נסתכל על הקבוצה formula_22 - אוסף כל הפונקציות מתת קבוצה סופית של קבוצת המספרים הטבעיים לקבוצה {0,1}, עם יחס הסדר של הכלה הפוכה (כלומר x חזק מ-y אם x מכיל את y). ניתן לראות כי אם G הוא מסנן גנרי על P אז formula_23 היא פונקציה מהטבעיים ל־{0,1}. ניתן לחשוב על f כפונקציה המציינת של תת-קבוצה של המספרים הטבעיים. כיוון ש-G הוא גנרי קבוצה זו שונה מכל תת-קבוצה של הטבעיים שהייתה ב-M:
אם formula_24 ו-g היא הפונקציה המציינת שלה, אז הקבוצה formula_25 היא קבוצה צפופה (כל תנאי הוא סופי וניתן להרחיב אותו כך שלא יתאים ל-g), והיא נמצאת במודל הבסיס ולכן G חייב להיחתך איתה.
באופן הזה ניתן להוכיח כי שלילתה של אקסיומת הבנייה (formula_1) עקבית - נתחיל ממודל שמקיים את אקסיומת הבנייה ונוסיף לו קבוצה גנרית. הקבוצה החדשה לא הייתה במודל הקודם ולכן לא ניתנת לבנייה, מכאן שהמודל החדש לא מקיים את אקסיומת הבנייה.
בנייה כמעט זהה תספק מודל שלא מקיים את השערת הרצף:
נוסיף למודל הבסיס את המסנן הגנרי המתאים לסדר החלקי של כל הפונקציות הסופיות מ-formula_27 ל־{0,1} (formula_28 הוא הסודר הראשון שעוצמתו formula_29 ו-formula_30 הוא הסודר של קבוצת המספרים הטבעיים). באמצעות אותם טיעונים כמו בפסקה הקודמת ניתן להראות שאם נאחד את כל האיברים שנמצאים במסנן הגנרי G נקבל פונקציה, שניתן לחשוב עליה כ-formula_29 פונקציות מציינות של קבוצת טבעיים. טיעונים דומים יראו כי כל הקבוצות המתקבלות שונות ולכן במודל M[G]‎ מתקיים formula_32. באופן עקרוני, כפייה יכולה להוסיף פונקציה שממוטטת את formula_29 (למשל פונקציה מהטבעיים על formula_28), אך במקרה הזה, על ידי שימוש בתכונות יחס הסדר (ראו בהמשך), ניתן להראות כי זה לא קורה ומתקיים formula_35.
תנאי שרשרת.
נסתכל על הכפייה שתוארה בסעיף הקודם - הוספת formula_29 תת-קבוצות חדשות של הטבעיים. כדי להוכיח שהמודל שמתקבל אכן לא מקיים את השערת הרצף, אנחנו צריכים להראות שהמונה שהיה מעוצמה formula_29 במודל הבסיס נשאר מעוצמה formula_29 - כלומר שהמסנן הגנרי שהוספנו לא שינה את המונים של המודל.
הדרך להראות זאת היא על ידי שימוש בתנאי השרשרת: כפייה מקיימת את תנאי אנטי-השרשרת הבת-מנייה (c.c.c.) אם כל אוסף איברים לא מתיישבים בזוגות בתוכו הוא לכל היותר בן מנייה (כאשר זוג איברים p,q נקבע מתיישב אם יש תנאי r שחזק משניהם: r\omega_1&lt;/math&gt;. לפונקציה הזו יש שם (formula_39), ותנאי formula_21 שכופה אותו להיות פונקציה כזו:
כעת, אנחנו יודעים שמתחת לכל איבר במושג הכפייה יש איבר שקובע את הערך הראשון של הפונקציה. נבחר (במודל הבסיס) אנטי שרשרת מקסימלית של איברים במושג הכפייה שקובעים את הערך הראשון - A. קל לראות, שהמסנן הגנרי G בהכרח יכיל בדיוק איבר אחד מתוך A. אבל A הוא בן מנייה וכל איבר מ-A מאפשר רק ערך אחד לערך הראשון של הפונקציה ולכן בסך הכל אוסף האפשרויות לערך הראשון של הפונקציה הוא קבוצה בת מנייה במודל הבסיס. נמשיך כך ונקבל פונקציה במודל הבסיס formula_42 כך שמתקיים formula_43
כלומר הצלחנו לחסום את הפונקציה החדשה שהוספנו (בעלת השם formula_39) על ידי הפונקציה F שנמצאת במודל הבסיס, ו-F מאפשרת לכל ערך רק formula_46 אפשרויות. מכאן, קל להראות כי הכפייה לא יכולה להפוך את formula_47 לבן מנייה ובאופן כללי היא אינה משנה את הקופינאליות של הסודרים. בפרט, כל המונים של מודל הבסיס הם מונים גם במודל המורחב.
מיטוט מונים.
בניגוד לסעיף הקודם, קיימות כפיות רבות בהן אנחנו דווקא רוצים לשנות את המונים של מודל הבסיס. אם סודר מסוים הוא לא מונה, אז יש פונקציה חח"ע ממנו אל סודר קטן ממנו. פונקציה זו תישאר גם המודל המורחב ולכן כפייה לא יכולה להפוך סודר שאינו מונה למונה. לעומת זאת, הכיוון ההפוך יכול לקרות - ייתכן שמודל הבסיס "חושב" שסודר formula_48 מסוים הוא מונה אבל המסנן הגנרי שנוסיף יוסיף פונקציה חח"ע ממנו אל מונה קטן יותר formula_49. במקרים כאלו נאמר כי הכפייה "מוטטה" את המונה formula_48 ל-formula_49. למשל, מושג הכפייה formula_52, עם הסדר החלקי של הכלה הפוכה, ממוטט את formula_53.
דוגמה מורכבת יותר לכפייה כזו היא מיטוט לוי - זו כפייה שממוטטת מונה אי-נשיג להיות עוקב של מונה רגולרי. ב-1970 רוברט סולוביי (Solovay), הראה שבמודל פנימי של המודל המתקבל ממיטוט לוי של אי-נשיג (שאינו מקיים את אקסיומת הבחירה), כל תתי הקבוצות של המספרים הממשיים הן מדידות לבג.
מודלים בוליאניים.
ניתן להגדיר את מושג הכפייה גם באמצעות שימוש באלגבראות בוליאניות. הרעיון הוא שבהינתן אלגברה בוליאנית שלמה B שנמצאת בתוך המודל M אפשר להגדיר "מודל" שערכי האמת שלו אינם רק "נכון" ו"שגוי" אלא איברים מ-B. בפרט לכל x,y לטענה formula_54 יהיה ערך ששייך ל-B.
המודל הבוליאני הזה יקיים למשל שאם טענה אחת גוררת את התקיימות הטענה השנייה, אז ערך האמת של השנייה הוא גדול יותר משל הראשונה, במונחים של יחס הסדר החלקי המוגדר על B. בנוסף, אם M קיים את אקסיומות ZFC אז המודל הבוליאני יקיים אותן עם ערך אמת 1 (המקסימום של B).
המקבילה שלנו למסנן הגנרי עבור יחס סדר כללי, היא על-מסנן ב-B שהוא M-שלם, כלומר על מסנן בו לכל formula_55, יש חסם תחתון ב-G לאיברי X. אפשר לחשוב על על-המסנן הזה כ"החלטה" אלו ערכי מתוך B מייצגים "אמת" ואלו מייצגים "שקר", ובכך G הופך את המודל עם הערכים הבוליאניים למודל סטנדרטי של תורת הקבוצות.
ההגדרה הזו שקולה להגדרה שהצגנו לעיל, כיוון שמצד אחד כפייה עם יחס הסדר החלקי formula_56 מספקת על מסנן כרצוי, ומצד שני כל יחס סדר חלקי משוכן באופן צפוף באלגברה בוליאנית שלמה.
הבחירה המקובלת, שמשמעות היחס p &lt; q היא "q חלש יותר מ-p" (עבור זוג תנאים במושג הכפייה), נובעת מכיוון הסימון המקובל באלגבראות בוליאניות - שם ככל שתנאי גדול יותר הוא מוסר פחות אינפורמציה על על-המסנן אליו הוא שייך. שהרן שלח נוהג לסמן את כיוון יחס הסדר של הכפייה באופן הפוך, כלומר במאמריו, משמעות הביטוי p &lt; q היא "q חזק יותר מ-p". מנהג זה התקבל בקרב מספר מתמטיקאים ישראלים נוספים, בעקבות העבודות של שלח.
פורמליזם.
לפי משפט האי שלמות השני של גדל, לא ניתן להוכיח במסגרת ZFC כי קיים מודל המקיים את כל האקסיומות של ZFC ובפרט לא ניתן לבנות את מודל הבסיס - המודל הבן-מנייה שמקיים את ZFC.
ניתן להתגבר על הבעיה הזו באמצעות עקרון ההשתקפות - לכל קבוצה סופית של אקסיומות, ניתן להוכיח ב-ZFC כי קיים סודר formula_57 כך שהאוסף formula_58 (שהוא אוסף כל הקבוצות מדרגה שחסומה על ידי formula_57), הוא מודל של אותן אקסיומות, ובפרט ניתן לקחת תת-מודל אלמנטרי בן מנייה של formula_58.
כעת, אם טענה מסוימת עומדת בסתירה ל-ZFC, אז היא עומדת בסתירה גם לאיזו תת-קבוצה סופית A, של אקסיומות של ZFC. כאשר הוכחנו שבמודל לאחר הוספת מסנן גנרי מתקיימות כל האקסיומות של A, השתמשנו בכך שמודל הבסיס קיים קבוצה סופית כלשהי של אקסיומות, B. כיוון שניתן להוכיח עבור תת-הקבוצה B כי יש לה מודל בן מנייה, אם נפעיל את שיטת הכפייה על המודל הזה נקבל מודל שמקיים גם את הטענה אותה כפינו וגם את האוסף A, ולכן לא ייתכן שהייתה סתירה מלכתחילה.
דבק שפכטל
דבק שפכטל (באנגלית Glue Putty או Wall Filler Putty) הוא מֶרֶק המשמש כחומר מילוי והחלקה של קירות, המשמש לעיתים לעיטור או לגימור קירות. על פי רוב, דבק שפכטל מבוסס על תרחיף של שמן פשתן ומלאן אבקתי. השם שפכטל, הנפוץ בישראל, מקורו בשם המותג של חברת טמבור, אך גם חברות נוספות מייצרות מוצרים מתחרים תחת אותו שם. בארצות הברית נמכרים מוצרים רבים המשמשים לאותה פעולה, לרוב תחת השם התיאורי Wall Filler Putty, בשמות מותגים שונים.
דבק שפכטל לרוב נמכר במכלי פלסטיק או בדליים כשהוא מכוסה בניילון באופן הרמטי לשמירה על הלחות ומרקמו דומה לחרס רך ודביק. ניתן לגוון את השפכטל כהכנה לצבע או כתחליף לצביעה. לאחר מריחתו הוא מתייבש ומרקמו משתנה. לאחר מס' שעות הוא מתייבש ומתקשה לחלוטין.
שיטות יישום.
השיטה הנפוצה ביותר ליישום דבק שפכטל היא ידנית ונעשית באמצעות שפכטל שיטה זו מתאימה לסתימת חורים בקירות ולתיקוני טיח קלים. ליישום על משטחים גדולים יותר נעזרים במכשיר איירלס ומתיזים את דבק השפכטל על הקיר.
יישומים.
על פי הוראות יצרנים שונים, דבק שפכטל משמש למילוי והחלקה של משטחי טיח, קירות, גבס ובטון. ניתן להשתמש בדבק שפכטל גם למטרות איטום חלונות, אריחים, ורהיטי עץ ולפיסול ועבודות אמנות.
שארלי אטאלי
שארלי שלום אטאלי (1930–2006) היה מהנדס ישראלי.
קורות חיים.
אטאלי נולד בקונסטנטין שבאלג'יריה וכתלמיד מצטיין נשלח בנעוריו ללימודים במכון הלאומי לאווירונאוטיקה שבצרפת. בתום לימודיו הוא עבד בחברת "סוד אוויאסיון" ולאחר מכן במפעל "SEREB" לייצור טילים בליסטיים. אטאלי נתמנה על ידי הנשיא שארל דה גול לראש פרויקט טיל "דיאמנט". עבור פועלו בתפקיד זה הוענק לו בשנת 1965 אות לגיון הכבוד. לאחר הצלחת שיגור הטיל הוא מונה לאחראי על פעילות צרפת בפרויקט "אירופה 1" לייצור טיל בתוכנית משותפת למדינות אירופה.
בשנת 1969 התבקש אטאלי על ידי משה ארנס, מנהל חטיבת ההנדסה בתעשייה האווירית באותה עת, לעלות לישראל ולסייע בפיתוח מטוס הכפיר. אטאלי נענה בחיוב ותוך זמן קצר עלה עם אשתו ושני ילדיו. במהלך שנות עבודתו בתעשייה האווירית הוא לקח חלק בין היתר בפיתוח "כפיר", "אריה", ו"לביא". עבור פיתוח המזל"ט "זהבן" הוענק לו, במשותף עם חבריו לצוות הפיתוח, פרס ביטחון ישראל לשנת 1981. עבודתו נמשכה עד צאתו לגמלאות ב-1995.