גם כאשר קבוצת הווקטורים אינסופית אך בת מנייה ניתן להשתמש בתהליך, באינדוקציה, שכן מובטח כי כל וקטור בקבוצה יעבור אותו בשלב כלשהו.
אפשר להפעיל את אותו אלגוריתם גם ללא שלב הנרמול, ולקבל קבוצה אורתוגונלית.
תיאור פורמלי.
נניח כי קבוצת הווקטורים שעליה אנו רוצים להפעיל את התהליך מסומנת בתור formula_1. התוצאה של התהליך תהיה הקבוצה formula_2 שפורשת אותו מרחב ליניארי כמו הקבוצה המקורית, ומקיימת formula_3 (הדלתא של קרונקר).
בהינתן וקטור formula_4 כלשהו ווקטור מנורמל formula_5, הווקטור formula_6 (הווקטור שמתקבל מהכפלת formula_5 בסקלר שהוא המכפלה הפנימית שלו ושל formula_4) מכונה "ההטלה" של formula_4 על formula_5. זהו הרכיב של formula_4 בכיוון של formula_5. על כן ניתן להוכיח על ידי בדיקה מיידית כי הווקטור formula_13 הוא וקטור אורתוגונלי ל-formula_5. כמו כן formula_15.
מתוצאה זו ניתן לקבל כי באופן כללי, אם עד כה הפכנו את הווקטורים formula_16 לקבוצה אורתונורמלית formula_17 שפורשת אותו מרחב, נקבל את הווקטור הבא לקבוצה האורתונורמלית בצורה הבאה:
בהגדרה זו הורדנו מ-formula_19 את כל ההטלות שלו עם אברי הבסיס האורתונורמלי שבנינו עד כה ונותרנו עם רכיב אחד שאורתוגנלי לכולם. כעת נותר לנרמל את הווקטור הזה:
וכך קיבלנו את האיבר הבא בסדרה.
קבוצה אורתוגונלית במקום קבוצה אורתונורמלית.
אם מעוניינים לקבל קבוצה אורתוגונלית בלבד אך לא בהכרח אורתונורמלית ניתן לותר על הצעד האחרון אולם אז יש לבצע שינוי קל באלגוריתם, שנובע מכך שההטלה שמתוארת בו יכולה להתבצע על וקטורים אורתונורמליים בלבד.
אם formula_1 היא קבוצת הווקטורים שעליה הפעלנו את התהליך, ואילו formula_22 היא קבוצת הווקטורים האורתוגונליים שהתקבלה עד כה, נגדיר את האיבר הבא על ידי:
formula_23
כלומר, ההבדל היחיד הוא שאנו מחלקים את המכפלה הפנימית בנורמה של formula_24 בריבוע. כדי לראות את הסיבה לכך נשים לב כי על פי ההגדרה formula_25 ולכן, אם נציב משוואות אלו בנוסחה שהראינו בסעיף הקודם, נקבל:
קבוצה תלויה ליניארית.
אם קבוצת הווקטורים ההתחלתית formula_1 תלויה ליניארית אז לעיתים נקבל formula_28. במקרה כזה יש להתעלם מווקטור זה, ולהמשיך באלגוריתם.
שימושים.
תהליך גרם-שמידט מוכיח כי לכל מרחב מכפלה פנימית ממד סופי (או בן מניה) יש בסיס אורתונורמלי. אפשר לנסח תוצאה זו, במונחים של מטריצות באופן הבא: כל מטריצה סימטרית חיובית לחלוטין formula_29 חופפת למטריצת היחידה. זהו מקרה פרטי של משפט סילבסטר.
יתר על כן, מהתהליך נובע שניתן לבצע חפיפה זו על ידי מטריצה משולשית. מכן אנו מקבלים את הפרוק הבא: formula_30 כאשר formula_31 היא מטריצה משולשית. פרוק זה בתורו גרר את הפרוק הבא: כל מטריצה הפיכה ניתן לפרק למכפלה של מטריצה אורתוגונלית ומטריצה משולשית. פירוק זה נקרא פירוק QR, שהוא מקרה פרטי של פרוק יווסווה.
בנוסף התהליך מוכיח את קיומו של בסיס אורתונורמלי בכל מרחב הילברט ספרבילי. עובדה זו שקולה לכך שכל מרחב הילברט ספרבילי איזומורפי למרחב הסדרות formula_32.
אלגברה ליניארית.
