במקרה הראשון, נוכל להחליף את המשתנה בערך בעל משמעות, אשר יהיה תקף בתנאֵי הבדיקה. לדוגמה, למשתנה א' ניתן את הערך "עכשיו צהריים" ותנאי הבדיקה יהיו שאכן מדובר בבדיקה הנעשית בשעת הצהריים. למשתנה ב' נבחר משמעות המקיימת את המשפט באופן שהפסוק כולו תקף, לדוגמה: "השמש מופיעה בשיא הגובה". יודגש שתהליך תחשיב הפסוקים אינו עוסק בנכונות הטענות, אלא רק במסקנה המתקבלת אם נכונים כל חלקיה.
אולם ניתן גם לדון בטענות כנוסחאות עם משתנים, בלי לפרט דוגמאות למשמעותם של המשתנים. ניתן לבחון כך את כלל היחסים האפשריים בין הטענות המורכבות, עבור כל הצבה של ערכי אמת לאותיות הפסוקיות המשמשים כ'משתנים'.
במקרה של הדוגמה שלנו:
באמצעות הכללה כזו ניתן לקבוע כי טיעונים הם תקפים, כאשר עבור כל הצבה של ערכי אמת לפסוקים האטומיים המרכיבים את ההנחות, אם בעקבות הצבה כזו ההנחות של הטיעון תְקֵיפות, הרי שגם המסקנה תְקֵיפה.
דוגמה לבדיקת תקפות טיעונים על פי הכללה:
במקרה זה, באמצעות תחשיב הפסוקים, ניתן להסיק באופן חד משמעי וכוללני שטענה ט' תהיה תקיפה לגבי כל קבוצת משתנים (א' ב' ו-ר') שלגביהם הנחה א' והנחה ב' תקפים.
תהליך התחשיב.
הצרנה (פורמליזציה).
הצרנה (מלשון צורה) או תיבנות של תחשיב פסוקים, היא תהליך העברת ההנחות והטענות הלוגיות לכיתוב תבניתי, במבנה מוסכם (פורמליסטי), דמוי סימני החשבון.
הסמנטיקה (מבנה המשמעות) של תחשיב הפסוקים מורה לנו כיצד עלינו להבין את היחס בין הסמלים המייצגים פסוקים שונים, ובין הטענות שהם מייצגים. כאשר מעוניינים לנתח טיעון או הוכחה כלשהי באמצעות תחשיב הפסוקים, ראשית יש לערוך הצרנה להנחות ולטענות. בתהליך זה מסמנים כל משפט בסיסי (למשל 'השמש תזרח מחר' או 'יוסי גר בלונדון') בסימן קבוע (בדרך כלל אות אנגלית גדולה כמו formula_1 או formula_2, או הסימן formula_3 עם האינדקס formula_4, המייצג מספר מסוים). סימן זה מייצג את הטענה בכל מקום שתופיע בטיעון, והוא מכונה "פסוק יסודי", או "פסוק אטומי". גם הקָשַרים הלוגיים אינם נכתבים בתחשיב הפסוקים במילים אלא באמצעות סימונים מוסכמים, כפי שיוסבר להלן:
תחביר.
תחשיב פסוקים מסוים כולל קבוצה של פסוקים יסודיים או "פסוקים אטומיים", ומספר קָשַרים לוגיים סטנדרטיים. לדוגמה, נגדיר ש-formula_1 מייצג את הטענה "הגביע הוא שלנו", ו-formula_2 מייצג את הטענה "אנחנו במפה"'. או אז ניתן להדגים את התחביר של חמשת הקשרים הלוגיים כך:
נוסחה בנויה כהלכה (נוסחה בנויה היטב).
באמצעות הֶקשֵרים, התחביר מאפשר יצירת רצפים סופיים של פסוקים יסודיים, קָשַרים וסימני סוגריים, אשר קריאתם היא חד-משמעית. רצף כזה נקרא נוסחה בנויה היטב (נקראת גם נוסחה בנויה כהלכה ובראשי תיבות נב"כ, (Well Formed Formula או WFF).
נוסחה בנויה היטב מוגדרת בצורה הרקורסיבית הבאה:
בניסוח הפורמלי של תחשיב הפסוקים, קיים אלגוריתם מסודר וסופי המזהה אם רצף סימנים מסוים הוא פסוק או לא.
יש לשים לב שהסוגריים חיוניים בדרך כלל, אם כי ניתן ומקובל להשמיט את זוג הסוגריים החיצוניים ביותר.
אפשר לבנות סוגים שונים של תחשיבי פסוקים, באמצעות בחירה שונה של הקשרים המשתתפים. לדוגמה, אפשר להחליף את הקשר "אם formula_27 אז formula_28" ב-"formula_28 או (לא formula_27)", וכך להגדיר את הקשר 'אם-אז' באמצעות הקשרים "או" ו"לא". כללי דה-מורגן מאפשרים לוותר על אחד משני הקשרים "או" או "וגם".
תחשיב פסוקים שלם (קבוצת קשרים שלמה).
תחשיב פסוקים שלם (או קבוצת קשרים שלמה) הוא קבוצת קשרים, שכפסוק אפשר להציג באמצעותה כל פעולה בוליאנית, או כל טבלת אמת (ר' להלן).
ישנם שני קשרים, שכל אחד מהם מהווה בעצמו "תחשיב פסוקים שלם", והם מכונים "הקשרים של שפר". קשרים אלו הם הקשרים "לא-וגם" (NAND) ו"לא-או" (NOR). התחביר הפורמלי של תחשיב הפסוקים המתמטי מתבסס על שני קשרים בלבד, "אם-אז" ו"לא" – כל שאר הקשרים מוגדרים כקיצורים של ביטויים הבנויים מקשרים בסיסיים אלו.
הנחות יסוד (אקסיומות) וכללי היסק.
הוגה הדעות והלוגיקאי פרופסור יאן לוּקאסייביץ' מאוניברסיטת לבוב, גילה מערכת אקסיומטית (מערכת הנחות יסוד) פשוטה בעלת שני קשרים בלבד: קשר גרירה וקשר שלילה, המהווה תחשיב פסוקים שלם:
שלוש הנחות יסוד - אקסיומות מן הצורה הבאה:
כלל היסק אחד, מודוס פוננס (קיומו של תנאי ונביעת טענה מקיומו של התנאי), המוגדר כך:
במערכת זו הקשרים הקלאסיים האחרים, מלבד תנאי ושלילה, מוגדרים כך:
דוגמה להוכחה. ניתן להוכיח מהמערכת הזו בקלות ש formula_45, כך:
(1) formula_46
(2) formula_49
(3) formula_51
(4) formula_52
(5) formula_54
טבלת האמת וסמנטיקה - משמעות המסקנות של תחשיבי פסוקים.
במסגרת הסמנטיקה (ניתוח המשמעות) המקובלת של תחשיב הפסוקים, כל פסוק יסודי יכול לקבל אחד משני ערכי אמת: "אמת" או "שקר", ובלבד שהוא מקבל את אותו ערך בכל הופעה שלו באותו טיעון. כל קשר לוגי מובן כפונקציית-אמת, אשר עבור כל צירוף של ערכי אמת, מחזיר הקשר ערך אמת אחד ויחיד.
לדוגמה, השלילה מחזירה פסוק שקרי עבור כל פסוק אמיתי אליו היא מקושרת, ומחזירה פסוק אמיתי עבור כל פסוק שקרי אליו היא מקושרת. נוח לייצג פונקציות אמת באמצעות טבלת אמת, בהן T ו-F מייצגים את הערכים אמת ושקר (באלגברה בוליאנית יוחלפו אלו בערכים 1 עבור אמת ו-0 עבור שקר). בטורים הימניים של הטבלה אנו ממצים את כלל הצירופים האפשריים של ערכי האמת הניתנים לפסוקים היסודיים, ובטורים השמאליים אנו מציגים את ערך האמת המתקבל עבור הפסוק המורכב:
כל שיוך של ערכי אמת לפסוקים יסודיים נקרא פירוש ("אינטרפרטציה") או הצבה. בטבלאות האמת, כל שורה היא פירוש.
פסוק מורכב המקבל את הערך "אמת" בכל פירוש של הפסוקים היסודיים (כלומר כזה שבטבלת האמת שלו הוא מקבל T בכל השורות), נקרא טאוטולוגיה (אמת לאמיתה). משמעות הדבר היא שפסוק זה הוא אמיתי בזכות הקשרים הלוגיים שבין רכיביו, ללא תלות באמיתותם של הפסוקים האטומיים עצמם. פסוק המקבל את הערך "שקר" בכל פירוש נקרא סתירה.
פסוק הוא קונטינגנטי (תלוי, בעל תלות) אם ורק אם אינו סתירה ואינו טאוטולוגיה. קבוצה של פסוקים נקראת עקבית (קונסיסטנטית) אם קיים פירוש עבורו כל הפסוקים בקבוצה מקבלים ערך "אמת".
טבלאות אמת ככלי לבדיקת תקפות טיעונים.
טבלאות אמת הן כלי נוח לשם בדיקת תקפותם של טיעונים (היסקים) בתחשיב הפסוקים. הטכניקה של טבלאות אמת מאפשרת לבטא את ערכי האמת של כל פסוק מורכב במונחי ערכי האמת של הפסוקים המרכיבים אותו, וכאשר הטבלה מלאה, ניתן לבדוק אם ישנם מצבים בהם הנחות הטיעון אמיתיות אבל המסקנה שקרית. אם יש שורה כזו בטבלה, הרי שהטיעון אינו תקף, שהרי זו מהווה דוגמה נגדית. אולם אם אין שורה כזו, הראנו שהטיעון תקף.
לדוגמה, לבדיקת תקפות הטיעון:
מסקנה: הברווזים לא עפים
יוצרנו הפסוקים האטומים על פי הלקסיקון (מילון תמציתי) הבא:
הטיעון המוצרן נכתב כך:
מסקנה: formula_60
וטבלת האמת שלו היא:
על פי ההצבה של שורה שלוש בטבלה, ברור ששתי ההנחות אמיתיות אבל המסקנה שקרית. זו מהווה דוגמה נגדית, ועל כן הטיעון אינו תקף.
מערכות הוכחה.
לתחשיב הפסוקים אפשר 'לבנות' מערכות הוכחה המוכיחות טענות נוספות הנובעות מקבוצת טענות ראשונית. מערכות היסק כאלה בנויות מכללים תחביריים (סינטקטיים) טכניים בלבד.
מערכת ההוכחות הפשוטה ביותר לתחשיב פסוקים היא מערכת דדוקציה טבעית, המכילה עשרה כללי היסק. עבור כל אחד מחמשת הקשרים היא מכילה כלל הבאה (נקרא גם כלל הכנסה או אינטרודוקציה) וכלל סילוק (נקרא גם כלל הוצאה או אלימינציה).
מערכת זו היא נאותה - כלומר, כל נוסחה שניתנת להוכחה, היא אמיתית, ושלמה - כלומר, כל נוסחה אמיתית גם ניתנת להוכחה מקבוצה זו במערכת.
דוגמאות למערכות הוכחה.
דוגמה לכלל הבאה (כלל הכנסה - אינטרודוקציה) להקשר של פסוק התנאי:
דוגמה לכלל סילוק (כלל הוצאה - אלימינציה) להקשר של פסוק ההלחם (הקוניונקציה):
חומר מבודד
אריך פון דם באך-צלבסקי
אריך פון דם באך-צֶלֶבְסְקִי (גרמנית: Erich von dem Bach-Zelewski; 1 במרץ 1899 – 8 במרץ 1972) פושע מלחמה נאצי אשר תמורת עדותו לא הועמד לדין על פשעי מלחמה, איש ה-SS בעל דרגת אובר-גרופנפיהרר, ממדכאי מרד ורשה.
ביוגרפיה.
קריירה מוקדמת.
פון דם באך-צלבסקי נולד בפומרניה ב-1 במרץ 1899, לאוסקר פון צלבסקי, ממשפחה ממוצא קאשובי (עם סלאבי שחי בשטחים המהווים כיום את צפון-מזרח פולין). משפחתו שירתה את פולין ופרוסיה לפי הנסיבות המתחלפות. אביו נהרג בשורות הצבא הגרמני בשנת 1915, במהלך מלחמת העולם הראשונה. בשנה שלאחר מכן התנדב פון דם באך-צלבסקי לצבא הפרוסי, ושירת עד לתום המלחמה. נפצע פעמיים, הגיע לדרגת סגן ופעמיים עוטר בצלב הברזל.
לאחר המלחמה המשיך פון דם באך-צלבסקי בשירות ברייכסווהר, צבאה המקוצץ של רפובליקת ויימאר, ובין יתר המטלות שהוטלו עליו פעל לדיכוי מהומות הפולנים האתניים בחבל שלזיה. ב-1924 הועבר למשמר הגבול (Grenzschutz) ממנו שוחרר שנתיים לאחר מכן. עד 1928 עבד בעבודות מזדמנות ובכללן נהג מונית, בשנה זו ירש את אחוזת אבותיו וקיומו הכלכלי הובטח.
לאחר שעזב את משמר הגבול הצטרף למפלגה הנאצית, ובשנת 1930 הפך לחבר באס אס. הוא זכה לקידום מהיר, ועם עליית הנאצים לשלטון בשנת 1933 הגיע לדרגת "בריגאדפיהרר" (המקבילה לדרגת תת-אלוף). בשלב זה החל להשתמש בשם נעוריה של אמו, "באך", על מנת להישמע גרמני יותר.