באוקטובר 2004 חזר ההר לפעילות ונוצרה בו כיפת לבה חדשה מעל זו הקיימת. פעילות דומה המשיכה עד 2006. בכמה מקרים נצפתה מחט געשית עולה כתוצאה מלחץ של המגמה מתחת. בינואר 2008 הסתיימה הפעילות הגעשית בהר.
פולימריזציה
הונג קונג (אי)
האי הונג קונג (בסינית: 香港島 בתרגום: צד האי) הוא האי שבו נוסדה המושבה הקולוניאלית של הונג קונג בעיר ויקטוריה. האי הוא המרכז ההיסטורי, הפוליטי והכלכלי של הונג קונג ומתגוררים בו 1.3 מיליון איש, מה שהופך אותו לאחד המקומות הצפופים ביותר בעולם (19,000 איש לקמ"ר). שטחו הכולל של האי כ־80 קמ"ר, שהם כ־7 אחוזים משטח הונג קונג כולה. הוא גובל בצפון בנמל ויקטוריה, המפריד אותו מחצי האי קאולון והטריטוריות החדשות.
מרכזו של האי הררי, ולאורך החופים מישור צר. מנהרות מעשה ידי אדם נחפרו מתחת להר כדי לחבר את החופים השונים ואת האי לקאולון. האי הונג קונג היה ידוע בשם "הסלע הנטוש" ולא היה מיושב, עד שב־20 בינואר 1841 נתפש על ידי קפטן צ'ארלס אליוט מן הצי המלכותי הבריטי. האי הועבר לרשות בריטניה במסגרת חוזה ננקינג משנת 1842.
הפועל פתח תקוה
דיקטטור נאור
דִּיקְטָטוֹר נָאוֹר (באנגלית: benevolent dictator) הוא כינוי לאדם שיש לו סמכויות של דיקטטור, אך הוא משתמש בהן לטובת הכלל ולא לטובתו האישית בלבד. זאת בניגוד לדיקטטור רגיל (לא נאור), המשתמש בסמכויותיו לטובתו האישית בלבד או לטובת מספר קטן של אנשים.
במדע המדינה יש אסכולות הרואות את אי השחיתות ואי הפלגנות של משטר דיקטטורי מוחלט כסוג של אוטופיה לניהול יעיל ביותר, בו הדעה היחידה בעלת הסמכות מונעת דיונים טרומיים ומאפשרת פעולה. עם זאת, האוקסימורון בביטוי "דיקטטור נאור" הוא שמניסיון היסטורי ניתן ללמוד שלעיתים דיקטטורים מעבירים את רוב זמנם בחיזוק וביסוס שלטונם, בניית תשתית להאדרת שמם, הנצחתו והבאת טובות הנאה למקורביהם, לאו דווקא לעם שאותו הם לכאורה אמורים לשרת.
בקוד פתוח המונח "דיקטטור נאור" מתאר מצב שבו אדם אחד קובע ומכתיב לאחרים כיצד ייראה המיזם. לדוגמה, גואידו ואן רוסום, הוא "דיקטטור נאור לכל חייו" של שפת פייתון. בדרך כלל סמכותו העיקרית של ה"דיקטטור" היא יכולת ההחלטה הסופית לגבי מה שיכנס לתוכנה. במקרה של תוכנה חופשית, לכל אדם אחר יש את האפשרות לקחת את הקוד הקיים ולהקים פרויקט מתחרה, לכן אותו "דיקטטור" יודע שסמכותו נובעת בעיקר מכך שיכולתו המקצועית הוכחה בעבר. לכן בפועל זו דוגמה למריטוקרטיה.
ורדה רזיאל (ויזלטיר)
ורדה רזיאל
החוק החלש של המספרים הגדולים
חוק המספרים הגדולים באמת
החוק של המספרים הגדולים באמת קובע שכאשר מתרחש מספר גדול מספיק של אירועים, צפוי שיקרו גם כאלה שהם מאוד לא סבירים בפני עצמם. מקור שם החוק הוא פרפרזה על שמו של חוק המספרים הגדולים.
החוק מסביר תופעות שבפני עצמן נראות לא סבירות, כמו אדם שמזדמן למקום בדיוק בשעה שזקוקים לו, או דבר הקורה בדיוק כשחושבים עליו. בגלל מספרן העצום של האינטראקציות בין אנשים ושל המחשבות שחולפות במוחם של אנשים, מפעם לפעם אמורים לקרות דברים הנחשבים מפתיעים. אם אירוע שהסיכוי להתרחשותו הוא אחד למיליון הוא "אירוע פלאי", הרי שלכל שמונה מיליון אירועים שמתרחשים, שמונה מהם ייראו כפלאיים. אם כל ישראלי מעורב במספר אירועים בכל יום, הרי שבכל יום יתרחשו עשרות אירועים פלאיים - פשוט כיוון שיש כתשעה מיליון ישראלים.
חוק ליטלווד מהווה מקרה פרטי של חוק זה.
החוק החזק של המספרים הגדולים
משפט הגבול המרכזי
משפט הגבול המרכזי (באנגלית: Central Limit Theorem או בקיצור CLT) הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות, העוסק בהתפלגות הגבולית של הממוצע המצטבר של סדרת משתנים מקריים. המשפט קובע שתחת תנאים מסוימים, התפלגות הממוצע של סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים מתקרבת להתפלגות נורמלית לאחר תקנון מסוים, גם כאשר המשתנים עצמם אינם מתפלגים נורמלית.
בעזרת המשפט, ניתן להסביר את השכיחות הגבוהה של ההתפלגות הנורמלית בתחומים רבים: מאחר שרבים מהערכים הנמדדים בטבע מורכבים למעשה מסכום מספר רב של אירועים אקראיים, וממשפט הגבול המרכזי נובע שהם יתפלגו נורמלית (לפחות בקירוב). כמו כן, המשפט מאפשר שימוש בטכניקות שפותחו תחת הנחת נורמליות על התפלגות של משתנה מקרי, גם כאשר הוא אינו מתפלג נורמלית. את המשפט הכללי הוכיח אלכסנדר ליאפונוב.
תוצאת המשפט יכולה להיות מוסברת דרך העובדה שההתפלגות הנורמלית היא בעלת אנטרופיה מקסימלית מבין כל ההתפלגויות בעלות שונות נתונה. אם כך, כשבמערכת מצטברת אנטרופיה והממוצע מנורמל כך שהשונות נותרת קבועה, סביר לצפות שההתפלגות תשאף דווקא להתפלגות הנורמלית.
הגרסה החלשה.
תהי formula_1 סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, שיש לה תוחלת formula_2 ושונות formula_3. נסמן ב- formula_4 את הממוצע. לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, הגבול של הסדרה formula_5 הוא אפס (בהסתברות 1). משפט הגבול המרכזי מספק מידע מפורט בהרבה: סדרת המשתנים המקריים formula_6 מתכנסת בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית:
formula_7, כאשר formula_8.
הגרסה החזקה.
תהי formula_1 סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים, המקיימת:
נסמן formula_13. אם
formula_14,
אז סדרת המשתנים המקריים
formula_15 מתכנסת בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.
דוגמה.
נראה כיצד ממשפט הגבול המרכזי נובע כי אם formula_16 – במילים: המשתנה formula_17 מתפלג בינומית – אז כאשר formula_18 גדול מתקיים formula_19, כלומר formula_17 מתפלג בקירוב כמו משתנה נורמלי עם תוחלת formula_21 ושונות formula_22, כאשר formula_23 ו-&lt;math&gt;0.
ניתן לראות משתנה בינומי formula_17 כסכום סדרת משתנים מקריים formula_25 שכל אחד מהם מקבל 1 בהסתברות formula_26 ואחרת מקבל 0 (ניסויי ברנולי). התוחלת של משתנה כזה היא formula_27 והשונות שלו היא formula_28. לכן, כאשר formula_18 גדול, נובע ממשפט הגבול המרכזי:
formula_30
כאשר formula_31.
יישומים.
בתורת ההסתברות.
