בהתבסס על עבודה של מרק גורצקי ורוברט מקפרסון תיארו יוסף ברנשטיין, אלכסנדר בילינסון ופייר דלין את התת-קטגוריה של הקטגוריה הנגזרת של אלומות קונסטרוקטביליות המתאימה ל-formula_343-מודולים תחת שקילות רימן-הילברט. קטגוריה זאת של אלומות נקראת קטגורית האלומות הסוטות. האובייקטים בקטגוריה זאת אינן אלומות אלא קומפלקסים מסוימים של אלומות. ברנשטין, בילינסון ודלין הגדירו גם אנלוגים של קטגוריה זאת עבור אלומות formula_309-אדיות ואלומות וייל. לא ניתן לתאר אנלוגים אלו בעזרת formula_343-מודולים מכיוון ששקילות רימן הילברט לא תקפה כאשר formula_359.
לעיתים קרובות, אלומות סוטות מתנהגות טוב יותר תחת ששת הפנקטורים של גרותנדיק (הפעולות הסטנדרטיות עם אלומות: דחיפה, משיכה וכדומה) מאשר אלומות קונסטרוקטביליות (למשל במשפט הפירוק
). כמו כן לקטגורית האלומות הסוטת יש תכונות טובות יותר בתור קטגוריה אבלית מאשר לקטגורית האלומות קונסטרוקטביליות. למשל כל אלומה סוטה היא מאורך סופי. יתרון מובהק נוסף של האלומות הסוטות היא בנייה הנקראת הרחבה סוטה. בנייה זאת מבוססת על העובדה שלכל אלומה סוטה בלתי-פריקה על תת-יריעה formula_360 קיימת ויחידה אלומה סוטה בלתי-פריקה המרחיבה אותה על formula_361. בנייה זאת משמשת לבניית אלומות סוטות מעיניניות רבות, למשל אלומות קרקטרים של לוסטיג.
הגדרות אלטרנטיביות.
בספרות קיימות מספר דרכים נוספות להגדיר יריעה אלגברית.
אטלסים ומפות.
ניתן להגדיר יריעה אלגברית בצורה דומה לזו המקובלת בטופולוגיה דיפרנציאלית עבור יריעות חלקות. גם בצורה זאת יריעה תהיה מרחב טופולוגי עם מבנה נוסף, רק שמבנה זה יהיה אטלס במקום אלומת פונקציות.
כל מפה באטלס תתאים לקבוצה פתוחה אפינית.
דרך זאת מעלה מספר קשיים מכיוון שחיתוך של שתי קבוצות אפיניות איננה בהכרח אפיניות, פונקציות המעבר הן בין קבוצות לא אפיניות. לכן יש צורך להגדיר מורפיזמים של קבוצות קווזי אפיניות לפני שמגדירים יריעה כללית. מסיבה זאת ומסיבות היסטוריות דרך הגדרה זאת איננה פופולרית.
כמקרה פרטי של סכמות.
מנקודת מבט מודרנית ניתן לראות ביריעות אלגבריות מקרה פרטי של סכמות. נקודת מבט זאת מולידה הגדרה אלטרנטיבית של יריעות אלגבריות: יריעה אלגברית היא סכמה המקיימת תכונות מסוימות (מצומצמת ומטיפוס סופי מעל formula_1). מצב זה עלול ליצור בלבול, מכיוון שההגדרה המקובלת של סכמה גם כן מבוססת על מושג המרחב הטופולוגי: סכמה היא מרחב טופולוגי עם מבנה נוסף. אולם המרחב הטופולוגי המתאים ליריעה formula_29 שונה מהמרחב הטופולוגי המתאים ל-formula_29 כאשר חושבים עליה כעל סכמה. לדוגמה אם formula_29 איננה מממד formula_366 אז המרחב הטופולוגי המתאים אליה כסכמה אינו מקיים את אקסיומת ההפרדה formula_367.
