ואומרים שההמילטוניאן הוא היוצר של התפתחות המערכת בזמן.
את הפתרון הנ"ל אפשר לפתח בבסיס המצבים העצמיים של ההמילטוניאן.
נסמן formula_34 כאשר formula_35 הם האנרגיות העצמיות. מאחר ש-H הרמיטי, המצבים העצמיים אורתונורמלים, כלומר formula_36, ולכן אפשר להשתמש בהתמרת פורייה ולקבל ש:
משוואת שרדינגר בבסיס המקום.
בבסיס המקום במקום לדבר על מצב קוונטי ערטילאי, מדברים על המיקום והתנע של החלקיק. בעקבות ניסוי שני הסדקים ועבודתו של לואי דה ברויי נוסח הרעיון שאת מיקומו של חלקיק ניתן לתאר כסופרפוזיציה קוונטית של גלים שתיצור חבורת גלים הממורכזת סביב מיקומו ה"קלאסי" של החלקיק.
תיאור החלקיק על ידי פונקציית גל הסביר מדוע אלקטרונים יכלו לבצע התאבכות, כפי שהתגלה בניסוי.
באופן פורמלי, פונקציית הגל formula_39 מוגדרת כהטלה של המצב הקוונטי של המערכת על בסיס המקום, כלומר: formula_40 .
בבסיס המקום (r), אופרטור התנע מוצג כ formula_41 ולכן משוואת שרדינגר נהיית:
זוהי משוואה דיפרנציאלית חלקית שאפשר לפתור באמצעות הפרדת משתנים ותורת שטורם-ליוביל על ידי מציאת מצבים עצמיים של האנרגיה לחלק הבלתי תלוי בזמן.
כאשר החלקיק נמצא תחת השפעת פוטנציאל אלקטרו-מגנטי ההמילטוניאן הוא
כאשר A הוא הפוטנציאל הווקטורי המגנטי ו-formula_44 הוא הפוטנציאל החשמלי. במקרה זה יש להציב צורה זו במשוואת שרודינגר ולהחליף את התנע באופרטור גזירה כאמור לעיל.
פתרון המשוואה.
השיטה לפתור את המד"ח (משוואה דיפרנציאלית חלקית) של שרדינגר היא באמצעות הפרדת משתנים.
מנחשים פתרון מהצורה
מציבים את הביטוי במשוואה התלויה בזמן ומקבלים
מחלקים בformula_47 ומקבלים
אגף שמאל תלוי רק בזמן, ואגף ימין רק במרחב, והם שווים תמיד לכן קבועים. נקרא לקבוע ההפרדה formula_49(שכן הוא מה שאנחנו תופסים כאנרגיה).
המשוואה עבור הזמן תהיה (לאחר העברת אגפים)
כעת נותרנו עם הפונקציה formula_53,
ועבור formula_54 מקבלים את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:
זוהי משוואת ערכים עצמיים שאפשר לפתור באמצעות תורת שטורם ליוביל. למעשה אנחנו מחפשים פונקציות formula_56 כך ש
כלומר: פעולת אופרטור ההמילטוניאן עליהן פשוט מחזירה את הפונקציה כפול האנרגיה שלה. אנרגיות אלה (שהן הערכים העצמיים של המד"ר) נקראות "האנרגיות העצמיות" ואילו הפונקציות המתאימות להן נקראות "המצבים העצמיים". נעיר שאת המצבים העצמיים נהוג לנרמל, כלומר - לכפול במקדם סקלרי כך ש formula_58 . דרישת הנרמול נובעת מהפירוש ההסתברותי של מכניקת הקוונטים.
מאחר שזו משוואה ליניארית, את הפתרון הכללי אפשר להציג כסופרפוזיציה של המצבים העצמיים, כלומר:
מאחר ש H הוא אופרטור הרמיטי, מובטח לנו ממשפט הילברט שקיים בסיס של מצבים עצמיים אורתונורמליים, כלומר formula_60. לכן, ניתן להציג כל פונקציית גל במרחב הילברט של הבעיה כסכום (ליתר דיוק טור אינסופי) של המצבים העצמיים (כאשר מדובר בחלקיק חופשי, פיתוח כזה קרוי פיתוח פורייה).
את מקדמי הפיתוח formula_61 ניתן לקבוע באמצעות ידיעת פונקציית הגל ההתחלתית (כלומר: formula_62, באופן זהה לחלוטין הנעשה עבור טור פורייה כמו כן, נהוג לנרמל את פונקציית הגל כך ש: formula_63. לעיתים אין זה אפשרי (כמו במקרה של אופרטור התנע) ומתקבלות פונקציות עצמיות כך שformula_64 - ולא ניתן לנרמל אותן. כך חייבים לוותר על האורתונורמליות (ונשארים רק עם אורתוגונליות) אבל במקום זאת בוחרים פונקציות שיקיימו את נרמול דיראק ויקיימו formula_65 כאשר הפונקציה מימין היא פונקציית דלתא של דיראק. כך עושים עבור אופרטור התנע בחד מימד formula_66 (וגם בממדים רבים - formula_67) ובוחרים את הבסיס formula_68 לכל k ממשי (ובממדים רבים - formula_69). בסיס זה הוא הבסיס של התמרת פורייה ואכן, במכניקת הקוונטים התמרת פורייה מזוהה עם מעבר לבסיס הפונקציות העצמיות של התנע - מה שלעיתים מפשט את הפתרון (בדיוק כפי שהתמרת פורייה מפשטת לעיתים משוואות דיפרנציאליות).
מרידת חג הפסחא
מרידת חג הפסחא (באירית: Éirí Amach na Cásca) הייתה התקוממות כושלת של לאומנים אירים כנגד השלטון הבריטי בחג הפסחא באפריל 1916. האירוע נחשב לאירוע מכונן בהיסטוריה האירית.
רקע היסטורי.
בשנת 1800 אוחדו הפרלמנטים של אירלנד ובריטניה. מאז איחוד זה הייתה אירלנד לחלק מהממלכה המאוחדת כפי שסקוטלנד וויילס הן חלק ממנה. אירלנד הייתה מדינה ענייה, ומפולגת בין רוב קתולי מדוכא, אשר חלק מן הזמן נאסר עליו אף לקיים את פולחנו הדתי על פי דרכו, ובין מיעוט פרוטסטנטי אשר ראה באיחוד עם בריטניה את הדרך היחידה בה יוכל להתקיים. רעב תפוחי האדמה הגדול באירלנד הביא להגירה של מיליוני אירים ממולדתם, ומצבו של האי הלך והידרדר. בשנות ה-80 של המאה ה-19 התברר למנהיגי בריטניה כי אין כל מזור לבעיה המצויה בחצרם האחורית. אנשים כוויליאם יוארט גלאדסטון, ראש הממשלה הבריטי הליברלי, בשיתוף עם צ'ארלס סטיוארט פרנל, החלו קוראים ל"שלטון בית": פיצולו מחדש של הפרלמנט, כך שהאירים ידאגו לענייני עצמם, תוך שמירה על מסגרת המונרכיה.
בשנת 1914 התקבל חוק "שלטון הבית", אך הוא הוקפא במהלכה של מלחמת העולם הראשונה. רבים באירלנד סברו כי אין בכך די. הם ראו את המאבק העולמי בו מצויה בריטניה בחזית הראשונה, כהזדמנות לקבל לידם את עצמאותם בכוח, והטיפו לרפובליקה אירית, במקום "שלטון הבית" אשר שמר על מסגרת המונרכיה הבריטית. קבלת חוק שלטון הבית, חרף התנגדותם הגובלת באלימות של הפרוטסטנטים בצפון והקפאתו מיד לאחר מכן, הסעירו את רוחם של הלאומנים האירים, אשר החליטו לנקוט באמצעים קיצוניים.
תכנון המרידה.
עם פרוץ מלחמת העולם הראשונה בשנת 1914 התכנסו מנהיגי ארגון "האחווה הרפובליקנית האירית" (IRB) והגיעו למסקנה כי "קשייה של אנגליה הם הזדמנותה של אירלנד", וכי יש לפעול בטרם תסתיים המלחמה. האחווה הקימה ועדה צבאית, שהורכבה מפטריק פירס, ג'וזף פלנקט ואחרים, חברי ה-IRB וארגון בשם "המתנדבים האירים". ארגון המתנדבים האירים הוקם זמן מה לפני כן, על מנת לשמש מענה ל"כוח המתנדבים מאלסטר" הפרוטסטנטים, בתקופת המתיחות סביב קבלת חוק "שלטון הבית". אנשי ה-IRB היוו עתה את לשדה של הקצונה הבכירה בארגון "המתנדבים האירים", והובילו ארגון זה לתמיכה במאבק מזוין נגד הבריטים. מפקד "המתנדבים" ומקימם, אוון מקניל, לא תמך במטרות אלו וראה בארגונו קלף מיקוח להשגת תנאים טובים במשא ומתן עם בריטניה לאחר המלחמה.
בד בבד עמדו הלאומנים בקשר עם סר רוג'ר קייסמנט, אשר תכנן עם גרמניה להבריח רובים שישמשו את המורדים נגד הבריטים.
שני אילוצים עמדו בפני מתכנני ההתקוממות. האחד היה ארגון סוציאליסטי קטן בשם "צבא האזרחים האירי" אשר איים לפעול אם קבוצות אחרות לא יפעלו. פעולה עצמאית של ארגון זה, שמנה 200 איש, עשויה הייתה להכשיל את הפעולה הגדולה ביותר של "המתנדבים". בשיחות בין הקושרים ובין מנהיג "צבא האזרחים", ג'יימס קונולי, סוכם על פעולה במהלך חג הפסחא של שנת 1916. האילוץ השני היה הצורך להעלים את הקשר ממנהיג "המתנדבים" מקניל. לצורך כך הוציא פירס פקודות ל"מתנדבים" לצאת לתמרונים ביום ראשון של חג הפסחא. פקודות אלו לא חמקו מעיניו של מקניל, אשר קיבל גם ידיעות על הגעתו של קייסמנט מגרמניה ועמו משלוח הנשק. הוא הוציא פקודה לבטל את הפעולה, דבר שגרם בדיעבד רק לעיכוב בן יום אחד במרידה אך גם להפחתה משמעותית של מספר המשתתפים בה, דבר שהוביל לכישלונה.
ב-23 באפריל 1916, כאשר המועצה הצבאית של האחווה הרפובליקנית האירית סיימה את התכנונים האחרונים לקראת המרידה, היא שילבה את המתנדבים האירים, את צבא האזרחים האירי, וכן את ארגון הנשים המיליטנטי קומן נה מאן לארגון מטרייה בשם "צבא הרפובליקה האירית". פטריק פירס מונה למפקד העליון וג'יימס קונולי למפקד מחלקת דבלין.
המרידה.
התוכנית, שהוכנה בעיקרה על ידי פלנקט, הייתה לתפוס בניינים אסטרטגיים בדבלין ולנהל מהם מגננה בפני הצבא הבריטי. החטיבה הדבלינאית של "המתנדבים" חולקה לארבעה גדודים, שכל אחד מהם היה תחת פיקודו של אדם שהיה בסוד הקשר. גדוד נוסף נוצר מאנשי "צבא האזרחים האירי", שאליהם הצטרפו "מתנדבים" מארבעת הגדודים האחרים. גדוד זה תפס, ביום שני של חג הפסחא, 24 באפריל 1916, את בית הדואר המרכזי. הגדוד היה תחת פיקודו של פירס, ובו שירת גם מייקל קולינס. מפקדו של הגדוד השלישי היה איימון דה ואלירה.
הגדודים האחרים תפסו את עמדותיהם בנקודות אסטרטגיות בבירה, אך פקודתו של מקניל שביטלה את ה"מצעד" מנעה כל השתתפות במרידה של גורמים מחוץ לדבלין. הפיקוד בשטח ניתן לג'יימס קונולי, אשר היה בעל ידע טקטי, אך סבר כי "ממשלה קפיטליסטית" לא תעז להשתמש בארטילריה כנגד רכוש. פעולות הבריטים הוכיחו עד מהרה כי טעות בידו.
הבריטים עבדו לאיטם, שכן לא ידעו מהו סדר הגודל של הגדודים המורדים. הם התרכזו בבידודה של המפקדה בבניין הדואר המרכזי ובמקביל הפגיזו את העיר דבלין תוך שהם שורפים חלקים ניכרים ממנה. הכוח הבריטי מנה כ-4,500 חיילים, כ-1,000 שוטרים וכלל ארטילריה וסיוע ארטילרי מספינת התותחים "הלגה" שהפליגה במעלה נהר הליפי. מולם עמדו ה"מתנדבים" שמנו כ-1,000 אנשים ועמם עוד כמאתיים חברי "צבא האזרחים". הבריטים בודדו את גדודי המורדים בגזרותיהם ומנעו העברת אספקה ופקודות, כך שהפקודה היחידה שיכלו הגדודים לקבל הייתה פקודת הכניעה.