הדרישה שלעיל היא כללית וחלשה יותר מאשר דרישה שהפעולה תהיה מינימלית. אם הפרש הזמנים formula_10 הוא מספיק קטן אז נקודת הקיצון הוא מינימום אמיתי.
עבור מערכות פיזיקליות עם תנאי שפה קבועים (נקודת ההתחלה והסוף של המסלול קבועים) אפשר להראות בעזרת שיטות של חשבון וריאציות שהתנאי לכך שהמערכת תנוע במסלול formula_11 הוא שהפונקציה הנ"ל תקיים את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:
משוואה זו ידועה כמשוואת אוילר לגראנז', ועבור מערכת עם n דרגות חופש, כל דרגת חופש מקיימת את המשוואה הזו (וכך מקבלים מערכת של n משוואות דיפרנציאליות מצומדות).
דוגמה - הסקת החוק השני של ניוטון.
נניח שגוף נקודתי נע תחת השפעה של פוטנציאל משמר חד-ממדי, אזי מתקיים:
הלגראנז'יאן שלו יהיה:
נציב במשוואות אוילר-לגראנז':
ובסה"כ קיבלנו
וזהו החוק השני של ניוטון.
נשים לב שחוק זה הוא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני.
גישת היחסות המורחבת.
ישנה גישה פיזיקאלית להבנת עיקרון המילטון אותה ניסח פרופ' יעקב פרידמן
ניתן לתאר תנועה של גוף נקודתי באופן מלא על ידי קו במרחב-זמן.
התיאור יהיה מלא מכיוון שהוא גם מכיל את כל המיקומים שהגוף נמצא בהם, וגם באילו זמנים הוא נמצא בכל אחד מהמיקומים הללו.
נגדיר פרמטר כלשהו formula_19 איתו משתנה המסלול, (חשוב להדגיש, לפרמטר זה אין תכונה מיוחדת) ובאמצעותו נגדיר את המהירות:
formula_20
בנוסף formula_21 מוגדר להיות בכיוון המסלול.
נבחר 2 נקודות על המסלול:
formula_22
כאשר
formula_23
נגדיר את פונ' הפעולה הגיאומטרית להיות:
formula_24
נסביר: כאשר קיימים שדות במרחב, ניתן להתייחס לגוף המושפע מהשדות השונים כנע במרחב עקום, הפונקציה של המרחק (distance) עליה אנחנו מגדירים את הלגראז'יאן היא המרחק בין 2 הנקודות במרחב העקום. בחיי היומיום אנחנו רואים שגוף הנע במהירות קבועה, בכיוון מסוים, ימשיך לנוע במהירות קבועה באותו הכיוון ולא יסטה מקו ישר, אלא אם כן יפעלו עליו כוחות שסכומם לא שווה ל־0 (על פי החוק הראשון של ניוטון).נרחיב את מושג הקו הישר למרחבים שאינם ישרים, על ידי שמירת אחת התכונות של הקו הישר: הקו הישר הוא הקו שעובר במרחק הקצר בין שתי נקודות נתונות. לאחר הרחבת מושג הקו הישר ניתן להרחיב את החוק הראשון של ניוטון לכל מקרה בפיזיקה, וזאת כיוון שגופים שדוממים לא יכולים להחליט לנוע על דעת עצמם, על כן במרחב העקום אותו הם מרגישים הם נעים בקווים ישרים (בצורה המורחבת בה הגדרנו קווים ישרים).
על מנת לחפש את הקו המינ' הנ"ל תחילה נסכום מרחקים באופן אינפי' על ידי פונ' פעולה הגיאומטרית שהגדרנו:
formula_25
לS נקרא פעולה גיאומטרית.
לאחר מכן נחפש את הווריאציה בה המסלול שנקבל הוא מינ', כלומר, בו הגוף ינוע בקווים ישרים בעולם העקום שלו:
formula_26
וכך מקבלים את עיקרון המילטון באמצעות ההרחבה שביצענו לחוק ניוטון הראשון.
יומן
יומן משמש לרישום אירועים לפי סדר הימים בלוח השנה. יומן עשוי להיות צופה פני עתיד, כלומר לשמש לרישום אירועים ומשימות המתוכננים לעתיד, או צופה פני עבר, כלומר לתאר אירועים לאחר התרחשותם.
יומן משימות.
יומן משימות משמש לרישום אירועים ומשימות המתוכננים לעתיד, כתזכורת למועד התרחשותם הצפוי ותורם ליכולת ארגון זמן. לעיתים היומן מעוצב מראש עם מקום בגודל קבוע לכל יום מימות השנה, ולעיתים הוא מאפשר כתיבה חופשית, כך שלכל יום מוקדש המקום הנדרש לתיאור אירועיו. עד לשלהי המאה העשרים נוהל היומן במחברת או ספרון קטן שיועדו לנשיאה יומיומית. בשלהי המאה העשרים עם התפתחות הטכנולוגיה פותחו כלים ממוחשבים שצמצמו את השימוש ביומן הנייר ואפשרו תיעוד אירועים אלקטרוני, דוגמת יומן גוגל.
ככלי לרישום משימות לביצוע משמש היומן בין השאר תלמידים, הרושמים בו פרטים על שיעורי הבית שלהם, ימי הולדת ועוד. מי שפעילותם כוללת פגישות (עם לקוחות, תלמידים וכדומה) משתמש ביומן לניהול לוח הזמנים שלו.
יומן אישי.
יומן אישי נכתב לרוב כדי לזכור (כעין ארכיון של זיכרונות). לעיתים הוא משמש לרישום אירועים, רגשות ומחשבות של בעל היומן. הכתיבה ביומן מתבצעת באופן שוטף. הכתיבה ביומן נחשבת פרטית, והצצה ליומן של אדם אחר נחשבת מעשה לא מקובל. כותבי היומנים האישיים מדמיינים את הקוראים האידיאליים של כתביהם (הורים, אהובים ואהובות מהכיתה או את עצמם בבגרותם). "קריאה רטרוספקטיבית ביומן של הכותב עצמו הוא אירוע טעון ורווי מבוכה".
לעיתים יומנו של אדם שנפטר משמש כעדות על חייו ואישיותו. דוגמה ליומן כזה הוא יומנה של אנה פרנק.
יומנים מסוימים הם בעלי ערך רב בייחוד יומני מסע המתארים מאורעות שקרו בזמן מסעות ומשמשים מקור לחקר אנתרופולוגיה ויחסים בין אישים בעמים שונים מנקודות מבט של עמים אחרים.
יומניו של אדם שהיה דמות ציבורית מתפרסמים לעיתים, ביוזמתו או ביוזמת יורשיו, ככלי לתיאור מעשיו ועולמו.
יומן אישי ככלי ספרותי.
ישנם גם סופרים אשר כותבים את ספרם בצורת יומן של הגיבור. דוגמאות לכך הם ספרי הנוער "יומני הנסיכה", "יומנו של חנון", ועוד.
ספרו של אלון חילו, "אחוזת דג'אני" נכתב כשילוב של שני יומנים שנכתבו על ידי גיבורי הספר. העובדה שאחד מגיבורי הספר, חיים מרגליות קלווריסקי, הוא דמות היסטורית אמיתית, והאמירה בהקדמה "מאת המביא לדפוס" כי ביסס את הספר על יומנו האישי של קלווריסקי, גרמה לחלק מהקוראים לחשוב שמדובר ביומן אמיתי, אף שהספר הוא ספר בדיוני.
"יומנה של אנה פרנק" נכתב כיומן אישי והתפרסם בהמשך כספר המתעד את קורותיה של הילדה היהודיה ומשפחתה במחבואם בתקופת השואה באמסטרדם, הולנד.
מישל דיין
מישל דיין (נולד ב-2 באוקטובר 1961) הוא כדורגלן עבר ישראלי ששיחק בעמדת הקשר, המזוהה בעיקר כקפטן הפועל ירושלים, ומאמן כדורגל בהווה.
קריירת משחק.
דיין, אשר שיחק בעמדת הקישור, נחשב יחד עם אלי בן רימוז' ואברהם בן דוד (בנדה) לגדול השחקנים והסמלים של הפועל ירושלים ושיחק בה כקפטן הקבוצה עד לפרישתו. דיין הוא שיאן ההופעות במדי הקבוצה, כשלזכותו 508 הופעות בהן כבש במסגרת הליגה 60 שערים. שיחק לתקופות קצרות גם בבני יהודה, הפועל אשדוד, צפרירים חולון ובית"ר רמלה.
בפברואר 1998 נאלץ דיין לפרוש לאחר שנפצע בעינו מכדור תועה שבעט חברו לקבוצה.
קריירת אימון.
דיין מונה לראשונה למאמן קבוצת נעוריו הפועל ירושלים בעונת 1999/2000, אך עזב כמה מחזורים לסיום העונה, והקבוצה לבסוף ירדה ליגה. בשנת 2001 התמנה דיין למאמן הפועל ירושלים שוב, לאחר שהתדרדרה עד לליגה השלישית. הגעתו הפיחה רוח חדשה לקבוצה שתרמה לחזרתה המהירה לליגה הלאומית. תחת שרביטו הייתה הקבוצה קרובה לעלייה רצופה של שתי ליגות, אך היא כשלה במחזור האחרון, במשחק מול הפועל רעננה, במה שקרוי בפי אוהדי הפועל ירושלים כ"טראומת רעננה". תקופת אימונו ידעה עליות ומורדות, לצד יחסים מעורערים עם בעלי הקבוצה.
בשנים 2005 ו-2006 אימן מישל דיין את קבוצת הפועל אשקלון מהליגה הלאומית כאשר בעונת סיים עם הקבוצה במקום השמיני. עקב ההצלחה הוארך חוזהו בקבוצה, אך בעונה שלאחר מכן התפטר דיין לאור הפסדי אשקלון בליגה, וקריאות הקהל כלפיו.
בחודש דצמבר 2006 חזר דיין לאמן בהפועל ירושלים, לאחר שמאמנה הקודם ושחקן העבר של הקבוצה יאיר אסייג התפטר לאור מיקומה של ירושלים במקום האחרון בליגה הלאומית.
דיין התפטר מהקבוצה לקראת סיום העונה, לאחר שלא הצליח לעמוד במשימתו, להשאיר את הפועל ירושלים בליגה הלאומית.
בתחילת עונת , מונה דיין למאמן הפועל בני לוד מהליגה הלאומית. הוא התפטר מהקבוצה לאחר רצף של הפסדים. בשלהי העונה, חתם על חוזה עם עירוני קריית שמונה מליגת העל. דיין החל באימון הקבוצה בעונה שלאחר מכן, אך ב-30 בנובמבר 2008 פוטר מתפקידו לאור התוצאות שהשיגה הקבוצה ודירוגה בתחתית הטבלה.
גאוגרפיה של רמת הגולן
רמת הגולן היא חבל הארץ הצפוני ביותר והמזרחי ביותר שבשליטת מדינת ישראל, והיחיד מבין אזורי המדינה המצוי מזרחית לבקעת הירדן.
גבולות טבעיים.
הגולן מהווה את חלקו המערבי של אזור הבשן המתחלק לארבעה אזורים גאוגרפיים (ממערב למזרח):
גבולה המערבי של רמת הגולן היא בקעת הירדן. גבולה הדרומי הגאוגרפי הוא בקעת נחל הירמוך, הגבול הגאוגרפי הצפוני המפריד בין רמת הגולן לבין הר החרמון הוא נחל סער. במזרח גבול חבל הארץ אינו חד-משמעי, ומקובל לומר שהגבול עובר לאורך נחל רוקד ונחל עלאן.
שטחו של הגולן - 1,250 קמ"ר.
אורכו - כ- 60 ק"מ.
רוחבו המרבי - 30 ק"מ.
גבולות אלה אינם הגבולות המדיניים והאדמיניסטרטיביים של חבל הארץ: חלק משטח הגולן נמצא בשטחה של סוריה, ואילו חלקים של נפת גולן אינם מהווים חלק מהחבל הגאוגרפי של רמת הגולן - כגון הר החרמון המהווה אזור גאוגרפי נפרד, ובקעת בית צידה המהווה חלק מבקעת הירדן.
ברחבי הגולן פזורים אתרים ארכאולוגיים רבים וביניהם גלגל רפאים.
מבנה חבל הארץ.
רמת הגולן היא רמה מישורית המשתפלת מצפון לדרום. בדרומה - גובה המישור כ-300 מטרים מעל פני הים, ובצפונה מגיעה הרמה לגובה של כ- 1,100 מטרים מעל פני הים. מן המישור מתרוממים פסגות הרי געש. גובהם של הרי הגעש מעל המישור מגיע ל-30 מטרים מעל המישור בגבעת פזרה ול- 300 מטרים מעל המישור בהר אביטל.
שימושי שטח.
כ-12 קמ"ר משטחי הגולן הם שטחים בנויים.
מבין השטחים הפתוחים בגולן:
נחלי הגולן.
נחלי צפון הגולן.
בצפון הגולן עוברים הנחלים ממזרח למערב ויורדים לעמק החולה. באזור זה כ-25 נחלים (בממוצע נחל חוצה את הגולן כל קילומטר מצפון לדרום).
ברמה רק שני נחלי איתן - נחל ג'ילבון ונחל שוח (ואדי אל-פאג'ר). שאר הנחלים הם נחלי אכזב המובילים מים רק בחורף ובהם:
נחל עורבים, נחל פרע, נחל חמדל, ונחל נשף.
נחלי מרכז רמת הגולן.