כאשר ערכה של הזווית x (ברדיאנים) הולך ומתקרב לאפס, היחס בין הסינוס formula_1 של formula_2 לבין formula_2 הולך ומתקרב ל-formula_4. בלשון מתמטית, אומרים שהגבול של המנה formula_5 כאשר formula_2 שואף לאפס, שווה ל-formula_4, ובנוסחה:
formula_8.
גבול זה שווה, לפי ההגדרה, לנגזרת של פונקציית הסינוס בנקודה 0. בעזרת הגבול הזה אפשר לחשב את הנגזרת של פונקציית הסינוס בכל הישר, ודרך כך לקבל עובדות בסיסיות אחרות באנליזה של פונקציות טריגונומטריות, כגון טורי טיילור שלהן וגבולות רבים אחרים המערבים פונקציות טריגונומטריות.
הוכחת הזהות.
לזהות קיימות מספר הוכחות מהירות, המסתמכות על עובדות ידועות. מאלה, המכשלה הנפוצה ביותר היא השימוש בכלל לופיטל: כידוע, הנגזרת של פונקציית הסינוס היא פונקציית הקוסינוס, ועל-פי הכלל, הגבול של המנה formula_5, כאשר x שואף לאפס, שווה לגבולה של מנת הנגזרות, formula_10, השווה בתורו ל-1. אלא שכדי למצוא את הנגזרת של פונקציית הסינוס, אין מנוס משימוש בגבול שאותו אנו מנסים להוכיח כאן (אם מגדירים את הסינוס באופן גאומטרי), שכן הגבול הוא מקרה פרטי של הנגזרת בנקודה 0 ואם לא יכולים להוכיח את הגבול, גם את הנגזרת אי אפשר להוכיח.
בגישה אחרת, אנליטית, מגדירים את פונקציות הסינוס והקוסינוס על-פי טורי טיילור הידועים שלהן, כלומר formula_11 ו- formula_12. אז מוכיחים שהפונקציות מקיימות את הזהויות הטריגונומטריות המוכרות, כגון formula_13. הוכחת הזהויות אינה קשה משום שהטורים מתכנסים בהחלט בכל הישר הממשי. ההגדרה כוללת בתוכה גם את הגבול שבכותרת, שהרי את הגבול של היחס formula_14 אפשר לקרוא מן המקדם של x בנוסחה לסינוס. הבעיה היא שהפונקציות formula_15 מקיימות אותן זהויות טריגונומטריות, עבור כל ערך של t, ולכן קשה לקשור בשיטה זו את הפונקציות אל המשמעות הגאומטרית המקובלת שלהן.
הוכחתה של זהות יסודית כל-כך מצריכה באופן טבעי התבוננות זהירה בהגדרות של המושגים שבהם משתמשים, ובהם - זווית, רדיאן, אורך, סינוס ואפילו פאי. משום כך, נזכיר כאן את ההגדרות הדרושות בניסוח הטענה ובהוכחתה. להלן מובאות שתי הוכחות אפשריות, שבאחת מהן משתמשים בהשוואה של שטחים, ובשנייה בהשוואה של אורכי ישרים וקשתות. שתי השיטות מבוססות על ההגדרה הבאה של זווית: שני ישרים נפגשים ביניהם ב"זווית x", אם x הוא אורך הקשת שהם גוזרים ממעגל ברדיוס 1 סביב נקודת החיתוך שלהם.
בסיס ההוכחה.
הן ההוכחה מבוססת האורך והן ההוכחה מבוססת השטח משתמשות באותה בניית עזר, ופועלות להשגת מטרה משותפת: הוכחת אי-השוויון formula_16 עבור x חיובי וקטן
כעת נחלק ב-formula_1 ונקבל formula_18, כלומר formula_19, והגבול המבוקש נובע על-פי כלל הסנדוויץ'.
בניית העזר המשמשת בשתי ההוכחות מוצגת בתמונה משמאל. אנו בונים על מעגל היחידה משולש שווה-שוקיים AOB, כאשר O הוא מרכז המעגל ו-AO=OB הם רדיוסים שהזווית ביניהם היא formula_2. נסמן ב- C את מפגש הגובה היורד מ- B אל הצלע AO, עם הצלע, וב- D את מפגש האנך העולה מ- AO בנקודה A, עם הישר OB.
על-פי הגדרת הסינוס והקוסינוס, אורך הצלע BC הוא formula_21, ואורך הצלע AD הוא formula_22. בשלב זה מתפצלת ההוכחה עבור כל אחת משתי הגישות השונות. מן הבחינה העקרונית, שתי השיטות נסמכות על רעיונות בעלי מורכבות דומה, ואפשר לטעון שהעדפת שיטה אחת או אחרת היא עניין של טעם.
הוכחה מבוססת שטח.
בגישה זו, ההוכחה של אי-השוויון formula_16 מתבצעת על ידי השוואת שטחי המשולש AOB, הגזרה AOB (התחומה על ידי הרדיוסים AO ו-OB והקשת AB) והמשולש AOD.
שטח המשולש AOB הוא formula_24 (הגובה BC כפול הצלע OA שאורכה יחידה, חלקי 2). בצורה דומה, שטח המשולש הגדול יותר, AOD, הוא formula_25.
החישוב המרכזי הוא זה של שטח הגזרה AOB, ובו טמונה מורכבות ההוכחה. בשל הסימטריה של המעגל, שטח של גזרה הנשענת על זווית של formula_2 רדיאנים מהווה formula_27 משטח המעגל הכולל. על כן, אם ידוע כי שטח מעגל היחידה הוא formula_28, הרי ששטח הגזרה הוא formula_29.
כיוון שבבירור המשולש AOB מוכל בגזרה AOB שמוכלת במשולש AOD מתקבל על ידי השוואת שטחיהם אי השוויון formula_30 וממנו נובעת התוצאה המבוקשת.
נותר להוכיח את הקביעה ששטח מעגל היחידה הוא formula_28. גישה אחת להוכחה זו מבוססת על "שיטת המיצוי" שפיתחו הגאומטריקנים היוונים, המחלקת את המעגל למשולשים שמספרם הולך ורב, ומראה שהשגיאה בהערכת השטח, הכוללת את הפערים שבין גזרות למשולשים, חסומה בטבעת שאפשר לעשותה דקה כרצוננו. סכום אורכיהם של בסיסי המשולשים שואף להיקף המעגל, formula_32, ואילו הגובה בכל אחד מהמשולשים שואף לרדיוס שאורכו יחידה, ולכן סכום שטחי המשולשים שואף ל-formula_28. שיטה דומה עוטפת את המעגל מבחוץ ומבפנים במצולעים משוכללים.
הוכחה מבוססת אורך.
כיוון שהצלע BC היא סינוס x מהגדרתו, הקשת BA היא x ואילו הצלע AD היא טנגנס x כי שני המשולשים שהאנכים יוצרים דומים ואז אורך הצלע AD הוא סינוס חלקי קוסינוס וזו הגדרתו של הטנגנס, כל שנותר להראות הוא שהצלע BC קצרה מהקשת BA, שקצרה מהצלע AD. לשם כך אין מנוס מלהגדיר במדויק מהו אורך של קו שאינו ישר, מסילה. אורכה של מסילה הוא המספר הקטן ביותר הגדול מסכום המרחקים formula_34 לכל סדרה סופית של נקודות formula_35 על המסילה. (הגדרה זו, הגם שהיא מובלעת בחישובי שטחים ונפחים מאז אוקלידס, לא הופיעה בצורתה זו במפורש, אלא בתקופתם של ניוטון ולייבניץ, מייסדי החשבון האינפיניטסימלי).
כעת, כיוון שהמשולש ACB ישר-זווית, מתקיים formula_36, אבל formula_37 כיוון שהקשת שאורכה x מחברת את הנקודות AB, שהמרחק ביניהן formula_38. בכך סיימנו להוכיח את חלקו השמאלי של האי-שוויון.
כדי להוכיח את אי-השוויון באגף ימין, נבחין שהמרחק בין A ל-D הוא formula_39. נראה שהקשת x קצרה מן הקטע AD. נניח שהנקודות formula_35 פזורות לאורך הקשת AB ומסודרות לפי קרבתן ל- A. נעביר את הרדיוסים מהנקודה O אל הנקודות האלה, ונמשיך אותם עד שיפגשו בקטע AD. את נקודות המפגש נסמן formula_41. כעת נשאר להראות שסכום המרחקים formula_42 קטן מסכום המרחקים formula_43.
עבור כל formula_44, אפשר להעביר במרובע formula_45 את הישר formula_46 המקביל לצלע formula_47; הזוויות formula_48 כולן קהות ושוות זו לזו, כבאיור משמאל. מכאן ברור ש- formula_49. כשמסכמים את אי-השוויונים האלה, מתקבל formula_50, כדרוש.
חישוב הנגזרת של arcsin.
את הנגזרת של הפונקציה arcsin, ההפוכה לסינוס, אפשר לחשב באמצעות המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי וחישוב אורך הקשת של המעגל כאינטגרל על אלמנט האורך. אכן, נוסחת המעגל היא formula_51, כלומר formula_52. לכן אורך הקשת שמעל לקטע formula_53 שווה לאינטגרל formula_54. מאידך, אם נסמן את הזווית המתאימה לקשת הזו ב-formula_55, נקבל ש-formula_56, כלומר formula_57. אם כך, formula_58. נגזור את שני האגפים, ונקבל formula_59. לכן הנגזרת לפונקציה ההפוכה, פונקציית הסינוס, היא formula_60 (את הסימן יש למצוא לפי כיוון התנועה לאורך המעגל). בפרט, formula_61.
חסרונה של השיטה הזו בכך נסמכת על מושגים באינטגרציה, שבתורם משתמשים בשיטות מיצוי וגבולות כלליות יותר מאלו שהופיעו בהוכחות הקודמות.
מצור רחוב בלקומבי
חוסה קרלוס מריאטגי
חוסה קרלוס מריאטגי (בספרדית: José Carlos Mariátegui; 14 ביוני 1894 - 16 באפריל 1930) היה עיתונאי פרואני, הוגה דעות ופעיל פוליטי. בטרם נפטר בגיל 35 היה סופר מחונן אשר נחשב לאחד הסוציאליסטים המשפיעים ביותר של אמריקה הלטינית במאה ה-20. עבודתו המפורסמת ביותר "שבעה מאמרי פרשנות על המציאות הפרואנית" (1928) עדיין נקראת בדרום אמריקה.
על אף שהיה מרקסיסט מוצהר ואוטודידקט, טען מריאטגי כי המהפכה הסוציאליסטית צריכה להתפתח באופן אורגני באמריקה הלטינית על בסיס התנאים וההוויה המקומיים, ולא כתוצאה מיישום מכני של נוסחאות אירופאיות.
פוקס (רשת טלוויזיה)
פוקס (באנגלית: Fox Broadcasting Company) היא רשת שידורי טלוויזיה אמריקאית, השייכת ל-"Fox Entertainment Group", שבבעלות תאגיד "Newscorp". הרשת נוסדה ב-9 באוקטובר 1986.
בישראל הערוצים של הרשת המשודרים כיום הם ערוץ Fox News ב-yes, ב-HOT, בסלקום tv ובפרטנר tv; ערוץ Fox Business בסלקום tv ובפרטנר tv. בעבר שודר גם ערוץ Fox Kids ב-yes וב-HOT (שהפך לערוץ ג'טיקס ואז לערוץ דיסני), וערוץ Fox Sports ששודר ב-yes (סיים את שידוריו בישראל ב-2018).
היסטוריה.
בשנות ה-50 של המאה ה-20 תכננה חברת פוקס המאה ה-20 להקים רשת לשידורי טלוויזיה. במרץ 1985 החלה התוכנית להתממש. Newscorp הכינה את הקרקע להקמת רשת פוקס עם רכישת 50% מהאחזקות ב"אולפני פוקס", בשווי 250 מיליון דולר. עוד באותה שנה היא שילמה 1.55 מיליארד דולר להקמת 6 תחנות שידור עצמאיות בארצות הברית.
באוקטובר 1985 הודיעה חברת "פוקס המאה ה-20" על כוונותיה להקים רשת שידור ארצית שתתחרה בשלוש הרשתות הקיימות (ABC ,NBC ו-CBS).
לאחר שרופרט מרדוק, מבעלי "ניוז קורפ", רכש את השליטה המלאה ב"פוקס", הפכו 6 תחנות השידור לתחנות השידור הראשונות של החברה.
1986 - תחילת השידורים.
התוכנית הראשונה ששודרה בערוץ הייתה תוכנית לייט נייט בשם "The Late Show" ששודרה ב-9 באוקטובר 1986 בהנחיית ג'ואן ריברס.