הדוגמה הטיפוסית לאידמפוטנט שאינו מרכזי היא יחידת המטריצות formula_28 בחוג מטריצות. פירוק פירס של אלגברת המטריצות formula_29 נותן את ארבעת המרכיבים הטבעיים formula_30. באלגברת מטריצות formula_31, היחידות formula_32 הן אידמפוטנטים אורתוגונליים ופרימיטיביים שסכומם 1.
לפירוק פירס בכמה מחלקות לא אסוציאטיביות, ראו אלגברה אלטרנטיבית#הרחבות מרכזיות ופירוק פירס, אלגברת ז'ורדן#פירוק פירס, אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית#פירוק פירס.
הרמת אידמפוטנטים.
אם לכל איבר a של אידיאל A בחוג R, המשלים formula_33 הפיך, ובנוסף לזה כל אידפוטנט של חוג המנה formula_34 הוא מהצורה formula_35 כאשר e אידמפוטנט של R, אז A הוא אידיאל מרים אידמפוטנטים. אם A הוא אידיאל כזה, אז אפשר להרים כל מערכת סופית או בת-מניה של אידמפוטנטים אורתוגונליים בחוג המנה, למערכת מתאימה ב-R (טענה זו אינה נכונה למערכות שמספר איבריהן אינו בן-מניה). בנוסף לזה אפשר להרים גם מערכות של יחידות מטריצות, וכך, אם חוג המנה הוא חוג מטריצות, זהו גם המבנה של החוג R עצמו.
כל אידיאל נילי הוא מרים אידמפוטנטים. אם R סגור בטופולוגיה ה-A-אדית, אז A מרים אידמפוטנטים. באופן כללי, אידיאל A המוכל ברדיקל ג'ייקובסון של החוג הוא אידיאל מרים אידמפוטנטים, אם ורק אם לכל מחובר ישר של R/A (כמודול מעל R) יש כיסוי פרויקטיבי (כיסוי פרויקטיבי של מודול M הוא מודול פרויקטיבי P עם הטלה formula_36 שהגרעין שלה הוא תת-מודול קטן).
בחוג קומוטטיבי מקסימלי (נקרא גם קומפקטי ליניארית), רדיקל ג'ייקובסון מרים אידמפוטנטים; חוג מקסימלי הוא מכפלה סופית של חוגים מקסימליים מקומיים.
יחידות מטריצות.
המטריצות formula_37 שיש להן 1 ברכיב ה-ij ואפס בכל מקום אחר, מהוות בסיס סטנדרטי של אלגברת המטריצות. מטריצות אלה מקיימות את היחסים formula_38 ו-formula_39. כל קבוצת איברים בחוג המקיימת את היחסים האלה נקראת מערכת של יחידות מטריצות. חוג שיש בו מערכת של יחידות מטריצות הוא בהכרח חוג מטריצות מעל חוג אחר. האיברים formula_32 הם אידמפוטנטים אורתוגונליים.
במדעי המחשב.
משמעות המושג היא תלויית הקשר:
בתכנות אימפרטיבי שגרה היא אידמפוטנטית אם מצב המערכת נותר זהה ללא קשר למספר ההפעלות של שגרה זו. דוגמה: שגרה של חיפוש שם לקוח בבסיס נתונים תיתן תוצאה זהה ללא קשר למספר הקריאות. כך גם שגרת מיון נתונים - תוצאת המיון הראשון לא תשתנה. שגרה להוספת רשומת קנייה של סחורה אינה אידמפוטנטית (כל קריאה לה תוסיף עוד קנייה), אך שגרת ביטול קניה מסוימת היא אידמפוטנטית.
ינה
ינה (בגרמנית: Jena ) היא עיר אוניברסיטאית במדינת תורינגיה שבמרכז גרמניה, העיר השנייה בגודלה אחרי עיר הבירה ארפורט. אוכלוסייתה מונה מעל 100,000 תושבים. העיר מוכרת בעיקר בשל היותה עיירת סטודנטים ובה אוניברסיטת פרידריך שילר ובגלל קשריה העמוקים לתעשייית האופטיקה והזכוכית.
היסטוריה.
תאריך הקמתה הרשמי של ינה אינו ידוע. בשנת 1182 הוזכרה העיר ינה במסמך, ובשנת 1286 הוצג מסמך ובו כתוב שהעיר הוקמה.
בשנת 1558 הוקמה האוניברסיטה המפורסמת של ינה, אוניברסיטת יוהאן פרידריך הגדול, שבמאה ה-18 כבר הפכה לאחת האוניברסיטאות הגדולות והמפורסמות ברחבי מחוזות גרמניה, ובכך התבססה ינה באופייה כעיר ספרותית ופילוסופית. בין אנשי הרוח שקורות חייהם נשזרו בתולדותיה היו פרידריך שילר, יוהאן וולפגנג פון גתה וגאורג וילהלם פרידריך הגל.
במאה ה-19 התבססה העיר גם במישור הכלכלי עם הקמתה של חברת העדשות המפורסמת צייס, אשר הכניסה את ינה גם לתחרות הכלכלית במרכז אירופה.
במהלך מלחמת העולם השנייה הופצצה העיר על ידי בעלות הברית. 153 בני אדם שילמו בחייהם, ומרכז העיר נחרב והוקם מחדש לאחר המלחמה.
במהלך המלחמה הקרה ועד איחוד גרמניה הייתה ינה, כחלק ממזרח גרמניה, תחת שליטה קומוניסטית בחסות ברית המועצות.
כלכלה.
ינה היא עיר תעשייתית, המתמחה בייצור מכשירים מדויקים, תרופות וכן מוצרי אופטיקה וצילום.
במהלך השנים האחרונות מנסה העיר למצב עצמה כ"עיר המדעים" ולהתפתח לתחומי הביואינפורמטיקה, ביוטכנולוגיה ותוכנה.
בעיר נמצא מרכז הייצור והפיתוח המרכזי של חברת קרל צייס, המתמחה בייצור ציוד אופטיקה מתקדם. בנוסף, חברות Jenoptik, Schott וחברת התרופות Jenapharm.
ספורט בינה.
בינה מספר רב של מועדוני ספורט חובבניים, הבולט ביניהם הוא מועדון הספורט האוניברסיטאי (USV) המציע חוגי ספורט רבים לכל הרמות לסטודנטים.
כדורגל.
קבוצת הכדורגל הגדולה ביותר בינה היא קרל צייס ינה, אשר משחקת בליגה הרביעית (Regionalliga Nord Ost) נכון לשנת 2021. המועדון שקיים משנת 1903, היה בשיאו בשנות ה-80 של המאה ה-20, אז היה חבר קבע בצמרת ליגת העל המזרח גרמנית, ואף הגיע לגמר גביע אירופה למחזיקות גביע בשנת 1981. הקבוצה משחקת באצטדיון Ernst Abbe Sportfeld, אשר מסוגל להכיל מעל ל-10,000 צופים. האצטדיון מתוכנן לעבור שיפוץ משמעותי בין 2020-2023 ובסופו יכיל האצטדיון החדיש מעל 15,000 צופים.
ברחבי העיר ניתן למצוא כתובות גרפיטי של מספר מועדוני האוהדים של קרל צייס ינה.
מעבר לכך, ישנן עוד מספר קבוצות כדורגל קטנות ברחבי העיר, כגון Jena Zwätzen, Lobeda 77, Schott Jena ועוד.
יהדות ינה.
היהודים מוזכרים בהיסטוריה של העיר כבר בתקופת המגפה השחורה (1347 – 1353) וב-1379 מוזכר יהודי המתגורר קבע בעיר לראשונה. באותן שנים התגוררה בעיר קהילה יהודית שבבעלותה בית כנסת. הקהילה היהודית התגוררה במרכז העיר, ואף הוזכר בעבר רחוב Jüdengasse ("רחוב היהודים") בסמוך לאחד הרחובות הראשיים בעיר.
היהודים גורשו מהעיר ולא הורשו להתגורר בה קבע בין 1431 ל-1452 או ב-1543.
בשנת 1785 הדוכס מסקסוניה, שהיה גם פטרון האוניברסיטה, אישר ליהודים להרשם ללימודים ואלו החלו לחזור אל העיר. רק בשנת 1825 הורשו יהודים שוב לגור באופן קבוע בינה, והקהילה החדשה שקמה לא הקימה לה בית כנסת. הטקסים הדתיים הועברו בבתים פרטיים. הקהילה מנתה 30 איש בשנת 1880 ובשיאה בשנת 1924 מנתה 168 תושבי קבע ועוד מספר עשרות תושבים ארעיים.
בתחילת המאה ה-20 רבים מיהודי העיר עבדו כסוחרים, כמהנדסים בתעשייה המקומית (צייס, שוט ) ובאוניברסיטת ינה ואף השתתפו במלחמת העולם הראשונה.
החל משנת 1933 החל מצבם של היהודים בעיר להדרדר. חרמות כלכליים כנגד יהודי העיר גרמו לרבים מהם לעזוב, ועם עליית הנאצים בחר הפיזיקאי פרופ' פליקס אוירבאך להתאבד. הפוגרום הגדול ביותר בעיר התרחש בנובמבר 1938 ובסופו נסגרו כל עסקי היהודים בעיר, ו-18 מהם נשלחו למחנה הריכוז בוכנוואלד. עד סוף שנת 1939 נותרו רק 50 יהודים בעיר. היהודים האחרונים גורשו עד 1945, לגטו בלזץ או לגטו טרזין. היהודים האחרונים שגורשו היו אלה שהיו חלק מנישואין מעורבים (כמו ד"ר קלרה גריפאהן).
בעיר ישנן (נכון ל-אפריל 2020) 41 אבני נגף. סיפורו של כל אחד מהנספים קיים באתר אינטרנט של העיר.
גם כיום לא קיים בית כנסת ביינה ולא מתקיימים אירועים דתיים גדולים בעיר. מרכז הקהילה היהודית הקרוב ביותר נמצא בעיר ארפורט.
נובוהרד וולינסקי
נובוגרד וולינסקי
נובגורוד וולינסקי
נובגורוד-וולינסקי
זוויהל
זוויגל
זווייגל
זוויאהל
אוניברסיטת יינה
יחיאל מיכל מזלאטשוב
אוניברסיטת פרידריך שילר בינה
אוניברסיטת פרידריך שילר בינה (בגרמנית: Friedrich-Schiller-Universität Jena) נמצאת בעיר ינה, במדינת תורינגיה שבגרמניה. היא נקראת על שמו של הסופר הגרמני פרידריך שילר. האוניברסיטה חברה בקבוצת קוימברה.
היסטוריה.
יוהאן פרידריך מסקסוניה היה הראשון שהגה את הרעיון ותכנן להקים את האוניברסיטה בשנת 1547 בזמן שהותו בשבי על ידי הקיסר קרל החמישי. התוכנית הייתה שהמהלך יגיע לידי ביצוע על ידי בניו ורק לאחר מכן יקבל את אישור הקיסר. האוניברסיטה הוקמה ב-2 בפברואר 1558.
בשנת 1934 הציע הגאולייטר של תורינגיה, פריץ זאוקל, לקרוא לאוניברסיטה בשם "אוניברסיטת פרידריך שילר". כבר בתחילת אותה מאה עמד מספר התלמידים וצוות הלימוד על 1100, לא מעט בממדים של עיר קטנה באותן השנים. באותה תקופה גם החל שיתוף הפעולה בין האוניברסיטה לחברת "קארל-צייס", וכך הוגדלו מבני האוניברסיטה ברחבי העיר. גם היום תומכת באוניברסיטה חברת העדשות "קארל-צייס", המוכרת בכל העולם.
מסורות סטודנטים.
לסטודנטים באוניברסיטה יש מספר מסורות עתיקות, שהמקור שלהן לא בהכרח ידוע, אך הן משתמרות מדור לדור של סטודנטים.
דוקטורים טריים קולעים זר פרחים ל"הנפריד".
במרכז כיכר השוק (Marktplatz) בינה עומד פסל של הדוכס יוהאן פרידריך מסקסוניה האוחז בחרב ארוכה ביד אחת ובספר בידו השנייה. סטודנטים הזוכים לתואר דוקטור באוניברסיטה, בכל התחומים, נוהגים לקנות זר פרחים עגול ולאחר הגנת הדוקטורט שלהם לנסות ולקלוע את הזרים העגולים על החרב של הפסל, המכונה בפי הסטודנטים "הנפריד" (קיצור של יוהאן פרידריך).
לא עוברים בשער Johannistor.
חלק מחומת העיר ינה העתיקה נשתמרה במרכז העיר, ובתוך החומה ישנו מעבר פתוח הנקרא Johannistor (שער יוהאן). בין הסטודנטים נהוגה המסורת שמי שעובר בשער ייכשל במבחן הקרוב שלו, ולכן ניתן לראות סטודנטים נמנעים ממעבר בשער והולכים בדרך הפתוחה שלצידו.
סטודנטים לשנה א' ברפואה מסתובבים בשבוע הראשון ברחבי העיר בחלוק לבן.