אם formula_1, אומרים ש-formula_2 הוא סכום ישר של formula_3 ו-formula_4, ואילו formula_5 הם מחוברים ישרים של formula_2. הסכום הישר של שני אובייקטים מורכב, כקבוצה, מן הזוגות הסדורים שאפשר לבנות מהם, ולכן הוא שווה למכפלה הישרה שלהם; כך גם בכל מספר סופי של מבנים. לעומת זאת, כאשר מטפלים במספר מבנים אינסופי, הסכום הישר מוכל במכפלה הישרה, והוא כולל רק את הווקטורים שכמעט כל אבריהם אפס.
הסכום הישר מאפשר לטפל במספר כלשהו של אובייקטים בבת-אחת. אפשר להבחין בין בנייה "חיצונית" של סכום ישר, המשלבת מבנים נתונים למבנה אחד גדול, לבין בנייה "פנימית", המזהה שמבנה נתון מורכב מתת-מבנים שלו. ההבדל פורמלי בלבד, משום שבשתי הדרכים מקבלים מבנים איזומורפיים.
הגדרה קטגורית.
בתורת הקטגוריות, המכפלה הישרה של אובייקטים formula_7 בקטגוריה, היא אובייקט formula_8, עם מורפיזמים ("היטלים") formula_9, המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט formula_4 בקטגוריה עם מורפיזמים formula_11, קיים מורפיזם יחיד formula_12 כך ש-formula_13.
הסכום הישר מוגדר באופן דואלי: הסכום הישר של האובייקטים formula_7, הוא אובייקט formula_15, עם מורפיזמים formula_16, המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט formula_4 בקטגוריה עם מורפיזמים formula_18, קיים מורפיזם יחיד formula_19 כך ש-formula_20. אם הסכום הישר קיים בקטגוריה, אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.
סכום ישר של שני מבנים.
סכום ישר של מרחבים וקטוריים.
אם formula_21 ו-formula_22 מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה formula_23, הסכום הישר שלהם הוא מרחב וקטורי חדש, formula_24, שאבריו הם הזוגות הסדורים formula_25 (כאשר formula_26), עם פעולות החיבור והכפל בסקלר לפי רכיבים: formula_27, ו-formula_28. התוצאה היא מרחב וקטורי שממדו הוא סכום הממדים של formula_21 ושל formula_22. המרחב החדש מכיל את שני המרחבים formula_31, וכל וקטור שלו אפשר להציג באופן יחיד כסכום של וקטור מן הסוג הראשון ווקטור מן הסוג השני.
תכונות אלה מציעות הגדרה של סכום ישר פנימי: אם formula_21 הוא מרחב וקטורי, עם תת-מרחבים formula_33, וכל וקטור formula_34 ניתן להצגה כסכום formula_35, כאשר formula_36, אז אומרים ש-formula_21 הוא סכום של formula_33, וכותבים formula_39. אם הצגה כזו היא תמיד יחידה, אז הסכום הוא סכום ישר, אותו מסמנים ב-formula_40.
בהינתן ש-formula_39, הטענה שלכל וקטור יש הצגה יחידה כאמור, שקולה לכך שההצגה היחידה של 0 היא formula_42, וכן שקולה לכך שהחיתוך של כל מרחב formula_43 עם formula_44 (כאשר formula_45) מכיל רק את וקטור ה-0. אפיון שקול לסכום ישר הוא אם הבסיסים של formula_33 זרים בזוגות, והאיחוד שלהם מהווה בסיס למרחב formula_21.
מכיוון שהמרחבים formula_48 איזומורפיים לתת-המרחבים formula_49 ו-formula_50, בהתאמה, הסכום הישר ה"חיצוני" הוא גם סכום ישר פנימי של תת-מרחבים וקטוריים, formula_51, ולהפך.
סכום ישר של מרחבי מכפלה פנימית.
הסכום הישר של מרחבי מכפלה פנימית formula_52 הוא המרחב הווקטורי formula_53 שהוגדר לעיל, עם המכפלה הפנימית formula_54. באופן זה תת-המרחבים formula_55 ו-formula_56 מאונכים זה לזה, וכך מתקיים משפט פיתגורס: ריבוע הנורמה של formula_57 שווה לסכום ריבועי הנורמות של formula_58 ושל formula_59 (כאשר formula_60). תכונה זו מכלילה את הסכום הישר של תבניות ריבועיות.
ההגדרה מכבדת גם את המבנה הטופולוגי של המרחבים הווקטוריים (המושרה על ידי הנורמה): סדרה
formula_61 מתכנסת לגבול formula_57 אם ורק אם שתי סדרות הרכיבים מתכנסות ל-formula_58 ו-formula_59, בהתאמה. בפרט, סכום ישר של שני מרחבי הילברט הוא מרחב הילברט.
במקרה המיוחד של formula_65 או formula_66, המכפלה הפנימית הסטנדרטית מתקבלת מחיבור חוזר של המכפלות הפנימיות הטבעיות על formula_67 או formula_68 (formula_69 במקרה הראשון, formula_70 בשני).
סכום ישר של מודולים.
הסכום הישר של מרחבים וקטוריים הוא מקרה פרטי של סכום ישר של מודולים. נניח ש-formula_71 הם מודולים שמאליים מעל חוג formula_72. אפשר להגדיר את המודול formula_73, כקבוצה הכוללת את כל הזוגות formula_74 (עם formula_75), והפעולות לפי רכיבים כבמקרה של מרחבים וקטוריים. גם כאן אפשר להגדיר סכום ישר פנימי, המתלכד עם הסכום הישר החיצוני.
סכום ישר של עותקים של החוג (כמודול מעל עצמו) נקרא מודול חופשי. מודול formula_76 הוא חופשי אם ורק אם יש לו בסיס, כלומר קבוצת איברים formula_77 כך שכל איבר אפשר להציג באופן יחיד כצירוף ליניארי formula_78 עבור formula_79.
סכום ישר של שתי אלגברות.
אפשר לראות כל אלגברה (בין אם היא אסוציאטיבית ובין אם לאו) כמודול מעל חוג עם מכפלה ביליניארית. לכן, עבור שתי אלגברות formula_80 מעל אותו חוג formula_81 נגדיר את formula_82 באותו אופן שהגדרנו את הסכום עבור שני מודולים, ואת המכפלה (formula_83) על ידי formula_84.
סכום ישר של מטריצות ריבועיות.
אם formula_2 ו-formula_3 הן שתי מטריצות ריבועיות בגודל formula_87 ו-formula_88 בהתאמה, אז הסכום הישר formula_89 הוא המטריצה formula_90, בגודל formula_91. אם formula_21 ו-formula_22 הם מרחבים וקטוריים ו-formula_80 המטריצות המייצגות של העתקות formula_95 ו-formula_96 בהתאמה (ביחס לבסיסים formula_97 ו-formula_98), אז formula_89 היא המטריצה המייצגת של ההעתקה formula_100 המוגדרת לפי formula_101 (ביחס לבסיס formula_102).
הסכום הישר מקיים formula_103 ו-formula_104.
סופות הנגב
א.ד. גורדון
מועצה אזורית מנשה
מועצה אזורית מנשה היא מועצה אזורית השוכנת בשטח שממזרח לחדרה, היא הוקמה בשנת 1950. המועצה כוללת בתוכה קיבוצים, מושבים ומעט כפרים ערביים שמדרום לנחל עירון, ושני יישובים קהילתיים. שטח המועצה הוא כ-160,000 דונם.
שם המועצה נגזר מהתנ"ך. שטחי המועצה נמצאים בנחלת שבט מנשה.
סמל המועצה מציג את הראם, כסמל לחיות הבר ששכנו באזור בעבר.
המועצה תומכת בקבוצת הכדורסל "הפועל גן שמואל מנשה" וכן בקבוצת כדורעף בליגה הבכירה, בשיתוף עם מועצה אזורית עמק חפר ועיריית חדרה.
ראש המועצה הוא אילן שדה.
היסטוריה.
המועצה הוקמה בפברואר 1950 במסגרת הקמת רשויות מקומיות לכלל היישובים במדינה. בעת הקמתה הכילה המועצה 11 יישובים ואת כפר הנוער אלוני יצחק (שנקרא אז כפר יצחק גרינבוים), סמינר גבעת חביבה ואת מחנה עולים שער מנשה שקודם לכן נקרא מחנה עין שמר. בשנת 1965 צורף למועצה הכפר מייסר. בשנת 1967 היו במועצה כ-5000 תושבים. באוגוסט 2012, במסגרת פירוק הרשויות קציר-חריש, צורף היישוב קציר למועצה.
בריטיש קולומביה
הצלת יהודי דנמרק
הצלת יהודי דנמרק היה מבצע הצלה בימי השואה שבמסגרתו הוברחו אלפי יהודי דנמרק, מתחת לאפם של הנאצים, בסירות דיג אל החוף המזרחי של המדינה, לעבר שוודיה הנייטרלית. על אף שחלק קטן נתפסו על ידי הגרמנים, 99% מיהדות דנמרק שרדו את השואה.
תיאור המבצע.
ב-9 באפריל 1940 פלשו לדנמרק כוחות גרמניה הנאצית (מבצע וזר - Weserübung), אף על פי שהכריזה על עצמה מדינה נייטרלית. דנמרק נכנעה לאחר שעות ספורות של קרבות. בהסכם הכניעה אפשרו הנאצים לדנים לשמור על מוסדות השלטון – המלך כריסטיאן העשירי נותר בראש המדינה, והפרלמנט והממשלה הדנית תפקדו לכאורה כרגיל. למעשה, היה מעמדה של דנמרק דומה יותר למדינה גרורה של גרמניה מאשר למדינה כבושה. היא אף חתמה על הסכם אנטי-קומינטרן וניתקה את יחסיה הדיפלומטיים עם בעלות הברית, אך לא השתתפה בלחימה לצד מדינות הציר.
מצבה המיוחד של דנמרק איפשר לה, בין היתר, גם להתנגד ליישום המדיניות הגזענית הנאצית כלפי היהודים, והם לא סבלו שום אפליה לרעה. בשנת 1943 התגברו גילויי ההתנגדות של הדנים נגד הגרמנים. סבלנותם של הנאצים פקעה וב-29 באוגוסט הם פיזרו את הממשלה הדנית והכריזו על ממשל צבאי במסגרת מבצע ספארי. אז היו השלטונות הנאצים יכולים לבצע את תוכנית "הפתרון הסופי" של יהודי דנמרק ללא התנגדות הממשלה.
ב-28 בספטמבר 1943 הדליף דיפלומט גרמני, גאורג פרדיננד דוקוויץ, את התוכנית לגירוש יהודי דנמרק להנס הדטופט, יו"ר המפלגה הסוציאל-דמוקרטית הדנית, וזה העביר את הידיעה למחתרת הדנית ולראשי הקהילה היהודית. היהודים ירדו למחתרת והתחבאו אצל ידידים דנים. כ-1,500-2,000 יהודים הוסתרו בבית החולים ביספביירג.
בארגונה של המחתרת הדנית הוסעו היהודים, מתחת לאפם של הגרמנים, אל החוף המזרחי של המדינה, ובתוך מספר ימים הוברחו אלפי היהודים בסירות דיג אל שוודיה הנייטרלית. להצלחת המבצע עזרו גם פעילי מחתרת בשורות המשטרה, כמו דיבי קנוד.
כ-7,200 מיהודי דנמרק (שהיו 90% מיהודי דנמרק) הוברחו לשוודיה. 492 יהודים נתפסו על ידי הגרמנים ונשלחו למחנה טרזיינשטט שבצ'כוסלובקיה. גם לאחר מעצרם המשיכה ממשלת דנמרק לעקוב אחר מצבם ושלחה להם חבילות תרופות ומזון. אף על פי כן, כ-150 איש מיהודי דנמרק שנתפסו נרצחו בשואה.
היסטוריונים וחוקרים ניסו לתת הסברים שונים להתגייסות העם הדני למען יהודי דנמרק. ישנם שני הסברים נפוצים לתופעה זו:
על מנת לחלוק כבוד למבצע ההצלה יוצא הדופן, החליט יד ושם לטעת בשדרת חסידי אומות העולם עץ לכבודה של המחתרת הדנית. לא הייתה זו הענקת אות חסיד אומות העולם שמוענק ליחידים ולא לקבוצות, אך הדבר נעשה ברוח בקשתם של חברים במחתרת הדנית שביקשו מיד ושם שלא להכיר במצילים דנים בודדים. עם זאת מספר דנים, שמעשי ההצלה שלהם היו יוצאי דופן, זכו גם באופן אישי בתואר חסידי אומות העולם.
הנצחה.