כאשר בכל חוליה יש מספר תפקידים בעלי ניואנסים השונים זה בזה באופיים. שחקני כל החוליות פרט לשוער נחשבים כ"שחקני שדה". מובאת כאן רשימת התפקידים הקיימים, לצד כל תפקיד יש לזכור ששחקנים שונים מוצבים במקומות שונים במגרש (אגף ימין, אגף שמאל, מרכז) וכן שמערך לא חייב לכלול את כל התפקידים על כל גווניהם (למשל: המאמן יכול להעלות מערך ללא עושה משחק, או עם 2 בלמים בקו אחד ובלי בלם אחורי).
השחקנים מסודרים במערך בהתאם לתכונותיהם ולשיטה של המאמן. את המערכים נהוג לציין על ידי רצף שלשת מספרים: הראשון הוא מספר שחקני ההגנה, השני הוא מספר שחקני הקישור והשלישי הוא מספר שחקני ההתקפה.
צ'ארלס דודג'סון
דוד שויצר
מרחב קומפקטי סדרתית
מונחים בסוציולוגיה
משפט בולצאנו-ויירשטראס
באנליזה מתמטית, משפט בולצאנו-ויירשטראס קובע כי לכל סדרה אינסופית חסומה של נקודות ב-formula_1 קיימת תת-סדרה מתכנסת. ניסוח אחר (ושקול) של המשפט קובע כי לכל קבוצה אינסופית חסומה של נקודות ב-formula_1 קיימת נקודת הצטברות.
המשפט הוכח לראשונה על ידי ברנרד בולצאנו ב-1817 כטענת עזר בדרך להוכחת משפט ערך הביניים. חשיבות המשפט לא הוכרה אז והוא נשכח, עד שכחמישים שנה מאוחר יותר קרל ויירשטראס הוכיח אותו שוב באופן בלתי תלוי.
הרעיון האינטואיטיבי שעומד מאחורי המשפט הוא שאם קיימת קבוצה שיש בה אינסוף נקודות, והאיברים שלה לא יכולים "לברוח" רחוק מדי, לפחות חלק מהם אמורים להיות קרובים מאוד זה לזה. המשפט מראה בצורה קונסטרוקטיבית כיצד ניתן למצוא את הסדרה או נקודת ההצטברות המבוקשות, אך זו אינה דרך מעשית, מאחר שהיא מבוססת על תהליך אינסופי של חלוקת הקטע החסום לחלקים קטנים והולכים.
המשפט שקול ללמה של קנטור ולמשפט היינה-בורל, כלומר: כל אחד ממשפטים אלו ניתן להוכחה באמצעותו, וניתן להוכיח אותו מכל אחד ממשפטים אלו.
במרחבים מטריים כלליים המשפט אינו נכון עוד, אך הקשר בינו ובין הכללת משפט היינה בורל נשמר. מרחב שמקיים את התכונה שעליה מצביע משפט היינה בורל נקרא מרחב קומפקטי, ואילו מרחב שמקיים את התכונה של משפט בולצאנו ויירשטראס (כלומר, לכל סדרה של נקודות בו יש תת-סדרה מתכנסת) נקרא מרחב קומפקטי סדרתית - ובמרחבים מטריים, שני המושגים הללו שקולים. במעבר למרחבים טופולוגיים כלליים שקילות זו אינה נשמרת.
הוכחה.
נציג כאן את הוכחת המשפט עבור סדרה חסומה ב-formula_3. ההכללה ל-formula_1 היא טכנית אך אינה מסובכת. נשתמש בלמה של קנטור לצורך ההוכחה.
תהא formula_5 סדרה חסומה, אז קיים formula_6 כך ש-formula_7. נסמן formula_8. כעת, נחצה את הקטע לשניים, כלומר נביט בשני הקטעים הסגורים formula_9. כיוון שהסדרה אינסופית בהכרח יש אינסוף איברים של הסדרה לפחות באחד משני הקטעים הללו (אחרת שני הקטעים מכילים מספר סופי של אברי הסדרה ואיחודם הוא קבוצה סופית). נבחר את הקטע הזה ונסמן אותו בתור formula_10. כעת נוכל לחלק גם את הקטע formula_10 באותו אופן, וכן הלאה.
נמשיך בתהליך הבנייה הזה בצורה אינדוקטיבית, ונקבל סדרה של קטעים formula_12 המקיימת את התכונות הבאות:
כל התכונות פרט לשלישית נובעות ישירות מדרך בניית הקטעים. כדי להיווכח בשלישית נשים לב כי מכיוון שאורכו של כל קטע הוא חצי מאורכו של הקטע הקודם לו, הרי שהנוסחה הכללית לאורכם של הקטעים היא formula_14 עבור קטע מספר formula_15 - וזוהי סדרה ששואפת לאפס.
אם כן, כל תנאי הלמה של קנטור מתקיימים, ולכן קיימת נקודה יחידה formula_16 כך ש-formula_17. נבנה תת-סדרה המתכנסת ל-formula_16 בצורה אינדוקטיבית: בשלב ה-formula_15 נבחר איבר אחד formula_20 של הסדרה המקורית מהקטע formula_12, כך שהאינדקס שלו בסדרה המקורית יהיה גדול מהאינדקס של כל הנקודות שבחרנו עד עתה. ניתן לעשות זאת בשל התכונה הרביעית של הקטעים, לפיה בכל קטע יש מספר אינסופי של איברים מהסדרה, ולכן בפרט אפשר למצוא כזה שהאינדקס שלו גדול מהמקסימום (הסופי) של אינדקסי האיברים שנבחרו עד עתה.
כעת, נשים לב כי בהינתן קטע formula_12 הוא מכיל את כל האיברים מתת הסדרה החל מהמקום ה-formula_15 ואילך (כי כולם שייכים לקטעים שמוכלים בו). כמו כן, המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות השייכות לקטע זה אינו עולה על אורך הקטע, formula_14. לכן, המרחק בין כל נקודות תת-הסדרה החל מהמקום ה-formula_15 ואילך מהנקודה formula_16 אינו עולה על formula_14, ומספר זה שואף לאפס. לכן תת-הסדרה שבנינו שואפת ל-formula_16, ובכך הושלמה ההוכחה.
הוכחה נוספת.
אפשר להוכיח את המשפט באמצעות שילוב של שתי טענות על סדרות ממשיות.
ראשית, לכל סדרה ממשית יש תת-סדרה מונוטונית, עולה או יורדת (במובן החלש). הוכחה: לאיבר של הסדרה שהוא קטן או שווה לכל איבר שבא אחריו נקרא "זעירון". אם יש בסדרה אינסוף זעירונים, הם מרכיבים סדרה מונוטונית עולה. אחרת, נתרחק בסדרה עד למקום שממנו והלאה אין זעירונים - לכל איבר יש איבר קטן יותר שבא אחריו. סדרה של איברים כאלה, שכל אחד קטן מקודמו, היא מונוטונית יורדת.
שנית, כל סדרה מונוטונית חסומה - מתכנסת (אל החסם העליון או התחתון שלה, בהתאמה לסוג הסדרה).
לבסוף, לסדרה חסומה במרחב ה-formula_29-ממדי יש תת-סדרה שבה הרכיבים הראשונים מהווים סדרה מונוטונית; לזו יש תת-סדרה שבה הרכיבים השניים מהווים סדרה מונוטונית, וכן הלאה. מכיוון שהמימד סופי, מתקבלת תת-סדרה שבה ההטלה לכל רכיב היא סדרה מונוטונית, המתכנסת - ולכן תת-הסדרה עצמה מתכנסת.
מונחים בתוכנה
מונחים בחומרה
מונחים ברשת מחשבים
מונחים בחקר החלל
מונחים בתיאוריית המוסיקה
מונחים בפסיכולוגיה חברתית
מונחים בפסיכולוגיה קוגניטיבית
מונחים בפסיכולוגיה קלינית
מונחים בשיטות מחקר
מונחים בהערכה פורמלית
מונחים בפולקלור
הגר
הָגָר היא דמות מקראית, שפחתה של שרה. היא הפכה לפילגשו של אברהם וילדה את ישמעאל. סיפורה מופיע בספר בראשית, בפרקים ו.
מוצאה של הגר.
על פי המקרא מוצאה במצרים. חז"ל ציינו במדרש שהייתה בתו של מלך מצרים, וכשזה התפעל משרה, נתן לשרה את בתו לשפחה כדי שתהיה בחברה טובה בעת ירידת אברהם למצרים:
הפיכתה לפילגש.
שרה נתנה את הגר לאברהם לאשה לאחר שראתה שהיא עצמה לא הצליחה ללדת. על פי הפירוש הרגיל שרה רצתה שהגר תלד והילד יחשב כאילו הוא שייך לגבירה. ניתן לראות שיקולים דומים והקבלות לסיפור זה בסיפור על רחל, לאה ושפחותיהן אשר ניתנו ליעקב. על פי המדרש קיוותה שרה שהמעשה יוביל לכך שהיא עצמה תזכה לבן לאחר שנים של עקרות.
הגר הרתה והחלה לזלזל בשרה. שרה, בתגובה, פנתה אל אברהם בכעס וספרה לו על הדבר. אברהם הותיר את ההחלטה בנושא בידיה של שרה וזו עינתה את הגר עד שברחה. . פרשנים מייחסים למילה "ותענה" דרגות שונות של חומרה, מפירוש האומר כי עינוי הוא יחס של פקוד ומפקד. הפירוש המדרשי נשען על שימוש דומה שנעשה בשורש מאוחר יותר באותו פרק - "שובי אל גבירתך והתעני תחת ידה", עד לפירוש המקצין בחטא העינוי שעינתה שרה את הגר ורואה בעינויים של ישראל בעתיד על ידי בני הגר עונש על עינוי זה.
בהמשך ספר בראשית מסופר ששרה ביקשה מאברהם שיגרש הוא את הגר . הגר ברחה אל המדבר ושם פגשה מלאך שברך אותה וציווה עליה לשוב אל שרה ולקרוא לבנה ישמעאל (). על פי בשורת המלאך, ישמעאל עתיד להיות פרא אדם. הגר קראה לבאר לחי ראי, ולמלאך אל-ראי וחזרה אל אברהם.
גירוש הגר וישמעאל.
לאחר הולדת יצחק, שרה ראתה את ישמעאל מצחק ומכיוון שלא רצתה שישמעאל יירש את אברהם יחד עם יצחק, בקשה מאברהם לגרש אותו ואת הגר. אברהם חש לא בנוח עם המצב אך האל אמר לו לבצע את דרישת שרה. הגר נשלחה מבאר שבע. אברהם צייד אותה בלחם ומים.
בהליכתה במדבר הגר מאבדת את הדרך, נגמרים לה המים וישמעאל הצמא גוסס. לאחר שנגמרו המים משליכה הגר את ישמעאל בנה תחת שיח, והתיישבה במרחק מה ממנו כדי לא לראות במותו. הגר היא הדמות הראשונה בתנ"ך שמסופר אודות בכיה: . אל הגר מתגלה מלאך שאומר לה שהאל שמע את בכיו של ישמעאל והראה להגר באר מים (). הגר נשארה במדבר פארן, שם גדל בנה והפך לקשת, לוחם המתפרנס על ציד בחץ וקשת, והיא השיאה אותו לאישה ממצרים.
על התנהגותה של הגר יש ביקורת רמוזה בטקסט המקראי: ראשית, "השלכתו" אל מתחת לשיחים לא מבטאת קרבה, דאגה או אינטימיות כי אם אכזריות (בת לוי שמה את משה בתיבה על שפת היאור, אולם אחי יוסף משליכים אותו אל הבור). גם התרחקותה ממנו בשעה קשה כזו מפליאה והיא זוכה לביקורת מהמלאך – "שמע אלוהים אל קול הנער..." – אלוהים שמע את קולו של הנער אך נראה שהגר לא שמעה, הגר כל כך התרחקה – "הרחק, כמטחווי קשת" – כך שאפילו את בכיו של בנה לא שמעה. מכאן ואילך נראה שישמעאל ייאלץ להתמודד עם חוויית הנטישה הכפולה. הן זו של אביו והן זו של אמו.
הגר כקטורה.
על פי פירוש חז"ל, דמותה של קטורה המוזכרת אף היא כאשתו של אברהם היא הגר עצמה, שכונתה קטורה .
ייצוגיה בתרבות.
בנצרות, על פי "האיגרת אל הגלטים", סיפור הגר ושרה הוא אלגוריה לשתי הבריתות: את החדשה מייצגת שרה, ואת הישנה הגר:
הגר אינה מוזכרת בקוראן, אבל הפרשנות המסורתית באסלאם מייחסת את סיפור הגר וישמעאל לפסוק: בחג' נוהגים עולי הרגל לרוץ בין הגבעות א-צפא ואל-מרוואה, שם על פי המסורת הלכה הגר הלוך ושוב שבע פעמים עד שמצאה מים מבאר זמזם.