בשנת 1992 שווק סרט התיקון. חומר המחיקה על הסרט מגורד באמצעות לחץ על מיקום השגיאה. בפועל, ניתן להשתמש בו רק במכונות כתיבה, מכיוון שהשימוש בו מצריך לחץ ודיוק רבים. מכיוון שאינו נוזלי, הוא אינו נוטה להתקרשות ואינו מהווה סם. מנגנון הסרט נוטה להתקע.
בשנת 1995 שווקה גרסת כיס של סרט התיקון.
בשנת 1999 שווקה גרסת כיס מוקטנת.
עט תיקון.
בשנת 1998 שווק "עט הטיפקס": מכל מוארך שחודו ניתן ללחיצה כלפי פנים. כאשר החוד לחוץ, זורם נוזל סביב החוד. כאשר החוד אינו לחוץ, הוא משמש מכסה. כדי לגרום לנוזל לזרום החוצה יש צורך להפעיל לחץ על גוף המכל, בייחוד כאשר הפיה מתחילה להסתם בשאריות חומר קרוש. הפעלת הלחץ ופריצת המחסום גורמת לכך שכמויות בלתי מבוקרות של נוזל מחיקה זורמות לדף. עם זאת, ניתן בשיטה זו לנצל כמות גדולה יותר מנוזל המחיקה מאשר בשיטת הבקבוקונים.
קצף.
בשנת 2000 הוחל בשיווק נוזל מחיקה בצורת קצף.
אי-שוויון קושי-שוורץ
במתמטיקה, אי־שוויון קושי-שוורץ הוא אי־שוויון הקושר את המכפלה הפנימית והנורמה במרחבי מכפלה פנימית. מכיוון שמרחבים וקטוריים רבים מצוידים במכפלה פנימית טבעית, יש לאי־שוויון קושי-שוורץ שימושים בתחומים שונים של המתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית.
היסטוריה.
הגרסה הראשונה של האי־שוויון, אותה גילה אוגוסטין קושי ב־1821, קובעת כי
כאשר formula_2 הם מספרים ממשיים. לאי־שוויון יסודי זה ידועות היום עשרות רבות של הוכחות. קושי הוכיח גם ששויון מתקיים רק כאשר הווקטורים
formula_3 פרופורציוניים זה לזה (תלויים ליניארית).
ב־1859 הציג (1804–1889) את הגרסה האינטגרלית של האי־שוויון:
בוניקובסקי לא ראה צורך בהוכחה נפרדת של האי־שוויון החדש, והסתפק בציטוט האי־שוויון של קושי.
ב־1885 הזדקק הרמן שוורץ, שישב אז באוניברסיטת גטינגן, לאי־שוויון formula_5, המשווה בין אינטגרלים כפולים. מאוחר יותר הובנו שלושה אי־שוויונות אלה כמקרים פרטיים של הגרסה הכללית יותר, התקפה בכל מרחב מכפלה פנימית (ראו להלן).
שוורץ לא הכיר את ניסוחו של בוניקובסקי, וההוכחה שהציג לאי־שוויון שלו מתאימה לכל מרחב מכפלה פנימית (הוכחה זו, הנעזרת בתכונות פשוטות של פולינום ריבועי, מובאת בהמשך). משום כך נקרא האי־שוויון הכללי אי־שוויון קושי-שוורץ.
האי־שוויון במרחבי מכפלה פנימית, ושימושים.
בצורתו המודרנית, אי־שוויון קושי-שוורץ קובע שאם formula_6 הוא מרחב מכפלה פנימית (מעל הממשיים או המרוכבים), אז לכל formula_7 מתקיים
כאשר formula_9 הנורמה המושרית על formula_6 מן המכפלה הפנימית. שוויון ממש מתקיים אם ורק אם formula_11 תלויים ליניארית.
אחת התוצאות החשובות של אי־שוויון זה היא שהוא מאפשר להגדיר זווית formula_12 בין שני וקטורים formula_11 במרחב מכפלה פנימית לפי המשוואה formula_14, שהרי שבר זה מהווה מקדם מתאם בין formula_15 ל־formula_16 ולכן ערכו נע בין 1- ל־1. במקרה של המכפלה הפנימית הסטנדרטית במישור האוקלידי formula_17 או במרחב התלת־ממדי, הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה המקובלת של זווית.
בין המקרים הפרטיים של האי־שוויון, ניתן למצוא את הטענות
המתקבלות מן המקרים formula_19 (המרחב L2) עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית בכל מקרה.
