שורש פרימיטיבי מסדר ראשוני.
כפי שהוכיח גאוס, החבורה formula_1 ציקלית עבור כל p ראשוני. כל יוצר שלה, כלומר איבר מסדר formula_2 בה הוא שורש פרימיטיבי. מספר השורשים הפרימיטיביים הוא מספר האיברים הזרים לformula_2, כלומר formula_4, כאשר formula_5 היא פונקציית אוילר.
לדוגמה, אם formula_6 בחבורה formula_7 יש formula_8 שורשים פרימיטיביים, והם: formula_9.
אם g שורש פרימיטיבי, אז קבוצת כל השורשים הפרימיטיביים היא formula_10.
שורשים פרימיטיביים מסדרים אחרים.
ניתן להכליל את המונח שורש פרימיטיבי לכל חבורת אוילר ציקלית. נאמר שformula_11 שורש פרימיטיבי מודולו m אם הסדר שלו בחבורה formula_12 הוא
formula_13.
נסקור את הסדרים שבהם אכן קיים שורש פרימיטיבי.
ראשית, נוכיח שקיים שורש פרימיטיבי מודולו formula_18. ידוע כבר שקיים שורש פרימיטיבי מודולו formula_19, נסמנו formula_20.
נשתמש בטענת העזר הבאה - הסדר של formula_20 מודולו formula_19, מחלק את הסדר של formula_20 מודולו formula_18. בנוסף, הסדר של formula_20 מודולו formula_18 מחלק את הסדר של החבורה, כלומר את formula_27.
מכאן שהסדר של formula_20 מודולו formula_18 הוא formula_2 או formula_27. אם הוא formula_27 סיימנו. נניח שהוא formula_2, נביט באיבר formula_34. הסדר של formula_35 הוא p כי:
formula_36
לפי הבינום של ניוטון.
לכן, הסדר של formula_34 הוא formula_27, כי formula_39.
כעת, נוכיח שקיים שורש פרימיטיבי מודולו חזקת ראשוני.
נעזר בטענת העזר הבאה: לכל formula_40 מתקיים - אם formula_41 אז formula_42.
הוכחת הטענה: באינדוקציה על m. עבור m=2 התוצאה מידית. נניח נכונות לm. מתקיים: formula_43, לפי משפט אוילר.
אם כן, קיים formula_44 כך ש: formula_45. מתקיים גם formula_46, אחרת formula_47 בסתירה לנתון.
מכאן, נעלה בחזקת formula_19 את שני האגפים נקבל: formula_49 ,שוב לפי הבינום. היות שformula_46 קיבלנו formula_51 כדרוש.
הטענה אומרת, שאם formula_11 הוא שורש פרימיטיבי מודולו formula_18, אז הסדר שלו לא מתחלק על מודולו formula_54. אבל הסדר הוא מהצורה formula_55, לכן formula_56, כלומר formula_57, ולכן הסדר מקסימלי, כדרוש.
נסמן את הסדר של g מודולו formula_16 להיות formula_66, ואת הסדר שלו מודולו formula_58, להיות formula_68. בדומה לטענה שהובאה לעיל, אפשר להראות כי formula_69. זה אומר: formula_70, אבל לפי השוויון לעיל נובע:
formula_71, ולכן הסדר שלו מקסימלי, כדרוש.
בזאת הושלמה הסקירה, שכן גאוס הוכיח שאלו הם הסדרים היחידים להם יש שורשים פרימיטיביים - formula_72
לכל n כמו אלו שתוארו לעיל, יש בחבורה formula_73 איברים שמהם formula_74 שורשים פרימיטיביים.
תוצאות חשובות על שורשים פרימיטיביים.
גאוס הוכיח שעבור כל מספר ראשוני p (עם המקרה היוצא דופן היחיד של p = 3), מכפלת השורשים הפרימיטיביים שלו קונגרואנטית ל-1 מודולו p.
גאוס הוכיח גם שבעבור כל מספר ראשוני p, סכום השורשים הפרימיטיביים שלו קונגרואנטי ל-μ(p – 1) מודולו p, כש-μ היא פונקציית מביוס.
גדלים של שורשים פרימיטיביים.
