נרצה להשתמש בפרמטריזציה לחישוב האינטגרל formula_22. נשים לב שזהו אינטגרל על מעגל ברדיוס formula_23 סביב הנקודה formula_24 . לכן נשתמש בפרמטריזציה formula_25 (המשתנה הוא הזווית formula_26 ). בפרמטריזציה זו, formula_27, כלומר קיבלנו formula_28 .
נקבל את האינטגרל: formula_29. מכאן נובע formula_30.
כמו כן נשים לב שעל ידי אותו החישוב נקבל לחזקות שונות מ-1 (formula_31).
formula_32.
בסיכומו של דבר, הראינו כי עבור formula_33 כלשהו מתקיים formula_34.
מכיוון שזה נכון עבור formula_35 חיובי שרירותי, בהכרח formula_36.
על כן, קיבלנו formula_37, כמבוקש.
מ.ש.ל.
שאלמוב
שלמוב
ביוויס ובאטהד
ביוויס ובאטהד (באנגלית: Beavis and Butt-head) הייתה סדרת אנימציה קומית, ששודרה ברשת הטלוויזיה MTV האמריקאית בין השנים 1993 ל-1997 ומתרכזת בחיי הדמויות המצוירות ביוויס ובאטהד. הסדרה נוצרה בידי מייק ג'אדג', שבהמשך יצר והפיק גם את סדרת האנימציה "המלך היל". באוקטובר 2011 שבה הסדרה לעונה נוספת, לאחר הפסקה של 14 שנים. ביולי 2020, נודע כי הסדרה תשוב לשתי עונות נוספות שישודרו בקומדי סנטרל.
ראשיתה של הסדרה בסרטון אנימציה קצר, "בייסבול צפרדעים", שיצר ג'אדג' עבור תוכנית הטלוויזיה Liquid Television של רשת MTV. הסרטון, שהצמד המאויר הופיע בו לראשונה, זכה להצלחה רבה והביא להזמנה של הסדרה כולה.
בפרק טיפוסי של הסדרה משולבים קליפים מוזיקליים, אשר ביוויס ובאטהד צופים בהם ומשמיעים לגביהם הערות ילדותיות. בין קליפ לקליפ מוצגים מעלליהם של השניים בבית ובבית הספר והסתבכויותיהם התדירות עם הרשויות השונות. מאפייניהם המרכזיים של הגיבורים הם התעסקותם הכפייתית במין והאינטליגנציה הגבולית שלהם.
הצמד זכה לפופולריות רבה בקרב בני הנוער האמריקני ואף הכניס לעגה האמריקנית מגוון ביטויים עולבים כגון "buttmunch", "fartknocker", "bunghole". עם זאת, התנהגותם ההרסנית ואהדתם להבי מטאל גרמה להורים רבים למחות נגד התוכנית.
בשנת 1993, כאשר ילד בן חמש מאוהיו העלה את ביתו באש והביא למותה של אחותו בת השנתיים, הואשמו יוצרי הסדרה באחריות למות הפעוטה. הוריו של הילד טענו שבנם, שצפה בסדרה, הושפע מהתנהגותם של ביוויס ובאטהד ומהתעניינותם האובססיבית באש. כתוצאה מהאשמה זו הוסרו מפרקי הסדרה כל ההתייחסויות לאש, שעת השידור שלה הועברה ל-11 בלילה ונוספה לה הודעת אזהרה בתחילתה.
בשנת 1996 יצא לאקרנים סרט באורך מלא שעוסק במעלליו של הצמד, "ביווס ובאטהד דו אמריקה" (Beavis and Butt-Head Do America). ביוויס ובאטהד מגלים שנגנב להם מכשיר הטלוויזיה והם יוצאים לחיפוש, בדרך הם עוברים בית מלון מוזנח ונתקלים בסוחר נשק שיכור בשם מאדי גריימס (ברוס ויליס) שמוכן לשלם להם 10,000 דולר כדי שהם יטפלו באשתו לשעבר דאלאס (דמי מור) למרות שביוויס ובאטהד חשבו שהוא מתכוון לקיים איתה יחסי מין על מנת שיאבדו את בתוליהם. הם נשלחים ללאס וגאס כדי למצוא את אשתו. כשהם פוגשים את דאלאס היא בהסתר שמה במכנסיים של ביוויס חפץ קטן בשם X-5 שמכיל וירוס קטלני שיכול לעשות נזק רב, ומודיעה להם לפגוש אותה בוושינגטון די. סי.. ביוויס ובאטהד במסעם לוושינגטון עולים על אוטובוס תיירים שנוסע מסביב אמריקה אך נרדפים על ידי ה-ATF.
ביוויס ובאטהד, יחד עם סדרות אנימציה כמו "רן וסטימפי" ו"משפחת סימפסון", מתחו את גבולות האנימציה האמריקאית והפכו אותה למדיום שחורג מבידור "נקי" לילדים. כתוצאה מכך, עוררה הסדרה תגובות מעורבות. בעוד שרבים מחו על הסגנון הבוטה, אחרים חלקו שבחים לביקורת התרבות הסמויה של הסדרה ולאופן הסאטירי שבו תיארה את החיים באמריקה. חלק מהמבקרים אף טענו כי מדובר בסאטירה נגד תרבות ה-MTV עצמה, וראו בביוויס ובאטהד את מייצגי דור "ילדי המפתח", שצפיית יתר בקליפים מוזיקליים פגעה ביכולתם לקיים אינטראקציות חברתיות נורמליות או לנהל יחסים בריאים עם בנות המין השני.
בשנת 2010 השתתפו הדמויות בסרט "ג'קאס 3D" כשהם מסבירים על טכנולוגיית התלת מימד בסרט.
ארבע עשרה שנים לאחר ששידורה הסתיים חזרה הסדרה לעונה שמינית, ששודרה מאוקטובר ועד דצמבר 2011.
ב-1 ביולי 2020 הודיע ערוץ קומדי סנטרל כי הזמין שתי עונות נוספות של הסדרה, כולל ספיאופים וספיישלים. בסדרה החדשה ייכנסו ביוויס ובאטהד לעולם חדש של דור ה-Z שיכלול מטא-תמות שייצרו הזדהות גם בקרב מעריצים חדשים שלא מכירים את הסדרה המקורית, וגם בקרב מעריצים ותיקים. מייק ג'אדג' חוזר לסדרה ככותב, מפיק ושחקן קול. הסדרה צפויה לעלות לשידור במהלך הרבע השלישי של 2021.
ב-24 בפברואר 2021 הכריז שירות הסטרימינג פרמאונט+ על סרט המשך לסרט מ-1996, המבוסס על הסדרה, הסרט נקרא בשם "ביוויס ובאטהד עושים את היקום". באוגוסט 2022 החלה גם עונה חדשה לסדרה.
דבק
דבק הוא חומר, סינתטי או טבעי, שמטרתו לחבר או לאחות עצמים שונים.
ישנם מקורות רבים וסוגים שונים של דבקים, החל מ"דבק נגרים"' הניתן להכנה בקלות מקמח ומים, בו מספק הגלוטן שבחיטה את החומר המחבר, ועד לדבק מגע תעשייתי. דבקים נבדלים בחוזקם, בחומרים שאותם הם מסוגלים להדביק ובאופן השימוש בהם.
היסטוריה.
הדבקים הקדומים ביותר הופקו מהצומח והתבססו על שרף של צמחים שונים. סוג קדום אחר של דבק הוכן משיירים של בעלי חיים, כגון דבק מעיבוד של פרסות באפלו, שהיה בשימוש על ידי האינדיאנים באמריקה הצפונית. באירופה של ימי הביניים נעשה שימוש בחלבוני ביצה להדבקת עלי זהב לקישוט תעודות קלף.
השימוש הראשון בדבקים היה בדרום אפריקה לפני 70,000 שנה, שם התגלו פלחי אבן שהוחדרו לניצביהם של גרזנים אשר היו מרוחים בדבק תרכובת העשוי מצמח אלת המסטיק ואוכרה אדומה (תחמוצת ברזל טבעית). על ידי הוספת וערבוב אוכרה אדומה עם צמח אלת המסטיק, ניתן היה לחזק יותר את תרכובת הדבק ולהגביר את עמידותו להתפרקות בעת מגע עם מים.
סוגי דבק הכנת דבק.
ניתן לחלק דבקים לפי מנגנון ההתקשות שלהם:
דבקים עם ממס.
דבקים אלו מתקשים במהלך התייבשותם. המרכיב הנוזלי יכול להיות מים, כמו בדבק פלסטי ובדבק עצים לבן, והוא יכול להיות אורגני כמו בדבק מגע ובדבק דגמי מטוסים שקוף. לקבוצה זו שייכים הדבקים הנמצאים על גבי בולים ובמעטפות פשוטות, השמורים במצב יבש ומורטבים בלשון או בספוגית רטובה לפני ההדבקה. תכונה של הדבקים האלו היא ירידה בנפח עם התקשותם ולכן הם אינם מתאימים למילוי חללים או יציקות.
דבקים המתקשים בריאקציה כימית.
שני חומרים מגיבים ויוצרים חומר עם תכונה שונה מהמרכיבים הראשוניים. תהליך ההקשיה היא בדרך כלל "פילמור" - התחברות של מולקולות ליצירת שרשראות ארוכות הדומות לחומרי הפלסטיק. החומרים המגיבים יכולים להיות מעורבים ביחד, כמו בדבק אפוקסי או שהם מגיבים עם לחות. דבק סיליקוני מגיב עם הלחות שבאוויר ודבק ציאנואקרילי (מוכר בשמו הגנרי "סופר גלו" [Super Glue]) מגיב עם הלחות שעל המשטחים המודבקים.
דבקים המתקשים באור על-סגול.
דבקים אלו מבוססים על חומרים שבהם המולקולות עוברות "פילמור" בעת החשיפה לתאורת על-סגול. ישנם דבקים שמספיק מרכיב העל-סגול שבקרינת השמש כדי להקשותם, וישנם דבקים שנדרש מקור אור מיוחד לכך.
דבקים רגישי לחץ.
בקבוצה זו, חומרים דביקים מצופים על משטח המיועד להדבקה. בחלק מהיישומים מדובר בהדבקה חד-פעמית שאינה מיועדת להפרדה. דוגמה לכך היא המעטפה המודרנית הניתנת לסגירה ללא צורך בהרטבה, כפי שנדרש במעטפות המוקדמות. דוגמה נוספת היא הסרט הדביק. ישנם יישומים שבהם הדבק מיועד לשימוש רב-פעמי, כמו בפתקיות דביקות הניתנות להסרה ולהחזרה.
דבקים תרמופלסטיים ("חמים").
חומרים אלו הם תרכובות פלסטיות הניתכות בחום הנוצר באקדח דבק חם. בעת התקררותם הם מתקשים וחוזרים למצבם הצבירה המקורי שלהם, וכך הם מדביקים את המשטח או החומר שעליו הונח הדבק החם.
שימוש בדבקים.
ישנם מספר כללים לשימוש מיטבי המתייחסים לרוב הדבקים:
טרזין
הצבא היפני
משפט קנטור לרציפות במידה שווה
בחשבון אינפיניטסימלי, משפט קנטור על רציפות במידה שווה קובע כי פונקציה שהיא רציפה על קטע סגור היא רציפה במידה שווה בו.
המשפט נותר נכון גם אם נחליף את הקטע בכל קבוצה קומפקטית: כל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית למרחב מטרי, היא רציפה במידה שווה.
הוכחה.
נציג כאן הוכחה המתבססת על ההגדרה של היינה לרציפות: פונקציה formula_1 היא רציפה בנקודה formula_2 אם ורק אם עבור כל סדרה formula_3 השואפת לנקודה זו, formula_4 מתקיים formula_5. כלומר, ערכי תמונות איברי הסדרה שואפים לתמונת גבול הסדרה.
תהא כעת formula_6 פונקציה רציפה בקטע הסגור formula_7. נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים formula_8 כך שעבור כל formula_9 קיימות שתי נקודות formula_10 כך שמתקיים formula_11, אבל formula_12.
נביט כעת בסדרה formula_13. כל אברי הסדרה שייכים לקטע formula_7, כלומר זוהי סדרה חסומה. על פי משפט בולצאנו ויירשטראס, כל סדרה חסומה מכילה תת-סדרה המתכנסת לגבול סופי. מסגירות הקטע נובע שגבול הסדרה נמצא בתוכו, כלומר formula_15.
כעת נוכיח כי formula_16 - כלומר, אם אנו לוקחים מהסדרה השנייה תת-סדרה שלאיבריה אותם האינדקסים כמו לתת הסדרה הראשונה, גם היא תתכנס לאותו גבול.
כיוון ש-formula_11 נובע כי formula_18, כלומר סדרת ההפרשים שואפת לאפס ומאריתמטיקה של גבולות נובע כי
formula_19
על פי רציפות formula_1, מתקיים: formula_21. מאריתמטיקה של גבולות נקבל formula_22, וזו סתירה לכך שמתקיים formula_12 לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה, וההוכחה הושלמה.
עבדאללה השני, מלך ירדן