נוכיח באינדוקציה. בבירור formula_175 . נניח כי formula_176 ונוכיח כי formula_163 . נשים לב כי formula_178 סדרה מונוטונית עולה ממש (בבניית תת־סדרה, איננו לוקחים איברים מהסדרה המקורית בסדר הפוך לסדר בו הם הופיעו ואיננו לוקחים אבר כלשהו יותר מפעם אחת), לכן formula_179 . כלומר formula_180 ולכן formula_181 .
משפט שטולץ לסדרות.
תהי formula_182 סדרה כלשהי, ותהי formula_183 סדרה מונוטונית עולה ממש ומקיימת formula_184 .
אם formula_185 במובן הרחב, אזי גם formula_186 .
לפי הגדרת הגבול, לכל formula_80 קיים formula_69 כך שלכל formula_88 מתקיים:
formula_190
formula_191 מונוטונית עולה ממש, לכן formula_192 או formula_193 וניתן להכפיל בו את אי־השוויון. נקבל:
יהי formula_195 המקיים formula_196 . סכימת אי־השוויון לעיל תיתן לנו את אי־השוויון הבא:
נחלק את אי־השוויון ב־formula_198 ונקבל:
formula_199
formula_184, לכן קיים formula_201 המקיים formula_202 כך שיתקיים:
formula_203
לכן formula_186 .
formula_31
הערה: כפי שניתן לראות בבירור מההוכחה, מספיק שהסדרה formula_191 תהיה חיובית ומונוטונית רק החל ממקום מסוים בסדרה ולאו דווקא החל מתחילתה.
התכנסות סדרת הממוצעים.
תהי formula_21 סדרה המתכנסת לגבול סופי formula_105 . אזי גם הסדרות הבאות מתכנסות לגבול formula_105 :
תחילה נוכיח את הטענה הראשונה. נשתמש במשפט שטולץ. ברור כי formula_216 היא סדרה חיובית, מונוטונית עולה ממש ומתכנסת במובן הרחב לאינסוף. מתקיים:
formula_217
אזי formula_218 כדרוש.
formula_31
כעת נוכיח את הטענה השלישית.
אם formula_220 אז הטענה נכונה טריוויאלית על־פי מה שהרגע הוכחנו. אם formula_153 נקבל כי formula_222 ואז כיון ש־formula_223 ובתוך הסוגריים סדרת הממוצעים החשבונית של formula_224 נקבל מהטענה הראשונה כי formula_225 .
formula_31
המקרה הפרטי formula_215 הוא בעייתי. עבורו, הטענה אינה נכונה באופן כללי ודוגמה פשוטה לכך היא הסדרה המוגדרת לפי formula_228 . עבור סדרות שוות סימן (כלומר, סדרות שבהן קיים formula_69 כך שלכל formula_70 אברי הסדרה הם כולם בעלי אותו הסימן), מובטח כי formula_231 מתכנסת ל־formula_4 או ל־formula_233 . עובדה זו מאפשרת להראות את נכונות הטענה על־פי נימוק דומה למקרה בו formula_220 .
נותר לנו כעת רק להוכיח כי formula_235 אם formula_212 לכל formula_41 . זאת ניתן להוכיח ישירות באמצעות שימוש בטענות שהוכחנו עד כה ואי־שוויון הממוצעים אשר נכון עבור סדרות חיוביות:
לכן על־פי כלל הסנדוויץ' גם formula_235 ובזאת הושלמה ההוכחה.
formula_31
הערה: נזכיר כי הטענה על הממוצע ההרמוני אינה נכונה באופן כללי עבור formula_215 אך כאן formula_212 לכל formula_41, לכן הטענה נכונה במקרה זה כיון שהסדרה שוות סימן.
הוכחה חלופית עבור התכנסות סדרת הממוצעים החשבונית.
ההוכחה הבאה מראה כי סדרת הממוצעים החשבונית מתכנסת לגבול הסדרה המקורית באמצעות הגדרת הגבול בלבד.
יהי formula_80 . formula_153, לכן קיים formula_195 כך שלכל formula_247 מתקיים formula_248 .
כעת נסתכל על תת־סדרת האיברים עד formula_108, כלומר: formula_250 . כיון ש־formula_108 קבוע (ערכו נקבע על פי אפסילון), תת־סדרה זו היא סופית ולכן סכום אבריה הוא מספר סופי ולכן מתקיים: formula_252 . אזי קיים formula_253 כך שלכל formula_254 מתקיים formula_255 .
כעת ניגש לטפל באיברים שנמצאים אחרי formula_108, כלומר formula_257 (נשים לב שזהו אינו מספר סופי של איברים). כל אחד מאיברים אלו מקיים formula_258 לכל formula_259 טבעי. נסמן formula_260 ונשים לב שהדבר גורר כי לכל formula_261 מתקיים formula_262 . אזי,
נסכם: נסמן formula_264 ונקבל כי לכל formula_70 מתקיים:
אזי formula_267 כדרוש.
formula_31
פסק דין גמזו
רע"א 4905/98 גמזו נ' נעמה ישעיהו הוא פסק דין של בית המשפט העליון שדן בזכות לתנאי מחיה מינימליים.
הרקע למשפט.
יוסי גמזו שהיה נשוי לנעמה ישעיהו ואב לבתם המשותפת, צבר במהלך שהותו מחוץ לישראל חוב גדול של כמיליון ורבע ש"ח על מזונות עבור בתו, שלא שולמו. גרושתו ובתו פתחו בהליכי הוצאה לפועל נגדו. לגמזו לא נותרו נכסים והמקור היחיד לתשלום החוב היה משכורתו. גמזו ביקש מראש ההוצאה לפועל לפרוס את החוב באופן שיגן עליו מפני עיקול מלא של משכורתו, כדי שיוכל להתקיים. גרושתו טענה שאין לפרוס את החוב, ושבקשת הפריסה נובעת מרצון להתחמק מלשלמו.
המצב החוקי.
חוק ההוצאה לפועל קבע מעמד מיוחד לחוב מזונות. בסעיף 50 לחוק נמנו נכסים שלא ניתן לעקל אותם, אך בסעיף 50(ב) נקבע שהוראות הסעיף לא חלות על חוב מזונות, אלא אם נקבע כך מפורשות בחוק. סעיף 74 קבע "נבע החוב הפסוק ממזונות המגיעים לפי פסק דין למזונות, רשאי רשם ההוצאה לפועל לתת, לפי בקשת הזוכה, צו מאסר נגד החייב לתקופה שלא תעלה על 21 ימים, אף בלי להיזקק לחקירת יכולת או לתצהיר לפי סעיף 68".
סעיף 69 לחוק ההוצאה לפועל עוסק באפשרות לפרוש חוב לתשלומים, וקובע:
היסטוריה חקיקתית.
השופט ברק סיכם את ההיסטוריה החקיקתית:
הכרעת בית המשפט.
בשנת 2001 ניתן פסק הדין מפיו של השופט אהרן ברק, כאשר השופטים יצחק זמיר ויצחק אנגלרד הצטרפו לפסיקתו.
השופט אהרן ברק העלה שלוש שאלות לדיון, כשהשלישית היא העיקרית:
לגבי השאלה הראשונה קבע השופט ברק, כפי שקבעו כל הערכאות לפניו, שסעיף 69(ה) חל גם במקרה שבו לא נקבעו שיעורים בפסק הדין המקורי. נימוקו היה שאין טעם להבחין בין מקרה שבו נדרש שינוי בשיעורי התשלומים לבין מקרה בו נדרש קביעת שיעורים. לגבי השאלה השנייה קבע שהטעמים נוגעים לראש ההוצאה לפועל.
לגבי השאלה השלישית, קבע בית המשפט המחוזי ש"סעיף 69(ה) נוצר על מנת לאפשר לחייב הסדר מסוים שישחרר אותו מאימת המאסר". לדעת בית המשפט המחוזי, אם אין חשש מצו מאסר - כגון שבן-הזוג הזכאי למזונות הצהיר שאינו מבקש צו מאסר - אין תחולה לסמכות הקבועה בסעיף 69(ה) לחוק ההוצאה לפועל.
בית המשפט העליון הפך החלטה זו. השופט ברק כתב:
השופט ברק קבע כי חוק ההוצאה לפעול הוא בעל שתי תכליות: האחת לסייע לגובה לגבות את החוב במהירות וביעילות. השנייה, להגן על החייב במקרה שלא יוכל לעמוד בתשלום החוב לאור מצבו הכלכלי. תכליות אלו נגזרות מ, והן מתבטאות בהוראת חוק יסוד המגינה על ערך הקניין (סעיף 3 לחוק היסוד) ושמירה על כבודו וחירותו של החייב - הזכות למינימום כבוד אנושי.
ברק קבע כי הזכות לתנאי מחיה מינימליים נגזרת מתוך פירוש הרחב של כבוד:
קיימת התנגשות בין הצורך להבטיח לנושה גבייה מהירה ויעילה של החוב, לבין הצורך להגן כלכלית על החייב. ברק מבצע איזון בין ההתנגשויות, וקובע כי על בית המשפט להבטיח כי החוב שנפסק ישולם, אבל באופן שלא תיפגע יכולת הקיום הבסיסית של החייב, כשיש לשמור על צלם האדם של החייב במזונות ולהבטיח מינימום קיום אנושי של החייב במזונות.
רדווילישקיס
רדווילישקיס (בליטאית: Radviliškis; בפולנית: Radziwiliszki; ביידיש: ראדווילישאָק) היא העיר הגדולה במחוז המשנה רדווילישקיס שבמחוז שאולאי שבליטא. העיר ממוקמת על צומת מסילות ברזל, והתקיימה בה עד השואה קהילה יהודית.
תולדות היישוב.
העיר נוסדה בסוף המאה ה-15, ובשנת 1687 הוענקה לה זכות לקיים בה שווקים. בין המאות ה-17 וה-19 נפגעה העיר מקרבות שונים, ובייחוד בעת המלחמה הצפונית הגדולה.
עם חיבור העיר לקו מסילת הברזל בתחילות שנות ה-70 של המאה ה-19 הואץ פיתוחה.
יהודי רדווילישוק.
בין מלחמות העולם נמנו בעיר כ-250 משפחות יהודיות, והתקיימה בה פעילות ציונית, תוך קיום בית ספר עברי. עם סיפוח ליטא לברית המועצות ביוני 1940 נאסרה פעילות זו.
ב-26 ביוני 1941, במהלך מבצע ברברוסה, נכבשה העיר בידי הגרמנים, ואלו הטילו על יהודיה גזירות שונות, תוך סימון בתי היהודים וגיוס היהודים לעבודות כפייה משפילות, שלוו במעשי התעללות.
ב-8 ביולי 1941 רוכזו יהודי העיר בגטו מגודר שהוקם בכמה צריפים בה, אשר נשמר בידי שוטרים ליטאים וגרמנים, ובו נצטוו בענידת טלאי צהוב ובביצוע עבודות כפייה.
ב-12 ביולי 1941 רצחו הגרמנים את רובם המוחלט של הגברים היהודים מהגטו בחורשה ליד בית העלמין היהודי המקומי. בהמשך אותו חודש הועברו כ-500 יושבי הגטו, בעיקר נשים וילדים, למחנה לשבויי מלחמה סובייטים, וב-26 באוגוסט 1941 שולחו כ-400 מהם לגטו זאגר, בו נרצחו כעבור זמן מה. יתר יהודי הגטו שבעיר הועברו לגטו שאולאי, כאשר חלקם נרצחו בדרך, והיתר נרצחו בעת השמדת גטו זה.
רדזיווילישוק
ראדווילישאק
דראפט ה-NFL
דראפט ה-NFL הוא דראפט שנתי של ליגת ה-NFL. בתהליך זה קבוצות הליגה בוחרות שחקני מכללות הרשאים לשחק בליגה. שחקנים אלה מהווים את המאגר הזמין והעיקרי של שחקנים חדשים בליגה. דראפט ה-NFL החל ב-1936 ומתכונתו השתנתה מספר פעמים במשך השנים, אבל העקרונות הבסיסיים נותרו. נכון ל-2022 הדראפט כולל שבעה סיבובי בחירה ומטרתו העיקרית היא ליצור איזון בין קבוצות הליגה השונות.
לכל קבוצה ניתן מיקום בחירה העומד ביחס הפוך להישגיה בעונה שחלפה. כך שהקבוצה הגרועה ביותר מקבלת את זכות הבחירה הראשונה וכך בסדר יורד עד לקבוצה שזכתה בסופרבול שמקבלת את זכות הבחירה האחרונה. קבוצה יכולה בתורה לבחור כל שחקן שעדיין פנוי או לסחור במיקום עם קבוצה אחרת תמורת שחקן או שחקנים או מיקום אחר בדירוג או כל שילוב ביניהם. מעבר לבחירות הרגילות שנקבעות על פי מיקום הקבוצה, מחלקת הליגה מסוף הסיבוב השלישי ואילך, 32 בחירות מיוחדות, אותן מעניקה כפיצוי לקבוצות השונות בהתאם לאובדן שחקנים חופשים בשנה החולפת.