השאלה דנה באיך ניתן להגדיל את ההסתברות שנבחר במועמדת העדיפה על כל האחרות, ומהי אותה הסתברות. ניתן להוכיח שהאסטרטגיה שמבטיחה את ההסתברות הגבוהה ביותר היא לפסוח על מספר קבוע מראש של מועמדות (שתלוי במספר N), ואז לבחור את המועמדת הבאה שתבוא שתהיה מועדפת על פני כל אלה שקדמו לה (אם יש כזו – אחרת נגיע למועמדת האחרונה ולא נותר אלא לשכור אותה).
הפתרון האופטימלי.
כאמור, מספר המועמדות עליו כדאי לפסוח תלוי ב-formula_1. אבל אפשר להראות שעבור formula_1 גדול דיו, מספר המועמדות שעליו כדאי לוותר שואף ל-formula_22 . במילים אחרות, עבור מספר גדול של מועמדות, האסטרטגיה האופטימלית היא לפסוח על אחוז קבוע מהמועמדות (בערך 37%) ואז לבחור את המועמדת הראשונה שעדיפה על הטובה מבין המועמדות הראשונות הללו.
כפי שכבר הוזכר לעיל, תחת אסטרטגיה זו, ההסתברות שנבחר נכון היא בערך formula_3, קירוב שיהיה יותר מדיוק ככל ש-formula_1 יותר גדול.
הסבר לפתרון.
בהינתן שנפסח על מספר מועמדות, הסיבה מדוע כדאי לבחור במועמדת אם ורק אם היא עדיפה על כל אלה שקדמו לה ברור: אם לא ננהג כך, נבחר במודע מועמדת שאינה המועדפת ביותר, כי כבר קיימת מועמדת שראיינו קודם שמועדפת על פניה.
פחות ברור מדוע עדיף לפסוח על מספר קבוע של מועמדות ורק אז לבחור (בלי קשר לדירוג ביניהן). המקרה שבו formula_1 שווה ל-3 שופך קצת אור מדוע עדיף לפסוח על מספר מועמדות. אם נבחר תמיד במועמדת שמקומה בתור קבוע, למשל את הראשונה (או השנייה, או השלישית), ההסתברות שנבחר את המועמדת הטובה ביותר היא שליש. לעומת זאת, אם תמיד נפסח על הראשונה ונבחר את המועמדת הבאה שעדיפה עליה, ההסתברות שנבחר נכון עולה לחצי. את זה אפשר לראות על ידי ניתוח של כל האפשרויות בהן יופיעו המועמדות. במקרים הבאים, שיטה זו תבחר את המועמדת הנכונה:
formula_11&lt;BR&gt;
formula_12&lt;BR&gt;
formula_13&lt;BR&gt;
ובמקרים האלו, השיטה תכשל:
formula_10&lt;BR&gt;
formula_14&lt;BR&gt;
formula_15&lt;BR&gt;
מדוע האסטרטגיה מצליחה לבחור נכון בהסתברות יותר גבוהה? מצד אחד, אם המועמדת הטובה ביותר היא הראשונה, אף פעם לא נבחר בה. זה החסרון באסטרטגיה. לעומת זאת, אם כבר פסחנו על מועמדת ונתעקש לשכור מועמדת רק אם היא יותר טובה מזו שכבר פסחנו עליה, נגדיל את הסיכוי שנבחר בטובה ביותר אם היא תבוא יותר מאוחר בתור. מכך, היתרון בלפסוח על מספר מועמדות הוא שאם המועמדת הטובה ביותר תבוא יותר מאוחר, נוכל לזהות אותה יותר בקלות בגלל שנוכל להשוות אותה למספר מועמדות שכבר קדמו לה.
משחק גוגול.
כשלראשונה העלה לכתב מרטין גרדנר את הבעיה, לה קרא "משחק גוגול", הוא ניסח אותה באופן קצת שונה מכפי שתוארה לעיל (וביסינג'ר וסיגל ניסחו את הבעיה באותה צורה כמוהו כשהציגו אותה ב-American Mathematical Monthly). ההבדל מצביע על החשיבות בניסוח בעיה כזו באופן מדויק. בפרט, גרדנר תיאר מצב בו אדם כותב מספרים שונים על formula_1 פיסות נייר, זורק את כולן לכובע, ושולף אותן בסדר אקראי. הוא שאל כיצד ניתן להגדיל את ההסתברות שנבחר במספר הגבוה ביותר מבין כל הפתקים.
לכאורה, תיאור זה נראה זהה לבעיית המזכירה לעיל. אך יש הבדל חשוב: בבעיה הזו, ניתן לראות את הערך של המספרים שכתובים על הפתקים. הבדל זה חשוב, משום שייתכן שנוכל להיעזר בערכי המספרים עצמם לשפר את הסיכויים שנבחר נכון. זה תלוי באיך בדיוק האדם שרשם את המספרים בחר אותם. למשל, אם אנחנו יודעים שהוא כתב את המספרים השלמים מ-1 עד N, נוכל בקלות להבטיח שנבחר במספר הגבוה ביותר על ידי זה שנחכה עד המספר N ואז נפסיק. אם אנחנו יודעים שהאדם בחר את המספרים באופן אקראי ובלתי תלוי מהתפלגות קבועה, עדיין ניתן להשתמש בערכים שנראה לשפר את ההסתברות שנבחר במספר הגבוה ביותר. למשל, אם נראה מספר גבוה בפתק הראשון, נוכל להסיק שההסתברות שנראה מספר עוד יותר גבוה בעתיד נמוכה אפילו שטרם ראינו את המספרים הבאים.
להבדיל, בבעיית המזכירה ההנחה היא שניתן לדרג רק את המועמדות שהופיעו עד עתה, ואי אפשר לדעת איך הן משתוות למועמדות שעדיין לא ראינו. בפרט, למועמדת אין ערך כמו בבעיה אותה תיאר גרדנר שבו נוכל אולי להיעזר ולנחש איך היא תשתווה למועמדות שטרם ראינו.
כשגרדנר הציב את הבעיה, הוא התמקד על פתרונות שמתעלמים מהערכים של המספרים עצמם ומתייחסים רק לדירוג ביניהם, ולכן הפתרון שהציב זהה לפתרון בעיית המזכירה. אך אם לא נציב תנאי זה, הבעיה שהציב גרדנר אינה מוגדרת דיה בלי הסבר מדויק של איך בחר האדם את המספרים אותם הוא טמן בכובע. מבחינה זו דומה הבעיה לפרדוקס המעטפות, שמקורו נעוץ בכך שהבעיה אינה מוגדרת דיה בלי לנקוב בהתפלגות ממנה נבחרים הערכים במעטפות, ולבעיית מונטי הול, שאף היא אינה מוגדרת דיה בלי תיאור מפורט של איך בוחר המנחה מתי לפתוח דלתות ואיזו דלתות יבחר.
במאמר של תומאס פרגסון מ-1989, הועלתה השאלה האם יש דרך לבחור מספרים כך שהפתרון לבעיית המזכירה יהיה אופטימלי, כלומר האם יש דרך לבחור מספרים כך שהבוחר לא יוכל לשפר את הסיכויים שיבחר במספר הגבוה ביותר על ידי זה שהוא יתנה את בחירתו במספרים עצמם ולכן הפתרון של לדלג על מספר קבוע של מועמדות ואז לבחור את הטובה ביותר הוא האופטימלי. במקרה ש-N שווה ל-2, התשובה היא לא: תמיד נוכל לשפר את הסיכוי לבחור נכון אם נעזר בערכים עצמם. במקרה ש-formula_1 גדול מ-2, התשובה אינה ידועה. אבל, פרגסון הוכיח במאמרו שהפתרון לבעיית המזכירה הוא כמעט אופטימלי, כלומר תמיד אפשר לבחור את המספרים בדרך כזו שההסתברות שנבחר נכון תחת האסטרטגיה האופטימלית עולה על ההסתברות לפי הפתרון שמתעלם מהערכים עצמם ברמה קטנה עד כמה שנדרש.
הכללות של בעיית המזכירה.
מתמטיקאים הציעו מספר הכללות של בעיית המזכירה הקלאסית כפי שהוגדרה כאן. להלן מספר דוגמאות:
השכר הממוצע בישראל
השכר הממוצע בישראל מייצג את השכר הממוצע ברוטו בישראל, ומהווה בסיס לתשלומים שונים הצמודים אליו. נכון לנובמבר 2021, השכר הממוצע בישראל לעובדים ישראלים הוא 11,349 ש"ח בחודש. משכר ממוצע זה, המחושב על ידי הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה, נגזרות וריאציות אחדות על ידי המוסד לביטוח לאומי, למטרות המפורטות בחוק הביטוח הלאומי (בעיקר עדכון גובהן של קצבאות שונות).
