תרגומו של בלום והמסה הפרשנית שלו ל"הרפובליקה" של אפלטון פורסמו ב-1968. בלום סבר כי תרגומים קודמים לוקים בחסר. הוא השתוקק במיוחד להסיר מהתרגום את השכבות האפלטוניות הנוצריות שדבקו בתרגומים ובניתוחים מלומדים קודמים. ב-1971 הוא כתב: "עִם הרפובליקה, לדוגמה, מסורת ארוכת שנים של פילוסופיה מספרת לנו מהן הסוגיות העומדות על הפרק... מובן זה של הבנה עלול להיות מלאכותי; אנו עלולים לקרוא את הטקסט כפי שהוא נראה מבעד לעיניה של המסורת ולא בהתאם לשאלות שאפלטון העמיד בעצמו".
עד לשלהי המאה העשרים, נהה חלק הארי של מומחי אפלטון בשפה האנגלית אחר מסורת שהתיכה תאולוגיה נוצרית עם אפלטון. השקפה זו, המכונה אפלטוניות נוצרית, מפרשת את אפלטון כמבשרו של העידן הנוצרי הממשמש ובא, מונותאיסט בעולם פוליתאיסטי. באסכולה זו מוחזק סוקרטס כקדוש קדם-נוצרי, שהמסורת מדגישה את נדיבותו וסגולות אוניברסליות נוספות, כגון מותו כקדוש מעונה. במילותיו של ג'ורג' גראנט: "הסטראוטיפים אומרים שהנצרות הובילה להתפשטות יתר של הנשמה".
עם זאת בלום פיתח סוג אחר של פלטוניזם: פלטוניזם פגני, סוג שאליו התוודע בלום ממורו לאו שטראוס (1899–1973), נציגה החשוב ביותר של תפישה זו במאה החולפת, ואימץ אותו. לדבקים בה יש השקפה שונה בתכלית על "הרפובליקה" של אפלטון. שטראוס פיתח את נקודת מבטו לאחר שלמד תאוריות אסלאמיות ויהודיות עתיקות יומין, כגון אלה של אל-פאראבי (870–950) והרמב"ם (1205–1304). כל פילוסוף היה נאמן לדתו, אולם תוך כדי כך חיפש לשלב פילוסופיה פוליטית קלאסית לתוך האסלאם והיהדות. באסלאם היה הנביא-המחוקק מוחמד, ובדומה לכך, החוק היהודי היה פונקציה של התאולוגיה היהודית. לכן היה על הפילוסופיות הללו להסתייע בפתרון שימזג במיומנות רבה רעיונות של אפלטון ואריסטו, שרבים מהם סתרו או הפריכו את המחשבה והפרקטיקה האסלאמית והיהודית – כל זאת מבלי להיראות כקוראים תיגר על התאולוגיה של דתם. לפי שטראוס, אל-פאראבי והרמב"ם כתבו באמת ובתמים עבור פילוסופים בפוטנציה בתוך האמונה האדוקה. שטראוס מכנה זאת "התגלית של הכתיבה האזוטרית", והוא מציג אותה לראשונה ב"רדיפה ואמנות הכתיבה" (Persecution and the Art of Writing, 1952). הנצרות שונה מהאמונות הללו בכך שהפילוסופיה הייתה תמיד חופשית לקנות לעצמה דריסת רגל בנצרות, בלי שתיראה ככופרת בעיקר. היה זה הודות לאוגוסטינוס הקדוש (354–430) בחיבוריו "עיר האלוהים" ו"על הרצון החופשי".
שטראוס לקח תובנה זו ויישם אותה לבסוף על כתביו של אפלטון עצמם. תרגומו של בלום ומאמרו על "הרפובליקה" נוקט בעמדה זו; הוא שונה ללא היכר בהיבטים שונים וחשובים מהתרגומים והפרשנויות הקודמות של "הרפובליקה". יש לציין בעיקר את הדיון של בלום אודות האירוניה הסוקרטית. למעשה, אירוניה היא המפתח שבו נוקט בלום על מנת לפרש את "הרפובליקה" (בדיונו בספרים I–II של "הרפובליקה"). אלן בלום טוען כי פילוסוף הוא חסין לאירוניה מכיוון שהוא מסוגל להיות טרגי כקומי וקומי כטרגי. בלום מתייחס לסוקרטס, הפילוסוף פר אקסלנס, ומצהיר במסתו הפרשנית: "סוקרטס מסוגל להתהלך עירום בעוד אחרים לבושים, הוא אינו חושש לעורר גיחוך. יש באפשרותו אף להרהר ביחסי מין בזמן שאחרים נבעתים מאימה. אין הוא חושש מתרעומת מוסרית". במילים אחרות, הוא מתייחס לקומי ברצינות ולטרגי בקלילות; מכאן שאירוניה ברפובליקה מתייחסת ל"צדקת העיר בדיבור". בלום מתבונן בה כמודל לחברה עתידית, לא כמקדש לנשמה האנושית; במקום זאת זוהי עיר אירונית, דוגמה לכך הוא המרחק בין הפילוסופיה לכל פילוסוף פוטנציאלי. בלום הולך בעקבותיו של שטראוס בהציעו ש"צדקת העיר בדיבור" אינה טבעית; היא מעשה ידי אדם, ולכן היא אירונית.
