משפט: תהי formula_175 תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של formula_176 ונניח שהיא לא מנוונת. נסמן ב-formula_201 את הספקטרום שלה. אזי קיימת מידה formula_98-הטלתית רגולרית יחידה formula_212 על formula_201 כך שמתקיים formula_214 לכל formula_181. בנוסף, אם formula_216 הוא אופרטור חסום כלשהו, התנאים הבאים שקולים:
המידה formula_212 במשפט מכונה לעיתים המידה הספקטרלית המתאימה ל-formula_175.
ההעתקה formula_227 מציגה את האלגברה formula_200 כאוסף של אופרטורים חסומים על formula_98 (ספציפית, בתור האלגברה formula_175). ניתן להרחיב הצגה זו ל-formula_204 באופן הבא. אם formula_232, ההעתקה formula_233 היא פונקציונל ליניארי חסום על formula_200 בעל נורמה החסומה מלעיל על ידי formula_235. ממשפט ההצגה של ריס לפונקציונלים ליניאריים חסומים על formula_236 נובע שקיימת מידת בורל מרוכבת רגולרית יחידה formula_237 על formula_201 כך ש-formula_239 לכל formula_232 וכך ש-formula_241. formula_237 מכונה לעיתים המידה הספקטרלית המתאימה ל-formula_243 ו-formula_182. כעת בהינתן formula_224, מתקיים
לכל formula_232. קל לבדוק שהתבנית formula_248 היא ססקווילינארית ואי-השוויון לעיל מראה שהיא חסומה, לכן לפי משפט ההצגה לתבניות ססקווילינאריות חסומות על מרחב הילברט, קיים אופרטור חסום יחיד formula_249 כך ש-formula_239 לכל formula_232 וכך ש-formula_252. בכך הרחבנו את התמרת גלפנד ההפוכה formula_227 להצגה של האלגברה formula_204 כתת-אלגברת סי כוכב של formula_176 (המכילה כמובן את formula_175). זהו המפתח להוכחת נוסח זה של המשפט הספקטרלי, שכן כעת ניתן פשוט להגדיר formula_257 לכל קבוצת בורל formula_258, כאשר formula_259 היא הפונקציה המציינת של formula_260. בכך מתקבלת מידה formula_98-הטלתית formula_212 אשר מקיימת את כל התכונות במשפט. לכן formula_212 מקיימת גם את השוויון formula_264 לכל formula_265.
כעת נציג את ההכללה של הנוסח השני של משפט הפירוק הספקטרלי, אשר מדבר על דמיון אוניטרי של אופרטור (או באופן כללי יותר, אלגברת אופרטורים) לאופרטור הכפלה על formula_266 (או באופן כללי, אלגברה של אופרטורי הכפלה).
משפט: תהי formula_175 תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של formula_176 ונניח שהיא לא מנוונת. נסמן ב-formula_201 את הספקטרום שלה. אזי קיים מרחב מידה פריק וסמי-סופי formula_171, העתקה אוניטרית formula_271 והומומורפיזם איזומטרי של אלגבראות סי כוכב formula_272 מ-formula_175 ל-formula_274 כך ש-formula_275 לכל formula_276 ולכל formula_181. ניתן לבחור את formula_278 להיות איחוד זר של עותקים של תתי-קבוצות מסוימות של formula_201 כך ש-formula_280 היא סופית על כל קבוצה באיחוד ומתקיים formula_281 על כל קבוצה באיחוד. אם formula_98 הוא ספרבילי, ניתן לבחור את formula_280 להיות מידה סופית.
יש חיסרון מסוים בנוסח זה של המשפט הספקטרלי ביחס לנוסח שניתן קודם לכן - מרחב המידה formula_171 וההעתקה האוניטרית formula_57, בניגוד למידה ההטלתית formula_212, אינם נקבעים באופן יחיד על ידי formula_175. הדבר מקשה על מציאת קריטריון לדמיון אוניטרי בין שני אופרטורים נורמליים חסומים שרירותיים. עם זאת, המשפט עודנו שימושי בנוסח זה. נעיר שלמרות חוסר היחידות במשפט, קיימת בחירה קנונית של מרחב המידה וההעתקה formula_57, אשר ניתנת על ידי "תורת האן-הלינגר של ריבויים ספקטרליים".
אופרטור נורמלי חסום על מרחב הילברט ותחשיב פונקציונלי.
נצמצם כעת את כל התאוריה הכללית לעיל למקרה של אופרטור נורמלי יחיד formula_107 על מרחב הילברט formula_98. במקרה זה, תהי formula_291 האלגברה הנוצרת על ידי formula_292 ו-formula_184. זוהי אלגברת סי כוכב קומוטטיבית ולא מנוונת (הקומוטטיביות נובעת מהנורמליות של formula_107) וניתן להפעיל עליה את המשפטים הקודמים. יתרה מזאת, תורת גלפנד אומרת שבמקרה זה ניתן לזהות את הספקטרום של formula_291 עם formula_296 (הספקטרום של האופרטור formula_107) כך שהתמרת גלפנד של formula_107 מזוהה עם הפונקציה formula_299 על formula_300. לכן קיימת מידה הטלתית formula_301 על formula_300 כך ש-formula_303.
התכונות הסטנדרטיות של מידות הטלתיות (ובפרט אינטגרציה ביחס להן) הופכות הצגה זו של האופרטור לנוחה במיוחד. למשל, היא מאפשרת לזהות בקלות את הערכים העצמיים של האופרטור T: אם formula_304 אז התמונה של ההטלה formula_305 שווה לגרעין של המרחב העצמי המתאים ל-formula_306, כלומר ל-formula_307. לכן formula_306 הוא ערך עצמי של formula_107 אם ורק אם תמונת ההטלה formula_305 היא שונה ממרחב האפס. בפרט, ל-formula_107 אין ספקטרום נקודתי (כלומר, אין לו ערכים עצמיים) אם ורק אם המידה formula_301 היא לא אטומית.
אם formula_313 הוא פולינום מרוכב ב-formula_20 ו-formula_315, ההצבה הפורמלית של formula_107 בפולינום (במקום המשתנה formula_20) שווה לאופרטור formula_318. מסיבה זו טבעי להגדיר את האופרטור formula_319 (עבור formula_320 שרירותית) באופן הבא:
בצורה זו מתקבל תחשיב בורל פונקציונלי עבור האופרטור formula_107. שימוש טיפוסי בתחשיב זה הוא לצורך הגדרת שורש של אופרטור חיובי חסום. קל להראות שהספקטרום של אופרטור חיובי מכיל רק מספרים ממשיים אי-שליליים ולכן ניתן להגדיר את formula_323 לפי הנוסחה הנ"ל.
לפני הצגת התכונות של התחשיב הפונקציונלי, נגדיר מושג של התכנסות אשר מופיע באופן שכיח בהקשר זה. אם formula_324 היא סדרה של פונקציות מרוכבות על קבוצה כלשהי formula_217, נאמר ש-formula_326 נקודתית ובחסימות אם formula_327 לכל formula_328 ו-formula_329.
משפט (תחשיב בורל פונקציונלי לאופרטורים נורמליים חסומים): יהי formula_330 אופרטור נורמלי. אזי קיים הומומורפיזם יחיד של אלגבראות כוכב formula_331 מ-formula_332 ל-formula_176 עם התכונות הבאות:
והוא מוגדר כנזכר לעיל. בנוסף יש לו את התכונות הבאות:
נדגים את התחשיב הפונקציונלי עבור אופרטור הכפלה. יהי formula_171 מרחב מידה ויהי formula_354. נניח ש-formula_107 הוא אופרטור של הכפלה בפונקציה formula_356 (כלומר formula_357 לכל formula_358). אז קל להראות שהספקטרום של formula_107 הוא הטווח העיקרי של formula_360, כלומר קבוצת הנקודות formula_361 עבורן הקבוצה formula_362 היא ממידה חיובית לכל בחירה של formula_363. מכאן נובע ש-formula_364 לכמעט כל formula_365 (ביחס למידה formula_280). מאחר ש-formula_274 הוא מרחב של מחלקות שקילות (אנו מזהים פונקציות אשר שוות זו לזו formula_280-כב"מ), ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות ש-formula_369. אז ניתן להראות ש-formula_319 הוא אופרטור הכפלה ב-formula_371 עבור כל בחירה של formula_352.
משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים כלליים צמודים עצמית.
קיימת גם גרסה של המשפט הספקטרלי לאופרטורים ליניאריים נורמליים אשר אינם בהכרח חסומים. למשל, על פי רוב, אופרטורים דיפרנציאליים הם לא חסומים. גרסה זו של המשפט הספקטרלי משמשת בהוכחת משפט סטון על חבורות חד-פרמטריות אוניטריות.
אברהם גיבלבר
אברהם גיבלבר (23 במרץ 1910 - 2 באוגוסט 2002) היה איש ציבור ישראלי שכיהן כחבר הכנסת בכנסת השמינית.
קורות חיים.
גיבלבר נולד בפולין והיה פעיל מנעוריו בתנועות ציוניות. החל בשנת 1925 היה חבר הנשיאות של הפדרציה העולמית של יהדות פולין ובשנים 1937–1940 כיהן כמזכיר תנועת "החלוץ" בפולין. בשנת 1941 עלה לארץ ישראל והתיישב בקיבוץ אפק.
לאורך השנים היה גיבלבר פעיל במוסדות אחדות העבודה-פועלי ציון וכיהן כמזכיר המפלגה בשנים 1959–1963 ובשנית בין 1966–1967. לאחר יצירת מפלגת העבודה נבחר לכהן בה כסגן מזכ"ל המפלגה ובשנת 1974 נבחר מטעמה לחבר הכנסת השמינית. בכהונתו הוא היה סגן יושב ראש הכנסת, חבר ועדת הפנים ואיכות הסביבה וחבר ועדת השירותים הציבוריים.
לאחר סיום כהונתו בכנסת נבחר, בשנת 1979, לחבר עמית בוועד הפועל הציוני. מאוחר יותר נבחר גם לכהן כחבר מועצת "יד ושם" ושימש יו"ר הוועד המנהל של בית לוחמי הגטאות.
משפט הלכסון האוניטרי
בעיית ההתאמה של פוסט
בעיית ההתאמה של פוסט היא בעיה ידועה במדעי המחשב, שתוארה לראשונה בשנת 1946 בידי אמיל פוסט ומהווה דוגמה פשוטה יחסית (ועל כן שימושית) לבעיה בלתי כריעה, כלומר שאינה ניתנת לפתרון באמצעות מודלי החישוב המקובלים (ובפרט על ידי מחשב).
תיאור הבעיה.
הבעיה עוסקת במחרוזות - רצפי אותיות מעל אלפבית כלשהו. נתונה קבוצה סופית של זוגות של מחרוזות (בלי מגבלה על האורכים האפשריים שלהן), מהצורה formula_1. השאלה היא האם ניתן לבחור חלק מהזוגות (אולי יותר מפעם אחת) ולשרשר את כל ה-formula_2 בזוגות שנבחרו ואת ה-formula_3 בזוגות שנבחרו (כלומר, לכתוב אותם בזה אחר זה) כך ששני השרשורים יתנו את אותה המחרוזת.
בכתיבה פורמלית, השאלה היא האם קיימת סדרת אינדקסים, formula_4, כולם בתחום formula_5 כך ש-formula_6.
דוגמה.
בדוגמה זו ניתן ליצור את המילה "בללייקה" סימולטנית באמצעות סדרת האינדקסים 1,2,2,3,4: החזרה על אינדקס ה-2 מכפילה את הל' בסדרת ה-formula_2, ואת ה-י' בסדרת ה-formula_3.