פתרון אפשרי לבעיה מתבצע באמצעות סמפורים או ים. כאשר יש יותר מיצרן אחד וצרכן אחד, יש להשתמש גם במנעול.
טוביה אריה גולדברגר
הרב טוביה אריה גולדברגר (1856 - 30 בדצמבר 1910) היה דיין בבד"ץ כוללות החסידים בירושלים.
קורות חיים.
נולד בהונגריה, בה למד אצל הרב עמרם בלום. בשנת תרל"ג (1873), בהיותו בן שבע עשרה עלה לארץ ישראל וכיהן כאחד מראשי כולל הונגריה וממונה בכולל זה במשך 23 שנה ביחד עם הרב יוסף חיים זוננפלד. לאחר שרבי שניאור זלמן פרדקין מלובלין עלה לירושלים, גולדברגר נהג ללמוד בבית מדרשו. כשיסד הרב פרדקין את בד"ץ כוללות החסידים בירושלים מונה גולדברגר להיות דיין בבית הדין. גולדברגר כיהן בבית הדין ביחד עם הרב דוד ליפמן שובקס והרב יוסף יהודה שטרסברג שמונו לבית הדין כשעלו לארץ ישראל. אולם לאחר פטירת הרב פרדקין בשנת תרס"ב (1902) הוחלף גולדברגר בהסכמה על ידי הרב אברהם הכהן, מכיוון שגולדברגר היה מתנגד. בשנת תרס"ט הוציא גולדברגר לאור את הספר "תורת חסד" של הרב שניאור זלמן פרדקין, לאחר שבנו של הרב פרדקין נפטר בפתאומיות וכתבי הרב פרדקין התפזרו ונאבדו.
רבי אריה טוביה גולדברגר נפטר ביום שישי כ"ט בכסליו תרע"א (30 בדצמבר 1910) בירושלים ונקבר שם. בעיתון הצבי נכתב עליו: "רבי גולדברגר ז"ל - יום השישי כ"ט כסליו היה יום אבל לרבים מבני עדות היהודים בירושלים כי נפטר אחד מזקני העדה הנכבדה, הרב רבי טוביה גולדברגר. היה שנים רבות מנהל של כולל אונגריה, מצוין במדות טובות. והוא היה שם לילות כימים בתורה ובלמוד. מטעם הרבנות נכרזה לויה וקהל גדול מאד בא לחלק לו את כבודו האחרון וספדנים הספידוהו כהלכה. תנצב"ה".
גולדברגר היה חתנו של ר' עזריאל זליג הויזדורף מבוני בתי מחסה בעיר העתיקה בירושלים. דודו היה, נתן יוסף גולדברגר, אחד ממגידי השעורים בישיבת עץ חיים בירושלים.
בתו שרה נישאה לבנו של ר' יעקב בלומנטל ולאה לבית ווז'נער - אהרון שמחה בלומנטל (אשב"ל). בתם חנה בלומנטל נישאה לרב יעקב גולדמן: בנם עו"ד טוביה גולדמן, חבר חטיבת הראל נלחם במלחמת העצמאות במסגרת הגדוד הרביעי של הפלמ"ח - גדוד הפורצים; לאחר מכן נשא את אהובה לבית פרבדה ילדיהם: אהוד נשא את סו לבית זקס בתם:חנה יהודית (מולי), נאורה נישאה לעו"ד ירון רבינוביץ. ארז נשא את שרה לבית גרוסמן. יעל נישאה לאליהו עמיחי. בתם אסתר נישאה לנסים ברוך לימים מנכ"ל האוצר ומנכ"ל המוסד לביטוח לאומי במדינת ישראל.
הייתה לו גם בת אסתר ראשל, שהייתה נשואה לרבי שמעון בלומנטל מירושלים.
בנימין קרדוזו
הומולוגיה (טופולוגיה אלגברית)
מכון שטראוס עמיאל
חבורות ההומוטופיה
בטופולוגיה אלגברית ניתן לבנות לכל מרחב טופולוגי מנוקד (כלומר, עם בחירה של נקודת בסיס) סדרה של חבורות, המכונות חבורות ההומוטופיה, ומסומנות formula_1. חשיבותן בכך שהן תורמות למחקר טיפוס ההומוטופיה של המרחב.
