בטופולוגיה אלגברית, למחלקות רבות של יריעות אפשר להגדיר חבורת קובורדיזם מתאימה. לדוגמה חבורת הקובורדיזמים של היריעות הסגורות מוגדרת כאוסף כל היריעות הסגורות עד-כדי יחס השקילות הבא: שתי יריעות formula_3 ממדיות formula_234 שקולות אם האיחוד הזר formula_255 הוא שפה של יריעה formula_256 ממדית. האיחוד הזר מגדיר את הפעולה (החיבורית) על חבורה אבלית זאת.
קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מממד 0 היא החבורה formula_217.
באופן דומה ניתן להגדיר את חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות כאוסף כל היריעות הסגורות עד-כדי יחס השקילות הבא: שתי יריעות מכוונות formula_3
ממדיות formula_259 שקולות אם האיחוד הזר formula_260 הוא שפה של יריעה formula_256 ממדית. קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מכוונות מממד 0 היא החבורה formula_178.
באופן כללי יותר, חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות היא תמיד מפיתול 2 (זאת אומרת מרחב ליניארי מעל השדה הסופי formula_263) בעוד שחבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות לעיתים חסרת פיתול כלל.
מדוגמאות אלה רואים כי חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות מכילה מידע שלא נמצא בחבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות, ובמובנים מסוימים עשירה ממנה.
את האינווריאנטים שתוארו בפרק הקודם (מעלה, ואינדקס חיתוך) אפשר לראות כאינווריאנטים שערכיהם בחבורת הקובורדיזם של יריעות מממד 0. אם היריעות המקוריות מכוונות, אז האינווריאנטים הם עם ערכים ב-formula_178, אם לא, אז הערכים ב-formula_217.
דואליות פואנקרה.
בעזרת המחלקה היסודית ומכפלת הספל ניתן להגדיר את דואליות פואנקרה. תהי formula_47 יריעה סגורה מכוונת מממד formula_3. דואליות פואנקרה היא דואליות (זאת אומרת זיווג לא מנוון) בין הקו-הומולוגיה
formula_268 והקו-הומולוגיה formula_269 כאשר formula_270 שדה ממציין 0. הזיווג מוגדר על ידי
formula_271
כאשר formula_272 היא מכפלת הספל, formula_273 והזיווג באגף שמאל הוא הזיווג הסטנדרתי בין הומולוגיה וקו-הומולוגיה.
זיווג זה מגדיר איזומורפיזם formula_274. בצורה זאת דואליות פואנקרה תקפה עבור הומולוגיות בכול חוג מקדמים.
לדואליות פואנקרה יש גם גרסאות עבור יריעות כלשהן, בדומה לגרסאות השונות של המחלקה היסודית. לדואליות פואנקרה הכללה מרחיקת לכת – דואליות ורדיה.
הכללות, גרסאות ואנלוגיות.
אוריינטציה בתורת הגרפים.
ניתן להגדיר אוריינטציה על אובייקטים קומבינטוריים בעלי אופי גאומטרי. למשל אוריינטציה על גרף משמעה הפיכתו לגרף מכוון, זאת אומרת בחירת כיוון עבור כל
קשת. אין כל דרישה להתאמת הכיונים בקודקודים. לכן, להבדיל מיריעה, אין משמעות למושג אוריינטביליות בהקשר של גרף ועל כל גרף אפשר להגדיר אוריינטציה.
באופן דומה ניתן להגדיר אוריינטציה על אובייקטים קומבינטוריים מורכבים יותר, כמו למשל קומפלקס סימפלקסיאלי. באובייקטים קומבינטוריים אחרים, כמו למשל קבוצה סימפלקסיאלית, האוריינטציה מובנית בתוך ההגדרה של האובייקט עצמו.
אוריינטציה בתורת ההומולוגיה.
יהי formula_6 מרחב טופולוגי. ניתן לחשוב על מחלקת הומולוגיה formula_276 בתור "אובייקט גאומטרי" מכוון מממד formula_247 בתוך formula_6 (עד כדי יחס שקילות מסוים). לדוגמה, ציקלוס סינגולרי הוא למעשה קומפלקס סימפלקסיאלי מכוון, המועתק לתוך היריעה.
אם מוותרים על האוריינטציה על הקומפלקס הסימפלקסיאלי ב-formula_6 אז מקבלים מחלקת הומולוגיה עם מקדמים ב-formula_217.
בגישות אחרות לתורת ההומולוגיה ובאופן כללי יותר בתורות הומולוגיה מוכללות, מחליפים את הקומפלקסים הסימפלקסיאלים באובייקטים גאומטריים אחרים. לדוגמה, אם נחליף את הקומפלקסים הסימפלקסיאלים ביריעות, נקבל את חבורות הקובורדיזם של formula_6.
גם בתורות קו-הומולוגיה האוריינטציה באה לידי ביטוי. למשל קו-הומולוגית דה-ראהם מבוססת על מושג התבניות הדפרנציאליות. מושג זה קשור למושג האוריינטציה על יריעה חלקה.
דואליות ורדיה.
מושג האוריינטציה אינו מוגדר למרחבים טופולוגיים שאינם יריעות. אולם ניתן להכליל את אלומת האוריינטציות (ואת אלומת האוריינטציות היחסית) למרחבים טופולוגיים קומפקטיים מקומית. הדבר נעשה במסגרת דואליות ורדיה. דואליות ורדיה היא למעשה מימוש של פורמליזם ששת הפונקטורים של גרוטנדיק עבור מרחבים טופולוגיים. הפורמליזם כולל פונקטורים שונים בין קטגוריה הנגזרת של קטגוריות האלומות על מרחבים שונים. אחד מהפונקטורים האלה הוא formula_282 המוגדר עבור העתקה רציפה formula_283 כאשר formula_284 היא הקטגוריה הנגזרת של קטגורית האלומות על formula_6. פונקטור זה הוא הצמוד מימין של הפונקטור הנגזר של פונקטור התמונה הישרה עם תומך קומפקטי formula_286.
באמצעות הפונקטור formula_287 ניתן להגדיר את הקומפלקס המדאל היחסי על ידי formula_288 כאשר formula_289 היא האלומה הקבועה על formula_6. כאשר formula_291 הוא נקודה, אנו מקבלים את הקומפלקס המדאל formula_292. אלומת האוריינטציות ואלומת האוריינטציות היחסית הן מקרים פרטיים של הקומפלקס המדאל והקומפלקס המדאל היחסי. בהתבסס על הקומפלקס המדאל ניתן להגדיר את פונקטור הדואליות של ורדיה formula_293 על ידי formula_294.
מנקודת המבט של דואליות ורדיה, דואליות פואנקרה היא מקרה פרטי של הטענה הבאה:
.formula_295
אוריינטציה על יריעות פסוודו-רימניות.
מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי מבוסס על כך שלחבורה formula_296 יש שני רכיבי קשירות. לכן על מרחב ליניארי יש שתי אוריינטציות. שני בסיסים מגדירים אותה אוריינטציה על מרחב אם מטריצת המעבר ביניהם נמצאת ברכיב הקשירות של היחידה בformula_296, הם מגדירים אוריינטציות הפוכות אם המטריצה נמצת ברכיב השני.
המצב במרחבים עם מכפלה פנימית דומה מכיוון שלחבורה האורתוגונלית formula_298 יש גם כן שני רכיבי קשירות. עם זאת, אם מאפשרים למכפלה הפנימית לא להיות חיובית לחלוטין, ניתן לעדן את מושג האוריינטציה. הסיבה לכך היא שלחבורה formula_299 יש ארבעה רכיבי קשירות.
בהינתן תבנית ריבועית מסיגנטורה formula_300 על מרחב formula_17 וקרקטר כפלי formula_302 ניתן להגדיר יחס שקילות על קבוצת הבסיסים האורטונורמליים באופן הבא: שני בסיסים formula_303 וformula_304 שקולים אם formula_305. מכיוון של formula_299 יש שלושה קרקטרים לא טריוויאליים אנו מקבלים שלושה יחסי שקילות. לכל אחד מהיחסים האלה אפשר להתאים גרסה של מושג האוריינטציה. כך בנוסף לאוריינטציה נקבל שני מושגים נוספים הנקראים, בהשראת תורת היחסות, אוריינטציית מרחב ואוריינטציית זמן.
