שימוש נוסף בטריטיום הוא כמקור אנרגיה להתקנים פולטי אור במקומות בהם לא ניתן לשלב סוללות או מקור חשמל אחר. הקרינה המתפרקת בדעיכת הטריטיום נבלעת בחומרים פלואורסצנטיים ומעוררת אותם לרמות אנרגיה גבוהות. פליטת הקרינה מחומר פלואורסצנטי נעשית בתחום האור הנראה וכך ניתן לייצר שלטים זוהרים מסוגים שונים (וסתים, מכשירי מדידה שונים כגון מדי לחץ, שעוני יד, שלטי סימון, וכן כוונות לילה לרובים) ללא מקור חשמל.
Lufthansa
מערכות מספרים
במתמטיקה, מערכת מספרים היא קבוצה של מספרים, או עצמים הדומים למספרים, שמוגדרות בה פעולות אריתמטיות כגון חיבור וכפל. המערכות החשובות ביותר הן קבוצת המספרים הטבעיים, חוג המספרים השלמים, שדה המספרים הרציונליים, שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים. עם זאת, לשאלה 'מהי מערכת מספרים' אין תשובה מדויקת, וקבוצות כלליות יותר עשויות להיחשב למערכות מספרים בהקשר המתאים.
סביר להניח שבתחילה רק מספרים טבעיים נחשבו כ'מספרים'. אלו הם מונים של קבוצות סופיות: אחד, שניים, שלושה, ארבעה וכן הלאה. בבית הספר של פיתגורס 'מספר' היה תמיד יחס בין שני מספרים שלמים, כלומר (בשפה המודרנית) מספר רציונלי. מצד שני הפיתגוראים זיהו מספר עם האורך של קטע מתאים, והעדיפו בזה את הגישה הגאומטרית לשאלה 'מהו מספר'. עד למאה ה-16 מספר היה צריך להיות בעל משמעות גאומטרית: אורך, שטח או נפח; אפילו בפתרונות הראשונים למשוואה ממעלה שלישית ורביעית התייחסו בנפרד למקרים שבהם צריך להשוות 'נפח ועוד שטח' (כלומר formula_1) למספר קבוע, לעומת השוואת נפח ל'שטח ועוד קבוע'. ההתקדמות ביכולת לפתור משוואות אלו הביאה להכרה בצורך במספרים כלליים יותר, החל במספרים שליליים וכלה במספרים המרוכבים.
התכונות היסודיות של המספרים הפכו במתמטיקה לאקסיומות המאפיינות את מערכות המספרים, ואלו הופרדו בהמשך ממקורן, והפכו לניצניה של האלגברה המודרנית.
היסטוריה.
המושג מספר ואיתו זהות מערכות המספרים (קבוצת כל המספרים) עברו שינויים רבים במהלך ההיסטוריה. בתרבויות קדומות נעשה שימוש במספרים על מנת לספור עצמים - ומשום כך המושג מספר התייחס רק למערכת המספרים הטבעיים. שימוש נוסף שנעשה במספרים היה כמדד כמותי, למשל לאורך או לשטח. מושג זה של מספר תואם את המושג המודרני של מערכת המספרים הממשיים החיוביים. ביוון העתיקה ניסו לקשר את שתי ההגדרות השונות - ולבסס את תורת המספרים על יסודות גאומטריים. הרעיון התבסס על כך שניתן לקחת קטע ולהגדיר את האורך שלו כ-1, ואזי המספר 2 יהיה מקושר לקטע בעל אורך כפול, וכן הלאה לגבי שאר המספרים. הם גם האמינו שניתן להציג אורך של כל קטע כמנה של שני קטעים טבעיים. מערכת המספרים המתקבלת באופן זה (ממנה של שני מספרים טבעיים) נקראת היום המספרים הרציונליים החיוביים. ואולם המתמטיקאים הפיתגוראים הראו שבריבוע, שאורך צלעו הוא 1, לא ניתן להציג את אורך האלכסון כמנה של שני מספרים טבעיים. תגלית זאת היוותה משבר פילוסופי חמור עבור הפיתגוראים, שהיו כת פילוסופית דתית שהאמינה בשלמות המספרים וחשיבותם לתיאור הטבע. האגדה אף מספרת שהם זרקו לנהר את התלמיד שגילה אותה.
