גם בתורת המספרים המרוכבים פונקציית האקספוננט ממלאת תפקיד חשוב. את הפונקציה שהגדרנו עבור מספרים ממשיים ניתן להרחיב לכל מספר מרוכב. בדומה לאקספוננט הממשי, גם בשדה המספרים המרוכבים קיימות מספר דרכים שקולות להגדיר את האקספוננט.
ניתן להגדיר את האקספוננט באמצעות אותו טור חזקות שבו השתמשנו להגדרת האקספוננט הממשי:
נשים לב, שהסימון e בחזקת z הוא סימון פורמלי בלבד, כיוון שהגדרת האקספוננט קודמת להגדרת חזקות כלליות במספרים המרוכבים. טור זה מתכנס עבור כל מספר מרוכב והוא מגדיר את formula_34 כפונקציה מרוכבת, שהיא פונקציה אנליטית. ניתן להראות (ונוכיח זאת בהמשך) שמתקיים:
תכונות.
האקספוננט המרוכב "יורש" את כל התכונות של האקספוננט הממשי, שנבעו מתוך ההגדרה שלו כטור חזקות.
האקספוננט המרוכב מתלכד עם האקספוננט הממשי עבור כל מספר ממשי. &lt;br&gt;
על ידי השוואה בין טורי טיילור של הפונקציות הטריגונומטריות, לבין תוצאת הטור של formula_34 כאשר מציבים formula_40 מתקבלת התוצאה formula_41. נוסחה זו מכונה נוסחת אוילר, ובפרט מתקבלת זהות אוילר: formula_42.
אם נכפיל את הזהות הזו ב- formula_2 נקבל את הנוסחה הכללית:
מהנוסחה האחרונה נובע שהאקספוננט המרוכב הוא לא חד-חד-ערכי, כי לדוגמה, formula_46. לעומת זאת הוא מחזיר כל מספר מרוכב חוץ מאפס.
לפי משפט לינדמן האקספוננט המרוכב (ולכן גם הממשי) מחזיר ערכים טרנסצנדנטיים בנקודות אלגבריות שונות מאפס.
האקספוננט ופונקציות טריגונומטריות.
את הפונקציות הטריגונומטריות, במספרים הממשיים כמו גם במספרים המרוכבים, ניתן להגדיר באופן נוח בעזרת פונקציית האקספוננט.
מנוסחת אוילר, על ידי הצבת y- במקום y, נובע שלכל מספר ממשי מתקיימות הזהויות הבאות:
זהויות אלו יכולות לשמש כהגדרה של הפונקציות הטריגונומטריות עבור כל y מרוכב. ההגדרה הזו נוחה במיוחד, כי היא מאפשרת לגזור את התכונות של הפונקציות הטריגונומטריות ישירות מתכונות האקספוננט המרוכב. כך למשל הפונקציות הטריגונומטריות המרוכבות נשארות מחזוריות גם במישור המרוכב ומקיימות לכל z:
ולכל מספר אחר אם formula_51 לכל z אז בהכרח formula_52, וכך גם לגבי הסינוס.
החזקה המרוכבת.
את החזקה המרוכבת נוח להגדיר באמצעות האקספוננט המרוכב והלוגריתם הטבעי המתאים לו:
עם זאת, פונקציית הלוגריתם אינה חד-ערכית (לפי נוסחת אוילר לכל n יש ענף אנליטי של הלוגריתם שמקיים formula_54), ולכן גם החזקה המרוכבת אינה מוגדרת היטב.
האקספוננט המטריציאלי.
הגדרת האקספוננט דרך טור חזקות, מאפשרת להרחיב את ההגדרה לכל אלגברת בנך, ובמיוחד לאלגברת המטריצות. לכל מטריצה ריבועית formula_55 הטור הבא מתכנס (בכל נורמה):
ברור שהסימון e בחזקת A הוא סימון פורמלי בלבד, ואפילו אין דרך כללית להגדיר חזקות בין מטריצות. האקספוננט המטריציאלי משמש, בין השאר, בפתרון מערכות של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות.
תכונות.
אפשר להגדיר את האקספוננט formula_57 עבור מטריצות ריבועיות מעל המרוכבים, על ידי הצבה בטור החזקות; הטור הזה תמיד מתכנס. אם formula_58 אז formula_59, אבל תכונה זו אינה נכונה בהכרח כאשר A,B אינן מתחלפות.
