האוסף formula_7 של אופרטורים חסומים על מרחב הילברט H הוא אלגברת פון נוימן (שאינה בהכרח רגולרית). הנורמה של אופרטורים שהוגדרה לעיל הופכת את formula_7 לאלגברת בנך.
אפר איסט סייד
אפר איסט סייד (באנגלית: Upper East Side) היא שכונה ברובע מנהטן שבעיר ניו יורק. היא ממוקמת בין סנטרל פארק לבין איסט ריבר.
היסטוריה.
במהלך המאה ה-19 עברה מסילת הברזל המובילה לעיר ניו יורק באזור זה. בשלהי המאה ה-19 ובראשית המאה ה-20 החלו עבודות הורדת מסילת הברזל אל מתחת לקרקע, וזו כוסתה לחלוטין בשנת 1910. במהלך פיתוח האזור, התעשיינים אנדרו קרנגי והנרי קלי פריק החלו לבנות בתי מגורים ואחוזות לאורכה של השדרה החמישית. משפחות עשירי ניו יורק החלו להתיישב באזור סביב רחוב 86, ובהם משפחת אסטור, משפחת ריינאלנדר ומשפחת רוקפלר, בסמוך לאחוזת משפחת ואנדרבילט שהייתה ממוקמת במקום עוד מראשיתה של המאה ה-19.
במזרח האזור התפתח פרוור יורקוויל בו התיישבו משפחות מעמד בינים שמקורם מגרמניה, ולאורך חוף איסט ריבר נבנו במהלך המאה ה-19 וילות של עשירי ניו יורק, האחרונה שבהם שנותרה היא אחוזת גרייסי - המשמשת כיום כמגורי ראש עיריית ניו יורק.
גאוגרפיה.
שכונת אפר איסט סייד משתרעת מזרחית לסנטרל פארק, בין רחוב 59 לרחוב 96, כאשר צפונית לאפר איסט סייד נמצאת שכונת הארלם. בפועל, באזור השדרה החמישית וסנטרל פארק משתרעת אפר איסט סייד עד רחוב 110, וכך כוללת את אזור בית החולים מאונט סיני.
אפר איסט סייד כוללת בתוכה את השכונות יורקוויל (באזור מפגש רחוב 86 והשדרה השלישית), קרנגי היל (באזור מפגש רחוב 94 והשדרה החמישית) ולנוקס היל (באזור מפגש רחוב 69 והשדרה הראשונה).
אוכלוסייה.
על פי מפקד אוכלוסין שנערך בשנת 2000, מתגוררים באזור האפר איסט סייד 207,543 תושבים (צפיפות אוכלוסין של 45,649 נפשות לקמ"ר). מרבית התושבים (88.25%) לבנים, אולם מתגוררים ברובע גם תושבים ממוצא אסייתי (6.14%), פסיפי ופולינזי (0.04%) ואפריקאים אמריקאים (2.34%). 5.62% מתושבי האזור ממוצא היספני (הן לבנים והן שחורים). 21% מתושבי האזור נולדו מחוץ לארצות הברית מהם: 45.6% מקורם באירופה, 29.5% מקורם באסיה, ו-16.2% מקורם במרכז אמריקה. באזור האפר איסט סייד מתגוררים 125 נשים על כל 100 גברים.
ההכנסה הממוצעת לנפש באזור גבוהה ביותר - 85,081 דולרים לנפש לשנה, וכן רמת ההשכלה של התושבים גבוהה - ל-75.6% מתושבי הרובע הבוגרים (גיל 25 ומעלה) תואר אקדמי. באופן מסורתי, האפר איסט סייד נשלט על ידי משפחות אנגלו-סכסון פרוטסטנטיות עשירות.
פוליטיקה.
אזור האפר איסט סייד שונה מיתר אזורי ניו יורק בתמיכה הגבוהה יחסית שמקבלת בו המפלגה הרפובליקנית (המקבלת כ-50% מקולות המצביעים לעומת 20% - 40% באזורים אחרים של ניו יורק, למעט אזור סטטן איילנד).
תחבורה.
קו שדרת לקסינגטון הוא קו רכבת תחתית היחיד (בו ארבע מסילות), העובר מתחת לאפר איסט סייד. כמו כן עוברים ברובע מספר קווי אוטובוסים. קו רכבת תחתית נוסף קו השדרה השנייה נבנה לאורכה של השדרה השנייה על מנת להקל את העומסים על התחבורה הציבורית באזור האפר איסט סייד.
מוסדות תרבות.
באזור האפר איסט סייד נמצאים מספר מוסדות תרבות מהידועים והחשובים בעולם. לאורך מייל המוזיאונים נמצאים מוזיאון קופר יואיט, מוזיאון דל באריו, מוזיאון המטרופוליטן לאמנות, המוזיאון היהודי של ניו יורק, מוזיאון העיר ניו יורק ומוזיאון סולומון ר. גוגנהיים. כמו כן נמצא ברובע אוסף פריק ומכון גתה.
השכלה.
באזור האפר איסט סייד נמצאים מספר מוסדות השכלה גבוהה ובהם מכללת ויל קורנל ללימודי רפואה, מכללת האנטר, מכללת מרימאונט מנהטן, בית הספר לרפואה ובית החולים מאונט סיני ואוניברסיטת רוקפלר.
יהודים.
באזור זה גרים יהודים רבים ממעמד סוציו-אקונומי גבוה. באזור מספר בתי כנסת גדולים, רבים מהם נוסדו על ידי מהגרים מגרמניה. באזור גם בתי ספר יהודיים, ובהם בית הספר "רמז".
אזכורים תרבותיים.
אזור האפר איסט סייד שימש רקע לסרטי קולנוע וסדרות טלוויזיה רבות, בשל המוזיאונים, מרכזי התרבות, חנויות היוקרה ומשפחות העשירות הרבות המתגוררות באזור, שכיכבו בסרטים וסדרות אלה.
בין הסרטים ניתן למנות את "ארוחת בוקר בטיפאני" (1961), "מדורת ההבלים" (1990), "גברים בשחור" (1997), "סקס והעיר הגדולה" (2008) ו"השטן לובשת פראדה" (2007).
בין סדרות הטלוויזיה ניתן למנות את "משפחת ג'פרסון" (1975–1985), "על טעם ועל ריח" (1978–1986), "בטי המכוערת", "אחת שיודעת", ו"סקס והעיר הגדולה" (1998- 2004).
אופרטור קומפקטי
באנליזה פונקציונלית (ענף במתמטיקה), אופרטור קומפקטי הוא אופרטור ליניארי "L" בין מרחבי בנך "X" ו-"Y" המעתיק כל תת-קבוצה חסומה ב-"X" לתת-קבוצה חסומה יחסית (במילים אחרות, שהסגור שלה קומפקטי) ב-"Y".
אופרטור קומפקטי הוא בהכרח חסום ולכן רציף.
המקור של תורת האופרטורים הקומפקטיים הוא בתורת המשוואות האינטגרליות, שבה אופרטורים אינטגרליים הן דוגמאות קונקרטיות של אופרטורים קומפקטיים.
משוואת פרידהולם טיפוסית משרה אופרטור קומפקטי K של מרחבי פונקציות. תכונת הקומפקטיות מתקבלת מרציפות במידה שווה. שיטת הקירוב על ידי אופרטורים בעלי דרגה סופית היא הבסיס של פתרון נומרי של משוואות כאלה. הרעיון המופשט של אופרטור פרידהולם נגזר מקשר זה.
כל אופרטור ליניארי עם דרגה סופית הוא קומפקטי.
אופרטור ליניארי הוא קומפקטי אם ורק אם התמונה של כל סדרה חסומה מכילה תת-סדרה מתכנסת.
קולבי קאליי
קולבי מארי קאליי (באנגלית: Colbie Caillat; נולדה ב-28 במאי 1985) היא זמרת פופ אמריקאית, כותבת שירים וגיטריסטית.
ביוגרפיה.
קאליי נולדה בניוברי פארק, קליפורניה וגדלה במאליבו. היא בתו של קן קאליי, אחד ממפיקי האלבומים "Rumours" ו-"Tusk" של פליטווד מק ומאוחר יותר בעל חברת תקליטים עצמאית משלו.
בילדותה למדה קאליי לנגן על פסנתר ולקחה שיעורים לפיתוח קול.
בגיל 19 החלה לנגן בגיטרה אקוסטית ולכתוב שירים, לאחר שחיברה מספר יצירות העלתה אותם לאתר מייספייס. הדף שלה החל לצבור פופולריות רבה, עד כדי כך שהפכה לזמרת המצליחה ביותר באתר שלא תחת חוזה. לאחר תקופה קצרה, הוחתמה קאליי בחברת "יוניברסל ריפבליק" והוציאה את הסינגל הרשמי הראשון שלה "Bubbly", שהיה אחד השירים המושמעים ביותר באתר מייספייס. הסינגל נכנס לחמישייה הראשונה של מצעד הבילבורד. ב-17 ביולי 2007 יצא בארצות הברית אלבום הבכורה שלה: "Coco" שהגיע למעמד אלבום פלטינה ולמקום החמישי במצעד האלבומים של הבילבורד.
במאי 2008 הקליטה קאליי דואט יחד עם ג'ייסון מראז, הנקרא "Lucky" שנכנס לתוך אלבומו "We Sing, We Dance, We Steal Things". באותו החודש, הקליטה קאליי גרסת כיסוי לשיר "Kiss the Girl" מהסרט הקלאסי של דיסני בת הים הקטנה לדיסני מאניה 6. באותה השנה הקליטה דואט גם עם הזמר הקולומביאני המצליח חואנס.
לאחר שהופיעה כאמנית חימום בסיבובי ההופעות של הגו גו דולס ולייפהאוס ב-2007, בקיץ 2008 היא הופיעה בסיבוב ההופעות של הזמר ג'ון מאייר. באוגוסט אותה שנה, היא הקליטה שיר וצילמה קליפ לאולימפיאדת בייג'ינג (2008) אשר נקרא "Somethin' Special".
בסוף 2008, הופיעה קאליי בעונה השלישית של סדרת הלהיט של דיסני האנה מונטנה.
באוגוסט 2009, יצא אלבומה השני של קאליי, "Breakthrough". באותה שנה שיתפה פעולה עם טיילור סוויפט ביצירת האלבום "Fearless". בטקס פרסי הגראמי ב-2010 זכתה קאליי בשני פרסים מתוך ארבע מועמדויות, על חלקה באלבום של סוויפט ועל שיתוף הפעולה שלה עם ג'ייסון מראז בסינגל "Lucky".
ביולי 2011 יצא אלבומה השלישי, "All of You".
תל שדוד
תל שַדוּד (או תל שריד) הוא תל קדום הממוקם בחלקו הצפוני של עמק יזרעאל, סמוך לקיבוץ שריד הנקרא על שמו. התל מזוהה על ידי החוקרים עם שָׂרִיד המקראית.
שלל הממצאים הארכאולוגיים אשר נחשפו על גבי התל מעידים על התיישבות קבועה ורציפה במקום החל מתקופת הברונזה המאוחרת (המאה ה-16 לפנה"ס) ועד לסוף התקופה הרומית.
בתנ"ך מוזכרת העיר בהקשר לסיפור התנחלות השבטים. שריד נכללה בתחומו של שבט זבולון והייתה לעיר גבול, כפי שכתוב בספר יהושע: ()
קרבתה של שריד לאחת מהדרכים המרכזיות בעת העתיקה, אשר חיברה את שימרון ומגידו עם ערי הגליל, העניקה לעיר חשיבות אסטרטגית וכלכלית כאחד. עובדה זו באה לידי ביטוי בממדיו של התל המעידים על גודלו של היישוב שככל הנראה הכפיל עצמו במהלך התקופה הישראלית.
גילוי אבני המיל שאת מרביתן ניתן לראות כיום בסמוך לתל ואף בתחומי הקיבוץ עצמו מעידות על השימוש הנרחב שעשו הרומאים באותה הדרך, שבתקופתם חיברה את מגידו לציפורי הנמצאת בגליל.
בשנת 1868 ניסתה קבוצת צליינים נוצרים ממוצא גרמני להתיישב במקום, אולם הקשיים הפיזיים הרבים בהם נתקלו ומחלת המלריה אילצו את הקבוצה לוותר על רעיון ההתיישבות.
בחפירות ארכאולוגיות שהתקיימו בשנת 2014 התגלו בבית קברות למרגלות התל ארון קבורה אנתרופואידי עתיק וחרפושית חותם עם שמו של פרעה סתי הראשון מהמאה ה-13 לפנה"ס.
פלזן
פלזן (בצ'כית: Plzeň, בגרמנית: Pilsen) היא העיר הרביעית בגודלה בצ'כיה, השוכנת במערב בוהמיה. העיר משמשת כבירת מחוז פלזן. מקומה של העיר כ-90 ק"מ ממערב לבירה פראג במפגש ארבעה נהרות (רדבוזה, מז'ה, אוהלאבה, ואוסלאבה) היוצרים יחד את נהר ברונקה. שמעה של פלזן יצא למרחוק בזכות הבירה המיוצרת במקום ונושאת את שם העיר.
היסטוריה.