בתקופת כהונתו הראשונה יישמה ממשלתו של שרדר כמה רעיונות מתקדמים, כגון הרעיון לצמצם את השימוש באנרגיה גרעינית, לחקור מקורות אנרגיה חלופיים, ליצור "איחוד אזרחי", מוסד תחליפי לנישואים שאיפשר מיסוד יחסיהם של זוגות הומוסקסואלים, ולהביא לליברליזציה בהליכי קבלת האזרחות הגרמנית.
שמו של שרדר נקשר בתוכנית בשם "אג'נדה 2010" שכללה קיצוץ במערכת הרווחה הגרמנית, בביטוח הבריאות, בביטוח הלאומי, ובתשלומי הפנסיה, הורדת מיסים והסדרים חדשים בנוגע לתעסוקה ושכר.
לאחר הבחירות ב-2002 איבדה ה-SPD תמיכה בדעת הקהל. רבים ראו את שרדר כמפרקה של מדינת הרווחה הגרמנית. אחוזי האבטלה נותרו גבוהים, ונותרו כבעיה מרכזית מעיקה. מדיניות המס של שרדר לא הייתה אף היא פופולרית. מבקריו של שרדר טענו כי אכן הוריד את המיסוי הישיר, אך העלה מאוד את המיסוי העקיף.
שלא כבבחירות 2002 בהן זכה לפופולריות בשל התנגדותו למדיניות ארצות הברית בנוגע למלחמת עיראק, ב-2005 עמדו במרכז נושאים פנימיים. שרדר ניסה להצטייר כאנטי קפיטליסט ואנטי אינטלקטואל. כך, למשל, כינה את מועמדם של הנוצרים דמוקרטים לתפקיד שר האוצר, פאול קירכהוף, "אותו פרופסור מהיידלברג". בכך הצליח להחזיר את תמיכת המעמדות הנמוכים. בשלהי כהונתו התרכז במיסוי על ההכנסות הגבוהות, על אף שידע כי אין בכך כדי לשנות את המצב הכלכלי באופן מהותי, האמין כי בכך יצליח להטות את הכף בבחירות. למרות זאת נתפס שרדר כידידם של בעלי ההון, עוד מן התקופה בה שימש כמושל סקסוניה התחתונה, ובה בעת שימש במשרה במועצת המנהלים של חברת פולקסווגן.
מדיניות חוץ.
שרדר שלח כוחות לקוסובו ולאפגניסטן כחלק ממחויבות גרמניה כלפי ברית נאט"ו. הייתה זו הפעם הראשונה בה נטלו כוחות גרמנים חלק בפעולה מלחמתית של ממש מאז מלחמת העולם השנייה. גרמניה הייתה מנוסה בלוחמה בטרור, ולפיכך הצהיר שרדר על תמיכתו בארצות הברית לאחר פיגועי 11 בספטמבר. עם סיום כהונת שרדר החזיקה גרמניה 2,000 חיילים באפגניסטן, הכוח הגדול ביותר פרט לכוח שנשלח על ידי ארצות הברית.
ביחד עם נשיא צרפת, ז'אק שיראק ומנהיגים רבים אחרים, התנגד שרדר לפלישת ארצות הברית לעיראק בשנת 2003, וסירב להגיש עזרה צבאית. עמדתו של שרדר הביאה לחיכוך עם ארצות הברית, ובמיוחד מאחר שהתנגדות זו הפכה לנושא מרכזי במערכת הבחירות שניהל. עמדה זו הביאה לשורה של התבטאויות אנטי אמריקניות בקרב צמרת ה-SPD, אולם למרות ההתבטאויות החריפות הללו לאחר תום כהונתו התגלה שהמודיעין הגרמני סיפק סיוע שלא יסולא בפז לצבא האמריקאי בעת הפלישה לעיראק.
בנוסף ליחסים החמים עם שיראק, פיתח שרדר קשרים קרובים לנשיא רוסיה ולדימיר פוטין בניסיון לחזק את "השותפות האסטרטגית" בין ברלין ומוסקבה. במסגרת זו קודם פרויקט ענק של צינור גז שיעבור דרך הים הבלטי. שרדר ספג ביקורת על שכינה את פוטין "דמוקרט ללא פגם", מספר ימים בטרם בירך פוטין את ויקטור ינוקוביץ', שנתפס כאנטי דמוקרט, במהלך "המהפכה הכתומה" באוקראינה. הצטרפותו של שרדר לחברת "גזפרום" סמוך לאחר פרישתו מתפקידו, עוררה שאלות באשר לאובייקטיביות שלו ולמניעיו כאשר שימש כקנצלר.
