ב-1840 מונה לרב בברסלאו, למרות התנגדות הרב האורתודוקסי שלמה זלמן טיקטין. ב-1849 התפלגה קהילת ברסלאו לאחת שבראשהּ עמד גייגר ולנוספת שבראשהּ עמד גדליה טיקטין, בן הרב האורתודוקסי המנוח. באותה השנה התקבל סידור התפילות שערך (אשר כלל רק שינויים מעטים בסידור העברי המסורתי, ועיקר חידושו היה בשילוב תפילות בגרמנית), על ידי בני קהילתו. ב-1856 אוחדה הקהילה שוב, בשל תפישתו של גייגר כי על הקהילות למצוא פשרה בין הזרמים השונים.
ב-1863 מונה גייגר לרבנות בפרנקפורט דמיין. ב-1870 מונה לרב הקהילה המרכזית של ברלין, בה התקיימו באותה העת שתי עדות נוספות קטנות ועצמאיות למחצה, הרפורמית הבדלנית של הרב שמואל הולדהיים והאורתודוקסית של הרב ד"ר עזריאל הילדסהיימר. החל מ-1872 עמד גייגר בנוסף בראשות בית המדרש הגבוה ללימודי יהדות בברלין. בשנים 1862–1874 ערך את כתב העת "Jüdische Zeitschrift für Wissenschaft und Leben" ("כתב העת היהודי למדע ולחיים").
אברהם גייגר נפטר בברלין ב-1874. הג'ואיש כרוניקל דיווח כי למעלה מ-10,000 איש השתתפו בלווייתו, ביניהם רוב נציגיה הבולטים של הקהילה היהודית של ברלין למעט הרב עזריאל הילדסהיימר.
גייגר היה נשוי לאמילי אופנהיים והיו להם 5 ילדים: רוברט, ברתולד, לודוויג (גדול חוקרי גתה בגרמניה), ג'ני ואידה.
כתביו ומחקריו.
מאמרו הראשון של גייגר, "Was hat Mohammed aus dem Judenthume aufgenomen" ("מה לקח מוחמד מהיהדות"), פורסם ב-1833 ועסק בהשפעות היהודיות, ובייחוד יהדות חז"ל, על הקוראן. המאמר זכה לשבחים וזיכה אותו בתואר דוקטור מאוניברסיטת מרבורג.
מחקרו המרכזי ראה אור בספרו Urschrift und Übersetzen der Bibel ("המקרא ותרגומיו"' 1857). בספר מנתח גייגר את המגמות התאולוגיות השונות העולות מנוסחי התרגום על רקע המאבקים הכתתיים בימי בית שני, ובעיקר על רקע המאבק בין פרושים לצדוקים. הספר עורר סערה גדולה, שנעה בין הערצה לביטול מוחלט של טיעוניו.
תרומה מכרעת תרם גייגר לחקר לשון חכמים, עם פרסום ספרו "Lehr und Lesebuch der Sprache der Mischna" ("ספר לימוד וקריאה בלשון המשנה", 1845). בספרו טען גייגר שלשון חז"ל היא לשון מלאכותית, שהתהוותה בין כותלי בית המדרש ומעולם לא שימשה כשפה מדוברת, בעוד שהמוני העם דיברו ארמית כבר תקופה ארוכה. קביעתו, שהתנגדו לה בני זמנו כמו שד"ל וצבי גרץ, הייתה מקובלת במחקר עד שהבלשן משה צבי סגל הפריך אותה ב-1908 תוך שימוש בטכניקות חדשניות, והוכיח כי היו בשפה יסודות שמקורם יכול להיות רק בלשון דיבור וכי היא הייתה המשך של העברית בתקופת בית שני. מחקרי שניהם הניחו את היסודות לחקר לשון חז"ל כרובד עצמאי של הלשון העברית.
גייגר פרסם חיבורים רבים נוספים, בהם מחקרים על הרמב"ם (1850) על אבן גבירול (1867), על יהודה אריה ממודנה (1856) ועל הקראי יצחק טרוקי (1853). נוסף לכך, הוא תרגם לגרמנית חלק משיריהם של יהודה הלוי ואבן גבירול והוציא לאור כמה כתבי יד חשובים. סדרת הרצאות על ההיסטוריה היהודית שנשא בפרנקפורט פורסמה באוסף בן שלושה כרכים, "Judentum und seine Geschichte" (היהדות ותולדותיה, 1864-1871).
התנועה הרפורמית.
גייגר נחשב למייסדה של התנועה הרפורמית ולהוגה המרכזי שלה. בראש ובראשונה פעל לכך בתחום הרוח: בכתביו ובפרסומיו זיקק את תפישתו לפיה ליהדות יש יסוד עמוק אחד שאינו משתנה, והוא ערכי המוסר והצדק להם הטיפו נביאי ישראל. גייגר הצביע על האופן בו גינו פולחן דתי שלא הייתה כוונה בצדו כראיה לכך שההיבטים הטקסיים אינם בעלי חשיבות כשלעצמם. גייגר העריץ גם את הפרושים והחשיב אותם כמי שהביאו את היהדות לשלב גבוה יותר בכך שדחו את הריטואליזם הנוקשה של הצדוקים. זיקתו לנביאים וניסיונו לפשר את היהדות עם הפילוסופיה הגרמנית המקובלת בימיו באה לידי ביטוי במשנתו התאולוגית על התגלות מתמדת של רצון האל בכל דור מחדש, המחייבת שינוי מתמיד של הדת יחד עם התקדמות האנושות, כהמשך של דפוס החוזר על עצמו מאז ומתמיד. היהודים הם בעלי גניוס מיוחד לקלוט ולהבין התגלות זו, והתפתחות הדת שלהם לאורך ההיסטוריה משקפת הבנה מחודשת של רצון הבורא. הוא ניסח רעיון זה בבהירות רק בעשור האחרון של חייו, אך ההיסטוריון מיכאל מאיר עמד על כך שהביע רעיונות ברוח זו כבר בדרשתו הראשונה בברסלאו, בשבת מטות-מסעי תקצ"ח (21 ביולי 1838). במבוא לדרשה, שכתב בדיעבד שבועיים לאחר מכן, הוא מזכיר את "היהדות הנבואית" (prophetischen Judenthume), מושג החוזר בחיבוריו ושנעשה לרווח בקרב אוהדיו וממשיכיו בגרמניה. ההתגלות המתמדת – רעיון שהובע גם על ידי הוגים מקורבים לגייגר כמו שלמה פורמשטכר, שכתב על כך רבות כבר ב-1841 – היא אחד העיקרים המרכזיים של היהדות הרפורמית.
בפועל חתר גייגר תמיד לפשרה עם גורמים יהודיים אחרים, אם כי תרם רבות לגיבוש הזרם. כבר ב-1837 כינס בוויסבאדן ועידה של 14 רבנים רפורמים. מטרת הוועידה הייתה הכרות והחלפת דעות בין המשתתפים. בשנים 1844–1846 נערכו שלוש ועידות רבנים נוספות, שבהן לקחו חלק רבנים רבים ונודע בהן מקום מרכזי לו. בוועידות אלו עוצבה דמותה ודרכה של התנועה לעתיד לבוא. הוועידות נוהלו באופן פתוח לציבור ובצורה פרלמנטרית, ועסקו בסוגיות הפולחן, התפילה, החינוך, השבת וניהול הקהילות. ב-1868, לאחר שנים של תהפוכות פוליטיות בגרמניה, שהשפיעו רבות על יהודי גרמניה, כונסה ועידת הרבנים בקאסל. בנוסף לדיונים בנושאים דתיים הכינה הוועידה מפגש בינלאומי (סינוד) של רבנים רפורמיים.
ב-1869 התכנסה ועידת לייפציג, שבהּ נכחו 83 רבנים ואישים יהודים אחרים מרחבי העולם. גייגר לקח חלק פעיל בארגון הסינוד והיה חבר בנשיאותו. הסינוד אישר את השימוש בעוגב בבית הכנסת, שם דגש על המאפיינים הכלל-אנושיים בתפילה ואיפשר קריאת הפטרות בשפת המדינה.
תפישת היהדות של גייגר.
גישתו של גייגר הייתה גישה של ביקורתיות היסטורית. הוא לא ראה בטקסטים הדתיים טקסטים מקובעים אלא טקסטים ששיקפו התפתחויות היסטוריות, ומכאן שהטקסטים והנורמות הדתיות שהוגדרו בהם היו יחסיים. לפי גייגר ניתן היה, אם כן, לבקר את הציוויים הדתיים, לקבלם או לשלול אותם בהתאם למציאות בהווה. גייגר לא היה רפורמטור קיצוני, ולכן השתדל לשלב את בעלי הדעות השונות בקהילה אחת; שפת התפילה בקהילותיו נותרה עברית, והוא שם דגש על התפילה והטקסים הדתיים המסורתיים.
גייגר הכריז: "ירושלים היא זיכרון נאצל מהעבר וערש דתנו, אך אין בה תקווה לעתיד. חיים חדשים לא ייוולדו שם. אל נא נפריע את מנוחתה".
ראש מדינה
ראש מדינה הוא הנציג העליון של מדינה, מדינת לאום, פדרציה או חבר עמים, המגלם בתפקידו את ההמשכיות והלגיטימיות של המדינה, עומד בראש הממשל, ומנהל את ענייניה תוך הפעלת סמכויותיו השלטוניות, הפוליטיות, הטקסיות והאחרות, המפורטות על פי רוב בחוקת המדינה.
במשטר מלוכני (מונרכיה), המלך הוא ראש המדינה. במשטר רפובליקני ראש המדינה מכונה על פי רוב בתואר נשיא, אף שקיימים תארים אחרים (ראו להלן), וישנם מנהיגים שתוארם הרשמי הוא "ראש המדינה", פשוטו כמשמעו.
מערכות שלטוניות.
אף שקיימות מערכות שלטוניות שונות ברחבי העולם, ככלל ניתן להצביע על ארבעה טיפוסים עיקריים:
מערכות נשיאותיות.
ישנן חוקות (או חוקי־יסוד) לפיהן ראש המדינה משמש בפועל ראש הרשות המבצעת, הפועל בנפרד ובאופן עצמאי מהרשות המחוקקת. מערכת זו ידועה, לעיתים, כ"מערכת נשיאותית", שכן הממשלה על גופייה השונים כפופה למרותו של ראש־מדינה פעיל, הממנה את חבריה ללא התערבות הרשות המחוקקת. ישנן מערכות נשיאותיות המחייבות אישור חקיקתי לפני מינויי שרים, או מקנות לרשות המחוקקת את הסמכות להדיח את הנשיא.
במערכות נשיאותיות אחדות קיים גם ראש ממשלה, אלא שבדומה ליתר חברי הממשלה גם הוא כפוף לנשיא, ולא לרשות המחוקקת. ברוב המקרים האלה משרת ראש הממשלה היא בעלת חשיבות פוליטית שולית; לעיתים היא אף מופקדת בידיו של פקיד ולא בידי פוליטיקאי. לראש ממשלה במערכת נשיאותית אין את הסמכויות הנתונות בידי ראש ממשלה במערכת פרלמנטרית; הנשיא הוא שמתווה את המדיניות הלאומית, כאשר לראש ממשלתו סמכויות מנהלתיות בדרך כלל.
מערכות נשיאותיות מאפיינות את חוקותיהן של חלק ניכר ממדינות אמריקה. הגם שרוב הנשיאים במערכות אלה נבחרים באופן דמוקרטי (בחירות ישירות או בלתי־ישירות), אפשר שיתפסו את השלטון גם באמצעים אחרים (הפיכה צבאית, למשל) ויקיימו מערכת נשיאותית בדמות משטר צבאי. כמה ממאפייניה של המערכת הנשיאותית (כלומר, אישיות פוליטית חזקה החולשת על הרשות המבצעת, ולא המחוקקת) קיימים גם במונרכיות אבסולוטיות, כמו בערב הסעודית, ובסין, שמשטרה רשמית פרלמנטרי.
מערכות נשיאותיות למחצה.
מערכות נשיאותיות־למחצה משלבות מאפיינים נשיאותיים ופרלמנטריים, כשעקרון היסוד הוא שהרשות המבצעת כפופה הן לנשיא והן לרשות המחוקקת. חוקתה של הרפובליקה הצרפתית החמישית קובעת כי בסמכותו של נשיא צרפת למנות ראש ממשלה, ואולם המינוי חייב בהסכמת הפרלמנט הצרפתי. כאשר הנשיא הצרפתי נמנה עם צד מסוים בקשת הפוליטית, ואילו בפרלמנט שולטת האופוזיציה, הנשיא נאלץ למנות את נציג האופוזיציה לראש ממשלה (תהליך המכונה קוהביטציה). כך מינה הנשיא הסוציאליסט פרנסואה מיטראן את איש הימין ז'אק שיראק לראש ממשלה בפרק זמן מסוים בשנות ה־80. במצב של קוהביטציה במערכת הצרפתית, הנשיא אחראי בדרך כלל על ענייני מדיניות החוץ שעה שראש הממשלה מופקד על ענייני הפנים.