בניגוד לאיאייטו (חרב מתכת רגילה ללימוד איאיידו), לשינקן להב חד והיא מחושלת בידי אחד מכ-250 נפחי החרבות הפעילים והרשומים באיגוד נפחי החרבות היפני, ומספר חובבנים הפועלים מחוץ לאיגוד. נפחים אלו מוגבלים על-פי החוק היפני לחשל לא יותר מ-24 חרבות בשנה. בשל הגבלה זו, יחד עם הכישורים הייחודיים והעבודה הרבה הדרושה לחישול החרב, השינקן יקרה - מחירה התחלתי עומד על כ-10,000$, וחרבות המחושלות על ידי מוקאנסה (Mukansa) או נינגן קוקוהו (Ningen Kokuho) - נפחי החרבות הטובים ביפן - עולות הרבה יותר.
פונקציה הולומורפית
פונקציה הולומורפית (לעיתים נקראת גם פונקציה רגולרית) היא פונקציה מרוכבת של משתנה מרוכב אחד או יותר, הגזירה במובן המרוכב בסביבת כל נקודה בתחומה. אלו הן הפונקציות המרכזיות שנחקרות בתורה של האנליזה המרוכבת.
ביתר פירוט, פונקציה הולומורפית היא פונקציה בין קבוצות קשירות ופתוחות במישור המרוכב, שקיימת לה נגזרת מרוכבת בסביבת כל נקודה בתחומה.
מבוא.
מכיוון שכל מספר מרוכב מזוהה עם זוג סדור של מספרים ממשיים, ניתן לראות בפונקציה מרוכבת פונקציה בין זוגות של מספרים ממשיים, או באופן שקול כפונקציה בין זוגות של משתנים ממשיים לבין המספרים מרוכבים. מזווית הראייה הזו, התכונה המהותית של גזירות מרוכבת, או הולומורפיות, היא שהנגזרת הכיוונית בנקודה כלשהי בתחום איננה תלויה במסלול שאותו עושה המשתנה במישור המרוכב בדרכו לנקודה; עבור כל המסלולים שבהם יכול לנוע המשתנה המרוכב בדרך אל הנקודה, נגזרת הפונקציה בנקודה זהה (ובאופן כללי תהיה מספר מרוכב). לכן, הולומורפיות היא תכונה שונה מקיומן של נגזרות חלקיות עבור 2 המשתנים הממשיים - משמעותה לא רק שהנגזרות החלקיות הללו קיימות, אלא גם שהן קשורות זו לזו באופן הדוק: קשר המבוטא במשוואות קושי רימן.
האנליזה המרוכבת היא תורה פשוטה יותר, ובמובנים רבים שלמה יותר, מן האנליזה הממשית. פונקציה ממשית יכולה להיות גזירה, אבל הנגזרת שלה עלולה שלא להיות גזירה. היא עשויה להיות גזירה 18 פעמים, אבל לא 19. היא עשויה להיות גזירה כל מספר פעמים שהוא, מבלי שיהיה לה יצוג כטור חזקות. אף אחד מן ה"חסרונות" הללו אינו קיים באנליזה המרוכבת. אם פונקציה היא הולומורפיות, גם הנגזרת שלה היא פונקציה הולומורפית (ולכן היא גם גזירה אינסוף פעמים). יתרה מזאת - יש לה יצוג כטור חזקות; לכן כל פונקציה הולומורפית היא אנליטית. גם המשפט ההפוך נכון - כל פונקציה אנליטית מרוכבת היא הולומורפית, ובמסגרת האנליזה המרוכבת משתמשים בשני המושגים באותה משמעות. אמנם לא היה מלכתחילה ברור שכך המצב, והתגלית ששתי התכונות הללו אכן שקולות הייתה תגלית מרכזית בהיסטוריה של האנליזה המרוכבת.
חשיבותן של הפונקציות ההולומורפיות במתמטיקה נובעת מכך שרבות מהפונקציות המרוכבות בעלות החשיבות בענפי המתמטיקה השונים, הן הולומורפיות. כך למשל פולינומים, הסינוס, האקספוננט, פונקציית הזטא של רימן, ואף העתקות קונפורמיות (משמרות זווית) במישור - כולן פונקציות הולומורפיות. משפט ההעתקה של רימן מראה במובן מסוים עד כמה רחב המגוון האפשרי של פונקציות הולומורפיות, שעשוי להראות דל בתחילה. התורה של הפונקציות ההולומורפיות היא תורה מפותחת היטב, וטבען המופשט של פונקציות כאלו מובן בצורה טובה יחסית.
