הארבעון המשוכלל סימטרי במידה רבה ביותר: חבורת הסימטריות שלו פועלת 4-טרנזיטיבית על ארבעת הקודקודים, כלומר, אפשר להעביר, על ידי סיבוב ושיקוף, כל סדרת קודקודים לכל סדרת קודקודים אחרת. חבורת הסימטריות המרחביות של הארבעון המשוכלל איזומורפית לחבורת תמורות formula_1. השלד של הארבעון הוא הגרף השלם formula_2, וחבורת הסימטריות שלו איזומורפית ל-formula_3.
הארבעון המשוכלל הוא אחד מחמשת הגופים האפלטוניים, הידועים גם בשם הפאונים המשוכללים. גוף אפלטוני הוא פאון שכל פאותיו הן אותו מצולע משוכלל (מצולע שווה-צלעות), ובכל אחד מקודקודיו נפגשות פאות באותו מספר.
שטח הפנים A והנפח V של ארבעון משוכלל בעל צלע a הם:
הארבעון המשוכלל הוא דואלי לעצמו. כלומר: אם נסמן בכל אחת מפאותיו של ארבעון את הנקודה האמצעית, ונחבר את כל הנקודות הללו, נקבל ארבעון משוכלל.
מיון הארבעונים על-פי הסימטריות שלהם.
את הארבעונים אפשר למיין למשפחות, על-פי חבורת הסימטריות שלהם. זהו מיון בעל משמעות בקריסטלוגרפיה, שם ממיינים את הסריגים למחלקות בראבה ולמערכות גבישיות, בין השאר, על-פי חבורת הסימטריות של תא היחידה של הסריג.
הסימטריות של השלד.
הקודקודים והמקצועות של ארבעון מרכיבים את השלד החד-ממדי שלו, שהוא גרף שממנו אפשר לשחזר את המבנה הגאומטרי, התלת-ממדי. בסימטריות של השלד אפשר לבצע גם פעולות שאינן אפשריות בגוף צפיד, השקולות לשיקוף של המרחב: תמורה של הקודקודים מהווה סימטריה של השלד, אם היא מעתיקה כל מקצוע למקצוע באותו אורך. משום כך יש יותר חבורות סימטריה אפשריות לשלד, על-פי הפירוט הבא.
סימטריות הסיבוב המרחביות.
כל סימטריה של השלד אפשר לממש גם כסימטריה של המרחב כולו, אם מרשים בנוסף לסיבובים, גם לשקף את המרחב. פעולת השיקוף אינה ניתנת למימוש במציאות הפיזיקלית (בשל-כך יודע אדם בין ימינו לשמאלו). ללא שיקופים אפשר לממש רק תמורות זוגיות, ונותרות חמש אפשרויות:
קוביית משחק.
הארבעון משמש כקוביית משחק במשחקי תפקידים בתור ק4. המספרים מופיעים במרכז כל צלע. מאחר שאין לארבעון צד עליון המספר שהתקבל נקבע על פי המספר המופיע במרכז הצלע התחתונה.
משוואה דיופנטית
במתמטיקה משוואה דיופנטית היא משוואה שקבוצת הפתרונות שלה מוגבלת, בדרך-כלל, לקבוצת המספרים השלמים. משוואות אלה קרויות על שם המתמטיקאי היווני דיופנטוס שחקר אותן.
מנקודת מבט כללית יותר מתייחס השם "משוואה דיופנטית" גם למשוואות שבהן הנעלמים עשויים לקבל ערכים בחוגים אחרים, ובפרט בחוגי שלמים של שדות מספרים.
מיון של משוואות דיופנטיות.
המיון הבסיסי של משוואות דיופנטיות דומה לזה של מערכות משוואות אחרות: ההבחנה הראשונה היא בין משוואות פולינומיות לבין משוואות כלליות. פרמטרים בסיסיים אחרים הם מספר המשוואות ומספר המשתנים. למשוואות שאינן פולינומיות (כמו משוואת דיפי-הלמן formula_1, בנעלמים x ו-y עבור a,c,n נתונים), אין תאוריה כללית, ובדרך כלל מיוחד המונח "משוואה דיופנטית" למשוואות פולינומיות. משוואות פולינומיות אפשר למיין מיון נאיבי על-פי המעלה הכוללת של הפולינום, או ה"גובה" של המשוואה (ראו מאמרו של Grechuk ברשימת המקורות, המראה את הפתרון של כל המשוואות הדיפנטיות הפולינומיות בצורה מסודרת, החל מגובה 0 ועד גובה 30, וקורא להמשיך בתוכניתו לפתור משוואות לפי גובה הולך וגדל), אך התאוריה המודרנית, המטפלת במשוואות דיופנטיות בכלים של גאומטריה אריתמטית, ממיינת את מערכות המשוואות על-פי הגנוס הגאומטרי שלהן.
