ב-12 בדצמבר 2011 הועבר דייוויס במסגרת טרייד לקבוצת אורלנדו מג'יק. ב-21 בפברואר 2014 שוחרר מהמג'יק בתמורה לתשלום שארית חוזהו.
ב-24 בפברואר 2014 חתם דייוויס בלוס אנג'לס קליפרס, בשורותיה שיחק עד ספטמבר 2015, אז הפך לשחקן חופשי, כאשר פציעת קרסול השביתה אותו לכתריסר שבועות.
בספטמבר 2018 סיכם דייוויס בזדאר הקרואטית, אך עזב את הקבוצה בטרם חתם בשל חילוקי דעות עם הנהלת המועדון.
ב-5 בדצמבר 2018 חתם דייוויס בקבוצת סיינט ג'ונס אדג' מליגת הכדורסל הקנדית.
דייוויס מכונה "ביג בייבי" בשל הניגוד בין ממדי גופו הגדולים ופניו הילדותיים.
חוג חבורה
באלגברה, חוג חבורה הוא מודול חופשי מעל חוג formula_1 יחד עם פעולת כפל המתאימה לחבורה "formula_2".
לחוג החבורה חשיבות רבה בתחום תורת ההצגות.
הגדרה.
יהא "formula_1" חוג ו-"formula_2" חבורה, אז חוג החבורה formula_5 מוגדר להיות המודול החופשי מעל formula_1 ש-formula_2 הוא בסיס שלו, עם הכפל המושרה מ-formula_2.
הגדרה מפורטת.
אברי חוג החבורה הם הפונקציות formula_9 מ-"formula_2" ל-formula_1 עם תומך סופי, כלומר formula_12 פרט למספר סופי של formula_13. החיבור והכפל בסקלר מוגדרים ע"י
כאשר formula_16 הם איברים בחוג, formula_17 ו-formula_18 הוא סקלר.
הכפל של שני איברים formula_19 מוגדר על ידי קונבולוציה
מאחר ש-formula_21 מתאפסות פרט למספר סופי של formula_17 אז הסכום הנ"ל סופי ולכן מוגדר היטב.
נסמן ב-formula_23 את הפונקציה שמקבלת 1 ב-"formula_24" ואפס אחרת, אז כל איבר formula_25 ניתן לייצוג על ידי
formula_26
כאשר הסכום הנ"ל סופי לפי הגדרת חוג החבורה. מכאן מקבלים שחוג החבורה נפרש כמודול על ידי הקבוצה formula_27 וניתן להראות שקבוצה זו מהווה בסיס למודול. הכפל של איברי החוג בייצוג זה מתקבל ע"י
לעיתים נוהגים לסמן את formula_29 על ידי איבר החבורה formula_24 ואז איברי חוג החבורה הם האיברים מהצורה formula_31 כאשר formula_32 הם כולם אפס פרט למספר סופי.
חוג החבורה בתורת ההצגות.
הצגה של חבורה formula_2 היא מרחב וקטורי formula_56 (מעל שדה formula_57 כלשהו) יחד עם הומומורפיזם formula_58. על כל הצגה של formula_2 יש מבנה טבעי של מודול מעל formula_60. בניה זאת מגדירה שקילות קטגורית בין קטגוריית ההצגות של formula_2 וקטגוריית המודולים מעל formula_60.
חוג החבורה מהווה בפני עצמו הצגה של formula_2 בשתי צורות שונות: פעולה על ידי כפל משמאל, ופעולה על ידי כפל מימין (כדי שזאת תהיה הצגה יש להפוך תחילה את האיבר הפועל). הצגות אלה נקראות "ההצגה הרגולרית השמאלית" ו"ההצגה הרגולרת הימנית" בהתאמה. יחד הן מגדירות את ההצגה הרגולרית הדו-צדדית, שהיא הצגה של formula_64.
אם formula_2 סופית ו-formula_57 סגור אלגברית ממציין 0, אז קיים איזומורפיזם:
formula_67,
כאשר formula_68 היא קבוצת ההצגות האי-פריקות של formula_2. האיזומורפיזם הוא גם של אלגבראות וגם של הצגות של formula_64.
המבנה של חוג החבורה.
בעוד שבחקר חוגי החבורה (ובפרט אלגברות החבורה) של חבורות סופיות ישנם כלים כמו משפט משקה, המאפשרים לפענח את מבנה החוג (ודרכו, יש לקוות, את מבנה החבורות), במקרה בו החבורה formula_2 אינסופית, חוג החבורה יכול להיות בעל מבנה מסובך ביותר.
אם שדה הבסיס הוא שדה ממאפיין אפס, חוג החבורה ראשוני למחצה לכל חבורה. חוג החבורה הוא ראשוני אם ורק אם חוג הבסיס, formula_1 ראשוני וגם לחבורה formula_2 אין תת-חבורות נורמליות סופיות (לא טריוויאליות). הדבר מתיישב עם הידוע מן המקרה הסופי, שם אלגברת החבורה לעולם איננה ראשונית (מכיוון שהחבורה כולה נורמלית סופית, ואמנם בכל חבורה יש לפחות שתי מחלקות צמידות ומכאן שהאלגברה מתפרקת למכפלה של חוגים). אלגברת החבורה (מעל שדה) היא תחום אם החבורה היא הרחבה חסרת פיתול של חבורה פתירה בחבורה סופית. אלגברת החבורה מעל שדה הוא פרימרי אם ורק אם אין בחבורה איברים מסדר סופי שמחלקת הצמידות שלהם סופית. פורמנק הוכיח שעבור חבורה שהיא מכפלה חופשית של חבורות גדולות דיין, אלגברת החבורה פרימיטיבית; אלגברת החבורה היא פרימיטיבית למחצה מעל כל שדה שאינו אלגברי מעל תת-השדה הראשוני שלו.
חוג חבורה מקיים זהויות פולינומיות אם ורק אם החבורה כמעט-אבלית (virtually abelian, כלומר מכילה תת-חבורה אבלית מאינדקס סופי).
השערות קפלנסקי עוסקות באיברים של אלגברת החבורה (מעל שדה) של חבורה חסרת פיתול.
"חוג החבורה" של מונויד.
את החוג formula_74 אפשר להגדיר גם כאשר formula_75 מונואיד, ולאו דווקא חבורה. אחד ההישגים היפים של תורת ההצגות של מונוידים הוא המשפט הבא (Kovacs, Okninski-Putcha, 1990): אם formula_76 חזקה של ראשוני ו-formula_77 שדה ממאפיין זר ל-formula_78, אז formula_79 כאשר formula_80 הוא מספר תת-המרחבים מממד formula_81 של formula_82. בפרט, האלגברה פשוטה למחצה.
חוג החבורה והחבורה.
אחת השאלות היסודיות לגבי חוג החבורה היא בעיית האיזומורפיזם: האם חוג החבורה formula_83 קובע את החבורה G. בעיית האיזומורפיזם קשורה להשערות זסנהאוז, העוסקות באיברים ההפיכים של formula_83. נסמן ב-formula_85 את האיברים שסכום המקדמים שלהם 1 (זוהי חבורה כפלית).
השערה 3 גוררת את השערות 1 ו-2. השערה 2 גוררת פתרון לבעיית האיזומורפיזם (מעל השלמים). ידוע שהשערות אלה נכונות עבור חבורה נילפוטנטית. השערה 1 (וממילא גם 3) אינה נכונה באופן כללי. בעיית האיזומורפיזם המודולרית, השואלת האם חוג החבורה formula_97 של חבורת-p G קובע את החבורה, הופרכה. גם השערת קפלנסקי (האיברים ההפיכים באלגברת החבורה של חבורה חסרת פיתול מעל שדה הם כפולות בסקלר של אברי החבורה) הופרכה.
חבורות טופולוגיות.
אחת השיטות העיקריות לחקר חבורות אינסופיות הוא באמצעות ציודן בטופולוגיה מתאימה. חבורה שהיא גם מרחב טופולוגי (כך שפעולת הכפל היא העתקה רציפה) נקראת חבורה טופולוגית. לרוב המושגים של תורת החבורות (למשל: הומומורפיזם או הצגה) יש גרסה טופולוגית, בה אנו דורשים מההעתקות להיות רציפות. אם המושג מערב שדה אז יש להגדיר טופולוגיה עליו.
