רנאטו רוצה להרוג את אמליה על בגידתה, היא מתחננת כי היא חפה מפשע, אך רנאטו לא שועה לתחנוניה. אמליה מבקשת לראות את בנה בפעם האחרונה (Morrò, ma prima in grazia) אריה זו מושרת לאחר פסק-זמן של שקט מוחלט, בניגוד לנגינת התזמורת הדרמטית והרועמת בפתיחה לתמונה ומלווה בנגינת צ'לו בלבד, דבר המוסיף לה דרמטיות ועומק ומדגישים את השינוי העומד להתחולל בנפשו של רנאטו כתוצאה מפנייתה הנרגשת של אמליה. רנאטו מגיע למסקנה שמי שצריך למות זה ריקרדו ולא אמליה (Eri tu che macchiavi quell'anima). תומאסו וסמואל מגיעים, רנאטו מבקש להשתתף במזימה. הם מחליטים כי הגרלה תקבע מי יהיה הרוצח בפועל. הם מכריחים את אמליה להוציא את פתק ההגרלה, ורנאטו עולה בהגרלה. אמליה מבינה מה הם זוממים, וכאשר אוסקר המשרת מגיע ומוסר לה את ההזמנה לנשף המסכות של ריקרדו, היא מוסרת לו מכתב אזהרה לריקרדו.
למרות שריקרדו אינו יודע דבר על כך שרנאטו גילה את זהותה של אמליה, הוא מחליט כי עדיף לו לא להמשיך את הקשר עם אמיליה ולשלוח את הזוג חזרה לאנגליה. אוסקר מופיע ומוסר את המכתב של אמליה מבלי לחשוף את זהותה.
רנאטו מנסה לגלות מאוסקר המשרת תחת איזו תחפושת מסתתר ריקרדו. אוסקר מנסה לסרב (Saper vorreste), אך בסוף נשבר ומגלה לו. אמליה מחופשת אף היא נגשת לריקרדו ומזהירה אותו שוב מפני הרצח, ריקרדו מזהה אותה ואומר לה כי זוהי פגישתם האחרונה ומחר עליהם להפליג לאנגליה. לפתע רנאטו מופיע ודוקר את ריקרדו. ברגעיו האחרונים ריקרדו אומר לרנאטו שאשתו לא בגדה בו, מבקש ממנו לחון את הקושרים, נפרד לשלום מכל הסובבים ומת מפצעיו.
משפט הסדר הטוב
משפט הסדר הטוב הוא משפט בתורת הקבוצות, הקובע שאפשר לסדר כל קבוצה בסדר טוב. משפט זה אינו נובע ממערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל, אלא הוא שקול לאקסיומת הבחירה, וכן גם ללמה של צורן. את המשפט הוכיח ארנסט צרמלו, בהסתמך על אקסיומת הבחירה, ולכן הוא קרוי גם משפט צרמלו.
חשיבותו של סדר טוב על קבוצה הוא בכך שהוא מאפשר לבצע אינדוקציה טרנספיניטית. המשפט אינו מתאר את הסדר שאפשר להגדיר על קבוצה, אלא רק קובע שקיים כזה, משום שעל קבוצות מסוימות (כמו קבוצת המספרים הממשיים) אי אפשר להגדיר סדר טוב בלי להשתמש גרסאות מסוימות של אקסיומת הבחירה, שאינן קונסטרוקטיביות.
נוסח המשפט.
משפט הסדר הטוב. על כל קבוצה formula_1 קיים יחס סדר מלא formula_2, כך שבכל תת-קבוצה לא ריקה formula_3 קיים איבר formula_4, כך שלכל formula_5 מתקיים formula_6. במילים אחרות, לכל תת-קבוצה של A יש איבר מינימלי. יחס סדר formula_2 המקיים את התנאי הנ"ל נקרא סדר טוב.
יש לשים לב כי הסדר formula_2 אינו בהכרח הסדר הטבעי המוגדר על הקבוצה A. למשל הסדר הרגיל של קבוצת המספרים השלמים אינו סדר טוב (למשל אין מספר שלם מינימלי). עם זאת, אם נגדיר סדרה formula_9, אז הסדר formula_2 המוגדר כך ש-formula_11 אם a בא לפני b בסדרה, הוא סדר טוב על קבוצת המספרים השלמים.
היסטוריה.
