צורה זאת של ספירלות קוטס מתאימה לאחת משתי ספירלות פוינסוט (איור 8). הערכים האפשריים של λ נעים בין אפס לאינסוף, מה שמתאים לערכים של μ הגדולים יותר מהמספר החיובי "L"12/"m". לכן, תנועה דמוית ספירלת פוינסוט מתרחשת במקרה של כוחות היפוך מעוקבים דחייתיים, ונכונה במקרה ש-"L" לא גדול מדי לערך נתון של μ.
אם ניקח את הגבול של "k" או λ כאפס נקבל כפתרון את הצורה השלישית של ספירלת קוטס, זו הנקראת "ספירלה הופכית" או "ספירלה היפרבולית":
formula_17
כאשר "A" ו-"ε" הם קבועים שרירותיים. עקומים כאלה נוצרים כאשר החוזק μ של כוח הדחייה מאזן במדויק את איבר התנע זוויתי - מסה:
formula_18.
מסלולים סגורים וכוחות מרכזיים היפוך מעוקבים.
לשני סוגים של כוחות מרכזיים - אלו שגדלים באופן ליניארי עם המרחק "F = Cr", כמו בחוק הוק, וכוחות היפוך ריבועיים "F" "C"/"r"2, כמו בחוק הכבידה העולמי של ניוטון וחוק קולון, יש תכונה מאוד מיוחדת. חלקיק הנע תחת השפעת כל אחד מהכוחות האלה תמיד חוזר למיקום ההתחלתי שלו עם המהירות ההתחלתית שלו, בתנאי שאין לו מספיק אנרגיה כדי לנוע לאינסוף. במילים אחרות, המסלול של חלקיק הוא תמיד סגור והתנועה שלו חוזרת על עצמה אינסוף פעמים, לא משנה מה המיקום או המהירות ההתחלתית שלו. כפי שמראה משפט ברטרנד, תכונה זאת לא מתקיימת כאשר מניחים סוגים אחרים של כוח; באופן כללי, חלקיק לא יחזור לנקודת ההתחלה שלו עם אותה מהירות.
אף על פי כן, המשפט של ניוטון מראה שניתן להוסיף כוח היפוך מעוקב ניתן לכוח ליניארי או היפוך ריבועי באופן כזה שמסלול החלקיק יישאר סגור, בהינתן ש-"k" שווה למספר רציונלי (מספר נקרא "רציונלי" אם הוא ניתן לכתיבה כשבר "m"/"n", כאשר "m" ו-"n" שניהם מספרים טבעיים). במקרים כאלה, ההוספה של כוח היפוך מעוקב תגרום לחלקיק להשלים "m" סיבובים בזמן שהוא משלים
"n" תנודות רדיאליות. השיטה הזאת להפקת מסלולים סגורים כאלו לא מפרה את משפט ברטרנד, כיוון שהכוח ההיפוך מעוקב שמוסיפים תלוי במהירות ההתחלתית של החלקיק.
מסלולים הרמוניים ותת-הרמוניים הם סוגים מיוחדים של מסלולים סגורים כאלו. מסלול סגור ייקרא "מסלול הרמוני" אם "k" הוא מספר טבעי, כלומר כאשר "n" 1 בנוסחה
"k" "m"/"n". לדוגמה, אם "k" 3 (הכוכב הירוק באיורים 1 ו-4, והמסלול הירוק באיור 9). המסלול שנוצר הוא ההרמוניה השלישית של המסלול המקורי. בשונה מכך, מסלול סגור ייקרא "מסלול תת-הרמוני" אם "k" הוא ההופכי של מספר טבעי, כלומר כאשר "m" 1 בנוסחה "k" "m"/"n". לדוגמה, אם "k" 1/3 (הכוכב הירוק באיור 5, והמסלול הירוק באיור 10), המסלול שנוצר הוא התת-הרמוניה השלישית של המסלול המקורי. אף על פי שקרוב לוודאי שמסלולים כאלה לא יופיעו בטבע, הם שימושיים להדגמת המשפט של ניוטון.
גבול של מסלולים כמעט מעגליים.
בטענה 45 של הפרינקיפיה, ניוטון מיישם את המשפט שלו על מסלולים סובבים כדי לפתח שיטה כללית למצוא את חוקי הכוח ששולטים בתנועה של כוכבי הלכת. יוהאנס קפלר הבחין שהמסלולים של מרבית כוכבי הלכת ושל הירח הם אליפסות, ושהציר הארוך של האליפסות האלה ניתן לחישוב באופן מדויק מתצפיות אסטרונומיות. הציר הארוך מוגדר כקו שמחבר את המיקומים במסלול בעלי המרחק המינימלי והמקסימלי מהנקודה המרכזית, כלומר הקו שמחבר את שני האפסידים. לצורך ההדגמה, הציר הארוך של מסלול כוכב הלכת חמה מוגדר כקו שמחבר את מיקומי הפריהליון והאפהליון העוקבים שלו. במהלך הזמן, הציר הארוך של מרבית הגופים במסלול סובב בהדרגה, באופן כללי לא יותר מכמה מעלות לסיבוב שלם אחד, וזאת בגלל משיכות כבידתיות מגופים אחרים, פחיסות בגוף המושך, אפקטים יחסותיים, ואפקטים אחרים. השיטה של ניוטון נעזרת בפרצסיה האפסידית הזאת כמבדק רגיש לסוג הכוח שפועל על כוכבי הלכת.
המשפט של ניוטון תיאר עד כה רק את האפקט של הוספת כוח היפוך מעוקב. עם זאת, בטענה 45 ניוטון מרחיב את המשפט שלו לכוחות מרכזיים שרירותיים ("F"("r" באמצעות התמקדות במסלולים שהם כמעט מעגליים, כמו אליפסות עם אקסצנטריות נמוכה ("ε" ≤ 0.1), תנאי שהוא נכון לשבע מתוך שמונה מסלולי כוכבי הלכת במערכת השמש. ניוטון גם יישם את המשפט שלו למסלול כוכב הלכת חמה, שיש לו אקסצנטריות "ε " של בערך 0.21, והציע שהוא עשוי להשפיע על השביט של האלי, אשר למסלולו יש אקסצנטריות של בערך 0.97.
נוסחה כמותית.
הגישה בה ניוטון נעזר כדי לחשב את האפקט של חוקי כוח שרירותיים בגבול של מסלול כמעט מעגליים היא להסתכל על האפקט של תנודות קטנות במרחק הרדיאלי של הכוכב ממרכז הכוח, ולהשוות עם האפקט של כוח היפוך מעוקב על פרצסיית המסלול של הכוכב. כיוון שניוטון הראה שהוספת כוח היפוך מעוקב היא המפתח להבנת הפרצסיה של מסלולים, ושכל פרצסיה ניתנת למידול על ידי הוספת כוח כזה, השוואה בין האפקט של השינוי הקטן בכוח שמפעיל מרכז הכוח (הנגזר מחוק הכוח הכללי) לאפקט של כוח היפוך מעוקב, איפשרה לו לגזור נוסחה כללית להשפעה של חוק כוח כללי על מסלול כוכב הלכת. להלן מובא הפיתוח של ניוטון.
כדי לפשט את המשוואות, ניוטון כותב את הכוח המרכזי ("F"("r" במונחים של פונקציה חדשה ("C"("r":
formula_19
כאשר "R" הוא הרדיוס הממוצע של המסלול הכמעט מעגלי. ניוטון מפתח את ("C"("r" בטור שכעת נקרא טור טיילור - הוא מפתח את הפונקציה בטור חזקות של המרחק "r" סביב הנקודה
"r" = "R", באחת ההופעות הראשונות של טור כזה. באמצעות השוואת האיבר ההיפוך מעוקב בטור עם האיבר ההיפוך מעוקב שנגזר מהמשפט הקודם שלו (טענה 44), ניוטון גוזר פקטור סקלה זוויתי אקוויוולנטי בעבור מסלולים כמעט מעגליים:
formula_20
במילים אחרות, ההפעלה של כוח מרכזי שרירותי ("F"("r" על מסלול אליפטי כמעט מעגלי יכולה להאיץ את התנועה הזוויתית בפקטור "k" מבלי להשפיע על התנועה הרדיאלית באופן משמעותי. אם מסלול אליפטי הוא סטציונרי, החלקיק מסתובב משביב למרכז הכוח ב-180° כשהוא נע מקצה אחד של הציר הארוך לשני (שני האפסידים). לכן, הזווית האפסידית המתאימה "α" בעבור כוח מרכזי כללי שווה "k"×180°, מסקנה אליה מגיעים באמצעות שימוש בחוק הכללי "θ"2 "k" "θ"1.
דוגמאות.
דוגמה 1
נניח שהכוח המרכזי ("F"("r" הוא מונום, כלומר ש-("C"("r" הוא מהצורה:
formula_21
אז מהנוסחה האחרונה נקבל:
formula_22
מה שנותן זווית פרצסיה להקפה שלמה ששווה ל-:
formula_23.
הנוסחה מראה בבירור שחוקי חזקה גבוהים יותר גורמים לפרצסיה מסלולית גבוהה יותר.
בפרינקיפיה ניוטון מביא מספר ניבויים ספציפיים של הנוסחה. האחד הוא בעבור כוח היפוך ריבועי, שם מקבלים ש- n = 1 ושזווית הפרצסיה היא אפס, כלומר שמתקבל מסלול סגור, בהתאמה מושלמת עם פתרון בעיית קפלר. השני הוא בקשר למקרה של מתנד הרמוני, שם n = 4 ומקבלים זווית פרצסיה של 180 מעלות בדיוק. במקרה זה המסלול עדיין נשאר סגור.
הניבוי השלישי הוא זה של כוח רדיאלי קבוע, שם n = 3 ומקבלים זווית פרצסיה ששווה ל-formula_24 מעלות. ישנן דוגמאות ספציפיות להתנהגות כזאת, הפשוטה שבהן היא הבעיה של חלקיק הנופל במורד חרוט עם ציר אנכי. בבעיה זו החרוט נמצא בשדה כובד אחיד ומוצב כך שצירו מקביל לכיוון שדה הכובד, ומניחים בו חלקיק לו מקנים מהירות התחלתית שונה מאפס בכיוון כלשהו כך שהחלקיק מקובע לחרוט כל משך תנועתו. הדרישות הן שהחלקיק מצד אחד לא יימצא במסלול מעגלי יציב, ומצד שני ינוע עדיין במסלול כמעט מעגלי, אז מקבלים התנהגות מעניינת כזאת של ההיטל של החלקיק על מישור שניצב לציר החרוט.
דוגמה 2
כהדגמה מסכמת ואחרונה, ניוטון מחשיב כעת סכום של שני חוקי חזקות:
formula_25
הנוסחה לחישוב הפרצסיה (שהשתמשנו בה בדוגמה הראשונה) מראה כי כעת המהירות הזוויתית תוכפל ב-:
formula_26
ניוטון מיישם את שתי הנוסחאות האלו (בעבור חוק החזקה וסכום של שני חוקי חזקה) כדי לבחון את הפרצסיה האפסידית של מסלול הירח.
הפרצסיה של מסלול הירח.
התנועה של הירח ניתנת למדידה בדיוק רב, והיא באופן מובהק יותר מורכבת מתנועת כוכבי הלכת. האסטרונומים היוונים הקדומים, היפרכוס ותלמי, הבחינו במספר שינויים מחזוריים במסלול הירח, כמו תנודות קטנות באקסצנטריות המסלולית שלו ובנטיית המסלול שלו יחסית למישור המילקה. התנודות האלו מתרחשות בקנה מידה זמני של אחת לחודש או פעמיים בחודש. קו האפסידים שלו מבצע פרצסיה הדרגתית עם זמן מחזור של בערך 8.85 שנים, בעוד קו ה-nodes (נקודות בהן מסלול הירח חותך את המישור המשווני של כדור הארץ) משלים מעגל שלם בערך בזמן כפול מכך, 18.6 שנים. נתונים אלה מסבירים את המחזוריות בת ה-18 שנים של ליקויי החמה, שנקראת מחזור סארוס (Saros cycle). בנוסף לכך, שני הקווים הללו מראים פלקטואציות קטנות בתנועה שלהם, שגם הם מתרחשות על בסיס חודשי.
ב-1673, ירמיה הורוקס פרסם מודל מדויק של תנועת הירח שבו מניחים שהירח מתווה מסלול אליפטי שמבצע פרצסיה. שיטה מדויקת ופשוטה באופן מספיק לחזות את תנועת הירח תוכל לפתור את בעיית הניווט של קביעת קו האורך של ספינה בים; בתקופתו של ניוטון, היעד היה לחזות את מיקום הירח בדיוק של שתי דקות קשת, דיוק ששווה ערך לשגיאה של מעלה אחת בקו האורך הארצי. המודל של הורוקס חזה את המיקום הירחי עם שגיאות שלא עולות על 10 דקות קשת; לשם השוואה, הקוטר של הירח הוא בערך 30 דקות קשת.
ניוטון נעזר במשפט שלו על מסלולים סובבים בשתי דרכים כדי להסביר את הפרצסיה האפסידית של הירח. ראשית, הוא הראה שהפרצסיה האפסידית הנצפית של מסלול הירח ניתנת להסבר אם משנים את חוק הכוח של הכבידה מחוק היפוך ריבועי לחוק חזקה שבו המעריך הוא 4/243 + 2 (בערך 2.0165):