אם formula_54 הוא פולינום אי-פריק ממעלה formula_13 מעל השדה formula_56, אז הוא מחלק את formula_57; מצד שני, הפירוק של formula_22 לגורמים אי-פריקים כולל את כל הפולינומים האי-פריקים המתוקנים, ממעלה המחלקת את formula_13. אם נסמן ב-formula_60 את מספר הפולינומים המתוקנים האי-פריקים ממעלה formula_61, מתקבלת מכאן הנוסחה formula_62. אפשר להפוך את הסדר בעזרת נוסחת ההיפוך של מביוס - formula_63. הגורם המשמעותי ביותר בסכום זה הוא הגורם המתאים ל-formula_64, ולכן formula_65.
אורביטל אטומי
אורביטל אטומי, או מסלול, הוא פונקציה מתמטית המתארת את ההתנהגות דמוית הגל של אלקטרון אחד או זוג אלקטרונים. פונקציה זו משמשת לחישוב הסתברות למציאת אלקטרון כלשהו של אטום באזור ספציפי מסביב לגרעין האטום. הפונקציות הללו יכולות לשמש כגרף תלת-ממדי של המיקום הסביר של אלקטרון. לכן המונח עשוי להתייחס באופן ישיר למרחב הפיזי, המוגדר על ידי הפונקציה, בו נמצאים האלקטרונים. באופן ספציפי, אורביטלים הם המצבים הקוונטיים האפשריים של אלקטרון בודד בין אוסף של אלקטרונים סביב גרעין של אטום, כמתואר בפונקציית האורביטל.
כל אורביטל ניתן לייצוג על ידי 3 מספרים קוונטים: מספר קוונטי ראשי המייצג את רמת האנרגיה של האורביטל ומסומן באות n, מספר קוונטי זוויתי אשר קובע את סוג האורביטל ומסומן באות l, ומספר קוונטי מגנטי נהוג לסמנו ml.
אכלוס אלקטרונים וסוגי אורביטלים.
אורביטלים ורמות אנרגיה.
כל אורביטל יכול לאכלס עד שני אלקטרונים, להם ספינים מנוגדים. האורביטלים מחולקים לקבוצות ולסוגים.
חלוקת האורביטלים לקבוצות היא על פי רמת האנרגיה של האלקטרונים המאכלסים אותו. הרמות הן מדורגות. ברמה הראשונה קיים רק סוג האורביטל הראשון(s), ברמה השנייה שני הסוגים הראשונים(s ו p), וכך כל רמה גבוהה יותר מכילה את כל סוגי האורביטלים הנמצאים ברמה הקודמת ועוד סוג נוסף.
סוגי האורביטלים השונים נבדלים בתנע הזוויתי של האלקטרון הנע בהם. מקובל לסמן כל סוג באות לטינית מסוימת המצביעה על התנע הזוויתי: עבור תנע זוויתי 0 - האורביטל מסומן s, עבור תנע זוויתי 1 - האורביטל מסומן p, ובהמשך d ו-f. סוגי האורביטלים נבדלים זה מזה בצורתם ובשכיחותם בכל רמת אנרגיה: s הוא אורביטל כדורי, וקיים אחד כמותו בכל רמת אנרגיה; p הוא אורביטל בעל צורה הדומה לשעון חול, וקיימים שלושה כמותו בכל רמת אנרגיה, אחד לכל ציר במרחב: px, py ו-pz; לאורביטלים הבאים, d ו-f, צורות מורכבות יותר, כאשר מספר האורביטלים מכל סוג בכל רמת אנרגיה הוא 2n-1 (n מסמן את מספר הסוג).
ניתן לסמן רמות אנרגיה באות n, כאשר רמת אנרגיה ראשונה היא n1, השנייה היא n2 וכן הלאה. סימון נוסף הוא על ידי אות לטינית אחרת לכל רמה: K לראשונה, L לשנייה, וכן הלאה M N O ו-P. כאמור, כל רמה מכילה יותר ויותר אורביטלים: הרמה הראשונה מכילה אורביטל s אחד, הרמה השנייה מכילה אורביטל s אחד ושלושה אורביטלי p, הרמה השלישית מכילה אורביטל s אחד, שלושה אורביטלי p וחמישה אורביטלי d, וכך הלאה. כך יוצא שכל רמה מכילה n2 אורביטלים:
כלומר, מלבד n2 האורביטלים השונים אותם יכול אלקטרון הנמצא ברמת האנרגיה ה-n-ית לאכלס, כל אלקטרון שכזה יכול להימצא עם ספין למעלה או ספין למטה. מכאן שרמת האנרגיה ה-n-ית יכולה להכיל עד 2n2 אלקטרונים (ההגבלה על מספר האלקטרונים נובעת מעקרון האיסור של פאולי).
הטבלה המחזורית מבוססת על חלוקה זו של אכלוס האלקטרונים באורביטלים הנמצאים ברמות אנרגיה שונות. על-פי התאוריה הנוכחית, מבנה אטום של גזים אצילים, המצויים כולם בטור השמיני והאחרון של הטבלה המחזורית, הוא הדגם השלם של סידור האלקטרונים ברמות האנרגיה השונות, וזהו המצב אליו שואף כל אטום להגיע. בכל הגזים האצילים, רמת האנרגיה האחרונה (המכונה לעיתים "קליפת האטום") מאוכלסת ב-8 אלקטרונים (פרט להליום בו קיימת רק רמת האנרגיה הראשונה המאכלסת 2 אלקטרונים), כלומר, אורביטל s ושלושת אורביטלי p של רמת האנרגיה האחרונה מלאים. ניתן לראות עיקרון זה בטבלה שלהלן:
סימון אורביטלים והיערכות אלקטרונים.
כל אורביטל מסומן על פי רמת האנרגיה בו הוא נמצא וסוגו, כך לדוגמה: אורביטל s הנמצא ברמת האנרגיה n1 מסומן על ידי 1s, אורביטל px הנמצא ברמה n5 מסומן על ידי 5px. מספר האלקטרונים שמאכלס האורביטל נכתב בכתיב עילי מצד ימין, לדוגמה: אורביטל מסוג s הנמצא ברמה n3 המאכלס 2 אלקטרונים, יסומן כך: 3s2.
כל אלקטרון שואף להיות ברמת האנרגיה הנמוכה ביותר, ולכן, קודם מתאכלסים האורביטלים ברמות האנרגיה הנמוכות ורק אחריהן רמות האנרגיה הגבוהות יותר.
תחת עקרונות אלה, מסמנים את היערכות האלקטרונים באטום. לדוגמה: היערכות האלקטרונים של אטום מימן היא: 1s1, של אטום הליום היא 1s2 ושל ליתיום היא: 1s2, 2s1. סכום כל המספרים העיליים הוא מספר האלקטרונים הכולל באטום.
בנוסף, אלקטרונים מאכלסים קודם אורביטל פנוי ולא כזה המאכלס כבר אלקטרון אחד, אם שני אורביטלים אלה נמצאים באותה רמת אנרגיה. לדוגמה, היערכות האלקטרונים של חנקן היא: 1s2, 2s2, 2px1, 2py1, 2pz1 ולא 1s2, 2s2, 2px2, 2py1. רק כאשר האורביטלים הפנויים היחידים שנשארו נמצאים ברמת אנרגיה גבוהה יותר, ממשיכים להתאכלס אורביטלי p, כך לדוגמה, בחמצן: 1s2, 2s2, 2px2, 2py1, 2pz1.
מכיוון שסוגי האורביטלים החל מסוג p כוללים יותר מאורביטל אחד, נהוג לשלב ביניהם, ובמקום לכתוב את היערכות האלקטרונים של פלואור כך: 1s2, 2s2, 2px2, 2py2, 2pz1, כותבים בקיצור: 1s2, 2s2, 2p5.
את היערכות האלקטרונים תמיד כותבים בסדר הבא: קודם כל כותבים כל רמה בשלמותה ורק אז מתחילים את הרמה הבאה, כשבכל רמה מקפידים על סדר סוגי האורביטלים: s, p, d, f...
היערכות אלקטרונים ניתן לכתוב גם ליונים, לדוגמה: זו של יון אשלגן, +K, זהה לזו של ארגון, מכיוון שלשניהם 18 אלקטרונים, והיא: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6.
צורת אכלוס אלקטרונים זו היא הסיבה לכך שהטבלה המחזורית מתרחבת ככל שיורדים בשורות והסיבה לקיומם של כמה יונים אפשריים לאותו יסוד, כמו יוני האלומיניום +Al ו-Al+3.
אטומים מרובי אלקטרונים.
באטומים בעלי מספר גדול של אלקטרונים ואורביטלים, האורביטלים הנמצאים באותה רמת אנרגיה נעשים בעלי אנרגיה שונה קצת, בשל דחייה חשמלית. האנרגיה של אורביטל s נהיית נמוכה משל אורביטלי p וזו נמוכה משל אורביטלי d וכן הלאה. כך, כל רמת אנרגיה מתפצלת לתת-רמות ולכן לא מדויק לקרוא לה "רמת אנרגיה". השם המקובל החלופי שניתן לה בעקבות התופעה הוא "קליפת אנרגיה". למעשה, השינוי באנרגיה של האורביטלים גדל ככל שעולים בקליפות האנרגיה עד שהאנרגיה, החל מהרמה הרביעית, של אורביטלי s היא נמוכה משל אורביטלי d ברמה הנמוכה יותר, ולכן גם מתאכלסים באלקטרונים לפניהם. אף שהאנרגיה שלהם נמוכה יותר, וברצף היסודות הם מאוכלסים מוקדם יותר, ברישום היערכות האלקטרונים שומרים על שלמות קליפות האנרגיה וכותבים את אורביטלי s רק לאחר אורביטלי d של הקליפה הקודמת. כלומר, סדר כתיבת האורביטלים אינו תואם את סדר אכלוסם.
לדוגמה: היערכות האלקטרונים של סידן היא: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2. שימו לב, "דילגו" על 3d, הוא אינו מופיע: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 3d0, 4s2.
3d מתאכלס רק אחרי 4s, ועדיין כותבים אותו לפניו, גם כשהוא עדיין לא התמלא כולו, כמו בהיערכות האלקטרונים של טיטניום: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 3d2, 4s2.
אפשר לראות שהוא ממשיך להתמלא בהיערכות האלקטרונים של ברזל, לדוגמה: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 3d6, 4s2.
מכניקת הקוונטים.
החיפוש אחר פונקציה שתתאר את האורביטלים היה אחד המניעים לפיתוח המכניקה הקוונטית. זאת משום שעל פי תורת האלקטרומגנטיות הקלאסית, תאוצתו הרדיאלית של האלקטרון המקיף את גרעין האטום אמורה להתבטא בפליטה של קרינה אלקטרומגנטית, כמו כל חלקיק טעון מאיץ. פליטה כזו מקטינה את האנרגיה של מערכת האטום וצריכה לגרום לקריסת האלקטרון אל הגרעין. מאידך, האטומים יציבים, וקריסה כזו מעולם לא נצפתה. בעיה זו נפתרה על ידי נילס בוהר בתחילת המאה ה-20, בקבעו את התנאים לקיומם של מסלולים מותרים של האלקטרון במודל האטום של בוהר. קביעתם של מסלולים בדידים אפשריים, ולא רצף, כמו גם רמות אנרגיה בדידות מתאימות, ולא רצף, מהווה, בין היתר, את ראשיתה של פיזיקת הקוונטים.
אחרי מחקר רב התקבלה המסקנה כי ישנם אורביטלים שונים הנבדלים בתנע הזוויתי של האלקטרון הנע בהם. מקובל לסמן אורביטלים באות מסוימת המצביעה על התנע הזוויתי: עבור תנע זוויתי 0, האורביטל מסומן s, עבור תנע זוויתי 1, הסימון הוא p, ובהמשך d ו-f.
אורביטלים אינם בהכרח זהים לרמות אנרגיה. המצבים הקוונטיים יכולים להיות בעלי ניוון: מקרה שבו למצבים שונים (אורביטלים שונים) עשויות להיות רמות אנרגיה זהות.
צורה מרחבית.
הצורה המרחבית של האורביטלים היא מגוונת, בהתאם לפונקציות שיוצרות אותם (שמכונות פולינומי לז'נדר). לדוגמה, אורביטלי s הם בצורת כדור, אורביטלי p בצורת 8 כלומר שני כדורים משיקים, ואורביטלים בעלי תנע זוויתי רב יותר הם בעלי צורות מורכבות יותר.
ס.ס לאציו
אספמיה