דוגמאות לחישוב מימד.
תהי formula_143 היריעה האפינית ב-formula_145. נשים לב שמאחר ו-formula_4 מוגדרת על ידי משוואה אחת ו-formula_147 נקבל כי formula_148. בנוסף, מאחר ש- formula_149 הוא פולינום אי פריק, גם formula_4 הוא יריעה אי פריקה. דרך נוספת לחשב את מימד formula_4 היא בעזרת מורפיזם בירציונלי: נגדיר מפה formula_152 על ידי formula_153 זוהי מפה בי רציונלית עם המפה ההפוכה formula_154 כאשר formula_155 היא הקבוצה הפתוחה והצפופה ב-formula_4 אשר איזומורפית לקבוצה הפתוחה והצפופה ב- formula_157formula_158. ונקבל formula_159.
תהי formula_160 היריעה האפינית ב-formula_145. נשים לב שמאחר ו-formula_4 מוגדרת על ידי משוואה אחת ו-formula_147 נקבל כי formula_148. בנוסף, מאחר שרכיבי הפריקות של הפולינוםformula_149 הם formula_167 נקבל בהתאמה את רכיבי אי הפריקות של formula_4 הם formula_169 ונשים לב שחוג הפונקציות הרגולריות על formula_170, המסומן ב-formula_171 איזומורפי לחוג הפולינומים במשתנה אחד formula_172, כלומר formula_173 ובאופן דומה formula_174. בפרט, דרגת הטרנצסדנטיות של שדה השברים formula_175 היא 1, ניתן למשל לבחור את המונום formula_176 כאיבר בלתי תלוי אלגברית מעל formula_177, באופן דומה דרגת הטרנצסדנטיות של שדה השברים formula_178 היא 1. על ידי שימוש במימד קרול נקבל באופן שקול לחישוב הקודם - formula_179.
תהיי formula_181 היריעה המוגדרת על ידי החבורה הליניארית הכללית, על מנת לחשב את המימד של יריעת גרסמן formula_182 נבנה מורפיזם על formula_12 באופן הבא - יהי formula_184 מרחב וקטורי formula_185 ממדי, כל מטריצה formula_131 תעבור תחת המפה formula_69 למרחב הליניארי הנפרש על ידי הפעולה של formula_132 על המרחב formula_189, כלומר formula_190. נשים לב ש-formula_69 על, משום שכל שני תתי מרחבים ליניאריים ממימד זהה צמודים על ידי מטריצת מעבר בסיס (כלומר איבר ב- formula_181).
ניתן לזהות את formula_189 עם אוסף הווקטורים ממימד - formula_3 עם formula_195 קואורדינטות אחרונות שוות לאפס, כלומר formula_196. לכן לכל formula_131 מתקיים formula_198 אם״ם formula_199, אוסף המטריצות בformula_4 המקיים תנאי זה הוא המטריצות מהצורה formula_201 כאשר formula_202 הוא מטריצת אפס ממימד formula_203. מכאן נקבל שלכל formula_127 מתקיים formula_205, ממסקנה ממשפט שבאלה נקבל כי formula_206 כלומרformula_207.
תיקון עולם (פירושונים)
קויקוי
קוי קוי (בקוסה: "אנשים אנשים" או "אנשים אמתיים") הם שבט שמקורו בדרום מערב אפריקה. הקוי קוי באופן מסורתי הם חקלאים ורועי צאן, שלא כמו שכניהם הבושמנים שהם ציידים-לקטים.
היסטוריה.
כשמהגרים אירופיים הקימו קולוניות בדרום אפריקה לאחר 1652, אנשי הקוי קוי היו בעלי מקנה רחב של בקר באזור קייפטאון המודרנית. ראשוני המתיישבים ההולנדים בדרום אפריקה, האפריקנרים שהגיעו במאה ה-17, קראו להם הוטנטוטים , כחיקוי לצלילים המאופיינים בשפה של אנשי הקוי-קוי. בעת המודרנית שם זה נחשב לעלבון. שפתם נשמעת כ"קליקים" הנקראים עיצורים מצוצים. ממצאים ארכאולוגיים מראים כי אנשי הקוי קוי הגיעו לדרום אפריקה מבוטסואנה דרך שני צירים עיקריים:
השנים המוקדמות:
מקורם של הקוי קוי באזור של בוטסואנה המודרנית, צפונית לדרום אפריקה. שפת הקוי קוי נמצאת בכל עבר דרום אפריקה. אנשי הקוי-קוי הגיעו לאזור הקייפ בערך לפני 2000 שנה. תת-קבוצות של אנשי הקוי-קוי הם אנשי הנאמאקה-נאמה (Namaqua) במערב, הקוראנה (Korana) במרכז דרום אפריקה, ושבט הקויקוי בדרום. הם עסקו בביות כבשים, עזים ובקר לטובת רעייה בעמקים הפוריים. אלו סיפקו להם תזונה מאוזנת ויציבה שאפשרו לאנשי הקוי קוי חיים ארוכים יותר מקבוצות גדולות אחרות באזור, שהיה מאוכלס על ידי ציידים-לקטים כמו אנשי הסאן (San) והבאנטו (Bantu). הם חיו בכפרים מבקתות במקום בו החזיקו את עדריהם ובנו את בתיהם ממחצלות מכוסות עורות של בעלי חיים, ואוזן של פיל הייתה משמשת כדלת.
אף על פי שהיו להם טריטוריות ששייכות להם, הוא היו נוודים למחצה, נעים בכל פעם ששטחי המרעה הפכו מדולדלים. ברגע שהגיעו לשטח של שבט אחר הם היו מתחברים אליו. אף על פי שישנן עדויות לנישואים בין בני שבטים שונים, עדיין נשמרה הפרדה תרבותית. זאת הסיבה שלקוי קוי הייתה חברה היררכית וגדולה יותר מאשר לסאן.
הגעת האירופיים.
אנשי הקוי קוי נפגשו לראשונה עם מגלי יבשות וסוחרים פורטוגזים בסביבות השנים 1500 לספירה. מקום מושבם של הקוי קוי, אזור כף התקווה הטובה, היווה מוצא לאירופאים עבור נתיבי הסחר למזרח. האירופים הגיעו לשם בתקווה למצוא נתיב ימי להודו ולאסיה. המפגשים המתמשכים בין האירופים לקוי קוי היו לעיתים תכופות אלימים. בנוסף, האוכלוסייה של הקוי קוי צנחה כאשר אנשיהם נחשפו לראשונה לאבעבועות רוח, שהועברו מהאירופאים.
במאה ה-17, קבוצת מתיישבים הולנדים הקימו מושבה בכף התקווה הטובה (קייפטאון המודרנית), על חלק מאדמותיהם של הקוי קוי. לקוי קוי יש נתיבי נדידה מסורתיים והמלחמה נגד האירופיים ניצתה כאשר חברת הודו המזרחית ההולנדית הלאימה אדמות מרעה לצורך הקמת חוות ושדות. לאורך המאה ה-18, אנשי הקוי קוי גורשו מאדמותיהם, דבר שסיים את אורח החיים המסורתי שלהם. חלק מאנשי הקוי קוי התיישבו בחוות ותפקדו כעבדים או עובדי חווה אצל הלבנים. אחרים השתרשו בתוך קבוצות אחרות של אנשי הקוסה.
המתיישבים האירופאים לעיתים היו מתחתנים בנישואי תערובת עם אנשי הקוי קוי. אנשי "הגריקה" הם האוכלוסייה המעורבת אשר היו ידועים גם בשם "בסטרס". כמו רבים משבט הקוי קוי, בני התערובת עזבו את המושבה ההולנדית והיגרו אל החלק הפנימי של דרום אפריקה. בהשפעת המיסיונרים הנוצרים, הם הקימו את המדינות גריקואלנד מערב וגריקואלנד מזרח, שלאחר מכן מוזגו אל הקולוניה של האימפריה הבריטית.
מתיישבי נהר הקאט (1829–1856) והקוי קוי בקולוניית הכף.
בשנות המאה ה-19 המוקדמות, שארית אנשי הקוי קוי בקולוניה ההולנדית סבלו מהגבלות בזכויות האזרחיות שלהם ומחוקים מפלים בבעלות אדמות. עם זאת, חבר הוועדה של מחוזות המזרחיים, אנדריאס סטוקנסטרום, הקים את התיישבות הקוי קוי ליד הגבול המזרחי של מושבת הכף. להתיישבות קראו "נהר הקאט" (תרגום של שפת הקוי קוי למילה "חתול", על שם חתולי הבר באזור הנהר). המניע היה ככל הנראה ליצור אזור חיץ בין הגבול של הקולוניה להתיישבות השבט, אבל שפע האדמות הפוריות באזור אפשרו לאנשי הקוי קוי להיות בעלי אדמות ולבנות את קהילותיהם בשלום. ההתיישבויות שגשגו והתרחבו, ונהר הקאט הפך במהרה למחוז גדול ומצליח שהתנהל בצורה עצמאית יחסית.
אנשי הקוי קוי היו ידועים בזמנו בהיותם צלפים מצוינים ובשל כך היו חיוניים לאירופאים במושבת הכף במלחמות הגבול שלה עם שבט הקוסה השכן. במלחמת הגבול השביעית (1846–1847), הלוחמים החמושים משבט הקוי קוי מנהר הקאט הבדילו עצמם משאר הלוחמים, תחת מנהיגם אנדריאס בותה. בתקיפה על מצודת אמתולה, ג’ון מולטנו הצעיר, שבהמשך יהפוך לראש ממשלת מושבת הכף, הוביל את הקומנדו בתקיפה ולאחר מכן הילל את הקוי קוי כבעלי אומץ ותושייה יותר מכל חייל לבן.
האירופאים רצו לעודד את תושבי מחוז נהר הקאט לעזוב את אדמותיהם ולעבוד בתור חקלאים בחוות הלבנות, ולכן חוקקו חוקים נוקשים בקשר לבעלות על אדמות. בעקבות זאת, התסכול הגואה התפוצץ ב-1850, כאשר שבט הקוסה התמרדו כנגד ממשל הקולוניה בכף, ומספר גדול של אנשי הקוי קוי חברו לראשונה למורדים מהקוסה.
אחרי התבוסה של המורדים והבטחתה של ממשלה ייצוגית לתושבי נהר הקאט בשנת 1853, ממשלת הכף החדשה השתדלה להעניק לאנשי הקוי קוי זכויות פוליטיות כדי לחמוק ממאבקים על בסיס גזעני בעתיד. הממשלה הכריזה ב-1853, שכל האזרחים הזכרים העוברים מבחן הכנסה של קניין בסך גדול מ25 ליש"ט, ללא קשר לצבעם, הם בעלי זכות להצביע בבחירות ולהיבחר לפרלמנט. אולם, המבחן הזה הפך בסוף שנות 1880 למבחן בידיעת קרוא וכתוב ולאחר מכן בוטל על ידי משטר האפרטהייד.
טבח בדרום מערב אפריקה הגרמנית.
מ-1904 ועד 1907, אנשי הקולוניה הגרמנית בדרום מערב אפריקה (נמיביה כיום), נלחמו בקבוצות משבט הקוי קוי תושבי האזור (שבט הנאמה יחד עם שבט ההררו שאינו חלק מהקוי קוי). למעשה, זה היה הטבח ההמוני הגדול ביותר בו נפגעו אנשי הקוי-קוי. טבח זה נחשב למקרה הראשון של רצח עם במאה ה-20. רצח העם הזה התחיל בהתמרדות שבט ההררו כנגד גנבת אדמותיהם והתאכזרות מצד המתיישבים הגרמנים. לאחר דיכוי המרד, הגרמנים השתמשו בשיטות השמדה שיטתיות כנגד שני השבטים, כמו הרעלת מקורות מים, הרעבה מכוונת, עבודות פרך, והקמת מחנות ריכוז. למעלה מ-10,000 אנשי נאמה, יותר ממחצית מהאוכלוסייה, נמחו בטבח זה.
תרבות.
לפי דתם של אנשי הקוי קוי ישנן שתי דמויות עיקריות במיתולוגיה הדתית. הראשון הוא צוי - גאב, שנחשב לאבי הקוי קוי, הבורא, שומר הבריאות, מקור השגשוג והשפע ואחראי על תופעות כמו העננים, הגשם והברקים. הירח מהווה מעין התגלות פיזית שלו. לעומתו, גונאב הוא ישות הרוע, שגורם לחולי ומוות. הדמות הראשית הנוספת היא הייצי איביב, גיבור עממי וקוסם שיכול לשנות את צורתו. לפי המיתולוגיה, הוא מת פעמים רבות אך יש לו היכולת לחזור לחיים- לעיתים קרובות בצורה אחרת.
כיום, רבים מבני הקוי קוי התנצרו וגם רבים מבני שבט הנאמה התאסלמו ומהווים אחוז נכבד מאוכלוסיית המוסלמים בנמיביה.
ויקי מק'קלור