ספאסקי התמודד בדו-קרבות המועמדים ב-1965, שנה שנחשבה ל"שנה המופלאה שלו".
ברבע הגמר הוא ניצח את פאול קרס בתוצאה 4–6 (+4 =4 -2).
בחצי הגמר הוא ניצח את יפים גלר בתוצאה (5.5-2.5, +3 =5 -0)
בגמר ה"מועמדים" הוא התמודד עם ידידו הוותיק, אלוף העולם לשעבר, מיכאל טל.
ספאסקי ניצח את טל 4–7 (+4 =6 -1) בעיקר בזכות יכולתו לנווט את המשחק לעמדות שקטות בהן טל, הטקטיקן הדגול, לא הרגיש בנוח.
מכיוון שניצח בגמר המועמדים עמד ספאסקי לשחק עם טיגראן פטרוסיאן על תואר אלוף העולם. לפני הדו-קרב עם פטרוסיאן היה ספאסקי בכושר מעולה - הוא זכה בתחרות החזקה לזכר מיכאיל צ'יגורין בסוצ'י ביחד עם וולפגאנג אונציקר ובתחרות העל בהיסטינגס ביחד עם וולפגנג אולמן.
הדו-קרב עם פטרוסיאן שהתקיים במוסקבה בשנת 1966 היה אחד מהדו-קרבות הצמודים בהיסטוריה, וספאסקי הפסיד בהפרש של נקודה אחת בלבד (+3 =17 -4). כשנשאל אלוף העולם לשעבר מיכאל בוטביניק מדוע ספאסקי הפסיד הוא השיב: "כי הוא לא הצליח לתכנת את עצמו לפטרוסיאן".
ההפסד לפטרוסיאן לא עצר את המומנטום של ספאסקי ובשנתיים הבאות הוא זכה במספר תחרויות חשובות.
מיד לאחר ההפסד באליפות העולם השתתפו ספאסקי ופטרוסיאן ב"גביע פיאטיגורסקי" בסנטה מוניקה ביחד עם רבים מהשחקנים הטובים בעולם (פישר, לארסן, פורטיש, אונציקר, רשבסקי, ניידרוף, איבקוב ודונר). ספאסקי זכה בתחרות הזו (בהפרש חצי נקודה מפישר) בעוד שפטרוסיאן סיים רק במקום שישי משותף. ספאסקי כינה את התחרות הזאת "תחרות חיי". בשנה שלאחר מכן ספאסקי סיים במקום ראשון משותף בתחרות העל בסוצ'י.
מכיוון שספאסקי היה המפסיד בדו-קרב על אליפות העולם הוא העפיל אוטומטית לדו-קרבות המועמדים בסבב הבא (בלי להשתתף בתחרות האזורית והבין-אזורית).
ברבע הגמר הוא שוב ניצח את גלר באותה תוצאה ((2.5-5.5, (+3 =5 -0)).
בחצי הגמר הוא פגש את בנט לארסן וניצח גם אותו 2.5-5.5.
בגמר הוא התמודד נגד ויקטור קורצ'נוי וניצח אותו 3.5-6.5.
וכך זכה ספאסקי להזדמנות שנייה נגד פטרוסיאן.
בדו-קרב לאליפות העולם שהתקיים גם הוא במוסקבה בשנת 1969 ניצח ספאסקי בתוצאה 10.5-12.5 וזכה בתואר אלוף העולם.
הדו-קרב מ-1969 התעלה לרמה גבוהה יותר ורבים ממשחקיו נלמדים עד היום (במיוחד זכור משחק מספר חמש - - בו הסיע ספאסקי את רגלי המלכה שלו כל הדרך לערוגת ההכתרה בעשרים ושניים מסעים).
אובדן התואר.
במהלך שנת 1970 המשיך ספאסקי לנצח בתחרויות חשובות (כגון סן חואן, אמסטרדם, וגטבורג).
כמו כן הוא הוביל את נבחרת ברית המועצות לניצחון בתחרות "ברית המועצות נגד שאר העולם" כשספאסקי עצמו מסיים בתיקו 2-2 עם בנט לארסן (ניצחונו של ספאסקי שהושג ב-17 מסעים היה אחד מהניצחונות הקצרים והמפורסמים בהיסטוריה של ההתמודדויות בין רבי אמנים - ).
אולם בשנת 1971 נחלש כושרו והוא מיעט לשחק בתחרויות. בתחרות חשובה לזכר אלכין הוא סיים רק במקום חמישי משותף.
בשנת 1972 ספאסקי ניסה להגן על התואר אלוף העולם כנגד בובי פישר.
הדו-קרב שכונה "דו-קרב המאה" (מסיבות שאינן קשורות בהכרח לשחמט) הסתיים בתבוסה מוחצת לפישר (12 ½8).
ספאסקי הפגין בדו-קרב זה יכולת חלשה והרבה לעשות "שגיאות גסות".
שלטונות ברית המועצות שראו בדומיננטיות הסובייטית בשחמט הוכחה לעליונותם, זעמו על הפסדו של ספאסקי לפישר האמריקאי, בעיצומה של המלחמה הקרה.
המשך הקריירה.
הפסדו של ספאסקי לפישר לא סיים את הקריירה השחמטאית שלו. כבר בשנה שלאחר מכן הוא זכה באליפות ברית המועצות בשחמט, והשתתף בדו-קרבות המועמדים פעם נוספת ב-1974 בניסיון להשיב לעצמו את התואר אלוף העולם.
הוא ניצח את רב האמן האמריקאי רוברט בירן 4½-1½ (+3 =3 -0) (המשחק הראשון - בו ספאסקי הקריב את מלכתו בנונשלאנטיות נהיה מפורסם מאוד).
ברם, ספסקי הפסיד כבר בשלב חצי הגמר שכשהובס על ידי אלוף העולם העתידי אנטולי קרפוב 7-4 (+1 -4 =6).
בשנת 1977 ניסה ספאסקי להעפיל לדו-קרב על אליפות העולם פעם נוספת.
הפעם הוא ניצח את ולסטימיל הורט 8½-7½ ואת לאיוש פורטיש בתוצאה 8½-6½.
אולם הוא הפסיד בגמר לוויקטור קורצ'נוי בתוצאה7 ½-10½, (+4 -7 =7).
ספאסקי המשיך לשחק שחמט תחרותי במהלך כל שנות השמונים ותחילת שנות התשעים.
מורשתו.
ספאסקי הותיר את עיקר חותמו על עולם השחמט כ"ילד פלא" בשנות החמישים וכמבוגר בשנות השישים.
שלא כמו שחקנים רבים אחרים ספאסקי כמעט לא תרם לאחר שנהפך לאלוף עולם.
על אף שמעולם לא היה שחקן פתיחות חזק ספאסקי תרם תרומה רבה במספר וריאנטים ידועים:
בספרדית (וריאנט בריאר ומרשל), בנימצו-הודית (וריאנט לנינגרד) ובסציליאנית סגורה.
ישנם מספר וריאנטים הקרויים על שמו (בנימצו הודית, ובהודית של המלך).
שלא כמו לשחקנים רבים בתקופתו לספאסקי היה רפרטואר פתיחות גדול (הוא פתח את מחצית ממשחקיו עם ה4 ואת מחצית ממשחקיו עם ד4).
ספאסקי החזיר לאופנה את הפתיחה הפראית "גמביט המלך" וניצח בעזרתה 16 משחקים (כולל נגד אלופי העולם פישר וקרפוב ונגד הטוען לכתר דויד ברונשטיין).
סגנונו של ספאסקי כונה אוניברסלי - הוא לא היה שחקן התקפי או שחקן אסטרטגי אלא שחקן שהיה מוכן לשחק כל סוג של עמדה.
משחק לדוגמה.
משחק של ספאסקי (לבן) נגד דוד ברונשטיין (שחור) ששוחק באליפות ברית המועצות 1960. גרסה של המשחק מופיעה בסרט ג'יימס בונד מרוסיה באהבה (1953).
1.ה4, ה5
2.ו4 (גמביט המלך פתיחה שגם ספסקי וגם ברונשטיין אהבו), ה:ו4
3.פו3, ד5
4.ה:ד5, רד6 מקובל יותר 4.פו6.
5.פג3 (מעניין גם 5.רב5+), פה7
6.ד4, 0-0
7.רד3, פד7
8. 0-0, ח6?! (עדיף פו6!)
9.פה4! (מתחיל לבנות לחץ ששווה את ההקרבה של ד5), פ:ד5
10.ג4, פה3
11.ר:ה3, ו:ה3
12.ג5!, רה7
13.רג2! (לשחור יש בעיות עם הערוגות ח7 ו-ו7), צה8
14.מהד3, ה2
15.פד6!? הקרבה מהממת של צריח ופרש. אובייקטיבית כנראה היה עדיף פשוט צו2!
15. ...פו8? מסע חלש שמוביל להפסד במשחק. היה הכרחי לשחק 15. ...ר:ד6 16.מהח7+, מו8
17.ג:ד6, ה:ו1=מה+ 18.צ:ו1, ג:ד6! 19.מהח8+, מה7 20.צה1+, פה5 21.מה:ז7, צז8! 22.מה:ח6, מהב6! 23.מח1, רה6 24.ד:ה5 וללבן תמורה תמורת הטיב אבל לא בטוח שהיא תספיק לניצחון.
16.פ:ו7!, ה:ו1=מה+
17.צ:ו1, רו5
18.מה:ו5, מהד7
19.מהו4, רו6
20.פ3ה5, מהה7 עדיף היה 20. ...ר:ה5
21.רב3!, ר:ה5
22.פ:ה5, מח7
23.מהה4+ השחור נכנע.
שדה וקטורי
במתמטיקה שדה וקטורי הוא פונקציה חלקה בין יריעה לבין האגד המשיק ליריעה, כך שלכל נקודה מותאם וקטור משיק באותה הנקודה. במילים אחרות שדה וקטורי הוא חתך חלק מעל האגד המשיק של היריעה.
מקרה פרטי נפוץ, עבור יריעות שהן תתי-קבוצות של מרחב אוקלידי הוא פונקציה המשייכת וקטור לכל נקודה במרחב. שדה וקטורי הוא למעשה הרחבה של שדה סקלרי. בזמן ששדה סקלרי הוא פונקציה המוגדרת formula_1, שדה וקטורי מוגדר formula_2
שדות וקטוריים תלת ממדיים.
שדות וקטוריים, בעיקר בתלת-ממד שבו formula_3, הם דבר שימושי בפיזיקה למידול של תופעות כגון זרימה של נוזלים: מתאים עבור כל נקודה את גודל זרם וכיוונו, או שדות כח (חשמלי, מגנטי...) בהם הווקטור הוא הכוח.
שדה וקטורי בתלת-ממד אשר מיוצג בקואורדינטות קרטזיות הוא למעשה שלוש פונקציות סקלריות ונרשם כ-
שדה וקטורי פרמטרי.
השדה הווקטורי יכול גם להיות פרמטרי, אם הנעלמים הם פונקציה של נעלמים אחרים. במקרה של הדוגמה הנ"ל, השדה הוא פרמטרי אם כל הנעלמים הם פונקציה של אותו הנעלם: formula_5
שטף של שדה וקטורי.
באופן אינטואיטיבי, השטף של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הווקטורי העוברת דרך משטח מסוים ליחידת זמן. שטף כזה נהוג להגדיר עבור שדה חשמלי ושדה מגנטי וכן עבור שדות כוח נוספים.
אם קיים שדה וקטורי קבוע formula_7 ונדרש לדעת כמה שדה וקטורי עובר דרך משטח מרובע (מסגרת ריבועית מלאה) בעל שטח A, אזי השטף מוגדר להיות:
כאן:
כאשר וקטור השדה ווקטור המשטח מקבילים זה לזה, השטף הוא מקסימלי ומרב העוצמה בוקעת דרך המשטח. לעומת זאת, כאשר השדה הווקטורי מאונך לווקטור המשטח, השטף שווה לאפס ואז לא עוברת שום עוצמה דרך המסגרת.
מהגדרה זו מקבלים כי יחידות השטף הן היחידות של הווקטור formula_7 כפול יחידות שטח.
כאשר עוסקים במשטח כלשהו ושדה וקטורי שאיננו אחיד במרחב, מגדירים שטף דיפרנציאלי בכל אלמנט שטח של המשטח ואז מבצעים אינטגרציה על פני המשטח:
משפט חשוב מאוד לגבי שטף הוא משפט גאוס (הקרוי גם "משפט הדיברגנץ") הקובע שאינטגרל של השטף על משטח סגור שווה לאינטגרל הנפחי על דיברגנץ השדה בתוך הנפח הכלוא על ידי המשטח. כלומר:
יחידת המידה הסטנדרטית למדידת שטף מגנטי היא ובר וסימולו Wb.
פרס לויצקי
פרס לויצקי הוא פרס ישראלי לחוקר ישראלי בתחום האלגברה.
הפרס נוסד על ידי משפחת לויצקי, לזכר יעקב לויצקי ורעייתו שרלוטה. הפרס מוענק פעם בשנתיים למתמטיקאי ישראלי מצטיין על מחקר בתחום האלגברה או בנושאים קרובים. גובה הפרס הוא 3,000 דולר אמריקאי לזוכה.
אלונה פרנקל
אלונה פרנקל (נולדה ב-27 ביוני 1937) היא סופרת ומאיירת ישראלית.
ביוגרפיה.
פרנקל נולדה בשנת 1937 בקרקוב שבפולין, בת לפני גוסטה וסלומון גולדמן. את ילדותה במהלך מלחמת העולם השנייה עברה תחילה עם הוריה בגטו לבוב. לאחר שהגטו חוסל, מצאו הוריה מחבוא בצד הארי של העיר, אולם המשפחה שהסכימה להחביא אותם סירבה להחביא את אלונה, בת ה-5. הוריה מצאו לה מחבוא בכפר, בלעדיהם. הכפריים הסכימו להסתיר את הילדה תמורת תשלום, ומשאזלו משאבי ההורים, הוחזרה אלונה והוכנסה למחבוא עם הוריה. לאחר המלחמה שבה המשפחה לקרקוב ובשנת 1949 עלתה ארצה.