יהי formula_1 מרחב מנייה שנייה, ויהי formula_2 כיסוי פתוח של formula_1. נראה שקיים לו תת-כיסוי בן מנייה. מהנתון, קיים ל-formula_1 בסיס בן מנייה formula_5. לכל formula_6 נבחר איזושהי קבוצה בכיסוי formula_2 המכילה את formula_8, אם ישנה. נסמן את אוסף הקבוצות שהתקבל ב-formula_9. הוא בן מנייה מעצם בנייתו, ונראה כעת שהוא כיסוי של formula_1. אכן, תהי formula_11. מהגדרת הכיסוי, קיימת איזושהי formula_12 כך ש-formula_13. זהו כיסוי פתוח, ולכן מהגדרת בסיס קיים formula_14 עבורו formula_15. אבל, מבניית formula_9 יש איזושהי קבוצה בו המכילה את formula_8 (ייתכן שזו formula_18, אמנם זה לא משנה) ולכן היא מכילה גם את formula_19. מכך נקבל ש-formula_9 תת-כיסוי בן מנייה כנדרש. formula_21
קבוצות פתוחות בישר הממשי.
הלמה של לינדלף בגרסתה הממשית, קובעת כי כל קבוצה פתוחה formula_22 היא איחוד בן-מנייה של קטעים פתוחים, שכן כל formula_13 מוכל באיזה קטע ממשי formula_24 בעל קצוות רציונליים. היות שיש מספר בן-מניה של קטעים ממשיים בעלי קצוות רציונליים, ניתן לבחור ל-formula_18 כיסוי בן-מניה של קטעים פתוחים.
תכונת המניה השניה
פרובו
פרובו (באנגלית: Provo) היא העיר הגדולה ביותר במחוז יוטה, והשלישית בגודלה במדינת יוטה שבארצות הברית. העיר ממוקמת כ-69 קילומטרים דרומית לסולט לייק סיטי (עיר הבירה של יוטה).
לפי מפקד האוכלוסין של ארצות הברית בשנת 2010, אוכלוסיית פרובו מנתה 112,488 אנשים ואוכלוסיית המטרופולין מנתה 526,810 תושבים, זו העיר השלישית בגודל המטרופולין שלה במדינת יוטה אחרי הערים סולט לייק סיטי ואוגדן-קלירפילד. בעיר נמצאת אוניברסיטת בריגהאם יאנג, אוניברסיטה פרטית להשכלה גבוהה אשר בבעלות הכנסייה המורמונית. משרדיה הראשיים של חברת נובל (חברה העוסקת בתוכנה ובטכנולוגיית מידע) שכנו אף הם בעיר.
בשנת 2009 הופיעה פרובו ברשימת "היכן לגור ולשחק" במגזין "National Geographic Adventure" של הערוץ "Nat Geo People" כ'מרכז תרבותי'. ב-2010 מגזין "פורבס" דירג את פרובו כאחד מעשרת המקומות הטובים ביותר לגדל משפחה. לאחר מכן, בשנת 2013, "פורבס" דירג את פרובו במקום השני ברשימת 'המקומות הכי טובים לעסקים וקריירה'.
ב-17 באפריל 2013 הכריזה על כך שתהיה אזור המטרופולין השלישי בארצות הברית שיארח את Google Fiber, ועל ידי כך תהיה עיר בעלת רשת סיבים אופטיים.
היסטוריה.
סילבסטר אסקלנטה, חוקר פרנציסקני ספרדי, נחשב לחוקר האירופאי הראשון אשר ביקר באזור זה, בשנת 1776.
פרובו נקראה במקור 'פורט יוטה', כשהחלה להיות מיושבת בשנת 1849 על ידי 33 משפחות מורמוניות מהעיר סולט לייק סיטי, אבל נקראה מחדש "פרובו" בשנת 1850, על שם אטיין פרובו, סוחר פרווה צרפתי-קנדי שהגיע לאזור בשנת 1825.
בשנת 1872 העיר חובה למערכת מסילת רכבת והחל פיתוח תעשייתי של העיר.
בשנת 1984 בעיר הוקמה חברה "נו סקין". מטה שלה עד היום ממוקם בעיר.
