להדגשת העובדה שמהותה של ספרה אינה תלויה בסמל המשמש לייצוגה, יש המשתמשים במושג "סִפרן" לתיאור הסמל, ובמושג "ספרה" לתיאור הרעיון שסמל זה מתאר. ספרה מסוימת ניתן לייצג באמצעות סִפרנים שונים, המייצגים מהות אחת.
היסטוריה.
התקופה הפרהיסטורית.
בעידן הפרהיסטורי, החל האדם הנבון להבין את רעיונות המספר והחישוב. ישנו מספר מוגבל של ממצאים מהתקופה הפרהיסטורית המעידים על תפישה של חיבור וחיסור. הממצא הברור ביותר מהתקופה הוא עצם אישנגו מאפריקה, שמתוארך לבין השנים 20,000-18,000 לפנה"ס. בעצם אישנגו כתובות ספרות בשיטה הפשוטה ביותר, של בסיס אונרי, שבה כדי לייצג את המספר הטבעי n, סמל אחד, שנבחר לייצג את 1, חוזר על עצמו n פעמים. לדוגמה, על ידי שימוש בסימן | (קו אנכי), המספר 6 מיוצג על ידי ||||||. השיטה המקובלת לספירה באמצעות אצבעות הידיים היא דוגמה לספירה על פי בסיס אונרי. לרוב נהוג לקבץ את הסימנים בקבוצות של 5 (למשל, על ידי מתיחת קו על כל ארבעה סימנים) לצורך שיפור הקריאות.
רמזים לשימוש בבסיס אונרי מופיעים גם בשיטות מתקדמות יותר לכתיבת מספרים.
מצרים העתיקה.
המצרים הקדומים היו הראשונים שביצעו פעולות מורכבות בתחום המתמטיקה בכלל והאריתמטיקה בפרט. בשנת 3450 לפנה"ס לערך פיתחו המצרים שיטת ספירה לא-פוזיציונלית, המבוססת על כפולות של 10. דרכם הייחודית להצגת המספרים הייתה חיבורית, כלומר: כל ספרה ביטאה גודל מסוים, כאשר הגודל "הכללי" של המספר הוא סכום הגדלים של כל אחת מהן בנפרד, בלא תלות במיקום הספרה.
כאשר רצו לבטא מספר מסוים שמורכב מיותר מספרה אחת (דו-ספרתי, תלת-ספרתי וכו'), חרטו המצרים את הסמלים אחד ליד השני, כאשר את הספרות שאינן יחידות ביטאו כקבוצת יחידות של כל ספרה. למשל, אם היו חפצים לבטא את המספר 7,507, הם כתבו אותו: 1×100+7×1,000+5×7 (קרי: שבע פעמים הסימן של אלף, חמש פעמים הסימן של מאה, והסימן של שבע).
כך זה יראה:
בבל.
בסביבות שנת 3500 לפנה"ס שלטו באזור מסופוטמיה השומרים, שעשו שימוש בכתב יתדות וערכו את חישוביהם בבסיס 60. בשנת 1900 לפנה"ס, אחרי שפלשו למסופוטמיה, קבעו הבבלים את בירתם בבבל. סביר להניח כי הבבלים ירשו את שיטת הספירה שלהם מן האשורים והאכדים משום נוחיותה.
שיטת הספירה הבבלית הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: הבבלים קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת, בדומה לשיטה העשרונית בימינו כאשר בסיס הספירה הוא, כאמור, 60. כדי למנוע את הצרך ביצירת 60 סימנים מוסכמים שונים, השתמשו הבבלים בספירת משנה קיבוצית (ראו תמונה).
החידוש המשמעותי בהכנסת שיטה זו לשימוש הוא בקיצור ההצגה של מספרים גדולים. בעוד ובשיטות שהן קיבוציות בלבד יש צורך בסימנים רבים על מנת להציג מספרים גדולים, בשיטות הכוללות קישור בין מיקום הספרה לסדר הגודל שלה, ישנו חיסכון במספר הספרות הדרושות להצגת המספר.
היעדר הספרה 0 גרם לבבלים, במשך תקופה ארוכה, להשאיר רווח בכל מקם בו נדרשה הסימון המיצג 0. סימן מתאים נכנס לשימוש בספרות הבבליות רק בשלב מאוחר יותר.
יוון העתיקה.
כדי לייצג מספרים בכתב, היוונים השתמשו תחילה במערכת מספרים המבוססת על בסיס עשרוני, כך שהסמל של כל מספר היה האות הראשונה של אותו מספר ביוונית, אלא אם כן, המספר היה מורכב מיותר מיחידת בסיס אחת (יחידות הבסיס היו המספרים בין 1 ל-9). כך למשל, המספר 5 (ביוונית: Πέντε) סומל באות פאי. שיטה זו נקראה השיטה האטית, על שם האזור בו השיטה התפתחה - אטיקה.
בתקופה מאוחרת יותר, היוונים השתמשו בשיטת סימון מתקדמת יותר, שבה הוצגו המספרים לפי האלפבית היווני. בשיטה זו השתמשו ב-26 האותיות היווניות, כאשר לסימון המספרים בין 1 ל-9 נקבעו תשע האותיות הראשונות (דאז, כאשר האות ϝ הייתה בשימוש), בתוספת גרש ( ' ) בצד ימין של האות, למעלה. תשע האותיות הבאות ייצגו את העשרות מ-10 עד 90, והבאות את המאות. לסימון הספרות בין 1000 ל-900,000, השתמשו היוונים באותן אותיות, אך הוסיפו לאותיות את הגרש דווקא מצד שמאל של האותיות, למטה. ממיליון ומעלה, כנראה השתמשו היוונים בשני תגים במקום אחד.
רומא העתיקה.
השיטה הרומית מבוססת על הקבצה - כל מספר מיוצג כאוסף של סימנים, כאשר כל אחד מהסימנים מייצג כמות קבועה מראש, למרות שהיא כן תלויה במיקומו במספר. ערכו של המספר נקבע על פי סכום ערכי הסימנים המופיעים, כאשר חלק מהסימנים עשויים להיות מחוסרים מהסכום, בהתאם למיקומם במילה.
שיטת הספרות הרומיות מכילה שבעה סימנים בסיסיים שמקורם באלפבית השפה הלטינית:
I, המייצגת את הספרה אחת, ובשפת המקור "unus".
V, המייצגת את הספרה חמש, ובשפת המקור "quinque".
X, המייצגת את הספרה עשר, ובשפת המקור "decem.
L המייצגת את הספרה חמישים, ובשפת המקור "quinquaginta".
C המייצגת את הספרה מאה, ומקורה כנראה במילה "centum" שפירושה מאה.
D המייצגת את הספרה חמש מאות, ובשפת המקור "quingenti".
M המייצגת את הספרה אלף, ומקורה כנראה במילה "mille anangu" שפירושה אלף.
אף שבחירתם של הרומאים באותיות מיוחדות לציון המספרים נעשתה במתכוון, ישנן סברות אחדות לגבי כל אחת מהבחירות.
אחת הטענות הקיימות היא שהאות I נבחרה לסימון הספרה 1 מפני שהיא קו יחיד.
איש המאה ה-16, מתאוס הוסטוס, הניח כי האות V מסמלת יד פתוחה, כאשר כל זוג אצבעות, למעט האגודל, צמודות, ומכאן שהאות X היא שתי ידיים שכאלה. ישנה גם סברה כי X מצביע על ההרגל להעביר שני קווים מוצלבים על עשר יחידות כתובות, ואם כך, ה-V נובע כחצי מהקו המוצלב.
ההיסטוריון הגרמני תאודור מומזן, שהיה מומחה להיסטוריה של האימפריה הרומית, סבר כי האות C היא ראשי תיבות של centum (מאה) וכי M היא ראשי תיבות של mille (אלף). ייתכן שהאותיות L ו-D נבחרו כי הן האותיות הכי דומות מתוך האלפבית הרומי לחציין של C (חצי ממאה - חמישים), ו-M בהתאמה.
למספרים גדולים השתמשו הרומאים בקו עליון מעל הספרה, המסמל למעשה את הכפלתה ב-1,000.
דוגמאות:
V = 5,000.
X = 10,000.