פונקציה שהיא הולומורפית בכל המישור המרוכב קרויה פונקציה שלמה. כאשר אומרים על פונקציה שהיא "הולומורפית בנקודה", הכוונה לכך שהיא גזירה בסביבה כלשהי של הנקודה.
טרמינולוגיה.
המונח "הולומורפית" הוצג על ידי תלמידיו של אוגוסטן לואי קושי, בריו (1817–1882) וז'אן-קלוד בוקה (1819–1885), ומקורו במילה היוונית ὅλος (הולוס) שפירושה שָׁלֵם או מלא וב μορφή (מורפי) שמשמעותה צורה או מראה. כיום, לעיתים המושגים פונקציה הולומורפית ופונקציה אנליטית משמשים במשמעות זהה, אף על פי שהאחרון הוא מושג כללי יותר.
הגדרה פורמלית.
תהא formula_1 קבוצה פתוחה וקשירה במישור המרוכב. תהא formula_2 פונקציה מרוכבת. נאמר ש-formula_3 גזירה במובן המרוכב בנקודה formula_4 אם הגבול (1) formula_5 קיים. הנקודה החשובה בהגדרה הזו היא שהגבול (1) חופשי מבחירת המסלול שיעשה המשתנה formula_6 בדרכו לנקודה formula_7 - דהיינו שהגבול (1) אכן קיים כאשר formula_8 שואף לאפס.
קיום הגבול (1) הוא מצב שקול לקיום קשר, שניתן לתאר באמצעות משוואה דיפרנציאלית חלקית, בין הנגזרות החלקיות של הפונקציות הממשיות המרכיבות את formula_9 - אלו הן משוואות קושי רימן - ועל ידי תכונת הדיפרנציאביליות של הפונקציות הממשיות שמרכיבות את formula_3.
אם הפונקציה formula_3 גזירה בכל נקודה formula_4, נאמר עליה שהיא הולומורפית בקבוצה formula_13. ניסוח נקודתי שקול להולומורפיות הוא: formula_3 היא הולומורפית בנקודה formula_15 אם היא גזירה ב-formula_15 ובסביבה של formula_15. שקילות שני הניסוחים נובעת ממשמעות מושג הקבוצה הפתוחה: קבוצה פתוחה היא קבוצה בה לכל נקודה קיימת סביבה המוכלת באותה קבוצה.
דוגמאות.
כל פולינום במספרים מרוכבים הוא פונקציה הולומורפית בכל המישור המרוכב, וכך גם פונקציית האקספוננט formula_18, ופונקציות הסינוס והקוסינוס המרוכבות (הניתנות להגדרה באמצעות האקספוננט). הפולינומים ופונקציית האקספוננט הן פונקציות שלמות. דוגמאות פחות טריביאליות לפונקציות הולומורפיות הן פונקציית זטא של רימן, או פונקציית גמא. בניגוד לפולינומים ולאקספוננט, פונקציות אלה אינן שלמות, ויש להן קטבים.
כיוון שהתנאי לגזירות במובן המרוכב חזק יותר מגזירות במובן הממשי, קיימות פונקציות "יפות" שאינן הולומורפיות, בניגוד לאינטואיציה הממשית. דוגמאות בולטות הן formula_19 ו-formula_20 כאשר Arg היא פונקציית הארגומנט הראשי.
דוגמה נוספת היא הפונקציה formula_21. פונקציה זו הולומורפית בכל תחום הגדרתה, אך היא אינה הולמורפית בנקודה formula_22, (וגם אינה מוגדרת בה). בכל נקודה אחרת היא גזירה, ולכן היא הולומורפית בקבוצה formula_23. עם זאת, קיים הגבול formula_24 ולכן הפונקציה מתנהגת יפה, במובן מסוים. נקודה שבה הגבול הוא אינסוף נקראת קוטב. פונקציה, אשר הולומורפית בכל נקודה שאיננה קוטב בתחום כלשהו, קרויה פונקציה מרומורפית באותו התחום.
קיימות גם פונקציות שאינן גזירות במובן חזק יותר. לדוגמה, לפונקציה formula_25 אין כלל גבול בנקודה formula_26. נקודה כזו נקראת סינגולריות עיקרית, והיא מקיימת תכונה מעניינת - לפי המשפט הגדול של פיקאר, אם formula_3 פונקציה הולומורפית בתחום, ו formula_28 סינגולריות עיקרית בתחום, אזי התמונה של כל סביבה של formula_28 היא formula_30 כולה, למעט אולי נקודה אחת.
אנליטיות.
תכונה מרכזית של פונקציות הולומורפיות היא אנליטיות. תכונה זו נובעת מנוסחת האינטגרל של קושי. די להראות זאת סביב 0. אם formula_33 הולומורפית בעיגול formula_34, אז לפי נוסחת האינטגרל של קושי, לכל formula_6 בפנים של formula_34:
מכיוון ש-formula_38 את האינטגרנד אפשר לפתח לטור הנדסי ולקבל:
כאשר ההתכנסות מובטחת ממבחן M של ויירשטראס. לפי נוסחת האינטגרל של קושי לנגזרת מקבלים:
כלומר טור טיילור של formula_33 מתכנס אליה.
הערה.
באופן אנלוגי לאמור לעיל, פונקציה מרוכבת בכמה משתנים ההולומורפית ביחס לכל משתנה בנפרד נקראת גם היא פונקציה הולומורפית. גם במקרה זה ניתן להוכיח שפונקציה הולומורפית בכמה משתנים היא אנליטית (משפט הארטוגס).
הוכחה בדרך השלילה
בלוגיקה ובמתמטיקה הוכחה בדרך השלילה או הוכחה עקיפה היא שיטת הוכחה לפיה אם הפרכת טיעון מסוים מובילה לסתירה לוגית — הטיעון נכון. במילים אחרות: אם הנחת טיעון מסוים מובילה לסתירה לוגית, אזי הטיעון ההפוך בהכרח נכון.
שיטה זו מבוססת על כלל השלישי מן הנמנע בלוגיקה, לפיו או שמשהו הוא נכון, או שהוא אינו נכון; עם זאת, ישנם זרמים במתמטיקה דוגמת האינטואיציוניזם שאינם מקבלים שיטה זו, ובפרט דוחים את הטיעון ששלילה כפולה משמעותה נכונות ועל כן, אינם מבינים הוכחה בדרך השלילה כהוכחה קבילה.
אטימולוגיה.
המונח נקרא באנגלית "Proof by contradiction" ומקורו מלטינית: "Reductio ad absurdum" – רֶדּוּקְצְיוֹ אַדּ אַבְּסוּרְדּוּם - רדוקציה לאבסורד ("צמצום לאבסורד").
מתמטיקה.
הוכחה בדרך השלילה נפוצה למדי במתמטיקה. אוקלידס הִרְבָּה להשתמש בהוכחות בדרך השלילה, וכמה מהן התפרסמו במיוחד, כמו ההוכחה לכך שאין מספר ראשוני שהוא הגדול ביותר; כלומר, שיש אינסוף מספרים ראשוניים. ההוכחה מובאת במלואה בערך קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים. הוכחה על דרך השלילה נוספת, הידועה כבר מן הזמן העתיק ומופיעה למשל בכתבי אריסטו היא ההוכחה ששורש 2 אינו רציונלי.
פילוסופיה.
ההוכחה הראשונה על דרך השלילה בפילוסופיה מיוחסת לפילוסופים האלאטים, אף על פי כן, נראה שכבר הפיתגוראים השתמשו בה.
יש הטוענים כי ראשון המשתמשים בה היה זנון מאליאה, שכן הוא הוכיח את טענת מוֹרוֹ פארמנידס באמצעות 'רדוקציה אד אבסורדום' של טענות מתנגדיו. הטענות אותן הפריך באופן זה הן: ישנה תנועה בעולם. וכן: ישנו ריבוי בעולם. היסטוריון המתמטיקה סזאבו סבור כי כבר בשירו של פארמנידס ניכר מבנה הרדוקציה אד אבסורדום. פארמנידס מניח כי ישנו 'אין' (שהוא מזהה עם חלל ריק) ומוכיח כי מדובר בסתירה עצמית. כך הוא מוכיח כי אין בעולם ריק, לכן העולם מלא, ומכאן שהתנועה בו אינה אפשרית.
הוכחת טענה בדרך השלילה נפוצה בוויכוחים ובדיבייטינג לשם השגת ניצחון על היריב הרעיוני. עם זאת, היא יכולה לשמש כדרך לבירור האמת, שכן ניתן להצביע בה על כשלים רעיוניים בדברי הדובר השני, כפי שתראינה שתי הדוגמאות הבאות: