בשנת 2001, הלהקה החלה בהקלטת האלבום הרביעי שלה. לאחר ארבעה חודשים של הקלטה בסטודיו בלוס אנג'לס, חברי הלהקה חשבו שהאלבום לא נשמע טוב, ושהוא לא כל כך יצליח במכירות. כשהאלבום לא הגיע לרף הציפיות שלהם, גרוהל הלך להצטרף ולעזור ללהקה Queens of the Stone Age להשלים את אלבומם "Songs for the Deaf" שיצא בשנת 2002. פו פייטרס היו על סף פירוק כשסיבוב ההופעות שלהם החל. גרוהל כינס מחדש את הוקינס, שיפלט ומנדל להופיע באוסטרליה. הוקינס וגרוהל חשבו על לנסות להקליט מחדש את One by One ולראות לאן הם יגיעו אחרי זה. הלהקה לבסוף הקליטה מחדש כמעט את כל האלבום בעשרה ימים באולפן הביתי של גרוהל.
האלבום הופץ באוקטובר 2002 תחת השם One by One, וכלל את הסינגלים "All My Life", "Times Like These", "Low" ו-"Have It All".
In Your Honor, סיבוב הופעות אקוסטי ו-Skin and Bones.
לאחר שנה וחצי של סיבוב הופעות של האלבום "One by One", גרוהל לא רצה למהר להוציא עוד אלבום, ורצה להתעמק בכתיבת שירים אקוסטיים, אבל בסופו של דבר זה הפך לרצונה של כל הלהקה. הלהקה נסעה ללוס אנג'לס כדי להקליט את אלבומם החמישי, ובנתה שם אולפן שנקרא "Studio 606 West". גרוהל רצה שהאלבום יצא בשני דיסקים - דיסק אחד שיהיה כולו שירי רוק, ודיסק אחד שיהיו בו שירים אקוסטיים שקטים יותר. האלבום יצא ביוני 2005 תחת השם In Your Honor, וכלל את הסינגלים "Best of You", "DOA", "Resolve", "No Way Back/Cold Day in the Sun ו-"Miracle".
בשנת 2006 הלהקה החליטה לארגן סיבוב הופעות אקוסטי קצר בקיץ, שכלל את הגיטריסט הקודם פאט סמיר, כשלאחר מכן הצטרף ללהקה כגיטריסט נוסף, פטרה היידן שניגן על כינור, דרו הסטר על כלי הקשה, ורמי ג'פי על הקלידים. השירים שנוגנו היו בעיקר מהאלבום "In Your Honor", אך הלהקה גם ניגנה שירים פחות מוכרים כגון "Aint It the Life", Floaty" ו-"See You". הלהקה גם ניגנה את השיר "Marigold", שיר במקור מ-Pocketwatch אבל ידוע גם כצד השני בסינגל "Heart-Shaped Box" של נירוונה.
בנובמבר 2006, הלהקה הוציאה את הדיסק הראשון שלה של הופעה חיה, שנקרא Skin and Bones, שכלל ביצועים מתוך חמש-עשרה הופעות שצולמו במשך שלושה ימים בלוס אנג'לס. גם DVD של ההופעה הופץ, והכיל שירים שלא היו בדיסק הראשון.
Echoes, Silence, Patience &amp; Grace ו-Greatest Hits.
להקלטת האלבום השישי שלה, הלהקה החליטה לפנות אל מפיק האלבום The Colour and the Shape, גיל נורטון, כדי להפיק את אלבומם השישי. האלבום יצא לאור ב-25 בספטמבר 2007 תחת השם Echoes, Silence, Patience &amp; Grace. הסינגל הראשון מהאלבום, "The Pretender", הופץ לרדיו בחודש אוגוסט של אותה השנה, והיה במצעד שירי הרוק המודרניים של בילבורד במשך 18 שבועות. הסינגל השני, "Long Road to Ruin", הופץ בדצמבר 2007 יחד עם וידאו קליפ שביים ג'ס פרץ, לשעבר חבר להקת The Lemonheads.
בשנת 2008, הלהקה הייתה מועמדת לחמישה פרסי גראמי. הלהקה זכתה בפרס "אלבום הרוק הטוב ביותר" ובפרס "הופעת הרוק הכבד הטובה ביותר", על השיר "The Pretender". שאר הקטגוריות שהלהקה לא זכתה בהן היו "אלבום השנה", "שיר השנה" ו"הקלטת השנה" על השיר "The Pretender".
בנובמבר 2009, הלהקה הוציאה לאור אלבום להיטים שנקרא Greatest Hits, שכלל שני שירים חדשים - "Word Forward" והסינגל "Wheels".
Wasting Light.
הלהקה החלה להקליט את אלבומה השביעי באוגוסט 2010 עם המפיק בוץ' ויג. ויג הפיק בעברו עם להקת נירוונה, להקתו הקודמת של גרוהל, את האלבום Nevermind, וגם הפיק את שני השירים החדשים שהיו באלבום האוסף מ-2009. האלבום הוקלט במוסך של גרוהל תוך שימוש בציוד אנלוגי פשוט יחסית. פאט סמיר ניגן בכל שיר באלבום והפך שוב לחבר להקה.
הסינגל הראשון מהאלבום, שנקרא "Rope", ויצא לאור ב-23 בפברואר 2011. 11 ימים לפני שחרורו של "Rope", העלתה הלהקה לעמוד היוטיוב שלה את השיר "White Limo" מאותו אלבום, יחד עם קליפ לשיר. בקליפ משתתף למי קילמיסטר, הסולן והבסיסט של להקת מוטורהד.
האלבום הופץ תחת השם Wasting Light לקניה באינטרנט ב-11 באפריל של אותה השנה, אחרי הופעת הלהקה בתוכנית היומית של ג'ון סטיוארט, ויום אחרי הופץ האלבום גם בדיסק.
סרט דוקומנטרי על ההיסטוריה של הלהקה, "Back and Forth" שזכה גם בגראמי, יצא לאקרנים ב-5 באפריל 2011 יחד עם מופע תלת ממד של האלבום Wasting Light. הלהקה גם הוציאה לאור אלבום קאברים בשם "Medium Rare", ב-16 באפריל לזמן מוגבל בשביל ה-"Record Store Day".
ב-15 באפריל, הלהקה ניגנה את האלבום במלואו באולפן של דייב גרוהל "Studio 606" והעלתה את ההופעה ליוטיוב במלואה.
ב-2 ביוני הלהקה שחררה קליפ לשיר Walk מהאלבום Wasting Light.
ב 12 בפברואר 2012 הלהקה זכתה בפרסים: "הופעת הרוק הטובה ביותר", "שיר הרוק הטוב ביותר", "אלבום הרוק הטוב ביותר", "הקטע הטוב ביותר מקליפ וידאו" ובנוסף ב"הופעת ההארד רוק/מטאל הטובה ביותר" בטקס פרסי גראמי ה-54. כמו כן הלהקה הייתה מועמדת לפרס "אלבום השנה לשנת 2012" אך הפסידה לזמרת אדל.
באוקטובר 2012 אחרי כשני עשורים שהלהקה פועלת הודיע גרוהל כי הם לוקחים הפסקה מסיבובי הופעות אך הבהירו כי הלהקה לא מתפרקת.
בפברואר 2013 הודיע גרוהל כי הלהקה מתחילה לעבוד על אלבום חדש והוא מתוכנן לצאת במהלך שנת 2014.
Sonic Highways.
בינואר 2013 החלה הלהקה לעבוד על אלבומה ה-8. אלבום זה של הלהקה הוקלט בצורה שונה ולא רגילה, כאשר גרוהל ביים את הסדרה התיעודית שלו למשך שנה וחצי ובמהלכה הקליטו חברי הלהקה כל שיר מהאלבום בסטודיו אחר בערים שונות. גרוהל הגדיר את סדרתו כ"מפה מוזיקלית של אמריקה". ב-10 בנובמבר יצא כאמור אלבומם השמיני של הלהקה, פעם נוספת בהפקת בוץ' ויג. לכל שיר באלבום יש עטיפה שונה שמייצגת את אותה העיר שבה הוקלטו השירים.
Concrete and Gold.
ב-15 בספטמבר 2017, הלהקה הוציאה את אלבומה ה-9, שהסינגל הראשון שלה שוחרר עוד ב-1 יוני 2017 וכבר טיפס להיות במקום ה-1 ב"Billboard Mainstream Rock Songs", באותו החודש. האלבום הופק ביחד עם המפיק גרג קורסטין , המפיק של עשרות זמרים ולהקות מוצלחים.
Medicine at Midnight.
Medicine at Midnight הוא אלבום האולפן העשירי של הלהקה. האלבום הושלם טרם התפרצות מגפת הקורונה, אך הוצאתו לאור עוכבה בכל זאת מטעמים שיווקיים, עד ל-5 בפברואר 2021 בו שוחרר. התקליט זכה לביקורות אוהדות יחסית.
מותו של טיילור הוקינס.
ב-25 במרץ 2022 הודיעה הלהקה בעמוד האינסטגרם הרשמי על מותו של המתופף טיילור הוקינס.
הוקינס נמצא ללא רוח חיים בעת ששהה בחדרו במלון בבוגוטה, קולומביה, במהלך סיבוב הופעות של הלהקה.
כור
כורדיסטאן
חוג השלמים של גאוס
חוג השלמים של גאוס הוא אוסף המספרים formula_1 (כאשר formula_2 היא היחידה המדומה: formula_3), דהיינו, מספרים מרוכבים בעלי קואורדינטות שלמות. אוסף זה, שהוא חוג השלמים בשדה formula_4, הוא חוג אוקלידי, ולכן יש בו פירוק יחיד לגורמים.
הנורמה מוגדרת על החוג הזה לפי הנוסחה formula_5, זוהי פונקציה כפלית, השווה לריבוע הערך המוחלט של מספרים מרוכבים. חוג השלמים של גאוס הוא אוקלידי ביחס לנורמה: לכל formula_6 ולכל formula_7 יש formula_8 כך ש- formula_9. בזכות האוקלידיות אפשר לחשב מחלק משותף מקסימלי באמצעות אלגוריתם אוקלידס, ולכל מספר יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים.
הראשוניים של גאוס.
כמו בכל תחום שלמות, איבר אי-פריק הוא איבר x שאי-אפשר לפרק בלי שאחד הגורמים יהיה הפיך. מכיוון שזהו תחום פריקות יחידה, כל איבר אי-פריק formula_10 הוא גם ראשוני (הוא אינו מחלק מכפלה בלי לחלק את אחד הגורמים שלה). לא כל מספר ראשוני במובן הרגיל של המלה נשאר ראשוני גם בחוג השלמים של גאוס. למשל, formula_11, ולכן 5 פריק ואינו ראשוני. עם זאת, אם formula_12 ראשוני אז הנורמה שלו formula_13 היא או מספר ראשוני, במובן הרגיל של המלה, או ריבוע של מספר כזה (אכן, formula_12 מחלק את אחד הגורמים הראשוניים של המספר השלם formula_13, נאמר formula_16, ואז גם formula_17 ולכן formula_18). מכאן מתקבלת חלוקה של הראשוניים, עד כדי כפל באיבר הפיך, לשלוש קבוצות:
תורת המספרים האלגברית חוקרת בין השאר את הפירוק של אידיאלים ראשוניים של formula_24 בחוג הגדול יותר formula_25. בהתאמה לשלוש הקבוצות של ראשוניים שהוזכרו לעיל, 2 הוא ראשוני מסועף, עם "e=2" (ראו e, f ו-g); לראשוניים השקולים ל-1 מודולו 4 יש g=2; ולראשוניים הנותרים יש f=2. למשוואה formula_26 יש פתרון אם ורק אם f=1, כלומר בשני המקרים הראשונים.
קונגרואנציות ומחלקות שאריות.
בהינתן שלם גאוסי "z"0, שייקרא "מודולוס", שני שלמים גאוסיים "z"1,"z"2 הם קונגרואנטיים מודולו "z"0 אם ההפרש ביניהם הוא כפולה של "z"0, כלומר אם קיים שלם גאוסי "q" כך ש-"z"1 − "z"2 = "qz"0. הקונגרואנציה מודולו "z"0 היא יחס שקילות, שמגדיר חלוקה של השלמים הגאוסיים למחלקות שקילות, אשר נקראות מחלקות קונגרואנציה או מחלקות שאריות. מחלקת שאריות של שלם גאוסי
"a" היא הקבוצה
של כל השלמים הגאוסיים הקונגרואנטיים ל-"a" ביחס ל-"z"0.
חיבור וכפל עבור קונגרואנציות ביחס לשלמים גאוסיים נעשים בדומה לקונגרואנציות בשלמים ממשיים. פירוש הדבר שאם "a"1 ≡ "b"1 (mod "z"0) ו-"a"2 ≡ "b"2 (mod "z"0) אז "a"1 + "a"2 ≡ "b"1 + "b"2 (mod "z"0) ו-"a"1"a"2 ≡ "b"1"b"2 (mod "z"0).
תיאור גאומטרי של מחלקות השאריות.