באופן דומה מגדירים מושגים אלה על יריעה פסוודו-רימנית.
אוריינטציה בגאומטריה אלגברית.
מכיוון שמושג האוריינטציה מבוסס על רכיבי הקשירות של החבורה formula_296 הוא מושג ממשי מטבעו, ולכן לא מוגדר עבור יריעות אלגבריות מעל שדה כללי. מעל formula_308 המצב שונה. על יריעה אלגברית ממשית חלקה (ובאופן כללי יותר על יריעת נאש) יש מבנה טבעי של יריעה חלקה ולכן ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה עבור יריעות נאש. יתר על כן על כיסוי האוריינטציות, אגד האוריינטציות ועל אגד הצפיפויות של יריעת נאש גם ניתן להגדיר מבנה של יריעת ואגדי נאש.
בשונה ממושג האוריינטציה, לדואליות ורדיה דוקה יש גרסאות עבור יריעות אלגבריות מעל שדה כללי (ואף לסכמות מסוימות). גרסה אחת, עבור אלומות קוהרנטיות, נקראת דואליות גרותנדיק. הקשר של גרסה זאת לאוריינטציה רופף כי בה אלומת האוריינטציות מוחלפת באלומת התבניות הדיפרנציאליות. יש גרסאות נוספות עבור D-מודולים, אלומות formula_309-אדיות ואלומות סוטות formula_309-אדיות. גרסאות אלה קשורות יותר למושג האוריינטציה.
ראו גם.
מושגים הדורשים בחירת אוריינטציה
מושגים קשורים
טרימורטי
טְרִימוּרְטִי (בסנסקריט:त्रिमूर्ति, בתרגום חופשי "שלושה פסלים" במשמעות "שלוש צורות") הוא מושג בהינדואיזם בו מאפייני הבריאה, התחזוקה וההרס הקוסמיים עוברים הפרדה ובידול לדמויותיהם של שלושה אלים המייצגים מחזור מעגלי: ברהמה (הבורא), וישנו (המגן והמשמר) ושיווה (ההורס ומשנה הצורה). שלושת האלים זכו לכינוי "השילוש ההינדואי", "השילוש הקדוש הגדול" או השילוש הקדוש.
בחלק מהתיאורים של הטרימורטי, כמו בתבליט המפורסם במערות אלפנטה, מופיעה דמות יחידה עם שלושה ראשים ולעיתים אף ראש אחד בעל שלוש פנים, המביטים לשלושה כיוונים שונים - לפנים, ימינה ושמאלה.
הטרימורטי בהינדואיזם.
תפיסות שונות בהינדואיזם מייצגות יחס שונה אל מושג הטרימורטי.
תפיסת הוישנויזם אינה מקבלת את מושג הטרימורטי. למשל, בבית הספר דוויטה (Dvaita) מאמינים כי וישנו לבדו הוא האל השולט ושיווה כפוף אליו.
תפיסת השיוויזם (Shaivism) היא שהאל שיווה מבצע חמש פעולות - יצירה, שימור, פירוק, חסד מסתיר וחסד חושף. כל אחת מחמש הפעולות תואמת לשם ולצורה של שיווה. הוא האל העליון העומד מעל כל הפעילויות.
הסמרטיזם (Smartism) היא כת של ההינדואיזם ששמה דגש על קבוצה של חמישה אלים ולא אל אחד. "פולחן של חמש צורות" הפך לפופולרי על ידי הפילוסוף מהמאה התשיעית שנקרה, שציין את חמשת האלים גנש, וישנו, שיווה, דווי, וסוריה (Surya).
השפעה נוצרית בה האלוהות נחלקת לשילוש קדוש, עזרה למצב תפישה דומה של שילוש שוויוני כביכול גם בהינדואיזם.
משפט האי-שלמות הראשון
משפט האי שלמות הראשון
שמואל ברקוביץ