כאשר עוסקים במבנים טופולוגיים מורכבים, הרבה פעמים נוח לבחון רק חלקים קטנים שלהם, ששם מתקיימות תכונות מעניינות (קומפקטיות מקומית, קשירות מקומית ועוד), ומהסביבות האלו להסיק לגבי תכונות המרחב כולו. מקרה מיוחד, הוא כאשר הסביבות האלו נראות כמו מרחב טופולוגי מוכר אחר- מרחב וקטורי מעל הממשיים למשל. במקרה כזה אפשר "למפות" את המרחב על ידי קבוצה גדולה (ואפילו אינסופית) של חלקים ממנו שכל אחד מהם נראה כמו המרחב הטופולוגי המוכר (כלומר הומאומורפי אליו). כל אחד מהחלקים האלו, יחד עם ההומאומורפיזם שלו למרחב המדובר, נקרא מפה, ואוסף כל המפות נקרא אטלס. מקרה חשוב במיוחד הוא כאשר המרחב הטופולוגי שאליו משוים את החלקים של המרחב המקורי הוא המרחב האוקלידי מממד מסוים. במקרה הזה המבנה נקרא יריעה, וממד היריעה נקבע להיות ממד המרחב האוקלידי שאליו היריעה הומומורפית באופן מקומי. כיוון ששני מרחבים אוקלידיים הם הומאומורפיים אם ורק אם יש להם את אותו ממד- ממד היריעה נקבע באופן יחיד.
מקרה חשוב נוסף הוא כאשר המרחב הטופולוגי שאליו משווים חלקים של המרחב המקורי הוא מרחב וקטורי מממד סופי מעל שדה המספרים המרוכבים. במקרה הזה היריעה נקראת יריעה מרוכבת וממדה הוא ממד המרחב הווקטורי שאליו היא מושווית. כל יריעה מרוכבת מממד n היא גם יריעה ממשית רגילה מממד 2n.
יריעה טופולוגית.
יריעה היא מרחב האוסדורף, שמקיים את אקסיומת המנייה השנייה, בעל התכונה שלכל נקודה במרחב יש סביבה שהומיאומורפית ל- formula_1.
אותו "n" מוגדר להיות ממד היריעה. &lt;br&gt;
באופן שקול ניתן לדרוש שקיים אוסף של קבוצות פתוחות שמכסה את המרחב, כלומר האיחוד של כל הקבוצות באוסף הוא המרחב כולו, כך שכל קבוצה בכיסוי הומיאומורפית לסביבה פתוחה של ראשית הצירים ב-formula_1, (או לחלופין, של כל נקודה שרירותית אחרת ב-formula_1 או ל-formula_1 עצמו). כל קבוצה בכיסוי, יחד עם ההומאומורפיזם שלה, נקראת מפה, ואוסף כל המפות נקרא אטלס.
הגדרה פורמלית.
מרחב טופולוגי M נקרא יריעה טופולוגית אם הוא מרחב האוסדורף, מקיים את אקסיומת המנייה השנייה וקיים לו כיסוי פתוח
formula_5 (כאשר formula_6 קבוצת אינדקסים) כך שכל formula_7 הומיאומורפי לקבוצה פתוחה formula_8, formula_9.
פונקציית ההומאומורפיזם בין formula_7 ל- formula_8 מסומנת ב- formula_12. &lt;br&gt;
קל לראות שלכל formula_13 הפונקציה
formula_14 שהיא פונקציה מ- formula_1 לעצמו היא פונקציה רציפה (בתחום שבו ההרכבה מוגדרת). הזוג formula_16 נקרא מפה ואוסף כל המפות נקרא אטלס. לכל formula_17, formula_18 כאשר formula_19 היא פונקציה חד חד ערכית מ-M אל formula_20.
הפונקציות formula_21 נקראות קואורדינטות מקומיות של M.
למעשה התנאי ההכרחי לגבי רציפות ההרכבות הוא כמעט מספיק. כלומר בהינתן קבוצה M שמכוסה על ידי אוסף formula_5 בן מנייה, כך שלכל formula_7 קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל formula_12 שמעבירה את formula_7 לקבוצה פתוחה ב- formula_1, אז ניתן לבנות על M מבנה של יריעה טופולוגית אם כל הפונקציות formula_14 הן פונקציות רציפות (בתחום שבו ההרכבה מוגדרת), כפונקציות מ- formula_1 לעצמו. הבניה מתבצעת בשיטת הטופולוגיה החלשה על ידי הגדרת בסיס הטופולוגיה כאוסף כל ההעתקות ההפוכות של הקבוצות הפתוחות שחלקיות ל-formula_7, עבור formula_30 כלשהו.
כדי שהמרחב שמתקבל יהיה גם מרחב האוסדורף צריך לדרוש בנוסף שלכל שתי נקודות שונות קיימת קבוצה בכיסוי שמכילה את שתיהן, או שקיימות שתי קבוצות זרות בכיסוי כך שהקבוצה הראשונה מכילה את הנקודה הראשונה והקבוצה השנייה מכילה את הנקודה השנייה.
בעצם, המבנה של היריעה מוגדר על ידי אוסף הסביבות שמכסה אותו וההרכבות מהצורה formula_14. אם הפונקציות שמתקבלות מההרכבה הן רציפות אז ניתן להעביר (ברמה מסוימת) את המבנה הטופולוגי של formula_1 ולהגדיר בעזרתו מבנה טופולוגי על M. &lt;br&gt;
אם נדרוש מהפונקציות formula_14 להיות גם גזירות, חלקות או אנליטיות אז הפונקציות formula_12 יגדירו מבנה דיפרנציאלי מסוים על M, בנוסף למבנה הטופולוגי.
כל קבוצה פתוחה (ולא ריקה) של היריעה מהווה יריעה בעצמה, שממדה הוא ממד היריעה המקורית. המפות של היריעה החדשה מתקבלות על ידי צמצום המפות המקוריות לאותה קבוצה פתוחה (כשמתייחסים למפות כפונקציות).
יריעות חלקות.
יריעה חלקה (או יריעה דיפרנציאלית) היא יריעה טופולוגית שבה דורשים מהפונקציות formula_14 להיות פונקציות חלקות. האטלס של היריעה החלקה נקרא אטלס דיפרנציאלי. שני אטלסים נקראים שקולים אם האיחוד שלהם יוצר שוב אטלס דיפרנציאלי, כלומר המבנים שמוגדרים על ידי כל אחד מהאטלסים לא "מתנגשים" אחד בשני. (אפשר לראות בקלות שזהו בעצם יחס שקילות על קבוצת כל האטלסים.)&lt;br&gt;
היריעה החלקה היא מבנה חשוב באנליזה שמאפשר הכללות של משפטים בסיסיים (כמו משפט הפונקציות הסתומות, משפט הקיום והיחידות במשוואות דיפרנציאליות רגילות וכו') מהמרחב האוקלידי.&lt;br&gt;
עצמים מתמטיים רבים בנויים כיריעה דיפרנציאלית עם תוספת מבנה לדוגמה אם נוסיף ליריעה דיפרנציאלית מבנה של חבורה (כך שפעולות הכפל וההופכי הן חלקות) נקבל חבורת לי, אם נבנה על היריעה מטריקה חלקה - נקבל יריעה רימנית וכן הלאה.
דוגמאות ליריעות חלקות.
לדוגמה את formula_38, הספירה החד-ממדית (שמשוכנת במישור), ניתן לפרק למפות כמו שמתואר בציור. המפה הירוקה לדוגמה ניתנת לביטוי על ידי הזוג: &lt;br&gt;
formula_39 &lt;br&gt;
כאשר האיבר הימני בזוג הוא הקבוצה שאותה הפונקציה ממפה- הצד הימני של המעגל, והאיבר השמאלי הוא הפונקציה, שהיא פשוט הטלה של הנקודה על ציר ה-Y. &lt;br&gt;
על ידי זיהוי formula_38, עם מעגל היחידה ב- formula_41 ניתן לראות של-formula_38 יש גם מבנה של חבורה, שנובע מהכפל במרוכבים.
פונקציות חלקות על יריעות.
התכונה החשובה ביותר של היריעות החלקות היא היכולת להגדיר עליהן מושגים של גזירות ו-חלקות בלי תלות במערכת הקואורדינטות המקומית, מה שלא ייתכן ביריעה טופולוגית כללית. &lt;br&gt;
פונקציה formula_43 נקראת "פונקציה חלקה בנקודה p" אם קיימת מפה formula_44 כך שהפונקציה formula_45 חלקה. כמו במרחב האוקלידי גם על יריעות קבוצת הפונקציות החלקות בנקודה מהווה חוג. אפשר לראות שכיוון שלכל זוג אינדקסים formula_14 היא פונקציה חלקה, אז גם כאשר על סביבה מסוימת מוגדרות מספר מפות, פונקציות שחלקות לפי מפה אחת יהיו חלקות גם לפי כל מפה אחרת (כי:
formula_47, כלומר זו הרכבת פונקציות חלקות שהיא תמיד פונקציה חלקה). מהבחינה הזו המושג של פונקציה חלקה היא אינווריאנטי ביחס לשינוי קואורדינטות.
לפי אותו רעיון פונקציה formula_48 היא פונקציה חלקה בין היריעות M ו-N אם לכל שתי מפות formula_49 הפונקציה formula_50 היא חלקה בתחום הגדרתה.
אם נתייחס לקטע הפתוח formula_51 כאל יריעה (עם המבנה הטבעי כקבוצה פתוחה במרחב האוקלידי- שהוא יריעה חלקה) אז העקומה formula_52 היא "עקומה חלקה" (או מסילה חלקה) אם היא פונקציה חלקה בין היריעות (a,b) ו-M.
אחת התכונות החשובות של יריעות חלקות היא האפשרות לבנות פונקציות חלקות ששוות ל-1 על קבוצה סגורה נתונה ומתאפסות מחוץ לקבוצה פתוחה שמכילה אותה (bump function). פונקציות אנליטיות כאלו לא קיימות כלל על יריעות אנליטיות, ואפילו לא במרחב האוקלידי, כי אם פונקציה אנליטית מתאפסת על קטע מסוים - היא מתאפסת על כל הישר.
המרחב המשיק.
המרחב המשיק הוא מרחב וקטורי שנבנה על יריעה חלקה ומתפקד כ"קירוב ליניארי" של אותה יריעה באופן מקומי, במובן שהוא מתאר את הכיוונים השונים שבהם ניתן להתקדם על היריעה כווקטורים (שאותם ניתן לחבר ולהכפיל בסקלר). למושג כיוון אין מובן טבעי ביריעות אבל לנגזרת כיוונית יש, ולכן מגדיר את הווקטורים במרחב המשיק כהכללה של הנגזרות הכיווניות.&lt;br&gt;
לכל נקודה p, המרחב המשיק בנקודה שמסומן formula_53, הוא מרחב וקטורי שאיבריו הם פונקציונלים שפועלים על הפונקציות החלקות כמו הנגזרת הכיוונית הרגילה כלומר הם ליניאריים ומקיימים את כלל הגזירה ("כלל לייבניץ"):
הווקטורים של המרחב המשיק נקראים וקטורים משיקים.
יריעה אנליטית.
בדומה להגדרת היריעה החלקה- יריעה אנליטית היא יריעה טופולוגית שהמפות שלה מתנגשות באופן שמהווה פונקציה אנליטית כלומר לכל זוג מפות הפונקציה formula_57 היא פונקציה אנליטית. על יריעות כאלו ניתן להגדיר אלו פונקציות הן פונקציות אנליטיות באופן שאינו תלוי במערכת הקואורדינטות.
השוני העיקרי בין היריעות החלקות והאנליטיות נובע מאי-קיומה של חלוקת יחידה אנליטית באופן כללי, בעוד שחלוקת יחידה חלקה תמיד קיימת.
מוסטנג
פמבה
פמבה, הידוע בערבית כאי הירוק (الجزيرة الخضراء, בסוואהילי: Pemba kisiwa), הוא אי בארכיפלג זנזיבר הממוקם 50 קילומטר צפונית לאי זנזיבר ו-50 קילומטר מזרחית לטנזניה. האי פמבה ביחד עם האי מפיה, דרומית לזנזיבר, מהווים את איי התבלינים. שני האיים שייכים לטנזניה.
לפי מפקד שנערך בשנת 2012, באי מתגוררים 406,808 תושבים.
גודלו של האי כ-988 קמ"ר והוא ממוקם 50 ק"מ מערבה מהאי אונגוג'ה (הגדול שבאיי הארכיפלג זנזיבר ואשר מכונה גם "האי זנזיבר"). התיירות לאי פמבה מועטה יותר מאונגוג'ה מאחר שהאי פחות נגיש וכן בשל שמועות על אלימות פוליטית במקום; האי לעומת זאת מהווה מוקד משיכה לחובבי רפואה מסורתית וכישוף. החודשים הטובים ביותר לביקור בפמבה הם יולי עד אוקטובר.
האי מחולק לשני אזורים: פמבה הצפונית ופמבה הדרומית, ול-4 מחוזות: מיצוויני, ווטה, צ'אקהצ'אקה ומקואני.