"ברימאג שירות", חברת בת שהוקמה ב 2001, פועלת באמצעות חמישה סניפים מרכזיים, ומפעילה עשרות תחנות שירות ברחבי הארץ.
חלימה בהקיץ
משפט פוביני
משפט פוביני (נקרא לעיתים: משפט פוביני־טונלי) מספק נוסחה לחישוב של אינטגרל רב-ממדי של פונקציות, תחת תנאים מסוימים. את המשפט הוכיח גווידו פוביני בשנת 1907 עבור פונקציות אינטגרביליות, והוא הוכח גם בידי לאונידה טונלי בשנת 1909 עבור פונקציות אי-שליליות.
הגרסה הנפוצה של המשפט עוסקת באינטגרציה של פונקציות אינטגרביליות רימן מהצורה formula_1, אולם גרסה זו היא מקרה פרטי של משפט כללי יותר העוסק באינטגרציה של פונקציות אינטגרביליות לבג מהצורה formula_2, כאשר formula_3 מרחבי מידה סיגמא סופיים.
נוסח פורמלי.
לפונקציות ממשיות אינטגרביליות רימן.
תהי formula_4 פונקציה אינטגרבילית רימן, כאשר formula_5 קבוצות סגורות.
לכל formula_6 נגדיר פונקציה formula_7 על ידי formula_8 (פונקציה של המשתנה השני).
אזי אם formula_9 אינטגרבילית רימן, מתקיים השוויון:
formula_10
באופן סימטרי, לכל formula_11 ניתן להגדיר פונקציה formula_12 מתאימה, ואז אם היא אינטגרבילית רימן, מתקיים השוויון:
formula_13
לפונקציות כלליות אינטגרביליות לבג.
יהיו formula_14 זוג מרחבי מידה סיגמא־סופיים.
תהי formula_2 פונקציה אינטגרבילית לבג ביחס למרחב המכפלה formula_16.
לכל formula_17 נגדיר פונקציה formula_18 על ידי formula_8.
אזי formula_9 אינטגרבילית לבג, ומתקיים השוויון:
formula_21
באופן סימטרי, לכל formula_22 ניתן גם להגדיר פונקציה formula_23 מתאימה, גם היא אינטגרבילית לבג, ומתקיים השוויון:
formula_24
הכרחיות התנאים.
המשפט מתייחס לפונקציות אינטגרביליות בלבד, וכן נוספה הדרישה כי המרחבים יהיו סיגמא-סופיים. להלן דוגמאות המבהירות מדוע דרישות אלו הכרחיות.
כישלון משפט פוביני עבור פונקציות לא אינטגרביליות.
נתבונן במרחב המידה formula_25 עם הסיגמא-אלגברה formula_26 ביחס למידת המניה (כלומר המידה של קבוצת מספרים היא העוצמה שלה). נתבונן בפונקציה:
formula_27
פונקציה זו אינה אינטגרבילית, שכן ביחס לעותק הראשון של המרחב האינטגרל הוא formula_28, וביחס לעותק השני של המרחב האינטגרל הוא formula_29. כמו כן, לא קשה לראות שאינטגרציה תחילה לפי העותק הראשון היא סכימה של formula_30 ולכן האינטגרל הוא אפס, ולעומת זאת אינטגרציה תחילה לפי העותק השני היא סכימה של formula_31, ולכן האינטגרל הוא אחד. כלומר סדר האינטגרציה משנה את ערך האינטגרל.
דוגמה נוספת היא הפונקציה:
formula_32
המוגדרת על ריבוע היחידה formula_33. פונקציה זו אינה אינטגרבילית ומקיימת:
formula_34
סדר החישוב משנה את ערך האינטגרל, שכן מצד אחד:
formula_35
ומצד שני:
formula_36
כישלון משפט פוביני עבור מרחבים לא סיגמא-סופיים.
נתבונן במרחב המידה formula_37, כאשר העותק הראשון מצויד בסיגמא־אלגברת בורל ומידת לבג והעותק השני מצויד בסיגמא־אלגברה formula_38 ומידת המניה (כלומר המידה של קבוצת מספרים היא העוצמה שלה). ברור שהעותק השני אינו סיגמא־סופי.
נתבונן בקבוצת האלכסון formula_39. קבוצה זו היא בעלת מידה אפס אם מבצעים אינטגרציה תחילה לפי העותק הראשון, ולעומת זאת היא בעלת מידה 1 אם מבצעים אינטגרציה תחילה לפי העותק השני.
הוכחה.
ידוע כי אינטגרל לבג מכליל את אינטגרל רימן, ולכן נוכיח את המקרה הכללי.
לאורך כל ההוכחה נוכיח עבור "צד אחד" של השוויון במשפט, כלומר כאשר מתחילים לבצע אינטגרציה במשתנה השני ואז בראשון. ההוכחה לסדר ההפוך סימטרית.
ההוכחה הנפוצה למשפט עושה שימוש במשפט המחלקה המונוטונית. מבנה ההוכחה הוא כדלהלן: (1) תחילה מוכיחים את המשפט עבור פונקציות מדידות מסוג מסוים במרחבי מידה סופיים, (2) מכלילים את המשפט למרחבים סיגמא-סופיים, (3) מכלילים את המשפט לפונקציות מדידות כלליות.
בהינתן formula_52, מתקיים כי formula_53 ולכן ניתן להסיק מיד כי formula_54 פונקציה מדידה. אם כך נובע כי:
formula_55
כאשר השוויון האחרון הוא מהגדרת מידת המכפלה. מכאן כי formula_50.כדי להראות כי formula_48 היא מחלקה מונוטונית יש להראות סגירות לאיחוד שרשראות עולות וחיתוך שרשראות יורדות, אך זה לא קשה להסיק תוך שימוש במשפט ההתכנסות המונוטונית.
כעת נניח כי שני המרחבים הם סיגמא-סופיים. נציג formula_58 כאשר מידות הקבוצות באיחוד סופיות כולן, ונניח ללא הגבלת הכלליות כי אלו איחודים של שרשראות עולות. בהינתן formula_59 מדידה, בהמשך לסימונים הקודמים ניתן להסיק מהמקרה הסופי כי מתקיים formula_60ולכן תוך שימוש במשפט ההתכנסות המונוטונית נובע שבגבול כאשר formula_61 מתקיים formula_62.
כעת נראה את המקרה הכללי של המשפט. תהי formula_2 פונקציה אינטגרבילית במרחב המכפלה. נניח ללא הגבלת הכלליות כי formula_54 פונקציה ממשית ואי-שלילית (כי כל פונקציה ממשית היא הפרש של זוג פונקציות חיוביות, וכל פונקציה מרוכבת היא סכום של שתי פונקציות ממשיות). נדון תחילה בפונקציות מציינות מהצורה formula_65 עבור קבוצה מדידה formula_66, אז כפי שנובע מהחלק הקודם של ההוכחה מתקיים כי:
formula_67
פונקציות פשוטות הן צירוף ליניארי של פונקציות מציינות, ולכן המשפט נובע גם לגביהן מידית מליניאריות אינטגרל לבג. כעת, תוך שימוש במשפט ההתכנסות המונוטונית ובעובדה שכל פונקציה מדידה היא גבול של סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות, קל להסיק את הטענה לכל פונקציה מדידה.
משפט פוביני טונלי
אנה וית
אנה וית-פנינגר (בגרמנית: Anna Veith-Fenninger; נולדה ב-18 ביוני 1989) היא גולשת אלפינית אוסטרית, אלופה אולימפית (סוצ'י 2014) ואלופת עולם בעלת 6 מדליות, מהן 3 זהב.
פנינגר זכתה ב-14 ניצחונות במסגרת גביע העולם ובשנים 2014 ו-2015 זכתה בגביע העולם הכללי. היא זכתה פעמיים ברציפות (2013 ו-2014) בתואר ספורטאית השנה באוסטריה.
ביוגרפיה.
פנינגר נולדה בהאליין וגדלה בכפר אדנט שליד זלצבורג.
באולימפיאדת ונקובר (2010) סיימה פנינגר פעמיים במקום 16, בסופר G ובתחרות משולבת ובמקום 25 בגלישה במורד.
אלופת עולם.
באליפות העולם בסקי אלפיני שנערכה בגרמיש-פרטנקירכן אוסטריה בשנת 2011 זכתה פנינגר בשתי מדליות, זהב וכסף. מדליית זהב, בתחרות משולבת ומדליית כסף, בתחרות הקבוצתית. נוסף לכך, היא סיימה במקום חמישי בסופר G ובמקום 17 בגלישה במורד.
באליפות העולם בסקי אלפיני שנערכה בשלדמינג אוסטריה בשנת 2013 זכתה פנינגר במדליית ארד בסלאלום ענק. נוסף לכך, היא סיימה במקום 11 בגלישה במורד.
אלופה אולימפית.
באולימפיאדת סוצ'י (2014) זכתה פנינגר בשתי מדליות, זהב וכסף. מדליית זהב, בסופר G ומדליית כסף, בסלאלום ענק. נוסף לכך, היא סיימה במקום 8 בתחרות משולבת.
באליפות העולם בסקי אלפיני שנערכה בביוור קריק קולורדו בשנת 2015 זכתה פנינגר ב-3 מדמליות, 2 זהב ו-1 כסף. מדליות זהב, בסופר G ובסלאלום ענק ומדליית כסף, בגלישה במורד. נוסף לכך, היא סיימה במקום רביעי בתחרות משולבת.
באולימפיאדת פיונגצ'אנג (2018) זכתה במדליית כסף בסופר G.
טרנצ'טאון
טרנצ'טאון (באנגלית: Trenchtown או Trench Town) היא שכונה במערב קינגסטון בירת ג'מייקה. מן השכונה צמחו הסגנונות המוזיקליים רגאיי, סקא ורוקסטדי ותנועת הראסטפארי. השכונה הייתה מקום מגוריו של בוב מארלי וחלק מחברי להקתו, The Wailers.
מקור השם.
במקום היה שטח מרעה שהשתייך למהגר אירי בשם דניאל פאואר טרנץ' (Daniel Power Trench) ונודע בשם טרנץ' פן (Trench Pen). השטח ננטש במאה ה-19 אך השם נשאר.
היסטוריה.
בשנות ה-30 של המאה ה-20 החלו כפריים רבים לזרום לקינגסטון בחיפוש אחר עבודה. הממשלה הקולוניאלית הבריטית הקימה על פני 200 אקר באזור טרנץ' פן שכונת דיור ציבורי ובה רחובות ישרים בתבנית שתי וערב. כל בלוק נבנה כחצר ציבורית גדולה וסביבה מבנים בני קומה אחת או שתיים. בחצר התקיימו שירותים משותפים כגון בית מרחץ ומטבח קהילתי. שיטת דיור זו זכתה לכינוי Government Yards of Trench Town ("חצרות הממשלה של טרנצ'טאון"). השכונה כללה גם מרפאה, בתי ספר (יסודי ותיכון), פארק ציבורי (Vin Lawrence Park), אולם תיאטרון (The Ambassador), תחנת כיבוי אש ומרכז תרבות וספורט YMCA (לגברים) ו-YWCA (לנשים).
בשנות ה-50 וה-60 פרחה בשכונה הענייה והצפופה תרבות רחוב שוקקת ויצירתית שכללה אימוץ נרחב של התורה הרסטאפארית וגיבוש סגנונות מוזיקליים, שהפכו אותה לאבן שואבת למפיקים מוזיקליים. כן התפתחה מאוד אמנות ציורי הקיר, כך שרבים מהכתלים היו מכוסים בכרזות מצוירות בנושאים פוליטיים וחברתיים כגון גאווה שחורה, צבעי הפאן-אפריקאיות, תמונות מנהיגים (בפרט מרקוס גארבי והיילה סלאסי, קיסר אתיופיה), לגליזציה של מריחואנה וכדומה.
בעת מסעות הבחירות האלימים שאפיינו את ג'מייקה ב-שנות ה-70 של המאה ה-20 הפכה השכונה למפוצלת בין תומכי מפלגת העם הלאומית (PNP) מצפון לרחוב 7 לתומכי מפלגת הלייבור של ג'מייקה (JLP) שמעוזם היה מדרום לרחוב 7. הרחוב עצמו היה לשדה קרבות רחוב בין הקבוצות היריבות. הפיצול הפולטי, הקיטוב והאלימות גרמו להתדרדרות השכונה, לבריחת כוחות חזקים והפסקת פעולם של שירותים ממשלתיים.
את מקומם של שירותים ציבוריים וממשלתיים תפסו יוזמות קהילתיות כגון מרכז הקריאה (ספרייה ציבורית ומרכז לימוד) ומרכז המורשת התרבותית ((The Trench Town Culture Yard (TTCY; חצר התרבות של טרנצ'טאון) שנפתח בשנת 2006 כמרכז מבקרים לשימור והצגת תרבותה ומורשתה הייחודיים של השכונה.
השכונה מוזכרת בכמה משיריו של מארלי, בהם "Trenchtown", "Natty Dread", "Trenchtown Rock" ו-"No Woman, No Cry".