הבעיות של הילברט מגוונות ברמת דיוקן והן שייכות לתחומים מתמטיים מגוונים. רוב השאלות מדויקות מספיק כדי לענות עליהן בתשובה חיובית או שלילית ברורה, אך ישנן שאלות המנוסחות באופן מעורפל יותר, ומתמטיקאים קיבלו עבורן פרשנות רווחת אחת מסוימת. לדוגמה, נמצא הפתרון של הבעיה ה-5 לפי הפרשנות המקובלת, אבל בעיות קשורות ודומות מאוד נותרו לא פתורות. לפעמים הניסוחים של הילברט לא היו מדויקים מספיק כדי להציע בעיה ממשית, אבל מניסוח עכשווי היה ניתן לקבל בעיות דומות ממשיות. למרות זאת, בעיות אחרות כמו הבעיות ה-11 וה-16 עוסקות בנושאים שהתפתחו עם הזמן לתחומים מתמטיים משגשגים, כמו התורה של תבניות ביליניאריות והתורה של עקומים אלגבריים ממשיים.
ישנן שתי בעיות שהן לא רק פתוחות (לא פתורות) עד היום, אלא גם ייתכן שהן בלתי-פתירות בכלל בעקבות ניסוחן. הבעיה ה-6 בנושא אקסיומיזציה של הפיזיקה הפכה לפחות חשובה משהייתה בעת ניסוחה עקב התפתחויות בפיזיקה מהמאה ה-20. באופן דומה, הבעיה ה-4 העוסקת ביסודות הגאומטריה, מנוסחת באופן שכיום נחשב מעורפל מכדי לאפשר מענה מדויק.
21 הבעיות האחרות קיבלו כולן תשומת לב מעשית ומחקרית רבה, והעבודה על הבעיות הללו הייתה מחשיבות עליונה עד סוף המאה ה-20. פול כהן קיבל את מדליית פילדס ב-1966 על עבודתו על הבעיה הראשונה, והתשובה השלילית שניתנה לבעיה העשירית ב-1970 הניבה שבחים דומים. הבעיות והיבטים שונים שלהן זוכים לעניין גבוה גם היום.
אי-פתירות.
הילברט ביקש להגדיר את המתמטיקה באופן לוגי על ידי מערכות פורמליות, ועל ידי הוכחות סופיות מאוסף מוסכם של אקסיומות. אחת מהמטרות המרכזיות של התוכנית של הילברט הייתה להוכיח את העקביות של האקסיומות של האריתמטיקה: זו הבעיה ה-2 ברשימה.
עם זאת, משפט האי-שלמות השני של גדל הוכיח שכזו הוכחה סופית לעקביות של אריתמטיקה היא בלתי אפשרית. הילברט חי עוד 12 שנים אחרי שגדל פרסם את המשפט שלו, אבל לא נראה כי הוא כתב תגובה רשמית כלשהי לעבודתו של גדל.
הבעיה ה-10 לא שואלת אם קיים אלגוריתם שקובע עבור משוואה דיופנטית אם היא פתירה, אלא מבקשת במקום זה לבנות את אותו אלגוריתם: "להמציא תהליך שייקבע, בכמות סופית של פעולות, אם המשוואה פתירה במספרים רציונליים". הבעיה נפתרה והוכח כי לא קיים אלגוריתם שכזה, מה שסתר את הפילוסופיה של הילברט למתמטיקה.
בדיון על דעתו שלכל בעיה מתמטית אמור להיות פתרון, הילברט מכיר בעובדה שהפתרון יכול להיות הוכחה שהבעיה המקורית אינה אפשרית. הוא קובע כי הנקודה היא לדעת בצורה כלשהי מהו הפתרון, והוא האמין שאנחנו תמיד יכולים לדעת את הפתרון, שאין במתמטיקה שום "ignorabimus" (טענה שאי אפשר לקבוע או למצוא את הנכונות שלה).
גרסאות המשך.
מאז 1900, מתמטיקאים וארגונים מתמטיים הכריזו על רשימות של בעיות מתמטיות, אבל לרשימות הללו לא הייתה אותה השפעה והן לא ייצרו אותה עבודה רחבה כמו הבעיות של הילברט (פרט למעט יוצאי דופן).
אחד מיוצאי הדופן הבודדים היא רשימה של שלוש השערות ששיער אנדרה וייל בסוף שנות ה-40'. בתחומים של גאומטריה אלגברית, תורת המספרים ומה שמקשר בין השניים, השערות וייל היו חשובות ביותר. הראשונה מהשערות וייל הוכחה על ידי ברנרד דוורק, והוכחה שונה לגמרי לשתי ההשערות הראשונות ניתנה על ידי אלכסנדר גרותנדיק. האחרונה והעמוקה מבין השערות וייל (אנלוג להשערת רימן) הוכחה על ידי פייר דליניה. גרותנדיק ודליניה קיבלו שניהם מדליית פילדס על עבודתם. עם זאת, השערות וייל הן מעיין "בעיית הילברט אחת" בתוך התחום שלהן, והילברט מעולם לא חשב עליהן כמכסות את כל המתמטיקה.
פאול ארדש העלה מאות אם לא אלפי בעיות מתמטיות, הרבה מהן עמוקות. ארדש לעיתים קרובות הציע סכומים כספיים; הגודל של הסכום נקבע על פי קושי הבעיה.
לפחות בתקשורת המיינסטרים, רשימת הבעיות של המאה ה-21 דה פאקטו הן 7 בעיות המילניום שנבחרו בשנת 2000 על ידי מכון קליי למתמטיקה. בשונה מהבעיות של הילברט, שבהן הפרס המרכזי היה הכבוד של הילברט בפרט ושל הקהילה המתמטית ככלל, הפרס על כל אחת מהבעיות הוא מיליון דולר. בדומה לרשימה של הילברט, אחת מהבעיות (השערת פואנקרה) נפתרה יחסית מוקדם אחרי שהכריזו על הבעיות.
השערת רימן בולטת בכך שהיא נמצאת ברשימת הבעיות של הילברט, מכון קליי, ואפילו בהשערות וייל, בצורה הגאומטרית שלה. על אף שנוסתה על ידי מתמטיקאים גדולים רבים בני ימינו, ההשערה לא הוכחה או הופרכה יותר מ-160 שנים. הילברט עצמו הכריז: "אילו הייתי נכנס לתרדמת של אלף שנים, הדבר הראשון שהייתי שואל אחרי ההתעוררות היה: האם הוכיחו את השערת רימן?"
רשימת הבעיות.
להלן כל 23 השאלות שהציג הילברט ומצבן העדכני:
עריכת הרשימה.
בזמן הכנת רשימת הבעיות עמדו בפני הילברט עשרים וארבע שאלות רשומות, אך הילברט החליט שלא לצרף אחת מהן לרשימתו הסופית. הבעיה הנוספת עסקה בהוכחת השערה הנוגעת לפשטות ושיטות כלליות. בעיה זו התגלתה על ידי ההיסטוריון רודיגר תיילה (Rüdiger Thiele).
רכבי לחימה משוריינים
ימי ההמתנה
תגובת פיצוי
תגובת פיצוי היא תגובה חיובית של פרט או אוכלוסייה כלפי טריפה. יחסי טורף-נטרף מצויים בשיווי משקל בטבע, ולמרות הסברה שפרט או אוכלוסייה ניזוקים מן הטורף, לא כך תמיד הם פני הדברים, ופעמים רבות צומחת מכך תועלת, הן לפרט והן לאוכלוסייה.
תגובת פיצוי של אוכלוסייה מתרחשת כאשר פגעי הטריפה מתאזנים באמצעות גידול האוכלוסייה באותו שיעור בו הוקטנה. כאשר מתקיימת תחרות תוך מינית חזקה של פרטים באוכלוסייה על כמות מזון זמינה קבועה, ובשל תחרות זו חולים ומתים פרטים או שמהגרים מיחידת השטח, אזי הפחתת מספר הפרטים באוכלוסייה בשל טריפה, מורידה את שיעור התחרות התוך מינית, ובעקבות זאת גם את שיעור הנגרעים ממנה בשל מוות והגירה, כך שסכום הפרטים באוכלוסייה נותר מאוזן כשהיה.
תגובת פיצוי של פרט היא למשל התגובה של צמח על אכילת חלקים ממנו. הצמח מפצה על הנזק שנגרם לו בהחלפה מהירה של רקמות שנאכלו ברקמות חדשות, וקצב ההטמעה כמעט שאינו יורד.
הפיצוי נגרם בשל כמה סיבות:
מלחמת איראן עירק
מלחמת איראן עיראק
רקמה (מלאכת יד)
רקמה היא מלאכת יד, שבה יוצרים קישוט על-גבי בד או מצע אחר, בדרך כלל גמיש, באמצעות העברת חוט בתוכו באמצעות מחט.
אופי הקישוט במראה כולל תלוי בתכים - שיטות הרקמה שנבחרו. לתכים שונים מטרות שונות. בדרך כלל תכים המשמשים לתפירה אינם משמשים לרקמה, ולהפך. יופייה של הרקמה תלוי באחידות התכים (גודלם ומתיחותם) הרבה יותר מאשר בתפירה, בה בדרך כלל התכים עצמם נסתרים, ורק הבדים נראים לעין.
לעיתים משולבת הרקמה בחריזה. אומנות הרקמה נחשבת למלאכת יד מהעתיקות בעולם ועם זאת יש לה שימוש ורלוונטיות גם כיום. בתקופות ימי הביניים והרנסאנס כאשר מלכים לבשו בגדים רקומים בזהב, זה היה מקצוע גברי. נשים התחילו לרקום מאוחר יותר ובתחילה נחשבו לא מתאימות לצייר דוגמאות, ואי לכך הורשו לרקום רק על דוגמאות שגברים ציירו עבורן. ידיעת הרקמה עברה מאם לבת במשך אלפי דורות, נערות החלו ללמוד לרקום כבר בגיל צעיר, וגם גברים עסקו ברקמה.
בכל מקום התפתחה הרקמה על חומרים מקומיים (פשתן במצרים ובאירופה, משי בסין וכדומה), בצבעים מקומיים (חוטים נצבעו על ידי כך שהופקו מצמחים ומינרלים מקומיים) ובצורות וסמלים שמבטאים את התרבות של הרוקמים, לרוב יש התאמה בין הצורות והסמלים שצוירו באזור מסוים ובין הצורות והסמלים שרקמו שם. עם זאת יש סמלים וצורות שחוזרים בסגנון דומה בכמה תרבויות מרוחקות. נוודים, תיירים וסוחרים 'הפיצו' צורות וסמלים, בעיקר על ידי כך שהמקומיים העתיקו מבגדיהם את הדוגמאות שהביאו עמם ממקומות מרוחקים, ואילו הבדים שהם קנו נתנו השראה לבני ארצם כאשר שבו הביתה.
היסטוריה.
כבר בתקופת האדם הקדמון, האדם כחלק מתהליך הקיום שלו הכין לעצמו בגדים מפרוות מחוברות בטכניקת התפירה, ובעקבות זאת הוא החל להשתמש בתפר זה בשביל ליצור אלמנטים של קישוט.
הרקמה מוזכרת בתנ"ך, בספר שמות: ; .
ריקמות עתיקות נמצאו במצרים העתיקה, סין, הודו, אנגליה ועוד.
עקב אי העמידות של החוטים והבדים כמעט ואין היום שרידים של רקמות עתיקות, אך נותרו עדויות על רקמה בעבר ברחבי העולם. כך, ביוון נמצאו שרידים משנת 400 לפני הספירה, באזור בבל וסוריה משנת 700 לספירה, בחפירות ארכאולוגיות באזור אור העתיקה נמצאו שרידי תכריכים רקומים בחוטי זהב טהור של הקיסרית הונוריוס משנת 400 לספירה. מרבית השרידים שנשארו בעת המודרנית הם בעיקר מהמאה ה-18.
בשנת 1746 נוסד מפעל DMC לייצור חוטים וחומרים נוספים לרקמה. בעלי המפעל פנו אל תרז דה דילמונט שהייתה מורה לרקמה ובקשו ממנה לכתוב ספר על רקמה. בשנת 1884 הוציאה דילמונט את ספרה המקיף 'The Complete Encyclopedia of Needlework' בצרפת, מיד עם הוצאתו לאור הוא תורגם ונמכר ב-17 ארצות. ב-62 השנים הראשונות לאחר הוצאתו לאור הוא נמכר ביותר ממיליון וחצי עותקים.
במשך המאות ה-18,ה-19 ואף בראשית המאה ה-20 נשים רבות למדו לכתוב ולקרוא בעזרת רקמה, וכשלא היה מקובל שנשים תלמדנה גאוגרפיה, היו מורות חכמות שלימדו לרקום מפות גאוגרפיות במסווה של הוראת דוגמאות רקמה. רקמה נחשבה כמקצוע חשוב כמו תפירה כי מיומנות בעבודה במחט אפשרה לבנות לתקן היטב את בגדי המשפחה ואת כלי המיטה שלהם.
מרתה וושינגטון אשת הנשיא ג'ורג' וושינגטון נהגה לרקום כל חייה הבוגרים, בין היתר רקמה כיסויי כיסאות לבית הלבן וכן ריפודי כיסאות לאחוזת מאונט ורנון.
ציירים וציירות רבים עיצבו רקמות עבור עצמם או עבור אחרים.
הציירת האמריקנית, סבתא מוזס, רקמה שנים רבות לפני שהתפרסמה כציירת. היא רקמה את מראות הכפר והסביבה.