עץ פיתגורס הוא פרקטל במישור שנתגלה על ידי אלברט בוסמן, מורה הולנדי, בשנת 1942. הוא קרוי על שם המתמטיקאי היווני בן העת העתיקה פיתגורס, בשל העובדה שכל שלושה ריבועים סמוכים בפרקטל יוצרים משולש ישר-זווית, ולכן מקיימים את משפט פיתגורס.
בנייה.
כמו פרקטלים רבים עץ פיתגורס מתקבל מבנייה בת אינסוף שלבים. בשלב האפס מתחילים עם ריבוע עם צלע באורך 1. בשלב הראשון בונים שני ריבועים זהים כך שהם יוצרים משולש ישר-זווית שווה-שוקיים עם צלע הריבוע ההתחלתי. בהתאם למשפט פיתגורס אורך הצלע של כל אחד מן הריבועים הללו הוא formula_1. בשלב השני בונים על גבי כל אחד מן הריבועים האלו שני ריבועים זהים באותו אופן בדיוק ומתקבל שאורך הצלע של כל אחד מן הריבועים החדשים הוא formula_2. ובאופן כללי בשלב ה-formula_3-י בונים formula_4 ריבועים על הצלע של formula_5 הריבועים שנבנו בשלב הקודם, כאשר לכל אחד מהם צלע באורך formula_6. עץ פיתגורס מתקבל מחזרה על התהליך אינסוף פעמים.
הכללה.
עץ פיתגורס מוכלל הוא הכללה של עץ פיתגורס כך שעל כל ריבוע נבנים שני ריבועים שאינם בהכרח זהים. העץ נבנה באותה צורה כמו עץ פיתגורס רק שאת הריבועים הזהים ניתן להחליף בכל זוג ריבועים היוצרים משולש ישר-זווית עם הריבוע עליהם הם נבנים. עץ פיתגורס מוכלל שאינו עץ פיתגורס רגיל הוא א-סימטרי.
הכללה נוספת היא החלפה של המשולש ישר הזווית במשולש שווה-שוקיים שזווית הראש בו שונה מ-90. לדוגמה, כאשר הזווית היא 60, המשולשים שנוצרים הם שווי-צלעות, וכל הריבועים שנוצרים זהים לריבוע המקורי. החפיפה הראשונה מתרחשת בשלב הרביעי, והצורה הסופית שנוצרת היא מערך משושים משוכללים כך שמקיפים אותם ריבועים.
בגבול שבו זוויות הבסיס הן 90 אין שום חפיפה. לא ידוע קשר בין זוויות הבסיס לבין השלב הראשון בו מתרחשת חפיפה.
דייוויד לודג'
דייוויד ג'ון לודג' (באנגלית: David John Lodge; נולד ב-28 בינואר 1935 בברוקלי (Brockley), לונדון) הוא סופר אנגלי. הוכתר כ"מפקד" במסדר האימפריה הבריטית.
הרומנים פרי עטו של לודג' מתאפיינים בסאטירה על האקדמיה בכלל ועל מדעי הרוח בפרט. הוא גדל במשפחה קתולית ומתאר עצמו כ"קתולי אגנוסטי". רבים מגיבורי ספריו הם קתולים והקתוליות שלהם משמשת נושא מרכזי בספריו. הרומנים הבולטים שכתב הם The British Museum Is Falling Down (1965), How Far Can You Go?, (1980, ראה אור בארצות הברית בשם Souls and Bodies) ו-Paradise News (1991).
ביוגרפיה.
הרומן הראשון של לודג' שהתפרסם הוא The Picturegoers (1960) ומתאר את חוויותיו בצעירותו ב"בריקלי" (המבוסס על רובע ברוקלי בלונדון), שגם מתואר ברומן שלו Therapy. במלחמת העולם השנייה נאלצו לודג' ואמו להתפנות לסוריי וקורנוול.
