ראוי לשים לב שעל אף היקפו האינסופי, שטח פתית השלג של קוך סופי, והוא קטן משטח המעגל החוסם את המשולש ממנו החלה שרשרת האיטרציות. למעשה ניתן להראות ששטח פתית השלג מתכנס במדויק לערך formula_4, כאשר formula_5 הוא שטח המשולש שווה הצלעות ההתחלתי.
הוכחה
בכל שלב בבניית הפרקטל כל קטע ישר בו מוחלף בארבעה קטעים ישרים, לכן מספר הקטעים הישרים בו לאחר n איטרציות הוא: formula_6. המשולשים שנבנים בכל איטרציה הם בעלי יחסי דמיון 1 ל-3 עם המשולשים שנבנו באיטרציה הקודמת, ולכן שטחם תשיעית מהמשולשים שנבנו באיטרציה הקודמת. לפיכך שטח כל משולש שנבנה באיטרציה ה-n הוא:
formula_7. השטח שמתווסף לפרקטל באיטרציה ה-1 + n שווה למכפלת מספר הקטעים הישרים בסיום האיטרציה ה-n בשטח כל משולש שנבנה באיטרציה ה-n+1. כלומר שטחו הכולל S של הפרקטל הוא:
formula_8.
מנוסחת הסיכום הידועה לחישוב סכום סדרה הנדסית יוצא שערך הסכום האינסופי תחת סימן הסכימה מתכנס ל-: formula_9, לכן ערך השטח הכולל של הפרקטל הוא: formula_10.
ממד האוסדורף.
תכונה נוספת נוגעת לממד האוסדורף של פתית השלג. כאמור, בכל פעולה אנחנו מחליפים שלושה קטעים שאורך כל אחד מהם הוא שליש מהקטע המקורי בארבעה קטעים מסוג זה. מכאן, שממד האוסדורף של פתית השלג הוא: formula_11. לפתית השלג של קוך ממד שאינו שלם, תכונה אופיינית לפרקטל.
אבעבועות
אבעבועות (באנגלית: Pox) הוא שמן של כמה מחלות התוקפות בני אדם, בעלי חיים וצמחים, שהמשותף לכולן הוא הופעת נקודות, כתמים או שלפוחיות בצבע אדום על-גבי הכסות (העור בבעלי חיים).
ולדימיר אוברוצ'ב
ולדימיר אפנסייביץ' אוברוצ'ב (ברוסית: Владимир Афанасьевич Обручев; 10 באוקטובר (28 בספטמבר לפי הלוח היוליאני) 1863 - 19 ביוני 1956) היה גאולוג וסופר רוסי-סובייטי.
קורות חייו.
אוברוצ'ב נולד בשנת 1863 במשפחה של קצין בחיל הרגלים הרוסי. אחרי שסיים תיכון התקבל לאוניברסיטה למדעי ההרים של סנקט פטרבורג, שבה בחר במגמת הגאולוגיה - בהשפעת אחד ממוריו, הגאולוג הרוסי הנודע א. ו. מושקטוב.
בשנת 1886, לאחר שסיים את לימודיו באוניברסיטה, נשלח אוברוצ'ב לאזור טורקמניסטן של היום, שם הוא חקר את מדבר הקארא-קום והמציא שיטה לקבע את החולות הנעים על ידי שתילת צמחייה מתאימה ששורשיה מקבעים את החול ולא מאפשרים לו לזוז. כמו כן חקר אוברוצ'ב את נהר האוזבוי הקדום. על שתי עבודותיו אלה הוא קיבל מדליות מהאגודה הרוסית לגאוגרפיה.
בשנת 1888 מונה אוברוצ'ב לגאולוג של פלך סיביר. בסיביר הוא חקר את נהרות הלנה והאנגרה. מחקריו בתחום הגאולוגיה סייעו להתפתחות כריית הזהב באזור. בשנת 1892 יצא אוברוצ'ב במסגרת של משלחת מדענים למסע מחקר בן שנתיים בסין ואסיה התיכונה. הוא עבר יותר מ-13,000 ק"מ ובדרך הפריך השערה שטענה כי אסיה התיכונה הייתה מכוסה במים בעידן השלישון וגילה מין חדש של קרנף שנכחד. על עבודותיו אלה נתנה לו האגודה הרוסית לגאוגרפיה את האות הגבוה ביותר שלה - מדליית זהב גדולה.
בשנת 1895 שב אוברוצ'ב לסיביר, לאזור אגם הבאיקל, שבו תוכננה לעבור מסילת הברזל הטרנס-סיבירית. שלוש שנים חקר את האזור, ואחר-כך שב לאזור כריית הזהב ליד הלנה (1901). באותה שנה ייסד את המחלקה למדעי ההרים של אוניברסיטת טומסק. בשנים 1905-1909 יצא אוברוצ'ב שוב למסע מחקר, הפעם באופן עצמאי, למערב סין וכן חוקר שרשרת הרים הטיאן-שאן והרי אלטאי.
לאחר שפוטר מהאוניברסיטה בשל דעותיו האנטי-ממסדיות, החל אוברוצ'ב לעסוק גם בספרות. באופן טבעי, ספריו קשורים לגאולוגיה ולפלאונטולוגיה - חקר בעלי חיים קדומים. ספרו הראשון, "פלוטוניה", שיצא בשנת 1915, מתאר עולם תת-קרקעי שלם, שחיים בו בעלי-חיים מתקופות קדומות.
לאחר מהפכת אוקטובר ומלחמת האזרחים ברוסיה, בחר אוברוצ'ב להישאר בברית המועצות. הוא מרצה באוניברסיטה למדעי ההרים במוסקבה, בשנת 1929 הוא נבחר לחבר באקדמיה סובייטית למדעים, ואחר-כך - ראש המכון הגאולוגי של ברית-המועצות. באותן שנים יוצאים ספריו החשובים "הגאולוגיה של סיביר" ו"תולדות המחקר הגאולוגי בסיביר".
הוא זכה בפרס לנין בשנת 1926, 5 עיטורי לנין, עיטור הדגל האדום ופעמים בפרס סטלין.
אוברוצ'ב מת בגיל 93 שנים, בשנת 1956.
עיזבונו של אוברוצ'ב.
מחקריו הגאולוגיים.
אוברוצ'ב חקר בעיקר את אזור סיביר, אך עסק בעבודתו זו בתחומים גאולוגיים מגוונים. הוא חקר את השפעות הרוח, את תקופות הקרח ואת התנהגות הקרח בגאולוגיה בכלל. הוא חקר את ההיסטוריה הגאולוגית של אזור סיביר, את תנועות הקרקע בה, את דרכי התצורה וההיווצרות של מרבצים של משאבי טבע.
ספרים.
אוברוצ'ב כתב ספרות יפה וספרים בגאולוגיה. הוא כתב ספרי לימוד לתלמידי הפקולטה לגאולוגיה, ספרי מדע פופולרי וספרי מדע בדיוני. אוברוצ'ב גם היה אחד מכותבי ועורכי האנציקלופדיה הסובייטית הגדולה. להלן רשימת ספריו החשובים:
ספרי מדע בדיוני.
לאוברוצ'ב הוענקו חמישה עיטורי לנין, עיטור הדגל האדום העובד, שני פרסי סטלין. על שמו של אוברוצ'ב נקראים באזור סיביר רכס הרים, הר געש, הר וקרחון.
פול ורהובן
פול ורהובן (בהולנדית: Paul Verhoeven) (נולד ב-18 ביולי 1938) הוא במאי, תסריטאי ומפיק קולנוע הולנדי. בתחילת הקריירה שלו היה פעיל בהולנד והתפרסם בשל סרטיו השנויים במחלוקת, עד לשנת 1985 שבה עבר ורהובן לארצות הברית. סרטיו הרבים של ורהובן מאופיינים באלימות ואקשן מוקצנים, אלימות וגור.
ראשית ההצלחתו ופרסומו הבינלאומי באו לו מסרטי מדע בדיוני אלימים לדוגמת "רובוקופ" (1987) ו"זיכרון גורלי" (1990) שיצרו ורסיות שונות של עתיד דיסטופי רווי קואופרטיבים מושחתים, ניצול וקליעים מעופפים. ב-1992 זכה להצלחה גדולה נוספת עם "אינסטינקט בסיסי" בו גילמה שרון סטון את דמותה של פאם-פטאל רצחנית. ב-1995 התרסק ורהובן לראשונה בקריירה האמריקאית שלו עם הסרט "נערות שעשועים", סרט על טיפוסה לצמרת של חשפנית. "נערות שעשועים" היה אמור להכיל כמויות כפולות מהבוטות המינית של אינסטינקט בסיסי, אולם נכשל בקופות ואצל המבקרים ואף נבחר כסרט הגרוע של אותה השנה. ב-1997 נכשל ורהובן שנית בקופות עם הסרט "גברים בחלל", סיפור מלחמתה של אנושות עתידנית בציוויליזצית חרקי ענק במאבק על הקולוניזציה של פלנטות זרות. עם זאת הסרט זכה בשנים שחלפו מאז יצירתו לשבחים רבים ומעמד של סרט קאלט. ב-2000 ביים את "בלתי נראה", פנטזיה הוליוודית מניפולטיבית ומצליחה למדי על מדען פאוסטיאני המצליח להפוך עצמו בלתי נראה ומנצל זאת על מנת לבצע מעשי זדון הנעים בין אונס לרצח.
