הרעיונות להוכחה של קנטור מופיעים לראשונה בהתכתבות בינו לבין עמיתו ריכרד דדקינד. במכתב מנובמבר 1873 תוהה קנטור אם קיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בין המספרים הטבעיים למספרים הממשיים. הוא מציין כי גילה התאמות שכאלו בין המספרים הטבעיים לבין המספרים הרציונליים ולבין ה-n-יות הסדורות מסדר קבוע. דדקינד השיב כי לא מצא תשובה, אך לא חושב שיש חשיבות לתשובה. בנוסף ציין כי קיימת גם התאמה בין הטבעיים לאלגבריים. בדצמבר משיב קנטור כי דווקא יש עניין בתשובה. למשל אם התשובה היא לא, אז זה יספק הוכחה חדשה לקיומם של מספרים טרנסצנדטיים. ימים ספורים לאחר מכן שלח קנטור לדדקינד הוכחה לאי-קיום ההתאמה.
קנטור פרסם את ממצאיו ב-1874 במאמר בגרמנית בשם "Über eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen" שניתן לתרגמו "על תכונות אופייניות של מספרים אלגבראיים ממשיים".
ההוכחה.
הוכחתו של קנטור נחלקת לשלושה חלקים:
המספרים האלגבריים בני מנייה.
ראשית קנטור מגדיר את ה"גובה" של פולינום כלשהו עם מקדמים שלמים ומעלה חיובית להיות הסכום של מעלת הפולינום עם הערכים המוחלטים של מקדמיו, פחות אחד:
נגדיר את הגובה של מספר אלגברי בתור הגובה של הפולינום המינימלי שלו.
יש רק מספר סופי של פולינומים מגובה נתון, כי המעלה וכל המקדמים קטנים בערכם המוחלט מהגובה, ויש רק מספר סופי של שלמים קטנים בערכם המוחלט ממספר נתון. לכל פולינום יש מספר סופי של שורשים (לכל היותר כמעלתו) ולכן יש רק מספר סופי של מספרים אלגבריים מגובה נתון.
נסדר את כל המספרים האלגבריים בסדרה, כך שקודם יבואו המספרים שגובהם 0 מסודרים לפי גודל, אחריהם המספרים שגובהם 1 מסודרים לפי גודל, אחריהם המספרים שגובהם 2 מסודרים לפי גודל, וכן הלאה עד אינסוף. בדרך זו סידרנו את כל המספרים האלגבריים בסדרה והוכחנו כי הם בני מנייה.
המספרים הממשיים אינם בני מנייה.
בחלק זה מראה קנטור שלכל סדרה של מספרים ממשיים בקטע נתון ניתן למצוא מספר בקטע שלא נמצא בסדרה ולכן לא קיימת סדרה של כל הממשיים בקטע. לכל סדרה נתונה שכזו formula_2 בקטע formula_3 מגדיר קנטור סדרת קטעים באופן הבא: נסמן ב-formula_4 וב-formula_5 את שני המספרים הראשונים בסדרה שנמצאים בקטע הפתוח formula_6, כך ש-formula_7. המספרים formula_8 יהיו המספרים הבאים בסדרה שנמצאים בקטע formula_9 ומקיימים formula_10. ממשיכים בתהליך הזה עד אינסוף באינדוקציה: formula_11 הם המספרים הבאים בסדרה הנמצאים בקטע formula_12 ומקיימים formula_13.
ייתכנו שתי תוצאות לתהליך: אפשרות ראשונה היא כי בשלב כלשהו התהליך ייעצר כי לא יימצאו בסדרה שני מספרים ששייכים לפנימו של קטע מסדרת הקטעים. במקרה כזה מתקבל קטע אחרון formula_14 שאין בו אף איבר של סדרה, מלבד אולי איבר אחד, וכל מספר בפנים הקטע מלבדו בהכרח לא מופיע בסדרה.
אפשרות שנייה היא כי התהליך לא ייעצר לעולם. במקרה כזה קיים גבול: formula_15 כי זוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה. בשלב זה יכול היה קנטור לסיים את ההוכחה בהבחנה כי לכל n, formula_16 נמצא בקטע formula_12 בעוד ש-formula_18 אינו בקטע זה, ולכן formula_19. במקום זאת מפצל קנטור את המקרה הזה לשני תת-מקרים:
קנטור מגדיר את formula_20.
יש דמיון רב בין הוכחה זו לבין הלמה של קנטור.
בניית מספר טרנסצנדנטי.
הוכחת קנטור מספקת דרך לבנות מספר טרנסצנדנטי בכל קטע שהוא. לשם כך בונים סדרה של כל המספרים האלגבריים בקטע (החלק הראשון של ההוכחה מדגים דרך אחת לעשות זאת). כעת עוקבים אחר התהליך בהוכחת קנטור, ולפיה הגבול formula_16 המתקבל הוא בהכרח מספר טרנסצנדנטי (לא ייתכן המקרה הראשון בשל צפיפות האלגבריים). על ידי בחינת איברים הולכים וגדלים בסדרה נוכל לחשב את formula_16 בכל רמת דיוק שנרצה.
אלגוריתם לחישוב מספר טרנסצנדנטי תוך שימוש בהוכחת קנטור פועל בזמן ריצה תת-מעריכי. ההוכחה המאוחרת יותר של קנטור בשיטת הלכסון מתכנסת למספר מהר יותר. זמן הריצה שלה הוא פולינומי.
Comedy Central
ריצ'רד ג'אקל
ריצ'רד הנלי ג'אקל (באנגלית: Richard Hanley Jaeckel; 10 באוקטובר 1926 - 14 ביוני 1997) היה שחקן קולנוע אמריקאי, שהיה מועמד לפרס אוסקר לשחקן המשנה הטוב ביותר לשנת 1971 על הופעתו בסרט "כל בניו היו גיבורים".
ביוגרפיה.
ג'אקל נולד בלונג ביץ' , שבמדינת ניו יורק, ובגיל צעיר עבר עם משפחתו ללוס אנג'לס.
ג'אקל התגלה על ידי מלהק כאשר חילק דואר ליד הסטודיו של חברת "פוקס המאה ה-20", הוא עבר את האודישן וקיבל תפקיד ראשון בגיל 17, בתור טוראי מארינס במהלך קרב גוודלקנל בדרמת המלחמה "יומן גוודלקנל". לאחר הופעת הבכורה שלו התגייס ג'אקל לצי האמריקני ושירת שם במשך כחמש שנים.
כשהשתחרר מהשרות שותף ג'אקל בשתי הפקות מצליחות שעסקו במלחמת העולם השנייה, "חולות איוו ג'ימה" אודות "קרב איוו ג'ימה" ההרואי ו"שדה הקרב" של ויליאם ולמן, שהתבסס על "הקרב על הבליטה" ובו גילם את החייל האמריקאי בטיס.
תפקידו במערבון "האקדוחן" היה קצר מאוד, בתור בחור צעיר ושחצן בשם אדי אותו הורג האקדוחן ג'ימי רינגו (גרגורי פק) בתחילת העלילה.
ג'אקל שיחק תפקיד משמעותי לראשונה במלודרמה הקלאסית "שובי שבא הקטנה", בתור טורק פישר הצעיר בו מאוהבת מארי הדיירת החדשה בביתם של הזוג המתפורר דוק (ברט לנקסטר) ולולה דילייני (שירלי בות').
הופיע בסרט המלחמה "התקף" על ימיה האחרונים של מלחמת העולם ה-2 באירופה ובמערבונים "" ו"שיירה".
בשנת 1960 הופיע לצד אלביס פרסלי במערבון של דון סיגל "כוכב לוהט".
בהמשך שנות ה-60 שיחק בדרמות המלחמה "12 הנועזים", בתור הסמל הקשוח קלייד בראון שעוקב אחר פעילותם של האסירים אותם הוא מאמן, ו"עיר ללא חמלה", בתור חייל אמריקאי הנאשם באונס נערה בכפר גרמני.
בשנת 1970 הופיע ג'אקל בסרטו של פול ניומן "כל בניו היו גיבורים", בתור ג'ו בן, סבו של חוטב העצים האנק סטמפר. על משחקו היה ג'אקל מועמד לפרס אוסקר לשחקן המשנה הטוב ביותר.
ב-1973 שיחק ג'אקל במערבון "פט גארט ובילי הנער", בתפקיד השריף קיפ מק'יני הרודף אחר הפושע בילי הנער (קריס קריסטופרסון).
ב-1984 השתתף בדרמת המסע הבדיונית "איש הכוכבים", בתור ראש הסוכנות לביטחון לאומי ג'ורג' פוקס.
ג'אקל נפטר ב-1997 ב"בית החולים לסרטים וטלוויזיה" שבלוס אנג'לס, לאחר מאבק ממושך במחלת המלנומה. הותיר אחריו אישה, אנטויינט מארצ'ס, לה היה נשוי במשך 50 שנה, ושני בנים, ריצ'רד ג'אקל ג'וניור והגולפאי המקצועני בארי ג'אקל.
נבל זכוכית
נבל זכוכית (מכונה גם: "כוסות מוזיקליות" או "כוסות מזמרות"), הוא מערכת כוסות זכוכית המשמשת ככלי נגינה. הצליל מופק ידי הרטט המופק מחיכוך אצבעות רטובות כנגד שפת הכוסות. כל כוס מכוונת לתו אחר - בעזרת מילוי הכוסות בכמויות משתנות של נוזל, ולעיתים על ידי שחיקה מכוונת של הכוס.
הראשון שתועד מנגן נגינה וירטואוזית על כלי זה הוא הנגן האירי ריצ'רד פוקריך בשנת 1741. המלחין כריסטוף ויליבלד גלוק ניגן אף הוא על הכלי והופיע איתו בלונדון ובקופנהגן, על מערכת של 28 גביעים. הכלי צבר פופולריות במהלך המאה ה-18.
ארמוניקה
מרדכי חבקין
תורת המטרואידים
מטרואיד
בקומבינטוריקה, מטרואיד (matroid) הוא אובייקט שמכליל עקרונות מתורת הגרפים ואלגברה ליניארית. למשל, גרף יחד עם קבוצת היערות המוכלים בו מהווים מטרואיד. דוגמה קלאסית נוספת למטרואיד היא קבוצת וקטורים יחד עם תתי קבוצות בלתי תלויות שלה. ישנן הגדרות שקולות רבות למטרואידים. השקילויות בין ההגדרות יכולות להיות פשוטות או מורכבות, תלוי באילו זוג הגדרות נבחר.
הגדרות.
מטרואיד (סופי) formula_1 הוא זוג סדור formula_2, כאשר formula_3 היא קבוצה של אובייקטים כלשהם ו-formula_4 היא משפחה של תתי קבוצות של formula_3. formula_3 נקראת קבוצת הבסיס של המטרואיד. כל קבוצה ב-formula_4 נקראת קבוצה בלתי תלויה של המטרואיד. קבוצה בלתי תלויה מקסימלית (ביחס להכלה, כלומר, כזו שכל קבוצה שמכילה אותה כבר לא בלתי תלויה) נקראת בסיס. קבוצה תלויה מינימלית ביחס להכלה (כלומר, כל איבר שנוריד ממנה יהפוך אותה לבלתי תלויה) נקראת מעגל. ניתן להגדיר מטרואיד באמצעות הקבוצות הבלתי תלויות שלו, הבסיסים שלו, המעגלים שלו ועוד.
קבוצות בלתי תלויות.
זוג סדור formula_2 כך ש-formula_3 קבוצת איברים סופית ו-formula_4 היא משפחה של תתי קבוצות של formula_3 הוא מטרואיד אם ורק אם:
במילים אחרות, בכל מטרואיד הקבוצה הריקה היא בלתי תלויה, כל תת-קבוצה של קבוצה בלתי תלויה היא גם בלתי תלויה, ובהינתן שתי קבוצות בלתי תלויות שהאחת גדולה בעוצמתה מהשנייה, ניתן להעביר איבר מהגדולה אל הקטנה, וכך לקבל קבוצה גדולה יותר שנשארת בלתי תלויה.
בסיסים.
תהי formula_3 קבוצת בסיס כלשהי של איברים. תהי formula_21 משפחה של תתי קבוצות של formula_3. formula_21 היא קבוצת בסיסים (קבוצות בלתי תלויות מקסימליות ביחס להכלה) של מטרואיד כלשהו אם ורק אם:
במילים אחרות, לכל מטרואיד יש בסיס (קבוצה בלתי תלויה מקסימלית ביחס להכלה), ולכל שני בסיסים, מתקיים שניתן להחליף איבר של אחד באיבר של אחר. כלומר, בהינתן איבר מסוים בבסיס הראשון שאינו בבסיס השני, ניתן להחליפו באיבר אחר מהבסיס השני, שאינו נמצא בבסיס הראשון, ועדיין לקבל בסיס.
מעגלים.
תהי formula_3 קבוצת בסיס כלשהי של איברים. תהי formula_30 משפחה לא ריקה של תת-קבוצות לא ריקות של formula_3. formula_30 היא קבוצת המעגלים (קבוצות תלויות מינימליות ביחס להכלה; באנגלית - circuits) של מטרואיד כלשהו אם ורק אם: