בכמה מקרים קוראים למבנים איזומורפיים בשם מיוחד: איזומורפיזם של מרחבים טופולוגיים נקרא "הומיאומורפיזם", איזומורפיזם של יריעות דיפרנציאליות נקרא "דיפאומורפיזם", ואיזומורפיזם של מרחבים מטריים נקרא "איזומטריה". השם הייחודי מדגיש תכונות מסוימות של המבנה ומונע בלבול (למשל, בשאלה האם שני מרחבים מטריים איזומורפיים ככאלה, או רק כמרחבים טופולוגיים).
הגדרה כללית.
אם formula_1 ו-formula_2 הם שני מבנים מתמטיים של אותה שפה formula_3 של תחשיב היחסים, אז פונקציה formula_4 נקראת איזומורפיזם ביניהם אם:
כשקיימת כזו פונקציה בין שני מבנים formula_1 ו-formula_2, אומרים שהמבנים איזומורפיים ומסמנים formula_24.
פונקציה המקיימת את שלוש הדרישות הראשונות נקראת הומומורפיזם. אם formula_25, אז הומומורפיזם נקרא "אנדומורפיזם", ואיזומורפיזם נקרא אוטומורפיזם.
הגדרה במונחי תורת הקטגוריות.
בתורת הקטגוריות, מורפיזם formula_26 בקטגוריה formula_27 נקרא "איזומורפיזם", אם הוא הפיך בקטגוריה, כלומר, קיים מורפיזם formula_28 כך שמתקיים formula_29 ו-formula_30.
בקטגוריות רבות ההגדרה הזו מתלכדת עם ההגדרה הקודמת, אך הדבר אינו נכון באופן כללי.
הגדרה באלגברה.
איזומורפיזם בין חבורות.
אם formula_31 ו-formula_32 הן שתי חבורות, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל formula_33 כך שעבור כל צמד איברים formula_34 מתקיים formula_35, אז formula_31 ו-formula_32 איזומורפיות זו לזו. אפשר להבין את ה"שוויון" בין החבורות, על ידי כך שנסמן את האיברים formula_38 פשוט כ formula_39. לכן אפשר לראות שלכל מטרה מעשית, ההבדל בין החבורות הוא הבדל בסימון בלבד.
אפשר לראות שהאיזומורפיזם מקיים יחס שקילות:
איזומורפיזם בין חוגים.
באופן דומה, אם formula_31 ו-formula_32 הם שני חוגים, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל formula_78 כך שעבור כל צמד איברים formula_34 מתקיים formula_35, formula_81 וגם formula_82 (התנאי האחרון רלוונטי רק לחוגים עם יחידה) אז formula_31 ו-formula_32 איזומורפיים זה לזה.&lt;br&gt;
איזומורפיזם בין מודולים.
באופן דומה, אם formula_31 ו-formula_32 הם שני מודולים שמאליים מעל חוג formula_14, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל formula_33 כך שעבור כל צמד איברים formula_34 מתקיים formula_81, וגם עבור כל formula_91 מתקיים formula_92, אז formula_31 ו-formula_32 איזומורפיים זה לזה.
בנוסף, אם formula_31 ו-formula_32 הם שני מודולים שמאליים מעל שני חוגים formula_97 איזומורפיים, כשהאיזומורפיזם בין שני החוגים הוא formula_98 וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל formula_33 כך שעבור כל צמד איברים formula_34 מתקיים formula_81, וגם עבור כל formula_102 מתקיים formula_103 אז formula_31 ו-formula_32 איזומורפיים זה לזה.
איזומורפיזם בין אלגברות.
באופן דומה, אם formula_31 ו-formula_32 הן שתי אלגברות שמקיימות את תנאי האיזומורפיות כמודול עבור הפונקציה formula_33 ובנוסף עבור כל צמד איברים formula_34 מתקיים formula_110, אזformula_31 ו-formula_32 איזומורפיות זו לזו.
איזומורפיזם בין גרפים.
אם formula_113 ו-formula_114 הם שני גרפים, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל formula_115 כך שקיימת קשת ב-formula_116 בין formula_117 לבין formula_118 אם ורק אם קיימת קשת בformula_119 בין formula_120 לבין formula_121 אז הגרפים איזומורפיים זה לזה.
