ראשית, לדעתה של סוזן רנדל, מרצה בפקולטה למשפטים באוניברסיטת Indiana, במאמרה "Corrective Justice and the Tort proccess" עצם העובדה שאמת המידה שלפיה נקבע אם התנהגות היא רשלנית או לא, סותרת במישרין את רעיון הצדק המתקן, ולכן הבסיס הנוכחי של דיני הנזיקין לא יכול להכיל כלל את הקונספט של צדק מתקן. אם אשמו של אדם נבחן לא לפי מצבו המנטלי הסובייקטיבי ("אשם מוסרי"), אלא על ידי אמת מידה אובייקטיבית ("אשם חברתי"), אין זה אשם אמיתי. לדידה של רנדל, מושג ההתנהגות הסבירה, שלאורו נמדדת התנהגותו של הנתבע בנזיקין, הוא בעייתי משום שלא נבחן כאן אשמו האמיתי של הנתבע אלא הנורמה השלטת בחברה. מצד שני, גם באימוץ אשם סובייקטיבי יש בעייתיות רבה, משום שיש אי-צדק לניזוק, וכן פגיעה ברעיון ההתאמה, בכך שיש התייחסות למידת האשם הסובייקטיבית של המזיק. הנזק נגרם, ויש צרימה בלחשוב שהניזוק לא יקבל פיצוי רק משום שהמזיק הספציפי היה רפה-שכל, או פשוט לא מודע למעשיו. כך לכוד הצדק המתקן בין הפטיש לסדן.
שנית, ספק אם הצדק המתקן במתכונתו הנוכחית יכול באמת לשרוד מחוץ לכותלי בית המשפט. במישור היחסים שבין אתא לזאב שוורץ, הצדק המתקן נדחק לבסוף לטובת שיקולי היעילות ("צדק מייעל"): לאחר פסק הדין, ומשכשלו המאמצים להגיע לפשרה כספית בין השניים פנתה אתא לשר האוצר בבקשה שיעשה שימוש בסמכויותיו ויפקיע את שטח ביתו של שוורץ כדי שהמפעל יוכל להמשיך להתקיים. הפקעה זו נדונה גם היא בבית המשפט העליון, במסגרת בית הדין הגבוה לצדק.
בית המשפט קבע כי שר האוצר עשה שימוש כדין סמכויותיו, ולכן יש לדחות את תביעתו של שוורץ. השתלשלות האירועים מעוררת חשש שגם אם המשפט יאמץ את עיקרון הצדק המתקן, בסופו של דבר התאורמה של רונלד קואס (R. H. Coase, “The Problem of Social Cost") היא זו שתקבע (הנקודה מומחשת במאמרו של עדי אייל, "רטוריקה כלכלית: כלכלה וספרות בניתוח המשפט"). כך מתבזבזים משאבים גם בהליך המשפטי, שיביא לתוצאות ריקות מתוכן, וגם לא נחסכות עלויות העסקה ששני הצדדים היו יכולים להימנע מהן אם המשפט היה מאמץ כלל משפטי בהתאם לתפיסה הכלכלית. לכן סבורים המבקרים שהצדק המתקן המסורתי הוא מעין "דון קישוט", אשר אין לו מגע אמיתי עם הקרקע הקשה של המציאות.
הצדק המתקן המסורתי מעלה עוד נקודת ביקורת: הצדק המתקן מבקש לתקן נזק שנגרם ברטרוספקטיבה, אך מדוע להגביל את דיני הנזיקין לתיקון נזק בדיעבד, כשהם יכולים לשרת מטרה מקיפה יותר, צופה פני-עתיד, של מניעת נזק? דוגמה הממחישה נקודה זאת היטב, המובאת במאמרו של אריאל פורת, "רשלנות ואינטרסים", היא של רפואה מתגוננת : : הטלת כלל משפטי המחמיר עם רופאים, מבלי התחשבות באפשרות שהוא יגרום לרפואה מתגוננת, מרע את מצבו של ניזוק פוטנציאלי, ex-ante. מדוע, אם-כן, להגביל את דיני הנזיקין רק לטיפול בדיעבד ? שיקול זה עלול להיחשב בטעות כשיקול כלכלי, אך אין זה מדויק: השיקול מיטיב עם מצבו של הניזוק בהקשר למערכת היחסים הספציפית עם הרופא, ולא משליך על רווחתו הכללית באופן ישיר. בכך הוא עונה על הגדרת הצדק המתקן.
ניתן אם-כן, לומר שהצדק המתקן המסורתי יכול וראוי לעבור אבולוציה ו"להתרכך", כדי להפוך ליותר פרקטי. אז יוכל הוא לתפוס את מקום הכבוד, לו הוא ללא ספק ראוי, בקדמת הבמה הנזיקית. אם, לעומת זאת, יישמר הצדק המתקן במתכונתו הנוכחית, אזי כנראה, יישאר הוא לעולם כלי תאורטי ורטורי בלבד.
המאה הארבע עשרה
מרחב כיסוי
במתמטיקה ובמיוחד בטופולוגיה, מרחב כיסוי הוא מרחב טופולוגי "C" אשר "מכסה" מרחב טופולוגי אחר "X" באמצעות הומיאומורפיזם מקומי ועל formula_1 הנקרא העתקת כיסוי. מרחבי כיסוי נלמדים בטופולוגיה אלגברית, אך יש להם חשיבות גם בענפים נוספים במתמטיקה, כגון גאומטריה דיפרנציאלית, חבורות טופולוגיות ומשטחי רימן.
התורה של מרחבי כיסוי קשורה קשר הדוק לחבורה היסודית של מרחב.
הגדרה פורמלית.
מרחב כיסוי של מרחב טופולוגי "X" הוא מרחב טופולוגי "C" ביחד עם פונקציה רציפה formula_2 על formula_3, כך שלכל נקודה formula_4 קיימת סביבה פתוחה "U" כך ש- formula_5 היא איחוד זר של קבוצות פתוחות ב-"C", שכל אחת מהן הומיאומורפית ל-"U" באמצעות "p". במילים אחרות, ניתן לרשום formula_6 כאשר לכל formula_7, הקבוצה formula_8 היא קבוצה פתוחה ב-"C", והפונקציה formula_9 היא הומיאומורפיזם.
ההעתקה "p" נקראת העתקת כיסוי, והמרחב "X" נקרא לעיתים קרובות הבסיס של הכיסוי.
הקבוצות formula_10 נקראות סביבות המכוסות באופן אחיד. סביבות המכוסות באופן אחיד יוצרות כיסוי פתוח של "X". העותקים ההומיאומורפים ב-"C" של סביבה המכוסה באופן אחיד "U" נקראים יריעות (Sheets) מעל "U".
אפשר לדמיין את "C" כמרחב ה"מרחף" מעל "X": היריעות נמצאות מעל "U", והמקורות השונים של "x" נמצאים בקו אנכי מעל "x", אחד מעל השני.
מבנה.
למרחבי כיסוי מבנה חשוב ובסיסי בטופולוגיה אלגברית, הדומה במובן מסוים למבנה של התאמת גלואה. מושג חשוב נוסף הוא מושג ההרמה, שיתואר מיד.
הרמות.
המשפט הבסיסי ביותר הוא משפט ההרמה:
משפט: נניח formula_11 כיסוי.
המסקנה המידית של המשפט היא עבור formula_3 פשוט קשר:
משפט: נניח ש-formula_3 פשוט קשר, ויהיו formula_29. נניח formula_30 כיסוי. אזי המיפוי formula_31 המוגדרת על ידי formula_32 מוגדרת היטב, ומהווה העתקה חח"ע ועל.
כלומר, יש התאמה בין נקודות על הסיב formula_33 לבין החבורה היסודית של formula_20 בנקודה formula_35. עם זאת, העתקה זו איננה מהווה תמיד הומומורפיזם חבורות. בכל זאת, במקרה שבו מוגדר על formula_33 מבנה של חבורה טופולוגית, ההעתקה אכן מהווה הומומורפיזם חבורות, ולכן זהו איזומורפיזם חבורות. בפרט, כך ניתן להוכיח שהחבורה היסודית של המעגל היא החבורה הציקלית האינסופית (ראו בדוגמאות).
התאמת מרחבי כיסוי ותתי חבורות.
כעת נסקור תכונות של החבורה היסודית של מרחבי כיסוי של מרחב נתון.
משפט: נניח ש-formula_37 קשירים מסילתית מקומית ופשוטי קשר מקומית, ו-formula_30 העתקת כיסוי. אזי בהומומורפיזם החבורות המושרה ממנה, formula_39, הנתון על ידי formula_40, מהווה מונומורפיזם חבורות.
כלומר, כל החבורות היסודיות של כל מרחבי כיסוי הן תתי חבורות של החבורה היסודית של מרחב הבסיס. למעשה, ההתאמה מלאה:
משפט: לכל תת-חבורה של formula_41 מתאים מרחב כיסוי יחיד עד כדי איזומורפיזם. כלומר, לכל תת-חבורה formula_42 כנ"ל קיים מרחב כיסוי formula_3 עבורו
formula_44.
משפטים אלו נותנים התאמה מלאה בין מרחבי כיסוי של מרחב לבין תתי חבורות של החבורה היסודית שלו. זוהי התאמת גלואה - התאמה חד-חד-ערכית שהופכת סדר.
מרחב הכיסוי האוניברסלי.
המרחב המתאים לחבורה הטריוויאלית נקרא מרחב כיסוי אוניברסלי של formula_20. בשקילות, ניתן להגדיר אותו כמרחב פשוט קשר המהווה מרחב כיסוי של formula_20. לפי האמור לעיל, הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.
שם זה איננו מקרי - מרחב הכיסוי האוניברסלי מקיים תכונה אוניברסלית, בדיוק לפי הבנייה - לכל מרחב כיסוי אחר formula_47 והעתקת כיסוי formula_48, יש העתקה יחידה formula_49, כך ש- formula_50. כלומר, זהו מרחב המכסה גם את כל המרחבים האחרים.
קיומו של מרחב כיסוי אוניברסלי לא מובטח תמיד. כאמור במשפט לעיל, אם המרחבים פשוטי קשר מקומית וקשירים מסילתית מקומית, מרחב כיסוי מתאים לכל חבורה, ובפרט קיים מרחב כיסוי אוניברסלי. כאשר המרחבים לא פשוטי קשר מקומית, לא בהכרח קיים מרחב כיסוי אוניברסלי - למשל, למכפלה אינסופית (בת מנייה) של מעגלים אין מרחב כיסוי אוניברסלי.
עם זאת, כאשר המרחבים לא פשוטי קשר מקומית ניתן לקבל תוצאה חלשה יותר - בהינתן מרחב כיסוי אוניברסלי, אז קיים מרחב כיסוי המתאים לכל תת-חבורה אחרת. לכן, למרחבי כיסוי אוניברסליים תפקיד מיוחד בתאוריה.
משפט ההרמה המוכלל.
בהינתן כיסוי formula_51, והעתקה רציפה formula_52. נרצה להבין מתי יש העתקה רציפה formula_53 כך שמתקיים formula_54, כלומר מתי יש הרמה של ההעתקה formula_55 להעתקה שמסתדרת עם הכיסוי. התשובה נתונה במשפט הבא:
משפט: יהיו formula_56 מרחבים קשירים מסילתית, ו-formula_3 קשיר מסילתית מקומית. נניח formula_51 כיסוי ו-formula_52 העתקה רציפה. אזי קיימת הרמה formula_53 כך שמתקיים formula_54 אם ורק אם formula_62, (כאשר formula_63 הוגדר לעיל).
בפרט, כאשר formula_64 פשוט קשר, נקבל ש-formula_65 ולכן הרמה כזו קיימת תמיד.
באנליזה מרוכבת.
ניתן להשתמש במשפט ההרמה המוכלל לעיל כדי למצוא תנאי הכרחי ומספיק לקיומם של שורש formula_66-י אנליטי ו/או לוגריתם אנליטי של פונקציה הולומורפית באנליזה מרוכבת.
קיומו של לוגריתם אנליטי לפונקציה הולומורפית formula_67 שקול לכך שבדיאגרמה הבאה תהיה הרמה:
ולפי המשפט, זה שקול לכך ש-formula_68, כלומר קיומו של לוגריתם אנליטי שקול לכך ש-formula_69, וזה נכון אם ורק אם האינדקס של כל מסילה סגורה בתחום הוא אפס.
לסיכום, לפונקציה קיים לוגריתם טבעי אם ורק אם formula_70 לכל עקומה סגורה ורציפה formula_12 בתחום.
באופן דומה, לפונקציה קיים שורש formula_66-י אנליטי אם ורק אם formula_73 לכל עקומה סגורה ורציפה formula_12 בתחום (שכן כעת formula_75).
בפועל, אין צורך לבדוק את נכונות התנאים לכל עקומה סגורה - מספיק למצוא מספר עקומות (לרוב סופי) היוצרות את החבורה, ולבדוק זאת עליהן.