תהי formula_116 קבוצה פתוחה דיפאומורפית ל formula_133 ניתן להגדיר את האינטגרל של תבנית דיפרנציאלית formula_27 על formula_135 באופן הבא: formula_136 כאן formula_137 הוא דיפאומורפיזם שומר אוריינטציה ואינטגרל של תבנית דיפרנציאלית על formula_98 מוגדר על ידי הזיהוי הסטנדרטי בין תבניות דיפרנציאלית לפונקציות.
הגדרה זו לא תלויה בבחירת הדיפאומורפיזם formula_139 ובלבד שהוא שומר אוריינטציה, אולם אילו formula_139 היה הופך אורנטצייה אז התוצאה המתקבלת הייתה מנוגדת.
ניתן להכליל הגדרה זו עבור קבוצה פתוחה כללית formula_116 על ידי חלוקת היחידה.
כמו כן ניתן להגדיר אינטגרלים של k-תבניות דיפרנציאליות לאורך תת-יריעות מכוונות k ממדיות.
אם formula_27 תבנית הפיכה על formula_143 אז היא מגדירה אוריינטציה, ולכן ניתן להגדיר את האינטגרל שלה ביחס לאוריינטציה שהיא עצמה מגדירה גם אם לא נקבע אוריינטציה על formula_69 אינטגרל זה תמיד חיובי, ומסמנים אותו ב
formula_145
ניתן להכליל הגדרה זאת גם לתבניות לא הפיכות (ואף למקרה ש formula_47 לא אוריינטבילית) ע"י:
formula_147
כאשר
formula_148
כיסוי האוריינטציות.
תהי formula_47 יריעה. אוריינטציה על היריעה היא מושג מקומי: בכל נקודה formula_57 של היריעה אפשר להגדיר את האוריינטציה בנקודה בתור אוריינטציה על המרחב המשיק formula_151 (חיובית או שלילית). נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה formula_53 ב-formula_153 (זו קבוצה בת שני איברים). ניתן לאגד קבוצות אלו למרחב כיסוי formula_154. כיסוי דו-יריעתי זה נקרא כיסוי האוריינטציות.
אפשר להפוך את כיסוי האוריינטציות לאגד (הנקרא אגד האוריינטציות) או לאלומה (הנקראת אלומת האוריינטציות). באמצעות כיסוי האוריינטציות ניתן להגדיר את "קרקטר האוריינטציות" של החבורה היסודית formula_155. אפשר לזהות דרך כיסוי האוריינטציות את כל האוריינטציות האפשריות של היריעה. ניתן להתייחס אל כיסוי האוריינטציות כאל תחליף אוריינטבילי עבור יריעה לא אוריינטבילית.
אוריינטציה על אגד ואוריינטציה יחסית.
יהי formula_156 אגד וקטורי formula_3-ממדי מעל מרחב טופולוגי formula_158
אוריינטציה על formula_156 היא אוריינטציה על כל אחד מהסיבים
formula_160 של formula_156
התלויה באופן רציף בנקודה formula_53 שמעליה הסיב.
בהתבסס על מושג האוריינטציה על אגד אפשר להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית של ההעתקה formula_163 בשני מקרים:
בשני המקרים ניתן גם להגדיר גרסאות יחסיות של האובייקטים המקומיים המבוססים על כיסוי האוריינטציות:
formula_166
כל אלה יהיו אובייקטים מעל formula_69
אוריינטציה על יריעה טופולוגית.
תהי formula_47 יריעה טופולוגית formula_3-ממדית. על מנת להגדיר את מושג האוריינטציה על formula_47 נגדיר תחילה את כיסוי האוריינטציות formula_171. כמו במקרה החלק, אוריינטציה על formula_47 תהיה חתך של כיסוי האוריינטציות.
כיסוי האוריינטציות.
כמו במקרה החלק, הגדרת כיסוי האוריינטציות מבוססת על מושג האוריינטציה בנקודה.
הגדרה "אוריינטציה בנקודה"
formula_60
היא יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית formula_174 נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה formula_53 ב-formula_176
נשים לב שמכיוון ש formula_174 איזומורפית ל-formula_178, הקבוצה formula_176 בת שני איברים.
נגדיר formula_180 כאשר הטופולוגיה עלformula_181 מוגדרת, דרך המקרה formula_182 על ידי הזיהוי formula_183
קל לראות שאם formula_47 יריעה חלקה אז הגדרה זאת מתלכדת עם ההגדרה במקרה החלק.
כמו קודם ניתן להגדיר את האגד formula_185 ואת האלומה formula_186 אבל, להבדיל מהמקרה החלק לא ניתן להגדיר את האגדים formula_187 או formula_188 שאר הבניות והתכונות הקשורות לאוריינטציה במקרה החלק תקפות גם במקרה הטופולוגי, לאחר התאמות קלות.
המחלקה היסודית.
נניח כי formula_47 יריעה סגורה (זאת אומרת קומפקטית בלי שפה). תהי formula_1 אוריינטציה על formula_69 ניתן להרכיב ממחלקות ההומולוגיה formula_192 מחלקה אחת בformula_193
משפט: קיימת ויחידה מחלקת הומולוגיה
formula_194
כך ש
formula_195
כאשר formula_196 היא ההעתקה הטבעית, וformula_197 היא המחלקה שמוגדרת על ידי האוריינטציה formula_198
מחלקת הומולוגיה formula_199 נקראת המחלקה היסודית . באופן אינטואיטיבי ניתן לחשוב על המחלקה היסודית בתור המחלקה המייצגת את "כל היריעה".
אם formula_47 קשירה אז formula_199 יוצרת את חבורת ההומולוגיה formula_202 אשר איזומורפית ל-formula_178.
במקרה זה ניתן להגדיר אוריינטציה בתור בחירה של מחלקה יסודית (זאת אומרת בתור יוצר של formula_202). אם formula_47 לא אוריינטבילית (אבל קשירה) אז formula_206).
אוריינטציה יחסית (המקרה הכללי).
תהי formula_212 העתקה רציפה של מרחבים טופולוגיים.
באופן אנלוגי למקרה החלק, ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית (ואת המושגים הנלווים formula_213) כאשר אחד התנאים הבאים מתקיים:
נשים לב שתנאים אלה מתקיימים לעיתים גם כאשר המרחבים הטופולוגיים formula_214 אינם יריעות.
הבניות והתכונות הקשורות לאוריינטציה יחסית במקרה החלק תקפות גם במקרה הטופולוגי, לאחר התאמות קלות.
אוריינטביליות.
יריעה נקראת אוריינטבילית אם ניתן להגדיר עליה אוריינטציה. באופן מקומי כל יריעה איזומורפית ל-formula_98 ולכן ניתן לבחור עליה אוריינטציה. אולם מכיוון שבכל נקודה יש שתי אפשרויות לבחירה זו, לעיתים לא ניתן לבצע בחירה באופן גלובלי. זאת הסיבה שחלק מהיריעות אינן אוריינטביליות.
סיכום.
הטבלה הבאה מסכמת את הדוגמאות למעלה ועוד מספר דוגמאות כמו גם קריטריונים לאורינטביליות (והעדרה).
שימושים במתמטיקה.
ספירת נקודות מכוונת.
לאורינטציה תפקיד בבניות רובות בטופולוגיה דיפרנציאלית. צורת שימוש אחת באוריינטציה, היא בהרחבת מושג הספירה.
יסוד השימוש טמון בניתוח של יריעות קומפקטיות מממד אפס, דהיינו קבוצות דיסקרטיות סופיות. יריעות אלה ממוינות על פי מספר הנקודות בהן. מספר הנקודות הוא מספר טבעי והוא למעשה האינווריאנט היחיד שניתן להגדיר עבור יריעות אלה. אולם, אם נתבונן ביריעה קומפקטית מממד אפס מכוונת, נראה כי ניתן להגדיר אינווריאנט נוסף: "המספר המכוון" של הנקודות ביריעה. כלומר מספר הנקודות בעלות אוריינטציה "+" פחות מספר הנקודות בעלות אוריינטציה "-". מתברר כי אינווריאנט זה יציב יותר ובעל שימושים רבים יותר.
ניתן להגדיר אינווריאנטים רבים של אובייקטים שונים בטופולוגיה דיפרנציאלית לפי הסכמה הכללית הבאה: לבנות יריעה מממד אפס המבוססת על האובייקט הנמלד (בדרך כלל בנייה זאת תלויה בבחירות מסוימות), להתבונן במספר המכוון של הנקודות שלה ולהוכיח כי התוצאה לא תלויה בבחירות. בדרך כלל לאינווריאנטים אלה יש גרסה עבור אובייקטים לא מכוונים, אולם אז צריך להחליף את המספר המכוון של הנקודות במספר הנקודות מודולו 2 (מספר הנקודות עצמו יהיה תלוי בדרך כלל בבחירות), מכאן שבמקום לקבל אינווריאנט עם ערכים ב-formula_178 אנו מקבלים אינווריאנט עם ערכים בformula_217, מה שהופך אותו לחלש יותר.
להלן מספר דוגמאות של אינווריאנטים כאלה.
מעלה של העתקה.
תהי formula_112 העתקה חלקה של יריעות חלקות מכוונות מממד formula_3 . לפי הלמה של סארד יש להעתקה זאת ערך רגולרי formula_220. הסיב formula_221 של הנקודה formula_222 הוא יריעה מממד אפס. המעלה של formula_139 מוגדרת להיות המספר המכוון של נקודות היריעה formula_221.
אינדקס חיתוך.
תהי formula_47 יריעה חלקה, קומפקטית ומכוונת מממד formula_3 ויהיו formula_227 תת-יריעות סגורות מכוונות. נניח כי
formula_228
במקרה כזה ניתן להגדיר את אינדקס החיתוך של formula_80 ו formula_230. לשם כך יש להשתמש בעיקרון הטרנסוורסליות (המבוסס על הלמה של סארד), שאומר שאפשר לשנות מעט את היריעות formula_231 כך שהחיתוך formula_232 יהיה טרנסבווסלי. מכאן שהחיתוך formula_232 הוא יריעה מממד 0. האורינטציות על formula_234 ו formula_230 מגדירות אוריינטציה על formula_232. אינדקס החיתוך של formula_80 ו formula_230 מוגדר להיות המספר המכוון של נקודות היריעה formula_232.
תורת מורס.
מקרה נוסף בו משתמשים בספירה מכוונת הוא בתורת מורס. תורת מורס, או ליתר דיוק גרסתו של סמיל לתורה זאת מתאימה לשלשה
formula_240 (במצב כללי) המורכבת מיריעה חלקה סגורה formula_47 פונקציית מורס formula_242 ומטריקה רימנית formula_243, קומפלקס שרשרת formula_244. החבורות האבליות formula_245 הן חבורת האבליות החופשיות הנפרסות על ידי הנקודות הקריטיות של formula_242 מאינדקס מורס formula_247. הדיפרנציאל formula_248 מוגדר בעזרת ספירה מכוונת של מסלולים גרדיינטים בין שתי נקודות קריטיות בעלות אינדקס עוקב.
להבדיל מהמקרים הקודמים, תורת סמיל מורס תקפה גם כאשר formula_47 אינה אוריינטבילית, מבלי הצורך להחליף את חוג השלמים formula_178 בחבורה formula_217. לשם כך יש לבחור אוריינטציות מקומיות בסביבת כל נקודה קריטית, המתאימות אחת לשנייה במובן מסוים שלא מספיק חזק כדי לאפשר הרכבת אוריינטציה אחת מכולם. תהליך זה מורכב, ולכן במקרים מסוימים מעדיפים להסתפק בתורת מורס עם מקדמים ב-formula_217. הדבר בולט עוד יותר בתורת פלויר, שהיא הכללה מרחיקת לכת של תורת מורס.
קובורדיזם.