במצרים, שם עוברות רוב הנערות מילה, הוציא הנשיא חוסני מובארכ תקנה בשנת 1996 האוסרת על מילת נשים, אלא במקרים של צורך רפואי, ולפי המלצת רופא. תקנה זו נתקלה בהתנגדותם של חוגים אסלאמיים שראו בה הפרה של השריעה ולכן מנוגדת לחוקת מצרים, בית המשפט העליון של מצרים דחה את עתירת התובעים וקבע שאין בשריעה הלכה ברורה בנושא זה, היות שמסורות החדית' הקשורות לנושא אינן נחשבות מהימנות בהלכה המוסלמית (בטרמינולוגיה הדתית המוסלמית נקרא מקור הלכתי כזה דעיף ضعيف, כלומר "חלש"). אי לכך, אין באיסור על מילת נשים משום הפרה של הנוהג הדתי, לדעת בית המשפט המצרי. גם בקרב המנהיגות הדתית במצרים הדעות חלוקות: הפוסקים הרשמיים - שייח' אל אזהר הדוקטור מוחמד סיד טנטאווי והמופתי של מצרים נצר פריד - רואים במעשה נוהג חברתי שאינו קשור לדת. לעומתם השיח' יוסוף אל קרדאווי, המקובל כפוסק בקרב התנועות האסלאמיות, תומך במילה חלקית ובהשארת זכות ההחלטה על המילה בידי ההורים. האיסור מ-1996 לא מנע בפועל את מילת הילדות והנערות שכן קל היה למצוא רופא שיאשר את המילה. ביוני 2007 החליט שר הבריאות המצרי לאסור כליל מילת נשים, אחרי סערה ציבורית עקב מותה של ילדה בת 12 ממינון יתר של חומר הרדמה שניתן לה בניתוח המילה.
מילת נשים בישראל.
ההיסטוריון שייע כהן כתב, בהתבסס על הספרות היהודית מכל התקופות, שמילת נשים מעולם לא הייתה נהוגה בקרב היהודים או היהדות. מצד שני קיימת עדות יחידה של ההיסטוריון היווני הקדום סטראבון לפיה היהודים, בדומה למצרים, נוהגים למול את בניהם ו"לקטוע" את בנותיהם. עדות זו נסתרת, בין השאר, בידי עדות של פילון האלכסנדרוני, פילוסוף יהודי שחי בדורו של סטראבון במצרים וכתב שהיהודים מלים את הזכרים בלבד. כהן ייחס את דברי סטראבון או להיכרות שלו עם מנהג של קהילה יהודית עתיקה מסוימת שלא השתמר במקורות אחרים, או, מה שלדבריו מסתבר הרבה יותר, לטעות הנובעת מהזיהוי של סטראבון את היהודים כקרובים אתנית למצרים.
מילת נשים אינה נהוגה בישראל. ניתן למצוא נשים שעברו מילה בילדותן בשתי קבוצות מיעוט באוכלוסיית ישראל:
בפסק דין של בית המשפט העליון בישראל נפסק שאיום במילת נשים יכול לעלות כדי רדיפה שתקים לילדה או לאישה המאוימת מעמד של פליטה מכוח האמנה בדבר מעמדם של פליטים. בפסק הדין מצוין כי פסיקה דומה נקבעה כבר לפני שנים רבות בארצות הברית, בקנדה ובבריטניה, המכירות בכך שזו עילה מבוססת למתן מעמד פליט.
משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'
משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' הוא מן התוצאות הקלאסיות והאלגנטיות בתורת המספרים. המשפט, אותו הוכיח ז'וזף לואי לגראנז' ב-1770, קובע שכל מספר טבעי אפשר לכתוב כסכום של ארבעה ריבועים: לכל מספר טבעי n אפשר למצוא מספרים שלמים a,b,c,d, כך ש- formula_1. לדוגמה, formula_2.
משפט ארבעת הריבועים מופיע לראשונה, בלי הוכחה, בהערות שהוסיף קלוד באשה למהדורת יסודות שהוציא לאור בצרפת ב-1621.
הוכחת המשפט של לגראנז'.
הצעד הראשון בהוכחה הוא הזהות המפתיעה &lt;br&gt;
formula_3
שדומות לה יש רק עבור שניים, ארבעה או שמונה נעלמים (משפט הורוויץ, וראו גם תבנית פיסטר). הזהות מראה שאם אפשר להציג שני מספרים כסכום של ארבעה ריבועים, אפשר להציג כך גם את המכפלה שלהם. לכן, די להראות שניתן להציג את כל המספרים הראשוניים כסכום של ארבעה ריבועים, כי כל מספר הוא מכפלה של ראשוניים. ההוכחה לטענה זו מבוססת על העובדה שלכל מספר ראשוני p קיימים formula_4 כך ש- formula_5 מתחלק ב- p, ואז על שיטת הירידה של אוילר, המאפשרת להמיר הצגה של formula_6 (עם formula_7 עבור formula_8. לאחר מספר סופי של צעדים מגיעים להצגה של p עצמו.
הצגות כסכום של ארבעה ריבועים קשורות קשר הדוק לאלגברת הקווטרניונים, ובעיקר לתת-החוג של הקווטרניונים השלמים (חוג Hurwitz השווה ל-formula_9, וחוג Lipschitz השווה ל- formula_10).
משפטים דומים.
כבר במאה השלישית, דיופנטוס שיער כי כל מספר מהצורה formula_11 (למשל: 7, 15, 23) לא ניתן להציג כסכום של שלושה ריבועים. רנה דקארט הוכיח זאת ב-1638. פייר דה פרמה שיער שאלו המספרים היחידים שלא ניתנים להצגה בצורה זו. אדריאן-מארי לז'נדר הציג הוכחה סבוכה לטענה הזו ב-1798, ואילו קרל פרידריך גאוס הביא הוכחה שונה וקצרה בהרבה ב-1801. לדוגמה, 107 אינו מהצורה האסורה, ואכן formula_12. ההוכחה של משפט זה קשה בהרבה מזו של משפט לגראנז', והיא הייתה חלק מהפיתוח של התורה של תבניות ריבועיות במספרים שלמים, שלה תרם גאוס תרומה מכרעת. בהסתמך על תוצאה זו, ניתן להוכיח בדרך פשוטה תוצאה אחרת של גאוס: כל מספר הוא סכום של שלושה מספרים משולשיים או פחות.
באשר להצגה כסכום של שני ריבועים, פרמה כתב ב- 1640 (במכתב למרסן) שאפשר להציג מספר ראשוני p כסכום של שני ריבועים, אם ורק אם הוא נותן שארית 1 בחלוקה ל-4 (גם כאן, העובדה שמספרים מהצורה 4m+3 אינם ניתנים להצגה כסכום של שני ריבועים היא קלה מאוד להוכחה). לא ברור אם פרמה ידע להוכיח טענה זו; ב- 1749 שלח לאונרד אוילר (הפעם, במכתב לגולדבך) הוכחה מסודרת, המבוססת על שיטת הנסיגה האינסופית שפיתח.
תוצאות אלה על הצגה של מספרים כסכום של ריבועים הוכללו בבעיית וארינג, השואלת על המספר הקטן ביותר של חזקות-k שמספיקות להצגת כל מספר טבעי, ובבעיות על 'תבניות אוניברסליות' בתבניות ריבועיות.
הכללות.
מן התאוריה של הסה ומינקובסקי, המהווה מקרה פרטי של עקרון הסה, נובע שמשפט לגראנז' נכון לא רק בשלמים הרציונליים, הרגילים, אלא גם בכל שדה מספרים (ואף בכל שדה גלובלי): כל איבר בשדה כזה ניתן להציג כסכום של ארבעה ריבועים בשדה.
לפי משפט המספרים המצולעים, אותו הוכיח קושי ב-1813, כל מספר ניתן להצגה כסכום של לכל היותר n מספרים מצולעים מסדר n. המקרה הפרטי n=4 הוא משפט לגראנז'.
שד (איבר)
שָׁד הוא אחד מזוג איברים המצויים בגופם של בני אדם. בנשים, מכילים השדיים בלוטות חלב. השדיים הנשיים זהים במבנם ובתפקידם לבלוטות החלב המצויים בכל נקבות היונקים, אך שונים במראם ובמספרם. השדיים מרכזים את בלוטות החלב של האישה ומהווים לפיכך בלוטות חלב מורכבות; כל שד מכיל בין 10 ל-20 בלוטות חלב פשוטות הנפגשות כולן בפִטמה. השדיים נחשבים לסימני מין משניים, והם מתפתחים בדרך כלל בגיל ההתבגרות. הם מורכבים בעיקר משרירים ומרקמות שומן. בתרבויות שונות בעולם השדיים הנקביים מהווים סמל מיני.
מבנה השדיים.
השדיים, חיצונית, הם איבר אלסטי בצורה כללית דמוית כיפה, כאשר על השד, במרכזו, נמצאת הפטמה, ומסביבה העטרה. צבע הפטמה והעטרה שונה מצבע הגוף, והוא משתנה מאישה לאישה ותלוי בין היתר בגוון העור. הגוון נע בין ורוד בהיר לחום כהה.
רקמת השד בנויה משלושה חלקים עיקריים:
מתחת לשד נמצא שריר החזה הגדול.
הנקה.
תפקידם הפיזיולוגי של השדיים הוא הנקת תינוקות. שדי האם מייצרים חלב בסוף תקופת ההריון ולאחר הלידה, המותאם להזנה אופטימלית של תינוק. את תהליך ייצור החלב מבקר הורמון החלב, פרולקטין, המופרש מבלוטת יותרת המוח.
כל אשה מניקה את תינוקה לתקופת זמן שונה, וחלק מהיולדות מעדיפות אף להימנע מהנקה כליל. נשים שלא מניקות (משלל סיבות שונות) עושות שימוש בתרכובות מזון לתינוקות (תמ"ל), המותאמות להזנת תינוקות וכוללות את מרכיבי חלב האם ככל שניתנים לייצור תעשייתי. את התמ"ל מכינים בבקבוק לתינוקות עשוי זכוכית או פלסטיק עם פטמת גומי או סיליקון כפקק. פטמת הבקבוק בנויה בצורה המדמה את פטמת השד.
סרטן השד.
עקב המבנה הרקמתי שלהם נוטה להתפתח בשדיים סרטן השד לסוגיו. המחלה תוקפת כיום אחת מכל 9 נשים בשלב כלשהו של חייהן. גילוי מוקדם חיוני להצלת חיים, איחור באיתור עשוי להיות קטלני, בעיקר בשל נדידת תאים סרטניים דרך צינוריות החלב והלימפה אל הבלוטות הלימפטיות המצויות בבית השחי (אקסילה) ומשם לכל הגוף. אבחון מוקדם קריטי להצלת ממסטקטומיה (כריתת שד) ואף להצלת חיים.
השדיים כמושא לגירוי מיני.
ברוב התרבויות לשדיים תפקיד מרכזי בפעילות המינית. שדיים ובפרט פטמות עשויים להיות בין האיברים המעוררים מינית. הם רגישים למגע שכן יש בהם עצבים רבים. מחקר העלה השערה שגירוי הפטמות מעורר מינית בגלל סמיכות האזורים במוח שקולטים מידע מהפטמות ומאיברי המין הנשיים.
בטקסט ההודי העתיק קאמה סוטרה נשיכת השדיים וגירוד שלהם בציפורניים נחשבים מעוררים מינית. בזמן עוררות מינית השדיים עשויים להתרחב והפטמות עשויות להתקשות.
אצל אנשים רבים מראה הגוף הנשי, שהשדיים רכיב מרכזי בו, גורם להנאה אסתטית או אירוטית. מחקר שנערך באוניברסיטת ויקטוריה בוולינגטון הראה שהשדיים הם לעיתים תכופות החלק הראשון עליו מסתכלים גברים כשהם רואים אישה וכן שהזמן המוקדש להסתכלות על השדיים גדול משל שאר חלקי הגוף.
השדיים בתרבות.
ברוב תרבויות העת העתיקה נתפסו השדיים כסמל לפריון, ובתרבויות מסוימות אלות הפריון יוצגו כבעלות חזה שופע. עם זאת, בחלק מהתרבויות גודל השדיים לא נקשר בפריון, וייצוגם היה פרופורציונלי ואף מינימלי ביחס לחלקים אחרים בגוף.
השמרנות הדתית בימי הביניים צמצמה את היחס האומנותי לשדיים, אך לא העלימה אותו לחלוטים. בתקופת הרנסאנס ציירו ופיסלו ציירים ופסלים רבים נשים שופעות חזה ושומן, כיוון שמודל היופי בתקופה זו הייתה נשים מלאות ושופעות. שדיים הופיעו אף בציורי המדונה והילד. בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20 הייתה תקופה ששדיים בינוניים-קטנים נחשבו למודל היופי, עקב השתנות מודל היופי לנשים רזות.