בשנת 1993 עצרה משטרת סינגפור סטודנט אמריקני בשם מייקל פ. פיי שצייר גרפיטי על כמה מכוניות. לפי חוק מדינת סינגפור משנת 1966, ה-"Singapore Vandalism Act" הוא נשלח לארבעה חודשים בכלא, לקנס כספי ולעונש מלקות. התקשורת האמריקנית גינתה עונש זה, והביאה למחאה ציבורית רבה, אך זו לא השפיעה על ממשלת סינגפור שסירבה להעניק לו חנינה והלקתה אותו ב-5 במאי 1994.
בשנת 1994 יצר ראש עיריית ניו יורק, רודי ג'וליאני, "כוח משימה למחיקת גרפיטי" כדי להפחית את כמות הגרפיטי בעיר, כחלק מהמאמץ הכולל להפחתת הפשע בעיר ולשיפור חזותה, במסגרת יישום תאוריית החלונות השבורים. כחלק ממאמץ זה נאסרה מכירת צבע במכלי תרסיס לילדים מתחת לגיל 18. החוק אף דרש ממוכרים להחזיק צבעים אלו בתוך ארונות תצוגה נעולים בחנויות על מנת למנוע גנבת הצבעים. הקנסות על הפרת חוק זה היו גבוהים ביותר (350 דולר לכל עבירה).
גם בבריטניה עבר חוק נגד גרפיטי, ה-"Anti-Social Behaviour Act 2003".
העיר אלבקרקי בניו מקסיקו שבארצות הברית נאבקת בגרפיטי מאז שנות ה-90 של המאה ה-20 ומאפשרת לדווח באמצעות קו טלפון מיוחד של העירייה על מציירי גרפיטי.
בישראל, על פי הכותב, מצייר, משרטט או חורט על מקרקעין של זולתו שלא כדין, או מדביק עליהם שלא כדין כל כתב או שלט, דינו – מאסר שנה אחת.
גרפיטי והרכבת התחתית.
אחד האתרים המועדים לציורי גרפיטי היו קרונות הרכבת התחתית, בעיקר בעיר ניו יורק. בניו יורק ערכו כותבי גרפיטי תחרויות סימן - שמטרתן לסמן כמה שיותר מקווי הרכבת התחתית. התופעה בניו יורק פסקה בתקופתו של ג'וליאני כראש העירייה, כשכל הקרונות נוקו ושום קרון שעליו הייתה כתובת גרפיטי לא הורשה להיכנס לתנועה, עד שכתובת הגרפיטי לא נוקתה ממנו.
גרפיטי פוליטי.
גרפיטי משמש פעמים רבות כמחאה פוליטית או מחאה נגד המשטר, כאמצעי להבעת דעה ולשיבוש תרבות. דוגמה בולטת לאומן גרפיטי מסוג זה הוא בנקסי, אמן אנגלי, אשר מתמחה בציור גרפיטי אומנותי בעל מסר פוליטי תוך שימוש באירוניה לצורך העברת המסר הרצוי.
גרפיטי פוגעני.
שימוש אחר לגרפיטי עושות קבוצות שנאה. דוגמה לגרפיטי מסוג זה הוא הגרפיטי הנאו-נאצי והשחתת בתי קברות יהודיים ובתי כנסת. אלו אינם גרפיטי מקובל, אלא כתובת נאצה המשתמשת בספריי צבע משום קלות הצביעה.
התמרת פורייה
התמרת פורייה או טרנספורם פורייה היא כלי מרכזי ב שאפשר לתארו כפירוק של פונקציה לרכיבים מחזוריים (סינוסים וקוסינוסים או לחלופין אקספוננטים מרוכבים) וביצוע אנליזה מתמטית לפונקציה על ידי ניתוח רכיביה. שיטה זו פותחה על ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה.
להתמרות פורייה יש שימוש נרחב מאוד בפיזיקה, בהנדסה ובכל תחום העוסק בפולסים וגלים, ובפרט באופטיקה של גלים ובמכניקת הקוונטים. התמרת פורייה היא אחד הכלים החשובים בהנדסת חשמל ומהווה את הבסיס המדעי לפיתוחים טכנולוגיים בתחומי התקשורת הספרתית, עיבוד אותות ומערכות ליניאריות, עיבוד תמונה וקידוד. כמו כן התמרת פורייה משמשת ככלי בתחומים רבים נוספים של המתמטיקה, למשל בתור כלי עזר לפתרון של משוואות דיפרנציאליות, או בתורת המספרים האנליטית (למשל ).
התמרת פורייה מאפשרת כתיבה של פונקציה נתונה בתור שקלול ליניארי של פונקציות מחזוריות (נקראות גם הרמוניות, בשל הקרבה לצלילים מוזיקליים. ראו דוגמה בהמשך). בשל כך ניתן לראות את ההתמרה בתור מיפוי בין מרחב הזמן למרחב התדר. בפיזיקה של מצב מוצק ניתן להשתמש בהתמרת פורייה למעבר מהסריג הישיר (כלומר סריג המתאר את מבנה הגביש במרחב המקום) לסריג הופכי (סריג המתאר את אותו הגביש ב"מרחב הגל").
לדוגמה צליל מוזיקלי צלול ("תו" בודד) הוא למעשה גל קול המתנודד בזמן בתדר מסוים. התמרת פורייה משמשת ככלי חשוב בניתוח של צלילים: היא מאפשרת לנתח הקלטה של צלילים ולבודד את התדרים המרכיבים אותה. באופן כללי יותר התמרת פורייה מאפשרת לאתר בתוך פונקציה רכיבים מחזוריים, ולכן יש לה שימוש רחב בניתוח אותות ובעיבוד תמונה.
ניתן לראות את ההתמרה כהרחבה לטור פורייה המתקבלת כאשר משאיפים את זמן המחזור של הפונקציה המחזורית בטור פורייה לאינסוף.
הסבר לנוסחה.
הסבר חלקי לנוסחה.
ניתן לרשום את סכום התדרים כסכום הפונקציות שלהם. אך יש את הצורך לבטא כמה מכל תדר אנחנו סוכמים, ואת זה אנחנו מבטאים בעזרת משתנה שמסמן את אינדקס התדר. גם את משתנה אינדקס התדר ניתן לרשום בדרך אינטואיטיבית וניתן לרשום את משתנה אינדקס התדר כאינדקס שרץ על המספרים הטבעיים. אך האינדקס ישפיע על סכום התוצאה. לכן מבטאים את האינדקס בעזרת משהו שערכו המוחלט שווה ל-1 במעגל היחידה עבור מספרים קומפלקסים והביטוי שלו בכל נקודה במעגל הוא שונה. לכן מבטאים בצורה זו את "מספר" התדר והוא נרשם כך:formula_1.
הגדרה פורמלית 1.
מוטיבציה - פירוק לפונקציות הרמוניות.
התמרת פורייה נוצרה מהצורך לפרק כל פונקציה, לצירוף של כמה פונקציות הרמוניות, כאשר פונקציה הרמונית מוגדרת כפונקציה מחזורית בעלת תדירות זוויתית formula_2, ולפעמים נקראת בקיצור פשוט "הרמוניה" או "פונקציה הרמונית". הצורה הכללית של פונקציה הרמונית היא:
צירוף ליניארי של כמה פונקציות כאלה נותן ביטוי מהצורה הכללית:
כאשר T זה זמן מחזור. ו formula_5 היא התמרת פורייה ההפוכה.
ואם מחשבים את המקדם formula_5 :
אזי מקבלים את הפונקציה המקורית כסכום של פונקציות אורתונורמליות (בת"ל). משמעות הדבר היא שסכום ליניארי של סינוסיאודים שבביטוי של המקדמים של הסינוסיאודים, כל אחד מהמקדמים, בתחום הנדסת החשמל ובייצוג של האות (סיגנל) המקורי כתלות בזמן, הוא מייצג במערכת היחידות החדשה שאליה הומר, על ידי התמרת פורייה ההפוכה: עוצמה של תדר.
זאת כאשר, בביטוי האחרון לשם מציאת המקדם, משתמשים בדרך כלל בתוך formula_8 בערכים של הפונקציה מצורתה הרגילה. כלומר, בערכים מתוך הפונקציה המקורית.
formula_2 - המרחב של הפונקציה המותמרת - נקרא מרחב התדירות הזוויתית (או פשוט מרחב התדר) ואפשר לראות את המשרעת והפאזה של formula_10 כרכיבים של אות מחזורי בעל תדירות זוויתית formula_2, ואילו למרחב המקורי קוראים מרחב הזמן.
