גרגירי קפיר הם למעשה מושבה סימביוטית של חיידקים מהסוג לקטובצילוס אצידופילוס ושמרים במטריצה של חלבונים, ליפידים וסוכרים. הצירוף המדויק של חיידקים ושמרים משתנה מתערובת לתערובת. כשמשרים את הגרגירים בחלב הם מתחילים את תהליך התסיסה והמשקה שנוצר, הקרוי גם הוא קפיר, הוא מוגז קלות וקצת אלכוהולי.
כדי להבטיח אחידות, במוצרים מסחריים משתמשים באבקת בסיס במקום בגרעינים. עם זאת, אבקה אינה יוצרת גרעיני גיבוש או ממשיכה לצמוח ללא סוף.
את חיידקי הקפיר מגדלים בחלב (בעיקר חלב פרה או עז הבית) למשך יום או יותר בטמפרטורת החדר. התוצאה דומה מאוד ליוגורט.
קפיר מים הוא קפיר שגדל במים עם סוכר, פירות יבשים (כמו תאנים למשל) ומיץ לימון, גם כן למשך יום או יותר בטמפרטורת החדר. בקפיר מים נהוג להשתמש כדי להכין משקאות תוססים שאינם על בסיס חלב.
בצ'ילה משקה זה מכונה "Yoghurt de Pajaritos".
בשל כמות האלכוהול הנמוכה בקפיר, במזרח אירופה יש המשתמשים בו לטיפול בחמרמורת ("האנג אובר").
סוציאליזם ערבי
סוֹצְיָאלִיזְם ערבי (الاشتراكية العربية) הוא אידאולוגיה פוליטית המהווה שילוב של פאן-ערביות וסוציאליזם. השפעת הסוציאליזם הערבי הגיעה לשיא בשנות החמישים והשישים של המאה ה-20, כאשר היוותה בסיס אידאולוגי למפלגת הבעת', ובמידה פחותה לתנועתו של גמאל עבד אל נאצר במצרים. אין לבלבל בין מושג זה ובין החשיבה הסוציאליסטית בעולם הערבי, שהקדימה את הסוציאליזם הערבי בחמישים שנה.
סוציאליזם בעולם הערבי.
רעיון הסוציאליזם הגיע לעולם הערבי בסוף המאה ה-19 - תחילת המאה ה-20, כמאה שנה אחרי שהתפתח בצרפת ואנגליה. המונח תורגם תחילה כ"אג'תמאעיה" ואחר-כך "אשתראכיה" שפירושו שיתופיות. פרוש זה שונה מן המקור הלועזי של המילה לכן יש צורך לבחון תחילה את מקור השם והתפתחותו.
מקור השם סוציאליזם מן המילה הלטינית סוציאליס (socialis) – חברתי. אחד המעצבים החשובים ביותר של האידיאל הסוציאליסטי הוא קרל מרקס. הוא האמין כי יש צורך בשינוי חברתי, בייחוד בארצות המתועשות, ושמעמד הפועלים הוא שיביא לשינוי חברתי ולקביעת זכויות האדם העובד, מרקס האמין שיש מכנה משותף לכלל הפועלים בעולם, ולכן סיסמתם הייתה: "פועלי כל העולם התאחדו" מול המעמדות המנצלים.
אחד הניצנים של הסוציאליזם בעולם האסלאם היה אל אפגאני; הוא דיבר בעיקר על אשתראכיה אסלאמיה, במאמרים שפרסם בשנים 1892–1897. כעבור עשרים שנה הסופר המצרי-קופטי סלאמה מוסא פרסם ספרון בשם "אל אשתראכיה" והשתתף בהקמת מפלגת אל-חזב אל-אשתראכי. פעולתו החלוצית של אל-אפגאני שיקפה את הלך רוח, אשר שרר בקרב משכילים ערבים לפני מלחמת העולם הראשונה.
סוציאליזם ערבי.
בתחילת-אמצע המאה העשרים שני זרמי סוציאליזם היו ידועים בעולם: הסוציאליזם המרקסיסטי והסוציאליזם הדמוקרטי. הסוציאליזם המרקסיסטי דגל בתפיסת השלטון בכוח, ביטול המעמדות, ביטול הקניין הפרטי והטלת דיקטטורה של הפרולטריון (שלב הכרחי, אשר לאחריו יוכל להתקיים "הקומוניזם הטהור"). הסוציאליזם הדמוקרטי לא האמין בדרך של הפיכת סדרי השלטון כדי לשפר את המצב הכלכלי-חברתי של העם, אלא בדרך של מאבק במסגרת המשטר הדמוקרטי.
גיבוש מפלגות קומוניסטיות חזקות בעולם הערבי גרם אף הוא להתפתחות הסוציאליזם הערבי. הסוציאליזם הערבי דוחה את הגישה האנטי-לאומנית של הסוציאליזם המרקסיסטי. מה שמייחד את הסוציאליזם הערבי זה היותו קשור בטבורו לאידאולוגיה הלאומית ערבית.
המושג "סוציאליזם ערבי" נטבע על ידי מישל עפלק, ממייסדי מפלגת הבעת' בסוריה, כדי ליצור הבחנה בין הסוציאליזם שלו ובין זרמי הסוציאליזם האחרים.
בעיית וארינג
בתורת המספרים, בעיית וארינג שואלת האם לכל מספר טבעי formula_1 יש חסם עליון formula_2 על מספר החזקות ה-k-יות של מספרים טבעיים, הנדרשות כדי להציג כל מספר טבעי. את הבעיה הציע בשנת 1770 אדוארד וארינג.
הילברט הוכיח שאכן כך הדבר בשנת 1909. על כן אפשר להגדיר פונקציה formula_3, כך שכל מספר טבעי אפשר להציג כסכום של formula_3 חזקות k-יות, אבל לא כסכום של פחות מכך. חישוב פשוט מראה שכדי להציג את המספר 7 דרושים 4 ריבועים, עבור 23 דרושים 9 מספרים בחזקה השלישית, וכדי להציג את 79 דרושים 19 מספרים בחזקה הרביעית. אלו הם חסמים תחתונים על formula_3 עבור formula_6 בהתאמה.
משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' אומר שניתן להציג כל מספר טבעי כסכום של לכל היותר ארבעה ריבועים; מכיוון ש-7 דורש ארבעה ריבועים, הרי נובע מכך ש formula_7. ההשערה של משפט זה הוצעה בשנת 1640 על ידי פרמה.
במהלך השנים נקבעו חסמים נוספים, בשימוש בטכניקות מתוחכמות ומסובכות יותר ויותר. לדוגמה, ליוביל הראה ש formula_8 הוא לכל היותר 53. הארדי וליטלווד הראו שכל מספר גדול מספיק הוא סכום של לכל היותר 19 מספרים בחזקה הרביעית.
ויפריך וקמפנר הראו ש formula_9 בעבודתם בין השנים 1909 עד 1912.
בשנת 1986 הוכיחו בלאסוברמיאן, דרס, ודשויירז ש-formula_10.
ג'נגרון הראה ש-formula_11 בשנת 1964. פילאי הוכיח ש-formula_12 בשנת 1940.
במהלך שנות החמישים, הוכיח יורי ליניק את קיום formula_3בכלים אלמנטריים תוך שימוש בצפיפות שנירלמן.
כל הערכים של formula_14 ידועים כיום, הודות לעבודתם של דיקסון, פילאי, רבגנדיי וניבן. הנוסחה שלהם היא:
formula_15 לכל formula_16, כאשר formula_17 הוא הערך השלם של formula_18, שהוא המספר השלם הגדול ביותר שאינו עולה על formula_18. הנוסחה בעצם יותר מסובכת כי במקרה ש formula_20 אז הנוסחה ל formula_3 שונה, אמנם עד עכשיו לא מצאו אף מספר formula_22 כזה, ונבדקו כל המספרים שהם קטנים מ-471600000, וידוע שיש ככל האפשר מספר סופי של יוצאי דופן כאלה.
ערכי formula_3 הראשונים הם:
1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223 ,8384, 16673, 33203, 66190, 132055, ...
