דוגמאות לפתרונות של משוואת ריצ'רדס החד ממדית.
מאחר שמשוואת ריצ'רדס vht משוואה לא ליניארית, והיות ויש למצוא פונקציות שמתארות את מקדם המוליכות ועקום התאחיזה לצורך פתרון מדויק, פתרון אנליטי כללי לא קיים. דוגמאות לכלים שפותחו לשם פתרון נומרי של משוואת ריצ'רדס כוללים את התוכנות HYDRUS, TOUGH, SWAP, STOMP, MODFLOW-SURFACT, VS2DI, HYDROBIOGEOCHEM, FEHM, UNSATCHEM,MACRO
כלים אלה משתמשים, על פי רוב, במשוואות מקובלות לתיאור עקום התאחיזה כמו משוואת ון-גנוכטן ופונקציית מקדם המוליכות כמו משוואת מועלם, תוך שימוש בפרמטרים שמתאימים לקרקעות ולתצורות הסלע בהם מתרחשת הזרימה. הפתרונות האנליטיים שפותחו עבור משוואת ריצ'רדס מוגבלים למקרים פרטיים בלבד, כמו פתרונות עבור זרימה תמידית חד ממדית ומפותחת היטב (fully developed flow) שמתארים את תנועת המים בתווך בלתי רווי כתוצאה, למשל, מהתאדות קבועה ממפלס מי התהום. דוגמה אחרת כוללת פתרונות עבור זרימה חד ממדית אופקית או אנכית תוך הנחה שהמקדמים כמו מקדם המוליכות ומקדם הדיפוזיביות קבועים.
להלן שתי דוגמאות של פתרונות כלליים למשוואת ריצ'רדס המבוססים על קירוב למשוואת החום. פתרונות אלה אינם מיוחדים לתיאור זרימה בתווך נקבובי ונעשה בהם שימוש גם עבור בעיות מעבר חום, זרימה צמיגה, דיפוזיה מולקולרית ועוד. בהמשך, מובאת דוגמה לשימוש במשוואת ריצ'רדס לתיאור זרימה אופקית חד ממדית בקרקע במצב תמידי.
פתרון לזרימה אופקית.
עבור ניסוח חד ממדי אופקי תלוי formula_4 ובהנחה ש-formula_29 קבוע, נקבל את המשוואה :
formula_38
עבור תחום חצי אינסופי, תנאי התחלה ותנאי שפה מסוג דיריכלה כדלהלן,
formula_39
הפתרון של המשוואה הוא,
formula_40
כאשר,
formula_41 ו-formula_42 הן רטיבות הקרקע ברוויה ובתכולת הרטיבות השאריתית ו-erfc היא פונקציית השגיאה המשלימה.
פתרון לזרימה אנכית.
עבור ניסוח חד ממדי אנכי תלוי formula_4, ובהנחה ש-formula_29 קבוע, נקבל את המשוואה:
formula_45
על ידי שימוש בכלל השרשרת, ניתן לכתוב :
formula_46
עבור בעיה חצי אינסופית, בצירוף תנאי שפה דומים לדוגמה עבור הזרימה האופקית ובהנחה כי formula_47ו- formula_48 קבועים, הפתרון יינתן על ידי :
formula_49
פתרון לזרימה אופקית, תמידית בקרקע.
משוואת ריצ'רדס עבור זרימה תמידית formula_50 עבור בעיה חד ממדית אופקית, כאשר מקדם המוליכות מבוטא כפונקציה של העומד המטריצי היא:
formula_51.
ממשוואה זו נובע כי הביטוי formula_52 הוא קבוע וגודלו שווה לשטף בכיוון ציר ה-formula_53 formula_54:
formula_55
כעת, נשתמש במודל גרדנר לתיאור formula_56:
formula_57
מהצבת הביטוי ל-formula_56במשוואה, נקבל:
formula_59
נפתור על ידי הפרדת משתנים ואינטגרציה, בהינתן שהעומד המטריצי ב formula_60   הוא formula_61:
formula_62
formula_63
נקבל ביטוי לעומד המטריצי כפונקציה של המיקום:
formula_64
שאול אבן דנאן
רבי שאול אבן דנאן (חשוון ה'תרמ"ב 1882- כ"ב ניסן ה'תשל"ב, 6 באפריל 1972) היה דיין, אב בית דין, והרב הראשי למרוקו (ה'תש"ט 1949 - ה'תשכ"ה 1965). יקיר ירושלים לשנת 1968.
ביוגרפיה.
נולד לרבי שלמה אבן דנאן בחודש חשוון ה'תרמ"ב (1882) בפאס שבמרוקו, ואת ראשית תורתו למד מאביו.
בגיל ארבע עשרה נשא את אסתר בת ר' יהונתן מימרן. לבני הזוג נולדו ארבע בנות ובן. לפרנסתו עסק כסופר שטרות בעיר. לאחר פרעות התריתל מונה רבי שאול לאחד מחברי הוועדה (שמנתה חמישה עשר חברים) שתפקידה היה לשקם את הקהילה ולדרוש פיצויים מממשלת צרפת על הפגיעה ביהודי העיר.
בשנת ה'תרצ"ד (1934) נתמנה לדיין בבית הדין במרקש שהיה בנשיאות הרב משה זריהן. בשנת ה'תרצ"ט (1939) התמנה לראש אבות בתי הדין בעיר מוגאדור, ובשנת ה'תש"א (1941) נתמנה לחבר בית הדין הגבוה בעיר הבירה רבאט בנשיאות הרב יהושע ברדוגו.
בשנת ה'תש"ח (1948) נתמנה לראש בית הדין לערעורים, ולאחר פרישת הרב יהושע ברדוגו מתפקידו כרבה הראשי של מרוקו בשל גילו המבוגר, בשנת ה'תש"ט (1949) נתמנה הרב אבן דנאן למחליפו בתפקיד.
בשנת ה'תשכ"ה (1965) עלה לארץ ישראל. נפטר ביום כ"ב ניסן ה'תשל"ב (1972) בירושלים ונקבר בבית הקברות בגבעת שאול בחלקת משפחת דנאן.
וידאל הצרפתי (השלישי)
רבי וידאל הצרפתי השלישי, (כ"ז באלול ה'שצ"א, 24 בספטמבר 1631 – י"ד בכסלו ה'תס"ד, 22 בנובמבר 1703) כיהן כרב ומורה צדק בעיר פאס, וכחבר בית הדין בעיר. בן למשפחת צרפתי, משפחת רבנים בפאס.
חייו.
נולד לאביו רבי יצחק הצרפתי בפאס. ידוע כנין ונכד לרש"י ורבנו תם ודרכו לדוד המלך. הרב יוסף בן נאיים כתב בספרו "מלכי רבנן", שתיקן הרבה תקנות בעיר פאס, יחד עם הרבנים הרב שמואל סירירו, הרב סעדיה אבן דנאן, ואביו רבי יצחק הצרפתי, והרב עמנואל סירירו. עוד הביא הרב יוסף בן נאיים בשם היעב"ץ, שבשנת ה'תנ"ז הדיינים היחידים שהיו בפאס הם רבי וידאל הצרפתי, ורבי שמואל סירירו, ולאחר מכן (כעבור שנה) הוסיפו עוד דיינים. ובעוד תקופות לאחר מכן היו רבי וידאל ורבי סעדיה אבן דנאן הדיינים היחידים בעיר. חלק מתקנותיו התקבלו בפאס, מקנס, תטואן. היה אחד מרבותיו הגדולים של רבי יהודה בן עטר.
בנצור
מריה תרזה, ארכידוכסית אוסטריה (1762–1770)
מריה תרזה, ארכידוכסית אוסטריה (בגרמנית: Maria Theresia Elisabeth von Österreich; 20 במרץ 1762 - 23 בינואר 1770), הייתה בתו של יוזף השני, קיסר האימפריה הרומית הקדושה.
ביוגרפיה.
מריה תרזה נולדה בארמון שנברון, וינה ב-20 במרץ 1762, ליוזף השני, קיסר האימפריה הרומית הקדושה ואיזבלה, נסיכת פארמה, בתם של פליפה, דוכס פארמה, ולואיז אליזבת, נסיכת צרפת. מריה תרזה הייתה נכדה של פרנץ הראשון, קיסר האימפריה הרומית הקדושה ומריה תרזה, קיסרית אוסטריה, ונינה של קרל השישי, קיסר האימפריה הרומית הקדושה, פליפה החמישי, מלך ספרד ולואי החמישה עשר, מלך צרפת ובנוסף, בעת לידתה עוד היה סב-סבתה סטניסלאב לשצ'ינסקי, מלך פולין בחיים.
בשנת 1763 שוב נכנסה אמה להריון, אולם היא מתה ב-27 בנובמבר מאבעבועות שחורות שבוע לאחר שילדה את בתה מריה כריסטינה, אשר מתה כמה שעות לאחר הלידה. אביה יוזף הושפע קשות מפטירת אמה, ואף שהתחתן לאחר מכן עם מריה יוזפה, נסיכת בוואריה לא נולדו לו עוד ילדים. בשנת 1765 הוכתר אביה יוזף כקיסר האימפריה הרומית הקדושה, לאחר פטירת אביו, ושלט יחד עם אמו מריה תרזה. זמן קצר לפני יום הולדתה השמיני חלתה מריה תרזה בדלקת ריאות, וב-23 בינואר 1770 היא מתה בארמון שנברון, מה ששבר את אביה לחלוטין.
ברוך שיין
ברוך שיין (י"ג באדר ה'תרע"א, 13 במרץ 1911 -, 9 ביוני 1994) היה עיתונאי, ועורך לילה בעיתון הצופה וערך תוכניות רדיו בקול ישראל בעיקר בתחום החזנות והמוזיקה היהודית.
ביוגרפיה.
שיין נולד ב-1911 בעיירה ביאלובז'ג בפולין, לחנינא- נתן ואסתר גולדה. בגיל 13 עברה המשפחה להתגורר בעיר גארוולין שבדרום מזרח פולין. למד לימודים תורנים בבית מדרש בעיר ובנוסף לימודי השכלה כללית ואת השפה העברית ודקדוקה בבית ספר ערב "יבנה" בעיר.
בנעוריו היה חבר בתנועת "השומר הדתי" והשתתף כציר בוועידת התנועה, שהתקיימה בוורשה תרצ"ב. בשנת 1936 עלה לארץ ישראל באנייה "פולניה" .רבים מבני משפחתו שנשארו בחו"ל נספו בשואה. זמן קצר לאחר שעלה ארצה הצטרף ברוך שיין כזמר-חזן ל"מקהלת תל אביב" בניצוחו של המלחין והמנצח לייאו ליוב. במקביל למד לימודי מוזיקה אצל המלחין והמורה יצחק אדל.
אל עולם העיתונות הגיע ברוך שיין במקרה. בשנת 1938 התקבל כעובד דפוס בעיתון הצפה ששכן אז ברחוב הרצל 16 בתל אביב. והיה מראשוני עובדי בית הדפוס של "הצפה" .אט אט החל ב לפרסם ב"הצפה" כתבות ומאמרים בנושאי חזנות לצד עבודתו כפועל דפוס בעיתון.
בשנת 1942 נשא ברוך שיין לאישה את בלה ליפשיץ בת מרים ובן ציון ליפשיץ שעלתה עם משפחתה לארץ בתחילת שנות ה-30 מהעיר וולקוביסק שבפולין. בשנת 1950 הצטרף ברוך שיין למערכת עיתון הצופה, כעורך לילה. ופרסם בעיתון זה כתבות ומאמרים רבים על אירועי חזנות ושירה יהודית בהמשך היה בעל טור קבוע ב"הצפה" בו סקר הנעשה בעולם החזנות. במחצית שנות ה-50 במקביל לעבודתו ב"הצפה" החל לעבוד ב"קול ישראל" בעריכת תוכניות דת. ונמנה עם עובדיה הראשונים של המדור להווי ומסורת יהודית בקול ישראל. ברוך שיין עבר קורס עורכי תוכניות בהדרכת לאה פורת, וקורס בנושא קומוניקציה ציבורית בהדרכת ד"ר דינה גורן. בשנים 1956–1958 כאשר בנימין צביאלי עורך התוכנית קבלת שבת יצא לשליחות בחו"ל ערך ברוך שיין את התוכנית קבלת שבת. לאורך השנים ערך תוכניות נוספות כמו "מלווה מלכה" ועוד. כמו כן הפיק וערך שידורים חיים של קונצרטים בהשתתפות גדולי החזנים בארץ ובעולם, שיין ערך במשך עשרות שנים התוכנית פרקי חזנות כבקשתך והיה מראשוני העיתונאים בארץ שסיקר באופן שוטף ופעיל את הנעשה בעולם החזנות והשירה היהודית והתמיד בכך לאורך שנים רבות.
שיין שימש יו"ר אגודת לח"ן (ליכוד חובבי נגינה), שנוסדה בט"ו בשבט תשי"ב (1952) ומטרותיה עידוד החזנות והיצירה היהודית. ב-1965 הלכה לעולמה רעייתו בלה שיין. לאחר מלחמת ששת הימים נשא לאשה את שרה דמסט, אלמנתו של יוסף דמסט, מחללי כפר עציון בשנת תש"ח.
שיין ניהל במשך חמש שנים את חוג חובבי חזנות שליד עיריית תל אביב. לאורך השנים השתתף בכינוסים ומפגשים בנושאי חזנות ונשא בהם דברים, היה חבר באגודת העיתונאים בתל אביב. משנותיו הראשונות בישראל היה חבר בתנועת "המזרחי" ובמועצת "הפועל המזרחי" תל אביב והשתתף כציר בוועידות תנועת המזרחי-מפד"ל. בשנת תשמ"ה הוענק לו התואר "יקיר התנועה". כמו כן הוענק לו התואר "יקיר בית הכנסת הגדול" בתל אביב.