כמו בתורת המבנה של חוגים אסוציאטיביים, לאלגברת ז'ורדן מממד סופי יש רדיקל נילי, שהוא האידיאל הנילי הגדול ביותר; הרדיקל הנילי הוא נילפוטנטי, ולכן הרדיקלים formula_15 שווים. חוג המנה ביחס לרדיקל הוא סכום ישר של אלגברות ז'ורדן פשוטות. באלגברות ז'ורדן מתקיימת גרסה של המשפט העיקרי של ודרברן: אם formula_16 ספרבילית, אז יש תת-אלגברה B שהיא איזומורפית למנה, וכך ש-formula_17 (סכום ישר של מרחבים וקטוריים).
המיון של אלגברות ז'ורדן פשוטות מממד סופי מעל שדה סגור אלגברית (ממאפיין שונה מ-2) הושלם בידי נתן ג'ייקובסון בשנות ה-50, והוא דומה באופיו לזה שהתקבל על ידי ז'ורדן, פון-ניומן וויגנר. בעשורים הבאים הוכיח ג'ייקבסון משפטי מיון נוספים, מעל שדה כללי (ממאפיין שונה מ-2). משפטים אלה תארו כיצד לבנות אלגברה פשוטה מאלגברה עם חילוק, אבל לא הוסיפו פרטים על האלגברות עם חילוק עצמן.
פירוק פירס.
נניח שבאלגברת ז'ורדן J יש אידמפוטנט e. אז formula_18, כאשר formula_19, המרכיבים formula_20 הם תת-אלגברות, formula_21,
formula_22 ל-i=0,1, ו-formula_23.
לדוגמה, אם A אלגברה אסוציאטיבית עם אידמפוטנט e, אז e הוא אידמפוטנט גם באלגברת ז'ורדן formula_24 המתאימה ל-A, ומרכיבי הפירוק המתאימים הם formula_25.
תורת המבנה המודרנית.
בראשית שנות השמונים המשיך יפים זלמנוב את מלאכת המיון הרבה מעבר למה שהיה ידוע קודם לכן. בהמשך קישר זלמנוב עבודות אלה לאלגברות לי ולחבורות מפותלות, ופתר את בעיית ברנסייד המצומצמת; על עבודה זו זכה זלמנוב במדליית פילדס.
רדיקלים.
באלגברות ז'ורדן formula_26 מוגדרת פעולה טרנארית המכונה 'מכפלה משולשת': formula_27. איבר formula_28 המקיים כי formula_29 וגם formula_30 הוא "מחלק אפס מוחלט" (יש המכנים איברים אלו "איברים טריוויאליים"). במאפיין שונה מ-2, ניתן לאפיין מחלקי אפס מוחלטים כך: איבר formula_28הוא מחלק אפס מוחלט אם ורק אם formula_29 וגם formula_33 לכל formula_34. אם קיימים מחלקי אפס מוחלטים, האלגברה מנוונת. בכל אלגברת ז'ורדן יש רדיקל לא מנוון (שנקרא לעיתים גם רדיקל מק'רימון), שהוא האידיאל הקטן ביותר שחוג המנה ביחס אליו אינו מנוון. עבור אלגברות ז'ורדן ממימד סופי, הרדיקל הלא מנוון שווה לרדיקל הנילי, הוא סכום האידיאלים הניליים באלגברה. כל אלגברת ז'ורדן לא מנוונת היא מכפלה תת-ישרה של אלגברות ז'ורדן ראשוניות לא מנוונות. הרדיקל הלא מנוון של אלגברת ז'ורדן מכיל את הרדיקל הראשוני של J, ומוכל ברדיקל הפרימיטיבי למחצה שלה (חיתוך כל האידיאלים הפרימיטיביים). מכאן אפשר להסיק שאלגברת ז'ורדן פשוטה אינה מנוונת.
תמיד מתקיים כי הרדיקל הראשוני מוכל ברדיקל מק'רימון, שמוכל ברדיקל הפרימיטיבי למחצה; זה האחרון נילי כאשר עוצמת שדה הבסיס גדולה מממד האלגברה כמרחב וקטורי מעליו (בדומה למתרחש באלגברות אסוציאטיביות).
אם A אלגברה אסוציאטיבית, אלגברת ז'ורדן המתאימה לה formula_35 היא לא מנוונת, אם ורק אם A ראשונית למחצה, והרדיקל הלא מנוון של formula_35 הוא הרדיקל הראשוני של A.
מיון האלגברות הראשוניות.
זלמנוב הוכיח שאלגברת ז'ורדן הפשוטה היחידה (לאו דווקא מממד סופי) שאינה מיוחדת, היא אלגברת אלברט מממד 27. הוא מיין אלגברות ז'ורדן פרימיטיביות, ולבסוף את האלגברות הראשוניות שאינן מנוונות. הדיכוטומיה הנובעת ממיון זה קשורה קשר הדוק לדיכוטומיה המתקיימת עבור אלגברות אלטרנטיביות פשוטות: הן מיוחדות, או מממד 8 מעל המרכז.
מן המיון הזה נובע שכל אלגברת ז'ורדן ראשונית לא מנוונת היא מיוחדת, או חוג אלברט (כלומר, הופכת לאלגברת אלברט לאחר מיקום מרכזי).
בפירוט, אלגברת ז'ורדן ראשונית לא מנוונת formula_37 משתייכת לאחת מבין ארבע המשפחות הבאות:
זלמנוב המשיך ותיאר אלגברות ז'ורדן ראשוניות לא מנוונות המקיימות זהויות פולינומיות. עד כדי מיקום מרכזי, מדובר באלגברות ז'ורדן פשוטות מרכזיות או באלגברות ז'ורדן המתאימות לתבניות ביליניאריות סימטריות לא מנוונות. מיון זה משחק תפקיד משמעותי בהוכחת הנילפוטנטיות המקומית של אלגברות לי המקיימות זהויות פולינומיות ונפרשות על ידי איברים נילפוטנטיים, תוצאה העומדת בבסיס פתרון בעיית ברנסייד המצומצמת.
משפטי מיון דומים תקפים גם לגבי זוגות ז'ורדן.
אלגברות ז'ורדן עם חילוק.
באלגברת ז'ורדן מסמנים formula_54 (כאשר formula_55). זהו אופרטור 'הכפל החיצוני' באיבר, בהתאם למכפלה המשולשת שהוגדרה לעיל: formula_56. איבר x הוא הפיך אם קיים איבר y כך ש-formula_57. במקרה זה האופרטור formula_58 הפיך, וההפכי y הוא האיבר formula_59. אלגברת ז'ורדן שבה כל האיברים הפיכים היא אלגברה עם חילוק. משפטי המיון של זלמנוב כוללים בין היתר את המיון של אלגברות ז'ורדן עם חילוק לארבע משפחות: (1) האלגברה formula_60 כאשר D אלגברת חילוק אסוציאטיבית; (2) האלגברה formula_61 כאשר D אלגברת חילוק אסוציאטיבית עם אינוולוציה *; (3) אלגברת ז'ורדן-קליפורד של תבנית ריבועית q כאשר formula_62 לא איזוטרופית; (4) אלגברת אלברט של תבנית קובית לא איזוטרופית.
אלגברת ז'ורדן החופשית.
אלגברת ז'ורדן החופשית formula_63 (על קבוצת משתנים כלשהי) היא האלגברה הלא-אסוציאטיבית החופשית המקיימת את זהויות ז'ורדן; כל אלגברת ז'ורדן היא תמונה הומומורפית של אלגברת ז'ורדן חופשית כלשהי. שני אידיאלים חשובים של אלגברת ז'ורדן החופשית הם formula_64, של כל הזהויות של אלגברות מיוחדות ו-formula_65, של הזהויות של חוגי אלברט.
רדיקל מק'רימון של אלגברת ז'ורדן החופשית ביותר משני יוצרים איננו טריוויאלי (בפרט, אלגברת ז'ורדן החופשית על שלושה יוצרים ומעלה איננה תחום). יתרה מזאת, הוא שווה לחיתוך formula_66.
המנה formula_67 היא אלגברת ז'ורדן המיוחדת החופשית, ומתברר שהיא מיוחדת בעצמה.
מבנים דומים.
אלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות.
אלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות מוגדרות על-פי זהות הגמישות formula_68 והזהות formula_5, כאשר formula_70 ו-formula_71 הן פעולות הכפל משמאל והכפל מימין ב-x, בהתאמה (בנוכחותה של זהות הגמישות, כל הנחה על-כך ש- formula_70 או formula_71 מתחלף עם formula_74 או formula_75 גוררת את כל האחרות). לכל x, הפעולות formula_76 מתחלפות כולן זו עם זו, ולכן יש לאלגברה חזקה אסוציאטיבית בהחלט. כל אלגברה ריבועית גמישה (כגון אלגברות קיילי-דיקסון) היא אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית.
נניח שהמאפיין של שדה הבסיס שונה מ-2. האלגברה A היא אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית אם ורק אם היא גמישה, ו-formula_35 (שבה מוגדר הכפל לפי formula_78) היא אלגברת ז'ורדן (קומוטטיבית). בכל אלגברה עם פעולה אנטי-סימטרית מתקיים formula_79 ו- formula_80, ולכן כל אלגברה כזו היא אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית. בפרט, כל אלגברת לי בינארית (ולכן כל אלגברת מלצב, ובוודאי כל אלגברת לי) היא אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית.
אף על פי שבאלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות ממד סופי יש רדיקל נילי, הן אינן מקיימות גרסה של המשפט העיקרי של ודרברן.
מבנים נוספים.
מאז שנות השישים של המאה העשרים הופיעו בספרות המחקר מערכות אלגבריות דומות לאלגברות ז'ורדן. בין אלה אפשר למנות: אלגברות ז'ורדן ריבועיות (המאפשרות הכללה לחוג בסיס כלשהו, לרבות בעל מאפיין 2), מערכות ז'ורדן משולשות, זוגות ז'ורדן וסופר-אלגברות ז'ורדן.
דגל קולומביה הבריטית
דגל קולומביה הבריטית מורכב משלט האצולה המצוי במרכזו של סמל קולומביה הבריטית. שלט זה מורכב מדגל בריטניה, שבמרכזו כתר המסמל את מוצאה של הפרובינציה כמושבה בריטית.
הקווים הכחולים והלבנים שצורתם גלית מסמלים את האוקיינוס השקט, והשמש השוקעת מציינת את העובדה שקולומביה הבריטית היא המערבית בפרובינציות קנדה.
דגל זה הוצג לראשונה ב-14 ביוני 1960 על ידי ראש ממשלת קולומביה הבריטית וו. א. ס. בנט והונף לראשונה על גבי המעבורת "מלכת סידני" של חברת המעבורות של קולומביה הבריטית.
שלמה אלישיב
הרב שלמה אלישיב (בכתיב יידי: עליאשאוו; י"ב בטבת ה'תר"א, 5 בינואר 1841 – כ"ז באדר ה'תרפ"ו, 13 במרץ 1926) היה מחשובי המקובלים בסוף המאה ה-19 ובתחילת המאה ה-20. בעל ספרי ה"לשם שבו ואחלמה", על שמם הוא מכונה גם בעל הלשם. סבו של הרב יוסף שלום אלישיב.
קורות חיים.
נולד בזאגר () בליטא לרבי חיים חייקל ולסתירה גיטא. למד אצל אביו ואצל רבי גרשון תנחום ממינסק וכן בישיבת טלז. בעת מגוריו בטלז למד קבלה גם מרב המקום, הרב יוסף רייזין. הוא למד בחברותא עם הרבנים מאיר אטלס וצבי יהודה רבינוביץ' תאומים. כאשר כיהן הראי"ה קוק כרבה של העיירה זיימל, הוא למד איתו כתלמיד חבר. כמו כן היה מורו של בן עירו, הרב אהרן שלמה מהריל. בשנים שלפני עלייתו ארצה, גר בבית חתנו, אברהם, רב הכפר הומל.
הרב אלישיב זכה להערכה רבה מחכמי התורה של תקופתו. החזון אי"ש אמר עליו שהוא "המקובל האחרון". הראי"ה קוק קרא לו: "הגדול שבמקובלי הדור". ואף מצוטט משמו כי אמר עליו שהוא בקיא בחדרי הקבלה כמו שאדם בקיא בביתו.
הוא עלה לארץ ישראל בשנת ה'תרפ"ד והתיישב בירושלים. עמד בקשרים עם הראי"ה קוק והרב אריה לוין. נפטר בכ"ז באדר ה'תרפ"ו (13 במרץ 1926) ונקבר בגוש הנביאים בבית הקברות הר הזיתים. על הלווייתו סיפר רבי אריה לוין:
צאצאיו.
לרב אלישיב נולדו בן ושלוש בנות. בתו הינדא נישאה לרב מרדכי פרבר משאוולי. בתו חיה מושא נישאה לרב אברהם אלישיב, שאימץ את שם חותנו בעת עלייתם לארץ. בנם הוא הרב יוסף שלום אלישיב. בתו שרה לאה נישאה לרב שלום צבי קרומינסקי, רב בויגאווה ובסוף ימיו בחיפה.
ספריו והגותו.