רגרסיה לוגיסטית היא מודל סטטיסטי המתאר קשר אפשרי בין משתנה איכותי/קטגורי, המכונה "המשתנה המוסבר", ובין משתנים אחרים המכונים "משתנים מסבירים". המשתנים המסבירים יכולים להיות איכותיים או כמותיים. המודל מאפשר לאמוד את מידת ההשפעה של שינוי בערכו של כל אחד מהמשתנים המסבירים על ערכו של המשתנה המוסבר. במילים אחרות, המודל מאפשר לאמוד מתאמים בין המשתנים המסבירים למשתנה המוסבר. המודל לבדו אינו מספיק כדי לקבוע קשר סיבתי בין המשתנים המסבירים והמשתנה המוסבר.
מודל הרגרסיה הלוגיסטית הוא מקרה פרטי של המודל הליניארי המוכלל.
היסטוריה.
מקורותיה של ההתפלגות הלוגיסטית, המהווה את הבסיס למודל הרגרסיה הלוגיסטית הם במאה ה-19. מקורה במשוואה דיפרנציאלית שתיארה מודל לגידול באוכלוסייה, וגם מודלים של ריאקציות כימיות. הסטטיסטיקאי הבלגי אדולף קטלה הבחין כי הפתרון שנמצא למשוואה הנ"ל מוביל לערכים בלתי אפשריים והציע משוואה מתוקנת שכללה פונקציית התפלגות. פונקציית ההתפלגות שהתגלתה בפתרון המשוואה המתוקנת נקראה בשם ההתפלגות הלוגיסטית.
הרעיון הבסיסי של מודל הרגרסיה הלוגיסטית היא כי בהינתן משתנה איכותי (הנמדד בסולם מדידה שמי) המקבל שני ערכים, הערך של משתנה זה נקבע על ידי משתנה נסתר שהתפלגותו היא התפלגות לוגיסטית. מקורו של רעיון זה הוא בניסיונות של קרל פירסון לפתח מקדם מתאם למשתנים איכותיים, כאשר הנחתו הייתה כי ערכם של המשתנים האיכותיים נקבע על ידי משתנה נסתר בעל התפלגות נורמלית. סיר דויד קוקס אימץ את הרעיון הזה ופיתח על פיו את מודל הרגרסיה הלוגיסטית שהציג ב-1958.
מוטיבציה.
יהי formula_1 משתנה איכותי המקבל ללא הגבלת הכלליות שני ערכים: 1 ו-0, ויהי formula_2 משתנה מסביר כלשהו.
כדי לבנות מודל לקשר אפשרי בין formula_1 ובין formula_2 נניח מספר הנחות:
כן נניח למען הפשטות כי formula_2 הוא משתנה בדיד.
נסמןformula_20 ולכן formula_21.
על פי ההנחה הראשונה אודות הקשר בין formula_1 ובין formula_5 נקבל כי
formula_24
על פי ההנחה השנייה אודות הקשר בין formula_2 ובין formula_5 נקבל כי
formula_27
על פי ההנחה השלישית אודות ההתפלגות של formula_16 נקבל כי
formula_29
ולכן
formula_30
תאוריה.
הגדרה פורמלית.
יהי Y משתנה מקרי בינארי המקבל ללא הגבלת הכלליות את הערכים 0 ו-1, ויהי formula_2 משתנה מקרי רב ממדי formula_32. נסמן: formula_33 ו- formula_34.
מודל הרגרסיה הלוגיסטית הוא
formula_35
הטרנספורמציה formula_36 מכונה טרנספורמציית לוגיט.
אמידה.
בהינתן מדגם בגודל formula_37, יהיו formula_38 ו-formula_39 הערכים הנצפים של התצפית ה-formula_40.
נסמן את הפרמטרים של המודל ב-formula_41. מאחר שההתפלגות של formula_38 היא התפלגות ברנולי עם הסתברות להצלחה formula_43, נקבל כי הנראות (likelihood) של התצפית ה-formula_40 היא formula_45,
ולכן formula_46.
מכאן נקבל כי לוג פונקציית הנראות הוא formula_47,
ולכן אומד הנראות המקסימלית ל-formula_48 הוא formula_49.
בדרך כלל לא ניתן למצוא את המקסימום של לוג פונקציית הנראות באופן אנליטי ויש להשתמש בשיטות נומריות כדי לחשב את ערכו של formula_50.
פרשנות.
למען הנוחות, נתייחס למודל עם משתנה מסביר אחד:
formula_51.
יישומים.
לרגרסיה לוגיסטית יש מספר יישומים אפשריים.
דוגמה.
לצורך פיתוח שיטה לזיהוי של גידולים בשד כשפירים או סרטניים נדגמו 569 גידולים שסווגו כשפירים או סרטניים, ונאספו נתונים על התאים שבכל גידול.
לצורך הדוגמה נשתמש בארבעה נתונים מתוך כל הנתונים שנאספו. כל הנתונים הם ממוצעים של מדידות ממדגם של תאים מתוך כל גידול:
הנתונים נותחו בעזרת הפונקציה glm של תוכנת R.
אמדני הפרמטרים formula_48 נתונים בטבלה הבאה:
ניתן לראות כי כל האמדנים של ערכי formula_48 הם מובהקים סטטיסטית (כל ערכי ה-p קטנים מ-0.001), כלומר שונים באופן מובהק מאפס. אמדני הפרמטרים (הנמצאים בעמודת Estimate) המתאימים למרקם (texture) ולהיקף (perimeter) חיוביים, ומכאן שככל שערכיהם גבוהים יותר כך ההסתברות כי התא הנבדק סרטני גדולה יותר. לעומת זאת המקדם המתאים לשטח הפנים של התא שלילי, ומכאן שככל ששטח הפנים גדול יותר ההסתברות כי הגידול סרטני נמוכה יותר.
פרשנות האמדנים ליחסי הסיכויים (OR) ורווחי הסמך שלהם נתונים בטבלה הבאה:
(הערה: רווחי הסמך חושבו בעזרת שיטת הדלתה שאינה זמינה בפונקציית glm של R).
יחס הסיכויים הגבוה ביותר התקבל עבור משתנה ההיקף (OR=1.591), ומכאן שמבין שלושת הפרמטרים שנבדקו הקשר בינו ובין היות הגידול סרטני או שפיר הוא החזק ביותר. יש גם קשר חזק יחסית (OR=1.279) בין משתנה המרקם ובין סוג הגידול. יחס הסיכויים שבין שטח הפנים וסוג הגידול קרוב למדי לערך 1, ולא ברור אם יש לו משמעות רפואית.
אנודונטוזאורוס
אנודונטוזאורוס (שם מדעי: Anodontosaurus; מילולית: "לטאה חסרת שיניים") הוא סוג של דינוזאור ממשפחת האנקילוזאוריים שחי בתקופת קרטיקון עליון, לפני 67–72.8 מיליון שנה.
מאובניו של אנקילוזאור זה התגלו בתצורת קניון הורסשו (Horseshoe Canyon Formation) שבאלברטה, קנדה. המין "Anodontosaurus lambei" התגלה כבר ב-1929 וקיבל את שמו מהחוקר צ'ארלס מורטרם שטרנברג. הוא נחשב למין היחיד בסוג עד שב-2018 חוקרים מצאו מין נוסף - "Anodontosaurus inceptus".
הדינוזאור היה קרובו של האאופלוצפלוס והיה בינוני בגודלו למשפחה עם זנב מחודד בעל קצה דמוי אלה וראש משוריין בכבדות עד לעיניו שכוסו בגבשושיות דמויות-צלחת. חוקרים מסוימים משערים שהפרטים שנמצאו הם של צעירים. בניגוד לשמו לא ברור אם האנודונטוזאורוס היה אכן חסר שיניים או שאלה נשברו ולא הפכו למאובנים.
קונסטנס
קונסטנס ידוע גם כ"קונסטנס הראשון" ובשמו המלא פלביוס יוליוס קונסטנס אוגוסטוס (Flavius Julius Constans Augustus) היה שליט רומא , ונשא בתואר אוגוסטוס משנת 337 עד לשנת 350. הוא היה חלק משושלת הקיסר קונסטנטינוס, הגדול ושלט באימפריה הרומית ביחד עם אחיו קונסטנטיוס השני וקונסטנטינוס השני. השלטון המשותף לא האריך ימים, סכסוך בין קונסטנס לקונסטנטינוס השני הסתיים בניצחונו של קונסטנס, שביסס את שלטונו בחלק המערבי של האימפריה, אך אכזריותו וקוצר רוחו קוממו עליו את הלגיונות, שהכתירו אוגוסטוס חדש והרגו את קונסטנס.
קורות חייו.
קונסטנס נולד באיטליה בשנת 320. בנו השלישי והצעיר של הקיסר קונסטנטינוס הגדול ואשתו פאוסטינה. בשנת 333 קיבל קונסטנס את התואר קיסר מאביו. עם מותו של קונסטנטינוס התחולל מאבק איתנים על הירושה ובעיקר על השלטון בין צאצאי הקיסר.
עלייתו לשלטון.
אף על פי שהמקורות של התקופה לא מצביעים על היוזם של מרחץ הדמים כאין ספק כי הוא (ואחיו בניו של קונסטנטינוס הגדול) היו המנצחים והמרוויחים הגדולים מתוצאותיו. אין ספק כי קונסטנטיוס השני היה מעורב בעקיפין או ישירות בטיהור במטרה להסיר איומים פוטנציאליים על שלטונו. בטבח נרצחו שניים מדודיו ו 6 מבני דודיו ובהם חניבליאנוס (Hannibalianus) גיסו של קונסטנס מנישואים לאחותו קונסטנטינה ובסופו נותרו בחיים 3 האחים ו3 מבני דודיו קונסטנטיוס גאלוס (Constantius Gallus), יוליאנוס הכופר ונפוטיאנוס (Nepotianus). ככל הנראה גילם הצעיר של הניצולים ומעמדם השולי בהיררכית הכוח הרומאית מנעו את הצורך להוציאם להורג.
מינוי לאוגוסטוס.
משהתגבשה אחיזתם בשלטון קונסטנס ואחיו נפגשו בעיר סירמיום זמן קצר לאחר מכן וסיכמו על חלוקת שטחי האימפריה ביניהם. קונסטנטיוס קיבל את הפרובינציות המזרחיות ובהן תרקיה, סוריה ומצרים וקבע את מושבו בקונסטנטינופול. קונסטנטינוס השני קיבל את השליטה על בריטניה וגאליה היספניה והיה עוצר לקונסטנס שרשמית שלט על איטליה אפריקה איליריקום פאנוניה ומקדוניה.
מאבק וניצחון על קונסטנטינוס השני.
למרות החלוקה הברורה של השלטון ולמרות הכוח היחסי שניתן לקונסטנטינוס השני הוא לא הסתפק בנכסים שבידיו, הוא ראה עצמו כשליט הבכיר בשלישייה ופעל לדחוק את רגליו של קונסטנס. בשנת 340 יצא צבא בפיקודו של קונסטנטינוס השני ופלש מגאליה אל צפון איטליה במטרה לתפוס את השלטון על איטליה ואפריקה. הצבאות של האחים נפגשו בסמוך לעיר אקוויליה, צבאו של קונסטנטינוס השני נכנס למארב ורובו הושמד, קונסטנטינוס עצמו נהרג וגופתו הושלכה לנהר. קונסטנס ניצל את ההזדמנות ובמהלך מהיר וללא התנגדות נטל את השלטון על כל האימפריה המערבית. כאשר הסופר הרומאי ליבאניוס רצה לכתוב שיר הלל לקיסרים לבית קונסטנטינוס הוא התקשה למצוא זכר לקונסטנטינוס השני ברשומות הרשמיות, כאילו מעולם לא היה קיים וזכרו נמחה כמעט לחלוטין.
קונסטנס קבע את מושבו בעיר טריר וממנה ערך מסעות מלחמה כנגד פולשים גרמאניים מעבר לריין. היסטוריונים רומאיים מתארים את קונסטנס כאימת אלמאניים ומאדירים את שמו כמי שפלש לבריטניה אך ייתכן ויש הגזמה בתיאורים אלו, ההיסטוריה מתעדת קרב מכריע מול הפרנקים ופשיטה מינורית אל בריטניה שלא השיגה תוצאות טריטוריאליות או אחרות.
נפילתו.