כאשר טינטין חוזר לספינה הוא מגלה שמבריחים בה נשק, והתומפסונים חושדים בו כמבריח הנשק, אך הוא מצליח לברוח.
טינטין הולך במדבר, ומגיע לעיר ערבית, שתושביה נערכים לקרב בעקבות תקיפת ערבי בידי התומפסונים שחשבו בטעות שהוא טינטין וניסו לאסור אותו. תקיפה זו נעשתה, לדעתם, על ידי בני שבט יריב. טינטין גויס בכוח לצבא.
בעודו מנקה את משרד הקולונל המקומי, מוצא טינטין תווית סיגר עם סמלו של קי־אוסק. הוא מחפש במשרד את קופסת הסיגרים בתקווה למצוא רמז נוסף, אך נתפש בשעת מעשה על ידי הקולונל ומואשם בריגול. הוא נורה על ידי כיתת יורים, אך לא מת: רוביהם היו טעונים בכדורי סרק. בקברו נמצא צינור אוויר המאפשר לו לנשום. הוא מוצא מן הקבר מאוחר יותר על ידי זוג נשים מסתוריות. שתי נשים אלו הם למעשה תומסון ותומפסון, שהיו נחושים ללכוד אותו בחיים וסידרו את מותו כך שיראה כזיוף.
טינטין בורח במטוס צבאי, כאשר מטוסים אחרים מנהלים אחריו מרדף. הוא נוחת ביער בהודו. כעבור כמה ימים בשיטוטיו בג'ונגל טינטין מגלה לפתע סמלי קי־אוסק מצוירים על העצים, והולך בעקבותיהם. הוא מוצא את סרקופגוס כמי שצייר את הסמלים. זה האחרון יצא מדעתו לחלוטין וחושב כי הוא רעמסס השני.
טינטין וסרקופגוס מגיעים למחוז קולוניאלי מקומי. מאוחר יותר, סרקופגוס המטורף מנסה להרוג את טינטין בסכין. טינטין מגלה כי סרקופגוס הופנט על ידי פאקיר, הרוצה במותו של טינטין. הוא פונה אל ד"ר זלוטי, סופר הונגרי, כדי לברר מי מנסה לפגוע בו. באיומי אקדח, מוציא טינטין מזלוטי מידע, לפיו כנופיה בינלאומית של מבריחי סמים החליטה להפטר ממנו. לפני שזלוטי מספיק לומר את שמו של מנהיג הכנופיה מגיח הפאקיר מעבר לחלון ויורה חץ על זלוטי, וזה משתגע.
טינטין לוקח את סרקופגוס וזלוטי אל בית החולים הקרוב עם מכתב מרופא מקומי, אבל הפקיר החליף את המכתב, כך שכתוב בו שטינטין הוא החולה ואילו הם הבריאים. טינטין נכלא אך מצליח לברוח. בינתיים, שלגי מחפש אחרי טינטין, ובמהלך חיפושיו הוא נושך פרה קדושה, וכמעט ונשחט על ידי ההודים הזועמים. הוא ניצל על ידי תומסון ותומפסון, שמשתמשים בו כדי ללכוד את טינטין, שאותו הם עדיין נחושים לעצור.
בריחתו של טינטין מבית החולים מדווחת למשטרה, והוא נלכד אך בורח שוב, ונפגש במקרה במהרג'ה של גאיפג'מה. בארוחת הערב הם שומעים מוזיקה מסתורית, והמהרג'ה מאמין שהיא אזהרה עבורו, על כך שהוא עומד להשתגע, כפי שקרה לאביו ולאחיו. טינטין מבין שאנשי קרטל הסמים מעוניינים לפגוע בו, בשל מלחמתו בם. ואכן, באותו לילה הפקיר יורה חץ לעבר המיטה, עליה ישן המהרג'ה.
בלילה, טינטין מגלה את מקום המסתור של הקרטל. חברי הכנופיה לבושים בבגדים הנושאים את סמל קי-אוסק והם נראים קצת כמו אנשי הקו קלוקס קלאן. הוא מצליח ללכוד את הכנופיה הכוללת את הפקיר, הקולונל הערבי ועוד כמה אחרים אותם פגש במהלך ההרפתקה. מאוחר יותר מצטרף אליו המהרג'ה, ומתברר שהוא הציב בובה במיטתו במקום לישון בה, בעצתו של טינטין, ולכן נשאר שפוי. יחד עמו באים גם שלגי והתומפסונים, שאומרים לטינטין שכל האישומים בוטלו: קברו של קי-אוסק נמצא על ידי המשטרה המצרית, ושם נמצאו ראיות לחפותו של טינטין, וכן מפה באמצעותה הגיעו למחבוא הזה.
