מחוז מפיגי (באנגלית, בסווהילי: Mpigi) הוא אחד ממחוזותיו האדמיניסטרטיביים של האזור המרכזי במדינת אוגנדה. בדומה למחוזות נוספים במדינה, המחוז נקרא על שם העיר הראשית שלו, מפיגי.
מיקום.
המחוז גובל במחוז וואקיסו מצפון מזרח, במחוז קלנגלה מדרום, במחוז קלונגו מדרום מערב, במחוז בוטמבלה ממערב ובמחוז מיטיאנה מצפון מערב. מטה המחוז יושב בעיר הבירה של המחוז. עיר הבירה והעיר הגדולה של המחוז היא מפיגי.
רקע כללי.
המחוז הוקם בשנות ה-70 של המאה ה-20, ממספר מחוזות בממלכת בוגנדה.
במשך השנים התפצלו מהמחוז שטחים לצורך הקמת מחוזות חדשים, כחלק מתוכנית ממשלתית להקטין את המחוזות במדינה, ובכך יועברו הכספים גם לעיירות הקטנות, ולא יישארו בידיי הערים הגדולות במחוז, כפי שקרה עד אז. המחוזות שהוקמו הם וואקיסו (1990), בוטמבלה (2010) וגומבה (2010).
כלכלה.
רוב כלכלת המחוז נשענת על חקלאות. הגידולים הנפוצים במחוז הם: תירס, בננה, קסאווה, כותנה, כרוב, בצל, אבוקדו, עגבנייה, שעועית, בטטה, קפה (צמח) ותה. רוב התוצרת החקלאית נמכרת בשטחי המחוז ונועדת לשימוש עצמי.
אוכלוסייה.
קצב גידול האוכלוסייה הוא 2.33% בשנה. כ-80% מתושבי המחוז גרים באזורים כפריים.
הנוסחה הברומטרית
בתרמודינמיקה, הנוסחה הברומטרית (Barometric formula) היא נוסחה פיזיקלית המתארת את הלחץ האטמוספירי כתלות בגובה בשדה כבידה, תחת הנחות המודל של גז אידיאלי.
לנוסחה הברומטרית קיימות שתי גרסאות מקובלות. הגרסה הראשונה והמוכרת יותר היא הנוסחה הברומטרית האיזותרמית, כלומר כאשר לא לוקחים בחשבון את שינוי הטמפרטורה כשהגובה משתנה. הגרסה השנייה מכילה תיקון אשר לוקח בחשבון את שינוי הטמפרטורה.
רקע היסטורי.
העובדה שלחץ האוויר דועך ככל שעולים בגובה הייתה כבר ידועה היטב לפיזיקאים במאה ה-17, אשר ידעו גם להסביר כי הסיבה לכך היא שככל שמגביהים יש פחות אוויר מעליך הנלחץ מטה על ידי כוח הכובד. אך תיאור מתמטי של תלות הלחץ בגובה התאפשר לראשונה רק לאחר פרסומו בשנת 1662 של חוק בויל הקובע יחס הפוך בין הלחץ לבין הנפח של גז אידיאלי.
הנוסחה הברומטרית פורסמה לראשונה בשנת 1686 על ידי הפיזיקאי אדמונד האלי, אולם הנוסחה פורסמה ללא פיתוח מתמטי מסודר. הראשון לפרסם פיתוח מסודר של הנוסחה הברומטרית היה המתמטיקאי והפיזיקאי פייר-סימון לפלס בשנת 1805, בכרך הרביעי של עבודתו בת חמשת הכרכים למעלה ממאה שנים לאחר שהנוסחה פורסמה לראשונה על ידי האלי.
הנוסחה הברומטרית.
מודל הגז האידיאלי מתאר גזים טוב יותר ככל שהטמפרטורה גבוהה יותר, והלחץ נמוך יותר, כך שהאנרגיה הקינטית של החלקיקים משמעותית יותר מהאינטראקציה הבין חלקיקית.
אטמוספירת כדור הארץ מורכבת בעיקר ממולקולות דו-אטומיות של חנקן וחמצן, ובטמפרטורה ולחץ סטנדרטים (formula_1) מתוארת היטב בתור גז אידיאלי. לעומת זאת, האטמוספירה של נוגה, כוכב הלכת השני במרחקו מהשמש, דחוסה מאוד. הלחץ על פני הכוכב הוא בערך פי 90 מהלחץ על פני כדור הארץ, ולכן לא ניתן להשתמש במודל הגז האידיאלי ובנוסחה הברומטרית על פני כוכב נוגה. ההנחה שהאוויר מתנהג כמו גז אידיאלי טובה בעיקר עבור אוויר יבש, כאשר ישנם אדי מים באוויר ההנחה נפגעת עקב אינטראקציה חזקה יחסית של מולקולות המים.
בפיתוח הנוסחאות מזניחים את השתנות תאוצת הכובד עם הגובה. השינוי בתאוצת הכובד הוא של פחות מחצי אחוז בעלייה בגובה של עשרה קילומטרים, ולכן נזניח תלות זו.
הנוסחה הברומטרית האיזותרמית.
אם מניחים שהטמפרטורה קבועה כאשר עולים בגובה הנוסחה הברומטרית נתונה על ידי:
כאשר
כאשר formula_2, formula_3 צריכים להמדד באותן יחידות של לחץ (לדוגמה פסקל), ויש להתאים את קבוע בולצמן ותאוצת הכובד ליחידות בהן מודדים את הגובה ומסת החלקיקים.
הנוסחה הברומטרית בטמפרטורה משתנה.
אם מניחים שישנה תלות ליניארית של הטמפרטורה בגובה מהצורה:
formula_4
כאשר formula_5 קבוע ביחידות של קלווין ליחידת אורך, ו-formula_6 הטמפרטורה בגובה שהוגדר להיות formula_7
מתקבלת הנוסחה הברומטרית:
כאשר כל הקבועים הוגדרו בטבלה לעיל, למעט formula_8 שהוגדרו בפסקה הקודמת.
עבור אטמוספירת כדור הארץ ההנחה שהטמפרטורה ליניארית בגובה שימושית במקטעים רחבים יחסית, אך לא לאורך כל האטמוספירה
. מדידות נסיוניות מראות כי התלות הכללית של הטמפרטורה בגובה מאוד לא טריוויאלית, שינוי הטמפרטורה אפילו אינו מונוטוני כתלות בגובה. למרות זאת, ניתן לאמר בקירוב טוב שהתלות היא ליניארית למקוטעין.
באופן סכמטי, הטמפרטורות יורדות ככל שעולים בגובה באזור הטרופוספירה (0-10 ק"מ מעל פני הים). לאחר מכן, באזור הסטרטוספירה (10-50 ק"מ גובה), הטמפרטורות עולות ככל שמגביהים. תופעה זו נובעת בין היתר בגלל בליעה של קרני השמש בטווח העל-סגול בשכבת האוזון הנמצאת בסטרטוספירה. לאחר מכן בגבהים של מעל חמישים קילומטרים מגובה פני הים, במזוספירה, הטמפרטורות יורדות שוב עם הגובה וכן הלאה.
למרות התלות הכללית המסובכת, כפי שנכתב לעיל, ממדידות גם ידוע כי בכל אזור בנפרד הטמפרטורה בקירוב טוב ליניארית בגובה. כך למשל מפני הים עד לגובה של 10 ק"מ הטמפרטורה צונחת בערך ב-6.5 מעלות קלווין לכל קילומטר, ולאחר מכן נשארת בערך קבועה עד גובה של 20 ק"מ.
פיתוח הנוסחאות.
נציג שתי דרכים שונות להגיע אל הנוסחה הברומטרית. הדרך הראשונה משיקולים הידרוסטטים ומשוואת המצב של גז אידיאלי, והדרך השנייה מהדרישה לשיווי משקל דיפוזיוני בין שכבות באטמוספירה בהנחה שהגז אידיאלי.
פיתוח משיקולים הידרוסטטים.
נתבונן בעמוד גז (למשל האוויר באטמוספירה) הנמצא במנוחה, גובהו של עמוד הגז קטן מאוד, ונסמנו formula_9 ושטח החתך שלו formula_10.לכל חלקיק גז מסה formula_11, וצפיפות החלקיקים formula_12 וגם היא יכולה להיות תלויה בגובה, אך מכוון שגובה העמוד, formula_9, קטן מאוד הצפיפות כמעט ולא משתנה לאורכו ולכן מספר חלקיקי הגז הכלואים בו הוא הצפיפות מוכפלת בנפח העמוד formula_14
כמו כן, מכוון שהעמוד במנוחה מהחוק הראשון של ניוטון אנו יודעים כי סכום כל הכוחות הפועלים עליו מתאפס. הכוחות הפועלים בציר האנכי הם:
נזכור שמספר החלקיקים בעמוד הגז הוא formula_14 ולכן משוואת הכוחות היא:
formula_16
נצמצם בA, נעביר אגפים, ונשתמש בהגדרת הנגזרת:
formula_17
על מנת לקבל קשר בין הלחץ לצפיפות, נשתמש במשוואת המצב של גז אידיאלי:
formula_18
נציב את הצפיפות ממשוואת המצב במשוואה ההידרוסטטית ונקבל משוואה דיפרנציאלית על הלחץ
formula_19
כעת לא ניתן להמשיך ללא ידע לגבי איך הטמפרטורה משתנה עם הגובה, ולכן נצטרך להניח הנחות או לנסות ולחפש מודל לתלות הטמפרטורה בגובה.
פיתוח הנוסחה האיזותרמית.
הגענו למשוואה דיפרנציאלית על הלחץ התלויה בטמפרטורה. אם נניח שהטמפרטורה קבועה כשעולים בגובה formula_20 ניתן מיד לפתור את המשוואה באמצעות הפרדת משתנים:
formula_21
אינטגרציה מ- formula_7 עד formula_23 תניב: (בלוגריתם אין צורך בערך מוחלט מכוון שהלחץ תמיד חיובי)
formula_24
ניקח אקספוננט של שני האגפים ונקבל:
וזו הנוסחה הברומטרית האיזותרמית.
הנוסחה עבור טמפרטורה משתנה.
נחזור חזרה לנוסחה שפיתחנו משיקולים הידרוסטטים:
formula_19
כעת נניח את התלות formula_26, כאשר formula_5 קבוע ביחידות של קלווין ליחידת אורך.
הפרדת משתנים תניב את המשוואה:
formula_28
אינטגרציה מ- formula_7 עד formula_23 תניב: (בלוגריתם אין צורך בערך מוחלט מכוון שהלחץ תמיד חיובי)
formula_31
בעזרת חוקי הלוגריתם ניתן לרשום:
formula_32
ניקח אקספוננט של שני האגפים ונקבל:
וזו הנוסחה הברומטרית עבור טמפרטורה המשתנה בצורה ליניארית.
פיתוח באמצעות דרישה לשיווי משקל.
על מנת להבין הוכחה זו דרוש ידע בסיסי בתרמודינמיקה.
ראשית נוכיח טענת עזר כללית על שתי מערכות הנמצאות בשיווי משקל במגע דיפוזיבי, כלומר חלקיקים יכולים לעבור בין המערכות. ידוע ששיווי משקל עבור מערכת בטמפרטורה קבועה משמעותו מינימום של האנרגיה החופשית של הלמהולץ. נסתכל על שתי מערכות A,B אשר נמצאות באותה טמפרטורה. מכוון שהטמפרטורה והנפח לא משתנים ניתן לרשום את הדיפרנציאל של האנרגיה החופשית הכוללת של שתי המערכות formula_33 באופן הבא:
formula_34
אך מכוון שחלקיקים היוצאים ממערכת A יכולים לעבור אך ורק למערכת B בהכרח מתקיים formula_35. נציב זאת, נשווה לאפס מהדרישה לשיווי משקל ונקבל:
formula_36
מכוון שנרצה שהשוויון יהיה נכון לכל formula_37 בהכרח נקבל:
formula_38
כלומר בשיווי משקל דיפוזיוני בין שתי מערכות, הנגזרת החלקית של האנרגיה החופשית לפי מספר החלקיקים, אשר נהוג לכנותה הפוטנציאל הכימי, שווה בשתי המערכות. נשתמש בעובדה זו בהמשך.
כעת נתייחס לאטמוספירה בצורה מקורבת כאל עמוד גז הנמצא בשיווי משקל ובטמפרטורה קבועה formula_6 לכל אורכו. נחלק את עמוד הגז לשכבות שונות לכל גובהו. השכבות השונות נמצאות במגע דיפוזיבי זו עם זו ובשיווי משקל.
האנרגיה החופשית של הלמהולץ של גז אידיאלי נתונה על ידי:
formula_40
כאשר formula_41 נפח השכבה, formula_42 מספר החלקיקים הכולל בשכבה, formula_43 הצפיפות הקוונטית אשר נתונה על ידי formula_44 ,formula_11 המסה הממוצעת של חלקיק בגז, formula_46 קבוע בולצמן, ו- formula_47 קבוע פלאנק המצומצם.
מכוון שעמוד הגז נמצא תחת השפעת הגרביטציה יש להוסיף את האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית הפועלת על כל חלקיק לאנרגיה החופשית של כל שכבה:
formula_48