אולבני היא העיר הראשונה בארצות הברית ואחת מהערים הראשונות בעולם שפתחה נמל תעופה, בשנת 1908. נמל התעופה הועבר ממקומו בשנת 1928. למרות תוכניות פיתוח רחבות, מרבית מהאוכלוסייה עזבה בשנות ה-50 וה-60 כתוצאה מתהליכי פרוור.
מוסדות חינוך.
באולבני נמצאות אוניברסיטת אולבני ואוניברסיטת מדינת ניו יורק. כמו כן נמצאות בעיר מספר מכללות.
דמוגרפיה ואוכלוסייה.
נכון לשנת 2015, האוכלוסייה מוערכת בכ-98 אלף נפש. לאורך כל שנות קיומה אוכלוסיית אולבני הייתה מגוונת מאוד. כיום 52.3% מהאוכלוסייה היא לבנה, 27% אפרו-אמריקאים, 7.4% אסייתים, והשאר ממיעוטים אחרים.
הזרם הדתי הדומיננטי בעיר הוא הנצרות הקתולית, המונה כ-47% מאוכלוסיית העיר. כ-12% מהאוכלוסייה משתייכים לזרמים נוצריים אחרים.
בעיר יש קהילה יהודית חזקה מאז שנת 1658. בעיר יש בתי כנסת רבים מכל הזרמים, ואף אחד מבתי הכנסת הקראיים היחידים שמחוץ לישראל. כיום, חיים בעיר כ-12,000-13,000 יהודים, שמהווים כ-4.2% מאוכלוסיית העיר.
פוליטיקה וממשל.
מועצת העיר מורכבת מראש העיר ומחמישה עשר נציגים הנבחרים אחת לארבע שנים מחמישה עשר מחוזות בחירה.
מבחינה ארצית, המפלגה הדמוקרטית דומיננטית בעיר מאז שנות ה-20 של המאה ה-20.
ערים תאומות.
לאולבני ארבע ערים תאומות:
משפט השאריות
באנליזה מרוכבת, משפט השאריות הוא משפט חשוב המאפשר לחשב אינטגרלים על מסלול סגור של פונקציות הולומורפיות באמצעות הכרת התנהגותן בנקודות הסינגולריות שלהן. משפט זה הוא הכללה של משפט אינטגרל קושי ונוסחת האינטגרל של קושי, ובנוסף לחשיבותו בתחום האנליזה המרוכבת, הוא גם מאפשר חישוב נוח של אינטגרלים ממשיים שלעיתים לא ניתן לחשב בדרך אחרת.
ניסוח פורמלי.
יהי formula_1 תחום פשוט קשר ויהיו formula_2 אוסף סופי של נקודות ב-formula_1. יהא formula_4
ותהי formula_5 פונקציה הולומורפית ב-formula_6. תהא formula_7 מסילה סגורה ב-formula_6 כך שכל הנקודות formula_2 מוקפות על ידה.
השארית של הפונקציה formula_5 בנקודה formula_11 היא המקדם של החזקה formula_12 בטור לורן של הפונקציה סביב הנקודה formula_11. נסמן אותה formula_14.
כמו כן נסמן ב-formula_15 את מספר הפעמים שבו המסילה formula_7 מקיפה את הנקודה formula_11 (האינדקס של המסילה).
אז מתקיים:
formula_18
כלומר, האינטגרל על המסילה שווה ל-formula_19 כפול סכום השאריות של נקודות הסינגולריות בתחום שמקיפה המסילה, כאשר כל שארית נלקחת כמספר הפעמים שמוקפת הנקודה הסינגולרית שלה.
דוגמה.
נרצה לחשב את האינטגרל הבא: formula_20
נשים לב כי בתוך המעגל formula_21 נקודת הסינגולריות היחידה של formula_22 היא formula_23.
לכן, לפי משפט השאריות: formula_24
נשתמש בפיתוח הפונקציה לטור לורן על מנת לחשב את השארית.
כידוע לנו: formula_25. לכן: formula_26
נחזור לפונקציה המקורית שלנו:
formula_27
formula_28
השארית היא כמו שאמרנו המקדם של האיבר formula_29 בטור לורן ולכן נקבל ש: formula_30
לכן מתקיים ש: formula_31
הוכחה.
על פי משפט האינטגרל של קושי, די להראות כי formula_32 כאשר האינטגרל נלקח על מעגל קטן דיו סביב הנקודה formula_11 כך שאינו מכיל נקודות סינגולריות נוספות של הפונקציה.
מכיוון שהפונקציה אנליטית סביב הנקודה formula_11, ניתן לפתח אותה לטור לורן סביב נקודה זו: formula_35. מכיוון שטור זה מתכנס במידה שווה מתקיים
formula_36
כעת, עבור formula_37 הפונקציה formula_38 אנליטית בכל העיגול formula_39, ולכן על פי משפט אינטגרל קושי, formula_40.
עבור formula_41 מתקיים גם כן formula_40 ואילו עבור formula_43 מתקיים formula_44. את ההוכחה לכך ניתן לראות בהוכחת נוסחת האינטגרל של קושי.
מכל אלו נובע כי formula_45 כמבוקש.
אנגר
ז'אן אוגוסט דומיניק
יורק
יורק (באנגלית: York ) היא עיר מוקפת חומה במחוז צפון יורקשייר שבצפון אנגליה, שבנויה בהצטלבות נהרות האוז והפוס. בשנת 2008, מנתה אוכלוסיית העיר מעל ל-195,000 נפש.
בעיר אתרי תיירות רבים, כשהידוע שבהם הוא קתדרלת יורק, שנבנתה בסגנון גותי אנגלי והיא אחת הקתדרלות הגדולות בחבר העמים הבריטי.
על שמו של דוכס יורק נקראת העיר והמדינה ניו יורק שבארצות הברית.
מקור השם.
שמה של העיר "יורק" (מנורדית עתיקה: Jórvík, נגזר משמה הלטיני של העיר "Eboracum", "Eburacum" או "Eburaci". במאה ה-7 נשמע שם זה של השפעות שונות כמו "Eoforwic", ועם הכיבוש הדני במאה ה-9 התקבע השם "Jórvík". תחת הכיבוש הנורמני של אנגליה נהגה השם בצרפתית עתיקה ובנורמנית: "Everwic". במאות שלאחר הכיבוש נעשה יותר ויותר שימוש בשמות קרובים לשם יורק עד להתקבעותו של שם זה (שמוזכר לראשונה כבר במאה ה-13).
השם הרומי-לטיני המקורי ניכר עדיין בשמות מקומות וחברות מקומיות, וכך גם הארכיבישוף מיורק משתמש בשם "Ebor" כשם משפחה בחתימתו. שמה של העיר כפי שהוא מופיע בכתבי בעלי התוספות אף הוא כשמה הלטיני: "אברווך".
היסטוריה.
בין השנים 71 ל-74 לספירה, בתקופתו של הנציב קריאליס בבריטניה, התיישב לגיון רומאי בחוף המזרחי של בריטניה הגדולה ובנה את אבורקום - יורק של היום. אבורקום נבנתה מחדש מספר פעמים, הקיסר ספטימיוס סוורוס ביצר אותה בשנת 197 ואף מת בה בשנת 211. אבורקום נהרסה חלקית בידי אלקטוס, ושוקמה בידי קונסטנטיוס כלורוס שמת בה ב-306. אבורקום הייתה מקום מושב נציב בריטניה התחתונה באימפריה הרומית, והיישוב האזרחי בה קיבל תקפות של קולוניה לפני שנת 237 לספירה.
המאה החמישית לספירה התאפיינה בדעיכתה של יורק, והתיישבו בה שבטי האנגלים (Ængle) הגרמאניים. העיר השתקמה רק במאה השביעית לספירה ביוזמתו של המלך אדווין מנורת'מבריה, שאף קבע בה את מושבו. בשנת 627 הוטבל אדווין לנצרות, וכתוצאה מכך יזם את בנייתה של הכנסייה הראשונה בעיר, משימה שהושלמה בימי בנו אוסוולד.
בשנת 866 נכבשה העיר בידי צבא הפגאנים הוויקינגי הגדול בראשות הלפדן רגנארסון ואיוור "חסר העצמות", שעל פי המסורת הוויקינגית היו בניו של הלוחם האגדי-למחצה רגנאר לוד'ברוק. לאחר הכיבוש, שינו הוויקינגים את שמה ליורוויק (Jórvík) והיא נשארה מרכז סחר עצמאי ויקינגי עד שנכבשה בידי אדרד מלך אנגליה המאוחדת ב-954.
בשנת 1068 הוקמה בעיר מצודת עץ על ידי ויליאם הכובש. במקור, המלך הקים אותה על מנת לדכא מרד שפרץ בעיר לאחר הכיבוש הנורמני. לאחר מרד נוסף, הקים ויליאם מצודה נוספת בעיר. מאז הקמתה, הייתה הטירה מוקד כוח חשוב למלכי אנגליה והאצולה בצפון המדינה. במהלך המאה ה-13 שודרגו ביצורי הטירה על ידי הנרי השלישי ונבנתה המצודה כפי שהיא נראית כיום.
הטבח ביהודי יורק.
העיר יורק התפרסמה בהיסטוריה היהודית כאשר המון מוסת, שככל הנראה קיבל היתר מריצ'רד לב הארי, מלך אנגליה, התנפל על יהודי העיר בכוונה לבצע בהם שפטים. היהודים נמלטו והתבצרו במגדל קליפורד בעיר. כשהגיעו הפורעים למקום העמידו בפניהם את הברירה של התנצרות או מוות, והלכודים העדיפו לא ליפול לידי המרצחים ושחטו אלה את אלה.
בעקבות הפוגרום קיבלו על עצמם יהודי אנגליה שלא ללון בעיר, ומנהג זה מוזכר אף בספרי הלכה שונים, למשל בשאלה שנשאל הרב יצחק זילברשטיין:
ספורט.
קבוצת הכדורגל הבכירה בעיר היא יורק סיטי המשחקת בליגות הנמוכות, הקבוצה מארחת באצטדיון בשם בות'האם קרסנט.
ערים תאומות.
ליורק ברית ערים תאומות עם הערים:
ג'ק ריצ'ר
ג'ק ריצ'ר (באנגלית: Jack Reacher) הוא דמות בדיונית של קצין לשעבר במשטרה הצבאית, הוא הפרוטגוניסט של סדרת ספרי מתח פרי עטו של הסופר לי צ'יילד.
ביוגרפיה בדיונית.
ג'ק ריצ'ר נולד ב-29 באוקטובר 1960 בברלין, בנם של קצין בחיל הנחתים האמריקני ואישה צרפתייה שנפגשו בהולנד ונישאו בקוריאה. ריצ'ר הוא רב-סרן בדימוס בצבא ארצות הברית, אשר שירת כחוקר במשטרה צבאית. הוא גבוה (195 ס"מ), גדל גוף וחזק, בעל ראייה חדה וזיכרון מעורר השתאות לפרטים הקטנים. הוא מתואר אמנם כאיש ציני וקשוח; אך מעבר לחיצוניות זאת מסתתר אדם טוב לב ונדיב, המעוניין להילחם ברע, ולהחזיר לעולם את הטוב והצודק שבו. לריצ'ר היה אח בכור בשם ג'ו, אשר שירת במודיעין הצבאי וכסוכן בכיר בשירות החשאי, אשר נרצח במהלך חקירה שניהל כנגד זייפני כסף.
ריצ'ר הוא בוגר האקדמיה הצבאית הלאומית של ארצות הברית "ווסט פוינט". בשירותו הצבאי במשטרה הצבאית נחשב ריצ'ר לחוקר קשוח וישר, שלו מוח אנליטי חריף. הוא שימש תחילה כחוקר מקרים פליליים, לאחר מכן הוסב לחקירות ביטחון ומודיעין ולקראת סיום הקריירה שימש כחוקר מקרי רצח. בנוסף עמד ריצ'ר בראש יחידת חקירות מיוחדת במשטרה הצבאית, ה-110, אשר חקרה מקרים בהם מעורבים לוחמי יחידות מיוחדות בכוחות המזוינים של ארצות הברית ובהם, סיירת חיל הנחתים, הכוחות המיוחדים של צבא ארצות הברית ואריות הים. במהלך שירותו הוצב ריצ'ר בביירות (בה נפצע) וכן לחם במבצע מטרה צודקת, במלחמה בגרנדה ובמלחמת המפרץ.
עם סיום המלחמה הקרה וקריסת הגוש הקומוניסטי, בעקבות צימצומים בכוח האדם של צבא ארצות הברית, ובשל אי מוכנתו של ריצ'ר להתגמש בפרשיה שבה מעורב הבן הסדיסט של הסנטור, שוחרר ריצ'ר בכבוד מתפקידו במשטרה הצבאית כמפקד יחידה 110 לאחר 13 שנות שירות. במהלך שירותו הוענקו לריצ'ר מספר עיטורים ובהם: כוכב הכסף שהוענק לו על חילוץ פצועים במהלך מתקפת חזבאללה על מפקדת הנחתים בביירות, שני כוכבי ארד, מדליית שירות ההגנה, עיטור לגיון הכבוד, מדליית החייל ולב הארגמן.