כעת נבחן מקרה פשוט יותר של המתנד, בו אין פאזה. במקרה כזה, העתק המסה נתון על ידי המשוואה formula_33. היות שהפונקציה המתארת את העתק המסה היא פונקציה טריגונומטרית כלשהי, ניתן להסיק כי התנועה מחזורית. אם כך, קיים זמן formula_34 מינימלי, שדרוש כדי שהמערכת תשלים מחזור אחד (תבצע תנועה אחת שלמה) ותחזור לאותה הנקודה ממנה התחילה. המחזור של פונקציית הקוסינוס הוא formula_35, ולכן נדרוש שכאשר נציב את formula_34 לתוך הפונקציה, הארגומנט של הפונקציה, יהיה שווה לformula_35. כלומר, נדרוש שיתקיים formula_38.מכאן נקבל את הזמן המינימלי הדרוש למערכת כדי לבצע תנועה אחת שלמה ולחזור לנקודה ממנה החלה התנועה, ומעתה הוא יקרא בשם זמן מחזור: formula_39.
וכן, התדירות של המערכת, לפי הגדרתה formula_40 תוצג כformula_41. בגלל הקשר המיוחד בין התדירות לגודל formula_42, הוא יקרא מעתה והלאה בשם תדירות זוויתית. התדירות הזוויתית, וכך גם התדירות נקבעות אך ורק על ידי מאפייני המערכת, ואינם תלויות בזמן או בגדלים משתנים אחרים).
לאחר שהתקבל פתרון המתאר את תנועת המסה במרחב, על ידי גזירת המשוואה נקבל את מהירות המסה כפונקציה של הזמן, ועל ידי גזירה פעם נוספת, תתקבל התאוצה. כלומר, שלוש המשוואות אשר יתארו את התנועה הן:
formula_43
formula_44
formula_45
כעת, נרצה לדבר על האנרגיה של המערכת. עבור מסה המחוברת לקפיץ, סך האנרגיה נתון על ידי סכום של אנרגיה קינטית של המסה כפונקציה של הזמן, ואנרגיה פוטנציאלית אלסטית כפונקציה של הזמן. על ידי הצבת הגדלים שמצאנו למשוואת האנרגיה, ניתן לקבל את הדבר הבא:
formula_46קיבלנו כי האנרגיה לא באמת תלויה בזמן, אלא בכל נקודה בזמן היא שווה לגודל קבוע. מכאן, שהאנרגיה נשמרת.
הניתוח שביצענו כאן היה בעבור אנרגיה של מתנד הרמוני הבנוי מקפיץ, אך קיימות מערכות נוספות, ללא קפיץ בהן יכולות להיות אוסצילציות. גם במקרה כזה ניתן לטעון כי האנרגיה נשמרת, על ידי הטענה שכח מחזיר הוא כח משמר. כלומר, העבודה שלו אינה תלויה במסלול, והרוטור של כח זה, שווה לאפס. וכמובן שניתן להוכיח זאת עבור כל כח מחזיר.
מתוך משוואות שימור האנרגיה, ניתן לראות שכאשר כל האנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת, האנרגיה הקינטית מקסימלית. למעשה, הנקודה בה האנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת, היא בדיוק נקודת שיווי המשקל (באנלוגיה של הקפיץ, האנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת כאשר הקפיץ רפוי, כלומר כאשר המערכת בשיווי משקל). לכן, המהירות מקסימלית, בנקודת שיווי המשקל.
במכניקה הקלאסית, משוואת המתנד ההרמוני יכולה להיות משוואת מומנטים (היא מתקבלת על ידי בחירת נקודה קריטית במערכת לא נקודתית לרוב וכתיבת כל מומנטי הכח הפועלים ממנה, תוך כדי מתן תשומת לב לכיוון המומנט. בדרך משוואת מומנטים תוביל אותנו למשוואת מתנד על זווית כלשהי במערכת כפונקציה של הזמן), משוואת כוחות (היא מתקבלת בדרך כלל על ידי כתיבת החוק השני של ניוטון על מערכת של נקודה אחת לרוב) או משוואת אנרגיה גזורה (היא מתקבלת על ידי גזירת המשוואה המתארת את האנרגיה של המערכת והשוואתה לאפס. ניתן לעשות זאת, בגלל שימור האנרגיה. היות שהאנרגיה נשמרת, היא שווה לקבוע כלשהו שנעלם בעת הגזירה).
מתנד הרמוני מרוסן.