לאחר הסיווג של הסדרים, עולה השאלה - אם כבר קיים שורש פרימיטיבי, מהו השורש הפרימיטיבי המינימלי?
למשל, במקרה הנ"ל עם p=7, הוצג כי שני השורשים הם 3,5 והמינימלי שבהם הוא 3.
מתברר שהתשובה לשאלה זו אינה פשוטה ואינה שלמה. הוכחו בנושא מספר טענות, והועלו השערות כדלהלן:
הכללה לכל מספר טבעי.
אפשר להגדיר איבר פרימיטיבי ביחס לכל מספר טבעי n, בתור איבר בעל סדר מקסימלי בחבורת אוילר של n. אם n ראשוני, מתקבלת ההגדרה הקודמת.
שימושים ומסקנות.
השימוש בשורשים פרימיטיביים הוא רב, ולעיתים הם משמשים כלי עזר במקומות בלתי צפויים.
ראשית, מתקיימת הטענה הבאה: אם g שורש פרימיטיבי, אזי formula_78 היא שארית ריבועית אם ורק אם k זוגי. בפרט, נובע כי כל שורש פרימיטיבי אינו שארית ריבועית (המקרה של k=1).
כלומר, אם מצאנו שורש פרימיטיבי, יש בידינו דרך למצוא את כל השאריות הריבועיות - יש להעלות אותו בכל החזקות הזוגיות הקטנות מp-1, וכך יתקבלו כל השאריות הריבועיות.
יוצרים של חבורה
ל'אסקולניה
ל'אסקולניה (בקטלאנית: L'Escolania) היא מקהלת נערים של קולות סופרן ואלט הפועלת במנזר הבנדיקטיני סנטה מריה דה מונטסראט, סמוך לברצלונה שבחבל קטאלוניה בספרד. כאשר הרפרטואר דורש זאת, המקהלה מלווה במקהלת הקאפלה של מונטסראט, המורכבת מנערי מקהלה בוגרים והנזירים של מקהלת קאפלת הכומריה.
ל'אסקולניה מזמרת מדי יום בבזיליקה של מונטסראט, לעיתים קרובות לפני קהל גדול של צליינים ומבקרים מכל רחבי העולם. ה"סלבה רג'ינה" של צהרי היום הייתה, במהלך העשורים האחרונים, לפרק המקובל ביותר בעבודת הקודש היום-יומית.
מאז שלהי שנות ה-60 של המאה ה-20, המקהלה יוצאת מתחומי הבזיליקה ומופיעה בקונצרטים בקטאלוניה ובעולם. הקונצרט החשוב ביותר בסיבוב האחרון היה עם "תזמורת הלאומים" (l'Orquesta de les Nations) בניצוח ג'ורדי סאבאל, וההשתתפות באופרה "חלום ליל קיץ" של בנג'מין בריטן בתיאטרון של ברצלונה.
כנסיית קלריגוש
כנסיית קלריגוש (בפורטוגזית: Igreja dos Clérigos - "כנסיית הכמורה", ()) היא כנסייה בסגנון הבארוק בעיר פורטו שבפורטוגל. הכנסייה ידועה בזכות מגדל קלריגוש - מגדל פעמונים גבוה הנשקף מנקודות שונות בעיר, ומהווה את אחד מסמליה.
היסטוריה.
הכנסייה נבנתה עבור אחוות הקלריגוש (כמורה) בידי ניקולאו נסוני (Nicolau Nasoni), אדריכל איטלקי וצייר, שעבד רבות בצפון פורטוגל במהלך המאה ה-18. לבקשתו, הוא נקבר בקריפטה של הכנסייה. הבנייה החלה בשנת 1732 והסתיימה בסביבות 1750, ובתקופה זו הושלם גרם מדרגות כפול מונומנטלי בחזית הכנסייה.
החזית הראשית של הכנסייה מקושטת במוטיבים בארוקיים (כגון חרציות וצדפים) וגמלון גדול מקוטע ("שבור") בראש המבנה. תכנון זה היה מבוסס על סכמה אדריכלית מתחילת המאה ה-17. האפריז המרכזי מעל החלונות מציג סמלי פולחן וקערת קטורת.
החזיתות הצידיות חושפות את תוכנית הקרקע הכמעט אליפטית של הספינה הראשית. כנסייה זו הייתה מבין כנסיות הבארוק הראשונות בפורטוגל שאימצה תוכנית קרקע אליפטית. התמונה שעל לוח המזבח (altarpiece) בקפלה הראשית, עשויה משיש במספר גוונים, ונוצרה על ידי מנואל דוש סנטוש פורטו.
המגדל המונומנטלי של הכנסייה, הממוקם בצידה האחורי, נבנה מאוחר יותר מהכנסייה עצמה. בנייתו החלה ב-1754 והושלמה ב-1763. עיטורי הבארוק שלו מושפעים גם מהסגנון הבארוקי של רומא, בעוד שהמגדל עצמו הושפע יותר מקמפנילות (מגדלי פעמונים באיטליה שנבנו כמבנים עצמאיים) בטוסקנה. גובה המגדל הוא 75.6 מטר והוא שולט בשמי העיר. 225 מדרגות מובילות לקומתו השישית והאחרונה. המגדל הפך לאחד מסמלי העיר וניתן לצפות ממנו על כל העיר העתיקה של פורטו (אשר הוכרזה כאתר מורשת עולמית), על נהר הדואורו ועל העיר השכנה וילה נובה דה גאיה שבגדה הדרומית של הנהר.
דודה (להקה)
נתן שור
נתן שוּר (19 באוגוסט 1923 - 12 באפריל 2012) היה היסטוריון ישראלי, שחקר – בין היתר – את ספרות הנוסעים לארץ ישראל.
ביוגרפיה.
שור נולד ב-19 באוגוסט 1923 בווינה שבאוסטריה, עלה ארצה בגיל 11 והתגורר בתל אביב. הוא סיים את חוק לימודיו בגימנסיה הרצליה והתגייס ב-1941 לשורות הצבא הבריטי. בהמשך שירת בצה"ל בחטיבת גולני, בחיל המודיעין ובמוסד.
שור למד היסטוריה, גאוגרפיה וארכאולוגיה באוניברסיטה העברית, והתמחה בחקר ספרות נוסעים לארץ ישראל בשפות רבות. בהמשך ליקט עדויות וסיפורים רבים מיושבי הארץ בעת החדשה, ופרס תמונה כוללת של אירועי הארץ מימי קדם ועד ימינו. את מקורותיו שאב מספריות ומארכיונים ציבוריים ופרטיים בארץ ובעולם.
תרומתו העיקרית של שור למחקר ארץ ישראל הייתה באיתורם ותרגומם של עדויות ומכתבים ממקור ראשון, המאששים או מפריכים סברות והנחות מקובלות על אירועים או מקומות. הוא השקיע מאמץ רב באיתור מסמכים ממקורות מרוחקים, כך למשל, נסע עד לספרייה המלכותית בסטוקהולם כדי למצוא את יומנה של הסופרת השוודית סלמה לגרלף, על ביקורה בירושלים בראשית המאה ה-20.
שור נפטר בתל אביב בגיל 89.
ספריו.
שור כתב למעלה ממאה מאמרים, רבים מהם בכתב העת "עת-מול", וכן חיבר יותר מעשרים ספרים, בהם:
הכוחות המזוינים של רוסיה
אייר פורס 1 הרוסי
אדוארד פנק אדאמי
אדוארד (אדי) פנק אדאמי (באנגלית: Edward Fenech Adami; נולד ב-7 בפברואר 1934) היה ראש ממשלת מלטה ונשיאה השביעי.
חייו.
פנק אדאמי הצטרף למפלגה השמרנית במלטה לאחר שסיים את לימודי המשפטים באוניברסיטת מלטה, והיה לאחד ממנהיגיה הבולטים. תקופת כהונתו הראשונה כראש ממשלת מלטה (1987-1996) התאפיינה ביישום הפרטה מקיף במשק המלטזי בתחומי התקשורת, הפיננסים והתשתית. בשנת 1990 הגישה הממשלה בראשותו בקשה להצטרף לאיחוד האירופי, והחלה בביצוע הרפורמות המבניות כדי להתאימם לתקינה האירופית.