בעקבות פתרון הבעיה העשירית של הילברט, ידוע שאין אלגוריתם המכריע האם למערכת משוואות נתונה יש פתרון. עם זאת, תורת המספרים הקלאסית התמודדה עם טיפוסים רבים של משוואות דיופנטיות (בעיקר ממעלות 2, 3 ו-4), ופותחו כמה שיטות כלליות, כמו גם נימוקים מבריקים לכל מקרה ומקרה. אחת הדוגמאות הידועות היא המשוואה הריבועית formula_2, הנגזרת ממשפט פיתגורס, ושהפתרונות לה נקראים שלשות פיתגוריות. למשוואה זו יש פתרון כללי: formula_3 כאשר s,t מספרים טבעיים.
לפי המשפט האחרון של פרמה, למשוואה formula_4 עבור n&gt;2 אין פתרונות שלמים, למעט הטריוויאליים (שבהם אחד הנעלמים שווה ל-0).
משוואות דיופנטיות מערבות במקרים רבים קשיים חישוביים משמעותיים. פתרון המשוואה הפשוטה formula_5 (עבור formula_6) שקול לבעיית הפירוק של המספר n לגורמיו הראשוניים, ומאמינים שעבור n גדול, זוהי בעיה קשה. יש שיטות הצפנה נפוצות (כמו RSA) שחוזקן מבוסס על ההנחה שבעיית הפירוק אכן קשה לפתרון.
המשוואה ax+by=c.
למשוואה הדיופנטית formula_7 (עבור a,b,c שלמים נתונים) יש פתרון בשלמים אם ורק אם המחלק המשותף המקסימלי של a ו-b מחלק את c.
אם התנאי לא מתקיים, כלומר קיים d שמחלק את a ו-b אך אינו מחלק את c, ברור כי גם ax+by יתחלק בd (משום שx ו-y שלמים) ולפיכך לא יוכל להתקיים השיויון.
אם התנאי מתקיים נסמן gcd(a,b)=d ובאמצעות אלגוריתם אוקלידס המורחב נמצא formula_8 שלמים כך ש formula_9. קל לראות כי אכן formula_10 ו- formula_11 יהוו פתרון למשוואה. פתרונות נוספים למשוואה יתקבלו לזוגות המספרים formula_12 ו- formula_13 לכל t שלם.
דוגמה.
נתונה המשוואה formula_14.&lt;br&gt;מכיוון ש-formula_15 וformula_16 מחלק את formula_17 קיים פתרון למשוואה. נמצא formula_18 ו-formula_19 כך ש-formula_20 באמצעות אלגוריתם אוקלידס המורחב.&lt;br&gt;נתחיל עם המספרים 17 ו- 20.
בכל צעד נחסר את הכפולה הגדולה ביותר של המספר הקטן מהשניים מהמספר הגדול, כך שהמספר הגדול יישאר חיובי.
הכפולה הגדולה ביותר של 17 שתשאיר את 20 חיובי תהיה 1. נשאר עם המספרים 17 ו-3. נזכור כי formula_21.
הכפולה הגדולה ביותר של 3 שתשאיר את 17 חיובי תהיה 5. נשאר עם המספרים 2 ו-3. נזכור כי formula_21 וכי formula_23.
הכפולה הגדולה ביותר של 2 שתשאיר את 3 חיובי תהיה 1. נשאר עם המספרים 2 ו-1. נזכור כי formula_24, ולכן formula_25.
קיבלנו שformula_26 יקיימו formula_27.
במקרה זה, c=1000 וd=1 לכן c/d=1000 ולכן formula_28 ו- formula_29 יהוו פתרונות למשוואה. ואכן formula_30.
כלומר, formula_31 יהוו פתרון לכל t שלם.&lt;br&gt;
משוואות דיופנטיות קנוניות ממעלות גבוהות.
