בשנת 2003, בזמן שבילתה גרין דיי בסטודיו, להקה חדשה בשם "The Network" (בתרגום חופשי: הרשת) הוקמה. שלושה מתוך חמשת חברי הלהקה הם, לכאורה, שלושת חברי גרין דיי. מאמינים כי הסולן, הידוע בשם "וילהלם פינק", הוא ארמסטרונג. ארמסטרונג התייחס אל עצמו כאל ווילהלם פינק (Wilhelm Fink) בעבר ובביוגרפיה של אתר המעריצים של הלהקה "Pinhead Gunpowder" ארמסטרונג מאשר את זהותו כפינק. ניתן גם לזהות את קולו של ארמסטרונג באלבום של "הרשת". נגן הבס של "הרשת", שידוע בשם "ואן גוך", הוא כביכול מייק דירנט, והמתופף של "הרשת", שידוע בשם "The Snoo", נחשב לטרה קול. ג'ון רוקר (John Roecker), במאי של מספר הופעות של גרין דיי, דיבר על פרויקטים שונים שהוקלטו בסטודיו 880 בפגישות של גרין דיי בזמן "American Idiot". סטודיו 880 הוא הסטודיו שבו הוקלט האלבום "Monemy Moeny 2020", של "הרשת", וגם לאלבום שבו הוקלט "American Idiot". אין חיבור רשמי בין שתי הלהקות, ושניהם לפעמים מגנות, לעיתים באגרסיביות, על העדר הקשר בין שניהם. צוות הניהול של גרין דיי מסרב להגיב על המצב המתמשך בין גרין דיי להרשת.
"Foxboro Hot Tubs".
בשבוע הראשון של דצמבר 2007, פרופיל של להקה חדשה, שניתן היה לזהות את קולו של ארמסטרונג כזמר שלה, הופיע באתר מייספייס. מאוחר יותר באותו השבוע, הופיע אתר רשמי של הלהקה, שבו ניתן היה להוריד שישה שירים.
בתחילת שנת 2008, סיפרה גרין דיי כי הם למעשה הלהקה "Foxboro Hot Tubs". בדואר אלקטרוני ל-MTV אמרה הלהקה: "אנחנו חושבים שהדבר היחידי שדומה [בין ה-"Foxboro Hot Tubs" לגרין דיי] הוא שאנחנו שניהם. בעיקרון זה הדמיון היחידי, אנחנו ג'ייסון וייט, ג'ייסון פריז, מייקל פיצ'רד, פרנק אדווין רייט השלישי והכומר סטריכניך טוויץ... אנחנו חמישה חבר'ה שאוהבים לנגן מוזיקה ולהיות ספונטנים, [ו]אחרי כמה ריבים מאוחר בלילה וגם כמה בקבוקי יין, אנחנו מקבלים השראה להקליט שירים". שמו האמיתי של המתופף של גרין דיי, טרה קול, הוא פרנק אדווין רייט השלישי, הבסיסט מייק דירנט הוא מייקל פיצ'רד והכומר סטריכניך טוויץ הוא עוד אחד מאלטר אגו של ארמסטרונג. ג'ייסון וויט וג'ייסון פריז הם מנגנים בהופעות חיות יחד עם גרין דיי.
האלבום של "Foxboro Hot Tubs" נקרא "Stop Drop and Roll!!!" והוא ראה אור ב-13 במאי 2008.
בחודש מאי 2008 עשתה הלהקה סיור אביבי קטן בשמונה תחנות.
הארנב הוורוד.
משנת 1997 ארנב ורוד התחיל להופיע לפני ההופעות של גרין דיי. הארנב הוא אדם מחופש לארנב ורוד ענקי שמלהיב את הקהל לפני שהלהקה עולה לבמה, הוא בדרך כלל רוקד ושותה בירה. לא ידוע מי האדם שמחופש לארנב, אך יש השערות רבות בנושא, רובם מציעים כי הארנב הוא טרה קול. הארנב הופיע גם על עטיפת האלבום AWESOME AS F*CK, תיעוד של סיבוב הופעות לקידום האלבום 21st Century Breakdown.
חברי הלהקה.
חברים נוספים.
חברים קודמים
חברי הלהקה בהופעות
צורת ז'ורדן
צורת ז'ורדן של מטריצה ריבועית formula_1 היא מטריצה דומה ל-formula_1, שיש לה מבנה של מטריצת בלוקים המורכבת מ"בלוקי ז'ורדן" (ראו להלן). צורת ז'ורדן מכלילה את המטריצות האלכסוניות. יתרונה בכך שמעל שדה סגור אלגברית (כמו שדה המספרים המרוכבים) לכל מטריצה יש צורת ז'ורדן, בעוד שלא כל המטריצות לכסינות. צורת ז'ורדן אמנם כללית יותר מן הצורה האלכסונית, אבל היא נוחה לחישוב כמעט באותה מידה. בדומה לצורה האלכסונית, הערכים באלכסון של צורת ז'ורדן הם הערכים העצמיים של המטריצה.
את התאוריה של צורות ז'ורדן פיתח המתמטיקאי הצרפתי קמי ז'ורדן.
בלוקי ז'ורדן.
לכל סקלר formula_3 ולכל סדר formula_4, בלוק ז'ורדן מסדר formula_4 המתאים ל-formula_3 הוא המטריצה המשולשית formula_7, בגודל formula_8, שרכיבי האלכסון שלה שווים ל-formula_3, הרכיבים הסמוכים לאלכסון הראשי מעליו שווים ל-1, וכל שאר רכיבי המטריצה הם 0. לדוגמה: בלוק ז'ורדן מסדר 4 המתאים לערך העצמי 9,
הפולינום המינימלי של בלוק ז'ורדן הוא formula_11, וכל מטריצה (מסדר formula_4) שזה הפולינום המינימלי שלה דומה לבלוק ז'ורדן המתאים. ההפרש בין כל שני בלוקי ז'ורדן מאותו סדר הוא מטריצה סקלרית, והבלוק המתאים ל-0 הוא מטריצה נילפוטנטית.
מטריצת בלוקים המורכבת מבלוקי ז'ורדן, בסדר כלשהו, נקראת מטריצת ז'ורדן. מטריצות ז'ורדן הן דומות זו לזו רק כאשר הן מורכבות מאותם בלוקים, עד כדי סדר, ולכן המונח "צורת ז'ורדן" מתייחס לפעמים לקבוצת הבלוקים המרכיבים את המטריצה, ולאו דווקא אל המטריצה עצמה.
צורת ז'ורדן של מטריצה.
למטריצה יש צורת ז'ורדן מעל שדה נתון, אם ורק אם הפולינום האופייני של המטריצה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה. בפרט, לכל מטריצה (ממשית או מרוכבת) יש צורת ז'ורדן מעל המספרים המרוכבים.
לכל מטריצה (שיש לה צורת ז'ורדן) יש צורת ז'ורדן יחידה (עד כדי תמורה על סדר הבלוקים). לכן שתי מטריצות דומות זו לזו אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן. מצורת ז'ורדן אפשר להסיק כמה וכמה תכונות של המטריצה, שהן אינווריאנטיות להצמדה:
לדוגמה, צורת ז'ורדן של מטריצה אלכסונית היא המטריצה האלכסונית עצמה.
מציאת צורת ז'ורדן.
חישוב באמצעות דרגות.
אם הערכים העצמיים של המטריצה ידועים, אפשר למצוא את צורת ז'ורדן שלה באמצעות חישוב הדרגות בנוסחה הנתונה בתכונה 4 לעיל. הריבוי האלגברי של כל ערך עצמי בפולינום האופייני ובפולינום המינימלי מספקים בדרך כלל מידע חלקי; אלא שאם הם שווים, למטריצה יש רק בלוק ז'ורדן אחד המתאים לאותו ערך עצמי.
חישוב בסיס.
כידוע, כל מטריצה מייצגת העתקה ליניארית בכל בסיס, והצמדת המטריצה (מציאת יחס שקילות, דמיון) שקולה להחלפת הבסיס; מטריצות צמודות (דומות) מייצגות את אותה העתקה ליניארית. כך אפשר לנסח את התכונות של צורת ז'ורדן בשפה של העתקות ליניאריות: הצמדת מטריצה לצורת ז'ורדן שלה שקולה למציאת פירוק של המרחב הווקטורי ל"תת-מרחבים ציקליים". תת-מרחב ציקלי הוא מרחב שיש לו בסיס הכולל את הווקטורים השונים מאפס בסדרה formula_29 עבור formula_30 מתאים (ולכן בהכרח formula_31 ל-formula_4 גדול מספיק; בסיס כזה נקרא בסיס ציקלי של תת-המרחב; ראו גם מודול ציקלי). איחוד הבסיסים האלה בפירוק של המרחב נותן את צורת ז'ורדן של המטריצה המייצגת באופן הבא: אם formula_33 היא ההעתקה שהמטריצה formula_34 מייצגת בבסיס הסטנדרטי, אז formula_35 היא צורת ז'ורדן של formula_34 אם ורק אם העמודות של formula_37 מהוות בסיס בעל המבנה הציקלי הנזכר לעיל.
