאה צידונית ושושן צחור.
בזכות הצמחייה המגוונת, היה הכרמל בית גידול טבעי למינים רבים של חיות בר כגון יחמור פרסי, אייל הכרמל, צבי ארץ ישראלי, דרבן מצוי, גירית מצויה, נשר ואוח שהיו נפוצים באזור. במאה ה-20, כתוצאה מהתיישבות המואצת של האדם בסביבת הכרמל, התפתחות התעשייה, הציד וההדברה, יחד עם שריפות, חלה הידלדלות באוכלוסיית החיות וצמצום במגוון. טורפים גדולים כמו נמר אנטולי ודוב חום סורי נכחדו בתחילת המאה ה-20 מן הכרמל.
מנגד, בזכות מקורות מזון זמינים מבני אדם ביישובים ובחניוני שמורות הטבע שהוקמו בכרמל, חלה עלייה ניכרת בשיעור התנים הזהובים וחזירי הבר, הנחשבים למינים מתפרצים שגורמים לנזקים לטבע ולאדם. בשנים האחרונות בשנים האחרונות נעשים מאמצים לצמצם מינים משגשגים אלה, ולעומתם להחזיר את בעלי החיים שההר הוא בית גידולם הטבעי על ידי הכרזה על חלקים מהכרמל כשמורת טבע ועל ידי מפעלים לאקלום ושחרור חיות בר, כמו ה"חי-בר כרמל".
לאורך השנים, שרדו בכרמל בעלי חיים קטנים ובינוניים, וביניהם: שפני סלע מצויים, עופות דורסים, עטלפי חרקים ועטלפי ופירות. מינים נדירים שחיים בו עד ימינו הם הלטאה הירוקה והסלמנדרה הכתומה.
היסטוריה.
לאורך ההיסטוריה היה אזור הכרמל מיושב בדלילות. במערות שבמורדות ההר ניתן למצוא שרידים פרה-היסטוריים רבים להתיישבות האדם הקדמון - ידועים יותר ממאתיים מחנות פרהיסטוריים שיושבו במהלך חצי מיליון השנים האחרונות. השרידים הקדומים ביותר בכרמל, מהתקופה הפלאוליתית התחתונה, נמצאו במערת תנור בנחל מערות. במהלך התקופה הפלאוליתית התיכונה, כ-50–250 אלפי שנים לפני זמננו, ישבו במערות הכרמל ניאנדרטלים ובני אדם מטיפוס מודרני (הומו ספיינס) וקברו חלק ממתיהם במערות תנור, הגדי וכבארה. יישובי הקבע הראשונים, של התרבות הנאטופית, הופיעו בכרמל לפני כ-15 אלפי שנים, במערת הנחל ונחל אורן.
על הרכס עצמו נמצאו שרידים ליישובי קבע קטנים מתקופת הברונזה המאוחרת. הכרמל מוזכר מספר פעמים בתנ"ך: בתקופת השבטים היה הכרמל חלק מנחלתם של שבט מנשה ושבט אשר. בהמשך נכבש ההר על ידי הפיניקים שנעזרו בו להגנה על ערי הנמל באזור (עכו, עתלית). בתקופה הצלבנית עלתה חשיבותו של האזור עוד יותר והוקמו בו ביצורים ומצודות, משום שהצלבנים היו תלויים בסיוע מאירופה שהגיע ברובו בדרך הים. עם כיבוש הארץ על ידי המוסלמים איבד הכרמל מחשיבותו והיישוב בו הידלדל.