כל פולינום formula_5 בעל מקדמים בשדה F אפשר לפצל בשדה מתאים, לפעמים גדול יותר (לדוגמה, לפולינום רציונלי או ממשי כל הפתרונות נמצאים בשדה המספרים המרוכבים). אם הפולינום מתוקן ממעלה n, מגדירים את הדיסקרימיננטה שלו להיות המכפלה
כאשר formula_7 הם שורשי הפולינום. אם המקדם המוביל של הפולינום הוא formula_8, יש להכפיל את התוצאה ב- formula_9. בפרט, הדיסקרימיננטה שווה לאפס אם ורק אם יש לפולינום שורשים חוזרים.
מכיוון שהחלפת סדר השורשים אינה משנה את formula_10, נובע מן המשפט היסודי של תורת גלואה ש- formula_11. זו הסיבה לכך שקיימת נוסחה פולינומית לחישוב הדיסקרימיננטה מתוך המקדמים של הפולינום. כאשר חושבים על חבורת גלואה כתת-חבורה של חבורת התמורות של השורשים, מתברר ש- formula_12 אם ורק אם חבורת גלואה מוכלת בחבורת התמורות הזוגיות.
כאשר f הוא פולינום שמקדמיו שייכים לחוג נתון (כגון, המספרים השלמים), הדיסקרימיננטה שלו שייכת לאידיאל הנוצר על ידי f והנגזרת שלו, formula_13 (ראו גם: רזולטנט).
דיסקרימיננטה של פולינום ריבועי.
משוואה ריבועית מהצורה formula_14 (כאשר formula_8 אינו אפס), מעל שדה סדור, ניתנת לפתרון באמצעות נוסחת השורשים. הדיסקרימיננטה שנוסחתה formula_16 מאפיינת את פתרונות המשוואה:
דיסקרימיננטה של הרחבת שדות.
נניח ש- formula_17 היא הרחבת שדות ספרבילית בעלת ממד סופי. במקרה כזה מוגדרת העתקת העקבה, שהיא העתקה ליניארית formula_18. העקבה מאפשרת להגדיר תבנית ביליניארית סימטרית formula_19 הנקראת תבנית העקבה: formula_20.
אם בוחרים בסיס formula_21 ל- L כמרחב וקטורי מעל K, אפשר להציג את התבנית במטריצה על פי בסיס זה; הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת, formula_22, היא הדיסקרימיננטה של הבסיס formula_21. החלפת בסיס תכפיל את המטריצה בריבוע הדטרמיננטה של מטריצת המעבר. על-פי ההגדרה, הדיסקרימיננטה של ההרחבה formula_24 היא הדיסקרימיננטה של בסיס כלשהו של ההרחבה, עד כדי כפל בריבוע של איבר של החבורה הכפלית formula_25. זהו, אם-כך, איבר של חבורת המנה formula_26. במצבים עדינים יותר מגדירים את הדיסקרימיננטה של חוג השלמים formula_27 של שדה מספרים K מעל חוג המספרים השלמים formula_28, במקום את זו של השדה K עצמו מעל הרציונליים. ההגדרה זהה לזו של שדות, אלא שבוחרים את formula_21 להיות בסיס של formula_27 כמודול מעל formula_28.
אם ההרחבה L/K היא הרחבת גלואה, אז מספר האוטומורפיזמים של L מעל K שווה לממד ההרחבה, m, ואפשר לסמן אותם באותיות formula_32. הדיסקרימיננטה של בסיס formula_21 של L מעל K שווה לריבוע הדטרמיננטה formula_34.
אם formula_35 שרשרת של הרחבות, עם בסיס formula_7 להרחבה K/F ובסיס formula_37 להרחבה L/K, אז אוסף המכפלות formula_38 מהווה בסיס להרחבה L/F. את הדיסקרימיננטה של בסיס זה אפשר לחשב לפי הנוסחה formula_39, כאשר formula_40 היא הנורמה בהרחבה K/F.
אותה הגדרה תקפה גם כאשר מחליפים את הרחבת השדות formula_41 בהרחבה של תת-חוגים formula_42 של השדות המתאימים, אם מניחים ש-B הוא מודול חופשי מדרגה m מעל A. אם formula_43, אז הדיסקרימיננטה של ההרחבה שווה לזו של הפולינום המינימלי של formula_44 מעל (שדה השברים של) A.
