רמז־צץ מופיע בעיקר בעמודי אינטרנט, רוב דפדפני האינטרנט כיום מציגים את המאפיין title באלמנטים של HTML כרמז־צץ כאשר משתמש מניח את סמן העכבר על עצם מסוים בעמוד; בדפדפן נתמך אפשר להניח את הסמן על תמונות או קישורים בוויקיפדיה ולהיווכח בנוכחות הרמז הצץ. ישנם דפדפנים כמו אינטרנט אקספלורר (עד גרסה 7) שמזהים אם מאפיין ה-title ריק ואז מציגים את מאפיין ה-alt כרמז־צץ.
משמעות השם.
המונח tooltip הגיע מגרסאות ישנות של תוכנות מיקרוסופט (כמו Word 95) שכללו סרגל כלים (toolbar) כאשר בעת מעבר הסמן על אחד מהעצמים - הופיע תיאורו הפונקציונלי של הכפתור (הכלי ה-tool). בשנים האחרונות עקב העלייה במודעות לחוויית המשתמש ולאתרים נגישים, רוב אתרי האינטרנט מכילים רמז־צץ.
בית הבובות (סדרת טלוויזיה)
בית הבובות (באנגלית: Dollhouse) היא סדרת מדע בדיוני אמריקאית. הסדרה נוצרה על ידי ג'וס וידון ושודרה בפוקס בין השנים 2009–2010 למשך שתי עונות.
תקציב העונה השנייה ירד ב-40% בעקבות הירידה ברייטינג וזאת לאחר סכנת אי-חידוש לעונה שנייה, אך רשת פוקס חידשה את הסדרה ל-13 פרקים, היוצרים החליטו לתת לצופים סוף סגור.
עלילה.
הסדרה עוקבת אחר מוסד סודי בשם "בית הבובות" הממוקם מתחת לאדמה בעיר לוס אנג'לס ומפעיל "בובות" – אנשים שתודעתם ואישיותם המקורית נמחקה והם מוטבעים באישיות חדשה על ידי מפעיליהם בבית הבובות שמשכירים את הבובות ללקוחות עשירים. הטבעת האישיות החדשה היא זמנית עד מחיקתה על ידי מפעילי בית הבובות ובזמן ההטבעה הבובה מאמינה בכל ליבה שהיא באמת האדם המוטבע.
בחלקה הראשון של הסדרה מוצגים הבובות השונות, והמשימות שלהן. בין משימה ומשימה נוצר קשר בין הבובות. קשר זה לא היה אמור להיווצר, כיוון שהבובות עוברות מחיקה מוחלטת של תודעתם. ככל שהסדרה מתקדמת הצופים מגלים יותר על הטכנולוגיה של בית הבובות, ועל מידת מורכבותה. עם שיפור הטכנולוגיה, היכולת להטמיע אישיות הולכת ונהיית קלה יותר. היכולת הזאת מעלה סוגיות מוסריות על מוסד בית הבובות. לקראת סיום העונה הראשונה הצופים למדים כי מטרת האנשים המפעילים אותה היא הרבה יותר אפלה מאשר לספק בובות שעשוע לעשירי העולם. פרקי הסיום של עונות הראשונה והשנייה מתארים עולם דיסטופי, שנוצר עם השימוש בטכנולוגיה של בית הבובות.
חוג פרימיטיבי
בתורת החוגים, חוג פרימיטיבי הוא חוג שיש לו מודול פשוט ונאמן. כתוצאה מכך, החוגים הפרימיטיביים הם תת-החוגים הצפופים בחוג אנדומורפיזמים של מרחב וקטורי מעל חוג עם חילוק.
החוגים הפרימיטיביים הם אחת המחלקות המרכזיות בתורת החוגים הלא-קומוטטיביים, והיא כוללת את כל החוגים הפשוטים. מאידך, כל חוג פרימיטיבי הוא ראשוני. בין החוגים הקומוטטיביים, כל חוג פרימיטיבי הוא שדה.
הגדרה.
מודול formula_1 מעל חוג formula_2 הוא נאמן אם לא קיים formula_3 כך ש-formula_4. החוג formula_2 הוא פרימיטיבי (שמאלי) אם יש לו מודול (שמאלי) פשוט ונאמן. בדומה לזה מגדירים חוג פרימיטיבי ימני; יש דוגמאות לחוגים שהם פרימיטיביים משמאל אבל לא מימין (ולהפך; ראו בהמשך).
אפיון פנימי.
חוג formula_2 הוא פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידיאל שמאלי מקסימלי, שאינו מכיל אף אידיאל דו-צדדי. זה שקול לכך שקיים לו אידיאל שמאלי formula_7 כך ש-formula_8 לכל אידיאל ראשוני formula_9.
שיכון בחוגי אנדומורפיזמים.
כל חוג פרימיטיבי אפשר לשכן כחוג צפוף בחוג אנדומורפיזמים מעל חוג עם חילוק, באופן הבא. נניח ש-formula_1 מודול (שמאלי) פשוט ונאמן של formula_2. אז formula_1 מודול ימני מעל formula_13. מכיוון ש-formula_1 נאמן, ההעתקה הטבעית formula_15, המתאימה לאיבר formula_16 את הפונקציה formula_17, היא שיכון. חוג האנדומורפיזמים שבתוכו formula_2 משוכן הוא בעל מבנה נוח במיוחד, משום שלפי הלמה של שור, formula_19 הוא חוג עם חילוק. משפט הצפיפות של ג'ייקובסון קובע שתמונת formula_2 בחוג האנדומורפיזמים היא צפופה, כלומר, לכל formula_21 בלתי תלויים ליניארית מעל formula_19, ולכל formula_23 קיים formula_24 כך ש-formula_25 לכל formula_26.
בפרט, אם formula_1 בעל מימד סופי formula_28 מעל formula_29, אז formula_2 איזומורפי לחוג המטריצות formula_31. זהו המקרה למשל אם formula_2 ארטיני. מכאן נובע שבין החוגים הארטיניים, המחלקות של חוגים פשוטים, פרימיטיביים וראשוניים, מתלכדות.
אלגברת המטריצות הסקלריות לבסוף (כלומר, העתקות ליניאריות של formula_33 המקיימות formula_34 לאיזה formula_35 קבוע ולכל formula_36) היא דוגמה לאלגברה פרימיטיבית שאינה פשוטה (ועל כן, לאור הטענה הקודמת, לא ארטינית).
דוגמאות.
כל חוג פשוט הוא פרימיטיבי. בכיוון ההפוך, חוג פרימיטיבי מקומי משמאל (כלומר, כזה שיש לו אידיאל שמאלי מקסימלי יחיד) הוא פשוט.
האלגברה החופשית מעל שדה formula_37 היא חוג פרימיטיבי שאינו פשוט, וכך גם חוג האנדומורפיזמים של מרחב וקטורי (ייתכן מממד אינסופי) מעל שדה.
כל חוג פרימיטיבי הוא ראשוני. אחת השיטות לקבל תוצאות על חוגים ראשוניים כלליים מן הידוע על חוגים פרימיטיביים, היא הבניה הבאה (של דונלד פסמן ): נניח ש-formula_2 חוג ראשוני, formula_39 קבוצת משתנים שעוצמתה לפחות formula_40, ו-formula_41 קבוצת משתנים שעוצמתה שווה לזו של חוג טורי החזקות הלא-קומוטטיביים הפורמליים formula_42; אז חוג הפולינומים הלא קומוטטיביים formula_43 הוא פרימיטיבי.
יהי formula_19 חוג עם חילוק. נסמן את המרכז שלו (שהוא שדה) ב-formula_37. חוג הפולינומים (הקומוטטיביים) formula_46 הוא פרימיטיבי אם ורק אם שדה הפונקציות formula_47 מוכל (כאלגברה מעל formula_37) בחוג המטריצות formula_49 לאיזשהו formula_50.
אם formula_2 אלגברה ראשונית מעל שדה formula_37 שאינו בן-מניה ועוצמתו גדולה משל הממד formula_53, ויש איבר formula_54 שיש לו חזקה שונה מאפס בכל אידיאל ראשוני שונה מאפס, אז formula_2 פרימיטיבי. כל על מכפלה של חוגים פרימיטיביים היא פרימיטיבית (עמיצור).
אחת הבעיות המרכזיות באלגברות חבורה היא השאלה מתי אלגברה כזו היא פרימיטיבית (או פרימיטיבית למחצה). לפי משפט של פורמנק, אם formula_56 חבורות (לא טריויאליות, וכך שלא שתיהן מסדר 2), formula_57 היא המכפלה החופשית ו-formula_2 תחום שעוצמתו אינה עולה על של formula_59, אז formula_60 פרימיטיבי. במקרה שבו formula_2 שדה, ניתן לוותר על התנאי על העוצמות (שהוא הכרחי כאשר formula_2 איננו שדה).
מצד שני, קונל הראה כי formula_60 ראשוני אם ורק אם חוג הבסיס, formula_2, ראשוני וגם לחבורה formula_59 אין תתי חבורות נורמליות סופיות (אמיתיות).
ג'ייקובסון שאל האם חוג פרימיטיבי שמאלי הוא גם פרימיטיבי ימני - ושיער שהתשובה שלילית. אכן, בהיותו סטודנט לתואר ראשון מצא ברגמן דוגמה לחוג כזה. מאוחר יותר הציג Jategaonkar בנייה אחרת (שיש לה תכונות נוספות מעניינות).
משפט Kaplansky על חוגי PI קובע שחוג PI פרימיטיבי הוא אלגברה פשוטה בעלת ממד סופי מעל המרכז. לדוגמה, המישור הקוונטי formula_66, כאשר formula_67 קבוע שאינו שורש יחידה, הוא חוג פרימיטיבי שאינו PI.
אידיאלים פרימיטיביים.
בדומה להגדרה של אידיאלים ראשוניים, אידיאל פרימיטיבי הוא אידיאל שהמנה ביחס אליו היא חוג פרימיטיבי. לחלופין, אלו הם המאפסים של מודולים פשוטים. כרגיל, אידיאל האפס פרימיטיבי אם ורק אם החוג עצמו פרימיטיבי. איחוד על פני שרשרת של אידיאלים פרימיטיביים לא חייב להיות פרימיטיבי (ואפילו לא ראשוני למחצה).
כל מודול פשוט מעל formula_2 הוא מהצורה formula_69 כאשר formula_7 אידיאל שמאלי מקסימלי. מעובדה זו נובע שהליבה של אידיאל שמאלי מקסימלי (היינו, סכום האידיאלים הדו-צדדיים המוכלים בו) היא תמיד אידיאל פרימיטיבי, ושחוג הוא פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידיאל שמאלי מקסימלי שאינו מכיל אף אידיאל דו-צדדי.
רדיקל ג'ייקובסון של חוג מוגדר כחיתוך האידיאלים הפרימיטיביים. למרות ההבדל בין אידיאל (דו-צדדי) שהוא פרימיטיבי שמאלי לבין אידיאל פרימיטיבי ימני, החיתוך של שתי קבוצות האידיאלים שוות, כך שההגדרה של רדיקל ג'ייקובסון היא סימטרית. אם הרדיקל שווה לאפס, אומרים שהחוג הוא פרימיטיבי למחצה (לפעמים גם "פשוט למחצה במובן ג'ייקובסון", או "formula_71-פשוט למחצה"). זהו המקרה אם ורק אם החוג הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים פרימיטיביים.
מרטינוס הראשון
מרטינוס הראשון (בלטינית: Martinus I; נפטר ב-14 בספטמבר 655) כיהן כאפיפיור מה-5 ביולי 649 ועד שנת 653. לימים הוכרז כקדוש נוצרי.
מרטינוס נולד בסמוך לטודי שבאומבריה במקום הנקרא כיום על שמו - פיאן די סן מרטינו (Pian di San Martino).
מרטינוס כיהן כ"אפוקריסיאריוס" - הנונציו (שגריר אפיפיור) בקונסטנטינופול, והיה האחרון שנשא תפקיד זה. בתקופת כהונתו בתפקיד זה זכה לכבוד רב בשל ידענותו וצדקנותו.
מרטינוס נבחר לכהן כאפיפיור ביולי 649, לאחר פטירתו של קודמו, האפיפיור תאודורוס הראשון. בחירתו לא אושרה על ידי קיסרי האימפריה הביזנטית, והיה היחיד מבין האפיפיורים הבינזטיים שבחירתו לא אושרה בצו של קונסטנטינופול. בעקבות מינוי לא מאושר זה נחטף האפיפיור בשנת 653 על ידי הקיסר קונסטנס השני ונפטר בכלאו בחצי האי קרים.