יתרונות של פירוק LU על פני חישובים אחרים הוא סיבוכיות קטנה (בהיבט הקבוע) ביחס לפירוקים אחרים כגון SVD ו-QR, היתרון שניתן לחשב אותו "In place" (מבלי לבצע הקצאות זיכרון למטריצות נוספות). יתרון חשוב נוסף הוא שהפירוק יעיל מאוד כשהוא מופעל על מטריצות דלילות. תהליך ה Pivoting מאפשר ליצור אזורים גדולים של אפסים, כך שבאופן תאורטי הסיבוכיות תלויה רק במספר האיברים שאינם אפס, בניגוד לגודל המטריצה.
במקרה המיוחד שבו המטריצה formula_6 היא הרמיטית מוגדרת חיובית אפשר לפרק אותה באופן הבא:
פירוק זה נקרא "פירוק שולסקי".
קווקרים
המעגל עם דן שילון
אוברנה
אוֹבֶרְנֵה (בצרפתית: Obernai, באלזסית: Owernah, בגרמנית: Oberehnheim) היא עיירה וקומונה במחוז בא-רן בחבל גראנד אסט הצרפתי, בה חיים כ-10,000 נפשות.
גאוגרפיה.
אוברנה ממוקמת כ-25 קילומטר מדרום-מערב לשטרסבורג וכ-30 קילומטר מהגבול עם גרמניה, לרגלי הרי הווז' במישור אלזס. בעיר עובר נהר האן שנשפך אל נהר איל.
דמוגרפיה.
בשנת 1793 מנתה אוכלוסיית אוברנה 6,382 נפשות. לאחר המהפכה הצרפתית קטנה האוכלוסייה במעט והגיעה עד 5,185 נפשות בשנת 1866. בעקבות הכיבוש הגרמני אוברנה המשיכה לקטון והגיעה עד 3,787 נפשות בשנת 1921. במחצית השנייה של המאה ה-20 חלה תמורה בגודל האוכלוסייה באוברנה וזו עלתה בהדרגתיות עד 11,009 נפשות בשנת 2006 במפקד האחרון (2011) מנתה אוברנה 10,689 נפשות.
היסטוריה.
ימי קדם.
האזור בו שוכנת אוברנה היה במאה השביעית תחת שלטונו של דוכס אלזס ובעיר נולדה סנט-אודיל, פטרוניתה של אלזס. בכתובים מופיעה אוברנה לראשונה ב-778 כעיר בשליטתו של מנזר הוהנבורג (Hohenbourg).
ימי הביניים.
בית הוהנשטאופן (Hohenstaufen) בנו ארמון באוברנה בסוף המאה האחת עשרה. במאה ה-12, תחת שלטון האימפריה הרומית הקדושה, העיר הייתה בתנופת בנייה של מוסדות דת, ובהם כנסייה. ב-1240 קיבלה העיר מעמד של עיר קיסרית חופשית וב-1354 הצטרפה לדקאפול של אלזס. כעיר קיסרית חופשית הייתה כפופה ישירות לקיסר האימפריה והתנהלה בעצמה: גבתה מיסים, קיימה מערכת משפטית, וכדומה.
בעקבות חשיבותה, פרדיננד הראשון, קיסר האימפריה הרומית הקדושה, הגיע אליה במהלך המאה ה-16, והקיסרות ביצרה את העיר, כך שבסוף ימי הביניים הייתה העיר מוקפת בחומה כפולה עם 38 מגדלים. מלחמת שלושים השנים הביאה על העיר הרס רב. במהלך המלחמה עברה העיר ידיים רבות, אך בסיום המלחמה היא הועברה ללואי הארבעה עשר, מלך צרפת, כמו אלזס כולה.
בעקבות שלום וסטפליה ולאחר מכן הסכמי ניימכן, איבדה העיר ב-1679 את מעמדה כעיר חופשית של האימפריה הרומית הקדושה, והפכה לעיר של ממלכת צרפת.
העת החדשה.
העיר עברה את התהפוכות שעברו על אלזס כולה, היא נכבשה על ידי גרמניה ב-1871 והייתה עיר גרמנית עד שבשנת 1919 נחתם חוזה ורסאי לפיו כל השטחים שנכבשו על ידי הקיסרות הגרמנית הוחזרו לצרפת (סעיף 51). בשנת 1940 נכבשה אלזס שוב על ידי גרמניה הנאצית וסופחה לרייך השלישי. לאחר סיום מלחמת העולם השנייה סופחה אלזס שוב לצרפת. במחצית השנייה של המאה ה-20 גדלה אוברנה ומספר התושבים, שהיה עד אז רק אלפים בודדים, עלה לכ-10,000 נפשות.
כלכלה.
אוברנה היא מרכז גדול לייצור יין ובירה, היא מוקפת כרמים ויש בה ובסביבתה מספר רב של יקבי בוטיק. היין העתיק המוכר של העיר נקרא "יין האקדחים". אוברנה היא חלק מדרך היין של אלזס ועל כן היא מוקד משיכה תיירותי אליו נוהרים מאות אלפי תיירים מדי שנה.
הבירה הצרפתית המפורסמת קרוננבורג 1664 מיוצרת באוברנה.
יהדות אוברנה.
יהדות אוברנה היא חלק מיהדות אלזס, קהילה אשכנזית עתיקה מאוד. משערים שראשוני המתיישבים היהודים הגיעו לאזור במאה ה-5 לספירה. ניתן למצוא עדויות ראשונות לקיומה של קהילה יהודית באלזס החל מ-המאה ה-10, נמצאו אזכורים לנוכחות יהודים ברישומים של כפרים ועיירות מתקופה זו וכן כתובות בעלות אופי יהודי החקוקות על בתים, אבני מצבות ועוד.
מצבם של יהודי אוברנה בימי הביניים היה דומה למצבם של שאר יהודי אירופה. היהודים נודו ממרכזי ההשפעה והחברה וזכויותיהם החברתיות צומצמו. נמנעה מיהודים הזכות להצטרף לגילדות המקצועיות, וכתוצאה מכך לא יכלו לעסוק ברוב המקצועות החופשיים. נוסף על כך, נאסר על יהודים לרכוש נכסים וקרקעות. בנוסף, נאסר עליהם להעסיק שכירים נוצריים וגם העיסוק בחקלאות נאסר עליהם.
הנוכחות היהודית באוברנה תועדה לראשונה בשנת 1215. היהודים גורשו מאוברנה מספר פעמים במהלך ימי הביניים. בשנת 1348 גורשו היהודים לאחר התפשטות השמועה על כך שהם גרמו למגפת המוות השחור. החל משנת 1404 יהודים החלו להתיישב שוב באוברנה, יהודים אלה עסקו בעיקר בסחר חליפין למחייתם. בין השנים 1477 ל-1499 לא חיו יהודים בעיר. היהודים חזרו לעיר בשנת 1500.
בסוף המאה ה-16 היהודים גורשו שוב מהעיר, אך לאחר מספר שנים החלו לחזור אליה בחשאי. בשנת 1694 איש הדת של העיר ביקש לגרש את היהודים אך המושל התנגד לכך ולא איפשר את גרושם. בנוסף, איפשר המושל ליהודים לקנות בתים בעיר. בשנת 1696 קיבלו מספר משפחות יהודיות אזרחות בעיר בפעם הראשונה. בית הכנסת של אוברנה נחנך בשנת 1752. עד היום נותרו באוברנה כתובות וסמלים יהודיים מימי הביניים חרוטים באבן.
באוברנה נולד ההוגה היהודי אנדרה נהר.
סופיה קובלבסקיה
סופיה וסילייבנה קובלבסקיה (ברוסית: Со́фья Васи́льевна Ковале́вская;
15 בינואר 1850 - 10 בפברואר 1891) הייתה מתמטיקאית, סופרת, מחזאית ומשוררת ממוצא רוסי, שהתגוררה בבגרותה בגרמניה ובשוודיה. הייתה אחת הנשים הראשונות שעסקו במתמטיקה ברוסיה ותרמה רבות בתחומי האנליזה, משוואות דיפרנציאליות ומכניקה. היא הייתה האישה הראשונה שמונתה לפרופסור למתמטיקה, ובין הנשים הראשונות שעבדו בכתב עת מדעי כעורכת.
קיימים מספר איותים לועזיים לשמה. היא בעצמה השתמשה בשם "קובלבסקי" ("Kowalevski", או לפעמים "Kowalevsky"), במאמריה האקדמיים. לאחר שעברה לשוודיה היא קראה לעצמה "סוניה".
ביוגרפיה.
ילדות ונעורים.
סופיה קובלבסקיה (שם משפחה בלידה: קורווין-קרקובסקיה) נולדה במוסקבה, רוסיה, למשפחה מכובדת ומשכילה. אביה, וסילי וסיליביק קורווין-קרקובסקי היה ממוצא פולני, גנרל בחיל התותחנים בצבא האימפריה הרוסית, בעל השכלה אקדמית בתחום המדעים והמתמטיקה. אמה, אליזבט פדורובנה שוברט הייתה אשה מלומדת ממוצא גרמני, סבתה הייתה ממוצא רומני.
היא הייתה השנייה מבין שלושה ילדים, והם הופקדו בידי אומנת אנגליה. בילדותה כתבה סופיה שירים אך האומנת אסרה עליה לכתוב. סופיה חיברה את השירים בראשה וזכרה אותם כדי לשחזרם מאוחר יותר. בהיותה בת שש עברה המשפחה לגור באחוזה ליד ליטא. בני המשפחה ציפו את קירות החדרים בביתם החדש בטפטים. הציפוי של הטפטים אזל ולא נותר לחדרה של סופיה, לכן השתמשו בני המשפחה בדפים מהרצאות המתמטיקה של אביה מתקופת היותו סטודנט. נייר הקיר בחדרה הייתה מכוסה בנוסחאות של חשבון אינפיניטסימלי, ששימש לה כהכנה מוקדמת למתמטיקה. בספר זיכרונותיה בשם "ילדות רוסית" תיארה איך הייתה מתבוננת שעות בדפים/מאמרים המתמטיים שעל הקיר ומנסה לפתור לפחות פיסקה אחת בכל עמוד ולגלות את סדר הדפים.
אביה אסר עליה בתחילה ללמוד מתמטיקה, מקצוע שלא נחשב יאה לעיסוקן של נשים באותה תקופה, אמצע המאה ה-19, אך סופיה למדה מתמטיקה בסתר וקראה ספר פיזיקה שהביא לה ידיד המשפחה, פרופסור טירטוב שהכיר ביכולתה הגבוהה במתמטיקה ופיזיקה. הוריה שוכנעו בסקרנותה לגבי מתמטיקה ושכרו מורה פרטי א.נ. סטרנוליבסקי (A. N. Strannoliubskii), שהיה ידוע בתמיכתו בהשכלה גבוהה לנשים, שלימד אותה מתמטיקה. במהלך אותה תקופה, בנו של כומר מקומי חשף אותה לניהיליזם (שלילה מוחלטת של ערכים ומוסכמות החברה). במקביל להתפתחותה המתמטית החלה להתעורר בה מודעות פוליטית שבאה לידי ביטוי בתמיכה, פסיבית אמנם, במאבקי חופש. רגשות אשמה על חוסר מעורבותה עתידים היו לבוא לידי ביטוי בשירתה ובמחזות שכתבה.
למרות כשרונותיה הבולטים בתחום המתמטיקה, היא לא יכלה לסיים את לימודיה ברוסיה משום שבאותה תקופה נשים לא הורשו ללמוד באוניברסיטאות ברוסיה. כדי ללמוד בחו"ל, במדינות שבהן נפתחו השערים בפני נשים, היא הייתה זקוקה לאישור רשום מאביה או מבעלה. לשם כך נישאה בנישואים פיקטיביים לולדימיר קובלבסקי שרצה גם הוא להגיע לאותה מדינה ושהיה באותה עת סטודנט צעיר לפלאונטולוגיה (חקר מאובנים). שנים מאוחר יותר הוא התפרסם מעבודתו המשותפת עם צ'ארלס דרווין. הם היגרו מרוסיה ב-1867.
קריירה אקדמית.
ב-1869 קובלבסקי התחילה את לימודיה באוניברסיטת היידלברג בגרמניה, שבה הותר לה לצפות בשיעורים כל עוד קיבלה אישור מהפרופסורים. לאחר שנתיים של לימודי מתמטיקה תחת מורים כמו גוסטב קירכהוף, הרמן פון הלמהולץ ורוברט בונזן, היא עברה לגור בברלין, גרמניה.
מאחר שגם בברלין לא אפשרו לנשים להירשם ללימודים והאוניברסיטה אפילו לא הרשתה לה לצפות בשיעורים, הסכים קארל ויירשטראס, שהיה מרצה שם ואחד מהמתמטיקאים המבריקים של המאה ה-19, ללמד את קובלבסקי באורח פרטי. הוא עשה זאת לאחר שהצליחה לפתור בעיות מתמטיות שרק המתקדמים מבין תלמידיו הצליחו להתמודד איתן.