לאחר שהות של שנתיים בברלין, קיבל דדקינד ב-1854 משרת הוראה (באותו זמן בו החל רימן) בגטינגן, שם לימד תורת ההסתברות וגאומטריה. הוא עבד בשיתוף עם דיריכלה והם היו לידידים קרובים. דדקינד היה הראשון להרצות על תורת גלואה ואחד הראשונים להבין את המשמעות היסודית של מונח החבורה באלגברה ובאריתמטיקה. תרומתו החשובה ביותר לתורת המספרים הייתה ההכרה בחשיבותם של חוגי המספרים השלמים של שדות מספרים, הקרויים על שמו חוגי דדקינד.
ב-1858 עבר דדקינד לציריך, ללמד בפוליטכניקום. בזמן זה הגדיר את חתכי דדקינד, רעיון חדש לייצוג מספרים ממשיים כחלקים מהמספרים הרציונליים: מספר ממשי הוא חתך המפריד את כל המספרים הרציונליים לשתי מחלקות (קבוצות), עליונה ותחתונה. לדוגמה, שורש המספר 2 הוא חתך שבמחלקתו התחתונה כל המספרים השליליים והמספרים שהריבוע שלהם קטן מ-2, ובמחלקתו העליונה כל המספרים החיוביים שהריבוע שלהם גדול מ-2. חתכי דדקינד מהווים היום אחת ההגדרות הסטנדרטיות למספר ממשי.
לאחר שהקולג' המלכותי שבו החל את דרכו שודרג לבית ספר גבוה טכני, החל דדקינד ללמד בו ב-1862 ונותר שם במשך חמישים שנות חייו הנותרות והפוריות.
שנה לאחר מכן פרסם את הרצאותיו של דיריכלה על תורת המספרים ב-"Vorlesungen über Zahlentheorie" ("הרצאות על תורת המספרים"). ב-1872 פרסם את עבודתו המקיפה על הגדרת המספרים האי-רציונליים במונחי חתכי דדקינד ב "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ("הרצף ומספרים אי רציונליים"). ב-1874 הוא נפגש עם גאורג קנטור באינטרלאקן שבשווייץ, והיה לאחד המתמטיקאים הראשונים להכיר בחשיבות עבודתו של קנטור על קבוצות אינסופיות. עזרתו הייתה חבל הצלה לקנטור כנגד התנגדויותיו של קרונקר לאינסופיות בתורת המספרים. הוא נתן את ההגדרה המדויקת הראשונה לקבוצה אינסופית, שלפיה קבוצה היא אינסופית אם היא "דומה לחלק כלשהו של עצמה". כלומר ניתן להוכיח כי הקבוצה formula_1 של המספרים הטבעיים "דומה" לחלק של עצמה, למשל המספרים הזוגיים עומדים בהתאמה לכל המספרים הטבעיים, על ידי ההתאמה formula_2.
משפט היינה-בורל
משפט היינה-בורל הוא משפט יסודי באנליזה מתמטית, הקובע שקבוצה בישר הממשי היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה. המשפט חל באותה מידה על קבוצות של וקטורים, כלומר תת-קבוצות של המרחבים האוקלידיים formula_1.
האפיון של קבוצות קומפקטיות שנותן משפט היינה-בורל אינו נכון בכל מרחב מטרי, ודרכו מצביע המשפט על כך שמערכת האקסיומות של המרחבים האוקלידיים חזקה מזו של מרחבים מטריים אחרים.
המשפט קשור לשני משפטים חשובים אחרים - משפט בולצאנו-ויירשטראס והלמה של קנטור - ואפשר להסיק אותם בקלות יחסית זה מזה.
רקע כללי.
הקומפקטיות היא תכונה מרכזית בטופולוגיה, והיא קשורה לתכונות חשובות רבות אחרות. משפט היינה-בורל קובע, כאמור, שבמרחבים האוקלידיים אפשר לאפיין אותה באמצעות שתי דרישות פשוטות יחסית: שהקבוצה המדוברת תהיה סגורה וחסומה. כיוון אחד של האפיון הזה נכון בכל מרחב מטרי: כל קבוצה קומפקטית היא תמיד סגורה וחסומה. ההפך אינו נכון.
