כאשר הגל מאבד אנרגיה כתוצאה מההתנגשות (התנגשות פלסטית), או לחלופין, מקבל אנרגיה כך שתדירותו לאחר ההתנגשות גבוהה יותר ההתנגשות מתוארת כפיזור אי-אלסטי.
תורת הפיזור.
תורת הפיזור היא מסגרת העבודה המתמטית והפיזיקאלית להבנת תופעת הפיזור של גלים או חלקיקים ומשמשת כלי מרכזי לתיאור תופעות באופטיקה, בתורת הקוונטים ובפיזיקת חלקיקים, כמו גם בתחומים נוספים.
תאוריה זו היא למעשה פתרון של משוואות דיפרנציאליות חלקיות הפותרות את תנועתם של גופים העוברים אינטראקציה הדדית בתנאי גבול מוגדרים, למשל, תנועתו של חלקיק הפוגע במטרה ומשנה את כיוון תנועתו.
ניתן לסווג בעיה מסוג זה לשניים:
1) בעיית הפיזור הישיר - בה מנבאים את התפלגות הקרינה המפוזרת ע"פ תכונות מפזר ידועות.
2) בעיית הפיזור ההופכית - בה התפלגות הפיזור ידועה ומאפיינים את תכונות מרכז הפיזור.
בעיית הפיזור ההופכית נפוצה יותר בתחום הפיזיקה הניסויית, מאחר שלרוב, תכונות המפזר אינן ידועות והמידע הנתון, שזמינותו קלה יותר, הוא של התפלגות הקרינה המפוזרת. דוגמה לכך הוא פיזור בראג המאפשר את קביעתם של מבנים גבישיים בעזרת תבנית הפיזור של קרינת X.
ההיבט המתמטי לתיאור גלים הוא על ידי פתרון משוואת הגלים, כלומר, באמצעות השמתם של תנאי התחלה ותנאי גבול למשוואה דיפרנציאלית חלקית. הפונקציה הגלית יכולה לייצג את שינוייהם המחזוריים, בזמן או במרחב, של תכונות שונות, בהתאם לבעיה הפיזיקאלית אותה היא מתארת. לדוגמה: עבור אור, הפונקציה תייצג את גודל השדה האלקטרומגנטי; עבור קרן חלקיקים, הפונקציה תייצג את פונקציית הגל - ההסתברות להימצאות חלקיק במרחב; במקרה של גל אקוסטי או גל קול תייצג הפונקציה את שינויי הלחץ המתפשטים בחומר.
המקרה הפשוט ביותר להדגמה הוא העתקתם החד ממדית של חלקיקים ממסלול הקרן הבלתי מפוזרת לאחר פגיעתה במטרה כלשהי כאשר קצב הפיזור קבוע ופרופורציוני לשטף:
formula_1
כאשר formula_2 הוא העתק החלקיק ו-formula_3 שטף הקרן.
זוהי למעשה משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר ראשון שהפתרון שלה הוא:
formula_4
כאשר formula_5 הוא השטף ההתחלתי של הקרן, formula_6 ו-formula_7 הוא קבוע האינטראקציה שמשמעותו הפיזיקאלית משתנה בהתאם ליישום הבעיה. כפי שניתן לראות, פתרון זה מוביל למסקנה שהשטף דועך באופן מעריכי ככל שמתרחקים מהקרן הבלתי מתפזרת.
עבור פתרון של מקרים מורכבים יותר, כשהמטרה היא צבר של מרכזי פיזור רבים בעלי מיקום יחסי המשתנה באופן בלתי-צפוי, יש צורך לפתור סט משוואות עם משתנים שונים בהתאם ליישומה הפיזיקאלי של הבעיה.
חתך הפעולה לפיזור.
חתך הפעולה של הפיזור הוא שטח המתאר את הסבירות של גל או חלקיק להתפזר על ידי מרכז פיזור, יחיד או מרובה. לגודל זה ממדים של שטח (מטר רבוע ביחידות SI) והוא משמש כפרמטר מתמטי והשוואתי יעיל. המקור ליחידת השטח נובע מיחס בין גדלים גאומטריים - שינוי הזווית המרחבית, לה יחידות של שטח, כתוצאה משינוי בשטח-החתך הדיפרנציאלי שהוא למעשה יחס דיפרנציאלי בין שטחים ומתאר את המיפתח הזוויתי של תנועת החלקיק בעקבות מפגשו עם המפזר. בנוסף, קיימת הקבלה בין הפרשנות הקלאסית של חתך הפיזור לפרשנותו הקוונטית, ובכך הוא מהווה גודל נוח לגישור בין שני תיאורים מרכזיים אלה
הסבר גאומטרי.
הפרשנות הקלאסית של חתך הפעולה לפיזור מסתמכת בעיקרה על שימוש בפרמטרים גאומטריים. וקטור ההתקדמות של החלקיק עובר דרך שתי נקודות: מרכזו ההתחלתי של החלקיק (נק' A) ומרכזו של המפזר (כדור אדום בשרטוט). ע"פ מודל זה, החלקיק או הגל מתוארים בכל זמן על ידי פרמטר ההשפעה (b) - גודלו של הרדיוס בשטח החתך המעגלי של החלקיק שמרכזו נמצא על וקטור ההתקדמות. כעת, נגדיר קטע העובר בין פרמטר ההשפעה, בזמן כלשהו, דרך נקודת ההשקה של המפזר, ועד לוקטור ההתקדמות (קטע 'OB) ויוצר את הזווית formula_8 בינו למישור ההתקדמות. נגדיר גם את הזווית המרחבית formula_9 הנוצרת, ולה יחידות שטח. חתך הפעולה הדיפרנציאלי מוגדר כיחס הדיפרנציאלים של חתך הפעולה והזווית המרחבית, כלומר, כיצד שינוי מזערי בחתך הפעולה משתנה כתלות בשינוי מזערי בזווית המרחבית. נבטא את חתך הפעולה הדיפרנציאלי כפונקציה של b:
formula_10
מביטוי זה ניתן להסיק שגידול בערכו של b מוביל לירידה בערך הזווית formula_8, לכן, הנגזרת של השניים שלילית. מאחר שחתך הפעולה בהגדרתו הוא ערך חיובי הנגזרת במשוואה תחת ערך מוחלט. נקודה נוספת היא שהגודל הלא ידוע, המבוקש ממשוואה זו, הוא חתך הפעולה של הפיזור ( formula_12 ), ערך זה נמצא במונה הנגזרת. זוהי גישה מעט לא אינטואיטיבית, משום שברוב המקרים המוכרים נהוג לגזור פונקציות עם ערכים ידועים כדי להגדיר ערך שאינו ידוע.
לבסוף, בעזרת אינטגרציה של חתכי הפעולה הדיפרנציאליים בזוויות המרחביות, נוכל לחשב את חתך הפעולה של הפיזור באופן הבא:
formula_13
פיזור גלי-חומר.
פיזור גלי-חומר כולל את פיזורם של חלקיקי חומר כמו יונים, נייטרונים ואלקטרונים. פיזור זה מתואר לרוב על ידי מכניקת הקוונטים כשינוי בפונקציית הגל כתוצאה מפגיעה במפזר.
אורך הגל של חלקיקי חומר נקבע ע"פ השערת דה ברויי ותלוי בתנע שלהם. על אף שתאורטית לכל העצמים אופי גלי, במקרה של עצמים מאקרוסקופיים התופעות הגליות זניחות ולא ניתנות לתצפית.
ירי חלקיקים, כדוגמת אלקטרונים מאפשר שימוש בגלים להם אורך גל נמוך במיוחד, עובדה זו סללה את השימוש במיקרוסקופ אלקטרונים באמצעותו ניתן להבחין בעצמים קטנים שאינם ניתנים להבחנה במיקרוסקופ אור רגיל, זאת מאחר שהרזולוציה אופטית מוגבלת על ידי אורך הגל. תרומה מדעית נוספת הנזקפת לפיזור חלקיקי חומר היא פיזורם של חלקיקי אלפא על ידי גרעין האטום. פיזור מסוג זה עמד בבסיסו של ניסוי רתרפורד שהוביל לפיתוח המודל הפלנטרי לתיאור האטום.
תיאור קוונטי.
לפיזור הגדרה רחבה המתאימה לכל התקדמות מחזורית בזמן או במרחב. על פי מכניקת הקוונטים הגדרה זו תקפה גם עבור חלקיקי חומר, המאופיינים בפונקציית גל המתארת את החומר כהתפלגות ההסתברויות למצוא את החלקיק במרחב. לכן, פעמים רבות גל מתפזר יכול להתפרש כפיזור של חלקיק ולהפך, כפי שמתבקש, כאשר מביאים בחשבון את דואליות הגל-חלקיק. יחס דואלי זה, היוצר הקבלה בין מכניקת הקוונטים לפיזיקה הקלאסית, מלווה היבטים רבים של התהליך.
בהקבלה הקוונטית, תנועת החלקיק, המיוצגת על ידי פונקציית הגל, משתנה לאחר מהתנגשות במרכז הפיזור, כתוצאה משינוי בפוטנציאל המושרה. שינוי זה בפונקציית הגל בא לידי ביטוי מתמטי על ידי פתרון משוואת שרדינגר, כשינוי בערך העצמי של ההמילטוניאן, כלומר, במצב הקוונטי האנרגטי של הגל/חלקיק. במקרים רבים, הערכה קוונטית של הפיזור באמצעות הצגת דיאגרמת רמות אנרגיה עשויה להוות חלופה נוחה יותר לתפישת תופעת הפיזור מאשר מודל פיזיקלי קלאסי של אינטראקציית אור-חומר וזוהי אכן, לעיתים קרובות, צורת הייצוג המקובלת של תופעות כמו פיזור ראמאן.
משרעת הפיזור.
משרעת היא התוספת המתמטית לפונקציית הגל לאחר פגיעה עם מפזר ומתוארת לרוב על ידי הסימון הערך formula_14. פונקציה זו היא ביטוי בעל חשיבות מרכזית בתיאור הקוונטי ומקביל במובן מסוים לחתך הפעולה הגאומטרי בפיזיקה הקלאסית.
בתיאור הכמותי הפשוט ביותר, נוכל להציג את הפתרון עבור פונקציית גל המתקדמת לעבר המפזר כגל מישורי:
formula_15
כאשר גל זה ניתקל בפוטנציאל השונה מאפס בדמות מרכז פיזור מתווסף לפונקציית הגל איבר נוסף הדועך באופן רדיאלי מהמפזר החוצה:
formula_16
כדי שההסתברות למצוא את החלקיק במרחב תשמור על גודל סופי איבר זה חייב לדעוך על מנת שהאינטגרל של פונקציית הגל במרחב יתכנס ולא יהיה אינסופי.
ראוי לציין, שעבור פתרון של תוצאות ניסוייות אמיתיות, יש בדרך כלל לקחת בחשבון חבילת גלים הממוקמת במרחב ובתנע במידה סופית, בדרך כלל תוך העזרות באנליזה נומרית.
הקבלה לחתך פעולה גאומטרי.
הפרשנות הקוונטית לחתך הפעולה מתבצעת על ידי יישום העיקרון שהמכפלה הפנימית או ההסתברות הכוללת נשמרת לפני ואחרי הפוטנציאל המפזר.
כאשר החלקיק נע במרחב לפני המפגש עם המפזר, נחשב את דיפרנציאל ההסתברות באופן הבא:
formula_17
לאחר הפגיעה במרכז הפיזור, נוסיף לפונקציית הגל המקורית איבר נוסף עם משרעת ופאזה, המתכנס במרחק אינסופי, כך שפונקציית ההסתברות לא תתבדר באינסוף:
formula_16
דיפרנציאל ההסתברות במקרה זה יהיה:
formula_19
על מנת לשמור על הסתברות כוללת זהה לפני ואחרי הפיזור נשווה בין שני הדיפרנציאלים. מהשוואה כזו ניתן להסיק שאיבר התיקון שהוספנו לפונקציית הגל (משרעת הפיזור), שווה בגודלו (כמכפלה פנימית) לחתך הפעולה הדיפרנציאלי, הגודל הגאומטרי בו משתמשים בפתרון הקלאסי.
formula_20
פיזור אלקטרומגנטי.
אחת הדוגמאות המוכרות לפיזור היא פיזור של קרינה אלקטרומגנטית הכוללת בין השאר אור נראה וגלי רדיו. פיזור של קרניים אלקטרומגנטיות הוא התופעה הפיזיקלית המרכזית, לצד בליעה, המאפשרת את ראייתם של עצמים. פיזור אופטי חיוני בשימושים כדוגמת מכ"ם, אנליזה כימית של חומרים ואפיון גבישים בעזרת קרני X. בחיי היום-יום ניתן להבחין בפיזור אור-נראה המאפשר להבדיל בין משטחים בעלי פיזור גבוה להם מראה מט למשטחים בעלי פיזור נמוך להם מראה מבריק יותר.
הגדרה.
באופטיקה, קיימות מספר הגדרות שימושיות למושג הפיזור, כאשר לעיתים נהוג לבדל תופעות כמו החזרה או העברה, ולעיתים, נהוג לסווגן כמקרים פרטיים.
במובן הכולל ביותר, ניתן להתייחס לפיזור כתופעה בסיסית בהתקדמות האור, המתארת מנעד רחב של תופעות, ביניהן החזרה והעברה. הגדרה זו מבוססת על מודל פיזיקלי קלאסי של אינטראקציית אור-חומר.