לעיתים נהוג לסמן את ההתמרה - formula_47 - כפונקציה של הפונקציה המקורית שמחזירה פונקציה אחרת:
או בעזרת אופרטור ה"כובע" על הפונקציה המקורית:
מאחר שסימן ה"כובע" פשוט יותר הוא יותר מקובל מהשימוש באותיות גדולות או באותיות מסולסלות. כמו כן, את התמרה פורייה ההפוכה נהוג לסמן על ידי כובע הפוך:
לעיתים, כאשר הממשק הגרפי איננו מאפשר ציור "כובע" רחב, שמים את הביטוי המבוקש בסוגריים ואופרטור ה"כובע" (או הכובע ההפוך) מופיע מעליהם בדומה לסימון של חזקה.
התמרת פורייה לאותות בזמן בדיד (באנגלית: DTFT).
התמרת פורייה בדידה היא למעשה טור פורייה (כאשר עושים החלפת משתנים בין t לθ).
נניח ש- formula_51 הוא אות בזמן בדיד.
אזי התמרתו נתונה על ידי:
formula_52
כאשר תנאי מספיק לקיום ההתמרה הוא:
formula_53
וההתמרה ההופכית נתונה על ידי:
formula_54
נשים לב ש- formula_55 מחזורית במחזור formula_56.
הסבר אינטואיטיבי על מחזוריות התדר:
נשים לב כי אות בזמן בדיד הוא בעצם הכפלה של הפונקציה בזמן רציף ב"רכבת הלמים" כאשר רכבת הלמים מוגדרת כך:
formula_57
T הוא זמן המחזור של הרכבת.
מישור התדר "רגיש" לקפיצות חדות במישור הזמן, כלומר אם יש אי רציפות או שיפוע מאוד גדול בפונקציה זה גורר אחריו תדרים גבוהים (עקרון זה נובע מהכלל formula_58 שיובא בהמשך, משמעותו היא שגזירה של אות במרחב משפיעה בצורה ליניארית על מישור התדר, כך שהתדרים הגבוהים מקבלים אמפליטודה גבוהה עם עליית התדר) ולכן בעת מכפלה של הפונקציה המקורית ברכבת הלמים שהיא מחזורית, מישור התדר יתנהג כמו פונקציית ההלמים ויהיה מחזורי.
אפשר גם להסביר את זה מבחינה מתמטית מהעיקרון שמכפלה בזמן שקולה לקונבולוציה בתדר,
formula_59, והתמרת פורייה של רכבת הלמים שווה לרכבת הלמים (עם זמן מחזור שונה ואמפליטודה שונה), כך שהכפלת האות ברכבת הלמים בזמן יוצרת קונבולוציה של הספקטרום התדירותי של האות עם רכבת הלמים. מהעיקרון שקונבולוציה של כל פונקציה עם הלם משמעותה הזזה של הפונקציה למקומו של ההלם מתקבלת פונקציה מחזורית שכל מחזור בה הוא העתקה של הספקטרום התדירותי המקורי.
מהפיתוח המתמטי הזה עולה שאם דוגמים אות בזמן בדיד, החל מתדר דגימה מסוים (המכונה "תדר נייקוויסט") אפשר לשחזר את האות במלואו ללא איבוד שום מידע שהרי במישור התדר כל הספקטרום התדירותי של האות המקורי נשמר אלא ששוכפל אינסוף פעמים.
נשים לב שנוצרה פה תופעה מעניינת: דגימה בזמן שקולה למחזוריות בתדר. וגם להפך, אם ניקח אות אין סופי שערכו שווה ל0 החל מזמן מסוים (בערך מוחלט) ונבדוק מהי התמרת פורייה שלו, אחר כך נעשה הרחבה מחזורית של אותו האות כך שכדי לתאר אותו במישור התדר אנו צריכים לעבור לטור פורייה, נגלה שטור פורייה המתקבל הוא בדיוק דגימה של התמרת פורייה המקורית, הרחבה מחזורית בזמן שקולה לדגימה בתדר.
התמרת פורייה לאותות סופיים (או מחזוריים) בזמן בדיד (באנגלית: DFT).
עבור formula_51
המוגדרת על
formula_61
התמרת פורייה הבדידה (DFT) מוגדרת על ידי:
עבור
m=0,1...,M-1.
ההתמרה במקרה זה היא טרנספורמציה ליניארית חח"ע ממרחב ה-M-יות על עצמו.