אפיון אחר, כללי יותר, קובע ש(בכל מרחב מטרי), קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא שלמה וחסומה כליל. הדרישה השנייה, שהקבוצה תהיה חסומה כליל, חזקה יותר מכך שהקבוצה תהיה חסומה סתם, אלא שקבוצה חסומה המוכלת בקבוצה קומפקטית היא גם חסומה כליל. בנוסף לזה, אם המרחב עצמו שלם, אז כל קבוצה סגורה היא שלמה, ולכן במרחבים שלמים קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה כליל. אפיונים אלה מכלילים את משפט היינה-בורל.
הוכחה באמצעות הלמה של קנטור.
כל קבוצה קומפקטית במרחב מטרי היא סגורה וחסומה. הקושי הוא להוכיח שקבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית. כדי להוכיח זאת, מספיק להראות את הטענות הבאות.
תוכנית בזל
תוכנית בזל היא מצעה של התנועה הציונית, שגובש בעת הקונגרס הציוני הראשון בבזל, (שווייץ, 1897) ונוסח על ידי מקס נורדאו.
מטרת התוכנית: "הציונות שואפת להקים בית מולדת לעם היהודי בארץ ישראל, המובטח לפי משפט הכלל", כלומר: שאיפה להקמת בית לאומי ליהודים בארץ ישראל, בהסכמתן של אומות העולם. בתוכנית לא נעשה שימוש במונח "מדינה" אלא "בית מולדת", מחשש לתגובת העות'מאנים ששלטו באותה העת בארץ ישראל ויכלו להתנכל ליהודים שם.
דרכי הביצוע.
על מנת לממש את תוכנית בזל הוקמה ההסתדרות הציונית, שתפקידהּ היה לרכז את המאמץ הציוני לעלייה, להתיישבות, לרכישת קרקעות בארץ ישראל ולהשגת הצ'רטר מן הממשלות.
ניסוח התוכנית.
ההחלטה לחבר תוכנית לתנועה הציונית התקבלה בדיונים המקדימים לקונגרס הציוני הראשון במהלך סוף השבוע שלפניו. לטענת עורך הדי ולט, שאול רפאל לנדאו, הוא העלה בפני הרצל את הצורך בחיבור מצע ותוכנית לתנועה, אולם הרצל התנגד להצעה בטענה שהתוכנית לתנועה הציונית קיימת כבר בספרו מדינת היהודים. עם זאת, מכיוון שבספר זה לא הוזכרה ארץ-ישראל בהכרח כמדינת הלאום המיוחלת לעם היהודי, טענו לנדאו ונוספים (בעיקר חברי תנועת חיבת ציון מרוסיה) שיש בכל זאת צורך לחבר מסמך שיגדיר את מטרות הציונות. בעקבות הלחץ שהופעל על הרצל, הסכים הלה להקמת ועדה שתנסח את התוכנית הציונית. לראשות הוועדה מונה מקס נורדאו ואליו הצטרפו ארבעה משפטנים: נתן בירנבוים, אלכסנדר מינץ, זיגמונד ברומברג-ויטקובסקי ושאול רפאל לנדאו. כמו כן מונו שני בני הפלוגתא בנושא האסטרטגיה של התנועה הציונית: מקס בודנהיימר שיצג את "הציונות המדינית" בה דגל הרצל ואיש "חובבי ציון", צבי הרמן שפירא, שייצג את אסכולת "הציונות המעשית" שדגלה בהתיישבות בארץ ישראל. השניים כבר קיימו בשנים לפני כן מחלוקת ערה באשר לכיוונים אליהם צריכה הציונות לשאוף. חברי הוועדה קיימו מספר סבבי דיונים במהלכם ניסח נורדאו את מטרת הציונות כפי שמופיעה במשפט הפתיחה של התוכנית, והשאר חיברו וניסחו את ארבעת סעיפי התוכנית.
מקס נורדאו הציג בפני צירי הקונגרס את הנוסח המוצע ביומו השני של הקונגרס הציוני (30 באוגוסט 1897) ולאחר מכן התקיים דיון ער בסוגיית הבסיס החוקי למטרת הציונות ודיון חוזר בוועדה. בדיון זה התגבשה הסכמה כללית על שינוי הנוסח כך שמטרת הציונות תתממש על בסיס "משפט הכלל". כך אושרה התוכנית הציונית המכונה "תוכנית בזל".
התוכנית משקפת פשרה בין האסכולות המרכזיות בציונות ודאגה לאינטרסים של הקהילות היהודיות בגולה:
ההחלטות שהתקבלו בקונגרס.
