המחצית הראשונה התנהלה באופן שקול ללא מצבים מיוחדים, וכבר במחצית הראשונה נשלפו חמישה כרטיסים צהובים, שלושה מתוכם לשחקני הולנד. בדקה ה-27 פגע נייג'ל דה יונג בצ'אבי אלונסו בבעיטה בחזהו, ולמרות טענות שחקני ספרד, הווארד וב שלף כרטיס צהוב בלבד. במחצית השנייה הגיעו שחקני שתי הנבחרות למספר הזדמנויות. בדקה ה-62 וסלי סניידר מסר לאריין רובן שבמצב של אחד על אחד מול שוער ספרד איקר קסיאס, בעט כדור שקסיאס הצליח להדוף עם הרגל. מהצד השני, סרחיו ראמוס נשאר פנוי לנגיחה לאחר הגבהת קרן אך לא מצא את המסגרת. בסיום 90 הדקות, התוצאה עמדה על 0-0, והמשחק עבר להארכה.
בדקה ה-105 הוחלף קפטן הולנד, ג'ובאני ואן ברונקהורסט, וסרט הקפטן עבר לרפאל ואן דר וארט, שנכנס כמחליף שש דקות קודם לכן. בדקה ה-109, ביצע ג'ון הייטינחה עבירה מאחור, שחייבה את השופט לשלוף לו את הכרטיס הצהוב השני ולהרחיק אותו מהמשחק.
בדקה ה-115 קיבלה הולנד כדור חופשי, אותו בעט וסלי סניידר. הכדור פגע בססק פברגאס שעמד בקצה החומה, אך השופט לא העניק קרן להולנד אלא פסק על כדור שוער. בהתקפה שהתפתחה מכדור השוער, הכדור הגיע לפברגאס, שמסר לאנדרס אינייסטה שהיה פנוי בצד ימין בתוך הרחבה. אינייסטה בעט את הכדור הקופץ לפינה הרחוקה של מארטן סטקלנבורג, וקבע את תוצאת המשחק, 1-0 לספרד. עם כיבוש השער הסיר אינייסטה את חולצתו וחשף חולצה לבנה עם הכיתוב: "דני חארקה תמיד איתנו" (בספרדית: "Dani Jarque siempre con nosotros"), לזכרו של קפטן אספניול שנפטר מהתקף לב שנה מוקדם יותר, והיה חברו הקרוב.
לאחר המשחק.
עם סיום המשחק החליפו שחקני ספרד את חולצותיהם לחולצות האדומות הקלאסיות של הנבחרת, עליהם כבר הוטבע כוכב מעל הסמל, המסמל את הזכייה בתואר. הם יצרו משמר כבוד בצורת שני טורים שביניהם עלו שחקני הולנד לקבל את מדליות המקום השני. לאחר מכן, עלו שחקני ספרד לקבל את מדליות הניצחון, כשצ'אבי הוביל את השחקנים, והקפטן קסיאס, לפי המסורת, עלה אחרון, קיבל את הגביע מנשיא דרום אפריקה ג'ייקוב זומה ונשיא פיפ"א ספ בלאטר, והניף את גביע העולם הראשון בתולדות ספרד.
שחקן מצטיין: אנדרס אינייסטה
שופט: הווארד וב
קוונים: דארן קאן, מייקל מולארקי
שופט רביעי: יואיצ'י נישימורה
סינאורניתוזאור
משפט הרבע של קוב
באנליזה מרוכבת, משפט הרבע של קוב (Koebe quarter theorem) קובע כי התמונה של מעגל היחידה תחת פונקציה אוניוולנטית formula_1 מכילה כדור ברדיוס formula_2. פונקציית קוב היא דוגמה לפונקציה שממקסמת את הטענה, ולכן לא ניתן לשפרה. המשפט נקרא על שם המתמטיקאי פאול קוב (Paul Koebe).
ניסוח.
תהי formula_3 פונקציה אוניוולנטית, כלומר פונקציה הולומורפית וחד חד ערכית, כאשר formula_4 הוא מעגל היחידה. משפט הרבע של קוב טוען כי התמונה formula_5 מכילה כדור ברדיוס formula_2 סביב formula_7.
הוכחה.
על ידי תהליך נרמול ניתן להניח כי formula_8, כלומר formula_9. לכל formula_10, נגדיר formula_11; היא גם אוניוולנטית ב-formula_12. לפי משפט דה ברנז' על formula_13 עבור formula_14, נקבל formula_15, לכן formula_16, כדרוש.
פונקציית קוב.
הגדרה ותכונות.
פונקציית קוב היא הפונקציה ההולומורפית formula_17 הנתונה על ידי formula_18. זוהי פונקציה חשובה במיוחד, שכן היא מהווה דוגמה לטענות רבות. ראשית, היא ממקסמת את משפט הרבע של קוב - מתקיים formula_19 ו-formula_20.
פונקציית קוב ממקסמת גם את משפט דה ברנז', הטוען כי המקדמים formula_21 בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית מקיימים formula_22.
בנייה גאומטרית.
את פונקציית קוב ניתן לבנות כהרכבת פונקציות באופן הבא.
נביט בפונקציה formula_23. זוהי העתקה קונפורמית. הפונקציה formula_24 מעבירה את formula_12 לכל המישור המרוכב בלי הקרן formula_26. כעת, נבצע את תהליך הנרמול על formula_24 ונקבל את פונקציית קוב - formula_28.
במילים אחרות, פונקציית קוב נבנית מפונקציה קונפורמית בין מעגל היחידה למישור בלי הקרן השמאלית, עליה מפעילים את תהליך הנירמול.
זג צהוב-מקור
זג צהוב-מקור (שם מדעי: "Pyrrhocorax graculus") הוא מין של עוף ממשפחת העורביים. בתי הגידול המועדפים עליו הוא הרים גבוהים. תחום התפוצה של הזג מתפרש מספרד מזרחה, לאורך דרום אירופה וצפון אפריקה לכיוון מרכז אסיה, הודו וסין, וכולל גם את ישראל. זגים צהובי-מקור מסוימים נצפו מקננים ברום גבוה יותר מכל מין עוף אחר שתועד. ביצי הזג מותאמות לסביבות עם מחסור בחמצן. התאמות אלה, בין השאר, מייעלות את אספקת החמצן לתוך הביצה ומפחיתות את איבוד המים ממנה.
טקסונומיה.
הזג צהוב-המקור תועד לראשונה כ-"Corvus graculus," על ידי לינאוס, בחיבורו "Systema Naturae" משנת 1766. הוא הועבר לסוג "Pyrrhocorax" על ידי האורניתולוג הבריטי מרמדוקה טונסטאל, בחיבורו "Ornithologia Britannica" משנת 1776. בנוסף לזג צהוב-המקור, טונסטאל העביר גם את הזג אדום-המקור לסוג זה. הזגים נחשבו בעבר כקרובים ביותר לעורבים מהסוג "Corvus", במיוחד למינים מתת-המשפחה Coloeus (שכוללת בין השאר את הקאק); אך מחקרים ב-DNA ובכרומוזום b הוכיחו שהסוג "Pyrrhocorax" נפרד מוקדם יחסית משאר מיני העורביים.
שמו המדעי של הסוג, "Pyrrhocorax", הוא הלחם של המילים πύρρος ("פורהוס"), "בצבע להבה", וκόραξ ("קוראקס"), "עורב"; משמעות שמו המדעי של המין, "graculus", היא "קאק" בלטינית." "שמו האנגלי של הזג (Cough) היווה במקור שם אונומטופיוני לקאק. הזגים אדומי-המקור, שהיו נפוצים בקורנוול, כונו באנגלית קורנוולית "Cornish chough" (קאק קורנוולי); השם השתנה במהלך הזמן ל-chough.
הפליאונתולוג המוראבי פרדיננד סטוליקזה, טען שהאוכלוסייה של הזג באזור ההימלאיה מהווה תת-מין שלישי, "P. g. forsythi", אך הצעתו לא נתקבלה; אוכלוסייה זו נכללת כיום בתת-המין "P. g. digitatus". מאובן שנמצא באירופה מזכיר מאוד במבנהו את הזג צהוב-המקור, ולעיתים הוא ממויין כ-"P. g. vetus".
תת-מינים.
ישנם שני תת-מינים:
תיאור.
כל גופו של הזג הבוגר שחור בוהק. מקורו צהוב, עיניו חומות-כהות ורגליו אדומות. הזכר זהה במראהו לנקבה, למרות שהוא גדול ממנה במעט. צבע גופם של זגים צעירים דהוי יותר, צבע מקור צהוב דהוי ורגליהם חומות. הזג צהוב-המקור קטן מעט מהזג אדום-המקור: אורכו כ-37 עד 39 ס"מ, אורך זנבו כ-12 עד 14 ס"מ, ומוטת כנפיו היא כ-75 עד 85 ס"מ; זאת למרות שזנבו ארוך יותר וכנפיו קצרות יותר מאלה של אדום-המקור.
הפרטים מתת-המין "P. g. digitatus" גדולים מעט מהפרטים מתת-המין השלט - משקלם כ-191–244 גרם, לעומת 188–252 אצל תת-המין "P. g. graculus"; בנוסף, רגליהם חזקות יותר. ממצאים אלה מתאימים לכלל ברגמן, שטוען שתת-המינים או המינים הגדולים יותר של בעלי חיים יהיו באזורים קרים יותר, או ברום גבוה יותר. גפיו של הזג, מקורו ועצמות שורש הרגל שלו גדולים יותר באזורים חמים, מה שעולה בקנה אחד עם כלל אלן. הטמפרטורה היא הגורם המשפיע החשוב ביותר על השוני בין תכונות גופם של הזגים השונים.
קריאות ה"פריייפ" ו"סוויוווו" של הזג שונות מהקריאות האופייניות יותר למיני העורביים, "צ'ייי-אווו", שאותן משמיעים הקאק והזג אדום-המקור. הוא גם משמיע קריאת אזהרה, "צ'וווור", וכמה שריקות וציוצים שמושמעים על ידי זגים שנחים או אוכלים.
הזג צהוב-המקור הוא מעופף מצוין, והוא מבצע לעיתים סיבובים, התהפכויות וצלילות מסוגננות, שבמהלכן הוא מקפל את כנפיו, צולל כלפי הקרקע ונוסק למעלה ברגע האחרון. הוא נצפה מעופף בגבהים שמעל 8,000 מטרים מגובה פני הים. במחקר של צלילי זגים באזור הפלארקטי, נמצא שיש יחס הפוך בין תדירות הקול של הזגים לבין גודל גופם; משמע, קולם של זגים שגופם קטן גבוה יותר.
תפוצה ובית גידול.
הזג צהוב-המקור מצוי ומתרבה באזורים הרריים. תחום התפוצה שלו מתפרש מספרד מזרחה, לכיוון דרום אירופה והאלפים; משם הוא ממשיך דרך מרכז אסיה והרי ההימלאיה למזרח סין. קיימות גם אוכלוסיות של זגים בכרתים, קורסיקה ומרוקו. האוכלוסיות, לכל אורך תחום התפוצה שלו, אינן נודדות; אך ידוע שלזגים במרוקו יש מושבה במאלאגה שבדרום ספרד. בנוסף, פרטים משוטטים נצפו בצ'כוסלובקיה, גיברלטר, הונגריה וקפריסין. בישראל הזג הוא חורף נדיר, ונצפה רק באזור החרמון.
הזג מצוי בגבהים של כ-1,260–2,880 מטרים מעל גובה פני הים באירופה, של כ-2,880–3,900 מטרים מעל גובה פני הים במרוקו, ושל כ-3,500–5,000 מטרים מעל גובה פני הים בהרי ההימלאיה. תועד זג צהוב-מקור שקינן בגובה של כ-6,500 מטרים מעל גובה פני הים, גבוה יותר מכל מין עוף אחר, אפילו מהזג אדום-המקור, שהתזונה שלו אינה מותאמת היטב לחיים בגבהים כאלה. זגים נצפו גם על ידי מטפסים בהר האוורסט, ברום של כ-8,200 מטרים מעל גובה פני הים. הוא מקנן בדרך כלל בחרכים ובסדקים בצוקים, למרות שהוא עשוי להשתמש גם בחללים בין סלעים במישורים.
הזגים מחפשים אוכל בעיקר במדרונות הרריים ובמישורים אלפיניים, מעל או מתחת לקו העצים (הקו בהר, שמסמן את המקום הגבוה ביותר בו עצים יכולים לגדול). בחורף, הם מתקהלים ליד ישובים, אתרי סקי, מלונות ומקומות נוספים שנבנו עבור תיירים.
התנהגות.
רבייה.