התמרה זו היא ההתמרה היחידה בה הסכימה היא סופית, דבר שהופך אותה לשימושית מאוד עבור שימושי המחשב.
התמרה זו היא מאוד אינטואיטיבית להבנה, אם מסתכלים עליה מנקודת המבט של אלגברה ליניארית. למעשה, משמעות ההתמרה היא מעבר בין בסיסים ליניאריים.
מקובל לסמן את ההרמוניה הבסיסית
formula_63
על ידי סימון זה נרשום את מטריצת המעבר בין בסיס הזמן לבסיס התדר:
formula_64
מטריצה זו היא אוניטרית (עד כדי קבוע), הפיכה ומוגדרת חיובית. משמעות הדבר היא שבמעבר למישור התדר אין איבוד מידע (אפשר לחזור למישור הזמן על ידי הכפלה במטריצה ההפוכה) ואין שינוי באנרגיה (אוניטרית, הערכים העצמיים שווים ל-1 בערכם המוחלט).
כאשר עוברים למישור התדר מתקבל וקטור שמשמעותו הוא מהי האמפליטודה הנדרשת עבור כל הרמוניה כדי לבנות את אותו הווקטור כצירוף ליניארי של כל ההרמוניות (וזהו למעשה, ההרכב הספקטרלי של האות). ככל שיהיה יותר דגימות בזמן ,כך מימד המטריצה עולה. משמעות הדבר שהאות מיוצג על ידי יותר תדרים והרזולוציה בתדר עולה.
קשר בין DFT ל-DTFT והעיוות שנוצר ב-DFT
ניתן להסתכל על הווקטור הסופי שעליו מבצעים DFT בזמן כוקטור אינסופי שעליו מבצעים DTFT כאשר כל הדגימות שאינם הווקטור עצמו שוות ל-0. מבט זה מסביר תופעה של עיוות ספקטרלי שנוצרת ב-DFT. ניקח לדוגמה פונקציית קוסינוס פשוטה. התמרת ה-DTFT שלה היא "דלתא" בתדר, כלומר, היא מורכבת רק מתדר אחד.
אמנם אם נעבור לזמן סופי, הדבר שקול להכפלה של הקוסינוס ב"חלון", הקוסינוס מוכפל בפונקציה שמאפסת את כל מה שלא בתחום של פונקציה#תחום ההגדרה שלה.
כאשר עוברים למישור התדר ההכפלה בחלון הופכת לקונבולוציה עם ההתמרת פורייה של החלון (שהיא למעשה פונקציית sinc) ובמקום "דלתא" יפה בתדר מתקבלת "זליגת אנרגיה" בין תדרים סמוכים. כדי להתגבר על מכשול זה משתמשים ב (שינוי צורת החלון כך שיוריד את העיוות) או באלגוריתם "WOLA FFT" (ביצוע DFT על ממוצע של מספר חלונות)
תכונות.
ליניאריות.
התמרת פורייה והתמרת פורייה ההפוכה הן ליניאריות, כלומר:
על תכונות של העתקות ליניאריות ראו בערך העתקה ליניארית.
משפט פלנשרל וזהות פרסבל.
משפט פלנשרל קובע ש:
זהות פרסבל היא מקרה פרטי - אך שימושי ביותר - של משפט פלנשרל.
הפירוש של תכונה זאת היא שימור הנורמה, כלומר - היוניטריות של התמרת פורייה.
העקרון הפיזיקלי של זהות פרסבל הוא שסך האנרגיה של האות במישור הזמן שווה לסך האנרגיה במישור התדר.
קונבולוציה.
קונבולוציה מוגדרת באופן הבא:
התמרת פורייה מקיימת את הזהויות הבאות בקשר לקונבולוציה:
התכונות האלו של התמרת פורייה הופכות אותה לשימושית מאוד בחישובים מורכבים נומריים,
במקום לעשות קונבולוציה (שהיא למעשה סכימה על כל המרחב של הכפלות של פונקציות), נוכל להתמיר את הפונקציות למרחב פורייה ושם לכפול אותן פעם אחת ולהחזיר את התוצאה בהתמרה ההופכית.
ולעיתים רבות הדרך השנייה יותר מהירה חישובית.
נשים לב כי קונבולוציה כוללת 3 פעולות: שיקוף הזזה וסכימה (אינטגרציה) והפונקציה המתקבלת היא פונקציה של t כלומר התוצאה תלויה במידת ההזזה.
כמו כן התמרת פורייה כוללת הכפלה בformula_71 וסכימה כאשר מתקיימת הנוסחה formula_72, כלומר, ההזזה בזמן שקולה להכפלה באקספוננט בתדר. ומכאן נובע משפט הקונבולוציה.
הזזה בזמן.
formula_73
משמעות הדבר היא שהזזה במישור הזמן, משמעותה "סיבוב ליניארי" במישור התדר.
כדי להזיז פונקציה בשלמותה, צריך להזיז את התדרים שבה בלי לפגוע בשלמות הפונקציה. כדי לעשות זאת, צריך להזיז את התדרים הנמוכים יותר מהתדרים הגבוהים (בזמן שתדר ω זז מחזור שלם תדר 2ω זז 2 מחזורים).
נגזרת.
התמרת פורייה מתנהגת בצורה נוחה במיוחד ביחס לפעולת הגזירה.
מאחר שמותר להכניס את סימן הגזירה תחת האינטגרל, קל לראות ש
ולכן
כלומר, גזירה במרחב הזמן שקולה פשוט לכפל ב formula_76 במרחב התדר.
תכונה שימושית זו נובעת מכך שהפונקציה המעריכית היא פונקציה עצמית של אופרטור הגזירה, שכן
הכללה למספר ממדים.
ההכללה לפונקציות ב formula_78 ממדים היא מיידית.
אם formula_79 פונקציה אינטגרבילית לבג, אזי הפונקציה formula_80 נקראת "ההצגה של f במרחב וקטור הגל" ונתונה על ידי
וההתמרה ההפוכה מחזירה את הפונקציה המקורית ומוגדרת על ידי
כאשר:
טבלת התמרות שימושיות.
הטבלה הבאה מכילה מספר התמרות שימושיות. formula_87 ו formula_88 מציינות את ההתמרות של formula_32 ו formula_90 בהתאמה.
דייגו ארמאנדו מראדונה
קונפוציאניזם
קונפוציאניזם (סינית: 儒學, ) - "אסכולת המלומדים" היא פילוסופיה ומערכת ערכים מזרח-אסיאתית אשר במקור פותחה מכתבי קונפוציוס. עד אמצע המאה ה-20 הייתה זו דת המדינה בסין. הקונפוציאניזם היא אחת משלוש מערכות האמונה המרכזיות בתרבות הסינית, לצד הבודהיזם והדאואיזם.
הדת נוסדה במאה ה-5 לפנה"ס על ידי קונפוציוס. דת זו מדגישה את היותו של האדם טוב מטבעו ואת ההתנהגות המוסרית בין אדם לחברו. למרות המהפכה התרבותית היא עדיין משמשת בסין תפיסה מוסרית בסיסית.
מכיוון שקונפוציוס עשה שימוש רב בטאוטולוגיות ואנלוגיות על מנת להסביר את תורתו עשוי בתחילה אדם בעל תפיסה מערבית שלא להבין את ההיגיון העומד מאחורי המאמרות והמאחד אותן לכדי תורה אחת.
הקונפוציאניזם מהלך על הגבול הדק בין אסכולה פילוסופית לבין דת. חוקרים ואישים שונים במשך השנים הגדירו אותו בצורה שונה.
היסטוריה.
הקונפוציאניזם התהווה לראשונה במהלך חייו של קונפוציוס. לאחר מותו תועדו אמרותיו של קונפוציוס על ידי תלמידיו בקובץ הנקרא "המאמרות" (לון-יו) - קובץ זה מוכר כמייצג את חזונו. אף על פי כן מוטל ספק באמינותן של חלק מהאמרות, כמו גם באמרות נוספות המיוחסות לו ומופיעות במקורות אחרים. האמרות מובאות בצורות של קטעי שיחות בין קונפוציוס ותלמידיו, שאלות ותשובות וכן קטעים ביוגרפיים קצרים.
תורתו של קונפוציוס הכתה הדים ברחבי סין הקדומה. במהלך תקופת האביב והסתיו היא הייתה בעיקרה מערכת ערכים והגות אתית, אולם במהלך שושלת האן, התווספו מאפיינים מתחום המטאפיזיקה והקוסמולוגיה. שינוי זה, לצד שקיעתה של ה, הוביל לביסוס הקונפוציאניזם כדת. מאז הייתה הקונפוציאניזם דת המדינה הרשמית בסין.
נאו-קונפוציאניזם.