נשים לב שאם הנקב הוא נקודתי או בצורת דיסקה, החבורה היסודית זהה. כלומר, לזוג המרחבים formula_5 ו- formula_6, כאשר 0 מייצג את הראשית ו- D מייצג את דיסקת היחידה, יש חבורות יסודיות איזומורפיות (שתיהן איזומורפיות ל- formula_4). זה "בסדר" כי X ו- Y הומיאומורפיים.
מתברר, שלמעגל formula_8 יש אותה חבורה יסודית כמו ל- X ול- Y, אף על פי שהוא אינו הומיאומורפי אליהם. אבל גם זה "בסדר", כי המרחבים X, Y ו- formula_8 שקולים הומוטופית. ואומנם ניתן להוכיח שהחבורה היסודית נקבעת רק לפי טיפוס ההומוטופיה של המרחב (כפי שקורה לרוב השמורות בטופולוגיה אלגברית).
אולם בכך לא מסתיים הסיפור. למשל, לכל הספירות, formula_10, עבור formula_11, יש חבורה יסודית טריוויאלית (כמו ל- formula_3), אף-על-פי שמרחבים אלו "אינם" שקולים הומוטופית זה לזה (ובפרט אינם הומיאומורפיים). אינטואיטיבית, החבורה היסודית אינה מסוגלת לתפוס חורים מממד גבוה.
לא רק מיון.
כוחם של הכלים האלגבריים אינו רק במיון מרחבים. למשל, ניתן להוכיח באמצעות הכלים שהזכרנו כי בתנאים מסוימים להעתקה ממרחב X לעצמו חייבת להיות נקודת שבת (משפט נקודת השבת של בראואר, משפט נקודת השבת של ליפשיץ על שם סולומון ליפשיץ).
משפט חשוב אחר הוא משפט בורסוק-אולם, שמסקנה ממנו היא שבכל רגע נתון יש זוג נקודות נגדיות על כדור-הארץ שבהן יש בדיוק אותה טמפרטורה ואותו לחץ ברומטרי.
תוצאה יפה אחרת גורסת שלא ניתן לסרק קיפוד. בשפה פורמלית, עבור "n" זוגי, כל שדה וקטורי רציף על formula_14 מתאפס בנקודה אחת לפחות.
מטופולוגיה לאלגברה.
אף על פי שלרוב האלגברה משרתת את הטופולוגיה, יש גם מספר תוצאות בכיוון ההפוך. כך למשל היינץ הופף הראה שאלגברות קיילי-דיקסון מממדים 1,2,4 ו-8 הן אלגברות החילוק היחידות ממימד סופי מעל formula_15, וריינהולד בר ופרידריך לוי הוכיחו את משפט נילסן-שרייר באמצעות החבורה היסודית.
צומת תפוח
צומת תפוח (קרוי גם "צומת זעתרה") הוא אחד הצמתים המרכזיים בשומרון. הצומת מחבר בין כביש 60 (כביש אורך המקשר בין ירושלים לשכם) לכביש 505 (כביש רוחב המקשר בין ראש העין לפצאל), ומסתעפות ממנו דרכים, צפונה לחווארה, ליישובי גב ההר ולשכם, דרומה לישובי גוש שילה, עפרה, בית אל וירושלים, מערבה לגוש דן ומזרחה לבקעת הירדן ולכביש אלון.
הצומת נמצא כ-10 קילומטרים מזרחית לצומת אריאל ושמו נגזר משם ההתנחלות הסמוכה, כפר תפוח. הצומת בנוי כיום כמעגל תנועה.
מסילת ראש העין – אריאל צפויה לחבר את צומת תפוח למסילה המזרחית וממנה לרשת המסילות הארצית.
מחסום זעתרה.
בצומת פועל מחסום גדול של משמר הגבול המיועד לבידוק ביטחוני של פלסטינים, הקרוי על שם "ח'רבת זעתרה" (או "ראס א-דר") הסמוכה בה, שרידי מצודה מזמן מרידות השומרונים בתקופה הביזנטית. המחסום נבנה בשנת 2005.
במחסום נתפסו מספר פעמים מחבלים עם מטעני חבלה, בנוסף היו מספר פיגועים, ואירועים רבים של זריקת אבנים על כלי רכב ישראלים ופלסטינים.
אן סופי פון אוטר
אן סופי פון אוטר (בגרמנית: Anne Sofie von Otter; נולדה ב-9 במאי 1955) היא זמרת מצו סופרן שוודית, המופיעה באופרה, קונצרטים ורסיטלים. היא נודעת בעיקר בהופעותיה בתפקידי גברים.
חייה.
פון אוטר נולדה בסטוקהולם, שוודיה. אביה היה הדיפלומט גראן פון אוטר והיא גדלה בבון, לונדון וסטוקהולם. אחרי לימודים בסטוקהולם ובית ספר גילדהול למוזיקה ודרמה בלונדון, הצטרפה לאופרה של בזל, שם הופיעה בתפקידה האופראי הראשון ב-1983 כאלצ'ינה ב"אורלנדו פאלאדינו" של היידן. הופעתה הראשונה בבית האופרה המלכותית, קובנט גארדן בלונדון הייתה ב-1985, ב-1987 הופיעה לראשונה בלה סקאלה וב-1988 במטרופוליטן אופרה בניו יורק, ככרובינו בנישואי פיגארו. הצלחתה גדולה בתפקידים של מוצרט, הנדל ומונטוורדי. ברסיטלים היא מצטיינת במוזיקה של מאהלר, ברהמס, גריג, וולף וסיבליוס. ב-2001 הוציאה אלבום עם אלוויס קוסטלו, שעליו קיבלה את פרס אדיסון. בין המנצחים שאיתם עבדה שוב ושוב ויליאם כריסטי, מארק מינקובסקי, קלאודיו אבאדו, ג'ון אליוט גרדינר ומיונג-וון צ'ונג.
ברוב הרסיטלים וברבות מהקלטותיה עבדה עם הפסנתרן השוודי בנגט פורסברג.
ב-2003 זכתה בפרס רולף שוק לאמנויות המוזיקה.
ב-2010 ביקרה בישראל והופיעה בהיכל התרבות.
ב-2012 הופיעה בסרטו של ירון זילברמן, "כלים שלובים" , בתפקיד "מרים", זמרת מצו-סופרן.
אן סופי פון אוטר הייתה נשואה לבני פרדריקסון, שחקן ובמאי תיאטרון, שהתאבד ב-17 במרץ 2018 בעת חופשה בסידני, אוסטרליה. היא אם לשני ילדים.
מעיין הגבורה
מעיין הגבורה (עין אל עריק) הוא מעיין שכבה הסמוך להתנחלות עלי באזור המכונה "העמק הנעלם" ונכלל בתחומה המוניציפלי.
בזכות מי המעיין שוכנות בסביבה חיות בר רבות. באזור יש גם ממצאים ארכאולוגיים רבים, בהם ממצאים מהתקופה הכנענית. כמו כן נמצאו במרחב המעיין שרידים מקרב במלחמת העולם הראשונה - קרב קו שתי העוג'ות.
במעיין בריכה בעומק 1.80 וברוחב של כארבעה מטרים, ובריכת שכשוך בעומק של 40 ס"מ.
שיפוץ המעיין.
בספטמבר 2004 שופץ המעיין על ידי תלמידים מבית-ספר "תלמוד תורה", תלמידי המכינה "בני דוד" וסטודנטים מאוניברסיטת אריאל לזכר אבי ואביטל וולנסקי (תושבי עלי שנרצחו בפיגוע ירי בדרכם לביתם בכ"ז באב ה'תשס"ב). נבנו בו שתי בריכות, בריכת מבוגרים ובריכת ילדים, הוקמו לצדו שולחנות פיקניק וערסלים, נבנה צריף עץ ובו מלתחה והוצבו שלטי הדרכה.
השיפוץ בוצע בהנחיית סטודנט לאדריכלות מאוניברסיטת אריאל, אשר מתאר את הקונספט שהוביל לעיצוב הנוכחי:
קבר עתניאל בן קנז
קבר עתניאל בן קנז הוא מבנה הנמצא בחברון, סמוך לכיכר השוטר, ובקומתו הראשונה מערת קבורה חצובה ובה עשרה כוכים. מסורת יהודית מצביעה על המקום כקברו של עתניאל בן קנז. על פי המסורת המוסלמית מיוחס הקבר ל"א-נבי חברון" מייסד העיר.
בתנ"ך אין התייחסות מפורשת למקום קברו של עתניאל בן קנז, אולם הוא היה חתנו של כלב בן יפונה, שקיבל את העיר חברון לנחלה.
לדברי אנשי היישוב היהודי בחברון, מתחם הקבר נקנה על ידי יהודים במאה ה-19, בספר "קהילת חברון" מתואר . באוקטובר 1927 פורסם בדואר היום שהכיכר וחלקת הקבר הוחכרו על ידי הקהילה היהודית לערבי שבחלוף השנים טען לבעלות על המקום.
הקבר נעזב לאחר מאורעות תרפ"ט כשהיהודים עזבו את חברון. לאחר מלחמת ששת הימים עבר האזור לשליטת ישראל, שאפשרה כניסה חופשית הן לישראלים והן לפלסטינים. בהסכם חברון נמסר האזור לשליטת הרשות הפלסטינית, שמנעה כניסת אזרחים ישראלים לקבר. מאז מבצע חומת מגן צה"ל שולט למעשה בשטח, ומתאפשרת כניסת יהודים וישראלים מספר פעמים בשנה, באבטחת צה"ל, בין השאר בתשעה באב, בחול המועד סוכות בחול המועד פסח ובשבת חיי שרה.
יצחק מאיר
הרב יצחק מאיר (ה'תרע"ט, 1918 - י"א באייר ה'תשע"ה, 30 באפריל 2015) היה ראש עיריית בני ברק בין השנים 1974–1976. בן למשפחה מחסידות גור מראשוני מתיישבי בני ברק. אזרח כבוד של בני ברק. מראשי דור המייסדים של הרבנות הצבאית, מ"מ הרב הראשי לצה"ל. לשעבר מנכ"ל החינוך העצמאי.
נערותו.
נולד בזלוב שבפולין לצבי מאיר, שהיה צאצא למשפחת יוסקוביץ, ולזלאטע, בת למשפחת פוקס. צבי מאיר, יחד עם שותפיו, אחיו שמואל מאיר ויוסף ליבמן, ניהלו בית חרושת לאריגה שהעסיק מאות פועלים. מעמדו של צבי מאיר היה מבוסס מבחינה כלכלית והוא היה מראשי החרשתנים של עירו. כמו כן ייצג אותם לפני המוסדות העירוניים והממשלתיים.
בשנת תרפ"ד (1924) נסע האדמו"ר מגור בעל ה"אמרי אמת" לארץ ישראל. אל מסע זה היה אמור להצטרף צבי מאיר שביקש לבדוק אם ניתן יהיה להעביר את בית החרושת שלו לארץ ואם יוכל להקים בה את ביתו ולהעניק חינוך הגון לילדיו. בסופו של דבר נמנע ממנו להצטרף למסע ובמקומו נסע שותפו לעסקים, יוסף ליבמן. בעקבות מסעו של האדמו"ר מגור פנו יוסף ליבמן וצבי מאיר אל האדמו"ר בשאלה אם לעלות לארץ ישראל. תשובתו של האדמו"ר הייתה חיובית.
בשנת ה'תרפ"ה (1925) עלו צבי מאיר ובני משפחתו ארצה. כשהגיעו לארץ התיישבו במושבה בני ברק שמנתה באותה שנה 660 נפשות. צבי מאיר הקים בבני ברק את בית החרושת לאריגה "ברקאי". יצחק מאיר למד בתלמוד תורה הראשון שהוקם בבני ברק. תלמוד התורה נקרא "ת"ת רבי עקיבא", על שם הרחוב בו הוקם. יצחק מאיר נמנה עם המחזור הראשון שלמד בתלמוד התורה. בשנת תר"צ הוקמה הישיבה הקטנה הראשונה בבני ברק על ידי חסידי גור. בראש הישיבה עמד הרב ישראל יהושע הרצברג, חסיד גור. יצחק מאיר המשיך מלימודיו בת"ת ללימודים בישיבה הקטנה.
לאחר מכן המשיך את לימודיו בישיבת חברון בירושלים ובישיבת שפת אמת בירושלים.
בשנת תרצ"ו ביקרה משלחת של חסידי גור אצל האדמו"ר בעל ה"אמרי אמת" בירושלים. על הפרק עמדה הבקשה להקים סניף של הישיבה בבני ברק, בדומה לסניף שהוקם בתל אביב. האדמו"ר בירך על היוזמה והורה ליצחק מאיר להיות אחראי על ארגון והקמת הישיבה. כמו כן הורה לו להיות משגיח רוחני ור"מ. הישיבה תפקדה בהצלחה עד למיזוגה עם ישיבת חידושי הרי"ם של גור בתל אביב.
יצחק מאיר היה ממייסדי תנועת הנוער החרדית "הנוער האגודתי - צעירי אגודת ישראל" בבני ברק ושימש יו"ר הסניף.
ההגנה בבני ברק ושירות צבאי.
בעקבות פרעות תרפ"ט בחברון, התארגנה ההגנה גם ביישובים החדשים והועמדה במצב הכן בכל היישובים כדי להדוף את התוקפים. הוחלט להקים גרעין של חברי ההגנה בבני ברק, אשר יגן על המושבה מפני תקיפות של ערביי הסביבה. מפקד הגרעין היה פישל ברמן. עם הזמן יצאו חברי הגרעין להגן גם על יישובים מרוחקים יותר.