בהינתן האפשרות, לרוב בסוף החורף ובאביב, הצבי אוכל עשבים ירוקים, בעיקר בשדות פתוחים. הצבי ניזון בעיקר מדגניים, ומאוחר יותר בשנה גם מצמחים דו-פסיגיים. בעונות העשירות במים, הצבאים רועים בעיקר בשטחים פתוחים רחבי ידיים. כאשר זמינות המזון יורדת, הצבאים עוברים בהדרגה להתקיים על עלי שיחים ועצים. הצבאים ממעיטים לשתות מים נוזליים בעונות קרות, וצורכים את המים להם הם זקוקים מהמזון, אך בקיץ הם לרוב מסתובבים בקרבת מקור מים גדול ושותים מספר פעמים ביום. בית הגידול הטיפוסי שלהם לרוב כולל שטחי עשב רחבי ידיים, או אזור חורש דליל. הצבאים מעדיפים אזורים הרריים, ועל כן המין אליהם הם משתייכים נקרא באנגלית "Mountain Gazelle".
בית גידול חשוב לצבאים בארץ, הוא עמק הצבאים, בירושלים. ב-2008 היו בעמק 12 צבאים, ב-2019, היו 45 פרטים, ובאפריל 2021, נספרו 75 פרטים. העופר הראשון שנולד ב-2021 נקרא "פייזר" ברוח התקופה. בסוף חודש מאי 2022, נספרו בעמק 83 פרטים.
התנהגות וארגון חברתי.
הצבי פעיל בשעות הקרירות של היום, וקל לאתרו בשעות הבוקר המוקדמות או בשעות בין הערביים. הצבאים לרוב מבלים את שעות הבוקר המוקדמות באכילת כמויות גדולות של עשב, ובשעות החמות רובצים באזור מוסתר ומוצל, נחים ומעלים גירה. הצבאים פעילים במשך כל שעות היום במזג אוויר קריר, ואינם רגישים לגשמים. בשעות החמות הצבי נח בצל עץ ובלילה הוא רובץ בשטח פתוח, בתוך גומה שחפר ברגליו. באזורים בהם קיימת פעילות אדם, הצבאים מעבירים את פעילותם באופן חלקי לשעות הלילה, בעיקר בלילות מוארים היטב, כגון לילות של ירח מלא.
לצבאים יש יכולת למידה והסתגלות, שמתבטאת במספר תחומים. כאמור, הצבאים לומדים מאימם לזהות את המזון הראוי לאכילה. הצבאים מסוגלים גם ללמוד להתאים את דפוסי פעילותם לסביבה משתנה. בפארק עמק הצבאים הסתגל עדר לשעות הפתיחה והסגירה של הפארק, על מנת לשמור מרחק מבני אדם, ושעות הפעילות של הצבאים בשטח הנגיש למבקרים חופפות לשעות בו הפארק ריק מאדם. כמו כן, לצבאים יש יכולת להבדיל בין אינדיבידואלים, לא רק בקרב בני מינם, אלא גם בקרב בני אדם עימם הם באים במגע בקביעות. בישראל נצפו צבאים בקרבת שטחים חקלאיים, המפגינים אדישות כלפי חקלאים בטרקטורים אשר אין חשש שיפגעו בהם, אך בורחים בבהלה ממכוניות פרטיות, העלולות להשתייך לציידים.
