המשחק משוחק על פני לוח משובץ אינסופי (השורות והטורים נמשכים ללא גבול לארבעת הכיוונים) שקו שנמתח לרוחבו מחלק אותו לשניים. במשבצות כלשהן מתחת לקו ממוקמים כלי משחק ("חיילי קונוויי"). תנועת כלי המשחק נעשית באופן זהה לתנועת הכלים במשחק מחשבת: כלי משחק רשאי "לקפוץ" מעל כלי אחר שנמצא במשבצת סמוכה לו במאונך או במאוזן (אך לא באלכסון) ונוחת במשבצת הסמוכה לכלי השני מעברו האחר (משבצת זו חייבת להיות ריקה כדי שהמהלך יהיה חוקי). בתום התנועה מסירים מהלוח את הכלי מעליו בוצעה הקפיצה. מטרת המשחק היא להביא כלי כמה שיותר גבוה מעל הקו.
קונוויי הוכיח כי לא משנה באיזה סידור התחלתי של הכלים נבחר, לא ניתן להגיע למשבצת החמישית או יותר מעל לקו במספר סופי של צעדים.
הוכחת קונוויי.
ניתוח קומבינטורי של מצבי ההתחלה השונים הוא אתגר מסובך ומתיש. כדי להראות שיש מצבים שלא ניתן להגיע אליהם, הצמיד קונווי לכל סידור אפשרי של החיילים על הלוח ערך, השווה לסכום הערכים של כל המשבצות שיש בהן חיילים. הערך של כל משבצת הוא מספר חיובי, הנקבע באופן כזה שצעד חוקי יכול להוריד את הערך, אבל לא להעלות אותו. מתברר בנוסף שהערך של חייל בודד בשורה החמישית שווה לערך של צבא חיילים אינסופי המכסה את כל המחצית התחתונה של הלוח. מכאן שערך החייל בשורה החמישית גדול מזה של כל קבוצה סופית של חיילים במחצית התחתונה, ולכן לא ניתן להגיע מסידור של חיילים במחצית התחתונה, במספר סופי של צעדים, אל השורה החמישית.
משקל.
נבחר משבצת יעד. נגדיר את ה"משקל" של משבצת בלוח להיות formula_1 כאשר formula_2 הוא ההופכי של יחס הזהב formula_3, ו-n הוא המרחק של המשבצת ממשבצת היעד (מספר המשבצות המינימלי במאונך ובמאוזן שיש לעבור כדי להגיע מהמשבצת למשבצת היעד, בדומה למטריקת מנהטן). בהתאם להגדרה זו, המשקל של משבצת היעד עצמה הוא formula_4. מהגדרתו של formula_5 נובע: formula_6 (למעשה בחרנו את formula_5 כך שיקיים זהות זו). נבחין כי מהזהות נובע כי לכל formula_8 מתקיים formula_9. נשתמש בכך כדי לחשב את סכומו של הטור הטלסקופי שישמש אותנו בהמשך (ניתן לחשב גם עם הנוסחה לסכום טור הנדסי):
ערך של מצב.
נגדיר את ה"ערך" של מצב כלשהו של הלוח להיות סכום כל המשקלים של המשבצות עליהן נמצא כלי כלשהו. נבחן מה קורה לערך כאשר מתבצע מהלך כלשהו במשחק. לשם כך נפריד את המהלכים האפשריים לשלושה מקרים:
כמסקנה נקבל שערך המשחק לא יכול לגדול במהלך המשחק.
הוכחה שלא ניתן להגיע לשורה החמישית.
