הפעולה נקראת העלאה בחזקה (כגון "a בחזקת b" או "a מועלה בחזקת b"). כאשר המעריך הוא מספר טבעי בין 3 ל-10 (כולל) נהוג לקצר ולקרוא "a ב-n-ית", כאשר n הוא שם המספר הסודר. למשל "8 בשלישית", "2 ברביעית" ו"4 בעשירית" משמעם 83, 24 ו-410, בהתאמה. מקרה מיוחד הוא כאשר המעריך הוא 2, אז נהוג לקרוא לחזקה formula_3 "a בריבוע", משום ששטח ריבוע שווה לאורך צלעו בחזקת 2. למשל "5 בריבוע" משמעו 52. התוצאה של העלאת מספר שלם בחזקה שנייה נקראת מספר ריבועי, או פשוט "ריבוע". תוצאת העלאת מספר שלם בחזקה שלישית נקראת לפעמים מספר מעוקב. המילה "חזקה" משמשת גם לציון תוצאת הפעולה.
מבחינת סדר פעולות חשבון, נהוג כי החזקה קודמת לארבע פעולות החשבון, וכי יש לחשב את המעריך לפני ביצוע פעולת החזקה:
חזקה טבעית.
המופע הפשוט ביותר של חזקה הוא חזקה בעלת מעריך טבעי, כגון formula_7, כאשר המעריך מציין כמה פעמים יש לכפול את מספר הבסיס בעצמו. חזקה כזו אפשר להגדיר באמצעות נוסחת נסיגה: formula_8, ולכל formula_9 מגדירים formula_10.
חוקי החזקות.
מהגדרה זו ניתן להסיק מספר מאפיינים בסיסיים של חזקות, הנקראים חוקי חזקות:
חזקה שלמה.
הצעד הראשון בהכללת החזקה לקבוצה רחבה יותר של מספרים היא הרחבתה למעריכים שלמים (שאינם בהכרח חיוביים). הרחבה מוצלחת של החזקה צריכה להמשיך ולעמוד בחוקי החזקות התקפים לטבעיים. בפרט:
וכן:
לכן נוח להגדיר חזקת אפס כשווה ל-1 תמיד (ראו מכפלה ריקה) וחזקה שלילית בתור ההופכי לחזקה החיובית הנגדית. יוצא מן הכלל הוא הביטוי אפס בחזקת אפס שלרוב אינו מוגדר, או מוגדר כשווה ל-1. בנוסף, חזקות שליליות של 0 אינן מוגדרות, כי לא ניתן לחלק באפס.
חזקה רציונלית.
לכל n שלם (שונה מאפס), ולכל מספר ממשי חיובי a, קיים פתרון חיובי יחיד למשוואה formula_46. פתרון זה נקרא השורש ה-n-י של a, וסימונו formula_47.
בעזרת מושג השורש ניתן להרחיב את הגדרת החזקה גם למעריכים רציונליים כלשהם (ובסיס חיובי). תחילה מגדירים הרחבה למעריכים שהם שבר יסודי: יהי n מספר שלם ו-a מספר חיובי. נצפה כי formula_48 יהיה מספר חיובי. כמו כן לפי חוקי חזקות מתקיים:
כלומר formula_48 הוא השורש ה-n-י, ולכן:
formula_51.
בהתבסס על תוצאה זו ובעזרת חוקי חזקות נוכל להרחיב את ההגדרה לכל מעריך רציונלי (n שונה מאפס):
התוצאה אינה תלויה בבחירת ההצגה של השבר, משום ש-formula_53, ולכן הפעולה מוגדרת היטב. כל חוקי החזקות בשלמים נשמרים גם עבור מעריכים רציונליים.
במסגרת המספרים הממשיים, הוצאת שורש אינה מוגדרת היטב למספרים שליליים, ולכן גם חזקה רציונלית אינה מוגדרת לבסיס שלילי. אם הבסיס הוא 0, החזקה מוגדרת רק כשהמעריך חיובי, וערכה 0.
חזקה ממשית.
ישנן שתי דרכים מקובלות ושקולות להגדרת חזקה עם מעריך ממשי.
דרך אחת היא להסתמך על החזקות הרציונליות שכבר הוגדרו. תכונה רצויה של פעולת החזקה היא שמירה על רציפות. מצופה שאם לכל חזקה formula_61 נערוך סדרת חישובים מהצורה formula_62 כש-x הולך ומתקרב ל-r, התוצאות שנקבל ילכו ויתקרבו לערך של formula_61. מסתבר כי דרישה זו מספיקה כדי להגדיר חזקה עם מעריך ממשי. מהבנייה של שדה המספרים הממשיים ידוע כי לכל מספר ממשי r קיימת סדרה formula_64 של מספרים רציונליים המתכנסת ל-r. לכן לכל a אי-שלילי החזקה נתונה על ידי גבול הסדרה:
או באופן שקול כגבול של פונקציה:
המעריכים בשני הגבולות רציונליים ולכן החזקה בהם מוגדרת היטב. גם הגדרה זו אינה תלויה בנציגים והתוצאה זהה לכל סדרה המכנסת ל-r. הגדרה זו גם מספקת דרך נומרית לחישוב formula_61 על ידי קירובים הולכים ומשתפרים. לדוגמה ניתן לחשב את formula_68 בכל רמת דיוק רצויה בזכות סדרת הקירובים:formula_69.
דרך שנייה היא בעזרת פונקציית האקספוננט formula_70. זוהי פונקציה בסיסית ביותר שניתן להגדירה בדרכים רבות ומגוונות, ללא הגדרה קודמת של חזקה ממשית. לדוגמה, formula_71 (טור טיילור). מגדירים את הקבוע e בתור הערך formula_72 (יש עוד דרכים רבות להגדיר את e). פונקציית האקספוננט מקיימת את הזהות:
בזכות זהות זו, שלמעשה היא צורת כתיב שונה של אחד מחוקי החזקות המוכרים, קל להוכיח כי פונקציית האקספוננט מתלכדת עם החזקות הרציונליות של e (למשל formula_74). לכן ניתן להכליל את החזקות של e לכל מעריך ממשי על ידי ההגדרה:
פונקציית האקספוננט היא פונקציה רציפה ולכן הגדרה זו שקולה להגדרה הראשונה באמצעות גבול של סדרת חזקות רציונליות. כדי להרחיב את ההגדרה של חזקות של e להגדרה המתאימה לכל בסיס חיובי יש להגדיר את פונקציית הלוגריתם הטבעי formula_76. גם זו פונקציה בסיסית, שניתן להגדירה כפונקציה ההפוכה לאקספוננט (או בדרכים רבות נוספות, ואף לנקוט בגישה הפוכה: להגדיר קודם את הלוגריתם הטבעי ולאחריו את האקספוננט כפונקציה ההפוכה לו). כלומר אם formula_77, אז formula_78 (הלוגריתם הטבעי מוגדר למספרים חיוביים בלבד). לפי הגדרה זו הלוגריתם הטבעי מקיים את הזהות formula_79. באמצעות זהות זאת וחוקי חזקות ניתן להגדיר לכל a חיובי חזקה ממשית:
ונותר רק המקרה בו הבסיס הוא 0 (שלא מוגדר לו לוגריתם טבעי). במקרה זה כל החזקות החיוביות שוות לאפס (והמקרה האי-חיובי אינו מוגדר).
חזקה מרוכבת.
שדה המספרים המרוכבים, שנבנה מתוך שדה המספרים הממשיים, יורש ממנו רבות מתכונותיו המועילות (כמו עצם היותו שדה) ומוסיף עליהן תכונות מועילות נוספות (כגון היותו סגור אלגברית). טבעי לנסות להכליל את ההגדרה המוצלחת של החזקה הממשית גם לחזקה מרוכבת. הכללה שכזאת ניתן לעשות בכמה כיוונים.
בסיס מרוכב ומעריך שלם.
כפל וחילוק מוגדרים היטב בין מספרים מרוכבים ולכן הכללת חזקה שלמה למספרים מרוכבים נעשית ללא קושי וללא שינוי בהגדרות.
בסיס חיובי ומעריך מרוכב.
הגדרת העלאת מספר ממשי חיובי בחזקה ממשית התאפשרה לנו בזכות פונקציית האקספוננט. לפונקציית האקספוננט הכללה טבעית לכל מספר מרוכב. כיוון שזיהינו את האקספוננט הממשי עם הפונקציה formula_85, טבעי להמשיך במדיניות זו ולהגדיר חזקה מרוכבת של e בעזרת האקספוננט המרוכב. בצורה זו מתקבלת נוסחת אוילר: לכל x ממשי מתקיים,
כאשר formula_87 מציין קוסינוס, formula_88 מציין סינוס, ו-formula_89 מציין את היחידה המדומה.
למען הנוחות נהוג גם להשתמש בקיצור formula_90. נוסחת אוילר עם הקיצור היא:
נוסחה זו מגדירה חזקה של e במספר מדומה. בעזרת חוקי החזקות ניתן להרחיב את ההגדרה לכל חזקה מרוכבת של e:
מנוסחה זו נובעת ההצגה הקוטבית של מספרים מרוכבים: אם z הוא מספר מרוכב שבמישור המרוכב מרחקו מאפס הוא r והזווית ברדיאנים בין הישר הממשי (ציר ה-x) לישר המחבר בין המספר לאפס היא θ (תטא), אז: formula_93. הצגה נוחה זו מאפשרת חישוב מכפלות וחזקות שלמות של מספרים מרוכבים (למשל באמצעות משפט דה-מואבר) ללא שימוש בבינום של ניוטון.
מכאן הדרך להגדרת חזקה מרוכבת של מספר ממשי חיובי a פשוטה, ונעשית בצורה דומה להגדרת החזקה הממשית:
כרצוי, הצבת חזקה ממשית בנוסחה (y=0) תתן את התוצאה הצפויה לחזקה ממשית.
באופן אנלוגי ניתן להגדיר חזקה של מספר ממשי כאשר המעריך הוא קווטרניון.
בסיס מרוכב ומעריך מרוכב.
מנקודת מבט שטחית נראה כי הנוסחה המגדירה חזקת מספר חיובי במספר מרוכב יאה לכל מקרה של מספר מרוכב בחזקת מספר מרוכב. אולם גישה זו נתקלת בבעיה מהותית. ההגדרה מסתמכת על קיומה של פונקציית הלוגריתם הטבעי ln גם במקרה המרוכב (שבמקרה המרוכב מסומנת log). אולם הגדרה אחידה ומוסכמת לפונקציה זו אינה קיימת. במקרה הממשי חיובי הפונקציה מוגדרת בקלות, כי לכל מספר חיובי y קיים x אחד ויחיד המקיים formula_97, ולכן ניתן להגדיר formula_98. כלומר הפונקציה formula_85 היא חד-חד-ערכית ועל הממשיים החיוביים ולכן גם הפיכה. אך תכונה זו אינה נשמרת במספרים המרוכבים, וזאת משום המחזוריות של הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות (להן יש מחזור של formula_100). כתוצאה מכך האקספוננט המרוכב מחזורי בעצמו, עם מחזור של formula_101: לכל k שלם,
משמעות הדבר היא שלכל z מרוכב קיימים אינסוף מספרים מרוכבים x כך שמתקיים formula_103 (למעט המקרה z=0, אז לא קיים אפילו x יחיד המקיים זאת); ההפרש בין כל שני ערכים כאלה הוא כפולה שלמה של formula_104. משום כך ניתן להגדיר את formula_105 באינסוף דרכים שונות, כשלאף אחת מהן אין עדיפות. המסקנה היא שהלוגריתם הטבעי המרוכב הוא פונקציה רב-ערכית ושבכל הגדרה חד-ערכית של הלוגריתם הטבעי המרוכב יש ממד שרירותי שישפיע על תוצאותיה של החזקה המרוכבת. גרוע מזה, אם משנים בהדרגה את הערך של z לאורך מסילה המקיפה את הראשית במישור המרוכב כך שהשינוי ב-x רציף, אין חוזרים לאותו ערך. יש שתי גישות להתמודד עם קושי זה.
גישה אחת היא להתייחס לחזקה כפעולה שתוצאתה היא קבוצה של ערכים במקום ערך בודד. במקרה כזה התוצאה היא קבוצת כל הערכים שמתקבלים כתוצאת החזקה לכל בחירה אפשרית להגדרת הלוגריתם הטבעי המרוכב של המעריך. במקרה שהמעריך שלם, לכל אינסוף הערכים השונים של הלוגריתם של z כל תוצאות החזקה יתלכדו והתוצאה תהיה יחידה ושווה לערך המצופה מחזקה שלמה של מספר מרוכב. כאשר המעריך הוא מספר רציונלי formula_106 (שבר מצומצם) אינסוף תוצאות יתלכדו ותתקבל קבוצה סופית של m ערכים, שהם הפתרונות למשוואה הפולינומית formula_107 (z הבסיס, x הנעלם). כאשר המעריך אי-רציונלי הקבוצה תמנה אינסוף ערכים. החסרון הוא שבגישה זו תוצאת החזקה אינה מספר, אלא קבוצה (לעיתים אינסופית) של מספרים.