עוד בוועידת קטוביץ בשנת 1884, הציע שפירא לארגון חובבי ציון להקים קרן לקניית אדמות בפלסטינה. אמנם, הארגון לא מימש את הצעתו אך שפירא לא איבד מנחישותו. 13 שנים מאוחר יותר הוא הציע אותה שוב בפורום הקונגרס הציוני העולמי הראשון, בישיבה האחרונה של הקונגרס, הצעה לייסד את הקרן הקיימת לישראל.
ההצעה כללה 12 סעיפים, בהם הגדיר שפירא את אופייה ומטרתה של הקרן, ועיקר הסעיפים הם:
הצעתו נתקבלה על ידי צירי הקונגרס ללא התלהבות יתרה ונמסרה לוועדה מיוחדת לשם עיבוד ועיון. שפירא עצמו לא זכה לראות בהתממשות חזונו ונפטר 8 חודשים מאוחר יותר. הרצל עצמו כבר תמך ברעיון ואחרי נאום סוחף קרא להצבעה מחודשת על ההצעה.
באותה ישיבה ראשונה של קונגרס הציוני הגיש שפירא גם את ההצעה להקמת אוניברסיטה עברית בירושלים.
ימיו האחרונים.
הוא הוזמן להשתתף בכינוס ציוני חשוב בעיר קלן וחלה בדלקת ריאות. הוא לא זכה להשתתף ב אך היה זה הרצל עצמו שספד לו מעל בימת אותו קונגרס. הוא נקבר תחילה בבית הקברות העתיק של העיר קלן, ובי"ט בטבת ה'תשי"ד הועלו עצמותיו לירושלים ונטמנו בהר המנוחות.
על שמו המושב גבעת שפירא, שמות רחובות בחיפה, בירושלים, בפתח תקווה, בראשון לציון, בחולון ובתל אביב שם שוכן בית קק"ל.
אוסף על שמו שמור בספרייה הלאומית.
מרחב הילברט
מרחב הילברט הוא מרחב מכפלה פנימית שהוא מרחב מטרי שלם ביחס לנורמה שמשרה המכפלה הפנימית שלו, בדרך כלל מממד אינסופי. מרחבי הילברט קרויים על שם המתמטיקאי הנודע דויד הילברט ונודעת להם חשיבות רבה במסגרת תורת האנליזה הפונקציונלית.
מרחבי הילברט מאפשרים יישום של מושגים גאומטריים בסיסיים כגון הטלה ושינוי בסיס, על מרחבים בעלי ממדים אינסופיים כדוגמת המרחבים הפונקציונליים. הם מספקים הקשר איתו ניתן לעצב ולהכליל את המושגים של טור פורייה במונחים של פולינומים אורתוגונליים שרירותיים ושל התמרת פורייה. כמו כן, מרחבי הילברט הם בעלי חשיבות מכרעת בניסוח מכניקת הקוונטים.
הגדרה.
מרחב הילברט הוא מרחב מכפלה פנימית (מרחב וקטורי בעל מכפלה פנימית) שהוא מרחב מטרי שלם ביחס למטריקה
formula_1 שמשרה המכפלה הפנימית.
בפרט, מרחב הילברט חייב להיות מרחב וקטורי מעל לשדה שלם כמו שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים. לדוגמה, formula_2 הוא מרחב הילברט (ביחס לכל מכפלה פנימית), בעוד ש- formula_3 איננו כזה.
המרחב "L2".
המרחב formula_4 כאשר formula_5 הוא אחד מהמרחבים הפונקציונליים ומרחבי הילברט החשובים ביותר.
מרחב formula_4 מוגדר להיות כקבוצת כל ה"פונקציות" formula_7 שהן אינטגרביליות לבג בריבוע על הקבוצה formula_8 (ראו הערה בהמשך). כלומר, האינטגרל לפי לבג קיים ומתקיים formula_9 (כאשר formula_10 היא מידת לבג). אז מסמנים ש formula_11. מרחב זה, עם פעולת חיבור פונקציות וכפל בסקלר הוא מרחב וקטורי.
יתרה מכך, הוא מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית הבאה:
כאשר * (או קו עליון) מסמנים צמוד מרוכב.
הערה לגבי איברי formula_4: לפי בניית אינטגרל לבג, עולה שאין שום דרך להבחין בין שתי פונקציות formula_14 ו-formula_15 הנבדלות אחת מהשנייה רק על קבוצה ממידה אפס באמצעות המכפלה הפנימית או הנורמה. לכן, הנורמה של כל פונקציה ששונה מאפס רק על קבוצה ממידה אפס היא אפס. מצב זה עומד בניגוד לאקסיומות הנורמה שדורשות: formula_16. כדי לתקן מצב זה, מרחב formula_4 אינו מוגדר על פונקציות אלא על מחלקות השקילות שלהן, שנקבעות לפי יחס השקילות הבא:
כלומר: כל שתי פונקציות formula_14 ו-formula_15 הנבדלות אחת מהשנייה רק על קבוצה ממידה אפס הן שקולות ומחלקת השקילות שלהן היא איבר במרחב זה. ניתן להגדיר את כל הפעולות הליניאריות על המחלקות באמצעות ביצוע פעולות אלה על הנציגים של כל מחלקה. הגדרה זו טובה והמרחב שמתקבל הוא מוגדר היטב והוא מרחב הילברט.
בניות.
סכום ישר של מרחבי הילברט.
אם formula_26 ו-formula_27 הם מרחבי הילברט, ניתן ליצור מהם מרחב וקטורי חדש הקרוי הסכום הישר שלהם ומסומן formula_28. כקבוצה, מרחב זה הוא המכפלה הקרטזית formula_29. החיבור והכפל בסקלר מוגדרים נקודתית והמכפלה הפנימית מוגדרת באופן הבא:
כאמור, המרחב המתקבל הוא מרחב הילברט. באופן כללי, אם formula_31 היא משפחה כלשהי של מרחבי הילברט, סכומם הישר מוגדר באופן הבא:
כאן הסכום formula_33 מפורש כסופרמום של formula_34 על פני כל תת-הקבוצות הסופיות formula_35. התנאי formula_36 גורר בפרט ש-formula_37 לכל formula_38 פרט למספר בן מנייה של אינדקסים ב-formula_39.
כמו קודם, החיבור והכפל בסקלר מוגדרים נקודתית והמכפלה הפנימית מוגדרת לפי
כאשר formula_41 היא המכפלה הפנימית על formula_42. בכך מקבלים מרחב הילברט שכל אחד מהמרחבים formula_42 משוכן בו כתת-מרחב סגור. בנוסף לכך, תתי-מרחבים אלה הם אורתוגונליים זה לזה.
קיים גם מושג של "סכום ישר פנימי". אם formula_44 הוא מרחב הילברט ונתונה משפחה של תתי-מרחבים formula_45 סגורים ואורתוגונליים זה לזה כך ש-formula_46 היא קבוצה צפופה ב-formula_44, אז אומרים ש-formula_44 הוא סכום ישר פנימי של המרחבים formula_45 ובמקרה זה הוא איזומורפי באופן קנוני לסכום הישר החיצוני שלהם. כל סכום ישר (חיצוני או פנימי) מצויד במשפחה של הטלות אורתוגונליות formula_50, כאשר formula_50 היא ההטלה על המרחב ה-i-י בסכום, formula_42. הטלות אלה הן אופרטורים חסומים, הרמיטיים ואידמפוטנטיים והן מקיימות את יחס האורתוגונליות: formula_53 לכל formula_54.
מנה של מרחבי הילברט.
אם formula_44 הוא מרחב הילברט ו-formula_56 הוא תת-מרחב סגור שלו, מרחב המנה formula_57 הוא מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית formula_58, כאשר formula_59 היא ההטלה האורתוגונלית על המשלים הניצב formula_60. באופן זה מתקבל מרחב הילברט אשר איזומורפי איזומטרית למרחב formula_60. הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית על formula_57 היא
מרחב שלם
החוה הסינית
קרב החווה הסינית
קרב החווה הסינית הוא כינוי לרצף של קרבות בין כוחות שריון וחי"ר של צה"ל לכוחות משוריינים וממוכנים של הצבא המצרי שהתרחש במערב חצי האי סיני סמוך לתעלת סואץ ולאגם המר הגדול, בין 15 באוקטובר ל-18 באוקטובר 1973, יומה התשיעי עד יומה השנים-עשר של מלחמת יום הכיפורים. את המתקפות יזם המטכ"ל כדי להשתלט על הצירים "טרטור", "עכביש" ו"לכסיקון" והצמתים שביניהם. האזור, שהיה בתפר (אזור לא מוחזק) בין הארמייה השנייה לארמייה השלישית המצריות, היווה את המסדרון (שכונה "מסדרון הצליחה") דרכו היה ניתן להעביר את גשר הגלילים וגשר הדוברות לקראת חציית התעלה מערבה. הכוחות הישראליים התוקפים נתקלו בכוחות מצריים מאורגנים בהגנה ועדיפים כמותית וספגו בשל כך נפגעים רבים. רק ביום הלחימה הרביעי הצליחו כוחות צה"ל לכבוש ולאבטח את הציר.
רקע.
ב-6 באוקטובר 1973 פרצה מלחמת יום הכיפורים. בחזית סיני צלחו כוחות הצבא המצרי את תעלת סואץ לכל אורכה ובשלושת הימים הראשונים כבשו רצועה בעומק של כ-10 קילומטרים לכל אורך התעלה. הרצועה שנכבשה ונחלקה תחת פיקוד שתי הארמיות המצריות, עובתה וחוזקה בכוחות ארטילריה, חי"ר ושריון, וזאת במקביל למאמצי הלחימה מול כוחות צה"ל. כוחות צה"ל בסיני, שמנו בראשית המלחמה 3 אוגדות משוריינות, ניסו החל משעותיה הראשונות להדוף את הפולש המצרי אך ספגו אבדות כבדות (כ-180 טנקים ומאות הרוגים, פצועים ונעדרים), ולא היו מסוגלים לעמוד בפני השטף המצרי שהתפרס על כל החזית, שהייתה באורך של כ-200 קילומטרים. מאמץ אוגדתי נוסף להדיפת הצבא המצרי נערך ב-8 באוקטובר אך נכשל גם הוא, כאשר מאותו שלב ועד סוף המלחמה לא הצליחו כוחות צה"ל להדוף את המצרים מסיני.
ב-9 באוקטובר בערב ערך כוח טנקים מגדס"ר 87 סיור באזור החוף הצפוני של האגם המר הגדול ומוצב "מצמד". הכוח לא נתקל בכוחות מצריים והאזור אותר כקו התפר בין הארמיות המצריות.
מ-9 עד 13 באוקטובר היו ערוכים כוחות צה"ל בהגנה על העמדות הקיימות בסיני והתעסקו בבניית הכוח לקראת הקרב הגדול הבא. ההזדמנות הגיעה ב-14 באוקטובר, בו ביצעו המצרים מהלך התקפי גדול כדי להוריד את הלחץ מהצבא הסורי, שאיבד את יכולת הלחימה (הרעיון היה כי מתקפה מצרית תביא להעברת כוחות צה"ל מצפון לדרום, דבר שלא קרה). המצרים ביצעו מתקפת שריון רחבה, אך זו נבלמה בהצלחה על ידי כוחות השריון של פיקוד דרום תוך הסבת אבדות כבדות (השמדה של 200–250 טנקים) לכוחות המצריים. בצמרת צה"ל הוחלט שכישלון ההתקפה המצרית יוצר הזדמנות טובה לצליחת תעלת סואץ מערבה, מכיוון שהכוח העיקרי ממנו חששו בצה"ל הושמד או נפגע, וחשוב להזדרז ולהכות לפני שהמצרים יוכלו לשקם אותו.
מבצע אבירי לב.
תוכנית הצליחה כונתה "מבצע אבירי לב", והיא הוטלה על אוגדה 143 בפיקודו של אריאל שרון. האזור בו היו מיועדים הכוחות לחצות את תעלת סואץ היה סמוך למוצב "מצמד", קרוב לנקודת החיבור בין תעלת סואץ לאגם המר הגדול. האזור נבחר כתוצאה ממספר סיבות:
לרשות האוגדה עמדו שלוש חטיבות שריון (חטיבות 14, 421 ו-600), חטיבת הצנחנים 247 וכוחות נוספים שסופחו לאוגדה לקראת המבצע.