בשנת 641 כבש צבא האימפריה המוסלמית את אלכסנדריה, זאת לאחר מצור בן שישה חודשים. לאחר הכיבוש היו ניסיונות בודדים בשנת 645 ו-654 לשחרור העיר על ידי הביזנטים, אך אלו כשלו והעיר כמו גם מצרים עצמה נשארו חלק מהאימפריה המוסלמית. בהנחה שהספרייה שרדה עד שנה זו (כלומר מעל 900 שנים), קיימת טענה כי הספרייה הוחרבה מיד עם הכיבוש.
מה שמחזק את טענת החורבן בתקופה זו היא האימרה המיוחסת לח'ליף עומר בן אל-ח'טאב שעמד בראש האימפריה המוסלמית; "אם מה שכתוב סותר את הקוראן, אז דינו להישרף, ואם הכתוב מתאים לכתוב בקוראן, אז הוא מיותר, וראוי להישרף". עם זאת, אמיתות הסיפור בקשר לשׂריפת הספרייה שנויה עד היום במחלוקת עזה. בנוסף לכך, הכיבוש המוסלמי נסקר בהרחבה בתקופתו ולא הוזכר מעולם אירוע של השמדה או שריפת הספרייה או מאגר הספרים, טענות אלו החלו לעלות רק החל מהמאה ה-13.
מקורות.
אחת השאלות הגדולות יותר בהקשר לחקר הספרייה הגדולה של אלכסנדריה היא הקשר בין הספרייה לבין "מקדש המוזות" שבו מעריכים כי היא שכנה. בקרב המקורות השונים שקיימים מתקופת פעילותה של הספרייה ובמאות שלאחר מכן, הספרייה איננה מוזכרת יחד עם המוזאיון. "מקדש המוזות" מתואר כמרכז לימוד ומחקר אשר הכיל חוקרים וכותבים שעסקו בקריאה וניתוח טקסטים, כמו גם שיכתוב, המצאה וביסוס רעיונות שונים. מצד שני הספרייה מתוארת כארכיון מידע אשר הכיל כאמור עשרות אלפי כרכים ומגילות. למרות הבעייתיות הזאת, משום אופי המוזאיון ותפקיד הספרייה, רוב החוקרים כיום מסכימים כי אכן הייתה הספרייה חלק ממקדש המוזות, או לפחות שירתה אותו באופן ישיר.
בעיה נוספת בהקשר למקורות, היא היעדר התייחסות להקמת הספרייה. כיום לא ידוע על שום מקור המתייחס להקמת הספרייה, הדבר הקרוב ביותר הם התייחסויות כלליות לתקופה ולמלך התלמי אשר שלט בתקופת ההקמה של הספרייה. אחד המקורות שנוטים להיסתמך עליהם יותר הם כתביו של יואנס צצס (המאה ה-12), המייחס את הקמת הספרייה למלך תלמי השני.
בעניין מקורות תקופתיים יותר, כאלה שחוקרים מאוחרים יותר (כמו צצס) הסתמכו עליהם, ישנן שתי גישות עקריות. לפי איגרת אריסטיאס, הספרייה הוקמה בתקופתו של תלמי השני ונראה כי רוב הכותבים התקופתיים נשענו על תיאור זה בדבר תאריך ההקמה. גישה שנייה טוענת שהספרייה הוקמה בתקופתו של תלמי הראשון דווקא, המקור התקופתי היחיד שתומך בטענה זו הוא אירנאוס (Irenaeus) שכתב במאה ה-2. כיום חוקרים נוטים להאמין לגישה השנייה משום שדמטריוס, המזוהה עם הקמת הספרייה (טענה שיש לה תמיכה רבה), פעל בעיר בין השנים 297 - 283 בשנות מלכותו האחרונות של תלמי הראשון.
מילוול
מילוול היא אזור בלונדון, באייל אוף דוגס שברובע הלונדוני טאוור המלטס. מילוול שוכנת מעט דרומית לאזור התעשייה שבנמלי וסט אינדיה כולל מגדל קנרי וורף.
הרובע ידוע בעיקר בקבוצת הכדורגל שלו, מועדון כדורגל מילוול.
מקור שם הרובע מטחנות הרוח שעמדו באזור בעבר. דגנים הובאו על גבי ספינות לאזור, ונטחנו לפני שהגיעו למאפיות ברחבי לונדון.
שליט אסטרולוגי
באסטרולוגיה ישנה אסוציאציה בין גרמי השמיים של מערכת השמש לבין המזלות, על בסיס ההקשר של כל גרם לרעיון של מזל מסוים. אותו גרם נקרא השליט של המזל הנתון, בו הוא נחשב במיקומו החזק ביותר. גרם נחשב ל"מואצל" כשהוא ממוקם במזל עליו הוא שולט. זהו החזק ביותר מבין חמש האצילויות המהותיות באסטרולוגיה.
על אף שרוב האסטרולוגים משתמשים בשליטים המובאים כאן, אסטרולוגים קלאסיים אינם משתמשים בכוכבים החיצוניים של מערכת השמש, היות שאלו הוספו ללקסיקון האסטרולוגי רק בזמנים המודרניים. במקום זאת, הם עושים שימוש בשליטים הקדומים של האסטרולוגיה המסורתית. בנוסף, ישנם רבים המשתמשים בשליט המסורתי כשליט משני.
יסוד האש
יסוד האדמה
פעולת חבורה
אחד הרעיונות היסודיים בתורת החבורות הוא הפעולה של חבורה על קבוצה. היכולת של חבורות לפעול על מבנים מתמטיים שונים היא הסיבה העיקרית לכך שתורת החבורות שימושית כל-כך בענפים שונים במתמטיקה. גם בתורת החבורות עצמה, פעולה של חבורה על קבוצות בעלות מבנה מוגדר מראש היא כלי מרכזי בחקר המבנה של חבורות, סופיות וגם אינסופיות.
אומרים שחבורה נתונה formula_1 פועלת על קבוצה formula_2, אם אפשר לפרש כל איבר של החבורה כאילו הוא מהווה פונקציה מן הקבוצה אל עצמה, באופן כזה שכפל האיברים בחבורה מתאים להרכבה של פונקציות, ואיבר היחידה של החבורה פועל 'באופן טריוויאלי' (כלומר מעביר כל איבר של formula_2 לעצמו).
הגדרה.
כפי שהוצג במבוא, חבורה פועלת על קבוצה אם כל איבר שלה מתפרש כפונקציה מן הקבוצה אל עצמה. מכיוון שכל איבר של חבורה הוא הפיך, גם הפונקציות המתאימות הן הפיכות, כלומר חד-חד-ערכיות ועל.
לחבורה של כל הפונקציות ההפיכות מקבוצה formula_2 אל עצמה קוראים 'החבורה הסימטרית של formula_2', ומסמנים ב-formula_6. זוהי הכללה של המקרה הסופי, בו מקובל לדבר על החבורה הסימטרית שסימונה formula_7. אם כך, אפשר להבין פעולה של חבורה formula_1 על קבוצה formula_2 גם כהומומורפיזם של formula_1 לתוך החבורה הסימטרית של formula_2. כשההעתקה הזו חד-חד-ערכית רק איבר היחידה של formula_1 פועל באופן טריוויאלי על formula_2, והפעולה נקראת נאמנה.
להלן הגדרה שקולה, מפורטת יותר. פעולה של החבורה formula_1 על הקבוצה formula_2 היא פונקציה formula_16 המקיימת:
לשם הקיצור, לרוב מסמנים את הפעולה ב-formula_19 או ב-formula_20 במקום ב-formula_21.
פעולה שמאלית.
פעולה של חבורה formula_1 על קבוצה formula_2, שנסמן formula_24, נקראת פעולה שמאלית אם היא מקיימת:
פעולה ימנית.
פעולה של חבורה formula_1 על קבוצה formula_2, שנסמן formula_29, נקראת פעולה ימנית אם היא מקיימת:
דוגמאות.
אפשר להבחין בין כמה סוגים של פעולות חשובות. ראשית, חבורה יכולה לפעול על קבוצה חסרת מבנה (בדרך כלל סופית), או על חבורה אחרת. לדוגמה, החבורה הסימטרית formula_7 פועלת על קבוצת המספרים formula_33. כל חבורה formula_1 פועלת על עצמה, על ידי כפל משמאל: formula_35. פעולה זו נקראת הפעולה הרגולרית. באופן כללי יותר, אם formula_36 תת חבורה (שאינה בהכרח נורמלית), formula_1 פועלת על אוסף הקוסטים formula_38, שוב על ידי כפל משמאל: formula_39. לפעולה זו יש יישום מיידי במשפט קיילי והעידון שלו. פעולה חשובה אחרת היא ההצמדה: formula_1 פועלת על עצמה לפי formula_41. באופן כללי יותר, formula_1 פועלת על ידי הצמדה על כל חבורת מנה formula_38: formula_44.
פעולה מסוג קצת אחר היא הפעולה של חבורה על קבוצה בעלת מבנה, כמו מרחב וקטורי או מרחב טופולוגי. כאן דורשים כמעט תמיד שהחבורה תכבד את המבנה הקיים: איברי החבורה אינם יכולים להיות סתם פונקציות, אלא למשל פונקציות ליניאריות (במקרה הראשון) או רציפות (במקרה השני). במקרה הראשון ההצגה אינה סתם הומומורפיזם של החבורה אל החבורה הסימטרית של כל הווקטורים במרחב (חבורה זו הורסת לחלוטין את המבנה החיבורי, ולכן אין לה שום חשיבות), אלא אל החבורה של כל הטרנספורמציות הליניאריות ההפיכות formula_45, שהיא חבורת המטריצות ההפיכות formula_46 (כאשר formula_47 הוא ממד המרחב מעל שדה formula_48). החבורה פועלת על הווקטורים על ידי כפל מטריצות רגיל. הפעולות השונות של חבורה על מרחבים וקטוריים (בדרך כלל מממד סופי) הם האובייקט היסודי בתורת ההצגות של חבורות, שממנה צמחו רוב המשפטים החשובים בתורת החבורות בשליש האמצעי של המאה העשרים. פעולות על מרחבים טופולוגיים הם נקודת הפתיחה של הטופולוגיה האלגברית.
כדוגמה נוספת, חבורה יכולה לפעול על קבוצת הקודקודים של גוף מישורי או מרחבי, תחת האילוץ שהגוף יתפוס בסיום הפעולה את אותו המקום שתפס לפניה. לדוגמה, חבורה הפועלת על קודקודיו של מצולע משוכלל בעל formula_47 קודקודים היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית formula_7, שאיבריה שומרים על יחסי השכנות של קודקודי המצולע. הפעולות המותרות הן סיבוב או שיקוף המצולע. חבורה זו נקראת החבורה הדיהדרלית מסדר formula_51.
מסלולים ומייצבים.
פעולת החבורה על formula_2 מחלקת את הקבוצה למחלקות שקילות הנקראות מסלולים: המסלול של נקודה formula_53, המסומן formula_54 או formula_55 כולל את כל הנקודות שניתן להגיע אליהן מ-formula_56 בעזרת אברי formula_1. כלומר כל הנקודות formula_58. אם הקבוצה מורכבת כולה ממסלול יחיד (כלומר, אפשר להגיע מכל נקודה לכל נקודה אחרת), אז הפעולה היא טרנזיטיבית.
ה של נקודה formula_53 הוא אוסף כל האיברים ב-formula_1 השומרים על formula_56 במקומו: formula_62 (לעיתים מסמנים גם formula_63).
המייצב של כל נקודה הוא תמיד תת-חבורה של formula_1, וגודל המסלול של formula_56 תלוי בגודלו של המייצב: כאשר החבורה סופית מתקיים formula_66. כמו כן, אם formula_67 נמצא במסלול של formula_56 אז המייצב של formula_56 צמוד למייצב של formula_70:
formula_71. בפרט, אם הפעולה טרנזיטיבית אז כל המייצבים צמודים זה לזה.
הלמה של ברנסייד קושרת את האינדקסים של מייצבים בחבורה למספר המסלולים.
ז'לייזניצ'אר סרייבו
מועדון הכדורגל זֶ'לְיֶיזְנִיצָ'אר סָרָיֶיבוֹ (NK/FK Željezničar) הוא מועדון כדורגל בוסני, המשחק בבירה סרייבו ונחשב לאחד המועדונים החשובים והמוערכים ביותר בכדורגל בבוסניה והרצגובינה בפרט, וביוגוסלביה בכלל.
שמו של המועדון פירושו "מועדון הכדורגל של פועלי הרכבת" בבוסנית בשל היותם של מקימיו פועלי רכבות בסרייבו בתחילת המאה ה-20.