באגף ימין יש שלושה מחוברים, אחד מהם תלוי ב-formula_1 וב-formula_16, השני תלוי ב-formula_2 וב-formula_17, והשלישי אינו תלוי במשתנים או בערכים אלא רק בגודל המדגם.
לכן, מודל מתקבל על הדעת עבור אי התלות בין formula_1 ו-formula_2 (בהנחה כי היא מתקיימת) הוא:
formula_47 לכל formula_16 ולכל formula_17.
אם לעומת זאת המשתנים אינם בלתי תלויים אז השוויון האחרון אינו נכון, והמודל המתאים הוא
formula_50כאשר formula_51 לפחות עבור זוג formula_52 אחד. מודל זה מכונה "המודל הרווי", מכיוון שהוא תמיד מתאים לנתונים התאמה מלאה. הביטוי formula_53מבטא את האינטראקציה (יחסי הגומלין) בין formula_1 ו-formula_2.
מכאן ש-formula_1 ו-formula_2 הם בלתי תלויים אם ורק אם formula_58 לכל formula_16 ולכל formula_17.
אמידת הפרמטרים וטיב ההתאמה.
קל לראות כי כפי שהמודל הרווי הוגדר עבור לוח השכיחות הדו ממדי, מספר הפרמטרים formula_61 גדול באופן משמעותי ממספר הנתונים. יתרה מזו, הערכים הנאמדים של formula_61 אינם יכולים לקבל כל ערך אפשרי מכיוון שניתן לבטא בעזרתם את ההסתברויות formula_63 והסתברויות אלה חייבות להסתכם ל-1. גם ההסתברויות formula_64 חייבות להסתכם ל-1 וכן ההסתברויות formula_65.
לכן יש להשית אילוצים מתאימים על הערכים של ה-formula_61-ות.
מערכת אילוצים אפשרית עבור מודל אי תלות ללוח שכיחות דו ממדי היא: formula_67 ו- formula_68. אילוצים אלה הם אנלוגיים לאילוצים formula_69 ו-formula_70. בהינתן אילוצים אלו, למודל יש formula_71 דרגות חופש.
כדי לאמוד את הפרמטרים של המודל הרווי יש צורף באילוצים נוספים: formula_72 לכל formula_17
ו-formula_74 לכל formula_16. בהינתן אילוצים אלה, למודל הרווי יש 0 דרגות חופש. מאילוצים אלה נובע כי השערת אי התלות בין המשתנים ניתנת לניסוח כ-formula_76.
אמידת הפרמטרים נעשית בשיטת הנראות המרבית. לאחר מכן ניתן לבחון את טיב ההתאמה של המודל לנתונים בעזרת מבחן חי בריבוע.
בתוכנת R ניתן לאמוד את הפרמטרים של המודלים הלוג ליניאריים בעזרת הפונקציה loglin הזמינה בחבילת הבסיס של התוכנה.
מודלים ללוח שכיחות תלת ממדי.
באופן דומה להגדרת לוח השכיחות הדו ממדי, נוכל להגדיר את לוח השכיחות התלת ממדי על ידי האוסף formula_77, כאשר זהו מספר התצפיות במדגם עבורן formula_78 formula_10, formula_9, וכאשר formula_81 הם משתנים מקריים המקבלים formula_82ערכים בהתאמה.
המודל הרווי ללוח שכיחות תלת ממדי הוא:
ניתן לגזור מודלים שונים עבור ההתפלגות המשותפת של formula_2, formula_1 ו-formula_85 על ידי איפוס גורמי אינטראקציה.
מודל אי תלות.
מודל אי תלות מתקבל על ידי איפוס כל האינטראקציות:
מודל אי תלות בין Y ו-Z בהינתן X.
מודל זה מתקבל על ידי איפוס האינטראקציה מסדר 3 formula_86, וכן על ידי איפוס formula_87, האינטראקציה בין formula_2 ו-formula_85.
המודל הוא
מודל בו X בלתי תלוי ב-(Y,Z).
מודל זה מתקבל על ידי איפוס האינטראקציה מסדר 3 formula_86, וכן על ידי איפוס האינטראקציה בין formula_1 ל-formula_2 - formula_53 והאינטראקציה בין formula_1 ל-formula_85 - formula_96.
המודל הוא
אי תלות בזוגות.