דלדולה של הרוח באמריקה.
הספר דלדולה של הרוח באמריקה (באנגלית: Closing of the American Mind) ראה אור ב-1987, חמש שנים לאחר שבלום פרסם את חיבורו בכתב העת The National Review על כישלון האוניברסיטאות לשרת את צורכיהם של תלמידיהן. בעידודו של סול בלו, עמיתו להוראה באוניברסיטת שיקגו, הוא העמיק את תובנותיו והפכן לספר "על אודות חיים שחייתי", עיון ביקורתי על מצב המדינה בתחום ההשכלה הגבוהה באוניברסיטאות אמריקה. חבריו ומעריציו שיערו כי תיפול בחלקו הצלחה צנועה בלבד, במיוחד לאור היענותו הרפה של המוציא לאור להשלים את הפרויקט. חרף זאת, בזכות מספר ביקורות חיוביות ביותר, ובהן אחת מאת כריסטופר ליהמן-האפט ב"ניו יורק טיימס", נהפך הספר לרב-מכר בלתי צפוי בן לילה. ברבות הימים הוא מכר חצי מיליון עותקים בכריכה קשה וכיכב בראש רשימת רבי-המכר של ה"ניו יורק טיימס" ברשימת ספרי העיון במשך ארבעה חודשים.
"דלדולה של הרוח באמריקה" הוא ביקורת על האקדמיה בת ימינו, שאותה תפס בלום ככושלת בהכשרת תלמידיה. יתרה מכך, בלום מתח ביקורת על הפילוסופיה האנליטית כתנועה: "פרופסורים בני האסכולות הללו כלל אינם מסוגלים ואף לא ששים לשוחח על שום דבר בעל חשיבות, והם אינם מייצגים בעצמם חיים פילוסופיים עבור תלמידיהם". במידה רבה נסבה ביקורתו של בלום על הפיחות בערכם של הספרים הגדולים של ההגות המערבית כמעיין נובע של חוכמה. על כל פנים, ביקורתו של בלום משתרעת מעבר לאוניברסיטה כדי לדון במשבר הכללי הפוקד את החברה האמריקאית. "דלדולה של הרוח באמריקה" עורך אנלוגיות בין ארצות הברית לרפובליקת ויימאר. בלום גרס כי הפילוסופיה הליברלית המודרנית נשמרה במקום קדוש בהגותו של ג'ון לוק, שסבר כי חברה צודקת יכולה להתבסס על טובת עצמה גרידא – בצד צמיחת היחסיות בהגות האמריקאית – דבר שהוביל למשבר השורר בחברה.
הכוח הטמון בביקורתו של בלום על התנועות החברתיות בנות זמנו, אשר לקחו חלק באוניברסיטאות או בחברה בכללותה, נובע מנקודת הראות הפילוסופית שלו. כישלונו של החינוך הליברלי בן ימינו מוביל להרגלים חברתיים ומיניים של סטודנטים, לחוסר יכולתם לעצב לעצמם חיים מעבר לסמלי ההצלחה הרגילים של העולם הגשמי. בלום טען כי ערכים כלכליים הפכו למוערכים יותר מאשר חיפוש פילוסופי אחר האמת או הרדיפה המתורבתת אחר כבוד או תהילה.
הוא ביקר במיוחד את השפעותיה של המוזיקה הפופולרית. במַקמו את מוזיקת הפופ או במינוחה הכללי – "מוזיקת רוק" – בקונטקסט ההיסטורי, החל מ"הרפובליקה" של אפלטון וכלה בכמיהתו הדיוניסית של ניטשה. בטַפלו בה ברצינות תהומית, הוא האיר באור חדש את תעשיית המוזיקה, אוכלוסיית היעד שלה (ילדים ומתבגרים), מבצעי-העל שלה והיומרות הצבועות שלה לשחרור ולחופש. אף על פי שתואר כגזען וקנאי עיוור על ידי כמה ממבקריו, בלום, שהתבסס על סוקרטס, אריסטו, רוסו וניטשה, חקר את כוחה של המוזיקה להשפיע על נפש האדם. הוא הצביע על החייל המחרף נפשו בקרב לקול הלמות התופים, הקנאי הדתי המתפלל תחת לחשם של המנונים דתיים, האהובה המפותה על ידי נעימת גיטרה רומנטית; ומציין את המסורת הפילוסופית המחשיבה את החינוך המוזיקלי כחשוב מכל. בלום רואה במיק ג'אגר כנציג העיקרי של הצביעות והסטריליות האינטלקטואלית של הרוק. מוזיקת הפופ מכילה דימויים ושפה מינית על מנת להקסים את עולי הימים ולשכנעם שמרדם הדל הוא פוליטיקה אמיתית, בעוד שלמעשה הם נשלטים על ידי מנהלי הכספים, שמבצעים מוצלחים כמו ג'אגר משרתים בלאט.
למעשה, בלום טען כי ג'אגר שימש כגיבור תרבות עבור רבים מן הסטודנטים באוניברסיטאות, שקינאו בתהילתו ובעושרו, בעוד הם עצמם מוכי שעמום מהאפשרויות הדלות העומדות בפניהם. לצד היעדרה של הספרות בחיי הצעירים, ומערכות היחסים האירוטיות שלהם, פירש חלקו הראשון של הספר את המצב הנוכחי של החינוך באופן המצוי מעבר ליכולת פרשן התרבות החוקר את התרבות בת ימינו.
יחסה של הביקורת.
הצלחת ספרו של אלן בלום הביאה עליה מִנְעד רחב של ביקורות אוהדות ומקטרגות. מרתה נוסבאום, פילוסופית קלאסית ופמיניסטית, והארי יפה (Jaffa), מלומד נאו-קונסרבטיבי, טענו כי בלום הושפע במידה ניכרת מן הפילוסופים האירופאים בני המאה ה-19, ובמיוחד פרידריך ניטשה. נוסבאום כתבה שעבור בלום, ניטשה היה בעל השפעה הרסנית בהגות האמריקנית המודרנית. יפה ציין את היעדר אזכורו של הפן המוסרי לתפקיד התקדמות זכויות ההומוסקסואלים בחייהם של סטודנטים בני ימינו. על פי יפה, בעוד שבלום דן בתנועות חברתיות בנות ימינו, במיוחד אלו שלבלבו בשנות ה-60, הוא ממלא פיו מים לגבי התנועות לזכויות הגייז.
קבלתו הציבורית של "דלדולה של הרוח באמריקה" מציעה שאפילו ליברלים לא ניאותו להכיר בתוצאות של היחסיות המוסרית שהם טענו שהם מחזיקים בה. מכאן נורמן פדהורץ ציין בביקורתו כי "דלדול הרוח" היא כותרת המרמזת על התוצאות הפרדוקסליות של "פתיחות הדעת" האקדמית בהגות הפוליטית הליברלית; כלומר: "צרות האופקים וחוסר הסובלנות הדוגמטית" המפספסת כל הזדמנות, מידי אפלטון, או המקרא העברי דרך משל, לספק תשתית הגיונית לשיפוטים מוסריים. פדהורץ לוקח את הרעיון רחוק יותר: "בלום מאשים את הליברליזם בוולגריות של הרעיונות הנעלים של חופש ושוויון והוא מציע תיאורים מרים ומבריקים הנסובים על גילוי המיניות והתנועה הפמיניסטית, שאותם הוא תופש כתוצרים של התהליכים הללו של הווּלגריות".
פונקציית המלבן
פונקציית המלבן (ידועה גם כפולס של גל מרובע ובאנגלית rectangular, rectangle function, rect function או unit pulse) מוגדרת כדלהלן:
ישנן הגדרות שונות של ערך הפונקציה formula_2 בנקודות אי-הרציפות formula_3 והן 0, 0.5, 1 או לא מוגדר.
אפשר לבטא את פונקציית המלבן באמצעות פונקציית הביסייד formula_4:
או לחלופין
פונקציית המלבן מנורמלת מבחינת שטח:
התמרת פורייה הרציפה של פונקציית המלבן היא
ובמונחי פונקציית sinc: