דרך נוספת להגדיר את המכפלה formula_6 כעוצמה של המכפלה הקרטזית של קבוצות בגדלים formula_7 (ההגדרה מתלכדת עם ההגדרה האינדוקטיבית). אבל המכפלה הקרטזית של משפחה ריקה של קבוצות היא קבוצה בת איבר אחד (ראו להלן), ולכן המכפלה הריקה שווה ל-1.
הכללות.
מההגדרה הפורמלית של המכפלה הקרטזית, כאוסף כל פונקציות הבחירה מקבוצת האינדקסים, נובעת הזהות:
כלומר מכפלה קרטזית ריקה של קבוצות היא יחידון שאיברו היחיד הוא הפונקציה הריקה. אם נפעיל על השוויון את כללי האריתמטיקה של עוצמות נקבל כי מכפלה ריקה של עוצמות, ובכללם מכפלה ריקה של מספרים טבעיים, שווה לעוצמת היחידון, שהיא 1.
באופן כללי מגדירים לרוב תוצאה ריקה של פעולה בינארית בתור האיבר הנייטרלי של הפעולה. לדוגמה חיתוך ריק של תת-קבוצות של קבוצה X שווה לקבוצה X עצמה.
אפס בחזקת אפס.
לביטוי אפס בחזקת אפס, המסומן formula_9, אין הגדרה חד-משמעית, משום שפעולת החזקה מוגדרת באופנים שונים בהקשרים שונים.
מעריכים שלמים. עבור מעריכים טבעיים n, פעולת החזקה formula_10 מוגדרת כמכפלה חוזרת n פעמים של הבסיס x (שיכול להיות מספר כלשהו). בפרט, formula_11 לכל formula_12. אפשר, כביכול, להמשיך את הנוסחה הזו לערך n=0, ולקבוע שגם formula_13. מאידך, עבור מעריכים טבעיים החזקה מקיימת את החוק formula_14, שאם מאמצים אותו עבור m=0, מקבלים formula_15, ולכן formula_16 לכל formula_17. הפעם, אם נמשיך את הנוסחה לערך x=0, נקבל formula_18. בשל הסתירה הזו, משאירים את הערך formula_9 בלתי מוגדר.
באנליזה. עבור מספרים ממשיים x,y, עם x&gt;0, אפשר להגדיר formula_20. ערך זה אינו מוגדר עבור x=0 (למרות שאין מניעה לקבוע ש-formula_21 לכל y&gt;0), ואפילו הגבול שלו כאשר x שואף לאפס (ו-y קבוע) תלוי בסימן של y. לכן גם מנקודת מבט זו משאירים את הערך formula_9 בלתי מוגדר. אכן, כפונקציה של שני משתנים, הגבול של formula_23 כאשר x,y חיוביים ושואפים ל-0 אינו קיים.
בקומבינטוריקה ובתורת הקבוצות. בתורת הקבוצות מגדירים את החזקה formula_24 של שני מונים כעוצמת קבוצת הפונקציות מקבוצה בעוצמה b לקבוצה בעוצמה a. הגדרה זו מסכימה עם ההגדרה המקובלת כאשר a,b מספרים סופיים. יש בדיוק פונקציה אחת מן הקבוצה הריקה לכל קבוצה אחרת (לרבות אל הקבוצה הריקה), הלוא היא הפונקציה הריקה; לכן הגדרה זו מספקת את הערך formula_25 לכל a, לרבות formula_18.
מלאכת כותב
מְלֶאכֶת הַכּוֹתֵב היא אחת מהמלאכות האסורות בשבת וביום טוב, כשם שהיו נעשים במשכן. כאשר היו מתאימים את הקרשים זה לזה, היו כותבים אות אחת על קרש זה ואות אחת על הקרש השני וכך ידעו להתאימם זה לזה.
גדר המלאכה.
כשם שבמשכן הייתה המלאכה על ידי כתיבת שתי אותיות, כך גם מלאכת שבת היא רק על ידי כתיבת שתי אותיות.
חצי שיעור.
לפי שיטתו של רבי מרדכי בנט במלאכה זו, כמו גם במלאכות אורג, עושה שתי בתי נירין, שם המלאכה הוא רק כאשר האדם עושה את המלאכה בשלימותה; ולכם גם לפי הדעה שחצי שיעור אסור מהתורה, העושה מלאכות אלו בחצי משיעורם אינו חייב. רבי נתן גשטטנר מסביר, כי השיעור אינו במהות שם כותב, אלא במלאכת כותב, כלומר למרות שכתיבה נחשבת לכתיבה גם באות אחת, מלאכת כתיבה היא רק על ידי פעולה מסוימת המבוצעת על ידי הכתיבה, ומכיוון שבמשכן התבצעה המלאכה רק על ידי כתיבת שתי אותיות, ולאות אחת לא הייתה כל חשיבות ללא שהתאימה את עצמה לאות השני, לכן אין אות אחת בכלל המלאכה כלל. לעומת זאת, רבי אברהם מסוכטושוב חלוק בנושא, וסבור שגם במלאכת כתיבה יש איסור על חצי שיעור, כמו כל חצי שיעור שאסור מהתורה.
המלאכה.
המלאכה היא, כתיבה בכל כתב או שפה, ציור אותיות, מספרים, תמונות או סמלים בעלי משמעות. גם כלי הכתיבה אינו משנה אם כותב בדיו או כלי כתיבה אחר, גם אין כל הבדל באיסור מלאכה זו, אם כותב על נייר, קלף או עץ וכיוצא בו, או חותם בחותם על נייר או שעווה.
כתיבה בדם ובחלב נקרש אסורה מדרבנן, גם כתיבה בדבר שאינו מתקיים על גב דבר שאינו מתקיים, לכן יש ליזהר שלא יטבול אצבעו באיזה משקה ויכתוב על השולחן על נייר ועל קלף, ואפילו על דבר שאינו מתקיים, כגון על עלה של ירקות ובמים מותר, שכן אין זו נחשבת לכתיבה כלל.
הקלדה במחשב, נחשב לכתיבה, למרות שהכתיבה עצמה מתבצעת על ידי המחשב. יש אומרים שהאיסור מהתורה וזאת מכיוון שכך היא דרך המלאכה, ולמרות שהיא מתבצעת בסיוע דבר נוסף, אסרה זאת התורה, ואין להחשיב את הכתיבה כדבר שאינו מתקיים, מכיוון שהוא מתקיים מצד עצמו והמחיקה היא בעקבות פעולה חדשה. אולם יש אומרים שהאיסור מדרבנן משום שהכתב אינו ממש מתקיים, והאותיות שבמסך עומדות להיעלם בהמשך הפעלתו.
כן אסור לשרוט באצבעו כמין אותיות באפר ובחול אפילו נגוב, וכל שכן לח, וכן אסור לרשום כמין אותיות על האדים שמתהווים על חלונות זכוכית בימי הקור.
גזירות מדרבנן.
חכמים גזרו ואסרו דברים רבים, גזירה שמא יכתוב, והם: ממכר וקניה בין בפה ובין במסירה, וכן לשכור או להשכיר למרות שאינו מסכם את סכום ההשכרה או הקניה, וגם אם אינו מזכיר כלל את התשלום. גם אסור ליתן מתנה לחברו מפני שדומה למקח וממכר - שיוצא מרשותו, אך לצורך מאכלי ומשקה היום מותר לתת מתנה.
השואל דבר מחברו, לא יאמר לו "הלויני", מפני שמשמע לזמן מרובה שהדרך היא לכתוב, אלא יאמר לו "השאילני". בשפה בה אין חילוק בין הלוואה להשאלה, יאמר בלשון שלישית כגון "תן לי" ומותר לסים ג"כ "ואחזור ואתן לך".
עט שבת.
עט שבת הוא עט שנועד לכתיבת דברים דחופים שקיימת מניעה שייעלמו, כדוגמת לצורכי כתיבת מידע רפואי של חולה או מידע ביטחוני. ייחודו של עט זה הוא בכך שהדיו בו הוא משתמש מתנדף באופן טבעי לאחר ימים ספורים. במוצאי שבת מצלמים את המידע, או שחוזרים לכתוב את המידע בעט רגיל. למעשה גם כתיבה בעט שבת היא פעולה האסורה בשבת, אולם היא אסורה רק מתקנת חכמים ולא מן התורה, כך שבמקרים בהם יש צורך גדול מותר להשתמש בו.
מלאכת מוחק
מְלֶאכֶת הַמּוֹחֵק (מוחק על מנת לכתוב) היא אחת מהמלאכות האסורות בשבת ויום טוב. המלאכה נעשתה במשכן בזמן שהותאמו הקרשים זה לזה, היו כותבים אות אחת על קרש זה ואות אחת על הקרש השני וכך ידעו להתאימם זה לזה. כאשר כתבו על אחד מהקרשים בטעות אות לא נכונה, היו מוחקים אותה, כדי שיוכלו לכתוב במקומה אות אחרת.
גדר המלאכה.
גדרה - הכשרת נייר או שאר דבר לכתיבה, על ידי מחיקה, למשל באופן שנפל דיו או שעווה ומוחקו כדי שיהא המקום ראוי לכתיבה, ולכן כאשר אדם מוחק אות אחת, שניתן לכתוב במקומה שתי אותיות, הוא עובר על המלאכה למרות שלא מחק שתי אותיות, שכן מחיקה היא הכשרת כלי לכתיבה, ומכיוון שמלאכת כותב היא כתיבת שתי אותיות, גם מלאכת מוחק היא הכשרת מקום לכתיבת שתי אותיות.
עם זאת, מדרבנן אסור למחוק בכל אופן, גם באופן שאינו מכשיר מקום לכתיבה. ולכן כאשר פותחים בשבת עטיפות במבה או ביסלי, יש להזהר שלא לפתוח את העטיפה על מקום האותיות, שכן קריעת מקום האותיות נחשבת כמחיקתם.
יישומים.
בכלל המלאכה, אם נפל דיו או שעווה וחלב על אותיות שלא למחוק הטשטוש, כי על ידי מחיקתו ניכרים האותיות ונחשב למוחק על מנת לכתוב. נפל דיו או שאר דבר לח על ספר, אל ילחכנו בלשונו ואל ירחצנו במים, מפני שמוחק.
אותיות המרוחות על העוגה לתפארת, ועשויות מחומר אחר שלא ממנו עשויה העוגה, כנהוג לכתוב מזל טוב על עוגה חגיגית המיועדת לחתן בר מצווה או לחתן יום הולדת, אסור לשברן לפני האכילה, ויש מהפוסקים המקילים לשברם בדרך אכילה. וכן מותר ליתנו לתינוק או ילד שיאכלו, אבל אם הכתיבה היא מאותו חומר שהעוגה עשויה, וכן אם כתב האותיות בדבש המעורב במים או שאר מי פירות אין להחמיר, ומותר לשברו אף בידיים. החזון איש בדעת יחיד מצדד לאסור את כל הנ"ל.
קינוח עצמי בבית שימוש, בנייר שיש עליו אותיות הוא בכלל חשש מוחק. כך גם ספר שכתוב על ראשי דפיו אותיות או תיבות, יש האוסרים לפתוח, ויש מתירין, ובמשנה ברורה נפסק להחמיר כשאין לו ספר אחר. אמנם בשולחן ערוך הרב כתב שנוהגים להתיר דף של ספר הקרוע באמצעו לחצאין, יש ליזהר מלקרב חציו אחד לשני - מלאכת כותב או מלרחק חציו אחד מהשני - שהוא בכלל מלאכת מוחק, ודבר זה אסור לכל הפוסקים. זהירות מיוחדת נדרשת מחתיכת החלות או הלחם במקום הפתקה המדובקת.
אסור לשבור את הביצים בשבת כשכתוב עליהם מבחוץ אותיות לסימן, בצורה ששובר את האותיות. אם התחממה ידו בשבת משחרות הסיר, לא ינגב ידו לאחר הנטילה במגבת או במפיון, משום שהוא נחשב למוחק את השחרורית שעל ידו, ולכן טוב שיטול ברביעית, שאז אין צריך לנגב את ידיו. מסיבה זו יש גם יש להזהר מערב שבת שלא יהיו על ידיו שום צבע.
קבוסי
רב עמרם חסידא
רב עמרם חסידא (=החסיד) היה אמורא בבלי בן הדור השני (המאה ה-3), שהתפרסם בחסידותו ובמעשיו הטובים. מאמריו בתלמוד מועטים.
קורותיו.
היה תושב נהרדעא. הוא עורר את חמתם של אנשי ראש הגולה, והללו עינו אותו בשכיבה על שלג, עד שילתא, אשת רב נחמן, שהייתה מקורבת לראש הגולה, טיפלה בו והצילה אותו. המלבי"ם משער שהיה זה בנערותו.