בנוסף, משפט היוניפורמיזציה קובע כי לכל משטח רימן קיימת מטריקה רימנית ממשית דו ממדית יחידה עם עקמומיות קבועה השווה לאפס (במקרה הראשון), 1 (במקרה השני) או formula_50 (במקרה השלישי). משטח בעל עקמומיות מינוס 1 נקרא משטח רימן היפרבולי. משטח רימן עם עקמומיות 0 נקרא פרבולי (למשל formula_6, והטורוס). משטח עם עקמומיות 1 נקרא אליפטי.
החבורה היסודית של כל משטח רימן פרבולי איזומורפית לסריג מדרגה 2 ב-formula_52. כמו כן, הכיסוי האוניברסלי של כל משטח כזה איזומורפי ל-formula_52. ניתן לממש כל משטח כזה על ידי מרחב המנה formula_54, כאשר formula_55 הוא סריג. מבחינה טופולוגית מרחב המנה הומיאומורפי לטורוס.
החבורה היסודית של כל משטח רימן היפרבולי איזומורפית לחבורת פוקס. משטח כזה ניתן לממש על ידי מרחב המנה formula_56 כאשר formula_57 הוא חצי המישור העליון ו-formula_55 היא חבורת פוקס (ראו גם גאומטריה היפרבולית).
משטח הרימן היחיד שהוא אליפטי (עד כדי איזומורפיזם) הוא הספירה של רימן.
פונקציות על משטחי רימן.
פונקציות הולומורפיות.
בהינתן משטח רימן formula_4, פונקציה הולומרפית formula_60 (מהמשטח formula_61 למשטח formula_6) תיקרא פונקציה הולומורפית על formula_4 (מבלי לציין את הטווח).
ניתן להראות שמשפט ליוביל תקף גם עבור פונקציות הולומורפיות על משטחי רימן, ולפיכך כל פונקציה הולומורפית על משטח רימן קומפקטי היא קבועה.
לעומת זאת, על כל משטח רימן לא קומפקטי יש פונקציות הולומורפיות לא קבועות. אם formula_4 משטח רימן שאינו קומפקטי ו-formula_65 שתי נקודות שונות, אז קיימת פונקציה הולומורפית formula_1 על formula_4 כך ש-formula_68. יריעה אנליטית שמקיימת תנאי זה נקראת יריעת סטיין. משפט השיכון ליריעות סטיין קובע שכל יריעת סטיין ממימד formula_69 ניתנת לשיכון ביהולומורפי כתת-קבוצה של formula_70, ולפיכך כל משטח רימן לא קומפקטי ניתן לשיכון ביהולומורפי כתת-קבוצה של formula_71.
פונקציות מרומורפיות.
בהינתן קבוצה בדידה formula_72 ופונקציה הולומורפית formula_73, אז formula_1 תיקרא פונקציה מרומורפית. בפרט פונקציה הולומורפית היא מרומורפית. על משטח רימן קומפקטי פונקציה היא מרומורפית אם היא הולומורפית בכל נקודה פרט אולי למספר סופי של נקודות (בגלל הקומופקטיות כל קבוצה בדידה היא סופית). ממשפט רימן רוך נובע כי על כל משטח רימן קומפקטי קיימות פונקציות מרומורפיות שאינן קבועות.
על משטח רימן שאינו קומפקטי, אפשר לכתוב כל פונקציה מרומורפית כמנה של שתי פונקציות הולומורפיות.
שדה הפונקציות המרומורפיות.
אוסף הפונקציות המרומורפיות על משטח רימן מהווה שדה, המסומן ב-formula_75. נשים לב שכל פונקציה קבועה היא בוודאי מרומורפית, ולכן formula_75 הוא שדה הרחבה של formula_6.
אם formula_4 משטח רימן קומפקטי, ניתן להוכיח ש-formula_75 הוא הרחבה של formula_6 ממעלה טרנסצנדנטית 1. שדה הפונקציות הרציונליות של משטח רימן קומפקטי קובע את המשטח עד כדי איזומורפיזם, כלומר אם formula_4 ו-formula_82 הם שני משטחי רימן קומפקטיים אז formula_83 (X איזומורפי ל Y) אם ורק אם formula_84. במונחים של תורת הקטגוריות ניתן להראות שהקטגוריה של משטחי רימן קומפקטיים (כאשר המורפיזמים הם פונקציות הולומורפיות) שקולה לקטגוריה של הרחבות שדה ממעלה טרנסצנדנטית 1 של שדה המספרים המרוכבים.
