ב-1746 זכה המתמטיקאי ז'אן לה רון ד'אלמבר בפרס מטעם האקדמיה הפרוסית למדעים בברלין על מאמרו "The Cause of winds". במקרה פרטי במאמר, ניתנות לראשונה משוואות של תנועת זורמים אי דחיסים במקרה הדו־ממדי, שהיא מקרה פרטי של משוואות אוילר. שנתיים לאחר מכן, פרסם ד'אלמבר מאמר בשם "The resistance of fluid" לתחרות נוספת באקדמיה הפרוסית אך לא זכה בפרס. למרות זאת, חשיבותו של המאמר אינה מוטלת בספק - הוא מכיל לראשונה את מה שכונה "משוואת הערבוליות לזורמים אי־דחיסים", תחת ההנחה שתמיד מתקיים: formula_29. הנחה זו פירושה שהערבוליות אפסית, הנחה מוטעית שאוילר עצמו ישתמש בה במאמרו שלוש שנים מאוחר יותר.
לאחר שחקר את כתביו של דאלמבר בנושא, טען אוילר במאמר בשנת 1750 שהבסיס האמיתי לכל מכניקת הרצף הוא החוק השני של ניוטון המיושם על חלקים בגודל אינפיניטסימלי של הגוף בתנועה. במאמר נוסף משנת 1750–1751 יישם אוילר את הטענה הזו על תנועת נהר, תוך התייחסות אליו כאל בעיית תנועה דו־ממדית. הוא פיתח גרסה של משוואת ברנולי של יוהאן ברנולי, עם נגזרות חלקיות:
formula_30
אך ניכר שאוילר לא היה מרוצה ממונוגרפיה זו
ב־1752 כתב אוילר את המאמר "Principia motus fluidorum" (עברית: עקרונות התנועה של נוזלים) שהציג גרסה מוקדמת של המשוואות לזרימה אי דחיסה. ב־31 באוגוסט 1752 המאמר הוגש לאקדמיה הפרוסית למדעים בברלין. המאמר כלל את הטעות שנעשתה גם על ידי המתמטיקאי ד'אלמבר בבואו למצוא חוקים לזורמים, והיא ההנחה שהערבוליות אפסית. במאמר זה פיתח אוילר לא רק גרסה דו־ממדית של המשוואות, אלא גם לראשונה גרסה תלת־ממדית. אוילר הבין אחרי זמן מה את הטעות שעשה בכך שהתעלם מפתרונות ערבוליים. בשנת 1755 כתב אוילר שלושה מונוגרפים על זורמים.
המונוגרפיה הראשונה, "Principes generaux de l'etat d'equilibre des fluides" (עברית: עקרונות כלליים בנוגע לשיווי משקל בזורמים), הוגשה לאקדמיה בברלין ב־11 באוקטובר 1753 והוקדשה לשיווי־משקל של זורמים, אי־דחיסים ודחיסים. במונוגרפיה זו ניסה אוילר לבסס את מדע ההידרוסטטיקה על עקרון מנחה יסודי, והוא שכל אלמנט אינפיניטסימלי בנוזל אשר נמצא בשיווי משקל יקיים את המשוואה formula_31, כאשר P הוא הלחץ בשפת האלמנט ו־f היא צפיפות הכוח הפעולת עליו. אוילר הראה כי התוצאות הידועות של הידרוסטטיקה נובעות מחוק מתמטי פשוט זה. ואכן, בתחילת המונוגרפיה נכתב:
המונוגרפיה השנייה, "Principes generaux du mouvement des fluides" (עברית: עקרונות כללים בנוגע לתנועה של זורמים), הוגשה לאקדמיה בברלין ב־4 בספטמבר 1755, והוקדשה ליישום העקרונות מהמונוגרפיה הקודמת לטובת הבנת תנועה של זורמים. בתחילת המונוגרפיה נכתב שהבנת תנועה של זורם תלויה בתנאי התחלה של הזורם, שמכונים "המצב הפרימיטיבי של הזורם", אחד האזכורים הראשונים לכך בספרות המתמטית. ממצב זה יש להבין את הכוחות הפועלים על הזורם וכך ניתן להסיק את מצבו הנוכחי. לאורך המונוגרפיה משתמש אוילר בעיקר בצורה התלת־ממדית של המשוואות, ומפתח אותן גם לצורות כלליות כגון עבור זורמים דחיסים:
formula_32
formula_33
כך שההנחה ש־formula_29 אינה הכרחית.
המונוגרפיה השלישית, "Continuation des recherches sur la theorie du mouvement des fluides" (עברית: המשך המחקר בנוגע לתנועה של זורמים), הוגשה לאקדמיה בברלין ב־2 באוקטובר 1755. המונוגרפיה היא המשך ישיר של השתיים הקודמות ופיתוח התוצאות בהן, ובתחילתה כתב אוילר על חשיבות תגליותיו:
בהמשך המונוגרפיה מראה אוילר בין היתר תנאים לקיום פתרון למשוואות וגם את תקפותו של חוק ברנולי לאורך קווי זרם בזרימה יציבה של נוזל לא דחיס, ובכך קיבל פיתוח למשוואת ברנולי. בנוסף, יש עיסוק בזרימה בתוך צינורות דקים.
שלושת המונוגרפיות פורסמו על ידי האקדמיה הפרוסית בברלין בשנת 1757 באוגדן "Mémoires de l'académie des sciences de Berlin 11". כתבים אלו היוו פריצת דרך בהבנת מכניקת זורמים. בסוף המונוגרפיה השנייה שלו משנת 1755 תיאר אוילר את שנותר לגלות בתחום מכניקת הזורמים לאחר פיתוח משוואותיו:
לא כל הקהילה המדעית העריכה את אוילר כראוי על גילוי המשוואות הנושאות את שמו. בספר "Méchanique analitique" של ז'וזף לואי לגראנז' משנת 1788 מצוין דווקא ד'אלמבר כמייסד תחום מכניקת הזורמים, בעוד שמו של אוילר לא מצוין לכל אורך הספר. במהדורה השנייה של הספר שיצאה יותר מ־20 שנה לאחר מכן מופיע המשפט:
נדרשה כמעט מאה שנה שתחלוף בטרם נעשתה התקדמות משמעותית במכניקת זורמים כשם שנעשתה בשנות הארבעים והחמישים על ידי אוילר, ד'אלמבר וברנולי. בסוף שנות השלושים של המאה ה-19 נחקרו השפעותיו של החיכוך על הזרימה על ידי ז'אן לואי מארי פואזיי וגוטהילף היינריך לודוויג האגן. ב-1827 חקר קלוד לואי מרי אנרי נאוויה את השפעות הצמיגות על זרימה, וב-1845 עשה כן ג'ורג' סטוקס. הידע שהושג במחקר הוביל לפיתוח משוואות נאוויה-סטוקס, שמהוות הרחבה של משוואות אוילר. הבנת הפתרונות של משוואה זו על זרימת נוזלים מהווה אחת משבע בעיות המילניום של מכון קליי.
פיתוח של משוואות אוילר.
מספר הערות על פיתוח המשוואות:
משוואת הרצף.
בהינתן צינור ארוך בעל שטח חתך formula_35 אשר זורם בו נוזל בכיוון החיובי של ציר ה־formula_36, החידוש של אוילר היה בחלוקת הצינור לתאים בגודל אינפיניטסימלי ושימוש בכלים של החשבון אינפיניטסימלי כדי לחשב את התנועה של כל החומר הזורם באמצעות זרימה נקודתית. על כן, נחלק את הצינור לתאים אינפיניטסימליים באורך formula_37 ונתבונן בתא מסוים במיקום formula_38. נסמן את הצפיפות והמהירות של הנוזל בו ב־formula_39, formula_40 בהתאמה. בדומה, נסמן את הצפיפות והמהירות של הנוזל בתא משמאלו ב־formula_41 ,formula_42 בהתאמה (ראה איור משמאל).
נתבונן במערכת בזמן formula_43, ונקדם אותה בזמן formula_44 כלשהו. על מנת לפתח את משוואת הרצף, נמצא שני ביטויים שונים לשינוי במסה בתא ב־formula_38 כתוצאה מהקידום בזמן ונשווה ביניהם.
ראשית, כתוצאה מהקידום בזמן הנוזל בתא השמאלי יתקדם מרחק של formula_46, ולכן סך כל המסה הנכנסת לתא ב־formula_38 היא formula_48. באותו האופן, סך כל המסה היוצאת מהתא ב־formula_38 לתא מימנו היא formula_50. מכאן שהשינוי במסה בתא ב־formula_38 הוא ההפרש בין שני הביטויים. כעת, את השינוי במסה נוכל לרשום גם במפורש בתור ההפרש formula_52, כאשר formula_53 היא המסה בתא ב־formula_38 בזמן formula_55.
נשווה בין שני הביטויים שמצאנו ונקבל:
formula_56
נחלק ב־formula_37 וב־formula_44 ונקבל:
formula_59
ועל ידי לקיחת הגבולות formula_60 נקבל מהגדרת הנגזרת את משוואת הרצף:
formula_61
ומהפיתוח מסיקים שמשוואה זו אכן מבטאת שימור מסה.
משוואת שימור תנע.
כדי לפתח את משוואת שימור התנע משתמשים ברעיונות וכלים דומים. נקדם את המערכת בזמן formula_44, ונחפש שני ביטויים לשינוי בתנע של התא ב־formula_38.
ראשית, כמות התנע הנכנס לתא האינפיניטסימלי ב־formula_38 מהתא משמאלו הוא מכפלת מסת החומר הנכנס במהירותו, כלומר: formula_65. בדומה, כמות התנע העוזבת את התא אל התא מימינו היא formula_66. השינוי בתנע הוא ההפרש ביניהם.
מצד שני, אפשר לכתוב במפורש את השינוי בתנע בתור ההפרש formula_67, כאשר formula_68 הוא התנע בתא בזמן t.
בנוסף על כך, בעקבות הקידום בזמן פועל מתקף על הנוזל. נסמן ב־formula_6 את הלחץ. התא השמאלי מפעיל מתקף formula_70 על החומר הנכנס לתא, והתא ב־formula_38 מפעיל מתקף formula_72 על החומר היוצא מהתא. מכאן שהמתקף הכולל שפעל על החומר בתא ב־formula_38 הוא formula_74.
על ידי השוואה בין שני הביטויים לשינו בתנע, מתקבלת המשוואה:
formula_75
נחלק ב־formula_37 וב־formula_44 ונקבל:
formula_78
על ידי לקיחת הגבולות formula_60 נקבל מהגדרת הנגזרת את משוואת התנועה:
formula_80
על מנת לקבל את המשוואה בצורתה המוכרת, נשתמש בעובדה כי formula_81 ונוכל לכתוב:
formula_82
כעת, נשתמש במשוואת הרצף על מנת לכתוב formula_83, ונקבל:
formula_84
ומהפיתוח מסיקים כי משוואה זו אכן מבטאת שימור תנע.
משוואת שימור האנרגיה.
פיתוח משוואת שימור האנרגיה נעשה אף הוא בכלים וברעיונות דומים. נציג את השינוי באנרגיה, formula_85 בתא ב־formula_38 בשתי דרכים שונות. הדרך הראשונה היא הפשוטה יותר, ובה נתאר את האנרגיה בתא לפני ואחרי ההתקדמות בזמן בצורה מפורשת: formula_87, כאשר formula_88 מבטאת את סך כל האנרגיה בתא בזמן t.
הדרך השנייה מתחשבת רעיונית באנרגיה שעוזבת ונכנסת לתא בעקבות הקידום בזמן. האנרגיה שנכנסת לתא היא האנרגיה של החומר שנכנס לתא מהתא ב־formula_89. סך כל החומר הנכנס לתא הוא בעל מסה של formula_90, ולכן האנרגיה שלו היא formula_91. בדומה, האנרגיה שעוזבת את התא היא formula_92.
על מנת להשוות ביניהן, עלינו להתחשב גם בעבודה שמבצע הלחץ בעת המעבר של הנוזל מתא לתא. סך כל העבודה שמבצע התא על החומר היא formula_93. מכאן שמתקבל השוויון הבא:
נחלק ב־formula_37 וב־formula_44 ונקבל:
ועל ידי לקיחת הגבולות formula_60 נקבל מהגדרת הנגזרת:
formula_101
נסמן formula_102 ונקבל
formula_103
משוואות אוילר בתיאור לגרנז'י.
בתיאור לגרנז'י, את הנגזרות החלקיות לפי הזמן מחליפים בנגזרת החומרית formula_104 בתיאור זה, המשוואה עוקבת אחרי אלמנט זורם שניתן לתאר כגוף ניוטוני. בצורה זו, משוואת שימור התנע ומשוואת שימור האנרגיה מקבלות צורה פשוטה יותר, המוכרת ממכניקה ניוטונית ותרמודינמיקה.
משוואת הרצף.