במתמטיקה, קריטריון איזנשטיין נותן תנאי מספיק לכך שפולינום בעל מקדמים שלמים הוא אי פריק מעל חוג השלמים formula_1 (לפי למה של גאוס, פולינום כזה הוא גם אי פריק מעל שדה המספרים הרציונליים formula_2). הקריטריון קרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני פרדיננד אייזנשטיין.
נוסח המשפט.
פולינום formula_3בעל מקדמים שלמים מקיים את תנאי איזנשטיין אם קיים מספר ראשוני formula_4כך ש-
פולינום המקיים תנאי זה לא ניתן לפירוק מעל חוג המספרים הרציונליים (למעט הוצאת גורם משותף מן המקדמים). פולינומים המקיימים את תנאי איזנשטיין נקראים לפעמים פולינומי איזנשטיין.
באופן כללי יותר, פולינום המוגדר מעל תחום שלמות formula_12 מקיים את תנאי איזנשטיין אם קיים אידיאל ראשוני formula_13 של formula_12, כך שכל מקדמי הפולינום פרט למוביל שייכים ל-formula_13, וכך שהמקדם החופשי אינו שייך לאידיאל formula_16. במקרה זה הפולינום אי פריק מעל formula_12 (אם formula_12 הוא תחום פריקות יחידה, אז הפולינום אי פריק מעל שדה השברים של formula_12, לפי הלמה של גאוס).
בשדה מקומי, כל הרחבה מסועפת לחלוטין מתקבלת מסיפוח שורש של פולינום איזנשטיין לשדה.
דוגמאות.
1. יהי formula_4ראשוני, אזי formula_21 מקיים את קריטריון אייזנשטיין ולכן הוא אי-פריק.
2. הדרך הקלה להוכיח שהפולינום הציקלוטומי formula_22 אי פריק כאשר formula_4 ראשוני, היא להבחין ש- formula_24 מקיים את קריטריון איזנשטיין עבור formula_4.
3. נתבונן ב- formula_26. הגורם המשותף של המקדמים 10 ו- 15 הוא ראשוני, 5. מכיוון ש-5 איננו מחלק את 3, המקדם המוביל ו- formula_27 איננו מחלק את 10, המקדם האחרון - הפולינום עונה על התנאי ולכן הוא אי פריק מעל השלמים.
4. יש פולינומים המקיימים את קריטריון אייזנשטיין אחרי הצבת הזזה formula_28, כאשר formula_29קבוע.
התבוננו לדוגמה בפולינום formula_30. נראה שאין ראשוני המחלק את 1, המקדם של formula_31. אבל, אם נציב formula_32, נקבל את הפולינום formula_33, אשר מקיים את הקיטריון עבור המספר הראשוני 7. כלומר, על ידי הזזת הפולינום הצלחנו להראות שהוא מקיים את קריטריון איזנשטיין.
הוכחה.
(הוכחה למקרה של פולינום בעל מקדמים שלמים). נתבונן ב-formula_34 כפולינום מודולו formula_4, כלומר נעתיק את המקדמים לשדה formula_36. מכיוון שכל המקדמים פרט למקדם המוביל מתחלקים ב-formula_4נקבל את הפולינום formula_38עם מקדם כלשהו שונה מאפס formula_39. נניח בשלילה שניתן לפרק את formula_40לשני פולינומים formula_41ו-formula_42שהמכפלה שלהם שווה ל-formula_40ונקבל ש-formula_44. מכאן, formula_4מחלק את המקדמים החופשיים של formula_42 ושל formula_41ולכן, formula_10מחלק את המקדם החופשי של המכפלה בסתירה להנחה.
חוש הטעם
מרדכי טביב
מרדכי טַבִּיב (י"ג בחשון תרע"א, 14 בדצמבר 1910 – כ"א בטבת תשל"ט, 20 בינואר 1979) היה סופר עברי, עורך ומחנך ישראלי. מראשוני הסופרים בני העדה התימנית בישראל.
ביוגרפיה.
מרדכי טביב נולד בראשון לציון בשנת 1910, לאחר שהוריו, שושנה והרב טביב טביב, עלו מחידאן שבצפון תימן בשנת 1909. אביו, המכונה "טביב הזקן", היה צורף ובעל ידיעות תורניות. אחיו הבכור היה אברהם טביב, לימים חבר הכנסת.
