בהינתן מודולוס "z"0 לכל האיברים של אותה מחלקת שאריות יש אותה שארית בעבור חילוק אוקלידי ב-"z"0, ולכן גם שני איברים באותה מחלקת שקילות הם קונגרואנטיים מודולו "z"0. משום כך, ניתן לבנות סריג במישור המרוכב (ראו איור משמאל), אשר וקטור אחד בתא היסודי שלו הוא הווקטור המחבר את הראשית עם "z"0, והווקטור היוצר השני של התא היסודי ניצב לו ובאותו אורך (דהיינו סריג ריבועי). ההיגיון מאחורי הבנייה הזאת הוא שכפל של "z"0 בשלם ממשי מתורגם לתנועה בוקטור שבכיוון "z"0 ובקפיצות של אורך הווקטור, בעוד שכפל בשלם מדומה טהור יתורגם למעשה לתנועה בכיוון ניצב לו וגם כן בקפיצות של אורך הווקטור. לפי אותו ההיגיון מספר מחלקות השקילות שווה למספר נקודות הסריג בתא יחידה של הסריג, דהיינו הנורמה "N"("z"0) = "a"2 + "b"2.
רקע היסטורי.
חוג השלמים של גאוס הוצג על ידי קרל פרידריך גאוס במאמרו השני על הדדיות ממעלה רביעית (1832). משפט ההדדיות הריבועית (אשר הוא הצליח להוכיח אותו לראשונה ב-1796) מקשר בין הפתירות של הקונגרואנציה ("x"2 ≡ "q" (mod "p" לזו של הקונגרואנציה ("x"2 ≡ "p" (mod "q". בדומה לכך, הדדיות ממעלה שלישית מקשרת בין הפתירות של ("x"3 ≡ "q" (mod "p" לזו של ("x"3 ≡ "p" (mod "q", והדדיות דו-ריבועית (ממעלה רביעית) מספקת קשר בין ("x"4 ≡ "q" (mod "p" ל-("x"4 ≡ "p" (mod "q". גאוס גילה שחוק ההדדיות הדו-ריבועית והמשפטים המשלימים שלו מנוסחים בצורה בהירה יותר כטענות על "מספרים שלמים מרוכבים" (השלמים הגאוסיים) מאשר כטענות על שלמים רגילים.
בהערת שוליים למאמרו הוא מדגיש שהשלמים של אייזנשטיין הם התחום הטבעי לניסוח והוכחת תוצאות על הדדיות ממעלה שלישית, ומציין שהכללות דומות של השלמים הם התחומים המתאימים לחקר חוקי הדדיות גבוהים יותר.
המאמר הזה לא רק הציג את השלמים הגאוסיים והוכיח שהם תחום פריקות יחידה, אלא שהוא גם טבע כמה מונחים שנחשבים סטנדרטיים כיום בתורת המספרים האלגברית.
בעיות פתוחות.
מרבית הבעיות הפתוחות על חוג זה קשורות להתפלגות של הראשוניים של גאוס במישור:
הספרייה הלאומית
הספרייה הלאומית של ישראל (בעבר "בית הספרים הלאומי והאוניברסיטאי") היא הגוף הלאומי מטעם מדינת ישראל המופקד על שמירת האוצרות המודפסים של מדינת ישראל ושל תרבות העם היהודי. הספרייה שוכנת בירושלים, ורשומים בה מעל לחמישה מיליון פריטי דפוס וארכיון. הספרייה שוקדת על שמירת עותקים מכל ספר המודפס באופן מסחרי במדינת ישראל. בנוסף, היא אוספת יצירות הקשורות למדינת ישראל, ליהדות ולמזרח התיכון, ובהן ספרים, כתבי עת, מפות, כתבי יד, יצירות אודיו וחומרי אפמרה.
ניהול הספרייה, שנוסדה ב-1892 על ידי ארגון בני ברית, היה נתון שנים רבות בידי האוניברסיטה העברית כנאמן, ולא בידי גוף ציבורי לאומי. בעקבות קבלת "חוק הספרייה הלאומית", הוגדרה הספרייה באופן רשמי כ"ספרייה לאומית" (עד קבלת החוק היא הייתה ספרייה לאומית רק דה פקטו). ב-23 ביולי 2008 שינתה הספרייה הלאומית את מעמדה לחברה לתועלת הציבור. בשלב ראשון הייתה חברה-בת של האוניברסיטה העברית והחל מ-1 בינואר 2011 היא נמצאת בבעלות משותפת של מדינת ישראל והאוניברסיטה העברית.
ייעודה ותפקידה.
הספרייה הלאומית אוספת כל מידע כתוב שיצא לאור בישראל וספרים נוספים שהספרייה רוכשת או מקבלת מתרומות. על פי "חוק הספרים" (ה'תשס"א - 2000) חייב כל מי שמוציא ספר, כתב עת, עבודה מחקרית, תקליט, סרט או כל פרסום אחר בחמישים עותקים ומעלה, לשלוח שני עותקים לספרייה הלאומית. חובה חוקית זו הייתה בעיקרה בתוקף ע"פ פקודת העיתונות כבר בתקופת המנדט הבריטי.
יעודה העיקרי של הספרייה הלאומית הוא איסוף, שימור, טיפוח והנחלה של אוצרות ידע, מורשת ותרבות בכלל, ובמיוחד כאלו שיש להם זיקה לעם ישראל, ארץ ישראל ומדינת ישראל. לייעוד זה שלושה מרכיבים:
תפקידי הספרייה הלאומית לפי החוק כוללים:
לספרייה הלאומית הוענקו ב"חוק הספרייה הלאומית" מספר זכויות שימור הגוברים על כללי זכויות היוצרים הרגילים של המחברים:
חזון ורקע היסטורי.
קריאות להקמת ספרייה לאומית בירושלים.
קולות הקוראים להקמתה של ספרייה לאומית יהודית נשמעו לראשונה ב-1872, אז פרסם בכתב-העת חבצלת הרב יהושע העשיל לוין מווילנה קול קורא להקמת ספרייה שמטרתה "לאסוף שמה כל ספרי עמנו, אחת מהנה לא נעדרה". אם כי האופי של הספרייה אותו ביקש להקים היה דתי, ובהערה לקול הקורא מובהר כי הספרייה תעמוד "תחת השגחת הרבנים הצדיקים [...] לבל יבואו שמה חלילה ספרים מאלה אשר לבבם פונה היום להטות עקלקלות [...]".
את קול הקורא חתם עורך החבצלת בהצטרפות לקריאה, וכי "כבר העיר על זה אחד מסופרינו הכי נכבדים בגליונות הקודמים". ובגיליון שלאחר מכן, בעמוד הראשון, התפרסמה הודעתו של הראשון לציון, רבה של ארץ ישראל באותה התקופה, אברהם אשכנזי, אשר גיבה את היוזמה, והתנדב לשמש כמשגיח על "הבית הרם הזה לבל יבוא בו ספרי המטים עקלקלותם [...]".
בית אוסף ספרים אשר למונטיפיורי.
בירושלים פעלה באותה העת חברת "תפארת ירושלים", אגודה יהודית ירושלמית שעסקה בעזרה הדדית, ושמה לה למטרה בין היתר להפיץ תרבות והשכלה בקרב תושבי ירושלים היהודים. החברה נוסדה בשנת 1873 על ידי ישראל דוב פרומקין עורך החבצלת, אברהם משה לונץ, חיים פרס, אברהם זוסמן ומיכל הכהן, ובי"ד בטבת תרל"ה (1875), פתחה החברה את שעריו של "בית אוסף ספרים אשר למונטיפיורי". בפתיחת הספרייה צוין ה"קול הקורא" של יהושע לוין שקרא לראשונה לפתיחת ספרייה לאומית בירושלים, וצוינה תמיכתו של הרב הראשי של ארץ ישראל - אברהם אשכנזי.
ספרייה זו הייתה למעשה "ספריית חברים", מעין ספרייה ציבורית. והיא עסקה גם בפעולות תרבות, כך הוטל על חבריה למשל להתכנס כל יום לשיעור לימוד בתלמוד, תנ"ך ודקדוק בבית הספרייה. עדכונים בנוגע לספרייה התפרסמו בקביעות בעיתון החבצלת, אשר עורכו היה בין מקימיה. הספרייה, שהחזיקה לא רק ספרות תורנית אלא גם ספרות לא תורנית, כמו את ספריו של יוסף בן מתתיהו ואת ספרי הרמח"ל שהיו שנויים במחלוקת בקרב בני היישוב הישן, היוותה סלע מחלוקת עז בפולמוס ההשכלה שנסוב בירושלים של היישוב הישן, בעקבות המחלוקת הוטל איסור באייר תרל"ה על ידי בית הדין הרבני לבקר בספרייה, ואף להימצא בחברתם של מייסדי הספרייה. איסור זה ידוע בשם גחלי אש. בין הרבנים החתומים האיסור: רבי שמואל סלנט, הרב נפתלי הרץ הוטנער, הרב מאיר אוירבך ואחרים. האיסור חודש פעמיים: בי"ז בתמוז ה'תרס"ד (30 ביוני 1904) ובכ"ז בניסן ה'תרפ"ז (29 באפריל 1927). איסור זה נודע מאוחר יותר כחרם על הספרייה הלאומית אף על פי שלא נקרא כך על ידי מפרסמיו. ולאחר פחות משנתיים נסגרה הספרייה.
ניסיון משמעותי נוסף נעשה בראשותו של אליעזר בן-יהודה, שהקים ב-1884 את "בית אוצר ספרי ישראל" (ולאחר מכן - "בית הספרים לבני ישראל"), שהתקיים למשך עשור עד שמוזג לתוך "מדרש אברבנאל", גם ספרייה זו לא נחלה הצלחה מרובה וסבלה ממחסור כספי ומזיקי הפולמוס שעדיין שרר בירושלים. בשנת 1894, הועבר אוסף הספרייה, שכלל 1,031 ספרים ל"מדרש אברבנאל".
בית הספרים מדרש אברבנאל.
הספרייה נוסדה ב-15 ביולי 1892 בירושלים על ידי לשכת ירושלים של ארגון בני ברית שקרא את שמה, לפי הצעתו של מרדכי אדלמן "בית הספרים מדרש אברבנאל", על שם יצחק אברבנאל, מגדולי היהודים שגורשו מספרד, בדיוק 400 שנה קודם לכן בין יוזמי הספרייה נמנו ד"ר זאב וילהלם הרצברג, אפרים כהן-רייס, ר' חיים הירשנזון, ר' אברהם משה לונץ, דוד ילין, יוסף מיוחס וזאב יעבץ. "לספרן מנו את מר אהרן כהן, ששמש בכהונה זו לבדו עד שנת תר"פ".
בשנת ה'תרנ"ג, עם עלייתו לירושלים, התמנה יחיאל מיכל פינס לחבר בהנהלת הספרייה עד לפטירתו ב-1913. פינס היה פעיל במיוחד מבחינה רוחנית-ספרותית כשאפרים כהן היה פעיל מבחינה ארגונית-כספית.
פינס סבר שהספרייה מיועדת לספרים "ברוח העם ותורתו", ובכלל זה ספרים תורניים וספרי היסטוריה, לשון ומדע, אך אין בה מקום לספרות יפה. מדיניות זאת הביאה עליו ביקורת מצד אליעזר בן יהודה, יעקב רבינוביץ ואחרים אשר דרשו להוציא את הספרייה מידי ארגון בני ברית. ביזמתו של ילין, החלו להיערך הרצאות מזדמנות ושיעורים קבועים לציבור הרחב באולם הקריאה של הספרייה; בין השיעורים שניתנו בשבתות היה שיעור של פינס בספר הכוזרי ושיעור של דוד ילין על תולדות שירת ספרד.
בתחילת ימיה של הספרייה, שכנו כל הספרים בשני ארונות קטנים בביתו של לואיס אונגר, אולם עם גידולה של הספרייה, בשנת 1894, נשכר עבור הספרייה מבנה קטן ליד שכונת אבן ישראל, שם התאפשרה גם פתיחתו של אולם קריאה. באותה השנה, ביזמתו של יהושע סירקין, הוחלט רשמית על יסודה של ספרייה לאומית, על בסיס מדרש אברבנאל שהייתה רק ספרייה ירושלמית. בעקבות זאת, אף אוחדה ספרייתו של בן-יהודה לתוך מדרש אברבנאל, ויצא קול קורא למשלוח ספרים וכסף.