טריאנגולציה של משטחים.
טריאנגולציה היא חלוקה של משטח למשולשים באופן ששני משולשים יכולים לגעת אחד בשני רק לאורך צלע (מלאה) או קודקוד. לאחר שביצענו טריאנגולציה למשטח, ניתן להגדר אוריינטציה על המשטח בתור בחירת אוריינטציה על כל אחד מהמשולשים באופן תואם עבור משולשים שכנים.
אוריינטציה על משולש היא בחירה של סדר ציקלי על קודקודי המשולש. זאת אומרת כיוון התקדמות מחזורי בין הקודקודים שבו לא נקבע מי הקודקוד הראשון, אבל לכל קודקוד נקבע מי הבא אחריו.
שתי אוריינטציות על משולשים צמודם נקראות מתאימות אם שני הסדרים המושרים על הצלע המשותפת מנוגדים. זאת אומרת שאם BC היא הצלע המשותפת אז באחד המשולשים B יבוא (מיד) לפני C, ובאחר C יבוא (מיד) לפני B (ראה איור).
לאחר שקבענו אוריינטציה על משולש אחד. יש דרך יחידה לקבוע אוריינטציה על המשולשים השכנים, וכך הלאה. לכן על כל יריעה קשירה יש לא יותר משתי אוריינטציות. אולם לא תמיד ניתן לבחור אוריינטציה על כל המשולשים באופן מתאים. לכן חלק מהמשטחים אינם אוריינטבילים, כמו למשל טבעת מביוס או בקבוק קליין.
המקרה הרב ממדי.
גם על יריעות רב ממדיות ניתן לעיתים להגדיר אוריינטציה בדרך זאת. אולם צריך לבצע מספר שינויים בהגדרה, ויש לשיטה זאת מספר מגבלות:
אוריינטציה על מרחב ליניארי.
יהיה formula_17 מרחב ליניארי ממשי formula_3 ממדי.
הגדרה באמצעות בסיסים.
ניתן להגדיר את המושג האוריינטציה על formula_17 כך:
הגדרה:
"אוריינטציה" על formula_17 היא מחלקת שקילות של בסיסים סדורים תחת יחס השקיליות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהן היא חיובית.
מהגדרה זו נובע, שעל כל מרחב ליניארי (לא טריוויאלי) יש בדיוק שתי אוריינטציות. בסיס במרחב ליניארי עליו נקבעה אוריינטציה נקרא חיובי אם הוא מגדיר את האוריינטציה שנקבעה ושלילי אם הוא מגדיר את האוריינטציה המנוגדת.
אוריינטציה סטנדרטית.
על מרחבים ליניאריים מסוימים מוגדר בסיס סטנדרטי.
אוריינטציה שבסיס זה מגדיר נקראת האוריינטציה הסטנדרטית על המרחב. לדוגמה על המרחב formula_21
האוריינטציה המוגדרת על ידי הבסיס הסטנדרטי:
formula_22.
נקראת האוריינטציה הסטנדרטית.
באופן דומה, על המרחב הפיזיקאלי הסובב אותנו, כלל יד ימין מגדיר את האוריינטציה הסטנדרטית. במילים אחרות, כל בסיס מהצורה formula_23 נקרא חיובי ביחס לאוריינטציה הסטנדרטית.
כמו כן,
במישור שנמצא מולנו (כמו מישור הלוח או מישור דף הניר) מוגדרת אוריינטציה סטנדרטית על ידי בסיס בו הווקטור הראשון מופנה ימינה והשני למעלה.
הגדרה באמצעות תבניות.
ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על formula_17 גם באמצעות formula_3-תבניות אנטי-סימטריות (להלן תבניות). תבנית היא פונקציה
formula_26
המקיימת:
מרחב התבניות הוא חד-ממדי. לכן בין כל שתי תבניות שונות מ-0 ניתן להגדיר את מושג היחס ביניהן (זהו מספר ממשי).
כעת ניתן להגדיר
הגדרה: "אוריינטציה" על formula_17 היא מחלקת שקילות של תבניות שונות מ-0 תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם היחס ביניהן חיובי.
הגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות בסיס כיוון שלכל בסיס formula_32 ב-formula_17 אפשר להתאים תבניות formula_34 באופן הבא: התבנית היחידה המקיימת formula_35
הדטרמיננטה של מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא בדיוק היחס בין התבניות המתאימות להן. מכאן ששני בסיסים שקולים אם ורק אם שתי התבניות המתאימות שקולות.
אוריינטציה על נקודה.
ההגדרות האלו לא ברורות במקרה ש formula_36. במקרה זה המוסכמה היא שיש שתי אוריינטציות אחת מסומנת בסימן + או במספר 1 ונקראת חיובית והשנייה בסימן - או במספר 1- ונקראת שלילית.
משיכה ודחיפה של אוריינטציה (תחת איזומורפיזם).
יהי formula_37 איזומורפיזם של מרחבים ליניאריים. כל תבנית formula_27 על formula_39 מגדירה תבנית formula_40 על formula_17 באופן הבא: formula_42
בצורה זו ניתן להגדיר אוריינטציה formula_43 עבור כל אוריינטציה formula_1 על formula_39
תהליך זה נקרא משיכה לאחור של אוריינטציה.
ניתן גם להגדיר דחיפה קדימה של אוריינטציה על ידי formula_46
אוריינטציה על יריעה חלקה.
תהי formula_47 יריעה חלקה מממד formula_3.
הגדרה.
אוריינטציה formula_1 על formula_47 היא התאמה של אוריינטציה formula_51 על המרחב המשיק לכל נקודה formula_11 "התלויה באופן רציף" בנקודה formula_53.
הגדרה באמצעות תבניות.
אפשר להגדיר את המשמעות של "תלויה באופן רציף" בעזרת תבניות דיפרנציאליות.
תבנית דיפרנציאלית ממעלה formula_3 (להלן תבנית דיפרנציאלית) היא התאמה חלקה של formula_3-תבניות אנטי-סימטריות על המרחב המשיק formula_56 עבור כל formula_57.
תבנית דיפרנציאלית נקראת הפיכה אם היא אינה מתאפסת באף נקודה.
כעת ניתן להגדיר
הגדרה: formula_47 נקראת "אוריינטבילית" אם קיימת עליה תבנית הפיכה. "אוריינטציה" על formula_47 היא מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.
נשים לב שבהגדרה זו לא ניתן להשתמש בבסיסים במקום בתבניות, מכיוון שקימות יריעות אוריינטביליות שאינן ניתנות למיקבול (זאת אומרת יריעות שאי-אפשר לבחור עבור כל נקודה formula_60 שלהן בסיס למרחב המשיק formula_61 בצורה שתלויה באופן חלק ב-formula_53).
הגדרה באמצעות אטלסים ומפות.
דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על formula_47 היא לחזור על ההגדרה של יריעה חלקה אך להחליף את ההעתקות החלקות בהעתקות שומרות אוריינטציה.
הגדרה: תהיינה formula_64 קבוצות פתוחות. דיפאומורפיזם formula_65 נקרא "שומר אוריינטציה" אם הדיפרנציאל שלו בכל נקודה שומר אוריינטציה (זאת אומרת בעל דטרמיננטה חיובית). אטלס חלק על formula_47 נקרא "אוריינטבילי" אם העתקות המעבר שלו הן שומרות אוריינטציה. "אוריינטציה" על formula_47 היא אטלס חלק אוריינטבילי מקסימלי.
ניתן להראות בעזרת חלוקת היחידה שהגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות תבניות.
אוריינטציה מושרית על היפר-משטח ועל שפה של יריעה.
נקבע אוריינטציה formula_1 על formula_69
יהי formula_70 משטח-על ב-formula_47 (זאת אומרת תת-יריעה formula_72 ממדית).
שדה טרנסברסלי formula_73 על formula_70 הוא התאמה של ווקטור משיק formula_75 ל formula_47 בכל נקודה formula_77 כך ש
formula_78
בהינתן שדה טרנסברסלי formula_73 על formula_80, האוריינטציה formula_1 משרה אוריינטציה formula_82 על formula_80 באופן הבא: תהי formula_27 תבנית המייצגת את formula_1. נגדיר תבנית formula_86 על formula_80 על ידי formula_88 נגדיר את formula_82 להיות מחלקת השקילות של formula_90
במקום שדה טרנסברסלי ניתן להשתמש בשדה נורמלי לא מתאפס. שדה נורמלי הוא חתך חלק של האגד הנורמלי formula_91 במילים אחרות שדה נורמלי הוא התאמה חלקה של ווקטור במרחב המנה formula_92 לכל נקודה formula_93
שני שדות נורמליים יגדירו את אותה אוריינטציה אם המנה ביניהם היא פונקציה חיובית.
במקרה שעל formula_47 נתונה מטריקה רימנית בנוסף לאוריינטציה formula_1, אנו מקבלים התאמה חד-חד-ערכית ועל בין אוריינטציות על formula_80 ושדות נורמלים באורך יחידה על formula_80.
כיוון שעל formula_98 יש אוריינטציה ומטריקה רימנית סטנדרטית, בחירה של שדה נורמלי על היפר-משטח formula_80 ב-formula_98 שקולה לבחירת שדה נורמלי באורך יחידה על formula_101 בדומה למוסבר במבוא.
יריעה עם שפה.
אם formula_47 היא יריעה עם שפה אז השפה formula_103 של formula_47 היא היפר-משטח ב-formula_47. ניתן (בעזרת חלוקת היחידה) לבחור שדה טרנסברסלי חיצוני על formula_106 זאת אומרת שדה טרנסברסלי על formula_103 אשר לא נמצא בחצי-מרחב המשיק ל formula_47 באף נקודה formula_109 האוריינטציה ששדה זה מגדיר נקראת האוריינטציה המושרית על formula_106
קל לראות שאוריינטציה זו לא תלויה בבחירת השדה הטרנסברסלי החיצוני.
הערה: למרות שהבניות בפרק זה מוגדרות היטב הן תלוית במוסכמות סימן שרירותיות למדי: האוריינטציה הסטנדרטית על formula_98, העדפת הנורמל החיצוני על הפנימי והצבת השדה הנורמלי בתור המשתנה הראשון ולא האחרון.
שימושים.
בעזרת משפט ז'ורדן ניתן להסיק מתהליך השראת האוריינטציה על שפה של יריעה את הקריטריון הבא עבור אוריינטביליות:
טענה: היפר-משטח סגור (במרחב ליניארי) תמיד אוריינטבילי.
משיכה של אוריינטציה (תחת דיפאומורפיזם מקומי).
העתקה חלקה formula_112 נקראת דיפאומורפיזם מקומי (או העתקת אטאל ) אם הדיפרנציאל formula_113 שלה בכל formula_60 הוא איזומורפיזם. לפי משפט הפונקציה הסתומה תנאי זה שקול לכך שלכל formula_60 קיימת סביבה פתוחה formula_116 כך ש formula_117 היא קבוצה פתוחה והצמצום formula_118 הוא דיפאומורפיזם.
בהינתן אוריינטציה formula_1 על formula_80 ניתן להגדיר את המשכיה לאחור שלה formula_121 על ידי formula_122
במילים אחרות יש לבחור תבנית דיפרנציאלית formula_27 המייצגת את formula_1, ולהגדיר את formula_121 להיות מחלקת השקילות של formula_126
העתקת אטאל formula_112 בין יריעות מכוונות (יריעות שנקבעה עליהן אוריינטציה) נקראת שומרת אוריינטציה אם המשיכה לאחור של האוריינטציה על formula_80 שווה לאוריינטציה formula_69
אוריינטציה ואינטגרציה.
אחת המוטיבציות להגדרת מושג התבניות הדיפרנציאליות היא האפשרות להגדיר אינטגרל של תבנית דיפרנציאלית. אפשרות זו מותנית בקביעת אוריינטציה על היריעה formula_69
נקבע אוריינטציה על formula_69