ב-23 באוגוסט 1944 זימן המלך מיכאי הראשון את יון אנטונסקו להתייעצות במועצת המלך. יון אנטונסקו הגיע בליווי סגנו מיכאי אנטונסקו, שהיה גם שר החוץ. בהתייעצות שב אנטונסקו והסביר שאין להסכים לתנאי הכניעה לבעלות הברית, כי זה כרוך במחירים גבוהים מדי לרומניה. בסיום דברי אנטונסקו הודיע לו המלך, שהוא מפטר אותו מתפקידו כראש ממשלת רומניה ומנהיגה (ה"קונדוקטור") ועל פי סימן מקולונל אמיליאן יונסקו נכנסו לאולם שלושה קצינים חמושים בדרגת סגן, ובהוראת המלך עצרו את יון אנטונסקו ואת מיכאי אנטונסקו והובילו אותם לכליאה בחדר משוריין. מאוחר יותר נמסרו העצורים למשמר של קומוניסטים רומנים בראשות אמיל בודנראש.
הקושרים שנכחו במקום החליטו, על דעתו של המלך, להטיל על הגנרל קונסטנטין סנטסקו, שנהנה מיחס של כבוד מצד אנשי הצבא, את הרכבת הממשלה. בממשלה זו מונה סנטסקו לראש הממשלה, וכמה גנרלים נוספים החזיקו בתיקי המלחמה, החינוך, הבריאות, התקשורת והעבודות הציבוריות, האוצר והפנים. ראשי המפלגות היו שרים ללא תיק, פרט לנציג הקומוניסטים - לוקרציו פטרשקנו - שביקש וקיבל את משרד המשפטים.
מיד לאחר ההפיכה החל משא ומתן עם הסובייטים על הפסקת אש, וב-31 באוגוסט נכנס הצבא האדום לבוקרשט וכבש אותה ללא קרב. ב-12 בספטמבר נחתם הסכם שביתת נשק עם הצבא האדום, וכוחות רומניים החלו להילחם נגד כוחות גרמניים בהונגריה, סלובקיה וצ'כיה.
לאחר המלחמה.
בתום המלחמה קיבל מיכאי את עיטור לגיון ההצטיינות מנשיא ארצות הברית הארי ס. טרומן, וכן קיבל את עיטור הניצחון מיוסיף סטלין, על פועלו למען ההינתקות של רומניה מגרמניה הנאצית.
במרץ 1945 נאלץ מיכאי בלחץ הסובייטים למנות את פטרו גרוזה הקומוניסטי לראש ממשלת רומניה, ולהקמת ממשלה פרו-סובייטית שקיבלה הוראות מברית המועצות. על אף ניסיונותיו של מיכאי להתנגד להשתלטות הקומוניסטית על המדינה (ניסיונות כגון השביתה המלכותית), בסופו של דבר תפסו הקומוניסטים את השלטון במדינה.
בנובמבר 1947 טס מיכאי לבריטניה לחתונת הנסיכה אליזבת ופיליפ, דוכס אדינבורו, ועל אף הפצרות מרובות שיישאר בבריטניה חזר לאחר מכן לרומניה. ב-30 בדצמבר 1947 נאלץ לוותר על כסאו, וב-3 בינואר 1948 עזב את רומניה ורוב נכסיו הולאמו. זמן קצר לאחר שעזב מיכאי את רומניה, בוטלה אזרחותו הרומנית ונאסר עליו לבקר במדינה.
בגלות.
ב-10 ביוני 1948 התחתן מיכאי עם אן, נסיכת בורבון-פארמה, בתם של רנה, נסיך בורבון-פארמה ומרגרט, נסיכת דנמרק, שאותה פגש בבריטניה בחתונתם של אליזבת ופיליפ. בתחילה התגוררו בני הזוג בפירנצה, איטליה, לאחר מכן עברו ללוזאן, שווייץ, משם עברו להמפשייר, אנגליה, ולאחר מכן עברו לורסואה, שווייץ, שם גרו כ-45 שנים.
במהלך השנים עבד מיכאי כחקלאי, טייס, יזם וברוקר, ונולדו לו ולאשתו 5 בנות.
חזרה לרומניה.
ב-25 בדצמבר 1990, שנה לאחר המהפכה שהפילה את הדיקטטורה הקומוניסטית של ניקולאה צ'אושסקו, מיכאי מלווה במספר חברים ממשפחת המלוכה, נכנס לרומניה לראשונה מזה 43 שנה. באמצעות דרכון דיפלומטי דני, הצליח מיכאי להשיג אשרת שהייה של 24 שעות. מיכאי התכוון להגיע אל קתדרלת קורטאה דה ארג'ש, להתפלל בקברי אבותיו ולהשתתף בחג המולד. אולם, בדרכם לקורטאה דה ארג'ש, נעצרו המלך וחבריו במחסום משטרתי, ונאלצו לעזוב את הארץ.
בשנת 1992 ממשלת רומניה אפשרה למיכאי לחזור לרומניה לחגיגות הפסחא, ואף על פי שהממשלה הרומנית דחתה את בקשתו לשאת נאום מהארמון המלכותי (כיום המוזיאון הלאומי לאמנות של רומניה), נאם מיכאי מחדר האירוח של המלון לפני למעלה ממיליון איש שהגיעו לבוקרשט כדי לראות אותו. מיכאי סירב להצעתו של נשיא המפלגה הליברלית הלאומית, ראדו קמפיאנו, להשתתף בבחירות לנשיא רומניה. הפופולריות של מיכאי הפחידה את ממשלתו של יון איליאסקו, ומשום כך נמנע ממנו לבקר ברומניה ב-1994 וב-1995.
בשנת 1997 לאחר תבוסתו של איליאסקו על ידי אמיל קונסטנטינסקו, החזירה ממשלת רומניה את אזרחותו של מיכאי, ושוב איפשרה לו לבקר בארץ. בשנותיו האחרונות חי מיכאי בחלק מהזמן באובון, שווייץ, ובחלק מהזמן ברומניה, שם הוא שהה בטירת סברשין שבמחוז ארד או במעון רשמי בבוקרשט - ארמון אליסאבטה - אשר נבחר על ידי הפרלמנט הרומני לשמש כמעונו.
אחרית ימיו.
מיכאי לא עודד את המונרכיה ברומניה, אך מאידך גם לא התנגד לה, וכפי שאמר פעם "אם העם רוצה שאחזור, כמובן, אני אחזור". מיכאי מילא כמה תפקידים מעין-דיפלומטיים למען רומניה הפוסט-קומוניסטית. בשנים 1997 ו-2002 הוא סייר במערב אירופה, שם השתדל בעד הצטרפותה של רומניה לנאט"ו ולאיחוד האירופי, והתקבל על ידי ראשי מדינה וממשל.
ב-30 בדצמבר 2007 חתם מיכאי על מסמך, ולפיו לאחר מותו תירש את תארו בתו מרגרטה, נסיכת רומניה, ולא אחד מבני בית הוהנצולרן. בשנת 2008 קיבל מיכאי תואר חבר לשם כבוד של האקדמיה הרומנית, ובשנת 2010 השתתף במצעד הניצחון על גרמניה הנאצית שנערך במוסקבה. ב-10 במאי 2010 ויתר מיכאי על כל תאריו הגרמניים מבית הוהנצולרן-זיגמרינגן, ושינה את שם המשפחה ל"רומניה", וזאת עקב תביעות מקרובי משפחתו הגרמניים. במרץ 2016 פרש מיכאי מתפקידיו הציבוריים לטובת בתו מרגרטה, נסיכת רומניה, וב-1 באוגוסט אותה שנה מתה אשתו אנה, מלכת רומניה. ב-5 בדצמבר 2017 מת מיכאי באובון, שווייץ, כתוצאה ממחלת הלוקמיה.
משפחתו.
ב-10 ביוני 1948 התחתן מיכאי עם אן, נסיכת בורבון-פארמה, בתם של רנה, נסיך בורבון-פארמה ומרגרט, נסיכת דנמרק, ממנה נולדו לו 5 בנות:
חוג המספרים השלמים
חוג המספרים השלמים הוא מערכת מספרים הכוללת את המספרים השלמים, חיוביים ושליליים, לרבות אפס (ואותם בלבד), יחד עם פעולות החיבור והכפל. את חוג המספרים השלמים מקובל היום לסמן באות formula_1, שהיא האות הראשונה במילה הגרמנית "Zahlen" (מספרים).
אוסף זה של מספרים הוא הדוגמה הבסיסית לחוג קומוטטיבי. בפיתוח האקסיומטי של מערכות מספרים, חוג המספרים השלמים מוגדר מתוך מערכת פאנו של המספרים הטבעיים. זהו אחד המבנים הבסיסיים ביותר בתורת החוגים ובמתמטיקה בכלל. יחד עם תכונותיו והפעולות המוגדרות עליו, מהווה החוג אבן יסוד בתחומים רבים, כמו אלגברה, תורת המספרים ועוד. תכונות החוג מהוות בסיס להגדרות כלליות יותר בתורת החבורות והחוגים.
הגדרה פורמלית.
