עזרת הנשים של בית הכנסת מתוארת כמעין מרפסת נמוכה המשקיפה על החלל המרכזי. היא בנויה בעזרת עמודי אבן פשוטים הנושאים קמרונות. במישור האחורי של הציור מתואר וילון כחול שמעליו נחשפים שני חלונות זכוכית עגולים המעוצבים בטכניקה של ויטראז'. דרך החלונות, הנדמים כזוג עיניים, משתקף אור בוהק. מקור אור נוסף מתואר בצידה השמאלי של הקומפוזיציה בדמות שני נרות גדולים ודולקים, שייתכן שהם ה"געזונטא ליכט" המפורסמים - אותם נרות שדולקים מערב יום כיפור ועד מוצאי יום כיפור. בחלל עזרת הנשים מתוארות שתים-עשרה נשים, כשמתוכן לאורה (ארוסתו של גוטליב) מתוארת פעמיים. בצד השמאלי של הציור היא מופיעה כאישה צעירה המחזיקה את סידור התפילה הקטן על חזה, ובחלקו הימני של הציור היא מתוארת יושבת ומתלחשת עם אימה.
מבחינה טכנית מציג הציור את ניסיונו של גוטליב בציור אקדמי המשלב טכניקות שונות, כגון חריטה בצבע ושימוש באימפסטו במקומות שונים בציור, בעיקר בתיאור כיסוי דוכן התפילה וכיסוי ספר התורה.
היבטים ביוגרפיים.
רבות מן הדמויות המתארות הן פורטרט של בני משפחתו של גוטליב - החיים והמתים. בנוסף, מכיל הציור דיוקן עצמי משולש שלו - כמבוגר בשנות העשרים במרכז הציור, כנער מתבגר הקורא ביחד עם אביו בצידו הימני של הציור, וכנער צעיר. במרכז הציור, על גבי ספר התורה, חרט גוטליב כתובת זיכרון לעצמו. גוטליב הסביר מעשה זה ברצון שלו ליצור מחדש את קרובי משפחתו על הבד, ולשלב את עצמו ביניהם. ממד ביוגרפי נוסף הקיים ביצירה הוא הכללת דיוקנה הכפול של לאורה הנשל-רוזנפלד, ארוסתו של גוטליב, אשר ביטלה את האירוסין עמו ונישאה לאחר.
בתרבות.
הציור נמכר לאספן מוורשה במחיר של 10,000 רובל. החל משנת 1939 מוצג הציור במוזיאון תל אביב לאמנות, לאחר שנקנה בידי סידני למון, אספן אמנות אמריקאי, אשר השאיל אותו למוזיאון.
בשנת 1975 הוציא השירות הבולאי הישראלי בול ועליו הופיע ציורו של גוטליב, כחלק מסדרת בולים בנושא חגי ישראל.
בשנת 1975 הוצג במוזיאון "בית התפוצות", שהוקם באותה עת באוניברסיטת תל אביב, העתק של הציור שבו הוסרו דמויות הנשים, ולאחר מחאה כוסה כליל.
הציור מופיע בסרט "הגוטליב האחרון", לזכרו של , נכד-אחיו של הצייר מאוריצי גוטליב, אשר נהרג במלחמת יום הכיפורים.
הרמוניות ספריות
הרמוניות ספריות הן משפחה של פונקציות של שני משתנים: הזוויות θ ו-φ בקואורדינטות ספריות (כדוריות).
הרמוניות ספריות חשובות ליישומים תאורטיים ומעשיים רבים, בעיקר בפיזיקה. דוגמאות ליישומים אלה הם אורביטלים באטום ופתרון בעיות אלקטרוסטטיות עם סימטריה כדורית. ניתן להשתמש בהן לייצוג צורתו של שדה כבידה, צורה של גאואיד וצורת שדה מגנטי בגופים פלנטריים, וכן באפיון קרינת הרקע הקוסמית. בגרפיקה ממוחשבת תלת-ממדית, הרמוניות ספריות ממלאות תפקיד מיוחד במגוון רחב של נושאים הכוללים תאורה לא ישירה והכרת צורות תלת-ממדיות.
מתמטית, ההרמוניות הספריות הן כלי לפתרון משוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות. כאשר מחפשים פתרון למשוואה, שצורתו היא מכפלה של פונקציה שתלויה רק במרחק מראשית הצירים ושל פונקציה שתלויה רק בזוויות, ניתן לקבל משוואות דיפרנציאליות לחלק הרדיאלי (התלוי רק במרחק) ולחלק הזוויתי. ההרמוניות הספריות הן פתרון המשוואה הזוויתית, והן אוסף אורתוגונלי של פונקציות.
מבוא.
משוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות היא
עבור הפרדת משתנים formula_2 החלק הזוויתי של משוואת לפלס מקיים:
באמצעות הפרדת משתנים מקבלים ממשוואה דיפרנציאלית חלקית זו שתי משוואות דיפרנציאליות רגילות:
עבור "m" ו-"l". מכך נובע שהפתרון לחלק הזוויתי ניתן להצגה כמכפלה של פונקציות טריגונומטריות ופולינומי לז'נדר הנלווים:
כאשר formula_7 נקראת הרמוניה ספרית ממעלה formula_8 וסדר "m" ו-formula_9 הוא פונקציית לז'נדר הנלווית (ידועה גם כפולינומי לז'נדר הנלווים). הפקטור "N" הוא קבוע נרמול והזוויות θ ו-φ מייצגות את זווית הגובה (formula_10, היא שווה לאפס בקוטב הצפוני של הכדור, ל formula_11 בקו המשווה של הכדור ולפאי בקוטב הדרומי שלו) ואת הזווית המישורית formula_12. הקואורדינטות הספריות שמשמשות בערך זה עקביות עם אלה המשמשות פיזיקאים אך שונות מאלה המשמשות מתמטיקאים.
כאשר פותרים את משוואת לפלס על פני השטח של כדור (על הספירה שלו), תנאי השפה המחזוריים על φ ותנאי רגולריות בקטבים, מבטיחות שהמעלה formula_8 והסדר "m" הם מספרים שלמים המקיימים formula_8 ≥ 0 ו-|"m"| ≤ formula_8. ברם, אם הפונקציה "f" מוגדרת רק עבור θ ≤ θ0, אז ההרמוניות הספריות הקטועות שיתקבלו היו מוגדרות לכל סדר שלם, אך למעלה שאיננה מספר שלם. הפתרון הכללי למשוואת לפלס הוא צירוף ליניארי של הרמוניות ספריות מוכפלות בפתרון הרדיאלי formula_16:
כאשר formula_18 ו- formula_19 הם קבועים. האיברים בסכום הראשון שואפים לאפס כאשר "r" שואף לאינסוף, בעוד שהאיברים בסכום השני שואפים לאפס בראשית.
אורתוגונליות ונרמול.
ישנם מספר נרמולים שונים הנמצאים בשימוש עבור הרמוניות ספריות. בפיזיקה וסייסמולוגיה, פונקציות אלה מוגדרות בדרך כלל כ:
כך שהן אורתונורמליות ביחס למכפלה פנימית:
כאשר הדלתא היא דלתא של קרונקר המקיימת: δaa = 1, δab = 0 אם a ≠ b ו-"d"Ω = sinθ "d"φ "d"θ.
בחקר הגאודזות והניתוח הספקטרלי משתמשים בנרמול אחר:
שמקיים
בחקר המגנטיות, משתמשים בחצי-נרמול שמידט
שמקיים
גם במכניקת הקוונטים משתמשים לעיתים קרובות בנרמול זה, והוא נקרא על שם הפיזיקאי הישראלי יואל רקח.
כאשר משתמשים בזהות הבאה (ראו פונקציות לז'נדר הנילוות)
ניתן להראות שכל ההרמוניות המנורמלות מקיימות
כאשר הכוכבית מסמנת לקיחת צמוד מרוכב. משוואה זו נובעת גם מהיחס בין ההרמוניות הספריות עם מטריצת D של ויגנר (ראו: ).
פאזת קונדון-שורטלי.
מקור אחד לבלבול בהגדרה של הרמוניות ספריות עוסק בפקטור פאזה של m(1-) שבדרך כלל קוראים לו "פאזת קונדון-שורטלי" (Condon-Shortley) בספרות העוסקת במכניקת הקוונטים. בקרב החוקרים העוסקים בפיזיקה קוונטית, ישנה פרקטיקה נפוצה או לכלול את הפאזה בהגדרת פונקציות לז'נדר הנלווים, או לבלוע אותה בהגדרה של ההרמוניות הספריות. אין דרישה להשתמש בפאזת קונדון-שורטלי בהגדרת ההרמוניות הספריות, אך כלילתה יכולה לפשט מספר פעולות קוונטיות, ובפרט העלאה והורדה של אופרטורי תנע זוויתי. חוקרים העוסקים בגאודזות ומגנטיות לא כוללות את פאזת קונדון-שורטלי בהגדרות שלהם עבור הרמוניות ספריות.
פיתוח בהרמוניות ספריות.
ההרמוניות הספריות הן אוסף שלם ואורתוגונלי של פונקציות ובכך פורשות מרחב וקטורי באופן אנלוגי לוקטורי בסיס ליניארי. על ספירת היחידה, כל פונקציה אינטגרבילית בריבוע ניתן לפתח כצירוף ליניארי של הרמוניות ספריות:
formula_28
פיתוח זה מדויק כל עוד formula_8 הולך לאינסוף. שגיאות קטיעה יצוצו אם נקטע את הטור האינסופי ונהפוך אותו לסכום עד formula_8 סופי כלשהו. את מקדמי הפיתוח ניתן לחשב על ידי כפילת הטור בצמוד המרוכב של הרמוניה ספרית ולבצע אינטגרציה על זווית מרחבית formula_31, תוך ניצול יחסי האורתוגונליות בין הפונקציות. עבור הנרמול האורתונורמלי, מקבלים:
formula_32
ניתן להשתמש באוסף חלופי של הרמוניות ספריות, שהן פונקציות ממשיות, בעזרת ההגדרה הבאה:
formula_33
כאשר formula_34 הוא קבוע הנירמול של הפונקציה עבור formula_35 ו-formula_36. לפונקציות אלה יש את תכונות הנרמול כמו של ההרמוניות הספריות המרוכבות. בסימונים אלה, ניתן לפתח כל פונקציה ממשית אינטגרבילית בריבוע כטור אינסופי של הרמוניות ספריות ממשיות:
formula_37
ראו גם עד ל-"l = 5". פונקציות אלה נבדלות בפאזה של (-1)"m" מאלה הניתנות בערך זה.
אנליזה ספקטרלית.
ההספק (power) הכולל של הפונקציה formula_38 מוגדרת בספרות של עיבוד אותות כאינטגרל של הפונקציה בריבוע, חלקי השטח אותו היא פורשת. על ידי שימוש בתכונת האורתונורמליות של ההרמוניה הספרית הממשית על ספירת היחידה, אפשר לוודא על ידי חישוב ישיר שההספק הכולל של פונקציה המוגדרת על ספירת היחידה קשור למקדמים הספקטרלים שלה באמצעות הכללה של משפט פרסוול:
כאשר
מוגדר כספקטרום ההספק הזוויתי. באופן דומה ניתן להגדיר את ההספק המשותף (cross-power) של 2 פונקציות כ:
כאשר
מוגדר כספקטרום ההספק המשותף. אם הפונקציות "f" ו-"g" הן בעלות ממוצע אפס (כלומר, המקדמים הספרים "f"00 ו-"g"00 הם אפס) אזי formula_43 ו-formula_44 מייצגות את התרומה של השונות והשונות המשותפת (covariance) עבור מעלה formula_8, בהתאמה. בדרך כלל מקרבים את ספקטרום ההספק (המשותף) על ידי חוק חוזקה
וזה קירוב טוב בדרך כלל. כאשר β = 0 הספקטרום "לבן" כאשר כל מעלה היא בעלת הספק שווה. כאשר β &lt; 0, אומרים שהספקטרום "אדום" ויש יותר הספק במעלות הנמוכות עם אורכי גל ארוכים מאשר במעלות הגבוהות. כאשר β &gt; 0 אומרים שהספקטרום "כחול".
משפט החיבור.
תוצאה מתמטית מעניינת נקרא "משפט החיבור" עבור הרמוניות ספריות. שני וקטורים formula_47 ו-formula_48 עם קואורדינטות ספריות formula_49 ו-formula_50, בהתאמה, כאשר הזווית ביניהם היא formula_51 הנתונה על ידי
משפט החיבור מבטא פולינום לז'נדר מסדר formula_35 בזווית formula_51 כמכפלה של 2 הרמוניות ספריות עם קואורדינטות זוויתיות formula_55 ו- formula_56 כ:
formula_57.
ביטוי זה תקף הן עבור הרמוניות ספריות מרוכבות והן ממשיות. לעומת זאת, יש להדגיש שהצורה המוצגת לעיל תקפה רק עבור הרמוניות ספריות אורתונורמליות מנורמלות. עבור הרמוניות עם הספק יחידה יש להסיר את הפקטור של formula_58.
ההרמוניות הספריות הראשונות.