הראשון לעמוד על טיב הקשר בין תורת האינפורמציה לבין פיזיקה סטטיסטית היה מקסוול בניסויו המחשבתי, בו בחן את הקשר בין מעבר האינפורמציה מן המערכת אל הצופה המודד לבין תכונותיה האנטרופיות. צעד משמעותי נוסף בכיוון זה בוצע על ידי לאו סילארד שעבודת התיזה שכתב בשנת 1927 עסקה בקשר בין אינפורמציה לאנטרופיה. עבודה זו נחשבת כיום לבסיסית בנוגע ליישום של שיטות הסתברותיות בפיזיקה סטטיסטית. גם עבודתו של סילארד, כמו של פון נוימן שהיה חברו, עסקה בהיבטים תרמודינמיים של המדידה הקוונטית. במסגרת עבודותיו בנושא מערכות שאינן בשיווי משקל, עסק אדווין תומפסון ג'יינס בביסוס יסודותיה של המכניקה הסטטיסטית על סמך ידע מתורת האינפורמציה. דמיטרי זובארב המשיך לפתח את רעיונותיו של ג'יינס ולחקור את ההבטים האינפורמטיביים של מערכות בהן האנטרופיה שואפת לערכה המרבי. קלוד שנון פרסם בשנים 1938 ו-1948 מספר חיבורים הנוגעים לתורת האינפורמציה שתרמו להבנת התאוריה של מערכות סטטיסטיות.
מוליכות-על ונוזליות-על.
חקר התנהגותם של חומרים בטמפרטורות מסדר גודל של קלווין ספורים, ובפרט תופעות המוליכות-על והנוזליות-על, החל להחקר באינטנסיביות בשנות השלושים של המאה העשרים ונמשך עד לימינו. תופעות אלו מתייחסות להתנהגויות ייחודיות של חומרים מסוימים בטמפרטורות אלו. על-מוליכות היא מצב המתקיים בתנאים מסוימים (של טמפרטורה ושדה מגנטי) בהם מאבדים מספר חומרים את ההתנגדות החשמלית שלהם ומתנהגים כמוליכים מושלמים. על-נוזלים, בטמפרטורות נמוכות, מאבדים את צמיגותם ונוטים לזלוג מדפנות מכלים בהם הם נשמרים.
בשנת 1934 הראו קורנליוס גורטר והנדריק קזימיר שעל-מוליכים דוחים מפניהם שדות מגנטיים. היבטים מסוימים של תופעת העל נוזליות תוארו בשנת 1937 על ידי קאפיצה במקביל לאלן ולמיסנר. הסבר עקרוני של התופעה ניתן על ידי לב לנדאו בשנת 1941 וזיכה אותו בפרס נובל לפיזיקה, אך הסבר מלא ומפורט טרם נמצא עד היום. בשנת 1950 הוצג מודל מודל גינזבורג-לנדאו על שמם של לב לנדאו וויטאלי גינזבורג המתאר את התופעה היטב בצורה מקרוסקופית ומסביר, בין היתר, את אפקט מייסנר. על סמך מודל זה הראה אלכסיי אבריקוסוב כי מוליכי העל העונים על תיאור זה צפויים להתחלק לשתי קבוצות בעלי תכונות שונות, כפי שנחזה מאוחר יותר בניסוי. על גילויים אלו זכו גינצבורג ואבריקוסוב בפרס נובל לפיזיקה בשנת 2003. במקביל לפרסום מודל גינצבורג-לנדאו, הציע הרברט פרליך כי אינטראקציות של החלפת פונונים הן אחד מגורמי תופעת העל-מוליכות זו ובכך הציע לראשונה מודל המשלב את תורת השדות הקוונטית עם הפיזיקה הסטטיסטית. בשנת 1956 הוצע לתופעה הסבר כולל, התואם את התוצאות הניסיוניות, על ידי לאון קופר, ג'ון ברדין וג'ון רוברט שריפר. לפי הסבר זה, נגרמת התופעה על ידי אינטראקציה בה משתתפים זוגות אלקטרונים הנקראים זוגות קופר המחליפים ביניהם פונונים. לתופעת המוליכות-על בטמפרטורות גבוהות, שהתגלתה בשנת 1987, טרם נמצא הסבר. תופעה זו מתייחסת להתנהגות של מספר חומרים כעל-מוליכים בטמפרטורות גבוהות יחסית לאלו של על-מוליכים "רגילים".
תורת הצברים.
מבוא.
