עם זאת, הפסקת הלחימה עם הרפובליקה הדרום-אפריקאית לא הביאה לקץ בעיותיה של המדינה. לנוכח הידרדרות העימותים עם לסוטו השכנה לידי מלחמה של ממש, ועל רקע משבר כלכלי קשה, מועצת העם של מדינת אורנג' החופשית שלחה במהלך שנת 1858 בקשה רשמית למושבת הכף על כינון קונפדרציה ביניהן. באופן זה סברו בהנהגת המדינה שיוכלו לשפר את הבעיות הפיננסיות והביטחוניות החריפות של המדינה. למרות שמושל מושבת הכף ג'ורג' גריי הביע עניין בהצעה, ממשלת בריטניה דחתה אותה וזו ירדה מעל הפרק. למרות שאיחוד כלשהו לא יצא אל הפועל, החליטה הנהגת המושבה לסייע למדינת אורנג' החופשית בכל זאת, באמצעות תיווך בינה לבין לסוטו. כתוצאה מכך החל בחסות בריטית משא ומתן לשלום בין לסוטו למדינת אורנג' החופשית, ולבסוף ב-15 באוקטובר 1858, נחתם בין הצדדים הניצים הסכם שהגדיר את הגבול ביניהם מחדש. בפברואר 1859, החליט הנשיא בוסהוף לפרוש מתפקידו. עם פרישתו, ועל רקע בעיותיה הלא פתורות של המדינה, החליטו תושביה להציע אחדות לנשיא הרפובליקה הדרום-אפריקאית מרטינוס פרטוריוס, בו נלחמו רק כשנתיים קודם לכן. פרטוריוס נענה להצעה, ובעודו מכהן כנשיא מדינתו, בראשית שנת 1860 רץ בבחירות לנשיאות באורנג' החופשית. הוא זכה, והחל לכהן במקביל כנשיא בשתי המדינות. מצב יוצא דופן זה נמשך כשמונה חודשים, עד ספטמבר אותה השנה. ברפובליקה הדרום-אפריקאית סירבו לקבל את הנשיאות המשותפת של שתי המדינות, וטענו שבפועל פרטוריוס מקדיש יותר זמן ומשאבים למדינת אורנג' החופשית. לפיכך, בספטמבר 1860 הודח פרטוריוס מכס הנשיאות ברפובליקה הדרום-אפריקאית. החל מאותה העת ועד ליוני 1863, היה פרטוריוס נשיאה הבלעדי של אורנג' החופשית. תחת נשיאותו, ידעה מדינת אורנג' החופשית שגשוג יחסי ויציבות פוליטית. בשנת 1863, פרש פרטוריוס מתפקידו וחזר לרפובליקה הדרום-אפריקאית. שם הוא נבחר מחדש לנשיאות כשנה לאחר מכן.
העשורים השני והשלישי: עידן יוהנס ברנד.
עם עזיבתו של פרטוריוס ביוני 1863, נכנסה מדינת אורנג' החופשית לתקופה של אי שקט. במשך חודשים ספורים התחלפו בה שלושה נשיאים זמניים, ובנובמבר נערכו בה בחירות כלליות לנשיאות. בבחירות ניצח יוהנס ברנד, אישיות יוצאת דופן בנוף הפוליטי המקומי. ברנד, יליד קייפטאון, העביר טרם היבחרו קריירה אקדמאית כפרופסור למשפטים בלונדון וקייפטאון, קריירה מקצועית כעורך דין בבית המשפט העליון של מושבת הכף, וקריירה פוליטית כחבר פרלמנט במושבה. ברנד הובא לנשיאות כנראה בעיקר כמועמד פשרה חיצוני ועד מהרה הוא התברר כהצלחה לא מבוטלת. הוא כיהן כנשיא לאורך חמש קדנציות שהם לא פחות מעשרים וארבע שנה, קרוב למחצית משנות קיום מדינת אורנג' החופשית. הוא יצא לשתי מלחמות מוצלחות נגד לסוטו השכנה, האחת ב-1865 והשנייה ב-1869, ועקב כך הוא הצליח לייצב את הגבול בין שתי המדינות. בשנים אלו, מדינת אורנג' החופשית קלטה מהגרים חדשים רבים, הקימה עשרות יישובים, ונהנתה משלטן יציב וצמיחה כלכלית. בנוסף, היא החלה לעבור תיעוש גובר כמו גם לסחור באופן משמעותי עם מדינות שונות מעבר לים, כאשר היא נעזרת בנמלי הים של מושבת הכף ומושבת נטאל. בסוף התקופה היה נראה שמדינת אורנג' החופשית רכשה לעצמה מקום של קבע בנוף הפוליטי הדרום אפריקאי.
ברנד, חבר מסדר מיכאל הקדוש וג'ורג' הקדוש, אשר את רוב חייו בעביר בחברה הגבוהה של קייפטאון ולונדון, הצליח לשמר לאורך מרבית כהונתו כנשיא יחסים טובים עם בריטניה. עם זאת בשנה מסוימת היחסים בין מדינת ארנג' החופשית לבריטים ידעו מתח רב, עת התנגד ברנד לסיפוח הבריטי של אזור קימברלי בשנת 1871. הימים היו ימי בהלה לזהב בדרום אפריקה, והמדינה החופשית, כמו גם הרפובליקה הדרום-אפריקאית ובריטניה חשקו בסיפוח האזור הרווי בזהב וביהלומים. לבסוף, כשל ברנד בניסיונו למנוע את הסיפוח, והאזור עבר לידי מושבת הכף. בתגובה לכך מועצת העם של מדינת אורנג' החופשית קראה לברנד להכריז מלחמה על בריטניה. למרות לחצים משמעותיים לנקיטת פעולה, בחר ברנד בדרך אשר נתפסה כפרגמטית, ונמנע מעימות. נקודת משבר נוספת בין המדינות אירעה בשנת 1877. עם הסיפוח הבריטי של הרפובליקה הדרום-אפריקאית באותה השנה, יזמה בריטניה הקמת פדרציה בדרום אפריקה בין המושבות הבריטיות לרפובליקות האפריקאנריות. ברנד סירב בתוקף, ולתקופה מסוימת, לנוכח לחץ בריטי על מדינת אורנג' החופשית להיעתר לרעיון הפדרציה, המתח בין הצדדים גאה. למרות שברנד הביע תמיכה בעצמאותה של הרפובליקה הדרום-אפריקאית מבריטניה, עם פרוץ מלחמת הבורים הראשונה בדצמבר 1880, הוא סירב לתמוך במי מהצדדים. המלחמה הסתיימה בניצחון הרפובליקה הדרום-אפריקאית מספר חודשים לאחר מכן, ובעצמאותה מחדש. ברנד, שהיה פופולרי במיוחד בקרב עמו, נפטר בעת תפקידו ב-14 ביולי 1888 ונקבר בהלוויה ממלכתית רבת משתתפים בבלומפונטיין.
העשור הרביעי: לפני המלחמה.
לאחר מותו של יוהנס ברנד ביולי 1888, הלכו אזרחי מדינת אורנג' החופשית למערכת הבחירות התשיעית לנשיאות מאז ייסוד המדינה. בבחירות נבחר פרנסיס רייץ, אשר החל לשמש בתפקידו ב-10 בינואר 1889.
חלוקה מנהלית.
במהלך המחצית השנייה של המאה ה-19 חולקה מדינת אורנג' החופשית ל-19 מחוזות מנהליים.
פוליטיקה.
רשויות השלטון.
החוקה של מדינת אורנג' החופשית קובעת שכל תושבי הקבע הלבנים ביום הקמת המדינה הם אזרחיה. בנוסף להם, מיום הקמתה המדינה, כל אדם לבן המתגורר בארץ כתושב קבע במשך חמש שנים לפחות, זכאי להתאזרח. "מועצת העם" (Volksraad) הוכרזה כרשות המחוקקת, כאשר בראש הרשות המבצעת עמד נשיא הנבחר בבחירות כלליות ישירות על ידי הציבור לכהונה בת חמש שנים עם אפשרות להיבחר מחדש. את רשמית המועמדים לנשיאות חיברה מועצת העם. הממשלה אשר בראשה עמד הנשיא "הייתה הוועד המנהל" (Uitvoerende Raad).
אוגוסטה לונגבוטום
מאיר שפירא מלובלין
רוטור (מתמטיקה)
רוטור (Rotor) או קרל (Curl) הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת (לא לפי שינוי בזמן אלא לפי כיוון וגודל הווקטורים). הרוטור של שדה וקטורי הוא בעצמו שדה וקטורי. הרוטור משמש רבות בתחומים הקשורים לתנועת זורמים, כגון הידרודינמיקה, אווירודינמיקה ומטאורלוגיה (שם לרוב ניתן לפגוש בו בהגדרת הערבוליות), וגם בתחום האלקטרודינמיקה כאשר מתארים את הקשר בין שדות מגנטיים, שדות חשמליים וזרמים.
