בתורת המספרים, השערת הראשוניים התאומים קובעת שישנם אינסוף זוגות של ראשוניים תאומים, כלומר מספרים formula_1 ששניהם ראשוניים. השערה זו היא אחת מן הבעיות הפתוחות המפורסמות בתורת המספרים ובמתמטיקה בכלל.
מתמטיקאים מאמינים שאכן ישנם אינסוף זוגות של ראשוניים תאומים, בגלל שורה של נימוקים היוריסטיים המבוססים על תכונות סטטיסטיות של המספרים הראשוניים, ובגלל עדויות מספריות התומכות בהשערת הארדי-ליטלווד הראשונה (ראו להלן). עם זאת, להשערה עדיין אין הוכחה.
מספרם של הראשוניים התאומים.
ידוע שאם מסכמים את ההופכיים של כל המספרים הראשוניים, formula_2, הטור מתבדר וסכומו אינסופי. ליתר דיוק, הסכום formula_3 שווה בקירוב ל- formula_4. תוצאה זו מתאימה למשפט המספרים הראשוניים, שלפיו ישנם כ- formula_5 ראשוניים הקטנים מ- formula_6.
בניגוד לכך, הראה ויגו ברון בשנת 1915, באמצעות פיתוח של שיטת הנפה המודרנית, שמספר המספרים הראשוניים התאומים הקטנים מ-x אינו עולה על formula_7 עבור קבוע מסוים "C &gt; 0". מכאן נובע שאם מסכמים את ההפכיים של הראשוניים התאומים בלבד, הטור מתכנס לגבול סופי, הנקרא קבוע ברון.
לו הטור היה מתבדר, הייתה בידינו הוכחה של השערת המספרים הראשוניים התאומים. אבל מכיוון שהטור מתכנס, לא ידוע עדיין אם קיימים אינסוף מספרים ראשוניים תאומים או לא.
קבוע ברון יכול להיות מספר אי רציונלי אם יש מספר אינסופי של תאומים ראשוניים.
ההערכה הטובה ביותר עד כה לערכו של קבוע זה ניתנה ב-2002 על ידי סכימת כל התאומים הראשוניים עד 1016 והוא:
formula_8.
הפרשים חסומים.
בשנת 2013, ארעה פריצת דרך חשובה, כאשר זאנג יטנג הצליח להוכיח שיש אינסוף זוגות של ראשוניים שהפרשם קטן מ-70,000,000. זאנג זכה בעקבות כך בפרס אוסטרובסקי לשנת 2013 ובפרס קול לשנת 2014.
פרויקט מרובה משתתפים שהוקם בעקבות עבודתו של זאנג הצליח להוריד את ההפרש ל-4680 ולאחר מכן ל-246. James Maynard הוריד את ההפרש ל-600 באמצעות עידון של משפט בומביירי-וינוגרדוב. הכללה של שיטות אלה מאפשרת להראות שלכל m, יש אינסוף רווחים באורך formula_9 הכוללים m ראשוניים.
השערת הארדי-ליטלווד הראשונה.
בעוד שהשערת הראשוניים התאומים קובעת רק שישנם אינסוף זוגות של תאומים, השערת הארדי-ליטלווד הראשונה מנבאת את ההתפלגות של מספר הזוגות, בצורה אנלוגית למשפט המספרים הראשוניים.
ממשפט המספרים הראשוניים נובע שהסיכוי של מספר טבעי להיות ראשוני, כאשר בוחרים אותו באקראי מבין המספרים מ-1 עד x, הוא formula_10. אם הראשוניות של המספר a ושל המספר a+2 היו מאורעות בלתי תלויים, אז אפשר היה לצפות שהסיכוי של a להיות הקטן מבין צמד של ראשוניים תאומים הוא formula_11.
מתברר שניתוח זה הוא פשטני מדי: הוא מתעלם מכך שאם a הוא הקטן מבין ראשוניים תאומים, אז יש לו p-2 שאריות אפשריות בחלוקה במספר ראשוני קטן p, בעוד שאם a הוא ראשוני סתם, יש לו p-1 שאריות אפשריות.
ג. ה. הארדי וג'ון ליטלווד הציעו בשנת 1923 את ההשערה הבאה. נסמן ב- formula_12 את מספר זוגות הראשוניים התאומים הקטנים מ־x; אז formula_13, כאשר "C"2 הוא קבוע המספרים הראשוניים התאומים המוגדר כמכפלה אינסופית formula_14.
הכללות.
k-יה של ראשוניים.
ישנה השערה מפורסמת (הקרויה באנגלית the k-tuple conjecture), שלפיה ישנם לא רק זוגות של ראשוניים תאומים, אלא קבוצות של k ראשוניים בעלי כל קשר ליניארי אפשרי (פרט לאלו הנמנעים בגלל סיבות טריוויאליות, כגון a,a+2,a+4 שאחד מהם מוכרח להתחלק ב-3); לדוגמה, משערים שישנם אינסוף ראשוניי ז'רמן, כלומר זוגות של ראשוניים מהצורה formula_15. גם להשערה זו ישנה גרסה כמותית שנסחו הארדי וליטלווד.
לאחרונה (2004) הושגה התקדמות מסוימת בכיוון זה, כאשר בן גרין וטרנס טאו הוכיחו שישנן אינסוף שלשות של ראשוניים מהצורה a,a+d,a+2d (כאשר a ו- d אינם קבועים מראש), וגם אינסוף רביעיות, וכן לסדרות בכל אורך. עם זאת, השיטות שלהם אינן מסייעות בפתרון הבעיה שהוזכרה בפסקה הקודמת.
הצגת 2 כהפרש.
השערת הראשוניים התאומים מבקשת, בניסוח אחר, להציג את המספר 2 כהפרש של זוג ראשוניים, באינסוף דרכים. בשנת 1849 העלה אלפונס דה פוליניאק השערה כללית יותר, שלפיה כל הפרש זוגי מתקבל אינסוף פעמים. כמו השערת התאומים הראשוניים, גם השערה זו נראית סבירה על-פי העדויות המספריות.
ויגו ברון הראה, בנוסף לתוצאות שלו שהוזכרו קודם לכן, שכל מספר זוגי אפשר להציג באינסוף דרכים כהפרש של שני מספרים בעלי לכל היותר תשעה גורמים. משפט של צ'ן ז'ינג רון (Chen Jing Run) קובע שכל מספר זוגי אפשר להציג באינסוף דרכים כהפרש בין מספר ראשוני ומספר בן לכל היותר שני מחלקים ראשוניים. שיטתו של צ'ן אפשרה לו להוכיח תוצאה דומה גם בהקשר להשערת גולדבך.
ההפרש בין ראשוניים עוקבים.
נסמן ב- formula_16 את ההפרש בין הראשוני formula_17 לבין הראשוני הבא אחריו. לפי השערת התאומים הראשוניים, הערך formula_18 אמור להתקבל אינסוף פעמים. נסמן ב- formula_19 את הגבול התחתון של הסדרה formula_20.
ממשפט המספרים הראשוניים נובע שהערך הממוצע של formula_16 הוא formula_22, ובמלים אחרות formula_23. פול ארדש הוכיח ב-1940 ש- formula_24, וזאת לאחר שהארדי וליטלווד עצמם הראו, עוד ב- 1926, ש- formula_25 אם מניחים את השערת רימן המוכללת. בעשורים הבאים הוכיחו כמה תוצאות על הערך של קבוע זה, עד שב- 1986 הראה Maier ש- formula_26.
בשנת 2005 הראו Goldston ואחרים, באמצעות וריאנט של שיטת הנפה שפיתח אטלה סלברג, שלמעשה formula_27.
השערת הארדי-ליטלווד
קינשאסה
קינשאסה (בצרפתית: Kinshasa) היא עיר הבירה והגדולה בעריה של הרפובליקה הדמוקרטית של קונגו הנמצאת במרכז אפריקה. אוכלוסייתה מונה כ-14,970,460 איש (נכון לשנת 2021), והיא העיר השנייה בגודלה באפריקה שמדרום לסהרה, והשלישית בגודלה ביבשת כולה אחרי לאגוס וקהיר. היא קיבלת את שמה הנוכחי בשנת 1966 ועד אז נקראה ליאופולדוויל (Leopoldville).
רקע.
קינשאסה שוכנת במערב המדינה, לאורך הגדה הדרומית של נהר קונגו, כ-500 קילומטר מחופי האוקיינוס האטלנטי, ישירות מול העיר ברזוויל – בירת המדינה השכנה: הרפובליקה של קונגו. קינשאסה וברזוויל הן שתי ערי הבירה היחידות בעולם הצופות ישירות אחת על השנייה בקרבה כה רבה.
קינשאסה משמשת כעיר נמל, אך היא מנותקת מן האוקיינוס האטלנטי בשל האשדות הרבים בנהר.
קינשאסה היא עיר בעלת ניגודים חדים, אזורי מגורים ומסחר יוקרתיים מתקיימים לצד שכונות עוני. העיר היא מרכז אדמיניסטרטיבי, תקשורתי ומסחרי. התעשיות הגדולות בעיר הן עיבוד מזון ומשקאות, עיבוד עורות, בנייה, תיקון ספינות וייצור כימיקלים, שמני מינרלים, טקסטיל ובטון
שתי השפות העיקריות בקינשאסה הן צרפתית (רשמית) ולינגאלה.
היסטוריה.
קינשאסה נוסדה בשנת 1881 כתחנת מסחר, על ידי הנרי מורטון סטנלי, שהעניק לה את השם "ליאופולדוויל" על שם פטרונו מלך בלגיה – ליאופולד השני. סטנלי בחר את המקום בזכות קרבתו לנהר, דבר שאיפשר תעבורה ושיט אליו וממנו. בנוסף האזור היה נוח מכיוון שהיה רחב וקל להגן עליו (city of Kinshasa website). תחנת המסחר שגשגה, מאחר שהייתה הנמל הראשון הניתן לשיט בנהר קונגו מעל מפלי ליווינגסטון (סדרה של אשדות לאורך כ-350 ק"מ מתחת לליאופולדוויל המונעים גישה מהאוקיינוס).
בשנים 1884–1885 כונסה ועידת ברלין, ועידה שכונסה במטרה להסדיר את הקולוניאליזם האירופאי והמסחר ביבשת אפריקה במהלך תקופת האימפריאליזם החדש. ועידה זו החליטה על העברת שטח נרחב במרכז אפריקה לרשותו של לאופולד השני מלך הבלגים, שהפך אותה לרכושו הפרטי ונתן לה את השם "מדינת קונגו החופשית".
באותה מדינה "חופשית" הייתה האוכלוסייה המקומית נתונה להתעללות קשה מצד הלבנים במטעי גומי. בתקופה שבין 1885 ל-1908 נהרגו בין 5 ל-15 מיליון שחורים על ידי הבלגים (המספר המקובל הוא כ-10 מיליון). אירועים אלו נחשבים בעיני היסטוריונים לרצח עם.
עיר הבירה של המדינה, "ליאופולדוויל" (לימים "קינשאסה"), הייתה ללא מוצא לאוקיינוס, שכן בנהר היו הרבה אשדות שלא אפשרו שיט. לכן החליט ליאופולד השני על בניית מסילת רכבת- "מסילת הדמים", אשר בנייתה הושלמה בשנת 1898. אורכה של המסילה הוא כ-300 ק"מ, היא מתחילה ממפלי ליווינגסטון שליד קינשאסה ומסתיימת בחוף האוקיינוס האטלנטי. לשם בניית המסילה היה צורך לכרות עצים, ולשאת משאות כבדים לאורך 300 ק"מ. על מנת לעמוד בפרויקט שאפתני זה, קבע ממשלו של ליאופולד השני כי כל כפר ומשפחה יעמידו לרשותו את הגברים החזקים שלהם, אותם הוא ריכז בכפייה במחנות עבודה. על גבם של אנשים אלה העביר את המשאות הכבדים ובתמורה סיפק להם תנאי מחיה מינימליים. ההנחה הרווחת כיום היא, שבעקבות תנאי העבדות הקשים בזמן הקמת המסילה נהרגו כ-3 מיליון אנשים, על כל קילומטר מתו כעשרת אלפים איש, לכן היא נקראת כיום "מסילת הדמים".
חלוקת העיר.
קינשאסה היא עיר, אך יש לה מעמד של מחוז פדרלי. הפרובינציה של קינשאסה בעלת שטח של 9,965 ק"מ, כאשר אזור זה גדול יותר מהעיר. קינשאסה מחולקת לארבעה מחוזות, ו-24 רשויות מוניציפליות.
קינשאסה מחולקת לשתי יחידות עיקריות: המודרנית (לשעבר האירופית) והמסורתית.
החלק המודרני מתוכנן היטב ונחלק למספר רבעים בהתאם לתפקודם:
את החלק המסורתי מאפיין ריכוז של אוכלוסייה ענייה, בתיו בנויים בצפיפות ובצורה בלתי מתוכננת, הוא משתרע מדרום לרובע קינשאסה. שדרת "ה-30 ביוני" היא העורק הראשי של קינשאסה, היא מקשרת בין קינטמבו, ההתיישבות האירופאית הראשונה בעיר, לבין החלק המנהלי של העיר – מחוז העסקים הממוקם חמישה ק"מ מזרחה.
תחבורה.