היבטים התנהגותיים.
רגשות ומצב רוח יכולים להשפיע על ההתנהגות של האדם.
כאשר אדם חש רגש, הדבר ימצא לרוב ביטוי בהתנהגות, כגון שינוי בהבעת פנים, דמע, תקיפה, בריחה. ניתן לומר שרגש הוא תבנית המארגנת התנהגויות. לעיתים אנו רוצים לחוות רגש מסוים, כגון השגת תענוג או הימנעות מכאב. במקרים כאלה ניתן לומר כי הרגש מהווה מוטיבציה, אשר מביאה אותנו לתאם סדרה של תגובות והתנהגויות על-מנת להגיע אל הרגש המבוקש.
מנגנונים פיזיולוגיים ועצביים.
המרכיב הבולט ברגש הוא התחושה הסובייקטיבית שאותה אנו "חשים". היות שתחושה זו היא סובייקטיבית, ייתכן כי אותו רגש נחווה שונה אצל בני אדם שונים. המחקר הראה כי לתחושה אישית זו נלוות גם עוררות פיזיולוגית, כלומר פעילות של איברים פנימיים כגון שינויים בלחץ הדם, בלחות העור ועוד. קיימת מחלוקת בין החוקרים בשאלה האם לכל רגש ישנו ביטוי פיזיולוגי נפרד.
בהתאם לכך, ניתן לתאר רגשות כגון אהבה, שנאה, אומץ, פחד, הנאה, עצב, גועל הן במונחים פיזיולוגיים והן במונחים פסיכולוגיים. למשל, רגש יכול להביא מבחינה פיזיולוגית לשינויים בקצב הלב, הזעה או התכווצות שרירים בפנים המביעים רגשות מסוימים. ואילו מבחינה פסיכולוגית, רגש יכול להביא להערכות מסוימות שהאדם עושה לגבי מצבו האישי, ולפעול לפי הערכות אלו, אפשר גם לזהות רגשות על-פי הזזת איברים כמו העיניים הפה ואפילו הגבות.
בעוד שההמיספרה השמאלית של המוח הגדול היא הדומיננטית בתפקודי השפה בקרב כ־90% מהאוכלוסייה,
ההמיספרה הימנית מעורבת בשליטה על הפרוזודיה ובהבעה וזיהוי של רגשות בטון הדיבור.
הרגש בעולם החי.
חוקרים שונים קבעו רשימות שונות של רגשות. שתי הרגשות המופיעים בכל הרשימות, ומאפיינים גם רגשות של בעלי חיים באופן כללי, הם כאב והנאה. שני רגשות אלו אינם נלמדים, ומופיעים גם אצל בני אדם הסובלים מלקות שכלית. רגשות נוספים שמיוחסים לבעלי חיים, הם למשל: פחד, שמחה, התרגשות, עצב, קנאה, כעס, תסכול ויאוש. במחקר שנעשה על חולדות, הוכנסו זוגות של חולדות לתוך תאים, כאשר אחת מהחולדות כלואה בתוך כלוב קטן ללא יכולת לצאת והשנייה חופשיה בתא. בניסוי אחד, החולדות למדו לפתוח את דלת הכלוב ועשו זאת מהר יותר (בממוצע כ-7 ימים) ובתכיפות גבוהה יותר (כ-75% מהחולדות), יחסית לניסוי הביקורת בו הכלוב היה ריק או הכיל חפץ בדמות חולדה. בניסוי שני, התא כלל כלוב נוסף שהכיל שוקולד. לאחר 6 ימים, חולדות פתחו דלת הכלוב בו הייתה החולדה הכלואה באותה תדירות שפתחו את דלת הכלוב שהכיל שוקולד. תוצאות המחקר פורשו כעדות להתנהגות אמפתית של החולדות, אך יש החולקים על פרשנות זו.
הבחנה בין רגש למושגים אחרים.
חוקרים רבים מבחינים בין תחושות לרגשות, כאשר תחושות מתייחסות למידע הנקלט בחושים. חלקם מאמינים שרגשות יכולים להתעורר באופן לא מודע, ולכן רגש הוא תופעה יותר כללית מהביטוי הסובייקטיבי של התחושות. תחושות יכולות גם להתייחס באופן מצומצם יותר לחוויה של השינויים הגופניים.
