לפי משפט המספרים המצולעים כל מספר טבעי הוא סכום של חמישה מספרים מחומשים (כולל 0). יש רק שישה מספרים טבעיים שאינם סכום של ארבעה מספרים מחומשים: 9, 21, 31, 43, 55, ו-89 (). משערים שיש רק 210 מספרים טבעיים שאינם סכום של שלושה מספרים מחומשים
חשיבותם של מספרים מחומשים נובעת ממשפט המספרים המחומשים שהוכיח לאונרד אוילר:
מהמשפט נובע הקשר של מספרים אלו לפונקציית החלוקה:
יהונתן בשן
יהונתן בשן (נולד ב-11 בפברואר 1990) הוא שחקן טלוויזיה ודוגמן ישראלי.
ביוגרפיה.
בשן נולד וגדל בשכונת רמת אביב ג' בתל אביב. למד ב בתל אביב. ב-2008 התגייס לצה"ל ושירת כמפקד מחלקה בגדוד חרוב. לאחר שחרורו השתתף בקורס "משחק מול מצלמה" בסטודיו של גלית רוזנשטיין.
בשנת 2013 שיחק בעונה השנייה של סדרת הנוער "יומני החופש הגדול" ב-YES, וגילם את אדם, בן זוגה של אלינור אותה הכיר במשרדים של אביה.
ביוני 2014 החל לשחק בתפקיד ראשי בסדרת הנוער "שוברי גלים" בערוץ הילדים למנויי yes, שם מגלם את עמרי, נער אסרטיבי ודעתן, גולש ומנהיג את חבורת הגולשים. ביוני 2015 שב לשחק בעונה השנייה של הסדרה. באותה שנה גילם את אדם (מ"יומני החופש הגדול") במספר פרקים בספין אוף "כוכב הצפון" שגם היא משודרת בערוץ דיסני.
החל ממרץ 2014 מוביל כפרזנטור של חברת "ספרינג טי". בספטמבר 2014 הצטלם יחד עם מורן אטיאס לקמפיין חורף של הוניגמן.
בינואר 2015 הופיע בפסטיבל "ילדודס 5" ברשת מלוני ישרוטל במופע "המסיבה" לצד טל מוסרי ונוי והדר.
בנובמבר 2015 שיחק בסדרת המתח של HOT "הצורף", שם גילם את מישל קוגמן (דמותו של יהושע סובול בצעירותו).
בשנת 2016 שיחק בסדרת המתח "בני ערובה" בערוץ 10, בה גילם את יורי.
בסוף ינואר 2017 הצטרף לצוות המנחים של ערוץ הילדים והחל להגיש בערוץ לצידה של לירון רביבו את העונה השנייה של התוכנית "הצלצול האמיתי".
ב-2017 שיחק בסדרה "כדברא", ששודרה בערוץ ניקלודיאון, בתפקיד דני וסרמן, ובעונה השנייה של הסדרה "פולמון".
ב-2021 השתתף בתוכנית הריאליטי "הישרדות VIP עונה 4", והודח בהדחה ה-13.
טור חזקות פורמלי
משפט המספרים המחומשים
משפט המספרים המחומשים הוא משפט הקובע את הפיתוח לטור של המכפלה האינסופית formula_1.
נסמן ב-formula_2 את המספר המחומש המוכלל ה-n-י. משפט המספרים המחומשים קובע את הזהות המפתיעה:
כלומר,
השוויון הוא שוויון בין טורי חזקות פורמליים, והוא מתכנס לכל formula_5.
התיעוד הראשון של המשפט מופיע בהתכתבות בין לאונרד אוילר לדניאל ברנולי מ-1741. אוילר נתן הוכחה מלאה למשפט במכתב לכריסטיאן גולדבך ב-1750.
השימוש העיקרי במשפט הוא להוכחת נוסחאות נסיגה לפונקציית המחלקים ולפונקציית החלוקה.
הוכחה.
ההוכחה המקורית של אוילר היא דרך מניפולציות אלגבריות. נביא כאן הוכחה קומבינטורית יותר באופיה.
ראשית נגדיר מינוח שימושי. חלוקה של מספר שלם היא הצגה שלו כסכום של מספרים טבעיים. שתי חלוקות הן זהות אם ההבדל היחיד ביניהן הוא סדר המחוברים. חלוקה נבדלת היא חלוקה שבה כל המחוברים שונים זה מזה. למשל החלוקות הנבדלות של 8 הן: . חלוקה נבדלת תקרא חלוקה זוגית או חלוקה אי-זוגית אם מספר המחוברים בה הוא זוגי או אי-זוגי בהתאמה (זהו אינו השימוש המקובל במינוחים אלו). נשים לב כי ל-8 יש מספר זהה של חלוקות זוגיות ואי-זוגיות. עובדה זו אינה מקרית, כפי שיוסבר בהמשך.
