הנורמה הסטנדרטית של שדה המספרים הממשיים, המוגדרת לפי formula_32, מגדירה גם את הערך המוחלט של מספר מרוכב, לפי אותה נוסחה בדיוק: formula_33. פונקציה זו, המהווה מטריקה ארכימדית על השדה, הופכת אותו למרחב נורמי שלם מעל שדה המספרים הממשיים.
על המספרים המרוכבים מוגדר הצמוד המרוכב, formula_34, שהוא אינוולוציה: formula_35 formula_36 ו- formula_37
פעולת ההצמדה היא אוטומורפיזם מסדר 2 של ההרחבה formula_38, היוצר את חבורת גלואה של ההרחבה הזו. תכונות האינוולוציה, ובפרט אי-שוויון המשולש formula_39, הופכות את המרוכבים לאלגברה כוכב (*-אלגברה).
הנורמה המרוכבת היא שורש ריבועי של הנורמה האלגברית, המוגדרת לפי formula_40, כלומר formula_41. הנורמה כפלית (formula_42), ושומרת על הצמוד: formula_43.
העובדה שהנורמה (של מספר שונה מאפס) תמיד חיובית מאפשרת לחלק בקלות מספרים מרוכבים: formula_44, ובמכנה של השבר הזה יש מספר ממשי. מכאן אפשר לקבל גם את הנוסחה המפורשת, formula_45.
הצגה קוטבית והמישור המרוכב.
אפשר להתאים את המספר המרוכב formula_46 לקואורדינטה הקרטזית formula_15 במישור formula_10. את המישור אפשר לתאר גם באמצעות קואורדינטות פולריות, הכוללות, עבור כל נקודה, את המרחק שלה מראשית הצירים ואת הזווית בין הקטע המחבר את ראשית הצירים לנקודה, לבין ציר ה-formula_49. הערך המוחלט של מספר מרוכב מייצג את מרחקו מראשית הצירים (ע"פ משפט פיתגורס), ואילו הזווית ניתנת לחישוב באמצעות פונקציית הטנגנס: formula_50 בעבור מספרים מרוכבים שנמצאים ברביע הראשון או הרביעי (כלומר formula_51), ואילו בעבור מספרים שנמצאים ברביע השני או השלישי (formula_52) הזווית היא formula_53 (שכן פונקציית tan מחזורית עם מחזור של formula_54).
למספרים מרוכבים עם חלק ממשי אפסי וחלק מדומה חיובי, הזווית (ארגומנט) היא formula_55 (זווית ישרה חיובית), ולמספרים מרוכבים עם חלק ממשי אפסי וחלק מדומה שלילי, הזווית היא formula_56.
בעבור המספר המרוכב 0, הזווית אינה מוגדרת (או לחלופין כל זווית היא לגיטימית).
הזווית של מספר מרוכב נקראת ארגומנט. נשים לב שאין למספר מרוכב רק ארגומנט יחיד - מרגע שנמצא ארגומנט, כל זווית אחרת שגדולה (או קטנה) ממנה בכפולה שלמה של formula_57 - גם היא ארגומנט. לכן, כאשר מדברים על הארגומנט של מספר מרוכב, נהוג לבחור את הזווית ששייכת לקטע formula_58 (ויש אחת כזאת, ורק אחת).
על כן, ההצגה הפולרית (הקוטבית) של מספר מרוכב z, היא: formula_59, כאשר r הוא המרחק מהראשית, ו-formula_60 הזווית ש-z יוצר עם ציר ה-x.
לפעמים משתמשים בקיצור formula_61. קיצור מקובל נוסף הוא
שנובע מתכונות פונקציית האקספוננט בעבור ערכים מרוכבים.
הריגה
הריגה היא גרימה למותו של יצור חי.
הריגת אדם מתרחשת בנסיבות מגוונות, ובהן:
במשפט הישראלי.
בישראל, עד 2019 "הריגה" הייתה אחת העבירות במדרג עבירות ההמתה, בין רצח בנסיבות מחמירות וגרימת מוות ברשלנות.
לפי סעיף 298 בחוק העונשין הישראלי הריגה הוגדרה כגרימה למותו של אדם במעשה או במחדל. היא הייתה שונה מרצח ביסוד הנפשי הדרוש להוכחה משפטית. על מנת להאשים בהריגה היה להוכיח מודעות בפועל או עצימת עיניים, אך לא כוונה תחילה. תקופת המאסר המרבית בגין הריגה בישראל היא 20 שנים.
