לגראנז' היה גם מחלוצי המכניקה האנליטית כאשר פיתח פורמליזם חזק ואלגנטי יותר לחוקי ניוטון, המתבסס על חשבון וריאציות. על בסיס עבודתו פיתח ויליאם רואן המילטון את המכניקה ההמילטוניאנית, שהייתה אבן דרך חשובה בניסוח מתקדם של חוקי הפיזיקה.
ביוגרפיה.
השנים הראשונות.
לגראנז' נולד ב-1736 בטורינו שבצפון איטליה, בשם ג'וזפה לודוביקו לגראנג'ה (Giuseppe Lodovico Lagrangia). אביו, אשר היה מופקד על אוצר צבא ממלכת סרדיניה, היה אמיד ובעל מעמד חברתי גבוה, אך עוד לפני שבנו התבגר, הוא איבד את מרבית רכושו בספקולציות, ולגראנז' הצעיר נאלץ לסמוך על יכולותיו שלו. הוא התחנך במכללה של טורינו, ורק כאשר מלאו לו שבע-עשרה שנה החל להראות סימני עניין במתמטיקה. עניינו בנושא התעורר בעקבות דיווח של אדמונד היילי אשר בו נתקל במקרה. ללא עזרה ובודד השליך עצמו ללימודי מתמטיקה; בסוף שנה של לימודים בעמל רב ורצוף הוא כבר היה מתמטיקאי מוצלח ונעשה מרצה בבית הספר לארטילריה.
לגראנז' לא למד מתמטיקה באופן מסודר, והדבר ניכר במאמר הראשון שחיבר, בגיל תשע-עשרה שנה, שעסק באנלוגיה בין משפט הבינום לכלל לייבניץ. הוא אף העז ושלח את מאמרו ללאונרד אוילר. זמן קצר לאחר מכן, גילה כי התוצאה אליה הגיע כבר הופיעה בהתכתבות בין לייבניץ ויוהאן ברנולי. חרף התחלה בלתי מרשימה זו, הוא המשיך לעסוק במחקר, וב-1754 מצא פתרון לבעיית ההיקף הקבוע, שהייתה נושא לדיון במשך כחמישים שנה. שוב שלח את עבודתו לאוילר.
אוילר זיהה את הכלליות של השיטה שבה השתמש לגראנז' וכן את עליונותה על שיטתו; ובמחווה נדירה הוא עיכב מאמר שכתב לפני כן כדי שללגראנז' יהיה מספיק זמן להשלים את עבודתו, המהווה בסיס לענף הידוע היום בשם "חשבון וריאציות". את השם לענף החדש במתמטיקה הציע אוילר. צעד זה הציב את לגראנז' בשורה הראשונה של המתמטיקאים בתקופתו.
Miscellanea Taurinensia.
ב-1755, והוא בן 19 בלבד, מונה לגראנז' לפרופסור למתמטיקה באוניברסיטה של טורינו, העיר שהייתה לימים (1861) עיר הבירה הראשונה של איטליה המאוחדת. כעבור זמן קצר הוצעו לו משרות אקדמיות יוקרתיות יותר, אך הוא העדיף להישאר בעיר מולדתו, שם הייתה לו האפשרות לעסוק במתמטיקה בשלווה. במשך השנים הבאות פרסם שורה של מאמרים חשובים בתחומים שונים במתמטיקה ובפיזיקה.
בשנת 1758 ייסד לגראנז' חברה בעזרת כמה מתלמידיו, שלאחר מכן אוחדה לאקדמיה של טורינו, ומרבית מכתביו המוקדמים נמצאים בחמשת הכרכים הראשונים של פעולותיה, אשר נקראים בשמם "Miscellanea Taurinensia". רבים מהם הם מאמרים מדעיים סבוכים. בכרך הראשון נמצא מאמר בנושא התקדמות גלי קול; שם הוא מתקן טעות שעשה ניוטון, מקבל את המשוואה הדיפרנציאלית הכללית של התקדמות הקול בחומר (משוואת הגלים), ואף מביא פתרון שלה עבור תנועה בקו ישר. בספר זה הוא גם נותן פתרון מלא לבעיית המיתר המוחזק בקצותיו. במאמר זה הוא מצביע על חוסר כלליות בפתרונות של טיילור, ד'אלמבר ואוילר ומגיע למסקנה שצורת המיתר בכל רגע נתון formula_1 נתונה על ידי formula_2. המאמר מסיים בדיון בהדים, פעימות וצלילים מורכבים. מאמרים אחרים בכרך זה הם על סדרות מתכנסות, הסתברות ועל חשבון וריאציות.
הכרך השני מכיל מאמר ארוך שמכיל תוצאות של כמה מאמרים מהראשון על תורת הסימונים בחשבון הווריאציות והוא גם מראה את שימושו על ידי הסקה של עקרון הפעולה המינימלית ועל ידי פתרון של כמה בעיות בדינמיקה.
הכרך השלישי מכיל פתרונות של כמה בעיות בדינמיקה בדרך של חשבון וריאציות, כמה מאמרים על חשבון אינטגרלי, פתרון לבעיה שהציג פרמה שהיא מציאת מספר formula_3 כך ש-formula_4 יהיה ריבוע שלם, כאשר formula_5 הוא שלם נתון שאיננו ריבוע, וגם את המשוואות הדיפרנציאליות של תנועת שלושה גופים הנעים תחת השפעת משיכה הדדית.
בעיות בריאות.
בשנת 1761 נחשב לגראנז' כאחד המתמטיקאים הגדולים ביותר שחיו בתקופה, אך המאמץ הבלתי פוסק של תשע השנים שחלפו השפיע רבות על בריאותו ורופאיו לא הסכימו להיות אחראים יותר לבריאותו אם לא ינוח ויתאמן. אף על פי שבריאותו הוטבה באופן זמני, עצביו מעולם לא חזרו לתקנם, והוא סבל מהתקפות של מלנכוליה.
עבודתו הבאה ב-1764 על תנודות הירח (ליברציה) וההסבר מדוע אותן פנים של הירח תמיד פונות לכדור הארץ, בעיה שהוא פתר בעזרת עבודה וירטואלית. הפתרון שלו מעניין במיוחד כיוון שהוא כולל את תחילת הרעיון של משוואות תנועה כללית, אותן הוא ניסח לראשונה באופן פורמלי ב-1780.
חצר המלך.
לגראנז' החל בנסיעה ללונדון, אך נפל למשכב בפריז. הוא התקבל שם בכבוד רב, אך בהמשך נאלץ לעזוב את החברה המבריקה של עיר זו ולחזור לחיים הפרובינציאליים של טורינו. אף על פי כן, המשך שהייתו בפיימונטה הייתה קצרה. ב-1766 כתב לו פרידריך הגדול שהוא, "המלך הגדול של אירופה", מעוניין לארח אותו, "המתמטיקאי הגדול של אירופה", בחצרו. לגראנז' הסכים להצעתו ובילה את עשרים השנים הנותרות בפרוסיה, שם הוא חיבר מספר רב של מאמרים שפורסמו בברלין ובטורינו, ואת עבודתו המונומנטלית "מכניקה אנליטית" (Méchanique Analytique).
בברלין החליף לגראנז' את אוילר כראש המחלקה למתמטיקה באוניברסיטת ברלין. שם המשיך בעבודתו בעיקר בתחום האסטרונומיה, וזכה במספר פרסים חשובים על עבודותיו. עם זאת עסק גם בתחומים אחרים. הוא הוכיח מספר משפטים חשובים בתורת המספרים, ובהם את משפט ארבעת הריבועים, האומר כי כל שלם חיובי הוא סכום של ארבעה ריבועים. הוא גם חקר משוואות ממעלה רביעית, והראה מדוע משוואות אלה ניתנות לפתרון בעזרת שורשים. עבודה זו מהווה את הבסיס לתורת החבורות.
לגראנז' היה חביב המלך, שהיה משוחח עמו רבות על היתרונות של חיים רגילים. את הלקח לגראנז' למד, ומאז לימד את נפשו ואת גופו כאילו היו מכונות, ומצא בדרך של ניסוי את כמות העבודה שהוא מסוגל לעשות מבלי להישבר. בכל לילה היה שם לעצמו מטרה ממשית ליום המחרת, ובסיום כל ענף בנושא שכתב, היה כותב סיכום כדי לראות אילו נקודות בהדגמה או בחומר היו ניתנות לשיפור. הוא תמיד חשב על נושא המאמרים שלו עד הסוף והיה כותב אותם ללא מחיקות כלל.
במשך שנותיו בברלין הידרדר מצבו הבריאותי, ומצבה של רעייתו אף החמיר אף יותר. לאחר מותה ב-1783 שקע לגראנז' בדיכאון, ושהותו בברלין שוב לא הייתה מאושרת כמקודם.
אוניברסיטאות רבות ניסו לפתותו לשוב לאיטליה, אך ב-1787 החליט לעבור דווקא לפריז, שם הוצעה לו באקדמיה למדעים משרה שלא כללה חובת הוראה. הוא בילה שם את שארית הקריירה שלו, ואף שרד את המהפכה הצרפתית, הודות לאופיו הקונפורמיסטי וכן הודות לעובדה שהשלטונות הצרפתיים עצמם היו מעוניינים לשמור על שלומו, ופטרו אותו ממספר גזירות שהוטלו על נתינים זרים. הוא המשיך בעבודתו, ופרסם מספר ספרים שסיכמו את תרומותיו למדע. נפוליאון העניק לו את אות לגיון הכבוד, וכן תואר אצולה.
לגראנז' מת בפריז ב-10 באפריל 1813. זכרו מונצח בלוח הזיכרון שעל מגדל אייפל, ועל שמו נקראים רחובות בפריז ובטורינו. שלל מונחים בפיזיקה ומתמטיקה, לרבות קרויים על שמו.
אחד ממכתשי הירח, ואסטרואיד קרויים על שמו.
עבודות.
פעילויות המחשבה שלו בזמן אותן עשרים שנה היו יוצאות דופן. לא רק שהוא יצר את "Méchanique Analytique", הוא אף תרם בין מאה למאתיים מאמרים לאקדמיות של ברלין, טורינו ופריז. כמה מהם הן למעשה עבודות מקיפות, וכולן ללא יוצא דופן בעלות מידה רבה של מצוינות. חוץ מתקופה קצרה בה היה חולה, כשאז הוציא בממוצע מאמר אחד בחודש. מבין אלו, העבודות הבאות חשובות במיוחד:
ראשית, תרומתו את הכרכים הרביעי והחמישי של ה-"Miscellanea Taurinensia" (1766–1773). החשוב מביניהם הוא כרך מ-1771, שבו הוא משוחח על מספר תצפיות אסטרונומיות שצריכות להיות משולבות כדי להשיג את התוצאה הסבירה ביותר. ומאוחר יותר, תרומתו של מאמר על לחץ שמפעילים נוזלים בתנועה, והשני על אינטגרציה בעזרת סדרות אינסופיות, וסוג הבעיות שבהן השיטה בת-יישום.
רוב מאמריו שנשלחו לפריז היו על בעיות אסטרונומיות, ומבין אלו יש לציין במיוחד את מאמרו על מערכת הירחים של צדק ב-1766, חיבורו על הבעיה התלת גופית ב-1772, עבודתו על "המשוואה הסקולרית של תנועת הירח" ב-1773, שתיארה את השינויים במחזוריות ההקפה שלו סביב כדור הארץ, ואת עבודתו על ההפרעות שגורמים כוכבי הלכת בזמני המחזור של השביטים ב-1778. אלה היו כולם כתובים על נושאים של האקדמיה הצרפתית, ובכל אחד ממקרים אלה הפרס ניתן לו.
אלגברה.
אף על פי כן, רוב מאמריו בתקופה זו נתרמו לאקדמיה של ברלין. אחדים מהם עוסקים בשאלות באלגברה. בפרט:
תורת המספרים.
חלק ממאמריו המוקדמים עוסקים בשאלות הקשורות בתורת המספרים. מבין אלו יצוינו:
נושאים מתמטיים נוספים.
ישנם גם מספר מאמרים שכתב על נקודות שונות בגאומטריה אנליטית.
בשנים 1772–1785 תרם מאמרים רבים שיצרו את ענף המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות. חלק גדול ממאמרים אלו נאספו במהדורה השנייה של ספרו של אוילר "חשבון אינטגרלי", שפורסם ב-1794.
מאמריו של לגראנז' בנושא המכניקה מוזכרים להלן.
אסטרונומיה.
לבסוף, ישנם מספר מאמרים על מספר בעיות באסטרונומיה. מביניהן, החשובות ביותר הן:
מכניקה אנליטית.