לסכום הספרות הסופי של מספר שלם חיובי יש קשר ישיר לשארית החילוק ב-9 של אותו המספר. שניהם זהים – אם התוצאה היא בין 1 ל-8. השארית היא 0 אם ורק אם סכום הספרות הסופי של המספר הוא 9. ברישום מתמטי, תהיה formula_2 פונקציה המחזירה את סכום הספרות הסופי ויהיה formula_3 שלם חיובי; מתקיים:
formula_4
ניתן לרשום באופן שקול:
formula_5
הדבר נכון מפני שהסרת 9 ממספר לא משנה את סכום הספרות הסופי שלו, כאמור לעיל. לכן, ניתן להסיר 9 מהמספר ולחזור על הפעולה כמה פעמים שנדרש עד אשר נותר מספר חיובי שקטן מ-9, וזה מבלי לשנות סכום הספרות הסופי שלו. מספר זה הוא למעשה שארית החילוק ב-9.
פעולת סכום הספרות הסופי מגדירה יחס שקילות בקבוצת המספרים הטבעיים. יחס זה מתלכד עם זה שמוגדר על ידי החשבון המודולרי מודולו 9.
מבחן התחלקות ב-9.
השלכה מיידית מהתכונה המתוארת בפסקה לעיל היא שמספר שלם חיובי הוא כפולה של 9 (כלומר, המספר מתחלק ב-9 ללא שארית) אם ורק אם סכום הספרות הסופי שלו שווה ל-9.
הפרש בין מספר והיפוכו.
אחת מהתכונות שמתקבלות מההקשר לחילוק במודולו 9 היא כדלקמן: ההפרש בין מספר שלם חיובי כלשהו למספר שמתקבל מהיפוך סדר ספרותיו של אותו מספר הוא כפולה של 9.
לדוגמה, נתייחס למספר 87,654: formula_6.
הדבר נכון מפני שלמספר והיפוכו אותו סכום ספרות, ולכן הפרש המספרים מודולו 9 הוא 0. מכאן שההפרש מתחלק ב-9.
למעשה, הדבר נכון עבור ההפרש בין מספר לכל תמורה של ספרותיו, משום שתמורה אינה משנה את סכום הספרות. למשל: formula_7.
מבחן בדיקה של פעולות אריתמטיות.
ניתן להשתמש בסכום הספרות הסופי ובשיטת הסרת ה-9 על מנת לבדוק נכונות פעולות אריתמטיות בצורה פשוטה ומהירה.
השיטות המובאות כאן מבוססות על התכונות של חשבון מודולרי ומהעובדה (האמורה לעיל) כי סכום ספרות סופי שקול לחישוב מודולו 9.
חיבור.
נניח שברצוננו לבדוק האם formula_8. נחשב את סכומי הספרות הסופיים של formula_9, formula_10 ו-formula_11 ונקרא להם A, B ו-C, בהתאמה. אם סכום הספרות הסופי של formula_12 שונה מ-formula_13, אזי המשוואה formula_8 אינה נכונה. אחרת, ייתכן שהמשוואה נכונה.
דוגמה ראשונה:
האם 87,429 + 43,879 שווה ל-131,208? סכומי הספרות הסופיים הם formula_15, formula_16 ו-formula_17. אך formula_18 שונה מ-formula_13. לכן תוצאת הסכימה איננה נכונה.
דוגמה שנייה:
התבקשנו לחשב 3,452 + 56,786 וקיבלנו את התוצאה 60,238. האם התוצאה נכונה? סכומי הספרות הסופיים של שלושת המספרים בהתאמה הם formula_20, formula_21 ו-formula_22. נחשב עכשיו את סכום הספרות הסופי של formula_23 ואז נקבל 1, שזהה ל-formula_13. זה מחזק את ההשערה שתוצאת הסכימה נכונה (היא אכן נכונה).
כאמור, אם המבחן חיובי משמעות הדבר אינה כי הסכימה בהכרח נכונה. למשל, המשוואה formula_25 אינה נכונה, אך עוברת את המבחן בהצלחה. עם זאת, על מנת שזה יקרה חייבים לטעות בחישוב לפחות בשתי ספרות. מכאן שהסיכוי שהמבחן ייכשל הוא נמוך.
ניסוח שקול למבחן הוא כדלקמן: סכום הספרות הסופי של התוצאה חייב להיות זהה לזה של שרשור המחוברים. למשל, בהתייחס לדוגמה הראשונה לעיל, סכום הספרות הסופי של 60,238 חייב להיות זהה לסכום הספרות הסופי של 567,863,452 (שרשור של 56,786 ו-3,452). ואכן זה נכון.
המבחן נכון לא רק עבור סכימות של שני איברים, אלא גם עבור סכימה של מספר כלשהו של מספרים. כלומר, סכום הספרות הסופי של תוצאת הסכימה חייב להיות זהה לסכום הספרות הסופי של שרשור כל המחוברים.
חיסור.
אם ברצוננו לבדוק האם formula_26, ניתן לבדוק באופן שקול האם formula_27 נכון – דבר שאפשר לבצע בעזרת שיטת הבדיקה של חיבור המוצגת לעיל.
לחלופין, ניתן לחשב את סכומי הספרות הסופיים של formula_9, formula_10 ו-formula_11 (שוב נקרא להם A, B ו-C, בהתאמה), ולבדוק האם formula_31 זהה ל-formula_13. אם formula_31 קטן מ-1, אז מוסיפים 9 על מנת שהתוצאה תהיה בין 1 ל-9.
דוגמה: האם 93,748 פחות 48,308 שווה ל-45,440? סכומי הספרות הסופיים הם formula_34, formula_21 ו-formula_36. אך formula_37 קטן מ-1, ואז נוסיף 9 ונקבל את המספר 8. זה גם הערך של formula_13. זה מחזק את ההשערה שתוצאת החיסור נכונה (ואכן כך).
כפל.
מבחן הבדיקה בעזרת סכום הספרות הסופי עובד גם עבור פעולת הכפל. אם רצוננו לבדוק את המשוואה formula_39, נחשב את סכומי הספרות הסופיים של formula_9, formula_10 ו-formula_11 (שוב A, B ו-C), ונבדוק האם סכום הספרות הסופי של formula_43 זהה ל-formula_13.
דוגמה: עבור 3,748 × 1,039 = 3,894,172. סכומי הספרות הסופיים הם formula_34, formula_16 ו-formula_47. אז formula_48 וסכום הספרות הסופי הוא 7, שזהה ל-formula_13. לכן המשוואה עברה את המבחן בהצלחה.
כמו עבור הסכום, המבחן תקף גם כאשר מספר המספרים בפעולת הכפל גדול מ-2.
חילוק.
אם חילוק שלם formula_9 בשלם formula_10 שווה לשלם formula_11 עם שארית formula_53, אזי מתקיים formula_54 ומכאן שסכום הספרות הסופי של formula_55 זהה לזה של formula_56, כאשר formula_56, formula_58, formula_13 ו-formula_60 הם סכומי הספרות הסופיים של formula_9, formula_10, formula_11 ו-formula_53, בהתאמה.
בסיסים אחרים.
כל התוצאות המובאות למעלה מתייחסות לבסיס 10. אך ניתן להרחיבן עבור בסיס formula_10 כלשהו, כאשר מחליפים 9 במספר formula_66. הדבר הוא נכון מפני שבבסיס formula_10 הסרת formula_66 מהמספר שקול להעברת 1 מספרה אחת לשכנה ומכאן שסכום הספרות הסופי אינו משתנה.
לדוגמה, בבסיס 6 סכום הספרות הסופי של מספר שווה לשארית חילוקו ב-5, וניתן לחשב את סכום הספרות הסופי על ידי הסרת ספרות 5 או קבוצות ספרות שסכומן 5. למשל, שארית חילוקו ב-5 של המספר 324 הרשום בבסיס 6 (שקול ל-124 בבסיס 10) הוא 4. ניתן לחשב את סכום ספרותיו הסופי על ידי הסרת הספרות 2 ו-3, אשר סכומן שווה ל-5. ואכן נותרה רק הספרה 4. מבחני בדיקה של הפעולות האריתמטיות מורחבים אף הם בצורה דומה.
בבסיס בינארי סכום הספרות הסופי של כל מספר טבעי הוא 1.
