את שאלת קיומן של שפות "מעניינות" (זאת אומרת, ניתנות לתיאור סופי) שאינן כריעות, פתר אלן טיורינג כאשר הוכיח כי בעיית העצירה אינה כריעה. משפט רייס הרחיק לכת והוכיח כי למעשה כל בעיה ששואלת שאלה לא טריוויאלית על אודות השפה של מכונת טיורינג (כלומר, שהתשובה היא בהכרח כן או לא, ללא תלות בקלט), אינה כריעה.
שפות כריעות-למחצה.
קיימות שפות שהן כריעות-למחצה (חיוביות), כלומר, לא קיימת מכונה אשר עוצרת עבור כל מילת קלט ומכריעה אם המילה בשפה או לא, אך קיימת מכונה אשר עוצרת כאשר הקלט שייך לשפה (וייתכן שאינה עוצרת כאשר הקלט אינו בשפה). הקבוצה המכילה את כלל השפות הללו מסומנת בתור המחלקה RE.
בצורה מקבילה מגדירים את מחלקת השפות co-RE להיות קבוצת כל השפות formula_1 עבורן קיימת מכונת טיורינג אשר עוצרת ודוחה עבור כל מילת קלט שאינה בשפה formula_1, אבל ייתכן שאינה עוצרת עבור מילים השייכות לשפה formula_1.
החיתוך של שתי המחלקות לעיל מהווה את המחלקה formula_6. מאידך, ישנן גם בעיות שהן ב-RE אך לא ב-co-RE ולהפך, למשל, בעיית העצירה.
לעומת זאת, ישנן שפות שהן לא ב-RE וגם לא ב-co-RE. כך למשל בעיית העצירה המוכללת, ששואלת בהינתן כקלט מכונת טיורינג, אם המכונה עוצרת על כל הקלטים האפשריים. כמו כן, השפה המכילה את כל מכונות טיורינג שהשפות שלהן רגולריות, והשפה המכילה את כל מכונות טיורינג שהשפות שלהן חסרות הקשר, שתיהן לא ב- RE ולא ב- co-RE (ובפרט אינן כריעות).
שלמות
שלמות (באנגלית: Completeness) בלוגיקה ובלוגיקה מתמטית היא תכונה של מערכת אקסיומטית. מערכת נתונה של אקסיומות וכללי היסק היא שלמה אם אפשר להכריע בה לגבי כל נוסחה אמיתית, כלומר, אפשר להוכיח את הנוסחה או את שלילתה. במילים אחרות, אין בה טענות עצמאיות.
שלמות ונאותות.
הלוגיקה בוחנת את תכונותיה הצורניות של כל מערכת לוגית אקסיומטית. מערכות פורמליות כאלו כוללות נוסחאות בנויות כהלכה מבחינה תחבירית, שחלקן מקבלות מעמד מיוחד של אקסיומות, וכן מערך של כללי היסק באמצעותם ניתן לבצע גזירות של נוסחאות אחדות מתוך נוסחאות אחרות, דהיינו להוכיח אותן.
למחקר של התכונות של מערכות מסוג זה קוראים גם מטא-תאוריה או מטאלוגיקה. השלמות היא אחת התכונות החשובות ביותר של מערכות לוגיות. ייקל להבין אותה בהשוואה לשתי תכונות נוספות, עקביות ונאותות:
הוכחות לשלמות ולנאותות מעידות על הזיקה שבין התחביר (סינטקס) והסמנטיקה של המערכת. התחביר קובע איזו נוסחה היא תיאורמה (או משפט), דהיינו איזו נוסחה ניתנת לגזירה מן האקסיומות, באמצעות כללי ההיסק. הסמנטיקה קובעת איזו נוסחה היא טאוטולוגיה, דהיינו איזו נוסחה היא אמיתית בהכרח מכוח משמעותם של המונחים המקושרים בה והאופן בו הם מקושרים. לפי הגדרות אלו, למערכת יש שלמות, כאשר כל טאוטולוגיה היא גם תיאורמה. למערכת יש נאותות, כאשר כל תיאורמה היא טאוטלוגיה.
אי-שלמות.
ניתן לראות כי התכונות נאותות ושלמות קשורות זו לזו, אף שלא כל מערכת נאותה היא גם שלמה. קורט גדל הוכיח ב-1931 שבכל מערכת לוגית שהיא חזקה מספיק יש נוסחאות אמיתיות שלא ניתן להוכיח אותן או את שלילתן. מערכת חזקה מספיק היא כל מערכת אפקטיבית ועקבית, המבוססת על שפה מסדר ראשון, שיש בה מספיק מושגים כדי לנסח טענות על כפל במספרים השלמים. מערכת כזו, הכוללת את האריתמטיקה בתוכה, היא המערכת שהציע ברטראנד ראסל לראשונה ב"פרינקיפיה מתמטיקה". מכאן ששפה אפקטיבית חזקה מספיק אינה יכולה להיות עקבית, נאותה ושלמה. חוק זה נקרא "משפט אי השלמות של גדל", ובעקבותיו השתנה היחס של מתמטיקאים לתוכנית של דויד הילברט לבסס את כל המתמטיקה על קבוצה סופית של אקסיומות.
שלמות (לוגיקה מתמטית)
היפוך אוכלוסייה
היפוך אוכלוסייה (או היפוך אוכלוסין) הוא מונח המגיע מתחום פיזיקת הלייזרים, המתאר מצב של מערכת שבו האכלוס של רמת אנרגיה מעוררת גבוה יותר מאכלוס רמת היסוד. מצב כזה הוא תנאי הכרחי לאופן פעולתו של הלייזר, שכן במצב כזה ניתן ליצור הגברה של אור העובר דרך המערכת. באופן טבעי (כלומר במצבים של שיווי משקל תרמודינמי), האכלוס של מצב מעורר יהיה תמיד קטן יותר מאכלוס רמת היסוד, ולכן כדי להגיע למצב כזה יש להוציא את המערכת משיווי משקל.
הגברה של אור.
פעולת הלייזר מבוססת על התופעה של פליטה מאולצת שבה כאשר פוטון פוגע באטום הנמצא במצב מעורר. אם לפוטון הפוגע יש אנרגיה השווה להפרש האנרגיה בין שתי הרמות, אז הפוטון גורם לאטום לקרוס לרמה הנמוכה יותר ולפלוט פוטון נוסף בעל אותה אנרגיה כמו הפוטון הפוגע. את התהליך הזה ניתן לראות כתהליך שבו הפוטון הפוגע מוכפל: מפוטון אחד מקבלים שניים. התהליך המתחרה נקרא תהליך הבליעה: אם הפוטון פוגע באטום שנמצא ברמת היסוד אז הוא ייבלע על ידי האטום (ויביא את האטום אל הרמה המעוררת). לכן, על-מנת שתהיה הגברה של אור, יש צורך בכך שרוב האטומים יהיו במצב מעורר.
שיווי משקל תרמודינמי.
במערכת הנמצאת בשווי משקל תרמודינמי, האנרגיות של החלקיקים מתפלגות לפי התפלגות בולצמן. ההסתברות לאנרגיה formula_1 נתונה על ידי:
המשמעות היא שככל שרמת האנרגיה נמוכה יותר, יותר חלקיקים יימצאו בה ברגע נתון. ניתן לומר זאת באופן הבא: ככל שרמת האנרגיה נמוכה יותר, כך היא מאוכלסת יותר. באטום שבו יש שתי רמות (two level system), האכלוס המקסימלי של הרמה העליונה מתקבל כאשר הטמפרטורה אין-סופית והוא חצי. מכאן שלא ניתן להגיע למצב שבו הרמה המעוררת מאוכלסת יותר כאשר המערכת נמצאת בשיווי משקל תרמודינמי, ולכן יצירה של מצב כזה נקראת "היפוך אוכלוסייה".
שאיבה.
מערכת תרמודינמית תמיד רוצה להגיע למצב של שיווי משקל (במקרה זה על ידי פליטה ספונטנית), ולכן על מנת לייצר מצב של היפוך אוכלוסייה, ועל מנת לשמר מצב זה יש צורך לערער את המערכת באופן קבוע, ופעולה זאת נקראת "שאיבה"(אנגלית: pumping). בשביל שאיבה יש צורך להזרים אנרגיה לתוך המערכת, וישנן מספר שיטות לעשות זאת כגון:
בנוסף, בשביל להגיע להיפוך אוכלוסייה יש למצוא דרך, סכמה, שבה האנרגיה הנכנסת תביא את המערכת אל המצב המעורר. ישנן מספר סכמות כאלו המתבססות על מערכות עם 3 או 4 רמות אנרגיה, וכן על רמות אנרגיה מטסטביליות.
סכמת שאיבה המבוססת על 3 רמות אנרגיה.
סכמה זאת מבוססת על רמת יסוד שנקרא לה רמה 1, רמה גבוהה שנקרא לה רמה 3 ורמה מטסבילית שנקרא לה רמה 2. רמה מטסבילית שפרושה שהסיכוי למעבר מ-1 ל-2 ולהפך הוא קטן מאוד. פירושו שלהביא אטומים מרמת היסוד ל-2 היא מלאכה קשה, אבל גם שכאשר אטומים מגיעים לרמה 2 הם "נתקעים" שם: לרמה יש זמן חיים ארוך. כאשר מוזרמת אנרגיה לתוך המערכת היא גורמת לאטומים לעבור מרמת היסוד לרמה הגבוהה, רמה 3. מהרמה הגבוהה האטומים דועכים או לרמת היסוד 1, או לרמה 2. אם הם דועכים לרמה 2 אזי הם "נתקעים" שם, ואילו אם הם מגיעים לרמה 1, אזי התהליך מתחיל מחדש. באופן זה ניתן לאכלס את רמה 2, ולהגיע למצב של היפוך אוכלוסייה.
סכמת שאיבה המבוססת על 4 רמות אנרגיה.
אמנם בלייזר 3 רמות ניתן בקלות יחסית לגרום למצב שברמה 2 יהיו מספר רב של אטומים, אך כדי להגיע למצב של היפוך אוכלוסייה צריך לדאוג לכך שרמה עליונה יותר תכיל יותר אטומים מאשר הרמה שמתחתיה. בלייזר 3 רמות הרמה התחתונה שבה מבצעים את הלזירה היא רמת היסוד וזה לא פשוט לגרום לכך שיהיו שם פחות מחצי מהאטומים בחומר. לכן יש שיטה נוספת יותר יעילה - 4 רמות. במקרה זה בנוסף לרמות שהוזכרו לעיל קיימת רמת נוספת בין רמת היסוד לרמת הלזירה, וכעת הלזירה מתבצעת בין רמה 3 לרמה 2. רמה 2 אינה רמה מטסטבילית ולכן כמעט כל האטומים שמגיעים לרמה זו דועכים בצורה ספונטנית ומהירה לרמת היסוד והיא נשארת כמעט ריקה. וכך נוצר בקלות יחס היפוך אוכלוסייה בין רמה 3 לרמה 2.
פרנזי
פרנזי (באנגלית: Frenzy) הוא סרט מתח שביים אלפרד היצ'קוק בשנת 1972. הסרט נחשב לאחת מפסגות יצירתו של הבמאי הנודע ולסרטו הגדול האחרון. הסרט זכה להצלחה מסחרית ואמנותית ניכרת, לאחר הכשלונות היחסיים של שני סרטיו הקודמים של היצ'קוק, "טופז" ו"המסך הקרוע". כמו רבים מסרטיו המפורסמים של היצ'קוק, עוסקת עלילתו של פרנזי באדם חף מפשע החשוד בסדרה של רציחות סדרתיות שלא ביצע. הסרט, שמתרחש בלונדון וצולם בה, מסמל גם את שובו של היצ'קוק לאנגליה מולדתו, לאחר שנים של עשייה ובימוי בארצות הברית. סצנות רבות בסרט צולמו בשכונת קובנט גארדן, שם עבד אביו של היצ'קוק כסוחר בשוק, ובה גדל היצ'קוק עצמו.
עיקרי העלילה.
גיבור הסרט ריצ'רד בלייני (ג'ון פינץ'), טייס לשעבר ומובטל גרוש וממורמר בהווה, נחשד בסדרה נמשכת והולכת של מעשי אונס ורצח סדרתיים, המתבצעים באמצעות חניקה בעניבה. בשלב מסוים נרצחות גם גרושתו של בלייני, ברנדה (ברברה לי-האנט) וחברתו ברברה "באבס" מיליגן (אנה מאסי), דבר שמביא למעצרו של בלייני. צופי הסרט מתוודעים בשלב מוקדם יחסית לרוצח האמיתי, בוב ראסק (בארי פוסטר), ועיקר העלילה מתמקד בחקירה שמנהל מפקח המשטרה אוקספורד (אלק מקוואן), שחושד שבלייני אינו הרוצח.
הסרט מסתיים בסצנה בה בלייני מנסה להרוג את ראסק הישן במיטתו אך זה מתגלה כבחורה בלונדינית ערומה מתה עם עניבה סביב צווארה. המפקח אוקספורד נכנס בדיוק לחדר מיד לפני שראסק נכנס עם מזוודה ענקית, ללא עניבתו.
סצנות מפורסמות.
הסרט כולל מספר סצנות קולנועיות ידועות:
התייחסויות ופרשנויות.
בספר הראיונות שערך הבמאי הצרפתי הנודע פרנסואה טריפו עם היצ'קוק הוא כותב על הסרט: