תת ספיגה של פרוקטוז היא הפרעת עיכול נפוצה אשר משפיעה על עד כ-30% מהאוכלוסייה במדינות המערב, ישנן השערות ששכיחות התופעה במדינות אסיה נמוכה יותר אך עדיין יחסית גבוהה, עד כ-10%.
משוואה דיפרנציאלית ליניארית
במתמטיקה, משוואה דיפרנציאלית ליניארית היא משוואה דיפרנציאלית רגילה בפונקציה הנעלמת formula_1, שאפשר להציג בצורה formula_2, כאשר formula_3 הן פונקציות של המשתנה formula_4 בלבד. בניגוד למרבית טיפוסי המשוואות הדיפרנציאליות, למשוואות הליניאריות יש תאוריה מפותחת וטכניקות פתרון שיטתיות, והן מופיעות בתחומי מדע רבים.
רישום בצורה אופרטורית.
הסדר של משוואה דיפרנציאלית הוא formula_5 הגבוה ביותר שעבורו מופיעה במשוואה הנגזרת formula_6 (אם קיים כזה).
משוואה ליניארית מסדר n אפשר לרשום בצורה מקוצרת אם מגדירים אופרטור כך: formula_7, ואז המשוואה נרשמת כך: formula_8. המשוואה נקראת "ליניארית" שכן אופרטור זה הוא ליניארי: formula_9.
אם formula_10 המשוואה נקראת הומוגנית.
פתרון משוואות ליניאריות.
באופן כללי, פונקציות רבות יכולות להיות פתרון של אותה משוואה. לפונקציה מסוימת שהיא פתרון של המשוואה נקרא "פתרון פרטי" של המשוואה. עבור משוואה הומוגנית formula_11 סכום של כל שני פתרונות הוא פתרון וכפל בסקלר של פתרון הוא פתרון. לכן אוסף הפתרונות של משוואה ליניארית הומוגנית הוא מרחב וקטורי ויש לו בסיס, כלומר קבוצת פונקציות formula_12 כך שכל פתרון של המשוואה ההומוגנית יכול להיכתב כצירוף ליניארי שלהן: formula_13. עבור בסיס של מרחב הפתרונות, נקרא לצירוף הליניארי formula_14, כאשר formula_15 הם קבועים, "פתרון כללי של המשוואה ההומוגנית".
למשוואה ליניארית formula_8 התכונה שהפרש של כל שני פתרונות של המשוואה הוא פתרון של המשוואה ההומוגנית formula_11. אכן, אם formula_18 אז formula_19.
מכך נובעת תכונה חשובה של משוואות ליניאריות:
כל פתרון של משוואה ליניארית ניתן לכתיבה כסכום של פתרון פרטי של המשוואה הליניארית, ופתרון כללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה לה.
תכונה זו ניתן לקבל בצורה ישירה: אם formula_20 הוא פתרון כלשהו של המשוואה, ו- formula_21 הוא הפתרון הפרטי שאנו משתמשים בו, אז ההפרש formula_22, כפי שראינו, הוא פתרון של המשוואה ההומוגנית, וכל פתרון של המשוואה ההומוגנית ניתן לביטוי באמצעות הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית.
מכך נובע שכדי לפתור בצורה כללית משוואה ליניארית לא הומוגנית יש לעשות שני דברים:
קיימת שיטה בשם "וריאציית הפרמטר", המאפשרת למצוא בצורה שיטתית פתרון פרטי למשוואה הלא הומוגנית בהינתן הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית. עם זאת, השיטה עלולה לכלול עבודה טכנית רבה, ונדרשת בה אינטגרציה שבה לא בהכרח ניתן לבטא את התוצאה בצורה מפורשת. שיטה אחרת, הנקראת "שיטת המקדמים הלא ידועים", מבוססת על ניחוש מושכל של צורת הפתרון הפרטי והשימוש בה הוא פשוט ונוח, אך היא טובה רק למקרים מסוימים.
באופן כללי אין פתרון שיטתי ופשוט למשוואה ליניארית הומוגנית. עם זאת, אם ידוע פתרון אחד של המשוואה, ניתן לקבל ממנו פתרון נוסף, שאינו תלוי בו. שיטה זו ידועה בשם "שיטת ד'אלמבר להורדת סדר המשוואה". כמו כן, במקרה הפרטי המיוחד שבו המקדמים formula_23 הם כולם קבועים קיים פתרון שיטתי המתבסס על מה שמכונה "המשוואה האופיינית" (או: "הפולינום האופייני") של המשוואה הליניארית.
משוואה הומוגנית במקדמים קבועים.
תהא formula_24 משוואה ליניארית הומוגנית כאשר כל המקדמים formula_25 הם מספרים קבועים. הפתרון formula_26 הוא טריוויאלי, ואנו רוצים למצוא פתרונות נוספים. מכיוון שכל המקדמים קבועים, יהיה נוח לחפש פתרון שהוא פונקציה שהשינוי היחיד שהיא עוברת במהלך גזירתה הוא כפל בקבוע. זוהי בדיוק פונקציית האקספוננט: formula_27 כאשר formula_28 הוא קבוע שאנו רוצים למצוא. נשים לב כי formula_29. לכן, לאחר הצבת הפתרון המשוער, נקבל:
ניתן לצמצם ב-formula_31 כי פונקציה זו תמיד שונה מאפס. נקבל:
זוהי משוואה בנעלם formula_33 הנקראת המשוואה האופיינית של המשוואה הדיפרנציאלית שלנו. המשפט היסודי של האלגברה מבטיח עבור משוואה ממעלה formula_5 שקיימים לה formula_5 שורשים (לא בהכרח שונים זה מזה, אך בעלי ריבוי כולל של formula_5).
לעיתים בוחרים להסתכל על אגף שמאל של המשוואה בתור פולינום ב-formula_33, ולהציג את הבעיה כבעיה של מציאת שורשי הפולינום, הנקרא הפולינום האופייני של המשוואה הדיפרנציאלית. שתי הבעיות זהות לגמרי.
יהא formula_38 שורש של הפולינום (כלומר, פתרון של המשוואה). אז formula_39 הוא פתרון של המשוואה, כפי שנובע מהניחוש שלנו.
ייתכן כי formula_38 הוא שורש מריבוי גדול מאחד, ואז כל פונקציה מהצורה formula_41, כאשר formula_42 הוא מספר טבעי הקטן מריבוי השורש, היא פתרון של המשוואה שאינו תלוי בשאר הפתרונות שהתקבלו בדרך זו. כך עבור משוואה מסדר formula_5 ניתן לקבל formula_5 פתרונות בלתי תלויים.
אם כל מקדמי המשוואה הם ממשיים וחלק מהשורשים שיתקבלו הם מרוכבים, ניתן לקבל מכל פתרון מרוכב פתרון ממשי, שאינו כולל מספרים מרוכבים, בצורה זו: מכיוון שכל מקדמי המשוואה ממשיים, מספר מרוכב הוא פתרון שלה רק אם גם הצמוד שלו הוא פתרון שלה. נניח כי formula_45 הם שני פתרונות שכאלו. אז הפונקציות המתאימות להם הן formula_46.
כעת, בהסתמך על העובדה שסכום וכפל בקבוע של פתרונות גם הוא פתרון, נקבל שני פתרונות ממשיים על ידי שימוש בנוסחת אוילר:
ניתן להוכיח על ידי בדיקה (למשל באמצעות הורונסקיאן) כי אלו פתרונות בלתי תלויים.
שיטת ד'אלמבר להורדת סדר המשוואה.
חלק ניכר מן התאוריה הבסיסית של משוואות דיפרנציאליות נשען על האנלוגיה בין משוואות דיפרנציאליות ליניאריות למשוואות פולינומיות. בין היתר, כאשר ידוע שורש אחד formula_38 של משוואה פולינומית ממעלה "n", אז ניתן לפרק לגורמים את הפולינום באמצעותו (כלומר, לחלק את הפולינום בגורם ליניארי formula_49, המערב את השורש הידוע) ולקבל פולינום חדש ממעלה "n-1". באופן דומה, כאשר ידוע פתרון אחד למשוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית כללית, ניתן להוריד בעזרתו את סדר המשוואה ב-1. יותר מכך, אם ידועים "k" פתרונות בלתי תלויים למשוואה, אז ניתן להוריד באמצעותם את סדר המשוואה עד ל-"n-k".
