כך שניתן להרכיב שני עותקים של formula_20 מהקבוצות הללו על ידי הכפלת הקבוצות באיברים מ-formula_20:
formula_27
וכן
formula_28.
רודולף קארנאפ
Muridae
חופש
חופש הוא מושג מופשט אשר מתאר, באופן כללי, היעדר אילוצים, הכרחה או כפייה, ואפשרויות פעולה לא מוגבלות. שאלת החופש נוגעת להיבטים רבים בחיי האדם, והיא נידונה בהקשרים רבים: בפילוסופיה, בענפים שונים של מדעי החברה – ובמיוחד במדעי המדינה, בפסיכולוגיה, בסוציולוגיה ובאנתרופולוגיה – בחקיקה אזרחית ובקרימינולוגיה, בדת, במדעי המוח, ובמדעי הקוגניציה.
מושג החופש מתחלק לסוגים שונים של חופש בעלי משמעות בתחומים שונים, כגון חירות האדם, עצמאות, חירות המחשבה, חופש הביטוי, חופש דת וחופשה.
החופש החברתי מוכר כאחת מזכויות האדם. החופש החברתי מהווה ערך יסוד בחברות רבות, והוא עילה לוויכוחים ומאבקים פוליטיים ואידאולוגיים רבים. סוגים מסוימים של חופש אנושי מעוגנים בתשתית החוקתית של מדינות רבות בעולם, והם נחשבים לזכויות אזרח ברוב העולם המודרני. כיום רווחת התפיסה שמידת החופש האישי של האזרחים במדינה או בחברה מסוימת מקבילה לרמת ההתקדמות החברתית, החינוך, והנאורות של החברה.
בפילוסופיה, שאלת יכולתו של האדם לבחור את גורלו באופן חופשי היא מהשאלות הפילוסופיות העתיקות והשנויות במחלוקת ביותר. למשל, שתי תורות פילוסופיות עיקריות מתנגדות למושג החופש. הראשונה היא פטליזם – אמונה בגורל, שכל שמתרחש אמור היה להתרחש ו"הסוף ידוע מראש" בכל מהלך שנבחר, והשנייה היא דטרמיניזם – תורת הסיבתיות, שסוברת שאין אפשרות לשנות ולבחור דבר אחר משנבחר, כי באופן טבעי מכלול הסיבות תמיד יוביל אותנו לבחור בדבר מסוים, ללא אפשרות חלופית.
האדם והחופש בעידן המודרני.
מושג החופש האנושי בהגות של העת החדשה עבר שני פיתוחים עיקריים, שניתן להגדירם כ"פנימי" ו"חיצוני". ההיבט הפנימי של חופש האדם טוען כי ייחודו של האדם – לעומת שאר בעלי החיים – טמון בהיותו בעל רצון חופשי, הפועל לא על פי יצריו ודחפיו הטבעיים, אלא על פי שכלו, תובנותיו, עקרונותיו ומצפונו. בהתאם לכך, ככל שיצור "מפותח" יותר ופחות פרימיטיבי, כך קל לו יותר להשתחרר מדפוסים מוכתבים של אינסטינקטים ודחפים, והאדם ניצב בפסגת ההתפתחות. ככל שהאדם התפתח יותר, כך הוא הצליח להסיר מעליו מגבלות ביולוגיות ופיזיקליות שחוקי הטבע והעולם הציבו בפניו. בהתאם לכך, על פי ההומניזם, גישה פילוסופית המציבה את האדם במרכז ומדגישה את הרצון החופשי שלו, לכל אדם יש זכות לחופש. וכך הוא ההיבט ה"חיצוני" של החופש בחלקים רבים של הגות העת החדשה: יש לשלול מצב שבו אדם יהיה בבעלות או תחת שליטה של גורמים אחרים שמחוצה לו.
היסטוריית החופש.
למשך תקופות רבות של ההיסטוריה האנושית, חלק מבני האדם לא היו חופשיים. בתקופה הקדומה היו חברות שלמות שהמבנה החברתי שלהן הורכב משני מעמדות, אדונים ועבדים. אנשים נחטפו, נשבו במלחמות, נולדו לעבדים, או נמכרו (לעיתים בידי הוריהם) בכיכר השוק וכך הפכו לעבדים. אנשים אלו נחשבו לרכוש בעליהם ונאלצו לעבוד את בעליהם ללא תמורה, לעיתים עד יום מותם, ללא כל זכות ערעור. ערך חייהם של עבדים היה לא כשל בני אנוש, אלא קרוב יותר לחיות או רכוש. בחברות רבות אדון שהרג את עבדו בשל סיבה מוצדקת היה פטור מכל עונש, ואדון שהרג את עבדו של אחר צריך היה לשלם לו פיצויים. מצב זה של עבדות אנושית היה נהוג כלפי בני יבשת אפריקה עד למאות האחרונות, במיוחד ביבשת אמריקה.
בימי הביניים היו בני האדם כבולים לתפקידם בסדר החברתי ולמעמדם, ובהכללה, רובה של האוכלוסייה נעדרה חופש אישי, לא הייתה אפשרות לעבור ממעמד למעמד ומתפקיד לתפקיד, והאדם היה קשור לחברה בהתחייבויות שונות. רק בתקופת הרנסאנס החל להתפתח תהליך החופש המודרני כפי שאנו מכירים אותו בימינו. הריבוד החברתי הפאודלי התערער וההון הפך חשוב מהייחוס, ולמעשה שבר הליברליזם את עול הגילדות מעל האנשים, והצליח לשחרר אותם מהמסגרות המקובעות של הסדר הפאודלי, והנצרות הפרוטסטנטית שברה את עולה של הקתוליות, ואיפשרה חופש מחשבה לבני אירופה.
אויבי החופש.
לפי הפסיכולוגים אריך פרום, מחבר הספר מנוס מחופש (שבו הוא מנתח את תולדות החופש באנושות), וויקטור פראנקל, מייסד שיטת הלוגותרפיה, שתי גישות ותפיסות מתנגדות לחופש האנושי והן הסמכותנות והתואמנות (קונפורמיות).
פרום טוען כי הגישה העיקרית הנלחמת בחופש היא הסמכותנות. החינוך לציות עיוור וכניעה אוטומטית כלפי ישויות חיצוניות ובהן ממסדים, רעיונות ואנשים. המודלים הנפוצים הקיימים הם בדרך כלל שלטונות טוטליטריים וממסדים דתיים, ששניהם דורשים מהאנשים החוסים בצילם לוותר על החופש האישי המוקנה להם, ולהביע את עצמם רק באופנים שמסגרות אלו קובעות ומאפשרות להם. הציות שכשלעצמו שהוא חסר משמעות וערכיות, הופך לערך נעלה ולמעלה טובה בעיני מסגרות כאלו, ואי הציות נתפס כעבירה חמורה שעונשה בצידה.
תופעה נוספת שמבטלת את החופש האנושי, לדעת פרנקל ופרום, היא התואמנות (קונפורמיות), המתבטאת בציות, סתגלנות, הליכה בתלם וקבלת מרותן של הנורמות החברתיות באופן אוטומטי וללא כל ערעור. האנושות, בעיקר בעולם המערבי, חיה באשליה מזויפת של חופש וחוסר הגבלה, אבל מתוך סתגלנות וצייתנות עיוורת למוסכמות, אנשים מחקים אחרים. הם חושבים, רוצים, מרגישים ואף פועלים לפי מה שנראה להם שהחברה והשכל הישר דורשים מהם, ומתכחשים בכך לעצמיות שלהם, כי הדבר יעמיד אותם בבדילותם, ויעצים את פחדיהם לעמוד לבד מול אימת הקיום. פרום שואל, לשם מה זקוק האדם לחופש ביטוי, אם אין לו מחשבות עצמיות, אמיתיות ומקוריות משל עצמו.
סוגי חופש.
הפילוסוף ישעיה ברלין נודע כמי שיצר הבחנה בין חירות שלילית לחירות חיובית, או בין 'חופש מ' ו'חופש מאת' ל'חופש ל' ו'חופש לשם'. 'חופש מ' או 'חופש מאת' הוא חופש חיצוני בו משחרר האדם את עצמו מעול ואילוצים של גורמים זרים שמחוצה לו, והוא אינו כבול לתפיסה או עשייה מסוימת הנכפית עליו מבחוץ, אבל הוא עדיין עלול להישאר עם ריקנות פנימית, ואילו 'חופש ל' או 'חופש לשם' הוא שלב שני, לאחר שהאדם קיבל חופש לעשות כרצונו, הוא גם עושה דברים המבטאים את רצונו החופשי, וגורמים לו לחוש תחושת חופש, מיצוי עצמי ורווחה פנימית.
בלשון התנ"כית נעשתה הבחנה בין שני מושגי חופש ששניהם קשורים לעבדות. המילה חופש ציינה חופש פרטי של עבד מסוים, שקיבל עצמאות מידי אדוניו והפך לאזרח חופשי, לאחר סיום תקופת עבדותו, או בשל אירוע שחייב את שחרורו, לבין המילה דרור שציינה חופש חברתי של כל העבדים בבת אחת, בעקבות סיום תקופה, או קבלת החלטה משותפת של הציבור.
על פי פרופ' שלום רוזנברג קיימת הבחנה בין שלושה סוגי חופש שונים, והשפה העברית ייחדה מילה שונה לכל אחד מהם:
מגבלות החופש.
על אף שהחופש על שלל מרכיביו הוא זכות יסוד המוקנת לאזרחים במדינות מערביות, מוסכם על רוב ההוגים כי גם לו יש מגבלות, כאשר הוא מתנגש עם ערכים ואידיאלים אחרים. אחת המגבלות העיקריות בדרך כלל היא אי פגיעה בבני אנוש אחרים. לעיתים המגבלות מורחבות לאי פגיעה במוסדות החברה, או להתנגשות עם נורמות וסייגים שהחברה שמה על עצמה לניהול תקין ומסודר של החברה. בהקשר לכך תקפה אימרתו של הפילוסוף ישעיה ברלין כי "חירות עבור הזאבים היא מוות לכבשים". למשל, ברוב החברות הדמוקרטיות חופש הביטוי יוגבל ויסוייג כאשר הוא יהפוך לביזוי, השפלת הזולת, הוצאת דיבה עליו ואמירת ביטויים גזעניים ועוד. חופש התנועה יוגבל באופן שלא יסכן בני אדם אחרים, למשל בהגבלה של נתיבים ומהירויות. וחופש ההתאגדות יוגבל באיסור להקים התאגדות של שטנה או חבלה שתנסה לפגוע באזרחים אחרים או ביסודות של המשטר. גם בהקשר של בין האדם לעצמו, החופש יכול לעורר שאלות מוסריות, למשל כאשר האדם בוחר או מבקש לפגוע בעצמו בלבד, למשל בנושא של המתת חסד והתאבדות. כיום ברוב החברות בעולם מוסכם להטיל מגבלות חמורות על החופש – בצורת מעצר, כליאה ושלילת זכויות – על מי שהפר את חוקי החברה וביצע פשעים.
לדעת ויקטור פראנקל חופש ואחריות הם שני צדדים של אותו מטבע. ברגע שהאדם נוטל חירות לעצמו הוא גם מקבל על עצמו אחריות. רבים חוששים מפני נטילת אחריות ונתינת דין וחשבון ולכן מסרבים לקבל החלטות שירחיבו את חירותם. פרנקל קורא לבני האדם ליטול אחריות לגורלם וקובע שזהו החידוש הגדול של שיטתו. הוא גם הצהיר כי ארצות הברית צריכה להקים בחוף המערבי את פסל האחריות, שישלים את פסל החירות. בדומה לכך, סבר הראי"ה קוק, כי עיקרה של התשובה, שהיא תיקון האדם, היא בהפסקת הטלת אחריות למצב האדם על הזולת, ובלקיחת אחריות על גורלו, מתוך אמונה כי ההצלחה הגמורה תלויה רק ברצונו הטוב של האדם.
בעלי חיים וחופש.