כמו בתורה האסוציאטיבית, גם במקרה זה מעניין לחקור תבניות ביליניאריות של האלגברה, כדי להבין טוב יותר את המבנה שלהן. תבנית עקבה (trace form) של F-אלגברה לא אסוציאטיבית A היא תבנית ביליניארית סימטרית formula_31, המקיימת formula_32. עבור כל תבנית עקבה כלעיל, וכל אידיאל B של A, מוגדר האידיאל האנכי ל-B מוגדר בתור formula_33, גם הוא אידיאל. הרדיקל של התבנית מוגדר בתור האידיאל formula_34; התבנית נקראת רגולרית אם הרדיקל שלה אפס.
המשפט המרכזי בהקשר זה הוא כלהלן: תהי A אלגברה לא אסוציאטיבית סוף-ממדית, בעלת תבנית עקבה רגולרית. עוד נניח כי formula_35 לכל אידיאל formula_36. אזי A היא פשוטה למחצה, כלומר מתפרקת לסכום ישר (יחיד עד כדי סדר) של אידיאלים פשוטים.
שימוש נפוץ בתבנית עקבה הוא באלגבראות לי, עליהן מוגדרת תבנית קילינג, אשר מהווה תבנית עקבה של האלגברה, בעזרתה חוקרים תכונות מבנה של האלגברה.
אלגברת הנגזרות.
את האלגברה של הנגזרות הפורמליות של A, היינו אוסף ההעתקות שומרות החיבור formula_37 המקיימות את הזהות formula_38 (כלל לייבניץ), מסמנים ב-formula_39. זוהי תת-אלגברת לי של formula_40 (ביחס לפעולת הקומוטטור).
נגזרת נקראת פנימית, אם היא שייכת לאלגברת-לי הנוצרת על ידי הפעולות formula_41; זהו אידיאל של formula_39. ידוע שבמאפיין אפס, כל נגזרת של אלגברה פשוטה למחצה מממד סופי, עם יחידה ימנית או שמאלית, היא פנימית.
אלגברה לא אסוציאטיבית עם חילוק.
לעומת המקרה האסוציאטיבי, במקרה הלא אסוציאטיבי יש הבדל בין הפיכות מימין ומשמאל של איבר לבין קיום פתרונות למשוואה מהצורה formula_43 (כאשר formula_44). לכן, מגדירים אלגברה לא אסוציאטיבית עם חילוק בתור אלגברה לא אסוציאטיבית המקיימת את אחד התנאים השקולים הבאים:
כמו במקרה האסוציאטיבי, אלגברה עם חילוק היא תחום (כלומר - אין מחלקי אפס), ובממד סופי כל תחום הוא אלגברת חילוק.
חוגים סופיים.
המשפט הקטן של ודרברן נשאר נכון גם עבור מספר נרחב של מחלקות נפוצות של אלגבראות לא אסוציאטיביות - כל אלגברה חילוק סופית אלטרנטיבית/עם חזקה אסוציאטיבית (ממאפיין לא 2) היא שדה. את הטענה האחרונה הוכיח לראשונה אלברט תוך שהוא עובר על כל המקרים ממשפט המיון של אלגבראות ז'ורדן; McCrimmon הציג מאוחר יותר הוכחה יונפירומית.
מכפלה טנזורית.
אפשר להגדיר מכפלה טנזורית של שתי אלגבראות לא אסוציאטיביות - התוצאה היא תמיד אלגברה לא אסוציאטיבית, אבל לא בהכרח מאותה משפחה. לדוגמה, המכפלה של שתי אלגבראות אסוציאטיביות היא אלגברה אסוציאטיבית, אבל המכפלה של שתי אלגבראות ז'ורדן בדרך כלל אינה אלגברת ז'ורדן.
כמו במקרה האסוציאטיבי, המכפלה הטנזורית של אלגבראות לא אסוציאטיביות פשוטות מרכזיות גם היא פשוטה מרכזית.
בית וינדזור
בית וינדזור (באנגלית: House of Windsor; מבוטא "וינזור") הוא בית המלוכה הבריטי הנוכחי, ששמו ניתן לו כתחליף לשם הגרמני בית סקסה-קובורג-גותה. לאחר מותה של המלכה ויקטוריה בשנת 1901, קיבל בית המלוכה הבריטי את שם בית האצולה הגרמני של הנסיך אלברט, סקסה-קובורג-גותה. שמו של בית המלוכה שונה לווינדזור בשנת 1917, במהלך תקופת שלטונו של המלך ג'ורג' החמישי בעת מלחמת העולם הראשונה, משום התחשבות ברגש האנטי-גרמני החזק בציבור בתקופת המלחמה נגד גרמניה. המלך ויתר גם על תוארי אצולה שהחזיק בית סקסה-קובורג-גותה בגרמניה.
וינדזור, כשמה של הטירה החביבה על רבים ממלכי בריטניה, משמש מאז כשם המשפחה של בני משפחת המלוכה. שמה של המלכה, למשל, הוא אליזבת אלכסנדרה מרי וינדזור. בשנת 1960 אומץ שם המשפחה מאונטבאטן-וינדזור לצאצאי המלכה שאין להם תואר מלכותי.
שם המשפחה אינו משמש את המלכה עצמה ואת מרבית צאצאיה, אך הוא נמצא בשימושם של בני מעגל המשפחה המורחב שאינם נושאים בתוארי אצולה גבוהים.
יום טוב
יוֹם טוֹב הוא כינוי לתאריך בלוח השנה היהודי שבו קבעה התורה חג ואסרה על קיום מלאכה. המלאכות האסורות בימים אלו זהות למלאכות האסורות בשבת, אך מוחרגות מהן מלאכות הנחשבות חיוניות לקיום האדם, הנקראות "מלאכות אוכל נפש". ימי החג שאינם נחשבים יום טוב ומותרת בהם מלאכה נקראים "חול המועד".
מספר הימים הטובים.
על פי קביעת התורה.
התורה קבעה שישה ימים טובים:
מועד נוסף שקבעה התורה, הוא יום הכיפורים החל בי' בתשרי. מועד זה אינו יום טוב מפני שהוא אסור אף במלאכות המותרות ביום טוב. בתורה הוא מכונה "שבת שבתון" אך העונש הנקבע בתורה למחללו קל מהעונש שנקבע למחלל שבת.
על פי קביעת חז"ל.
בעקבות אופן קביעת החודשים העבריים בעבר, נוצר ספק ליהודים שגרו בחו"ל מתי בדיוק חל היום טוב (הם לא ידעו האם בית הדין עיברו את החודש או לא). על כן, קבעו חז"ל שעל כל יהודי שגר בחו"ל לחגוג שני ימים טובים בכל חג. כך יצא שבני חו"ל עורכים ימים טובים גם בתאריכים: ט"ז בתשרי, כ"ג בתשרי, ט"ז בניסן, כ"ב בניסן וז' בסיוון. ימים אלו נקראים "יום טוב שני של גלויות". למרות שבימינו ידוע לכל מתי ראש החודש, שהרי הלל האחרון קידש את ראשי החדשים והתקין לוח שנה קבוע, בכל זאת תיקנו חז"ל להמשיך לשמור על יו"ט שני של גלויות מחשש שיטעו בחשבון.
יום כיפור - מפאת הקושי הגדול לצום שני ימים רצופים, לא תיקנו חז"ל יום טוב שני, אף שהטעם לתקנה קיים גם ביום כיפור. היו שנהגו לקיים בחוץ לארץ שני ימים של יום הכיפורים, והמנהג מובא בשולחן ערוך. אולם מביא הרמ"א שם בשם האור זרוע שאין לעשות כן, מחשש שיבא לידי פיקוח נפש.
ראש השנה - מכיוון שראש השנה חל בראש חודש עצמו, היה בלתי אפשרי להודיע לתושבי המקומות שמחוץ לירושלים האם נקבע ראש חודש תשרי ביום השלושים מאלול, או שמא לא באו עדים על מולד הלבנה, וראש החודש ובעקבותיו ראש השנה נקבעו ליום השלושים ואחד מאלול. כתוצאה מכך, שמרו ברוב העולם את ראש השנה במשך יומיים, ומטעם זה תקנו חכמים לשמור עד היום את ראש השנה במשך יומיים, בא' בתשרי ובב' בתשרי גם לבני ארץ ישראל.
שבועות - בחג זה גם בחו"ל לא היה ספק, מאחר שאין לו תאריך קבוע אלא הוא נחגג ביום החמישים לפסח כך ששלוחי בית דין היו מספיקים להגיע גם לחו"ל והסיבה שהוא נחגג יומיים היא כדי לא לחלק במועדות.
מצוות שמחה וכבוד יום טוב.
התורה כותבת:
ואף שפסוק זה נכתב בציווי על חג הסוכות, פרשנים רבים סוברים שעניין זה נוגע אף לשאר החגים.
וכך נאמר בתלמוד:
מגמרא זו אנו לומדים, שכיום, בזמן שבית המקדש אינו קיים, מצוות השמחה ביום טוב היא בקניית מתנות לאנשי הבית (כל אחד לפי מה שישמח אותו), באכילת בשר ושתיית יין.
כבוד יום טוב- בנוסף למצוות השמחה ביום טוב, ישנה גם מצווה לכבדו, ועל כן נהוג להסתפר, להתנקות ולהחליף לבגדי חג. כמו כן, יש להכין את הבית כראוי בסידורו ובניקיונו. חלק מעניין כבוד יום טוב הוא גם לטרוח בעצמו בהכנות אף אם יש לו עוזרים רבים שיעשו זאת.
עונג יום טוב- עניין נוסף הוא החובה לענג גופו ביום טוב על ידי ריבוי מאכלים טובים, עריכת שתי סעודות גדולות וריבוי האור בבית. כחלק מעניין עונג יום טוב קבעו חז"ל איסור לאכול בערב יום טוב אחר חצות היום, כדי שיכנס לחג כשהוא רעב ויאכל בתיאבון ובתענוג.
דיני מלאכה ביום טוב.
כל מלאכה שאסורה בשבת אסורה גם ביום טוב, למעט מלאכות מסוימות שהתירה התורה לבצען לצורך אוכל נפש ושמחת החג. המלאכות המותרות הן:
מלאכת הבישול, ההבערה וההוצאה הותרו לכל צורך של תענוג (מתוך שהותרו לצורך אכילה), ושאר המלאכות המנויות הותרו רק לאוכל נפש. שאר ל"ט מלאכות לא הותרו כלל, אף לאוכל נפש. כמו כן, לא הותרו מלאכות לצורך "מכשירי אוכל נפש", כגון לעשות שפוד וסכין, תנור וכיריים.
בהבערה, אסרו חכמים להוליד אש חדשה, אך מותר להעביר אש קיימת ולהדליק באמצעותה אש חדשה. לכן רבים מדליקים מערב יום טוב נר נשמה (שדולק 24 שעות ויותר) כדי שיוכלו להעביר ממנו אש במשך החג. אף שהדלקת אש מותרת, כיבויה והחלשתה אסורים. לכן כשמדליקים גפרור (על ידי אש דולקת ולא על ידי חיכוך) יש לתת לו להכבות מעצמו ואסור לכבותו. אם תבשיל עומד להישרף על האש ואין ברירה אלא להקטינה - מותר, שזהו צורך אוכל נפש, אך אסור לכבותה. רבנים בדורות האחרונים מצאו פתרונות כיבוי גז ביום טוב על ידי בישול סיר מים עם ביצה קשה ולאחר זמן המים יבעבעו ויגלשו חוץ לסיר ויכבו את האש על ידי גרמא.
בעניין חשמל נחלקו הפוסקים אם מותר להדליקו ביום טוב, אך כיום הרוב הגדול של הפוסקים סוברים שאסור, וכך נוהגים רוב שומרי המצוות.
כאמור, מלאכת בישול הותרה לכל צורכי היום (כגון לחמם מים לרחיצה וכו'), אך אסור לבשל דבר שאינו צורך היום. לדוגמה, אסור לבשל אוכל ליום שלמחרת. אם היום שלמחרת הוא שבת תיקנו חז"ל שאפשר לבשל אך יש להתקין עירוב תבשילין מערב יום טוב (ראו יום טוב הסמוך לשבת). בנוסף, אסור לבשל אוכל בשביל אדם שאינו יהודי או בשביל בעלי חיים, אך מותר להרבות בבישול יותר ממה שיצטרך לאותו יום, מפני שאיסור מרבה בשיעורין הותר ביו טוב.
רוב דיני מוקצה שווים בין יום טוב לשבת, אך ישנם מעט דינים שהחמירו בהם חכמים יותר משבת כדי שלא יזלזלו ביום טוב, כגון עצמות הראויות למאכל בהמה, שבשבת מותרות בטלטול משא"כ ביום טוב.
המסכת בתלמוד העוסקת בדיני יום טוב היא מסכת ביצה.
עירוב חצרות ליום טוב.