עבור מרחב ליניארי כללי מממד סופי קל לזהות מיידית את הבסיס הסטנדרטי כבסיס אורתונורמלי אפשרי, כך שאין צורך בתהליך במקרה זה. לעומת זאת, התהליך אינו טריוויאלי מבחינה חישובית כאשר מנסים לאפיין תת-מרחב של מרחב וקטורי גדול יותר (כמו תת-המרחב המתואר על ידי פתרונות מערכת משוואות ליניאריות) על ידי מציאת בסיס אורתונורמלי לאותו תת-מרחב.
באנליזה פונקציונלית.
תהליך גרם-שמידט אמנם נראה מובן אינטואיטיבית כאשר עוסקים במרחב הווקטורי formula_33 המצויד במכפלה הפנימית האוקלידית הסטנדרטית, אולם הצורך בו מתחוור ביתר בהירות בתחום האנליזה הפונקציונלית, העוסקת במרחבי פונקציות מממד אינסופי, שם מציאת בסיסים אורתוגונליים למרחב פונקציות כבר אינה משימה נגישה וישירה כמו באלגברה ליניארית. המוטיבציה והרקע הרעיוני לתהליך מומחשים באופן מיטבי בתחום זה, כמו גם היתרון שבעבודה עם בסיסים אורתוגונליים (ביחס למכפלה הפנימית המוגדרת); כיוון שההיטל של שני רכיבים אורתוגונליים אחד על השני הוא וקטור האפס, ההיטלים של וקטור כללי על איברי הבסיס האורתוגונלי הם בעצמם בעלי היטל אפס אחד ביחס לשני, מה שמפשט מאוד את החישובים הנלווים ומקל על גיבוש אינטואיציה בנוגע לטיב המרחב הפונקציונלי איתו עובדים.
נביא כאן דוגמה מפורסמת וחשובה ליישום לא טריוויאלי של התהליך - מציאת בסיס אורתונורמלי ל"מרחב הפולינומים" formula_34 בקטע formula_35 מתוך הבסיס "הסטנדרטי" של מרחב זה, סדרת המונומים formula_36, כאשר המכפלה הפנימית היא הגרסה הרציפה של המכפלה הפנימית האוקלידית, דהיינו: formula_37.
בניית פולינומי לז'נדר.
נסמן ב- formula_38 את האיבר ה-"k" בבסיס האורתוגונלי שיתקבל, לפני הנרמול ולאחר הנרמול בהתאמה. לאחר נרמול האיבר הראשון בבסיס הסטנדרטי, נקבל formula_39. כעת נחשב את ההטלה של האיבר השני על האיבר הראשון המנורמל, ונקבל:
ולאחר נרמול נקבל את האיבר השני:
בדומה לכך, נחשב את formula_42:
כאשר הנחנו ש-formula_44 משום שזהו אינטגרל של פונקציה אי-זוגית על פני תחום סימטרי ביחס לראשית. לאחר נרמול נקבל את האיבר השלישי:
ניתן להמשיך את התהליך ולקבל גם:
וכך הלאה. הכפלת כל אחד מהפולינומים הללו בסקלר שונה מאפס אינה משנה את האורתוגונליות, ולכן ניתן להגיע מקבוצה זו אל הקבוצה האורתוגונלית:
זוהי קבוצה מפורסמת של פולינומים המכונים "פולינומי לז'נדר", שהיא בעלת שפע של שימושים בתחומי פיזיקה שונים כמו אלקטרוסטטיקה, אסטרונומיה, מכניקת הקוונטים, ועוד.
היסטוריה.
התהליך קרוי על שם מפתחיו - המתמטיקאי הדני יורגן פדרסן גרם ועמיתו הגרמני ארהרד שמידט, שניהם מתמטיקאים בעלי שיעור קומה. על אף שהתהליך קרוי על שמם, אזכורים לו אנו מוצאים בעבודות קודמות של לפלס ושל אחרים.
ויקטור יושצ'נקו
וִיקְטוֹר אַנְדְּרִיוֹבִיץ' יוּשְצֶ'נְקוֹ (באוקראינית: Віктор Андрійович Ющенко, ; לעיתים נכתבת הצורה יושנקו, נולד ב-23 בפברואר 1954 בכפר חורוז'יבקה) הוא מדינאי אוקראיני, איש הימין המתון והפרו-מערבי, נשיאה השלישי של אוקראינה.
ראשית חייו.
יושצ'נקו נולד ב-23 בפברואר 1954 בכפר חורוז'יבקה שבמחוז סומי למשפחה של מורים. אחרי סיום לימודיו התיכוניים למד כלכלה בטרנופול וסיים את לימודיו שם ב-1975. לאחר ששירת שנה בצבא, עבר ב-1976 לעבוד בסניף מקומי של הבנק הממלכתי של ברית המועצות בעיירה אוליאנובקה במחוז סומי, שם עבד עד לשנת 1985, עת הועבר למחלקת ההלוואות והתקצוב של החקלאות שבקייב, בירת אוקראינה. בשנת 1987 הוזמן על ידי ואדים הטמן לעבוד בסניף קייב של הבנק של ברית המועצות לתעשייה וחקלאות (החל משנת 1990 - בנק "אוקראינה"). בדצמבר 1989 מונה יושצ'נקו למ"מ יו"ר הוועד המפקח בבנק החקלאי-תעשייתי בקייב, תפקיד שבו שימש עד 1993.
בשנה זו הוזמן יושצ'נקו על ידי ואדים הטמן לעבוד בבנק הלאומי של אוקראינה, ואחרי התפטרותו של הטמן באותה שנה מונה לנשיא הבנק הממלכתי (משרה המקבילה לנגיד בנק ישראל בארץ).
בתקופת כהונתו בראש הבנק נערכה רפורמה מונטרית מקיפה שיצרה את המטבע הלאומי של אוקראינה, ההריבניה, נוסדו האוצר הלאומי ובית דפוס השטרות והמטבעות של המדינה. בשנת 1998 הוא התמודד בהצלחה עם אינפלציה ומשבר כלכלי שהכו במדינה.
הכניסה לפוליטיקה.
ב-22 בדצמבר 1999 באופן מפתיע מינה אותו הנשיא ליאוניד קוצ'מה לתפקיד ראש ממשלת אוקראינה, אחרי שהמועמד קודם ולרי פוסטובנקו לא קיבל את אמון הפרלמנט על חודו של קול. אף על פי שקוצ'מה ראה ביושצ'נקו יריב פוליטי חשוב, הוא נאלץ למנותו בשל הצורך של אוקראינה בתמיכה כלכלית של המערב. מינויו של יושצ'נקו אושר בפרלמנט האוקראיני ברוב מוחץ של 296 תומכים מול 12 מתנגדים. בתקופת כהונתו הייתה באוקראינה התקדמות כלכלית ניכרת, חובות הממשלה צומצמו והתמ"ג צמח לראשונה מאז היווסדות המדינה (אם כי מבקריו של יושצ'נקו טוענים שהצמיחה נבעה מהמצב של הכלכלה העולמית בכלל ולאו דווקא מפעולותיו). אולם, יושצ'נקו וממשלתו נכנסו לעימות חריף עם תעשייני הפחם והגז ועם הנשיא קוצ'מה, אשר יושצ'נקו האשימו בחבלה במהלכיו. ב-29 במאי 2001 בפרלמנט האוקראיני נערכה הצבעת אי-אמון בממשלת יושצ'נקו, שבה זכתה הממשלה רק ל-69 קולות תומכים בלבד מול 263 מתנגדים ולכן הודחה.
בשנת 2002 הקים יושצ'נקו את הבלוק המפלגתי האופוזיציוני "אוקראינה שלנו", אשר זכה בכרבע מקולות הבוחרים בבחירות לפרלמנט וכך היה לסיעה הגדולה ביותר בו. אף על פי שניסיונותיו של יושצ'נקו להתחבר עם מפלגות אופוזיציה נוספות נכשלו, הוא נחשב לראש האופוזיציה לנשיא קוצ'מה.
הפופולריות של יושצ'נקו בקרב אוכלוסיית אוקראינה המשיכה לעלות והוא היה אהוד אף יותר מהנשיא המכהן ליאוניד קוצ'מה.
מועמד לנשיאות.
בשנת 2004 הסתיימה כהונת הנשיא קוצ'מה ויושצ'נקו הכריז על עצמו כמועמד עצמאי לתפקיד הנשיא. כמקודם, הוא חרת על דגלו את האוריינטציה הפרו-אירופית, צירוף אוקראינה לנאט"ו, מלחמה בשחיתות וליברליזם כלכלי. יריבו העיקרי היה ראש הממשלה המכהן, ויקטור ינוקוביץ'. מאז כהונתו כרה"מ יושצ'נקו שיפר את מנהיגותו כשצירף אליו את הליברלים והסוציאליסטים ביצרו את הגוש של "הכוח של אוקראינה" בהנהגתו יחד עם יוליה טימושנקו הרדיקלית.