קוּבּלַאי חַאן (במונגולית:Хубилай хаан, סינית מסורתית: 忽必烈; 1215 – 1294) היה מנהיג צבאי, חאן האימפריה המונגולית בשנים 1260–1294, מייסד שושלת יואן הסינית והקיסר הראשון שלה. אחיו של קובלאי חאן - הולאגו, היה מייסד השושלת האילח'אנית בפרס.
שנותיו הראשונות.
קובלאי חאן היה בנו הרביעי של טולוי ונכדו של ג'ינגיס חאן.
כשנתיים לאחר כיבוש סין והפלת שושלת ג'ין (1115–1234), קיבל קובלאי חאן הצעיר את השליטה על חלק משטח ממחוז חביי, בו התגוררו כעשרת-אלפים בתי אב. כיוון שהיה חסר ניסיון, אפשר "יד חופשית" לפקידים המקומיים. מיסוי יתר ושחיתות הביאו להגירת משפחות איכרים רבות מהאזור בשליטתו. כתוצאה מכך, קטנו הכנסות השליט ממיסוי. אולם, השליט הצעיר הבין מהר את היתרון כשליט עם ייחוס משפחתי, והורה על רפורמות בחביי. אמו - סורגהאטני, שהייתה הדמות החזקה בשושלת לאחר מות אביו - שלחה פקידי ממשל רעננים כדי לסייע לשינוי, חוקי המס שונו, ורבים מהאיכרים שהיגרו שבו לאדמותיהם.
ניצחון בצפון סין.
ב-1251, כשאחיו מונגקה חאן עלה לשלטון על האימפריה המונגולית, קובלאי קיבל מעמד של משנה למלך, ואת הניהול של צפון שטח סין. הוא ניהל היטב את הטריטוריה שלו, כך שהיבול החקלאי במחוז חנאן גדל. הוא השכיל גם להגדיל את ההוצאות על שירותי הרווחה במחוז שיאן.
הכתרה ומלחמת אזרחים.
עם מות אחיו מונגקה, ב-1260 ירש קובלאי את השליטה באימפריה כולה. תחת שלטונו, האימפריה זכתה לתקופה של שגשוג.
אולם, ב-4 השנים הראשונות של קובלאי כח'אן גדול, שלטונו לא הוכר באופן מלא בכל חלקי האימפריה. הוא היה מעורב במלחמת האזרחים הטולויית נגד אחיו הצעיר אריק בוק על תואר הח'אן הגדול, עד שאריק נכנע בפניו בשנת 1264. לאחר כניעת אריק, שלטונו הוכר בכל רחבי האימפריה.
תקופת שלטונו.
שלטונו השתרע על מונגוליה ועל סין. האימפריה שגשגה בתקופתו, והוא הרחיב את גבולותיה, כשהישגו הבולט ביותר היה השלמת כיבושה של סין וסיפוחה לתחומי האימפריה, אשר הושלם בשנת 1279. הוא תמך בתרבות הסינית, בה גילה עניין עוד מגיל צעיר, ופעל לקידומה. הוא שיקם מבני ציבור, פיתח והרחיב דרכים, שיפץ והרחיב את התעלה הגדולה והנהיג את השימוש בשטרות כסף.
בהשפעת התרבות הסינית קיבל על עצמו את הדת הבודהיסטית, אבל גילה סובלנות גם כלפי דתות אחרות, ואף הניח למיסיונרים נוצריים להגיע לסין על מנת להפיץ את דתם.
בירתו הייתה חאנבליק (או גם דאדו) (כיום בייג'ינג), ובנוסף לה הקים גם את בירת הקיץ וארמון הקיץ שלו, שאנגדו (מוכר גם כ"זאנאדו" או "קסאנאדו"). מספר אירופאים ביקרו את האימפריה בזמנו, הנודע בהם הוא מרקו פולו.
קובלאי חאן כבש והחריב את ממלכת דאלי (היום במחוז יונאן בסין). בנוסף הוא כבש את קוריאה תחת שלטון שושלת קוריו וחייבה להעלות לו מס. נסיונותיו לכבוש את וייטנאם, בורמה וג'אווה נחלו כישלון וכך גם הפלישות המונגוליות ליפן.
קובלאי חאן באמנות.
דמותו של קובלאי חאן הונצחה בשירו של המשורר האנגלי סמיואל טילור קולרידג', "קובלא חאן", וכן בשירה של להקת RUSH - "זאנאדו".
