זהו בדיוק שטח החיתוך של חתך מישורי בגובה formula_4 עם כדור שרדיוסו formula_32 מעל המעגל הגדול שלו. לכן לפי עקרון קאוואליירי לחובק המפיות יש נפח זהה לנפח כדור זה, כלומר נפחו:
נשים לב כי נפח זה כלל לא תלוי ברדיוס הכדור, כלומר נפחם של כל חובקי המפיות מאותו גובה תמיד זהה, ללא קשר לגודל הכדור.
שטח תחת ציקלואידה.
נשתמש בעקרון קאוואליירי למציאת השטח הכלוא מתחת ציקלואידה. נניח כי הציקלואידה נוצרת על ידי מעגל מתגלגל ברדיוס formula_10. נמתח שני ישרים מקבילים אופקיים המשיקים למעגל. המעגל יכול להתגלגל בשני האופנים הבאים: הוא יכול להתגלגל ימינה על הישר התחתון בכיוון השעון, ויכול להתגלגל ימינה כנגד כיוון השעון על הישר העליון (המעגל נמצא תחת הישר העליון, ומתנהג כאילו הוא מתגלגל הפוך על תקרה). בשני המקרים נגלגל את המעגל חצי סיבוב. כל אחד מצורות הגלגול יוצרת ציקלואידה, ושתי הציקלואידות נפגשות בקצוות ויוצרות צורה סוגרה. לא משנה כיצד מגלגלים את המעגל, בשני המקרים לאחר שהוא יעבור זווית מסוימת הוא יימצא באותו מקום, ולכן מכיוון שהנקודות המתוות את הציקלואידה בשני המקרים התגלגלו אותה זווית, הן יהיו באותו הגובה. הקו המחבר את שתי הנקודות מקביל לשני הישרים עליהם מתגלגלים, ומכיוון ששתי הנקודות מצויות על המעגל המתגלגל, הישר המחבר אותן הוא מיתר במעגל המקביל לישרים. לכן לפי עקרון קאוואליירי השטח בין הציקלואידות שווה לשטח המעגל.
קיבלנו שהשטח בין הציקלואידות הוא formula_11. שטח המלבן החוסם את שתי הציקלואידות (המסגרת של האיור) הוא formula_36. כלומר השטח בין הציקלואידות הוא מחצית שטח המלבן. ומכאן שכל אחד מהחלקים במלבן שמעל ומתחת לציקלואידות, שטחיהם formula_37. נחבר את השטח שמתחת לציקלואידה התחתונה ונכפיל ב-2 כדי לקבל את השטח מתחת לציקלואידה שלמה (שכן אנו עסקנו עד כה רק בחצאי ציקלואידה). נקבל:
יעקב שרגא זינגר
יעקב שרגא פייבל זינגר (תרנ"ט, 1899 - ט"ז בתמוז תש"ב, 1 ביולי 1942) היה רבה האחרון של אוסטרובה (אוסטרוב מזובייצקה) הפולנית, נכדם של אדמו"רי אלכסנדר.
ביוגרפיה.
נולד לרב יצחק מאיר, רבה של אלכסנדר לודז'. אביו היה בנו של הרב אליהו אב"ד בפשיסחה ואחר כך רבה של קאליש וחתנו של רבי שמואל צבי דנציגר בעל ה"תפארת שמואל" מאלכסנדר. בילדותו התחנך אצל סבו האדמו"ר מאלכסנדר ובגיל 11 נשלח לקאליש ללמוד אצל סבו הרב זינגר. אצל סבו זה למד מלבד גמרא גם הלכה והוראה וכבר בבחרותו התפרסם כלמדן ותלמיד חכם. בגיל 18 התארס ליוטא, בתו של רבי יוסף קאליש, אז רבה של אוסטרוב ולימים האדמו"ר מאמשינוב ונישאו בשנת תרע"ז באוסטרוב.
בשנת תרע"ח נפטר רבי מנחם קאליש האדמו"ר מאמשינוב, ובנו רבי יוסף נקרא למלא את מקומו. הרב יעקב פייבל עזב יחד עמו לאמשינוב שם ישב ושקד על לימודו בהתמדה. את מקום חמיו ברבנות מילא רבי מאיר דן פלאצקי אשר נפטר בשנת תרפ"ח. שנתיים חיפשו תושבי העיר רב שימלא את מקומו ולא מצאו. באותם הימים הגיע רבי יוסף שכיהן כאדמו"ר מאמשינוב לביקור בעיר רבנותו לשעבר ואז הועלתה ההצעה לקחת את חתנו רבי יעקב פייבל לכהן כרב; בט"ו בשבט תר"צ הוכתר לרבה של אוסטרוב. הרב זינגר התמסר לקהילתו וניהל את העיר בחכמה על פי עצת חותנו.
בשואה.
בסוף שנת תרצ"ט החלו הנאצים להפציץ את העיר וכעבור שבוע נכנסו לעיר ומיד עם כניסתם רצחו חמישה עשר יהודים. הרב יעקב פייבל יחד עם כמה יהודים התעסקו בקבורתם והנאצים רצו להורגם בבית הקברות. בני המשפחה התחננו לנאצים והם שיחררו אותם חזרה לביתם. בראש השנה ת"ש לקחו הנאצים את הרב ואת מזכיר הקהילה והכריחו אותם לגזוז אחד לשני את זקנם ולאחר מכן התעללו בהם. הרב זינגר החליט לברוח לשטחים שהיו כבושים על ידי הרוסים אך לפני שהספיק נתפס שוב על ידי הגסטפו שדרשו ממנו להביא חמישה קילו זהב תוך 24 שעות. באותו לילה נמלט לזמברוב ומשם לסלונים (שהייתה אז כבר חלק מבלארוס בשליטת הרוסים) שם שהה אצל בן דודו רבי שלמה דוד יהושע וינברג האדמו"ר מסלונים (חתן דודו ה"עקידת יצחק").
בסלונים התאושש הרב זינגר והחל לדאוג לפליטי עירו ששהו בסביבה. הרב זינגר תכנן להימלט לווילנה שהייתה אז עצמאית בשלטון ליטא ושלח לשם את בנו הבכור הרב יחיאל מנחם למצוא דירה שם. בינתיים השתלטו הרוסים על וילנה ולאחר מכן בוטל ההסכם עם הנאצים ואלו האחרונים פתחו במבצע ברברוסה והשתלטו על סלונים. מיד עם הכיבוש החריבו הנאצים את העיר ורצחו יהודים רבים ביניהם רבה של העיר הרב יהודה לייב פיין. לאחר הרצחו של הרב פיין מילא הרב זינגר באופן לא רשמי את מקומו ברבנות וישב בוועד הקהל באופן קבוע, עזר בהספקה ועזרה לבני העיר והיה אחראי על ענייני הדת. בי"ד בתמוז תש"ב (29 ביוני 1942) החלו הנאצים לרצוח את יהודי העיר. הרב הסתתר עם אשתו ותשעת ילדיו אך למחרת הוצאו על ידי השוטרים הבלארוסיים ונשלחו לכלא ולמחרת בט"ז בתמוז נרצחו בשדרות צ'פלובה יחד עם יהודי העיר.
צאצאיו.
בנו הבכור, הרב יחיאל מנחם (תרע"ט - ו' בחשוון תשמ"ט) שנשלח לווילנה על ידי אביו, נמלט כמו יהודים רבים יחד עם חברו יצחק טופולה לשאנגחאי ולאחר המלחמה היגר לארצות הברית שם נישא לרחל, אחותו של חבירו (בני הרב ישראל יעקב טופולה אב"ד סדוונא). עבד במסחר ביהלומים. בסוף שנות ה-80 הוכתר על ידי קבוצה מחסידי אלכסנדר לאדמו"ר. הוציא את ספרי השושלת מחדש, "ישמח ישראל" ו"תפארת שמואל". לאחר פטירתו ממלא את מקומו בנו רבי יוסף יצחק מאיר. בן אחר הוא רבי אברהם ברוך האדמו"ר מוורקא-אלכסנדר, ראש ישיבת "תפארת שמואל" אלכסנדר בבורו פארק בארצות הברית.
2 Brothers On The 4th Floor
הוא הרכב יורודאנס הולנדי שנוסד בשנת 1990 והורכב מהזמרים רנה פיליפס (D-Rock) ודזירה מאנדרס (Des'Ray) בנוסף למפיקים המוזיקליים מרטין ובובי בור.
חלק מן השירים הנודעים והמצליחים ביותר של ההרכב כוללים את השירים "Never Alone", "" ו-"Come Take My Hand".
קריירה מוזיקלית.
