במשך יותר ממאתיים שנה, הנושא של הנחיית מרדף היה מקור השראה ומקור עניין למתמטיקאים, ובמיוחד למתמטיקאים חובבים בתחום שעשועי המתמטיקה. המחקר המתמטי על הנחיית מרדף החל במאמר שהציג ההידרוגרף והגאומטרן הצרפתי פייר בוגה, המוכר כ"אבי האדריכלות הימית", לאקדמיה המלכותית הצרפתית למדעים ב-1732. הוא ניסח את החוק של הנחיית מרדף בצורה של ספינת פיראטים המנסה ליירט ספינת מסחר. בוגה הציג פתרון לעקום אשר מתווה ספינת הפיראטים במערכת קואורדינטות אבסולוטית, למשל במערכת הייחוס של נמל המרותק למקומו.
המונח "מרדף-כלב" לציון מעקב הנעשה בשיטת הנחיית מרדף הופיע מאוחר יותר ונטבע על ידי החוקר הצרפתי ז'אן-מארי דיבואה-איימה (Dubois-Aymé), שצפה בעקבות בחול שהותיר אחריו כלבו שרדף אחריו בחוף הים. לעומת זאת, טורפים רבים ובייחוד חתולים, לא רודפים אחרי הטרף שלהם בשיטת הנחיית מרדף.
היישום של הכלל הזה לכלי נשק החל במלחמת העולם השנייה. קרבות אוויר התנהלו בשיטת הנחיית מרדף - מטוס עקב אחרי הזנב של מטוס האויב עד להגעה למרחק מתאים לירי. היישום השני לגישה זו היה בפיתוח הטילים המונחים הראשונים על ידי הלופטוואפה הגרמני. באחת הפצצות המונחות הראשונות, ה-HS-293D, הותקנה בפצצה מצלמת טלוויזיה. באמצעות קשר רדיו, מפעיל הפצצה ראה את המטרה במרחקים הולכים וקטנים, ושידר פקודות הנחיה לפצצה, כך שהדמות של המטרה תישאר במרכז שדה הראייה של מצלמת הטלוויזיה. הסכמה הזאת הגדילה בצורה בלתי רגילה את הדיוק של הפצצות.
בתוכניות פיתוח מאוחרות יותר של צבא ארצות הברית, גלאים לגילוי המטרה היו מבוססים על גילוי קרינה אינפרה-אדומה (קרינת חום) המוקרנת על ידי עצמים חמים, או על ידי התבייתות על קרינת המכ"ם של תחנות מכ"ם של האויב. כלל ההנחיה בכל התוכניות הללו היה הכלל הגאומטרי של הנחיית מרדף. למעשה, היסטוריונים אחדים הבחינו ש"ביות" (homing) היה מילה נרדפת להנחיה בשיטת הנחיית מרדף בשנות ה-50, גם בארצות הברית וגם בברית המועצות.
בסופו של דבר, מרבית ה"פצצות החכמות" (פצצות וטילים) שנעשה בהם שימוש מסיבי במלחמת וייטנאם ובמלחמת המפרץ היו מבוססות על הכלל הגאומטרי של הנחיית מרדף, והיו מתבייתות על מטרות קרקעיות מוארות בלייזר. לאחרונה, הוצעו אף קליעים חכמים לפי אותם העקרונות.
פיתוח מתמטי - הגדרת המסלול המתקבל וחישוב זמן הפגיעה במטרה שנעה בקו ישר.
נכתוב את המשוואות הדיפרנציאליות שמתארות את התנועה בקואורדינטות פולריות ממערכת הייחוס של הטיל המיירט. נניח שמהירות הבורח היא U ומהירות הרודף היא V.
נסמן ב- (r(t את המרחק הרגעי וב-θ את הזווית שיוצר וקטור המהירות של המטרה עם (r(t כוקטור. מכיוון שהטיל נע תמיד בכיוון (r(t מהירות ההתקרבות היחסית כתלות בזווית θ היא: formula_1 ואילו השינוי בזווית θ במשך הזמן dt הוא formula_2 (שכן המטרה נעה בקו ישר). נחלק את dr/dt ב-dθ/dt ונקבל: formula_3 כאשר formula_4 הוא יחס המהירויות, שאפשר להניח כי הוא גדול מ-1. מכאן נקבל על ידי אינטגרציה formula_5.
לכן formula_6, כאשר C קבוע התלוי בתנאי ההתחלה.
