לאחר קריסתה הצבאית והמדינית של האימפריה האוסטרו הונגרית בנובמבר 1918 מצא עצמו קארויי כמנהיגה של האומה. המוניטין שיצאו לו כמתנגד התקיף ביותר למלחמה גרמו לכך שהוא יהיה הדמות אליה פנה ההמון לאחר סיומה. כן האמינו ההמונים כי קשריו של קארויי במערב יסייעו לו להשיג תנאים טובים להונגריה במשא ומתן על עתידה הטריטוריאלי והמדיני. ב-3 בנובמבר נחתמה שביתת הנשק בין הונגריה ומדינות ההסכמה, וימים ספורים לאחר מכן, בלחץ ההמונים בווינה ובבודפשט ויתר אחרון שליטי הבסבורג, קרל הראשון, קיסר אוסטריה, על כיסאו.
ב-16 בנובמבר 1918 הכריז קארויי על הקמתה של הרפובליקה העממית (הדמוקרטית) ההונגרית. קארויי שלט באמצעות "מועצה לאומית" בה היו חברים אלמנטים מן המפלגה הסוציאל-דמוקרטים ומן המפלגה הרדיקלית הקטנה. בה בעת קמו ברחביה של הונגריה "מועצות מהפכניות" בדומה לאלו שקמו ברוסיה ב-1917 והביאו בסופו של דבר למהפכה. מצב זה נתן לקארויי אחריות רבה, שלא הייתה מלווה בסמכות.
מטרתם של קארויי, ושל שר הלאומים שלו אוסקר יאסי הייתה ליצור "שווייץ הונגרית", באמצעות פניה למיעוטים הלא מדיארים בגבולות הונגריה להישאר כחלק מן הרפובליקה החדשה. מאמץ זה נכשל לחלוטין. לאחר שנים של דיכוי דרישותיהם הלאומיות על ידי ההונגרים, העדיפו המיעוטים בהונגריה להצטרף למדינותיהם החדשות או הסמוכות - יוגוסלביה, צ'כוסלובקיה ורומניה.
תנאי שביתת הנשק היוו בעיה נוספת שלא היה בכוחה של הממשלה החדשה להתגבר עליה. באוקטובר 1918 חתמה הממשלה האוסטרו הונגרית על שביתת נשק בעיר פדובה באיטליה. מכיוון שהונגריה הייתה עתה עצמאית, רבים בקבינט טענו כי עליה לחתום על הסכמי שביתת נשק חדשים. קארויי נאלץ, בניגוד לשיפוטו, להסכים לדרישה זו, ובנובמבר חתמה הונגריה על הסכם חדש בבלגרד, עם מפקד כוחות מדינות ההסכמה בבלקנים, הגנרל לואי פראנשה ד'אספרה. תנאים אלו היו גרועים בהרבה מתנאי ההסכם הקודם. עובדה זו הביאה לביקורת קשה על קארויי, אשר ממנו ציפו להשיג תנאים טובים יותר.
ממשלו של קארויי הפך למוקד של מתיחות בין המפלגה הסוציאל-דמוקרטית, שהייתה הגדולה במפלגות, ובין אנשי קארויי. הסוציאל-דמוקרטים החלו לכפות את דעתם. בדעת קארויי היה להעביר את האחוזות הגדולות במדינה לידי החקלאים המחזיקים בהן. הוא החל במתן דוגמה אישית כשחילק את אחוזות משפחתו הנרחבות לחקלאים. אך הייתה זו חלוקת האדמות היחידה שהתבצעה בפועל. היו אלה הסוציאל-דמוקרטים דווקא אשר טרפדו את המהלך, מן הסיבה שחלוקת האדמות ליושביהן מקדמת את הקפיטליזם. בטעות חמורה נוספת הורה קארויי על פירוק כוחותיה המזוינים של הונגריה. מהלך אומלל זה הביא לכך שבמהלך כל החורף של 1918 - 1919, פרצו הרומנים, היוגוסלבים, והצ'כים את קווי שביתת הנשק, במטרה להשיג לעצמם עוד נחלות, ולשפר את מצבם לקראת הדיונים על עתיד האזור.
