עבור אינטואיציוניסט, הטענה כי אובייקט עם תכונות מסוימות "קיים", משמעה שהאובייקט הזה עם התכונות הללו נבנה. לכן אינטואיציוניזם הוא סוג של קונסטרוקטיביזם מתמטי, אך איננו הסוג היחיד. כפי שניתן לראות, היחס האינטואיציוניסטי למושג האמת מגביל יותר מזה הקלאסי. לכן דוחה האינטואיציוניסט חלק משיטות ההוכחה והבניה של המתמטיקה הקלאסית על מנת להבטיח שיהיה ניתן להסיק רק מה שאינטואיציוניסטית "לגיטימי". התוצאה של תהליך זה הוא הלוגיקה אינטואיציוניסטית.
גם מושג השלילה שונה בין אינטואיציוניזם לבין לוגיקה קלאסית. בלוגיקה קלאסית, שלילה של טענה היא להראות כי הטענה לא נכונה. באינטואיציוניזם, להוכיח את "לא P" משמעו להראות שניתן להפוך כל הוכחה ל-P לסתירה. לכן ישנה אסימטריה בין טענות חיוביות ושליליות באינטואיציוניזם. אם טענה P ניתנת להוכחה, אזי בהכרח לא ניתן להראות כי הוכחה ל-P גוררת לסתירה. לכן נוכל להסיק כי הטענה "P לא נכון", לא נכונה (כלומר "לא לא P" הוכח). אך מהצד השני, גם אם נראה כי כל הוכחה ל-"לא P" בלתי אפשרית (גוררת לסתירה) זה איננו גורס עדיין את היכולת לבנות את P. כלומר לטעון P חזק יותר מלטעון "לא לא P".
באופן דומה, כדי להראות שא' או ב' נכונים, אינטואיציוניסט צריך להראות הוכחה ל-א' או להביא הוכחה ל-ב'. בפרט, כלל השלישי מן הנמנע, "א' או לא א'", איננו נכון בהכרח (בניגוד ללוגיקה קלאסית). אם א' היא טענה מתמטית שהאינטואיציוניסט עדיין לא הוכיח או הפריך, אזי האינטואיציוניסט לא יוכל להראות את "א' או לא א'". מאותה סיבה, הקשרים "וגם" ו-"או", לא מקיימים את כללי דה-מורגן באותו אופן כמו בלוגיקה קלאסית.
הלוגיקה האינטואיציוניסטית מחליפה את מושג האמת-המופשטת ביחס קונסטרוקטיבי לאמת. כלומר, היא רואה באמת עצמה משהו מנטלי בעיקרו שלאו-דווקא קשור לעולם החיצון. התייחסות כזו לאמת נותנת חיזוק לכמה אסכולות בפילוסופיה, בראשם לאנטי-ריאליזם של מייקל דאמט.
אינטואיציוניזם והאינסוף.
אחד ההבדלים העיקריים המבדילים את המתמטיקה האינטואיציוניסטית לזו הקלאסית הוא ביחס למושג האינסוף.
המושג אינסוף פוטנציאלי מתייחס לפרוצדורה מתמטית הכוללת כמות לא נגמרת של צעדים. לאחר ששלב אחד עבר, תמיד יבוא אחריו צעד נוסף שיש לבצע. לדוגמה, תהליך לא נגמר של ספירה הוא כזה: formula_1. אינסוף שכזה נקרא פוטנציאלי כי ההתייחסות היחידה ל-"אינסופיות" שלו היא באופן פוטנציאלי: לכל שלב יהי שלב אחריו. איננו מתייחסים למלוא הצעדים כשאנו נדרשים לתאר את הפרוצדורה.
הביטוי אינסוף אקטואלי מתייחס למושג מתמטי שלם הכולל בתוכו מספר אינסופי של איברים. כך לדוגמה קבוצת המספרים הטבעיים, formula_2 שקיומה נובע מאקסיומת הקבוצה האינסופית.
בתורת הקבוצות של קנטור קיימים סוגים שונים של אינסוף. לדוגמה קבוצת כל המספרים הממשיים formula_3 גדולה בעצמתה מקבוצת הטבעיים formula_4. ניתן להראות כי כל ניסיון ליצור קשר חד-חד-ערכי בין שתי הקבוצות מביא לסתירה. כל קבוצה שניתנת להתאמה חד-חד-ערכית עם הטבעיים נקראת "בת מנייה". תורת הקבוצות של קנטור הובילה בסופו של דבר לפיתוח תורת הקבוצות האקסיומטית (ZFC), שנחשבת הבסיס למתמטיקה המודרנית הקלאסית.
