תהא formula_8 סדרה של קטעים סגורים formula_9, כך שלכל formula_2 טבעי מתקיים formula_11. אם סדרת אורכי הקטעים formula_12 שואפת לאפס, כלומר formula_4, אזי קיימת נקודה יחידה formula_14 ששייכת לכל אחד מהקטעים formula_15, כלומר formula_16, ומתקיים formula_7.
הוכחה.
ראשית, נראה כי קיימת נקודה c המשותפת לכל הקטעים :
מתנאי המשפט נובע שלכל formula_2 טבעי formula_19 ולכן formula_3, ומכאן formula_21מונוטונית עולה ו-formula_22 מונוטונית יורדת. נסמן formula_23 ו- formula_24. מכך ש- formula_21 עולה נובע שלכל formula_2 טבעי formula_27 ולכן formula_22 חסומה מלרע, ומכאן מתכנסת לאינפימום שלה, כלומר: formula_29. באופן אנלוגי, מכך ש-formula_22 יורדת נובע ש-formula_21 מתכנסת לסופרימום שלה, כלומר: formula_32. בנוסף, מהנתון formula_33 ומאריתמטיקה של גבולות נקבל כי
formula_34נסמן formula_35, אז לכל formula_36 מתקיים formula_37, כלומר formula_38.כעת נוכיח שהנקודה c יחידה:
תהי formula_39 נקודה המקיימת לכל formula_2 טבעי formula_41, אז לפי כלל הסנדוויץ' formula_42 ולכן c יחידה.
מצאנו אם כך נקודה c יחידה המקיימת formula_43 לכל formula_36, ולכן formula_16. formula_46
אגב, ללמה יש גרסה שלא כוללת דרישה להתכנסות של סדרת הקטעים. במקרה זה קיימת נקודה c, לא בהכרח יחידה, המקיימת formula_43 לכל formula_36, כלומר formula_49. נגדיר לדוגמה formula_50, אז מהגדרת הסופרימום לכל formula_36 מתקיים formula_52. כמו כן, ניתן להוכיח שללכל formula_36 האיבר formula_54 הוא חסם מלעיל של formula_55, וכיוון שהסופרימום מוגדר כחסם מלעיל המינימלי של הקבוצה מתקיים formula_56. מכאן לכל formula_36 מתקיים formula_58, כלומר formula_43.
הכללה למרחבים מטריים.
למת החיתוך של קנטור נכונה בכל מרחב מטרי שלם, בנוסח הבא: לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות במרחב, שהקוטר שלהן שואף לאפס, יש נקודה משותפת יחידה. תכונה זו מאפיינת מרחבים מטריים שלמים. תכונת החיתוך מתקיימת במרחב מטרי קומפקטי גם ללא התנאי על הקוטר השואף לאפס, אבל במרחב מטרי שלם שאינו קומפקטי התנאי הזה נחוץ (כפי שמראה סדרת הקרניים הימניות formula_60).
A change of seasons
פרס א.מ.ת.
פרס א.מ.ת. (אמנות-מדע-תרבות) הוא פרס המוענק בישראל מדי שנה, מאז שנת 2002. הפרס, בסך מיליון דולר אותו חולקים הזוכים, ממומן על ידי קרן א.מ.נ. - לקידום המדע התרבות והאמנות בישראל, אשר הוקמה לצורך עניין זה על ידי אגודת ידידי ישראל באמריקה הלטינית. את הקרן יזם וייסד הנדבן אלברטו מוסקונה ניסים (א.מ.ן - ראשי התיבות של שמו), שתחילה ביקש להישאר אנונימי.
הפרס ניתן בחסותו של ראש ממשלת ישראל בחמישה תחומים: תרבות ואמנות, מדעים מדויקים, מדעי החיים, מדעי הרוח ומדעי החברה. הפרס מוענק מדי שנה על-פי תחומי משנה המתחלפים במחזוריות מדי שנה.
הקריטריונים לזכייה בפרס מבוססים על הצטיינות והישגים מקצועיים או אקדמיים שיש בהם פריצת דרך בתחום העיסוק של הזוכה וכן תרומה מיוחדת לתרבות ולחברה הישראלית. ההחלטה על הזוכים מתקבלת על ידי ועדה בראשות שופט, הממנה ועדות משנה שמורכבות ממומחים בתחומים הרלוונטיים.
