באלגברה ליניארית, צורה רציונלית קנונית של מטריצה נתונה היא מטריצת בלוקים מסוימת הדומה לה. לכל מטריצה המוגדרת מעל שדה F קיימת צורה רציונלית קנונית יחידה מעל אותו שדה. הצורה הרציונלית מציגה באופן בולט את הפירוק לגורמים של הפולינום האופייני של המטריצה ואת היחס בינו לבין פעולת המטריצה על תתי מרחבים מסוימים הקשורים אליו.
בניגוד לצורת ז'ורדן, המוגדרת רק כאשר הפולינום האופייני מתפצל לגורמים ליניאריים, הצורה הרציונלית מוגדרת מעל כל שדה. אם מרחיבים את השדה, עשויים להווסף לפולינום האופייני גורמים חדשים, ואז הצורה משתנה. כאשר צורת ז'ורדן של המטריצה מוגדרת, היא צמודה לצורה הרציונלית.
מטרה.
אחד הרעיונות הבסיסיים באלגברה ליניארית הוא הקשר בין מטריצות והעתקות ליניאריות. מחד, כל העתקה ממרחב וקטורי (בעל ממד סופי) אפשר לייצג על ידי מטריצה ריבועית, לאחר שבוחרים בסיס למרחב. מאידך, כל המטריצות המייצגות את אותה העתקה עבור בסיס שונה דומות זו לזו.
כדי להקל על חישובים (מעשיים ותאורטיים) הקשורים בהעתקה ליניארית המיוצגת על ידי המטריצה A, חשוב למצוא מטריצה דומה לה שתהיה נוחה יותר לטיפול. מטריצות בלוקים הן דוגמה טובה למטריצות כאלה. באופן טבעי מחפשים את מטריצת הבלוקים המוצלחת ביותר.
בעיה שכיחה אחרת היא ההכרעה האם שתי מטריצות נתונות מייצגות את אותה העתקה. לשם כך נדרש נציג "קנוני", יחיד, בכל מחלקת דמיון של מטריצות: אם שתי המטריצות דומות לאותו נציג, אז הן דומות; ואחרת, לא.
התאוריה של צורות רציונליות.
נתונה מטריצה ריבועית A, בגודל n, מעל שדה F. אפשר ללמוד את המטריצה דרך המודול המשויך לה: זהו מודול מעל חוג הפולינומים במשתנה אחד formula_1, שיש לו מבנה של המרחב הווקטורי formula_2, ובנוסף formula_3. מטריצת היחסים של המודול היא המטריצה formula_4, ולכן אפשר ללמוד את המודול על ידי פעולות הפיכות על שורות ועמודות במטריצה זו.
אפשר להוכיח שכל מטריצה ריבועית מעל תחום ראשי (וחוג הפולינומים הוא כזה) אפשר להביא (על ידי פעולות הפיכות כאמור) לצורה קנונית, שהיא מטריצה אלכסונית, בה מחלק כל איבר של האלכסון את האיבר שבא אחריו. עובדה זו שקולה למשפט המרכזי של תורת המבנה של מודולים מעל תחומים ראשיים, שלפיו כל מודול נוצר סופית מעל חוג כזה הוא סכום ישר של מודולים ציקליים.
אברי האלכסון בצורה הקנונית של formula_4 נקראים 'הגורמים האינווריאנטיים' של A, והצורה הרציונלית הקנונית של A היא מטריצת הבלוקים האלכסונית, שהבלוקים באלכסון הראשי שלה הם מטריצות מלוות של הגורמים האינוואריאנטים. יצוין שהגורם האינווריאנטי האחרון שווה לפולינום המינימלי של A, ומכפלת כל הגורמים היא הפולינום האופייני.
אל-אזהר
אל-אזהר (בערבית: الأزهر الشريف אל-אזהר הנכבד) היא אקדמיה מוסלמית הנמצאת בקהיר, בירת מצרים. הוא נחשב כיום למוסד הלימוד החשוב ביותר של האסלאם הסוני. אל-אזהר נוסד כמסגד אל-אזהר בשנת 972, זמן קצר לאחר ייסוד קהיר (שנקראה אז "פוסטאט"), בתקופת הח'ליף אל-מעז לדין אללה. המבנה עוצב בידי הגנרל הפאטמי ג'ווהר אס-סקולי, כובש מצרים מטעם הפאטימים. בשנת 988 קיבל המסגד תפקיד נוסף כמוסד ללימודי דת האסלאם. שמו של המוסד נגזר משמה של בת הנביא מוחמד פאטמה א-זהראא', שאליה מייחסים עצמם בני השושלת הפאטמית. בתקופה הסמוכה להקמתו היה המוסד שייך לאסכולה התאולוגית ("מדרסה") האיסמאעילית, שהייתה ענף של השיעה. זאת משום שבני השושלת הפאטמית היו שיעים. לאחר נפילת השושלת הפאטמית ועליית השושלות הממלוכיות במצרים, הפך אל-אזהר למוסד סוני, וכך נותר עד היום.
במשך יותר מאלף השנים שעברו מאז ייסודה נחשבת האקדמיה למוסד המוביל בעולם האסלאמי בתחומי השריעה, התאולוגיה האסלאמית והשפה הערבית. כמו כן שימשה האקדמיה מקור חשוב להכשרת אימאמים וקאדים ששימשו בתפקידם בכל רחבי העולם האסלאמי ואף עשו רבות להגדלתו על ידי איסלומן של קהילות חדשות. במשך כל תקופת פעילותו נלחם אל-אזהר בתפוצת האתאיזם, בכתות הסוטות מן האסלאם הסוני האורתודוקסי, במיסיון הנוצרי, בתנועות פוליטיות רפורמיסטיות, באנרכיה וביחסי מין אסורים (כלומר, יחסי מין שלא בין בעל ואישה, כולל יחסים הומוסקסואליים).
בשנים האחרונות מהווה אל-אזהר גורם אסלאמי ממתן בדרך כלל ביחס לארגונים אסלאמיים רדיקליים כמו האחים המוסלמים. לדוגמה, שיח' אל-אזהר לשעבר סיד טנטאווי הצהיר כי מבצעיהם של פיגועי 11 בספטמבר ומחבלים מתאבדים בכלל הם "כופרים" שאינם הולכים בדרכו האמיתית של האסלאם. בכנס שהתקיים באינדונזיה ביקש טנטאווי מכל "המאמינים האמיתיים" שלא לתת לתומכים באלימות כזו מקום במסגדים, וכך למנוע את ההתפשטות של אידאולוגיות אלימות. עלי גומעה, המופתי של מצרים לשעבר, הקשור לאל-אזהר, הכריז כי המורדים שחוטפים והורגים אזרחים בעיראק הם אלה שהאסלאם התיר להרוג מכיוון שהם גורמים להרס וחורבן. מצד שני, עבד א-סאבור שאהין, פרופסור חשוב באוניברסיטה, מכחיש כל קשר בין המוסלמים לפיגועים, וטוען כי "יד ציונית מלוכלכת" הייתה מאחוריהם.
מבנה אל-אזהר.
אל-אזהר עברה רפורמה בשנת 1961 כדי להתאימה כמוסד אקדמי במאה ה־20 במסגרת הרפורמה חולקה אל-אזהר למספר מוסדות:
כתבי הפדרליסט
כתבי הפדרליסט (באנגלית: Federalist Papers) הוא קובץ של 85 מאמרים על חוקת ארצות הברית. המאמרים נכתבו בין השנים 1787–1788. את מאמרי הפדרליסט כתבו ג'יימס מדיסון, אלכסנדר המילטון וג'ון ג'יי. המאמרים נכתבו מתוך כוונה להסביר לתושבי ניו יורק את היתרונות בחוקה המוצעת על פני תקנון הקונפדרציה.
רקע.
בעקבות מלחמת העצמאות האמריקאית זכו 13 המושבות הבריטיות בעצמאות מהשלטון הבריטי. 13 המושבות התאחדו במסגרת תקנון הקונפדרציה. לאחר שנוצרו בעיות במסגרת הקונפדרציה, כינס הקונגרס את ועידת פילדלפיה שבה ישבו נציגים מכל המושבות במטרה ליצור חוקה לאיחוד. את החוקה היו אמורות לאשר לפחות 9 מדינות. לאחר שנדמה היה שייתכן שמתנגדי החוקה ינצחו וידחו אותה, החליטו מחברי הפדרליסט שכחלק ממסע ההסברה של החוקה יש צורך להסביר לציבור הרחב את המשמעות של החוקה. בעקבות כך פורסמו מאמרי הפדרליסט בעיתונות בניו יורק.
תוכן.
מתוך 85 מאמרים, כותביהם של 73 לא מוטלים בספק, אולם לגבי 12 מאמרים לא ברור אם המילטון או מדיסון כתבו אותם, ועד היום הדעות חלוקות בעניין זה.
המאמרים נכתבו תחת שם העט פובליוס לכבודו של פובליוס ולריוס פובליקולה, קונסול רומי שחוקק חוקים התומכים בזכויות אזרח.
כתבי הפדרליסט מסבירים את המוטיבציה ליצור חוקה לארצות הברית, את הכשלים במערכת הנוכחית של הקונפדרציה ואת היתרונות הרבים הגלומים בחוקה.
כתבי הפדרליסט נחשבים לפרשנות מרכזית של החוקה האמריקאית, ובית המשפט העליון של ארצות הברית משתמש בו בשאלות חוקתיות.
אחד ההבדלים הבולטים בין החוקה לתקנון הקונפדרציה הוא הוספת סמכויות נרחבות לממשל הפדרלי על חשבון המדינות עצמן. כתבי הפדרליסט מסבירים את החשיבות בשלטון חזק ובעל כוח, ובה בעת את הצורך לאזן בין הכוחות הפדרליים השונים.
גם מתנגדי החוקה החדשה פרסמו מאמרים שזכו לכינוי מסמכי האנטי-פדרליסט, הם הצביעו במיוחד על כך שאין מגילת זכויות אזרח, שהוביל לקבלת מגילת הזכויות של ארצות הברית, עשרת התיקונים הראשונים לחוקה,
מאמרי הפדרליסט
השואה הארמנית
סנטה פה (ניו מקסיקו)
נג'יב מחפוט'
מודה אני
ביהדות, מודה אני היא תפילת הודיה קצרה הנאמרת מיד עם השכמת הבוקר:
נוסח ומשמעות.
התפילה מקובלת ברוב תפוצות ישראל והיא אחת התפילות המוכרות ביותר, אף על פי שהיא אינה מופיעה בתלמוד ובשולחן ערוך. מקורה הראשון הוא בספר סדר היום שחיבר המקובל הצפתי רבי משה בן מכיר. בתלמוד הירושלמי ישנה תפילה אחרת שדומה מעט בנוסחה: "מודה אני לפניך ה' אלהי ואלהי אבותי שהוצאתני מאפילה לאורה", ואולם תפילה זו שבירושלמי היא חלק משלוש תפילות שנאמרות בשלושת חלקי היום.
התפילה מסתיימת בביטוי "רבה אמונתך", שמקורו בפסוק במגילת איכה: "חדשים לבקרים - רבה אמונתך". שיבוש רווח בפיסוק התפילה הוא חיבור המילה 'רבה' למילה 'בחמלה' הקודמת לה, במקום חיבורה למילה 'אמונתך' הבאה אחריה.
עניינה של התפילה קשור לאמונה הדתית, שבשעת השינה מתנתקת הנשמה מהגוף ומופקדת בידי האל, והוא מחזירה בחמלתו בבוקר מחודשת ורעננה. סימוכין לתפיסה זו יש בפסוק "בידך אפקיד רוחי", שעליו מסתמך הפיוט אדון עולם - "בידו אפקיד רוחי, בעת אישן ואעירה." ועל כן נחשבת אצל חז"ל שינה כמיתה קטנה, "שינה אחד מששים במיתה" (), והאדם המאמין שמוצא את עצמו בבוקר שב לחיים ולהכרה, מעלה על שפתיו תפילת הודיה על "תחיית מתים" קטנה זו.
בביטוי המסיים 'רבה אמונתך' ישנם שני פרושים, האחד שה' אינו מעכב את הפיקדון, ומחזק את האמונה בו, בהחזרת הנשמות המופקדות אצלו (חת"ם סופר). פירוש אחר גורס שלאל יש אמונה רבה בבני אדם שיעשו מעשים טובים וישרים, ולכן הוא מחזיר להם את נשמותיהם.
בסידורים מסורתיים התפילה מנוקדת בלשון זכר: "מודֶה אני", אך בחלק מהסידורים המודרניים מופיעה גם וריאציה לנשים בלשון נקבה: "מודָה אני".
בשונה מתפילות וברכות אחרות שאינן נאמרות לפני נטילת ידיים, תפילה זו אינה מכילה את מילות שם ומלכות, ולפיכך אפשר לאומרה לפני הנטילה.
כפר&quot;ש
נוטרות
נוטרות היא כינוי לכוחות של שוטרים יהודים בארץ ישראל בתקופת המנדט הבריטי שכונו בשם "נוטרים".