מבנה כללי של בקר PID.
הצורה הכללית של בקר PID מתוארת על ידי הפונקציה:
formula_14
כאשר:
הצגה נוספת של הפונקציה בה נעשה שימוש מתקבל על ידי ההצבה formula_21:
formula_22
היתרון בהצגה זו של המשוואה הוא העובדה שלפרמטרים formula_23 ישנה משמעות פיזיקלית של יחידות זמן.
על ידי ביצוע התמרת לפלס על הפונקציה (בצור,ה הראשונה שהובאה לעיל) מתקבלת פונקציית התמסורת של הבקר:
formula_24
פונקציה זו חשובה מאוד מכיוון שבתחום הבקרה עיקר התכנון נעשה במישור ה-s ולא במישור הזמן.
חשוב לציין כי צורתו הפשוטה של בקר PID נושאת עימה כמה בעיות, ולכן במקרים רבים נעשים שינויים קלים בבקר על מנת לפתור בעיות אלו, המתבטאים כמובן גם בפונקציות המתארות את פעולתו. עם זאת, שינויים אלו אינם משנים את אופן פעולתו העקרונית, ונועדו לפתור בעיות המתרחשות בשל סיבות שאינן חלק מחוג הבקרה האידיאלי, כגון רעשי מדידה ותופעות פיזיקליות חריגות.
החלק הפרופורציונלי.
הפעולה המתמטית המתבצעת על ידי החלק הפרופורציונלי נתונה ע"י:
formula_25
חלק זה של הבקר מקבל את ערכה הנוכחי של השגיאה, ומכפיל אותו בקבוע formula_26. זהו "ההגבר הפרופורציונלי" של הבקר, והוא חלקו הפשוט ביותר של הבקר. ככל שערך השגיאה יהיה גדול יותר, כך יגדל ערך האות היוצא מן הבקר ונכנס לתהליך. יתרונותיו של הגדלת הפרמטר formula_26 הן עקיבה טובה יותר של יציאת המערכת אחר אות הייחוס (שגיאה קטנה יותר), הקטנת זמן התגובה של המערכת לפקודות. עם זאת, הגדלה של פרמטר זה מקטינה את ריסון המערכת ואף עלולה להביא לאי-יציבות.
שימוש בענף הזה בלבד משמעותו, בפועל, בקר פרופורציונלי. החסרון המשמעותי ביותר של הבקר הפרופורציונלי הוא העובדה שעבור כניסת מדרגה, הנפוצה מאוד במערכות בקרה, תתקבל בהכרח שגיאת מצב מתמיד, כלומר - הבקר לא יצליח להביא את יציאת המערכת לערכה הרצוי גם לאחר זמן רב. דבר זה נובע מכך שבשל הקשר הישיר בין השניים, שגיאה אפסית (מצב בו היציאה בפועל שווה ליציאה הרצויה) תגרום בהכרח לאות בקרה אפס, כלומר, התהליך כלל לא יקבל פקודה, ולכן יתחיל לסטות מערך היציאה הדרוש. לשם דוגמה ניתן לקחת תנור המבוקר על ידי בקר פרופורציונלי - מכיוון שהתנור תמיד מאבד חום לסביבה, במידה והתנור נמצא בדיוק בטמפרטורה הדרושה ממנו, יגרום הבקר להפסקת הזרם, וטמפרטורת התנור תרד עד להפעלה מחודשת, וחוזר חלילה. התהליך היחיד ששגיאת המצב המתמיד תתאפס בו יהיה תהליך הכולל אינטגרטור.
החלק האינטגרלי.
הפעולה המתמטית המבוצעת על ידי החלק האינטגרלי נתונה ע"י:
formula_28
חלק זה של הבקר מבצע אינטגרציה בזמן של השגיאה מתחילת המדידה ועד רגע החישוב, ומכפיל את התוצאה בקבוע formula_29. ככל שיציאת המערכת תהיה רחוקה יותר מהערך הרצוי, וככל שיתארך הזמן בו מצב זה יימשך, תגדל השפעתו של החלק האינטגרלי על הבקר.
השינוי המשמעותי שנעשה במערכת בעקבות הוספת חלק זה של הבקר הוא תוספת קוטב בראשית (אינטגרטור) לחוג הפתוח, כלומר - הגדלת סוג המערכת (סוג המערכת מוגדר על ידי מספר האינטגרטורים של החוג הפתוח, ומשתנה כתלות בכניסה אליה אנו מתייחסים. באופן כללי ניתן לומר שככל שסוג המערכת גדול יותר, יכולת הקטנת שגיאת המצב המתמיד טובה יותר). תוספת זה משמעותה איפוס שגיאת המצב המתמיד עבור כניסת מדרגה, כלומר - בסופו של דבר (כתלות בתהליך המבוקר ובערכי הקבועים של הבקר), יציאת המערכת תהיה שווה בדיוק ליציאה בה אנו מעוניינים. לרוב זו תהיה מטרת הוספת חלק זה של הבקר.
חסרונו של חלק זה נובעת מהעובדה שהוספת קוטב בראשית מוסיפה לחוג הפתוח פיגור פאזה של כ-formula_30, ובכך מקטינים את עודף הפאזה ואת יציבות המערכת. במידה והמערכת מאבדת יציבות עקב הוספת חלק זה, ייתכן ויהיה צורך להוסיף את החלק הדיפרנציאלי על מנת לפצות על כך.
החלק הדיפרנציאלי.
הפעולה המתמטית המבוצעת על ידי החלק הדיפרנציאלי נתונה ע"י:
formula_31
חלק זה של הבקר לא מתייחס לערך השגיאה, אלא לקצב השינוי שלו. כלומר, חלק זה מנסה "לצפות" את התנהגות המערכת בהינתן קצב הקטנת השגיאה הנוכחי, ובכך להביא לביצועים טובים יותר כמו זמן רגיעה קטן יותר ויציבות גדולה יותר של המערכת, ובכך לאפשר גם את הגברת החלק הפרופורציונלי. עבור כניסת מדרגה ניתן לראות זאת על ידי הגדרת אות השגיאה:
formula_32
מכיוון שאות הכניסה קבוע בזמן (מדרגה), נגזרתו מתאפסת. ניתן לראות מכאן שקצב שינוי היציאה נמצא בסימן הפוך לקצב שינוי השגיאה, ולכן חלק זה מהווה בעצם משוב שלילי עבור היציאה - כאשר היציאה משתנה במהירות (המערכת מתקרבת במהירות לערך הרצוי), אות השגיאה משתנה מהר, ובשל הסימן ההפוך מקטין את אות הבקרה וממתן את השינוי ביציאה, ובכך מרסן את תגובת המערכת. ניתן להביא כדוגמה מצב בו אנו מעוניינים להגיע למיקום מסוים עם מכונית ממצב מנוחה. במידה ונלחץ על הדוושה חזק מדי, אמנם נגיע ליעד, אולם אנו עלולים גם לעבור אותו במידה ולא נתחשב במהירות בה אנו מתקרבים ליעד. החלק הדיפרנציאלי מתחשב בכך ובודק כמה מהר אנו מתקרבים לאיפוס השגיאה ומגדיל/מקטין את אות הבקרה בהתאם, ובעצם ניתן לומר שהוא צופה את ערך השגיאה העתידי ופועל למניעת תגובת יתר גדולה עוד לפני שזו מתפתחת..
משמעות השפעת חלק זה בתחום התדר היא הוספת אפס, שמשמעותה היא הוספת פאזה לחוג הפתוח, מה שהופך את המערכת ליציבה יותר.
כִּיוונוּן הבקר.
התהליך בו נקבע מבנה הבקר ואופן השפעתו על התנהגות המערכת על ידי המשתמש נקרא "כוונון הבקר". כפי שתואר, לבקר מספר ענפים ואופני השפעה על התנהגות המערכת, ועל המשתמש לקבוע כיצד ישפיע הבקר על המערכת.
באופן כללי, בתכנון מערכות בקרה (ומערכות הנדסיות באופן כללי), הדבר הראשון בו עוסקים הוא הדרישות - אילו מטרות המערכת אמורה להשיג, וכיצד עליה לעשות זאת. בבניית מכונית, לדוג', אנו מגדירים מערכת המאפשרת להסיע אנשים או מטען ממקום למקום, ואנו יכולים לדרוש מהירות מקסימלית אליה היא יכולה להגיע. כמובן שלמערכת עשויות להיות דרישות רבות מתחומים שונים - עבור המכונית, לדוג', ניתן להגדיר יכולת האצה, יכולת בלימה, עמידה במבחני בטיחות כאלו ואחרים, ועוד. רק כאשר נתונות הדרישות מהמערכת ניתן להתחיל לדון באופן בו ניתן למלא אותן. עם זאת, במערכות חובבניות, לדוג', הדרישות לא צריכות להיות מוגדרות היטב - אם נבנה מכונית על שלט כתחביב, בדרך כלל לא נדרוש מהירות מסוימת, ונבנה ונשפר את המערכת עד שנגיע לתוצאות שאנו מרוצים מהן. הבדל זה גם ישפיע על האופן בו אנו מתכננים את המערכת ועל הדיוק הנדרש בתכנון ובביצוע של בנייתה.
עיקרון זה, בו הדרישות קובעות את אופן תכנון ובניית המערכת תקף גם לבקרי PID. לאחר ניסוח של הדרישות וההתנהגות הרצויה של מערכת הבקרה, ניתן לתכנן את הבקר ולבחון את אופן השפעתו על המערכת. פעמים רבות, כפי שקורה במערכות הנדסיות רבות, התהליך יתברר כתהליך איטרטיבי, בו מתוכנן בקר, נבחנות התוצאות, ולאחר מכן נעשים שינויים במידה ויש צורך בכך. ישנן שיטות וגישות רבות לכוונון בקרי PID, וההחלטה באיזו מהן להשתמש עשויה להשתנות בהתאם למערכת ולדרישות ממנה, למידע הנתון בידיד המתכנן, בהעדפות המתכנן ועוד. כשאנו עוסקים בתכנון בקר למערכת, יש בדרך כלל שני מצבים אפשריים:
עבור כל אחד ממצבים אלו ישנן מספר דרכים בהן אפשר ניתן להמשיך לעבוד ולתכנן את מערכת הבקרה. חשוב להדגיש כי פעמים רבות, לאחר שימוש בכל אחת מהשיטות שיתוארו או בשילוב שלהן, יידרש המתכנן להוסיף כוונון נוסף לאחר בחינת ביצועי המערכת בפועל לשם קבלת הביצועים הדרושים. כאן באה לידי ביטוי משמעותי פשטותה של בקרת PID - גם לאחר קביעת ערכים לבקר, ניתן להמשיך ולשנות אותם תוך ידיעת הקשרים בין הקבועים השונים להתנהגות המערכת, גם על ידי משתמש הקצה שמשתמש במערכת בפועל. דבר זה מאפשר ליצור בקר PID העונה לצרכים מסוימים, ועם זאת מאפשר למשתמשים אחרים לשנות אותו בהתאם להעדפות אחרות בקלות רבה ומבלי להחזיק בידע מעמיק במיוחד בתיאוריה העומדת מאחורי הבקר.
כוונון בקר בהינתן מודל מתמטי של המערכת.
קיומו של מודל מתמטי של המערכת אותה מעוניינים לבקר פותח אפשרויות המשתמשות בכלים מתמטיים על מנת לתכנן את חוג הבקרה של המערכת. כלים אלו נכללים בתחום תורת הבקרה, ומטרתם למצוא את ערכי הבקר האופטימלים הממלאים את הדרישות. באופן כללי, ניתן לחלק את שיטות הכוונון המבוססות על מודל מתמטי לשתי קבוצות שונות:
אחד היתרונות הגדולים בעבודה עם מודל מתמטי של מערכת בקרה הוא העובדה שביצוע סימולציות ממוחשבות של התנהגות המערכות קלות בהרבה לביצוע מאשר ביצוע ניסויים בפועל - מבחינה מעשית הן נעשות ללא עלות, הן אינן נושאות סיכון, אין צורך בחומרה יקרה שפעמים רבות לא ניתנת לשחזור לאחר ניסוי, ויכולות לתאר תהליכים ארוכים בזמן קצר מאוד. עם זאת, כמו בכל תחום הנדסי, כמעט אף פעם לא ניתן לבסס מערכת על סימולציות בלבד. דבר זה נובע מגורמים רבים, אולם העיקרי שבהם הוא היכולת המוגבלת לתאר את המציאות האמיתית בשלמותה בעזרת מודלים מתמטיים, מורכבים ככל שיהיו. לכן, גם לאחר כוונון ידני או אוטומטי, כל חוג בקרה יצטרך להיבחן על המערכת האמיתית, כאשר פעמים רבות יתברר שיש צורך בשינויים בערכי הבקר שנקבעו על סמך המודל.
כוונון בקר בהינתן המערכת בפועל.
כאשר נתונה למשתמש המערכת האמיתית עליה יש צורך לשלוט, ניתן להשתמש במספר דרכים על מנת לתכנן בקר מתאים:
כנף מטוס
זנב מטוס
אלכס פדייה