שימוש נוסף הוא בטופולוגיה אלגברית: בהינתן מרחב X שהחבורה היסודית שלו היא G, הרחבת HNN מאפשרת למצוא את החבורה היסודית של המרחב X בו "מדביקים" חלק שהחבורה שלו היא H לחלק שהחבורה שלו היא K. זהו אנלוג למשפט ואן קמפן המאפשר לבנות, בעזרת היתוך של שתי חבורות יסודיות של מרחבים את החבורה היסודית של הדבקה שלהם זה לזה.
שימוש חשוב נוסף הוא בתורת בס-סר. שם הרחבות HNN, ביחד עם היתוך, הן הבניות היסודיות מהן בונים את החבורה של כל גרף חבורות. הרחבת HNN משמשת ללולאות (קשת מקודקוד לעצמו), ואילו היתוך משמש לקשת בין קודקודים שונים.
רכבות בבריטניה
תחבורת הרכבות בממלכה המאוחדת מפותחת מאוד וכוללת מסילות מפותחות, תחנות רכבת גדולות, היסטוריות ומפוארות, ורשת קווים גדולה מפותחת.
מערכת הרכבות בבריטניה היא מערכת הרכבות הוותיקה ביותר בעולם. מסילת הרכבת הציבורית הראשונה שנגררת בקטר נפתחה ב-1825, ואחריה הגיע עידן של התרחבות מהירה. רוב התחבורה המסילתית מנוהלת על ידי Network Rail, שבשנת 2017 הייתה לה רשת של 15,811 קילומטרים (9,824 מיילים) של קווים סטנדרטיים, מתוכם 5,374 קילומטרים (3,339 מיילים) מחושמלים. קווים אלו נעים בין מסלול יחיד למסלול מרובע או יותר. בנוסף, בחלק מהערים יש מערכות נפרדות של רכבת תחתית, רכבת קלה וחשמלית (כולל הרכבת התחתית הנרחבת וההיסטורית של לונדון). ישנן גם מסילות רכבת פרטיות רבות (חלקן צרות), שהן בעיקר קווים קצרים לתיירים. רשת הרכבות הראשית מחוברת לזו של יבשת אירופה באמצעות מנהרת התעלה וקו High Speed 1 (במקור, Channel Tunnel Rail Link), שנפתח במלואו ב-1994 וב-2007 בהתאמה. בשנת 2023 מרבית התחבורה המסילתית צפויה לעבור לניהולה של חברת רכבות הממלכה המאוחדת.
בשנת 2016, היו 1.718 מיליארד נסיעות ברשת הרכבות הלאומית, מה שהפך את הרשת הבריטית לחמישית בגודלה בעולם (בריטניה נמצאת במקום 23 באוכלוסיית העולם). בניגוד למספר מדינות אחרות, נסיעות הרכבת בבריטניה זכו לרנסאנס בשנים האחרונות, כאשר מספר הנוסעים מתקרב לרמה הגבוהה ביותר אי פעם. זה קרה במקביל להפרטה של חברת British Rail, אך הסיבה לעלייה זו אינה ברורה. הצמיחה מיוחסת בחלקה למעבר מנהיגה פרטית עקב הגודש בכבישים ועליית מחירי הדלק, אך גם לעלייה הכוללת בנסיעות עקב המצב הכלכלי. נסיעות הנוסעים בבריטניה גדלו ב-88% במהלך השנים 1997-1998 עד 2014, בהשוואה ל-62% בגרמניה, 41% בצרפת ו-16% בספרד.
בריטניה חברה באיגוד הרכבות הבינלאומי (UIC). לבריטניה יש את רשת הרכבות ה-17 בגודלה בעולם; למרות קווים רבים שנסגרו ב, בגלל צמצומים, היא נותרה אחת הרשתות הצפופות ביותר. זוהי אחת מרשתות מסילות הרכבת העמוסות ביותר באירופה, עם 20% יותר משירותי רכבת של צרפת, 60% יותר מאיטליה, ויותר מספרד, שווייץ, הולנד, פורטוגל ונורווגיה ביחד, וכן מייצגת יותר מ-20% מנפח השימוש מכלל רשת רכבות הנוסעים באירופה. תעשיית הרכבות מעסיקה 115,000 עובדים ותומכת בעוד 250,000 עובדים באמצעות שרשרת האספקה שלה.
לאחר התקופה הראשונית של התרחבות מהירה בעקבות חניכת מסילות הברזל הציבוריות הראשונות בתחילת המאה ה-19], החל משנת 1900 לערך סבלה הרשת משחיקה הדרגתית, ומרציונליזציה חמורה יותר בשנות ה-50 וה-60. עם זאת, הרשת שוב גדלה מאז שנות ה-80. בריטניה דורגה במקום השמיני מבין מערכות הרכבת האירופיות הלאומיות במדד ביצועי הרכבת האירופית לשנת 2017 בעוצמת השימוש, איכות השירות וביצועי הבטיחות. כדי להתמודד עם הגדלת מספר הנוסעים, יש תוכנית גדולה של שדרוגים לרשת, כולל Thameslink, Crossrail, חשמול קווים, רכבות בין עירוניות חדשות, קווים מהירים חדשים ורפורמה רחבת היקף שתביא ליצירת חברת רכבות הממלכה המאוחדת בשנת 2023.
סקירה היסטורית.
מהפכת התחבורה הגדולה בעולם התרחשה בשנת 1860 באנגליה, אומת הבית של האימפריה הבריטית. באותה העת החלו בבניית מסילות הרכבת שעליהם נסעו הרכבות הראשונות - קטר קיטור איטי ורועש שגרר אחריו מספר קטן של קרונות עץ. רכבות אלו לא שימשו להובלת נוסעים ובאו לידי שימוש במכרות הפחם של צפון אנגליה, שם שימשו הן להובלת הפחם מהמכרות אל הערים והכפרים. במהלך המאה התשע עשרה ותחילת המאה העשרים החלו הרכבות לשמש לתעבורת נוסעים. קומץ קטן של חברות רכבת פרטיות וקטנות הפעילו רשת קווים מקומיים וקצרים, חברות אלו נקנו מאוחר יותר על ידי חברות גדולות ששלטו במחירים ופיתחו קווים ארוכים יותר.
במהלך מלחמת העולם הראשונה הובלה רשת קווי הרכבת על ידי הממשלה, שבמהלכה שכללה הממשלה בהרבה את הרכבות והקווים ופתחה קווים חדשים רבים. אולם, אף על פי שהציבור היה מרוצה מאוד משירות הרכבות בידי הממשלה, הרכבות לא הולאמו מפני התנגדותם של חברי ממשל רבים. במקום זאת, העניקה הממשלה את השליטה על הרכבות בידי מה שנקרא: "ארבע הגדולות", חברת הרכבות המערבית הגדולה, חברת הרכבת הלונדונית, חברת מידלנד הסקוטית וחברת הרכבות הדרומית. אלו היו ארבע חברות ציבוריות עם מניות משותפות והם המשיכו לנהל את מערכת הרכבות עד 31 בדצמבר 1947.
הגידול בתחבורת הכבישים בשנות העשרים והשלושים של המאה העשרים הקטין את הכנסות חברות הרכבות. חברות הרכבות האשימו את הממשלה בעד הובלת כבישים באמצעות בניית כבישים מסובסדת. הרכבות נכנסו לירידה איטית בגלל היעדר השקעה ושינויים במדיניות התחבורה ואורח החיים. במהלך מלחמת העולם השנייה התחברו הנהלות החברות והקימו למעשה חברה אחת. החברה צברה בעיות תחזוקה רבות שהתפתחו במהלך המלחמה ולציבור היו רק שנתיים להתמודד עם הבעיות לאחר תום המלחמה. לאחר 1945, מסיבות מעשיות ואידאולוגיות כאחד, החליטה הממשלה להכניס את שירות הרכבות לחברות ציבוריות.
שירות ותעבורת נוסעים.
נוסעים.
השליטה על שירותי הנוסעים בבריטניה מתחלקת בין מספר זכיינים אזוריים שמנוהלים על ידי מספר חברות רכבת פרטיות (כלומר, שאינן בבעלות המדינה). חברות אלו מציעות חוזים לשבע עד שמונה שנים לניהול זיכיונות פרטניים. 3מרבית החוזים מוענקים על ידי המחלקה הארצית לתחבורה. בתחילה היו 25 זיכיונות, אך מספר חברות ההפעלה השונות התקטן יותר מכיוון שחברות מסוימות, כולל חברת "FirstGroup" וקבוצת "Stagecoach", מנהלות יותר מזכיינית אחת.
על פי מבדק רשמי שערך משרד התחבורה הבריטי בשנת 2015, שירותי הזכיינות סיפקו בסך הכל 1,718 מיליון נסיעות ו-64.7 מיליארד קמ"ר של קווי נוסעים. עלייה לעומת 1994–5 בשיעור של 117% בנסיעות (מ־761 מיליון), לאחר שהמידע היה שטוח וחדגוני בין השנים 1965 ל־1995, לראשונה בשנת 1998 חלה עלייה בכמות הנוסעים, עלייה שממשיכה עד היום לעלות תלולות.
תחנות רכבת.
ברשת המסילות הלאומית בבריטניה פועלות בסך הכל 2,563 תחנות בכל קווי הרכבות והנוסעים. אם כוללים בספירה גם את תחנות הרכבת התחתית של לונדון ומערכות אחרות שאינן חלק מהרשת הלאומית, כמו מסילות ברזל מורשתיות - המספר גדל בהרבה.
תחנות הרכבת המרכזיות בערים והיישובים הגדולים נבנו בתקופה הוויקטוריאנית, בתקופה שמהווה מודל לעיצוב האנגלי ולכן מעוצבות בהתאם: תחנות גדולות ומפוארות מעוטרות בקשתות מעוצבות ומרשימות. תחנות הרכבת של בריטניה מושכות אליהן אלפי חובבי רכבות מדי שנה.
תחנות מרכזיות שוכנות לרוב בערים גדולות, כאשר העיירות הגדולות ביותר (למשל ליברפול, ברמינגהאם, בריסטול, קארדיף, אדינבורו, גלאזגו ומנצ'סטר) בדרך כלל מחזיקות יותר מתחנה ראשית אחת. לונדון היא רכזת מרכזית ברשת, כאשר 12 תחנות רכבת ואלפי קויים מהווים "טבעת" סביב מרכז לונדון.
ברמינגהאם, לידס, מנצ'סטר, גלאזגו, בריסטול ורידינג משמשים כמחלפים גדולים עבור קווי רכבות חוצי מדינה רבים שאינם עוברים בלונדון. עם זאת, כמה תחנות צומת רכבות חשובות שוכנות בערים ועיירות קטנות יותר, למשל יורק ואלי. כפרים רבים התרחבו לעיירות וערים בשל רשת הרכבות שעברה בהם. סווינדון, למשל, הייתה מעט יותר מכפר לפני שחברת הרכבת המערבית הגדולה בחרה להציב שם את תחנת הרכבת המרכזית שלה. במקרים רבים, גאוגרפיה, פוליטיקה או שיקולים צבאיים גרמו לתחנות להימצא במיקומם הנוכחי, אף על פי שעם הזמן ניתן היה להתגבר על סוגיות אלה, בחלוף השנים נתונים אלו השפיעו רבות על גודל ואוכלוסיית הערים.
רכבות מהירות.
הרכבות המהירות הראשונות המגיעות למהירות של מעל 200 קמ"ש הוצגו לראשונה בבריטניה בשנות השבעים על ידי חברת הרכבת הבריטית - BR. החברה הנזכרת לעיל עבדה במקביל על תכנון שני פרויקטים של פיתוח: פיתוח טכנולוגיית "ריחוף מגנטי" על מנת לאפשר רכבות מהירות כדוגמת השינקנסן שביפן, והפרויקט השני: פיתוח של רכבת דיזל קונבנציונלית במהירות גבוהה. הפרויקט הראשון ננטש אומנם מחוסר תקציב אך הפרויקט השני הושלם ונכנס מידית לשירות. אב הטיפוס HST, בשירות הרכבת הבריטית Class 252, הגיע לשיא מהירות עולמי לרכבות דיזל של 143.2 קמ"ש. עם השלמת חשמול מסילות החוף המערבי של בריטניה הוגברה מהירות הרכבות והן הפכו לנוחות ובטוחות יותר.
בין שנת 2000 לשנת 2005 פותחו רכבות מהירות יותר בתוך בריטניה והן פועלות בשירות של רוב חברות הרכבות בבריטניה ובעיקר בקווים הארוכים.
עיגול שחור
עיגול שחור (●) הוא שם עט של מחבר אנונימי שפרסם שני ספרי פרוזה של קטעי חלומות בהוצאת רסלינג: "ספר עלטה" שיצאה לאור ב-2014 ו"צורת עתיד" שיצאה לאור ב-2017.
אודות המחבר.
● הוא מחבר מהעולם החרדי.
חלומותיו מתפרסמים בטור סאטירי בשם "חלומות" בעיתון "הארץ" וכן בטור בשם "חיי לילה" במגזין האלטרנטיבי "התדרדרות הארץ".