או'קונל מת בג'נובה בשנת 1847 במהלך טיול שערך לרומא. הוא נטמן בבית העלמין גלסנווין בדבלין. כל בניו היו חברי הפרלמנט. שמו של הרחוב הראשי בדבלין, אשר נקרא בעבר רח' סקוויל, שונה בתחילת המאה ה-20 לרח' או'קונל. פסלו ניצב בקצה אחד של הרחוב, בעוד שבקצה השני מוצב פסלו של ממשיך דרכו, צ'ארלס סטיוארט פרנל.
דרום
דרום הוא אחת מארבע רוחות השמים. הוא הפוך לצפון ונמצא בזווית ישרה למזרח ולמערב. הדרום נמצא באזימוט 180 מעלות.
הדרום האמיתי הוא הכיוון לקצה הדרומי האמיתי של ציר סיבוב כדור הארץ, המכונה הקוטב הדרומי. הקוטב הדרומי נמצא באנטארקטיקה. הקוטב הדרומי המגנטי אינו זהה לקוטב הדרומי ונמצא במרחק קטן ממנו.
המונח הדרום משמש לעיתים כדי להתייחס למדינות או קבוצות מתקדמות פחות מבחינה טכנולוגית ותרבותית בעולם בשל ההכללה שקובעת שרוב המדינות מסוג זה נמצאות בחצי הכדור הדרומי.
האדריכל והפילוסוף האמריקאי ריצ'רד באקמינסטר פולר פיתח את מפת דימקסיון שאחד ממאפייניה הוא העדר הטיה תרבותית בין צפון לדרום היות שבמפה זו הצפון איננו למעלה והדרום אינו למטה (יצוין שקיימות מפות, בעיקר במספר מדינות בחצי הכדור הדרומי, בו הדרום נמצא למעלה).
בארצות הברית, המונח הדרום משמש גם כדי להתייחס למדינות דרום-מזרח ארצות הברית שפרשו מהאיחוד במהלך מלחמת האזרחים האמריקאית.
השם דרום מופיע כבר בתנ"ך, ושם ישנם גם כינויים נוספים לכיוון זה: נגב, תימן וימין.
יש אומרים שהמילה "דרום" היא הלחם בסיסים של המילים "דר" ו-"רום" משום שהשמש נמצאת ברום השמיים כאשר היא עוברת ברוח שמים זו. מאותה סיבה המזרח נקרא מזרח כי שם זורחת השמש ומערב כי שם מתערבבים היום והלילה, והצפון כי מקום זה צפוּן מאור השמש.
הכינוי נגבה הוא על שם שהדרום מנוגב (מיובש וצחיח) ממים.
הכינויים: ימין ותימן/תימנה, הם מפני שהמזרח מכונה גם קדם/קדמה/קדימה והמערב אחור/אחרון. לכן כאשר פנינו קדימה למזרח, הרי שהדרום מימיננו והצפון משמאלנו. היות שהשמש נחשבה למקור חיות עלי האדמה, הנטייה התאולוגית/קלאסית הייתה להתייחס לכיוון זה כבעל חשיבות רבה.
אידיאל (אלגברה)
באלגברה, אידיאל הוא תת-קבוצה של חוג, המקיימת תנאים מסוימים. תנאים אלה מבטיחים שאפשר יהיה לבנות חוגי מנה, מהם ניתן לשאוב מידע על החוג המקורי. תפקידם של האידיאלים בתורת החוגים דומה לזה של תת החבורות הנורמליות בתורת החבורות.
המונח אידיאל מתייחס בדרך כלל לאידיאל דו צדדי, שהוא תת-קבוצה של החוג הסגורה לחיבור וחיסור, וכן לכפל מימין או משמאל באיבר של החוג. דרישות אלה שקולות לכך שפעולות החיבור והכפל על קבוצת הקוסטים מוגדרות היטב, באופן המשרה מבנה של חוג מנה.
בחוגים לא קומוטטיביים, מגדירים באופן דומה גם אידיאל ימני ואידיאל שמאלי, הנקראים אידיאלים חד-צדדיים. אידיאל חד-צדדי הוא מודול (ימני או שמאלי) מעל החוג.
הגדרה פורמלית.
יהא formula_1 חוג. תת-קבוצה ממש formula_2 שעבורה formula_3 היא תת-חבורה של formula_4 נקראת אידיאל שמאלי אם לכל formula_5 ולכל formula_6 מתקיים formula_7; ואידיאל ימני אם לכל formula_5 ולכל formula_6 מתקיים formula_10. אידיאל שמאלי וימני נקרא אידיאל דו-צדדי או סתם אידיאל.
אידיאל אמיתי (בחוג עם יחידה) איננו יכול להכיל את איבר היחידה formula_11 של החוג, משום שאז ההגדרה תאלץ אותו להכיל את החוג כולו. מכאן נובע שאידיאל שמאלי אינו יכול להכיל איברים הפיכים משמאל, בעוד שאידיאל ימני אינו יכול להכיל איברים הפיכים מימין.
בחוג חילופי, כל אידיאל שמאלי או ימני הוא אידיאל. בחוג לא חילופי יש הבדלים רבים בין שתי התכונות. בדרך כלל, מועיל לחשוב על אידיאל שמאלי כקבוצה "גדולה", בעוד שאידיאל (דו-צדדי) הוא קבוצה "קטנה". הסיבה היא שאידיאלים דו-צדדיים מנועים מלכלול הרבה יותר איברים מאשר האידיאלים החד-צדדיים.
דוגמאות.
אידיאל נוצר.
אידיאל נוצר formula_12 של חוג formula_1 על ידי קבוצה formula_14 המוכלת ב-formula_1 הוא האידיאל הקטן ביותר של formula_1 המכיל את formula_14, והוא קבוצת הסכומים הסופיים מהצורה
formula_18
בדומה, אידיאל נוצר שמאלי formula_19 של חוג formula_1 על ידי קבוצה formula_14 המוכלת ב-formula_1 הוא האידיאל השמאלי הקטן ביותר של formula_1 המכיל את formula_14, והוא קבוצת הסכומים הסופיים מהצורה
formula_25
ואידיאל נוצר ימני formula_26 של חוג formula_1 על ידי קבוצה formula_14 המוכלת ב-formula_1 הוא האידיאל הימני הקטן ביותר של formula_1 המכיל את formula_14, והוא קבוצת הסכומים הסופיים מהצורה
formula_32
מוסכם כי האידיאל (שמאלי, ימני ודו-צדדי) הנוצר על ידי קבוצה ריקה הוא האידיאל המכיל את אפס בלבד.
אידיאל ראשי.
אידיאל הנוצר על ידי איבר אחד נקרא אידיאל ראשי. לאידיאל שמאלי ראשי יש הצורה formula_33, ולאידיאל ימני ראשי הצורה הדואלית, formula_34. האידיאל (הדו-צדדי) הנוצר על ידי formula_35 הוא קבוצה גדולה בהרבה: formula_36, הכוללת את כל המכפלות formula_37 וכל הסכומים שלהן. כל אידיאל הוא סכום (לאו דווקא סופי) של אידיאלים כאלה.
תחום שלמות שבו כל האידיאלים ראשיים נקרא תחום ראשי. לדוגמה, בחוג המספרים השלמים, הקבוצה formula_38, קבוצת כל המספרים השלמים המתחלקים בשלוש, היא אידיאל ראשי. קל לוודא שמדובר באידיאל. (כיוון שסכום שתי כפולות של שלוש הוא כפולה של שלוש, מספר נגדי לכפולה של שלוש הוא כפולה של שלוש ומכפלת מספר המתחלק בשלוש בכל מספר שלם אחר תתחלק גם היא בשלוש). חוג המספרים השלמים הוא חוג ראשי.
גרעין של הומומורפיזם.
לכל הומומורפיזם formula_39 בין שני חוגים formula_40, הגרעין formula_41 הוא אידיאל דו-צדדי של formula_1.
הגדרות ומשפטים הנוגעים לאידיאלים.
ישנם כמה סוגים חשובים במיוחד של אידיאלים, המוגדרים על-פי תכונות של חוג המנה. אידיאל ראשוני הוא אידיאל formula_43 של החוג, שעבורו החוג formula_44 הוא חוג ראשוני. אפשר לנסח תכונה זו גם כך: לכל שני אידיאלים formula_45, אם המכפלה formula_46 מוכלת ב-formula_43, אז אחד מן האידיאלים מוכרח להיות מוכל ב-formula_43. בחוג חילופי, אידיאל הוא ראשוני אם ורק אם אינו יכול להכיל מכפלה formula_49 של איברים, בלי להכיל אחד מן האיברים.
