השימוש הנפוץ של טורי חזקות הוא לתיאור של פונקציות אנליטיות. אם פונקציה formula_16 היא אנליטית בנקודה formula_3, אז מקדמי טור החזקות סביב formula_3 שמתאר את הפונקציה בסביבת formula_3 הם formula_20. כלומר, טור החזקות המתאר את הפונקציה הוא טור טיילור שלה באותה נקודה. ניתן להראות שכל תיאור של פונקציה באמצעות טור חזקות יהיה טור טיילור.
במישור המרוכב, רדיוס ההתכנסות של טור חזקות שמתאר פונקציה הולומורפית סביב נקודה מסוימת, הוא רדיוס המעגל המקסימלי סביב אותה נקודה, שלא מכיל אף נקודה סינגולרית.
ניתן להכליל את מושג טורי החזקות כדי לתאר פונקציות שאינן אנליטיות בנקודה, אך אנליטיות בסביבתה, על ידי טורי לורן.
טורי חזקות פורמליים.
באלגברה מופשטת ובקומבינטוריקה, משתמשים בטורי חזקות פורמליים ככלי חישובי, כאשר בתחומים אלו אין עניין של התכנסות טורי החזקות, והם מוגדרים רק בשביל האריתמטיקה המיוחדת שלהם. בקומבינטוריקה הטורים מכונים פונקציות יוצרות. הפונקציות היוצרות משמשות כמעט רק לספירת עצמים, על ידי מקדמי החזקות המתאימות, ולכן בדרך כלל אין חשיבות להתכנסות הטורים. כך לדוגמה, טור החזקות formula_21 שמתבדר עבור כל מספר ששונה מאפס הוא פונקציה יוצרת לגיטימית.
טורי חזקות מוכללים.
לכל שדה F ולכל חבורה אבלית סדורה formula_22, השדה של טורי החזקות המוכללים formula_23 כולל את כל הסכומים הפורמליים formula_24 שיש להם תומך סדור היטב.
דוגמאות.
הפונקציה האקספוננציאלית.
הפונקציה האקספוננציאלית ניתנת להצגה כטור חזקות: formula_25.
ניתן להראות שהתכונה הבסיסית של הפונקציה- העברת חיבור לכפל, נובעת ישירות מאופן הפעולה של הכפל על טורים ומהבינום של ניוטון. גם את הנוסחה formula_26 אפשר לקבל ישירות מאופן הפעולה של הנגזרת על טורי החזקות. תכונות אלו ניתן להרחיב גם לחוגים ולאלגבראות בנך באופן כללי, אם כי התכונה הראשונה תלויה בקומוטטיביות של המכפלה, ולא מתקיימת באופן כללי.
פונקציית סינוס.
פונקציית הסינוס ניתנת להצגה כטור חזקות: formula_27
פונקציה רציונלית.
טור החזקות שמקדמיו שווים ל-1 מתכנס לפונקציה: formula_28
ובמקרה זה טור החזקות מתכנס עם רדיוס התכנסות 1=r כפי שניתן להוכיח בקלות בעזרת משפט דאלמבר שלעיל.
טורים נוספים.
לעיתים ניתן למצוא את הפונקציה שאליה מתכנס טור חזקות נתון על ידי ביצוע מניפולציות על הטור הנתון כדי להגיע לטור שידוע לאיזו פונקציה הוא מתכנס, ולאחר מכן ביצוע מניפולציות הפוכות על הפונקציה שהתקבלה, לקבלת הפונקציה שאליה מתכנס הטור המקורי.
אוניברסיטת ייל
אוניברסיטת ייל (באנגלית: Yale University) היא אוניברסיטה פרטית הנמצאת בניו הייבן, קונטיקט, ארצות הברית. נוסדה בשנת 1701 בשם "בית הספר הקולגיאלי", והיא המוסד להשכלה גבוהה השלישי בקדמותו בארצות הברית, וחברה בליגת הקיסוס. ייל היא מהאוניברסיטאות היוקרתיות והסלקטיביות ביותר בעולם. היא חברה באיגוד האוניברסיטאות האמריקניות, חברה בברית הבינלאומית לאוניברסיטאות מחקר וחברה בפורום מנהיגי האוניברסיטאות העולמי.
מוסדותיה הנודעים ביותר הם פקולטת ייל למדעים ואמנויות, בית הספר לתואר ראשון – (1701), ופקולטת ייל למשפטים. משתי האחרונות יצאו מספר נשיאים אמריקאיים וראשי מדינות זרות. בשנת 1861, הפקולטה למדעים ואמנויות הייתה לבית הספר הראשון בארצות הברית שהעניק תואר דוקטור. ראויות לציון הן פקולטת ייל לדרמה, שהכשירה מספר שחקנים וכותבים בולטים בהוליווד וברודוויי, ונוסף על כך הפקולטות לאמנות, תאולוגיה, יערנות וסביבה, מוזיקה, רפואה, ניהול, סיעוד ואדריכלות.
נכסיה של האוניברסיטה מוערכים בכ-22.9 מיליארד דולר כספי תרומות (השניים בגודלם מכל מוסד אקדמי) וביותר מתריסר ספריות שמחזיקות 12.5 מיליון כרכים (ההופכים את ייל למערכת הספריות השנייה בגודלה בעולם). בייל מועסקים 3,300 חברי-צוות הוראה, שמלמדים 5,300 סטודנטים לתואר ראשון ו-6,000 סטודנטים בפקולטות. ייל מאורגנת כארגון ללא מטרות רווח.
70 החוגים הראשיים בתואר ראשון של ייל ממוקדים בעיקר בשבע האמנויות החופשיות, ומעט ממחלקות התואר הראשון הן קדם-מקצועיות. חלוקת הסטודנטים לתואר ראשון היא 20% במדעים, 35% במדעי החברה, ו-45% באומניות ומדעי הרוח. כל הפרופסורים בעלי הקביעות באוניברסיטה מלמדים קורסים לתואר ראשון. בכל שנה מתקיימים בייל יותר מ-2,000 קורסים לתואר ראשון.
שיטת הדיור של ייל היא מכללת-מגורים, או מעונות, כדוגמת אוניברסיטת אוקספורד ואוניברסיטת קיימברידג'. בכל מעון דרים חתך-רחב ייצוגי מגוף הסטודנטים לתואר ראשון ונמצאים בו מתקנים ושירותים, סמינרים, מורי הפקולטה, עמיתים ללימודים, וצוות תומך. נכון לשנת 2021 יש 14 residential colleges (מעונות). המעונות הקיימים קרואים על שם נשיאי ייל קודמים, מקומות המשכן הקודמים של הקמפוס, ודמויות היסטוריות מקומיות.
תוכניות הלימודים הגבוהים של ייל כוללות את הפקולטה למדעים ואמנויות – הכוללת 53 תחומים כגון מדעי הרוח, מדעי החברה, ביולוגיה, מדעי הפיזיקה, והנדסה – ואת הפקולטות המקצועיות לאדריכלות, אמנות, תאולוגיה, דרמה, יערנות ומדעי הסביבה, משפטים, ניהול, רפואה, מוזיקה, סיעוד, ובריאות הציבור.
ייל ואוניברסיטת הרווארד היו יריבות כמעט בכל תחום אפשרי במשך רוב ההיסטוריה שלהן, במיוחד בתחומים האקדמיים, במרוצי חתירה ובפוטבול. בספורט, מרוץ הרווארד-ייל בחתירה ו"המשחק" (פוטבול) הם אירועים שנתיים.
נשיא ייל ריק לוין סיכם כך את סדר העדיפויות של המוסד למאה הרביעית שלו: "קודם כול, כאחת מאוניברסיטאות המחקר הטובות ביותר של האומה, ייל מחויבת באופן מובהק למצוינות במערכת החינוך לתואר ראשון. שנית, בפקולטות הגבוהות והמקצועיות, וכן במכללת ייל, אנחנו מחויבים לחינוך המנהיגים העתידיים."
בכינויים "אליים" (Elis, על שם אליהוא ייל) ו"ייליים" (Yalies) משתמשים לעיתים קרובות, הן בתוך ייל והן מחוצה לה, ככינוי לסטודנטים בייל.
היסטוריה.
תחילתה של ייל בחוק "למען החירות, להקים בית ספר קולגיאלי" שעבר בבית המשפט הכללי של המושבה קונטיקט ב-9 באוקטובר 1701. מיד לאחר מכן, קבוצה של עשרה מנהיגים נוצרים פרוטסטנטים בהנהגתו של ג'יימס פיירפונט, כולם בוגרי הרווארד (הרווארד הייתה המכללה היחידה בצפון אמריקה בזמן לימודיהם), נפגשו בחדר העבודה של הכומר סמואל ראסל בברנדפורד, קונטיקט, ואספו את ספריהם שלהם למאגר אחד ויצרו את הספרייה הראשונה של האוניברסיטה. הקבוצה הזו ידועה בשם "המייסדים". ייל נוסדה על מנת להכשיר אנשי דת פרוטסטנטים.
