פירוש הדבר שדרך "P" ישנם אינסוף ישרים שנחים באותו מישור ואינם חותכים את "R".
את הישרים הלא-נחתכים הללו נהוג לחלק לשתי קבוצות:
ישנם מחברים שמשתמשים במונח ישרים "מקבילים" כדי להתייחס ל"מקבילים גבוליים" ובמונח ישרים "בלתי נחתכים" כדי להתייחס לקווים "אולטרה-מקבילים".
המקבילים הגבוליים הללו יוצרים זווית "θ" עם "PB"; זווית זו תלויה רק בעקמומיות גאוס של המישור ההיפרבולי בו עוסקים ובמרחק "PB" והיא נקראת זווית ההקבלה.
בעבור קווים אולטרה-מקבילים, משפט הקווים האולטרה-מקבילים קובע כי ישנו ישר יחיד במישור ההיפרבולי שניצב לצמד ישרים אולטרה-מקבילים.
משולשים.
בשונה ממשולשים אוקלידיים, בהם הזוויות תמיד נסכמות ל-π רדיאנים (180 מעלות), בגאומטריה היפרבולית סכום הזוויות של משולש היפרבולי תמיד קטן מ-π רדיאנים. את ההבדל מכנים מגרעת זוויתית.
השטח של משולש היפרבולי ניתן על ידי מכפלת המגרעת הזוויתית שלו (ברדיאנים) ב-"R"2 (כאן "R" הוא רדיוס העקמומיות המתאים למישור ההיפרבולי הנידון). כתוצאה ישירה, לכל המשולשים ההיפרבוליים יש שטח שקטן או שווה ל-"R"2π. השטח של משולש אידיאלי (משולש שכל צלעותיו אסימפטוטיות זו לזו) שבו כל הזוויות הן 0° שווה לחסם העליון הזה. בכך נעוץ אחד ההבדלים המהותיים בין הגאומטריה ההיפרבולית לאוקלידית - לגאומטריה היפרבולית יש קנה מידה אבסולוטי טבעי; קיים קשר בין תוצאות מדידות של מרחק לתוצאות מדידת זוויות.
בדומה לגאומטריה כדורית או אליפטית, בגאומטריה היפרבולית אם שני משולשים דומים אז הם בהכרח חופפים.
מעגלים ודיסקים.
בגאומטריה היפרבולית, ההיקף של מעגל בעל רדיוס "r" גדול יותר מ-formula_1.
יהי formula_2, כאשר formula_3 היא עקמומיות גאוס של המישור. בגאומטריה היפרבולית, העקמומיות formula_4 שלילית, כך שהשורש הריבועי מקודם הוא מספר חיובי.
ההיקף של מעגל בעל רדיוס "r" שווה ל-:
והשטח של הדיסק התחום במעגל זה הוא:
לפיכך, בגאומטריה היפרבולית היחס בין היקף המעגל לרדיוסו תמיד גדול יותר מ-formula_7, על אף שניתן להתקרב ליחס זה באופן שרירותי באמצעות בניית מעגל קטן מספיק.
אם עקמומיות גאוס של המישור היא 1- אז העקמומיות הגיאודזית של מעגל בעל רדיוס "r" היא: formula_8.
עקביות הגאומטריה ההיפרבולית.
הדרך הטובה ביותר להשתכנע שהתורה החדשה עקבית (כלומר, שאין בה סתירות) היא לבנות מודל שלה במסגרת תאוריה אחרת, מקובלת יותר. פירושו של דבר, שבמסגרת התאוריה הוותיקה, בוחרים קבוצה שתייצג את המישור ההיפרבולי, ומאפיינים את הנקודות ואת הקווים הישרים במישור זה. כל שנדרש מן המודל הוא שהקווים והנקודות שלו יקיימו את האקסיומות של התורה החדשה. אם קיים מודל כזה, אז העקביות של התאוריה החדשה נובעת מזו של התאוריה הישנה.
באופן צפוי (אך אירוני), המודלים המקובלים לגאומטריה ההיפרבולית הם במסגרת הגאומטריה האוקלידית. יש להבין, שקיומם של מודלים כאלה מוכיח כי אם הגאומטריה האוקלידית עקבית, הרי שבהכרח תכונה זו חלה גם על הגאומטריה ההיפרבולית. זו כשלעצמה הוכחה שאקסיומת המקבילים (האוקלידית) בלתי תלויה באקסיומות הגאומטריות האחרות (העקביות של הגאומטריה האוקלידית עצמה נשענת על העקביות של תורת הקבוצות, דרך המודל הסטנדרטי של המרחב האוקלידי).
מודלים של המישור ההיפרבולי.
את המישור ההיפרבולי ניתן לאפיין, כמרחב עם תבנית דיפרנציאלית, כמשטח רימן שלם פשוט קשר בעל עקמומיות formula_9 בכל נקודה. מבחינה טופולוגית, הוא מהווה כיסוי אוניברסלי לכל משטח רימן בעל עקמומיות קבועה ושלילית.
למישור ההיפרבולי יש כמה מודלים מקובלים, שכולם ניתנים לתיאור ובנייה במסגרת הגאומטריה האוקלידית:
עקרון העונג
עקרון העונג (או עקרון ההנאה) הוא עקרון שפיתח זיגמונד פרויד בפסיכואנליזה שלו. את המונח "עקרון העונג" (גרמנית: Lustprinzip) לא טבע פרויד, אלא לפניו גוסטב פכנר. לטענת פרויד, העקרון מניע את האדם להגיע להנאה מקסימלית ולכאב מינימלי. לפעולה לפי עקרון העונג אחראי האיד, שהוא חלק מהלא-מודע שבנפש. ההנאה שמדבר עליה פרויד היא הנאה ביולוגית-גופנית, ובעיקר הוא הדגיש את ההנאה המינית.
על פי התאוריה הפרוידיאנית, תינוקות פועלים על פי עקרון העונג בלבד (לא מסוגלים לדחות סיפוקים, מעוניינים בסיפוקם במהלך השלב האוראלי של התפתחותם). במהלך החיים, מתפתח מ"עקרון העונג" גם עקרון המציאות, שבו אדם אמנם מחפש סיפוקים ונמנע מכאב, אך מוכן לדחות סיפוקים במידת הצורך. ההתנגשות בין הרצון לסיפוק והצורך לדחות סיפוקים הוא שורש הקונפליקט שבין האדם לחברה.
במספר מחקרים דווח, כי הסובלים מבעיות במוח, למשל מתסמונת קורסקוף, מאבדים את "עקרון המציאות" וחוזרים להתנהגות המונעת מדחפים לא-מודעים.
אלטון ברנד
אלטון טיירון ברנד (באנגלית: Elton Tyron Brand; נולד ב-11 במרץ 1979 בקורטלנד מאנור, ניו יורק) הוא כדורסלן עבר אמריקאי, אשר שיחק בליגת ה-NBA בין השנים 1999–2016. נבחר בבחירה הראשונה של דראפט 1999 על ידי שיקגו בולס. בין השנים 2018–2020 שימש כג'נרל מנג'ר של קבוצת פילדלפיה 76'.
תיכונים ומכללות.
ברנד נולד בקורטלנד מאנור, ניו יורק. הוא החל את הקריירה שלו בגיל 13 בתיכון פקסקיל, שם הוכנס מידית לנבחרת בית הספר בה העמיד ממוצעים של 40 נקודות ו-20 ריבאונדים למשחק. בנוסף שיחק ברנד באיגוד האתלטים החובבים יחד עם שחקני ה-NBA העתידיים, רון ארטסט ולמאר אודום. ברנד עזר לקבוצתו לזכות בשתי אליפויות תיכונים.
לאחר ששיחק בתיכון פקסקיל עבר ברנד למכללת דיוק שם שיחק עם שחקני ה-NBA בעתיד שיין באטייה וקורי מגטי.
ברנד הוביל את קבוצתו למשחק הגמר בפיינל פור האליפות, שם הפסידה קבוצתו לקונטיקט.
קריירת משחק ב-NBA.
שיקגו בולס.
ברנד נבחר בבחירה הראשונה של דראפט 1999 על ידי שיקגו בולס. בעונת הרוקי שלו העמיד ממוצעים של 20.1 נקודות ו-10 ריבאונדים למשחק אך שיקגו סיימה עם מאזן שלילי ולא העפילה לפלייאוף. בסיום העונה חלק ברנד עם סטיב פרנסיס מיוסטון רוקטס את פרס רוקי העונה. בעונת רשם ברנד ממוצעים דומים, עם 20.1 נקודות ו-10.1 ריבאונדים למשחק ואף סיים במקום השני ב-NBA בריבאונדים בהתקפה עם 3.9 למשחק, שני רק לדיקמבה מוטומבו ברשימה. גם בעונה זו שיקגו לא העפילה לפלייאוף.
לוס אנג'לס קליפרס.
ב-27 ביוני 2001 ברנד הועבר בטרייד ללוס אנג'לס קליפרס תמורת בריאן סקינר וזכויות הדראפט על טייסון צ'נדלר. אחרי עונה סולידית של 18.2 נקודות ו-11.6 ריבאונדים למשחק, הפך ברנד לשחקן הקליפרס הראשון שנבחר להשתתף במשחק האולסטאר מאז 1994, אך קבוצתו לא העפילה לפלייאוף. בתחילת עונת קיבל ברנד, שהיה שחקן חופשי, הצעה של 82 מיליון דולר ל-6 שנים ממיאמי היט, אך הקליפרס השוו הצעה זו וברנד נשאר בלוס אנג'לס. בעונות עד המשיך ברנד להוביל את קבוצתו עם 19.6 נקודות ו-10.3 ריבאונדים למשחק, אך רצף החמצות הפלייאוף של הקליפרס מאז נמשך.
לפני עונת עבד ברנד על פיתוח קליעה מטווח יותר רחוק והורדת משקלו, שעזרו לו בעונה הטובה ביותר בקריירה שלו בה הוא קלע 24.7 נקודות ב-52.7% מהשדה וקלט 10.0 ריבאונדים למשחק. הוא גם נבחר למשחק האולסטאר בפעם השנייה והאחרונה בקריירה שלו, שם קלע 12 נקודות וקלט 7 ריבאונדים, וסיים במקום השביעי בהצבעה לפרס ה-MVP של העונה הסדירה. בסיום העונה הוא הוביל את קבוצתו לפלייאוף לראשונה מאז 1997, ובסיבוב הראשון התמודדו מול הדנוור נאגטס אותם ניצחו בחמישה משחקים. בכך הייתה זו הפעם הראשונה מאז עונת בה העפיל המועדון לחצי גמר המערב, אז נקראו הבאפלו ברייבס והוביל אותם בוב מקאדו. בסיבוב השני פגשו הקליפרס את הפיניקס סאנס שהובלו על ידי סטיב נאש, להם הפסידו ב-7 משחקים. בפלייאוף העמיד ברנד ממוצעים טובים של 25.4 נקודות ב-55.1% מהשדה, 10.3 ריבאונדים, 4.0 אסיסטים ו-2.6 חסימות ב-12 משחקים. בסוף העונה זכה ברנד בפרס הספורטיביות של ה-NBA על שם ג'ו דיומרס.
בעונת צנחו ממוצעיו של ברנד ל-20.5 נקודות ו-9.3 ריבאונדים למשחק, והקליפרס החמיצו את הפלייאוף לאחר שסיימו את העונה הסדירה עם מאזן 40–42. ברנד פספס את רוב עונת בגלל פציעה בגיד האכילס השמאלי, והשתתף בשמונה משחקים בלבד. עונה זאת הייתה האחרונה בחוזה 6 השנים של ברנד ובסופה הוא הפך לשחקן חופשי.
פילדלפיה 76'.
ב-9 ביולי 2008, לקראת עונת , החתימו פילדלפיה 76' את אלטון ברנד על חוזה כשחקן החופשי. בגלל פציעות כתף וניתוחים, שיחק ברנד רק ב-29 משחקים וקלע 13.8 נקודות למשחק. קבוצתו לא העפילה לפלייאוף. עונת הייתה עונה לא טובה לברנד שהמשיך בירידה בממוצעיו, ובה קלע 13.1 נקודות בממוצע למשחק, וקבוצתו שוב לא העפילה לפלייאוף.
בעונת קלע ברנד כ-15 נקודות למשחק ועזר לפילדלפיה להעפיל לפלייאוף, בו הפסידה בסיבוב הראשון למיאמי היט, שהובלו על ידי לברון ג'יימס, דוויין וייד וכריס בוש, בחמישה משחקים. בפלייאוף קלע ברנד 15.6 נקודות ב-54.8% מהשדה והוריד 8.4 ריבאונדים למשחק.
בעונת ממוצע הנקודות של ברנד ירד ל-11 למשחק, אך בעזרת סגל מאוזן שכלל את ג'רו הולידיי, אנדרה איגודלה ות'דאוס יאנג, העפילה פילדלפיה לפלייאוף מהמקום השמיני במזרח. בסיבוב הראשון ניצחו הסיקסרס את שיקגו בולס בתוצאה 2–4, לאחר שכוכב הבולס דריק רוז נפצע במשחק הראשון בסדרה בברכו השמאלית. בסיבוב השני הפסידו פילדלפיה לבוסטון סלטיקס שהובלו על ידי קווין גארנט, פול פירס וריי אלן, בתוצאה 3–4. בפלייאוף שיחק ופתח ברנד בכל 13 המשחקים של קבוצתו, בהם קלע 8.6 נקודות ואסף 4.8 ריבאונדים למשחק. ב-11 ביולי 2012 שוחרר ברנד מקבוצתו.
דאלאס מאבריקס.