בעיית קפלר היא בעיה פיזיקלית המבקשת למצוא את המסלול שבו נעים שני גופים, כאשר פועל עליהם רק כוח אחד - כוח הדדי שעוצמתו יורדת עם ריבוע המרחק (כוח ריבועי הפוך), דוגמת כוח הכבידה או הכוח החשמלי.
בעיה זו, שהיא מקרה פרטי של בעיית שני הגופים, היא אחת הבעיות החשובות בפיזיקה. היא מופיעה למשל בתיאור התנועה של כוכב לכת יחיד סביב כוכב, או בתיאור תנועת האלקטרון והפרוטון באטום המימן לפי המודל הקלאסי. בעיית קפלר היא בין הבעיות הבודדות במכניקה הניתנות לפתרון באופן מדויק, וזאת במגוון דרכים.
הבעיה קרויה על שם האסטרונום הגרמני יוהאנס קפלר, אשר 'גילה' את פתרון הבעיה בעזרת ניתוח תצפיות של תנועת גרמי השמים. מאוחר יותר ניסח אייזק ניוטון את חוקי ניוטון ואת חוק המשיכה האוניברסלי, בעזרתם ניתן לקבל את החוקים שניסח קפלר באופן תאורטי מעקרונות יסודיים יותר. ערך זה עוסק בניתוח מתמטי של בעיית קפלר במכניקה קלאסית וקבלת חוקי קפלר באופן תאורטי מתוך חוקי ניוטון. תיאור מפורט של חוקי קפלר מופיע בערך חוקי קפלר.
ניתוח מתמטי של בעיית קפלר וקבלת חוקי קפלר מחוקי ניוטון.
בעיית קפלר היא בעיה דו-גופית, המערבת שני גופים שמסתם formula_1 הנמצאים במיקום formula_2. הגופים מפעילים זה על זה כוח ריבועי הפוך, כלומר גוף אחד מפעיל על הגוף השני כוח מן הצורה formula_3, כאשר:
כיוון שמדובר בבעיה דו-גופית, מרכז המסה של שני הגופים נע במהירות קבועה, ועל ידי שימוש במערכת מרכז המסה ניתן להתעלם ממנו ולטפל רק בתנועה היחסית של גוף אחד יחסית לשני סביב מרכז המסה. משוואת התנועה של הקואורדינטה היחסית formula_11 (מיקום הגוף הראשון יחסית לשני) היא:
formula_12
כאשר formula_13 היא המסה המצומצמת, ונקודה עילית מסמנת גזירה לפי הזמן.
המשוואה האחרונה היא משוואת תנועה של גוף בעל מסה m הנע בהשפעת כוח מרכזי, ולפיכך:
formula_17
formula_18
כאשר formula_19 היא האנרגיה הקינטית (של תנועה בכיוון הרדיאלי ותנועה סיבובית), ו-formula_20 היא האנרגיה הפוטנציאלית.
החוק השני של קפלר.
החוק השני של קפלר גורס כי הקו המחבר בין השמש וכוכב הלכת (הווקטור formula_21) מכסה שטחים שווים בפרקי זמן שווים.
חוק זה נובע באופן ישיר משימור התנע הזוויתי:
בפרק זמן קצר formula_22 הווקטור formula_21 עובר זווית formula_24 [ציור 1]. השטח שכיסה הווקטור בזמן זה הוא
formula_25 (שטח של גזרה ברדיוס formula_5 ובזווית formula_24).
המהירות בה הווקטור מכסה שטח היא לפיכך:
formula_28
כלומר מן העובדה שהתנע הזוויתי קבוע נובע כי המהירות בה הווקטור formula_21 מכסה שטחים קבועה ובפרקי זמן שווים הוא יכסה שטחים שווים.
יש לציין כי כיוון שהחוק השני של קפלר מסתמך אך ורק על שימור תנע זוויתי, הוא נכון לכל כוח מרכזי ולא ייחודי לבעיית קפלר.
מסלול התנועה - החוק הראשון של קפלר.
את מסלול התנועה, formula_30, ניתן למצוא במספר דרכים. אחת הפשוטות בהן היא שימוש במשוואת שימור האנרגיה (2). על ידי ארגון מחדש של אברי המשוואה ניתן להפריד משתנים ולקבל:
formula_31
נחליף משתנה בשני אגפי המשוואה. באגף שמאל:
formula_32
ובאגף ימין נגדיר formula_33. כך נקבל:
formula_34
כעת, ניתן לבצע אינטגרציה לשני האגפים. באגף שמאל האינטגרציה טריביאלית, ובאגף ימין האינטגרל הוא מן הצורה:
formula_35
שימוש בנוסחה זו עבור ערכי a,b,c המתאימים:
(formula_36),
נותן:
formula_37
כאשר formula_38 קבוע אינטגרציה, אותו ניתן לקבוע כאפס על ידי סיבוב מערכת הצירים.
כעת, ניתן לחלץ את formula_39 ולקבל ממנו את formula_40:
formula_41
או באופן יותר קומפקטי:
formula_42
עם הקבועים:
formula_43
המשוואה formula_44 היא משוואה כללית של חתך קוני עם אקסצנטריות formula_45, וניתוח גאומטרי שלה נותן את צורת המסלולים האפשריים [ציור 2] כתלות באנרגיה ובתנע הזוויתי (תנאי התחלה):
הערות.
אופי המסלול נקבע על פי האנרגיה. ניתן לקבל את אופי המסלול מהתבוננות בגרף של הפוטנציאל האפקטיבי formula_46 [ציורים 3,4]. הגוף יכול לנוע רק בתחום בו האנרגיה הקינטית שלו גדולה או לחלופין: formula_47. באיור מסומן התחום בו בגוף נע עבור ערכים שונים של האנרגיה שלו.
עבור formula_48 ערכי formula_5 המותרים מקיימים formula_50 (הקו הכחול בציור 3). במקרה זה המסלול חסום (שני הגופים תמיד נמצאים במרחק סופי זה מזה), ובמקרה שלנו המסלול הוא אליפטי. אם formula_15 שווה לערך המינימלי של הפוטנציאל האפקטיבי (הנקודה הסגולה בציור 3) ל-formula_5 יש ערך מותר יחיד. דבר זה מתאים למסלול מעגלי בו המרחק קבוע.
עבור formula_53, ערכי formula_5 המותרים מקיימים formula_55. במקרה זה המסלול אינו חסום (הגופים מתרחקים למרחק אינסופי זה מזה). במקרה שלנו, המסלול יהיה פרבולי אם formula_56 (הקו הירוק בציור 3) והיפרבולי אם formula_57 (הקו האדום בציור 3 או 4).
אם בין שני הגופים פועל כוח דחייה (דוגמת הכוח החשמלי בין שני מטענים שווי סימן) ניתן לקבל רק מסלולים היפרבוליים. עבור כוח משיכה ניתן לקבל את כל סוגי המסלול כתלות באנרגיה. בפרט, ניתן לקבל מצב קשור, בו הגופים סמוכים זה לזה ולא מתרחקים למרחק אינסופי, עבור כוח מושך.
התנע הזוויתי משפיע על הצורה המדויקת של המסלול. כך לדוגמה, הפריהליון (המרחק המינימלי בין שני הגופים) הוא:
formula_58
התנע הזוויתי מונע מן הגופים להתקרב למרחק אפס זה מזה (ה"כוח הצנטריפוגלי" דוחה את הגופים) ויחד עם האנרגיה קובע את המרחק המינימלי האפשרי. המרחק הנ"ל הוא המרחק בין מרכזי המסה של שני הגופים. כך לדוגמה אסטרואיד הנע בסמוך לשמש יתנגש בה אם formula_59 המתאים למסלולו קטן מרדיוס השמש.
כמו כן אם התנע הזוויתי שווה לאפס, הפתרון שתואר בסעיף הקודם אינו תקף, והגופים יתקרבו או יתרחקו זה מזה בקו ישר.
ניתוח מפורט יותר של המקרה האליפטי יופיע בהמשך.
מסלול שני הגופים והחוק הראשון של קפלר.
הפתרון שקיבלנו הוא עבור הקואורדינטה היחסית בין שני הגופים. בעזרתו ניתן להביע את מסלול התנועה של שני הגופים במערכת מרכז המסה באופן הבא:
formula_60
ומכאן שצורת מסלול תנועת כל אחד מהגופים (סביב מרכז המסה) דומה לצורת המסלול שקיבלנו. ההבדל היחיד הוא סקלת האורך של המסלול הנקבעת על פי הגורמים formula_61 התלויים ביחס בין המסות של שני הגופים.
עבור תנועת כוכבי הלכת סביב השמש, כיוון שמסת השמש גדולה בהרבה ממסת כוכבי הלכת, formula_62, מתקיים עבור השמש formula_63 ועבור כוכב הלכת formula_64. כלומר, השמש כמעט ואינה נעה, מיקומה מתלכד (בקרוב) עם מיקום מרכז המסה וכוכב הלכת מקיף אותה במסלול אליפטי. זהו החוק הראשון של קפלר.
דרכים נוספות למציאת המסלול.
כאמור, את מסלול התנועה עבור בעיית קפלר ניתן למצוא במגוון דרכים בנוסף לדרך שהוצגה כאן. דרכים אלו כוללות:
המקרה האליפטי והחוק השלישי של קפלר.
מן המשוואה formula_44 ניתן לקבל את מאפייני המסלול האליפטי (ציור 6):
זמן המחזור - החוק השלישי של קפלר.
את זמן המחזור של המסלול ניתן לחשב בעזרת העובדה כי הווקטור formula_21 מכסה את שטח האליפסה במהירות שווה (החוק השני של קפלר): formula_71. כיוון ששטח האליפסה הוא formula_72, הזמן שייקח לווקטור formula_21 להשלים הקפה ולכסות את כל שטח האליפסה יהיה:
formula_74
או לחלופין:
formula_75
כלומר, ריבוע זמן המחזור פרופורציוני לחזקה השלישית של מחצית הציר הראשי של האליפסה. זהו החוק השלישי של קפלר.
יש לציין כי מקדם הפרופורציה, formula_76, תלוי במסה של שני הגופים. עבור כוח הגרביטציה formula_77 ומקדם הפרופורציה הוא formula_78. במקרה של תנועת כוכבי הלכת סביב השמש, מסת השמש גדולה בהרבה ממסת כוכבי הלכת, formula_62, ומקדם הפרופורציה יהיה בקירוב formula_80, שווה עבור כל כוכבי הלכת.
הייחוד של בעיית קפלר לעומת בעיה דו-גופית כללית.
בעיית קפלר, בניגוד לבעיה דו-גופית כללית, ניתנת לפתרון מלא באופן אנליטי ופתרונה ניתן לביטוי על ידי פונקציות אלמנטריות. גם אופי המסלולים ייחודי ביחס לבעיה כללית, בכך שהמסלולים החסומים המתקבלים, שצורתם אליפסה, אף סגורים (מסלול ה'נסגר' על עצמו, בו הגוף חוזר על עקבותיו באופן מחזורי) עבור כל תנאי התחלה. על פי משפט ברטראן, תכונה זו ייחודית לכוח ריבועי הפוך, formula_81, ולכוח הרמוני מן הצורה formula_82. כל סטייה קלה של הכוח (או הפוטנציאל) מן הצורות הנ"ל, תגרום למסלול הגנרי לשנות את אופיו (ציור 7). כך לדוגמה הכוחות שמפעילים כוכבי הלכת השונים זה על זה ואפקטים יחסותים, גורמים שהכוח הפועל על כוכבי הלכת אינו באמת כוח ריבועי הפוך. עובדה זו גורמת לנקיפה של המסלולים האליפטיים של כוכבי הלכת.
תכונה זו של המסלולים בבעיית קפלר, קשורה קשר הדוק לגודל שמור נוסף הקיים עבור בעיה זו - וקטור לפלס-רונגה-לנץ. וקטור זה מוגדר על ידי: formula_83, וניתן להראות שהוא מכוון לאורך הציר הראשי של האליפסה. כיוון שהווקטור קבוע, גם כיוון הציר הראשי של האליפסה קבוע - היא אינה מבצעת נקיפה.
עובדת קיומו של גודל שמור נוסף בבעיית קפלר, מעידה על הסימטריה המיוחדת שיש לבעיה זו. בעיה דו-גופית כללית עם כוח מרכזי כללי, אינווריאנטית תחת טרנספורמציות סיבוב של המרחב התלת הממדי - חבורת הסימטריה formula_84. בעיית קפלר, לעומת זאת, אינווריאנטית תחת טרנספורמציות של חבורה גדולה יותר - formula_85.
שותפות לשלום