בעקבות קרדאנו הוגדרו המספרים המרוכבים במפורש, בשנת 1572, על ידי רפאל בומבלי (Rafael Bombelli). באותה עת נחשבו מספרים כאלה לעזרי חישוב שאינם מייצגים גודל אמיתי. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, וביניהם רנה דקארט. דקארט הוא שטבע את הכינוי הלגלגני מעט "מספר מדומה" בשנת 1637, הוא התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". קרל פרידריך גאוס העדיף לקרוא למספרים המדומים "מספרים צִדיים" (lateral) משום שהם שוכנים בניצב לציר המספרים הממשיים. הוא אמר "הסיבה שנושא המספרים הדמיוניים הוא אפוף ערפל מסתורי היא בעיקר בגלל השם הלא מוצלח שניתן להם. אילו למשל היחידות
formula_11,
formula_12,
formula_13 היו נקראות 'ישרה, הפוכה וצדית' במקום 'חיובית, שלילית ודמיונית', הערפול הזה היה נעלם."
את האות formula_1 (בעקבות המילה imaginary), שהפכה לסימון המקובל במתמטיקה עבור היחידה המדומה, בחר אוילר בשנת 1777; בהנדסת חשמל נהוג לסמן מספר זה באות formula_15, כדי לא להחליף בינו לבין זרם חשמלי, המיוצג גם הוא באות formula_1.
מאפיינים אלגבריים.
קבוצת המספרים המדומים, כלומר קבוצת כל המספרים מהצורה formula_4 כאשר formula_5 הוא מספר ממשי, סגורה תחת חיבור: formula_19 (כחבורה חיבורית, הקבוצה איזומורפית לקבוצת הממשיים), אך אינה סגורה תחת כפל, משום שמכפלת שני מספרים מדומים היא מספר ממשי.
פעולת ההעלאה של היחידה המרוכבת i בחזקת מספר מדומה היא תמיד ממשית: formula_20.
וורנר פון האפטן
מוזיאון דל בריו
מוזיאון דל בריו (בספרדית: El Museo del Barrio, "מוזיאון השכונה"), הוא מוזיאון בעיר ניו יורק המציג את אמנות אמריקה הלטינית והאיים הקריביים. המוזיאון נוסד בשנת 1969, ונמצא באזור המוזיאנים במנהטן. המוזיאון מציג הן חפצי אמנות מסורתיים (אמנות פרה-קולומביאנית) מאמריקה הלטינית והקריביים, והן תערוכות של אמנים בני זמננו שמוצאם מאזורים אלה.
טור לורן
במתמטיקה, ובפרט באנליזה מרוכבת, טור לורן (Laurent) הוא טור מהצורה formula_1. כלומר, זהו טור חזקות שבו מופיעות גם חזקות שליליות. הטור נקרא על שם מי שגילה אותו לראשונה, המתמטיקאי פייר אלפונס לורן.
טור לורן מהווה הכללה של טור טיילור, וניתן להשתמש בו כדי לתאר מספר רב יותר של פונקציות מאשר באמצעות טור טיילור - בעיקר עוסקים בו לתיאור פונקציות מרוכבות. כל פונקציה אנליטית בטבעת ניתנת בה לפיתוח כטור לורן (להבדיל מפונקציות שאנליטיות בעיגול, ואותן ניתן להציג באמצעות טור טיילור).
באופן כללי, כל טור מפותח סביב נקודה כלשהי (רגולרית או סינגולרית). אם הטור מפותח סביב הנקודה formula_2 אז צורתו תהיה formula_3. הטור מתכנס בטבעת formula_4, כאשר רדיוס ההתכנסות הפנימי formula_5 ורדיוס ההתכנסות החיצוני formula_6 נתונים ע"י:
formula_7
formula_8
נציין כי formula_6 יכול להיות אינסוף (כאשר formula_10).
כאשר פונקציה מפותחת לטור לורן סביב נקודת סינגולריות מבודדת שלה (הדבר אפשרי כי בסביבה מנוקבת של נקודת סינגולריות מבודדת הפונקציה אנליטית) נקבע סוג נקודת הסינגולריות לפי מספר החזקות השליליות בפיתוח לורן:
החלק של הטור שמכיל את החזקות השליליות נקרא החלק העיקרי של הטור.
מגאדת'
מגאדת' (באנגלית: Megadeth) היא להקת ת'ראש מטאל אמריקאית, הנחשבת לאחת מלהקות המטאל המצליחות והמשפיעות ביותר, ולאחת מ"ארבע גדולות הת'ראש" יחד עם מטאליקה, סלייר ואנתרקס, ולשנייה בגודלה במכירותיה רק למטאליקה. הלהקה הוקמה בשנת 1983 על ידי הגיטריסט והסולן דייב מאסטיין, אשר פירק אותה בשנת 2002 ואיחד אותה מחדש בשנת 2004.
הלהקה מכרה למעלה מ-50 מיליון עותקים מאלבומיה, כאשר תשעה מתוכם הגיעו לרשימת 40 האלבומים הטובים ביותר של הז'אנר ו-18 מסינגלים שהוציאה הגיעו לרשימת 40 השירים הגדולים ביותר של הז'אנר. בשנת 2016 זכתה מגאדת׳ בפרס גראמי כאשר הייתה מועמדת לגראמי 12 פעמים בסך הכל.
מגאדת' הייתה חלוצית בתחומה, וסללה את הדרך ללהקות מטאל מצליחות רבות כדוגמת פנטרה, ארץ' אנמי ואין פליימס.
היסטוריה.
תחילת הלהקה.
זמן קצר לאחר שהגיטריסט הראשי של להקת מטאליקה, דייב מאסטיין, פוטר עקב סכסוכים אישיים בשל מה שתואר בזמנו כהתנהגות בעייתית, ושימוש מוגבר למדי בסמים, הוא הקים את מגאדת' יחד עם שכנו, הבסיסט דייוויד אלפסון. מאסטיין הפך למחבר המילים, המלחין הראשי בלהקה, הגיטריסט המוביל, ולאחר שלא מצא סולן שהתאים לדרישותיו, גם לסולן הלהקה. תוך זמן קצר, הלהקה הוסיפה את המתופף לי ראוש (שהוחלף בגאר סמואלסון) והגיטריסט קארי קינג (מלהקת סלייר), שהוחלף בכריס פולאנד.
האלבומים הראשונים (1985-1989).
בסוף 1984, מגאדת' הייתה חתומה בחברת ההקלטות קומבט רקורדס, ובמאי 1985 הוציאה את אלבומה הראשון, "Killing Is My Business... And Business Is Good!". ללהקה הוקצב סכום של 8,000 דולר להקלטת ולהפקת האלבום, אך חברי הלהקה בזבזו יותר ממחצית הסכום על סמים, מה שבא לידי ביטוי באיכות הסאונד הנמוכה של האלבום. אך למרות הפקה גרועה יחסית ותמונת עטיפה עלובה (לדבריו של מאסטיין, ברגע שראה את התמונה הוא חשב "רימו אותנו!"), האלבום היה מוצלח ביותר ושילב אלמנטים של ת'ראש מטאל, פאנק וג'אז. "Killing is My Business" זהו אלבום טכני מאוד, עם דגש חזק על גיטרה בס, הכולל סולואים ארוכים ומהירים מאוד של גיטרה חשמלית, ואף מזכיר את Kill 'Em All של מטאליקה (אשר מאסטיין השתתף בכתיבת רובו). למעשה, השיר "Mechanix" מתוך "Killing is My Business" זהו בעצם השיר "The Four Horsemen" מתוך "Kill 'Em All" עם מילים אחרות. את השיר כתב מאסטיין לפני שהצטרף למטאליקה, מטאליקה הופיעו איתו, ולאחר שמאסטיין פוטר מהלהקה, מטאליקה שינו את המילים, הוסיפו גשר מלודי והאטו את הקצב.
בנובמבר 1986 מגאדת' הוציאו את אלבומם השני, "Peace Sells... But Who's Buying?‎", שהביקורות היללו כאלבום ת'ראש מטאל מעולה, המאופיין בהפקה משופרת וכתיבה מתוחכמת. מאוחר יותר באותה שנה, מגאדת' הוחתמו בחברת קפיטול רקורדס, שגם רכשו את הזכויות לאלבום "Peace Sells" מחברת קומבט רקורדס.
גאר סמואלסון וכריס פולנד פוטרו מהלהקה לאחר סיבוב הופעות בהוואי, והיו שמועות בדבר שימוש בסמים על ידי כל חברי הלהקה. המחליפים היו צ'אק בהלר על התופים וג'ף יאנג על הגיטרה. במרץ 1988 ההרכב החדש הוציא את האלבום השלישי של הלהקה, "So Far, So Good... So What!", שקיבל ביקורות שליליות ונכשל בשחזור ההצלחה של קודמו, "Peace Sells". החידוש של שירם של הסקס פיסטולז, "Anarchy In The UK" שנכלל באלבום זכה לביקורות מלגלגות במיוחד וראו בו סימן לכשלונו של האלבום כולו.
שנות התשעים.
חייו של ההרכב שהקליט את "So Far, So Good... So What" היו קצרים, היות שיאנג ובהלר פוטרו ב-1989, והוחלפו בהתאמה על ידי ניק מנזה ומרטי פרידמן. הרכב זה (מאסטיין, אלפסון, מנזה ופרידמן) היה היציב ביותר בקריירה של הלהקה, הקליט ארבעה אלבומים מוצלחים, ויצר למגאדת' תדמית של להקה שביכולתה לנגן לא רק מטאל איכותי, אלא גם ליצור יצירות קבילות יותר מבחינה מסחרית. כיוון הלהקה כולה השתנה בתכיפות רבה לאורך העשור, היות שמגאדת' עשתה מאמצים להביס את מטאליקה, יריבתה, על ידי "ריכוך" למען רכישת שם מרכזי של להקת מטאל מלודית, דבר שהביא לתלונות מצד המעריצים שעמדו לצדה לאורך השנים וראו בה כאחת הלהקות המובילות בת'ראש מטאל.
למרות זאת, ב-1990, מגאדת' לא הראתה סימני חולשה. אלבומה הרביעי של הלהקה, "Rust in Peace", עדיין נחשב בעיני רבים כאחד מאלבומי הת'ראש מטאל המלהיבים והמתוחכמים ביותר מבחינה טכנית. הליריקה הקליטה והעוקצנית האופיינית למאסטיין, והריפים המחוספסים והמהירים הונצחו בהפקה ברורה ודייקנית, דבר שאפשר לשמוע את כל הניואנסים של לחני הגיטרה של מאסטיין. האלבום כולל את השיר "Holy Wars" ("מלחמות קדושות") - שיר ת'ראש טכני וכבד, העוסק במלחמות הדת במזרח התיכון, ואף כולל סולו קצרצר של גיטרה חשמלית בסגנון מוזיקה ים תיכונית. בדומה ל-‎...And Justice for All של מטאליקה שנתיים קודם, "Rust In Peace" המחיש היטב רמה של מורכבות טכנית, שהזכיר מטאל פרוגרסיבי.
ביולי 1992, מגאדת' הוציאו את האלבום "Countdown to Extinction", שהפך להצלחה מיידית, הגיע למקום השני במצעד הבילבורד והיה למולטי-פלטינום: מאסטיין עצמו אמר, שהצלחותיה הבאות של מגאדת' ימדדו בהשוואה להצלחה של "Countdown To Extinction". באלבום זה מבנה השירים היה פשוט יותר, מוזיקה "קליטה" יותר, והושם דגש חזק יותר על קולו של הסולן: אלו הם הצעדים שגם מטאליקה נקטה בהאלבום השחור שלה במטרה להעצים את הצלחתו הרווחית של האלבום. מאסטיין ושאר חברי הלהקה חשו מתוסכלים, כאשר בילי ריי סיירוס מנע מהם את המקום הראשון במצעד הבילבורד כאשר זכה עם שירו "Achy Breaky Heart".
האלבום הבא, "Youthanasia", יצא בשנת 1994 וגם הוא נחל הצלחה. באמצעות דבקותם בכיוונם החדש, שנקבע על ידי האלבום הקודם, האלבום הכיל בתוכו סאונד יותר רגוע, שקט ואטי. במהלך מסע ההופעות הופיעה מגאדת' גם בישראל.
האלבום הבא, שנקרא "Cryptic Writings", שוחרר ב-1997 ונטה יותר לכיוון ההארד רוק, אם כי עדיין הכיל את הצליל המיוחד המזוהה עם מגאדת'. ניק מנזה עזב את הלהקה בשנת 1998 והוחלף על ידי ג'ימי דגראסו.