משפט היחידות למשוואת לפלס גורס, כי בהינתן הפוטנציאל formula_1 על שפתו של נפח מסוים, אזי למשוואת לפלס פתרון יחיד בתחום הכלוא בנפח. הוכחת המשפט מתבססת על הנחה בשלילה כי קיימים שני פתרונות שונים formula_2 ו-formula_3 לבעיית תנאי השפה הנתונה. כלומר, שניהם מקיימים את משוואת לפלס: formula_4 ואת תנאי השפה הנתונים. כעת נבחן את ההפרש בין שני הפתרונות: formula_5. מאחר ששני הפתרונות מקיימים את משוואת לפלס, גם הפרשם מקיים זאת formula_6, וכן מתקיים formula_7 על שפת הנפח הנתון. ואולם, formula_5 הוא פונקציה הרמונית (כלומר הוא מקיים את משוואת לפלס), ולכן אין לו נקודות קיצון מקומיות בתחום. מסיבה זו חייב להתקיים formula_7 בכל התחום, כלומר formula_10 בכל התחום.
משפט יחידות דומה (עד כדי קבוע אדיטיבי) קיים גם עבור משוואת פואסון. שני משפטי היחידות קובעים כי פתרון בעיה אלקטרוסטטית הוא יחיד. שיטת מטעני הדמות מנצלת ידע זה. נניח ונרצה למצוא את הפוטנציאל (או השדה) באזור מסוים בהינתן תצורת מטענים ותנאי שפה מסוימים. נוכל להוסיף מטענים מחוץ לאזור בו אנו מתעניינים (כך איננו משנים את תצורת המטענים בו). אם המטענים שהוספנו מקיימים את תנאי השפה יחד עם המטענים הראשוניים, אזי הפתרון המוגדר על ידי תצורת המטענים החדשה הוא הפתרון באזור בו התעניינו. הפתרון באזור בו הוספנו מטענים לא יכול להימצא בדרך זו, כיוון שתצורת המטענים בו השתנתה (ולכן התצורה המקורית איננה מקיימת את אותן המשוואות).
המטענים החדשים המתווספים על מנת לקיים את תנאי השפה, ושאינם קיימים בבעיה המקורית, נקראים "מטעני דמות" (באנלוגיה לדמות של עצם הניצב מול מראה), ומכאן שם השיטה. פעולת הקביעה של מטעני הדמות ומיקומם נקראת שיקוף.
מקרים בסיסיים.
מטען נקודתי לצד מישור מוליך מוארק.
נניח כי קיים מטען נקודתי formula_11 לצד לוח מישורי אינסופי מוליך ומוארק. מרחק המטען מהמישור הוא a. תנאי השפה של הבעיה הוא שהפוטנציאל על המישור המוליך מתאפס, שכן הוא מוארק. כעת נחליף את הלוח המוארק במטען נקודתי נוסף, formula_12, שיימצא מול המטען הנקודתי הראשוני - באופן סימטרי ביחס ללוח (הלוח כמראה), כבציור. מרחק שני המטענים מהלוח זהה, לכן כל נקודה על המישור בו היה הלוח נמצאת במרחק זהה משני המטענים. מכיוון שהמטענים זהים בגודלם אך הפוכים בסימנם, הפוטנציאל על כל נקודה במישור הוא אפס. כלומר, תנאי השפה של הבעיה המקורית מתקיימים. אם נתעניין בחצי המרחב בו נמצא המטען המקורי, ניתן יהיה למצוא את הפוטנציאל בעזרת סופרפוזיציה של שני המטענים הנקודתיים המדוברים. בניסוח מתמטי, הפוטנציאל בחצי המישור העליון (בציור) הוא:
וזאת בהסתמך על הפוטנציאל שיוצר מטען נקודתי. משפט היחידות קובע כי הפתרון שנמצא הוא גם הפתרון היחיד לבעיה. הפוטנציאל בחצי המרחב התחתון הוא 0, כפי שניתן לראות ממשפט היחידות הראשון - הפוטנציאל מתאפס על המישור ובאינסוף (שם השפעת המטען הנקודתי דועכת), ולכן הוא אפס בכל מקום ביניהם. מתוך פתרון זה ניתן למצוא גם את השדה החשמלי בבעיה (מתוך נגזרת הפוטנציאל), את צפיפות המטען המשטחית על הלוח (מתוך הקפיצה בשדה) ואת המטען הכולל המושרה על הלוח.
