כיוון שני: נניח כי formula_15. כיוון ש formula_17 היא חבורה ציקלית, אזי קיים לה יוצר, יהי formula_18 היוצר שלה. מכיוון ש formula_19 אז formula_20 עבור formula_21 כלשהו.formula_22. הסדר של formula_23 הוא formula_24, לכן formula_24 מחלק את formula_26 ומכאן ש-formula_27 מספר שלם, יהי formula_28. עבור formula_29 מתקיים formula_30, ולכן formula_4 הוא שארית ריבועית של formula_2.
היסטוריה של אסיה
את ההיסטוריה של אסיה ניתן לראות כהיסטוריה קולקטיבית של מספר אזורי חוף היקפיים, מזרח אסיה, דרום אסיה והמזרח התיכון המקושרים ביניהם על ידי הערבה האירו-אסייתית.
פרהיסטוריה.
הפרהיסטוריה של אסיה עתיקה יותר מכל יבשת אחרת פרט לאפריקה. בני אדם יישבו לראשונה את אסיה בתקופה הפלאוליתית התחתונה, לפני כ- 1.8 מיליון שנה, כאשר נדדו אליה מאפריקה בני-אדם קדמונים מן המינים הומו ארקטוס והומו גאורגיקוס, שהיו ציידים-לקטים והותירו אחריהם כלי אבן מן התרבות האולדובאית והתרבות האשלית. בין האתרים הארכאולוגיים הידועים מתקופה זאת: דמניסי בגאורגיה, עובידיה וגשר בנות יעקב בישראל, וסנגיראן באינדונזיה. במהלך התקופה הפלאוליתית התפתחו באסיה, ככל הנראה, מיני אדם אנדמיים, האדם הדניסובי הידוע רק ממרכז אסיה והומו פלורסיינסיס באינדונזיה. אוכלוסיות האדם הניאנדרטלי והאדם המודרני יישבו את מערב אסיה בערך החל מ-100 אלף שנים לפני זמננו, מאירופה ואפריקה בהתאמה. במקביל, טיפוסי אדם אחרים, שאינם ידועים במידה מספקת במחקר, יישבו את מזרח אסיה. אוכלוסיות האדם המודרני התפשטו במערב ודרום אסיה עוד בתקופה הפלאוליתית התיכונה וביתר שאת במהלך התקופה הפלאוליתית העליונה. דרום-מזרח אסיה שימשה כקרש קפיצה ליישוב אוסטרליה לפני יותר מ-40,000 שנה, וקבוצות בצפון-מזרח היבשת יישבו לראשונה את אמריקה לפני כ-15,000 שנה.
אסיה היא היבשת בה התרחשה לראשונה המהפכה הנאוליתית של המעבר לחקלאות, באזורי הסהר הפורה, החל מכ-11,500 שנה לפני זמננו, וכאלפיים שנה לאחר מכן גם בעמקי הנהרות בסין. אורח החיים החדש, שהתבסס על ביות צמחים ובעלי חיים, התפשט מאסיה לאירופה ולאפריקה בתהליך ממושך.
בערך בשנת 3,000 לפנה"ס, גילו בני האדם דרך להפיק ארד (ברונזה - סגסוגת של נחושת ובדיל). בני האדם בדרום מערב אסיה בערך בשנת 1200 לפנה"ס, למדו כיצד להכין כלי ברזל.
העת העתיקה (3500 לפנה"ס עד 476 לספירה).
תיאור גאוגרפי-היסטורי.
החופים ההיקפיים של היבשת היו בית לכמה מהתרבויות העתיקות ביותר הידועות למדע, כאשר בכל אחד מהאזורים הללו התפתחו ציוויליזציות לאורך עמקי נהרות פוריים. הציוויליזציות במסופוטמיה, נהר האינדוס, וסין חלקו קווי דמיון רבים וסביר להניח שהן החליפו ביניהן מידע (כגון ידע מתמטי) וטכנולוגיות (גלגל). המצאה אחרת, הכתב, התפתחה ככל הנקרא באופן בלעדי באזור זה. ערים, מדינות ואז אימפריות התפתחו בעקבות האירועים השונים שקרו באזור זה.
אזור הערבה היה מיושב במשך שנים רבות על ידי נוודים, ומהערבות המרכזיות הם יכלו להגיע לכל מקום ביבשת. התפשטות האוכלוסייה הקדומה ביותר מאזור הערבה הידועה לחוקרים היא זו של תושבי הערבה ההודו-אירופאית, שהפיצו את שפתם למזרח התיכון, הודו, ולאזורים הטוקאריים שעל גבול סין. החלק הצפוני של היבשת, המכסה את סיביר, היה בלתי נגיש עבור הנוודים בגלל היערות הצפופים והטונדרה. אזורים אלה היו דלילים ביותר מבחינת צפיפות האוכלוסין.
מרכז אסיה והאזורים ההיקפיים היו נפרדים זה מזה בגלל ההרים והמדבריות. הרי הקווקז, וההימלאיה, מדבר קאראקום ומדבר גובי יצרו מחסומים טבעיים שפרשי הנוודים יכלו לעבור, אך בקושי רב. בעוד שמבחינה טכנולוגית ותרבותית יושבי הערים היו יותר מתקדמים, יכולתם הצבאית הייתה מוגבלת כאשר רצו להתגונן נגד גדודי הפרשים שהגיעו מההרים. אולם, לתושבי השפלה לא היו מספיק שטחי מרעה פתוחים שהיו דרושים כדי לתמוך בכוחות הרכובים על סוסים. לפיכך, הנוודים שכבשו את המדינות בסין, הודו והמזרח התיכון נאלצו להסתגל במהרה לתנאים החברתיים המקומיים.
אסיה כערש התרבות.
אסיה מבחינה רבה היא ערש התרבות האנושית. הציוויליזציות הקדומות במסופוטמיה, סין והודו קמו לפני 4,000 שנה ויותר. כמו כן, אסיה היא גם מולדתם של כל הדתות הגדולות: ההינדואיזם, הבודהיזם, דת השינטו, וכמובן היהדות, הנצרות והאסלאם.
סין.
מתארכים את תחילת ההיסטוריה הסינית לתקופת שלושת המלכים וחמשת הקיסרים - 2800 לפנה"ס. לתקופה זו מאפיינים מיתולוגיים מובהקים. למלכים ולקיסרים תכונות מיסטיות והם מתוארים כשליטים נבונים ובעלי מוסר למופת. אחד מהם, הקיסר הצהוב נחשב לאבי בני ההאן.
שושלות השלטון בסין פיתחו לאורך השנים שיטות בירוקרטיה שלטונית שהעניקו לסינים יתרון משמעותי על העמים השבטיים שחיו מסביבם. פיתוח אידאולוגיה למדינה, המבוססת על משנתו הפילוסופית של קונפוציוס (המאה ה-6 לפנה"ס), יחד עם פיתוח מערכת כתב זמינה לכל (המאה ה-2 לפנה"ס) חיזקו עוד יותר את התרבות הסינית. מבחינה פוליטית, סין נעה בתנועה מתמדת בין איחוד ופירוד ולעיתים גם נכבשה על ידי כוחות זרים אשר מרביתם התמזגו לתוך תרבותה והפכו לחלק בלתי נפרד ממנה.
הודו.
התרבות הקדומה ביותר בתת-היבשת ההודית, הייתה תרבות המגררה בצפון מערב הודו. מידע שנתגלה לאחרונה, הנתמך בידי תמונות לוויין ומחקרים ימיים, מציע כי תרבות זו פרחה כבר מהאלף התשיעי לפנה"ס.
כמה אלפי שנים לאחר נפילתה של תרבות המגררה, פרחה בשטח שהיום שייך לפקיסטן ולהודו, תרבות בשם עמק האינדוס (2800 לפנה"ס עד 1700 לפנה"ס), התרבות פרחה לאורך נהר האינדוס ונהר הגהאגר-האקרה.
התרבות הוודית היא התרבות המשתקפת בוודות, שהן מבין הטקסטים העתיקים ביותר הידועים לנו, שנוסחו בעל-פה בסנסקריט וודי. היא ארכה כ-1000 שנה, מבערך 1500 לפנה"ס עד 500 לפנה"ס. 500 השנים הראשונות של התקופה הזו מקבילות להודו של תקופת הברונזה, ו-500 השנים הבאות להודו של תקופת הברזל. רוב החוקרים כיום חושבים שהיא הייתה הגירה של עמים הודו-אריאנים לתוך הודו בתחילת התקופה, בעיקר לאזורים הצפון-מערביים של תת-היבשת ההודית.
במהלך השנים, עם העיור, יצירת המעמדות והרצון להגנה ושמירה על הקיים, התגבשו בתת-היבשת ההודית מספר ממלכות גדולות, מספרן השתנה במרוצת השנים כתוצאה מאיחודים פיצולים והשתלטויות, גודלן השתנה כתוצאה מחוזק/חולשה והשינוי המספרי אולם ברוב התקופה מספרן היה גבוה מ-10 ונמוך מ-20.
במאה הרביעית לספירה, מלכי מאגאדהה (בצפון מזרח הודו, אזור ביהר של היום) השתלטו על שטח המקביל לשטחה של מדינת אוטר פרדש דהיום ומאוחר יותר על רוב שטחי צפון הודו, ליצירת ממלכת גופטה. בתקופה זו, הידועה כתור הזהב ההודי, הכלכלה שגשגה ובעקבותיה פרחו התרבות, המדעהונים הלבנים (ההונים ההפתליטים) בשנת 530.
יפן.
מקורותיה ההיסטוריים של התרבות היפנית לוטים בערפל, ומשתרגים היטב באגדות הרבות שצמחו במרוצת השנים ב"ממלכת האלים". לפי המסורת, ה-11 בפברואר 660 לפנה"ס, הוא התאריך הרשמי (לפי ספירת הנוצרים) שבו נוסדה יפן על ידי הקיסר גִ'ימוּ טֶנוֹ. "עובדה" זו מופיעה בגרסאות הקדומות ביותר של תיעוד היסטורי כלשהו ביפן בתעודות שנכתבו בין המאה ה-6 למאה ה-8, לאחר אימוץ מערכת הכתב הסיני על ידי היפנים.
בתקופת קופון, התפתחה ביפן חברה בעלת מעמדות מובהקים, אשר הושתתה על ערכים צבאיים, ואשר חייליה אומנו בטכניקות המתקדמות ביותר שיובאו מאסיה, וצוידו בכלי נשק מודרניים דוגמת שריונות וחרבות. קשרי התרבות ליבשת היו חזקים באותה התקופה, ועדויות לכך נמצאות בזהויות המתגלות בממצאים הארכאולוגיים מאותה תקופה ביפן ובקוריאה. אבן דרך היסטורית חשובה נוספת מתקופת קופון היא אימוצו הרשמי של הכתב הסיני בשנת 405 לערך.
המזרח התיכון.
אחת הקדומות שבציוויליזציות המזרח-תיכוניות נוסדה במסופוטמיה בסביבות 3500 לפני הספירה. שומרים, בבלים, אשורים ואחרים יסדו אף הם ישויות מדיניות חשובות. תקופה קצרה אחר כך התפתחה ציוויליזציה מתקדמת יותר על גדות נהר הנילוס, מצרים העתיקה.
משנת 500 לפנה"ס ואילך היה האזור נתון לשליטתן של מספר אימפריות: תחילה האימפריה הפרסית של האחמנים, שהחזיקה במרבית שטחי המזרח התיכון, מרכז אסיה ואפריקה הצפונית.
אלכסנדר הגדול מלך מוקדון יצא להילחם בשנת 334 לפנה"ס באימפריה הפרסית, כוחותיו של אלכסנדר נחלו הצלחות מזהירות כנגד הפרסים ועד שנת 331 לפנה"ס אלכסנדר הצליח לכבוש את כל האימפריה הפרסית. לאחר מותו של אלכסנדר פרצה מלחמות הדיאדוכים בין מצבאיו ובסופה חולקו שטחי הכיבוש החדשים: סלאוקוס הראשון קיבל את השליטה על אסיה הקטנה סוריה ופרס ותלמי הראשון קיבל את השליטה על מצרים, צפון אפריקה וארץ ישראל.
ימי הביניים (476 לספירה עד 1492 לספירה).
במהלך ימי הביניים מבחינה מדעית ותרבותית, אירופה פיגרה בהרבה בהשוואה לאסיה. אבק השרפה, היה בשימוש נרחב כבר במאה ה-11 באסיה, ולעומת זאת לאירופה הוא הגיע כמה מאות שנים מאוחר יותר. כמו אבק השרפה כך גם הנייר, הדפוס ועוד.
האימפריה המוסלמית.
הח'ליפה האסלאמית ומדינות אסלאמיות אחרות החלו להשתלט על המזרח התיכון, הקווקז ומרכז אסיה החל מהמאה ה-7, ומאוחר יותר הגיעו להודו ואינדונזיה. מסעות הצלב התחוללו בין סוף המאה ה-11 למאה ה-13, והיוו ניסיון של הנוצרים האירופאים לכבוש מחדש את ארץ הקודש מידי המוסלמים.
האימפריה המונגולית.