נסמן ב-formula_31 את מרחב המטריצות הריבועיות מסדר n על n מעל שדה (ממאפיין שונה מ-2). נסמן ב-formula_32 את קבוצת המטריצות הסימטריות וב-formula_33 את קבוצת המטריצות האנטי-סימטריות. קל לראות ש-formula_32 ו-formula_33 הם תת-מרחבים של formula_31.
מטריצה סימטרית נקבעת על פי הערכים שהיא מקבלת במשולש על ומעל האלכסון הראשי ואילו מטריצה אנטי-סימטרית נקבעת על פי הערכים שהיא מקבלת במשולש מעל (ולא על) האלכסון הראשי. לכן formula_37 ו-formula_38.
המטריצה היחידה שהיא גם סימטרית וגם אנטי-סימטרית היא מטריצת האפס. כמו כן, כל מטריצה formula_39 ניתן לבטא כסכום של מטריצה סימטרית עם מטריצה אנטי-סימטרית כך:
לכן formula_31 הוא סכום ישר של שני המרחבים:
אם נעבור למשוואת הממדים נקבל:
ומכאן נמשיך כמו בהוכחה הגאומטרית.
תכונות.
מאות תכונות שונות של מספרים משולשיים נחקרו במהלך השנים. להלן כמה תכונות מרכזיות:
הצגת מספר כסכום של מספרים משולשיים.
ב-10 ביולי 1796 המתמטיקאי הגרמני קרל פרידריך גאוס הוכיח כי כל מספר טבעי ניתן להציג כסכום של שלושה מספרים משולשיים או פחות. הוא ציין הישג זה ביומנו בהערה תמציתית ומפורסמת: "ΕΥΡΗΚA! ∆ + ∆ + ∆ = num".
תוצאה זו מתקבלת בקלות בהסתמך על תוצאה חשובה נוספת שהוכיחו לגראנז' (ב-1798) וגאוס עצמו (ב-1801) – כל מספר שאינו מהצורה formula_58 הוא סכום של שלושה ריבועים או פחות.
נציג את formula_59 כסכום של שלושה מספרים משולשיים. ראשית נבחין כי formula_60 אינו מהצורה הבעייתית, כי formula_61. נציג אותו כסכום של שלושה ריבועים formula_62 (חלקם אולי 0). נבחן את השוויון מודולו 4. 0 ו-1 הם השאריות הריבועיות מודולו 4, כלומר formula_63. מצד שני formula_64. לכן בהכרח formula_65. כלומר formula_66 כולם אי-זוגיים. לכן לפי התכונה שהוכחה קודם, קיימים formula_67 כך ש-formula_68 (לשם הנוחות מגדירים formula_69). נציב בשוויון ונקבל:
וקיבלנו את ההצגה המבוקשת. במקרים בהם אחד המספרים בהצגה הוא formula_69, ניתן להיפטר ממנו, ולקבל הצגה עם פחות משלושה מחוברים.
משפט המספרים המצולעים שהוכיח קושי ב-1813 הוא הכללה מרחיקת לכת של התוצאה האחרונה. המשפט קובע שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של s מספרים מצולעים מסדר s. התוצאה של גאוס היא המקרה s=3, ואילו משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' הוא המקרה s=4.
אסכולת סלמנקה
אסכולת סלמנקה (בספרדית: Escuela de Salamanca) היא אסכולת הגות תאולוגית ספרדית, שהבולט בחבריה היה פרציסקו דה ויטוריה ופעלה מתחילת המאה השש עשרה במטרה להגן על תפישות הכנסייה הקתולית מפני הרפורמציה ותנועות אחרות.
אסכולת סלמנקה נוסדה באוניברסיטת סלמנקה, מן האוניברסיטאות העתיקות בעולם (נוסדה בשנת 1218), שהייתה בשלהי התקופה הסכולסטית מעוז דומיניקני. כאן נשמרה התאולוגיה התומיטית גם אחרי שתורת תומאס אקווינס התפוררה במקומות שונים באירופה תחת מתקפות הסקוטיסטים, והמתקפות הנומינליסטיות ואחר כך הרפורמיסטיות.
פרנציסקו דה ויטוריה, דומינגו דה סוטו, מרטין דה אזפילקואטה (Martín de Azpilcueta), תומאס דה מרקדו ופרנציסקו סוארש, כולם חוקרי החוק הטבעי ומוסר ייסדו את האסכולה כדי ליישב את תורתו של תומאס אקווינס עם הסדר הכלכלי החדש. מחקר האסכולה התמקד באדם ובעיותיו המעשיות (מוסריות, כלכלה, משפט וכו') ובמידה שווה בעבודות שהיו מקובלות על כולם, כמצע משותף שעל רקעו ניתן יהיה לבחון את נקודות אי ההסכמה.
בהקשר רחב יותר ניתן לראות באסכולת סלמנקה שתי אסכולות שונות שבאו בזו אחר זו ברצף, אסכולת Salmanticenses ואסכולת Conimbricenses (על שם אוניברסיטת קוימברה בפורטוגל) כשהראשונה מתחילה עם פרנציסקו דה ויטוריה (1483-1546) ומגיעה לשיאה עם דומינגו דה סוטו (1494-1560). השנייה כללה ישועים שמסוף המאה השש עשרה נטלו את ההנהגה בעולם הקתולי מהדומיניקנים. עם הישועים ניתן למנות את לואיס דה מולינה (1535-1600) ואת פרנציסקו סוארש (1548-1617).
רישאר קנטיון
רישר קנטיון (באנגלית: Richard Cantillon; 1680 - מאי 1734) היה אחד ההוגים החשובים הראשונים בתחום הכלכלה, פיסיוקרט שהשפיע רבות על הוגים כדוגמת אדם סמית'.
ביוגרפיה.
קנטיון נולד בדרום אירלנד, ככל הנראה למשפחת בעלי אדמות קתולית, וחי בצרפת משך שנים רבות שם הפך לבנקאי עשיר שהשכיל להרוויח גם מספקולציות בבורסה ומעסקי מטבע זר. קנטיון היה מעורב ב"חברת מיסיסיפי" של ג'ון לו שהייתה בעלת מונופול על המסחר במושבות הצרפתיות בצפון אמריקה והצליח לצבור הון גדול מהבועה שיצרה. בשנת 1734 נרצח בביתו הלונדוני, רכושו נבזז וביתו נשרף, ככל הנראה כנקמה על ידי טבח שפוטר עשרה ימים קודם לכן.
המוניטין של קנטיון מבוסס בעיקר על המסה שלו "מסה כללית על טבעו של המסחר" שפורסמה כעשרים שנה אחרי מותו בצרפתית בשנת 1755 (יש הטוענים כי הגרסה הצרפתית היא תרגום של המקור האנגלי). המסה נחשבת בעיני רבים למסה הכלכלית האמיתית הראשונה, בתפישתה את הכלכלה כמערכת שבה פועלים גורמים שונים, שפעולתם מצטלבת, המקושרים על ידי מערכת מחירים עם תזרים מחזורי מאוזן של הכנסות והוצאות בין גורמים שונים. המסה נחשבת לאבן היסוד גם בתאוריה הפיסיוקרטית וגם בתאוריה הכלכלית הקלאסית.
קנטיון נשכח במידה רבה והוגים כדוגמת אדם סמית' (שציטט אותו בספריו) האפילו עליו. הוא התגלה מחדש בעבודתו של הכלכלן ויליאם סטנלי ג'בונס בסוף המאה התשע עשרה.
קנטילו
ריצ'רד קנטיון
דיסיפלינה
הארי הודיני
הארי הודיני (באנגלית: Harry Houdini; 24 במרץ 1874 - 31 באוקטובר 1926) היה שם הבמה של אריך וייס (בהונגרית: Erik Weisz), אמריקאי-הונגרי-יהודי שהיה מגדולי הקוסמים, הפעלולנים ואמני ההיחלצות בכל הזמנים.
קורות חיים.
ילדותו.
אריך וייס נולד ב-24 במרץ 1874 למשפחה יהודית בבודפשט שבהונגריה. ב-1878 היגרה משפחת וייס לארצות הברית. בתחילה חיו בוויסקונסין, שם עבד אב המשפחה כרב הקהילה הרפורמית. ב-1887 עברו אריך ואביו לניו יורק, ובהמשך חייו חי הודיני בהארלם. אריך שינה את שמו ל"הארי", שהיה בעל צליל אמריקאי ודומה לשמו ההונגרי.
קריירה.
ב-1891 הפך לקוסם מקצועי, והחל לכנות את עצמו "הארי הודיני", כמחווה לקוסם הצרפתי ז'אן רובר-אודן (Robert-Houdin). ב-1913 שינה הודיני את שמו באופן חוקי. ב-1893 הוא פגש את אשתו לעתיד וילהלמינה ביאטריס רהנר, שהייתה גם שותפתו למקצוע.
בתחילת הקריירה שלו התמקד הודיני בלהטוטי קלפים ובקסמים מסורתיים אחרים, ובשלב מסוים הוא אף כינה את עצמו "אשף הקלפים", אך במהרה החל הודיני להתנסות בפעלולי היחלצות. ב-1899 נפגש הודיני עם אמן הבמה מרטין בק, שהמליץ לו להתמקד בקסמי היחלצות, והפך אותו לאחד המופעים המצליחים בארצות הברית בתוך כמה חודשים. ב-1900 יצא הודיני למסע הופעות באירופה, ועד שובו ב-1904 כבר היה לסנסציה.
בשני העשורים הראשונים של המאה ה-20 הופיע הודיני ברחבי המדינה, כשהוא נחלץ מאזיקים, שרשראות, חבלים וחליפות משוגעים, במקרים רבים תוך שהוא תלוי הפוך או נתון בתוך מכל מים. ב-1913 הוא הופיע לראשונה במופעו הידוע "עינוי המים הסיני", בו הוא קשור והפוך במכל המלא מים עד גדותיו.
באחת מהביוגרפיות על הודיני מסופר מקרה הממחיש את אופיו: בשנת 1902, בהופעה בבלקבורן, אנגליה, סירב הודיני להיכנע אף על פי שקראו עליו תיגר תוך שימוש בבריח חסום שהפך את משימת הבריחה לכמעט בלתי אפשרית. הודיני הצליח לצאת לאחר שעתיים לקול תשואות הקהל, אך למחרת ידיו היו פצועות ונפוחות. מסתבר כי בשל הדרך בה השרשראות ננעלו עליו, הברירה היחידה שנותרה לו הייתה לחתוך בבשרו החי כדי להימלט.
אתגר "הדיילי מירור".
בשנת 1904 הציע העיתון הבריטי "דיילי מירור" אתגר להודיני: לברוח מאזיקים מיוחדים שיצר המנעולן נתניאל הארט מברמינגהאם. הודיני קיבל את ההצעה, והמופע נקבע ל-17 במרץ בתיאטרון ההיפודרום שבלונדון. צפו במופע 4,000 בני אדם ולמעלה מ-100 עיתונאים. ניסיון הבריחה נמשך למעלה משעה, ובמשך הזמן הזה עמד הודיני מאחורי מסך קטן (שנועד להסתיר את שיטת הבריחה שלו) והגיח ממנו כמה פעמים. באחת ההזדמנויות הוא נשאל האם ניתן להסיר את חפתיו, כך שיוכל להסיר את מעילו. הודיני לקח אולר והחזיק אותו בין שיניו, הוא השתמש באולר על מנת שיוכל לחתוך את המעיל לבקשת הקהל. כעבור  56 דקות, אשתו של הודיני הופיעה על הבמה ונתנה לו נשיקה. רוב הקהל חשב שבאמצעות הנשיקה אשתו העבירה לו מפתח על מנת שיוכל להשתחרר מהאזיקים. אולם, בהמשך גילו שהתאוריה הזו אינה נכונה. כעבור 70 דקות מתחילת הקסם, הודיני הגיח מהווילון כאשר הוא משוחרר מהאזיקים. הודיני הודה שזו הייתה אחת הבריחות הקשות ביותר שלו.
בביוגרפיה שפורסמה כשמונים שנה לאחר מותו נטען כי בנוסף לכישוריו האחרים, אף סייע בריגול לטובת הסקוטלנד יארד במסגרת סיוריו באירופה.
לאחר מותה של אמו פנה הודיני למאבק במדיומים ומתקשרים למיניהם, שאת מופעיהם טען להפריך בזכות ניסיונו במופעי קסמים. פעולות אלו גרמו לסכסוך בינו לבין הסופר ארתור קונאן דויל, שהאמין בתקשור עם רוחות.
מותו.
הודיני נפטר ב-31 באוקטובר 1926 בגיל 52, כתוצאה מזיהום בתוספתן. כשבועיים לפני-כן קיבל כמה אגרופים לבטנו מסטודנט מתאגרף בשם ג'יי גורדון וייטהד. הודיני רגיל היה לקבל אגרופים בבטנו מהקהל כחלק מהמופעים שלו, אולם מקרה זה התרחש בזמן שנח בכורסה ולא הספיק להכין את עצמו לאגרופים. עם זאת, בניגוד למקובל לחשוב, לא האגרופים הם שהובילו למותו אלא הזיהום בתוספתן. מניחים כי הכאבים מהאגרופים הסתירו את הכאבים מהזיהום, ולכן הודיני לא פנה בזמן לעזרה רפואית.
הלווייתו נערכה ב-4 בנובמבר בניו-יורק, ונכחו בה למעלה מ-2,000 איש.