את התיאור הזה אפשר להכליל לאלגברות פולינומים בכמה משתנים: formula_14 מדורגת למרכיבים, כאשר formula_4 הוא המרחב של כל הפולינומים ההומוגניים ממעלה (כוללת) formula_6; למשל, כאשר formula_17, formula_18. כמקודם, הדירוג מבוסס על העובדה שאם formula_19 שני פולינומים הומוגניים, אז הדרגה של המכפלה formula_20 שווה לסכום המעלות. באופן כללי יותר, אפשר לקבוע לכל משתנה "משקל" אחר; למשל, אפשר לדרג את formula_21 באופן שהדרגה של formula_22 היא 2, והדרגה של formula_23 היא 3 (הדרגה של כל מונום מחושבת לפי הנחות אלה: formula_24). הדרגות היסודיות משנות את הדירוג, וכעת הוא formula_25.
אלגברה חופשית (בכל יריעה של אלגברות שהזהויות המגדירות אותה הן הומוגניות) ניתנת לדירוג טבעי, בדומה לזה של פולינומים.
כל אלגברה formula_1 אפשר לדרג דירוג טריוויאלי, אם בוחרים formula_27 ו-formula_28 לכל formula_29. דירוג כזה אינו מוסיף מידע על האלגברה, אבל הוא מראה שהתאוריה של אלגברות מדורגות מכילה, במובן מסוים, את התאוריה הכללית של אלגברות.
אלגברה נקראת מדורגת באופן סופי (finitely graded) אם הממד של כל רכיב הומוגני הוא סופי. אלגברה מדורגת נקראת קשירה אם הממד של הרכיב ההומוגני המתאים לאבר הטריוויאלי הוא חד-ממדי.
דירוג על-פי מונואיד כללי.
בהגדרה שניתנה לעיל, האינדקסים של המרכיבים ההומוגניים הם המספרים הטבעיים, והדרגה מתאימה לחיבור של מספרים טבעיים. באופן כללי יותר, אפשר להגדיר אלגברה מדורגת ביחס ל-formula_30, כאשר formula_30 הוא מונואיד (בדרך-כלל דורשים שיהיה קומוטטיבי), כאלגברה המתפרקת לסכום ישר formula_32, כאשר formula_33 בהתאם לפעולת החיבור במונואיד.
המקרים החשובים ביותר הם דירוג ביחס למספרים הטבעיים, דירוג ביחס ל- formula_34 (אלו נקראות בדרך-כלל סופר-אלגברות), ודירוג ביחס לחבורת המספרים השלמים.
הנחות נוספות על המונויד משפיעות על התאוריה של האלגברות המדורגות לפיו. בפרט, יש הבדלים תאורטיים בין דירוג ביחס לחבורה לדירוג ביחס למונויד סדור.
דירוג ביחס לחבורה.
בדירוג ביחס לחבורה formula_35 מבחינים בין כמה סוגים: האלגברה מדורגת חזק (strongly graded) אם formula_36 (שוויון, ולא הכלה סתם); האלגברה נקראת מכפלה משולבת אם כל מרכיב הומוגני כולל איבר הפיך; הדירוג נקרא עדין אם המימד של מרכיב הומוגני הוא 0 או 1 (אם כל הממדים 1, האלגברה מוכרחה להיות מכפלה משולבת).
לדוגמה, כל אלגברת חבורה formula_37 מדורגת באופן עדין ביחס לחבורה המתאימה.
אידיאל formula_38 של אלגברה מדורגת הוא אידיאל הומוגני, אם הוא מתפרק לסכום ישר formula_39; במילים אחרות, הוא נוצר על ידי איברים הומוגניים. במקרה כזה, גם חוג המנה formula_40 הוא מדורג, formula_41. לכל אידיאל ניתן להגדיר את הליבה ההומוגנית שלו בתור סכום האידיאלים ההומוגניים המוכלים בו, או באופן שקול בתור האידיאל ההומוגני המקסימלי המוכל בו.
האידיאל ההומוגני formula_42 נקרא ראשוני אם לכל שני אידיאלים מדורגים formula_43 מתקיים formula_44 או formula_45 אם formula_46. אוסף האידיאלים הראשוניים המדורגים של החוג formula_47 הוא הספקטרום הראשוני של החוג, ומסמנים formula_48 - הרדיקל הראשוני המדורג. החוג נקרא מדורג ראשוני למחצה אם formula_49, וכמו במקרה הלא מדורג, זה קורה אם ורק אם אין לו אידיאלים מדורגים נילפוטנטיים.
משפט של Bahturin-Sehgal-Zaicev מאפיין את כל הדירוגים האפשריים של אלגברה פשוטה מממד סופי ביחס לחבורה סופית.
מודול מדורג.
מודול מדורג שמאלי מעל חוג מדורג formula_50, הוא מודול מהצורה formula_51, כך שכל formula_52 היא תת-חבורה של formula_30, ו-formula_54. איברי תתי החבורות formula_52 נקראים איברים הומוגניים. תת-מודול formula_56 הוא תת-מודול מדורג אם מתקיים formula_57, ובמקרה זה על מודול המנה מוגדר מבנה מדורג לפי formula_58. הומומורפיזם מודולים מדורגים formula_59 הוא הומומורפיזם מודולים כך שמתקיים formula_60.
מודולים מדורגים שמאליים וההומומורפיזמים שלהם יוצרים את הקטגוריה של המודולים המדורגים השמאליים. בקטגוריה זו ניתן להגדיר מונחים מקבילים לתורת המודולים הרגילה, כמו סכום ישר, תת-מודול גדול, מודול פרויקטיבי, מודול אינג'קטיבי וכו'. כאשר מתעלמים ממבנה הדירוג הם עדיין נשארים כאלה. ישנן תכונות שנשמרות באופן מלא כששוכחים מהדירוג, כמו היותו של תת-מודול גדול, או היותו מחובר ישר.
מודול מדורג הוא פשוט אם אין לו תת-מודולים מדורגים פרט לטריוויאליים, ופשוט למחצה אם הוא סכום ישר של פשוטים. תת-מודול מדורג formula_56 הוא מקסימלי אם formula_62 הוא מדורג פשוט. התשתית (אלגברה) של מודול מדורג היא סכום תתי המודולים המדורגים הפשוטים שלו, ומסומנת formula_63. היא שווה לחיתוך כל תת-המודולים הגדולים, ומתקיים formula_64. כל מודול פשוט איזומורפי לתת-מודול מדורג של מודול מדורג כלשהו (מעל אותו החוג עם דירוג סופי).
רדיקל ג'ייקובסון של מודול-מדורג, המסומן formula_65, הוא חיתוך כל תתי-המודולים המדורגים המקסימליים. מתקיימת למת נקאימה בגרסה המדורגת - אם formula_30 מודול מדורג שמאלי נוצר סופית, אז formula_67. אם formula_68 מודול מעל עצמו, מתקיים formula_69, וכן formula_70.
דבח, מלך אקסום
דבח (מבוטא גם כ: אזבה או אדחבה) היה מלך ממלכת אקסום בשנים 230 ~ 240 לערך. הוא ובנו גרמט ידועים מכתובת דרום ערבית שמזכירה את שמיר, מלך דו-רייאדן וחימר מבקשים את עזרתו נגד המלכים הסבאים.
ספרי שנים
ספרי השנים או אָנַּלִים (בלטינית: Annales, מ-Annus שפירושו "שנה") הן רשימות קצרות, המסודרות לפי סדר כרונולוגי. ספרי השנים היוו רשימת אירועים שהתרחשו בפרק הזמן אותו ביקשו לתאר, לרוב שנה ירחית. בין האירועים המצוינים בהם היו טקסים דתיים וחגיגות דתיות, כיבושים וקרבות משמעותיים בעיני הכותב, ובעלי תפקידים שכיהנו בשנה הנדונה. ספרי השנים מהווים מקור חשוב לחקר ההיסטוריה של רומא העתיקה הקדומה, ומעידים על התפתחות המשטר הרומי בראשיתו. לרוב, נשמרו ספרי השנים במקדשים הראשיים.
במזרח הקרוב הקדום.
במזרח הקדום, בבבל ובאשור נהגו המלכים לנהל אנלים שבהם הם תארו את מסעות המלחמה שלהם וכן את מפעלי הבנייה שלהם. האנלים נכתבו על גבי לוחות חרס או לוחות אבן בכתב יתדות בשפה האכדית והבבלית, והיו מסודרים לפי סדר כרונולוגי של השנים, לעיתים אורגנו לפי שנות מלוכה ולעיתים לפי מספרי המסעות.
ברומא העתיקה.
האנלים היו בשימוש ברומא העתיקה הם נקראו Annales maximis. בתחילת כל שנה, היה הפונטיפקס מקסימוס קובע לוחות בצבע לבן כאשר על כל לוח מופיע שם של אחד מעוזריו או פקידיו. אלו נצטוו לכתוב מדי יום את כל האירועים שהתרחשו באותו יום כמו ליקויי שמש וירח, שינויים במחירים של מצרכים שונים, מגפות, אירועים "מבשרי רע", מות שליטים ועוד. בהתחלה נרשמו רק פרטים שהיה להם קשר כל שהוא עם מוסד הכהונה. עם הזמן החלו לרשום כל אירוע חשוב ש"ראוי להזכר" כמו מלחמות, ניצחונות, מינויים פוליטיים ועוד. ריבוי פרטים זה הופך את האנלים לחומר כה חשוב לחוקר ההיסטוריה. לקראת סוף המאה השנייה לפני הספירה, הפסיק הכהן מוקיוס סקיבולה את כתיבת לוחות האנלים. את כל הלוחות שנכתבו עד אז (ושנשמרו בארכיון מיוחד) העתיק בכתב יד בספר גדול שכלל 80 כרכים. אחריו כבר לא כתבו את האנלים על לוחות אלא בכתבי יד, בהתחלה ביוונית ומזמן קטו הזקן, בלטינית. כותבי האנלים נקראו אנליסטים וסגנון הכתיבה נקרא בשם "אנליסטיקה". בימיו של סולה השתנה הסגנון של האנליסטיקה והפך ל"אנליסטיקה חדשה". כדי למשוך את הקוראים לקרוא את החומר היבש של האנלים, האנליסטים החדשים, הוסיפו פירושים, הכניסו אירועים וציטטו נאומים שלא היו ולא נבראו. עובדות שונו כדי להתאימן לצרכים פוליטיים ותעמולתיים. בעקבות זאת, הופיעו סוגים חדשים של אנלים. ספרי שירה אפית העוסקת באירועים מהעבר נקראו אנלים וגם ספרי היסטוריה ואפולוגטיקה שעסקו בשליטים או אנשים חשובים מהעבר, נקראו כך.
בימי הביניים.
בימי הביניים התפתחו ספרי שנים. בימי הביניים המוקדמים הכנסייה פרסמה לוחות שנה וחילקה אותן לכנסיות השונות. לוחות אלו היו חשובים מאוד כדי לקבוע את מועד החגים הנוצריים שלא חלים תמיד באותו תאריך. במשך הזמן החלו הכמרים לכתוב על גבי לוחות שנה אלו את האירועים החשובים שהתרחשו בסביבות כנסיותיהם כמו לידות, מתות, מגפות ומלחמות. נרשמו גם אירועים כמו הופעת כוכבי שביט, מינוי כמרים וראשי מנזרים ומחירי מצרכים. בתקופה מאוחרת יותר המשיכו לכתוב את האנלים בצורה מפורטת יותר ומתוך חובה. למשל המלך האנגלי אלפרד הוציא צו לכתוב אנלים שאחר כך נקראה הכרוניקה האנגלו-סקסונית. בשלב מאוחר יותר נקראו אנלים ספרי היסטוריה שנכתבו בצורה כרונולוגית כמו ה"אנלים של הכנסייה" שנכתבו במאה ה-12 על ידי ברוניוס ועסקו בתולדות הכנסייה משנתה הראשונה עד שנת 1198.
בעת החדשה הכתיבה האנליסטית המסורתית הלכה ונעלמה בהדרגה. מעין ניסיון להחזירה לתפארתה נעשה בצרפת במאה ה-19 על ידי קבוצת היסטוריונים שנקראו "האסכולה האנלית". הם טענו שהיסטוריה צריכה לעסוק בכל מה שאירע בעבר ולא רק באירועים הקשורים במלכים ומנהיגים שונים עם התעלמות מוחלטת מאירועים הקשורים באדם הקטן והלא חשוב. הם ניסו לכתוב כרוניקות יומיומיות על כל שאירע באותו יום כולל שמות הנולדים והנפטרים, פסקי הדין, מזג האוויר, אירועים חריגים, תאונות ועוד. לאחר זמן לא רב גם אסכולה זו נעלמה בהדרגה.
במאה ה-20 נקראה אסכולת האנאל על שם המונח הקדום.
כמו כן, משתמשים במושג Annals ככינוי לעיתונות מדעית תקופתית.
שר האוצר הבריטי