ארץ המולדת השחורה
משפט פיוצ'רמה
משפט פיוצ'רמה הוא משפט מתמטי שנהגה והוכח על ידי קן קילר, אחד ממפיקי סדרת הטלוויזיה פיוצ'רמה, כדי לפתור בעיה שהתעוררה במהלך עלילת הסדרה.
רקע.
המשפט פותר בעיה שמטרידה את דמויות הסדרה בפרק "The Prisoner of Benda" (פרק 10 בעונה 6). בתחילת הפרק פרופסור פארנסוורת' ואיימי וונג ממציאים מכונה מחליפת גופים. אל המכונה מתחברים שני אנשים, והיא מחליפה בין גופיהם, כך שהתודעה של כל אחד שולטת בגופו של השני.
איימי והפרופסור מנסים את המכונה על עצמם ומחליפים ביניהם את גופיהם. אולם כאשר הם מנסים להחליף בחזרה, הם מגלים שלמכונה יש מגבלה. היא אינה מסוגלת להחליף בין שני גופים שכבר החליפו ביניהם בעבר. בניסיון לפתור את הבעיה הם מערבים גוף שלישי, את גופו של בנדר. בנדר מחליף עם הגוף של איימי (המכילה את תודעת הפרופסור), אך במהרה הם מבינים שהבעיה נותרת בעינה. אם עכשיו הגוף של בנדר יחליף עם הגוף של הפרופסור, תודעת הפרופסור תחזור למקומה, אבל התודעה של איימי תהיה כלואה בגוף של בנדר, שבשל המגבלה, כבר לא יכול להחליף עם הגוף של איימי. איימי שואלת את הפרופסור האם אפשרי שכל תודעה תחזור לגוף שלה תוך שימוש בארבעה גופים או יותר, והפרופסור משיב בדרמטיות "איני בטוח. אני חושש שנאלץ להשתמש במתמטיקה!".
במהרה הבעיה מחריפה, ודמויות רבות נוספות מתערבבות בהחלפת הגופים. בסופו של הפרק הדמויות מחפשות דרך להחזיר את כולם לגוף שלהם. לעזרתן באים שניים משחקני ההארלם גלובטרוטרס (שלאורך הסדרה מוצגים כגאונים) ופותרים את הבעיה. הם מראים כי לא משנה כמה דמויות מעורבות בהחלפת הגופים, וכמה החלפות כבר "נשרפו", תמיד ניתן לחזור למצב הרגיל בעזרתם של שני גופים נוספים שטרם השתתפו בהחלפות. השחקנים מדגימים את הפתרון שלהם כאשר הם עוזרים לדמויות לחזור למצב הרגיל, וההוכחה המלאה של הפתרון מוצגת לצופים במשך כמה שניות. בתגובה להצגת הפתרון פרופסור פארנסוורת' מלין על כך ש"אומרים שמתמטיקה טהורה היא חסרת יישומים". הפתרון מוצג בדקה 20:31 לפרק.
רקע פורמלי.
העצם המתמטי המייצג שינוי סדר נקרא תמורה. תמורות נהוג לסמן בשתי שורות; בשורה העליונה יופיעו העצמים בסדר כלשהו ובשורה בתחתונה מתחת לכל עצם בשורה העליונה יופיע המקום החדש שלו. במקרה שלנו, השורה העליונה תייצג את התודעות של הדמויות, והשורה התחתונה את הגופים של הדמויות. כל תודעה מצויה ישירות מעל לגוף שהיא מצויה בו.
למשל אם נסמן את איימי ב-A, את הפרופסור ב-P ואת בנדר ב-B, המצב אליו נקלעו השלושה בתחילת הפרק יסומן: formula_1.
כאשר תמורה מעבירה את 1 ל-2, את 2 ל-3, את 3 ל-4, וכן הלאה עד שהעצם האחרון n עובר חזרה ל-1, נקראת מעגל וסימונה: formula_2. המספר n נקרא אורך המעגל.
התמורה שלא משנה כלום (במקרה שלנו, כל תודעה בגוף שלה) נקראת תמורת הזהות.
כאשר מפעילים תמורה אחת ולאחריה תמורה אחרת הפעולה נקראת הרכבה או כפל של תמורות, ומסמנים אותה בכתיבתם זה אחרי זה, משמאל לימין.
הוכחה.
להלן ההוכחה למשפט שהוצגה במהלך הפרק בשינויים קלים.
