חגה של האלה נקרא פורדיקידיה (Fordicidia) או הורדיקידיה (Hordicidia), ונחוג מדי שנה ב-15 באפריל. הפולחן כלל קורבן של פרה הרה, ובוצע על ידי הפונטיפקס מקסימוס (הכהן הראשי) והבתולה הוסטלית. אפרה של עובר פרה זו נשמר על ידי הבתולות הוסטליות ושימש לטיהור בפסטיבל הפריליה.
חג נוסף של אלה זו נחוג בסוף החורף ונקרא סמנטיבאה. חג זה נחוג ב-24 בינואר מדי שנה, כאשר חלקו השני של החג נערך שבוע לאחר מכן והוקדש לקרס.
מקדש של לאלה טרה הוקם על גבעת אסקווילינו ברומא בשנת 268 לפנה"ס.
בתרבות המודרנית.
בספרות מדע בדיוני נעשה שימוש רב בשמה של האלה כשמו של כדור הארץ, זאת בהתבסס על כתבים אסטרונומיים בלטינית שעשו שימוש זה. פיליפ ק. דיק השתמש במונח "טרן" בספרו ואילו בשם "טלוס" נעשה שימוש בספריהם של ק.ס. לואיס (בטרילוגיית החלל), אדוארד אלמר סמית' (בסדרת העדשאי) ורוברט היינליין.
טלוס
בה&quot;ד 8
בה"ד 8 (בסיס הדרכה מס' 8) הוא בית ספר לכושר קרבי הממוקם במכון וינגייט בקרבה לחוף. הבסיס כפוף למערך הכושר הקרבי של צה"ל, ומסמיך את כלל תפקידי המערך ומארגן השתלמויות בנושא.
היסטוריה.
בה"ד 8 הוקם בשנת 1949 כבית הספר לצניחה של צה"ל, בצמוד לבסיס חיל האוויר בתל-נוף. תחילה שימש להכשרת הצנחנים הראשונים, אשר מהם הורכב גדוד הצנחנים הראשון גדוד 890. לאחר שהגדוד הוכפף לבה"ד, הפכה היחידה לתשתית ממנה הוקמה ב-1954 חטיבת הצנחנים. מפקדו הראשון היה יהודה הררי.
יחידת האימון הגופני הוקמה עם הקמת צה"ל ב-1948 ובסיסה היה נטוע ביחידת האימון שפעלה בפלמ"ח בתקופת טרום קום המדינה. תחילה הוקם מטה היחידה ובסיס האימונים במחנה סרפנד שהיה קודם לכן בשליטת הצבא הבריטי, לאחר הפיכת מחנה סרפנד לבסיס צריפין הועברה היחידה למחנה דורה שבנתניה, לאחר בניית שכונת רמת ידין בשנות ה-50 פונה הבסיס בשנית והעבר למתחם מכון וינגייט.
ב-1976 הפך המערך ליחידה בתוך זרוע היבשה ותפקידה הורחב לפיתוח מערכי ירי, ניווט, שחייה והצלה ואימוני לוחמה פנים אל פנים אותם הוביל אמן הלחימה אימי שדאור ליכטנפלד.
במקום מתקיימים אימונים, גיבושים ליחידות מובחרות ואליפויות צה"ל בשלל תחומי הספורט השונים למפקדים, חיילים ויחידות שלמות.
הבסיס שם לעצמו למטרה להנחיל את חשיבות התזונה הנכונה והפעילות הגופנית לכלל המשרתים בצה"ל.
בבה"ד 8 שמים דגש מיוחד על הווי צוות מדריכים מגובש, טיולים רבים ותוכנית ספורט ענפה. העישון אסור וקוד הלבוש כולל לפעמים בגדי ספורט במקום מדים.
בכל שנה מתאמנים כ-45,000 חיילים ביחידה במגוון הכשרות ספורטיביות ובמגוון אימונים בהם הדרכת כושר קרבי, הדרכת חדר כושר, אימוני ירי לאחר מאמץ, שחייה וקרב מגע.
מפקד הבה"ד הוא סא"ל תומר יעקב.
סקיליינרס פרנקפורט
סקיליינרס פרנקפורט (בגרמנית: Skyliners Frankfurt) היא קבוצת כדורסל גרמנית מהעיר פרנקפורט. המתמודדת בליגת העל הגרמנית ובליגת האלופות.
היסטוריה.
המועדון נוסד בשנת 1999 כממשיך דרכו של המועדון טאטאמי רונדורף. המועדון נחשב ביחד עם ברוז במברג ואלבה ברלין לאחד המועדונים הטובים בגרמניה, אשר נאבקים ביניהם על תוארי האליפות והגביע הגרמניים.
בעונת 1999/00 זכתה הקבוצה בגביע הגרמני. ובעונת 2003/04 זכתה באליפות הבונדסליגה, לאחר ניצחון בגמר הפלייאוף מול קבוצת ברוז במברג 2-3.
הקבוצה משתתפת במפעלים אירופאים מאז עונת 1999/00. בין היתר: בגביע ספורטה, גביע יול"ב, יורוצ'לנג', יורוקאפ, ושלוש פעמים בשלב הבתים של היורוליג.
בחודש יולי 2011 חתם בקבוצה המאמן הישראלי מולי קצורין, לתקופה של שנתיים.
הקבוצה מקיימת את משחקיה בהיכל הספורט בלשפורטהיילה המכיל 5,002 מקומות ישיבה.
בעונת 2015/2016 זכתה הקבוצה ביורופקאפ.
טור ההופכיים של המספרים הראשוניים
טור ההופכיים של המספרים הראשוניים הוא הסכום האינסופי של כל המספרים ההופכיים של מספרים ראשוניים. טור זה מתבדר לאינסוף. כלומר:
את ההתבדרות הוכיח המתמטיקאי לאונרד אוילר בשנת 1737. תוצאה זו מהווה הכללה למשפטו של אוקלידס כי קיימים אינסוף מספרים ראשוניים. התוצאה מראה שלא רק שיש אינסוף ראשוניים, במובן מסוים יש אף "הרבה" מהם. יש למשל "יותר" ראשוניים ממספרים ריבועיים, כי סכום ההופכיים של המספרים הריבועיים מתכנס לערך הסופי (ראו בעיית בזל). זאת על אף שבשני המקרים מדובר בקבוצות בנות מנייה אינסופיות (בעלות עוצמה זהה).
התבדרות הטור נחשבת מפתיעה. אמנם הטור ההרמוני formula_2 מתבדר, אבל לעומת זאת הטור formula_3 מתכנס לכל קבוע ממשי formula_4, כאשר M הוא קבוע, הנקרא קבוע מייזל-מרטנס, השווה בערך ל-0.261. כך, למשל, כדי להגיע לסכום העולה על המספר 10, יש לסכום בערך את כל ההופכיים של הראשוניים שקטנים מ-109566.
הערה: בערך זה formula_5 יסמן תמיד מספר ראשוני.
הוכחות.
ההוכחה של אוילר.
אוילר הוכיח את התבדרות הטור בדרך דומה מאוד להוכחתו שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים. הוכחתו של אוילר אינה ריגורוזית מספיק כדי להיחשב הוכחה קבילה בימינו. הוא כולל בהוכחתו מניפולציות רבות עם סכומים אינסופיים. כיום, לאחר ביסוס מדויק של תורת הטורים, ידוע כי מניפולציות שכאלו לא בהכרח עובדות. עם זאת, אוילר הצליח להגיע בהוכחתו לתוצאה מדויקת, אפילו לגבי קצב הגידול של הטור. ניתן להפוך את הוכחת אוילר להוכחה ריגורוזית אם עובדים עם הסכומים החלקיים (במקום עם הטור האינסופי), ומראים שככל שהסכומים גדלים ההפרש בין הטורים שמשווים שואף לאפס.
הוכחת אוילר מבוססת על הקשר שגילה בין הטור ההרמוני (ופונקציית זטא של רימן בכלל) למכפלת אוילר העוברת על כל הראשוניים: formula_6 (זוהי הגרסה הלא ריגורוזית של הזהות, בה השתמש אוילר). הוכחתו מתחילה בחישוב הלוגריתם הטבעי של שני האגפים וניצול חוקי הלוגריתמים:
כעת פיתח אוילר את הלוגריתם לטור מקלורן:
נשים לב כי בטור הימני מופיע טור הנדסי מתכנס שסכומו formula_9. נציב זאת ונקבל:
הטור הימני בוודאי מתכנס (למשל לפי מבחן ההשוואה עם formula_11). נסמן את סכומו formula_12. קיבלנו:
ומכיוון שהטור ההרמוני גדל כמו formula_14 אוילר הסיק כי: formula_15.
במינוח מודרני, אוילר הראה שטור ההופכיים של הראשוניים מתבדר וש-formula_16, שכן ההפרש חסום על ידי טור מתכנס.
ההוכחה של ארדש.
המתמטיקאי פאול ארדש הציג הוכחה אלמנטרית ברובה להתבדרות הטור. ההוכחה מסתמכת ישירות על תכונות הראשוניים, ולא על מניפולציות אנליטיות.
נסמן ב-formula_17 את הראשוני ה-i. נניח בשלילה כי טור ההופכיים מתכנס. כלומר החל מאיזשהו ראשוני זנב הטור קטן כרצוננו. נבחר מספר שלם k כך שמתקיים:
ובזאת מסתיים החלק האנליטי בהוכחה. נכנה את הראשוניים formula_20 ראשוניים קטנים, ואילו השאר, formula_21, יהיו הראשוניים הגדולים. נסמן ב-formula_22 את מספרם של המספרים formula_23 שמתחלקים בגורם ראשוני גדול, ונסמן ב-formula_24 את מספרם של המספרים formula_23 שמתחלקים רק בראשוניים קטנים. ברור כי formula_26. נגיע לסתירה בכך שנראה של-N גדול מספיק שוויון זה לא מתקיים.
formula_17 מחלק בדיוק formula_28 מספרים (לפשר הסימון ראו פונקציית הערך השלם) בטווח formula_23 (זהו מספר כפולותיו בטווח). לכן:
נטפל עתה ב-formula_24. כל formula_23 שיש לו רק מחלקים ראשוניים קטנים נרשום בצורה formula_33, כאשר formula_34 הוא מספר חסר ריבועים (אינו מתחלק באף מספר ריבועי מלבד 1). כל מספר חסר ריבועים הוא מכפלה של ראשוניים שונים, וישנן בדיוק formula_35 דרכים שונות להכפיל את הראשוניים הקטנים זה בזה. לכן יש לכל היותר formula_35 ערכי formula_34 שונים. כמו כן, formula_38 ולכן ישנם לכל היותר formula_39 ערכים שונים של formula_40. כל שילוב של ערך של formula_34 וערך של formula_40 נותן את אחד מהערכים האפשריים של formula_43 שכל גורמיו ראשוניים קטנים, ובסך הכל נקבל את החסם: formula_44.
כל מה שהושג עד כה תקף לכל formula_45. נבחר formula_46. נקבל: formula_47. ומכאן נובעת הסתירה:
ולכן הטור לא יכול להתכנס ובהכרח מתבדר.
חסם תחתון לסכומים החלקיים - הוכחה ראשונה.
נמצא חסם תחתון על קצב הגידול של הטור. ראשית נבחן את המכפלה הסופית formula_49. אם נפתח סוגריים נקבל סכום של כל המספרים מהצורה formula_50 כאשר formula_51 מספרים ראשוניים שונים כלשהם הקטנים או שווים ל-formula_52. כלומר סכום ההופכיים של המספרים חסרי ריבועים שגורמיהם הראשוניים קטנים מ-formula_52. אם נכפיל את ביטוי זה ב-formula_54 נקבל את סכום כל המכפלות האפשריות של חסרי ריבועים, עם גורמים ראשוניים קטנים מ-n, עם ריבועים שקטנים או שווים ל-formula_55. בפרט בסכום יופיעו כל המספרים הקטנים או שווים ל-formula_52 (כל מספר הוא מכפלה של חסר ריבועים בריבוע). קיבלנו את האי-שוויון:
נשתמש בחסם התחתון הידוע של הטור ההרמוני:
כמו כן נציב את פתרון בעיית בזל: formula_59, ונקבל:
נשתמש בחסם הידוע formula_61, לכל x חיובי (נובע מההגדרה של פונקציית האקספוננט כטור) ובחוקי חזקות:
ניקח את הלוגריתם הטבעי של שני האגפים ונעביר אגף:
ההתבדרות של אגף שמאל גוררת את ההתבדרות של אגף ימין ולכן זוהי הוכחה נוספת להתבדרות הטור. כמו כן זהו חסם הדוק למדי. למעשה מתקיים:
M נקרא קבוע מייזל-מרטנס והוא שווה formula_65, כאשר formula_66 הוא קבוע אוילר-מסקרוני.
חסם תחתון לסכומים החלקיים - הוכחה שנייה.
נמצא חסם תחתון על קצב הגידול של הטור, אם כי בדרך שונה מזו הקודמת. זוהי גם גרסה ריגורוזית להוכחתו של אוילר לעיל.