אלגברת הרכבה (בלי יחידה) היא סימטרית, אם התבנית formula_3 היא אסוציאטיבית, כלומר, formula_22. תכונה זו מתקיימת אם ורק אם האלגברה מקיימת את האקסיומה formula_23 (השוויון באגף שמאל הוא הזהות הגמישה).
כל אלגברת הרכבה המקיימת את הזהות הגמישה היא סימטרית או בעלת איבר יחידה. מעל שדה בן יותר מ-2 איברים, אפילו האקסיומה formula_24 מספיקה לשם כך. אלגברות הרכבה סימטריות כמעט לעולם אינן בעלות חזקה אסוציאטיבית (פרט לשדה F עצמו, הדוגמה היחידה היא מממד 2 מעל השדה הסופי formula_25). למעשה, באלגברת הרכבה סימטרית מממד 2 ומעלה אין איבר יחידה.
אלגברות פרה-הורוויץ ואלגברות Petersson.
אם C אלגברת הורוויץ עם אינוולוציה formula_26, אפשר להגדיר עליה פעולת כפל חדשה formula_27. ביחס לפעולה זו, C הופכת להיות אלגברת הרכבה סימטרית (ומאבדת את איבר היחידה שלה). האלגברה המתקבלת באופן זה נקראת אלגברת פָּרה-הורוויץ (וכך מוגדרות, בפרט, אלגברות פרה-קווטרניונים ואלגברות פרה-קיילי). אלגברת הרכבה סימטרית היא אלגברת פרה-הורוויץ אם ורק אם יש בה אידמפוטנט e המקיים formula_28 לכל איבר x כך ש- formula_29.
כהכללה של הבניה הקודמת, אם formula_30 הוא אוטומורפיזם של אלגברת הורוויץ C המקיים formula_31, אז אפשר להגדיר פעולת כפל חדשה לפי formula_32 (אם formula_33, מתקבלת אלגברת פרה-הורוויץ). גם אלו אלגברות הרכבה סימטריות, הנקראות אלגברות Petersson. אלגברת הרכבה סימטרית היא אלגברת Petersson אם ורק אם יש בה אידמפוטנט. בכל אלגברת הרכבה סימטרית אפשר למצוא אידמפוטנט לאחר הרחבת סקלרים מממד 3.
מיון.
תהי R אלגברה אלטרנטיבית ספרבילית (עם יחידה), ונניח ש- formula_34 הוא הפולינום המינימלי הגנרי של R. בפרט, R היא אלגברה מדרגה 3. אם יש בשדה הבסיס F שורשי יחידה מסדר 3, אפשר להגדיר על האוסף formula_35 של איברים בעלי עקבה 0 ב- R, פעולת כפל חדשה, formula_36. האלגברה המתקבלת היא אלגברת הרכבה סימטרית, עם תבנית הנורמה formula_37. אם אין ב- F שורשי יחידה מסדר 3, מחליפים את R באוסף האיברים הסימטריים באלגברה אלטרנטיבית ספרבילית מעל ההרחבה הריבועית formula_38, ביחס לאינוולוציה אוניטרית. מתברר שבניות אלה מכסות את כל אלגברות ההרכבה הסימטריות:
מעל שדה ממאפיין שונה מ-3, כל אלגברת הרכבה סימטרית שייכת לאחת המחלקות הבאות:
מאלה, האלגברות בקבוצה הראשונה הן מממד 2, האלגברות בקבוצה השנייה מממד 4, והאחרונות מממד 8.
עמרם אבורביע
הרב עמרם אבורביע (י"ז באדר ה'תרנ"ב, 16 במרץ 1892 – ז' בטבת ה'תשכ"ז, 20 בדצמבר 1966) היה דיין, איש ציבור ירושלמי, והרב הספרדי הראשי בפתח תקווה.
תולדות חייו.
נולד בתטואן שבמרוקו הספרדית לרב שלמה אבורביע (בן למשפחה שמקורה בקסטיליה שבספרד) וליוכבד לבית כלפון. אביו עמד בראש בית מדרש "מדרש שלמה" שייסד בתטואן, ולאחר שעלה לארץ ישראל החזיק בביתו בעיר העתיקה בירושלים ישיבה בשם "אור זרוע".
עלה ארצה בשנת תרס"ו (1906) עם סבו הרב יוסף אבורביע וסבתו ביליידא, והתיישב איתם בעיר העתיקה בירושלים. למד בישיבת "טובי ישבעו" של עדת המערביים ובישיבת פורת יוסף. נמנה עם תלמידיו של הרב יוסף חיים הכהן, ששסמכו לרבנות ולדיינות, ולימים נישא לבתו רבקה.
הרב אבורביע שילב בין תורה לעבודה, ובשותפות עם הרב יוסף שלוש ניהל בית מסחר לספרים ולתשמישי קדושה בעיר העתיקה ובהמשך בשכונת מחנה יהודה. הם עסקו בהוצאה לאור של ספרי קודש ובמשלוח ספרי תורה ליהדות צפון אפריקה ולגלויות נוספות. במקביל כיהן כר"מ בישיבת פורת יוסף וכמגיד שיעור בישיבת "שערי ציון" שייסד הרב בן-ציון מאיר חי עוזיאל. האחרון גם מינהו כרב שכונות הנחלאות בירושלים.
כ-30 שנה שימש כדיין בהרכב בית הדין של עדת המערביים בירושלים, בראשות הרב בן ציון אברהם קואינקה. כן שימש גם כשוחט ובודק.
בשנת תר"פ (1920) נמנה הרב אבורביע עם מייסדי שכונת בית וגן בירושלים. בשנת תרפ"ז (1927) יזם את בניית בית הכנסת אור זרוע בשכונת נחלת אחים, שכלל בית מדרש בראשותו. בשנת תרפ"ט (1929) נבחר לחבר הוועד הפועל של עדת המערבים בירושלים. בשנת תרצ"ג (1933) מונה לשד"ר לארצות צפון אפריקה מטעם כולל ועד העדה.
הרב אבורביע היה פעיל ציוני עוד לפני הקמת המדינה. בשל קשריו עם "ההגנה" נעצר על ידי שלטונות המנדט. כן התנדב למשמר העם. בניו היו הנוטרים וחברי המחתרות ובהמשך שירתו בצה"ל.
בשנת תשי"א (1951), לאחר פרישתו של הרב עובדיה הדאיה מתפקיד הרב הספרדי של פתח תקווה, נבחר הרב אבורביע לתפקיד, לצדו של הרב האשכנזי, הרב ראובן כץ. מסר שיעורים בעיקר בבתי כנסת במרכז העיר: בית ישראל, אוהל חיים ובית אברהם (מכונה "בית הכנסת הגדול לספרדים") שנוסד על ידו.
כיהן כחבר מועצת הרבנות הראשית לישראל ויו"ר המועצה הארצית של ארגון רבני עדות המזרח.
נפטר בפתח תקווה בז' בטבת תשכ"ז (1966) ונקבר בבית הקברות סגולה.
לרב אבורביע חמישה בנים ובת. בנו הוא פרופסור אהוד אביבי, מדען גרעין וממקימי הכור בדימונה. בתו מאירה הייתה נשואה לד"ר שלמה לוי, מחבר ספרי הגות וקבלה.
ספרו "נתיבי עם".
חלק א' של ספרו "נתיבי עם" ( שו"ת ומנהג ירושלים) יצא לראשונה בשנת תשכ"ד. הכרך כולל את "מנהגי ירושלים ומנהגי בית אל" עם בירורי הלכות ותשובות על סדר ארבעת חלקי השולחן ערוך. חלק ב של הספר, שיצא בשנת תשכ"ו, כולל כשישים דרשות בהלכה ובאגדה שנשא. מאמרים ודברי תורה מפרי עטו פורסמו בכתבי עת תורניים, כמו 'קול התורה'. עמד במשא ומתן בענייני הלכה עם רבנים בישראל ומחוצה לה. הספרים למהדורותיהם זכו להסכמות הרב עובדיה הדאיה, הרב עזרא עטיא, הרב עובדיה יוסף, הרב אליהו בקשי-דורון, הרב שאר ישוב כהן והרב שלמה משה עמאר, שהיה מהאחרונים שהוסמכו לרבנות על ידי הרב אבורביע.
מתוך ההקדמה לספרו "נתיבי עם", פרק קורות חיי המחבר, מהדורה ראשונה:
בחנוכה תשכ"ז, כחמשה חדשים לפני מלחמת ששת הימים וימים אחדים לפני שנפטר, נשא דרוש שאותו סיים כך:
הרב אבורביע חיבר תפילה תפילה לשלום פצועי צה"ל. הוציא לאור את ספר "שבחי האר"י" בלאדינו, ירושלים שנת תרע"א (1911). בשנת תש"ח הוציא את הספר "ברית עולם", שבו קטעי תפילה ופיוטים לכבוד ברית מילה, זבד הבת, פדיון הבן, בר מצווה וחתונה. ערך גם את הספר "חסד ואמת", שבו תפילות ומנהגים הקשורים באבלות. הספר הוצא לאור על ידי חברה קדישא אחידה לספרדים ובני עדות המזרח (ירושלים) בשנת תשנ"ו. סידור רינת ישראל, נוסח ספרדים ועדות המזרח, נערך ע"פ נוסחאותיו.
הנצחתו.
הרב אבורביע הונצח בכמה מקומות ומפעלים:
הערות שוליים.
ג'ורג' לואיס הנובר
שלמה יהודה ליב הכהן רפפורט
הנחלאות
בית הכנסת הגדול (טביליסי)
בקר (סימן היתק)
במוזיקה, בֶּקָר (מצרפתית: bécarre; בעברית גם סַלְקָה) הוא סימן היתק המורה על ניגון התו בצורתו הטבעית (מבטל סימני היתק שקדמו לו). בקר מסומן ב-♮ משמאל לתו.
הבקר מהווה ברירת המחדל: כאשר לא רשום אף סימן היתק אחר, מנוגן הצליל בצורתו הטבעית.
אצולה.
הסימן בקר הופיע בסמל האצולה של המלחין הרנסאנסי אורלנדו די לאסו.
קיש אבי שאול
קִישׁ הוא דמות מקראית - אביו של שאול, המלך הראשון בממלכת ישראל המאוחדת ובנו של אביאל בן-צרור בן-בכורת בן-אפיח.
הוא מוזכר בשמואל א': .
בספר דברי הימים א', פרק ח' פסוק לג' נאמר "וְנֵר֙ הוֹלִ֣יד אֶת־קִ֔ישׁ וְקִ֖ישׁ הוֹלִ֣יד אֶת־שָׁא֑וּל וְשָׁא֗וּל הוֹלִ֤יד אֶת־יְהֽוֹנָתָן֙", כלומר ששם אביו הוא נר ולא אביאל.
מסופר כי קיש שלח את בנו בעקבות אתונותיו שאבדו, ובדרך זאת הגיע שאול אל שמואל הנביא, אשר משח אותו למלך.
ייתכן שקיש, אבי שאול, הוא אותו אדם המוזכר בין אבותיו של מרדכי היהודי במגילת אסתר: .
וזאת הברכה
ויגש
אי הקנגרו
תפר (ציפור)
תַּפָּר (שם מדעי: "Cisticola juncidis") הוא ציפור שיר בת למשפחת הסיסטיקוליים ובעבר היה שייך לסבכיים הדומים להם מאוד. בעבר נקרא התפר "פשוש הביצה". התפר חי בשדות ובביצות. שמו של התפר ניתן לו בשל הקן שהוא "תופר".
מאפיינים.
מוצא התפר באזורים טרופיים של אפריקה ושל דרום-מזרח אסיה וגם באזורים ממוזגים כמו מערב אסיה ודרום אירופה. בישראל התפר יציב בצפון הארץ ובמרכזה.
הזכר והנקבה דומים מאוד זה לזה. צבעו של התפר חום בהיר עד צבע הזית ואורכו עד 10–20 ס"מ. משקל התפר הוא 10–30 גרם.
התפר חי בשדות דגן וניזון מחרקים זעירים ומזרעונים.
בעונת החיזור הזכר מבצע תעופת-חיזור ומצייץ ציוצים מיוחדים. בתחילת אפריל בונים בני הזוג את הקן המפורסם שהביא לשמם, הזוג אוסף קורי עכביש ובעזרתם הזוג תופר זה לזה גבעולי דגן, עד שנוצר קן בצורת ביצה שפתחו מזדקר כלפי מעלה. הנקבה מטילה בקן 3–6 ביצים תכלכלות בעלות כתמים בצבע אפור בהיר.
הנקבה דוגרת על הביצים במשך שבועיים. גם הזכר וגם הנקבה שותפים בדגירה על הביצים. לאחר בקיעת הביצים, הגוזלים שוהים בקן כשבועיים ומקבלים מהוריהם את החלבונים הדרושים להם:עכבישים, וזחלי חרקים למיניהם.
יצחק קשדן
יצחק קשדן (באנגלית: Isaac Kashdan) (19 בנובמבר 1905 ניו יורק - 20 בפברואר 1985 לוס אנג'לס) היה שחמטאי יהודי-אמריקאי בדרגת רב אמן וסופר שחמט. קשדן היה מהטובים שבשחקני תבל בסוף שנות העשרים של המאה ה-20 ותחילת שנות השלושים. הוא זכה פעמיים באליפות ארצות הברית הפתוחה (בשנים 1938 ו-1947) וייצג את ארצות הברית בחמש אולימפיאדות שחמט תוך זכייה בתשע מדליות. התוצאות שלו באולימפיאדות הן הטובות ביותר מכל שחקן אמריקאי אחר.
שנים מוקדמות.