תאורה הסטטיסטי של מערכת פיזיקלית מורכבת ממומש על ידי רעיון הצבר, הוא אוסף גדול מאוד של מערכות הזהות בתנאיהן החיצוניים למערכת הנחקרת. על ידי חקר סטטיסטי של המערכות השונות בצבר ניתן ללמוד על אופייה של המערכת הנחקרת. כך, למשל, אם נרצה לחקור את הטמפרטורה האופיינית לכוס תה מסוימת, נוכל לערוך ניסוי מחשבתי בו נדון באוסף הכולל כמות עצומה של כוסות תה להן מספר תכונות מקרוסקופיות זהות, לדוגמה, כמות זהה של תה, בכולן אגורה אותה כמות של אנרגיה, אותו נפח וכדומה. אם נחקור את כל הכוסות שבצבר, הרי שגם אם לכולן אנרגיה זהה, יכולים להיות הבדלים בתיאור המיקרוסקופי שלהן. כדי לתאר את המערכת בצורה סטטיסטית נוכל לדון בהסתברות למצוא את הכוס במצבים מיקרוסקופים שונים.
ניתן לחקור מערכת זהה באשר המאפיינים הקבועים בצבר המאפיין אותה שונים. כך, למשל, אם נחזור לדוגמת כוס התה, ניתן לוותר על ההגבלה לפיה כמות האנרגיה האגורה בכל כוס שכזו היא זהה ולדון במקומה בצבר בו לכל הכוסות טמפרטורה זהה וכך לחקור את האנרגיה האופיינית של כוס התה. כל אוסף תנאים שכזה, הקובע את מאפייניו של הצבר, מתאים לפתרונן של בעיות פיזיקליות שונות ומכתיב תיאור מתמטי שונה של המערכת. כך, למשל, צבר המערכות בהן האנרגיה, הנפח וכמות החלקיקים זהים נקרא "צבר מיקרו-קאנוני". לעומת כך, החלפת אילוץ האנרגיה הזהה באילוץ על טמפרטורה זהה מגדיר צבר הנקרא "הצבר הקאנוני". באופן דומה, אם מוחלף האילוץ על כמות החלקיקים המערכת באילוץ על מספר החלקיקים הממוצע או באילוץ על המחיר האנרגטי של הוספת/גריעת חלקיק מהמערכת, הרי שהצבר המתאים למערכת נקרא "הצבר הגראנד קאנוני". אחד הרעיונות החשובים בפיזיקה סטטיסטית הוא שעבור מערכות בעלות מספר גדול של חלקיקים, הצברים השונים שקולים זה לזה משום במערכות גדולות הסטיות מן הממוצע הן קטנות יחסית ולכן תנאי המערכת קובעים את המצב המסתבר ביותר בצורה טובה למדי. המשך הדיון בפרק זה הוא איכותי ואילו דיון מתמטי מפורט יותר במאפייני הצברים השונים נמצא בערך צבר.
הצבר המיקרו-קנוני.
אחת מהנחות היסוד של הפיזיקה הסטטיסטית היא כי בהינתן מערכת סגורה מיקרו-קאנונית (בה, כאמור, כמות החום, הנפח וכמות החלקיקים נקבעו מראש) אזי ההסתברות שהמערכת תמצא בכל אחד מן המצבים המיקרוסקופיים האפשריים המקיימים את כל המאפיינים הקבועים מראש (נקראים "מצבים זמינים") היא זהה וכי ההסתברות שהמערכת תמצא במצב אחר, אשר איננו מקיים את התנאים האלו (למשל, בו סכום האנרגיות של כל החלקיקים גדול מהאנרגיה שנקבעה למערכת כולה בניגוד לחוק שימור האנרגיה) היא אפס. בשפה מתמטית, אם למערכת נתונה formula_1 מצבים זמינים, אזי הסיכוי שהיא תמצא באחד מהם הוא
formula_2.
להלכה, לא ניתן לאמת הנחה זו בצורה ניסויית, אך ניתן להצדיקה משיקולים תאורטיים או לבדוק את המסקנות המתקבלות ממנה בצורה ניסויית.
