ב-1457 נעשתה צ'רנוביץ עיר מסחר מרכזית. העיר נהרסה כמה פעמים בתקופה העות'מאנית. מ-1774 ועד 1919 שלטה בה אוסטריה במסגרות מדיניות שונות, והעיר הייתה לבירת ארץ הכתר בוקובינה. חלק ניכר מבתי העיר שסגנונם אירופי עתיק, מקורם בתקופה זו, הנחשבת בעיני תושבי העיר ל"תור הזהב". בשנת 1905 הוקם בית התיאטרון שפועל גם כיום.
לאחר התפרקות האימפריה האוסטרו-הונגרית בשנת 1918, ממלכת רומניה שלטה בצ'רנוביץ ובסביבתה עד 1940, אז תפס הצבא האדום את העיר והיא סופחה לרפובליקה הסובייטית הסוציאליסטית האוקראינית השייכת לברית המועצות.
בתחילת הפלישה הגרמנית לברית המועצות במלחמת העולם השנייה, תפסה רומניה את השליטה בעיר וברוב אוקראינה הדרומית. לאחר הצלחת הצבא האדום בהדיפת צבאות מעצמות הציר, שבה העיר ב-1944 לשליטה סובייטית.
מ-1950 הידלדלה במהירות האוכלוסייה הרומנית בצ'רנוביץ ונהייתה מיעוט. כשהסובייטים השתלטו על בוקובינה, נמלטו רומנים רבים לרומניה או גורשו לסיביר. מ-1991, עם קריסת ברית המועצות, שייכת העיר לאוקראינה העצמאית. המיעוט הרומני בעיר ממשיך להצטמצם, בשל התבוללות תרבותית והגירה לרומניה.
אוכלוסייה.
במפקד האוכלוסין משנת 2001 מנתה אוכלוסייתה 240,621 נפש.
האוכלוסייה הורכבה מ-65 קבוצות אתניות שונות, העיקריות שבהן:
קהילה יהודית.
בעבר הייתה בצ'רנוביץ אוכלוסייה יהודית גדולה. רבים מהיהודים הגיעו לצ'רנוביץ בתקופת המשטר האוסטרי, הסובלני יחסית למשטרים באזורים הסמוכים. מעניין במיוחד לגלות שורת מגיני דוד - אות להערכה שרחש האדריכל לרב המקומי, בראש אחד ממגדלי האוניברסיטה המפוארת של העיר, אשר שימש במקור ל. האוכלוסייה היהודית הייתה מגוונת מאוד: רפורמיים, בהנהגת הרב אליעזר אליהו איגל וממשיכיו, שכונו בשם "ההולכים קדימה", אורתודוקסים, בהנהגת הרב בנימין אריה וייס וממשיכיו, שכונו "העומדים", מתבוללים בתרבות הגרמנית, ציוניים, קומוניסטים ובונדיסטים. היהודים בצ'רנוביץ דיברו בשפה המבוססת על הגרמנית הווינאית ומתובלת במילים ובביטויים ביידיש ובאוקראינית. האוכלוסייה החרדית דיברה בעיקר יידיש.
בין השנים 1784–1805 רב העיר היה הרב חיים טירר, מגדולי תנועת החסידות, שנודע בכינוי "רבי חיים מצ'רנוביץ" או "הצ'רנוביצר", ונקרא גם "בעל באר מים חיים", על שם הספר שחיבר.
בבית העלמין היהודי בצ'רנוביץ נמצא קברו של רבי ישראל מרוז'ין מגדולי החסידות, ורבים נוהגים לפקוד את קברו.
ביוזמת נתן בירנבוים, ב-1908 נערכה בעיר ועידת הסופרים היהודים של שפת היידיש, שהכריזה על היידיש השפה הלאומית של היהודים.
בשנים 1912–1914 שימש סאלו וייסלברגר היהודי כראש העיר. בכתב העת היידי "טשערנאוויצר בלעטער" הופיעו יצירותיהם של איציק מאנגער, אליעזר שטיינברג ומשה אלטמן. כתב העת הופיע בשנים 1928–1938 עד שאסרו השלטונות את פרסומו. עורכו היה שמואל אבא סופר שנרצח ב-1941.
ערב מלחמת העולם השנייה חיו בעיר כ-50,000 יהודים, יותר משליש מאוכלוסיית העיר. באוקטובר 1941, במהלך מלחמת העולם השנייה הקימו הרומנים את גטו צ'רנוביץ. במרץ 1944 היו בעיר כ-15,000 יהודים, כאשר נכבשה בידי הצבא האדום. לאחר סיום המלחמה פעל בעיר הרב מסקולן לאסוף ילדים יהודים שנשארו בכפרים בסביבה אצל הגויים כדי להבריח אותם את הגבול לבוקרשט.
לאחר סיום המלחמה הגיעו לעיר יהודים נוספים מן הסביבה. עם התפרקות ברית המועצות בתחילת שנות ה-90 היגרו רבים לישראל ולעולם המערבי. בתחילת המאה ה-21 חיו בעיר כ-5,000 יהודים. בתקופת הזוהר שלה, עשרות בתי כנסת שקקו חיים בצ'רנוביץ, אך בסוף המאה ה-20, שימש בית הכנסת המרכזי כבית קולנוע.
בתקופת המשטר הקומוניסטי האנטישמיות ה"קלאסית" בצ'רנוביץ דוכאה לרמה בה הייתה לא ניכרת במרחב הציבורי, פרט למדיניות הדיכוי האנטי-ציוני, למניעת ההתארגנות הקהילתית הכלל-ארצית ולמגבלות מסוימות של "נומרוס קלאוזוס" בקבלה לאוניברסיטה, ללימודי רפואה למשל. בדומה לעוד מקומות בברית המועצות, נאלצו משום כך צעירים יהודים, למרות כישוריהם, לנדוד לאוניברסיטאות בחלקים מרוחקים של ברית המועצות (באזורים בהם היו פחות יהודים מקומיים).
בשנת 2004 חודשה פעילות הקהילה בעיר על ידי שליח חב"ד, הרב מנחם מענדל גליצנשטיין, שמכהן גם כרב המחוז.
ביולי 2021 הודיע מושל מחוז צ'רנוביץ שיחזיר את המבנה ההסטורי "הבית היהודי", שנבנה בשנת 1908, לידי הקהילה היהודית המקומית. זו מתעתדת להעביר אל המבנה את בית הספר היהודי, משרדי הקהילה והמוזיאון היהודי. המבנה הוחרם מהקהילה בידי הנאצים בשנת 1941, ואחרי מלחמת העולם השנייה הולאם על ידי המשטר הסובייטי.
תחבורה.
את העיר משמש נמל התעופה צ'רנוביץ.
ערים תאומות.
לצ'רנוביץ אחת עשרה ערים תאומות, כדלהלן:
אנליזה פונקציונלית
אָנָלִיזָה פוּנְקְצְיוֹנָלִית הוא ענף של אנליזה מתמטית העוסק בחקר התכונות של וקטורים, פונקציונלים ואופרטורים הפועלים במרחבים ליניאריים בעלי מושג של אורך (נורמה) של וקטור. מרחבים כאלה נקראים מרחבים נורמיים. אנליזה פונקציונלית עוסקת בעיקר במרחבים נורמיים שלמים שהם מרחבים ליניאריים מעל המספרים הממשיים או המספרים המרוכבים. מרחבים אלה נקראים מרחבי בנך. דוגמה חשובה ומיוחדת של מרחבי בנך אלו הם המרחבים בהם הנורמה נובעת ממכפלה פנימית. מרחבים אלו נקראים מרחבי הילברט. כמו כן עוסקת האנליזה הפונקציונלית בתורת האופרטורים על מרחבים אלו. יתרה מכך, האנליזה הפונקציונלית מרבה לחקור את הפונקציונלים המוגדרים על מרחב נורמי X, מרחב זה נקרא "המרחב הדואלי של X". באמצעות הפונקציונלים הליניאריים אפשר גם להגדיר טופולוגיה חלשה על X ואף טופולוגיה דואלית על המרחב הדואלי. בחקר המרחבים הדואלים, חוקרים גם את המרחב הדואלי של המרחב הדואלי (שהוא לא תמיד שווה בחזרה ל-X).
תרומה מרכזית לפיתוחה של האנליזה הפונקציונלית נעשתה על ידי אסכולת לבוב במתמטיקה בראשות סטפן בנך.
מבוא לאנליזה פונקציונלית.
מרחב וקטורי מממד אינסופי.
באלגברה ליניארית, וקטור הוא מושג מתמטי מופשט. כדי לתאר אותו בצורה נוחה, מציגים אותו כצירוף של וקטורים בסיסיים, שצירוף שלהם מסוגל לתת כל וקטור במרחב שבו עובדים. קבוצה כזו נקראת בסיס. כאשר יש בסיס נתון (יכולים להיות מספר בסיסים שונים לאותו מרחב), ניתן לראות וקטור בתור אוסף של סקלרים (לעיתים קרובות אלו הם מספרים, בהתאם לשדה שמעליו מוגדר המרחב הווקטורי), כאשר כל אחד מהסקלרים מציין את המידה שבה בא לידי ביטוי אחד מאברי הבסיס בתוך האיבר שאנו מציגים בעזרתם.
כאשר יש לנו רק מספר סופי של אברי בסיס, ניתן לראות כל וקטור בתור אוסף סופי של סקלרים המסודרים לפי אינדקסים. את הגודל של האוסף נכנה הממד של הווקטור. לדוגמה: מיקום של חפץ בחדר יכול להיות מתואר על ידי וקטור תלת ממדי המתאים שלושה מספרים המתארים את האורך, הרוחב והגובה של החפץ ביחס לנקודה מסוימת בחדר (למשל הפינה).
גודל הממד מוכתב על ידי מספר אברי הבסיס שבו משתמשים. מתברר כי לכל מרחב וקטורי, בכל בסיס יש את אותו מספר איברים. לכן ממד הוא תכונה של המרחב כולו, בלי תלות בבסיס שבו משתמשים או בווקטורים הספציפיים אותם רוצים להציג.
האלגברה הליניארית עוסקת בהכללה של חוקי האלגברה המוכרים מהמרחב התלת ממדי גם למרחב בעל ממד שהוא מספר סופי או אינסופי כלשהו. מסתבר שכל מרחב מממד סופי n ניתן לייצוג באופן סטנדרטי או קנוני: וקטורים מוצגים כעמודות בעלות n רכיבים ואילו טרנספורמציות ליניאריות מוצגות כמטריצות (בלוקים מרובעים של מספרים). באופן פורמלי, הצגה זו היא בעצם וקטורי הקואורדינטות בבסיס הסטנדרטי.
נשאלת השאלה מה יקרה כאשר הממד לא יהיה סופי, כלומר יהיה צורך בקבוצה בעלת אינסוף וקטורים כדי לתאר את אברי המרחב (מתברר כי גם כאשר ישנם אינסוף איברים, יכולות להיות קבוצות גדולות יותר או פחות של וקטורים, כפי שעולה ממושג העוצמה). מתברר כי השינוי מבחינת הייצוג אינו גדול. אם מספר אברי הבסיס הוא בן מנייה ניתן להציג כל וקטור בתור סדרה אינסופית של סקלרים, ובמקרה שמספר האינדקסים הוא מעוצמת הרצף או גדול יותר ניתן להשתמש בפונקציה שמתאימה לאינדקס של כל איבר בסיס את הסקלר המתאים לו.
עם זאת, תכונות רבות שמתקיימות עבור מרחבים מממד סופי לא נשמרות בממד אינסופי. האנליזה הפונקציונלית עוסקת במרחבים שמקיימים תכונות שמבטיחות שההתנהגות של המרחב האינסופי תקיים חלק מהתכונות שמתקיימות במקרה הסופי, וחוקרת תכונות נוספות שמתקיימות בהם. דרישה בסיסית שדורשת האנליזה הפונקציונלית היא שיהיה מושג כלשהו של אורך לווקטורים שבמרחב (מה שנקרא נורמה). מרגע שבו קיים אורך לוקטורים ניתן למדוד גם מרחק ביניהם (זהו האורך של וקטור ההפרש שלהם), וקיום פונקציית מרחק (מטריקה) מאפשר לשאול שאלות על התכנסות של סדרות בתוך המרחבים. דרישה נוספת שדורשת האנליזה הפונקציונלית היא שסדרה שאבריה הולכים ומתקרבים זה לזה תמיד תמצא נקודה במרחב כדי להתכנס אליה. תכונה זו מכונה שלמות של המרחב.
מכיוון שניתן להכליל את מבנה המרחב גם למרחבים בעלי אינסוף ממדים, מתבקש לנסות ולהכליל גם את המושגים העוסקים בפעולות על המרחב - טרנספורמציות ליניאריות. באלגברה ליניארית סוף ממדית ניתן לייצג כל טרנספורמציה ליניארית באמצעות מטריצה סופית. במקרה של אינסוף ממדים הדבר מסובך יותר - נזדקק למטריצות אינסופיות או שלא נוכל כלל לתאר את הטרנספורמציות באמצעות מטריצות, ולכן מתבוננים בטרנספורמציות בצורה יותר מופשטת. מכנים טרנספורמציה ממרחב כלשהו לעצמו בשם אופרטור. דוגמה קלאסית לאופרטור הוא הנגזרת, הפועל על מרחב וקטורי שאיבריו הן פונקציות: הוא לוקח פונקציה אחת ומחזיר פונקציה שנייה.