באמצע המאה ה-16 היה החוק הרומי המחודש הפרקטיקה הנהוגה במרבית ארצות אירופה. מערכת משפטית בה התמזג המשפט הרומי עם אלמנטים מן המשפט הקנוני (משפט הכנסייה) וכללים מקומיים (במיוחד החוק הפיאודלי) הייתה המערכת הנפוצה בכל אירופה, ואף בסקוטלנד. החריג הייתה בריטניה בה התפתחה מערכת חוקים שונה לחלוטין הקרויה המשפט המקובל. המערכת הקונטיננטלית המכונה "Commune Ius" נקראת "המשפט האזרחי" או "המשפט הקונטיננטלי" בידי משפטנים שגדלו על מסורת המשפט המקובל.
הסיבות להתפתחותו הנפרדת של המשפט המקובל רבות. סיבה אחת היא כי המערכת המשפטית האנגלית הייתה מפותחת יותר מזו שבארצות אירופה בזמן בו התגלה מחדש המשפט הרומי, כך שיתרונותיו של המשפט הרומי לעומת המערכות המשפטיות הקיימות ביבשת לא באו לידי ביטוי באנגליה. גם שיוכו של המשפט הרומי לאימפריה הרומית הקדושה ולכנסייה הקתולית, ונטייתו למונרכיה אבסולוטית הפך אותו לבלתי מקובל באנגליה מבחינה פוליטית. על אף כל אלו כמה אלמנטים מן המשפט הרומי מצאו את דרכם אל המערכת המשפטית האנגלית. במיוחד בראשית המאה ה-19 עורכי דין אנגליים ושופטים אנגליים היו מוכנים לאמץ כללים ורעיונות מן המשפטנים ביבשת ומן המשפט הרומי. מערכות הדינים הנוגעות לדיני האישות בבריטניה היו נתונות תקופה ארוכה לשיפוט כנסייתי נפרד, והיו מאז ומתמיד תחת השפעת המשפט הרומי, כמו גם, מסיבות דומות, דיני האדמירליות.
היישום המעשי של המשפט הרומי ביבשת אירופה בא לקצו כאשר החלו מדינות הלאום ליצור קובצי חקיקה לאומיים נפרדים. בשנת 1804 נחקק הקוד האזרחי הצרפתי. במהלך המאה ה-19 מדינות אירופה אימצו את המודל הצרפתי והחלו ליצור קובצי חוקים משלהן. בגרמניה לא איפשר המצב הפוליטי יצירת קובץ חוקים כלל גרמני, ובחלקים מסוימים של גרמניה המשיך המשפט הרומי להיות מיושם עד חקיקתו של קובץ החוקים הידוע כBGB (Bürgerliches Gesetzbuch) בשנת 1900.
המשפט הרומי במאה ה-21.
המשפט הרומי אינו מיושם עוד בפרקטיקה המשפטית, על אף שמערכות המשפט של מדינות כדרום אפריקה וסן מרינו עדיין מבוססות על ה"Ius Commune". אך אפילו במקום בו מבוססים קובצי החוקים על קודיפיקציה מקומית, כללים רבים שנלקחו מן החוק הרומי עדיין חלים. אף קוד לא סטה לחלוטין ממסורת המשפט הרומי. כללי המשפט הרומי אוחדו בקודיפיקציות הנפרדות למערכת ברורה יותר, ולרוב בוטאו בשפת המקום, והותאמו למנהגים המקומיים, אך מבלי להכיר ולהבין את מערכת המשפט הרומי לא ניתן להכיר ולהבין אף את מערכות החוקים הקונטיננטליות הנפרדות המצויות בתוקף. כך, בארצות אלו, לימודו של החוק הרומי הוא חובה על תלמידי המשפטים.
כאשר הנטייה לאיחוד אירופי מביאה לרעיונות בדבר איחודו של המשפט האזרחי לקובץ על בעל תוקף מחייב ביבשת כולה, ה”Ius Commune” נראה בעיני משפטנים רבים כמודל שיש לשאוף אליו.
החלקיק האלוהי
בעיית כיסוי קודקודים
במדעי המחשב, בעיית כיסוי הקודקודים היא בעיה NP-שלמה בתורת הסיבוכיות.
תיאור הבעיה.
במשמעות המתמטית של תורת גרפים, כיסוי קודקודים (לפעמים יקרא כיסוי צמתים) של גרף היא קבוצה של קודקודים כך שלפחות קצה אחד של כל קשת בגרף שייך לקבוצת קודקודים זו. בעיית מציאת כיסוי מינימלי של קודקודים לגרף היא בעיה אופטימיזציה קלאסית במדעי מחשב והיא דוגמה אופיינית לבעיית אופטימיזציה NP-שלמה שכיום קיים לה אלגוריתם קירוב.
כיסוי בתורת הגרפים משמעותו מציאת קבוצת עצמים שאיחודם הוא כל הגרף. כיסוי קודקודים הוא כיסוי הגרף באמצעות קבוצת קודקודים, כך שכל קשת בגרף נוגעת לפחות באחד מקודקודים אלו. כיסוי קשתות הוא כיסוי כל קודקודי הגרף באמצעות הקשתות, כל אחת והקודקודים אותם היא מחברת. כיסויים קשורים קשר הדוק למושגי השידוך והקבוצה הבלתי תלויה שבתורת הגרפים.
הגדרת הבעיה.
בעיית כיסוי הקודקודים היא זו: האם, בהינתן גרף נתון formula_1 ומספר טבעי formula_2, קיים לגרף כיסוי קודקודים שמכיל לכל היותר formula_2 צמתים? (השאלה האם קיים כיסוי קודקודים מגודל כלשהו היא טריוויאלית, כי ניתן תמיד לבחור בתור כיסוי את כל קודקודי הגרף).
ניתן להראות כי הבעיה היא NP-שלמה על ידי רדוקציה מבעיית SAT.
הבעיה של מציאת כיסוי קודקודים מגודל מינימלי גם היא NP-שלמה, אך קיים לה אלגוריתם קירוב כפלי פשוט: מוצאים שידוך מקסימלי בגרף ולוקחים את כל צמתיו. קל להראות כי בצורה זו הכיסוי שנקבל לא יהיה גדול יותר מאשר פי 2 הכיסוי האופטימלי.
עבור כיסוי בקודקודים C ושידוך M כלשהם, כל קשת formula_4 חייבת לגעת לפחות באחד מן הקודקודים בכיסוי, וכל שתי קשתות שונות ב M לא יכולות לגעת באותו קודקוד מ C ולכן מקבלים ש formula_5. זה גורר שגודל הכיסוי המינימלי בגרף הוא לכל הפחות גודל השידוך מקסימום בגרף. משפט קוניג (König's theorem) אומר שבגרף דו צדדי (סופי) גודל הכיסוי המינימלי שווה לגודל שידוך מקסימום, שידוך מקסימום שייך למחלקת סיבוכיות P - בעיות שניתנות לפתרון בזמן יעיל, ולכן ניתן למצוא את הכיסוי המינימלי בגרף דו צדדי (Bipartite) בזמן פולונומיאלי - זמן יעיל.
מציאת קירוב.
אפשר למצוא קירוב על ידי לקיחה שוב ושוב שתי נקודות קצה ביחס לכיסוי הקודקודים, ואז להסיר אותן זמנית מהגרף. לאחר מכן, מוצאים formula_6 - התאמה מקסימלית בעזרת "אלגוריתם חמדן", ולבנות את formula_7 - כיסוי קודקוד שמורכב מכל נקודות הקצה של הקצוות. באיור הבא מתוארים - formula_6 התאמה מקסימלית מסומנת באדום, ואת formula_7 כיסוי הקודקודים המסומן בכחול.
סט formula_7 של כיסוי הקודקודים נבנה בדרך זו: נניח שקצה קשת formula_11 אינו מכוסה על ידי formula_7; אז formula_13 הוא התאמה וגם formula_14, זו סתירה להנחה כי formula_6 הוא מקסימלי. כיסוי אופטימלי מכיל נקודות קצה לפחות אחד מכל קצה ב-formula_6; בסך הכל, הסט formula_7 הוא לכל היותר גדול פי 2 מכיסוי הקודקודים האופטימלי, וזהו הקירוב הטוב ביותר הידוע כיום.
אלגוריתם זה התגלה על ידי Fanica Gavril ו - Mihalis Yannakakis.
פסאודו קוד.
פסאודו קוד הוא קטע קוד גולמי המשמש ליצירת אלגוריתם. פסאודו קוד משתמש בקונבנציות של שפות תכנות, אך מיועד לקריאה של בני אדם ולא לקריאה על ידי מחשב. קטעי פסאודו קוד אינם להרצה על במחשב בפני עצמם, אך ניתן לכתוב על פיהם קוד אמיתי שניתן להידור בכל שפת תכנות שהיא.
