בניסוח מתמטי מגדירים פונקציה formula_1 כ"פונקציית דארבו" אם לכל שתי נקודות formula_2 ו-formula_3 המקיימות formula_4 ולכל formula_5 המקיים formula_6 קיים formula_7 בין formula_2 ל-formula_3 כך ש-formula_10. בעזרת מושג זה ניתן לנסח את משפט ערך הביניים בתור הטענה "כל פונקציה רציפה היא פונקציית דארבו". השאלה שנוסחה קודם היא למעשה השאלה "האם כל פונקציית דארבו היא פונקציה רציפה?" התשובה לשאלה שלילית. לפי משפט דארבו כל פונקציה שיש לה פונקציה קדומה (כלומר היא הנגזרת של פונקציה כלשהי) היא פונקציית דארבו, אף שישנן פונקציות שיש להן פונקציה קדומה והן אינן רציפות.
הדוגמה הטיפוסית לטענה כי לא כל פונקציית דארבו רציפה היא הפונקציה formula_11 (כשמוסכם כי formula_12). פונקציה זו היא פונקציית דארבו בכל קטע שהוא, עם זאת היא אינה רציפה בנקודה formula_13 (הפונקציה "משתוללת" בנקודה זו, ראו עקומת הסינוס של הטופולוגים). על אף שדוגמה זו מספיקה כדי להפריך את המשפט ההפוך למשפט ערך הביניים ולתת תשובה שלילית לשאלה ששאלנו, היא אינה דוגמה חזקה במיוחד. זאת משום שהפונקציה שבדוגמה אינה רציפה בנקודה יחידה בלבד, ורציפה בכל נקודה אחרת. ניתן לעדן את המשפט ההפוך כך שהדוגמה הזו לא תספיק: נשאל את השאלה, "האם פונקציית דארבו מוכרחה להיות רציפה כמעט בכל נקודה?". הפונקציה formula_1 שהצגנו רציפה בכל נקודה פרט לאפס, ולכן אין היא מספיקה כדי לשלול את הטענה בשאלה החדשה. לשם כך הציג קונוויי פונקציה מתוחכמת מעט יותר, שהיא פונקציית דארבו לכל דבר, ובכל זאת, אינה רציפה באף נקודה.
הגדרה ובנייה.
פונקציית בסיס-13 של קונוויי היא פונקציה formula_15 המוגדרת לכל formula_16 כך:
תכונות.
הפונקציה מקבלת כל ערך ממשי בכל קטע המוכל בתחום של פונקציה#תחום ההגדרה שלה. אכן, יהי formula_31 קטע (המכיל יותר מנקודה אחת), ויהי formula_32 מספר ממשי. נבנה formula_33 כך ש-formula_34. נייצג את formula_35 בבסיס 13 ואת formula_5 בבסיס עשרוני:
כאשר formula_38 הם האיברים המשותפים בתחילת ההצגה של formula_7 ו-formula_40 (אם ישנם כאלו). נשים לב כי קיים formula_41 כך ש-formula_42 (כי נמנענו מהצגות בהן יש חזרה אינסופית על formula_20). עתה נבנה את formula_44:
formula_44 קטן מ-formula_40 כי הייצוג שלו זהה לשל formula_40 עד הנקודה בה מתקיים formula_49 (מכיוון ש-formula_50), והוא גדול מ-c כי הייצוג שלו זהה לו עד הנקודה בה מתקיים formula_51. לפי הגדרת הפונקציה, התמונה של formula_44 היא formula_53, כפי שרצינו. מכאן נובעת מיד תכונת דארבו, והפונקציה אינה יכולה להיות רציפה באף נקודה: היא מקבלת ערכים לא חסומים בכל סביבה.
התומך.
התומך של פונקציית הבסיס-13 של קונוויי, דהיינו, קבוצת הנקודות formula_54 שבהן היא מקבלת ערך שונה מאפס, היא קבוצה מעניינת בפני עצמה, הדומה בתכונותיה לקבוצת קנטור. העוצמה של formula_54 היא עוצמת הרצף (כי formula_1 מתאימה אותה על הרצף) והיא צפופה בקטע formula_57. מידת לבג של formula_54 היא 0, כי היא חלקית לקבוצת המספרים שאינם נורמליים (כי בייצוג של כל איבר ב-formula_54 בבסיס 13 הספרות formula_60 מופיעות רק מספר סופי של פעמים), שלפי הלמה של בורל-קנטלי מידתה אפס. מהגדרת הפונקציה נובע ש-formula_54 היא קבוצת בורל.
פונקציית הבסיס-13 של קונווי
מורדת על בעלה
בהלכה היהודית, מורדת על בעלה היא אישה המסרבת לקיים את החובות המוטלות עליה במסגרת הנישואים, ובעיקר קיום יחסי אישות. לפי דעה אחת, סירוב לביצוע מלאכות הבית הבסיסיות מספיק אף הוא כשלעצמו להגדרת האישה כ"מורדת". להגדרה זו משמעות חשובה בקשר לדיני הגירושין במשפט העברי (החלים על כל בני זוג יהודים בישראל). במקביל לאישה, בעל שמסרב לקיים את חובותיו, מכונה במשנה "מורד על אשתו".
תקנות חז"ל.
חכמים תיקנו, שאישה המורדת על בעלה, מקצצים מסכום כתובתה, שבעה דינרים לשבוע (שווי של 33.6 גרם כסף, מעט יותר מאונקיה) ובינתיים מנסים לשכנע אותה להפסיק למרוד בבעלה ולקיים את חיובי האישות המוטלים עליה, תקנה זו מוזכרת לראשונה במשנה:
תקנה מאוחרת יותר היא שמכריזים על האישה (אם בעלה מסכים) בבתי כנסיות ובתי מדרשות (אך לא במקומות ציבוריים אחרים), ולאחר ארבעה שבועות אם היא עומדת על דעתה, היא מפסידה את כל סכום הכתובה. לפני ואחרי ההכרזה, מודיעים לה ומזהירים אותה, כי היא עלולה להפסיד את כל כסף הכתובה, אם תסרב עד תום ארבעה שבועות. בתלמוד נחלקו האמוראים האם יש לנסות לשכנעה בדרכי נועם ולכן יש לחכות עד שידעו כי מוצו כל הדרכים לשכנעה, אלא שבינתיים קונסים אותה בסכום של שבעה דינרים לשבוע או שלאחר ארבעה שבועות הפסידה המורדת את כל דמי הכתובה.
רבא הסתפק האם בכלל הקנס האשה מפסידה גם את נדונייתה - הבגדים שהביאה איתה מהבית לפני החתונה והם נרשמו בכתובתה כנכסי צאן ברזל שעל הבעל להחזיר אותם או את דמיהן. להלכה הוכרע בתלמוד כי מכיוון שאין ידועה לנו ההלכה, אם תפסה לא ניתן להוציאה ממנה בדין את הבגדים, אך אם לא תפסה אנו לא נותנים לה.
טענת "מאיס עלי".
דין מורדת קיים רק כאשר היא אומרת שהיא עדיין רוצה בנישואיה ואינה דורשת להתגרש, אלא שהיא רוצה לצער אותו. אם האישה מנמקת את הסיבה למרידתה - מכיוון שהיא מואסת בבעלה ורוצה להתגרש ממנו, לא קנסו חכמים את האישה, שכן אנוסה היא שאין אישה יכולה לדור עם אדם שאינה חפצה בו. (ולפי שיטת רש"י אף כופין את הבעל לתת גט, אך רבנו תם חלוק על כך).
למרות זאת, על אודות לידתו של רבי חנינא מסורא מובא בתלמוד כי אמו מרדה על בעלה בטענת "מאיס עלי", ולמרות זאת, מר זוטרא, שלפניו בא הבעל לדין תורה, קבע את ההלכה לפי דעתו השונה שהיא שגם באישה כזו קיימים דין "מורדת", ולמרות זאת יצא ממנה האמורא רבי חנינא מסורא. אם כי, חכמי התלמוד מסיקים כי אין להסיק ראיה ממעשה ספציפי זה, כי באופן רגיל בניה של אישה שמקיימת יחסי אישות תחת כפייה אינם יוצאים מוצלחים, הם "בני אנוסה" – אדם המקיים יחסי אישות עם אשתו באונס, או אפילו כשאינה מסכימה לכך באופן מלא, שעליהם נאמר "וברותי מכם המורדים והפושעים בי", אך שם - הייתה סייעתא דשמיא מיוחדת למר זוטרא שלא יצא מכשול תחת ידו ואף ההפך.
בעל המורד על אשתו.
בעל המורד על אשתו, נקנס בסכום שלושה דינרים לשבוע. סכום הקנס של המורד קטן מזה של המורדת שכן לפי השערת חז"ל, צערו של האיש באי-קיום יחסי אישות גדול יותר משל האישה. לפי דעתו של רבי יוסי בר חנינא שסובר שדין מורדת היא גם ממלאכות, הדין הוא גם הפוך: אם הבעל מפקיע את עצמו משעבוד המזונות שחייב לתת לאשתו, קונסים אותו.
בעוד שכאשר האישה מורדת מורידים לה משכר כתובתה גם על יום השבת, האיש שמורד אינו חייב לשלם קנס על יום השבת. החילוק בין דין הבעל לאישה קשור להלכות שכר שבת: אסור לגבות קנס על יום השבת, אך מותר לנכות מזכות ממונית של אדם על אדם אחר, כקנס. כיוון שדיני מורד ומורדת משפיעים על הכתובה, הרי שבגבר כאשר הוא מורד הוא מוסיף על דמי הכתובה שהתחייב בחתונה, ואילו האישה כאשר מורדת מנכים לה מסכום הכתובה שמגיע לה, ולכן נמצא שלא ניתן לגבות מהגבר את הקנס על יום השבת, אך ניתן לנכות מהאישה את דמי כתובתה גם על יום השבת, לפי הסכום הקצוב.
ריבוע חפירה
ריבוע חפירה הוא יחידת החפירה הבסיסית שבה חושפים שטח בחפירה ארכאולוגית, וגודלו לרוב 5 על 5 מטרים.
ריבוע חפירה הוא כלי לביצוע חפירה תקינה, יעילה ונכונה מבחינה מחקרית ברוב סוגי האתרים הארכאולוגים, שכן הוא מאפשר בקרה על שטח החפירה, עומק החפירה, מיפוי ורישום ממצאים. כל ריבוע מקוטלג בפני עצמו על מנת שניתן יהיה לקשר את הממצאים שנחשפו בו, ורשימת הלוקוסים שלו לנקודה מדויקת במרחב.
שיטת הריבועים מאפשרת שילוב של חשיפה נרחבת של האתר ושימור הסטרטיגרפיה שלו על ידי השארת "באנקטים" המהווים חתך צד לשטח החפירה. עם סיום חפירת הריבוע ותיעוד הסטרטיגרפיה האנכית, מוסרות לעיתים המחיצות על מנת לחשוף בשלמותן רצפות פסיפס, ארכיטקטורה וממצאים מיוחדים.
בחפירות של אתרים פרהיסטוריים, נעשה שימוש בריבועים של 1 על 1 מטר עם חלוקה פנימית נוספת של 0.5 על 0.5 מטר, שכן בחפירות מסוג זה יש משמעות מיוחדת לסטרטיגרפיה ומיקום במרחב.
היסטוריה.
את שיטת הריבועים פיתח סיר רוברט אריק מורטימר ווילר (Robert Eric Mortimer Wheeler) בשנות ה-30 ובשנות ה-40 של המאה ה-20. מורטימר מילר היה בריגדיר גנרל בצבא בריטניה, והביא עמו למקצוע שיטות עבודה דייקניות. שיטת הריבועים שוכללה על ידי קתלין קניון בחפירותיה ביריחו בשנות ה-50. בשיטה זו השתמשו באופן נרחב ובקנה מידה גדול לראשונה בארץ בחפירת אתרים בסביבת באר שבע, ביר א-ספאדי וביר אבו מטר על ידי ז'אן פרו.
שיטת עבודה.
לפני ביצוע חפירה באתר וסימון הריבועים בשטח, נמדדים נקודות הציון של ארבע פינותיו. המדידה נעשית על ידי מכשירי מדידה שונים כגון GPS או תאודוליט, והוא מתבסס על רשת קואורדינטות קיימת, לרוב בארץ משתמשים ברשת ישראל החדשה (ITM). בעבר היו מקרים בהן יוצרה רשת מקומית לכל אתר בהתחשב בתנאים טופוגרפיים או ארכיטקטוניים פרטניים. אך דבר זה יצר בעיות של מספור הריבועים בעת פתיחת ריבועים חדשים או הרחבת שטח החפירה בכיוון לא צפוי, וכך יכלו להיווצר מספרים שליליים או אנכרוניסטיים עם יתר ריבועי החפירה. בעיה נוספת צצה בעת חפירה חוזרת באתר וניסיון שחזור הרשת המקורית בתנאי שטח שהשתנו מסחף ובליה. בשיטת המיפוי של רשת ITM, כל הארץ היא יחידה אחת, וישנה יכולת לקשר מרחבית בין כל ריבוע וריבוע.