השדה הממשי הופיע אחרי שהתברר שהמספרים הרציונליים אינם מספיקים לצרכים גאומטריים, למשל בגלל שאורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעו יחידה אחת אינו מספר רציונלי (ראה פיתגוראים). עד סוף המאה ה-19 חשבו על המספרים הממשיים כאורכים של קטעים על ישר אינסופי (כלומר, הבינו את המספרים האלה כעומדים בהתאמה חד-חד ערכית עם הנקודות על הישר), ותפיסה זו עמדה ביסוד התיאור האלגברי של הגאומטריה, באמצעות קואורדינטות קרטזיות (על ידי דקארט). זו גם הסיבה מדוע לעיתים קרובות שדה זה נקרא בשם הישר הממשי.
יש כאן בעיה עקרונית: מצד אחד מנסים להיפטר ממספר גדול של אקסיומות גאומטריות בעזרת ביסוס אלגברי, ומצד שני, האובייקט האלגברי היסודי (השדה הממשי) מוגדר באמצעים גאומטריים. לבעיה זו נמצא פתרון משביע רצון, כאשר ב-1872 פרסם גאורג קנטור מאמר שבו הגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים; הגדרתו (השקולה) של ריכרד דדקינד את המספרים הממשיים באמצעות חתכי דדקינד פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה.
בנייה באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים.
כאמור, ניתן להגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים. לסדרת קושי יש משמעות רק במסגרת של מרחב מטרי, ובבנייה זו נשתמש במספרים הרציונליים, formula_9, ובמטריקה formula_10 (כאשר הקווים האנכיים מציינים ערך מוחלט).
תהי formula_11 קבוצת כל סדרות קושי ב-formula_9. נאמר ששתי סדרות שכאלו שקולות אם ורק אם ההפרש ביניהן שואף לאפס. זהו יחס שקילות. על קבוצת המנה של היחס מגדירים חיבור וכפל באמצעות חיבור וכפל של נציגים (היינו סדרות קושי) איבר-איבר. הפעולות מוגדרות היטב, ומקיימות את כל אקסיומות השדה, כאשר איבר האפס ואיבר היחידה הם המחלקות של הסדרות הקבועות (0) ו-(1). באותה דרך אפשר להתאים לכל מספר רציונלי q את מחלקת השקילות של הסדרה הקבועה (q), וכך משוכן שדה המספרים הרציונליים בקבוצת המנה. יחס הסדר מוגדר כך: formula_13 אם ורק אם קיים r&gt;0 וקיים formula_14 טבעי כך שלכל formula_15 טבעי מתקיים formula_16. הגדרה זו אינה תלויה בנציגים, ואיתה הופכת קבוצת המנה לשדה סדור. השדה הזה מקיים את אקסיומת החסם העליון.
הוכחה. תהי formula_17 תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי formula_18. נגדיר formula_19 כמספר רציונלי כלשהו הגדול מ-formula_18 (ולכן הוא בעצמו חסם מלעיל). מכיוון ש-formula_17 אינה ריקה, קיים מספר רציונלי formula_22 שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי formula_17. כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם formula_24 חסם מלעיל אז formula_25 ו-formula_26, אם הוא אינו חסם מלעיל אז formula_27 ו-formula_28.
קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הן סדרות קושי, והסדרות שקולות. נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב-formula_29. קל להראות באינדוקציה כי לכל formula_30 טבעי formula_31 חסם מלעיל ל-formula_17 בעוד ש-formula_33 לא, מעובדה זו נובע כי formula_29 חסם מלעיל (לפי הגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר.
נניח כי formula_35 מקיים formula_36, אז קיים formula_37 טבעי עבורו formula_38, ומכיוון ש-formula_39 מונוטונית עולה נקבל כי לכל formula_40 גם מתקיים formula_41, אך ראינו כבר ש-formula_33 אינו חסם מלעיל ולכן formula_35 שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל.
בנייה באמצעות חתכי דדקינד.
חתך דדקינד של מספרים רציונליים הוא קבוצה formula_44 המקיימת:
כל חתך ייצג מספר ממשי (שהוא הסופרמום שלו).
לכל מספר רציונלי formula_53, החתך formula_54 הוא החתך המייצג את formula_53. את קבוצת חתכי דדקינד נסמן formula_56. יחס הסדר על קבוצת החתכים מוגדר לפי formula_57. פעולת החיבור מוגדרת לפי formula_58. לכל חתך קיים נגדי ביחס לחיבור, formula_59. כעת נגדיר את הכפל. עבור formula_60, נגדיר formula_61. אם לפחות אחד מהחתכים A,B הוא שלילי, נגדיר formula_62. גם כאן מתקבל שדה סדור.
נראה כי השדה הוא שדה סדור שלם: תהי formula_63 קבוצה לא ריקה וחסומה של מספרים ממשיים, ונגדיר formula_64. אז M הוא חתך, שהוא החסם העליון של formula_17.
כאמור לעיל, כל שני שדות סדורים שלמים הם איזומורפיים זה לזה, ולכן גם שתי הבניות לעיל מתארות, גם אם בדרכים שונות, את אותו אובייקט.
שדה סדור
שדה סדור (נקרא גם "שדה ממשי פורמלית") הוא שדה formula_1, שמוגדר עליו יחס סדר מלא המכבד את פעולות השדה (ראו להלן).
המספרים המוכרים לנו מסודרים באופן טבעי, כשחושבים על מספר (ממשי) כעל אורך של קטע: אם קטע אחד מכיל קטע אחר, האורך של הקטע הראשון גדול יותר. המושג שדה סדור נועד ללכוד את הסדר הטבעי הזה ולהכליל אותו, כדי שאפשר יהיה לנצל את הרעיונות שקשורים ביחס הסדר בחקירת שדות אחרים.
הגדרה.
הסדר המוגדר על השדה נדרש לכבד את פעולות החיבור והכפל:
(מהאקסיומות נובע למשל שכל מספר formula_9 הוא אי שלילי, ובפרט formula_10).
לחלופין, אפשר לדרוש שאוסף המספרים החיוביים (אלו הגדולים מאיבר האפס) יהיה סגור לחיבור ולכפל, ושאוסף זה יגדיר את הסדר במובן הבא: formula_11 אם ורק אם formula_12 חיובי. במקום להתמקד בסדר עצמו, אפשר לבחון את קבוצת האיברים החיוביים: תת-קבוצה P של שדה נקראת סדר (ordering), אם היא סגורה לחיבור ולכפל, ולכל איבר formula_13 בשדה מתקיים formula_14 או formula_15. כל קבוצה כזו מגדירה יחס סדר.
המאפיין של שדה סדור חייב להיות 0. מכך, מספר האיברים בשדה שכזה חייב להיות אינסופי.
דוגמאות.
הדוגמאות החשובות ביותר לשדות סדורים הן השדה הרציונלי והשדה הממשי. בשני המקרים הסדר המוכר הוא הסדר היחיד האפשרי. את השדה המרוכב לא ניתן לסדר, משום ש formula_16 הוא ריבוע בשדה הזה. אף שדה מקומי לא ארכימדי אינו ניתן לסידור.
ישנם שדות שאפשר לסדר בכמה דרכים. למשל, בשדה formula_17 (הנוצר על ידי הוספת השורש הריבועי של 2 לשדה המספרים הרציונליים), אפשר לקבוע ש-
באופן כללי מספר הדרכים השונות לסדר שדה מספרים K שווה למספר הדרכים לשכן אותו בשדה המספרים הממשיים, ומספר זה קטן או שווה למימד של K.
דוגמה נוספת: בשדה formula_23 של טורי לורן אפשר לקבוע שאיבר formula_24 הוא חיובי אם ורק אם formula_25. תחת הסדר הזה x הוא איבר חיובי, הקטן מכל מספר ממשי חיובי.
סדר וריבועים.
שדה שאפשר להגדיר עליו יחס סדר, באופן שיהפוך אותו לשדה סדור, נקרא שדה ניתן לסידור. שדה כזה מוכרח להיות בעל מאפיין 0. משפט ארטין-שרייר מאפיין את השדות הניתנים לסידור על-פי האריתמטיקה של השדה: F ניתן לסידור אם ורק אם formula_26 אינו סכום של ריבועים בשדה (ההוכחה לפי הלמה של צורן על אוסף הסידורים החלקיים); במילים אחרות, formula_27, כאשר s הוא הרמה של השדה. לדוגמה, שדות שבהם formula_26 הוא ריבוע, לא ניתן לסדר - משום שאז יתקבל formula_29, סתירה. ממשפט ארטין-שרייר נובע כי איבר של שדה ניתן לסידור הוא חיובי בכל יחס סדר אפשרי של השדה, אם ורק אם אותו איבר הוא סכום של ריבועים. איבר כזה נקרא לפעמים חיובי לחלוטין.
לפי משפט ידוע של Springer, אם F סדור, אז כל שדה הרחבה K/F מממד אי-זוגי, ניתן גם הוא לסידור (מספר הדרכים להרחיב את הסדר של F אינו עולה על הממד formula_30).
שדה נקרא פיתגורי אם כל סכום של ריבועים הוא ריבוע. לא כל שדה כזה ניתן לסידור (לדוגמה, בשדה המספרים המרוכבים כל מספר הוא ריבוע). אלו הם השדות שמספר פיתגורס שלהם שווה ל-1. שדה פיתגורי סדור, שכל הרחבה אלגברית סדורה שלו היא פיתגורית, נקרא שדה פיתגורי תורשתית. ידוע ש-F שדה כזה אם ורק אם מספר פיתגורס של formula_31 (שדה הפונקציות במשתנה אחד מעל F) שווה ל-2.
שדה סדור הוא אוקלידי, אם כל איבר חיובי שלו הוא ריבוע. כל שדה אוקלידי הוא פיתגורי (וסדור), משום שסכום של ריבועים הוא תמיד חיובי. לעומת זאת, לא כל שדה פיתגורי סדור הוא אוקלידי. אם אפשר לסדר שדה באופן שהוא יעשה אוקלידי, אז יש רק דרך אחת לסדר אותו (משום שריבוע מוכרח להיות חיובי בכל סדר אפשרי).
ארכימדיות ואוניברסליות.
כל שדה סדור מכיל עותק של המספרים הטבעיים. אם כל איבר של השדה קטן מאיזשהו מספר טבעי, זהו שדה סדור ארכימדי, ואז המספרים הרציונליים צפופים בו. כל שדה סדור ארכימדי ניתן לשיכון בשדה המספרים הממשיים. לכל שדה סדור F, formula_32 הוא תת-חוג מקומי של F, שהתמונה שלו היא שדה ארכימדי.
יהי F שדה סדור. שני איברים חיוביים x,y הם ברי-השוואה אם קיים n כך ש-formula_33. קבוצת מחלקות השקילות מהווה חבורה סדורה ביחס לכפל, ונקראת חבורת המחלקות הארכימדיות של השדה, וגם הטיפוס שלו. השדה הוא ארכימדי אם ורק אם הוא מטיפוס טריוויאלי. הרחבת שדות E/F היא הרחבה ארכימדית אם כל איבר של E בר-השוואה לאיבר של F. השדה סגור ארכימדית אם אין לו הרחבות ארכימדיות.
תהי formula_34 חבורה אבלית סדורה ליניארית. אם F שדה כלשהו, מסמנים ב-formula_35 את הסכומים הפורמליים formula_36 שיש להם תומך סדור היטב, עם החיבור והכפל הטבעיים. זהו שדה, הקרוי שדה האן מוכלל (על-שם Hans Hahn). אם F סדור, יש סדר טבעי ההופך גם את formula_35 לשדה סדור. משפט השלמות של האן קובע שלכל חבורה סדורה formula_34, השדה הסדור היחיד מטיפוס formula_34 שהוא סגור ארכימדית הוא השדה formula_40. זוהי הכללה של העובדה ששדה המספרים הממשיים הוא השדה הסדור הארכימדי היחיד שהוא סגור ארכימדית. משפט השיכון של האן קובע שכל שדה סדור מטיפוס formula_34 אפשר לשכן כתת-שדה של formula_40 כך שההרחבה ארכימדית.