הצבי הוא חיה חברתית. הנקבות נעות בטריטוריה בעדר קטן, שמורכב בעיקר מקרובות משפחה, ונקבות נוהגות להישאר בעדר בו נולדו עד סוף חייהן. גודל העדר נע בין שתי נקבות לשש עשרה, ונקבע בעיקר לפי היצע המזון בסביבה, כאשר באזורים עשירים במזון הנקבות יכולות להרשות לעצמן לקיים עדר גדול ובטוח מטורפים מבלי לחשוש ממחסור במזון. עדרי נקבות מגנים על שטחן מפני נקבות חיצוניות, אך מפגינים אדישות לכניסת זכרים לשטחן. זכרים בוגרים וחזקים יחסית, אשר יכולים לגונן על שטח מפני זכרים אחרים ביעילות, תוחמים לעצמם טריטוריות שגודלן עד חצי קמ"ר, בשטחים העשירים במזון, לרוב בחפיפה חלקית או מלאה לטריטוריה של עדר נקבות מסוים. הזכרים מסמנים את השטח בערמות גללים ובשתן (תחנות ריח). ברוב המקרים, הזכר הטריטוריאלי מזדווג באופן בלעדי עם הנקבות בשטח שלו, וכל העופרים הם צאצאיו. הזכר הטריטוריאלי הודף כל זכר שמנסה להיכנס לשטחו, במחוות גוף מאיימות, ובמקרה הצורך באלימות של ממש. קרבות צבאים זכרים לרוב מתקיימים רק כשהזכר הפולש מסרב לסגת, ואף זכר לא מכיר בדומיננטיות של האחר ונכנע. הזכרים הולמים זה בזה בקרניהם, עד ההכרעה, שלרוב כרוכה בפציעה ואף מוות של הזכר המובס. קרבות אלו אינם שכיחים וקשה לצפות בהם, אך לעיתים קרובות זכרים צעירים, עופרים ונקבות נלחמים זה בזה בעדינות כמשחק. לעיתים נדירות עימותים טריטוריאליים בין נקבות מגיעים גם הם לכדי אלימות. העופרים הזכרים מגורשים בהגיעם לבגרות, לרוב בגיל חצי שנה מעדר הנקבות על ידי הזכר הטריטוריאלי, והזכר לא מהסס לגרש את צאצאיו שלו.
הזכרים שאינם חזקים מספיק להחזיק בטריטוריה מובחרת הכוללת נקבות, חיים ב"עדרי רווקים", שהם לרוב ניידים יותר, ובעלי הרכב יציב הרבה פחות. זכרים מצטרפים לעדרים אלו כאשר הם צעירים, לאחר שגורשו מהעדר בו נולדו, ונשארים בעדר הרווקים עד שהם מתבגרים ומחליטים לצאת למצוא טריטוריה משל עצמם. זכרים מבוגרים שהודחו משטחם על ידי זכר צעיר וחזק יותר מוצאים גם הם את דרכם לעדרי רווקים. זכרים מסוימים, לעיתים אלו שטרם מצאו עדר רווקים או גורשו מאחד, חיים לבדם, והחזקים בהם מחזיקים טריטוריה זמנית בעונת הרבייה.
התפלגות פואסון
בתורת ההסתברות, התפלגות פואסון (Poisson distribution) היא התפלגות של משתנה מקרי בדיד, הקרויה על שם המדען הצרפתי סימאון דני פואסון (1781–1840).
כמו התפלגויות חשובות אחרות, התפלגות פואסון היא למעשה משפחה של התפלגויות בעלת פרמטר אחד, ה"קצב", המסומן בדרך כלל באות formula_1. הפרמטר יכול לקבל כל ערך ממשי חיובי. אם formula_2 הוא משתנה מקרי בדיד שמתפלג פואסונית, אז הוא יכול לקבל רק ערכים שלמים אי שליליים, וההסתברות לקבלת הערך formula_3 היא
formula_4
כאשר formula_3 מקבל ערכים בתחום formula_6 (עבור formula_3 אחר ההסתברות היא אפס). מסמנים formula_8.
התפלגות פואסון מתקבלת כאשר סופרים אירועים שמתרחשים בפרק זמן קבוע. אם האירועים מתרחשים באופן בלתי תלוי ובקצב (ממוצע) קבוע, אזי מספר האירועים שהתרחשו בפרק זמן נתון מתפלג פואסונית. דוגמה לכך היא מספר השיחות המתקבלות במרכזיית טלפונים במשך דקה.
הנוסחה מתארת את הסיכוי שיקרו formula_3 אירועים בזמן שפרופורציוני ל-formula_1.
התפלגות פואסון מתקבלת מהתפלגות בינומית כאשר המכפלה של מספר הניסויים בסיכויי ההצלחה בכל ניסוי נשארת קבועה (ושווה ל-formula_1), ומספר הניסויים שואף לאינסוף. ניתן לפרש את הפרמטר formula_1 כמספר המאורעות הממוצע המתרחש לכל דגימה. הקירוב הזה מתיישב עם העובדה שהתוחלת והשונות של משתנה מקרי פואסוני שוות שתיהן ל-formula_1.
מאידך, כאשר formula_14, ההתפלגות של formula_15 מתקרבת להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית (משפט הגבול המרכזי).
זמן ההמתנה בין הופעות בהתפלגות פואסון הוא בעל התפלגות מעריכית, ומספר ההופעות בזמן קבוע של תופעות שזמן ההמתנה ביניהן מעריכי (עם פרמטר קבוע), הוא פואסוני. לפיכך, התפלגות פואסון היא ההתפלגות היחידה שלפיה זמן ההמתנה בין אירועים מתפלג ללא זיכרון.
להתפלגות פואסון חשיבות רבה בתורת התורים. אם מניחים שלקוחות נוספים לתור באופן בלתי תלוי זה בזה, מתברר שזמן ההמתנה בין לקוח ללקוח הוא בעל התפלגות מעריכית, ומספר הלקוחות שנוספים לתור מדי שעה מתפלג פואסונית.
הופעות של התפלגות פואסונית.
התפלגות פואסונית מתאימה לתיאור מספר התופעות המתרחשות בפרק זמן מסוים, כאשר ההסתברות להתרחשות התופעה בפרק זמן קצרצר היא קבועה.
הכלכלן לדיסלב פון בורטקייביץ' , שהיה פרופסור בברלין בשנים 1901–1931, הוא אחד הראשונים שהבינו את החשיבות המעשית של התפלגות פואסון. בספרו "חוק המספרים הקטנים" הוא נתן דוגמאות (מקבריות) רבות, שאחת הידועות שבהן היא ההתפלגות של מספר החיילים בגדוד של חיל הפרשים הפרוסי שנהרגו בשנה מבעיטת סוס.
להלן דוגמאות נוספות:
הקשר בין התפלגות פואסון להתפלגות הבינומית.
כפי שנכתב לעיל, ניתן לראות את התפלגות פואסון בתור גבול של סדרת התפלגויות בינומיות שבה מספר הניסויים שואף לאינסוף, ותוחלת מספר ההצלחות נשארת קבועה.
נקבע פרמטר formula_1. לכל formula_17 טבעי נביט בהתפלגות הבינומית של מספר ההצלחות ב-formula_17 ניסויים בעלי הסתברות הצלחה formula_19, כלומר ההתפלגות formula_20. נראה ש-formula_21 כאשר formula_22.
אכן, formula_23
בנוסף, formula_24 לפי תכונות ידועות של הקבוע e, ו-formula_25 כי החזקה אינה תלויה ב-formula_17, והביטוי שבתוך הסוגריים שואף ל-1. לכןformula_27שהיא ההסתברות שמשתנה פואסוני עם תוחלת formula_1 יקבל את הערך formula_3.
התפלגות בינומית
התפלגות בינומית היא התפלגות בדידה, המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של formula_1 ניסויי ברנולי בלתי תלויים עם הסתברות הצלחה formula_2 בכל אחד. אם formula_3 משתנה מקרי בינומי המתאים לסדרת ניסויים שכזו מסמנים formula_4.
ההתפלגות הבינומית.
ההתפלגות של משתנה בינומי formula_4 היא
formula_6
עבור formula_7, ונהוג לסמן את ההסתברות לכישלון בניסוי בודד formula_8. הסימון formula_9 מתייחס למקדם הבינומי, שממנו קיבלה ההתפלגות את שמה.
אכן, ההסתברות להצליח בדיוק formula_10 פעמים בסדרה של formula_1 ניסויי ברנולי עם פרמטר הצלחה formula_2 שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות האפשריות של תוצאות שיש בהן formula_10 הצלחות ו-formula_14 כישלונות. מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הסיכוי של סדרה מסוימת (כגון הצלחה-הצלחה-כישלון-כישלון-הצלחה) שווה למכפלה formula_15. לכן ההסתברות הכוללת שווה למספר הדרכים לבחור את formula_10 הניסויים המוצלחים מתוך כלל formula_1 הניסויים, שהוא המקדם הבינומי formula_9, כפול formula_15.
סכום ההסתברויות.
כמו בכל התפלגות, סכום ההסתברויות לכל התוצאות האפשריות הוא 1. אפשר לסכם את ההסתברויות ישירות על ידי נוסחת הבינום: formula_20.
תוחלת ושונות.
התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא formula_21, והשונות שלו היא formula_22.
דוגמה.
מטילים formula_23 פעמים מטבע בעל סיכוי ל"עץ" של formula_24. נניח שההטלות הן בלתי תלויות זו בזו. אם נסמן את מספר הפעמים בהן התקבל "עץ" ב-formula_3 אז formula_26. ההסתברות לקבלת "עץ" formula_27 פעמים בדיוק היא
formula_28
התפלגות בינומית שלילית.