אם formula_2 היא משפחה של קבוצות, פונקציה formula_3 נקראת פונקציית בחירה אם היא מקיימת את התנאי formula_4.
האקסיומה קובעת כך: לכל משפחה של קבוצות לא ריקות קיימת פונקציית בחירה.
המכפלה הקרטזית של אוסף קבוצות מוגדרת כקבוצת פונקציות הבחירה מקבוצות אלה. אקסיומת הבחירה שקולה, אם כך, לטענה שהמכפלה הקרטזית של קבוצות לא ריקות, אינה ריקה.
ניסוח שקול: לכל קבוצה formula_5 יש פונקציה formula_6 כך ש-formula_7 לכל formula_8 .
תורת הקבוצות ללא אקסיומת הבחירה.
במקרים רבים קיומה של פונקציית בחירה מובטח מן האקסיומות האחרות, ואין צורך באקסיומת הבחירה. בהכללה אפשר לומר שהאקסיומות האחרות "בונות" את פונקציית הבחירה, בעוד שאקסיומת הבחירה היא הנחת קיום שאינה קונסטרוקטיבית.
להלן כמה דוגמאות שבהן אין צורך באקסיומת הבחירה.
לעומת זאת, בהינתן אוסף של כל הקבוצות הלא ריקות של מספרים ממשיים, אין שום דרך לבנות פונקציה שכזו בצורה מפורשת, כלומר פונקציה שעבור כל קבוצה (מתוך אינסוף הקבוצות הקיימות) תוכל "להחליט" איזה איבר מתוכה לבחור. על כן, במקרה זה יש צורך באקסיומת הבחירה.
על כן, אקסיומת הבחירה היא בעייתית שכן היא אומרת שניתן לעשות דבר מה, אולם אינה מצביעה על שום דרך לעשותו. אכן, רוב ההוכחות שנסמכות על אקסיומת הבחירה מוכיחות קיום של דבר מה מבלי שיראו דרך מעשית לבנות אותו.
יתר על כן, חלק מהתוצאות של קבלת אקסיומת הבחירה נראות נוגדות את האינטואיציה (וזאת, כזכור, בזמן שאקסיומת הבחירה נדמית אינטואיטיבית מאוד). למשל, אקסיומת הבחירה שקולה למשפט הסדר הטוב, שאומר שניתן לסדר בסדר טוב כל קבוצה. בפרט נובע מכך שניתן לסדר את המספרים הממשיים בסדר טוב - דבר הנראה מנוגד לאינטואיציה ושאין דרך ידועה לעשותו בפועל. דוגמה נוספת היא פרדוקס בנך-טרסקי: באמצעות קבלת אקסיומת הבחירה ניתן לפרק את כדור היחידה במרחב התלת ממדי למספר חלקים, ובאמצעות פעולות של הזזה וסיבוב בלבד להרכיב מהחלקים שני כדורי יחידה מאותו הרדיוס. אקסיומת הבחירה מאפשרת להוכיח שהתהליך אפשרי; היא אינה מראה כיצד ניתן לבצע את התהליך בפועל (יש לזכור כי בכל מקרה מדובר על תהליך הפועל על עצמים מתמטיים מופשטים ואידיאליים).
גרסאות חלשות של אקסיומת הבחירה.
חוקרי תורת הקבוצות מכירים מאות גרסאות חלשות של אקסיומת הבחירה, והקשרים ביניהם מובנים במידה רבה, אבל לא במלואם. בין הדוגמאות החשובות, לצד אקסיומת הבחירה הרגילה, AC, אפשר למנות את:
ידוע ש- formula_11, וכן formula_12.
גרסאות חזקות יותר של אקסיומת הבחירה.
קיימות אקסיומות אחרות של תורת הקבוצות שגוררות את אקסיומת הבחירה: למשל אקסיומת הבנייה, שמגבילה את עולם הקבוצות לאוסף מינימלי של קבוצות, גוררת את אקסיומת הבחירה. אקסיומה זו גוררת את השערת הרצף המוכללת שגוררת בתורה את אקסיומת הבחירה.
למעשה, אקסיומת הבנייה גוררת תוצאה חזקה יותר ממה שמתקבלת רק מהתקיימות השערת הרצף המוכללת - היא גוררת שמתקיימת אקסיומת הבחירה הגלובלית: קיימת פונקציית בחירה על פני כל יקום הקבוצות שמוגדרת באמצעות נוסחה קבועה.
לא ניתן לנסח את אקסיומת הבחירה הגלובלית בשפה של ZFC, כיוון שלא ניתן לכמת על פני מחלקות (או נוסחאות) בשפה הזו. בשפות שמרחיבות את השפה של ZFC ושמתירות כימות של מחלקות, אקסיומה זו ניתנת לניסוח, ולעיתים היא אף נובעת מאקסיומות חזקות יותר.
שימושי אקסיומת הבחירה.
אקסיומת הבחירה מופיעה בתחומים רבים במתמטיקה, וכמה משפטים חשובים שקולים לה, דוגמת משפט הסדר הטוב, הלמה של צורן ועקרון המקסימום של האוסדורף.
ללא אקסיומת הבחירה מספר תוצאות בסיסיות באלגברה לא מתקיימות. למשל, יש מרחב וקטורי ללא בסיס, יש חוג ללא אידיאל מקסימלי ועוד.
אקסיומת הבחירה נדרשת כדי להוכיח מספר תכונות בסיסיות בטופולוגיה של הישר הממשי, למשל את השקילות בין הגדרת מושג הרציפות של פונקציה באמצעות סדרות ובאמצעות סביבות. בטופולוגיה כללית - משפט טיכונוף דורש את אקסיומת הבחירה.
ללא אקסיומת הבחירה לא ניתן להוכיח כי איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה הוא בן מנייה. אכן, יש מודל של ZF בו אקסיומת הבחירה נכשלת והממשיים מתפצלים לאיחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה. במודל כזה אין משמעות לתורת המידה הרגילה. מאידך, Solovay הראה שמן האקסיומה DC נובעת הסיגמא-אדיטיביות של מידת לבג, ותחת הנחות מעט יותר חזקות מ-ZFC (על מונים גדולים) קיים מודל (ללא אקסיומת הבחירה) בו כל קבוצה היא מדידה.
באנליזה פונקציונלית, משפט האן-בנך ומשפט בנך-אלאוגלו דורשים את אקסיומת הבחירה.
בתורת הקבוצות, אקסיומת הבחירה המלאה הכרחית כדי לטפל בהתנהגות העוצמות השונות. ללא אקסיומת הבחירה יש עוצמות שאינן ניתנות להשוואה, בעוד שעם אקסיומת הבחירה מחלקת כל העוצמות סדורה היטב. משפט טרסקי מדגים את ההשפעה של אקסיומת הבחירה על האריתמטיקה של העוצמות.
ללא אקסיומת הבחירה לא מובטח לנו כי המונים העוקבים הם סדירים. לדוגמה, יש מודל של ZF בו formula_13 (המונה שעוצמתו formula_14) הוא חריג.
בדרך כלל, כאשר עוסקים במודלים של תורת הקבוצות ללא בחירה, מחליפים אותה באקסיומה חזקה אחרת. למשל, אקסיומת הכריעות (AD) שלא מתיישבת עם אקסיומת הבחירה, מספקת מודל בו הקבוצות של המספרים הממשיים מתנהגות באופן מאוד סדיר (למשל כל קבוצה מדידה לבג וכל קבוצה שאיננה בת מנייה מכילה קבוצה מושלמת).
אלה בן בעשא
אֵלָה בן בַּעְשָׁא הוא דמות מקראית, מלך ישראל, לפי הכרונולוגיה המסורתית מלך על ממלכת ישראל בשנים 883 עד 882 לפנה"ס. הוא עלה למלוכה לאחר מות אביו, בעשא בן אחיה מלך ישראל. ימי מלכותו לא נמשכו זמן רב ולא מסופר רבות על מפעלי חייו, מלבד על מלחמה שערך נגד פלשתים.
כמו אביו, ניסה גם אלה להמשיך במאבק עם יהודה, אך מאמצו המיידי היה להמשיך בניסיון לכיבוש גבתון, במטרה לכתר את יהודה ממערב ולנתק את המגע הישיר בין ממלכת יהודה לפלשת וכך נאמר בספר מלכים: "וְהָעָם חֹנִים עַל-גִּבְּתוֹן אֲשֶׁר לַפְּלִשְׁתִּים". מסתבר שהמלך עצמו לא חונך ברוח לחימה, ובחר לבלות את זמנו - בעת שצבאו חנה "על גבתון אשר לפלשתים" - בתרצה, עיר בירתו, תוך שתייה לשכרה. וכך מסופר על נסיבות מותו:
זמרי שהיה שר של אלה רצחו, ומלך אחריו במשך שבוע, עד להריגתו בידי עומרי ועליתו לכס המלוכה של בית עומרי.
פוליריתמיקה
במוזיקה, פוליריתמיקה (בעברית - ריבוי קצבים) היא השמעה או נגינה של שני קצבים או יותר במקביל כאשר כל קצב עצמאי ואינו תלוי בקצב האחר. דוגמה פשוטה לפוליריתמיקה תהיה 3 תווים מרווחים בצורה שווה, מנוגנים באותו הזמן של 2 תווים מרווחים בצורה שווה, כאשר תבנית הקצב של 3 התווים היא מהירה יותר מהתבנית של 2 התווים, והתבניות אורכות אותו זמן. קצב זה נקרא שלוש נגד שתיים. פוליריתמיקות פשוטות אחרות הן 3:4, 4:3, 5:4, 7:4 וכולי.
הפוליריתמיקה, על אף שהיא מופיעה רבות במוזיקה קלאסית במאה העשרים, נכנסה למוזיקה הפופולרית המערבית ממקצבים אפריקאיים ואפיינה את מוזיקת הג'אז, ומאוחר יותר נכנסה גם לרוק המתקדם. כמו כן אפשר למצוא מקורות פוליריתמים רבים במוזיקה לטינית מדרום אמריקה. בגלל המורכבות של הנגינה בפוליריתמיקה היא נדירה למדי עד היום.
צורה נוספת של פוליריתמיקה, שנקראת גם פולימטר (בעברית - ריבוי משקלים), היא כאשר נשמע משפט מוזיקלי שהדגשים הקצביים בו תואמים משקל השונה משאר המוזיקה. דוגמה נפוצה לזה קיימת בג'אז, כאשר מבצע הסולו מנגן במסגרת משקל של 3\4, בעוד שאר הנגנים מנגנים במשקל של 4\4. מוזיקה אפריקנית מסורתית עמוסה, בדרך כלל, בפוליריתמיקה. פרנק זאפה, במיוחד לקראת סוף הקריירה שלו, השתמש בחלוקות פוליריתמיות בצורה מורכבת למדי (לדוגמה: פוליריתמיקה של 11:17), ואף השתמש בחלוקות פוליריתמיות משניות בתוך פוליריתם ראשי (לדוגמה: 3:2 על זוג הרבעים הראשון בחלוקה של 7:4).
משפט (מתמטיקה)
במתמטיקה, משפט (בלועזית: תאורמה; באנגלית: Theorem) הוא פסוק שניתן להוכיח אותו במסגרת מערכת אקסיומות מסוימת. הוכחת משפטים היא מהפעילויות המרכזיות במתמטיקה.
למשפט ישנם שני חלקים: התנאים הדרושים להתקיימותו, והמסקנות שהמשפט מסיק על סמך אותם תנאים.
דוגמה למשפט: "אם המשולש שאורכי צלעותיו הם formula_1 הוא משולש ישר-זווית, ו-formula_2 הוא אורך היתר שלו, אז formula_3". זהו משפט פיתגורס המפורסם. התנאי כאן הוא שהמשולש הנתון הוא ישר-זווית, והמסקנה היא המשוואה הקושרת את אורכי הצלעות.
דוגמה נוספת למשפט: "המספר formula_4 הוא אי רציונלי". כאן לכאורה אין תנאים מוקדמים, אך בפועל ישנה הנחה של הסכמה על כמה מושגים בסיסיים, דוגמת ההסכמה על הגדרת המושג "מספר", והאקסיומות העוסקות במספרים.
נשים לב כי הוכחת המשפט אינה נחשבת חלק ממנו, אך קיומה של הוכחה אחת לפחות הכרחי על מנת לקרוא לטענה "משפט". לאותו משפט יכולות להיות הוכחות רבות - למשפט פיתגורס ידועות מאות הוכחות שונות. טענה שמנוסחת כמשפט אך לא ידועה לה הוכחה נקראת השערה.
לא כל הטענות המתמטיות המנוסחות כמשפט אכן נקראות "משפט". נהוג לקרוא "משפט" רק לטענות מעניינות או בעלות ערך. כמובן שזוהי הגדרה מעורפלת ומאוד לא מתמטית, ואכן, אין כלל מדויק הקובע מתי נקראת טענה כלשהי "משפט".
לעיתים משתמשים במילה "לֶמה" כדי לציין משפט שחשיבותו העיקרית היא כטענת עזר למשפטים אחרים. רוב הלמות הן טכניות ואין להן חשיבות עצמאית. מאידך יש למות, כדוגמת הלמה של צורן, הלמה של בורל-קנטלי ורבות אחרות, שיש להן גם ערך משל עצמן.