בכתיבת מספר, הספרות נרשמות משמאל לימין, מהגדולות לקטנות. אם מופיעה ספרה קטנה משמאל לספרה הגדולה ממנה, יש לחסר את הספרה הקטנה מהמספר הכולל. למשל:
מטרת החיסור היא לפשט צירופים: במקום לכתוב IIII עבור 4, די לכתוב שתי ספרות: IV. השימוש בשיטת החיסור נעשה עבור הספרות הבאות: I יכול להופיע משמאל ל-V או ל-X. X יכול להופיע משמאל ל-L או ל-C, ו-C יכול להופיע משמאל ל-D או ל-M. בעת העתיקה השימוש בשיטת החיסור היה מקובל פחות מאשר בימינו, ועל כן לרוב השתמשו ב-IIII על מנת לייצג 4, ולא ב-IV, וכדומה.
הספרות הרומיות נותרו לשימוש בעיקר כאמצעי דקורטיבי, למשל בשעונים. בנוסף, הן מופיעות גם בטקסטים רשמיים כגון חוקת ארצות הברית.
התרבות ההודית.
תרומתם העיקרית של ההודים לאריתמטיקה היא פיתוח השיטה העשרונית והכנסת שימוש מלא במושג אפס, כמו גם עבודתם עם מספרים שליליים.
בסביבות המאה השלישית לפנה"ס, החלו להופיע הספרות הברהאמיניות (ראו איור). ספרות אלה הן היסוד לספרות המוכרות לנו כיום מהשימוש בשיטה העשרונית. הסימנים המוכרים לנו כיום התקבעו במאה החמש העשרה, בין היתר הודות לצורך במערכת מוסכמת שבא בעקבות מהפכת הדפוס. ישנן מספר השערות בנוגע לדרך בה אימצו ההודים את השילוב של בסיס עשרוני עם העקרון של סדר גודל התלוי במיקום הספרה. השערה אחת מתבססת על העובדה שהראשונים לקשר בין מיקום הספרה לסדר הגודל שלה היו הבבלים. לפי השערה זו, העיקרון הועבר להודים על ידי היוונים כאשר ההודים "שילבו" אותו עם השימוש בבסיס ספירה עשרוני. השערה אחרת רואה בפיתוח התבססות על השיטה הסינית. השערה שלישית טוענת כי ההודים הגיעו לרעיון זה לבדם ללא גורם מתווך.
על חשיבותה של שיטת הספירה ההודית אמר פייר-סימון לפלס את הדברים הבאים:
תרבות המאיה.
תרבות המאיה התקיימה במרכז אמריקה. התור הקלאסי של תרבות המאיה התקיים בין השנים 250 ל-900 לספירה. כוהני הדת של תרבות המאיה עסקו רבות באסטרונומיה והיו בעלי השפעה רבה על תרבות המאיה בכללותה. לפיכך, כפועל יוצא, היה צורך בכלים מתמטיים לצרך בניית לוחות שנה ולניבויים אסטרונומיים. לצורך זה פיתחו בני המאיה מערכת ספרות מתקדמת יחסית לתקופתם.
בני המאיה השתמשו בספרות המאיה שפיתחו, אשר התבססו על בסיס 20, ככל הנראה מתוך ספירה על ידי שימוש באצבעות הרגליים והידיים גם יחד. אחד משלושת הסימנים מייצג את המספר 5, ככל הנראה כנגד 5 אצבעות בכף-יד. כל ספרות המאיה נכתבות באמצעות שלושה סימנים פשוטים: נקודה -המסמנת את המספר אחד, קו - המסמל את המספר חמש, וקונכייה - המסמלת את המספר אפס. שיטה זו נחשבת למתקדמת למדי לתקופתה שכן כללה הן את השילוב של עיקרון תלות מיקום הספרה לסדר הגודל של המספר הנמצא בה והן את קיומו של המספר אפס שאף קדם למערכת המיקומית והיה לאלמנט מהפכני ביחס לתקופתו. בני המאיה היו הראשונים להכניס את האפס לשימוש מלא במערכת הספרות שלהם שעה שבמערכות אחרות נהגו להותיר מקום ריק במקום בו אמור היה להופיע האפס.
בשיטת הספירה של המאיה, "גודלה האפקטיבי" של הספרה a (ספרה כלשהי) אשר נמצאה במקום formula_1 המקיים formula_2 היה, לפי חישובי המאיה, formula_3. כך, לדוגמה, ערכו של המספר
formula_4.
ספרות הודיות-ערביות.