לאחר השרפה של 1136 הוצע לבנות במקום גשר אבנים. המלך ויליאם רופוס הטיל מס לצורך בניית הגשר, והבנייה החלה בשנת 1176, בתקופת מלכותו של הנרי השני, ונמשכה 33 שנים עד שנת 1209.
המלך ג'ון הציע לבנות בתים על גבי הגשר, ואכן בתים וחנויות נבנו עליו, ובמרכזו נבנתה כנסייה.
לגשר היו 19 קשתות קטנות, וגשר מתרומם בשני קצותיו. בשערו הדרומי של הגשר הוצגו על גבי כלונסאות ראשיהם הכרותים של הבוגדים במלך. הראש הראשון שהוצג בצורה זו היה ראשו של ויליאם ואלאס. בהמשך הוצגו גם ראשיהם של סר תומאס מור ושל תומאס קרומוול.
בשנת 1212 פרצה שרפה בשני קצות הגשר בו-זמנית, והביאה למותם של 3,000 תושבי הגשר. שרפה נוספת פרצה בשנת 1633 בקצהו הצפוני של הגשר. הגשר ניצל מהשרפה הגדולה של לונדון בשנת 1666 מכיוון שלא תוקן.
בשל העומס הרב במעבר על הגשר קבע ראש עיריית לונדון בשנת 1722 כי כל התנועה הנכנסת ללונדון תעבור בצדו המערבי של הגשר, ואילו התנועה היוצאת מלונדון דרומה תעבור בצדו המזרחי של הגשר.
בעקבות קביעה זו, הוטל לראשונה איסור עונשי על נהיגה בצד ימין של הכביש, ומסיבה זו מתנהלת כל התנועה בכבישי בריטניה בצדו השמאלי של הכביש מאז ועד היום.
בשנת 1758 הורדו מהגשר בתי המגורים, והוא הורחב.
בתחילת המאה ה-19 הוחלט לבנות גשר חדש. תחרות תוכניות נערכה בשנת 1799, אולם הגשר החדש הוקם בין השנים 1824 ו- 1831, והורכב מ-5 קשתות.
בשנת 1968 נמכר הגשר לאמריקאי רוברט מקלוך, תמורת סכום של $2,460,000. מקלוך העביר את אבני הגשר והציב את הגשר בלייק האווסו סיטי באריזונה.
גשר חדש נבנה באותו מקום בין השנים 1967 ו-1972 ונפתח לתנועה ב-17 במרץ 1973. אורכו של הגשר החדש 262 מטר, גובהו מעל פני המים כ-8.9 מטר, רוחבו 32 מטר ובו 5 נתיבי נסיעה. הרחוב העובר על הגשר נקרא רחוב המלך ויליאם.
פונקציות טריגונומטריות
במתמטיקה, הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות של זווית. הן משמשות, בין השאר, לקשור בין הזוויות במשולש לאורכי צלעותיו. הפונקציות הטריגונומטריות המוכרות ביותר הן סינוס, קוסינוס וטנגנס. הפונקציות הטריגונומטריות חשובות במחקר המשולשים, במידול תופעות מחזוריות ובשימושים רבים נוספים. שני משפטים בסיסיים הנוגעים לפונקציות הטריגונומטריות הם משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים.
הפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר-זווית.
כאשר x היא זווית סמוכה ליתר במשולש ישר-זווית (x בין 0° ל-90° במעלות או בין 0 ל-π/2 ברדיאנים):
בגאומטריה אנליטית, כאשר מייצגים ישר על ידי משוואה אפינית: y=mx+n, הקבוע m הוא טנגנס הזווית שבין הישר ובין כיוונו החיובי של ציר ה-X.
הפונקציות מקיימות formula_4 ו- formula_5 כאשר הזוויות נתונות ברדיאנים.
ממשפט פיתגורס נובע כי סכום ריבועי הסינוס והקוסינוס של אותה זווית שווה ל-1.
לכל אחת מפונקציות אלו מוגדרת גם פונקציה שערכה הוא ההופכי הכפלי של ערך הפונקציה:
על ידי צמצום לתחום מתאים, הפונקציות הטריגונומטריות הופכות לפונקציות הפיכות. פונקציות טריגונומטריות הפוכות מסומנות:
arcsin x או sin−1("x")‎,
arccos x או cos−1("x")‎,
arctan x או tan−1("x")‎
וערכן היא הזווית שנותנת את היחס הטריגונומטרי x.
