ב־1937 גילה הארכאולוג קארל אבסולום ממצא שתוארך לכ-30,000 לפני הספירה - עצם שועל שעליה חמישים וחמישה חריצים מסודרים בחמישיות, בה עשרים וחמישה חריצים מופרדים מהשלושים הנותרים על ידי חריץ שאורכו כפול. ייתכן שהחריצים מסמלים איברי קבוצה, ונועדו לשמש כעזר למנייה של האדם. בדיעבד, ניתן לקשר בין עצם השועל למושגים המודרניים התאמה חד חד ערכית ובסיס ספירה (5). ממצא נוסף, שתוארך ל-25,000 לפני הספירה פחות או יותר, היו מערות בצרפת ובספרד שעליהן צורות גאומטריות.
ישנו מספר מוגבל של ממצאים מהתקופה הפרהיסטורית שמראים תפישה ברורה של פעולות החשבון, אך הממצא הברור ביותר מהתקופה הוא עצם האישנגו מאפריקה, שמתוארך לבין השנים 20,000-18,000 לפנה"ס, שעל פי אחת הפרשנויות מראה על היכרות עם פעולות החשבון, הבחנה בין מספרים זוגיים לאי-זוגיים ואף על הבנה בסיסית של מושג המספרים הראשוניים.
תקופת העת העתיקה.
מצרים העתיקה.
במצרים העתיקה חלה התפתחות משמעותית במתמטיקה. אמנם גם אז המתמטיקה נועדה לצרכים מעשיים בלבד, אך היא הייתה מורכבת יותר מבכל תקופה עד אז. עם זאת, היא לא התפתחה בצורה משמעותית במשך כל השנים שבהן התקיימה התרבות המצרית. לא נראה שהייתה קיימת במצרים מתמטיקה דדוקטיבית של ממש, אלא רק ניסוי וטעייה, שבעזרתם מגיעים לתוצאות קרובות לאמת עד כמה שאפשר.
ב-3000 לפנה"ס לערך, פיתחו המצרים גרסה ראשונית של השיטה העשרונית, כשהיא מעורבבת עם השיטה האונרית. דרכם הייחודית להצגת המספרים הייתה חיבורית, כלומר: כל ספרה ביטאה גודל מסוים, כשהגודל "הכללי" של המספר הוא סכום הגדלים של כל אחת מהן בנפרד, בלא תלות במיקום הספרה (בניגוד לשיטה העשרונית - בה כל ספרה מתארת גודל כלשהו כך שמיקום הספרה קובע את סדר הגודל).
בתקופה מאוחרת יותר, בעקבות המצאת הפפירוס, עברו המצרים לשיטת-סימון שונה, שקבעה לכל מספר מ-1 עד 9 סמל מיוחד, כמו גם סימון מיוחד לעשרות השונות, למאות וכולי. כתוצאה מכך, שיטה זו קיצרה את מספר הסימנים בהם הוצגו המספרים. למשל, כדי לכתוב את המספר 5,679 בכתב המצרי עלינו להשתמש רק בארבעה סימנים, במקום ב-27 סימנים. אך גם לשיטה זו היו חסרונות; היא הייתה קשה לזכירה, משום שהיו בה 36 סימנים שונים, לעומת 7 סימנים בסיסיים בכתב הקודם.
המצרים היו הראשונים שהכירו את מושג השבר והשתמשו בו. הייתה להם דרך סימון מיוחדת לשברים, אם כי היא הייתה אונרית: שברים שהמונה שלהם לא היה 1 הוצגו כסכומם של שברים אחרים בעלי המונה 1.
עד היום סוג השברים הזה נקרא שבר מצרי.
הממצאים העיקריים שיש בידינו כדי לדעת על התפתחותה של המתמטיקה המצרית הם פפירוס מוסקבה (1850 לפנה"ס) ופפירוס רינד, או בשמו השני פפירוס אחמס (1650 לפנה"ס). הם מעידים על ידע בפתרון משוואות ליניאריות ומשוואות ריבועיות. הנעלם נקרא "אה", כלומר ערימה. בפפירוס רינד ישנה גם טבלה המציגה נוסחאות לפירוק שברים שמוניהם 2 ומכניהם אי זוגיים (אחרת השבר מצטמצם ב-2), לסכום שברים יסודיים (שברים שמוניהם שווים ל-1). הידע מופגן לרוב בבעיות יומיומיות, העוסקות בנושאים כמו אפיית לחם או תשלום שכר לפועלים.
הגאומטריה המצרית, שאותה כינו "הרפדונפטה" (, מילולית: מותחי חבל), הגיעה גם היא להישגים. המצרים השתמשו בגאומטריה למטרות מעשיות, כמו חפירת תעלות, חלוקת אדמות וכולי. הם הכירו שיטות לחישוב שטחיהם של מלבנים, טרפזים ומשולשים ישרי-זווית או שווי-שוקיים, ואת נפחיהן של תיבות, אם כי לעיתים הם שגו. כמו כן, הם הכירו קירוב לפאי: formula_1 ששווה ל-3.16 לערך (לעומת הערך האמיתי שקרוב יותר ל-3.14), קירוב שנמצא בעקבות מדידות גאומטריות של היחס בין היקף המעגל לקוטרו, וכן שהיחס בין שטח עיגול להיקפו שווה ליחס בין שטח ריבוע החוסם אותו להיקפו. במאה ה-19 לפנה"ס הצליחו המצרים ליצור דוגמה לחישוב נפח פירמידה בעלת בסיס ריבועי. לא התקיימה הפרדה בין אריתמטיקה לגאומטריה במקורות המצריים.
אפילו ביוון העתיקה, ערש המתמטיקה הדדוקטיבית, מצרים נחשבה למולדתה של המתמטיקה ובמיוחד של הגאומטריה. עדויות לכך ניתן למצוא בכתביהם של אריסטו, אפלטון והרודוטוס.
בבל.
בסביבות שנת 3500 לפנה"ס שלטו באזור מסופוטמיה האשורים, שעשו שימוש בכתב יתדות וערכו את חישוביהם בבסיס 60. בין השנים 2300 ל-2100 לפנה"ס שלטו באזור זה האכדים, שהשפיעו על התרבות האשורית. הם הביאו עמם, בין היתר, את הגרסה שלהם לחשבונייה. בשנת 1900 לפנה"ס, אחרי שפלשו למסופוטמיה, קבעו הבבלים את בירתם בבבל. סביר להניח כי הבבלים ירשו את שיטת הספירה שלהם מן האשורים והאכדים משום נוחות השימוש בה (להשערות בדבר בחירת המספר 60 כבסיס ראו: בסיס סקסגסימלי).
שיטת הספירה הבבלית הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: הבבלים קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת (שיטה פוזיציונלית), בדומה לשיטה העשרונית בימינו, אם כי בסיס הספירה היא, כאמור, 60. כדי למנוע את הצרך ביצירת 60 סימנים מוסכמים שונים, השתמשו הבבלים בספירת משנה קיבוצית (ראו תמונה). למספר 0 לא יוחד סימן משלו עד לתקופה מאוחרת יחסית (300 לפנה"ס לערך), ופעמים רבות ניתן היה להבדיל בין 10X לבין X, למשל, רק בעזרת ההקשר.
בטבלאות אשר נמצאו על הפרת ומתוארכות לשנת 2000 לפנה"ס נמצאו ריבועי המספרים עד 59 וחזקותיהם השלישיות של המספרים עד 32. הבבלים עשו שימוש בזהויות: formula_2 או formula_3 ובטבלאות המתוארות לעיל, כדי לפשט את חישוביהם. לבבלים לא היה אלגוריתם לחילוק ארוך, לכן השתמשו בעובדה שמתקיים formula_4 ובטבלה של מספרים הופכיים לחילוק.
פלימפטון 322 הוא לוח חרסית שמקורו בבבל, והוא מתוארך לשנים 1900 לפנה"ס עד 1600 לפנה"ס. הפרשנויות באשר ללוח זה חלוקות. על פי חלק מהפרשנויות, הלוח שימש לייצור שלשות פיתגוריות או לחישוב ערכה של פונקציה טריגונומטרית, ובכך הוא מעיד על רמה מתמטית גבוהה של התרבות הבבלית, ומתבלט ביחס לשאר הממצאים מסוגו. על פי פרשנות אחרת, הלוח שימש ככלי עזר בהוראת חשבון, ואין בו ייחוד רב ביחס לממצאים הדומים לו. בכל אופן, סביר להניח כי העדויות על פתרון בעיות מתמטיות מורכבות יחסית אינם מעידים על קיומם של אלגוריתמים אלגבריים מגובשים, וכי פתרונם של אלה נעשה על ידי התבוננות בטבלאות.
ובכל זאת, יש הרואים בבבל את ראשית האלגברה. אכן, הבבלים הציגו חישובים שדומים לאלגברה המודרנית בחלק מעקרונותיה, וחלק מהבעיות יכלו להיפתר בעזרת משוואה ממעלה שנייה. התגלתה, לדוגמה, טבלה המציגה את ערכי formula_5 בעבור כל n טבעי עד 30. כמו כן נמצאה על אחת מלוחיות החימר מהתקופה הבבלית בעיה שניסוחה הוא: "החסרתי את הצלע של הריבוע מהשטח, וזה 870", ופתרונה הוא שצלע הריבוע היא 30. את המשוואה אפשר לתרגם בכתיב מודרני ל-formula_6. יש ויכוח בקרב החוקרים אם אכן הבבלים חשבו על המספרים בצורה מתמטית מופשטת, או שה"אלגברה" שלהם הייתה מבוססת על הסתכלות בטבלאות ותו לא, ושראייתה כאלגברה היא אנכרוניסטית.
לבבלים היו גם מספר הישגים בגאומטריה. הקירוב לפאי שהוזכר לרוב בכתביהם היה אמנם 3, פחות מדויק מהקירוב המצרי, אך הם מצאו קירוב טוב ביותר לשורש ריבועי של 2, שהוא היחס בין צלע של ריבוע לאלכסון שלו:
formula_7
קירוב בדיוק של ארבע ספרות סקסגסימליות, שהן כשש ספרות דצימליות (עשרוניות). מכיוון שהשורש הריבועי של 2 מקבל את משמעותו הגאומטרית על פי משפט פיתגורס, ובשל ממצאי לוח פלימפטון - ייתכן שהבבלים הכירו את המשפט, אך לא סביר שהם ידעו להוכיחו (או להוכיח כל משפט אחר). הגאומטריה הבבלית הייתה יישומית ולא מופשטת, וודאי שלא דדוקטיבית. בכל אופן, יש ראיות לכך שהם ידעו לחשב את שטחיהם של מצולעים משוכללים בני שלוש עד שבע צלעות, וכן להשוות בין שטחם לשטח של מרובעים הבנויים על צלעותיהם.
יוון העתיקה.
אחת מתרומותיה החשובות של יוון העתיקה לאנושות היא פיתוח המתמטיקה. היוונים נחשבים ליוצרי השיח המדעי ומושג ההוכחה המתמטית, וכן לראשונים שעסקו במתמטיקה לשם עצמה, כלומר כתחום מחקרי עיוני ומופשט ולא רק כעזר שימושי. עם זאת, לצדה של המתמטיקה הטהורה התפתחה מתמטיקה שימושית, ששימשה לצרכים יומיומיים ולקידום המדע (ובמיוחד האסטרונומיה).
לאורך רובה המוחלט של ההיסטוריה של המתמטיקה ביוון, היוונים נהגו לבטא כמעט את כל המתמטיקה במונחים גאומטריים; לדוגמה, מספרים אי-רציונליים (שהיוונים היו הראשונים לעסוק בהם) נקראו "קטעים חסרי מידה משותפת". למסורת זו הייתה השפעה על מתמטיקאים רבים לאורך מאות שנים.
המונח מתמטיקה יוונית קלאסית מתייחס למתמטיקה שהייתה קיימת עוד לפני התקופה ההלניסטית, כאשר מתמטיקה נכתבה בשפה היוונית רק בתחומי יוון. מאז תחילת התקופה ההלניסטית, בסוף המאה הרביעית לפני הספירה, התפשטה השפה היוונית, ומלומדים כתבו בשפה זו בכל חלקו המזרחי של אגן הים התיכון. זרימת הרעיונות הביאה לכך שהמתמטיקה היוונית ספגה ובלעה את המתמטיקה המצרית והבבלית; המתמטיקה בת תקופה זו נקראת מתמטיקה הלניסטית.
מרבית הטקסטים המתמטיים שנכתבו ביוונית נמצאו ביוון, מצרים, מסופוטמיה, אסיה הקטנה, סיציליה ודרום איטליה.
שיטת הספירה הראשונה שבה השתמשו היוונים מבוססת על בסיס עשרוני. הסמל של כל מספר היה האות הראשונה של אותו מספר ביוונית, אלא אם כן המספר היה מורכב מיותר מיחידת בסיס אחת (יחידות הבסיס היו המספרים בין 1 ל-9). כך למשל, המספר 5 (ביוונית: Πέντε) סומן באות פאי. שיטה זו נקראה השיטה האטית, על שם האזור ממנו השיטה התפתחה - אטיקה.