השוק הפרטי.
בספטמבר 2005 הפסיד שרדר בבחירות לאנגלה מרקל. ב-22 בנובמבר 2005 סיים את כהונתו. הוא הודיע כי הוא מתכוון לעבוד כעורך דין ולכתוב ספר. הוא הועסק כיועץ בידי חברת "רינייה", מוציא לאור ויועץ פוליטי שווייצרי.
במרץ 2006 הפך ליו"ר "נורד סטרים", חברת בת של גזפרום. צעד זה, יחד עם קידום צינור הגז "נורד סטרים" כקאנצלר שבנתה החברה, הוביל לשלל תחקירים ומאמרים נזעמים התפרסמו בעיתונות הגרמנית ובעולם. ב-2015 מונה שרדר ליו"ר "רוזנפט", חברת נפט בשליטת ממשלת רוסיה. באותה העת רוסיה הייתה נתונה תחת סנקציות של המערב, בעקבות הפלישה וסיפוח חצי האי קרים באוקראינה. הקנצלרית מרקל ואחרים מתחו ביקורת על המינוי. בפברואר 2022, התמנה שרדר לחבר בדירקטוריון "גזפרום". המינוי היה במקביל לאירועי המשבר האוקראיני-רוסי (2021–2022) וגרר ביקורת ציבורית.
מחלוקת גזפרום ועבודתו ברוסיה.
בשלהי כהונתו כקנצלר חתם שרדר על הסכם עם גזפרום לבניית צינור גז דרך הים הבלטי, במטרה לספק גז טבעי מרוסיה ישירות לגרמניה, מבלי לעבור דרך פולין, אוקראינה והמדינות הבלטיות.
לאחר שסיים את תפקידו קיבל את משרת יושב ראש ועד בעלי המניות של החברה הבונה את הצינור, ועורר שאלות בדבר ניגוד עניינים. יריביו הפוליטיים, וממשלות המדינות שנפגעו מהפרויקט, הביעו את דאגתן ממצב העניינים. העיתון וושינגטון פוסט ביקר את שרדר בחריפות, וביטא את הדעה השלילית שיש לקהילה הבינלאומית על התנהלות מהלכיו.
בשנת 2017 מונה ליו"ר הדירקטוריון של חברת רוסנפט.
במאי 2022 קבע הפרלמנט הגרמני שיש לשלול הטבות שהוענקו לו כקנצלר לשעבר בעקבות קשריו עם רוסיה ועם תעשיית האנרגיה שלה - והמשך תמיכתו ברוסיה גם אחרי הפלישה הרוסית לאוקראינה. במקביל עלתה הצעה בפרלמנט האירופי להטיל עליו סנקציות אם לא יפרוש מתפקידו ברוסנפט.
חייו האישיים.
שרדר נישא חמש פעמים, וארבעה נישואים הסתיימו בגירושין.
כשהיה שרדר נשוי לדוריס שרדר-קפף, התגוררה עם השניים בתה של דוריס מנישואיה הראשונים, קלרה (ילידת 1991). ביולי 2004 אימץ הזוג בת בשם ויקטוריה מסנקט פטרבורג במהלך ביקור ברוסיה. ב-2006 אימצו השניים ילד נוסף מסנקט פטרבורג.
שרדר מזדהה כפרוטסטנט אך אינו אדם דתי. כך, למשל, כאשר הושבע לתפקיד הקנצלר ויתר על הנוסחה המקובלת "כה יעזור לי האלוהים" ("So wahr mir Gott helfe").
יריעת קאלאבי-יאו
בגאומטריה מרוכבת וגאומטריה אלגברית, יריעות קאלאבי-יאו (Calabi Yau) מהוות מחלקת יריעות בעלות תכונה גלובלית מסוימת. יש מספר הגדרות למושג זה הדומות אחת לשנייה אך לא שקולות. בהקשרים שונים מקובלות הגדרות שונות.
המוטיבציה למושג נובעת מהשערה ששיער קאלאבי (Eugenio Calabi) ב-1957 והוכיח יאו (Shing-Tung Yau) ב-1977.
ליריעות אלה חשיבות רבה בתורת המיתרים.
רקע.
ב-1957 קאלאבי שיער שכל יריעת קהלר קומפקטית שמחלקת Chern הממשית הראשונה שלה מתאפסת (מחלקת Chern הממשית ה-n-ית של יריעה חלקה היא איבר מסוים בחבורת הקוהומולוגיה formula_1) היא בעלת מטריקת קהלר שהעקמומיות ריצ'י שלה מתאפסת. למעשה קאלאבי שיער השערה חזקה יותר הנקראת השערת קאלאבי. השערה זו הוכחה ב-1977 על ידי Shing-Tung Yau.
השערה זו משכה את תשומת הלב ליריעות המקיימות את תנאי ההשערה, ויריעות אלה (ולעיתים מחלקות צרות יותר של יריעות) נקראו יריעות קאלאבי-יאו.
הגדרות.
קיימות מספר הגדרות למושג יריעת קאלאבי-יאו. לפי המחמירה בהן, יריעה מרוכבת formula_2 נקראת יריעת קאלאבי-יאו אם היא יריעת קהלר קומפקטית שאגד התבניות הדיפרנציאליות העליונות עליה טריוויאלי. במילים אחרות, קיימת תבנית דיפרנציאלית עליונה על formula_2 שלא מתאפסת באף נקודה.
תנאי זה גורר שמחלקת צ'רן השלמה הראשונה של היריעה (ז"א מחלקת צ'רן הראשונה כאיבר בחבורת הקו-הומולוגיה השלמה formula_4 ) מתאפסת. ההפך אינו נכון באופן כללי.
לפי הגדרה פחות מחמירה יריעה מרוכבת formula_2 נקראת יריעת קאלאבי-יאו אם היא יריעת קהלר קומפקטית כך שהתנאים השקולים הבאים מתקיימים:
קיימת גם הגדרת בינים שדורשת שמחלקת צ'רן השלמה הראשונה של היריעה מתאפסת.
כלליות שונות.
בדרך כלל המושג יריעת קאלאבי-יאו מתייחס ליריעות חלקות וקומפקטיות. אולם לעיתים מרחיבים אותו ליריעות לא קומפקטיות ולא חלקות (בתנאי שהן יריעות גורנשטיין).
בגאומטריה אלגברית.
המושג קאלאבי-יאו קיים גם בגאומטריה אלגברית. ניתן לחזור על ההגדרה למעלה גם עבור
יריעה אלגברית formula_10 מעל שדה formula_11 כלשהו. בגאומטריה אלגברית יתר מקובלת ההגדרה החזקה, אם כי גם לחלק מהתנאים השקולים של ההגדרה החלשה יש משמעות.
לפי ההגדרה אם formula_12 אז formula_10 יריעת קאלאבי-יאו אם ורק אם היריעה המרוכבת של הנקודות שלה formula_14 היא יריעת קאלאבי-יאו.
דוגמאות ומיון.
אפשר לפרק את בעיות המיון של יריעות קאלאבי-יאו לשתיים:
בממד 1, הטיפוס הטופולוגי האפשרי היחיד עבור יריעת קאלאבי-יאו הוא הטורוס, כלומר העקום מגנוס 1. מיון היריעות המרוכבות בעלות טיפוס הטופולוגי הזה נתון על ידי העקום המודולרי (ז"א חצי המישור העלון מודולו טרנספורמציות מביוס הנתונות על ידי formula_15). כל יריעה מרוכבת מטיפוס זה היא יריעת קאלאבי-יאו.
בממד 2 יש שני טיפוסים טופולוגיים אפשריים ליריעות קאלאבי-יאו: הטורוס מהממד המתאים, ומשטחי K3.
המיון של יריעות קאלאבי-יאו מממד 3 הוא בעיה פתוחה, שחשיבותה רבה בגלל הקשר לתורת המיתרים בפיזיקה תאורטית. יאו עצמו שיער שיש מספר סופי של טיפוסים טופולוגיים אפשריים של יריעות כאלה, אמנם יש המשערים שמספר הטיפוסים הוא אין סופי. בשנת 2002 נבנו (בעזרת מחשב) למעלה מ 473 מיליון טורי טבלאות של יריעות קאלאבי-יאו שונות מממד 3. בריאן גרין כותב בספרו היקום האלגנטי (בפרק העוסק בקשר בין יריעות קאלאבי יאו לתורת המיתרים) שישנם עשרות אלפי טיפוסים טופולוגיים אפשריים של יריעות קאלאבי-יאו המתאימות לדרישות המחמירות של הממדים הנוספים שמחייבת תורת המיתרים (ראה להלן).
הקשר לתורת המיתרים.