ב־1914 הציג קניג את מאמרו הראשון הקשור לנושא, "Sur un probléme de la théorie générales des ensembles et la théorie des graphes", ב־"קונגרס לפילוסופיה מתמטית" בפריז. המאמר עצמו פורסם תשע שנים אחר־כך. במאמר ניגש קניג להוכחתו של ברנשטיין מכיוון של תורת הגרפים במקום תורת הקבוצות וכך נתן הכללה שתוצאתו של ברנשטיין היא מקרה פרטי שלה. ב־1916 פרסם בגיליון ה־77 של הMathematische Annalen את מאמרו השני בנושא — "Über Graphen und ihre Anwendung auf Determinantentheorie und Mengenlehre". במאמר זה זנח קניג לחלוטין את השפה של תורת הקבוצות ונתן הוכחה לתוצאה מקבילה של משפט ברנשטיין בגרפים.
ב־1926 פרסם קניג יחד עם סטפן ולקו בגיליון ה־95 של כתב העת Mathematische Annalen את המאמר "Über mehrdeutige Abbildungen von Mengen" הכולל את ההכללה של משפט ברנשטיין שלשמה הם נדרשו ללמה עצמה, ובמיוחד את המקרה הפרטי שלה בנוגע לעצים. מעט לאחר מכן פרסם קניג לבד את המאמר "Sur les correspondances multivoques des ensebles" ובו חזר לשפת תורת הקבוצות כדי "לא להזדקק לשום אינטואיציה גאומטרית", אך גם, כפי שהתוודה מאוחר יותר, כדי להתאים עצמו לסגנון של כתב העת Fundamenta Mathematicae. הלמה מופיעה במאמר זה בצורה הבאה: "תהא formula_16 סדרה בת מנייה של קבוצות לא ריקות, ויהיה formula_17 יחס כך שלכל איבר formula_18 של כל קבוצה formula_19 קיים לפחות איבר אחד formula_20 בתוך formula_21 כך ש־formula_22 לכל formula_23. אזי אפשרי לבחור מכל formula_21 איבר formula_25 כך שמתקיים formula_26 עבור סדרה אינסופית formula_27".
ב־1927 פרסם קניג את המאמר "Über eine Schlussweise aus dem Endlichen ins Unendliche" ולראשונה הלמה עצמה הייתה הנושא המרכזי בו. במאמר מופיעים שלושה נוסחים של הלמה — הראשון בנוסח תורת הקבוצות השאוב מהמאמר מ־1926, ושניים בלשון תורת הגרפים:
כדי להדגיש את החשיבות של הלמה עצמה מחוץ להקשר של משפט ברנשטיין קניג ציין 4 יישומים של הלמה:
הקשר לאינטואיציוניזם.
משפט הפריסות הפיניטריות (The fan theorem) של בראואר הוא, מנקודת מבט של המתמטיקה הקלאסית היפוך לוגי של גרסה חלשה של הלמה של קניג. תת-קבוצה formula_48 של formula_49 נקרא "חסם" (bar) אם לכל פונקציה מ־formula_50 אל הקבוצה formula_51 יש קטע התחלתי ב־formula_48. חסם הוא "בר־הפרדה" (detachable) אם כל רצף סופי הוא או בחסם או שאינו בחסם (הנחה זו הכרחית כי במתמטיקה אינטואיציוניסטית כלל השלישי מן הנמנע לא תמיד נכון). חסם הוא "אחיד" (uniform) אם קיים מספר טבעי formula_44 כך שלכל פונקציה מ־formula_50 אל הקבוצה formula_51 (רצף אינסופי, הנקרא גם "אלמנט"), יש קטע התחלתי בחסם באורך שלא עולה על formula_44. משפט הפריסות הפיניטריות של בראואר טוען שכל חסם בר־הפרדה הוא גם אחיד.
המשפט ניתן להוכחה בשיטות קלאסיות כאשר רואים בחסם כיסוי פתוח של המרחב הטופולוגי הקומפקטי formula_49. כל רצף בחסם הוא קבוצה פתוחה במרחב (הקבוצה היא כל מה שמתחיל ברצף הזה). מההנחה, זהו כיסוי של כל המרחב. מקומפקטיות, יש לכיסוי תת-כיסוי סופי. את formula_44 נוכל לבחור בתור אורך הרצף הגדול ביותר מבין הרצפים המתאימים לתת-הכיסוי הסופי שבחרנו. כאמור, ההוכחה שקולה להוכחת גרסה חלשה של הלמה של קניג: לכל מספר טבעי formula_59, לכל תת-עץ אינסופי של formula_60 יש מסלול אינסופי. נשים לב כי ההוכחה שנתנו כמו גם ההוכחה שניתנה למשפט הכללי, אינה קונסטרוקטיבית. בהוכחה מעלה, הסיבה היא שבכל שלב יש שימוש בהוכחה על דרך השלילה כדי למצוא את הקדקוד השכן הבא במסלול. החשיבות של משפט הפריסות הפיניטריות הוא בכך שהוא התקבל (בין אם כאקסיומה או על ידי הוכחה קונסטרוקטיבית מעקרון קודם) באסכולות הקונסטרוקטיביות ובאינטואיציוניזם בפרט כלגיטימי ובכך איפשר עבודות רבות באנליזה קונסטרוקטיבית.
הקשר לאקסיומת הבחירה.
הלמה של קניג שקולה לגרסה מוחלשת של אקסיומת הבחירה — עקרון הבחירה התלויה. בהוכחת הלמה, בכל שלב באינדוקציה נבחר קדקוד המקיים תכונה מסוימת, ואמנם בהכרח קיים קדקוד אחד כזה לפחות, אך אם יש יותר מאחד אין בחירה טבעית בין הקדקודים האפשריים. אם הגרף הוא בן מנייה, אזי ניתן למנות את הקדקודים ועל ידי סדר טוב ניתן לבחור בהוכחה את הקדקוד הקטן ביותר בסדר. במקרה כזה הלמה תקפה באקסיומות צרמלו פרנקל גם ללא בחירה.
הלמה של קניג היא אפוא הגבלה של עקרון הבחירה התלויה ליחס שלם formula_17 כך שלכל formula_62 קיימים מספר סופי של formula_63 כך ש־formula_64. אמנם באופן כללי אקסיומת הבחירה חזקה יותר מעקרון הבחירה התלויה וגוררת אותו, ההגבלה הזו של העקרון שקולה להגבלה של אקסיומת הבחירה. כאשר הבחירה בכל קדקוד נעשית על תת-קבוצה סופית של קבוצה שאינה בהכרח בת מנייה, הלמה של קניג אומרת ש־"כל עץ אינסופי בעל דרגה סופית מכיל מסלול אינסופי" שקול לכך שכל קבוצה בת מנייה של קבוצות סופיות מכילה פונקציית בחירה. ניסוח זה של הלמה של קניג ושל אקסיומת הבחירה אינו יכיח באקסיומת צרמלו פרנקל.
בתורת ההוכחות.
במתמטיקה הפוכה, החוקרת אילו אקסיומות נחוצות לצורך הוכחת משפטים מתמטיים מסוימים, יש חשיבות לגרסה החלשה של הלמה המתייחסת לעצים כדי לאפיין מערכות של אריתמטיקה מסדר שני. בניגוד למערכת פאנו המהווה תיאור בשפה מסדר ראשון של המספרים הטבעיים, מערכות אלה מתארות אותם בשפה מסדר שני ומאפשרות בכך לכמת גם על קבוצות של מספרים טבעיים, ולעבוד עם אינסוף מספרים, תנאי הכרחי לדוגמה עבור משפטים בתחום האנליזה המתמטית לדוגמה.
המערכת formula_65 (קיצור של Weak König's lemma, כאשר ה־formula_66 מסמל שבמערכת זו אינדוקציה מתמטית היא מסדר שני), שהיא אחת מחמש המערכות המרכזיות, מוגדרת בין היתר על ידי הלמה של קניג. היא מורכבת מהאקסיומות של מערכת formula_67 יחד עם הגרסה החלשה של הלמה הטוענת שכל עץ בינארי מלא (קרי, עץ כל הסדרות של formula_66 ו־formula_69) מכיל מסלול אינסופי. טענה זו, הקרויה "למת קניג החלשה" פשוטה לתיאור בשפת האריתמטיקה מסדר שני.
לשתי המערכות, formula_65 ו־formula_67 יש אותה שפה מסדר ראשון, ופירושו ששתי המערכות מוכיחות אותן טענות הכתובות בשפה מסדר ראשון. לעומת זאת, formula_65 חזקה יותר מרעותה, שכן משפטים מתמטיים מרכזיים רבים יכיחים בה ולא ב־formula_67, אלו משפטים המנוסחים בשפה מסדר שני שלא ניתנים לניסוח בסדר ראשון.
