דוגמאות.
הפונקציה formula_9 היא פונקציה רציונלית, ולעומת זאת formula_10 אינה פונקציה רציונלית, משום שלא ניתן לבטא אותה כמנת פולינומים, גם formula_11 איננה רציונלית (היא לא פולינום כי המעריכים של formula_12 אינם שלמים).
נגזרת של פונקציה רציונלית.
כל פונקציה רציונלית היא רציפה בכל תחום הגדרתה, היות שכל פולינום מגדיר פונקציה רציפה, ומנת פונקציות רציפות אף היא רציפה. תהיינה formula_13 גזירות כאשר formula_14. את הנגזרת של הפונקציה הרציונלית formula_15 מקבלים על די הנוסחה formula_16.
אסימפטוטות.
בניגוד לפונקציה ללא מנה כמו פונקציית פולינום, או פונקציית שורש ללא מנה, בפונקציות עם מנה ייתכנו אסימפטוטות, שהן ישרים אליהן הפונקציה שואפת להגיע, כאשר formula_17 או formula_18.
אינטגרל אליפטי
אינטגרל אליפטי הוא פונקציה מהצורה:
כאשר formula_2 מספר קבוע, formula_3 היא פונקציה רציונלית של שני משתנים ו-formula_4 היא פולינום ממעלה 3 או 4.
אינטגרל אליפטי אינו פונקציה אלמנטרית. פונקציות מסוג זה נקראות אינטגרל אליפטי כי הן הופיעו לראשונה בניסיונות לחשב היקף של אליפסה.
אינטגרלים אליפטיים נחקרו לראשונה על ידי ג'וליו פניאנו ולאונרד אוילר בסביבות 1750.
באופן כללי, אינטגרלים בעלי הצורה הזאת אינם ניתנים לביטוי כצירופים של פונקציות אלמנטריות, אך חריגות מן הכלל הזה קורות כאשר ל-"formula_4" שורשים מרובים, או כאשר formula_6 אינה מכילה חזקות אי-זוגיות של formula_7. אחד המשפטים החשובים בנוגע לחישוב אינטגרלים אליפטיים קובע שכל אינטגרל אליפטי ניתן להביא לצורה שמערבת אינטגרלים של פונקציות רציונליות עם אינטגרלים של אחת משלוש הצורות הקנוניות של לז'נדר (אינטגרלים אליפטיים מהסוג הראשון, השני והשלישי).
מינוח.
אינטגרלים אליפטיים לא שלמים הם פונקציות של שני משתנים; לעומת זאת, אינטגרלים אליפטיים שלמים הם פונקציות של משתנה יחיד. המשתנים הללו ניתנים לביטוי במגוון של דרכים שונות אך שקולות (הן מתארות את אותו האינטגרל). רוב הטקסטים נצמדים למינוח הבא:
כל אחד משלושת הגדלים שהוזכרו לעיל נקבע בהינתן כל אחד מהשניים האחרים.
את המשתנה השני מסמנים לעיתים קרובות באות formula_11, והוא מכונה האמפליטודה של האינטגרל האליפטי.
מיון אינטגרלים אליפטיים.
האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג הראשון formula_12 מוגדר כ:
formula_13.
זוהי הצורה הטריגונומטרית של האינטגרל; אם מציבים formula_14 ו-formula_15 אז מקבלים את צורת יעקובי של האינטגרל:
האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג השני formula_17 בצורתו הטריגונומטרית הוא:
formula_18.
כשמציבים formula_14 ו-formula_15 מקבלים את צורת יעקובי:
האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג השלישי formula_22 הוא:
formula_24.
כאשר המספר formula_25 נקרא "המאפיין" ויכול לקבל כל ערך, ללא תלות במשתנים האחרים.
אינטגרלים אליפטיים שלמים.
כל אחד מהאינטגרלים האליפטיים שהוזכרו מקודם נקראים "שלמים" כאשר האמפליטודה מקיימת formula_26 או formula_27. למשל, האינטגרל האליפטי השלם מהסוג הראשון formula_28 הוא:
פתרון על ידי רדיקלים
ספרטק מוסקבה
אי-שוויון הסדר של צ'בישב
אי-שוויון הסכומים של צ'בישב
במתמטיקה, אי-שוויון הסכומים של צ'בישב קובע שאם formula_1 ו- formula_2 הן שתי סדרות של מספרים, המסודרות באותו כיוון, אז ממוצע המכפלות חוסם את מכפלת הממוצעים, כלומר formula_3.
האי-שוויון קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב, שהציג אותו.
הכללות.
למשפט ידועות כמה הוכחות, והכללות רבות. למשל,
הוכחת האי-שוויון.
מכיוון שהמספרים formula_9 סדורים באותו כיוון, לכל formula_10 מתקיים formula_11, כלומר formula_12. סיכום לכל i ולכל j נותן formula_13.
Sweet Dreams
שישה באוקטובר (עיר)
שישה באוקטובר (בערבית: السادس من أكتوبر, תעתיק מדויק: אלסאדס מִן אֻכתוּבר) הוא שמה של עיר לוויין של קהיר במצרים.
שישה באוקטובר הוקמה בשנת 1979 בהוראתו של נשיא מצרים אנואר סאדאת. היא ממוקמת כ-17 ק"מ מהפירמידות הגדולות של גיזה וכ-32 ק"מ ממרכז קהיר. העיר מונה כיום כחצי מיליון תושבים, ובה אזורי תעשייה מהחשובים במצרים. בשנת 1996 הוקמה בעיר אוניברסיטה בשם שישה באוקטובר. בעתיד מתוכננת העיר לגדול עד לכ-3.7 מיליון תושבים.
שמה של העיר מנציח את מלחמת יום הכיפורים, שפרצה ב-6 באוקטובר 1973 ונחשבת בעיני המצרים למלחמה שבה ניצח צבא מצרים את צה"ל. ערים נוספות במצרים המנציחות בשמן את המאורעות הללו הן עשרה ברמדאן ואל-עובור.
בעיר קיימים מספר אזורי תעשייה, שאחד מהם נחשב מהגדולים ביותר במצרים. הוא מספק מקומות תעסוקה רבים הן לתושבי העיר והן לתושבי מחוז גיזה עצמו.
בעיר שש אוניברסיטאות פרטיות, כולל שני בתי-ספר פרטיים לרפואה.
בעיר קיים מגוון גדול של פעילויות לשעות הפנאי, כולל ואתרי בילוי ונופש למשפחות ובודדים, מתקני ספורט ואצטדיונים. בעיר 10 בתי קולנוע ומועדונים. בנוסף, בעיר קיימים 4 מרכזי קניות ענק, וכן מספר רב של מרכזי קניות קטנים יותר.
ישראל גרנית
ישראל (גרינקר) גרנית (נולד ב-1928) הוא קצין צה"ל בדימוס בדרגת אלוף-משנה, אשר שימש כמפקד בית הספר לקצינים ופיקד על "כוח גרנית" במלחמת ששת הימים ובמלחמת יום הכיפורים.
ביוגרפיה.
גרנית נולד בביסאן (כיום בית שאן), בנם של יצחק ועדית גרינקר נכד למיכל דוד ודינה גרינקר, ממייסדי יסוד המעלה. גדל בנהלל ובקריית עמל, למד בבית הספר בסמ"ת בחיפה. ב-1946 הצטרף לארגון ההגנה בקריית טבעון. במלחמת העצמאות שירת כמפקד כיתה בקרב משמר העמק, במאי 1948 התגייס לפלמ"ח, עבר קורס מפקדי מחלקות ולחם כמפקד מחלקת ג'יפים בגדוד התשיעי של חטיבת הנגב.
לאחר המלחמה שימש כמפקד סיירת גולני. גרנית סיים קורס מפקדי גדודים ב-1953, ובמאי 1954 פיקד על מבצע מודיעיני לאיסוף מידע באזור מפרץ אילת על יכולות מעבר ומסתור בין האי סנפיר לחוף סעודיה. הכוח בפיקודו הוסווה כדייגים על ספינה ובמהלכו עלתה על שרטון בחוף הסעודי, והלוחמים נאלצו להתפנות דרך האוויר על ידי מטוסי פייפר במבצע שזכה לכינוי מבצע שנונית.
ב-1956 יצא להשתלמות בצרפת וכשחזר מונה למפקד גדוד 266, גדוד טנקי AMX-13, עמו לחם בגזרת אבו עגילה וג'בל ליבני במלחמת סיני. לאחר המלחמה, בדצמבר 1956, מונה למפקד גדוד 9 תפקיד בו שירת עד ספטמבר 1958. לאחר מכן יצא ללימודי הנדסת תעשייה וניהול בטכניון ובסיומם מונה לסגן מפקד חטיבה 7 ובהמשך לראש מחלקת אימונים במחלקת ההדרכה של המטה הכללי.
במלחמת ששת הימים שירת כממלא מקום ראש מחלקת ההדרכה אריאל שרון, פיקד על כח עצמאי שכונה "כח גרנית", שפעל במסגרת אוגדה 84 בפיקודו של ישראל טל. כח גרנית כלל 10 טנקי מגח, פלוגת סיור, פלוגת תול"רים, פלוגת הנדסה וסוללת מרגמות 120 מ"מ. הכח פעל בגזרה הצפונית של סיני, משימתו הראשונה הייתה פריצת ציר בדרום מערך פתחת רפיח וריתוקו, חסימה לעבר ניצנה ופריצת שדה מוקשים כך שיתאפשר מעבר כח מחטיבת הצנחנים. לאחר השלמת המשימה הוכפף הכח לחטיבת הצנחנים בפיקודו של רפאל איתן ולאחר פציעתו של רפול, שב גרנית ליטול את הפיקוד על הכח ובהמשך הקרבות כבש את העיר קנטרה והגיע עד גדות תעלת סואץ.
לאחר המלחמה מונה למפקד בית הספר לקצינים, בתקופתו עבר בית הספר למצפה רמון. ב-1968 השתחרר משירות הקבע. במילואים פיקד על חטיבה 670. במלחמת יום הכיפורים גויס למילואים ושירת כראש המטה באוגדה 252 תחת פיקודו של אלברט מנדלר, במהלך המלחמה הקים כוח ששוב זכה לכינוי "כח גרנית" ופיקד על החזית הדרומית בסיני. במהלך המלחמה נהרג בנו שהיה קצין מילואים בחיל השריון בקרב ההבקעה נגד הצבא הסורי בציר קוניטרה-דמשק, בכפר חאן-ארנבה.
גרנית הצטרף למפלגת העבודה, הקים בה את "חוג האינפורמציה" שבו השתתפו קצינים בשירות הסדיר והמילואים, בשנים 1969–1973 עמד בראש אגף הארגון במפלגת העבודה. ב-1974 התמודד על תפקיד מזכ"ל מפלגת העבודה אך הפסיד למאיר זרמי. ב-1975 מונה למנכ"ל חברת נתיבי איילון וכיהן בתפקיד עד ספטמבר 1976. ב-1976 היה ממקימי ד"ש, הוא שובץ במקום ה-19 ברשימתה בבחירות לכנסת התשיעית ב-1977 ושימש ראש סיעתה בהסתדרות העובדים. לאחר התפרקותה של ד"ש נמנה עם פלג התנועה הדמוקרטית, בבחירות לכנסת העשירית שובץ במקום העשירי ברשימת מפלגת תל"ם.
2012 בישראל
2012 בישראל (ה'תשע"ב – ה'תשע"ג) היא השנה בה חגגה מדינת ישראל 64 שנה מיום היווסדה.
לגעת בקטיפה
לגעת בקטיפה (באנגלית: Tipping the Velvet) הוא רומן פיקרסקי מאת שרה ווטרס. הרומן יצא לאור ב-1998 ועובד לסדרת דרמה על ידי ה-BBC. הרומן מתאר את סיפור התבגרותה של נאן שמתאהבת בשחקנית דארג ונוסעת אחריה ללונדון. בלונדון היא מוצאת דרכים שונות להתפרנס על מנת לשרוד. לגעת בקטיפה הוא רומן לסבי עם מאפיינים ארוטיים וגילוי עצמי.
עלילת הספר.
העלילה מתרחשת בתקופה הוויקטוריאנית ב-1880. ננסי "נאן" אשלי בת ה-18 מתגוררת עם משפחתה בקנט ועוזרת במסעדת צדפות שבבעלות המשפחה. היא מתאהבת בשחקנית קיטי בטלר המציגה הופעת מופע דראג בתיאטרון המקומי. הקשר בין השתים מעמיק לאחר שקיטי מקבלת הצעה להציג בלונדון ומציעה לנאן להצטרף אליה. וולטרס, מנהלה של קיטי מציעה כי נאן תתאים לתפקיד לצידה של קיטי ומצרף את נאן להצגה. במקביל מתפתח רומן בין השתים. לאחר כשישה חודשים, חוזרת נאן לבקר את משפחתה. היא מעניקה להם מתנות יקרות ערך ונתקלת בקבלת פנים צוננת מאחותה, לאחר שגילתה לה את סיפור אהבתה לקיטי. היא חוזרת ללונדון ומגלה כי קיטי מנהלת רומן עם וולטרס.