Falling into infinity
Six degrees of inner turbulence
Train Of Thought
פרס ראש הממשלה ליצירה
סמואל בקט
סמואל ברקליי בקט (באנגלית: Samuel Barclay Beckett; 13 באפריל 1906 - 22 בדצמבר 1989) היה במאי תיאטרון, מחזאי, סופר, משורר ומתרגם אירי שכתב באנגלית ובצרפתית. חתן פרס נובל לספרות לשנת 1969.
יצירתו של בקט מוכרת כנוקשה ומינימליסטית, ומשקפת פסימיות עמוקה אודות טבע האדם והמצב האנושי. הסיפורת של בקט השתנתה עם השנים. בתחילה, כשהיה מושפע מג'יימס ג'ויס, נטו כתביו לכיוון זרם התודעה. ככל שעבר הזמן, הפכה אמנותו של בקט למינימליסטית יותר. ספריו נוטים לפסימיזם קיצוני, אולם פסימיזם זה משולב בהומור. בקט נחשב לאחד מגדולי מחזאי האבסורד, ויש הרואים בו אקזיסטנציאליסט.
שנותיו הראשונות.
משפחת בקט הייתה נצר להוגנוטים ועברה לאירלנד מצרפת לאחר ביטול האדיקט של נאנט ב־1685. בית המשפחה, קולדרינה, ששכן בפוקסרוק, פרוור של דבלין, היה בית גדול עם גינה ומגרש טניס, ונבנה ב־1903 על ידי אביו של סמואל, ויליאם. הבית והגינה, הטבע בסביבות הבית בו נהג לטייל עם אביו, מסלול המרוצים לפורדסטאון, תחנת הרכבת פוקסרוק ותחנת הרקוט, כולם מילאו תפקיד לאחר מכן בסיפורת שלו ובמחזותיו.
כילד הצטיין בקט כאתלט ושיחק קריקט. מאוחר יותר שיחק באוניברסיטת דבלין במשחקים מקצועיים נגד נורת'המפטונשייר. כתוצאה מכך, הוא היה לזוכה הנובל היחיד שיש לו רשומה בוויזדן, "התנ"ך של הקריקט".
כתבים ראשונים.
בקט למד צרפתית, איטלקית ואנגלית בטריניטי קולג' מ-1923 עד 1927, וקיבל שם תואר מוסמך. לאחר מכן קיבל משרה כמרצה לאנגלית באקול נורמל סופרייר בפריז. בזמן שהותו שם הוצג בפני ג'יימס ג'ויס על ידי תומאס מקגריבי. לפגישה זו הייתה השפעה מכרעת על בקט הצעיר. בקט המשיך בקריירת הכתיבה שלו בזמן שהוא עזר לג'ויס באופנים שונים. ב-1929 פרסם את יצירתו הראשונה, "דאנטהברונו. ויקוג'ויס", מאמר ביקורת המגן על יצירתו של ג'ויס, בעיקר מהאשמות של אי בהירות מופקרת. זו הייתה תרומתו של בקט לאסופת מאמרים על ג'ויס שכללה מאמרים של מבקרי ספרות ידועים. הסיפור הקצר הראשון של בקט פורסם באותה שנה בכתב העת "המעבר", וב-1930 הוא זכה בפרס ספרותי קטן על שירו, "Whoroscope". שיר זה נכתב בחופזה ושאב השראה מביוגרפיה של רנה דקארט, שבקט קרא בזמן כתיבתו. יחסיו של בקט עם משפחת ג'ויס התקררו כשביטל את קשריו עם בתו של ג'ויס, לוצ'יה, שסבלה מבעיות נפשיות.
בקט שב לטריניטי קולג' כמרצה ב-1930, אך כעבור פחות משנתיים עזב את משרתו ויצא למסע באירופה. הוא חי זמן מה בלונדון, כשהוא מפרסם מחקר ביקורתי על מרסל פרוסט ב-1931. שנתיים לאחר מכן, לאחר מות אביו, החל בשנתיים של פסיכואנליזה עם ד"ר וילפרד ביון. ביון לקח אותו לשמוע את הרצאת טביסטוק השלישית של יונג, מאורע שיזכור עוד שנים לאחר מכן. ב-1932 כתב את הרומן הראשון שלו, "Dream of Fair to Middling Women", אך לאחר דחיות רבות ממוציאים לאור החליט לנטוש אותו. הספר פורסם לבסוף ב-1992. אף שהוא לא הצליח לפרסם את "חלום", הוא שימש כמקור להרבה משיריו המוקדמים ולספר השלם הראשון שלו, "More Pricks Than Kicks ", שיצא לאור בשנת 1933. יצירה זו הייתה אוסף של סיפורים קצרים עם כמה דמויות שחוזרות על עצמן.
