יארני החל את הקריירה בקבוצת הנוער של צ'אקובץ מעיר הולדתו. ביוני 1985, בטרם מלאו לו 17, יצאה קבוצתו למשחק גביע בעיר ספליט, ושם אותר יארני על ידי מועדון הפאר היידוק ספליט. בפברואר 1986 הצטרף יארני רשמית לקבוצת הנוער של המועדון, ובעונת החל את הקריירה הבוגרת שלו בקבוצה. הוא השתלב היטב ברוטציה של הקבוצה, רשם 21 הופעות ליגה, ואף זכה כבר באותה העונה בגביע היוגוסלבי. יארני פתח בהרכבה של ספליט למשחק הגמר מול רייקה, שהגיע לדו-קרב בעיטות עונשין לאחר שוויון 1-1 בסיום. יארני כבש את הפנדל התשיעי (מתוך 11) של קבוצתו בדו-קרב הארוך, שהסתיים בתוצאה 8–9 לספליט בדרך לתואר.
בעונה לאחר מכן שותף יארני ב-15 משחקי ליגה בלבד, כאשר הקבוצה כשלה בליגה וסיימה במקום ה-13 בלבד. בעקבות הכישלון, הגיע לקבוצה המאמן פטר נדובזה לקראת עונת . נדובזה הפך את יארני לשחקן הרכב קבוע, ועל אף העמדה האחורית שלו העניק לו יותר משימות התקפיות. ב-10 בספטמבר 1988 כבש יארני את שער הבכורה שלו במועדון, בניצחון 1–4 על דינמו זאגרב בליגה היוגוסלבית, בדרך לעונה מוצלחת בה כבש שישה שערי ליגה ב-31 הופעות. הקבוצה סיימה את העונה במקום השלישי, ושחזרה את ההישג גם בעונה לאחר מכן, בה כבש יארני פעמיים ב-31 הופעות. באותה העונה אף העפילה הקבוצה לגמר הגביע, אך הפסידה, עם יארני בהרכב הפותח, 1-0 לכוכב האדום בלגרד.
עונתו האחרונה של יארני בקבוצה הייתה עונת , ובה רשם שיא קריירה אישי בכמות הכיבושים. הוא היה למלך השערים של הקבוצה באותה העונה הן בליגה (תשעה שערים) והן בסך הכול (13 בכל המסגרות). באותה העונה זכה יארני עם קבוצתו בפעם השנייה בגביע היוגוסלבי, לאחר שקבוצתו גברה 0–1 על הכוכב האדום בגמר. יארני שוב פתח בהרכב קבוצתו למשחק. הייתה זו העונה האחרונה של הליגה היוגוסלבית, ובעונה הבאה כבר שיחקה ספליט במסגרת הליגה הקרואטית. יארני פתח את העונה בספליט ושיחק בצמד משחקיה מול טוטנהאם הוטספר, שהסתיימו עם 1–2 לטוטנהאם בסיכום.
בסך הכול, בחמש עונות במדי היידוק ספליט כבש יארני 17 שערי ליגה ב-128 הופעות, ו-21 שערים ב-156 הופעות בסך הכול.
מעבר לאיטליה.
מספר חודשים לאחר פתיחת עונת 1991/1992 בסרייה א', לאחר הגעתו של זביגנייב בונייק לתפקיד מאמן בארי, חתם יארני בקבוצה שהייתה לתחנה הראשונה שלו מחוץ לקרואטיה. הופעת הבכורה שלו נערכה ב-17 בנובמבר 1991, במסגרת המחזור העשירי בסרייה א', כאשר פתח בהרכב קבוצתו בהפסד 1–2 ללאציו. יארני פתח והשלים 90 דקות ב-24 משחקי ליגה רצופים, והחמיץ רק את מחזור הנעילה, אך לא הצליח לסייע לקבוצה לשרוד בליגה הבכירה. יארני נותר בקבוצה עונה נוספת, על אף ששיחקה בסרייה ב', ורשם 28 הופעות ליגה בהן כבש שלושה שערים. הקבוצה סיימה את העונה במקום העשירי בלבד, ויארני סיים את דרכו במועדון לאחר שתי עונות.
יארני שב לסרייה א' לקראת עונת 1993/1994, כאשר חתם במדי מחזיקת הקופה איטליה הטרייה, טורינו. הוא שיחק בקבוצה במשך עונה אחת בלבד, בה ערך 23 הופעות ליגה. את שערו היחיד במדי הקבוצה כבש במסגרת גביע אירופה למחזיקות גביע, מפעל בו נעצרה טורינו רק ברבע הגמר, מול ארסנל האנגלית.
לקראת עונת 1994/1995 עבר יארני ליריבתה העירונית של טורינו, יובנטוס. הקבוצה של מרצ'לו ליפי רשמה עונה מוצלחת מאוד בגזרה המקומית, כאשר השלימה זכייה בדאבל. יארני רשם 15 הופעות ליג בלבד במדי הקבוצה, תשע מתוכן בהרכב, וכבש שער ליגה בודד. הוא הוסיף שש הופעות במסגרת הגביע האיטלקי, אך לא שותף כלל בצמד משחקי הגמר מול פארמה (3-0 ליובנטוס בסיכום), וכן הוסיף תשע הופעות במסגרת גביע אופ"א, ואף פתח בהרכב בצמד משחקי הגמר מול אותה פארמה, אך הפעם ללא הצלחה - פארמה ניצחה 1–2 בסיכום שני המפגשים. בסך הכול רשם יארני מאזן כולל זהה לזה שרשם בטורינו - שער בודד בשלושים הופעות בכל המסגרות, וסיים את דרכו במועדון בתום עונה אחת.
מעבר לספרד.
לקראת עונת 1995/1996 עבר יארני לראשונה בקריירה לספרד, כאשר הצטרף לריאל בטיס של המאמן לורנס סרה פרר. בטיס הייתה להפתעת העונה החולפת, כשסיימה במקום השלישי. יארני השתלב היטב בקבוצה וכבר בעונת הבכורה שלו רשם 34 הופעות ליגה, כולן בהרכב הפותח, וכבש בהן שמונה שערי ליגה. גם בעונה הבאה שמר יארני על מקומו בהרכב, כבש חמישה שערי ליגה ב-36 הופעות וסייע לקבוצתו לסיים במקום הרביעי בליגה. יארני סייע לקבוצתו להעפיל לגמר גביע המלך, שם הובילה הקבוצה פעמיים מול ברצלונה אך הפסידה 2–3 בסיום הארכה. יארני פתח בהרכב ושיחק לאורך כל 120 הדקות. בעונה השלישית של יארני בקבוצה הוחלף סרה פרר בלואיס אראגונס, ותחתיו כבש יארני שישה שערי ליגה ב-28 הופעות. הייתה זו עונתו האחרונה בקבוצה, בה הצליח יארני להפוך לשחקן מפתח ובסך הכול כבש 19 שערי ליגה ב-98 הופעות.
בקיץ 1998 עבר יארני לקובנטרי סיטי האנגלית תמורת כ-2.6 מיליון ליש"ט, אך עוד באותו הקיץ החליטה ריאל מדריד להחתים את השחקן, והשלימה את מעברו מקובנטרי תמורת כ-3.4 מיליון ליש"ט, כאשר יארני טרם רשם הופעת בכורה במדי קובנטרי. היו שטענו כי מדובר היה בטקטיקה משותפת של קובנטרי וריאל, בעקבות סירובה של בטיס למכור את השחקן ישירות למועדון ממדריד. ריאל פתחה את העונה תחת חוס הידינק, שהוחלף במהלכה על ידי ג'ון טושאק. תחת הראשון זכה יארני לדקות משחק רבות יותר, כאשר שותף ב-20 מתוך 23 משחקי הליגה אותם העביר הידינק, לעומת שבע הופעות ליגה בלבד תחת טושאק. את העונה סיים יארני עם 27 הופעות ליגה, מתוכן 19 בהרכב, בהן כבש שער אחד וסייע לריאל לסיים את העונה כסגנית האלופה. באותה העונה בליגת האלופות רשם יארני את משחק השיא שלו במדי ריאל, כאשר כבש צמד בניצחון 1–6 על שטורם גראץ. יארני זכה עם ריאל בתואר הגביע הביניבשתי, לאחר שהחליף את פרדראג מיאטוביץ' בדקות הסיום של הניצחון 1–2 על ואשקו דה גאמה.
לקראת עונת ירד יארני לליגת המשנה הספרדית, כאשר חתם בלאס פאלמס של המאמן בן ארצו, סרגיי קרשיץ'. יארני כבש ארבעה שערי ליגה ב-17 הופעות בליגת המשנה, וסייע לקבוצתו לסיים ראשונה בטבלה ולהעפיל בחזרה לליגה הבכירה. יארני נותר בקבוצה עונה נוספת וכבש שני שערים ב-26 הופעות בליגה הבכירה.
שלהי הקריירה והמעבר לקטרגל.
לקראת עונת 2001/2002 החליף המאמן פרננדו ואסקס את קרשיץ' על הקווים בלאס פאלמס. תחת המאמן החדש לא שותף יארני כלל בחציה הראשון של העונה, וב-30 בינואר 2002 הצטרף לפנאתינאיקוס בחוזה עד לתום העונה. יארני רשם חמש הופעות ליגה בלבד ושלוש הופעות נוספות בליגת האלופות, ובסיום העונה פרש ממשחק פעיל בגיל 33.
לאחר פרישתו ממשחק פעיל, המשיך יארני לקריירה קצרה בקטרגל. הוא הצטרף לקבוצת ספליט הקרואטית, ושיחק בה במשך חמש שנים. בנובמבר 2003 אף רשם שתי הופעות במדי נבחרת קרואטיה במסגרת מוקדמות גביע העולם בקטרגל, בהן כבש שני שערים. הוא היה לשחקן הראשון שזכה להופעות בינלאומיות במדי נבחרות קרואטיה הן בכדורגל והן בקטרגל.
קריירה בינלאומית.
יארני החל את הקריירה הבינלאומית שלו כבר בגילאי הנוער, כאשר ייצג עם נבחרת יוגוסלביה הצעירה בטורניר גביע העולם לנוער שנערך ב-1987 בצ'ילה. בין היתר, שיתף יארני פעולה עם חבריו לעתיד בנבחרת קרואטיה, ובהם דאבור שוקר, זבונימיר בובאן, רוברט פרוסינצ'קי ואיגור שטימץ. יארני ויוגוסלביה זכו בטורניר לאחר שגברו בגמר בדו-קרב פנדלים על גרמניה.
יארני ערך את הופעת הבכורה שלו במדי נבחרת יוגוסלביה ב-26 במאי 1990, שבועות ספורים לפני פתיחת טורניר מונדיאל 1990. הוא נכנס כמחליף במשחק ידידות ביתי מול , שהסתיים בהפסדה של יוגוסלביה 0–1, וזמן קצר לאחר מכן זומן על ידי איביצה אוסים לסגל יוגוסלביה למונדיאל באיטליה. את הופעת הבכורה שלו בטורניר רשם במשחק השני של שלב הבתים, כאשר החליף בהפסקה את סרצ'קו קטאנץ בניצחון 0–1 על . הייתה זו הופעתו היחידה של יארני בטורניר, בו הודחה יוגוסלביה בשלב רבע הגמר. היוגוסלבים העפילו גם לגמר אליפות אירופה בכדורגל עד גיל 21 - 1990, שם פגשו לצמד מפגשים את ברית המועצות. יארני כבש את הראשון של היוגוסלבים במשחק הראשון, בדרך להפסד 2–4 במשחק. עם הפסד 1–3 בגומלין, נאלצה יוגוסלביה להסתפק במקום השני.
ב-22 בדצמבר, ערך יארני את הופעת הבכורה שלו במדי נבחרת קרואטיה החדשה, כחודשיים בלבד לאחר הקמתה מחדש. היה זה בניצחון הביתי 0–2 על במשחק ידידות, תחת המאמן דראז'ן ירקוביץ'. במקביל, ערך חמש הופעות ואף כבש שער בכורה במדי יוגוסלביה במסגרת מוקדמות יורו 1992. על אף שהעפילו לטורניר הגמר, נפסלו היוגוסלבים מלהשתתף בו בעקבות החלטת האו"ם. בכך סיימה יוגוסלביה את דרכה כנבחרת פעילה. בסך הכול ערך יארני שבע הופעות וכבש שער אחד במדי יוגוסלביה.
עם תחילת משחקיה של קרואטיה כנבחרת המוכרת על ידי פיפ"א, היה יארני משחקני המפתח של הנבחרת המתחדשת. הוא ערך תשע הופעות במסגרת מוקדמות יורו 1996 והעפיל עם קרואטיה לטורניר הגמר. הוא זומן על ידי המאמן מירוסלב בלז'ביץ' לטורניר באנגליה, ופתח בכל משחקיה בשלב הבתים, כאשר במשחק השלישי והאחרון בשלב זה אף עלה עם סרט הקפטן במקומו של בובאן שפתח על הספסל. קרואטיה העפילה לרבע הגמר מהמקום השני בבית, כאשר גם בשלב זה פתח יארני בהרכב, בהפסדה של קרואטיה 1–2 ל.