למכפלה טנזורית של מטריצות קשר הדוק עם המכפלה הטנזורית של מרחבים וקטוריים בגודל המתאים.
מכפלה טנזורית של מודולים.
בניה מפורשת.
את המכפלה הטנזורית של המודולים formula_1 ו-formula_2 מעל formula_3 אפשר להגדיר על-פי יוצרים ויחסים. זוהי החבורה האבלית הנוצרת על ידי כל הסימנים formula_11 (עבור formula_12), בכפוף ליחסים הבאים:
אבר מהצורה formula_11 נקרא טנזור פשוט. כל אבר של המכפלה הטנזורית הוא סכום של טנזורים פשוטים. כך כמובן גם במכפלה טנזורית של מודולים רבים, formula_18. המספר הקטן ביותר של טנזורים פשוטים הנחוץ להצגת איבר נתון הוא הדרגה של האיבר; הגדרה זו (עבור formula_19 וכאשר formula_20 הם מרחבים וקטוריים) מכלילה את מושג הדרגה של מטריצה.
מבנים אלגבריים עשירים יותר.
המכפלה הטנזורית מוגדרת עבור מודול ימני formula_1 ומודול שמאלי formula_2 מעל אותו חוג formula_3. תוצאתה formula_4 היא במקרה זה חבורה אבלית. ככל שהמבנה של formula_1 ושל formula_2 עשיר יותר, כך נעשה גם המבנה של המכפלה עשיר יותר. לדוגמה, אם formula_1 הוא (בנוסף להיותו מודול ימני מעל formula_3) גם מודול שמאלי מעל חוג formula_29 (וליתר דיוק, בי-מודול מעל שני החוגים), הופכת המכפלה הטנזורית גם היא למודול שמאלי מעל formula_29 על ידי הגדרת הכפל formula_31. בדומה, אם formula_2 הוא גם מודול ימני מעל חוג formula_33, המכפלה הטנזורית היא מודול ימני מעל formula_33. מקרה בעל חשיבות מיוחדת הוא כאשר החוג formula_3 קומוטטיבי - אז מהווה כל מודול באופן מיידי בי-מודול, וכך המכפלה הטנזורית של שני מודולים מעל לחוג קומוטטיבי נעשית למודול מעל אותו החוג.
כאשר מרכיבי המכפלה הם אלגברות, אפשר גם להגדיר פעולת כפל על המכפלה הטנזורית לפי formula_36, וכך הופכת מכפלת המבנים לאלגברה בזכות עצמה. המכפלה הטנזורית של שדות איננה באופן כללי שדה, אם כי היא כמובן אלגברה.
אוניברסליות.
העתקה מאוזנת מן המכפלה הישרה formula_37 היא העתקה ביליניארית, המעתיקה את הזוגות formula_38 ו-formula_39 (עבור formula_40) לאותו המקום.
תכונת האוניברסליות כוללת את המכפלה formula_41 יחד עם ההטלה formula_42 המוגדרת לפי formula_43, ופירושה כזה: כל העתקה מאוזנת formula_44 מן המכפלה הישרה formula_37 אל חבורה אבלית כלשהי formula_46, אפשר לפצל באופן יחיד דרך המכפלה הטנזורית (כלומר, קיימת העתקה אחת ויחידה formula_47 מן המכפלה הטנזורית ל-formula_46, כך שבמקום להעתיק את הזוג formula_49 לתעודתו, די להעתיק אותו באמצעות formula_50 אל האיבר formula_11, ומשם אל אותו איבר של formula_46; במילים אחרות formula_53).
המכפלה הטנזורית שנבנתה בסעיף הקודם היא אכן אוניברסלית, ועובדה זו טעונה הוכחה (שאינה קשה במיוחד). עם זאת, מרגע שהוברר קיומו של אובייקט אוניברסלי שכזה, ההוכחה שהוא יחיד (עד כדי איזומורפיזם) קלה ביותר: אם formula_54 שניהם אובייקטים אוניברסליים (עם ההטלות formula_55), אז ההטלה ל-formula_56 מתפצלת באופן יחיד דרך formula_57, וההטלה ל-formula_57 מתפצלת באופן יחיד דרך formula_56. הרכבת ההעתקות, מ-formula_57 ל-formula_56 ואז בחזרה ל-formula_57, נותנת העתקה מ-formula_57 לעצמו, המפצלת את formula_50 דרך formula_57 - בדיוק כדרך שהעתקת הזהות מפצלת את formula_50 דרך formula_57. אלא שהפיצול הוא יחיד על-פי ההנחה, וכך ההרכבה שווה להעתקת הזהות. גם ההרכבה בסדר ההפוך שווה לזהות, ומכאן ש-formula_54 איזומורפיים.
העובדה שמודול שמקיים את תכונת האוניברסליות נקבע עד כדי איזומורפיזם מאפשרת להגדיר את המכפלה הטנזורית באופן קטגורי. מודול formula_69, יחד עם העתקה מאוזנת של המכפלה הישרה של formula_1 ו-formula_2 נקרא המכפלה הטנזורית אם הוא מקיים את התכונה האוניברסלית. הגדרה זו היא מקרה פרטי של הגדרת מכפלת סיבים בקטגוריה כללית. יש לציין שבקטגוריה כללית מכפלה טנזורית (או מכפלת סיבים) תהיה יחידה עד כדי איזומורפיזם, אבל לא תמיד היא תהיה קיימת. לדוגמה, בקטגוריית השדות לא לכל שני איברים יש מכפלה טנזורית.
תכונות.
כפי שהוזכר בחטף לעיל, המכפלה הטנזורית מגדירה מבנה של מונויד חילופי על אוסף הבי-מודולים מעל חוג נתון. ביתר פירוט, נניח ש-formula_3 הוא חוג כלשהו.
בנוסף לתכונות אלה, המכפלה הטנזורית דיסטריבוטיבית ביחס לסכום הישר (formula_79), וכך הופך אוסף הבי-מודולים מעל formula_3 לחצי חוג קומוטטיבי ביחס לפעולות הסכום הישר והמכפלה הטנזורית.
מתכונות אלה נובע למשל שמודולים חופשיים מקיימים formula_81, כהכללה של המצב במרחבים וקטוריים.
תכונה חשובה נוספת של המכפלה הטנזורית היא שאם קובעים מודול ימני "formula_1", אז הפונקטור formula_83 הוא פונקטור מדויק מימין.
דוגמאות.
כפי שהוצע קודם לכן, אם formula_84 הם חוגים, ו-formula_1 מודול מעל formula_3, אז formula_87 הוא מודול בעל מבנה דומה מעל formula_29. למשל, חוג המטריצות מקיים formula_89, וחוג הפולינומים formula_90.
שינוי חוג הסקלרים אינו חייב להגדיל את האלגברה. לדוגמה, אם formula_91 הוא אידיאל של formula_3, אז formula_93, מודול המנה ביחס ל-formula_91. דוגמה חשובה אחרת היא המקרה שבו formula_3 הוא חוג השלמים ו-formula_29 שדה הרציונליים. במקרה זה, formula_1 היא חבורה אבלית. אם formula_1 נוצרת סופית, אפשר לפרק אותה לסכום ישר של מרכיב מפותל ומרכיב חופשי. המכפלה הטנזורית formula_99 תלויה רק בגודל המרכיב החופשי, ובכך מאבדת את כל המידע על החלק המפותל.
המכפלה הטנזורית של שדות, מעל תת-שדה משותף, אינה בהכרח שדה. למעשה, אם formula_100, אז לכל הרחבת שדות formula_101 מתקיים formula_102, חוג שהמבנה שלו תלוי בפירוק של formula_103 מעל formula_69. אם ההרחבה formula_105 רגולרית (כלומר, אם formula_106 סגור אלגברית ב-formula_107), אז formula_108 שדה לכל הרחבה סופית formula_109.
יהדות צרפת
יהדות צרפת היא כיום הקהילה היהודית השלישית בגודלה בעולם, אחרי ישראל וארצות הברית. נחשבת לאחת העתיקות והמפוארות מקהילות היהודים באירופה. תולדות הקהילה כוללות עליות ומורדות ביחס השלטון והחברה ליהודים, לאורך תקופות של סובלנות ושגשוג לצד תקופות של אנטישמיות וגלי הגירה החוצה ממנה. במאה ה-21, רוב יהודי צרפת הם יהודים-ספרדים בעיקר מצפון אפריקה (יהדות המגרב).
