ולכן הצגת זקנדורף של formula_18 לא כוללת את formula_23. כלומר formula_24 היא הצגת זקנדורף של formula_13 והאינדוקציה הושלמה.
למה: נציג למה שתשמש בהמשך: הסכום של קבוצת מספרי פיבונאצ'י שונים זה מזה שאין מביניהם שניים עוקבים, כך שהמספר הגדול בסכום הוא formula_3, תמיד יהיה קטן מ-formula_4 (ל-formula_28). נקרא לסכום שכזה סכום זקנדורף. ההוכחה באינדוקציה: המקרה formula_29 טריוויאלי, כי הסכום יהיה formula_11, שקטן מ-formula_31. נניח כי הטענה נכונה לכל formula_12 ונוכיח את נכונותה ל-formula_13. נסמן ב-formula_18 את סכום כל איברי סכום זקנדורף מלבד formula_4. ידוע כי formula_3 לא מופיע בסכום כי formula_4 עוקב שלו. לכן המספר הגדול ביותר בסכום formula_18 הוא לכל היותר formula_39, ולכן לפי הנחת האינדוקציה formula_40. ומכאן: formula_41 כפי שנדרש להוכיח.
יחידות: נניח בשלילה כי קיים N שיש לו שתי הצגות זקנדורף שונות. נסמן ב-formula_42 את קבוצת המספרים בסכום הראשון וב-formula_43 את קבוצת המספרים בסכום השני. לפי ההנחה שני הסכומים שווים. נגדיר formula_44 ו-formula_45 (ראו הפרש קבוצות), כלומר יצרנו שתי קבוצות חדשות שנוצרו משתי הקבוצות הקודמות לאחר הסרת האיברים המשותפים להן, מכל אחת מהן. מאחר שהסרנו רק איברים משותפים סכום איברי הקבוצה הראשונה עדיין שווה לסכום איברי הקבוצה השנייה. לא ייתכן כי אחת מהקבוצות ריקה, כי אז גם השנייה ריקה (יש להן את אותו הסכום) ומכיוון שהן התקבלו מהסרת האיברים המשותפים של שתי הקבוצות המקוריות, המסקנה היא כי הקבוצות היו שוות, בסתירה להנחה.
נסמן ב-formula_46 ו-formula_47 את האיברים הגדולים ביותר ב-formula_48 וב-formula_49 בהתאמה. formula_50 כי הסרנו איברים משותפים. נניח ללא הגבלת הכלליות כי formula_51, כלומר formula_52. לפי הלמה הסכום של formula_48 קטן מ-formula_54 ולכן גם קטן מ-formula_47. לעומת זאת ברור כי הסכום של formula_49 הוא לפחות formula_47, בסתירה לכך שהסכומים שווים. מכאן שלכל מספר טבעי יש הצגת זקנדורף יחידה.
מציאת הצגת זקנדורף.
את הצגת זקנדורף של מספר נתון N ניתן למצוא בעזרת אלגוריתם חמדן פשוט הנובע ישירות מהוכחת המשפט:
האלגוריתם נעצר כאשר ההפרש יוצא 0. אז קבוצת מספרי פיבונאצ'י שמצאנו היא הצגת זקנדורף הרצויה.
בהצגת זקנדורף של מספר N יהיו בערך formula_58 מחוברים, כי סדרת פיבונאצ'י formula_3 גדלה בקצב אסימפטוטי לסדרה ההנדסית formula_60 (כאשר formula_61 הוא יחס הזהב).
דוגמה.
נמצא את הצגת זקנדורף של 83:
נקבל את ההצגה: .
הצגת זקנדורף וקוד פיבונאצ'י.
יש דמיון רב בין הצגת זקנדורף של מספר להצגה שלו בבסיס ספירה, ובייחוד בבסיס בינארי. הצגת זקנדורף מציגה כל מספר כסכום של מספרי פיבונאצ'י שונים ואילו הצגה בינארית מציגה כל מספר כסכום של חזקות שונות של 2. למשל לפי הסימון המקובל: formula_62 (ההצגה הבינארית של מאה). באופן דומה ניתן להציג כל מספר ב"בסיס פיבונאצ'י" או "בסיס זקנדורף" כאשר הספרה הראשונה מימין מייצגת את formula_63 ובאופן כללי הספרה ה-n מימין מייצגת את formula_4. אם הספרה היא '1' סימן שמספר פיבונאצ'י המתאים משתתף בסכום, ואם היא '0' סימן שהוא לא משתתף. למשל הצגת זקנדורף של מאה היא: formula_65.
מאפיין ייחודי של הצגת זקנדורף של מספר הוא שלעולם לא יופיעו שני '1' סמוכים (כי אין בהצגה שני מספרי פיבונאצ'י עוקבים). עובדה זו מנוצלת בתורת הקודים, שם משתמשים בהצגת זקנדורף להגדרת קוד פיבונאצ'י. קוד פיבונאצ'י הוא קוד בינארי (מופיעים בו רק 0 ו-1) שמייצג מספרים טבעיים. קוד פיבונאצ'י של מספר טבעי מתקבל מהיפוך סדר הספרות של הצגת זקנדורף שלו והוספת '1' בסופו (צד ימין). למשל קוד פיבונאצ'י של מאה הוא: formula_66. מכיוון שבהצגת זקנדורף לעולם לא מופיעים שני '1' סמוכים, '11' תמיד מייצג סוף של מספר בקוד פיבונאצ'י. למעשה ה-'1' שנוסף בסוף הקוד מתפקד כפסיק, ומאפשר לכתוב מחרוזת רציפה של מספרים שניתן להבדיל ביניהם. לדוגמה המחרוזת formula_67 מייצגת את הסדרה: formula_68 (הצביעה לשם נוחות הקריאה בלבד).
עוקב פיבונאצ'י.
עוקב פיבונאצ'י היא פעולה אונרית המוגדרת על מספרים לפי הצגת זקנדורף שלהם. העוקב פיבונאצ'י של n מוגדר כמספר שהצגת זקנדורף שלו מתקבלת מלקיחת מספר הפיבונאצ'י העוקב לכל מספר פיבונאצ'י בהצגת זקנדורף של n. כלומר אם formula_69 היא הצגת זקנדורף של n, אז העוקב מוגדר formula_70. למשל formula_71.
קל לראות שמספר הוא עוקב פיבונאצ'י של מספר אחר אם ורק אם הוא "זוגי פיבונאצ'י", כלומר formula_72 לא מופיע בהצגת זקנדורף שלו.
הסדרה עם תנאי ההתחלה formula_73 שכל formula_74 מקיימת formula_75 היא סדרת פיבונאצ'י. באופן כללי כל סדרה שכזו עם תנאי התחלה כלשהו מקיימת את יחס הנסיגה של סדרת פיבונאצ'י.
לעוקב פיבונאצ'י קשר הדוק לטבלת וייטהוף (), שמציגה תכונות מעניינות רבות של סדרות דמויות פיבונאצ'י.
מכפלת פיבונאצ'י.
מכפלת פיבונאצ'י היא פעולה בינארית בין מספרים טבעיים המוגדרת בעזרת הצגת זקנדורף. את הפעולה הגדיר דונלד קנות' שגם הוכיח שהיא אסוציאטיבית.
בהינתן הצגות זקנדורף formula_76 ו-formula_77 של formula_18 ו-formula_79, מכפלת פיבונאצ'י formula_80 מוגדרת: formula_81.
למשל:
formula_82.
הכללות.
את משפט זקנדורף ניתן להכליל למספרי פיבונאצ'י מסדר שלילי. מספרים אלו מוגדרים formula_83 (ו-formula_84). כך הם ממשיכים לקיים את נוסחת הנסיגה ואת תנאי ההתחלה של סדרת פיבונאצ'י. לכל מספר שלם, חיובי או שלילי (או אפס), קיימת הצגה יחידה כסכום של מספרי פיבונאצ'י מסדר שלילי. למשל:
ואילו 0 הוא הסכום הריק.
ניתן להגדיר הצגת זקנדורף שלילית וקוד פיבונאצ'י שלילי באופן דומה למקרה החיובי. בניגוד לאנלוג החיובי, ההצגה והקוד השליליים מסוגלים לתאר כל מספר שלם, ולא רק חיוביים.