חבורת ההומוטופיה הראשונה אינה אלא החבורה היסודית של המרחב; בניית חבורות ההומוטופיה מכלילה את בנייתה של החבורה היסודית באופן טבעי. בעזרת חבורות ההומוטופיה ניתן לחקור תכונות טופולוגיות נוספות של המרחב, אותן החבורה היסודית לא תמיד מצליחה "לתפוס". בפועל, לא ידועות חבורות ההומוטופיה גם למרחבים הנחשבים פשוטים, כמו ספירה.
הגדרה.
יהי formula_2 מרחב טופולוגי מנוקד. לכל formula_3 מגדירים את חבורת ההומוטופיה ה-formula_4, המסומנת formula_1, להיות קבוצת העתקות formula_6 (כאשר formula_7 היא הספירה ה-formula_4 ממדית), עד כדי הומוטופיה ביחס לנקודה. באופן שקול, ניתן להגדיר את איבריה בתור קבוצת ההעתקות formula_9 מההיפרקובייה עד כדי הומוטופיה ביחס לשפת הקוביה formula_10. ההגדרה השנייה נוחה יותר (כך למשל מוגדרת החבורה היסודית formula_11). ההגדרות שקולות, שכן אם מזהים את כל השפה של הקוביה לנקודה אחת, מקבלים את הספירה.
עבור formula_12 קבוצה זו מהווה חבורה עם פעולת השרשור, שמוגדרת בתור הדבקת שתי קוביות על אחת הצלעות ב"קצב כפול", בדומה להגדרת הפעולה בחבורה היסודית.
חבורות ההמוטופיה מהוות פונקטור בין מרחבים טופולוגיים לחבורות. זהו אינווריאנט עד כדי שקילות הומוטופית (לכל מרחבים שקולים הומוטופית אותן חבורות הומוטופיה).
מבנה.
בעזרת חבורות ההומוטופיה ניתן להבין את התכונות ההומוטופיה של המרחב.
תכונות בסיסיות.
ראשית, (באופן כללי) על formula_13 לא ניתן להגדיר מבנה טבעי של חבורה. קבוצה זו מזוהה באופן טבעי עם מרכיבי הקשירות המסילתית של המרחב. מאידך, למשל במקרה של חבורת לי, ההומוטופיה האפס היא חבורת המנה formula_14, כאשר formula_15 הוא רכיב הקשירות של היחידה.
כאמור לעיל, לכל formula_12 על formula_1 יש מבנה טבעי של חבורה. עבור formula_18 חבורה זו היא אבלית. כדי להוכיח זאת, יש להביט בהעתקות formula_19, לכווץ אותן מעט, לסובב ואז להרחיב חזרה (מה שלא אפשרי במקרה החד ממדי).
הבחנה חשובה נוספת היא שבחבורת הומוטופיה כללית, בניגוד לחבורה היסודית, יש משמעות לנקודת הבסיס. במרחב קשיר מסילתית, כל החבורות איזומורפיות, אך אינן זהות. במרחב פשוט קשר אפשר שלא להתייחס לנקודת הבסיס לכל חבורות ההומוטופיה - הן שוות זהותית.
שקילות הומוטופית חלשה ומשפט וייטהד.
כאמור לעיל, חבורת הומוטופיה ספציפית נותנת מידע חלקי בלבד על המרחב. על כן, מגדירים יחס חלש יותר - שני מרחבים נקראים שקולים הומוטופית במובן החלש אם קיימת ביניהם העתקה formula_20, המכונה שקילות הומוטופית חלשה, כזו שלכל formula_4 ההעתקה formula_22 הנתונה על ידי formula_23 היא איזומורפיזם חבורות.
המשפט הבא הוא משפט חזק מאוד הנותן מידע מלא על טיפוס ההומוטופיה בעזרת חבורות ההומוטופיה:
משפט וייטהד: אם formula_20 שקילות הומוטופית חלשה בין מרחבי CW קשירים מסילתית, אז formula_25 היא שקילות הומוטופית בין המרחבים.
הדרישה שתהיה פונקציה formula_25 אחת שמקיימת את תנאי המשפט היא הכרחית - גם אם כל החבורות איזומורפיות על ידי העתקות שונות, לא מובטחת שקילות הומוטופית.
מרחב אספרי ומרחב אילנברג-מקליין.
מרחב אספרי (Aspherical space) הוא מרחב שכל חבורות ההומוטפיה formula_1 טריוויאליות עבור formula_18. כל מרחב בעל מרחב כיסוי אוניברסלי כוויץ (למשל, טורוס) הוא מרחב אספרי. במרחבי CW גם ההפך נכון - מרחב CW הוא אספרי אם ורק אם מרחב כיסוי האוניברסלי שלו (שתמיד קיים) הוא מרחב כוויץ.
מינוח כללי יותר הוא מרחב אילנברג-מקליין - זהו מרחב בו יש רק חבורת הומוטופיה אחת לא טריוויאלית. לכל חבורה formula_29 ומספר טבעי formula_4, מסמנים ב-formula_31 מרחב אילנברג-מקליין בעל חבורת הומוטופיה formula_29 מסדר formula_4. למשל, המעגל formula_34 הוא formula_35, המרחב הפרויקטיבי הממשי האינסופי formula_36 הוא מרחב formula_37. מרחב כזה לא תמיד קיים, אך משפט חשוב קובע כי לכל חבורה אבלית formula_29 ולכל formula_39 קיים מרחב formula_31 יחיד כד כדי שקילות הומוטופית. בנייה זו נעשית על ידי מרחב מור ומערכת פוסטניקוב.
חישוב החבורות.
חישוב חבורות ההומוטופיה בפועל הוא קשה, וגם חבורות ממד גבוה של מרחבים שנראים פשוטים אינן ידועות.
בניגוד לחבורה היסודית, עבורה יש שיטות חישוב שונות (הבולטות הן מרחבי כיסוי ומשפט ואן קמפן), או חבורות ההומולוגיה אותן ניתן לחשב אלגוריתמית במקרים רבים, אין שיטה כללית לחשב את חבורות ההומוטופיה, בשיטות כמו רדוקציה. חבורות ההומוטופיה היחסיות אגדי סיבים , שהם הכללות של מרחבי כיסוי, נותנים מידע מועט ונקודתי מאוד.
בכל זאת, במהלך שנות השמונים פותחו שיטות שונות לחישוב חבורות ההומוטופיה. Graham Ellis ו- Roman Mikhailov הציגו שיטה תיאורתית לחשב את החבורות למרחבים מסוימים (לפרטים, ראו בקריאה נוספת).
משפט הורוויץ מקשר בין חבורות ההומולוגיה לחבורות ההומוטופיה במקרה של מרחבים n-קשירים.
מספר תוצאות.
בעזרת כלים שונים מתורת ההומוטופיה, כמו חבורות ההומוטופיה היחסיות, קומפלקסים, אגדי סיבים וכלים נוספים, ניתן להוכיח את התוצאות הבאות:
כרוב סיני
כרוב סיני הוא מושג קולינרי, המתייחס לשתי קבוצות שונות של זנים תרבותיים השייכים לאותו המין אליו גם משתייכת הלפת ("Brassica rapa"). הקבוצות שונות מאוד אחת מהשנייה ומהלפת, ולכן יש המעדיפים לא לכלול את שתיהן במושג כרוב סיני. הקבוצה הראשונה ("Brassica rapa var pekinensis)", הנקראת כרוב נאפה בשפת היום יום (ולעיתים פשוט כרוב סיני), דומה בטעם ובמראה לכרוב האירופי אף על פי שעליו עדינים יותר ומבניהו ארוך יותר, בעוד הקבוצה השנייה ("Brassica rapa var Chinensis"), הנקראת בּאק צ'וי בקנטונזית (סינית מפושטת: 白菜, יוטפנג: baak6 coi3, מילולית מקנטונזית: ירק לבן; אך מכונה לעיתים במערב גם פּאק צ'וי ובּוק צ'וי), עשויה פקעות המזכירות סלק עלים או עלי חרדל גדולים במיוחד ומזכירה בטעמה את הלפת והצנון.
היסטוריה.
הכרוב הסיני מגודל בסין מזה ששת אלפים שנה. זרעי הצמח נמצאו בכלים שנחפרו מתקופת האבן החדשה בבאנפו. במאה החמישית לספירה היה הכרוב הסיני חלק יומיומי מהתפריט הדרום-סיני.
הרוקח לי שיזן, בן תקופת שושלת מינג, חקר את הכרוב הסיני ותכונותיו המועילות בכתביו. באותה עת התפשטו שטחי גידול הצמח מדלתת היאנגצה לאזורי צפון סין, עד אשר היבולים בצפון היו כה גדולים שיוצאו בתעלה הגדולה לג'ג'יאנג ואף גואנגדונג.
הירק התפשט מסין לקוריאה, והפך בה לירק הבסיס במאכל הנפוץ קימצ'י. בתחילת המאה ה-20 הגיע הירק ליפן על ידי חיילים ששבו לאחר שנלחמו בשטחי סין במלחמת רוסיה–יפן.
זנים.
כרוב נאפה.