קריירה.
אסטס היא פסיכואנליטיקאית יונגיאנית מוסמכת. את הדוקטורט שלה קיבלה בשנת 1981 מ-Union Institute &amp; University, והוא עוסק בדפוסים חברתיים ופסיכולוגיים של חברות שבטיות. כמו כן, פינקולה אסטס משמשת, לעיתים קרובות, כדוברת קהילות המיעוטים באוניברסיטאות (עדכנית ל-2019). אסטס כתבה מספר ספרים העוסקים במגדר או שבטיות, וספריה פורסמו ב-37 שפות. הספר שלה, "Women Who Run With the Wolves: Myths and Stories of The Wild Woman Archetype", היה ברשימת רבי המכר של ה-"'New York Times" במשך 145 שבועות, כמו גם ברשימות רבי מכר אחרות, כגון USA "Today, Publishers Weekly, and Library Journal."
התמחות בפוסט-טראומה.
אסטס מתמחה בטיפול בפוסט טראומה. את התמחותה החלה אסטס בשנות ה-60 בבית החולים, Edward Hines Jr. Veterans Administration שב-Hines, Illinois. שם עם חיילים שלחמו בווייטנאם, במלחמת העולם הראשונה והשנייה, שאיבדו את גפיהם. היא עבדה במקומות נוספים וטיפלה באנשים רבים שחוו סוגים שונים של פוסט טראומה. אסטס התמחתה בתחום העוסק בעזרה לילדים שהתמודדו עם אובדן של בן משפחה.
בנוסף, אסטס לימדה על כתיבת סיפורים וסיפורי רפואה מסורתיים בבתי כלא, החל משנות השבעים בבית כלא של גברים בקולורדו, בכלא הנשים הפדרליות בדבלין, קליפורניה, במתקן מונטוויו לנוער בקולורדו, ובמוסדות סגורים אחרים.
בתור מי שעוסקת ומאמינה ברפואה המסורתית המשלבת מנהגים ממספר תרבויות וגישות רפואיות שונות, אסטס יחד עם מאיה אנג'לו וקורטה סקוט קינג מהוות את חבר המנהלים של מרכז מאיה אנג'לו לשוויון רפואיי (Maya Angelou Center for Health Equity). אחד מהפרויקטים הגדולים של הקרן לשוויון רפואי היה ללמד חולים לתעד את ימיהם ואת סיפורם הרפואי במצלמה. הטכניקה לתיעוד סיפור חייהם נלמדה על ידי אסטס, שהיא עצמה מספרת סיפורים, ועל ידי מיכאל קנינגהאם, מחבר הספר כתרים, דיוקנאות של נשים שחורות בכובעי כנסייה. הפרויקט של הקרן לשוויון רפואי נקרא - voca voice, ואירוע השיא של פרויקט זה היה כשהוצג בתערוכת צילום בווינסטון סלאם, צפון קרוליינה.
פרסים.
פינקולה אסטס זכתה בפרסים רבים. ראשית, בשנת 1992 זכתה בפרס ספר השנה מאת איגוד מוכרי הספרים האמריקאים (באנגלית: American Booksellers Association) וזכתה בפרס חבר הסופרים של קולורדו בשנת 1993. בשנת 1994 זכתה בפרס "השומרת על החוק" (Keeper of the Lore Award) ע"ש ג'וזף קמפבל אשר ניתן לה עבור יצירתה "זמרת הפולק" (בספרדית: la cantadora). כמו כן, באותה שנה היא זכתה בפרס עיתונות הארגון הקתולי (באנגלית: Catholic Press Association) ובפרס מדליית הנשיא לעשייה חברתית. לאחר מכן, ב-1995 זכתה פינקולה אסטס בפרס "הגרדיבה" (באנגלית: the gradiva award) מאת הארגון הלאומי לפסיכואנליטיקה מתקדמת (באנגלית: The National Association for Advanced Psychoanalysis). כמו כן, אסטס היא זוכת הפרס "הראשונה מסוגה" (באנגלית: the first of her kind award) שניתן לה על ידי ארגון הנשים המקסיקניות-אמריקאיות (באנגלית: the Mexican American Women Foundation) ב-2006. לבסוף, באותה שנה אסטס נכללה ברשימת "היכל התהילה של נשות קולורדו" (באנגלית: Colorado Women's Hall of Fame) בו כלולות נשים בעלות השפעה בינלאומית כדוגמת מדליין אולברייט וגולדה מאיר.
פועלה למען צדק חברתי.
אסטס עורכת את TheModeratevoice.com, אתר חדשות ופוליטיקה בו היא גם כותבת אודות בעיות תרבותיות, הליכי נפש ופוליטיקה. בנוסף, היא כותבת טורים בנושאים כגון צדק חברתי, רוחניות ותרבות, אשר מתפרסמים גם בוושינגטון פוסט עדכנית ל-2019.
אסטס יוצאת דופן בטענתה כי התבוללות וגם אחיזה בתרבות אתנית ספציפית הן דרכים לתרום לחברה. היא סייעה בהצלחה לעתור לספריית הקונגרס, כמו גם למוסדות פסיכואנליטיים ברחבי העולם, כדי שישנו את שם לימודיהם וקטגוריזציות שנקראו בעבר, בין השאר, "פסיכולוגיה של הפרימיטיבים", לתארים מכובדים אשר הולמים את ממדיה של כל חברה נחקרת.
בנוסף לכך, אסטס היא בעלת עמותה אשר פועלת למען קידום תנאי חייהם של חברות עולם שלישי רבות. מבין פעולותיהם המרכזיות, העמותה מממנת פרויקטים של תרגום אגדות, סיפורים, הוראות היגיינה ועוד לשפות מקומיות של חברות נזקקות. טקסטים אלו בהמשך משמשים כבסיס ללימוד קריאה וכתיבה.
אסטס מעורבת ברפורמות בחינוך, רפואה, מיגור אלימות בבתי ספר, בריאות הילד, בריאות נפשית, סביבה, הגירה ורפואה ציבורית.
פולינום סימטרי אלמנטרי
באלגברה, הפולינומים הסימטריים האלמנטריים הם סוג אפשרי של אבני בניין של פולינומים סימטריים, במובן שכל פולינום סימטרי ניתן לביטוי כפולינום בפולינומים הסימטריים האלמנטריים. ישנו פולינום סימטרי אלמנטרי אחד ממעלה "d" ב-"n" משתנים בעבור כל מעלה שמקיימת "d" ≤ "n", והוא נוצר על ידי חיבור כל המכפלות האפשריות של "d" משתנים שונים מתוך האוסף של "n" משתנים.
הגדרה.
הפולינומים הסימטריים האלמנטריים ב-"n" משתנים "X"1, …, "X""n", שנסמנם ("e""k"("X"1, …, "X""n"
בעבור "k" 0, 1, …, "n", מוגדרים כך:
formula_1
וכך הלאה, עד הפולינום האלמנטרי האחרון:
formula_2
באופן כללי, עבור k" ≥ 0, מגדירים:
formula_3
כך ש-"e""k"("X"1, …, "X""n") 0 אם "k" &gt; "n".
לכן, בעבור כל שלם אי-שלילי "k" הקטן או שווה ל-"n" ישנו בדיוק פולינום סימטרי אלמנטרי אחד ממעלה "k" ב-"n" משתנים. כדי ליצור את הפולינום האלמנטרי ממעלה "k", יש לקחת את הסכום של כל המכפלות של תת-קבוצות בעלות "k" איברים שונים של קבוצת המשתנים המקורית (בשונה מכך, אם מבצעים את אותה פעולה באמצעות מולטי-קבוצות של משתנים, כלומר על ידי בחירה עם חזרות של משתנים, אז מקבלים את הפולינום ההומוגני השלם ממעלה "k" ב-"n" משתנים).
דוגמאות.
להלן רשימה של כל הפולינומים הסימטריים האלמנטריים בעבור מספר משתנים בין אחד לארבע (בכל מקרה, "e"0 1 הוא גם אחד הפולינומים):
בעבור "n" 1:
בעבור "n" 2:
בעבור "n" 3:
בעבור "n" 4:
תכונות.
הפולינומים הסימטריים האלמנטריים מופיעים כאשר מפתחים פירוק לגורמים ליניאריים של פולינום במשתנה אחד; ישנה הזהות:
formula_8
כלומר, כאשר מציבים ערכים מספריים במשתנים "X"1, "X"2, …, "X""n" מקבלים את מקדמי הפולינום ששורשיו הם הערכים שהוצבו עבור "X"1, "X"2, …, "X""n". הקשרים בין השורשים למקדמים של הפולינום נקראים נוסחאות ויאטה.
הפולינום האופייני של מטריצה ריבועית הוא דוגמה ליישום של נוסחאות ויאטה. השורשים של הפולינום הזה הם הערכים העצמיים של המטריצה. כאשר מציבים את הערכים העצמיים הללו בפולינומים הסימטריים האלמנטריים מקבלים, עד כדי סימן, את המקדמים של הפולינום האופייני. למשל, העקבה של המטריצה (סכום האיברים על האלכסון הראשי) הוא הערך של "e"1, ולפיכך הוא גם סכום הערכים העצמיים שלה - או העקבה של הצורה האלכסונית של המטריצה. בדומה לכך, הדטרמיננטה היא, עד כדי סימן, האיבר הקבוע של הפולינום האופייני; כלומר היא שווה ל-"e""n". לכן הדטרמיננטה של מטריצה היא מכפלת הערכים העצמיים.
האוסף של פולינומים סימטריים אלמנטריים ב-"n" משתנים יוצר את חוג הפולינומים הסימטריים ב-"n" משתנים. באופן פורמלי יותר, חוג הפולינומים הסימטריים עם מקדמים שלמים שווה לחוג הפולינומי ℤ["e"1("X"1, …, "X""n"), …, "en"("X"1, …, "X""n")] (ראו למטה בעבור קביעה כללית והוכחה). עובדה זאת היא אחת מהיסודות של תורת האינווריאנטים.
המשפט היסודי של פולינומים סימטריים.
בעבור חוג חילופי "A", נסמן את החוג של פולינומים סימטריים במשתנים "X"1, …, "X""n" עם מקדמים ב-"A" על ידי "A"["X"1, …, "X""n"]"Sn". לפי המשפט היסודי של פולינומים סימטריים, זהו חוג פולינומי ב-"n" הפולינומים הסימטריים האלמנטריים "ek"("X"1, …, "X""n") בעבור "k" 1, …, "n".
הוכחה.
את המשפט ניתן להוכיח בעבור פולינומים הומוגניים סימטריים באמצעות אינדוקציה כפולה ביחס למספר המשתנים "n" וביחס למעלת הפולינום (צעד האינדוקציה ביחס למעלה נעשה כאשר "n" נלקח כקבוע). המקרה הכללי יותר של פולינום סימטרי אי-הומוגני מתקבל מהמשפט היסודי דרך פירוק הפולינום הסימטרי למרכיבים ההומוגניים שלו (שהם בהכרח סימטריים בעצמם).
במקרה "n" 1 התוצאה מובנת מאליה כי כל פולינום במשתנה אחד הוא בהכרח סימטרי. לכן בסיס האינדוקציה מתקיים.
נניח כעת שהמשפט הוכח בעבור כל הפולינומים ב-"m" &lt; "n" משתנים ובעבור כל הפולינומים הסימטריים ב-"n" משתנים ממעלה קטנה מ-"d". כל פולינום סימטרי הומוגני "P" ב-"A"["X"1, …, "X""n"]"Sn" ניתן לפירוק כסכום של פולינומים הומוגניים סימטריים באופן הבא:
כאן "החלק הלקוני" "P"lacunary מוגדר כסכום כל המונומים של "P" אשר הגורמים שלהם נלקחים מתוך תת-קבוצה חלקית של "n" המשתנים "X"1, …, "X""n", כלומר, כל המונומים אשר לפחות משתנה אחד "X""j" חסר בהם.