השיטה בה מוכיחים כי e טרנסצנדנטי שימושית במיוחד, ונעשה בה שימוש רב להוכחת הטרנסצנדנטיות והאי-רציונליות של מספרים רבים נוספים. הרעיון הכללי הוא להניח בשלילה כי המספר מקיים את התכונה, ובאמצעות בניית פונקציות שתפורות לעניין היטב, מבצעים מניפולציות אנליטיות ומראים כי זה גורר שוויון מופרך בין מספר שלם שונה מאפס לבין מספר קטן בערכו המוחלט מ-1. גם ההוכחה הפשוטה יותר ש-e אי-רציונלי נעשית בדרך דומה. בשל השימושיות שלה בתחום זכתה השיטה לכינוי ההומוריסטי "המשפט היסודי של הטרנסצנדנטיים" (על משקל המשפטים היסודיים של האלגברה, האריתמטיקה, החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ודומיהם).
הוכחה.
הוכחת הטרנסצנדנטיות של e המופיעה להלן מבוססת על הוכחה שניתנה על ידי דויד הילברט כפישוט של ההוכחה המקורית של הרמיט. ההוכחה עושה שימוש בכלים בסיסיים בחשבון אינפיניטסימלי בלבד.
נניח בשלילה כי e מספר אלגברי. לכן קיימים מספרים שלמים formula_1 כאשר formula_2 שונים מאפס (אם המקדם החופשי שווה אפס נחלק את המשוואה בחזקה של e כך שהמקדם החופשי יהיה שונה מאפס) ומקיימים:
נגדיר פונקציה:
k מספר טבעי שיוגדר בהמשך. נכפול את המשוואה ב-formula_5:
נשתמש באדיטיביות האינטגרל ונעביר אגפים כדי לקבל:
נסמן את אגף שמאל formula_8 ואת אגף ימין formula_9. לפי המשוואה מתקיים: formula_10, אולם נוכיח כי ל-k גדול מספיק formula_11 מספר שלם שונה מאפס בעוד formula_12 אינו כזה וכך נגיע לסתירה.
שלב ראשון.
formula_8 הוא סכום של איברים מהצורה formula_14. לכל formula_15 ל-formula_16 ונקבל (נשים לב כי הקבוע formula_17 מצטמצם):
נפתח סוגריים ונקבל סכום של אינטגרלים שהחזקה המינימלית של formula_19 בהם היא formula_20 וכל המקדמים שלמים:
מאינטגרציה בחלקים נובע formula_23 (זוהי תכונה ידועה של פונקציית גמא).
ולכן:
במקרה formula_25 מפתיחת סוגריים ומהפעלת שיקולים דומים נקבל (נשים לב כי במקרה הזה יש ל-formula_26 מקדם השווה למכפלת המקדמים החופשיים באינטגרנד):
כל formula_28 ראשוני הגדול מ-formula_29 ומ-formula_30 זר ל-formula_31. במקרה כזה:
והוכחנו כי formula_33 שלם השונה מאפס.
שלב שני.
נוכיח כי ל-k גדול מספיק formula_12 קטן בערכו המוחלט מ-1. נסמן:
נשים לב כי:
formula_37 ו-formula_38 פונקציות רציפות ולכן לפי משפט ויירשטראס הראשון קיימים חסמים formula_39 ו-formula_40 כך שלכל formula_41:
לפי אי שוויון המשולש האינטגרלי ותכונת המונוטוניות של אינטגרלים (לכל formula_44
לכן לפי אי-שוויון המשולש:
formula_45
נסמן:
נבחין בגבול הפשוט (פונקציית העצרת גדלה מהר יותר מפונקציה מעריכית):
ונסיק כי ל-k גדול מספיק:
שלב סופי.
נבחר formula_50 כך שהוא גדול מספיק וגם formula_51 ראשוני (אפשרי משום שקיימים אינסוף ראשוניים). לפי השלב הראשון formula_33 שלם שונה מאפס, כלומר formula_53. לעומת זאת לפי השלב השני formula_54 בסתירה לכך ש-formula_55.
לכן e אינו שורש של פולינום במקדמים שלמים ובהכרח מספר טרנסצנדנטי.
הפדאיון
יחסי ארצות הברית–טורקיה
יחסי ארצות הברית–טורקיה ידעו עליות ומורדות רבות מאז הקמתה של טורקיה המודרנית. לראשונה כוננו יחסים דיפלומטיים בין שתי המדינות בדצמבר 1943.
