אם formula_35 הוא אופרטור ליניארי, אפשר להפעיל את האופרטור formula_36 על וקטור קט formula_37. לאופרטורים ליניארים חשיבות גדולה במכניקת הקוונטים, בין השאר מכיוון שכל גודל פיזיקלי מדיד (כדוגמת אנרגיה או תנע זוויתי) מיוצג על ידי אופרטור ליניארי הרמיטי (כלומר: formula_38), כאשר הסימן formula_39 נקרא "דאגר" (בעברית: צלבון), ומייצג צמוד הרמיטי של אופרטור.
אופרטורים הרמיטיים יכולים לפעול גם כן על ברה, על ידי הפונקציונל formula_40, ונהוג לסמן פונקציונל כזה בצורה formula_41.
עבור אופרטורים לא הרמיטיים, מקובל הסימון:
דרך נוחה אחרת להגדיר אופרטורים ליניאריים על המרחב formula_15 הוא על ידי מכפלה חיצונית: עבור ברה formula_2 וקט formula_3 מוגדר אופרטור על ידי המכפלה החיצונית formula_47, כך שלכל קט formula_23,
formula_49
כלומר, אחרי הפעלת האופרטור, המכפלה הפנימית formula_50 תהיה המקדם של הקט formula_3.
שימוש מרכזי בהגדרה זו הוא בהצגת אופרטור הטלה: כאשר נתון וקטור formula_2 בעל נורמה 1 (כלומר: formula_53), האופרטור formula_54 מבצע הטלה האורתוגונלית לתוך תת-המרחב הנפרש על ידי formula_55.
בנוסף, בהינתן בסיס שלם formula_56, ניתן להציג כל אופרטור formula_57 כסכום איברים,
formula_58
כך שהמקדמים מקיימים formula_59, והם נקראים "איברי המטריצה של formula_57". בפרט, אם המקדמים formula_61 הם הדלתא של קרונקר (formula_62), האופרטור הוא אופרטור היחידה, ומסמנים: formula_63
הצגה במושגים של ברה וקט.
במכניקת הקוונטים לעיתים קרובות נוח לעבוד עם ההטלות של מצבים וקטורים לתוך בסיס מסוים, מאשר עם הווקטורים עצמם. הסיבה לכך היא שההיטלים הם מספרים מרוכבים, אשר אפשר לנסח במונחים של משוואה דיפרנציאלית חלקית (דוגמה לכך אפשר לראות בפיתוח המצבים העצמיים של משוואת שרדינגר).
לדוגמה, מרחב הילברט של חלקיק נקודתי בעל ספין אפס נפרש על ידי בסיס המקום formula_64 כאשר הסימון formula_65 מייצג סט של וקטורי בסיס. אם נתחיל על קט כלשהו formula_3 במרחב הילברט, אנו יכולים לאפיינו באמצעות פונקציה סקלרית של formula_65 הידועה בשם פונקציית הגל: formula_68
תחת הצגה זאת נהוג להגדיר אופרטור ליניארי הפועל על פונקציות גל במונחים של אופרטורים ליניאריים הפועלים על קטים על ידי formula_69
למרות שהאופרטור formula_70 הנמצא בצד שמאל של המשוואה מסומן בצורה זהה לזאת של האופרטור formula_70 בצד ימין יש להבין כי מדובר בשתי ישויות מתמטיות שונות מבחינה קונספטואלית. בעוד הראשונה פועלת על פונקציות גל, השנייה פועלת על קטים, משמע על וקטורים במרחב הילברט.
לדוגמה: אם כי לאופרטור התנע formula_72 יש, באופן תאורטי, את הצורה הבאה: formula_73
אין זה בלתי-סביר להיתקל גם בכתיבה מהצורה: formula_74
אפשר לומר כי זהו "שימוש חורג", למרות השימוש הנפוץ בו. במקרה זה יש לחשוב על האופרטור הדיפרנציאלי כאופרטור ליניארי מופשט במרחב הילברט הפועל על קטים ומקבל את משמעותו הדיפרנציאלית רק כאשר מתורגם הווקטור לפונקציית הגל בבסיס המקום.
מרחבי מכפלה.
מבוא והגדרות.
כאשר יש מספר מצבים קוונטים המאפיינים את המערכת, התיאור המתמטי הפורמלי שלה הוא למעשה מכפלה טנזורית (מכפלה חיצונית) של ה-קט-ים ממרחבי הילברט. לרוב משתמשים במרחבי מכפלה כאשר יש מספר חלקיקים בבעיה.
שני מרחבי הילברט אשר נסמנם ב-formula_75 ו-formula_76 יכולים ליצור מרחב הילברט שלישי formula_77 בעזרת מכפלה טנזורית. במכניקת הקוונטים, מרחב זה משמש לתיאור מערכות מורכבות. אם מערכת מורכבת משתי מערכות שנסמנן ב-formula_75 ו-formula_76 בהתאמה, אז כל המערכת תתואר על ידי המכפלה הטנזורית של שני המרחבים (יוצא מן הכלל לכך הוא המצב בו שתי תתי-המערכות מתארות חלקיקים זהים. במקרה זה העניין מסובך יותר).
אם formula_3 הוא קט במרחב formula_75 ו-formula_82 הוא קט במרחב formula_76, אזי המכפלה הטנזורית של שני הקטים תהיה הקט formula_77. נהוג לרשום ביטוי זה גם כ-formula_85 או כ-formula_86 או לחלופין כ-formula_87
דוגמה כללית.
נניח שיש לנו 2 חלקיקים בעלי מסה זהה עם המילטוניאן
לכל אחד יהיה סט מצבים עצמיים formula_89 כאשר H הוא מרחב הילברט שנפרש על ידי המצבים העצמיים של ההמילטוניאן formula_90.
את התיאור של המצב הקוונטי של 2 החלקיקים נתאר באמצעות קט השייך למרחב המכפלה formula_91, קט כזה יהיה מהצורה formula_92 כאשר בכתיבת קט-ים נהוג להשמיט את סימן המכפלה הטנזורית.
סימטריות ביחס להחלפת חלקיקים.
נהוג להגדיר אופרטור החלפת חלקיקים. עבור חלקיקים הוא מוגדר כך:
עבור N חלקיקים מגדירים באופן דומה אופרטור פרמוטציה (תמורה) שמסדר מחדש את האינדקסים של N החלקיקים. חילוף (כלומר, אופרטור החלפת חלקיקים) הוא מקרה פרטי של פרמוטציה. למעשה, כל פרמוטציה ניתנת להצגה כהרכבה של חילופים.
&lt;br&gt;
אנו נאמר שפונקציית הגל (ליתר דיוק, המצב הקוונטי) סימטרית להחלפת חלקיקים אם formula_94.
&lt;br&gt;
לדוגמה: פונקציית הגל
היא סימטרית להחלפת חלקיקים שכן formula_96.
&lt;br&gt;
באותו אופן, נאמר שפונקציית הגל אנטי-סימטרית להחלפת חלקיקים אם formula_97.
להגדרות ותכונות אלה יש חשיבות רבה כאשר מדובר במערכת של חלקיקים זהים. ניתוח פיזיקלי מתקדם (תורת שדות) ותוצאות של ניסויים הראו שניתן לסווג את כל החלקיקים בטבע על פי התנהגותם כאשר יש מערכת של זוג חלקיקים זהים:
החלפת ספין ומיקום.
עבור חלקיק בעל ספין שאינו אפס, ניתן להציג את מרחב הילברט כמכפלה של מרחב מיקום formula_98 ומרחב ספיןformula_99. אופרטור ההחלפה של חלקיקים יהיה, לפיכך, מכפלת ההחלפות בשני המרחבים - אם נסמן את המרחב בו פועל האופרטור באינדקס עליון, יתקיים formula_100, ובהכללה לצירופים ליניאריים. לכן, אם יש לנו מצב ספין s ומצב מיקום formula_17, אם אנחנו מעוניינים שמכפלתם תהיה סימטרית להחלפה, צריך שגם מצב המיקום וגם מצב הספין יהיו סימטריים או ששניהם יהיו אנטי-סימטריים. אם אנחנו מעוניינים שמכפלתם תהיה אנטי-סימטרית, אז מתוך הספין והמיקום אחד צריך להיות סימטרי ואחד אנטי-סימטרי.
דוגמה פרטית למרחב מכפלה.
הדוגמה הנפוצה ביותר לשימוש במרחב מכפלה היא מצב EPR שמופיע בגרסת דייוויד בוהם לפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן, מצב זה מתואר באופן מתמטי על ידי
כאשר הקט השמאלי יותר מייצג את הספין של חלקיק מספר 1 (כיוון החץ מציין את כיוון הספין) והקט הימני יותר מייצג את הספין של חלקיק מספר 2.
מצב זה הוא מצב שזור של אנטי-קורלציה מוחלטת, בכל כיוון שמודדים ספין - הספין של חלקיק 2 יהיה הפוך לזה של חלקיק 1 (אם מודדים ל-1 ספין מעלה, אזי 2 יימדד בהכרח ספין מטה. אם מודדים ל-1 ספין מטה, אז 2 יימדד בהכרח ספין מעלה).
מוגולים
אינפרה-אדום
מרי רובינסון
מרי רובינסון (באנגלית: Mary Robinson, באירית: Máire Mhic Róibín; נולדה ב-21 במאי 1944) היא פוליטיקאית אירית, שכיהנה כנשיאת אירלנד השביעית בשנים 1990–1997, וכן כנציבת האו"ם לזכויות האדם.
שנותיה המוקדמות.
רובינסון נולדה כמרי תרז ברק, בעיירה בלינה במחוז מאיו באירלנד בשנת 1944. הוריה שניהם רופאים במקצועם. המשפחה הייתה קתולית, ובעלת מסורת ארוכה באירלנד, כאשר בוויכוח הפוליטי בין השייכות לממלכה המאוחדת, ובין עצמאותה של אירלנד, נקטו בני המשפחה השונים בעמדות שונות.
רובינסון למדה בטריניטי קולג' בדבלין, ועוד בשנות העשרים לחייה קיבלה את התואר "פרופסור" ולימדה משפטים.
תחילת הקריירה הפוליטית.
רובינסון התקבלה לסנאט האירי (הבית העליון של האירכטס, הוא הפרלמנט האירי), כאחת משלוש נציגות טריניטי קולג' בגוף זה. היא פעלה למען מגוון רחב של נושאים, החל מזכותן של נשים לשבת בחבר מושבעים, ביטול ההחלטה לפיה אישה המשמשת בשירות המדינה תתפטר עם נישואיה, וכלה בזכות לשימוש באמצעי מניעה. כן עבדה כיועצת משפטית למען השדולה לרפורמה בחקיקה העוסקת בהומוסקסואלים באירלנד, שהייתה נגדם. בתקופה זו נישאה לניקולס רובינסון, בן הדת הפרוטסטנטית, דבר שגרם למשבר בינה ובין משפחתה.
בתחילה הייתה רובינסון סנאטורית עצמאית, אך במהלך פעילותה הצטרפה אל מפלגת העבודה (הלייבור) האירית. (המפלגה השלישית בגודלה באירלנד, לאחר שתי מפלגות השלטון ההיסטוריות פיאנה פול ופינה גייל). ניסיונותיה של רובינסון להיבחר לבית התחתון של הפרלמנט האירי, הדאל, נכשלו. בסוף שנות השבעים הנהיגה את המאבק כנגד "החברה הכלכלית לדבלין" אשר רצתה לבנות את משרדיה על אתר ויקינגי קדום בדבלין. ניסיון זה נכשל וכיום עומדים הבניינים על מכונם, מעל לאתר ההיסטורי.
בשנת 1985 פרשה רובינסון ממפלגת הלייבור במחאה על החוזה האנגלו-אירי שחתמה ממשלתו של גארט פיצג'רלד (אשר מפלגת הלייבור הייתה חלק ממנה) עם ממשלתה של מרגרט תאצ'ר באנגליה, בטענה כי היה מקום להיוועץ בנציגי הרוב היוניוניסטי בצפון אירלנד.
רובינסון נותרה כחברת הסנאט במשך ארבע שנים לאחר מכן. חלק מן הנושאים למענם פעלה קודמו - נשים ישבו בחבר מושבעים, אמצעי מניעה היו חוקיים (אם כי הפצתם הוגבלה) והאיסור על נשים נשואות בשירות הציבורי בוטל. בשנת 1989 פרשה מן הסנאט. בשנת 1990 פנו אליה נציגי מפלגת הלייבור בהצעה להיות מועמדת לנשיאות אירלנד. קודם לכן לא הייתה מועמדת אישה, או מועמדת של הלייבור לנשיאות. רובינסון נענתה בחיוב.
המרוץ לנשיאות.
רובינסון הייתה מועמדת של המפלגה השלישית בגודלה אל מול מועמדים של שתי המפלגות הגדולות, ואל מול מסורת לפיה נציג מפלגת פיאנה פול הוא שנבחר לנשיא בסוף המערכה.