הדוגמה הפשוטה ביותר לרשת (אינסופית) היא סדרה. הדוגמה הבאה מסבירה את האפקטיביות של רשתות בטופולוגיה הכללית: עבור נקודה x במרחב טופולוגי X, נתבונן באוסף הסביבות הפתוחות של x, ביחס להכלה ההפוכה (סביבה אחת "גדולה" מרעותה אם היא מוכלת בה). זוהי קבוצה מכוונת, משום שהחיתוך של כל שתי סביבות פתוחות הוא סביבה פתוחה ("גדולה" משתי הסביבות המקוריות). לפיכך, אם בוחרים בכל סביבה U של x נקודה formula_5, מתקבלת רשת, שהנקודות שלה, כביכול, הולכות ומתקרבות אל x. את ההתכנסות של רשתות מגדירים כך שרשתות מסוג זה תתכנסנה. (דוגמה זו מציגה גם את התפקיד המפורש כמעט שמשחקת אקסיומת הבחירה בטופולוגיה כללית).
גבולות של רשתות.
אם ("x"α) היא רשת מקבוצה מכוונת D אל המרחב X, ואם U תת-קבוצה של X, אומרים שהרשת "ב-U לבסוף" אם קיים formula_6 כך שלכל formula_7 מתקיים formula_8. אומרים שהרשת מתכנסת אל x (או ש-x היא גבול של הרשת) אם לכל סביבה U של x, הרשת ב-U לבסוף.
אם נתון בסיס לטופולוגיה, הרשת ("x"α) מתכנסת לנקודה x אם ורק אם היא נמצאת לבסוף בכל קבוצת בסיס ש-x שייך אליה.
אומרים שרשת ("x"α) "נמצאת ב-U לעיתים קרובות", אם לכל formula_6 קיים formula_7 כך ש-formula_8. אם הרשת נמצאת בכל סביבה של נקודה x לעיתים קרובות, אז x דבוקה לרשת. כל נקודת גבול דבוקה לרשת, אבל ההפך אינו נכון.
תכונות.
בזכות רשת הסביבות של נקודה, ניתן לתרגם כמעט כל תכונה טופולוגית לשפת הרשתות והגבולות שלהן. להלן כמה דוגמאות מרכזיות.
משפט המכפלה של טיכונוף
רשת (מתמטיקה)
חסידות מוגלינצא
חסידות סאסרגן
משה אריה לייב שפירא
הרב משה אריה לייב שפירא (תרמ"ט, 1889 – י' סיוון תשל"ב, מאי 1972) היה ראש ישיבת תורת אמת בירושלים ורב ומו"ץ בשכונת בית ישראל בעיר.
ביוגרפיה.
נולד בירושלים לרב מאיר בנימין וגינעשא, בת הרב חיים יוסף דוד אזולאי (מצאצאי החיד"א). בצעירותו למד בישיבת עץ חיים. בנערותו היה מראשוני תלמידי ישיבת תורת אמת שנוסדה אז בחברון. נמנה עם מלוויו של רבי יוסף יצחק שניאורסון מחב"ד בביקורו בארץ ישראל בשנת תרפ"ט (1929).
בשנת תש"א (1941) התמנה לראש ישיבת תורת אמת בירושלים, ושימש בתפקידו שנים רבות. שימש גם כרב ומו"ץ בשכונת בית ישראל בעיר.
היה מעורכי כתב העת התורני "אהל תורה", יחד עם הרב גרשון לפידות, הרב שמשון אהרן פולונסקי ועוד. בשנת תשי"ז זכה בפרס הרב קוק על ספרו "טבעות זהב".
אוסקר ואלדס
אוסקר אדוארדו ואלדס דאנקוארט (בספרדית: Oscar Eduardo Valdés Dancuart; נולד ב־3 באפריל 1949 בלימה) הוא ראש ממשלת פרו לשעבר.
בשנים 1968–1972 למד ואלדס בבית ספר צבאי, ואחר כך שירת בצבא פרו. סיים את בית הספר הצבאי כמפקד תותחנים בשנת 1972. הוא מילא תפקידים בצבא משנת 1972 עד 1991 כמדריך בבית הספר הצבאי צ'ורילוס, בבית הספר הטכני של הצבא, ובבית הספר לתותחנים. ב 1991 פרש לגמלאות מהצבא בדרגת סגן אלוף. מ־28 ביולי 2011 כיהן ואלדס כשר הפנים. ב־11 בדצמבר 2011 מונה ואלדס לראש ממשלה והחליף בתפקיד את ראש הממשלה היוצא סלומון לרנר גיטיס. ב־23 ביולי 2012 סיים ואלדס את תפקידו.
