כאשר formula_11 הוא הנגזרת של formula_12 במערכת האינרציאלית, ו formula_13 הוא הנגזרת של formula_9 במערכת המסתובבת במהירות זוויתית formula_15 יחסית אליה. כלומר, מציגים את הווקטור formula_9 במערכת הצירים המסתובבת וגוזרים אותו במערכת הצירים הזו, תוך התעלמות מכך שהצירים עצמם משתנים בזמן.
בפרט, עבור התאוצה והמהירות, מתקיים:
formula_17,
formula_18
אם נציב את הביטוי למהירות בביטוי של התאוצה, נקבל:
formula_19 &lt;br&gt;
(השתמשנו בדיסטריביוטיביות של מכפלה וקטורית).
בהנחה ש formula_20 קבוע (ולכן formula_21) ניתן לפתוח את הנגזרת כך:
formula_22
עתה נציב את הביטוי שקיבלנו, ונגיע ל:
formula_23.
כאשר formula_24 היא תאוצת קוריוליס, ו formula_25 היא התאוצה הצנטריפוגלית המוכרת
(גודל ביטוי זה הוא
formula_26).
והכוח המדומה שיצפה במערכת המסתובבת הוא
formula_27.
האיבר הראשון בביטוי זה הוא כוח קוריוליס, והאיבר השני הוא הכוח הצנטריפוגלי. אם formula_28 ניצב ל-formula_29 אז הכוח הצנטריפוגלי הוא פשוט הביטוי המוכר:
formula_30
קל לראות מהפיתוח שאם formula_31 לא קבוע,
כלומר formula_32 (ישנה תאוצה זוויתית), הרי מלבד כוח קוריוליס והכוח הצנטריפוגלי יש להוסיף כוח מדומה נוסף השווה ל formula_33, אולם הפיתוח כולו מתבסס על ההנחה שציר הסיבוב הוא קבוע, ולכן הנוסחה נכונה רק אם
formula_28
משתנה רק בגודלו ולא בכיוונו משום שאז כל הפיתוח שגוי.
הסבר מתמטי פשוט למקרה של מהירות רדיאלית.
כוח קוריוליס מתקבל כאשר אדם הנמצא על שולי דיסקה מסתובבת מנסה לנוע במהירות קבועה בכיוון הרדיוס לכיוון מרכז המעגל. הכוח יופיע במאונך לכיוון ההתקדמות, במישור הדיסקה, מימין או משמאל (תלוי בכיוון סיבוב הדיסקה). לאדם על הדיסקה זהו כוח שאין לו הסבר ולכן נקרא "כוח מדומה", אולם לצופה מחוץ לדיסקה הכוח הוא כוח ממשי מאחר שהוא רואה שהמהירות המשיקית של האדם הנע על הדיסקה (לאורך הרדיוס) משתנה, ולכן מן ההכרח שפועל כוח שמקטין את המהירות המשיקית. זהו כוח קוריוליס.
חשוב להבין שמבחינת האדם על הדיסקה אין לו מהירות משיקית formula_35 (מבחינתו אין סיבוב) אולם יש לו מהירות רדיאלית formula_36 (מהירות בכיוון הרדיוס), אולם הצופה מבחוץ רואה גם את המהירות המשיקית וגם את המהירות הרדיאלית של האדם על הדיסקה.
ההוכחה שלהלן מתבצעת תוך התבוננות מחוץ לדיסקה:
תהי θ הזווית ברדיאנים, R רדיוס הדיסקה ו-S אורך קשת המעגל (המתאימה לזווית θ).
ידוע כי את אורך הקשת ניתן לתאר על ידי הנוסחה formula_37, ברור שלצופה מבחוץ גם R וגם θ הן פונקציות של t מאחר שהתנועת האדם על הדיסקה מתבצעת גם לאורך הרדיוס וגם בכיוון משיקי (מעצם סיבוב הדיסקה)
כדי למצוא את המהירות המשיקית formula_35 נבצע גזירה לפי מכפלה formula_39 (נשים לב formula_40, formula_41, formula_42 מהירות זוויתית)
ולכן נקבל את המשוואה formula_43 (formula_35 מהירות משיקית, formula_36 מהירות רדיאלית, formula_46 מהירות זוויתית)
כדי לקבל את התאוצה המשיקית (תאוצת קוריוליס) נגזור את המהירות המשיקית ונשים לב לכך שformula_36 וגם formula_46 קבועים בזמן כלפי הצופה מחוץ לדיסקה.
