ברצוננו לשמור מידע מסוים, אשר נקרא אות המידע, בצורה שונה (ראו ערך אפנון להסבר על הסיבות בגללן נחוץ שינוי מעין זה ועל שינויים אפשריים אחרים). בשרטוט, אות המידע הוא האות האדום, גודלו בכל נקודה הוא המידע אותו נרצה לשמור. האות הנושא (הירוק) הוא אות מחזורי בעל תדר גבוה. אפנון תדר הוא הוספת גודל אות המידע (מוכפל בקבוע ידוע) לתדר האות הנושא. כפי שניתן לראות בשרטוט, האות המאופנן (הכחול) אינו מחזורי ומהירות השינוי שלו (קרי התדר הרגעי) משתנה - לפעמים השינויים מהירים ולעיתים איטיים. ניתן לראות כי האזורים שבהם האות המאופנן בעל תדר גבוה יותר, הם האזורים שבהם אות המידע הוא בעל ערכים גבוהים - ולהפך. כשנרצה לשחזר את האות המקורי, נמדוד את מהירות השינוי של האות המאופנן ונחסיר ממנה את התדר המקורי (הידוע) של האות הנושא ונקבל את גודל אות המידע. כל תחנה מקבלת תחום תדרים משלה ובתוך תחום זה היא משנה את התדרים. תחום התדרים הזה הוא קטן בהרבה מהתדר עצמו ולכן עדיין אפשר לברור בין תחנות.
ייצוג מתמטי.
אות המידע הוא:
מלשון Information, האות מוגבל לתחום ±1.
הגל הנושא הוא מהצורה:
כאשר formula_3 הוא התדר הנושא (מלשון Carrier) וformula_4 היא המשרעת.
נציב:
כאשר formula_6 נקרא סטיית התדר, המתאר עד כמה יכול להשתנות התדר הרגעי של האות המאופנן.
ולכן:
נראה לכאורה כי תחום התדרים שאותם תופס שידור המאופנן באפנון תדר הוא formula_8 אולם אין זה כך. תחום התדרים הרגעיים של האות שונה ממרכביו הספקטרליים הדומיננטיים, כלומר – תחום התדרים המרכיבים שידור FM הוא אינסופי, אולם עצמת התדרים דועכת (עד כדי הזנחה) בצורה חדה כאשר מתרחקים מהתדר המרכזי.
ניתוח מתמטי של אות מאופנן FM בתחום התדר עבור אות מידע כלשהו הוא מסובך ביותר. לקבלת דרישת רוחב סרט מקורבת ניתן:
הר סיני
במקרא, הַר סִינָי הוא המקום שבו ניתנה התורה לעם ישראל, אירוע המכונה "מעמד הר סיני". במשך הדורות הוצעו כמה אפשרויות לזיהוי מקומו של הר סיני המקראי: ברחבי חצי האי סיני, גבול נגב-סיני, ערביה ועבר הירדן.
הר סיני במקרא.
"הר סיני", המכונה גם "הר חורב", הוא שמו של אזור ההרים אליו הגיעו, על פי המסורת, שנים עשר שבטי ישראל בחודש השלישי לאחר יציאת מצרים. בו הם הקימו מחנה למשך כשנה. המסע המפותל מים סוף לנקודה זו, נמשך באורך של כ-240 ק"מ. ספר שמות מפרק ועד לסוף הספר, יחד עם כל ספר ויקרא וספר במדבר פרקים -, כוללים את תיאור האירועים שקרו בזמן שבני ישראל שהו במקום. על פי המסופר שם, מרפידים הלכו בני ישראל לכיוון אתרים המזוהים כיום בשמות ואדי סולף, ואדי א-שייח', מישור א-רח'ה, "מדבר סיני", ושם חנו "נגד ההר".
לפי המסופר במקרא, הר סיני ממוקם בין מדבריות צין ופארן, וכן בין ארץ עמלק לארץ מדין. כאשר שהו בני ישראל בקדש, סוּפר במקרא, שקדש היא במדבר פארן, אך במקום אחר צוין כי היא שוכנת במדבר צין. מיקומם של שני מדבריות אלו והיחס ביניהם לא ידוע באופן שאפשר לקבוע את מקומם המדויק, אם כי גבולותיהם מוגדרים יותר בתנ"ך.
לפי הסיפור המקראי, במהלך חנייתם בהר עברו בני ישראל חוויה דתית עמוקה. במהלך מתן תורה, הם הפכו לעם שהתחייב לאלוהים. לפני מעמד הר סיני אלוהים אמר למשה שיזהיר את העם לא לגעת בהר במשך כל המאורע, ולאחר סיום המאורע מיד תוסר ממנו הקדושה ויהיה מותר לאנשים ולבהמות לעלות אליו. לאחר מכן אירעו במקום זה חטא העגל ובניית המשכן.
בחודש השני של השנה השנייה לאחר יציאת מצרים, המשיכו במסעם וצעדו קדימה בסדר מוגדר. לאחר מהלך שלושה ימים הגיעו ל"מדבר פארן", ושם קבעו את תחנתם הבאה. אז התאווה העם לבשר, ודרש ממשה לספק להם בשר. העם אכן קיבל את מבוקשו, אולם אלוהים כעס על מקרה זה והרג בהם. משה קרא למקום ההוא קברות התאווה. המסע מסיני לגבול הדרומי של ארץ ישראל לקדש (בערך 240 ק"מ נוספים) ארך מכ' באייר ועד כ"ט בסיון.
משמעות השם.
משמעות שם ההר "סיני" נתון לוויכוח. יש הקושרים את שמו של ההר לסין, אל הירח של המזרח הקרוב הקדום. לפי המסופר במקרא הר סיני מצוי בגבולותיו של מדבר סיני.
יש לשים לב כי מדבר צין, מדבר סין ומדבר סיני מוזכרים במקרא כמקומות נפרדים: מדבר צין סמוך ביותר לארץ ישראל (שם התחיל תיור המרגלים, ועם ישראל הגיע לשם בשנתם השנייה ליציאתם ממצרים ושם קיבלו עוד 38 שנה ככפרה על זה ששמעו לעצת המרגלים). לעומת זאת, למדבר סין הגיעו חודש בדיוק לאחר יציאת מצרים: "וַיִּסְעוּ מֵאֵילִם, וַיָּבֹאוּ כָּל עֲדַת בְּנֵי יִשְׂרָאֵל אֶל מִדְבַּר סִין אֲשֶׁר בֵּין אֵילִם וּבֵין סִינָי, בַּחֲמִשָּׁה עָשָׂר יוֹם לַחֹדֶשׁ הַשֵּׁנִי לְצֵאתָם מֵאֶרֶץ מִצְרָיִם:". בפסוק זה מוזכר גם בפירוש שסיני הוא מקום אחר, וכך גם בסדר המסעות בפרשת מסעי.
הר סיני בתרבות יהודית.
אמר רבי יהושע בן לוי: בכל יום ויום בת קול יוצאת מהר חורב ואומרת: "אוי להם לבריות מעלבונה של תורה". (איכה רבה, פתיחתא ב').
"ואמר רבה בר בר חנה: זימנא חדא הוה קא אזלינן במדברא ואיתלוי בהדן ההוא טייעא... אמר לי: תא אחוי לך הר סיני. אזלי, חזאי דהדרא ליה עקרבא וקיימא כי חמרי חוורתי. שמעתי בת קול שאומרת: אוי לי שנשבעתי, ועכשיו שנשבעתי מי מפר לי? כי אתאי לקמיה דרבנן, אמרו לי: כל אבא חמרא, כל בר בר חנה סיכסא; היה לך לומר: מופר לך! והוא סבר: דלמא שבועתא דמבול הוא. ורבנן - א"כ, 'אוי לי' למה?" (בבא בתרא דף עד עמוד א)
[תרגום: ואמר רבה בר בר חנה: פעם אחת הלכנו במדבר והתלווה אלינו סוחר אחד... אמר לי: בוא ואראך את הר סיני. הלכתי, ראיתי שמסתובבים סביבו עקרבים הגדולים כחמורים לבנים. שמעתי בת קול שאומרת: אוי לי שנשבעתי, ועכשיו שנשבעתי מי מפר לי? כשבאתי לפני חכמים (וסיפרתי להם מה שראיתי), אמרו לי: כל אבא (שוטה כמו) חמור, כל בר בר חנה שוטה; היה לך לומר: מופר לך (והגלות הייתה נגמרת)! והוא (רבה בר בר חנה בכוונה לא אמר כי) סבר: שמא השבועה המדוברת היא שבועת המבול (שלא יביא עוד מבול). וחכמים (סברו שזה לא ייתכן, כי) אם כך, למה אמרה הבת קול 'אוי לי'?]
אבנים מהר סיני.
באזור של הר סיני מצויות אבנים עם איור של שיח. כבר בתקופות קדומות זוהה האיור עם הסנה הבוער וכן ניתן ההסבר לשם "הר סיני" על שם הסנה. ככל הידוע, המקור הקדום ביותר שמציין עובדה זו הוא הספר עג'אא'ב אלמחלוקאת של הגאוגרף הפרסי זכריה אל קזוויני בן המאה ה-13. גם ההיסטוריון הערבי אבו אל-פידאא כותב על כך בתחילת המאה ה-14, וכך גם הנוסע הנוצרי גוצ'י מטוסקנה שביקר באזור בסוף המאה ה-14.
רבי משה נרבוני כותב בפירושו על מורה הנבוכים שחיבר באמצע המאה ה-14, כי הראו לו מאותם אבנים שהובאו מהר סיני, וראה את הסנה מצויר בהם ושמח בזה. גם רבי שמואל אבן צרצה אחריו, טרח לבדוק ולאמת את המידע הזה, וכן פרשנים נוספים של מורה הנבוכים כמו האפודי ורבי שם טוב אבן שם טוב כתבו על אותן אבנים מהר סיני. לעומתם, רבי יעקב עמדין תוקף בחריפות את הניסיון למצוא תופעות טבעיות שמאמתות את הידוע על פי המסורת.
התופעה קרויה אצל החוקרים "פרחי מנגן", והיא נוצרת כתוצאה מהתגבשות תחמוצת המנגן בתוך הסלע.
מיקומו של הר סיני המקראי.
מסורת יהודית.
יש אומרים שמקומו המדויק של הר סיני, מקום קבלת עשרת הדיברות מאלוהים, אינו ידוע באופן מכוון, על מנת למנוע את הפיכתו למקדש. זאת בדומה למיקומו של קבר משה בהר נבו שבמואב שעל פי המסורת לא נודע מסיבה דומה.
ג'בל מוסא.
במסורת הנוצרית, ההר המכונה על פי רוב "הר סיני" הוא ג'בל מוסא ("הר משה") - הר בדרום חצי האי סיני במצרים.
המסורת על היות ג'בל מוסא הר סיני היא מסורת נוצרית, המספרת כי המלכה הלנה, אמו של הקיסר קונסטנטינוס, זיהתה את הר סיני בג'בל מוסא. בשנת 527 בנה הקיסר יוסטיניאנוס הראשון במקום כנסייה נוצרית בשם 'סנטה קתרינה'.
חלק מרכס ההרים, צוק סלע נמוך ובולט, הידוע בשם ראס סופספה, בולט כמעט במאונך למישור, ויש המזהים אותו עם הר סיני ההיסטורי. סיורים במקום כמו גם קבוצות דתיות מפרסמות אותו כהר סיני המתואר בתנ"ך. עם זאת, היסטוריונים וארכאולוגים מצביעים על העובדה שאין מסורת מקובלת אחת שקובעת איזה הר הוא הר סיני האמיתי, וישנן מספר קבוצות אחרות שמצביעות על הרים אחרים באזור כעל ההר האמיתי.
בינואר 1978 הכריז נשיא מצרים, אנואר סאדאת, על כוונתו להקים בהר בתי תפילה לשלוש הדתות, בית כנסת מסגד וכנסייה.
הר כרכום (נגב).
הר כרכום (בערבית: ג'בל עידיד) הוא הר בנגב הדרומי, בו התגלו ריכוזים יוצאי דופן של אתרים ארכאולוגיים ואמנות סלע. ההר מזוהה בידי הארכאולוג עמנואל ענתי כהר סיני המקראי.
הר כרכום היה הר קדוש באלפים הרביעי והשלישי לפנה"ס, כאשר אנשים רבים בנו את מגוריהם למרגלות ההר ומעטים טיפסו על הרמה כדי לבצע את הפולחן הדתי. תיאור דומה מובא בספר שמות לגבי האיסור לאנשים לדרוך על ההר: (). כמו כן צפיפותם של אתרי יישוב גבוהה יותר מאשר בכל אזור אחר שנסקר עד כה בנגב ובסיני, למרות דלילותם של מקורות המים באזור.
סרביט אל-ח'אדם.
ד"ר צבי אילן הציע לזהות את סרביט אל-ח'אדם עם הר סיני.
ג'בל אל-לווז (ערביה).
תאוריה נוספת מציעה את ג'בל אל-לווז שבערב הסעודית, בארץ מדין הקדומה. על פי הצעה זו חצו בני ישראל את סיני עד נואיבה, או עד לשארם-א-שייח', שם חצו את ים סוף, והמשיכו אל ג'בל אל-לווז לא הרחק משם. הסופר הווארד בלום חיבר ספר בשם "בעקבות עגל הזהב" שהוא רומן סביב הרעיון הזה. תאוריה זו אינה מקובלת בקרב המחקר, לא הושמה תחת ביקורת מקצועית ואינה מגובה בעדויות מהימנות, ויש לציין שכל זיהוי של הר סיני באזור מדין אינו תואם לכתוב במקרא::
ג'בל סין בישר.