משמעות העברה למרחב התדר היא שקיבלנו פונקציה קומפלקסית שמחזירה עבור כל תדירות את האמפליטודה והפאזה המתאימים על ידי מספר מרוכב (ערכו המוחלט הוא האמפליטודה והזווית שלו היא הפאזה).
וזה נותן כלי חזק מאוד לניתוח ההתנהגות של פונקציות מבחינת התדר.
דוגמה לשימוש בהתמרה: בקובצי שמע ניתן לפרק את גל הקול לפונקציות הרמוניות ולהוריד מהקובץ את התדירויות הגבוהות (על ידי מסנן "LOW PASS FILTER") שהאוזן לא שומעת אותם וכך להקטין משמעותית את נפח הקובץ.
התמרת פורייה.
התמרת פורייה של פונקציה formula_12 מוגדרת כפונקציה formula_13 כך ש
(אפשר להגדיר את ההתמרה בעזרת קבועים אחרים, בחירת הקבועים נעשית משיקולי נוחות). ההתמרה מוגדרת רק עבור פונקציות שעבורן אינטגרל כזה מוגדר ולא מתבדר. האינטגרל קיים עבור פונקציות שהן אינטגרביליות בערכן המוחלט לפי לבג, כלומר פונקציות ב-formula_15. מכאן ניתן להגדיר את התמרת פורייה בקבוצה formula_16 שהיא קבוצה צפופה ב-formula_17. בשלב הבא מרחיבים את ההתמרה על כל formula_17, ומקבלים שהתמרת פורייה מוגדרת על אוסף הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג - formula_17 שהוא מרחב הילברט.
התמרת פורייה ההפוכה.
באופן דומה, אפשר להגדיר את ההתמרה בצורה הבאה, זו ההתמרה של פונקציה formula_20 שניתנת על ידי
להתמרה זו קוראים התמרת פורייה ההפוכה.
אפשר לראות שהפעלת התמרת פורייה ההפוכה על התמרת פורייה מחזירה את הפונקציה המקורית.
שכן
הגדרה פורמלית 2.
אפשר לרשום כל פונקציה formula_12, שהיא פונקציה אינטגרבילית בריבוע לפי לבג (אפשר לרשום זאת בקיצור כך formula_26) כצירוף ליניארי (אינטגרלי) של פונקציות הרמוניות בעלות תדר יחיד באופן הבא:
הפונקציה formula_28 נתונה על ידי
formula_28 נקראת "ההצגה של formula_31 במרחב התדר" בעוד שהפונקציה formula_32 נקראת "ההצגה של formula_31 במרחב הזמן".
ניתן להצדיק נוסחה זאת משיקולים של אורתוגונליות במרחב formula_34.
טרמינולוגיה:
הערה על סימונים וגורמי נרמול.
מספר סימונים שונים נהוגים עבור טרנספורם פורייה וכן ישנן מספר מוסכמות איפה להכניס את גורמי הנרמול בסך formula_35 .
להלן הגישות הנפוצות בנושא:
גישת הסימונים שהופיעה בהגדרה 2 היא הגישה הנפוצה בפיזיקה והנדסה. היא גם שכיחה במתמטיקה עיונית אם כי בתחום זה גם גישות סימון אחרות זוכות לתפוצה רחבה.
העיקרון המתמטי שמאחורי התמרת פורייה.
מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג.
המרחב formula_34 הוא מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג. מרחב זה, בצירוף המכפלה הפנימית
אוסף הפונקציות formula_41 מהווה מערכת אורתונורמלית שלמה, שהיא מעין הכללה של בסיס אורתונורמלי, משמע:
כאשר הפונקציה formula_43 היא פונקציית הדלתא של דיראק. מערכת זו נקראת במתמטיקה "הבסיס ההרמוני" ואילו בפיזיקה קוראים לפונקציות אלה "גלים מישוריים".
במובן זה, המשמעות של הפונקציה המותמרת היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני, משמע formula_44. והמשמעות של ההתמרה ההפוכה היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני המצומד formula_45.
התמרת פורייה כאופרטור.
ניתן לראות את התמרת פורייה כאופרטור formula_46. אופרטור זה הוא איזומטריה (כלומר על ושומר מרחקים). ניתן אף להגדיר את התמרת פורייה בגישה זאת, כאשר בהתחלה מגדירים את האופרטור על קבוצה צפופה (מרחב שוורץ למשל) עליה הוא איזומטריה, ומרחיבים מרציפות.
סימונים נוספים.