ביטויים אנליטיים עבור ההרמוניות הספריות הראשונות שמשתמשות במוסכמת פאזת קונדון-שורטלי.
ראו גם: (עד l=10)
הכללות.
ניתן לראות את ההרמוניות הספריות כהצגה של חבורת הסימטריה של הסיבובים סביב נקודה (SO(3)) או החבורה עם האלגברה הזהה לה SU(2). ככאלה, חבורות אלה תופסות את הסימטריה של ספירה דו-ממדית. כל סט של הרמוניות ספריות עם l נתון ממפות את החבורה להצגה אי-פריקה (irreducible representation) של SO(3).
בנוסף לכך, הספירה הדו-ממדית שקולה לספירת רימן. קבוצת הסימטריות השלמה של ספירת רימן מתוארת על ידי חבורת העתקות מביוס formula_69, שהיא איזומורפית כחבורת לי ממשית לחבורת לורנץ. האנלוג עבור ההרמוניות ספריות עבור חבורת לורנץ הם טורים היפרגאומטריים; ואכן, ניתן לבטא את ההרמוניות הספריות במונחים של טורים היפרגאומטריים, כשם ש-SO(3) היא תת-חבורה של PSL(2,C).
באופן כללי יותר, טורים היפרגאומטריים ניתנים להכללה כדי לתאר את הסימטריה של כל מרחב סימטרי. בפרט, טורים היפרגאומטריים ניתנים לפיתוח עבור כל חבורת לי.
ניו רפובליק
שאלות אל ראש הממשלה
תחנת הרכבת תל אביב צפון
ארבע הפינות
ארבע הפינות (באנגלית: Four Corners) הוא שמו של מרובע גבולות בארצות הברית, בין הגבולות של המדינות יוטה, אריזונה, קולורדו וניו מקסיקו. זוהי הנקודה היחידה בארצות הברית בה מתלכדים גבולותיהן של ארבע מדינות.
בין ארבע המדינות מפרידים קווים ישרים: בין יוטה וקולורדו לשכנותיהן מדרום מפריד קו הרוחב 37 צפון, ובין יוטה ואריזונה לשכנותיהן ממזרח מפריד קו האורך 109 מערב. בנקודה, הממוקמת ברמת קולורדו, נמצא מונומנט ארבע הפינות הכולל גם מרכז מבקרים, והגובה דמי כניסה תמורת הזכות לראות את הנקודה המדויקת, בה נמצאת דיסקת ארד המציינת את הגבולות. המונומנט מנוהל בידי בני שבט נאוואחו החיים באזור. בקרבת מקום עובר הכביש המהיר US-160.
אזור ארבע הפינות הוא מקום משכנם של שבטי הנאוואחו, המרוכזים בשמורת האינדיאנים אומת נאוואחו, בעיקר בפינה הצפון-מזרחית של אריזונה, אך גם ביוטה ובניו-מקסיקו (אך לא בקולורדו).
הנקודה נמצאת גם בארבעת המחוזות סן חואן (יוטה), אפאצ'י (אריזונה), סן חואן (ניו מקסיקו) ומונטזומה (קולורדו).
למרות שמדובר באזור נידח שאינו מיושב בצפיפות, הרי שמספר המטיילים באזור רב יחסית, שכן במרחק נסיעה מהמקום נמצאים מספר פארקים לאומיים, ובהם:
באחד מפרקי סדרת הטלוויזיה "משפחת סימפסון" נוסעת המשפחה לביקור באתר "חמש הפינות", גרסה פרודית על ארבע הפינות.
בפרק מסדרת הדרמה שובר שורות, נוסעת גברת וייט לאתר.
בקנדה קיימת נקודה בשם זהה (60 צפון, 102 מערב) ובה מתלכדים גבולותיהם של מניטובה, ססקצ'ואן, הטריטוריות הצפון מערביות, וטריטוריית נונאווט.
מחלת ארבע הפינות.
מחלה בלתי מזוהה שפרצה באזור ב-1993 כונתה "מחלת ארבע הפינות" על שם האזור בו התגלתה. המחלה לוותה בשיעורי תמותה גבוהים (75% מהחולים - רובם צעירים ובריאים - מתו).
שדה מרס
שדה מרס (בלטינית: Campus Martius - "קמפוס מארטיוס", באיטלקית: קאמפו מארציו), הוא שמו של אזור ששטחו כשני קילומטר רבוע במרכז העיר רומא. המקום המשוער של שדה מארס הוא החל מגבעת קווירינאלה בצפון, בה נמצא כיום הקווירינאלה – מעונו הרשמי של נשיא איטליה, עד לגבעת פינצ'ו שבדרום, אשר בבסיסה מצויה פיאצה דל פופולו, בתוואי של ויה דל קורסו. השדה גובל בנהר הטיבר וסמוך לגבעת הקפיטולין.
רומא העתיקה.
שדה מרס הוא מישור נמוך מזרחית לנהר הטיבר, מערבית לגבעת הקווירינאליס, צפונית מערבית לגבעת הקפיטולין וצפונית לאי הטיבר. על פי האמונה הרומית היה האזור שדה שעורים בבעלות לוקיוס טארקוויניוס סופרבוס, אחרון מלכי רומא. אמונה זו גורסת כי השדה נשרף במהלך המהפכה שהולידה את הרפובליקה הרומית.
לאחר הקמת חומת סרוויוס היה האזור מחוץ לחומות אלה, ושימש כאזור לרעיית צאן וסוסים, וכן כשדה תרגולים צבאיים עבור הצבא הרומי (ומכאן שמו של השדה על שם אל המלחמה מרס). בשל היות האזור מחוץ לתחום הפומריום (שטח העיר המקודש), היה מותר לבנות בשדה מקדשים לאלים שאינם רומיים.
בשנת 221 לפנה"ס נבנה הקירקוס פלאמיניוס - מגרש מרוצי מרכבות על שם גאיוס פלאמיניוס- בחלקו הדרומי של שדה מרס.
בתקופת לוקיוס קורנליוס סולה נבנו באזור שדה מרס בתי דירות (אינסולה) רבים, ופומפיוס בנה בשנת 55 לפנה"ס את תיאטרון פומפיוס - מבנה התיאטרון הראשון שנבנה ברומא, ובתקופת שיפוצי הקוריה הוסטיליה בשנת 52 לפנה"ס שימש תיאטרון זה כמקום מפגש זמני של הסנאט הרומאי, ועל מדרגות מבנה זה נרצח יוליוס קיסר באידו של מרס 44 לפנה"ס. בשנת 33 לפנה"ס נבנה בשדה מרס הפורטיקוס אוקטביה.
בתקופת שלטונו של הקיסר אוגוסטוס הפך שדה מרס באופן רשמי לחלק מהעיר (שחולקה ל-14 רבעים). שדה מרס חולק בין שני רבעים: "ויה לאטה" (הרובע השביעי) במזרח שדה מרס, ו"קירקוס פלאמיניוס" (הרובע התשיעי) במערב שדה מרס. בתקופה זו נבנה הארה פאקיס - מזבח האלה פאקס (אלת השלום הרומאית).
מרקוס ויפסניוס אגריפה בנה בשדה מרס מרחצאות שכונו "מרחצאות אגריפה" וכן את הפורטיקוס אגריפה והפנתאון המקורי (שנהרס ונבנה מחדש על ידי אדריאנוס). בשנת 19 לפנה"ס הושלמה הקמת האקווה וירגו - אקוודוקט שהביא מים למרחצאות.
בצפון שדה מרס נבנה מאוזוליאום אוגוסטוס שיועד להיות מקום קבורתם של בני משפחתו של הקיסר אוגוסטוס. כמו כן במאה הראשונה לספירה נבנו באזור תיאטרון מרקלוס, מקדש לאלה איזיס, וכן הקיסר נרון בנה מרחצאות נוספות.
לאחר שרפה שכילתה את אזור שדה מרס בשנת 80, בנה דומיטיאנוס את האצטדיון שהפך לימים לפיאצה נאבונה. בשנת 270 נבנו חומות אורליאנוס אשר הגנו על אזור שדה מרס.
ימי הביניים.
במהלך ימי הביניים, ובעקבות התקפות ופלישות השבטים הברבריים, נהרסו אמות המים שהביאו מים לעיר רומא. אוכלוסיית העיר הצטמצמה, ותושבי העיר התרכזו באזור שדה מרס בשל קרבתו לנהר הטיבר שאפשרה שתייה ממנו (על אף הצפות האזור על ידי הנהר בחודשי החורף). בימי הביניים הפכו אזור שדה מרס ואזור הוותיקן לאזורים המאוכלסים ביותר ברומא.