היסטוריה.
כינון היחסים.
היחסים בין טורקיה לארצות הברית, מוסדו לראשונה במסגרת ועידת קהיר השנייה בדצמבר 1943, בעיצומה של מלחמת העולם השנייה. בשל כך, טורקיה הצטרפה לאו"ם בצורה מהירה, ונמנתה מבין מייסדיו. במסגרת דוקטרינת טרומן, הוחלט במרץ 1947, על הענקת סיוע כלכלי לטורקיה, בנימוק שגורמים קומוניסטיים מנסים להשתלט על המדינה. במאי 1950, כאשר נבחר אדנאן מנדרס לראש ממשלה, הוא הדגיש את חשיבות חיזוק הקשרים עם ארצות הברית. בעקבות זאת, טורקיה בשנת 1950 השתתפה במלחמת קוריאה לצד ארצות הברית במסגרת כוחות האו"ם, ובשנת 1952, הצטרפה לברית נאט"ו.
בעקבות פלישת טורקיה לקפריסין, שנעשה בעזרת נשק שסופק על ידי ארצות הברית, הכריזה ארצות הברית על אמברגו נשק על טורקיה.
הידרדרות היחסים.
בתחילת שנות ה-2000, חלה הרעה ניכרת ביחסים בין המדינות, בעיקר בשל מלחמת המפרץ השנייה שניהלה ארצות הברית בשטחה של עיראק. טורקיה רואה את מלחמה זו כאיום משמעותי על ביטחונה, משום שאזור צפון עיראק משמש כיום לאזור מקלט למחתרת הכורדית (PKK). מלחמה זו הגדילה את הסיכויים שהכורדים יכריזו על עצמאות בצפון עיראק, ויתסיסו את המיעוט הכורדי בטורקיה.
בנוסף לכך, מערכת היחסים הרעועה בין ישראל לטורקיה, עוררה שאלות גם בממשל האמריקאי, וגם בין חברי המפלגה הרפובליקנית בסנאט. במהלך חודש אוגוסט 2010 הביעו סנאטורים רפובליקנים את התנגדותם למינויו של שגריר אמריקני חדש באנקרה, וזאת על רקע התייחסותה של טורקיה לתוכנית הגרעין האיראנית, ויחסי אנקרה-ירושלים. ב-13 באוגוסט 2010 כינסה מזכירת המדינה הילרי קלינטון ישיבה מיוחדת של בכירי מחלקת המדינה והמועצה לביטחון לאומי בבית הלבן, כדי לדון בעתיד יחסי ארצות הברית עם טורקיה. ב-15 באוגוסט דיווח ה-Financial Times כי הנשיא ברק אובמה העביר מסר לטורקים בו נאמר, כי אם לא ישנו את יחסם לישראל, עלול הדבר לפגוע בביצוע עסקאות ביטחוניות, בינם לבין ארצות הברית. דובר הבית הלבן הבהיר כי אמנם התקיימה שיחה בנושא בין אובמה לארדואן, אך אין מדובר בהצבת אולטימטום.
בפברואר 2013 התרחש פיגוע טרור בכניסה לשגרירות ארצות הברית בטורקיה.
במאי 2018 עברה שגרירות ארצות הברית בישראל לעיר ירושלים, כתוצאה מכך החזירה טורקיה את השגריר שלה מארצות הברית וחל ניתוק ביחסי המדינות. באוגוסט ארצות הברית וטורקיה הטילו סנקציות הדדיות בעקבות המשך מעצרו של הכומר האמריקני אנדרו ברנסון, כמו כן הסנאט האמריקאי הצביע לעכב את העברת מטוסי הF-35 לטורקיה.
ב-10 באוגוסט 2018 הכפילה ארצות הברית את המכס על פלדה המיובאת מטורקיה ל-50% ועל אלומיניום ל-20%, וכתוצאה מכך הלירה הטורקית צנחה ב-40% ביחס לדולר. בתגובה לכך פנה הנשיא ארדואן לעמו וביקש להמיר את הדולרים ואת הזהב ללירה טורקית. בעקבות צניחת הלירה הכריז ארדוואן ב-14 באוגוסט על החרמת מוצרים אלקטרוניים מארצות הברית. כמו כן אסר ארדואן על ייבוא טבק ופחם מארצות הברית.