לא פחות מחמישה יהודים או ממוצא יהודי כיהנו בתקופות שונות בתפקיד ראש ממשלת צרפת: לאון בלום (1936–1937, 1938, 1945), רנה מאייר (1953), פייר מנדס פראנס (1954–1955), מישל דברה (1959–1962), ולורן פביוס (1984–1986). ניקולא סרקוזי, שהוא ממוצא יהודי, כיהן כנשיא צרפת בשנים 2007-2012.
נכון ל-2018, בצרפת יש כ-453 אלף יהודים, המהווים כ-1.4% מהאוכלוסייה במדינה.
העת העתיקה.
ראשית ההתיישבות היהודית בגאליה, שמה ההיסטורי של אזור צרפת של ימינו, לוט בערפל. המונח "צרפת" הוזכר במקרא וזוהה על ידי חוקרים כעיר בצידון. אך גאליה – צרפת של ימינו – אינה מוזכרת במקרא, ורק בימי הביניים נעשה זיהוי אנכרוניסטי בין "צרפת" לבין France. על פי מקורות רומיים קדומים, ניתן להסיק כי במאה הראשונה לספירה הוגלו לגאליה שני מלכים מארץ יהודה: ארכלאוס והורדוס-אנטיפס, שתי דמויות מזרע המלכות המשתייכות לעם היהודי. הקיסר הרומי אוגוסטוס הדיח והגלה לגאליה את נשיא ארכלאוס בן הורדוס יחד עם פמלייתו אחרי שנציגי היהודים ביהודה פנו אליו בבקשה להחליפו. ארכלאוס מת בגלות בגאליה בשנת 16 לספירה והוא בן 39. האגדה מספרת כי קליגולה הגלה את הורדוס אנטיפס לגאליה, אחרי שקליגולה חשד בו בבגידה.
לאחר חורבן בית המקדש השני על ידי טיטוס בשנת 70 לספירה, עזבו יהודים רבים את ארץ ישראל, וביניהם גם גל של יהודים שנמלטו דרך הים התיכון ל"ארץ הגאלים". עדויות היסטוריות טוענות כי גם לאחר חורבנה של רומי המשיכו יהודים רבים להשתכן באזור המוגדר היום כדרום צרפת. קו שיכונם של היהודים נמשך עד לאזור בו נוסדה בירתה של צרפת, פאריס.
עדויות ברורות על התיישבות יהודית של ממש בגאליה יש בידינו רק מהמאה הרביעית לספירה.
ימי הביניים.
התקופה הקרולינגית.
עם ירידת שושלת המלכים המרובינגים באמצע המאה השמינית ועליית השושלת הקרולינגית, רבות העדויות שמעמדם של היהודים בתפוצות בכלל השתפר באופן חד, ומעמדם של יהודי גאליה (צרפת) בפרט, הן מבחינה חברתית והן מבחינה חומרית. במאות השמינית עד העשירית יצאו יהודי בבל רבים למסעות מסחר סביב העולם כולו, ובין נקודות המסחר העיקריות של אלה התבלט אזור צרפת-גרמניה – "אשכנז" בלשונם. על מנת שיישארו על אדמת גאליה, הציעו הקרולינגים לסוחרים היהודים כתבי זכויות אישיים מרחיקי לכת בנדיבותם. בראשית המאה התשיעית היו יהודים אשר הועסקו על ידי חצר הקיסר וראו ברכה רבה בעמלם. עושרם הרב של הסוחרים היהודים לא פגם באיזון של יחסיהם עם סביבתם הנוצרית, והם הצליחו לשמור על יחסים אלה תוך הקפדה על דתם. זאת הייתה תקופה בה לא הייתה חציצה תרבותית בין בני הדתות השונות ואורח חייהם החברתי של היהודי ושל הנוצרי היו זהים כמעט לחלוטין. השכבה העליונה של החברה הקרולינגית אף ניסתה לחקות את היהודים, שנתפסו כאנשי העולם הגדול. חשיבות הדבר הייתה בשל מעמדה הרם של שכבה זו, שהשתייכה לשושלת השנייה של המלכים הפרנקים, שושלת ששלטה באזור גאליה (צרפת) במשך 987 שנים. מערכת של סיוע הדדי בין יהודי צרפת וגרמניה, איפשרה את פריחתה התרבותית והקהילתית של יהדות אשכנז. העיר שטרסבורג, אשר שוכנת בסמוך לגבול המזרחי של צרפת עם גרמניה, התפרסמה כבר אז כמרכז יהודי רוחני ותרבותי חשוב ביותר.