גישה שנייה היא לבחור "ענף", קטע בו הלוגריתם הטבעי המרוכב יהיה חד-ערכי. הענף הסטנדרטי הוא המגבלה formula_108 (החלק המדומה של הלוגריתם מוגבל לתחום המצוין). במקרה הזה מתקבל למשל כי formula_109. לעומת זאת אם נבחר את הענף formula_110 נקבל formula_111 ולכן formula_112. החסרון בגישה הוא שבחירת הענף שרירותית והחזקה מפסיקה להיות רציפה (בקצות הענף).
מגדל חזקות.
ביטוי מהצורה formula_126 (מעלים n מספרים אחד בחזקת השני) נקרא "מגדל חזקות" (סדר החישוב הוא מהחזקה העליונה לתחתונה. כלומר, תחילה מחשבים את הביטוי formula_127, לאחר מכן, מחשבים את הביטוי formula_128, וכן הלאה). כאשר איברי מגדל חזקות זהים כולם, כלומר מספר a מועלה בחזקת עצמו n פעמים (מספר טבעי) קוראים לפעולה טטרציה (Tetration) ומסמנים אותה formula_129, או בסימון החץ של קנות' formula_130. טטרציה היא חזקה מקוצרת כפי שחזקה היא כפל מקוצר. לדוגמה: formula_131.
כשם שניתן להגדיר סכום אינסופי ומכפלה אינסופית, ניתן להגדיר גם מגדל חזקות אינסופי. טטרציה אינסופית מוגדרת כגבול: formula_132, כאשר הגבול קיים. נסמן את הגבול ב-x. מתקיים: formula_133. כלומר הגבול (אם הוא קיים) הוא פתרון של המשוואה formula_134. אוילר הוכיח כי הגבול מתכנס בתחום formula_135 (החסם העליון נובע מהשוויון formula_136 שיצוין בהמשך).
תכונות אלגבריות.
בניגוד לחיבור וכפל, המוגדרים לכל זוג ערכים, החזקה אינה מוגדרת אפילו בין כל שני מספרים ממשיים. מלבד זאת, לחזקה אין את רוב התכונות הבסיסיות השימושיות האופייניות לפעולות בינאריות מוכרות. לכן חזקה אינה הבסיס לאף מבנה אלגברי טיפוסי.
הכללות.
חשבון אינפיניטסימלי.
חזקה בין סדרות וחזקה בין פונקציות ממשיות מוגדרת בקלות בעזרת החזקה בין מספרים ממשיים. לכל סדרה אי שלילית formula_155 וסדרה formula_156 (formula_157 חיובי כאשר formula_158) קיימת סדרה formula_159. חזקה שומרת על התכנסות: אם formula_160 אז מתקיים formula_161.
חזקה בין פונקציות ממשיות מוגדרת formula_162 לכל x בו שתי הפונקציות מוגדרות והבסיס אי-שלילי (במקרה והבסיס הוא אפס, על המעריך להיות חיובי). חזקה בין פונקציות שומרת על רציפות של f ו-g בנקודה, אבל לא בהכרח שומרת על רציפות במידה שווה בקטע. לדוגמה formula_163 ו-formula_164 הן רציפות במידה שווה בכל הישר ואילו formula_165 אינה כזו. אם פונקציית הבסיס ופונקציית המעריך גזירות, אז גם תוצאת החזקה גזירה ומתקיים (לפי כלל השרשרת וכלל לייבניץ):
תורת הקבוצות.
קבוצות ועוצמות.
בתורת הקבוצות הקבוצה formula_167 מוגדרת כקבוצת כל הפונקציות מהקבוצה B אל הקבוצה A. בהתאם, אם formula_168 ו-formula_169 הן עוצמות, אז מגדירים: formula_170. תוצאת פעולת החזקה בין שתי עוצמות אינה תלויה בקבוצות הנציגות A ו-B שנבחרו לשם הצגת העוצמה. אם נבחן את הפעולה ביחס לעוצמות סופיות נקבל כי חזקה בין עוצמות מתלכדת עם חזקה בין מספרים טבעיים (כולל אפס). התלכדות זו מבטאת תוצאה קומבינטורית חשובה: לכל שני מספרים טבעיים n, m מספר הסדרות עם n איברים המורכבות ממספרים בין 1 ל-m (כולל הקצוות וחזרות מותרות) הוא formula_171 (ובשפת הקבוצות: מספר הפונקציות מקבוצה מעוצמה n לקבוצה מעוצמה m הוא mn). למשל מספר הקודים בני שלוש ספרות המורכבים מהספרות 1–5 הוא . הגדרה זו מכסה גם את המקרה formula_172. לפיה תוצאת הפעולה שווה למספר הפונקציות מהקבוצה הריקה לעצמה. יש בדיוק פונקציה אחת כזאת (הפונקציה הריקה), ולכן התוצאה היא 1.
