בהינתן קבוצה formula_47 ניתן להגדיר קבוצה formula_48 המהווה את איחוד כל הישרים שהם איברי formula_29. הקבוצה formula_29 נקראת יריעה פרויקטיבית אם"ם formula_51 היא יריעה אפינית. ניתן להגדיר טופולוגיה על formula_29 באופן דומה להגדרת הטופולוגיה של זריצקי על יריעות אפיניות. גם טופולוגיה זאת נקראת הטופולוגיה של זריצקי.
אפשר לחשוב על יריעות פרויקטיביות כעל קומפקטיפיקציות של יריעות אפיניות. לדוגמה, אם formula_53 אז יריעות פרויקטיביות הן תמיד קומפקטיות (בטופולוגיה המרוכבת) בעוד שיריעות אפיניות אינסופיות לעולם אינן קומפקטיות (בטופולוגיה המרוכבת). מכיוון שכל יריעה אפינית formula_29 ניתן לשכן במרחב אפיני formula_12 ואת formula_12 ניתן לשכן במרחב הפרויקטיבי formula_57, ניתן לשכן את formula_29 ב-formula_57. שיכון זה אינו סגור. אולם אפשר לקחת את הסגור זריצקי formula_60 של formula_29 בתוך formula_57 וכך לקבל יריעה פרויקטיבית המכילה את formula_29 בתור קבוצה פתוחה צפופה.
הקומפקטיות של יריעות פרויקטיביות נותנת להם תכונות טובות יותר, ובמקרים רבים קל יותר לחקור אותם. הסיבה היא שבעוד שבמרחב האפיני דברים יכולים "לברוח לאינסוף", זה בלתי אפשרי במרחב הפרויקטיבי, כך שניסוחים של משפטים הופכים יותר פשוטים. לדוגמה במישור האפיני, שני ישרים שונים יכולים להחתך ב-0 או ב-1 נקודות. בעוד שבמישור הפרויקטיבי שני ישרים שונים נחתכים בדיוק בנקודה 1. דוגמה נוספת היא שפרבולה אליפסה והיפרבולה נהיות איזומורפיות כאשר סוגרים אותן במישור הפרויקטיבי. הסיבה להבדלים ביניהן במישור האפיני היא שאליפסה לא חותכת את האינסוף כלל, פרבולה חותכת אותו בנקודה אחת והיפרבולה ב-2. אם עובדים מעל המספרים המרוכבים ולא הממשיים אז דוגמה זאת מאבדת מעט מערכה מכיוון שאליפסה והיפרבולה איזומורפיות גם כיריעות מרוכבות אפינייות.
לא ניתן לחקור יריעה פורויקטיביות formula_29 באמצעות חוג פונקציות הרגולריות עליהם, מכיוון שחוג זה קטן מאוד (אם היריעה קשירה או בלתי פריקה אז חוג זה הוא השדה formula_1). את תפקידו של חוג זה תופס חוג הפונקציות הרגולריות על היריעה האפינית formula_51. מכיוון שיריעה זאת אינווריאנטית להומותטיה (ז"א כפל בסקלרים מ-formula_1), חוג הפונקציות עליה הוא חוג מדורג: פונקציה הומוגנית ממעלה formula_68 על formula_51 היא פונקציה המתקבלת מצימצום של פולינום הומוגני ממעלה formula_68 על המרחב האפיני formula_43.
הקשר בין יריעות פרויקטיביות לאלגבראות מדורגות דומה לקשר בין יריעות אפיניות לאלגבראות.
מכיוון שניתן לכסות את formula_72 על ידי formula_73 העתקים של formula_74 (המתאימים ל-formula_73 היפר מישורים ב-formula_76) ניתן גם לכסות כל יריעה פרויקטיבית על ידי מספר סופי של יריעות אפיניות. כיסוי כזה מאפשר דרך נוספת לחקור יריעות פרויקטיביות.
יריעות קווזי-אפיניות וקווזי-פרויקטיביות.
קבוצה פתוחה ביריעה אפינית formula_29 הנתונה על ידי התנאי formula_78 כאשר formula_79 היא פונקציה רגולרית על formula_29 נקראת קבוצה פתוחה בסיסית. על קבוצה כזאת יש מבנה טבעי של יריעה אפינית מכיוון שאפשר לשכן אותה כקבוצה סגורה ב-formula_81:
formula_82
אולם לא ניתן לבצע זאת עבור קבוצות פתוחות כלליות. לדוגמה על הקבוצה formula_83 אין מבנה של יריעה אפינית.
קבוצה פתוחה ביריעה אפינית נקראת יריעה קווזי אפינית. ניתן לחקור יריעות קווזי אפיניות על ידי היריעות האפיניות המכילות אותן או על ידי הקבוצות הבסיסיות המכסות אותן (שהן גם כן יריעות אפיניות).
באופן דומה יריעה קווזי-פרויקטיבית היא קבוצה פתוחה ביריעה פרויקטיבית. נשים לב שכל יריעה אפינית היא קווזי פרויקטיבית (מכיוון שאפשר לשכן מרחב אפיני בתור קבוצה פתוחה במרחב פרויקטיבי).
יריעות קווזי-פרויקטיביות מהוות מחלקה רחבה של אובייקטים גאומטריים. תתי-קבוצות פתוחות וסגורות ביריעות קווזי-פרויקטיביות הן יריעות קווזי-פרויקטיביות. גם היום כאשר המושג של יריעה אלגברית כללית ידוע ומקובל היטב, חלק גדול מהמחקר בגאומטריה אלגברית מתמקד ביריעות קווזי-פרויקטיביות.
למעשה לא קל למצוא דוגמה של יריעה אלגברית שאיננה קווזי-פרויקטיבית. המוטיבציה של וייל להגדיר את המושג הכללי של יריעה אלגברית באה מדוגמה מסוימת, אולם דוגמה זאת התבררה לימים כיריעה קווזי-פרויקטיבית (אם כי מסיבות לא טריוויאליות). דוגמה ליריעה אלגברית לא קווזי-פרויקטיבית נמצאה רק לאחר כעשור על ידי נגטה.
בדומה ליריעות פרויקטיביות ויריעות קווזי-אפינית גם יריעות קווזי-פרויקטיביות ניתן לכסות על ידי מספר סופי של קבוצות פתוחות המהוות יריעות אפיניות.
מגבלות של יריעות קווזי פרויקטיביות.
למרות המגוון הרחב של יריעות קווזי פרויקטיביות יש להן מגבלות רבות. ראשית, הצורך לקבוע שיכון למרחב פרויקטיבי על מנת לדבר על היריעה איננו טבעי. ברמה היותר פרקטית, מסובך לבצע בנייות גאומטריות בסיסיות עם יריעות קווזי פרויקטיביות, ולעיתים אף בלתי אפשרי. לדוגמה לא ברור איך להגדיר מבנה של יריעה (קווזי) פרויקטיבית על מכפלה קרטזית של יריעות (קווזי) פרויקטיביות. הדבר ניתן לביצוע על ידי שיכון של מכפלה של מרחבים פרויקטיבים למרחב פרויקטיבי, הנקרא שיכון סגרה, אך פתרון זה איננו טריוויאלי, ומעלה משמעותית את ממד המרחב הפרויקטיבי אליו משוכנת היריעה. דוגמה נוספת היא פעולת ההדבקה. בהינתן שני מרחבים טופולוגיים formula_29 ו-formula_85 ושיכונים פתוחים formula_86 ו-formula_87 ניתן להגדיר את ההדבקה formula_88 לאורך formula_89 בתור האיחוד הלא קשיר formula_90 מודולו יחס השקילות formula_91. פעולה זאת אינה ניתנת לביצוע ליריעות קווזי פרויקטיביות. הצורך בביצוע פעולה זאת מהווה את המוטיבציה המרכזית להגדרה המודרנית של יריעה אלגברית.
הגדרה פורמלית באמצעות אלומת פונקציות.
באופן אינטואיטיבי, ניתן להגדיר יריעה אלגברית כללית בתור "תוצר ההדבקה של מספר יריעות אפיניות". ברמה הפורמלית יש להגדיר מחלקה רחבה יותר של אובייקטים גאומטריים שיריעות אלגבריות מהוות חלק ממנה, ולהגדיר את ההדבקה במחלקה זאת. ישנן מספר מחלקות כאלה. אחת הפופולרית בהן היא "אוסף המרחבים הטופולוגיים עם אלומות פונקציות".
מרחב עם אלומת פונקציות.
יהי formula_29 מרחב טופולוגי. אלומת פונקציות formula_93 (עם ערכים ב formula_1) על formula_29 היא התאמה אשר מתאימה עבור כל קבוצה פתוחה formula_96, תת-אלגברה formula_97 (עם יחידה) של אלגברת הפונקציות מ-formula_89 ל-formula_1, כך שמתקיים:
אם formula_96 קבוצה פתוחה אז ניתן להגדיר את הצמצום formula_110 של formula_93 ל-formula_29 על ידי formula_113, לכול קבוצה פתוחה formula_100.
זוג formula_115 המורכב ממרחב טופולוגי formula_29 ואלומת פונקציות formula_93 עליו, נקרא מרחב עם אלומת פונקציות. אם formula_115 הוא מרחב עם אלומת פונקציות אז formula_119 נקראת אלומת המבנה של formula_29. יהיו formula_121 ו-formula_122 מרחבים עם אלומות פונקציות. העתקה formula_123 נקראת מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות אם formula_124 רציפה ולכל formula_125 ו-formula_101 מתקיים :formula_127.
אוסף המרחבים עם אלומות פונקציות הוא קטגוריה, בפרט שני מרחבים עם אלומות פונקציות formula_121 ו-formula_122 נקראים איזומורפיים אם קיימות העתקות formula_130 ו-formula_131 של מרחבים עם אלומות פונקציות כך ש: formula_132 ו
formula_133.
מרחבים עם אלומות פונקציות הם מקרים פרטיים של מרחבים מחויגים.
יריעות אפיניות כמרחב עם אלומת פונקציות.
תהי formula_29 יריעה אפינית. תהי formula_96 קבוצה פתוחה. מכיוון ש-formula_89 היא יריעה קווזי-אפינית, ניתן להגדיר את חוג הפונקציות הרגולריות formula_93 על formula_89. קל לראות שההתאמה formula_139 נותנת אלומת פונקציות. מכאן ש-formula_29 מצוידת בטופולוגיה של זריצקי יחד עם אלומת הפונקציות הרגולריות formula_93 מהווה מרחב עם אלומת פונקציות. קל לראות כי העתקה formula_142 היא מורפיזם של יריעות, אם"ם היא מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות. במילים אחרות קטגוריית היריעות האפיניות היא תת-קטגוריה מלאה בקטגוריית המרחבים עם אלומות פונקציות.
לא כל מרחב עם אלומת פונקציות הוא יריעה אפינית. יריעה אפינית formula_85 היא מרחב עם אלומת פונקציות שמקיים את התכונות הבאות:
הגדרה של יריעה אלגברית.
מרחב עם אלומת פונקציות formula_115 נקרא יריעה אלגברית אם קיים כיסוי פתוח סופי formula_152 כך ש-formula_153 איזומורפי (כמרחב עם אלומת פונקציות) ליריעה אלגברית אפינית. מורפיזם של יריעות מוגדר להיות מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות. הטופולוגיה על יריעה נקראת הטופולוגיה של זריצקי.
מורפיזם בין יריעות אלגבריות.
מורפיזם של יריעות מוגדר בתור מורפיזם בין מרחבים עם אלומת פונקציות. במילים אחרות קטגורית היריעות האלגבריות מוגדרת להיות התת-קטגוריה המלאה של קטגורית המרחבים עם אלומות פונקציות, שהאובייקטים שלה הם יריעות אלגבריות.
פעולות עם יריעות.
בניות קטגוריות.
אוסף היריעות האלגבריות הוא קטגוריה. בקטגוריה זאת קיימים גבולות הפוכים סופיים, וגבולות ישרים מסוימים. בפרט ניתן להגדיר את הבניות הבאות:
formula_159
בניות אינפיניטסימליות.