נתבונן במערך מטענים אלקטרוסטטיים (שסכומם האלגברי הכולל עשוי להתאפס), כמתואר באיור.
נניח ואנו רוצים לכמת את הפוטנציאל החשמלי שיוצר מערך מטענים רציף זה בנקודה מרוחקת formula_2, כאשר התווך הוא ריק (ולכן ערכו של הקבוע הדיאלקטרי במקרה זה הוא formula_3).
יהי formula_4 אזור מרחבי עם התפלגות המטען formula_5. ללא הגבלת הכלליות נבחר את ראשית הצירים להיות בנקודה formula_6 כמתואר, כך שהמרחק בין formula_6 לאלמנט מטען ב- formula_4 יהיה formula_9, המרחק מהראשית ל- formula_2 יהיה formula_11 והזווית בין formula_12 ל- formula_13 תהיה formula_14.
ממילא המרחק בין אלמנט מטען ב- formula_4 ל- formula_2 הוא:
formula_17
ובמצב זה אלמנט פוטנציאל formula_18 בנקודה formula_2, הנוצר מאלמנט מטען formula_20 באזור formula_4, יהיה:
formula_22
כאשר לעיל השתמשנו בפונקציה היוצרת formula_23 של פולינומי לז'נדר, עבור formula_24.
לאחר סופרפוזיציה מרחבית, הפוטנציאל הכולל בנקודה formula_2 יהיה הסכום של כל אלמנטי הפוטנציאל, כלומר:
formula_26
formula_27
כאשר formula_28 הוא היעקוביאן השווה ל- formula_29 בקואורדינטות קרטזיות או ל- formula_30 בקואורדינטות כדוריות.
התפלגות אלקטרוסטטית בדידה.
עבור מערך מטענים בדיד נוכל להשתמש בפיתוח הרציף כאשר ההתפלגות תהיה התפלגות דלתא כפונקציונל ליניארי עבור פתרון דיסטריבוטיבי. כלומר, תיאור צפיפות המטען במרחב עם מטען נקודתי
formula_31
formula_32
יהיה
formula_33 כאשר
formula_34
היא הדלתא של דיראק.
עבור מערך מרובה מטענים (נניח formula_35 מטענים formula_36), מתקיים-
formula_37
המומנטים הראשונים בפיתוח המולטיפולי.
מבחינה מעשית נוכל להסתפק בסדר המוביל בפיתוח למולטיפולים חשמליים, כדי לקבל קירוב טוב לביטוי לפוטנציאל בנקודה מרוחקת. בדרך כלל נתעניין בסדרים הראשונים, שבמקרים רבים מספיקים על מנת לתאר מערכת אלקטרוסטטית ואת השפעותיה במרחב (דהיינו את הפוטנציאל החשמלי וכל הנגזר מכך). על מנת להקל על הטיפול במערכות מטענים סטטיות מסובכות, הוגדרו ארבעה אובייקטים (מומנטים) המאפיינים את ארבעת הסדרים הראשונים דלעיל: המומנט הראשון נקרא המונופול והוא הגודל הסקלרי formula_38, המומנט השני הוא מומנט הדיפול המוגדר להיות הווקטור formula_39, המומנט השלישי הוא הקוואדרופול המאופיין על ידי מטריצת מומנט הקוואדרופול
formula_40
של טנזור סימטרי מסדר שני, והרביעי הוא מומנט האוקטופול שייצוגו בכתיב טנזורי תלת ממדי (מסדר שלישי) הוא formula_41 כאשר formula_42 היא פונקציית הדלתא של קרונקר (להבדיל מהדלתא של דיראק בה עשינו שימוש בחלק הקודם). על ארבעת אלה ועל תכונותיהם נפרט בהמשך.
נעיר כי ניתן, תחת ההגדרות לעיל, להציג את הביטוי לפוטנציאל החשמלי באופן הבא:
formula_43
כאשר formula_44 היא עכבת מטריצת מומנט הקוואדרופול formula_45 ו- formula_46 הוא הרכיב ה- formula_47 של וקטור היחידה בכיוון formula_11.
המונופול.
מונופול מייצג חלקיק נקודתי חד-קוטבי שיכול להיות טעון חיובי או שלילי. יחידות המונופול הן קולון (
formula_49
הפוטנציאל החשמלי שיוצר חלקיק נקודתי (ביחס לכל סקלת אורך) טעון
formula_31
מסומן
formula_36
ובריק הוא נתון על ידי הנוסחה
formula_52.
בנוסף השדה החשמלי שיצור אותו מטען
formula_31
מסומן
formula_54
וערכו
formula_55
וכתוצאה משדה אלקטרוסטטי זה יפעל כוח
formula_56
שיהיה כוח דחייה אם המטענים
formula_57
שווי סימן, וכאשר הם מנוגדי סימן כוח זה יהיה כוח משיכה, כך שערכו המתקבל יהיה בסימן שלילי.
באופן דומה ניתן להתייחס לצבר מטענים נקודתיים מרוכזים (באזור המרוחק מנקודת המדידה) שמומנט המונופול שלהם הוא
formula_58
וממנו נגזרים הפוטנציאל, השדה, הכוח, והאנרגיה האלקטרוסטטיים.
הדיפול.
הדיפול כאלמנט מוגדר כשני מטענים נקודתיים שווי ערך ומנוגדי סימן המרוחקים האחד מהשני מרחק formula_59 המהווה את גודלו של הווקטור
formula_60
המכוון מהמטען הנקודתי השלילי אל המטען הנקודתי החיובי. יחידותיו של מומנט הדיפול הן קולון במטר (
formula_61
מומנט הדיפול הוא הווקטור
formula_62
כאשר
formula_31
הוא ערכו (המוחלט) של כל אחד משני המטענים המרכיבים את הדיפול. הפוטנציאל שיוצר אלמנט דיפול יחיד במערכת צירים פולרית, כאשר המטען
formula_31 בנקודה formula_65 והמטען formula_66 בנקודה formula_67, הוא
formula_68
וכיוון ש-
formula_69, השדה החשמלי באותן קואורדינטות קוטביות הוא
formula_70. כלומר לשדה החשמלי הנוצר מאלמנט בודד של דיפול
formula_71
יש רכיב בכיוון
formula_72,
אך גם בכיוון
formula_73,
ושני הרכיבים הם:
formula_74
וכל אחד מהם דועך בקצב של
formula_75, בניגוד לדעיכת שדה ממונופול הדועך כ-
formula_75.
בקואורדינטות כדוריות נקבל תוצאה דומה, רק שהפעם
formula_77.
במצבים בהם המדידה מתבצעת בנקודה רחוקה אך לא מספיק כדי להתייחס למערך כנקודתי, או לחלופין כאשר חישוב מומנט המונופול מתאפס, ניקח בחשבון את מומנט הדיפול- חישוב המתחשב בהשפעתם של כל זוג מטענים שווי ערך ומנוגדי סימן הקרובים זה לזה כך שכמעט מבטלים את ההשפעות אחד של השני בנקודה מרוחקת ובלבד ש- formula_11 איננו גדול מדי. כלומר עבור צבר דיפולים המתהווים מהתפלגות מטען נקודתי formula_79 כלשהי, מומנט הדיפול יהיה-
formula_80
וניתן לראות את השקילות המתחייבת (על מנת שנוכל לייצג את
formula_81
בצורה לעיל) להגדרה של מומנט הדיפול, שהרי אם
formula_82
הוא אינדקס המצביע על כל מטעני
formula_83
formula_84
הוא אינדקס הרץ על כל שאר מטעני
formula_66 (כך ש-
formula_86
הוא אינדקס הרץ על כל מטעני המערך)- אזי כיוון ש-
formula_87, ברור כי-
formula_88
הקוואדרופול.
הקוואדרופול הוא המומנט השלישי בפיתוח למולטיפולים, והוא יכול להיות מיוצג בשני סוגים של אופנים- חד ממדי (כמו הצגת הדיפול) הנקרא קוואדרופול ליניארי, או דו ממדי שהוא קוואדרופול קלסי, כמתואר באיור. עבור שתי תצורות אלו ייווצר, הרחק מהן, פוטנציאל חשמלי שבו הסדר המוביל הוא המולטיפול השלישי. יחידות מומנט הקוואדרופול הן
formula_89.
בקואורדינטות פולריות ניתן לבטא את הפוטנציאל החשמלי הנוצר (בנקודה רחוקה) למשל כתוצאה מאלמנט קוואדרופול ליניארי על ידי-
formula_90
ואפשר לראות שהפוטנציאל דועך כמו
formula_75,
לעומת
formula_75
בדיפול ו-
formula_1
במונופול.
גם כאן ניתן להכליל למקרה של מערך רציף (בעל אופי של קוואדרופול) עם התפלגות מטען
formula_94,
כך שתיאור הפוטנציאל החשמלי המרחבי במערכת צירים כדורית יהיה-
formula_95
כך שאם נציב
formula_96
מיד יתקבל הביטוי-
formula_97
כאשר
formula_98
formula_99.
לעיתים מתייחסים למומנט הקוואדרופול כגודל הסקלרי
formula_100
המאפיין אותו, על אף שאין זה ייצוגו המדויק. כיוון שהקוואדרופול הוא טנזור מסדר שני, ניתן לתאר אותו בעזרת מטריצה דו ממדית של
formula_101
שמתוך
formula_102
מרכיביה
formula_103
הם בלתי תלויים, אך כמובן ניתן להצגה גם בכתיב טנזורי כאשר:
formula_104
ואז פוטנציאל מומנט הקוואדרופול יראה כך-
formula_105
כאשר
formula_106
היא מטריצה חסרת עכבה המאפיינת את מומנט הקוואדרופול ולה
formula_107
רכיבים בלתי תלויים מתוך
formula_102.
ממילא ניתן לראות כי כאשר נחשב את מינוס הגרדיאנט של הביטוי הנ"ל, נקבל את שלושת רכיביו של השדה החשמלי, בכיוונים
formula_72,
formula_73
formula_111.
האוקטופול, ההקסטודופול ומולטיפולים מסדרים גבוהים.
המומנט הרביעי בפיתוח המולטיפולי הוא של האוקטופול. לאוקטופול לרוב יהיה מבנה מורכב משל הקוואדרופול, וניתן לייצגו בכמה תצורות על ידי מערך סופי של מטענים נקודתיים. הדרך הקלאסית ליצור פוטנציאל המתנהג ודועך כמו הסדר הרביעי בפיתוח למולטיפולים היא על ידי שני קוואדרופולים האחד מול השני כאשר באחד מהם מחליפים בין המטענים החיוביים והשליליים. מומנט האוקטופול יכול להיות מיוצג על ידי מטריצה תלת ממדית מסדר שלישי (מטריצה שממדיה הם formula_112), או על ידי טנזור מסדר שלישי עם formula_113 רכיבים. יחידותיו של מומנט האוקטופול הן
formula_89.
לפעמים נרצה להתכנס לרמת דיוק גבוהה בחישוב הפוטנציאל החשמלי המרחבי, או שאחרת נקבל תוצאה טריוויאלית, ולכן נצטרך לחשב את הסדר הרביעי בפיתוח לפוטנציאל. במצב כזה ניקח בחשבון את הביטוי-
formula_115
ונציג אותו בצורה נוחה על ידי:
formula_116
כך שסדר האוקטופול בפיתוח המולטיפולי לפוטנציאל הוא פשוט-
formula_117
או לחלופין, כיוון ש-
formula_118
, נתכנס להצגה המקובלת:
formula_119
ובהתאם לפיתוח מתקבל פוטנציאל חשמלי הדועך כמו
formula_75
ולכן השדה החשמלי ידעך כמו
formula_75.
האוקטופול הוא האחרון ברביעיית הסדרים הראשונים שניתן לייצגם במרחב אוקלידי תלת ממדי (על ידי מערך בדיד, סימטרי ואחיד) בתהליך רקורסיבי פשוט של הוספת (במקביל) היפוך השיקוף של אלמנט המומנט הקודם (למעט במונופול שהוא תנאי ההתחלה של התהליך הרקורסיבי) לקבלת אלמנט בסיס למומנט הנוכחי כקודקודיו של מצולע משוכלל (עם אותו ממד ליניארי formula_59 כך ש- formula_123).
הסימטריה הנ"ל אינה נשמרת במובן שלא ניתן למשל ליצור אלמנט הקסטודופול (אלמנט עם formula_124) כקודקודיו של טסרקט (גוף במרחב ארבעה ממדי המהווה היפרקובייה מממד 4) במרחב תלת ממדי (זאת כיוון שבמרחב כזה ניתן לתאר בסך הכל גאומטריה של ממד אפס, חד ממד, דו ממד ותלת ממד).
כתוצאה מכך, תיאור של מומנט כאלמנט נעשה מסובך ככל שמתקדמים לסדרים הגבוהים (שהולכים ונעשים זניחים, בקצב דעיכה של