ב-12 באוקטובר 2018 לאחר כשנתיים בהן שהה במעצר, קבע בית המשפט הטורקי כי ברנסון ישוחרר ויחזור לארצות הברית. על ברנסון נגזרו 3 שנות מאסר, אך אלה יקוזזו עם הזמן שכבר ישב בכלא. בכלי התקשורת פורסם כי טורקיה נענתה להסכם עם ארצות הברית בתמורה לכך שממשל טראמפ יקל בסנקציות הכלכליות שהטיל על המדינה, חלקן המכריע בתגובה למעצר והסירוב של טורקיה לשחרר את ברנסון.
ב-24 באפריל 2021, יום הזיכרון לרצח העם הארמני, הנשיא ג'ו ביידן התייחס לטבח הארמנים תחצ שלטון האימפריה העות'מאנית ב-1915 כ"רצח עם" בהצהרה שפרסם הבית הלבן. טורקיה דחתה את ההצהרה.
באוקטובר 2021 איימה טורקיה לגרש את שגריר ארצות הברית בעקבות תמיכתו בשחרור עות'מאן קבאלה, שהשתתף בניסיון ההפיכה בטורקיה מהכלא הטורקי.
לאור הפלישה הרוסית לאוקראינה, יחסי אוקראינה–טורקיה ויחסי טורקיה–רוסיה, עלו מחלוקות בין ארצות הברית וטורקיה על יחסה של טורקיה לרוסיה, במקביל לניסיונות לשיתוף פעולה בין המדינות
יחסי החוץ של טורקיה
מאז נפילת האימפריה העות'מאנית בעיצומה של מלחמת העולם הראשונה, ידעו יחסי החוץ של טורקיה עליות ומורדות – ביחסיה עם שכנותיה, עם המעצמות, עם שאר מדינות העולם ועם גופים בינלאומיים. כאימפריה לשעבר, שאפה טורקיה לחזור למעמדה הקודם כמעצמה אזורית, ולהבטיח לעצמה ריבונות ביטחונית וכלכלית רבה ככל האפשר.
היסטוריה.
מבחינה היסטורית, יחסי החוץ של האימפריה העות'מאנית ומאוחר יותר טורקיה איזנו את המעצמות האזוריות והעולמיות זו מול זו, ויצרו בריתות שהגנו בצורה הטובה ביותר על האינטרסים של המשטר המכהן. ברית המועצות מילאה תפקיד מרכזי באספקת נשק ובמימון מפלגתו של מוסטפא כמאל אטאטורק במהלך מלחמת העצמאות הטורקית, אך טורקיה הייתה בבידוד בינלאומי יחסי בתקופת הרפורמות של אטאטורק בשנות ה-20 וה-30 של המאה ב-20. ועידות בינלאומיות העניקו לטורקיה שליטה מלאה במיצרים האסטרטגיים המקשרים בין הים השחור לים התיכון, באמצעות הסכם לוזאן בשנת 1923 ואמנת מונטרה בשנת 1936.
בסוף שנות ה-30 גרמניה הנאצית עשתה מאמץ גדול לקדם תעמולה אנטי-סובייטית בטורקיה והפעילה לחץ כלכלי. בריטניה וצרפת, להוטות לתמרן את גרמניה, ניהלו משא ומתן על הסכם משולש בשנת 1939. הם נתנו לטורקיה קו אשראי לרכישת חומרי מלחמה מהמערב והלוואה כדי להקל על רכישת סחורות. טורקיה שחשש מגרמניה וברית המועצות, שמרה על נייטרליות בזמן מלחמת העולם השנייה. היא מכרה כרום - מתכת החשובה לצורכי לחימה חשוב - לשני הצדדים. עד 1944 היה ברור שגרמניה תובס ומכירות הכרום לגרמניה נפסקו.
לאחר מלחמת העולם השנייה טורקיה חיפשה קשרים הדוקים יותר עם מעצמות המערב. היא הפכה לחברה מייסדת של האו"ם בשנת 1945, למקבלת סיוע בתוכנית מרשל ולחברה בנאט"ו ב-1952. יחסי האיחוד האירופי-טורקיה התחממו בתקופת המלחמה הקרה ובתקופה שלאחר המלחמה הקרה גיוון היחסים, עם טורקיה, ברגעים שונים, המבקשים לחזק את הנוכחות האזורית שלה בבלקן, במזרח התיכון ובקווקז, כמו גם נקיטת צעדים לקראת חברות באיחוד האירופי.