לאחר מלחמת העולם השנייה חזר ברנשטיין לשחמט. בשנת 1946 הגיע למקום השני, אחרי הרמן שטיינר בתחרות לונדון. באותה שנה סיים במקום ה-15–16 בתחרות החזקה בגרוניגן. ביוני 1946 זכה משחק נגד לאיוש שטיינר בדו-קרב אוסטרליה-צרפת שהתקיים באוסטרליה. בדצמבר 1948 סיים בתיקו משחק נגד ראובן פיין בדו-קרב טלגרפי בין ניו-יורק לפריז. באפריל 1954 הפסיד שני משחקים מול דוד ברונשטיין במהלך דו-קרב בין צרפת לברית המועצות, דו-קרב שהתקיים בפריז. באותה שנה חלק מקום 2–3 עם מיגל ניידורף בתחרות מונטווידאו, בגיל 72. המנצח בתחרות היה רנה לטלייר.
ברנשטיין שיחק בלוח הראשון בנבחרת צרפת באולימפיאדת השחמט ה-11 שהתקיימה באמסטרדם +5 -5 =5. הוא היה חבר בנבחרת הצרפתית באולימפיאדת השחמט ה-12 שהתקיימה במוסקבה אך לא שיחק מפאת מחלתו.
כאשר פיד"ה הכריזה על תארים רשמיים בשנת 1950, קיבל ברנשטיין תואר רב אמן. היו לו תוצאות מאוזנות נגד שחקנים מהשורה הראשונה כגון אלוף העולם השני עמנואל לסקר +2 -2 =1, עקיבא רובינשטיין +1 -1 =7, אהרון נימצוביץ' +1 -2 =4, מיכאל צ'יגורין +2 -1 =0, סאלו פלור +0 -0 =3. לעומת זאת היו לו תוצאות גרועות מול אלוף העולם השלישי קפבלנקה +0 -3 =1 ואלוף העולם הרביעי אלכין +1 -8 =5.
מחבר סיומים.
הלבן מתחיל וצריך להשיג תיקו
פתרון: 1. ז7+ מז8 2. ו7+ מ:ו7 3. רח5+ מז8 4. רו7+ מ:ו7 5. ז6+ מז8 והלבן בפט.
הערות שוליים.
[[קטגוריה:שחמטאים יהודים צרפתים]]
[[קטגוריה:שחמטאים יהודים אוקראינים]]
[[קטגוריה:שחמטאים יהודים בשואה]]
[[קטגוריה:יהודים בשואה: אוקראינה]]
[[קטגוריה:יהודים מווהלין]]
[[קטגוריה:פרובלמאים צרפתים]]
[[קטגוריה:פרובלמאים יהודים]]
[[קטגוריה:עורכי דין יהודים]]
[[קטגוריה:מהגרים מאוקראינה לצרפת]]
[[קטגוריה:צרפתים שנולדו ב-1882]]
[[קטגוריה:צרפתים שנפטרו ב-1962]]
אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית
באלגברה, אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית היא אלגברה לא אסוציאטיבית, שבה החזקות formula_1 מוגדרות היטב, ללא צורך בסוגריים; למשל formula_2, וכן הלאה. למחלקה זו שייכת המשפחה הרחבה של אלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות, הכוללת את כל האלגברות האלטרנטיביות (ובכללן האלגברות האסוציאטיביות), אלגברות ז'ורדן, ואלגברות לי.
הגדרה אקסיומטית.
בכל אלגברה לא אסוציאטיבית אפשר להגדיר את החזקות באינדוקציה: formula_3, כאשר formula_4. לאלגברה יש חזקה אסוציאטיבית (ח"א) אם מתקיים formula_5 לכל formula_6.
בפרט, הקומוטטור formula_7 והאסוציאטור formula_8 מתאפסים. במאפיין אפס, הזהות הכללית נובעת משתי הנחות אלה. במאפיין שאינו 2, 3 או 5, כל אלגברה קומוטטיבית המקיימת את הזהות formula_9 היא אלגברה (קומוטטיבית) עם חזקות אסוציאטיביות; במאפיין 3 ו-5 יש צורך גם בזהויות מדרגה 5 או 6 כדי להגיע לאותה מסקנה.
באלגברה יש חזקה אסוציאטיבית אם כל תת-אלגברה הנוצרת על ידי איבר אחד היא אסוציאטיבית. לשם השוואה, אלגברה היא אלטרנטיבית אם כל תת-אלגברה הנוצרת על ידי שני איברים היא אלטרנטיבית.
חזקה אסוציאטיבית בהחלט.
לאלגברה formula_10 יש חזקה אסוציאטיבית בהחלט (strictly power-associative) אם יש לה חזקה אסוציאטיבית לאחר כל הרחבת סקלרים, כלומר כל האלגברות formula_11 הן בעלות חזקה אסוציאטיבית (כאשר formula_12 הרחבת שדות כלשהי). במאפיין שאינו 2, 3 או 5, כל אלגברה קומוטטיבית בעלת חזקה אסוציאטיבית היא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט.
המעטפת הקומוטטיבית.
במאפיין שונה מ-2, אפשר להגדיר פעולה חדשה על המרחב הווקטורי של האלגברה formula_10, לפי formula_14. באלגברה בעלת חזקה אסוציאטיבית, האלגברה המתקבלת, המסומנת ב-formula_15, היא קומוטטיבית ובעלת חזקה אסוציאטיבית. מכיוון שלשתי האלגברות אותו מבנה חיבורי, אפשר להעביר תכונות שונות של formula_15 גם ל-formula_10.
תורת מבנה.
לאלגברות בעלות חזקה אסוציאטיבית מממד סופי יש רדיקל נילי (היינו, אידיאל נילי מקסימלי יחיד), formula_18; הרדיקל הנילי הוא נילפוטנטי. הרדיקל הנילי מכיל את הרדיקל הפתיר של האלגברה. בעיית אלברט שואלת האם הרדיקל הנילי שווה לרדיקל הפתיר בכל אלגברה קומוטטיבית עם חזקה אסוציאטיבית. אלגברה קומוטטיבית פתירה ונילית עם חזקה אסוציאטיבית אינה בהכרח נילפוטנטית.
אם formula_19, האלגברה היא פשוטה למחצה, ואם formula_20 הוא האלגברה כולה, זוהי אלגברה נילית. לדוגמה, כל אלגברת לי היא אלגברה נילית. במאפיין אפס, כל אלגברה קומוטטיבית בעלת ח"א שהיא פשוטה למחצה, היא אלגברת ז'ורדן. בכל מאפיין שאינו שתיים, אלגברה קומוטטיבית בעלת ח"א בהחלט, שהיא פשוטה ואינה נילית, ושקיימת לה הרחבת סקלרים עם שלושה אידמפוטנטים אורתוגונליים, היא אלגברת ז'ורדן.
במאפיין שונה מ-5, לאלגברה formula_10 עם חזקה אסוציאטיבית שיש לה תבנית ביליניארית סימטרית אסוציאטיבית (בדומה לאלגברות פרובניוס) כך ש-formula_22 אם formula_23 הוא אידמפוטנט ו-formula_24 אם formula_25 נילפוטנט, formula_26 אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית, כאשר formula_27 הוא הרדיקל של התבנית.
פירוק פירס.
בכל אלגברה עם ח"א מממד סופי, שאינה נילית (ואפילו אם אין מניחים שיש בה איבר יחידה), יש אידמפוטנטים (איברים המקיימים את השוויון formula_28). קיומם של אלה מאפשר לפרק את האלגברה למעין מרחבים עצמיים, כמו במקרה האסוציאטיבי, כפי שיוסבר להלן.
כל אידמפוטנט של formula_10 הוא גם אידמפוטנט של formula_15, והפירוק של formula_10 מתקבל מפירוק מקביל של formula_15. על-כן נניח בהמשך הסעיף שהמאפיין של שדה הבסיס שונה מ-2. אם formula_33 אידמפוטנט, אז אפשר לפרק את האלגברה לסכום ישר formula_34, כאשר formula_35; למעשה
formula_36 בעוד ש-formula_37 (ולכן formula_38 הוא איבר יחידה שם).
במקרה הקומוטטיבי, מרכיבי הפירוק מקיימים את היחסים הבאים: formula_39,
formula_40, ו-formula_41 עבור formula_42. לשם השוואה, בפירוק פירס של אלגברת ז'ורדן (שהיא תמיד קומוטטיבית ובעלת חזקה אסוציאטיבית) מתקיים היחס החזק יותר, formula_43 עבור formula_42.
בנוסף לזה, אם מסמנים ב-formula_45 את ההיטל על המרכיב המתאים בפירוק לעיל, אז formula_46 מגדיר הומומורפיזמים של אלגברות, מ-formula_47 לאלגברת ז'ורדן המיוחדת formula_48, כאשר formula_49.
אלגברות חילוק.
באלגברת חילוק מממד סופי שהיא בעלת ח"א בהחלט, יש איבר יחידה.
במאפיין שונה מ-2, 3 ו-5, לא קיימת אלגברת חילוק סופית בעלת ח"א, שאינה שדה. תוצאה זו נכונה גם במאפיין 3 או 5 אם מניחים ח"א בהחלט
רותינים
אגוסטין אוריון
אגוסטין איגנסיו אוריון (בספרדית: Agustín Ignacio Orión; נולד ב-26 ביוני 1981 בראמוס מחייה שבפרובינציית בואנוס איירס) הוא כדורגלן עבר ארגנטינאי ששיחק בעמדת השוער
קריירה.
אוריון גדל במחלקת הנוער של סן לורנסו ומשתייך לסגל הקבוצה הבוגרת משנת 2002. הוא ערך את הופעת הבכורה במדי הקבוצה בשנת 2003 במשחק במסגרות הגביעים הבשתיים אך את הבכורה בליגה ערך רק ב-27 בפברואר 2005 במקומו של סבסטיאן סאחה שעזב לגרמיו הברזילאית.
אוריון היה משחקניה הבולטים של סן לורנסו בזכייתה באליפות הקלאוסורה לשנת 2007. בקיץ 2007 ניסתה ראסינג סנטאנדר לרכוש אותו אך אוריון נעתר לבקשת מאמנו רמון דיאס להישאר בקבוצה במהלך אפרטורה 2007. בינואר 2008 ניסתה נאפולי לרכוש אותו תמורת 4 מיליון אירו אך המועדון סירב ולבסוף רכשה נאפולי את ניקולאס נבארו מארחנטינוס ג'וניורס.
ביולי 2011 חתם אוריון בבוקה ג'וניורס.
נבחרת ארגנטינה.
אוריון נכלל בסגל ארגנטינה לקופה אמריקה שנערכה בוונצואלה במהלך קיץ 2007. אוריון ערך את הופעת הבכורה שלו במדי הנבחרת בספטמבר 2011. נכלל בסגל מונדיאל 2014.
הקואליציה האנטי צרפתית השלישית
אדליי סטיבנסון
לובליאנה
סרחיו רומרו
סרחיו חרמן רומרו (בספרדית: Sergio Germán Romero; נולד ב-22 בפברואר 1987 בעיר ברנרדו דה איריגוז'ן, ארגנטינה) הוא כדורגלן ארגנטינאי המשחק בעמדת השוער בקבוצת בוקה ג'וניורס.
קריירה.
רומרו החל את הקריירה בקבוצת ראסינג קלוב. אף על פי שנחשב לאחד השוערים הצעירים המבטיחים ביותר בארגנטינה, שימש רומרו בעיקר כשוער מחליף וזאת בשל גילו הצעיר.
רומרו היה מהשחקנים המצטיינים של נבחרת ארגנטינה הצעירה שזכתה בגביע העולם לנוער בשנת 2007. יכולתו הביאה את א.ז. אלקמאר לרכוש אותו תמורת 2 מיליון אירו. בעונת 2008/2009 זכה עם הקבוצה באליפות הליגה ההולנדית. רומרו הופיע עם הנבחרת האולימפית במשחקים האולימפיים בשנת 2008. רומרו ערך את הופעת הבכורה שלו בנבחרת הבוגרת ב-9 בספטמבר 2009 במשחק מול פרגוואי במסגרת מוקדמות מונדיאל 2010.
בשנת 2011 עבר רומרו לקבוצת סמפדוריה האיטלקית. בתקופת פציעתו הוא הולחף על ידי אנג'לו דה קוסטה, אך לאחר חזרה לכשירות הצליח לחזור להרכב הפותח.
ב-17 באוגוסט 2013 הושאל רומרו לשנה למונקו הצרפתית.
ב-27 ביולי 2015 חתם רומרו ל-3 שנים במנצ'סטר יונייטד. על אף שבמרבית תקופתו בקבוצה שימש כמחליף לדויד דה חאה, היה רומרו מעורב מאוד בעונת 2016/2017 בליגה האירופית. רומרו שימש כשוער הבכיר של הקבוצה במפעל, וזכה לדקות משחק רבות במהלך הטורניר. הוא אף פתח בשערה של הקבוצה למשחק הגמר מול אייאקס, בו שמר על שער נקי בניצחון קבוצתו 0–2.
בתום עונת 20/21,עם סיום חוזהו במנצ’סטר יונייטד,עבר רומרו לקבוצה האיטלקית ונציה.
ב-27 במרץ 2018 נפצע רומרו בברך בתבוסה 1–6 לספרד ובעקבות כך לא נכלל בסגל של ארגנטינה למונדיאל 2018.
האשים ת'אצ'י