בניגוד לאופי המקומי של האקסיומה הראשונה, אקסיומת המנייה השנייה קובעת שלמרחב עצמו יש בסיס בן מנייה. האקסיומה השנייה גוררת את האקסיומה הראשונה, והיא מתקיימת במרחב מטרי חסום כליל. מצד שני, מרחב טופולוגי המקיים את האקסיומה השנייה וגם את אקסיומת ההפרדה T3 הוא מטריזבילי (כלומר, הטופולוגיה שלו מושרית ממטריקה מתאימה).
מרחב המקיים את אקסיומת המנייה הראשונה מכונה גם מרחב מנייה ראשונה (first-countable space), ובאופן דומה מרחב המקיים את אקסיומת המנייה השנייה מכונה גם מרחב מנייה שנייה (second-countable space).
בסיס ובסיס מקומי של טופולוגיה.
'מרחב טופולוגי' כולל שני מרכיבים: מרחב, ואוסף של תת-קבוצות שלו, הנקראות 'קבוצות פתוחות'. כדי לחסוך בתיאור אוסף הקבוצות הפתוחות, אפשר להסתפק בתיאור של בסיס: אוסף של קבוצות פתוחות הוא בסיס לטופולוגיה הנתונה, אם כל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של קבוצות מן הבסיס; במילים אחרות, סביב כל נקודה בכל קבוצה פתוחה formula_1, קיימת קבוצה מן הבסיס הכוללת את הנקודה ומוכלת בקבוצה. אוסף של קבוצות פתוחות הוא בסיס מקומי בנקודה formula_2, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את p מכילה קבוצה מן האוסף המכילה את formula_2.
מכאן יוצא שאוסף קבוצות פתוחות הוא בסיס אם ורק אם הוא בסיס מקומי בכל נקודה.
אקסיומות המנייה.
מרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המנייה הראשונה אם לכל נקודה שלו יש בסיס מקומי בן מנייה. תכונה זו, הנקראת גם "תכונת formula_4", מתקיימת בכל מרחב מטרי (הכדורים ברדיוס formula_5 סביב נקודה מהווים בסיס מקומי), ולכן אפשר לראות בה תנאי ל"התנהגות מטרית" באופן מקומי. קיומו של בסיס בן מניה מאפשר לסדר את אברי הבסיס, ולבנות סדרות בעלות תכונות שונות באינדוקציה.
המרחב מקיים את אקסיומת המנייה השנייה אם יש לו בסיס בן מנייה. תכונה זו מסמנים גם ב-formula_6.
כל מרחב formula_6 הוא בפרט formula_4 (כדי לקבל בסיס מקומי סביב formula_2, מספיק לבחור את איברי הבסיס המכילים את formula_2). מרחב מטרי חסום כליל הוא formula_6.
לאלה אפשר להוסיף תכונה קרובה:
כל מרחב formula_6 הוא ספרבילי (כדי לקבל קבוצה צפופה בת מנייה מספיק לבחור נקודה אחת מכל קבוצה בבסיס). במרחב מטרי גם ההפך נכון, דהיינו, כל מרחב ספרבילי הוא formula_6.
נזכיר שמרחב קומפקטי הוא מרחב שבו לכל כיסוי קיים תת-כיסוי סופי. יש שתי תכונות חלשות יותר: תכונת לינדלף קובעת שלכל כיסוי יש תת-כיסוי בן מנייה, ולעומתה קומפקטיות מנייתית היא הדרישה שלכל כיסוי בן מנייה יש תת-כיסוי סופי (ביחד הן כמובן שקולות לקומפקטיות). בנוסף לזה, מרחב קומפקטי בו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת נקרא לפעמים קומפקטי סדרתית. במרחב מטרי קומפקטיות סדרתית שקולה לקומפקטיות.
מרחב formula_4 הוא קומפקטי מנייתית אם ורק אם הוא קומפקטי סדרתית (ועל כן זה נכון בפרט במרחב מטרי).
כל מרחב formula_6 מקיים את תכונת לינדלף (זוהי הלמה של לינדלף). במרחב מטרי גם הכיוון ההפוך נכון: תכונת לינדלוף גוררת formula_6.
המשפט המרכזי על מרחבי formula_6 הוא משפט המטריזציה של אוריסון, שלפיו מרחב כזה, המקיים גם את תכונת ההפרדה T3, הוא מטריזבילי.
