משפט אוילר, הקרוי של שמו של המתמטיקאי לאונרד אוילר, קובע כי המרחק d בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: formula_4, כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם ו- r הוא רדיוס המעגל החסום. מנוסחה זו נובע כי formula_5.
הקטעים המחברים את קודקודי המשולש עם נקודות ההשקה של הצלעות למעגל החסום, נפגשות בנקודה אחת הקרויה נקודת ז'רגון של המשולש.
במשולש אפשר לחסום אליפסות רבות. האליפסה היחידה הנוגעת בנקודות האמצע של הצלעות נקראת האליפסה החסומה של שטיינר.
מעגל חסום במצולע משוכלל.
במצולע משוכלל, מרכז המעגל החסום מתלכד עם מרכז המעגל החוסם.
נסמן:
מתקיים:
חתכי חרוט.
משפט פונסלה, שהוא אחד המשפטים החשובים בגאומטריה פרויקטיבית, קובע שאם C,D הם חתכי חרוט ויש מצולע בן n צלעות החסום באחד מהם וחוסם את השני, אז יש אינסוף מצולעים כאלה, וכולם בעלי אותו מספר צלעות.
עקומה סגורה
ההגדה לבית פורסייט
ההגדה לבית פורסייט (באנגלית: The Forsyte Saga) היא סדרה של שלושה רומנים ושני קטעי ביניים מאת ג'ון גולסוורתי. הסדרה מתעדת את תהפוכותיהם של בני משפחת פורסייט המובילים בחברה הבורגנית הגבוהה בבריטניה. רק כמה דורות לאחר שאבותיהם היו חקלאים, חברי המשפחה מודעים לכך שמעמדם נחשב כ"כסף חדש". הדמות הראשית, סומס פורסייט, רואה את עצמו כ"איש בעל רכוש" בשל יכולתו לצבור דברים חומרניים – אך הדבר לא מצליח לתת לו סיפוק.
קטעים יחידים מהסאגה וכן הסיפור הארוך כולו, עובדו למסך הקולנוע. הספר הראשון "בעל נכסים" עובד לקולנוע ב-1949 תחת השם "האישה לבית פורסייט". צוות השחקנים כלל את גריר גרסון, ארול פלין, וולטר פידג'ן ורוברט יאנג. הבי בי סי גם הפיק סדרה פופולרית ב-1967. ב-2002 "גראנדה טלוויזיון" הפיקה שתי סדרות בשביל ITV בשם: "ההגדה לבית פורסייט" ו"ההגדה לבית פורסייט: עומד להשכרה".
הספרים.
בעל נכסים (1906).
ברומן הראשון בסאגה, לאחר הצגת בני משפחת פורסייט הוותיקים והמרשימים שבראשם עומדת הדודה אן, גולסוורתי מתמקד בתשוקה של סומס פורסייט כלפי אשתו היפהפייה איירין פורסייט (לשעבר היירון) אשר אינה אוהבת אותו. הוא מתכנן לעבור לגור איתה בכפר, הרחק מכולם, אך היא מתנגדת לכך ומתאהבת בפיליפ בוסיניי הארכיטקט חסר המעמד, אך בוסיניי הוא ארוסה של חברתה ג'ון פורסייט, בתו של בן דודו של סומס, ג'וליאן.
קיץ הודי של פורסייט (1918).
בקטע ביניים קצר לאחר "בעל נכסים", גולסוורתי מתעמק בחברות החדשה בין ג'וליאן הזקן (סבה של ג'ון) ואיירין, אשר עזבה את סומס. הקשר הזה נותן לג'וליאן הזקן עונג, אך מתיש אותו. הוא משאיר לאיירין רכוש בצוואה שלו עם ג'וליאן הצעיר כאפוטרופוס.
הצ'נסרי (1920).
הבעיות בחיי הנישואין של סומס ואחותו ויניפרד הן הנושא העיקרי ברומן השני. הם נוקטים צעדים על מנת להתגרש מבני זוגם, איריין ודארטי, בצורה מכובדת. אך בזמן שסומס אומר לאחותו להתמודד עם העובדה שהיא תצטרך לפנות לבית המשפט, הוא לא מוכן לעבור את הגירושים בעצמו. במקום זאת הוא רודף ומטריד את איריין, עוקב אחריה בחו"ל, ומבקש ממנה ללדת את בנו. לבסוף סומס מתגרש מאיירין ומתחתן שנית עם נערה צרפתייה בשם אנט, הצעירה ממנו בשנים רבות, אשתו החדשה יולדת את בתו היחידה, פלר.
איריין יורשת כסף מג'וליאן הזקן. בנו ג'וליאן הצעיר, וגם בן דודו של סומס, דואג לענייניה הכספיים. כאשר היא עוזבת לראשונה את בעלה הוא מציע את תמיכתו. כאשר בנו של ג'וליאן הצעיר מת, הוא ואיירין מפתחים חברות אמיצה. הם מנהלים רומן והיא יולדת את בנו לאחר שהם מתחתנים.
התעוררות (1920).
הנושא העיקרי בקטע הביניים השני הוא סגנון החיים הנאיבי והחיוני של ג'ון פורסייט בן השמונה. הוא אוהב ונאהב על ידי הוריו, איריין וג'וליאן. יש לו ילדות אידיאלית, כל בקשה שלו נענית.
עומד להשכרה (1921).
רומן זה מסכם את ההגדה לבית פורסייט. פלר וג'ון פורסייט נפגשים ומתאהבים, לא מודעים לעבר של הוריהם. ברגע שסומס, איריין וג'וליאן הצעיר מגלים את הרומן, הם אוסרים על ילדיהם להיפגש שוב. ג'וליאן מזהיר את בנו שברגע שימות, אין אף אחד שיוכל לגונן על איריין מבעלה הקודם. ג'ון מתענה בין אהבתו לפלר והעבר. למרות אהבתה לג'ון לפלר יש מחזר מאוד הולם, מייקל מונט, יורש לברונט. אם הם יתחתנו פלר תרומם את מעמדה של משפחתה מ"כסף חדש" לאריסטוקרטיה.
המשכים.
גולסוורתי כתב המשך לסאגה בין השנים 1924–1928 בשם "קומדיה מודרנית". הדמויות הראשיות הן פלר ומייקל והסאגה מסתיימת עם מותו של סאמס בשנת 1926. זה גם הסיום של הסדרה מ-1967. גולסוורתי כתב עוד טרילוגיה שמספרת על בת דודתו הצעירה של מייקל, דיני צ'רל.
ב-1994 סולייקה דווסון כתבה המשך לסאגה בשם: ההגדה לבית פורסייט: הסאגה ממשיכה. פלר, בתו של סומס, כעת ליידי מונט, היא הדמות הראשית.
משולש קהה זווית
המרטש מיורקשייר
היפוציקלואיד
בגאומטריה, היפוציקלואיד הוא עקומה מישורית הנוצרת על ידי מסלול של נקודה קבועה על מעגל קטן, אשר מתגלגל (ללא החלקה) לאורכו של מעגל גדול יותר, מן הצד הפנימי שלו. ההיפוציקלואיד שונה מעקומת הציקלואידה, הנוצרת מהתגלגלות מעגל לאורך קו ישר.
ניתוח מתמטי.
נסמן את רדיוס המעגל הקטן ב- formula_1, ואת רדיוס המעגל הגדול ב- formula_2. המשוואות הפרמטריות של העקומה הן:
אם k הוא מספר שלם, אזי העקומה היא עקומה סגורה בעלת k חודים (נקודות שבהן העקומה אינה גזירה). כאשר k=2, העקומה המתקבלת היא קו ישר, וזוג מעגלים ביחס שכזה נקראים "מעגלי קרדאנו", על שמו של ג'ירולמו קרדאנו. קרדאנו היה הראשון להגדיר היפוציקלואידים מסוג זה, שהיוו בעבר מרכיב מרכזי בטכנולוגיית מכונות הדפוס.
אם k הוא מספר רציונלי, נניח k = p/q (בהצגה מצומצמת), אזי העקומה היא עקומה סגורה שאיננה עקומה פשוטה (דהיינו - היא חותכת את עצמה), בעלת p חודים.
אם k הוא מספר אי רציונלי, אזי העקומה לעולם לא נסגרת. העקומה תמלא את שטחה של טבעת ברדיוס חיצוני R וברדיוס פנימי R-r, סביב מרכז המעגל הגדול.
היפוציקלואיד בעל k=3 נקרא דלתואידה, והיפוציקלואיד בעל k=4 נקרא אסטרואידה (באנגלית: Astroid, בניגוד לאיות Asteroid המייצג גוף שמימי).
היפוציקלואיד הוא מקרה פרטי של עקומת היפוטרוקואיד.
פרו השני, מלך אראגון
פרו השני, מלך אראגון (באראגונית: Pero II d'Aragón; יולי 1178 - 12 בספטמבר 1213) או גם פייטרו השני (Pietro II d'Aragón), שכונה גם הקתולי משום היותו המלך האראגוני הראשון שהוכתר על ידי האפיפיור, רוזן ברצלונה מ-1196, מראשי המחנה הספרדי שלחם בקרב לאס נאבאס דה טולוסה שעצר את הפלישה הערבית בחצי האי האיברי.
ביוגרפיה.
פרו נולד בשנת 1178 לאלפונסו השני, מלך אראגון והאינפנטה סנאצ'ה מקסטיליה, מלכת אראגון. בשנת 1196 מת אביו אלפונסו השני, מלך אראגון, ופרו עלה לשלטון במקומו. בשנת 1204 הכיר פרו בעליונות האפיפיור והוכתר ברומא על ידי אינוקנטיוס השלישי. הודות להכרה בעליונות האפיפיור הוענק לו התואר מלך קתולי, תואר שעבר בירושה לצאצאיו.
ב-15 ביוני 1204 נשא לאשה את מריה ממונפלייה (כבעלה השלישי), נישואים שלא החזיקו מעמד, אך נולד מהם מי שעתיד להיות חיימה הראשון, הכובש.
קרב מירה.
פרו השני, מלך אראגון, שהיה גיסו של רמון השישי מבית טולוז, היה גם האדון הפאודלי של רבים מאצילי חבל לנגדוק שנחלותיהם נכבשו על ידי סימון דה מונפור, כולל רמון רוג'ה טרנקבל. הוא לא הכיר בכיבושיו של דה מונפור על בזייה וקרקסון, שהיו כפופות לו פאודלית והציע את עצמו מספר פעמים כמתווך בין הניצים. בגלל מאבקו במורים לא היה מסוגל לתמוך צבאית בגיסו, הרוזן מטולוז וגם לא רצה להסתכסך עם הכנסייה הקתולית, איתה היו לו יחסים מצוינים. ב-16 ביולי 1212 נחל, יחד עם בני בריתו, ניצחון גדול על המורים בקרב לאס נאבאס דה טולוסה ועטור בניצחון זה ניסה ללמד זכות על גיסו בפני האפיפיור אינוקנטיוס השלישי שהחליט לפתוח ויעוד בלה ואור. הוויעוד לא יצא לפועל וב-21 בינואר 1213 החליט פרו השני לקבל תחת חסותו את הרוזנים מבית טולוז, לה פואה, קומינז' והויקונט מביארן.
פרו השני הטיל ב-8 בספטמבר 1213 מצור על אחת ממצודותיו של דה מונפור, מירה. אל צבאו התחברו במהרה הרוזנים דה פואה וקומינז' ורמון השישי הגיע עם מיליציה גדולה. לרשות צבאו של פרו השני ובני בריתו עמדו כאלפים ומאתיים פרשים ועשרים עד שלושים אלף לוחמים רגליים. לדה מונפור ולבן בריתו, הוויקונט מ-Corbeil, היו כ-900 פרשים ו-700 קשתים בין מגיני החומות. פרו הציב את מחנהו כך שאגף אחד נשען על נחל מקומי והאגף השני על ביצה.
ב-12 בספטמבר פרו השני שלח את המיליציה הטולוזית להתקפה על חומות מירה. ההתקפה נהדפה וגיחה מהירה של הפרשים הצלבנים המיומנים, שהתפצלו לשלושה ראשי חץ בהנהגתם של Guillaume des Barres, בוּשאר דה מארלי ודה מונפור עצמו, הפתיעה את צבאו של פרו השני שנאלץ להשתתף בתגרה שלא התכונן לה. שני פרשים צלבנים, אלן דה רוּאֶה ו-Florent de Ville החליטו לצאת ולהתקיף את מלך אראגון. פרו השני, שיצא בראש צבאו, הופל מסוסו ולמרות שצעק שהוא המלך, הרגו אותו. צבאו של פרו השני נכנס לפאניקה ונפוץ לכל עבר ודה מונפור זכה בניצחון מוחץ.
בנו בן השש של פרו השני, חיימה הראשון, מלך אראגון, נשבה על ידי דה מונפור, אך האפיפיור אסר על דה מונפור לנצל עובדה זו והוא נאלץ לשלוח את הילד, עם ליווי מתאים, לממלכתו.
חואן קאפדבילה
אגף המכס והמע&quot;מ
ג'ובאני ברנרדינו נאנינו