משפט זקנדורף תקף גם לסדרות k-בונאצ'י formula_85. אלו הן סדרות המוגדרות על ידי נוסחת הנסיגה formula_86 (מספר k-בונאצ'י הוא סכום k מספרי k-בונאצ'י הקודמים) ותנאי ההתחלה formula_87 (הסדרה מתחילה ב- אפסים ואחריהם שני 1). המקרה k=2 הוא סדרת פיבונאצ'י הרגילה. לכל מספר טבעי יש הצגה יחידה כסכום של מספרי k-בונאצ'י שאין ביניהם k מספרי k-בונאצ'י עוקבים.
וולודין
אלכסנדר ליטובצ'נקו
אלכסנדר דמיטרייביץ' ליטובצ'נקו (ברוסית: Алекса́ндр Дми́триевич Лито́вченко, 14 במרץ 1835 - 16 ביוני 1890) היה צייר רוסי ממוצא אוקראיני שהתמחה בציור אירועים היסטוריים מהמאה ה-16 והמאה ה-17 בתולדותיה של רוסיה.
ליטובצ'נקו למד באקדמיה הקיסרית לאמנויות וזכה במדליית זהב על ציורו המתאר את כארון שט על נהר סטיקס. ליטובצ'נקו יצא נגד האסכולה המסורתית של האקדמיה, ובשנת 1863 עזב אותה והצטרף לתנועת הנודדים, אשר העדיפה את הסגנון הריאליסטי.
בין יצירותיו הידועות הן היצירה המתארת את – יצירה המוצגת במוזיאון אלכסנדר השלישי בסנקט פטרבורג, והיצירה משנת 1886, אשר מוצגת בגלריית טרטייקוב שבמוסקבה.
יצירות נוספות ידועות של ליטובצ'נקו הן שבעה ציורי הקיר שצוירו עבור קתדרלת ישו המושיע שבמוסקבה והציורים על אנדרטת מלחמת קרים בסבסטופול.
מלון הרצליה
יחסי איחוד האמירויות הערביות–ישראל
בין מדינת ישראל לאיחוד האמירויות הערביות מתקיימים יחסים דיפלומטיים מסוף שנת 2020, בעקבות הסכמי אברהם.
שגרירות ישראל באיחוד האמירויות פועלת באבו דאבי, ולצידה קונסוליה הפועלת בדובאי. שגרירות איחוד האמירויות בישראל פועלת בתל אביב.
על אף צעירותם של יחסים, יחסים אלו מתאפיינים ב"שלום חם" בניגוד ליחסי ישראל עם חלק ממדינות ערב אשר איתן היא מקיימת יחסים דיפלומטיים.
אי הכרה בישראל.
לאחר הסכמי אוסלו, האמירויות נמנעה מיחסים גלויים עם ישראל בניגוד לשכנותיה, עומאן וקטר, אבל סחר בין הצדדים ויחסים ביטחוניים התקיימו מתחת לרדאר. ב-2000 דווח שהמדינה מקיימת יחסים כלכליים שקטים ועקיפים עם ישראל. צוין שהמדינה הזדהתה רשמית עם מדינות המפרץ, שנטו לגנות את ישראל ונמנעות מכל קשר ישיר איתה.
בין השנים 2003–2019 ביקרו בדובאי ובאבו דאבי מספר פעמים משלחות ישראליות ושרים ישראליים, כחלק מהשתתפותם בכנסים בינלאומיים שנערכו בהם.
בין השנים 2013–2018 השתתפו מספר פעמים שחקנים ישראליים בתחרויות בינלאומיות שנערכו באיחוד האמירויות, בחלק מהמקרים ההשתתפות התאפשרה רק בעקבות לחץ שהפעיל האיחוד העולמי האחראי לתחרות, ובמרביתם נמנעה מהם הצגת סממני זיהוי ישראלים.
בסוף נובמבר 2015 נפתחה באבו דאבי נציגות ישראלית שסונפה לסוכנות הבינלאומית לאנרגיות מתחדשות שמשרדיה מצויים באבו דאבי. באיחוד האמירויות הבהירו בהודעה רשמית של משרד החוץ כי
ב-2017 השתתפו טייסי חיל האוויר הישראלי בתמרון צבאי ביוון, בו השתתפו גם טייסים מאיחוד האמירויות, מאיטליה ומיוון.
פרשת שחר פאר.