תחילה נטפל במקרה של מעגל. יהי formula_3 מעגל באורך k, אורך 2 לפחות (המעגל אינו משנה את המספרים הנותרים מ-k+1 עד n):
נסמן ב-formula_5 את פעולת ההחלפה בין שני גופים (כלומר חילופי מקומות בין המספרים a ו-b בשורה התחתונה של התמורה). אנו מניחים ש-formula_3 נוצר על ידי החלפות שכאלו על המספרים מ-1 עד n. נוסיף שני "גופים חדשים", x ו-y ונרשום את התמורה המייצגת את המצב הנוכחי:
נבחר formula_8 ונגדיר תמורה formula_9 כהרכבה של החלפות:
formula_9 נוצרה על ידי החלפות שכולן מערבות או את x או את y, ולכן הן בהכרח שונות מההחלפות שיצרו את formula_3. כמו כן אף אחת מההחלפות שיוצרות את formula_9 אינה מופיעה פעמיים. כעת נבחין כי:
כעת נסמן ב-formula_15 תמורה כלשהי על המספרים מ-1 עד n. כל תמורה ניתנת לפירוק להרכבה של מעגלים זרים (מעגלים שאינם חולקים מספרים). כל אחד מן המעגלים ניתן לטיפול על ידי סדרת החלפות formula_9 כפי שהוצג לעיל, כדי להחזיר כל תודעה לגוף שלה. לאחר השלמת הטיפול בכל המעגלים, ייתכן ו-x ו-y יהיו מוחלפים ביניהם בגופים (זה קורה כאשר מספר המעגלים הוא אי-זוגי). במקרה כזה מבצעים את ההחלפה formula_17 שטרם נעשה בה שימוש, ומתקבלת תמורת הזהות, כרצוי.
לותאר פון ארנו דה לה פרייר
לותאר פון ארנו דה לה פרייר (בגרמנית: Lothar von Arnauld de la Perière; 18 במרץ 1886 - 24 בפברואר 1941) היה קצין צי גרמני. במלחמת העולם הראשונה פיקד על צוללת של הצי הקיסרי הגרמני; הוא היה ועודנו מפקד הצוללת המצליח ביותר בהיסטוריה הימית, ולזכותו נרשמו הטבעת 194 אוניות בתפוסה כוללת של 453,716 טון (GRT). את רוב ניצחונותיו השיג בזירת הים התיכון, בעיקר בעזרת תותח הצוללת, ופחות באמצעות טורפדו.
לאחר מלחמת העולם הראשונה המשיך פון ארנו דה לה פרייר את שירותו בצי הגרמני, שהפך כעת לרייכסמרינה. הוא פרש מן הצי ב-1932, ועבר למלא תפקידים שונים בצי הטורקי. עם עליית המפלגה הנאצית לשלטון נקרא הצי הגרמני קריגסמרינה ואליו נקרא שוב פון ארנו דה לה פרייר לשירות פעיל, בדרגת תת אדמירל. הוא נהרג בתאונת מטוס ליד פריז ב-1941.
רקע וילדות.
אבי סבו של לותאר, ז'אן גבריאל ארנו, נולד בצרפת ב-1731 בסן פלנטר, במרכז צרפת. הוא היה בן אצולה, ושימש כקצין ארטילריה. ב-1757 עבר לפרוסיה כדי לחפש התנסות קרבית וקידום בצבא פרוסיה של המלך פרידריך הגדול. אגדה משפחתית טענה כי ז'אן גבריאל למעשה נמלט מצרפת בעקבות דו-קרב שבו היה מעורב עם אחד מנסיכי בית בורבון. בשל מוצאו האצילי התקבל ארנו לשורות האצולה הפרוסית, והתקדם בשירותו עד לדרגת גנרל לויטננט. הוא נישא שלוש פעמים, והיו לו 14 ילדים (חמישה מאשתו הראשונה, חמישה מאשתו השנייה, וארבעה מאשתו השלישית). הילד ה-12, בנו השני מאשתו השלישית לואיז הירונימוס, היה בנו אויגן אהסוורוס אלברטוס, שנולד בשנת 1800, סבו של לותאר.
אויגן פון ארנו דה לה פרייר נישא פעמיים והביא לעולם עשרה ילדים. אשתו הראשונה ילדה ארבעה ילדים; אשתו השנייה, אולגה ספאלדינג, ילדה ב-28 באפריל 1856 את אויגן אמיל אלכסנדר ולנטין פון ארנו דה לה פרייר, הראשון מבין ששה שילדה. אויגן אמיל אלכסנדר ולנטין נישא לברתה מילר. לותאר היה בנם השני, מתוך ארבעת ילדיהם. אחיו הגדול נפטר בגיל חצי שנה; אחיו הצעיר ממנו, פרידריך היה גנרללויטננט בלופטוואפה. הוא חי עד 1969. האח הצעיר ביותר, הלמוט, הגיע לדרגת קולונל. הוא נהרג במלחמת העולם הראשונה בקרב ליד העיירה וירטון, בבלגיה.
אביו של לותאר היה שופט בפרוסיה. כבן לפקיד בשירות המדינה, היה לותאר זכאי להתחנך כצוער. הוא החל שירותו בצי הקיסרי הגרמני ב-1903. וב-1906 סיים את לימודיו באקדמיית הצי כקצין טורפדו. הוא שירת כלויטננט צור זה (Leutnant zur See, מקביל לסגן משנה) על אונית המערכה קורפרסט פרידריך וילהלם. במהלך שירותו על האונייה זכה לעיטור הראשון שלו, עיטור מסדר הכתר (Kronenorden) מדרגה רביעית. העיטור ניתן לו על שסיכן את חייו בהצלת מלח שנפל לים.
לאחר תקופה בתפקיד מטה השתתף פון ארנו ב-1908 בתרגילים של שתי אוניות המערכה שלזיין ושלזויג-הולשטיין. תפקידו הבא היה קצין במשחתת V155. ב-1909 עלה לדרגת Oberleutnant Zur See (סגן) וקיבל את הפיקוד על המשחתת V160, שעסקה בהגנה על הדיג בים הצפוני.
בחורף 1910–1911 היה פון ארנו בתפקיד מטה בחוף, בבסיס וילהלמסהאפן, ובאביב 1911 מונה לתפקיד קצין טורפדו על הסיירת הקלה אמדן, במזרח הרחוק. פון ארנו שירת בתפקיד זה שנתיים, וכאשר שב לגרמניה התמנה לקצין על אוניית המערכה שרנהורסט. תפקידו הבא היה במחלקת הפיקוח של הצי, שם היה כפוף למפקד הצי הקיסרי הגרמני, אדמירל הוגו פון פוהל.
מלחמת העולם הראשונה.
כאשר החלה מלחמת העולם הראשונה היה פון ארנו בתפקיד מטה. הוא שאף להגיע לתפקיד קרבי, ולשם כך ניסה תחילה להתקבל ליחידות החדשות שהוקמו ושעסקו בהטסת ספינות אוויר. בקשה זו נדחתה, אך בקשה נוספת שהגיש להעברה לתפקיד בצוללות נתקבלה. לאחר תקופה של לימודים והסמכה, וכן העלאה לדרגת קפיטן לויטננט (Kapitänleutnant, סרן), מונה פון ארנו כמפקד הצוללת U-35.
בסיסה של הצוללת היה בנמל פולה, בצפון הים האדריאטי, אז בשליטת האימפריה האוסטרו-הונגרית (כיום בקרואטיה). מכאן יצאה הצוללת בפיקודו של פון ארנו לפטרולים בים התיכון. להלן פירוט מבצעיה של הצוללת U-35:
ב-16 במרץ 1918 העביר פון ארנו את הפיקוד על הצוללת לקפיטן לויטננט ארנסט פון ווֹיט.
U-139.
פון ארנו שב לגרמניה, שם קיבל את הפיקוד על הצוללת U-139. צוללת זו הייתה מיועדת למבצעים בטווח רחוק בהרבה מזה של U-35; יעדה של U-139 היה תקיפת ואוניות סוחר לאורך חופי ארצות הברית, שהצטרפה למלחמה לצד מדינות ההסכמה באפריל 1917.
בצוללת זו ביצע פון ארנו פטרול אחד: ב-1 באוקטובר 1918, בדרכה ליעדה, תקפה U-139 שיירה כ-280 ק"מ מצפון-צפון מזרח לכף פיניסטר, בצפון מערב ספרד. U-139 הצליחה להטביע שלוש אוניות סוחר ולפגוע ברביעית, אך ספינות הליווי הגיבו בהפצצה מסיבית של פצצות עומק, ו-U-139 נאלצה לחמוק בצלילה ממושכת. הצוללת ספגה מספר פגיעות, שכללו את יציאת הפריסקופ מכלל שימוש, ולאור נזקים אלה היה ברור שלא ניתן יהיה להגיע ליעד המתוכנן. למרות זאת החליט פון ארנו להמשיך לכיוון האיים האזוריים, שם הטביעה הצוללת אונייה נוספת.