מקובל לחשוב שהפולינזים ישבו במניהיקי החל משנת 900 או 1000 לספירה. הם ערכו מסעות ימיים להשגת מזון ואף הגיעו עד לניו זילנד. האירופאי הראשון שהגיע לאי היה כנראה הנווט הפורטוגזי פדרו פרננדש דה קיירוש שגילה את האי ב-1606 וקרא לו בשם Gente Hermosa ("אנשים יפים"). ב-13 בנובמבר 1822 נראה האי על ידי הספינה האמריקנית "גוד הופ" (Good Hope) ורב החובל שלה קרא לו בשם אי האמפרי (Humphrey Island). ב-1928 ספינת ציידי הליוויתנים "גנגס" (Ganges) עברה ליד האי וצוותה קרא לו בשם אי גנגס הגדול (Great Ganges Island). בהמשך חלפו לידו ספינות נוספות שקראו לו בשמות שונים ולמרות זאת נקרא כיום האי בשמו המאורי המקורי. יש שתי הצעות למשמעות השם: האפשרות הראשונה היא "סירת קאנו שעולה על החוף" והאפשרות השנייה היא שתושביו הראשונים של האי הגיעו מהאי מניהי (Manihi) שבאיי טואמוטו שבפולינזיה הצרפתית והאי נקרא פשוט מניהי הקטן – מניהיקי.
ב-1899 התנגדו חלק מתושבי האי לפעולתם של המיסיונרים והם הגיעו להסכם עם השלטונות הצרפתיים בטהיטי שהאי יסופח אליהם. בתגובה נשלחה ספינה אך המיסיונרים במניהיקי הניפו את הדגל הבריטי והספינה שבה לטהיטי מבלי לעגון בחוף. ב-9 באוגוסט 1889 הוכרז האי כשטח חסות בריטי וב-1901 נכלל האי בשטחה של ניו זילנד. החל משנת 1822 תבעה ארצות הברית את הריבונות על האי ובשנת 1980 נחתם הסכם בין ארצות הברית לבין איי קוק, לפיו ארצות הברית מכירה בריבונותם של איי קוק במניהיקי ובשלושה איים נוספים.
גאוגרפיה.
מניהיקי ממוקם בפסגתו של הר תת-מימי בגובה של 4000 מטרים מעל קרקעית האוקיינוס. האי הוא אטול ברוחב 10 ק"מ המורכב מ-43 איונים הפזורים לאורך השונית. השונית מהווה אתר צלילה מגוון ובית לאלמוגים ודגים טרופיים מסוגים שונים. האטרקציה העיקרית של האי היא צלילה. קיימת פעילות דיג ענפה מחוץ לשונית וסוגי הדגים השכיחים הם טונה זהובה ודאוניים. האי ידוע בשל תעשיית הפנינים השחורות שלו וחוות גידול פזורות סביב ללגונה. החווה הגדולה ביותר מחזיקה 250,000 צדפות המייצרות פנינים.
דמוגרפיה ופוליטיקה.
שני כפרים שוכנים במניהיקי. הגדול מבינם הוא הכפר טאוהונו (Tauhunu) השוכן על איון בשם זהה בחלקו המערבי של האטול. הכפר השני הוא טוקאו (Tukao) השוכן על האיון נגאקה (Ngake) או טה פארואה (Te Paeroa) בחלקו הצפוני של האטול. מבחינה פוליטית האי מנוהל על ידי מועצת האי וראש העיר נבחר אחת לשלוש שנים. אוכלוסיית האי מחולקת לשני שבטים כשכל אחד מהם מחולק לשבעה תתי-שבטים. בפברואר 2009 ציין ראש העיר כי עקב המשבר הכלכלי העולמי ועליית יוקר המחיה נרשמת עזיבה ניכרת של תושבי האי לניו זילנד ולאוסטרליה ומספר תושבי האי ירד ל-280 איש. תושבי האי דוברים אנגלית וניב מאורי מקומי.
משפט סטון-ויירשטראס
משפט סטון-ויירשטראס הוא תוצאה חשובה באנליזה פונקציונלית, המאפיינת באופן מלא את כל האלגבראות שצפופות במרחב הפונקציות הרציפות על קבוצה קומפקטית.
המשפט מהווה הכללה למשפט הקירוב של ויירשטראס שעוסק באלגברת הפולינומים על קטע ממשי סגור וחסום. משפט סטון-ויירשטראס מאפיין את התכונה היסודית שהופכת את אלגברת הפולינומים לצפופה במרחב הפונקציות הרציפות: הפרדת נקודות.
למשפט תפקיד מרכזי בפיתוח תורת טורי פורייה.
המשפט.
אם formula_1 הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב-formula_2 את מרחב הפונקציות הרציפות formula_3, שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת formula_4-אינסוף": formula_5.
כמו כן, אלגברה היא מרחב וקטורי שמוגדרת בו גם פעולת כפל בין ווקטורים. בפרט באלגבראות במרחב formula_2 הכפל הווקטורי מוגדר ככפל נקודתי של הפונקציות.
הוכחה.
הכיוון שבו אם formula_25 צפופה אז מתקיימים שני תנאי המשפט הוא פשוט יחסית: אם formula_26 אלגברה צפופה, אז יש בה פונקציה קרובה כרצוננו לפונקציה הקבועה formula_27. קל לראות שפונקציה מספיק קרובה ל-formula_28 לא תתאפס באף נקודה ולכן מתקיים התנאי הראשון. כמו כן, בהינתן זוג נקודות formula_29 ניתן להגדיר למשל את הפונקציה formula_30, כאשר formula_31 היא המטריקה המוגדרת ב-formula_1. קל לראות שפונקציה זו מפרידה את הנקודות הנ"ל, ומצפיפות formula_25 נובע שקיימת בה פונקציה קרובה כרצוננו ל-formula_34, ופונקציה קרובה מספיק תפריד את הנקודות.
הכיוון שבו מראים כי אם מתקיימים שני תנאי המשפט אז האלגברה צפופה, הוא מורכב יותר וזה עיקר המשפט.
במסגרת ההוכחה נעשה שימוש במונח סגירות סריגית: קבוצה formula_35 כלשהי נקראת "סגורה סריגית", אם לכל
formula_36 הפונקציות formula_37, המוגדרות נקודתית, שייכות גם הן ל--formula_38.
formula_40
formula_41
נוכיח את המשפט: נניח כי formula_26 אלגברה כלשהי המקיימת את שני התנאים הנתונים. נתבונן בסגוֹר שלה formula_95, שגם הוא אלגברה סגורה. מטענת העזר הראשונה נובע כי היא סגורה סריגית. נראה שמתקיים גם התנאי המופיע בטענת העזר השנייה, ומכך נסיק על-פי הטענה הנ"ל כי formula_95 קבוצה צפופה ב-formula_2.
יהיו formula_29 זוג נקודות שונות ויהיו formula_99. נחפש formula_100 שתקיים formula_101.
מהנתון כי formula_25 "מפרידה נקודות" נובע שקיימת formula_11 המקיימת formula_104. נשים לב שמהיות formula_25 אלגברה נובע כי היא מכילה כל פולינום ריבועי ב-formula_28 מהצורה formula_107. אם-כך כדי שיתקיים התנאי המבוקש נצטרך לפתור את מערכת המשוואות:
formula_108
formula_109
אלו שתי משוואות בשני נעלמים ולכן קיים להן פתרון אם ורק אם הדטרמיננטה שונה מ-0. כלומר formula_110.
נתון כי formula_111 ולכן מספיק לדרוש שיתקיים formula_112 וגם formula_113. נניח ללא הגבלת הכלליות כי formula_114. מקיום התנאי הראשון במשפט נובע שקיימת formula_115 המקיימת formula_116, ולכן לכל formula_117 מתקיים כי formula_118, ונבחר formula_119 מספיק קטן כדי שיתקיים במקביל גם formula_120. אם כך מצאנו פונקציה ב-formula_95 המקיימת את תנאי טענת העזר השנייה, ולכן מטענה זו נובע כי formula_95 צפופה במרחב formula_20.
קל לראות כי קבוצה סגורה שצפופה במרחב שווה למרחב כולו, ולכן formula_124, ומכאן כי formula_25 צפופה ב-formula_2.
