לפי משפט מזור-אולם, המבנה המטרי על מרחב בנך קובע את המבנה הליניארי שלו: אם formula_2 היא איזומטריה בין מרחבי בנך וגם על, אז formula_3 היא ליניארית.
דוגמאות.
מרחבי פונקציות.
formula_21
טיפוסים של מרחבי בנך.
מרחבי הילברט הם דוגמה קיצונית של מרחבי בנך, ותכונות שונות של מרחבי בנך מודדות עד כמה הם קרובים להיות מרחבי הילברט.
מרחב הפונקציונלים הליניארים על מרחב בנך formula_28 גם הוא מרחב בנך תחת הנורמה formula_29
מרחב זה מסומן לרוב ב formula_30. לדוגמה, אם formula_31 וגם formula_32 אז formula_33. לעומת זאת, formula_34. מדוגמה זו רואים שלא תמיד מתקיים formula_35. לעומת זאת, יש שיכון טבעי formula_36. מרחב בנך שעבורו השיכון formula_36 הוא איזומורפיזם נקרא מרחב רפלקסיבי. כל מרחב הילברט הוא רפלקסיבי.
מרחב בנך שלכל תת-מרחב ספרבילי שלו, A, גם formula_38 הוא ספרבילי, נקרא מרחב Asplund; כל מרחב רפלקסיבי הוא Asplund.
מרחב בנך שאינו מכיל עותק איזומורפי של formula_39 נקרא מרחב Rosenthal. כל מרחב Asplund הוא Rosenthal.
כל מרחב בנך רפלקסיבי הוא נוצר קומפקטית-חלש (weakly complactly generated), כלומר, יש בו קבוצה קומפקטית (בטופולוגיה החלשה), הפורשת מרחב צפוף. כל מרחב כזה הוא Weakly Lindelof determined (יש בו קבוצה M הפורשת מרחב צפוף, כך שהחיתוך שלה עם התומך של כל פונקציונל ליניארי הוא בן-מניה). מרחב מסוג זה, שהוא Asplund, הוא ספרבילי.
הזוהר הצפוני
מרחב באנאך
מבואות יריחו
מבואות יריחו היא התנחלות הממוקמת בדרום בקעת הירדן, צפונית ליריחו, בגובה של כ-150 מטר מתחת לפני הים. היישוב שייך למועצה אזורית ערבות הירדן. מבואות יריחו נמצאת באזור בקעת נחל עוג'ה המוכר גם בשם בקעת ייט"ב, אזור הנמצא מעט גבוה מלב בקעת הירדן ממזרח לבקעה.
היסטוריה.
היישוב נוסד בשנת 1999 כתחנת מחקר ופיתוח לניסויים חקלאים אך במהרה נהפך, ללא אישור חוקי, ליישוב קהילתי בעל גוון חקלאי. בשנת 2004 הצטרפו ליישוב כ-14 משפחות ובשנת 2006 התגוררו במבואות יריחו 21 משפחות. כיום מונה מבואות יריחו 57 משפחות (כ-400 נפשות). משפחות היישוב שומרות על אורח חיים דתי.
ביישוב פועלים משפחתון, גן ילדים, משחקיה לגיל הרך, מקווה טהרה ובית כנסת. ליישוב שטחים חקלאיים, וחלק מהתושבים עוסקים בגידול תמרים וצאן. מוסד נוסף ביישוב הוא חוות "גינת עדן", שמהווה מסגרת לימודית-חקלאית-טיפולית,שהחלה כמסגרת פרטית ובהמשך השנים נלקחה לחסות הרווחה. תלמידות החווה גרות במתחם החווה (בצמוד ליישוב) ועובדות בצוותים שונים: חקלאות,רכיבה טיפולית ואילוף, עיזים הכנת גבינות ומוצרים נוספים, קדרות (קרמיקה).
ב-15 בספטמבר 2019 קיימה ממשלת ישראל ישיבה במקום, בה הסדירה את חוקיות היישוב. ב-10 באוקטובר אישרה מועצת התכנון העליונה להפקדה בניית 182 יחידות דיור ומוסדות חינוך.
ב-2022 פורסם שהיישוב הוא היישוב הישראלי שצמח בקצב המהיר ביותר באותה שנה ביהודה ושומרון והכפיל את אוכלוסייתו.
סטנלי מילגרם
סטנלי מילגרם (באנגלית: Stanley Milgram; 15 באוגוסט 1933 – 20 בדצמבר 1984) היה פסיכולוג אמריקאי-יהודי מאוניברסיטת ייל, הנחשב לאחד מאבות הפסיכולוגיה החברתית. מילגרם הוא שערך את ניסוי מילגרם לבדיקת השפעת הסמכות על האדם. הניסוי נחשב לאבן דרך בפסיכולוגיה החברתית.
ביוגרפיה.
מילגרם נולד בניו יורק למשפחה יהודית. אביו, סמואל מילגרם, נולד בהונגריה והיה אופה. הוא נפטר ב-1953. אימו, אדל (לבית ישראל) נולדה ברומניה. מילגרם סיים ב-1954 לימודי תואר ראשון במדעי המדינה בקווינס קולג', והתקבל לאחר מאמצים לתוכנית לימודי דוקטורט בפסיכולוגיה חברתית באוניברסיטת הרווארד, אף על פי שלא השתתף לפני כן באף קורס בפסיכולוגיה.
ב-1960 השלים מילגרם את לימודיו והצטרף לסגל אוניברסיטת ייל. בשנים 1963–1966 הרצה בהרווארד, ומ-1967 היה פרופסור במרכז ללימודים מתקדמים של אוניברסיטת העיר ניו יורק.
מילגרם נפטר מהתקף לב בעיר הולדתו, ניו יורק, בגיל 51.
עבודתו.
ניסוי מילגרם.
הניסוי של מילגרם הוא ניסוי נודע בפסיכולוגיה חברתית, שהעבודה עליו החלה ב-1961 וממצאיו פורסמו על ידי מילגרם ב-1974, כשעבד באוניברסיטת ייל. הניסוי בחן את נושא הציות לסמכות.
בתחילת הניסוי, החוקר הסביר למשתתף בניסוי ולשחקן שהתחזה למשתתף נוסף בניסוי שהם עומדים להשתתף במחקר שבוחן את היעילות של מתן עונש על למידה. התפקידים חולקו כך שהמשתתף האמין שהוא קיבל את תפקיד ה"מורה" באופן אקראי, בעוד המשתתף השני, השחקן, קיבל את תפקיד ה"תלמיד". המורה קיבל מטלות זיכרון פשוטות על מנת להעבירן לתלמיד, והונחה שבכל פעם שהתלמיד טועה, עליו לתת לו שוק חשמלי על ידי לחיצה על כפתור. נאמר לו שיש להעלות את עוצמת השוק ב-15 וולט לאחר כל טעות. למעשה לא ניתנו לתלמיד שוקים חשמליים כלל, אך התלמיד-השחקן הגיב כאילו ניתנה לו מכת חשמל. כאשר הגיעו לעוצמת שוק של 150 וולט, השחקן היה מבקש שהניסוי יסתיים, ונענה על ידי החוקר כי "הניסוי מצריך שתמשיך. אנא המשך." השחקן המשיך והפגין כאב וחוסר נוחות גדולים יותר ויותר. אם המורה לא היה מעוניין להמשיך בניסוי, החוקר היה מסביר לו שהוא, החוקר, לוקח על עצמו אישית את כל האחריות על תוצאות הניסוי ועל ביטחונו ושלומו של התלמיד, ושהניסוי דורש שהוא ימשיך.
מטרת הניסוי הייתה לבחון את מידת ההיענות של המשתתף לציית לסמכות שהורתה לו לבצע פעולה שעלולה להיות מנוגדת לערכיו או למצפונו.
בסדרה הראשונה של הניסויים שערך מילגרם, 65% מהמשתתפים נתנו את השוק החשמלי הגבוה ביותר, בעוצמה של 450 וולט, על אף שרבים לא הרגישו בנוח לבצע זאת. אף נבדק לא עצר לפני עוצמת שוק של 300 וולט. מסקנתו של מילגרם הייתה כי קיימת מוכנות קיצונית של אנשים לבצע כמעט כל דבר לפקודת גורם בעל סמכות.
תוצאותיו המפתיעות של הניסוי יצרו דיון ציבורי בנושא הציות לסמכות, בין השאר בהקשר להתנהגותם של הפקידים בשלטון הנאצי במהלך השואה - חוקרים כגון כריסטופר בראונינג טענו בעקבות הניסוי כי "מילוי הפקודות" שלהם היה תוצאה של דינמיקה חברתית שיכלה להיווצר בכל קבוצה, בעוד חוקרים כגון דניאל יונה גולדהגן טענו כי לא ניתן להקביל בין תנאי הניסוי לתנאים ששררו בשטח ויצרו רצח עם, ולכן ההסקה ממנו שגויה.
הניסוי עורר שאלות גם בנוגע לאתיקה של הניסוי והאתיקה של הניסוי המדעי בכלל. זאת בין היתר, משום שהמשתתפים בו השתתפו בניסוי בלא הסכמתם ומשום שאצל חלק מהם הוא גרם ללחץ נפשי כבד (גם אם הלחץ נבע מפעולותיהם החופשיות) ולירידה בהערכה העצמית. בימינו, רוב החוקרים היו מחשיבים ניסוי כזה כבלתי אתי. עם זאת, 84% מהמשתתפים שיצרו איתם קשר לאחר הניסוי ציינו שהניסוי היה מבחינתם התנסות חיובית, ו-15% נוספים ציינו שזו הייתה מבחינתם התנסות נייטרלית.
שלבי הניסוי עובדו לסרט קולנוע המבוסס על חייו של מילגרם בשם "הניסוי" משנת 2015, בכיכובו של פיטר סארסגארד.
שש דרגות של הפרדה.
בשנות השישים מילגרם ביצע סדרת ניסויים שמטרתם הייתה לבחון את יחסי הקרבה ברשת האנושית. הניסוי המפורסם ביותר, שנקרא בתרבות הפופולרית "שש דרגות ההפרדה", פורסם כמאמר בשם "בעיית העולם הקטן" ב-1969, יחד עם עמיתו ג'פרי טראוורס מאוניברסיטת הארוורד.
בניסוי זה, מילגרם ניסה לבחון מה תהיה אורך השרשרת האנושית שתוכל לקשר שני אנשים רנדומליים בארצות הברית. מילגרם בחר כיעד איש עסקים מבוסטון ושלח 296 חבילות לתושבים "אקראיים" (ראו ביקורת על הניסוי בערך "תופעת העולם הקטן") מבוסטון ומאומהה (Omaha), נברסקה וביקש מהם להשתתף במחקר. החבילות כללו תקציר של המחקר, מידע על אנשי היעד, גלויות, וסדרת הוראות.
ההוראות ביקשו מאנשים אליהם הגיעו הגלויות לשלוח גלוית מעקב לאוניברסיטת הרווארד כדי לעקוב אחר החבילות, ולנסות לקרב את החבילה לאנשי היעד באופן הבא: אם האדם שקיבל את הגלויה מכיר את איש היעד באופן אישי, עליו לשלוח לו את החבילה ישירות. אחרת, עליו לשלוח את החבילה לאדם שיש לו עמו היכרות אישית, ושלדעתו הוא יוכל לקרב את החבילה לאיש היעד.
האמונה המקורית הייתה שעשויים להידרש מאות אנשים כדי להעביר את החבילות, ושיש לניסוי סיכויי הצלחה נמוכים, כי מספיק רק אדם אחד שלא ישתף פעולה כדי לשבור את השרשרת. בסופו של דבר, 217 שרשראות ביצעו לפחות העברה אחת של החבילה לכיוון היעד ומתוכן הגיעו 64 מהחבילות ליעדיהן. באמצעות גלויות המעקב ידע מילגרם כמה אנשים דרושים היו כדי להעביר את החבילות. כך הוא מצא שהמספר החציוני של המתווכים שנדרשו כדי להעביר את החבילות ליעדיהן הוא 5.2, ובמעוגל – "שש דרגות של הפרדה".
סיראנואיד.
בשנת 1977 מילגרם החל בהליך ניסיוני שנועד להמחיש את רעיון החיבור בין גוף לנפש שתיאר אדמון רוסטאן במחזהו סיראנו דה ברז'ראק. בסיפור, סיראנו מספק לכריסטיאן מילות אהבה, וכך הם מחזרים במשותף אחר רוקסן (משום שכל אחד בנפרד לא היה מסוגל, בעקבות המגבלות הפיזיות והלשוניות שלהם, לעשות זאת בכוחות עצמו).