ההרכב נוסד בשנת 1990 על ידי שני אחים – המפיקים המוזיקליים בובי ומרטין בור. הלהיט הראשון של ההרכב "Can't Help Myself" הצליח להביא את ההרכב למקום הרביעי במצעד הסינגלים ההולנדי. בתחילה, במהלך ההופעות החיות של הלהקה, שני האחים נהגו להופיע לצד הראפר "Da Smooth Baron MC" והזמרות פגי "הדוכסית" וגייל רובינסון. בשנת 1991 החלו האחים להופיע באופן קבוע עם הראפר רנה פיליפס (D-Rock) והזמרת דזירה מאנדרס (Des'Ray)
ההצלחה הרבה ביותר של ההרכב התרחשה בשנת 1994 כאשר ההרכב הוציא לשווקים את הסינגל "" אשר הגיע למקום הראשון במצעד הסינגלים ההולנדי.
בשנים הבאות ההרכב הוציא לשווקים מספר סינגלים שזכו להצלחה מעטה יחסית. משנת 1998, ההצלחה של הלהקה החלה לדעוך ובעקבות כך, בשנת 2002 הלהקה התפרקה.
בשנת 2008 הזמרת דזירה מאנדרס והראפר רנה פיליפס חזרו להופיע יחד.
ג'ון פוסטר (שחקן)
ג'ון פוסטר (באנגלית: Jon Foster; נולד ב-3 באוגוסט 1984) הוא שחקן ומוזיקאי אמריקאי ממוצא יהודי. התפרסם בין היתר מתפקידו בתור זאק קרוצ'וק בסדרה "במקרה בכוונה" ברשת CBS, ובשל השתתפותו בסרטים "דלת נסתרת", "להישאר בחיים" ו"רמפארט"; האחרון לצד אחיו, השחקן בן פוסטר.
ביוגרפיה.
נולד בבוסטון שבמסצ'וסטס, בנם של המסעדנים ג'יליאן וסטיבן פוסטר. אחיו הגדול, הוא השחקן בן פוסטר. בעודו תינוק, עבר עם משפחתו להתגורר בעיר פיירפילד, איווה, לאחר שביתם נשדד בעוד הם נכחו בבית. סבו וסבתו מצד אביו היו סיליה (לבית סיגל) ואברהם פרנק פוסטר, שופטת ופוליטיקאי בולט בבוסטון; שניהם יהודים שהיגרו לארצות הברית מהאימפריה הרוסית כמקום מפלט מפוגרומים נגד יהודים.
קריירה.
בשנת 2000, התגלה פוסטר לראשונה בדרמה הפוליטית "13 יום". ב-2001, הוא שיחק בסרט "החיים כבית". בשנת 2002, התפרסם בזכות תפקידו בדרמת הטלוויזיה "רצח בגרינוויץ'", בתור הרוצח מייקל שאקל.
ב-2004 שיחק לצידם של זוכי האוסקר ג'ף ברידג'ס וקים בייסינגר בדרמה "דלת נסתרת" ובתפקיד ראשי בסדרת דרמת הנעורים "החיים כמו שאנחנו מכירים".
ב-2006 לוהק לתפקיד הראשי הראשון שלו בסרט האימה "להישאר בחיים" והופיע בסדרת הדרמה "עלה נופל".
ב-2008 הופיע לצידם של כוכבי הקולנוע סיינה מילר ופיטר סארסגארד בדרמת הפשע "המסתורין בפיטסבורג" וגילם את ארט בשטיין, בן אינטליגנט של מאפיונר יהודי המסתבך במערכת יחסים ביסקסואליות.
ב-2009 כיכב לצידו של ראסל קרואו בסרט הפשע "הרכות שלפני החשיכה" ושיחק במותחן הפשע "לילות אל. איי" בתפקיד הצעיר גרהאם סלואן.
בשנים 2009–2010, כיכב לצד ג'נה אלפמן בקומדיית המצבים "במקרה בכוונה", בתפקיד השף זאק.
בשנת 2011, שיחק לצד אחיו בן בסרט "רמפארט".
בשנת 2013, כיכב בסרט "מיסטר ג'ונס", והתארח בפרק בסדרה "Suits".
חיים אישיים.
ב-20 ביוני 2015, נישא לצ'לסי טיילר, בתו של המוזיקאי סטיבן טיילר ואחותה של השחקנית ליב טיילר. יחד, פוסטר ואשתו צמד מוזיקלי בז'אנר הסול-אלקטרוני בשם " Kaneholler". ב-21 בפברואר 2020, נולד בנם הבכור של הזוג, וינסנט פרנק פוסטר.
גיסתו היא השחקנית לורה פריפון, שנשואה לאחיו הגדול, בן פוסטר.
חיים עזרא כהן
משה ינוקא
משה ינוקא (1932 – 17 במאי 2003) היה מראשוני המפקדים בחטיבת הצנחנים.
ביוגרפיה.