בדרך כלל, אלגברה אלטרנטיבית מימין אינה בהכרח אלטרנטיבית משמאל, ולכן אינה אלטרנטיבית. עם זאת, אלטרנטיביות חד-צדדית גוררת אלטרנטיביות עבור אלגברות פשוטות למחצה, וכן עבור אלגברות המקיימות את הזהות הגמישה formula_11.
תורת מבנה.
רדיקלים.
רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה אלטרנטיבית מוגדר, כהכללה של המקרה האסוציאטיבי, בכמה דרכים מתלכדות. זהו האידיאל הקוואזי-הפיך הגדול ביותר; חיתוך האידיאלים השמאליים המודולריים המקסימליים (אידיאל שמאלי הוא מודולרי אם הוא מכיל את כל האיברים מהצורה formula_12 עבור formula_13 מתאים; התנאי ריק בחוגים עם יחידה); וגם חיתוך הגרעינים של כל ההצגות האי-פריקות. החוג הוא פרימיטיבי למחצה אם הרדיקל מתאפס. כל חוג פרימיטיבי (כזה שיש בו אידיאל שמאלי מודולרי מקסימלי שאינו מכיל אף אידיאל דו-צדדי) הוא פרימיטיבי למחצה. חוג פרימיטיבי למחצה הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים פרימיטיביים, וכל חוג פרימיטיבי הוא או אסוציאטיבי, או אלגברת קיילי. במקרים חשובים רבים, רדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי, ולכן מתלכד עם הרדיקל הראשוני: כך הדבר בכל חוג אלטרנטיבי ארטיני, בכל אלגברת PI נוצרת סופית (Shestakov, 1983), וגם באלגברה האלטרנטיבית החופשית אם זו נוצרת סופית או בעלת מאפיין 0.
הרדיקל הראשוני הוא האידיאל הראשוני-למחצה הקטן ביותר של החוג; זהו אידיאל נילי, שבדרך כלל אינו נילפוטנטי. כאשר הרדיקל הזה מתאפס, החוג נקרא ראשוני-למחצה. כל חוג אלטרנטיבי ראשוני-למחצה הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים ראשוניים, וכל חוג ראשוני במאפיין שונה מ-3 הוא או אסוציאטיבי, או תת-חוג מלא של אלגברת קיילי (formula_4 הוא תת-חוג מלא אם הוא מכיל בסיס של האלגברה מעל המרכז שלה). התוצאה לגבי חוגים ראשוניים נכונה גם במאפיין 3, אם מניחים שרדיקל לויצקי מתאפס.
הרדיקל הפתיר של אלגברה אלטרנטיבית מממד סופי הוא האידיאל הנילי המקסימלי היחיד (ולכן שווה לרדיקל הנילי), והוא גם נילפוטנטי. אלגברת המנה ביחס לרדיקל היא פשוטה למחצה. בפרט, אלגברה אלטרנטיבית מממד סופי היא נילפוטנטית אם ורק אם היא נילית, אם ורק אם היא פתירה.
המשפט העיקרי של ודרברן חל על אלגברות אלטרנטיביות מממד סופי: אם formula_15 אלגברה כזו ו-formula_16 הרדיקל שלה, ואם המנה formula_17 ספרבילית, אז אפשר לשכן את המנה ב-formula_15 ויש פירוק לסכום ישר (של מרחבים וקטוריים), formula_19.
לכל אלגברה אלטרנטיבית מימין formula_15 יש רדיקל נילי formula_16; המנה formula_17 היא אלטרנטיבית (בפרט, אלגברה אלטרנטיבית מימין ללא איברים נילפוטנטיים היא אלטרנטיבית). אלגברה אלטרנטיבית מימין נילית מממד סופי היא פתירה, אבל לא בהכרח נילפוטנטית.
אלגברות ראשוניות ופשוטות.
משפט (מקס צורן): כל אלגברה אלטרנטיבית פשוטה היא או אסוציאטיבית, או אלגברת קיילי מממד 8 (אלגבראות קיילי הן הכללה של האוקטוניונים). אלגברה אלטרנטיבית ספרבילית מעל שדה formula_23 היא מכפלה ישרה של אלגבראות אלטרנטיביות פשוטות, שהמרכזים שלהן ספרביליים מעל formula_23. בהכללה למשפט הקטן של ודרברן, אלגברה אלטרנטיבית סופית עם חילוק היא שדה.
