בדף השער של הכרך השני (מהדורת 1644) של "סונטות קונצרטיות בסגנון מודרני" הוא נמנה כ"מוזיקאי של הסיניורייה הנעלה של ונציה בסנט מרקו וראש חבר הנגנים",דבר המציין כי עבד בבזיליקה הגדולה של סנט מרקו, שם היה קלאודיו מונטוורדי ה"מאסטרו של הקאפלה". השימוש של קסטלו ב"סטילה קונצ'יטטו" (סגנון נזעם), הכולל פיגורות צלילים חוזרות ומהירות, עקבי ומוכיח את קשריו עם מונטוורדי (כמו למשל בספר המדריגלים של אהבה ומלחמה שלו).
בשני ספרי הסונטות יש 29 יצירות מאת קסטלו: 12 סונטות בספר הראשון, 17 בספר השני. הסונטות הן לכלי עם קונטינואו (מנוגנות כיום בקורנט, חלילית כנור וכו'), או טריו סונטות (שני כלים גבוהים וקונטינואו), או כלי גבוה וכלי בס, רביעיות וחמישיות. המוזיקה עשירה בכושר המצאה ומאתגרת טכנית. מופיעים קטעים המולחנים במרקם פוליפוני חמור המתחלפים ברצ'יטטבים דרמטיים מעל בסו. קונטינואו.
למרות שבכותר של שני ספרי הסונטות מצוין כי הם בסגנון מודרני, יש עדיין שימוש בטכניקת הקנצונה הישנה. אף על פי כן, יש שימוש בחטיבות קצרות עם ניגודי מרקם חדים ביניהן וקווים אקטיביים יותר מאשר מלודיים. בניגוד למקובל בתקופה, קסטלו מציין לעיתים קרובות את הכלים בהם יש לנגן, כולל קורנטים, כנורות, טרומבונים ודולציאנים.
שני ספרי הסונטות נדפסו מחדש בשנות ה-50 של המאה ה-17, עובדה המצביעה על השפעתו של קסטלו.
חוג תורשתי למחצה
משפט האי שלמות הראשון של גדל
חוג מטריצות
חוג המטריצות הוא חוג הנתון מעל חוג בסיס קבוע, שאבריו הם המטריצות מסדר נתון שרכיביהן שייכים לחוג הבסיס. בניית חוגי מטריצות היא אחת הבניות הבסיסיות בתורת החוגים. הקשר בין חוג המטריצות לחוג המקדמים הדוק למדי; תוספת המטריצות מעשירה את מגוון האפשרויות לטפל בחוג המקורי.
זוהי הדוגמה הקלאסית לחוג לא חילופי; חוגים אי-חילופיים רבים קשורים לחוגי מטריצות, להם תפקיד מרכזי באלגברה לא קומוטטיבית. כאשר חוג הבסיס הוא שדה, חוגי המטריצות מעליו נחקרים היטב באלגברה ליניארית.
תכונות.
המרכז של חוג מטריצות שווה לאוסף המטריצות הסקלריות מהצורה formula_1 כאשר formula_2 שייך למרכז של חוג המקדמים, כלומר formula_3. החבורה הליניארית הפרויקטיבית מוגדרת להיות המנה של חוג מטריצות (ובאופן כללי יותר, חוג אנדומורפיזמים) מעל המרכז שלה, ולה יש חשיבות רבה בגאומטריה אלגברית.
חוג המטריצות (מסדר formula_4) תמיד בעל מחלקי אפס.
יש התאמה מלאה בין האידיאלים של חוג המקדמים לבין האידיאלים של חוג המטריצות: כל אידיאל של חוג המטריצות הוא מהצורה formula_5 כאשר formula_6 אידיאל בחוג המקדמים, וחוג המנה ביחס לאידיאל זה הוא formula_7. ביתר כלליות, חוג מטריצות תמיד שקול מוריטה לחוג המקדמים.
חוג המטריצות מסדר formula_8 איזומורפי לחוג האנדומורפיזמים של המודול החופשי formula_9. באופן כללי יותר, מתקיים formula_10 לכל מודול שמאלי מעל החוג.
יחידות מטריצות.
לעיתים דרושות דרכים להוכיח שחוג מסוים הוא חוג מטריצות.
בכל חוג מטריצות יש יחידות מטריצות formula_11 (formula_12), המקיימות את שתי התכונות הבאות:
יחידות המטריצות מתחלפות עם אברי חוג המקדמים. כיוון שאפשר להציג כל איבר בחוג המטריצות (באופן יחיד) כסכום formula_16, עם formula_17, נוסחאות אלה מגדירות את חוג המטריצות.
