כאשר formula_9 ההסתברות לקבל תוצאה formula_10 ונהוג לקחת את הלוגריתם בבסיס 2 מאחר שבדר“כ רוצים למדוד את האינפורמציה ביחידות ביטים. מושג זה מתלכד מבחינה איכותית לפחות עם האינטואיציה של אינפורמציה - ככל שלמצב אפשרי כלשהו יש יותר סיכוי להימצא במערכת, הוא יימצא יותר פעמים, והאינפורמציה של המצב תשאף לאפס (“צריכה“ של פחות ביטים). בהמשך להיגיון זה ניתן להגדיר את המיצוע של כל האינפורמציות, בממוצע משוקלל כאשר כל אינפורמציה של מצב מגובית בהסתברות שלו. כך ניתן לקבל את האנטרופיה של שאנון -
formula_11מושג זה מתלכד עם הצורה הכללית יותר של אנטרופיה - formula_12 . למעשה, במקרים מסוימים נהוג לעבוד עם ההנחה של אדווין ג'יינס לפיה שתי האנטרופיות הנ“ל שקולות וצריך להתקיים עד כדי קבוע - formula_13 (כל עוד בוחרים נכונה את בסיס הלוגריתם באנטרופיית שאנון). מכאן למעשה ניתן להסיק את השקילות המלאה בצורה מבוססת, ועל מנת להשתמש בה בשביל לפתור מערכות דינמיות יש צורך בחידוד הקשר בין פעולות שונות שניתן לעשות על אינפורמציה - לתהליכים תרמודינמיים. נושא זה נחקר רבות גם בזמנים אלו.
ניסוח פורמלי.
בשנת 1961 הפיזיקאי רולף לנדואר פרסם מאמר שבו סקר באופן מקיף תהליכים לא הפיכים באינפורמציה. הניסוי שהציע הוא כזה:
ניקח מערכת מבודדת שנמצאת בטמפרטורה קבועה formula_14 (ניתן ליצור מערכת כזו על ידי צימוד למאגר חום גדול במיוחד), שיכולה להימצא אך ורק בשני מצבים אפשריים בהסתברות שווה, כלומר מבחינה איכותית היא מכילה ביט אחד של אינפורמציה. האנטרופיה של שאנון עבורה תנבא - formula_15כעת נבצע תהליך שמוחק אפקטיבית את אותו ביט. תהליך זה איננו הפיך, מאחר שהמחיקה נעשית באופן שבו לא ניתן לשחזר את המידע בשום דרך שהיא - אבל הוא לא יחיד, כלומר ישנם דרכים שונות להעביר את המערכת בתהליך הזה באמצעות שערים לוגיים שונים שהמשותף להם הוא שהם מבצעים מחיקה של אינפורמציה. לנדואר ספציפית החליט לעבוד עם הפעולה formula_16 - לקיחה של ביט שיכול לקבל את הערכים 0 או 1 ומחזיר 1 ללא קשר לערך הביט. מבחינה פיזיקלית משמעות הפעולה הזאת היא הקרסת המערכת למצב נתון כלשהו ללא קשר למצבה הקודם. האנטרופיה של שאנון עבור מצב כזה היא מן הסתם formula_17. לפי החוק השני של התרמודינמיקה האנטרופיה הכוללת של הצימוד בין הביט למאגר חייבת תמיד לעלות. לכן נגדיר formula_18 בתור האנטרופיה של תת-המערכת ”ביט בצימוד“ ו - formula_19 האנטרופיה של מאגר החום, ומתקיים -
formula_20בהנחת שקילות האנטרופיות ניתן לטעון ש - formula_21נציב באי השוויון ונציב את האנטרופיה של החום לפי נוסחת קלאוזיוס - formula_22
כאשר formula_23 החום שנפלט ממחיקת הביט לסביבה והנחנו formula_24 מאחר שמאגר החום מאוד גדול ונמצא בשיווי משקל תרמי עם שאר המערכת. מכאן לאחר פישוט מתקבלת התוצאה -
formula_25
כלומר, כתוצאה מהמחיקה של האינפורמציה משתחרר חום לסביבה שלא יכול להיות קטן יותר מערך מינימלי כלשהו שתלוי ליניארית בטמפרטורה. גבול זה מכונה לעיתים גבול לנדואר או חסם לנדואר. נשים לב שמדובר בחסם תאורטי בלבד, והמהלך המחשבתי הזה לא מייצג בהכרח את הערך המינימלי שאפשר להגיע אליו במציאות. אם מציבים נתונים סטנדרטיים של חישוב בטמפרטורה של כ -formula_26 ניתן להעריך את הסביבה של המחשב כמאגר חום של טמפרטורת החדר והפיתוח תקף, כך שמתקיים -
formula_27
חום כזה שנפלט לסביבה הוא קטן להפליא ביחס לכל סקאלה יומיומית, וקיים קושי רב למדוד פליטה כזאת בניסוי מבוקר. לצורך השוואה, אנרגיה זו קטנה בשני סדרי גודל מהאנרגיה שאלקטרון אחד צובר במעבר בין מפל מתחים של וולט אחד, ובעוד שמחשבים סטנדרטיים פולטים באנרגיות רחוקות בהרבה מגבול זה - הציפייה הרווחת היא שככל שמעבדים משתפרים מבחינה טכנולוגית והופכים לקטנים יותר, החום שייפלט מהם בעת ביצוע פעולות כאלו או אחרות יתקרב יותר ויותר לחסם המינימלי שמתחתיו לא ניתן יותר להשתפר מבחינת יעילות אנרגטית.
