בעוד שכוחות הקרקע הגרמניים נסוגים צפונה, הצי הגרמני מיקש את מבואות הים לפינלנד וניסה לכבוש את האי הפיני "סורסארי" (Suursaari; בסופו של דבר הגיע לידי רוסיה ונקרא גוגלנד ) שבמפרץ הפיני לפני שייפול בידיים סובייטיות, במבצע כושל המכונה "טאנה מזרח" (Tanne Ost). על אף שקצינים מהוורמאכט והצבא הפיני ניסו לארגן נסיגה שקטה, פרצו קרבות בין כוחות גרמניים ופיניים אפילו לפני שנחתם הסכם השלום הפיני־סובייטי המקדים. הקרבות התחזקו כשהפינים ניסו לעמוד בדרישה הסובייטית שכל הכוחות הגרמניים יגורשו מפינלנד. הפינים הועמדו במצב דומה לאיטלקים ולרומנים שלאחר שנכנעו לבעלות הברית, נאלצו להילחם על מנת לשחרר את אדמותיהם משלטון הכוחות הגרמניים. משימתם של הפינים הסתבכה בשל הדרישה הסובייטית להשבית את רוב הצבא הפיני, אפילו בזמן המערכה נגד הגרמנים.
המפקד הפיני, גנרל היילמאר סילאסוואו שכוחותיו ניצחו את הצבא האדום בקרב סואמוסאלמי, הוביל את הפעילות כנגד הגרמנים. בין היתר הוא נעזר בדיוויזיית השריון הפינית. באוקטובר ונובמבר 1944 גרש אותם מרוב השטח הצפוני של פינלנד. הכוחות הגרמניים בפיקודו של הגנרל לותר רנדוליץ הגיבו בהרס שטחים נרחבים בצפון פינלנד תוך שימוש בטקטיקה של אדמה חרוכה. יותר משני שלישים ממבני המגורים באזור זה נהרסו ובירת המחוז רובניימי נשרפה עד היסוד. בנוסף לאובדן הרכוש המוערך בשווה ערך ל-$300 מיליון דולר (של שנת 1945), כ-100,000 תושבים הפכו לפליטים, מצב שהחמיר את בעיית השיקום שלאחר המלחמה (לאחר המלחמה הורשע רנדוליץ בפשעי מלחמה ונידון ל-20 שנות מאסר). הכוחות הגרמניים האחרונים גורשו באפריל 1945.
מרקוני
מהנדס חשמל
חד חד ערכית
יעקוביאן
באנליזה וקטורית, יעקוביאן הוא הדטרמיננטה של מטריצת יעקובי. הן ליעקוביאן והן למטריצת יעקובי חשיבות רבה כאשר עוסקים בהעתקות וקטוריות ותכונותיהן.
מטריצת יעקובי משמשת לתיאור הדיפרנציאל של העתקה וקטורית. מושג זה מכליל את מושג הנגזרת הקיים עבור פונקציות סקלריות במשתנה יחיד. היעקוביאן משמש לתיאור ההתנהגות של העתקה, ואי התאפסותו הוא תנאי מספיק על מנת שההעתקה תקיים מספר תכונות מקומיות של חד חד ערכיות, הפיכות והעתקה של קבוצות פתוחות לקבוצות פתוחות. כמו כן היעקוביאן נותן מדד לשינוי של גדלים במרחב כאשר משתמשים בהחלפת קואורדינטות.
היעקוביאן ומטריצת יעקובי נקראים על שם המתמטיקאי קרל גוסטב יעקב יעקובי.
הגדרה פורמלית.
תהא formula_1 פונקציה כלשהי שכל הנגזרות החלקיות שלה קיימות. אז מטריצת יעקובי שלה היא המטריצה מסדר formula_2 הבאה:
כלומר, בכל שורה מופיעות כל הנגזרות החלקיות של אחת מפונקציות הרכיבים. ניתן לראות זאת גם כך: מטריצת יעקובי היא וקטור עמודה שמכיל את הגרדיאנטים של הרכיבים שלו (כלומר, כל שורה היא גרדיאנט).
היעקוביאן הוא הדטרמיננטה של המטריצה הזו, במקרה שבו formula_4 (זאת מכיוון שדטרמיננטה מוגדרת רק עבור מטריצות ריבועיות). לרוב מסומנת מטריצת יעקובי כך:
מסקנות.
עבור מעבר משני משתנים בלתי תלויים x ו-y ל-u ו-v היעקוביאן הוא
אם x ו-y שני משתנים בלתי תלויים אזי
שימושים.
