באלגברה מופשטת, ובתורת גלואה הומומורפיזם פרובניוס (Frobenius endomorphism) הוא הומומורפיזם של חוגים חילופיים ממאפיין ראשוני, המעלה כל איבר בחזקת formula_1. יש לו שימוש מיוחד בתורת גלואה - במקרה זה הוא אוטומורפיזם, ומהווה יוצר של חבורת הגלואה של הרחבת שדות לכל שדה סופי ממאפיין formula_1.
הגדרה.
יהי formula_3 חוג חילופי עם יחידה ממאפיין ראשוני formula_4. הומומורפיזם פרובניוס formula_5 מוגדר על ידי formula_6 לכל formula_7.
זהו הומומורפיזם, משום ש-formula_8 (כי החוג חילופי), ו- formula_9 לפי הבינום של ניוטון. כאשר formula_3 תחום שלמות (או תחום ללא נילפוטנטים) הוא גם חד-חד-ערכי, משום ש-formula_11 גורר ש-formula_12.
לכן, כאשר מדברים על שדות סופיים ממאפיין ראשוני, זהו בהכרח אוטומורפיזם, משום שזו העתקה חח"ע בין קבוצות שוות עוצמה. באופן כללי, שדה ממאפיין חיובי הוא מושלם אם ורק אם הומומורפיזם פרובניוס שלו הוא אוטומורפיזם. כאמור, כל שדה סופי הוא מושלם, ומאידך שדה הפונקציות במשתנה אחד formula_13 איננו מושלם - הומומורפיזם פרובניוס איננו על.
בתורת גלואה.
שדות סופיים.
נסתכל בשדה הבסיסי formula_14 עם פעולות חיבור וכפל מודולו p, באשר p מספר ראשוני. נניח ש-formula_15 הרחבת שדות מממד סופי formula_16. במקרה זה הומומורפיזם פרובניוס הוא אוטומורפיזם, השומר על איברי formula_17, לפי המשפט הקטן של פרמה. לכן, הוא שייך לחבורת גלואה formula_18. יותר מכך, מתקיים:
משפט: הסדר של אוטומורפיזם פרובניוס הוא formula_19.
לכן, מכך שמדובר בהרחבת גלואה וממד ההרחבה הוא formula_16, גם גודל החבורה הוא formula_16, ויחד עם המשפט נקבל שהיא ציקלית: formula_22. בפרט, לפי המשפט היסודי של תורת גלואה נובע ששדה השבת שלו הוא בדיוק formula_17.
בממד אינסופי.
כאשר ההרחבה היא מממד סופי, אוטומורפיזם פרובניוס גם הוא בעל סדר אינסופי. בכל זאת, למשל במקרה של חבורת גלואה האבסולוטית formula_24, הוא איננו יוצר את החבורה - החבורה ודאי לא ציקלית; היא יותר מסובכת. לפי תכונות של גבול הפוך, היות שהוא יוצר כל הרחבה סופית, הוא יוצר כל מנה מאינדקס סופי שלה.
אוטומורפיזם פרובניוס
משפט אי השכפול
מרכז הונגריה
מרכז הונגריה (בהונגרית: Közép-Magyarország) הוא אחד מחבלי הונגריה המוגדרים לצרכים סטטיסטיים ותכנוניים ושוכן במרכז המדינה. הוא כולל בתוכו את עיר הבירה בודפשט ואת מחוז פשט. מרכז החבל נמצא בבודפשט.
מרק ולש
מרק אנתוני ולש השלישי (באנגלית: Mark Anthony Welsh III; נולד ב-26 בינואר 1953) הוא גנרל בדימוס שכיהן כראש המטה של חיל האוויר של ארצות הברית.
ביוגרפיה.
ולש נולד בטקסס. בשנת 1976 סיים את לימודיו באקדמיית חיל האוויר והחל את שירותו בחיל. למד טיסה, הטיס מטוסי A-10 ו-
F-16 ומטוסי אימונים, וצבר למעלה מ-3,400 שעות טיסה. השתתף במלחמת המפרץ. מילא שורה ארוכה של תפקידי פיקוד, לרבות פיקוד על טייסת קרב, מפקד כנף קרב, מפקד כנף באקדמיה של חיל האוויר ומפקד כוחות האוויר של ארצות הברית באירופה (במסגרת תפקיד זה פיקד על חיל האוויר השלישי, שתחום פעילותו מכסה למעלה מחמישים מדינות). כמו כן כיהן בתפקידי מטה שונים, לרבות כקצין במטה חיל האוויר ובפנטגון וכעוזר לעניינים צבאיים למנהל סוכנות הביון המרכזית, תפקיד שבו שימש כמקשר לעניינים צבאיים בין הסוכנות לבין משרד ההגנה של ארצות הברית. באוגוסט 2012 החל לכהן כראש המטה ה-20 של חיל האוויר של ארצות הברית. ב-1 ביולי 2016 סיים את תפקידו והוחלף על ידי גנרל דייוויד גולדפיין.
