נתייחס למקרה של מקור נקודתי הממוקם בנקודה P0, המייצר גלים בתדירות "f". את ההפרעה ניתן לתאר על ידי המשתנה המרוכב "U"0, הנקרא גם משרעת מרוכבת. הוא מפיק גלים כדוריים עם אורך גל λ ומספר גל "k" = "2π/λ". המשרעת המרוכבת של הגל הראשי בנקודה Q הממוקמת במרחק "r"0 מהנקודה P0 ניתנת בביטוי:
formula_1
מכיוון שהמשרעת קטנה ביחס הפוך למרחק ממקור הגל, והפאזה משתנה לפי מכפלת מספר הגל "k" במרחק מהמקור.
באמצעות התאוריה של הויגנס ועקרון הסופרפוזיציה של גלים, המשרעת המרוכבת בנקודה מרוחקת יותר P נמדדת על פי סיכום התרומות מכל נקודה על פני הכדור ברדיוס "r"0. כדי להשיג התאמה עם תצפיות ניסוייות, פרנל מצא שהתרומות מהגלים המשניים שנוצרים מנקודות על פני הכדור חייבים להיות מוכפלים בקבוע formula_2 (כאשר formula_3), ובפקטור הטיה נוסף formula_4. ההתאמה הראשונה פירושה שהגלים המשניים מאחרים ביחס לגל הראשי ברבע מחזור גל, ושהמשרעת של הגלים המשניים היא ביחס של formula_5 עם משרעת הגל הראשי. הוא הניח גם של-formula_4 יש ערך מרבי כאשר formula_7 (כלומר: בכיוון התקדמות הגל הראשי), וערך מאופס כאשר formula_8 (כלומר: בניצב לכיוון התקדמות הגל הראשי).
על כן, המשרעת המרוכבת ב-P נתונה בנוסחה:
formula_9
כאשר "S" הוא המשטח של הכדור, ו-"s" הוא הרדיוס-וקטור בין Q ל-P.
ההנחות השונות שעשה פרנל מתקבלות באופן אוטומטי בנוסחת העקיפה של קירכהוף , אשר ניתן לראות את עקרון הויגנס-פרנל כקירוב לה. עם זאת, התוצאה של קירכהוף נבדלת מזו של פרנל בפקטור ההטיה formula_4:
formula_11
ל-"K" יש מקסימום ב- formula_7 כמו בעקרון הויגנס-פרנל; אף על פי כן, "K" לא שווה לאפס כאשר formula_8. נוסחת קירכהוף מסבירה מדוע בכלל גלים מתקדמים בכיוון מוגדר מסוים: כאשר formula_14, מקבלים
0 = formula_4, כלומר הגלים המשניים כלל לא מועברים לאחור.
עקיפה.
בניסויי עקיפה, גל מישורי פוגע במחסום בעל מיפתח בצורה כלשהי (סדק יחיד, סדק כפול, שריג וכדומה), ומודדים את תבנית ההתאבכות של הגל על מסך שנמצא בעברו השני של המחסום. לפי עקרון הויגנס, התבנית המתקבלת זהה לזו שמתקבלת מאוסף אינסופי של מקורות נקודתיים הממלאים את המפתח. כתוצאה מכך מגיע הגל, מעבר למחסום, גם לאזורים שבהם הוא כביכול לא יכול להגיע על פי אופטיקה גאומטרית, העוסקת בתנועת אור בקווים ישרים בלבד.
תיאור מתמטי.
המשוואה שמקיים גל ממקור נקודתי היא משוואת הלמהולץ הלא-הומוגנית:
כאשר formula_17 היא פונקציית דלתא של דיראק התלת-ממדית, המתאפסת בכל המרחב פרט לנקודה formula_18. הגל המונוכרומטי התלוי בזמן שפותר את משוואת הגלים מתקבל על ידי הכפלת formula_19 בפונקציה formula_20.
מאחר שפונקציית דלתא תלויה רק במרחק מהראשית ולא בזווית המרחבית, כי אז לאחר החלפת המשתנים: formula_21 ניתן להשתמש רק בחלק הרדיאלי של אופרטור הלפלסיאן בקואורדינטות כדוריות:
כאשר formula_23.
מאחר שהפונקציה R מתאפסת בנקודה היחידה שבה פונקציית דלתא איננה מתאפסת, אגף ימין של המשוואה מתאפס באופן זהותי. פתרון המשוואה בקואורדינטות המקוריות הוא:
זוהי משוואה המתארת גל כדורי, הבוקע מהנקודה formula_26. את קבוע הפרופורציה ניתן למצוא באמצעות תנאי שפה. בנוסף, הפונקציה שהתקבלה היא לפי ההגדרה פונקציית גרין של המשוואה. לפי משפט גרין, משוואת הגל שנוצר ממקור דו-ממדי שאינו נקודתי ניתנת לחישוב באמצעות פונקציה זו על ידי האינטגרל המשטחי:
כאשר formula_28 הוא מקור הגל, formula_29 היא הזווית בין וקטור השטח האינפיניטסימלי לבין הווקטור formula_30, והאינטגרל הוא על המשטח המחולל את הגל. אינטגרל זה מבטא את הגל הנצפה כסופרפוזיציה של גלים כדוריים, הבוקעים מנקודות שונות על פני המשטח.
שבירה.
כאשר גל מישורי פוגע בגוף העשוי משני חומרים שונים, המוצמדים במישור, הגל מעורר על המישור אוסף של גלים כדוריים ממקורות נקודתיים, שממלאים את כל מישור ההפרדה. מהירות האור בחומר דיאלקטרי תלויה במקדם השבירה שלו. לכן, אם שני החומרים הם בעלי מקדמי שבירה שונים, אז חצי הכדור המתפשט לעבר החומר האחד יתקדם במהירות שונה מאשר חצי הכדור המתפשט לעבר החומר האחר. במקרה הכללי, שבו הגל מגיע למישור המפריד בזווית כלשהי שאינה אפס (כלומר, לא בניצב למישור), תיווצר זווית (שאינה אפס) בין הכיוון המאונך לחזית הגל הפוגע לבין זה של הגל הנשבר. תופעה זו מודגמת, למשל, במקרה של שבירה של אור במעבר הגבול בין שני חומרים. את זווית השבירה ניתן לחשב משיקולים גאומטריים, ולקבל את חוק סנל.
נוסחת הגלים
משוואת הגלים
משוואת הגלים היא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני שמתארת באופן כללי את התנהגותם של גלים שונים.
משוואת הגלים היא הדוגמה הפשוטה ביותר למשוואה דיפרנציאלית היפרבולית.
הצורה הכללית של המשוואה היא:
זוהי משוואה דיפרנציאלית, שבה הסימונים:
משוואה זו אינה משוואת הגלים היחידה, אלא רק הנפוצה והפשוטה ביותר. משוואה זו מתארת גלים עם יחס נפיצה ליניארי, וללא איבודי אנרגיה. דוגמאות נפוצות לגלים כאלה הם גלים אלקטרומגנטיים בריק או תנודות של מיתר מתוח. לגלים אחרים, כגון גלי קול, גלי מים, או תנודות בסריג (כמו פונונים).
פיתוח.
משוואת הגלים באה לתאר הפרעה שמתקדמת בזמן ובמרחב במהירות קבועה, ושומרת על צורתה. נניח כי הפונקציה formula_7 מתארת מידת ההפרעה משיווי משקל בנקודה formula_8 ברגע formula_9. אם נניח כי גודל מהירות הגל קבוע, ונגדיר אותה להיות formula_10, אזי לאחר זמן formula_9, הפונקציה המתארת את הגל ערכה formula_8 כשהיא מוזזת ב-formula_13 יחידות מהנקודה הקודמת.
אם נניח כי הגל שומר על צורתו (כלומר, מידת הסטייה משיווי משקל נשארת קבועה) נוכל לשים לב לקיום הקשר formula_14. קשר זה נובע ממשפטי הזזת הצירים.
נגזור את formula_7 על פי קואורדינטת המיקום formula_8:
formula_17
על ידי גזירה פעם נוספת של אותו הביטוי נקבל:
formula_18
כעת נגזור את formula_7 על פי הזמן:
formula_20
ופעם נוספת לפי הזמן:
formula_21
ניתן לראות בבירור כי מתקיים formula_22.
משוואת הגלים החד-ממדית.
עבור גל חד ממדי המשוואה היא:
כאשר formula_24 הוא המקום במרחב החד ממדי.
פתרון כללי של המשוואה נתגלה על ידי ז'אן לה רון ד'אלמבר והוא:
כאשר F,E הן פונקציות כלשהן. F מייצג גל שנע עם כיוון ציר ה-x ואילו E מייצג גל שנע בכיוון ההפוך. על ידי חישוב פשוט ניתן לראות שפתרון זה תקף לכל זוג פונקציות F,E (גזירות פעמיים ברציפות), וגם הכיוון ההפוך נכון: כל פתרון של משוואת הגלים ניתן להצגה בצורה זו.
פתרון שהוא גל מחזורי ניתן להצגה באמצעות הפתרונות הבסיסיים:
כאשר formula_27 הוא מספר גל כלשהו (ביחידות של אחד חלקי מרחק) והתדירות הזוויתית היא formula_28 .
פתרון בשיטת פורייה.
הפתרון הבסיסי של משוואת הגלים התלת ממדית שנקרא "גל מישורי" הוא
אופן הכתיבה הזה נקרא פאזור, ויש לו שתי דרגות חופש לכל תדר - בתוך המקדם A שהוא מספר מרוכב. אפשר לפתור בצורה דומה בעזרת טורים של סינוס וקוסינוס, שם לקוסינוס ולסינוס מקדם ממשי עצמאי כך שנשמרות שתי דרגות החופש, או בעזרת טורים של סינוסים עם פאזות, שם המקדם מהווה דרגת חופש אחת והשנייה היא הפאזה (דוגמה של פתרון כזה ראו בערך מתנד הרמוני).
כאשר:
עבור גלים לא אידיאליים יש להוסיף למשוואת הגלים תיקונים המייצגים חיכוך, כוחות מאלצים ועוד.
פתרון על ידי נוסחת ד'אלמבר.
על ידי מעבר לצורה הקנונית של משוואת הגלים והצבת תנאי התחלה, ניתן לקבל פתרון אנליטי עבור בעיית הגלים החד ממדית (בקטע אינסופי) הנתונה בצורה הבאה:
נוסחת ד'אלמבר למשוואה הומוגנית.
formula_40
נוסחת ד'אלמבר למשוואה אי הומוגנית.
formula_41
מחוז הצפון
מחוז הצפון הוא אחד משבעת המחוזות במדינת ישראל. המחוז משתרע מרמת הגולן והגליל העליון בצפון ועד עמק בית שאן ורמות מנשה בדרום. בירת המחוז היא נצרת, והעיר הגדולה ביותר בו היא נצרת. המחוז גובל ממערב בים התיכון, מצפון בלבנון, ממזרח בסוריה ובירדן ומדרום במרחב התפר של צפון יהודה ושומרון. גודלו של המחוז הצפוני הוא 4,473 קמ"ר. כמה מאתרי הפולחן והנופש המרכזיים בישראל, לרבות אלה שסביב הכנרת והר חרמון, שוכנים בתחומי המחוז הצפוני. המחוז חופף פחות או יותר לאזור הגליל במובנו הרחב המקובל, בנוסף לאזור הגולן.
דמוגרפיה.
אוכלוסיית המחוז, נכון לשנת 2018, מונה כ-1,448,100 תושבים.
הצפיפות במחוז הצפון עומדת על כ-261 אנשים לקמ"ר.
נתוני אוכלוסייה ושטח לפי רשות.
על פי נתוני הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה לשנת 2021, היו במחוז כ-1,469,424 תושבים ישראלים ב-419 יישובים.
משחקי החורף האולימפיים
"משחקי החורף האולימפיים" או בקיצור "אולימפיאדת החורף" הם המקבילה החורפית ל"אולימפיאדה". משחקים אלה כוללים ענפי ספורט חורף - ענפי ספורט הנערכים על שלג או על קרח - כגון הוקי קרח, החלקה על קרח או סקי. בדומה למשחקי הקיץ האולימפיים נערכים גם משחקי החורף אחת לארבע שנים אך בשונה מהם נערכים בהם רק ענפי ספורט חורפיים בעוד שבמשחקי הקיץ נערכים גם משחקים לא עונתיים שהם לא בהכרח קיציים.
היסטוריה.
כאשר הוועד האולימפי הבינלאומי החליט בשנת 1894 על חידוש המשחקים האולימפיים, בין ענפי הספורט שהוצעו היה החלקה על קרח, אך רק באולימפיאדת לונדון (1908) נערכו לראשונה תחרויות בענף זה.