הרחבות מרכזיות ופירוק פירס.
הרחבת סקלרים של אלגברה אלטרנטיבית formula_15, כלומר, אלגברה מהצורה formula_26 כאשר formula_27 הרחבת שדות, גם היא אלטרנטיבית.
אם formula_28 אידמפוטנט (כלומר, איבר המקיים את השוויון formula_29), אז האלגברה מתפרקת לסכום formula_30, כאשר formula_31 (ולכן formula_32). זהו פירוק פירס (Peirce decomposition) של האלגברה. הכפל בין מרכיבים מקיים formula_33 אם formula_34, ו-formula_35 אם formula_36 ו-formula_37. בנוסף לזה, formula_38. אלו תכונות דומות למקרה האסוציאטיבי, פרט להבדל אחד: שם מתקיים formula_39 אם formula_40.
האלגברה החופשית.
רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה אלטרנטיבית עם שלושה יוצרים, שווה לאפס. במקרה הכללי, הרדיקל כולל את כל האיברים הניליים, ושווה לאברי אידיאל האסוציאטור המהווים זהויות של אלגברת קיילי.
המקרה הקומוטטיבי.
אלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית היא אלגברת ז'ורדן. באלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית מתקיימות הזהויות formula_41 (ולכן אלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית מעל שדה ממאפיין שאינו 3 היא אסוציאטיבית).
הקשר למחלקות נוספות של אלגברות.
תהי formula_15 אלגברה אלטרנטיבית. אלגברת ז'ורדן הנוצרת על ידי הפעולות של האלגברה על עצמה מימין (formula_43) מוגדרת, כרגיל, על ידי הפעולה formula_44; מדובר אם כך באלגברת ז'ורדן מיוחדת. כאשר formula_15 נוצרת סופית, גם אלגברת ז'ורדן זו נוצרת סופית. הגידול של אלגברה אלטרנטיבית שקול לגידול של אלגברת ז'ורדן זו, ולכן גם לגידול של המעטפת האסוציאטיבית שלה (כלומר, האלגברה האסוציאטיבית הנוצרת על ידי אופרטורי הכפל מימין).
אלגברות מדרגה 3.
כל אלגברה אלטרנטיבית ספרבילית עם יחידה מדרגה 3 מעל שדה formula_23 היא או הרחבה ספרבילית מממד 3, או formula_47 כאשר formula_48 אלגברת הרכבה (עם יחידה)
דודי אפל
גרבילים
גֶּרְבִּיליים (שם מדעי: Gerbillinae) היא תת-משפחה של מכרסמים במשפחה עכבריים.
הגרבילים הם חיות מדבר. ישנם כ-110 מינים של גרבילים, ואזורי המחיה שלהם מתפרשים על פני אסיה, אפריקה והמזרח התיכון.
נקבת הגרביל יכולה להמליט עד 10 גורים בהמלטה אחת. מין מונגולי של הגרביל הובא לארצות הברית על ידי דוקטור ויקטור שוונטקר בשנת 1954. רוב הגרבילים הם חיות ליליות, תכונה אופיינית לחיות המאכלסות אזורים מדבריים; רובם צמחוניים, בעוד המינים הקטנים אוכלי זרעים בעיקר.
במערב סין הגיעו הגרבילים למדרגת אסון טבע. החל מ־19 באוגוסט 2003, נוהגים לשחרר במערב סין עיטים כדי להילחם בגרבילים, המשמידים כ־46,000 קילומטר רבוע של ערבות עשב.
מבנה גוף.
אורכו הטיפוסי של הגרביל נע בין 15 ל-30 סנטימטרים, כשזנבו מהווה כמחצית מאורכו. מין יחיד, הגרביל הענק, שמקורו בטורקמניסטן, גדל עד לאורך של 40 ס"מ.
למיני הגרבילים השונים פרווה בגוונים שונים – החל מלבן, דרך גוונים שונים של חום, צהוב ואפור, ועד שחור, ולעיתים גוונים מעורבים. בגפיים הקדמיות יש 4 אצבעות ובגפיים האחוריות 5.
גרבילים בשירות האדם.
