שאלות על מציאות חומרית הופכות לבעיות מתמטיות בעזרת מודל מתמטי של נושא המחקר, דבר הכרוך בדרך כלל בהפשטה שלו. למשל על מנת להפוך את השאלה "מהם מסלוליהם של כוכבי הלכת" לבעיה מתמטית בת פתרון נוח להתייחס אל כוכבי הלכת כאל כדורים או נקודות במרחב. הדבר כרוך בהפשטה כי כוכבי הלכת אינם תואמים את התכונות המתמטיות של כדור ונקודה. לאחר שרטוט מסלולם הנצפה של כוכבי הלכת כעקומה במישור או במרחב ניתן להסיק מהעקומה מידע על מסלולם של כוכבי הלכת.
בעיות מתמטיות מופשטות הן שאלות בכל תחומי המתמטיקה. בדרך כלל מתמטיקאים מעלים שאלות על נושאים מתמטיים ומנסים לפתור אותן באמצעות הטכניקות המתמטיות. המטרה של המתמטיקאים היא לרוב הרחבת הידע על הנושאים הנחקרים. שאלות מתמטיות הן כלי מרכזי בהוראת המתמטיקה כאשר לרוב המורה או מחבר ספר הלימוד יוצר שאלה מתמטית ועל התלמיד לפותרה באמצעות הכלים המתמטיים שנלמדו. בדרך כלל בעיות מתמטיות שכאלה נקראות שאלות או תרגילים והמונח "בעיה מתמטית" שמור לשאלות שמתמטיקאים התקשו לפותרן.
רי&quot;ב 205
סקרבורו (טובגו)
סקרבורו (באנגלית: Scarborough) היא העיר הגדולה ביותר ובירתו של האי טובגו שהוא מחוז אוטונומי נפרד של טרינידד וטובגו. אוכלוסיית העיר מנתה 17,000 תושבים בשנת 2010 המהווים כמעט שליש מכלל אוכלוסיית האי. על נופה של העיר שולט מבצר המלך ג'ורג', מבנה מבוצר מהמאה ה-18 הקרוי על שמו של המלך ג'ורג' השלישי, שכיום מהווה את משכנו של מוזיאון היסטורי-ארכאולוגי. נמל המים העמוקים של סקרבורו נבנה ב-1991. לפני כן היה על האניות לעגון במרחק מהחוף.
הגלגול הראשון של העיר היה בשנת 1654. אז היא כונתה למפסינבורג, על שם שני האחים ההולנדים שהיו מייסדיה. סקרבורו הפכה להיות בירת טובגו ב-1769 כאשר היא החליפה את הבירה עד אז, ג'ורג'טאון. תחת השלטון הצרפתי היא נקראה פור לואי. ההולנדים היו אלה, אשר עם שובם לשלטון בשנות ה -70 של המאה ה -19, הקימו את הממשלה האזרחית הראשונה בטובגו, והביאו מאות עבדים אפריקנים. לאחר מספר פיתולים היסטוריים נוספים, ניתנה טובגו רשמית לבריטים בשנת 1814, והסתיימה סוף סוף בעידן אי הוודאות הפוליטית. בשנים 1821-1825 נבנה בית הנבחרים הנוכחי באתר בית המשפט לשעבר. בית הנבחרים של טובגו, הוא האחראי על הממשל המקומי באי.
שרות מעבורות מקשר את העיר עם פורט אוף ספיין. כמו שאר האי, משרת את העיר נמל התעופה הבינלאומי רובינסון השוכן במרחק של 13 ק"מ ממרכז העיר.
סקרבורו קרויה על שמה של עיר הנושאת את אותו השם במחוז צפון יורקשייר שבאנגליה.
התמרת האף
הַתְמָרַת הָאף (באנגלית: Hough transform) היא שיטה למציאת אלמנטים (feature extraction) המשמשת בניתוח תמונה, ראייה ממוחשבת ועיבוד תמונה.
מטרת האלגוריתם הוא מציאת מקרים לא מושלמים של אובייקטים בתוך סוג מסוים של צורות על ידי תהליך "הצבעה". הליך הצבעה זה מתבצע במרחב פרמטרים, שממנו אובייקטים "מועמדים" מתקבלים כמקסימום מקומי במרחב סוכם (Accumulator) הנבנה על ידי האלגוריתם.
אלגוריתם האף בהגדרתו הראשונית עסק בזיהוי של קווים בתמונה, אך מאוחר יותר הורחב גם לזיהוי מיקומים של צורות כלשהן. הצורות הנפוצות ביותר בהקשר להתמרת האף הן מעגלים או אליפסות. האלגוריתם בצורתו הנוכחית, הומצא על ידי ריצ'רד דודה ופיטר הארט בשנת 1972 אשר נתנו לו את השם "התמרת האף מוכללת" (generalized Hough transform). וזאת לאחר הפטנט של פול האף אשר פורסם בשנת 1962. האלגוריתם צבר פופולריות בקרב מדעני ראייה ממוחשבת על ידי דנה באלארד בשנת 1981.
רקע.
בניתוח אוטומטי של תמונות דיגיטליות, מתעורר לעיתים קרובות הצורך בזיהוי צורות כגון קווים ישרים, עיגולים או אליפסות. במקרים רבים אלגוריתם לזיהוי קצה (Edge detection) יכול לשמש כשלב עיבוד מקדים כדי לזהות פיקסלים הנמצאים על העקומה הרצויה במרחב התמונה. בשל פגמים בתמונה או בזיהוי הקצוות עשויות להיות חסרות נקודות או פיקסלים על העקומות הרצויות, כמו גם סטיות מרחביות בין הקו / המעגל / האליפסה האידיאלית וכן נקודות רועשות. מסיבות אלה, לעיתים קרובות התאמה של הפיקסלים לקווים, עיגולים או אליפסות איננה משימה טריוויאלית. המטרה של אלגוריתם האף היא לטפל בבעיה זו באמצעות חיבור נקודות בתמונה לקבוצות של אובייקטים "מועמדים" על ידי ביצוע הליך הצבעה על סט של אובייקטי תמונה.
המקרה הפשוט של האף הוא ההתמרה הליניארית למציאת קווים ישרים במרחב התמונה. קו ישר יכול להיות מתואר כy = mx + b כאשר m הוא השיפוע של הקו, ו-b היא נקודת המפגש עם ציר ה-y. רעיון מרכזי בהתמרת האף הוא ההתייחסות למאפיינים של הקו הישר לא כנקודות תמונה בדידות אלא במונחים של משוואת הישר הנ"ל. עם זאת, ישנה בעיה להכליל קווים אנכיים במודל זה (מכיוון שהם מתוארים באמצעות שיפוע m אינסופי,מכיוון שייצוג קו אנכי הוא x=a). לפיכך, מסיבות חישוביות, דודה והארט הציעו את השימוש בזוג שונה של פרמטרים, r ותטה עבור ייצוג של קווים באלגוריתם. שני ערכים אלה, מגדירים מרחב קוטבי.
הפרמטר r מייצג את המרחק מראשית הצירים ותטא, היא הזווית של הווקטור מראשית הצירים לנקודה הקרובה ביותר אליו בישר.
במרחב זה, קו ישר מיוצג על ידי המשוואה:
נסדר מחדש את המשוואה ונקבל:
דרך נוספת להסתכל על כך היא בדומה למשוואת המישור. הקו באורך formula_3 שיוצא מראשית הצירים בזווית formula_4 הוא מאונך לישר שאותו אנו רוצים לייצג. קל לראות שנקודת המפגש בין הקו האנכי והישר היא formula_5. נסמן נקודה זו כ-formula_6. נשים לב כי formula_6 היא גם וקטור שמייצג את הקו באורך formula_3, שכן הוא יוצא מראשית הצירים. כעת, נשים לב כי לכל נקודה formula_9 על הישר, הווקטור מהנקודה formula_6 לנקודה formula_11, כלומר, הווקטור formula_12, חייב להיות אנכי לוקטור formula_6, מפני שהוא נמצא על הישר. לכן, מפני ששני הווקטורים הם אורתוגונליים, נקבל formula_14. לאחר פתיחת הסוגריים והעברת אגף, נקבל formula_15. נציב את ערכי הנקודות ונקבל formula_16. לאחר שנצמצם ב-formula_3 משני הצדדים ונשתמש בזהות formula_18, נקבל את הנוסחה הסופית, שהיא formula_19.
השימוש בזווית כחלק מהמשוואה בהמשך יאפשר סריקה נוחה של קווים לפי זוויות ונקודה נתונה (הצבה של זווית ונקודה במשוואה תתן את הפרמטר החסר, r), כך שנוכל לעבור על כל הנקודות בתמונה ולכל נקודה לחשב את כל הקווים (r, θ) שעוברים דרכה (עבור אוסף זוויות מוסכם מראש), וכך בסופו של דבר למצוא את כל הקווים (r, θ) המשותפים לכמות משמעותית של נקודות, לפי כמות הפעמים שקו כזה סומן על ידי אחת הנקודות כקו שעובר דרכה.
ניתן, אפוא, לקשר כל קו ישר בתמונה עם זוג (r, θ) הייחודי לו אם:
או לחלופין:
המרחב (r, θ) מכונה לעיתים מרחב האף לקבוצה של קווים ישרים בשני ממדים. ייצוג זה הופך את התמרת האף מבחינת הגדרות לדומה להתמרת ראדון דו-ממדית. (ניתן לראותם כדרכים שונות לייצוג של אותה ההתמרה).
תהי (X0, y0) נקודה במרחב התמונה. כל הקווים העוברים דרכה מיוצגים על ידי זוגות (r, θ) המקיימות
משוואות אלה מייצגות עקומת סינוס במרחב האף שהיא ייחודית עבור הנקודה. מקום המפגש של שתי עקומות סינוס משתי נקודות במרחב האף מייצג את הקואורדינטות של הקו המחבר ביניהם במרחב התמונה.
מימוש.
התמרת האף של קווים ישרים עושה שימוש במערך דו-ממדי, המכונה סוכם (Accumulator), כדי לזהות את קיומו של קו המיוצג על ידי
מספר הממדים של הסוכם צריך להיות שווה למספר הפרמטרים הלא ידועים, כלומר, שניים.
בהתחשב בערכים בדידים של r וθ בצמד (r, θ). עבור כל פיקסל ב( x, y) וסביבתו האלגוריתם קובע האם ישנן מספיק ראיות של קו ישר העובר דרכו. אם כן, יש לחשב את הפרמטרים (r, θ) של קו זה, ולאחר מכן לחפש את התא בסוכם שהפרמטרים מתאימים לו ולהגדיל את ערכו באחד.
על ידי מציאת התאים עם הערכים הגבוהים ביותר בסוכם, בדרך כלל באמצעות מציאת מקסימום מקומי בו, ניתן לגלות את הקווים בעלי ההסתברות הגבוהה ביותר. הדרך הפשוטה ביותר למציאת פסגות אלו היא באמצעות הפעלת סף (threshold). עם זאת, קיימות טכניקות אחרות אשר עשויות להניב תוצאות טובות יותר בנסיבות שונות.
מכיוון שהתוצאה אינה כוללת מידע על אורך הקווים, לעיתים קרובות ישנו צורך בשלב נוסף על מנת למצוא את החלקים של התמונה התואמים לקווים. יתר על כן, בשל חוסר דיוק של אלגוריתם זיהוי הקצוות, יש בדרך כלל שגיאות בסוכם, אשר עשויות להקשות על מציאת הפסגות המתאימות, ובכך גם את הקווים המתאימים.
התוצאה הסופית של האלגוריתם היא מערך דו ממדי הדומה לסוכם, בעל ציר אחד המייצג את r וציר נוסף המייצג את θ. לכל תא במערך ערך מסוים והתאים בעלי הערכים הגבוהים ביותר מייצגים את הקווים האינדיקטיביים ביותר בתמונה.
ניתוח למידה
ניתוח למידה (באנגלית: Learning Analytics - LA) הוא מושג הכולל פעולות של מדידה, איסוף, ניתוח נתונים ודיווח אודות לומדים בהקשרים שונים. זאת לשם הבנה ושיפור סביבת הלמידה ותוצאותיה. ניתוח למידה הוא תחום מחקר חדש המשלב תאוריה ופרקטיקה מדיסציפלינות רבות במטרה לחקור את אינטראקציות הלומד בסביבות למידה ולספק נתונים רלוונטיים לגבי תהליך למידתו.
הגדרת המושג ניתוח למידה.