יהי formula_1 מרחב וקטורי מעל שדה formula_2 ממאפיין שאינו 2 (מעתה ואילך). אלגברת הטנזורים (Tensor algebra) מעל formula_1 היא האלגברה החופשית formula_4, עם פעולת המכפלה הטנזורית formula_5 (ביחס לשדה formula_2).
אלגברת קליפורד של מרחב וקטורי formula_1 ותבנית ריבועית formula_8 היא formula_9, כלומר האלגברה החופשית ביותר בה הפעלת התבנית על כל איבר והעלאתו בריבוע מזוהים כאותו איבר.
אלגברת קליפורד ואלגברה חיצונית.
אלגברת קליפורד קשורה אלגברה חיצונית (Exterior algebra).
ראשית, אלגברה חיצונית formula_39 היא מקרה פרטי של אלגברת קליפורד, כאשר בוחרים את התבניות הריבועית האפסה - formula_40. אז מקבלים formula_41, וזו בדיוק התכונה (היחידה) שמתקיימת באלגברה חיצונית.
כאשר formula_42, יש איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים בין האלגברה החיצונית לאלגברת קליפורד, שאינו משמר את פעולת הכפל (פעולת הכפל ב-formula_43 עשירה יותר).
אלגברת קליפורד מהווה קוונטיזציה של האלגברה החיצונית ביחס לתבנית הריבועית.
תכונה אוניברסלית.
לפי בנייתה, לאלגברת קליפורד תכונה אוניברסלית, כלומר היא האלגברה הכללית ביותר המקיימת formula_44.
בניסוח מדויק, בהינתן אלגברה formula_45 בה מתקיים formula_46 (כאשר formula_1 משוכן ב-A על ידי הומומורפיזם formula_48), אז קיים הומומורפיזם אחד ויחיד formula_49, כך שהדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:
(כאשר formula_50 הוא השיכון formula_51).
במילים, זוהי האלגברה הכללית ביותר בעלת התכונה formula_44 - כל אלגברה אחרת בעלת התכונה הזו היא תמונה של אלברת קליפורד.
דירוג.
אלגברת קליפורד היא אלגברה formula_53-מדורגת.
נביט במיפוי formula_54. הוא משמר את formula_8, ולכן לפי התכונה האוניברסלית, הוא משרה מיפוי formula_56 המהווה אינוולוציה שריבועה הוא הזהות. לכן, אפשר לפרק לסכום ישר formula_57, כאשר formula_58 הוא קבוצת האיברים שנשארים במקום תחת ההומורפיזם, הנקרא לעיתים גם החלק הזוגי. מתקיים formula_59, ולכן זהו דירוג של האלגברה.
ניתן להוכיח כי formula_58 בעצמה איזומורפית לאלגברת קליפורד. במקרה formula_61 שדה המספרים המרוכבים, ניתן להראות מפורשות כי יש תבניות ריבועיות formula_36 כך ש-formula_63, כאשר formula_64 מרחב וקטורי מממד formula_50.
אלגברת קליפורד כאינווריאנט.
אלגברת קליפורד מהווה אינווריאנט של חוג ויט לחבורת בראואר.
ביתר פירוט, לפי הדוגמה האחרונה לעיל, המיפוי formula_66 של המחלקה של formula_8 ב-formula_68 (האידיאל של חוג ויט הנוצר מתבניות מסדר 4, או בשקילות מתבניות פיסטר מסדר 2), לחבורת בראואר מוגדר היטב ומהווה הומומורפיזם חוגים, זאת משום שבנוסחא בדוגמה 4 לעיל הדיסקרימיננטה אדישה לתבניות מ-formula_68.
לפי משפט, מההומומורפיזם הנ"ל נובע איזומורפיזם formula_70, לתת החבורה של חבורת בראואר מפיתול 2.
טענה זו היא בסיסית וחשובה בחקר המנות של שרשרת האידיאלים בחוג ויט - formula_71. בנושא זה ראו גם תורת K של חוגים.
אברהם בן רמב&quot;ם
פונקציית נראות
בסטטיסטיקה, פונקציית הנראות (או באופן פשוט הנראות) היא פונקציה של הפרמטרים של מודל סטטיסטי אשר תלויה בנתונים. "הנראות" של קבוצת ערכי פרמטרים, θ, בהינתן קבוצת תצפיות X, שווה להסתברות המשותפת של אותן תצפיות בהינתן ערכי קבוצת הפרמטרים. כלומר, formula_1.
פונקציות נראות משחקות תפקיד מפתח בהסקה סטטיסטית, במיוחד בשיטות שמבצעות אמידה של פרמטר מתוך קבוצה של סטטיסטים. בהקשרים לא פורמליים, משתמשים לרוב במילה "נראות" בתור מילה נרדפת ל"הסתברות". אבל בשימוש סטטיסטי, ישנה הבחנה על פי התפקידים של התצפיות או של הפרמטרים שאותם אומדים. המילה "הסתברות" באה לידי ביטוי כאשר מתארים פונקציה של התצפיות בהינתן פרמטר שנקבע מראש. לדוגמה, אם מטילים מטבע הוגן 10 פעמים, מה ההסתברות שיצא עץ בכל ההטלות? לעומת זאת, במילה "נראות" משתמשים כאשר מתארים פונקציה של פרמטר נתון בהינתן אוסף תצפיות. לדוגמה, אם הטלנו מטבע 10 פעמים ויצא לנו בכל ההטלות עץ, מהי "הנראות" (או הסבירות) שהמטבע הוא הוגן?
הגדרה.
פונקציית הנראות מוגדרת באופן שונה עבור מרחב הסתברות בדיד ועבור מרחב הסתברות רציף.
מרחב הסתברות בדיד.
יהי formula_2 משתנה מקרי במרחב הסתברות בדיד עם פונקציית הסתברות formula_3 המותנה בפרמטר אותו אנו רוצים לאמוד formula_4. אז הפונקציה:
formula_5
היא פונקציה של formula_4, ונקראת פונקציית הנראות של formula_4 בהינתן אוסף נתונים formula_8 שמתקבל על ידי המשתנה המקרי X.
לפעמים, ההסתברות של הערך x שמקבל X עבור הפרמטר formula_4 נכתבת formula_10; לעיתים קרובות נרשום formula_11 לומר שערך זה הוא אינו הסתברות מותנית, כיוון ש-formula_4 הוא פרמטר ולא משתנה מקרי.
מרחב הסתברות רציף.
יהי formula_2 משתנה מקרי במרחב הסתברות רציף עם פונקציית צפיפות formula_14 המותנה בפרמטר אותו אנו רוצים לאמוד formula_4. אז הפונקציה:
formula_16
היא פונקציה של formula_4, ונקראת פונקציית הנראות של formula_4 בהינתן אוסף נתונים formula_8 שמתקבל על ידי המשתנה המקרי X. לפעמים, פונקציית הצפיפות של ערך x מתוך X מסומנת על ידי formula_20 אבל לא אמורה להיחשב כפונקציית צפיפות מותנית.
לוג נראות.
עבור יישומים רבים, הלוגריתם הטבעי של פונקציית הנראות הנקרא "לוג–נראות", יותר נוחה לעבודה. פונקציית הלוגריתם היא פונקציה מונוטונית עולה, ולכן הלוגריתם של פונקציה מקבל ערך מקסימלי באותן נקודות כשל הפונקציה עצמה, ולכן הלוג-נראות יכולה לשמש (ואף קלה יותר לשימוש) במקום נראות באמידת נראות מקסימלית ובטכניקות דומות. מציאת מקסימום של פונקציה לרוב כרוך בלקיחת הנגזרת של פונקציה ופתרון עבור מקסום הפרמטר, במקרים רבים זה קל יותר כשהפונקציה שממקסמים היא לוג-נראות מאשר פונקציית הנראות המקורית.
לדוגמה, פונקציות נראות מסוימות הן עבור הפרמטרים המסבירים אוסף של תצפיות בלתי תלויות הסתברותית. במקרה זה, פונקציית הנראות מסתכמת למכפלה של פונקציות נראות אינדיבידואליות. לוגריתם של המכפלה הזאת הוא סכום של לוגריתמים של הפונקציות הנפרדות, והנגזרת של סכום היא במקרים רבים קלה יותר לחישוב מנגזרת של מכפלה. בנוסף, למספר התפלגויות נפוצות יש פונקציית נראות המכילה מכפלה של גורמים המכילים אקספוננטים. לוגריתם של פונקציה כזו, הוא סכום של מכפלות, ושוב קל יותר לגזירה מאשר הפונקציה המקורית.
בפילוגנטיקה, יחס הלוג-נראות לעיתים נקרא "תומך" ופונקציית לוג-נראות נקראת "פונקציית התומך". לעומת זאת, לאור פוטנציאל הבלבול הגבוה עם המשמעות המתמטית של תמיכה, טרמינולוגיה זו לרוב לא בשימוש בתחום זה.
היסטוריה.
המושג האנגלי המקביל לנראות הוא likelihood, בתרגום מילולי "סבירות". מושג זה שימש להערכת רמת האמונה המיוחסת להשערות שונות על פי מידע חלקי, בתחומים כגון משפט והימורים, ללא הגדרה מתמטית פורמלית.
ההבחנה בין "נראות" שהיא פונקציה של פרמטר או השערה, לעומת "הסתברות" שהיא פונקציה של מאורע או תצפית, נקבעה על ידי רונלד פישר בספרו "על היסודות המתמטיים של התאוריה הסטטיסטית" מ-1922. בספר זה הוצגה גם שיטת האמידה לפי נראות מקסימלית, שהיא אחד הכלים המרכזיים בהסקה סטטיסטית.
ארץ קואטס
ארץ קואטס (באנגלית: Coats Land) היא חבל ארץ באנטארקטיקה, המשתרע מערבית לארץ המלכה מוד ומהווה את החוף המזרחי של ים ודל.
האזור מתמשך בכיוון כללי צפונית-מזרחית-דרומית-מערבית בין '00 20° מערב ו-'00 36° מערב.
היסטוריה.
גילוי האזור.
את החלק הצפון-מזרחי גילה מעל סיפון ה"סקוטיה" ויליאם ספירס ברוס, מפקד המשלחת הסקוטית הלאומית לאנטארקטיקה, 1904–1902.
מקור השם.
ברוס נתן לארץ שהתגלתה את השם "ארץ קואטס" לכבוד סר ג'יימס קואטס הבן ומייג'ור אנדרו קואטס, שני התומכים העיקריים במשלחת.
2015 בישראל
2015 בישראל (ה'תשע"ה – ה'תשע"ו) היא השנה בה ציינה מדינת ישראל 67 שנים להקמתה.
אירועים בולטים.
הסכסוך הישראלי-פלסטיני.
בשנת 2015 ובעיקר במחצית השנייה שלה חלה הסלמה באירועים ובתקריות האלימות במסגרת הסכסוך הישראלי-פלסטיני. בשנה זו כבקודמות לה, היו פיגועי טרור רבים מצד הפלסטינים, כאשר בעיקר נפוצו פיגועי דקירה, פיגועי דריסה, יידוי בקבוקי תבערה ואלפי מקרים של יידוי אבנים במה שכונה "טרור עממי" על ידי שירות הביטחון הכללי. רבים מהפיגועים אירעו באזור ירושלים. בתשרי ה'תשע"ו (ספטמבר-אוקטובר) חלה הסלמה בטרור הפלסטיני שהתבטאה בנוסף לטרור היומיומי בירושלים ואיו"ש גם ברצח 11 ישראלים וסדרת פיגועי דקירה בתוך הקו הירוק ומהומות אלימות מצד הפלג הצפוני של התנועה האסלאמית.
רקס ולהיים
רקס ג'וזף ולהיים (באנגלית: Rex Joseph Walheim; נולד ב-10 באוקטובר 1962) הוא אסטרונאוט בנאס"א, קולונל לשעבר בחיל האוויר האמריקאי. הוא שהה בחלל 566 שעות בשלוש משימות חלל - STS-110, STS-122, STS-135.
נולד בקליפורניה בשנת 1962 וגדל בסן קרלוס. סיים תואר ראשון בהנדסת מכונות באוניברסיטת קליפורניה בברקלי בשנת 1984. בשנת 1989 סיים תואר שני בהנדסת תעשייה וניהול באוניברסיטת יוסטון.
בשנת 1984 החל לעבוד בחיל האוויר של ארצות הברית ובאפריל 1985 הוצב בדקוטה הצפונית. שנה לאחר מכן הועבר למרכז החלל ג'ונסון ביוסטון, טקסס. הוסמך כאסטרונאוט בשנת 1996.
פרש מנאס"א באוגוסט 2020.
חוקי מקסוול
מרילין ווס סוואנט
מרילין ווס סוואנט (באנגלית: Marilyn vos Savant; נולדה ב-11 באוגוסט 1946) היא בעלת טור במגזין, סופרת, מרצה ומחזאית אמריקאית אשר עלתה לתהילה באמצעות רישומה בספר השיאים של גינס תחת "בעלת ה-IQ השלישי הגבוה ביותר."