משפט נקודת השבת של בראואר
במתמטיקה, משפט נקודת השבת של בראואר (Brouwer) הוא משפט בטופולוגיה. זהו אחד ממשפטים רבים הקובעים כי לפונקציה רציפה formula_1 עם תכונות מסוימות קיימת נקודה formula_2 כך ש-formula_3 (כלומר, נקודת שבת). באופן מדויק, המשפט קובע כי אם formula_4 היא פונקציה רציפה אז ל-formula_1 יש נקודת שבת. הקבוצה formula_6 היא כדור היחידה הסגור במרחב האוקלידי ה-formula_7 ממדי, כלומר קבוצת כל הנקודות שמרחקן מראשית הצירים אינו גדול מ־1.
הוכחתו של בראואר למשפט אינה קונסטרוקטיבית, כלומר היא מראה קיום של נקודת שבת, אך אינה מראה דרך למצוא אותה. ברבות השנים הפך בראואר למייסד האינטואיציוניזם, גישה בפילוסופיה של המתמטיקה שפסלה הוכחות לא בונות דוגמת זו שלו עצמו.
דוגמאות.
למשפט יש כמה דוגמאות "בעולם האמיתי". דוגמה אחת ליישום פשוט של המשפט ניתנת בספר מסדרת לייף: לוקחים שני גליונות נייר בגדלים זהים, מקמטים אחד (אך לא קורעים אותו) ומניחים מעל השני כך שאינו חורג מגבולותיו; לפי המשפט יש לפחות נקודה אחת בגיליון המקומט שנמצאת בדיוק מעל הנקודה המקבילה לה בגיליון השני. זו מסקנה ממשפט בראואר עבור formula_8. דוגמה עבור formula_9 היא דגם מוקטן של שדה תעופה, בתוך שדה התעופה עצמו (דגמים כאלו ישנם בשדות תעופה רבים בעולם). הפונקציה שמעבירה נקודות במרחב האמיתי של שדה התעופה למיקום שלהם בדגם היא רציפה ולכן יש לה נקודת שבת המיוצגת בדגם דרך כלל על ידי X ("אתה נמצא כאן").
הכללה.
גרסה כללית יותר של המשפט קובעת שלכל קבוצה קומפקטית וקמורה (ולא ריקה) formula_10, ולכל פונקציה רציפה formula_11, יש נקודת שבת.
כל התנאים במשפט הם הכרחיים: כדי להראות את הכרחיות הקמירות, ניקח את הקבוצה formula_12 (קבוצת כל הנקודות על שפת מעגל דו ממדי שמרכזו בראשית ורדיוסו שווה ל-1), ואז לפונקציה הרציפה formula_13 אין נקודת שבת ב-formula_14. באופן דומה, כדי להראות את הכרחיות הקומפקטיות, ניקח את הקבוצה formula_15 ואז לפונקציה הרציפה formula_1 כך ש-formula_17 אין נקודת שבת ב-formula_18.
המקרה החד-ממדי.
בממד אחד, התוצאה אינטואיטיבית וקלה להוכחה. הפונקציה הרציפה formula_1 מוגדרת על הקטע הסגור formula_20, ולוקחת ערכים מקטע זה אל עצמו. לומר שלפונקציה formula_1 יש נקודת שבת בקטע זה, היא כמו לומר שיש לה נקודת חיתוך עם הגרף של הפונקציה formula_22 המוגדרת באותו קטע.
אם למשל נסתכל על הקטע formula_23, נוכל להסתכל על הדוגמה של הגרף הנתון, כאשר f היא הפונקציה בשחור ו-g בירוק.
באופן אינטואיטיבי, כל קו רציף מצדו השמאלי של הריבוע לצידו הימני חייב להחתך עם הגרף הירוק.
גם ההוכחה הפורמלית במקרה זה איננה מסובכת. תהא formula_1 פונקציה רציפה מהקטע הסגור formula_20 לעצמו. נגדיר formula_26. מתקיים formula_27 ו-formula_28. לכן, ע"פ משפט ערך הביניים, קיימת נקודה formula_2 כך ש-formula_30 ולכן formula_3.
המקרה הדו ממדי.
את המקרה הדו ממדי נוכיח על הקבוצה שהיא המשולש המלא. ניתן לראות בקלות כי קבוצה זו מקיימת את תנאי המשפט. מספיק להוכיח שמשפט תקף לקבוצה זו כיוון שבינה לבין כל קבוצה אחרת שמקיימת את תנאי המשפט, ניתן למצוא פונקציה רציפה שגם ההופכית שלה היא רציפה. לכן, מהרכבת פונקציות רציפות, נקבל שלכל פונקציה רציפה תהיה נקודת שבת גם על הקבוצה החדשה.
תהי formula_1 פונקציה רציפה. נחלק את המשולש למשולשים שגודלם formula_33 ועבור כל קודקוד של כל משולש בחלוקה, נסמן בחץ את הכיוון בו נמצאת הנקודה שאליה הפונקציה formula_1 תעביר את אותו קודקוד. נשים לב שכיוון ש-formula_1 רציפה על קבוצה קומפקטית, היא רציפה במידה שווה ולכן המרחק formula_36 שאליו ימופה הקודקוד, תלוי רק ב- formula_37 ולא במיקום של אותו קודקוד במשולש.
כעת, נחלק את הכיוונים אליהם פונים חצים אלה לשלושה (ע"פ המעגל המופיע בשרטוט השני) - במעגל, נסמן את הזווית של חץ הפונה מעלה ב-90. אם חץ פונה בזווית של בין 0 ל-120 מעלות, נסמנו בצבע כחול, אם הוא פונה בזווית של בין 120 ל-240 מעלות נסמנו באדום, וחצים שפונים בזווית של 240 עד 360 מעלות, נסמן בירוק.
מרציפות הפונקציה נובע שמשולש ששלושת קודקודיו צבועים בצבעים שונים חייב להכיל נקודה שהפונקציה מעבירה לתוך אותו משולש, ובפרט, נקודה שהפונקציה מעתיקה למרחק קטן או שווה ל-formula_37. אם נבחר סדרה השואפת ל-0 של ערכי formula_37, נקבל סדרה אינסופית של נקודות כאלו. מהקומפקטיות נובע שלסדרה זו יש נקודת הצטברות, ונקודה זו היא נקודת שבת של הפונקציה.
בעצם, עשינו פה רדוקציה של הבעיה ללמה של שפרנר. למה זו קובעת כי עבור טריאנגולציה של משולש למשולשים יותר קטנים, אם נתונה תלת צביעה של קודקודי הטריאנגולציה בשלושה צבעים כך ששלושת קודקודי המשולש הגדול צבועים בצבעים שונים וגם כל קודקוד פנימי צבוע באחד משני הצבעים בהם צבועים קודקודי המשולש הגדול שנמצאים בקצות הצלע עליה מונח הקודקוד הפנימי, אז עבור לפחות אחד מהמשולשים הקטנים – קודקודיו צבועים בשלושה צבעים שונים. לכן, בהינתן למה זו, הצלחנו למצוא נקודת שבת של formula_1 במשולש.
המקרה הכללי.
נתון סימפלקס סגור formula_41formula_42formula_43 נסמנו formula_44 ונתונה פונקציה רציפה formula_45. יש להראות שקיימת נקודה formula_46 כך ש-formula_47.
נציג את formula_1 בקואורדינטות הבריצנטריות formula_49; המקדמים כולם חיוביים, ומתקיים formula_50. כיוון ש-formula_1 רציפה וההתאמה בין נקודות הסימפלקס לבין הקואורדינטות הבריצנטריות גם היא רציפה, ההצגה הזו מגדירה את formula_52 כפונקציות רציפות של המשתנים formula_53, שהן חיוביות וסכומן 1 בתחום שבו המשתנים חיוביים וסכומם 1.
כעת נגדיר עבור (formula_54) את הקבוצות formula_55, שהן קבוצות סגורות. תהי formula_56
(formula_57) נקודה על אחת השפות, כלומר formula_58, ולכן formula_59. כיוון שמדובר בערכים אי שליליים, קיים לפחות מקום אחד formula_60 שעבורו formula_61, ואז formula_62. לכן formula_63.
מכאן יוצא שהקבוצות formula_64 מקיימות את תנאי הלמה של קנסטר-קורטובסקי-מזורקביץ', ולכן קיימת נקודה formula_65. פירוש הדבר ש-formula_66 מקיימת לכל formula_67 ש-formula_68. אולם formula_50
ולכן בהכרח לכל formula_70 מתקיים ש-formula_71
כלומר formula_72 היא נקודת שבת של formula_1.
שימושים של המשפט.
בין כל המשפטים הדנים בנקודות שבת, משפט זה ידוע במיוחד, שכן השתמשו בו בתחומים רבים במתמטיקה.
שימושי המשפט בטופולוגיה אלגברית.