באי הקטן והצפוף נהרסו 5,524 בתי מגורים, 9,924 ניזוקו ו-14,225 נפגעו מהדף הפצצות. בנוסף נהרסו או ניזוקו 111 כנסיות, 50 בתי חולים ומוסדות חינוך ו-36 בתי קולנוע, מועדונים, משרדי ממשלה, בנקים, בתי חרושת, טחנות קמח, ומבנים מסחריים אחרים. סך של כ-30,000 מבנים.
אבדות הציר.
אבדות הציר על פי חודשים.
אבדות הציר במטען ובכוח אדם שנשלחו ללוב היו:
אלגברת אזומיה
בתורת החוגים, אלגברת אָזוּמַיָה מעל חוג קומוטטיבי formula_1 היא מודול נאמן פרויקטיבי נוצר סופית formula_2, שעבורו ההעתקה הטבעית formula_3 היא איזומורפיזם. בפרט, כל אלגברת אזומיה היא ספרבילית, ובשל כך נקראו אלגברות אלה בעבר 'אלגברות ספרביליות מרכזיות'.
אם חוג הבסיס formula_1 הוא שדה, אלגברות אזומיה אינן אלא אלגברות פשוטות מרכזיות. הן מהוות, אם כך, הכללה של מושג יסודי זה באופן המאפשר את המניפולציות הסטנדרטיות של מעבר לחוג מנה וכדומה.
המושג הוצג לראשונה על ידי המתמטיקאי היפני גורו אזומיה במאמר מ-1951.
מבוא.
כל חוג formula_2 פועל על עצמו על ידי כפל משמאל: formula_6 היא הומומורפיזם של חוגים formula_7, כאשר formula_8. עובדה זו נכונה גם כשרואים בחוג אלגברה מעל חוג קומוטטיבי formula_1. באותה עת, האלגברה המנוגדת formula_10 פועלת על formula_2 על ידי כפל מימין, באופן המגדיר הומומורפיזם טבעי מן המכפלה הטנזורית לחוג האנדומורפיזמים, formula_12, לפי formula_13. באופן כללי ההומומורפיזם הזה אינו חד-חד-ערכי (למשל, אם formula_2 קומוטטיבי ומכיל ממש את formula_1, אז הטנזורים formula_16 שונים זה מזה אבל פעולתם זהה), וגם אינו על (יש הומומורפיזמים שלא ניתן לממש כצירוף של פעולות כפל מימין ומשמאל). התכונה העיקרית של אלגברות אזומיה היא שעבורן האלגברה מתארת את הפעולות על עצמה באופן מלא.
פונקציית הדרגה.
מכיוון ש-formula_1 קומוטטיבי, חוג המנה formula_18 הוא תחום שלמות לכל אידיאל ראשוני formula_19 של formula_1, ויש לו שדה שברים formula_21. לכל אלגברה formula_2 שהיא מודול סופי מעל formula_1, הרחבת הסקלרים formula_24 היא אלגברה מעל שדה, שיש לה כמובן ממד, שהוא "הדרגה של formula_2 ב-formula_19".
בכל אלגברת אזומיה, הדרגה קבועה על מרכיבי הקשירות של הספקטרום של formula_1, והאלגברות formula_24 כולן פשוטות מרכזיות, מממד סופי. בפרט, כל המנות formula_29, עבור האידיאלים המקסימליים formula_30 של formula_1, הן אלגברות פשוטות מרכזיות (הרי אם formula_30 אידיאל מקסימלי חוג המנה formula_33 הוא שדה, ו-formula_34). ההנחה האחרונה כמעט מספיקה לאפיון אלגברות אזומיה: אם כל המנות formula_29 הן אלגברות פשוטות מרכזיות, והדרגה קבועה, אז formula_2 אזומיה (נעיר שהספקטרום קשיר אם ורק אם אין ב-formula_1 אידמפוטנטים, ובמקרה כזה הדרגה הקבועה וההתנהגות מעל האידיאלים המקסימליים שקולים לתכונת אזומיה).
תכונות בסיסיות.
אם formula_2 אזומיה מעל formula_1, אז formula_1 שווה למרכז של formula_2. כל אלגברת מנה של אלגברת אזומיה היא אזומיה. כל הרחבת סקלרים (בחוג קומוטטיבי) היא אלגברת אזומיה. המכפלה הטנזורית של שתי אלגברות אזומיה מעל אותו חוג היא אלגברת אזומיה.
