הסימון הנפוץ ביותר הוא הסימון "O" (קרי: או גדול). כאשר עוסקים בשאיפה של formula_4 לאינסוף, מוגדרת הקבוצה formula_5 בתור אוסף כל הפונקציות formula_6 (בעלות אותו תחום וטווח כמו formula_1) עבורן קיימים קבועים חיוביים formula_8 כך שלכל formula_9 מתקיים formula_10. כלומר: עבור ערכי n הולכים וגדלים שמקבלת formula_11, היא קטנה יותר מ-formula_1 עד כדי כפל בקבוע.
בסימון מתמטי המשתמש בגבולות, ניתן להגדיר כי פונקציה formula_6 שייכת ל-formula_5 אם formula_15. שתי ההגדרות שקולות.
מטעמי פשטות, נהוג לכתוב formula_16 כאשר הכוונה היא שמתקיים formula_17. ביטוי זה עשוי לגרום לבלבול אם מתייחסים אליו כמציין שוויון ולא שייכות; בפרט, הוא אינו סימטרי. למשל, מתקיים formula_18, אבל formula_19.
הסימון o.
בעוד הסימון O מציין כי הפונקציה formula_11 חסומה בקצב גידולה על ידי קצב הגידול של formula_1, הרי שהסימון "o" (קרי: או קטן) בא לציין כי קצב הגידול של formula_11 קטן ממש יחסית לקצב הגידול של formula_1.
בצורה פורמלית, אומרים ש-formula_6 היא formula_25 אם לכל קבוע formula_26 קיים formula_27 כך שלכל formula_9 מתקיים formula_29. בסימון באמצעות גבולות ניתן לתאר תכונה זו על ידי הגבול formula_30.
סימונים נוספים.
באמצעות שני הסימונים שהוגדרו לעיל נהוג להגדיר שלושה סימונים נוספים:
פירוש הסימון formula_31 הוא ש-formula_11 גדל לפחות בקצב של formula_1. פירוש הסימון formula_33 הוא ש-formula_11 גדל בקצב שגדול ממש מהקצב של formula_1, ופירוש הסימון formula_35 הוא שקצבי הגידול של formula_11 ו-formula_1 הם שווים אסימפטוטית (כלומר, שתי הפונקציות הן מאותו סדר גודל).
סיכום.
סיכום חמשת הסימונים האסימפטוטיים המקובלים מוצג בטבלה הבאה:
הכללה.
אף שהחסמים שהוצגו לעיל עוסקים בפונקציות מהמספרים הטבעיים לעצמם ובתכונותיהן כאשר הן מקבלות ערכים השואפים לאינסוף, ניתן להכליל את הסימון לטיפול במקרים אחרים. עיקר החשיבות בביצוע הכללה שכזו הוא בהבהרה של הגודל אליו שואפים הערכים שהפונקציות מקבלות.
לדוגמה, עבור פונקציה ממשיות formula_47 ופונקציה חיובית formula_48 אומרים ש-formula_49 כאשר formula_50 אם קיימים formula_51 כך שלכל x בסביבה formula_52 מתקיים formula_53. כמו כן, אומרים ש-formula_54 כאשר formula_50 אם לכל formula_56 קיים formula_57 כך שלכל x בסביבה formula_52 מתקיים formula_59.התנאי האחרון שקול לדרישה formula_60. באופן דומה formula_54 כאשר formula_62 אם ורק אם formula_63.
דוגמאות.
ניתוח סיבוכיות אלגוריתמים.
נניח כי אלגוריתם מיון מסוים מבצע בדיוק formula_64 פעולות בסיסיות על קלט מגודל formula_65. ככל ש-formula_65 גדל כך ההשפעה של הגורם formula_67 גדלה בעוד ההשפעה של שאר הגורמים הופכת לזניחה. לדוגמה, עבור formula_68, גודלו של formula_69 גדול פי 1,000 מגודלו של formula_70, ופי מיליון מגודלו של formula_71, ולכן שני הגורמים הללו זניחים ביחס ל-formula_69 ובמרבית השימושים לא תהיה להם כל חשיבות.
בנוסף, למקדם formula_73 של הביטוי formula_69 יש חשיבות אפסית בלבד כאשר משווים את הביטוי לביטויים גדולים יותר. למשל, אם משווים את formula_69 ל-formula_76, כבר עבור formula_77 הביטוי formula_76 יהיה גדול יותר. אפילו אם המקדם של formula_67 יהיה 1,000,000, עבור formula_80 ומעלה שוב יתקבל כי formula_76 גדול יותר. על כן, כאשר מתעניינים בגידול האסימפטוטי של formula_67 אין חשיבות למקדם שלו.
בשל כך משתמשים בסימון formula_83 על מנת לייצג את המאפיין העיקרי של קצב הגידול של הביטוי שבאגף שמאל.
חסם על קירובים.
ידוע כי ניתן לתאר את פונקציית האקספוננט formula_84 באמצעות טור טיילור אינסופי באופן הבא:
דרך פשוטה לתאר ביטוי זה כאשר formula_86 באמצעות חסם אסימפטוטי היא זו:
פירושו של סימון זה הוא כי ניתן לתאר את formula_84 באמצעות הפונקציה formula_89 ועוד פונקציית "שארית" ששייכת למחלקה formula_90, כלומר היא זניחה יחסית ל-formula_91 כאשר formula_86 - בנוסחה: formula_93 - כלומר, השארית זניחה ביחס לאיבר האחרון בטור שמחושב באופן מדויק.
במקרה זה נכונה גם טענה חזקה יותר:
כאשר כאן השתמשנו ב-O גדול.
הנדסת ביוטכנולוגיה
הנדסת ביוטכנולוגיה היא ענף של ההנדסה העוסק ברתימת תהליכי החיים במערכות ביולוגיות לצורך ייצור מוצרים בתחומי התעשייה, הרפואה והחקלאות. זוהי נגזרת של תעשיית ההיי טק, אשר משתמשת באורגניזמים שונים או חלקים ממנה לתועלת המין האנושי. זהו מקצוע רב תחומי, עתיר ידע ודינמיות, המבוסס על חידושים מדעיים וטכנולוגיים בתחומי הביולוגיה והכימיה.
הנדסת ביוטכנולוגיה דורשת כוח עבודה מיומן בתחומי המדעים, ההנדסה, ובתהליכי פיתוח ומחקר. הידע הנרכש בכל הנושאים האלו בלימודי הנדסת ביוטכנולוגיה, מיושם הן במתקני פיילוט והן במפעלי תעשייה רחבי היקף.
אנשי הנדסת ביוטכנולוגיה משתלבים בתהליכי המחקר והפיתוח והן בתהליכי הייצור בהנדסה גנטית, הנדסת רקמות, הנדסת הסביבה, הנדסה סביבתית-מיקרוביאלית, הנדסת מזון ופיתוחים מתחום הביולוגיה.
הכשרה.
תוכנית הלימוד לתואר מהנדס ביוטכנולוגיה כוללת מדעי יסוד כמו מתמטיקה פיזיקה, סטטיסטיקה וכימיה, את תחומי הביולוגיה כמו ביולוגיה תאית, ביולוגיה מולקולרית, ביוכימיה, מיקרוביולוגיה, הנדסה גנטית, ואימונולוגיה, לימודי הנדסה וביוטכנולוגיה כמו הנדסה כימית, תהליכי תסיסה, תהליכי הפרדה ודיאגנוסטיקה.
מוסדות הלימוד בישראל המעניקים את התואר הם אוניברסיטת אריאל בשומרון, הטכניון, אוניברסיטת בן-גוריון בנגב, אוניברסיטת בר-אילן, המכללה האקדמית להנדסה אורט בראודה והמכללה האקדמית ספיר (שנה א' כאפשרות מעבר לאוניברסיטת בן-גוריון בנגב).
חסם אסימפטוטי
אנורקסייה
לחוד
ויליאם וולטון
ויליאם טרנר וולטון (באנגלית: William Walton; 29 במרץ 1902 - 8 במרץ 1983) היה מלחין בריטי.
חייו.
בגיל עשר התקבל לתפקיד נער מקהלה בקתדרלת כרייסט צ'רץ' באוקספורד וקבל שיעורי מוזיקה מאורגניסט הקתדרלה. בגיל שש-עשרה נתקבל כתלמיד בקוליג' כרייסט צ'רץ' באוקספורד והחל בלימודי התואר הראשון במוזיקה. ב-1920 עזב את אוקספורד ללא תואר. הוא עבר ללונדון והתחבר למשפחת סיטוול, משפחה אריסוקרטית עשירה ומשכילה. וולטון הלחין מוזיקה לשיריה של אדית סיטוול והתוצאה הייתה הסוויטה פאסאד.
בסוף שנות ה-20 החל להתפרסם בעיקר בגלל הקונצ'רטו לויולה (1929), האורטוריה משתה בלשאצר (1931), הסימפוניה מס' 1 (1935) והקונצ'רטו לכינור (1939).
משנת 1930 החל לחבר מוזיקה לסרטים. במלחמת העולם השנייה קיבל שחרור משירות צבאי כדי שיחבר מוזיקה לסרטים פטריוטים כמו הראשון בין המעטים (1942) ו-הנרי החמישי (1944). ב-1951 קיבל תואר סר וב-1968 קיבל את אות מסדר ההוקרה.
במשך שבע שנים עבד על האופרה טרואילוס וקרסידה שהועלתה ב-1954. ב-1956 כתב קונצ'רטו לצ'לו ובשנת 1960 כתב סימפוניה שנייה.
בשנת 1949 קנה בית באי איסקיה ושם בילה את שארית חייו.
יצירותיו של וולטון.
וולטון כתב מוזיקה קאמרית, מוזיקה לתזמורת, מוזיקה ווקלית ומוזיקה לסרטים. יצירותיו המפורסמות הן:
ישיבת סוסיא
ישיבת בני עקיבא לחינוך סביבתי סוסיא, או בקיצור ישיבת סוסיא, היא ישיבה תיכונית הדוגלת בחינוך סביבתי הממוקמת בהתנחלות סוסיא.
בראשות הישיבה עומד הרב נעם פרל, שגם הקים את הישיבה בשנת תשנ"ח (1998). ראש הישיבה משנת תשע"א (2011) עד שנת תשע"ה (2015) היה הרב אברהם ישראל. תלמידי הישיבה מונים כ-170 במספר. תוכנית הישיבה כוללת 5 ימי לימוד בשבוע, כאשר בכל יום שישי ישנו סיור לימודי - כל זאת לאורך כל ימות השנה. כמו כן בכל שנה מתקיימות שתי סדנאות שטח שכבתיות בנות שבוע, כאשר כל סדנת שטח עוסקת באזור אחר בארץ ישראל.
הישיבה דוגלת בחינוך פתוח ובאמון הדדי תוך שיתוף מלא של התלמידים במתבצע. סדר היום בישיבה מורכב כך שחציו תורני וחציו תיכוני.
הישיבה מוציאה לאור עלון חודשי הנקרא "סוסון", והוא ערוך ומסודר על ידי תלמידי הישיבה.
בית המדרש.
הישיבה מקדישה את חציו הראשון של יום הלימודים התורני ללימוד כלל מקצועות התורה וענפיה ואת חציו השני ללימוד התלמוד הבבלי. שני סדרי הלימוד העצמי היומיים מתחלקים בין הכנה וחזרה על שעורי הגמרא לבין התקדמות מתמידה ומונחית בלימודי ההלכה והתנ"ך בבקיאות. מבנה "סדר" זה מאפשר ניצול של סדרי הלימוד העצמי תוך העלאת חשיבות לימודי התנ"ך וההלכה למעשה.
לימודי השדה.
תוכנית "למידת השטח" השנתית מורכבת מ"סיורי יום" שבועיים ומשני אירועי שיא שנתיים, שהם "סדנאות שטח" בנות שבוע. לקראת כל אחד מהסיורים מכינים התלמידים "עבודת הכנה" עיונית במסגרתה הם קוראים חומר הקשור בנושא הסיור ומשיבים על שאלות הכנה אודותיו. במהלך הסיור מסכמים התלמידים את הנאמר והנצפה כדי להפנימו ולאפשר את שחזור הנאמר והמוסק מתצפיות השדה וממצאיו.
תוכנית הסיורים מכילה סיורים בנושאי גאולוגיה, בוטניקה, זואולוגיה, אקולוגיה, ארכאולוגיה, היסטוריה, תנ"ך, מדרש, סיורים חברתיים, סיורי מידות ומיומנויות שדה שונות.
במסגרת התוכנית הסביבתית מתקיימות שמונה סדנאות – מדבר יהודה, ירושלים, נגב, גולן, גליל, מישור החוף, הרי אילת וסדנת בחירה אותה מתכננים ומארגנים בני שכבת י"ב בעצמם בהדרכתם ובאזור אותו בוחרים הם.