לדוגמה יש מיון אלגנטי של כל סוגי הסינגולריות של משטחים שהם רציונלים וגורנשטיין. המיון מתאים לסינגולריות אלה דיאגרמות דינקין מטיפוסים A,D,E (דיאגרמות ללא קשתות מרובות; simply laced diagrams). סינגולריות אלה נקראות סינגולריות דה-ואל (וגם סינגולריות קליין, סינגולריות משטחית פשוטה, נקודה רציונלית כפולה). ניתן לקשר בין סינגולריות אלה והתת חבורות הסופיות של formula_471 (או של formula_472) הממוינות על ידי אותן דיאגרמות. משפט בריסקונד גם מקשר בין סינגולריות אלה ואלגבראות הלי הפשוטות שמתאימות לאותן דיאגרמות.
התרת סינגולריות.
התרת סינגולריות עבור משטחים פשוטה יותר מאשר עבור יריעות אלגבריות כלליות. היא הוכחה על ידי זריצקי כעשור לפני שהוכחה על ידי הרונקה עבור יריעות אלגבריות כלליות (מעל שדה עם מאפיין 0). כמו כן היא הוכחה גם עבור מאפיין חיובי, בעוד שהתרת סינגולריות במקרה הכללי עודנה פתוחה עבור מאפיין חיובי.
מודל מינימלי.
בכל מחלקת שקילות בירציונלית קיים משטח חלק שלם שאינו ניפוח (לאורך מרכז חלק) של אף משטח חלק אחר. משטח זה נקרה מודל מינימלי של המחלקה. ברוב המקרים משטח זה יחיד, ובאלה שהוא אינו יחיד יש תיאור פשוט לכל המודלים המינימליים. עובדה זאת מקלה על מיון המשטחים עד כדי שקילות בירציונלית.
בממדים גדולים יותר המצב מסובך יותר, הניסיונות להבין אותו נקראים "תוכנית המודל מינימלי".
משטחים במרחב.
החקר של משטחים במרחב דומה במקצת לחקר עקומים מישוריים (אך מסובך בהרבה). גם כאן ניתן למין אותם לפי מעלתם. משטחים ממעלה 1 הם מישורים. במקרה הפרויקטיבי המרוכב יש רק 3 טיפוסי איזומורפיזם של משטחים ממעלה 2: מישור פרויקטיבי, זוג מישורים פרויקטיבים נחתכים והחרוט הריבועי. במקרה האפיני הממשי, יש את הטיפוסים הבאים:
יש אינסוף טיפוסי איזומורפיזם של משטחים מרחביים ממעלה 3. אולם, יריעות הנקודות של משטחים מרוכבים פרויקטיביים חלקים ממעלה 3 כולן הומיאומורפיות. כמו כן כל אחד ממשטחים אלה מכיל בדיוק 27 ישרים.
אוסף כל המשטחים הפרויקטיביים במרחב ממעלה formula_463 הוא מרחב פרויקטיבי מממד
formula_474
היפר-משטחים.
היפר-משטח הוא יריעה מממד formula_475 (במקרה שהיריעה פריקה דורשים את אותו התנאי על כל רכיב אי-פריקות) במרחב (פרויקטיבי או אפיני) מממד formula_5.
היפר-משטחים הם הכללה ישירה של עקומים מישוריים ומשטחים מרחביים. המחקר של היפר-משטחים קל יותר מאשר של יריעות כלליות. הסיבה המרכזית לכך היא שהם מוגדרים על ידי פולינום בודד. כך שלחקור אותם זה בעצם לחקור את הפולינום הזה. אפשר ללמוד הרבה על ההיפר משטח מפאון ניוטון של הפולינום הזה.
אחת הדוגמאות הפשוטות ביותר להיפר-משטח סינגולרי היא הקונוס הריבועי. במקרה האפיני זאת היריעה המוגדרת על ידי המשוואה formula_477 כאשר formula_478 הם פרמטרים קבועים שאינם מתאפסים. אם formula_1 סגור אלגברית אז אין חשיבות לערכם של פרמטרים אלו.
אוסף כל ההיפר-משטחים הפרויקטיביים במרחב מממד formula_5 ממעלה formula_463 הוא מרחב פרויקטיבי מממד
formula_482
חבורות אלגבריות ויריעות קשורות.
חבורה אלגברית היא יריעה אלגברית שיש עליה מבנה של חבורה, כך שהעתקות הכפל והיפוך הן מורפיזמים של יריעות אלגבריות. לצד היותם מושא מחקר חשוב בתורת החבורות ותורת ההצגות, חבורה אלגברית מהוות מקור חשוב לדוגמאות של יריעות אלגבריות. בדרך כלל המחקר של חבורות אלגבריות מתחלק לשני סוגי חבורות:
במובן מסוים כל חבורה אלגברית מתקבלת משילוב של חבורת מסוגים אלו. (פורמלית: לפי משפט שבלה על המבנה של חבורות אלגבריות כל חבורה אלגברית קשירה היא הרחבה של חבורה ליניארית ויריעה אבלית)
יריעות אבליות.
מנקודת מבט של תורת החבורות, יריעות אבליות אינן מציגות עניין רב. הן תמיד קמוטטיביות, ובמקרה formula_450 חבורת הנקודות שלהן איזומורפית כחבורת לי לחבורה formula_485. לכן עיקר המחקר עליהן הוא במסגרת הגאומטריה האלגברית. יריעות אבליות חד-ממדיות הן עקומים אליפטיים.
ליריעות האבליות יש תפקיד חשוב בגאומטריה אלגברית מכיוון שרכיב הקשירות של היחידה בחבורת פיקאר של יריעה אלגברית חלקה שלמה מעל שדה ממאפין 0 היא יריעה אבלית.
חבורות ליניאריות.
החבורות הרדוקטיביות מהוות תת-מחלקה חשובה של החבורות הליניאריות. מנקודת מבט של גאומטריה אלגברית חבורות רדוקטיביות הן המעניינית ביותר בין החבורות הליניאריות. לדוגמה אם formula_486 אז כל חבורה ליניארית קשירה איזומורפית כיריעה אלגברית לחבורה רדוקטיבית כפול מרחב אפיני. יש מיון של חבורות רדוקטיביות הדומה למיון של אלגבראות לי פשוטות למחצה אך קצת יותר מסובך. מיון זה כולל בין היתר את הסדרות הבאות:
formula_483,
formula_488,
formula_489,
formula_490,
formula_491.
מיון זה נותן בנק של דוגמאות של יריעות אלגבריות. מלבד החבורת עצמן, חבורת אלה מהוות בסיס לבניתן של יריעות נוספות.
מרחבי מנה.
אם formula_492 תת-חבורה סגורה, אז המנה formula_493 היא יריעה קווזי-פרויקטיבית. נניח לצורך דיון זה כי formula_494 חבורה רדוקטיבית.
יריעות דגלים:
אם היריעה formula_493 היא פרויקטיבית אז היא נקראת יריעת דגלים (חלקית) ו-formula_496 נקראת תת-חבורה פרבולית. יש מיון של תתי-חבורות פרבוליות (הן מתאימית לתתי-קבוצות של קבוצת השורשים הפשוטים של אלגברת הלי של formula_494) קימת תת-חבורה פרבולית מינימלית יחידה. היא נקראת תת-חבורת בורל (במקרה ש-formula_1 סגור אלגברית). יריעת הדגלים המתאימה נקרת יריעת דגלים המלאים. במיקרה של formula_483 יריעת הדגלים היא אוסף כל הסדרות העולות של תת-מרחבים ב-formula_11 ממדים נתונים. סדרה כזאת נקראת דגל. אם הסדרה היא מקסימלית (ז"א שהממדים הם בדיוק כל המספרים מ1 עד n) אז הדגל נקרא דגל מלא וכך מתקבלת יריעת הדגלים המלאים. דוגמאות נוספות ליריעות דגלים של formula_483 הן המרחב הפרויקטיבי (יריעת כל תתי המרחבים ממד 1 ב-formula_11) והכללתו - יריעת גרסמן (יריעת כל תתי המרחבים ממד formula_373 ב-formula_11).
יריעות סימטריות: אם formula_496 היא חבורת נקודות השבט של אוטומורפיזם מסדר 2 של formula_494 אז היא נקראת תת-חבורה סימטרית של formula_494 והמנה formula_493 נקראת יריעה סימטרית. יש מיון של יריעות סימטריות (ביחס לחבורות רדוקטיביות) הדומה למיון של חבורות רדוקטיביות אך מסובך ממנו. הדוגמה הקלאסית למרחב סימטרי היא מרחב התבניות הריבועיות הלא מנוונות על מרחב ליניארי, ביחס לפעולת החפיפה של formula_483.
