האלגוריתם, אם קיים כזה, אמור לקבל משוואה, כדוגמת formula_1 או formula_2, ולקבוע בתוך זמן סופי האם קיים לה פתרון במספרים שלמים.
כשהילברט הציג את הבעיה, ב-1900, הוא ביקש למצוא את האלגוריתם המדובר. הרעיון שייתכן שאין אלגוריתם כזה, ועוד יותר מכך, הרעיון שאפשר להוכיח שהאלגוריתם אינו קיים, היה בלתי נתפס. רק בשנות השלושים של המאה ה-20, לאחר עבודתו של גדל, החלו לשקול ברצינות גם את האפשרות הזו.
הניסיונות לפתור את הבעיה הביאו להולדתה של תורת החישוביות, ובסופו של דבר, ב-1970, הוכיח יורי מאטיאשביץ' שהתשובה היא שלילית: האלגוריתם המבוקש אינו קיים.
כמו בכל בעיה אחרת שהציג הילברט, מתמטיקאים רבים עסקו בבעיה זו עד שנפתרה (ונראה שרבים עוד יותר עוסקים ברעיונות שהבעיה הולידה, גם אחרי שנפתרה). עם זאת, במסע לפתרון הבעיה העשירית נקשרו בעיקר ארבעה שמות.
הצעד הראשון: הקשר לחישוביות.
ב-1950 כתב מרטין דייוויס את תזת הדוקטורט שלו בהנחייתו של אלונזו צ'רץ', ובה עסק ברעיון של "הצגה דיופנטית" של קבוצה, והעלה את הרעיון שהוביל בסופו של דבר לפתרון הבעיה העשירית של הילברט. הקבוצות שאנו עוסקים בהן כאן הן כולן קבוצות של מספרים טבעיים.
כבר ב-1936 גילו צ'רץ', אלן טיורינג ואמיל פוסט שקיימות קבוצות הניתנות למנייה חישובית, אבל אינן חישוביות (כלומר, קיים עבורן אלגוריתם המזהה איברים של הקבוצה, אבל לא קיים אלגוריתם שגם מזהה איברים של הקבוצה, וגם מזהה אל-נכון איברים שאינם בקבוצה). קבוצה כזו אפשר לבנות מתוך העובדה שבעיית העצירה למכונות טיורינג אינה ניתנת לחישוב. (ב-1944 העיר פוסט שלבעיה העשירית צריך להיות פתרון שלילי).
דייוויס הציע להתבונן בקבוצות שניתנות ל"הצגה דיופנטית". קבוצה כזו היא קבוצת כל המספרים הטבעיים a שעבורם קיים פתרון למשוואה הדיופנטית הפולינומית formula_3. כל פולינום P במקדמים שלמים קובע הצגה דיופנטית של קבוצה: הקבוצה מורכבת מן הרכיב הראשון בכל פתרון formula_4 של הפולינום P.
ההבחנה החשובה של דייוויס היא שכל קבוצה בעלת הצגה דיופנטית בהכרח גם ניתנת למנייה חישובית (ההוכחה מבוססת על העובדה שהקבוצה formula_5 בת מנייה). דייוויס העלה את ההשערה שגם הכיוון ההפוך נכון: שלכל קבוצה הניתנת למנייה חישובית, אפשר למצוא הצגה דיופנטית.
נשארה עוד פיסה אחת להשלמת התמונה: האלגוריתם של הילברט, אם קיים כזה, מראה שקבוצה B בעלת הצגה דיופנטית היא תמיד חישובית. אם הקבוצה מוצגת על ידי המשוואה P, האלגוריתם ההיפותטי של הילברט יכול להתבונן במשוואה formula_6, ולהכריע - לכל ערך נתון של b - האם יש לה פתרון במשתנים formula_7. בכך האלגוריתם מכריע האם b שייך לקבוצה B או לא, ומכאן ש- B חישובית.
סיכום ביניים.
פגשנו שלושה סוגים חשובים של קבוצות: ניתנות להצגה דיופנטית, ניתנות למנייה חישובית, וחישוביות. ברור שכל קבוצה חישובית, ניתנת למנייה חישובית (פשוט משום שזהו תנאי חלש יותר), וגם שכל קבוצה הניתנת להצגה דיופנטית היא ניתנת למנייה חישובית (ההבחנה של דייוויס).
כעת, דייוויס שיער שכל קבוצה ניתנת למנייה חישובית היא גם ניתנת להצגה דיופנטית. האלגוריתם של הילברט מראה במקרה כזה שהקבוצה היא חישובית. אלא שמן הדוגמה של טיורינג ושותפיו אנו יודעים ש"לא כל קבוצה הניתנת למנייה חישובית היא חישובית". אם כך, מן ההשערה של דייוויס נובע שהאלגוריתם שביקש הילברט אינו קיים.
הצעד השני: הצגות דיופנטיות.
את המושגים שפגשנו קודם לכן אפשר להכליל לקבוצות של זוגות או שלשות של מספרים. למשל, קבוצת זוגות A ניתנת להצגה דיופנטית אם עבור פולינום P במקדמים שלמים, קיים פתרון למשוואה formula_8 אם ורק אם הזוג הסדור formula_9 שייך ל- A. ההכללה הפשוטה הזו מאפשרת לדון בהצגות דיופנטיות של "משוואות", במקום קבוצות. אפשר 'לקודד' משוואה כדוגמת formula_10 בקבוצה formula_11, ולומר שהמשוואה ניתנת להצגה (פולינומית) דיופנטית אם ורק אם הקבוצה מקיימת תכונה זו.
נזכיר שדייוויס שיער כי כל קבוצה הניתנת למנייה חישובית, אפשר להציג דיופנטית.
ב-1952 תקפה ג'וליה רובינסון את הבעיה 'מלמטה', על ידי בחינה של דוגמאות מוכרות של קבוצות הניתנות למנייה חישובית. בפרט היא ניסתה למצוא הצגות דיופנטיות למשוואות formula_12 (פונקציית החזקה), formula_13 (פונקציית העצרת), ולקבוצת המספרים הראשוניים. משימה זו לא צלחה בידה, אולם היא הצליחה להוכיח שניתן יהיה למצוא הצגה דיופנטית לכל המשוואות (או הקבוצות האלה), ברגע שתימצא הצגה דיופנטית ולו לפונקציה אחת הגדלה בקצב מעריכי. לימים הייתה רובינסון, שזכתה במלגת מק'ארתור, המתמטיקאית הראשונה שנבחרה לאקדמיה הלאומית למדעים של ארצות הברית, והנשיאה האישה הראשונה של החברה האמריקאית למתמטיקה.
הצעד השלישי: הצגות דיופנטיות מעריכיות.
ב-1962 הראו דייוויס, רובינסון והילרי פטנאם שכל קבוצה הניתנת למנייה חישובית אפשר להציג על ידי פונקציה דיופנטית שהיא 'פולינום מעריכי' (כלומר, הפונקציה מערבת את הפעולות הרגילות של חיבור, חיסור וכפל, אבל גם פעולות העלאה בחזקה). תוצאה זו חלשה יותר מן ההשערה של דייוויס, שבה נדרשת דווקא הצגה על ידי פולינום.
הצעד הרביעי והאחרון: הצגה דיופנטית של משוואות מעריכיות.
לאור התוצאות הקודמות של רובינסון, נשאר להציג פונקציה מעריכית אחת. מכאן ייצא שאפשר להציג פולינומית את כל הפונקציות המעריכיות, ובעזרת אלה אנו יודעים כבר שאפשר להציג כל קבוצה הניתנת למנייה חישובית. כך יתקבל אישור להשערת דייוויס, שכל קבוצה הניתנת למנייה חישובית אפשר להציג על ידי פולינום דיופנטי, ואם נציג קבוצה שאינה חישובית נקבל מיד שהאלגוריתם שביקש הילברט לא יכול להתקיים.
המכה בפטיש היה יורי מאטיאשביץ', שהוכיח ב-1972 כי המשוואה formula_14 ניתנת להצגה דיופנטית פולינומית. כאן formula_15 הם המספרים בסדרת פיבונאצ'י, שגדלה כידוע בקצב מעריכי. מסקנה: לא קיים אלגוריתם שיכריע בשאלת הפתירות של משוואה דיופנטית.
הכללות.
מן העבודה של מאטיאשביץ' נובע כאמור שכל קבוצת מספרים הניתנת למנייה חישובית אפשר להציג באמצעות פולינום דיופנטי. בעבודות אחרות, בעיקר שלו ושל רובינסון, נקבעו חסמים על הגודל של הפולינום הדרוש. כך למשל אפשר תמיד להסתפק בפולינום בתשעה נעלמים (שמעלתו עשויה להמריא עד ל-formula_16). מן העבר השני אפשר להסתפק בפולינום ממעלה 4, אלא שאז נדרשים עד 58 נעלמים.
לשאלתו המקורית של הילברט, האם קיים אלגוריתם שיכריע בשאלת קיום פתרון בשלמים למשוואה פולינומית במקדמים שלמים, התשובה היא אם כן שלילית. את אותה שאלה אפשר לשאול גם על חוגים אחרים: בהינתן חוג קומוטטיבי R (עם הצגה אלגוריתמית של תת-קבוצה גדולה מספיק), האם אפשר להכריע בשאלת הקיום של פתרון ב-R למערכת משוואות שמקדמיהן ב-R?
היום ידוע, למשל, שאין אלגוריתם שיכריע לאלו משוואות דיופנטיות יש פתרון מעל:
מאידך, קיים אלגוריתם הכרעה לבעיות דומות מעל:
אלא שזה אינו סוף הסיפור. עדיין לא ידוע אם יש אלגוריתם הכרעה בכמה מקרים חשובים אחרים:
סטייה חברתית
סטייה חברתית היא התנהגות לא קונפורמית. הקביעה איזו התנהגות יש להגדיר כסוטה, אינה מובנת מאליה עקב היותה משתנה מתרבות לתרבות. עם זאת, היא מסתובבת תמיד סביב הפרת כללי תרבות נורמטיביים או מוסריים.
תפיסות ביחס לסטייה.
האסכולה הפוזיטיביסטית טוענת שהסטייה היא ישות אובייקטיבית. קיימת הפרדה מוחלטת בין עבריין לשומר חוק. כלומר, חלק מבני האדם נולדים עם מטען גנטי שהופך אותם לעבריינים.
גישתו של אדווין סאת'רלנד ("ההתחברות הדיפרנציאלית") מציגה עמדה שונה: העבריינות היא תופעה נלמדת. סטייה נוצרת כאשר הלחץ לכיוון הפרת החוק חזק יותר מהגורמים המעודדים שמירה על החוק.
לדעת הנומינליסטים, ההתנהגות האנושית היא תחום מיוחד שאי אפשר לחקור בדרכים בהן חוקרים תופעות בטבע. לסטייה אין משמעות אובייקטיבית, אלא כזו המבוססת על מחשבות ורגשות. הסוטה הוא אדם שהדבקנו לו סטיגמה של סוטה, וסטייה היא התנהגות שהוגדרה על ידי החברה כהתנהגות סוטה.
לפי התפיסה הלגליסטית הנורמה היא החוק, והסטייה היא הפרה של חוק. במילים אחרות, הסטייה נקבעת על ידי נורמות מקומיות ולכן תהיה שונה ממקום למקום.
לטענת המודל הרפואי, הסוטה סובל מפתולוגיה. יש לו סימפטומים של מחלה, ולכן יש לטפל בו. תאוריה המבוססת על המודל הרפואי היא התאוריה הפסיכואנליטית של פרויד.
יחסיות הסטייה.
סטייה היא מושג יחסי, קשה לקבוע תקנים או אמות מידה מוחלטות ביחס אליה:
התנהגות שהיא בבחינת סטייה בחברה מסוימת אינה בהכרח סטייה בחברה אחרת. קיימות אומנם מצוות אוניברסליות התופסות בכל חברה (הריגת אדם, פגיעה חמורה בסדר החברתי), אולם גם לגביהן יש הבדלים בולטים בין חברה לחברה, (בדואים, מוסלמים, יהדות) ואף בתוך חברה אחת במצבים שונים למשל הבדל בין מצבי שלום ומלחמה (בזמן מלחמה פגיעה בלוחם המוגדר כאויב היא מעשה לגיטימי). כלומר, כדי לקבוע אם נטילת חיים היא בבחינת סטייה, יש להשיב תחילה על כמה שאלות: מי נהרג, באילו נסיבות, על ידי מי ומדוע.
חז"ל הגדירו הגנה עצמית: "(אם) בא להרגך – השכם להורגו". יש חברות שנורמות ההתנהגות שלהן מחייבות הריגה על רקע "גאולת דם", "חילול כבוד המשפחה" וכדומה. חברות רבות מטילות עונש מוות על עבירות פליליות מסוימות, ומעניקות לבית משפט סמכות להחליט על ביצוע ההוראה להרוג בשם הצדק וטובת החברה.
הריגת אדם אינה תמיד התנהגות סוטה הכרוכה בסנקציות. יחסיות סטייה בולטת על רקע ההבדל בין מערכות חברתיות־נורמטיביות שונות וגם על רקע תהליכי שינוי העוברים על חברה מסוימת אחת, התנהגות סוטה בתקופה אחת יכולה להיות לגיטימית בתקופה אחרת.