שיטת הנראות המקסימלית (או הנראות המרבית) היא שיטה נפוצה בסטטיסטיקה להתאמת מודל סטטיסטי לנתונים, כלומר היא משמשת במסגרת אמידה פרמטרית למציאת אומד לפרמטר המאפיין את המודל. למשל, במקרה שבו נתון שמשתנה מקרי הוא בעל התפלגות נורמלית אלא שהתוחלת שלו אינה ידועה, גישה זו מספקת דרך למציאת אומדן לתוחלת.
באופן אינטואיטיבי הגישה אומרת שכדי לנבא היטב את הפרמטר האמיתי על-סמך מדגם מקרי מסוים, יש לבדוק איזה פרמטר מתוך כל האפשרויות הוא זה ש"יסביר" בצורה הטובה ביותר את המדגם. כלומר אומד הנראות המרבית הוא הפרמטר שאילו היינו מציבים בפונקציית ההתפלגות מראש, הוא היה נותן את ההסתברות הגבוהה ביותר לקבל את המדגם שאכן התקבל, ובכך ממקסם את פונקציית הנראות.
מקובל לסמן את הנראות המקסימלית באותיות MLE, ראשי תיבות של "Maximum Likelihood Estimation".
פונקציית הנראות.
נניח כי formula_1 מדגם בלתי תלוי המפולג עם פונקציית הצפיפות formula_2 (כל הדוגמאות שוות התפלגות), ונניח שהדוגמאות בלתי תלויות. פונקציית הנראות (likelihood; מסומנת לעיתים כ-formula_3) של המדגם היא הצפיפות המשותפת:
formula_4
formula_5 הוא פרמטר (או פרמטרים) של המודל או של פונקציית הצפיפות.
לעיתים נעשה שימוש בנראות הממוצעת formula_6 המציינת את תוחלת הנראות לדוגמה יחידה.
אומד הנראות המרבית.
נרצה למצוא את הערך שממקסם את פונקציית הנראות (formula_7), הנקרא אומד הנראות המרבית. נהוג להשתמש בלוגריתם שאיתו בדרך כלל נוח יותר לעבוד (הודות לגזירה פשוטה יותר וליציבות נומרית), ומאחר שהלוגריתם הוא פונקציה מונוטונית עולה, הערך שימקסם את לוג הנראות (log-likelihood) ימקסם גם את הנראות. למציאת הערך המרבי נשתמש ב-formula_8, נגזור ונשווה לאפס:
formula_9
מתוך המשוואה המתקבלת מחלצים את ערך הנעלם formula_5, והוא זה שממקסם את פונקציית הנראות. ערך זה הוא אומד הנראות המרבית לפרמטר הנאמד formula_5.
דוגמאות.
התפלגות נורמלית.
בהנחה שגובהן של ג'ירפות מתפלג נורמלית, ניתן לאמוד את ערך התוחלת והשונות באמצעות נראות מקסימלית על מדגם הג'ירפות שבגן החיות, שכן אין באפשרותנו למדוד את גובהן של כל הג'ירפות בעולם. אם נניח כי הג'ירפות בגן החיות מהוות מדגם מקרי של n ג'ירפות מאוכלוסיית הג'ירפות בעולם, formula_12, נוכל לאמוד את הפרמטרים formula_13 ו-formula_14 (התוחלת והשונות) של ההתפלגות באמצעות אומדי נראות מקסימליים כלהלן.
עבור התוחלת:
ועבור השונות:
כאשר formula_17 הוא ממוצע המדגם.
התפלגות אחידה.
במקרה שבו קלפים ממוספרים 1 עד n מוכנסים לתיבה ואחד נבחר בהתפלגות אחידה; ובהתאם גודל הדגימה הוא 1. אם n אינו ידוע, אומד הנראות המקסימלית שלו formula_18 הוא המספר m הכתוב על הקלף שנבחר (ההסתברות ש-n הוא קטן מ־m היא אפס, עבור formula_19 ההסתברות היא formula_20, והיא הגבוהה ביותר כאשר formula_21). התוחלת של הוצאת הקלף m, ובהתאם התוחלת של formula_18 היא formula_23. מסיבה זו עבור דגימה בגודל 1, אומד הנראות המרבית ל-n יעריך (בתוחלת) את n פחות ממה שהוא בformula_24.
יישומים.