ניתן לראות ש-r = 0 כאשר θ = 0 או θ = π, דהיינו בהתנגשות חזיתית או במרדף-זנב.
משך הזמן שעובר עד שהטיל פוגע במטרה מתקבל באמצעות הצבת
r(θ) בקשר : formula_7 ואינטגרציה בין הגבולות 0 = θ ו-θ0 .
formula_8
נציב formula_9 ונקבל formula_10 ומתקיים formula_11
הצבה באינטגרל נותנת:
formula_12. התוצאה לזמן הפגיעה היא:
formula_13
פישוט נוסף, באמצעות ההצבה formula_14 נותן:
formula_15
נחפש כעת את כל אותם צירופים formula_16 עבורם זמן המעוף עד לפגיעה T שווה. המשוואה האחרונה היא משוואה של אליפסה בקואורדינטות פולריות, כאשר המוקד שלה בראשית הצירים הוא המיקום ההתחלתי של המטרה. לפיכך העקומות האיזוכרוניות (עקומות שוות זמן) במישור XY הן אליפסות לא קונצנטריות אשר אחד ממוקדיהן הוא מיקומה ההתחלתי של המטרה. חסמים על זמן המעוף הדרוש של הטיל מלמטה ומלמעלה, מאפשרים לקבוע תחומים - אזורי שיגור (Launch Zones) מהם יש לשגר את הטיל כך שזמן המעוף יפול בין החסמים. אזור שיגור (Launch Zone) הוא קונספט מפתח בטילאות מודרנית. באיור מופיע באפור אזור שיגור המתאים למיקום המטרה T. אזור השיגור תחום על ידי שתי אליפסות המתאימות לחסמים על זמן המעוף של הטיל.
בחוקי הנחיה מתקדמים יותר, נוסף לטיל רכיב מהירות שמקביל למהירות המטרה, כך שהתנועה המשוקללת של המטרה והטיל יוצרת מצב בו הרכיב הרדיאלי של המהירות היחסית לאחר זמן קצר גדול יותר מאשר בחוק ההנחיה הקלאסי. תנועה אופטימלית של הטיל היא כזו שמאזנת באופן הטוב ביותר בין התנועה בכיוון הרדיוס וקטור לתנועה בכיוון מאונך לרדיוס וקטור (ראו טיל#הנחית טיל – פיתוח מתמטי). בתנועה בזוויות אופטימליות כאלה הטיל למעשה מתקדם ביעילות רבה יותר אל עבר המטרה, ולמעשה חוק הנחיה כזה מקצר את הדרך שהוא צריך לעשות לעומת חוק ההנחיה הקלאסי.
תאוצות אופייניות.
חוק הנחיית מרדף הוא חוק שבאופן כללי דורש מהטיל הרודף תאוצות רדיאליות (lateral acceleration) גבוהות. ניתן למצוא את התאוצה המקסימלית שטיל מבוסס הנחיית מרדף צריך לעמוד בה מן הקשר הבסיסי: formula_17 כאשר V מהירות הטיל ו-formula_18 הוא קצב הרוטציה (מהירות זוויתית) הרגעי של הרדיוס וקטור שמחבר בין הטיל והמטרה (וקטור מהירות הטיל תמיד מצביע בכיוון הרדיוס וקטור). מתקיים: formula_19 . לפיכך יש למצוא מקסימום לפונקציה:
formula_20.
הנגזרת של formula_21 היא: formula_22. ניתן לראות כי עבור formula_23 הנגזרת מתאפסת בקטע (0,π/2] ולכן יש לפונקציה מקסימום בקטע פתוח זה ואילו עבור formula_24 המקסימום מתקבל בנקודת הקצה של הקטע [0,π/2] כלומר ב-formula_25. עבור formula_26
מקסימום התאוצה מתרחש עבור זווית formula_27 (במעלות), כלומר עבור formula_26 התאוצה המקסימלית מתקבלת בתרחיש שבו formula_29 (זווית פתיחה גדולה או שווה 60 מעלות; רק תרחישים אלו רלוונטיים - אחרת התאוצה מקסימלית בתחילת מעוף הטיל ויורדת בהדרגה עד לאפס בנקודת הפגיעה). עבור formula_30 מתקיים formula_31 ומכאן ערך התאוצה המקסימלית (עבור formula_32) הוא:
formula_33.
כדוגמה מספרית ניקח למשל formula_34 - הצבה בנוסחה נותנת formula_35. תאוצה מקסימלית זאת היא פרמטר חשוב בקביעת המאפיינים המבניים של טיל, כמו למשל שטח הכנפיים שלו.
עבור formula_36 בנקודה formula_25 מתקבל ערך אינסופי של התאוצה, כלומר זוהי נקודת סינגולריות - במצב שבו יחס המהירויות גדול מ-2 קצב הקיטון במרחק בין הטיל למטרה מתגבר על הפיחות ברכיב המאונך לרדיוס וקטור של מהירות המטרה ונוצר למעשה קצב רוטציה של הרדיוס וקטור ששואף לאינסוף בנקודות הסינגולריות. בתרחיש כזה, הטיל לעולם לא יוכל לפגוע במטרה בהזדמנות הראשונה אלא רק לחלוף במרחק קטן ממנה, בהתאם ליכולות הטיל. כאן טמון היתרון שיש לשיטת הנחיה אחרות, כמו למשל ניווט יחסי על פני שיטת הנחית מרדף - ניווט יחסי מאפשר פגיעה בזוויות התנגשות שונות מ-formula_25 או formula_39 ובכך אין לו נקודות סינגולריות.
שאיפה לאינסוף מתקיימת גם כש-formula_40 אולם משנים את קבוע ההתחלה C - הגודל formula_41 שואף לאינסוף כאשר זווית הפתיחה formula_42 שואפת ל-π, כלומר התאוצה המקסימלית עולה עבור תרחישים חצי-חזיתיים.
גרסה שונה במקצת של הנחיית מרדף היא הנחיית מרדף מוסטת (DPP - Deviated Pure Pursuit) - בשיטת הנחיה זו וקטור מהירות הטיל שומר על זווית קבועה מסוימת formula_43 שונה מאפס עם קו הראייה למטרה. הזווית היא כזו שסיבוב קו הראייה מנסה להקטין אותה, ולא להפך. היתרון המרכזי בגרסה זו לעומת הגרסה הרגילה של הנחיית מרדף הוא בהפחתת התאוצות הרדיאליות הנדרשות מהטיל; כאשר הטיל לא מרכז את כל מהירותו לעבר המטרה ולמהירותו יש רכיב ניצב לקו הראייה הרגעי קצב הסיבוב של קו הראייה פוחת ולכן גם קצב הסיבוב של וקטור מהירות הטיל פוחת - והתאוצה הנדרשת ממנו פוחתת (עבור זווית מיוחדת מסוימת הנחיה זו הופכת לניווט מקבילי, ולא נדרשת כלל תאוצה מהטיל).
דויד לוייתן
דויד לוייתן (נולד ב-6 באוגוסט 1950) הוא צייר ומורה לאמנות ישראלי.
ביוגרפיה.
דויד לוייתן נולד וגדל בקיבוץ גבעת ברנר. &lt;br&gt;
לאחר שירותו הצבאי אותו החל בשייטת 13 וסיים בחיל המודיעין, החל את לימודיו במכון אבני לאמנות.בתקופת לימודיו ב"אבני" נוצר קשר בינו לצייר יחזקאל שטרייכמן, דויד אף החל ללמד ציור במכון אבני ובו בזמן שימש כאסיסטנט של שטרייכמן.
בשנים 1977–1979 זנח דויד את הציור לטובת אובייקטים תלת מיימדיים, בהם ניסה כוחו בהשוואת המחזוריות בטבע למחזור החודשי של האשה.
בשנת 1979 עבר הצייר לאמסטרדם, שם הושפע עמוקות מיצירתו של אלבר קאמי, "הנפילה" לה גם הקדיש את תערוכתו הראשונה באמסטרדם.&lt;BR&gt;
את חמש שנותיו הראשונות שם חווה בציוריו את עיקרון "האמן המיוסר" המצר את סבלו של המין האנושי. עם זאת, נופי השלג הלבן במרחבים ה"אינסופיים" של צפון הולנד, השרישו בו את קדושת הנצח, "הלבן הטהור המסמל את הנצחי", לדבריו, אשר כל כך השפיע עליו, והחל לחדור אט אט לעבודתו רק בדיעבד, לאחר שנים.
מתוך געגועיו לנוף הים תיכוני, נהג לבלות כשבועיים מדי שנה, ביוון, בכל פעם על אי אחר, כשהוא שוכר חמור ומעמיס עליו את ציודו.