לאחר סיום השלב הממונע המהירות בציר x קבועה לכן ברור ש- formula_15 כאשר X הוא המרחק האופקי למטרה ומכאן formula_16 שווה ל- formula_17. התנועות בציר x וציר y בלתי תלויות ולפיכך האיברים לאורך האלכסון במקומות (1,2) ו- (2,1) הם 0. לצורך חישוב האיבר dVy/dy נבצע את הניסוי המחשבתי הבא: נניח כי משחררים ממנוחה כדור מגובה y אל הרצפה והוא נוחת על הרצפה כעבור זמן formula_5 . כעת נניח כי לוקחים כדור נוסף ומשחררים אותו בגובה נמוך יותר ב- ∆y ומשחררים אותו בו זמנית ביחד עם הכדור הראשון. ברור כי יש לשחרר אותו עם מעט מהירות אנכית מעלה (או מטה ∆y שלילי) אם על מנת ששניהם יפגעו בקרקע באותו זמן. מרגע שחרורם על שני הכדורים פועלת תאוצה אנכית זהה מטה g ולכן הפרש המהירויות או המהירות היחסית שלהם נותר קבוע. לפיכך על מנת ששניהם ינחתו באותו זמן צריך להתקיים ש- Vy או Vy ∆ יקיים
∆y = tf Vy*. לפיכך האיבר (2,2) במטריצה גם הוא 1/tf. לפיכך מטריצת Q המתאימה היא:
formula_19 כאשר tf = T-t ׁׁ(T הוא הזמן בו הטיל יגיע אל המטרה ו-t הוא הזמן הנוכחי)
והמשוואה הדיפרנציאלית המתארת את השתנות המהירות הדרושה להשגה היא:
formula_20.
חישוב מטריצת Q במקרה הכללי (של שדה היפוך ריבועי).
פיתוח מתמטי.
בחלק זה נציע אלגוריתם לחישוב איברי מטריצת Q במקרה הכללי של שדה היפוך ריבועי (Inverse square law).
נסמן את שתי שמורות התנועה (האנרגיה הכוללת והתנע הזוויתי) ב-E ו-L. מתקיים:
formula_21. כמו כן מתקיים בנקודות של המרחק המרבי והמינימלי מהמוקד: formula_22 . כך נקבל משוואה ריבועית שפתרונותיה הם המרחק המרבי formula_23 והמרחק הקטן ביותר formula_24 מהמוקד:
.formula_25
פתרונות המשוואה הם:
האקסצנטריות היא : formula_26 .
והלטוס רקטום (Latus Rectum) הוא: formula_27
חישוב שטח גזרה אליפטית:
משוואת אליפסה בקואורדינאטות פולריות היא: formula_28. לכן שטח גזרה אליפטית הוא (פתרון האינטגרל מסובך למדי ונציג כאן רק תשובה סופית):
formula_29 = formula_30 (formula_31 + formula_32.
תיאור האלגוריתם:
E ו-L במיקום הנתון של הטיל (עבורו יש לחשב את מטריצת Q) formula_33, מגדירים באופן חד חד ערכי את וקטור מהירות הטיל המתאים (גודלו וכיוונו). שני התנאים שהמסלול האליפטי חייב לעבור דרך מיקום המטרה formula_6, וזאת כעבור זמן formula_5, מאפשרים לבנות מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים E ו-L, אותם אפשר למצוא ובכך להגדיר את מהירות הטיל המתאימה formula_36 בהתאם לכללים הבאים: formula_37
ממשוואת האליפסה בקואורדינטות פולריות ניתן לחלץ את formula_38, כאשר formula_39 הוא הזווית עם הציר הראשי של האליפסה של וקטור מיקום הטיל, כך (שכן המרחק למוקד שהוא מרכז כדור הארץ ידוע): formula_40.
הזווית בין וקטור מיקום הטיל formula_33 לוקטור מיקום המטרה formula_6 נתונה ונסמנה formula_43, ולכן ניתן להביע את formula_44 בהתאם לזהות הטריגונומטרית: formula_45. הצבת formula_46 ו-l בביטויים ל-formula_38 ו-formula_48 ושימוש בעובדה ש-formula_49 (מרחק המטרה מהמוקד הוא רדיוס כדור הארץ) ובביטוי לאליפסה בקואורדינטות פולריות מאפשר להרכיב משוואה אחת עם E ו-L, ולחלץ ממנה את L כתלות ב-E. לאחר מכן ניתן להיעזר בתנאי השני על זמן המעוף formula_5 כדי למצוא את E ולאחר מכן למצוא את L, ובכך למצוא את וקטור המהירות המתאים formula_51.
לא נפרט כאן את האלגברה, אך בתום תהליך אלגברי ארוך הביטוי המתקבל ל-E כתלות ב-L מהתנאי הראשון הוא:
formula_52.
זהו למעשה התנאי לקשר בין E ו-L הדרוש כדי שמסלול פלנטרי בהשפעת כבידה (אליפטי) יעבור דרך שתי נקודות נתונות (כשהמוקד נתון).
כדי להכניס את זמן המעוף formula_5 למשוואות יש לחלק את שטח הגזרה האליפטית בקצב כיסוי השטח של הרדיוס וקטור (שכן לפי החוק השני של קפלר הרדיוס וקטור מכסה שטחים בקצב קבוע). קצב כיסוי השטח הוא formula_54. לפיכך מתקיים: formula_55.
במקרה של טילים בליסטיים ניתן להניח בקירוב טוב formula_56 (החלק הממונע של מעוף הטיל מתרחש ברובו כשהטיל עדיין קרוב מאוד לפני הקרקע), ובכך מתקבל formula_57 לכן: formula_58 (שכן האליפסה סימטרית מסביב לציר הראשי שלה). לכן במקרה של טילים בליסטיים הביטוי לאינטגרל בין הגבולות formula_39 ו-formula_60 מתפשט ל-:
formula_61
הדרך למצוא את איברי מטריצת Q היא נומרית. הניסיון מראה שמטריצת Q משתנה לאט מאוד, כך שרק מספר ערכים שלה המתאימים לחלקים שונים של שלב המעוף הממונע צריכים להישמר במחשב הטיל. דרך אחת היא להציב ערכים של L בביטוי לעיל ולקבל כך זוגות (E,L) מהם מפתחים את האקצנטריות ואת שאר הקבועים שבתנאי לזמן המעוף, ולאחר מכן מציבים את הקבועים ומוצאים את זמן המעוף. L צריך להיבחר כך
שיתקיים שהוא מסדר גודל של: formula_62 (כלומר שהטיל יעבור את המרחק בין שתי הנקודות על כדור הארץ בזמן formula_5, בהנחה שהוא נע בעקום גאודזי ביניהם). ניתן להציב כפולות רציונליות גדולות מ-1 של הגודל של L שמופיע לעיל (מונה המספרים הרציונליים נבחר לפי דרגת הקרבה הרצויה של זמן המעוף ל-formula_5) ולבחור את הכפולה עבורה מתקבל זמן מעוף קרוב ביותר ל-formula_5. לאחר מכן יש לבצע אותו תהליך לגבי מיקום מעט שונה של הטיל, ולמצוא את 9 הנגזרות החלקיות המתאימות. הדרך המעניינת והמאתגרת יותר, מבוססת על פיתוח אלגוריתמים יעילים להערכת הביטוי לזמן המעוף. אלגוריתמים כאלה צריכים למצוא קיצורי דרך אלגבריים בביטויים המתקבלים באמצעות הצבות מתאימות, ולהיעזר בשיטות איטרטיביות להערכת הביטוי לזמן המעוף. פיתוח כזה דורש ידע רב במתמטיקה טהורה. בימים הראשונים של הטילים הבליסטיים, כאשר המחשבים היו אנלוגיים, האתגר שעמד בפני המדענים שפיתחו את מערכת ההנחיה Q היה בפיתוח תהליך מתמטי יעיל להערכת הביטויים המתקבלים, כאלה שלא יעמיסו יותר מידי על מחשבי הטיל ויצריכו כח מחשובי רב מידי.
אסטרטגיות הנחיה.
אסטרטגיית הנחיה של טיל בליסטי תיקרא כך אם היא מהווה שיטה מסוימת לפיה יש לנהג וקטורית את הטיל כך שהמהירות הדרושה להשגה תתאפס, כלומר שכל רכיביה יתאפסו סימולטנית. אסטרטגיית הנחיה פשוטה תהיה להפעיל דחף מנוע תמיד בכיוון המהירות הדרושה להשגה. אם מציגים את הבעיה כ-"תנועה" לאורך "נתיב" במרחב המהירות, באופן שהתאוצה של הטיל תהיה "מהירות" הטיל ונגזרת המהירות הדרושה להשגה לפי הזמן תהיה מהירות ה-"מטרה", אזי אסטרטגיית הנחיה זו שקולה להנחיית מרדף, ולכן נקל לראות כי קיימות אסטרטגיות הנחיה טובות יותר.
ניתן ליישם את הגישה של ניווט יחסי למרחב המהירות ולקבל מסלול קצר יותר. לגישה כזו מספר יתרונות:
שערי החצר של משכן הכנסת
מעברות הירדן
מַעְבְּרוֹת הַיַּרְדֵּן הם אזורי מים רדודים בנהר הירדן שבהן ניתן לחצות ברגל את הנהר. בימים עברו, לאורך רוב ימות השנה, היו מי הירדן עמוקים ואי אפשר לעוברם מצד לצד, אלא רק במקומות שבהן הנהר רדוד ושטפו חלש ביותר.
במקרא ובתלמוד.
מעברות הירדן נזכרים בסיפור המרגלים ששלח יהושע ליריחו ב. ליד יריחו נמצאים חמישה מקומות בהם אפשר לחצות את הירדן ובחמישה מקומות אלו רדפו אחרי המרגלים ששלח יהושע. לעומת זאת, כאשר בני ישראל עברו את הירדן ממזרח למערב, כדי להיכנס לארץ כנען, פסקה זרימת המים בירדן בדרך נס ולא נזקקו למעברות הירדן.
למעברות נודע ערך רב מבחינה צבאית. במקרא נזכרת כמה פעמים תפיסת המעברות כדי למנוע מהאויב לנוס כמו בסיפור גדעון בו נזכרת חסימת המעברים על ידי בני אפרים, כדי למנוע מצבא מדין לברוח והשתלטות על המים "עַד בֵּית בָּרָה וְאֶת הַיַּרְדֵּן." (). מצודת דוד בפירוש לפסוק זה כותב: "ולכדו - רצה לומר, קחו המעברות מן הנחל אשר היה סמוך להם ועד בית ברה קחו ואף מעברות הירדן קחו, לבל יוכל לעבור המים".
פשיטות המדיינים על ארץ כנען נעשו דרך מעברות הירדן. הם חדרו פנימה לתוך צפון הארץ בתחילת המאה ה-12 לפנה"ס.
כמו כן נזכרות המעברות בסיפור אהוד בן גרא כאשר נחסמה דרכו של צבא מואב לאחר שאהוד בן גרא הרג את עגלון מלך מואב ב, לכידת מעברות הירדן מנעה מצבא מואב להימלט חזרה לארצו ולשקם את הצבא. ובסיפורו של יפתח הגלעדי ב, נחסמה דרכם של האפרתים.
אליהו הנביא הכה את מי הירדן באדרתו לפני שעלה בסערה השמיימה, והמים נסוגו, והוא ביחד עם אלישע עברו את הירדן בחרבה ().
על פי חז"ל נדרש המאמין, הרואה את מעברות הירדן לברך "שעשה ניסים לאבותינו במקום הזה".
בתקופת המשנה נוספו הספינות לחציה של הנהר. זוהי כנראה הספינה שמוזכרת בתלמוד כ"ספינת הירדן" (בבלי, שבת פ"ג, ע"ב). על ספינה זו נאמר "ממלאין אותה פירות ומולכין אותה מן הים אל היבשה ומן היבשה אל הים" (ירושלמי, שבת ד' א').
האתר בית עברה מזוהה עם המקום בו הטביל יוחנן המטביל את ישו הנוצרי (יוחנן א' כ"ח), אך מקום הטבילה המקובל על הנוצרים נמצא ליד יריחו.
מהתקופה הרומית עד המאה ה-20.
עד לתקופה הרומית לא היו גשרים בארץ ישראל והמילה גשר אינה מוזכרת בתנ"ך, חציית הירדן התבצעה רגלית בקיץ בעיקר ובמקומות שבהם אין הירדן עמוק והזרימה בו חלשה. בתקופת השלטון הרומי יחידת הצבא שהופקדה על המעברים הייתה הקוהורטה הכרתית השנייה.
השימוש במעבורות לחציית הירדן נמשך גם בתקופה הרומית כאשר בתקופה הביזנטית בארץ ישראל מופיע סוג חדש של מעבורת, ספינה הקשורה לחבל שמתוח משני צידי הירדן, הנוסעים היו נכנסים לספינה והספינה הייתה ככל הנראה נגררת מצד אחד של הנחל לצד שני, במפת מידבא מופיעות שתי מעבורות כאלו על גבי הירדן, סוג כזה של מעבורות נעלם במהלך ימי הביניים והופיע שוב בעת החדשה.