כדי למצוא את שורשי משוואה (1), עלינו להיפטר מהביטוי הריבועי formula_27, באמצעות ההצבה הבאה:
(2) formula_28.
לאחר הצבה נקבל:
(3) formula_29 .
לאחר פתיחת סוגריים ופישוט משוואה (3), נקבל את משוואה (4):
(4) formula_30 .
משוואה מספר (4) נקראת "משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית" כיוון שהמקדם של formula_31, שווה 0 (אפס). הבאת המשוואה לצורתה המנוונת מקלה על פתרונה ומציאת שורשיה.
כעת, נחלק את המשוואה ב-a, בהניחנו כי formula_32 .
נקבל את המשוואה:
formula_33 .
כעת נגדיר:
formula_34, formula_35 ונקבל את משוואה (5) :
(5) formula_36 .
כעת נשתמש בהמרת וייטה ונגדיר:
(6) formula_37 .
לעת עתה, הקבוע s אינו מוגדר.
נציב את משוואה (6) בתוך משוואה (5) (כאמור, משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית), ונקבל:
(7) formula_38 .
לאחר פתיחת סוגריים והכפלת שני צדי המשוואה ב- formula_39, נקבל את המשוואה הבאה:
(8) formula_40 .
כעת, יהי formula_41 .
כעת, הקבוע s מוגדר, ומבוטא באמצעות e (הוגדר קודם לכן, במשוואה (4)). נוסף לכך, משוואה (8) מפושטת לכדי משוואה תלת-ריבועית:
(9) formula_42 .
כעת נגדיר קשר נוסף: formula_43, אשר לאחר הצבתו במשוואה (9), תיוותר לנו המשוואה הריבועית הכללית הבאה:
(10) formula_44 .
כעת ניתן לפתור על נקלה משוואה ריבועית זו. לאחר פתרונה, יש לזכור "לחזור אחורה" מבחינת ההצבות שביצענו, על פי הסדר הבא:
formula_45 .
זאת, על מנת לקבל את שורשי המשוואה (מהמעלה השלישית) המקורית, המיוצגת על ידי x.
תזכורת: הנחנו כי:
(11) formula_43
[6] formula_37
(12) formula_41
[2] formula_28
הסבר אודות הפתרונות שיתקבלו.
פתרון משוואה (10), שהיא משוואה ריבועית - יניב שני ערכי w.
פתרון משוואה (11), עבור כל אחד משני שורשי w שקיבלנו - יניב שלושה ערכי z (שווים או שונים זה לזה).
בסך הכל יתקבלו ששה ערכי z, כמצופה, עבור משוואה (9) - שהיא ממעלה שישית.
פתרון משוואה (6) יספק מכל שורש של z - שורש של y. כלומר, נקבל שישה ערכי y.
עם זאת, שלושת השורשים הראשונים של y יהיו "זהים בערכם" לשלושת השורשים הנוספים.
כך נקבל למעשה רק שלושה שורשים של y.
לפיכך, נסיים במשוואה (2) - ונקבל שלושה ערכים (ולא ששה) של x, כמצופה ממשוואה ממעלה שלישית.
דוגמה ראשונה.
נפתור את המשוואה:
formula_53.
כדי להיפטר מן המקדם של formula_3, נציב formula_55, כלומר formula_56. המשוואה הופכת להיות:
formula_57.
נכתוב formula_10, כאשר formula_59, והמשוואה תהפוך ל-
formula_60
זוהי משוואה ריבועית, שהפתרונות שלה הם formula_61.
למעשה, כיוון שהתפקידים של formula_14 ו- formula_15 סימטריים מלכתחילה, אפשר לבחור אחד מן השורשים ולהניח ש- formula_64
(ואז formula_65).
כעת, לכל אחד משלושת הערכים (המרוכבים) של formula_66
יש לחשב את formula_67,
ומתקבל פתרון formula_10 של המשוואה.
הביטויים המתקבלים אמנם מסובכים למדי; על ידי השוואת נורמות, אפשר לגלות שעד-כדי כפל בשורש שלישי של היחידה, formula_69. מכאן יוצא ששלושת הפתרונות למשוואה שלנו הם formula_70 (ולמשוואה המקורית formula_71).
דוגמה שנייה.
מצא את שורשי המשוואה:
formula_72 .
פתרון:
כזכור, משוואה כללית ממעלה שלישית מוגדרת באופן הבא (משוואה מספר (1)) :
(1) formula_26 .
מקדמי המשוואה הזו הם:
formula_74 .
משוואה (1) מצטמצמת לכדי משוואה (2) (משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית) :
(2) formula_36 . כעת עלינו למצוא את המקדמים formula_76 ו- formula_77:
formula_35, על כן:
formula_79 ,
ו- formula_34, על כן:
formula_81 .
כעת, המשוואה נראית כך:
formula_82, כאשר:
formula_83 .
מכיוון שהגדרנו: formula_41 (משוואה (12)), נקבל:
formula_85 .
נציב במשוואה (10), המוגדרת, כזכור, באופן כללי כך: formula_44 את ערכיהם של formula_76 ושל formula_77:
formula_89 .
כעת, נפתור את המשוואה הריבועית הזו:
formula_90 .
כלומר:
formula_91 .
לצורך מציאת שורשי המשוואה המקורית (שורשי formula_92), נבחר, באופן שרירותי לחלוטין, את השורש formula_93.
בחירת השורש השני, formula_94 - תניב שורשים זהים של formula_92 לאלו של הראשון, formula_93.
קודם לכן הגדרנו את הקשר: formula_43 .
מכיוון שכאמור, נפתור את המשוואה הזו (באופן "שרירותי") עבור formula_93, נקבל: formula_100 .
מהות השוויון האחרון תתבטא בצורתה הפולרית של המשוואה:
לשם מעבר לצורה הפולרית, נעזר בנוסחת אוילר, אשר צורתה הפשוטה היא:
formula_101לכל formula_102 ממשי, כאשר formula_76 הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו-formula_104 הוא היחידה המדומה.
צורתה הכללית של המשוואה כוללת גם מקדם הכפלה, אשר כופל את צורתה הפשוטה של המשוואה:
(3) formula_105 .
(4) formula_106 .
יש לשים לב, כי formula_107 מבוטא ביחידות של formula_108 ו- formula_39 מבוטא ביחידות של formula_110.
כזכור, אנו נשאף לעבור מהמערכת המבוטאת ב- formula_111 לזו המבוטאת ב- formula_112
(formula_47),
ע"פ משוואה (11) בפתרון המלא של משוואה ממעלה שלישית (בסעיף הקודם).
כעת, נשווה בין משוואות (3) ו-(4) :
השוואה בין צד שמאל של משוואות (3) ו- (4):
formula_114 .
השוואה בין צד ימין של משוואות (3) ו- (4):
formula_115 .
נקבל:
(5) formula_116 .
(6) formula_117 .
(7) formula_118 .
כיוון ש: formula_119 הן פונקציות מחזוריות, בעלות מחזור של formula_120, נוכל לכתוב את הקשר הבא:
(9) formula_121, כאשר: formula_122 .
(formula_123 משלים מעגל שלם של formula_124, ותוצאותיו של formula_125 תחזורנה על עצמן).
נקבל:
(10.1) formula_126 .
(formula_127) עבור formula_128.
(10.2) formula_129 .
(formula_130) עבור formula_131.
(10.3) formula_132 .
(formula_133) עבור formula_134.
נמצא את המודול של formula_112 :
(נכון לגבי כל שלושת שורשי formula_112, כלומר: formula_134,formula_131,formula_128 ) :
ממשוואה (3) נקבל את הקשר: formula_140 .
ממשוואה (5) נקבל את הקשר: formula_141 .
לקבלת הפתרון הכללי של formula_112, נחלץ את formula_112 ממשוואה (4) :
(4) formula_144 . השוויון האחרון נכון, בזכות משפט דה מואבר.
אבל קיבלנו קודם לכן ש: formula_145 .
ואז:
(10.1) formula_146 עבור formula_128
(10.2) formula_148 עבור formula_131
(10.3) formula_150 עבור formula_134
מכאן ניתן לקבל את שלושת הפתרונות של formula_112 :
(11.1) formula_153
(11.2) formula_154
(11.3) formula_155
המעבר הראשון formula_156 הושלם. כעת נבצע את המעבר השני formula_157.זהו הקשר בין formula_112 (כלומר, נקודת המוצא: השורשים שקיבלנו זה עתה, במונחי formula_112) ובין השורשים אותם אנו חפצים לקבל (נקודת היעד), במונחי formula_160 .
קיבלנו קודם לכן את הקשר: formula_37 .
כיוון שמצאנו קודם לכן כי: formula_162, נקבל:
(12) formula_163 .
בעזרת קשר זה, נמצא כעת את formula_164,formula_165,formula_166 :
(12.1) formula_167 .
formula_168
נפשט את השורש שהתקבל:
(12.2) formula_169 .
formula_170
נפשט את השורש שהתקבל:
(12.3) formula_171 .
המעבר השני formula_157 הושלם. כעת נבצע את המעבר השלישי והאחרון: formula_173 :
ממשוואה (2) בסעיף הקודם ("פתרון מלא של משוואה כללית ממעלה שלישית"), נקבל את הקשר:
(13) formula_28 .
תזכורת: formula_175 .
לכן:
(14) formula_176 .
בעזרת קשר זה, נמצא כעת את formula_177,formula_178,formula_179 :
(14.1) formula_180 .
(14.2) formula_181 .
(14.3) formula_182 .
אלו הם שלושת שורשי המשוואה המקורית, שהיה עלינו למצאם (formula_72) .
בדיקת נכונות הפתרונות (שורשים) שקיבלנו:
על השורשים לקיים את התנאי הבא, זוהי האינדיקציה לנכונות הפתרון:
(15) formula_184 .
כלומר, אם נציב את formula_177,formula_178,formula_179 שקיבלנו- בצדה השמאלי של משוואה (15) - נקבל את המשוואה המקורית, הנמצאת בצדה הימני של משוואה (15) :
formula_188 (לאחר פתיחת הסוגריים ופישוט המשוואה).
מ.ש.ל.
תזכורת: הפתרון הסתמך על בחירה שרירותית של השורש: formula_93 . בחירת השורש השני, formula_94 - תניב שורשים זהים לחלוטין של formula_92 בסופו של התהליך- לאלו שקיבלנו זה עתה.
נוסחה לפתרון משוואה ממעלה שלישית.
עבור המשוואה: formula_192
נפתור באמצעות הצבה בנוסחה הבאה:
הפתרונות הם:
שיטת קרדאנו.
ראשית לפני שנציב בנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שלישית לפי שיטה זו, עלינו לחלק את המשוואה הנ"ל במקדם של formula_200 כך שתתקבל לפנינו משוואה מן הצורה: formula_201
עכשיו נציב:
שימו לב: formula_206 שווה לשורש שלישי של מספר מסוים ועל כן יש לו שלושה פתרונות אפשריים, שהם formula_207. עבור כל formula_206 שנציב יתקבל פתרון שונה (ונכון) עבור formula_13.
היתרונות של השיטה הזו לעומת השיטה הקודמת שהנוסחה הרבה יותר קצרה וניתן ללמוד אותה בעל פה ביתר קלות, אולם השימוש במספרים מרוכבים בנוסחה זו מסובך יותר מבנוסחה הקודמת ועל כן יש המחשיבים נוסחה זו למסובכת מן השנייה.
הרחבת שדות על ידי פולינום ממעלה שלישית.
חבורת גלואה של פולינום אי-פריק ממעלה שלישית היא תת-חבורה טרנזיטיבית של החבורה הסימטרית על שלושת השורשים, ולכן היא שווה לתת-החבורה formula_210 של התמורות הזוגיות, או לחבורה הסימטרית כולה. במקרה הראשון, למשוואה הריבועית שהוזכרה להלן יש שורשים בשדה (ואז נסמן K=F), ובמקרה השני פתרון המשוואה הריבועית מצריך הרחבה ריבועית K של F. בשני המקרים, הפולינום מתפרק לגורמים ליניאריים אחרי הרחבה רדיקלית מסדר 3 של השדה K.