קרום היה בנו בכורו של טוקטו, חאן בולגריה בין השנים 766–767 והוא נולד כפי הנראה ב-755, בפאנוניה כאשר הייתה בשליטת האווארים. קרום הקים את שושלתו שלו המכונה קְרוּמוֹבָה, אם כי יש להניח שאביו טוקטו היה נצר לשושלת דולו, השושלת המרכזית של האימפריה הבולגרית הראשונה. תאוריות נוספות מייחסות לו מוצא מקדוני, אם כי הן פחות סבירות ונועדו לשרת את הנרטיב ההיסטורי הבולגרי, המקשר את השליט למולדת ההיסטורית, קל וחומר כשחבל מקדוניה הוא חלק ממנה. שם אימו סוויטלאנה והיא הייתה בת לשבט סלאבי, עניין שעשוי להסביר את תיאורו של קרום, בידי מספר מתעדים ביזנטיים, כבהיר שיער ועיניים. בשנת 805 ניצל קרום את החלשותם של האווארים והרחיב את גבולותיו לכוון הרי הקרפטים, חבל טרנסילבניה ולאורך מעלה הדנובה, עד מזרח פאנוניה תוך יצירת גבול משותף בין האימפריה הבולגרית לאימפריה הפרנקית תחת שלטונו של קרל הגדול.
הרחבת גבולות האימפריה.
הרחבת הטריטוריה של האימפריה, הביאה אותו למסלול התנגשות עם האימפריה הביזנטית. ב-807 הובסו הביזנטים בעמק הנהר סטרומה וב-809 כבש קרום את סארדיקה, תוך שהוא טובח בחיל המצב בעיר. בתגובה, ב-811 הקיסר ניקפורוס הראשון, ארגן מסע מלחמה לתוך האימפריה הבולגרית בראש צבא גדול. כל ניסיונות הבולגרים לחסום את התקדמות הביזנטים עלו בתוהו וב-20 ביולי 811, נכבשה עיר הבירה פליסקה, תוך שהביזנטים הורגים באוכלוסייה המקומית. קרום ארגן מחדש את צבאו, נקט בטקטיקות של לוחמת גרילה וטמן מארבים במעברים הצרים של הרי הבלקן, לצבא הביזנטי הכבד והמסורבל בעת שהיה בדרכו חזרה לקונסטנטינופול. הביזנטים נפלו למלכודת וב-26 ביולי ניגף צבאו של הקיסר, הוא עצמו נהרג ובנו ניצל בעור שיניו.
קרום ניצל את אי הסדר השלטוני שנבע ממותו של ניקפורוס הראשון והדחת בנו ופלש לשטחי האימפריה הביזנטית, תוך שהוא כובש שטחים בתראקיה. מעמדת כוח זו הציע קרום לקיסר הביזנטי החדש מיכאל הראשון חוזה שלום, אך הוא סרב. הסירוב הוביל לתקיפה נוספת וכיבוש העיר נסבר בסתיו 812. כעת ניצב צבא האימפריה הבולגרית, בעמדה המאיימת על הבירה הביזנטית. ניסיון נוסף להתקדם בתראקיה נבלם על ידי הצבאות הביזנטיים.
אחריתו.
הקיסר הביזנטי מיכאל הראשון, כינס את כל צבאו וגמר אומר לחסל אחת ולתמיד את האיום הבולגרי על האימפריה. 30,000 חייליו של מיכאל הראשון, נפגשו עם 16,000 חייליו של קרום ליד אדריאנופול, ב-22 ביוני 813 והובסו בתבוסה מוחצת. הקיסר ומפקדיו נסו מהמערכה לקונסטנטינופול, כאשר פרשיו של קרום דולקים אחריהם עד לעיר ולמעשה מטילים עליה מצור. בשל התבוסה ויתר מיכאל הראשון על כסאו.
הקיסר החדש לאון החמישי, הזמין את קרום למשא ומתן על חוזה שלום בין האימפריות, כשכוונתו לטמון לו מארב ולהרגו. קרום נחלץ אך בקושי מהקרב, כשהוא פצוע וכנקמה החריב את סביבות עיר הבירה, כבש את אדריאנופול והגלה את תושביה אל מעבר לנהר הדנובה. בהמשך, העמיק את חדירתו לשטח הביזנטי, כשכבש את העיר ארקאדיופוליס, (בימינו העיר לילבורגז שבטורקיה). כעת, היה זה קרום שגמר אומר לחסל אחת ולתמיד את האיום הביזנטי והוא נערך להכנעתה של קונסטנטינופול. בטרם השלים את הכנותיו, הלך קרום לעולמו במפתיע ככל הנראה מהתקף לב או שבץ, ב-13 באפריל 814. את כסאו ירש בנו אומורטאג.
שורוק
חפיפה
בגאומטריה, שני עצמים הם חופפים אם יש להם אותה צורה ואותו גודל, אף אם הם נמצאים במקומות שונים במרחב, מכוונים לכיוונים שונים, או הם תמונת ראי זה של זה.
בניסוח פורמלי יותר חפיפה בין שני קטעים היא מושג ראשוני, המשקף את הרעיון שקיימת איזומטריה שתעביר קטע אחד כך שיכסה בדיוק את הקטע האחר. בהתאם למושג ראשוני זה, ניתן להגדיר חפיפה של עצמים נוספים, כגון חפיפה של שתי זוויות, חפיפת משולשים וכדומה. הסימן המתמטי לחפיפה הוא סימן השוויון ומעליו טילדה: formula_1.
לאחר הגדרתה של חפיפה בין שני עצמים, ניתן לנסח אקסיומות ומשפטים העוסקים בקיומה של חפיפה כזו. דוגמה נודעת למשפטי חפיפה הם המשפטים העוסקים בחפיפת משולשים.
חפיפה היא יחס שקילות.
מתמטיקה של קיפולי נייר
אמנות קיפולי הנייר, אוריגמי, זכתה למחקר מתמטי ניכר. תחומי העניין המתמטיים כוללים את בדיקת היכולת לשטח את מודל הנייר מבלי להזיק לו (באנגלית: flat-foldability) והשימוש בקיפולי הנייר על מנת לפתור משוואות מתמטיות. המגבלות המקובלות בייצור דגמי אוריגמי יוצרות תנאי שפה רבים על יצירת דגמים, המאפשרים ניתוח מתמטי של תהליכי הקיפול.
אתגרים מתמטיים.
קיימות בעיות מתמטיות רבות הנובעות מאמנות האוריגמי, וחלקן טרם נפתרו. למשל, בעיית הקיפול השטוח, הבוחנת את אפשרות הקיפול של דגם דו-ממדי על פי תבנית קפלים נתונה. בעיה זו היא בעיה NP שלמה. בעיה אחרת, בעלת חשיבות מעשית רבה, היא בעיית "האוריגמי הקשיח", הבוחנת אפשרות יצירת דגמים מיחידות נוקשות שמחוברות ביניהן בצירים. לפתרון בעיה זו שימושים רבים באדריכלות ובהנדסה.
בנית מודלים של אוריגמי דורשת, בדרך-כלל, קיפולים חוזרים מעטים בלבד. אחד האתגרים בתחום זה, קיפול נייר לשניים בשכבות רבות, נפתר רק ב-2001, על ידי בריטני גאליבן, בהיותה עדיין תלמידת תיכון. גאליבן ניסחה את פונקציית ההפסד עבור קיפול נייר לשניים בכיוון אחד. הפונקציה מבוטאת על ידי הנוסחה formula_1, כאשר "L" הוא האורך המינימלי של הנייר (או כל חומר אחר), "t" הוא עוביו של החומר, ו"n" הוא מספר הקיפולים האפשריים. גאליבן הצליחה לקפל דף נייר לשניים 12 פעמים. הדעה המקובלת לפני כן הייתה שבלא התחשבות בסוג או בגודל הנייר ניתן לקפלו לא יותר משמונה פעמים.
אקסיומות הוזיטה-האטורי.
בבסיס החקר המתמטי של האוריגמי עומדות שבע אקסיומות המגדירות את הפעולות הגאומטריות האפשריות בתהליך הקיפול. שש האקסיומות הראשונות פורסמו ב-1992 על ידי המתמטיקאי היפני-איטלקי, הומיאקי הוזיטה. אקסיומה שביעית המשלימה את שש האקסיומות של הוזיטה נוסחה על ידי המתמטיקאי קושירו האטורי. בניסוח האקסיומות, כל שני אובייקטים מוגדרים להיות שונים (כלומר אם נאמר "בהינתן שתי נקודות", יש לקרוא זאת כ"בהינתן שתי נקודות שונות זו מזו"):
שבע האקסיומות מאפשרות ניתוח של כל קפלי האוריגמי האפשריים תחת הנחה של קפלים ישרים בלבד המבוצעים על מישור כאשר בכל שלב מבוצע קיפול אחד בלבד. ככל הנראה חסרות אקסיומות נוספות כדי לנתח את כל קפלי האוריגמי האפשריים אם מאפשרים ביצוע סימולטני של מספר קפלים.
רוברט ג. לאנג (Robert J. Lang) הראה דרך לחלוקת זווית לחמישה חלקים שווים באמצעות קיפולים החורגים מאקסיומות הוזיטה-האטורי. בשיטת הקיפול בה השתמש לאנג יוצרים שני קפלים סימולטנית, ומכאן רואים שהאקסיומות אינן מתארות את כל האפשרויות של דגמי אוריגמי במישור (דגמים במרחב מלכתחילה אינם כלולים). את האקסיומה החסרה שלאנג מדגים, ניתן לנסח כך: בהינתן 3 נקודות P2, P1 ו-P3 ושני קווים L1 ו-L2 ניתן ליצור שני קפלים L3 ו-L4 כך ש-L3 עובר דרך P3 ו-L4 ממקם את P1 על L1 ואת P2 על L3 כך ש-P2 נמצאת במרחק שווה מ-L2 ומ-L4.
בסיס תאורטי זה מאפשר תכנון של דגמי אוריגמי מורכבים על גבי מחשב, פתרון משוואות ובעיות גאומטריות בעזרת אוריגמי ועוד. לדוגמה, כך אפשר למצוא את השורש השלישי של מספר formula_2 באמצעות קיפולי נייר: ציירו מערכת צירים מאונכת על הדף; סמנו את הנקודות formula_3 ו- formula_4. כעת הפעילו את האקסיומה השישית כדי למקם את הנקודה הראשונה על ציר ה- x, ואת הנקודה השנייה על הישר formula_5. שיקוף כזה (דרך הקו המקווקו באיור משמאל) מעתיק את הנקודה formula_3 לנקודה שמרחקה מראשית הצירים בדיוק formula_7.
הפעולות המתוארות באקסיומות 1–5 ו-7 ניתנות לביצוע גם באמצעות מחוגה וסרגל: הן מתארות, בקירוב, העברת קו בין שתי נקודות (1), העברת אנך אמצעי (2), העברת חוצה זווית (3), הורדת אנך (4), העברת משיק לפרבולה דרך נקודה נתונה (5), והעברת ישר מקביל (7). האקסיומה הנותרת, 6, מאפשרת למצוא משיק משותף לשתי פרבולות, פעולה השקולה לפתרון משוואה ממעלה שלישית (ולכן גם רביעית); לעומת זאת, במחוגה וסרגל אפשר לפתור רק משוואות ריבועיות.
כמה מהבעיות הגאומטריות של ימי קדם, למשל שילוש זווית (חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שווים) או בניית קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה, הוכחו כבלתי-פתירות באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה בלבד, אבל ניתן לפותרן באמצעות מספר קיפולי נייר.
כתוצאה ממחקר אוריגמי באמצעות יישום של עקרונות גאומטריים, שיטות, כדוגמת משפט האגה, אפשרו למקפלי נייר לקפל צלע של ריבוע לשליש, חמישית, שביעית ותשיעית מאורכה. כמה משפטים ושיטות אפשרו למקפלי נייר לקבל מריבוע צורות אחרות כדוגמת משולשים שווי צלעות, מחומשים, משושים, ומלבנים מיוחדים כדוגמת מלבן הזהב ומלבן הכסף.
לבעיית ה"אוריגמי הקשיח", שבה מתייחסים אל הקפלים כאל צירים המחברים שני משטחים קשיחים שטוחים כדוגמת לוחות מתכת, יש חשיבות מעשית גדולה. לדוגמה, "קיפול המפה של מיורה" (Miura map fold) הוא קיפול קשיח שנעשה בו שימוש לפרישת לוחות סולריים גדולים עבור לוויינים.
קיפול מחדש של מודל שנפרש לחלוטין רק על סמך תבנית הקפלים (בעיית הקיפול השטוח) הוכח על ידי מרשל ברן (Marshall Bern) וברי הייז (Barry Hayes) כבעיה NP שלמה, . מידע נוסף ניתן למצוא בספר " Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra".
מעבר ראש הנקרה
מעבר ראש הנקרה הוא מעבר הגבול היחיד בין ישראל ולבנון ומשמש בעיקר למעבר גורמי או"ם. סמוכה למעבר נקודת תצפית הפונה לכיוון דרום וניתן לראות ממנה את חופי עכו, נהריה והר הכרמל.
היסטוריה.