המינוח הקשור באקסיומות ההפרדה נודע כמינוח לא אחיד: בספרים שונים השתמשו באותם שמות כדי לתאר תכונות שונות, ולכן כשמצטטים תוצאות בתחום זה, חשוב לברר באיזו הגדרה השתמש המחבר. נקודת המוצא היא האקסיומה הקרויה formula_4, שהיא דרישה פרימיטיבית באופן יחסי (כלומר, רוב המרחבים הטופולוגיים המופיעים בספרות, מקיימים אותה). בוויקיפדיה אנו מאמצים את הגישה המודרנית יותר, לפיה התכונות formula_5 ונגזרותיהן מכילות את ההנחה formula_4 כחלק מההגדרה, בעוד שמרחבים רגולריים ומרחבים נורמליים, על הווריאציות של תכונות אלה (ראו בהמשך), אינם נדרשים לקיים את התכונה הזו. בעבר, ובפרט בספר החשוב "Counterexamples in Topology" (שכתבו Steen ו- Seebach ב- 1970), היה מקובל היפוך של המונחים.
אקסיומות ההפרדה.
ישנן שתי תכונות בסיסיות שמקובל למנות בין אקסיומות ההפרדה, אף על פי שבעצם אינן כאלה. הראשונה היא formula_4:
במרחב שאינו מקיים דרישה זו, ישנם זוגות של נקודות שאי אפשר להבחין ביניהן במשקפי הטופולוגיה.
התכונה formula_9 היא תכונה מעט חזקה יותר, מעין גרסה סימטרית של התכונה הקודמת:
תכונה זו שקולה לכך שכל יחידון מהווה קבוצה סגורה. כל מרחב formula_9 הוא בפרט formula_4.
הפרדה בין נקודות.
כדי להציג את אקסיומות ההפרדה השונות, נפתח בכמה דוגמאות.
לתכונה זו קוראים "הפרדה בין נקודות על ידי קבוצות פתוחות", כאשר ה"הפרדה" פירושה שאפשר מתוך התבוננות בקבוצות הפתוחות להיווכח בכך שהנקודות שונות זו מזו (שהרי הקבוצות זרות).
אפשר לבחון תכונת הפרדה חזקה יותר, באמצעות סביבות סגורות:
נזכיר שסביבה של נקודה היא קבוצה שהנקודה נמצאת בפנים שלה; בפרט, סביבה מכילה קבוצה פתוחה, המכילה את הנקודה שלנו. ממילא ברור שהפרדה באמצעות סביבות סגורות היא תכונה חזקה יותר מהפרדה באמצעות קבוצות פתוחות.
יש תכונת הפרדה חזקה עוד יותר - באמצעות פונקציות רציפות.
זוהי בוודאי הפרדה חזקה יותר מאשר באמצעות סביבות סגורות, משום שאת הנקודות 0 ו- 1 אפשר להפריד בסביבות סגורות על הישר הממשי, והמקורות של סביבות סגורות במרחב X (תחת פונקציה רציפה) הם סביבות סגורות.
אם כן, פגשנו שלוש רמות של הפרדה: הפרדה בקבוצות פתוחות (וזרות), הפרדה בסביבות סגורות (וזרות), והפרדה בפונקציה רציפה. בכל המקרים מדובר היה בהפרדה בין זוג נקודות. בהמשך נראה שיש סוג נוסף של הפרדה: הפרדה מדויקת באמצעות פונקציה (רציפה).
הפרדה בין קבוצה סגורה לנקודה.
לא קשה להוכיח שבמקרה כזה, אפשר להפריד בין קבוצה סגורה לנקודה גם באופן החזק יותר של סביבות סגורות.
במרחב טופולוגי כללי, נקודה אינה בהכרח קבוצה סגורה, ולכן היכולת להפריד קבוצות סגורות ונקודות אינה מלמדת אותנו על היכולת להפריד בין נקודות שונות. לעומת זאת, אם מוסיפים את ההנחה formula_9, מופיע קשר בין התכונות החדשות לתכונות שראינו קודם לכן:
כל מרחב כזה מקיים את התכונה formula_1, ולכן הם נקראים גם 'מרחבי האוסדורף רגולריים'. אפשר לראות שכל מרחב רגולרי formula_4 מקיים את התכונה formula_9, ולכן הוא מהווה מרחב formula_23.
גם כאן, מרחב רגולרי לחלוטין שהוא formula_4 מקיים את התכונה formula_9, ולכן הוא מהווה מרחב formula_29. כל מרחב כזה הוא בפרט formula_23.
הפרדה בין קבוצות סגורות.
הלמה של אוריסון קובעת שבמרחב כזה, אפשר להפריד בין שתי קבוצות סגורות וזרות גם באמצעות פונקציה רציפה - ולכן שלוש הרמות הראשונות של הפרדה מתלכדות. בדרך כלל הפרדה זו אינה הפרדה מדויקת (מושג שיוגדר בהמשך).
כל מרחב formula_35 הוא בפרט formula_29 (מרחב טיכונוף).
תכונות הפרדה חזקות.
במרחב נורמלי, כפי שציינו לעיל, אפשר להפריד בין כל שתי קבוצות סגורות באמצעות פונקציה רציפה. יש שתי דרכים לחזק את הדרישה הזו: לדרוש הפרדה בין יותר זוגות של קבוצות, או הפרדה באופן מוצלח יותר מסתם הפרדה באמצעות פונקציה.
'קבוצות מופרדות' הן קבוצות formula_38 במרחב טופולוגי, שכל אחת מהן זרה לסגור של רעותה (ישנו קשר מסוים בין מונח זה לבין אקסיומות ההפרדה, אבל הוא אינו הדוק במיוחד). כל שתי קבוצות סגורות וזרות הן מופרדות, ולכן הפרדה בין קבוצות מופרדות היא משימה קשה יותר (אפילו בהיעדר ההנחה formula_4).
במרחב כזה, כל תת-מרחב הוא נורמלי בטופולוגיה המושרית.
כל מרחב formula_41 הוא בפרט מרחב formula_35.
בכיוון אחר, אומרים שאפשר להפריד בין הקבוצות A ו- B במרחב X הפרדה מדויקת באמצעות פונקציה, אם קיימת פונקציה רציפה formula_45, כך ש- formula_46 ו- formula_47. נעיר שבהפרדה רגילה אנו דורשים רק formula_48 ו- formula_49. קבוצות שאפשר להפריד ביניהן הפרדה מדויקת מוכרחות להיות קבוצות סגורות, שהרי הקבוצות formula_50 ו- formula_51 סגורות בעצמן.
מרחב נורמלי באופן מושלם הוא נורמלי, ואף נורמלי לחלוטין (את זה קצת קשה יותר להוכיח). במרחב נורמלי באופן מושלם, כל קבוצה סגורה היא קבוצת formula_52 (או באופן שקול: כל קבוצה פתוחה היא קבוצת formula_53). תכונה זו מאפיינת מרחבים נורמליים באופן מושלם.
כל מרחב formula_56 הוא בפרט מרחב formula_41.
מרחב מטרי מקיים את התכונה formula_56, ולכן גם את שאר תכונות ההפרדה שמנינו.
טענות הקשורות לאקסיומות ההפרדה.
מרחב formula_23 בעל בסיס בן מניה הוא formula_35.
תת מרחב של מרחב formula_62 (כאשר i=1,2,3,3.5) הוא formula_62.
מרחב מכפלה של מרחבי formula_62 (כאשר i=1,2,3,3.5) גם הוא formula_62.
שתי הטענות הקודמות אינן נכונות בהכרח עבור מרחבי formula_35 - למשל המרחבים formula_67 וformula_68 הם נורמליים, אולם מכפלתם אינה נורמלית, ומכפלה זו היא בעצמה תת-מרחב של formula_69, שהוא מרחב נורמלי.
סיכום.
הטבלה מציגה את שמו של מרחב המקיים משימת הפרדה נתונה באופן נתון. בסוגריים מצוין שמו של מרחב כזה, אם מניחים בנוסף את התכונה formula_9.
כל מרחב המופיע בטבלה מקיים גם את התכונה במשבצת שמתחת לזו בה הוא מופיע. אם מניחים את התכונה formula_9, אז כל מרחב מקיים גם את התכונות שמשמאל למשבצת שבה הוא מופיע. בפרט, formula_72 לכל formula_73. בכך בנינו מעין היררכיה בין אקסיומות ההפרדה.
טאבארה ואסקס
טאבארה רמון ואסקס רוסאס (בספרדית: Tabaré Ramón Vázquez Rosas; 17 בינואר 1940 – 6 בדצמבר 2020) היה פוליטיקאי אורוגוואי, שכיהן כנשיא אורוגוואי בשנים 2005–2010 ו-2015–2020. ואסקס היה רופא במקצועו, סוציאליסט וחבר מפלגת השמאל קואליציית החזית הרחבה (בספרדית: Frente Amplio).
ואסקס נבחר לכהונת הנשיא ב-31 באוקטובר 2004, וכיהן בתפקיד במשך חמש שנים מ-1 במרץ 2005 ועד 1 במרץ 2010. ואסקס היה הנשיא הראשון מן השמאל בתולדות אורוגוואי. הוא נבחר שנית לתפקיד וכיהן שוב כנשיא בשנים 2015–2020.
ביוגרפיה.
ואסקס נולד במונטווידאו בשכונת לה טאחה. למד בבית הספר לרפואה של אוניברסיטת הרפובליקה וסיים ב-1972 כמומחה לאונקולוגיה ורדיולוגיה. הוא הצטרף לפרקטיקה פרטית כאונקולוג ובנה לעצמו מוניטין כאחד הרופאים המובילים במדינה. ואסקס שימש כמנהל המחלקה לרדיולוגיה של אוניברסיטת הרפובליקה, וגם הקים את המרפאה הראשונה בשכונת ילדותו לה טאחה. ב-1976 קיבל מלגה מממשלת צרפת שאפשרה לו השלמת הכשרה במכון גוסטב רוסי בפריז. משנת 1990 עד 1995 כיהן כראש עיריית מונטווידאו והיה הראשון ממפלגתו שכיהן במשרה זו.
ב-1994 היה מועמד לנשיאות, אך הפסיד וקיבל 30.6%. הוא התמודד שוב ב-1999 והפסיד לחורחה באז'ה איבנייס, כאשר קיבל 48% מקולות הבוחרים בסיבוב השני. הוא התמודד בפעם השלישית ב-2004, קיבל 50.45% אחוז בסיבוב הראשון וניצח.
ואסקס היה הנשיא הראשון בתולדות אורוגוואי שהגיע מהשמאל הפוליטי, והקואליציה שהנהיג הורכבה מחברים לשעבר בתנועות גרילה, סוציאליסטים, קומוניסטים ושמאלנים עצמאיים - זכתה ברוב בשני בתי הפרלמנט. באותה תקופה, עלייתו של ווסקס הייתה חלק ממגמת הצלחת השמאל בבחירות ברחבי אמריקה הלטינית.
חוקת אורוגוואי אינה מתירה לנשיא מכהן להתמודד על כהונה שנייה ברציפות. ואסקס ניצח בבחירות לנשיאות בפעם השנייה ב-2014, לאחר כהונתו של חברו למפלגה חוסה מוחיקה, לאחר שזכה ב-52.5% מן הקולות בסיבוב השני לעומת 40.5% של יריבו העיקרי, לואיס לאקייה פואו. החל מה-1 במרץ 2015 החל לכהן כנשיא אורוגוואי ה-41 במספר. בשנת 2020 הוחלף בתפקידו בלואיס לאקאז'ה פו.
ואסקס היה חובב כדורגל ידוע, וכיהן כ-10 שנים מ-1978 עד 1988 כנשיא המועדון של קבוצת פרוגרסו שזכתה בשנת 1984 באליפות.
ב-31 ביולי 2019, בעודו מכהן כנשיא המדינה, התאלמן מאשתו מריה דלגדו כאשר זו נפטרה עקב התקף לב.
נפטר ב-6 בדצמבר 2020. הותיר אחריו ארבעה ילדים.
אנטוניו סאקה
אליאס אנטוניו סאקה גונזלס (בספרדית: Elías Antonio Saca González; נולד ב-9 במרץ 1965) נשיא אל סלוודור בשנים 2004–2009.
נבחר לנשיא אל-סלבדור ב-21 במרץ 2004 וב-1 ביוני אותה שנה נכנס לתפקידו והחליף את פרנסיסקו פלורס, שניהם חברים במפלגה השמרנית הברית הלאומית של הרפובליקנים, הידועה יותר כ"ארנה" (ARENA על–פי ראשי התיבות של שמה בספרדית).
סאקה נולד בעיר אוסולוטאן למהגרים פלסטינים שהיגרו לאל סלבדור בתחילת המאה ה-20.
בנוסף לעיסוקיו הפוליטיים הוא היה גם איש עסקים ושדר ספורט ברדיו.
פרשנים אחדים ביקרו במהלך הבחירות את ניסיונו הפוליטי המועט, אך סאקה הביס את המועמד השני, שאפיק הנדל ממפלגת ה-FMLN כשקיבל 58% מקולות הבוחרים בעוד הנדל קיבל רק 36%. שיעור המצביעים עמד על 70%.
סאקה היה המועמד המועדף על ממשל ג'ורג' ווקר בוש האמריקני בזכות תמיכתו בכלכלת שוק חופשי ובשל מדיניותו הפרו-אמריקנית.