האב נדבק ונפטר בזמן שטיפל בחולים בימי מגפת כולרה כשהילד היה בן שנה וחצי והאלמנה מחוסרת הכל עברה לגור קודם ליישוב שירווינטי (כיום שירווינטוס) וזמן קצר אחר כך לווילנה בבית של ידידים בשם לודוויק ומינה פאסינוק, בעלי חנות פסנתרים. בהיותם חשוכי ילדים, הזוג פאסינוק הפך להוריו האומנים של לאופולד. לודוויק פאסינוק לימד את הילד כינור ומושגי מוזיקה, כך שכבר בגיל 7 יכול היה לנגן את הקונצ'רטו לכינור של מנדלסון. אבל הילד נמשך יותר אל הנגינה בפסנתר ולמד אותה כמעט בכוחות עצמו, חרף ההתנגדות ההתחלתית של מורו.
להערכתו של הביוגרף שלו, ג'רמי ניקולאס, לכישרונו של גודובסקי ללמוד פסנתר כאוטודידקט לא היה אח ורע בתולדות המוזיקה. זה מסביר לדבריו את גישתו של גודובסקי כלפי הכלי ואת ניסוייו בטכניקת הנגינה בו. בגיל חמש הוא הלחין את יצירתו הראשונה, מינואט שלחלקו האמצעי הייתה צורה של קאנון.
מגיל מוקדם התחיל גודובסקי להופיע בקונצרטים פומביים. בגיל 9 - בווילנה, וכעבור זמן קצר, ערך, תחת חסותו של לודוויק פאסינוק, סיורי רסיטלים כ"ילד פלא" ברחבי ליטא ופרוסיה המזרחית.
שנות נעוריו ולימודיו באירופה ובאמריקה.
רק בשנת 1883 בגיל 13 נשלח בתמיכת בנקאי בשם פיינברג למבחני קבלה לבית הספר הגבוה למוזיקה בברלין. והתקבל אחרי שנבחן על ידי צוות שכלל את יוזף יואכים, מוריץ מושקובסקי וולדמאר ברגיל.
לאחר שלושה חודשים של לימודים אצל ארנסט רודורף, עזב בגלל הקושי להסתדר עם הוראה מאורגנת והמשיך להשתלם לבדו. בנובמבר 1884 נסע בליווי אמו וה"דוד" פאסינוק לאמריקה. נפרד ממלוויו ונשאר למצוא את מזלו שם. ב-7 בדצמבר 1884 התחיל בבוסטון כחבר בלהקת האופרה של קלרה לואיז קלוג.
בהתחלת שנת 1885 ניגן בקזינו ניו יורק, שם התחלף לסירוגין עם טרסה קארניו. בהמשך יצא לסיור הופעות בחוף המערבי ובקנדה יחד עם הכנר אוביד מוסין, שהכיר אותו עוד כ"ילד פלא" בווילנה.
הקשר עם אמו, איתה היה מתכתב, התרופף עוד יותר החל משנת 1886. ידוע כי נפטרה זמן קצר לפני 1914.
גם הקשר עם לודוויק פאסינוק שהתאלמן בינתיים התנתק ואין פרטים על גורלו של האיש. למזלו, הנער הכיר את לאון סאקס, מצנט מניו יורק, שפרש עליו את חסותו וקיבל אותו כמעין ילד נוסף לתוך משפחתו בת ששת הילדים. לאופולד אף התאהב אז בבתו של סאקס, פרידה.
בתמיכת סאקס, חזר גודובסקי בשנת 1886 לאירופה כדי ללמוד אצל פרנץ ליסט בוויימאר. מותו של ליסט אילץ אותו לעבור לפריז שם התיידד עם קאמי סן-סנס וניגן לפניו במשך כשנתיים. סן סאנס, ששכל את בנו ביקש אף לאמצו כבן אך בתנאי שישנה את שם משפחתו. גודובסקי, כפי שהעיד בזכרונותיו, לא היה מוכן לכך. בתמיכת הזוג סאקס, שהגיע במיוחד בשבילו לאירופה, הרבה גודובסקי לנגן באותה תקופה בסלונים של האריסטוקרטיה הצרפתית והבריטית, והתחכך עם בכירי עולם המוזיקה בבירת צרפת - צ'ייקובסקי, גונו, תומא, פורה, דליב, מאסנה ואחרים.
פעילותו המוזיקלית בחיים הבוגרים.
מותו של לאון סאקס אילץ אותו לעזוב את אירופה ולחזור באוקטובר 1890 לארצות הברית.
אחרי רסיטל בקרנגי הול נשא ב-30 באפריל 1891 את פרידה סאקס לאשה והפך ממחרת לאזרח ארצות הברית. מאוכזב משהו מעומס העבודה כסולן קונצרטים החליט להקדיש את עצמו במיוחד לתחום ההוראה.
