ב-20 ביוני 2013 נעצר על ידי היחידה הארצית לחקירות הונאה, לאחר חקירה סמויה שנוהלה נגדו במשך מספר חודשים, בחשד לביצוע עבירות של לקיחת שוחד, מרמה והלבנת הון. על פי החשדות, הוא ומקורביו לקחו לעצמם מאות אלפי שקלים מכספי תרומות. בתום חקירתו נשלח למעצר בית למשך חמישה ימים, והשעה עצמו מחלק מתפקידיו. ב-18 בנובמבר 2013 נעצר שוב על רקע החשדות הקודמים בדבר הלבנת הון, וכן שיבוש מהלכי חקירה והדחת עדים. בית משפט השלום האריך את מעצרו בתשעה ימים. באוקטובר 2015 הוגש כנגדו כתב אישום ובו מספר רב של עבירות בסעיפים: לקיחת שוחד, קבלת דבר במרמה בנסיבות מחמירות, העלמת מס, הלבנת הון, הדחה בחקירה ועוד. בכתב האישום, שנשען על האשמות איש סודו ונהגו האישי חיים אייזנשטט, שהיה לעד מדינה, תוארו העברות כספים אל כיסיהם בעקבות תיווך בין המעוניינים בגיור בחו"ל וכן מתיווך בין תורמים לעמותות. בין היתר נטען שהוא מינה את רב העדה הקווקזית בישראל לבקשת יהודי עשיר ממוסקבה תמורת תשלום.
ב-30 בינואר 2017 הרשיע אותו בית המשפט המחוזי בירושלים, במסגרת הסדר טיעון, בעבירות של לקיחת שוחד, קבלת דבר במרמה, שיבוש הליכי משפט ועבירות על פקודת מס הכנסה. ב-23 בפברואר דחה בית המשפט המחוזי בירושלים את העונש שנקבע בהסדר הטיעון, וגזר על מצגר ארבע וחצי שנות מאסר, ובנוסף חייב אותו לשלם למדינה 5 מיליון ש"ח (המורכבים מקנס בסך מיליון, חילוט בסך 2 מיליון ומס הכנסה בסך 2 מיליון ש"ח). בעקבות ערעור על חומרת העונש, הקל בית המשפט העליון בעונש המאסר שנגזר עליו והעמידו על המוסכם בהסדר הטיעון, שלוש וחצי שנות מאסר בפועל. ב-1 במאי 2017 החל לרצות את עונשו בכלא מעשיהו. בינואר 2019 דחה נשיא המדינה ראובן ריבלין את בקשתו של מצגר לחנינה באומרו כי . ב-5 במרץ 2019 הורתה ועדת השחרורים על שחרורו המוקדם, בשל התנהגות טובה ומצוקת מקום בבתי הכלא. הוא שוחרר למחרת, לאחר שריצה 22 חודשים.
בשנת 2017 החלה הרבנות הראשית לישראל בהליכים לשלילת התואר "רב" ממצגר בעקבות הרשעתו. לאחר דיונים ממושכים בוועדת המשמעת של הרבנות הוחלט, לפנים משורת הדין, שלא לשלול את התואר, בעקבות התחייבותו לא לכהן יותר בכל תפקיד ציבורי עד גיל 70, שלאחריו לא יוכל עוד לכהן בכל תפקיד כזה באופן רשמי. הוועדה קבעה כי מצגר "פגע אנושות באמון הציבור במוסד הרבנות".
משוואות קושי-רימן
באנליזה מרוכבת ואנליזה הרמונית, משוואות קושי-רימן הן צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות, שאותן מקיימים שני הרכיבים (הממשי והמרוכב) של כל פונקציה אנליטית מרוכבת. בכיוון ההפוך, אם הפונקציות הממשיות formula_1 הן דיפרנציאביליות ומקיימות את המשוואות, אז formula_2 היא פונקציה אנליטית. תנאי זה לאנליטיות של formula_3 נקרא תנאי קושי-רימן.
ניסוח פורמלי.
תהא formula_4 פונקציה מרוכבת, אז ניתן לכתוב אותה כסכום של שתי פונקציות ממשיות formula_5 : formula_6.