מכאן נובעות תכונות נוספות: formula_60, ולכן האקספוננט הוא פונקציה מאלגברת המטריצות לחבורת המטריצות ההפיכות. מתקיים גם כלל החזקה formula_61. בנוסף, האקספוננט המטריציאלי משמר דמיון מטריצות: formula_62. הדרך לחשב את האקספוננט של מטריצה היא לעבור לצורת ז'ורדן, שם החישוב קל משום שאחרי הורדת הסקלר המטריצה נילפוטנטית.
במקרים שבהם מושג ההתכנסות אינו מוגדר, האקספוננט מוגדר עבור איברים נילפוטנטיים משום שאז הסכום הוא סופי.
להט&quot;ב
לָהָטַ"בּ – ראשי התיבות של לסביות, הומואים, טרנסג'נדרים וביסקסואלים – הוא מונח מטרייה המאגד נטיות מיניות, זהויות מיניות ומגדריות.
בשנים האחרונות מקובלים גם הצירופים: להטב"ק (ק' מציינת קוויר/questioning), או להטב"א (א' מציינת אינטרסקס, אומניסקסואליות, א-בינארי או א-מיניות), או השילוב להטבא"ק. ונוסף לכך, קיים גם השימוש בראשי התיבות להטבפא"ק (פ' מציינת פאנסקסואליות או פוליסקסואליות). לעיתים מקובל להשתמש בביטוים כמו "הקהילה הגאה", מכיוון שאין בהם ראשי תיבות ולכן הם אינם מהווים הגדרה מדויקת באשר לזהויות המשתייכות לקהילה.
לסביות, הומוסקסואלים, ביסקסואלים וטרנסג'נדרים רבים רואים עצמם חלק מציבור אחד מסיבות של אחדות גורל ושותפות במאבק נגד כפיית תפקידי מגדר, ורואים במאבקם מאבק שאינו בלעדי לקהילת הלהט"ב, אלא מיטיב עם החברה כולה. האפליה כנגד קבוצות אלו, נתפסת כנובעת מגורם משותף, והוא כפייה של התפקידים המגדריים והמיניים הנפוצים על ידי כלל האוכלוסייה תוך דיכוי הגיוון והשונות האנושית. עוד בראשית המאבק במהומות סטונוול (1969) כלל המאבק לשוויון זכויות לסביות, הומואים, ביסקסואלים וטרנסג'נדרים שהתאחדו תחת התעמרות המשטר והחברה כלפיהם.
רקע היסטורי.
טרם השימוש במונח.
בטרם המהפכה המינית של שנות ה-60 לא היה קיים מונח רוֹוח תקין פוליטית ולא-מזלזל שאיחד תחתיו זהויות לא-הטרוסקסואליות. המונח היחיד הקרוב לכך היה "מין שלישי", שמקורו בשנות ה-60 של המאה ה-19, אך מעולם לא זכה להכרה נרחבת. המונח "הומוסקסואליות" נתפס עד לאותה העת כבעל קונוטציה שלילית, והיו ניסיונות לשנות אותו ל"הומופיל" בשנות ה-50 וה-60, ובהמשך לגיי בשנות ה-70. כאשר עיצבו הלסביות זהויות צבוריות רבות יותר וגבר השיח סביבן, הפך לרווח השימוש בביטוי "הומואים ולסביות".
בנותיה של ביליטיס, הארגון לקידום זכויות הלסביות בארצות הברית, בחן בשנת 1970 את הנושא, והפעילוֹת בו התחבטו באשר לסוגיה המרכזית שבה צריך להתמקד המאבק החברתי: פמיניזם או זכויות להט"ב. נושא השוויון היה מרכזי בפמיניזם הלסבי, ופער בתפקידים בין נשים וגברים או תרבות הבּוצ'ות והפמיות נתפסו כהתנהגות פטריאכלית. לסביות פמיניסטיות נמנעו מתפקידי מגדר שהונהגו בברים וראו בהומואים שוביניסטים, ועל כן הן נמנעו מפעילות חברתית הכוללת גם את מטרותיהן. תנועה מהותנית הולכת וגוברת של לסביות פמיניסטיות קראה ליצור בדלנות מוחלטת של נשים לסביות בנושא זה. ככל שגדלה קהילת הלהט"ב, ביקשו גם ביסקסואלים וטרנסג'נדרים הכרה חברתית בקטגוריות הזהויות המיניות והמגדריות אליהן הם משתייכים.
מהומות סטונוול היו הפעם הראשונה בה הומוסקסואלים, לסביות, ביסקסואלים וטרנסג'נדרים התקוממו יחד כקבוצה אחת כנגד התעמרות שלטונית על רקע נטייה מינית וזהות מגדרית. עם זאת, בסוף שנות ה-70 ותחילת שנות ה-80 החלו לעלות ספקות בנוגע לתפיסת כלל הזהויות כקבוצה אחת, והומואים ולסביות רבים החלו לקבל פחות את השתייכותם של ביסקסואלים וטרנסג'נדרים. התפיסה הייתה שטרנסג'נדרים מתנהגים באופן סטריאוטיפי שמזיק למאבק למען הזכויות, וכי ביסקסואלים הם למעשה הומואים ולסביות שמפחדים לצאת מהארון. כל קהילה המכונסת יחד עם קהילות אחרות נאבקת על זכות ההגדרה העצמית שלה. השאלה האם וכיצד לחבור לקבוצות אחרות או לתת-קבוצות, הולידה קונפליקטים הבאים לידי ביטוי עד היום.
השחקנית הטרנסג'נדרית קנדיס קיין כינתה את קהילת הלהט"ב בשנת 2009 "המיעוט הגדול האחרון", ואמרה "אנחנו, כקבוצה, עדיין יכולים להיות מוטרדים באופן פומבי ולהיות מושג ללעג בטלוויזיה."
תחילת השימוש במונח.
באנגלית.
בראשי התיבות להט"ב (באנגלית: LGBT) נעשה שימוש בארצות הברית החל משנת 1988 לערך. שימוש במונח כפנייה שוויונית להומוסקסואלים, לסביות, ביסקסואלים וטרנסג'נדרים החל בשנות ה-90. על אף שהייתה וישנה מחלוקת בקרב קהילת הלהט"ב בדבר קבלת מונח הכולל בתוכו זהויות שנתפסות כשונות האחת מהשנייה (ולעיתים אף נדחקות לשולי הקהילה), הפך המונח להט"ב לסמל חיובי של הכללה. השימוש במונח הפך עם הזמן לכלי שסייע באופן ניכר להעברת אינדיבידואלים משולי החברה לעבר המרכז.
בעברית.
את המקבילה העברית לראשי התיבות LGBTQ, הגה הפעיל החברתי ומנכ"ל המועצה לזכויות הגייז, שבי גטניו, בסוף שנת 2001. גטניו עסק בקידום מטרות הקהילה הגאה בכנסת ובממשלה. במסגרת תפקידו כתב דו"חות שונים ונאלץ לחזור שוב ושוב על המשפט 'לסביות, הומוסקסואלים, טרנסג'נדרים וביסקסואלים' - דבר שגרם לו לחוסר נוחות ולכן החליט להמציא ראשי תיבות. גטניו חשב על צירופי אותיות שונים, ולאחר שפסל אפשרויות כגון בלט"ה, הבל"ט ובטל"ה משום שלתפיסתו היו שליליים או סטיגמטיים, בחר בקיצור להט"ב שנתפס בעיניו כצירוף החיובי ביותר. גטניו ביטא את הקיצור באופן בו נשמע קרוב למילה 'להיטיב' (LEHETAV). חברי ועד המועצה לזכויות הגייז (יוקי לביא, עמית שאנן, מנחם שיזף, רותם דנון, נורה גרינברג, אלי שרון ואחרים) הסכימו לשנות את שם המועצה ל'המועצה לזכויות הלהט"ב'.
המושג תחילה נתקל בהתעלמות ובהתנגדות. כלי תקשורת וארגונים בקהילה הגאה, לרבות האגודה למען הלהט"ב בישראל והבית הפתוח סירבו לאמץ את ראשי התיבות הללו. המושג הופיע לראשונה בכלי התקשורת ב-11 בפברואר 2002 לאחר שגטניו שלח הודעה לעיתונות בנושא סיקור ישיבת כנסת בנושא להט"ב. לצד המושג 'להט"ב' נכתב בסוגריים 'לסביות, הומואים, טרנסקסואלים וביסקסואלים'.
מונחים נוספים.
ראשי התיבות הם תרגום של ראשי התיבות המקבילים באנגלית: GLBT (או LGBT).
וריאציות נפוצות פחות על ראשי התיבות:
לעיתים יש מחלוקת בין קהילות ה-LGB המוגדרות על פי נטייה מינית וקהילות TTI המוגדרות על פי זהות מגדרית, ומרבית חבריהן מזדהים כהטרוסקסואלים, זאת על אף שהסביבה לעיתים קרובות אינה מזהה אותם ככאלו.