סימון החל את דרכו בנבחרת ארגנטינה הצעירה. ב- השתתפה הנבחרת בטורניר גביע העולם לנוער שנערך ביפן. מאמן הנבחרת הבוגרת באותה תקופה, ססאר לואיס מנוטי, הוביל גם את הנבחרת הצעירה בטורניר. סימון שותף בכל משחקיה של ארנטינה בטורניר, לצד כוכבים צעירים כמו דייגו מרדונה (השחקן המצטיין) ורמון דיאס (מלך השערים). ארנטינה ניצחה בכל ששת משחקיה והפגינה עליונות מובהקת, בדרך לזכייה בתואר. על אף שלא הצטיין בכיבוש שערים, סימון כבש שער אחד בשלב הבתים, בניצחון 1–4 על . שנה אחר כך זומן סימון בן ה-20 לסגל נבחרת ארגנטינה, ואף זכה להופעת בכורה מהמאמן מנוטי.
רק לאחר תשע שנים, לאחר שחזר לארגנטינה ושיחק במדי בוקה ג'וניורס, זכה סימון לחזור לסגל הנבחרת. מאמן הנבחרת באותה תקופה, קרלוס בילארדו, שילב את סימון בהכנות לקראת מונדיאל 1990 באיטליה, ואף כלל אותו בסגל הנבחרת בטורניר. סימון פתח בהרכב בכל שבעת משחקיה של ארגנטינה בטורניר, ולא הוחלף באף אחד מהם. הוא פתח גם במשחק הגמר מול , שהסתיים בהפסדה של ארנטינה בתוצאה 0–1.
סימון לא שב לשחק עוד במדי הנבחרת לאחר 1990, ובסך הכל רשם 13 הופעות בינלאומיות במדי ארגנטינה.
מבצע מריטה
הילוך מקרי
הילוך מקרי (מכונה גם "הילוך שיכור") הוא סוג של תהליך סטוכסטי, המתאר תנועה אקראית לאורך זמן בדיד או רציף. הילוך מקרי הוצג לראשונה על ידי קרל פירסון בשנת 1905.
לדוגמה, המצב הכספי של מהמר המהמר הימורים רבים בזה אחר זה ניתן למידול כהילוך מקרי. באופן כללי, הילוכים מקריים משמשים בתחומים רבים: אקולוגיה, כלכלה, פסיכולוגיה, מדעי המחשב, פיזיקה, כימיה וביולוגיה.
הילוכים מקריים יכולים להיות על גרפים, על ישר, במישור ובכלל בממדים גבוהים יותר, כמו גם על גבי משטחים. הילוכים מקריים מתוארים כפונקציה של פרמטר זמן, בדיד או רציף.
הגדרה.
הילוך מקרי בזמן בדיד.
תהא formula_1 סדרה של משתנים מקריים, בלתי תלויים ושווי-התפלגות. לכל formula_2 נגדיר formula_3. אז סדרת המשתנים המקריים formula_4 היא הילוך מקרי בזמן בדיד.
הילוך מקרי בזמן רציף.
יהי formula_5 משתנה מקרי כלשהו. עבור כל formula_6 נגדיר
formula_7
כאשר formula_8 סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות המייצגים את ה"קפיצות", ו formula_9 הוא מספר הצעדים בקטע formula_10, כלומר מספר הצעדים שהתרחשו עד לזמן formula_11.
משפחת המשתנים המקריים formula_12 היא הילוך מקרי בזמן רציף. באופן מדויק יותר, הילוך מקרי רציף בו הקפיצות בלתי-תלויות, מכונה ספרבילי. ישנה גם הגדרה להילוך מקרי בזמן רציף שאינו ספרבילי דווקא.
נשים לב כי פונקציית הצפיפות של ההילוך בזמן formula_13 עבור ערך formula_14 כלשהו, היא סכום על כל formula_15, של האפשרות לקבל ב-formula_16 צעדים את הערך formula_14, בהינתן שהתבצעו formula_16 צעדים אחרי זמן formula_13. כלומר, מתקבלת הנוסחה
formula_20
בין השאלות הטבעיות שניתן לשאול על הילוך מקרי במרחב אינסופי עם שורש מוגדר (כגון הילוך מקרי על חבורה) אפשר למנות את קצב הגידול של המרחק מהשורש, האנטרופיה של המקום, קצב הדעיכה של הסתברות החזרה (אותו אפשר לקשור לאמנביליות לפי משפט של Kesten).
הילוך מקרי בסריג.
מודל פופולרי הוא של הילוך מקרי על סריג, בו בכל שלב הסמן קופץ לאתר אחר בהתאמה להתפלגות מסוימת. במקרה של הילוך מקרי פשוט, הסמן יכול לנוע רק אל אתרים שכנים על פני הסריג. במקרה פשוט של הילוך מקרי סימטרי על סריג בו מספר השכנים של כל קודקוד סופי, ההסתברות זהה עבור קפיצה לכל אחד מהשכנים. כלומר, בכל קודקוד, הצעד הבא מפולג אחיד על פני הקודקודים השכנים. הדוגמה היסודית ביותר היא של הילוך מקרי על הסריג השלם ה-d-ממדי (המכונה לעיתים סריג על קובייתי) formula_21.
הילוך מקרי על סריג חד-ממדי.
דוגמה יסודית היא הילוך מקרי על ציר המספרים השלמים (formula_22), אשר מתחילה ב-0 ובכל שלב נעה 1+ או 1- בהסתברות שווה.
ניתן לתאר הילוך זה באופן הבא: סמן ממוקם על ציר המספרים השלמים בנקודה formula_23 ומטבע הוגן מוטל. אם המטבע נוחת על עץ, הסמן מועבר לנקודה formula_24, ואם על פלי, הסמן מועבר לנקודה formula_25. לאחר חמש הטלות, הסמן יכול להיות באחת מבין הנקודות 1, 1-, 3, 3-, 5, או 5-. למשל לאחר חמש הטלות של שלוש עץ ושני פלי (הסדר לא משנה), הסמן יסיים בערך 1. בפירוט, ישנן עשר דרכים לנחיתה על 1 (על ידי הטלת שלוש פעמים עץ ושני פעמים פלי), עשר דרכים לנחיתה על 1- (על ידי הטלת שלוש פעמים עץ ושתי פעמים פלי), חמש דרכים לנחיתה על 3 (על ידי הטלת ארבע פעמים עץ ופעם אחת פלי), חמש דרכים לנחיתה על 3- (על ידי הטלת ארבע פעמים פלי ופעם אחת עץ), דרך אחת של נחיתה על 5 (על ידי הטלת חמש פעמים עץ) ודרך אחת של נחיתה על 5- (על ידי הטלת חמש פעמים פלי). ראו איור להלן להמחשה של התוצאות האפשריות של 5 הטלות.
כדי להגדיר הילוך זה באופן פורמלי, נתבונן בסדרת משתנים מקריים בלתי תלויים formula_26, כאשר כל משתנה הוא בעל ערך של 1 או 1- בהסתברות שווה, ונקבע כי formula_27 ו- formula_28. הסדרה formula_29 נקראת הילוך מקרי על formula_22. התוחלת של formula_31 ( formula_32) היא אפס. כלומר, הממוצע של כל הטלות המטבע שואף לאפס כגידול במספר הטלות. זה נובע מתכונת האדיטיביות של התוחלת:
formula_33
חישוב דומה הנעזר בחוסר התלות של המשתנים המקריים והעובדה ש formula_34 מראה כי:
formula_35
מה שמרמז כי formula_36, מרחק ההזזות הצפוי לאחר "n" צעדים, צריך להיות מסדר גודל של formula_37. למעשה:
formula_38
תוצאה זו מראה כי דיפוזיה אינה יעילה לערבוב, בגלל הדרך שבה השורש הריבועי מתנהג עבור formula_16 גדול.
נשאלת השאלה "כמה פעמים ההילוך המקרי יחזור לנקודת ההתחלה לו נאפשר לו להימשך לנצח?". הילוך מקרי פשוט ב-formula_22 יחצה כל נקודה מספר אינסופי של פעמים בהסתברות 1. לתוצאה זו ישנם שמות רבים: "תופעה חוצת רמות", "הישנות" או "חורבן המהמר". הסיבה לשם האחרון היא כדלקמן: מהמר עם כמות סופית של כסף בסופו של דבר יפסיד בעת שישחק "משחק הוגן" כנגד "הבית", לצורך העניין עם כמות אינסופית של כסף. הכסף של המהמר יבצע הילוך מקרי שבשלב מסוים יגיע לאפס ויסיים את המשחק.
אם a ו-b הם שלמים וחיוביים, אזי המספר הצפוי של צעדים עד שהילוך מקרי פשוט חד-ממדי המתחיל ב-0 יגיע לנקודה "b" או "a-" הוא formula_41. ההסתברות שהילוך מקרי זה יגיע ל-"b" לפני "a-" היא formula_42, טיעון שיכול למשל לנבוע מהעובדה שהילוך מקרי פשוט הוא מרטינגל.
חלק מהתוצאות שהוזכרו לעיל ניתן להסיק ממאפייני משולש פסקל. מספר ההליכות השונות בעלי "n" צעדים בהם כל צעד הוא אורך אחד, ימינה או שמאלה, הוא 2"n". עבור הילוך מקרי פשוט, כל אחת מההליכות האלו סבירה באותה מידה. על מנת ש- "Sn" יהיה שווה למספר "k" הכרחי ומספיק עבורנו שמספר הפעמים אשר יתבצע צעד ימינה יעלה על אלה ששמאלה ב- "k" פעמים. מספר ההליכות אשר מקיים formula_43 שווה למספר הדרכים של בחירת "n" + "k")/2) אלמנטים מתוך "n", כלומר :formula_44.כדי שהביטוי הנ"ל יהיה שונה מאפס, יש צורך שיתקיים כי "n" + "k" יהיה מספר זוגי. לכן, ההסתברות ש formula_43 שווה לformula_46. על ידי ייצוג ערכים של משולש פסקל במונחים של עצרת ושימוש בנוסחת סטירלינג, אפשרי לקבל אומדנים טובים להסתברויות הבאות לערכים גדולים של formula_47.
אם המרחב מוגבל רק למספרים הטבעיים +formula_22, מספר הדרכים שבהן הילוך מקרי ינחת על כל מספר נתון בחמש הטלות יכול להיות מוצג כ־{0,5,0,4,0,1}.
יחס זה עם משולש פסקל בא לידי ביטוי עבור ערכים קטנים של " n ". באפס הטלות, האפשרות היחידה תהיה להישאר באפס. בהטלה אחת, יש אפשרות אחת של נחיתה על 1- ואפשרות אחת של נחיתה על 1. בשתי הטלות, סמן הנמצא ב-1 יכול לזוז עד 2 או חזרה לאפס. סמן ב-(1-), יכול לעבור ל-(2-) או חזרה לאפס. לכן, יש סיכוי אחד של נחיתה על 2-, שני סיכויים של נחיתה על אפס, וסיכוי של נחיתה אחת על 2.
משפט הגבול המרכזי ו-law of the iterated logarithm מתארים היבטים חשובים של התנהגות של הילוך מקרי פשוט ב-formula_22. בפרט, משפט הגבול המרכזי טוען כי כאשר "n" גדל, ההסתברות (פרופורציונלי למספרים בכל שורה) מתקרבת להתפלגות נורמלית.
כהכללה ישירה, אחד יכול לשקול הילוך מקרי על סריג גבישי. למעשה זה אפשרי לקיים את משפט הגבול המרכזי ומשפט הסטייה הגדול בהגדרה זו.
שרשרת מרקוב.
הילוך מקרי חד-ממדי הוא גם מודל של שרשרת מרקוב, אשר מרחב המצבים שלה ניתן על ידי השלמים formula_50 עבור מספר כלשהו p אשר מקיים formula_51, הסתברויות המעבר (ההסתברות של "Pi,j" לעבור ממצב "i" למצב "j") נתון בתור: formula_52.
בממדים גבוהים יותר.
ניתן לחשוב על שיכור שהולך בצורה אקראית בעיר. העיר היא בגודל אינסופי ומסודרת ברשת ריבועית, ובכל צומת השיכור בוחר אחד מארבעת המסלולים האפשריים (כולל האחד שממנו בא) בהסתברות שווה.
האם השיכור יחזור לביתו מהבר? זו מקבילה בשני ממדים של הבעיה שדנו בה לעיל. במקרה של הילוך מקרי 2-ממדי, התשובה היא כמעט בוודאות כן. אבל עבור 3 ממדים או גבוהים יותר, ההסתברות של חזרה למקור יורדת ככל שגדל מספר הממדים. בשלושה ממדים, ההסתברות יורדת לכ-34%.
המסלול של הילוך מקרי הוא אוסף האתרים שבהם הוא ביקר, האתרים נחשבים כסט עם התעלמות ל"מתי" ההילוך הגיע לנקודה. בממד אחד, המסלול הוא פשוט כל הנקודות בין הגובה המינימלי והמקסימום שההילוך השיג (שניהם בממוצע מסדר גודל של √"n").בממדים גבוהים יותר לסט יש מאפיינים גאומטריים מעניינים. למעשה מקבלים פרקטל דיסקרטי.
היחס לתהליך וינר.