נשים לב שתת-המרחב formula_33 אינווריאנטי תחת formula_26. מההרמיטיות של formula_7 נובע ש-formula_36 גם הוא אינווריאנטי תחת formula_37 (כלומר ניתן להביא את המטריצה לצורת מטריצת בלוקים אלכסונית כך שיש בלוק שמתאים ל-formula_33 ויש בלוק אחר שמתאים ל-formula_36). כעת מאותו שיקול עבור תת-המרחב formula_36 נובע שקיים ערך עצמי ומרחב עצמי מתאימים עבור הבלוק המתאים לו. כך ניתן להמשיך עד שהמרחב הניצב למרחב העצמי המתקבל הוא מרחב האפס.
בכך נקבל בסיס אורתונורמלי ל- formula_23 המורכב מווקטורים עצמיים של formula_7. הערכים העצמיים שהתקבלו בתהליך זה הם ממשיים, כי אם formula_20 הוא ערך עצמי של formula_7 המתאים לווקטור עצמי formula_18, אז formula_46 ואז
מאחר ש-formula_48, ניתן לצמצם ולקבל ש-formula_49 ולכן formula_20 הוא ממשי. זה מסיים את ההוכחה.
מסקנה: כל מטריצה הרמיטית היא לכסינה אוניטרית. כלומר, אם formula_1, אז קיימות מטריצה אוניטרית formula_2 ומטריצה אלכסונית formula_3 כך ש-formula_4.
הוכחה: הייצוג של formula_7 כמטריצה אלכסונית התקבל בהוכחת המשפט לעיל. כמו כן, בהינתן בסיס אורתונורמלי למרחב כפי שמובטח לנו מהמשפט, נסמן את המטריצה המלכסנת (קרי, המטריצה ששורותיה הם הווקטורים העצמיים של formula_7) ב-formula_57 ונשים לב שכיוון שהווקטורים העצמיים אורתונורמליים, זוהי מטריצה אוניטרית. אי לכך, formula_7 לכסינה אוניטרית.
נסמן כעת ב-formula_59 את הערכים העצמיים השונים של formula_7 וב-formula_61 את ההטלה האורתוגונלית על המרחב העצמי המתאים ל-formula_62. אז מהמשפטים לעיל נובע שניתן לכתוב את formula_7 באופן הבא:
זהו הפירוק הספקטרלי של formula_7. בנוסף מתקיים formula_66 (שהרי הווקטורים העצמיים מהווים בסיס למרחב) וכן formula_67 לכל formula_68 (מכיוון שהמרחבים העצמיים המתאימים לערכים עצמיים שונים הם אורתוגונליים זה לזה, לפי ההוכחה).
הכללות ושימושים.
ההצבה של formula_7 בפולינום formula_94 שווה ל-
זה נובע מכך ש-formula_96 הן הטלות אורתוגונליות אשר פורשות את המרחב וניצבות זו לזו. בפרט הדבר מאפשר חישוב מהיר במיוחד של חזקות טבעיות של המטריצה. ניתן להשתמש בפירוק גם כדי לחשב שורש ואקספוננט של מטריצה.
משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים קומפקטיים צמודים עצמית.
במרחב הילברט כללי, משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים קומפקטיים צמודים עצמית בעיקרו זהה לנוסח הסוף-ממדי של המשפט. המושגים של וקטור עצמי, ערך עצמי, מרחב עצמי ואופרטור צמוד עצמית מוגדרים במקרה האינסוף-ממדי באותו האופן כמו במקרה הסוף-ממדי.
משפט: יהי formula_7 אופרטור קומפקטי צמוד עצמית על מרחב הילברט (מרוכב או ממשי) formula_98. אז קיים בסיס אורתונורמלי של formula_98 המורכב מווקטורים עצמיים של formula_7 וכל ערך עצמי של formula_7 הוא ממשי. קבוצת הערכים העצמיים של formula_7 מורכבת כולה מנקודות מבודדות, פרט אולי ל-formula_103 (אם הוא בכלל ערך עצמי) והיא בפרט בת מנייה. המרחב העצמי המתאים לכל ערך עצמי שונה מאפס הוא סוף-ממדי.