ניתן אמנם להשתמש בהגדרה הכללית של אלגברת החבורה גם עבור חבורה טופולוגית, אבל היא איננה מתייחסת לטופולוגיה, ולכן אינה מתאימה לחקר החבורה כחבורה טופולוגית. קשה לתת הגדרה כללית של אלגברת החבורה של חבורה טופולוגית שתיקח בחשבון את הטופולוגיה. הסיבה לכך היא שמושג הקונבולוציה הוא בעייתי עבור חבורה טופולוגית כללית.
עבור סוגים מסוימים של חבורות טופולוגיות ניתן להגדיר את חוג החבורה בכמה אופנים. לצורך הפשטות נניח מעתה כי חוג המקדמים formula_1 הוא שדה המרוכבים formula_99.
חבורות קומפקטיות.
מקרה בו נוח להגדיר את אלגברת החבורה הוא כאשר החבורה קומפקטית. במקרה כזה קיימת מידת הסתברות formula_100 יחידה על החבורה שהיא אינווריאנטית לגבי כפל משמאל או מימין באיברי החבורה. מידה זאת נקראת מידת האר. אלגברת החבורה של חבורה קומפקטית מוגדרת בדרך כלל כאלגברת הפונקציות הרציפות
formula_101 על formula_2. כאשר הכפל מוגדר ע"י
formula_103
בשונה מהמקרה הדיסקרטי, לאלגברת חבורה של חבורה קומפקטית כללית אין יחידה.
עם זאת, רוב התכונות של חבורות סופיות תקפות גם לחבורות קומפקטיות, עם שינויים קלים.
חבורות קומפקטיות מקומית.
מקרה נוסף שבו ניתן להגדיר גרסה טופולוגית של אלגברת החבורה, הוא כשהחבורה קומפקטית מקומית. גם במקרה זה ניתן להגדיר את מידת האר, אינווריאנטית משמאל (או מימין), שהיא יחידה עד כדי כפל בסקלר. מכיוון שהחבורה אינה קומפקטית, מידת האר אינה סופית.
לאלגברת החבורה של החבורה קומפקטית מקומית קיימות שתי גרסאות נפוצות:
ניתן גם להגדיר את אלגברת החבורה בצורה אינווריאנטית יותר (ללא צורך לבחור מידת האר ספציפית, וללא העדפת המידה השמאלית על פני הימנית) בתור אלגברת המידות על formula_2, שאותם ניתן לכתוב כמכפלה של מדת האר (כלשהי) ופונקציה רציפה עם תומך קומפקטי (או פונקציה formula_105 בגרסה השנייה).
חבורות לי.
מחלקה חשובה של חבורות קומפקטיות מקומית היא חבורות לי. חבורת לי היא חבורה שנתון עליה מבנה של יריעה חלקה, כך שהעתקת הכפל היא העתקה חלקה.
אם formula_2 היא חבורות לי אז בנוסף לגרסאות הקודמות של אלגברת החבורה ניתן להגדיר גרסה נוספת:
במקרים מסוימים ניתן גם להגדיר אלגבראות גדולות מעט יותר formula_112 המכילות את פונקציות שוורץ על formula_2 דהיינו פונקציות חלקות על formula_2 אשר דועכות באינסוף בקצב מהיר. למושג פונקציית שוורץ יש מספר גרסאות, חלקן מוגדרות על חבורת לי כללית, וחלקן דורשות מבנה נוסף (למשל מבנה של חבורה אלגברית ממשית).
חבורות p-אדיות.
בתורת המספרים (ובפרט בתוכנית לנגלנדס) עולה הצורך לדון בסוג נוסף של חבורות קומפקטיות מקומית – חבורות formula_78-אדיות.
ברוב המקרים מדובר על תת-חבורות סגורות של חבורת המטריצות ההפיכות formula_116 מעל שדה המספרים ה-p-אדיים.
באופן כללי מעט יותר, נגדיר חבורת formula_117 בתור חבורה טופולוגית (האוסדורפית) קומפקטית מקומית שבה לאיבר הנייטרלי בסיס מקומי המורכב מתת-חבורות קומפקטיות פתוחות. נאמר שחבורה היא בת מנייה באינסוף אם יש לה כיסוי בן מנייה של קבוצות קומפקטיות. לחבורות אלה יש מידת האר מכיוון שהן קומפקטיות מקומית.
במקרה זה גרסה מוצלחת של חוג החבורה היא חוג הפונקציות של שוורץ על formula_2 ונסמנו formula_112. זהו חוג הפונקציות מן החבורה לשדה המספרים המרוכבים שהן: