ליניאריות ואינטגרל הסופרפוזיציה.
נסתכל על פעולת אופרטור ליניארי הפועל על פונקציית כניסה formula_12. אך מעט לפני כן, נשתמש בתכונה ידועה של פונקציית-דלתא כדי לכתוב את פונקציית הכניסה בצורה הבאה:
formula_19 .
למציאת התגובה של המערכת יש להפעיל את האופרטור על הקלט
formula_20 .
משום שהאופרטור לא פועל על פונקציית משתני-הדמה שבאינטגרל, ניתן להכניס אותו לתוך האינטגרל ולהפעילו על פונקציית הדלתא בלבד
formula_21 .
בשלב הסופי, נגדיר את פונקציית התגובה להלם של המערכת
formula_22 .
כעת, ניתן לרשום את הקשר בין הקלט והפלט של המערכת הליניארית באופן הבא
formula_23 .
אינטגרל זה נקרא "אינטגרל הסופרפוזיציה" וחשוב לשים לב אינטגרל זה הוא בעצם קונבולוציה. ובכך אנו מקבלים עקרון חשוב מאוד באופטיקת פורייה - הפלט של מערכת אופטית שווה לקונבולוציה של פונקציית הכניסה עם פונקציית התגובה להלם של המערכת formula_24 .
כאן ראוי להזכיר את משפט הקונבולוציה הטוען כי התמרת פורייה של קונבולוציה בין שתי פונקציות שווה למכפלת התמרות פורייה של כל פונקציה בנפרד (בהנחה שתנאי המשפט מתקיימים) - formula_25. כאשר
formula_26
היא התמרת פורייה של פונקציית הפלט
formula_27
והפונקציה
formula_28
היא התמרת פורייה של פונקציית הקלט
formula_29
והפונקציה
formula_30
היא התמרת פורייה של פונקציית התגובה להלם של המערכת והיא נקראת גם פונקציית התמסורת של המערכת.
מעבר ממשוואות מקסוול הווקטוריות למשוואת הלמהולץ הסקלרית.
כאמור, הבסיס לכל המודל הגלי של האור מסוכם בצורה אלגנטית ופשוטה על ידי ארבעת משוואות מקסוול. משוואות אלו הן משוואות דיפרניציאליות וקטורית והן מצמדות בין השדה החשמלי והשדה המגנטי. עבור תווך ליניארי, איזוטרופי, הומוגני, לא נפיץ ולא-מגנטי משוואות מקסוול יכולות להכתב בצורה הבאה (במערכת יחידות MKS)
formula_31
formula_32
formula_33
formula_34 .
לפי זהות וקטורית שימושית מתקיים:
formula_35 .
אם נציב בזהות זו את המשוואת השלישית ונציב אותה מחדש במשוואת מקסוול הראשונה, נקבל את משוואת הגלים עבור השדה החשמלי
formula_36 .
כש- formula_37 הוא מקדם השבירה של החומר ו- formula_38 היא מהירות האור בריק.
משוואה וקטורית זו ניתנת להפרדה לרכיבים - כל רכיב של השדה החשמלי, formula_39, מציית למשוואה זו בנפרד ולכן ניתן לפרק אותה לסט של שלוש משוואות סקלריות formula_40 כאשר
formula_41.
משום שכל גל ניתן לכתיבה על ידי סכום של גלים מישוריים מהצורה
formula_42
בעלי וקטורי-גל
formula_43 שונים, יש טעם להציב את הגל המישורי במשוואת הגלים.
לשם כך יש לחשב את הנגזרת הזמנית ולהציבה במשוואת הגלים :
formula_44 .
לאחר הכנסת יחס הדיספרסיה המתאים לתווך איזוטרופי והומוגני formula_45 מקבלים את המשוואה
formula_46 .
(תהליך דומה ניתן לעשות גם עבור השדה המגנטי).
משוואה זו נקראת משוואת הלמהולץ והיא הייתה מוכרת למהנדסי החשמל שעסקו בקווי תמסורת ובתקשורת טלגרף.
היתרון של עבודה עם משוואה זו במקום עם משוואת הגלים הוא שכעת אין פותרים משוואה עם תלות זמנית ומרחבית, אלא משוואה מרחבית בלבד.
דיפרקציה במרחב חופשי.
הבעיה הבסיסית באופטיקה היא זו - נתונה פונקציית ההתפלגות של האמפליטודת השדה האלקטרומגנטי במישור הכניסה למערכת. נניח כי הגל הוא מונוכרומטי (בעל אורך גל בודד
formula_47
) ומתקדם בכיוון ציר z. פונקציית הכניסה היא
formula_48.
אנו מחפשים את פונקציית התפלגות השדה ביציאה מהמערכת, שבמקרה הנוכחי היא מרחב חופשי,
formula_49
, כאשר השדה מציית למשוואת הלמהולץ.
לפי עקרון הויגינס-פרנל, כל נקודה בפונקציית הכניסה היא מקור של גל כדורי, כאשר
formula_50
נותנת את המשקל של כל מקור כזה. לפיכך, פתרון הבעיה הוא סופרפוזיציה של גלים כדוריים, אשר לכל אחד מהם מקבל משקל שונה:
formula_51.
קירוב פרנל.
כאשר גודל המפתח של פונקציית הכניסה קטן מספיק ממרחק ההתקדמות של הגל, ניתן לקרב את השורש שבאקספוננט לפי טור טיילור באופן הבא:
formula_52
לאחר הכנסת קירוב זה לאקספוננט שבאינטגרל מקבלים:
formula_53.
בשלב זה ניתן לסמן
formula_54.
בנוסף, אפשר להבחין כי האינטגרל הנ"ל, המכונה גם אינטגרל הדיפרקציה של פרנל-כירכהוף, הוא למעשה התמרת פורייה של הפונקציה
formula_55.
נרשום זאת כך:
formula_56.
קירוב פראנהופר.
כאשר מרחק ההתקדמות גדול מספיק כדי לקרב את האקספוננט
formula_57
ל-1, אנו נותרים בלעדיו באינטרגרנד ואינטגרל פרנל-כירכהוף הופך להיות התמרת פורייה של
formula_50. כך מקבלים:
formula_59.
כאשר:
formula_60
formula_61.
משום שהעצמה תלויה בריבוע ערכה המוחלט של האמפליטודה ניתן לכתוב את התמונה ביציאה כך:
formula_62.
קירוב זה נקרא קירוב פראנהופר ובו טמון העקרון החשוב ביותר באופטיקת פורייה והסיבה לשמה:
פונקציית היציאה מהמערכת היא התמרת פורייה של פונקציית הכניסה.
דוגמאות.
עקיפה ממפתח מלבני.
במשטח מישורי מחומר אטום לאור, קיים חור מלבני בעל רוחב a וגובה b המואר בתאורה אחידה. נחשב כאן את תמונת המפתח על מסך המרוחק מרחק z מן המפתח, לפי קירוב פראנהופר:
ראשית, נרשום את פונקציית הכניסה -
formula_63.
לפי קירוב פראנהופר, כדי לחשב את פונקציית היציאה צריך למצוא את התמרת פורייה של הכניסה. במקרה זה היא:
formula_64.
כאשר:
formula_65.
והעוצמה תהיה:
formula_66
עקיפה ממפתח עגול.
נחשב את התמונת ביציאה מהמערכת כשהמפתח הוא מעגלי בקוטר l. פונקציית הכניסה הפעם היא:
formula_67.
כאשר
formula_68
הפעם נשתמש בהתמרת הנקל לחישוב פונקציית היציאה.
formula_69 כש-A הוא שטח המעגל ו-
formula_70 עם
formula_71.
עצמת השדה ביציאה במקרה זה תהיה:
formula_72
עקיפה מסריג אמפליטודה סינוסואידלי.
במקרה זה פונקציית הכניסה היא סינוס עם תדירות מרחבית
formula_73 לאורך ציר x ועומק מודולציה
formula_74
ה"רוכב" על עוצמה קבועה בת יחידה אחת:
formula_75.
במקרה זה התמרת פורייה של הכניסה תיתן:
formula_76.
זוהי תוצאה שימושית מאוד - "הולדתן" של שתי פונקציות הדלתא נותנת שניתן להשתמש בסריג אמפליטודה דק כמעין מפצל קרניים - קרן נכנסת מתפצלת לשלוש קרנים: קרן אחת ממשיכה באותה דרך, קרן שנייה המוסטת ימינה וקרן שלישית מוסטת שמאלה. כדי לממש רכיב בעל פעולה דומה ההמסתמך רק על אופטיקה גאומטרית יש לתכנן רכיב עבה, כבד ומסורבל.
באופן דומה, ניתן לתכנן רכיב בעל פונקציית שן-מסור שיעשה עבודה דומה (אם כי שם נקבל יותר משתי קרניים) או שן-מסור א-סימטרי, שבאמצעותו ניתן לקבל קרן חדשה אחת בלבד.
זו דוגמה טובה ליתרונותיה של אופטיקת פורייה בתכנון רכיבים אופטיים, ובעיקר בתכנון רכיבים דיפרקטיביים שלא ניתן היה לתכנן באמצעות אופטיקה גאומטרית.
רכיבים דקים.
בחלק הקודם עסקנו במערכת "מרחב חפשי". בחלק זה נביא רכיבים אופטיים נוספים - אל כולם נתייחס כאל רכיבים "דקים". כלומר, אין בתוכם תופעות דיפרקציה משניות. בנוסף, לשם פשטות החישובים, נתעלם מהחזרות פנימיות ומתופעות לא ליניאריות (אם ישנן).
בדומה לסימונים בחישובי מערכות ליניאריות, מטרתנו היא לבטא את פעולת הרכיב כאופרטור t הפועל על פונקציית הכניסה:
formula_77.
לוח דיאלקטרי.
נסתכל על לוח דיאלקטרי שקוף, בעל מקדם שבירה n ועובי d.
ללא המעבר דרך הלוח, היה האור צובר איבר פאזה
formula_78, אך משום שהאור עובר דרך הלוח הוא יקבל איבר פאזה
formula_79.
לכן הפרש הפאזה ביחס לאור שהיה עובר בוואקום מכתיב שאופרטור הרכיב יהיה:
formula_80 .
כאשר הגל פוגע בלוח בזווית
formula_81,
אז העובי האפקטיבי של הלוח הוא בקירוב הפראקסיאלי
formula_82. אם נציב זאת באופרטור הלוח נקבל:
formula_83 .
פריזמה.
נתונה פריזמה דקה (נקראת לפעמים גם "טריז" - wedge), בעלת מקדם שבירה n ובעלת זווית ראש
formula_84. נוכל לכתוב ביטוי עבור עובי הלוחית כפונקציה של y:
formula_85.
לכן אופרטור הפריזמה יהיה:
formula_86 .
עדשה דקה.
נחשב את הביטוי עבור עדשה דקה בעלת עובי מרבי a, מקדם שבירה n ורדיוסי עקמומיות
formula_87 המצייתים להסכם הסימנים של נוסחת לוטשי-העדשות. לפי נוסחת לוטשי העדשות לעדשה כזו יהיה אורך מוקד
formula_88.
באופן דומה לשני הרכיבים הקודמים, נרשום את עובי העדשה ונציב בביטוי עבור הפרש הפאזה בין אור שעבר בעדשה ובין אור שעבר בוואקום:
formula_89 .
לכן פונקציית ההעברה (או ה"אופרטור") של העדשה תהיה:
formula_90 .
בביטוי זה ניתן להבחין בשני איברים: האיבר הראשון - איבר פאזה גלובלית קבוע במרחב והוא פחות מעניין מביניהם. האיבר השני - פאזה ריבועית, היוצרת גל כדורי. זהו האיבר הגורם לגל מישורי להתכנס או להתבדר, בהתאם למוקד העדשה ומרחק ההתפשטות.
שיטת האופרטורים.
לאחר שמצאנו ביטויים עבור רכיבים אופטיים ועבור התקדמות במרחב חופשי, נוכל כעת להרכיב ביטויים עבור מערכות מורכבות יותר, מרובות רכיבים. כפי שניתן לצפות, הביטוי עבור מערכת מרובת מקטעים של התקדמות במרחב חופשי יכול להיות ארוך ומסורבל וידרוש פתרון אינטגרלים רבים. כדי להתמודד עם אתגר זה, נציג נוטציה שימושית:
ראשית, נגדיר אופרטור מתאים לכל רכיב ולאחר מכן נציג את היחסים ביניהם.
נסמן את הגדלים הבאים:
formula_91
אופרטור קנה-מידה (scaling).
formula_92
אופרטור ההזזה.
formula_93
אופרטור הפאזה הריבועית.
formula_94
אופרטור עדשה דקה בעלת מוקד f.
formula_95
אופרטור ההתקדמות בתווך חופשי.
formula_96
כאשר F מציין התמרת פורייה ו-formula_97 מציין את התמרת פורייה ההפוכה.
דוגמאות.
עדשה בודדת - מישור פורייה.
נתונה עדשה בודדת בעלת אורך מוקד f. נרצה לבדוק מהי הטרנספורמציה שיעבור גל שפוגע בעדשה ומתקדם מרחק של f.