ללפלס היו ידיעות נרחבות של כל תחומי המדע והוא היה דומיננטי ביותר בכל הדיונים באקדמיה הצרפתית. נדמה שלפלס החשיב את האנליזה בעיקר ככלי לגשת לבעיות פיזיקליות, זאת אף על פי שנדמה שהיכולת שבה המציא את האנליזה הנדרשת היא פנומנלית. כל עוד התוצאות שלו היו נכונות הוא גילה עניין מועט בלבד במתן הסברים לצעדים באמצעותם הוא הגיע אליהן; הוא מעולם לא הרהר לעומק באלגנטיות או בסימטריה בתהליכי הפתרון שלו, שכן הוא הסתפק בכך שהוא היה יכול לפתור (בכל אמצעי שהוא) את הבעיה הספציפית שהוא עסק בה.
הדינמיקה של גאות ושפל.
התאוריה הדינמית של גאות ושפל.
בעוד ניוטון הסביר את תופעות הגאות והשפל באמצעות תיאור הכוחות שמייצרים אותן ודניאל ברנולי סיפק תיאור של התגובה הסטטית של מימי כדור הארץ לפוטנציאל הגאותי (Tidal potential), התאוריה הדינמית של גאות ושפל, שפותחה על ידי לפלס ב־1775, מתארת את התגובה האמיתית של האוקיינוס לכוחות גאות. תאוריית הגאות האוקייאנית של לפלס מתחשבת גם בחיכוך, תהודה וזמני מחזור טבעיים של בסיסי אוקיינוסים.
תאוריית שיווי המשקל של ניוטון, שהתבססה על חישוב גרדיאנט הכבידה הנגרם על ידי השמש והירח אולם הזניחה את סיבוב כדור הארץ סביב צירו, את קיומם של יבשות ואפקטים אחרים, לא יכלה להסביר את הגאות שמתרחשת בפועל באוקיינוסים.
מאחר שמדידות אישרו את התאוריה, לממצאים תצפיתיים רבים ישנו הסבר עכשיו, כמו למשל כיצד האינטראקציה של הגאות עם רכסי אוקיינוסים עמוקים ושרשראות הרי מצולה מצמיחה זרמי ערבול עמוקים שמוליכים חומרי מזון מעומק הים לפני השטח שלו. בעוד החישוב של גובה גל הגאות לפי תאוריית השיווי משקל מניב ערך של פחות מחצי מטר, התאוריה הדינמית מצליחה להסביר מדוע באזורים מסוימים נצפית גאות שמגיעה לגובה של עד 15 מטרים. תצפיות לוויין מאשרות את הדיוק של התאוריה הדינמית, וגבהי הגאות בכל רחבי העולם נמדדים כעת בדיוק של סנטימטרים ספורים. מדידות שהופקו מלוויין ה־CHAMP תואמים בקירוב מודלים המבוססים על מידע שנלקח מפרויקט ה־TOPEX. מודלים מדויקים של גבהי גאות ברחבי העולם הם הכרחיים לצורך מחקר שיטתי שכן כדי לחשב במדויק עוצמות כבידה ושינויים בגובה פני הים הכרחי לבצע תיקונים במדידות בגלל תנודתיות הנגרמת על ידי הגאות.
משוואות הגאות של לפלס.
ב־1776, לפלס ניסח אוסף של משוואות דיפרנציאליות חלקיות ליניאריות המתארות את זרמי הגאות כזרימה ברוטרופית של שכבה אוקיינית דו־ממדית. אפקטי קוריוליס נכללים במשוואות כמו גם אילוצים אנכיים הנגרמים מהכבידה. לפלס גזר את המשוואות האלו באמצעות פישוט המשוואות המתארות את הדינמיקה של זורמים. הן ניתנות לגזירה גם מאינטגרלי אנרגיה דרך משוואת לגראנז'.
בעבור שכבת זורם בעלת עובי ממוצע "D", גובה הגאות "ζ", כמו גם רכיבי המהירות האופקיים "u" ו־"v" (בכיוון הרוחבי "φ" והאורכי "λ", בהתאמה), מקיימים את משוואות הגאות של לפלס:
formula_1
כאשר "Ω" היא התדירות הזוויתית של סיבוב כוכב הלכת, "g" היא תאוצת הכבידה שיוצר הכוכב על פניו, "a" הוא הרדיוס הפלנטרי, ו־"U" היא פוטנציאל הגאות הכבידתי החיצוני.
על צורת כדור הארץ.
במהלך השנים 1787–1784 לפלס פרסם מספר מאמרים בעלי כוח מתמטי יוצא דופן. בולט בין אלו הוא מאמר שפורסם לראשונה ב־1783, ונדפס מחדש כחלק השני של חיבורו תיאוריה על תנועתם וצורתם האליפטית של כוכבי לכת מ־1784 וכחלק מהכרך השלישי של עבודתו המונומנטלית מכניקה שמיימית. בעבודה זאת לפלס קבע באופן מושלם את המשיכה הכבידתית שמפעיל ספרואיד על חלקיק מבחוץ לו. מאמר זה זכור גם בזכות כך שהציג לראשונה את הכלי האנליטי של הרמוניות ספריות או מקדמי לפלס, וגם בשל פיתוח השימוש במה שכעת אנו קוראים לו פוטנציאל כבידתי במכניקה קלאסית.
הרמוניות ספריות.
ב־1783, במאמר שנשלח לאקדמיה הצרפתית, אדריאן־מארי לז'נדר הציג את מה שנקרא כעת פונקציות לז'נדר. אם לשתי נקודות במישור יש קואורדינטות פולריות formula_2 ו־formula_3, כאשר formula_4, אז באמצעות מניפולציה אלמנטרית ניתן לקבל שההופכי למרחק בין שתי הנקודות, d, ניתן לכתיבה כ:
formula_5
את הביטוי הזה ניתן לפתח לחזקות של formula_6 באמצעות משפט הבינום המוכלל של ניוטון כדי לקבל:
formula_7
סדרת הפונקציותformula_8 היא הסדרה של הפונקציות הנקראות פונקציות לז'נדר והשימושיות שלהן נובעות מהעובדה שכל פונקציה של נקודות על מעגל ניתנת לפיתוח כטור שלהן.
לפלס, עם קרדיט זעום ללז'נדר, עשה את הכללה הלא־טריוויאלית של התוצאה לשלושה ממדים והציג קבוצה כללית יותר של פונקציות, ההרמוניות הספריות או מקדמי לפלס, כאשר השימוש בשם האחרון אינו נפוץ.
תורת הפוטנציאל.
המאמר המוזכר לעיל הוא חשוב גם בשל פיתוח הרעיון של פוטנציאל סקלרי. הכוח הכבידתי שפועל על גוף הוא, בשפה מודרנית, ווקטור, שלו גודל וכיוון. פונקציית פוטנציאל היא פונקציה סקלרית שמגדירה כיצד הווקטורים יתנהגו. פונקציה סקלרית היא מבחינה חישובית וקונספטואלית נוחה יותר לשימוש מאשר פונקציה ווקטורית.
אלכסיס קלרו הציע לראשונה את הרעיון ב־1743 כאשר עבד על בעיה דומה, אף על פי שהוא עשה שימוש בצורת הסקה גאומטרית־ניוטונית. לפלס תיאר את עבודתו של קלרו כשייכת "למחלקה של היצירות המתמטיות היפות ביותר". אף על פי כן, ראוס בול טוען ש"ניצני הרעיון מופיעים אצל ז'וזף לואי לגראנז', אשר השתמש בפוטנציאל במאמריו מהשנים 1773, 1777 ו־1780". המונח "פוטנציאל" עצמו הוא אודות לדניאל ברנולי, שהציג אותו בספרו מ־1738 הידרודינמיקה. עם זאת, ראוס בול טוען גם שבמונח "פונקציית פוטנציאל" לא נעשה שימוש (במובן של פונקציה V של הקואורדינטות במרחב) עד חיבורו משנת 1828 של ג'ורג' גרין מסה על היישום של ניתוח מתמטי לתאוריות החשמל והמגנטיות.
לפלס יישם את שפת הקלקולוס לפונקציית הפוטנציאל והראה שהוא תמיד מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית:
formula_9
תוצאה אנלוגית עבור פוטנציאל המהירות של זורם נגזרה מספר שנים קודם לכן על ידי לאונרד אוילר.
עבודת ההמשך של לפלס על משיכה כבידתית הייתה מבוססת על התוצאה הזאת. הגודל formula_10 זכה לשם הריכוז של V וערכו בנקודה מעיד על ההבדל בין ערכו של V שם לערך הממוצע שלו בסביבה של הנקודה. משוואת לפלס, מקרה פרטי של משוואת פואסון, מופיעה רבות בפיזיקה מתמטית. מושג הפוטנציאל מופיע במכניקת הזורמים, אלקטרומגנטיות, ותחומים אחרים. ראוס בול שיער שניתן לפרש את הופעת מושג הפוטנציאל "כסימן החיצוני" של אחת מהצורות האפריוריות בתאוריית התפיסה של קאנט.
ההרמוניות הספריות התבררו כקריטיות להשגת פתרונות מעשיים למשוואת לפלס. משוואות לפלס בקואורדינטות כדוריות, כמו אלו שמשמשות למיפוי השמיים, ניתנות לפישוט, באמצעות שיטת הפרדת המשתנים, לחלק רדיאלי, התלוי רק במרחק מהנקודה המרכזית, וחלק זוויתי או כדורי. הפתרון לחלק הכדורי של המשוואה ניתן אז לביטוי כטור של ההרמוניות הספריות של לפלס.
אי שוויונות פלנטריים וירחיים.
אי שוויון צדק־שבתאי.
מסלוליהם של צדק ושבתאי הפגינו אנומליות שתעתעו באסטרונומים לאורך מאות שנים. בכתביו, ניוטון נתן הסבר איכותי בלבד לגורם העיקרי לאנומליות האלה (ואילו הסבר כמותי גס בלבד), והוא ההשפעה הכבידתית ההדדית של שני כוכבי הלכת זה על זה. כדי לבחון את ההשערה שלו, ניוטון שאל את האסטרונום ג'ון פלמסטיד אם נצפתה האטה של שבתאי כשהוא חולף על פני צדק. פלמסטיד המופתע השיב שאכן נצפה אפקט כזה, ואפקט ההאטה הזה תאם בקירוב את החישובים שניוטון סיפק. אולם חישוביו של ניוטון יכלו לתאר בקירוב את תנועות שני הכוכבים לתקופה קצרה למדי (תקופת החליפה) ולא סיפקו שיטה כללית לגשת לבעיה שהציגה מערכת צדק־שבתאי. כאן נכנסת לתמונה תרומתו של לפלס.
לפלס הציג מאמר על אי שוויונות פלנטריים בשלושה חלקים, בשנים 1784, 1785, ו־1786. אלו עסקו בעיקר עם הזיהוי וההסבר של הפרטורבציות הידועות כעת כ"אי שוויון צדק־שבתאי". לפלס פתר בעיה ותיקה על מחקר וחיזוי התנועות של הכוכבים האלה. הוא הראה משיקולים כלליים, ראשית, שהמשיכה ההדדית בין שני הכוכבים לעולם לא תוכל לגרום לשינויים גדולים באקסצנטריות או בנטייה המסלולית של המסלולים שלהם; וחשוב מכך, שחריגות במערכת צדק־שבתאי קורות בגלל הקרבה של התנועות הממוצעות של צדק ושבתאי לתנועות בעלות מידה משותפת.
בהקשר זה מידה משותפת פירושו שהיחס בין התנועות הממוצעות של שני כוכבי הלכת הוא קרוב מאוד ללהיות שווה ליחס בין שני מספרים שלמים קטנים (דהיינו למספר רציונלי). שני זמני מחזור של מסלולו של שבתאי סביב השמש שווים לכמעט חמישה של אלו של צדק. ההבדל המתאים בין כפולות של התנועות הממוצעות (2"nJ" − 5"nS"), מתאים לתקופה שמשכה בערך 900 שנה, והוא מופיע כמחלק קטן באינטגרציה של כוח מפריע קטן מאוד באותה תקופה. כתוצאה, הפרטורבציה הכוללת בתקופה זאת היא גדולה באופן לא פרופורציונלי, בערך 0.8 מעלות של קו אורך מסלולי בעבור שבתאי ובערך 0.3 עבור צדק (כלומר מסלוליהם מבצעים מעיין פרצסיה).
פיתוחים נוספים של המשפטים האלה על תנועה פלנטרית ניתנו במאמריו מהשנים 1788 ו־1789. בעזרת התגליות של לפלס, טבלאות של נתונים על התנועות של צדק ושבתאי יכלו סוף סוף להפוך למדויקות הרבה יותר. זה היה על הבסיס של התאוריה של לפלס שדלומבר חישב את הטבלאות האסטרונומיות שלו.
ספרים.
לפלס כעת הציב לעצמו את היעד לכתוב עבודה אשר התוצאה מגולמת בספרים חשיפת מערכת העולם והמכניקה שמיימית.