תהליך וינר הוא תהליך סטוכסטי עם התנהגות דומה לזו תנועה בראונית. (לפעמים תהליך וינר נקרא "תנועה בראונית", אם כי מדובר בבלבול בין תופעה למודל המתאר אותה)
תהליך וינר הוא גבול הסקאלה של הילוך מקרי בממד 1. זה אומר שאם לוקחים הילוך מקרי עם צעדים קטנים מאוד, מתקבל קירוב לתהליך וינר (ופחות מדויק, לתנועה בראונית). לייתר דיוק, אם גודל הצעד הוא ε, צריך לבצע הילוך באורך "L"/ε2 לעורך וינר משוער של " L ". ככל שגודל הצעד נוטה ל-0 (ומספר הצעדים גדל באופן יחסי) הילוך מקרי מתכנס לתהליך וינר. באופן פורמלי, אם " B " הוא המרחב של כל הנתיבים באורך " L " עם הטופולוגיה המרבית, ואם " M " הוא המרחב של המדידה מעל "B" עם טופולוגיה הנורמה, אז ההתכנסות היא במרחב " M ". באופן דומה, תהליך וינר בכמה ממדים הוא גבול קנה המידה של הילוך מקרי באותו מספר הממדים.
הילוך מקרי הוא פרקטל בדיד (פונקציה עם ממדים שלמים; 1,2...), אבל מסלול תהליך וינר הוא פרקטל אמיתי, ויש קשר בין שניהם. לדוגמה, ביצוע צעדים מהילוך מקרי עד אשר המסלול עושה מעגל ברדיוס r·l (כאשר l הוא אורך הצעד). המספר הממוצע של צעדים אשר הוא מבצע הוא "r"2. עובדה זו היא גרסה דיסקרטית של העובדה שתהליך וינר הוא פרקטל של ממד האוסדורף.
בשני ממדים, המספר הממוצע של הנקודות אשר לאותו ההילוך יש על השפה של מסלולו הוא "r"4/3. זה מתאים לעובדה שהגבול של המסלול בתהליך וינר הוא פרקטל של ממד 4/3, עובדה שחזה בנואה מנדלברוט בעזרת שימוש בסימולציות אבל הוכח רק בשנת 2000 על ידי ג'ורג לורל, עודד שרם, וונדלין ורנר.
תהליך וינר נהנה מהרבה סימטריות על פני הילוך מקרי. לדוגמה, תהליך וינר הוא אינווריאנטי לסיבובים, בעוד הילוך מקרי לא, שכן הרשת הבסיסית היא לא (הילוך מקרי הוא אינווריאנטי לסיבובים ב-90 מעלות, אבל תהליכי וינר הם בלתי משתנה לסיבובים כללים, למשל, 17 מעלות). משמעות הדבר היא כי במקרים רבים, בעיות של הילוך מקרי קלות יותר לפתור על ידי תרגומם לתהליך וינר, לפתור את הבעיה שם, ולאחר מכן לתרגום בחזרה. מצד השני, כמה בעיות קלות יותר לפתור עם הילוכים מקריים בשל אופייה הבדיד.
הילוך מקרי ותהליך וינר יכולים להיות מצומדים, זה בא לידי ביטוי כאשר שניהם באותו מרחב ההסתברות באופן תלוי שמאלץ אותם להיות די קרובים. הצימוד הפשוט ביותר הוא הטבעת Skorokhod, אבל צימודים אחרים, מדויקים יותר קיימים גם כן.
ההתכנסות של הילוך מקרי כלפי תהליך וינר נשלטת על ידי משפט הגבול המרכזי. לחלקיק במיקום ידוע ב"t" = 0, המשפט אומר לנו כי לאחר מספר רב של צעדים בהילוך מקרי עם עצמאות סטטיסטית, המיקום של החלקיק מתפלג לפי התפלגות נורמלית עם שונות:
formula_53
כאשר "t" הוא הזמן שחלף מאז תחילת ההילוך המקרי, formula_54 הוא גודל הצעד של ההילוך המקרי, וformula_55 הוא הזמן שחלף בין שני שלבים רצופים.
זה מתאים לפונקציית גרין של משוואת דיפוזיה אשר שולטת בתהליך וינר, מה שמוכיח כי, לאחר מספר רב של צעדים, מרחק ההילוך המקרי מתכנס לתהליך וינר.
בשלושה ממדים, השונות המקבילה לפונקציית גרין של משוואת דיפוזיה היא:
formula_56
על ידי השוואת כמות זו עם השונות הקשורה למצב של הילוך מקרי, מקבלים את מקדם הדיפוזיה אשר מתאים לתהליך וינר אסימפטוטי אשר עבורו ההילוך המקרי מתכנס לאחר מספר רב של צעדים:
formula_57
נשים לב כי בשני הביטויים של השונות מעל מתאימים להתפלגות הקשורה לווקטור formula_58 המקשר את שני קצוות של ההילוך המקרי, בתלת ממד. השונות הקשורה לכל רכיב formula_59, formula_60 or formula_61 היא רק שליש מערך זה (עדיין בתלת ממד).
לכן עבור דו-ממד:
formula_62
ועבור חד-ממד:
formula_63
הילוך מקרי גאוסיאני.
הילוך מקרי אשר גודל הצעד בו משתנה כתלות בהתפלגות נורמלית, משמש כמודל לנתונים בזמן אמת כגון שווקים פיננסיים. מודל בלק ושולס למשל, מציג נוסחה לאפיון מחירי אופציות המשתמשת בהילוך מקרי גאוסיאנית כהנחת בסיס.
כאן, גודל הצעד היא ההתפלגות נורמלית מצטברת ההפוכה formula_64 כאשר 0 ≤ "z" ≤ 1 הוא מספר אקראי מפוזר באופן אחיד, וμ וσ הם הסטיות הממוצעת והסטנדרטיות של ההתפלגות הנורמלית, בהתאמה.
אם μ אינו אפס, ההילוך המקרי ישתנה בצורה ליניארית. אם vs הוא הערך ההתחלתי של ההילוך המקרי, הערך הצפוי לאחר "n" צעדים יהיו vs + "n"μ.
למקרה המיוחד שבו μ שווה לאפס, אחרי "n" צעדים, התפלגות ההסתברות של מרחק ההזזה ניתנת על ידי "N"(0, "n"σ2), שכאשר "N"() הוא הסימון בהתפלגות הנורמלית, " n " הוא מספר הצעדים, וσ הוא משתנה של ההתפלגות הנורמלית המצטברת ההפוכה כמו שניתן לעיל.
הוכחה: הילוך מקרי גאוסיאני יכולה להיות מיוצג כסכום של סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים ואשר מתפלגים באופן זהה, Xi מההתפלגות הנורמלית המצטברת ההפוכה עם תוחלת ששווה לאפס ו-σ של הפוך המקורי מצטברים התפלגות נורמלית:
formula_65
אבל יש לנו את התפלגות עבור הסכום של שני משתנים בלתי תלויים אשר מתפלגים נורמלית, Z = X + Y, והוא ניתן על ידי:formula_66
במקרה שלנו, μX = μY = 0 ו σ2X = σ2Y = σ2 נקבל:
formula_67
ולכן עבור "n" צעדים יש לנו:
formula_68
לצעדים שהתפלגו על פי כל ההתפלגות עם תוחלת אפס ושונות סופיות (לא בהכרח רק התפלגות נורמלית), שורש ממוצע הריבועים עבור מרחק ההזזה לאחר " n " צעדים מתקבל כ:
formula_69
אבל להילוך מקרי גאוסיאני, זה רק סטיית התקן של ההתפלגות של מרחק ההזזה לאחר " n " צעדים. לפיכך, אם μ שווה לאפס, ומאחר ושורש ממוצע ריבועים (RMS) מרחק ההזזה הוא סטיית תקן אחת, יש הסתברות 68.27% שהמרחק ההזזה rms אחרי " n " צעדים ייפלו בין ± σformula_70. כמו כן, יש הסתברות של 50% שהמרחק ההזזה לאחר " n " צעדים ייפלו בין formula_71.
דיפוזיה אנומלית.
במערכות בעלות חוסר סדר כגון פרקטלים formula_72 לא יכולה להיות פרופורציונלית לformula_11 אלא לformula_74. המעריך formula_75 נקרא מעריך הדיפוזיה האנומלית ויכול להיות גדול יותר או קטן יותר מ-2.
דיפוזיה אנומלית יכולה גם לבוא לידי ביטוי כ-σr2 ~ Dtα כאשר α הוא פרמטר אנומליה.
מספר אתרים שונים.
מספר האתרים השונים אשר ביקר בהם מהלך בודד formula_76 נחקר בהרחבה עבור סריג מממדים 2 ו-3, כמו כן עבור פרקטלים.
כמות זו שימושית לניתוח של בעיות של מילכוד ותגובות קינטית. כמו כן כמות זו קשורה גם לצפיפות הרטט של המצבים
, תהליכי תגובה דיפוזיונית
והתפשטות של אוכלוסיות באקולוגיה.
ההכללה של הבעיה הזו למספר האתרים השונים בהם ביקרו formula_16 הילוכים, formula_78, לאחרונה נלמדה עבור "d" ממדים בסריג אוקלידי.
מספר האתרים השונים בהם ביקרו "N" הולכים אקראיים לא קשור בצורה פשוטה למספר האתרים השונים אשר ביקר בהם כל אחד מההולכים.
וריאציות של הילוכים מקריים.
מספר סוגים של תהליכים סטוכסטיים אשר דומים להילוכים מקריים טהורים כבר נידונו, אבל במקרים של מבנה פשוט מותר להיות כלליים יותר. המבנה "הטהור" יכול להיות מאופיין על ידי צעדים אשר מתפלגים בצורה עצמאית וזהה.
הילוך מקרי בגרפים.
הילוך מקרי באורך "K" על גרף אינסופי "G" עם שורש " 0 " היא תהליך סטוכסטי עם משתנים מקריים formula_79 כך ש formula_80 ו-formula_81 הוא קודקוד הנבחר באופן אקראי מהשכנים של formula_82.
לאחר מכן המספר formula_83 הוא ההסתברות שהילוך באורך "k" המתחילה מ"v' מסתיימת ב"W".
בפרט, אם "G" הוא גרף עם שורש " 0 ", formula_84 היא ההסתברות שלאחר formula_85 צעדים ההילוך המקרי יחזור ל"0".
נניח כעת שהעיר שלנו היא כבר לא רשת ריבוע מושלמת. כאשר השיכור שלנו מגיע לצומת מסוימת הוא בוחר בין הכבישים הזמינים השונים בהסתברות שווה. לכן, אם יש לצומת שבע יציאות השיכור יבחר בכל אחת עם הסתברות של שביעית. זהו הילוך מקרי בגרף. האם השיכור שלנו יגיע לביתו? מתברר שבתנאים לא כל כך קשים, התשובה היא עדיין כן. לדוגמה, אם באורכים של כל אבני הם בין "a" ו "b" (כאשר "a" ו "b" הם כל שני מספרים חיוביים סופיים), אז השיכור כמעט בוודאות יגיע לביתו. נשים לב שאין הנחה שהגרף הוא גרף מישורי, כלומר העיר עשויה להכיל מנהרות וגשרים. דרך אחת להוכיח תוצאה זו היא באמצעות הקשר לרשתות חשמל. ניקח מפה של העיר ונמקם נגד אחד של 0 אוהם בכל אזור. עכשיו נמדוד את "ההתנגדות בין נקודה ואינסוף". במילים אחרות, נבחר מספר "R" וניקח את כל הנקודות ברשת החשמל עם מרחק גדול יותר מ-"R" מהנקודה שלנו ונחבר בניהם. זוהי עכשיו רשת חשמל סופית ואנו יכולים למדוד את ההתנגדות מהנקודה שבחרנו לנקודות המקושרות אם ניקח את " R " עד אינסוף. המגבלה נקראת "ההתנגדות בין נקודה ואינסוף". מתברר שהנ"ל הוא אמיתי (ניתן למצוא הוכחה יסודית בספרו של דויל וסנל - Doyle and Snell):
משפט: גרף הוא בתנועה (לש"מ), אם ורק אם ההתנגדות בין נקודה ואינסוף היא סופית. זה לא חשוב שהנקודה נבחרה אם הגרף מחובר.
במילים אחרות, מערכת בתנועה (לש"מ), צריך רק להתגבר על התנגדות סופית להגיע לאינסוף מכל נקודה. במערכת חוזרת ונשנית, ההתנגדות מכל נקודה לאינסוף היא אינסופית.
אפיון זה של מערכת חוזרת ונשנית ומערכת בתנועה הוא מאוד שימושי, ובמיוחד זה מאפשר לנו לנתח את המקרה של עיר אשר משורטטת במישור עם מרחקים מוגבלים.
הילוך מקרי על גרף הוא מקרה מיוחד של שרשרת מרקוב. שלא כמו שרשרת מרקוב כללית, הילוך מקרי בגרף מקיים "סימטרית זמן" או "הפיכות". באופן כללי, התכונה הזו המכונה גם "תנאי איזון מפורט", משמעותן היא כי ההסתברויות לעבור דרך בכיוון אחד או אחר מקיימת קשר פשוט מאוד בין השניים (אם הגרף הוא גרף רגיל, ההסתברויות שוות). יש למאפיין זה השלכות חשובות.