תוכנית לנגלנדס היא מארג של משפטים והשערות מרחיקות לכת המקשרות תחומים מרכזיים בתורת המספרים האלגברית ובתורת ההצגות. את התוכנית הציע רוברט לנגלנדס ב-1967, במכתב לאנדרה וייל, והיא מהווה מסגרת לחלק נכבד מן המחקר המודרני בתורת המספרים. על יצירת התוכנית זכה רוברט לנגלנדס בפרס וולף למתמטיקה ב-1996, בפרס נמרס למתמטיקה ב-2006 ובפרס אבל היוקרתי למתמטיקה ב-2018.
הרעיון המרכזי של תוכנית לנגלנדס הוא לשייך יצירים אנליטיים (פונקציות L, שכמו אחותן המוכרת פונקציית זטא של רימן, הן טורי דיריכלה עם מכפלת אוילר מתאימה), לעצמים האלגבריים שאותם חוקרים.
מבוא.
חבורת גלואה האבסולוטית.
התוכנית סובבת סביב חבורות גלואה האבסולוטיות של השדות ה"אריתמטיים": השדות המקומיים והשדות הגלובליים. חבורת גלואה האבסולוטית formula_1 של שדה formula_2 מקודדת בתוכה את כל ההרחבות הסופיות של formula_3, וקושרת את המושגים הבסיסיים של תורת המספרים: אידיאלים ראשוניים, הערכות, פונקציות L, תבניות מודולריות, ועוד. לכל אלה יש מבנה פנימי חבוי, הנחשף כאשר מתבוננים בהם מנקודת המבט של חבורת גלואה האבסולוטית.
אחת המטרות של תורת המספרים המודרנית, ואפשר שהמרכזית שבהן, היא להבין את המבנה של חבורות גלואה האבסולוטיות. אלו חבורות פרו-סופיות, ולכן אפשר לפענח אותן באופן מלא דרך ההצגות מממד סופי - ההומומורפיזמים formula_4. אם formula_3 הוא שדה מספרים, אפשר להצמיד לכל הצגה כזו פונקציית L של ארטין, formula_6, כאשר s הוא משתנה מרוכב.
תורת שדות המחלקה.
ההישג העיקרי של תורת שדות המחלקה, שייסד הילברט, הוא התיאור של המנה האבלית המקסימלית של חבורת גלואה האבסולוטית - האבליזציה שלה, formula_7 (כאשר formula_8 היא תת-חבורת הקומוטטורים של formula_1). מסמנים ב-formula_10 את "הסגור האבלי" של formula_3: זהו השדה הגדול ביותר שחבורת גלואה שלו מעל formula_3 היא אבלית; כך יוצא שחבורת גלואה של ההרחבה formula_13 היא האבליזציה של formula_1.
אם formula_2 שדה מקומי, חבורת גלואה formula_16 איזומורפית באופן קנוני להשלמה הפרו-סופית של החבורה הכפלית formula_17. אם formula_2 שדה גלובלי, חבורת גלואה של הסגור האבלי איזומורפית ל-formula_19, כאשר formula_20 הוא חוג האדלים של formula_2 (החוג הזה אורז יחד את כל ההשלמות formula_22 של השדה k).
פונקציות L.
כנקודת המוצא של התוכנית אפשר לראות את חוק ההדדיות של אמיל ארטין, המכליל את חוק ההדדיות של גאוס על שאריות ריבועיות. החוק של ארטין חל על הרחבות גלואה אבליות של שדות מספרים, ומתאים פונקציות מיוחדות הנקראת "פונקציות L של ארטין" להצגות חד-ממדיות של חבורת גלואה של ההרחבה. בנוסף לזה, החוק מציג התאמה בין פונקציות L אלה, לפונקציות L אחרות הקרויות "פונקציות L של דיריכלה".
ההתאמה של ארטין עוסקת, כאמור, דווקא בהרחבות עם חבורת גלואה אבלית. עם זאת, את פונקציות ה-L של ארטין אפשר להגדיר גם כאשר החבורה אינה אבלית, לכל הצגה אי-פריקה של החבורה.
