התורה הספקטרלית של אופרטורים, משפטי לכסון.
העבודה עם מטריצות יכולה להיות מייגעת וארוכה, מאחר שבמטריצה ריבועית מסדר n יש n2 איברים - דבר המצריך פעולות חישוב רבות. לדוגמה, נעסוק בבעיה הפשוטה של כפל מטריצות: כדי לכפול 2 מטריצות בגודל n טיפוסיות יש לבצע באופן נאיבי n3 פעולות (כפל שורה בעמודה דורש n פעולות חיבור ועוד n פעולות כפל, ויש לבצע זאת n2 פעמים עבור כל "משבצת" במטריצת המכפלה). דבר זה נהייה מייגע במיוחד כאשר יש צורך לחשב חזקות גבוהות יותר של מטריצות ריבועיות.
אם נזכור שכל מטריצה שקולה לטרנספורמציה ליניארית אפשר לגשת לבעיה זו בגישה קצת שונה - ולעיתים קרובות, אף חכמה יותר. כל טרנספורמציה ניתן להציג באמצעות מטריצה, אך המטריצה המייצגת את הטרנספורמציה תלויה באופן, או ליתר דיוק בבסיס, שבו בוחרים להציג אותה. יש בסיסים, שבהם חישוב טרנספורמציה מסוימת נהיה קל ופשוט מאוד. סוג כזה של בסיסים הוא בסיס של וקטורים עצמיים. וקטור עצמי הוא וקטור (שונה מאפס) שפעולת הטרנספורמציה עליו פשוטה מאוד: היא רק מותחת או מכווצת אותו, מבלי לשנות את כיוונו. באופן יותר מדויק היא מבצעת formula_1. הסקלר formula_2 שמציג את שינוי הסקלה של הווקטור העצמי נקרא ערך עצמי. אם נצליח למצוא לטרנספורמציה T בסיס של וקטורים עצמיים של T אזי המטריצה שתייצג את T תהיה מטריצה אלכסונית (מטריצה שכל איבריה הם אפס, פרט לאלכסון הראשי). זוהי מטריצה נוחה במיוחד שכן יש בה בפועל רק n איברים ופעולת כפל של מטריצות אלכסוניות היא פשוט כפל אחד בשני של איברי האלכסון המתאימים. לכן, למטרות חישוביות מטריצות אלה הן שימושיות מאוד ומקלות באופן ניכר על העבודה. לפעולה של מציאת מטריצה אלכסונית הדומה למטריצה מסוימת (ומציאת הבסיס של הווקטורים העצמיים) קוראים לכסון של מטריצה.
ברם, מסתבר שלא כל מטריצה אפשר ללכסן, וכחלק מהמחקר בתורת האלגברה הליניארית ניסחו המתמטיקאים תנאים הכרחיים ומספיקים בשביל ללכסן מטריצה נתונה.
באופן דומה, גם במרחב אינסוף-ממדי אפשר לחפש עבור אופרטור A בסיס ליניארי של וקטורים עצמיים (או פונקציות עצמיות) שיקיימו formula_3 ואז יהיה קל לחשב את פעולתו של האופרטור עבור וקטור כללי
(הצגה כזאת קיימת ויחידה אם אכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים), שכן
גם כאן, קיימים אופרטורים שעבורם לא קיים בסיס כזה. כלומר: לא כל אופרטור ניתן ללכסון. עם זאת, קיימות מספר מחלקות חשובות של אופרטורים שעבורם אכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים והם ניתנים ללכסון. הקבוצה המפורסמת והשימושית מכולם היא מחלקת האופרטורים הצמודים לעצמם. לא רק שניתן ללכסן אותם אלא כל הערכים העצמיים שלהם הם ממשיים.
התורה הספקטרלית של אופרטורים עוסקת בהכללת המושגים של ערכים עצמיים לספקטרום של אופרטור, שיכול להיות גם רציף ולא רק בדיד. תורה זו קשורה גם להפיכות של אופרטורים (ליתר דיוק, להפיכות של אופרטורים מהצורה formula_6).
תורת שטורם-ליוביל עוסקת בתנאים בהם ניתן למצוא את הספקטרום ואת הפונקציות עצמיות עבור אופרטורים דיפרנציאליים מסוימים המוגדרים מעל מרחב בנך של פונקציות הפותרות משוואה דיפרנציאלית עם תנאי שפה, ומגדירה את הכללים והחוקים של התהליך. אופרטורים טובים בתורת שטורם-ליוביל הם אופרטורים שניתן ללכסנם. בדיוק כמו באלגברה הליניארית, מתקיים משפט הפירוק הספקטרלי שקובע שניתן ללכסן כל אופרטור הרמיטי ויתרה מכך: כל ערכיו העצמיים ממשיים.
