רבי יעקב יוסף נפטר בכ"ד בתשרי תקמ"ב. האגדה החסידית מספרת שטרם פטירת רבו הבעל שם טוב שאל אותו מתי יפטר. ענה לו רבו הבעל שם טוב: "כשמישהו ינצח אותך בדבריו ולא יהיה בפיך מה להשיבו תדע כי הגיע זמנך". בשמחת תורה בשנת תקמ"ב ראה רבי יעקב יוסף יהודי פשוט, שלא נמנה כלל על עדת הלומדים שרקד ושמח עם הספר תורה בכל כוחו. רבי יעקב יוסף לא התאפק ותמה בפניו "מה יש לך עם התורה שאתה כה שש ורוקד עימה?" ענה לו היהודי הפשוט: "אמת היא שאני לא זכיתי ללמוד, אבל בשמחת נישואי אחי לא אשמח?! והרי כאן הדבר דומה אחי בני ישראל סיימו ללמוד את התורה ושמחים עמה, וכי לא אשמח עמם?". לשמע תשובתו זו נאלם פיו דום, ומיד נזכר בדברי רבו, והבין כי הגיע עת פטירתו מהעולם. ואכן מיד לאחר החג נפל למשכב קצר ומיד נסתלק לשמי מרומים.
קברו נחצב ליד רבי יהודה אריה לייב מפולנאה. מסורת מספרת כי פעם, בעומדו ליד גדר בית החיים הרגיש בחייט אחד מתושבי פולנאה כשהוא עסוק באמירת תהלים ובנתינת צדקה בסמוך למקום קברו של "המוכיח", לימים כשביקש רבי יעקב יוסף לקנות לו חלקת קבר באותו מקום נודע לו כי חלקה זו כבר נמכרה לאותו יהודי, רבנו הפציר בו כי יוותר על חלקו בשבילו, ורק לאחר שהבטיח לו כי מקום מנוחתו יהיה בסמוך לו הסכים הלה לכך. לאחר שנסתלק רבי יעקב יוסף עברו שנים והחייט הזה נפטר לבית עולמו, כשיצאו לחפור קבר ליד קברם של רבי יעקב יוסף וידידו "המוכיח" – כהבטחתו ליהודי זה – לא היה מקום. ואנשי החברה קדישא הניחו את מיטת הנפטר שם באוהל וקראו בקול: הבטחתם לו מקום, אנא קיימוהו. לפתע מצאו ריוח בין הקברים שהספיק בדיוק למקום קבורתו וקברוהו שם.
מכניקת קוונטים
יעקב יוסף מפולנאה
ליאונרדו דה-וינצ'י
קומוטטור
במתמטיקה, קומוטטור הוא פונקציה דו-מקומית המוגדרת בדרך כלל בחוג או חבורה, הבודקת את ההתחלפות של זוג איברים ביחס לפעולת כפל נתונה. במילים אחרות, הקומוטטור בודק האם תכונת הקומוטטיביות של הכפל נכשלת עבור זוג איברים מסוימים. בהתאם, בחוג קומוטטיבי או בחבורה קומוטטיבית, הקומוטטור הוא תמיד טריוויאלי.
קומוטטור חיבורי וכפלי.
בהינתן זוג איברים formula_1 במבנה אלגברי נתון עם פעולת כפל, השאלה בה מתעניינים היא האם formula_2. אם קיימת במבנה אלגברי זה פעולת חיבור, שוויון זה מתקיים אם ורק אם formula_3, ועל כן טבעי להגדיר את הקומוטטור שלהם על ידי formula_4, ובמקרה זה הקומוטטור מכונה "חיבורי". אם קיימת במבנה אלגברי זה הופכי לפעולת הכפל, שוויון זה מתקיים אם ורק אם formula_5, ועל כן טבעי להגדיר את הקומוטטור שלהם על ידי formula_6, ובמקרה זה הקומוטטור מכונה "כפלי".
הקומוטטור החיבורי.
הקומוטטור החיבורי מתאים לחוג. במקרה זה פונקציית הקומוטטור היא אדיטיבית בשני המשתנים, ואם R הוא אלגברה, אז זוהי פונקציה ביליניארית. אם קובעים איבר formula_7 בחוג נתון, אז ההומומורפיזם formula_8 הוא נגזרת.
