זה מסיים את ההוכחה, אבל אפשר להראות גם שהפונקציה שהגדרנו היא על: לכל נקודה formula_33 בקבוצת קנטור, בשלב formula_28 של הבניה יש קטע יחיד אליו הנקודה שייכת, וזה אחד משני תת-הקטעים של הקטע מהשלב הקודם אליו הנקודה הייתה שייכת. אם זה הקטע השמאלי, נגדיר formula_30, ואם זה הקטע הימני, נגדיר formula_40. הפונקציה שהגדרנו לעיל ממפה את הסדרה המתקבלת formula_23 לנקודה formula_33, כיון שהקצוות השמאליים של הקטעים אליהם הנקודה שייכת מתכנסים אליה (קוטר הקטע בשלב formula_28 הוא formula_4, והמרחק בין נקודה בקטע לקצה הקטע אינו גדול יותר).
מידתה של קבוצת קנטור.
קבוצת קנטור מכילה בכל שלב איטרטיבי n - י, formula_45 קטעים שאורך כל קטע כזה הוא formula_4. ולכן בכל שלב ניתן לכסות אותה על ידי אורך קטעים כנ"ל. בשלב ה-n-י של הבניה האיטרטיבית אנו מכסים את קבוצת קנטור בקטעים שסכום הארכים שלהם שווה ל- formula_47. מכיוון שסדרה זו שואפת לאפס, המידה של קבוצת קנטור היא אפס.
קבוצת קנטור היא פרקטל.
קבוצת קנטור היא אבטיפוס של פרקטל. היא בעלת דמיון-עצמי מכיוון שהיא מהווה איחוד של שני עותקים של עצמה, כאשר כל עותק מכווץ בגורם שליש (כלומר: קטן פי 3) ומוזז. ממד האוסדורף של הקבוצה הוא formula_48. אפשר להשוות את המספר המתקבל לממד האוסדורף של קבוצה סופית (שהוא תמיד אפס) מחד, ולממד של קטע (קטן ככל שיהיה), שהוא תמיד 1, מאידך (ראו פירוט על ממד פרקטלי בערך ממד האוסדורף).
תכונות טופולוגיות.
קבוצת קנטור יורשת את המטריקה הרגילה של הישר הממשי, וכך היא מהווה מרחב מטרי. הקבוצה סגורה בטופולוגיה המטרית של הישר הממשי, מכיוון שהמשלים שלה בקטע [0,1] הוא איחוד של קטעים פתוחים. מאחר שהקבוצה חסומה, משפט היינה בורל מבטיח שהיא קבוצה קומפקטית. מכאן נובע גם שהיא שלמה.
אם קטע פתוח מכיל נקודה של קבוצת קנטור, אז הוא מכיל אינסוף נקודות שלה. לכן, כל נקודה בקבוצת קנטור היא נקודת הצטברות. קבוצה כזאת נקראת בטופולוגיה "קבוצה מושלמת".
קבוצת קנטור היא קבוצה דלילה (nowhere dense) שכן הפנים שלה ריק. היא לא קשירה לחלוטין כי היא לא מכילה אף קטע לא טריוויאלי (קטעים הם הקבוצות הקשירות היחידות בישר). תכונות אלה מאפיינות את קבוצת קנטור באופן מלא: כל מרחב מטרי טופולוגי מושלם שהוא לא קשיר לחלוטין, שקול מבחינה טופולוגית (כלומר, הומיאומורפי) לקבוצת קנטור. יתרה מזו, כל מרחב מטרי קומפקטי הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור (וראו גם פונקציית קנטור: הכללות).
משפט של בראואר מאפיין את קבוצת קנטור באופן מלא: כל מרחב האוסדורף קומפקטי בלתי קשיר לחלוטין ללא נקודות מבודדות הומיאומורפי לקבוצת קנטור. כל מכפלה בת-מניה של קבוצות סופיות (עם הטופולוגיה הדיסקרטית) הומיאומורפי לקבוצת קנטור. על פי משפט אלכסנדרוף-האוסדורף קבוצת קנטור היא המרחב המטרי הקומפקטי האוניברסלי (היינו, יש פונקציה רציפה מקבוצת קנטור על כל מרחב מטרי קומפקטי). הוכחת המשפט מתבססת על הכללה של פונקציית קנטור. עובדה זו מייצרת למשל את עקום פאנו.
וריאציות.
קבוצת סמית-וולטרה-קנטור.
במקום להוריד מכל קטע את השליש האמצעי שלו, אפשר להוריד חלק בכל גודל אחר מאמצע הקטע. אם גודל הקטע קטן משליש, אפשר לבנות קבוצה הומיאומורפית לקבוצת קנטור שמידת לבג שלה היא מספר חיובי (אך היא עדיין דלילה). הקבוצה בה מורידים מכל קטע את הרבע שלו נקראת "קבוצת סמית-וולטרה-קנטור" על שם הנרי סמית וויטו וולטרה.
אבק קנטור.
אבק קנטור הוא הכללה רב-ממדית של קבוצת קנטור. ניתן להגדיר אותו כמכפלה הקרטזית של קבוצת קנטור בעצמה. כמו קבוצת קנטור, גם אבק קנטור הוא ממידה אפס.
הכללה דו-ממדית אחרת של קבוצת קנטור היא שטיח שרפינסקי, בו מתחילים עם ריבוע ומורידים ממנו את החלק האמצעי (1/9 ממנו) ומשמונת הריבועים שנותרו מורידים גם כן את האמצע, וכך עד אינסוף. הכללה דומה עבור תלת-ממד בה מורידים מכל קובייה את האמצע מכונה ספוג מנגר.
דב ביגון
הרב דֹב הכהן ביגון (בייגין; נולד ב-1940) הוא ראש ישיבת מכון מאיר ומדרשת מכון אורה.
ביוגרפיה.
נולד בחולון בשנת ת"ש (1940) להורים חילונים שעלו לישראל לפני השואה. סבו מצד אמו, דב בער סופר, שימש כסופר סת"ם והיה חברותא של הרבי מאוסטרובצא. הרב ביגון נוהג לספר שעלייתה של אמו לארץ התאפשרה בזכות בנו וממלא מקומו של הרבי מאוסטרובצא. בשנת 1954 עבר כילד חוץ לקיבוץ משמר השרון. היה פעיל בתנועה המאוחדת.
שרת בצה"ל כקצין בנח"ל וכקצין בבה"ד 1, תפקיד שבמסגרתו פיקד בין היתר על ידידו ממשמר השרון, אהוד ברק. נלחם במלחמת ששת הימים כסגן מפקד פלוגה בחטיבת ירושלים בקרב על שחרור ירושלים.
כחובב טבע ואוהב ארץ ישראל היה מראשוני המדריכים בחברה להגנת הטבע.
בגיל 23 החליט להעמיק את ידיעותיו בתורה וביהדות. בהשפעת הרב אהרן קלר, רבה של נהריה, החל ללמוד בישיבת כפר חסידים ומאוחר יותר בישיבת מרכז הרב בירושלים, שם למד למעלה מעשר שנים אצל הרב צבי יהודה קוק וקיבל סמיכה לרבנות.
לאחר מלחמת יום הכיפורים, הקים את "מכון מאיר" על שם שנפל בקרב על תעלת סואץ חודשים ספורים קודם לכן.
משמש כראש ישיבת מכון-מאיר ומדרשת מכון אורה, העוסקים בחינוך, לימוד תורה והפצת יהדות ברוחו של הרב קוק. הוא כותב מאמרים בנושאים מגוונים, ובפרט כותב את המאמר הראשי בעלון פרשת השבוע "באהבה ובאמונה", שמוציא מכון מאיר.
בשנת ה'תשע"ד (2014) זכה באות יקיר ירושלים.
הרב ביגון היה נשוי לנאוה עד לפטירתה בשנת התשפ"ב (2022). מתגורר בשכונת גבעת שאול בירושלים.
סרגיי רחמנינוב
סרגיי וסילייביץ' רחמנינוב (ברוסית: Сергей Васильевич Рахманинов; 1 באפריל 1873 – 28 במרץ 1943) היה מלחין, מנצח ופסנתרן רוסי. התיישב בשווייץ ובארצות הברית.
קורות חייו.
רחמנינוב נולד באחוזת אונייג ליד נובגורוד ברוסיה. בילדותו נשלח מבית אביו, אציל שירד מנכסיו, לחיות בבית מורו לפסנתר. בראשית הקריירה שלו במוסקבה נעזר בקרוב משפחתו, המנצח אלכסנדר זילוטי, ששלח אותו ללמוד אצל המוזיקאי זברב במוסקבה, ובהמשך בקונסרבטוריון של מוסקבה.
בשנת 1899 הופיע לראשונה בקונצרט באנגליה. בין 1906 ל-1917 יצא מרוסיה וחזר אליה לסירוגין - בשנת 1906 יצא עם משפחתו לדרזדן, ובשנת 1909 יצא לסיור קונצרטים ראשון בארצות הברית. בשנת 1910 חזר לרוסיה ושב ויצא ממנה בשנת 1913 לרומא ולברלין. בתקופת מלחמת העולם הראשונה שהה שוב ברוסיה, אך המהפכה הבולשביקית אילצה אותו לצאת לגלות לבלי שוב בדצמבר 1917. בשנותיו בגלות היסס אם לקבוע את מושבו באירופה או באמריקה, ואחרי שבנה לו וילה בלוצרן שבשווייץ, עזב אותה לקראת מלחמת העולם השנייה והיגר לארצות הברית.
הניתוק מן המולדת השפיע על רחמנינוב כמו על איגור סטרווינסקי בעיקור כוח היצירה שלו, אך במקרה שלו נמשכה ההשפעה שנים רבות יותר. כמו סטרווינסקי, פנה גם רחמנינוב אל הנאו-קלאסיציזם. בין 1917 ל-1931 הוציא רק יצירה חשובה אחת מתחת ידיו - הקונצ'רטו הרביעי לפסנתר בסול מינור, שטיוטות שלו כתב עוד ברוסיה. הקונצ'רטו בוצע לראשונה בפילדלפיה ב-18 במרץ 1927, אך הקהל האמריקאי לא קיבל אותו בעין יפה ורחמנינוב גנז אותו לצורך שינויים בעתיד.
הווריאציות לפסנתר על נושא מן הסונאטה מס' 12 של קורלי שברו את מחסום הכתיבה שלו, וביצוע הבכורה שלהן היה במונטריאול ב-12 באוקטובר 1931. קבלת הפנים ליצירה הייתה צוננת, אך ברוסיה שיבחו אותה, ורחמנינוב המשיך בתנופת היצירה, וכתב את "רפסודיה על נושא של פאגאניני", יצירה המשלבת את הקפריצ'ו בלה מינור של הכנר הווירטואוז עם נושא הדיאס אירה הרוסי בבבואת ראי מפתיעה ויוצרת דיאלוג מעניין בין תרבויות שונות ורחוקות. ביצוע הבכורה של היצירה היה בבולטימור ב-7 בנובמבר 1934. יצירתו האחרונה לתזמורת, "המחולות הסימפוניים", קודרת באופייה. יש בה רמזים ברורים לנושא הראשי בסימפוניה הראשונה שלו, שלא עלתה יפה, ולדיאס אירה.
בשנת 1942 עבר בעצת רופאיו להתגורר בקליפורניה בשל מזג האוויר הנאה השורר במדינה זו. נפטר לאחר כשנה מדלקת ריאות. השאיר אחריו אשה, נטליה אלכסנדרובה (שהייתה גם בת דודו), ושתי בנות, טטיאנה ואירינה.
יצירות.
סגנונו של רחמנינוב הושפע מצ'ייקובסקי בתחילת דרכו. באמצע שנות התשעים של סוף המאה ה-19, החלו יצירותיו לקבל נופך יותר אישי ומקורי. הן מאופיינות במחוות אגרסיביות, ובסגנון מוזיקלי בעל עוצמה רבה, סגנון חסר תקדים בקרב מלחינים רוסיים. לאחר שהסימפוניה שלו לא התקבלה באהדה, המשיך סגנונו להתפתח לכיוון הרומנטי והלירי. רחמנינוב היה מלנכולי וקודרני מטבעו, אופי שהשתקף ביצירתו, אך עם זאת קשר יחסי ידידות עם פריץ קרייזלר, ולדימיר הורוביץ וארתור רובינשטיין. מפלט ומרגוע מן הנגינה הווירטואוזית מצא במוזיקה קאמרית עם חברים. בשנת 1893 חיבר טריו אלגי לצ'לו כינור ופסנתר, וב-1901 כתב סונאטה לירית לאותו הרכב.
המוזיקה שלו לפסנתר סולו נושאת אופי טרקליני בעיקר, ואת יצירותיו הקשות ביותר לביצוע עיצב על פי הדגם של שופן. רחמנינוב כתב 24 פרלודים על כל אחד מ-24 הסולמות המז'וריים והמינוריים. שיא יצירתו לפסנתר היה בסונאטה השנייה בסי במול מינור, שאת תביעותיה מן המבצע פישט למען פסנתרנים, הנופלים ממנו בברק וזריזות אצבעות, אך הורוביץ השיב אותה לקדמותה בנגינתו הווירטואוזית. מבין היצירות לפסנתר ולתזמורת הקונצ'רטו לפסנתר מס' 3 נחשב לאחד מהקונצ'רטים הקשים לביצוע ברמה הטכנית וברמה המוזיקלית שלו. את הקונצ'רטו לפסנתר מס 2 כתב בהשראת ציוריו של הצייר היהודי יצחק לויתן כמו את הסימפוניה מס' 1 שלו.