הבחנה נוספת מתמקדת בהבדל שבין רגש והגורם לרגש. למשל, האם מחשבות על אדם אהוב הן הגורמות לרגש האהבה או שמחשבות אלה הן חלק מהרגש עצמו? דרך אחת לפתור נושא זה היא לראות האם הרגש יכול לקרות באופן שאינו תלוי במחשבות אלה. לכן, מחשבות לגבי אדם או מצב מסוים יכולות שלא להיות חלק מרגש האהבה, היות שאדם יכול לחוות את אותו הרגש לגבי דברים רבים אחרים. אולם, האם ניתן לחוש אהבה ללא מחשבה כלשהי על מושא האהבה? אם התשובה לכך היא שלילית, נציין כי מחשבות על אובייקט נאהב הן חלק מהרגש עצמו. יש תאורטיקנים הטוענים שלפחות מספר רגשות יכולים להיגרם ללא כל מחשבה, או למעשה ללא פעילות קוגניטיבית כלל. הם מצביעים על תגובות מיידיות וגם על רגשות משוערים של תינוקות ובעלי חיים כהצדקה לטיעון זה. הוויכוח לגבי נקודה זו עדיין מתקיים והוא מייצג הבחנה מהותית בין מה שקרוי תאוריות "קוגניטיביות" של רגשות ותאוריות "שאינן קוגטיניביות" של רגשות, כאשר תאוריות שאינן קוגניטיביות של רגשות מתייחסות למרכיבים אחרים של רגשות, דוגמת תגובות גופניות, כמרכיבים מהותיים.
הבחנה נוספת וקשורה היא בין רגש ותוצאות הרגש, בעיקר התנהגויות וביטויים רגשיים. אנשים בדרך כלל מתנהגים בדרכים מסוימות כתוצאה ישירה של מצבם הרגשי, כמו בכי, רצון להילחם או לברוח. אך אם אדם יכול להרגיש רגש ללא ההתנהגות הנלווית, ניתן להתייחס להתנהגות כאל חלק שאינו מהותי ברגש עצמו. יש חוקרים המאמינים בגישה פונקציונליסטית לרגשות והם מצביעים על כך שרגשות התפתחו לצורך תפקוד מסוים, כמו למשל לשמור על ביטחונו של האדם. אם ההתנהגויות המשויכות לרגש הן הגורם הקובע לעצם קיומו של הרגש, הרי שהתנהגות מוכוונת מטרה צריכה להיחשב כמהותית לרגש עצמו. אך משום שאנו מכירים בכך שההתנהגות אינה צריכה בהכרח לקרות, אנו יכולים להסיק שרגשות מערבים מה שאנו קוראים "נטיות התנהגותיות". כך למשל, פחד מערב את הנטייה לברוח, והכוונה היא לכך שהסבירות לכך שאדם יברח ממצב מסוים גדלה כאשר הוא חווה פחד.
אטימולוגיה.
השורש ר.ג.ש. מופיע בתנ"ך שלוש פעמים בעברית, כולן בספר תהילים, ושלוש פעמים נוספות בארמית בספר דניאל. פרשני המקרא בדרך כלל פירשו את המילה במשמעות אספה והתקבצות. בתלמוד מוזכרת המילה גם במשמעות שימת לב, או זעזוע והשתנות.
אלגברה לא אסוציאטיבית
אלגברה לא אסוציאטיבית היא מבנה אלגברי המכליל אלגבראות אסוציאטיביות, בו לא נדרשת אקסיומת האסוציאטיביות. במילים אחרות, אלגברה לא אסוציאטיבית היא חוג לא אסוציאטיבי formula_1 שבמרכזו חוג קומוטטיבי formula_2.
באלגבראות אלו, תכונת האסוציאטיביות עשויה להתקיים גם כאשר היא אינה נדרשת על-פי האקסיומות, ולכן כל אלגברה אסוציאטיבית היא סוג של "אלגברה לא אסוציאטיבית". תכונות והגדרות בסיסיות רבות של אלגבראות אסוציאטיביות נשמרות גם במקרה הלא-אסוציאטיבי (כדוגמת הגדרת תת-אלגבראות, אידיאלים, אלגבראות פשוטות, משפטי האיזומורפיזם). עם זאת, תורת המבנה של אלגבראות לא אסוציאטיביות עשירה יותר מזו של האלגבראות האסוציאטיביות, ובאותו הזמן גם מסובכת יותר. תכונות מבנה בסיסיות של אלגבראות אלו ידועות, אך משפטי מבנה ומיון חזקים כבתורה האסוציאטיבית אינם בנמצא בתורה הלא אסוציאטיבית הכללית.