בלבול זה גורם בתורו לבלבול בהגדרת מושג הספקטרום. עבור כל k-אלגברה קומוטטיבית עם יחידה נוצרת סופית וללא נילפוטנטים formula_33 קיימת ויחידה (עד כדי איזומורפיזם קנוני) יריעה אלגברית אפינית כך ש: formula_369. יריעה זאת נקראת formula_370. כאמור המרחב הטופולוגי המתאים ליריעה זאת תלוי בשאלה האם אנו חושבים עליה כעל יריעה או סכמה. לכן כדי למנוע בלבול זה, אם רוצים לחשוב עליה כעל יריעה מסמנים את המרחב הטופולוגי המתאים ב formula_371 ואם רוצים לחשוב עליה כעל סכמה מסמנים formula_372. האות formula_373 באה מהעוֹבדה שיש התאמה בין הנקודות של formula_371 לאידיאלים מקסימליים ב-formula_33 והאות formula_376 באה מהעוֹבדה שיש התאמה בין הנקודות של formula_372 לאידיאלים ראשוניים ב-formula_33. בדרך כלל הסימון formula_379 מסמן את formula_380.
כפונקטורים מיוצגים.
עבור יריעה אלגברית formula_29 מעל formula_1, ו-formula_1-אלגברה קמוטטיבית עם יחידה נוצרת סופית וללא נילפוטנטים formula_33, ניתן להגדיר את קבוצת הנקודות של formula_29 מעל formula_33 על ידי formula_387, כאשר formula_388 מסמן את קבוצת המורפיזמים בין שתי יריעות. כאשר formula_29 יריעה אפינית אז formula_390 היא קבוצת הפתרונות של מערכת המשוואות המגדירה את formula_29 כאשר המשתנים רצים ב-formula_392 במקום ב-formula_11.
הפונקטור formula_394 נקרא פונקטור הנקודות של formula_29. ניתן לשחזר את היריעה formula_29 מפונקטור הנקודות שלה. טענה זאת היא מעין גרסה חזקה של הלמה של יונדה (Nobuo Yoneda). לכן נתן להגדיר יריעה אלגברית בתור פונקטור מקטגורית ה-formula_1-אלגבראות קמוטטיביות עם יחידה הנוצרות סופית וללא נילפוטנטים לקבוצות המקיימים תנאים מסוימים.
גישה זאת אבסטרקטית למדי ולכן אינה פופולרית עבור יריעות אלגבריות, אך היא משמשת לעיתים כדי להגדיר סכמות, והיא הגישה המקובלת כדי להגדיר הכללות של מושג הסכמה כמו מרחב אלגברי וסטקים אלגבריים.
הכללות.
עבור שדות לא סגורים אלגברית.
ניתן להגדיר יריעה אלגברית מעל שדה formula_1 גם כאשר formula_1 אינו סגור אלגברית.
עבור שדות מושלמים.
באופן כללי, כאשר formula_1 שדה מושלם אחת הדרכים לחשוב על אובייקטים מעל formula_1 היא בתור אובייקטים מעלֹ הסגור האלגברי formula_402 ביחד עם פעולה של חבורת גלואה formula_403 שאינה שומרת בדיוק על המבנה של האובייקט מעל formula_402 אך משנה אותו בצורה המושרת מהפעולה של formula_403 על formula_402.
באופן מפורש כאשר formula_1 שדה מושלם ניתן להגדיר יריעה אלגברית מעל formula_1 בתור יריעה formula_29 מעל formula_402 יחד עם פעולה formula_411 של formula_403 על formula_413 כך שעבור כל formula_414 ההעתקה formula_415 מקיימת:
עבור שדות כלליים.
כאשר formula_1 אינו מושלם הגדרה זאת איננה מספקת. לדוגמה אם formula_1 סגור ספרבילית אז formula_403 טריוויאלית, אך אין זה הגיוני להגדיר יריעה אלגברית מעל formula_1 כמושג המתלכד עם יריעה אלגברית מעל formula_402. יש מספר דרכים להגדיר יריעה אלגברית גם במקרה זה. אולם בדרך כלל נהוג לטפל במקרה זה כמקרה פרטי של סכמות.
סכמות.
אף על פי שמושג היריעה האלגברית כללי למדי, יש למושג זה מספר מגבלות:
כדי להתמודד עם מגבלות אלה פיתח גרותנדיק את מושג הסכמה. כדי להבין את ההבדל בין סכמות ויריעות אפשר להסתכל תחילה על המקרה האפיני. סכמות אפיניות, כמו יריעות אפיניות מוגדרות על ידי חוג הפונקציות עליהם, אלא שבמקרה של סכמה מסירם את רוב ההגבלות מחוג זה. ראשית לא דורשים שהוא יהיה נוצר סופית מעל שדה, זה מאפשר להתמודד עם מגבלות 1,2 למעלה. שנית מאפשרים לו להכיל נילפוטנטים, זה מאפשר להתמודד עם מגבלה 3. הסרת מגבלת הנילפוטנטים גורמת לכך שהחוג כבר לא חוג פונקציות. לכן כאשר מגדירים סכמה כללית לא מגדירים אותה בתור מרחב טופולוגי עם אלומת פונקציות אלה בתור מרחב טופולוגי עם אלומה של אלגבראות אבסטרקטיות. מבנה כזה נקרא מרחב מחויג.
לויתור על הנוצרות סופית של חוג הפונקצוית הרגולריות ישנן השלכות. כאשר מתאימים לאלגברה יריעה אפינית, משתמשים בספקטרום המקסימלי שלה, זאת אומרת אוסף האידיאלים המקסימליים שלה, בעוד שכשמתאימים לחוג סכמה אפינית, משתמשים בספקטרום הראשוני שלו, זאת אומרת אוסף האידיאלים הראשוניים שלו. הצורך להשתמש בספקטרום ראשוני נובע מכך שבהינתן העתקה בין חוגים כלליים (לאו דווקא נוצרים סופית מעל שדה) אין זה נכון שתמונה הפוכה של אידיאל מקסימלי היא אידיאל מקסימלי, אבל נכון שתמונה הפוכה של אידיאל ראשוני היא אידיאל ראשוני.
הבדל נסף בין סכמות ליריעות הוא הוויתור על הדרישה שהכיסוי של סכמה על ידי סכמות אפיניות היה סופי. דורשים רק קיום של כיסוי פתוח על ידי סכמות אפיניות. ויתור זה אינו פועל יוצא של אחת המגבלות שתוארו מעלה, אלה בא לאור העבדה שסכמות הן מושג מאוד כללי ולכן מוותרים על כל ההגבלות שאינן הכרחיות.
סכמות בעלות כיסוי סופי כזה נקראות סכמות קווזי-קומפקטיות. במקרים רבים כשחוקרים סכמות מצמצמים את הדיון לסכמות קווזי-קומפקטיות, מכיוון שמשפטים רבים אינם תקפים לסכמות שאינן קווזי-קומפקטיות.
הכללות נוספות.
גם למושג הסכמה יש מגבלות, לדוגמה, אין מושג של סכמת מנה של סכמה על פי יחס שקילות. אפילו כאשר היחס שקילות בעל תיאור מגאומטריה אלגברית, ואפשר לצפות משיקולים גאומטריים שמנה כזאת צריכה להיות, למשל כאשר מדובר במנה של סכמה על פי פעולה חופשית של חבורה סופית (שפועלת על ידי העתקות אלגבריות). כדי להתמודד עם מגבלה זאת פותח המושג מרחב אלגברי.
גם הכללה זאת איננה המילה האחרונה. המושג סטק אלגברי מהווה הכללה שלו. הכללה זאת לא נועדה כדי להרחיב את האובייקטים הגאומטריים שעליהם אפשר לדבר, אלה כדי להוסיף מידע נוסף (שאינו לחלוטין גאומטרי) ליריעה. באופן אינטואיטיבי, סטק אלגברי הוא גרופואיד אשר על אוסף האובייקטים שלו יש מבנה של יריעה אלגברית (או באופן כללי יותר מרחב אלגברי). בשונה מיריעות, סכמות ומרחבים אלגבריים, אוסף הסטקים האלגבריים אינו מהווה סתם קטגוריה, אלא 2-קטגוריה.
מקרה פרטי חשוב של סטק אלגברי שמכליל את המושג מרחב אלגברי הוא סטק דלין-ממפורד.
מתחילת המאה ה-21 כאשר מושג ה-formula_432-קטגוריה תפס תאוצה בזכות עבודותיהם של יעקב לוריא (Jacob Lurie) ואחרים, הכלל מושג הסטק האלגברי למושג ה-formula_5-סטק ו-formula_432-סטק. לעיתים מכנים formula_5-סטק בשם formula_42-סכמה, כך שאפשר לקרוא ל-formula_432-סטק גם formula_432-סכמות. אוסף ה-formula_432-סטקים אינו מהווה סתם קטגוריה, אלא formula_432-קטגוריה.
מושג ה-formula_432-קטגוריה הוליד גם הכללה של formula_432-סטקים והיא formula_432-סטקים נגזרים. הטבלה הבאה נועדה להסביר את האופי של הכללה הזאת:
מושגים מקבילים.