מרחב שבו קיימת פונקציה כזו לכל שתי נקודות שונות, נקרא מרחב האוסדורף לחלוטין. מרחב שבו קיימת פונקציית אוריסון לכל קבוצה סגורה ונקודה שמחוץ לה, נקרא מרחב רגולרי לחלוטין. הלמה של אוריסון, שבזכותה זכו פונקציות אוריסון לשמן, קובעת שבמרחב נורמלי קיימת פונקציית אוריסון לכל שתי קבוצות סגורות וזרות.
הפונקציות נקראות על שם פאבל סמואילוביץ' אוריסון.
וידוי (יהדות)
וידוי הוא אחד מחלקי התשובה, והוא מצווה מן התורה להתוודות על פשע או חטא שביצע האדם כשעבר על מצוות לא תעשה, או ביטל מצוות עשה.
מהות הווידוי.
הווידוי על חטא בין אדם למקום נעשה בין האדם לבין אלוהיו. וידוי בפני אדם אחר מוגדר לדעת רב כהנא בתלמוד כ"חוצפה". לעומת זאת במקור אחר בתלמוד מובא דעת רב נחמן שעל חטא שבין אדם לחברו רצוי להתוודות בציבור, וכך פסק הרמב"ם ומציין שווידוי כזה הוא "שבח גדול".
הווידוי כשלעצמו אינו מכפר על החטא, אלא מהווה חלק מתהליך שכולל גם עזיבת החטא (צריך להפסיק לעשותו בפועל, ולנקוט פעולות כדי להתרחק ממנו אם אפשר), התחרטות עליו, וקבלה לעתיד - שלא יחטא (הכרה, חרטה וקבלה לעתיד). הווידוי צריך להיעשות דווקא בדיבור ולא במחשבה. על פי רבי נחמן מברסלב, יש חשיבות לווידוי דברים לפני תלמיד חכם. בהמשך נטש רבי נחמן עמדה זו, כפי שהראתה עדה רפפורט-אלברט.
ככלל, אין נוסח אחיד לווידוי והמטרה פשוט להודות על חטאו.
בספר משנה תורה, כתב הרמב"ם:
בתפילה.
בנוסף לווידוי האישי, נקבע בתפילה נוסח וידוי רגיל (לפעמים נקרא "ווידוי קטן" או "ווידוי זוטא"). בחלק מנוסחאות התפילה, הווידוי נאמר כחלק מהתחנון, ונאמר בלחש ברוב ימי החול בתפילת שחרית ובתפילת מנחה לאחר חזרת הש"ץ (ויש נוהגים לאומרו רק בתחנון הארוך של ימי שני וחמישי); במנהגים אחרים, הוא נאמר רק במקרים מיוחדים, כגון בסליחות (גם בימים נוראים וגם בתענית) ובכל תפילות יום כיפור. במשך חזרת הש"ץ ביום הכיפורים נוהגים לומר אותו בקול רם, ובחלק מהקהילות אף לשיר אותו.
בנוסף, יש נוסח "ווידוי הגדול" או "ווידוי רבא" - "על חטא שחטאנו לפניך ב...", הנאמר רק בתפילת יום הכיפורים ובמנחה של ערב יום כיפור.
הווידויים נאמרים בעמידה, ועל פי האר"י נהוג לאומרם תוך כדי הכאה על החזה מול הלב (ומכאן הביטוי "מכה על חטא"). גם נוהגים על פי השל"ה לאומרם תוך התכופפות קדימה.
בנוסחים רבים, הווידויים כוללים רשימה של חטאים המסודרים בסדר אלפביתי; הווידוי הרגיל מונה חטא אחד לכל אות, ואילו קטע "על חטא" מונה שני חטאים לכל אות בנוסחאות מסוימות.
מעבר לנוסחים הכלליים יצאו לאור רשימות שונות של חטאים לאמירה בווידוי כהרחבה לנוסח הרשמי. אחד מווידויים אלו הוכן על ידי שמשון מאוסטרופולי.
נוסח וידוי הרגיל.
אלוהינו ואלוהי אבותינו (נ"א אנא) תבוא לפניך תפילתנו ואל תתעלם מתחינתנו שאין אנו עזי פנים וקשי עורף לאמר לפניך ה' אלוהינו ואלהי אבותינו צדיקים אנחנו ולא חטאנו, אבל אנחנו ואבותינו חטאנו.
נוסח בבל.
נוסח הווידוי הגדול של מנהג בבל העתיק היה קצר ביותר וכלל בסך הכל כ-144 מילים. הוא מתחיל בקטע "אתה יודע רזי עולם ...", ממשיך במניית קטגוריות כלליות של עבירות, ומסיים באמירה: "הגלויים לנו כבר אמרנו לפניך ושאינם גלויים לנו לפניך הם גלויים ... ומלפניך סליחה ומחילה". הנוסח הבבלי אפילו לא כלל את נוסח וידוי הקטן המופיע כמעט בכל שאר הנוסחים כחלק מהוידוי הגדול.
בנוסחי אשכנז וספרד מתחיל וידוי הגדול בווידוי הקטן, ממשיך ב"אתה יודע", "על חטא" לפי סדר הא"ב כפול, "על חטא" של קבוצות חטאים ומסתיים ב"את שגלויים לנו ...". בנוסח איטליה ומנהגים אחרים אומרים ווידוי הקטן, ואחר כך אומרים וידוי הגדול לפי סדר א"ב יחיד.
לפני המיתה.
נוסף על התפילה, נהוג כי אדם הנוטה למות אומר וידוי לפני מותו. יסוד הדין הוא במסכת שבת ובמסכת שמחות. קיימים מספר נוסחים שנתקנו לעת זו, בין החשובים הוא נוסח אשר מביא הרמב"ן בספרו תורת האדם.
לקריאה נוספת.
דניאל גולדשמידט, וידוי, בתוך מחקרי תפילה ופיוט, עמ' 369-371. המאמר מביא נוסח ווידוי מפויט מאת רב סעדיה גאון, המקשר בין נוסח אשמנו לעשרת הדיברות.
רבי יוסף אבן צדיק
תלמוד תורה
תלמוד תורה הוא מוסד ללימודי קודש לילדים בקהילה היהודית המסורתית. עם השנים והגלויות זכה ה"תלמוד תורה" לכינויים שונים בתפוצות: ביהדות ארצות האסלאם נקרא "כותאב", ביהדות תימן נקרא "מדרש" או "כניס", ביהדות הבלקן נקרא "מלדארי" וביהדות אשכנז נקרא "חדר" (נהגה "חֵיידֶר"). המורה נקרא בחדר האשכנזי "מלמד" (במלעיל) ובכניס התימני נקרא "מארי" (במלעיל, מבוטא כמו 'מורי').
בעת העתיקה.
לפי הפרשנות החז"לית, לאורך כל ההיסטוריה של עם ישראל התגבשו בתי מדרש ובתי ספר ללימוד תורה. לדבריהם, עוד בטרם ניתנה התורה ייסדו שם ועבר בית מדרש בו למדו האבות: .
בהמשך שבט לוי היה מופקד על לימוד התורה בין שבטי ישראל .
התארגנויות פרטיות כאלו היו תלויות לאורך התקופות במצב כלכלי משתנה ובהימצאותם של תלמידי חכמים בעלי יוזמה . גם בתקופות בהן הייתה מלוכה בישראל נשארה האחריות על החינוך ועל לימוד התורה אצל האבות, כמצווה בתורה: . יוצא מן הכלל היה חזקיהו המלך, שעל אף המצב הכלכלי והביטחוני החמור . כוונתו של חזקיהו המלך הייתה לרמז לעם שרק התורה תוכל לשמור עליו מפני צבאו של סנחריב מלך אשור, ועל כן הוא מתקן תקנה מקיפה עבור דורו ללא הבחנה בין קטן וגדול, איש או אישה - כולם עוסקים בתורה.
לאחר שיבת ציון וחידוש מלכות ישראל נשמרה צורת החינוך והאחריות ללימוד תורה בצורתה המקורית על ידי האבות. אך נוצר מצב בו היתומים ובני העניים לא למדו תורה, והתורה נשארה נחלתם של עשירים בלבד, שיכלו להתפנות מעבודתם כדי ללמד את בניהם או לשכור להם מלמדים.
הגמרא מתארת את השתלשלות התהליך החברתי והתקנה המיוחסת לרבי יהושע בן גמלא המחייבת חינוך ציבורי:
בשלב הראשון ייסדו תלמוד תורה ציבורי בירושלים, אחר כך ייסדו תלמודי תורה בפלכים אך הם לא עמדו בצרכים החינוכיים של לימוד בגיל מבוגר ללא הרגלי למידה קודמים, ולבסוף תיקן רבי יהושע בן גמלא שיהיו חייבים לייסד תלמודי תורה בכל מדינה ומדינה ובכל עיר ועיר, ומכניסים אותם בגיל שש או שבע.
ארצות האסלאם.
הפעילות המרכזית בלימוד הילדים, הייתה שינון טקסטים מהתנ"ך ומהתפילה. מטרתו העיקרית של מוסד חינוך זה היה להכין את הלומדים בו להשתתפות פעילה בבית הכנסת. תוכנית הלימודים לא הוגבלה אך ורק ללימודי קודש. רב האי גאון קבע כי "מותר ללמד תינוקות של בית הכנסת אגב לימוד התורה כתב ערבי וחשבונות, אבל שלא עם התורה אינו נכון".
בגניזת קהיר נמצאו מחברות תרגול המעידות כי הוראת הקריאה במוסדות חינוך אלה התבצעה באמצעות לימוד האותיות הבודדות (יחד עם סימני הניקוד הבודדים) וצירוף שלהם. יצחק בן שמואל, דיין בפוסטאט (קהיר) בסביבות 1100 לספירה, גינה חידוש חינוכי במסגרתו לימדו מורים קריאה תוך כדי שימוש במילים שלמות ובמשפטים קצרים. הדבר מעיד כי חידושים מעין אלה עלו מדי פעם, אך זכו לגינוי ונשתכחו.
כדי לחבב את מלאכת לימוד הקריאה בשנה הראשונה השתמשו במספר שיטות. אחת מהן הייתה לשרטט תבניות של אותיות ועל התלמידים היה למלא את המסגרות בצבעים.
מאחר שהיה מחסור בספרים, המורים לימדו את התלמידים לקרוא את הטקסט מארבעת צדדיו, בקהילה היהודית בתימן. יכולת זו נשתמרה עד המאה ה-20.
על התלמידים היה להגיע לבושים באורח ההולם לימוד תורה, כאשר מצנפת הייתה הכרחית ורק המעמד הנמוך ביותר השתמש בכיפה.
כל מלמד היווה "מוסד" בפני עצמו. ההוראה התבצעה בבית הכנסת, בבית המורה, ובקרב המעמד הגבוה - בבית ההורים. הקהילה דאגה לשכור מלמדים מיוחדים ליתומים ולבני עניים, שלא יכלו לשלם בעצמם עבור המלמד. משרת המלמד הייתה משרת כבוד, ואשר על כן מלמדים הוסיפו תואר זה לחתימותיהם.
יהדות אשכנז.
ביהדות אשכנז, אף על פי שהמונחים "חדר" (נהגה "חֵידֵר") ו"תלמוד תורה" די דומים, היו מקומות שהבדילו ביניהם. "תלמוד התורה" היה שייך לקהילה ובו למדו ילדים להורים שלא יכלו לשלם את שכר הלימוד, ואילו החדר היה מוסד פרטי שבו המלמד (כיום נקרא בתלמודי תורה "רֶבֶּה") גבה שכר לימוד מהורי התלמידים. לפי דעה רווחת, השם "חדר" ניתן כיוון שהלימודים התקיימו בחדר שהוקדש לשם כך בבית הכנסת של הקהילה או בביתו של המלמד.
הלימודים בחדר החלו כבר מגיל 3 או 4 ונמשכו עד בר המצווה. מי שהמשיך ללמוד עבר לישיבה. כיום מתחילים ללמוד בתלמוד תורה מגיל 6-7 (כיתה "א") ואצל החסידים אפילו מגיל שנתיים ואף שנה וחצי במקרים חריגים, מכיוון והגנים הם חלק מה"חדר", והכיתותהמוקדמות נקראות במקומות מסוימים מכינה א', מכינה ב' וכן על זה הדרך. יום הכניסה לחדר נחשב כיום שמחה של מצווה על הכנסתו של הילד לתחילת חינוכו בתורה, והיו מציינים אותו במנהגים ובטקסים דבש מעל לוח שבו כתובים אותיות הא"ב ופסוקים הממשילים את האכילה ללימוד תורה, ואת התורה - לדבש, כמו "וּמֵעֶיךָ תְמַלֵּא, אֵת הַמְּגִלָּה הַזֹּאת... וָאֹכְלָה, וַתְּהִי בְּפִי כִּדְבַשׁ לְמָתוֹק". בכך הקלו על הילד את המעבר מחיק האם למסגרת הלימוד בעלת החוקים הנוקשים. בהמשך המלמד היה קורא פסוקים מפרשת הקרבנות בספר ויקרא במנגינת טעמי המקרא - והילד היה חוזר אחריו, כדי לקיים את דברי המדרש "אמר רבי אסי, מפני מה מתחילין לתינוקות בתורת כהנים, יתחילו להן מבראשית, אמר הקב"ה, הואיל והתינוקות טהורים והקרבנות טהורים, יבואו טהורים ויתעסקו בטהרות".