הכבידה היא כוח היסוד הראשון אשר תואר בצורה מתמטית. בימי קדם, אריסטו סבר כי גופים בעלי מסה שונה ייפלו בקצב שונה. במהלך המהפכה המדעית, גלילאו גליליי ערך ניסויים אשר הוכיחו כי סברה זו שגויה: אם נזניח את החיכוך שיוצר האוויר, כל הגופים נופלים לאדמה באותה תאוצה. חוקי הכבידה של אייזק ניוטון (1687) היוו קירוב טוב לאופן פעולתה של הכבידה. בשנת 1915, אלברט איינשטיין השלים את תורת היחסות הכללית, המעניקה תיאור מדויק יותר של הכבידה במונחים של גאומטריית מרחב-זמן.
כיום מרוכזים מאמצי מחקר בניסיון לאחד את תורת היחסות הכללית - המיטיבה לתאר את התגובות המתרחשות בקנה המידה הגדול של גלקסיות וכוכבים, ואת מכניקת הקוואנטים - המיטיבה לתאר את התגובות המתרחשות בקנה המידה הזעיר של אטומים וחלקיקים, במסגרת תורת כבידה קוונטית. על פי כמה מודלים קיימים אמורה הכבידה להשתלב בתורה כזו באמצעות חלקיק היפותטי הקרוי גרביטון.
על אף שתורת היחסות הכללית מצליחה לתאר את הכבידה בסקלה הלא-קוואנטית של המציאות בצורה מדויקת בדרך כלל, קיימות לצידה מספר תאוריות חלופיות המנסות להסביר את תופעת הכבידה. על מנת לזכות להתייחסות חיובית בקרב קהיליית הפיזיקאים מנסים מפתחיהן של התורות החילופיות לתמוך את הניבויים הייחודיים הנובעים מהן בניסויים ותצפיות אשר תוצאותיהם אינם עולים בקנה אחד עם ניבויי תורת היחסות הכללית.
הכוח האלקטרומגנטי.
הכוח האלקטרומגנטי הוא הכוח הפועל בין חלקיקים בעלי מטען חשמלי. הוא כולל את הכוח האלקטרוסטאטי, הפועל בין מטענים הנמצאים במצב מנוחה (מטענים נייחים), וכן את האפקט המשולב של הכוחות החשמליים והכוחות המגנטיים, הפועלים על מטענים אשר נעים אחד ביחס לשני.
כוח זה הוא כוח חזק יחסית הפועל בקנה מידה גדול, ומתאר תופעות רבות מחיי היומיום שלנו: החל בלייזרים ובמקלטי רדיו, עד מבנה האטום והמבנה של מתכות וכלה בחיכוך ובהופעת הקשת בענן. בקנה מידה קטן יותר, הכוח גורם למשל למשיכה בין שני מטענים שסימנם הפוך ודחייה בין שני מטענים שסימנם דומה.
תופעת החשמל ותופעת המגנטיות נצפו עוד בימי קדם, אולם רק במאה ה-19 התגלה כי מדובר בשני היבטים של כוח יחיד. בשנת 1864, ג'יימס קלרק מקסוול הצליח לתאר מתמטית את תופעת האלקטרומגנטיות, המאחדת את הכוח החשמלי והכוח המגנטי, ומשואותיו היו אחד ההישגים האדירים של הפיזיקה בתקופתו. אחת המשמעויות של משוואות מקסוול, הייתה שהאור הוא למעשה גל אלקטרומגנטי, כלומר גל העובר בשדה האלקטרומגנטי. בשנת 1905, איינשטיין פיתח את תורת היחסות הפרטית, וקבע באמצעותה כי מהירות האור קבועה. בנוסף, הצליח להסביר את האפקט הפוטואלקטרי, בכך שהניח כי האור מחולק לקוואנטות - ולמעשה בנוי מחלקיקים, אשר כונו פוטונים. בין השנים 1927 עד 1940, פול דיראק איחד את מכניקת הקוונטים עם תורת היחסות הפרטית, ויצר את תורת האלקטרודינמיקה הקוונטית. על פי תורה זו, חלקיקים טעונים מגיבים על ידי העברת מידע באמצעות פוטונים.
בשנת 1919, תיאודור קלוצה הבחין בתכונה מוזרה של האלקטרומגנטיות, והיא: משוואות התורה האלקטרומגנטית הקלאסית של מקסוול נובעות בצורה טבעית ממשוואות תורת היחסות הכללית של איינשטיין, כאשר מניחים שלמרחב יש ממד רביעי. תכונה זו היא הבסיס לתאוריית קלוצה-קליין, אשר סייעה למאמצים לפיתוח תורת כבידה קוונטית.
הכוח הגרעיני החזק.
לפני שנות ה-70, כאשר האמינו כי פרוטונים ונייטרונים הם חלקיקים אלמנטריים, מדענים השתמשו במונח "כוח חזק" לתיאור הכוח המחזיק אותם יחד בגרעין האטום. כאשר התגלו הקווארקים המרכיבים את הפרוטונים והנייטרונים, וכאשר התפתחה התורה של כרומודינמיקה קוונטית, מושג הכוח הגרעיני החזק שימש לתיאור הכוח המחזיק קווארקים ואנטי-קווארקים יחדיו.
על פי התורה של כרומודינמיקה קוונטית (QCD), הכוח הגרעיני החזק מועבר בעזרת גלואונים בצורה דומה לדרך שבה הכוח האלקטרומגנטי מועבר באמצעות פוטונים. הכוח פועל בין חלקיקים אשר נושאים "מטען צבע" – קווארקים וגלואונים. מאפיין ייחודי של כוח זה, הוא שהחלקיקים המעבירים את הכוח – הגלואונים, יכולים להגיב בינם לבין עצמם, כיוון שגם להם יש מטען צבע. תכונה זו יוצרת אי-תלות של הכוח במרחק, ואפשר להסיק מכך כי הכוח פועל על גבי מרחק אינסופי. עם זאת, בפועל, כאשר החלקיקים המגיבים בתגובה זו מתרחקים, האנרגיה האגורה בשדה הכוח גדלה עד כדי כך שהיא יכולה ליצור צמדי חלקיק ואנטי-חלקיק חדשים. מנגנון זה מבטיח שקווארק לא יוכל להופיע בודד.
הכוח המחזיק את הפרוטונים והנייטרונים (נוקליאונים) יחדיו בגרעין האטום, הוא הכוח הגרעיני, שהוא תוצאה של הכוח הגרעיני החזק. מכיוון שעד לטווח מסוים, הכוח הגרעיני חזק יותר מהכוח האלקטרומגנטי, הוא יכול בנקל להחזיק פרוטונים רבים יחדיו בגרעין האטום, על אף הדחייה החשמלית העצומה שלהם.
הכוח הגרעיני החלש.
הכוח הגרעיני החלש נקרא בשמו כיוון שהוא חלש פי כ-1013 מהכוח הגרעיני החזק. כוח זה אחראי על תופעות מסוימות בקנה המידה הזעיר של גרעין האטום, כגון התפרקות בטא – תהליך בו מתפרק נייטרון לפרוטון, כאשר הוא פולט אלקטרון ואנטי-נייטרינו אלקטרוני. התגובה החלשה היא ייחודית, שכן מדובר בתגובה היחידה המוכרת בטבע אשר אינה שומרת על סימטריית מראה (סימטריית C), ובכך שוברת את חוק שימור השניות. פירוש הדבר הוא, שאם עורכים ניסוי הכולל תגובה חלשה, ועורכים את אותו הניסוי כאשר הוא נראה כתמונת-מראה של הניסוי הראשון – התוצאה לא תהיה זהה. הכוח שובר גם סימטריית CP (המשלבת הן סימטריית מראה והן סימטריית מטען), אולם אינו שובר סימטריית CPT (המשלב בתוכו גם סימטריית זמן בנוסף לשתי הסימטריות האחרות).
כיום, הכוח האלקטרומגנטי והכוח הגרעיני החלש מתוארים כשני היבטים שונים של אותו כוח – הכוח האלקטרו-חלש. את הכוח האלקטרו-חלש המאוחד ניתן לראות רק באנרגיות גבוהות, הנוצרות בתנאים של מאיץ חלקיקים. הבנת "איחודם" של שני הכוחות הייתה הצעד הראשון בדרך לפיתוח תורה מאוחדת לכל הכוחות, המכונה המודל הסטנדרטי.
התפתחויות אחרונות.