כמו בהוכחה של המשפט הספקטרלי במקרה הסוף-ממדי, גם כאן הרעיון המרכזי הוא להוכיח את קיומו של לפחות וקטור עצמי אחד של formula_7. מרגע שעשינו זאת, ניתן לקבל באופן אינדוקטיבי מערכת אורתונורמלית של וקטורים עצמיים של formula_7 ובעזרת הקומפקטיות של formula_7 ניתן להראות שמערכת זו היא בסיס אורתונורמלי למרחב. במקרה כללי זה, לא ניתן להשתמש במשפט היסודי של האלגברה כדי להוכיח את קיומו של וקטור עצמי (שהרי הפולינום האופייני כלל לא מוגדר עבור אופרטורים במרחב הילברט כללי). על ידי שימוש בכופלי לגרנז', ניתן להוכיח שעבור אופרטור הרמיטי formula_107 על מרחב הילברט "סוף-ממדי", הערך העצמי הגדול ביותר שלו שווה ל-formula_108. מכאן ניתן לשער שעבור אופרטור קומפקטי צמוד עצמית על מרחב הילברט שרירותי, המספר formula_109 יהיה ערך עצמי שלו גם אם המרחב הוא אינסוף-ממדי. השערה זו מסתברת כנכונה וזוהי תמצית ההוכחה לגרסה זו של המשפט הספקטרלי.
הפירוק הספקטרלי ל-formula_7 אשר ניתן על ידי המשפט הוא
כאשר formula_112 הם וקטורים עצמיים של formula_7 עם ערכים עצמיים מתאימים formula_114. הסכום באגף ימין אינו חייב להיות אינסופי (ייתכן של-formula_7 יש רק מספר סופי של ערכים עצמיים) אך כאשר הוא אינסופי, מתקיים בהכרח formula_116 כאשר formula_117. במקרה זה, האופרטור שמגדיר אגף ימין בשוויון לעיל לא רק מתכנס נקודתית ל-formula_7 אלא גם מתכנס אליו בנורמה האופרטורית.
הצגה אחרת לפירוק הספקטרלי של formula_7 היא כדלקמן:
כאשר formula_86 היא ההטלה האורתוגונלית על המרחב העצמי של formula_122 וההתכנסות באגף ימין (אם מדובר בסכום אינסופי) היא בנורמה האופרטורית. כמובן, מתקיים גם formula_123 ו-formula_124 עבור formula_68, באופן אנלוגי למשפט הפירוק הספקטרלי הסוף-ממדי.
אם formula_126 הוא בסיס אורתונורמלי ל-formula_98 כפי שמובטח במשפט (כלומר, formula_128 הוא וקטור עצמי של formula_7 עם ערך עצמי מתאים formula_130) אז ניתן להגדיר העתקה אוניטרית formula_131 (ראו מרחב Lp) על ידי formula_132. לפי הגדרה, formula_7 דומה אוניטרית לאופרטור formula_134 על formula_135 וקל לבדוק שמתקיים formula_136. כלומר, formula_7 דומה אוניטרית לאופרטור "אלכסוני" על formula_135 או "לכסינה". בדרך כלל formula_98 הוא ספרבילי ואז ניתן לזהות את formula_140 עם formula_141 ולהציג את האופרטור formula_134 בתור המטריצה האינסופית formula_143, באנלוגיה מוחלטת למקרה הסוף-ממדי.
נוסחי המשפט לעיל נכונים באופן כללי לאופרטורים נורמליים (אם כי להם יכולים להיות ערכים עצמיים מרוכבים) וכמו במקרה הסוף-ממדי, גם כאן ניתן למצוא פירוק ספקטרלי משותף עבור משפחה של אופרטורים קומפקטיים נורמליים מתחלפים בכפל (ההצגות המתקבלות הן דומות לאלה שבמקרה הסוף-ממדי). כמו כן, בהינתן פונקציה מרוכבת חסומה formula_144, ניתן להגדיר אופרטור קומפקטי נורמלי חדש לפי:
בכך מתקבל תחשיב פונקציונלי עבור משפחת האופרטורים הקומפקטיים הנורמליים, בדומה למקרה הסוף-ממדי.
