נתחיל עם בעיה אוניברסלית. יהיו formula_1 חבורות ויהיו formula_2 הומומורפיזמים נתונים. נרצה למצוא חבורה formula_5 והומומורפיזמים formula_6 שיתחלפו עם formula_7 (כלומר formula_8), כך שבהינתן חבורה formula_9 והומומורפיזמים formula_10, קיים ויחיד הומומורפיזם formula_11 כך שהדיאגרמה הבאה מתחלפת:
כלומר, באובייקט האוניברסלי formula_5 תמונות איברי formula_13 זהים משתי נקודות ההסתכלות - איברים שבאים מ-formula_14 או שבאים מ-formula_15.
הגדרה מפורשת.
נסמן את החבורה הנורמלית המינימלית המכילה קבוצה formula_16 ב-formula_17 (זוהי תת-החבורה הנוצרת על ידי הוספת כל המכפלות, צמודים וקומוטטורים באיברי formula_18). כעת, נביט במכפלה החופשית formula_19. נגדיר formula_20, ואת formula_5 נגדיר על ידי המנה:
formula_22
כאשר formula_23 נתונות על ידי formula_24.
החבורה שהתקבלה נקראת מכפלת ההיתוך ומסומנת formula_25, או בקיצור נמרץ
formula_26. אם formula_27 היא העתקת המנה הרלוונטית, ההעתקות formula_28 מוגדרות על ידי formula_29.
ההעתקה formula_30 נתונה על ידי הכלל formula_31, ועל שאר האיברים היא מוגדרת בהתאם (שכן איברים אלו יוצרים את החבורה).
הצגה על ידי יוצרים ויחסים.
למכפלת ההיתוך הצגה על ידי יוצרים ויחסים התלויה בהצגות של החבורות formula_1, העוזרת לחשב את החבורה בפועל.
אם formula_33, אז מתקיים:
formula_34
משפט ואן קמפן בטופולוגיה אלגברית.
אחד השימושים הנפוצים והחשובים של מכפלת ההיתוך הוא במשפט ואן קמפן מטופולוגיה אלגברית. זהו משפט בסיסי וחשוב ביותר, הנותן דרך לחשב את החבורה היסודית של מרחב טופולוגי (ובמיוחד של מרחבי CW) בעזרת תתי מרחבים שלה, המקיימים תכונות מסוימות, ובכך לעשות רדוקציה למקרים פשוטים יותר.
פורמלית, בהינתן מרחב טופולוגי formula_35 ותתי קבוצות פתוחות formula_36 כך ש-formula_37,formula_38 איננו ריק, ו-formula_39 קשירים מסילתית, אזי החבורה היסודית של formula_35 היא מכפלת ההיתוך של החבורות של formula_36 ביחס ל-formula_38, עם הומומורפיזמי ההכלה היחסיים. מפורשות, ההעתקה formula_43 שהוגדרה בבניית מכפלת ההיתוך היא איזומורפיזם בין מכפלת ההיתוך לחבורה היסודית של formula_35.
אלכסנדר הור-רות'בן, ארל גאורי הראשון
בריגדיר גנרל אלכסנדר גור ארקרייט הור-רות'בן, ארל גאורי הראשון (באנגלית: Alexander Gore Arkwright Hore-Ruthven, 1st Earl of Gowrie; 6 ביולי 1872 – 2 במאי 1955) היה איש צבא ומושל קולוניאלי בריטי והמושל הכללי העשירי של אוסטרליה. בתפקיד זה הוא שירת 9 שנים ו-7 שנים, יותר מכל המושלים הכלליים של אוסטרליה. לפני מינויו לתפקיד זה הוא שירת כקצין בצבא הבריטי במסגרת זו עוטר בצלב ויקטוריה, העיטור הצבאי הגבוה והיוקרתי ביותר שמוענק על גבורה לנוכח פני האויב בצבאות בריטניה וחבר העמים.
ראשית חייו.
אלכסנדר הור-רות'בן נולד בעיר וינדזור שבמחוז ברקשייר, אנגליה, כבנם השני של וולטר הור-רות'בן, לורד רות'בן התשיעי, ושל ליידי קרוליין אנסלי גור, בתו של פיליפ גור, ארל אראן הרביעי. לאחר שבשנים 1884 – 1885 הוא למד בבית הספר וינסטון בוינצ'סטר כתלמיד פנימייה, הוא בילה את רוב שנות חינוכו באיטון קולג' ולאחר מכן בקולג' השירות האימפריאלי בהייליברי, שם הוא למד עד 1888, כאשר הוא הפסיק את לימודיו עקב בעיות ראייה ונשלח לעבוד על ידי הוריו. עבודתו הראשונה הייתה כפקיד במשרדו של סוחר תה בגלאזגו ולאחר מכן הוא נסע להודו כדי לעבוד במטע תה באסאם. ב-1892, עקב מחלת המלריה שלקה בה, הוא שב לאנגליה.
קריירה צבאית.
ב-19 באוקטובר 1889 קיבל הור-רות'בן מינוי של לוטננט משנה ברגימנט הפרשים של לנרקשייר. לאחר שובו לאנגליה ב-1892 הוא הצטרף לצבא הסדיר. לאחר תום אימוניו בקולג' צבאי הוא הוסמך ב-27 באפריל 1893 כלוטננט בגדוד השלישי של רגימנט חיל הרגלים הקל של היילנד וב-18 בנובמבר 1896 הוא הועלה לדרגת קפטן.
במלחמה המהדית בסודאן הוא צוין לשבח על ידי מפקדיו. לאחר מכן, ב-22 בספטמבר 1898 בפעולה צבאית באל-קדריף גילה הור-רות'בן גבורה שבעטיו עוטר בצלב ויקטוריה. בנימוקי ההחלטה להעניק לו את העיטור נכתב:
במאי 1899 הוענק להור-רות'בן גם עיטור מסדר אוסמאני, דרגה רביעית על ידי סולטאן האימפריה העות'מאנית, עבדול חמיד השני, על שירותו בסודאן. ב-17 במאי הוא קיבל מינוי קבוע כלוטננט משנה ברגימנט קמרון היילנדרס של המלכה (מינוי שהיה כרוך בירידה בשתי דרגות). בסוף נובמבר הוא היה חלק מכוח שלקח חלק בקרב שהוביל לתבוסתו של החליפה. ב-14 בדצמבר 1900 הוא הועלה לדרגת ממלא מקום לוטננט, השתתף במערכה בסומלילנד הבריטית וב-16 באפריל 1904 הוא קודם לדרגת קבע של לוטננט.
ב-1905 מונה הור-רות'בן להיות שלישו הצבאי של הלורד דדלי, הלורד לוטננט של אירלנד. ב-1908 הוא הוצב במשמר הפרשים הראשון, הוא קודם להיות ממלא מקום קפטן ב-11 באפריל, ובכך חזר לדרגתו הקודמת לאחר 9 שנים. באותה שנה מונה דדלי להיות המושל הכללי של אוסטרליה והור-רות'בן הצטרף אליו כמזכירו הצבאי. באותה שנה הוא נשא לאישה את זארה פולוק. השניים הולידו שני בנים, שאחד מהם מת בינקותו. ב-1910 הוא סיים את שירותו באוסטרליה ועבר לשרת בהודו.
ב-2 באפריל 1915 הועבר הור-רות'בן לשרת במשמר הוולשי וקודם לדרגת מייג'ור. ב-18 בינואר הוא מונה להיות קצין מטה כללי (GSO) עם דרגה זמנית של לוטננט קולונל. עוד קודם לכן, ב-1 בינואר 1919 הוא עוטר באות השירות המצוין בעקבות האירוע הבא:
ב-15 באוקטובר 1917 קודם הור-רות'בון לדרגה קבועה של לוטננט קולונל וב-26 בדצמבר מונה להיות קצין מטה בדרגה זמנית של בריגדיר גנרל. ב-1 בינואר 1918 הוענק לו תואר עמית מסדר מיכאל הקדוש וג'ורג' הקדוש. ב-2 באפריל 1919 הוענק לו אות השירות המצוין פעם נוספת וב-3 ביוני אותה שנה הוענק לו תואר עמית מסדר האמבט.
במהלך מלחמת העולם הראשונה שירת הור-רות'בן בצרפת ובגליפולי, שם הוא נפצע קשה וצוין לשבח חמש פעמים. הוא סיים את המלחמה בדרגת בריגדיר גנרל ופיקד על כוחות הצבא הבריטי בגרמניה בין השנים 1919 – 1920. ב-14 בדצמבר 1920 הוא מונה להיות מפקד הרגימנט, עם דרגה זמנית של קולונל וב-5 ביולי 1922 הוא קיבל מינוי קבוע של קולונל. לאחר מכן הוא מילא שורה של תפקידים בצבא וב-1 באוקטובר 1924 הוא קיבל פיקוד על בריגדה וקודם לדרגת בריגדיר גנרל. ב-24 בינואר 1928 הוענק לו תואר אביר מפקד של מסדר מיכאל הקדוש וג'ורג' הקדוש וב-14 במאי אותה שנה הוא מונה להיות מושל אוסטרליה הדרומית.
מושל אוסטרליה הדרומית.
הור-רות'בן הגיע לאדלייד במאי 1928. הוא נכנס לתפקידו בהתלהבות, ביקר באזורים רבים במדינה כשהוא משתמש במטוס דה הבילנד שהיה בבעלות שלישו הצבאי, יו גרוסונור. יחד עם אשתו, הוא היה תומך נלהב של תנועת הצופים. ליידי הור-רות'בן הייתה גם נשיאת ארגון הצלב האדום של אוסטרליה הדרומית.
בנאומו ביום אנזא"ק ב-1930, מתח הור-רות'בן ביקורת על השביתות שקיימו האיגודים המקצועיים, שגרמו לקשיים לחיילים משוחררים. בתגובה, הוא זכה לגינוי ממועצת העובדים של אוסטרליה הדרומית.
במהלך כהונתו כמושל אוסטרליה הדרומית התחולל השפל הגדול, שגרם למצב קשה במדינה. ממשלתו של ליונל היל, שנבחרה על בסיס ההבטחה להביא "עתיד מוזהב", ספגה ביקורת קשה כאשר המציאות הכלכלית אילצה אותה לנקוט בצעדי צנע. הור-רות'בן תמך בהיל כאשר זה ספג את הביקורת מצדה של מפלגת הלייבור. בנאומיו הוא ביטא לעיתים קרובות את אמונתו שראש הממשלה צריך "להתעלות מעל המפלגה". את נחישותו של היל במהלך המשבר ניתן לזקוף לזכותו של הור-רות'בן. תפקודו בזמן המשבר הייתה שיקול מכריע בהחלטה למנותו כמושל ניו סאות' ויילס.
מושל ניו סאות' ויילס.
באפריל 1934 הסתיימה תקופת כהונתו של הור-רות'בן כמושל אוסטרליה הדרומית והוא שב לאנגליה. זמן קצר לאחר מכן הוא מונה להיות מושל ניו סאות' ויילס ועל פי הצעתו של ראש ממשלת אוסטרליה, ג'וזף ליונס, הוענק לו התואר ברון גאורי. הוא הגיע לסידני ב-21 בפברואר 1935. באותה עת כבר החליט המלך ג'ורג' החמישי למנותו לתפקיד המושל הכללי של אוסטרליה. ב-20 בדצמבר 1935 הוענק לו תואר אביר מפואר של מסדר מיכאל הקדוש וג'ורג' הקדוש.
המושל הכללי של אוסטרליה.
עם עברו הצבאי ועם ניסיונו, נראה היה גאורי כבחירה הברורה לרשת את סר אייזק אייזקס כשזה פרש בתפקידו כמושל הכללי ב-1936. על פי הנוהג שהשתרש כבר, הוצעו לראש הממשלה ג'וזף ליונס כמה אלטרנטיבות. אך לליונס לא היו כוונות להמליץ על אוסטרלי נוסף לתפקיד. באותה תקופה נטו ראשי הממשלה מטעם קואליציית האנטי-לייבור להמליץ על בריטים לתפקיד. על פי חוקת אוסטרליה, מונה גאורי על ידי המלך ג'ורג' החמישי, שמת ב-20 בינואר 1936, שלושה ימים לפני שגאורי הושבע לתפקיד. לפיכך, הוא למעשה החל את כהונתו בתקופת מלכותו של אדוארד השמיני.
במהלך כהונתו כמושל כללי, היה גאורי דמות אהודה, אם כי לא מתבלטת במיוחד, בציבוריות האוסטרלית. הימים בהם למושלים הכלליים היה כוח משמעותי, או שהיה להם חלק במגעים בין ממשלות אוסטרליה ובריטניה, חלפו להם, אך גאורי קבע תקדים ב-1938, כאשר הוא ביקר באיי הודו המזרחית ההולנדים, בהזמנתם של השלטונות הקולוניאליים המקומיים. הייתה זו הפעם הראשונה בה ייצג המושל הכללי את אוסטרליה בביקור ממלכתי.
באפריל 1939 מת ליונס באופן פתאומי וגאורי מינה את סר ארל פייג', מנהיג מפלגת הכפר, במקומו, עד אשר מפלגת אוסטרליה המאוחדת תוכל לבחור מנהיג חדש. נסיבות אלו היו היחידות בהן למושל הכללי היה עדיין שיקול דעת.