הטבלה הבאה מסכמת את הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות, הפונקציות ההפוכות ופונקציות הערך ההופכי שלהן. את פונקציית הקוסקנט רושמים לעיתים בצורה הארוכה יותר cosec במקום csc.
הפונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה.
מעגל היחידה הוא מעגל ברדיוס של יחידה אחת, שמציג באופן גרפי את הפונקציות הטריגונומטריות.
הסינוס והקוסינוס מורחבות גם לזוויות שאינן יכולות להופיע במשולש ישר-זווית, בהן formula_8 או formula_9, על ידי הגדרתן באמצעות הקואורדינטות של מעגל היחידה, שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 1. לפי הגדרה זו, הסינוס של הזווית formula_10 הוא קואורדינטת ה-y של הנקודה הנוצרת על היקף מעגל היחידה עם "סיבוב" הרדיוס נגד כיוון השעון החל מקרן המספרים החיוביים בציר ה-X לאורך זווית formula_10, וקוסינוס הזווית הוא קואורדינטת ה-x של אותה נקודה. לפי הגדרה זו, עבור זוויות כלליות ייתכן שהסינוס או הקוסינוס יהיו שליליים (מה שלא אפשרי עבור זוויות שבין 00 ל-900, שם הפונקציות מייצגות יחס בין אורכים), אך סכום הריבועים שלהם הוא תמיד 1. מסיבה זו, ערכם המוחלט חסום על ידי 1.
לסיכום:
מעגל היחידה מהווה שיטה נוחה לזכור את הסימן (+/-) של ערכי הפונקציות הטריגונומטריות.
קירובים של הפונקציות הטריגונומטריות.
את טורי טיילור של הפונקציות הטריגונומטריות אפשר למצוא בעזרת חישובי נגזרות, שהבסיס להם הוא הגבול של sin(x)/x. הטורים המתקבלים הם:
(כל החישובים נעשים ברדיאנים).
פונקציות הסינוס והקוסינוס הן פונקציות אנליטיות. טורי טיילור שלהן מתכנסים אליהן במידה שווה על כל קבוצה קומפקטית בישר הממשי ובפרט בכל קטע סגור. הטורים לא מתכנסים במידה שווה על כל הישר בבת אחת.
כדי לקבל קירובים טובים לפונקציות צריך באופן כללי לחשב כמה שיותר איברים בטור. עם זאת, קצב התכנסות הטורים תלוי במרחק מהאפס - עבור נקודות הקרובות לאפס הטורים מתכנסים מאוד מהר וככל שמתרחקים ממנו הטורים מתכנסים יותר לאט. מהסיבה הזו נוח יותר להעריך את הפונקציות באמצעות טור טיילור עבור זוויות שקרובות יחסית לאפס, ולהשתמש ככל הניתן בזהויות טריגונומטריות כדי לקבל תוצאות עבור זוויות גדולות יותר. למשל, כדי לחשב את formula_14 ניתן להשתמש בנוסחה formula_15 ולחשב רק את formula_16, וזווית זו קרובה יחסית לאפס.
קירוב מסדר ראשון ושני של פונקציות אלו נמצא בשימוש נרחב בניתוחים פיזיקליים שונים ונקרא קירוב זוויות קטנות.
הקשר לפונקציות מעריכיות והרחבה לערכים מרוכבים.
פונקציות הסינוס והקוסינוס הן פתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית
formula_17
פתרון של משוואה זו בשדה המספרים המרוכבים formula_18 הוא פונקציית האקספוננט של מספר מרוכב טהור. נוסחת אוילר מקשרת בין פונקציית האקספוננט המרוכב והפונקציות הטריגונומטריות:
formula_19
מהזוגיות של הפונקציות הטריגונומטריות מקבלים
formula_20
ולכן:
formula_21
הצגה זו של הפונקציות הטריגונומטריות מאפשרת לנו להרחיב את תחום של פונקציה#תחום ההגדרה שלהן לשדה המספרים המרוכבים. בדרך זו מתקבלות פונקציות הולומורפיות במקרה של סינוס וקוסינוס ופונקציות מרומורפיות במקרה של טנגנס וקוטנגנס.
סינוס וקוסינוס של זוויות רציונליות.
מהצבה בפולינום צ'בישב נובע שהסינוס והקוסינוס של זווית (ברדיאנים) שהיא כפולה רציונלית של π הוא תמיד מספר אלגברי. עם זאת, הערך אינו יכול להיות מספר רציונלי, אלא אם הזווית היא כפולה של π/6.
טאוור היל
גבעת טאוור
גבעת מצודת לונדון
גבעת מצודת לונדון (אנגלית: Tower Hill), הידועה בקיצור גם כגבעת המצודה, היא גבעה השוכנת צפונית-מערבית למצודת לונדון, במרחק קצר מהגבול עם הסיטי של לונדון, ברובע טאוור האמלטס. הגבעה הייתה בעבר חלק מליברטי טאוור ובניהול ישיר של המצודה.
הגבעה היא אחד מהאזורים העתיקים ביותר בלונדון, ובחפירות הארכאולוגיות שנערכו בה נמצאו עדויות להתיישבות אנושית מתקופת הברונזה, וכפר מהתקופה הרומית שנשרף עד היסוד במהלך המרד של בודיקיאה.
הכנסייה הסמוכה, כנסיית כל הקדושים שליד המצודה, ידועה בשרידי האדריכלות הרומנסקית שבה, המתוארכים לשנת 680 בקירוב. בגבעה נמצאים גם אנדרטת גבעת מצודת לונדון, תחנת הרכבת הקלה טאוור גייטוויי, ותחנת הרכבת התחתית טאוור היל. הרחוב הקרוי טאוור היל הוא קטע קצר של כביש A3211 בין רחוב בייוורד וצומת המחברת בין מיינוריז וטאוור היל טראס.
פרסומה של גבעת המצודה נובע מההוצאות להורג שנערכו בשטחה. בין האישים הידועים שהוצאו להורג בגבעה ניתן למנות את:
מפרץ החזירים
גרין פארק
גרין פארק (באנגלית: Green Park, בתרגום לעברית: פארק ירוק) הוא אחד מהגנים המלכותיים של לונדון. פארק גרין נמצא בין הייד פארק לבין פארק סנט ג'יימס. בניגוד לפארקים האחרים בלונדון, אין בפארק זה פסלים, אגמים או מזרקות. הפארק הוא אזור מיוער הסובב את דרך קונסטיטושן ("דרך הבריאות" - על שם הצעדות שנהג המלך לעשות בפארק מדי בוקר) המובילה לארמון בקינגהאם.
היסטוריה.
במקור שימש אזור זה מקום קבורה למצורעים שנפטרו בבית החולים סנט ג'יימס שעמד בסמוך. הפארק תוחם לראשונה במאה ה-16 על ידי הנרי השמיני. באותה עת היה האזור חלק מאחוזת משפחת פולטני (Poulteney). בשנת 1688, עת שהאזור כונה שדה סנדפיט (Sandpit Field), הועבר האזור לחזקת המלך (באותה עת המלך צ'ארלס השני), והשטח הפך לפארק מלכותי. צ'ארלס הורה על בניית השבילים בגן, והשתמש בו לצייד איילים.
כמו כן המלך הורה על בניית בית קרח על מנת לספק קרח לארמונות המלכותיים שהיו בסמוך.
לאחר שרעיית המלך ראתה את המלך קוטף פרחים לפילגשו, הורתה בצו מלכותי לעקור את כל הפרחים מהפארק, ומאז, בהתאם לצו זה, לא נשתלים בפארק פרחים.
במהלך שלהי המאה ה-18 והמאה ה-19 היה הפארק אתר של הפרחת כדורים פורחים ושל מופעי זיקוקים. בשנת 1749 הלחין גאורג פרידריך הנדל את היצירה "מוזיקה עבור מופע זיקוקים מלכותי" עבור זיקוקים שהופרחו בפארק.
מפרץ פטרס
מפרץ פטרס הוא מפרץ הנמצא מדרום לחלקה המערבי של יוון התיכונה, ומצפון לחצי האי פלופונסוס, ומפריד בין מפרץ קורינתוס ובין הים היוני. המפרץ קרוי על שם העיר פטרס שממוקמת על מצר ריו-אנטיריו, המחבר בין מפרץ פטרס ומפרץ קורינתוס.
גבולותיו של המפרץ הם; יחידה אזורית איטולה-אקארנאניה בצפון, מצר ריו אנטוריו ומפרץ קורינתוס במזרח, אכאיה בדרום והים היוני במערב.