ביוגרפיה.
ורהובן נולד ב-18 ביולי 1938 באמסטרדם לוים ונל ואן-שרדנברג. אביו היה מורה בבית ספר ואמו הייתה יצרנית כובעים. אף על פי שהוא נולד באמסטרדם, משפחתו באה מכפר הנקרא סליקר-ריבר. ב-1943, המשפחה עברה להאג, מיקום של מפקדת הגרמנים בהולנד במלחמת העולם השנייה. בית משפחת ורהובן היה כמעט בסיס צבאי גרמני המצויד במשגרי רקטות, שלבסוף פוצצו והופגזו בידי כוחות בעלות הברית. בית השכנים נפגע והוריו של ורהובן כמעט ונהרגו כאשר פצצה נפלה על רחוב סמוך. מאז אותה תקופה, ורהובן הזכיר בראיונות כי הוא זוכר תמונות של אלימות, בתים שרופים, סכנה ממשית וגופות בכל פינה ברחוב.
כילד קטן, ורהובן חווה ותיאר את המלחמה כ"הרפתקה מרגשת" והשווה את עצמו לדמותו של ביל רואן ב"תקווה ותהילה" (1987).
פול ואביו אהבו לצפות יחדיו בסרטים אמריקאים שהיו בבתי הקולנוע כמו "פיראט הארגמן" (1952). כנער, ורהובן גם היה מעריץ של קומיקס הולנדי הנקרא "דיק בוס", בקומיקס, דיק בוס הוא בלש פרטי הנלחם בפשע באמצעות שימוש בהגנה עצמית וג'יו-ג'יטסו. ורהובן בעצמו אף אוהב קומיקסים, לכן, הוא יצר קומיקס הולנדי הנקרא "הרוצח", דמות אפורה בסיפור מפורט מלא בנקמות.
משנת 1955, ורהובן למד באוניברסיטת ליידן, והוא בעל תואר שני במתמטיקה וכימיה.
קריירה.
סרטים קצרים (1960 - 1969).
ורהובן עשה את סרטו הראשון, הנקרא "לטאה יותר מדי", סרט קצר עבור חבריו הסטודנטים ב-1960 ואף המשיך עם כך כאשר הוא עשה שלושה סרטים קצרים נוספים משנת 1961 עד לשנת 1963.
סרטי קולנוע רשמיים (1971 - 1977).
סרט הקולנוע הרשמי הראשון של ורהובן היה "עסקים זה עסקים" משנת 1971. הצלחתו הלאומית לא הגיעה עד 1973 עם הסרט "פרי טורקי", בכיכובו של רוטגר האוור. ב-1974, סרט זה היה מועמד לפרס האוסקר לסרט הזר הטוב ביותר, וב-1999 זכה בפרס עגל הזהב. לאחר מכן ביים את הסרטים "קייטי טיפל" ב-1975, ו"חייל באורנג'" ב-1977 אותו גם כתב.
סרטים אמריקאיים (1983 - 2000).
ג'רארד סטוטמן כתב את התסריט של סרטו האמריקאי הראשון של ורהובן; "רומן הדמים" (1985), בכיכוב רוטגר האוור וג'ניפר ג'ייסון לי. לאחר מכן, ורהובן עבר להוליווד עבור תקווה גדולה של הזדמנויות ליצור סרטים רבים אחרים. במהלך עבודתו בארצות הברית, הוא ביצע שינוי רציני בעזרת שני סרטים מלאים באלימות, סגנון ויזואלי מיוחד, בעלי תקציבים גדולים ומלאים באפקטים מיוחדים עם "רובוקופ" (1987) ו"זיכרון גורלי" (1990). שני הסרטים הללו זכה להצלחה מסחררת ברחבי העולם ואף זכו בפרס אוסקר בקטגוריית האפקטים המיוחדים הטובים ביותר ועריכת הסאונד הטובה ביותר. אחרי הצלחת שני הסרטים הללו, ורהובן יצר את "אינסטינקט בסיסי" (1992), מותחן ארוטי אינטנסיבי ופרובוקטיבי במיוחד שנעשה לסרט התשיעי הרווחי ביותר בשנה הזו. הסצנה המפורסמת ביותר בסרט זה הייתה כאשר שרון סטון, אשר גילמה את דמות האנטגוניסטית הראשית בסרט; קתרין טראמל נמצאת בחקירה משטרתית בידי מייקל דאגלס, יושבת על כיסא, מעשנת סיגריה ופותחת את רגליה. סרט זה היה מועמד לשני פרסי אוסקר; העריכה הטובה ביותר והפסקול הטוב ביותר.