חסם מלרע מקסימלי וחסם מלעיל מינימלי, כאשר הם קיימים, נקראים אינפימום וסופרמום בהתאמה (החסם התחתון והחסם העליון בעברית). חסמים אלה הם "הדוקים" במובן זה שאין חסם מלרע או חסם מלעיל שגדול או קטן מהם בהתאמה. אקסיומת השלמות מבטיחה קיום של אינפימום או סופרמום לכל קבוצה חסומה מלרע או מלעיל בשדה המספרים הממשיים (בניגוד לשדה המספרים הרציונליים), לדוגמה: לקבוצת המספרים הממשיים שבקטע הפתוח (0,1) יש חסם תחתון 0 וחסם עליון 1. בנוסף, המינימום או המקסימום של תת-קבוצה, כאשר הם קיימים, הם גם האינפימום והסופרמום שלה, כי המינימום לדוגמה הוא בהגדרה איבר בתת-קבוצה ולכן כל חסם מלרע, והאינפימום בפרט, קטן או שווה לו. כמו כן, הלמה של צורן מבטיחה קיום של חסם כזה גם בקבוצות כלליות יותר, בהינתן תנאים מסוימים.
קיום של חסם.
הקיום של חסם מלעיל וחסם מלרע מובטח לכל תת-קבוצה סופית של קבוצה סדורה היטב ולא ריקה. במקרה של הקבוצה הריקה, כל איבר בקבוצה הסדורה מקיים באופן ריק הן את התנאי של חסם מלעיל והן את התנאי של חסם מלרע. יותר מכך, כל איבר של קבוצה סדורה חלקית יכול לשמש כחסם מלעיל ומלרע של הקבוצה הריקה. עבור קבוצה חלקית סופית ולא ריקה של קבוצה סדורה היטב מובטח קיומם של מקסימום ומינימום, ואלה כאמור חסמים מלעיל ומלרע בהגדרה. לעומת זאת, בקבוצות אינסופיות לא תמיד קיים חסם מלעיל או מלרע, לדוגמה: לקבוצת המספרים השלמים אין חסם מלעיל ואין חסם מלרע; המספר 1 הוא חסם מלרע של קבוצת המספרים הטבעיים, אך אין לה חסם מלעיל. הטענה לגבי תת-קבוצות סופיות לא מתקיימת בהכרח כשמחליפים את הדרישה לקבוצה סדורה היטב בדרישה לקבוצה סדורה חלקית.
חסם עליון
חסם תחתון
סופרמום
אינפימום
חסם מלעיל
חסם מלרע
חיי שרה
תומס וודרו וילסון
פרשת חיי שרה
פרשת חַיֵּי שָׂרָה היא פרשת השבוע החמישית בספר בראשית. לפי החלוקה לפרקים, היא מתחילה ב ומסתיימת ב. הפרשה נפתחת במותה של שרה ומתארת מאורעות שונים בחיי יצחק ואברהם עד מות אברהם. מרביתה של הפרשה מוקדש לשני נושאים: קבורת שרה במערת המכפלה ומציאת אישה ליצחק. את פרשת חיי שרה קוראים בין התאריכים כ"ב בחשוון-כ"ז בחשוון.
נושאים בפרשה.
מות שרה.
הפרשה נפתחת בתיאור מותה של שרה אשת אברהם. אברהם סופד לה ומבקש לקבור אותה בחברון ולשם כך הוא רוכש, בכסף מלא מאת עפרון החיתי, את מערת המכפלה. הדין והדברים עם עפרון ובני חת אודות הרכישה מתוארים בהרחבה בחלקה הראשון של הפרשה.
מציאת שידוך ליצחק.
עיקר הפרשה הוא תיאור שליחותו של עבד אברהם (הגישה המקובלת בחז"ל זהו אליעזר, אך במדרש הראובני נכתב שהמדובר בעבד אחר בשם אליהו) בידי אברהם למצוא אישה ליצחק. אברהם מתנגד לכך שיצחק ייקח אישה מבנות כנען, ולכן הוא שולח את עבדו אל משפחתו שבארם נהריים. העבד מגיע למקום ונושא תפילה אל ה' בבקשת סיוע למציאת אישה ראויה ליצחק, ואף קובע מבחן בו יתברר מי היא האשה הראויה: העבד יבקש להשקות אותו, והאשה הראויה ליצחק היא זו שתסכים ואף תציע להשקות את גמליו.
מיד בסיום תפילתו מגיעה רבקה אל הבאר, וכשהוא מבקש ממנה להשקותו, היא מסכימה ואף מציעה מיוזמתה להשקות גם את גמליו. לאחר סיום השקאת הגמלים ממהר העבד להעניק לרבקה תכשיטים ומתנות, שואל אותה למשפחתה, ומבקש ממנה להתארח בבית משפחתה. רבקה מספרת לעבד כי היא ממשפחת נחור (אחי אברהם), והעבד בא לבית משפחתה. לאחר דין ודברים עם בני משפחתה, בני המשפחה מסכימים להשיא את רבקה ליצחק, אך מציעים כי רבקה תלך לארץ כנען מאוחר יותר, בעוד עבד אברהם מבקש לקחת את רבקה מיד. לבסוף מחליטים בני המשפחה לקרוא לרבקה ולשאול אותה לדעתה, והיא מביעה את הסכמתה ללכת עם עבד אברהם.
העבד לוקח את רבקה איתו לארץ כנען, ושם היא נישאת ליצחק, המגלה כלפיה אהבה ומתנחם בכך מפטירת שרה אימו. פרשה זו של נישואי רבקה ליצחק היא ארוכה במיוחד, וכוללת חזרה משולשת על המבחן אותו ערך אליעזר לרבקה: פעם ראשונה בעת התכנון, פעם שנייה בעת המעשה, ופעם שלישית בעת סיפור הדברים למשפחת רבקה, כאשר ישנם מספר שינויים בין תיאור המעשה בפועל לבין סיפור הדברים למשפחת רבקה.
נישואי אברהם לקטורה וירושתו.
בהמשך הפרשה מסופר על אחרית ימיו של אברהם: אברהם נושא אישה נוספת ושמה קטורה, ומוליד ממנה שישה בנים. את ירושתו הוא מוריש ליצחק בלבד, ואת שאר הילדים ('בני הפילגשים') הוא משלח עוד בחייו ל"ארץ קדם" לאחר שהעניק להם 'מתנות'.
אברהם נפטר בן 175, ונקבר במערת המכפלה על ידי בניו יצחק וישמעאל. לאחר מות אברהם מברך אלוהים את יצחק, ויצחק מתיישב בבאר לחי ראי. על פי התארוך המקראי, פטירת אברהם אירעה למעשה לאחר הולדת יעקב ועשו (שנולדו בגיל 160 של אברהם), המתוארת בפרשה הבאה, פרשת תולדות.
הפרשה נחתמת בפירוט תולדותיו של ישמעאל, צאצאיו ומקום מגוריו, "מחוילה עד שור אשר על פני מצרים באכה אשורה", ופטירתו של ישמעאל בגיל 137. גם פטירתו של ישמעאל מתרחשת למעשה זמן רב לאחר המאורעות המתוארים בתחילת פרשת תולדות (יעקב ועשיו נולדו בשנת 74 לישמעאל).
"יפה שיחתן של עבדי אבות".
בפרק כ"ד, המוקדש במלואו לבחירת רבקה ליצחק ישנה חזרה משולשת על המבחן שעורך עבד אברהם לרבקה. פרשני המקרא עמדו על כך, וניסו להסביר מדוע הסיפור חוזר על עצמו שלוש פעמים, בעוד פרשיות אחרות בתורה נכתבו בקיצור משמעותי. מדרש רבה מכנה זאת: (פרשה נ"ט).
ישנם מספר הבדלים בין סיפור המעשה בפועל, לבין תיאור הדברים מפי עבד אברהם למשפחת רבקה לאחר מכן. שינוי מהותי בין שני החלקים הוא תיאור אליעזר מאוחר יותר כי שאל את רבקה לשמה ולמשפחתה קודם שנתן לה תכשיטים ומתנות, בעוד למעשה סדר הדברים היה הפוך. להלן חמש דוגמאות להבדלים:
תאריכי הקריאה.
השבת בה קוראים את פרשת חיי שרה יכולה לחול בארבעה תאריכים שונים:
הפטרה.
מפטירים ב. האיטלקים מוסיפים עד , וחלק מהתימנים (קהילות השאמי) מוסיפים בסוף . ההפטרה מתארת את אחרית ימיו של דוד המלך וכיצד הוריש את מלכותו לבנו שלמה.
בנוסח רומניא הפטירו עד .
אירועים.
הישוב היהודי בחברון מציין בשבת פרשת חיי שרה את "שבת חברון" בעקבות תיאור קניית מערת המכפלה בידי אברהם המופיע בפרשה. בשבת זו מתארחים רבים בקריית ארבע ובחברון. במסגרת ההסדרים שהונהגו במערת המכפלה לאחר טבח מערת המכפלה, בשבת זו המקום פתוח כולו (כולל אולם יצחק) לתפילת יהודים.
ג'ון טיילר
ג'ון טיילר (באנגלית: John Tyler; 29 במרץ 1790 – 18 בינואר 1862) היה נשיאה העשירי של ארצות הברית, בין השנים 1841 ל-1845. בנוסף, כיהן למשך חודש כסגן נשיא ארצות הברית (1841), ונבחר לתפקיד ב-1840 יחד עם ויליאם הנרי הריסון מטעם המפלגה הוויגית. לאחר מותו של הריסון באפריל 1841, כחודש לאחר כניסתו לתפקיד, הפך טיילר לנשיא. טיילר תמך בזכויות המדינות, וזכה לתמיכה מווירג'יניה, אולם לא היסס לנקוט במדיניות לאומית כשזאת לא פגעה בזכויות המדינות. למרות זאת, הצורה בה הגיע לשלטון, והאיום שהיווה כלפי הנרי קליי שרצה להיות נשיא, הותירו אותו מבודד מבחינה פוליטית בשתי המפלגות הגדולות. טיילר האמין ברעיון הייעוד הגלוי, וניסה לעודד התרחבות טריטוריאלית, כולל סיפוח רפובליקת טקסס לקראת סוף כהונתו (מטרה שהוגשמה בידי יורשו בתפקיד הנשיא, ג'יימס פולק).
טיילר נולד למשפחה אמידה מווירג'יניה, והשיג מוניטין לאומי בזמן של תהפוכות פוליטיות. בשנות העשרים, המפלגה היחידה במדינה, הדמוקרטית - רפובליקנית, התפלגה לפלגים שונים. אף על פי שהיה דמוקרט במקור, הוא התנגד לאנדרו ג'קסון ולמרטין ואן ביורן והחליט לתמוך בוויגים. טיילר היה ציר במדינת וירג'יניה, מושל המדינה, חבר בבית הנבחרים של ארצות הברית וסנאטור לפני שנבחר להיות סגן הנשיא. טיילר מונה לתפקידו כדי לזכות לתמיכת הדרום ולעזור למפלגה הוויגית לנצח בבחירות את מרטין ואן ביורן.
לאחר מותו של הריסון, הפך טיילר לסגן-הנשיא הראשון שנכנס לכהונתו עקב מות הנשיא, ובגלל כהונתו הקצרה של הריסון, שירת יותר מכל נשיא לא-נבחר אחר אי פעם. למעשה, לא ברור שהשבעת טיילר כנשיא הייתה חוקית: חוקת ארצות הברית אמנם קבעה כי בהתפנות משרת הנשיא יעברו כל חובותיו וסמכויותיו לסגנו, אולם לא נאמר כלל שגם תואר הנשיא יעבור לסגן, אשר יושבע כנשיא ממש. למעשה, טיילר הושבע כנשיא, וכך נהגו גם כל סגני הנשיא שנכנסו לנשיאות אחריו, עד לינדון ג'ונסון. התיקון ה-25 לחוקת ארצות הברית הסיר את הספיקות, כאשר קבע מפורשות (סעיף 1) כי בהתפנות משרת הנשיא יהיה סגן הנשיא לנשיא. ג'רלד פורד היה סגן הנשיא הראשון (ועד כה - היחיד) שהושבע לפי תיקון זה. טיילר מצא את רוב המצע הוויגי כמנוגד לחוקה, וביטל חוקים רבים ממפלגתו. הוא האמין שעל הנשיא לקבוע מדיניות, וניסה לעקוף את הוויגים, ובעיקר את מנהיג המפלגה, הסנאטור מקנטקי הנרי קליי. רוב הקבינט שלו התפטר, והוויגים, שקראו לו "הוד תאונתו" ("His Accidency") סילקו אותו מהמפלגה. טיילר לא היה הנשיא הראשון שביטל חוקים, אולם היה הנשיא הראשון שהקונגרס ביטל את הוטו שהטיל. למרות המאבקים במדיניות הפנים, טיילר הצליח במדיניות החוץ שלו, הגיע להסכם עם בריטניה ואף להסכם דיפלומטי עם סין של שושלת צ'ינג.
הנשיא טיילר הקדיש את השנתיים האחרונות שלו בתפקיד לסיפוח טקסס. הוא רצה להיבחר שוב, אבל לאחר שאף מפלגה לא תמכה בו, החליט לא להתמודד. כשמלחמת האזרחים האמריקנית החלה ב-1861, תמך טיילר בקונפדרציה, ונבחר לבית הנבחרים שלה, אך מת קודם שנכנס לתפקידו. אף על פי שכמה אנשים שיבחו את נשיאותו, כיום הוא נחשב לנשיא לא בולט.
ראשית חייו וקריירה כעורך דין.