באופן גס אפשר לומר כי בעוד שהמתמטיקה הקלאסית מאפשרת במסגרת תורת הקבוצות התייחסות לקבוצות בעלות אינסוף איברים - אינסוף אקטואלי, האינטואיציוניזם התיר במסגרתו רק התייחסות פוטנציאלית למושג האינסוף. בראייה האינטואיציוניסטית של בראואר למשל, האינסוף האקטואלי הוא מושג שלא ניתן באמת לבנות אותו בראש כי הוא אינו ניתן להשגה באופן אלגוריתמי. לעומתו, בראואר כן התיר התייחסות אינדוקטיבית - של אינסוף פוטנציאלי. הסיבה הבסיסית לכך היא בעוד שהמתמטיקה הקלאסית מעמידה ביסודה את מושג הקבוצה, האינטואיציוניסטים יוצאים ממושג המספר הטבעי. אם הפעולה המתמטית הבסיסית היא ספירה של מספרים טבעיים (formula_1) הרי שקיימת בהסתכלות שלי התייחסות אינדוקטיבית: אני יודע שלאחר כל מספר שאספור אוכל לספור את המספר העוקב שלו.
מהבחינה החיובית מתירים האינטואיציוניסטים שיטות אינדוקטיביות לבנייה. לדוגמה, באופן שדומה לסדרות קושי, מגדירים האינטואיציוניסטים מהו מספר ממשי בעזרת המספרים הטבעיים. דוגמה נוספת היא הקבלה של האינטואיציוניסטים את ההוכחה באינדוקציה. בשני המקרים הסיבה לקבלה היא האבחנה כי בניות המבוססות על אינסוף פוטנציאלי הם בהכרח קונסטרוקטיביות (או אלגוריתמיות) במובן שנראה לאינטואיוניסטים תקין. מהצד השלילי האינטואיציוניסטים לא מקבלים בתורתם כל התייחסות לאינסוף כמושג שלם. כך לדוגמה האינטואיציוניסט לא יוכל עקרונית לדבר על "קבוצת הממשיים בין 0 ל-1". מבחינת האינטואיציוניסט התייחסות כזו מתייחסת לאוסף של מבנים שרובם לא נבנו מעולם במוחי ולכן אין משמעות למשפט אודותיהם.
פיניטיזם היא גרסה קיצונית של אינטואיציוניזם שאיננה מוכנה לקבל אפילו את המושג של אינסוף פוטנציאלי. על פי הפיניטיסטים, אובייקט מתמטי לא קיים אלא אם הוא נבנה מתוך מספרים טבעיים ועל ידי כמות סופית של פעולות.
מתמטיקה.
כפי שנכתב מעלה, ההבדלים הפילוסופיים בין המתמטיקאים הקלאסיים השונים לבין האינטואיציוניסטים התגלו ברבות השנים כבעלי השפעה מכרעת על המתמטיקות השונות היוצאות מהן. ההבדל הראשון הנגלה לעין הוא העובדה שהאינטואיציוניזם דוחה הוכחות על דרך השלילה. עם עלייתו, נדמה היה שהמתמטיקה האינטואיציוניסטית תהיה רק מוגבלת יותר מבחינת המשפטים שהיא מצליחה להראות את נכונותם. עם זאת, ככל שעבר הזמן התגלו ההבדלים העקרוניים בין שני התורות עד כדי משפטים הנכונים במתמטיקה אינטואיציוניסטית אינם נכונים מבחינה קלאסית, והפוך.
לוגיקה אינטואיציוניסטית.
מבחינתו של בראואר, הלוגיקה המנחה את האינטואיציוניסט מקורה בחקירה האריתמטית של המספרים הטבעיים. ממנה וממנה לבד הוא מתיימר להראות את אי-נכונותו של כלל השלישי מן הנמנע. לעומת זאת, בהתאם למסורת הקלאסית שהתגבשה, ניסחו לבסוף האינטואיציוניסטים את המבנה הלוגי של תורתם באופן מסודר. הניסוח המקובל נקרא פירוש BHK (BHK Interpretation) על שם בראואר, הייטינג וקולמוגורוב. הוא מגדיר באופן לא פורמלי מה מצופה מהוכחה אינטואיציוניסטית:
יש הטוענים כי יש להוסיף לניסוח כלל בסיסי יותר:
מספרים טבעיים.
קיומם של מספרים טבעיים (בניגוד למתמטיקה קלאסית) מונח ביסוד האינטואיציוניזם כאקסיומה. כפי שנכתב מעלה, האינטואיציוניזם מתייחס רק לאינסוף פוטנציאלי, ולכן טענות על כל המספרים הטבעיים צריכות להיבדק בזהירות. מהצד השני, האינטואיציוניזם מקבל לחלוטין שיקולים אינדוקטיביים. בגרסאותיו המאוחרות יותר (כמו זו של הייטינג) האריתמטיקה האינטואיציוניסטית זהה לחלוטין מבחינת האקסיומות שלה עם זו של אריתמטיקת פאנו.
בגלל הפשטות היחסית של המספרים הטבעיים (ביחס למספרים הממשיים נניח), רוב המשפטים הקלאסיים נכונים גם פה. כך לדוגמה, הוכח כי כל מספר טבעי ניתן לפירוק של מספרים ראשוניים. בטענות מורכבות יותר המצב מסובך יותר, אך באופן כללי לשתי המערכות יש דמיון רב.
הישר הממשי.
על מנת להכניס את הישר הממשי לאינטואיציוניזם, הוסיף בראואר מבנה חדש למתמטיקה האינטואיציוניסטית: סדרות בחירה (choice sequence). לטענתו, מוחנו מסוגל להחזיק מבנה של סדרה בת מניה: לכל איבר בסדרה יהיה איבר הבא אחריו. המספרים בסדרה יכולים לעמוד בכלל מסוים או להיות מונעים אך ורק מתוך בחירה חופשית. בכלל, בראואר טען שקיומם של הסדרות הללו במוחנו נובע מתוך הבחירה החופשית הטבועה בנו. בעזרת מושג זה יכל בראואר להגדיר מספרים ממשיים כסדרות של מספרים רציונליים המקיימים כלל (בדומה לחתכי דדקינד או לסדרות קושי). הייטינג הרחיב ופישט את מושג סדרת-בחירה למושג האוסף (spread) המתאר מעין עץ של בחירות אפשריות המוגדרות על ידי כלל.
בעזרת כלים אלו יכלו האינטואיציוניסטים להגדיר מהו מספר ממשי מבלי להתייחס אל מושג כמו "קבוצת כל הממשיים" (התייחסות אקטואלית לאינסוף). במתמטיקה אינטואיציוניסטית, מספרים ממשיים הם מעין סדרות המכילות מידע בעל דיוק הולך וגדל פוטנציאלית. לכן, ניתן עקרונית לבנות מספרים ממשיים על ידי כלל המונע את היכולת שלנו לדעת מידע מסוים על מספר ועם זאת לדעת שהוא אכן מספר. כך לדוגמה ניתן לבנות מספר שאיננו יודעים האם הוא קטן או גדול מ-0.5, כל עוד משפט מתמטי מסוים עדיין לא הוכח או הופרך. לכן הטענה כי לכל שני מספרים x,y או שהם שווים, או ש־formula_14 או formula_15 לא נכון במתמטיקה אינטואיציוניסטית. הסיבה לכך היא שלא לכל שתי סדרות-בחירה שניתן להראות שהן מספרים ממשיים, נוכל להראות מה יחס הסדר ביניהם.
מסיבה זו, הצליח בראואר להוכיח את הטענה המפתיעה כי כל פונקציה formula_16 (פונקציה שניתן להראות כי היא מוגדרת בקטע formula_17) בהכרח גם רציפה בקטע formula_18. משפט זה כמובן לא נכון במתמטיקה קלאסית. על מנת לשלול את הטענה באופן קלאסי היינו יכולים לתת את הדוגמה הנגדית הבאה:
formula_19
הפונקציה אמנם לא רציפה, אך לא ניתן להראות שהיא מוגדרת על הישר, ולכן היא איננה עומדת בתנאי המשפט. כפי שאמרנו, קיימים מספרים שלא ניתן להראות כי הפונקציה נותנת להם ערך ולכן לא ניתן להראות כי היא מוגדרת על כל הישר. יש לציין שמבחינה לוגית עדיין לא הראנו את נכונות המשפט עצמו. בראואר עצמו הוכיח את המשפט ב-1923 על ידי שימוש באופי האלגוריתמי שחייבת להיות לפונקציה אם באמת ניתן להראות כי היא מוגדרת בקטע על הישר.
קארל פופר
שארלוט הורנטס