בספרות יש מספר דוגמאות מעניינות ושימושיות ויישומים הקשורים למשפט הגבול המרכזי. מקור אחד מציין את הדוגמאות הבאות:
מנקודת מבט אחרת, משפט הגבול המרכזי מסביר את ההופעה התדירה של "עקומת הפעמון" בהערכות צפיפות המופעלות על מידע מהעולם האמיתי. במקרים כמו רעש אלקטרוני, ציוני מבחן וכו', נוכל בדרך כלל להתייחס לתצפית בודדת כממוצע ממושקל של מספר רב של גורמים קטנים. אם נשתמש בהכללות של משפט הגבול המרכזי נוכל לראות שזה לרוב יניב (אך לא תמיד) התפלגות סופית שהיא בערך נורמלית.
באופן כללי, ככל שתצפית היא יותר כמו סכום של משתנים מקריים בלתי תלויים עם השפעה זהה על התוצאה, היא מתאפיינת ביותר "נורמליות". זה מצדיק את השימוש הנפוץ בהתפלגות זו כדי להשלים את ההשפעה של משתנים מקריים שלא נצפו במודלים כמו במודל הליניארי.
בסטטיסטיקה.
בטכניקות של בדיקת השערות, מבחן סטטיסטי מנסה להפריד בין שתי התפלגויות: בין ההתפלגות תחת השערת האפס, קרי ההשערה הקודמת למבחן, לבין התפלגות אחרת. לשם כך דוגם החוקר מספר תצפיות מהאוכלוסייה שהוא בוחן, ומחשב את סטטיסטי ערך ה-p (באנגלית: p-value) של התוצאה. אם לא סביר כי הסטטיסטי יצא מההתפלגות של השערת האפס (ברמת המובהקות שנקבעה מראש), החוקר דוחה את השערה זו.
לרוב, התכונה באוכלוסייה אותה מבצע המבחן בוחן אינה מתפלגת נורמלית, אך באמצעות שימוש במשפט הגבול המרכזי הוא יודע שאם הסטטיסטי הוא ממוצע של אותה התכונה, ומתקיימות שאר ההנחות הנדרשות לשם הפעלת המשפט על אותה התכונה, אזי הוא יכול להניח כי עם מספיק תצפיות הסטטיסטי יתפלג נורמלית. בכך הוא יכול להשוות אנליטית את הממוצע אותו דגם להסתברות שאותו ממוצע ייצא תחת התפלגות נורמלית. למבחן סטטיסטי שכזה, שיודע את השונות לאותה תכונה באוכלוסייה קוראים מבחן Z.
מחוץ לתורת ההסתברות.
למשפטי גבול בתורת ההסתברות יש יישומים גם מחוץ לתורת ההסתברות.
למשל, בעזרת משפט הגבול המרכזי ניתן לחשב את הגבול formula_32.
כדי לעשות זאת, לוקחים משתנים מקריים בלתי תלויים formula_33 המתפלגים אחיד בקטע formula_34 (עם מידת לבג). כל משתנה כזה הוא בעל תוחלת אפס ושונות formula_35. משתנים אלו "מייצגים" את המשתנים formula_36 במרחב האוקלידי ולכן הם בלתי תלויים. אם כן האינטגרל שווה לתוחלת של המ"מ formula_37.
לפי משפט הגבול המרכזי, מתקיים formula_38. כעת, ניתן להסיק מהמשפט גם התכנסות חלשה (ולמעשה התנאי שקול להתכנסות בהתפלגות) - כלומר, לכל פונקציה רציפה וחסומה formula_39 מתקיים formula_40; במקרה שלנו, formula_41 היא רציפה וחסומה, ולכן הגבול שווה ל-
formula_42
(formula_43 היא הפונקציה האופיינית של formula_44).
חוק המספרים הקטנים
חוק המספרים הקטנים הוא שם כולל לכמה תופעות המייחדות מספרים טבעיים קטנים, שטבע המתמטיקאי ריצ'רד גאי ב-1988. לפעמים נקראים חוקים אלו "החוק החזק של המספרים הקטנים", בדומה לחוק החזק של המספרים הגדולים.
החוק הראשון קובע ש"אין מספיק מספרים קטנים כדי לעמוד בכל הציפיות שלנו", רוצה לומר - יש תופעות המוכרות לנו ממערכות גדולות, שהיו צריכות לכאורה להתרחש כבר במערכות קטנות, אבל אינן מתרחשות שם מסיבות שנדמות אקראיות.