הדיסקרימיננטה (ובעיקר זו של בסיסים שלמים) היא כלי טכני מרכזי בחקירת הרחבות של שדות מספרים. ממשפט מינקובסקי נובע שיש רק מספר סופי של הרחבות ממימד קבוע עם דיסקרימיננטה נתונה. ב-1925 שיער אמיל ארטין שאפשר יהיה להוכיח, באמצעות תורת שדות המחלקה, שהדיסקרימיננטה מפרידה בין הרחבות: אם לשתי הרחבות של שדות מספרים יש אותן חתימות, חבורת גלואה ודיסקרימיננטה, אז הן, כביכול, איזומורפיות זו לזו. בשנת 1930 הראו A. Scholz ואולגה טוד-טאוסקי שיש ארבע הרחבות שונות ממימד 3 של הרציונליים (כולן ציקליות ולא ממשיות), עם דיסקרימיננטה 3299-; מאז התגלו דוגמאות רבות אחרות.
דולורס אמברידג'
מיגו
מיגוֹ היא טענה משפטית נפוצה בתלמוד, אשר תרגומה המילולי מארמית הוא "מתוך". כלל המיגו חל במקרה של אדם הטוען לזכותו, בלא להביא כל הוכחה לנכונות הטענה, אלא שהוא היה יכול לטעון, במידה שווה או פחותה של סיכון ולפחות באותה מידה של רווח, טענה אחרת טובה ממנה. בהתאם לכלל המיגו - עובדה זו כשלעצמה מעניקה תוקף לטענתו העכשווית, "מתוך" שהיה יכול לטעון טענה אחרת.
מהות משפטית.
יש שתי הגדרות משפטיות שונות לטענת ה'מיגו', האחת מכונה בירור האמת והאחרת כוח טענה.
יש שמסבירים דין זה, בכך שמדובר בסוג של מוחזקות; כשם שמוחזקות ושליטה פיזית נחשבת למוחזקות ומגבירה את כוחו של הטוען עד שהמוציא מחברו הוא זה שצריך להביא ראיה, כך גם מי שמוחזק ושולט בחפץ בדין תורה, על ידי הטענות שבאפשרותו לטעון ולקבל את החפץ, גם הוא נחשב למוחזק במידת-מה, וכוחו תמיד עדיף בדין התורה.
לדין זה שלמיגו צריך להיות את כוח הטענה הקודמת, משמעויות הלכתיות רבות. יש המסבירים בזאת את שיטת רב יוסף במסכת בבא בתרא. מדובר בגמרא על נידון בו היה בא לבית הדין ובידו שטר מזויף. כאשר טען הלווה כי השטר מזויף, גחן המלווה ולחש לרבה בר נחמני כי מדובר אכן בשטר מזויף, אך היה לו בעבר שטר נכון ואמיתי שנאבד, ולכן הוכרח לזייף את השטר. כאשר טען רבה כי יש לאיש "מיגו", שכן יכול היה לטעון "השטר לא מזויף", השיב לו רב יוסף כי אין כאן מיגו; שכן מיגו הוא רק כאשר טענתו הקודמת היא טענה המבוססת על דין אמיתי וכוח שיש לאדם בדין התורה, שעל ידו יש לו עליונות בדין תורה. לעומת זאת, במקרה זה כוחו וטענתו של האדם בדין התורה מבוסס על שטר שקרי ואחיזת עיניים, ולמעשה אין לו טענה נוספת בו הוא יכול לנצח בדין התורה. רבי אלחנן וסרמן בספרו קובץ שיעורים מסביר כי בזאת נחלקו רבה ורב יוסף, האם מיגו הוא נאמנות או כח הטענה.
מקרה נוסף בו מבוססת ההלכה על סברת "כח הטענה", היא המחלוקת האם מודה בשטר שכתבו צריך לקיימו. המדובר הוא בתקנת קיום שטרות האומרת כי על הלווה לקיים את השטר, ולפי שיטת רבי מאיר התקנה היא שאם יטען הלווה כי השטר הוא מזויף, יאבד השטר את כוחו ולא יוכלו לגבות בו. רבי מאיר פוסק, כי במקרה שהלווה הודה כי השטר אינו מזויף, לא יכול הלווה לטעון שהשטר פרוע במיגו שהיה יכול לטעון שהשטר מזויף, שכן מיגו הוא רק כאשר יש לו נאמנות לטעון טענה מסוימת והוא זוכה בכוח הטענה, בניגוד לטענת "מזויף" שאינה כוח עצמאי של עצם הטענה אלא תקנת חכמים, ולא שייך לומר בה מיגו.
אחת מההוכחות של רבי אלחנן וסרמן שדין מיגו שלפיו נאמן אדם שיכול היה לזכות בדין בטענה אחת - גם בטענה אחרת שמצד עצמה אין לו כח משפטי זה, הוא לאו דווקא מכוח ראיה כי אדם שיכול היה לטעון טענה אחרת ולא טען הוא אדם אמיתי, אלא מדובר בכוח משפטי הוא מההלכה , ולפיו כאשר תובע אדם מיתומים כספי פיקדון, טוענים עבורם שכבר פרע האבא את הפקדון, מכיוון שיכול היה האבא לטעון כך במיגו של טענת "נאנסו המעות" (נאבדו באונס גמור). כאשר מדובר ביתומים, לא קיימת ראיה בדין המיגו בכך שאינם טוענים את טענת ה"מזויף", שהרי אין הם יודעים על אותו שטר שלא נכתב על ידם - אם אכן מדובר בשטר אמיתי או לא, וקיים רק הכוח המשפטי שהיה קיים לאב, ולמרות זאת, על פי דין "טענינן ליורש" טוענים גם ליורש.
דוגמאות למיגו.
טענת מיגו אינה מועילה כאשר ניצבים מולה עדים, ולא רק עדים אלא אפילו "אנן סהדי" (אנו עדים) זאת אומרת מצב שברור לנו שכך הוא. לדוגמה- אם פלוני השאיל לאלמוני את חמורו בתנאי שלא ילך בשביל מסוים כי יש שם מפריע, והוא בכל זאת הלך שם וטען שלא היה שם המפריע מיגו שהיה אומר שהלך בדרך טובה, כיוון שאנן סהדי שיש שם הוא אינו נאמן (עד שיביא ראיה).
גם במקרים נוספים, למרות שהטענה הייתה אמורה להיחשב אמינה על ידי מיגו, היא לא מתקבלת. לדוגמה, מצב בו לא חל מיגו, הוא כאשר תובעים מאדם סכום כסף והוא מודה בחלק מהסכום הנתבע. במקרה זה על הנטען להישבע שאינו חייב את שאר הסכום. לכאורה, האדם יהיה נאמן כפי שהיה נאמן אם היה כופר בכל החוב. במקרה הזה מוסבר הדין על ידי רבה באמצעות חזקה - אין אדם מעיז פניו בפני בעל חובו ומתכחש לכל חוב כלפיו. לכן במקרה של הודאה במקצת הנטען נתפס כמנסה להתחמק ממלוא החוב, אך לא להתכחש לעצם החוב, מתוך מחשבה להחזיר את שאר החוב כאשר יהיה לו את הכסף הנדרש, וכדי למנוע עמימות כזו מטילים עליו שבועה.
כמו כן, המיגו יועיל רק לסילוק תביעה. לא ניתן להשתמש בנאמנות המיגו על מנת להוציא ממון מהנתבע. בלשון הראשונים "מיגו להוציא לא אמרינן". (זה לפי דעה אחת בראשונים, אבל יש דעות הסוברות שאף אמרינן מיגו להוציא).
מיגו דאי בעי שתיק.
סוג חזק במיוחד של מיגו הוא "הפה שאסר הוא הפה שהתיר"- או בשמו הנוסף "מיגו דאי בעי שתיק" (מתוך שאם רוצה שותק): מאמינים לטענה שטען אדם, משום-שיכול היה לשתוק.
דוגמה: אשה מספרת "אשת איש הייתי ונתגרשתי", אף שבדרך כלל אין אשה נשואה נאמנת לטעון "התגרשתי" ללא הוכחה, אולם אילו הייתה שותקת, לא היינו יודעים כלל כי הייתה נשואה, ורק דיבורה הוא ש"אסר" אותה, נאמנת גם בהמשך דבריה - נתגרשתי.
מחלוקת נרחבת של רבי מאיר וחכמים בנושא "הפה שאסר" היא האם שייך לומר את דין "הפה שאסר" במקרה שעל ידי טענת ה"אסר" נוצר ונולד כח של שטר, הנידון הוא בדיני קיום שטרות בו מקיים לווה את השטר ואומר שהוא נכון וממילא נוצר כח חדש של שטר, או שמא טענת ה"התיר" יכולה לגרע רק את טענת ה"אסר" ולא את הכח החדש שנוצר על ידו.