אחד מהשימושים העיקריים של היעקוביאן הוא מציאת ערך האינטגרל של פונקציה מורכבת.
לדוגמה: formula_8 הוא שווה לנפח הפונקציה באינטגרל בגבולות הנתונים. הפונקציה מסובכת מדי מכדי לבצע אינטגרציה באופן ישיר. לכן נסמן: formula_9, formula_10 formula_11.
הפונקציה החדשה שלנו היא formula_12ונחשב את הגבולות שלה על ידי הצבת הגבולות הקודמים בסימונים החדשים: formula_13 ,formula_14 ,formula_15.
לדוגמה במקום הגבול formula_16 נציב formula_17 ומכאן שנחליף את הגבול formula_16 בגבול formula_19.
נחשב את היעקוביאן של הפונקציה:
נחשב את הנפח באמצעות היעקוביאן
formula_21
לסיכום: כדי למצוא אינטגרל של פונקציה מסובכת, ניתן לחלק אותה למספר פונקציות קטנות. את הפונקציה הישנה יש להביע באמצעות הפונקציות החדשות ולהכפיל את הפונקציה החדשה שהתקבלה בערכו המוחלט של היעקוביאן שלה וכמובן יש לעדכן את הגבולות של הפונקציה החדשה לפי הפונקציות הקטנות שהגדרנו.
פונקציות תלויות ובלתי תלויות.
אם formula_22 הן פונקציות גזירות ברציפות של המשתנים formula_23, הן נקראות פונקציות תלויות או בלתי תלויות בהתאם להאם הן מקיימות או לא מקיימות ביניהן יחס מהסוג formula_24, כשהפונקציה formula_25 היא פונקציה כלשהי של 2 משתנים שגזירה ברציפות.
על ידי גזירת formula_24 ביחס ל formula_23, אנחנו מסיקים ש:
formula_28 .
אם נסמן formula_29, ואת formula_30 בתור formula_31, מערכת המשוואת formula_32 תראינה כך:
formula_33 .
זוהי מערכת משוואות ליניארית ב formula_34 . כל אחת מהמשוואות ב formula_35 מתארת יחס זהותי בין formula_36; לכן הן שקולות זו לזו, ואלימינציה של formula_36 מתוך formula_35 נותנת formula_39 . אפשר לנסח תוצאה זו כך: התאפסות היעקוביאן formula_40 היא תנאי הכרחי לקיום יחס כמו formula_24 .
מסתבר שזהו גם תנאי מספיק לקיום יחס כמו formula_24, אם כי ההוכחה לכך קשה יותר.
תוצאה זו נכונה עבור כל מספר של משתנים. הפונקציות (הגזירות ברציפות) formula_43 של המשתנים formula_44 הן תלויות או בלתי תלויות בהתאם להאם הן מקיימות או לא מקיימות יחס מהסוג formula_45 עם formula_46 גזירה ברציפות; ותנאי הכרחי ומספיק לקיום יחס כזה הוא התאפסות היעקוביאן formula_47 .
באופן אנלוגי, אי התאפסות היעקוביאן formula_48 הוא תנאי הכרחי ומספיק לאי היותן של הפונקציות formula_43 תלויות. בניסוח אחר, אם formula_50, אז הפונקציות formula_43 לא מקיימות ביניהן שום משוואה מהסוג formula_45 (עבור פונקציה formula_46 כלשהי של formula_54 משתנים אשר גזירה ברציפות).
טרנספורמציית פורייה
מטריצת יעקובי
פראיה
פראיה (בפורטוגזית: Praia - "חוף ים") היא בירת איי כף ורדה והעיר הגדולה במדינה. העיר ממוקמת על האי סנטיאגו בארכיפלג סוטוונטו, והיא המרכז המסחרי של כף ורדה.
היסטוריה.
התיישבות שהתקיימה במקום נהרסה על ידי פרנסיס דרייק ב-29 בנובמבר 1585, כאשר רק בית החולים המקומי נשאר על תילו. העיירה החדשה נוסדה ב-1615 לאחר שתושבים נוכחו לדעת כי הנמל בסביבת העיר טוב מאוד באיכותו. העיר התפתחה מאוד לאחר שהיגרו אליה תושבים רבים מסידאדה וליה שסבלה מהתקפות פיראטיות. העיר הפכה לבירת האיים ב-1770.
כלכלה.
מנמל העיר מייצאים בעיקר קפה, קנה סוכר ופירות טרופיים.
בעיר ישנה תעשיית דייג מפותחת, וכן מספר רב של חופי ים. כמו כן, בעיר ממוקם המטה הראשי של הבנק המרכזי של כף ורדה.
אתרים בעלי חשיבות.
בעיר ממוקם ארמון הנשיאות שנבנה במאה ה-19 עבור המושל הפורטגזי, כמו כן מצוי בעיר מוזיאון אתנוגרפי (Museu Etnográfico) ואנדרטה לדייגו גומס (Monumento de Diogo Gomes) מגלה האיים.
תחבורה.
העיר משורתת על ידי נמל התעופה הבינלאומי של פראיה.
כדור (משחק)
נדג'מנה
משחק פגיעה בכדור
משחק ילדים אלים
דוחה
דּוֹחַה (בערבית: الدوحة, תעתיק מדויק: אלדַּוְחַה) היא בירת קטר והעיר הגדולה בה. העיר שוכנת במזרח המדינה על שפת המפרץ הפרסי ומשתרעת על שטח של פני 189 קמ"ר. על פי מפקד האוכלוסין האחרון משנת 2020 אוכלוסיית העיר עצמה מנתה 872,048 בני אדם, וביחד עם אזור התעשייה השייך לה מנתה כ-1.186 מיליון בני אדם. בעיר ובפרבריה מתגוררים למעלה מ-80% מאוכלוסיית המדינה.
דוחה הוכרזה על ידי תאגיד שווייצרי כאחת משבע הערים המופלאות של העולם ב-2014.
היסטוריה.
דוחה נוסדה ב-1850 ונקראה אל-בידא. בשנת 1882 נבנתה מצודת אל-וג'בה בדרום העיר, ושנה לאחר מכן הוביל שייח' ג'אסם את הצבא המקומי לניצחון על העות'מאנים. ב-1916 הפכה העיר לבירת מדינת חסות בריטית. עם קבלת עצמאותה של קטר ב-1971, הוענק לעיר שמה הנוכחי והיא הייתה לבירת המדינה. בניין הממשלה, הנחשב לסימן ההיכר של העיר, נחנך ב-1969. בשנת 1996 הוקם ערוץ הטלוויזיה אל-ג'זירה בעיר.
בשנת 1996 מדינת ישראל פתחה לראשונה נציגות כלכלית קבועה בדוחה. זמן קצר לאחר מכן ביקר ראש הממשלה, שמעון פרס, בדוחה.
בנובמבר 1997 נערכה הוועידה הכלכלית למזרח התיכון וצפון אפריקה בדוחה, בהשתתפות משלחת מישראל. באותה עת גם החלו אנשי עסקים ישראלים לפעול במדינה.
כלכלה, תיירות וספורט.
עיקר פרנסת התושבים מתבססת על תעשיית הנפט ועל דייג. לאחרונה החלה להתפתח גם תעשיית תיירות, בעיקר תיירות המופנית לעשירי העולם.
בתחילת שנות ה-2000 החלה תנופת בנייה גדולה בדוחה, וקו הרקיע של החוף השתנה לחלוטין עם הופעתם של מגדלי מגורים ומשרדים, בהם מרכזי קניות רבים.
בעיר מתקני ספורט רבים לשימוש כללי, חלקם בתשלום (טניס, גולף) וחלקם חינמיים (מגרשי כדורסל והחלקת גלגיליות).
במרכז הקניות CITY CENTER מגרש החלקה על קרח בתשלום.
בדוחה המדברית נבנה מגרש גולף, אתר סקי סינתטי ועוד, אשר מושכים אליהם את אילי הנפט מהסביבה כמו גם עשירי עולם אחרים כגון, בזמנו, מייקל ג'קסון.
ב-12 במאי 2006, נשבר באצטדיון האתלטיקה שבעיר שיא העולם בריצת מאה מטר גברים. ג'סטין גטלין רץ את המרחק בזמן של 9.76 שניות אך מאוחר יותר נפסלה תוצאתו לאחר שהתברר כי גטלין השתמש בסמים.
דוחה אירחה את משחקי אסיה ה-15 בדצמבר 2006, והיא נבחרה לשמש כבירת התרבות הערבית לשנת 2010.
דוחה הגישה את מועמדותה לאירוח משחקי הקיץ האולימפיים במסגרת המכרזים האולימפיים ל-2016 ול-2020, אך לא הצליחה לעלות לשלבי הגמר של המכרזים. היא שוב מתכננת להגיש מעומדות למשחקים ב-2032
השכלה ותרבות.