אלגבראות לי, אלגבראות ז'ורדן, אלגבראות אלטרנטיביות ואלגבראות מלצב כולן משפחות חשובות של אלגבראות לא אסוציאטיביות, שנחקרו רבות לאורך השנים. בכל אחד מן המקרים האלה מניחים אקסיומות אחרות במקום אקסיומת האסוציאטיביות, המזכות משפחות אלגבראות אלו בשם "אלגבראות כמעט אסוציאטיביות". במשפחות מוכרות רבות, ישנם משפטי מבנה בעלי אופי דומה לאלו שבתורה האסוציאטיבית.
הגרעין והמרכז.
הגרעין (nucleus) של אלגברה לא אסוציאטיבית A כולל את כל האיברים g המקיימים formula_3 לכל x,y, כאשר formula_4 הוא האסוציאטור; זוהי תת-אלגברה אסוציאטיבית של A. המרכז מוגדר כאוסף ה"איברים של הגרעין", המתחלפים עם כל האיברים ב-A.
אלגברת הפעולות של A היא תת-האלגברה formula_5 הנוצרות על ידי ההעתקות formula_6 לכל formula_7, כאשר formula_8 מקיימות formula_9 ו-formula_10. אלגברה זו פועלת על A, ויתרה מכך על כל אידיאל של A. אם A היא סוף-ממדית ופשוטה למחצה או פשוטה, אז גם אלגברת הפעולות מקיימת תכונה זו.
ה-centroid של A הוא המֵרָכֶז של formula_11 ב- formula_12; כאשר לאלגברה יש יחידה, המרכז איזומורפי ל-centroid, על ידי ההעתקה formula_13. עם זאת, באלגבראות פשוטות כלליות ללא יחידה, ה-centroid הוא מונח כללי יותר (שכן המרכז הוא אפס במקרה זה), והאלגברה נלמדת לעיתים כאלגברה מעל מבנה זה.
אידיאל האסוציאטור הוא האידיאל הנוצר על ידי האיברים formula_14, כלומר formula_15. זהויות המתקיימות בכל אלגברה לא אסוציאטיבית מבטיחות שהאידיאל שווה ל- formula_16.
נילפוטנטיות, פתירות ורדיקלים.
בדומה לתורה האסוציאטיבית, גם במקרה הלא אסוציאטיבי מוגדרים מונחי הנילפוטנטיות והפתירות, באופן המכליל את התורה המוכרת. בהינתן אלגברה לא אסוציאטיבית A, מגדירים באינדוקציה formula_17, ו- formula_18. ההגדרה של formula_19 "תופסת" את כל סידורי הסוגריים האפשריים.
האלגברה נקראת נילפוטנטית אם קיים formula_20 עבורו formula_21, ופתירה אם formula_22. המספר המינימלי המקיים את התכונה נקרא אינדקס הנילפוטניות ואינדקס הפתירות, בהתאמה. כל אלגברה נילפוטנטית היא ודאי פתירה. סכום של כל שני אידיאלים פתירים (בתור אלגבראות בפני עצמם) גם הוא אידיאל פתיר; כאשר האלגברה סוף ממדית, מוגדר הרדיקל הפתיר formula_23 של A, בתור האידיאל הפתיר המקסימלי שלה. אלגברת המנה formula_24 לא מכילה אידיאלים פתירים אמיתיים.
כמו בתורה האסוציאטיבית, הרדיקלים מהווים כלי מחקר של האלגבראות - ברגע שנמצא רדיקל מתאים formula_25 למחלקת האלגבראות, נחקרות האלגבראות הרדיקליות - המקיימות formula_26, והאלגברואת הפשוטות למחצה, המקיימות formula_27. הגדרת רדיקל כזה איננה פשוטה במקרה הכללי; כך למשל, הרדיקל הנילי לא מוגדר היטב באלגבראות לי (בהן תופס את תפקיד הרדיקל החשוב formula_23). רדיקל חשוב נוסף הוא רדיקל הפשטות, המוגדר בתור האידיאל המינימלי formula_29, כך שהאלגברה formula_30 מתפרקת לסכום ישר של אלגבראות פשוטות. רדיקל זה מוגדר לכל אלגברה סוף-ממדית, ומתלכד עם רדיקל הפתירות במשפחות שצוינו לעיל.
תבניות ביליניאריות.