על-פי עקרון הסה, למשוואה דיופנטית ריבועית (הומוגנית, בכל מספר של משתנים) יש פתרון במספרים שלמים אם ורק אם יש לה פתרון ממשי ובכל שדה p-אדי, כלומר מודולו כל חזקה של ראשוני. עקרון הסה חל במקרה זה, מכיוון שמדובר בעקום מגנוס 0. עקרון הסה אינו חל על משוואות מגנוס גבוה יותר, ואפילו על עקומים אליפטיים; את הכישלון של עקרון הסה במקרה האחרון מודדת חבורת שפרביץ', שמשערים כי היא סופית.
בקסטריט בויז
בקסטריט בויז (באנגלית: Backstreet Boys) היא להקת בנים אמריקנית. הלהקה הוקמה על ידי לו פרלמן בפלורידה בשנת 1993, נחשבת ללהקת הבנים המצליחה ביותר בהיסטוריה ולאחת הלהקות המצליחות ביותר בכל הזמנים - עם מכירות של מעל 140 מיליון אלבומים בכל העולם, מתוכם כ-42 מיליון אלבומים בארצות הברית.
הלהקה קיבלה כוכב בשדרות הוליווד ב-2013.
היסטוריה.
היזם האמריקני לו פרלמן, שהשכיר מטוסי סילון ללהקת ניו קידז און דה בלוק, התרשם מהצלחתה משנות ה-80 והחליט להקים להקת בנים חדשה. באודישנים שנערכו בעיר אורלנדו שבפלורידה בשנים 1992 ו-1993, נבחרו ניק קרטר, האווי דורו, אלכסנדר מקלין, בריאן ליטרל ובן דודו קווין ריצ'רדסון, המבוגר בהם בן 21. הופעתם הראשונה נערכה ב-8 במאי 1993 בפארק עולם המים שבאורלנדו. לאחר מספר הופעות מינה פרלמן את ג'וני רייט למנהל הלהקה. חוזה ההקלטות הראשון של הלהקה נחתם בחברת התקליטים העצמאית ג'ייב (Jive) בפברואר 1994, בעקבות הופעה בעיר קליבלנד שבאוהיו.
ביוני 1994 הקליטה הלהקה סינגל ראשון בשם "We've Got It Goin' On", שנכתב והופק על ידי דניס פופ. הסינגל זכה להצלחה רבה בגרמניה ובאירופה, ולהצלחה מוגבלת בארצות הברית.
בשנת 1995 הוקלט אלבום הבכורה של הלהקה, "Backstreet Boys", שזכה להצלחה במדינות רבות והוביל לסיבובי הופעות. בשנת 1996 מכרה הלהקה אלבום פלטינה ראשון בגרמניה (חצי מיליון עותקים), וערכה סיבוב הופעות באסיה ובקנדה.
באוגוסט 1997 חזרה הלהקה לאורלנדו והוציאה את האלבום "Backstreet's back", שרוב שיריו הצליחו מאוד בארצות הברית. בין להיטי האלבום היו השירים Everybody (Backstreet's Back)"" ו-"All I Have To Give". האלבום הגיע לתואר פלטינה 14 פעמים בארצות הברית, כלומר, מכר שם 14 מיליון עותקים. ברחבי העולם מכר כ-28 מיליון עותקים.
ב-18 במאי 1999, הוציאה הלהקה אלבום שלישי, "Millennium", שמכר יותר ממיליון עותקים בשבוע הראשון ליציאתו. האלבום הגיע למקומות הראשונים באירופה, קנדה, הונג קונג, אינדונזיה, הודו, מקסיקו ובמדינות נוספות רבות. הוא מכר כ-40 מיליון עותקים ברחבי העולם ונחשב לאחד האלבומים המצליחים בהיסטוריה. האלבום זיכה את הבקסטריט בויז ל-5 מועמדויות לגראמי ונכנס למקום הראשון של רשימת Billboard 200. ארבעה סינגלים סך הכל יצאו מהאלבום הזה: "I want it that way", "Show me the meaning of being lonely", "The one", ו"Larger than life". האלבום הפך לאלבום הנמכר ביותר בשנת 1999 בארצות הברית. בנוסף, הוא מחזיק בשיא המספר הרב ביותר של משלוחים בשנה אחת, כ-11,000,000 משלוחים. מילניום נשאר במצעד בילבורד במשך 93 שבועות, ונכון לסוף דצמבר 2008, עומד כאלבום הרביעי הנמכר ביותר בארצות הברית של עידן סאונדסקאן.