אף ש-e הוא קבוע חשוב למדי, הוא כמעט ואינו מוכר יחסית לקבוע π (פאי), המופיע רבות בפולקלור המתמטי. זריקת עידוד לפרסומו של e ניתנה על ידי חברת גוגל שבבעלותה מנוע החיפוש גוגל, שבבקשתה הראשונה להנפקת ניירות ערך ציינה את סכום ההנפקה כ-$2,718,281,828, כלומר e מיליארד דולר. שימוש נוסף שגוגל עשו במספר הוא פרסום מודעה גדולה בלב עמק הסיליקון הקוראת לגלוש לאתר שכתובתו "עשר הספרות הרצופות הראשונות במספר e היוצרות יחדיו מספר ראשוני" (התשובה מגיעה רק בספרה ה-101: 7427466391). מי שפתר את החידה נשלח לפתור חידה קשה יותר, ורק אז הגיע לאתר של Google Labs שם הוזמן לשלוח קורות חיים כדי להתקבל לעבודה אצלם.
מדען המחשב דונלד קנות' ממספר את הגרסאות של תוכנת Metafont כך שילכו ויתקרבו ל-e: גרסה 2, גרסה 2.7, גרסה 2.71, וכו'. נכון ל-2020, הגרסה היציבה האחרונה (מתאריך 2014-01-07) היא 2.7182818.
סדרה הנדסית
במתמטיקה, סדרה הנדסית או סדרה גאומטרית היא סדרה של מספרים, כך שהיחס בין כל שני איברים סמוכים הוא קבוע. במילים אחרות, ניתן לחשב כל איבר בסדרה על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במספר קבוע formula_1 (היחס בין האיברים; נקרא גם מנת הסדרה). סדרה הנדסית קרויה כך, משום שכל איבר בה הוא הממוצע ההנדסי של האיבר הקודם לו והאיבר העוקב לו.
הסבר כללי.
מקובל לסמן את האיבר במקום ה-formula_2 בצורה formula_3 (את האות formula_4 עשויה להחליף אות אחרת). אם ידוע לנו האיבר הראשון (מסומן formula_5) ומנת הסדרה (הקבועה לכל אורכה; מקובל לסמן אותה באות formula_1), אז ערכו של האיבר במקום ה-formula_2 נתון בנוסחה:
formula_8
הגדרה פורמלית.
האיבר הכללי.
תהי סדרה formula_9. נאמר שהסדרה הנדסית, אם קיים formula_1 כך שלכל formula_11,
מההגדרה נובע כי ניתן לאפיין כל סדרה הנדסית בעזרת שני ערכים:
במילים אחרות, הסדרה מוגדרת על ידי נוסחת נסיגה, formula_12, עם ערך התחלתי formula_5.
ההגדרה לפי נוסחת הנסיגה שקולה להגדרה לפי הנוסחה לאיבר כללי בסדרה:
formula_17
סכום סדרה הנדסית.
מקובל לסמן את סכום האיברים בסדרה (כלשהי) formula_18, כאשר formula_19 ו - formula_20 הם הגבולות הרצויים.
מקרה פרטי הוא סכימה מהאיבר במקום ה-1 ועד האיבר במקום ה-formula_2 (ועד בכלל). מקובל לסמן סכום זה בביטוי formula_22, ניתן לחשב את הסכום ישירות, על ידי חיבור כל הערכים.
עם זאת, במקרה של סדרה הנדסית קיימת גם נוסחה סגורה;
עבור המקרה הכללי:
formula_23
ועבור המקרה הפרטי:formula_24
למשל, סדרה הנדסית סופית שמנתה היא 3, האיבר הראשון שלה הוא 2, ומספר איבריה הוא 5. בפירוש:
ניתן לסכום את הסדרה בפירוש,
הנוסחות שמופיעה לעיל נותנות את אותו סכום, ללא סכימה מפורשת:
חשיבותה של הנוסחה מתבררת כאשר מעוניינים לסכום עד formula_2 גדול. במקרה כזה, סכימה ידנית עשויה להיות מייגעת, ואילו הזמן שלוקח לחשב את הנוסחה הוא בערך קבוע.
הוכחת הנוסחה.
על פי הגדרת הסדרה ההנדסית:
הוספת האיבר הבא בסדרה נותנת את הסכום הבא בתור:
ואחרי סידור חדש, מתקבל
מצד שני,
לכן:
הצבה של משוואה formula_35 נותנת:
כדי להימנע מחלוקה באפס, נחלק למקרים:
סימון חלופי.
לעיתים מתחילים את אינדקס הספירה formula_2 מ-0, ואז הנוסחה לאיבר כללי מקבלת את הצורה:
formula_42
והנוסחה לסכום החלקי
formula_43
התכנסות טורים הנדסיים.
מנוסחת סכום סדרה הנדסית ניתן לראות, שאם formula_44, גם אם מספר האיברים שואף לאינסוף (סוכמים "אינסוף איברים"), סכום הסדרה יהיה סופי (כלומר, מתכנס למספר מסוים), כיוון ש-formula_45.
לכן, סכום הטור האינסופי מוגדר להיות גבול סדרת הסכומים החלקיים, והוא
אם הגבול של סכום סדרה אינסופית קיים, אז הסכום נקרא טור מתכנס. בפרט, להתכנסות של הטור ההנדסי חשיבות רבה, שכן קיימים מבחני התכנסות לטורים אשר מתבססים על היכולת להשוות את הטור האינסופי שהתכנסותו נבדקת לטור הנדסי.
קבר הגחליליות
קבר הגחליליות (ביפנית: 火垂るの墓 - "הוטארו נו האקה") הוא דרמת-אנימה אנטי-מלחמתית שביים במאי האנימה היפני איסאו טאקאהאטה באולפני ג'יבלי. היצירה ראתה אור בשנת 1988 והיא מבוססת על ספר מאת הסופר היפני אקיוקי נוסאקה, ונחשבת בעיני רבים (כגון מבקר הקולנוע רוג'ר איברט) לאחת מהטובות והמשפיעות, שבסרטי האנימה והאנטי-מלחמה כאחד.
עלילה.
הסרט מציג את מאבק ההישרדות של נער כבן 14 ואחותו בת ה-4 בקובה בתקופת מלחמת העולם השנייה, כשאביהם משרת בחזית ואימם נפגעת בהפצצה. הם חייבים להתעמת עם הסביבה האנושית העוינת, מחסור גדול במזון ומחלות. הם מגיעים לבית דודתם מצד אביהם, אך היא מתקשה לטפל בהם עקב השפל הנגרם מהמלחמה, והדבר יוצר עימות ביניהם. אז חייבים שני הילדים לשרוד לגמרי לבדם.
הקדמה.
הסרט פותח במילים "מתתי בלילה ה-21 בספטמבר 1945". בתחנת רכבת נגלה בעל הקול - נער מותש, מלוכלך ובמצב בריאותי ירוד להחריד. הוא מנסה להיזכר "איזה יום היום?", קורס על הרצפה, וממלמל את השם "סצקו".
לאחר מכן מוצאים אותו שני אנשי ניקיון ללא רוח חיים בין קבצנים שונים. אחד מהם מוצא לידו קופסת פח של סוכריות וזורק אותה אל מחוץ לתחנה, כשחומר דמוי אפר נשפך ממנה. גחליליות רבות מופיעות באוויר, ואז נגלית ילדה קטנה לבושה בברדס, ומרימה את הקופסה. אותו נער מופיע לידה בבגדי חייל, והם הולכים משם יד ביד.
לפני ההפצצה.
