גאורג פרידריך ברנהרד רימן (גרמנית: ) (17 בספטמבר 1826 – 20 ביולי 1866) היה מתמטיקאי גרמני, אשר תרם תרומות חשובות ביותר לאנליזה מתמטית, תורת המספרים וגאומטריה דיפרנציאלית. בתחום האנליזה הממשית, הוא ידוע בכך שנתן את הניסוח הריגורוזי הראשון למושג האינטגרל, הנקרא כעת אינטגרל רימן, ובשל עבודתו על טורי פורייה. תרומותיו לאנליזה מרוכבת כוללות את ההצגה של משטחי רימן, שפרצה דרך במתן טיפול גאומטרי טבעי לאנליזה מרוכבת. מאמרו המפורסם מ-1859 על פונקציית המספרים הראשוניים, שנחשב לאחד המאמרים החשובים ביותר בתורת המספרים האנליטית, מכיל את הניסוח המקורי של השערת רימן, שנחשבת ל"בעיה הפתוחה החשובה ביותר במתמטיקה". דרך תרומותיו החלוציות לגאומטריה דיפרנציאלית, רימן הניח את היסודות למתמטיקה של תורת היחסות הכללית. כאחד המתמטיקאים העמוקים ועתירי הדמיון בכל הזמנים, רימן הרחיב את אופקי המתמטיקה בכמעט כל תחום שהתקיים בזמנו, ובמשך תקופת חייו הקצרה יחסית (39 שנים) ולאחריה, המתמטיקה בכללותה עברה טרנספורמציה משמעותית לכדי מתמטיקה קונספטואלית ועמוקה יותר. הוא נחשב כיום לאחד מקומץ של גדולי המתמטיקאים בכל הזמנים.
תולדות חייו.
שנים מוקדמות.
רימן נולד ב-17 בספטמבר 1826, בכפר קטן בממלכת הנובר, הנכללת כיום בשטחה של גרמניה. אביו, פרידריך ברנרד רימן, היה כומר לותרני עני שלחם במלחמות הנפוליאוניות. אמו, שארלוט אבל, נפטרה בטרם ילדיה הגיעה לבגרות. ברנהרד רימן היה השני מבין שישה ילדים, וסבל מביישנות ומהתמוטטויות עצבים תכופות. בילדותו גילה יכולות מתמטיות יוצאות דופן, כמו למשל יכולת חישוב מנטלי חריגה, אולם סבל מביישנות ומפחד להופיע בפומבי.
חינוך.
בשנת 1840 עבר רימן להנובר, שם גר אצל סבתו ולמד בגימנסיה. אחרי מות סבתו ב-1842, הוא החל ללמוד בבית ספר גבוה. בבית הספר הגבוה, רימן למד את התנ"ך ביסודיות, אך לעיתים קרובות הוסחה דעתו על ידי נושאים מתמטיים. מוריו נדהמו לעיתים קרובות מיכולתו הטבעית לבצע פעולות מתמטיות סבוכות, שבמהלכן הוא לעיתים קרובות הפגין אינטואיציה שעלתה על זו של בוחניו. ב-1846, בגיל 19, הוא החל ללמוד פילולוגיה ותאולוגיה נוצרית במטרה להפוך לכומר ולסייע בענייני הכספים של משפחתו.
במהלך האביב של 1846, אביו, לאחר שצבר מספיק כסף, שלח את רימן לאוניברסיטת גטינגן, שם הוא החל ללמוד לקראת תואר בתאולוגיה. בעת ששהה בגטינגן, רימן החל ללמוד מתמטיקה ולהאזין להרצאותיו של קרל פרידריך גאוס (במיוחד להרצאותיו על שיטת הריבועים הפחותים). גאוס המליץ שרימן יחדל מלימודי התאולוגיה וייכנס לתחום המתמטי; לאחר שאביו נעתר לבקשתו, רימן עבר לאוניברסיטת ברלין ב-1847. במהלך תקופת לימודיו, למד אצל יעקובי, דיריכלה, שטיינר ואייזנשטיין. הוא שהה בברלין במשך שנתיים וחזר לגטינגן ב-1849, שם קיבל את התואר דוקטור (בהנחיית גאוס) ב-1851 (מספרים שכאשר גאוס עצמו נוכח בהרצאת הדוקטורט של רימן, הוא האזין עד תום ולאחר מכן קם והכריז: "הבנתי", בניגוד מוחלט ליהירותו המפורסמת מאוד כלפי מתמטיקאים עד לרימן, לגביהם תמיד טען כי אין מקוריות בעבודותיהם).
חיים אקדמיים.
רימן נשא את הרצאותיו הראשונות ב-1854, והרצאות אלו הן שייסדו את ענף הגאומטריה הרימנית, אשר עומד ביסוד התיאור המתמטי של תורת היחסות הכללית של אלברט איינשטיין. הרצאת הפתיחה לרגל מינויו לפּריוַוטדוֹצֶנט (הדרגה האקדמית הנמוכה ביותר), באוניברסיטת גטינגן, הייתה הרצאת הפתיחה המפורסמת ביותר שניתנה אי-פעם בתולדות המתמטיקה. ההרצאה שינתה מן הקצה אל הקצה את ההשקפה הכללית של המתמטיקאים על מהותה של הגאומטריה.
בשנת 1857 התמנה רימן לפרופסור בגטינגן, וכעבור שנתיים, בעקבות מותו של דיריכלה, התמנה לפרופסור מן המנין. בשנת 1862 נשא לאישה את אליזה קוך.
המלחמה האוסטרו-פרוסית ומותו באיטליה.
רימן עזב את גטינגן כאשר צבאות הנובר ופרוסיה התעמתו שם ב-1866. הוא נפטר משחפת בעת מסעו השלישי לאיטליה ב-20 ביולי 1866, ונקבר בבית העלמין בעיירה ביגנזולו. רימן היה נוצרי אדוק, בנו של כומר פרוטסטנטי, וראה את חייו כמתמטיקאי כדרך נוספת לשרת את האל. במהלך חייו, הוא נאחז תמיד באמונתו הנוצרית והחשיב אותה להיבט החשוב ביותר של חייו. בעת מותו, הוא ציטט מתוך שיר תפילה נוצרי ומת לפני שסיים את התפילה. בינתיים, בגטינגן, עוזר הבית שלו השליך כמה מכתביו שנמצאו במשרדו, כולל כמות רבה של עבודה לא מפורסמת. רימן סירב לפרסם עבודה לא מוגמרת, וכמה תובנות עמוקות שלו עשויות להיות אבודות לעד.
על מצבתו של רימן בביגנזולו (איטליה) מופיע פסוק מתוך הפרק השמיני של האיגרת אל הרומאים: " ואנו יודעים שכל הדברים עמלים יחדיו לטובת אלו שאוהבים את האל, אלו שנקראים לשרתו".
"Here rests in God"
"Georg Friedrich Bernhard Riemann"
"Professor in Göttingen"
"born in Breselenz, Germany 17 September 1826"
"died in Selasca, Italy 20 July 1866"
"For those who love God, all things"
"must work together for the best."
עבודתו המתמטית.
גאומטריה רימנית.
עבודותיו של רימן יצרו קרקע פורייה להתפתחות רעיונות מתמטיים בהמשך המאה ה-19, והן הניבו ענפי מחקר מתמטי חדשים המשלבים אנליזה עם גאומטריה. ענפים אלו הפכו בסופו של דבר לחלקים העיקריים בתאוריות של גאומטריה רימנית, גאומטריה אלגברית, ותורת היריעות המרוכבות. התורה של משטחי רימן פותחה מאוחר יותר בידי פליקס קליין ובאופן מיוחד על ידי אדולף הורוויץ. תחום זה של המתמטיקה הוא חלק מיסודות הטופולוגיה, והוא עדיין מיושם בדרכים מקוריות וחדשות לפיזיקה מתמטית.
ב-1853, גאוס ביקש מתלמידו רימן להכין הביליטציה על יסודות הגאומטריה. במהלך החודשים הבאים, רימן פיתח את התאוריה שלו על גאומטריה בממדים גבוהים יותר ונשא בגטינגן ב-1854 את הרצאתו הנושאת את השם "על ההיפותזה העומדת ביסודות הגאומטריה". עבודתו בנושא פורסמה רק ב-1868 על ידי דדקינד, שנתיים אחרי מותו. תהליך הקבלה של הרעיונות בעבודה זו היה איטי אולם כיום היא נחשבת לאחת העבודות החשובות ביותר בהיסטוריה של הגאומטריה. רימן הציג בה את המושגים של יריעה, מטריקה רימנית, וטנזור עקמומיות, ובכך פתח צוהר לתאוריה של מרחבים רב-ממדיים.
הענף המתמטי שנוסד בעקבות עבודה זאת נקרא גאומטריה רימנית. רימן מצא את הדרך הנכונה להכליל ל-"n" ממדים את הגאומטריה הדיפרנציאלית של משטחים, שגאוס עצמו ייסדה כאשר הוא הוכיח את תיאורמה אגרגיום שלו. האובייקט המתמטי המרכזי הנחקר בגאומטריה זו הוא טנזור העקמומיות של רימן. במקרה הפרטי של משטח, טנזור הוא מספר (סקלר) חיובי, שלילי או אפס; כאשר המקרים הקבועים ושונים מאפס הם מודלים של גאומטריות לא-אוקלידיות.
הרעיון של רימן היה להצמיד לכל נקודה במרחב אוסף של מספרים (טנזור) אשר יתארו כמה המרחב מתעוות או מתעקם באותה נקודה. לדוגמה, רימן מצא כי בארבעה ממדים מרחביים, צריך אוסף של בדיוק 10 מספרים בכל נקודה כדי לתאר את התכונות של היריעה, ללא קשר לכמה היא מעוותת. זו הבנייה המפורסמת המרכזית לגאומטריה שלו, אשר ידועה עכשיו כמטריקה רימנית. רימן היה גם הראשון להציע להשתמש ביותר משלושה או ארבעה ממדים כדי לתאר את המציאות הפיזיקלית, רעיון שהתמזג בסופו של דבר עם התרומות של איינשטיין בתחילת המאה ה-20.
אנליזה מרוכבת.
בעבודת הדוקטורט שלו, רימן ביסס תשתית גאומטרית לאנליזה מרוכבת דרך משטחי רימן, שבאמצעותם פונקציות רב-ערכיות כמו הלוגריתם המרוכב או השורש הריבועי יהפכו לפונקציות חד-חד ערכיות. פונקציות מרוכבות הן פונקציות הרמוניות (כלומר, הן מקיימות את משוואת לפלס ולכן גם את משוואות קושי-רימן) על המשטחים הללו והן מתוארות על ידי מיקום נקודות הסינגולריות והטופולוגיה של המשטחים. ה"גנוס" הטופולוגי של משטחי רימן הוא formula_1, כאשר למשטח יש formula_2 ענפים (leaves) ו-formula_3 נקודות הסתעפות (branch points). בעבור formula_4 למשטח רימן יש formula_5 פרמטרים. בנייה זאת אפשרה לראשונה להעניק מסגרת קונספטואלית מאוחדת לאינספור התוצאות על פונקציות מרוכבות (משפט אינטגרל קושי, תוצאות רבות על אינטגרלים אליפטיים ופונקציות אליפטיות, וכו') שנצברו בעשורים הקודמים על ידי מתמטיקאים רבים. כך למשל, המקום הגאומטרי "הטבעי" לחקר פונקציות אליפטיות כפולות-מחזור במישור המרוכב הוא משטח רימן המתאים שלהן, שהוא הטורוס.
תרומותיו בהקשר זה רבות מספור. משפט ההעתקה של רימן המפורסם, אותו הוכיח בעבודת הדוקטורט שלו (מ-1851), עומד בליבה של התאוריה הגאומטרית המודרנית של העתקות קונפורמיות. משפט זה קובע שכל תחום פשוט קשר במישור המרוכב שאינו formula_6 שקול קונפורמית לעיגול היחידה הפתוח. ההכללה של המשפט למשטחי רימן שרירותיים היא משפט היוניפורמיזציה המפורסם, שהוכח בשלהי המאה ה-19 על ידי אנרי פואנקרה ופליקס קליין. עם זאת, הוכחות ריגורוזיות ראשונות למשפט ניתנו רק אחרי הפיתוח של ארסנל כלים מתמטי עשיר יותר (במקרה זה, כלים מתחום הטופולוגיה). כדי להוכיח את הקיום של פונקציות על משטחי רימן הוא השתמש בתנאי מינימום מסוים, לו הוא קרא עקרון דיריכלה. קרל ויירשטראס מצא חלל בהוכחה: רימן לא הבחין שהנחת העבודה שלו (שהמינימום קיים) עשויה לא לעבוד; מרחב הפונקציות עשוי לא להיות שלם, ולפיכך הקיום של המינימום אינו מובטח. דרך עבודתו של דויד הילברט בחשבון הווריאציות, עקרון דיריכלה בוסס לבסוף.