פסאודו קוד לאלגוריתם קירוב הנ"ל:
APPROXIMATION-VERTEX-COVER(G):
C = ∅
E'= G.E
while E'≠ ∅:
let (u, v) be an arbitrary edge of E'
remove from E' every edge incident on either u or v
return C
שלהי העת העתיקה
שלהי העת העתיקה הוא הכינוי לתקופה שנמשכה בערך בין שנת 300 לשנת 700 עד 800 לספירה, שבה רואים היסטוריונים את קיצה של העת העתיקה ותחילתם של ימי הביניים באירופה ובאגן הים התיכון. ערך זה, עם זאת, עוסק בהתפתחות ההיסטורית באירופה עד נפילת האימפריה הרומית. לתיאור ההתפתחות אחרי נפילתה, ראו הערך ראשית ימי הביניים.
במסגרת התקופה נכללת תקופת שקיעת האימפריה הרומית, החל בסוף המאה השלישית או תחילת הרביעית ועד כינונה הראשוני של התרבות המערבית תחת שלטונו של קרל הגדול באירופה, חליפות בגדד במזרח התיכון והשתלטות האימפריה הביזנטית על שטחי אסיה הקטנה ומזרח אירופה.
היסטוריונים בעבר נטו להתייחס לתקופת שלהי העת העתיקה כאילו הורכבה מגושים גדולים וחד-משמעיים יחסית של התרחשות: האימפריה הרומית, נפילתה, עליית אימפריות אחרות, וכדומה. כיום, מקובלת יותר גישה המדגישה את ההמשכיות וההשתנות ההדרגתית. נדידת העמים במאה הרביעית והחמישית נתפשת היום כהליך של דעיכה הדרגתית של שלטון ישן ועליית יורשים כמו האוסטרוגותים והויזיגותים. כמו כן, ישנם היסטוריונים המבחינים בעליית דפוסים חברתיים המאפיינים את ימי הביניים כבר בתקופת האימפריה הרומית.
תחילת שקיעת האימפריה הרומית.
האימפריה הרומית הגיעה לשיא התפשטותה תחת שלטון טראיאנוס (עד 117 לספירה). במהלך המאה השנייה נשמר כוחה בעיקר הודות לתקופת שלטונם של "חמשת הקיסרים הטובים": נרווה, טראיאנוס, אדריאנוס, אנטונינוס פיוס ומרקוס אורליוס אשר כבשו מחדש שטחים אשר אבדו לה שמרו ביד ברזל על 'נכסי' האימפריה.
באמצע המאה השלישית ניתן לזהות כבר את תחילת שקיעתה של האימפריה הניכרת היטב בתקופה של מלחמות אזרחים. קיסרים ששלטו בסוף המאה השלישית ובתחילת הרביעית, במיוחד דיוקלטיאנוס וקונסטנטינוס, ניסו לשמר את האימפריה באמצעות מאמצים ניכרים לארגון מחדש של הפרובינקיות והשליטה בהם.
מאמצים אלו זכו להצלחה הולכת ופוחתת עם הזמן, וברחבי האימפריה הרומית ניתן היה להבחין בהידלדלות הולכת ונמשכת של הכלכלה, החיים העירוניים, הלכידות החברתית, והעוצמה האימפריאלית. התרחשות כה דרמטית כמו שקיעת האימפריה החשובה ביותר של העולם העתיק, לא התרחשה מסיבה אחת או בבת אחת, אך ניתן לומר כי בעיה עיקרית אחת, האופיינית לכל ממלכות העולם העתיק, תרמה במידה משמעותית להאצתם והחרפתם של תהליכי השקיעה.
הרקע לשקיעת האימפריה הרומית.
לפי אחת הגישות, ברומא, כבמרבית האימפריות בהיסטוריה, היה ההון הכספי והאנושי שנכבש או נוצר משמש בעיקר לצורכי אגירה והתעשרות של בעלי הכוח. סנטורים, קונסולים, שליטי פרובינקיות וקיסרים—כולם נהגו להשתמש בהון שצברו בעקבות כיבושיהם כדי לבנות לעצמם אחוזות פאר, לחלק למקורביהם, לרכוש נאמנים, וכדומה. המוני העם—האזרחים ועוד יותר מזה אלו שלא נמנו על מעמד האזרחים—זכו לרוב בשאריות שחולקו מתנת נדבה.