הגנוס של משטח.
ניתן להוכיח שכל משטח אוריינטבילי קומפקטי הומיאומורפי לספירה אשר מחוברות אליה "ידיות". לפיכך, כל משטח רימן קומפקטי נראה מבחינה טופולוגית כמו ספירה עם ידיות. מספר ה"ידיות" נקרא הגנוס של המשטח ומסומן באות "g". הגנוס של משטח רימן קומפקטי הוא תמיד סופי. נניח כעת כי "X" משטח רימן קומפקטי. נסמן בformula_85 את אלומת הפונקציות המרומורפיות של "X". ניתן להראות כי המימד של המרחב הווקטורי formula_86 (קוהומולוגיית צ'ך של אלומה זו) שווה לגנוס של המשטח, כלומר formula_87. משטח רימן הוא אליפטי (כלומר איזומורפי לספירה של רימן) אם ורק אם הגנוס שלו הוא 0. הוא פרבולי אם ורק אם הגנוס שלו הוא 1. משטח רימן עם גנוס 1 מהווה עקום אליפטי. כל משטח רימן עם גנוס גדול מ1 הוא היפרבולי.
מחלקים על משטח רימן.
יהי formula_4 משטח רימן. פונקציה formula_89 (כאשר formula_90 - המספרים השלמים) תיקרא מחלק אם הקבוצה formula_91 (נקראת התומך של D) היא קבוצה בדידה. בפרט, מחלק על משטח רימן קומפקטי ניתן לייצוג על ידי סכום סופי formula_92 כאשר formula_93 הוא מספר שלם וformula_94.
לדוגמה, אם formula_4 הוא הספירה של רימן אז הסכום formula_96 הוא המחלק על formula_4 המתאים לנקודה 0 את הערך 3, לנקודת האינסוף את הערך 2, ולכל נקודה אחרת את הערך 0.
ניתן לחבר שני מחלקים (על ידי חיבור הפונקציות המתאימות), ולפיכך אוסף המחלקים על משטח רימן מהווה חבורה אבלית. חבורת המחלקים על משטח רימן קומפקטי היא בדיוק החבורה האבלית החופשית הנוצרת על ידי הנקודות של formula_4.
מחלק נקרא אפקטיבי אם הוא אי שלילי.
מחלק של פונקציה מרומורפית.
תהי formula_99 פונקציה מרומורפית שאינה הפונקציה הקבועה formula_100 על משטח רימן formula_37. ניתן להוכיח שלכל נקודה formula_102 קיים מספר שלם יחיד - formula_103, ומפה formula_104 (כאשר formula_105 סביבה של formula_106), כך ש formula_107
וכך שמתקיים formula_108. אם formula_99 הולומורפית ב-formula_106 אז formula_111, ו- formula_112 אם ורק אם formula_113. אם formula_114 נאמר של formula_99 יש קוטב ב-formula_106 מסדר formula_117.
לכל פונקציה מרומורפית formula_99 ניתן להגדיר מחלק formula_119 באופן הבא: אם formula_99 הולומורפית ב formula_106 נגדיר formula_122, כאשר formula_103 הוא הסדר של formula_99 בנקודה formula_106. אחרת, אם ל formula_99 יש קוטב ב formula_106 מסדר formula_103, נגדיר formula_129.
את המחלק של פונקציה מרומורפית נהוג לסמן ב formula_130.
מההגדרה נובע שפונקציה מרומורפית היא הולומורפית אם ורק אם המחלק שלה הוא אפקטיבי.
מחלק formula_119 שקיימת פונקציה מרומורפית formula_99 שהוא המחלק שלה נקרא מחלק ראשי. מכיוון ש - formula_133 ו- formula_134 הרי שאוסף המחלקים הראשיים מהווה תת-חבורה של חבורת המחלקים.
סמל כריסטופל
סמל כריסטופל ( formula_1 ) הוא קשר לוי-צ'יוויטה המהווה מקרה פרטי של קשר אפיני. לאיברי הקשר קוראים סמלי (או סימני) כריסטופל. סמל כריסטופל איננו טנזור.
הגדרה.
סמל כריסטופל הוא קשר אפיני נובע מכך שבמערכת קואורדינטות כללית, וקטורי הבסיס אינם קבועים וכאשר גוזרים וקטור לא מספיק לגזור רק את רכיבי הווקטור אלא יש לגזור גם את וקטורי הבסיס. הקשר מבטא עובדה זו וסמלי כריסטופל מוגדרים להיות המקדמים של הצירוף הליניארי בווקטורי הבסיס של נגזרת של וקטור בסיס, כלומר:
קשר זה מאופיין באופן יחיד באמצעות שתי דרישות:
משתי דרישות אלה ניתן להראות שסמל כריסטופל נתון על ידי הצירוף הבא של הנגזרות הראשונות של הטנזור המטרי:
כאשר formula_7 היא המטריצה ההופכית של הטנזור המטרי ויש סכימה על האינדקס formula_8 (ראו הסכם הסכימה של איינשטיין).
נגזרת קו-וריאנטית.
באמצעות קשר כריסטופל אפשר להגדיר את הנגזרת הקו-ואריאנטית של טנזור:
לנגזרת הקו-ואריאנטית שתי תכונות עיקריות:
בפיזיקה.
סמל כריסטופל מופיע בתורת היחסות הכללית והוא מבטא את הכוח שיוצר שדה גרביטציה. השפעתו על תנועתו של גוף מתבטאת בכך שגוף במרחב עקום נע בגאודזות באותו מרחב והמשוואה הגאודזית כוללת בתוכה גם את סמל כריסטופל ומושפעת ממנו
קבוצה בדידה
ביבליותרפיה
ביבליותרפיה היא שיטת טיפול מתחום הטיפול באמנויות, אשר עושה שימוש בתהליכי קריאה וכתיבה ובאמנות המילה הכתובה. בתחילת המאה ה-20 טבע את המונח הכומר סמואל קרות'רס (Samuel Crothers) במאמר שבו טען כי קריאת ספרים צריכה להיות כלי משלים לטיפול לצד טיפול שהוא פסיכולוגי.
בדומה לגישות טיפול אחרות באמנויות, משמשת הביבליותרפיה ככלי המאפשר לעקוף מחסומים רציונליים ולאפשר להגיע ביתר קלות ללא-מודע של האדם.
השימוש בביבליותרפיה ככלי להתערבות טיפולית נעשה דרך הנראטיב שבטקסט והאמצעים האמנותיים הבאים לידי ביטוי בטקסטים. הטקסטים יכולים להופיע בטיפול בצורות מגוונות, למשל דרך טקסט ספרותי, שירה, קטע וידאו, מחזה, סרט קולנוע, ואף חפץ דומם, אך עיקרון הכלת הנראטיב תקף בכולם. באופן דומה נעשה שימוש גם בקולאז'ים ובקלפים טיפוליים.
ההנחה של הביבליותרפיה היא שעולם היצירה הטקסטואלי משקף את עולם המושגים, הדימויים והחוויות של האדם בצורה אוניברסלית, ולכן הוא עשוי לאפשר לעורר בכל אחד את עולמו הפנימי. בחדר הטיפול נמצא, חוץ מאשר המטפל והמטופל, גם טקסט - "קול שלישי" - המובא מבחוץ או נכתב במהלך הטיפול, וסביבו נעשית העבודה הטיפולית, הדומה במהותה לתהליך בשאר מקצועות הטיפול באמצעות הבעה ויצירה.
היסטוריה.
הביבליותרפיה המודרנית, הניזונה מתורות אישיות ושיטות טיפול נפשי הרווחות כיום, החלה להופיע במחצית השנייה של המאה ה-20. פרסומים בודדים בנושא הופיעו כבר בשנות ה-60, והם מוכרים בשם "הוראה טיפולית" - שיטה שפותחה ליישום עקרונות פסיכו-היגייניים והוראת תכנים ספרותיים, שנועדה בתחילת דרכה לבית הספר היסודי.
בעשור הראשון של המאה ה-21 גברה הפופולריות של הביבליותרפיה, והדבר התבטא גם בכמות הפרסומים בנושא זה.
מטרות הטיפול.
דבורה קובובי מגדירה את הביבליותרפיה כ"תהליך של התייחסות גומלין דינמית בין אישיות הקורא לספרות כשדה פסיכולוגי, שמאפשר לקורא להשתמש בו לאבחון עצמי, הסתגלות וגדילה אישית".