דוגמה.
יהי formula_146 מרחב הפונקציות המרוכבות האינטגרביליות לבג בריבוע על הקטע formula_147 (ראו מרחב Lp). זהו מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית formula_148. בהינתן פונקציה formula_149, ניתן להגדיר אופרטור ליניארי על formula_98 באופן הבא:
זהו אופרטור ליניארי חסום על formula_98. קל לבדוק שהצמוד ההרמיטי של formula_153 הוא האופרטור formula_154, כאשר formula_155. מכאן נובע בקלות ש-formula_153 הוא אופרטור נורמלי ובעזרת משפט ארצלה-אסקולי ניתן להראות שהוא אופרטור קומפקטי. לכן ניתן להפעיל את המשפט הספקטרלי לאופרטורים קומפקטיים נורמליים ולקבל את ההצגה הבאה עבור formula_153:
כאשר formula_159 הם הווקטורים העצמיים של formula_153 (בהקשר זה, יותר מקובל לקרוא להם פונקציות עצמיות) ו-formula_122 הם הערכים העצמיים המתאימים להם. הסכום באגף ימין (אם הוא אינסופי) מתכנס ביחס לנורמה של formula_98, כלומר
formula_153 הוא דוגמה לאופרטור הילברט-שמידט. באותו נושא, ראו משפט מרסר.
משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים חסומים צמודים עצמית.
כעת נדון במקרה של אופרטור חסום וצמוד עצמית formula_7 על מרחב הילברט כלשהו formula_98. במקרה זה, הנוסח המקורי של משפט הפירוק הספקטרלי (במקרה הסוף-ממדי או במקרה של אופרטור קומפטי) אינו בהכרח מתקיים. למשל, אופרטור ההכפלה formula_167 על formula_168 הוא חסום וצמוד עצמית אבל כלל אין לו ערכים עצמיים. הפתרון לבעיה זו הוא להחליף את קבוצת הערכים העצמיים בספקטרום של formula_7 (אשר בניגוד לקבוצת הערכים העצמיים, מובטח לנו שהוא תמיד אינו ריק). בצורה זו ניתן לקבל הכללות לנוסחים האחרים של המשפט הספקטרלי. במקרה זה, האופרטור לא יתפרק לסכום בן מניה של הטלות, אלא לאינטגרל ביחס למעין מידה על הספקטרום של האופרטור. גם הנוסח השני של המשפט ניתן להכללה בהקשר זה: האופרטור יהיה דומה אוניטרית לאופרטור הכפלה על formula_170 (עבור מרחב מידה מתאים formula_171).
כמו במקרים הקודמים, גם כאן המשפט ניתן להכללה לאופרטורים נורמליים. כמו כן, אם formula_172 היא משפחה של אופרטורים חסומים ונורמליים אשר מתחלפים בכפל זה עם זה, ניתן למצוא פירוק ספקטרלי משותף לכל משפחת האופרטורים. במקרה זה אלגברת האופרטורים הנוצרת על ידי formula_172 היא אלגברת סי כוכב קומוטטיבית והדבר מאפשר שימוש בטכניקות החזקות של תורת גלפנד כדי לקבל הוכחה קצרה לגרסה כללית זו של המשפט הספקטרלי. לפני הצגת גרסה זו של המשפט, אנו צריכים מספר מושגים מקדימים. למען הפשטות, נניח ש-formula_98 הוא מרחב הילברט מעל שדה המספרים המרוכבים.
תהי formula_175 תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של formula_176 (אוסף האופרטורים הליניאריים החסומים על formula_98).
נוסח המשפט משתמש במושג של מידה formula_98-הטלתית, שהיא העתקה על מרחב מדיד אשר מחזירה הטלות אורתוגונליות על מרחב ההילברט formula_98 ומקיימת אקסיומות דומות לאלה של מידה חיובית. ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה מרוכבת חסומה ביחס לכל מידה הטלתית. לפרטים, ראו את הערך על מידות הטלתיות.
כעת אנו יכולים לנסח את המשפט הספקטרלי בהקשר הנוכחי.