לכל אידיאל formula_42 של אלגברת אזומיה formula_2 מעל formula_1 מתקיים formula_45, ולכן יש התאמה מושלמת בין האידיאלים של האלגברה לבין האידיאלים של המרכז, לפי formula_46.
אלגברות אזומיה מקיימות את תכונת המרכֵּז הכפול: תהי formula_2 אלגברת אזומיה מעל formula_1, שהיא תת-אלגברה של אלגברה formula_49 כלשהי. אז formula_50. אם, בנוסף לזה, formula_49 היא אלגברת אזומיה, אז formula_52.
כל הומומורפיזם של אלגברות אזומיה מעל (אותו חוג) formula_1 הוא שיכון, ואם יש לאלגברות אותה דרגה (בכל מרכיב קשירות של הספקטרום), אז זהו איזומורפיזם.
אם כל מודול פרויקטיבי מדרגה 1 מעל formula_1 הוא חופשי (תכונה זו מתקיימת כמובן אם formula_1 הוא שדה), אז אלגברות אזומיה מקיימות את משפט סקולם-נתר: כל אוטומורפיזם של formula_2 הוא פנימי (כלומר, הצמדה באיבר הפיך).
משפט ארטין-פרוצ'סי מאפיין אלגברות אזומיה בשפת הזהויות הפולינומיות: חוג formula_57 הוא אזומיה, אם ורק אם הוא מקיים את כל הזהויות שמקיים חוג המטריצות formula_58, ואף תמונה הומומורפית שלו אינה מקיימת את כל הזהויות שמקיים חוג המטריצות formula_59.
חבורת בראוור.
כל אלגברת מטריצות מעל formula_1 היא אלגברת אזומיה. באופן כללי מעט יותר, אם formula_19 מודול פרויקטיבי נאמן מעל formula_1, אז formula_63 היא אלגברת אזומיה. כדי להפטר מן הדוגמאות הטריוויאליות האלה, מגדירים יחס שקילות בין אלגברות אזומיה מעל formula_1: האלגברות formula_2 ו-formula_49 דומות אם יש מודולים פרויקטיביים formula_19 ו-formula_68 כך ש-formula_69. המכפלה הטנזורית מוגדרת היטב על מחלקות השקילות של היחס הזה, ומאפשרת להגדיר את חבורת בראוור formula_70 של formula_1 כאוסף מחלקות השקילות, עם הכפל שהוא המכפלה הטנזורית. המחלקה של formula_1 היא איבר היחידה של המונויד המתקבל. מכיוון ש-formula_73 טריוויאלי לפי ההגדרה, האלגברה המנוגדת היא ההפכית של formula_2, ולכן חבורת בראוור היא חבורה, כמתחייב משמה, והיא אבלית, ואפילו מפותלת.
ההתאמה formula_75 היא פונקטור קווריאנטי. בפרט, אם formula_76 הרחבה של חוגים קומוטטיביים, אז העתקת הצמצום formula_77 היא הומומורפיזם formula_78. הצמצום קשור למְרכְּזים באופן הבא: אם formula_2 אלגברת אזומיה מעל formula_1, ו-formula_81 תת-חוג קומוטטיבי של formula_2 (שהוא אלגברה מעל formula_1), כך ש-formula_2 פרויקטיבי מעל formula_81, אז המרכז formula_86 אזומיה מעל formula_81, ו-formula_88.
אם formula_89 היא אלגברה ספרבילית מעל formula_1 שהיא פרויקטיבית מדרגה קבועה formula_91, אז אפשר להגדיר העתקה בכיוון ההפוך, formula_92, וההרכבה formula_93 (בסדר זה דווקא) אינה אלא פעולת הכפל ב-formula_91.
חבורת בראוור של תחום הערכה בדידה שלם formula_57 שווה לזו של שדה השאריות.
אלגבראות אזומיה נגזרות.
במאמר פורץ דרך מ-2010, הציע טואן הכללה נגזרת של המושג אלגברת אזומיה. בהינתן חוג קומוטטיבי סימפליצאלי "formula_2", ואלגברה דיפרנציאלית מדורגת "formula_49" מעל "formula_2", אומרים כי formula_49 היא אלגברת אזומיה נגזרת מעל "formula_2" אם מתקיימים שני התנאים:
ספקטרום של חוג
במתמטיקה, ספקטרום של חוג formula_1 הוא מרחב טופולוגי שהנקודות שלו הן האידיאלים הראשוניים של החוג. המרחב הזה, במיוחד כאשר formula_1 קומוטטיבי, מגשר בין המבנה האלגברי של החוג למבנים גאומטריים המתאימים לו, והוא מוביל להגדרה של סכמות, שהן מושא המחקר הבסיסי של הגאומטריה האלגברית המודרנית.
הספקטרום הוא תמיד מרחב קומפקטי המקיים את תכונת ההפרדה T0.
טופולוגיית זריצקי.
את אוסף האידיאלים הראשוניים של formula_1 מסמנים ב-formula_4. הקבוצות הסגורות במרחב הזה הן הקבוצות formula_5, לכל אידיאל formula_6 של החוג (זוהי אכן טופולוגיה, משום שהאוסף הזה סגור לאיחוד סופי ולחיתוך כלשהו: formula_7 ו-formula_8).
הטופולוגיה רחוקה מלהיות מטרית. לדוגמה, היא מקיימת את תכונת ההפרדה T1 רק כאשר כל אידיאל ראשוני הוא אידיאל מקסימלי. הסגור של formula_9 שווה ל-formula_10 (ולכן formula_11 היא "נקודה גנרית" של formula_10). הקבוצות הראשיות הפתוחות formula_13 מהוות בסיס לטופולוגיה.
אם formula_14 סדרה של ראשוניים, formula_15 אם ורק אם formula_16 (אותה נוסחה נכונה גם לרשתות). בפרט, הסדרה הקבועה formula_11 מתכנסת ל-formula_18 אם ורק אם formula_19.
הספקטרום של חוג קומוטטיבי.
בחוג הפולינומים formula_20 (כאשר formula_21 שדה סגור אלגברית), כל אידיאל formula_6 מגדיר קבוצה אלגברית אפינית (קבוצת ה-formula_23-יות אשר כל הפולינומים ב-formula_6 מאפסים). הקבוצה הזו אי-פריקה אם ורק אם האידיאל הוא ראשוני; ראו בערך יריעה אלגברית. אל היריעות אלו אפשר להתייחס כאל קבוצות ממימד גבוה במרחב האפיני formula_25, בהכללה להתאמה של אידיאלים מקסימליים (לפי משפט האפסים של הילברט) לנקודות, שמימדן אפס. דבר זה מאפשר הפשטה: עבור כל חוג (חילופי) נגדיר את קבוצת ה"נקודות" של האובייקט הגאומטרי התואם לו כקבוצת האידיאלים הראשוניים בחוג. על קבוצה זו, הספקטרום, מגדירים טופולוגיה מתאימה (הכללה של טופולוגיית זריצקי), ואלומה של חוגים, כך שאנו מקבלים מבנה של מרחב מחויג מקומית. מרחב זה נקרא הספקטרום של החוג, או הסכמה האפינית התואמת לחוג, וזהו שלב ראשון בהגדרה של סכימות.
התאמת חוג קומוטטיבי לספקטרום הראשוני שלו היא פונקטור קונטרה-וריאנטי מן הקטגוריה של חוגים קומוטטיביים לקטגוריה של מרחבים טופולוגיים. מתברר שאין דרך טובה להרחיב פונקטור זה לאוסף החוגים האסוציאטיביים: כל פונקטור קונטרה-וריאנטי מקטגוריית החוגים לקטגוריה של קבוצות, שצמצומו לתת-הקטגוריה של חוגים קומוטטיביים איזומורפי לפונקטור הספקטרום הראשוני שהוגדר לעיל, מוכרח להחזיר את הקבוצה הריקה עבור חוגים רבים.
סכמה אפינית.
סכמה אפינית היא מרחב טופולוגי מחויג מקומית המצויד בטופולוגיית זריצקי עם אלומה של חוגים. סכמה אפינית ניתנת להצגה כספקטרום של חוג קומוטטיבי עם יחידה formula_1, כלומר: formula_27 כאשר אלומת המבנה שלו מוגדרת על בסיס לטופולוגיה של קבוצות פתוחות ראשיות באופן הבא