תהי formula_33 טרנספורמציה ליניארית שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה, formula_39 הערכים העצמיים השונים, ותהי formula_1 המטריצה המייצגת של formula_33 בבסיס הסטנדרטי. נראה כיצד למצוא בסיס על פיו מיוצגת formula_33 על ידי מטריצת ז'ורדן. לכל ערך עצמי formula_13 של formula_33 נסמן ב-formula_45 את הריבוי האלגברי של formula_46. יהי formula_47 המרחב העצמי המוכלל של formula_46, שהוא אוסף כל הווקטורים עבורם קיים formula_49 כך ש:
formula_50. נסמן ב-formula_51 את הצמצום של formula_33 אל המרחב formula_53 (שהוא מוגדר היטב מכיוון ש-formula_53 הוא תת-מרחב אינווריאנטי). הטרנספורמציה formula_55 היא נילפוטנטית מסדר formula_56 (ולמעשה formula_57).
כעת, אפשר להוכיח שכל מרחב עצמי מוכלל הוא סכום ישר של תת-מרחבים ציקליים; לכל אחד מאלה יש בסיס ציקלי; ואיחוד כל הבסיסים הציקליים הוא בסיס של המרחב כולו.
רוקוקו
הרוקוקו הוא תנועה אמנותית וסגנונית מן המאה ה-18, שהשפיעה בתחומי אמנות רבים: ציור, פיסול, ארכיטקטורה, עיצוב פנים, ספרות, מוזיקה, אופנה ותיאטרון. הרוקוקו התפתח בתחילת המאה ה-18, כתגובת נגד להידור והחוקים הנוקשים של הבארוק. אמני הרוקוקו נקטו בגישה משחקית, עליזה, מצועצעת וחיננית, והרבו להשתמש בצבעי פסטל, עיצובים א-סימטריים, קימורים וזהב.
סגנון הרוקוקו מציג בפנינו את אורח חיי האצולה באירופה. ישנו שימוש ניכר בצבעים עדינים הבאים להאיר את הדמויות. בניגוד לדיוקנאות הבארוק, שהציגו דמויות נוקשות, קודרות ורשמיות, בציורי הרוקוקו הדמויות הן חינניות ועדינות, מביעות שמחה בדרך כלל וחיות חיי מותרות.
הציירים הצרפתיים אנטואן ואטו, פרנסואה בושה, וז'אן אונורה פרגונר מזוהים עם סגנון זה.
טכניקת הציור העיקרית בתקופת הרוקוקו היא טכניקת הפסטל.
הגדרה.
המונח רוקוקו לקוח מהמילים הצרפתיות Rocaille ו-Coquille שפירושן "סלע וצדפה", על שם עיטורי הסלע המעובד והצדפה המאפיינים סגנון זה אשר ביחד עם צורות בעלות זרימה וא-סימטריה כגון צורות S ו-C, עלים, פרחים ועלווה מפותלת מהווים את המוטיבים העיקריים בסגנון.
הסברה היא שהשם רוקוקו ניתן על ידי תלמידיו של הצייר הנאו-קלאסי ז'אק-לואי דויד בתחילת המאה ה-19 כדי לתאר בנימה מסוימת של לעג את הסגנון של המשטר הישן . הכינוי לו זכה הסגנון בתקופתו היה "הטעם הציורי" (gout pittoresque) ושמו היה הסגנון המודרני (Style Moderne). בשם סטייל רוקאי (Style Rocaille) השתמשו באותה תקופה לתאר את עבודת הסלע המעובד במערות המלאכותיות (Groto) בוורסאי. שם נוסף לסגנון כיום הוא סגנון לואי ה-15.
רקע.
הסגנון התפתח בצרפת בתחילת המאה ה-18 כתגובה לרשמיות והכבדות של סגנון הבארוק. תגובה זו באה כתוצאה ממספר שינויים שעברו על החברה והמלוכה באותם ימים.
בסוף המאה ה-17 המלך לואי ה-14 - מלך השמש, היה חולה וזקן וקופתו הייתה דלילה כתוצאה מביזבוזיו הראוותנים להאדרת שמו וממלחמות. ארמון ורסאי אותו בנה סבל מדעיכה זמנית והאצולה שחויבה לגור בארמון וסביבתו התעייפה מאורח החיים הנוקשה והטקסי.