המוסד נקרא במקור "בית הספר הקולגיאלי", ונפתח בביתו של הרקטור הראשון שלו, אברהם פיירסון, בקילינגוורת' (קלינטון). מאוחר יותר הוא הועבר לסייברוק, ואז לוות'רספילד. בשנת 1718, המכללה הועברה לניו הייבן, קונטיקט.
בה בעת נוצר קרע בהרווארד בין נשיאה השישי אינקריס מיית'ר לבין שאר כמורת הרווארד, שראתה את מיית'ר כליברל מתקדם, והאשימה אותו בהזנחת שלטון הכנסייה. היחסים החמירו לאחר שמיית'ר התפטר, וההנהלה דחתה שוב ושוב את בנו ועמיתו האידאולוגי, קוטון מיית'ר, לתפקיד נשיא הרווארד. הסכסוך גרם לבני מיית'ר להצטרף אל בית הספר הקולגיאלי בתקווה שבית ספר זה יחזיק בראייה דתית אורתודוקסית-פוריטנית, שלא כמו הרווארד.
בשנת 1718, קוטון מיית'ר יצר קשר עם איש עסקים מצליח מוויילס בשם אליהוא ייל וביקש ממנו תמיכה כלכלית בבניית בניין חדש למכללה. ייל, שצבר את הונו דרך מסחר שעסק בו בזמן שחי בהודו כנציג של חברת הודו המזרחית, תרם תשע חבילות של סחורה, שנמכרו ביותר מ-560 פאונד, סכום עצום באותם ימים. ייל תרם גם 417 ספרים ודיוקן של ג'ורג' הראשון, מלך בריטניה. קוטון מיית'ר הציע שבית הספר ישנה את שמו למכללת ייל כהכרת טובה לנדבן שלו, וגם כדי להגדיל את הסיכויים שהמכללה תקבל עוד תרומה גדולה מייל או את עיזבונו. אליהוא ייל היה בהודו כשהחדשות על שינוי שמו של בית הספר הגיעו לביתו בבריטניה, אך ייל מעולם לא חזר לביתו. אף על פי שהוא באמת הוריש את הונו ל"בית הספר הקולגיאלי שבמושבת הוד מלכותו קונטיקט", האוניברסיטה מעולם לא הצליחה לקבל את העיזבון.
סטודנטים בולטים לתאולוגיה ומדעי הרוח בניו אינגלנד החשיבו את השפה העברית כשפה קלאסית, ביחד עם יוונית ולטינית, כיוון שהיא נחוצה ללימוד התנ"ך בשפתו המקורית. הכומר עזרא סטילס, נשיא המכללה בשנים 1778–1795, הביא עמו את העניין בשפה העברית כאמצעי ללימוד טקסטים תנ"כיים בשפתם המקורית, והנהיג את חובת לימוד העברית לתלמידי השנה הראשונה, זאת בניגוד להרווארד, שבה רק תלמידי השנים המתקדמות היו חייבים ללמוד עברית. סטילס אחראי גם להוספת המילים "אורים ותמים" בעברית לחותם ייל. מאורע מכריע בתקופת כהונתו של סטילס התרחש ביולי 1779, בזמן מלחמת העצמאות האמריקאית, כשכוחות בריטיים עוינים כבשו את ניו הייבן ואיימו להרוס את המכללה. בוגר ייל אדמונד פנינג, שהיה מזכירו של הגנרל הבריטי שפיקד על התקיפה, תיווך בין הצדדים והמכללה ניצלה. מאוחר יותר הוענק לפנינג תואר כבוד על מעשהו.
הדגש על הקלאסיקה גרם לעלייה במספר מועדוני הסטודנטים הפרטיים, הפתוחים בהזמנה בלבד, שהוקמו בעיקר כפורומים לדיון בלמידה מודרנית, ספרות ופוליטיקה. הארגונים הראשונים מסוג שכזה היו מועדוני דיון: קרוטוניה ב-1738, לינוניה ב-1753, ו"אחים באחדות" (Brothers in Unity) ב-1768.