כמו כן, מאחר שהסיבה העיקרית לעלייה באנטרופיית הסביבה היא שהמחיקה יוצרת שינוי באינפורמציה של המערכת, המסקנה היחידה שיכולה להתבצע מהניסוי היא שרק פעולות לא הפיכות לאינפורמציה מצייתות לחסם אנרגיה כלשהו מסוג זה. כתוצאה מכך התעורר דיון נרחב על האופי של תהליכים כלליים מבחינה אנרגטית, והסברה המתבקשת מעקרון המחיקה של לנדואר היא שתהליכים הפיכים, כגון צבירת מידע חדש - כלומר העתקה של מידע ממקום אחד לאחר, לא נושאים בתוכם חסם אנרגטי ומבחינה תאורטית לא חייבים בפליטת חום לסביבה.
קשר לשד של מקסוול.
אחד השימושים המרכזיים והמפורסמים ביותר לעקרון לנדואר הוא הוכחה לסתירה הפנימית שיש בפרדוקס השד של מקסוול. בשנת 1982 פרסם הפיזיקאי צ'ארלס בנט מאמר שלם המכיל סקירה מקיפה של השד של מקסוול והציע דרך אפשרית לתקוף את הסוגיה על ידי שימוש בחסם לנדואר על המערכת המוצגת בבעיה.
בנט הביט בפירוש המקובל של מערכת השד של מקסוול הסטנדרטית (פרשנויות דומות הן שקולות לצורך הפיתוח), לפיו נתונה מערכת סגורה ומבודדת עם מחיצה באמצעו שאטומה למעבר חום וחלקיקים, החוסמת משני צדדיה גז כלשהו. מציבים ”שד“ בסמוך למערכת שמסוגל למדוד את כל המיקומים והמהירויות של כל חלקיק וחלקיק בגז ומסוגל לייצר פתח רגעי בכל מיקום על המחיצה ובכל זמן ולהשתמש בו כדי לאפשר רק לחלקיקים עם מהירות מעל הממוצע לעבור לצד ימין וחלקיקים עם מהירות מתחת לממוצע לעבור לצד שמאל של התיבה, כאּשר הפרדוקס הוא שבתהליך שכביכול לא דרש השקעת עבודה מצד השד, האנטרופיה של המערכת המבודדת קטנה - בסתירה להנחת החוק השני של התרמודינמיקה .
הגישה המקובלת לפתור את הפרדוקס באותה תקופה היה ללא שימוש בתכונות האינפורמטיביות שיש לשד בניסוי, ובמקום זאת טענו מפורשות שהשד מוכרח להשקיע אנרגיה בכל פעם שהוא מודד את מולקולות הגז, ואנרגיה זו מתבטאת בביצוע עבודה על המערכת. תירוצים נוספים דרשו לקחת בחשבון את העובדה שמודל המדידה של המערכת לא מובהר דיו, וכדי לתת פתרון מלא יש צורך בפורמליזציה של דרישות על הדרך שבה השד פותח את המחיצה בכל פעם, הדרך שבה הוא מודד את המולקולות ולהתחשב בהשפעה של החור שנפתח רגעית בכל פעם והעובדה שיש לו גודל סופי שלא בהכרח יכול להעביר מולקולה אחת בכל מצב אפשרי של הגז. בנט בחר להסתכל מזווית אחרת על הבעיה, ולתקוף ספציפית את העובדה שעל מנת שהתהליך יתבצע - לשד חייבת להיות "אינטליגנציה" שמאפשרת לו למדוד את המולקולות, בטענה שניתן בסופו של דבר למפות את אותה אינטליגנציה לכך שלשד חייב להיות לפחות באופן אפקטיבי - ”תא זיכרון“ כלשהו, שבו הוא מאחסן את כל הידע על המדידות של המולקולות בכל איטרציה של הניסוי, שניתן למפות לאינפורמציה שיש לו על המערכת. התהליך של צבירת האינפורמציה והאחסון שלה בתא של השד הוא תהליך הפיך מבחינה לוגית - ולכן לפי לנדואר היא יכולה לפחות מבחינה תאורטית להתבצע ללא עלייה באנטרופיה וללא פליטת חום לסביבה. לעומת זאת, מאחר שהשד לא יכול להמשיך ולאגור אינפורמציה לנצח מאחר שההנחה היא שהשד הוא סופי וחייב לאכלס תא זיכרון סופי, השד חייב למחוק את האינפורמציה על הגז לאחר שהוא משתמש בה על מנת לפנות מקום לעוד אינפורמציה. התהליך של מחיקת האינפורמציה הזאת מתא הזיכרון כן עולה בפליטת חום לסביבה, ולכן בעלייה באנטרופיה וביצוע עבודה על המערכת - ובכך הפרדוקס נפתר. שיטתו של בנט זכתה לתמיכה ונחשבת כיום לתירוץ קביל לבעיית השד של מקסוול.
עקרון לנדואר משמש בצורה דומה על מנת לנתח מערכות פיזיקליות דומות ובהן מנוע סילארד - מנוע הבנוי מקופסה המכילה חלקיק אחד, שניתן להציב מחוצה לה ”שד“ שמודד בכל שלב את מיקום החלקיק בקופסה ומשתמש בידע על מנת להציב מצידו השני מחיצה שתידחף הצידה כתוצאה מהפרש הלחצים בין שני חצאי הקופסה - ומכאן שהמחיצה תבצע עבודה, בסתירה לחוק השני של התרמודינמיקה, שכן התהליך של מציאת החלקיק לכאורה לא דורש עבודה. השימוש בעקרון לנדואר על טיעון זה גורר שאין הדבר כן, ומאחר וזיכרון השד סופי עליו לבצע בכל שלב של האיטרציה מחיקה של הזיכרון הקודם - שתדרוש עלייה באנטרופיה ומכאן ביצוע עבודה. למעשה, ניתן לייצג בכל שלב את הפעולה של השד בתור מחיקה של ביט אחד בדיוק של אינפורמציה, זאת מאחר שהמידע המינימלי הנחוץ לאיטרציה ספציפית הוא הידיעה באיזה צד של הקופסה נמצא החלקיק, כלומר קיימות אך ורק שתי אפשרויות לאינפורמציה. אם מניחים ששתי האפשרויות זמינות בהסתברות שווה (ניתן להכליל בקלות ל - formula_28 בהתאמה), אזי העבודה שתושקע בכל איטרציה תהיה זהה לזו שמתקיימת בפיתוח הקודם ותקיים - formula_29 ובהנחת התפשטות איזותרמית של הגז וטמפרטורה קבועה formula_14 של המערכת, הגז יקיים תחת אותו תהליך -
formula_31
זאת מאחר שהעבודה המקסימלית שתתבצע בתהליך היא דחיפה של המחיצה עד לקצה השני של הקופסה - בהנחה שהמחיצה תמיד מוצבת באמצע הקופסה בתחילת כל איטרציה. העבודה שהשד מקבל בתמורה להשקעה של עבודה שנמצאת תמיד מעל גבול לנדואר גוררת לפיכך עבודה שתימצא תמיד מתחת לגבול לנדואר. במקרה הטוב ביותר, העבודה שמושקעת לתהליך היא גם העבודה שמתקבלת ובכל מקרה אחר היא גדולה יותר - ולכן הפרדוקס נפתר.
התקדמויות נוספות.
התוצאה שהראה לנדואר זכתה לתמיכה מצד מאמרים מסוימים, והופרכה חלקית במספר מאמרים אחרים.