מנקודת מבט נאיבית אפשר לראות בחוגים עם חילוק הכללה של שדות למקרה הלא קומוטטיבי, שהרי כל חוג קומוטטיבי עם חילוק הוא שדה. ואכן, חוג עם חילוק נקרא גם "שדה מעוות" (skew field) או אפילו סתם "שדה" (עם זאת, יש מחלקות טבעיות אחרות של חוגים לא קומוטטיביים שחיתוכן עם מחלקת החוגים הקומוטטיביים הם בדיוק שדות). לכל חוג קומוטטיבי (עם יחידה) יש חוגי מנה שהם שדות, ובאופן אנלוגי לזה, לכל חוג יש חוגי מנה פשוטים, אבל לאו דווקא מנות עם חילוק. לחוג אידיאלים חופשיים למחצה יש "שדה אוניברסלי", שהוא חוג מנה, עם חילוק, שיש הצבה (specialization; הצבה היא הטלה מתת-חוג מקומי שהגרעין שלה הוא האידיאל המקסימלי שלו) ממנו לכל מנה אחרת עם חילוק. מאחר שהאלגברה החופשית הקומוטטיבית היא חוג פולינומים, ניתן לראות באלגברה זו אנלוג לא-קומוטטיבי לשדה הפונקציות הרציונליות. עם זאת, לא כל איבר באלגברת החילוק הגנרית הוא מהצורה formula_3, והצורה הכללית של איברים באלגברה הגנרית היא מסובכת בהרבה (רק לחוגים המקיימים את תנאי אורה יש שיכון בחוג חילוק, שבו כל איבר הוא מנה של איברים מן החוג המקורי).
לפי משפט גלפנד-מזור, אלגברות בנך מרוכבת שהיא אלגברת חילוק איזומורפית (איזומורפיזם איזומטרי) ל-formula_4 עצמו.
אלגברה ליניארית מעל חוגים עם חילוק.
חוגים עם חילוק קרובים לשדות במידה כזו שאפשר לפתח מעליהם חלקים גדולים של האלגברה הליניארית, לרבות המושגים מרחב וקטורי, מטריצה והעתקה ליניארית. כל המודולים מעל חוג עם חילוק הם חופשיים, ויש להם דרגה מוגדרת היטב (בדומה לממד של מרחבים וקטוריים). יוצא דופן חשוב הוא הדטרמיננטה - לא קיימת העתקה כפלית מן המטריצות מעל חוג עם חילוק אל החוג עצמו (אבל ראו דטרמיננטת דודונה). מטריצה בגודל formula_15 נקראת "מלאה" אם אי אפשר לפרק אותה למכפלה formula_16 שבה מספר העמודות ב-formula_17 קטן מ-formula_18. מעל חוג עם חילוק מטריצה היא מלאה אם ורק אם היא הפיכה (אבל מעל תחומי שלמות שאינם שדות ייתכן שמטריצה תהיה מלאה אף על פי שאינה הפיכה אפילו מעל שדה השברים).
חוגים עם חילוק בגאומטריה לא-קומוטטיבית.
ההאובייקט המרכזי שנחקר בגאומטריה פרויקטיבית לא-קומוטטיבית הוא סכמות פרויקטיביות לא-קומוטטיביות, המוגדות באמצעות תחומים מדורגים, נותריים, בעלי ממד גלפנד-קירילוב סופי (ותכונות רגולריות נוספות). בדומה למתרחש בגאומטריה אלגברית קומוטטיבית, מועיל למיין יריעות עד כדי שקילות בירציונלית. לשם כך נחוץ 'שדה פונקציות' לא קומוטטיבי, שהוא חוג עם חילוק המתקבל באופן הבא: כאשר הופכים את אוסף האיברים ההומוגניים (השונים מאפס), מתקבל חוג חדש ורחב יותר, המדורג על ידי formula_19, והמרכיב ההומוגני שלו מדרגה אפס הוא חוג עם חילוק - זהו שדה הפונקציות הרציונליות הלא-קומוטטיבי של היריעה, המגדיר את מחלקת השקילות הבירציונלית שלה.
אלגברות חילוק סגורות אלגברית.
אומרים כי אלגברת חילוק formula_2 מעל שדה מרכזי formula_14 היא סגורה אלגברית אם לכל פולינום מוכלל formula_22 (דהיינו, איבר במכפלה החופשית של formula_2 עם formula_24) שונה מאפס ישנו פתרון, כלומר קיים formula_25 כך ש-formula_26. למשל, שדה הוא אלגברת חילוק סגורה אלגברית אם ורק אם הוא שדה סגור אלגברית. בניגוד למתרחש בעולם הקומוטטיבי, לא כל אלגברת חילוק משוכנת באלגברת חילוק סגורה אלגברית. בפרט, את אלגברת הקווטרניונים של המילטון לא ניתן לשכן באלגברת חילוק בה ישנו פתרון למשוואה formula_27. ממילא, לטובת בניית אלגברת חילוק סגורה אלגברית לא ניתן להפעיל שיטה דומה לאופן שבו בונים סגור אלגברי, בהוספת שורשים 'בזה אחר זה' (באמצעות אינדוקציה טרנספיניטית).
מקר-לימנוב בנה את הדוגמה הראשונה לאלגברת חילוק סגורה אלגברית שאינה שדה והסיק כי כל אלגברה לא קומוטטיבית המוגדרת על ידי יחס בודד (one relator algebra) היא לא טריוויאלית.
חוגים לא אסוציאטיביים עם חילוק.
סעיף זה מטפל באלגברות לא אסוציאטיביות. חוג עם חילוק הוא חוג שבו כל אופרטור כפל מימין או משמאל הוא הפיך (כאופרטור), כלומר, לכל משוואה formula_28 או formula_29 (עם formula_30 שונה מאפס) יש פתרון יחיד. כמו במקרה האסוציאטיבי, המרכז הוא שדה, וכל חוג עם חילוק הוא אלגברה (מעל המרכז שלו). בניגוד למקרה האסוציאטיבי, לחוג עם חילוק שאינו אסוציאטיבי לא מוכרח להיות איבר יחידה (באלגברת חילוק מממד סופי שהיא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט, יש איבר יחידה; כל אלגברת חילוק איזוטופית לאלגברת חילוק עם יחידה). כל חוג עם חילוק הוא פשוט. אם formula_31 אלגברה מממד סופי, אז היא אלגברה עם חילוק אם ורק אם אין לה מחלקי אפס; לכן, בממד סופי, אם כל אופרטורי הכפל משמאל הפיכים, אז formula_31 חוג עם חילוק.
בחוג עם חילוק (עם יחידה) כל האיברים הפיכים מימין ומשמאל. איבר formula_33 הוא הפיך אם יש formula_34 כך ש-formula_35. ההנחה ש-formula_33 הפיך אינה שקולה לכך שאופרטורי הכפל מימין או משמאל ב-formula_33 יהיו הפיכים. עם זאת, באלגברה אלטרנטיבית התכונות כן שקולות זו לזו, ואלגברה אלטרנטיבית שבה כל האיברים הפיכים היא אלגברה עם חילוק.
חוג עם חילוק סופי שהוא בעל חזקה אסוציאטיבית בהחלט, ממאפיין שונה מ-2, הוא שדה (זוהי הכללה של המשפט הקטן של ודרברן).
מעל הממשיים.
תשומת לב מיוחדת הוקדשה לאלגברות חילוק מממד סופי מעל הממשיים, משום שחבורת האוטומורפיזמים של אלגברה כזו היא חבורת לי (שאלגברת לי הצמודה לה היא אלגברת הנגזרות של האלגברה המקורית).
באופן כללי הממד של אלגברה עם חילוק מממד סופי מעל שדה נתון אינו חסום (יש אלגברות חילוק מעל הרציונליים מכל ממד ריבועי). מעל הממשיים, לעומת זאת, המצב שונה בתכלית. פרובניוס הוכיח ב-1878 שיש רק שלוש אלגברות אסוציאטיביות עם חילוק בעלות ממד סופי מעל הממשיים: הממשיים עצמם, המרוכבים ואלגברת הקווטרניונים של המילטון. מקס צורן הראה ב-1931 שיש רק ארבע אלגברות אלטרנטיביות עם חילוק בעלות ממד סופי מעל הממשיים: שלוש האלגברות האסוציאטיביות, ואלגברת האוקטוניונים formula_38; כל אלה הן אלגברות קיילי-דיקסון
. אלגברת החילוק היחידה מממד 2 מעל הממשיים היא שדה המספרים המרוכבים. מכאן נובע שאלגברת חילוק עם חזקה אסוציאטיבית מעל הממשיים היא ריבועית. לבסוף הוכיח היינץ הופף, בעזרת שיטות מתחום הטופולוגיה האלגברית, שהממדים המותרים לאלגברת חילוק (לא אסוציאטיבית) מעל הממשיים הם אך ורק 1,2,4,8 (השווה למשפט גלפנד-מזור ולמשפט Bott-Milnor).
עארה
עארה (בערבית: عارة) הוא כפר ערבי מוסלמי בעמק נחל עירון, בצדו הצפוני של כביש 65, בין כפר קרע לערערה. משנת 1985 הכפר הוא חלק מהמועצה המקומית ערערה.
מקור השם כנראה בתל הסמוך ליישוב, המזוהה עם מקום בשם "עירון" המופיע בכתובת מצרית קדומה; שמו הערבי של נחל עירון הוא כשם הכפר – "ואדי עארה".
היסטוריה.
במפקד האוכלוסין של 1931 היו בכפר 673 תושבים, ו-115 בתים נושבים. בשנת 1940 תואר הכפר על ידי מבקר יהודי:
בשנת 1958 נסלל כביש מן הכפר לכביש 65.
לפי מפקד 1976 היו בכפר כ-2,000 אנשים. על פי נתוני שנת 2004, התגוררו בכפר כ-4,600 איש, כולם מוסלמים.
כלב ים נזירי הוואי
כלב ים נזירי הוואי (שם מדעי: "Neomonachus schauinslandi") הוא מין בסוג כלב ים נזירי והמין היחידי שנותר בסוג, לאחר היכחדות המין כלב ים נזירי קריבי. כלב ים נזירי זה מצוי בסכנת הכחדה ונפוץ באיי הוואי. שמו ניתן לו בשל ראשו העגול המכוסה בשערות קצרות, המזכיר מראה נזיר מימי הביניים. ייתכן ששמו משקף גם את העובדה שכלב הים הנזירי חי חיים בודדים יותר, בהשוואה לכלבי ים אחרים שמתאספים לעיתים במושבות גדולות. מקורו של כלב הים הנזירי הוואי הוא מאבות קדמונים שהתקיימו לפני זמן רב והם הקדמונים שבמשפחת כלבי הים, אלו נפרדו מכלבי הים האחרים לפני כ-15 מיליון שנה.
תיאור.
לכלבי הים הנזיריים הוואי הבוגרים עור חום במקצת. כלבי הים הצעירים הם כסופים עם בטן, בית חזה וצוואר לבנים. הגורים שחורים וצמריים עם שיער קצר ורך. משקלו של כלב ים בוגר 180–270 ק"ג בעוד שמשקלו של גור הוא כ-11–15 ק"ג.
עיקר פעילותם היא בלילה אז הם צוללים בחיפושם אחר מזון, ואילו במהלך שעות היום החמות הם נחים. הם מסוגלים לצלול לעומקים של 500 מטרים ואף יותר.
ההזדווגות נעשית תחת המים. רוב ההמלטות מתרחשות בין מרץ ליוני לאחר היריון האורך עד 11 חודש, כשבדרך כלל נולד גור אחד בכל המלטה. הנקבות ממליטות ומניקות את גוריהן על החוף. הגורים נגמלים מיניקה בגיל 6 שבועות. במהלך זמן ההנקה ממעטת האם לאכול ומפחיתה עד 90 ק"ג ממשקלה.
הנקבות מגיעות לבגרות מינית בסביבות גיל 5 שנים. תוחלת חייהם של כלבי הים הנזיריים נעה בין 25 ל-30 שנים.
אוכלוסייה ושימור.
כלבי הים הנזיריים הוואי נמצאים בסכנת הכחדה. על פי סקר שנערך ב-2016, חיים פחות מ-1,400 פרטים. כלב הים הנזירי הוואי הוכר באופן רשמי כמין בסכנת הכחדה ב-23 בנובמבר 1976 וכיום הוא מוגן על פי חוק.
במהלך השנים האחרונות חלה ירידת באוכלוסייתם של כלבי הים עקב ההתפשטות המהירה של פעילות האדם אף לאזורים המבודדים והמנותקים באיי הוואי הצפוניים. בעבר נודעה לכלבי הים הנזיריים חשיבות כלכלית והם ניצודו למוות בשל בשרם, שמן, או עורם. בהוואי, הגורמים הבאים תרמו לירידה באוכלוסייתם: מוות מטריפה בידי כרישים, ירידה בשיעור הישרדותם של הגורים כתוצאה מהפרעות האדם, הרעלה, יחס זכרים גבוה ביחס לנקבות במהלך תקופת הרבייה והסתבכות ברשתות דיג.
מוחמד אבו-הנוד
ארכיון רינגלבלום
אלוף פיקוד צפון
חג הספר העברי
חג הספר
אירופה אירופה