כשתי משוואות שונות, אף על פי שלמעשה שתיהן זהות אם הפרמטר p יכול לקבל ערכים שליליים. עקב אותה אי-ההבנה של היכולת להשתמש במספרים שליליים, דן קרדאנו בספרו "האומנות הגדולה" ב-13 סוגים שונים של משוואות ממעלה שלישית.
בהינתן שהפתרון למשוואה מהצורה formula_28 הוא, בכתיב מודרני,
formula_29
מספרים מרוכבים צצים באופן טבעי בעת העיסוק במשוואות מסדר שלישי, גם כאשר הפתרונות שמתקבלים בסופו של דבר הם ממשיים. כשניסה קרדאנו לפתור את המשוואה formula_30, הגיע לביטוי שכלל את המספר formula_31. בספרו לעיל פרסם פתרון הכולל התייחסות ראשונה לרעיון כי ייתכן מספר שהוא שורש ריבועי של מספר שלילי, אך קרדאנו לא הבין את גודל תגליתו וראה במספרים אלו "חסרי תועלת". למרות זאת, העיסוק בפתרון משוואות ממעלה גבוהה הוביל לדיון משמעותי ראשון במספרים מרוכבים.
משוואה ממעלה חמישית ומעלה.
ישנן משוואות ממעלה חמישית שפתרונן פשוט, כמו formula_32 שפתרונה הממשי הוא formula_33 או המשוואה formula_34 שניתן לכתוב בצורה formula_35 ובכך לפתור בקלות (משום שאם מכפלת מספר גורמים מתאפסת, אזי הפתרונות הם הערכים שמאפסים כל אחד מהגורמים לפי המשפט הקטן של בזו). בצורה דומה, ניתן לפתור גם מקרים פרטיים של משוואות פולינומיות מדרגה גבוהה יותר.
לאחר ההצלחה בפתרון בעיית המשוואה הפולינומית הכללית עבור משוואות ממעלה שלישית ורביעית עד אמצע המאה ה-16, מתמטיקאים רבים ניסו למצוא פתרון לבעיה הכללית של משוואה פולינומית ממעלה הגבוהה או שווה לחמש, המבוסס על ארבע פעולות חשבון ושימוש בשורשים (פתרון כזה מכונה פתרון בעזרת רדיקלים), אך ללא הצלחה. ספרו של אייזק ניוטון, אריתמטיקה אוניברסלית (1707), תיאר את הקשר בין מקדמי המשוואה לפולינומים סימטריים של שורשיה, אבל לא הרחיק לכת מעבר לכך. הגישה השתנה ב-1771, עם פרסום עבודתו של לגרנאז', שבו תיאר הבדלים מהותיים בין משוואות ממעלה שלישית ורביעית למשוואות ממעלה גבוהה יותר. בפרק זמן של ארבעים שנה עברה הקהילה המתמטית מוודאות שקיימת שיטה כזו וחיפוש אחריה להבנה ששיטה כזו אינה אפשרית, זאת תוך כדי פרסום של הוכחות חלקיות ומלאות שיצרו תחומים חדשים במתמטיקה וקידמוה רבות.
לגראנז' וגאוס.
בשנת 1771 פרסם ז'וזף לואי לגראנז' את מאמרו החלוצי "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" ("על התאוריה האלגברית של משוואות") ובו ניסה להבין מדוע הפתרונות למשוואה ממעלה שלישית ורביעית הצליחו, אך למעלה מכך לא. בשיטה של המעלה השלישית יש שימוש בהשלמה והצבה שעוזרות להעלים את הגורם של formula_36, שאפשרי גם במשוואה ממעלה רביעית. לגראנז' הראה שלא ניתן להשתמש בצורה זו עבור משוואה ממעלה חמישית, שכן הם רק מסבכים את המשוואה ומעבירים אותנו לעבודה עם משוואה ממעלה שישית. לגראנז' שם לב לחשיבות שורשי היחידה המרוכבים והעלה טיעון מפתיע: אם נסתכל על formula_37 כאשר formula_38 הם שורשי היחידה המרוכבים ו־formula_39 הם שורשי משוואה ממעלה שלישית, אזי בחירת השמות (formula_40 במקום formula_41 לדוגמה) היא שרירותית. אנו יכולים לבצע תמורה על השמות, ויש בדיוק formula_42 דרכים לעשות כן. לגראנז' בחן את כל 6 האפשרויות האלו וגילה כי הן מובילות בסופו של דבר רק ל־2 תוצאות שונות, והן formula_43 ו־formula_44 בדיוק. לדבר זה התייחס לגראנז' בטענה שהוא "בעל ערך". באופן דומה בדק לגראנז' את formula_45 התמורות על פתרונות משוואה ממעלה רביעית וראה שהן מניבות בדיוק 3 ערכים שונים. ל־formula_43 הוא קרא "רזולבנטה" ולטענתו ניכר שכאשר הרזולבנטה מקבלת פחות ערכים מאשר מעלת המשוואה — ניתן לפתור את המשוואה. כאשר ניגש לגראנז' לבדוק את הרזולבנטה של משוואה ממעלה 5 הוא גילה כי היא מקבלת 6 ערכים שונים, מספר הגדול יותר ממעלת המשוואה. מכאן הסיק לגראנז' שהדרכים הישנות לא תעבודנה בפתרון המשוואה ממעלה חמישית ושיש לנסות בדרכים אחרות לפותרה.
למסקנה הפוכה הגיע קרל פרידריך גאוס, שבעבודת הדוקטורט שלו משנת 1799 טען כי לא קיימת שיטה כללית לפתרון משוואה ממעלה חמישית על ידי רדיקלים, זאת למרות ההתקדמות שהצליח להשיג אחרי הוכחתו הראשונה למשפט היסודי של האלגברה. גאוס כתב על כך:
גאוס עצמו הדגים בספרו "מחקרים אריתמטיים" כי המשוואות הציקלוטומיות פתירות על ידי רדיקלים, זאת כחלק מניסיונו להראות אפשרות בנייה בסרגל ומחוגה של מצולעים משוכללים שונים. היות שגאוס כאמור לא האמין כי קיימת שיטה כללית לפתור משוואות ממעלות גבוהות, הוא נתן את המשוואות הציקלוטומיות האלה כדוגמה מיוחדת ומעניינת למשוואות ממעלה גבוהה שלהן כן קיימת נוסחה לפתרון.
רופיני וקושי.
פאולו רופיני פרסם שש הוכחות לאי־פתירות משוואה ממעלה חמישית, הראשונה ב־1799 והאחרונה ב־1813. כל אחת מוסיפה על קודמתה ומנסה להיאבק בביקורת שהועלתה עליה. את מאמרו הראשון פתח רופיני בפסקה:
רופיני כתב את מאמרו בסגנון ארוך, מעל 500 עמוד, ולא־ברור. סגנונו הקשה על מתמטיקאים בתקופתו לקבלה. הוא שלח את מאמרו שלוש פעמים בשלוש שנים שונות ללגראנז' שלא השיב לו לאף אחד מהם. בשנת 1810 ביקש רופיני מהאקדמיה בפריז שתכריז על נכונות הוכחתו. המתמטיקאים לגראנז', לז'נדר ולקרואה מונו לבדוק אותה, והפיקו דו"ח שכלל את האמירה ש"לגראנז' טען שעבודה זו לא ממש ראויה להתייחסות". רופיני שלח בקשה דומה לאקדמיה המלכותית בבריטניה, שהשיבה בצורה טובה יותר בטענה שהם אינם מצרפים אישור לכך שהעבודה אכן מוכיחה את מה שהיא מתיימרת, אבל חברי ועדת הבדיקה אכן חושבים שהיא עושה כן.
התייחסות חיובית אחת למאמרו של רופיני הייתה של המתמטיקאי הצרפתי החשוב אוגוסטן לואי קושי שהכליל חלק מגילויו של רופיני בנושא חבורות תמורות ב־1813 ו־1815 (במיוחד המאמר "Memoire sur le nombre des valuers qu'une fonction peut acquerir"). המאמרים היוו פריצת דרך בכל הנוגע לתורת החבורות וכאלו לראשונה את הסימון המקובל לתמורה — (לדוגמה, formula_47 לתמורה המזיזה כל איבר לבא אחריו מתוך ארבעה איברים) וגם הוכחה מופשטת למה שהיום מוכר כמשפט לגראנז' על חלוקת סדר של תת-חבורה בסדר החבורה. מאמריו אלה של קושי נקראו על ידי נילס אבל, וכך התוודע באופן עקיף לעבודותיו של רופיני. במכתב של קושי לרופיני, חצי שנה לפני מותו של השני, כתב לו:
למרות תמיכתו של קושי, עבודתו של רופיני עדיין לא זכתה להערכה או פרסום בקרב הקהילה המתמטית. על השאלה מדוע עבודתו של רופיני נדחתה, אך בערך 20 שנה אחריה עבודתו של אבל התקבלה טוב יותר יחסית כתב ההיסטוריון של המתמטיקה ריימונד איוב:
תרומתו של אבל.