בתיאור הקודם, הנחנו כי אין חיכוך במערכת. נראה איך מתנהג המתנד במקרה בו יש חיכוך.
חיכוך הוא כוח מרסן נפוץ בטבע - חיכוך עם האוויר או עם נוזל, התנגדות של מעגל חשמלי, ועוד. כוח משכך זה תלוי ביחס ישר במהירות (נקרא גם כוח סטוקס). נדמה כי כוח החיכוך נגרם על ידי בוכנת אוויר, כבאיור, ונניח כי הכוח מתכונתי למהירות הגוף ונתון על ידי formula_47, כאשר b הוא מקדם הפרופורציה.
כעת משוואת הכוחות נראית כך: formula_48. על ידי סידור אלגברי מקבלים formula_49 או
formula_50, כאשר formula_51, כמקודם.
מתנד הרמוני פשוט הוא מקרה פרטי של מתנד הרמוני מרוסן, בו formula_52.
בהנחה שהחיכוך קטן מספיק, הפתרון הכללי למשוואה זו הוא:
formula_53,
כאשר:
פתרון מפורט מופיע בהמשך הערך. זוהי תנודה הרמונית, המתבצעת בתדירות נמוכה מעט מהתדירות הטבעית (תמיד מתקיים formula_57). במערכת זו, בניגוד לתנודה ההרמונית הפשוטה, יש איבוד אנרגיה מתמיד לחיכוך.
אם החיכוך גדול מדי, התנועה תדעך מהר מאוד, באופן מעריכי, כך שלא יסתיים אפילו מחזור תנודה יחיד. קיים ערך מקסימלי של שיכוך, שבערכי שיכוך גדולים ממנו לא יתרחשו כלל תנודות. ערך זה נקרא השיכוך הקריטי, והוא נתון על ידי formula_58.
בנוגע לטיפול במתנד הרמוני מאולץ, ראו: תהודה.
בנוגע לטיפול במתנד הרמוני לפי מכניקת הקוונטים ראו: מתנד הרמוני קוונטי.
דוגמאות למערכות שמקיימות תנודות הרמוניות.
מטוטלת.
מטוטלת מתמטית פשוטה היא מערכת שמקיימת תנועה הרמונית רק בקירוב. תנועתה המלאה היא מחזורית וסוטה במקצת מתנועה הרמונית, אך בקירוב זוויות קטנות אפשר להתייחס לתנועתה כתנועה הרמונית.
נניח שמסת המטוטלת היא m והיא מחוברת לתקרה בחוט אידיאלי חסר משקל באורך formula_59 בתוך שדה כבידה אחיד g. נסמן ב formula_60 את הזווית בין המטוטלת לאנך.
הכוח המחזיר יהיה הרכיב של כוח הכובד בכיוון המשיק לתנועה הרדיאלית של המטוטלת, כלומר: formula_61. לכן, משוואת התנועה תהיה:
formula_62
בקירוב של זוויות קטנות formula_63, ומאחר ש-formula_59 נשאר קבוע, מקבלים את משוואת התנועה:
זוהי תנועה הרמונית רק בקירוב, שכן משוואת התנועה הייתה רק קירוב למשוואת התנועה המדויקת. במקרה של מטוטלת אפשר לפתור באופן אנליטי גם את המשוואה הלא-ליניארית; הפתרון הוא אינטגרל אליפטי. גם מטוטלת שאינה מורכבת ממסה נקודתית מקיימת תנודה הרמונית בקירוב - למעשה, כל גוף בעל מסה התלוי מנקודה אחת מהווה מתנד הרמוני. מטוטלת כזו נקראת מטוטלת פיזיקלית.
מעגל LC.
מעגל LC אידיאלי (ללא התנגדות) - זהו מעגל המכיל קבל וסליל, ובו האנרגיה האלקטרומגנטית עוברת בין הקבל לסליל באופן מחזורי הרמוני.
מכך שהמתח הכללי על המעגל הוא אפס (על פי חוקי קירכהוף) ניתן להסיק כי:
כאשר:
ומאחר ש formula_67, נובע ש
formula_68, ולכן formula_69
וכאן תדירות התנועה היא formula_70.
מעגל RLC, הוא אותו מעגל, בתוספת נגד. מעגל שכזה הוא מתנד הרמוני משוכך, כיוון שהוא מקיים את המשוואה:
formula_71.