בקט ביקש לפרסם ספר שירים ב-1934, אך ללא הצלחה. הוא גם פרסם מספר מאמרים וביקורות בערך באותה תקופה, כולל "שירה אירית מהזמן האחרון" (ב"בוקמן", אוגוסט 1934) ו Humanistic Quietism (ביקורת של "שירים" של מק'גריבי ב"מגזין דבלין", גם ב-1934). שתי ביקורות אלה התמקדו ביצירותיהן של מק'גריבי, בריאן קופי, דניס דבלין ובלנייד סלקלד, והשוו אותן לבני זמנם- בני תנועת "התחייה האירית". כשהוא מתאר את המשוררים האלה כ"גרעין של השירה החיה באירלנד", הוא שרטט את קוויו של קנון השירה האירי המודרני.
ב-1935 עבד על הרומן שלו, "מרפי". במאי אותה השנה בקט כתב למק'גריבי כי הוא קרא על קולנוע, ורצה ללכת למוסקבה ללמוד יחד עם סרגיי אייזנשטיין ב-VGIK. בקיץ של 1936 הוא כתב לסרגיי אייזנשטיין ווסלובוד פודובקין, והציע את עצמו כעוזר שלהם, אך דבר לא יצא מכך. הוא סיים את "מרפי" וב-1936 עזב למסע ארוך בסביבות גרמניה, שם מילא כמה מחברות ברשמיו מן האמנות שראה, וציין את חוסר אהדתו לאכזריות הנאצית שבאותו זמן החלה לכבוש את המדינה. הוא חזר לאירלנד לזמן קצר ב-1937. בזמן ביקור זה פורסם "מרפי", וכעבור שנה תורגם לצרפתית על ידי המחבר. לאחר ריב עם אמו הוא החליט להישאר באופן קבוע בפריז. הוא שב לעיר לאחר פרוץ מלחמת העולם השנייה ב-1939, כשהוא מעדיף, לדבריו, את "צרפת הלוחמת על פני אירלנד הנייטרלית".
בינואר 1938, כשהוא סירב לבקשותיו של סרסור פריזאי ידוע, דקר אותו הלה וכמעט הרגוֹ. ג'ויס דאג לבקט לחדר פרטי בבית החולים. הפרסום שקיבל משך את תשומת הלב של סוזן דשבו-דומניל, שהכירה את בקט מביקורו הראשון בפריז, אך מפגש זה הוביל אותם לחברות לאורך כל חייהם.
כשהתוקף נשאל על ידי בקט לסיבת התקפתו, הוא ענה " Je ne sais pas, Monsieur" – "אני לא יודע, אדוני". שורה זו תהיה לשורה חשובה בכמה ממחזותיו.
מלחמת העולם השנייה.
לאחר הכיבוש של צרפת בידי גרמניה ב-1940, הצטרף בקט לתנועת ההתנגדות הצרפתית, וביצע עבורה שליחויות. הוא כמעט נלכד על ידי הגסטאפו כמה פעמים במהלך השנתיים הבאות. באוגוסט 1942 היחידה שלו נבגדה על ידי כומר קתולי לשעבר. בקט וסוזן דשבו-דומניל ברחו דרומה ברגל לכפר הקטן רוסיו, במחוז ווקלוז.
אף שסמואל בקט כמעט לא דיבר על חוויותיו מהמלחמה, ידוע שבשנתיים שבהן נשאר ברוסליו עזר למקווי לחבל בצבא הגרמני בהרי ווקלוז. בזמן שהיה במסתור, הוא המשיך לעבוד על הרומן "ואט", שהחל בכתיבתו ב-1941, והשלים ב-1945, אך לא פרסם עד ל-1953. על מאמציו בלחימה כנגד הכיבוש הגרמני, קיבל את צלב המלחמה ואת מדליית ההתנגדות מידי הממשלה הצרפתית.
פרסום: רומנים והתיאטרון.
ב-1945 חזר בקט לאירלנד לביקור קצר. בזמן ביקורו, הייתה לו התגלות בחדר של אמו ובה נגלה לפניו כל עתידו הספרותי. חוויה זו הומחזה מאוחר יותר במחזהו הטייפ האחרון של קראפ משנת 1958. במחזה זה ההתגלות לקרפ מתרחשת במזח המזרחי בדון לאוחייר בלילה סוער וחשוך. יש מבקרים שזיהו בין קרפ לבקט עד כדי טענה כי ההתגלות שלו הייתה באותו מקום ובמזג אוויר זהה.