מצב מקרוסקופי של מערכת נתונה יכול להתקבל, באופן הכללי ביותר, על ידי מספר מצבים מיקרוסקופיים. תופעה זו נקראת ניוון. כך, למשל, בכלי בו מולקולות גז רבות, ישנן מספר דרכים לסדר את מולקולות הגז כך שמחציתן תהיינה בחלקו האחד ומחציתן השנייה באחר. מכאן ניתן להסיק כי ההסתברות שהמערכת תהיה במצב מקרוסקופי מסוים שווה לסכום כל ההסתברויות של המצבים המיקרוסקופיים המתאימים לאותו המצב המקרוסקופי. בשפה מתמטית, אם למצב מקרוסקופי מסוים מתאימים formula_3 מצבים מיקרוסקופיים, אזי ההסתברות כי המערכת תמצא בו היא formula_4. מתוך ההנחה כי לכל מצב מיקרוסקופי אותה ההסתברות עולה כי המצב המקרוסקופי המסתבר ביותר בכל הצבר המיקרוקאנוני הוא זה לו מתאים המספר הרב ביותר של מצבים מיקרוסקופיים.
כאשר שתי מערכות מסוג זה מוצמדות זו לזו כך שהן רשאיות להחליף חום אחת עם השנייה (אך הנפח ומספר החלקיקים בכל מערכת נותר קבוע), אזי הן תחלפנה אנרגיה עד אשר המערכת המורכבת מחיבור של שתי המערכות תגיע אל מצב של שיווי משקל תרמודינמי בו חילוף החום הכולל בין המערכות ייפסק ולכן האנרגיה בכל מערכת תגיע לערך הקיצון שלה – מזערי או מרבי (לפי משפט פרמה). ניסוח פורמלי של הטענה האחרונה שקול לטענה "בין שתי מערכות ביניהן מגע תרמי יזרום חום עד אשר הטמפרטורות של שתי המערכות תשתוונה."
צבירים נוספים ורעיון המאגר.
ניתוח של צבר מערכות מיקרוקאנוניות איננו נוח משום שההגבלות בו אינן תמיד מתקיימות באופן מעשי – להלכה, ישנן מערכות פיזיקליות רבות בהן האנרגיה, הנפח או מספר החלקיקים אינם קבועים. על מנת לטפל במערכות מסוג זה, ננקטת גישה שונה במעט. במקרים אלו מניחים כי המערכת מוצמדת אל מערכת נוספת, עצומת ממדים ובעלת כמות גדולה כרצוננו של חום וחלקיקים. מערכת מסוג זה נקראת "מאגר חום" כאשר היא קובעת את כמות החום במערכת, "מאגר חלקיקים" כאשר היא קובעת את כמות החלקיקים במערכת, "מאגר לחץ" כשהיא קובעת את הלחץ במערכת וכדומה, בהתאם להקשר הנדון. כך, לדוגמה, בחדר בו החלונות פתוחים ובו טמפרטורה קבועה, ישנו נפח קבוע אך מולקולות אוויר תזרומנה אל האטמוספירה החיצונית או ממנה עד להגעה לשיווי משקל. האטמוספירה מתפקדת, במקרה זה, כמאגר חום וחלקיקים.
רעיון השימוש במאגר שימושי משום שכאשר מניחים כי המערכת אותה אנו מעוניינים לנתח, ביחד עם המאגר, מהוות מערכת מיקרו-קאנונית אחת, מבחינה מתמטית, הדבר מאפשר שימוש בפורמליזם המתמטי המתאר את הצבר המיקרו-קאנוני כבסיס לקבלת התיאור המתמטי המאפיין צברים אחרים. כך, למשל, בצורה זו ניתן לקבל את התפלגות בולצמן, המתארת את המשקל ההסתברותי המתאים למצבי אנרגיה שונים במערכת שבה תתכנה אנרגיות שונות.
אם נניח, לשם הדגמה, כי המערכת בה אנו דנים היא בעלת טמפרטורה קבועה, הרי שמאגר החום מצוי באותה הטמפרטורה, כך שעם כל שינוי במצב המערכת, המערכת תחליף אנרגיה עם מאגר החום עד שהטמפרטורות שלהן תשתווינה וכך תקבע לבסוף טמפרטורת המערכת, מבלי שתשנה הטמפרטורה של המאגר בעצמו, עקב גודלו הרב. אם נשוב לדוגמת החדר, הרי שהתייצבות הטמפרטורה בחדר איננה משנה את טמפרטורת האטמוספירה בצורה נראית לעין.
עקרונות נוספים.
הנחת הארגודיות.
למעשה, בפועל, נמדד מצבה של מערכת סטטיסטית אחת, ולא של צבר. אם כך, מדוע דן הפורמליזם של הפיזיקה הסטטיסטית בצברים?