באלגברה ליניארית, מטריצה ממשית סימטרית A היא מטריצה חיובית (positive) אם התבנית הריבועית formula_1 היא חיובית, כלומר אם formula_2 לכל וקטור (ממשי) formula_3. המטריצה formula_4 היא חיובית לחלוטין (positive definite; בשימוש גם הביטוי השגוי "מטריצה מוגדרת חיובית") אם התבנית חיובית לחלוטין: formula_5 לכל formula_6 (זו כמובן תכונה חזקה יותר).
התכונה המקבילה לסימטריות עבור מטריצות מרוכבות, היא תכונת ההרמיטיות. מטריצה הרמיטית מרוכבת היא חיובית אם לכל וקטור (מרוכב) formula_3 מתקיים formula_8, וחיובית לחלוטין אם לכל וקטור formula_6 מתקיים formula_10. תנאים אלה שקולים לכך שכל הערכים העצמיים של המטריצה יהיו ממשיים וחיוביים (ובהתאמה, חיוביים ממש), ומשום כך מטריצות חיוביות מתנהגות מהרבה בחינות כמו מספרים ממשיים חיוביים. לדוגמה, מטריצה formula_11 בגודל formula_12 היא הרמיטית רק כאשר formula_13 ממשי. המטריצה חיובית אם formula_14, וחיובית לחלוטין אם formula_15.
תכונות של מטריצות חיוביות וחיוביות לחלוטין.
אוסף המטריצות החיוביות סגור לחיבור ולכפל בסקלר חיובי. כך גם אוסף המטריצות החיוביות לחלוטין. בנוסף לזה, מטריצה חיובית היא חיובית לחלוטין אם ורק אם 0 אינו ערך עצמי שלה, כלומר אם ורק אם היא הפיכה. לבסוף, ההפכית של מטריצה חיובית לחלוטין גם היא חיובית לחלוטין. שני האוספים סגורים גם לפעולה formula_16.
מאחר שכל הערכים העצמיים של מטריצה חיובית הם חיוביים, מתקבל כי אם formula_17 מטריצה חיובית אז formula_18 ו-formula_19. מעבר לכך, אם formula_20 מטריצות חיוביות מתקיים כי formula_21.
כאמור, מטריצה הרמיטית M היא חיובית אם לכל formula_22 מתקיים formula_23. על ידי הפרדת הווקטור z לרכיב ממשי ורכיב מדומה אפשר לראות שמספיק לבדוק את תכונת החיוביות לווקטורים ממשיים formula_24.
אם formula_25 חיוביות אז גם מכפלת הדמר formula_26 חיובית; זהו "משפט המכפלה של שור".
קריטריון לבדיקה האם מטריצה היא חיובית הוא קריטריון סילווסטר ().
פירוק של מטריצה חיובית.
כידוע, לכל מספר מרוכב formula_27, הנורמה המרוכבת formula_28 היא מספר ממשי חיובי. ההכללה של עובדה פשוטה זו למטריצות קובעת שלכל מטריצה (מרוכבת) formula_29, המטריצה formula_30 היא חיובית; אם formula_29 הפיכה, אז formula_32 חיובית לחלוטין. &lt;br&gt;
בעזרת משפט הלכסון האוניטרי, אפשר להראות שגם ההפך נכון: כל מטריצה חיובית formula_32 אפשר לפרק בצורה formula_30 עבור מטריצה formula_29 מתאימה. יתרה מזו, אם formula_32 (סימטרית) ממשית, אפשר לדרוש שגם formula_29 תהיה ממשית. בדרך דומה אפשר להוכיח גם ש(כמו במספרים ממשיים חיוביים) אם formula_32 חיובית, אז לכל n טבעי קיימת מטריצה חיובית formula_39 כך ש- formula_40.
הקשר למרחבי מכפלה פנימית.
במרחב מכפלה פנימית, טרנספורמציה הרמיטית T היא חיובית אם formula_41 לכל וקטור x, וחיובית לחלוטין אם formula_42 לכל וקטור formula_43. הגדרה זו מתיישבת עם ההגדרה עבור מטריצות, אם בוחרים כמרחב המכפלה הפנימית את formula_44 (או formula_45), עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית, ורואים את המטריצה A כטרנספורמציה formula_46 של כפל ב- A.
במרחב formula_47, התבנית formula_48 היא הרמיטית אם ורק אם המטריצה הרמיטית, והיא מכפלה פנימית אם ורק אם M מטריצה חיובית לחלוטין. גם ההפך נכון: כל מכפלה פנימית במרחב V ניתנת להצגה כזו על ידי מטריצה חיובית לחלוטין.
שימושים באנליזה.
תהי formula_49 פונקציה ממשית של n משתנים, שכל נגזרותיה החלקיות מסדר שני הן רציפות. תנאי זה מבטיח שמטריצת ההסיאן שלה formula_50 (דהיינו מטריצת הנגזרות השניות) תהיה מטריצה סימטרית (בגודל formula_51). תנאי הכרחי לכך שנקודה formula_52 תהיה נקודת קיצון, הוא שכל הנגזרות החלקיות יתאפסו, כלומר הגרדיאנט הוא אפס formula_53. במקרה זה, הפיתוח לטור טיילור מראה שמטריצת ההסיאן formula_54 קשורה קשר הדוק להתנהגות של הפונקציה בסביבות הנקודה: אם formula_55 חיובית לחלוטין, אז formula_52 מינימום מקומי במובן החזק (כלומר: קיימת סביבה של formula_52, שבה formula_58 לכל formula_59). ואם formula_52 מינימום מקומי במובן החלש (כלומר: קיימת סביבה של formula_52, שבה formula_62 לכל formula_63), אז formula_55 היא מטריצה חיובית. הכיוון ההפוך אינו נכון בשני המקרים.
מינורים.
המתמטיקאי הגרמני קרל גוסטב יעקב יעקובי מצא דרך לבדוק את החיוביות של מטריצה בעזרת המינורים הראשיים שלה: מטריצה formula_55 היא חיובית לחלוטין אם ורק אם כל המינורים הראשיים שלה חיוביים. על ידי הצמדה במטריצת תמורה, נובע מכאן שאם כל המינורים הראשיים חיוביים, אז "כל" המינורים חיוביים. (לתכונות נוספות, ראו משפט יעקובי על שקילות למטריצה אלכסונית).
הדטרמיננטה של מטריצה חיובית לחלוטין formula_55 מקיימת את "אי-שוויון פישר", שגילה E. Fischer ב-1908: formula_67. כאן formula_68 הוא המינור המתקבל ממחיקת כל השורות והעמודות שאינן בקבוצת האינדקסים formula_69, ו-formula_70 הוא המשלים של הקבוצה formula_69. אי-שוויון זה מכליל אי-שוויון מפורסם אחר, שגילה אדמר ב-1893: formula_72.
מושגים קרובים.
בדומה לתכונת החיוביות, אומרים שמטריצה הרמיטית היא מטריצה שלילית אם כל הערכים העצמיים שלה שליליים, ושלילית לחלוטין אם הערכים העצמיים שליליים ושונים מאפס. מטריצה (הרמיטית) שיש לה ערכים עצמיים חיוביים ושליליים, אינה מוחלטת (indefinite).
בשל הקרבה בין המונח האנגלי definite לשורש define, יש שקוראים למטריצה חיובית לחלוטין "מוגדרת חיובית", ולמטריצה שאינה מוחלטת, "לא מוגדרת".
בניתוח של מטריצות סטוכסטיות קוראים למטריצה ממשית "completely positive" אם היא חיובית לחלוטין, ויש לה פירוק בצורה formula_73 שבו כל הרכיבים של B חיוביים.
הכללה.
באלגבראות סי-כוכב, בהינתן אלגברת סי-כוכב A, אומרים שאיבר formula_74 הוא חיובי אם קיים איבר formula_75 כך ש formula_76. באופן שקול - a הוא חיובי אם ורק אם הספקטרום שלו מורכב רק מאיברים ממשיים אי שליליים.
מטריצה מוגדרת שלילית
מטריצה מוגדרת אי שלילית
מטריצה מוגדרת אי חיובית
ניו-זילנד
טיים
אופרה (דפדפן)
אופרה (באנגלית: Opera) הוא דפדפן מבית חברת Opera Software שהושק בשנת 1995. קוד התוכנה אינו קוד פתוח ואינו ניתן לשינוי על ידי מפתחים ומשתמשי קצה שאינם חלק מצוות הפיתוח של החברה הרשמית.
דפדפן האינטרנט זמין להורדה במערכות הפעלה שונות כגון: חלונות, מקינטוש, לינוקס, FreeBSD, סולאריס ועוד.
היסטוריה.
גון סטפנסון, ון טצ'נר וגייר יבארסקי מחברת הטלפונים הנורווגית טלנור, פיתחו את הדפדפן ב-1994 לשימוש ברשת מקומית של החברה. בסוף 1995 השניים הקימו את "Opera Software", לאחר שטלנור אפשרה להם להמשיך בפיתוח הדפדפן. בתחילה הדפדפן נקרא . הוא היה הדפדפן הראשון בעל סרגל צד ובעל ממשק לשוניות.
החברה התמקדה במהירות הצגת הדפים ושימוש נכון במשאבי המערכת. בנוסף, ניתן דגש על נגישות על מנת שמשתמשים בעלי מוגבלויות עדיין יוכלו לעבוד ברשת.
אופרה 6.0 תמכה ברוב הסטנדרטים של ה-W3C ו-CSS בנוסף, בתוספים של נטסקייפ וכן תקנים אחרים כגון WAP ו-WML עבור מכשירים אלחוטיים. מצד שני, התמיכה ב-ECMAScript יחד עם HTML DOM, הייתה עדיין חלקית מדי, במיוחד כאשר הדבר נגע לדפים דינמיים.
ב-20 באפריל 2006 אופרה הוציאה את גרסה 8.50 בחינם וללא פרסומות לאחר שנים שבהן הגרסה החינמית הציגה פרסומות בראש הדפדפן.
בשנת 2016, החברה שינתה בעלות כאשר קבוצת משקיעים סיניים רכשה את דפדפן האינטרנט, עסקי הצרכנים ואת המותג Opera Software ASA. ב-18 ביולי 2016 חברת אופרה הודיעה שהיא מכרה את אפליקציות הדפדפן ומרכיביו ואת המותג Opera ל-Golden Brick Capital Private Equity Fund I Limited Partnership, קונסורציום של משקיעים סיניים.
תכונות.
לאופרה ישנן תכונות נוספות: אופרה מייל (בעבר נקרא M2) - מודול דוא"ל אשר תומך בחשבונות מסוג POP, SMTP וב-IMAP. אופרה מייל מסוגלת גם להציג חדשות מסוג RSS ו-ATOM על ידי שימוש בקורא RSS פנימי. לאופרה מייל ישנה גם תמיכה בפרוטוקול הצ'אט IRC.
החל מגרסה 9 באופרה קיימת גם תמיכה בווידג'טים והורדה ישירה בביטורנט ללא צורך בתוכנות חיצוניות.
אפשרויות חיפוש.
אופרה מאפשרת חיפוש מידע ממקורות שונים, כגון: גוגל, אמזון, ebay ועוד. ניתן גם בנוסף לבצע חיפוש או תרגום של מילה או משפט ישירות מהעמוד על ידי סימון הטקסט ובחירת הפקודה המתאימה בתפריט הלחצן הימני בעכבר.
כרטיסיות-Speed Dial.
אופרה בגרסה 9.2 מאפשרת להגדיר מספר אתרים מועדפים בחיוג מהיר Speed Dial. עם פתיחת לשונית חדשה ניתן לבחור אחד מהאתרים שהוגדרו בחיוג מהיר במקום להקליד את כתובתו.
תמיכה בהורדת קובצי טורנט.
באופרה ניתן להוריד קובצי טורנט ללא צורך בתוכנה ייחודית.
תמיכה.
מאז גרסה 3.5, הייתה לאופרה תמיכה בטכנולוגיית הרשת CSS (אחד ממפתחי הטכנולוגיה הוא עובד בחברת אופרה). עד גרסה 6.0 אופרה תמכה ב-Netscape API לתוספים ותמיכה ב-WAP ו-WML עבור מכשירים אלחוטיים, אך, תמיכתה ב-ECMAScript (אשר ידוע יותר בשם JavaScript) וב-DOM הייתה בסיסית.
בינואר 2003, יצאה גרסה 7.0 של אופרה. אופרה 7 הציגה מנוע פריסת תצוגה חדש -Presto, אשר אופיין בשיפור בכל הנוגע לתמיכה ב-CSS, שפות סקריפט ו-DOM, ממשק גרפי חדש וכן ב- M2. במאי 2004, גרסה 7.5 יצאה ובה נוספו קורא RSS ולקוח IRC.
באפריל 2005, יצאה גרסה 8.0 של אופרה. באופרה 8 נוספה תמיכה ב-SVG Tiny 1.1.
אופרה הייתה הראשונה אשר הוסיפה תמיכה ב-SVG לדפדפן.