גרותנדיק הוכיח שבכל חוג קומוטטיבי נתרי מקומי, אם formula_29 הוא האורך המקסימלי של סדרה רגולרית ו-formula_30 הוא הממד, אז formula_31 שווה לאפס עבור formula_4 מחוץ לקטע formula_33, ושונה מאפס בקצוות.
דרך נוספת לאפיין חוג כהן-מקולי היא באמצעות קוהומולוגיה מקומית:
בהינתן חוג נתרי מקומי formula_34, משפטי ההתאפסות ואי ההתאפסות של גרותנדיק קובעים כי
formula_35
וכי formula_36, כאשר formula_37 מסמל את אורכה המקסימלי של הסדרה הרגולרית באידיאל המקסימלי. לפיכך, חוג כזה הוא כהן-מקולי אם ורק אם הקוהומולוגיה המקומית שלו מרוכזת במעלה בודדת, שהיא בהכרח ממד קרול של החוג.
מסקנה מיידית מאפיון זה וממשפט הדואליות המקומית של גרותנדיק הוא שאם לחוג מקומי קיים קומפלס דואליזנטי (Dualizing complex), אז החוג הוא כהן-מקולי אם ורק אם אותו קומפלס דואליזנטי מרוכז במעלה אחת, כלומר הוא Dualizing module.
השערת באס (Bass), אשר הוכחה על ידי Peskine ו-Szpiro מציעה אפיון נוסף של חוגי כהן-מקולי. חוג נתרי מקומי הוא כהן-מקולי אם ורק אם קיים מעליו מודול נוצר סופית השונה מאפס ובעל ממד אינג'קטיבי סופי.
חוגי גורנשטיין.
חוג כהן-מקולי מקומי formula_3, עם אידיאל מקסימלי formula_20, נקרא חוג גורנשטיין אם ההשלמה ה-formula_20-אדית של formula_3 שווה ל-formula_42, כאשר formula_43 הוא הסגור האינג'קטיבי של המודול formula_44 ו-formula_45 כדלעיל. באופן שקול, חוג נתרי מקומי הוא גורנשטיין אם ורק אם יש לו ממד אינג'קטיבי סופי מעל עצמו.
כל חוג מקומי רגולרי הוא גורנשטיין. יהי formula_8 שדה, אז חוג טורי החזקות הפורמליים formula_47 הוא גורנשטיין אבל אינו רגולרי. חוג טורי החזקות הפורמליים formula_48 הוא כהן-מקולי אבל אינו גורנשטיין.
משפט פיק
משפט פיק הוא משפט גאומטרי שמספק נוסחה לחישוב השטח של מצולע שקודקודיו נמצאים על נקודות בעלות קואורדינטות שלמות במישור הקרטזי.
המשפט קובע שאם בפנים המצולע נמצאות i נקודות ועל צלעותיו (כולל קודקודים) נמצאות b נקודות, אז השטח, A, הוא:
את המשפט גילה והוכיח גאורג אלכסנדר פיק בשנת 1899. פיק היה מתמטיקאי אוסטרי-יהודי, שנספה בטרזיינשטאט בשנת 1942. ניתן להראות שלא ניתן להכליל את המשפט לשלושה ממדים באמצעות ספירת הנקודות בתוך הפאון ועל פניו והשוואה לנפח שלו. עם זאת, ניתן להכליל לממד גבוה יותר באמצעות פולינום ארהרט. ניתן גם להכליל את הנוסחה לפני השטח של פאונים.
הוכחה.
יהי P מצולע כלשהו המקיים את תנאי המשפט, ו-T משולש החולק צלע משותפת עם P ונמצא מחוץ לו. נניח שמשפט פיק נכון עבור P ו-T. אנחנו רוצים להוכיח שגם המצולע P+T המתקבל מצירוף המשולש למצולע מקיים את משפט פיק. כיוון ש-P ו-T חולקים צלע משותפת, כל הנקודות שהיו על צלע זאת הופכות להיות נקודות פנימיות במצולע החדש, מלבד הקצוות, שנשארות על השפה. אם נסמן את הנקודות שהיו על הצלע המשותפת ב-c, נסמן את מספר הנקודות הפנימיות במצולע i ונסמן את מספר הנקודות שמונחות על צלע של מצולע b, נקבל:
ולכן
כיוון שהנחנו ש-P ו-T מקיימים את משפט פיק, מקבלים:
קיבלנו שאם המשפט נכון עבור מצולע בעל n צלעות, הוא נכון גם עבור מצולע בעל n+1 צלעות. לכל מצולע ניתן לבצע טריאנגולציה, כלומר לחלק למשולשים. לכן, בעזרת אינדוקציה אפשר להראות שמספיק שהמשפט יהיה נכון למשולשים, בשביל שיהיה נכון לכל מצולע. נותר להוכיח את בסיס האינדוקציה - להראות שהמשפט נכון עבור משולשים:
שני השלבים האחרונים נבעו מכך שאם PT הוא מצולע שמקיים את משפט פיק, אז גם המצולע P והמשולש T שהרכיבו אותו מקיימים את משפט פיק. ניתן להראות זאת באותה דרך המוצגת לעיל.
סובין
סֻבִּין (ברבים, גם: סֻבִּים) הם קליפות הגרעין של צמחים ממשפחת הדגניים: חיטה, שעורה, אורז, שיבולת-שועל, תירס ודוחן. הם מתקבלים בשלב הפרדת השכבות החיצוניות שעוטפות את הגרעין אשר נטחן לקמח. הסובין מכילים תאית וחומצה פיטית. בתזונה, התאית עוזרת לגרות את דפנות הקיבה ולהניע את פעולת העיכול אצל אדם בריא.
הסובין עשירים בסיבים תזונתיים וחומצות שומן חיוניות. הם מכילים כמות משמעותית של עמילנים, חלבונים, ויטמינים ומינרלים. מכילים בעיקר סיבים שאינם מסיסים ומסייעים בתהליך העיכול על ידי הוספת נפח לצואה בדומה ללתת. בסובי חיטה, השכיח מהמינים השונים, הסובין הם כ-14% ממשקל הגרעין.
סובי אורז.
סובי אורז הם תוצר לוואי של תהליך טחינת האורז (הפיכת אורז חום לאורז לבן). והם מכילים חומרים נוגדי חמצון שונים בעלי השפעה חיובית על בריאות האדם. סובי אורז מכילים רמה גבוהה של סיבים תזונתיים (בטא גלוקן, פקטין).
שימושים.
סובין משמשים לעיתים קרובות כדי להעשיר לחמים (בעיקר מאפינס) ודגני בוקר, במיוחד לטובת הגדלת צריכת סיבים תזונתיים והם מרכיב עיקרי בפת קיבר.
ביפן, משתמשים בסובי אורז להחמצה, מוסיפים אותם למים רותחים עם נצרי במבוק, ומשתמשים בהם לשטיפת כלים.
בבורמה מערבבים אותם עם אפר והם משמשים כחומר ניקוי לשטיפת כלים. בנוסף מוסיפים אותם לגושי קרח מסחריים כדי לעכב את תהליך המסתם.
סובי אורז ושמן סובי אורז נמצאים בשימוש נרחב בטיפולי יופי טבעי ביפן. רמות גבוהות של חומצה אולאית מאפשרות להם להיספג היטב בעור.
סובין משמשים כחלק ממספוא לבהמות ובעלי חיים שונים כדוגמת: ארנבים, ביזונים, קביות ועזים, וכמשטח מזון לגידול חרקים.
חסידות קאשיווקא-דויד הורודוק
חסידות קאשיווקא
חסידות קשיבקא
חסידות קשיווקא - דויד הורודוק
חסידות קשיווקא-דויד הורודוק
פיליפוס פצאלניקוס
פיליפוס פצאלניקוס (ביוונית: Φίλιππος Πετσάλνικος; 1 בדצמבר 1950 – 13 במרץ 2020) היה פוליטיקאי יווני, ששימש כדובר הפרלמנט היווני בין 2009–2012.
ביוגרפיה.
נולד במברוחורי על יד קסטוריה במערב מקדוניה. ב-1985 נבחר לפרלמנט מטעם התנועה הסוציאליסטית הפאן-הלנית.
שירת כשר הממונה על הסדר הציבורי בתקופה שבין 30 באוקטובר 1998 ל-19 בפברואר 1999 וכשר לענייני מקדוניה ותראקיה בין ה-22 באוקטובר 1996 ל-30 באוקטובר 1998. ב-24 באוקטובר 2001 מונה למשרת שר המשפטים ושימש בתפקיד זה עד 10 במרץ 2004. ב-15 באוקטובר 2009 נבחר לתפקיד דובר הפרלמנט היווני בתמיכתם של 168 מ-300 חברי הפרלמנט.
ב-9 בנובמבר 2011 עלה שמו כמועמד לתפקיד ראש ממשלת האחדות הזמנית שאמורה להוביל לאישור תוכנית הצנע והקיצוצים שנכפתה על יוון על ידי מדינות אירופה, כתנאי לקבלת סיוע כלכלי שנדרש למדינה בהתמודדותה עם המשבר הכלכלי שפקד אותה בסוף העשור הראשון של המאה ה-21
בשנת 2015 ביחד עם יורגוס פפנדראו הוא הקים מפלגה שלא עברה את אחוז החסימה בבחירות שנערכו באותה שנה.
פצאלניקוס למד באוניברסיטת סלוניקי ובאוניברסיטת בון.
נפטר ב-13 במרץ 2020. היה נשוי לעורכת דין גרמנייה, מריאלה בינדביק. לזוג היו שלושה ילדים.
פיליפוס פטסלניקוס
חסידות קאשיווקא-דויד הורדוק
הפשיעה החקלאית בישראל
לוקאס פפדימוס
לוקס פאפאדימוס
לוקאס פאפדימוס
לוקס פאפדימוס
לוקאס פאפאדימוס
מונוטרופה אוניפלורה
מונוטרופה אוניפלורה (שם מדעי: "Monotropa uniflora") הוא מין של צמח ספרופיטי במשפחת האברשיים. מראהו דומה למקטרת שלום אינדיאנית, ומכאן אחד מכינוייו של הצמח. מין זה הוא טפיל: אין בו כלורופיל והוא יונק את מזונו מריקבון, מפטריות או מעצים קרובים, בדומה לפטריות. הוא יכול לחיות במרחבים חשוכים מאוד הודות לעובדה שקיומו אינו תלוי באור.
אורכו הממוצע נע בין 10 ל-30 סנטימטר. צבעי הצמח אינם אחידים: לעיתים לבן לגמרי, או לבן עם אזורים שחורים, ואף ורוד.
הצמח חי באסיה, בצפון אמריקה ובדרום אמריקה.
סטרגה (ליקר)
סטרגה (באיטלקית: Strega, מילולית: מכשפה) הוא ליקר תבלינים איטלקי, שבולט בו הזעפרן. זהו הליקר האיטלקי הוותיק ביותר המיוצר ללא הפסקה. הליקר מיוצר משנת 1860 על ידי משפחת אלברטי מן העיר בנוונטו, לטענת היצרן מקורו של מתכון הליקר, העובר מאב לבן, מנזירים שקיבלו אותו ממכשפות. אגדת הכישוף משפיעה על כל אופני השיווק של המשקה ועל תוית הבקבוק מופיעות מכשפות רוקדות סביב עץ.
המתכון סודי ומכיל 70 תבלינים בהם קינמון, מנתה, תמציות פרחים ומעל הכל זעפרן המעניק למשקה את צבעו הכתום בהיר. לאחר השריה של הצמחים באלכוהול וזיקוק שלהם, מיושן המשקה בחביות עץ אלון.
המשקה משמש כדיז'סטיף, מהווה רכיב בקוקטיילים ובמתכונים לעוגות שהמפורסמת שבהן היא הטורטה קפרזה (Torta Caprese), עוגת שוקולד ואגוזים של האי קאפרי.
גואידו אלברטי, ממשפחת היצרנים ובעל המותג, תורם החל משנת 1947 את הפרס הספרותי האיטלקי החשוב ביותר, פרס סטרגה.
סטרגה
רובין האדום
רובין האדום (באנגלית: Red Robin, מילולית: הציפור קיכלי אדום-חזה) הוא דמות משנה בדיונית המופיעה בחוברות הקומיקס באטמן ביקום DC קומיקס. הדמות הופיעה לראשונה בחוברת "Batman #436" מאוגוסט 1989 ונוצרה על ידי הכותב מארב וולפמן והמאייר פאט ברודריק.
עד כה חלקו בנטל הדמות ארבע דמויות - דיק גרייסון, ג'ייסון טוד, יוליסס ארמסטרונג וטים דרייק, המזוהה ביותר עם הדמות. ביקום הבדיוני של "Kingdom Come", דיק גרייסון נוטל בשנית את זהותו של רובין, והופך לרובין האדום. עיצוב תלבושתו דומה לזו של באטמן מאשר תלבושות קודמות של רובין. מאז, רובין האדום הופיע מחדש באירועים שהובילו למשבר האחרון משנים 2007–2008 - שם התגלה כי לא היה זה גרייסון כי אם ג'ייסון טוד מתחת לתחפושת. לקראת אירועי "" משנת 2008, יוליסס ארמסטרונג - הידוע בכינוי אנרכיה - הופיע זמנית כרובין האדום. בשנת 2009 החלה הרצת סדרה חדשה באותו שם, כאשר את זהות רובין האדום נטל טים דרייק.