במילים אחרות, הקבוצה הריקה אינה מעגל, אף מעגל אינו מכיל מעגל אחר, ובהינתן שני מעגלים שונים ואיבר משותף להם, איחודם של המעגלים פחות האיבר המשותף היא קבוצה שמכילה מעגל.
ישנן הגדרות רבות נוספות במונחים אחרים, אותן נמצא למצוא בקריאה הנוספת.
דוגמאות.
תורת הגרפים.
יהי formula_40 גרף קשיר. מטרואיד המעגלים של formula_41 שמסומן formula_42 הוא הזוג הסדור formula_2 כך ש-formula_3 היא קבוצת הקשתות של הגרף ו-formula_4 היא משפחה של קבוצות של קשתות של formula_41 המהוות (ביחד עם הקודקודים המחוברים להן) יער (כלומר, לא כוללות מעגלים). הקבוצות הבלתי תלויות הן כל קבוצות הקשתות שלא כוללות מעגלים בגרף. הבסיסים של formula_42 הם העצים הפורשים של formula_41. המעגלים הם כל המעגלים הפשוטים בגרף. אכן, בכל גרף מתקיים שהקבוצה שלא מכילה קשתות היא קבוצה ללא מעגלים (=יער) ולכן בלתי תלויה. בנוסף, תת-קבוצה של יער מהווה בעצמה יער, ולבסוף, בהינתן שני יערות, האחד גדול מהשני, ישנה קשת מהיער הגדול שניתן להעביר ליער הקטן, ובכך להגדיל את היער הקטן מבלי להפכו לתלוי (כלומר מבלי לסגור בו מעגל). אם מדובר בגרף לא קשיר, יש להחליף את המילים "העצים הפורשים" ב"היערות הפורשים".
אלגברה ליניארית.
תהי formula_49 מטריצה מעל שדה כלשהו. עמודותיה הן וקטורים. המטרואיד הווקטורי על formula_49 הוא הזוג הסדור formula_51 כאשר formula_3 היא קבוצת הווקטורים המהווים את עמודות המטריצה ו-formula_4 היא משפחת קבוצות הווקטורים הבלתי תלויות (במובן הרגיל של אלגברה ליניארית) מתוך formula_3.
כמקובל, בסיס הוא קבוצה בלתי תלויה של וקטורים מקסימלית ביחס להכלה (כל וקטור שנוסיף לה יהפוך אותה לתלויה). מעגל הוא קבוצת וקטורים בלתי תלויה בתוספת איבר אחד שהופך אותה לתלויה.
הסיבה ללקיחת עמודותיה של המטריצה בתור קבוצת בסיס, על פני קבוצת וקטורים כללית, היא על מנת לאפשר לאותו וקטור לחזור פעמיים (ובכך ליצור מעגל - קבוצה תלויה, מינימלית ביחס להכלה, בגודל 2). אכן, הקבוצה הריקה היא בלתי תלויה, תת-קבוצה של קבוצה בלתי תלויה גם היא בלתי תלויה, ובהינתן שתי קבוצות בלתי תלויות (ליניארית) של וקטורים, האחת גדולה מהשנייה, ניתן להעביר וקטור מהגדולה אל הקטנה מבלי להפוך אותה לתלויה (משיקולי ממדים).
מטרואידים יוניפורמיים.
תהי formula_3 קבוצת ובה formula_56 איברים. לכל formula_57 קיים מטרואיד formula_58 שקבוצת הבסיס שלו formula_3 והוא מכונה מטרואיד יוניפורמי. במטרואיד זה, קבוצה נקראת בלתי תלויה אם עוצמתה קטנה או שווה מ-formula_60. למשל, אם קבוצת הבסיס שלנו היא formula_61 אז במטרואיד formula_62 הקבוצות הבלתי תלויות הן: formula_63. במטרואיד formula_64 הקבוצה הבלתי תלויה היחידה היא הקבוצה הריקה. במטרואיד formula_65 כל הקבוצות הן בלתי תלויות. באופן כללי, במטרואיד יוניפורמי formula_58, הקבוצות הבלתי תלויות הן כל הקבוצות בעוצמה קטנה או שווה ל-formula_60, הבסיסים הם כל הקבוצות בעוצמה בדיוק formula_60 והמעגלים הם כל הקבוצות מעוצמה formula_69.
דוגמה למבנה שאינו מטרואיד.