בינתיים, הצליח הפקיר לברוח, ויחד עם מנהיג הקרטל הוא חוטף את בנו הצעיר של המהרג'ה. טינטין רודף אחריהם על הרי ההימלאיה, ולוכד את הפקיר ואת הנסיך. מנהיג הקרטל נופל מצוק ומת, וגופתו לא נמצאה. זהותו נשארת כתעלומה.
מאוחר יותר, טינטין רואה אצל המהרג'ה את הסיגרים הנושאים את סמלו של קי-אוסק. המהרג'ה מסביר שהוא מצא אותם בחדרו של המזכיר שלו, שהיה מחברי קרטל הסמים. טינטין בודק את הסיגרים, ומגלה שתוכנם למעשה הוא אופיום.
עלילת הספר ממשיכה בספר הבא בסדרה - "הלוטוס הכחול".
מערכת משוואות ליניאריות
במתמטיקה, מערכת משוואות ליניאריות היא אוסף של משוואות ליניאריות באותם משתנים. פתרון של המערכת הוא ערכים עבור המשתנים, שהצבתם בכל אחת מהמשוואות תיתן פסוק אמת.
במסגרת האלגברה הליניארית פותחה תאוריה מלאה של מערכות מסוג זה, ויש אלגוריתמים מהירים ויעילים לפתרון שלהן.
מבנה כללי.
מערכת כללית של m משוואות עם n נעלמים formula_1 יכולה להיכתב בצורה הבאה:
כאשר formula_3 הם המקדמים של המשתנים ו-formula_4 הם המקדמים החופשיים במשוואות.
בדרך כלל המקדמים והמשתנים שייכים לשדה (למשל שדה הממשיים, המרוכבים, או הרציונליים), או לחוג כדוגמת חוג השלמים.
הצגה באמצעות וקטורים.
ניתן להציג את המערכת בצורה של משוואה וקטורית, כצירוף ליניארי של וקטורי עמודה:
הצגה כזאת מאפשרת שימוש בתכונות של מרחב וקטורי. לדוגמה, האוסף של הצירופים הליניארים של הווקטורים בצד שמאל נקרא הקבוצה הפורשת שלהם, ולמערכת יש פתרון רק כאשר הווקטור בצד ימין נמצא בקבוצה הזאת. במקרה כזה, הפתרון הוא מקדמי ההצגה. הבחנה זו מובילה למשפט רושה קפלי, הקובע שלמערכת יש פתרון אם ורק אם דרגת המטריצה של המקדמים שווה לדרגת המטריצה שלה מוסיפים את הווקטור הקבוע. אם אפשר להציג כל וקטור (להביע אותו) כצירוף ליניארי של הווקטורים בצד שמאל, אז כל פתרון הוא ייחודי. בכל מקרה, למערכת יש בסיס של וקטורים שאינם תלויים ליניארית שמבטיחים בדיוק ביטוי אחד, ומספר הווקטורים בבסיס אינו יכול להיות גדול מ-m או n, אך יכול להיות קטן מהם.
הצגה באמצעות מטריצות.
מערכת משוואות ליניאריות ניתנת גם להצגה בעזרת מטריצות. המערכת מוגדרת כשוויון
כאשר:
מספר הווקטורים בבסיס הקבוצה הפורשת מבוטא כעת על ידי הדרגה של המטריצה.
פתרון המערכת.
פתרון של מערכת הוא ערך לכל אחד מהמשתנים, שאם מציבים בכל אחת מהמשוואות מתקבל פסוק אמת. הקבוצה שמכילה את כל הפתרונות נקראת קבוצת הפתרונות של המשוואה, ומשפט רושה-קפלי מספק אפיון לקיום ומספר הפתרונות של המערכת.
קיימות שלוש אפשרויות למספר הפתרונות של המערכת:
מערכת הומוגנית.
מערכת משוואות נקראת הומוגנית אם כל המקדמים החופשיים שווים לאפס:
מערכת כזאת ניתנת לייצוג באמצעות המשוואה formula_9, כאשר A היא מטריצת המקדמים, x הוא וקטור עמודה של המשתנים, ו-0 מסמל את וקטור האפס.
פתרונות.
לכל מערכת הומוגנית יש פתרון הנקרא פתרון טריוויאלי, ובו כל המשתנים שווים ל-0 (כלומר: formula_10). לשאר הפתרונות יש תכונות נוספות:
שתי העובדות הללו מבטאות את העובדה שמרחב הפתרונות של מערכת הומוגנית הוא מרחב וקטורי.
אבחנה זו מאפשרת לתאר את הפתרון הכללי ביותר למערכת הומוגנית בעזרת בסיס למרחב הפתרונות. הממד של מרחב הפתרונות שווה למספר המשתנים, פחות הדרגה של מטריצת המקדמים. הדרגה שווה למספר המשוואות הבלתי-תלויות.
משפט: מעל שדה אינסופי, אם למערכת הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי, אז יש לה אינסוף פתרונות. מעל שדה בגודל q, מספר הפתרונות הוא תמיד חזקה של q. למשל כאשר מדובר בשדה סופי formula_17 במרחב מממד 2 אז מס' הפתרונות יהיה 9=32, כלומר q בחזקת המימד הוא מס' הפתרונות.
פתרון של מערכת לא הומוגנית.
במקרה של מערכת לא הומוגנית formula_18, מרחב הפתרונות הוא מרחב אפיני (או ישריה), כלומר: מרחב וקטורי + קבוע. במקרה זה הפתרון הכללי שווה לצירוף ליניארי כלשהו של פתרונות ממרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית ועוד (ה)פתרון (ה)פרטי של המערכת הלא-הומוגנית.
משפט: מעל שדה אינסופי, למערכת לא הומוגנית יכולים להיות אינסוף פתרונות, פתרון יחיד או שלא קיים פתרון בכלל.
משפט: אם הפתרון יחיד אזי מטריצת המקדמים A היא מטריצה הפיכה משמאל כלומר קיימת מטריצה P מסדר formula_19 כך ש formula_20 והפתרון נתון על ידי formula_21.
קיימות דרכים שיטתיות למציאת הפתרונות של מערכת משוואות ליניארית, המבוססות על הצגת המערכת בעזרת מטריצות. לא לכל מערכת יש פתרון יחיד - יש מערכות עם אינסוף פתרונות, ויש מערכות שאין להן פתרון.
דוגמה: המקרה הדו-ממדי (פירוש גאומטרי).
למערכת שמכילה שני משתנים x ו-y, כל משוואה ניתנת לייצוג על ידי ישר במישור אחד. קבוצת הפתרונות היא החיתוך שלהם, שיכול להיות ישר, נקודה או הקבוצה הריקה.
כשיש במערכת שלושה משתנים מציגים כל אחד מהם בתור מישור במרחב תלת-ממדי אחד, והפתרון הוא החיתוך. כאן קבוצת הפתרונות יכולה להיות מישור, ישר, נקודה או הקבוצה הריקה (ישנם שני סוגים של אינסוף פתרונות).
עבור מערכת עם formula_22 משתנים, כל משוואה מייצג מרחב formula_23 ממדי, המשוכנים במרחב formula_22-ממדי אחד.
מערכת ליניארית של שתי משוואות בשני נעלמים אפשר בדרך כלל להביא לצורה הבאה:
כל משוואה כזו (מעל הממשיים) מגדירה ישר במישור האוקלידי, ופתרון המערכת הוא נקודת החיתוך בין שני הישרים. למערכת אין פתרון אם שני הישרים שונים אך מקבילים זה לזה, ולפיכך אינם נחתכים. במצב זה שיפועי הישרים שווים, כלומר formula_27, אך formula_28. למערכת אינסוף פתרונות אם שני הישרים מתלכדים, כלומר, שתי המשוואות מייצגות את אותו ישר. במצב זה formula_27, וגם formula_30. למערכת פתרון יחיד בכל מקרה אחר, כלומר כאשר formula_31. במקרה זה שני הישרים נחתכים בנקודה אחת formula_32 שהיא נקודת הפתרון, וערכה הוא formula_33.
המשמעות הגרפית של הפתרונות.
הישרים יכולים או להיחתך בנקודה אחת או להתלכד או להקביל אחד לשני. מצב הישרים ישפיע על מספר הפתרונות של המערכת. עבור מערכת הנתונה בצורה המפורשת מספר הפתרונות נקבע ע"פ התנאים הבאים:
התנהגות כללית.
באופן כללי, התנהגות המערכת נקבעת על פי היחס בין מספר הנעלמים למספר המשוואות:
עבור האפשרות הראשונה, הממד של מרחב הפתרונות יהיה בדרך כלל מספר הנעלמים פחות מספר המשוואות.
דרכים לפתרון.
פתרון באמצעות הצבה.