שוב על מנת להגדיר את פעולת הכפל (קונבולוציה) יש לבחור מידת האר. גם כאן ניתן להימנע מזה על ידי הגדרה של מחלקה מתאימה של מידות – מדות שוורץ.
לשם כך יש להתבונן במרחב הדואלי, מרחב התפלגויות. כלומר, במרחב formula_120 שהוא מרחב הפונקציונלים הליניאריים על
formula_112. מרחב זה מכיל את החוג של התפלגויות בעלות תומך קומפקטי,
התומך של התפלגות הוא קבוצת האיברים בחבורה שהצמצום של ההתפלגות לכל סביבה שלהן איננו התפלגות האפס. את חוג ההתפלגויות בעלות התומך הקומפקטי נסמן formula_122. לחוג זה תת-חוג formula_123 של ההתפלגויות בעלות תומך קומפקטי וקבועות מקומית (נקבעות על ידי תת-חבורה פתוחה). באמצעות כפל במידת האר ניתן להגדיר איזומורפיזם
formula_124
בדומה למקרה הסופי, לחוג החבורה של חבורת formula_117 יש קשר הדוק להצגות של החבורה.
נגדיר הצגה חלקה (מרוכבת; של חבורת formula_117 בת מנייה באינסוף) כהומומורפיזם מן החבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי (לאו דווקא מממד סופי) מעל שדה המספרים המרוכבים כך שהמייצב של כל וקטור במרחב הוא תת-חבורה פתוחה (ניתן לפרש כרגיל את המרחב הווקטורי כמודול מעל החבורה). במקרה זה תקפה הגרסה הבאה של הלמה של שור: נניח כי formula_127 הצגה חלקה של חבורת l בת מנייה באינסוף, ונניח שהיא אי פריקה (כלומר אין תת-מרחב אינווריאנטי אמיתי), אזי formula_128 מכילה אופרטורים סקלריים בלבד.
כעת ניתן לנסח אנלוגיה למקרה של חבורות סופיות: קטגוריית ההצגות החלקות של formula_2 שקולה באופן טבעי לקטגוריית המודולים מעל formula_123.
אלגברת חבורה
סוטוקו
הקיסר סוטוקו (ביפנית: "Sutoku-tennō" 崇徳天皇, נולד ב-7 ביולי 1119 − 14 בספטמבר 1164) היה הקיסר ה-75 של יפן, בהתאם לרשימה המסורתית של קיסרי יפן.
שלטונו נמשך משנת 1123 עד שנת 1142.
גנאלוגיה.
טרם עלייתו לכס הקיסרות, שמו הפרטי היה אקיהיטו (顕仁).
סוטוקו היה בנו הבכור של הקיסר טוֹבָּה. מספר טקסטים עתיקים טוענים כי למעשה היה בנו של סבו של טובה, הקיסר שירקאווה.
אירועים בחייו של סוטוקו.
בשנת 1151, סוטוקו מורה על כתיבת שיקָה וואקַשוּ (詞花和歌集, "אוסף פרחים מילוליים"), אנתולוגיה קיסרית של שירי וואקה.
בשנת 1156, לאחר כישלון דיכוי מרד הוגן, הוא הוגלה לפרובינציית סָנוּקי (כיום מחוז קגאווה באי שיקוקו). שלטונו של הקיסר סוטוקו נמשך 18 שנים.
מקום קבורתו של סוטוקו ידוע, וכיום הוא מוקר במקדש שינטו לזכרו בקגאווה, שם נמצא המאוזולאום שלו, הנקרא "shiramine no misasagi".
אגדות.
לאחר ויתורו על כס הקיסרות וגלותו, הקדיש סוטוקו את חייו לנזירות. הוא העתיק מספר כתבים עתיקים והציע אותם לחצר הקיסר. מתוך חשש כי הכתבים מקוללים, החצר דחתה אותם. נאמר כי סוטוקו חש מושפל והתנכר לחצר, וכאשר היה על ערש דווי הפך לאונריו—רוח נוקמת. כל הקורות בהמשך, מנפילת קרנה של חצר הקיסר, עליית כוחם של הסמוראים, בצורת וחוסר שקט פנימי יוחסו לרדיפותיו.
לחלופין, נאמר שהוא הפך לטֵנגוּ, סוג של שד דמוי כלב מהפולקלור היפני.
אוסטריה במשחקים האולימפיים
אוסטריה השתתפה לראשונה במשחקים האולימפיים באולימפיאדה הראשונה שנערכה בעת החדשה, אולימפיאדת אתונה (1896). באותה העת הייתה חלק מהאימפריה האוסטרו-הונגרית, אך ברישומי הוועד האולימפי הבינלאומי נרשמו הישגי הספורטאים האוסטרים בנפרד מהישגיהם של עמיתיהם ההונגרים, והם יוחסו בדיעבד לאוסטריה. במלחמת העולם הראשונה נפרדו אוסטריה והונגריה למדינות עצמאיות, ושתיהן לא הורשו להשתתף באולימפיאדה הראשונה שנערכה לאחר מכן, אולימפיאדת אנטוורפן (1920). באולימפיאדת פריז (1924) השתתפה אוסטריה לראשונה כמדינה עצמאית, והיא משתתפת מאז במשחקים באופן קבוע.
לאורך השנים צברו הספורטאים האוסטרים במשחקי הקיץ 96 מדליות, בהן 20 מדליות זהב. הענפים המצליחים ביותר היו קאנו/קיאק (14 מדליות, מהן 3 מדליות זהב), הרמת משקולות (9 מדליות, מהן 3 מדליות זהב) ושיט (8 מדליות, מהן 3 מדליות זהב).
באולימפיאדות החורף, בהן משתתפת אוסטריה מאז היווסדן ב-1924, הישגיה של אוסטריה גבוהים בהרבה. הספורטאים האוסטרים צברו במשחקים אלה 250 מדליות, בהן 71 מדליות זהב. אוסטריה מדורגת במקום השישי בטבלת המדליות של כל הזמנים במשחקי החורף, אחרי נורווגיה, ארצות הברית, ברית המועצות, גרמניה וקנדה. הענפים בהם בלטו האוסטרים במיוחד היו סקי אלפיני עם זכייה ב-128 מדליות, בהן 40 מדליות זהב, יותר מכל מדינה אחרת; קפיצות סקי - ענף בו מדורגת אוסטריה במקום השלישי, אחרי פינלנד ונורווגיה, עם 27 מדליות מהן 7 מדליות זהב; החלקה אמנותית עם 20 מדליות, מהן 7 מדליות זהב. אוסטריה מדורגת במקום הרביעי בענף זה, אחרי ארצות הברית, רוסיה וברית המועצות; לוז' עם 25 מדליות, בהן 6 מדליות זהב, המקנות לאוסטריה את המקום הרביעי בטבלת המדליות, אחרי גרמניה, גרמניה המזרחית ואיטליה; סקי נורדי משולב, ענף בו אוסטריה מדורגת במקום הרביעי, אחרי נורווגיה, גרמניה ופינלנד, עם 16 מדליות, בהן 3 מדליות זהב; וגלישת שלג, ענף בו אוסטריה גם מדורגת במקום הרביעי, אחרי ארצות הברית, שווייץ וקנדה, עם 11 מדליות, בהן 5 מדליות זהב.
שתי אולימפיאדות חורף נערכו על אדמת אוסטריה, שתיהן באינסברוק. משחקי 1964 נערכו בה לאחר שהועדפה על פניהן של קלגרי ולאהטי. קודם לכן הפסידה בהתמודדות על אירוח משחקי 1960, לאחר שהפסידה לסקוו ואלי על חודם של שני קולות. הפעם השנייה בהם נערכו המשחקים באינסברוק היו ב-1976. ב-1970 בחר הוועד האולימפי הבינלאומי בעיר דנוור לאירוח המשחקים, אך ב-1972 חזרה בה העיר עקב העלויות הגבוהות והחשש מההשפעות הסביבתיות. לאחר שנבחנו מספר אפשרויות, בחר הוועד באינסברוק, ללא מכרז. עיר אוסטרית נוספת, זלצבורג, התמודדה על אירוח המשחקים פעמיים, אך נכשלה. במכרז לאירוח המשחקים ב-2010 דורגה במקום השלישי אחרי ונקובר ופייאונגצ'אנג, ובמכרז לאירוח המשחקים ב-2014 דורגה שוב במקום השלישי, אחרי סוצ'י ופייאונגצ'אנג. וינה התמודדה על אירוח משחקי הקיץ של 1964, ודורגה במקום השלישי אחרי טוקיו ודטרויט.
היסטוריה (משחקי הקיץ).
עד מלחמת העולם הראשונה.
באולימפיאדת אתונה (1896) השתתפו שלושה ספורטאים אוסטרים, שלושתם זכו במדליות. אדולף שמאל זכה במדליית זהב במרוץ אופניים ל-12 שעות ובמדליות ארד במרוצים ל-333 מטר ול-10 ק"מ. הוא התחרה גם בסיף, וסיים במקום רביעי. פאול נוימן זכה במדליית זהב במשחה ל-500 מטר בחופשי, ואוטו הרשמן זכה במדליית כסף במשחה ל-100 מטר חופשי.
באולימפיאדת פריז (1900) השתתפו 13 ספורטאים אוסטרים, והם זכו בשש מדליות. השחיין אוטו ואהלה זכה בשתי מדליות כסף, במשחה ל-1000 מטר בסגנון חופשי ובמשחה ל-200 מטר מכשולים. שחיין נוסף, קארל רוברל, זכה במדליית כסף במשחה ל-200 מטר גב ובמדליית ארד במשחה ל-200 מטר חופשי, וכן סיים במקום הרביעי במשחה ל-200 מטר מכשולים. הסייפים זיגפריד פלש ומילאן נראליץ' זכו במדליות ארד. נראליץ' היה קרואטי, ובאותה העת הייתה קרואטיה חלק מהאימפריה האוסטרו-הונגרית.
באולימפיאדת סנט לואיס (1904) ייצג את אוסטריה ספורטאי אחד בלבד, אוטו ואלה. ואלה זכה במדליית ארד במשחה ל-440 יארד בסגנון חופשי וסיים במקום רביעי במשחה ל-1 מייל חופשי. ספורטאי אוסטרי אחר, המתעמל יוליוס לנהארט, השתתף אף הוא במשחקים, ואף זכה במדליות זהב בקרב-רב ובמדליית כסף בתרגיל על שלושה מכשירים, אך מאחר שבתחרות הקבוצתית התחרה מטעם המועדון אמריקני מפילדלפיה (ואף זכה עמה במדליית זהב), נזקפו הישגיו לזכות ארצות הברית. גם באולימפיאדת לונדון (1908) התסכמו הישגיהם של האוסטרים במדליית ארד אחת, בה זכה השחיין אוטו שיף, במשחה ל-400 מטר חופשי. שיף גם סיים במקום רביעי במשחה ל-400 מטר חופשי.
באולימפיאדת סטוקהולם (1912) זכו האוסטרים בארבע מדליות. נבחרת הסיף זכתה במדליית כסף בחרב, ואחד מחבריה, ריכרד פרדרבר, זכה גם במדליית ארד ברומח. חבר נוסף בנבחרת הסיף היה אוטו הרשמן, ש-16 שנים קודם לכן זכה במדליית כסף בשחייה. הטניסאים פליקס פיפס וארתור צבורציל זכו במדליית כסף בטורניר הזוגות, ורביעיית השליחות במשחה ל-4x100 מטר חופשי (מרגרט אדלר, ברטה זאריק, קלרה מילך ויוזפינה שטיקר). נבחרת הכדורמים סיימה במקום הרביעי ונבחרת הכדורגל סיימה במקום השישי.
שנות ה-20 וה-30.
באולימפיאדת פריז (1924) השתתפה אוסטריה לראשונה כמדינה עצמאית, נפרדת מהונגריה. גם במשחקים אלה זכו האוסטרים בארבע מדליות, כולן בהרמת משקולות: פרנץ אייגנר, אנדראס שטאדלר ואנטון צוורינה זכו במדליות כסף, ולאופולד פרידריך זכה במדליית ארד.
באולימפיאדת אמסטרדם (1928) זכו האוסטרים בשלוש מדליות, בהן מדליות הזהב הראשונות מזה 32 שנה. מרים המשקולות פרנץ אנדריסק ניצח בקטגוריית המשקל של עד 60 ק"ג, ועמיתו האנס האס ניצח בקטגוריית המשקל של עד 67.5 ק"ג. החותרים לאו לוזרט וויקטור פלסל זכו במדליית ארד.
באולימפיאדת לוס אנג'לס (1932) עלה מספר המדליות בהן זכו האוסטרים ל-5. הסייפת היהודייה אלן פרייס ניצחה ברומח והייתה לאוסטרית הראשונה שזוכה במדליית זהב אולימפית. מרים המשקולות האנס האס איבד את תוארו, אך זכה במדליית כסף, ומרים משקולות נוסף, קארל היפפינגר, זכה במדליית ארד. המתאבק ניקולאוס הירשל זכה בשתי מדליות ארד, הן בסגנון חופשי והן בסגנון יווני-רומי.
אולימפיאדת ברלין (1936).
אולימפיאדת ברלין (1936) הייתה המוצלחת ביותר בתולדות אוסטריה. 232 ספורטאים אוסטרים השתתפו במשחקים, והם זכו ב-13 מדליות בהן 4 מדליות זהב.