הן הגרסה החלשה והן הגרסה החזקה של השערת גולדבך קשורות לקבוע שנירלמן, שהוא המספר formula_8 הקטן ביותר כך שכל מספר טבעי שגדול מ־1 הוא סכום של לא יותר מ־formula_8 ראשוניים. הקבוע נקרא על שם לב שנירלמן, שהוכיח (באמצעות צפיפות שנירלמן) שקיים קבוע כזה. לאחר הוכחתו של שנירלמן, מתמטיקאים רבים שיפרו את הקבוע. השערת גולדבך החלשה גוררת שקבוע שנירלמן לא עולה על 4. עד הוכחתו של הלפגוט החסם הטוב ביותר על קבוע שנירלמן היה 6 (טאו 2012) השערת גולדבך עצמה גוררת שקבוע שנירלמן שווה ל־3. ברור שקבוע שנירלמן לא יכול להיות קטן מ־3.
ישנה גרסה מעט חזקה יותר של השערת גולדבך החלשה, הטוענת כי כל מספר אי־זוגי שגדול מ־7 הוא סכום של 3 מספרים ראשוניים אי־זוגיים. הוכחתו של הלפגוט תקפה גם עבור גרסה זו.
היסטוריה.
ניסוח ההשערה.
מקור הטענה במכתב ששלח כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר ב־1742, ובו הועלתה האפשרות שניתן לכתוב כל מספר שלם כסכום של שלושה מספרים ראשוניים (לרבות, במשתמע, המספר 1, שבדרך כלל אינו נחשב ראשוני). במכתב התשובה ציטט אוילר השערה אחרת של גולדבך, שעל־פי ניסוחה המקובל היום, ניתן להציג כל מספר זוגי כסכום של שני מספרים ראשוניים אי־זוגיים. הגרסה החלשה נובעת מהשערת גולדבך, משום שאפשר לכתוב כל מספר אי־זוגי כסכום של הראשוני 3 ועוד מספר זוגי.
הבעיה תוארה על ידי אדמונד לנדאו ב־1912 כ"בלתי ניתנת להשגה".
ב־1925 נשא לנדאו בירושלים הרצאה תמציתית בנושא זה לרגל פתיחת מכון איינשטיין למתמטיקה באוניברסיטה העברית.
הוכחת ההשערה למספרים גדולים בהינתן השערת רימן המוכללת.
ב־1922 הוכיחו הארדי וליטלווד שאם מניחים את השערת רימן המוכללת, אפשר להציג כל מספר אי־זוגי גדול מספיק כסכום של שלושה ראשוניים. ההוכחה של הרדי וליטלווד לא נתנה חסם מפורש למספר שממנו ההשערה נכונה. עם זאת ניתוח מאוחר יותר של הוכחתם מניב את החסם formula_10.
הוכחת ההשערה למספרים גדולים ללא תנאים.
איוואן וינוגרדוב הצליח להסיר את ההנחה ב־1937. ההוכחה של וינוגרדוב לא נתנה חסם לערך שאחריו ההשערה נכונה. תלמידו של וינוגרדוב, קונסטנטין בורוזדקין (Borozdkin), הצליח לתת כזה חסם ב־1939. החסם עמד על formula_11.
שיפור החסם על המספר ממנו ההשערה נכונה.
ב־1956 שיפר בורוזדקין את הערך ל formula_12.
החסם שופר ל־formula_13 (Chen-Wang, 1989) ושוב ל־formula_14 (Chen-Wang, 1996).
ב־2002 שופר החסם ל־formula_15 על ידי Liu-Wang, אולם הפער בין מספר זה לבין המספר הגדול ביותר שנבדק עד כה נותר גדול.
הוכחת ההשערה בהינתן השערת רימן המוכללת.
ב־1997 הצליחו דשוילארס, אפינגר, רילה וזינובייב לסגור את הפער אם מניחים את השערת רימן המוכללת: זינובייב הוריד את החסם לformula_16 (בהנחת השערת רימן).
לאחר מכן דשוילארס ורילה בדקו בעזרת מחשב את השערת גולדבך הרגילה עד formula_17 וארבעתם הסיקו מהבדיקה הזאת (שוב בהנחת השערת רימן) את נכונות השערת גולדבך החלשה עד formula_16. בשנת 1998 חזר Yannick Saouter על הסקת נכונות השערת גולדבך החלשה עד formula_16 ללא שימוש בהשערת רימן.
הוכחת ההשערה.
בשנים 2012 ו־2013 הוכיח הראלד הלפגוט את השערת גולדבך החלשה בשלושה מאמרים. ההוכחה התבססה בין היתר על חישוב שביצע יחד עם פלאט באותו הזמן.
שני המאמרים הראשונים הוקדשו לשיפור החסמים הנחוצים להוכחה. מאמרים אלו לא התבססו על השערת רימן. שיפור החסמים התאפשר בין היתר בזכות בדיקה ממוחשבת של השערת רימן המוכללת (עבור מספר סופי של פונקציות זטא) עד לגובה מסוים במישור המרוכב.
בשנת 2013 בדקו הלפגוט ופלאט את תקפותה של השערת גולדבך החלשה עד formula_20.
הם השתמשו בשיטה דומה לשיטתו של Saouter לבדיקה של השערת גולדבך החלשה עד formula_16. במאמר האחרון הוכיח הלפגוט את ההשערה למספרים שגדולים מ־formula_22 (בגרסה של המאמר מ-2014 החסם שופר ל formula_23) ללא הנחת השערת רימן המוכללת, ובכך סגר את ההשערה באופן מלא. בנספח למאמר זה מתאר הלפגוט שיטה נוספת לבדיקת ההשערה עד formula_23. שיטה זו התבססה על מאמר חישובי אחר של פלאט שנכתב באותו הזמן.
טבלה עם תוצאות היסטוריות.
להלן טבלה המסכמת את התוצאות המיטביות הנוגעות לבעיה במהלך השנים. הטבלה מבוססת על סקירה היסטורית בספרו של הלפגוט. ייתכנו תוצאת היסטוריות שלא מופיעות בה.
גרפים.
הגרפים הבאים מסכמים את התוצאות שבטבלה:
רעיון ההוכחה.
ההוכחה של הלפגוט, כמו גם כמעט כל ההוכחות החלקיות הקודמות, מבוססת על השיטה הבאה: בוחרים פונקציית משקל על הטבעיים formula_25 ומנסים לשערך את הסכום formula_26
כאשר formula_27 ו־formula_28 ראשוניים. כדי להראות ש formula_2 הוא סכום של 3 ראשוניים די להראות ש formula_30. שיטת השערוך מבוססת על טור פורייה. התוצאה המתקבלת היא מהצורה formula_31 כאשר formula_32 היא פונקציה מפורשת כלשהי ו־formula_33 הוא איבר השגיאה החסום על ידי פונקציה מפורשת formula_34. מכאן שהשערת גולדבך נכונה כאשר formula_35. מוכיחים שזה קורה עבור formula_36 אי־זוגי כאשר formula_1 קבוע מסוים ואז בודקים את ההשערה עד formula_1.
החלק העמוק והמרכזי בהוכחה הוא השיערוך של formula_39 בעוד שבדיקת ההשערה עד formula_1 היא משימה חישובית ביסודה. עם זאת שני החלקים דרשו הן רעיונות מתמטיים והן חישוב מסיבי בעזרת מחשב.
שיטות להוכחת ההשערה למספרים גדולים.
השיטה לשערוך formula_39 נקראת שיטת המעגל של הרדי וליטלווד. היא מבוססת על שערוך של טור החזקות formula_42 על מעגל היחידה במישור המרוכב. קל לראות ש formula_43 כאשר formula_44 לכן די לשערך את formula_45 על מעגל היחידה. למעשה עובדים עם גרסאות של הפונקציה formula_45 שבהן הסכום הוא לא רק על ראשוניים אלא עלֹ מחלקה רחבה יותר של מספרים, למשל חֲזקות של ראשוניים. שערוך של גרסאות אלה יוביל לשערוך מספר הדרכים (המשוקלל) שבהן ניתן להציג מספר כסכום של 3 מספרים מהמחלקה המתאימה. אז נותר להוכיח שהתרומה של המספרים שאינם ראשוניים זניחה.
ההוכחה המקורית של הרדי וליטלווד התבססה על ניתוח של הערך של formula_45 בשורשי יחידה. ניתוח זה מצריך ידע על התפלגות ראשוניים בסדרות חשבוניות. השערת רימן המוכללת נותנת ידע כזה. למעשה יש צורך בהשערת רימן הקאלסית ובהשערת רימן המוכללת עבור פונקציות זטא של דדקינד עבור הרחבות ציקלוטומיות של formula_48. לפי משפט הקירוב של דיריכלה ניתן לכסות את מעגל היחידה בקשתות שמרכזיהן הם שורשי יחידה ורדיוסיהן הם כאחד חלקי סדר השורש בריבוע. בהתבסס עלֹ זה הצליחו הרדי וליטלווד להרחיב את השערוך של formula_45 לכל מעגל היחידה.
הרעיון בהוכחה של וינוגרדוב היה לחלק את השערוך לשני חלקים:
וינוגרדוב מצא דרך אחרת להתמודד עם הקשתות הקטנות, המבוססת על שיטות נפה. כיוון שמספר הקשתות הגדולות סופי, נדרש שערוך פחות מדויק עבורן.
לכן ניתן להחליף את השערת רימן המוכללת במשפטים אודות אי־התאפסות של פונקציות זטא (של רימן ושל דדקינד) באזורים מסוימים במישור המרוכב.
ההוכחה המקורית של וינוגרדוב הסתמכה על תופעת דורינג–הילבורן (Deuring–Heilbronn phenomenon), לפיה קיום של אפס המהווה דוגמה נגדית להשערת רימן המוכללת מבטיח אי־התאפסות של פונקציות זטה מסוימות בתחומים מסוימים. כך שאפשר לחלק את ההוכחה לשני מקרים:
החיסרון בשיטה זאת, הוא שאין דרך לדעת איפה נמצא formula_54 ולכן תחומי האי־התאפסות אינם מפורשים.
זאת הסיבה שהוכחה זו אינה נותנת חסם על המקום שממנו השערת גולדבך החלשה מתקיימת.
בהוכחות מאוחרות יותר הוחלף השימוש בתופעת דורינג–הילבורן במשפטים אחרים הנותנים תחומים מפורשים של אי־התאפסות, ולכן הן נותנות חסמים מפורשים (אם כי גבוהים מאוד).
אחד החידושים בהוכחה של הלפגוט היא שבהוכחתו הוא משתמש, בנוסף לאֲזורי האי־התאפסות שהשתמשו בהם בהכחות הקודמות גם בעובדה שלפונקציית זטא אין אפסים לא טריוויאליים מחוץ לישר הקריטי בעלי ערך מדומה קטן (בערכו המוחלט) מקבוע מסוים (סדר גודל של formula_56; עבור כ־formula_57 פונקציות זטא שונות). בדיקה של אי־התאפסות זו התבצעה בשנת 2011 על ידי פלאט בעזרת מחשב. בהתבסס על כך הצליח הלפגוט לשפר את החסמים על הקשתות גדולות. כמו כן הלפגוט שיפר את החסמים על הקשתות הקטנות.
שיטות לבדיקת ההשערה למספרים קטנים.
המספרים שעד אֲליהם צריך לבדוק את השערת גולדבך הם גדולים למדי (formula_58 בהוכחה של הלפגוט). לא ניתן לעבור על כמות כזאת של מספרים במחשב מודרני בהשקעה סבירה. קשה עוד יותר לבצע חישוב לא טריוויאלי כלשהו בשבילם. לכן אסטרטגיית הבדיקה צריכה להיות מתוחכמת יותר:
בשלב הראשון מבצעים בדיקה של השערת גולדבך הרגילה עד למספר גדול יחסית formula_59. בדיקה זאת מתבצעת על ידי גרסאות של נפת ארטוסתנס. השיא הנוכחי הושג ב־2013 על ידי אוליברה, סילבה הרצוג ופראד ועומד על formula_60.
כדי להסיק את השערת גולדבך החלשה עד קבוע formula_1 די להראות שההפרש המקסימלי בין שני ראשוניים עוקבים עד formula_1 קטן מ formula_59. מכאן יש 2 גישות:
אמינות החישובים.
ההוכחה התבססה בין היתר על חישוב מסיבי בעזרת מחשב. כך שבנוסף לשאלות רגילות הנוגעות לאמינות הטיעונים והתוכנה הנבחנות בכלים הרגילים של ביקורת עמיתים וקבלה על ידי הקהילה, עלתה גם שאלת אמינות החישוב עצמו ורגישותו לטעויות חומרה. הסבירות שמחשב יטעה בחישוב נמוכה מאוד אך לא אפסית. לכן כשמבצעים כמות גדולה כל כך של חישובים טעוית כאלה קורות.