בנוסף ניתן להגדיר בניות רבות המוגדרות עבור יריעות חלקות בטופולוגיה דיפרנציאלית וגאומטריה דיפרנציאלית עבור יריעות אלגבריות. לדוגמה עבור יריעה אלגברית formula_29 ונקודה formula_176 ניתן להגדיר את המרחב המשיק formula_177 ל-formula_29 ב-formula_179. מושג המרחב המשיק הוא מקומי. לכן די להגדירו עבור יריעה אפינית. במקרה זה formula_177 הוא המרחב הדואלי ל-formula_181, כאשר formula_182 הוא אידיאל הפונקציות שמתאפסות ב-formula_179.
ניפוח.
בנייה חשובה נוספת של יריעות אלגבריות היא הניפוח (blow-up). ניפוח של יריעה אלגברית formula_29 לאורך תת-יריעה סגורה formula_185 היא בנייה מסוימת של יריעה formula_51 ביחד עם העתקה נאותה formula_187 אשר מהווה איזומרפיזם מחוץ ל-formula_185. באופן אינטואיטיבי הניפוח מחליף את formula_185 בפרויקטיביזציה של האגד הנורמלי ל-formula_185. לניפוח חשיבות רבה בגאומטריה אלגברית, בין השאר מכיוון שהוא מהווה את הכלי המרכזי לבנית התרת סינגולריות.
מחלקות של יריעות והעתקות.
תכונות טופולוגיות.
טופולוגית זריצקי על יריעה אלגברית איננה משקפת את המבנה הגאומטרי של היריעה. למשל, היא כמעט לעולם אינה האוסדורפית ותמיד (קווזי-) קומפקטית. לכן רוב המושגים מטופולוגיה (ובפרט מטופולוגיה אלגברית) לא יהיו רלוונטיים עבור יריעות אלגבריות, ובדרך כלל יהיה צורך להגדיר אנלוגים שלהם באמצעות שאר המבנה על יריעה אלגברית. עם זאת יש מספר מושגים בסיסיים שניתן להגדיר על ידי הטופולוגיה בלבד.
תכונות גלובליות.
שתי מחלקות בסיסיות של יריעות אלגברית הן יריעות פרידות ויריעות שלמות.
הערה: אם נחזור על הגדרות אלה עבור מרחבים טופולוגיים, נקבל הגדרות שקולות להאוסדורפיות וקומפקטיות. אולם מושגים אלה אינם שקולים להאוסדורפיות וקומפקטיות (לפי טופולגית זריצקי) מכיוון שטופולגיית המכפלה על formula_162 שונה מהטופולגיה על formula_162.
בנוסף יש עוד תכונות גלובליות רבות הנחקרות בגאמטריה אלגברית, למשל תכונות המבוססות על מושג השקילות הבירציונלית (כמו רציונליות) ותכונות המבוססות על אלומות קוהרנטיות (כמו Fano ו Calabi-Yau)
תכונות מקומיות.
התכונה המקומית הבסיסית של יריעות אלגבריות היא חלקות. יריעה אלגברית formula_29 נקראת חלקה בנקודה formula_200 אם ממד המרחב המשיק formula_177 ל-formula_29 בנקודה formula_179 שווה לממד היריעה formula_29 בנקודה formula_179. יריעות אלגבריות חלקות דומות מאוד למרחב אפיני באופן מקומי, אף על פי שאין איזומורפיזם בין סביבת זריצקי של נקודה חלקה לקבוצה פתוחה במרחב אפיני. לכן כאשר חוקרים את המבנה המקומי של יריעה אלגברית מתעניינים בדרך כלל ביריעות סינגולריות (זאת-אומרת לא חלקות) ומחקר זה נקרא תורת הסינגולריות. בין התכונות השונות של סינגולריות אפשר למנות: נורמליות, כהן-מקולי, גורנשטין, חיתוך מלא, מחלק עם חיתוך נורמלי, סינגולריות רציונלית, סינגולריות (לוג) קנונית, סינגולריות (לוג) טרמינאלית, סינגולריות סמפלקטית ועוד.
העתקות ומשפחות של יריעות.
אחת הדרכים לחשוב על העתקה בין יריעות אלגבריות formula_130 היא בתור משפחה של יריעות אלגבריות, כאשר הפרמטר של המשפחה היא נקודה שנעה ב-formula_29, ולכל נקודה formula_200 אנו מתאימים את היריעה formula_209. לפי הגישה היחסית של גרותנדיק אפשר לנסות להכליל כל מושג שהוגדר עבור יריעות אלגבריות, גם עבור משפחה של יריעות אלגבריות או במילים אחרות - העתקות.
בצורה זאת ניתן להגדיר את המושגים הבאים:
תכונות אלו הן בעצם תכונות של משפחות של יריעות יותר משהן תכונות של העתקות. תכונות כאלה תמיד מקומיות (על פי הטווח). יש גם תכונות מקומיות שאין להן גרסה מובהקת עבור יריעה, למשל, העתקה סופית, העתקה קווזי סופית, העתקת אטל, העתקה שטוחה ושקילות בירציונלית (על שלוש הדוגמאות הראשונות אפשר לחשוב כעל גרסאות יחסיות שונות של יריעות סופיות).
מערכות מונחים שונות.
מבחינה היסטורית נלמדו תחילה יריעות אפיניות אז יריעות פרויקטיביות אחריהן יריעות קווזי פרויקטיביות ולבסוף יריעות כללית, שהוגדרו זמן קצר לפני סכמות שהן הכללה מרחיקת לכת של יריעות. לפני שנוסחה ההגדרה המודרנית של יריעה, המלה יריעה התייחסה רק ליריעות קווזי-פרויקטיביות, עד היום ישנם ספרים שמשתמשים בשם יריעות רק עבור יריעות קווזי-פרויקטיביות ודנים בשאר היריעות במסגרת דיון כללי יותר על סכמות. רוב המקורות משתמשים במילה יריעות במובן רחב יתר אך לפעמים מוסיפים מגבלות מסוימות. במקרים רבים דורשים מיריעה להיות פרידה ולעיתים גם בלתי פריקה.
מאידך לעיתים המושג יריעות אלגבריות כולל גם יריעות מעל שדות לא סגורים אלגברית. במקרה כזה ההגדרה למעלה לא תקפה כיוון שיש מערכות משוואות פולינומיות ללא פתרונות מעל שדה לא סגור אלגברית formula_1 שהיריעה שהם מגדירים אינה ריקה. לדוגמה המשוואה formula_211 מגדירה יריעה לא ריקה מעל formula_212 אולם אין לה פתרונות מעל formula_213. יש מספר הגדרות אלטרנטיביות שתקפות לשדות לא סגורים אלגברית (ראה להלן) אך בדרך כלל מטפלים במקרה זה במסגרת כללית יתר של סכמות.
מונחים בשפות שונות.
באנגלית יריעה אלגברית נקראת "algebraic variety". בעברית וגם ברוסית, המילה "יריעה" משמשת גם לתיאור יריעה טופולוגית ובפרט יריעה חלקה, שבאנגלית נקראת "manifold". במקרים רבים יריעה אלגברית היא גם יריעה חלקה, אך יש לזכור שמדובר בשתי קטגוריות שונות זו מזו.
נקודות של יריעה.
לפי ההגדרה שמופיעה למעלה יריעה אלגברית היא קבוצה עם מספר מבנים נוספים (טופולוגיה ואלומת פונקציות). לקבוצה זאת קוראים לעיתים קבוצת ה-formula_1-נקודות של היריעה, כאשר formula_1 הוא השדה מעליו מוגדרת היריעה. מסמנים קבוצה זאת formula_216.
הצורך להפריד בין יריעה formula_29 לקבוצה formula_216 מגיע מהמקרה של יריעות המוגדרות מעל שדות לא סגורים אלגברית (או באופן כללי יתר סכמות), במקרה זה ההגדרה של יריעה אלגברית שונה, והקשר בין היריעה לקבוצת הנקודות שלה חלש יותר. לדוגמה היריעה המוגדרת על ידי המשוואה formula_211 לא ריקה אך קבוצת ה-formula_213-נקודות שלה ריקה.
בנוסף, הפרדה זאת מאפשרת להגדיר מבנים נוספים על הקבוצה formula_216 שאינם מתואמים עם המבנים על היריעה formula_29 (הטופולוגיה ואלומת הפונקציות). למשל, אם השדה formula_1 הוא שדה טופולוגי אז ניתן להגדיר טופולוגיה מתאימה על קבוצת ה-formula_1-נקודות של היריעה. טופולוגיה זאת תהיה בדרך כלל חזקה יותר מהטופולגיה של זריצקי. במקרה שהיריעה היא אפינית טופולוגיה זאת מוגדרת להיות הטופולוגיה המושרית מ-formula_11 (קל לראות שהטופולוגיה לא תלויה בצורה שאנו מציגים את היריעה בתור קבוצה סגורה זריצקי ב-formula_11). ליריעה כללית formula_29 קבוצה formula_228 נקראת פתוחה אם לכל קבוצה פתוחה אפינית formula_229 הקבוצה formula_230 פתוחה ב formula_231.
ניתן גם להגדיר באופן דומה את הקבוצה formula_232 של formula_233 נקודות כאשר formula_233 הוא formula_1-אלגברה (קמוטטיבית עם יחידה) כלשהי.
קשר עם יריעות אנליטיות וחלקות.
אם formula_29 היא יריעה אלגברית חלקה המוגדרת מעל שדה המספרים המרוכבים formula_237 אז ניתן להגדיר על קבוצת הנקודות שלה, formula_238, מבנה של יריעה חלקה באופן הבא: במקרה ש-formula_239 היא יריעה אפינית חלקה אז קל לראות ש formula_240 היא תת-יריעה חלקה של formula_241. במקרה הכללי בוחרים כיסוי פתוח של formula_29 על ידי יריעות אפיניות, והוא מגדיר אטלס חלק.
באופן דומה, אם formula_29 היא יריעה אלגברית המוגדרת מעל formula_237 אז ניתן להגדיר על formula_238, מבנה של יריעה אנליטית.
בניות דומות קימות גם לשדות לא סגורים אלגברית. בפרט אם formula_29 היא יריעה אלגברית חלקה המוגדרת מעל שדה המספרים הממשיים formula_213 אז ניתן להגדיר על formula_248 מבנה של יריעה חלקה. כמו כן אם formula_29 היא יריעה אלגברית המוגדרת מעל שדה מקומי formula_250 אז ניתן להגדיר על formula_251 מבנה של יריעה אנליטית מעל formula_250.
אגדים.
בדומה למרחבים טופולוגיים ויריעות דיפרנציאבילות, המושג אגד קיים גם על יריעות אלגבריות. ניתן להגדיר אגד על יריעה אלגברית formula_29 בתור יריעה אלגברית formula_254, יחד עם מורפיזם formula_255 ומבנה של מרחב וקטורי על הסיב formula_256 של כל נקודה formula_176 כך שמקומית (בטופולוגיית זריצקי) מבנה זה איזומורפי ל formula_258 כאשר formula_104 הוא מרחב ליניארי.
לאגדים בגאומטריה אלגברית יש אותם תפקידים כמו לאגדים בטופולוגיה דיפרנציאלית. בפרט, עבור יריעה אלגברית חלקה ניתן להגדיר את האגד המשיק ואגדים קשורים אליו (אגד קו-משיק, אגד התבניות הדיפרנציאליות, ועוד). ישנם מספר אגדים בטופולוגיה דיפרנציאלית שאין אגד על יריעות אלגבריות המהווה מושג מקביל להם, למשל אגד האוריינטציות ואגד הצפיפויות. זאת משום שהגדרה של אגדים אלה מתבססת על יחס הסדר ב-formula_213. בנוסף, בגאומטריה אלגברית יש חשיבות מיוחדת לאגדים חד ממדיים. אלה נקראים אגדים קווים, ונחקרים בעיקר במונחים של אלומות קוהרנטיות (ראה להלן).
אלומות על יריעות.
אחד הכלים המרכזיים לחקר יריעות אלגבריות הוא חקר של סוגים שונים של אלומות עליהן. בין היתר, אלומות משמשות למטרות הבאות:
אלומות קוהרנטיות וקווזי קוהרנטיות.