לימד במכללה למוזיקה בניו יורק (1891), בקונסרבטוריון של גילברט ריינולדס קומבס שבברוד סטריט בפילדלפיה (1891–1893) ובקונסרבטוריון של שיקגו (1893–1900).
בסופו של דבר הוכיח עצמו כפסנתרן בעל שיעור קומה, ברמה שווה ליוזף הופמן או סרגיי רחמנינוב.
בשנים 1897–1898 הצטיין בסדרת שמונה קונצרטים שבהם ביצע את עיקר הרפרטואר לפסנתר של המאה ה-19.
בשובו לאירופה ב-6 בדצמבר 1900 הופיע ב"בטהובן זאל" בברלין, ברסיטל שהדהים את הקהל והביקורת. התיישב בגרמניה ולאחר מכן, בשנים 1909–1914 כיהן (אחרי בוזוני) כראש החוג לפסנתר באקדמיה למוזיקה Akademie der Tonkunst בווינה, מינוי אקדמי בכיר נדיר בשביל יהודי באותן שנים. עם תלמידיו בווינה נמנו היינריך נויהאוס ואיזאיי דוברובן.
בשנים 1912–1914 חזר לסיורי הופעות בארצות הברית והקליט שם את הקלטותיו הראשונות על גרמופון.
פרוץ מלחמת העולם הראשונה הכריחה אותו לעזוב את גרמניה ואוסטריה ולהעביר שוב את מגוריו ומרכז פעילותו לארצות הברית.
בשנים 1914–1916 חי בניו יורק, אחר כך בין 1916 ל-1919 בלוס אנג'לס ובשנים 1919–1922 בסיאטל. משנת 1922 חזר לחיות בניו יורק. במהלך שנות ה-1920 הופיע רבות באירופה ובארצות הברית, ערך סיורים ארוכים גם במקסיקו וארצות אמריקה הלטינית אחרות ובמזרח אסיה, כולל יפן ואינדונזיה, אז איי הודו ההולנדיים. בביקור בארץ האחרונה התרשם מאוד ממוזיקת הגמלאן ממנה שאב השראה לסוויטה "פונורמות - ג'אווה".
במהלך חייו גודובסקי לימד דורות של פסנתרנים, ביניהם היינריך נויהאוס וחורחה בולט (1914 - 1990).
גודובסקי היה מארח מצוין, אוהב בני אדם ובעל חוש הומור. הוא כונה "פופסי" על ידי מקורביו (אולי בגלל מבנה גופו הגוץ). היה מקובל מאוד בחוגי אנשי התרבות והמדע בתקופתו, בווינה, באנגליה, גרמניה או ארצות הברית, התיידד, בין השאר, עם צ'ארלי צ'פלין ועם אלברט איינשטיין.
בדצמבר 1925 ביקר לאופולד גודובסקי את היישוב היהודי בארץ ישראל ובקבלת פנים שערך לו ראש העיר תל אביב, דיזנגוף, המאסטרו הציע הקמת אקדמיה למוזיקה שתמשוך אליה מורים מבין גדולי המוזיקאים היהודים בעולם שיבואו לפרקי זמן קצובים ללמד כאן ללא תמורה.
גודובסקי ביקר בהזדמנות זאת בקונסרבטוריון שולמית בתל אביב. בשנת 1926 ערך ביקור גם בארץ הולדתו, פולין (שכללה אז את וילנה והסביבה).
שנותיו האחרונות.
אחרי גיל 50 הוכה האמן בכמה משברים שפגעו בחייו האישיים.
בשנת 1924 אשתו פרידה חלתה קשות ונכותה הלכה והחמירה עם השנים. בשנת 1928 מאוכזב מבנו השני, גוטרם -גורדון שעזב את לימודיו כדי להתחתן עם רקדנית וודווילים, נידה אותו והפסיק להכיר בו כבן. המשבר הפיננסי משנת 1929 דרדר את מצבו הכלכלי. אמנם שורה של הקלטות אינטנסיביות בלונדון הביאה להכנסות חדשות, אבל גם לאסון בלתי צפוי: ב-17 ביוני 1930 בעת שהשלים את הקלטת הסקרצו במי מ'זור מאת שופן (מתוך 2 אטודים וארבעה סקרצי), גודובסקי לקה באירוע מוחי שהשאיר אותו עם שיתוק חלקי בפלג הגוף הימני. מוכה דיכאון, גודובסקי הצטרך בהמשך להתמודד גם עם התאבדות הבן הסורר גורדון בשנת 1932 ועם מות אשתו מהתקף לב שנה לאחר מכן. אף העלייה לשלטון של הנאצים בלב אירופה, בגרמניה, העציבה אותו מאוד.
בהמשך עבר דירה בניו יורק יחד עם בתו דגמר וחזר לנגן, אך לא בהופעות פומביות אלא בפני ידידים ומעריצים בלבד.
בשנותיו האחרונות התגייס לרעיון כינוס עולמי של המוזיקה והמוזיקאים World Synod of Music and Musicians ושל הקמת מועצה בינלאומית של המוזיקה והמוזיקאים, יוזמות שלא יצאו לפועל.
בשנים 1937–1938 חלה ירידה נוספת במצב בריאותו.
בנובמבר 1938 נפטר בניו יורק מסרטן הקיבה בגיל 68.
ללאופולד גודובסקי היו ארבעה ילדים: שתי בנות, ואניטה (1894-) ודגמר (1898 - 1975) ושני בנים, לאופולד וגוטרם-גורדון.
לאופולד גודובסקי הבן (1900 - 1983) היה כימאי וכנר, שיחד עם לאופולד מאנס, המציא בחברת "קודאק", בשנת 1935, את הפילם הדיאפוזיטיב הראשון "קודאכרום".
היה נשוי לאחות הצעירה של ג'ורג' גרשווין.
דגמר גודובסקי שהייתה בזמנו שחקנית ראינוע.
אמנותו כפסנתרן.
גודובסקי היה אחד הפסנתרנים הכי נערצים של דורו, בקרב הקהל, עמיתיו והמבקרים כאחד.
העדיף, ואומרים, היטיב יותר לנגן באולמות קטנים ואינטימיים מאשר באודיטוריומים גדולים.
הרבה לנגן בטהובן, שומאן, ליסט, גריג, שופן. אף על פי שכפות ידיו ואצבעותיו לא נראו ארוכות "כשל פסנתרן", הייתה לו יכולת טכנית מושלמת שרכש אותה כמעט לבד. גישתו לנגינה הדגישה את הצורך בחסכון בתנועות ו"הרפיית הכובד" (במקום הפעלת כוח שרירים ישירה).
ארתור רובינשטיין טען שיזדקק לחמש מאות שנה כדי להגיע ל"מנגנון" כמו של גודובסקי.
ולדימיר דה פכמן שאהב לבצע את יצירותיו ועיבודיו של גודובסקי נהג לומר: "אנחנו חוטבי עצים לעומתו".
המוזיקולוג ג'יימס היונקר, טען שגודובסקי היה "פסנתרן לפסנרתנים".
גודובסקי עצמו הזהיר אמנם כי האמנות איננה הטכניקה בלבד. לדבריו, "העניין החשוב הוא הבריאה, היצירה. שימור האישיות הוא התכונה החשובה ביותר אצל האמן-המבצע. מורים טובים באמת הם אלה המקדישים לכך את עיקר מחשבתם".
גודובסקי כמלחין ומעבד.
לפי הערכתו של רחמנינוב בזמנו, "גודובסקי היה המוזיקאי היחיד בתקופתו שתרם תרומה אמיתית ולטווח ארוך להתפתחות המוזיקה לפסנתר".
מן המפורסמות הערתו של פרוצ'ו בוזוני כי מאז ליסט, הוא עצמו וגודובסקי היו המלחינים היחידים שהוסיפו משהו משמעותי באמת לכתיבה לפסנתר.
כמלחין, גודובסקי נודע במיוחד הודות לעיבודים ותעתיקים שעשה ליצירות של מלחינים אחרים.
היצירה המפורסמת ביותר בתחום זה הייתה "53 ה-studies" שלו לפי 27 אטיודים של שופן (1894 - 1914).
יצירות אלה של גודובסקי שדרשו רמה גבוהה של טכניקה ("ממושמעת, ורסטילית ופוליפונית, שבה השימוש בפדלים נעשה לא בניגוד לאצבעות כי אם בהתאמה איתן"), עוררו סערה גדולה בקרב המבקרים. חלקם, כמו פרנק קופר, ראו בעיבודיו של גודובסקי מעין חילול השם של שופן.
גודובסקי העדיף לקרוא להם יותר "הרכבות מחדש" (Recompositions) מאשר "תעתיקים" (Transcriptions).
הוא הרשה לעצמו את החופש להצמיד אטיוד אחד על השני, לעשות שינויים בנושאים, להפוך אותם ולהעביר חלקים מיד ימין ליד שמאל, עד ללא היכר.
היצירה הזאת נחשבת אחת מהמתוחכמות והקשות שנכתבה אי-פעם לפסנתר, אף על פי שגודובסקי עצמו לא סבר כך.