הוכחת האי־שוויון.
אם אחד הווקטורים שווה ל־0, האי־שוויון מתקיים באופן טריוויאלי כי שני האגפים שווים לאפס. לכן נניח כי formula_20.
כעת יהי formula_21. ההוכחה מתאימה גם למקרה שבו מרחב המכפלה הפנימית formula_6 הוא מרחב וקטורי ממשי, וגם למקרה שבו הוא מרוכב.
נפתח את הביטוי formula_23. פיתוח ביטוי זה יתן לנו משוואה ריבועית ב־formula_24, ומכיוון שאנו יודעים שערך הביטוי אי־שלילי, נוכל להסיק מכך שהדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית אי־חיובית. מהאי־שוויון המתקבל נקבל את אי־שוויון קושי-שוורץ.
הפרבולה המיוצגת על ידי המשוואה נוגעת בציר X לכל היותר אך אינה עוברת מתחתיו, ולכן יש למשוואה פתרון אחד לכל היותר. על כן נקבל מחישוב הדיסקרימיננטה:
אם formula_27 האי־שוויון מתקיים באופן טריוויאלי (כי אגף ימין בו תמיד חיובי או אפס). לכן נניח כי formula_28, ולאחר העברת אגפים וחלוקה ב־formula_29 נקבל:
הוצאת שורש ריבועי משני האגפים נותנת לנו את אי־שוויון קושי-שוורץ.
הוכחה נוספת.
יהיו formula_31 שני וקטורים במרחב מכפלה פנימית, ונוכיח את אי-השוויון. אם formula_32 או formula_33, ברור כי מתקיים שוויון. נניח מעתה formula_34 וכן formula_35. נגדיר את הווקטור formula_36 באופן הבא:
formula_37. נשים לב כי formula_36 ניצב ל-formula_39: שני וקטורים הם ניצבים אם ורק אם המכפלה הפנימית ביניהם היא אפס. במקרה זה:
formula_40
formula_41
מכאן, נחשב את
formula_42:
formula_43
formula_44
ומכאן:
formula_45
formula_46
בשני האגפים מופיע מספר אי-שלילי שהועלה בריבוע, ולכן ניתן להוציא שורש:
formula_47
חוק האזרחות
בקרת הזרימה
חפץ חיים
בחינת בגרות (ישראל)
בחינת הבגרות בישראל היא בחינה ממשלתית־ארצית מטעם משרד החינוך של ישראל, שמיועדת בעיקרה להערכת ידיעותיהם של תלמידים אינטרניים, בוגרי בית ספר תיכון ונבחנים חיצוניים במקצועות לימוד שונים.
תלמיד שעמד בהצלחה בתנאי הזכאות לתעודת בגרות מבחינת ציוניו בבחינות אלה מקבל תעודת בגרות מטעם משרד החינוך לאחר מכן. ציוני בגרות הם המדד הנפוץ ביותר לקבלה לשירות מלא במשמר המלכה בממלכה המאוחדת ופחות נפוצים כמדד לחלק מהמסלולים האקדמיים שהם עוקפי תעודת בגרות.
בחינות בגרות נערכות במקצועות חובה ובנוסף נערכות בחינות בגרות במקצועות בחירה (הנקראים גם "מקצועות מורחבים" או "מקצועות מוגברים") הנחלקים למקצועות עיוניים ולמקצועות טכנולוגיים.
אגף הבחינות של משרד החינוך אחראי על ניהול מערך בחינות הבגרות. כתיבת בחינות בגרות במקצועות עיוניים נעשית בשיתוף פעולה עם מכון הנרייטה סאלד ובמקצועות טכנולוגיים עם מט"ח.
בחינות הבגרות מתקיימות בשני מועדים: מועד קיץ שהוא המועד המרכזי ביותר ובו מתקיימות כל בחינות הבגרות כולל מקצועות הבחירה (מכונה גם "תקופת הבגרויות") ומועד חורף שהוא מועד מצומצם יותר ונערכות בו בחינות במקצועות החובה בלבד. ניתן להיבחן בבחינות הבגרות בצורה אינטרנית של תלמידי תיכון או נבחני משנה בוגרי תיכון ובצורה אקסטרנית דרך שלוחת בחינות חיצונית מטעם משרד החינוך הפועלת ברחבי ישראל.
