החוקים למעלה יהיו לא נכונים (או יצריכו ניסוח מסורבל) אם אפס יוחרג מקבוצת המספרים הזוגיים.
המחשת הזוגיות של אפס.
ניתן גם להסביר למה אפס הוא זוגי בלי לעשות שימוש בהגדרות רשמיות. ההסברים שלהלן מנסים לגרום להבנה לגבי הסיבה שאפס הוא מספר זוגי במובנים של עקרונות בסיסיים במספרים. מיסודות אלו ניתן לספק הסבר הגיוני להגדרה עצמה - והחלתה עבור המספר אפס.
מספרים משמשים אותנו לצורכי ספירה: בהינתן קבוצת עצמים, משתמשים במספרים על מנת לתאר כמה עצמים נמצאים בקבוצה. אפס הוא המונח המשמש אותנו להגיד ש"אין עצמים"; או במינוח רשמי יותר, אפס הוא מספר העצמים בקבוצה ריקה. הרעיון של הזוגיות נוצר על מנת לאגד קבוצות של שני עצמים. אם ניתן לחלק את העצמים בקבוצה לקבוצות של 2, אז מספר העצמים בקבוצה זוגי. אם ישנו עצם שנשאר ללא בן זוג, אז מספר העצמים בקבוצה אי-זוגי. הקבוצה הריקה כוללת אפס קבוצות של שני עצמים, ואין עצם שנשאר לא מצוות, ולכן מספר איבריה הוא זוגי, היינו אפס הוא זוגי.
רעיונות אלו יכולים להיות מומחשים על ידי שרטוט עצמים בזוגות. קשה לנסות לתאר אפס קבוצות של שתיים, או להדגיש את חוסר הקיום של עצם שנשאר, כך שנוח לצייר קבוצות אחרות ולהשוות אותן לקבוצה של אפס. לדוגמה, בקבוצה של חמישה עצמים יש שני זוגות. חשוב מכך, יש שם עצם שנשאר, ולכן 5 זה מספר אי-זוגי. בקבוצה של ארבעה עצמים אין עצמים שנשארו, ולכן 4 הוא זוגי. בקבוצה של עצם אחד יש עצם אחד שנשאר, ולכן 1 הוא אי-זוגי. בקבוצה של אפס עצמים אין עצמים שנשארו, ולכן 0 הוא זוגי.
ישנה הגדרה נוספת לזוגיות: אם העצמים בקבוצה יכולים להיות מונחים בשתי קבוצות בגודל שווה, אז מספר העצמים זהה. הגדרה זו זהה להגדרה הראשונה. שוב, אפס זוגי מכיוון שהקבוצה הריקה יכולה להיות מחולקת לשתי קבוצות של אפס עצמים כל אחת.
מספרים יכולים להיות מצוירים כנקודות על ציר המספרים. כאשר מספר זוגי ומספר אי-זוגי נבדלים זה מזה, התבנית נהפכת לברורה, במיוחד אם כוללים את המספרים השליליים:
לא משנה מאיזה מספר זוגי נתחיל, אם נספור לכיוון מעלה או למטה בקפיצות של שתיים נגיע למספר זוגי. אין סיבה לדלג על אפס.
נוכל גם להוכיח את הזוגיות של אפס בדרך קצת יותר רשמית בעזרת כפל וביטויים אריתמטיים. כל מספר שלם יכול להבנות בעזרת התבנית או בעזרת התבנית התבנית הראשונה יוצרת מספרים זוגיים, והתבנית השנייה יוצרת מספרים אי-זוגיים. לדוגמה, המספר 1 הוא אי-זוגי כיוון ש- והמספר 0 הוא זוגי כיוון ש-. בניית טבלה של העובדות הללו תחזק את הטענה של תמונת ציר המספרים המופיעה מעלה.
הקשרים מתמטיים.
אינספור תוצאות בתורת המספרים משתמשות במשפט היסודי של האריתמטיקה ובתכונות האלגבריות של מספרים זוגיים, כך שיש לבחירות שכתובות למעלה השלכות מרחיקות לכת. לדוגמה, העובדה שניתן לפרק לגורמים מספרים שלמים חיוביים בדרך אחת בלבד משמעה שניתן להכריע האם למספר כלשהו יש מספר מחלקים זוגי או אי-זוגי. מכיוון ש-1 אינו מספר ראשוני ואין לו מחלקים, הוא מכפלה של אפס מספרים ראשוניים שונים. מכיוון ש-0 הוא מספר זוגי, ל-1 יש מספר זוגי של מחלקים שונים. מכאן ניתן להגיד שפונקציית מביוס יכולה לקבל את הערך , דבר שהכרחי עבורה כדי להיות פונקציה כפלית ודבר הכרחי על מנת שנוסחת ההיפוך של מביוס תעבוד.
לא אי-זוגי.
המספר "n" הוא אי-זוגי אם יש מספר שלם "k" כך ש- . דרך אחת להוכיח שאפס אינו אי-זוגי היא על דרך השלילה: אם אזי , שהוא אינו מספר שלם. כיוון שאפס הוא לא אי-זוגי, אם מוכח שמספר כלשהו הוא אי-זוגי, מספר זה אינו יכול להיות אפס. בדיקה פשוטה זו יכולה לספק הוכחה משכנעת למדוע מספר כלשהו אינו אפס.
טענה מוכרת בתורת הגרפים היא שלגרף מסדר אי-זוגי (בעל מספר אי-זוגי של צמתים) תמיד יהיה לפחות צומת אחד בדרגה זוגית. על מנת שהטענה תתקיים, אפס חייב להיות זוגי: גרף ריק הוא מסדר זוגי, ולצמתים מבודדים יש דרגה זוגית. על מנת להוכיח את הטענה, קל יותר להוכיח טענה חזקה יותר: לכל גרף מסדר אי-זוגי יש מספר "אי-זוגי" של צמתים בדרגה זוגית. ההסבר לתופעה זו מונח בטענה כללית אפילו יותר, הידועה גם כלמת לחיצות הידיים: לכל גרף יש מספר זוגי של צמתים מדרגה אי-זוגית. ניתן להסביר את המספר הזוגי של צמתים מדרגה אי-זוגיים בעזרת נוסחת סכום הדרגות
בחינוך.
הנושא של הזוגיות של אפס מטופל לרוב בשנתיים-שלוש הראשונות של חינוך יסודי, ומוצג כחלק מהעקרון ופיתוח ההבנה של מספרים זוגיים ואי-זוגיים.
בקיאות תלמידים.
התרשים משמאל מתאר את אמונותיהם של ילדים על זוגיות המספר אפס, תוך כדי שהם מתקדמים מהשנה הראשונה ועד השנה השישית במערכת החינוך. הנתונים מבוססים על מחקריו של לן פרובישר, שערך סקרים בקרב תלמידי בית ספר ששפתם אנגלית. פרובישר התעניין באיך ידע על זוגיות במספרים חד-ספרתיים מתורגם להבנת זוגיות במספרים רב-ספרתיים, ואפס בלט במיוחד בתוצאות.
בסקר מקדים שערך בקרב 400 תלמידים בני שבע, 45% העדיפו "זוגי" על "אי-זוגי" כשנשאלו על הזוגיות של אפס הסקר שאחריו הציע יותר אפשרויות: "אף אחד מהם", "שניהם" ו"לא יודע". בניסוי זה אחוז הילדים באותו טווח גילאים שזיהו את אפס כזוגי צנח ל-32%. הצלחה בהחלטה שאפס הוא זוגי מתחילה לזנק לרמות של בערך 50% בשנה השלישית ללימודים ועד השנה השישית בחינוך היסודי. לשם השוואה, המשימה הקלה ביותר, לזהות את הזוגיות של מספר חד-ספרתי בודד, מצליחה ב-85%.
בראיונות, פרובישר ניסה לעורר את החשיבה של התלמידים. אחד מהחניכים בשנה החמישית ללימודיו החליט ש-0 הוא זוגי מכיוון שהוא נמצא בעמודה של 2 בלוח הכפל. שני תלמידים בשנה הרביעית ללימודיהם הבינו שאפס יכול להיות מחולק ל-2 חלקים שווים. אחד נוסף טען ש"1 הוא אי-זוגי ואם אני סופר לכיוון מטה זה זוגי". הראיונות חשפו גם את התפיסות המוטעות שבבסיס התשובות הלא נכונות. תלמיד בשנה השנייה ללימודיו התייחס ל-0 כאל "כלום" וחשב שהוא לא זוגי ולא אי-זוגי, מכיוון ש"הוא לא מספר". במחקר נוסף, אנני קית' צפתה בכתה של 15 תלמידי השנה השנייה ששכנעו אחד את השני שאפס הוא מספר זוגי בהתבסס על התחלפות הזוגיות בספירה מלמעלה למטה והאפשרות לחלוקת קבוצה של אפס עצמים לשתי קבוצות שוות.
מחקרי עומק נוספים בוצעו על ידי אסתר לוינסון, פסיה צמיר, דינה תירוש, שראיינו זוג של תלמידים מצטיינים בשנה השישית ללימודיהם. אחד מהתלמידים העדיף הסברים דדוקטיביים לטענות מתמטיות, בזמן שהשני העדיף דוגמאות מעשיות. שני התלמידים תחילה חשבו ש-0 אינו אי-זוגי וגם לא זוגי, מסיבות שונות. לוינסון ושותפיה הדגימו איך ההיגיון של התלמידים שיקף את העקרונות שלהם אודות אפס וחלוקה.
דבורה לוונברג בל ניתחה את רעיונותיהם של התלמידים בשנה השלישית אודות מספרים זוגיים, אי-זוגיים ואפס, עליהם דיברו עם קבוצה של תלמידים בשנה הרביעית ללימודיהם. התלמידים שוחחו על הזוגיות של אפס, החוקים של מספרים זוגיים וכיצד עושים מתמטיקה. לטענות על המספר אפס היו צורות רבות, כמו שתוכלו לראות ברשימה מימין. בל ועמיתיה טענו שדבר זה מראה איך תלמידים יכולים "לעשות מתמטיקה בבית הספר", בניגוד לשיטת הרידוד של פתרון מכני של תרגילים.
אחד מהנושאים הנדונים במחקרים הכתובים הוא המתח בין תפיסות העולם וההגדרות של התלמידים את הזוגיות. התלמידים בשנה השישית ללימודיהם מהמחקרים של לוינסון ושותפיה הגדירו מספרים זוגיים ככפולות של 2 או מספרים המתחלקים ב-2, אך הם לא הצליחו בהתחלה להחיל את ההגדרה הזו על אפס, מכיוון שהם לא היו בטוחים איך להכפיל או לחלק אפס ב-2. המראיין לבסוף עזר להם להבין שאפס הוא מספר זוגי; התלמידים לקחו דרכים שונות כדי להגיע למסקנה הזו, תוך שהם מסתמכים על שילוב של תמונות, הגדרות, הסברים פרקטיים והסברים מופשטים.
בקיאות מורים.
חוקרים להוראת המתמטיקה באוניברסיטת מישיגן כללו את פסוקית האמת או שקר "0 הוא מספר זוגי" בקבוצה של מעל 250 שאלות שעוצבו על מנת למדוד את הידע של המורים בתוכן של המלמדים. עבורם, השאלה הדגימה "עובדה ידועה ... שכל מבוגר משכיל צריך לדעת", ושמדובר ב"שאלה נייטרלית מבחינה אידאולוגית" שהתשובה לא משתנה בין שיטות לימוד שונות של מתמטיקה. במחקר שנערך בשנים 2000–2004 שכלל 700 מורי יסודי בארצות הברית, ביצועיהם של המורים חזו בצורה ברורה שיפור במבחנים פסיכומטריים של תלמידים שלקחו שיעורים ממורים אלו. במחקר מעמיק יותר שנעשה בשנת 2008, החוקרים מצאו בתי ספר שבהם כל המורים חשבו שאפס הוא לא מספר זוגי ולא מספר אי-זוגי, כולל מורה שהיה מופתי בכל המדדים האחרים. התפיסה המוטעית הופצה על ידי מורה למתמטיקה בבניין שלהם.
לא ידוע כמה מורים מחזיקים בתפיסות מוטעות לגבי אפס. המחקרים במישיגן לא פרסמו מידע עבור שאלות ספציפיות. בטי ליכטנברג, פרופסור לחינוך מתמטי באוניברסיטת דרום פלורידה, דיווחה במחקר מ-1972 שכאשר קבוצה של מורים קיבלו מבחן של אמת-או-שקר כולל הסעיף "אפס הוא מספר זוגי", הם מצאו אותו כ"שאלה מכשילה", כאשר שני שלישים מתוכם ענו "שקר".
השלכות בהוראה.