כאשר שדה אלקטרומגנטי נע בתווך חומרי, בניגוד לריק, הוא עלול לעשות אינטראקציה עם המטענים בחומר. האטומים והמולקולות בחומר הם נייטרליים, אך כאשר מרגישים את השדה החשמלי של האור, המטען השלילי בהם נמשך לצד אחד והמטען החיובי לצד שני, דבר שיוצר דיפולים חשמליים בחומר. הקשר בין חוזק וכמות הדיפול בחומר באזור מסוים נתון על ידי וקטור הפולריזציה formula_1 שהוא פונקציה של וקטור השדה formula_2.
באופטיקה ליניארית, השדה החשמלי נמוך ובקירוב טוב שדה הקיטוב תלוי בשדה החשמלי באופן ליניארי (כלומר ביחס ישר):
כאשר השדה החשמלי נהיה חזק מידי, הקירוב לא תקף וצריך להסתכל על האיברים הבאים בטור הטיילור של formula_4:
כאשר דיפול חשמלי משנה את כיוונו בצורה מחזורית בזמן, הוא קורן קרינה אלקטרומגנטית בתדירות שבה מתנדנד. באופטיקה ליניארית, הדיפולים (המתוארים על ידי הפולריזציה) מתנהגים ביחס ישר לשדה החשמלי של האור, ולכן הקרינה הנפלטת זהה לאור שנכנס. לעומת זאת, באופטיקה לא ליניארית, האיברים הבאים בפיתוח גם כן משפיעים על התנדנדותם של הדיפולים בחומר, דבר שמשפיע על הקרינה שנפלטת מהם.
תופעה זו היא הבסיס לכל התופעות באופטיקה לא ליניארית - השדה החשמלי עצמו משפיע על הקרינה שקורנים הדיפולים בצורה לא ליניארית.
בצורה יותר מתמטית, בעוד שבאופטיקה ליניארית המשוואה שמתארת את התקדמות השדה החשמלי בתדר מסוים formula_6 היא משוואת הגלים:
formula_7
באופטיקה לא ליניארית מקבלים משוואת גלים שהפולריזציה הלא ליניארית מתפקדת בו כמקור ליצירת גלים:
formula_8
כאשר formula_9הוא הרכיב הלא ליניארי של הפולריזציה שמתנדנד בתדר formula_6. בתור מקור, הפולריזציה הלא ליניארית יכולה לשנות את האמפליטודה של השדה (עבור שדה בעל מספר גל formula_11 ותדר formula_6 האמפליטודה היא המספר formula_13שיקיים formula_14). האמפליטודה משתנה לפי המשוואה:
formula_15
ערבוב שלושה תדרים.
חלק מהתהליכים הלא ליניאריים נשענים על כך ששדות בתדרים מסוימים יוצרים פולריזציה לא ליניארית בתדרים אחרים - דבר שגורם ליצירת שדות בתדרים אלו. לדוגמה, בחומר עם אי ליניאריות מסוג formula_16, כאשר נכנס לתווך כזה שדה בתדר מסוים: formula_17הפולריזציה הנוצרת היא formula_18, כלומר קיים רכיב לפולריזציה הלא ליניארית בתדר formula_19, ולכן החומר יקרון בתדר הכפול .
בתהליכי ערבוב שלושה תדרים, חומר עם אי ליניאריות מסוג formula_16 מאפשר מעבר אנרגיה בין שלושה תדרים: שני תדרים נמוכים formula_21 וסכומם formula_22. באופן כללי, השינוי בעוצמה בשלושת התדרים האלו, formula_23מקיים את יחסי מנלי-רו (Manley-Rowe):
formula_24
כאשר ציר z הוא הציר בו מתקדם האור לאורך הגביש. ניתן להתייחס ליחסים אלו כשימור אנרגיה של פוטונים: העוצמה מתארת את כמות האנרגיה ליחידת זמן, ולכן היא פרופורציונלית למספר הפוטונים שמגיעים ליחידת זמן כפול האנרגיה של פוטון אחד formula_25 ולכן formula_26. לכן, יחסי מנלי רו בעצם אומרים ש- formula_27 - זה הגיוני משום שכאשר נוצר פוטון עם אנרגיה formula_28 הוא תמיד יבוא על חשבון פוטון אחד בשני התדרים הנמוכים. לעומת זאת כשפוטון בתדר הגבוה "מתפרק", הוא יצור פוטון אחד בכל אחד מהתדרים הנמוכים.
משום שערבוב של שלושה תדרים קשור לformula_16, כל האפקטים הנגזרים ממנו יכולים להעשות בחומרים מסוימים בעלי חוסר סימטריה - שהרי פולריזציה שריבועית בשדה אומר שעבור שדה חיובי ושלילי נקבל פולריזציה לא ליניארית באותו כיוון, דבר שמערב שבירת סימטריה.
להלן כמה תהליכים ידועים שנעשים באמצעות ערבוב שלושה תדרים:
יצירת סכום התדרים - Sum Frequency Generation.
כאשר נכנסים שדות בתדרים formula_30 לחומר, הם יכולים ליצור אור בתדר של סכומם. כאשר אחד התדרים הנמוכים חזק משמעותית, האנרגיה תעשה אוסילציות בין התדר הנמוך השני לבין התדר הגבוה בצורה מחזורית בחומר.
יצירת הפרש התדרים - Difference Frequency Generation.
כאשר נכנסים שדות בתדרים formula_31 לחומר, הם יכולים ליצור אור בתדר formula_32. אם מתקיים שעוצמת התדר הגבוה גדול משמעותית מעוצמת התדר הנמוך, כלומר, formula_33, בנוסף להיווצרות עוצמה בformula_34, העוצמה ב- formula_35עולה אקספוננציאלית - כלומר תהליך זה יכול לשמש גם כמגבר לתדרים קיימים ולא רק ליצירת חדשים. יתרון מגבר זה הוא שאין צורך במולקולות עם פס בליעה בתדר הרלוונטי בשביל פליטה מאולצת. מגברים מסוג זה נקראים Optical Parametric Amplifier.
יצירת הרמוניה שנייה - Second Harmonic Generation.
SHG היא מקרה פרטי של SFG, בו שני התדרים formula_36שווים זה לזה, כלומר - כאשר תדר אחד לחומר הוא יכול לעשות אינטראקציה לא ליניארית עם עצמו וליצור את התדר הכפול לו. לתהליך זה קיימים שימושים רבים, כמו המרת אורך הגל של לייזר Nd:YAG מתחום האינפרה האדום (1064nm), שלא נראה לעין האנושית, לאורך גל קצר פי 2 (ולכן תדר כפול) - 532nm, אורך הגל של רוב הלייזרים הירוקים החזקים.
תיאום פאזה.
תיאור אינטואיטיבי.
הפולריזציה הלא ליניארית בתדר מסוים משמשת כמקור לצמיחה של האמפליטודה באותו תדר. כאשר הפולריזציה והאמפליטודה באותה פאזה, משמעות הדבר היא שהאמפליטודה תגדל, אך כאשר הם בפאזה הפוכה - הפולריזציה מוסיפה "שינוי שלילי" לאמפליטודה ולכן הורס אותה. כאשר בחומר יש נפיצה, האמפליטודה והפולריזציה הלא ליניארית מקבלים פאזה שונה ככל שמתקדמים בחומר, ולכן תהליך שמתחיל מצמיחה של אמפליטודה אחרי מספיק מרחק יכול לגרום להריסתה. לדוגמה, עבור תהליך SFG, כאשר יש תיאום פאזה מלא (כלומר השדה בתדר formula_37 והפולריזציה הלא ליניארית בתדר זה לא צוברים פאזה יחסית ביניהם), האמפליטודה בתדר זה גדלה ליניארית וככל שהגביש יותר ארוך כך יצא יותר. אבל, כאשר אין תיאום פאזה, באיזשהו שלב הפולריזציה הלא ליניארית תתחיל להרוס את האמפליטודה עד שמגיעה חזרה לאפס ואז התהליך חוזר על עצמו. כלומר, במקרה של חוסר תיאום פאזה, יש חסם עליון לכמה אנרגיה יכולה לצאת בתדר הגבוה - ללא תלות באורך הגביש.
תיאור מתמטי.
ניקח לדוגמה את תהליך הSFG. כאמור, הפולריזציה הלא ליניארית בתדר formula_37כאשר נכנסים 2 שדות אופטיים לחומר: formula_39 יכולה להיווצר מהאיבר המעורב כאשר מעלים בריבוע:
formula_40
ולכן לפי משוואת הגלים הלא ליניארית שנכתבה במבוא,
formula_41
formula_42
אם formula_43 האקספוננט הוא 1 ופתרון המשוואה יתן לנו יעילות מקסימלית בהעברת האנרגיה לformula_44. אך אם לא, קיים שלב בו formula_45 ובנקודה הזו הפולריזציה מתחילה לתת תרומה שלילית לאמפליטודה ולהרוס אותה, לכן, יעילות המרת האנרגיה לתדר הגבוה חסומה. ככל שחוסר תיאום הפאזה יותר מובהק (formula_46 יותר מתרחק מאפס) כך יותר מהר התהליך מתהפך ופחות אנרגיה מצליחה לעבור במקרה המקסימלי. נסכם שעבור תיאום פאזה מלא מתקיים התנאי formula_47. תנאי זה אולי נראה טריוויאלי, אך ההפך הוא הנכון בגלל מקדם השבירה השונה בין תדר לתדר, כלומר בגלל הקשר formula_48, צריך שיתקיים לתיאום פאזה formula_49 או במילים אחרות, formula_50. ברוב החומרים הדיספרסיה היא נורמלית, כלומר מקדם השבירה עולה עם התדר ולכן formula_51ומכאן שקשר זה ברוב החומרים הוא בלתי אפשרי, משום שאגף ימין בוודאות גדול מאגף שמאל.
פתרונות.
קיימים שני פתרונות עיקריים להתגברות על בעיית חוסר תיאום הפאזה (phase mismatch) - שימוש בחומרים אנאיזוטרופיים ו"קוואזי תיאום פאזה" (Quasi Phase Matching). בתהליך הראשון, משתמשים בחומרים בהם מקדם השבירה תלוי קיטוב.
במקרה זה, ניתן להשתמש בשני שדות בתדרים נמוכים בצירים שמקדם השבירה בהם גבוה, וליצור את התדר הגבוה בציר בו מקדם השבירה נמוך יותר. כך, למרות הדיספרסיה הנורמלית, ניתן להגיע לתיאום פאזה מלא.
בתהליך השני, בונים את הגביש כך שכל פעם ש- formula_52 מגיע לכפולה שלמה של formula_53 הופכים את כיוון הגביש, וכך מקבלים formula_16 שלילי כאשר האקספוננט שלילי (מה שמשאיר את אגף ימין חיובי) וformula_55 חיובי כאשר האקספוננט חיובי. היתרון בתהליך זה הוא שכבר אין חסם עליון לאנרגיה המקסימלית שאפשר להוציא בתדר הגבוה, אך היעילות עדיין נמוכה מהמצב של תיאום פאזה אמיתי.
שני פתרונות אלו מתאימים לשלשת תדרים מסוימת, ולכן, לרוב לא ייווצר תהליך DFG בין שני התדרים הנמוכים או SFG בין התדר הגבוה ואחד התדרים האחרים, משום שאלו ייצרו תדרים נוספים שלא נמצאים בשלושת התדרים שאליהם תוכנן הגביש להגיע לתיאום פאזה.
אפקט קר.
כאשר עוצמת האור גבוהה מספיק, ניתן למדוד שינויים במקדם השבירה של החומר. לרוב ניתן לראות תלות ליניארית בין מקדם השבירה לעוצמת האור: formula_56 כאשר formula_57 הוא מקדם השבירה של החומר בעוצמות נמוכות. הערכים האופייניים לformula_58 הם לרוב בסדרי הגודל של formula_59 (חוץ מבנסיבות תרמיות או בליעה מתרווה), ולכן תופעה זו נצפית יותר בפולסים, בהם ההספק הרגעי מגיע לערכים גבוהים מספיק כדי שהאפקט הזה יהיה משמעותי.
אפקט קר הוא אפקט שנובע מפולריזציה לא ליניארית ב-formula_60, ולכן מתרחש בכל החומרים ולא רק בחומרים שוברי סימטריה (בדומה ל-formula_16). בצורה יותר כללית, אפקט זה יכול לגרום לקרן אור חזקה לשנות את מקדם השבירה שהיא עצמה חווה (Self Phase Modulation - SPM) או לשנות את מקדם השבירה שמרגישה קרן אור אחרת שעוברת בתווך (Cross Phase Modulation - XPM).
מיקוד עצמי.