מסקנה נוספת ממשפט לוונהיים-סקולם היא שאם formula_1 תורה formula_75-קטגורית (יש לה מודל יחיד עד כדי איזומורפיזם מעוצמה formula_75), ואין לה מודלים סופיים, אז formula_1 תורה שלמה. זאת משום שאם formula_207 הם מודלים כלשהם של formula_1, אז לפי הנתון הם אינם סופיים, ולכן לפי משפט הכיווץ יש להם תת-מבנים אלמנטריים formula_209 מעוצמה formula_75. מכיוון ש-formula_1 תורה formula_75-קטגורית נובע מכך ש-formula_209 איזומורפיים. לכן אותם משפטים נכונים הן ב-formula_3 והן ב-formula_8, וכל המשפטים הללו בהכרח נובעים מ-formula_1.
בראשית המאה ה-20 ניסתה הקהילה המתמטית למצוא תורה מסדר ראשון שתתאר את המתמטיקה המודרנית כולה (ראו תוכנית הילברט). משפט לוונהיים-סקולם קבע שאף תורה שכזו לא תהיה קטגורית, ויהיו לה מודלים רבים. מאוחר יותר הוכח משפטי האי-שלמות של גדל שאף החריף את הבעיה יותר - לא תיתכן תורה שכזו שתהיה גם עקבית, גם אפקטיבית וגם שלמה (כלומר לא רק שיהיו לה מודלים רבים, אלא שלא בכולם יתקיימו אותם המשפטים).
משפט לינדסטרום קובע ששפה מסדר ראשון היא התחשיב הלוגי החזק ביותר שבמסגרתו מתקיימים הן משפט הקומפקטיות והן משפט הכיווץ של לוונהיים-סקולם.
פרדוקס סקולם.
החלת משפט לוונהיים-סקולם על תורת הקבוצות האקסיומטית גוררת מסקנה הנדמית סתירתית. לפי המשפט קיים מודל בן מנייה של תורת הקבוצות. לכן כל הקבוצות במודל הן בנות מנייה (שכן כל איבר של קבוצה הוא בעצמו קבוצה במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל). זאת בסתירה לכאורה למשפט קנטור שממנו עולה שקיימות קבוצות שאינן בנות מנייה.
תוצאה זו נתגלתה על ידי סקולם ב-1922 והיא קרויה על שמו "פרדוקס סקולם". סקולם גם הסביר מדוע הפרדוקס אינו סתירה באמת. הפתרון נעוץ בכך שהמונח "קבוצה" במודל של סקולם נבדל מהמשמעות החיצונית שלו. השוואת עוצמות של קבוצות מסתמכת על קיומן של פונקציות חד-חד-ערכיות ועל ביניהן. אולם פונקציות שכאלה הן בעצמן קבוצות, שאינן בהכרח כלולות כקבוצות במסגרת המודל הקטן ובן המנייה של סקולם לתורת הקבוצות. נכון שקיימת פונקציה חיצונית למודל שמתאימה בין קבוצת המספרים הטבעיים לקבוצת המספרים הממשיים במודל של סקולם, אבל הפונקציה הזו אינה קיימת בתוך המודל של סקולם, ולכן הוכחת האלכסון של קנטור עדין עובדת במודל זה.
WGS84 (ראשי תיבות של: World Geodetic System 1984; מערכת גאודזית עולמית) הוא סטנדרט של מידול כדור הארץ (דאטום) שמשמש בקרטוגרפיה, גאודזיה וניווט. הסטנדרט מכיל מערכת קואורדינטות קרטזית של כדור הארץ, דאטום וגאואיד המבוסס על כוח המשיכה לצורך מדידת גובה פני הים בכל מקום. כיום המערכת הגאודזית העולמית הנהוגה היא משנת 1984 (שחודשה בשנת 2004), קדמו לה WGS60, WGS66 ו-WGS72.
זוהי מערכת הקואורדינטות הנפוצה כיום בעולם, ומכשירי GPS רבים עובדים לפיה.
פרמטרים.
מרכז מערכת הצירים של המערכת הוא במרכז המסה של כדור הארץ בדיוק של עד 2 ס"מ. קו האורך 0 הוא לפי רשת IERS (102.5 מטר מזרחית לקו גריניץ').
אלפסואיד היחוס הוא IAG GRS 80. מידותיו של האליפסואיד: מחצית האלכסון הראשי הוא 6,378,137 מטר (מסומן a) ושיטוח של 1/298.257223563 (מסומן f).
גאואיד היחוס הוא EGM96 וההפרש שלו מהאליפסואיד הוא בין 85 ל-105 מטר.