אבי תורת הקבוצות, גאורג קנטור, קבע ב-1883 שמשפט הסדר הטוב נכון כ-“fundamental law of thought”. מכיוון שלתורת הקבוצות של קנטור לא היה בסיס אקסיומטי מוצק, הוכחה או הפרכה פורמלית של המשפט לא הייתה בגדר האפשר. מתמטיקאים רבים חלקו על קנטור, שכן התקשו לקבל קיום של סדר טוב על קבוצות מסובכות, כגון קבוצת המספרים הממשיים.
באוגוסט 1904 המתמטיקאי ההונגרי גיולה קניג הכריז כי הפריך את משפט הסדר הטוב. הוא סבר שקבוצת המספרים הממשיים היא דוגמה נגדית. טיעונו היה כדלקמן:
הטעות של קניג נתגלתה במהרה. הוא מניח שהסדר P עצמו ניתן לתיאור. ואכן הוכחתו של קניג מראה שאין שום דרך סופית לתאר סדר שכזה. אבל עדיין תיתכן האפשרות שסדר שכזה קיים בלי שתהיה דרך לתאר אותו, ואז גם לא ניתן לתאר איבר באמצעותו. מתקפה נוספת של קניג על משפט הסדר הטוב והשערת הרצף הופרכה גם היא.
כמה שבועות אחר כך, בספטמבר 1904, שלח ארנסט צרמלו מכתב לדייוויד הילברט שכלל הוכחה ראשונה למשפט הסדר הטוב. צרמלו התבסס בהוכחתו על "עקרון לוגי" ש"לא ניתן לצמצמו לעקרון לוגי פשוט יותר, אבל משמש כל הזמן במתמטיקה ללא היסוס". לימים נודע העקרון הזה כאקסיומת הבחירה. ההוכחה של צרמלו עוררה מחלוקת עזה בקרב קהילת המתמטיקאים. בין המתנגדים נמנו אמיל בורל, אנרי פואנקרה, ארתור מוריץ שנפליס, גיולה קניג ופליקס ברנשטיין.
ב-1908 צרמלו ניסח מחדש את ההוכחה ואת אקסיומת הבחירה במטרה להימנע מהנקודות השנויות במחלוקת. עם התרחבות ההכרה בנחיצותה של אקסיומת הבחירה בתחומי מתמטיקה רבים, פחתו כיסי ההתנגדות. ההתייחסות המודרנית למשפט הסדר הטוב זהה להתייחסות לאקסיומת הבחירה. לאחר שקורט גדל ופול כהן הוכיחו כי האקסיומה עצמאית ביחס לאקסיומות ZF, הוכרה האפשרות שניתן לעסוק במקביל הן במתמטיקה בה האקסיומה נכונה והן במתמטיקה שבה היא שגויה.
הוכחה.
יש שתי הוכחות מקובלות למשפט הסדר הטוב. האחת עושה שימוש ישיר באקסיומת הבחירה והאחרת בלמה של צורן השקולה לה. נביא את ההוכחה הראשונה:
תהא formula_1 קבוצה. נסמן ב-formula_13 את קבוצת החזקה של A, ללא הקבוצה הריקה. לפי אקסיומת הבחירה, קיימת פונקציה formula_14 המתאימה לכל formula_15 איבר formula_4. נגדיר באינדוקציה טרנספיניטית פונקציה הפועלת על מספרים סודרים:
נשים לב כי ייתכן ש-formula_18 אינה מוגדרת בשני מקרים: מקרה ראשון, אם formula_19, אז formula_20 שאינו מוגדר. ומקרה שני אם קיים formula_21 כך ש-formula_22 אינו מוגדר.
על אותם סודרים ש-formula_23 מוגדרת עליהם, formula_23 פונקציה חד-חד-ערכית: אם formula_25 אז formula_26 ולכן פונקציית הבחירה formula_27 לא יכולה לבחור את formula_28 כערך ל-formula_29.
לא ייתכן ש-formula_23 מוגדרת לכל סודר, כי אז formula_31 (הקיימת לפי החד-חד-ערכיות) היא פונקציה מהקבוצה formula_1 למחלקת כל הסודרים, לכן (לפי אקסיומת ההחלפה) מחלקת כל הסודרים היא קבוצה, בסתירה לפרדוקס בורלי-פורטי. מכאן שיש סודרים ש-formula_23 אינה מוגדרת לגביהם. הסודרים סדורים היטב ולכן יש סודר מינימלי formula_34 כך ש-formula_35 אינו מוגדר. מכיוון שלא קיים סודר קטן מ-formula_34 שהפונקציה אינה מוגדרת עליו, בהכרח הסיבה ש-formula_35 אינו מוגדר היא ש-formula_38.
לכן formula_39 התאמה חד-חד-ערכית ועל בין formula_40 ל-formula_41, ואת A ניתן לסדר בסדר טוב לפי formula_42 אם ורק אם formula_43 (במילים אחרות מגדירים את הסדר כך ש-formula_23 היא איזומורפיזם סדר).
שקילות לאקסיומת הבחירה.
במסגרת אקסיומות ZF משפט הסדר הטוב שקול לאקסיומת הבחירה. כלומר מספיק להניח רק אחד מהם כדי להוכיח את השני. ההוכחה של אקסיומת הבחירה תחת הנחת משפט הסדר הטוב פשוטה:
תהי formula_45 משפחה של קבוצות. נסמן ב-formula_46 את איחוד כל הקבוצות ב-formula_45. לפי משפט הסדר הטוב קיים סדר טוב formula_2 על formula_46. כעת נגדיר את formula_27 להיות הפונקציה המתאימה לכל קבוצה ב-formula_45 את האיבר המינימלי שלה לפי formula_2 כתת-קבוצה של formula_46. זוהי פונקציית בחירה על formula_45 כנדרש באקסיומת הבחירה.
שימושים.
מסקנה מיידית ממשפט הסדר הטוב היא שכל קבוצה שקולה לסודר כלשהו (מכיוון שכל קבוצה סדורה היטב איזומורפית לסודר). הדבר מאפשר להגדיר עוצמה של קבוצה באופן פורמלי כסודר המינימלי השקול לה. נובע מכך שניתן להשוות בין כל שתי עוצמות (כלומר או שהן שוות או שאחת גדולה מהשנייה). טענה זו שקולה גם היא לאקסיומת הבחירה.
במרבית השימושים של משפט הסדר הטוב הוא הוחלף בלמה של צורן, לאחר שזו נתגלתה כנוחה ופשוטה יותר לשימוש.
אחד הראשונים להשתמש במשפט הסדר הטוב היה גאורג המל שהשתמש בו כדי לתאר את כל הפתרונות למשוואה הפונקציונלית של קושי. המל הראה שפתרונות המשוואה הן ההעתקות הליניאריות משדה המספרים הממשיים לעצמו כמרחב וקטורי מעל שדה המספרים הרציונליים. כלומר כל פתרון נקבע לחלוטין על פי הערכים שהוא מקבל על בסיס של הממשיים כמרחב וקטורי מעל הרציונליים. בסיס שכזה נקרא בסיס המל, ולהוכחת קיומו השתמש המל במשפט הסדר הטוב באופן הבא (השימוש במשפט הסדר הטוב, או בגרסה אחרת של אקסיומת הבחירה הכרחי כאן. אין דרך לבנות בסיס המל במפורש.):
קבוצה זו פורשת את המרחב (משום שכל מספר שאינו נפרש שייך לקבוצה), והיא בלתי תלויה ליניארית, כי אם היה צירוף ליניארי של איברי הבסיס השווה לאיבר בבסיס, אז ניתן להעביר אגפים ולקבל צירוף ליניארי של האיבר המקסימלי בצירוף, בסתירה להגדרת הבסיס. מכאן שזהו אכן בסיס המל.
משפט הסידור הטוב
עקרון הסידור הטוב
דמיטרי קיטאיינקו
דמיטרי קיטאיינקו (רוסית Дмитрий Георгиевич Китаенко, נולד ב-18 באוגוסט 1940) הוא מנצח רוסי.
חייו.
קיטאיינקו נולד בלנינגרד ולמד בבית הספר למוזיקה ע"ש גלינקה ובקונסרבטוריונים של לנינגרד ומוסקבה. הוא זכה בפרס ראשון בתחרות הרברט פון קאראיין בשנת 1969.
קיטאיינקו היה המנהל המוזיקלי של התזמורת הפילהרמונית של מוסקבה במשך 14 שנים. כמו כן כיהן במשרות מנצח ראשי בפילהרמונית של ברגן (1990-1998), תזמורת הרדיו של פרנקפורט (1990-1996), תזמורת רשות השידור הקוריאנית (1999 – 2004) והתזמורת הסימפונית של ברן (1990-2004). כמו כן היה המנצח הראשי של תיאטרון האופרה של מוסקבה.
רדיו קול דימונה
יעקב בן-תור
יעקב בן-תוֹר (13 בפברואר 1910 – 29 באוקטובר 2002) היה פרופסור לגאולוגיה ומנהל המכון הגיאולוגי לישראל.
ביוגרפיה.