הדרך הראשית של העיר - ויה קאסיה - הגיע אל העיר דרך פורטה דל פופולו ("שער העם") בקצהו הצפוני של שדה מרס. בין השנים 1513–1521 בנה האפיפיור ליאו העשירי דרך המקשרת את הפורטה דל פופולה עם הוותיקן.
בשלהי ימי הביניים פותח האזור, ושוקמו חלק מאמות המים הקדומות. שיפור התשתיות הביא לגידול באוכלוסיית האזור. בשנת 1555 הוקם בחלקו הדרומי של שדה מרס הגטו הרומאי וכל תושבי העיר היהודים נצטוו להתגורר רק בו.
העת החדשה.
לאחר תום תקופת הרנסאנס קפא שדה מרס על שמריו. עבודות הבנייה הגדולות של תקופת הרנסאנס במסגרתן נבזזו עמודים ואבנים משרידי הפורום הרומאי ונבנו ארמונות רבים בשדה מרס נפסקו, ואוכלוסיית האזור קטנה. מצב זה השתנה בשנת 1870 עם הקמת ממלכת איטליה - עבודות בנייה החלו במטרה להפוך את רומא לבירת הממלכה, והגירה מהכפרים אל העיר הביאה לגידולה של העיר בכלל ואזור שדה מרס בפרט. על מנת להגן על תושבי האזור מפני הצפות הטיבר, נבנו רציפים לאורך הנהר.
שאן דה מארס
שאן דה מארס (בצרפתית: Champ de Mars) הוא פארק ציבורי גדול ברובע השביעי של פריז. הפארק ממוקם בין נהר הסן ומתחם בתי הספר הצבאיים אקול מיליטר. בקצהו המערבי של הפארק נמצא מגדל אייפל ובהמשכו, מעבר לגשר ינה מצויים גני טרוקדרו וארמון שאיו. אורכו של הפארק 780 מטרים ורוחבו כ-200 מטרים.
הפארק נקרא על שם שדה מרס שברומא, וזאת בשל שימושו המקורי של השטח - מגרש מסדרים ואימונים של בית הספר הצבאי הסמוך (ה"אקול מיליטר").
ב-14 ביולי 1790 נערכו במתחם אירועי הפט דה לה פדרסיון במהלך המהפכה הצרפתית, וב-17 ביולי 1791 ביצעו במתחם טבח במתנגדי המלוכה הצרפתית שקראו להפלתו של לואי השישה עשר, מלך צרפת.
כבר ב-1798 נערכה במקום תערוכה גדולה להצגת הישגי התיעוש ועל מנת לשעשע את מעמד הפועלים. בהמשך היה שאן דה מארס אתר התערוכות העולמיות של המחצית הראשונה של המאה ה-19 והמחצית הראשונה של המאה ה-20 והתקיימו בו התערוכה העולמית של פריז (1867), התערוכה העולמית של פריז (1889), התערוכה העולמית של פריז (1900) והתערוכה העולמית של פריז (1937) וכן התערוכות הקולוניאליות שנועדו להצגה של מושבות האימפריה הקולוניאלית הצרפתית.
פארק שאן-דה-מארס
לתפוס את הרגע
לתפוס את הרגע (במקור האנגלי: Peaceful Warrior) הוא סרט קולנוע אמריקני משנת 2006. הסרט מבוסס על ספרו האוטוביוגרפי-בדיוני של דן מילמן, "דרכו של הלוחם השקט", שנכתב בשנת 1980.
את הסרט ביים ויקטור סלבה, ומככבים בו סקוט מקלוביץ וניק נולטה בתפקידים הראשיים. הסרט זכה בקטגוריית הסרט הטוב ביותר בפסטיבל הסרטים שנערך במאווי ב-2006.
עלילה.
דן מילמן (סקוט מקלוביץ) הוא סטודנט הלומד באוניברסיטה ומתעמל מצליח שחולם על זכייה באליפות הארצית. באחד מן הימים הוא פוגש בזקן (ניק נולטה), העובד בתחנת דלק למחייתו. מילמן מכנה אותו בשם סוקרטס. סוקרטס מודע לבעיותיו של מילמן. סוקרטס מפגין חוכמה רבה שרק מסקרנת את מילמן, אשר מבקש ללמוד מחוכמתו. בנוסף, דמותו הופיעה בחלומו בנעליה, ליד שברי רגלו המרוסקת, חלום שמילמן אינו יודע את פשרו.