לפתרון משוואות פולינומיות באמצעות רדיקלים יש מינוח מקביל בתורת גלואה.
תהי formula_3 הרחבת שדות. נאמר שהיא שורשית אם קיים formula_4 כך ש-formula_5 וכן formula_6. נאמר שההרחבה בעלת מגדל שורשים אם קיים מגדל שדות formula_7 כך שכל הרחבה formula_8 היא שורשית.
נאמר שפולינום formula_9 הוא פתיר באמצעות רדיקלים אם קיים לו שורש כך ש-formula_5 בעל מגדל שורשים.
המשפט המרכזי בנושא הוא:
משפט: פולינום formula_11 הוא פתיר לפי רדיקלים אם ורק אם חבורת גלואה של שדה הפיצול שלו פתירה.
בפרט, עבור מספר בר בנייה, נקבל:
משפט: איבר formula_12 הוא בר בנייה אם ורק אם שדה הפיצול של הפולינום המינימלי שלו בעל מגדל ריבועים (כלומר, מגדל שורשים עם הרחבות מסדר 2 כל פעם), אם ורק אם חבורת גלואה שלו היא חבורת-2 (חבורה מסדר חזקת 2).
בפרט, נקבל כי ניתן לבנות מצולע משוכלל עם formula_13 צלעות אם ורק אם ניתן לבנות את שורש היחידה ה-formula_13, אם ורק אם (לפי המשפט) formula_15 חזקת 2, כאשר formula_16 פונקציית אוילר.
כעת, ניתן להציג את הפתרון לבעיית פתרון באמצעות רדיקלים לפולינום ממעלה כללית - עבור formula_17 חבורת גלואה היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית מסדר formula_18, שהיא (וכל תת-חבורותיה) פתירות. לכן כל פולינום ממעלה 4 ומטה פתיר על ידי רדיקלים.
מאידך, לכל מעלה לפחות 5, ניתן תמיד למצוא פולינום עם חבורת גלואה formula_19, ולכן היא לא תהיה פתירה על ידי רדיקלים. בפועל, אפשר למשל לקחת את הפולינום -formula_20, עבור formula_21 ראשוניים. זהו פולינום אי פריק לפי קריטריון אייזנשטיין. יש לו שתי נקודות קיצון, ולכן אם בוחרים נכון את formula_22 נקבל כי יהיו לו בדיוק 3 שורשים ממשיים, ולכן 2 מרוכבים, ולכן יהיו בחבורת גלואה חילוף; היות שיש בה גם מחזור מסדר formula_13 (שכן הפולינום אי פריק, ולכן המעלה מחלקת את סדר החבורה), נקבל סה"כ כי בחבורה יש מחזור וחילוף - ולכן היא כל formula_19.
72 מטרים
72 מטרים (ברוסית: 72 метра) הוא סרט רוסי מסוגת הדרמה בבימויו של ולדימיר חוטיננקו. הסרט יצא לאקרנים בשנת 2004 וזכה בפרס נשר הזהב הרוסי בתור הסרט הטוב ביותר של השנה. הסרט נעשה על פי תסריט מאת אלכסנדר פוקרובסקי.
עלילת הסרט שואבת השראה מאירוע טביעת הצוללת הרוסית קורסק בשנת 2000.
עלילת הסרט.
קציני הצי הרוסי סרן פיוטר אורלוב (מראט בשארוב) וסרן איוואן מוראביוב (דמיטרי אוליאנוב), משרתים בצוללת "סלביאנקה" כבר זמן רב. בעבר הם היו חברים טובים; ב-1986 הגיעו יחדיו לסבסטופול - בסיס האם של צי הים השחור - על מנת לשרת בחיל הים. שם התאהבו שניהם באותה אישה, נלי (צ'ולפן חמאטובה), שבחרה באיוואן וחברותם הגיעה לקצה.
בתחילת שנות ה-90, עם התפרקות ברית המועצות והצי שלה, צוות הסלביאנקה סירב להישבע תחת הדגל האוקראיני והועבר לצי הצפוני. לקראת יציאה לתמרון צבאי, מפקד הצוללת, קולונל, גנאדי יאניצ'ר (אנדריי קראסקו), מכין את משימת התרגיל ולפיה - על הצוללת לבצע אימון בירי טורפדו לעבר סיירת קרב מסדרת קירוב (הסיירת "פיוטר הגדול") ולצלול אל מתחת למים על מנת להיעלם מכל זיהוי ברדאר. במשך 24 שעות על הצוללת לשהות עם אנשי צוותה מתחת לפני הים, כאשר ספינות אחרות של הצי הרוסי ינסו לאתרה - במידה ולא יצליחו, תוכתר המשימה כהצלחה. מיד לאחר מכן על הצוללת לעלות מעל פני הים ולשוב לבסיסה.
אף אחד מאנשי מרכז הבקרה של התרגיל אינם יודעים לאיזה כיוון תצא הצוללת, ואף אחד גם לא מנחש את העתיד לקרות: מוקש ימי שהונח באזור עוד מתקופת מלחמת העולם השנייה, מתקרב לאיטו אל הצוללת ומתפוצץ סמוך לצוללת - כשהצוללת שוקעת למעמקים, נאלצים אנשי צוותה לנסות לשרוד בכל דרך ולהימנע מן הגורל המצפה להם במעמקים.
הביקורת כלפי הסרט.
מבקרי הקולנוע ציינו את הסרט כמרגש ודרמטי והוא זכה לביקורות חיוביות, אך ככל סרט מסוגו לא יכול היה להימנע מן הביקורות השליליות והללו הגיעו מצדם של אנשי רוח אוקראיניים, שטענו כי הסרט מעודד שנאת זרים, בעיקר שנאת אוקראינים מצד הרוסים, בעצם העובדה כי צוות הצוללת סירב לשרת תחת הדגל האוקראיני.
פרסים.
הסרט זכה בפרס נשר הזהב הרוסי בקטגוריות:
שלט רחוב
שלט רחוב הוא סוג של תמרור המשמש לזיהוי כבישים ורחובות, בדרך כלל עבור כבישים שאינם נחשבים לאוטוסטרדות. ניתן למצוא שלטי רחוב בצמתים, בדרך כלל בזוגות המאפשרים זיהוי הרחובות משני מעברי הכביש והמדרכה. שלטי רחוב מודרניים מורכבים על עמודי חשמל או על עמודים שנוצרו על מנת שיורכבו עליהם השלטים. כן ניתן למצוא אותם תלויים מעל צמתים בעזרת תומכת ממעל כמו חוטים או על פילונים. עד לסביבות 1900, שלטי הרחוב היו לעיתים קרובות מורכבים על פינות של מבנים, או אפילו מסותתים במהלך הבנייה, ורבים משלטי הרחוב המיושנים עדיין קיימים בשכונות ותיקות.
תפקיד השלט.
שלט רחוב יכול להצביע על מספר הבתים הנמצאים בקרבת מקום, או כמספור על בניין עצמו. בנוסף, הם יכולים להציג מידע כגון: תיאור קצר של הסיבה להענקת שם השלט (דמות היסטורית, אישיות פוליטית או תרבותית, אדם שקשור לזיכרון הקולקטיבי של הקהילה). פרטים על המחוז או הרובע, לעיתים הטקסט הוא רב-לשוני, כפי שבישראל שלטי רחוב רבים מופיעים בשפות עברית, ערבית ואנגלית, בשלט יכול להופיע אזכור ללוגו או לדגל מקומי.
במרבית הרחובות ישנו תמרור בכל צומת המציין את שמו של הכביש או הרחוב. העיצוב והסגנון של השלט תלוי במחוז בו הוא מופיע. בשלט מופיע שם הרחוב ולעיתים גם פרטים נוספים, כגון מספר הבלוק או שמו של רובע בלונדון בו ממוקם הרחוב. שלטים כאלה הם לעיתים קרובות יעד לונדליזם, ושלטים בעלי שם יוצא דופן או מפורסם במיוחד, עלולים להגנב.
עיצוב השלט.
בדרך כלל, ערכת הצבעים על השלט משקפת את הסטנדרט המקומי (למשל, אותיות לבנות על רקע ירוק נפוצים ברחבי ארצות הברית). עם זאת, במקרים מסוימים, צבע השלט יכול גם לספק מידע. דוגמה אחת ניתן למצוא במיניאפוליס, מינסוטה. בתוך גבולות העיר, כל עורקי הכבישים העיקריים משתמשים בשילוט כחול, כבישי צפון-דרום משתמשים בשילוט ירוק, ומזרח-מערב בשילוט בצבע חום. במקומות אחרים, לעיתים משתמשים בשלטים בגוון כחול או לבן כדי לציין כבישים פרטיים.
שלטי רחוב יכולים להיות מיוצרים בעזרת מגוון רחב של חומרים: מתכת, אבן, קרמיקה, ועוד.
הלוגו של תוכניות הטלוויזיה Sesame Street ורחוב סומסום הוא שלט רחוב עם שם הרחוב עליו.
חפץ
דולי סיטי (הצגה)
מוסד חופש התוכנה
מוסד חופש התוכנה (Software Freedom Conservancy, לגוף אין קשר למוסד לתוכנה חופשית) היא מוסד ללא כוונת רווח אשר מספק תשתית ארגונית למספר מיזמי תוכנה חופשית, כגון Wine - מימוש חופשי למערכת Microsoft Windows וגיט - מערכת ניהול גרסאות מבוזרת. המוסד מאפשר למיזמים, בין השאר, לקבל תרומות. עבור חלקם הוא גם מחזיק נכסים (כגון שמות מתחם). בנוסף לכך, הוא מספק הגנה משפטית חלקית לפעילים במיזם (במסגרת פעילותם במיזם).
מיזם תוכנה יכול להיות חבר אם הוא עוסק בתוכנה חופשית או תיעוד של תוכנה חופשית, וצריך להיות בעל קהילת משתמשים ומפתחים מספיק גדולה.
הוא נוסד ב-3 באפריל 2006 על ידי המרכז המשפטי לחופש התוכנה (Software Freedom Law Center).
ארגונים אחרים.
למיזמים אחרים יש ארגונים ללא מטרות רווח משלהם. לדוגמה, KDE e.V. של פרויקט KDE, קרן גנום של פרויקט גנום וקרן התוכנה של פייתון עבור שפת פייתון. המוסד הזה ומוסדות דומים חוסכים למיזם עבודה מנהלתית רבה.
בהשוואה לקרן התוכנה אפאצ'י ובמיוחד לפרויקט גנו של המוסד לתוכנה חופשית, מוסד חופש התוכנה לא מכתיב כמעט תנאים למיזמים החברים בו (מלבד תנאים בסיסיים, כמו הדרישה שמדובר בתוכנה חופשית).
ארגון תוכנה לטובת הציבור גם הוא קם לפני מוסד חופש התוכנה. הוא מגלה פחות מעורבות במיזמי החברים, ולא מספק שרותי הגנה משפטית.
משוואה ממעלה חמישית
משוואה ממעלה חמישית היא משוואה פולינומית ממעלה חמישית, כלומר מהצורה:
formula_1 כאשר formula_2 הם קבועים.
היסטוריה.
הפתרון למשוואה ממעלה שנייה היה ידוע כבר בעת העתיקה, ובשלהי ימי הביניים נמצאו גם הפתרונות למשוואות ממעלה שלישית ורביעית, באמצעות ארבע פעולות החשבון והוצאת שורש מסדר שני, שלישי ורביעי. הפתרון למשוואה ממעלה רביעית היה מבוסס על רדוקציה למשוואה ממעלה שלישית, אלא ש"רדוקציה" דומה במשוואה ממעלה חמישית הניבה משוואות ממעלה שישית, שעוד יותר קשה לפתור. מתמטיקאים מן השורה הראשונה - לרבות לאונרד אוילר וז'וזף לואי לגרנז' - לא יכלו לאתגר.
ב-1683 מצא צ'ירנהאוס טרנספורמציה המאפשרת להמיר משוואה פולינומית כללית, מהצורה formula_3, במשוואה formula_4, כלומר, משוואה מאותה מעלה ללא המונומים ממעלה n-1, n-2 ו-n-3, כאשר המשתנה החדש z הוא פולינום ממעלה רביעית במשתנה הישן, x, עם מקדמים שהם ביטויים רדיקליים מסובכים במקדמים המקוריים formula_5. שיטה זו, שהייתה ההתקדמות המשמעותית ביותר בחקר המשוואות הפולינומיות מאז פתרון המשוואה ממעלה רביעית מאתיים שנה קודם לכן, מאפשרת להמיר כל משוואה ממעלה חמישית במשוואה מהצורה formula_6. שיטות אלה הביאו את המתמטיקאי השוודי ארלנד ברינג לגלות את רדיקל ברינג, שבאמצעותו אפשר לפתור משוואה ממעלה חמישית במקרים פרטיים רבים.