ב-1973 הוקמה אוניברסיטת קטר וב-1975 נפתח המוזיאון הלאומי של קטר, במקום שבו במקור היה ארמון השליט ב-1912. בקרבת דוחה נמצאת עיר החינוך המיועדת כולה למחקר ולהשכלה ונמצאים בה סניפים רבים של אוניברסיטאות אמריקניות כמו ג'ורג'טאון, ג'ון הופקינס ועוד.
דמוגרפיה ודתות.
רוב תושבי דוחה הם מוסלמים. הקתולים מהווים 90% מתוך מיעוט של 150,000 נוצרים. מאז 2008 הותר לבנות כנסיות בעיר, אך ללא סממנים נוצריים (כמו הצלב) מבחוץ. רוב המסגדים בדוחא הם מהזרם הסוני או המוואחידון.
רוב האוכלוסייה בדוחא היא של עובדים זרים, והאזרחים הקטרים מהווים מיעוט בעיר. החלק הגדול של האזרחים הזרים בקטר הוא ממדינות דרום אסיה, אך יש גם תושבים רבים ממדינות ערב במזרח התיכון וממזרח אסיה. בעבר לא הותר לאזרחים שאינם קטרים לרכוש קרקע, אולם כיום אזרחים זרים רשאים לקנות אדמות במספר אזורים בדוחה.
תחבורה.
בעיר שוכן נמל התעופה הבין-לאומי חמד שהוא שדה התעופה הבינלאומי היחיד בקטר. שדה התעופה הוא בסיס הפעולה המרכזי ומושב ההנהלה של חברת התעופה הלאומית של קטר, קטר איירווייז (القطرية). הוא החליף ב-2014 את נמל התעופה הישן של העיר, אשר נסגר ועתיד להיהרס.
החל משנת 2006 רשת של אוטובוסים ציבוריים ומוניות מסודרות החלו לפעול ברחבי העיר.
סלאוקוס
מחניים
מַחֲנַיִם הוא קיבוץ בצפון רמת כורזים, כשלושה ק"מ מצפון-מזרח לראש פינה, בתחום המועצה האזורית הגליל העליון.
היסטוריה.
אדמות מחניים נרכשו בשנת 1891 בידי אגודת "אהבת ציון" של חובבי ציון בגליציה לשם הקמת מושבה במקום. החברה מכרה מניות ולכל מאה מניות העניקה זכות התיישבות במקום בהגרלה לאחד הקונים. עוד טרם הקמת המושבה, הוצע לאגודת אהבת ציון ב-1898 להחליף את המושבה באדמות של הברון בחורן, לצורך הרחבת משמר הירדן.
בשנת 1898 התיישבו שם מספר משפחות מגליציה, בעיקר ממחוז בוצ'אץ' והסביבה, בראשות אברהם זאלץ וזכריה שפירא מטרנוב וקראו למקום על שם העיר המקראית מחניים שהייתה בגלעד בשם זה. לאחר תקופת התחלה לא קלה נתקבלו רישיונות לבניית הבתים, ונפתחה במקום חנות שמכרה לתושבים ולערביי הסביבה. בסוף שנת 1899 מפרסם העיתון חבצלת ידיעה : "22 בתים ורפתות במחניים" ומוסיף : "כל בית יהיה משני חדרים ובית-תבשיל, ורפת והגגות עשויים משופעים מזה ומזה ומכוסים ברעפי חרס". אנשי המקום נזקקו לתמיכה לצורך סיום בניית בתיהם ובחברה לתמיכת בני ישראל עובדי אדמה ובעלי מלאכה בסוריא ובארץ הקודש התלבטו האם יש למושבה זכות קיום ואם יש טעם לתמוך בה. בשנת 1901 נסגרה חברת אהבת ציון שהפסיקה לשלוח תמיכה לאיכרים והמושבה קרסה. בראש פינה הוקם ועד לסיוע לאנשי מחנים בעזרת כסף שהגיע מחוץ לארץ. בשנת 1903 נמכרה אדמת מחנים לחקלאי ראש פינה ומתיישבי מחנים פונו מבתיהם תמורת פיצויים. ניסיון ההתיישבות לא עלה יפה, בגלל חוסר התמצאות בתנאי הארץ, מחסור בהון וחוסר מקצועיות.
