אף על פי שהכלל תקף תמיד, הוא לא בהכרח מפשט את האינטגרל שאותו אנו רוצים למצוא, ולכן יעיל לשימוש רק במקרים מסוימים. מכיוון שלרוב, ישנן מספר דרכים לפרק כל פונקציה למכפלה של שתי פונקציות, בחירה חכמה של פונקציות יכולה להיות הכרחית להצלחת השיטה.
ככלל אצבע לא מחייב, כדאי לבחור את הפונקציה formula_4 על פי הרשימה הבאה, בסדר יורד:
נשים לב שככל שהפונקציות נמצאות במעלה הרשימה, יותר קל לגלות עבורן את הפונקציה הקדומה שלהן, צעד אשר הכרחי במהלך ביצוע האינטגרציה בחלקים.
עם זאת, לא קיים אלגוריתם לביצוע אינטגרציה בחלקים וקיימים מקרים בהם עדיף לא לעקוב אחרי הסדר ברשימה. לכן יש להתייחס לרשימה זאת אך ורק בגדר כלל אצבע.
דוגמאות לשימושים.
דוגמה:
אנו רוצים לחשב את האינטגרל formula_13 ולכן בהתאם לנוסחה ובהמשך ל"כלל האצבע" נבחר את המשתנים שלנו כך:
המשתנים מהפונקציה המקורית יוגדרו:
formula_14, formula_15
ולכן נגדיר בהתאם:
formula_16, formula_17
ומכאן נקבל:
formula_18 = formula_13
דוגמה נוספת:
אנו רוצים לחשב את האינטגרל formula_20. כאן נדמה כי הפונקציה שאנו מוצאים לה אינטגרל היא יחידה ואין כאן מכפלה של פונקציות, ולכן אין דרך להשתמש בשיטת האינטגרציה בחלקים, אולם ניתן להסתכל על אינטגרל זה כעל האינטגרל formula_21.
כעת, נבחר את הפונקציות של המכפלה כך: formula_22. פונקציה קדומה של formula_23 קל לחשב: למשל formula_24. גם הנגזרת של formula_25 ידועה: formula_26. לכן נקבל:
formula_27
ממדים גבוהים.
ניתן להרחיב את הנוסחה של אינטגרציה בחלקים עבור משתנים מרובים. במקום לבצע אינטגרל על אינטרוול, יש לבצע אינטגרציה על קבוצה formula_28-ממדית. כמו כן, יש להחליף את הנגזרת בנגזרת חלקית.
באופן מדויק יותר, נניח כי formula_29 היא תת-קבוצה פתוחהוחסומה של formula_30 עם שפה חלקה formula_31. אם formula_32 ו-formula_33 הן דיפרנציאביליות ברציפות בסגור של formula_34 אז הנוסחה של אינטגרציה החלקים ניתנת ע"י:
כאשר formula_36 הוא הנורמל היוצא כלפי חוץ ל formula_37 ו-formula_38 הוא הרכיב ה-formula_39-י של formula_40 כאשר formula_39 נע בין formula_42 ל-formula_43.
מסונים
1969 בספורט
ג'ודו.
אליפות העולם בג'ודו נערכה במקסיקו סיטי שבמקסיקו. יפן זכתה ב-6 מדליות זהב בכל הקטגוריות (12 בסה"כ).
טניס.
המנצחים בתחרויות הגראנד סלאם.
רוד לייבר משלים זכייה שנייה בתואר הגראנד סלאם, היחידי בהיסטוריה
כדורסל.
תחרויות בין-לאומיות.
אליפות אירופה.
נבחרת ברית המועצות () זוכה באליפות.
אליפות דרום אמריקה.
אורוגוואי () זכתה באליפות וברזיל () זכתה במקום השני.
גביע אירופה לאלופות.
צסק"א מוסקבה מנצחת בגמר את ריאל מדריד בתוצאה 99:103 לאחר שתי הארכות.
גביע אירופה למחזיקות גביע.
בגמר גביע אירופה למחזיקות גביע שנערך סלביה פראג () מנצחת את דינמו טביליסי () 74:80.
הגביע הבין-יבשתי.
אקרון גודייר וינגפוטס () זוכה בתואר.
כדורסל לפי מדינות.
ארצות הברית.
בגמר הפלייאוף של ליגת ה-NBA מנצחת בוסטון סלטיקס את לוס אנג'לס לייקרס 3:4. (ראה עונת 1968/1969 ב-NBA).
תנועת דור דעה
תנועת דור דעה (כונתה: דְּרַאדֲּעַה, ואנשיה: דַּרְדְּעִים) הוא פלג קטן ביהדות תימן שנוסד בעיר צנעא בתחילת המאה העשרים מתוך הזרם הבלדי על ידי הרב יחיא קאפח ותלמידיו. הפילוג נבע מן המחלוקת בין חברי הקבוצה לשאר יהודי תימן בנוגע לקבלה ולהלכה הנפסקת על פיה. תנועת "דור דעה" ביקשה לשחזר את מה שראתה כתפיסה היהודית המקורית של היהדות, במטרה לתקן את הנטייה לעבר הקבלה, שבה ראתה מעין עבודה זרה. המודל שעמד בפניהם של מייסדי התנועה היה זה של הרמב"ם.
מקור השם.
חברי הקבוצה כינו עצמם בשם "דור דעה" ואילו את המתנגדים להם והלוחמים בהם כינו "עיקשים". מתנגדיהם כינו אותם "דרדעים", מתוך עיוות מכוון של השם, או בהשפעת הלהג היהודי-צנעאני "דרדעי" ביחיד ו"דראדע" ברבים ככינוי שהשתרש בסופו של דבר.
רקע.
כבר בחייו בחרו יהודי תימן לקבל עליהם את הרמב"ם כפוסק עיקרי וכמעט יחידי, וכן מציין הרב יחיא צאלח ראב"ד בבית הדין הגדול בצנעא מהמאה ה-18:
סייעו לכך הקשרים המיוחדים של הרמב"ם עם היהודים בתימן, ופעולותיו להצלתם מגזרות השלטון המוסלמי. ישנה מסורת בין חכמי תימן, כי יהודי תימן בחרו במודע לאמץ את משנת הרמב"ם, לאור ההתאמה הרבה בין שיטתו ההלכתית לבין מנהגיהם הקיימים של יהודי תימן עוד מתקופת הגאונים.
הקבלה, תורת הסוד היהודית, התפשטה בצורתה הזוהרית ובגלגוליה האחרים בהדרגה במהלך ימי הביניים וראשית העת החדשה בכל תפוצות ישראל והגיעה במאה ה-16 גם לתימן, בעיקר על ידי הרב זכריה אלצ'אהרי שביקר בצפת. במהלך גלות מוזע במאה ה-17 התחזקה השפעת הקבלה בתימן, לאחר שספרים רבים נלקחו מן היהודים והועלו באש. עובדה זו הוסיפה למשבר הקיומי והפוליטי גם משבר רוחני. בשובם, הגיעו לתימן דרך יהודי מצרים וארץ ישראל ספרים וסידורים מודפסים, שעד אז לא היו בתימן. הסידורים כללו נוסח שיש בו תוספות קבליות. בין הספרים שהתקבלו היה גם ספר הזוהר.
הרעיונות הקבליים משכו את ליבם של רוב יהודי תימן, אם כי היו גם התנגשויות בין מקובלים ושאינם מקובלים
גורמים.
בשנת 1869 שלחו האקדמיה הצרפתית למדעים וחברת כי"ח לתימן את המלומד הצרפתי יוסף הלוי, כדי שיחקור שם כתובות שבאיות. במהלך מסעו, אף שזו לא הייתה מטרתו המרכזית, נפגש עם כמה מחכמיה היהודים של המדינה והשפיע עליהם. בין תלמידי החכמים שאיתם נפגש היו הרב קאפח, שהתעניין בעיקר בפילוסופיה יהודית, בנוסחים ובכתבי יד קדומים, וחיים חבשוש, שליווהו בתימן, והתעניין בשפות דרום-ערביות, תחומים יוצאי דופן בסביבתם. במהלך סיוריו בתימן שמעו ממנו דברים חריפים על תורת הקבלה.
חוקר יהודי נוסף שביקר בתימן, אדוארד גלזר , עמד במהלך ביקוריו בתימן (בשנים 1882–1894) בקשרים עם חכמי צנעא, בהם הרב קאפח וחבשוש. לאחר ששב ממסעו בתימן שלח לרב קאפח ספרים המבקרים את הקבלה, וכן ספרי השכלה.
השקפת אנשי התנועה.
התנועה ביקשה לשחזר את מה שהבינה כתפיסה היהודית המקורית בתחומי ההלכה, מחשבת ישראל, תפילה, חינוך ועוד. זאת, במטרה לשוב אל היהדות הרבנית "האותנטית" ולתקן סטיות שהשתרשו במהלך השנים. המודל שעמד לפני מייסדי התנועה היה זה של הרמב"ם כפי שבא לידי ביטוי בחיבוריו ההלכתיים, בתפיסת העולם הרציונליסטית בה החזיק, בשיטתו בענייני אמונות ודעות ובאופן בו שילב תורה ומדע.
הדרדעים דוחים את תפיסת העולם הקבלית בשל הבנתם את התאולוגיה הקבלית כמכוונת את העבודה לאל רק באמצעות הספירות. בכך הם רואים פגיעה בייחוד השם ועבודה זרה. כמו כן, הם מתנגדים לעולמה של הקבלה המעשית הכולל קמיעות, לחשים ועוד - תחום שהתפתח מאוד במאות האחרונות ביהדות תימן. בנוסף, הדרדעים מטילים ספק בטענה שספר הזוהר נכתב בידי רבי שמעון בר יוחאי.
הדרדעים קיבלו עליהם את שיטת הרמב"ם בכל עניין, הן בענייני הלכה ומנהג, הן בפילוסופיה יהודית. בסידוריהם, המבוססים על התכלאל הבלדי, השמיטו את מרבית הקטעים שמקורם בקבלה, ואשר נוספו במהלך השנים לסידורי יהודי תימן. הם נמנעים מלקיים מנהגים המבוססים על הקבלה.
את פעולותיו של הרב יחיא צאלח (המהרי"ץ) במהלך המאה ה-18 תפסו הדרדעים כניסיון למתן השפעה קבלית על סידור התפילה.
פעילות.
עם התגברות היבטיה המעשיים והשונים של הקבלה לסוגיה בתימן חיבר הרב קאפח את ספרו "מלחמות ה'" ובו משנתו נגד הקבלה וספר הזוהר ובעד חזרה לרציונליזם המיימוני. מלבד מגמתו לאמץ את שיטת הרמב"ם במחשבה, בהלכה ובתפילה, הרב קאפח ביקש גם לערוך תיקונים במערכת החינוך של יהדות תימן. הוא הקים בית ספר שנקרא ״אלמכתב״, שבו למדו לצד לימודי הקודש גם פילוסופיה יהודית ועברית ודקדוקה, וכן ערבית, טורקית, מדעים, וחשבון.
הפולמוס.
פעולותיו ודעותיו של הרב קאפח ששימש כחכם באשי בתימן לזמן קצר, עוררו פולמוס רחב, שהגיע עד לרבני ירושלים מעדת הספרדים, האשכנזים, המערבים והתימנים, והם חתמו עם בית הדין בצנעא על חרם נגדם.
חכמי תימן השיבו על ספרו של הרב קאפח בחיבור הנקרא "אמונת ה'", בחיבור זה הם השתדלו להשיב אחת לאחת על כל טענותיו של הרב קאפח כנגד ספר הזוהר וטענו כי יסודות הקבלה עתיקים הם, כדוגמת ספרות ההיכלות. יש הטוענים שאת הספר חיבר הרב יוסף צוברי בעזרת רבותיו ובראשם הרב סעיד עוזרי, אולם הפרופסור יוסף טובי הוכיח על פי מכתב מאותה התקופה כי מחבר הספר היה הרב יחיא ערוסי הלוי, מרבותיו של הרב צובירי, ולצידו כמה רבנים צנעאניים נוספים.
בתשובה לחרמות חכמי ירושלים עליו פרסם הרב קאפח חוברת תשובה בשם "עמל ורעות רוח - וחרמות ותשובתם" ואף הגיב בחרם משלו שפרסם חרם מטעמו ומטעם רבנים שהיו תלמידיו כנגד רבני ירושלים. תוך זמן קצר הפכה מחלוקת זו שראשיתה הייתה "לשם שמיים" לאחת המחלוקות הגדולות שפיצלה עמוקות את יהדות תימן בין ה'עיקשים' לבין ה'דרדעים'.
גם הראי"ה קוק התפלמס עם הרב יחיא קאפח ותפיסתו, אך מחליפת המכתבים ביניהם עולה כי הגם שהרב קוק גילה התנגדות נחרצת לדעותיו של הרב קאפח, התנגדות זו התנהלה בדרך מכובדת כיוון שהוא זיהה כי אין מדובר ב"משכיל" פורק עול, זאת בניגוד לרבני ירושלים שהפגינו כלפיו זלזול ויצאו בחרם כנגד הרב יחיא קאפח והדרדעים.
למרות האמור, רבני תימן לא החרימו את קאפח בפועל והמשיכו לשבת איתו בבית הדין. המאבקים ההדדיים, ההלשנות לשלטון המוסלמי והאלימות הקשה בין שני המחנות דעכו רק עם עליית יהדות תימן לישראל. עם זאת, מתחים הקשורים במחלוקת ממשיכים להתקיים.
ארגון אבי דוד.