כאשר יש התנגשות בין שתי מערכות הדינים, ניצב איפוא האזרח היהודי שומר המצוות בפני בעיה קשה, באשר מחד גיסא הוא רואה עצמו נאמן לחוקי התורה, אבל מאידך גיסא הוא רואה עצמו בו בזמן נאמן גם לחוקי המדינה. קונפליקט זה גלש לסוגיות שמעבר למשפט והוליד מגזרים בישראל, שכל אחד מהם מצדד בעמדה שונה בסוגיות שונות וביניהם הסוגיה שלפנינו.
יחס ההלכה למשפט הישראלי.
ההלכה מחייבת יהודי לתבוע את חברו רק בבתי דינים המחויבים למשפטי התורה. ישנו איסור הלכתי לדון דיני ממונות בבית משפט ישראלי, בדומה לאיסור לדון בפני "ערכאות של עכו"ם" - זאת אף אם פסק הדין יהיה זהה לפסק שייתן בית הדין. עם זאת, בית דין רשאי להרשות לאדם להגיש תביעה בבית משפט לצורך גביית ממון שבית הדין מצא שהתובע זכאי לקבל לפי דיני התורה, אלא שהנתבע אינו מוכן לדון לפיהם. באשר לדין הפלילי, פוסקי ההלכה המכירים בסמכות המדינה באופן כללי, לרוב מכירים גם בסמכותה לדון בפלילים מכוח 'משפט המלך' (דינא דמלכותא דינא).
גם חקיקה אזרחית, כל עוד אינה מתנגשת בהלכה, מקבלת לעיתים קרובות תוקף הלכתי, כי היא הופכת למנהג המדינה, וההנחה היא שהתושבים מקבלים על עצמם לשאת ולתת ביניהם לפיה. בהקשר של קהילה יהודית נפרדת, מוכר בהלכה גם מושג של "תקנות הקהל" – תקנות נציגי הציבור, שלהם תוקף מחייב, בכפוף לסייגים מסוימים.
על עקרונות אלו אמר השופט מנחם אלון: "ביסוס זה על יסוד משפט המלך ועקרון 'תקנות הקהל', הוא ללא ספק – מבחינת עולמה של ההלכה – הדרך הקלאסית כדי להביא אי פעם בעתיד לאיחוד ושילוב בין המשפט הישראלי והמשפט העברי ההיסטורי".
המשפט העברי
משוואת שרדינגר
משוואת שרדינגר (שידועה גם בשם משוואת הגלים של שרדינגר) היא משוואת התנועה היסודית של מערכות קוונטיות, שהוצעה על ידי הפיזיקאי האוסטרי ארווין שרדינגר ב-1926 ומתארת כיצד מצב קוונטי של מערכת פיזיקלית משתנה לאורך הזמן. משוואת שרדינגר ניתנת להמרה באופן מתמטי למכניקת המטריצות של הייזנברג ולאינטגרלי המסלול של פיינמן, השקולים לה. משוואת שרדינגר מתארת את הזמן באופן היוצר קושי עם תאוריות יחסותיות, בעיה שאינה כה חמורה כמו היחס לזמן במכניקת המטריצות או באינטגרלי המסלול. משוואה זו בעלת חשיבות מרכזית במכניקת הקוונטים הלא-יחסותית.
בפרשנות הרגילה למכניקת הקוונטים, המצב הקוונטי הוא התיאור השלם ביותר היכול להינתן למערכת פיזיקלית. פתרונות משוואת שרדינגר מתארים מערכות אטומיות ותת-אטומיות, אלקטרונים ואטומים, אך גם מערכות מיקרוסקופיות, וכנראה גם את כל היקום.
רקע היסטורי.
בשנת 1909 הראה ארנסט רתרפורד באמצעות ניסוי פיזור של חלקיקי אלפא על עלה דק של זהב שהמטען החיובי באטום מרוכז באזור קטן מאוד במרחב, הידוע היום בשם 'גרעין האטום'. בעקבות הניסוי הציג רתרפורד מודל של האטום הקרוי המודל הפלנטרי שלפיו האלקטרונים הם חלקיקים קטנים הנעים סביב גרעין האטום באופן דומה לאופן שבו כוכבי הלכת מקיפים את השמש.
בשנת 1913 נילס בוהר פיתח מודל זה, והציג תאוריה הקרויה היום מודל בוהר שממנה משתמע שהאלקטרונים מתנהגים כמו גלים ונעים סביב גרעין האטום באופן הדומה לגלים עומדים. בבסיס המודל הזה היא ההנחה שהתנע הזוויתי של האלקטרונים, בנועם סביב הגרעין, יכול להיות רק כפולות שלמות של קבוע פלנק, ושפליטת אור מתרחשת כאשר האלקטרונים עוברים למסלולים עם אנרגיה נמוכה יותר. מודל זה הראה התאמה מושלמת לספקטרום האנרגיה של אטום המימן וכן הסביר את זמני החיים הארוכים של האטומים (שכן על פי תורת החשמל הקלאסית, אלקטרונים החגים סביב גרעין אמורים לפלוט קרינה שתגרום להם לצנוח לעבר הגרעין). מודל בוהר שלפיו חלקיקים מתנהגים כמו גלים, יחד עם ההסבר של מקס פלאנק לקרינת גוף שחור (משנת 1900) וההסבר של איינשטיין לאפקט הפוטואלקטרי (משנת 1905) - שלפיהם גלי האור מתנהגים כמו חלקיקים, מהווים את הבסיס למה שקרוי היום 'תורת הקוונטים הישנה'.
למרות ההצלחות בפיענוח ספקטרום אטום המימן, המודל של בוהר השאיר שאלות רבות פתוחות. המודל לא נתן הסבר לספקטרום של אטומים ומולקולות מורכבים יותר מהמימן, הוא הראה שהחלקיקים מתנהגים כמו גלים, אך לא הסביר מה בדיוק מתנדנד ומהי משוואת הגלים של הטבע. מתן תשובה לשאלות הללו הפך לנושא מחקר מרכזי עבור הקהילה הפיזיקלית, ובפרט עבור קבוצה של תלמידים ומדענים שהובלו על ידי בוהר וכללו אנשים כמו וורנר הייזנברג, מקס בורן ווולפגנג פאולי.
צעד חשוב בדרך למציאת משוואת הגלים הגיע בשנת 1924 כאשר לואי דה ברויי הציג את השערת דה ברויי, לפיה "כל" חלקיקי החומר בעלי תכונות של גל, ולא רק קרינה אלקטרומגנטית (מושג זה נקרא כיום דואליות הגל-חלקיק):
כאשר formula_2 הוא אורך הגל, formula_3 הוא קבוע פלאנק ו-formula_4 הוא תנע החלקיק.
דה ברויי הראה כי השערתו מתאימה למשוואתו של פלאנק ופיתוחו של איינשטיין, וכן לתורת היחסות הפרטית. כעת המשוואה של פלאנק התאימה לכל החלקיקים, ולא רק לקרינה האלקטרומגנטית.
צעד נוסף היה בשילוב של רעיונות תורת הקוונטים הישנה עם הפיזיקה הסטטיסטית, שהוחל ביוני 1924 כאשר הפיזיקאי ההודי סאת'ינדרה נאת' בוז (Satyendra Nath Bose) שלח מאמר לאיינשטיין ובו הוכחה חדשה למשוואה של פלאנק. הוא התייחס לפוטונים כאל מולקולות של גז והשתמש בהוכחה בשיטות מן המכניקה הסטטיסטית. בניגוד למכניקה הסטטיסטית הקלאסית של לודוויג בולצמן וג'יימס קלרק מקסוול, בה לכל מולקולה יש ייחוד והחלפה בין שתי מולקולות יוצרת מצב חדש, בוז הניח כי ההחלפה בין שני קוונטים של אור אינה יוצרת מצב חדש.
בין השנים 1925-1924 פרסם איינשטיין שלושה מאמרים בהם יישם את רעיונותיו של בוז לגז אידיאלי של מולקולות בהן אטום אחד. המאמרים תמכו ברעיונותיו של בוז בקשר לאופי הגלי של המולקולות וקישרו את רעיונות אלו להשערת דה ברויי.
שנת 1926 הייתה שנת המפתח לפיתוחה של תורת הקוונטים עת התפרסמו שתי גרסאות למשוואת הגלים של החלקיקים. גרסה אחת שהוצגה על ידי ורנר הייזנברג וקרויה היום על שמו משוואת הייזנברג - הניחה שגדלים פיזיקליים (כמו מיקום, תנע ואנרגיה) נקבעים על ידי אופרטורים ואלו מתפתחים עם הזמן - על פי משוואת הגלים שהוא הציג. לעומתו, במקביל להייזנברג פעל ארווין שרדינגר לחיפוש משוואת הגלים באופן שונה.
בשלהי 1925, כתב שרדינגר מאמר שכותרתו הייתה "על התאוריה של גז איינשטיין", שעסק בגז של חלקיקים קוונטים ובוסס על השערת דה ברויי, כמו גם גישתו של איינשטיין לרעיון.
ב-1926 פרסם שרדינגר מאמר נוסף שעסק הפעם באטום המימן. בגז החלקיקים הקוונטים אפשר היה להניח כי על חלקיקי הגז הקוונטי לא פועל כוח, ולהזניחו, אך באטום המימן לא היה יכול שרדינגר להתעלם מן הכוח שבין הגרעין לאלקטרון.
שרדינגר פיתח משוואה דיפרנציאלית שקשרה בין השינוי בגל כתלות במקום ובין השינוי בו כתלות בזמן, אולם התוצאה לא התאימה לאטום המימן. הוא ניסה שוב, הפעם באמצעות משוואה יחסותית שתיצור הקבלה בין משוואה מן המכניקה המתייחסת לאלקטרון כחלקיק, ובין משוואה המתארת אותו כגל, וגם הפעם נכשל. בפעם השלישית ניסה והצליח לתאר הקשר בביטוי לא יחסותי.
עם פיתוח משוואת הגלים על ידי שרדינגר החלה תקופה קצרה שבה נעשה ניסיון לענות אילו משתי התאוריות השונות היא הנכונה (זו של שרדינגר או זו של הייזנברג). תקופה זו נגמרה כאשר שרדינגר הצליח להראות ששתי הגישות השונות שקולות.
פיתוח המשוואה.
בתורת הקוונטים נהוג לתאר את מצבו של חלקיק באמצעות פונקציית גל. לכן נצפה שהמשוואה המתארת את השינוי במצבו של חלקיק בזמן ובמרחב תהיה בעלת מבנה כללי של משוואת גלים, זאת אומרת קשר כלשהו בין הנגזרת המרחבית והזמנית של פונקציית הגל. ובכן, נביט על פונקציית גל המתארת התקדמות של חלקיק חופשי (לכיוון החיובי של ציר האיקס):
formula_5
כאשר formula_6 הוא מספר הגל, ו-formula_7 היא התדירות הזוויתית של הגל.
נגזור פעם לפי מקום ופעם לפי זמן:
formula_8, formula_9
נזכר בקשר בין מספר הגל לתנע על פי השערת דה ברויי, ובין התדירות לאנרגיה:
formula_10, formula_11
כאשר formula_12 הוא התנע של החלקיק, formula_13 - האנרגיה הקינטית שלו, ו-formula_14 הוא קבוע דיראק (שהוא למעשה קבוע פלאנק חלקי שני פאי).
נציב את הקשרים האלה חזרה לנגזרות ולאחר העברת אגפים נקבל:
formula_15, formula_16
בעקבות המשוואות דלעיל נבקש לזהות את האופרטור formula_17 עם תנע (formula_18), ואת האופרטור formula_19 עם אנרגיה (formula_13).
כעת, נזכר בקשר הקלאסי בין תנע ואנרגיה עבור חלקיק בעל מסה formula_21: formula_22
השימוש בקשר הקלאסי בין אנרגיה ותנע (ללא התחשבות באנרגיה הפנימית) משמעו שהמשוואה שתתקבל תהיה לא יחסותית.
נציב במקום formula_13 ו-formula_12 את האופרטורים כפי שנתונים לעיל (נשים לב שהתנע מועלה בריבוע, ולכן יש להפעיל את אופרטור התנע פעמיים), נקבל:
formula_25
וזוהי משוואת שרדינגר לחלקיק חופשי בחד-מימד, זאת אומרת חלקיק הנע לאורך קו ישר ללא השפעת פוטנציאל. המעבר למשוואה כללית יותר הלוקחת בחשבון גם השפעת פוטנציאל formula_26 מתבצע על ידי ניחוש מושכל, שמתברר בניסויים כמוצדק. כמו כן, את הפיתוח עשינו אומנם בחד מימד, אך קל להראות שניתן להכליל אותו לתלת-מימד. השינוי יתבטא בהחלפת הנגזרת הכפולה לפי x, באופרטור הלפלסיאן. משוואת שרדינגר, על-כן היא:
formula_27
נגדיר את אופרטור ההמילטוניאן כך:
formula_28
ונקבל את צורתה הכללית של המשוואה:
formula_29
משוואת שרדינגר בצורתה הכללית.
בכתיב הכללי ביותר (כתיב ברה-קט) משוואת שרדינגר נראית כך:
במשוואה זו:
כאשר H בלתי תלוי מפורשות בזמן, הפתרון הכללי של משוואה זו הוא: