מאפיינים חשובים הם אלו שאינם משתנים, אלו הם הצלילים אשר נשארים זהים לאחר השינוי. יש לציין שלא ניתנת התייחסות להבדלי האוקטבות בהם הצלילים מנוגנים, כך שלדוגמה כל הדו-דיאזים מקבילים, בלי קשר לאוקטבה בהם הם מושמעים. זו הסיבה בגללה שיטת שנים עשר הטונים מוצגת באופן מעגלי. הדבר מוביל אותנו להגדרה של דמיון בין שני אקורדים באופן המתייחס לתת-קבוצות ולתוכן המרווחי של כל אקורד.
קבלה.
מחלוקת על המונח כשלעצמו.
המונח "אטונאליות" היה שנוי במחלוקת. ארנולד שנברג, שהמוזיקה שלו בדרך כלל משמשת להגדרת המושג התנגד לדבר בתוקף בטענה כי "המילה 'אטונאלי' יכולה להצביע רק על דבר לא עקבי בטבע הצליל... זה מופרך לקרוא לכל קשר בין צלילים אטונאלי בדיוק כפי שזה מופרך להקצות יחסים של טווח צבעים או השלמתם. אין אנטיתזה שכזו" (שנברג 1978).
גם המלחין והתאורטיקן מילטון בביט זלזל במונח, ואמר "העבודות שנכתבו לאחר מכן, רובן מוכרות, כוללות את חמשת הפרקים לתזמורת (), ציפייה () ופיירו הסהרורי (), עבודות אלו וכמה עבודות שבאו בעקבותיהן כונו 'אטונאליות', איני יודע על ידי מי ואני מעדיף שלא לדעת, משום שהמונח הזה לא הגיוני בשום מובן. לא רק שהמוזיקה מתעסקת ב'טונים', היא מתעסקת בדיוק באותם 'טונים', אותו חומר פיסי בו המוזיקה עסקה כבר שתי מאות שנים. בכל הנדיבות, ייתכן שהמושג 'אטונאלי' בא לנתח במתינות והוא נגזרת של 'אטוני' או בא לסמל 'טונאליות של משולשים', אבל גם כך ישנם אין ספור דברים שהמוזיקה איננה (בביט 1991).
למושג 'אטונאליות' התפתח ערפול במשמעות כתוצאה מהשימוש בו לתיאור קשת רחבה של גישות הלחנה אשר חרגו מאקורדים מסורתיים ומהלכים הרמוניים. היו ניסיונות לפתור בעייתיות זו על ידי שימוש במושגים כמו 'פאן-טונאלי', 'לא-טונאלי', 'רב-טונאלי', 'טונאלי-חופשי' ו'ללא מרכז טונאלי' במקום 'אטונאלי' אך מושגים אלו לא זכו להכרה רחבה.
טונליות
הרמוניה טונלית
הרמוניה אטונלית
אטונליות
הרמוניה בלתי טונאלית
הרמוניה בלתי טונלית
אופטימיזציה קמורה
אופטימיזציה קמורה היא תת-תחום של אופטימיזציה מתמטית, המטפלת במקרה שבו פונקציית המטרה היא פונקציה קמורה והאילוצים מגדירים מרחב שהוא קבוצה קמורה. למרות שמדובר במשפחה רחבה מאוד של בעיות, קיימים אלגוריתמים כלליים לפתרון יעיל של בעיות קמורות, ולכן לתחום של אופטימיזציה קמורה יש שימושים רבים בתחומים מגוונים. אופטימיזציה קמורה כוללת בתוכה בעיות שהן "קלות" יותר לפתרון - לדוגמה כל מינימום לוקלי של הפונקציה חייב להיות המינימום הגלובלי. כך, כאשר אנחנו רוצים לפתור בעיות אופטימיזציה, מובטח לנו שנתכנס לפתרון הכי טוב.
אלגוריתמים לאופטימיזציה קמורה.
ישנם מספר אלגוריתמים שמטפלים בבעיות של אופטימיזציה קמורה. מרביתם מתבססים על קירוב לפתרון עד כדי אפסילון נתון.
בין האלגוריתמים:
עוצמת הרצף
עוצמת הרצף היא העוצמה של קבוצת המספרים הממשיים, קרי formula_1. עוצמת הרצף מסומנת לרוב בסימונים formula_2 ו-formula_3, וכן לעיתים בסימון הפחות נפוץ formula_4.
רעיון האלכסון של קנטור מאפשר להוכיח שהמספרים הממשיים אינם בני מנייה, כלומר שעוצמת הרצף גדולה מעוצמת המספרים הטבעיים (המסומנת formula_5, קרי: אָלֶף אֶפֶס). ניתן להוכיח שעוצמת המספרים הממשיים שווה לעוצמת קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים, כלומר formula_6.
שאלה שהטרידה את המתמטיקאים במשך שנים רבות היא "האם עוצמת הרצף היא העוצמה הקטנה ביותר מלבד עוצמת המספרים הטבעיים?" – ההשערה של קנטור, שזכתה לשם "השערת הרצף", הייתה שהתשובה לשאלה זו חיובית, כלומר: כל קבוצה אינסופית שאינה בת מנייה, היא לפחות בעלת עוצמת הרצף, כלומר שמתקיים formula_7. דויד הילברט מנה את הבעיה הזו כראשונה מבין 23 הבעיות המפורסמות שלו. אחרי עשרות שנים שבהן בעיה זו הייתה פתוחה הוכיח קורט גדל, בשנת 1940, שהשערת הרצף אינה עומדת בסתירה למערכת האקסיומות של תורת הקבוצות (אקסיומות צרמלו-פרנקל). בשנת 1963 הוכיח המתמטיקאי פול כהן שהשערת הרצף אינה תלויה במערכת האקסיומות של תורת הקבוצות. שתי הוכחות אלה פירושן שעל השערת הרצף חל משפט אי השלמות של גדל, כלומר אי אפשר להוכיחה ואי אפשר להפריכה, ולכן העקביות של תורת הקבוצות לא תינזק אם נוסיף אקסיומה הקובעת שההשערה נכונה, וגם לא אם לחלופין נוסיף אקסיומה הקובעת שהיא אינה נכונה.
לפי משפט קנטור לקבוצת החזקה עוצמת הרצף אינה העוצמה המקסימלית וקיימות אינסוף עוצמות גדולות ממנה, לדוגמה עוצמת אוסף תתי הקבוצות של אוסף המספרים הממשיים או קבוצת הפונקציות הממשיות. נהוג לסמן ב formula_8 את העוצמה הקטנה ביותר הגדולה מ formula_9, ב formula_10 את העוצמה הקטנה ביותר הגדולה מ formula_8, וכן הלאה.
דוגמאות לקבוצות בעלות עוצמת הרצף.
לקבוצות חשובות רבות במתמטיקה יש עוצמה השווה לעוצמת הרצף. כמה מן המוכרות ביותר:
עוצמות של תת-קבוצות של הממשיים.
כחלק מהניסיונות להוכחת השערת הרצף, קנטור הוכיח כי העוצמה של כל קבוצה סגורה של ממשיים שאינה בת-מנייה היא עוצמת הרצף. ההוכחה מסתמכת על משפט קנטור-בנדיקסון הקובע כי כל קבוצה סגורה מורכבת מקבוצה מושלמת (אולי ריקה) ומאוסף בן מנייה של נקודות. כיוון שהעוצמה של כל קבוצה מושלמת לא ריקה היא עוצמת הרצף, מתקבלת שקבוצה סגורה אינה יכולה להוות סתירה להשערת הרצף. את התוצאה הזו ניתן להרחיב לכל קבוצת בורל - קבוצת בורל שאינה בת מניה תכיל תת-קבוצה מושלמת ולכן עוצמתה תהיה עוצמת הרצף. זו תוצאה של משפט עמוק יותר של דונלד מרטין - כל המשחקים על קבוצות בורל מוכרעים.
את קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים אפשר לזהות (טופולוגית) עם קבוצת קנטור, המוכלת בממשיים. קבוצת החזקה מציעה הגדרות לכמה עוצמות סטנדרטיות. כל תת-קבוצה אינסופית של הטבעיים אפשר לסדר כסדרה עולה. מסמנים formula_14 אם formula_15 לבסוף (כלומר עבור formula_12 גדול מספיק). עבור יחס הסדר הזה, formula_17 היא העוצמה המינימלית של תת-קבוצה לא חסומה של סדרות; ו-formula_18 היא העוצמה המינימלית של תת-קבוצה דומיננטית של סדרות (כלומר קבוצה שלכל סדרה עולה, יש בה סדרה גדולה ממנה). ידוע ש-formula_19, כאשר formula_20 היא עוצמת הרצף. קיומם של שוויונות בשרשרת הזו תלוי באקסיומות הנוספות לתורת הקבוצות.
קדנצה
קדנצה הוא שמן של תבניות מוזיקליות שונות, שמקובל להבחין ביניהן לפי שמן הלועזי השונה cadence ו-cadenza.
סירופ
בבישול, סִירוֹפְּ (מלטינית siropus במקור מערבית שראב شراب =משקה), או בעברית שִׁירוֹב הוא נוזל צמיג עבה, המכיל כמות גדולה של סוכרים מומסים, שאינו נוטה להתגבש. הצמיגות נובעת מקשרי מימן מרובים בין הסוכר המומס, שלו קבוצות הידרוקסיל (OH) מרובות, ובין המים.
נהוג לכנות בשם סירופ כל נוזל שיורי צמיג המכיל בתמיסה חומרים שאינם רק סוכרים.
סירופ ברוקחות.
תרופות מסוימות נלקחות כשהן מהולות בסירופ. לעיתים משום שהאדם שלוקח את התרופה אינו מסוגל לקחת את התרופה בצורה של גלולות או כמוסות, עקב גילו הצעיר או עקב בעיות פיזיולוגיות או פסיכולוגיות שמונעות ממנו נטילת כדורים. לעיתים זוהי צורת התרופה היעילה יותר כדוגמת סירופ נגד שיעול.
הסירופ שבשימוש כבסיס לתרופות מורכב מתמיסה מרוכזת או רוויה של סוכר טהור במים מזוקקים. על פי הפרמקופיאה (ספר הכנת התרופות) הבריטית מכינים סירופ פשוט syrup simple BP על ידי המסת קילוגרם אחד של סוכר מנופה ב 500 סמ"ק של מים מזוקקים, והוספת מים מזוקקים רותחים עד למשקל כולל של 1.5 קילוגרם. המשקל הסגולי של הסירופ צריך להיות 1.33. זוהי תמיסה של 66° בריקס (אחוז החומר היבש בנוזל, מסומן °Bx). קיימים סירופים פשוטים נוספים, למשל syrup simple NF המרוכז יותר מהסירופ BP.
את הטעמים לסירופ נוהגים להוסיף על ידי הוספת חומרי טעם לסירופ הפשוט. לדוגמה, את הסירופ הקרוי syrupus aromaticus מייצרים על ידי הוספת כמויות מסוימות של תמצית תפוז וקינמון לסירופ הפשוט.
תרופות רבות קיימות באופן מסחרי רק בצורת טבליות או קפסולות, וזאת משום שלחברות התרופות אין סיבה כלכלית לפתח אותן בסירופ. הכנת סירופ של תרופות שאינן קימות בצורת מתן זו באופן מסחרי נעשה בבית מרקחת על ידי רוקח מומחה (באנגלית compounding pharmacist). בתכנון הכנת סירופ יש לבחון את יציבות התרופה בנוזל הסירופ, האפשרות להרחפת או המסת התרופה בנוזל באופן אחיד (הומוגני) ושימוש בחומרים משמרים. במקרים פשוטים מכינים את הסירופ הרפואי על ידי הוספת התרופה או המסתה בסירופ פשוט, במקרים אחרים יש להתאים את חומציות הנוזל, להוסיף חומרי הרטבה, חומרים מרחיפים וחומרים משמרים.
דקוטה פנינג
האנה דקוטה פנינג (באנגלית: Hannah Dakota Fanning; נולדה ב-23 בפברואר 1994) היא שחקנית קולנוע וטלוויזיה אמריקאית.
ביוגרפיה.
פנינג נולדה בקוניירס, ג'ורג'יה שבארצות הברית, למשפחה מרקע נוצרי-בפטיסטי. הוריה הם הת'ר ג'וי (לבית ארינגטון), שחקנית טניס מקצוענית לשעבר, וסטיבן ג' פנינג, סוכן מכירות. סבה הוא שחקן הפוטבול המקצועני לשעבר ריק ארינגטון. אחותה הצעירה היא השחקנית והדוגמנית אל פנינג.
ביוני 2011, פנינג סיימה את לימודיה בבית הספר התיכון קמפבל הול הממוקם בשכונת סטודיו סיטי, קליפורניה, שם הייתה גם חברה בקבוצת המעודדות ונבחרה פעמיים למלכת השיבה הביתה. מיד לאחר מכן החלה ללמוד בבית הספר ללימודים פרטניים באוניברסיטת ניו יורק וסיימה שם את לימודיה בשנת 2014, שם התמחתה בין היתר בלימודי נשים, תוך התמקדות בהצגת נשים בתרבות ובקולנוע בפרט.
קריירה.