נגדיר את הטור הפורמלי:
מפתיחת סוגריים באגף ימין נקבל:
המקדמים של formula_8 הם 1 לכל חלוקה זוגית של n ו- לכל חלוקה אי-זוגית של n. כלומר formula_9 שווה למספר החלוקות הזוגיות של n פחות מספר החלוקות האי-זוגיות.
כדי לסיים את הוכחת המשפט נותר להראות ש-formula_10 רק כאשר n מספר מחומש, ואז הוא שווה 1 או בהתאמה. לשם כך עלינו להוכיח, שלמעט במקרה המחומש, מספר החלוקות הזוגיות של מספר תמיד שווה למספר החלוקות האי-זוגיות שלו.
נגדיר פונקציה על קבוצת החלוקות הנבדלות של מספר באופן הבא: בהינתן חלוקה נבדלת, נסמן את המחובר הקטן ביותר בה ב-m. כעת:
קל לראות שפונקציה זו היא אינוולוציה, הפעלתה פעמיים מחזירה את החלוקה המקורית. כמו כן קל לראות שהפעלתה על חלוקה זוגית מחזירה חלוקה אי-זוגית ולהפך. מכאן שמדובר בהתאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת החלוקות הזוגיות לקבוצת החלוקות האי-זוגיות של מספר נתון והן שוות, זאת למעט מקרה קצה בו הפונקציה נכשלת. למשל במקרה של 8 הפונקציה מתאימה את הזוגות:
לכן, formula_12.
ישנם שני מקרי קצה אפשריים שבהם הפונקציה נכשלת:
כל מספר מחומש הוא מהצורה formula_17 או formula_18 ל-m שלם חיובי ולכן ההוכחה הושלמה.
נוסחת נסיגה לפונקציית החלוקה.
פונקציית החלוקה formula_19 סופרת את מספר הדרכים השונות לחלק את המספר formula_20 כסכום של טבעיים. אין נוסחה סגורה ישירה לחישוב formula_19.
משפט המספרים המחומשים מאפשר לחשב את formula_19 באמצעות נוסחת נסיגה. אוילר הוכיח שהפונקציה היוצרת של פונקציית החלוקה היא:
נסמן:
אזי:
מכאן של-n חיובי formula_26. אולם אם נחשב אותו ישירות מן ההגדרה נקבל:
ולאחר בידוד המחובר formula_28 והעברת אגפים מקבלים:
זהו סכום סופי, שכן formula_30 (סכום ריק), ולכל k שלילי formula_31.
מחזיקות מעמד
מחזיקות מעמד (באנגלית: Getting On) היא סדרת טלוויזיה קומית המבוססת על סדרת טלוויזיה בריטית בעלת אותו שם. העונה הראשונה של הסדרה עלתה לאוויר ברשת HBO בתאריך ה-24 בנובמבר 2013 והכילה 6 פרקים, הפרק האחרון בעונה הראשונה שודר ב-29 בדצמבר 2013. הסדרה זכתה לביקורות חיוביות מצד המבקרים.
הסדרה חודשה לעונה שנייה בת 6 פרקים אף היא, ועלתה לאוויר בחודש נובמבר 2014. העונה השלישית והאחרונה עלתה ב-8 בנובמבר 2015.
עלילה.
הסדרה עוסקת בחבורת אחיות ואנשי צוות המתמודדים עם אין ספור אתגרים מקצועיים ואישיים באגף גריאטרי לנשים בלבד, בבית חולים קליפורני עמוס. במרכז העלילה נמצאת האחות דידי (ניסי נאש) היא אחות חדשה, מסוג האחיות שלא סובלות "שטויות ומשחקים". דידי נדהמת לגלות שאי ניקוי צואה שהושארה במסדרון על ידי אחד מהמטופלים במחלקה מוביל לנזיפה בה על כך שלא מילאה "דו"ח אירוע". דידי מצוותת ביומה הראשון לאחות הוותיקה דון (אלכס בורסטיין) שמצידה מבלה את זמנה בעבודה באובססיה לגבי האח המפקח פטסי (מל רודריגז), המנסה לנהל גישת עבודה ממוקדת לקוח בהשראת דיסני, תוך כדי שהוא הודף שאלות לגבי המיניות שלו. ומעל כל הכאוס מנצחת ד"ר ג'נה ג'יימס (לורי מטקאלף), רופאה אחראית שמונתה למנהלת האגף בעקבות התמוטטות עצבים פומבית בבית החולים וממשיכה בהתקפות עצבים גם באגף החדש, תוך כדי התנגחות תמידית בפטסי וקידום מחקרה האישי על צואה.
ביקורת.
העונה הראשונה קיבלה ביקורות חיוביות. אתר האינטרנט Rotten Tomatoes מדווח ש-72% מהמבקרים אהבו את הסדרה עם ממוצע הערכה של 7.5/10: "למרות הילדותיות שבטבעה, "מחזיקות מעמד" מוצאת את הצחוק גם בסיטואציה קודרת עם נרטיביים ואפיונים הומוריסטיים אך רגישים".
פרק הפיילוט קיבל ציון של 72% מאתר האינטרנט Metacritic וציין ביקורות חיוביות באופן כללי.
דייוויד ויגאנד מעיתון הסן פרנסיסקו כרוניקל נתן ביקורת חיובית מאוד לסדרה: "ש ערבוב מבריק של חריפות ועליצות בקבלה בסדרה וזו הסיבה שזה עובד כל כך טוב".
באתר האינטרנט The A.V. Club: "הסדרה לוכדת את עבודת הפרך של העבודה והחיים במחלקה זו, אך היא גם תופסת את ההבזקים של היופי, וברגעים אלה יש תחושה שהסדרה צריכה לקבל יותר ממה שמצפה לה".
מהצד השני הסדרה קיבלה גם ביקורות פחות אוהדות, אתר האינטרנט Slant Magazine "הסביבה שבה מוצגת הסדרה היא מאוד מדכאת באופן גורף שרוב ההומור הלא נינוח שבה לא מצחיק".
ארנסט האנפשטנגל
ארנסט האנפשטנגל (בגרמנית: Ernst Franz Sedgwick Hanfstaengl; 2 בפברואר 1887 – 6 בנובמבר 1975) היה גרמני בוגר אוניברסיטת הרווארד ואיש החברה הגבוהה הגרמנית. הוא נמנה עם הראשונים שערכו לאדולף היטלר, בראשית דרכו הפוליטית, את ההיכרות עם חוג אנשי ההון והתעשיינים. לימים סר חנו בעיני היטלר, והוא נמלט מגרמניה לפני מלחמת העולם השנייה והגיע לבריטניה. בשנת 1942 נשלח לארצות הברית והשתתף במאמץ המלחמה האמריקאי כמומחה לאישי השלטון וההנהגה של גרמניה הנאצית.
ראשית דרכו.
ארנסט האנפשטנגל, שכינויו היה "פוצי", נולד במינכן בשנת 1887, כבן לאב גרמני ולאם אמריקאית. אביו היה נצר למשפחת אצולה גרמנית והורי אמו היו קרובי משפחה של ג'ון סדג'וויק, שהיה גנרל בצבא הצפון במהלך מלחמת האזרחים האמריקנית. אביו היה סוחר אמנות עשיר.
ארנסט למד בגימנסיה המלכותית על שם וילהלם במינכן, שבה שימש אביו של היינריך הימלר כסגן מנהל. הונו של אביו אפשר לו לנדוד הלוך ושוב בין גרמניה לארצות הברית. את המשך לימודיו עשה באוניברסיטת הרווארד. שם זכה להכיר את וולטר ליפמן וג'ון ריד, שניהם היו לימים עיתונאים נודעים. הוא היה תלמיד בינוני, אך התבלט בקמפוס בהיותו פסנתרן מוכשר, שאף הלחין שירי עידוד לנבחרת הפוטבול של האוניברסיטה. את לימודיו סיים בשנת 1909 עם תואר בהיסטוריה.
לאחר סיום לימודיו עבר לניו יורק וניהל את הסניף האמריקאי של העסק של אביו. בבקרים התאמן בנגינה בפסנתר במועדון פרטי יוקרתי במנהטן, שם נפגש עם ידוענים כנשיא לשעבר תאודור רוזוולט והנשיא לעתיד פרנקלין רוזוולט, אותו הכיר עוד מימי לימודיו באוניברסיטת הרווארד, עם איל העיתונות ויליאם רנדולף הרסט וכן עם השחקן צ'ארלי צ'פלין. במועדון הכיר גם סופרת אמריקאית בשם דיונה בארנס (Djuna Barnes) והיא הייתה לארוסתו.