לודג' למד בקולג' אוניברסיטת לונדון וקיבל תואר ראשון בהצטיינות ב-1955. הוא נשא לאשה את מארי פרנסס ג'ייקוב וקיבל תואר שני באותו מוסד. הוא עשה דוקטורט באוניברסיטת ברמינגהאם ולימד שם ספרות אנגלית בשנים 1960–1987, ונודע במיוחד בשל הרצאותיו על ספרות התקופה הוויקטוריאנית. בשנים 1965–1964 שהה כעמית מחקר של קרן הארקנס בעיר ניו יורק.
הוא פרש לגמלאות ממשרתו בברמינגהאם ב-1987 ונעשה סופר במשרה מלאה, אולם שמר על התואר פרופסור כבוד לספרות אנגלית מודרנית באוניברסיטה והמשיך לחיות בברמינגהאם. מאמריו מוצגים באוספים המיוחדים של ספריית אוניברסיטת ברמינגהאם.
פרט לכך שהאקדמיה והדת הרומית-קתולית מהוות תמות מרכזיות בספריו, עבודתו של לודג' נוטה לשוב ולהציג אותם אתרים בדויים. העיר רמידג' (Rummidge), שדומה לברמינגהאם; מדינת יופוריה (Euphoria) הבדויה בארצות הברית, שממוקמת בין מדינות "צפון קליפורניה" ל"דרום קליפורניה" מופיעה דרך קבע ברומנים שלו; אוניברסיטת מדינת יופוריה שוכנת בעיר פלוטינוס (Plotinus), שיש לה דמיון עמום לברקלי (קליפורניה).
אחדים מהרומנים של לודג', בכללם Small World (1984) ו-Nice Work (1989), עובדו לסדרות טלוויזיה.
ב-1997 העניק משרד התרבות הצרפתי ללודג' את אות "אביר מסדר האמנות והספרות" (Chevalier dans l'Ordre des Arts et Lettres) וב-1998 הוכתר כמפקד מסדר האימפריה הבריטית בשל מפעלו הספרותי.
שניים מרומנים של לודג' היו מועמדים לפרס מאן בוקר וב-1989 עמד לודג' עצמו בראש חבר השופטים של הפרס.
רומנו הקומי "Deaf Sentence" (2008), הנסוב על איש אקדמיה בגמלאות שהוא כבד שמיעה, מבוסס על בעיות השמיעה של לודג' עצמו.
Umbrella (שיר של ריהאנה)
Umbrella (בעברית: מטרייה) הוא שיר אשר הוקלט על ידי זמרת הרית'ם אנד בלוז ריהאנה, יחד עם הראפר ג'יי זי שכתב את השיר עם המפיקים שלו. השיר נכתב על ידי דה דרים, כריסטופר סטיוארט, קוק הארל וג'יי זי, השיר במקור נכתב לבריטני ספירס אך היא דחתה אותו. השיר הוא שיר פופ ורית'ם אנד בלוז עם נגיעות של היפ הופ, מבחינה לירית השיר מדבר על יחסים רומנטיים ואפלטוניים, ועל כוחם של היחסים.
השיר דורג במקום הראשון ברשימת עשרת השירים הטובים ביותר של שנת 2007, שנערכה על ידי אנטרטיינמנט ויקלי. הרולינג סטון דירגו את השיר במקום ה-3 ברשימה דומה. השיר זיכה את ריהאנה במספר פרסים ומועמדויות, בין היתר במועמדות ל-4 פרסי פרסי הווידאו-קליפים של MTV, מתוכם זכה בשניים ביניהם פרס בקטגוריית "השיר המיינסטרימי של השנה". בנוסף, השיר זיכה את ריהאנה בפרס גראמי הראשון שלה בשנת 2008, כאשר הצליח לזכות בקטגוריית - "שיתוף הפעולה הטוב ביותר בראפ/שירה", ובנוסף היה מועמד בקטגוריות - "הקלטת השנה" ו-"שיר השנה". מגזין הרולינג סטון דירג את השיר במקום ה-412 ברשימת "500 השירים הטובים ביותר של כל הזמנים".
השיר יצא כסינגל הראשון מהאלבום Good Girl Gone Bad, והופץ ברחבי העולם ב-29 במרץ 2007. השיר זכה להצלחה בעיקר בארצות הברית, בריטניה, אוסטרליה, קנדה וגרמניה. בבריטניה השיר היה לאחד מהשירים המושמעים ביותר ברדיו בעשור הראשון של המאה ה-21. הוא שהה במקום הראשון במדינה במשך 10 שבועות יותר מכל שיר אחר בעשור הראשון של המאה ה-21, והיה לאחד מהשירים המעטים שהצליחו לעשות זאת בהיסטוריה. בארצות הברית השיר הגיע למקום הראשון במצעד הבילבורד הוט 100 ושהה שם 7 שבועות בצמרת המצעד.
הקליפ לשיר בוים על ידי כריס אפלבאום ונחשב לקליפ פרובוקטיבי בהשוואה לקודמיו כאשר באחת מהסצנות נראית ריהאנה עירומה בזמן שגופה מכוסה בצבע כסף. הקליפ זיכה אותה ב-2 פרסי הווידאו-קליפים של MTV, ביניהם פרס בקטגוריית - "קליפ השנה". בנוסף, הווידאו קליפ היה לקליפ הנצפה ביותר באותה שנה באינטרנט. עם השנים השיר זכה לגרסאות כיסוי רבות על ידי אומנים שונים וביניהם ואן ריפאבליק, לינקין פארק וטיילור סוויפט. על מנת לקדם את השיר ריהאנה ביצעה אותו בטקס פרסי הווידאו-קליפים של MTV בשנת 2007, ובטקס פרסי המוזיקה הבריטית בשנת 2008. בנוסף, שרה ריהאנה את השיר בכל הופעה מתוך כל סיבובי ההופעות שלה.
רקע וכתיבה.
בינואר 2007 כריסטופר "טריקי" סטיוארט התכנס עם דה-דרים וקוק הארל באולפן בשביל ליצור חומרים חדשים. באולפן סטיוארט התעסק עם מכשירי הקול ותכנות המוזיקה שהיו. באופן מקרי הוא הצליח להפיק צליל מהשימוש שלו בתוכנות ובמכשירים והוא התפעל מאוד והחל להפיק אקורדים ולאחר מכן הוא נכנס אל תא הקלטות והחל לפצוח בשירה על האקורדים והצלילים שהוא הפיק. בהשראת הצלילים והאקורדים שהצליח להפיק סטיוארט דה-דרים כתב את השיר, הוא כתב את הבית הראשון תוך דקה ולאחריו עוד בית וגם את הפזמון בהתבסס על האקורדים והצלילים של סטיוארט. הם המשיכו לכתוב את השיר וכתבו בית נוסף כאשר סטיוארט הפיק אקורד נוסף לבית הזה ואחר כמה שעות הם יצרו את השיר עצמו. את השיר הם כתבו במקור לבריטני ספירס מכיוון שהם חשבו שהיא זקוקה לקאמבק מוזיקלי בעקבות המשברים שחוותה באותה עת בחייה אישיים. הם שלחו את השיר לספירס אשר באותו זמן הקליטה את אלבומה החמישי אך חברת התקליטים שלה דחתה את השיר בטענה שיש לה כבר מספיק שירים להקליט לאלבום.
בעקבות הדחייה הם העבירו את השיר לחברות תקליטים אחרות. בין היתר הוא הועבר גם לזמר טאיו קרוז שלא הצליח לשכנע את חברת התקליטים שלו לשחרר את השיר. לאחר מכן הם העבירו את השיר לחברת התקליטים דאף ג'אם אל מי שהיה באותה תקופה היו"ר של חברת התקליטים אנטוניו אל. איי ריד. ריד העביר את הדמו של השיר אל מנהלת ה-A&amp;R של חברת התקליטים קארן קוואק שאמרה כי השיר מתאים עבור ריהאנה שעבדה באותה תקופה על אלבומה השלישי. ריד שלח את הדמו לריהאנה שהתרשמה מהשיר ונענתה להצעה בחיוב. ריהאנה סיפרה על הפעם היא שמעה את השיר בפעם הראשונה: "כשהדמו התחיל לנגן בפעם הראשונה, חשבתי שזה מעניין אבל גם מוזר אבל השיר המשיך להשתפר. ואני אמרתי, אני צריכה את השיר הזה, אני רוצה להקליט אותו מחר."