בתחומו, משפט זה מהווה את אחד ממשפטי המפתח המאפיינים מרחבים אוקלידיים, יחד עם משפט העקומה של ז'ורדן, משפט הכדור השעיר ומשפט בורסוק-אולם. דבר זה מקנה לו מקום במשפטים היסודיים בטופולוגיה.
שימושי המשפט בתורת המשחקים.
שימוש חשוב של המשפט בתורת המשחקים הוא להוכחת משפט נאש, המבטיח שבכל משחק מרובה משתתפים, קיים שיווי משקל נאש, אם מרשים שימוש באסטרטגיות מעורבות.
למשפט אף שימושים בתורת המשחקים הקומבינטורית ויש לו קשר הדוק למשחק הקס: דייוויד גייל הראה כי משפט נקודת השבת של בראואר שקול לקיומה של אסטרטגיה מנצחת בהקס (כלומר שהמשחק אינו יכול להסתיים בתיקו).
ג'יימס ג'וזף סילבסטר
ג'יימס ג'וזף סילבסטר (באנגלית James Joseph Sylvester; 3 בספטמבר 1814 - 15 במרץ 1897), היה מתמטיקאי ומשורר יהודי בריטי בולט.
תולדות חייו.
סילבסטר נולד בלונדון כג'יימס ג'וזף, בנו של אברהם ג'וזף, סוחר יהודי. בשנת 1833 החל ללמוד באוניברסיטת קיימברידג', אך לא סיים את לימודיו מחמת סירובו כיהודי להשבע אמונים לעיקרי הכנסייה האנגליקנית. הוא ניגש לבחינות המתמטיקה הנודעות של האוניברסיטה והגיע למקום השני. בשנת 1841 שהה בארצות הברית, כפרופסור למתמטיקה באוניברסיטת וירג'יניה, ולאחר תקופה קצרה חזר לאנגליה.
היה הראשון שהשתמש במונחים מטריצה (ב-1850) ודיסקרימיננטה (ב-1851). ב-1869, בגיל 55, פרש ממשרתו כמרצה למתמטיקה ב- Royal Military Academy at Woolwich, ופרסם את ספר השירה היחיד שלו, The Laws of Verse. ב-1877 עבר שוב לארצות הברית, כדי לכהן כפרופסור למתמטיקה באוניברסיטת ג'ונס הופקינס. ב-1878 ייסד את כתב העת American Journal of Mathematics, אחד מכתבי-העת המתמטיים הראשונים שיצאו לאור בצפון אמריקה.
ב-1883 חזר לאנגליה, ונתמנה לפרופסור באוניברסיטת אוקספורד, משרה שבה החזיק עד למותו ב-1897.
תרומתו למתמטיקה.
סילבסטר זכור כמתמטיקאי בזכות עבודתו בתורת המטריצות, ובמיוחד משפט ההתמדה שלו, הקובע כי מספר המקדמים החיוביים והשליליים בתבנית ריבועית אלכסונית מעל הממשיים אינו תלוי בבסיס. במילים אחרות, כל מטריצה סימטרית ממשית חופפת למטריצה אלכסונית יחידה שרכיבי האלכסון שלה formula_1.
משפט ידוע אחר של סילבסטר עוסק בסידור ישרים המוגדר על ידי נקודות במישור: לכל קבוצה סופית של נקודות במישור, שאינן כולן על ישר אחד, קיים ישר העובר דרך בדיוק שתיים מן הנקודות.
הוכחה: נתבונן בכל הישרים העוברים דרך שתי נקודות או יותר, ונבחר את הישר formula_2הקרוב ביותר לנקודה A שאינה עליו. אם יש על formula_3 יותר משתי נקודות, אפשר למצוא שתיים, B,C, הנמצאות מאותו עבר של האנך מ- A על formula_2; נניח ש- C קרובה יותר לאנך. אז מרחקה של C מהקו העובר דרך B ו- A קטן מן המרחק של A מ-formula_2, בסתירה לבחירת formula_2.
פאודליות
הכברה של ארתוסתנס
הנפה של ארטוסתנס
בתורת המספרים, הנפה של ארטוסתנס הוא אלגוריתם פשוט למציאת כל המספרים הראשוניים עד למספר שלם מסוים. הנפה הומצאה על ידי המתמטיקאי היווני ארטוסתנס.
מתחילים עם רשימת כל המספרים השלמים מ-2 ועד המספר הנבחר. בכל שלב, המספר הקטן ביותר ברשימה שעוד לא טופל מוכרז כראשוני, וכל הכפולות שלו (שהן מספרים פריקים) מסומנות בתוך הרשימה. בסופו של דבר כל המספרים ברשימה שלא סומנו הם המספרים הראשוניים.
את הכפולות מוצאים על ידי ספירה מהמספר כלפי מעלה בצעדים של אותו מספר. למשל, עבור "3: 6, 9, 12, 15, ..." . יהיו גם מספרים שיסומנו יותר מפעם אחת, למשל "15 = 3 * 5 = 5 * 3". לכן את הספירה ניתן להתחיל מהמספר בריבוע. כמו כן ניתן לעבוד עם המספרים האי־זוגיים בלבד ולספור בצעדים כפולים, למשל עבור "5: 25, 35, 45, 55, ..." .
את המספר 1 אין כוללים ברשימה, משום שהוא לא נחשב לראשוני. ראו מספר ראשוני להסבר בעניין זה.
דוגמה.
להלן פעולות האלגוריתם עבור המספרים עד 20.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 3 5 7 11 13 17 19
הסימנים שסימנו במהלך הפעולה מהווים את הנפה שדרך החורים בה עוברים המספרים הראשוניים.
פסאודו קוד של נפת ארטוסתנס.
algorithm Sieve of Eratosthenes is
input: an integer n &gt; 1.
output: all prime numbers from 2 through n.
let A be an array of Boolean values,
indexed by integers 2 to n,
initially all set to true.
for i = 2, 3, 4, 5, ..., not exceeding √n do
if A[i] is true
for j = i², i² + i, i² + 2i, i² + 3i, ..., not exceeding n do
assign A[j] := false
return all i such that A[i] is true.
קוד לנפת ארטוסתנס בשפת פייתון.
import math
def all_primes(n):
lst = [True] * (n - 2)
for i in range(2, int(math.sqrt(n) + 1)):
if lst[i - 2]:
for j in range(i ** 2, n, i):
lst[j - 2] = False
return [m + 2 for m in range(len(lst)) if lst[m]]
ההתקוממות הגאורגית בטסל
ההתקוממות הגאורגית בטסל (4 באפריל 1945 – 20 במאי 1945) הייתה מרד של גדוד חיילים גאורגים מהלגיון הגאורגי על האי ההולנדי טסל נגד הכוחות הגרמנים במהלך מלחמת העולם השנייה. אירוע זה, שנמשך קרוב לשבועיים מעבר לתאריך כניעתה של גרמניה, מכונה לעיתים "הקרב האחרון באירופה".
רקע.
האי היה נדבך מרכזי בחומה האטלנטית הגרמנית (קו ההגנה כנגד פלישת בעלות הברית), ומשום כך בנו בו הגרמנים ביצורים חזקים. הגאורגים היו חיילי הצבא האדום לשעבר מהרפובליקה הסובייטית הסוציאליסטית של גאורגיה שנשבו בחזית המזרחית ושעברו להילחם לצד האויב הגרמני, בין השאר משום שהאלטרנטיבה האחרת הייתה לגווע ברעב במחנות השבויים הגרמניים. גדוד החיילים הגאורגים 882 הוצב באי במחנה של שבויי מלחמה לשעבר ששירתו ככוחות עזר נגד אויבי גרמניה.
המרד.
בלילה שבין 4 ל-5 באפריל 1945, תוך ציפייה לכיבוש קרוב של האי על ידי בעלות הברית, התקוממו הגאורגים נגד הגרמנים והשתלטו על האי לזמן קצר. כארבע מאות גרמנים נהרגו באותו לילה, אולם סוללות תותחי החוף בצפון ובדרום האי לא נכבשו. בשל כך, לא היו המתקוממים יכולים למנוע הגעת תגבורות גרמניות. הגרמנים פתחו בהתקפת נגד בתמיכת שריון מהולנד והשתלטו על האי מחדש אחרי שבועות של לחימה עזה.
במהלך "המלחמה הרוסית" (כפי שהיא קרויה כיום בטסל) נהרגו כ-800 גרמנים, 500 גאורגים ו-120 מתושבי טסל. ההרס היה עצום, עשרות חוות עלו באש. שפיכות הדמים נמשכה מעבר לכניעה הגרמנית בהולנד גופא ב-5 במאי 1945, והכניעה הגרמנית הכללית ב-8 במאי 1945. רק ב-20 במאי 1945 הצליחו כוחות קנדיים להשקיט את "זירת הלחימה האירופאית האחרונה".
הגאורגים שנהרגו קבורים בבית קברות טקסי בהוכברך (Hogeberg) שליד אודסכילד (Oudeschild) שבטסל. אלה שניצלו לא זכו לסוף טוב יותר. בהתאם לתנאי ועידת יאלטה הם נשלחו על ידי בעלות הברית בניגוד לרצונם ממחנות שבויי המלחמה הגרמנים לברית המועצות. סטלין התייחס לנפילה בשבי או לכניעה כאל בגידה כיוון שהחיילים לא נלחמו עד המוות. בשל כך, נשלחו כרבע מיליון משני מיליון השבויים הסובייטים לגולאג, מחנות עבודת כפייה.
הנצחה.
תצוגת קבע על אירועים אלה מוצגת במוזיאון האווירי בשדה התעופה של האי.
עזרא הרביעי
גוסטאב פלובר
הצבא השחור
בשר אדום
צ'קה
צֶ'קַה - הוועדה המיוחדת הכלל-רוסית למאבק במתנגדי המהפכה ובחבלה (Всероссийская чрезвычайная комиссия по борьбе с контрреволюцией и саботажем, ЧК) היה שמה הרשמי של המשטרה החשאית הסובייטית הראשונה ושירות הביטחון, שעם מייסדיה נמנים פליקס דזרז'ינסקי וקלימנט וורושילוב.
היסטוריה.
הצ'ה-קה הייתה המשטרה הסובייטית החשאית הראשונה. היא הוקמה ב-20 בדצמבר 1917 על פי צו רשמי של ולדימיר לנין, שמינה בראשה את האריסטוקרט הפולני שהפך לקומוניסט, פליקס דזרז'ינסקי.
בשנות קיומה הוצאו להורג מתנגדים רבים ורבים מהמתנגדים לשלטון נשלחו למאסר. פעילותו של הגוף הזה הטילה אימה ועד היום מכונים עובדי שירותי הביטחון ברוסיה "צ'קיסטים".
למן הקמתה הייתה הצ'קה הזרוע הצבאית והביצועית של המפלגה הבולשביקית, הגוף העיקרי שתחזק את מחנות המעצר ומנגנון הדיכוי הממשלתי.
ב-1918, כאשר מקום מושבה של הממשלה עבר למוסקבה, גם מטה הארגון עבר מרחוב גורוחובאיה בפטרוגרד לכיכר לוביאנקה במוסקבה, במבנה ששימש בתקופת הצאר כמטה חברת ביטוח פרטית. ב-1924 שינתה הכיכר את שמה לכיכר דזרז'ינסקי 1, כשם מייסד הארגון. ב-1922 הצ'קה הוחלפה על ידי גפא"ו.
עד היום תאריך ה-20 בדצמבר (יום היווסדה של הצ'קה) הוא יום השנה של עובדי שירותי הביטחון והמודיעין הרוסיים.
בשאר אסד
אפמינונדס
אפמינונדס (ביוונית: Eπαμεινώνδας', 418 – 362 לפנה"ס) מצביא ומדינאי תבני. אפמינונדס היה בין האחראים להעברת ההגמוניה ביוון העתיקה מידיה של ספרטה לידיה של תבאי. בתהליך זה היה אחראי על יצירת ערי-מדינה חדשות, שחרור חלק מההלוטים המסנים והמצאה של טקטיקות חדשות. ההגמוניה התבאנית לא נמשכה זמן רב ועם מותו בקרב ירדה ממעמד הבכורה.
הרקע לפועלו.