נסתכל על אלמנט זורם, בעל נפח formula_10 ומסה formula_106 הנע ביחד עם הזרימה. דפנות האלמנט מתקדמות במהירות formula_5 שאיננה אחידה, וכתוצאה מכך, נפח התא משתנה. קל להתרשם שהשינוי בנפח האלמנט הוא formula_108 כאשר האינטגרל מתבצע על כל דפנות האלמנט. באמצעות משפט גאוס ניתן לפתח ביטוי זה ולקבל:
formula_109 כאשר המעבר הראשון התבצע בעזרת משפט גאוס, והמעבר השני אפשרי כיון שבאלמנט זורם קטן גרדיאנט המהירות יכול להילקח כקבוע על פני כל האלמנט. צפיפות הזורם באלמנט היא formula_110 ולכן צפיפות הזורם מקיימת: formula_111 או בצורתה המקובלת:
formula_112
משוואה זו שקולה לתיאור האוילרי.
משוואת שימור התנע.
הכוח הכללי שמופעל על אלמנט הזורם הוא:
formula_113
לפי החוק השני של ניוטון מתקיים:
formula_114
כאשר המעבר השלישי התבצע באמצעות משפט גאוס והמעבר הרביעי מסתמך על כך שאלמנט הזורם קטן.
משוואת שימור התנע בצורתה הלגרנז'ית היא:
formula_115
והיא מייצגת את החוק השני של ניוטון.
משוואת שימור האנרגיה.
משוואת שימור האנרגיה מסתמכת על ההנחה לפיה השינוי היחיד באנרגיה הפנימית של האלמנט נובע מעבודה שמבוצעת על ידי הלחץ. העבודה הזו היא formula_116 ולכן משוואת שימור האנרגיה היא formula_117 ולאחר חלוקה במסה:
formula_118
אם הזורם נמצא באופן מקומי בשיווי משקל תרמודינמי, לפי החוק הראשון של התרמודינמיקה ניתן לרשוםformula_119 כאשר formula_120 היא הטמפרטורה, ו-formula_121 האנטרופיה ליחידת מסה. לפיכך, בזרימה רציפה לפי משוואות אוילר, מתקיים formula_122 כלומר האנטרופיה של אלמנט זורם לא משתנה במהלך הזרימה והזרימה היא אדיאבטית.
מסקנות ממשוואות אוילר.
משוואת ברנולי.
משוואת ברנולי מתארת שימור אנרגיה לאורך קווי זרימה של נוזל. משוואה זו היא פשוטה יותר ממשוואת שימור האנרגיה, ולכן מוכרת יותר ולעיתים שימושית יותר. עם זאת, משוואת ברנולי תקפה אך ורק במקרים של זרימה עמידה (זרימה שאיננה משתנה עם הזמן) ואי דחיסה (זרימה בה הצפיפות קבועה). את משוואת ברנולי ניתן לפתח ישירות ממשוואות אוילר.
נצא ממשוואת שימור האנרגיה:
formula_123
הזרימה היא עמידה, ולכן הנגזרת בזמן מתאפסת. מכאן מתקבל
formula_124
על ידי שימוש בנוסחא לנגזרת של מכפלה מסיקים
formula_125
ממשוואת הרצף מסיקים כי formula_126. בנוסף, הזרימה היא עמידה, ולכן formula_127. מכאן מתקבל:
formula_128
על ידי אינטגרציה על קו מסלול (המשיק לוקטור המהירות בכל נקודה) מסיקים כי
formula_129
אם למערכת היה מתווסף שדה כבידה, משינויים קלים בפיתוח היינו מסיקים את משוואת ברנולי בצורתה המוכרת:
formula_130
משוואת הגלים ומהירות הקול.
משוואות אוילר משמשות גם כדי להבין התפשטות של גלים בנוזל. על מנת לפתח את משוואת הגלים, מניחים שקיימת הפרעה קטנה בנוזל וחוקרים את האופן שבו היא מתקדמת בו.
מכיוון שההפרעה קטנה, משתמשים במושג הליניאריזציה על מנת לפשט את משוואות אוילר. כחלק מהפיתוח, נניח גם לשם הפשטות שהנוזל הלא-מופרע נמצא במנוחה. כתוצאה מההפרעה בנוזל, כל נקודה בנוזל מאופיינת על ידי הפרמטרים הבאים:
formula_131
כאשר formula_132 הם קבועים, והביטויים formula_133 מייצגים את ההפרעה.
נחקור את התקדמות ההפרעה עד לסדר ראשון בה, שכן לפי ההנחה מדובר בהפרעה קטנה, ולכן נזניח איברים מהצורה formula_134 ואיברים מהצורה formula_135 (וכאן הנחנו שגם הנגזרת של ההפרעה היא קטנה). תהליך הליניאריזציה הוא הצבת הביטויים ל־ formula_136 שמופיעים למעלה במשוואות אוילר, ואז הזנחת איברים מסדר שני ב־formula_137. כתוצאה מהלינאריזציה, משוואת הרצף ומשוואת שימור התנע מקבלות את הצורה הבאה:
כעת, נניח שהתהליך הוא אדיאבטי. הנחה זו מקובלת בפיזיקה כאשר מתכוונים לומר שהתהליך הוא "איטי". לכן ניתן לכתוב formula_140, כאשר formula_141 היא האנטרופיה. נסמן formula_142, ונראה שזוהי מהירות הקול בנוזל.
נגזור את משוואת הרצף בזמן: formula_143.
כעת נגזור את משוואת התנועה במיקום: formula_144. נציב את הקשר formula_145, והמשוואה מקבלת את הצורה: formula_146.
על ידי חיסור שתי המשוואות מתקבלת המשוואה:
formula_147
זוהי משוואת גלים עבור ההפרעה formula_148. בפרט, מסיקים כי מהירות ההפרעה היא formula_149, ולכן זוהי מהירות הקול בנוזל.
חישוב דומה מראה שגם כאשר הנוזל אינו במנוחה אלא נע, מהירות הקול בו אינה משתנה.
גלי הלם.
מקרה חשוב של מעבר גלים בחומר הוא גל הלם. גל הלם נוצר כאשר ההפרעה בחומר מתקדמת מהר יותר מאשר מהירות הקול בחומר. התוצאה היא שההפרעה מגיעה לחומר לפני שהמידע על קיום ההפרעה מגיע אליו, ולכן חזית הגל יוצרת אי־רציפות בחומר. למשל, ייתכן שלחומר מיד לפני חזית הגל יש צפיפות שונה מאשר לחומר מיד אחרי חזית הגל.
המשוואות המתארות גלי הלם הן משוואות רנקין-הוגוניו. את המשוואת ניתן לפתח בכך שמתחילים ממשוואות אוילר ומסיקים מהן תנאי על הקפיצה בחזית הגל . למשל, ניתן להתחיל ממשוואת הרצף ולהסיק תנאי על הקפיצה בצפיפות המסה בחזית הגל. בהתאם לכך, משוואות רנקין-הוגוניו הן שלוש משוואות הקובעות שימור מסה, שימור תנעה ושימור אנרגיה בחזית הגל.
שימושים באווירודינמיקה.
אחד השימושים של משוואות אוילר הוא בהכנת דגמים של כלי תחבורה באווירודינמיקה עבור מנהרות רוח. משוואות אוילר משמשות לקביעת הגדלים הפיזיים של המודלים שבעזרתם ניתן להבין את התנהגות הכלי בגודלו האמיתי.
נניח שברצוננו לבנות מודל של כנף של מטוס עבור מנהרת רוח, כך שכל חלק באורך formula_36 בכנף מתורגם לחלק בגודל formula_151 במודל. כך למשל אם formula_152, המודל יהיה בדיוק באורך ובגבוה שהם formula_153 מאורך וגובה הכנף, בהתאמה. formula_154 מגדיר את סקאלת האורך במערכת מנהרת הרוח. מכאן שגם סקאלת המהירות תשתנה, ומתקיים:
formula_155
על מנת שניתן יהיה לבחון את התנהגות המודל ולהסיק ממנה מסקנות על התנהגות הכנף, יש לדרוש ששניהם יקיימו את אותה משוואת תנועה. לשם נוחות בלבד, נניח שאנו מעוניינים בתנועה חד־ממדית של הכנף בלבד. במקרה זה, משוואת התנועה עבור הכנף בגודל האמיתי היא
formula_156
ומשוואת התנועה עבור המודל (בסקאלת האורך של המודל) היא
formula_157
כאשר מציבים את formula_158 מתברר שמשוואת התנועה בסקאלה של המודל היא שונה מזו של הכנף. על מנת ששתי המשוואות יהיו זהות, יש לשנות גם את סקאלת הזמן במודל שלנו, ולהגדיר formula_159. המשמעות של השוויון היא שאם המודל מצליח לרחף במנהרת הרוח במשך שנייה, נסיק כי הכנף תצליח לרחף במשך formula_160 שניות. כעת, משוואת התנועה בסקאלה של המודל היא:
formula_161
נותר להראות שהמשוואה האחרונה זהה למשוואת התנועה עבור הכנף (כלומר, למשוואת התנועה בסקאלת formula_162). הפעם מתקיים
formula_163
ולכן:
formula_164
ומכאן נובע:
formula_156
וכעת ניתן לראות שמשוואת התנועה בסקאלה של formula_166 זהה לזו בסקאלה של formula_162, ולכן משוואות התנועה של הכנף והמודל יהיו זהות. מכאן שעל ידי מעברי הסקאלה formula_168 ניתן להשתמש במודל על מנת להבין את תנועת הכנף מבלי הצורך לבנות מנהרות רוח מספיק גדולות עבור הכנף בגודלה האמיתי.
אף על פי ששינויי הסקאלה כאן היו פשוטים, בפועל יש לבצע שינויים מורכבים יותר. זאת מכיוון שבמשוואות אוילר אנו מזניחים את צמיגות הנוזל, בעוד שבמנהרות רוח לרוב הזנחה זו איננה מוצדקת. לכן יש לבנות את מנהרת האוויר כך שבשינוי הסקאלה, משוואת נאוויה־סטוקס, המרחיבה את משוואת התנועה למקרה של נוזל צמיג, היא המשוואה שאיננה משתנה בעקבות שינויי הסקאלה.
הכללה מעבר לנוזלים קלאסיים.
על נוזלים ונוזלים קוונטיים.
בעזרת התאמות מסוימות לשפה של תורת הקוונטים, ניתן לפתח סט של משוואות אוילר עבור על נוזלים. על־נוזל הוא פאזה של חומרים מסוימים הבאה לידי ביטוי לרוב בטמפרטורות נמוכות, ומאופיינת בתכונות יוצאות דופן, כגון חוסר בצמיגות. על-נוזל מאופיין בכך שכמות מאקרוסקופית של חלקיקים מאכלסים את רמת היסוד. כתוצאה מכך, ניתן להגדיר פונקציית גל המתארת את כל הנוזל, ולא רק חלקיק בודד (כפי שנהוג לרוב בבעיות בתורת הקוונטים). פונקציית הגל היא מהצורה הבאה: formula_169. במקרה זה, ניתנת משמעות מעט שונה לפונקציית הגל:
מכאן, ניתן לצאת ממשוואת שרדינגר לפונקציות גל ולפתח שלוש משוואות האנלוגיות למשוואות אוילר:
את המשוואות המתארות את העל־נוזל ניתן להרחיב כך שיכלילו גם את רכיבי הנוזל שאינם בפאזה העל־נוזלית. במקרה זה אכן מתווסף איבר של צמיגות למשוואת התנועה, שכן הנוזל שאיננו בפאזה העל־נוזלית איננו חסר צמיגות.
צמיגות ומשוואות נאוויה-סטוקס.
השימוש במשוואות אוילר אפשרי רק תחת ההנחה שהנוזל חסר צמיגות. הנחה זו אינה תמיד נכונה במציאות. מכיוון שצמיגות בנוזלים אנלוגית לחיכוך במצוקים, על מנת לתאר נוזלים צמיגים יש לתקן את משוואת התנועה. משוואת התנועה הכוללת את התיקון לנוזלים צמיגים נקראת משוואת נאוויה-סטוקס, והתיקון הוא הוספת האיבר formula_186 לאגף ימין של משוואת התנועה של אוילר, כאשר formula_187 הוא מקדם הצמיגות הדינמי. הסימון formula_188 הוא הפעלת אופרטור הלפלסיאן על כל איבר של הווקטור formula_189.
המשמעות של האיבר הנוסף היא מעין דיפוזיה של תנע. משוואת הדיפוזיה היא מהצורה formula_190, ותפקיד תהליך הדיפוזיה הוא למצע את פני גרדיאנטים גדולים בצפיפות הנוזל formula_191. באנלוגיה למקרה הצפיפות בנוזל ניתן להסיק שהאיבר החדש, formula_186, ממצע על פני גרדיאנטים גדולים במהירות בנוזל, וזהו עיקר תהליך הצמיגות.
מיתרידטס הראשון, מלך פרתיה