במאה ה-6 לספירה החלו מתמטיקאים הודים להתייחס גם ל-0 כאל מספר, ועשו בו שימוש בחישוביהם. מתמטיקאים הודים החלו גם להשתמש במספרים שליליים בחישוביהם החל מהמאה ה-7, ואומנם ההתייחסות אל מספרים שליליים כאל מספרים הפכה למקובלת רק במאה ה-19, והיא כתוצאה של שינוי שחל בתפיסת המושג מספר. בתור מדד לכמות איברים בקבוצה, או כמדד לאורך, אין למספרים שליליים משמעות, אך יש למספרים משמעות כעצמים המשמשים לחישובים. כך לדוגמה אם משתמשים במספר על מנת לציין את כמות הכסף שאיש הפקיד בבנק, כלומר כמות הכסף שהבנק חייב לאיש, אזי המספר 0 מציין מצב שבו לאיש אין כסף בבנק, ואילו מספרים שליליים מציינים שהאיש חייב כסף לבנק. באופן זה מספרים שליליים מקלים על חישובים מכיוון שהם מאפשרים לא להפריד בין מקרים שונים - הם מאפשרים החסרה של מספר גדול ממספר קטן ממנו (דבר שאיננו אפשרי אם המושג מספר מצומצם למספרים חיוביים בלבד).
ההתייחסות אל מספרים כאל עצמים שבהם נעשה שימוש בפעולות חישוב, אפשרה גם התייחסות אל מספרים מרוכבים כאל מספרים. מספרים אלו, שהומצאו על ידי ג'ירולמו קרדאנו בתחילת המאה ה-16, הם התוצאה של פעולות חשבון כמו הוצאת שורש ריבועי של מספר שלילי.
ההגדרות הפורמליות למספרים כאל עצמים שניתן לפעול עליהם עם פעולות חשבון החלה עם הצגת המושג "שדה" על ידי ריכרד דדקינד ב-1877, הגדרה שאותה שיפר היינריך מרטין ובר ב-1893, עם הפיתוח האקסיומטי של ג'וזפה פאנו למושג המספרים הטבעיים, וכן עם פיתוח תורת הקבוצות האקסיומטית בתחילת המאה ה-20.
המספרים הטבעיים.
המספרים הטבעיים, כמו 1, 3 או 18, משמשים לספירה או לסידור של עצמים. הפיתוח האקסיומטי, המסודר, של מערכות מספרים החל בניסיונו של ג'וזפה פאנו, בסביבות 1880, לבנות מערכת של אקסיומות שתתפוס בדייקנות את מה שאנחנו מצפים מן המספרים האלה. אקסיומות אלה נוסחו במה שמאוחר יותר ייקרא בלוגיקה מתמטית שפה מסדר ראשון. הרעיון הבסיסי של פאנו היה שכדי לתאר את המספרים הטבעיים מספיק להניח שקיים איבר קטן ביותר (האפס), ושלכל איבר יש עוקב (העוקב של 7 הוא 8, וכן הלאה). מהנחות אלה, יחד עם אקסיומת האינדוקציה, הוא פיתח את מערכת פאנו של המספרים הטבעיים.
האינדוקציה מאפשרת להגדיר את פעולת החיבור: אם נסמן ב- formula_2 את העוקב של formula_3, אז הוספת 1 מוגדרת לפי formula_4, בעוד שהוספת כל מספר גדול יותר מוגדרת כעוקב של פעולת חיבור שכבר הוגדרה: formula_5. באופן דומה אפשר להגדיר גם את הכפל: formula_6, ואילו formula_7. פאנו הראה שפעולות אלה מקיימות את כל התכונות המוכרות של חיבור וכפל: קומוטטיביות, אסוציאטיביות, ודיסטריבוטיביות. עוד תכונה יסודית המשולבת במערכת של פאנו: ישנו יחס סדר המאפשר להשוות שני מספרים טבעיים ולקבוע מי מהם גדול יותר. יחס הסדר הזה הוא יחס סדר ליניארי שהוא גם סדר טוב.
מאוחר יותר, במסגרת הכללית יותר של תורת הקבוצות האקסיומטית, ביקשו הלוגיקאים לבסס את המספרים הטבעיים על המושג היסודי של קבוצה. ג'ון פון נוימן בנה מודל לאקסיומות של פאנו באמצעות שימוש בקבוצות. הוא הציע לבחור את הקבוצה הריקה כאיבר האפס, ולהגדיר את המספרים הבאים באינדוקציה: formula_8, כאשר formula_9 היא פעולת האיחוד של קבוצות. מהגדרה זו יוצא שהמספר 1 הוא הקבוצה שיש לה איבר יחיד, 0; 2 היא הקבוצה שיש לה שני איברים, 0 ו-1, ובאופן כללי המספר n הוא הקבוצה שיש בה בדיוק n איברים: formula_10. מודל זה ניתן לניסוח במסגרת השפה של תורת הקבוצות (עם אקסיומות צרמלו פרנקל).
את מערכת המספרים הטבעיים מקובל לסמן באות formula_11. לפעמים הכוונה היא לקבוצה הכוללת את כל המספרים מאפס ואילך, ולפעמים רק את אלו הגדולים ממש מאפס.
המספרים השלמים.
לאחר שנבנתה המערכת של המספרים הטבעיים עם פעולות החיבור והכפל שלהם, אפשר לחשוב על מספר שלם כאילו היה הפרש של שני מספרים טבעיים. באופן פורמלי יותר, מגדירים יחס שקילות על קבוצת הזוגות הסדורים formula_12, על ידי שמזהים זוגות formula_13 אם ורק אם formula_14. באופן לא פורמלי חושבים על מחלקת השקילות של הזוג formula_15, אותה מסמנים ב- formula_16, כאילו היא מייצגת את ההפרש formula_17.
כעת אפשר להגדיר את פעולות החיבור והכפל במספרים שלמים: formula_18, ו- formula_19. אפשר לבדוק שהגדרות אלו מוגדרות היטב (כלומר אינן תלויות בבחירת הנציגים), ושהפעולות לא איבדו את התכונות הטובות שהיו להן קודם לכן. בנוסף לזה מרוויחים תכונה חדשה: לכל מספר formula_16 יש מספר formula_21 כך שסכומם הוא אפס. יתרה מזו, קבוצת המספרים הטבעיים לא הלכה לאיבוד: אם מתבוננים בתת-הקבוצה של המספרים מהצורה formula_22, מתברר שהיא מקיימת את כל התכונות שהיו למספרים הטבעיים. אם כך, קבוצת המספרים השלמים מכילה 'עותק' של המספרים הטבעיים בתוכה. גם את יחס הסדר אפשר להעתיק לכאן, והוא עדיין יחס סדר ליניארי. כך למעשה הוספנו את המספרים השליליים.
הקבוצה שבנינו כאן היא חוג קומוטטיבי, הנקרא חוג המספרים השלמים. קבוצה זו מסמנים בדרך-כלל ב- formula_23. זוהי הדוגמה הבסיסית והפשוטה ביותר לתחום שלמות, שהוא במקרה זה חוג אוקלידי.
המספרים הרציונליים.
החיסרון הבולט של המספרים השלמים הוא בכך שלא תמיד ניתן לחלק במסגרתם, או, במילים אחרות, הם אינם סגורים תחת פעולת החילוק. אין מספר שלם שאם נכפיל אותו בשלוש ייתן שבע. כדי לפתור את הבעיה, מגדירים מערכת מספרים גדולה יותר, שתכלול את כל המספרים השלמים, וגם את המנות שלהם.
בניית המספרים הרציונליים דומה לזו שהניבה את השלב הקודם בסולם, המספרים השלמים. אנו מתבוננים באוסף הזוגות formula_24, כלומר, כל הזוגות הסדורים של מספרים שלמים שבהם הרכיב השני אינו אפס, ומגדירים עליו יחס שקילות לפי התנאי formula_13 אם ורק אם formula_26. שוב אפשר לחשוב על הזוג formula_15 כאילו הוא מייצג את המנה formula_28, אלא שפורמלית איננו יכולים לדבר על שברים משום שעדיין לא בנינו אותם. פעולות החיבור והכפל בין מחלקות השקילות החדשות מוגדרות על-פי הפעולות במספרים השלמים: formula_29 ו- formula_30. שוב יש לבדוק שההגדרות אינן תלויות בבחירת הנציגים, ושהפעולות החדשות מקיימות את אותן תכונות שהתקיימו במערכת הקודמת. את יחס הסדר אפשר להגדיר כך: formula_31 אם &lt;math&gt;\ abd^2. היחס עדיין ליניארי (כלומר: אם שני איברים שונים זה מזה, אז אחד מהם גדול מן השני), וכעת הוא גם צפוף.