בתשמ"ח הוענק לו פרס רוזנטל לחקר התלמוד. בתשנ"ט הוענק לו פרס גאון לחקר יהדות צפון-אפריקה על הספר "מסורות ולשונות של יהודי צפון-אפריקה", זכה בפרסי יד יצחק בן-צבי ופרס משה שפירא לשנת תשס"ב 2002 על ספריו "לשון לימודים לרבי רפאל בירדוגו", כרכים א-ג, ירושלים תשס"ב. בר-אשר קיבל שני תוארי דוקטור לשם כבוד: האחד מהמכון לשפות המזרח ולתרבויותיו (INALCO) באוניברסיטת פריז בשנת 1995, לרגל מלאות מאתיים שנה להקמת המוסד. את השני קיבל מאוניברסיטת חיפה בשנת 2005.
משה בר-אשר כיהן כיו"ר ועדות המינויים למקצועות העיוניים באוניברסיטה העברית ושימש חבר הוועד המנהל של האוניברסיטה. היה פרופסור אורח באוניברסיטאות בצרפת, ובהן האקול פראטיק דה אוטז אטיד, בסורבון (הסקציות הרביעית והחמישית), INALCO ואוניברסיטת פריז 8. שימש פרופסור וחוקר אורח בחמש אוניברסיטאות בארצות הברית: אוניברסיטת הרווארד, אוניברסיטת ייל, ישיבה יוניברסיטי, בית המדרש לרבנים באמריקה והמכללה העברית בבוסטון. בתשמ"ז נבחר חבר ב-Société Asiatique. הוא חבר חוץ של האקדמיה האמריקאית למדעי היהדות משנת 1991. היה חבר בכמה הנהלות של מוסדות: הנהלת מוזיאון ישראל, חבר מליאת רשות השידור, חבר במועצה לתרבות ואמנות של משרד החינוך והתרבות, שימש כחבר המועצה לאמנות הכללית, הוא חבר המועצה לתרבות ואמנות בשכונות. היה חבר "ועדת יגר" לשיקום הציונות הדתית המאורגנת, שקמה לאחר שהמפד"ל כשלה בבחירות. שימש כחבר נשיאות הפדרציה היהודית העולמית וחבר נשיאות מימ"ד. היה חבר הוועד המנהל של "משגב ירושלים" וגם חבר במועצה הארכאולוגית הישראלית. הוא ממקימי היישוב פסגות בשנת תשמ"א.
ספר היובל לכבוד צאתו לגמלאות מהאוניברסיטה (שערי לשון – מחקרים בלשון העברית, בארמית ובלשונות היהודים) חובק שלושה כרכים עבי כרס, השתתפו בהם תשעים ותשעה מלומדים, מהם מעל שלושים מתוכם מחוץ לארץ.
מחקריו.
מחקריו של משה בר-אשר משתרעים על מספר תחומים: בראש ובראשונה לשון חכמים. עסק גם בלשון המקרא, בלשון קומראן ובעברית החדשה. תחום שני אותו הוא חוקר הוא הלשון הארמית, במיוחד הארמית של ארץ-ישראל והארמית של התרגומים. תחום שלישי שבר-אשר חוקר הוא מסורות הלשון של יהודי צפון אפריקה ומסורות הלשון של צאצאי האנוסים בצרפת. תחום רביעי הוא פרשנות המקרא בערבית-יהודית בצפון אפריקה (הַשַּׁרְח). על הישגיו אלו ובמיוחד תרומתו למחקר לשון חכמים קיבל את פרס ישראל לשנת תשנ"ג 1993, ואחר כך את פרס רוטשילד (2008) ואת פרס א.מ.ת (2012) ופרסים אחרים שנזכרו לעיל.
חקר לשון המקרא.
משה בר-אשר פרסם סדרת מאמרים בחקר לשון המקרא. הוא העמיד אותה מול לשון חז"ל, אך הראה שכל אחת מהלשונות שמרה על עצמאותה. הוא רואה בלשון המקרא המאוחרת, למשל בתופעות ממנה שנשתקעו בספר ירמיה, חוליה מקשרת בין לשון המקרא הקלאסית ללשון התנאים, כפי שהדבר מתבטא במשקל פָּעוֹל.
במאמר "איש יהודי היה בשושן הבירה" בחן את ההוראה החדשה של המילה "יהודי" במגילת אסתר (בן הדת היהודית ולא כמי שמשתייך לשבט או לארץ יהודה), והצביע על השימוש המקביל בתואר "ישראלית" בפסוק "בן הישראלית... למטה דן" (ויקרא כד, יא), ובו מציג המספר המקראי את האישה תחילה מצד ייחוסה לעם, ואחר כך מצד ייחוסה המשפחתי, בדומה להצגת מרדכי כ"איש יהודי... איש ימיני". מאמר אחר שלו בתחום זה עוסק במילה יָדִיד, ובו הוא מראה שהוראתה הבסיסית היא אָהוּב. כך היא מתפרשת במקרא עצמו, וכך הבינוה הקדמונים. מאמר חדשני הוא העיון שלו בשם נִדָּה במקרא ובלשון חכמים, ובו הוא הראה שנידה הקשורה בטומאת האישה מכילה בתוכה שתי תיבות נפרדות: א. נִדָּה (= טומאת האישה)- שם עצם מופשט כמו סִבָּה. ב. נִדָּה (= מורחקת) – בינוני פעול של נד"ד (והזכר הוא נֵד = מורחק).
אף כתב שורת מאמרים על לשון מגילות מדבר יהודה. ריכוז של מאמריו בלשון המקרא ובלשון המגילות נמצא בספריו לשונות ראשונים ו-STUDIES IN CLASSICAL HEBREW.
מחקרים בסורית של ארץ-ישראל: מקורותיה, מסורותיה ובעיות נבחרות בדקדוקה.
ספר זה ראה אור ב-1977. זהו הספר שפרסם את בר-אשר בעולם והוא עיבוד של עבודת הדוקטורט שלו עם מפתחות, תיקונים והרחבות. הוא בדק את כתבי היד והכתובות של ניב הסורית הארצישראלית וסיווג אותם לשני סוגי מקורות: אלו המייצגים את הניב בזמן שהיה עוד לשון חיה עד המאה השמינית, ומקורות מאוחרים מן המאות העשירית עד השתים עשרה, המראים שפה ששימשה כלשון פולחן בלבד. הלשון הזאת היא לשונם של הנוצרים המלכיתים, שהיו כנסייה חשובה באזוריה השונים של ארץ ישראל. בר-אשר גם הציע תפיסות חדשות בדקדוקה של הסורית הארצישראלית.
לשון חז"ל.
בחקר לשון חז"ל פרסם משה בר-אשר עשרות מאמרים וארבעה ספרים (שלושה בעברית ואחד בצרפתית). הראשון "פרקים במסורות לשון חכמים של יהודי איטליה" הופיע בשנת תש"ם בסדרה "עדה ולשון", השני בצרפתית הופיע בשנת 1999 (ראו להלן ברשימת הספרים); בשנת 2009 הופיעו שני כרכים נוספים בהוצאת מוסד ביאליק תחת הכותרת "מחקרים בלשון חכמים", שהן אסופות מעודכנות של מבחר מאמריו בתחום. ובשנת 2014 הופיע חיבורו הגדול בשני כרכים (מעל 1500 עמ') – "תורת הצורות של לשון המשנה : פרקי מבוא ותצורת שם העצם". בר-אשר ותלמידיו ייסדו את הוראת מקצוע לשון חכמים בחמש אוניברסיטאות בחו"ל, מהן שלוש בארצות הברית: הרווארד, ייל וישיבה יוניברסיטי; ושתיים בצרפת: בסורבון ובאוניברסיטה הקתולית של פריז (במוסד זה תופסת הוראת לשון חכמים מקום מרכזי בהוראת העברית).
חידושו הגדול ביותר של בר-אשר, שבו חלק על מורהו פרופ' קוטשר, היא תפיסתו שלשון חכמים כפי שהיא מתגלה לנו בכתבי היד הטובים היו בה שלושה טיפוסים, מעין שלושה ניבים; כלומר לא טיפוסים שונים ובהם טיפוס נאמן וטיפוס פגום ומשובש, אלא שלושה דגמי לשון שונים, שמייצגים ניבים או בתי מדרש שונים. יצוין במיוחד הטיפוס המזרחי, טיפוס חשוב שאין ספק לגבי מוצאו מארץ ישראל (ראו להלן).
שני פרסומיו הראשונים של בר-אשר בלשון חז"ל הם המבוא לכתב יד פרמה ב' של המשנה משנת 1971, שהוא מייצג מובהק של הטיפוס המזרחי, וספר שראה אור בנוסח ראשון בשלהי 1973, ערב מלחמת יום הכיפורים, והוא מבוא מפורט לכתב יד פאריס 328–329 של המשנה. הספר העלה על סדר היום המחקרי את מסורת לשון חכמים באיטליה. מאמר חשוב של בר-אשר הוא המאמר "לשון חכמים – דברי מבוא", שהוא כעין חלון ראווה של לשון חכמים, וכותבו כתבו בצורה, שיהיה נגיש לכל משכיל ולא רק לבלשנים. המאמר ראה אור גם בצרפתית, באנגלית ובקוריאנית. כאן מוצגים פירותיה של האסכולה הירושלמית בחקר לשון חכמים, שבר-אשר שייך לדור השלישי שלה (מייסדיה הם ח' ילון, י' קוטשר וז' בן-חיים).
הטיפוסים השונים של לשון המשנה.
זהו המאמר החשוב ביותר של בר-אשר. זה מאמר מהפכני בחקר לשון חז"ל, ובו העמיד בר-אשר את ההבחנה הנזכרת לעיל בין הטיפוסים של לשון המשנה. בר-אשר עצמו עסק ועוסק בחקר ארבעה כתבי-יד גדולים: קאופמן, פרמה ב', פריז של המשנה וכ"י ותיקן 32 של הספרי. חוקרים אחרים חקרו כתבי יד שלמים וכתבי יד מקוטעים (הכוללים מאות עדי נוסח), הוא לקח את העצים הללו וניסה לראות את היער. הוא ריכז את שפעי הפרטים בשפעי כתבי היד, מיינם לקבוצות ואפיין את הקבוצות השונות. הוא חילקם לשלוש קבוצות: לאחד קרא הענף הארצישראלי, שמתחלק לשניים: טיפוס מערבי וטיפוס מזרחי ולשני קרא הענף הבבלי. המאמר ראה אור גם בצרפתית ובאנגלית.
הספרים האחרונים שלו "מחקרים בלשון חכמים", "תורת הצורות של לשון המשנה" וכו' מבוססים על החלוקה הזאת.
לשון לימודים לרבי רפאל בירדוגו.
זוהי סדרה בת שלושה כרכים המקיפה ארבעה חלקים וחובקת 1400 עמודים. מפעל זה עוסק במחקר הפרשנות בערבית-יהודית-מוגרבית למקרא. הספר "לשון לימודים" שכתב רבי רפאל בירדוגו, נתחבר במרוקו לפני למעלה מ-200 שנה. בר-אשר אסף כתבי יד רבים מספריות ומאוספים בכל רחבי העולם והכין מהדורה מדעית מוערת. במסגרתה כלל פירושים ואלפי הערות פילולוגיות. כן השווה את תרגומו של בירדוגו לתרגומים הארמיים ולתפסיר רס"ג וכן לשרח תאפילאלת. זהו ספר פתרונות לרוב ספרי המקרא בניב המוגרבי של יהודי מכּנאס. חלק א' הוא המבוא לספר כולו. חלק ב' הוא מהדורה מדעית של ספר בראשית, הכוללת חמישה אפרטים, ובהם בין השאר גם תרגום והערות ופירוש בעברית ללשון לימודים. חלק ג' היא מהדורה של החיבור כולו על פי שלושה כתבי יד (הַפְּנִים על פי כ"י א ושני כתבי יד אחרים מוצגים באפרט בתוספת הערות פרשניות). חלק ד' הוא מהדורה של התרגום להפטרות. בר-אשר גילה שהשרח הולך לפעמים בעקבות תרגום אונקלוס ונגד תרגום רס"ג לתורה. מאות מצאצאיו ומבני עירו של הרב בירדוגו גילו עניין בספר ורכשו אותו במוסד ביאליק.
לשונות צפון אפריקה.
מילון קולין Colin הוא מילון בן שמונה כרכים של הערבית המוסלמית של מרוקו, פרי עטו של ג' קולין (G .Colin), שהיה מלומד צרפתי חשוב. הוא השקיע עשרות שנים בחקר הערבית במרוקו. בעבודותיו של בר-אשר על צפון אפריקה (גם בספריו מסורות ולשונות של יהודי צפון אפריקה, ולשון לימודים ולשונות מסורות ומנהגות ובעבודות אחרות) עשה בר-אשר שימוש בספרו של קולין והוסיף לו נתונים רבים משלו ודברים חדשים מערבית היהודית (תחום שעניין אך מעט את קולין).
המרכיב העברי בערבית היהודית במגרב.