בנוסף לכל אלו, היה עדיין המצור הכלכלי על הונגריה בעיצומו, כל עוד לא נחתם הסכם שלום. הונגריה סבלה ממחסור במזון, ומוות מתת תזונה הפך לחיזיון נפוץ. פליטים מטרנסילבניה ומגליציה סתמו את הדרכים. אספקת הפחם מגרמניה נותקה עם יצירת החיץ בין שתי הארצות בדמותה של המדינה החדשה - צ'כוסלובקיה. הונגריה הייתה תלויה בפחם הגרמני לקיומה. בחורף הקשה שהגיע, היו רבים ללא מקורות חימום נאותים, ורשת הרכבות הושבתה. כתוצאה מכך שבתה אף התעשייה, ורבים מצאו עצמם ללא עבודה. ממשלתו חסרת הניסיון והכושלת של קארויי התמודדה עם המצב באמצעות הדפסת כסף, ויצרה בנוסף לכל גם אינפלציה דוהרת.
נראה כי קארויי היה ליברל שמאלי בעל כוונות טובות, אך בלתי יעיל, והאיש הלא נכון בתפקיד נשיא הונגריה בתקופה זו. בני זמנו, והביוגרפים שלו מתארים אותו כחלש, שטחי, בלתי מעשי ונתון להשפעה, אשר רק שמו, מוצאו, וקשרי הנישואין שלו הביאו אותו למעמדו הרם.
ב-20 במרץ 1919 הציג הקולונל הצרפתי וי דרישה המורה לכוחות הונגריה לסגת משטחים נרחבים בממלכה. ההנחה הייתה כי מכתב וי מייצג את גבולותיה העתידיים של הונגריה. הסוציאל-דמוקרטים איחדו את מפלגתם עם מפלגתו הקומוניסטית של בלה קון, עיתונאי לשעבר אשר חזר מן השבי ברוסיה כשהוא נתון להשפעת אירועי המהפכה הרוסית, וקרא להקמת משטר קומוניסטי אף בהונגריה. אנשי המפלגה המאוחדת הכריזו על התפטרותו של קארויי. קארויי נאלץ להתפטר, ויצא לגלות בצרפת, ולאחר פרוץ מלחמת העולם השנייה לבריטניה. קארויי מעולם לא שב להונגריה. בגלות כתב את זיכרונותיו, אשר יצאו לאור בשנת 1925 תחת השם "נגד כל העולם". כרך נוסף בשם "זיכרונות: אמונה ללא אשליות" יצא לאור בשנת 1954.
מצבת מרנפתח
לורנס אוליבייה
סר לורנס אוליבייה (באנגלית: Laurence Olivier; 22 במאי 1907 - 11 ביולי 1989) היה שחקן קולנוע ותיאטרון אנגלי. אוליבייה נחשב לאחד מגדולי השחקנים במאה ה-20. על תפקידיו בקולנוע ובטלוויזיה זכה בשלושה פרסי אוסקר, שלושה פרסי גלובוס הזהב, שלושה פרסי באפט"א לקולנוע וחמישה פרסי אמי.
ביוגרפיה.
אוליבייה נולד בעיר דורקינג במחוז סארי שבאנגליה. אבות משפחתו היו הוגנוטים שנמלטו מצרפת ב-1685, לאחר צו פונטנבלו. אביו הכומר החליט שבנו יהיה שחקן ואוליבייה למד בבית ספר למשחק "Central School of Speech Training and Dramatic Art".
נשא לאישה את ג'יל אסמונד ב-1930, לזוג נולד בן אחד. ב-1938 ניהל רומן סוער עם השחקנית ויוויאן לי שהייתה נשואה אף היא, בעקבות הרומן התגרש וב-1940 נישא ללי. נישואים אלו התפרקו ב-1960, ושנה אחר כך התחתן אוליבייה עם ג'ואן פלורייט.
ב-1947 קיבל אוליבייה תואר אבירות "Knight Bachelor", ב-1970 קיבל תואר אצולה "Baron Olivier, of Brighton in the County of Sussex", וב-1981 את עיטור מסדר ההצטיינות (Order of Merit).
אוליבייה מת מסרטן בגיל 82, ונקבר בפינת המשוררים במנזר וסטמינסטר, לונדון.
תיאטרון.
התפרסם ב-1930 כששיחק במחזה של נואל קאוורד "חיים פרטיים" וחיזק את מעמדו ב-1935 במחזה "רומיאו ויוליה" כששיחק לצידו של ג'ון גילגוד כשהם מתחלפים ביניהם בתפקידי רומיאו ומרקוציו.
סך הכול שיחק ביותר ממאה ועשרים תפקידי במה, והרבה במיוחד להופיע במחזות של שייקספיר.