אוכלוסייה.
על פי מפקד האוכלוסין של ארצות הברית בשנת 2010, 112,488 אנשים, 31,524 משקי בית, ו-21,166 משפחות התגוררו בעיר. צפיפות האוכלוסייה הייתה 1,042.5 נפש לקמ"ר. בעיר היו 84.8% לבנים, 0.7% שחורים או אפרו אמריקאים, 0.8% הודים אמריקאים, 2.5% אסיאתים 1.1% פאסיפים, 6.6% מגזעים אחרים ו-3.4% משני גזעים או יותר.
משוואות אוילר (מכניקת הזורמים)
במכניקת זורמים, משוואות אוילר הן שלוש משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות התנהגות פיזיקלית של זורמים במרחב, שפותחו על ידי המתמטיקאי לאונרד אוילר וקרויות על שמו. המשוואות מורכבות ממשוואת הרצף (המתארת שימור מסה), משוואת התנועה (המתארת שימור תנע), ומשוואת שימור האנרגיה (המתארת שימור אנרגיה).
חשיבותן של המשוואות גולשת מעבר לתחום מכניקת הנוזלים. בין היתר, יש למשוואות שימושים רבים בתחום האווירודינמיקה - באמצעתן ניתן לבחון מודלים ממוזערים של כלי תחבורה לצורך הבנת התנהגותם בגודל אמיתי. המשוואות אף היוו פריצת דרך מתמטית בשימוש בכלים של החשבון הדיפרנציאלי לתיאור תופעות פיזיקליות. קרוב ל־100 שנים אחרי פיתוחן, משוואות אוילר היוו הבסיס לפיתוח משוואות נאוויה-סטוקס, שהן הכלי המרכזי כיום להבנה של מכניקת זורמים.
משוואות אוילר.
המשוואות בממד אחד ומשמעותן הפיזיקלית.
כאשר:
חוק השימור שכל אחת מהמשוואות מייצגת ניתן להסבר אינטואיטיבי:
משוואת הרצף.
משוואה זו מתארת שימור מסה. במילים, המשמעות של המשוואה הוא כדלקמן: "השינוי במסה של הזורם באזור מסוים הוא תוצאה של זרימת מסה פנימה והחוצה מאזור זה בלבד".
נראה שקילות בין המשוואה למשמעות המילולית שניתנה לעיל. נתבונן בתא סטטי בזורם בעל נפח formula_10. הביטוי formula_11 משמעו קצב השינוי של הצפיפות בנפח formula_10. הביטוי formula_13 מבטא את הקצב שבו מסה נכנסת או יוצאת מאזור זה, כאשר הביטוי formula_14 מייצג את זרם המסה. המשמעות הפיזיקלית של זרם המסה דומה למשמעות של זרם חשמלי, אך עם תנועה של מסה במקום תנועת מטענים חשמליים. מכאן שהמשמעות של המשוואה היא שעל מנת למצוא את השינוי של המסה בנפח formula_10, הוא formula_11, יש להתבונן בהפרש בין זרם המסה הנכנס לתא לזרם המסה היוצא ממנו. משמעות עובדה זו היא שימור מסה, שכן היא קובעת שלא מופיע נוזל יש מאין.
משוואת התנועה.
משוואה זו מתארת שימור תנע, והיא מהווה הרחבה של החוק השני של ניוטון ממוצקים לזורמים.
החוק השני של ניוטון קובע כי formula_17, והוא אכן מבטא שימור תנע. לעיתים קרובות קשה להגדיר נפח במכניקת זורמים, ועל כן לרוב עובדים עם גדלים שהם "ליחידת נפח". כך למשל נהוג לעבוד עם צפיפות במקום עם מסה. מסיבה זו, נבטא את החוק השני של ניוטון בצורה: formula_18, כאשר formula_19 הוא כוח ליחידת נפח. כעת, את התאוצה בחוק ניוטון אפשר להחליף בהגדרתה - שינוי המהירות כתלות בזמן, formula_20. בנוסף, מכיוון שלחץ הוא כוח ליחידת שטח, אפשר לכתוב formula_21. מכאן מקבלים formula_22, ועל ידי סידור המשוואה מתקבלת המשוואה formula_23. משוואה זו דומה למשוואת שימור התנע שהוצגה, אך יש להסביר את האיבר האחרון שנותר - formula_24. איבר זה הוא איבר ה"הסעה", וקשור לעובדה שבחלקים שונים בנוזל ייתכנו מהירויות שונות, מה שיגרום לתאוצה. דוגמה לכך היא תנועה של נוזל דרך צינור שהולך וצר. במקרה זה, ככל שהצינור נהיה צר יותר, כך מהירות הנוזל היא גדולה יותר, ואנו מקבלים תאוצה. תופעה זו מכונה האצת הסעה (Convective acceleration).
משוואת שימור האנרגיה.
משוואה זו מתארת שימור אנרגיה. בדומה למשוואת הרצף, משמעות המשוואה היא שהשינוי באנרגיה ליחידת נפח באזור בנוזל, הוא formula_25, הוא תוצאה של זרימת אנרגיה לתוך נפח זה, המתואר על ידי זרם האנרגיה - formula_26. למעשה, ניתן להבין משוואה זו כמעין משוואת רצף עבור אנרגיה. נדגיש כאן שמכיוון שמשוואות אוילר מתארות זורמים, בחישוב האנרגיה עלינו להתחשב באנרגיה הפנימית של הנוזל, ולא באנרגיה הקינטית שלו בלבד.
המשוואות במימד אחד בזרימה רדיאלית.
formula_27
המשוואות בקואורדינטות כדוריות נוחות יותר לשימוש כאשר הזרימה היא רדיאלית, לדוגמה כאשר עוסקים בבעיות קריסה של בועה או כוכב.
המשוואות בתלת ממד.
formula_28
היסטוריה.
שורשן של משוואות אוילר נובע מחוקי ניוטון שנוסחו בשנת 1687. בעוד חוקי ניוטון מתארים נכונה את החוקים הפיזיקליים הכלליים הפועלים על זורמים, יישום שלהם על נוזל מסוים מוביל לקשיים - שכן לא ניתן לראות נוזל רק כסך המולקולות המרכיבות אותו. זאת מכיוון שבפתרון המשוואות עבור נוזלים, רצוי להתייחס למושגים מאקרוסקופיים המתארים אותם כלחץ ונפח, שלרוב לא ניתן להגדיר היטב על מולקולות בודדות. רק כאשר מתייחסים לנוזל כאל רצף, ומשיימים את עקרונות החשבון האינפיניטסימלי עליו בכך שמחלקים אותו לגדלים קטנים ומבצעים חישוב על כל אחד בנפרד, ניתן ליישם כהלכה את חוקי ניוטון. ההבנה הזו הייתה תהליך ממושך, שהתחיל עם הניסיון הראשון של דניאל ברנולי ב־1738 ליישם עקרונות דינמיים כלליים על נוזל בתנועה, והגיעה לשיאה 17 שנה לאחר מכן עם פרסום משוואות אוילר על ידי לאונרד אוילר. המחקר שנעשה בשנים אלו לגילוי החוקים הפועלים על זורמים הוביל בין היתר לפיתוח של כלים מתמטיים חדשים, כמו כתיבה של משוואות וקטוריות, המושג של שדה מהירות וטכניקות לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות.
ב־1738 כתב דניאל ברנולי בספר "Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii" (הידרודינמיקה, דיסרטציה על כוחות זורמים ותנועתם) את הניסיון הראשון ליישום של עקרון כללי לתנועת זורמים. ברנולי יישם את עקרון שימור האנרגיה של הויגנס על זורמים והשיג תיאור גאומטרי של חוקים הכוללים אף גרסה חד־ממדית של משוואות אוילר.
ב־1742 פרסם יוהאן ברנולי, אביו של דניאל ברנולי, את ספרו "Hydraulice", והשתמש הפעם בחוקי ניוטון ובמיוחד בחוק השני שלו, במקום בעקרונות של הויגנס. התוצאה הייתה פיתוח של משוואת ברנולי שהשיג בנו, עם כתיב יותר אלגברי ופחות גאומטרי.