כדי להוכיח אי-שוויונות כאלה, משווים זהות אינטגרלית הקשורה לשטח, מחד, עם האנרגיה הממוצעת של משפחה של לולאות סגורות, מאידך. לפי אי-שוויון קושי-שוורץ, האנרגיה חוסמת את ריבוע האורך, וכך מתקבל קשר בין השטח לריבוע האורך.
את התוצאה הראשונה עבור משטחים בעלי גנוס כללי השיגו Accola ו-Blatter, שחסמו את ריבוע האורך ככפולה של השטח בקבוע, שערכו שאף לאינסוף כשהגנוס גדל. בראשית שנות השמונים הראו Hebda ו-Burago (בנפרד) שאפשר להסתפק בקבוע שערכו אינו תלוי בגנוס. קשה הרבה יותר להראות שהקבוע יורד לאפס כשהגנוס גדל. תוצאה זו נובעת משיטות חדשות שהציג גרומוב ב-1983. הערך המדויק של קבועים אלה (לכל גנוס) אינו ידוע (פרט לשתי הדוגמאות שניתנו לעיל, ולבקבוק קליין), אבל כן ידוע שהקבוע יורד כמו formula_5, כאשר g הוא הגנוס.
עבודתו העיקרית של גרומוב בתחום זה היא ההכללה ליריעות מממד גבוה מ-2, והוא הוכיח משפטים איזוסיסטוליים לכל יריעה "עיקרית" (כזו שבה המסילות הלא-כוויצות ממלאות את היריעה בכל הכיוונים), ובפרט למרחבים הפרויקטיביים formula_6.
ראובן ארזי
ראובן ארזי (11 במאי 1907 - 19 במאי 1983) היה איש ציבור ישראלי שכיהן כחבר הכנסת מטעם מפ"ם והמערך (1965–1973).
ארזי נולד במזריץ' שבפולין בשם ראובן צדרבוים. למד בגימנסיה במזריץ' ובפקולטה למשפטים והמכון למדעי היהדות בוורשה. כחבר תנועת השומר הצעיר היה ארזי בין ראשי תנועת הסטודנטים הציונים-סוציאליסטים. בשנים 1933–1939 היה חבר מרכז בתי ספר "תרבות". לאחר מכן הוגלה לאורל בברית המועצות ונותר בגלות עד 1946.
לאחר שובו לפולין נמנה בין מייסדי מפלגת "השומר הצעיר" ומונה למזכ"ל המפלגה. כמו כן מילא תפקיד מרכזי בתחיית התנועה הציונית בקרב ניצולי השואה בפולין והיה מנהל הלשכה הארצית של קרן קיימת לישראל בפולין.
בשנת 1949 עלה ארזי לישראל ונתמנה למנהל מחלקת הנוער של הקק"ל וחבר הנהלת הלשכה הראשית שלה. בשנת 1959 נתמנה לחבר הדירקטוריון של הקרן.
בשנות ה-50 היה חבר מזכירות מפ"ם ומאוקטובר 1958 כיהן כמזכיר המדיני של מפ"ם, תפקיד בו כיהן עד היבחרו לכנסת בשנת 1965. כהונתו נמשכה לאורך הכנסת השישית והכנסת השביעית, במהלכן היה חבר ועדת חוקה, חוק ומשפט וסגן יושב ראש הכנסת. לאחר תום כהונתו בכנסת המשיך לכהן בהנהגת מפ"ם והמערך והיה מתומכי המשך המערך של מפלגת העבודה ומפ"ם.
בשנותיו האחרונות כיהן כבורר במוסד לבוררות מוסכמת בשירות הציבורי לצד השופט צבי ברנזון.
ארזי נפטר במאי 1983 במהלך שביתת רופאים, מספר ימים לאחר שהרופאים סירבו לנתחו בגלל השביתה.
סמינר
רשתית תוך-פלסמית
רטיקולום אנדופלזמטי
קצרין (יישוב עתיק)
קצרין העתיקה (ח'רבת קצרין במקור) היא חורבה ארכאולוגית במרכז רמת הגולן שבה שרידי יישוב יהודי מתקופת המשנה והתלמוד, מהמאות ה-2 עד ה-7 לספירה. היישוב נהרס ברעידת האדמה של שנת 749. בחפירות הארכאולוגיות באתר נמצאו שרידי בית כנסת, מבני מגורים, בית בד ורחובות. בחורבות הכפר נתגלו גם ארבע כתובות בארמית, רק אחת מהן שלמה: " רבי אבון משכבו בכבוד". הארכאולוג, דן אורמן, סבור שזו מצבה מקברו של האמורא רבי אבין שחי בסוף המאה ה-3 ובמחצית הראשונה של המאה ה-4. לפי הערכת צבי מעוז, החוקר האחרון של האתר, היו בכפר 75 משפחות ו-300 נפש.
כיום במקום הוקם מוזיאון פעיל. המבקרים בו חוזרים בזמן אל ימי המשנה והתלמוד. הביקור כולל סיור פעיל בבית הכנסת הקדום, בבית המגורים המשוחזר ובבית הבד.
שם היישוב.
הארכאולוג דן אורמן סבור כי שמו הקודם של היישוב הוא "קיסרין" כשם שנרשם במפות שהופיעו בשנות השלושים למאה ה-20, וממנו באו החכמים הידועים כ"רבנן דקיסרין" אשר היו שסברו כי באו מקיסריה שלשפת הים התיכון. ולדעת פרופסור שאול ליברמן (בתוספת ראשונים על תוספתא אהלות פרק יח) [ואברהם גולדברג בביאורו למשנה סוף מסכת אהלות] שמו הקודם של היישוב הוא "קיסריון", נזכר במשנה אהלות פרק יח משנה ט (לפי נוסח הכתבי יד): "מזרח קְיסרְין ומערב קֵיסַריוׁן", כלומר: מזרח קיסרי (היושבת על חוף הים הגדול) שמערבה היא חוף הים (ובמזרח שלה היו קברות), ומערב קיסריון שבצפון מזרח הגולן.
בית הכנסת.
בית הכנסת נחשף מזרחית לעיר קצרין על ידי שמריהו גוטמן בשנת 1968. רשות העתיקות המשיכה את החפירות: ד. אורמן (1971– 1972), מ.בן ארי (1976 – 1977). אחרון החופרים היה צבי מעוז אשר חקר את האתר יחד עם אן קלברו.
בית הכנסת משוחזר בחלקו. לידו, שוחזר חלק מהכפר היהודי שהיה במקום. אחד הבתים צויד בחפצים מאופיינים לתקופת התלמוד. בית הכנסת השתמר יפה באופן יחסי ומפעם לפעם נערכים בו גם כיום טקסים דתיים.
לדעת החוקרים בית הכנסת נבנה בשלבים:
בכפר נמצאו אבנים מעוטרות נוספות והחוקרים סבורים כי היה במקום מבנה ציבורי נוסף, אולי בית מדרש.
תיאור.
בית הכנסת מתוארך לתקופה הביזנטית - תקופה בה פעלו בתי כנסת רבים במרכז הגולן, כגון אלו שנחשפו בחורבת דביה, בחורבת עין נשוט, בחורבת קצביה, בחורבת עסליה ובחורבת זמימרה הסמוכות לקצרין. בית הכנסת בקצרין מהווה דוגמה המבטאת את עושר ההתיישבות היהודית באותה תקופה. מידות בית הכנסת הן 15.4 על 18 מטר. לבנין היו שתי קומות. שער הכניסה גדול יחסית ופתחו לכיוון צפון.
בחלקו הדרומי של בית הכנסת, לכיוון ירושלים, הייתה הבימה. ליד הבימה נמצא חדרון קטן, אולי שימש כגניזה. האולם חולק לשתי שורות עמודים, בראש כל עמוד כותרות יווניות. אחד המאפיינים של בית הכנסת "דגם" ביצים משני הצדדים: הביצה המרכזית מוארכת ומשני עבריה ביצים מעוגלות וקטנות יותר. לאורך הקירות היו שתי שורות של ספסלים מאבן. מתחת לספסל העליון נמצאו 180 מטבעות.
חריתות וכתובות.
בקיר המערבי חריתה של מנורה בת חמישה קנים. בבניין נמצאה חריתה של "עץ חיים" על אבן, חריתה של שלוש רגלים. לתיאורי "עץ החיים", סבור צבי אילן, יש משמעות והאמינו כי יש בה כדי לשמור על הבריאות ולהרחקת עין הרע ומזל ביש.
בבניין נמצאו פריטים אלו:
בבית הכנסת נמצאה כתובת בארמית: "עוזי עבד הדן רבועה ...תרין מנין". מדובר באדם שתרם סכום כסף (שני מנים) להקמת ה"ריבוע" חדר או אולם לסעודות או למסיבות.
הר אודם
הר אודם הוא הר געש רדום ברמת הגולן. ההר מצוי בתחום שמורת יער אודם, הממוקמת בין היישוב מסעדה בצפונה לבין קיבוץ אל-רום בדרומה. ההר נקרא על שם צבע האדמה המבוטא בשם הערבי של ההר: "רס אל אחמר".
הר אודם הוא חלק מקו התלים הישראלי. ההר מורכב מסקוריה בגוונים אדום-סגול. להר שני לועות: האחד - לצד מערב והשני - לצד צפון.
בפסגת ההר קיים מוצב לא מאויש של צה"ל לשעת חירום. במפנה המזרחי מדרגות חקלאיות, הכוללים כרמי גפן. על המפנה המערבי שוכן היישוב אודם.
סבכון זהוב-כנף
הסבכון זהוב-הכנף (שם מדעי: "Vermivora chrysoptera") הוא ציפור קטנה בת למשפחת סבכי העולם החדש. הסבכון זהוב-הכנף ניזון בעיקר מחרקים ומזרעים. כשמפריעים את מנוחתו הוא נעלם בסבך.
מאפיינים.
לסבכון זהוב-כנף, מסכה וגרון שחורים ופס זהוב בולט על הכנף. בנוסף יש לו גב אפור, בטן לבנה ומצח צהוב. הנקבה גדולה יותר מהזכר.
גודלו של הסבכון הוא בין 12.4-13.5 ס"מ ומשקלו 9 גרם.
תפוצה ונדידה.
הסבכון זהוב-הכנף חי באמריקה הצפונית, בעיקר בקנדה. הוא מקנן בין הימות הגדולות לבין האפלאצ'ים. הוא חורף מאמריקה התיכונה עד צפון אמריקה הדרומית.
מאפיינים פיזיים.
אורך גופו של הסבכון זהוב-הכנף הוא 12 ס"מ. הסבכון זהוב-הכנף, כשמו כן הוא, חלק בכנפו צבוע בצהוב זוהר, קודקודו וכיפתו צהובים גם הם, גבותיו לבנות, החלק התחתון בלחייו לבן, והחלק העליון בלחייו - שחור, כמו כן גם סנטרו שחור. גבו וזנבו אפורים ובטנו לבנה.
הסבכון זהוב-הכנף הוא מין נודד, ולכן כנפיו ארוכות ומחודדות. מקורו של הסבכון זהוב-הכנף מחודד כדי לתקוע את מקורו בקלות בחרקים מהם הוא ניזון.
הר כחל
הר כחל נמצא בשלוחה התיכונית של הר החרמון הדרומי המכונה "שלוחת השׂריון". לשלוחת השׂריון יש גוש עליון - "הר ערער" (גובה: 1,730 מ') ו"הר נמנמן" (1,640 מ'), גוש תיכון - "הר שזיף" (1,541 מ') ו"הר כחל" (1,402 מ') וגוש תחתון מצפור גובתה – הר אלון (1,381 מ') והר סנאים (1,146 מ')
הר כחל נמצא בין ארבעה נחלים: במערב – נחל שיאון, במזרח – נחל גובתה, בצפון נחל ערער ובדרום – נחל סנאים. הוא מצוי במרחק שני ק"מ מהמושב נווה אטי"ב.
בפסגת ההר שלושה לועות של מכרות. במקום נחצב מינרל כחול הנקרא "כחל" (או גַלֶנָה) ועל שמו נקרא ההר. זהו מינרל המורכב בעיקר מעופרת (עד 86%) ונוסחתו הכימית PbS. הגלנה הוא אחד מהמינרלים הגופרתיים המצויים בשפע והוא גם הבצר השכיח ביותר של העופרת. בעולם העתיק ה"כחל" שימש לאיפור ולצביעה, ייתכן והמכרות נחפרו על יד היטורים תושביו הקדומים של האזור.
לקריאה נוספת.
מ' ליבנה, סיור בחרמון הר כחל, מ' ענבר א' שילר (עורכים), רמת הגולן, אריאל, 50 – 51, תשמ"ז, עמ' 181 – 183.
קשת זוית
מוקרנאס
אהרן אפרת
אהרן אפרת (20 במרץ 1911 - 16 במאי 1989) היה איש ציבור ישראלי שכיהן כמזכיר מפלגות השומר הצעיר ומפ"ם, ראש אגף בהסתדרות העובדים הכללית וחבר הכנסת.
חייו.
אפרת נולד בלוצק שבאוקראינה בשם אהרן פיקס. בילדותו למד בחדר ובנעוריו בתיכון המקומי. בהיותו בן 16 הצטרף לתנועת השומר הצעיר, מטעמה יצא בשנת 1931 להכשרה. בשנים 1933–1936 היה חבר ההנהגה הראשית של התנועה בפולין ורכז מחלקת העלייה. באותן שנים החל לפעול גם בתנועת "החלוץ" הבלתי לגלית ונבחר להנהגה העליונה העולמית של השומר הצעיר.