איבר formula_22 של formula_2 הוא לא-יוצר אם אין אידיאל שמאלי אמיתי formula_24 כך ש- formula_25 (במילים אחרות, formula_22 יוצר תת-מודול קטן של formula_2, כמודול מעל עצמו). אוסף האיברים הלא יוצרים (שהוא סכום תת-המודולים הקטנים) שווה לרדיקל ג'ייקובסון של החוג.
הגדרה באמצעות איברים קוואזי-הפיכים.
אם formula_28 הפיך משמאל בחוג, אומרים ש-formula_29 קוואזי-הפיך (משמאל). אידיאל קוואזי-הפיך הוא אידיאל שכל האיברים שלו קוואזי-הפיכים.
רדיקל ג'ייקובסון הוא האידיאל הקוואזי-הפיך הגדול ביותר. (הוכחה: אם formula_30 איבר של הרדיקל אז הוא שייך לכל אידיאל שמאלי מקסימלי, ולכן formula_31 אינו שייך לאף אידיאל מקסימלי, ומכאן שהוא הפיך משמאל. כלומר, הרדיקל קוואזי-הפיך. מאידך, יהי formula_32 אידיאל שמאלי קוואזי-הפיך, אז הוא מוכל בכל אידיאל שמאלי מקסימלי, משום שאחרת יש formula_33 שאינו ב-formula_16, ואז formula_35, כלומר formula_36 עבור formula_30 מתאים, בסתירה לכך ש-formula_38 הפיך משמאל.)
בחוג עם יחידה, האיבר formula_22 הוא קוואזי-הפיך משמאל אם יש איבר formula_30 כך ש-formula_41, כלומר formula_42. אפשר לאמץ הגדרה זו גם אם בחוג אין יחידה: formula_22 הוא קוואזי-הפיך אם יש איבר formula_30 כך ש-formula_42. משום כך, גם בחוג שאין בו יחידה, רדיקל ג'ייקובסון מוגדר כאידיאל השמאלי הקוואזי-הפיך הגדול ביותר. חוג נקרא "רדיקל ג'ייקובסון" אם הוא שווה לרדיקל של עצמו.
תכונות של הרדיקל.
הרדיקל תורשתי: לכל אידיאל formula_58 של חוג formula_2 מתקיים formula_60.
רדיקל ג'ייקובסון מכיל כל אידיאל שמאלי נילי (משום שאיברים ניליים הם קוואזי-הפיכים), ולכן גם את הרדיקל הנילי העליון של החוג. אחת השאלות העיקריות באשר לרדיקל ג'ייקובסון היא מתי הוא בעצמו נילי (וטוב יותר - נילפוטנטי). הרדיקל אינו מוכרח להיות נילי (למשל, הרדיקל של תחום שלמות מקומי שווה לאידיאל המקסימלי שלו, ואין בו מחלקי אפס).
בהקשר זה הוכיח שמשון עמיצור שאם formula_2 הוא אלגברה מעל שדה formula_46 שעוצמתו גדולה מן המימד של formula_2 מעליו, אז הרדיקל נילי, וכן שרדיקל ג'ייקובסון של חוג פולינומים formula_64 הוא תמיד מהצורה formula_65 כאשר formula_58 אידיאל נילי של formula_2.
רדיקל ג'ייקובסון אינו מכיל אידמפוטנטים (פרט כמובן לאפס). אם formula_2 הוא אלגברה מעל שדה, האיברים האלגבריים ברדיקל הם כולם נילפוטנטים.
אחד השימושים הראשונים לרדיקל היה תנאי הקומוטטיביות של ג'ייקובסון (1945): חוג שבו לכל איבר formula_69 יש formula_70 כך ש-formula_71, הוא קומוטטיבי.
באלגברות מדורגות, רדיקל ג'ייקובסון הוא הומוגני ומדורג-נילי (כלומר, כל אבר הומוגני ברדיקל הוא נילפוטנטי). ההפך אינו נכון: קיימת אלגברה נוצרת סופית, פרימיטיבית למחצה ומדורגת-נילית.
פרימיטיביות למחצה.
חוג formula_2 נקרא פרימיטיבי למחצה (לפעמים גם "formula_73-פשוט למחצה") אם רדיקל ג'ייקובסון שלו הוא אפס. כל חוג פרימיטיבי הוא פרימיטיבי למחצה, וכל חוג פרימיטיבי למחצה הוא ראשוני למחצה. יש חוגים ראשוניים שאינם פרימיטיביים למחצה (למשל - חוג השלמים ה-p-אדיים), חוגים פרימיטיביים למחצה שאינם ראשוניים (למשל formula_74), וחוגים ראשוניים ופרימיטיביים למחצה שאינם פרימיטיביים (למשל חוג הפולינומים מעל שדה).
לפי התוצאה של עמיצור שהוזכרה לעיל, אם אין ל-formula_2 אידיאלים ניליים חד-צדדיים (למשל, אם formula_2 חוג ראשוני למחצה PI), אז formula_64 פרימיטיבי למחצה.
חוגי הילברט.
חוג קומוטטיבי formula_2 נקרא חוג הילברט (או חוג ג'ייקובסון) אם כל אידיאל ראשוני ב-formula_2 שווה לחיתוך של קבוצה כלשהי (לא דווקא סופית) של אידיאלים מקסימליים ב-formula_2. במקרה כזה, חיתוך כל האידיאלים המקסימלים בחוג שווה לחיתוך כל האידיאלים הראשוניים בו. אך חיתוך כל האידיאלים הראשוניים בחוג חילופי שווה לאוסף האיברים הנילפוטנטים בחוג, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של חוג הילברט שווה לאוסף האיברים הנילפוטנטים שבו.
למשל, אם formula_46 הוא שדה אז חוג הפולינומים ב-formula_70 משתנים מעל formula_46 - formula_84 הוא חוג הילברט (במקרה ש-formula_46 שדה סגור אלגברית, עובדה זו נובעת ישירות ממשפט האפסים של הילברט, ומשמעותה הגאומטרית היא שיריעה אלגברית אי פריקה שווה לאוסף הנקודות שעליה). לפיכך, כיוון שחוג זה הוא תחום שלמות, הרי ש-formula_86.
מנה של חוג הילברט היא חוג הילברט, ולפיכך רדיקל ג'ייקובסון של כל אלגברה אפינית (שהיא תחום שלמות) שווה ל-"0". חוג קומוטטיבי formula_2 הוא חוג הילברט אם ורק אם כל המנות הראשוניות שלו הן פרימיטיביות למחצה. עובדה זו נובעת ישירות מההתאמה בין אידיאלים מקסימליים בחוג המנה formula_88 לאידיאלים מקסימליים ב-formula_2 המכילים את formula_90.
הלמה של נקאימה.
ראיה נוספת לעובדת היותם של איברי רדיקל ג'ייקובסון קרובים ל-"0" ניתנת על ידי הלמה של נקאימה:
אם formula_1 הוא formula_2-מודול נוצר סופית ואם formula_93 אז formula_94. יתר על כן, אם formula_95 תת-מודול של formula_1 כך שמתקיים formula_97 אז בהכרח formula_98. בניסוח אחר, לכל formula_2-מודול נוצר סופית formula_1, תת-המודול formula_101 הוא תת-מודול קטן.
בעיות פתוחות.
השערת קתה.
להשערת קתה ניסוחים רבים, מהם הקשורים ברדיקל של ג'ייקובסון. למשל, הבעיה שקולה לכך שחוג הפולינומים מעל חוג נילי יהיה תמיד רדיקל ג'ייקבסון (של עצמו); לכך שאם חוג הפולינומים מעל formula_2 פרימיטיבי למחצה, אז הרדיקל הנילי העליון של formula_2 הוא אפס; ולכך שאם formula_2 נילי, אז formula_64 אינו חוג פרימיטיבי (במובן המתאים לחוגים ללא יחידה).
השערת ג'ייקובסון.
ג'ייקובסון שער שאם formula_2 נתרי שמאלי אז הרדיקל formula_107 מקיים formula_108. לטענה זו, כלשונה, הובאה דוגמה נגדית (הרשטיין, 1965) ולכן השערת ג'ייקובסון מנוסחת עבור חוגים נתריים מימין ומשמאל. ההשערה בנוסח זה הוכחה עבור מחלקות שונות של חוגים, אך היא איננה ידועה באופן כללי.
רדיקל ג'ייקובסון של אלגברות חבורה.
אחת הבעיות המרכזיות לגבי המבנה של אלגברות חבורה (של חבורות אינסופיות) היא השאלה האם האלגברה פרימיטיבית למחצה. המתמטיקאי הישראלי שמשון עמיצור הראה שהתשובה חיובית אם formula_46 ממאפיין אפס ואינו אלגברי. במקרה ש-formula_46 הוא שדה אלגברי מעל הרציונליים, הבעיה עדיין פתוחה. אם השדה ממאפיין formula_49 ואין לחבורה איברים מסדר formula_49, אז אלגברת החבורה פרימיטיבית למחצה אם השדה אינו אלגברי מעל תת-השדה הראשוני, וגם אם החבורה פתירה.
ניו וויב
פריימר דיימר
פריימר דיימר (Primer Dimer) הוא תוצר לוואי פוטנציאלי בריאקציית שרשרת של פולימראז (PCR), טכניקה שימושית בביולוגיה מולקולרית. פריימר דיימר הם צמד פריימרים מחוברים. פריימר דיימר נוצרים כאשר שני פריימרים בPCR עוברים היברידיזציה אחד לשני (self-annealed) וגורמים להכפלה עצמית, במקום להכפלת עותקי התוצר המבוקש, על ידי הדנ"א פולימראז. פריימר דיימר עלולים להפריע לריאקציה המקורית בעיקר מפני שהם צורכים את חומרי הגלם במבחנה, לעיתים עד כדי עיכוב הראקציה המקורית. פריימר דיימר מהווים בעיה משמעותית כאשר מספרם קרוב או עולה על מספר מולקולות המטרה אותן מנסים להגביר, דבר הקורה בעיקר בהגברת מספר קטן של עותקי מולקולת מטרה. במקרה של Real Time PCR עלולים הפריימר דיימר לגרום לשגיאה בכימות מולקולת המטרה.
מנגנון היווצרות פריימר דיימר.
מבחינים בין שני מנגנוני היווצרות של פריימר דיימר. מנגנון ראשון שהוא יצור פריימר דיימר משני פריימרים (שלב I ו II באיור), ומנגנון שני של הכפלת פריימר דיימר קיימים (שלב III באיור), ומבוסס על תוצרי המנגנון הראשון.
בשלב I עוברים שני פריימרים היברידיזציה אחד לשני רק בקצה ה-3' שלהם. כאשר חיבור הקצוות יציב מספיק כדי לאפשר ל דנ"א פולימראז להתחבר למבנה, שתי מולקולות אנזים יתחברו לשני קצוות 3' ויאריכו אותם, עד לקבלת המבנה המתואר בשלב II. הגורם העיקרי התורם להגברת יציבות מבנה כזה הוא שכיחות גבוהה של נוקלאוטידים מסוג GC בקצה ה 3' של שני הפריימרים, מכיוון ש G ו C נקשרים זה לזה בשלושה קשרי מימן לעומת A ו T הנקשרים באמצעות שני קשרי מימן בלבד.
השלב ה III מתרחש במחזור ההכפלה הבא, כאשר תוצר ההכפלה מהמחזור הקודם מתחבר כעת בקלות לפריימר המשלים שלו, מכיוון שהוא מכיל את הרצף כולו ולא רק את קצה ה 3'. משלב זה הכפלת הפריימר דיימר מתרחשת ביעילות שווה, או אפילו גבוהה, מיעילות הכפלת רצף המטרה.
זיהוי פריימר דיימר.
ניתן לזהות קיום פריימר דיימר באמצעות הרצה של תוצר הראקציה בג'ל אגרוז באמצעות אלקטרופורזה. פריימר דיימר יופיעו כ'בנד' שאורכו כ 30-50 בסיסים, תלוי באורך הפריימרים. גילוי בג'ל הוא האפשרות הפחות מועדפת מחשש לזיהום המעבדה בתוצרי PCR בעת העבודה. הדרך המקובלת היא להריץ את ראקציית ה PCR עם צבע פלואורסצנטי ייעודי ל DNA דו גדילי, אך ללא ספציפיות לרצף, ובסוף הראקציה לבצע . הפריימר דיימר, שהם קצרים מרצף המטרה ייפרדו בטמפרטורה נמוכה יותר ויצרו פיק אופייני.
התמודדות עם פריימר דיימר.