אם כך, המקרה היחיד שבו משולש אינו נקבע על ידי שלושה מגדלי הצלעות והזוויות הוא כאשר נתונות רק שלוש הזוויות, או כאשר נתונות רק שתי צלעות וזווית שאינה ביניהן.
על מנת להבטיח חפיפה, חשוב שהגדלים יהיו שווים בהתאמה לקשר החילה שבין הקודקודים והצלעות. אחרת, יכולים להיות שני משולשים שאינם חופפים, ולהם חמישה גדלים יסודיים זהים. לדוגמה, אם צלעות המשולש הראשון הן: 10, 11, 12.1, ושל השני: 11, 12.1, 13.31, אז הם דומים, ולכן כל שלוש הזויות שוות, אך רק שתיים מהצלעות שוות.
יש דרכים רבות אחרות לזהות משולש עד כדי חפיפה. למשל, שני משולשים השווים זה לזה בזווית, בצלע שמולה ובחוצה זווית של זווית אחרת, הם חופפים.
תקפותם של משפטי החפיפה.
משפטי החפיפה אינם ניתנים להוכחה משאר האקסיומות המקובלות של הגאומטריה האוקלידית. עם זאת, הם עצמם שקולים זה לזה, כלומר ניתן להוכיח בעזרת כל אחד מהם את האחרים. במערכת האקסיומות של הילברט מהווה משפט החפיפה צלע-זווית-צלע אקסיומה (אקסיומה III.5).
אוקלידס, שספרו "יסודות" היה הראשון שניסה לבסס את הגאומטריה על אקסיומות, הוכיח את המשפט הראשון בנוסח שהסתמך על מושג ה"תנועה", שלא הוגדר; את שאר המשפטים הוכיח אוקלידס במדויק מן המשפט הראשון.
דוגמה להוכחת המשפט השני בעזרת הראשון: נניח שנתונים שני משולשים, ABC ו-'A'B'C, וידוע ש-formula_2. נניח בשלילה שהמשולשים אינם חופפים, ואז הצלעות 'AC, A'C אינן שוות (אחרת המשולשים היו חופפים על פי המשפט הראשון) לכן יש נקודה D על צלע AC (או המשכה) כך ש-'AD=A'C. המשולשים ABD ו-'A'B'C חופפים על פי המשפט הראשון, ועל כן formula_3. אבל זה לא ייתכן, כי formula_4 כי היא חלקית לה (בהנחה ש-D בין A ל-C, אחרת הכיוון של האי-שוויון הפוך) סתירה ועל כן המשפט הוכח.
משולשים חופפים
אוגוסטוס דה-מורגן
חמשת עמודי האסלאם
חמשת עמודי האסלאם (בערבית: أركان الإسلام الخمسة – ארכאן אל-אסלאם אל-ח'מסה) הם חמש מצוות מרכזיות שהמוסלמים חייבים בשמירה עליהן. חמש המצוות האלה הן העיקריות שבמצוות האסלאם הסוני. האסלאם השיעי מקבל על עצמו שמונה מצוות עשה אשר חופפות כמעט לחלוטין לחמשת עמודי האסלאם הסוני. התריסריים מחזיקים בחמש אמונות מרכזיות.
רעיון חמשת העמודים לקוח מהחדית'. הקוראן גופו אינו מזכיר את הרעיון כלל, אך ניתן למצוא בו הפניות רבות לריטואלים הקשורים בהם.
סקירה כללית.
כמו דתות אחרות, האסלאם מחזיק בטקסים מסוימים כסטנדרטיים; אולם אין זה מרמז כי כל האנשים התופסים עצמם כמוסלמים בהכרח מקיימים אותם. השתתפות אישית של כל מוסלמי יכולה להשתנות בהתאם לאמונה הפרטית שלו; למשל, לא כל אדם צריך להתפלל כל יום, לשמור על הצום, לקיים את החג' או לתרום לצדקה. זמן קצר לאחר שהערבים המוסלמים כבשו שטחים חדשים, הם החלו לגדל מסגדים וטירות ולהזמין הנצחות וחפצים שונים שביטאו את אמונתם ותרבותם. העיסוק הדתי באסלאם, המסמל "כניעה לאלוהים", תלוי ביסודות המכונים "חמשת העמודים". כל אחד מחמשת העמודים נרמז בקוראן על פרקיו השונים (סורה). תובנות נוספות הנוגעות להתחייבויות אלו ניתנות בחדית'.
