המצווה כללית פירושה יסוד ומגמה בתורה, שעדיין אין בה גדרי חיוב, אלא ערך וייעוד, שאדם מצווה להזדהות עימה ולהשתדל לקיימה ככל יכולתו. וסמכו אותה חכמים על הפסוק: , וקראו לזה בקיצור 'לשבת'. אבל אין הכוונה שתוקף המצווה מדברי נביאים בלבד, אלא שהנביא פירש עניינה, שהיא יסוד היסודות, שכל העולם כולו נברא למענה, ובה האדם משתתף עם הקב"ה בקיום העולם בצד הממשי של החיים, כאשר השותפות הרוחנית היא בלימוד התורה. ועל כן רק לשם שתי מצוות אלו מוכרים ספר תורה. ולכן חייבו לשחרר עבד שחציו בן חורין, כדי שיוכל להתחתן וללדת. ואף שיש איסור תורה לשחרר עבד כנעני, כיוון שהיא מצווה כללית כוחה גדול והתירו לעבור על לאו מהתורה כדי לקיימה, מה שלא היו מתירים עבור מצווה רגילה. והמצווה הכללית שייכת לגברים ולנשים כאחד, ומה שנפסק להלכה שנשים אינן חייבות במצוות פרו ורבו, הכוונה רק לצד של החובה הפרטית, אבל המצווה הכללית, שהיא יותר חשובה, שייכת לנשים ולגברים כאחד. ולכן בשעת הצורך מוכרים ספר תורה כדי להשיא אשה כמו איש. ולדעת רוב הראשונים מוכרים ספר תורה גם עבור מי שכבר קיים חובת פרו ורבו מהתורה, שכן למצווה הכללית אין גדרים והיא מתקיימת בכל ילד וילד שמולידים, בין אם הוא ילד יחיד ובין אם הוא הילד העשירי. וכ"כ רמב"ן. וכ"כ האלף לך שלמה. גם הוראת הגירושין לבני זוג שבמשך עשר שנים לא נולד להם ילד, היא מפני המצווה הכללית בלבד, אבל לשם קיום המצווה הפרטית לא היו מחייבים זאת. ולכן מי שיש לו בן או בת, גם אם לא קיים את חובת המצווה הפרטית בבן ובת, אינו צריך להתגרש.
גיל חובת המצווה.
אף שבגיל שלוש עשרה מתחייב הנער בכל המצוות, אמרו חכמים שזמן הנישואין לאיש הוא בגיל שמונה עשרה ולא יאוחר מגיל עשרים, משום שעליו להתכונן לקראת האתגר הגדול של הקמת המשפחה בשני תחומים: לימוד יסודות התורה ומציאת פרנסה.
לימוד התורה נחוץ לפני העמדת צאצאים כדי שיעצב את תפישת עולמו וידע לנהוג כהלכה. וזהו שאמרו חכמים: . וכן אמרו חכמים שיש להקדים לימוד תורה לנשיאת אשה, שאם ישא אשה תחילה, עול הפרנסה עלול למנוע ממנו ללמוד תורה כפי הראוי לו. וכן נפסק בשולחן ערוך: .
באותן השנים שלמדו את יסודות התורה, הקדישו חלק מהיום לעבודה, כדי לסייע לאב ובתוך כך ללמוד את המלאכה שממנה יוכל להתפרנס, וכדי לבנות בית ולחסוך כסף לרכישת אמצעים לצורכי פרנסה. וכן למדו חכמים מסדר הפסוקים (דברים כא, ה-ז): . . ואף שלמה אמר בחכמתו : . וכן כתב הרמב"ם:
לפיכך הורו חכמים לדחות את נישואי הגברים לגיל שמונה עשרה, והזהירו שבכל אופן לא ידחו אותם מעבר לגיל עשרים. אמרו חכמים: , לשון קללה, על שאינו מקיים את מצוות פרו ורבו. וכן אמרו חכמים (קהלת רבה ג, ג): .
בנוסף לכך אמרו חכמים: , מפני שכל עוד הוא יודע שכאשר יגיע זמנו יתחתן ויאהב את אשתו כגופו, גם אם הוא נכשל לעיתים בהרהורי עבירה והוצאת זרע לבטלה, הוא יודע שהדבר אינו ראוי, וכשיגיע לנישואיו ישמור את כל תשוקתו לאשתו. אבל כאשר רווקותו נמשכת מעבר לזמן, הוא מתייאש מיכולתו להתגבר עליו ונכנע ליצרו הרע ומתרגל לספק את יצרו בעבירה, ולכן אף לאחר שיתחתן וישמור נאמנות לאשתו, יתקשה להינצל מהרהורי עבירה, כי הם כבר הפכו לחלק ממנו. ורק אם ישוב בתשובה גדולה מאהבה יוכל לתקן עצמו. והיו שקיבלו עזרה מההורים, או שהיו מוכשרים במיוחד, ויכלו להתחתן בגיל צעיר יותר, והיה בכך שבח. וכפי שאמר רב חסדא על עצמו, שעדיפותו על חבריו אינה מפני כשרונותיו או צידקותו אלא מפני שזכה להתחתן בגיל שש עשרה, ומתוך כך למד תורה בטהרה בלא שיצר הרע יתגרה בו. ואילו היה מתחתן בגיל ארבע עשרה, היה כל כך שמור מהיצר עד שהיה יכול להתגרות בשטן בלא פחד שמא יחטיאו.
מתי יוצא ידי חובה.
בכל ילד שאדם זוכה להוליד הוא מקיים מצווה גדולה מאוד מהתורה, אלא שהתורה קבעה כמצווה מחייבת שיוליד כל אדם מישראל בן ובת. במשנה יש מחלוקת כמה ילדים יש להוליד כדי לצאת ידי חובת מצווה זו. בית שמאי סוברים שיש להוליד שני זכרים. ואילו בית הלל סוברים שיש צורך בבן ובת, וסומכים זאת על הפסוק הסמוך: "זכר ונקבה ברא אותם", וכן ההלכה. לפי גרסה אחרת, המחלוקת הייתה האם צריך בן ובת, או שמספיק או בן או בת. גם לפי בית הלל וגם לפי בית שמאי הכוונה לילדים שיוכלו לקיים את המצווה בעצמם, כלומר ילדים פוריים. וחכמים הוסיפו כמצווה מחייבת שיוליד עוד ילדים. החיוב בריבוי ילדים נועד להבטיח את קיום החובה מהתורה, ולעודד את הערך העצום של חיי אנוש.
נראה שיש שתי מדרגות במצוות חכמים: הראשונה, חובה השווה לכל נפש, כארבעה עד חמישה ילדים. השנייה, מצווה להוסיף עוד ילדים, כל זוג לפי כוחו. היסוד לחלוקה זו, במה שמצינו במקרים רבים שקבעו חכמים את מצוותם כדוגמת המצווה מהתורה, וכיוון שהתורה קבעה כחובה להוליד שני ילדים, יש מקום לומר שהחובה מדברי חכמים היא להוסיף עוד שני ילדים. ואולי אפשר אף לומר שהחובה היא שיהיו שני בנים ושתי בנות, ואזי ברוב המקרים יצטרכו להוליד לשם כך חמישה ילדים. וכן אנו מוצאים שמקובל אצל רוב המשפחות הדתיות, שמשתדלות להתאמץ שיהיו להם לפחות ארבעה עד חמישה ילדים.
הרי שאף שבכל ילד וילד שבני הזוג מולידים הם מקיימים מצווה גדולה מהתורה, יש בגדרי חיוב המצווה שלוש מדרגות:
המשכיות הצאצאים.
גם מי שזכה להוליד בן ובת, עדיין אינו יכול להיות בטוח, שיזכה להיות שותף במגמה הכללית של המצווה, היינו שמשפחתו תימשך דרך בנו ובתו. כי אולי אחד מילדיו ימות, או יתברר שהוא עקר, או יישאר רווק כל ימיו. וזהו שאמר רבי יהושע: , שנאמר . הרמב"ם הבין שמדובר במצווה של ממש מדברי חכמים: מנגד, יש ראשונים שהגדירו זאת כמנהג דרך ארץ וישוב העולם. מתוך מחלוקת זו יש שהציעו שעד 4–5 ילדים יש לראות את המצווה כמחייבת, ומכאן ואילך כמנהג דרך ארץ שיש לקיימו לפי הנסיבות והרצון האישי.
ערך החיים.
ערכם העצום של החיים שמתגלים בכל נפש ונפש, וכפי שמבואר בתורה שריבוי הילדים הוא מצווה וברכה, שנאמר לאדם וחוה: . וכן נאמר: , . וכן נאמר לאברהם אבינו: , וליצחק אבינו: , וליעקב אבינו: . וכן בפסוקי הברכה: . וכן בברכת משה לעם ישראל: . וכן על הגאולה נאמר: , .
נשואים עשר שנים ללא ילדים.
הנשואים עשר שנים ללא ילדים צריכים למצוא פתרון במסגרת ההלכה לקיום מצוות פרו ורבו. בעבר ניתן היה לבחור בין שתי חלופות: גירושין או נישואין עם אישה נוספת. לאחר שפשטה תקנת רבנו גרשום שלא לשאת שתי נשים, נותרה רק אפשרות הגירושין כלגיטימית.
מקור הדין.
המשנה במסכת יבמות דנה במצוות פרו ורבו, וקובעת כך:
התלמוד מבחין ברמז להלכה זו כבר בסיפור המקראי אודות שרי והגר:
דינים והיתרים.
אם נולד לבני הזוג ילד אחד, ועברו עשר שנים מאז לידתו - הרדב"ז סובר שעליהם להתגרש, כיוון שלא קיימו מצוות פריה ורבייה. אמנם, הרמב"ן והרשב"א סוברים שאין עליהם חובה להתגרש, כיוון שקיימו את המצווה הכללית להביא צאצא לעולם. וכך פסקו מעיל צדקה, ערוך השולחן ופניני הלכה.
אם אחד מבני הזוג היה חולה, או שנפרדו לפרק זמן ארוך בשל נסיעה - זמני החולי והפרידה אינם נספרים למניין עשר שנים. כמו כן, אם בני הזוג חיו בחוץ לארץ ועלו לארץ ישראל - מתחילים לספור את 10 השנים רק ממתי שעלו לארץ, כיוון שייתכן וזכות הארץ תועיל עבורם. דין זה למדו חכמים משרי, שנתנה את הגר לאברם .
כתבו הריב"ש והרמ"א שלמעשה לא נהוג לאכוף על זוג שלא נולד להם ילדים הלכה זו.
נאה דורש נאה מקיים
נאה דורש נאה מקיים היא אמרת חכמינו זכרונם לברכה הדנה בהתאמה בין הצהרותיו של אדם, לבין מעשיו, ומובנה הפשוט הוא "לא רק שהוא דורש (מלשון דרשה) יפה/כראוי [=נאה דורש] אלא הוא גם מקיים את אותם רעיונות יפים/ראויים שהוא דורש [=נאה מקיים]". נהוג להשתמש בה כשבח למי שתוכו כברו, ובהיפוכה כביקורת על מי שמעשיו אינם הולמים את הכרזותיו: "נאה דורש ואין נאה מקיים".
בתוספתא מסופר על בן עזאי, שלא היה נשוי, שאמר שמי שאיננו עוסק בפרייה ורבייה הרי הוא כמי ששופך דמים. על זה אמר לו רבי אלעזר בן עזריה, .
בהקשר אחר מסופר בתלמוד על רבן יוחנן בן זכאי שתלמידו רבי אלעזר בן ערך דרש לפניו בדרך במעשה מרכבה:
שדה המספרים הרציונליים
שדה המספרים הרציונליים (או: השדה הרציונלי) הוא האוסף של כל השברים (כגון formula_1), יחד עם פעולות החיבור והכפל הרגילות. באופן זה, אוסף השברים מהווה שדה סדור, שאבריו הם כל המספרים הרציונליים. כיוון שכל מספר רציונלי הוא מנה של שני מספרים שלמים, מסמנים את השדה ב-formula_2, האות הראשונה במלה Quotient (מנה באנגלית).
formula_2 הוא השדה הקטן ביותר ממאפיין אפס: כל שדה שבו המספרים הטבעיים שונים זה מזה מכיל עותק של formula_2, ולכן אפשר להתייחס לכל שדה ממאפיין אפס כאל הרחבה של השדה הרציונלי. כאשר ממד ההרחבה סופי, איבריו של השדה הם כולם אלגבריים מעל השדה הרציונלי, והוא נקרא שדה מספרים.
באופן פורמלי, בונים את formula_2 כשדה שברים של חוג המספרים השלמים (ראו מערכות מספרים).
כתת-שדה של השדה הממשי, השדה הרציונלי הוא קבוצה צפופה בת מנייה. השדה הממשי, אם כך, הוא מרחב ספרבילי.
בנייה פורמלית.
נגדיר יחס שקילות על formula_6 כך: formula_7 אם ורק אם formula_8. נראה שזהו אכן יחס שקילות:
קבוצת המנה של יחס שקילות זה תסומן formula_20 - קבוצת המספרים הרציונליים. את מחלקת השקילות formula_21 נסמן formula_22. את מחלקת השקילות formula_23 נזהה עם המספר השלם formula_24. כך קיבלנו שקבוצת המספרים השלמים חלקית לרציונליים.
נגדיר פעולות חיבור וכפל:
נראה שההגדרות לא תלויות בנציגים, כלומר אם formula_27 וכן formula_28, אז formula_29 וכן formula_30.
נראה כי הפעולות מקיימות את אקסיומות השדה: