מורתדא מנסור (בערבית: مرتضى أحمد محمد منصور, בתעתיק מדויק: מרתדא אחמד מחמד מנצור; נולד ב-17 ביוני 1952) הוא עורך דין, חבר הפרלמנט המצרי ויושב ראש קבוצת הכדורגל א-זמאלכ. מנסור התמודד לנשיאות מצרים במסגרת בחירות 2018 ושימש בעברו כתובע הכללי של העיר אסמאעיליה.
הוא התמודד פעמים נוספות בעבר, ב-2012 נפסלה מועמדותו וב-2014 פרש והביע תמיכה בנשיא הנבחר עבד אל-פתאח א-סיסי.
ביוגרפיה.
מנסור נולד בעיר גיזה ואת דרכו הציבורית החל לאחר לימודי משפטים באוניברסיטת עין שמס שבקהיר, את לימודיו סיים בהצטיינות ולאחר מכן החל להתמחות במשרד התובע הכללי באסמאעיליה, מנסור שנחשב לעורך דין דעתן ומשכיל נבחר למשרת התובע הכללי בעיר ובהמשך התמנה לשופט.
בשנת 1983 מנסור עורר סערה ציבורית במצרים לאחר שהרשיע את השחקן המצרי המפורסם עאדל אמאם בלעג לעורכי דין ולבתי המשפט במהלך סרט סאטירי וגזר עליו שנת מאסר, ההרשעה והמאסר בוטלו ומנסור נאלץ להתפטר מתפקידו כשופט, לאחר ההתפטרות הפך לעורך דין בכיר בתחום הערעורים.
פוליטיקה.
מנסור החל את דרכו הפוליטית ב-1990 כאשר התמודד כנציג מחוזי בבחירות לפרלמנט המצרי אך הפסיד, לאחר מכן ניסה להתמודד מספר פעמים עד שבשנת 2000 נבחר לראשונה לפרלמנט וכיהן בו עד שנת 2005.
ב-2011 היה מהמתנגדים הבולטים להפגנות נגד נשיא מצרים חוסני מובארכ ונחשב לתומך נלהב שלו, לאחר ההפיכה היה מנסור שותף בקמת מפלגת מצרים החופשית, אך עקב נאמנות למשטר מובארכ לא הורשה לרוץ לפרלמנט.
בבחירות 2014 הצטרף מנסור למפלגה הלאומית דמוקרטית (בעבר מפלגתם של מובארכ ואנואר סאדאת) ורץ ברשותה לנשיאות מצרים, לאחר שלא הצליח לגייס מספר מספיק של תומכים הסיר את מועמדותו ותמך במועמדותו של א-סיסי. ב-2018 הכריז כי ירוץ באופן עצמאי לנשיאות מצרים אל מול הנשיא המכהן עבד אל-פתאח א-סיסי. ב-27 בינואר 2018, החליט לפרוש מהמירוץ לנשיאות מצרים.
בספורט.
במקביל לכהונתו כחבר בפרלמנט המצרי הצטרף לצוות הניהול של מועדון הכדורגל א-זמאלכ בו כיהן בתחילה כסגן יושב הראש ובהמשך כיושב ראש, בתקופתו הרבה המועדון להצליח, זכה בגביע המצרי, בליגת האלופות האפריקאית ובסופר קאפ האפריקאי, בשנת 2005 הודח מתפקידו בעקבות מעורבות במעשה אלימות במהלך הדרבי של קהיר נגד קבוצת הכדורגל אל-אהלי, בשנת 2014 שב לתפקידו כיושב ראש המועדון.
משפט העקום של ז'ורדן
עקום ז'ורדן הוא לולאה פשוטה במישור, כלומר מסילה המתחילה ומסתיימת באותה הנקודה ושאינה חותכת את עצמה. משפט העקום של ז'ורדן קובע שכל עקום ז'ורדן מחלק את המישור לשני תחומים קשירים: התחום ה"פנימי" החסום, והמשלים שלו – התחום ה"חיצוני" שאינו חסום. תמונתו של העקום במישור היא שפתם המשותפת של שני רכיבי הקשירות. בפרט נובע שכל מסילה העוברת בשני התחומים חייבת לחתוך את העקום.
ברנרד בולצאנו היה הראשון לנסח את המשפט באופן פורמלי והציג אותו כהשערה. המשפט נראה מובן מאליו, ואכן הוכחת המשפט עבור עקומי ז'ורדן מצולעים היא אלמנטרית, אך עם זאת ההוכחה עבור עקום ז'ורדן כללי אינה פשוטה כלל ועיקר. למרות ההגדרה האלמנטרית למושג של עקום ז'ורדן, עקומים כאלה יכולים להיות מסובכים למדי כדוגמת פרקטל, ולהיראות מקומית למשל כמו פונקציית ויירשטראס. במקרים כאלה קשה להסיק מרציפות העקומה, שהיא תכונה מקומית, מסקנות לגבי קשירוּת של קבוצות המישור, שהיא תכונה גלובלית, וכן קשה לעיתים להבין מהו התחום הפנימי, שכן אין דרך להגדיר "פנים" ו"חוץ" לעקומה. המשפט נקרא על שם המתמטיקאי קאמי ז'ורדן שניסח אותו לראשונה בשנת 1887. תקפותה של ההוכחה שז'ורדן הציג למשפט הייתה נתונה לוויכוח, ובכל מקרה המשפט הוכח באופן מלא בשנת 1905 על ידי אוסוולד וובלן .
נוסח פורמלי והכללות.
הכללה של המשפט למרחבים אוקלידיים מממד גבוה יותר הוכחה בשנת 1911 על ידי אנרי לבג ולויצן אגברטוס יאן בראואר באופן בלתי תלוי, והיא מכונה "משפט ההפרדה של ז'ורדן-בראואר". הוכחות מודרניות למשפט נשענות על כלים מטופולוגיה אלגברית של חישוב הומולוגיה, ובכלים אלה הכללה זו אינה קשה יותר מהמשפט המקורי. הכללה נוספת עבור יריעות קשירות וקומפקטיות במרחב האוקלידי הושגה על ידי ג'יימס וואדל אלכסנדר . למשפט העקום של ז'ורדן קיימת גרסה חזקה יותר המכונה "משפט ז'ורדן–שונפילד", לפיה תמונתו של כל עקום ז'ורדן היא תמונת מעגל היחידה על ידי הומאומורפיזם מהמישור לעצמו.
להלן בכל המקרים נסמן נסמן formula_1 ונסמן את התמונה של העתקה formula_2 על ידי formula_3.
משפט העקום של ז'ורדן: תהי formula_4 לולאה פשוטה במישור (ניתן להתייחס למישור גם כאל formula_5, היות שכמרחב טופולוגי הם שקולים). אזי המרחב formula_6 הוא איחוד של שני רכיבי קשירות, האחד חסום והאחר לא חסום, ששפתם המשותפת היא formula_3.
משפט ההפרדה של ז'ורדן-בראואר (הכללה לממד גבוה): נסמן את קוביית היחידה ה-formula_8-ממדית על ידי formula_9. נגדיר "עקום ז'ורדן formula_8-ממדי" להיות העתקה רציפה מהצורה formula_11, שהיא "לולאה" במובן זה שהיא מקבלת את אותו הערך על שפת התיבה formula_12, והיא "פשוטה" במובן זה שהיא לא חותכת את עצמה, כלומר חח"ע, על פנים התיבה formula_12. אזי המרחב formula_14 הוא איחוד של שני רכיבי קשירות, האחד חסום והאחר לא חסום, ששפתם המשותפת היא formula_3.
משפט אלכסנדר (הכללה ליריעות): כל תת-יריעה טופולוגית formula_8-ממדית קשירה וקומפקטית של המרחב האוקלידי formula_17 מחלקת את המרחב לשני רכיבי קשירות, האחד חסום והאחר לא חסום, כאשר היריעה היא השפה המשותפת שלהם.
משפט ז'ורדן-שונפילד: תהי formula_4 לולאה פשוטה במישור. אזי קיים הומאומורפיזם formula_19 המקיים כי formula_20 הוא מעגל היחידה formula_21.
הוכחה באמצעות טופולוגיה אלגברית.
בהוכחה זו נראה את החלק הראשון במשפט, לפיו ישנם שני רכיבי קשירות, האחד חסום והאחד לא חסום. כדי להשלים את הוכחת המשפט יש להראות כי formula_3 היא שפתם של שני רכיבי הקשירות. חלק זה לא נובע ישירות מהאפיון על ידי טופולוגיה אלגברית, אולם הוא ניתן להוכחה באופן אלמנטרי כפי שמופיע בהוכחה לפי משפט נקודת השבת של בראואר.
נסמן ב-formula_23 את הספירה ה-formula_8-ממדית. נבחין כי עקום ז'ורדן מהצורה formula_4 הוא למעשה שיכון (כלומר העתקה רציפה וחח"ע, שההופכית שלה רציפה) מהצורה formula_26. עוד נבחין כי אם נבצע קומפקטיפיקציה של formula_27 על ידי זיהוי כל הנקודות באינסוף, נקבל את formula_28.
נסמן את תמונת העקום על ידי formula_3. זוהי תמונה רציפה של המעגל, ולכן formula_3 קבוצה קומפקטית ולכן חסומה, ומכאן שלמרחב formula_31 רכיב קשירות לא חסום יחיד, וכל שאר רכיבי הקשירות חסומים. לכן נובע כי השיכון formula_32 משמר את רכיבי הקשירות, כלומר מספיק להראות כי למרחב formula_33 יש שני רכיבי קשירות, ומיד ינבע כי האחד חסום והאחד לא חסום.
בטופולוגיה אלגברית רכיבי הקשירות נספרים על ידי ההומולוגיה formula_34 של המרחב. כדי לחשב הומולוגיה זו עבור המרחב formula_33 נשתמש במשפט מאייר-ויאטוריס. תהי formula_36 המחצית העליונה של המעגל יחד עם תוספת קצרה מתחת לקו האפס, כלומר formula_37, ובאופן דומה תהי formula_38. נסמן formula_39 ונסמן formula_40. מתקיים כי formula_41 ומתקיים כי formula_42.
ברור כי formula_43 מרחבים כוויצים ולכן formula_44 לכל formula_45. לכן ממשפט מאייר-ויאטוריס לכל formula_45 מתקבל איזומורפיזם בהומולוגיה המצומצמת:formula_47
בפרט עבור formula_48 נקבל את האיזומורפיזם:formula_49
לכן בסך הכל formula_50, במשמע יש שני רכיבי קשירות.
אותה הוכחה תהיה תקפה באינדוקציה עבור המשפט בממדים גבוהים יותר. כלומר שימוש זהה במשפט מאייר-ויאטוריס מראה כי לכל שיכון מהצורה formula_51 מתקיים עבור formula_52 כי formula_53.
הוכחה באמצעות משפט נקודת השבת של בראואר.
נציג להלן את הוכחתו של ריוג'י מאהרה (Ryuji Maehara) מ-1984, העושה שימוש במשפט נקודת השבת של בראואר.
נבחין תחילה בשתי העובדות הבאות:
לאורך ההוכחה נשתמש בשתי הטענות הבאות, אותן ניתן להוכיח על ידי משפט נקודת השבת של בראואר:
מעובדה 2 לעיל יחד עם טענה 1, די להראות כי formula_68 הוא בעל רכיב קשירות חסום יחיד.
נשים לב כי formula_3 קומפקטית, לכן יש formula_70 המקיימות,formula_71 נניח ללא הגבלת הכלליות כי formula_72 (ניתן לסובב ולמתוח ללא שינוי רכיבי הקשירות), ונקבל כי המלבן formula_73 מכיל את formula_3, וכי שפתו formula_75 מקיימת formula_76.
נתבונן בנקודות האמצע של ארבע צלעות formula_77. שתיים מהן הן הנקודות formula_78 והשתיים האחרות הן formula_79. נשים לב כי הנקודות formula_78 מחלקות את formula_3 לתמונות של שתי מסילות, שנסמן formula_82, שנקודת ההתחלה שלהן היא formula_83 ונקודת הסיום שלהן היא formula_84.
נשים לב כי הקטע האנכי formula_85 הוא מסילה המחברת את צלעותיו האופקיות של formula_77. אם כך, מטענה 2 עבור המסילות formula_87 נקבל כי החיתוך formula_88 לא ריק. תהי formula_89 הנקודה הגבוהה ביותר בחיתוך הנ"ל, ותהי formula_90 הנקודה הנמוכה ביותר (אולי formula_91).
נתבונן במסילה formula_92. נשתמש בטענה 2 עבור המסילות formula_93, ונקבל כי הן נחתכות. יהיו formula_94 כך ש-formula_95 הגבוהה ביותר ו-formula_96 הנמוכה ביותר (אולי formula_97).
נשים לב כי מאופן בחירת formula_89 נובע כי formula_99, שכן אם formula_100 זו לא לולאה פשוטה, ואם formula_101 אז formula_89 לא מקסימלי.