מזגם הנוח של הגרבילים תורם לחיבה הרבה של בני אדם אליהם. תכונות אלה חיבבו את הגרבילים גם על חוקרים באקדמיה. בשל מזגם העדין, חריצותם וסקרנותם הגדולה, גרבילים רבים משמשים כחיות מחקר פופולריות לניסויים ביולוגיים והתנהגותיים. תוחלת החיים בשבי כשש שנים.
הגרביל משמש גם כחיית מחמד פופולרית. בעיקר המין גרביל מונגולי שהוא הגרביל היחיד שמותר ליבוא, סחר ואחזקה בישראל. בעולם נהוג לגדל גם "גרביל עב-זנב" ("Pachyuromys duprasi") ואף יפה זנב שמצוי בסיני. למינים המבויתים של הגרביל המונגולי ובמידה מעטה יותר לגרביל עב-זנב מופעי צבע רבים כגון שחור, לבן, אפור, אדמוני ועוד, שהתקבלו בעזרת רבייה סלקטיבית של מגדלי חיות.
דוד אפל
דוד (דודי) אַפֶּל (נולד ב-7 באוגוסט 1950) הוא איש עסקים, קבלן בניין, ופעיל הליכוד. בשנת 2010 הורשע בעברות של מתן שוחד ונדון למאסר.
ביוגרפיה.
אפל נולד לאברהם אפל, ניצול שואה ופעיל במפלגת חרות, ולוויולט. מנחם בגין היה סנדקו. הוא גדל בבית סבו וסבתו ובהמשך נשלח למשפחה אומנת בבנימינה, שם הכיר את זאב בוים, את אהוד אולמרט ואת אחיו של אהוד אולמרט. את שנות לימודיו בילה במגדיאל, ב"פנימייה המקצועית", ובבית הספר "אורט" שם למד במגמת דפוס. ידו נפגעה בשל נפילת מכונת דפוס, ולכן הוא לא גויס לצה"ל. בגיל 20 הצטרף לצעירי הליכוד, פעילות אותה המשיך באופן קבוע גם בהמשך, ונחשב למקורב לרבים ממנהיגי המפלגה.
בשנת 1975 פתח בכיכר המדינה את החנות "אצבעוני" למוצרי תינוקות. לימים הייתה החנות לרשת ארצית. במקביל היה שותף בחברת המשקאות סבן אפ בעזה. בשנת 1977 מכר את "אצבעוני" והקים עם הקבלן שלום גניש חברה לבניין ועבודות ציבוריות בשם "אדירים". שלוש שנים מאוחר יותר, קיבלה החברה מעמד של חברה משכנת, והחברה החלה עוסקת במיזמים רבים של משרד השיכון, במסגרתם בנתה אלפי יחידות דיור. הוא נחשב מקורבו של דוד לוי שהיה שר השיכון. בין השאר פעלו במסגרת פרויקט שיקום שכונות בפינוי ושיקום "מעברת יוספטל" בכפר סבא ו"מעברת חוטר" בבאר יעקב, הם קיבלו תקציבים ממשרד השיכון לפינוי והקמה של דיור חלופי.
לקראת הבחירות לכנסת השתים עשרה, שנערכו בשנת 1988, היה אפל מעורב בבחירות המקדימות במרכז תנועת החרות. בין השאר ארגן "דיל" בין מחנה לוי לבנימין נתניהו, שרק הצטרף אז לפעילות בתנועה. נתניהו זכה במקום התשיעי ברשימה, נבחר לכנסת ה-12, והתמנה לסגנו של שר החוץ דוד לוי.
פרשיות בהן היה מעורב.
בדצמבר 1986 נעצר בחשד למתן שוחד לחוקר בכיר של מס הכנסה. על פי החשד, אפל וגניש שילמו לחוקר שוחד כדי שיודיע להם מראש על ביקורות צפויות, במסגרת חקירה של העלמות בחברה הקבלנית שלהם. בנוסף נחשד בשיבוש חקירה. את אפל יצג עורך הדין ראובן ריבלין (לימים נשיאהּ העשירי של מדינת ישראל). אפל זוכה מחמת חוסר ראיות, אך החוקר הבכיר של מס הכנסה הורשע בקבלת שוחד מאדם אחר.