לייבניץ נפטר בהנובר ב-1716; באותו זמן, הוא היה כל כך "מחוץ לאופנה" שלא ג'ורג' הראשון (שהזדמן לו להיות ליד הנובר באותו זמן) ושום חצרן אחר של בית בראונשווייג מלבד המזכיר שלו, נכחו בהלוויה. אף על פי שלייבניץ היה חבר בחברה המלכותית והאקדמיה למדעים בברלין, שני הארגונים לא מצאו לנכון לציין את מותו. קברו נותר לא מסומן במשך יותר מ-50 שנה. לייבניץ זכה להספד מצד ברנאר דה פונטנל בפני האקדמיה למדעים בפריז, אשר מינתה אותו לחבר זר מטעמה ב-1700. ההספד נכתב בנוכחותה של הדוכסית מאורליאן, אחייניתה של הנסיכה-הבוחרת סופיה.
חיים אישיים.
לייבניץ מעולם לא נישא. הוא התלונן בהזדמנות מסוימת על מחסור בכסף, אך הסכום הנכבד שהוא הוריש ליורשו הבלעדי, בנה החורג של אחותו, הוכיח שבני בית ברונסוויק שילמו לו היטב. בשליחויותיו הדיפלומטיות הוא לעיתים קרובות התנהג בחוסר מצפון, התנהגות שהייתה נפוצה בקרב דיפלומטים מקצועיים בתקופתו. בהזדמנויות אחדות, לייבניץ תארך לאחור והחליף כתבי יד אישיים, פעולות שהציבו אותו באור שלילי במהלך עימות הקדימות על גילוי הקלקולוס. מאידך, הוא היה מקסים, אדיב מאוד, ולא בלי חוש הומור ודמיון. היו לו חברים ומעריצים רבים ברחבי אירופה. על השקפותיו הדתיות של לייבניץ, אף על פי שהוא נחשב על ידי ביוגרפים אחדים לדאיסט, נטען לעיתים קרובות שהוא היה גם תאיסט פילוסופי.
מתמטיקה.
במסגרת הפיתוח של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, לייבניץ הניח גם חלק מהיסודות המתמטיים המשמשים בפתרון שלל הבעיות שצצות מרגע שלוקחים בחשבון תהליכים גבוליים; תרומותיו אלו כוללות פישוט כללי גזירה, שיטות אינטגרציה, פתרון משוואות דיפרנציאליות רגילות ליניאריות מסדר ראשון וכן כמה פתרונות בסיסיים של בעיות הנכללות כיום בענף חשבון הווריאציות. הוא הציג את כלל לייבניץ המוכלל, המבטא את האנלוגיה בין גזירה חוזרת של מכפלת פונקציות לבינום של ניוטון. במכתב ללופיטל מ-1694 הוא פתר לראשונה משוואות דיפרנציאליות באמצעות הכפלתן בגורם אינטגרציה. כן היה בין הפותרים נכונה של בעיית הברכיסטוכרון ובעיית קו השרשרת. ב-1702 פיתח את השיטה של אינטגרציה בעזרת פירוק לשברים חלקיים.
נוסף על תרומתו לאנליזה, תרם לייבניץ תרומות חשובות גם לענפים מתמטיים אחרים: קומבינטוריקה, אלגברה, גאומטריה, ותורת המספרים. באלגברה, הוא היה הראשון שהשתמש ברעיון של דטרמיננטה של מערכת משוואות ליניאריות, וגילה כמה מעקרונות היסוד של תורת הדטרמיננטים, כגון התוצאות הידועות בשם נוסחת לייבניץ לדטרמיננטות וכלל קרמר (האחרון התגלה על ידו ב-1684). בשנים 1681 - 1679 טבע את המונח המתמטי "רזולטנט" של זוג פולינומים וגילה תוצאות חשובות הקשורות בו. מאמציו של לייבניץ לבסס את תורת הדטרמיננטים למעשה כוננו את התאוריה שלהן באירופה (המושג הומצא במקביל ובאופן בלתי תלוי בלייבניץ על ידי המתמטיקאי היפני Seki Takakazu). הוא חקר רבות גם את התכונות של פולינומים סימטריים; מאמציו אלו היו קשורים באופן הדוק לניסיונו לפתור את המשוואה ממעלה חמש ומעלה בצורה אלגוריתמית, ובמסגרתם הגיע לממצאים חשובים - בהם "המשפט היסודי של פונקציות סימטריות" ומספר הדגמות שלו (תוצאות אליהן הגיע קודם אייזק ניוטון). תרומות אלו שלו לאלגברה מפוזרות על פני למעלה מ-100 כתבי יד בלתי מפורסמים, ורבות מהן הקדימו את הולדת האלגברה הליניארית בלמעלה ממאה שנים. בגאומטריה הניח ב-1686 את היסודות לתאוריה של contiguity of curves, וביחד עם הויגנס פיתח את התאוריה של מעטפות של משפחת עקומים (בשנים 1692–1694).
בתורת המספרים, הוכיח לייבניץ לראשונה תוצאה יסודית חשובה בתורת המספרים: המשפט הקטן של פרמה, ומאוחר יותר גילה גם את משפט וילסון, אך כתבי היד האלה נותרו לא מפורסמים, כך שלאונרד אוילר וז'וזף לואי לגראנז' הוכיחו את התוצאות האלה באופן בלתי תלוי. בקומבינטוריקה, היה לייבניץ הראשון שחקר והגיע למספר תוצאות על חלוקות של מספרים, בהם: הנוסחה הרקורסיבית של אוילר לחלוקה של מספר n ל-k חלקים, ומספר מקרים פרטיים של הנוסחה הכללית לחלוקות שהתגלתה על ידי Stern ב-1840. כמו כן גילה את מספרי סטירלינג ואת התכונות הקומבינטוריות שלהן. לייבניץ ניסה לבסס את היסודות הלוגיים של החשבון האינפיניטסימלי, חקר את ההתכנסות של סכומים אינסופיים, והגדיר קריטריון להתכנסות טורים שנקרא כיום בשם מבחן לייבניץ. הוא טבע מונחים מתמטיים רבים, בהם: "דיפרנציאל", "פונקציה", "קואורדינטה", "אבסקיצה (abscissa)", "עקומים אלגבריים וטרנסצנדנטיים", ו"אלגוריתם". לייבניץ היה גם הראשון שגילה, באמצעות מניפולציות מתמטיות חדשניות לזמנו, את הזהות הבאה לקבוע המתמטי פאי (טור לייבניץ-גרגורי):
formula_1.
לייבניץ בנה את המחשב המכני הראשון שהיה מסוגל להכפיל ולחלק מספרים אלה באלה, ועמל על פיתוח מחשב מכני שיוכל לחשב שורש ריבועי. הוא גם פיתח את הצורה המודרנית של השיטה הבינארית, שבה משתמשים מחשבים דיגיטליים בני ימינו.
חשבון אינפיניטסימלי.
הזכות על המצאת החשבון האינפיניטסימלי מיוחסת בדרך כלל ללייבניץ יחד עם אייזק ניוטון, בשנות ה-70 של המאה ה-17. לפי רשימותיו, פריצת דרך משמעותית בעבודתו אירעה ב-11 בנובמבר 1675, כאשר הציג את החשבון האינטגרלי בפעם הראשונה כשחישב את השטח שתחת הפונקציה y=x. הוא הנהיג לראשונה כמה מהסימנים המוסכמים במתמטיקה עד היום, לדוגמה: סימן האינטגרל, המסמל S לטינית מוארכת, מהמילה "summa" (סכום, תמצית), וה-d המשמשת לדיפרנציאל מהמילה הלטינית "differentia" (הפרש). הסימון הזה נחשב למוצלח מאוד עד ימינו. אולם עד שנת 1684, לא פרסם לייבניץ דבר בנושא החשבון האינפיניטסימלי. הכלל של גזירת מכפלה של פונקציות בחשבון אינפיניטסימלי עדיין נקרא "כלל לייבניץ". בנוסף, המשפט הקובע כיצד ומתי לבצע גזירה תחת סימן האינטגרל נקרא כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל.
ככל הנראה, לייבניץ, היה הראשון שחשב לחשב התכנסות של אינטגרל, באופן שסכומים חיוביים יתקזזו עם סכומים שליליים (מה שהוליד בהמשך את המונח "התכנסות בתנאי"), וניתן לשער שרעיון זה הוא תולדה של "תורת המונאדות" שפיתח בתחום הפילוסופי.
לייבניץ ניצל את תכונות האינפיניטסימלים, וערך עליהם מניפולציות באופן שהציע שיש להם תכונות אלגבריות פרדוקסליות. ג'ורג' ברקלי, בחיבור שנקרא "האנליסט" וגם בחיבורו De Motu, ביקר את התוצאות האלו. מחקר עכשווי טען שהקלקולוס של לייבניץ היה חופשי מסתירות פנימיות, ושהיה מבוסס יותר מהביקורות האמפיריות של ברקלי.
מ-1711 עד מותו היה לייבניץ מעורב במחלוקת קדימות עם ג'ון קייל, ניוטון ואחרים לגבי האם לייבניץ גילה את הקלקולוס באופן בלתי תלוי בניוטון. תיאור מפורט של המחלוקת מופיע בערך מחלוקת לייבניץ - ניוטון.
השימוש באינפיניטסימלים במתמטיקה ספג ביקורת עזה על ידי ממשיכיו של קארל ויירשטראס, אך שרד במדע ובהנדסה, ואפילו במתמטיקה ריגורוזית, דרך האמצעי החישובי היסודי הידוע כדיפרנציאל. החל מ-1960, אברהם רובינזון עבד על בסיס ריגורוזי לאינפיניטסימלים של לייבניץ, באמצעות תורת המודלים, ובהקשר של hyperreal numbers. האנליזה הלא סטנדרטית הנבנית בדרך זו ניתנת לראייה כהצדקה מאוחרת של צורת ההסקה המתמטית של לייבניץ. עקרון המעבר של רובינזון ניתן להבנה כמימוש של חוק הרציפות ההיוריסטי של לייבניץ, בעוד שפונקציית החלק הסטנדרטי מממשת את חוק ההומוגניות הטרסצנדנטי של לייבניץ.
Analysis situs - טופולוגיה.
לייבניץ היה הראשון שהשתמש במונח analysis situs, אשר מאוחר יותר במאה ה-19 השתמשו בו כדי להתייחס למה שכיום נקרא טופולוגיה. ישנן שתי עמדות לגבי המידה בה לייבניץ חזה את התחום. עמדה אחת מבוטאת על ידי החוקר Mates בצטטו מאמר בגרמנית מ-1954 של יאקוב פרוידנטל, שטוען:
מאידך, Hideaki Hirano טוען אחרת, ומצטט את מנדלברוט:
הגאומטריה הפרקטלית שקידם מנדלברוט התבססה על רעיון הדמיון-העצמי של לייבניץ ועל עקרון הרציפות שלו - "Natura non facit saltus". ניתן לראות שכאשר לייבניץ כתב, בנימה מטאפיזית: "הקו הישר הוא עקום, אשר כל חלק שלו דומה לשלם", הוא הקדים את זמנו בשתי מאות, וניבא במידת מה את הטופולוגיה המודרנית. בנוגע ל-"אריזות", לייבניץ כתב לחברו ועמיתו Des Bosses לדמיין מעגל, ואז לחסום בו שלושה מעגלים זהים עם רדיוס מקסימלי; לאחר מכן את הרווחים בין המעגלים הקטנים יותר ניתן למלא בשלושה מעגלים קטנים עוד יותר באמצעות אותו תהליך. את התהליך הזה ניתן להמשיך עד לאינסוף, וממנו ניתן לקבל רעיון טוב לגבי מהו דמיון-עצמי. השיפור של לייבניץ את האקסיומה של אוקלידס מכיל את אותו הרעיון.
מדע והנדסה.
כתביו של לייבניץ נידונים בימינו, ובמיוחד בעשורים האחרונים, לא רק בשל החיזויים שלהם ותגליות אפשריות שעדיין לא זוהו, אלא גם כדרכים לקדם את הידע הנוכחי. רבים מכתביו על פיזיקה נכללים בספרו של גרהרדט "Mathematical Writings".
פיזיקה.
לייבניץ תרם תרומה רבה לסטטיקה ולדינמיקה המתפתחת בתקופה, לעיתים קרובות תוך יציאה נגד ההשקפות של דקארט וניוטון. בכתביו תיאר לייבניץ תאוריה של תנועה המבוססת על אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית, אשר תיארה את המרחב כיחסי, בעוד שניוטון אחז בדעה איתנה שהמרחב הוא אבסולוטי. דוגמה חשובה לחשיבה הפיזיקלית המתקדמת של לייבניץ מופיעה בחיבורו Specimen Dynamicum מ-1695.