הפיזיקאי שארל-אוגוסטן דה קולון היה הראשון שגילה את הקשר בין גודלו של מטען formula_4 שמונח בשדה חשמלי שיוצר מטען אחר formula_5, לבין גודל הכוח החשמלי שמופעל עליו, formula_6. הנוסחה המתארת את הכוח הזה נקראה על שמו - "חוק קולון", ולפיה הכוח החשמלי שיפעל על מטען כלשהו שיונח בשדה יהיה מכפלה של גודל המטען בגודל המטען שיצר את השדה, מחולק בריבוע המרחק מהמטען. במילים אחרות, השדה החשמלי במרחק formula_7 ממקור חשמלי נקודתי יחיד שמטענו formula_5 הוא
formula_9, והכוח שמפעיל השדה על המטען formula_4 נתון על ידי formula_11.
כיוונו של הכוח הוא רדיאלי, לכוון המטען שמחולל את השדה (אם המטענים הם מנוגדים, ואז הוא כוח משיכה) או החוצה ממנו (אם המטענים הם שווי-סימן, ואז הוא כוח דחייה). נוח יותר לעבוד עם וקטורים, כדי לטפל בצורה נוחה יותר בכיווני הכוחות. מסמנים ב-formula_12 וקטור יחידה בכיוון מ-formula_5 אל formula_4. אם המטען formula_5 אינו נמצא בראשית הצירים אלא במיקום שרירותי כלשהו formula_16, וקטור היחידה הוא formula_17 (כוונו ככיוון וקטור ההפרש בין וקטורי המקום והוא מחולק בגודלו של וקטור ההפרש כדי לקבל וקטור שגודלו יחידה).
לכן הכוח הפועל בין שני מטענים נקודתיים הנמצאים בנקודות formula_18 בהתאמה הוא
formula_19
הקבוע formula_20 הוא קבוע קולון במערכת היחידות SI.
במקומו רושמים לפעמים formula_21 (formula_22 הוא הקבוע הדיאלקטרי, או הפֶּרְמיטיביות, של הריק). כאן formula_23 . ביחידות cgs formula_24, כי מודדים את המטען ביחידות esu. ביחידות אלה חוק קולון הוא מהצורה
זוהי נוסחה וקטורית שמשמעותה היא שגודל השדה הוא formula_26, וכיוונו הוא ככיוון הקו המחבר את הנקודה שבה בודקים את השדה עם הנקודה בה נמצא המטען היוצר את השדה. הסימן החיובי של הנוסחה מציין ששני מטענים חיוביים דוחים זה את זה.
נוסחה כללית לשדה אלקטרוסטטי.
הפיתוח של נוסחת השדה החשמלי שיוצר מטען נקודתי, משמש בסיס למקרים כלליים ומורכבים יותר. בגלל עקרון הסופרפוזיציה, כאשר יש במרחב מספר מטענים נקודתיים סטטיים (שאינם נעים), מחשבים את השדה החשמלי שמפיק כל אחד מהם, והשדה הכללי המתקבל הוא סכום וקטורי של השדות של כל המטענים הנקודתיים. אם כל מטען formula_27 נמצא בנקודה formula_28, הנוסחה לשדה החשמלי הכולל שיתקבל בכל נקודה formula_29 היא לפיכך formula_30.
בגבול שבו המטען החשמלי אינו אוסף של מטענים בדידים אלא הוא התפלגות מטען רציפה, הסכום הופך לאינטגרל :formula_31. שלושת סימני האינטגרל מסמנים אינטגרציה בשלושת הממדים, כלומר האינטגרל סוכם את המטענים האינפיניטסימליים לאורך כל הנפח בו הם מפוזרים. כאשר formula_32מייצגת את פונקציית הצפיפות, פונקציה אשר מתאימה לכל נקודה במרחב את צפיפות המטען המצויה בו. במקרים שבהם פיזור המטען במרחב כפוף לסימטריה כלשהי (כגון תיל ארוך טעון או קליפה כדורית טעונה), ניתן לבחור מערכת קואורדינטות שמתאימה לסימטריה, ולהיעזר בחוק גאוס לחישוב השדה החשמלי השקול שנובע ממטען זה. כך למשל, אם נתונה התפלגות מטען בעלת סימטריה כדורית, כדאי לנתח את הבעיה כשהיא מנותחת בקואורדינטות כדוריות, כי אז, משיקולי סימטריה, הרכיבים הזוויתיים של השדה החשמלי חייבים להיות אפס, ורק הרכיב הרדיאלי אינו מתאפס.
גזירה מתוך הפוטנציאל החשמלי והמגנטי.
השדה החשמלי מושרה כתוצאה מנוכחות מטען חשמלי (התפלגות מטען) או כתוצאה משינויים בזמן בשדה המגנטי. ליתר דיוק, השדה החשמלי מושרה על ידי הפוטנציאל החשמלי (זהו 4-וקטור) לפי הנוסחה:
כאשר formula_34 הוא הפוטנציאל הסקלרי ו-formula_35 הוא הפוטנציאל הווקטורי.
שדות חשמליים של מטענים לא נקודתיים.
שדה של כדור טעון.
בהינתן כדור שסך המטען עליו הוא formula_5, ופיזור המטען עליו אחיד.
שיקולי סימטריה מראים כי קווי השדה החשמלי שייווצרו מחוץ לכדור חייבים להיות מכוונים רדיאלית, כך שהם יהיו מאונכים לפני הכדור. את השדה שייווצר ניתן לחשב לפי חוק גאוס, תוך בחירת מעטפת כדורית שמרחקה ממרכז הכדור הוא formula_7. לפי החוק, עבור כל formula_7 גדול מרדיוס הכדור עצמו (כלומר, כל נקודה מחוץ לכדור):
formula_39. מאחר ששטחה של קליפה כדורית הוא formula_40, מקבלים
formula_41 או
formula_42. כלומר, השדה החשמלי שיוצר כדור שטעון בצפיפות מטען אחידה, במרחב שמחוץ לו, הוא זהה לשדה שהיה יוצר מטען זהה שהוא נקודתי.
על מנת לחשב את השדה בתוכו תחילה יש לחשב את צפיפות המטען ליחידת נפח: formula_43, כעת על מנת לחשב את השדה בנקודה מסוימת ברדיוס r בתוך הכדור נבנה מעטפת גאוס כדורית כך שמרכז המעטפת נמצא במרכז הכדור והנקודה מוכלת בשפתו. נשתמש בחוק גאוס: formula_44. מכאן: formula_45
נציב את הצפיפות הנפחית:
formula_46
נבודד את השדה, את הכיוון אנחנו יודעים מפאת סימטריה ספריית שהוא רדיאלי.
formula_47
בכדור מוליך.
כאשר דנים בבעיות בהם החומר הוא מוליך, ידוע שהשדה בתוך התווך המוליך הוא שווה לאפס כל עוד אין המוליך מכיל מטענים מקובעים בתוכו. עוד ידוע כי כל המטענים מתרכזים על שפת המוליך. זאת כיוון שהאלקטרונים בתוך המוליך נעים לשפתו של המוליך תגובה לכל שדה חשמלי כך שהשדה הנוצר בין שפות המוליך מנוגד בכיוון לשדה המקורי ושווה לו בגודלו. כיוון שכמות האלקטרונים גדולה בכמה סדרי גודל מכל שדה סטנדרטי שנוצר, יכולים האלקטרונים לבטל כל שדה סטנדרטי. לכן בתוך הכדור, במידה וידוע שהוא מוליך, השדה הוא אפס.
שדה של תיל ארוך.
בהינתן תיל שאורכו אינסופי, ושצפיפות המטען ליחידת אורך עליו היא formula_48, שיקולי סימטריה מראים כי קווי השדה החשמלי שייווצרו מחוץ לתיל חייבים להיות מאונכים לתיל. משיקולים דומים יהיה השדה החשמלי שהתיל מפעיל תלוי רק במרחק מהתיל. בגלל הסימטריה הגלילית מחשבים את השדה לפי חוק גאוס תוך שימוש במעטפת בצורת גליל, שמוצבת מסביב לתיל. מכיוון שהשדה מאונך לתיל (ולמעטפת הגליל), השטף שלו יהיה מקסימלי דרך מעטפת הגליל, ו-0 דרך בסיסי הגליל. השדה במרחק formula_7 מהתיל יהיה:
formula_39
formula_51
formula_52 מציין יחידת אורך מסוימת - את אורך המוט המוגבל על ידי המעטפת הגלילית. אין זה משנה איזה אורך בוחרים, מאחר שהוא מצטמצם בחישוב:
formula_53
תוצאה זו נכונה כל עוד המרחק מהמוט זניח ביחס לאורך המוט, שכן המודל מניח כאמור מוט שאורכו אינסופי.
שדה של לוח אינסופי.
אם על פניו של לוח אינסופי מפוזר באופן אחיד מטען כלשהו, כך שצפיפותו ליחידת שטח היא formula_54, ניתן לראות, כתוצאה משיקולי סימטריה, שהשדה החשמלי שהוא מפעיל יהיה מאונך לפני הלוח. כמו כן אין זה משנה מול איזה חלק של הלוח יוצב המטען המושפע מהשדה (בהנחה שהלוח אינסופי או שהמרחקים קטנים מאוד), כי גודל עוצמת השדה יושפע רק ממרחק המטען מהלוח. המעטפת הגלילית שנבחר לצורך השימוש בחוק גאוס תהיה מאונכת ללוח, ואחד מבסיסי הגליל שלנו יעבור בדיוק באמצעו. אם מדובר בלוח מוליך, לא יהיה בתוכו שדה חשמלי. קווי השדה היוצאים מהלוח יהיו מאונכים לבסיס השני של הגליל ומקבילים למעטפת שלו, כך שרק דרך הבסיס האחד יעבור שטף חשמלי. עתה נחשב את השדה במרחק r מהלוח המוליך:
formula_55&lt;br&gt;
formula_56&lt;br&gt;
formula_57
בדומה למקרה הקודם, גם כאן A מציינת יחידת שטח זמנית - את שטח בסיס הגליל שדרכו עובר השטף, ואת השטח על פני הלוח שתופסים המטענים הכלואים במעטפת הגלילית. כמו שניתן לראות, לפרמטר זה ולמרחק מהלוח אין כל השפעה, והשדה תלוי אך ורק בצפיפות המטען. מובן שכל האמור נכון רק ללוח אינסופי או למרחק קטן מאוד מלוח טעון גדול מאוד.
השדה במקרה של קבל לוחות הוא סופרפוזיציה של השדות של שני הלוחות והוא:
formula_58
בין הלוחות, ואפס מחוץ לקבל.
פריסקופ
פריסקופ הוא מכשיר אופטי המאפשר להפנות את קו הראייה באמצעות מראות וכך לקבל זווית ראייה המתקבלת ממקומות שהגישה אליהם קשה או בלתי אפשרית. פריסקופ פשוט מורכב מצינור שבו שתי מראות המונחות זו מול זו במקביל ובזווית של 45° מהקו המחבר ביניהן.
שימושים.
הפריסקופים הראשונים נמכרו כבר ב-1430 על ידי יוהאן גוטנברג, (הידוע יותר בשל תרומתו לדפוס). הם שימשו במהלך פסטיבלים והתכנסויות כדי לצפות במתרחש מעל ראשי האנשים בקהל.
שימוש בפריסקופים הפך לנפוץ ושימושי במיוחד בכלים צבאיים סגורים כגון טנקים, נגמ"שים וצוללות המאפשר להם תצפית מנקודה נסתרת או מוגנת. בצוללות מאפשר הפריסקופ לאנשי הצוות לצפות החוצה מן הצוללת בלא שזו תאלץ לעלות מעל פני המים.
השימוש הצבאי הראשון בפריסקופ נעשה במלחמת האזרחים האמריקנית בשנת 1861, במהלכה השתמשו צוללות בפריסקופ שהיה מבוסס על פריזמות. במהלך מלחמת החפירות במלחמת העולם הראשונה השתמשו חיילים בפריסקופים מתוך שוחות ותעלות על מנת לצפות במתרחש בחוץ מבלי להחשף.
פריסקופ מודרני.
פריסקופ מודרני שבו נעשה שימוש בצוללות לשימוש צבאי, מורכב מעדשות מגדילות ומתפקד גם כטלסקופ. בפריסקופ מודרני נעשה שימוש בפריזמות ובמערכת החזרה גמורה במקום שימוש במראות וזאת מכיוון שפריזמות בניגוד למראות אינן זקוקות לציפוי על פני משטחי ההחזרה ולכן הן צלולות יותר, ומאפשרות איכות תמונה טובה יותר.
בדרך כלל מורכבים עליהם גם אמצעים נוספים כגון מכ"ם ואמצעי טיווח לנשק וכן אנטנות שונות.
פריסקופ בצוללת מופעל באמצעים הידראולים ועליו להיות קשיח על מנת לעמוד במעמס הגרר בעת תנועת הצוללת במים.