ב-1785 נוסדה החברה קדישא וב-1854 הרחיבה האגודה את פעילותה ועסקה גם בביקור חולים ובכלל זה מתן סיוע רפואי. לאחר הקרע ביהדות הונגריה פעלו למעשה שלוש אגודות חברה קדישא לנאולוגים, לאורתודוקסים ולספרדים והן התפצלו בהמשך ל-6 אגודות: שלוש חברות קדישא שעסקו בקבורה ושלוש אגודות סעד וביקור חולים. ב-1846 הקימו האחים יעקב, יוליוס אפשטיין וז'יגה אפשטיין את "האגודה למען האנושיות" (בקרואטית: Društva čovječnosti) אשר פעלה לסיוע לנזקקים מכל שכבות האוכלוסייה בעיר, יהודים ולא יהודים וזכתה לתמיכה ולסיוע של השלטונות האוסטרו-הונגריים. ב-1857 נבנה בית הקהילה היהודית בעיר. במבנה שכנו משרדי הקהילה, בית כנסת, גן ילדים קהילתי ובהמשך גלריה לאמנות ומועדון חברים. ב-1887 נוסדה "אגודת הנשים על שם ילנה פריסטר" אשר עסקה בביקור חולים ובהכנסת כלות. האגודה פעלה עד פרוץ מלחמת העולם השנייה ומנתה כ-800 חברים. ב-1906 הוקם בית יתומים על שם "תיאודור שילינגר" אשר פעל עד שלהי שנות ה-30. ב-1910 הוקם בית האבות על שם לאלוסלאב שוורץ ומומן מעזבונו של שוורץ אשר היה סוחר אמיד בעיר. במהלך מלחמת העולם השנייה הוחרם מבנה בית האבות על ידי האוסטאשה ובהמשך ננטש. ב-1957 הקימה הקהילה בית אבות חדש על שם לאלוסלאב שוורץ.
במהלך מלחמת העולם הראשונה נוסד ארגון "מנות המזון" אשר סיפק מזון ותרופות למשפחות המגויסים. ב-1927 נפתח סניף של תנועת בני ברית. כן פעלה "אגודת הפקידים היהודים" שעסקה בתאום אירועי חינוך ותרבות. במהלך שנות ה-30 של המאה ה-20 הוקמו בזאגרב אגודות הכשרה והן הכשירו נוער יהודי מכל קצוות יוגוסלביה, ובכלל זה נערים ממשפחות קשות יום מקהילות מקדוניה.
בבית הקהילה אשר שוקם לאחר מלחמת העצמאות של קרואטיה, שוכנת ספרייה מהגדולות בבלקן ובה מסמכים וחפצי יודאיקה מקהילות יהודי קרואטיה ככלל וזאגרב בפרט.
בתי הכנסת.
ב-1809 נרכש מבנה ובו שכן בית הרב הראשי ובית התפילה הראשון של הקהילה. ב-1840 נחנך בית הכנסת ובית המדרש של הרב מוריץ גולדמן. ב-1841 נחנך בית הכנסת האורתודוקסי בעיר והוא נסגר בפברואר 1858. בראשית המאה ה-21 פעל בית תפילה בתוך בניין משרדים בעיר.
בית הכנסת הגדול בזאגרב.
ב-1833 הותר לקהילה לרכוש שטח לבניית בית כנסת מרכזי. במועד זה לא יכלה הקהילה לעמוד בעלויות הרכישה וההקמה. ב-1855 החליטו פרנסי הקהילה לממש את זכותם לרכוש ולבנות בית כנסת, וב-1861 מונתה ועדה ציבורית שתנהל את הפרויקט. נרכשה קרקע סמוך לכיכר המרכזית של העיר הנקראת בָּאן יֶלָאצִ'יץ'. בית הכנסת תוכנן על ידי האדריכל פראניו קליין בקווי המתאר של בית הכנסת טמפלגאסה ובסגנון אדריכלי נאו-מורי. אורכו של המבנה עמד על 30 מטרים, רוחבו על 19.7 מטרים וגובהו המרבי עמד על 24 מטרים. הוא תוכנן ל-488 מתפללים. ב-27 בספטמבר 1867 נחנך בית הכנסת בזאגרב בנוכחות אישי ציבור מהאוכלוסייה הכללית והיהודית. עם פתיחתו הוכנס עוגב למבנה והעניין גרם לקרע עם הקהילה האורתודוקסית אשר בניה סירבו להתפלל במקום. הגידול המהיר במספר בני הקהילה אילץ את פרנסי הקהילה לבצע תכנון מחדש של אולם התפילה. ב-1921 הורחבה תפוסת המתפללים ל-708. תוכנית להגדלת מספר המושבים ל-944 נגנזה. ב-1933 הותקנה במבנה מערכת הסקה מרכזית.
לאחר כיבוש יוגוסלביה על ידי גרמניה הנאצית והחלת שלטון האוסטאשה, מונה איוואן ורנר לראש העיר זאגרב. באוקטובר 1941 הוציא ורנר צו הריסה לבית הכנסת. ב-10 באוקטובר 1941 הוחל בהריסת המבנה ובאפריל 1942 הוא נהרס כליל. כל ההליך צולם למטרות תעמולה אנטישמית. הצילומים הוצגו בתערוכות בכל רחבי מדינת קרואטיה העצמאית כהמחשה לפתרון הסופי של "הבעיה היהודית". חזן בית הכנסת ברנרד גרונר בסיוע גורמים מקומיים הצליח להציל 8 ספרי תורה. לאחר המלחמה הלאימו שלטונות יוגוסלביה את הנכס. ב-1959 נבנה במקום בניין משרדים, והוא חרב כליל בשריפה שפרצה במקום ב-1980. המקום הוסב למגרש חנייה. החל מהמחצית השנייה של שנות ה-80 ביקשה הקהילה משלטונות יוגוסלביה להקים בית כנסת ומרכז תרבות חדשים באתר ונתקלה בסירוב מוחלט. לאחר עצמאות קרואטיה אישר הממשל המקומי את הפרויקט. ב-31 בדצמבר 1999 לאחר מאבק משפטי הוחזר הנכס לידי הקהילה היהודית. הפיצול בקהילת זאגרב בין הקהילה הכללית לבית קהילת "בית ישראל" בראשות סלאבקו גולדשטיין ואיבו גולדשטיין עיכב את התכנון הסופי של האתר. ב-2015 הציגה הקהילה תוכנית למבנה החדש המשולבת בתוכנית המתאר המקומית והוחל בהליך אישורה. בית הכנסת עתיד להכיל אולם תפילה בן 200 מושבים, את משרדי רב הקהילה וכן אולם תרבות.
בתי העלמין.
יהודי העיר זאגרב קברו את מתיהם בשלושה בתי עלמין. בית העלמין היהודי הראשון הוקם ב-1811 והיה בשימוש עד 1877. בית העלמין השני נחנך ב-1858 והיה בשימוש עד 1878. ב-1876 הוקם בזאגרב בית הקברות מירוגוי וב-1878 נחנכה בו חלקה יהודית. החל מ-1878 הובאו יהודים לקבורה בבית עלמין זה. בחלקה היהודית ישנם 10 גושי קבורה לבני הקהילה האשכנזים-נאולוגים, 2 גושים לבני הקהילה הספרדית וגוש אחד לבני הקהילה האורתודוקסית. לפי חוק עזר עירוני הקיים עוד מהתקופה היוגוסלבית, בקברים שאינם מתוחזקים לאורך שנות דור ניתן להשתמש מחדש. ב-1961 פונו 1,000 קברי יהודים מהחלקות השונות ונקברו בקבר אחים בשטח החלקה היהודית. לאורך השנים עד לכינון קרואטיה נעשה שימוש בקברי יהודים לקבורה חוזרת בהתאם לחוק העזר העירוני. וכך, נכון ל-2009 אותרו בבית העלמין כ-1,500 מצבות, אף על פי שטרום מלחמת העולם השנייה היו 4,000 - 5,000 מצבות. בחלקה קיימת אנדרטה לזכר הנספים בשואה.
נוסחת לייבניץ לדטרמיננטות
נוסחת לייבניץ לדטרמיננטות היא נוסחה באלגברה המבטאת את הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית באמצעות תמורות של איברי המטריצה. היא נקראת על שם המתמטיקאי והפילוסוף גוטפריד וילהלם לייבניץ.
אם "A" היא מטריצה מסדר "n"×"n", אז אם נסמן ב-"a""i","j" את האיבר בשורה ה-"i" ובעמודה ה-"j", הנוסחה היא:
כאשר sgn היא פונקציית הסימן של התמורות בחבורת התמורות "S""n", והיא מחזירה 1+ אם התמורה זוגית (כלומר אם היא מתקבלת מתמורת הזהות על ידי מספר זוגי של חילופים) ו-1- אם התמורה אי-זוגית. ויזואלית ניתן לדמות את הנוסחה כסכום מסומן של כל המכפלות האפשריות של "n" מאיברי המטריצה כאשר הם נבחרים כך שאין שניים באותה עמודה או שורה.
נוסחה זו היא הביטוי המתמטי היחיד המקבל כמשתנים את "n""2" איברי המטריצה, ומהווה תבנית מולטי-ליניארית (הווה אומר, ליניארית בכל אחד מאיברי המטריצה), מתחלפת (אנטי-סימטרית) ומנורמלת. זו הגרסה הסגורה להגדרה הרקורסיבית של הדטרמיננטה באמצעות פיתוח למינורים לפי שורה או עמודה מסוימת.
את כמה מהתכונות הבסיסיות של הדטרמיננטה, כגון התאפסותה עבור מטריצה תלויית-שורות, ניתן להסביר כתוצא ישיר של הגדרה זו, וכפועל יוצא של הצורה המתמטית של הנוסחה. למשל, אם שתיים משורות המטריצה הריבועית זהות (עד כדי כפל בסקלר), אז מאנטי-סימטריות הדטרמיננטה נובע שאם נחליף בין השורות הזהות ערך הדטרמיננטה ישתנה מ- formula_2 ל-formula_3; אולם המטריצה נותרה אותו דבר (החלפנו שורות זהות), וכיוון שהמספר היחידי ששווה לנגדי של עצמו הוא 0 נובעת התאפסות הדטרמיננטה. בנימה דומה, כלל קרמר נובע ישירות ממולטי-ליניאריות הדטרמיננטה.
חישוב ישיר של הדטרמיננטה על פי נוסחת לייבניץ דורש באופן כללי formula_4 פעולות בשדה; זה מאוד לא יעיל בעבור מטריצות גדולות. בעזרת דירוג מטריצות ניתן להוריד זאת ל-(O("n"3, זאת שכן הדטרמיננטה של מטריצה משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי שלה, ואת הדטרמיננטה המקורית ניתן לשחזר באמצעות "זכירת" הפעולות האלמנטריות שביצענו עד כה אשר שינו את ערכה.
ניסוח פורמלי והוכחה.
משפט.
קיימת פונקציה יחידה
אשר היא מתחלפת, מולטי-ליניארית ביחס לעמודות ושורות המטריצה, ומנורמלת כך ש-formula_6.
הוכחה.
יחידות: תהי formula_7 פונקציה כזאת, ותהי formula_8 מטריצה מסדר formula_9. נקרא ל-formula_10 העמודה ה-formula_11 של formula_12, כלומר formula_13, כך ש-formula_14.
בנוסף, תהי formula_15 העמודה ה-formula_16 של מטריצת הזהות.
כעת נרשום את כל אחת מהעמודות formula_10 במונחי העמודות formula_15, כלומר
כיוון ש-formula_7 היא מולטי-ליניארית, מקבלים:
כיוון ש-"F" מתחלפת, כל איבר עם אינדקסים חוזרים הוא 0. הסכום לפיכך מוגבל ל-n-יות עם אינדקסים לא חוזרים, או במילים אחרות תמורות:
כיוון ש-"F" מתחלפת, העמודות formula_23 ניתנות לשחלוף עד אשר המטריצה הופכת למטריצת הזהות (הדבר שקול לכפל במטריצת תמורה). פונקציית הסימן formula_24 מוגדרת כך שתמנה את מספר חילופי העמודות הנחוצים ותביא לשינוי הסימן. לבסוף מקבלים:
שכן formula_26 מוגדרת כשווה ל-formula_27.
לפיכך אף פונקציה אחרת חוץ מזו המוגדרת על ידי נוסחת לייבניץ יכולה להיות מולטי-ליניארית, מתחלפת ומנורמלת כך ש-formula_28.
קיום: כעת נראה ש-F, כאשר F היא הפונקציה שמוגדרת של ידי נוסחת לייבניץ, היא בעלת שלוש תכונות.
מולטי-ליניארית:
מתחלפת:
לכל formula_31 תהי formula_32 ה-n-יה השווה ל-formula_33 עם האינדקסים formula_34 ו-formula_35 מוחלפים.
לכן אם formula_37 אז formula_38.
לסיום, נקבל formula_39:
לפיכך הפונקציות המולטי-ליניאריות ומתחלפות היחידות עם formula_39 מוגבלות לצורה הפונקציונלית המוגדרת על ידי נוסחת לייבניץ, שלמעשה מקיימת את שלושת התנאים הללו.
אלפונסו פראבוסקו