בהמשך היה ניסיון של יק"א ליישב במקום פועלים שיגדלו טבק וכן הביאו קבוצת מתיישבים מן הקווקז לעבד את האדמות ולגדל בה בעלי חיים. בשנת 1909 הקציב הוועד האודסאי 1,200 פרנק לצורך שכירת מורה עבור המתיישבים, בתקווה שהדבר יקשור אותם למקום, אולם לא נמצא מורה שימלא את התפקיד. בסופו של דבר גם יהודי הקווקז נטשו בשנת 1912 ובמקום ישבו אריסים ערבים של חקלאי ראש פינה. בזמן מלחמת העולם הראשונה בשנת 1916 עלתה למקום קבוצה של פועלים מפועלי ציון, להקמת יישוב פועלים ראשון בגליל העליון. בשנת 1922, מחניים הפך למושב עובדים וכעבור שש שנים נעזב שוב.
ב-23 במאי 1939 נבנתה מחניים בשלישית עם ייסודו של הקיבוץ הנוכחי על ידי חברי קיבוץ "יודפת" אנשי צפת. בשנת 1952 עבר משבר קשה על תנועת הקיבוץ המאוחד והיה פילוג בתנועה, עם הפילוג פרשו ממחניים חלק מן החברים. במקומם הגיע לקיבוץ גרעין של תנועת המחנות העולים. במהלך המחצית השנייה של המאה ה-20 הגיע לקיבוץ בכל שנה גרעין ובו כ-20 חברים מתנועת הנוער העובד והלומד במסגרת חוות הכשרה.
מדרום לקיבוץ נמצא שדה התעופה ראש פינה (המכונה גם "שדה התעופה מחניים"), המשמש לטיסות אזרחיות למרכז הארץ וכן כשדה חירום של חיל האוויר.
מצפון לקיבוץ זורם נחל מחניים הנקרא על שם הקיבוץ. ממערב לקיבוץ צומת מחניים ובו מרכז קניות קטן.
פונקציה הפיכה
במתמטיקה, פונקציה הפיכה היא פונקציה, אשר קיימת פונקציה נוספת שפעולתה הפוכה לזו של הראשונה, כך שכאשר שתי הפונקציות מופעלות בזו אחר זו על ערך כלשהו, מוחזר הערך שעליו הן הופעלו. בלשון מעט יותר פורמלית: הרכבתן של הפונקציות נותנת את פונקציית הזהות.
בקבוצה עליה לא מוגדר כל מבנה מתמטי נוסף, על מנת שניתן יהיה להפוך את פעולתה של פונקציה על ידי פונקציה אחרת, צריכים להתקיים שני תנאים: ראשית, הפונקציה שמבקשים להפוך צריכה להיות חד-חד-ערכית. זאת כי אם שני ערכים שונים מועתקים לערך יחיד, לא ברור לאן הפונקציה ההפוכה תעתיק ערך זה, וכל ניסיון לבחור ערך שרירותי יוביל לכך שהרכבת הפונקציה וההופכית שלה לא יתנו את פונקציית הזהות. ניתן לחשוב על כך בצורה זו: אם הפונקציה אינה חד-חד-ערכית, קיים איבוד של מידע בזמן הפעלת הפונקציה, ולכן לא ניתן לשחזר את פעולתה.
שנית, הפונקציה שאותה מבקשים להפוך צריכה להיות על הטווח שלה. זאת כי אנחנו רוצים להגדיר את הפונקציה ההופכית על טווח זה, מה שמחייב אותנו להגדיר אותה עבור כל ערך בטווח. אם הפונקציה אינה על, הרי שקיים איבר בטווח שלא מתקבל על ידה, ואז שוב לא ניתן להגדיר את ההופכית על ערך זה מבלי להגיע למצב שבו הרכבת הפונקציות אינה פונקציית הזהות. ניתן לחשוב על כך בצורה זו: אם הפונקציה אינה על, היא אינה מספקת מספיק מידע מלכתחילה כדי שניתן יהיה להגדיר לה הופכית על הטווח כולו. עם זאת, בעיה זו "חמורה פחות" מאשר מחסור בחד-חד-ערכיות, שכן תמיד ניתן לצמצם את תחום הגדרת ההופכית לקבוצת הערכים שמתקבלת על ידי הפונקציה (התמונה שלה) ובתחום זו הפונקציה הפיכה.
הגדרה פורמלית.
תהי formula_1 פונקציה חד-חד-ערכית ועל. אז קיימת פונקציה formula_2 שנקראת ההופכית שלה, כך שמתקיים:
לכל פונקציה הפיכה קיימת פונקציה הופכית יחידה, מה שמצדיק את השימוש בביטוי "ההופכית" (ואת הסימון בו נקטנו עבורה). כמו כן, כל פונקציה הפוכה גם היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל. הרכבת שתי פונקציות הפיכות מחזירה פונקציה הפיכה ולכן אוסף כל הפונקציות על קבוצה formula_4 היא חבורה המכונה החבורה הסימטרית של formula_4. אם קיימת פונקציה הפיכה מהקבוצה formula_4 אל הקבוצה formula_7 נאמר של-formula_4 ול-formula_7 יש את אותה עוצמה. כיוון שקיום פונקציה הפיכה בין formula_4 ל-formula_7 מחייב קיום של פונקציה הפיכה בכיוון ההפוך וכן בגלל שהרכבת פונקציות הפיכות היא הפיכה - זהו יחס שקילות.
יש לשים לב כי משתמשים בסימון formula_12 גם כדי לתאר את המקור של קבוצה על ידי הפונקציה formula_13, וסימון זה נהוג גם כאשר הפונקציה אינה הפיכה. כאשר הפונקציה היא הפיכה סימון זה מתלכד עם המשמעות שהוצגה כאן: המקור של קבוצה על ידי formula_13 הוא בדיוק תמונת אותה קבוצה על ידי formula_15. מסמנים גם formula_16.
נגזרת של פונקציה הפיכה.
את הנגזרת של הפונקציה ההפיכה אפשר לחשב גם בלי להפוך את הנגזרת ישירות, לפי המשפט הבא:
משפט: תהי formula_31 פונקציה הפיכה ורציפה בסביבת formula_32, גזירה בה ומקיימת formula_33. אזי formula_34 גזירה בנקודה formula_35 ונגזרתה בה היא:
לדוגמה, עבור הפונקציה formula_37 נבחר נקודה formula_38. בפונקציה ההפוכה קיימת נקודה formula_39. כלומר: formula_40
הנגזרת של formula_41 בנקודה formula_42 היא formula_43, ולכן
formula_44.
נוכל לנסח את המשפט גם לפי כתיב לייבניץ שעשוי להקל על זכירתו:
פונקציה הופכית
מורוני
מורוני (בערבית: موروني) היא העיר הגדולה ביותר באיי קומורו. משנת 1958 שימשה כבירת הקולוניה הצרפתית קומורו, והחל משנת 1975, בירת המדינה העצמאית.
היסטוריה.
העיר נוסדה על-ידי מתיישבים ערבים, ככל הנראה במהלך המאה ה-10. לאחר העצמאות, העיר גדלה בקצב מהיר. בשנת 1990 התגוררו בעיר כ-23,400 תושבים ובשנת 2013 התגוררו בעיר כ-81,329 תושבים. המוסלמים הסונים מהווים 98% מהאוכלוסייה, ויש מיעוט של קתולים. ערבית וצרפתית הן השפות הרשמיות, כאשר אחת השפות המדוברות ביותר היא קומורית.
כלכלת העיר מבוססת בעיקר על מסחר, תיירות ועל ייצור של מוצרים רבים כגון קקאו וקפה.
מורוני ממוקמת על החוף המערבי של האי גרנד קומורו לחוף מצר מוזמביק. בעיר נמצא הנמל הראשי של איי קומורו וכן שדה התעופה הבינלאומי מורוני האהאיה. העיר ערבית באופייה ויש בה מספר מסגדים.
לבוש
משחק (פירושונים)
משחק (תורת המשחקים)
אן דן דינו
אן דן דינו הוא משחק ספירה, המשמש (בעיקר) ילדים כדי לקבל החלטות. זהו שיר משחק, בעל מספר הברות גדול. בכל הברה מצביע הילד המבצע את השיר על אחת מהאפשרויות העומדות בפניו, לפי סדר קבוע. מכיוון שרוב הילדים אינם סופרים את מספר ההברות בשיר, וייתכן שאינם יודעים לחשב שארית, הילדים מתייחסים לתוצאת השיר כאל מעין הגרלה אקראית, אף כי יש מהם שיעמדו על שארית השיר בחלוקה בשתיים בטרם יחדלו להשתמש בו לביצוע הגרלות, ויעברו לכלים אקראיים יותר כגון אבן נייר ומספריים.
לעיתים הופך משחק העזר למשחק בפני עצמו, כאשר הילדים חוקרים את אקראיות תוצאת משחק הספירה. משחק ספירה המתאים לכך במיוחד הוא המשחק קווה קווה דה לה אומה.
המילים.