כל אלגברה אסוציאטיבית הופכת להיות אלגברת לי ביחס לפעולת הקומוטטור.
באלגברת המטריצות, העקבה של כל קומוטטור היא אפס, וגם ההפך נכון: מעל שדה, כל מטריצה בעלת עקבה אפס היא קומוטטור. כל איבר בעל עקבה אפס באלגברה פשוטה מרכזית הוא סכום של לכל היותר שני קומוטטורים. כל איבר בעל עקבה אפס בחוג מטריצות מעל חוג קומוטטיבי הוא סכום של לכל היותר שני קומוטטורים (אבל לפעמים אינו קומוטטור בעצמו).
לקומוטטורים (וגם לעקבה) תפקיד מרכזי בתאוריה של אלגברות עם זהויות. הדוגמה הבסיסית בתחום זה היא הזהות formula_9; זוהי בנייה יסודית ב[[תורת החבורות]], מכיוון שתת-חבורת הקומוטטורים היא תמיד תת-חבורה נורמלית, והמנה formula_10 היא המנה האבלית המקסימלית של G. באופן כללי יותר, אם N,K הן תת-חבורות נורמליות של G, אז מסמנים ב-formula_11 את תת-החבורה של G הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים formula_12 של האיברים formula_13. זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת גם ב-N וגם ב-K.
איברים המתקבלים מלקיחת קומוטטור k פעמים נקראים 'קומוטטורים ממשקל k' (למשל, formula_14 הוא קומוטטור ממשקל 3), והם קשורים לתכונות של החבורה כמו [[חבורה פתירה|פתירות]] או [[חבורה נילפוטנטית|נילפוטנטיות]]. לשם הקיצור, מקובל לסמן formula_15 (קומוטטור ממשקל 2), ובאופן כללי formula_16. תת-החבורה של G הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים formula_17 מסומנת ב-formula_18, וכך formula_19 ובאופן כללי formula_20. [[חבורה נילפוטנטית]] ממחלקה k היא כזו שבה formula_21.
קומוטטורים מקיימים מספר זהויות חשובות, למשל formula_22 ו-formula_23 כאשר formula_24 הוא סימון מקוצר לצמוד formula_25. זהות ידועה אחרת היא זהות יעקובי: formula_26. מזהות זו נובעת [[למת שלוש תת-החבורות]]: אם H,K,L תת-חבורות נורמליות של G, אז formula_27. בפרט (אם נבחר K=L) מתקיים formula_28. אם כעת נבחר formula_29 נקבל formula_30, כלומר formula_31. זהו מקרה פרטי של משפט כללי יותר: כל הקומוטטורים ממשקל k שייכים ל-formula_32. אם כך, בחבורה נילפוטנטית ממחלקה k, כל הקומוטטורים ממשקל k הם טריוויאליים.
מושגים דומים.
אנטי-קומוטטור.
כמו הקומוטטור, אפשר להגדיר גם אנטי קומוטטור עבור חוג או אלגברה, בתור האיבר formula_33. אם A היא אלגברה אסוציאטיבית, אז היא אלגברת ז'ורדן ביחס לפעולת האנטי-קומוטטור.
אסוציאטור.
בדומה לקומוטטור שמודד את כישלון הקומוטטיביות, מגדירים באלגברה לא אסוציאטיבית פונקציה בשם האסוציאטור (associator), לפי הנוסחה formula_34. האסוציאטור מקיים את הזהות formula_35.
הקומוטטור בפיזיקה.
בפיזיקה, וליתר דיוק, במכניקת הקוונטים, הקומוטטור של אופרטורים במרחב הילברט הוא מושג שימושי מאוד. במכניקת הקוונטים יחסי החילוף של אופרטורים מלמדים דברים חשובים על תכונותיהם. אם אופרטור מתחלף עם ההמילטוניאן אזי הוא מייצג גודל שנשמר במערכת (חוק שימור), וסימטריה בקואורדינטה הצמודה. כמו כן, אם אופרטור מתחלף עם אופרטור אחר אז אפשר ללכסן אותם סימולטנית (ביחד) ואגב כך לקבל בו זמנית את ערכי התצפית של שניהם בצורה מדויקת, על כן זוהי תכונה שימושית ביותר. בניגוד לזה, כל שני אופרטורים A ו B שאינם מתחלפים מקיימים את עקרון אי הוודאות בניסוחו הכללי:
כלומר, אי-אפשר למדוד את A ואת B בו-זמנית בדיוק מוחלט.