עבירת ההריגה הופעלה בטווח רחב של מקרים, החל ממקרים הדומים לרצח, בהם התביעה התקשתה להוכיח את היסוד הנפשי של רצון להמית וכלה במקרים חמורים של רשלנות. בין אלו ניתן למנות נהיגה בשכרות או תחת השפעת סמים שהסתיימו במוות, קיום מרוץ מכוניות שהסתיים במוות והסעת שוהה בלתי חוקי שהיה מחבל מתאבד, כאשר בית המשפט קובע שהיו בפני המסיע סימנים מחשידים.
לא הכל שבעו נחת מההיקף הנרחב של עבירת ההריגה. נשיא בית המשפט העליון, אשר גרוניס, הוביל מהלך לצמצום תחולת עבירת ההריגה, כאשר בדיון נוסף הוביל את רוב השופטים לקביעה שנאשם בהשתתפות במרוץ מכוניות פיראטי בה נהרג אדם בתאונה בה הנאשם לא היה שותף, לא יורשע בהריגה. כחלק מנימוקיו כתב: .
בשנת 2007 הוקמה על ידי שר המשפטים דניאל פרידמן ועדה בראשות מרדכי קרמניצר לבחינת רפורמה במדרג עבירות ההמתה בחוק העונשין. הוועדה הגישה את מסקנותיה בשנת 2011 ושנה לאחר מכן הפיץ משרד המשפטים תזכיר חוק בנושא, אשר התבסס על מסקנות הוועדה. עם התפזרותה של הכנסת העשרים אושר בינואר 2019 תיקון 137 לחוק העונשין, אשר התבסס בחלקו על תזכיר החוק המקורי ושינה את מדרג עבירות ההמתה בזדון מן היסוד. כחלק מהרפורמה בוטלה עבירת ההריגה והוחלפה בארבע עבירות בדרגות חומרה שונות: הריגה שמתבצעת לאחר תכנון, בנסיבות טרור או בנסיבות מחמירות אחרות דינה מאסר עולם חובה, למעט במקרים מיוחדים. הריגה שנעשית בכוונה או תוך אדישות נחשבת כרצח () והעונש המרבי עליה הוא מאסר עולם; הריגה בעקבות מצוקה נפשית או התעללות נחשבת כ"המתה בנסיבות של אחריות מופחתת" () והעונש המרבי עליה הוא 20 או 15 שנות מאסר, בתלות בנסיבות; הריגה תוך קלות דעת נחשבת כ"המתה בקלות דעת" () והעונש המרבי עליה הוא 12 שנות מאסר. הרפורמה נכנסה לתוקף ביוני 2019.
הריגת בעלי חיים.
מחוץ להקשר המשפטי, המונח הריגה מתייחס באופן כללי לגרימת מותו של יצור חי, לרבות בעלי חיים. עם זאת – חקיקה (שבצדה ענישה) קיימת בארצות מסוימות אף בנוגע להמתת חיות מסוימות, ובעיקר חיות מחמד. בישראל מתייחסים כיום בתי המשפט בחומרה לגרימת מוות לחיות בנסיבות שלא כדין. בשנת 1994 עבר חוק צער בעלי חיים (הגנה על בעלי חיים), המגן על זכויות בעלי חיים, אולם מסייג ופוטר מהוראתו המתה במסגרת של ניסויים ולצורך מאכל. המינוח להריגת חיות כפרוצדורה רפואית הוא "הרדמה".
רבי מאיר בעל הנס
רבי מאיר בעל הנס הוא כינויו של עושה נפלאות הקבור בטבריה. הכינוי מופיע החל מהמאה ה-18, ובאופן מסורתי מקובל לזהות אותו עם התנא רבי מאיר, אך יש השוללים זיהוי זה. קברו, קבר רבי מאיר בעל הנס, הוא מוקד עלייה לרגל.
זהותו.
הייחוס המסורתי של הקבר לתנא רבי מאיר מבוסס על סיפור בתלמוד על נס שנעשה לתנא רבי מאיר, לפיו חיילים רומאיים שרדפו אחריו הוכו בסנוורים; הוא הבטיח לסוהר ששחרר את גיסתו מבית בושת, בו הוחזקה על ידי הרומאים כעונש, שיינצל אם יאמר "אלהא דמאיר ענני" והבטחתו התקיימה.
לעומת זאת, לדעת הרב ראובן מרגליות ואחרים אין רבי מאיר בעל הנס זהה עם רבי מאיר, לאור העובדה שמצייני הקברות בארץ ישראל ציינו גם את קבר התנא רבי מאיר וגם את קבר רבי מאיר בעל הנס. לדעת מרגליות, למעשה כלל לא היה תנא בכינוי כזה, ואין הוא אלא אגדה בעלמא. לדעתו, מקור האגדה על "רבי מאיר בעל הנס" נעוץ בעלייתו ארצה של הרמב"ן ופעולתו ליישוב הארץ ולאחזקת תלמידי חכמים. הוא משער שהיו אז קופות צדקה על שמו של הרמב"ן, וכאשר הגיעו ארצה בתקופה מאוחרת יותר מצאו את השם "קופות רמב"ן" ופתחו את ראשי התיבות בטעות כ"רבי מאיר בעל נס", וקראו על שם זה את קופות הצדקה.
ע"פ הגמרא רבי מאיר היה צאצא של נירון קיסר.
קופת רבי מאיר בעל הנס.
בשל סיפור הנס המוזכר בתלמוד שהובא לעיל, התפתחה אמונה עממית כי רבי מאיר הבטיח ישועות לכל מי שינדב צדקה לעניי ארץ ישראל לעילוי נשמתו. על כן, ישנם רבים שהולכים להתפלל בציוּן הנחשב לקברו, ותורמים כסף לצדקה. בפרט בי"ד באייר, פסח שני, נוצר מנהג לפקוד את קברו של רבי מאיר ולתת צדקה. מנהג זה החל לראשונה בשנת תרכ"ז (1867), אז הוקם בניין על קברו. לפי המנהג, בשעת נתינת הצדקה אומרים את ביטוי התפילה המופיע בסיפור התלמודי על הנס של רבי מאיר: "אלהא דמאיר עננו".
קהילות רבות אף החזיקו, ומחזיקות עד היום, "קופת צדקת רבי מאיר בעל הנס", המפורסמות והגדולות שביניהן הן:
יוסף שפרינצק
יוסף שְׁפְּרִינְצַק (שפרינצאק; 8 בדצמבר 1885 – 28 בינואר 1959) היה פוליטיקאי, פעיל ציוני, חבר הכנסת מטעם מפא"י, ויושב ראש הכנסת הראשון. כיהן כנשיא המדינה בפועל, כמחליפו של חיים ויצמן בשנים 1951–1952.
ביוגרפיה.
נולד במוסקבה שבאימפריה הרוסית, לדב בר שפרינצק ובלהה לבית וסרמן. לאחר גירוש יהודי מוסקבה ב-1891 עקרה משפחתו לקישינב, וממנה לוורשה.
השתתף, יחד עם יצחק גרינבוים, בארגון אגודת "התחייה" (1903), ולאחר מכן היה חבר הוועד המרכזי של ציוני ציון ברוסיה. בתקופה זו עבד בהוצאת הספרים "אחיאסף" וכתב בעיתונים עבריים ויידיים בוורשה.
ב-1904 נבחר למזכיר האזורי של ההסתדרות הציונית בגרודנו. ב-1905 שב לקישינב, והיה ממקימי "צעירי ציון".
החל ב-1908 שימש ציר בקונגרסים הציוניים. החל ללמוד רפואה באוניברסיטה האמריקנית בביירות, אך הפסיק את לימודיו ועלה לארץ ישראל (בשנת 1910), כדי לכהן כמזכיר הפועל הצעיר. הוא נישא לחנה והתגורר עמה בנווה צדק.
במלחמת העולם הראשונה היה בין מארגני פעולות העזרה ליישוב היהודי. לאחר המלחמה עמד בראש מפלגת "הפועל הצעיר" והשתתף בעריכת ביטאונה. נמנה עם מייסדי הסתדרות העובדים, והיה אחד מראשיה. בשנת 1930 היה ממייסדי מפא"י (שנוצרה על ידי איחוד מפלגת אחדות העבודה עם מפלגת הפועל הצעיר) ומאז שימש כאחד ממנהיגיה. כיהן מטעם מפלגת הפועל הצעיר ואחר כך מטעם מפא"י כחבר ההנהלה הציונית בירושלים, כראש מחלקת העבודה שלה ואחר-כך ראש מחלקת העלייה.
היה חבר באספת הנבחרים ובוועד הלאומי. בשנים 1949–1945 כיהן כמזכיר הכללי של ההסתדרות. בשנים 1949–1959 היה יושב-ראש הוועד הפועל הציוני. שבועות אחדים לאחר קום המדינה נבחר ליו"ר מועצת המדינה הזמנית.