במה עוסקת האנליזה הפונקציונלית.
בעיית הלכסון של אופרטורים היא רק תחום אחד מני רבים שמטופל במסגרת האנליזה הפונקציונלית.
האנליזה הפונקציונלית, שנוסדה רק במאה ה-20 בעקבות מחקריהם של סטפן בנך ודויד הילברט, עוסקת בהכללת מושגים שונים מהאלגברה הליניארית וחשבון הווריאציות על מנת לקבל כלים חזקים לביצוע אנליזה מתמטית של משפחות פונקציות ופתרון משוואות דיפרנציאליות.
מעל כל מרחב וקטורי, מוסיפה האנליזה הפונקציונלית מספר מבנים תאורטיים חשובים בסיסיים:
באנליזה הפונקציונלית חוקרים מרחבים מתמטיים עם מבנים אלו.
אנפתיים
אַנְפָתִיִּים (שם מדעי: Ardeidae) היא משפחה של עופות מים מסדרת השקנאים, לשעבר בסדרת החסידאים. מקור המשפחה מגיע מתקופת האאוקן המוקדם, לפני כ-55 מיליון שנים. המשפחה נפוצה בכל היבשות למעט אנטארקטיקה ומינים רבים נודדים בין היבשות בבעיקר באזורים ממוזגים או חמים במיוחד. לרוב האנפות מצויות לאורך האזור הטרופי או הסובטרופי.
תיאור.
האנפתיים הם עופות בגודל בינוני-גדול ורגלים, צוואר ומקור ארוכים ולעיתים גם ציציות בולטת לראשם. הגדולה שבאנפתיים היא אנפת גוליית שמגיעה לגובה 120 עד 152 ס"מ ולמשקל 4.3 עד 4.5 ק"ג בממוצע. מרבית המינים חסרי דו-צורתיות זוויגית.
האנפתיים שוכנים בקרבת מקווי מים כמו ביצות, שפכי נהר, נחלים ועוד ולעיתים גם בחופים, לגונות או באיים מבודדים והם ציידים של טרף מיימי לרוב, כמו דגים, דו-חיים, סרטנים, תולעים וכדומה.
הידועים באנפתיים שייכות לתת-המשפחה אנפות המכיל מינים נפוצים וגדולים יותר, בעוד 3 תת-משפחות: אנפות נמריות, אנפיות ואנפות לילה קטנים יותר ונחבאים יותר, כאשר חלקם מסתווים ביעילות בזכות מתאר הנוצות שלהם ועמידתם הזקופה המוזרה.
רוב האנפות חיות לבדם או בקבוצות קטנות כשמספר מינים חברתיים יותר וגם מקננים יחדיו. חלק מהמינים מקננים בקבוצות גדולות בין העצים עם עוד אנפות בעוד אחרות מקננים בין הצמחייה המיימית על הקרקע.
אנפות בישראל.
בישראל נציגי משפחה זו הם:
מיון.
במשפחה זו 65 מינים בתוך 4 תת-משפחות:
בתרבות.
האנפה מוזכרת בספר ויקרא כאחד העופות האסורים למאכל:
משה פייגלין
משה זלמן פייגלין (נולד ב-31 ביולי 1962, כ"ט בתמוז ה'תשכ"ב) הוא פוליטיקאי שכיהן כחבר הכנסת מטעם הליכוד וכסגן יושב ראש הכנסת התשע עשרה. לאחר מכן עזב את הליכוד והקים את מפלגת זהות שהתמודדה בבחירות לכנסת ה-21 ולא עברה את אחוז החסימה, כשלאחר מכן שב לליכוד.
בעברו היה ראש חטיבת "מנהיגות יהודית" בליכוד ומייסד תנועת "זו ארצנו" בתקופת הסכמי אוסלו.
ראשית חייו.
פייגלין נולד בחיפה ליעקב צבי ולאסתר, ילידי אוסטרליהנצר לאדמו"רי חב"ד. סב סבו, יעקב צבי פייגלין, עלה עם משפחתו לישראל בעלייה הראשונה מרוסיה הלבנה והיה בין מייסדי המושבה משמר הירדן. אבי סבו, משה זלמן פייגלין, ברח לאוסטרליה בשנת 1912 כדי שלא להתגייס לצבא הטורקי. אביו יעקב צבי שירת במשטרת היישובים העבריים ועסק בתעשיית הטקסטיל.
בילדותו עבר עם משפחתו לרחובות, שם למד בבית הספר "תחכמוני" ואחר כך בישיבה התיכונית אור עציון. שירת בצה"ל כקצין לוחם במערך האב"ך שהיה שייך בעבר לחיל ההנדסה הקרבית והשתחרר בדרגת סרן. לאחר שחרורו, הקים את חברת גלישת המצוקים הראשונה בישראל שעסקה בתחזוקה חיצונית של בניינים גבוהים. במקביל הקים חברת הזנק, שאת הבעלות עליה העביר בזמן הסכמי אוסלו, עקב פעילותו בתנועת זו ארצנו. לפרנסתו עבד באותה העת כמפעיל מנוף.
פעילות חוץ פרלמנטרית.
זו ארצנו.
בשנים 1992–1995 פעל פייגלין נגד הסכם אוסלו ובמסגרת זו הקים עם בני אלון ועם שמואל סקט את תנועת "זו ארצנו", כתגובה למה שכינה בספרו "בגידת ארגוני המתנחלים". תנועת זו ארצנו תמכה ונקטה במרי אזרחי בלתי אלים, ובכלל זה ערכה, כפעולת מרי, הפגנות וחסימות כבישים. במהלך הפגנות אלו התעמתו אנשי התנועה מספר פעמים עם משטרת ישראל. ב-6 באוגוסט 1995 נעצר פייגלין במהלך הפגנה בלתי חוקית, והוגש נגדו כתב אישום בעוון התקהלות אסורה. פייגלין הורשע בבית משפט השלום, והוטל עליו מאסר על תנאי לשישה חודשים וקנס בסך 10,000 ש"ח. ערעורו לבית המשפט המחוזי נדחה.
בשנת 1997 הורשע פייגלין בגין פעילותו בתנועת "זו ארצנו" בעבירת המרדה ובפרסום דבר המרדה בעקבות קריאתו לציבור לבצע מעשים בלתי חוקיים, לתפוס מאחזים ביהודה ושומרון ולחסום צמתים מרכזיים במדינה כמחאה על הסכמי אוסלו. פייגלין נדון ל-18 חודשי מאסר, מתוכם שישה חודשים בפועל. נוסף על כך, הופעל נגדו באופן חופף המאסר על תנאי לשישה חודשים שהיה תלוי נגדו. פייגלין ריצה את עונשו בעבודות שירות.
מנהיגות יהודית.
לאחר ריצוי עונשו, הקים את תנועת מנהיגות יהודית, שהוציאה לאור עלון שבועי, ניהלה קמפיין לבחירתו של פרופ' ירמיהו ברנובר לתפקיד נשיא המדינה, ובשנת 1999 הריצה את מוטי קרפל בלבד בבחירות לכנסת ה-15 ברשימה בשם "מנהיגות יהודית לישראל", אך פרשה מהמירוץ שלושה ימים לפני הבחירות.
ב-2 באוגוסט 2000 נעצר פייגלין פעם נוספת לאחר שניסה להיכנס להר הבית בכוונה להתפלל על ההר. הוא הורשע בעבירות של התקהלות אסורה ושל הפרעה לשוטר בעת מילוי תפקידו.
סמוך לשנת 2008 הוכרז פייגלין כאישיות בלתי רצויה בבריטניה, בנימוק שהתבטאויותיו נגד הפלסטינים ליבו שנאה ומשום שכינה את מוחמד "אכזר ורמאי". פייגלין כתב בתגובה: "היות שטרוריסטים בעלי שם, כמו איש החזבאללה איברהים מוסאווי - דווקא מתקבלים אצלכם בברכה, אני מבין שמדיניותכם היא עידוד ותמיכה בטרור".
פעילות פוליטית.
במפלגת הליכוד.
בשנת 2000 התפקדו פייגלין ותומכיו לליכוד כ"חטיבת מנהיגות יהודית". אנשי מנהיגות יהודית כונו לעיתים בשם "פייגלינים". פייגלין אמר כי הליכוד הוא המרחב היחיד המאפשר צמיחת מנהיגות אמונית למדינת ישראל, ולפיכך יש לתמוך בו אף שמפלגות אחרות עשויות להיות ימניות יותר. פייגלין התמודד כמה פעמים על ראשות הליכוד וראשות הממשלה. בהתמודדותו הראשונה על ראשות המפלגה לקראת הבחירות לכנסת השש עשרה זכה ב-3.5% מקולות המצביעים. הוא הצהיר אז שימשיך לרוץ לראשות הליכוד עד שינצח.
הבחירות לכנסת השש עשרה.