המודל הסטנדרטי הוא תורה קוונטום-מכנית מאוחדת של שלושה כוחות: הכוח האלקטרומגנטי, הכוח הגרעיני החלש והכוח הגרעיני החזק. כיום, על אף שקיימות תורות המנסות לשלב את הכבידה במכניקת הקוונטים (למשל תורת המיתרים), לא קיימת תורה אשר מקובלת על הכל כמועמדת ברורה להיות תורת הכבידה הקוונטית. החיפוש אחר תורה מתקבלת על הדעת של כבידה קוונטית, וכן חיפוש אחר תאוריה מאוחדת גדולה, הם תחומים חשובים במחקר הפיזיקה של ימינו.
בשנים האחרונות נחקרת אפשרות תאורטית לקיומו של כוח יסודי חמישי.
כוח יסודי
שדה המספרים המרוכבים
במתמטיקה ויישומיה, שדה המספרים המרוכבים הוא השדה שאבריו הם המספרים המרוכבים. כלומר, מספרים שניתן להציג בצורה formula_1 כאשר a,b הם ממשיים, ו-formula_2 היא היחידה המרוכבת, המקיימת formula_3. המספרים המרוכבים מתאימים באופן טבעי לנקודות במישור המרוכב.
שדה המספרים המרוכבים, שאותו מקובל לסמן באות formula_4, מכיל את שדה המספרים הממשיים formula_5 - ומהווה הרחבה מממד 2 מעליו. שדה המרוכבים מתקבל מסיפוח השורש של מינוס אחת לשדה הממשיים, כלומר, formula_4 איזומורפי לחוג המנה formula_7.
שדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית (ולמעשה, הוא השדה הסגור-אלגברית היחיד מעוצמת הרצף שהמאפיין שלו 0), כלומר, לכל פולינום (שאינו קבוע) עם מקדמים מרוכבים, יש שורש מרוכב. כתוצאה מכך, לכל פולינום ממעלה formula_8 יש בדיוק formula_8 שורשים (אם לוקחים בחשבון שורשים חוזרים). עובדה זו נקראת לפעמים המשפט היסודי של האלגברה. בנוסף לזה, שדה המספרים המרוכבים שלם כמרחב מטרי. מאידך, קיומם של שורשים ריבועיים למספרים שליליים אינו מאפשר לסדר אותו.
היסטוריה.
יצירתם של המספרים המרוכבים, בתחילת המאה ה-16, מיוחסת לג'ירולמו קרדאנו, שנעזר בהם כדי לפתור את המשוואה ממעלה שלישית. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי רפאל בומבלי. באותה עת נחשבו מספרים כאלה ללא אמיתיים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן להם. דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של אוילר וגאוס.
בנייה פורמלית.
את שדה המספרים המרוכבים אפשר לבנות באופן פורמלי כאוסף הזוגות הסדורים formula_10 של מספרים ממשיים, עם פעולות החיבור והכפל.
פעולת החיבור מוגדרת כך: formula_11
פעולת הכפל מוגדרת כך:formula_12
המבנה המתקבל הוא שדה, שאיבר האפס שלו הוא formula_13, ואיבר היחידה הוא formula_14.
לכל מספר formula_15 יש נגדי, formula_16, ואם המספר שונה מאפס יש לו איבר הופכי, formula_17.הזוגות מהצורה formula_18 מקיימים formula_19 ו- formula_20, ולכן ההתאמה formula_21 מהווה שיכון של שדה הממשיים בשדה החדש. לפי הגדרת הכפל, האיבר formula_22 של השדה החדש מקיים formula_23, כך שבשדה הזה - בניגוד למצב בשדה הממשיים - יש שורש למספרים שליליים. (כשרוצים לתת לאות formula_24 משמעות אחרת, כגון זרם, משתמשים ב-formula_25 כתחליף).
תכונות בסיסיות.
כל איבר בשדה החדש אפשר להציג באופן יחיד בצורה formula_26 כאשר formula_27 ממשיים, הנקראים "החלק הממשי" ו"החלק המדומה" של המספר. הפונקציות formula_28 מחזירות את החלק הממשי והחלק המדומה, בהתאמה.
ההצגה של מספר מרוכב בצורה formula_29, הנקראת ההצגה הקרטזית, מאפשרת לחשב בקלות את המכפלה באופן מפורש, בעזרת העובדה היסודית formula_3: formula_31.