איזומורפיזם של קבוצות סדורות.
קבוצות סדורות הן איזומורפיות אם יש ביניהן פונקציה חד-חד-ערכית ועל, השומרת על יחס הסדר.
דה מוין
דה מוין (באנגלית: Des Moines; ) היא עיר הבירה של מדינת איווה שבארצות הברית וכן בירת מחוז פולק. העיר נוסדה בשנת 1843 ולפי מפקד האוכלוסין של 2010, מתגוררים בה 203,433 תושבים.
העיר ממוקמת במרכז המדינה.
מקור השם.
העיר ממוקמת על גדת נהר דה מוין שפירושו בצרפתית "נהר הנזירים" (Rivière des Moines).
בניין בית המחוקקים של המדינה, המכונה "הקפיטול של מדינת איווה" ושוכן בדה מוין, הוא ייחודי בכך שכיפתו מצופה זהב. העיר ייחודית בכך שיש בה מערכת סקייווק - מדרכות עיליות - מדרכות אוויריות מקורות המאפשרות לאנשים לנוע מבניין לבניין לאורך 5.6 ק"מ מבלי לצאת מהבניינים.
היסטוריה.
עדויות ארכאולוגיות מצביעות על התיישבויות אנושיות עוד מהאלף ה-5 לפנה"ס. ההתיישבות המודרנית החלה כאשר הוקם מבצר אמריקאי בשנת 1843. ב-22 בספטמבר 1851 דה מוין התאגדה כעיר. בשנותיה הראשונות ואף במלחמת האזרחים האמריקנית העיר סבלה משיעור צמיחה איטי, אך המצב השתנה בשנת 1866, כאשר נסלל קו רכבת העובר בסביבת העיר. בשנים אלו החלה גם כריית פחם אשר תרמה לצמיחת העיר. לאחר שהשפל הגדול גרם לאבטלה רבה, הממשל עודד את חיזוק התעשייה על מנת ליצור עוד מקומות עבודה. החל משנות ה-80 היוצרות התהפכו והמשק עבר להתבסס ממקצועות "צווארון כחול" למקצועות חופשיים של "צווארון לבן".
בשנות ה-60 של המאה ה-20 חל דילול מסוים באוכלוסייה כתוצאה מתהליכי פרוור.
שלטון מקומי.
העיר מנוהלת על ידי מועצה בראשה עומד ראש העיר - החל משנת 2005 פרנק קוני, שני חברי מועצה הנבחרים על ידי כל העיר וארבעה חברים נוספים המייצגים כל אחד את אחד מרבעי העיר.
גאוגרפיה.
שטחה של העיר 200.1 קמ"ר, מתוכם 196.3 קמ"ר שטחי יבשה ו- 3.8 קמ"ר שטחי מים (1.88%).
אוכלוסין.
נכון לשנת 2020 מתגוררים בעיר 214,133 תושבים. בעיר נמצאים 80,504 משקי בית ו־48,704 משפחות. צפיפות האוכלוסין היא 1,012.0 נפשות לקמ"ר (2009). להלן נתונים אודות האוכלוסייה בדה מוין:
תחבורה.
בקרבת העיר נמצא נמל התעופה הבינלאומי דה מוין, אולם על אף שמו של שדה התעופה הוא משמש לטיסות בינמדינתיות בלבד, ולא לטיסות בינלאומיות.
חוק הכבידה
טרפז (פירושונים)
הפרש סימטרי
הפרש סימטרי היא פעולה בינארית על קבוצות. שעבור שתי קבוצות formula_1 ו-formula_2 היא מחזירה קבוצה formula_3 המורכבת מכל איברי formula_1 שלא שייכים ל-formula_2 וכל איברי formula_2 שלא שייכים ל-formula_1 - כלומר, היא כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
הגדרה.
ההפרש הסימטרי, המסומן formula_8 מוגדר כדלהלן:
תכונות.
פעולת ההפרש הסימטרי היא המקבילה בתורת הקבוצות לפעולת ה-XOR באלגברה בוליאנית.
אם formula_12 קבוצה, אז קבוצת החזקה formula_13, עם הפעולות חיתוך (בתפקיד 'כפל') והפרש סימטרי (בתפקיד 'חיבור'), מהווה חוג קומוטטיבי, המקיים בנוסף את התכונה formula_14 לכל formula_15.
התפלגות בדידה
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות בדידה מתארת התפלגות של משתנה מקרי אשר טווח ערכיו האפשריים הוא קבוצה בת מנייה.
התפלגות בדידה נבדלת מהתפלגות רציפה שמאופיינת בקבוצה רציפה של ערכים אפשריים, כלומר בקבוצה שאינה בת מנייה.
דוגמאות.
התפלגות בדידה יכולה לשמש כמודל לספירה של מאורעות מוגדרים, למשל:
כמו כן התפלגות בדידה מהווה מודל לשאלת כן\לא בהסתברות מסוימת (התפלגות ברנולי) או מודל לשאלה בעלת מספר סופי של תשובות שלכל אחת מהן הסתברות מוגדרת. במקרה הפרטי שבו לכל תשובה יש הסתברות זהה, תהיה זו התפלגות אחידה בדידה. שאלות לדוגמה יכולות להיות: "מה תהיה תוצאת ההטלה של קובייה בעלת שש פאות?" (שש תשובות בעלות הסתברות זהה של שישית: {1,2,3,4,5,6}) או לחלופין "האם תוצאת ההטלה תהיה זוגית?" (שאלת כן/לא עם הסתברות של חצי להצלחה).
הגדרה.
בתורת ההסתברות, נאמר שהתפלגות היא התפלגות בדידה אם היא מאופיינת על ידי פונקציית הסתברות (להבדיל מפונקציית צפיפות). לפיכך ההתפלגות של משתנה מקרי formula_1 היא בדידה, ו-formula_2 ייקרא משתנה מקרי בדיד אם:
כאשר formula_4 עובר על כל אחד מהערכים ש-formula_1 יכול לקבל.
מכאן נובע שאם משתנה מקרי formula_1 הוא בדיד, אזי קבוצת כל הערכים שהוא יכול לקבל בהסתברות שונה מאפס היא סופית או בת מנייה, שכן סכום איבריה של קבוצה שאינה בת מנייה וכל איבריה ממשיים חיוביים (ושונים מאפס) יתכנס תמיד לאינסוף.
מאפיינים.
להתפלגות הבדידה יש פונקציית הסתברות לא רציפה עבורה formula_7 לכל ערך formula_8 שאינו בקבוצת הערכים האפשריים של ההתפלגות.
פונקציית ההצטברות של התפלגות בדידה נראית כפונקציית מדרגות מונוטונית עולה, כאשר לכל ערך formula_8 עבורו formula_10 יש לפונקציית ההצטברות נקודת אי רציפות.
דוגמה קלאסית למשתנה מקרי בדיד היא מספר הנקודות המתקבל על הפאה העליונה כשמטילים קובייה, או פונקציה כלשהי של מספר זה.
התפלגות אחידה בדידה
התפלגות אחידה בדידה היא התפלגות בדידה שבה לכל האיברים בקבוצה סופית הסתברות שווה. כלומר, ל כל אחד מ-formula_1 האיברים הסתברות של formula_2.
לרוב הקבוצה הסופית כוללת מספרים שלמים עוקבים, ובמקרים אלו מקובל הסימון: formula_3, כלומר formula_4 מקבל כל אחד מהמספרים השלמים בין formula_5 ל-formula_6,
בסיכוי שווה של formula_7.
דוגמאות.
1. אם ניתן ערכים מספריים לתוצאה של הטלת מטבע הוגן, למשל "עץ"=0 ו"פלי"=1, אז התוצאה של הטלת המטבע היא משתנה אחיד בדיד המתפלג: formula_8.
2. תוצאת הטלת קובייה הוגנת, היא משתנה אחיד בדיד המתפלג: formula_9; כל אחד מהמספרים מתקבל בסיכוי formula_10.
3. התוצאה של סיבוב רולטה הוגנת, היא משתנה אחיד בדיד המתפלג: formula_11; כל אחד מהמספרים מתקבל בסיכוי formula_12.
4. המספר של הקלף הנשלף מחפיסת קלפים הוא משתנה אחיד בדיד המתפלג: formula_13.
שיטת דגימה.