באנגלית: peach-palm or pewa (טרינידד וטובגו), peyibay(e), ו-pejivalle. בספרדית: pejibaye (בקוסטה ריקה וניקרגואה), chontaduro or chantaduro (בקולומביה ואקוודור), pijuayo (בפרו), pijiguao (בוונצואלה), tembé (בבוליביה), pixbae (יש לבטא: pibá) (בפנמה), ו-cachipay (בקולומביה). בפורטוגזית: pupunheira (העץ), and pupunha (הפרי) (בברזיל).
תיאור.
גובה העץ עד 20 מטר. לכול עץ ייתכנו מספר גזעים. קוטר הגזע 15 עד 30 ס"מ. בראש כל גזע 15 עד 25 כפות. אורך הכפות כמטר וחצי, על בסיס עלה באורך של כמטר אחד. לרוב, בסיס העלה מכוסה קוצים ארוכים וחדים, אך קיימים פנוטיפים ללא קוצים.
הפופוניה פורחת ומניבה לאורך כל השנה, אבל עיקר הפריחה באוגוסט עד דצמבר, והפירות מבשילים מדצמבר עד יולי.
בכל אשכול פרי, בין 50 ל-1,000 פירות. הפירות דמויי טיפה בקוטר של 3-5 ס"מ ובאורך של 4-6 ס"מ, הקליפה בגוונים של ירוק, צהוב, כתום או אדום על פי מידת הבשלות. הציפה בצבע כתום (גם כאשר הקליפה ירוקה).
העץ צומח תחת שמש ישירה, בכל הקרקעות, החל מגובה פני הים ועד לגובה של 800 מטר מעל פני הים. הפופוניה צומחת באופן טבעי באזורים בהם יורדים 1,900 עד 6,000 מ"מ גשם בשנה.
שימושים וחשיבות כלכלית.
הפופוניה היא צמח שניתן לנצל את כל חלקיו, אבל רובם אינם מנוצלים בצורה מסחרית.
בחקלאות האינדיאנית המסורתית, הפופוניה גודלה בעבור פריה, אבל היום, הפופוניה מגודלת בעיקר עבור הפקה של לבבות דקל. לפופניה יתרון בהפקה של לבבות דקל. ניתן לבצע קציר ראשון של לבבות הפופוניה כבר 18 עד 24 חודשים לאחר הנטיעה. אורך הלבבות כ-40 ס"מ והקוטר נע בין 1.5 ס"מ ל-4 ס"מ. כל עץ יכול להוציא עד 15 ייחורים, כך שתפוקת הלבבות לעץ גבוהה. מכל הקטר של פופוניה מפיקים בין 5,000 ל-12,000 לבבות דקל בשנה. התחזית לעליה עולמית בצריכת לבבות דקל הביאה לנטיעה מסיבית של מטעי פופוניה בברזיל מהצפון עד לסאו פאולו.
הפרחים הזכריים, לאחר שהם נושרים, נטחנים ומשמשים לתיבול.
לפירות טעם דומה לתירס טרי, ומרקם דומה לתפוח אדמה מבושל. את הפירות אוכלים לרוב מבושלים במים. מהפרי המבושל ניתן להכין קמח, גלידה, ריבות, מחית, לשלב בתבשילים שונים (כמו עוף בפופוניה ודבש), ומזון לבעלי חיים.
העצה של הפופוניה בצבע חום כהה. היא קשה ודחוסה. ניתן להשתמש בעץ לבניה, יצור חכות, ולהכנת תכשיטים. השורש של הפופוניה משמש כורמיציד (קוטל תולעים). עלי הפופוניה משמשים לסכך, ולקליעה של סלים.
המחאה מעותדת
המחאה בנקאית
המחאת נוסעים
צ'ק דחוי
אלגברת האוקטוניונים של קיילי
במתמטיקה, אלגברת האוקטוניונים היא אלגברת החילוק האלטרנטיבית היחידה מממד 8 מעל שדה המספרים הממשיים. אלגברה זו, שאינה אסוציאטיבית, היא אלגברת האוקטוניונים הידועה ביותר. מקובל לסמן את המבנה באות formula_1.
אלגברת האוקטוניונים קשורה למספר מבנים מתמטיים יוצאי דופן, ובהם חבורות לי מטיפוס formula_2. בנוסף, לאוקטוניונים יש שימושים בתחומים כגון תורת המיתרים ותורת היחסות הפרטית.
היסטוריה.
את האוקטוניונים גילה בשנת 1843 ג'ון ט. גרייבס, חבר של ויליאם המילטון, לאחר שהלה בנה את אלגברת הקווטרניונים של המילטון; גרייבס קרא להם אוקטבות, ושם זה עדיין נמצא בשימוש.
ארתור קיילי גילה את האוקטוניונים באופן בלתי תלוי, ופרסם אותם לראשונה בשנת 1845. האוקטוניונים מוכרים לעיתים כמספרי קיילי.
הגדרה.
האוקטוניונים הם, כאמור, אלגברה מממד 8 מעל שדה המספרים הממשיים. כל אוקטוניון הוא צירוף ליניארי של אוקטוניוני היחידה formula_3, כלומר, כל אוקטוניון אפשר לכתוב בצורה formula_4, כאשר formula_5 הם מקדמים ממשיים.
חיבור אוקטוניונים מתבצע על ידי חיבור המקדמים. הכפל נקבע לפי לוח הכפל של אוקטוניוני היחידה (הגורמים משמאל הוא זה המוצג בראש השורה):
כך אפשר לראות שאלגברת האוקטוניונים אינה קומוטטיבית (formula_6) ואינה אסוציאטיבית (formula_7). בחירת הבסיס אינה קנונית - בסיסים סטנדרטיים אחרים נבדלים מן הבסיס שהוצג לעיל בסדר האיברים ובסימן המכפלות.
בניית קיילי-דיקסון.
אפשר לבנות את האוקטוניונים באופן שיטתי, מאלגברת הקווטרניונים של המילטון, באמצעות בניית קיילי-דיקסון. בבניה זו, כפי שמספרים מרוכבים הם זוגות של מספרים ממשיים וקווטרניונים הם זוגות של מספרים מרוכבים, כל אוקטוניון הוא זוגות של קווטרניונים. החיבור, כתמיד, הוא לפי רכיבים. כפל של שני זוגות קווטרניונים formula_8 ו-formula_9 מתבצע כך:
formula_10
כאשר formula_11 מסמל את הצמוד של הקווטרניון formula_12. הגדרה זו שקולה לקודמת, כאשר אוקטוניוני היחידה הם:
formula_13.
מישור פאנו.
עזר זיכרון נוח שמאפשר לזכור את המכפלות של אוקטוניוני היחידה נתון בדיאגרמה שלהלן. דיאגרמה זו בעלת 7 נקודות ו-7 קווים (המעגל בין i, j ו-ij נחשב כקו) נקראת מישור פאנו. לקווים יש כיוון בדיאגרמה זאת. שבע הנקודות מתאימות לשבעת גורמי הבסיס של formula_14. כל זוג נקודות נמצא על קו יחיד, ועל כל קו יש בדיוק שלוש נקודות.
ניקח formula_15 בתור שלישיית נקודות שנמצאות על קו ומסודרות לפי כיווני החצים. הכפל מתבצע על ידי
formula_16 וגם formula_17
ביחד עם תמורה מחזורית. כלל זה ביחד עם:
מגדירים לגמרי את מבנה הכפל של האוקטוניונים. כל קו יוצר תת-אלגברה של formula_1 שהיא איזומורפית לאלגברת הקווטרניונים. למעשה, כל תת-אלגברה של formula_1 היא אחת מאלגברות ההרכב formula_21, formula_22, או formula_23.
הצמדה, נורמה והיפוך.
הצמוד של אוקטוניון
formula_24
נתון על ידי:
formula_25
ההצמדה היא אינוולוציה: formula_26, ו- formula_27.
החלק הממשי של formula_28 מחושב על ידי formula_29, והחלק המדומה (השבעה-ממדי) - על ידי formula_30.
הנורמה באלגברת האוקטוניונים מוגדרת לפי formula_31, וזהו תמיד מספר ממשי לא-שלילי: formula_32. (לפעמים מעוניינים בשורש של הנורמה האלגברית, שהוא האורך של הווקטור במרחב האוקלידי השמונה-ממדי).
למרות שהאלגברה אינה אסוציאטיבית, הנורמה היא פונקציה כפלית, וכך נעשית אלגברת האוקטוניונים אלגברת הרכב. עובדה זו אחראית במידה רבה לנוסחת הכפל הפולינומית עבור סכומים של שמונה ריבועים (ראו משפט הורוויץ על תבניות ריבועיות; נוסחת כפל רציונלית נובעת מכך שסכום הריבועים הוא תבנית פיסטר). הנורמה גם מאפשרת לחשב את ההפכי לכל איבר: ההופכי של formula_33 נתון על ידי: formula_34.
מרב העתיקה
מרב (טורקמנית Mary; רוסית Мерв; מפרסית مرو) הייתה עיר ונווה מדבר בטורקמניסטן במרכז אסיה, ששכנה על דרך המשי. בעבר נקראה מרגיאנה, אלכסנדריה ואנטיוכיה במרגיאנה (יוונית Αντιόχεια της Μαργιανήs). מספר תרבויות הקימו יישובים באתר, וקיימת השערה שבמהלך המאה ה-12 הייתה מרב העיר הגדולה בעולם. האתר כולל מספר מתחמים סמוכים זה לזה, שכל אחד מהם הוקף בחומה והיה מאוכלס בתקופה אחרת, ועם נטישתו לא אוכלס שוב, אלא מתחם חדש הוקם תחתיו. ארבע ערים מבוצרות חשובות הוקמו במרב לאורך ההיסטוריה שלה:
סביב ארבעה מתחמים אלה שוכנים מבנים רבים נוספים, והשטח כולו נכלל בפארק הארכאולוגי של מרב. בשנת 1999 הוכרזה מרב העתיקה כאתר מורשת עולמית.
גאוגרפיה.
העיר שוכנת בנווה מדבר ששטחו כ-5,000 קמ"ר בדלתת נהר מורגאב. היוונים כינו את הנהר בשם מרגיאנה, והוא זורם מהרי הינדו-כוש צפונה דרך המדבר קאראקום. מיקומה בדלתה העניק לעיר שני יתרונות: ראשית שימש הנהר כעורק תחבורה נוח מהאזור ההררי של אפגניסטן מדרום ועד למדבריות קאראקום ולעבר נהר אמו דריה שמצפון; ושנית, הנהר שימש כמקור מים ליישוב, והיה לנקודת עצירה טבעית בשערי המדבר לאורך דרך המשי. העיר ממוקמת על צומת דרכים חשוב המובילות צפונה לבוכרה ולסמרקנד, מערבה לאשגבאט ודרומה לעבר אפגניסטן ולאיראן.
היסטוריה.
תקופת הברונזה.
החפירות הארכאולוגיות באזור מראות על התיישבות במקום כבר באלף השלישי לפנה"ס. ההתיישבות הקדומה במקום במהלך תקופת הברונזה, היינו בין השנים 2500 עד 1200 לפנה"ס, קמה בחלקו הצפוני של נווה המדבר, הקרוב יותר אל מקורות המים. באזור זה התגלו תילים - קללי (Kelleli), אג'י-קוי (Adji Kui), טאיפ (Taip), תל גונור (Gonur depe) וטוגולוק (Togoluk):
עם השיפור באמצעי ההשקיה והובלת המים, התפשטו היישובים דרומה והרחק מגדות הנהר.
תקופת הברזל.
מתקופה זו שני מתחמים חשובים:
התקופה העירונית - ארג קלה וגאיור קלה.
המרכז העירוני ההיסטורי התפתח מזרחית לנווה המדבר בסביבות שנת 500 לפנה"ס. הוא הורכב ממספר ערים מבוצרות סמוכות, והשתרע על שטח של יותר מ-12,000 דונם. החשובה שבערים אלה - ארק קלה (Erk Kala - "מצוקת ארק") נזכרה במספר מקורות כתובים בתקופת הממלכה האחמנית, והידוע שבהם הוא כתובת ביסותון של דריווש הראשון שנחקקה בסלע על מורדותיו של הר במערב איראן. מתחם ארג קלה מוגן על ידי חומות ותעלה, שגוננו על מבצר שנישא לגובה של עד 30 מטר, ארמונות, מקדשים ובתי מגורים. מרב הייתה לחלק ממלכתו של אלכסנדר מוקדון, ופליניוס הזקן טען כי העיר ההלניסטית הוקמה על ידי אלכסנדר עצמו. באותה עת שונה שמה של העיר לאלכסנדריה, אך לא ברור אם אלכסנדר אכן ביקר בה.