תמונה פשוטה יותר מתקבלת אם נתבונן בחלקיק היכול לנוע רק בכיוון אחד, נאמר ציר ה-formula_9. זוהי מערכת חד ממדית, כלומר כדי לתאר את המערכת כל שצריך הוא להגיד מה המיקום של החלקיק על ציר ה-formula_9. תיאור קלאסי של המערכת יינתן על ידי formula_11, המיקום של החלקיק כפונקציה של הזמן. התיאור הקוונטי הוא דרך פונקציית הגל: formula_12. אם נרצה לדעת איפה החלקיק בזמן כלשהו נוכל לחשב את ההסתברות שלו להיות בכל נקודה. מכיוון שformula_9 הוא רציף יש אינסוף (formula_14) נקודות בכל תחום והסיכוי של החלקיק להיות בנקודה מסוימת שואף לאפס, אך הסיכוי של החלקיק להיות בתחום -formula_15 הוא סופי ונתון על ידי
כשתנאי הנירמול הוא:
מרחב המיקום לעומת מרחב התנע.
גל מישורי, במימד אחד נתון על ידי : formula_18 כש formula_19 הוא מספר הגל ו-formula_20 הוא אורך הגל. לפי השערת דה ברויי תנע הגל הוא formula_21
ניתן לרשום את פונקציית הגל כסופרפוזיציה של גלים מישוריים:
כמו גל, גם הפתרון הכללי הוא בעצם טרנספורם פורייה על מרחב דואלי שלא תלוי במיקום - זהו מרחב התנע (ראה מכניקה המילטוניאנית).
תיאור החלקיק על ידי פונקציית גל הסביר מדוע אלקטרונים יכלו לבצע התאבכות.
כדי לקבל את התפתחות פונקציית הגל בזמן, הפעיל שרדינגר שוב שיקול סמי-קלאסי. עבור גל אור מקוונטט formula_23 מתקיימים הקשרים הבאים:
אך עבור חלקיק חופשי מתקיים ש
ולכן
נניח שמבצעים עליו מדידה, שמבדילה בין שלושת המצבים העצמיים הללו (מדידה כזאת אפשר לייצג על ידי אופרטור השלכה שהוא אינו יוניטרי). אם במדידה מקבלים את הערך העצמי "2", אזי אחרי המדידה מצב החלקיק הוא formula_28 והתוצאה של כל מדידה נוספת תהיה תמיד "2".
קריסת פונקציית הגל מתרחשת רק לפי פרשנות קופנהגן. קיימים פירושים אחרים למכניקת הקוונטים, שבהם פונקציית הגל איננה קורסת, אחד מהם הוא פירוש העולמות המרובים.
פונקצית הגל
פונקצית גל
חמי רודנר
חיים (חֶמי) רוּדנר (נולד ב-28 באוקטובר 1964) הוא זמר-יוצר ומוזיקאי ישראלי.
התפרסם בתחילת הקריירה כסולנה של להקת הרוק "איפה הילד?", ומאוחר יותר פתח גם בקריירת סולו.
ביוגרפיה.
נולד וגדל בקיבוץ גבעת ברנר לעמוס, עורך, סופר, אדריכל ומזכיר הקיבוץ, ולתמר, מורה לספרות ועורכת לשונית, אחותו הצעירה של המשורר זוכה פרס ישראל אריה סיון. לרודנר שישה אחים ואחיות, ביניהם יוצרת התוכן רותי רודנר ואיריס הוד מקימת ערוץ הילדים וערוץ 8 התיעודי.
החל להופיע לראשונה בגיל 15 עם שני חברים בקיבוץ.
רודנר שירת בצבא כחוקר תנאי שירות בנציגות קצין העיר באשדוד. באותה תקופה, החל לעסוק במוזיקה
שנות השמונים.
רודנר החל את הקריירה שלו בלהקות "מונדו" (1985) ו"דז'ירטיף" (1985–1987), ב-1986 הקים את להקת איפה הילד? עם אסף שריג, הגיטריסט יובל צמח והמתופף עומר דגני. איחוריו של המתופף לחזרות הלהקה היו מקור ההשראה לשמה: "איפה הילד?". בשנת 1989, עברו רודנר ושריג לתל אביב, וצירפו אליהם את הגיטריסט אופיר בר עמי מקיבוץ חניתה ואת המתופף החיפאי, אסף מרוז (שניגן בלהקת "קילר הלוהטת" ובאבטיפוס).
שנות התשעים.
בשנת 1993 יצא אלבום הבכורה של הלהקה, "זמן סוכר", בהפקתו של יובל שפריר, ולהיטים מאלבום זה, כמו "אמריקה קרובה", "מה שעובר עלי", "העצב שלה", "נפלת חזק", "השמיים הגבול", "אחד אלוהים" הושמעו רבות ברדיו והוקרנו רבות בתוכניות הקליפים של התקופה. התקליט זכה באלבום פלטינה באותו שנה.
באלבום הבא של הלהקה, "שדים", שיצא בשנת 1994 שוב בהפקתו של יובל שפריר נעשה ניסיון להמשיך את הקו המצליח של האלבום הראשון, וכדי לא ליצור את הרושם שרודנר הוא נותן הטון המרכזי וכל שאר החברים פחות חשובים הודגשו באלבום מעורבותם של הנגנים האחרים בלהקה. מעורבותו של אסף שריג בכתיבה ובהלחנה גדלה מאוד (הוא הלחין שבעה שירים, ביניהם הלהיטים "לבן בחלום שחור", "השדים הירוקים" ו"מישהו שומע אותי") וגם אופיר בר-עמי כתב והלחין שני שירים (ביניהם "אהובה הקטנה"). גם לרודנר נשאר מספיק מקום לביטוי (הוא כתב מילים לחלק מהשירים האלה ויצר עוד שישה שירים, ביניהם "ישראליאנה"). הניסיון ליצור תחושת שיתוף עלה יפה וגם השתלם: האלבום "שדים" זכה להצלחה גדולה עוד יותר מקודמו.
באותה שנה רודנר הפיק מוזיקלית את אלבום הבכורה של איגי וקסמן, "אדום", הלחין כמה שירים מהתקליט וניגן בגיטרת בס בהקלטות האלבום.
בשנה שלאחר מכן נישא רודנר לוקסמן. רודנר תיעד את האירוע בשירו "אנחנו מתחתנים" באלבום "מסעותי עם עצמי", אלבומה השלישי של "איפה הילד". ההפקה המוזיקלית של האלבום הייתה של יובל בנאי, אך האלבום לא המשיך את שרשרת ההצלחות של קודמיו, ונכשל במכירות, ללהקה נגמר החוזה עם הליקון, שבו היו ללהקה שלושה אלבומים, והליקון לא היו מעוניינים להאריך אותו. בעקבות כישלון זה התפרקה הלהקה. למרות זאת, מאוחר יותר ב-1996 חזרה הלהקה לפעילות ביוזמתו של רודנר, כשאלבום הסולו הראשון המתוכנן שלו הפך לאלבום של איפה הילד. הלהקה הקליטה את האלבום (שנקרא "איפה הילד?") עם גיטריסט חדש, שיף (שפריר) ערד, ועם שריג שחזר מחוץ לארץ. רוב השירים בכל זאת היו של רודנר, ביניהם "רק בשביל לקבל חיבוק" (שהוא שר בדואט עם איגי וקסמן), "עכשיו אני לא מוותר", "הולך רגל", "לאן לאן", "לילות לבנים" ועוד. בהפקה המוזיקלית של האלבום, השתתפו איפה הילד ושי להב (ממופע הארנבות של ד"ר קספר), שגם ניגן בהקלטות בקלידים שונים. האלבום הוקדש לזכרו של יצחק רבין. באותה שנה, הקליטה וקסמן חידוש ללהיטו של אריאל זילבר "בטי בם" בעיבוד חמי רודנר ושי להב.
בשנת 1997 רודנר הפיק מוזיקלית את אלבומה השני של וקסמן, "לא מחכה יותר לדוור". גם באלבום זה, הלחין אחד מהשירים וניגן בגיטרות. באותה שנה כתב רודנר את מילות השירים "סיפור קטן פשוט" ו"בדיסקוטק" לאלבום הבכורה של להקת היי פייב, תחת שם העט "נינה שדה" (את שם העט הגה שי להב, שהיה המלחין והמפיק העיקרי של היי פייב). בשנת 1998 רודנר הפיק מוזיקלית את אלבום הבכורה של נמרוד לב, "אין חלום אחר", השתתף בעיבודים באלבום, וניגן בהקלטתו בבס. באמצע 1998, הוחלט לתת תוקף רשמי לפירוק איפה הילד בהופעת פרידה ובאלבום האוסף "מישהו שומע אותי" שכלל את להיטי הלהקה, שירים מהופעות חיות וגם שירים חדשים, כמו "ונוס בטרנינג", "כולם רוצים חבר" ועוד. באותה שנה, חידש רודנר לפרויקט עבודה עברית את שירו של שלום חנוך "לילה".
בשנת 1999 התפרקה להקת "איפה הילד?". באותה שנה התגרש רודנר מאשתו, איגי וקסמן, לאחר ארבע שנות נישואין.
על פירוק הלהקה אמר
רודנר בין השאר כי:
שנות ה-2000.
בשנת 2000 יצא "גאולה", אלבום הבכורה של חמי רודנר, בו שיתף פעולה עם להקת שליחי הבלוז. רודנר כתב והלחין את השירים, עיבד עם עידו אגמון, והפיק מוזיקלית עם אגמון ואייל דפנא. בין להיטי האלבום היו "בואי ניפרד", "מה היה" ו"גאולה".
באותה שנה, הפיק רודנר שני שירים חדשים לאלבום האוסף של ג'וזי כץ, "התשמע קולי": "אני סולחת" ו"מישהו תמיד". כמו כן שיתף פעולה, באותה שנה, בהופעות עם ירמי קפלן, שלום חנוך וג'וזי כץ.
בשנת 2001, התאחדה להקת "איפה הילד?" בהרכב מלא (עם אופיר בר עמי ושיף ערד) למספר הופעות נוספות, ביניהן במופע משותף עם מוניקה סקס. הלהקה גם הקליטה שיר חדש לכבוד האיחוד: "שלום עם עצמי".
במקביל לאיחוד הלהקה, המשיך רודנר גם בפעילותו העצמאית. הוא הופיע, בין השאר, במופע "איך כש..." לזכרו של יוסי אלפנט, הפיק מוזיקלית אלבומים לשרון מולדאבי ולאסף ארליך והקליט אלבום סולו שני, "מלנכוליה אהובתי" שמו, בין שיריו: "סוד הדברים הפשוטים", "מלנכוליה אהובתי", "חדרים שבלב" (בדואט עם יהודית רביץ) ו"הרבה יותר יפה לי מקרוב". במאי 2003 הוציא רודנר את אלבומו השלישי "חמלה", מתוכו הצליח השיר "הברית שצריך לחדש".
בשנת 2004 הוציא רודנר אלבום בהופעה חיה, במסגרת סיבוב ההופעות "בית השמש העולה". במופע, שהחל במסגרת פסטיבל "בלוז, סרטים ווידאוטייפ", ביצע רודנר, עם להקת הליווי "The Ruderunners" (עידו אגמון, ספי אפרתי, נועם רפפורט וטל לבני), שירים של להקות "הפלישה הבריטית": הביטלס, הרולינג סטונז, החיות, קרים ואחרות. באותה שנה הופיע רודנר בפסטיבל ניצנים, שם אירח את יוני בלוך. בהמשך הופיע בפסטיבל שיר היונה, וב"פסטיבל השירים של ישראל".
בשנת 2006 החל רודנר להנחות תוכנית ראיונות לילית בשם "מרגיש בבית", בערוץ 2. בתוכנית הוא מראיין זמרים שונים, ומלווה אותם במשך יום בחייהם. התוכנית שודרה במשך 2 עונות.
בשנת 2007 הוציא רודנר את אלבומו "מכונת השירים הגדולה", בהפקתו של קובי אוז ובעיבודים של ערן וייץ ושלומי לביא. מתוך האלבום יצאו הסינגלים "מכונת השירים הגדולה", אשר הלחין רודנר למילים של לאה איני, "זה אותו הקיץ" ו"השארת אותי עם הרוח". פרט ל"מכונת השירים הגדולה" כתב והלחין רודנר את כל שירי האלבום.
בשנת 2008 חידשו חברי "איפה הילד?" את פעילות הלהקה, ובשנת 2012 יצא אלבומם "בני המאה ה-20".
מאז 2011 מלמד רודנר בבית הספר למוזיקה "מזמור", וכן מלווה הרכבים ובוגרים מקרב תלמידי בית הספר.
בשנת 2013 רודנר הפיק מוזיקלית את המופע אינדי ילד - מופע רוקנ'רול לכל המשפחה.
לאחר שתיקה ארוכה, הוציא רודנר ב-2013 שני סינגלים ראשונים לקראת אלבום הסולו "זמן אסיף" שיצא בהמשך השנה. האלבום שהעבודה עליו ארכה שלוש שנים בהן נטל חלק כשותף הגיטריסט ערן ויץ, כולל 10 שירים שאת כולם כתב רודנר, למעט אחד שנכתב על ידי אחיו רוני יעקבי. חלק מהשירים באלבום כמו "ישראבלוז" הנם בעלי אופי מחאתי ופוליטי.
במרץ 2017 הוציאו חברי "איפה הילד?" את אלבומם החמישי "מתוק בחשיכה", בהפקתו המוזיקלית של עופר מאירי.