משוואות קושי-רימן הן שתי המשוואות הדיפרנציאליות הבאות:
תנאי קושי-רימן.
תנאי קושי-רימן לגזירות מנוסח באופן הבא:
פונקציה formula_8 גזירה בנקודה formula_9 אם ורק אם formula_10 ו- formula_11 גזירות בכל רכיב בנקודה formula_12, הנגזרות החלקיות formula_13 רציפות בנקודה formula_14 ומשוואות (1) ו-(2) לעיל מתקיימות בנקודה זו.
משוואות (1) ו-(2) לעיל נובעות למעשה, ממשוואת קושי-רימן ההומוגנית:
כך שאם נציב את formula_16 במשוואה האחרונה, נקבל את המשוואות הקודמות. ניסוח זה נוח במיוחד כאשר רוצים לבדוק את קיום תנאי קושי-רימן אצל פונקציות שקשה להפריד אותן לחלק ממשי ולחלק מדומה, למשל: formula_17.
כמו כן, אם נשתמש בקשרים formula_18 ונפעיל את כלל השרשרת על משוואת קושי-רימן ההומוגנית, נקבל את התנאי formula_19, שהוא בפני עצמו מעיד על אנליטיות של פונקציה. כלומר אם הנגזרת של f לפי z-צמוד מתאפסת רק בנקודות מסוימות, אנחנו כבר יודעים שהפונקציה f היא אנליטית אך ורק בנקודות אלה. בנוסף, אם formula_20 היא אנליטית, אז גם formula_21 היא אנליטית. נשים לב שעם ההגדרה הנ"ל עבור formula_22 אנו יכולים להגדיר את אופרטורי הגזירה הבאים:
ובדרך זו אנו מקבלים ביטוי לאופרטור לפלס בשני משתנים: formula_24.
כלומר, פונקציה מרוכבת המקיימת את משוואות קושי-רימן בנקודה מסוימת מקיימת את משוואת לפלס באותה נקודה.
ממשוואות קושי-רימן ניתן להסיק כי קווי הגובה של הפונקציות formula_5 הם אורתוגונליים, כי המכפלה הסקלרית של הגרדיאנטים של formula_5 מתאפסת:
formula_27
מהוכחת משוואות קושי-רימן ניתן גם לקבל את ערך הנגזרת של הפונקציה. בשל הקשר בין הנגזרות החלקיות שבא לידי ביטוי במשוואות קושי-רימן, די בשתיים מהנגזרות החלקיות כדי לבטא את הנגזרת בשלמותה. ביטוי אחד לנגזרת הוא formula_28.
כמו כן, אם נתונה לנו למשל הפונקציה u והיא הרמונית בתחום מסוים, אז ניתן לקבל על ידי משוואות קושי-רימן את הפונקציה v, שתיקרא ההרמונית הצמודה של u, ולכן נוכל לקבל גם את הפונקציה f, שתהיה אנליטית בתחום ההרמוניות של u ו-v.
תנאי קושי רימן בייצוג פולרי:
תהא formula_29 פונקציה מרוכבת בייצוג פולרי, אז ניתן לכתוב אותה כסכום של שתי פונקציות ממשיות formula_5 : formula_31.
במקרה זה ניתן להמיר את תנאי הגזירות של formula_5בייצוג האלגברי לפולרי כך:
formula_33
formula_34
בצורה מוכללת יותר, לכל ייצוג פולרי מהצורה formula_35(על פי דה מואבר) תנאי הגזירות יהיו:
formula_36
formula_37
הוכחה.
נתבונן בf כפונקציה formula_38. נגדיר קירוב ליניארי לf ונחשב את formula_39:
formula_40 כאשר formula_41. (קל להשתכנע בקיומו של קירוב זה מטור טיילור)
נשים לב כי formula_42, ולכן נוכל לרשום
formula_43
נגדיר את אופרטורי הגזירה הבאים: formula_44
נחלק בformula_45 ונשאיף לאפס:
formula_46
קל לראות שהביטוי formula_47 לא מוגדר (פשוט באמצעות בדיקת הגבול פעם כשהחלק הממשי שווה לאפס והמדומה שואף לאפס, ופעם כשהחלק המדומה שווה לאפס והממשי שואף לאפס, שמניבים תוצאות שונות), לכן הביטוי כולו מוגדר אם ורק אם formula_48, כלומר formula_49, ומהשוואת החלקים המדומה והממשי נקבל
שהם משוואות קושי-רימן.
תהודה מגנטית גרעינית
תהודה מגנטית גרעינית (תמ"ג; באנגלית: NMR, ראשי תיבות של Nuclear Magnetic Resonance) היא תופעה פיזיקלית המערבת תגובה בין גרעין האטום המצוי בשדה מגנטי קבוע, חיצוני, לבין שדה אלקטרומגנטי המשתנה בתדירות מסוימת המתאימה לתדר התהודה של החומר הנבדק. תנאים מגנטיים בחומר עצמו נמדדים על ידי בחינת הקרינה הנפלטת מן הגרעין האטומי.
מכשיר ה-NMR משמש בעיקר לזיהוי המבנה האטומי והמולקולרי של חומרים כימיים שונים.
הסבר על פי פיזיקה קלאסית.
לגרעינים של אטומי כל היסודות יש מטען חשמלי, שמקורו במטען החשמלי של הפרוטונים שבגרעין. לחלק מן הגרעינים יש גם מומנט מגנטי - כלומר, הם מתנהגים כאילו יש בתוכם מעגל אינפיניטסימלי של זרם. לקיומו של המומנט המגנטי יש שתי תוצאות: ראשית, המומנט עצמו מייצר שדה מגנטי בחלל, ושנית, המומנט מושפע משדות מגנטיים חיצוניים. מקור המומנט המגנטי של הגרעין הוא ה-ספין (תנע זוויתי אינהרנטי) של הנוקליאונים שבתוכו - פרוטונים וגם נייטרונים. לרוב הגרעינים אין מומנט מגנטי, כי הנוקליאונים באים בזוגות, ולכן, מאזנים זה את המומנט המגנטי של זה. אבל בגרעינים מסוימים, כגון מימן (שיש לו רק פרוטון אחד), זרחן, פחמן-13 וכיוצא באלה, יש לגרעין מומנט מגנטי שונה מאפס.
תופעת ה-NMR קיימת בחומר שלגרעין שלו יש מומנט מגנטי. בהיעדר שדה מגנטי חיצוני, חומר כזה לא מראה שום תכונות מגנטיות (אין לו מגנטיזציה כוללת (bulk magnetization)), מאחר שהמומנטים המגנטיים מתאזנים הדדית (היות שהם מכוונים אקראית במרחב). אם מסמנים את המומנט המגנטי של גרעין מסוים כ formula_1 אז
formula_2
אבל, אם מניחים חומר כזה בתוך שדה מגנטי חיצוני, מושרית בו מגנטיזציה כוללת שונה מאפס, מאחר שבמצב זה, לכל מומנט יש יותר סיכוי להצביע במקביל לשדה, ונוצר לפיכך, כיוון מועדף. לפי משוואת לנז'בין () המיגנוט שווה ל:
formula_3 כאשר formula_4
(T היא הטמפרטורה, B השדה החיצוני, k קבוע בולצמן (Boltzmann) ו-N מספר המומנטים בחומר). כאשר formula_5 אפשר להשתמש בקירוב של חוק קירי (Curie), האומר:
formula_6
אם מאלצים מגנטיזציה formula_7 בניצב לשדה המגנטי (המסומן ב formula_8), ניתן להוכיח מחוק שימור התנע הזוויתי כי המגנטיזציה formula_7 תסתובב מסביב ל formula_8. במקרה זה, תדר הסיבוב של המגנטיזציה (המסומן ב formula_11) הוא פונקציה ליניארית של עוצמת השדה המגנטי החיצוני וערכו הוא:
formula_12
המספר formula_13 נקרא "היחס הג'ירומגנטי" (gyromagnetic ratio) והוא שונה מיסוד ליסוד. עבור מימן formula_14 הרץ לגאוס. תדר זה נקרא תדר לרמור והסיבוב נקרא נקיפה חופשית. מהנ"ל אפשר להסיק שעבור מימן (מים או שומן) שנמצא בשדה מגנטי של 0.5 טסלה תדר לרמור הוא 21.285 מגהרץ.