בעיה דומה, אבל קשה בהרבה, שואלת מהו המספר הקטן ביותר formula_24 של חזקות-formula_1 הדרוש להצגת כל המספרים פרט למספר סופי של יוצאי דופן (או בניסוח שקול: המספר הקטן ביותר הדרוש כדי להציג כל מספר גדול מספיק). ברור ש-formula_26. שלא כמו בפונקציה formula_3, מספרים בעייתיים כגון 23 או 79 אינם מסייעים בהערכה של formula_24, והערכים המדויקים של פונקציה זו אינם ידועים (פרט ל-formula_29 שנובע מעבודתם של לגראנז' וגאוס, שאפיינו את כל המספרים שאפשר להציג בשלושה ריבועים, ו-formula_30 שהוכח על ידי דוונפורט בשנת 1939). עבור חזקות שלישיות ידוע רק ש-formula_31 (נכון ל- 2005).
עוד פונקציה דומה נקראת formula_32 (formula_33 בעבודות של וולי) שהיא המספר הקטן ביותר של חזקות-formula_1 הדרוש להצגת כמעט כל המספרים (כלומר, שהיחס בין מספר יוצאי הדופן שקטנים מ-formula_35 ובין formula_35 יתכנס ל-0 כאשר formula_35 ילך ויגדל). ברור ש- formula_38. נכון ל-2006 ידוע 5 ערכים מדויקים של פונקציה זו בנוסף ל- formula_39. הם formula_40, formula_41, formula_42, formula_43, ו-formula_44.
חזקות עד כדי סימן.
וריאציה של בעיית וארינג שואלת עבור k קבוע, מהו המספר s הקטן ביותר כך שלכל מספר יש הצגה בצורה formula_45. את המספר הזה מסמנים ב-formula_46. ידוע ש-formula_47, אבל הערך המדויק של הפונקציה אינו יודע בשום מקרה אחר. למשל, formula_48: כל מספר אפשר להציג כסכום של 5 חזקות שלישיות (של מספרים שלמים, לאו דווקא חיוביים), ולא ידוע האם די ב-4 חזקות.
ארכלאוס (נשיא)
ארכלאוס (ביוונית: Ἀρχέλαος; 23 לפנה"ס – 16 לספירה) היה נשיא העם ביהודה בין שנת 4 לפנה"ס ועד 6 לספירה.
תולדותיו.
ארכלאוס היה בנו של המלך הורדוס מאשתו מלתקי השומרונית. אחיו מאמו היו הורדוס אנטיפס ואולימפיאס. כרוב בניו של הורדוס, גדל ארכלאוס והתחנך בחצר הקיסר ברומא, ושב לארץ ישראל רק בבגרותו ולקראת מותו של אביו. על פי צוואתו הרביעית של הורדוס, היה אמור ארכלאוס להיות מלכה של מרבית ממלכת אביו בעוד אחיו קבלו בצוואה מחוזות קטנים יותר של הממלכה.
צוואתו של הורדוס נזקקה לאישורו של אוגוסטוס, קיסר רומא, וארכלאוס התכונן לצאת למסע לרומא לאישור הצוואה מיד עם תום האבל על אביו. אולם לפני שהספיק לצאת למסעו, פנו אליו נציגי העם ובקשו ממנו שיוריד מעול המיסוי הכבד שהטיל אביו וכן שישחרר את האסירים הנמצאים בבית הכלא מימי אביו. לבקשות אלו נענה ארכלאוס בדברי חיוב לעם. אולם כשבקשו העם שיחליף את הכהן הגדול יועזר שמונה בעקבות הריסת נשר הזהב שהורדוס הציב בבית המקדש, ולא היה שומר מצוות, ארכלאוס השיב לעם בתשובה קרה ועוינת, דבר שעורר בקרב העם זעם רב. בערב חג הפסח, ביום הקרבת קורבן פסח התפתח עימות בין חייליו של ארכלאוס ובין העם שבו נהרגו 3000 יהודים. החוקרים חלוקים על הפרשנות לגורם שהביא לעימות זה. היו מהחוקרים שטענו שארכלאוס הביא פלוגת צבא לשמור את הסדר בירושלים בגלל התאספות עולי רגל לקראת חג הפסח ושעצם נוכחותם של החיילים העלה את חמתם של ראשי העם והתגרה שהחלה בינם לבין פלוגת החיילים הפכה עד מהרה להתנגשות בין כוחות הצבא לבין העם. יצחק אייזיק הלוי טוען, לעומת זאת, שארכלאוס בכוונה זימן עליו את תלמידיהם של המוצאים להורג בפרשת הריסת נשר הזהב בעת הקרבת קרבן הפסח, ביודעו שבכך יעורר את זעם העם וכך יוכל להאשים את העם במרדנות.