באותם רגעים עוזבת קלרה בלב שבור על הרכבת לסן פרנסיסקו בנסיעה לכיוון אחד, אך שומעת לפתע מספר נוסעים משוחחים אודות לבו השבור של דוק מן הפרידה מאהובתו. היא עוצרת את הרכבת במשיכת בלמי החרום ושבה במרוצה לביתו של דוק, שם היא מוצאת את מודל האצת מכונת הזמן שהדגים דוק למרטי, ויוצאת למרדף סוסי אחר הרכבת, ששבה בינתיים לנסוע. הרכבת נעצרת שוב בידי דוק ומרטי באיומי אקדח, והם מנתקים את הקטר ומפנים אותו למסילת גיא קלייטון. קלרה מתגנבת לקטר שעה שהם מחממים את דוד הקיטור יותר ויותר באמצעות פצצות מיוחדות. כעבור כמה דקות הדוד מתפוצץ וקלרה כמעט שנהרגת. דוק יוצא לעזרת קלרה בעזרת ההוברבורד של מרטי משנת 2015 – ונשאר ב-1885. הקטר הבוער צונח מן הגשר הבלתי גמור אל הגיא ומתפוצץ.
מרטי שב ל-27 באוקטובר 1985 על גבי גשר "נקיק איסטווד", ונמלט מן המכונה בעור שיניו שעה שרכבת חולפת מגיחה מהכיוון הנגדי ומשמידה את המכונה – ובכך מתקיימת צוואתו של דוק. מרטי חוזר לביתו בלבושו מן העבר, מה שמעורר חיוכים בקרב משפחתו. הוא אוסף את רכב השטח שלו (מסוף הסרט הראשון) ופוגש את חברתו ג'ניפר, הבטוחה כי חלמה חלום כל הזמן. בדרכם לאגם, ג'ניפר ומרטי פוגשים בצומת רמזורים את נידלס (שותפו לעתיד הגורם לפיטוריו בסרט השני) וחבר מרעיו, המעוניינים להתחרות בו ברכבם. מרטי נעתר, אך כשמתחלף אור הרמזורים לירוק, מרטי נוהג אחורנית, וכעבור רגעים ספורים נוכח לדעת כי אם אכן היה מתחרה - היה מתנגש ברכב רולס־רויס בצומת הבא. ג'ניפר נזכרת בתת-מודע במשפט דומה ששמעה בעבר, ושולפת את מכתב הפיטורין שלו (אותו שמרה לעצמה כשהייתה בעתיד), שנמחק למול עיניהם.
כשהם מגיעים לבקר את הריסות המכונה מגיחה בשאגת פיצוצים רכבת זמן חדשה ונעצרת לידם. מתוכה יוצאים דוק, קלרה ושני ילדיהם, שהגיעו על מנת להיפרד ממרטי ומג'ניפר.
צירי זמן.
בסרט זה קיימים שלושה צירי זמן:
רגרסיה ליניארית
רגרסיה ליניארית היא שיטה מתמטית למציאת הפרמטרים של הקשר בין משתנה בלתי תלוי X למשתנה תלוי Y, בהנחה שהקשר ביניהם ליניארי, כלומר מהצורה formula_1. השיטה משמשת לניתוח מדגמים סטטיסטיים. נוסחת הרגרסיה הליניארית מחשבת את הקו הישר שעובר דרך הנקודות שבמדגם. במצב של קשר ישיר מדויק כל הנקודות במדגם יימצאו על הקו עצמו. במציאות גורמים נוספים משפיעים על המדגם והנקודות לרוב מפוזרות מסביב לקו. הקו מחושב בצורה כזאת שסכום ריבועי המרחקים של הנקודות מהקו הוא הקטן ביותר. רגרסיה ליניארית מרובה מחשבת קשר בין מספר משתנים בלתי תלויים יחד, למשתנה תלוי אחד.
רגרסיה ליניארית עם משתנה מסביר יחיד.
המקרה הפשוט ביותר הוא זה שבו קיימים שני משתנים: משתנה בלתי תלוי X שהוא המשתנה המסביר, ומשתנה תלוי Y שהוא המשתנה המוסבר. לדוגמה, אפשר לנסות להסביר ולנבא באמצעות המודל את גובהו של עץ תפוחים (Y, במטרים), על פי משקלו של הזרע שממנו הוא צומח (X, בגרמים).
בבסיס השיטה עומדת ההנחה כי המודל המסביר את הקשר בין המשתנים הוא מודל ליניארי, כלומר, שמשוואה מסוג formula_2 תתאר נכונה את הקשר. ליתר דיוק, מניחים שבמדגם הכולל n דגימות formula_3, מתקיים הקשר formula_4, כאשר a ו-b הם פרמטרים קבועים (שאינם ידועים), ואילו גורמי השגיאה formula_5 הם משתנים בלתי תלויים שווי התפלגות, שהתוחלת שלה 0, והשונות שלה, formula_6, קבועה (אבל אולי בלתי ידועה). לעיתים רבות מניחים גם כי ההתפלגות של גורמי השגיאה היא נורמלית.
המטרה הראשונה של הרגרסיה הליניארית היא לסייע באמידת Y, כאשר X ידוע. לדוגמה, אם ידוע שגובהם הממוצע של עצי תפוח הוא 6 מטרים, אז ההערכה הטובה ביותר שאפשר לתת לגובהו העתידי של עץ שטרם צמח, היא (מן הסתם) 6 מטרים. לעומת זאת, אם אכן קיים קשר ליניארי בין משקל הזרע לבין גובה העץ, אפשר לנסות להעריך את מקדמי הקשר באמצעות מדגם גדול מספיק. אם שיטת הרגרסיה מנבאת את הקשר formula_7, פירושו של דבר שהשתיל שנבט מזרע במשקל 1.5 גרם יצמח לגובה 7 מטרים - ההערכה משתפרת, באמצעות ניצול המידע הנוסף שבמשתנה המסביר X.
את ערכי הפרמטרים a ו-b אומדים, מתוך המדגם, באמצעות שיטת הריבועים הפחותים: מחפשים את המספרים formula_8 שעבורם סכום הריבועים formula_9 הוא הקטן ביותר. (מן ההנחה שהשגיאה מתפלגת נורמלית, נובע שמספרים אלה מהווים אומד נראות מקסימלית של formula_10 ו-formula_11). לקו המתקבל מן האומדים יש תכונה שימושית - הוא תמיד עובר דרך נקודת הממוצעים formula_12, כלומר, formula_13.
חישוב הפרמטרים היסודיים של המדגם (לרבות סטיות התקן של X ושל Y) מאפשר גם לבדוק השערות סטטיסטיות על a ו-b. לדוגמה, אפשר לבדוק את ההשערה formula_14, שממנה נובע כי Y אינו תלוי (ליניארית) ב-X. אמנם בכל מדגם מעשי יופיע קשר מסוים בין X ל-Y, אך התורה של בדיקת השערות מאפשרת לזהות מתי קשר זה הוא מקרי בלבד, ומתי הוא מובהק ואינו מקרי.
רגרסיה מרובה.
במקרים רבים מבקשים להסביר משתנה יחיד, Y, באמצעות מספר משתנים מסבירים, formula_15. לדוגמה, ייתכן שכדי להסביר את גובהו של עץ תפוח, יש להתחשב לא רק במשקל הזרע, אלא גם בכמות המשקעים השנתית במקום שבו הוא גדל, בגובהו של העץ שממנו הגיע הזרע, ובמליחות הקרקע. אם ההשפעה של משתנים אלה על Y היא ליניארית, מודל הרגרסיה יוכל למצוא (כמקודם), את הפרמטרים המגדירים את הקשר הליניארי, ובכך יסייע לשפר את ההערכה של Y עוד יותר.
המודל הבסיסי של הרגרסיה הליניארית גמיש מספיק כדי לאפשר תלות בין המשתנים המסבירים, וניתן לכלול בו גם גורמים שאינם ליניאריים (כמו במודל formula_16). אחד השימושים העיקריים של המודל הוא במדידת הרלוונטיות של משתנה מסביר, באמצעות השוואת המודל הכולל אותו, למודל המסביר את אותה תופעה בלעדיו. הוספת משתנים משפרת את יכולת ההערכה כמעט ללא יוצא מן הכלל, אבל במקרים רבים השיפור הוא אקראי, ואינו נובע מקשר אמיתי בין המשתנים. גורם עיקרי במענה על שאלות מסוג זה מהווה מקדם המתאם המרובה, המסומן formula_17, ומתפלג (לאחר תיקון) התפלגות F.
הגדרה פורמלית.
תהי formula_18 סדרה בת formula_19 איברים של ערכי משתנה formula_20, ו formula_21 משפחה של קבוצות שאיבריהן הסדרות: formula_22. לכל אינדקס formula_23 נגדיר את הווקטור: formula_24.
תחת הנחת הליניאריות נאמר כי רכיבי הווקטור מקיימים את הקשר הליניארי הבא:
formula_25
כאשר:
המודל הליניארי המלא הוא מערכת של formula_19 משוואות ב-formula_35 נעלמים, המסומן:
formula_36
כאשר:
formula_42
משוואת המודל הליניארי.
בהינתן מערכת המשוואות הליניארית: formula_36, וקטור פתרונות המערכת, formula_46, נגדיר העתקה: formula_47 באופן הבא:
formula_48.
ברדוקציה על הגדרה זו, אנו למעשה מייצרים פולינום formula_35- משתני ממעלה 1, שמקדמיו הם פתרונות המערכת, בתוספת גורם קבוע:
formula_50
פולינום זה מאפשר לנו לקבל אומדן לכל ערך של משתנה formula_51 בטווח הדגימה, דהיינו: formula_52, בהינתן כל formula_35 ערכים שנבחר למשתנים: formula_54.
משוואת הניבוי של המודל הליניארי.
המודל המוצג לעיל הוא תאורטי בלבד, ומניח למעשה כי דגמנו מאוכלוסייה בת formula_19 פרטים, את כלל הפרטים. במציאות, דגימה של כלל האוכלוסייה לרוב אינה אפשרית, ועל כן נהוג לבנות את משוואת הניבוי באמצעות אומדים למודל הליניארי של האוכלוסייה. במקרה זה, נחפש וקטור פתרונות formula_56, עבור המשוואה: formula_57.
אומדים חסרי הטיה.
מכיוון שהווקטור formula_56 מקיים את השוויון: formula_57 ולא את השוויון: formula_60, בכל מקרה בו formula_61 נקבל: formula_62, ועל כן נשאף למצוא וקטור formula_56 כך ש: formula_64.
מכיוון שדגמנו formula_19 ערכים של המשתנה formula_20, נדרוש את הדרישה השקולה: formula_67
וקטור שעומד בדרישה זו נקרא אומד ל- formula_68 בשיטת הריבועים הפחותים, יקיים את התכונות הבאות:
שתי התכונות האחרונות ניתנות להרחבה במודל בו מניחים formula_77 ושקולות, בהתאמה, לשתי התכונות הבאות:
תכונות אלו יחדיו, מבטיחות כי הגדלת גודל המדגם עליו מבוססת משוואת האמידה, תקרב אותנו לפרמטרים האמיתיים של האוכלוסייה, דהיינו, אל formula_72.
ההנחות הקלאסיות.
קיומו של אומד חסר הטיה אינו מובטח עבור כל סדרת תצפיות שנבחר, ועל כן עלינו לוודא כי מתקיימות בנוסף ההנחות הבאות:
אמידה במקרים בהם לא מתקיימות ההנחות הקלאסיות.
לא בכל מדגם שנאסוף יתקיימו כלל ההנחות שמנינו לעיל, לרוב בעקבות תכונות של האוכלוסייה ממנה נלקחו התצפיות, או מגבלות באיסוף התצפיות עצמן. במקרים כאלו, לא ניתן להשתמש בשיטת הריבועים הפחותים לאמידת המודל, ונדרש להשתמש בשיטות אמידה אחרות, שמניבות אומדים חסרי הטיה, תחת הנחות מקלות יותר.
במציאות, סדרות נתונים לרוב לא יקיימו את כלל ההנחות הקלאסיות, ועל כן לאורך השנים התפתחו שיטות אמידה רבות. את השיטות השונות ניתן לחלק למספר קטגוריות, בהתאם להנחות שהן מתירות להפר:
שימושים של רגרסיה ליניארית.
לרגרסיה ליניארית שימוש נרחב במדעי החיים, מדעי החברה ומדעי ההתנהגות לתיאור קשרים אפשריים בין משתנים. היא נחשבת כאחד מהכלים החשובים שנעשה בהם שימוש בדיסציפלינות הללו.
קו מגמה.