יבוא ויצוא
חולדה (קיבוץ)
חולדה (חֻלְדָּה) הוא קיבוץ בשפלה במועצה אזורית גזר, הסמוך ליער חולדה. סמוך ליער זה נסללה דרך בורמה שפתחה את הדרך לירושלים שהייתה תחת מצור בזמן מלחמת העצמאות. הקיבוץ הוקם כקבוצה בשנת 1930 על ידי תנועת גורדוניה.
החווה החקלאית.
ב-1906 הוקמה סמוך לכפר הערבי ח'ולדה חווה ומשק חקלאי מגוון של ההסתדרות הציונית להכשרת העולים ארצה לעבודת האדמה ולהתיישבות. בהמשך ניטע יער חולדה על ידי קק"ל, והיה ליער עצי סרק הראשון בארץ ישראל שניטע על ידי הקק"ל. במקום הייתה חצר מבוצרת ומדרומה בית בן שתי קומות (הידוע כיום כ"בית הרצל").
החווה בחולדה, ביחד עם החווה בבן שמן, נחשבו בציבור הפועלים הארצישראלי לבית יוצר למשק חקלאי, עבודה עברית, וראשית הווי פועלי עברי עצמאי.
בשנת 1916 נולד ס. יזהר להוריו, שעבדו בחווה זו מספר שנים.
פרעות תרפ"ט.
באוגוסט 1929 פרצו בארץ מאורעות תרפ"ט; ולאחר טבח חברון, התקפות על יישובים ופינוי כפר אוריה, הותקפה גם חוות חולדה. הנשים והילדים פונו מבעוד מועד ובמקום נשארו 16 בחורים, שתי נשים ושני ילדים. אחד מאנשי המקום הגיע למפקדת "ההגנה" בתל אביב וביקש עזרה. הוחלט לשלוח למקום את יעקב אברמסון איש "השומר" לשעבר, ואת אפרים צ'יזיק. בחולדה היה ארגז נשק ממשלתי ובו מספר רימונים, רובים אנגלים, ו-12 רובים קנדים. אברמסון וצ'יזיק הורו להתחיל לאלתר בחפירת שוחות, מילוי שקי חול וניקוי כלי הנשק. וכן, הדריכו השניים את אנשי החווה בשימוש בנשק.
ההתקפה על חולדה נפתחה ב-28 באוגוסט 1929 לפנות ערב. מספר המתקיפים הגיע למאות ועימהם באו נשיהם, חמוריהם וגמליהם לשאת את הביזה והשלל. הפורעים העלו את הגורן באש והלהבות האירו את חשכת הלילה. הערבים הקיפו את מתחם המשק והחלו לפרוץ אליו. אפרים צ'יזיק פקד לסגת לבית האבן בזחילה. הוא ניהל בעצמו את פעולת הנסיגה מהחצר לבית בלוותו את האנשים. בצאתו בפעם האחרונה מהבית לחצר פגע בו כדור והוא נהרג במקום. המגינים תפסו עמדות סמוך לחלונות הקומה השנייה וצלפו על הערבים הבוזזים.
בחצות הגיע כוח בריטי ודרש להפסיק את האש, משסירבו הערבים להפסיק את ההתקפה פתחו עליהם הבריטים באש ביחד עם המגינים. 40 גופות ערבים נספרו במקום. הבריטים פינו את המגינים אבל סירבו לקחת את גופתו של אפרים צ'יזיק. רק ב-31 באוגוסט 1929 חזרו לחולדה כמה מהמגינים ביחד עם בני משפחתו של אפרים והביאו את גופתו החרוכה לקבורה באדמת חולדה. המשק נשרף ונחרב עד היסוד. החווה עמדה בשיממונה כשנה, ולאחר מכן נשלחה קבוצה מתנועת הנוער "גורדוניה" למקום ועסקה בניקוי, בשיפוץ ושמירת הקיים.
במשך 15 שנים לאחר תרפ"ט, סופר שצ'יזיק היה מפקד ההגנה על חולדה, על מנת שלא לעורר את הבריטים לחפש את המפקד אברמסון בין הניצולים. סיפורם של אפרים צ'יזיק ואחותו שרה הונצח באנדרטה "עבודה והגנה" שיצרה הפסלת בתיה לישנסקי.
הקיבוץ.
בסתיו 1931 עברה למקום קבוצת "גורדוניה" א' מחדרה והקימה את קיבוץ חולדה בסיוע כספי של ארגון אבוקה.
בשנת 1937 הוחלט במשותף על ידי מוסדות היישוב וחברי הקיבוץ לעבור מהיער למקום הנוכחי, כקילומטר מערבית ליער ובטקס חגיגי הונח אבן פינה ליישוב החדש. בשנת 1938 החלו החברים לעבור למה שכונה "הנקודה החדשה", היא חולדה של היום.
במלחמת העצמאות הייתה חולדה הנקודה המזרחית ביותר אשר היה לה קשר גאוגרפי ישיר עם היישוב ומוסדותיו וכך הפכה לתחנת התארגנות ויציאה של שיירות וכוחות לירושלים הנצורה. עם קום המדינה היוותה יעד להתקפות מטוסי האויב אשר נמשכו כ-8 ימים רצופים, עלו בחייהם של שני חברים, נזק רב לרכוש והביאו ליציאת הנשים והילדים לגלות בתל אביב למשך כ-3 חודשים. חולדה הייתה הקצה המערבי של "דרך בורמה" וממנה נמתח קו השילוח שהוביל מים לירושלים לאחר הסרת המצור במלחמת העצמאות.
בשנות ה-50 של המאה ה-20 הייתה פרנסת הקיבוץ על החקלאות ובנוסף היו בה בית בד שנקרא "זיתניה" ומכון לניקוי זרעים. שני המפעלים היו פעילים כל אחד כמחצית השנה.
החל מ-2019 מתקיימת בקיבוץ פעילות של תנועת הנוער התנועה החדשה (לשעבר בני המושבים).
בשנת 2013 הושלמה בניית שכונת "ההרחבה" בחולדה שהיא הרחבה של הקיבוץ וכן ב 2017 הושלמת שכונת הבנים. עם קליטת המשפחות בהרחבה מתחילה לפעול בקיבוץ קהילה משותפת לחברי הקיבוץ וההרחבה, סך הכל היום (2021) בחולדה כ 320 בתי אב.
באוגוסט 2013 נערכו בחירות ראשונות לוועד הקהילה המשותפת. הוועד, המורכב מ-4 חברי קיבוץ ו-3 חברי הרחבה, החל את פעילותו לניהול הקהילה ביישוב.
בבית הקברות של הקיבוץ טמון בין השאר עמוס עוז.
פטר צ'ך
פטר צ'ך (; נולד ב-20 במאי 1982 בפלזן) הוא כדורגלן עבר צ'כי ושחקן הוקי קרח בהווה ששיחק בעמדת השוער בארסנל ובצ'לסי. צ'ך הוא שיאן ההופעות בכל הזמנים של נבחרת צ'כיה, עם 124 הופעות, כיום הוא משמש כיועץ טכני וכשוער קבוצת המילואים של צ'לסי ומשחק הוקי קרח בקבוצת גילפורד מהליגה הרביעית באנגליה, גם כן כשוער.
צ'ך שיחק למעלה מעשור במדי צ'לסי עמה זכה בארבע אליפויות הפרמייר ליג, ארבע פעמים בגביע ה-FA, שלוש פעמים בגביע הליגה האנגלית, פעם אחת בליגת האלופות בעונת 2011/2012 ופעם אחת בליגה האירופית בעונת 2012/2013. הוא זכה שלוש פעמים בתואר השוער המצטיין בליגת האלופות של אופ"א ונכלל פעם אחת בנבחרת העונה בפרמייר ליג. צ'ך נהג לחבוש כובע מגן במהלך משחקיו, עקב פציעה קשה שעבר ב-2006.
קריירה.
בצעירותו שיחק צ'ך במחלקת הנוער של המועדון הצ'כי ויקטוריה פלזן. ב-1999 הוא החל את הקריירה המקצוענית שלו בקבוצת כמל בלשני, ושיחק בה במשך שנתיים.
בשנת 2001 עבר צ'ך לקבוצת ספרטה פראג, מהקבוצות המובילות בכדורגל הצ'כי, תמורת 700,000 אירו - סכום שנחשב גבוה עבור שוער בגילו. זמן קצר לאחר תחילת עונת הפך צ'ך לשוער הראשון של ספרטה, והפגין כישרון רב במדיה. במהלך העונה הוא קבע שיא חדש של ליגת העל הצ'כית, כאשר לא ספג שער במשך 855 דקות רצופות. במקביל, הוא סייע לספרטה להעפיל לשלב הבתים השני של ליגת האלופות.
לאחר עונה אחת בלבד בספרטה פראג, עבר צ'ך לקבוצת סטאד רן הצרפתית ביולי 2002, תמורת 5 מיליון אירו. בעונת החמיץ צ'ך רק חמישה משחקים במסגרת ליגת העל הצרפתית, וסייע לרן לסיים במקום ה-15 בליגה ולהגיע עד לחצי גמר הגביע הצרפתי. בעונה שלאחר מכן הוא המשיך להצטיין, וזכה בתואר שוער העונה בליגה הצרפתית.