המחאות ברוסיה (2011)
המחאות ברוסיה (כונתה גם מהפכת השלג) הם סדרת הפגנות ופעולות מחאה שהתקיימו ברחבי רוסיה בעקבות תוצאות הבחירות הפרלמנטריות של 2011 ברוסיה בהם ניצחה מפלגת השלטון רוסיה המאוחדת בהנהגתו של ולדימיר פוטין, את יריביה בהפרש ניכר, על אף שלטענת כלי תקשורת רבים ברוסיה, פעילים פוליטיים רבים ואנשי ציבור שונים, התבצע זיוף קולות מאסיבי מכוון. בעקבות התגברות הטענות הללו החלה תנועת מחאה המונית ברחובות ערים רבות ברחבי רוסיה.
ב-10 בדצמבר 2011, שבוע לאחר שנערכו ברחבי רוסיה הפגנות בקנה מידה קטן יחסית, התרחשה במוסקבה הפגנת המחאה הגדולה ביותר ברוסיה מאז התפרקות ברית המועצות בשנת 1991. המפגינים תבעו לערוך ספירה חוזרת של הקולות, בשל אי-סדרים חמורים שהתקיימו במהלך הבחירות ובעקבות חשד לזיופי קולות.
רקע.
הבחירות הפרלמנטריות ברוסיה לשנת 2011 התקיימו ב-4 בדצמבר 2011. כשפורסמו התוצאות הרשמיות התברר כי מפלגת השלטון רוסיה המאוחדת זכתה בכמחצית מהמושבים בדומה לעומת מעל 60% בבחירות הקודמות. מיד עם פרסום התוצאות דחו אותן המועמדים המפסידים, וטענו לזיוף מכוון של השלטון.
על פי דיווחים סוכנות הידיעות הרוסית RIA Novosti היו מעל ל-1,100 דיווחים רשמיים על אי-סדרים חמורים במהלך הבחירות לפרלמנט הרוסי שהתקיימו ברחבי רוסיה ב-4 בדצמבר 2011. חברי המפלגות רוסיה הוגנת, מפלגת יאבלוקו והמפלגה הקומוניסטית של הפדרציה הרוסית דיווחו כי היו בוחרים רבים שהוסעו במיוחד בין קלפיות שונות על מנת שיצביעו מספר פעמים. מפלגת יאבלוקו והמפלגה הליברל-דמוקרטית של רוסיה דיווחו כי היו משקיפים שלא הורשו להיות נוכחים וכי חלק אף גורשו מהקלפיות ללא סיבה מוצדקת. בנוסף על כך, המפלגה רוסיה המאוחדת טענה כי היו חברי אופוזיציה שהיו מעורבים בקמפיין פוליטי לא חוקי בעת יום הבחירות כאשר הפיצו עלונים ועיתונים בקלפיות. כמו כן טענו כי היו מספר מקרים בהם איימו באלימות על הבוחרים להצביע למפלגה הקומוניסטית.
המחאה.
סרט לבן נבחר להיות סמל המחאה. אזרחים שמו אותו על מכוניות, תיקים ובגדים.
5–7 דצמבר 2011.
ב-5 בדצמבר 2011, כבר למחרת יום הבחירות, יצאו אלפים להפגין במוסקבה, סמוך לכיכר לוביאנקה (מטה שירות הביטחון הפדרלי) ולא הרחק מהקרמלין. במוסקבה לבדה, על פי המארגנים יצאו 100,000 אנשים לרחובות, בעוד שבמשטרה טוענת כי רק 25,000 השתתפו בהפגנות בעיר. המשטרה בסנט פטרסבורג ציינה כי מספר המפגינים ברחובות העיר היה 10,000. המפגינים דרשו את התפטרותם המידית של פוטין ומדבדב. בנוסף קראו המפגינים לערוך בחירות חדשות ולנהל חקירה לטענות בדבר זיופי קולות. בהפגנה במוסקבה נעצרו כ-300 איש, בהם 3 פעילי אופוזיציה בכירים (בוריס נמצוב הליברל-דמוקרט, אדוארד לימונוב, הלאומן שעמד בראש המפלגה הנציונל-בולשביקית וסרגיי מיטרוחין מנהיג מפלגת יאבלוקו).
הניסיונות לארגן מחאה גדולה במוסקבה ב-7 בדצמבר דוכאו בשל נוכחות כוחות משטרה גדולים בעיר. ב-7 בדצמבר, נשיא ברית המועצות לשעבר מיכאיל גורבצ'וב ציין כי הוא סבור כי יש לקיים בחירות חדשות על מנת לשכך את הזעם הציבורי על זיוף הקולות המאסיבי.
