תחום המיסטיקה היהודית התרחב אף הוא. חסידי אשכנז פיתחו תורה מיסטית עשירה ומורכבת עם השלכות מעשיות לתחומי התפילה והתשובה ולמנהגי פרישות וסגפנות. בין חיבוריהם המפורסמים ספר חסידים, המיוחס לרבי יהודה החסיד, ו"ספר הרוקח" של רבי אלעזר מוורמס. במאה ה-13 החל עיסוק נרחב בתורת הקבלה, ובאותה תקופה גילה רבי משה די לאון את ספר הזוהר, שהיה בכתב-יד ולא התפרסם עד אז. בסוף תקופת הראשונים התקבצה בצפת חבורה גדולה של מקובלים, החשוב שבהם האר"י.
פיוט ושירה, דקדוק ומילונאות, ותרגום.
פיוטים נכתבו בעם ישראל עוד מימי התלמוד, אך עולם הפיוט והשירה התפתח במאות אלו, בעיקר בספרד. פייטני ספרד ומשורריה לא חששו לחבר לצד שירת הקודש גם שירי חול, לרבות שירי יין ותענוגות, ואף אימצו אל עולם השירה כלים ורעיונות מן השירה הערבית של אותה תקופה. מן המשוררים הגדולים של יהודי ספרד ידועים שמותיהם של רבי שמואל הנגיד, רבי יהודה הלוי, רבי משה אבן עזרא, רבי שלמה אבן גבירול ואחרים. בתקופה זו השתכללה לשון השירה ונקבעו לה חוקים ומשקלים קפדניים, והמשוררים גם ביקרו את שירי עמיתיהם ואף את שירי הקדמונים; מפורסמת בהקשר זה ביקורתו הנוקבת של רבי אברהם אבן עזרא על שירי הפייטן אלעזר הקליר בן המאה השישית.
גם באשכנז נכתבו פיוטים בתקופת הראשונים. חלק מן הפיוטים, בעיקר סליחות וקינות, משקפים את תנאי החיים הקשים של יהודי אשכנז, ועוסקים בתיאור הצרות והרדיפות שחוו.
לצד עולם השירה הלך והתפתח חקר דקדוק השפה העברית ואוצר המילים שלה. את העיסוק הדקדוקי והמילוני החל, עוד בתקופת הגאונים, רב סעדיה גאון. את מלאכתו המשיכו תלמידו דונש בן לברט ומנחם בן סרוק, שחיברו ספרי דקדוק ומילונים, בין השאר לתועלת המשוררים והפייטנים. אחריהם חידש רבי יהודה חיוג' את תפיסת השורש השלָשי בעברית. את תפיסותיו פיתח והעמיק רבי יונה אבן ג'נאח, שנחשב לגדול מדקדקי העברית בימי הביניים. גם אחרי אבן ג'נאח המשיכו להיכתב ספרי דקדוק עבריים, למשל בידי שלמה בן אברהם בן פרחון שכתב את "מחברת הערוך" ורבי דוד קמחי ואחרים במשפחתו. גם אצל חכמי צרפת ואשכנז התקיים עיון דקדוקי, למשל אצל רש"י ורבנו תם. בין המדקדקים התקיימו לעיתים קרובות ויכוחים ופולמוסים על נושאים מקומיים או כלליים.
מפעל נוסף שפעל בתקופה זו היה מפעל התרגום. חיבורי חכמי ספרד הלא-הלכתיים נכתבו ערבית יהודית, ותורגמו עוד בתקופת הראשונים לעברית. את מפעל התרגום הובילה משפחת המתרגמים הידועה אבן תיבון.
אחרונים
אחרונים הוא כינוי של הרבנים והיוצרים שפעלו מן המאה ה-16 ואילך, במיוחד בהקשר של השתלשלות ההלכה, פרשנות התלמוד ותולדות עם ישראל בכלל. בתקופת האחרונים כונסה ההלכה בחיבורים קאנוניים כמו השולחן ערוך והגהות הרמ"א עליו יחד עם נושאי כליהם, פשטה הקבלה בכל תפוצות ישראל, שיטת הפלפול עלתה ושקעה, וקמו החסידות וההתנגדות לה. אחרוני האחרונים התמודדו עם המודרנה ותהליכי החילון שחוללה.
הגדרת התקופה.
המעבר מתקופת הראשונים לתקופת האחרונים הוא תוצאה של צירוף כמה אירועים רבי משמעות שהתרחשו באמצע המאה ה-14 באשכנז , בסוף המאה ה-15 בספרד ובתחילת המאה ה-16 בתפוצות יהדות ספרד ואשכנז:
מאפייני התקופה.
ביחס לעולם פסיקת ההלכה מתאפיינת תקופה זו בדברים הבאים:
בעקבות השולחן ערוך.
פירושים לשולחן ערוך.
לאורך התקופה נכתבו מספר רב של פירושים על השולחן ערוך. מבין הספרים שנכתבו על כל חלקי השולחן ערוך:
ספרים שנכתבו על חלקים מתוך השולחן ערוך:
השלמות לשולחן ערוך.
ביהדות אשכנז.
רובם ככולם של ספרי ההלכה בדורות האחרונים מתבססים על דברי השולחן ערוך בתוספת חידושים וביאורים מרבנים נוספים. דוגמה לספרי הלכה שכאלו אשר נכתבו בדורות האחרונים והתקבלו ביהדות אשכנז:
ביהדות ספרד.
גם בארצות האסלאם כתבו הרבנים השלמות על השולחן ערוך. לא כל הספרים נכתבו על פי מבנה השולחן ערוך. המפורסמים מבין ספרים אלה הם:
בארץ ישראל.
כיום כשחלק גדול מהעם היהודי עלה לארץ ישראל, ובארץ חיים ולומדים יחד בני העדות השונות. נכתבו ספרי הלכה מתוך סקירה של מנהגי העדות השונות, לדוגמה:
ספרות השו"ת.
לצד אלה המשיכה להיכתב ספרות השו"ת הענפה. בה פוסקי ההלכה התמודדו עם מקרים פרטיים מסובכים ותוך כך ביררו לעיתים קרובות את ההלכה באופן כללי לעניינים אחרים, תוך כדי צירוף מקורות הלכתיים מהש"ס והפוסקים המאוחרים. במאה ה-17 נדידת יהודים מפולין למערב אירופה עוררו שאלות הלכתיות רבות, בתקופה זו נכתבו ספרי שו"ת רבים, ביניהם ספרי הרב יואל סירקיש - הב"ח, והרב יאיר בכרך.
פרשנות התלמוד.
פרשנות התלמוד התמקדה בתחילת תקופת האחרונים בפלפול בסוגיות התלמוד. פלפול זה הגיע לעיתים לקיצוניות, שהתבטאה בעיסוק בפרטי פרטים וערימת תלי תלים של השערות והנחות שלא הייתה להן משמעות מלבד האתגר האינטלקטואלי. שיטת לימוד זו עוררה עליה ביקורת, גם מצד רבנים, והיא הוחלפה בלימוד בעל אופי חקרני יותר, שהתמקד בהבנה קונספטואלית של הרעיונות ההלכתיים ובפענוח הגורמים העקרוניים המשפיעים על מהלכי הסוגיה. דרך לימוד זו, שמופיעה כבר בפירוש קצות החושן של רבי אריה לייב הלר, הגיעה למיצוי בשיטת בריסק שפותחה בידי רבי חיים מבריסק.
הגות: קבלה, חסידות ומוסר.
תקופת האחרונים התאפיינה בעושר גדול של תורות הגותיות, בחלקן מיסטיות. למן הקבלה של האר"י ותורת המהר"ל, דרך תנועת החסידות ותנועת המוסר ועד ההגות המודרנית של הרב קוק והרב יוסף דב סולובייצ'יק.
נכתבו גם פירושים חדשים למקרא, כגון פירושי הרא"ם, המהרש"ל, המהר"ל, הלבוש והט"ז על פירוש רש"י. כלי יקר, "אור החיים הקדוש" לרבי חיים בן עטר, ספרי חסידות על המקרא, "משך חכמה" לרבי מאיר שמחה מדווינסק, "העמק דבר" לנצי"ב ופירושו של רש"ר הירש לתורה.
מחזור
מספר סמית
מספר סמית בבסיס ספירה מסוים, הוא מספר שסכום הספרות שלו שווה לסכום הספרות של גורמיו הראשוניים. (במקרה שיש גורמים בחזקות יש לכתוב את הגורם כמה פעמים שצריך). לדוגמה, 202, בבסיס דצימלי, הוא מספר סמית, מכיוון ש- formula_1, והפירוק לגורמים שלו הוא formula_2 וגם-formula_3.
מספרים ראשוניים לא נחשבים למספרי סמית מכיוון שזה ברור מאליו שיקיימו תכונה זאת.
בבסיס עשר, מספרי סמית הראשונים הם:
formula_4formula_5
W.L. McDaniel הוכיח בשנת 1987 שיש אינסוף מספרי סמית. ישנם 29,928 מספרי סמית הקטנים ממיליון.
ישנם אינסוף מספרי סמית פלינדרומים.
מספרי סמית עוקבים (לדוגמה 728 ו-729, 2,964 ו-2,965) נקראים מספרי סמית אחים. לא ידוע כמה מספרי סמית אחים יש.
אלברט וילנסקי נתן להם את שמם, על שמו של גיסו, הארולד סמית, כיוון ששם לב שמספר הטלפון שלו (4937775) עונה להגדרה.
מספר סמית המוכר הגדול ביותר הוא: formula_6
מספר פוליגונלי
מספר סמית'
משפט המספרים המצולעים
משפט המספרים המצולעים הוא משפט בתורת המספרים, הקובע שכל מספר שלם חיובי הוא סכום של לכל היותר s מספרים מצולעים מסדר s. המספרים המצולעים מסדר s הם אלו שאפשר לכתוב בצורה formula_1. המשפט קרוי לעיתים על שמו של פרמה שקבע את נכונותו, אך מעולם לא פרסם לו הוכחה.
המקרה החשוב ביותר הוא s=4, המתייחס לכתיבת מספר כסכום של מספרים ריבועיים. את המקרה הזה הוכיח לגראנז' בשנת 1772, והוא נודע כמשפט ארבעת הריבועים. את המקרה s=3 הוכיח גאוס ב-10 ביולי 1796: מספר טבעי הוא סכום של לכל היותר 3 מספרים משולשיים, שהם מספרים מהצורה formula_2. את ההכללה ל-s כלשהו הוכיח קושי בשנת 1813.
מלחמת איראן–עיראק
מלחמת איראן–עיראק (בערבית: الحرب الإيرانية العراقية, בפרסית: جنگ ایران و عراق; 22 בספטמבר 1980 – 20 באוגוסט 1988) הייתה מלחמה בין הרפובליקה האסלאמית השיעית של איראן בראשות מנהיגה הרוחני רוחאללה ח'ומייני ורפובליקת בעת' ערבית לאומנית של עיראק בראשות סדאם חוסיין.
המלחמה פרצה לאור היריבות הקשה בין המדינות, ובעקבות סכסוך גבולות באזור מחוז ח'וזסתאן, ליד השט אל-ערב ועל רקע המתח הדתי העדתי בין הנהגת איראן השיעית הפרסית בעיקרה, ובין הנהגת עיראק הערבית מרקע סוני. למלחמה היו מניעים טריטוריאליים, כלכליים, דתיים ואחרים שהעיבו במשך שנים על יחסי המדינות טרם פרצה. במלחמה השתתפו גם מיליציות עדתיות (מוג'אהדין ח'לק האיראנית תמכה בעיראק, ואילו מיליציות כורדיות עיראקיות - המפלגה הדמוקרטית הכורדית והאיחוד הפטריוטי של כורדיסטן תמכו באיראן), והייתה התערבות מצד מספר מעצמות לרבות אספקת נשק וסיוע לוגיסטי. המלחמה בת שמונה השנים לא הביאה להישגים טריטוריאליים לאף אחת מהמדינות, אך עלתה בחייהם של כמיליון חיילים ואזרחים משני הצדדים.
בהנהגתו של חוסיין, עיראק שאפה לספח לתוכה את חבל ח'וזסתאן העשיר בנפט ולהפוך למעצמה אזורית במפרץ הפרסי על חשבון איראן. כמו כן, המשטר העיראקי פעל לבלום את חלחול השפעותיה של המהפכה האסלאמית השיעית באיראן ברחבי המזרח התיכון (חוסיין עמד בראש משטר עריצי של מיעוט סוני על גבי רוב שיעי בעיראק עצמה, והמהפכה באיראן השכנה עלול היה לערער את שלטונו שלו). ניסיון לפתור את סכסוך הגבולות ארוך השנים בין איראן לעיראק על גבי השט אל-ערב הסתכם ב-1975 בהסכם אלג'יר, שפרוץ המלחמה הובילו לכך שפג תוקפו. המשטר העיראקי ניסה כמו כן להביא להתקוממות הרוב הערבי בח'וזסתאן נגד משטר משמרות המהפכה בטהראן על רקע לאומני ואתני.