חלק נוסף של הצבא הוויקינגי הגדול התגבש באזור עמק התמזה ופנה לכיוון ממלכת פרנקיה שביבשת, שם פתח במסע כיבושים תוך שהוא מנצל את הכאוס השלטוני שנוצר בממלכה לאחר מותו של קרל הקירח מלך פרנקיה בשנת 877. אלפרד הגדול שזיהה את חולשת הכוחות הוויקינגים מיהר לנצל את פרק הזמן לצורך ארגון מחדש וחיזוק של צבאו באמצעות הקמת צבא סדיר, בניית צי וביצור הערים בשטחים שבשליטתו.
עד לשנת 896 היו שרידי הצבא הוויקינגי הגדול שלא עברו להתיישבות במזרח אנגליה ונורת'מבריה חלשים מכדי להתמודד מול צבאו של אלפרד הגדול, ובהדרגה נטשו גם הם את האי בכיוון היבשת והותירו את השליטה בממלכת וסקס בידיו. בנו ויורשו של אלפרד, אדוארד הזקן, המשיך בדרכו של אביו, לחם והביס את הוויקינגים הדנים מנורת'מבריה והכניס את כל דרום אנגליה תחת מרותו.
צ'ברון
שקילות מוריטה
באלגברה מופשטת, שני חוגים נקראים שקולים מוריטה (Morita equivalent) אם קיימת שקילות קטגורית בין המודולים הימניים שלהם.
המונח נקרא על שם המתמטיקאי היפני מוריטה קייצ'י, שעסק באלגברה וטופולוגיה. לשקילות מוריטה מספר אפיונים חשובים, ובמובן מסוים היא מכלילה את הקשר שבין חוג אל חוג המטריצות מעליו, ולא באופן מרחיק לכת.
הגדרה.
שתי קטגוריות formula_1 נקראות שקולות אם קיימת ביניהן שקילות קטגורית, כלומר קיימים פונקטורים formula_2 ו- formula_3 כך ש-formula_4 ו-formula_5 איזומורפיות באופן טבעי אל העתקות הזהות, כלומר קיימות העתקות טבעיות formula_6 ו-formula_7.
בהינתן חוג (אסוציאטיבי עם יחידה) formula_8, נסמן ב-formula_9 את הקטגוריה של המודולים הימניים מעל formula_8. נאמר ששני חוגים formula_8 ו-formula_12 הם שקולים מוריטה אם קיימת שקילות קטגורית בין formula_9 ל-formula_14.
קל לראות כי מדובר בשקילות בין חוגים (כלומר, התאמה המקיימת רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות), המכונה שקילות מוריטה.
יחס מוריטה הוא יחס של שקילות בין חוגים, ולכן אפשר לדבר על תכונות של חוגים הנשמרות תחת היחס, כלומר: האם תכונה מסוימת של חוג נשמרת גם לאחר מעבר לחוג השקול אליו מוריטה? תכונות כאלה נקראות אינווראינטיות תחת יחס מוריטה.
מבנה.
שני חוגים איזומורפיים ודאי שקולים מוריטה, וההפך נכון בחוגים קומוטטיביים. בחוגים לא קומוטטיביים מתקבל מינוח כללי יותר; כך למשל, כל חוג מטריצות מעל חוג נתון שקול מוריטה לחוג המקורי, ולכן כל שני חוגי מטריצות מעל אותו החוג הם שקולים מוריטה. דוגמה ראשונית זו היא אבן הפינה במונח של שקילות מוריטה, ורבות מטכניקות ההוכחה עוברות לתאוריה הכללית.
היות שעצם ההגדרה היא בשקילות קטגורית, כל תכונה שניתן להגדיר אך ורק בתוך הקטגוריה של המודולים הימניים (כלומר אך ורק על ידי אובייקטים ומורפיזמים, וללא התייחסות מפורשת אל חוג הבסיס) תעבור מחוג אל חוג השקול אליו מוריטה. כך למשל, אינג'קטיביות, פרויקטיביות, פשיטות למחצה, ארטיניות, נתריות, נוצר סופית (אך לא מספר היוצרים), כולן נשמרות.
מאידך, מספר תכונות בבירור אינן נשמרות על ידי יחס מוריטה - קומוטטיביות, מקומיות, חילוק, תחום, גולדיות.
שקילות מוריטה ומודולים יוצרים.
לשקילות מוריטה קשר הדוק למודולים יוצרים (generators) ומודולים פרו-יוצרים (progenerators). מודול יוצר הוא מודול שאידיאל העקבה שלו שווה לחוג כולו. מודול פרו-יוצר הוא בנוסף פרויקטיבי ונוצר סופית. את קטגוריית המודולים הפרו-יוצרים נסמן ב-formula_15.
הקשר המבני.
כעת נתאר את הקשר בין מודולים פרו-יוצרים אל שקילות מוריטה, המכונות משפטי מוריטה.
לכל מודול פרו-יוצר ניתן להגדיר morita context (ראו בלקריאה נוספת לפרטים מלאים). קיומו של morita context משרה שקילות מוריטה בין החוג formula_8 אל החוג formula_17. גם ההפך נכון - כל חוג formula_12 השקול מוריטה ל- formula_8 הוא חוג אנדומורפיזמים מעל formula_8-מודול ימני פרו-יוצר כלשהו - כלומר, ניתן לבנות morita context בהינתן שקילות קטגורית בין המודולים הימניים. הרכבה של שקלויות קטגוריות מתאימה באופן מלא אל מכפלה טנזורית של המודולים הפרו-יוצרים המתאימים.
תכונות נוספות.
כלל הביטול (cancellation law) בקטגוריה של מודולים formula_21 הוא הדרישה שלכל formula_22 יתקיים שאם formula_23 אז formula_24.
משפט: עבור שני חוגים formula_25 שקולים מוריטה, כלל הביטול ב-formula_15 שקול אל כלל הביטול ב-formula_27.
לאור משפט זה, אפשר לאפיין חוגי מטריצות שנקבעים על ידי חוג הבסיס - עבור חוג formula_8, הבאים שקולים:
כמסקנה מתוצאה זו, מקבלים שכל חוג formula_8 מקומי-למחצה (כלומר כזה ש-formula_38 פשוט למחצה (למשל חוג ארטיני ימני)) קובע את חוג הבסיס בחוגי מטריצות מעליו.
תכונות נוספות.
עד כה דובר על שקילות בין המודולים הימניים, אך למעשה שקילות בין המודולים הימניים שקולה לשקילות בין המודולים השמאליים.
ניתן לתאר את המבנה של שני חוגים שקולים מוריטה באופן מפורש עוד יותר - אם formula_25 שקולים מוריטה, אז formula_40 עבור אידמפוטנט שלם formula_41 (כלומר כך ש- formula_42).
כמסקנה מטענה זו, תכונה של חוגים היא אינווריאנטית תחת יחס מוריטה אם ורק אם כאשר formula_8 מקיים את התכונה, כך גם כל חוג מטריצות מעליו, וגם כל חוג מהצורה formula_44 לכל אידמפוטנט שלם formula_41.
בנוסף, אם formula_25 שקולים מוריטה, אז המרכזים שלהם איזומורפיים. לכן, במקרה של חוגים קומוטטיביים, המונח לא מחדש כלום (כאמור לעיל). המרכז הוא אינווריאנט מוריטה, ויותר מכך: את המרכז של formula_8 ניתן לקבוע בעזרת הקטגוריה של המודולים הימניים מעל formula_8.
בתורת K, שקילות מוריטה בין חוגים משרה שקילות על מחלקות המודולים הפרויקטיביים, ולכן לחוגים שקולים מוריטה יש חבורות K איזומורפיות.
שמורות מוריטה.
התכונות הבאות נשמרות תחת שקילות מוריטה:
אבילס
אבילס (בספרדית ובאסטורית: Avilés) היא עיר בקהילה האוטונומית אסטוריאס בספרד. העיר שוכנת על גדות שפך נהר בקרבת חופה הצפוני של אסטוריאס, במרחק של 27 קילומטרים צפונית לאוביידו, בירת אסטוריאס.
היסטוריה.
מקור שמה של העיר הוא בהתיישבות הרומאית ששכנה באזור ושמה היה אביליוס.
האזכור הראשון לאבילס הוא מסמך מתחילת המאה ה-10, בו היא מתוארת כעיירה עם נמל. במהלך ימי הביניים אבילס הייתה אחת מערי הנמל החשובות ביותר במפרץ ביסקאיה, והיא הייתה חשובה מאוד בסחר במלח. ב-1479, לאחר שפרצה שרפה באבילס שהחריבה חלקים ממנה, הוענק לה על ידי המלכים הקתוליים רישיון לקיים שוק בימי שני כדי שתוכל להשתקם.
עם תחילת העת החדשה חשיבות הנמל ירדה והעיר החלה להסתמך על ענפים אחרים, כמו חקלאות.
במאה ה-19 אבילס החלה לעבור הליך תיעוש. התיעוש המשיך גם במאה ה-20 והביא לעלייה בחשיבות הנמל של אבילס ולהגדלתו. אירועי המרד באסטוריאס ב-1934 ומלחמת האזרחים בשנים שלאחר מכן הותירו שובל של הרס ומוות באבילס. העיר הצליחה להשתקם והתיעוש המשיך בעיקר בשנות ה-50 של המאה ה-20.
כלכלה.
כלכלת העיר מסתמכת בעיקר על תעשייה, כשבעיר נמצא מפעל גדול לייצור פלדה של התאגיד ארסלורמיטל (ArcelorMittal).
אווילס
פרידקין
פרידקין (באנגלית: Friedkin) הוא שם משפחה.
סטויאנוב
סטויאנוב (בבולגרית: Стоянов) הוא שם משפחה, כשהשם מתייחס לנקבה הוא: סטויאנובה.
סטויאנובה
הבחירות הכלליות בניגריה 2015
הבחירות הכלליות בניגריה 2015 התקיימו ב-28 במרץ 2015 ובמהלכן נבחר הנשיא ונציגי בית הנבחרים והסנאט. הנשיא המכהן גודלאק ג'ונתן התמודד על כהונה נוספת של ארבע שנים, אולם הפסיד למועמד האופוזיציה מוחמדו בוהארי, שעלה לשלטון בשנות ה-80 בהפיכה צבאית. זאת הייתה הפעם הראשונה בתולדות ניגריה שבה נשיא מכהן מפסיד בבחירות חוזרות והפעם הראשונה שבה מתחלף השלטון במדינה באופן דמוקרטי. הבחירות, שהיו אמורות להתקיים ב-14 בפברואר 2015, נדחו בשישה שבועות בשל הלחימה עם ארגון בוקו חראם בצפון-מזרח המדינה. ההצבעה בבחירות התארכה ביום אחד והסתיימה ב-29 במרץ, בשל בעיות טכניות עם הכרטיסים הביומטריים של המצביעים, שבהם נעשו שימוש לראשונה. ג'ונתן הודה בהפסדו ב-31 במרץ, עם ספירת הקולות, שמהן עלה כי הוא קיבל כ-2.5 מיליון קולות פחות מבוהארי. בבחירות התמודדו 12 מועמדים נוספים, אולם הם זכו באחוזי תמיכה שוליים.
רקע.
קמפיין הבחירות של שני המועמדים עסק בעיקר במלחמה בטרור. במהלך כהונתו של גודלאק ג'ונתן התגברה פעילותו של ארגון הטרור בוקו חראם בצפון-מזרח המדינה ושנת 2014 הייתה הקטלנית ביותר מאז החלה ההתקוממות ב-2009. במהלך 2014 נהרגו כ-10,000 בני אדם, בהם יותר מ-6,000 אזרחים. הארגון כבש שטחים נרחבים בצפון-מזרח המדינה והיה אחראי למעשי רצח, ביזה וחטיפת נשים ונערים המוניים, שהבולט ביותר בהם היה חטיפת הנערות בצ'יבוק בחודש אפריל. הנשיא ג'ונתן זכה לביקורת נוקבת על כך שהארגון נוחל הצלחות מול הצבא המתקדם ביותר במערב אפריקה והפופולריות שלו בקרב הציבור ירדה בעקביות, במיוחד בצפון המוסלמי. בתחילת 2015 הצטרפו למלחמה בבוקו חראם צ'אד, קמרון וניז'ר, שחששו מהתפשטות הארגון אל גבולותיהן. המבצע הצבאי המשותף הצליח להדוף את לוחמי הארגון ממעוזיהם ונשיא ניגריה ניסה לזקוף את ההצלחות בשטח לזכותו כדי לשפר את מעמדו.
מוחמדו בוהארי, שבעבר קרא להחלת חוקי השריעה בצפון המדינה, הבטיח במהלך הקמפיין למגר את הארגון תוך זמן קצר. הוא טען כי הארגון מעוות את האסלאם והבטיח כי לא ינהל עמו שיחות שלום. כמו כן, הוא התנגד לעובדה שצ'אד מובילה את הלחימה בבוקו חראם והצהיר כי תחת שלטונו המשימה תוטל על צבא ניגריה.