משפט אוילר הוא מונח בגאומטריה דיפרנציאלית והוא התוצאה על העקמומיות של עקומים על משטח. המשפט מראה כי קיימים "כיוונים ראשיים" (principle directions) בהם המשטח מתעקל במידה מרבית ובמידה מזערית, וקובע את הקשר המתמטי בין ערכי העקמומיות הראשיים (principle curvatures) - אותם ערכים מקסימליים ומינימליים של העקמומיות - לעקמומיות של המשטח בכיוון שרירותי. המשפט נקרא על שם לאונרד אוילר שהוכיח אותו ב-1760.
בניסוח מתמטי, יהי "M" משטח במרחב אוקלידי תלת ממדי, ותהי "p" נקודה על "M". מישור נורמלי דרך הנקודה "p" הוא מישור העובר דרך "p" ומכיל את הווקטור הנורמל למשטח "M" בנקודה. דרך כל ווקטור יחידה משיק ל-M ב- "p" עובר מישור נורמלי "P""X" אשר חותך עקום מ-"M". לעקום הזה יש עקמומיות מסוימת κ"X" כאשר מסתכלים עליו כעקום במישור "P""X". בהינתן שלא כל ה-κ"X" שווים, יש ווקטור יחידה מסוים "X"1 עבורו "k"1 = κ"X"1 הוא מרבי, ויש ווקטור יחידה מסוים "X"2 עבורו "k"2 = κ"X"2 הוא מזערי. משפט אוילר מאשר שהכיוונים "X"1 ו-"X"2 ניצבים זה לזה, ויותר מכך, שאם "X" הוא כיוון אחר על המישור המשיק למשטח, שיוצר זווית θ עם "X"1, אז:
formula_1,
בפרט, כאשר מציבים formula_2 מקבלים את ערכי העקמומיות הראשיים; כלומר הם אכן ניצבים זה לזה.
אינטואיציה והוכחת המשפט.
אוילר גילה את המשפט שלו דרך התבוננות "מושכלת" בקירובים של ההתנהגות המקומית של משטחים formula_3. ראשית יש להבחין שערכי העקמומיות לא תלויים בבחירת מערכת הקואורדינטות, לכן נציב את הראשית שלה בנקודה ("x","y") ונמקם אותה כך שמישור "xy" יתלכד עם המישור המשיק למשטח בנקודה ("x","y"). קיבלנו משטח שמתאפס ב-(0,0) ושכל נגזרותיו הראשונות מתאפסות גם הן באותה נקודה. כיוון שעקמומיות היא גודל מסדר שני, הגיוני לנסות לקרב את המשטח באמצעות משטחים ממעלה שנייה; המבנה המקומי של משטח יכול להיות אליפטי, פרבולואידי, או היפרבולי. המקרה הפרבולואידי מתרחש על פני כדור (העקמומיות בכל כיוון זהה), האליפטי באליפסואיד וההיפרבולי כאשר מדובר במשטח בסביבת נקודת אוכף שלו. אם נחתוך מהמשטח עקומים על ידי העברת מישורים מקבילים למישור "xy" שקרובים לו באופן אינפיניטסימלי (מישורים מהצורה formula_4), נקבל אליפסה, מעגל או שני ענפים היפרבוליים (במקרה ההיפרבולי העקום אינו סגור משום שבנקודת אוכף חלקים שונים של המשטח נמצאים בצדדים שונים של המישור המשיק).
דרך פורמלית לראות את כל האמור לעיל, היא דרך פיתוח טיילור לסדר שני של הפונקציה: formula_5. קיבלנו ביטוי מהצורה formula_6 (תבנית ריבועית) שאותו ניתן להביא לצורתו הקנונית המוכרת formula_7 באמצעות הצבות ליניאריות מתאימות formula_8. הכיוונים הראשיים של המשטח, אותם כיוונים בהם ערך העקמומיות מקסימלי ומינימלי, הם למעשה כיווני הצירים של חתך החרוט (הבאה לצורה הקנונית שקולה למיקום ציר ה-x וציר ה-y על הכיוונים הראשיים של המשטח). הערך המרבי של העקמומיות הוא בכיוון הציר המשני שלו ואילו הערך המזערי בכיוון הציר הראשי. כעת יש לזהות את המקדמים בצורה הקנונית כערכי העקמומיות הראשיות formula_9 ו-formula_10 - המקדמים הללו הם הנגזרות הכיווניות מסדר שני בכל אחד מהכיוונים הראשיים. השלב האחרון בהוכחה הוא קבלת השוויון: formula_11, כאשר formula_12 הוא העקמומיות בכיוון שרירותי. כאשר מבחינים כי formula_13 (כנ"ל לגבי סינוס הזווית) מקבלים את התוצאה של אוילר: formula_14.
הפרוצדורות בהן אוילר השתמש לקבלת המשפט שקולות לפרוצדורות המודרניות הנעזרות במטריצת ההסיאן.
שומרון קול תתן
שומרון קול תתן היא קינה שנכתבה על ידי רבי שלמה אבן גבירול וכלולה בסדר קינות לתשעה באב של האשכנזים והספרדים גם יחד. תוכנה הוא ויכוח בין שומרון וירושלים, בכינוייהן אהלה ואהליבה, את מי אירע אסון גדול יותר.
בתשעה באב.
שומרון קול תתן נאמרת במנהג אשכנז המזרחי בליל תשעה באב וביומו, ובמנהג אשכנז המערבי רק ביום תשעה באב. הקינה נאמרה על ידי הספרדים בבוקרשט בערב ועל ידי יהודי כורדיסטן בבוקר תשעה באב. הקינה נחשבה בין הקינות המוכרות יותר ועל כן לרוב נכללה בסדרי קינות מקוצרות שהוכנו במקומות שונים.
בקרב האשכנזים לקינה מנגינה מקובלת שהולבשה על קינות אחרות.
הקינה נכללה בקינות לתשעה באב של ספר ארבע תעניות שיצא בשנת 1624
מחבר.
מחבר שומרון קול תתן הוא רבי שלמה אבן גבירול אשר השאיר את האקרוסטיכון "שלמה" בראש הבתים. הקינה נכללת בספר שירי הקודש לרב שלמה אבן גבירול, של ביאליק ורבניצקי שיצא בשנת 1928 וכבר בשנת 1857 ציין עמנואל אגוילר את שומרון קול תתן בין יצירותיו של אבן גבירול. אולם הקינה לא נכללה בספר "כל השירים אשר בקודש יסודותם" של שירי אבן גבירול שיצא בשנת 1868 בפריס והחוקרים בסוף המאה ה-19 העלו השערות שונות לגבי מחברו.
מבנה.
הפיוט בנוי כעין פזמון עם בית פותח, שלושה בתים וביניהם שורה מהבית הפותח בתור פזמון. לכל בית ישנה חריזה נפרדת. בראשי הבתים ישנו אקרוסטיכון "שלמה". ביאליק ורבניצקי כתבו: "משקלה נוטה ליתד ודלת יתד ודלת אלא שלא דקדק כאן הפיטן ביתדות". דניאל גולדשמידט כתב: "בתים בני 8-12 טורים, בכל טור ב' צלעיות, בל צלעית ה' תנועות, וההברות השואיות והמחוטפות אינן נחשבות.".
הקינה כתובה כוויכוח בין אהלה ואהליבה ובעקבותיה נכתבו פיוטים נוספים בסגנון זה, בהם "אהליבה לאהלה כתבה" של אברהם אבן עזרא. גבולות המחרוזות מהוות גם נקודות מעבר בין הדוברים, כמקובל בשירתו של אבן גבירול.
כקינות רבות, הקינה מסתיימת בתפילה הפותחת פתח לתקווה.
תקציר תוכן.
בבית הראשון ממלכת שומרון טוענת שהיא גלתה קודם והייתה בארץ פחות זמן ומאז לא חזרה. בבית הבא, טוענת את טענותיה ממלכת יהודה. היא טוענת שהיא גלתה מספר פעמים - גלות יהויכין וגלות צדקיהו. בנוסף, גם לאחר שחזרה לארץ בימי שיבת ציון, היא חטאה שוב וגלתה פעם נוספת - הפעם לכל קצווי תבל. בבית האחרון פונה המחבר לקב"ה ומתפלל על הגאולה.
מגלה ארצות
מגלה ארצות הוא חוקר או מטייל שעורך מסעות חקר ותגלית בחבלי ארץ ובתרבויות שלא היו מוכרים לאנושות, או שלא היו מוכרים בקרב בני תקופתו ותרבותו. המושג מגלה ארצות הוא מושג אתנוצנטרי ביסודו והוא יוצא מנקודת הנחה שדבר שאינו ידוע אינו קיים.
המניעים הדוחפים את מגלה הארצות למסעותיו הם רבים ומגוונים והם נעים בין סיבות רבות, כגון מציאת נתיבי מסחר חדשים, חיפוש אחר משאבים ואוצרות, השגת יוקרה לאומית ואישית, או ניסיון לספק את שאיפת האדם לחקר הלא נודע.
למרות שמגלי ארצות היו קיימים משחר ההיסטוריה האנושית ובקרב כל התרבויות, המונח מתייחס בעיקר בתרבות המערב לחוקרים האירופים בני המאות ה-15, ה-16 וה-17, שחשפו בפני עמי אירופה את ארצות אמריקה, אפריקה, אוסטרליה ובמידה מסוימת גם את המזרח הרחוק וסיביר.
פרפוצ'ינו
פרפוצ'ינו (באנגלית: Frappuccino) הוא סימן מסחר של חברת סטארבקס האמריקאית עבור שורת מוצרים של משקאות קפה מעורבבים המוגשים קר. המשקה מכיל קפה או מוצרי בסיס אחרים (כגון בננה, תותים, שמנת), המעורבבים עם קרח ומרכיבים נוספים, ולמעלה יש בדרך כלל קצפת עם קרם כמו קרמל. משקאות פרפוצ'ינו נמכרים במדינות שונות גם כבקבוקי שתייה בתוך חנויות או מכונות שתייה אוטומטיות.
מקור המשקה במסצ'וסטס, ארצות הברית. השם "פרפוצ'ינו" הוא הלחם בסיסים של המילה "פרפה" (Frappe), שמקורה באזור ניו אינגלנד ומשמעותה מילקשייק עם קרח, לצד המילה קפוצ'ינו, קפה אספרסו עם חלב מוקצף.
המשקה המקורי פותח בחנות קפה בבוסטון, "The Coffee Connection". כאשר החנות נרכשה על ידי סטארבקס ב-1994, הוענקו להם הזכויות להשתמש, לייצר ולשווק את המותג. המשקה, במתכון שונה, הוצג לראשונה תחת מותג סטארבקס בשנת 1995, ומאז רושם לחברה רווחים שנתיים של מיליארדים.
פראפוצ'ינו
זרימה מקסימלית - חתך מינימלי
דניס שפובלוב
דניס שפובלוב (באנגלית: Denis Shapovalov; נולד ב-15 באפריל 1999) הוא טניסאי קנדי מקצועני. הישג השיא שלו הוא הגעה לשלב חצי הגמר בטורניר גראנד סלאם (וימבלדון 2021). כנער בן 18 זכה בניצחון על רפאל נדאל (2 בעולם) והיה השחקן הצעיר ביותר שהגיע לחצי גמר טורניר בסבב המאסטרס העולמי 1000 של ה-ATP. דורג במקום עשר בעולם (21 בספטמבר 2020) וכיום (מאי 2022) מדורג במקום 16 בעולם.
ביוגרפיה.
שפובלוב נולד בתל אביב שבישראל, להורים ילידי ברית המועצות. אביו ויקטור הוא רוסי-נוצרי-אורותודוקסי, ואמו טסה אוקראינית ממוצא יהודי. משפחתו ירדה עמו לקנדה לפני יום הולדתו הראשון. לו אח בכור, יבגני שגם נולד בישראל. את דרכו בעולם הטניס החל בגיל 5, בבית ספר לטניס בטורונטו שפתחה אימו. כיום אמו ממשיכה לאמן אותו בנוסף למרטין לורנדאו ועודד "דדי" יעקב.
דובר רוסית שוטף. מתגורר באיי בהאמה, אבל ממשיך לייצג בתחרויות את קנדה.
באליפות ארצות הברית הפתוחה שנערכה בספטמבר 2015 זכה שפובלוב ביחד עם פליקס אוז'ה-אליאסים מקנדה בתואר לזוגות נערים ב-2 מערכות (7–5, 7–6) לאחר שניצחו צמד מארצות הברית.
באליפות וימבלדון שנערכה ביולי 2016 זכה שפובלוב בתואר לנוער ליחידים, לאחר ניצחון במשחק הגמר על אלכס דה מנואר מאוסטרליה ב-3 מערכות (4–6, 6–1, 6–3). נוסף לכך, הוא הגיע למשחק הגמר בטורניר לזוגות נערים ביחד עם פליקס אוז'ה-אליאסים מקנדה והפסידו לצמד קנת רייזמה מאסטוניה וסטפנוס ציציפס מיוון.