למעשה, כל חוג formula_18 שיש בו מערכת של יחידות מטריצות formula_19, איזומורפי לחוג מטריצות מעל תת-החוג (בלי יחידה) formula_20. האיזומורפיזם הוא formula_21.
מבנה.
חוג מטריצות מעל חוג עם חילוק הוא גם פשוט ארטיני, ומשפט ודרברן-ארטין קובע את ההפך - כל חוג פשוט ארטיני איזומורפי לחוג מטריצות מעל חוג עם חילוק.
בפרט, אם formula_22 שדה סגור אלגברית, כל אלגברה פשוטה מממד סופי מעל formula_22 היא אלגברת מטריצות, משום שאין אלגברה עם חילוק מעל שדה סגור אלגברית.
חוג formula_24 הוא פשוט למחצה אם ורק אם כל חוגי המטריצות מעליו פשוטים למחצה. מפורשות, תת-מודול פשוט (כלומר אידיאל שמאלי מינימלי) של formula_25 הוא קבוצת מטריצות עם איברים לא אפס רק בעמודה מסוימת, שבה האיברים נלקחים מתת-מודול פשוט של formula_24.
רדיקל ג'ייקובסון של מטריצות שווה למטריצות מעל הרדיקל: formula_27, ובפרט חוג הוא פרימיטיבי למחצה אם ורק אם על חוג מטריצות מעליו פרימיטיבי למחצה.
סיפורים מהצד האפל
רבי שמעון בן נתנאל
רבי שמעון בן נתנאל היה תנא בדור השני, תלמידו של רבן יוחנן בן זכאי,שכינה אותו ירא חטא.
היה כהן ונשא לאישה את בתו של רבן גמליאל הזקן.
אמרותיו.
במשנה שבה מסופר על חמשת תלמידיו של רבי יוחנן בן זכאי, שהאחד מהם רבי שמעון בן נתנאל, מסופר, כי רבי יוחנן בן זכאי אמר לחמשת תלמידיו: "צאו וראו איזה דרך יבחר בו האדם... רבי שמעון אומר, הרואה את הנולד... אמר להם צאו וראו איזה היא דרך רעה שיתרחק ממנה האדם... רבי שמעון אומר, הלווה ואינו משלם, אחד הלווה מן האדם כלווה מן המקום, שנאמר לווה רשע ולא ישלם וצדיק חונן ונותן".
בתלמוד הירושלמי נכתב:
מעשה ברבן יוחנן בן זכאי שהיה מהלך על הדרך רוכב על החמור ורבי אלעזר בן ערך מהלך אחריו, אמר לו למדני פרק אחד במעשה מרכבה, וכיון ששמעו רבי יוסי הכהן ורבי שמעון בן נתנאל אף הם פתחו במעשה המרכבה, אמרו יום אחד בתקופת תמוז היה ורעשה הארץ ונראתה הקשת בענן ויצאה בת קול ואמרה להן הרי המקום פנוי לכם והטרקלין מוצע לכם, אתם ותלמידיכם מזומנים לכת שלישית.
מקום קבורתו.
מקום קבורתו על פי המסורת נמצא בעלמה סמוך לקבר רבי אלעזר בן ערך וסומן על ידי ועד "אהלי צדיקים".
מבצע קיסר
מבצע קיסר היה ניסיון חשאי של גרמניה בשלהי מלחמת העולם השנייה לשגר אל בעלת בריתה יפן פריטי טכנולוגיה צבאית מתקדמת. המבצע הסתיים בכישלון מוחלט.
המבצע.
ב-5 בדצמבר 1944 יצאה מנמל קיל הצוללת הגרמנית U-864 בהפלגת הבכורה שלה, בפיקודו של הקברניט רלף-ריימר וולפרם (Ralf-Reimar Wolfram). משימתה הייתה להוביל בחשאי אספקה צבאית ליפן. מטענה העיקרי היה חלקים של מנועי סילון למטוסי קרב ומערכות הנחיה לטילי V-2. בנוסף היא נשאה 65 טונות של כספית, שנועדו לתעשיית הנשק של יפן.
בדרכה צפונה דרך תעלת קיל עלתה הצוללת על שרטון ונגרם נזק לגופה. קברניטה הפנה אותה לתיקונים במעגני הצוללות הגרמנים בברגן שבנורווגיה. התיקונים שם נסתיימו רק בראשית פברואר 1945 לאחר שהתקפת אוויר בריטית על המעגנים ב-12 בינואר האטה אותם. הצוללת יצאה שוב לדרכה, אך משימתה נחשפה בפני בעלות הברית, כאשר מפענחי הצפנים בבלצ'לי פארק פענחו שידורי רדיו גרמנים שהוצפנו על ידי מכונת האניגמה. האדמירליות הבריטית שיגרה את הצוללת הבריטית ונצ'רר (Venturer) בפיקודו של סגן ג'יימס לונדרס (James Launders) אל חופי דרום מערב נורווגיה כדי לאתר וליירט את הצוללת הגרמנית.
ב-6 בפברואר התרחשה תקלה באחד ממנועיה של U-864, שהפיק רעש והגדיל את סכנת הגילוי שלה. הקברניט וולפרם הודיע לבסיס בברגן כי הוא ישוב שמה לתיקונים, ונאמר לו שליווי יפגוש אותו ב-10 לחודש. בינתיים הגיעה הצוללת ונצ'רר לאזור, וההחלטה להשיב את U-864 לברגן שלחה אותה למעשה אל תוך שטח המשימה של הצוללת הבריטית.
ב-9 בפברואר זיהה מפעיל ההידרופון של ונצ'רר רעש של מנוע דיזל של צוללת. בסריקת פריסקופ איתר לונדרס פריסקופ אחר והצוללת החלה לעקוב אחריו. במהרה התברר כי הצוללת הגרמנית גילתה את העוקבת אחריה, שכן היא החלה לשוט במסלול מזגזג. לאחר שלוש שעות של מרדף החליט הצוות הבריטי לנסות ירי טורפדו על פי המסלול בו שטה הצוללת הגרמנית. ארבעה טורפדות נורו על ידי ונצ'רר במרווחי זמן של כ-17 שניות. U-864 שמעה את הירי ונקטה תמרוני התחמקות. היא הצליחה לחמוק משלושת הטורפדות הראשונים אך תעתה בבלי דעת אל תוך מסלולו של הרביעי, אשר שבר את גופה לשניים והטביע אותה תוך אובדן כל צוותה, 57 קילומטרים מברגן.
לולא הנזק שנגרם ל-U-864 בדצמבר והעיכוב שגרמה ההפצצה הבריטית על הבסיס הגרמני בברגן הייתה הצוללת עשויה לעזוב את האזור חודש לפני בואה של הצוללת ונצ'רר בעקבות יירוט השידורים הגרמנים. התקלה שהופיעה במנוע הצוללת חתמה את גורלה.
סגן לונדרס עוטר בעקבות הפעולה באות השירות המצוין.
בעיות סביבתיות.
בשלהי שנות ה-90 החל הצי הנורווגי המלכותי לחפש אחרי שרידי הצוללת לאחר שלמד כי כספית הייתה חלק ממטענה. לאחר חיפושים שנמשכו חמש שנים התגלתה הצוללת הטבועה באוקטובר 2003. לאחר בדיקתה התברר שהכספית אכן דולפת ממנה בקצב גובר והולך. בעקבות זאת נאסר הדיג בקרבת הצוללת הטבועה. מנהל החופים הנורווגי המליץ לקבור את שרידי הצוללת תחת סרקופג של חול ובטון, על מנת לאטום את דליפת הכספית ממנה.
לייב בעל הייסורים
רבי לייב מטערקיש-מאהילוב (כונה בשם ר' "לייב בעל הייסורים"; ? - ט"ו בחשוון ה'תקצ"ד, 1833), מגדולי תלמידיו של בעל התניא וממייסדי קהילת חב"ד בחברון. דמותו אפופת מסתורין, ולא ידועים פרטים רבים על דמותו מעשיו ופועלו.
ביוגרפיה.
שמו בעל הייסורים נדבק בו, בשל ייסורים רבים אותם עבר. מסורת אחת מספרת כי את הייסורים קיבל על עצמו בשל שדיבר סרה ברבי נחמן מברסלב. רבי לייב היה מראשוני חסידי חב"ד שהתיישבו בחברון. לקראת זקנתו עבר לדור בעיר צפת. כשביקשו בני טערקיש-מוהילוב מבעל התניא שימנה את רבי לייב למנהיג העדה בסביבתם, סירב לזה משום שמנהיג צריך לדעת גם בעניינים גשמיים. ואילו רבי לייב מופשט לגמרי מענייני העולם הזה ותאוותיו, לבסוף מינה אותו להדריך ולנהל את האברכים הצעירים.