ישנן מספר טענות השקולות ללמת קניג החלשה, ולכן ל־formula_65 במערכת formula_67. בין היתר:
קיימות גם מערכות חזקות יותר מ־formula_67, אחת החשובות בהן, ובכלל, היא formula_77 שבה הלמה של קניג בגרסתה המלאה נכונה. למעשה, ב־formula_67, הלמה של קניג גוררת את formula_77.
הכללות לעוצמה גבוהה.
אומרים שלעוצמה k יש תכונת העץ אם לכל עץ מגובה k, שבו כל רמה היא מעוצמה קטנה מ-k, יש מסלול באורך k. הלמה של קניג אומרת שלאָלֶף אֶפֶס יש תכונת העץ. אהרונשיין הוכיח של-formula_80 אין תכונת העץ (ראו עץ אהרונשיין). תכונת העץ עבור formula_81 אינה נובעת מ-ZFC, אבל היא עקבית עם ZFC, ועקבי אפילו שכל המונים formula_82, עבור n מ-2 ואילך, הם בעלי תכונת העץ.
שועל השלג
פינגווין לבן סנטר
Comma-separated values (CSV) הוא צורה לשמירת טבלאות בטקסט פשוט. בפורמט זה כל רשומה מופרדת באמצעות שבירת שורה וכל רשומה מורכבת משדות המופרדים באמצעות תו מוגדר, כאשר בדרך כלל נעשה שימוש בפסיק או בטאב (פורמט זה נקרא tsv).
פורמט csv נמצא בשימוש נרחב ונתמך על ידי תוכנות רבות ובהן תוכנות גיליון אלקטרוני, בסיסי נתונים ותוכנות מדעיות. בשפות תכנות שונות, כדוגמת R, פייתון, Ruby ו-PHP קיימת תמיכה בספרייה הסטנדרטית המאפשרת לקרוא ולכתוב קובצי csv בקלות. הודות לפשטותו ולתמיכה הרבה בו בתוכנות מגוונות, ובשל מגבלות של פורמטים מסחריים שנתמכים רק בתוכנות מסוימות, משתמשים ב-csv לעיתים כדי להעביר מידע מתוכנה אחת לאחרת.
לא קיים סטנדרט אחיד ל-csv, אך מגדיר את השימוש הנפוץ ב-csv:
רוב הצרכנים שיודעים לקלוט ולעבד CSV מוכנים לקבל סטיות מהתקן המקורי: כך למשל, למרות שהתקן מגדיר שבירת שורה כ-CR/LF, בדרך כלל ניתן להשתמש ב-LF בלבד (שבירת שורה סטנדרטית במערכת הפעלה UNIX ונגזרותיה, ובפרט לינוקס), ובחלקם גם CR בלבד (תקן שבירת שורה בגרסאות מסוימות של מערכת ההפעלה של מחשב מקינטוש).
חלקם מוותרים על הדרישה הקשיחה למספר שדות שווה, ומסתפקים בדרישה צנועה יותר: באף רשומה אין יותר שדות ממספרם ברשומה הראשונה (בדרך כלל שורת הכותרות).
קיימים מספר תקנים דומים נוספים, כשההבדל העיקרי הוא התו שמשמש להפרדה. בסביבה בה פסיק משמש "נקודה עשרונית", כמו גרמניה, משתמשים גם בתקן "dmv", שזהה בעיקרון ל-CSV, אך מחליף את הפסיק בנקודה ופסיק, כלומר התו codice_1, כדי לשחרר את הפסיק לשימוש בשדות מספריים, בלי צורך להקיף במירכאות כל מספר כזה.
דוגמה.
ניתן לייצג באמצעות קטע CSV טבלה כמו בדוגמה הבאה:
שנה,יצרן,מכונית
1960,אוטוקרס,סוסיתא
1997,פורד,E350
תוצאה:
ליגת העל הקטרית
ליגת הכוכבים הקטרית (בערבית: دوري نجوم قطر) היא ליגת הכדורגל הבכירה של קטר. הליגה הוקמה בשנת 1963 וכעבור 9 שנים הפכה לליגה מקצועית. הקבוצה בעלת מספר האליפויות הגבוהה ביותר היא א-סד, שזכתה ב-14 אליפויות. האלופה בסיום כל עונה עולה לשלב הבתים של ליגת האלופות האסיאתית וסגניתה משתתפת במוקדמות המפעל.
היסטוריה.