כל חבורה formula_494 היא מרחב סימטרי ביחס לחבורה formula_511. אפשר לחשוב על יריעות סימטריות כעל הכללה של דוגמה זאת, וכך על חקר של יריעות סימטריות כעל הכללה של תורת החבורות האלגבריות.
יריעות ספריות: יריעה ספרית היא יריעה נורמלית formula_29 עליה פועלת חבורה אלגברית (רדוקטיבית) formula_494 כך שלתת-חבורת בורל של formula_494 יש מספר סופי של מסלולים על formula_29. מחקר של מרחבים ספריים בדרך כלל מתמקד במרחבים ספריים טרנזיטיביים. אם
formula_493 הוא מרחב ספרי אז formula_496 נקראת תת-חבורה ספרית. כל יריעה סימטרית הוא ספרית. יריעות דגלים גם כן ספריות.
יש מיון של יריעות ספריות טרנזיטיביות אפיניות הדומה למיון של יריעות סימטריות אך מסובך ממנו בהרבה.
יריעות שוברט.
יריעת שוברט היא סגור של מסלול של תת-חבורה פרבולית formula_518 על יריעת דגלים של formula_494. חקר יריעות שוברט והאינטראקציה ביניהן הוא תחום חשוב בגאומטריה אלגברית. לתחום זה יש שימושים רבים בתורת ההצגות. הקשר בין יריעות שוברט לתורת ההצגות מבוסס על
השערות קשדן-לוסטיג
שהוכחו על ידי בילינסון-ברנשטיין וברלינסקי-קשיווארה.
יש אנלוג של יריעת שוברט עבור מרחבים ספריים: סגור של מסלול של חבורה פרבולית על מרחב סימטרי.
הקונוס הנילפוטנטי ויריעות קשורות.
כל חבורה פועלת על עצמה על ידי הצמדה. אחד מנושאי המחקר בחבורות אלגבריות הוא המסלולים של פעלוה זאת עבור חבורות רדוקטיביות formula_494. בזכות פירוק ז'ורדן (ומשפט החתך של לונה) כדי להבין שאלות רבות על מסלולים אלה, די להבין שני מקרים:
המסלולים הפשוטים-למחצה קלים יחסית לניתוח. לכן עיקר העניין הוא במסלולים האוניפוטנטיים.
יש מספר סופי של מסלולים אוניפוטנטיים. איחודם נקרא הקונוס האוניפוטנטי. הוא איזומרפי (כיריעה אלגברית יחד עם הפעולה של formula_494) לקונוס הנילפוטנטי המהווה את אוסף כל האיברים הנילפוטנטים באלגברת-הלי formula_522 של החבורה formula_494. ז"א איברים ש-0 נמצא בסגור של המסלול שלהם תחת הפעולה הצמודה של
formula_494 על formula_522. באופן שקול, אלה הם האיברים של האלגברה הנגזרת
formula_526 שפעולתם הצמודה היא נילפוטנטית. הקונוס הנילפוטנטי, כמו גם סגורים של מסלולים נילפוטנטיים מהווים נושא מחקר חשוב בגאומטריה אלגברית ותורת החבורות האלגבריות.
ליריעות אלה יש התרת סינגולריות formula_494-אקויברינטית טבעית המבוססת על יריעות דגלים. במקרה שהמסלול הנלפוטנטי הוא רגולרי, אנו מקבלים התרה של הקונוס הנילפוטנטי הנקראת התרת שפרינגר. המרחב המתיר בהתרה זאת הוא האגד הקו-משיק ליריעות הדגלים המלאה של formula_494. הסיב של נקודה תחת התרה זאת נקרא סיב שפרינגר. מחלקת האיזומורפיזם שלו תלויה רק במסלול של הנקודה (ולכן לכל חבורה יש רק מספר סופי של סיבי שפרינגר). לסיבי שפרינגר חשיבית רבה בגאומטריה אלגברית ותורת ההצגות.
עבור בחבורה האלגברית הפשוטה הקטנה ביותר formula_472 הקונוס הנילפוטנטי הוא הקונוס הריבועי במרחב.