עם זאת, ויירשטראס התרשם עמוקות מרימן, במיוחד מעבודתו על התאוריה של פונקציות אבליות. כאשר עבודתו של רימן הופיעה, תוך זמן קצר ויירשטראס השליך את מאמרו והחליט לא לפרסמו במגזין המתמטי Crelle. הייתה להם הבנה טובה כאשר רימן ביקר אותו בברלין ב-1859. ויירשטראס עודד את תלמידו הרמן אמדאוס שוורץ למצוא חלופות לעקרון דיריכלה באנליזה מרוכבת, משימה בה הוא הצליח במידה רבה - במהלך העשורים הקרובים שוורץ הדגים בניות מפורשות רבות של העתקות קונפורמיות מתחומים שונים לעיגול היחידה, ובכך אישש את נכונות הטענה של רימן.
בחיבורו משנת 1857 "התאוריה של פונקציות אבליות" (Theorie der Abelschen Functionen), שנחשב לאחד הפרסומים החשובים ביותר בגאומטריה אלגברית, רימן פיתח את הקונספט של משטחי רימן ואת התכונות הטופולוגיות שלהן מעבר לעבודת הדוקטורט שלו משנת 1851, הוכיח משפט אינדקס על הגנוס (הניסוח המקורי של נוסחת רימן-הורוויץ), הוכיח את אי שוויון רימן על המימד של מרחב פונקציות מרומורפיות עם קטבים (הניסוח המקורי של משפט רימן-רוך), דן בטרנספורמציות בירציונליות של עקום נתון ובמימד של מרחב המודולו המתאים של עקומים לא שקולים בעלי גנוס נתון, ופתר בעיות אינוורסיה כלליות יותר מאלו שנחקרו על ידי אבל ויעקובי. אנדרה וייל כתב כי החיבור הזה "הוא אחת היצירות המתמטיות הדגולות ביותר שנכתבו אי פעם, אין אפילו משפט אחד בו שלא הוביל בעקבותיו להתפתחות מעמיקה חדשה".
נקודות חשובות אחרות כוללות את עבודתו על פונקציות אבליות ופונקציות תטא על משטחי רימן. רימן היה נתון בתחרות עם ויירשטראס (החל מ-1857) לפתור את בעיית האינוורסיה לאינטגרלים אבליים, שהם הכללה של אינטגרלים אליפטיים. רימן נעזר בפונקציות תטא במספר משתנים והראה שניתן לצמצם את בעיית האינוורסיה לבעיה של קביעת האפסים של פונקציות תטא הללו. רימן חקר גם מטריצות מחזורים ואפיין אותן דרך "יחסי מחזורים רימניים" (Riemannian period relations). לפי פרדיננד גאורג פרובניוס ושלמה ליפשיץ התקפות של הקשר הזה שקולה לשיכון של formula_7 (כאשר formula_8 הוא הסריג של מטריצת המחזורים) במרחב הפרויקטיבי באמצעים של פונקציות תטא. בעבור ערכים מסוימים של formula_2, זו ה-Jacobian variety של משטח רימן, דוגמה ליריעה אבלית. רימן הראה גם כיצד התאוריה של פונקציות מרוכבות מאירה את התאוריה של משטחים מינימליים (משטח מינימלי הוא המשטח בעל השטח המינימלי עם שפה נתונה; כמו הצורה שלובשות רצועות סבון).
מתמטיקאים רבים כגון אלפרד קלבש חידדו את עבודתו של רימן על עקומים אלגבריים. התאוריות הללו תלויות בתכונות של הפונקציות המוגדרות על משטחי רימן. למשל, משפט רימן-רוך (רוך היה תלמיד של רימן) מספק מידע על מספר הדיפרנציאלים הבלתי תלויים ליניארית של משתנים על משטח רימן (עם תנאים ידועים על האפסים והקטבים).
לפי Detlef Laugwitz, תבניות אוטומורפיות הופיעו בפעם הראשונה בחיבור שעסק במשוואת לפלס על גלילים טעונים חשמלית. אף על פי כן, רימן נעזר בפונקציות כאלו לצורך מיפויים קונפורמיים (כגון מיפוי משולשים טופולוגיים למעגל) בהרצאתו מ-1859 על פונקציות היפרגאומטריות או בחיבורו על משטחים מינימליים.
אנליזה ממשית.
בתחום האנליזה הממשית, רימן הגדיר את אינטגרל רימן במונחים של סכומי רימן, ובכך תרם לביסוסה. בין הישגים רבים, הוא הוכיח שכל פונקציה רציפה למקוטעין היא אינטגרבילית. באופן דומה, ניצני הרעיונות של אינטגרלי סטילטיס מופיעים אצל רימן, כך שהם נקראים גם על שמו. כן ביסס את תורת הטורים האינסופיים, כאשר הוכיח את משפט הטורים של רימן - תוצאה מתמטית המראה כי, בניגוד לאינטואיציה, טורים מתכנסים בתנאי אינם חילופיים - וקובעת כי ניתן לסדר מחדש את איבריו של טור מתכנס בתנאי כדי לקבל כל מספר ממשי.
בעבודתו על טורי פורייה, אשר באה בהמשך ישיר לעבודתו של מורו דיריכלה, הוא הראה שפונקציות אינטגרביליות לפי רימן "ניתנות להצגה" באמצעות טורי פורייה. לפניו, דיריכלה הראה זאת בעבור פונקציות רציפות וגזירות למקוטעין (ולכן עם מספר בן מנייה של נקודות בהן הן אינן גזירות). רימן נתן דוגמה לטור פורייה שמייצג פונקציה רציפה שאינה גזירה כמעט בכל מקום, מקרה שלא טופל על ידי דיריכלה (פונקציית ויירשטראס היא פונקציה רציפה שאינה גזירה באף מקום). הוא הוכיח גם את למת רימן-לבג: אם פונקציה מיוצגת על ידי טור פורייה, אז מקדמי פורייה שואפים לאפס כש-"n" שואף לאינסוף.
חיבורו של רימן על טורי פורייה היה נקודת ההתחלה של עבודתו של גאורג קנטור על טורי פורייה, אשר הייתה הכוח המניע מאחרי היצירה של תורת הקבוצות.
בחיבורו מ-1857 רימן עבד גם עם משוואות דיפרנציאליות היפרגאומטריות באמצעות שימוש בכלים אנליטיים מורכבים והציג את הפתרונות שלהן דרך ההתנהגות של מסלולים סגורים מסביב לנקודות סינגולריות (המתוארת על ידי מטריצת המונדרונומיה). עבודתו זו על מונדרונומיה והפונקציה ההיפרגאומטרית בתחום המרוכב עשתה רושם אדיר, וביססה דרך בסיסית חדשה לעבוד עם פונקציות על ידי התחשבות רק בנקודות הסינגולריות שלהן.
תורת המספרים.
רימן הרים תרומות אדירות לתורת המספרים האנליטית. במאמר קצרצר שהגיש רימן כשהתקבל לאקדמיה המדעית של ברלין, "על מספר הראשוניים מתחת לגודל נתון", והיחיד שהוא פרסם על תורת המספרים, הוא חקר את פונקציית זטא שכעת נושאת את שמו, וביסס את החשיבות שלה להבנת התפלגותם של המספרים הראשוניים. במאמרו היה רימן הראשון לדון בהתנהגות של פונקציית זטא formula_10 עבור "s" מרוכב, ולפצח את הקשר בין מאפיינים מסוימים של התפלגות המספרים הראשוניים להתנהגות של פונקציית זטא כפונקציה מרוכבת. הוא הוכיח את המשוואה הפונקציונלית שמקיימת פונקציית זטא; משוואה זו היא הבסיס לתאוריה הענפה של פונקציה זו (משוואה זו הייתה ידועה, בצורה מעט שונה, ללאונרד אוילר). הרעיונות המהפכניים במאמר, אשר קשרו בין תורת המספרים האלמנטרית העוסקת בבדיד לבין האנליזה המרוכבת העוסקת ברציף, סללו את הדרך להוכחת משפט המספרים הראשוניים בסוף המאה ה-19.
במאמרו של רימן, ישנן התפתחויות רבות מעניינות יותר. "השערת רימן" הידועה הייתה אחת מסדרת השערות שהוא ניסח על תכונות הפונקציה, והיא קובעת כי כל האפסים של פונקציית זטא, דהיינו הערכים המרוכבים עבורם formula_11, נחים כולם על הישר formula_12. השערה זו הפכה לאחת מהבעיות הפתוחות הבולטות ביותר בתורת המספרים ובמתמטיקה בכלל. רימן עסק בבעיה בעצמו עד למותו שבע שנים מאוחר יותר, אך לא הצליח להוכיחה. בעוד שמשפט המספרים הראשוניים מספק מדד כמותי אסימפטוטי למספר הראשוניים מתחת ל-"x", להשערת רימן יש קשר ישיר לחריגות של התפלגות הראשוניים מן ההתנהגות הממוצעת שמנבא משפט המספרים הראשוניים. תוך כדי שהוא מניח את נכונות השערה זו הצליח רימן, דרך הסכימה של פונקציית הקירוב כשהיא עוברת על האפסים הלא-טריוויאליים על פני הישר עם חלק ממשי 1/2, לתת נוסחה מדויקת, "מפורשת", ל-formula_13.
רימן היה מודע לעבודתו של פפנוטי צ'בישב על משפט המספרים הראשוניים, אך שיטותיהם היו שונות מאוד.
תרומות לפיזיקה.
מראשית דרכו, רימן התעניין ועסק באופן אינטנסיבי בבעיות בפיזיקה מתמטית - ביסוד עבודתו עמדה ראייה של הפיזיקה והמתמטיקה כישות מאוחדת במהותה. מתוך חמישה עשר החיבורים שרימן כתב, שישה עוסקים בבעיות פיזיקליות גרידא. חיבוריו אלו של רימן משלבים ראייה פיזיקלית רחבה יחד עם תובנה מתמטית יוצאת דופן באשר לטיבן של בעיות יסוד. בהקשר זה, ראויות לציון תרומותיו הבאות:
השקפות פילוסופיות.
רימן הותיר אחריו הרבה קטעים פילוסופיים קצרים - כתבים אלו מכילים אבחנות מהותיות בנוגע לפילוסופיה של המדע והמתמטיקה, ובנוגע להיבטים הפסיכולוגיים של תהליך היצירה המתמטי (פילוסופיה של ההכרה). למעשה, הרהורים פילוסופיים-למחצה על יסודות המתמטיקה היוו מרכיב כה משמעותי בתהליך החשיבה שלו שהיסטוריון אחד העיר ש-: "אלמלא היה רימן מתמטיקאי, הפילוסופים היו רואים בו אחד משלהם". מכתביו עולה שרימן הושפע יותר מהפילוסוף הגרמני יוהאן פרידריך הרברט מאשר מעמנואל קאנט. רימן האמין שהטבע האפריורי של המרחב, אם ישנו כזה, הוא טופולוגי ולא מטרי.
פרסומים נבחרים.
מתמטיקה:
פיזיקה:
הנוער ההיטלראי
הנוער ההיטלראי או ה"היטלר יוגנד" (בגרמנית: Hitlerjugend) הייתה תנועת נוער שפעלה בגרמניה עם עליית המפלגה הנאצית ועד לכיבושה של גרמניה בידי בעלות הברית. באותה תקופה נאסרה בגרמניה פעילות של כל תנועת נוער אחרת ועל ההורים חלה חובה לשלוח את ילדיהם אל התנועה.
התנועה נוסדה ביוזמתו של אדולף היטלר, במטרה להטמיע בדור הצעיר את האידאולוגיה הנאצית ובכלל זה את תורת הגזע ועליונותו של הגזע הארי. התנועה תרמה לפולחן האישיות סביב דמותו של היטלר והייתה לה השפעה רבה על הלך הרוח בגרמניה ערב מלחמת העולם השנייה.
הילדים גויסו לשורות התנועה מגיל שמונה עד שמונה עשרה. בנות גויסו לארגון המקביל אגודת הנערות הגרמניות.
היסטוריה.
לפני עליית הנאצים לשלטון.
בשנת 1919 הצטרף היטלר ל"מפלגת העובדים הגרמנית". לאחר שהפך לראש המפלגה, שינה את שמה ל"מפלגה הנאציונל-סוציאליסטית". ב-1926 הוקם הנוער ההיטלראי תחת הנהגתו של קורט גרובר כיורשת של תנועת הנוער הנאצית הקודמת "ליגת הנוער הנאציונל-סוציאליסטית" שהוצאה מחוץ לחוק אחרי כישלון הפוטש במינכן. הארגון התרחב משמעותית במקביל להתחזקותה של המפלגה הנאצית והתחיל לקיים קשרים עם ארגוני נוער גרמנים בחבל הסודטים ובמזרח.