סימן לוי-צ'יוויטה
במתמטיקה ובפיזיקה, סימן לֵוִי־צִ'יוִיטָה (באנגלית: Levi-Civita symbol, על שמו של המתמטיקאי טוליו לוי-צ'יוויטה) הוא פונקציה אנטי־סימטרית על אינדקסים. סימן לוי־צ'יוויטה מסומן באות היוונית אפסילון (ε), ומאפשר במקרים מסוימים לקצר את רישומן של פעולות על וקטורים ועל טנזורים. הטנזור שאיבריו מוגדרים על ידי סימן לוי־צ'יוויטה קרוי טנזור לוי־צ'יוויטה.
הגדרה.
סימן לוי-צ'יוויטה הבסיסי מוגדר לשלשה של אינדקסים formula_1 באופן הבא:
תכונות והכללה.
סימן לוי־צ'יוויטה מתאר את זוגיות התמורה formula_3: הוא שווה ל־(+1) אם התמורה זוגית, ל־(-1) אם התמורה אי־זוגית, ול־0 אם לפחות שניים מהאינדקסים זהים (כלומר, הפונקציה איננה תמורה).
מתיאור זה נובעת הכללה של סימן לוי־צ'יוויטה לכל n-יה סדורה של אינדקסים (אם formula_4):
זהויות.
עבור formula_7, סימן לוי-צ'יוויטה מקיים מספר זהויות ראויות לציון עם הדלתא של קרונקר:
ולכל מספר של אינדקסים, מתקיים
שימושים.
באנליזה וקטורית במרחב תלת-ממדי, משמש סימן לוי־צ'יוויטה להגדרת מכפלה וקטורית:
ביתר פשטות, אם formula_12, אז
או בכתיב מקוצר, לפי הסכם הסכימה של איינשטיין:
באופן דומה, אם מסמנים formula_15, אפשר להגדיר בעזרת סימן לוי־צ'יוויטה את הרוטור:
מכתבי חוסיין–מקמהון
מכתבי חוסיין–מקמהון (מכונים גם: "איגרות מק'-מהון") הם חליפת חמישה עשר מכתבים מהשנים 1915–1916 – ימי מלחמת העולם הראשונה, בין הנרי מקמהון, מושל מצרים מטעם האימפריה הבריטית, לבין השריף חוסיין בן עלי מהמשפחה ההאשמית, שהיה שליט מחוז חג'אז ושומר המקומות הקדושים במכה ובאל-מדינה תחת השפעת האימפריה העות'מאנית. חליפת המכתבים הייתה משא ומתן רשמי-למחצה על התנאים שבהם יתמוך השריף חוסיין במרד ערבי במזרח התיכון נגד העות'מאנים, כך שישרת את האינטרס הבריטי באזור, תמורת התמנותו ל"מלך הערבים" (ملك العرب) על הממלכה הערבית החדשה. בעיני בריטניה לא הגיעה חליפת המכתבים לכלל הסכם רשמי. בעיני הערבים, מכתבי חוסיין-מקמהון הם דוגמה לבוגדנות המערב משום הסתירה, לטענתם, בין הנאמר במכתבים אלו לבין הסכם סייקס–פיקו והצהרת בלפור.
המכתבים.
במכתבים מתווה השריף חוסיין את גבולותיה של ממלכה ערבית גדולה אחת בתוואי האוטופיה הידועה בשם סוריה הגדולה הכוללת את חצי האי ערב (למעט אזור נמל עדן בתימן), עיראק, סוריה (כולל לבנון) וארץ ישראל (פלסטין בלשונו). למעשה, כל שטח שהיה מיושב בערבים באותה תקופה, ואשר לא היה תחת השפעה בריטית, נכלל בגבולות תוכנית זו.