formula_32 מקרה פרטי של הנוסחה הוא: formula_33אשר מבטאת את מספר התת-קבוצות בגודל כלשהו מתוך קבוצה בגודל formula_3. באגף שמאל, formula_35 אומר שלכל איבר יש שתי אפשרויות, או להיות בתת-קבוצה או שלא. באגף ימין, formula_36 אומר שנסכום את מספר התת-קבוצות עם אפס איברים, איבר אחד, שני איברים, formula_2 איברים וכן הלאה.
זהויות עם מקדמים בינומיים.
זהויות בינומיות, כלומר זהויות המערבות מקדמים בינומיים, מוכיחים פעמים רבות באמצעות טכניקת הוכחה הנקראת ספירה כפולה (Double counting), בה מראים ששני ביטויים מתמטיים הם שקולים באמצעות הדגמה כיצד הם למעשה שתי דרכים שונות למדוד את הגודל של אותה קבוצה. להלן מוצגות כמה זהויות בינומיות חשובות יחד עם ההוכחה הקומבינטורית שלהן:
formula_53 (במעבר האחרון נעזרנו בזהות הראשונה: formula_38).
זהות זו היא מקרה פרטי של זהות ונדרמונד הכללית יותר: formula_55, שניתן להסיק אותה באופן זהה לגמרי - במקרה הכללי מחלקים קבוצה בעלת "n" איברים לשתי תת-קבוצות של "m" ו-"n - m" איברים. מספר התת-קבוצות עם "k" איברים (אגף ימין) שווה לסכום באגף שמאל ("j" ו-"k - j" הם מספר האיברים שנבחרים מכל תת-קבוצה, בהתאמה).
הכללה.
עבור מספרים ממשיים, המקדם ניתן להגדרה ללא פעולת העצרת על ידי:
באופן דומה, הגדרה זו מאפשרת להגדיר את הבינום של ניוטון כאשר המעריך אינו מספר טבעי
formula_57
גרף עץ
טרסט מוחות
הונגריה במלחמת העולם השנייה
מדיניותה של הונגריה התמקדה לאחר חוזה טריאנון בניסיון לקבל בחזרה את השטחים שאבדו. תוך כדי כך נקלעה הונגריה לברית עם אדולף היטלר, אשר תמך בה בבוררויות בינלאומיות שהחזירו לה את מקצת השטח, בשנים 1938 ו-1940.
הונגריה הצטרפה להיטלר במלחמתו בברית המועצות ביוני 1941. ב-19 במרץ 1944 כבשו הגרמנים את הונגריה שכן חששו כי ההונגרים מתכוונים להפר את הברית עמם, ולעבור לצידה של ברית המועצות. הכיבוש הביא עמו את השואה ליהדות הונגריה ומאות אלפים הושמדו במחנה ההשמדה אושוויץ. באוקטובר 1944 הדיחו הגרמנים את הורטי, והעלו במקומו כשליט את פרנץ סלשי ומפלגתו הפשיסטית צלב החץ. בשלב זה הייתה מלחמתם של הגרמנים ובעלות בריתם אבודה. הסובייטים נמצאו על אדמת הונגריה, וצרו על בודפשט. כיבושה של הונגריה על ידי הסובייטים הושלם באפריל 1945.
הדרך אל הציר.
ממשלתו של גומבוש.
השפל הגדול בשנת 1929 פגע אף בהונגריה, וגרם לירידה ברמת החיים ובשינוי חד לימין בהלך הרוח הפוליטי. בשנת 1931 מונה הרדיקל הימני גיולה גמבש להיות שר ההגנה, וב-1932 החליף גומבוש את בתלן בתפקיד ראש הממשלה.
בכהונתו כראש ממשלה נקט גומבוש בפעילות רבה במישור הבינלאומי. לדעת גומבוש חייב האינטרס ההונגרי יצירת ציר מדיני עם איטליה הפשיסטית, ואוסטריה. בסמוך לאחר מינויו טס לאוסטריה וביקר את בניטו מוסוליני. השניים הגיעו מיד להבנה, ומוסוליני הצהיר כי הוא תומך ברביזיה של חוזה טריאנון ובמשתמע בהחזרת שטחים שנמסרו לצ'כוסלובקיה, רומניה ויוגוסלביה לידי הונגריה. מוסוליני אף הבטיח לגומבוש סיוע צבאי במלחמה עם יוגוסלביה או רומניה אם זו תפרוץ. בשנת 1933 עלתה המפלגה הנאצית לשלטון בגרמניה. גומבוש הפך למנהיג הראשון מחוץ לגרמניה שביקר את מנהיג גרמניה החדש. מיד לאחר מכן חתם גומבוש על הסכם סחר עם גרמניה שסייע מאוד לכלכלתה של הונגריה בשנות השפל הגדול. צעדים אלו הרתיעו מנהיגים הונגרים רבים שסברו שיחסיו של גומבוש עם גרמניה עלולים לפגוע בתמיכתה של איטליה (מכיוון שטרם נוצר הציר האיטלקי-גרמני, ובאותה העת היו המדינות חלוקות בדבר האיחוד לו הטיפו הגרמנים בין גרמניה לאוסטריה, שנראה לאיטלקים כאיום ישיר). לבסוף החליט גומבוש לדבוק בבריתו עם איטליה ואוסטריה, כאשר הבהיר היטלר כי יתמוך בצעדים הונגריים כנגד צ'כוסלובקיה אך לא כנגד יוגוסלביה או רומניה. היטלר אף התנגד לדרישתו של גומבוש להגדיל את צבאה של הונגריה אשר חוזה טריאנון הגביל ל-35,000 חיילים, בעוד שמוסוליני תמך בדרישה זו.
בשנת 1935 הצליח גומבוש לשכנע את הורטי לפזר את הפרלמנט ולערוך בחירות חדשות. תוצאת הבחירות הגדילה את כוחו של הימין הרדיקלי, אשר קיבל את השלטון בפרלמנט, והגדיל מאוד את כוחו של גומבוש. גומבוש הרחיב וחימש את הצבא, מילא את שורות הצבא בקצינים השייכים לימין הרדיקלי, והרחיב את שליטתו במנגנון שירות המדינה, שאף את שורותיו מילא בתומכיו. מטרתו של גומבוש, כפי שהצהיר בפני הרמן גרינג בשנת 1936, הייתה כי בתוך שנתיים תהיה הונגריה מדינה פשיסטית, והוא יהיה הדיקטטור שלה. מטרות אלו לא הוגשמו, מאחר שגומבוש מת ממחלת כליות באוקטובר 1936.
בוררות וינה הראשונה ובוררות וינה השנייה.
ההתקרבות לגרמניה.
לאחר מותו של גיולה גמבש ואילך הפכה הונגריה לתלויה יותר ויותר בגרמניה של היטלר. ההסכמים הכלכליים עם גרמניה גרמו לשיפור בכלכלתה של הונגריה וליציאתה ממצב השפל הכלכלי, אך הפכו אותה לתלויה בגרמניה הן לאספקת חומרי גלם, והן כשוק הראשי למוצריה.
היטלר הבטיח להונגריה את השבת הטריטוריות שאבדו בה, ולא היסס להפעיל לחץ כלכלי ואיומים בהתערבות צבאית על מנת לגרום להונגרים ליישר קו עם מדיניותו האירופית, וכן עם האנטישמיות ורדיפת היהודים. בכך מצא אוזניים קשובות בהונגריה. שנות השלושים ראו בהונגריה את ייסודה של מפלגת צלב החץ הפשיסטית, בהנהגתו של פרנץ סלשי קצין צבא בדימוס שמצא את ייעודו בהטפה לדעות אנטישמיות ונאציות, אשר קיבלו גוון הונגרי מקומי.
לאחר האנשלוס, הוא סיפוח אוסטריה לגרמניה בשנת 1938, מצאה עצמה הונגריה בעלת גבול משותף עם מדינה גרמנית בעלת עוצמה, אשר הייתה יורשתה של האימפריה ההבסבורגית אשר השפיעה על המדינה ההונגרית מן המערב מזה מאות בשנים. היה זה מצב מאיים מחד, ומבטיח מאידך. היו שראו בהיגררות לצד הגרמנים אל הרפתקאות טריטוריאליות משום סיכון, והיו שראו בגרמניה את הכלי באמצעותו יושבו להונגריה השטחים שאבדו בחוזה טריאנון.
יורשו של גומבוש, קלמן קרני, ניסה לפייס את האנטישמים והנאצים, מספר חודשים לאחר ה"אנשלוס" בחקיקת "החוק היהודי הראשון" אשר קבע מכסות המגבילות את מספר היהודים ל-20% במקצועות שונים. החוק לא השביע את רצון הרדיקלים, והורטי מינה את ראש הממשלה בלה אימרדי, שמרן, שהיה בעל דעות אנטישמיות ברורות. אימרדי אסר על פעילות המפלגות הפשיסטיות מחד, אך מאידך יזם חקיקת חוק יהודי שני, שהיה בעל הוראות מחמירות יותר מן הראשון. הורטי נאלץ לפטרו בפברואר 1939, ומינה במקומו את פאל טלקי, אשר אישר את חקיקת החוק היהודי. הייתה זו הפעם הראשונה שההתייחסות אל היהודים בהונגריה לא הייתה לפי ההצהרה על דתו של האדם, כי אם לפי מוצאו. גישה זו התאימה יותר לרוח שנשבה מגרמניה, והיא צעד מכריע בדרך לאסונם של יהודי הונגריה הממשמש ובא.
בוררות וינה הראשונה.
עוד בנובמבר 1937 הבטיח היטלר להונגרים כי יקבלו חלק מצ'כוסלובקיה, אשר אותה זמם לחלק לחלקים, עליהם ישתלט. ההונגרים חפצו לקבל לידיהם את סלובקיה וסובקרפטיה, אותם איבדו לטובת המדינה הצ'כוסלובקית החדשה בחוזה טריאנון. כפי שבחבל הסודטים שימש המיעוט דובר הגרמנית עילה לדרישות טריטוריאליות, כך היה המיעוט ההונגרי בצ'כוסלובקיה קולני בדרישתו לחזור לחיקה של המולדת ההונגרית. הסכמי מינכן, אשר נכרתו ב-30 בספטמבר 1938 וקבעו כי על צ'כוסלובקיה למסור את חבל הסודטים לידיה של גרמניה, כללו אף נספח שקבע כי על צ'כוסלובקיה לשאת ולתת עם פולין והונגריה על פתרון המחלוקות הטריטוריאליות שביניהן. הונגריה פתחה בדיונים עם הצ'כים באוקטובר 1938. לאחר מספר ימי דיונים הודיעו הצדדים על כישלון השיחות. לאחר מתיחות רבה בין שתי המדינות, הוסכם בין הצדדים על מינויים של האיטלקים והגרמנים כבוררים בין הצדדים. הבוררות נערכה בווינה בהשתתפות שרי החוץ גליאצו צ'אנו ויואכים פון ריבנטרופ. אלה החליטו להעניק להונגריה שלושה מחוזות בסלובקיה, וכן שטחים נרחבים בסובקרפטיה (תוך שהם משאירים את ברטיסלאבה בשליטת הסלובקים), ובסך הכול כ-12,000 קמ"ר (רובם בשטח סלובקיה של ימינו, ויתרתם מצויים כיום בשטח אוקראינה). השטח היה מיושב באוכלוסייה של למעלה ממיליון איש, מהם כ-60% מדיארים וכ-35% סלובקים. גם שטחים בהם לא היה רוב מדיארי סופחו להונגריה במסגרת זו. סלובקיה איבדה 21% משטחה, ואת העיר השנייה בגודלה במדינה (קאשה - קושיצ'ה). ב-5 בנובמבר 1938 נכנסו צבאות הונגריה לטריטוריות החדשות, וב-11 בנובמבר נכנס הורטי כמנצח לקושיצ'ה, ממנה החלו הסלובקים והצ'כים להימלט. ב-12 בנובמבר קיבל הפרלמנט ההונגרי חוק המספח את השטחים החדשים להונגריה, וקובע כי הם שני מחוזות במדינה ההונגרית.
במרץ 1939 הכריזה סלובקיה על עצמאות מלאה, וצ'כוסלובקיה חדלה מלהתקיים. הונגריה ניצלה את ההזדמנות וסיפחה את יתרתה של סובקרפטיה בתמיכת היטלר. ב-15 במרץ תקפו כוחות הונגריה אף את סלובקיה, אך לאחר מלחמה קצרה ביותר, שכללה בפעם הראשונה את הפעלת חיל האוויר ההונגרי, הורתה גרמניה להונגריה לעצור ולהסיג את כוחותיה, שכן ראתה בסלובקים בני ברית אסטרטגיים במאבקים הטריטוריאליים במרכז אירופה. הונגריה הותירה בידיה לאחר אירוע זה כאלפיים קמ"ר נוספים משטחה של סלובקיה.
בוררות וינה השנייה.