ישנן מספר דרכים להגדיר את חוג השלמים formula_1. אחת מהן היא בעזרת המספרים הטבעיים formula_3 (שמוגדרים בעזרת אקסיומות פיאנו) :
בהינתן הגדרות אלו, ניתן להוכיח כי formula_10 הוא חוג. היות שכפל המספרים הטבעיים חילופי, הרי שגם הכפל הנגזר חילופי, והחוג הוא חוג קומוטטיבי.
החבורה הציקלית האינסופית.
החבורה החיבורית של formula_1 היא החבורה הציקלית האינסופית, כלומר החבורה הציקלית האינסופית היחידה עד כדי איזומורפיזם. זוהי גם החבורה החופשית עם יוצר אחד.
החבורה נוצרת על ידי 1 ו-. כל האיברים בה מלבד 0 (איבר היחידה) הם מסדר אינסופי, וכל תת-החבורות שלה הן החבורות הציקליות האינסופיות formula_12.
תכונות כחוג.
המספרים השלמים הם אחד החוגים הבסיסיים ביותר. מעבר לכך, במקרים רבים הם מהווים מוטיבציה להגדרות כלליות יותר, שמטרתן היא להכליל את התכונות של המספרים השלמים בתורת החוגים הכללית. להלן מספר תכונות מרכזיות של formula_1 כחוג:
הרחבות.
לאחר הגדרת חוג השלמים, עלתה השאלה כיצד ניתן להרחיב אותו אבל "לא בהרבה", או במילים אחרות למצוא חוגים נוספים "בין" המספרים השלמים למספרים הרציונליים ואף למספרים הממשיים ולמספרים המרוכבים. אפשר להוסיף לחוג איברים ו"לסגור" את הקבוצה החדשה, כך שייווצר חוג מינימלי שיכיל את המספרים השלמים ואת האיברים החדשים.
פורמלית, לכל קבוצת מספרים מרוכבים formula_18, אפשר להגדיר את להגדיר formula_19 כחיתוך כל תת-החוגים של שדה המספרים המרוכבים המכילים את formula_18. קבוצה זו מגדירה חוג (כחיתוך של חוגים), וזהו החוג הקטן ביותר שמכיל את formula_21 ואת formula_22.
למשל, אם formula_23 ניתן להראות כי formula_24. בקבוצה זו ראשוניים ואי פריקים מקבלים משמעות שונה, שכן formula_25 לא ראשוני אבל כן אי פריק.
אובייקטים, בעיות אלה ופתרונותיהן נמצאים בבסיס של תורת המספרים האלגברית.
חנוך בן קין
חֲנוֹךְ בֶּן קַיִן הוא דמות מקראית המוזכרת ב. חנוך היה בנו של קין והעיר חנוך, שהייתה העיר שנבנתה על ידי קין בארץ נוד קדמת עדן, נקראה על שמו. העיר נבנתה על אף הקללה שהטיל אלוהים על קין (), ויש המפרשים כי היא נבנתה מרגע שהקללה הוסרה. בהתאם לפסוק , העיר חנוך הייתה העיר הראשונה שנחנכה בעולם. על פי ספר הישר, בעת בניית העיר ניתנה לקין האפשרות למנוחה -
חנוך מוזכר כבנו של קין גם בספר היובלים: .
אלה הפסוקים המקראיים המזכירים את חנוך בן קין:
חנוך מוזכר במקום אחד כבנו של קין ובמקום אחר כבנו של מדין, יש שראו בכפילות זו הסבר לכך שהמדיינים הם "נעים ונדים" כעונשו של קין וזרעו.
במקורות ארמניים חוזר הרעיון שלחנוך יש תפקיד בכפרה על חטאו של האדם הראשון. כאשר שת מספר לחנוך כי האדם הראשון עצוב, כי גורש מן הגן, אומר חנוך: "חובו של האב חייב להיפרע על ידי הבן ." ואכן, חנוך נוטע גן, משך זמן רב איננו אוכל דבר, וזוכה בזכות זה לכך שמלאכים יעלוהו חי לגן עדן.
במקורות מודרניים נתפס חנוך כבעל תפקיד בהתמודדות ובכפרה של אביו קין עם רצח אחיו הבל.
מקור שמו ואטימולוגיה.
גם חנוך בן קין וגם חנוך בן ראובן הם הבנים הבכורים של הבנים הבכורים, הם ראשוני הדור השלישי (זה לאדם הראשון וחנוך בן ראובן הוא דור שלישי ליעקב. ייתכן גם שבשמו של חנוך נרמז גם עניין החנוכה של העיר שעתיד לבנות אביו, העיר הראשונה בעולם.