תאוריית הגלים של איירי נעזרת בפורמליזם של זרימה פוטנציאלית (פוטנציאל מהירות) כדי לתאר את התנועה של גלי כבידה על פני השטח של הזורם. השימוש בזרימה פוטנציאלית בלתי צמיגה ואי רוטציונית (אי הרוטציוניות הכרחית כדי שניתן יהיה להגדיר פונקציית פוטנציאל) לחיזוי ההתנהגות של גלי מים הוא מצליח באופן מפתיע, במיוחד בהינתן הכישלון שלה לתאר סוגי זרימה אחרים בהם הכרחי להתחשב בצמיגות, ערבוליות, וטורבולנציה. הצלחה זאת היא הרבה בזכות העובדה שבחלק האוסצילטורי של תנועת זורם, ערבוליות מושרית-גלים מוגבלת לשכבות גבול סטוקס דקות בגבולות תחום הזורם.
התאוריה של איירי משמשת בהנדסת חופים; במיוחד עבור גלים אקראיים, ההתפתחות של סטטיסטיקת הגלים - כולל ספקטרום הגלים - נחזית היטב על פני מרחקים לא גדולים מדי (במונחים של אורך הגל) ובמים לא רדודים מדי. עקיפה היא אחת מהאפקטים הקשורים בגלים שניתנים לתיאור באמצעות התאוריה. יותר מכך, בעזרת קירוב WKBJ, התהליכים של החפת גלים (wave shoaling) ושבירה (שינוי כיוון ההתקדמות שלהם) שלהם ניתנים לתיאור.
תאוריית הגלים של איירי היא תאוריה ליניארית להתקדמות של גלים על השפה של זרימה פוטנציאלית ומעל קרקעית אופקית. ההנחה היא שגובה המשטח שמייצג את הגל (η(x,t הוא סינוסואידלי בתלות במיקום האופקי x ובזמן t:
formula_4
כאשר:
מספר הגל הזוויתי k והתדירות ω אינם פרמטרים בלתי תלויים, אלא שהם מצומדים (וכך גם אורך הגל λ וזמן המחזור T אינם בלתי תלויים). גלי כבידה בזורם הם דיספרסיביים - לכל מספר גל יש מהירות התקדמות משלו.
שימו לב שבהנדסה נעשה שימוש לעיתים קרובות בגודל אחר - גובה הגל H - ולא באמפליטודת הגל a. גובה הגל H מוגדר כהפרש המפלסים בין שיא ושפל עוקבים של הגל:
formula_7.
מתחת לפני המים, ישנה תנועה שלהן המקושרת לתנועת פני השטח החופשיים. בעוד שפני המים מראים גל מתקדם, אלמנטי הזורם הם למעשה בתנועה מסלולית. במסגרת התאוריה של איירי, המסלולים הם עקומים סגורים: מעגלים מושלמים על פני המים ובמים עמוקים (כלומר רק כאשר שני התנאים הללו מתקיימים), ואליפסות בעומק סופי - כאשר האליפסות נעשות "שטוחות" עוד יותר ליד הקרקעית של שכבת הזורם. כלומר, כאשר הגל מתקדם, אלמנטי הזורם פשוט מתנודדים מסביב למיקום הממוצע שלהם. במהלך תנועת הגל המתקדם, אלמנטי הזורם מעבירים אנרגיה בכיוון התקדמות הגל, מבלי שתהיה להם מהירות ממוצעת. הקוטר של המסלולים יורד עם העומק מתחת לפני המים; במים עמוקים, הקוטר של המסלול יורד ל-4% מערכו על פני המים בעומק ששווה לחצי מאורך הגל של הגל.
באופן כללי ניתן לומר שככל ששדה הזרימה מתחת לגל משתנה לאט יותר בכיוון האופקי, כך הוא משתנה לאט יותר גם בכיוון האנכי; היינו, באורכי גל ארוכים יותר שדה הזרימה הגלי "חודר" לעומק רב יותר, ודעיכת המסלולים עם העומק חלשה יותר. כהמחשה לכך ניתן להסתכל במקטע הזרימה שבסמוך לשפל. בשפל, היכן שהמים נסוגים לאחור כדי לבנות את "ערימת" המים של השיא, מהירות הזרימה האנכית היא אפס. קרוב אל השפל, מהירות הזורם מקבלת רכיב אנכי, ואילו הרכיב האופקי של המהירות קטן. ניתן להסיק שככל שאורך הגל גדול יותר, השינויים הללו קטנים יותר, ומשוואת הרציפות מאפשרת להחיל את ההסקה הלוגית הזאת הן לגבי השינויים האופקיים והן לגבי השינויים האנכיים, וזאת לכל תחום הזורם. קשר זה בין קנה המידה של ההתנהגות האופקית של הזרימה לזו האנכית, הוא המקור להבחנה בין גלי מים עמוקים לגלי מים רדודים.
באופן דומה, ישנן גם אוסצילציות בלחץ מתחת לפני המים, כאשר השינויים בלחץ שמשרים הגלים יורדים עם העומק מתחת לפני המים - באותו האופן שבו המסלולים דועכים עם העומק.
גזירת פונקציית הפוטנציאל.
ניסוח משוואות הזרימה.
הגלים מתקדמים בכיוון האופקי, שנזהה אותו עם הקואורדינטה x, ותחום הזורם חסום מלמעלה על ידי משטח חופשי (z = η(x,t, כאשר z היא הקואורדינטה האנכית (שהיא חיובית בכיוון למעלה) ו-t הוא הזמן. המפלס z = 0 מתאים לגובה הממוצע של פני הזורם. הקרקעית שמתחת לשכבת הזורם היא בגובה z = -h. בנוסף, נניח כי הזרימה היא אי-דחיסה (צפיפות הזורם קבועה) ואי-רוטציונית - קירוב טוב של הזרימה בתחום הזורם בעבור גלים על משטח נוזלי - ועל כן ניתן להשתמש בזרימה פוטנציאלית כדי לתאר את המהירות. פוטנציאל המהירות (Φ(x,z,t קשור לרכיבים של מהירות הזרימה ux ו-uz בכיוון האופקי (x) והאנכי (z) על ידי:
formula_8
אודות למשוואת הרציפות בעבור זרימה אי-דחיסה, הפוטנציאל Φ חייב לקיים את משוואת לפלס:
formula_9
כעת, נדרשים תנאי שפה על הקרקעית ועל פני המים כדי לסגור את מערכת המשוואות. לצורך ניסוח בעיית הזרימה במסגרת התאוריה הליניארית, הכרחי להגדיר את הבסיס של הזרימה. בסיס זה מסופק על ידי ההנחה שמהירות הזרימה האנכית uz מתאפסת על הקרקעית, שכן סמוך לקרקעית לא יכולה להיות תנועה אנכית. הקרקעית היא בגובה z = -h, מה שמוביל לתנאי השפה הקינמטי על הקרקעית:
formula_10
תנאי קינמטי נוסף, על הזרימה בסמוך לפני המים, נובע מכך שאלמנט זורם שהיה בתחילה בסמוך לפני המים נשאר סמוך לפני המים, ובפרט, אלמנט זורם שהיה על השפה נשאר על השפה. הנחה זו היא מסקנה ישירה מההנחה שהזרימה נטולת-ערבוליות, שכן אילו היו "חילופי מקומות" בין אלמנט זורם שפתי לאלמנט זורם פנימי, אז התמונה ההידרודינמית הייתה שקולה למצב בו נוצרים תאי ערבול בתחום הזורם - מצב לא סביר מבחינה פיזיקלית שכן תאי ערבול יאבדו מהר את האנרגיה שלהם עקב השפעות הצמיגות. על מנת שאלמנט זורם יישאר על השפה, התנאי הבא צריך להתקיים:
formula_11
כיוון שההנחה המרכזית של התאוריה היא שהגלים הם בעלי יחס נמוך של האמפליטודה לאורך הגל, ולפיכך בעלי שיפוע נמוך, האיבר השני של אגף ימין זניח, ולפיכך התנועה האנכית של הזורם חייבת להיות שווה למהירות האנכית של המשטח החופשי. זה מוביל לתנאי השפה הקינמטי על פני המים:
formula_12
אם פני המשטח (η(x,t היו פונקציה ידועה, זה היה מספיק כדי לפתור את בעיית הזרימה. אולם, פני המשטח הם פונקציה לא ידועה (הצורה שלהן ידועה, אולם קצב ההתקדמות שלה בזמן אינו ידוע), ולכן נחוץ תנאי שפה נוסף. את זה מספקת משוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית בלתי יציבה. מניחים כי הלחץ מעל פני המים קבוע ושווה ללחץ האטמוספירי; הלחץ הקבוע הזה נלקח כשווה לאפס, מכיוון שגודל הלחץ הקבוע הזה לא משפיע על הזרימה. מכאן נקבל:
formula_13.
במשוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית בלתי יציבה מופיעים איבר האנרגיה הפוטנציאלית formula_14, איבר האנרגיה הקינטית (ריבוע המהירות) והנגזרת הזמנית של פונקציית הפוטנציאל. כיוון שאלמנטי הזורם על השפה נעים בתנועה מעגלית במהירות קבועה, הגודל formula_15 גם הוא קבוע (הצדקה מפורטת יותר להזנחת איבר ריבוע המהירות מופיעה משמאל), לכן מקבלים את התנאי הרביעי:
formula_16
כדי לתאר את תנועת הזורם מתחת לגל מספיק לפתור את ארבע המשוואות הדיפרנציאליות האלה.
פתרון בעבור גל מונוכרומטי מתקדם.
בעבור גל מתקדם בעלת תדירות יחידה - גל מונוכרומטי - פני המים הם מהצורה:
formula_17
פוטנציאל הזרימה שמקיים את משוואת לפלס (1) בתחום הזורם, כמו גם את תנאי השפה הקינמטיים על הקרקעית (2) ועל פני המים (3), הוא מהצורה:
formula_18
כאשר sinh ו-cosh הם פונקציות היפרבוליות. אולם η ו-Φ חייבים גם לקיים את תנאי השפה הדינמי, מה שמביא ליחס נפיצה לא ליניארי:
formula_19
תנועת אלמנטי הזורם מתחת לגל.
ניתוח של הנגזרות החלקיות של פונקציית הפוטנציאל (הרכיבים השונים של מהירות האלמנט) נותן את ערכי המהירות האופקית והאנכית של אלמנטי הזורם:
formula_20
formula_21
וניתן להסיק ממהירויות אלה את ערכי ההסטה האופקית המרבית A וההסטה האנכית המרבית B של אלמנט זורם במהלך תנועת הגל:
formula_22
formula_23
בנוסף, הצבת הקשר בין התדירות הזוויתית למספר הגל (יחס הנפיצה) מאפשרת לקבל את משוואת המסלול של אלמנט זורם:
formula_24
משוואה זו מייצגת אליפסה עם חצי ציר ראשי A וחצי ציר משני B. כלומר, אלמנטי הזורם נעים במסלולים אליפטיים סגורים. במים עמוקים, כלומר בגבול שבו עומק המים שואף לאינסוף, A = B כאשר 0 = z. תוצאה זאת עקבית עם ההנחה בפיתוח שאלמנטי הזורם על פני המים נעים במסלולים מעגליים במהירות קבועה (המהירות הקבועה היא formula_25), או לכל הפחות במהירות כמעט קבועה (בעבור יחס לא נמוך מאוד של אורך הגל לעומק המים). שימו לב שגם כאשר יורדים משמעותית בעומק, בגבול של מים עמוקים המסלולים נשמרים מעגליים בקירוב גם בעומק רב; האליפטיות של מסלולי האלמנטים מובחנת רק כאשר עומק המים הוא בר-השוואה לאורך הגל.
התנהגות מהירות הגלים במים עמוקים ורדודים.
נהוג לשייך את הגלים לשלוש קטגוריות: גלים במים עמוקים, גלים במים רדודים וגלים בעומק ביניים. גלים שמקיימים שהיחס בין אורך הגל שלהם לעומק המים המקומי נמוך מאוד ייקראו גלי מים עמוקים (קריטריון כמותי מקורב לכך הוא כאשר h &gt; ½ λ), גלים שאורך הגל שלהם גדול משמעותית מעומק המים המקומי ייקראו גלי מים רדודים (קריטריון כמותי מקורב לכך הוא כאשר h &lt; 0.05 λ), ואילו גלים לגביהם מתקיים אחרת ייקראו גלי ביניים. עבור גלים בתחום הביניים התנהגות מהירות המופע של גל בעבור עומק נתון נשלטת על ידי k (מספר הגל) והטנגנס ההיפרבולי שביחס הנפיצה, כלומר היא מושפעת הן מאורך הגל והן מהעומק, בשונה מגלים בתחומים האחרים, שכן, כפי שניווכח מיד, מהירות גלי מים עמוקים מושפעת רק מאורך הגל ולא מהעומק, ואילו ההפך הוא הנכון עבור גלי מים רדודים.