חבורת האיזומטריות שומרות הכיוון של חצי המישור העליון היא חבורת המטריצות formula_5, הפועלת עליה (טרנזיטיבית) לפי טרנספורמציות מביוס:
formula_6.
ל"נקודה באינסוף", formula_7 (הנמצאת באינסופו של הכיוון החיובי של הציר המדומה) יש תפקיד מיוחד בפעולה הזו: כאשר formula_8, formula_9, וכך אפשר להגיע לכל נקודה על הציר הממשי. מכיוון שכך, נקודות השפה (היינו: הנקודות על הציר הממשי, והנקודה באינסוף) כולן שקולות זו לזו.
מרחבי המנה של H מתקבלים מקיפול המרחב לפי תת חבורה דיסקרטית של formula_5, והדוגמה החשובה ביותר מאלה היא החבורה המודולרית formula_11. התחום היסודי שלה, formula_12, הוא דוגמה טיפוסית למשטח רימן בעל שטח סופי שאינו קומפקטי - בדיוק בגלל הנקודה באינסוף, הנקראת "חוד" (cusp). במרחב המנה, החוד הזה נמצא לא רק אי-שם במעלה הציר המדומה, אלא גם בכל נקודה רציונלית של הציר הממשי, ובכל המקרים מדובר באותו חוד ממש (משום שהנקודות שקולות זו לזו תחת פעולת החבורה המודולרית).
תבניות מודולריות כפונקציות על מרחב הסריגים.
נסמן ב- formula_13 את קבוצת כל הסריגים במישור המרוכב formula_14. אחת הדרכים האפשריות להגדיר תבנית מודולרית היא כדלקמן:
הגדרה. תבנית מודולרית ממשקל k היא פונקציה formula_15, המקיימת את התכונות הבאות:
כאשר k=0, פירושו של התנאי השני הוא שהערך formula_23 תלוי רק בסריג רק עד כדי דמיון (כלומר, כפל בקבוע). זהו מקרה פרטי חשוב, אך לרוע המזל מתברר שהתבניות המודולריות היחידות ממשקל 0 הן הפונקציות הקבועות. אם מוותרים על תנאי (3), ומרשים לפונקציה נקודות סינגולריות, מתקבלת המחלקה של פונקציות מודולריות.
את המבנים המתקבלים כאן כדאי להשוות לפונקציות המוגדרות על מרחב פרויקטיבי formula_26: אלו פונקציות המוגדרות על המרחב הווקטורי V, שהן פולינומים בקואורדינטות של formula_27, ומקיימים את תנאי ההומוגניות formula_28 לכל סקלר שונה מאפס c. גם כאן, רק הפונקציות הקבועות עונות על כל הדרישות. רק כאשר מחליפים את הפולינומים בפונקציות רציונליות (היינו, מנות של פולינומים), ומאבדים בכך משהו מתחום ההגדרה, מתקבלת תאוריה עשירה של פונקציות הומוגניות על מרחבים פרויקטיביים. אלו הן מנות של פולינומים הומוגניים מאותה מעלה, ולכן אפשר לראות בהן "פונקציות ממעלה אפס".
לחלופין, אפשר להישאר עם הדרישה שהפונקציות על המרחב V תהיינה פולינומים, אבל להחליף את תנאי ההומוגניות המקורי בתנאי הכללי יותר, formula_29. התנאי הזה לוכד את כל הפולינומים ההומוגניים ממעלה k. מחד, פולינומים אלה מהווים מרחב וקטורי מממד סופי לכל k, ומאידך, אם מאפשרים ל-k לגדול, מתקבלים מספיק פולינומים כדי לבנות את כל הפונקציות הרציונליות ההומוגניות, שהן, כאמור, הפונקציות המוגדרות על המרחב הפרויקטיבי formula_26.
התנאי formula_31 (עבור formula_32) מראה שהפולינומים ההומוגניים אינם מוגדרים על המרחב הפרויקטיבי. מנקודת מבט גאומטרית-אלגברית, הפולינומים ההומוגניים הם "מקטעים" של אלומות (ולמעשה, במקרה זה, אגד וקטורי). התבניות המודולריות אנלוגיות לגמרי לאותם פולינומים הומוגניים.
תבניות מודולריות כפונקציות על עקומים אליפטיים.
כל סריג formula_33 מגדיר עקום אליפטי formula_34. שני סריגים מגדירים עקומים איזומורפיים, אם ורק אם הם "דומים", כלומר, מתקבלים זה מזה על ידי כפל בקבוע. אפשר לחשוב על פונקציות מודולריות כאילו היו מוגדרות על "מרחב המצבים" (moduli space) של העקומים האליפטיים. לדוגמה, האינווריאנט j של עקומים אליפטיים (שאותו אפשר להגדיר באמצעות פונקציית P של וירשטראס) הוא מודולרי.
על-פי ההגדרה שניתנה לעיל, תבנית מודולרית היא פונקציה המוגדרת על סריגים. כל סריג במישור המרוכב אפשר לפרוש על ידי שני וקטורים, ולכן אפשר לראות בתבנית פונקציה של שני משתנים, formula_35. את ההתנהגות ביחס לכפל בקבוע של הסריג (תנאי 2) אפשר לתרגם לתנאי formula_36, כאשר formula_37.
נקודת המפתח היא שלסריג נתון יש בסיסים רבים. אם 1,z פורשים סריג formula_19, אז לכל מטריצה
formula_39 בעלת מקדמים שלמים ודטרמיננטה 1, גם formula_40 פורשים את אותו סריג. מכיוון שהתבנית המודולרית מוגדרת על הסריג (ללא תלות בבסיס שבוחרים לו), היא מקיימת
formula_41, כלומר, את המשוואה הפונקציונלית היסודית
חבורת המטריצות formula_11 (היינו, מטריצות ב-formula_1, עד כדי סימן), נוצרת על ידי הצמד formula_45 ו-
formula_46. משום כך, המשוואה הכללית שקולה לצמד המשוואות הבאות: formula_47 ו- formula_48.
פונקציה המקיימת את המשוואה היסודית עבור כל מטריצה בתת-חבורה מאינדקס סופי של formula_1 נקראת גם היא "תבנית מודולרית". לדוגמה, חבורת הקונגרואנציה formula_50 מוגדרת כאוסף המטריצות ב- formula_1, השקולות מודולו N למטריצה משולשית עליונה; היינו, מטריצות מהצורה
formula_52. פונקציות המקיימות את המשוואה היסודית עבור מטריצות מהחבורה formula_50 נקראות תבניות מודולריות מרמה N.
פונקציות מודולריות.
פונקציה מודולרית היא פונקציה מרומורפית על חצי המישור העליון H, המקיימת את שני התנאים הבאים:
אפשר להראות שכל פונקציה רציונלית של הקבוע האבסולוטי של קליין, formula_56, היא פונקציה מודולרית, ושכל פונקציה מודולרית היא כזו. במילים אחרות, שדה הפונקציות הרציונליות formula_57 הוא השדה של הפונקציות המודולריות. יתרה מזו, כל פונקציה מודולרית אנליטית היא תבנית מודולרית (אף על פי שההפך אינו נכון). אם פונקציה מודולרית f אינה זהותית 0, אז, בסגור של התחום היסודי, מספר האפסים שלה שווה למספר הקטבים.
הגדרות.
יהי k מספר חיובי. תבנית מודולרית ממשקל k ומרמה N היא פונקציה הולומורפית על חצי המישור העליון, שהיא מרומורפית כאשר formula_8 (הכיוון הזה הוא החוד של חצי המישור העליון), ומקיימת את המשוואה הפונקציונלית formula_59 לכל formula_60. התבניות מרמה 1 הן אלו שהוגדרו קודם לכן.
פיתוח q.
מן המשוואה הפונקציונלית נובע בפרט ש- formula_61, כלומר, f מחזורית, ולכן יש לה פיתוח פורייה.
פיתוח q של תבנית מודולרית הוא הטור לורן שלה בחוד, כלומר, טור פורייה, כשהוא כתוב כטור לורן במונחי הפרמטר formula_62 (המשתנה הזה מקודד את המחזוריות).
מכיוון שפונקציית האקספוננט אינה מתאפסת, formula_63 על המישור המרוכב, אבל בגבול formula_8,
formula_65. לכן הפיתוח סביב q=0 הוא פיתוח סביב החוד במרחב של z.
פירושה של המרומורפיות בחוד הוא שיש רק מספר סופי של מקדמי פורייה שליליים, ולכן הפיתוח במונחי q "חסום מלמטה", ויש לו הצורה
formula_66. המקדמים formula_67 הם "מקדמי פורייה" של f, והמספר m (המינימלי) הוא סדר הקוטב של f בחוד.
תבניות שלמות, תבניות קספידליות.
אם f הולומורפית בחוד (אין לה קוטב ב- q=0), היא נקראת תבנית מודולרית שלמה. אם f מרומורפית אבל לא הולומורפית שם, היא תבנית מודולרית לא שלמה. לדוגמה, האינווריאנט j הוא תבנית מודולרית לא שלמה ממשקל 0, ויש לו קוטב פשוט ב- formula_68.
אם f שלמה ומתאפסת ב- q=0 (כלומר, formula_69), אז התבנית היא תבנית חוד. המספר n הקטן ביותר שעבורו formula_70 הוא "סדר האפס של f" בחוד.
גורמים אוטומורפיים והכללות אחרות.
במשוואה הפונקציונלית היסודית, אפשר לוותר על הדרישה ש- k יהיה שלם, ולהוסיף כופל formula_71 בעל ערך מוחלט 1, כך שמתקיימת המשוואה formula_72.
פונקציות מהצורה formula_73 ידועות כגורמים אוטומורפיים.
בכך שמרשים גורמים אוטומורפיים, אפשר לכלול בתאוריה גם פונקציות כמו פונקציית אטה של דדקינד (שהיא תבנית מודולרית ממשקל 1/2). כך, למשל, יהי formula_74 קרקטר דיריכלה מודולו N. תבנית מודולרית ממשקל k ומרמה N ובעלת עיוות formula_75 היא פונקציה הולומורפית על חצי המישור העליון, המקיימת את המשוואה הפונקציונלית formula_76
לכל z ולכל formula_77, ושהיא הולומורפית בחוד.
דוגמאות.
הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של סדרות אייזנשטיין. לכל שלם זוגי formula_78, מגדירים את הפונקציה formula_79. התנאי k&gt;2 מבטיח את התכנסות הטור; הגדרה דומה עבור k אי זוגי תתן תמיד 0, משום שהווקטורים formula_80 ו- formula_81 יבטלו זה את זה.
סריג יונימודולרי זוגי L ב- formula_82 הוא סריג הנוצר על ידי וקטורי העמודה במטריצה ממשית שהדטרמיננטה שלה 1, וכך שהאורך של כל וקטור הוא שלם זוגי. אם L סריג כזה, אז כמסקנה מנוסחת הסיכום של פואסון, פונקציית תטא
formula_83
היא תבנית מודולרית ממשקל formula_84.
לא פשוט לבנות סריגים יונימודולריים זוגיים, להלן דוגמה: יהי n שלם המתחלק ב-8, ונתבונן בכל הווקטורים formula_85 כך שהקואורדינטות של formula_86 שלמים, וכולם זוגיים או כולם אי-זוגיים, וכך שסכום הקואורדינטות של v הוא שלם זוגי. הסריג הזה נקרא formula_87. כאשר n=8, זהו הסריג הנוצר על ידי השורשים במערכת השורשים
E8. יש רק תבנית מודולרית אחת מממד 8 (עד-כדי כפל בסקלר), ולכן
formula_88.
עם זאת, הסריגים formula_89 ו- formula_90 אינם דומים. ג'ון מילנור הבחין ששני הטורוסים ה-16-ממדיים המתקבלים מחלוקת המרחב formula_91 בשני הסריגים, הם דוגמאות ליריעות רימן קומפקטיות, שהם איזוספקטרליים אבל לא איזומטריים (ולכן אי-אפשר לשמוע את צורת התוף).