חידות חיתוך והרכבה הן נדבך מרכזי בתחום של שעשועי מתמטיקה, והן העסיקו חידונאים לאורך ההיסטוריה. לחידות אלו ישנן גם נגיעות לתחומים מרכזיים במתמטיקה; הבעיה השלישית של הילברט, למשל, עוסקת בחיתוכים ובהרכבות.
היסטוריה.
מכיוון שחידות חיתוך משמשות בעיקר כשעשוע וכמשחק, ישנן עדויות היסטוריות מעטות להמצאתן ולפיתוחן. חידת החיתוך העתיקה ביותר שפורסמה היא חידת הסטומכיון של ארכימדס. בחידה זאת נתון ריבוע המחולק ל-14 חלקים, שאותם ניתן לפרק וליצור מהם צורות חדשות. על פי מחקר חדש, חקר ארכימדס את האפשרויות למספר הדרכים השונות הקיימות כדי לחבר את החלקים יחד על מנת ליצור ריבוע.
עדויות נוספות לקיומן של חידות חיתוך בעת העתיקה ובימי הביניים, מגיעות מתוך טקסטים מתמטיים שבהם החידות משמשות להוכחת משפטים גאומטריים. במאה הראשונה לפנה"ס הציג המתמטיקאי הסיני ליו היו הוכחה של משפט פיתגורס המבוססת על חיתוך והרכבה, הוכחה שעתידה לשמש השראה להמצאת הטנגרם. במאה ה-5 הציג המתמטיקאי ההודי אריאבהטה הוכחה של אותו המשפט המבוססת על חיתוכים, הוכחה הנחשבת לפשוטה יותר מזו המופיעה בספר "יסודות" של אוקלידס. גם בטקסטים של מתמטיקאים מוסלמים מימי הביניים, בעיקר בפירושים וביאורים של הספר "יסודות", מופיעים מחקרים שונים על חידות חיתוך.
ספר של הואנג פו-סו משנת 1193 מתאר מערכת של שבעה שולחנות ריבועיים הקרויים 'שולחנות סעודה' (banquet tables). ספרו נחשב לספר הראשון בסין העוסק בריהוט, אך הספר כולל גם 76 שרטוטים לדרכים שונות שבהן ניתן לחבר את השולחנות יחדיו. בשנת 1617 פרסם קו שן (Ko Shan) מערכת של שולחנות סלון, שזכתה לכינוי 'כנפי הפרפר'. המערכת מכילה שולחנות שלהם צורות של משולשים ומרובעים, שאותם ניתן לחבר יחד על מנת ליצור מגוון של צורות.
ספר החידות הראשון המוקדש לחידות הרכבה התפרסם ביפן בשנת 1742. מחברו גרנרייקן (Granreiken) קרא לספר 'שבע חתיכות החוכמה של סיי שונגון', והספר הכיל 42 חידות ופתרונן. 3 חידות הרכבה נוספות ראו אור ביפן עד תום המאה ה-18.
חידת ההרכבה המפורסמת ביותר, הטנגרם, הומצאה בסין בתקופת שלטונו של צ'יאה צ'ינג (Chia chi'ng - 1796 - 1820). ממציא החידה פרסם אותה בספרון, עליו הוא חתם בשם העט יאנג צ'ו צ'ו שי (Yang cho chu shih). כל עותקיו של הספרון המקורי אבדו. הספר העתיק ביותר של החידה שעדיין בנמצא נכתב על ידי סנג הסיאנג קו (Sang hsiang k'o), התפרסם בשנת 1813, והכיל 334 חידות טנגרם. הטקסט זכה להצלחה גדולה בסין, ותוך שנים ספורות תורגם והופץ באירופה ובארצות הברית.
במאה ה-19 פעלו במקביל שני החידונאים הנחשבים לגדולים בכל הזמנים: סם לויד והנרי ארנסט דודני. לויד היה אחד הראשונים להציג את הטנגרם למערב, כאשר פרסם ספרון המכיל כ-4,000 צורות ליצירה מטנגרם (מאוחר יותר התברר כי לא כולן אפשריות). בנוסף, הוא פרסם חידות חיתוך רבות ומגוונות. דודני, שהיה שותפו של לויד בתחילת דרכם ולאחר מכן הפך למתחרהו הגדול, היה המוכשר מבין השניים בכל הקשור לחידות חיתוך. דודני המציא עשרות חיתוכים מקוריים, שהמפורסם מכולם הוא "חידת מוכר הסדקית" שבה הוא מדגים כיצד להפוך משולש שווה-צלעות לריבוע, בעזרת חיתוך לארבעה חלקים בלבד. עד היום לא התגלתה דרך להפוך משולש שווה-צלעות לריבוע בעזרת חיתוך למספר קטן יותר של חלקים; דודני מחזיק בשיאים נוספים מסוג זה.
כאמור, לחידות חיתוך ישנן נגיעות לתחומים מרכזיים במתמטיקה. לקראת סוף המאה ה-19 הוכיחו מתמטיקאים שניתן לעבור מכל מצולע לכל מצולע אחר, באמצעות חיתוך למספר סופי של רכיבים והרכבתם מחדש. בשנת 1900 פרסם דויד הילברט את רשימת 23 הבעיות שלו, שרובן הפכו לאבני דרך חשובות בהתפתחות המתמטיקה. הבעיה השלישית של הילברט נוגעת לחידות חיתוכים, והיא מציגה את השאלה התלת ממדית המקבילה: האם ניתן להפוך כל פאון (צורה תלת ממדית הבנויה ממצולעים) לפאון שווה נפח אחר, בעזרת חיתוך והרכבה. בעיה זו נפתרה שנה מאוחר יותר (ומשום כך נחשבת לבעיה הקלה ביותר מבין הבעיות של הילברט) על ידי תלמידו, מקס דן, שהוכיח כי התשובה שלילית.
ב-1931 עסק אלפרד טרסקי ב"מרחק-הפירוק" formula_1 של שתי צורות U ו- V, שהוא המספר הקטן ביותר של מצולעים, חופפים בזוגות, שאליהם אפשר לפרק את הצורות
טרסקי העיר שהפונקציה מקיימת את הגרסה הכפלית של אי-שוויון המשולש: formula_2, והציע לחקור את הפונקציה formula_3 המודדת את המרחק מריבוע יחידה S למלבן שצלעותיו formula_4 ו- formula_5.
בשנת 1953 המציא סולומון גולומב את הפוליאומינו, משטחים הבנויים מחיבור של ריבועים. המצאה זאת הובילה תוך זמן קצר לשטף חדש של חידות חיתוך והרכבה המתייחסות לאריחי פוליאומינו.
בשנת 1964 פרסם הרי לינדגרן (Harry Lindgren), מהנדס אנגלי שהיגר לאוסטרליה, את הספר "Geometric Dissections" שהפך לספר העיון המרכזי בנושא. הספר הכיל עשרות חיתוכים חדשים פרי עטו וכלל שיאים רבים (מספר מינימלי של חלקים הדרושים לחתוך צורה אחת ולהרכיב צורה אחרת), שחלקם נשברו מאז. בעקבות טור של מרטין גרדנר על חידות החיתוך של דודני ולינדגרן, עלתה מידת הפופולריות של חידות אלה, והמשיכו להתגלות חיתוכים רבים ומגוונים. מבין העוסקים בתחום כיום, הפוריים ביותר הם גרג פרדריקסון (Greg Frederickson), פרופסור למדעי המחשב מאוניברסיטת פרדו) וגווין תאובלד. ספרו של פרדריקסון, "Dissection Plane and Fancy", הוא כיום המקור הטוב ביותר למידע בתחום, וכן אתר האינטרנט של גווין תאובלד.
חידות חיתוך מפורסמות.
הסטומכיון.
החידה הנראית בתמונה משמאל נקראת "סטומכיון" או "אוסטומכיון" (Οστομάχιον, "כאב בטן" ביוונית) והיא מורכבת מ-14 חלקים שאיתם ניתן, בין השאר, להרכיב ריבוע. החידה מכונה לעיתים "החידה המכנית (פאזל) העתיקה בעולם". בימי קדם היא נקראה "קופסת ארכימדס". החידה תוארה במאה הרביעית על ידי המשורר הרומי אוסוניוס, שציין שאפשר ליצור מ-14 החלקים אלפי צורות של אנשים וחיות. עד ראשית המאה ה-20 לא היה ידוע מה בדיוק הייתה החידה, ומה בדיוק היה העניין של ארכימדס בחידה. רמזים ראשונים לכך הגיעו בשנת 1881, כאשר התגלה בגרמניה טקסט ערבי ובו ציטוטים מתוך ספר של ארכימדס בשם "הסטומכיון" - ספר שלא היה מוכר לעולם המדעי עד לאותה עת. בשנת 1906 התגלה אותו ספר אבוד על ידי יוהאן לודוויג הייברג.
הייברג מצא במנזר בקונסטנטינופול קובץ ספרים של ארכימדס הקרוי "קודקס C". עד לאותה שנה היו מוכרים רק שני קובצי ספרים של ארכימדס (קודקס A וקודקס B), אך עקבותיהם אבדו, ונותרו רק תיאורים שלהם בספרים מאוחרים יותר. הטקסט שגילה הייברג היה העתק הקודקס השלישי של ארכימדס שנעשה במאה העשירית, אך היה בצורה של פלימפססט: בשנת 1229, כנראה בשל מחסור בנייר, נזיר כלשהו מחק את הכיתוב מעל המגילה שעליה נכתבו ספריו של ארכימדס, ורשם מעליהם סידור תפילה. בשנת 1998 הפלימפססט צץ מחדש כאשר הוצע במכירה פומבית (ונקנה תמורת שני מיליון דולר); מאז ניתנה לחוקרים גישה אליו במטרה לפענח את ספריו המקוריים של ארכימדס. בין הספרים של ארכימדס שהתגלו בקודקס היו שלושה ספרים שלא היו מוכרים לפני 1996; אחד מהם הוא הסטומכיון.
לרוע המזל, מצבו הפיזי של הפלימפססט של ארכימדס הוא בכי רע; בפרט, דפי הספר של הסטומכיון קשים מאוד לקריאה. מניתוח שלהם סבורים כיום החוקרים שארכימדס חקר את הבעיה הקומבינטורית של מספר הדרכים השונות שבהן ניתן להרכיב ריבוע מתוך אותם 14 חלקים (אכן, ישנם formula_6 פתרונות לחידה זו). זאת, יותר מ-1,700 שנה לפני המצאת הקומבינטוריקה.
הטנגרם.
הטנגרם הוא חלוקה של ריבוע לשבע חתיכות, שעל ידי הרכבה שלהן ניתן ליצור מגוון רחב של צורות חדשות. קדמו לטנגרם מספר חידות דומות ביפן, ובסין שם חידות אלו שימשו בתור מערכת ריהוט: סט שולחנות המורכב ממשולשים ומרובעים שאותם ניתן לסדר בצורות שונות לפי האורחים המגיעים ומשיקולים אסתטיים. העדות הכתובה הראשונה לקיומו של הטנגרם מגיעה מספרון המתוארך לשנת 1813. הספרון מציין שהטנגרם הומצא בהשראת הוכחות מבוססות חיתוכים למשפט פיתגורס.
שנים אחדות לאחר יציאתם לאור של ספרי הטנגרם בסין הם זכו לתרגומים שהתפרסמו בארצות הברית ובאירופה, ובעקבותיהם זכה המשחק להצלחה רבה גם במערב. בין השאר הסופר לואיס קרול, מחבר הרפתקאות אליס בארץ הפלאות (וחידונאי מוכשר), וכן הפיזיקאי האנגלי מייקל פאראדיי היו חובבי טנגרם ואף המציאו מספר חידות טנגרם משלהם. גם ברשותו של נפוליאון בונפרטה היה סט של טנגרם, כולל ספר הוראות, בתקופת מאסרו בסנט הלנה.
חידת מוכר הסדקית.
חידה זאת היא החידה המפורסמת ביותר בין אלו שמטרתן לחתוך צורה אחת למספר הקטן ביותר של חתיכות, שמהן ניתן להרכיב צורה אחרת; במקרה זה, המטרה היא להפוך משולש שווה-צלעות לריבוע. את החידה פרסם לראשונה הנרי ארנסט דודני בעיתון "Daily Mail", ולאחר מכן כלל אותה בספר החידות שלו, "The Canterbury Tales". בספר זה (השואב השראה מסיפורי קנטרברי של ג'פרי צ'וסר) קבוצת נוודים נפגשת בקנטרברי והם מחליפים ביניהם חידות. כאשר מגיע תורו של מוכר הסדקית (באנגלית: Haberdasher), הוא שולף פיסת בד בצורת משולש שווה-צלעות וזוג מספריים, ומבקש מחבריו למצוא דרך לחתוך את חתיכת הבד לארבעה חלקים בלבד ואז להרכיב מהם ריבוע.