נראה עכשיו כי עם מספר סופי של צעדים לא ניתן להגיע לשורה החמישית. הערך התחילי המקסימלי מתקבל כאשר על כל המשבצות שמתחת לקו יש כלי. נחשב את הערך במקרה כזה: נניח כי משבצת היעד מצויה בשורה ה-m מעל לקו. ערך המשבצת הקרובה ביותר אליה מתחת לקו נמצאת m משבצות בדיוק מתחתיה ומשקלה formula_19. המשבצות מימינה משמאלה הן בעלות משקל formula_20, ולצד כל אחת מהן מצויה משבצת בעלת משקל formula_21 וכן הלאה. בסך הכל סכום משקלי המשבצות בשורה הראשונה מתחת לקו הוא:
השורה השנייה מתחת לקו מרוחקת משבצת אחת מן השורה הראשונה ולכן סכום משקלי משבצותיה שווה לסכום משקלי השורה הראשונה כפול formula_5. ובאופן כללי סכום משקלי השורה ה-k מתחת לקו הוא: formula_24. את הערך של המצב נקבל כסכום המשקלים של כל השורות מתחת לקו, כלומר:
בפרט ההצבה m=5 נותנת ערך תחילי מקסימלי formula_26 (ניתן לחשב ישירות). כלומר הדרך היחידה שבה אולי ייתכן להגיע למשבצת בשורה החמישית מעל הקו היא להתחיל עם אינסוף כלים על כל המשבצות מתחת לקו (ערך 1) ולסיים עם כלי יחיד על משבצת יעד בשורה החמישית (ערך 1) - כל כלי נוסף יעלה את הערך מעל 1. אך גם זה לא ייתכן, כי לא ניתן להעלים את כל הכלים ולהישאר עם כלי אחד במספר סופי של צעדים.
כיוון שאי אפשר להגיע לשורה החמישית, ברור שגם לא ניתן להגיע למשבצת גבוהה יותר. כיוון שניתן לבנות דוגמה בה אפשרי להגיע למשבצת בגובה ארבע משבצות מעל הקו, הרי שחמש הוא בדיוק הגבול שאליו כבר לא ניתן להגיע.
הכללות.
תחת הגדרות מסוימות ניתן להגיע לשורה החמישית אם מתירים אינסוף מהלכים. אם מתירים גם קפיצות באלכסון, ניתן להגיע לשורה השמינית, אך לא לתשיעית.
הוכח כי בגרסה ה-n ממדית של המשחק ניתן להגיע לשורה ה-3n-2, אך לא לשורה ה-3n-1. ההוכחה של קונווי יפה גם למקרים אלה, אך להראות שניתן להגיע לשורה ה-3n-2 דורש כבר יותר מאמץ.
בספרות.
המשחק (או החידה) מוזכרים בספר "המקרה המוזר של הכלב בשעת לילה" מאת מארק האדון.
חיים סופר
הרב חיים סופר (שם לועזי: Joachim Schreiber; ג' בתשרי ה'תקפ"ב, 29 בספטמבר 1821 - כ"ה בסיון ה'תרמ"ו, 28 ביוני 1886) היה רב ופוסק בהונגריה. שימש ברבנות במספר קהילות בהן קהילות מונקאץ' ופשט.
היה מראשי הדוגלים בקו הקיצוני שדרש הפרדה בין הקהילות האורתודוקסיות לשאינן כאלה בעת הקרע ביהדות הונגריה.
ביוגרפיה.
חיים סופר נולד בצום גדליה בשנת ה'תקפ"ב, בעיר פרשבורג שבהונגריה (כיום ברטיסלאבה, בירת סלובקיה), לאביו ר' מרדכי אפרים פישל סופר שהיה מתלמידי החתם סופר (ללא קרבה משפחתית). האב היה מתנגד נחרץ לחסידות, וכתב בצוואתו: בהיותו בן אחת עשרה נכנס ללמוד בישיבתו של החתם סופר, שם למד עד פטירת החתם סופר. לאחר מכן למד זמן קצר אצל בנו הכתב סופר.
משם נסע לאונגוואר שם למד אצל המהר"ם א"ש, ומשם נסע לעיר ווערבוי, שם למד אצל הרב בנימין וולף לעוו (מחבר הספרים "שערי תורה") אותו החשיב לרבו המובהק, וממנו קיבל סמיכה לרבנות.
בהמשך למד בעיר מטרסדורף, ובשנת תר"ד נשא לאשה את בריינדל דייטש. בשנת תר"ח חזר לפרשבורג עיר הולדתו שם החל ללמד תורה את צעירי העיר.
דרכו ברבנות.
בשנת תרי"א התמנה לרב קהילת יעמרינג (Gyömrő) ובשנת תרי"ח התמנה לרב בקהילה סענפעטער. מאותו זמן התפרסם שמו כרב ופוסק גדול והוא קיבל הצעות לשבת על כיסא קהילות חשובות כמו למברג וקרקוב, שלכולן סירב.
משנת תרכ"ז שימש כרב קהילת מונקץ', מהקהילות הגדולות בהונגריה באותו זמן. בקהילה זאת נתגלו חילוקי דעות בינו לבין אנשי הקהילה, שהייתה חסידית בחלקה הגדול, עקב הסתייגותו של הרב סופר ממנהגי תנועת החסידות. אביו אפרים היה מתנגד נחרץ וגם היה אחד מגדולי הקנאים ויריב מושבע של האורתודוקסי המתון רבי עזריאל הילדסהיימר, בו ראה סכנה גדולה ביותר. יחד עם מורו רבי הלל ליכטנשטיין ניסח את תקנות מיכאלוביץ, פסק דין שאסר על שינויים בסדרי בית-הכנסת. הסעיף הראשון והבולט אסר על נשיאת דרשות בלשון האומות (דהיינו, לא בהונגרית) וכוון בבירור נגד הדוגלים בשיטת הילדסהיימר. בשנת תרל"ט היה לרב הקהילה האורתודוקסית בבודפשט, והוא הראשון שנשא במשרה זו לאחר הפירוד בין הקהילות בהונגריה. בתפקיד זה שימש עד פטירתו בכ"ה בסיוון, תרמ"ו.
הנהגתו.
הרב סופר היה פעיל חשוב וקיצוני של האורתודוקסיה, שהחלה באותה תקופה (תקופת תלמידי החת"ם סופר) להתגבש כקהילה עצמאית. הוא השתתף בקונגרס שאורגן על ידי השלטונות בשנת 1868, והיה מן הדוגלים בצורך לפרוש מהגוף, שבו היה רוב לנאולוגים. ב-22 בנובמבר 1869, כשהחל הממשל המרכזי ללחוץ על היהודים כולם להשתתף בבחירות ליצירת הארגון הקהילתי הארצי שגובש בקונגרס, יצא כרוז שנוסח על ידו ונחתם על ידי 27 רבנים, והטיל איסור על ההצבעה: המודעה עודנה מצוטטת לעיתים על ידי אנטי-ציוניים המתנגדים לבחירות לכנסת.
מספר תשובות שלו בספרו "מחנה חיים" נוגעים לאיסור להזיז את מקום הבימה בבית הכנסת, פרט קל ערך שנעשה מזוהה עם המחדשים, שכן אלה הציבו את הבימה בקדמת המבנה בדומה לעמדת הדרשן בכנסיות. בתשובה נוספת הוא מחמיר עוד יותר במקום שהמחיצה בין הנשים לגברים אינה מכסה כי אם חלק מגוף הנשים. במקרה כזה הוא אסר להתפלל בבית הכנסת אפילו אם לא ימצא לשואל מקום תפילה בימים נוראים. גישתו בתחום, יחד עם זו של פוסקים אחרים כמהר"ם שיק, נעשתה לבסיס להתנגדות של קהילות יוצאי הונגריה בארצות הברית לקביעות המתירניות של הרב משה פיינשטיין בעניין המחיצה.
בעניין זכויות יוצרים כתב : "...ולדעתי אם אחד מתלבש בתורת חברו ולא אמר בשם אומרו הוא גנב,
הגם שזה נהנה וזה לא חסר מכל מקום כיון שיש הקפדה גזל הוא...והוא הדין בכל איש השולח יד בחכמת תורת חברו
אשר זכה בחלקו מן השמיים הוא גזלן גמור".
משפחתו.
רבים מבני משפחתו התפרסמו כרבנים בקהילות הונגריה, ובהם מספר אחים שלו. המפורסם שבהם ר' אליעזר זוסמן סופר, מחבר הספר ילקוט אליעזר. מבניו : ר' יעקב שלום - ממלא מקום אביו בבודפשט, ור' יוסף צבי רב קהילת שאמשאן. בהקדמת ספרו של הרב חיים סופר "מחנה חיים", חלק ב: חושן משפט, שיצא לאור בשנת 1875, הזכיר המחבר את חמשת בנותיו ואת בנו שנפטרו בחייו: לאה, שרה, ריזל, רבקה מלכה, צירל בלומה ומאיר שלמה.
מתלמידיו.
רבים מגדולי הונגריה בדור שלאחריו היו תלמידיו ובהם:
חיבוריו.
הרב חיים סופר חיבר חמישה חיבורים אשר ראו אור בשנים שונות:
אסתר לוי
אסתר (אתי) לוי (נולדה ב-18 בדצמבר 1989 בישראל) היא אלופת ישראל בשחייה אמנותית.
ביוגרפיה.