אף על פי שניסה, לא הצליח קנטור לבנות קבוצה שעוצמתה גדולה מ- formula_7 וקטנה מ- formula_1, ולכן העלה את השערת הרצף שלפיה קבוצה כזו אינה קיימת. קנטור לא הצליח להוכיח השערה זו. אות לחשיבות שהייתה לבעיה זו בקרב המתמטיקאים ניתן לראות בכך שהבעיה הייתה הראשונה מבין 23 הבעיות הפתוחות שהילברט הציג בשנת 1900 בתור הבעיות המתמטיות החשובות של המאה ה-20.
בשנת 1935 פיתח קורט גדל את מושג הקבוצות הניתנות לבנייה, ושנתיים אחר-כך, ב-1937, הוא מצא דרך להיעזר במושג הזה כדי לפתור באופן חלקי את השערת הרצף: גדל הראה שאם מניחים שתורת הקבוצות (בניסוח המקובל שלה, צרמלו-פרנקל ובתוספת אקסיומת הבחירה) עקבית, אז התורה הכוללת בנוסף את השערת הרצף כאקסיומה, גם היא עקבית. מצד שני, בשנת 1963 הוכיח פול כהן שגם הוספת אקסיומה השוללת את השערת הרצף מביאה למערכת עקבית, ולכן השערת הרצף עצמאית במסגרת תורת הקבוצות - אין אפשרות להוכיח אותה או את שלילתה על פי האקסיומות של תורה זו. כדי להוכיח משפט זה פיתח פול כהן את שיטת הכפייה (Forcing).
גרסאות שקולות.
ב-1943 הוכיחו פאול ארדש ושיזו קקוטני שהשערת הרצף נכונה אם ורק אם אפשר לפרק את הממשיים למספר בן-מניה של קבוצות, שכל אחת מהן היא קבוצה בלתי תלויה מעל הרציונליים. תכונה זו אפשר לנסח גם כך: השערת הרצף שקולה לכך שקיימת צביעה של הממשיים במספר בן-מניה של צבעים, כך שלמשוואה formula_10 לא קיים פתרון במספרים ממשיים שווי-צבע ושונים.
עוצמות ביניים.
השערת הרצף נחקרת בין השאר באמצעות עוצמות מוגדרות, שערכן תלוי במערכת האקסיומות. כמה עוצמות כאלה מוגדרות באמצעות המבנה של אוסף תת-הקבוצות האינסופיות של המספרים הטבעיים. למשל, אומרים שתת-קבוצה אינסופית A מפצלת תת-קבוצה אינסופית B, אם גם החיתוך וגם ההפרש B-A הם אינסופיים. האינווריאנט formula_11 מוגדר כעוצמה הקטנה ביותר של אוסף תת-קבוצות אינסופיות, שיש בו חבר המפצל כל תת-קבוצה אינסופית נתונה. האינווריאנט formula_12 מוגדר כעוצמה הקטנה ביותר של אוסף תת-קבוצות אינסופיות שאין אף תת-קבוצה אינסופית המפצלת את כולן. ברור ש-formula_13. יש מודל של ZFC שבו formula_14.
השערת הרצף המוכללת.
השערת הרצף המוכללת (GCH) אומרת שבין עוצמה אינסופית formula_15 לעוצמת קבוצת החזקה formula_16 (הגדולה ממנה לפי משפט קנטור), אין אף עוצמות אחרות.
השערת הרצף המוכללת חזקה די הצורך לגרור גם את אקסיומת הבחירה. ההוכחה מתבססת על מספרי הרטוג.
השערת הרצף המוכללת מתקיימת במודל הקבוצות הניתנות לבנייה ולכן במובן מסוים "קל" להראות את העקביות שלה. בנוסף, עבור מודל התחלתי כלשהו של ZFC, קיימת כפייה שמובילה למודל שמקיים את השערת הרצף.
במונים סדירים, משפט איסטון מראה כי ניתן באמצעות כפייה להפר את השערת הרצף כרצוננו כאשר האילוצים היחידים שצריכים להתקיים הם:
הוכחת העקביות של הפרת השערת הרצף המוכללת, באופן לא טריוויאלי, במונים חריגים היא קשה בהרבה ודורשת הנחת מונים גדולים. למשל כדי לבנות מודל בו מתקיים formula_20 חייבים להניח קיום מונה חזק יותר ממונה מדיד. ראו השערת המונה החריג.
מודוס פוננס
בלוגיקה, מודוס פוננס (Modus Ponens; ובעברית - כלל הניתוק) (לפעמים הוא קרוי כלל היסק MP) הוא כלל ההיסק שמאפשר להסיק משני הנתונים הבאים:
את המסקנה הבאה:
במילים פשוטות, אם תנאי מסוים גורר טענה, והתנאי מתמלא, הרי שהטענה מתקיימת.
לדוגמה, נניח את שתי ההנחות הבאות:
מכאן נסיק את המסקנה:
חשוב להדגיש שההנחות לא בהכרח נכונות, אך אם הן נכונות, המסקנה "יעקב שחור" נובעת מהן. הלוגיקה מאפשרת הסקת מסקנות מהנחות יסוד, בלי קשר לנכונותן.
שתי הטענות הבאות שקולות:
פעמים רבות נעשית השגיאה הבאה: הסקה שמ"אם A אז B" נובע "אם לא A אז לא B".
אבקת שריפה
גדודי אל אקצה
קאטה
קָאטָה (型) (מכונה באנגלית פורם - Form, כלומר תבנית תנועה) היא מילה יפנית מתחום אמנות הלחימה המתארת סדרת תנועות קבועה מראש המבוצעת כנגד יריב מדומה.
באמנויות הלחימה השונות הקאטות משמשות לתרגול קרב כנגד יריב אחד או כנגד מספר יריבים. אימוני הקאטות מיועדים לפתח את יכולת הלוחם ולשפר את מוכנותו לקרב אמת. מכלול הקאטות של שיטה מסוימת כולל את רוב העקרונות וההיבטים של תורת הלחימה שלה. הקאטות נפוצות כמעט בכל שיטות אמנויות הלחימה (עם זאת, באייקידו למשל, אין קאטות משום שמייסד השיטה לא ראה בזה כל צורך), גם באלו המוגדרות קשות וחיצוניות וגם באלו המכונות רכות ופנימיות.
בשיטות מסוימות קיימות קאטות רבות ובאחרות מעטות. יש קאטות ארוכות המכילות תנועות רבות ולעומתן קאטות קצרות המכילות מספר תנועות מועט ויש לכך סיבות ומשמעויות שונות. מספר התנועות בקאטה קשור לעיתים לשם הקאטה.
מספר התנועות עשוי גם להיות קשור לרוחניות הבודהיזם. המספר 108, למשל, הוא בעל משמעות בבודהיזם, וקאטה שמספר צעדיה הם גורמים של 108, כמו 54, 36, או 27 מתייחסת לקשר הזה.
ישנן קאטות המבוצעות ללא נשק וישנם כאלה בהן יש שימוש בנשק מסורתי (קובודו), נונצ'קו וכדומה.
הקאטה עונה על צורך בסיסי של האדם בסדר וארגון ומסייעת לתהליך הלמידה. מקובל ללמוד ראשית את הקאטות שנוצרו מאוחר והן משמשות כמתווכות לקאטות העתיקות יותר, הנלמדות אחר כך. כאשר מתחילים ללמוד קאטה מבצעים אותה בשלבים נפרדים. אולם, כדי להשיג את התועלת המרבית מהקאטה, מרגע שהלומד קולט את שלביה השונים של הקאטה ואת סדר הביצוע שלהם, כדאי, שיבצע אותה ברצף ובקצב של קרב אמיתי, כדי שהקאטה תדמה לקרב אמת כמה שיותר. את הקאטה מבצעים פעמים רבות עד אין ספור בשאיפה להגיע לביצועה המושלם. לימוד קאטה ארוכה מצריך אימון היכול להמשך מספר שנים (לימוד הקאטה קוסאנקו Kusanku, שהיא קשה במיוחד, מצריך אימון של עשר שנים) וביצועה המלא עשוי לארוך כעשרים וחמש דקות.
למרות, שסדרת פעולות הקאטה קבועות מראש לפי מסורת אמנות הלחימה, הרי, שלוחמים מוסיפים לקאטות נופך משלהם במטרה לדמות מצבים ייחודיים להם הם מתכוננים. דוגמאות:
מופעים ותחרויות.
אמנויות לחימה רבות משתמשות בקאטות בהדגמות ובתחרויות פומביות, להענקת נקודות עבור כמה היבטים של טכניקה כגון: סגנון, איזון, תזמון ודימוי ממשי של קרב אמת.
טיעונים כלפי לימוד השיטה.
מבקרי הקאטות, השוללים את התועלת שבאימוני הקאטות, טוענים, שהקאטות גורמות לתלמידים להגיב באופן אחיד וצפוי. דבר העושה צעדים בלתי צפויים של היריב, ליעילים יותר.
עוד הם טוענים, כי הקאטה מלמדת את התלמיד מעט מאוד. תלמיד המבצע קאטה רק המחקה תנועות, וזה במקום שהתלמיד ילמד לשלוט בטכניקה ובטקטיקות פעולתיות.
מכיוון שאמנויות הלחימה מהוות מקור פרנסה למורים רבים. ולרבים, ואף לרוב האנשים, חסרים את הכישורים כדי להיעשות אומני לחימה מיומנים. כישלון עלול לגרום להם לזנוח את אמנויות הלחימה, דבר שיפגע בהכנסות המורים. אז מבקרי הקאטה טוענים, שהקאטה נותנת למורים סיכוי להעניק לתלמידיהם את הרושם, שבאמת למדו משהו. בזמן שכל מה שלמדו הוא, לחקות את תנועות המורה. יעדם של המורים, אם כך, אינו ללמד את התלמידים משהו שימושי, אלא לגרום להם להמשיך לקחת שיעורים ולשלם עבור הלימוד.
המבקרים מעלים את אותה טענה גם לגבי שיטת (צבעי) החגורות. הם טוענים, שזה יותר נועד לתת לתלמידים תחושת הישג כדי שימשיכו לקחת שיעורים, מאשר לסמן כישורים ממשיים.
החגורה מוענקת לאחר מבחן, ידע, ביצוע, הבנה והפנמה של הלימוד על פי המנואל של התורה לשלביה השונים. יש שיטתיות בלימוד ובהערכה ועל פיהם תוענק החגורה.
אכן החגורה היא עבור החניך, הוכחה, להישגים שהשיג בכל שלב ואכן מעודדת את המוטיבציה להמשיך ולשפר ולהתקדם לשלבים הבאים.
מצדדי הקאטות, מגינים על השיטה ואומרים, שתרגול קאטות דומה לתרגול מדיטציה ושביצוע תנועות טקסיות אלו שוב ושוב, משמעו שהתנועות יכולות להיות מבוצעות ללא מחשבה, שזהו למעשה סוג היכולת לו תזדקק בסיטואציה אמיתית של הגנה עצמית.
כמו כן, הקאטות מהוות מעין , שבאמצעותו יכול החניך ללמוד להכיר את התנועות השונות העומדות לרשותו - תבנית של "הרהור מניע", המעניקה לאומן הלחימה את אותו זיכרון־שריר חסר מחשבה, במקום שיסחף בזעם המאבק, כאשר הזמן המתבזבז במחשבה על הצעד הבא עשוי לחרוץ את ההבדל שבין ניצחון לתבוסה.
אימון קאטה עשוי אף לספק את היתרונות היותר מסורתיים של מדיטציה: ריכוז מוגבר, מודעות ומשמעת עצמית.
פורם
קטה
אלפרידה ילינק
אלפרידה ילינק (Elfriede Jelinek; נולדה ב-20 באוקטובר 1946) היא סופרת אוסטרית, כלת פרס נובל לספרות לשנת 2004 על "הזרם המוזיקלי של קולות וקולות-נגד בנובלות ובמחזות שלה, אשר חושף בקנאות לשונית יוצאת-דופן את האבסורדיות שבקלישאות החברתיות ואת כוחן המשעבד".
ילינק יוצאת בכתביה בתוקף נגד העוולות שבחיים הציבוריים, הפוליטיים והפרטיים בחברה האוסטרית, כפי שביטאם לפניה גם המחזאי והסופר האוסטרי תומאס ברנהרד. סגנונה סרקסטי ופרובוקטיבי, והמטאפורות שלה בוטות. הביקורת החברתית וביקורת-השפה שלה לא יודעות גבולות: הטקסטים שלה גסים, וולגריים וישירים. זה שנים ניטשת מחלוקת בין אלו הנפגעים מהטקסטים שלה, כמו גם מעמדתה הפוליטית הגלויה, ובין אלו המהללים אותה כסופרת מוכשרת.
חייה ויצירתה.