על פי מודל זה formula_1 ו-formula_2 בלתי תלויים, formula_1 ו-formula_85 בלתי תלויים, וגם formula_2 ו-formula_85 בלתי תלויים, אבל formula_2, formula_1 ו-formula_85 יחדיו אינם בלתי תלויים.
מודל זה מתקבל על ידי איפוס האינטראקציות מסדר 2 אך מותיר את האינטראקציה מסדר 3.
המודל הוא
מודל עם כל האינטראקציות מסדר 2.
מודל זה מתקבל על ידי איפוס האינטראקציה מסדר 3. למודל אין אינטרפרטציה הסתברותית ברורה.
המודל הוא
הקשר בין המודל הלוג ליניארי ומודל הרגרסיה הלוגיסטית.
קיימת חפיפה בין המודל הלוג ליניארי ומודל הרגרסיה הלוגיסטית במובן שבמקרים מסוימים שני המודלים שקולים. נדגים זאת בעזרת לוח שכיחות דו ממדי מסדר formula_106, כלומר המשתנה formula_1 מקבל שני ערכים והמשתנה formula_2 מקבל formula_15 ערכים.
בהנחה כי formula_1 ו-formula_2 בלתי תלויים, מתקיים כי formula_112 לכל formula_16 ולכל formula_17, ובפרט יחס הסיכויים של formula_1 בהינתן formula_2 הוא קבוע, כלומר formula_117.
על פי המודל הלוג ליניארי לאי תלות:
&amp;= \log \frac{m_{2j}}{m_{1j}} \\
&amp;= \log m_{2j} - \log m_{1j} \\
&amp;= (\lambda + \lambda^X_2 + \lambda^Y_j) - (\lambda + \lambda^X_1 + \lambda^Y_j) \\
&amp;= \lambda^X_2 - \lambda^X_1
&lt;/math&gt;
ואכן, קיבלנו כי לוג יחס הסיכויים אינו תלוי ב-formula_2. יתרה מזאת, מצאנו כי ניתן לבטא את פרמטר הרגרסיה הלוגיסטית formula_119 בעזרת הפרמטרים של המודל הלוג ליניארי: formula_120.
כאשר formula_1 ו-formula_2 אינם בלתי תלויים, מודל הרגרסיה הלוגיסטית הוא formula_123 כלומר לוג יחס הסיכויים תלוי ב-formula_2.
באופן דומה לפיתוח שנעשה עבור מודל אי התלות, נוכל למצוא כי עבור המודל הרווי:
כלומר לוג יחס הסיכויים הוא סכום של שני מחוברים, אחד מהם אינו תלוי ב-formula_2 והשני תלוי ב-formula_2.
כיסת גנגליון
כיסת הגנגליון (באנגלית: Ganglion cyst) היא בליטה מלאה בנוזל הקשורה למפרק או לנוזל הסינוביאלי סביב הגיד. לרוב, בליטה זו מופיעה בחלק האחורי של מפרק כף היד ולאחר מכן נוטה להופיע גם באזור הקדמי של מפרק כף היד. הופעת הציסטה לוקחת כמה חודשים, אולם לרוב לא מלווה בהופעת תסמינים נוספים. כאב או קהות תחושתית עלולים להופיע. סיבוכים עקב הופעת הציסטה עלולים לגרום לתסמונת מנהרת שורש כף היד.
הסיבות להופעת הציסטה לא ידועות, אולם נהוג לחשוב כי בבסיס המנגנון נמצאת פעולת הניקוב של הממברנה הסינוביאלית. האבחנה לרוב מתבססת על הסתכלות על הבליטה באמצעות אור. כמו כן, לעיתים יעשה שימוש באמצעי דימות על מנת לשלול פתולוגיות אחרות.
הטיפולים לכיסת הגנגליון כוללים המתנה עד שזו תחלוף, ניקב וניקוז הנוזל באמצעות מחט, או התערבות כירוגית להסרת הציסטה. בכ-50% מהמקרים הציסטה תיעלם מעצמה. כיום כ־3 מתוך 10,000 אנשים יפתחו כיסת גנגליון בכול שנה. האוכלוסייה בה הופעת כיסת הגנגליון היא השכיחה ביותר היא נשים צעירות.
סימנים וסימפטומים.
הגודל הממוצע של הציסטה הוא כ-2 ס"מ אולם קיימות ציסטות בנות 5 ס"מ ויותר אשר תועדו בעבר. גודל הציסטה משתנה לאורך הזמן ועלול לגדול לאחר פעילות האזור שבו נמצאת הציסטה.
מיקום.
לרוב, ציסטת הגנגליון תופיע בחלק האחורי של מפרק כף היד ובחלק האחורי של האצבעות. מקום נפוץ מאוד להופעת הציסטה הוא בשריר פושט שורש היד האחישורי הקצר, בחלק בו גיד השריר עובר את החלק האחורי של שורש כף היד. הציסטה עלולה להופיע גם בכף הרגל.
ציסטת הגנגליון מופיעה לרוב במפרקים וגידים הקשורים לשלד התוספי. 88% אחוזים מהציסטות מופיעות במפרקי היד (לרוב ליד עצמות הסירה והסהר והחיבור ביניהן)ו11% מופיעות במפרקי כף הרגל והקרסול. בשנת 2007 מחקר בגלאזגו בו נבדקו "גושים" ברגלים אשר הוצאו בצורה כירורגית מרגלי מטופלים, נתגלה כי 39 מתוך 101 ה"גושים" היו ציסטות גנגליון בגדלים שונים. מחקר זה ניסה לחקות מחקר קודם אשר לא מצא ציסטות גנגליון כלל באזור כף הרגל. עורך המחקר סיכם ואמר כי אף על פי שגושים באזורי הרגליים יכולים להיות ציסטות גנגליון, מוטב יהיה אם המנתחים יבדקו הבחנות שונות קודם לכן.
כמו כן, החוקרים מצאו שיעור הימצאות גדול יותר אצל נשים (כ-85%) וכי 11 מתוך המקרים האחרים במחקר הובחנו בטעות כציסטות הגנגליון לפני הניתוח, על אף שלא היו כאלה.
ציסטות הגנגליון לא מופיעה רק באזור הרגליים והידיים, הן יכולות להופיע ליד הברך, לרוב ליד החלק הקדמי של הרצועה הצולבת, או ליד מקור הגיד של שריר הסובך. כמו כן, בכתף הציסטות מופיעות ליד מפרק שיא הכתף והבריח או ליד גיד שריר הזרוע הדו ראשי.
מלבד הופעות הציסטות השכיחה באזור הגיד והמפרק, ציסטת הגנגליון יכולה להופיע בעוד מספר אתרים. לעיתים נדירות ישנה ציסטה תוך לשדית, לעיתים עם ציסטה נוספת ברקמה המקיפה את העצם. כמו כן, במקרים מאוד נדירים מופיעות ציסטות בתוך שרירי הסבך (ולא על הגיד של השריר). במקרים קיצוניים, הציסטה יכולה להתפשט דרך העצב למיקום חדש בירך. במקרה כזה, ניתוח פשוט במפרק הקרוב לציסטה כדי להסיר את החיבור של הציסטה למפרק ויכול למנוע ניתוח מורכב יותר באזור הירך ולפתור את הבעיה.
גורמים.
הסיבה המקובלת ביותר להופעת כיסת הגנגליון היא השערת הבקע לפיה הכיסה מופיעה כיציאה של חלק במפרק או בגיד של השריר כלפי חוץ. התיאור הזה מבוסס על כך שלרוב כיסת הגנגליון מופיעה בקרבה לשריר או לגיד. האנטומיה המיקרוסקופית של כיסת הגנגליון דומה לנוזל הסינוביאלי המקיף את המפרק. באמצעות הזרקת דיו למפרק, ניתן להבחין כי לעיתים קרובות הנוזל מגיע לציסטה וגדל לאחר פעילות גופנית. אולם, הזרקת דיו לתוך הציסטה לעיתים נדירות תגיע למפרק עצמו. כלומר, ישנו מנגנון במפרק המאפשר יציאה של נוזל אולם לא מאפשר את כניסתו חזרה.
טראומה ודלקת ברקמת החיבור נחשבים לגורמים להופעת כיסת הגנגליון. גורמים נוספים הם לחץ פיזי מתמשך על אזור המפרק, דלקת מפרקים ניוונית, ניוון של רקמת חיבור, יצור מוגבר של חומצה היאלורונית על ידי פיברובלסט ולעיתים הציסטה עלולה להופיע באופן עצמאי מהמפרק.
כמו כן, מקובל לטעון כי התעמלות עלולה לגרום להופעת כיסת הגנגליון באזורים שונים בגוף.
אבחנה.