כאשר עוסקים בהתכנסות של טור פורייה יש להבדיל בין התכנסות בנורמה של הטור, לבין התכנסות נקודתית.
ההתכנסות בנורמה פירושה שהטור מתכנס במרחב formula_30 על פי הנורמה המוגדרת בו. כלומר, מתקיים:
formula_47
במילים פשוטות: כאשר מגדילים את מספר האיברים בטור החלקי של formula_33 לאינסוף, הנורמה של ההפרש בין הפיתוח החלקי לבין formula_33 (שהיא האינטגרל של פונקציית ריבוע ההפרש) שואפת לאפס. תכונה זו מתקיימת עבור כל טור פורייה, בהיותו הצגת איבר ב-formula_38 על פי בסיס אורתונורמלי.
התכנסות בנורמה לא מחייבת התכנסות של הטור לערך של formula_33 בכל נקודה בקטע - ההתכנסות הנקודתית של טור פורייה היא תכונה מורכבת יותר, ומחקר רב עוסק במציאת תנאים שבהם היא תתקיים במסגרת האנליזה ההרמונית.
בחישוב של טור פורייה לפונקציה נתונה f, יש שני שלבים, הפוכים זה לזה. בשלב ראשון מחשבים, מתוך ההנחה שקיים שוויון מהצורה formula_52, את המקדמים המספריים formula_53. חישוב כזה ניתן לערוך לכל פונקציה השייכת למרחב הפונקציות formula_38.
לאחר מכן, מבקשים להציג את הפונקציה באמצעות המקדמים שהתקבלו, כלומר, דורשים כי לכל x, הטור באגף ימין יתכנס לערכה של הפונקציה בנקודה x.
כאשר פיתח פורייה את התאוריה שלו, ב-1807, לא היו בידיו כלים שיענו על הצורך בהתכנסות נקודתית, וזו הסיבה העיקרית לכך שעבודתו נדחתה בתחילה על ידי מתמטיקאים חשובים בני זמנו. בשאלה אילו הנחות של רציפות נכללות בהגדרת מושג הפונקציה היה ערפול מסוים במחצית הראשונה של המאה ה-19, ועבודתו של פורייה רק הקשתה על הבהרת התמונה. ב־1913 ניסח האנליטיקאי הרוסי ניקולאי לוזין את ההשערה, שלפיה טור פורייה של פונקציה רציפה יתכנס נקודתית בכל מקום - אלא שב-1926 מצא מתמטיקאי רוסי אחר, אנדריי קולמוגורוב, דוגמה נגדית שהפריכה השערה זו.
את הפתרון לבעיה זו סיפק המתמטיקאי השוודי לנרט קרלסון ב-1966, כאשר הוכיח שלכל פונקציה במרחב formula_38, ובפרט, לכל פונקציה רציפה, יש טור פורייה המתכנס אליה נקודתית פרט לקבוצת נקודות שמידתהּ אפס (כמעט בכל מקום). על עבודתו זו, שנחשבה לפריצת דרך באנליזה הרמונית, ועל עבודות רבות אחרות, זכה קרלסון בפרס אבל לשנת 2006.
תופעת גיבס.
תופעת גיבס היא תופעה שבה טור פורייה של פונקציה שאינה רציפה בנקודה, מתכנס בנקודה זו לממוצע הגבולות מימין ומשמאל (formula_56). יתרה מכך, סביב נקודת אי-רציפות מתקבלות תנודות חזקות; ככל שמוסיפים יותר איברים לקירוב, מצטמצמת הסביבה בה מופיעות התנודות, אך גובהן לא נחלש.
דעיכת מקדמי פורייה.
קיים קשר ישיר בין "מידת החלקות" של פונקציה מסוימת לקצב הדעיכה של מקדמי פורייה שלה, קשר שבתורו מכתיב את טיב הקירוב של הפונקציה על ידי סכום פורייה סופי. עבור פונקציה ממחלקה formula_57, כלומר הגזירה ברציפות "k" פעמים, הערכים המוחלטים של מקדמי פורייה שלה אינם דועכים מהר יותר מ-formula_58 לכל formula_59. תופעה זו נובעת מן העובדות הבאות:
תכונות.
בסעיף זה נסמן:
כאשר אנו מניחים ש-formula_67 הן פונקציות המוגדרות על כל הישר באמצעות המשכה מחזורית של הגדרתן בקטע formula_22.
ליניאריות.
אם formula_69, אזי formula_70.
זהויות פלנשרל ופרסבל.
הזהויות הבאות מראות את האוניטריות של הפירוק לטור פורייה. כלומר, פעולה זו שומרת על נורמה ומכפלה פנימית.
זהות פלנשרל:
זהות פרסבל (על שם מארק אנטואן פרסבל):
ובבסיס הטריגונומטרי הממשי
משפטים אלה אפשר להוכיח באמצעות אורתוגונליות.
תכונת ההזזה.
אם formula_74, אזי formula_75
תכונת הקונבולוציה.
אם h היא קונבולוציה ציקלית של f ו-g, כלומר:
כאשר g היא מחזורית עם מחזור formula_77, אזי טור פורייה של h מקיים:
באופן הפוך, אם המקדמים Hn הם קונבולוציה של Fn ו Gn, כלומר:
אזי בהכרח
תכונות אלה מוכחות באמצעות אורתוגונליות.
טורי פורייה בקטע כלשהו.
נניח שנתונה לנו פונקציה formula_81 (אינטגרבילית בריבוע בקטע זה) ואנו ממשיכים אותה מחזורית בכל הישר הממשי. אזי טור פורייה שלה מוגדר על ידי
את מקדמי פורייה ניתן לחשב באמצעות הנוסחה
במונחי סינוסים וקוסינוסים הביטויים יראו כך:
טור אינסופי
ועדת אונסקו&quot;פ
ועדת אונסקו"פ - הוועדה המיוחדת של האו"ם לענייני ארץ ישראל (באנגלית: UNSCOP - United Nations Special Committee on Palestine) הייתה ועדת חקירה בינלאומית שמונתה על ידי העצרת הכללית של האומות המאוחדות במאי 1947 כדי לבחון את שאלת ארץ ישראל, בעקבות בקשתה של ממשלת בריטניה לחוות דעת של האו"ם, לאחר שלא הושגה הסכמה על הפתרון העדיף.
רקע.
בארץ ישראל שררה אווירה קשה של מתח ואלימות בין היישוב העברי לממשלת המנדט הבריטי ובין היישוב העברי לבין הקהילה הערבית. באירופה התבררו ממדי השואה, וכמיליון ניצולי השואה המתינו במחנות העקורים ליישוב מחדש, בעוד התנועה הציונית עושה מאמצים רבים להעלות פליטים לארץ ישראל באמצעות מבצעי העפלה.
בריטניה לא הייתה מרוצה מהמצב ששרר באותה עת בארץ ישראל. לבקשת שר החוץ הבריטי ארנסט בווין מונתה ב-1946 ועדת החקירה האנגלו-אמריקאית לענייני ארץ ישראל אך מסקנותיה לא תאמו את ציפיות הבריטים ובתגובה להן בריטניה הציעה את תוכנית מוריסון גריידי, שנדחתה הן על ידי הצד היהודי, הן על ידי הצד הערבי והן על ידי נשיא ארצות הברית, הארי טרומן.
לאחר דחיית התוכנית, בריטניה ביקשה מהאו"ם ליעץ לה כיצד לנהוג, כהצהרת שר המושבות הבריטי דאז קריץ ג'ונס:
חלק מההיסטוריונים סבורים שמטרת בריטניה בפנייתה לאו"ם הייתה לקבל לגיטימציה להפעלת כוחות דיכוי גדולים כנגד ניסיונות ההתמרדות של הארגונים היהודים.
ב-14 במאי 1947 התכנסה העצרת הכללית של האו"ם לישיבה מיוחדת לשם דיון בסוגיית המנדט הבריטי על ארץ ישראל. בישיבה זו הוחלט על הקמת ועדת חקירה שתגיש מסקנות לעצרת הכללית.
החלטת העצרת הכללית לבחון מחדש את שאלת ארץ ישראל, ועבודת הוועדה שמונתה לשם כך, התרחשו על רקע התפתחויות ואירועים בארץ ישראל עצמה ובזירה הבינלאומית.
יוקרתה של בריטניה נפגעה מאוד בעקבות הפרשות השונות שבהן הסתבכו השלטונות הבריטיים בארץ, אשר גרמו לסערה בעולם כולו והשפיעו על עבודת הוועדה. בזמן דיוני הוועדה, לאחר מאבק מר שזכה לפרסום עולמי, בין הבריטים שיישמו את ההגבלות על העלייה על פי תקנות הספר הלבן (1939), לאלפי הפליטים שעל סיפונה, גורשה מחופי הארץ האוניה "יציאת אירופה תש"ז" ("אקסודוס"), בחזרה לגרמניה, אירוע שהגביר את המתח בין היישוב העברי לבין ממשלת המנדט.
בנוסף נחלשה בריטניה בעקבות מלחמת העולם השנייה והחלה להשתחרר בהדרגה ממושבותיה ברחבי העולם. המעצמות החדשות ארצות הברית וברית המועצות גילו עניין בהקמת מדינה יהודית בארץ, מתוך רצון לפתור את בעיית הפליטים היהודים, בעיה שאיימה על היציבות באירופה במידה מסוימת, ומתוך תקווה לזכות בהשפעה במזרח התיכון באמצעות המדינה היהודית.
עבודת הוועדה.
כדי להקנות להחלטות אופי נייטרלי, אף אחת מהמעצמות הגדולות לא הייתה מיוצגת בוועדה.
חברי הוועדה הגיעו לארץ ישראל ב-16 ביוני 1947 והתגוררו בבית קדימה מלון דירות בשכונת רחביה בירושלים. הדיונים וחדרי העבודה היו בבניין ימק"א, מול מלון המלך דוד. לצורך עבודת הוועדה הוקם סניף דואר וקווי טלפון מיוחדים. כ-30 מכוניות עליהן הוצמד מספר רישוי לבן עם הכיתוב "האומות המאוחדות" עמדו לרשות חברי אונסקו"פ והפמליה המלווה. הוועדה נפגשה בארץ ישראל עם נציגי היישוב היהודי, על פלגיו השונים. את הקשר היהודי עם הוועדה ריכז ולטר איתן. את הסוכנות היהודית ייצג משה שרת יחד עם אבא אבן ומשה טוב והיא הסתייעה במומחים שונים דוגמת שמחה בלאס אשר טענו בפני הוועדה בזכות יכולת היהודים לפתח את הארץ.
בתחילת יולי 1947 הופיע בפניה דוד בן-גוריון, ששאל את חבריה: "מי מוכן ומסוגל לערוב לנו, שמה שקרה אותנו באירופה לא יקרה שוב?... ישנה אך ערובת־ביטחון אחת: מולדת ומדינה".
ב-8 ביולי 1947 העיד בפניה חיים ויצמן. הוא דרש שהחלוקה הטריטוריאלית תיעשה על פי המלצות ועדת פיל מ-1937, בתוספת הנגב, כשטח המינימלי הדרוש לקיומה של המדינה היהודית. ויצמן גם אירח את חברי הוועדה בביתו ברחובות.
הוועדה נפגשה גם עם נציגי האצ"ל, מנחם בגין, שמואל כץ וחיים לנדאו שהיו אז במחתרת ואף עם נציג הקומוניסטים העבריים, אליעזר פרמינגר. הכומר ג'ון סטנלי גראוול העיד בפני חברי הוועדה על שקרה באוניית המעפילים אקסודוס. הוא העיד כי לא היה נשק בספינה במהלך הקרב מול הבריטים. עדותו, כאיש דת נוצרי, הייתה משמעותית ביכולתה לשכנע את חברי הוועדה. הוועדה נפגשה גם עם נציגי "אגודת ישראל" החרדים אשר הגישו מסמך לוועדה המבקש להשאיר על כנו את המנדט הבריטי אך לבטל את "הספר הלבן" של 1939 ולאפשר עליה פתוחה לישראל. הוועדה שמעה עדויות גם במדינות האזור הערביות, בניו יורק וגם במחנות העקורים באירופה.
הנהגת ערביי ארץ ישראל סירבה לשתף פעולה עם הוועדה ונציגיה לא הסכימו להעיד בפני הוועדה או להיפגש עם חבריה באופן רשמי. לפיכך יצאה הוועדה לסבב פגישות בעבר הירדן, בסוריה ובלבנון.
הוועד הערבי העליון החרים רשמית את הוועדה, אולם מוסא אל-עלמי, ראש "המשרד הערבי" (סוכנות התעמולה הערבית הפלסטינית), יחד עם ססיל חוראני, מזכיר "המשרד הערבי" בוושינגטון, הגישו לה "באופן עצמאי" תזכיר שהציג את העמדה הערבית.
המלצות הוועדה.
הוועדה חתמה על מסקנותיה ב-31 באוגוסט 1947 בבית קדימה בירושלים והעבירה אותן כהמלצות לדיון בעצרת הכללית של האו"ם.