לאחר עוזבו את גליפולי, הוצב הרגימנט בצרפת, שם השתתף בקרב על הסום, במהלכו התוודע פארק לערכו של הסיור האווירי, כשנוכח כיצד מטוסי סיור גרמניים איתרו ריכוזי ארטילריה של בנות הברית וכיוונו את הארטילריה הגרמנית כנגדם. כן זכה פארק לטעימה ראשונה של טיסה עת צורף לטיסה לצורך בדיקת ההסוואה של גדודו.
ב-21 באוקטובר 1916 הועף פארק מסוסו מפגיעת פגז גרמני. פארק נפצע ופונה לאנגליה, שם נקבע כי אינו מתאים לשירות פעיל - קביעה שבפועל העידה על אי יכולתו לרכוב על סוס. לאחר תקופת החלמה קצרה, הצטרף בדצמבר 1916 לזרוע האוויר של צבא בריטניה - ה־RFC.
טייס קרב.
בתחילת דרכו ב-RFC עסק פארק בתפקידי הדרכה. בסוף יוני 1917 הוצב שוב לצרפת, שם צורף ב-7 ביולי לטייסת 48. פארק הטיס את מטוס היירוט החדיש מסוג בריסטול F.2, עליו זכה להצלחה ניכרת בקרבות מול מטוסים גרמניים. ב-17 באוגוסט זכה בעיטור צלב צבאי בגין "גילוי אבירות ודבקות במשימה", לאחר שסיור אווירי בו השתתף התפתח לקרב קשה מול מטוסי אויב. פארק, על אף ששני המטוסים שליוו אותו יצאו מכלל פעולה ונטשו את הקרב, המשיך להילחם במטוסי האויב, הפיל אחד מהם והביא להפלת ארבעה נוספים. ב-11 בספטמבר קיבל פארק דרגת קפטן זמני.
ב-10 באפריל 1918 קיבל פארק את הפיקוד על טייסת 48. פארק היה מפקד קשוח והוגן, הקפיד על המשמעת והפגין מנהיגות ובקיאות רבה בכל הקשור בלוחמה אווירית.
תפקידו כמפקד טייסת היה מתיש, אך הישגיו כטייס ומפקד טייסת היו ניכרים. עד לסוף המלחמה זכה פארק להוסיף אות מערכה לצלב הצבאי, וכן זכה בעיטורי צלב התעופה המצוינת וצלב המלחמה הצרפתי. בסך הכל הפיל פארק בקרבות אוויר 5 מטוסי אויב והביא להפלתם של 14 מטוסים נוספים. כמו כן, הופל פארק עצמו פעמיים.
בין המלחמות.
לאחר המלחמה קיבל פארק דרגת קפטן קבועה בחיל האוויר המלכותי, שעם שינוי שיטת הדרגות (1919) הומרה בדרגת סגן טיסה (flight lieutenant). בשנים 1919–1920 שירת כמפקד טייסת 25 ולאחר מכן כמפקד טייסת בבית הספר לאימון טכני. פארק התקדם בתפקידי הפיקוד בחיל האוויר המלכותי, ובשנת 1938, ערב מלחמת העולם השנייה, היה בתפקיד קצין סגל בכיר בפיקוד מטוסי היירוט, תחת פיקודו של יו דאודינג.
מלחמת העולם השנייה.
הקרב על בריטניה.
ב-20 באפריל 1940 קיבל פארק את הפיקוד על להק 11, אשר באחריותו הייתה ההגנה האווירית על לונדון בפרט, ודרום מזרח אנגליה בכלל. מיד עם כניסתו לתפקיד ביצע הלהק שבפיקודו סיורים אוויריים מעל צרפת, והעניק את החיפוי האווירי למבצע דינמו - פינוי הכוחות הבריטיים מדנקירק.
עם התחלת הקרב על בריטניה נשא הלהק שבפיקודו בעיקר הנטל של הקרב מול הלופטוואפה. פארק, ביחד עם מפקדו דאודינג, פיתחו אסטרטגיה של הימנעות מקרבות אוויר גדולים והתשת הלופטוואפה בקרבות קטנים ומתוכננים. פארק גם התווה עיקרון של תקיפת המפציצים הגרמנים עוד בדרכם למטרותיהם, תוך הגדלה מסוימת של הסיכון לטייסיו, מתוך הבנה כי מפציצים עמוסים יהיו כבדים מכדי לחמוק ממטוסיו, וכן כי שיטה זו פוגעת באסטרטגיה הגרמנית בצורה הטובה ביותר, שכן "עדיף להפיל עשרה מפציצים בטרם הגיעו למטרתם, מאשר להפיל חמישים לאחר שמילאו את משימתם". בסיכומו של דבר, הוכיחה דרך פעולה זו את עצמה.
במהלך הקרב על בריטניה פיקד פארק באופן אישי על כמה מקרבות האוויר הגדולים ביותר - קרב אלדרטאג ("יום הנשר") ב-13 באוגוסט, קרב היום הקשה ביותר ב-18 באוגוסט וקרב יום הקרב על בריטניה ב-15 בספטמבר.
בזכות פיקודו המוצלח על להק 11 זכה פארק להכרה כטקטיקן מבריק. ארתור טדר, מפקד חיל האוויר המלכותי, אמר עליו לאחר המלחמה כי "אם היה אי פעם אדם יחיד שהביא לבריטניה את הניצחון בקרב, היה זה פארק"
במשך כל תקופת הקרב על בריטניה היה פארק מעורב בוויכוח שהתנהל בחיל האוויר המלכותי בין שתי תפיסות של שיטת ההגנה: עיקר גישתם של פארק ושל מפקדו דאודינג הייתה כי יש ליירט את מפציצי הלופטוואפה בטרם יגרמו נזק על הקרקע, וכי הדרך לעשות זאת היא על ידי כוחות קטנים יחסית - טייסת בודדת או שתיים. הגישה השנייה, בה החזיקו סגן מפקד חה"א שולטו דגלס ומפקד להק 12 טראפורד לי-מלורי גרסה כי אין זה משנה מתי מתבצעת ההתקפה על מטוסי האויב, כל עוד היא מתבצעת במבנים גדולים מאוד התוקפים בבת אחת. ויכוח זה הפך לעימות ממנו לא נעדרה טינה אישית, ועל אף שגישתו של פארק הוכיחה עצמה, הרי שמינסטריון חיל האוויר המלכותי אימץ דווקא את הגישה השנייה ומיד לאחר תום הקרב על בריטניה הועברו פארק ודאודינג מתפקידיהם, אשר נתפסו על ידי לי-מלורי ודאגלס. הדחתו למעשה של פארק מהפיקוד על להק 11 הותירה בו מרירות בהמשך חייו. פארק הועבר לפקד על להק 23 שהיה להק אימונים, ולאחר מכן הוצב במצרים.
הקרב על מלטה.
ב-14 ביוני 1942 קיבל פארק את הפיקוד על האי מלטה. היה זה לאחר שנתיים בהן סבל האי מהפצצות כבדות, שהגיעו לשיאן באפריל 1942 עם 8,788 גיחות. פארק, לאחר הערכת מצב ראשונית, שינה את שיטת ההגנה האווירית וב-25 ביולי הוציא תוכנית קרב מפורטת שיושמה מיידית. גם התוצאות היו מיידיות כאשר הסב ללופטוואפה שיעור אבדות של 5.8%. בניתוח התוצאות שהציג ב-10 באוגוסט, התברר כי אבדות הבריטים צנחו משמעותית, וכן כמות הפצצות שנפלו על האי. האבדות הכבדות שנגרמו מעתה למטוסים הגרמניים הובילו את הפיקוד הגרמני לצימצום מספר הגיחות, שמספרן בספטמבר צנח ל-391.
החל מאוגוסט התמקד פארק בהתקפת נמל טוברוק ששימש כנמלן העיקרי של מדינות הציר בצפון אפריקה, ובפועל הפך אותו לבלתי שמיש, כשבאוגוסט הטביעו מפציציו כ-20,000 טון אספקה, והצוללות הבריטיות שכעת יכלו לעגון במלטה כמעט ללא חשש הטביעו 35,000 טון נוספים.
בשל הפגיעות הקשות באספקה, פתח הלופטוואפה בחודש אוקטובר בניסיון אחרון לניטרול מלטה עם 2,842 גיחות, בהן הסבו מטוסי בריטניה בפיקוד פארק שיעור אבדות של 7.5%. אבדות כבדות אלו הביאו להפסקת ההתקפות האוויריות על האי.
מעבר לניצחון על מדינות הציר בקרב על מלטה, שיתוק נמל טוברוק בידי מטוסיו של פארק הפך את כיבוש העיר על ידי רומל לחסר ערך, והיווה נדבך חשוב בניצחון הבריטי בקרב אל עלמיין.
בהמשך המלחמה.
לאחר הניצחון בקרב על מלטה פיקד פארק על מטוסיו בסיוע לכוחות בעלות הברית בצפון אפריקה, ובהמשך בנחיתות בסיציליה ובאיטליה. בינואר 1944 מונה פארק למפקד פיקוד המזרח התיכון של חיל האוויר המלכותי. בפברואר 1945 מונה למפקד הכוחות האוויריים של בעלות הברית בדרום מזרח אסיה, תפקיד בו נשא עד לתום המלחמה.
אחרי מלחמת העולם השנייה.
פארק פרש מהצבא והועלה לדרגת מרשל אוויר ראשי ב-20 בדצמבר 1946. הוא חזר לניו זילנד, ושם נשא במספר תפקידים ציבוריים, בין השאר נבחר למועצת העיר אוקלנד. פארק נפטר בניו זילנד ב-6 בפברואר 1975, בגיל 82. פארק לא זכה להכרה ציבורית נרחבת לא בבריטניה ולא בניו זילנד מולדתו.
פארק היה אחד המפקדים הבולטים בהיסטוריה של הלוחמה האווירית. ניצחונותיו הטקטיים ההחלטיים בקרב על בריטניה ושוב בקרב על מלטה לא רק שהפגינו את יכולותיו הפיקודיות והבנתו את הלוחמה האווירית, אלא היוו נקודות מפנה חשובות במהלך מלחמת העולם השנייה.
חוג רגולרי פון-נוימן
בתורת החוגים, חוג פון-נוימן רגולרי (לפעמים גם חוג רגולרי) הוא חוג, שבו לכל איבר formula_1 יש איבר formula_2 כך ש-formula_3. תכונה תמימה-למראה זו מקנה למשפחת החוגים הרגולריים אופי ייחודי: מקומית הם דומים לחוגים עם חילוק (formula_2 להלן הוא "ההפכי של formula_1 ביחס לעצמו"), אבל הם כלליים מספיק כדי לתאר תופעות אנליטיות וגאומטריות במימד כלשהו.
החוגים הרגולריים של פון-נוימן קרויים על-שם ממציאם ג'ון פון נוימן, שהגדיר אותם על-מנת ללמוד אופרטורי הטלה במרחב הילברט. בהקשר זה הוכיח פון-נוימן את משפט הקואורדינטיזציה: כל סריג מודולרי עם משלימים שיש לו בסיס הומוגני בן formula_6 איברים, איזומורפי לסריג תת-המודולים של המודול החופשי מדרגה formula_7 מעל חוג רגולרי .
אידמפוטנטים.
התכונות הבאות של חוג formula_8 שקולות זו לזו:
לכל אידמפוטנט formula_10 בחוג רגולרי formula_8, גם formula_12 הוא רגולרי.
תכונות.
מכפלה ישרה של חוגים רגולריים היא רגולרית. מכפלה תת-ישרה סופית של חוגים רגולריים הוא רגולרית. מנה של חוג רגולרי היא רגולרית. איחוד של שרשרת חוגים רגולריים הוא רגולרי (ולכן גבול ישר של חוגים רגולריים הוא רגולרי). מאידך חיתוך שרשרת של תת-חוגים רגולריים אינה בהכרח רגולרית, ולכן גבול הפוך של חוגים רגולריים אינו בהכרח רגולרי. חוג מטריצות מעל חוג רגולרי הוא רגולרי. כל אידיאל דו-צדדי בחוג רגולרי הוא רגולרי (כחוג בלי יחידה). המרכז של חוג רגולרי הוא רגולרי.
אנדומורפיזם formula_13 של מודול formula_14 הוא רגולרי (כלומר קיים formula_2 כך ש-formula_16) אם ורק אם הגרעין והתמונה שלו מחוברים ישרים ב-formula_14; לכן חוג האנדומורפיזם של כל מודול פשוט למחצה הוא רגולרי. בפרט, חוג האנדומורפיזמים formula_18 של מרחב וקטורי מעל חוג עם חילוק הוא תמיד רגולרי (לעומת זאת, אלגברת בנך שהיא רגולרית פון-נוימן צריכה להיות מממד סופי (Kaplansky, 1954)).
חוג רגולרי הוא ראשוני למחצה. למעשה, כל חוג רגולרי הוא פרימיטיבי למחצה, מכיוון שרדיקל ג'ייקובסון לעולם אינו יכול להכיל אידמפוטנטים. בדומה לאפיון של חוגים פשוטים למחצה ככאלה שכל המודולים מעליהם פרויקטיביים, חוג הוא רגולרי אם ורק אם כל המודולים מעליו שטוחים (משפט Harada-Auslander). בפרט, כל חוג פשוט למחצה הוא רגולרי.