באסלאם הסוני.
עדות.
ה"שהאדה" (شهادة – עדוּת) היא ה"אני מאמין", או האמונה הבסיסית, של האסלאם. "אני מעיד כי אין אל מלבד אללה ואני מעיד כי מוחמד הוא שליחו של אללה" (אַשְׁהַדֻ אַנַּ לַא אִלַאהַ אִלַּא אללַּהַ, וַּאַשְׁהַדֻ אַנַּ מֻחַמַּדַן רַסוּלֻ אללַּה, أشهد أن لا إله إلاَّ الله و أشهد أن محمدا رسول الله). בהיותו העמוד החשוב ביותר הוא מניח את הבסיס לכל האמונה והמצוות האסלאמיות. מבחינת האסלאם האידיאל הוא שהמשפט הזה יהיה הראשון שישמע תינוק עם היוולדו. מלמדים אותו ילדים ברגע שהם מסוגלים להבין אותו והם חוזרים עליו בכל יום מימי חייהם. מוסלמים חוזרים על המשפט הזה בכל תפילה שלהם, ואנשים הרוצים להמיר את דתם לאסלאם מוכרחים לשנן אותו. אדם מוסלמי היודע שהולך למות, צריך להגיד משפט זה לפני מותו. השיעים לא מחשיבים את השהאדה לעמוד נפרד אלא לחלק מעמוד האמונה.
תפילה.
ה"צלאה" (صلاة – תפילה; הגייה: סלאה) היא המצווה להתפלל חמש פעמים ביום בזמנים קבועים. מוסלמים לא חייבים להתפלל במסגד מדי יום ביומו, אך ביום שישי בצהריים ובחגים חשובים חובה להתפלל במסגד. זמני התפילה הם עלות השחר (אַלְפַגְ'ר, الفجر), הצהריים (אַטֻּ'הְר, الظهر), אחר הצהריים (אַלְעַצְר; العصر), השקיעה (אַלְעֻ'רוּבּ; الغروب) והלילה (אַלַּיְל, الليل). כל תפילה מבוצעת עם הפנים כלפי הכעבה אשר במכה. מטרת התפילה היא הריכוז באללה, והיא קיבלה את התדמית של מקום שבו מתבצעת תקשורת ישירה מול אללה אשר בה מבטאים סגידה והכרת תודה. על פי הקוראן, אחד היתרונות של התפילה הוא: "(היא) מרסנת ממעשים רעים ומלאי בושה".
אומנם התפילה היא חובה, אך יש גמישות בפרטים הקטנים למקרים מיוחדים. כך, למשל, במקרה של חולי או מחסור במקום, מתפלל יכול לבצע צלאה בישיבה או אפילו בשכיבה; ובמקרה של נדודים ניתן לקצר את זמני התפילה. הצלאה חייבת להתבצע בערבית למיטב יכולתו של המתפלל, ואם המתפלל אינו דובר ערבית הוא מורשה לבצע את התפילה בשפת האם שלו. על מילות התפילה להיאמר מהלב ובעל פה. למתחילים מותר להשתמש בעזרי קריאה. על מקום התפילה, גוף המתפלל ובגדיו להיות נקיים מאוד.
צדקה.
ה"זכאה" (زكاة – צדקה) או זכאת היא המצווה לתת צדקה לעניים, והיא מחייבת כל מוסלמי בעל היכולת הכלכלית לכך. זאת נחשבת חובה מוסרית לעזור לאנשים קשי יום מבחינה כלכלית ולהפחית את חוסר השוויון. חלק מהצדקה היא הפרשה של חלק מהמשכורת לעזרה לעניים, לעבדים, לנשים ולאנשים אשר בדרכים. מוסלמי רשאי גם לתרום יותר מהמקובל כחלק מתרומה אישית במטרה לזכות בגאולה רוחנית.
יש שני סוגי צדקה. הראשון נמדד לפי כמות האוכל שקונה אב בית לעצמו ולבני ביתו בחודש הרמדאן, והשני לפי כמות הכסף שמוסלמי מכניס בחודש (משכורת, נכסים וכדומה). השימוש המודרני של הצדקה נעשה במיסוי של 2.5% על כלל הרכוש שהצטבר בשנת ירח בתנאי שהסכום הכולל עולה על "ניסאב" (סכום מוסלמי אשר מחושב בעזרת נוסחאות המופיעות בחדית' האיסלאמי, כיום נספר כ-1750 דולרים או סכום זהה במטבעות אחרים). שיעים נוהגים לתת לצדקה בנוסף לכך חמישית מנכסיהם.
צום.
הקוראן מכיר בשלושה סוגי צומות (صوم – צום): צום טקסי, צום לשם כפרה על חטאים, וצום סגפני.
צום טקסי הוא חובה במהלך חודש הרמדאן אשר במהלכו מוסלמים מחויבים להימנע מאכילה, משתייה ומקיום יחסי מין מזריחה ועד שקיעה וכן עליהם לתת תשומת לב מיוחדת לחטאיהם. מטרת הצום היא לקרב את המאמינים לאללה, להביע את תודתם אליו והתלות שלהם בו, לכפר על חטאיהם ולהזכיר להם את מעוטי היכולת. במהלך הרמדאן מצופה מהמוסלמים להשקיע אנרגיה רבה יותר בערכי האסלאם ולהימנע מאלימות, מכעס, מקנאה, מתאווה, משפה לא נאותה ולנסות להסתדר עם הבריות בצורה טובה ביותר. בנוסף יש להימנע מכל פעולה יוצאת דופן או לא דתית שהיא.
צום הרמדאן אינו מחייב מספר קבוצות אשר עבורן הוא עלול להיות בעייתי. קבוצות אלה כוללות ילדים לפני בגרות, אנשים בעלי מגבלות בריאותיות כגון סוכרת, נשים בהיריון או במצב הנקה ואנשים לעת זקנה. הצום אסור על נשים בימי הווסת של המחזור. קבוצות אחרות אשר מקובל שאינן צמות כוללות לוחמים ואנשים הנמצאים בדרכים. החמצה של צום בדרך כלל גוררת השלמה שלו במועד מאוחר יותר, אך מוקדם ככל האפשר. מוסלמים רבים מסיימים את הצום שלהם עם תמר כי האמונה האסלאמית טוענת כי כך שבר מוחמד את הצום שלו.
עלייה לרגל.
החג' (حجّ – עלייה לרגל) הוא העלייה לרגל אשר מתרחשת בחודש המוסלמי ד'ו אל-חיג'ה לעיר מכה ולאתרים המקודשים סביבה. המצווה מגיעה מהמנהג הערבי הקדום, לפיו כל אדם מוסלמי המסוגל לכך פיזית וכלכלית עולה לרגל פעם אחת בחייו למכה. כאשר העלייה לרגל מגיעה למרחק של עשרה קילומטרים ממכה, הגברים מתלבשים בלבוש מסורתי העשוי משני סדינים לבנים, והנשים בלבוש מתאים. הטקסים הרגילים של העלייה לרגל כוללים שבע הקפות סביב הכעבה, נגיעה באבן השחורה, שבעה מסעות בין הגבעות ספא ומרווה, וסקילה סימבולית של השטן בנקודה מדברית בשם "מינא", הממוקמת כחמישה קילומטרים מחוץ למכה. העולה לרגל (המכונה "חאג'") זוכה לכבוד רב בקהילה המקומית שממנה הוא יוצא; עבור רבים זוהי סיבה בפני עצמה לצאת למסע הזה. מורים אסלאמים מנחים כי על מטרת המסע להיות רוחנית ואין לצאת אליו כדי לזכות במעמד חברתי. על היוצא למסע להיות במודעות עצמית תמידית, דבר המוביל לשיפור עצמי.
באסלאם השיעי.
התריסריים.
האסלאם השיעי מכיל 5 יסודות הלכה, והם מוגדרים מעט אחרת מהמקבילים הסונים:
עיד אל אד'חא
עיד אל-אד'חא
עיד אל-אדחה
עיד אל-פיטר
באסלאם, עיד אל-פיטר (בערבית: عيد الفطر, בתעתיק מדויק: "עיד אלפטר" - "חג שבירת הצום", מכונה גם العيد الصغير, "החג הקטן") הוא החג המציין את סיומו של חודש רמדאן (חודש הצום המוסלמי), והוא מצוין במהלך שלושת הימים הראשונים של חודש שוואל, החודש העשירי בלוח המוסלמי.