ולש הוא בעל תואר ראשון במדעים מהאקדמיה של חיל האוויר ובעל תואר שני בניהול משאבי מיחשוב מאוניברסיטת ובסטר. כמו כן למד באוניברסיטה לביטחון לאומי, בתוכנית המנהלים של בית הספר למנהל עסקים באוניברסיטת הרווארד ובמספר בתי ספר לפיקוד ומטה של ארצות הברית.
ולש עוטר בעיטורים אמריקאים וזרים רבים, לרבות מדליית השירות המצוין של מחלקת ההגנה (שלוש פעמים), מדליית השירות המצוין של חיל האוויר (פעמיים), לגיון ההצטיינות (פעמיים), צלב התעופה המצוינת (פעמיים) ומדליית האוויר (פעמיים).
כמיקל בראדרז
כמיקל בראדרס
דה כמיקל בראדרס
אלפיו בסילה
מגבטס
מגבטס, (המאה ה-5 לפנה"ס) היה מצביא פרסי, שכישלונו במצור על האי נקסוס גרר את המרד האיוני.
ביוגרפיה.
על פי הרודוטוס מגבטס היה קרוב משפחתו של דריווש הראשון. הרודוטוס טוען גם שמאוחר יותר לאחר מלחמת פרס יוון ניסה המצביא הספרטני פאוסניאס לשאת לאשה את בתו של מגבטס. אם כי תוקידידס טוען דווקא שפאוסניאס נישא לבתו של חשיארש הראשון.
בשנת 501 לפנה"ס הגיש טיראן מילטוס אריסטגורס בקשה לארטפרנס הסטרפ של סרדיס לספק לו 200 ספינות מלחמה לצורך כיבוש האי נקסוס. ארטפרנס קיבל אישור משושן ונתן לאריסטגורס את הספינות. את מגבטס הוא צרף למשלחת כשותף לפיקוד עם אריסטגורס. אולם קצין יווני בשם סקילכס התרשל בשמירה על אחת מהספינות שהיו נתונות לפיקודו של מגבטס, זה האחרון העניש אותו באכזריות. אריסטגורס שסקילכס היה ידידו זעם על כך והעליב את מגבטס. כנקמה החליט מגבטס להכשיל את המסע, הוא שלח שליחים לנקסוס כדי שיודיעו שם על ההתקפה המתקרבת. המצור הכושל ערך ארבעה חודשים ובסופו נאלצו הפרסים לסגת. המעשה גרר לבסוף מרד צד אריסגורס, המרד התפשט לכל איוניה וזכה לכינוי המרד האיוני.
חוקרים כגון משה עמית מפקפקים באמינות הסיפור, שכן לא נראה שמגבטס יבגוד במלכו רק לצורך נקמה אישית. ובהמשך הוא אף נזכר מדי פעם כממלא תפקידים צבאיים שונים. יש חוקרים הסבורים שהמצור נכשל לא באשמת מגבטס והפרסים האשימו את היוונים בכישלון.
תוקידידס מזכיר גם שמגבטס היה הסטרפ של דאסקיליון והוחלף בארטבזוס בהוראת חשיארש הראשון.
גינטר ראל
גינטר ראל (בגרמנית: Günther Rall; 10 במרץ 1918 - 4 באוקטובר 2009) היה טייס בלופטוואפה במהלך מלחמת העולם השנייה ואלוף ההפלות השלישי בסך ההפלות בהיסטוריה. לאחר המלחמה חזר לשרת בבונדסוור של גרמניה המערבית עד לשיחרורו בדרגת גנרל-לויטננט בשנת 1975.
ראל החל את מלחמת העולם השנייה בדרגת לויטננט וסיים את המלחמה בדרגת מיור כמפקד כנף 300. במהלך המלחמה נזקפו לזכותו 275 הפלות של מטוסי אויב במהלך 621 משימות קרב. הוא לקח חלק במערכה על צרפת ועל ארצות השפלה, הקרב על בריטניה, המערכה בבלקן ובקרב על כרתים. לאורך המלחמה הטיס ראל מטוס Bf 109 'מסרשמיט'.
ביוגרפיה.
