דרך נוספת לנסח את הטיעון היא עם סיבוכיות קולמוגורוב: לו היו k ראשוניים, סיבוכיות קולמוגורוב של מספר הייתה מסדר גודל של k כפול log log N (כי מספיק להציג אותו רק באמצעות סדרת המעריכים formula_15) וזאת סתירה לכך שיצוג חייב להיות לפחות לוגריתמי.
ההוכחה הטופולוגית של פורסטנברג.
ב-1952, בהיותו סטודנט בישיבה יוניברסיטי, מצא הלל פורסטנברג הוכחה הנעזרת במושגים בסיסיים בטופולוגיה.
נתבונן בקבוצת המספרים השלמים formula_22 עם הטופולוגיה הפרו-סופית: הקבוצה הופכת למרחב טופולוגי על ידי בחירת הבסיס הכולל את כל הסדרות החשבוניות, formula_23 (זהו בסיס, מכיוון שהחיתוך של שתי סדרות חשבוניות הוא סדרה חשבונית). המשלים של כל סדרה חשבונית הוא איחוד של מספר סופי של סדרות חשבוניות (בעלות אותו הפרש), ולכן כל סדרה חשבונית מהווה גם קבוצה סגורה.
מכיוון שלכל מספר שלם, פרט ל- formula_24, יש גורם ראשוני, האיחוד formula_25 העובר על כל הראשוניים, שווה לקבוצה formula_26. אם מספר הראשוניים היה סופי, זה היה איחוד של מספר סופי של קבוצות סגורות, ולכן הוא קבוצה סגורה; ואם כך, המשלים שלה, formula_27, הוא קבוצה פתוחה. אבל זו קבוצה סופית, שהיא קטנה מכדי להכיל סדרה חשבונית, ולכן אינה יכולה להיות פתוחה - בסתירה להנחה.
למעשה מדובר בהוכחתו של אוקלידס (לעיל) ב"תחפושת": מעקב זהיר אחרי הקבוצה הפתוחה שנבנית ילמד שהסדרה החשבונית שהיא אמורה להכיל היא סדרה שההפרש שלה הוא מכפלת כל הראשוניים (בהנחה שיש מספר סופי שלהם). היא מכילה את 1, ולכן המספר הבא שהיא אמורה להכיל הוא מכפלת כל הראשוניים ועוד 1. המאפיין של האיברים בקבוצה הפתוחה הזאת הוא בדיוק המספרים שאינם מתחלקים באף ראשוני. הסתירה המתקבלת אם כך נובעת מכך שהנחת מספר סופי של ראשוניים הובילה לכך שמכפלתם ועוד 1 חייבת להתחלק באחד מהם - בדיוק כמו בהוכחה של אוקלידס.
הכללות.
ב-1737 הציג אוילר לראשונה הוכחה לכך שטור ההופכיים של המספרים הראשוניים מתבדר. ההוכחה של אוילר הייתה בעייתית מאותה סיבה שהוכחתו הישירה הייתה בעייתית. גם במקרה הזה זכתה הוכחתו לטיפול קפדני שמנע את הבעייתיות בה. תוצאה זו גוררת את קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים, שכן טור עם מספר סופי של איברים לא יכול להתבדר.
את ההוכחה של אוקלידס אפשר לשנות בקלות יחסית, כדי להראות שקיימים אינסוף ראשוניים בסדרות חשבוניות מסוימות. כך למשל, אם מתבוננים במספר formula_28 אפשר להוכיח שקיימים אינסוף ראשוניים המשאירים שארית 3 בחלוקה ל-4. הוכחות אלמנטריות מטיפוס זה מאפשרות לטפל בעיקר בסדרות מהצורה formula_29 או formula_30 (אדוארד לוקאס נעזר בסדרות לוקאס כדי להוכיח שיש אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה formula_31 ומהצורה formula_32). שיטות אלה אינן די חזקות להוכיח שקיימים אינסוף ראשוניים בכל סדרה חשבונית בה האיבר הראשון והפרש הסדרה הם מספרים טבעיים זרים. תוצאה זו הושגה על ידי דיריכלה ב-1837, ונקראת משפט דיריכלה.
ב-1896 הוכיחו אדמר וואלה פוסן (באופן בלתי תלוי) את משפט המספרים הראשוניים הקובע כי מספר הראשוניים הקטנים מ-n אסימפטוטי ל-formula_33. המשפט קובע את הקצב בו עולה מספר הראשוניים לאינסוף.
השערת ברטראן קובעת שלכל n טבעי ישנו מספר ראשוני בין n ל-2n. את ההשערה הוכיח פפנוטי צ'בישב בשנת 1850.
הטופולוגיה הקו־סופית
שבועת אמונים (פירושונים)
משפט אינסוף מספרים ראשוניים
מגדל פעמון
יצור
ניו יזראל
פיגיון
תחנת הרכבת חוף הכרמל
המונומנטים הבודהיסטיים בסאנצ'י
המונומנטים הבודהיסטיים בסאנצ'י הם קבוצת מבנים בכפר סאנצ'י שבמדינת מאדהיה פרדש, הודו. הכפר ממוקם כ-46 קילומטרים מצפון-מזרח לעיר בופאל, ובשנת 2001 התגוררו בו 6,785 תושבים. המונומנטים כוללים מבני דת בודהיסטיים, המתוארכים לתקופה שבין המאה ה-3 לפנה"ס ועד המאה ה-12. הטוראנות המקיפים את הסטופה הגדולה מייצגים אהבה, שלום, אמון ואומץ.
"הסטופה הגדולה" בסאנצ'י נבנתה לפי הוראה של הקיסר אשוקה הגדול בתחילת המאה ה-3 לפנה"ס. בסיס הסטופה היה מבנה לבנים בצורת המיספירה, שנבנה על שרידים קדושים של הבודהה. מעל המבנה הזה ניצבה צ'אטרה, שהיא מבנה בצורת שמשיה המסמל דרגה בכירה ואמור להגן על השרידים ולהדגיש את חשיבותם.
רקע.
התיעוד הראשון באנגלית לקיומם של המונומנטים ושל הכפר נעשה על ידי קצין בריטי בשל טיילור ב-1818. עד ל-1881, אז החלו עבודות השיקום של המבנים, ביקרו באתר בעיקר ארכאולוגים חובבים וציידי אוצרות. המראה הנוכחי של המבנים נקבע לאחר עבודות שיפוץ בפיקוחו של סר ג'ון מרשל, שנערכו בין 1912 ל-1919.
נכון ל-2008 נותרו על גבעת סאנצ'י כחמישים אתרים, כולל שלוש סטופות ומספר מקדשים. בשנת 1989 העניק אונסק"ו לאתרים מעמד של אתר מורשת עולמית.
על הגבעה הוקם מוזיאון קטן לארכאולוגיה, ובו מספר פסלים שנלקחו ממקומות שונים בגבעה. רוב פסלי הבודהה נעשו מאבן חול אדומה וניזוקו מפגעי הזמן ומזג האוויר.
תקופת סונגה.
בתקופה זו הסטופה הושחתה, ככל הנראה במהלך המאה ה-2 לפנה"ס, ומאורע זה קשור לעלייתו לשלטון של הקיסר פוסייאמיטרה סונגה. נטען כי פוסייאמיטרה הרס את הסטופה המקורית, ובנו אגנימיטרה בנה אחת חדשה במקום. במהלך תקופה מאוחרת יותר של שלטון הסונגה הסטופה הורחבה באמצעות משטחי אבן, כך ששטחה הוכפל כמעט פי שניים לעומת גודלו המקורי. הכיפה יושרה במקצת באזור הגובה המרבי שלה ועוטרה על ידי שלוש שמשיות הנמצאות בתוך מעקה מרובע. הכיפה, עם השכבות שהקיפו אותה, סימלה את דהרמה, מעגל החוק. הכיפה הונחה על משטח בצורת תוף שהקיף אזור שלם, וניתן היה לגשת אליה באמצעות גרם מדרגות כפול. שביל אבן שני, בקומת הקרקע, היה מוקף במעקות עם ארבעה שערים גדולים (טוראנות) הניצבים כנגד שושנת הרוחות. ההשערה כי הבניינים שנבנו בתקופת שושלת סונגה הם הסטופה השנייה והשלישית (מלבד המעברים המקושטים, המתוארכים על סמך כתובות לתקופת סאטאוואהאנה), המעקה הצמוד לקרקע ובסיס האבן של הסטופה הגדולה.
תקופת סאטאוואהאנה.
השערים והמעקות נבנו לאחר שנת 70 לפנה"ס, וככל הנראה הדבר בוצע על ידי שושלת סאטאוואהאנה. באחת הכתובות שנמצאו באתר ישנו תיעוד כיצד המלך סאטאקארני קיבל מאמנים שעבדו בשירותו, כמתנה, את אחד הארכיטרבים הנמצאים בחלקו העליון של השער המערבי. בכתובת כתוב:
למרות שהם נבנו מאבן, הם נחצבו והוכנו כמו עץ, והשערים כוסו בתגליפים מסורתיים. בתגליפים מתוארים אירועים מחייו של בודהה המשולבים במאורעות היומיום העשויים להיות מוכרים לאנשים רגילים, כך שאלה יוכלו להבין יותר טוב את האמונה הבודהיסטית ואת הרלוונטיות שלה לחייהם.
בסאנצ'י ובסטופות האחרות האוכלוסייה המקומית תרמה כסף למטרת קישוט הסטופה, וזאת על מנת להשיג רווח רוחני. לא הייתה הוראה מלכותית כלשהי בתחום הזה. תורמים, גברים ונשים כאחד, שתרמו כסף על מנת ליצור תגליף בחרו בדרך כלל בתיאור המועדף עליהם מחייו של בודהה, כאשר שמותיהם נחרטו בתוך התגליף. דבר זה מסביר את החזרות של תקופות מסוימות בחייו של בודהה על הסטופה. דמותו של בודהה מעולם לא צוירה על תחריטי ותגליפי האבן כדמות אדם. במקום זאת, האמנים בחרו לייצג את בודהה באמצעות כמה מאפיינים, כגון הסוס שעל גבו הוא עזב את בית אביו, טביעות הרגליים שלו, או האפריון מתחת לעץ הבוֹדהי (Bodhi Tree) שלידו בודהה זכה להארה. גוף האדם נחשב כאובייקט המטיל מגבלות קשות מדי על בודהה.
בחלק מהאפריזים בסאנצ'י מתוארים מאמינים מקומיים הנראים כמו יוונים (מבחינת בגדים, תנוחה וכלי נגינה) החוגגים ליד הסטופה.
תקופות מאוחרות יותר.
סטופות ומבני דת הינדיים ובודהיסטיים נוספים נבנו עד למאה ה-12. מקדש מספר 17 הוא ככל הנראה אחד מהמקדשים הבוהיסטיים הקדומים ביותר, והוא מתוארך לתחילת תקופת ממלכת גופטה. המקדש בנוי כחדר קדוש בעל גג שטוח עם אכסדרת כניסה וארבעה עמודים. הצד הפנימי ושלושה צדדים חיצוניים הם שטוחים ואינם מקושטים, אך חזית המקדש והעמודים מכוסים בתגליפים נאים, המעניקים למקדש מראה כמעט "קלאסי".
במקביל לשקיעת הבוהיזם בהודו, הלך והתדרדר מצבם של האתרים בסאנצ'י והם ספגו נזקים משמעותיים.
יורם גלובוס
יורם גלובוס (נולד ב-7 בספטמבר 1943) הוא מפיק קולנוע בישראל ובארצות הברית, מבכירי תעשיית הקולנוע הישראלי. גלובוס הפיק כ-50 סרטי קולנוע ישראליים וכ-250 סרטים אמריקאים.
ביוגרפיה.
יורם גלובוס נולד בטבריה וגדל בקריית מוצקין. בילדותו עבד כמקרין סרטים בבית הקולנוע "אורות", שהיה בבעלות אביו. שירת בצה"ל בחטיבת גולני והשתחרר כקצין בדרגת סגן.
עם שחרורו מצה"ל בשנת 1964, החל לשתף פעולה עם בן דודו, הבמאי מנחם גולן. השניים הקימו את חברת ההפקות "סרטי נח", על שם אביו של גולן. גלובוס עבד כמפיק ומפיץ בחברה, וגולן כבמאי ומפיק. במהלך שנות השישים והשבעים הם הפיקו עשרות סרטים, שחלקם זכו להצלחה ופופולריות רבה בישראל: "סאלח שבתי", "אני אוהב אותך רוזה", "אסקימו לימון", "מלכת הכביש", "אהבה אילמת", "קזבלן", "מבצע יונתן", שהצליח גם ברחבי העולם והיה מועמד לפרס האוסקר ולפרס גלובוס הזהב, "ללקק ת'תות" ועוד רבים.
המעבר להוליווד.