הספרות ההודיות-ערביות, שהן הספרות הנפוצות והמוכרות, התפתחו מהספרות הברהאמיניות, כאשר הסימן לספרה 0 הומצא בהודו בסביבות המאה ה-6. הספרות ההודיות והשיטה העשרונית אומצו על ידי הערבים בסביבות המאה ה-8, בין השאר, בעקבות ספר שפרסם המתמטיקאי הפרסי אבו ג'עפר מחמד אל ח'ואריזמי בשנת 825. לאירופה הגיעו הספרות במאה ה-11, דרך אנדלוסיה, כאשר התיעוד הראשון לשימוש בהן נעשה על ידי המלומד ז'רבר (גרבר) מאורייאק, לימים האפיפיור סילווסטר השני, בשלהי המאה העשירית. דחיפה נוספת לשימוש באירופה בספרות אלה נתן פיבונאצ'י בספרו ספר החשבונייה (Liber abbaci), שפורסם בשנת 1202.
ספרות לקריאה במכונה.
משחר ההיסטוריה שמשו ספרות לתקשורת בין בני אדם: הן נכתבו בידי אדם ונקראו בידי אדם. בסוף המאה ה-19 החלה כתיבתן וקריאתן של ספרות באמצעות מכונות. בשנת 1870 המציא אמיל בודו את קוד בודו, ששימש להעברתן של אותיות וספרות במכשירי טלפרינטר. בשנת 1887 המציא האמריקאי הרמן הולרית' את הכרטיס המנוקב, והוא נכנס לשימוש במפקד האוכלוסין שנערך בארצות הברית בשנת 1890. בכל כרטיס היו 24 טורים, 12 שורות בכל טור. 10 משורות אלה שימשו לכתיבת הספרות 0 עד 9, כאשר נקב בשורה 3, למשל, ייצג את הספרה 3. הכרטיסים ניתנו לקריאה וכתיבה בציוד לעיבוד נתונים. בשנת 1928 יצרה חברת יבמ כרטיס גדול יותר, בן 80 טורים ו-12 שורות. השורות סימנו את עשר הספרות ועוד שתי שורות עיליות, אשר סייעו ביצירת אותיות. השימוש בכרטיסים מנוקבים נמשך עד אמצע שנות ה-70 של המאה ה-20.
בסוף שנות ה-30 של המאה ה-20, עם תחילת פיתוחם של מחשבים אלקטרוניים, החל ייצוגן של ספרות בזיכרון המחשב באמצעים אלקטרוניים, תחילה שפופרות ריק ובהמשך טרנזיסטורים לדורותיהם. אחסון הספרות נעשה על אמצעים מגנטיים (כגון סרט מגנטי), אופטיים (כגון תקליטור) ואלקטרוניים (כגון דיסק און קי). בכל הטכניקות הללו נוח להשתמש בבסיס בינארי, המצריך הבחנה בין שני מצבים בלבד (כלומר הספרות 0 ו-1 בלבד) לכתיבתם של מספרים. בניגוד לדרכים הקודמות לייצוגן של ספרות, הרישום האלקטרוני של ספרות ניתן לקריאה באמצעות מכונה בלבד, ואינו קריא ישירות על ידי אדם.
סיפרה
משפט המספרים הראשוניים
בתורת המספרים, משפט המספרים הראשוניים מתאר את הצפיפות האסימפטוטית של מספר המספרים הראשוניים. לכל מספר ממשי חיובי מסמנים ב-formula_1 את מספר המספרים הראשוניים שאינם עולים על formula_2 (פונקציית המספרים הראשוניים).
משפט המספרים הראשוניים קובע ש- formula_3 (כאשר formula_4 הוא הלוגריתם הטבעי, והטילדה היא סימון אסימפטוטי), כלומר, כאשר x גדול, מספרם של הראשוניים שאינם עולים על x הוא (בקירוב סביר) formula_5. את המשפט שיערו קרל פרידריך גאוס (ב-1795) ואדריאן-מארי לז'נדר (ב-1808), מתוך התבוננות ברשימות של מספרים ראשוניים. הוכיחו אותו באופן בלתי תלוי אדמר וואלה פוסן ב-1896, והוא נחשב לאחד ההישגים המרכזיים של המתמטיקה במאה ה-19. ההוכחה מבוססת על חקירת תכונות של פונקציית זטא של רימן באמצעות אנליזה מרוכבת.