באותו אופן, להצגות אוטומורפיות formula_23 של formula_19, מתאימות פונקציות L משלהן, formula_25; בזכות הפירוק של פונקציות אלה למרכיבים מקומיים (המתאימים להשלמות של k לשדות מקומיים), התכונות האנליטיות שלהן מובנות היטב.
הצגות אוטומורפיות.
הרעיון המרכזי שהציע לנגלנדס הוא למצוא את ההכללה המתאימה לפונקציות L של דיריכלה, באופן שאפשר יהיה להשוות אותן לפונקציות L של ארטין לכל הרחבת גלואה, לאו דווקא אבלית.
זמן רב קודם לכן, הצליח אריך הקה לשייך פונקציית L של דיריכלה לכל תבנית אוטומורפית (שהיא פונקציה חלקה על חצי המישור העליון, המקיימת משוואות פונקציונליות מסוימות). לנגלנדס הכליל את הבניה הזו להצגות אוטומורפיות קספידליות, שהן הצגות אי-פריקות מסוימות מממד אינסופי של החבורה הליניארית הכללית formula_26 מעל חוג האדלים formula_27 של הרציונליים.
לנגלנדס הצמיד פונקציות L להצגות האוטומורפיות האלה, ושיער שכל פונקציית L של ארטין המתאימה להצגה מממד סופי של חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מספרים - שווה לפונקציית L המתאימה להצגה אוטומורפית קספידלית. זוהי "השערת ההיפוך" של לנגלנדס.
התאמת לנגלנדס.
התיאור שניתן לעיל לחבורת המנה האבלית המקסימלית formula_7 שקול להבנת ההצגות האבליות של החבורה formula_1 עצמה, כלומר, ההצגות החד-ממדיות שלה. לנגלנדס הציע את ההמשך הטבעי לגישה זו, היינו, ניסיון לתאר את ההצגות ה-n ממדיות, עבור formula_30. באופן תמציתי ולא מדויק, השערות לנגלנדס מציעות התאמה טבעית בין ההצגות ה-n-ממדיות של formula_1 לבין הצגות אוטומורפיות (מממד אינסופי) של החבורה הליניארית הכללית formula_32 במקרה המקומי, ושל formula_33 במקרה הגלובלי. בנוסף לכך, ההתאמה אמורה לשמור על פונקציות L, דהיינו (על-פי ההשערה), פונקציית L המתאימה להצגה של חבורה גלואה, תהיה שווה לפונקציית L המתאימה להצגות האדליות של החבורה הליניארית הכללית.
מבין פונקציות L האחרונות, כל אלו המוכרות למתמטיקאים נבנות כטרנספורמי מלין של תבניות מודולריות, המתארות אספקט מסוים של קוהומולוגיית דה-רם של מרחבים מודולריים מסוימים; באותה עת, הצגות גלואה מקודדות את ה-etale cohomology של אותם מרחבים.
במקרה החד-ממדי, n=1, תיאור זה הוא הבסיס לגישה האנליטית אל תורת שדות המחלקה, הידועה בשם "התזה של טייט". לכן אפשר לראות בהתאמת לנגלנדס, מחד, תורת שדות מחלקה לא אבלית, ומאידך, פרמטריזציה אריתמטית של הצגות אדמיסיביליות (במקרה המקומי) או אוטומורפיות (במקרה הגלובלי).
ההשערה המקומית.
חבורת וייל-דלין.
נניח ש-F הוא שדה מקומי. בהמשך לתיאור הקודם על ההצגות המרוכבות של formula_34, כלומר, ההומומורפיזמים formula_35, אפשר ללמוד את החבורה גם דרך הצגות אל הסגור האלגברי של שדה המספרים ה-formula_36-אדיים, כאשר formula_36 שונה מן המאפיין של שדה השאריות של F. לצורך כך הציג אנדרה וייל חבורה formula_38 עם הומומורפיזם formula_39 שיש לו תמונה צפופה, ובאופן כזה כל הצגה (רציפה) של formula_34 היא גם הצגה של formula_38. כדי להתאים את התמונה גם להתנהגות של שדות מקומיים ארכימדיים, פייר דלין (Pierre Deligne) הגדיר את "חבורת וייל-דלין" formula_42, שחבורת וייל היא חבורת מנה שלה.
השערת לנגלנדס המקומית עוסקת בהצגות של formula_42.
פרטי ההשערה המקומית.
ההשערה המקומית של לנגלנדס מתייחסת להתאמה בין הצגות n-ממדיות של formula_42, כאשר F שדה מקומי, לבין הצגות "מותרות" (admissible representations) מרוכבות אי-פריקות של החבורה הליניארית הכללית formula_45.
ההתאמה בין הצגה n-ממדית formula_46 של חבורת וייל-דלין לבין הצגה formula_47 של חבורת המטריצות formula_45, אמורה לקיים את התכונות הבאות:
בניסוח זה של ההשערה לא מופיעות פונקציות L. השערה נוספת (שניסחו לנגלנדס ו-Jacquet ב-1970, ודלין ב-1973), קובעת גם התאמה בין פונקציות L של המרכיבים בהתאמה הקודמת, ובפרט אמור להתקיים formula_61 לכל שתי הצגות אי-פריקות formula_62 של חבורות המטריצות formula_45 ו-formula_64, בהתאמה.
מעמדה של ההשערה המקומית.
מאז הועלתה על ידי לנגלנדס ב-1970, נפתרה השערה זו לחלוטין.
את המקרה הראשון, הקל ביותר, פתר לנגלנדס עצמו ב-1973. מדובר בשדות המקומיים הארכימדיים, שדה הממשיים formula_65 ושדה המספרים המרוכבים formula_66, שעבורם חבורת גלואה האבסולוטית היא מסדר 1 או 2. במקרה זה צד אחד של השקילות (זה העוסק בהצגות של חבורת גלואה האבסולוטית) מובן לחלוטין, והבעיה הייתה להוכיח שהצד השני שלה מתנהג בהתאם.
את המקרה של שדות לא ארכימדיים במאפיין חיובי פתרו ז'ראר לומון , אולריך שטולר ומיכאל רפפורט בראשית שנות ה-90, ואת המקרה הנותר, של שדות לא ארכימדיים במאפיין 0, פתרו מייקל האריס וריצ'רד טיילור בשנת 2001; גי אניאר פתר את המקרה בצורה שונה בשנת 2000.
ההשערה הגלובלית.
ההשערה הגלובלית עוסקת, כאמור, בהתאמה בין הצגות של formula_1, כאשר k שדה גלובלי, לבין הצגות אוטומורפיות של חבורת המטריצות formula_33. פייר דלין זכה במדליית פילדס לשנת 1978 עבור פתרון חלקי של ההשערה עבור החבורה formula_69 עבור שדות גלובליים ממאפיין אפס, שכלל את פענוח ההצגות של חבורה זו באופן שיישב את השערת רמנוג'ן. ולדימיר דרינפלד הוכיח חלקים מן ההשערה עבור החבורה formula_69 עבור שדות גלובליים ממאפיין "חיובי", וזכה במדליית פילדס לשנת 1990. הרחבה משמעותית של עבודה זו, לכל החבורות formula_26 (במאפיין חיובי), זיכתה את לורן לפורג (Laurent Lafforgue) במדליית פילדס לשנת 2002.
עקרון הפונקטוריאליות.
בתורת החבורות האלגבריות מבינים את החבורות הליניאריות formula_26 כמקרים פרטיים של התאוריה הכללית של חבורות רדוקטיביות, ותוכנית לנגלנדס לוקחת נקודת מבט זו בחשבון. לכל חבורה רדוקטיבית קשירה G, לנגלנדס הצמיד את חבורת לנגלנדס formula_73. לנגלנדס מצא דרך להתאים לכל הצגה קספידלית אוטומורפית של G ולכל הצגה סוף-ממדית של formula_73, פונקציית L. על-פי ההשערה, פונקציות L אלה מקיימות משוואה פונקציונלית, המכלילה את אלו המוכרות מפונקציות L אחרות.