formula_17 דומה למטריצת הלפלסיאן המנורמלת (הסימטרית) formula_14. מסיבה זו, אפילו אם formula_17 אינה הרמיטית באופן כללי, יש לה ערכים עצמיים ממשיים.
לעיתים מתייחסים למטריצה formula_110 גם כן כמטריצת לפלסיאן של הילוך מקרי מאחר שהתכונות שלה דומות לאלו של מטריצת לפלסיאן דיסקרטית סטנדרטית מתחום האנליזה הנומרית.
שימושים.
למטריצת הלפלסיאן שימושים רבים בתורת הגרפים ובאלגוריתמים.
עצים פורשים בגרף.
יהא formula_1 גרף קשיר בעל formula_2 קודקודים, ויהיו formula_113 ערכים עצמיים שונים מאפס של הלפלסיאן formula_114 של formula_1. אזי formula_116, מספר העצים הפורשים של formula_1, הוא:
במילים אחרות, מספר העצים הפורשים שווה למינור של formula_9.
אי שוויון צ'יגר.
קבוע צ'יגר (Cheeger) הוא מדד מספרי האם גרף מכיל "צוואר בקבוק". הקבוע מוגדר על ידי formula_120 (מהי קבוצת הקודקודים בגודל של עד חצי ממספר הקודקודים, שעבורה מספר הקשתות שיצאו ממנה ביחס לגודל שלה יהיה מינימלי).
הערך העצמי הקטן ביותר של מטריצת לפלסיאן formula_9 שאינו 0 נקרא הפער הספקטרלי. עבור גרף formula_1 שהוא formula_123 רגולרי קיים קשר בין הפער הספקטרלי לקבוע זה, שהוכח על ידי טנר, ובאופן בלתי תלוי על ידי נוגה אלון וויטלי מילמן:
formula_124.
אשכול ספקטרלי.
בתחום של ניתוח אשכולות (Clustering), מתעניינים בבעיה שבהינתן דוגמאות formula_125 (כאשר formula_126), מספר formula_127 ופונקציית דמיון רוצים למצוא חלוקה הדוגמאות ל-formula_127 קבוצות כך שהדוגמאות בכל קבוצה יהיו דומות זו לזו.
אחת ממשפחות האלגוריתמים הנפוצה לפתרון בעיות מסוג זה היא אלגוריתמים של אשכול ספקטרלי (Spectral clustering). אלגוריתמים אלו מבוססים על בניית גרף דמיון, גרף שבו כל דוגמה היא קודקוד, וכל קשת מחברת בין דוגמאות דומות (בחירה אפשרית לכך היא חיבור קודקודים שעבורם פונקציית הדמיון החזירה ערך קטן מערך מסוים). על פי הגרף מחשבים מטריצת לפלסיאן (קיימות גרסאות שונות של אשכול ספקטרלי העושות שימוש במטריצת לפלסיאן מנורמלת), ותוך שימוש בווקטורים העצמיים שלה מחפשים חלוקה לקבוצות באמצעות אלגוריתם k-מרכזים (k-means).
שרה סוניה דיסקין
שרה סוניה דיסקין (תקע"ז, 1816 - כ בתשרי ה'תרס"ז, 10 באוקטובר 1906; הייתה ידועה ומוכרת כ"רבנית מבריסק") הייתה דמות משמעותית בקהילה האשכנזית בירושלים.
ביוגרפיה.
שרה-סוניה היא בתו של רבי צבי הירש רטנר, נכדת רבי אלעזר לנדא. בת למשפחה מיוחסת וצאצאית לגדולי תורה. משפחתה הייתה אמידה ובעלת אמצעים.
נישואיה הראשונים של שרה-סוניה היו לאליהו זלמן הלפרין (אביו של מיכאל הלפרן), איש עתיר נכסים, ממנו קיבלה ממון רב בעת הגירושים. לאחר מכן הייתה אשתו השנייה של משה יהושע יהודה לייב דיסקין, שכיהן כרב בבריסק. היא נישאה לרב דיסקין בהיותה בת ארבעים, והייתה נשואה לו 42 שנים. לנישואים אלה, הביאה עימה נדוניה של 40,000 זהובים.
נישואיה של שרה-סוניה לרב דיסקין ואישיותה הבולטת מוזכרים בספרו של ש"י עגנון, "תמול שלשום", ומובאים מפי מספר אלמוני, במסגרת שיחות בין יהודים הנוסעים ברכבת מיפו לירושלים:
בני הזוג דיסקין עזבו את בריסק וגרו זמן מה בפריז. הם עלו לירושלים בחודש אב תרל"ו.
עם הגיעם לירושלים, הם רכשו מתחם, אשר לימים נקרא "חצר דיסקין" - מתחם יהודי ברחוב הסאריה, סמוך לשוק הכותנה ברובע המוסלמי שבעיר העתיקה בירושלים. הם רכשו מבנה בן שלוש קומות ועברו להתגורר בקומה העליונה שבו. הם משכו אליהם גורמים קיצוניים קנאים, וחצרו של הרב נחשבה למרכז הדתי-קיצוני בירושלים.
באמצעות כספי הנדוניה שהביאה איתה לנישואיה השניים, הקימה שרה סוניה עם בעלה בשנת 1880 את "בית היתומים דיסקין", ואת ישיבת אהל משה.
לזוג דיסקין לא היו ילדים.
לדמותה.
הרבנית שרה סוניה דיסקין הטביעה חותמה על אירועים בישוב הישן בירושלים של סוף המאה ה-19. היא לא השאירה חותם כתוב וחתום על דרשות או כרוזים, אך מעדויות שונות ניתן להבין שהיא הייתה המושכת בחוטים והמשפיעה על פעולותיו של בעלה הרב דיסקין.
בעיניהם של כותבי תולדות חייו של בעלה, ישנה התייחסות אל דמותה של הרבנית. ישנם כותבים המעמידים אותה לצדו של הרב: שמירה על הלכות הבית ושמירה על בריאותו של בעלה. היא סייעה לו בפתרון שאלות "שלום בית" והרבתה במתן תרומות:
מנגד, יש האומרים שהיא הייתה הקיצונית מביניהם, וכך השפיעה וקבעה את דעותיו של הרב:
יש שטענו כי החמירה מאוד בהלכה ובקיום המצוות ודרשה זאת גם מתלמידי הרב - לבשה ציצית לפני פסח והלבישה את החתול בגרביים שמא יעביר ברגליו חמץ ממקום למקום.
על דמותה ניתן ללמוד גם מתוך דברים שנכתבו עליה אחרי פטירתה:
נחמה אריאל תרגמה לעברית את הפרסום שנכתב ביידיש בשם "א-חוצפה דיא בריסקער רעבעצין וויל חרוב מאכען ירושלם", כרוז משנת תרנ"ו נגד הרבנית מבריסק, בו ניתן לחוש את השינאה אליה:
ש"י עגנון הזכיר אותה בספרו תמול שלשום, בפרק המתאר את מעורבותם של כלבים, אבותיו וקרוביו של הכלב בלק, בחיי הירושלמים ובמחלוקותיהם:
מעורבותה בחיי הקהילה בירושלים.
אישיותה של הרבנית תוארה כנמרצת ומשכילה ובעלת כושר ארגון. היא הייתה מעורבת ופעילה במוקד האירועים בירושלים בתקופתה. בעלה, הרב דיסקין, היה ספון בביתו על לימוד התורה ומנותק פיזית מהאירועים ברחוב הירושלמי. אשתו, הרבנית, סיפקה לו את המידע אודות הלך הרוחות ושמשה כתובת למעריציו של הרב ולקיצוניים שהתנגדו לקביעות של ההנהגה הממוסדת. יש האומרים שמי שקבע והחליט הוא הרב, והוא שהפעיל אותה, כי ידע שניתן לסמוך על כושר הביצוע שלה. מאידך טענו נגדה בעלי הטורים בעיתונות שהיא המושלת בכיפה והשולטת, המסיתה את בעלה ומספקת לו מידע מסולף.
שרביט קסמים (מערכת יירוט)
אויב הציבור
אויב הציבור או אויב העם (בלטינית: Hostis publicus או Hostis populi) הוא מונח שמקורו במשפט הרומי. הכרזה על אדם נושא משרה ציבורית, אשר התנהגותו חרגה מכללי החוק באופן קיצוני ועקבי, כ"אויב העם" הייתה נתונה לסמכותו של הסנאט הרומי. כך למשל נהג הסנאט בנירון קיסר בשנת 68. בתקופת המהפכה הצרפתית נעשה שימוש תכוף במונח "אויב העם" (בצרפתית: ennemis du peuple) כדי להצדיק את שלטון הטרור.
בברית המועצות.
במהלך מהפכת אוקטובר, מועצת הקומיסרים העממיים, שבראשה עמד לנין, קבעה כי בעלי הקרקעות, הבנקאים, הקוזאקים ובעלי בריתם הם אויבי העם. ב-28 בנובמבר 1917 פרסמה מועצת הקומיסרים צו שבו נקבע כי המפלגה הדמוקרטית החוקתית, אשר הייתה מפלגה ליברלית מובילה באימפריה הרוסית וכונתה קדטים, היא מפלגה של אויבי העם ומנהיגיה נאסרו בעילה זו. המונח אויב העם מוזכר אף בסעיף 131 של החוקה הסובייטית משנת 1936. בעת שלטונו של יוסיף סטלין, במהלך הטיהורים הגדולים, הוכרזו רבים כ"אויב העם" או "אויב מעמד הפועלים" בהתאם לסעיף 58 של החוק הפלילי של ברית המועצות משנת 1927. ניקולאי יז'וב, ראש המשטרה החשאית הסובייטית, הנ.ק.ו.ד., בתקופת הטיהורים הגדולים, פרסם מאמר תעמולה בעיתונות הסובייטית, בינואר 1937, בעת שהתנהלו משפטי מוסקבה ובו יצא כנגד אויבי העם, זמן קצר בטרם נגזר דינם של הנאשמים. יז'וב עצמו נאסר ב-10 באפריל 1939 כאויב העם המסוכן באופן קיצוני והוצא להורג ב-4 בפברואר 1940. האדם האחרון שהוכרז כאויב העם בהיסטוריה הסובייטית היה לברנטי בריה, אשר עמד בראש הנ.ק.ו.ד. משנת 1938. בריה נאסר ב-26 ביוני 1953 והוצא להורג בחודש דצמבר.
בנאום הסודי של חרושצ'וב, שבו עסק בפולחן האישיות של סטלין, הוא הצביע על סטלין כמקור הבלעדי למונח "אויב העם" בתרבות הסובייטית. בספר הלימוד "ההיסטוריה של המפלגה הקומוניסטית בברית המועצות" (1938), אשר היה הספר הנפוץ ביותר בתקופת שלטונו של סטלין וייצג נאמנה את האידאולוגיה הסטליניסטית, נכתב: "הממשלה הסובייטית הענישה ביד קשה את החלאות הטרוצקיסטיות זינובייביות כאויבי העם ובוגדים במולדת." המונח הוזכר לעיתים ב"פראבדה", הבולט בעיתונים הסובייטים, והפך לחלק מאוצר המילים הסובייטי בתקופת סטלין.
ברחבי העולם.
המונח נמצא בשימוש עד היום במשטרים טוטליטריים. בשנת 2013 נעצר והוצא להורג צ'אנג סונג-טק, דמות מפתח במשטר הצפון קוריאני וגיסו של מנהיגה הקודם של קוריאה הצפונית, קים ג'ונג איל. לאחר שנעצר, הוא כונה בעיתונות הצפון קוריאנית "אויב העם".
בארצות הברית נהוג מאז שנות ה-30 המונח "אויב הציבור" (public enemy). אף שמקורו של המונח הוא במונח הרומי, משמעותו שונה במקצת. ה-FBI האמריקני עשה שימוש במונח לתיאור מנהיגי פשע מאורגן, או פושעים נמלטים, שהתנהגותם לאורך זמן נמצאה מזיקה לציבור. כך למשל כונה ג'ון דילינג'ר.
הנזי ברנד
עונת 2014/2015 בליגת העל הסקוטית
עונת 2014/2015 בליגת העל הסקוטית הייתה העונה השנייה של ליגת העל הסקוטית מאז הקמתה בשנת 2013. העונה התחילה ב-9 באוגוסט 2014 והסתיימה ב-31 במאי 2015.
סלטיק הגנה בהצלחה על האליפות וזכתה באליפות השנייה שלה בתולדות הליגה.
תוצאות המשחקים.
משחקים 1-22.
כל קבוצה שיחקה מול כל קבוצה אחרת פעמיים, פעם אחת בבית ופעם אחת בחוץ.
משחקים 23-33.
כל קבוצה שיחקה מול כל קבוצה אחרת פעם אחת, בבית או בחוץ.
משחקים 34-38.
לאחר 33 משחקים, הליגה התפצלה לשני חלקים של שש קבוצות, כאשר בכל חלק כל קבוצה שיחקה מול כל קבוצה אחרת פעם אחת, בבית או בחוץ.
סוס פינטו
סוס פינטו (מספרדית: Caballo pío) הוא שם כולל לכמה גזעי סוס עם כתמים בצבעים שונים על הגוף, אחד מהם לבן.
היסטוריה.
פינטו הוא נדיר יחסית, אבל הוא פופולרי, ולכן הוא הורבה בברירה מלאכותית והופיע הרבה באומנות.