היה המנהל הראשון של התיאטרון המלכותי הלאומי, וכיהן בתפקיד זה בין השנים 1962–1973.
קולנוע.
ב-1931 כיכב בסרטו הראשון בהוליווד - "Yellow Ticket".
דמותו של הית'קליף בסרט "אנקת גבהים" הביאה מועמדות ראשונה לפרס האוסקר ומעמד של כוכב קולנוע. ב-1949 זכה אוליבייה בפרס אוסקר לשחקן הטוב ביותר ופרס באפט"א לקולנוע על תפקידו בסרט "המלט", אותו גם ביים והפיק.
בשנת 1958, כיכב ביים והפיק את הסרט "הנסיך ונערת השעשועים" בה כיכבה לצידו מרילין מונרו.
סה"כ היה מועמד לאוסקר 12 פעמים, וזכה בשני פרסי הוקרה של האקדמיה, הראשון ב-1944 על הסרט "הנרי החמישי", והשני ב-1979 על מפעל חייו בקולנוע.
15 שנה אחרי מותו הופיע אוליבייה שוב בסרט קולנוע, כאשר יוצרי הסרט "סקיי קפטן" "("Sky Captain and the World of Tomorrow")" השתמשו בקטעים מסרטים בהם השתתף, ויצרו מהם דמות של מנהיג מרושע.
אוטוביוגרפיה.
ב-1984 פרסם את האוטוביוגרפיה שלו "Confessions of an actor".
כתב ספר אוטוביוגרפי נוסף בשם "על המשחק", שראה אור בהוצאת מודן, 1989.
ספר ביוגרפי שפורסם ב-1991, טען כי אוליביה והשחקן דני קיי ניהלו רומן הומוסקסואלי.
מקדם בינומי
בקומבינטוריקה, מקדם בינומי formula_1 הוא מספר תת-הקבוצות בגודל formula_2 שניתן לבחור מתוך קבוצה בגודל formula_3. מכיוון שמדובר בתת-קבוצות, הבחירה מתבצעת ללא חזרות וללא חשיבות לסדר. לדוגמה, אם שלושה שחקנים מקבוצת כדורגל יצאו עם כרטיס אדום, אז formula_4 הוא מספר האפשרויות לבחור שלושה שחקנים (ללא חשיבות לסדר בו הם יצאו מהמשחק).
(במחשבון פעולה זו מסומנת בדרך כלל בצורות formula_5, formula_6 או formula_7). האות formula_3 מייצגת את גודל הקבוצה, האות formula_2 את גודל תת-הקבוצה והאות formula_10 את הקומבינציה.
למקדמי הבינום שימושים רבים בקומבינטוריקה והסתברות. קיימות שלוש גישות בעת העבודה עם מקדמים בינומיים, והן מוצגות כדלהלן.
הגדרה מתמטית.
לכל formula_11 המקדם הבינומי של formula_3 מעל formula_2 הוא formula_14 כאשר formula_15הוא ערך העצרת של formula_3.
ניתן להבין את ההגדרה באופן הבא - אם מקבוצה בגודל formula_3 נרצה לבחור תת-קבוצה בגודל formula_2 ללא חשיבות לסדר, אז יש formula_3 אפשרויות לבחור את האיבר הראשון בתת-הקבוצה, formula_20 אפשרויות לבחור את השני, וכן הלאה עד ל-formula_21 אפשרויות לבחור את האחרון. סך הכל נקבל שמספר תת-הקבוצות הוא formula_22. כל תת-קבוצה מופיעה formula_23 פעמים, כמספר התמורות האפשריות שלה. לכן נחלק ב- formula_23 ונקבל את ההגדרה המבוקשת.
מההגדרה נובעת הזהות החשובה הבאה: formula_25, כלומר מתקיימת סימטריה בין מקדמי הבינום.
כמו כן,
נוסחה זו מאפשרת חישוב קצר ונוח יותר של המקדם הבינומי עבור ערכים קטנים של k. למשל:
משולש פסקל.
משולש פסקל מספק נוסחת נסיגה אשר מאפשרת לחשב את מקדמי הבינום ומתבטאת בזהות הבאה:
formula_28 עם תנאי ההתחלה formula_29 ו- formula_30, formula_31
הבינום של ניוטון.
הבינום של ניוטון הוא נוסחה לפיתוח סכום של שני איברים, כאשר הוא מועלה בחזקה שלמה כלשהי. הנוסחה בצורתה הבסיסית היא: