הנוסחאות המוכרות לפתרון משוואה ממעלה שנייה מציגות את הפתרון על ידי פעולות השדה, והוצאת שורש ריבועי. קיימות נוסחאות דומות (אך מסובכות יותר) עבור משוואה ממעלה שלישית ומשוואה ממעלה רביעית. תורת גלואה פותחה בניסיון להראות שמשוואה ממעלה חמישית או יותר לא תמיד ניתן לפתור על ידי סדרה סופית של פעולות אריתמטיות והוצאות שורש. בעזרת התורה הזו מראים גם את אי-הפתירות של הבעיות הגאומטריות של ימי קדם.
הרחבות של שדות.
אם formula_1 הוא תת-שדה של formula_2 (כלומר, תת-קבוצה סגורה לחיבור וכפל ולהיפוך, שהיא לכן שדה בפני עצמה), אז formula_2 הוא מרחב וקטורי מעל formula_1 ולכן יש לו ממד. קוראים ל-formula_2 הרחבה של formula_1. איבר של formula_2 הוא איבר אלגברי (מעל formula_1) אם הוא מהווה שורש של פולינום בעל מקדמים ב-formula_1, ואיבר טרנסצנדנטי אחרת. ההרחבה היא אלגברית אם כל איברי formula_2 אלגבריים. כל הרחבה מממד סופי היא אלגברית, אבל ההפך אינו נכון. אם formula_2 מתקבל על ידי הוספת שורש של פולינום אי פריק בעל מקדמים ב-formula_1, אז ההרחבה נקראת הרחבה אלגברית פשוטה, והממד שלה שווה למעלת הפולינום.
חבורת גלואה ושדות פיצול.
האובייקט המרכזי של תורת גלואה הוא חבורת גלואה של הרחבת שדות. זוהי חבורה, שאיבריה הם האוטומורפיזמים של השדה הגדול השומרים על אברי השדה הקטן. גודלה של חבורת גלואה של ההרחבה formula_13 חסום על ידי הממד של formula_2 מעל formula_1 (הלמה של ארטין). שוויון מתקבל אם ורק אם formula_2 הוא שדה פיצול של פולינום ספרבילי מעל השדה formula_1. כאשר זה המצב, ההרחבה נקראת הרחבת גלואה.
כל הרחבת גלואה מממד סופי היא שדה פיצול של פולינום ספרבילי אי פריק מעל formula_1. במקרה כזה, חבורת גלואה של ההרחבה פועלת באופן טרנזיטיבי על אוסף השורשים של הפולינום. כך אפשר לראות אותה כתת חבורה טרנזיטיבית של החבורה הסימטרית מסדר formula_19, כאשר formula_19 הוא מעלת הפולינום.
המשפט היסודי של תורת גלואה קובע שאם formula_13 הרחבת גלואה, אז ישנה התאמה הופכת הכלה בין הרחבות הביניים (תת-השדות של formula_2 המכילים את formula_1), לבין תת-החבורות של חבורת גלואה formula_24. בפרט נובע מכך שבכל הרחבה ספרבילית מממד סופי של שדות, יש רק מספר סופי של הרחבות ביניים. מכאן ניתן להראות שכל הרחבה ספרבילית מממד סופי של שדה אינסופי היא פשוטה.
הרחבות רדיקליות ופתירות.
הרחבה של שדה על ידי הוספת שורש formula_25-י של איבר נקראת הרחבה רדיקלית. אם השדה בעל מאפיין זר ל-formula_25, והוא מכיל את כל שורשי היחידה מסדר formula_25, אז כל הרחבה כזו היא הרחבה ציקלית של שדות, כלומר הרחבת גלואה עם חבורת גלואה ציקלית, ולהפך - כל הרחבת גלואה ציקלית היא הרחבה רדיקלית. תכונה זו מקנה לשורשי היחידה תפקיד חשוב בתורת גלואה; שורשים אלה נחקרים באמצעות הפולינום הציקלוטומי.
אפשר להציג איבר על ידי סדרה סופית של פעולות בשדה והוצאות שורש, רק כאשר הוא שייך לשדה הרחבה של formula_1, שהתקבל על ידי שרשרת של הרחבות רדיקליות. אם אפשר להציג שורש של פולינום באופן כזה, אומרים שהפולינום ניתן לפתרון על ידי רדיקלים.
יהי formula_1 שדה (בעל מאפיין זר ל-formula_19) המכיל את כל שורשי יחידה מסדר n, ויהי f פולינום ממעלה formula_19 בעל מקדמים ב-formula_1. נסמן ב-formula_2 את שדה הפיצול של formula_34 מעל formula_1. מן המשפט היסודי של תורת גלואה נובע ש-formula_34 ניתן לפתרון על ידי רדיקלים אם ורק אם חבורת גלואה של formula_13 היא חבורה פתירה. מכיוון שהחבורה הסימטרית ממעלה חמש או יותר אינה פתירה (ומכיוון שאפשר לבנות פולינומים ממעלה formula_38 מעל שדה המספרים הרציונליים, שחבורת גלואה של שדה הפיצול שלהם היא החבורה הסימטרית כולה), לא ניתן לפתור את הפולינום הכללי ממעלה חמש או יותר על ידי רדיקלים.
מטריאליזם
מטריאליזם (בעברית: חוֹמרנוּת) היא גישה פילוסופית אשר רואה בחומר את המציאות היחידה הקיימת, המרכיבה ומפעילה את היקום. זו גישה מנוגדת לרוחניות הרואה את היקום כמורכב גם מישויות רוחניות ולאידיאליזם הרואה בחומר עצמו רק אידיאה או מושג (concept).
הדוגל בהשקפה הפילוסופית הזאת מכונה מטריאליסט. הלשונאי והבלשן יצחק אבינרי הציע תחת המילה מטריאליסט את המילה גשמתן.
המטריאליזם ביוון העתיקה.
למטריאליזם ולפילוסופיה המערבית יש שורשים שווים. הפילוסופים המכונים פרה-סוקרטים והנחשבים למייסדי הפילוסופיה המערבית, היו ביסודם מטריאליסטים. הם ראו את העולם כמורכב מאחד או משילוב של חלק או של כל ארבעת החומרים הבראשיתיים - מים, אדמה, אש ואוויר. אחד מהם היה האטומיסט דמוקריטוס שטען שכל הקיים מורכב מחלקיקים קטנים ובלתי ניתנים לחלוקה - אטומים - וזה כולל את האדם עצמו. בין האטומים קיים ריק בלבד. אפילו הנפש או רוח האדם מורכבת מאטומים קטנים וחלקים החודרים לתוך גוף האדם ונותנים לו חיים. מכאן שדמוקריטוס שלל קיום כל ישות שאינה חומרית.
פילוסוף מטריאליסטי יווני נוסף היה אפיקורוס (EPICURUS) שחי במאות 4-3 לפנה"ס. הוא טען שקיימים "גופים" וביניהם ריק. הגופים יכולים להיות מורכבים או פשוטים, כמו למשל האטומים. היות שהמרחב הוא אינסופי גם כמות האטומים היא אינסופית. האטומים הללו נעים ומתנגשים ביניהם ומהתנגשויות אלו נוצרים הגופים המורכבים השונים. אפיקורוס אינו שולל את מציאות הנפש אך טוען שגם היא חומרית, מורכבת מתערובת של אד מיוחד וחום המרחף בין אטומי הגוף. מתוך הגופים נפלטים אטומים הפוגעים באברי החישה שלנו וגורמים לרשמי החושים כמו ראייה או שמיעה. עם מותו של הגוף, לטענתו, האטומים נפרדים ואדי הנפש נעלמים.
פילוסוף אחר, הרקליטוס אמר: "כל דבר קיים ואינו קיים היות שכל דבר הוא בזרימה מתמדת, בשינוי מתמיד, נוצר וחולף". על כן פילוסופים אלו היו לא רק מייסדי המטריאליזם אלא גם מבשרי המטריאליזם הדיאלקטי (ראו בהמשך).
המטריאליזם ברומא העתיקה.
הנציג הבולט של המטריאליזם הרומי הוא הפילוסוף והמשורר לוקרטיוס שחי במאה הראשונה לפני הספירה. כמתנגד חריף לאמונה באלים, הוא ביסס את המטריאליזם שלו כהנגדה לדת. לדבריו, הסדר בעולם הוא מקרי היות שהאטומים יכולים להתנגש ביניהם וליצור גופים לפי אין ספור אפשרויות של סדר. הוא האמין בקיום נפש ורוח האדם אך בכך שאלו הם גופים חומריים המורכבים מסוג מיוחד של אטומים קטנים ובעלי תנועתיות רבה ביותר. התחושות הן רק גירויים של אטומים קיימים אלו ולא אטומים המגיעים מבחוץ כפי שטען אפיקורוס.
המטריאליזם בימי הרנסאנס.
הנצרות שהשתלטה על אירופה, התנגדה נמרצות לכל גישה מטריאליסטית ואף ראתה במטריאליזם סוג של כפירה. גישות מטריאליסטיות חזרו שוב רק לאחר ימי הביניים, בזמן הרנסאנס. נציג בולט היה ג'ורדנו ברונו שטען שהחומר הוא היחיד היכול לייצר צורות וצורות אלו מחזיקות בתוכן את כל הקיים. מכאן נובע שהחומר הוא הטבע וכל הקיים והחי בו.
המטריאליזם הקלאסי.
התפתחותו הקלאסית והמודרנית של המושג "מטריאליזם" החלה במאה ה-18 עם ההשכלה באירופה. מבשריו היו שניים: האחד היה הרופא והפילוסוף הצרפתי דה לה מטרי (DE LA METTRIE) (1709-1751) אשר בספריו ובמיוחד בספרו "האדם-מכונה" שלל כל קיום של נפש ורוח לא גשמיות וראה באדם מכונה מכנית וחומרית בלבד. גם אם דברים אלו קיימים, לטענתו, הם רק חלק מתכונות החומר שמרכיב את הגוף והם מתים ונעלמים עם מות הגוף. מבשר אחר היה הברון ד'אולבאק (1723-1789), פילוסוף ואנציקלופדיסט גרמני שחי בפריס, הידוע בדעותיו האתאיסטיות הקיצוניות לזמנן. בספרו הידוע "SYSTEM OF NATURE" הוא טוען שלא קיים דבר מעבר לטבע פרט ליצירות דמיון (כולל האל). האדם הוא חלק מהטבע ועל כן תכונותיו הרוחניות והמוסריות אינן תלויות בנשמה או נפש (שהן יצירי דמיון, כאמור) אלא בארגון חומרי, פנימי, של הטבע כמערכת כללית ומורכבת. הפילוסופים הגרמנים של אותה תקופה יצאו נגד מטריאליזם קיצוני זה. לייבניץ תקף את המטריאליזם אך טענותיו הן בתחום הספיריטואליזם ואינן מעוררות אמינות. המתנגד החשוב ביותר למטריאליזם היה קאנט אשר הביא את הטיעון האידיאליסטי הבא: "אנו מודעים לחומר רק דרך הכרתנו. מכאן שהחומר אינו יכול להיות הסיבה להכרה (היות שהוא התוצאה) וההכרה (נפש, נשמה), כסיבה, קיימת בהכרח". המטריאליסטים תקפו טיעון זה בחריפות: "אם החומר הוא יצירת ההכרה והנפש בלבד, אזי אין קיום לחומר מחוץ להכרה. החומר, בהיותו תוצאה, אינו יכול להשפיע בשום צורה על הסיבה, דהיינו על ההכרה. מכאן שכל המתרחש בחומר עצמו (למשל, תנועה) גם הוא נובע מההכרה. המסקנה תהיה שלחומר אין שום משמעות וכאילו אינו קיים כלל". זו מסקנה אבסורדית ועל כן שוללת את הטיעון האידיאליסטי של קאנט (גם אצל האידיאליסטים, שלילת החומר היא אבסורדית). תומכי קאנט טענו שב"הכרה" קאנט אינו מתכוון לנפש או נשמה אלא לחשיבה והגיון. רק החשיבה וההגיון יכולים להביא את מציאות ותכונות החומר להכרתנו ומכאן שמגוחך לטעון שקאנט אינו מכיר בחומר. בשביל קאנט ההכרה (הנפש) היא רק כלי סובייקטיבי של ההבנה וסידור ניסיון החיים שלנו במוחנו. נצחיות הנפש אינה אלא מעבר תוצאות ההגיון, החשיבה והניסיון שלנו לדורות הבאים (דבר שגם המטריאליסטים היו מוכנים להסכים לו).