ב-1812, נפוליאון פולש לרוסיה. פייר, בהשפעת אימי הפלישה, הופך לאטו מבונפרטיסט המקווה לכך שהסדר החברתי המיושן ברוסיה יוחלף, לפטריוט. אנדריי, המשרת כקצין בשדה, נפצע פצעי מוות בקרב בורודינו, בו משתתף פייר כמתנדב. הוא מנותח בסמוך לאנטול, שמת אף הוא. משפחת רוסטוב נמלטת מאחוזתה כשהצרפתים מתקרבים, ונוטלת עמה חיילים פצועים, ביניהם גם אנדריי. פייר מתחפש לאיכר ומנסה להסתנן למחנה הצרפתי ולהתנקש בנפוליאון. הוא נעצר ומבלה חודשים בשבי, שם הוא פוגש באפלטון קרטאייב, צמית מרוד הגורם לו להעריך לראשונה את נפשם של פשוטי העם. הצרפתים מוכים ונסוגים בחורף. על ערש דווי, אנדריי סולח לנטשה, המכירה עתה באהבתה לפייר. השניים נישאים.
מלחמה ושלום בעברית.
מלחמה ושלום תורגם כבר ב-1920 על ידי י. א. טריווש (ויצא בהוצאת שטיבל). גרסה חדשה של התרגום נעשתה בידי לאה גולדברג בשנת 1952 ומהדורה חדשה ומתוקנת של תרגום זה, מעשה ידיו של חיים פלג, יצאה בהוצאת ספריית פועלים בשנת 1976.
אסגארד
במיתולוגיה הנורדית, אסגארד (בנורדית עתיקה: Ásgarðr)הוא מקום מושבה של קבוצת האלים הידועה כאסיר, ומנובא שהוא יושמד במהלך הראגנארוק. אסגארד הוא כנראה אחד מתשעת העולמות ונמצא במקום הגבוה ביותר ביקום הנורדי. במקור היה אסגארד שמה של הטירה החשובה ביותר בעולם זה, ואילו העולם עצמו נקרא גודהיים (Godheim), אולם בעקבות בלבול בקרב החוקרים הראשונים, המונח "גודהיים" הוחלף ב"אסגארד" במרבית המקורות.
המקום נשמר על ידי האל היימדאל ועל ידי טירה מרכזית מוקפת בחומות אימתניות. במרכז העולם נמצא מישור אידוול (נקרא גם מישור אידה), שבו נפגשים האלים במטרה לדון בענייניהם. האלים נאספים באולם גלאדסהיים ואילו האלות באולם וינגולף. פגישות נערכות גם ליד הבאר של אורד. בטירה המרכזית נמצא בין היתר גם אולם ולהאלה אליו זכאים להיכנס רק גיבורי מלחמה מתים, שם ישבו עם אודין וימתינו לראגנארוק בו יילחמו לצד האלים. כדי להגיע לאסגארד מעולם בני האדם ( מידגארד) חייב הלוחם לחצות את ביפרוסט, גשר הקשת בענן המחבר את שני העולמות.
בניית החומה של אסגארד.
בעקבות מלחמה בין שתי קבוצות האלים, האסיר והואניר, נהרסה חומת הטירה והיה צריך לבנות חומה חדשה. האלים, למרות מיומנותם בבנית היכלות מפוארים, לא ששו לבצע מלאכה זו. זר, שהגיע דרך גשר ביפרוסט, הציע לבנות מחדש את החומה תוך שנה וחצי ודרש בתמורה את ידה של פריה, אלת הפריון, את השמש והירח. אודין לא הסכים לתנאים אלה ולוקי הציע פשרה לפיה המלאכה תסתיים תוך שישה חודשים. הזר הסכים בתנאי שסוסו הקסום הקרוי סוודילפרי יוכל לעזור לו והאלים נעתרו לדרישתו. העבודה התקדמה בקצב מהיר, שכן הסוס היה מסוגל להעביר מעמסות גדולים וכבדים מאוד. האלים חששו כי המלאכה תסתיים בזמן והם יהיו חייבים בתשלום שהבטיחו. כדי להיחלץ ממצב זה, שינה לוקי את צורתו לצורת סוסה ופיתה את הסוס הרחק ממקום העבודה. במשך הלילה, רדף הסוס אחר לוקי ובעליו רדף אחריו. הזר, אשר לא עמד בלוח הזמנים, זעם והתגלה כענק כפור והאל ת'ור הרגו. סוסו של הענק סוודילפרי הצליח לבסוף להשיג את לוקי וכך נולד סלייפניר, סוסו בעל שמונה הרגלים של אודין.
ישנו חוסר ודאות לגבי שמו של הענק. יש הטוענים כי שמו היה הרימתורס (Hrimthurs). אולם אחרים מציינים כי השם הרימתורס מציין רק את השתייכותו השבטית לענקי הכפור (זאת משמעות השם - שילוב של h]rim] כפור ו-thurs ענק) ואילו שמו האמיתי לא ידוע.
תא לנגרהאנס
תאי לנגרהאנס
קשר לימפה
בלוטת לימפה
התפלגות מעריכית
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות מעריכית (או התפלגות אקספוננציאלית, Exponential Distribution), היא התפלגות רציפה על המספרים האי-שליליים.
ההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה שהיא חסרת זיכרון, והיא מאופיינת באופן מלא על ידי תכונה זו. משכך, היא מתארת תופעות אקראיות שהסיכוי להתרחשותן קבוע בזמן, כגון התפרקות רדיואקטיבית או הזמן עד לתקלה בנורה או ברכיב חשמלי.
הגדרה.
פונקציית צפיפות.
התפלגות מעריכית היא התפלגות רציפה, שפונקציית הצפיפות שלה היא
formula_1
כאשר
formula_2 היא הפרמטר של ההתפלגות, המכונה גם קצב או קבוע דעיכה.ההתפלגות מתוארת לעיתים באמצעות ההופכי של פרמטר הקצב, כלומר באמצעות פרמטר הפיזור formula_3. במקרה זה, פונקציית הצפיפות היא:
formula_4
משתנה מקרי formula_5 המתפלג מעריכית עם פרמטר formula_6 מסומן בדרך כלל formula_7. הערכים שמשתנה מקרי שכזה יכול לקבל הם המספרים האי-שליליים, כלומר התומך של ההתפלגות המעריכית הוא הקטע formula_8.
פונקציית התפלגות מצטברת.
ניתן להגדיר את ההתפלגות המעריכית גם באמצעות פונקציית ההתפלגות המצטברת שלה, שהיא
formula_9
שימושים.
ההתפלגות המעריכית מתאימה לתיאור הזמן בין אירועים המתרחשים באקראי אך בקצב ממוצע קבוע. דוגמאות לתופעות הניתנות (בקירוב) לתיאור כזה הן
מתמטית, תופעות כאלה מתוארות לעיתים קרובות כתהליכי פואסון הומוגניים בזמן, שבהם הזמן הבין מופעי מתפלג מעריכית.
בתורת התורים (Queueing Theory), ההתפלגות המעריכית משמשת לעיתים לתיאור זמן השירות. תחת הנחה זו (והנחות נוספות), מערכות תורים ניתנות לתיאור כשרשראות מרקוב, וקל יחסית לנתח את התנהגותן.
בתורת האמינות (Reliability Theory) ובניתוח שרידות (Survival Analysis), ההתפלגות המעריכית משמשת לעיתים לתיאור (חלקי או מלא) של משך החיים של רכיב או של חולה.
בפיזיקה סטטיסטית, במערכות שבהן האנרגיה יכולה לקבל ערכים רציפים והאנרגיה הכוללת של המערכת ידועה (כלומר, בצבר הקנוני), התפלגות האנרגיה היא התפלגות מעריכית עם פרמטר התפלגות formula_10 כאשר formula_11 הוא קבוע בולצמן. התפלגות זו נקראת גם התפלגות בולצמן. לדוגמה, האנרגיה הקינטית של מולקולות גז בטמפרטורה נתונה מתפלגת מעריכית. עובדה זו נובעת מתכונת האנטרופיה המקסימלית המתוארת להלן.
תכונות.
תוחלת ושונות.
התוחלת של משתנה מקרי formula_7, הקרויה גם "זמן החיים הממוצע" של ההתפלגות, היא formula_13; השונות היא formula_14.
תכונת חוסר הזיכרון.