דוגמה: בחוג המספרים השלמים formula_50, כל אידיאל הוא מהצורה formula_51. אידיאל כזה הוא ראשוני אם ורק אם המספר formula_52 הוא מספר ראשוני, או אפס. אכן, אם מספר ראשוני formula_53 מחלק מכפלה formula_49 של מספרים שלמים, אז הוא חייב לחלק אחד מהם.
אידיאל מקסימלי הוא אידיאל שאינו מוכל באידיאל גדול יותר, ולכן הוא מקסימלי עבור יחס ההכלה. ניתן להוכיח באמצעות הלמה של צורן שבכל חוג עם יחידה, כל אידיאל מוכל באידיאל מקסימלי. כל אידיאל מקסימלי הוא ראשוני, אבל ההפך אינו נכון (לדוגמה, אידיאל האפס של חוג השלמים הוא ראשוני ואינו מקסימלי). חוג שמכיל אידיאל מקסימלי יחיד נקרא חוג מקומי.
בניסוח שקול, formula_55 הוא אידיאל מקסימלי אם ורק אם חוג המנה formula_56 הוא חוג פשוט. (כלומר, חוג שאין בו אידיאלים לא טריוויאליים) מכאן שלכל חוג קיימים חוגי מנה פשוטים; תכונה זו הופכת את החוגים הפשוטים לאבני הבניין של תורת החוגים. כל חוג חילופי פשוט הוא שדה.
אידיאל מינימלי הוא אידיאל שאינו מכיל אף אידיאל פרט לאפס. למרות שלכאורה מדובר בתכונות סימטריות, אידיאלים מינימליים הם בעלי תכונות שונות לחלוטין מאלו של אידיאלים מקסימליים. בראש וראשונה, אידיאלים כאלה לא תמיד קיימים (למשל, בחוג השלמים). כל אידיאל מינימלי הוא ראשי, אבל ההפך אינו נכון.
מזרח
מִּזְרַח הוא אחת מארבע רוחות השמים. הוא הפוך למערב ונמצא בזווית ישרה לצפון ודרום. מזרח הוא כיוון הסיבוב של כדור הארץ ולכן זהו גם הכיוון בו זורחת השמש בקו המשווה בימי השוויון. בשל תנועת כדור הארץ, ביצוע שיגור לחלל ממזרח חוסך בהפרש המהירות. לכן, זהו הכיוון המועדף לביצוע שיגור לחלל אם אין סיבות אחרות לשיגור מכיוון אחר.
להבדיל מצפון ודרום שהם כיוונים מוחלטים, כלומר בעלי אותה משמעות בכל מקום על-פני כדור הארץ, מערב ומזרח הם כיוונים יחסיים, שמשמעותם תלויה במקום שבו נמצא אומרם. במפות נהוג שצד מזרח יהיה ימין המפה. מוסכמה זו החלה מהשימוש במצפן בו הצפון מכוון כלפי מעלה. כדי להפליג מזרחה בשימוש במצפן יש לכוונו לאזימוט 90 מעלות.
המזרח בשפה.
מקור המילה מזרח בעברית הוא מהשורש ז-ר-ח והכוונה היא למקום שממנו זורחת השמש.
בתרבות העברית כיוון קדימה מתקשר למזרח ולכן המזרח מכונה בתנ"ך גם בשם "קדם". הדרום נמצא אז מימין (ולכן נקרא לעיתים 'תימן') והצפון נמצא משמאל (וכך הוא נקרא לעיתים בתנ"ך כמו גם בערבית: "שִמאל"). כפועל יוצא, המערב בתנ"ך נקרא גם בשם "אחור" והים התיכון מכונה שם לעיתים 'הים האחרון'. כל אלו הם ביטויים יחסיים.
בין המילים הלועזיות לכינוי המזרח נמצא את הלבנט המתייחס לחלק המזרחי של אגן הים התיכון ושם התואר אוריינטלי (מהמילה אוריינט). ממילה זו באה המילה הלועזית להתמצאות במרחב: אוריינטציה.
המונח "המזרח" משמש גם כדי להתייחס למדינות מזרחיות ביחס לארצות המערב, כמו: המזרח התיכון, המזרח הקרוב, מזרח אסיה, דרום-מזרח אסיה, המזרח הרחוק ואפילו כל האזור של יבשת אסיה וגם כל החלק הזה של כדור הארץ בו היא נמצאת. בזמן המלחמה הקרה, מזרח אירופה היה שם נרדף למדינות בעלות משטר קומוניסטי בחסות רוסית. כמו כן, מונח זה מתייחס למדינות ששוכנות במזרח ארצות הברית שבקרבת האוקיינוס האטלנטי.