ראשית חייו.
גינטר ראל נולד בשנת 1918 בעיירה גגנאו בתחום היער השחור שבדרום מערב גרמניה, בגיל שלוש משפחתו עברה לשטוטגרט. עם סיום לימודיו בשנת 1936 התגייס ראל לאקדמיה הצבאית בדרזדן במטרה להיות קצין חיל רגלים, במהלך לימודיו נתקל בחבר ותיק שהשפיע עליו להיות טייס, ראל החל קורס טיס והוכשר כטייס בלופטוואפה ב-1 ביולי 1938. הוא הוכשר כטייס קרב והוצב בכנף קרב 52 כשהוא בדרגת לויטננט.
מלחמת העולם השנייה.
מערב אירופה והבלקן.
ראל נכנס לראשונה ללחימה ב-12 במאי 1940 במהלך המערכה על צרפת, כאשר הוא נתקל בשלושה מטוסי קרטיס P-36 הוק של חיל האוויר הצרפתי כשהם תוקפים מטוס סיור גרמני בגובה 8,000 מטרים. ראל נכנס ללחימה איתם והפיל את אחד המטוסים, על טבילת אש ראשונה זו ציין ראל כי התמזל מזלו בהפלה זו, אך הצלחתו הראשונה העניקה לו ביטחון עצמי רב. ב-18 במאי הפיל ראל מטוס P-36 נוסף שהוטס על ידי טייס צ'כי אשר נטש ושרד את הפלתו.
לאחר הכיבוש הגרמני של צרפת, הועבר כנף הקרב 52 לקאלה בצפון צרפת כחלק מההערכות לקרב על בריטניה. כתוצאה מאבדות קשות שספגו טייסי הכנף בקרבות, ראל קיבל ב-25 ביוני 1940 את תפקיד מפקד הטייסת השמינית של הכנף, שבוע לאחר מכן ב-1 באוגוסט הוא קודם לדרגת אובר-לויטננט. עם עליית מספר האבדות בטייסי הכנף, היחידה הועברה לעורף כדי להחלים ולקלוט טייסים חדשים. באביב 1941 הועבר הכנף לאזור הבלקן כחלק מהמערכה בבלקן, ביוני ראל השתתף ביחד עם טייסות הכנף בקרב על כרתים ולאחר ההצלחה בכרתים נשלחה הכנף לרומניה כדי להילחם במפציצי הצבא האדום שאיימו על שדות הנפט שם.
ברומניה הוצבה הטייסת של ראל בסמוך לכפר מיסיל (כ-50 ק"מ צפונית לבוקרשט) ומטוסי ה-Bf 109E של הטייסת הוחלפו במטוסי הדגם המתקדם Bf 109F.
מזרח אירופה.
עם תחילת מבצע ברברוסה והפלישה הגרמנית לברית המועצות, ראל הפיל את המטוס השלישי, הרביעי והחמישי שלו במהלך שלושה ימי לחימה ביוני 1941. כתוצאה מחוסר המוכנות של כוחות האוויר הסובייטיים והעדיפות הטכנולוגית והמקצועית של הלופטוואפה, בחודשי המלחמה הראשונים נוצרה עליונות אווירית גרמנית כמעט מוחלטת.
כנף 52 לחמה בגזרה הדרומית בסיוע לכוחות הקרקעיים עם הצלחה מרובה, הטייסת של ראל אף השיגה 50 הפלות בפרק זמן של חמישה ימים בלבד וראל עצמו הפיל את מטוסו ה-37 ב-28 בנובמבר 1941. במהלך קרב אוויר זה נפגע מטוסו והוא נאלץ לנחות נחיתת חירום שגרמה לו לאבד את הכרתו, הוא חולץ משדה הקרב על ידי צוות טנק גרמני והגיע בדצמבר לבית חולים בווינה לאחר שנתגלה כי שבר את גבו בשלושה מקומות.
למרות שנאמר לו כי לא יוכל לשוב ללכת ובוודאי לא לטוס, החלים ראל במשך כמעט שנה וחזר לטייסת שלו בסוף אוגוסט 1942. ב-3 בספטמבר עוטר ראל בצלב האבירים של צלב הברזל לאחר שהשיג את הפלתו ה-65. לעיטור זה הוספו 'עלי אלון' לקראת סוף נובמבר לאחר שהשיג את הפלתו ה-101, עיטור שהוענק לו על ידי היטלר באופן אישי. באפריל 1943 הועלה ראל לדרגת האופטמן וב-20 לחודש הוא הפיל את המטוס ה-5,000 של הכנף.