הגדרת החזקה בין עוצמות מאפשרת להתייחס גם לחזקות בין גדלים אינסופיים. לפי משפט קנטור לכל עוצמה formula_168 מתקיים formula_174 (הקבוצה formula_175, שהיא קבוצת כל הפונקציות המציינות של A, שקולה לקבוצת החזקה של A). זוהי תוצאה טריוויאלית לחזקות סופיות, אולם היא מבחינת חידוש מהפכני לחזקות אינסופיות, ומשמעותה שלכל עוצמה אינסופית יש עוצמה אינסופית גדולה ממנה. בפרט, ניתן להראות כי formula_176 (2 בחזקת אָלֶף אֶפֶס שווה לעוצמת הרצף).
חוקי חזקות תקפים גם לחזקות של עוצמות, זאת מלבד החוקים המערבים חילוק, כיוון שפעולה זו אינה מוגדרת לעוצמות. כפל עוצמות מוגדר formula_177 (הכפל באגף הימני הוא מכפלה קרטזית). כיוון שהקבוצה formula_178 (הפונקציות מקבוצת המספרים מ-1 ל-n ל-A) שקולה לקבוצה formula_179 (המכפלה הקרטזית של A עם עצמה n פעמים), מתקיים כי חזקת עוצמות היא כפל עוצמות מקוצר, בהתאם לתכונה המוכרת של חזקה. לכן מקובל הסימון formula_180 לסימון המכפלה הקרטזית של A בעצמה n פעמים - היא קבוצת ה-n-יות הסדורות של איברי A (לדוגמה המרחב האוקלידי ה-n ממדי שמסומן formula_181 מורכב ממכפלה של n עותקים של הישר הממשי formula_182).
סודרים.
ניסיון להגדיר חזקה בין מספרים סודרים באופן אנלוגי לחזקה בין עוצמות נכשל בשל קיומם של סודרים רבים מאותה עוצמה. עם זאת, ניתן להגדיר חזקה בין סודרים על ידי הכללת החזקה בין מספרים טבעיים. ראשית מגדירים חיבור וכפל סודרים בדומה להגדרתם במערכת פאנו ובהתבסס על הסדר הטוב המוגדר בין הסודרים על ידי הכלה. חיבור בסודר עוקב מוגדר בדיוק כמו במספרים טבעיים ובנוסף מגדירים formula_183 המטפל בסודר גבולי (סופרמום של קבוצת סודרים חסומה תמיד קיים כי בשל הסדר הטוב תמיד ישנו סודר מינימלי מבין כל החסמים). כפל מוגדר כשם שהוא מוגדר בטבעיים בתוספת formula_184 (בניגוד לאינטואציה, חיבור וכפל סודרים אינם חילופיים). באופן דומה, חזקה בין סודרים מוגדרת באופן רקורסיבי על פי שלוש אקסיומות:
formula_188 איזומורפי לקבוצת הפונקציות formula_189 שיש להן תומך סופי, אשר מוגדר עליהן הסדר הלקסיקוגרפי כסדר טוב.
הכלל formula_190 והכלל formula_191 תקפים גם לחזקת סודרים, אך הכלל formula_192 לא תמיד מתקיים.
אף על פי שחזקת עוצמות וחזקת סודרים מהווים שניהם הכללה לחזקת טבעיים (שניהם מתנהגים ככפל מקוצר כאשר המעריך טבעי), יש ביניהם שוני מהותי. למשל אף על פי שהסודר formula_193 שווה לעוצמה formula_194, חזקת סודרים מקיימת formula_195 בעוד שחזקת עוצמות מקיימת formula_196
אלגברה מופשטת.
אלגברה מופשטת עוסקת במבנים אלגבריים, שרובם מהווים הכללה או הפשטה של המספרים המוכרים עם פעולת הכפל. חזקה במעריך טבעי היא כתיב מקוצר לכפל, ולכן ניתן להגדירה גם בקבוצות אחרות בהן יש פעולה הדומה לכפל. לכל קבוצה עם פעולה בינארית מגדירים חזקה טבעית בדיוק כשם שהיא מוגדרת לכפל:
יש עניין בחזקה טבעית בעיקר כשהחזקות קיבוציות, כלומר, כל הדרכים להכפיל איבר x בעצמו n פעמים נותנות אותה תוצאה. תכונה זו מובטחת בכל חבורה למחצה, משום שהכפל קיבוצי, אבל היא אפשרית גם במקרים אחרים (ראו אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית). במקרים כאלה מתקיימים מספר חוקי חזקות מוכרים:
כאשר לחבורה למחצה יש גם איבר יחידה (שנסמן ב-e) היא נקראת מונואיד וניתן להגדיר חזקת אפס בדומה להגדרה של 1 (איבר היחידה הכפלי) כתוצאה של חזקת אפס:
אם גם לכל איבר יש איבר הופכי (המסומן formula_202) המבנה נקרא חבורה ואז ניתן להכליל גם לחזקות שלמות. כפי שבמספרים חזקה שלילית הוגדרה כהופכי של חזקה חיובית, כך נעשה בחבורה:
בפרט, הגדרה זו מצדיקה את הסימון formula_202 לאיבר הופכי.
כאשר בנוסף לכל הפעולה של החבורה גם חילופית, החבורה נקראת חבורה אבלית ומתקיים הכלל המוכר:
בכל חבורה של מספרים עם כפל רגיל החזקה במובן המופשט שלה היא החזקה השלמה המוכרת. אולם החזקה המופשטת יכולה ללבוש צורות רבות נוספות. למשל בחבורה formula_206, שהיא קבוצת המספרים השלמים עם פעולת החיבור הרגילה ביניהם, החזקה המופשטת של החבורה היא פעולת הכפל המוכרת בין מספרים שלמים. זאת משום שכפל הוא חיבור מקוצר כשם שחזקה היא כפל מקוצר.
בתורת החבורות משמש לעיתים הסימון formula_207 כאשר g ו-h איברים בחבורה כסימון לפעולת ההצמדה formula_208. יש דמיון מסוים בין הצמדה לבין חזקה, למשל מתקיימים הכללים:
אולם מעבר לכך אין לפעולות הרבה במשותף.
חישוב חזקות.
במקרים מסוימים יש צורך בחישוב חזקות עם מעריך טבעי גדול. דרך נאיבית לעשות זאת היא להכפיל בבסיס שוב ושוב. כלומר, אם המעריך הוא n, אז מבצעים n-1 פעולות כפל, בזמן ריצה שהוא מעריכי ביחס לאורך המעריך (מספר הספרות של n). שיטה זו אינה יעילה מספיק כאשר החישוב כולל מעריך בן עשרות או מאות ספרות, כפי שנדרש לעיתים באלגוריתמים קריפטוגרפיים.
באמצעות אלגוריתם פשוט ניתן לקצר את זמן החישוב משמעותית. כדי לחשב את formula_211 נחשב את סדרת הערכים: formula_212 (כל איבר הוא הריבוע של קודמו). נעצור כאשר נקבל את הערך הגדול ביותר בסדרה שאינו גדול מ-formula_211 (כלומר האיבר האחרון הוא formula_214). כל איבר התקבל מהאיבר הקודם בסדרה כפול עצמו, ולכן ביצענו formula_215 (כאשרformula_216 מסמן את פונקציית הרצפה) פעולות כפל בלבד כדי לחשב את הערכים בסדרה. לפי ההצגה של n בבסיס בינארי נכתוב את n כסכום של חזקות שונות של 2. כעת, לפי חוקי חזקות נוכל לחשב את formula_211 כמכפלה של ערכים שונים בסדרה שבנינו. כיוון שבסדרה יש לכל היותר formula_218 איברים, החישוב ידרוש פחות מ-formula_218 פעולות כפל נוספות. בסך הכול, התהליך מתבצע בזמן ריצה פולינומי ביחס לאורך המעריך (כתלות בפעולת הכפל, שמתבצעת לכל היותר בזמן ריצה ריבועי). זהו קיצוץ משמעותי בזמן החישוב. כך למשל, אם n הוא מספר בן מאה ספרות עשרוניות, יידרשו כמה מאות פעולות כפל בלבד (במקום כגוגול פעולות בהכפלה חוזרת של הבסיס) לשם החישוב.
בתור דוגמה נחשב את formula_220. ראשית נחשב את איברי הסדרה: