אלגוריתם גאוס-ניוטון הוא הליך איטרטיבי, כלומר יש לספק ערך התחלתי ל-formula_3, שנקרא לו formula_6.
ערכים עוקבים של formula_7 ניתנים אחר כך על ידי חזרה על היחס:
formula_8
כאשר:
את המטריצה ההופכית אין צורך לחשב במפורש. במקומה, אנו משתמשים ב-: formula_13 ואז ניתן לחשב את העדכון δ"k" על ידי פתירת מערכת ליניארית: formula_14.
יישום טוב של אלגוריתם גאוס-ניוטון מספק חיפוש אלגוריתם: במקום הנוסחה מלמעלה עבור "p""k"+1, אנו משתמשים ב-: formula_15, כאשר המספר α"k" הוא ברגע אופטימלי.
דוכסות לוקסמבורג
דוכסות לוקסמבורג הייתה מדינה באימפריה הרומית הקדושה, אשר הייתה חלק מארצות השפלה הדרומיות, אשר היו בשליטת ספרד, ולאחר מכן בשליטת אוסטריה.
רקע.
בשנת 963 בנה זיגפריד, רוזן הארדנים את מבצר לוקסמבורג, ונטל לעצמו את התואר "רוזן לוקסמבורג". בשנת 1065 מונה ואלראן מארלון לרוזן לימבורג, ובשנת 1119 הועלה נכדו ואלראן השני למעמד דוכס. בשנת 1247 ירש היינריך בנו של ואלראן השלישי, דוכס לימבורג את הרוזנות מאמו ארמסינדה, רוזנת לוקסמבורג, בתו של היינריך הרביעי, רוזן לוקסמבורג, שהיה צאצא של הענף המבוגר של בית לוקסמבורג.
בשנת 1281 מת היינריך החמישי, רוזן לוקסמבורג, ובמקומו עלה לשלטון בנו היינריך השישי, רוזן לוקסמבורג, אולם הוא נהרג בקרב וורינגטון, ובמקומו עלה לשלטון בנו היינריך השביעי, רוזן לוקסמבורג. בשנת 1308 הוכתר היינריך השביעי כמלך הרומאים, ובשנת 1312 אף הוכתר כקיסר האימפריה הרומית הקדושה, אולם הוא מת במפתיע בשנת 1313.
בשנת 1310 התחתן בנו של היינריך - יוהאן, מלך בוהמיה עם אליזבת מבוהמיה, אחותו של וצלאב השלישי, מלך בוהמיה, והוכתר כמלך בוהמיה. בשנת 1314 ניסה יוהאן להיבחר במקום אביו כמלך הרומאים, אולם נכשל בכך, ולודוויג הרביעי, דוכס בוואריה הוכתר בתואר.
בשנת 1346 נבחר קרל מבוהמיה, בנו של יוהאן, מלך בוהמיה לאנטי-מלך ללודוויג, על ידי חלק מהנסיכים שהסתכסכו עם לודוויג, ואף נתמכו על ידי האפיפיור קלמנס השישי. בשנת 1347 מת לודוויג הרביעי, ועד מהרה הפך קרל לשליט היחיד באימפריה.
היסטוריה.
בית לוקסמבורג.
בשנת 1354 העניק קרל לאחיו ונצל הראשון, רוזן לוקסמבורג את התואר דוכס, ולאחר מותו בשנת 1383 ירש אותו בנו של קרל - וצלאב. בשנת 1378 מת קרל, ובנו וצלאב הרביעי, מלך בוהמיה ירש את נחלותיו. וצלאב אף הוכתר כמלך הרומאים, אולם בשנת 1400 הודח מתפקידו על ידי רופרכט השלישי, הנסיך הבוחר מפפאלץ. בשנת 1410 מת רופרכט, ובמקומו נבחר זיגמונד, מלך הונגריה, אשר נבחר גם למלך בוהמיה לאחר מותו של וצלאב בשנת 1419. זיגיסמונד סיים את הקרע המערבי בשנת 1417, ואף גבר על ההוסיטים בשנת 1434. בשנת 1437 מת זיגיסמונד, ועם מותו נכחד בית לוקסמבורג. בשנת 1437 לא נותרו יותר זכרים במשפחת לוקסמבורג שיכלו לרשת את הכתר. באותה תקופה השתייכו הדוכסות והטירה לנסיכה הבוהמית אליזבת מלוקסמבורג, נכדתו של קרל הרביעי; נכרתה ברית ב-1440 עם שכנה החזק של הדוכסית, פיליפ השני, דוכס בורגונדיה, כדי שיירש את הדוכסות וינהל אותה אחרי מותה של אליזבת. פיליפ לא המתין למותה של אליזבת, אלא הגלה אותה ב-1443. יורשי בית לוקסמבורג לא היו מרוצים מסידור זה, ולאורך השנים ניסו מספר פעמים לטעון לכתר הדוכסות: הנסיך ההבסבורגי לדיסלאוס (מת ב-1457) החזיק בתואר במהלך שנות ה-50 של המאה ה-15, ולאחר מותו החזיק בתואר (או לפחות טען שהוא מחזיק בתואר) אחיינו וילהלם מתורינגיה (1425 – 1482) החל מ-1457 ועד 1469. אליזבת, נסיכת אוסטריה, היורשת היחידה לבית לוקסמבורג, ויתרה רשמית על תוארה ב-1467 כשהבינה שאין סיכוי לשמור על הדוכסות מפני שאיפות ההתרחבות של דוכסות בורגונדיה החזקה.
לאחר שנכבשה על ידי פיליפ השלישי ב-1443 הפכה הדוכסות לאחד משבעה-עשר המחוזות שהרכיבו את ארצות השפלה הבורגונדיות. עם נישואיה ב-1477 של מארי, דוכסית בורגונדיה, עברו שבעה-עשר המחוזות, כולל לוקסמבורג, לשלטון בית הבסבורג, שבאותה תקופה עמד בראשו בעלה מקסימיליאן, ומאוחר יותר בנם "פליפה היפה".
בית הבסבורג.
בשנים הללו דרשו שליטי ברנדנבורג, שמאוחר יותר הפכו למלכי פרוסיה, לקבל את חלקם בירושה הלוקסמבורגית כיוון שהיו צאצאים של וילהלם מתורינגיה ואנה מבוהמיה, שהיו הזוג הדוכסי השנוי במחלוקת ששלט בלוקסמבורג בשנות ה-60 של המאה ה-15 – אנה הייתה הבת הבכורה של יורשת העצר הלוקסמבורגית האחרונה. החל מ-1609 שליטי ברנדנבורג שלטו גם בדוכסות קלפה (Kleve) שהייתה סמוכה ללוקסמבורג וממנה נוצר בסופו של דבר מחוז ריינלנד בממלכת פרוסיה. התביעות של ברנדנבורג באו לידי ביטוי ב-1813 כאשר מספר מחוזות של לוקסמבורג אוחדו עם פרוסיה.
הראשון מבית הוהנצולרן שטען להיותו צאצא של אנה ואחותה הקטנה אליזבת היה יוהאן גאורג, הנסיך הבוחר מברנדנבורג (1525 – 1598), שסבתו מצד אמו הייתה ברברה מפולין (בתה של אליזבת). בשלהי המאה ה-18 נכנסה גם שושלת אורנז' הצעירה יותר (הנסיכים ששלטו באוליגרכיה ההולנדית הסמוכה) לקשרי משפחה עם בית ברנדנבורג.
ב-1598 הוריש פליפה השני, מלך ספרד את לוקסמבורג וארצות השפלה האחרות לבתו איזבלה קלרה אאוחניה ובעלה אלברכט השביעי, שהיה היורש וצאצא של אליזבת מלכת פולין, נכדתו הצעירה ביותר של זיגמונד, קיסר האימפריה הרומית הקדושה. באופן זה חזרה לוקסמבורג לידיהם של יורשי שושלת לוקסמבורג הישנה – לפחות אלה מהענף של אליזבת. ארצות השפלה היו ישות פוליטית נפרדת במהלך שנות שלטונם של אלברכט ואיזבלה. לאחר מותו של אלברכט ב-1621 ללא ילדים עברה לוקסמבורג לידיו של אחיינו ויורשו פליפה הרביעי, שהיה בעל זכות הירושה של אליזבת מפולין באמצעות סבתו אנה מאוסטריה, מלכת ספרד, שהייתה אחותו של אלברכט.
ב-1684 פלש ללוקסמבורג לואי ה-14, מלך צרפת, פעולה שגרמה לדאגה רבה בקרב שכנותיה של צרפת והובילה ליצירת הברית הגדולה ב-1686. במלחמה שפרצה לאחר מכן נאלצה צרפת לסגת מהדוכסות, שהוחזרה לבית הבסבורג לפי תנאי הסכם רייסווייק ב-1697. בתקופת השלטון הצרפתי חוזקו ההגנות של המבצר על ידי המרקיז דה וובאן. לואי (1710 – 1774), נינו של המלך הצרפתי, היה החל מ-1712 היורש העיקרי של אלברכט השביעי ובנוסף הוא היה צאצא של אנה מבוהמיה ווילהלם מתורינגיה, כך שזכאותו נבעה מהיותו נצר של סבתא-רבתא-רבתא-רבתא מצד אמו. לואי היה הראשון שטען לכתר בלוקסמבורג והיה צאצא של שתי האחיות, בנותיה של הקיסרית הלוקסמבורגית האחרונה אליזבת השנייה מבוהמיה.
שלטונו של בית הבסבורג אושרר ב-1715, ולוקסמבורג שולבה בארצות השפלה הדרומיות. יוזף הראשון, קיסר האימפריה הרומית הקדושה ויורשו הקיסר קרל השישי, קיסר האימפריה הרומית הקדושה היו צאצאים של אנה ווילהלם בנוסף להיותם צאצאים של המלכים הספרדיים שירשו את אלברכט ה-7, כך שזכאותם לכתר נבעה מצד אמם. קרל היה השליט הראשון של לוקסמבורג שהיא צאצא של שתי בנותיה של אליזבת השנייה מבוהמיה.
השליטים האוסטריים היו מוכנים לתת את לוקסמבורג וטריטוריות אחרות בארצות השפלה כאשר מטרתם הייתה לשפר ולהגדיל את בסיס הכוח שלהם, שמרכזו הגאוגרפי היה בעיר וינה. באופן זה, הבווארים יכלו להשתלט על לוקסמבורג אך דבר זה לא יצא לפועל. הקיסר יוזף השני עשה צעד ראשוני על מנת להכתיר כדוכס לוקסמבורג ומלך ארצות השפלה את שכנו קרל תאודור, הנסיך הבוחר מפפאלץ, בתמורה לרכושו בבוואריה ופרנקוניה. אולם, תוכנית זאת בוטלה בסופו של דבר. קרל תאודור, שבאופן זה היה הופך לדוכס מלוקסמבורג, היה צאצא צעיר מבחינה גנאלוגית של אנה ואליזבת, אך לא יורש ישיר שלהן.
מצב זה בא אל קיצו ב-1790, כשמהפכנים צרפתיים כבשו את המדינה וסיפחו אותה למחוז פורה.(צרפתית: Forêts)
לאחר מכן.
לוקסמבורג נותרה תחת שלטון צרפתי עד קונגרס וינה בשנת 1815, אז הוחלט שהדוכסות תהפוך לדוכסות גדולה, שבראשה יעמוד כדוכס גדול וילם הראשון, מלך הולנד, באוניה פרסונלית עם הממלכה המאוחדת של הולנד. בשנת 1830 פרצה המהפכה הבלגית, ותושבי לוקסמבורג המערבית הצטרפו לבלגים, ובעקבות כך צורפו לאחר מכן לבלגיה. בשנת 1867 אושררה עצמאותה של לוקסמבורג, וזאת לאחר תקופה של אי שקט שבה נשקלה האפשרות לספח אותה לבלגיה, גרמניה או צרפת. בעקבות משבר לוקסמבורג ב-1867 כמעט ופרצה מלחמה בין צרפת ופרוסיה על המעמד של לוקסמבורג. נושא זה נפתר בהסכם לונדון שהבטיח את עצמאותה הקבועה ואת הנייטרליות של לוקסמבורג. קירות המבצר הופלו וחיל המצב הפרוסי נסוג מהמדינה. לוקסמבורג נותרה תחת שלטונם של מלכי ארצות השפלה עד מותו של וילם השלישי, מלך הולנד בשנת 1890, כאשר מכיוון שלא היה לו בן, הדוכסות הגדולה עברה לאדולף, הדוכס הגדול של לוקסמבורג מבית נסאו-ויילבורג, בעקבות התנאים של הסכם הירושה של נסאו מ-1783. בכך נפרדה לוקסמבורג מהולנד בה ירשה בתו של וילם השלישי את כסאו. במהלך מלחמת העולם הראשונה ומלחמת העולם השנייה נכבשה לוקסמבורג על ידי הצבא הגרמני, ובשטחה אף התחולל הקרב על הבליטה בשנת 1944.
כיום לוקסמבורג היא מדינה עצמאית כחלק מהאיחוד האירופי, והיא המדינה היחידה בעולם המחזיקה בתואר דוכסות גדולה.
מסביב לעולם בשמונים יום (סרט, 2004)