בשנת 1764 ואט נשא לאשה את בת דודתו מרגרט (פגי) מילר (Miller). לזוג נולדו חמישה ילדים, ושניים מהם הגיעו לבגרות: מרגרט (1767–1796) וג'יימס ואט ג'וניור (1769–1848). מרגרט האם מתה בעת לידה ב-1773. ב-1777 נישא ג'יימס ואט בשנית לאן מקגרגור (MacGregor), ביתו של יצרן צבעים מגלזגו. מנישואין אלה נולדו שני ילדים נוספים: גרגורי (1777–1804), לימים גאולוג ומינרולוג, וג'נט (1779–1794). אן הלכה לעולמה ב-1832.
בשנת 1767 ואט הצטרף לשורות הבונים החופשיים בסניף גלאזגו של הארגון.
בין השנים 1777 ו-1790 ג'יימס ואט התגורר בבירמינגהם.
ואט ובולטון מונצחים על שטרות 50 לירות שטרלינג, שהונפקו בשנת 2010.
יפת בן עלי
תחום שלמות
באלגברה מופשטת, תחום שלמות הוא חוג חילופי עם יחידה כפלית שאין בו מחלקי אפס (כלומר: אם formula_1, אז בהכרח formula_2 או formula_3). בין הדוגמאות החשובות ניתן למצוא כל חוג שאיבריו הם מספרים ממשיים, ומכאן חשיבותה של המשפחה הזו בתורת המספרים האלגברית.
תחומי שלמות ושדות.
כל שדה הוא תחום שלמות, משום שהאברים השונים מאפס כולם הפיכים, ולכן לא ייתכן ש-ab=0 כאשר a,b אינם אפס. מכיוון שהאיסור על קיומם של מחלקי אפס עובר בתורשה לתת-חוגים, כל תת-חוג של שדה הוא תחום שלמות. בין הדוגמאות הטבעיות לתחומי שלמות שאינם שדות אפשר למצוא את חוג המספרים השלמים, ואת חוג הפולינומים עם מקדמים משדה formula_4, אותו מסמנים ב- formula_5.
גם ההפך נכון: כל תחום שלמות מהווה תת-חוג של שדה, הנקרא "שדה השברים" של התחום. שדה השברים כולל את כל המנות formula_6 של איברים בחוג שבהן המכנה אינו אפס. למשל, שדה השברים של formula_7 הוא שדה המספרים הרציונליים formula_8, בעוד ששדה השברים של חוג הפולינומים הוא שדה הפונקציות הרציונליות formula_9. הבניה של שדה השברים מתוך התחום הנתון היא דוגמה למיקום (לוקליזציה).
בתחום שלמות, אוסף האיברים שאינם אפס סגור לכפל, ולכן מהווה מונואיד עם צמצום: אם formula_10 אז formula_11. כל מונואיד סופי עם צמצום הוא חבורה, ולכן תחום שלמות סופי הוא שדה.
יחס החלוקה בתחומי שלמות.
עבור תחום שלמות קבוע formula_12, אומרים שאיבר formula_13 מחלק את האיבר formula_14 אם קיים איבר formula_15 כך ש-formula_16 (זוהי הכללה של ההגדרה הרגילה במספרים שלמים). כל איבר מחלק את formula_17, ו-formula_18 מחלק כל איבר. איבר המחלק את formula_18 נקרא איבר הפיך (למשל: בחוג השלמים האיברים ההפיכים הם formula_20. בשדה, כל האיברים הם הפיכים פרט לאפס). איברים המחלקים זה את זה נקראים "ידידים".
איבר של החוג נקרא "אי-פריק", אם לא ניתן לכתוב אותו בצורה formula_21 כאשר formula_13 ו-formula_14 אינם הפיכים. ישנו סוג מיוחד של איברים אי-פריקים, הנקראים "ראשוניים". איבר ראשוני הוא איבר שאינו יכול לחלק מכפלה formula_21 בחוג, מבלי לחלק לפחות את אחד הגורמים שלה. ראשוני מוכרח להיות אי-פריק (אם אפשר לפרק את הראשוני formula_25 בצורה formula_26 אז formula_25 מוכרח לחלק את אחד הגורמים, למשל את formula_13, ואז יוצא ש-formula_14 הפיך), אבל ישנם איברים אי-פריקים שאינם ראשוניים (ראה דוגמאות בהמשך).
שתי ההגדרות מכלילות את ההגדרה הרגילה למספרים ראשוניים (לפי הלמה של אוקלידס, בחוג המספרים השלמים איבר הוא ראשוני אם ורק אם הוא אי-פריק, והמספרים בעלי תכונה זו הם המספרים הראשוניים הרגילים).
דוגמה: בתחום-השלמות formula_30, האיבר formula_31 אי-פריק, אבל אינו ראשוני (הוא מחלק את 10 אבל לא את הגורמים 2 או 5).
מחלקות של תחומי שלמות.
התכונות של איברים אי-פריקים וראשוניים באות לידי ביטוי כשבוחנים את תהליך הפירוק לגורמים של איבר נתון formula_13. אם formula_13 אי-פריק, סיימנו לפרק אותו; אחרת, אפשר לכתוב את formula_13 כמכפלה של איברים אחרים, ולהמשיך לפרק כל אחד מהם. בחוגים מסוימים (בעיקר חוגים נותריים) מובטח שהתהליך יעצר, בדיוק כפי שהתהליך של פירוק מספר שלם לגורמיו חייב להעצר.
בסופו של פירוק כזה כתבנו את formula_13 כמכפלה של איברים אי-פריקים (חוג שבו תמיד קיים פירוק כזה נקרא אטומי). לרוע המזל, (ולא כמו במספרים השלמים), פירוק כזה אינו חייב להיות יחיד. (דוגמה: המספרים formula_36 בחוג formula_37 שהוגדר לעיל הם כולם אי-פריקים, והנה formula_38, שני פירוקים שונים לאותו מספר).
מתברר שאם הגורמים האי-פריקים בפירוק הם כולם ראשוניים, אז אין פירוקים אחרים (פרט לזה שאפשר להחליף גורם בידיד שלו, ולערבב את הגורמים ביניהם). תחום שלמות שבו כל איבר ניתן לפירוק כמכפלה של אי-פריקים, וזה ניתן להעשות באופן יחיד, נקרא תחום פריקות יחידה. בחוג כזה כל איבר אי-פריק הוא גם ראשוני.
ישנו תנאי המבטיח פריקות יחידה: תחום שלמות formula_12 שבו כל אידיאל הוא אידיאל ראשי (כלומר מהצורה formula_40), נקרא תחום ראשי. כל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה, אבל ההפך אינו נכון (דוגמה: חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה הוא תחום פריקות יחידה שאינו ראשי). לתחום ראשי יש ממד קרול 1, כלומר, כל אידיאל ראשוני שונה מאפס הוא מקסימלי.
כל חוג אוקלידי הוא תחום ראשי, וכל תחום ראשי הוא חוג דדקינד. כל חוג דדקינד הוא תחום שלמות נותרי וכל תחום שלמות נותרי הוא אטומי. בדיאגרמה משמאל מוצג סריג של מחלקות חשובות של תחומי שלמות: תחומי דדקינד, תחומי פרופר, תחומים ראשיים, תחומי פריקות יחידה, תחומי בזו, תחומים אטומיים, תחומים בעלי gcd, ועוד. השילוב של שתי תכונות הוא התכונה החלשה ביותר שחזקה משתיהן; כך למשל תחום פרופר נתרי הוא תחום דדקינד, תחום בזו אטומי הוא ראשי, וכן הלאה.
מודולים מעל תחומי שלמות.
חוג חילופי הוא ראשוני אם ורק אם הוא תחום שלמות. תחום שלמות פשוט הוא שדה. תחום שלמות שאינו שדה לא יכול להיות חוג ארטיני.
מעל תחום ראשי, כל מודול נוצר סופית הוא סכום ישר של מודולים ציקליים. זוהי הכללה של משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית, ושל הפירוק של מטריצות לבלוקי ז'ורדן.
בדיאגרמה משמאל מוצגות כמה משפחות עיקריות של מודולים מעל תחום שלמות formula_37: אידיאלים של formula_37, אידיאלים שבריים (תת-קבוצות מהצורה formula_43 של שדה השברים, כאשר formula_44 איבר של החוג ו-formula_45 אידיאל שלו), ומודולים כלליים: חופשיים, פרויקטיביים, שטוחים וחסרי פיתול. החצים השחורים מסמנים גרירה לוגית של תכונה אחת לאחרת. החצים הצבעוניים מאפיינים מחלקה של תחומי שלמות: תחום שלמות מקיים את אחד החצים הכחולים אם ורק אם הוא דדקינד, ואז הוא מקיים את כולם; וכן לתחומי פרופר, בזו ולתחומי שלמות נתריים.
מודולים ופיתול.
איבר (שונה מאפס) formula_46 במודול מעל תחום שלמות formula_37 הוא מפותל אם קיים סקלר שונה מאפס formula_13 כך ש-formula_49. המודול מפותל אם כל אבריו מפותלים, וחסר פיתול אם אף איבר שלו אינו מפותל. המודול formula_50 מפותל אם ורק אם formula_51 כאשר formula_4 הוא שדה השברים של formula_37. כל מודול מהצורה formula_54 הוא חסר פיתול, משום שזהו מרחב וקטורי.
מודול הוא חסר פיתול אם פעולת הכפל בכל סקלר שונה מאפס היא חד-חד-ערכית; וחליק אם פעולת הכפל בכל סקלר שונה מאפס היא על. מודול מעל תחום שלמות R נקרא h-חליק אם הוא מנה של מודול אינג'קטיבי. כל מודול h-חליק הוא חליק. מודול חליק וחסר פיתול הוא אינג'קטיבי, ולכן h-חליק.
כל מודול מהצורה formula_55 הוא h-חליק. המודול R עצמו חסר פיתול, ואינו חליק (אנו מניחים ש-formula_56). כמודול, F הוא חליק וחסר פיתול, וממילא גם אינג'קטיבי. מודול המנה formula_57 הוא מפותל ו-h-חליק, אבל בדרך כלל אינו אינג'קטיבי (אם formula_37 תחום דדקינד אז כל מודול חליק הוא אינג'קטיבי).
מודול נקרא מצומצם (reduced) אם אין לו תת-מודולים חליקים (פרט ל-0), ו-h-מצומצם אם אין לו תת-מודולים h-חליקים. כל מודול מצומצם הוא h-מצומצם. גם כאן, המושגים מתלכדים עבור מודולים חסרי פיתול.
עבור כל מודול formula_50, התמונה של ההומומורפיזם הטבעי formula_60 (השולח את formula_61 ל-formula_62) היא תת-המודול ה-h-חליק המקסימלי של formula_50. בפרט, formula_50 הוא h-מצומצם אם ורק אם formula_65.
הפונקטור Ext ממיין הרחבות של מודולים. בפרט, formula_66 אם ורק אם כל סדרה מדויקת קצרה formula_67, מתפצלת. המודול A אינג'קטיבי אם ורק אם formula_68.
מודול formula_50 הוא קו-מפותל (cotorsion) אם formula_70. במקרה כזה formula_71. כל מודול קו-מפותל הוא h-מצומצם. לכל מודול h-מצומצם formula_50, formula_73 הוא המודול הקו-מפותל הקטן ביותר המכיל את formula_50.
הדואליות בין המושגים הללו באה לידי ביטוי במשפט הבא. עבור R-מודול formula_50, נסמן formula_76 (המודול formula_77 תמיד קו-מפותל; אם formula_50 חסר פיתול, או h-מצומצם, אז formula_79). נסמן formula_80 (המודול formula_81 תמיד מפותל; אם formula_50 מפותל, או חליק, אז formula_83). כעת:
יש מודולים מפותלים שהם קו-מפותלים. מודול formula_50 הוא קו-מפותל בחזקה אם formula_94 לכל formula_95. מודול קו-מפותל בחזקה הוא קו-מפותל. אם קיים סקלר formula_13 שונה מאפס כך ש-formula_97, אז formula_50 מפותל, וקו-מפותל בחזקה.
הכללות.