הפולינומים נקראים על שם המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר. המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות הללו מופיעות באופן טבעי במגוון בעיות פיזיקליות, בפרט, בפתרון משוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות.
למשוואה זו נקודות סינגולריות רגולריות (Regular Singular Point) ב-formula_2, והיא ניתנת לפתרון בשיטת טור חזקות (שיטת פרובניוס). הנירמול הסטנדרטי הוא: formula_3.
את הפולינום ה-formula_4 ניתן לחשב באמצעות נוסחת רודריגז:
formula_5
פולינומי לז'נדר הראשונים.
להלן רשימת אחד עשר הפולינומים הראשונים (כלומר, עד n=10):
להלן גרף של ששת הפולינומים הראשונים, בתחום 1&gt;|x|.
תכונות ומאפיינים.
אורתוגונליות.
סדרות רבות של פונקציות המהוות פתרון למשוואה דיפרנציאלית מקיימות תנאי אורתוגונליות עבור מכפלה פנימית מסוימת (מרחב הילברט). לרוב, לכל סדרת פונקציות בנפרד יש מכפלה פנימית שונה עבורה הסדרה אורתוגונלית. המכפלה הפנימית עבורה פולינומי לז'נדר הם אורתוגונליים נתונה על ידי:
כאשר formula_7 היא הדלתא של קרונקר.
ניתן להגיע אל הפולינומים בעזרת תהליך גרם-שמידט עבור חזקות שלמות של formula_8 לפי המכפלה הפנימית שהוגדרה.
פונקציה יוצרת.
הפונקציה היוצרת, של פולינומי לז'נדר היא:
formula_9
יחסי רקורסיה.
בנוסף לנוסחת חישוב כללית (המצריכה בעצם פעולת צעד-צעד, היות שצריך לחשב נגזרות מסדרים גבוהים), ישנה אפשרות לחשב את פולינומי לז'נדר בעזרת נוסחה רקורסיבית, כלומר, נוסחה המחשבת פולינום מסדר מסוים בעזרת הפולינומים הקודמים לו. נוסחת הרקורסיה נתונה על ידי:
הצגה אינטגרבילית.
הצגה אינטגרבילית של פולינום לז'נדר:
formula_11
שימושים.
פולינומי לז'נדר שימושיים מאוד בפיזיקה ומשמשים למגוון חישובים. הידועים שבהם הם בתחום האלקטרוסטטיקה ותורת הקוונטים.
formula_12
כאשר המקדמים formula_13 ו - formula_14 יקבעו בהתאם לתנאי השפה של הבעיה.
formula_15
את הפונקציה הזו ניתן לחשב בעזרת פולינומי לז'נדר לפי הצורה הבאה:
formula_16
פולינומי לז'נדר הנלווים.
נסתכל על המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:
formula_17
עבור formula_18 נקבל את משוואת לז'נדר הרגילה. פתרון המשוואה באופן כללי מניב את פולינומי לז'נדר הנלווים formula_19 וניתן לחשב אותם בצורה הבאה על ידי שימוש בנוסחת רודריגז:
פולינומי לז'נדר המוכללים מהווים את החלק הזוויתי בהרמוניות הספריות, ויחס האורתוגונליות ביניהם הוא:
מנחם כהן (חבר הכנסת)
מנחם כהן (5 ביולי 1922 - 11 במרץ 1975) היה חבר הכנסת מטעם מפא"י ומפלגת העבודה.
מנחם כהן נולד בירושלים. היה פעיל בתנועת הנוער העובד. באמצע שנות הארבעים החל לפעול במוסדות מפא"י. היה ממארגני עלייה ב` של ילדים ונוער מסוריה. ניהל את מחלקת השכונות במועצת פועלי תל אביב. היה חבר במועצת העיר תל אביב. לכנסת הראשונה נכנס ב-19 במאי 1951, במקומו של דוד רמז, שנפטר, מטעם מפא"י ומפלגת העבודה.
היה חבר בכנסות ה-4 עד ה-7 מטעם אותן המפלגות בשנים (1959-1973).
מוד מנטן
מוד לאונורה מנטן (באנגלית: Maud Leonora Menten; 20 במרץ 1879 - 26 ביולי 1960) הייתה רופאה ומדענית קנדית שעסקה בביוכימיה, היסטוכימיה ובקינטיקה אנזימטית. שמה ידוע בעיקר בזכות חלקה בפיתוח מודל קינטיקת מיכאליס-מנטן לתיאור הקינטיקה שבפעילות אנזימים.
מנטן לא הייתה רק מדענית אלא גם מוזיקאית וציירת.
השכלה מדעית.
מנטן נולדה בפורט למבטון, מחוז אונטריו שבקנדה. למדה רפואה באוניברסיטת טורונטו. הייתה בין הנשים הראשונות בקנדה אשר קיבלו תואר דוקטור. את עבודת התזה סיימה באוניברסיטת שיקגו. בשל האיסור לנשים לעסוק במחקר בקנדה בשנים אלו, נאלצה לערוך מחקרים בארצות אחרות כגון ארצות הברית וגרמניה.
את התואר הראשון סיימה בשנת 1904, את השני בשנת 1907, את תואר הדוקטור לרפואה (M.D) קיבלה בשנת 1911 ותואר דוקטור (Ph.D) קיבלה ב-1916.
בשנים 1923–1950 עבדה כפתולוגית באוניברסיטת פיטסבורג ובשנים 1951–1953 עבדה כחוקרת במוסד למחקר רפואי ב-British Columbia Medical Research Institute.
יונה כסה
יונה כסה (קוֹסוֹי) (15 באוקטובר 1907 – 27 ביוני 1985) היה איש ציבור ישראלי שכיהן כמזכיר מפא"י וחבר הכנסת מטעמה בחמש הכנסות הראשונות.
קורות חיים.
כסה נולד בשם יונה קוֹסוֹי בשנת 1907 למשפחת איכרים יהודים בכפר דוברה (דוברויה) שבמחוז חרסון של האימפריה הרוסית (ב"תחום המושב" היהודי, כיום באוקראינה). בילדותו ובנעוריו למד בחדרים מתוקנים והחל בפעילות בתנועת "החלוץ" המחתרתית. הוריו נספו בשנת 1921 במהלך הרעב הגדול באוקראינה.
בשנת 1925 נאסר בגין פעילותו הציונית. לאחר שחרורו עלה לארץ ישראל, בשנת 1926, והחל לעבוד כפועל חקלאי ברחובות. בסמוך לעלייתו הצטרף למפלגת הפועל הצעיר. לאחר האיחוד בין מפלגת אחדות העבודה לבין מפלגת הפועל הצעיר בשנת 1930, המשיך כסה להיות חבר במסגרת המאוחדת, מפא"י.
פעילותו הציבורית החלה בשנת 1932 עם בחירתו למזכיר מועצת פועלי רחובות. באותה עת עבר כסה להתגורר בכפר ביל"ו (1933–1936) ולאחר מכן היה חבר "קבוצת שילר". פועלו המפלגתי והציבורי נמשך בהיותו חבר המפקד המחוזית של ארגון "ההגנה" בדרום וחבר המרכז לחינוך של הסתדרות העובדים הכללית. במפא"י נבחר לשמש שלוש כהונות כמזכיר המפלגה (1938, 1939–1940, 1953–1956). כמו כן נבחר למזכיר "האיחוד העולמי" (1946).
לאחר קום המדינה נבחר כסה לכהן כחבר הכנסת. כהונתו נמשכה לאורך כ-16 שנים, במשך חמש כנסות. לאורך תקופה זו היה חבר ועדת הכנסת, ועדת החוץ והביטחון, ועדת חוקה, חוק ומשפט וועדת החינוך והתרבות.
בדצמבר 1961 פרש מתפקיד מזכיר מפא"י במחוז תל אביב, בהודיעו שהוא רוצה להתרכז בעבודת הכנסת.
כסה היה חבר בקבוצה של חברי מפא"י שכללה את פנחס לבון, שלמה אבינרי, יהושע אריאלי, עמוס עוז ונתן רוטנשטרייך ונקראה "מן היסוד". ב-7 בנובמבר 1964 החליטה הקבוצה על פרישה ממפא"י וכסה הודיע על פרישה מסיעת מפא"י וביקש מוועדת הכנסת להכיר בסיעת יחיד שלו, שתיקרא בשם "מן היסוד". ב-22 בדצמבר 1964 החליטה ועדת הכנסת בהחלטת פשרה שלא להכיר בסיעה של כסה אולם לתת לו את כל הזכויות המוקנות על ידי תקנון הכנסת לסיעות. לאחר מספר שנים חזרו חברי הקבוצה למפלגת העבודה, ובאוגוסט 1968 צורף כסה ללשכת מפלגת העבודה.
בשנת 1928 נישא לצפורה לבית רייבר, שעלתה לארץ ישראל ב-1923 כחלוצה. בינואר 1943, בעת מלחמת העולם השנייה, התנדבה לחיל העזר לנשים של הצבא הבריטי. לאחר המלחמה עבדה כמחנכת ילדי הקבוצה. ב-1954 נספתה באסון מעגן. בני הזוג היו הורים לשניים: צבי (צביקה) וארלוזורה. בהמשך נישא לכרמלה, לה היה נשוי עד מותו.
ב-1954, חודשיים לפני אסון מעגן, נישא בנו צבי לנורית, בתו הבכורה של ידידו אליהו (אליק) שומרוני. נפטר בשנת 1985, ונקבר לצד אשתו ציפורה בבית העלמין בקבוצת שילר.
אוקולופלסטיקה
אוקולופלסטיקה הוא תחום רפואי העוסק בכירורגיה פלסטית באזור העיניים.
רופא מומחה לאוקולופלסטיקה הוא לרוב רופא מומחה ברפואת עיניים שעבר התמחות נוספת ברפואה פלסטית ושיקומית הקשורה לאזור העיניים. לעיתים נדירות יותר יהיה זה רופא פלסטי שהתמחה התמחות נוספת ברפואת עיניים.
תחום רפואי זה כולל בין היתר:
אהרון קירשנבאום
אהרן קירשנבאום (1926 – פברואר 2016) היה פרופסור למשפטים בפקולטה למשפטים, אוניברסיטת תל אביב ובמרכז הבינתחומי הרצליה. זוכה פרס ויילר מטעם הפקולטה למשפטים באוניברסיטת בר-אילן, יוני 2005.
ביוגרפיה.
קירשנבאום נולד ב-1926 בברוקלין למשפחת מהגרים. בשנת 1939 החל ללמוד בסמינר הציוני למורים במנהטן 'הרצליה' שם למד כשבע שנים, במקביל למד מתמטיקה ולימודים קלאסיים לתואר ראשון בברוקלין קולג'. נישא ליהודית (Judith) פולק ב-1948. בהשפעת ידידו הרב זעליג אפשטיין החל ללמוד בישיבה האורתודוקסית 'תורה ודעת' במשך כשש שנים. ב-1959 עבר ללמוד בישיבה יוניברסיטי אצל הרב יוסף דב סולובייצ'יק, במוסד זה למד כשלוש שנים. ב-1967 החל ללמוד באוניברסיטת קולומביה, וב-1969 קיבל דוקטורט במשפט רומי. בקיאותו במשפט הרומי סייעה לו להבין את ההקשר ההיסטורי של כמה מהוראותיהם של חז"ל, וכן סיפקה בידיו כלי ניתוח תאורטיים בעלי תרומה מחקרית ייחודית.
קירשנבאום היה בוגר בית המדרש לרבנים באמריקה, בו קיבל דוקטורט במשפט עברי. הוא עסק בהוראה אקדמית בתחום המשפט העברי. תחילת דרכו בהוראת התלמוד בבית המדרש לרבנים באמריקה, מוסד בו לימד משנת 1959 ועד שנת 1969; ב-1969 עלה לארץ ישראל ולימד כשנה וחצי משפט עברי באוניברסיטה העברית, ב-1971 עבר ללמד משפט עברי באוניברסיטת תל אביב ואף כיהן כיו"ר המסלול משפט עברי עד לפרישתו לגמלאות ב-1995. בשנת 1995 הצטרף למרכז הבינתחומי בהרצליה. הוא נפטר בשבט תשע"ו, פברואר 2016, בגיל 90.
קירשנבאום נישא ליהודית ונולדו להם שישה ילדים.
עוד בחייו ניזום הקמת מרכז הנושא את שמו, להקניית משאבים לחקר המשפט העברי.
לאחר פטירתו, הוענק לו "אות יקיר המשפט העברי".
אלפידה
אֶלְפִּידָה קַארַאיַאנוֹפּוּלוּ (ביוונית: Ελπίδα Καραγιαννοπούλου; נולדה ב-1 באוקטובר 1950) היא זמרת פופ יווניה, הידועה בשם הבמה אֶלְפִּידָה.
אלפידה הייתה אחת הזמרות המפורסמות ביותר ביוון בשנות ה-70 וה-80. היא הוציאה חמישה אלבומים והשתתפה בתחרות הזמר ה"אירוויזיון" פעמיים: ב-1979 ייצגה את יוון בתחרות שהתקיימה בירושלים עם השיר "סוקרטס", שזכה במקום ה-8 עם 69 נקודות, ובאירוויזיון 1986 שהתקיים בברגן שבנורווגיה ייצגה את קפריסין עם השיר Tora-zo, שזכה במקום האחרון עם 4 נקודות.
רייצ'ל מקדאמס
MERCOSUR
הוהנצולרן - זיגמרינגן
רדיו דרום