יהי גרף formula_40. תהי formula_4 משפחת כל קבוצות הקשתות שמהוות זיווג (לאו דווקא שלם). כלומר, קבוצת קשתות נמצאת ב-formula_4 אם ורק אם אין בה זוג קשתות עם קודקוד משותף. אז formula_73 אינו מטרואיד. אמנם, אף על פי שהקבוצה הריקה היא זיווג, וכל תת-קבוצה של זיווג היא בעצמה זיווג, הדרישה השלישית עבור מטרואידים אינה מתקיימת: בהינתן שני זיווגים בגרף בגדלים שונים, אין זה בטוח שניתן להעביר קשת מהגדול אל הקטן, ולהשאירו זיווג חוקי. למשל, בגרף הדו צדדי השלם על 4 קודקודים formula_74, אם ניקח את הזיווג הקטן להיות קשת אחת (לא משנה איזו) ואת הזיווג הגדול להיות זוג קשתות אחרות, הוספת כל אחת מבין שתי הקשתות של הקבוצה הגדולה תהפוך את הקבוצה הקטנה לכזו שאינה זיווג.
הגדרות בסיסיות נוספות.
דרגה.
לכל מטרואיד formula_73 מוגדרת פונקציית דרגה formula_76, המחזירה לכל תת-קבוצה של formula_3, את גודל תת-הקבוצה הבלתי תלויה הגדולה ביותר שלה. הדרגה של קבוצת הבסיס עצמה שווה לגודלי כל הבסיסים במטרואיד. במטרואידים וקטוריים, דרגה של קבוצה שקולה למימד של המרחב הווקטורי הנפרש על ידי הקבוצה. במטרואידים גרפיים, הדרגה של קבוצה היא גודל העץ (או היער) המקסימלי המוכל בה. במטרואיד יוניפורמי formula_58, דרגתה של כל קבוצה בלתי תלויה היא עוצמתה, ודרגתה של כל קבוצה תלויה היא k.
קבוצה סגורה.
קבוצה היא סגורה אם כל איבר שנוסיף לה יעלה את דרגתה ב-1. במטרואידים וקטוריים, קבוצה היא סגורה אם ורק אם כל האיברים שהיא פורשת מתוך קבוצת הבסיס כלולים בה. במטרואיד גרפי, קבוצת קשתות היא סגורה אם ורק אם כל קשת שנוסיף לה מחוצה לה תחבר בין שני קודקודי קצה שקשתותיהם כבר בקבוצה.
סגור (closure).
לכל מטרואיד formula_73 מוגדרת פונקציית הסגור formula_80, המתאימה לכל תת-קבוצה של קבוצת הבסיס את הקבוצה הסגורה המינימלית המכילה אותה. במטרואידים וקטורים, הדבר שקול לכל איברי E הנפרשים על ידי הקבוצה.
דואליות.
יהי formula_73 ותהי formula_21 קבוצת הבסיסים שלו. תהי formula_83, קבוצת משלימי הבסיסים שלו. אז formula_84 היא קבוצת בסיסים של מטרואיד אחר, שמכונה המטרואיד הדואלי ל-formula_1 ומסומן formula_86. במטרואידים גרפיים של גרפים מישוריים, ההגדרה מתלכדת עם הגדרת הגרף הדואלי (הגרף בו הפאות הופכות לקודקודים).
ההיררכיה המטרואידית.
בנוסף למטרואידים גרפיים, וקטוריים ויוניפורמיים קיימות גם מחלקות נוספות של מטרואידים: מחלקת כל המטרואידים מכילה מחלקה חלקית ממש של מטרואידים וקטורים. אלה הם המטרואידים הניתנים לייצוג על ידי מטריצה מעל שדה כלשהו, כפי שנאמר לעיל. מחלקה זו מכילה (ממש) את מחלקת המטרואידים הבינאריים. אלה הם המטרואידים הניתנים לייצוג על ידי מטריצה מעל השדה בין שני איברים. מחלקה זו מכילה (ממש) את מחלקת המטרואידים הרגולריים. אלה הם המטרואידים הניתנים לייצוג כמטריצה שאיבריה יכולים להיות מעל כל שדה. מחלקה זו מכילה (ממש) את מחלקת המטרואידים הגרפיים. אלה הם המטרואידים הניתנים לייצוג כגרף בו הקבוצות הבלתי תלויות הן קבוצות ללא מעגלים פשוטים.
אג'דאביה
אג'דביה
צ'יף דן ג'ורג'
צ'יף דן ג'ורג' (באנגלית: Chief Dan George; 24 ביולי 1899 – 23 בספטמבר 1981) היה הצ'יף של שבט טסליל–וואותות', משורר ושחקן קנדי מועמד פרס אוסקר לשחקן המשנה הטוב ביותר ופרס גלובוס הזהב לשנת 1971 על התפקיד שגילם בסרט "איש קטן גדול".
ביוגרפיה.
נולד בשם גאסוואנות' סלהות' בשמורת אינדיאנים בצפון ונקובר שבקולומביה הבריטית, קנדה.
שמו באנגלית הוא דן סלהות', שינה את שמו הפרטי לג'ורג' בגיל חמש כאשר החל ללמוד במוסדות לימוד אינדיאנים – קנדיים.
עבד במספר עבודות מזדמנות, פריקת מטען בנמלים, בעבודות בניין ובהסעות תלמידים.
הופיע עם הרכב מוזיקלי אינדיאני נודד במשך כעשור.
ג'ורג' פיתח קריירה מוצלחת כמשורר והוציא לאור שני ספרי שירה.
ג'ורג' היה פעיל למען זכויות הילידים האינדיאנים בצפון ארצות הברית וקיבל את אות הקצונה של מסדר קנדה על תרומתו לתרבות הקנדית.
ג'ורג' נפטר בשנת 1981 בוונקובר כשהוא בן 82 ונקבר בשמורה שבה נולד.
בנו של ג'ורג' הוא צ'יף מקומי ונכדיו של ג'ורג' התפרסמו כמשוררים ושחקנים.
קריירת משחק.
ג'ורג' החל את דרכו כשחקן בטלוויזיה הקנדית, קיבל את הצעתו של ארתור פן להופיע בתפקיד משמעותי במערבון "איש קטן גדול" בתור מנהיג שבט השאיין המבוגר עור סוכה שמאמץ אליו את ג'ק קראב דאסטין הופמן.
ג'ורג' הצליח לגנוב את ההצגה בתפקידו הראשון אי פעם בהוליווד וקצר שבחים ופרסים ממבקרי הקולנוע בארצות הברית.
גולת הכותרת המפתיעה מבחינתו של ג'ורג' שהיה בן 71 הייתה המועמדויות שקיבל לפרס אוסקר לשחקן המשנה הטוב ביותר ולפרס גלובוס הזהב.
קלינט איסטווד שגילה עניין בשחקן המבוגר ליהק אותו לסרטו הרביעי, המערבון "איש ההפקר" , בו שיחק ג'ורג' לצידו של איסטווד בתור לון וייט הצ'רוקי הערמומי שמתלווה אל מסע הנקמה של האקדוחן ג'וסי וולס.
שיחק לאחר מכן בדרמת המסע "הארי וטונטו" בתפקיד היליד האינדיאני סם שתי נוצות אותו פוגש במסעו האלמן הזקן הארי קומבס (ארט קרני).
המורשת שהשאיר.
על שמו של ג'ורג' קרויים שני בתי ספר ואוניברסיטה אחת ברחבי קנדה.
השחקן הקנדי המפורסם דונלד סאת'רלנד ציטט את שירו בטקס הפתיחה של אולימפיאדת ונקובר.
בשנת 2008 הוכנס להיכל התהילה של גדולי השחקנים הקנדיים שכיכבו בהוליווד, את המקום חלק עם השחקניות זוכות האוסקר מארי דרסלר ונורמה שירר ועם השחקן ריימונד בור.
אנדרה וילאש בואש
לואיש אנדרה דה פינה קבראל א וילאש-בואש (בפורטוגזית: Luís André de Pina Cabral e Villas-Boas; נולד ב-17 באוקטובר 1977) הוא מאמן כדורגל פורטוגלי. הקיצור הנודע של שמו הוא AVB. בואש הוא המאמן הצעיר ביותר בהיסטוריה שזכה בתואר אירופאי, כאשר רשם עם קבוצת פורטו הפורטוגזית בשנת 2011 זכייה במסגרת הליגה האירופית.
קריירה.
בואש שימש בין היתר כסקאוט בצ'לסי וכעוזר מאמן של מוריניו, באינטר מילאנו. ב-1998, בגיל 21 בלבד, קיבל בואש את משרת האימון הראשונה שלו, כשמונה למאמנה של נבחרת איי הבתולה הבריטיים בכדורגל. בעונת 2009–2010 מונה למאמנה של אקדמיקה מהליגה הפורטוגלית. ביוני 2010 מונה למאמנה של פורטו. הוא זכה בקבוצה בשנה זו בטרבל היסטורי, שכלל עונה ללא הפסד בליגה הפורטוגלית, וזכייה בליגה האירופית לאר ניצחון במשחק הגמר, 1-0 על ספורטינג בראגה. בכך, היה וילאש בואש למאמן הצעיר ביותר שזוכה בתואר אירופי משמעותי.