הפרשים בין ED50 לבין WGS84.
קווי האורך והרוחב של שתי המערכות זהות בצפון מזרח רוסיה. בתנועה הקווים דרומה ומזרחה, הקווים של ED50 נעים מהר יותר מקווי WGS84. כך שבאזור ספרד יש הפרש של 100 מטר ובישראל הפרש של כ-150 מטר כאשר קווי הרשת של ED50 דרומיים יותר מאשר WGS84.
מולית
מוּלִית (שם מדעי: "Mullus") הוא סוג של דג מסדרת הדקראים. למולית ארבעה מינים ותפוצתו בדרום מערב האוקיינוס האטלנטי, בצפון מזרח האוקיינוס האטלנטי, בים התיכון ובים השחור. הדגים ממין זה, שוחים בקרקעית הים.
ארבעת המינים הם:
יש המסווגים שני תת-מינים למולית האדומה
מולית הפסים
מוּלִית הַפַּסִים (שם מדעי: "Mullus surmuletus"; שם עממי: בַּרְבּוּנְיָה) הוא דג מסדרת הדקראים אשר תפוצתו בים התיכון ובצפון מזרח האוקיינוס האטלנטי. דג זה, הנדיר מבין ארבעת מיני המוליות הנידוגים שבישראל, הוא דג מאכל בכל ארצות הים התיכון. מקור השם ברבוניה הוא מספרד (ובייחוד מגסקוניה) שם הוא נקרא בעבר Barberin.
המינים הנוספים המוגשים לעיתים קרובות במסעדות בישראל כברבוניה הם: מולית אדומה ("Mullus barbatus)" אף הוא דג ים-תיכוני/אטלנטי, המכונה גם "סולטן איברהים", ואופון זהוב הפס "(Upeneus moluccensis") המכונה גם "אדמירל", שמוצאו מים סוף/אוקיינוס ההודי.
סימונה מרטיני
סימונה מרטיני (באיטלקית: Simone Martini; 1284, סיינה – 1344, אביניון), היה צייר איטלקי מסיינה, שבחבל טוסקנה באיטליה. סימונה מרטיני היה דמות מרכזית בהתפתחות הציור האיטלקי המוקדם, והייתה לו השפעה רבה על התפתחות הסגנון הגותי הבינלאומי.
ביוגרפיה.
מקורות המידע.
המידע המתועד על קורות חייו מועט, כך גם מועטות היצירות שהן שלו בוודאות. הוא מוזכר בספרו של ג'ורג'ו וזארי "חיי הציירים, הפסלים והאדריכלים הדגולים ביותר", אלא שספר זה נכתב מעל מאתיים שנה מאוחר יותר ויש ספקות לגבי דיוק נתוניו. על כן הביוגרפיה של מרטיני היא משוערת ברובה, משוחזרת על פי מעט המידע ובמידה רבה על סמך זיהוי יצירותיו שנעשה בעיקר על פי סגנון הציור.
חייו האישיים.
מרטיני נולד בסיינה, או בסביבתה, בשנת 1284. בשנת 1324 נישא לג'ובנה, בת למשפחת אמנים: אביה ממו די פיליפוצ'ו ואחיה ליפו ממי. ב-1336 עבר לאביניון אל חצר האפיפיור בנדיקטוס ה-12. בעקבות הצלחתו האמנותית היה מרטיני לאיש אמיד. כבר ב-1324, שנת חתונתו, רכש בית בסיינה. בצוואתו מדובר על שני בתים, כרמים וסכום ניכר של כסף. הוא נפטר באביניון ב-4 באוגוסט 1344.
פעילותו האמנותית.
מקובל על המחקר שהיה תלמיד של דוצ'ו. פעילותו האמנותית החלה בסיינה בזמן כלשהו בין 1305 ל-1310, שם נשאר מרכז פעילותו עד שעבר כעבור שנים לאביניון. אולם הוא עבד גם בערים אחרות באיטליה, ביניהן פיזה וסן ג'ימיניאנו. בשנים 1312 עד 1317 שהה מדי פעם באסיסי שם עבד על הפרסקאות ועל סקיצות לויטראז'ים בבזיליקה של פרציסקוס הקדוש. ב-1317 נסע, כנראה, לנאפולי על פי הזמנת רוברט מאנז'ו, מלך נאפולי. שם צייר את תמונת המזבח של לואי הקדוש. ב-1336 עבר לאביניון, שם נוצר מרכז אמנותי חשוב בעקבות המעבר של חצר האפיפיור.
יצירותיו.
רק מעטות היצירות עליהן ידוע בוודאות שהן שלו:
נתניה דברת
נתניה דברת (י"ח באב תר"צ, 12 באוגוסט 1930 - י"ב בניסן תשמ"ז, 11 באפריל 1987) הייתה זמרת סופרן ישראלית ומורה לפיתוח קול באקדמיה למוזיקה בתל אביב.
ביוגרפיה.
נולדה בשם סאנה ליפיץ בעיר רובנו בברית המועצות (כיום באוקראינה), סמוך לגבול הפולני. במלחמת העולם השנייה, עקב מבצע ברברוסה, ברחה משפחתה לעיר באקו. לאחר המלחמה עברה המשפחה לפולין ומשם עלו עמה לארץ, לאחר מלחמת העצמאות.
בתחילת דרכה בארץ עבדה כפועלת במפעל עלית ולאחר העבודה למדה עברית וראיית חשבון.
בשנת 1950, בגיל 20, זכתה בתחרות לכישרונות צעירים מטעם משרד החינוך ועל כן הוענקה לה מלגת לימודים באקדמיה "החדשה" למוזיקה בירושלים. שם למדה אצל אדית בורושק. במהלך לימודיה הכירה את בעלה, אפרים דברת, שסייע לה גם בלימודיה וגם בהתאקלמותה החברתית. השניים נישאו עוד במהלך לימודיה וזמן קצר לאחר סיומם נולדה הבת הבכורה מירב. אחת מהופעותיה הפומביות הראשונות הייתה עם התזמורת הפילהרמונית הישראלית ומקהלת פועלי פתח תקווה בתפקיד הראשי בהשמעת הבכורה של האורטוריה "שיר השירים " של מרק לברי.
בעקבות זכייתה במקום הראשון בתחרות מטעם קרן התרבות אמריקה-ישראל הוענקה לה מלגת לימודים באיטליה.
במאי 1956 הופיעה ברסיטל הראשון בבית ציוני אמריקה.
בשנים 1958–1959 למדה זמרה אצל ג'ני טורל (Jennie Tourel) בבית הספר ג'וליארד שבניו יורק. במקביל, על מנת לממן את שהייתה, הופיעה בפני קהילות יהודיות.
בפסטיבל הזמר והפזמון הראשון (1960) ביצעה את השירים "עוזי וזמרת יה" ו"שיר הפלך". בשנים 1960–1961 הופיעה יחד עם התזמורת הסימפונית חיפה ובהופעות התזמורת הפילהרמונית של לונדון בארץ.
באביב 1961 יצאה לארצות הברית למסע הופעות ולהקלטות בחברת התקליטים "ואנגארד" (Vanguard). בעלה יצא עמה לחו"ל עקב מינויו כקונסול ישראל בשיקגו. במהלך שהותה שם נולד הבן זמרן סיני.
באוקטובר 1963 שבה דברת לישראל. המשפחה התגוררה ברמת גן.
במהלך שנות ה-60 הופיעה במספר קונצרטים בחו"ל, בין השאר עם המנצחים ליאונרד ברנשטיין, ג'ון ברבירולי ולאופולד סטוקובסקי ועם התזמורת הפילהרמונית של ניו יורק והתזמורת הסימפונית של שיקגו.
הופיעה משנת 1967 כסולנית באופרה הישראלית בין השאר באופרות "נשף המסכות", "נבוקו", "אותלו", "אאידה", "טוסקה", "אבירות כפרית", "דולי הפנינים", "לה טראוויאטה", "חיי פריז", "ברון הצוענים", "העטלף", "מלכת שבא", "לה ג'וקונדה" ו"הכלה המכורה".
בשנת 1968 הופיעה בביצוע העברי לאופרה "הקונסול" של מנוטי במסגרת פסטיבל ישראל עם "האנסמבל הקאמרי הישראלי" והתזמורת הקאמרית הישראלית.
דברת שיחקה גם בהפקה מחודשת של "הקונסול" עם אותה הלהקה בשנת 1971. המנצח היה גארי ברתיני וההצגות הועלו בקולנוע אלהמברה. בינואר אותה שנה נפרדו בני הזוג דברת.
באמצע שנות ה-70 החלה ללמד פיתוח קול באקדמיה למוזיקה בתל אביב ובמקביל המשיכה להופיע בקונצרטים במסגרות שונות.
ב-1977 השתתפה בקונצרט מיצירותיו של שלום אהרוני.
בשנת 1971 נישאה בשנית ליעקב שפירא, מהנדס במקצועו.
בני הזוג התגרשו לאחר שהיחסים ביניהם התדרדרו ואף הגיעו לכדי אלימות הדדית במרץ 1981.