את רדיוס שוורצשילד ניתן לקבל ממטריקת שוורצשילד - פתרון שוורצשילד החיצוני למשוואות איינשטיין, החוקר מקרה של גוף מבודד (הנמצא בריק (צפיפות 0), רחוק מכל המסות האחרות ביקום), ואשר עומד על ההנחה כי המרחב הנידון הוא איזוטרופי (הכיוונים בו שווה ערך) והנחה שנייה, של קיום פתרון סטטי - מצב יציב שאינו תלוי זמן. הנחות מוצא אלו מאפשרות לצמצם את משוואות איינשטיין לשלוש משוואות עיקריות ולחלץ מהן את ריבוע האינטרוול והטנזור המטרי (הכלים המתמטיים המגדרים את עקמומיות המרחב-זמן) המאפיינים את המקרה שהוגדר, של גוף מבודד (קירוב טוב לתיאור מערכת השמש שלנו, למשל). הטנזור המטרי אשר מתקבל תחת הנחות אלו הוא המטריצה:
כאשר:
מהתבוננות בטנזור המטרי ניתן לראות כי רכיבי האלכסון הראשי של המרחב הנבחן אינם קבועים ותלויי מקום, דבר המצביע על עקמומיות המרחב-זמן ותואם מערכת הנתונה להשפעת כבידה. בחינה נוספת מראה כי עבור מרחק שגודלו formula_14, הרכיבים הקיצונים באלכסון, A11 ו- A44 ( formula_15 ו - formula_16), הופכים לקיצוניים - האחד שואף לאינסוף ואילו האחר לאפס. ערך 'בעייתי' זה הוא רדיוס שוורצשילד. זהו למעשה ערך הרדיוס שעבורו רכיבי הטנזור גורמים לקשיים ו'שוברים' את מערכת הקואורדינטות בה נעשה שימוש - כלומר, מצביעים על כך שזו אינה מתאימה עוד לתיאור המרחב הפיזיקלי בנקודה זו. ההתבדרות זו מציינת קיומה של סינגולריות של הקואורדינטות - תנאי הכרחי, אך בלתי מספיק, לקיומה של סינגולריות כבידתית (המתאפיינת בעקמומיות אינסופית).
רדיוס כבידתי
מזרקת ארבעת הנהרות
מזרקת ארבעת הנהרות (איטלקית: Fontana dei Quattro Fiumi) היא מזרקה הממוקמת במרכז רומא. המזרקה עוצבה על ידי ג'ובאני לורנצו ברניני כחלק מעיצוב פיאצה נאבונה.
המבנה.
הרעיון שעומד מאחורי העיצוב הוא שילוב של כמה סגנונות אדריכליים לכדי יצירת פאר. צורות המזרקה הן קמורות-גאומטריות. במרכזה עומד אובליסק הנותן תחושה של עוצמה, אלוהות, שלטון. בבריכת המזרקה מספר דולפינים מפוסלים. המזרקה עשויה מאבן לא מעובדת עליה נמצאים פסלי השיש שעשה ברניני. צינורות המזרקה נמצאים בתוך הסלע והם מתחברים לצינורות הראשיים של רומא שמתחברים לאמת המים.
המזרקה מייצגת את ארבעת הנהרות הגדולים בעולם שמייצגים את ארבע היבשות שהאפיפיור רוצה לשלוט עליהן:
כל נהר מיוצג בפסל על ידי דמות אחרת. כל דמות היא אל שיושב על סלע וממנו נובע הנהר המתאים. ליד כל נהר יש סמלים המייצגים את הנהר. לדוגמה, ליד הנילוס יש דקל. ראש הדמות המייצגת את הנילוס מכוסה בקפלי בד, כנראה כדי לסמל שמקורות הנילוס עדיין לא היו ידועים באותם ימים.
הרעיון שעומד מאחורי המזרקה הוא שרומא היא המרכז של כל הנהרות/העולם (כי המזרקה נמצאת שם) ממנה נובעים כל הנהרות, והיא המקור שלהם. מעל המזרקה יש סמלים של האפיפיור - שנותן את חסותו לקיום בעולם.
המזרקה משלבת בתוכה שימוש בכמה חומרים: שיש, אבן ומים. בנוסף, המזרקה משלבת בתוכה כמה סוגים של תנועה: תנועה של הפסלים ותנועה של המים.
בספר מלאכים ושדים מאת דן בראון המקום הוא המזבח הרביעי של המדע של האילומינטי.
דרוש מנהיג
דרוש מנהיג היא תוכנית טלוויזיה מסוגת תוכניות המציאות. התוכנית שודרה בשנת 2005 בערוץ 2 על ידי הזכיינית טלעד. בתוכנית, בהנחייתו של קובי מידן, התמודדו 12 אנשים בעלי רקע של מעורבות חברתית המבצעים משימות מנהיגות חברתית שונות.
בכל תוכנית חולקו המתמודדים לשתי קבוצות שמתחרות אחת בשנייה, ובסוף כל פרק, הקבוצה המפסידה הייתה צריכה לבחור את האדם שהכי פחות תרם לה. כמקובל בתוכניות מסוגה זו, עוזב אחד המתמודדים (מתוך שניים שמועלים ל"ועדת הדחה") את התוכנית לאחר דיון ב"פורום המנהיגות" בראשות התעשיין בני גאון (שכולל בכל פרק אורחים מקרב בכירי התעשייה, הביטחון, הכלכלה התרבות והחברה בישראל).
בסוף עונת השידורים קיבל המנהיג שנבחר סך של 5 מיליון ש"ח מקרן סאקט"א רש"י, כדי להגשים חזון חברתי אותו הציג בפרק הראשון של התוכנית.
התוכנית זכתה למדרוג (רייטינג) ממוצע של 9%.
שיטת ההדחה.
שיטת ההדחה הייתה כזו שהקבוצה המפסידה בוחרת רק את החלש ביותר, והוא בוחר אדם נוסף. כך נוצר מצב של "תמות נפשי עם פלשתים". לעיתים המודח בידי הקבוצה דווקא בחר את אחד הבולטים שבקבוצה, שלא היה מגיע לו לעלות לוועדת ההדחה, כמו שקרה בפרק הראשון, והביא לידי כך שדווקא הבולטים בכמה פרקים, הם אלו שהודחו באופן פרדוקסלי.
סיום התוכנית.
בפרק האחרון נבחרה המתמודדת מירב בן-ארי. הבחירה בבן-ארי לוותה בסערה סביב מועמדותה של המתמודדת עביר קובטי, שחברי צוות השופטים קבעו כי אינה תומכת מספיק במטרות מדינת ישראל כפי שהם תופשים אותן. חבר הכנסת מוחמד ברכה כתב בתגובה:
החוד של דאבלין
חבורה אבלית חופשית
במתמטיקה, חבורה אבלית חופשית (מאנגלית: Free abelian group) היא חבורה אבלית בעלת בסיס. זוהי חבורת הסכומים הפורמליים הסופיים מעל קבוצה נתונה, בה הפעולה היא חיבור ברכיבים. זוהי החבורה האבלית הכללית ביותר - כל חבורה אבלית אחרת היא תמונה שלה ולכן גם מנה שלה.
הגדרה.
תכונה אוניברסלית.
את החבורה האבלית החופשית ניתן להגדיר, כמשתמע משמה, בתור החבורה האבלית החופשית ביותר. פורמלית, היא מקיימת את התכונה האוניברסלית הבאה: בהינתן קבוצה formula_1, מתאימים לה חבורה אבלית formula_2 והומומורפיזם formula_3, כך שלכל חבורה אבלית אחרת formula_4 ולכל העתקה formula_5, יש הרחבה יחידה formula_6. כלומר, הדיאגרמה הבאה מתחלפת:
כלומר, העתקות מתוך החבורה האבלית החופשית מספיק להגדיר על היוצרים, כמו גם בחבורה החופשית.
מעצם קיומה את התכונה האוניברסלית, נובע כי החבורה החופשית יחידה עד כדי איזומורפיזם, ועל כן מספיק להציג בנייה שלה.
בנייה מפורשת.
בהינתן קבוצה formula_1, נגדיר formula_8, כלומר סכום ישר של החבורה הציקלית formula_1 פעמים. מפורשות, זוהי קבוצת הסדרות formula_10 בעלות תומך סופי - כלומר, formula_11 פרט למספר סופי של אינדקסים. הפעולה בה היא חיבור סדרות, והנגדי הוא formula_12.
כעת, נראה שהיא מקיימת את התכונה האוניברסלית - השיכון formula_3 נתון על ידי formula_14 (הדלתא של קרונקר), כלומר אל הסדרה שהיא 1 במקום ה-formula_15 ואפס בכל מקום אחר. בהינתן חבורה formula_4 והעתקה formula_5, ההרחבה היחידה שלה נתונה על ידי formula_18.
בדרך כלל מתייחסים אל איברי החבורה האבלית החופשית formula_2 בתור סכומים פורמליים באיברי formula_1. כל סדרה formula_10 מזוהה עם סכום פורמלי סופי formula_22. כך למשל מגדירים את ההרחבה לעיל על פי - formula_23.
תכונות.
בהתאם לבנייה, כל חבורה אבלית אחרת formula_4 היא תמונה של החבורה האבלית החופשית, ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון גם מנה שלה. פירוש הדבר הוא, שלכל חבורה אבלית הצגה כמו לחבורה האבלית החופשית המתאימה, יחד עם היחסים הנובעים מהמנה.
החבורה האבלית החופשית הציקלית (והחופשית) היחידה היא formula_25.
החבורה האבלית החופשית איננה באופן כללי חבורה חופשית, שכן יש בה יחסים; היא החבורה החופשית בתוך הקטגוריה של החבורות האבליות (ואכן מקיימת את אותה התכונה שמקיימת החבורה החופשית בקטגוריית החבורות). זהו מקרה פרטי של בניית אובייקט חופשי בקטגוריה נתונה.
החבורה האבלית החופשית היא האבליניזציה של החבורה החופשית; זוהי החבורה החופשית בתוספת יחס החילופיות - כל שני יוצרים שלה מתחלפים. כלומר, זוהי החבורה האבלית הכללית ביותר.
לכל שתי קבוצות מאותה עוצמה אותה חבורה חופשית - פירוש הדבר הוא שזוהי החבורה של סכום פורמליים של סמלים, ולא משנה מהם הסמלים.
חבורה אבלית היא חבורה חסרת פיתול, וכל חבורה אבלית נוצרת סופית חסרת פיתול היא חופשית. כאשר החבורות לא נוצרות סופית אין הטענה נכונה; הרציונליים formula_26 הם דוגמה לכך.
כל תת חבורה של חבורה אבלית חופשית אף היא אבלית חופשית. הוכחת משפט זה משתמשת באקסיומת הבחירה. זהו המשפט המקביל בחבורות אבליות למשפט נילסן-שרייר בחבורות כלליות. כאשר מדובר בחבורה אבלית חופשית נוצרת סופית, משפט המיון נותן תוצאה מפורשת - לכל בסיס formula_27 של החבורה המקורית, קיימים formula_28 כך ש-formula_29 בסיס לתת החבורה. המקדמים formula_30 לא תלויים בבחירת הבסיס.
חבורה אבלית חופשית היא מודול חופשי מעל חוג המספרים השלמים.
בטופולוגיה אלגברית, חבורת ההומולוגיה האפס של מרחב טופולוגי היא חבורה אבלית חופשית, על קבוצת מרכיבי הקשירות שלו. בשיטה זו אפשר גם לספור את מרכיבי הקשירות המסילתית של מרחבים מסוימים, ולמשל להוכיח בעזרת כלים של תורת ההומולוגיה את משפט עקומת ז'ורדן.
חזרת
הכשרת כלים
בהלכה הכשרת כלים היא פרוצדורה המתבצעת על מנת להכשיר לשימוש כלי בישול, אפייה ומאכל שנעשה בהם שימוש קודם במאכלים לא כשרים באופן שגרם להיבלעות טעם האיסור בדפנות הכלי.
הכשרת כלים נעשית גם לצורך השמשת כלים לבישול חלבי לאחר שבושל בהם בשר ולהפך, או לצורך שימוש בכלים במהלך חג הפסח כשנעשה בהם שימוש קודם במאכלי חמץ. ככלל, ההכשרה נעשית באותו אופן שבו נבלע האיסור בדופני הכלי ("כבולעו כך פולטו").
מקור הדין.
בספר במדבר מסופר שלאחר מלחמת מדיין, חזרו הלוחמים עם שלל מדיין בידיהם, ואלעזר הכהן צווה אותם להכשיר את כלי המדיינים בטרם ישתמשו בהם: .
חז"ל בארו שכתוצאה מבישול מאכל בסיר, טעמו נבלע בדפנותיו. וכיוון שבעת בישול נוסף בסיר, הטעם שנבלע בדפנות נפלט אל התבשיל ונבלע בו, קבעה התורה שיש להכשיר את הכלים שבלעו איסור, אם רוצים לעשות בהם שימוש חוזר. חשש בליעה זה אינו קיים במאכלים קרים שאינם חריפים.
כללי ההכשרה.