השימוש באמצעי זה נפוץ בעיקר בבנייני מגורים רבי קומות כאשר הדוודים מוצבים בתוך הדירה ומתחממים על ידי צינורות מים המזרימים מים שהוחמו באמצעות חוות קולטנים משותפת שמותקנת על הגג, מערכת כזו נקראת גם מערכת סולרית משותפת, היתרון בשיטה זו הוא חיסכון בשטח הגג שאינו יכול להכיל את מספר הדוודים הגדול, יתרון נוסף על פני הדוד הרגיל הוא בטמפרטורת מים גבוהה יותר בצנרת הביתית שאינם מאבדים מחומם בעקבות זרימה בצינורות ארוכים מהדוד שבגג עד בית הדייר.
החסרון באמצעי זה הוא בימים בהם הטמפרטורה באוויר נמוכה מסתחררים לדוד מים קרים מאוד ומקררים את המים כך שחימום המים באמצעות גוף החימום החשמלי עלול להיות ארוך יותר, ניתן לפתור את הבעיה הזו על על ידי התקנת רגש טמפרטורה וברז חשמלי בכניסת מים מהמערכת הסגורה בכל דוד שתגרום לסגירת ברז כניסת אחד הצינורות המובילים את המים לקולטים ובחזרה כל עוד הטמפ של מי הדוד גבוהה מטמפטרורת המים במערכת הסגורה.
דוד השמש בישראל.
דודי השמש נכנסו לשימוש בישראל באמצע שנות ה-50. בשנת 1955 ייצר מפעל מירומית באשקלון דודי שמש, על פי פיתוח של המהנדס לוי ישר וחברת אולימפיה מכרה גם היא דודי שמש. כבר בשנת 1957 דיווח עיתון דבר שהשימוש בדודי שמש רווח בישראל. באותה שנה התאחדו מירומית ואולימפיה ולשוק נכנסו יצרנים נוספים. בראשית שנות השישים התבסס מעמדו של דוד השמש כסמל להצלחה כלכלית המתנוסס על גג הבית. במחצית הראשונה של שנות ה-60 שילבה מירומית בקולטים שלה את המשטח הסלקטיבי של צבי תבור.
הממשלה לא עודדה שימוש בדודי שמש. חברת החשמל סירבה להעניק מחיר נמוך לצרכני חשמל עבור דודי שמש, כפי שנתנה לבעלי דודי חשמל. חברת שיכון עובדים התנגדה לשימוש בדודי שמש בטענה שהם מביאים לכיעור הנוף העירוני. החברה פעלה להסיר דודי שמש מדירותיה וספקה עם כל דירה שמכרה דוד חשמל.
מחקר שנעשה בשנת 1973 מצא שהשימוש בדוד שמש יקר מהשימוש בדוד חשמל. עם זאת, בזמן עריכת המחקר התקיים תעריף חשמל נפרד לחימום מים, בשונה מהמצב כיום (2021).
בעקבות משבר האנרגיה של שנות השבעים נקבעה בחוק בשנת 1976 החובה להתקין דודי שמש לכל דירה הנבנית בישראל, מלבד לדירות בבתים גבוהים מאוד, שבהם שטח הגג אינו מספיק לחימום מים אפקטיבי. חריג ייחודי בתקנה האזרחית היא שכונת הרובע היהודי בירושלים שבה קיימת תקנה נופית האוסרת על הצבת מתקנים על הגגות, ובכללם נאסרת הצבת דודי שמש.
בישראל נעשה באנרגיה סולארית שימוש רב באמצעות דודי השמש לחימום מים. עד לאחרונה נהוג היה לחשוב שיש דודי שמש בכ-95% מבתי האב, ודודי שמש מספקים 4% מצריכת האנרגיה של המדינה. בדיקה חדשה העלתה שהחוק המיושן, והגידול המשמעותי בבניית בניינים גבוהים, הביאו לירידה מהירה במספרם היחסי של דודי השמש. לפי נתוני מרכז המחקר והמידע של הכנסת בשנת 2012 היו דודי שמש בכ-85% ממשקי הבית ואלו הביאו לחיסכון של כ-8% בצריכת החשמל.
מפעלי תעשייה אינם מחויבים על פי החוק בישראל לחמם מים באמצעות קולטי שמש ומעדיפים את הפתרון הנוח אבל המזהם יותר של שימוש במזוט.
בישראל קיימים כעשרה יצרנים מאושרים על ידי מכון התקנים הישראלי של דודי שמש. במגזר הערבי קיים יצרן אחד של דודי שמש.
