קל לראות שבאופן כללי מטריזביליות היא תכונה תורשתית, בעוד שקשירות היא לא תורשתית, ואפילו לא חצי תורשתיות. כך גם תכונת האוסדורף, ורגולריות הן תכונות תורשתיות, בעוד שנורמליות היא לא תורשתית. קומפקטיות היא חצי תורשתית כי היא עוברת בירושה לכל תת-מרחב סגור. לעומת זאת היא לא תורשתית לחלוטין: לדוגמה formula_9
והקטע הסגור הוא קומפקטי, אך הקטע הפתוח לא קומפקטי.
ממד האוסדורף
ממד האוסדורף הוא הכללה של מושג הממד. זהו מספר ממשי לא שלילי המשויך למרחב מטרי. הציג אותו בשנת 1918 המתמטיקאי פליקס האוסדורף. רבות מהטכניקות הכרוכות בחישובו של ממד האוסדורף פותחו על ידי המתמטיקאי הקראי-רוסי אברהם בסיקוביץ', ולכן ממד האוסדורף קרוי לעיתים ממד האוסדורף-בסיקוביץ'. לעיתים רחוקות יותר הוא קרוי "ממד פרקטלי".
רקע - ממד "נאיבי" וממד טופולוגי.
באופן אינטואיטיבי, ממד של קבוצה (למשל תת-קבוצה של המרחב האוקלידי) מציין את מספר הפרמטרים הבלתי תלויים הנחוצים לציון מקומה של נקודה במרחב זה. מושג מתמטי שמייצג בקירוב גישה נאיבית זו הוא הממד הטופולוגי של הקבוצה. נקודה במישור, למשל, מתוארת באמצעות שני פרמטרים בלתי תלויים (הקואורדינטות הקרטזיות שלה), ולכן, במשמעות זו, המישור הוא דו-ממדי. כפי שניתן לצפות, ממד טופולוגי הוא תמיד מספר טבעי.
ממד טופולוגי מתנהג בדרכים לא צפויות כאשר מדובר בקבוצות מורכבות במיוחד, כגון פרקטלים. לקבוצת קנטור, למשל, יש ממד טופולוגי 0, אך מבחינה מסוימת היא מתנהגת כבעלת ממד גבוה יותר. ממד האוסדורף מאפשר להתמודד גם עם קבוצות כאלה.
ממד האוסדורף.
כדי להגדיר את ממד האוסדורף לקבוצה X, נתחשב תחילה במספר הכדורים, formula_1, שרדיוסם אינו גדול מ-r, הנחוץ כדי לכסות את X לחלוטין. מובן שככל ש-r נעשה קטן יותר, (N(r גדל. באופן כללי, אם (N(r פרופורציונלי ל-formula_2 כאשר r שואף ל-0, אנו אומרים שלקבוצה X יש ממד d. למעשה, הגדרה פורמלית של ממד האוסדורף נעשית באופן עקיף. מתברר שממד האוסדורף מחדד את מושג הממד הטופולוגי, ומקשר אותו לתכונות נוספות של המרחב, כגון שטח ונפח.
הגדרה פורמלית.
ניתן להגדיר את ממד האוסדורף במספר דרכים. להלן הגדרה באמצעות מידת האוסדורף.
יהי formula_3 מרחב מטרי כלשהו.
עבור תת-קבוצה formula_4 נגדיר את הקוטר של formula_5 כך:
יהי formula_7, תהי formula_8 תת-קבוצה כלשהי ויהי formula_9 כיסוי בן-מניה של formula_10, כלומר formula_11
נאמר ש-formula_12 הוא formula_13-כיסוי של formula_14 אם לכל formula_15 מתקיים :formula_16
יהי formula_17. לכל formula_8 ולכל formula_7 נגדיר
נשים-לב ש-formula_21 מונוטונית עולה ככל ש-formula_13 קטנה (כי אז יש פחות כיסויים מותרים) לפיכך הגבול formula_23 קיים.
נגדיר את מידת האוסדורף החיצונית ה-d ממדית של S כך:
וכעת נגדיר את ממד האוסדורף של S להיות:
כאשר formula_26
כלומר ממד האוסדורף של הקבוצה S הוא החסם התחתון של כל ה-d-ים עבורם מידת האוסדורף החיצונית ה-d ממדית של S היא אפס.
ממד פרקטלי.
ממד האוסדורף לרוב קשה מאוד לחישוב. עבור פרקטלים מסוימים ממד האוסדורף מתלכד עם הממד הפרקטלי. את הממד הפרקטלי קל יותר לחשב ולכן הוא שימושי יותר. נוסחת הממד הפרקטלי פועלת על פרקטל בעל תכונת הדמיון העצמי, שבה הפרקטל מורכב ממספר העתקים מוקטנים של עצמו. כלומר, אם נתמקד בחלק קטן של הפרקטל ונגדיל אותו בסקאלה המתאימה נקבל שוב את הפרקטל השלם.
הגדרה זו של הממד נותנת אינטואיציה חדשה לגבי מושג הממד.
הגדרה.
הממד הפרקטלי של S מוגדר להיות:
formula_31
כאשר:
דוגמאות.
מהו הממד של ריבוע? כאשר מחלקים ריבוע להרבה ריבועים קטנים, אם אורך הצלע של הריבוע הקטן הוא formula_32 מאורך הצלע המקורית, אזי בריבוע הגדול יכנסו formula_33 ריבועים קטנים. לכן:
גורם הכיווץ הוא formula_34, מספר העותקים הוא formula_35 והממד הפרקטלי הוא:
formula_36
formula_37
נשים לב שזו בדיוק התוצאה שהיינו מצפים לה מההגדרה המוכרת של ממד.
קבוצת קנטור היא קבוצה המתקבלת בתהליך איטרטיבי של חלוקת קטע ל 3 והסרת הקטע האמצעי, תהליך זה חוזר על עצמו לאורך כל תת-קטע וכך מתקבל פרקטל המוכל בקטע [0,1] בישר הממשי. מהו הממד של קבוצת קנטור?
כלומר, לקבוצת קנטור יש ממד לא שלם שגדול מאפס אך קטן מאחד.
מלבורן
מלבורן (באנגלית: Melbourne; מבוטא "מלבן" - Melb'n) היא בירת מדינת ויקטוריה והעיר השנייה בגודלה באוסטרליה (אחרי סידני).
אוכלוסיית מלבורן מונה כ-4.4 מיליון תושבים (2014) בשטח המטרופולין של מלבורן ו-71,380 בסיטי של מלבורן (City of Melbourne). מלבורן הייתה בירת אוסטרליה בין השנים 1901 עד 1927.
היסטוריה.
השטח של נהר היארה ופורט פיליפ אשר כיום נקראת מלבורן, יושב ב-1835 על ידי בריטים שהגיעו מטסמניה.
בשנת 1836, הכריז המושל בורק על העיר כבירה המנהלית של מחוז פורט פיליפ בניו סאות' ויילס, וקבע את התוכנית הראשונה של העיר - שנקראה "הודל גריד" בשנת 1837.
המושבה נקראה מלבורן באותה שנה על שם ראש הממשלה הבריטי ויליאם לם אשר נשא בתואר האצולה ויקונט מלבורן השני. מלבורן הוכרזה כעיר על ידי המלכה ויקטוריה ב-25 ביוני 1847. ובשנת 1851 הוקמה המושבה ויקטוריה כמושבה נפרדת, כשמלבורן בירתה.
בעקבות גילוי זהב בוויקטוריה ב-1850, גדלה מלבורן באופן מהיר, והפכה למרכז תעשייה ושירותים וכן כנמל המרכזי של האזור. בעיר נפתחו מספר בנקים וכן הבורסה האוסטרלית הראשונה (נוסדה בשנת 1861).
בשנת 1880 נחשבה מלבורן לאחת הערים הגדולות באימפריה הבריטית. תקופה זו אופיינה בבנייה של בניינים גבוהים בסגנון ויקטוריאני, בתי קפה, שדרות רחבות וגנים לאורכה של העיר.
בשנת 1956 התקיימו בעיר משחקי הקיץ האולימפיים.
גאוגרפיה.
מלבורן ממוקמת בקצה הדרום-מזרחי של יבשת אוסטרליה. פרברי העיר פרוסים לאורך עמק היארה בין רכסי היארה והדנדנדונג במזרח, למורדות חצי האי מורנינגטון והמפרץ הדרום-מזרחי, ולאורך נהר המריביירונג ופלגיו. בצפונה משתרעת העיר עד למרגלות רכסי מייסדון.
מלבורן היא עיר בירה אוסטרלית טיפוסית אשר נבנתה על פי המושג היסודי של "רבע אקר בית וגינה" לכל משפחה (שלעיתים נקרא גם החלום האוסטרלי). רוב מטרופולין מלבורן מאופיין בפריסה בעלת צפיפות דיור נמוכה. שירותי רכבות וחשמליות בשנים המוקדמות של פיתוח העיר עודדו פיתוח בעל צפיפות נמוכה, בעיקר לאורך קווי התחבורה.
מלבורן נחשבת לעיתים כעיר גנים, ומדינת ויקטוריה נקראת "מדינת הגן".
בעיר שפע של פארקים וגנים, רבים קרובים אל אזור העסקים המרכזי, וגדלים בהם מגוון של זני צמחים - בהם נדירים.
אקלים.
האקלים במלבורן ידוע בשינויים הקיצוניים שבו, זאת בגלל הטופוגרפיה השטוחה של העיר.
מלבורן קרה יותר מרוב הערים הגדולות באוסטרליה בחורף, המתמשך מאמצע יוני ועד אמצע ספטמבר. מזג האוויר בחורף הפכפך אך אינו קיצוני. גשם יורד בכל העונות אך בעיקר בחורף. היום הקר ביותר שנמדד בה היה ב-4 ביולי 1901, בו נמדדה טמפרטורה של 4.4 מעלות צלזיוס. שלג בה נדיר.
מלבורן ידועה בקייצים החמים והיבשים שלה, עם טמפרטורות של מעל 40 מעלות צלזיוס. היום החם ביותר שנמדד בה היה ב-7 בפברואר 2009, בו נמדדה טמפרטורה של 46.4 מעלות צלזיוס.
אוכלוסייה.
מלבורן היא עיר מגוונת ורב תרבותית. כמעט רבע מאוכלוסיית מדינת ויקטוריה נולדה מחוץ לאוסטרליה, והעיר מהווה בית לתושבים שהיגרו לאוסטרליה מ-233 ארצות, המדברים יותר מ-180 שפות וניבים ובעלי 116 אמונות דתיות.
מלבורן הפכה לעיר גדולה במהלך הבהלה לזהב בשנת 1850 כאשר תוך מספר חודשים גדלה האוכלוסייה מ-25,000 ל-40,000 תושבים. גם לאחר תום הבהלה לזהב נמשך הגידול באוכלוסיית העיר, ובשנת 1865 החליפה מלבורן את סידני כעיר הצפופה ביותר באוסטרליה, ונותרה הצפופה ביותר עד לשנת 1900. בשנת 1902 חזרה סידני להיות המרכז העירוני הגדול ביותר באוסטרליה.
בדומה לשאר היבשת, התושבים הראשונים של האזור, שמאוחר יותר הפך למלבורן, היו אבוריג'ינים משבטי הבונורונג, הוורונדג'רי והוות'אורונג. אוכלוסיית האבוריג'ינים במחוז ויקטוריה כיום היא כ-27,500, (מתוך 450,000 נפש באוסטרליה כולה).
כבכל אוסטרליה, המתיישבים האירופאים הראשונים במלבורן היו בריטים ואיריים. שתי קבוצות אלו נחשבו לעיקר המהגרים עד לתקופה שלפני הבהלה לזהב, והיוו את אחוז המהגרים הגבוה בעיר עד מלחמת העולם השנייה. ויקטוריה – ומלבורן במיוחד – משכו יחס גדול יותר של איריים מאשר קולוניות אוסטרליות אחרות. בנוסף הגיעו אל העיר מספר גדול של סינים, גרמנים ואזרחים אמריקאים בעקבות הבהלה לזהב.
במחצית הראשונה של המאה ה-20, לצד המהגרים הבריטים והאיריים, מלבורן החלה לקבל זרם קבוע של מהגרים איטלקים ויוונים.
העיר קיבלה זרם מהגרים גדול בעקבות מלחמת העולם השנייה - בייחוד מיוון ואיטליה, אבל גם מקפריסין וטורקיה. על פי מרשם האוכלוסין שנערך ב-2001, התגוררו בעיר 151,785 מהגרים יוונים (המהווים כ-40% מכל המהגרים היוונים באוסטרליה).
השכלה.
מלבורן היא ביתם של כמה ממוסדות ההשכלה הוותיקים באוסטרליה, ובין השאר בתי הספר הוותיקים ביותר למשפטים (1857), הנדסה (1860), רפואה (1862), רפואת שיניים (1897) ומוזיקה (1891), באוניברסיטת מלבורן. אוניברסיטת מלבורן היא גם האוניברסיטה הראשונה שהוקמה במדינת ויקטוריה והשנייה שהוקמה באוסטרליה. בית ספר יסודי סט. מאריז, ויליאמסטון, הוא בית הספר הראשון שהוקם בוויקטוריה וסקוטצ' קולג' (1851) הוא בית ספר התיכון הראשון.
שני מוסדות ההשכלה הגבוהה היוקרתיים ביותר של מלבורן הן אוניברסיטת מלבורן ואוניברסיטת מונש (Monash University).