אשכול הגליל המזרחי
מיטיארו
מיטיארו (במאורית: Mitiaro) הוא האי הרביעי בגודלו באיי קוק. האי הוא ממוצא געשי וניצב בפסגת הר תת-מימי בגובה של 4500 מטרים מעל קרקעית האוקיינוס. אורכו של האי הוא 6.4 ק"מ בנקודה הרחבה ביותר.
גאוגרפיה.
מיטיארו הוא חלק מקבוצת איים שנוצרה מהר געש שהפך לאטול אלמוגים. האי מוקף בחגורת אלמוגים מאובנים בגובה של 6–9 מטרים המאפיינת את האיים בקבוצה הדרומית של איי קוק. מרכז האי שטוח, ביצתי ואף נמצאים בו שני אגמים מים מתוקים בהם שורצים צלופחאים ודגי אמנון שיובאו מאפריקה. אין הרבה חופים באי אך המים צלולים ואידיאלים לשחיה.
באי קיימים ארבעה כפרים הממוקמים כולם זה בקרבת זה והם שוכנים בצידו המערבי. באחד הכפרים פועל בית הספר של האי ובחלקו הצפוני פועל שדה תעופה.
היסטוריה.
בעידן שלפני גילוי האי על ידי האירופאים הוטרדו ושועבדו תושבי האי על ידי תושבי האי אטיו וכתוצאה מכך היו הרבה מקרי מוות באי. האי התגלה על ידי המיסיונר ג'ון ויליאמס (John Williams) ב-20 ביוני 1823 שהחדיר את האמונה הנוצרית לאי ועודד את התושבים לנטוש את אמונתם המקורית. גודל האוכלוסייה המשוער בתקופה זו עמד על 100 תושבים.
בשנות הארבעים של המאה ה-19 הותקף האי שוב על ידי תושבי אטיו. ב-31 באוקטובר 1888 הניפה אוניית הצי המלכותי אה"מ "הייסינת'" (HMS Hyacinth) את הדגל הבריטי באי. בהמשך סופח האי לאיי קוק וב-1901 לניו זילנד.
לוטטיה (פירושונים)
המערכת המרקנטליסטית
יוסף ברוורמן
יוסף ברוורמן (1911 – 3 במאי 1939) היה איש אצ"ל שפרש מהארגון, הצטרף למשטרת המנדט והוצא להורג על ידי האצ"ל באשמת בגידה.
מהאצ"ל למשטרת המנדט.
יוסף ברוורמן היה פעיל בתנועת בית"ר בתל אביב. האצ"ל נוסד בפילוג שחל ב-1931 בסניף ירושלים של ארגון "ההגנה", כאשר קבוצה גדולה של אנשי הסניף, בראשות אברהם תהומי פרשה מההגנה במחאה הנהגת ההגנה על "מדיניות ההבלגה" כלפי ערביי ארץ ישראל. המרכז הארצי של הארגון, שזה עתה קם, מנה ארבעה חברים, שניים מירושלים ושניים מתל אביב. בראשם עמד אחד מהארבעה, אברהם תהומי, ואחד מהם היה יוסף ברוורמן. בשנת 1935 חדל ברוורמן מפעילותו באצ"ל והצטרף למשטרת המנדט. בתחילה שירת במשטרת חיפה בדרגת קורפורל - רב-טוראי. בשנת 1936 הוצב למשטרת יפו במדור לחקירת פשעים. בראשית שנת 1939 עבר לשרת במחלקת ההגירה של משטרת החופים.
ההתנקשות.
האצ"ל נטר לברוורמן על עזיבת הארגון וחשד כי במשטרת החופים הוטל עליו להתחקות על דרכי ההעפלה ולמסור ידיעות על אנשי הארגון בתל אביב וסביבתה. בשל כך גזר האצ"ל את דינו למיתה. ב-3 במאי 1939 לאחר חצות, כאשר יוסף ברוורמן צעד מעבודתו לביתו, ארבו לו אנשי האצ"ל בפינת הרחובות וילנה ובן-יהודה בתל אביב וירו מטווח קרוב חמישה כדורים לבטנו. ברוורמן הספיק להשיב בשלוש יריות מכלי נשקו ונפל מתבוסס בדמו. הוא נלקח בכלי רכב שחלף במקום לבית החולים אסותא ושם נקבע מותו.