יאנוש בולאי, הידוע בעיקר כאחד האבות של הגאומטריה הלא-אוקלידית, העלה את השאלה: האם עבור כל זוג מצולעים ניתן למצוא חיתוך של הראשון לחתיכות שמהן ניתן להרכיב את המצולע השני (בהנחה שהם בעלי אותו השטח)? החל מאמצע המאה ה-19 ועד לסופה, ניסו מתמטיקאים אחדים לפתור בעיה זו. ההוכחה הכללית שמכל מצולע ניתן להגיע לכל מצולע אחר על ידי חיתוכים והרכבות מתבססת על אלגוריתם הבנוי ממספר שלבי ביניים:
הבעיה התלת-ממדית היא קשה יותר: האם ניתן לחתוך כל פאון לחלקים שאותם יהיה ניתן להרכיב מחדש על מנת לקבל כל פאון אחר. המתמטיקאי דויד הילברט כלל את השאלה הזאת כבעיה השלישית ברשימת 23 הבעיות המפורסמת שלו. הילברט שאל האם מכל פאון (צורה תלת-ממדית המורכבת ממצולעים) ניתן להגיע לכל פאון אחר על ידי חיתוך והרכבה. את הבעיה פתר תלמידו של הילברט, מקס דן, שנה אחת בלבד לאחר הצגתה, בכך שהוא מצא זוג ארבעונים שלא ניתן להפוך אחד לשני על ידי חיתוך והרכבה.
חיתוכים מינימליים.
חיתוך מצולעים לפי האלגוריתם המתואר לעיל עשוי לדרוש חלקים רבים, ולשאלה מה המספר הקטן ביותר של חלקים הדרושים בשביל להפוך מצולע אחד למצולע אחר אין פתרון כללי; ישנו מספר קטן מאוד של זוגות של מצולעים עבורם הצליחו להוכיח שנמצא הפתרון הדורש את מספר החלקים הקטן ביותר. בהיעדר פתרונות אלו, הפך ענף זה לענף פורה של שעשועי מתמטיקה. ישנה רשימת שיאים עבור זוגות של צורות שונות הכוללת את החיתוכים הדורשים את מספר החלקים הקטן ביותר. הפתרון של חידת מוכר הסדקית, שבה ניתן להפוך ריבוע למשולש שווה-צלעות על ידי חיתוך לארבעה חלקים בלבד והרכבתם מחדש, היא השיא הקיים לאתגר זה (לא נמצא חיתוך הדורש פחות מארבעה חלקים).
שיטות ליצירת חיתוכים.
מרבית החיתוכים הידועים היום התגלו על בסיס של מספר קטן מאוד של שיטות בנייה. חלק גדול מהקסם של חידות החיתוך הוא בכך שבאמצעים פשוטים ניתן להגיע לחיתוכים הנראים כמורכבים.
להלן דוגמאות לכמה מהשיטות הבסיסיות ליצירת חיתוכים:
רשימת השיאים.
בטור המפורסם שלו "Mathematical Games" שהופיע בירחון "סיינטיפיק אמריקן", כתב מרטין גרדנר כתבה על חיתוכים, שבה הופיעה רשימת שיאים של המספר המינימלי של חלקים הדרוש לעבור מצורה אחת לאחרת, עבור מגוון רב של צורות. הטבלה של גרדנר כללה במקור בעיקר חיתוכים פרי יצירתם של הנרי ארנסט דודני והרי לינדגרן. מאז פרסום הכתבה נשברו רבים מהשיאים, וחלקם אף נשברו מספר פעמים, בעיקר על ידי גווין תאובלד וגרג פרדריקסון. להלן רשימה חלקית של שיאים אלו, מעודכנת ליולי 2008. רשימה מלאה יותר של שיאים, ופירוט החיתוך עבור כל זוג צורות ניתן למצוא באתר של גווין תאובלד.
הוכחות גאומטריות המסתמכות על חיתוכים.
הוכחות למשפט פיתגורס.
משפט פיתגורס הוא אחד המשפטים העתיקים והחשובים בגאומטריה. המשפט קרוי על שמו של הפילוסוף היווני פיתגורס, אך התגלה זמן רב לפניו והיה ידוע לא רק ביוון העתיקה אלא גם למתמטיקאים בסין, בהודו וברחבי העולם העתיק. המשפט קובע שבמשולש ישר-זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. בספר "יסודות" של אוקלידס, ההוכחה למשפט מתבססת על דמיון משולשים. לאורך הדורות נמצאו הוכחות רבות נוספות למשפט, חלק גדול מהן מבוסס על חיתוכים.
למתמטיקאי ההודי אריאבהטה (שחי במאה ה-5 וידוע בעיקר בזכות המצאת השיטה העשרונית) מיוחסת אחת ההוכחות היפות ביותר של המשפט, הוכחה שמקובלת בספרי לימוד גם כיום ומבוססת על חיתוכים. את ההוכחה ניתן לראות באיור: נבנה ארבעה משולשים ישרי זווית שאורך הניצבים שלהם הוא formula_7 ואורך היתר formula_8. כאשר מחברים אותם יחד באופן הנראה בחלק הימני של האיור, מתקבל ריבוע גדול שאורך הצלע שלו הוא formula_9, וריבוע לבן הכלוא בפנים שאורך הצלע שלו הוא formula_8, ולכן השטח של החלק הלבן הוא formula_11. עתה נחתוך את המשולשים ונסדר אותם באופן הנראה בחלק השמאלי של האיור. שוב מתקבל ריבוע גדול בעל אורך צלע formula_9, ולכן השטח של החלק הלבן באיור צריך להיות זהה לשטח הלבן באיור השמאלי. אלא שהשטח הלבן באיור מורכב כעת משני ריבועים בעלי צלעות formula_13 ו-formula_14, כלומר שטחו formula_15, ומכאן שהוכח משפט פיתגורס.
הוכחה עתיקה עוד יותר למשפט ניתן למצוא בטקסט סיני בשם "Chou Pei Suan Ching" המתוארך בין 500 ל-200 לפנה"ס. בתמונה מופיע העמוד בטקסט שבו משפט פיתגורס, וניתן לראות שמידותיו של המשולש באיור הם השלשה הפיתגוראית 3,4,5. באנימציה ניתן לראות פעם נוספת כיצד בעזרת חיתוך לארבעה משולשים ישרי זווית וסידור החלקים מחדש, מתקבלת הוכחה של המשפט.
בימי קדם חיתוכים שימשו גם לצורך חישוב שטחים של מצולעים בעלי מספר רב של צלעות, חישובים שבתורם נתנו הערכות למספר פאי.
הוכחות אלגבריות.
בשעשועי מתמטיקה אוהבים להראות הוכחות גאומטריות פשוטות לזהויות באלגברה. דוגמה להוכחה כזאת נוגעת לקשר שבין מספרים משולשים ומספרים מרובעים. מספרים משולשים, הם הסדרה 1,3,6,10,15... שבה כל מספר, formula_16 הוא סכום המספרים בין 1 ל-n. הם נקראים כך משום שבעזרת מספרים אלו של כדורים ניתן לבנות משולשים (ראו איור).
formula_17
מספרים ריבועיים formula_18, הם המספרים שבעזרתם ניתן לבנות ריבועים, והנוסחה עבורם היא
formula_19.
באמצעות הרכבה פשוטה של ריבוע משני משולשים קל להיווכח שמתקיימת הזהות האלגברית:
formula_20.
הוכחות שקריות.
בכל הבעיות של חיתוך צורה אחת והרכבתה לבנייה של צורה אחרת, השטח של הצורה המקורית חייב להיות שווה לשטחה של הצורה החדשה ("חוק שימור השטח"). עם זאת, ישנם חיתוכים רבים שבהם לכאורה חוק זה לא מתקיים. בספרות שעשועי המתמטיקה מתייחסים לחיתוכים אלו בתור קסמים, או פרדוקסים - כלומר הוכחות הסותרות את חוק שימור השטח, אך בחינה מדוקדקת של החיתוכים מראה שלמעשה אלו הוכחות שקריות: הם מבוססות על טעות (קשה לזיהוי) בחישוב השטחים.
באיור ניתן לראות דוגמה קלאסית לחיתוכים מסוג זה, שהומצאה על ידי סם לויד. החיתוך מראה כיצד לחלק ריבוע 8x8 לארבעה חלקים (שני משולשים ושני טרפזים) שמהם ניתן לכאורה להרכיב מלבן בגודל 5x13. אולם, שטח הריבוע הוא 64 ושטח המלבן הוא 65 - ומכאן שעל ידי חיתוך והרכבה הצלחנו לכאורה להגדיל את שטח הצורה. הטעות בחיתוך היא שהשיפוע של המשולש ושל הטרפז אינם זהים. השיפוע של המשולש הוא 3/8=0.375 ואילו שיפוע הטרפז הוא 2/5=0.4. מכאן שהטרפז והמשולש לא מתחברים באופן חלק כדי ליצור את המלבן. באיור ניתן לראות גם הרכבה נוספת של אותם חיתוכים ממש, שנתגלתה על ידי בנו של סם לויד, היוצרת צורה שלכאורה השטח שלה הוא 63.
אחד הדברים המעניינים בחיתוכים אלו הוא הקשר ביניהם לבין סדרת פיבונאצ'י. סדרת פיבונאצ'י היא סדרת המספרים 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144... שבה כל מספר בסדרה הוא סכום שני המספרים הקודמים לו (למעט שני הראשונים). אחת התכונות של הסדרה היא שההפרש בין הריבוע של כל איבר בסדרה למכפלת האיבר העוקב לו באיבר הקודם שווה formula_21. לדוגמה, הריבוע של 8 הוא 64 והוא שווה לאחד פחות ממכפלת 5x13=65; בעובדה זאת נעשה שימוש בחיתוך של סם לויד. באופן דומה ניתן לבנות חיתוכים המשתמשים גם באיברים הבאים בסדרה. הראשון שכתב על קשר זה היה ו. שלגל (V. Schlegel) בשנת 1879, ואחד האנשים לחקור קשר זה היה לואיס קרול.
החיתוך הנוסף הנראה באיור, הוא אחד החיתוכים הפשוטים ביותר מן הסוג הזה. הוא הומצא על ידי מרטין גרדנר ומבוסס על חידות דומות שהמציא הקוסם האמריקאי פול קורי (Paul Curry). בחיתוך זה משולש מחולק לחלקים המרכיבים את אותו משולש עצמו, רק ללא אחת המשבצות שבו.
סוג נוסף של חיתוכים, לכאורה פרדוקסליים, הם ציורים המכילים מספר דמויות, שבהם לאחר שהציור נחתך ומורכב מחדש אחת הדמויות נעלמת. באיור נראית אחת החידות המפורסמות ביותר בהקשר זה, חידת "הסיני הנעלם", או בשמה המקורי "Get Off the Earth Puzzle". בחידה, שהומצאה על ידי סם לויד וזכתה להצלחה מסחרית עצומה (סם לויד אף הוציא פטנט על הרעיון הזה בשנת 1896), מופיעות 13 דמויות סיניות מסביב למעגל. כאשר חותכים את המעגל, נועצים נעץ במרכזו, ומסובבים את המעגל כך שמחט המצפן מצביעה לכיוון צפון-מערב; אזי נראות בתמונה 12 דמויות בלבד.
בספרו "Mathematics Magic and Mystery" נותן מרטין גרדנר הסבר פשוט לאופן שבו פועלת החידה הזאת וחידות רבות מסוגה, הסבר שניתן לראות באיור משמאל. באיור, בצידו השמאלי, נראים 6 קווים. לאחר החיתוך וההזזה מתארך כל אחד מן הקווים (פרט לימני) ב-1/5 מארכו, וכך נעלם אחד מהם.
אנדרס טאראנד
אנדרס טאראנד (באסטונית: Andres Tarand; נולד ב-11 בינואר 1940) הוא פוליטיקאי שכיהן כראש ממשלת אסטוניה.
ביוגרפיה.
טאראנד נולד בטאלין ובשנת 1963 סיים לימודי תואר ראשון בקלימטולוגיה מאוניברסיטת טרטו. לאחר מכן הוא סיים לימודי תואר שני בגאוגרפיה (1973) והמשיך במחקר אקדמי באוניברסיטה. בשנים 1979–1981 עמד טאראנד בראש מחלקת המחקר ובשנים 1988–1990 היה מנהל הגנים הבוטניים של טרטו. משנת 1996 הוא משמש חבר מועצת המנהלים של האוניברסיטה.
בשנים 1992–2004 היה טאראנד חבר הפרלמנט של אסטוניה. במהלך תקופה זו הוא נבחר לשמש ראש הממשלה (1994–1995) וכיהן בתפקיד השר לאיכות הסביבה (1992 - 1995).
בשנים 2004–2009 היה טאראנד חבר הפרלמנט האירופי מטעם המפלגה הסוציאל-דמוקרטית.
טאראנד עוסק רבות בתחום איכות הסביבה ופועל בתחום זה באסטוניה ובאזור הבלטי. במסגרת פעילותו זו הוא שותף לעשייתם של ההתאחדות האסטונית לגאוגרפיה, המכון האסטוני לפיתוח בר-קיימא, מכון סטוקהולם לנושאי סביבה, החברה האסטונית להגנת הטבע ואחרים.
אונה יוקנביצ'ניה