לב ויידמן וסיימון סונדרס חיזקו את טיעונו של אלגה בעזרת הצגת וריאציה על הניסוי המקורי: בגרסה שלהם, מבוצע הניסוי בכל שבוע במשך 100 שנים. על מנת להימנע מהמוזרות העולה מטיעונו של אלגה, שלפיו היפהפייה משנה את דעתה על טענה לא-ממוקדת מבלי שהשיגה שום מידע לא-ממוקד חדש, הם הציעו להחליף את השאלה בשאלה ממוקדת: מהי מידת אמונה של היפהפייה בכך שהמטבע הורה "עץ" בשבוע הנוכחי. מאחר שמצבה של היפהפייה זהה בכל השבועות (משום שכל המטבעות הוגנים), אין זה משנה שהיא איננה יודעת באיזה שבוע היא נמצאת. מידת אמונה בתוצאה בגרסה החדשה של הניסוי צריכה להיות זהה לזו של הניסוי המקורי.
בנוסף לכך הציעו ויידמן וסונדרס גרסה בה חוזרים על הניסוי במשך שבועיים בלבד. במקרה זה מידת אמונה של היפהפייה בתוצאה "עץ" (שהוא "Heads", באנגלית, לעומת "פלי" - "Tails") צריכה להיות שווה לסכום הסיכויים לתוצאה "עץ" בהינתן כל אחד מהצירופים האפשריים של שתי הטלות המטבע בשני השבועות (עץ-עץ (HH), פלי-פלי (TT), עץ-פלי (HT), פלי-עץ (TH)), כפול הסיכוי לאותו רצף הטלות (נוסחת ההסתברות השלמה):
formula_1
אם מתייחסים למספר ההתעוררויות הנובע מכל תוצאה אפשרית של הטלות מטבע, התשובה המתקבלת מחישוב זה היא שליש:
ניתן לראות מיידית כי הסיכוי ל"עץ" בהינתן "עץ-עץ", formula_2, הוא 1, בעוד שהסיכוי ל"עץ" בהינתן "פלי-פלי", formula_3, הוא 0.
אם באחד מהשבועות התקבלה התוצאה "עץ" בעוד שבשני "פלי", הרי שישנן שלוש התעוררויות (אחת עבור התוצאה "עץ", ושתיים עבור התוצאה "פלי"). מכאן שהסיכוי ל"עץ" בהינתן "עץ-פלי" או "פלי-עץ" הוא שליש, formula_4.
אם ננרמל את הסיכויים שקיבלנו באמצעות חלוקה במספר ההתעוררויות בכל אפשרות, נקבל formula_5, formula_6, ו-formula_7.
מהצבה של כל התוצאות שקיבלנו בנוסחת ההסתברות השלמה הנ"ל, נקבל formula_8, כלומר - שהסיכוי ל"עץ" הוא שליש, כמו בגרסה המקורית של הניסוי.
אם, מאידך, משתמשים בהנחתו של לואיס, שלפיה לכל האפשרויות סיכוי זהה:
formula_9
התוצאה המתקבלת עבור הניסוי בן השבועיים היא formula_10, בניגוד לתוצאה ("חצי") שהייתה מתקבלת מאותה הנחה בניסוי בן השבוע. אם נניח כי מידת אמונה של היפהפייה צריכה להיות זהה בשני המקרים, טוענים ויידמן וסונדרס, הרי שיש בכך כדי להפריך את טענתו של לואיס.
יפהפייה נרדמת קוונטית.
מאוחר יותר ב-2001 הצביע ויידמן על כך שהבעיה ניתנת לפתרון במסגרת פירוש העולמות המרובים של מכניקת הקוונטים. מאז התגלתה מחלוקת נוספת באשר לפרשנות הניתנת לבעיה בפירוש העולמות המרובים.
פירוש העולמות המרובים.
בניסיון לפתור את בעיית המדידה העולה ממכניקת הקוונטים, לפיה לא ברור מה קורה לפונקציית הגל כאשר מתבצעת מדידה, הוצעו מספר פרשנויות לתורת הקוונטים לאורך השנים. הפרשנות הפופולרית ביותר כיום היא זו המכונה פרשנות קופנהגן, שנוסדה על ידי נילס בוהר. לפי פרשנות קופנהגן, קיימת אי-ודאות אמיתית באשר לתוצאת ניסוי קוונטי עתידי. כך, אם לניסוי מסוים מספר תוצאות אפשריות, לפני ביצוע הניסוי אנו יכולים להעריך את הסיכוי לקבלת כל אחת מהן, ואין לנו כל דרך לחזות בצורה מדויקת את התוצאה מראש. בעת המדידה מתרחשת קריסה, המותירה רק אחת מהתוצאות האפשרויות. היקום המתואר על ידי פרשנות קופנהגן הוא לא-דטרמיניסטי ולא-לוקלי. שני מאפיינים אלה נחשבים בעיני חלק מהפיזיקאים, ביניהם אלברט איינשטיין, כחסרון משמעותי לכל תאוריה פיזיקלית.
אחת מהפרשנויות המתחרות בפרשנות קופנהגן היא פירוש העולמות המרובים, שהוצע לראשונה על ידי יו אוורט בשנת 1957. לפי פרשנות זו לא קיימת קריסה: כל התוצאות האפשריות מתגשמות, והעולם מתפצל למספר עולמות אפשריים (כמספר התוצאות האפשריות). בצורה זאת התאוריה נותרת דטרמיניסטית ולוקלית.
הסתברות בפירוש העולמות המרובים.
לכאורה, מאחר שפירוש העולמות המרובים הוא דטרמיניסטי אין במסגרתו משמעות למושג הסתברות. ואכן, אין הסתברות אמיתית בפירוש העולמות המרובים. כך לדוגמה, אם נבצע ניסוי במסגרתו נשלח את הצופה לאחד משני חדרים זהים, א' או ב', על סמך תוצאת הטלת מטבע, יהיה זה חסר משמעות לשאול אותו לפני הניסוי מהי ההסתברות לכך שהוא ימצא עצמו בחדר א'. זאת משום שהצופה שלפני הטלת המטבע הוא "אביהם הקדמון" של שני הצופים שיתקיימו לאחר ההטלה (אחד בכל חדר אפשרי), כך שההסתברות לכל אחת מהאפשרויות היא 1.
ובכל זאת, ניתן לדבר על אשליה של הסתברות, כפי שמתאר ויידמן: נניח כי ניתן לצופה גלולת שינה לפני הטלת המטבע, ונעיר אותו רק לאחר העברתו לחדר המתאים. בצורה זו נוכל לשאול כל אחד מה"צאצאים" (הצופים שיתקיימו לאחר הטלת המטבע), לפני שנגלה להם מה הייתה תוצאת הניסוי, באיזה מבין החדרים הם סבורים כי הם נמצאים. אשליית ההסתברות מושגת באמצעות זכרונותיו של הצופה בעולם מסוים, הכוללים זכרונות מעולם אחד בלבד מכל התפצלות קודמת. כך שלמעשה צופה בפירוש העולמות המרובים וצופה זהה בפרשנות הכוללת קריסה (כמו פרשנות קופנהגן) יחלקו את אותם הזכרונות. בפירוש העולמות המרובים, לכל עולם אפשרי מוגדרת מידת קיום (measure of existance) המקבילה לסיכוי לקבלת אותה תוצאה בפירוש ההסתברותי (הוא פרשנות קופנהגן).
ניתוח בעיית היפהפייה הנרדמת בפירוש העולמות המרובים.
מושג ה"אשליה של הסתברות", בייחוד כפי שהוא בא לידי ביטוי בניסוי "גלולת השינה" המתואר לעיל, מזכיר באופיו את בעיית היפהפייה הנרדמת. לפי ויידמן אין משמעות ישירה להסתברות לפני הניסוי, משום שכל המידע (ממוקד או לא) נמצא בידי היפהפייה לפני ביצוע המדידה. ה"צאצאיות" שלה, לעומת זאת, בורות באשר לתוצאת הניסוי, ולכן מחזיקות באמונות זהות לגביה.
למרות זאת, בשונה מניסוי "גלולת השינה" בבעיית היפהפייה הנרדמת היפהפייה אינה מודעת לא רק לתוצאת המטבע, אלא גם ליום בשבוע. השאלה שעלינו לשאול במסגרת פירוש העולמות המרובים היא "מהי מידת אמונה של היפהפייה בתוצאה 'עץ' בעולם שבו היא נשאלת?". לטענת ויידמן, מאחר שמידת הקיום של כל שלושת העולמות האפשריים (ע1, פ1, פ2) זהה, ורק אחד מהם מתאים לתוצאה "עץ", עליה לענות "שליש".
לעומתו מאמין פיטר לואיס שלפי פירוש העולמות המרובים התשובה לשאלה היא "חצי". על מנת להסביר זאת משתמש לואיס תחילה בגרסה פשטנית יותר של הניסוי, בה לא מטילים מטבע כלל, אלא מודיעים ליפהפייה כי יעירו אותה גם ביום שני וגם ביום שלישי, אך שהיא לא תזכור את ההתעוררות הראשונה. כאשר מעירים אותה היא נשאלת מהי מידת אמונה בכך שהיום הוא יום שני. לואיס מצביע על הדמיון בין גרסה זו של הניסוי לבין מצב הדומה לניסוי "גלולת השינה" הנ"ל בפירוש העולמות המרובים. בשני המקרים על הצופה להאמין במידה שווה בשתי התוצאות האפשריות (כלומר - "חצי").
לואיס טוען כי קביעת הסתברות השווה ל-1 לכל אחת מהתוצאות האפשרויות לפני פיצול העולמות אינה לגיטימית, משום שהיא סותרת את חוק בורן, המגדיר את הסיכוי לקבלת תוצאה מסוימת בניסוי קוונטי. מכאן מסיק לואיס כי ההסתברות טרם הפיצול שווה לחצי בשני המקרים (היפהפייה הנרדמת ו"גלולת השינה"). מעבר לכך, הוא גורס כי ניתן לתאר את הגרסה המלאה של בעיית היפהפייה הנרדמת בעזרת הגרסה הפשטנית: מטילים מטבע. אם תוצאת ההטלה היא "עץ", מעירים את היפהפייה ביום שני בלבד, ואם "פלי" - הגרסה הפשטנית של הניסוי נכנסת לפעולה. כתוצאה מכך, לטענת לואיס, ניתן לראות בבעיה שתי הטלות מטבע: אם בהטלה הראשונה הורה המטבע "עץ", היפהפייה תתעורר ביום שני בלבד. אם הורה "פלי", מטילים מטבע נוסף. אם הוא הורה "עץ", מעירים אותה ביום שני בלבד, ואם "פלי" - רק ביום שלישי. כך שגם במקרה של הבעיה המלאה התוצאה היא "חצי", כפי שמאמין לואיס.
דייוויד פפינו וויקטור דורה-וילה תוקפים את טענתו של לואיס לפיה הבעיה המלאה מקבילה לשתי הטלות מטבע. לדעתם בגרסה המלאה המקורית, כאשר היפהפייה מתעוררת פעם אחת בלבד, היא אינה יכולה להתייחס להתעוררותה כאל עדות כלשהי לתוצאת הטלת המטבע. מעבר לכך, הם טוענים כי האנלוגיה שיצר לואיס בין הגרסה הפשטנית של הבעיה לבין ניסוי "גלולת השינה", עליה הוא ביסס את טיעוניו, איננה נכונה: בעוד שבניסוי "גלולת השינה" מתקיימים שני עולמות אחרי המדידה, הרי שקיים רק עולם אחד (בו מעירים את היפהפייה פעמיים) בגרסה הפשטנית לבעיית היפהפייה הנרדמת. לכן ההסתברות לכך שהיפהפייה תתעורר ביום שני (וביום שלישי) תמשיך להיות 1.
בתגובה לפפינו ודורה-וילה ענה לואיס לשאלת הפיצול בכך שטען כי מאחר שהצופה (מניסוי "גלולת השינה" או היפהפייה הנרדמת) אינו מודע לתוצאה, שני המקרים "זהים אפיסטמית" (כלומר, בשניהם הצופה נמצא במצב תודעתי דומה). מעבר לכך טען לואיס כי אין פיצול אמיתי של המציאות גם במקרה של פירוש העולמות המרובים, אלא רק בורות של הצופה באשר למיקומו. בנוסף הבהיר לואיס כי בתארו את הבעיה כשתי הטלות מטבע הוא לא תיאר את מהלך האירועים האמיתי, אלא את הבסיס לניחוש של היפהפייה.
כתשובה לתגובתו של לואיס תקפו פפינו ודורה-וילה את טענתו כי אין פיצול בפירוש העולמות המרובים: מבחינת חסידי פירוש העולמות המרובים אכן קיים יקום אחד, המכיל את כל האפשרויות, אך תגובת המערכת עם הסביבה לאחר המדידה הקוונטית יוצרת "עולמות" מובחנים עבור כל תוצאה (עם עותק של הצופה בכל אחד מהם), המתנהגים בצורה "כמו-קלאסית". כמו כן, המשיכו פפינו ודורה-וילה, טענתו של לואיס לפיה גם במקרה שקיימים הבדלים מטאפיזיים בין המצבים הם מקבילים אפיסטמית, סותרת את העקרון העיקרי ("Principal Principle"), שטבע דייוויד לואיס, לפיו מידת האמון בתוצאה מסוימת צריכה להתאים להסתברות האובייקטיבית שלה.