כאשר נתונה משוואה ליניארית הומוגנית כללית (כלומר, המקדמים הם פונקציות של formula_4 ולא בהכרח קבועים), וידוע לנו פתרון לא טריוויאלי אחד של המשוואה, נרצה למצוא פתרון נוסף, בלתי תלוי בו. הגיוני לחפש פתרון שיהיה דומה בצורתו לפתרון הקיים, וההבדל ביניהם מתבטא בכפל בפונקציה לא ידועה כלשהי. לכן נסמן formula_51 כאשר formula_52 היא פונקציה בלתי ידועה ו-formula_53 הוא הפתרון שידוע לנו. כעת נציב את הפתרון החדש למשוואה ונחלץ את formula_52. אם נצליח, קיבלנו פתרון נוסף, formula_55.
נדגים את התהליך עבור משוואה ליניארית ממעלה שנייה: formula_56. נניח שנתון פתרון לא טריוויאלי formula_53 ואנו מנחשים פתרון formula_58. נחשב את הנגזרת הראשונה והשנייה של הפתרון:
נציב במשוואה המקורית ונקבל:
לאחר פתיחת סוגריים והוצאת גורם משותף נקבל:
נשים לב כי הביטוי בסוגריים השמאליים מתאפס, כי formula_53. הוא פתרון של המשוואה הליניארית (ולכן formula_64) לכן בסך הכול קיבלנו:
כעת ניתן להציב formula_66 ולקבל אחרי חילוק ב-formula_53 (מותר לנו כי על פי משפט הקיום והיחידות, אם formula_53 מתאפס בנקודה כלשהי הוא חייב להיות הפתרון הטריוויאלי formula_26) את המשוואה formula_70. זוהי משוואה ליניארית מסדר ראשון, כלומר הורדנו את סדר המשוואה.
פתרון של משוואה זו נתון על ידי
כדי למצוא את הפתרון השני של המשוואה יש לעבור מ-formula_72 ל-formula_73 על ידי אינטגרציה נוספת, ולבסוף לכפול ב-formula_53. נקבל את התוצאה הסופית:
ישנן דרכים נוספות להגיע לנוסחה זו, איך היתרון בדרך שהוצגה כאן הוא שאין היא מצריכה זכירת נוסחאות או משפטים, אלא רק שבהינתן פתרון formula_53 כלשהו ניתן למצוא פתרון נוסף הנתון על ידי הצורה formula_77, גזירתו והצבתו במשוואה.
נשים לב כי שיטה זו אינה מבטיחה שהפתרון הנוסף יהיה ניתן לכתיבה על ידי פונקציות אלמנטריות: אין זה מובטח שניתן יהיה למצוא פתרון לשני האינטגרלים שבנוסחא. עם זאת, כאשר פונקציה מוצגת על ידי אינטגרלים לרוב קל יותר לעבוד איתה מאשר במצב שבו הצגתה היחידה היא על ידי משוואה דיפרנציאלית.
המקרה הכללי.
ניתן להכליל את השיטות וההגדרות למשוואה דיפרנציאלית בפונקציות וקטוריות כלומר המשוואה מהצורה:
אפשר להציג את y במפורש כוקטור שרכיביו הן פונקציות ממשיות גזירות, ולקבל מערכת של משוואות דיפרנציאליות עם n פונקציות נעלמות- formula_80. בהמשך החלק נוותר על סימון החץ מעל הפונקציה y, כאשר ההקשר יהיה ברור.
שיטות כלליות.
כמו בפתרון הבעיות הרגילות, גם בממדים גבוהים אוסף כל הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית ליניארית הוא מרחב וקטורי, וממדו הוא ממד הווקטור y. כדי לייצג את מרחב הפתרונות באופן קומפקטי משתמשים במטריצה של פונקציות formula_81, שהיא הפיכה לכל t בתחום הפתרון של המשוואה, ומקיימת את השוויון formula_82. מטריצה זו נקראת המטריצה היסודית של המשוואה, או המטריצה הפונדמנטלית. באמצעות מטריצה זו ניתן להציג כל פתרון של המשוואה ההומוגנית, formula_83, כיוון שכל פתרון כזה מתקבל על ידי כפל של וקטור קבוע במטריצה היסודית. פתרונות של המשוואה הלא הומוגנית formula_84 מתקבלים על ידי כפל של המטריצה היסודית בוקטור של פונקציות גזירות שמקיים את המשוואה formula_85.