הרודודנדרון למיניו נפוץ ברוב חצי הכדור הצפוני, למעט אזורים מעוטי משקעים, ובחצי הכדור הדרומי בדרום-מזרח אסיה ובצפון אוסטרליה. מגוון רחב של מינים נמצא באזור הרי ההימלאיה, ובאזורים נוספים בהרי הודו וסין, קוריאה, יפן וטאיוואן. מספר מועט יחסית של מינים נמצא באמריקה הצפונית ובאירופה. רודודנדרון לא גדל כלל באמריקה הדרומית ובאפריקה.
בעבר נאספו פרחי רודודנדרון בטבע כדי להישתל בגנים, אולם כיום, במקומות רבים בעולם, מגדלים פרחי רודודנדרון לגינון באופן מסחרי.
חלוקה לתתי-סוג.
מאחר שהשם רודודנדרון כולל מינים רבים, ישנה חלוקה משנית ענפה לתתי-סוג, מינים ותת-מינים. מקובל לחלק את מיני הרודודנדרון לארבעה תתי-סוג גדולים ולארבעה קטנים:
מחקרים גנטיים שנעשו לאחרונה הובילו לחלוקה מחודשת לתתי-סוג, לביטול הסוג "Ledum" ולהכללתו בתוך תת-הסוג "רודודנדרון". כיום מוצעים שינויים מרחיקי לכת אף יותר, בכללם איחוד תת-הסוג הימנאנתס לתת-הסוג פנטנתרה.
מיני הרודודנדרון מוכלאים בינם לבין עצמם פעמים רבות על ידי בני-אדם במטרה ליצור פרחים יפים ומתאימים יותר לגינון. לעיתים אף קורות הכלאות טבעיות בין המינים במקומות בהם צומחים כמה במקביל. קיימים מעל 28,000 זנים תרבותיים שפותחו בשיטות כאלה.
חלק מהמינים מהווים מינים פולשים בארצות שהובאו אליהן כצמחי תרבות ומתרבים על חשבון הפלורה המקורית. לדוגמה, המין רודודנרון פונטי ("Rhododendron ponticum") שמוצאו בטורקיה, מהווה בבריטניה מין פולש שקשה להדבירו מכיוון ששורשיו יכולים להצמיח גבעולים חדשים.
רעילות.
חלק ממיני הרודודנדרון רעילים לבהמות מרעה. מינים אלה מכילים את הרעלן גראיאנוטוקסין באבקניהם ובצופם. אדם שיאכל דבש המופק מפרחים אלה יסבול מהזיות ומשלשולים, ובמקרים קיצוניים - מוות. פעמיים במהלך ההיסטוריה פלשו צבאות זרים לאזור פונטוס, בו גדלים מינים רעילים אלו. בשני המקרים, האוכלוסייה המקומית מיקמה כוורות דבורים קטלניות במקומות נוחים, והניחה לחיילים הרעבים לשדוד את הדבש, ובכך להביא לסיום הפלישה. את אחד המקרים מתאר ההיסטוריון האתונאי קסנופון. כאחד-עשר מקרי הרעלה, הדומים במאפייניהם לאלו המתועדים על ידי קסנופון, אירעו באיסטנבול בשנות ה-80.
המינים החשודים ברעילות הם רודודנרון פונטי ורודודנדרון לוטאום ("Rhododendron luteum"), שניהם נפוצים באסיה הקטנה. מינים אלה רעילים במיוחד לסוסים, חיות מסוימות מתות בתוך שעות מזמן עיכול הצמח. בעלי חיים נוטים שלא לאכול צמחים אלה כאשר קיים מזון חלופי בסביבה.
התכנסות (הסתברות)
בתורת ההסתברות יש כמה משמעויות שונות למושג ההתכנסות של סדרת משתנים מקריים, שכולן מכלילות את המושג המתמטי הפשוט יותר, גבול של סדרה. כמו בענפים אחרים באנליזה, ההתכנסות של סדרה לגבול היא רעיון מרכזי בתורת ההסתברות, ויש לו השלכות חשובות בסטטיסטיקה ובתהליכים סטוכסטיים.
לדוגמה, נניח ש-formula_1 סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי תוחלת formula_2 ושונות formula_3, ותהי formula_4 סדרת הממוצעים. לפי החוק החלש של המספרים הגדולים, הסדרה formula_5 מתכנסת בהסתברות אל התוחלת; לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, אותה סדרה מתכנסת כמעט בוודאות; ואילו לפי משפט הגבול המרכזי, הסדרה המתוקננת formula_6 מתכנסת בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.
להלן, formula_7 הוא משתנה מקרי ו-formula_8 היא סדרה של משתנים מקריים, המוגדרים כולם על אותו מרחב הסתברות (למעט התכנסות בהתפלגות המוגדרת גם ללא הדרישה למרחב משותף).
התכנסות בהתפלגות.
נניח ש- formula_9 הן פונקציות ההסתברות המצטברת של המשתנים המקריים formula_1, וש- formula_11 היא פונקציית ההסתברות המצטברת של formula_7. הסדרה formula_1 מתכנסת בהתפלגות ל- X, אם לכל x שבו F רציפה, formula_14, כלומר, סדרת הפונקציות formula_9 מתכנסת נקודתית לפונקציה F לכל נקודת רציפות של F. מכיוון ש- formula_16, משמעותה של התכנסות כזו היא שהסיכוי של formula_1 ליפול בקטע מסוים, כאשר n גדול מספיק, קרוב לסיכוי של X ליפול באותו קטע.
מקובל לסמן התכנסות בהתפלגות ב- formula_18.
התכנסות בהתפלגות היא הצורה החלשה ביותר של התכנסות, והיא נקראת לפעמים התכנסות חלשה, בדומה להתכנסות חלשה של מידות. התכנסות בהתפלגות שקולה להתכנסות נקודתית של סדרת הפונקציות המציינות אל הפונקציה המציינת של המשתנה בגבול. סוג זה של התכנסות נובע מכל אחד מן הסוגים האחרים שיוצגו להלן, ומכאן שהוא השכיח ביותר. אם המשתנה המקרי X הוא קבוע, אז התכנסות בהתפלגות שקולה להתכנסות בהסתברות, החזקה ממנה בדרך כלל.
התכנסות בהתפלגות נשמרת תחת פונקציות רציפות: אם formula_18 אז formula_20 לכל פונקציה רציפה formula_21.
התכונה "formula_14 לכל x" (ללא המגבלה על הרציפות של F) חזקה ממש מהתכנסות בהתפלגות.
התכנסות בהסתברות.
הסדרה formula_23 מתכנסת בהסתברות אל המשתנה המקרי X, אם לכל formula_24, סדרת ההסתברויות formula_25 מתכנסת ל-1. במילים אחרות, הסיכוי לכך שאברי הסדרה יהיו רחוקים מ- X, שואף לאפס.
מקובל לסמן התכנסות בהסתברות ב- formula_26. כל סדרה המתכנסת בהסתברות, מתכנסת גם בהתפלגות.
התכנסות כמעט בוודאות.
הסדרה formula_23 מתכנסת כמעט בוודאות (Almost surely) אל המשתנה המקרי X, אם הסיכוי לכך ש- formula_28 שווה ל-1. במקרה כזה מסמנים formula_29. התכנסות כמעט בוודאות נקראת לפעמים התכנסות בהסתברות 1, התכנסות כמעט בכל מקום, או התכנסות במובן החזק.
מונח זה הוא מקרה פרטי של התכנסות כמעט בכל מקום של סדרת פונקציות מדידות. במקרה ההוא המידה לא בהכרח סופית, ולכן ההגדרה הכללית היא שקבוצת הנקודות עליהן אין התכנסות היא ממידה אפס.
כל סדרה המתכנסת כמעט בוודאות מתכנסת גם בהסתברות, ולכן גם בהתפלגות. מאידך, התכנסות כמעט בוודאות אינה שכיחה במיוחד. למשל, אם המשתנים formula_1 בלתי תלויים, אז הסדרה אינה יכולה להתכנס כמעט בוודאות, אלא אם המשתנה X שאליו היא מתכנסת הוא קבוע. אם למשתנים תוחלת אפס והטור formula_31 מתכנס, אז הסדרה מתכנסת לאפס כמעט בוודאות.
התכנסות כמעט תמיד.
הסדרה formula_23 מתכנסת כמעט תמיד אל X, אם לכל formula_33, ההסתברויות formula_34 שואפות ל-1. תופעה זו שקולה להתכנסות כמעט בוודאות.
התכנסות בוודאות.
אם הגבול formula_35 קיים ושווה ל- X בוודאות (ולא רק בהסתברות 1), אז הסדרה מתכנסת בוודאות ל-X. זוהי התכנסות חזקה יותר מהתכנסות כמעט בוודאות, אך מבחינת תורת ההסתברות ההבדל בין השתיים זניח, ולכן ההתכנסות בוודאות אינה שימושית במיוחד.
התכנסות בתוחלת.
הסדרה formula_23 מתכנסת בתוחלת אל X, אם לכל המשתנים המקריים formula_37 יש תוחלת סופית, והסדרה formula_38 שואפת לאפס. באופן כללי יותר, הסדרה מתכנסת במומנט ה-p-י אם לכל המשתנים כנ"ל יש מומנט p-י סופי, והסדרה הסדרה formula_39 שואפת לאפס. (התכנסות בתוחלת היא התכנסות במומנט הראשון). זוהי למעשה התכנסות במרחב Lp.
התכנסות במומנט ה-p-י חזקה יותר ככל ש-p גדול יותר (בתנאי ש- formula_40), ותמיד (לכל 0 &lt; p) נובעת ממנה התכנסות בהסתברות (לפי אי-שוויון צ'ביצ'ב). מאידך, אם המשתנים formula_1 חסומים, אז התכנסות בהסתברות גוררת גם התכנסות במומנט ה-p-י לכל formula_42.
התכנסות חלשה.
סוג נוסף של התכנסות הוא התכנסות חלשה - נאמר כי formula_43 (מהמילה weakly) אם לכל פונקציה רציפה וחסומה formula_44 מתקיים formula_45.
התכנסות חלשה למעשה שקולה להתכנסות בהתפלגות. למעשה, אפשר להחליף בשקילות את התנאי על הפונקציה שתהיה פונקציה חסומה וגזירה כל מספר סופי של פעמים.
הגדרות פורמליות של טיפוסי ההתכנסות.
הסדרה formula_23 מתכנסת בהסתברות ל-formula_7 אם
מתכנסת כמעט תמיד אם
ומתכנסת כמעט בוודאות אם
משתנים מקריים בלתי תלויים
מישור גאוס
שלמה אבס
שלמה אַבַּס (נולד ב-8 בפברואר 1948) הוא סופר ילדים ישראלי.
ביוגרפיה.
אבס נולד בעיר נשר, גדל בשכונת הצריפים שליד בית החרושת (רחוב נרקיסים של היום) ולמד בבית הספר היסודי "בית יהושע" ששכן ליד ביתו. לאחר סיום לימודיו בבית הספר התיכון בנשר, עבר לירושלים. הוא בוגר החוג לאנתרופולוגיה באוניברסיטה העברית בירושלים.
אבס החל לכתוב ספרות ילדים בגיל עשרים ותשע. עד כה ראו אור 170 מספריו, מהם 32 ספרים הם פרי יצירתו כסופר לילדים ואילו 138 הספרים האחרים הם ספרי אגדות, מעשיות, משלים, חידות, ובדיחות שאותם כינס, ערך ועיבד. הסוגים השונים של ספריו כה מרובים עד כי שלמה אבס מעיד על עצמו שהוא כבר לא רואה את עצמו "סופר לילדים" אלא "ספרות לילדים". כוונתו היא שמרוב ספרים שהוציא לאור בעצמו, הוא כבר מייצג משהו שמעבר למושג "סופר", אלא הוא בעצמו הפך ל"ספרות". בספריו נתקבצו עד היום למעלה 1,200 סיפורים, אגדות, משלים ומעשיות.
אבס פועל על מנת להציב את האגדות והמעשיות במקום מרכזי בספרות הילדים הישראלית ועוסק זה שנים רבות במחקר בנושא אגדות עם ומעשיות. אבס מרבה ללקט אגדות ומעשיות מפי קשישים וזקנים בכל רחבי ישראל, המספרים לו מעשיות ששמעו בילדותם. כמו כן אוסף אבס מעשיות בכנסים בינלאומיים של אנתרופולוגים וחובבי מעשיות כמוהו.
קריירה ספרותית.
אבס הרבה לכתוב ספרי ילדים, מתחילת שנות התשעים. עד היום, הוא נחשב לאחד מסופרי הילדים האהובים ביותר.
אחד משיאי הצלחתו המקצועית, היה עם המאייר אמי רובינגר, איתו התחיל לעבוד בתחילת שנות האלפיים.