נילס אבל הצעיר, בעידוד מורו למתמטיקה בתיכון קרא את עבודותיהם של לגראנז' וקושי על תמורות ופתרון משוואות. מאמרו של קושי משנת 1815 היה מבוסס על עבודתו של רופיני, אך לפי הידוע אבל מעולם לא קרא את רופיני, שעבודותיו היו קשות להבנה ובאיטלקית. לאחר ניסיונות כושלים רבים למצוא שיטה כללית לפתרון משוואה ממעלה חמישית, שינה אבל את דעתו לגבי קיום פתרון ופרסם בשנת 1824, שנתיים אחרי מות רופיני, את ההוכחה המלאה הראשונה לאי־פתירות משוואה כללית ממעלה חמישית, הוכחה שסגרה הפערים בעבודותיו של רופיני. ההוכחה נכתבה בקיצור נמרץ, לאורך 6 עמודים בלבד, שכן הודפסה על חשבון המחבר. שנתיים לאחר מכן, ב־1826 קרא אבל מאמר המסכם את עבודתו של רופיני וכתב על כך:
כאשר פורסם מאמרו הראשון של אבל בשנת 1824 הוא לא התקבל בהערכה רבה. אבל שלח עותק לגאוס בגטינגן, אך גאוס לא התלהב ממנו כלל. ההשפעה הראשונית הגיעה בשנת 1826 עם פרסום המאמר בכרך הראשון של כתב־העת המשפיע של המתמטיקאי הגרמני אוגוסט לאופולד קרל בברלין — "Journal für die reine und angewandte Mathematik", פרסום זה הוא שהחל להביא את אבל והוכחתו לידיעת הקהילה המתמטית העולמית. אבל שלח את מאמרו לגאוס, שדעותיו בנושא מתאימות להוכחת אי־פתירות, אך מכתבו של אבל נמצא חתום וסגור ברשותו של גאוס לאחר מותו במכתב של אבל ללז'נדר משנת 1828 הוא הפציר בו לפרסם את תגליתו:
לאופולד קרונקר הוא זה שהכניס את משפט אבל-רופיני לתוכנית הלימודים האוניברסיטאית. הוא הוכיח מחדש את משפט אבל ללא שימוש בחלקים הבעייתיים בהוכחה בצורה פשוטה יותר ופרסם אותם בשנת 1879 ב־"Academie der Wissenschaften". קרונקר לא ביקר את הוכחתו של אבל אך נתן לה צורה פשוטה יותר.
תורת גלואה כפתרון כללי.
שאלה שנותרה פתוחה לאחר הוכחתם של רופיני ואבל היא "מה הופך משוואות מסוימות (כמו אלו שהובאו לעיל) לפתירות ואילו אחרות – לא?". התשובה ניתנה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אווריסט גלואה ותורת גלואה שפיתח. גלואה ככל הנראה הכיר חלק מכתביו של אבל בדרכו לפתח את מה שידוע היום בשם "תורת גלואה" המספקת, בין היתר, הסבר שלם לפתירות של משוואות פולינומיות. למעשה, גלואה פעל ועבד כמתמטיקאי בפריז בזמן שנילס אבל עצמו ביקר בעיר. גלואה הכיר את עבודותיהם של לגראנז' וקושי בנושא, וגם את המאמר של אבל בכתב־העת של קרל. גלואה הכחיש כל תלות בעבודותיו של אבל, אך היה מודע לעבודתו ולעבודתו של רופיני, כפי שהוא מצוטט:
גלואה פנה לחקור פתרונות של משוואות על ידי חקירת אובייקט שלו הוא קרא "חבורה" (groupe), שאותו הוא התאים לכל משוואה. החבורה הכילה תמורות מסוימות על שורשי המשוואה, וגלואה הראה, על ידי חקירת המשוואות ובהינתן החבורה המתאימה לה, האם המשוואה שהיא מייצגת פתירה על ידי רדיקלים, מה שלעתיד ייקרא "חבורה פתירה". גלואה השתמש רבות באינווריאציה של צמידות (מה שעתיד להיקרא "תת-חבורה נורמלית") כדי לאפיין את הפתרון.