ונקבל formula_49 נסדר את המשוואה ונקבל formula_50 (תאוצת קוריוליס)
ומכאן כוח קוריוליס formula_51
הערה: זהו תיאור סקלרי בלבד המתאר את גודל הכוח ולא את כיוונו.
הסבר מתמטי למקרה של מהירות משיקית - "אפקט אטווש".
חשיבותו המעשית של "אפקט קוריוליס" נובעת בעיקרה על ידי רכיב התאוצה האופקית שלו הנגרמת על ידי תנועה אופקית.
ישנם רכיבים נוספים לכוח קוריוליס. גופים הנעים מערבה יוטו מטה (כלומר ירגישו כבדים יותר), בעוד גופים הנעים מזרחה יוטו מעלה (ירגישו קלים יותר). תוצא זה ידוע כ"אפקט אטווש" (Eötvös effect). רכיב זה של כוח קוריוליס הוא מרבי בקו המשווה. הכוח המופק על ידי אפקט זה הוא דומה לרכיב האופקי (כלומר מאותו סדר גודל), אבל הכוחות האנכיים החזקים בהרבה אודות לכבידה וללחצים שונים גורמים לרכיב זה להיות בלתי חשוב מבחינה דינמית.
בנוסף, גופים הנעים מעלה (כלומר החוצה מכדור הארץ) או מטה (אל מרכז כדור הארץ) יוטו מערבה או מזרחה בהתאמה. אפקט זה גם הוא מרבי בקו המשווה. מכיוון שתנועה אנכית בדרך כלל נמשכת משך זמן מוגבל, גודלו של אפקט זה מוגבל ומצריך מכשירי מדידה מדויקים כדי לגלותו. עם זאת, במקרה של שינויים גדולים בתנע, כמו במקרה של מעבורת חלל המשוגרת למסלול, האפקט הזה הופך למשמעותי. המסלול המהיר והחסכוני בדלק ביותר הוא שיגור מקו המשווה במסלול שמתעקל מזרחה.
דוגמה אינטואיטיבית.
נדמיין רכבת שנוסעת לאורך מסילה חסרת חיכוך הנמתחת לאורך קו המשווה. נניח גם, שכשהיא בתנועה, היא נוסעת במהירות מספיקה כדי להשלים הקפה מסביב לעולם ביום אחד (465 m/s). נתייחס לאפקט קוריוליס בשלושה מקרים: כאשר הרכבת נוסעת מערבה, כאשר היא במנוחה, וכאשר היא נוסעת מזרחה. בכל מקרה נתייחס תחילה למערכת הייחוס המסתובבת של כדור הארץ שבה פועל כוח קוריוליס, ולאחר מכן נבדוק גם במערכת ייחוס אינרציאלית, שבה לא פועלים כוחות מדומים. האנימציה ממחישה את שלושת המקרים כפי שהם נראים על ידי צופה במנוחה במערכת אינרציאלית הממוקם בנקודה קבועה מעל הקוטב הצפוני הנמצאת על ציר הסיבוב של כדור הארץ; הרכבת מסומנת באדום, והיא קבועה במקומה בהמחשה השמאלית, ונעה באחרות formula_52:
בשלושת המקרים כוח הכבידה המופעל על הרכבת זהה, אך המשקל שלה בפועל משתנה בין המקרים, כפי שנפרט להלן. המשקל בפועל בא לידי ביטוי בכוח שהרכבת תפעיל על המסילה, ולכן גם בכוח התגובה מהמסילה (כוח נורמלי). כמו כן, אם נוסעי הרכבת יעמדו על מכשיר למדידת משקל, המכשיר יראה מדידות שונות בכל אחד משלושת המקרים. את כל אחד מהמקרים ננתח גם ממערכת ייחוס מסתובבת וגם ממערכת ייחוס אינרציאלית, ונקבל בכל פעם שני הסברים שונים לאותה תוצאת משקל.
1. הרכבת נוסעת מערבה: במקרה זה, היא נעה נגד מגמת הסיבוב. לפיכך, במערכת הייחוס המסתובבת של כדור הארץ כוח קוריוליס מכוון פנימה לכיוון ציר הסיבוב של כדור הארץ (מטה) בעוצמה של כ-0.68% מכוח הכבידה. בנוסף, פועל במערכת יחוס זו כוח צנטרפוגלי בכיוון החוצה מציר הסיבוב (מעלה) בעוצמה של כ-0.34%. לכן סך כל הכוח המושך את הרכבת מטה גדול ב-0.34% מכוח הכבידה הרגיל. חלק מכוח זה יספק את הכוח הצנטריפטלי הדרוש לרכבת עבור תנועתה המעגלית, ורק החלק הנותר יהיה משקלה בפועל. הכוח הצנטריפטלי הדרוש שווה ל-0.34% מכוח הכבידה, ולכן בסופו של דבר משקלה בפועל יהיה זהה לכוח הכבידה.
2. הרכבת במנוחה: מנקודת המבט של מערכת הייחוס הסובבת של כדור הארץ, מהירות הרכבת היא אפס, ולפיכך כוח קוריוליס הוא גם אפס. הכוח הצנטרפוגלי אינו תלוי במהירות הרכבת, ולכן הוא זהה למקרה הקודם, כלומר כוח בעוצמה של 0.34% מכוח הכבידה הפועל כלפי מעלה. לפיכך משקלה של הרכבת היה פחות 0.34% מכוח הכבידה, ולכן הרכבת ונוסעיה יהיו מעט קלים יותר מאשר במקרה הקודם.
3. הרכבת נוסעת מזרחה. במקרה זה, מכיוון שהיא נעה בכיוון הסיבוב של כדור הארץ, כוח קוריוליס יכוון החוצה מציר הסיבוב (מעלה) בעוצמה של 0.68% מכוח הכבידה. הכוח הצנטרפוגלי יוסיף עוד 0.34% כלפי מעלה, ועוד 0.34% מכוח הכבידה יושקעו בתאוצה הצנטריפטלית. לכן משקל הרכבת במקרה זה יהיה פחות ב-1.36% מכוח הכבידה הרגיל.
הוכחת שקילות האפקט בין שתי מערכות הייחוס.
הנוסחה להבדל בין משקלו של עצם כשהוא נע לעומת כשהוא נייח היא:
כאן,
האיבר הראשון בנוסחה, formula_60, הוא האיבר המתאים לכוח קוריוליס ואפקט אטווש, בעוד שהאיבר השני הוא תיקון נוסף שאינו נובע מכוח קוריוליס אלא מעקמומיות כדור הארץ - העצם הנע נדרש לעקוב במסלולו אחר קרקע עקומה. בתנאים נורמליים (מהירויות נמוכות) האיבר השני קטן בהרבה מאפקט אטווש.
גזירת הנוסחה.
את הנוסחה ניתן לקבל מהנוסחה הבסיסית לכוח צנטריפטלי בתנועה מעגלית (הכבידה לא משתנה). התאוצה הצנטריפטלית הנדרשת מעצם כדי לנוע במסלול מעגלי ברדיוס "R" היא formula_61. עקב סיבוב כדור הארץ, לעצם נייח יש מהירות התחלתית בכיוון מזרח-מערב שגודלה formula_62. מהירותו הכוללת בכיוון מזרח-מערב היא לפיכך:
האיבר האחרון באגף ימין - formula_66 - נכנס כבר "ממילא" לחישוב המשקל במקרה הנייח (כלומר הוא מקזז חלק ממשקל העצם כבר כשהוא במנוחה), ולפיכך הוא לא תורם כלום להבדל formula_54. לפיכך:
עבודה.
כוח קוריוליס זהותית אינו מבצע עבודה. נזכיר כי הגדרת העבודה נתונה על ידי formula_69, כלומר, האינטגרל של המכפלה הסקלארית של הכוח הפועל על אלמנט של הדרך (המסלול), לאורך מסלול מסוים וקבוע formula_70. על ידי הצבת כוח קוריוליס נקבל כי עבודתו - formula_71. היות שהוקטור המתקבל מהמכפלה formula_72 יהיה וקטור מאונך וקטור formula_73 (נובע מתכונות המכפלה הווקטורית) כשנכפול סקלרית את הווקטור החדש שמתקבל (שמאונך לformula_73) באלמנט של הדרך formula_75 (מכפלה סקלארית של שני וקטורים מאונכים), נקבל formula_76 באופן זהותי, תוצאה שנובעת מתכונות המכפלה הסקלרית. כלומר, כוח קוריוליס אינו מבצע עבודה.
העובדה שכוח קוריוליס אינו מבצע עבודה מבדילה אותו מן הכוח הצנטריפוגלי, שמצביע תמיד רדיאלית החוצה ולפיכך מבצע עבודה במידה והעצם משנה את ריחוקו מציר הסיבוב, מה שמאפשר להגדיר מעין "פוטנציאל צנטריפוגלי" בעל סימטריה גלילית