הגדרה.
במערכת צירים קרטזית, הרוטור של שדה וקטורי formula_1 מוגדר להיות
כדי לזכור זאת ביתר קלות, נהוג לסמן את הרוטור כ-formula_3, משום שעל ידי הצבה של הווקטור formula_4 בנוסחה של מכפלה וקטורית מתקבלת אותה נוסחה אך בדרך הרבה יותר פשוטה לשחזור:
formula_5
הפעלת פעולת הרוטור פעמיים ברצף נקראת רוטוריאן.
משמעות אינטואיטיבית.
נדמיין את השדה הווקטורי כמתאר מהירות של מים בכל נקודה בנהר ונקשור לנקודה מסוימת בנהר כדור קטן. אם הזרימה בנהר אחידה, לא יקרה כלום לכדור (הוא ירצה לרדת במורד הזרם אך הוא קשור לנקודה). לעומת זאת, אם מהירות המים עולה ככל שמתרחקים מהגדה, הכדור יתחיל להסתובב. זאת משום שהמים בחלק של הכדור שקרובים יותר לגדה דוחפים את הכדור לאט יותר מהמים בחלק השני של הכדור, ולכן ייווצר כוח שיתחיל לסובב את הכדור. כיוון הרוטור יהיה ציר הסיבוב (בהתאם לחוק יד ימין), והמהירות הזוויתית של הכדור תהיה ליניארית בגודלו.
כדוגמה, עבור נהר שזורם בכיוון formula_6 ותחום בין גדה אחת בישר formula_7 וגדה שנייה בישר formula_8 ניקח את שדה הזרימה בנהר להיות
formula_9
נשים לב ששדה זה מתאפס בגדות הנהר והולך ומתחזק ככל שמתקרבים למרכז. נחשב את הרוטור של השדה:
formula_10
עבור הנקודה formula_11 שבמרכז הנהר, ונקבל שהרוטור מתאפס. זאת משום שנקודה במרכז הנהר מרגישה אותם כוחות משני צידיה ולכן לא מסתובבת לאף כיוון.
בשאר הנקודות נקבל שהרוטור מצביע בכיוון formula_12 זאת משום שציר הסיבוב יהיה מאונך לקרקעית הנהר במקרה זה. אם היינו מסתכלים על אבן טבועה בנהר עם שדה זרימה שונה, היא הייתה עלולה להסתובב עם צירי סיבוב שונים.
בדוגמה שלנו נראה שעבור נקודות שקרובות לקצה העליון של הנהר (formula_13) נקבל שהרוטור מצביע בכיוון z החיובי, משום שהמים במרכז הנהר החזקים מסובבים יותר חזק מהמים קרוב לגדה, ולכן הכדור יסתובב נגד כיוון השעון. עבור נקודות שקרובות לקצה התחתון של הנהר, המצב הוא הפוך ולכן נקבל סיבוב עם כיוון השעון, דבר שמתאים לרוטור שמצביע בכיוון formula_14.
בנוסף, קרוב למרכז הנהר השינויים במהירות המים לא גדולים כמו השינויים במהירות קרוב לקצה, ולכן מהירות הסיבוב של הכדור תגדל ככל שמתקרבים לקצה. דבר זה בא לידי ביטוי בכך שהגודל של הרוטור, formula_15 גדל ככל שקרבים לקצה.
רוטור במערכות קואורדינטות נוספות.
בקואורדינטות גליליות הרוטור הוא:
בקואורדינטות כדוריות הרוטור הוא:
הפתן השחור
הפתן השחור (באנגלית: Blackadder) היא קומדיית מצבים, שהופקה על ידי רשת BBC הבריטית. הסדרה כוללת 24 פרקים בני חצי שעה ששודרו בארבע עונות, בשנים 1983–1989, שלושה פרקים מיוחדים (ספיישלים) ששודרו בשנים 1988 ו-2000 ותשע הופעות נוספות. הסדרה נוצרה על ידי ריצ'רד קרטיס ורואן אטקינסון.
העונה הראשונה נכתבה על ידי קרטיס ואטקינסון.
הפרקים הבאים נכתבו על ידי קרטיס ובן אלטון.
מפיק הסדרה היה ג'ון לויד.
השחקנים הראשיים בסדרה היו רואן אטקינסון, אשר גילם את האנטי-גיבור הציני והשנון, אדמונד בלקאדר, וטוני רובינסון, אשר גילם את הסיידקיק של בלקאדר, בולדריק.