בגלל ש-"P" סימטרי, החלק הלקוני נקבע באופן חד-חד ערכי על ידי איברי "P" שמכילים רק את "n-1" המשתנים הראשונים, דהיינו "X"1, …, "X""n" − 1, כלומר אלו שאינם מכילים את "X""n". ביותר דיוק, אם "A" ו-"B" הם שני פולינומים הומוגניים סימטריים ב-"X"1, …, "X""n" בעלי אותה מעלה, ואם המקדם לפני כל מונום של "A" שמכיל רק את המשתנים "X"1, …, "X""n" − 1 שווה למקדם המתאים של "B", אז ל-"A" ו-"B" יש חלקים לקוניים זהים. זה נובע מכך שכל מונום שמופיע בחלק הלקוני חייב להיות בעל לפחות משתנה חסר אחד, וכמו כן "P" נשמר תחת פעולת החבורה הסימטרית formula_10, ולכן ניתן באמצעות תמורה מתאימה של המשתנים להפוך אותו למונום שמכיל רק את המשתנים "X"1, …, "X""n" − 1. כדוגמה מוחשית, נסתכל על הפולינום הסימטרי ההומוגני formula_11 - החלק הלקוני שלו הוא formula_12, ואמנם הוא מכיל גם את formula_13, אך את איבר זה למעשה ניתן היה לקבל מראש על בסיס האיבר formula_14 - אם זוכרים ש-"P" סימטרי - כך שניתן להפעיל את התמורה formula_15 על האינדקסים של המשתנים.
האיברים של "P" שמכילים רק את המשתנים "X"1, …, "X""n" − 1 הם בדיוק האיברים ששורדים תחת הפעולה של הצבת הערך של "X""n" על 0, כך שסכומם שווה ("P"("X"1, …, "X"n − 1, 0, שהוא פולינום סימטרי במשתנים "X"1, …, "X""n" − 1 שנסמנו כעת ("P̃"("X"1, …, "X""n" − 1. מהנחת האינדוקציה, הפולינום הזה ניתן לכתיבה כ-:
בעבור פולינום כלשהו "Q̃", כאשר "σ""j","n" − 1 מייצג את הפולינום הסימטרי האלמנטרי ממעלה "j" ב-"n-1" משתנים.
נתייחס כעת לפולינום
("R"("X"1, …, "X""n" הוא פולינום סימטרי ב-"X"1, …, "X""n", ממעלה זהה ל-"P"lacunary, אשר מקיים
במילים אחרות, המקדם של "R" לפני כל מונום אשר מכיל רק את המשתנים "X"1, …, "X""n" − 1 שווה למקדם המתאים של "P". פירוש הדבר הוא שהחלק הלקוני של "R" זהה לזה של הפולינום המקורי "P". לפיכך להפרש "P" − "R" אין חלק לקוני, ולכן הוא מתחלק במכפלה "X"1···"Xn" של כל המשתנים, אשר שווה לפולינום הסימטרי האלמנטרי "σ""n","n". כיוון ש-"P" − "R" "σ""n","n""Q", המנה "Q" היא פולינום הומוגני סימטרי ממעלה קטנה מ-"d" (למעשה ממעלה לכל היותר "d-n") אשר לפי הנחת האינדוקציה ניתנת לביטוי כפולינום בפולינומים הסימטריים האלמנטריים. באמצעות שילוב ההצגות של "P" − "R" ו-"R" ניתן לבנות הצגה פולינומית של הפולינום המקורי "P".
היחידות של ההצגה ניתנת להוכחה באמצעות טכניקה אינדוקטיבית דומה. היא שקולה לעובדה ש-"n" הפולינומים "e"1, …, "en" הם בלתי תלויים אלגברית מעל החוג "A".
דוגמה.
בהתאם לתהליך בהוכחה, נציג את formula_20 כהפרש בין חזקה של פולינום סימטרי אלמנטרי לבין פולינום סימטרי הומוגני ממעלה נמוכה יותר:
formula_21
לפי הנחת האינדוקציה על מעלת הפולינום, את הפולינום formula_22 בהכרח ניתן להציג בדרך המבוקשת, ונראה זאת: formula_23. לכן קיבלנו הצגה בפולינומים האלמנטריים:
formula_24.
ניתן להרחיב את הבנייה למקרה של סכום חזקות רביעיות של "n" משתנים, תוך התבססות על התוצאה ל-2 משתנים ושימוש בחלק השני של הנחת האינדוקציה; ביחס למספר המשתנים.
אמיל גאלה
אמיל גאלה (בצרפתית: Émile Gallé; 8 במאי 1846 - 23 בספטמבר 1904) היה אמן, מעצב רהיטים וזכוכית, חלוץ בחידושים בזכוכית ותעשיין. גאלה היה מוביל בתנועת הארט נובו הצרפתית ומייסד אסכולת נאנסי.
ביוגרפיה.
אמיל היה בנו של שארל גאלה (1818 – 1902) אמן ויצרן מצליח בתחומי הרהיטים והקרמיקה בנאנסי. לאחר שסיים לימודי התיכון ב-Henri Poincare ואת לימודי השפה הגרמנית בווימאר, למד גאלה גם פילוסופיה, בוטניקה, מינרולוגיה וציור. ב-1867 הצטרף למפעל המשפחתי. את אהבתו לבוטניקה ששימשה לו השראה במרבית יצירותיו, קיבל מסבו שהרבה לטייל אתו ביערות שבאזור. בגנו הפרטי היו למעלה מ-3,000 מינים של צמחים. בטכניקת ייצור כלי זכוכית השתלם גאלה במייזנטל (Meisenthal), במפעל חרסינה בשם סנט קלמנט. הוא התנדב לשרת כחייל במלחמת צרפת-גרמניה. בשנת 1871 נסע ללונדון, למד שם אנגלית ועבד במוזיאון ויקטוריה ואלברט בקנזינגטון ובגן הבוטאני המלכותי – קיו גרדן. בפריז השתלם באמנות בגבישים עתיקים ובעבודות אמייל בטכניקות ערביות. שם גם נחשף לסגנון היפני (ז'אפוניזם) שהשפיע על עבודתו כמו על מרבית אמני הארט נובו. בשנת 1875 נישא אמיל גאלה להנרייטה גרים וב-1877 הצטרף כמנהל לעסק של אביו. הוא העביר אותו לרחוב לה גרן בננסי ושם הפך למוסד המוביל באמנות הארט נובו בזכוכית, בחרסינה ובעץ (רהיטים). בסוף שנות ה-80 עבדו בסדנה-מפעל שלו יותר משלוש מאות אמנים ובעלי מלאכה. המפעל במתכונת חצי תעשייתית ייצר דגמים של גאלה ושל אמני זכוכית אחרים עד שנסגר ב-1936. ב-1901, לאחר שזכה בפרסים רבים ופרסום רב, הוא ייסד בשיתוף עם אמנים, בהם ויקטור פרוב, צורף, לואי מיורל, בונה רהיטים, ואנטון דאום, אמן זכוכית, תנועה אמנותית ברוח הארט נובו שידועה בשם "אסכולת נאנסי". ב-1904, בן 58, נפטר מלוקמיה, מחלה שסימניה הופיעו כבר ב-1900 ושנגרמה כנראה מחומרים כמו קדמיום, מנגן, ארסן ואורניום שעמם עבד בצביעת הזכוכית האמנותית. הוא נקבר בבית הקברות פרוויל בנאנסי (Préville). רבות מעבודותיו של גאלה (למעלה מ-400) מצויות היום במוזיאון של אסכולת נאנסי Musée de l'École de Nancy. אחרות מצויות במוזאונים רבים בעולם, בהם מוזיאון ד'אורסה (Muse'e d'Orsay), הלובר בפריז, והמטרופוליטן בניו יורק.
אמן זכוכית.
את כלי הזכוכית הראשונים שייצר קישט באמייל. בהמשך פיתח סגנון אישי וייצר כלים מזכוכית עבה ולא שקופה שהקישוטים והציורים עליה נעשו בחריטה ובצריבה. בהשראת לימודי הבוטניקה שלו וסגנון הארט נובו שהתפתח באותה תקופה, המוטיבים לציורים ביצירותיו היו מהצומח, בעיקר פרחים, וחרקים: כמו שפיריות, פרפרים וחיפושיות. הוא קידם ושכלל טכניקות לייצור כלי זכוכית בעיקר אגרטלים ומנורות, מזכוכית אטומה וכבדה, . החשובה שבהן הייתה התכה של שתיים ויותר שכבות של זכוכית בצבעים שונים ואחר כך הסרה בחריטה תחילה ידנית ואחר כך במכונה, של חלק מהשכבות העליונות. חשיפת הצבעים של השכבות התחתונות בשילוב צבעי העליונות יצרה את הציור. כדי להעשיר את הזכוכית, הוסיף לה כשהיא במצב מותך אבקות ופסים של מתכות ובועות אוויר. טכניקה זו של שכבות וחריטה מכנים היום כ"סגנון גאלה" tip Galle. זכוכית שמייצרים בטכניקה זו מכנים זכוכית קמאו. גאלה כינה את הטכניקה שלו כשיבוץ זכוכית: glass marquetry וגם כקדרות בזכוכית .
כלים מקוריים וזיופים.
בגלל ערכם הכספי הגבוה של יצירות גאלה, הפופולריות שלהם והעובדה שנעשו בייצור תעשייתי, יש היום בשווקים זיופים רבים. בחלקם מזייפים גם את החותמת ובחלקם רושמים tip Galle כאשר ה - tip קטן מאוד. הזיופים שלא כמו היצירות המקוריות עשויים מזכוכית חד שכבתית, והקישוט בציור או בתבליט ולא בחריטה או צריבה. מחירם גם זול בהרבה משל היצירות המקוריות.
בונה רהיטים.
ב-1885 החל לעבוד בעץ במטרה להציג את יצירות הזכוכית שלו בדרך המרשימה ביותר כמו על שולחן או שידה. הוא ערך ניסיונות בבניית פריטים קטנים אבל בסופו של דבר בנה רהיטים ואפילו חדרים שלמים. ניסיונותיו הפכו להצלחה גדולה ועד שנת 1900 העסיק במפעל מאות עובדים שבנו רהיטים מסוגי עץ שונים. העיקר מהגוני בחלק החיצוני של הרהיט ואלון בפנימי. עיצובי הרהיטים של גאלה התבססו על סגנון הרוקוקו והמשיכו את המסורת הצרפתית שעשתה שימוש בצורות אורגניות עדינות. העיקרון שהנחה אותו בעיצוב הרהיטים היה מה שכינו אז "הרהיטים המדברים": הקישוטיות ברהיטים אלה קיבלה את השראתה מציטוטים מתוך ספרות עכשווית של סופרים סימבוליסטים של אותה תקופה, שלהי המאה התשע- עשרה, ביניהם מוריס מטרלינק ופול ורלין. גאלה נהג ליצור במשותף עם אמנים אחרים. שותף לעיצוב רהיטיו היה לואי מיורל, אחד מבוני הרהיטים המפורסמים של הארט נובו הצרפתי. בעבודות העץ הנפלאות של גאלה ניתן לראות גם את ההשפעה האסייתית בעיטורים בחיתוכי עץ של פרחים, פרפרים, ואפילו דרקונים.
פעילות חברתית ופוליטית.
גאלה היה הומניסט מושבע וככזה היה מעורב בפעילויות למען הציבור ולמען עקרונות של חופש ושוויון גם במחיר של סיכון עסקיו. היה בין מארגני בתי ספר של ערב למעמד העובד בנאנסי, היה גזבר של סניף נאנסי של ארגון זכויות האדם של צרפת וגם מהראשונים שיצאו בפומבי להגנתו של אלפרד דרייפוס ואישים יהודים אחרים, הביע את תמיכתו באירים הקתוליים במאבקם נגד בריטניה ובוויליאם אובריאן ממובילי המרד האירי. כמייסד וכחבר באסכולת נאנסי שילב במפעלו ברוח האסכולה שדגלה ב"אמנות לכל" בין אמנות וייצור תעשייתי כדי להבטיח מחירים נמוכים ועיצוב ברמה גבוהה גם למעמדות העובדים.
הוא הקדיש את חייו (על פי ספרו) לחיפוש אחר היפה והטוב. הוא ראה בטבע את התגלמות השלמות וההרמוניה והאמין שאם יבין את נפשו של הצמח ויצליח לתרגמה לשפת האמנות, יביא ערך משמעותי לעולם.
הערכה - פרסים ותערוכות.