עד גיל 13 למד טביב במעלאמה (ה"חדר" התימני). כבר בתקופה זו נמשך אל ההשכלה והספרות הכללית, והוא הועבר להמשך לימודיו בבית הספר העממי "חביב" במושבה, בהמלצת מנהל בית הספר, אהרון קרון. דבר זה יצר עימות חריף בינו ובין אביו, שחפץ שבנו יהיה לרב. אך לימודיו נמשכו זמן קצר, שכן טביב נאלץ לצאת לעבודה כדי לסייע בפרנסת המשפחה. הוא עבד בעיקר בחקלאות, בניין, שמירה וסבלות. באותו הזמן הצטרף לתנועת "הנוער העובד" והקים בשכונתו את הסניף הראשון של התנועה עבור בנות בשכונה תימנית. מסניף זה התקדם לתפקיד מרכז סניף התנועה בכרם התימנים בתל אביב. בשנת 1934 הכיר את חנה קנטרוביץ, ילידת פולין, ונישא לה. לזוג נולדו בת, לאה, ובן, גל.
לאחר עבודה כפועל בבית חרושת ללבנים ועקב אמונתו באידיאלים של סוציאליזם, עבר טביב ב-1938 להתגורר בקיבוץ נען. משם פרסם את שיריו הראשונים, בעיקר במוסף הספרותי של עיתון דבר". בשנת 1939 התנדב לצבא הבריטי, שם שירת בשלוש השנים הראשונות של מלחמת העולם השנייה כחפר. שוחרר מהשירות, בהיותו ביוון, עקב מחלה. בחזרתו לארץ ישראל, עסק בפעילות ציבורית מגוונת, בייחוד במוסדות ההסתדרות ומפלגת מפא"י, ובמקביל גם עסק באופן אינטנסיבי בכתיבה ספרותית. במלחמת העצמאות שירת כקצין חינוך של חטיבה 8 של יצחק שדה, ועסק בעריכה והבאה לדפוס של עיתון החטיבה, "שריון ופשיטה", בו פרסם מפרי עטו. לאחר מלחמת העצמאות ערך את הביטאון ההסברתי-פוליטי של מפא"י "שלוחות", וגם בו פרסם מכתביו, כולל יצירתו הידועה "כינורו של יוסי". בצד כתיבתו גם ריכז את המחלקה הערבית של ההסתדרות.
ספרו הראשון, "כעשב השדה", מחיי העדה התימנית בארץ, יצא לאור בשנת 1948 ועורר הדים רבים בציבור. בשנת 1950 זכה הספר בפרס רופין. בשנת 1953 היה לעורך הירחון לספרות "מבואות", בו פרסם מיצירותיו ומאמרים ראשיים. במקביל יסד גם את כתב העת "מפגש" שנועד לפרסם יצירות של סופרים יהודים וערבים, בתקווה שרעיון זה יביא לשיתוף פעולה בין שני העמים; כתב עת זה נסגר במהרה.
מרדכי טביב כתב מספר ספרים - "עשב השדה", "דרך של עפר", "כערער בערבה". סיפורו "כינורו של יוסי" נלמד שנים רבות במערכת החינוך. שפתו מיוחדת ברבדיה המקראיים והמשנאיים מעורבים ביחד עם יהודית-תימנית.
חלק משיריו הולחנו כ"שירים תימניים" וחלק הולחנו ליצירות קאמריות על ידי המלחין פאול בן-חיים. כן חיבר את התמליל לאורטוריה הרדיופונית "תיקון חצות" של מרדכי סתר, אשר זכתה בשנת 1962 בפרס איטליה (Prix Italia).
בשנת 1979 הלך מרדכי טביב לעולמו.
בשנת 2000 יצאה בהוצאת הקיבוץ המאוחד מהדורה חדשה וכוללת של סיפוריו. בשנת 2014 יצאה מהדורה חדשה של ספרו 'כערער בערבה', בהוצאת הקיבוץ המאוחד, עם אחרית דבר של נורית גוברין והערות של אבנר הולצמן.
על שמו נקראת חטיבת טביב ראשון לציון הצמודה למקיף ו' השש-שנתי יגאל אלון. בחטיבה מסלול ספרות אמנות ייחודי לתלמידים מוכשרים כחלק מהעברת מורשתו של טביב.
פרסים.
כן זכה במלגה של "קרן מץ".
מאו טסה טונג
מאובנים
מאו טסה דונג
כריס בוש
כריסטופר וסון "כריס" בוש (באנגלית: Christopher Wesson "Chris" Bosh; נולד ב-24 במרץ 1984 בדאלאס, טקסס) הוא כדורסלן עבר אמריקאי ששיחק בעמדות הפאוור פורוורד והסנטר בליגת ה-NBA. בעונות ו- זכה באליפות ה-NBA כשחקן מיאמי היט. לאורך הקריירה השתתף 11 פעמים במשחק האולסטאר של ה-NBA, והעמיד ממוצעים כוללים של 19.2 נקודות, 8.5 ריבאונדים ו-2.0 אסיסטים למשחק.
בשנת 2021 הוצג בהיכל התהילה של הכדורסל.
ראשית חייו.
בוש נולד בדאלאס, טקסס לנואל ופרידה בוש. בצעירותו העריץ את קווין גארנט.
בוש היה תלמיד מצטיין בבית הספר, אך התחיל למשוך את תשומת לבם של ציידי הכישרונות של המכללות כשהוביל את נבחרת בית ספרו למאזן של 40 ניצחונות ללא הפסד, ולאליפות התיכונים הלאומית כשרשם במשחק הגמר 21 נקודות, 11 ו-7 חסימות.
הוא החל ללמוד עיצוב גרפי באוניברסיטת ג'ורג'יה טק שם שיחק בקבוצת הכדורסל. בעונת ה"" שלו רשם של 15.6 נקודות, 9.0 ריבאונדים ו-2.2 חסימות למשחק. בנוסף הוביל בוש את הליגה באחוזי קליעה עם 56.0% מהשדה, וביחד עם אנטואן ג'יימיסון היו לפרשמנים היחידים שעשו זאת בהיסטורית המכללות. בתחילה תכנן בוש לסיים את התואר האקדמי במכללה, אולם יכולתו הטובה בעונתו הראשונה שכנעה אותו כי הוא טוב מספיק כדי להתחרות בדראפט.
קריירת ה-NBA.
טורונטו ראפטורס.
בוש התמודד בדראפט עמוס הכוכבים של שנת 2003 בו התחרו גם לברון ג'יימס, דוויין וייד וכרמלו אנתוני. הוא נבחר בבחירה הרביעית על ידי קבוצת טורונטו ראפטורס ובטרם הספיק לחתום על חוזה במועדון, כבר קיבלה טורונטו הצעות ל מקבוצות רבות בליגה, אולם מאמנה דחה את כולן. בעונת הרוקי שלו, נאלץ בוש לשחק בתפקיד לא טבעי לו, לאחר שהסנטר אנטוניו דייוויס עבר בטרייד לשיקגו בולס. כסנטר נאלץ בוש להתמודד מול שחקנים מאסיביים בהרבה ממנו משחק אחר משחק. הוא קיבל תשבחות רבות ממאמניו על נכונותו לשחק על אף הפציעות והכאב שההתמודדות מול שחקנים חזקים ממנו גרמו. בעונת הרוקי שלו רשם בוש ממוצעים של 11.5 נקודות, 7.4 ריבאונדים ו-1.4 חסימות ב-33.5 דקות משחק ב-75 המשחקים בהם שותף. יכולתו הטובה הובילה לבחירתו לחמישיית הרוקיז של העונה.
עם עזיבתו של וינס קרטר את הקבוצה בדצמבר 2004, הפך בוש למנהיג החדש סביבו נבנית הקבוצה. ביתרת משחקי העונה לאחר עזיבתו של קרטר, רשם בוש ממוצעים של 18.4 נקודות, 9.5 ריבאונדים ו-1.6 חסימות ב-38.5 דקות למשחק, ובכך שיפר את ממוצעיו בכל הקטגוריות. לקראת סיום העונה חזו פרשנים כי בוש יתפתח להיות שחקן טוב מספיק על מנת שיבחר למשחק האולסטאר. באותה העונה הוביל בוש את קלעי הקבוצה ב-21 משחקים, והיה הריבאונדר המצטיין של קבוצתו ב-46 משחקים הקבוצה סיימה את העונה במאזן של 33–49 ולא העפילה לפלייאוף.