פודהורץ רואה עצמו כציוני חם ופרו ישראלי מובהק. בשעתו הוא תמך בתוכנית ההתנתקות של אריאל שרון, אך לאחר מכן הפך ניצי יותר. בריאיון לבתו העיתונאית רותי בלום, שפורסם ב"ישראל היום", ב-15 באוגוסט 2014 אמר: "אני לא יודע אם הפלשתינאים מעוניינים בכלל במדינה... אבל גם אם נניח שהם רוצים מדינה, הם לא רוצים אותה לצד ישראל אלא במקום ישראל. עד שהם לא יוותרו על החלום הזה, לא יהיה שלום ולא משנה מה ישראל תעשה." ובהקשר אחר: "בכל פעם שישראל מגינה על עצמה, מאשימים אותה בתגובה לא מידתית או בפשעי מלחמה... אין ספק שמדובר באנטישמיות חדשה. ההתקפות על ישראל הן המשך להתקפות על היהודים בגולה בזמנים עברו."
הפיגוע באיתמר (2002)
הפיגוע באיתמר (2002) התרחש בליל חמישי, י"א בתמוז ה'תשס"ב (20 ביוני 2002). במהלכו פרץ מחבל ביריות לבית משפחת שבו באיתמר בסביבות השעה 21:00, רצח את אם המשפחה ושלושה מבניה, ופצע שני ילדים נוספים. בקרב עם המחבל נהרג גם מפקד כיתת הכוננות במהלך ניסיונו לחלץ את הנפגעים.
הפיגוע.
המחבל הגיע לאיתמר בשעה 21:00 לערך ופרץ את הגדר ההיקפית. הוא עבר ליד בית שנראה לו ריק ונכנס לבית משפחת שבו (ככל הנראה מהדלת האחורית למטבח). המחבל רצח ביריות את אם המשפחה (בת 40) ואת שלושת בניה: (בן 15), (בן 12) ו (בן 5). במהלך הלחימה באירוע נפצעו שני ילדים נוספים - אביה (בת 13) ועשהאל (בן 9).
כיתת הכוננות של היישוב הוקפצה למקום לאחר שנשמעו קולות הירי. היא הייתה הראשונה שיצרה מגע עם המחבל וניסתה לחלץ את הנפגעים. יוסף טויטו (בן 31), אב לחמישה, שהיה מפקד כיתת הכוננות, נהרג כשנורה על ידי המחבל, שהתבצר בבית, בעת ניסיון החילוץ. הכוח הצבאי הראשון בזירה היה החפ"ק של מ"פ ב' מגדוד 275 (שריון, מילואים - שפרץ לבית תוך כדי לחימה במחבל) ובהמשך כוחות נוספים של הגדוד ומחטמ"ר שומרון.
כוחות של צה"ל ומג"ב כיתרו את הבית, כוח של ימ"ס שומרון הגיע למקום, חבר למ"פ השריון ונכנסו ביחד ללחימה בתוך המבנה. הלחימה נמשכה כשעה ובמהלכה חילצו הלוחמים את עשהאל הפצוע שהסתתר בארון באחד החדרים, בהמשך הלחימה זיהה לוחם הימ"ס הקדומני את בת המשפחה אביה מסתתרת מתחת למיטת ההורים בחדר שבו התבצר המחבל. הלוחם ביקש ממנה לצאת לכיוונו, זינק ומשך אותה החוצה ברגע בו המחבל ירה לכיוונה והציל אותה בפעולתו. המחבל ניסה להימלט מהבית דרך חלון האמבטיה וחוסל לאחר קרב קצר בחצר הבית.
במהלך ההשתלטות נפצעו שני לוחמים. כתוצאה מחילופי האש עלה הבית בלהבות, ורק לאחר שכובתה האש נמצאה גופתו של ילד נוסף שלא נמצאה בזמן שהימ"ס סרקו את הבית. הפצועים פונו באמבולנסים לבית החולים תל השומר.
במשך התנהלות הקרב הורו כוחות הביטחון לתושבי היישוב להסתגר בבתים.
אבי המשפחה, בועז, לא נפגע כיוון שלא היה בבית בעת חדירת המחבלים, ושני ילדיו הנוספים, יריב ועטרה, לא נפגעו אף הם.
לאחר סיום הקרב בתוך המבנה המשיכו כוחות גדוד המילואים לסרוק את שכונות היישוב, וביחד עם גששים, נציגי שב"כ וחבלני המשטרה ביצעו מרדף על העקבות וסייעו במעצר מפעילו של המחבל בכפר עוורתא וחשודים נוספים והסגרת חגורת נפץ בכפר בית-פוריכ הסמוך.
שלושה שבועות לפני הפיגוע חדר מחבל אחר ליישוב ורצח שלושה בחורי ישיבה.
בעקבות הפיגוע.
יוסף טויטו, מפקד כיתת הכוננות ביישוב הוכר כחלל צה"ל לאחר פניית המשפחה לצה"ל ולמשרד הביטחון.
מ"פ ב' בגדוד 275 זכה לתעודת הערכה מיוחדת ממח"ט שומרון על תפקודו באירוע.
ימ"ס שומרון קיבלה צל"ש מח"ט יחידתי וצל"ש מח"ט ללוחם ביחידה.
בועז שבו, אבי המשפחה, נישא בשנית בשנת 2007 להילה, אם לחמישה ילדים מנישואיה קודמים, שילדה שלישייה. בתו של בועז, אביה, ששרדה את הפיגוע, נישאה בשנת 2013 לבן של הילה (אמה החורגת).
עשהאל שבו, שאיבד את רגלו הימנית בפיגוע, הוא ספורטאי, כדורסלן ושחיין מצטיין, וייצג את ישראל באולימפיאדת הנכים ריו דה ז'ניירו (2016) ובשנת 2017 ייצג שוב את ישראל במכביה בקטגוריית כדורסל נכים.
ב-2009 פסק בית המשפט המחוזי בירושלים כי כמיל סעיד חסן חניש שתכנן את הפיגוע יפצה את בני המשפחה בסכום של 60 מיליון ש"ח.
בשנת 2022 עשהאל נבחר להדליק משואה ביום העצמאות ה-74 למדינת ישראל.
מלחי
בולאנד
פונקציה גזירה
בחשבון אינפיניטסימלי, פונקציה גזירה היא פונקציה ממשית שיש לה נגזרת בכל תחומה. לגרף של פונקציה גזירה יש משיק בכל נקודה והוא נראה "חלק" יחסית, ללא קווים שבורים ו"השתוללויות". תכונה חשובה של פונקציה גזירה, שגם שקולה לגזירותה, היא האפשרות לקרב אותה ליניארית.
הגדרות.
פונקציה formula_1 גזירה בנקודה formula_2 אם קיים הגבול:
תוצאת הגבול נקראת "הנגזרת של formula_1 בנקודה formula_2" ומסומנת formula_6.
פונקציה formula_1 גזירה בקבוצה formula_8 אם לכל formula_2 ב-formula_8 מתקיים ש-formula_11 גזירה ב-formula_2. פונקציה formula_1 גזירה אם היא גזירה בתחום שלה.
על פונקציה שהנגזרת שלה רציפה נאמר כי היא גזירה ברציפות. אם הנגזרת של פונקציה גזירה בעצמה, נאמר כי הפונקציה "גזירה פעמיים", ובאופן כללי אם לפונקציה יש נגזרת n-ית נאמר כי היא גזירה n-פעמים או גזירה מסדר n. פונקציה שהיא גזירה n-פעמים לכל n היא פונקציה גזירה אינסוף פעמים, או פשוט פונקציה חלקה.
קבוצת הפונקציות שגזירות n-פעמים ברציפות מסומנת formula_14, כאשר formula_15 היא קבוצת הפונקציות הרציפות ו-formula_16 היא קבוצת הפונקציות החלקות. לכל n, formula_14 מכילה את formula_18 כאשר formula_19 וכולן מכילות את formula_16.
פונקציה formula_1 היא גזירה למקוטעין בקטע אם קיים אוסף בן מנייה (ואולי אף סופי) של נקודות formula_22 עבורו לכל formula_2 בקטע פתוח formula_24 formula_25 מתקיים כי formula_1 גזירה ב-formula_2.
פונקציה היא גזירה מימין או גזירה משמאל כאשר הגבול המגדיר את הנגזרת קיים מימין או משמאל בהתאמה.
כאשר דנים בפונקציות בכמה משתנים, אז פונקציה גזירה חלקית לפי x אם קיימת לה נגזרת חלקית לפי המשתנה x. תנאי חזק שמכליל גזירות בכמה משתנים הוא דיפרנציאביליות. פונקציה דיפרנציאבילית היא פונקציה שניתן לקרב ליניארית, ובפרט היא גזירה חלקית לפי כל משתנה. במשתנה אחד המונחים פונקציה דיפרנציאבילית ופונקציה גזירה מתלכדים.
רציפות.
כל פונקציה גזירה היא בהכרח רציפה (ולכן גם אינטגרבילית). ניתן להוכיח זאת ישירות מהגדרת הנגזרת. אם formula_1 אינה רציפה ב-formula_2 אז formula_30 ולכן הגבול המגדיר נגזרת אינו קיים (הוא ביטוי מהצורה "formula_31" כאשר a שונה מאפס). ההפך אינו נכון - לא כל פונקציה רציפה היא גם גזירה. למשל פונקציית הערך המוחלט רציפה בנקודה x=0 אך אינה גזירה שם, כי הנגזרת מימין והנגזרת משמאל שונות זו מזו. רוב הפונקציות הרציפות השימושיות גזירות כמעט בכל נקודה. אולם ב-1872 מצא קארל ויירשטראס דוגמה ראשונה לפונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה: פונקציית ויירשטראס. לפי משפט הקטגוריה של בייר כמעט כל הפונקציות הרציפות אינן גזירות באף נקודה.
גזירות מרוכבת.
גזירות של פונקציה מרוכבת היא תנאי חזק בהרבה מגזירות של פונקציה ממשית. פונקציה גזירה במובן המרוכב נקראת פונקציה הולומורפית.
קאלויאן, קיסר בולגריה
קאלויאן אסן (וכן איוואן השני או יואן השני, בבולגרית: Калоян Асен, ברומנית: Ioniță Kaloian יוניצֶה קאלויאן ; 1168 - אוקטובר 1207, סלוניקי, האימפריה הלטינית) היה קיסר (צאר) האימפריה הבולגרית השנייה בין השנים 1197 ל-1207. תקופת שלטונו אופיינה במאבקי כוח מול האימפריה הלטינית, תוך הרחבת גבולות האימפריה הבולגרית.
עלייתו לשלטון.
קאלויאן (בלטינית: Caloiohannes, "יואן הטוב" או "הנאה") היה אחיהם הצעיר של איוון אסן הראשון ושל פטר הרביעי, מייסדי האימפריה הבולגרית השנייה. בצעירותו שהה בשבי הביזנטים בקונסטנטינופול וב-1189 הצליח להימלט ולשוב לבולגריה. לאחר רציחת אחיו בידי בן דודם איבאנקו אשר פעל בשליחות הביזנטים, הצליח קאלויאן ליצור קואליציית בויארים שתתמוך בו ועלה לכס השלטון.
תקופת מלכותו.
לשון מאזניים במאבק בין הכנסייה הקתולית לאורתודוקסית.
קאלויאן ניצל את החולשה היחסית שבה נתונה הייתה האימפריה הביזנטית בשל מאבקים פוליטיים וב-1202 כבש מידיה שטחים בתראקיה ובמקדוניה, וכן את עיר הנמל החשובה וארנה. בכך הרחיב את תחום שלטונו וחיזק את מעמדו בקרב משפחות האצולה שתמכו בו. בשנה זו פלש לשטחי בולגריה אימרה הראשון, מלך הונגריה, אך כוחותיו של קאלויאן הצליחו לבלום את הפלישה ליד העיר ניש, בשטח סרביה של ימינו. האפיפיור אינוקנטיוס השלישי, שפעל לאיחוד הכנסיות האורתודוקסית והקתולית, על חשבון האימפריה הביזנטית, הציע לקאלויאן להצטרף לכנסייה הקתולית בתמורה להכרת הכנסייה במעמדו.
קאלויאן נעתר לבקשת האפיפיור, מתוך הבנה שיזכה גם בהכרה דתית כראש הכנסייה הבולגרית. אך האפיפיור היה מוכן להכיר בו כמלך הבולגרים והוולאכים ולא כקיסר וכראש הכנסייה. הביזנטים, שחששו מהשפעתה הגוברת של הכנסייה הקתולית באזור, ניסו להשפיע על הקיסר הבולגרי לתמוך בעמדותיהם. וכך, על אף שקאלויאן זכה להכרה חלקית של הכנסייה הקתולית, ניהל במקביל מגעים גם עם אלכסיוס השלישי, קיסר האימפריה הביזנטית, אשר בסופם הצהיר על הכרתו בקאלויאן כקיסר בולגריה ובכלל זה במעמדו הדתי.
מסע הצלב הרביעי.