במאפיין שונה מ-2 כל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה אלכסונית, ולכן כל תבנית ריבועית אפשר להציג בצורה אלכסונית : formula_42, אותה מסמנים formula_43.
מעל הממשיים, המעבר לצורה אלכסונית קובע את סימן סילבסטר של התבנית, השווה למספר המקדמים החיוביים פחות מספר המקדמים השליליים. הסימן קובע את הגאומטריה של המשטח q=0, ואת ההתנהגות של התבנית בסביבת האפס. אם כל הסימנים באלכסון שווים, התבנית חיובית לחלוטין או שלילית לחלוטין. עובדה זו מאפשרת למיין נקודות קיצון של פונקציות בכמה משתנים: סוג הנקודה נקבע על ידי התבנית הריבועית שמשרות הנגזרות השניות (מטריצת הסיאן). אם הנגזרת השנייה בנקודה קריטית היא חיובית לחלוטין, זוהי נקודת מינימום; ואם הנגזרת השנייה שלילית לחלוטין, זוהי נקודת מקסימום.
הרדיקל.
תהי formula_2 תבנית ביליניארית סימטרית, formula_45 תת-מרחב. נסמן formula_46, זהו המרחב הניצב ל-formula_47 ביחס ל- formula_2. הרדיקל של התבנית הוא formula_49. אומרים ש-formula_2 רגולרית אם יש לה רדיקל טריוויאלי - formula_51, ואז המרחב formula_11 נקרא מרחב רגולרי. תבנית ביליניארית היא רגולרית אם ורק אם המטריצה המייצגת היא הפיכה.
הרדיקל של תבנית ריבועית formula_53 מוגדר לפי formula_54. במאפיין שונה מ-2, הרדיקל של תבנית ריבועית הוא הרדיקל של התבנית הביליניארית הסימטרית המייצגת אותה. במאפיין 2 בהחלט ייתכן ש-formula_55. תבנית ריבועית formula_53 היא רגולרית אם ורק אם הרדיקל שלה הוא אפס. במאפיין שונה מ-2, תכונה זו שקולה לכך שהמטריצה המייצגת הפיכה.
בכל מרחב ריבועי יש תת-מרחב רגולרי מקסימלי, שהוא גם איזומורפי למרחב המנה המתקבל מחילוק ברדיקל. אפיון זה מוביל לחקירה של מרחבים ריבועיים רגולריים.
איזוטרופיות ומרחב היפרבולי.
יהי formula_19 מרחב ריבועי רגולרי. וקטור formula_58 נקרא איזוטרופי אם formula_59. תת-מרחב formula_45 נקרא מרחב איזוטרופי (לחלוטין) אם כל formula_61 איזוטרופי. מרחב בו אין וקטור איזוטרופי נקרא אנאיזוטרופי. לדוגמה, מעל הממשיים (או כל שדה סדור אחר), התבנית formula_62 היא אנאיזוטרופית.
המרחב הדו-ממדי עם התבנית הריבועית formula_63 נקרא המישור ההיפרבולי (במאפיין שונה מ-2, אפשר להציג אותו גם בצורה formula_64). סכום ישר של עותקים של המישור ההיפרבולי נקרא מרחב היפרבולי.
הממד של תת-מרחב איזוטרופי של V הוא לכל היותר חצי הממד של formula_8; במאפיין שונה מ-2, אם יש ל-formula_8 תת-מרחב איזוטרופי שממדו חצי הממד של formula_8, אז formula_8 מרחב היפרבולי. במאפיין שונה מ-2, המישור ההיפרבולי הוא המישור האיזוטרופי הרגולרי היחיד, וכל מרחב איזוטרופי מכיל עותק (איזומורפי) של מרחב היפרבולי.
המבנה של מרחב ריבועי.
כל תבנית ריבועית (מממד סופי, בכל מאפיין) אפשר לפרק באופן יחיד לסכום ישר של שלושה חלקים: המרכיב הרדיקלי שהוא תבנית האפס, מרחב היפרבולי, ומרחב אנאיזוטרופי. התבנית היא רגולרית אם ורק אם המרכיב הרדיקלי שלה טריוויאלי. פירוק זה הוא הבסיס לבנייה של חוג ויט; אינדקס ויט של התבנית הוא מחצית הממד של המרכיב ההיפרבולי.
כל תבנית ריבועית אנאיזוטרופית אפשר לפרק לסכום ישר formula_69, כאשר formula_70 מייצג את התבנית הריבועית הדו-ממדית formula_71 ו-formula_72 הוא החלק האלכסוני. במאפיין שונה מ-2 אפשר להניח ש-formula_73. תבנית רגולרית, הנשארת רגולרית לאחר כל הרחבת סקלרים, נקראת לא-מנוונת. במאפיין שונה מ-2 כל תבנית רגולרית אינה מנוונת; במאפיין 2, התבנית אינה מנוונת אם ורק אם אפשר להציג אותה כסכום של מרחב היפרבולי ומרחב אנאיזוטרופי שבו formula_74 או formula_75.
ניגון עתיק
ניגון עתיק הוא שיר עברי מאת המשורר נתן אלתרמן. השיר הופיע לראשונה בקובץ השירה עיר היונה, 1957. הוא הולחן מספר פעמים; אחד מלחניו הידועים הוא של מרדכי זעירא.
השיר מתאר מערכת יחסים קיצונית בין גבר לאישה. תחילתו לכאורה באהבה ומסירות, וסופו בקנאות אובססיבית ורצחנית.
מבנה.
השיר מבוסס על עקרונות הבלדה:
בשיר ארבעה בתים סימטריים. המבנה החוזר בשיר הוא משפטי תנאי. חלקו הראשון של כל משפט תנאי מתייחס למצָבה או לרצונה של האישה, וחלקו השני מדבר על מעשיו של הדובר. מבנה זה חוזר, בכל פעם בקיצוניות רבה יותר, ובכך תורם למתח בשיר. בהדרגה הופכת האהבה והמסירות, לקנאות רצחנית.
תוכן השיר.
המילה אהבה לא נאמרת בשיר כלל. הבית הראשון נפתח בהבעת מסירות מוחלטת והקרבה עצמית. "אִם תֵּרַדְנָה בַּלֵּיל דִּמְעוֹתַיִךְ, שְׂמִיכָתִי לָךְ אַבְעִיר כִּצְרוֹר תֶּבֶן". הביטוי "אֲכַסֵּךְ וְאֶשְׁכַּב עַל אֶבֶן", בסוף הבית הראשון, עשוי לרמז על פעולה של השתטחות על גבי מצבה, ובכך מתכתב עם סוף השיר.
הבית השני מתחיל לכאורה במסירות רבה, ומציין שאילו היא תבקש לרקוד, "עַל אַחֲרוֹן מֵיתָרַי אֲנַגֵּן לָךְ". אך הוא מסתיים באי התאמה וקיצוניות מופרזת: "אִם תֶּחְסַר לָךְ מַתְּנַת הֻלֶּדֶת, אֶת חַיַּי וּמוֹתִי אֶתֵּן לָךְ". מוטיב זה חוזר גם בבית השלישי, בו מוכן הדובר למכור את שתי עיניו על מנת לספק את צורכי אהובתו.
הפואנטה, נקודת השיא של השיר, מגיעה במשפט התנאי שבבית הרביעי. בתמורה למסירותו הרבה של הדובר, הוא מצפה לבלעדיות ומסירות מוחלטת מצידה. משפט התנאי כאן אינו דן בבגידה בזוגיות, אלא רק בקשרים חברתיים עצמאיים של האישה. "...אַךְ אִם פַּעַם תִּהְיִי צוֹחֶקֶת/ בִּלְעָדַי בִּמְסִבַּת מְרֵעַיִךְ". תנאי זה מספיק על מנת לסיים את מערכת היחסים ביניהם באופן טרגי: הדובר ישרוף לא רק את "אהובתו" אלא גם את ביתה, שייתכן שהוא גם ביתו, "תַּעֲבֹר קִנְאָתִי שׁוֹתֶקֶת/ וְתִשְׂרֹף אֶת בֵּיתֵךְ עָלַיִךְ".
ארמזים לסיפור שמשון בתנ"ך.
השיר מכיל ארמזים לסיפורו של שמשון הגיבור בתנ"ך שאיבד את שתי עיניו, בגלל פיתוייה של דלילה, אבל עוד לפני כן (שופטים פרקים 14 ו-15), שמשון ערך משתה לרגל נישואיו עם אשתו הפלשתית הראשונה.
ובמהלך המשתה חד חידה לפלשתים, אודות דבש הדבורים (ורמיזה מאיימת על גבורתו וחוסר הפחד שלו), שלא הצליחו לפתור. הם איימו על אשתו:
אשת שמשון סחטה ממנו תשובה לחידה אך זו כללה פרטים מוכמנים, והמרעים הפלשתים חדו לו חידה תמורתה על אהבה והמלכודת שהוא לכאורה נתון בה:
שמשון הפסיד בהתערבות, ואמר למרעים:
נקמתו של שמשון הייתה אכזרית:
טכניקות בשיר.
בשיר טכניקות ספרותיות שונות. ביניהן ניתן למצוא:
השיר "ניגון עתיק" הוא מהשירים הנלמדים לבחינות הבגרות בישראל.
הלחנת השיר.
השיר זכה למספר לחנים. יוחנן זראי חיבר לו לחן שמבוצע בצורה דרמטית על ידי אריק לביא. המלחין מרדכי זעירא חיבר לשיר לחן קליל ושילב שירת "לה לה לה" בין הבתים. יהורם גאון ביצע לחן זה. אושיק לוי הקליט את השיר באלבום הסולו השני שלו משנת 1974, בלחן מאת נפתלי אלטר. בשנת 1999 הקליט יוסי בנאי גרסה חדשה מוקראת בקולו לשיר, עטופה בלחן חדש של יונתן בר גיורא, ואשר יצאה באלבום פגישה לאין קץ - יוסי בנאי מגיש נתן אלתרמן.
טייני בודהה
טייני בודהה (באנגלית: Tiny Buddha) הוא אתר אינטרנט המכיל כתבות בנושא עזרה עצמית, בריאות, מודעות וציטוטים השראתיים. האתר הוקם על ידי הסופרת לורי דשן בשנת 2009. נכון לראשית ינואר 2015, מיקומו של האתר בדירוג אלכסה הוא 15,000 בעולם.
היסטוריה.
ב-2008, לורי דשן, מייסדת טייני בודהה, התמודדה עם סגנון חיים של עבודה מאוד תובענית. היא הייתה נוסעת ממקום למקום ברחבי ארצות הברית מתוקף תפקידה עם חברות שיווק. לאחר שהתפכחה מחיי הנוודים, שלא יצאו כפי שקיוותה, פנתה לורי לרשתות החברתיות והחלה לצייץ ציטוטי חכמה שעזרו לה להשתחרר מהסבל ולפתח חדווה.
שנה לאחר מכן, ב-2009, השיקה את אתר TinyBuddha.com.
הווה.
עם מגוון כתבות המתעדכנות על בסיס יומי, ציטוטי חכמה וסדרת ספרים תחת אמתחתו, שואף Tiny Buddha לחקור וליישם את העקרונות והאידיאליים הבודהיסטים השימושיים ואשר מהווים עזר רב בטיפול באתגרי היום-יום בעולמנו המודרני.
על פי חברת ההוצאה לאור, הרפר וון (HarperOne), יש לטייני בודהה למעלה משלושה מיליון מבקרים מדי חודש.
ביוני 2014, רכשה קאטרין רנץ המילטון, מחברת הרפר וון, את הזכויות הבלעדיות, במכירה פומבית, לספרה של לורי דשן 365 "Tiny Love Challenges from Tiny Buddha: A Year of Simple Daily Activities for a Blissfully Connected Life". תיווך העסקה נעשה על ידי לינדה קונר מסוכנות לינדה קונר. הספר יצאה לצאת לאור באוקטובר 2015.
ולטקו ווקוביץ'
ולטקו ווּקוביץ' קוסאצ'ה (בבוסנית וסרבית-קרואטית: Vlatko Vuković Kosača, בסרבית בכתב קירילי: Влатко Вуковић Косача, ? - 1392) היה ווייבוד גדול (vojvoda) סרבי, אחד מטובי מפקדיו של מלך טברטקו הראשון של בוסניה. הוא שלט כ"גוספודר" על חבל ארץ החצי-עצמאי זחלומיה או חום, שבהרצגובינה, במסגרת ממלכת בוסניה.
ולטקו היה בנו של הוויבוד ווּק קוסאצ'ה, מייסד בית קוסאצ'ה, ומאצילי הצאר דושאן. חבל חום שבשליטתו היה חלק מבאנות בוסניה ואחרי 1377 מממלכת בוסניה.
שמו מוזכר לראשונה בשנת 1378 כשייצג את המלך טרבטקו במשא ומתן עם הרפובליקה של רגוזה. היה לו אח, חראן ווקובויץ'.
בשנת 1382 ייצג שוב את מלכו במגעים עם רגוזה בקשר להפקת מלח ומכירתו לידי העיר נובי ולאזור דראצ'וויצה הסמוך, ושוב ב-1388 במו"ם עם הערים בדלמטיה.