מודול שמאלי "formula_3" הוא חליק אם לכל סקלר "formula_49" בחוג ולכל וקטור "formula_50", התכונה formula_51 שקולה ל-formula_52. כל מודול אינג'קטיבי "formula_3" הוא חליק. מעל מחלקות מסוימות של חוגים, כגון מעל תחומי שלמות או באופן כללי יותר מעל כל תת-חוג של חוג עם חילוק, כל מודול חסר פיתול חליק הוא אינג'קטיבי. מעל תחום אידיאלים שמאליים ראשי (PLID), כל מודול חליק הוא אינג'קטיבי.
הסגור האינג'קטיבי.
כל מודול מעל חוג "formula_2" ניתן לשיכון במכפלה ישרה של עותקים של המודול האינג'קטיבי formula_55.
התכונות הבאות שקולות עבור מודול "formula_3" המוכל במודול "formula_57":
סגור אינג'קטיבי (injective hull) של "formula_3" הוא מודול "formula_57" המקיים את התכונות לעיל. לכל מודול יש סגור אינג'קטיבי יחיד. לדוגמה, הסגור האינג'קטיבי של השלמים (כמודול מעל עצמם) הוא מודול המספרים הרציונליים. הסגור האינג'קטיבי של חוג המטריצות 2x2 המשולשיות-עליונות מעל חוג עם חילוק "formula_68", הוא חוג כל המטריצות בגודל זה מעל החוג. הסגור האינג'קטיבי של "formula_69", כאשר "formula_2" חוג דדקינד ו-"formula_39" ראשוני, הוא המודול formula_72 שהוגדר לעיל.
אפיון תכונות של חוגים באמצעות מודולים אינג'קטיביים.
כל המודולים מעל "formula_2" אינג'קטיביים אם ורק אם "formula_2" חוג פשוט למחצה ארטיני (כלומר, סכום ישר סופי של מטריצות מעל חוגי חילוק); לשם כך מספיק שכל המודולים הציקליים מעל "formula_2" יהיו אינג'קטיביים (Osofsky).
סכום ישר סופי של מודולים אינג'קטיביים הוא אינג'קטיבי, אבל טענה זו אינה נכונה לסכום ישר כלשהו. תכונה זו מתקיימת (למודולים שמאליים) אם ורק אם החוג נתרי (שמאלי). בדומה לזה, כל מודול אינג'קטיבי מתפרק לסכום ישר של מודולים אי-פריקים אם ורק אם החוג נתרי. כל מודול אינג'קטיבי מתפרק לסכום ישר של סגורים אינג'קטיביים של מודולים פשוטים, אם ורק אם החוג ארטיני.
באופן כללי תמונה הומומורפית של מודול אינג'קטיבי אינה בהכרח אינג'קטיבית. תכונה זו מתקיימת אם ורק אם החוג תורשתי. לכל מודול יש תת-מודול אינג'קטיבי גדול ביותר, אם ורק אם החוג תורשתי ונתרי.
חוג נקרא אינג'קטיבי לעצמו (self injective) אם הוא אינג'קטיבי כמודול מעל עצמו. כל מודול אינג'קטיבי הוא פרויקטיבי, אם ורק אם כל מודול פרויקטיבי הוא אינג'קטיבי, אם ורק אם החוג אינג'קטיבי לעצמו מימין ומשמאל וארטיני (חוג כזה נקרא חוג קוואזי-פרובניוס).
חוג "formula_2" נקרא לא-סינגולרי (שמאלי) אם לכל איבר שונה מאפס "formula_77" יש איבר שונה מאפס "formula_78", כך שאם "formula_79" אז "formula_80". כל חוג כזה משוכן בחוג רגולרי פון-נוימן (החוג formula_81 כאשר formula_1 הסגור האינג'קטיבי של "formula_2" כמודול מעל עצמו). חוג לא-סינגולרי שהוא אינג'קטיבי לעצמו (שמאלי) הוא בעצמו רגולרי פון-נוימן.
כאשר "formula_2" חוג קומוטטיבי, כל המודולים הפשוטים שלו אינג'קטיביים אם ורק אם הוא רגולרי פון-נוימן.
גרסאות חלשות של אינג'קטיביות.
מודול formula_1 הוא קוואזי-אינג'קטיבי, אם לכל תת-מודול שלו, formula_4, כל הומומורפיזם מ-formula_4 ל-formula_1 ניתן להרחבה כך שיהיה מוגדר על כל formula_1. כל מודול אינג'קטיבי הוא קוואזי-אינג'קטיבי, אבל ההפך אינו נכון (החבורה הציקלית מסדר 4 קוואזי-אינג'קטיבית אבל לא אינג'קטיבית). כל מודול פשוט-למחצה הוא קוואזי-אינג'קטיבי. מודול הוא "formula_3" קוואזי-אינג'קטיבי אם ורק אם הוא אינווריאנטי לחלוטין בסגור האינג'קטיבי שלו (כלומר, כל אנדומורפיזם של הסגור האינג'קטיבי נושא את "formula_3" לעצמו). אם formula_92 קוואזי-אינג'קטיבי אז גם המחוברים formula_93 כאלה (אבל ההפך אינו בהכרח נכון). למודולים קוואזי-אינג'קטיביים יש חוג אנדומורפיזמים מעניין: רדיקל ג'ייקובסון שלו כולל את האנדומורפיזמים שהגרעין שלהם עיקרי, וחוג המנה ביחס אליו הוא רגולרי, אינג'קטיבי לעצמו, ואפשר להרים ממנו מערכות בנות-מניה של אידמפוטנטים אורתוגונליים בחזרה אל חוג האנדומורפיזמים. למודול קוואזי-אינג'קטיבי אי-פריק יש חוג אנדומורפיזמים מקומי יוניפורמי (היינו כל שני אידיאלים שמאליים שונים מאפס - נחתכים). חוג האנדומורפיזמים של מודול קוואזי-אינג'קטיבי ולא-סינגולרי הוא רגולרי ואינג'קטיבי לעצמו.
מודול הוא skew-injective אם כל אנדומורפיזם של תת-מודול שלו, ניתן להרחבה לאנדומורפיזם של המודול כולו. כל מודול קוואזי-איג'קטיבי הוא skew-injective, וההפך נכון עבור מודולים ארטיניים למחצה (מודול הוא ארטיני למחצה אם לכל מנה לא טריוויאלית שלו יש תת-מודול עיקרי שהוא פשוט למחצה).
תכונה חלשה עוד יותר נקראת formula_94-אינג'קטיביות. מודול הוא formula_94-אינג'קטיבי אם כל אנדומורפיזם אידמפוטנטי של תת-מודול שלו, ניתן להרחבה לאנדומורפיזם של המודול כולו. בחבורות אבליות, תכונה זו שקולה ל-skew-injectiveness. מודול הוא יוניפורמי (כל שני תת-מודולים שונים מאפס - נחתכים) אם ורק אם הוא אי-פריק ו-formula_94-אינג'קטיבי. מעל חוג נתרי, כל מודול formula_94-אינג'קטיבי הוא סכום ישר של מודולים יוניפורמיים. אם כל מודול מעל "formula_2" הנוצר על ידי שני איברים הוא formula_94-אינג'קטיבי, אז "formula_2" פשוט למחצה ארטיני. אם כל מודול ציקלי מעל "formula_2" הוא formula_94-אינג'קטיבי, אז "formula_2" הוא מכפלה ישרה של חוג פשוט למחצה ארטיני, וחוג יוניפורמי.
צבי מרקוביץ
הרב צבי מרקוביץ (ה'תרע"ח, 1917 - נובמבר 2006) היה רב ברמת גן, ראש ישיבת קרלין סטולין בירושלים וחבר מועצת גדולי התורה של דגל התורה.
ביוגרפיה.
נולד בה'תרע"ח (1917) לרב שמואל ולאסתר מרקוביץ. אביו היה חתנו של רבי יוסף יצחק רבינוביץ, מחבר הספר "ברכת יצחק" ורב העיירה טורעץ בליטא (בבלארוס המודרנית). בזמן מלחמת העולם הראשונה שהו אביו ואמו בברדיאנסק, שלחוף הים השחור, שם שימש אביו כרב המקום. לאחר המלחמה חזרו לטורעץ שהשתייכה בין המלחמות לליטא הפולנית. אביו, אשר מילא את מקום חותנו שנפטר בשנת תרע"ט, היה רבה האחרון של העיירה.
בצעירותו למד בישיבת גרודנה והיה תלמידו המובהק של ראש הישיבה, הרב שמעון שקופ. בשנת 1938, ערב מלחמת העולם השנייה קיבל צו גיוס ועל כן עלה לארץ ישראל, והחל בשנת תרצ"ט ללמוד בישיבת לומז'ה בפתח תקווה. על חורבן יהדות אירופה אמר הרב: "מה שעבר עלינו בתקופת השואה פוגע ביסודי השקפות עולם שלנו. מזעזעז ערכים מקודשים וקניינים רוחניים שנראו כמוצקים". בתחילת שנות הארבעים נישא לרבקה (נפטרה בכ' בסיון תשע"ז), בתו של הרב שבתי יגל. לאחר חתונתו, החל משנת תש"ד, שימש הרב מרקוביץ כר"מ בישיבת סלונים שהקים חותנו ברמת גן וכרב שכונה בעיר. בשנת תש"ג נסמך לרבנות, בשנת תשט"ו נבחר לחבר הרבנות בעיר.
בין השנים תש"ח–תשט"ז שימש יושב ראש המועצה הדתית ברמת גן וחבר מועצת העירייה.
בשנת תשכ"ב (1962) נפטר הרב לנדרס ששימש כרב האשכנזי של רמת גן, ותקופה קצרה אחר כך נבחר הרב הספרדי של העיר, הרב אליהו פרדס, לרבה של ירושלים. מתקופה זו ואילך שימשו הרב צבי מרקוביץ והרב מנחם יהודה הלוי אושפיזאי כרבני העיר בפועל (בחירות רשמיות לרבנות העיר התקיימו רק ב-1990 לאחר פרישתו של הרב אושפיזאי מהתפקיד).
ב-1985 עבר להתגורר בירושלים ושימש כראש הישיבה של חסידות קרלין בעיר במשך כעשרים שנה, זאת למרות שיוכו לציבור הליטאי. ב-1988, עם הקמת מועצת גדולי התורה של תנועת דגל התורה על ידי הרב שך, מונה להיות חבר במועצה.
נפטר בכ״ג בחשוון תשס"ז (2006) בגיל 89, ונטמן בהר המנוחות בירושלים.
כתביו.
ספרו "בנתיבות האמונה" עוסק בביאור פרקי אמונה ומושגי יהדות אקטואליים. הספר יצא לאור לראשונה בשנת תש"ט מתוך מטרה להסביר גם ל"רחוקים" פרקי אמונה ומושגי יהדות, לשאוב ממקורות מוסמכים ולהסבירם לציבור העברי בשפה המדוברת. חלקו הראשון של הספר היה לנגד עיניו של החזון איש וזכה להסכמתו.
במשך השנים הודפס הספר במהדורות נוספות. המהדורה השנייה הודפסה בסיוון תשכ"ז (1967), מיד לאחר מלחמת ששת הימים, ובראשה פתיחה המתייחסת לשעה המיוחדת: . בהמשך מציין המחבר כי לאותה עת ראה צורך "לתת את הדעת על חיזוק האמונה וביצור יסודי היהדות בתוכנו", על מנת לשמר את ה"רוח הרוממת הפוקדת את האומה".
בספר ארבעה חלקים בהם דן המחבר ב"דרך אל האמונה", במשמעות התורה ומצוותיה בדורנו ובהתמודדות אמונית עם מאורעות השואה. הרב מרקוביץ עצמו איבד בשואה מכרים ובני משפחה בהם אביו ואמו, שני אחיו ואחותו. בחלקו האחרון של הספר מובאים מספר פרקים העוסקים בביקורת על תופעות שליליות אותן זיהה המחבר בחיים הציבוריים בזמנו. בחתימת הספר קורא המחבר ל"יהדות התורה" לשים לב ל"גודל השעה" ולכונן "תנועה רוחנית כבירה - תנועת התשובה".
מאמריו התורניים וההלכתיים של הרב מרקוביץ התפרסמו בכתבי עת תורניים שונים.
ג'ונתן דוס סאנטוס
ג'ונתן דוס סאנטוס רמירס (בספרדית: Jonathan dos Santos Ramírez; נולד ב-26 באפריל 1990 במונטריי) הוא כדורגלן מקסיקני-ספרדי ממוצא ברזילאי המשחק בעמדת הקשר בלוס אנג'לס גלאקסי ובנבחרת מקסיקו.
קריירה.