לעיתים מוצג השכר הממוצע במשק על ידי מיצוע שלושת החודשים האחרונים שלגביהם פרסמה הלמ"ס את מדד השכר הממוצע למשרת שכיר. זאת כדי לצמצם את ההשפעה של תוספות שכר שאינן ניתנות בצורה אחידה על פני השנה.
השכר הממוצע למשרת שכיר.
"השכר הממוצע למשרת שכיר" מחושב על ידי הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה, על ידי חלוקת סך כל השכר בש"ח (במחירים קבועים ובמחירים שוטפים) במדד משרות השכיר. שכר זה כולל תגמול בכסף או בשווה כסף המשולם על ידי המעסיק לשכיר בעבור עבודתו, כולל בעבור זמן שלא עבד, כגון חופשה שנתית והיעדרויות אחרות בתשלום. השכר אינו כולל הפרשות סוציאליות שמשלם המעסיק לצד שלישי, כגון הפרשה לביטוח פנסיוני ודמי ביטוח לאומי.
מספר משרות השכיר - הוא מספר השכירים (הקבועים והארעיים) המופיעים בגיליונות השכר של חברות ומוסדות, שעבדו באותו חודש לפחות יום אחד (או נעדרו זמנית בתשלום). שכירים שמופיעים בגיליונות השכר של יותר ממוסד אחד באותו חודש - נספרים כמספר הפעמים שהם מופיעים. הנתונים הם למספר משרות השכיר שבעבורן שולמה משכורת באותו חודש ולא למספר השכירים.
השכר הממוצע לצורך הצמדת קצבאות.
השכר זה מחושב על ידי המוסד לביטוח לאומי ב-1 בינואר של כל שנה, על ידי מיצוע מדדי השכר הממוצע למשרת שכיר, וכן במועד תשלום תוספת יוקר.
המוסד לביטוח לאומי משתמש בערך שמחושב ב-1 בינואר של כל שנה, ולאחר מכן מתעדכן המדד בכל פעם שמתבצע תשלום עבור תוספת יוקר.
מדד זה מוגדר בחוק הביטוח הלאומי (נוסח משולב), התשנ"ה-1995 באופן הבסיסי הבא -
השכר הממוצע הוא הצירוף של שניים אלה:
יום העדכון נקבע בחוק ל-1 בינואר של כל שנה, ואם שולמה תוספת יוקר לאחר מכן - 1 בחודש שבו שולמה התוספת.
עד שנת 2005 שימש מדד השכר הממוצע את המוסד לביטוח לאומי לקביעת גובה הקצבאות שהוא משלם ודמי הביטוח שהוא גובה. החל מתחילת 2006 מוצמדים מרבית הסכומים שבחוק הביטוח הלאומי למדד המחירים לצרכן ולא לשכר הממוצע. שכר המינימום ותקרת משכורת הזכאי לפנסיה חובה ממשיך להתעדכן לפי מדד השכר הממוצע במשק.
משנת 2007 מוצמדת גם הגמלה בסקטור הציבורי (ברובו) למדד המחירים לצרכן.
במטרה לנטרל השפעות של מגפת הקורונה בישראל על השכר הממוצע נקבע בחוק השכר הממוצע (הוראת שעה – נגיף הקורונה החדש), התשפ״א–2020 שהשכר הממוצע, כהגדרתו בחוק הביטוח הלאומי ובחוק פיצויים לנפגעי תאונות דרכים, בשנים 2021–2022, יוקפא לערכו בסוף שנת 2020.
ביקורת על השימוש בשכר הממוצע.
קיימת ביקורת בנוגע למידת הייצוג של השכר הממוצע כמדד לאומדן ההכנסות במשק ולגבי השימוש בו לצורך הצמדת קצבאות ושכר. הנימוקים לביקורת זו מתמקדים בעיקר באופי הא-סימטרי של חלוקת ההכנסות בישראל. בשל הדרך בה מחושב ממוצע הוא מושפע מערכים קיצוניים, ולכן מערכת בה יש אי שוויון גבוה, הממוצע יעלה גם אם העלייה משקפת עליה בשכרם של קבוצות חברתיות קטנות למדי. ולכן ככל שפערי ההכנסות במשק גדלים, נפגמת יכולת האומדן של השכר הממוצע. הקשר המורכב השורר בין התפלגות השכר לממוצע, מדינות מערביות רבות זנחו את האחרון לטובת השכר החציוני - השכר האמצעי - שחצי מן המשכורות קטנות ממנו וחצי גדולות ממנו.
לעומת זאת יש יתרון לשימוש במדד השכר הממוצע בהיותו זמין יותר ובשל פשטות חישובו.
מובוטו ססה סקו