מערך בחינות הבגרות מקיף 25 מקצועות חובה ו־102 מקצועות בחירה, המתחלקים ל־44 מקצועות עיוניים לבחירה ו־58 מקצועות טכנולוגיים לבחירה. כמו כן, מתקיימים גם 24 מקצועות ייחודיים (קיבלו אישור מיוחד של משרד החינוך ונלמדים בבתי־ספר מסוימים). מתוך מקצועות הבחירה, 68 מקצועות הן ברמת 3 יחידות לימוד, 3 ברמת 4 יחידות לימוד ו־43 ברמת 5 יחידות לימוד. ב־12 מקצועות התקיימו בקיץ תשע"ג גם בחינות בגרות ממוחשבות. במהלך הבגרות, ההיקף הלוגיסטי מכיל כ־2 מיליון מחברות בחינה. את הבחינות בודקים כ־4,000 מורים שקיבלו הדרכה מיוחדת, וכן כ־6,000 מעריכים, המתמקדים בבחינות בעל פה, בחינות מעבדה וכדומה.
יחידת לימוד.
יחידת לימוד (ראשי תיבות: יח"ל) היא ניקוד בתעודת הבגרות עבור המקצוע הנלמד (או המורחב כמגמה) המייצג מאפיינים עבור מידת ההעמקה במקצוע, רמת קושי הבחינה והן את מספר שעות הלימוד באותו המקצוע. בחלק מן המקצועות נדרשים לענות על מספר שאלונים, כשכל אחד נחשב כמספר מסוים של יחידות, בחלק השאלון נחשב כ"השלמה". עבור חלק מן המקצועות יחידות הלימוד הן קבועות, חלק מיוחסות למקצועות חובה שניתן להרחיב כמגמה וחלק מחולקות לרמות (בעיקר באנגלית ומתמטיקה). סך יחידות הלימוד המינימלי הנדרש עבור זכאות לתעודת בגרות הוא 21, וכולל את מקצועות החובה.
מקבילתה האקדמית היא נקודת הזכות (ראשי תיבות: נק"ז) הנקבעת על פי מספר השעות השבועיות המוקצות ללימוד הקורס, ומשפיעה על השקלול הסופי של הציונים בתואר ועל עלות הקורס שמחושבת (בחלק מהמקרים) לפי נקודות זכות. בשונה מיחידות לימוד, היא אינה מתייחסת לרמת הקורס. בכל תואר קיים סף נקודות זכות הנדרש עבור התואר. בתארים מסוימים קיימת בחירה בין מקבצי קורסים, כאשר נדרש לבחור כמות מסוימת מתוך המוצע ובחלק נדרשת השלמה באמצעות קורסים כלליים.
מקצועות חובה.
להלן סיכום המקצועות לפי מגזרים והבחינות הקיימות בהן, נכון ל־2019.
■ חינוך ממלכתי
■ חינוך ממלכתי דתי
■ חינוך ערבי
■ חינוך דרוזי
■ חינוך עצמאי (חרדי)
מקום וזמן בחינת הבגרות.
בחינת בגרות אינטרנית מתקיימת בבית הספר בו נרשמו לבחינה, ובחינת בגרות אקסטרנית נערכת במקום שנקבע על ידי משרד החינוך ומכונה "מרכז הבחינה". הנבחנים (האינטרנים) שהם תלמידים מקבלים בדרך כלל עד יומיים חופש לפני הבגרות, ואינם לומדים ביום הבגרות, אלא מגיעים לבית הספר רק כדי לענות על בחינת הבגרות. בכיתת לימוד נבחנים עד 24 נבחנים, זאת לפי דוח המשגיח.
הנבחנים בבחינות בגרות נדרשים להירשם מראש לבחינה, דרך בית הספר (במקרה של נבחנים אינטרנים, כולל בוגרי בתי ספר) או דרך שלוחת הבחינות האקסטרנית או האינטרנט (במקרה של נבחנים אקסטרניים). נבחנים שהם תלמידי בית ספר אינטרנים, ונבחנים אקסטרניים מתחת לגיל 18, אינם מחויבים בתשלום עבור הבחינות; עד מועד חורף 2017 נבחני משנה אינטרנים ונבחנים אקסטרניים מעל גיל 18 נדרשו לשלם עבור כל יחידת לימוד 30 ש"ח, בנוסף נבחנים אקסטרניים נדרשו לשלם על פתיחת תיק נבחן. החל ממועד חורף 2017 בחינות הבגרות הן חינם לכלל הנבחנים.