"תוכנית בזל" שימשה כבסיס העקרוני המרכזי לתנועה הציונית עד להקמתה של מדינת ישראל. בקונגרס הציוני הכ"ג ב-1951, שהתקיים בירושלים, נוסחה תוכנית ירושלים של ההסתדרות הציונית ובה הוגדרו עקרונות פעולה של התנועה הציונית לאחר כינונה של מדינת ישראל. עקרונות אלה הפכו למטרות שנוסחו ב"תוכנית ירושלים" מעודכנת שגובשה בקונגרס הכ"ז של הסתדרות הציונית בירושלים ביוני 1968 ומשמשים גם היום כמצע העקרוני של מטרות התנועה הציונית
ועדת החקירה האנגלו-אמריקאית לענייני ארץ ישראל
ועדת החקירה האנגלו-אמריקאית לענייני ארץ ישראל (באנגלית: Anglo-American Committee of Inquiry on Jewish Problems in Palestine and Europe) הייתה ועדה שהוטל עליה להציע פתרון לשאלת ארץ ישראל ובעיית היהודים העקורים באירופה.
את ההצעה להקמתה העלה שר החוץ הבריטי ארנסט בווין בהודעה שמסר בבית הנבחרים ב-13 בנובמבר 1945. הוועדה פעלה בשנת 1946.
ההודעה על הקמת הוועדה.
ההודעה שמסר בווין קבעה, בין היתר, שממשלת בריטניה "אינה יכולה לקבל את ההשקפה, שיש לגרש את היהודים מאירופה או שלא יורשו לשוב ולחיות באותן הארצות ללא אפליה ולהקדיש את חריצותם וכישרונם לקימום שגשוגה של אירופה". בהודעה הוזכר גם שבעיית ארץ ישראל מעסיקה את כל העולם הערבי וגם את 90 מיליון המוסלמים בהודו. במסיבת העיתונאים לאחר מסירת הצהרתו, אמר בווין כי תוכניות הציונים להגדיל את כושר הקליטה של ארץ ישראל הם "שמונים אחוז תעמולה ועשרים אחוז מציאות". הוא הסביר כי "לא כל היהודים ציונים" וטען כי הוא חרד מאוד "שמא ידגישו היהודים הנמצאים באירופה הדגשת־יתר את מוצאם הגזעי... אם היהודים, שסבלו רבות כל־כך, יבקשו להידחק יותר מדי אל ראש התור, נשקפת סכנה לתגובה אנטישמית חדשה בכל אירופה". בעקבות הודעתו של בווין ודבריו אחריה, פרצו בארץ ישראל הפגנות סוערות. חיים ויצמן הגדיר את התבטאותו "ברוטלית" ו"גסה".
ב-28 בנובמבר נשא בן-גוריון בפני אספת הנבחרים נאום "תשובה לבווין", בו אמר: "עוד ששת המיליונים של מתינו באירופה מוטלים לפנינו, וכבר ניגר דמנו מחדש כאן על אדמת־המולדת...הנשפך בידי עושי דברו של בווין וחבריו". את נאומו סיים באזהרה לממשלת בריטניה: "גם לנו היהודים, כמו לאנגלים ולאחרים, יש זכות לחיות כיחידים וכעם, אולם גם לנו כמו לאנגלים יש משהו, שהוא יקר לנו גם מהחיים... אנו מוכנים ליהרג ולא נוותר על שלושה דברים: על חירות העלייה היהודית, על זכותנו לבנות שממות מולדתנו, על עצמאותו המדינית של עמנו בארצו".
הרכב הוועדה.
על פי ההצעה הורכבה הוועדה משישה חברים בריטים ומשישה נציגי ארצות הברית. עם נציגי ארצות הברית נמנו ג'יימס מקדונלד (לימים השגריר הראשון של ארצות הברית במדינת ישראל) ובארטלי קראם, עורך דין שעתיד היה להתגלות בדיוני הוועדה ולאחריהם כידיד הציונות. עם הנציגים הבריטיים נמנה ריצ'רד קרוסמן, איש האגף השמאלי של מפלגת הלייבור, שנחשב כ"איש של בווין" בוועדה, ועתיד היה להנחיל לבווין אכזבה רבה בהתגלותו בדיוני הוועדה כאוהד העניין הציוני.
נושאי החקירה.
על הוועדה היה לבחון את הנושאים הבאים:
מסעות הוועדה.