שיתוף הפעולה של הלהקה עם אריק איינשטיין הביא אותה להכרה בקרב הציבור הרחב בישראל ותרמה תרומה חשובה ליצירת הרוק הישראלי. שיתוף הפעולה הזה החל כשהצ'רצ'ילים ליוו את איינשטיין בהופעותיו, ולאחר מכן שיתפו פעולה בנגינה ובהפקת אלבומיו של איינשטיין "פוזי", "שבלול", "פלסטלינה", "שירי ילדים", "בדשא אצל אביגדור" ו"יסמין", שנחשבים על ידי רבים כתקליטי הרוק הראשונים בעברית. איינשטיין ביצע גם גרסאות עבריות לכמה משירי הלהקה, כמו השיר "אחינועם לא יודעת" (מילים: יהונתן גפן) שהוא גרסה לשיר "When You're Gone", שכתב גיטריסט הלהקה, רוב האקסלי.
אלבום הבכורה שלהם, צ'רצ'ילים, שיצא בשנת 1969, נחשב עד היום לפריט אספנות והוא מבוקש מאוד בקרב אספני תקליטים בישראל וברחבי העולם. בנוסף, בנובמבר 1969, הופיעה הלהקה לראשונה, על במת היכל התרבות בתל אביב, בקונצרט עם התזמורת הפילהרמונית הישראלית בניצוחו של זובין מהטה. הלהקה, יחד עם נגן האורגן אדי שפירוביץ', הופיעה במהלך הקונצרט בחלק נפרד מזה של התזמורת וביצעה עיבודים מיוחדים לשתיים מהיצירות של באך: קוראל לאוהבים צעירים (עיבוד לקוראל פרלוד לעוגב, רי"ב 645, על פי הקנטטה "עורו ישנים", רי"ב 140) והקונצ'רטו הכפול לשני כינורות.
בשנת 2012 הלהקה הוציאה גרסת כיסוי לשיר When I'm Sixty-Four של הביטלס לכבוד יום העצמאות ה-64 של מדינת ישראל. בשנת 2015 חזרה הלהקה והתאחדה לשתי הופעות שהתקיימו בתל אביב. שנה לאחר מכן יצא האלבום הכפול Churchill's Live המתעד את ההופעות. בפברואר 2020, הוציאה הלהקה שיר חדש - "Messianic times", אותו כתב והלחין מיקי גבריאלוב.
חברי הלהקה.
הרכב ראשון (1965 - 1967)
הרכב שני (1968 - 1969)
הרכב שלישי (1969 - 1972)
הצ'רצ'ילים החדשים (1972 - 1975)
מגע מיני
ליקויי למידה
מתנד הרמוני קוונטי
מתנד הרמוני קוונטי (נקרא גם אוסצילטור הרמוני קוונטי) הוא התוצאה של טיפול קוונטי בבעיה הפיזיקלית של מתנד הרמוני. האוסצילטור ההרמוני הקוונטי הוא אחד מהמודלים הפיזיקליים החשובים ביותר בפיזיקה קוונטית ובפיזיקה המודרנית, מאחר שבעיות פיזיקליות רבות ניתן להציג (במדויק או בקירוב) כאוסף של אוסצילטורים קוונטים. היתרון הגדול של האוסצילטור ההרמוני הקוונטי הוא שזו מערכת שהפיזיקאים יודעים לפתור במדויק.
אוסצילטור הרמוני חד ממדי.
ההמילטוניאן והמצבים העצמיים.
מקרה פשוט של אוסצילטור הרמוני חד-ממדי הוא חלקיק בעל מסה "m", אשר נמצא תחת השפעת פוטנציאל (ליתר דיוק: אנרגיה פוטנציאלית) formula_1. לכן, ההמילטוניאן של המערכת הוא
formula_2
כאשר "x" הוא אופרטור המקום של החלקיק, ו־"p" הוא אופרטור התנע הצמוד לו (בהצגת המקום, formula_3). האיבר הראשון (השמאלי יותר) מייצג את האנרגיה הקינטית של החלקיק ואילו האיבר השני מייצג את האנרגיה הפוטנציאלית שלו כתוצאה מכוח חיצוני המופעל עליו.
במכניקת הקוונטים, פתרון של בעיה הוא מציאת המצבים העצמיים של המערכת והדרך בה הם מתפתחים בזמן. כדי לעשות זאת יש לפתור את משוואת שרדינגר ולמצוא את המצבים העצמיים של אופרטור ההמילטוניאן, שנקראים גם המצבים העצמיים של האנרגיה. הפתרון מתקבל באמצעות הפרדת משתנים: אם מציבים במשוואת שרדינגר formula_4, מתקבלת משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן, formula_5.
אפשר לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית בבסיס המקום, תוך שימוש בשיטת פרובניוס (פתרון מד"ר על ידי פיתוח לטור חזקות), ומתקבלת משפחה של פתרונות,
formula_6
הפתרונות מתאימים למספר הקוונטי "n", שיכול להיות כל מספר שלם אי־שלילי (0,1,2,3 וכן הלאה)
ששת הפתרונות הראשונים ("n"=0 עד "n"=5) מוצגים באיור שמשמאל. אלו הם גרפים של פונקציות הגל. הפונקציות "H""n" הן פולינומי הרמיט:
בפתרון בשיטת פרוביניוס, הקוונטיזציה של האנרגיות והערכים שלהן נובעים מהתנאי המתמטי שהפתרונות יהיו פולינומים סופיים ולא יתבדרו (השוו עם תנאי השפה של בור פוטנציאל אינסופי).
האנרגיות העצמיות (ראו: ערך עצמי) המתאימות לכל אחד מהפתרונות הן
ספקטרום האנרגיה ממחיש שני מאפיינים נפוצים במערכות קוונטיות:
צפיפות ההסתברות של פונקציית הגל של מצב היסוד מרוכזת בראשית, ומכאן שהחלקיק נמצא רוב הזמן בתחתית בור הפוטנציאל, קרוב לראשית, כפי שניתן לצפות ממצב בעל אנרגיה נמוכה. ככל שהאנרגיה של החלקיק גדלה, צפיפות ההסתברות מתרחקת מן המרכז, ומתרכזת בנקודות המפנה הקלאסיות, בהן האנרגיה העצמית מתלכדת עם האנרגיה הפוטנציאלית. מסקנות אלה עקביות עם התיאור הקלאסי של אוסצילטור הרמוני, בו חלקיק אנרגטי נמצא רוב הזמן בנקודות המפנה, שם מהירותו מתאפסת תוך כדי שהוא משנה כיוון. המסקנה העיקרית מדיון זה הוא שעקרון ההתאמה של נילס בוהר מתקיים, כנדרש.
שיטת אופרטורי הסולם.
הפתרון המפורש בבסיס המקום, באמצעות שיטת פרובניוס, הוא ישיר ומיידי, אך הוא די מסורבל וארוך. שיטת "אופרטורי הסולם", שהמציא פול דיראק, מאפשרת לחלץ את ספקטרום האנרגיות מבלי לפתור באופן ישיר את המשוואה הדיפרנציאלית. יתרה מכך, ניתן להכליל אותה לבעיות מסובכות יותר, בעיקר בתורת השדות הקוונטית.
בשיטה זו מוגדרים שני אופרטורים המאפשרים לעבור ממצב עצמי אחד לאחר, תוך שינוי של "n" ב-formula_12: אופרטור אחד מוריד את המערכת למצב אנרגטי נמוך יותר ("מדעיך את המערכת"), ואופרטור אחר מעלה את המערכת למצב אנרגטי גבוה יותר ("מעורר את המערכת"). השם הכללי של אופרטורים אלו הוא "אופרטורי חיסול ויצירה" (לפעמים "השמדה" במקום "חיסול"): כאשר אופרטור יצירה מעלה מצב ואופרטור חיסול מוריד מצב. מקור השם הוא בתורת השדות הקוונטית בה אנו מייחסים לכל דרגת עירור (כלומר: קוונטת אנרגיה) פוטון עם תדירות formula_13 ואנרגיה formula_14. אזי העלאת מצב שקולה ליצירת פוטון ואילו הורדת מצב לחיסול פוטון.
האופרטורים הללו, "a" והצמוד ההרמיטי שלו "a"†, מוגדרים באמצעות האופרטורים "x" ו־"p":
האופרטור "a" איננו אופרטור הרמיטי שכן הצמוד ההרמיטי שלו איננו שווה לו. בהגדרת "a"† כצמוד ההרמיטי של "a" נעזרנו בעובדה שהאופרטורים "x" ו־"p" (שמייצגים גדלים הניתנים למדידה) הם אכן הרמיטיים.
האופרטורים "x" ו־"p" מקיימים את יחסי החילוף הקנוניים:
כאשר הסוגרים המרובעים מסמנים את הקומוטטור, שמוגדר כ
תוך שימוש בהגדרות לעיל אפשר להוכיח את הזהויות הבאות:
אלו הן הזהויות החשובות ביותר בשיטת אופרטורי הסולם, והן מייצגות את הדינמיקה של הבעיה - במונחים של "a" ו־"a"†, במקום במונחים של "x" ו־"p".
שיטת הקווזי-תנע.
שיטה נוספת לחשב את האנרגיה של אוסילטור הרמוני היא באמצעות הקווזי-נע המוגדר באופן הבא:
formula_20
באמצעות הצבת הקווזי-תנע במשוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן נקבל משוואה הדומה למשוואה הקלאסית, ומכאן מקור השם קווזי-תנע
formula_21
כעת, משום שלפונקציית הגל ברמה ה-n יש n אפסים (משפט כללי בתורת שטורם-ליוביל), נוכל לכתוב את הקווזי-תנע כצירוף של n קטבים וחלק אנליטי, כאשר את מקדמי הקטבים ניתן לחשב ממשפט השארית (או מאינטגרציה מסביב ל-0 במישור המרוכב) להיות formula_22. על ידי הצבה במשוואה ולקיחת x לאינסוף, קל לראות שהחלק האנליטי של P ליניארי בx. מכאן, על ידי השוואת החלק הקבוע ניתן לקבל את האנרגיה E להיות בדיוק האנרגיה הקוונטית. הגבול הקלאסי מתקבל ישירות מלקיחת formula_23 להיות זניח ביחס לקבועים אחרים. יתרה מכך, השוואת החלק הקוטבי ל-0 נותן את האפסים של פולינומי הרמיט והבנה פיזיקלית שלהם בתור המצב הסטטי של חלקיקים (חלקיקי הקטבים) עם פוטנציאל מרכזי דוחה משאר החלקיקים ופוטנציאל הרמוני לחלקיק מסוים.
מצבים קוהרנטיים.
במצבים העצמיים מתקיים שערכי התצפית של המקום והתנע הם 0. אנחנו מעוניינים בחיפוש מצבים שערכי התצפית שלהם יתנהגו כמו אוסצילטור הרמוני קלאסי. נסתכל על המצבים הבאים:
כדי לייצר את המצב הקוהרנטי formula_25 יש להפעיל את אופרטור ההעתקה על מצב היסוד
כאשר
מצבים אלה מקיימים:
כעת, נסתכל על משוואות של אופרטורי הסולם (תמונת הייזנברג):
שפתרונן מיידי
ואז אופרטורי המקום והתנע יקבלו את התלות הזמנית הבאה:
כעת נוכל להשתמש במצבים הקוהרנטים ולראות שהם אכן מתנהגים כמו אוסצילטור הרמוני קלאסי. נשים לב ש
ולכן
כאשר הצבנו formula_41.
כך קיבלנו שחבילת הגלים של המצב הקוהרנטי formula_25 מתנודדת בתדירות זוויתית formula_13, מופע formula_44 ומשרעת formula_45.
אוסצילטור הרמוני רב-ממדי.
אוסצילטור הרמוני חד-ממדי ניתן ואף מתבקש להכליל לאוסצילטור של N-ממדים, כאשר "N" = 1, 2, 3, ...
בממד אחד, המיקום של החלקיק תואר באמצעות קואורדינטה אחת בלבד, "x". ב-N ממדים, אנו נתאר את מיקומו באמצעות N קואורדינטות, שנסמן כ "x"1, ..., "x""N". לכל קואורדינטה נגדיר תנע צמוד מתאים ונסמן "p"1, ..., "p""N" את N התנעים שקיבלנו.
נזכיר שוב שכל הקואורדינטות והתנעים בעצם אופרטורים הרמיטיים הניתנים למדידה. אופרטורים אלה מקיימים את יחסי החילוף הקנוניים:
כאשר formula_47 היא הדלתא של קרונקר.
ההמילטוניאן עבור המערכת הוא
מהצגה זו ברור שאוסצילטור הרמוני N-ממדי הוא בעצם שקול ל-N אוסצילטורים חד-ממדיים בלתי תלויים (ובלתי מצומדים) בעלי אותה מסה m ותדירות תנודה formula_13 (כלומר: אותו "קבוע הקפיץ"). במקרה זה, ניתן להסתכל על הקואורדינטות "x"1, ..., "x""N" כאוסף המקומות של N חלקיקים, ולמזלנו הרב - מאחר שהפוטנציאלים מופרדים - אפשר לפתור את הבעיה עבור כל חלקיק, או אוסצילטור בנפרד. בשפה מקצועית, אנו אומרים שבכך "ליכסנו את הבעיה" מאחר שהתהליך של מציאת אופני תנודה או קואורדינטות נורמליות בלתי תלויות הוא אנלוגי לתהליך של לכסון מטריצה.