אם מונחים בסמוך ללוח המישורי כמה מטענים, ניתן לשקף כל אחד מהם בנפרד, וכמו קודם, להשתמש בעקרון הסופרפוזיציה.
מטען נקודתי לצד קליפה כדורית מוליכה מוארקת.
כעת נניח כי קיים מטען נקודתי formula_11 לצד כדור מוליך ומוארק שרדיוסו R ושמרכזו בראשית הצירים. כן נניח כי מיקום המטען הנקודתי הוא formula_15. כמו בבעיה הקודמת, הפוטנציאל על הכדור הוא 0 ובתוכו לא נמצאים מטענים, ולכן הפוטנציאל מתאפס לכל r שקטן מ-R. כעת נתעניין בפוטנציאל מחוץ לכדור. נחפש תצורת מטענים חלופית, שבה הכדור המוליך מוחלף במטען נקודתי formula_16 ומיקומו formula_17 (מטעמי סימטריה), ואשר תאפס את הפוטנציאל על משטח כדורי ברדיוס R. הפוטנציאל הכולל ייכתב כסופרפוזיציה של שני המטענים:
כן מתקיים עבור formula_19:
לכן נוכל לכתוב את המשוואה:
שוויון זה מתקיים עבור כל ערך של x על הכדור, כלומר x-ים הנמצאים בין מינוס R לR, מהשוואת מקדמים עבור X,או בהצבה עבור x=R, x=0, ניתן לגזור מתוכו שתי משוואות בשני נעלמים (מטען הדמות ומרחקו) מן הראשית)(בשיטת ההצבה יש צורך לוודא כי התוצאות המתקבלות פותרות את המשוואה הכללית עם X,לכל X, בעוד שבהשוואת מקדמים כך קיבלנו את הגדלים האלו). פתרון המשוואה האפשרי היחיד הוא:
כלומר, אם נחליף את הקליפה הכדורית המוארקת במטען הדמות הנ"ל במיקום הנ"ל, נקבל שהפוטנציאל על משטח הקליפה מתאפס. כלומר, התצורה החליפית בדמות formula_16 מקיימת את תנאי השפה של הבעיה, ולכן הפוטנציאל הנגזר ממנה הוא הפוטנציאל הפותר את הבעיה. לכן, מחוץ לכדור מתקיים:
גם כאן מציאת הפוטנציאל במרחב מאפשרת למצוא את השדה בכל מקום, את צפיפות המטען המשטחית המושרית על הכדור, את המטען הכולל על הכדור (formula_26) וכדומה. פתרון זה הוא הבסיס למספר בעיות דומות בעלות תנאי שפה שונים במקצת, בהן הקליפה המוליכה המוארקת מוחלפת בקליפה מוליכה שאינה מוארקת, כלומר כזו שהפוטנציאל או המטען הכולל עליה ידועים. בבעיות מסוג זה, יש להוסיף מטען דמות נוסף במרכז הקליפה הכדורית. הסיבה לכך היא שהמטען המקורי ומטען הדמות הראשון מאפסים יחד את הפוטנציאל על הקליפה. כעת יש להסיט את הפוטנציאל על הקליפה (בכל הקליפה) בקבוע (זוהי ההשפעה של מטען או פוטנציאל שאינו אפס), ולשם כך בדיוק נועד מטען הדמות השני.
צ'אק הייגל
צ'ארלס טימותי "צ'אק" הייגל (באנגלית: Charles Timothy "Chuck" Hagel; נולד ב-4 באוקטובר 1946) הוא פוליטיקאי אמריקאי ששימש כמזכיר ההגנה ה-24, בין השנים 2013–2015. בשנים 1997–2009 כיהן כסנאטור רפובליקאי מטעם מדינת נברסקה.
קורות חייו.
הייגל נולד בנורת' פלייט, נברסקה, כבן הבכור מבין ארבעה בנים. אמו ממוצא אירי ופולני ואביו ממוצא גרמני. אביו צ'ארלס הייגל לחם במלחמת העולם השנייה ונפטר בפתאומיות בחג המולד 1962 בגיל 39. בשנת 1967 התגייס הייגל לצבא ארצות הברית, עבר הכשרה כלוחם בחיל הרגלים ושובץ באוגדת החי"ר ה-9. כמפקד כיתה בדרגת סמל, לחם במלחמת וייטנאם ונפצע פעמיים. הוא שירת באותה מחלקה עם אחיו הצעיר, ובשני אירועים שונים, כל אחד הציל את חיי אחיו. הוא זכה על שירותו במדליות ואותות הצטיינות שונים. לאחר שובו מווייטנאם עבד כברמן וכשדרן חדשות ברדיו. הוא סיים את לימודיו באוניברסיטת נברסקה בעיר אומהה בשנת 1972.
פעילות פוליטית.
ב-1971 החל הייגל בעבודתו הפוליטית, כחלק מצוותו של חבר בית הנבחרים של ארצות הברית, ג'ון מקוליסטר, עד 1977. בשנים הבאות עבד כלוביסט של חברת הצמיגים פיירסטון, והחל מ-1980 היה שותף בכיר בארגון מטה הבחירות של מושל קליפורניה שהפך לנשיא, רונלד רייגן. לאחר כניסתו של רייגן לתפקיד מונה הייגל לסגן יו"ר ארגון הווטרנים האמריקאי.
לאחר פרישתו הזמנית מתעסוקה בממשל פנה לעסקים פרטיים והפך למייסד שותף של חברה לייצור טלפונים סלולריים, עמדה שהפכה אותו למיליונר. בשנים שלאחר מכן שימש כמנכ"ל ארגון המספק טובין לצבא ארצות הברית וכבכיר בארגון ועדות וכינוסים בינלאומיים שונים, בין השאר בצלב האדום האמריקאי. ב-1992 חזר מוירג'יניה לנברסקה והפך לנשיא קבוצת השקעות בנקאית. ב-2007 השתתף בוועידות שאורגנו על ידי המועצה האמריקנית-איראנית, בהשתתפות מספר מדינאים ואנשי תקשורת.
ב-1996 ניצח הייגל את בן נלסון במירוץ למושב הסנאט מטעם מדינת נברסקה, על אף העובדה שרבים העריכו שאין לו כל סיכוי לזכות במינוי. הוא זכה ב-56% מהקולות. הוא הצהיר כי יפרוש לאחר שתי תקופות כהונה מן הסנאט. בבחירות של שנת 2002 הוא זכה ב-83% מהקולות, הניצחון המוחץ ביותר בתולדות מדינת נברסקה. הייגל כיהן כסגן מצליף המפלגה הרפובליקנית. כמו כן היה יו"ר הוועדה שעסקה בשינויי האקלים וכראש הוועדה לפיקוח על כוחות משימה המזוינים. הוא שימש כסגן יו"ר הוועדה המשותפת לשני בתי הקונגרס באשר למדיניות עם סין. כמו כן שימש כמשגיח בקבוצת הפיקוח על נאט"ו.
הייגל היה חבר בארבע ועדות של הסנאט: ועדת החוץ, ועדת הבנקים, דיור ועניינים מקומיים, הוועדה הנבחרת לענייני מודיעין והוועדה לחוק ומינהל.
בהתבטאות מעוררת מחלוקת ב-1998 לאחר מינויו של ג'יימס הורמל, הומוסקסואל, לשגריר ארצות הברית בלוקסמבורג, ציין הייגל שהוא סבור שהיותו של הורמל הומוסקסואל מוצהר תפגע ביכולתו לפעול באופן יעיל. מאוחר יותר התנצל על התבטאות זו.
ב-2002 הגדיר את דברי בוש על "ציר הרשע" כהטחת כינויי גנאי בלבד שאינם מועילים ופשטניים מדי בעולם מורכב. ביולי 2007 קרא הייגל להסיג את הכוחות מעיראק בתוך 120 יום. הוא התראיין באותה עת ל"וושינגטון פוסט" ומנה את כל כשלי הממשל בעיראק, כשהוא טוען שאף מערכת עיראקית אינה מתפקדת כראוי. הייגל אף השווה, בראיון מ-2005 את מלחמת עיראק למלחמת וייטנאם והוקיע את כישלונותיו של בוש בניהול המערכה. ביולי 2006, במהלך מלחמת לבנון השנייה, אמר הייגל כי "הטבח ההדדי המבחיל חייב להיפסק מיד. הנשיא בוש חייב לקרוא להפסקת אש מיידית. הטירוף הזה חייב להיפסק". בינואר 2007 מתח הייגל ביקורת על כוונתו של הנשיא בוש הבן לשלוח עוד 20,000 חיילים לעיראק. הוא קרא לתוכנית זו "שגיאת מדיניות החוץ המסוכנת ביותר מאז וייטנאם".