משתנה מקרי מעריכי הוא חסר זיכרון, כלומר לכל formula_15 מתקיים כי
formula_16
בניסוח אחר: אם formula_7, אז ההתפלגות המותנית של formula_18, בהינתן formula_19, גם היא formula_20.
המשמעות המילולית של תכונה זו היא כדלקמן: כשאנו ממתינים לאירוע שהזמן עד להתרחשותו מתפלג מעריכית, הזמן שחלף עד כה אינו משנה את התפלגות הזמן שנותר עד להתרחשות האירוע, וזמן זה (הזמן שנותר עד להתרחשות האירוע) ממשיך להתפלג מעריכית, בדיוק כאילו התחלנו להמתין זה עתה.
ההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזיכרון. אפשר לראות זאת כך. נניח התפלגות חסרת זיכרון. היא צריכה לקיים את התכונה
formula_21
מכאן נקבל את הדרישה:
formula_22
נתבונן, לכן, בפונקציה המקיימת
formula_23
נציב formula_24 ונקבל
formula_25
ומכאן נסיק
formula_26.
נקח שוב את השוויון המקורי, ונחסר מכל אגף formula_27:
formula_28
נחלק ב-formula_29 ונשאיפו ל0:
formula_30
מכאן קיבלנו את המד"ר:
formula_31
תחת הנחות קלות למדי, פתרון משוואה זו הוא פונקציה מעריכית.
שברונים.
החציון של משתנה מקרי formula_32 הוא formula_33. גודל זה קרוי לעיתים זמן מחצית החיים.
באופן כללי יותר, השברון (quantile) ה-p של ההתפלגות המעריכית הוא
formula_34
התפלגות המינימום.
אם formula_35 הם משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים, כך ש-formula_36, אז גם המינימום שלהם מתפלג מעריכית, עם פרמטר formula_37, כלומר
formula_38
בפרט, המינימום של formula_39 משתנים מעריכיים בלתי תלויים עם פרמטר formula_40 הוא משתנה מקרי מעריכי עם פרמטר formula_41.
התפלגות המקסימום.
המקסימום של משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים לא מתפלג מעריכית, גם אם לכולם אותו פרמטר. אם formula_35 הם משתנים מקריים בלתי תלויים כך ש-formula_43, ו- formula_44, אז
formula_45
אם formula_46 (כלומר לכולם אותו פרמטר), אז
formula_47
אנטרופיה מקסימלית.
מבין כל ההתפלגויות הרציפות על formula_8 שהתוחלת שלהן formula_49, ההתפלגות המעריכית עם פרמטר formula_50 היא בעלת אנטרופיה מקסימלית.
פונקציית סיכון.
פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות המעריכית היא קבועה, וערכה הוא formula_40.
קשר להתפלגויות אחרות.
התפלגות גאומטרית.
ההתפלגות המעריכית היא במובן מסוים גבול של ההתפלגות הגאומטרית: נניח שעורכים סדרה של ניסויי ברנולי בלתי תלויים, כך שהזמן בין ניסוי לניסוי הוא formula_52, והסתברות ההצלחה בכל ניסוי היא formula_53. אזי מספר הניסוי בו תתקבל ההצלחה הראשונה מתפלג גאומטרית (עם פרמטר formula_54), ואילו הזמן עד ההצלחה הראשונה, כש-n שואף לאין-סוף, מתכנס (בהתפלגות) להתפלגות מעריכית עם פרמטר formula_55.
כשם שההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזיכרון, כך ההתפלגות הגאומטרית היא ההתפלגות הבדידה היחידה בעלת תכונה זו.
אם formula_56, אז הערך השלם העליון של formula_57 (כלומר המספר השלם הנמוך ביותר שגדול או שווה ל-formula_57, המסומן formula_59), מתפלג גאומטרית עם פרמטר formula_60.
התפלגות פואסון.
אם תופעה מסוימת מתרחשת מפעם לפעם, כך שפרקי הזמן בין התרחשות להתרחשות הם משתנים מקריים בלתי תלויים formula_32, אז מספר ההתרחשויות בפרק זמן שאורכו formula_29 מתפלג פואסונית עם פרמטר formula_63. תהליך שכזה נקרא תהליך פואסון (הומוגני בזמן).