על פי דיווח בוול סטריט ג'ורנל שירות הביטחון הפדרלי הרוסי פנה לאתר המדיה החברתית הרוסי "VKontakte" בבקשה לחסום קבוצות אופוזיציה אשר מעודדות אנשים "לארגן מהפכה". הבקשה נדחתה.
10 בדצמבר 2011.
באמצעות קבוצה בפייסבוק שכונתה "יום שבת בכיכר" (Суббота на Болотной площади), אורגנה הפגנה המונית נגד הממשל ביום שבת, ה-10 בדצמבר 2011. לפני קיום ההפגנה, מספר עיתונים ציינו באמצעי התקשורת כי אלפי משתמשי פייסבוק כבר נענו להזמנה למחות במוסקבה. במקביל מעל 5,000 משתמשי פייסבוק נענו להזמנה למחות בסנט פטרסבורג. בתחילה ניתן לקבוצה "סולידריות" היתר לערוך הפגנה של 300 בני אדם בכיכר המהפכה (Площадь Революции) שבמרכז מוסקבה. ב-8 בדצמבר, מעל ל-30,000 משתמשים בפייסבוק אישרו כי ישתתפו בהפגנה. לאחר משא ומתן עם המפגינים הוחלט כי ההפגנה תערך במקום זאת בכיכר בולוטנייה וניתן היתר לערוך שם הפגנה בהשתתפות עשרות אלפי מפגינים. לפני ההפגנה פוטין איים בכלי התקשורת כי המשטרה וכוחות הביטחון יתפרסו ברחבי במוסקבה ובערים אחרות על מנת להתמודד עם כל מי שישתתף בפעולות מחאה בלתי חוקיות.
כלי התקשורת דיווחו כי הפגנה זו הייתה הפגנת המחאה הגדולה ביותר ברוסיה מאז התפרקות ברית המועצות בשנת 1991. משטרת מוסקבה העריכה כי במחאה במוסקבה השתתפו בסביבות 25,000 מפגינים, בעוד שהאופוזיציה טענה כי 150,000 אנשים היו נוכחים בהפגנה במוסקבה. ככל הנראה מדובר בהפגנה בה השתתפו כ-50 אלף אזרחים. בין דרישות המפגינים היו פיטורים של יו"ר וועדת הבחירות, קיום בחירות חדשות ושחרור אסירים פוליטיים.
במקביל להפגנת הענק במוסקבה, נערכו הפגנות נוספות בסנט פטרסבורג, בולדיווסטוק ובקלינינגרד, בסך הכל ב-99 עיירות וערים אחרות ברחבי רוסיה. מושל סנקט פטרבורג גאורגי פולטאבצ'נקו הכריז על כך שההפגנות מקבלות מימון מחוץ לגבולות המדינה.
17-18 בדצמבר 2011.
במהלך סוף שבוע 17 - 18 בדצמבר נערכו הפגנות נוספות במוסקבה, סנקט פטרבורג ובערים נוספות. היקף ההפגנות היה קטן בהרבה והשתתפו בהן עד 5 - 7 אלף.
24 בדצמבר 2011.
בכל רחבי המדינה נערכו הפגנות. בחלק מהערים הם קיבלו את אישור השלטונות. במוסקבה נערכה הפגנה שלפי מידע השלטונות השתתפו בה כ-30 אלף מפגינים. מארגני ההפגנה דיברו על 100-200 אלף משתתפים ומקורות עצמאיים מציינים מספר של 56 אלף משתתפים. דרישות המפגינים היו זהות לדרישות בהפגנה הקודמת אך התווספו כרזות "לא ניתן לפוטין להיכנס לקרמלין".
הוועדה לזכויות האדם קראה לנשיא לפטר את יו"ר וועדת הבחירות לאור איבוד אמון האזרחים וריבוי הוכחות לזיופים בבחירות.
4 בפברואר 2012.
למרות הקור העז שהיה, ברחבי רוסיה התקיימו הפגנות המוניות. במוסקבה השתתפו מעל 100 אלף מפגינים. במקביל, הממשל ארגן הפגנות תמיכה שהתקיימו באותו יום. לפי העדויות, משתתפי ההפגנות שאורגנו על ידי הממשל קיבלו תמורה כספית.
תגובת הממשל.
בתגובה להפגנות, הנשיא דמיטרי מדבדב הכריז ב-11 בדצמבר 2011 בעמוד הפייסבוק שלו כי בעוד שהוא לא מסכים עם הדרישות של האופוזיציה, הוא הורה לפתוח חקירה לטענות בדבר זיופי קולות. בתגובה אלפי משתמשי פייסבוק מרוסיה הגיבו בזעם על תגובתו של מדבדב.
סיקור תקשורתי.