הוועדה הלאומית המייעצת לאווירונאוטיקה
הוועדה הלאומית המייעצת לאווירונאוטיקה (באנגלית: National Advisory Committee for Aeronautics ובקיצור NACA) הייתה סוכנות פדרלית בארצות הברית שנוסדה ב־3 במרץ 1915 על מנת להוביל, לקדם ולמסד את המחקר האווירונאוטי בארצות הברית. ב־1 באוקטובר 1958, מכוח חוק האווירונאוטיקה והחלל הלאומי, פורקה הסוכנות, ונכסיה, תקציבה ועובדיה הועברו לידי מנהל האווירונאוטיקה והחלל הלאומי (נאס"א) שרק הוקמה. שם הסוכנות - NACA - היה מבוטא כל אות בפני עצמה ("אן. איי. סי. איי.") ולא כמילה אחת.
הקמה.
NACA החלה כאמצעי חרום במהלך מלחמת העולם הראשונה כדי לקדם את התאום התעשייתי־מדעי־ממשלתי בפרוקייטים צבאיים. היא נבנתה בדומה לסוכנויות אירופאיות בעלות תפקידים דומים, ובמיוחד על מבנה "הוועדה המייעצת לאווירונאוטיקה" הבריטית.
בדצמבר 1912 מינה נשיא ארצות הברית דאז, ויליאם הווארד טאפט, נציבות לאומית למחקרים אווירודינמיים, בראשותו רוברט אס. וודווארד, שהיה נשיא מכון קרנגי למדע. בינואר 1913 הועלה בפני הקונגרס של ארצות הברית חוק שימסד את הנציבות אך החוק לא אושר.
צ'ארלס דוליטל וולקוט, מזכיר מוסד הסמית'סוניאן בין 1907 ל־1927, לקח על עצמו את המאמץ, ובינואר 1915 הציגו הסנטור בנג'מין טילמן ונציג בית הנבחרים ארנסט וו. רוברטס הצעות חוק זהות שהמליצו על הקמת וועדה מייעצת כפי שהתווה וולקוט. לפי הצעת החוק, מטרת הוועדה המייעצת הייתה: "לפקח ולכוון את המחקר המדעי על בעיות התעופה במטרה למצוא פתרון מעשי להם, ולקבוע מה הן הבעיות אותם יש 'לתקוף' ניסויית ולדון בפתרונותיהם וביישומם בשאלות מעשיות". עוזר מזכיר הצי האמריקאי, פרנקלין דלאנו רוזוולט, כתב כי הוא "מאמץ בכל ליבו את העיקרון" עליו התבססה החקיקה. בעקבות כך הציע וולקוט להוסיף את ההצעה למסמך ההקצבות של הצי (Naval Appropriations Bill).
לפי מקור אחד, "חוק ייסוד NACA עבר כמעט ללא הבחנה, כרוכב על מסמך ההקצבות של הצי, שאושר ב־3 במרץ 1915". הוועדה החדשה, שמנתה 12 אנשים (שלא קיבלו תשלום), קיבלה תקציב של 5,000 דולר לשנה (כ־105,000 דולר בדולרים של שנת 2010).
נשיא ארצות הברית וודרו וילסון חתם על החוק באותו יום, שהיה היום האחרון לכהונת הקונגרס האמריקאי ה־63. החוק, בו נכתב כי: , ייסד רשמית את "הוועדה המייעצת לאווירונאוטיקה".
מחקר ב־NACA.
ב־20 בינואר 1920 מינה הנשיא וילסון את חלוץ התעופה אורוויל רייט לוועדה המייעצת. עד לתחילת שנות ה־20 אימצה לעצמה הוועדה משימה חדשה: קידום התעופה הצבאית והאזרחית באמצעות מחקר יישומי שצפה מעבר לצרכים שנדרשו אז. מהנדסי הוועדה ביצעו את המשימה באמצעות אוסף מנהרות הרוח המרשימות שהיו ברשותם, בדיקת מנועים במצב עומד, ומתקני טיסה ניסויית. לקוחות פרטיים וגורמים צבאיים יכלו גם הם להשתמש במתקני NACA, זאת על בסיס חתימת חוזים.
ב־1922 העסיקה NACA 100 עובדים, ועד 1938 עלה מספרם ל־426. בנוסף למשימות פורמליות, עודדו העובדים "להבריח" (לבצע) מחקרים לא־מורשים, ובלבד שלא יהיו "אקזוטיים" מידי. התוצאה הייתה שורה של פריצות דרך משמעותיות, ביניהם "חיפוי NACA" (שנות ה־30), "כנף NACA" (שנות ה־40) וחוק השטחים למטוסים על קוליים (שנות ה־50). "חיפוי NACA" משמש גם כיום במטוסים המתקדמים ביותר כגון ה־F-22 ראפטור.