גרסאות חלשות יותר של המשפט היו ידועות קודם לכן. לא קשה להוכיח שהיחס בין formula_6 ו-formula_5 חסום בין formula_8 ל-formula_9. צ'בישב הראה באמצע המאה ה-19 שהיחס חסום בין שבע שמיניות לתשע שמיניות, ואפילו שאם היחס שואף לגבול, אז הגבול חייב להיות שווה ל-1 (מנקודת מבט זו, הדמר ופוסן היו צריכים רק להוכיח שהגבול קיים; אלא שההוכחה שהם מצאו מוכיחה גם את התוצאה של צ'בישב, כבדרך אגב).
פונקציית המספרים הראשוניים וקירובים שונים.
שיטתו של רימן, שעליה בנויות כל ההוכחות האנליטיות למשפט המספרים הראשוניים, מוליכה באופן טבעי לקירוב formula_10, כאשר formula_11 היא פונקציית האינטגרל הלוגריתמי, formula_12. מבחינת אסימפטוטיקה מסדר ראשון אין הבדל בין הקירוב הזה למנה formula_5, משום שהיחס בין שתיהן שואף ל-1. עם זאת, גורם השגיאה במשפט המספרים הראשוניים הוא מוקד עניין מרכזי בתורת המספרים (ראו השערת רימן), והקירוב באמצעות האינטגרל הלוגריתמי ההפוך טוב בהרבה.
רימן וגאוס האמינו שלכל ערך גדול מספיק של x מתקיים formula_14
, והנתונים המספריים הידועים תומכים כולם בהשערה כזו. אלא שליטלווד הראה שכיוון אי-השוויון בין שתי הפונקציות מתהפך אינסוף פעמים. סטנלי סקיוז הוכיח ב-1933 שהמקום הראשון שבו ההיפוך הזה קורה הוא לפני המספר העצום formula_15 (וגם זאת בהנחה שהשערת רימן נכונה; ללא ההשערה הוא הוכיח ב-1955 את החסם formula_16). מאז השתפר החסם כמה פעמים, והוא עמד בשנת 2000 על formula_17
(Bays-Hudson).
מאידך, Rosser ו- Schonenfeld הוכיחו ב-1962 שלכל formula_18 מתקיים formula_19. את הפונקציה formula_11 אפשר לקרב (קירוב משתפר והולך) באמצעות סכומים סופיים מהצורה formula_21.
טבלה המשווה את הפונקציות:
ניתן גם לראות על פי המשפט כי formula_22, כאשר formula_23 מייצג את הרווח בין המספרים הראשוניים formula_24.
הכללות.
מסמנים ב- formula_25 את מספרם של המספרים הקטנים מ-x, שיש להם בדיוק k גורמים ראשוניים. גאוס שיער ש-: formula_26. השערה זו הוכחה על ידי לנדאו ב-1900
על הפונקציה formula_27 הסופרת כמה גורמים ראשוניים שונים יש למספר n, ידוע שליחס formula_28 יש התפלגות נורמלית סטנדרטית כאשר n נבחר באקראי מהמספרים הקטנים מ-N, ו-N שואף לאינסוף (זהו משפט של ארדש ו-Kac מ-1940; הארדי ורמנוג'אן הוכיחו שהיחס חסום).
משפט המספרים הראשוניים סופר את הראשוניים בין 1 ל-x. בדומה לזה אפשר לנסות להעריך את מספר הראשוניים בקטע שאורכו x ומתחיל ב-y, כלומר את formula_29, במיוחד כאשר x אינו גדול ביחס ל-y. האתגר הוא להוכיח את הקירוב formula_30 כאשר x קטן יחסית. אם formula_31 תוצאה זו נובעת מן המשפט. השערת רימן, השקולה לקירוב משופר במשפט המספרים הראשוניים, מאפשרת להוכיח את אותה תוצאה גם עבור formula_32. ללא השערת רימן, Heath-Brown הוכיח את הקירוב עבור formula_33. סלברג הוכיח את הקירוב עבור formula_34 לכמעט כל y, אבל ידוע שקירוב זה אינו נכון לכל y.
קירובים עבור המספר הראשוני ה-n-י.
כתוצאה ממשפט המספרים הראשוניים, מתקבל ביטוי אסימפטוטי עבור המספר הראשוני ה-n-י, שאותו מקובל לסמן ב- formula_35: formula_36 (היחס בין הביטויים שואף ל-1). את הקירוב אפשר לשפר ל- formula_37.
לפי משפט רוסר (Rosser), formula_38 לכל n; למעשה מתקיים (עבור formula_39) אי-השוויון formula_40
על ההוכחה האלמנטרית.
אף על פי שמשפט המספרים הראשוניים הוכח בסוף המאה ה-19, היו מתמטיקאים שחשו חוסר נחת לגבי ההוכחה, שהשתמשה בכלים מתורת הפונקציות המרוכבות - שממבט ראשון אינה שייכת לעניין - וחיפשו הוכחה ישירה יותר.
ב-1948 הצליח אטלה סלברג להוכיח את הקירוב formula_41. תוך זמן קצר מצאו סלברג ופול ארדש דרך להוכיח מאי-השוויון הזה את משפט המספרים הראשוניים, באופן אלמנטרי (כלומר, כזה שאינו משתמש בתורת הפונקציות המרוכבות). אף על פי שהוכחה זו מסתפקת בכלים פשוטים יותר, היא נחשבת ליותר מסובכת וקשה.
שני המתמטיקאים היו שונים זה מזה באופיים באופן כמעט קיצוני: ארדש ראה במתמטיקה פעילות קהילתית, וכתב בימי חייו עם כ-500 מחברים-שותפים. סלברג, שהעדיף בניית תאוריה על פתרון בעיות,
כתב את כל מאמריו לבדו (למעט אחד, שנכתב עם Sarvadaman Chowla וביוזמתו). ארדש, שהיה מבוגר בכמה שנים והידוע יותר מבין השניים, ראה בהוכחה הישג משותף, והציע לפרסם ב-Annals of Mathematics שני מאמרים: בראשון יתאר סלברג את אי-השוויון שלו, ובשני יסבירו שניהם כיצד אפשר להסיק ממנו שהיחס בין שני ראשוניים עוקבים שואף ל-1, וכיצד אפשר להסיק מטענה זו את משפט המספרים הראשוניים. הרמן וייל, שהעדיף את סגנונו התאורטי של סלברג, מנע את קבלת המאמר המשותף ל-Annals, שפרסם בסופו של דבר הוכחה שכתב סלברג ועקפה את תרומתו של ארדש. המחלוקת בשאלה מי אחראי להוכחה האלמנטרית - סלברג לבדו או סלברג וארדש - לא שככה עוד זמן רב אחר-כך.
אוויוניקה
אוויוניקה (מאנגלית: Avionics - Aviation Electronics - אלקטרוניקה אווירית) היא שם כולל למערכות האלקטרוניקה והמחשבים בכלי טיס. דוגמאות למערכות אוויוניקה הן מערכות התקשורת, הניווט ההיגוי והטייס האוטומטי.
במטוסי הקרב, נחלקת האוויוניקה של המטוס לבקרת ירי (בקר"י), ניווט וקשר (נש"ר) ולוחמה אלקטרונית (ל"א).
המהפכה האלקטרונית של המחצית השנייה של המאה העשרים לא פסחה על ענף התעופה, ובאופן הדרגתי נוספו לכלי הטיס מערכות אלקטרוניות רבות, אם כתחליף למערכות המכניות או החשמליות הקיימות או למטרות חדשות לחלוטין. כפי שקרה בתחומים רבים אחרים, הטכנולוגיה ששימשה למטרות צבאיות, הקדימה בתחילה את זו האזרחית, והמערכות האלקטרוניות הראשונות נכנסו לשימוש במטוסי קרב.
כיום קיימות במרבית המטוסים המודרניים מערכות אלקטרוניות ספרתיות משולבות המשמשות למטרות שונות ומגוונות. בדרך כלל קיימת תקשורת נתונים בין המערכות השונות, בתקנים שונים לפי סוג המטוס.
המערכת האוויונית המתקדמת יצרה חברת ג'נרל דיינמיקס למטוסי ה-F16 המתקדמים. במטוס זה נעשה שימוש לראשונה בצגים מתקדמים רב שימושיים אשר אפשרו העברת מרבית התפעול שנעשה עד אז על ידי קופסאות בקרה ייעודיות לתפעול בעזרת הצגים הנ"ל. שיפור נוסף היה הטמעת מחשבים נוספים לאוויוניקת המטוס: מחשב החימוש (SMS), מחשב תצוגה עילית (HUD), מחשב ניהול טיסה (UFC או FMS), מחשבי התצוגות (MFDs), והמחשב הקרקעי (DTCLR) אשר שימש להעברת נתוני מהקרקע למטוס.