המשך הסרט הוא למעשה זיכרון ארוך שקדם לסצנה הראשונה. הנער הוא סֶייטַה בן ה-14 והילדה היא אחותו הקטנה סָצְקוֹ בת ה-4. במהלך מלחמת העולם השנייה משרת אביהם בחזית והם אינם יודעים מה קורה עמו, ועל כן הם חיים עם אימם בלבד. באחת ההפצצות עליהם מתעכב סייטה כדי לקבור את חפציהם בחצר, וכך הוא וסצקו מופרדים מאימם. הם מצליחים להימלט מהעיר הבוערת ולהגיע למקום מבטחים, אך כשהם חוזרים אליה הם מגלים כי נותרו ממנה הריסות בלבד. יחד עם הניצולים הם עוברים לבית ספר המשמש כמרפאה זמנית, שם מודיעים לסייטה שאימו נפצעה קשות ונשרפה בכל גופה. סייטה אומר לאחותו שאימם פצועה ונמצאת באשפוז בבית חולים, ונותן לה את הטבעת שלה כדי שתשמור אותה יחד עם "אוצרותיה" (גולות, אבנים צבעוניות ועוד) בארנקה הקטן, אך לא מגלה לה את חומרת המצב. ברם, אחותו פורצת בבכי כשהיא מרגישה בחסרונה הכבד של האם.
בבית הדודה.
סייטה וסצקו עוברים לבית דודתם מצד אביהם, שם מוצעים להם חדרים. סייטה חוזר לחורבות העיר בה גרו ומביא משם את החפצים אותם קבר לבית דודתו, והיא מקבלת זאת בברכה. הוא מספר לדודתו על פטירתה של אמו, אך לא לאחותו. הם מבלים שם חלק ניכר מהסרט, מנסים להתחזק מעצם היותם אח ואחות ואף הולכים יחד לים, שם הם מבלים יחדיו. אך בכל מקום מתקיפים את סייטה זיכרונות בהם מעורבת אמם, וכשהדבר קורה גם לסצקו, היא פורצת בבכי. בהפצצות הם מסתתרים עם שאר בני הכפר במקלט, וכל אימת שהדבר קורה סצקו נתקפת גירודים עזים בכל גופה. הם נאלצים למשכן את בגדי אימם תמורת אורז, למרות התנגדותה של סצקו. עם הזמן מגלה דודתם יחס אוהד פחות ופחות כלפיהם, עד שהיא טוענת כבר שעל סייטה לעבוד כדי להרוויח את לחמו, ובכלל להודות לה על כך שהיא מסכימה לארח אותם, שכן הם מקשים עליה ובכיה של סצקו מפריע לה ולשאר בני הבית בלילה. סייטה מחליט לא לפגוע בגאוותו ומסרב להתנצל. הוא וסצקו עוזבים את הבית, ועוברים לגור לבדם במקלט החצוב בגבעה ליד אותו כפר. משם ואילך עליהם לשרוד בכוחות עצמם לחלוטין.
המקלט.
תחילה הם מסתדרים יפה, מכינים אוכל טוב ואף בונים נדנדה על העץ ליד המקלט, אך ככל שהזמן עובר מצבם הולך ומידרדר, האוכל אוזל והואיל והם מנותקים מהחברה, הם מתקשים בקניית מזון. סייטה מנצל את ההפצצות התכופות, ובכל עת שאחת כזו מתרחשת הוא רץ לכפר וגונב מצרכים מבתים בשבילו ובשביל סצקו. אף על פי שהוא מודע היטב למצב הקשה, הוא מנסה להישאר חזק ולשמור על אחותו, שכן כעת היא הדבר היקר לו ביותר וכך גם הוא לגביה. באחת הפעמים הם לוקחים גחליליות רבות (עד אותו רגע הופיעו גחליליות במקומות רבים בהם הלכו) ושמים אותן יחד איתם באוהל הכילה בו הם ישנים במקלט; עם בוקר הגחליליות נמצאות מתות, וסצקו קוברת אותן, תוך כדי שהיא אומרת לסייטה שדודתם סיפרה לה על מות אימם, אז הוא פורץ בבכי. מצבה הבריאותי הולך והופך רע כשהיא ממשיכה להרזות, הגירודים בגופה מחמירים והיא נתקפת בבעיות קיבה. סייטה הולך לרופא, אשר בודק את גירויי העור על גופה של סצקו ואומר לו שהדבר נגרם מתזונה לקויה. סייטה מתחנן לתרופה, אך הרופא ממשיך לטעון כי היא זקוקה לתזונה נאותה.