מבחינה מתמטית, מעגל RLC שקול למתנד הרמוני מרוסן הבנוי ממסה המחוברת לקפיץ עם שיכוך תלוי מהירות, כמו זה שהוצג למעלה. האנלוגיה למתנד מכני היא:
פתרון המשוואות.
הניתוח המובא פה הוא למקרה המתואר למעלה: מסה formula_72 מחוברת לקפיץ בעל קבוע formula_73, עם מקדם חיכוך formula_74 (כאמור, מתנד הרמוני פשוט הוא מקרה פרטי שבו מתקיים formula_52) . המשוואה המתארת את המצב היא:
formula_76
זוהי משוואה דיפרנציאלית הומוגנית וליניארית, מסדר שני. במשוואות מסוג זה, מרחב הפונקציות המקיימות את המשוואה הוא מרחב וקטורי מממד שתיים. לכן מספיק למצוא שתי פונקציות (בלתי תלויות) שמקיימות את המשוואה - הן יהיו בסיס שלם למרחב כל הפתרונות האפשריים. מנחשים פתרון מהסוג formula_77, (המקדם formula_78 יכול להיות מרוכב). כאשר מציבים את הפונקציה הזו במשוואה, ולפי תכונת האקספוננט, formula_79, מתקבל פולינום ממעלה שנייה שפתרונו פשוט:
formula_80.
זוהי משוואה ריבועית שפתרונותיה הם
formula_81. כאן formula_82. מכיוון שהפתרונות יכולים להיות מרוכבים, יש תמיד פתרון למשוואה. אם אין חיכוך, formula_83 ואז formula_84.
כעת ישנם שלושה מקרים מובחנים:
כאשר אין חיכוך, formula_52 ולכן formula_113 ומקבלים את הביטוי המוכר של תנודה הרמונית פשוטה: formula_114.
הכללות של מתנד הרמוני.
המתנד ההרמוני מצטיין בתכונה הבסיסית שזמן המחזור של חלקיק שתונד הרמונית אינו תלוי באמפליטודה. לא משנה כמה רחוק החלקיק ישוחרר ממרכז הכוח של המתנד, הוא תמיד ישלים תנודה באותו זמן. תכונה זו אינה נכונה כאשר דנים בחוקי כוח אחרים בהם הכוח לא יחסי למרחק r מהמרכז - משפט ידוע קובע שאם התלות של זמן המחזור באמפליטודה היא מהצורה formula_115 (כאשר A היא האמפליטודה ו-C הוא קבוע פרופורציה) אז הכוח המרכזי הוא מצורה formula_116. למשל אם n = 0 (זמן המחזור לא תלוי באמפליטודה) נקבל: formula_117, כלומר נקבל מתנד הרמוני. יותר מכך, אם נציב formula_118 נקבל formula_116, כלומר נקבל כוח היפוך-ריבוע - במקרה פרטי זה קיבלנו את החוק השלישי של קפלר. חישוב קבוע הפרופורציה C בביטוי לזמן המחזור לפי האמפליטודה לרוב כרוך בחישוב אינטגרל מסובך ולעיתים אין לו פתרון אנליטי.
קראקר
קראקר (בעברית: פַּרְצָן), בדומה להאקר, הוא בעל ידע ומומחיות רבה במחשבים ותכנות. אך בשונה מההאקר, הקראקר חודר למערכות מחשבים באופן לא מורשה ולפיכך, פעילותו מהווה עבירה על החוק.
ניתן לומר שקראקר הוא למעשה הגרסה הפלילית של ההאקר. עקב הדמיון ביכולותיהם של ההאקרים והקראקרים (יכולת מחוננת בתכנות ומחשבים), התקשורת והציבור נוהגים לבלבל בין המושגים השונים. נהוג לכנות את ההאקרים כבעלי כובע לבן לעומת הקראקרים עוטי הכובע השחור. הקראקרים הם אלו המוכנים להשתלט באופן עוין על מחשבים מרחוק דרך הרשת, ולפרוץ מערכות אבטחה של מחשבים. הם עושים זאת במספר דרכים:
האקרים רבים, הגם שלעיתים מעריכים את יכולותיהם המקצועיות של הקראקרים, רואים בהם עצלנים, לא אחראיים ולא מבריקים במיוחד. לטענת ההאקרים, פריצת אבטחה לא הופכת את הפורץ להאקר כפי שלהתניע מכונית דרך החוטים לא הופך את המתניע לטכנאי מכוניות.
אפיון ועבירות.
ישנם שלושה אפיונים של קראקרים:
רחל ורנהגן