היתרים.
על פי החוק, כל תוספת על הגג חייבת ברישיון, וכך גם דוד השמש, אך לרוב לא בקשו תושבים רישיונות כאלו. באשקלון נדרשו תושבים לבנות מעקה על הגג שיסתיר את הכיעור של דוד השמש.
החל משנות התשעים נוהגות הוועדות המקומיות לתכנון ולבניה לאסור התקנת דודי שמש על גגות רעפים אלא קולטנים בלבד בצמוד לגג המשופע וזאת לשם שמירת חזות העיר. בבתים אלה מותקן הדוד בתוך חלל הגג במקום נמוך יחסית אשר מחייב לעיתים התקנת משאבה לסחרור המים ופוגע במידת מה ביעילות הדוד.
דוד שמש בהלכה.
השימוש בדוד שמש בשבת מעורר שאלה הלכתית, מפני שכאשר מוציאים מים מן הדוד נכנסים לדוד במקומם מים קרים, שכעת מתחממים מן השמש או מן המים החמים שנשארו בדוד. נמצא שהאדם גורם לחימום המים בשבת, וחימום נוזלים (לחום ש"היד סולדת בו" ונכווית ממנו. מקובל לאמוד זאת ב-45 מעלות צלזיוס) נחשב כבישול.
הנושא נדון בין פוסקי ההלכה בדור האחרון, יש שנטו להתיר זאת. ברקע הדיון עומדת סוגיה בתלמוד הקובעת שמותר לבשל בשבת ישירות מחום השמש, אך לא בעזרת מתווך שהתחמם על ידי השמש ("תולדות חמה", כגון הטמנת ביצה בחול רותח). הפוסקים המתירים את השימוש בדוד שמש מחשיבים את חימום המים בצינור של הקולט כחימום ישיר מן השמש, למרות התיווך של הצינור, כי אם הצינור יוסתר מן השמש - לא ירתיח את המים. אמנם המים החדשים עשויים להתחמם גם מן המים החמים שנשארו בדוד, והם "תולדות חמה" שהבישול בעזרתם אסור, אבל הדבר אינו הכרחי, מאחר שבדרך כלל יש שכבה של מים פושרים בין המים הקרים למים הרותחים. ומאחר שהאדם הפותח את הברז מעוניין במים שכבר רתחו, ואין לו עניין ברתיחת המים החדשים בשבת עצמה (בשבת אין מתקלחים במים חמים, ובדרך כלל די במים שהתחממו ביום שישי לכל צורכי השבת) - הרי זה דבר שאינו מתכוון. יש שאסרו זאת מחשש שישתמשו בדוד גם בימות החורף, כאשר החימום מבוסס על גוף החימום, ובמקרה זה אין ספק שכניסת המים החדשים ורתיחתם נחשבת כבישול. לעומת זאת, ישנם האוסרים כמו דוד חשמל.
משפט ערך הביניים
משפט ערך הביניים אומר כי כאשר פונקציה ממשית רציפה מקבלת שני ערכים שונים, היא תקבל כל ערך שביניהם.
המשפט מספק ביסוס פורמלי לתכונה האינטואיטיבית של פונקציות רציפות כפונקציות ש"ניתן לצייר אותן מבלי להרים את העיפרון מהדף". עוד קודם ההוכחה הפורמלית למשפט ערך הביניים נעשה שימוש בתכונת ערך הביניים, וסיימון סטאבין אף הוכיח את קיום התכונה עבור פולינומים. לפני ההגדרה הפורמלית של רציפות, היו שעשו שימוש בתכונת ערך הביניים כדי להגדיר אותה, אולם ברנרד בולצאנו (בשנת 1817) ואוגוסטן לואי קושי (בשנת 1821) הבינו שכדי לנסח את משפט ערך הביניים באופן מדויק יש להגדיר רציפות באופן המוכר לנו כיום.
ניסוח פורמלי.
תהי formula_1 פונקציה ממשית רציפה בקטע סגור formula_2.
יהי formula_3 מספר ממשי בין formula_4 ל-formula_5 (כלומר formula_6 או formula_7).
אזי קיים formula_8 כך ש-formula_9.
ניסוח שקול: תהי 𝑓 פונקציה רציפה בקטע הסגור [𝑎,𝑏], ויהי 𝛾 מספר ממשי שנמצא בין 𝑓(𝑎) ל-𝑓(𝑏). אזי למשוואה 𝑓(𝑥)=𝛾 יש פתרון 𝑐∈[𝑎,𝑏].
ניסוח נוסף.
קיים ניסוח שקול למשפט ערך הביניים, המשתמש במונחים שקל יותר להכליל אותם למרחב טופולוגי כללי (ראו להלן): תהי formula_10 פונקציה רציפה המוגדרת על קטע סגור formula_11. אז התמונה formula_12 של הקטע תחת הפונקציה היא בעצמה קטע.
הוכחה.
נניח ללא הגבלת הכלליות ש-formula_13 (ההוכחה למקרה formula_14 זהה). אנו רוצים למצוא מספר formula_15 כך ש-formula_16 עבור formula_17. נגדיר את הקבוצה הבאה: formula_18. זוהי קבוצה לא ריקה (כי formula_19) וחסומה (על ידי formula_20), מכאן שיש לה חסם עליון, על פי אקסיומת החסם העליון של המספרים הממשיים. נסמן חסם עליון זה formula_21, וכעת נוכיח כי formula_16. לשם כך נפריך את שתי הטענות הבאות: formula_23 ו-formula_24.
מאחר ששללנו את האפשרויות formula_48, בהכרח formula_16, כמבוקש.
הטענה ההפוכה.
הטענה כי "אם לכל מספר ממשי formula_50 קיים formula_51 המקיים formula_52, אז f רציפה", אינה נכונה. דוגמה נגדית למשפט היא הפונקציה formula_53 שמקיימת את התנאי אך היא אינה רציפה בנקודה x=0 (שם מגדירים f(x)=0). דוגמה נגדית חזקה יותר, בה הפונקציה אינה רציפה באף נקודה, היא פונקציית בסיס 13 של קונוויי.
תכונת ערך הביניים.
אומרים שמרחב טופולוגי formula_54 ניחן בתכונת ערך הביניים אם לכל פונקציה רציפה formula_55, לכל formula_56 ולכל formula_3 בין formula_4 ל-formula_5, קיים formula_60 כך ש-formula_9. או בנוסח אחר, לכל formula_55 רציפה, formula_63 הוא קטע. זוהי תכונה טופולוגית, היא נשמרת תחת הומיאומורפיזם. משפט ערך הביניים אומר שכל קטע הוא מרחב עם תכונת ערך הביניים.
מרחב ניחן בתכונת ערך הביניים אם ורק אם הוא מרחב קשיר - מרחב שאינו איחוד זר של שתי קבוצות פתוחות לא ריקות (אינטואיטיבית, זהו מרחב העשוי מ"חתיכה אחת"). אם מרחב אינו קשיר, אז ניתן להציגו כאיחוד זר של קבוצות פתוחות לא ריקות formula_64 ו-formula_65, ואז הפונקציה
formula_66
היא רציפה וסותרת את תכונת ערך הביניים. בכיוון השני, אם מרחב הוא קשיר, תמונתו קשירה (כי אם formula_67 קבוצות פתוחות וזרות שאיחודן formula_63, formula_69 הן קבוצות פתוחות וזרות שאיחודן formula_54). וקבוצה קשירה ב-formula_71 היא תמיד קטע.
למשל קבוצת המספרים הרציונליים formula_72 אינה קשירה, וקיימות בה פונקציות רציפות שאינן מקיימות את תכונת ערך הביניים, כפי שמעידה לדוגמה הפונקציה הרציפה על הרציונליים:
formula_73.
קולט שמש
קולט שמש הוא חלקו של דוד שמש המשמש להמרת אנרגיית האור לחום, לחימום מים.
קולטי שמש בנויים בדרך כלל בצורת מלבן שמידותיו כ-80 ס"מ על 180 ס"מ וצבעו שחור, כדי להשיג בליעה מרבית של אור השמש. בתוך המלבן נמצא צינור מתכת נחושת או ברזל ארוך ומפותל כך שהוא מכסה את רוב שטחו. המים בצינור מתחממים הן ישירות מאור השמש והן מחום שפולט המשטח השחור שבמגע איתם, ומהאוויר החם הנוגע בצינור. המים החמים עולים מעלה, שם מורכב בדרך כלל הדוד, והם נאגרים בו, והתהליך נמשך במחזור סגור (כל עוד אין שימוש במים החמים) כך שבהדרגה כל המים שבדוד מתחממים.
את הקולטים מציבים כך שיקלטו את כמות האור המרבית. בישראל - פונים דרומה, בזווית של כ-27 מעלות ממשטח אופקי.
פונקציה חסומה