אומד נראות מקסימלית משמש למגוון רחב של מודלים סטטיסטיים, כולל:
שימושים אלה עולים במגוון רחב של תחומים, כגון:
אומד נראות מקסימלית
אומד נראות מרבית
גטו לחווא
גטו לחווא (בפולנית: Łachwa) היה גטו שהתקיים בין קיץ 1941 לקיץ 1942 סמוך לעיירה לחווא בפולין הכבושה (עד ל-1939 ברפובליקה הפולנית השנייה; מאז 1991 בבלארוס).
גטו זה היה מראשוני הגטאות (וכנראה הראשון) שהתמרדו כנגד הנאצים בתקופת השואה.
היסטוריה.
הכוחות הגרמניים כבשו את לחווא ב-8 ביולי 1941, שבועיים לאחר תחילת מבצע ברברוסה. בעיר הוקם יודנראט בראשות המנהיג הציוני דב לופטין (Lopatyn). ב-1 באפריל 1942 הועברו יהודי העיר לגטו, שהכיל רק שני רחובות ו-45 בתים, והוקף גדר תיל. בגטו שוכנו כ-2,350 בני אדם, בצפיפות של מטר רבוע עבור כל תושב.
השמועות על מעשי הטבח ברחבי האזור התפשטו אל לחווא, והצעירים היהודים אורגנו במחתרת בהנהגתו של יצחק רוחצ'ין (Rochczyn), ראש קבוצת בית"ר המקומית. בסיועו של היודנראט, הצליחה המחתרת לאסוף סכינים ומוטות ברזל, אך המאמצים לצבור נשק לרוב לא צלחו.
עד אוגוסט 1942 היו היהודים בלחווא מודעים לחיסולם של הגטאות הסמוכים, בעיירות לוניניץ ומיקשביץ (מיקאשאוויצ'ה), וב-2 בספטמבר נודע להם כי חקלאים מקומיים הצטוו לחפור בורות מחוץ לעיר בהוראת הנאצים. מאוחר יותר באותו יום, 150 חיילי האיינזצגרופן ו-200 שוטרים מקומיים הקיפו את הגטו. רוחצ'ין ואנשי המחתרת רצו לתקוף את גדר הגטו בחצות על מנת לאפשר לאוכלוסייה לברוח, אך אחרים סירבו לעזוב את הקשישים והילדים. ראש היודנראט לופטין ביקש כי הפעולה תידחה לבוקר. ב-3 בספטמבר הודיעו הגרמנים ללופטין כי הגטו עומד להתחסל והורו להכין את תושביו לגירוש. על מנת להבטיח את שיתוף הפעולה של מנהיגי הגטו, הבטיחו לו כי חברי היודנראט, רופא הגטו ו-30 עובדים, שאותם יוכל לבחור, יינצלו מהגירוש. לופטין סירב להצעה, ומסר בתגובה "או שכולנו נחיה, או שכולנו נמות".
כאשר נכנסו הגרמנים לגטו, התקיף לופטין באש את מפקדת היודנראט, וזה היה האות להתחלת המרד. מבנים נוספים התקיפו באש, וחברי המחתרת תקפו את הגרמנים שנכנסו לגטו באמצעות גרזנים, מקלות, בקבוקי תבערה ובעזרת ידיהם החשופות. קרב זה ייצג את מרד הגטאות הראשון של המלחמה.
כ-650 יהודים נהרגו בלחימה או באש הלהבות, ועוד כ-500 נלקחו אל הבורות החפורים ונורו שם. שישה חיילים גרמנים ושמונה שוטרים גרמנים ואוקראינים נהרגו. גדר הגטו נפרצה, וכ-1,000 יהודים הצליחו לברוח, מתוכם כ-600 הצליחו לתפוס מחסה בביצות פריפיאט. רוחצ'ין נורה ונהרג כשקפץ לתוך נהר. על אף שעל פי ההערכות 120 מהבורחים הצליחו להצטרף לפרטיזנים, מרבית האחרים אותרו ונהרגו. כ-90 מתושבי הגטו שרדו את המלחמה.
לופטין הצטרף ליחידת פרטיזנים קומוניסטים, ונהרג על ידי מוקש ב-21 בפברואר 1944. לחווא שוחררה על ידי הצבא האדום ביולי 1944.
העלייה מחבר המדינות בשנות ה-90
הכללית
ג'ודי בראון
ג'ודית "ג'ודי" לין בראון קינג (באנגלית: Judith "Judi" Lynne Brown-King; נולדה ב-14 ביולי 1961) היא אתלטית עבר מארצות הברית. היא סגנית אלופה אולימפית בריצת 400 מטר משוכות (לוס אנג'לס 1984).
ביוגרפיה.
בראון נולדה במילווקי, ויסקונסין.
בפעם הראשונה שנערכה ריצת 400 מטר משוכות לנשים, במשחקים האולימפיים זכתה בראון באולימפיאדת לוס אנג'לס (1984) במדליית כסף בתוצאה של 55.20 שניות, אחרי נוואל אל מותוואקל ממרוקו (54.61 שניות).
בראון זכתה פעמיים במדליית זהב במשחקים הפאן-אמריקאיים, וזכתה תריסר פעמים באליפות Big Ten באתלטיקה קלה. ב-1987 היא נבחרה לספורטאית השנה של ספורטס אילוסטרייטד בידי כתב העת ספורטס אילוסטרייטד עבור תרומתה לקהילה.
בראון מחזיקה בשני תארים מאוניברסיטת מדינת מישיגן, תואר ראשון בתורת השמיעה (Audiology) ומדעי הדיבור (Speech science), ותואר שני בחינוך. היא מחזיקה בדוקטורט במנהל ציבורי ובמדיניות ציבורית מאוניברסיטת מערב מישיגן, אותה היא סיימה בהצטיינות. היא גם פעילה בEven Start Statewide Family Literacy Consortium (תוכנית במימון פדרלי של ארצות הברית שמספקת למשפחות גישה לאימונים ולתמיכה על מנת ליצור סביבה ביתית משכילה ולהגדיל את ההישגים האקדמיים של ילדיהם) של מישיגן.
דיוויד קוק
דיוויד נילמן
דיוויד גואטה
דיוויד השני, מלך סקוטלנד
דיוויד רודישה
דיוויד ג'ונסטון
דיוויד מקולי
דיוויד וורן
דיוויד לה-שאפל
דיוויד נייט
דיוויד הייד פירס
דיוויד סמית
דיוויד מרטין
אגד בת גלים
דיוויד
אוניברסלי
מלאכת חורש
מְלֶאכֶת חוֹרֵשׁ היא אחת מל"ט מלאכות האסורות בשבת. עניינה עיבוד הקרקע, יפויהּ והכשרתה לזריעה. שיעורה כל שהוא.
כמו כל מלאכות שבת, חרישה נחשבת למלאכה בגלל חלקה בהקמת המשכן כמתואר במקרא: היו חורשים את הקרקע כדי לגדל בה צמחים להכנת סממני הקטורת ושמן המשחה, וצבעים צמחיים לצביעת יריעות המשכן.
הגדרת המלאכה.
מתולדותיה של המלאכה, חפירת בור (שלא בתוך בניין), סיקול שדה מאבנים וכל פעולה המכשירה את הקרקע לזריעה. פעולות אלו נחשבות לתולדותיה של מלאכת חורש, שכן כמו שחרישה מכשירה את הקרקע לזריעת הצמחים, גם הן מכשירות את פני הקרקע לזריעה - בעקיפין.
כוונת המלאכה המקורית היא להשתמש בבור הנוצר, ולא בעפר. החופר על מנת להשתמש בעפר, זוהי מלאכה שאינה צריכה לגופה, ונחלקו בה חכמים האם היא מדאורייתא או מדרבנן.
איסורים נוספים דרבנן הנובעים ממלאכה זו: עשיית צרכים בשדה חרוש, משחק בגולות באזור שאינו מרוצף.
גרירת חפצים על האדמה.
מחלוקת המוזכרת פעמים מספר במסכת שבת, היא המחלוקת בין רבי יהודה לרבי שמעון על אדם הגורר ספסל או שולחן על העפר, באופן שייתכן שיגרם חריץ, אם כי אין הדבר פסיק רישיה (לא בטוח שיגרם חריץ), לפי רבי יהודה אף כי אין בכך כוונה ליצור תלם, אין לגרור ספסל על הקרקע שמא יגרם חריץ, רבי שמעון אומר שדבר שנעשה ללא כוונה מותר, מותר לגרור ספסל קל שלא בהכרח שיגרם חריץ על ידי גרירתו.