התופעה הלא ליניארית.
כעת נתעלם מהאיבר בסדר גבוהה במשוואה, אך לא מהחלק הלא ליניארי כלומר:
formula_18
על ידי שימוש בשיטת הקרקטריסטיקות נוכל להיווכח כי ללא קבלת תנאי התחלה הפתרון הכללי למשוואה הוא:
formula_19
כלומר ההפרעה נעה במהירות שפרופורציונלית לאמפליטודה שלה, חלקים גבוהים ינועו מהר ונמוכים ינועו לאט, כך שהחלקים הגבוהים בהפרעה יגשרו על הפער ההתחלתי והפונקציה תהפוך תלולה יותר עד שהקירוב של המשוואה ישבר או ייווצר גל הלם (בדומה לשבירה של גלי ים)
כלומר הסדר הגבוה במשוואה יגרור התרחבות ואילו החלק הלא ליניארי יגרור היצרות, שילוב של השניים יהיה זה שמייצב צורות מסוימות בסוליטונים.
פתרונות יציבים ל-KdV פיתוח.
נחפש עבור המשוואה הסטנדרטית פתרונות מהצורה formula_20 יש לשים לב כי כרגע c איננו מוגדר בתור מהירות אבל קל להשתכנע כבר עכשיו שהוא יהיה מהירות הגל.
נציב את הפתרון במשוואה הסטנדרטית:
formula_21
על ידי כלל השרשרת נקבל: formula_22
על ידי העברת אגפים וביצוע אינטגרל נקבל formula_23
הכפלה ב-formula_24 וביצוע אינטגרל פעם נוספתformula_25
אם נניח כי formula_26
נוכל לקבל כי formula_27 וע"י שימוש בהצבה formula_28
הפתרונות היציבים יהיו מהצורה :formula_29
והם נקראים סוליטונים.
פתרונות יציבים נוספים, שלא תחת ההנחה שהקבועים הם אפס, יכולים להכתב על ידי פונקציות אליפטיות, ובפרט גל קונאידלי (cnoidal wave) המתואר על ידי הפונקציה האליפטית cn.
פתרון נומרי.
מתברר שאת המשוואה אפשר לפתור נומרית על ידי שימוש בעזרת טרנספורם פוריה ב"שיטת השלבים" כלומר קודם את החלק הליניארי ואז את הלא ליניארי.
formula_30
לכן הטרנספורם פורייה של המשוואה יהיה
formula_31
בשיטת השלבים נעסוק בחלק הליניארי בלבד
formula_32
ונפתור במדויק.
formula_33
בולאחר מכן בחלק הלא ליניארי
formula_34
את החלק הלא ליניארי נפתור בצורה נומרית על ידי קידום בזמן בשיטת אוילר, הרעיון מאחורי שיטת השלבים הוא שפתרון שתי בעיות אלו במקביל, באופן בלתי תלוי במהלך הקידום בזמן בין formula_35 ל formula_36, לא משנה משמעותית את הפתרון.
ולכן סדר הפעולות מפורשות על ידי פורייה יהיה:
formula_37
במשוואה קיימים גם formula_38 וגם formula_39 אולם הקשר ביניהם הוא פשוט טרנספורם פורייה.
והמשוואה הופכת ל:
formula_40
מימוש במטלאב.
מימוש לדוגמה במטלאב של הפתרון הנומרי בשיטת אוילר, תוך שימוש ב'שיטת השלבים'.
N = 256;
x = linspace(-10,10,N);
delta_x = x(2) - x(1);
delta_k = 2*pi/(N*delta_x);
k = [0:delta_k:N/2*delta_k,-(N/2-1)*delta_k:delta_k:-delta_k];
u = 1/2*c*(sech(sqrt(c)/2*(x+8))).^2;
delta_t = 0.4/N^2;
tmax = 0.1; nmax = round(tmax/delta_t);
U = fft(u);
for n = 1:nmax
% first we solve the linear part
U = U.*exp(1i*k.^3*delta_t);
%then we solve the non linear part
U = U - delta_t*(3i*k.*fft(real(ifft(U)).^2));
משוואת kdv
קרוזינג
קרוזינג (מאנגלית: Cruising for sex) הוא כינוי לפרקטיקה של חיפוש יחסי מין מזדמנים, בדרך כלל אנונימיים, במקומות ציבוריים.
קרוזינג יכול להיעשות ברגל או ברכב ומתקיים לרוב באזורים מסוימים הידועים כאתרי קרוזינג. אתרים כאלה עשויים להיות פארקים ציבוריים או שירותים ציבוריים.
מקור המילה ומשמעותה.
מקור המונח בסלנג הפנימי של הקהילה ההומוסקסואלית האמריקאית במחצית הראשונה של המאה ה-20. באותה תקופה, יחסי מין הומוסקסואליים לא היו חוקיים בארצות הברית, כך שהיה בטוח יותר לקיים אותם באנונימיות מחוץ לבית ולדבר עליהם באמצעות מונח סלנג פנימי, שלא יובן על ידי מי שמחוץ לקהילה.
משמעות המושג (שפירושו המילולי הוא "שִׁיוּט" – להשיט כלי שיט בים הפתוח, לרוב ללא יעד מוגדר) היא שיטוט (wandering) או הסתובבות (walking around) באזור מצומצם מסוים, לרוב לא שיטתית, על-מנת "לראות מה (או ליתר דיוק – מי) יִקָרֵה בדרך".
בישראל.
בישראל, אתר קרוזינג היסטורי מפורסם הוא גן העצמאות בתל אביב, המשמש ככזה (במידה מצומצמת) עד היום. נוסף עליו, אתרי קרוזינג נודעים במיוחד הם: חוף הים בגעש ("חוף הנודיסטים"), החוף הנפרד בתל אביב (נורדאו – "חוף הדתיים"), גן העצמאות בירושלים, גן הזיכרון בחיפה גן רמז בבאר שבע וחוף עתלית.
משוואת קורטווג-דה וריז
גנזי
גנזי (Ghanzi) היא עיירה במערב בוטסואנה. העיירה היא בירת מחוז גנזי. משמעות שמה של העיירה בשפה המקומית הוא "אחוריים נפוחים", רמז לאנטילופות, ובהמשך הבקר הבריא שהיה מכונס באחד העמקים בסביבה. האזור הוא גבולו הצפוני של מדבר קלהארי.
היסטוריה.
האירופאי הראשון שהתיישב בגנזי היה האפריקאנר הנדריק ון זיל (Hendrik van Zyl) שהגיע למקום ב-1870 ועסק במסחר ובציד. ההגירה המשמעותית של האפריקאנרים לגנזי החלה בשנים 1897–1898 לערך. המתיישבים קיבלו את הזכות לגדל באזור עדרי בקר.
דמוגרפיה.
מספר תושבי העיירה עמד בשנת 2011 על 12,267 איש. האוכלוסייה במקום מורכבת מקבוצות אתניות שונות כמו: באסראווה (Basarwa), באקגלאגדי (Bakgalagadi) ובאהררו (Baherero) שהיחסים ביניהם הם יחסי סובלנות. השפות העיקרית המדוברת באזור היא השקגאלאגארי (Shekgalagari).
גאולוגיה.
הקרקע בסביבה מורכבת מאדמת חול עם צמחייה דלילה בגובה 1100–1230 מטרים מעל פני הים. מדבר הקלהארי הוא שטח החול הרצוף ביותר בעולם ושטחו 2500 קמ"ר. סלע היסוד הוא לבה בזלתית כמו בכמחצית שטחה של בוטסואנה. עומקה של שכבת החול נע בין 5 מטרים ל-200 מטרים.
אקלים.
האקלים הוא צחיח למחצה. הטמפרטורות המקסימליות נעות בין 33–45 מעלות צלזיוס בינואר ומגיעות ל-22 מעלות צלזיוס ביולי. טמפרטורת המינימום בתקופת החורף הם בין 4 מעלות צלזיוס ל-5 מעלות צלזיוס מתחת לאפס. כמות המשקעים השנתית הממוצעת היא 375 מ"מ אם כי היא יכולה להשתנות בשנים מסוימות בהפרשים של עד 50%.
כלכלה.
בגנזי פועל סניף בנק אחד ושלושה מרכזי קניות.
השילוב של אופי הקרקע והאקלים גורם לאזור להיות בלתי ראוי לעיבוד חקלאי באופן כללי. על ידי שימוש בהשקיה מגדלים באזור תירס, דורה, בוטנים, שעועית, אפונה ומלון.
באזור התגלו מרבצים גדולים של כסף ונחושת.
תיירות.
גנזי היא נקודת עצירה לתיירים שנוסעים לטיולים באזור דלתת נהר האוקבנגו (Okavango). באזור גנזי עצמה נמצאים שטחים בהם ניתן לראות חיות בר כמו אריות, צ'יטות וכלבי פרא. בעת סלילת הכביש לגנזי בוצע פיצוץ לצורך פילוס הדרך והתגלה מאגר מים תת-קרקעי וכתוצאה מכך נוצר בור בעומק 40 מטרים.
בעיירה עצמה ישנה תשתית תיירותית קטנה הכוללת כמה בתי הארחה, בנק, חנויות למלאכת יד ותחנת דלק.
אנטופגסטה
אנטופגסטה () היא עיר נמל בצפון צ'ילה ובירת מחוז אנטופגסטה. העיר נמצאת במרחק של כ-1,100 קילומטרים מבירת המדינה סנטיאגו דה צ'ילה. בשל החשיבות וההיסטוריה שלה העיר מכונה לעיתים "הפנינה של הצפון" (בספרדית: La Perla del Norte).
היסטוריה.
האזור היה בשליטת בוליביה, למרות שפעלו בו כורים וחברות צ'יליאנים. העיר הוקמה רשמית ב-22 באוקטובר 1868 כעיירת כורים בשם לה צ'ימבה, ושמה שונה לאחר מכן לאנטופגסטה.
ב-1873 בוליביה חתמה על הסכם הגנה הדדי עם פרו. למרות שההסכם קבע שאף אחת מהמדינות לא תחתום על הסכם סידור גבולות עם צ'ילה, בוליביה הפרה את החלק הזה וחתמה על הסכם כזה עם צ'ילה כעבור שנה. חלק מההסכם קבע שבוליביה לא תגבה מס מהצ'יליאנים או מהחברות שלהם בבוליביה. הבוליביאנים הפרו את החלק הזה וכתוצאה מכך הצ'יליאנים פלשו לבוליביה וכבשו את אנטופגסטה, בה היה רוב צ'יליאני, ובכך נפתחה מלחמת האוקיינוס השקט. העיר נשארה בשליטה צ'יליאנית גם לאחר המלחמה, אם כי הובטחה לבוליביה תנועה חופשית לנמל העיר בהסכמי השלום לאחר המלחמה, מאחר שהיא איבדה במלחמה את מוצאה לים.
ב-1995 העיר סבלה מרעידת אדמה בעצמה 7.3 בסולם ריכטר. למרות שנהרגו שלושה אנשים ונפצעו כמאה, הרס המבנים היה קטן ביחס לעצמת הרעידה.
כלכלה.
כלכלת העיר מתבססת בעיקר על כריית נחושת ומינרלים אחרים. בעיר פועל גם נמל חשוב, אם כי בשנים האחרונות הוא איבד את ההובלה בין נמלי האזור לאור הקמת נמל ענק בעיר מחיונס.
חינוך.
בעיר פועלות מספר אוניברסיטאות, כשהמרכזיות בהן הן אוניברסיטת אנטופגסטה והאוניברסיטה הקתולית של הצפון.
תחבורה.
נמל התעופה הבינלאומי סרו מורנו נמצא במרחק של כ-10 קילומטרים מצפון לעיר.
העיר מקושרת בקווי רכבת למספר ערים, כשהחשוב מביניהם הוא הקו ללה פאס.
סאברן
סאברן (בצרפתית: Saverne ובאלזסית: Zàwere) היא קומונה במחוז בא-רן בחבל גראנד אסט הצרפתי. בשנת 2011 היו בקומונה 11,685 תושבים.
גאוגרפיה.
סאברן נמצאת בצפון-מערב אלזס, קרוב לגבול עם לורן וכ-40 ק"מ מערבית לעיר שטרסבורג. את העיר חוצה נהר הזורן ותעלת מארן-ריין. בסמוך לעיר נמצא מעבר הרים סאברן ברום של 413 מטר מעל לגובה פני הים שמהווה מעבר הרים טבעי בין מישור אלזס לעמק הלורן בהרי הווז'. כיום עובר דרך מעבר הרים זה כביש מהיר A4, המקשר בין פריז לשטרסבורג.
היסטוריה.