בחצי-הגמר ובגמר הופיע מלטם ג'ומבול עם השיר "Volare (לעוף)" שבוצע במקור על ידי דומניקו. סרטאב ארנר, זוכת אירוויזיון 2003, חזרה לבמה, וביצעה את השיר עמו זכתה בתחרות האירוויזיון 2003, "Everyway That I Can", ואת אחד השירים החדשים שלה, "Leave (עזוב)". בנוסף, סטראב ארנר גם ראיינה את המתמודדים בתחרות בחדר הירוק. ה"אנסמבל הטורקי של אנטליה" הופיע בתחרות גם כן.
בפעם הראשונה בתולדות האירוויזיון, התחרות כולה יצאה ב-DVD שכלל את חצי-הגמר והגמר.
פורמט.
הסלוגן לתחרות האירוויזיון 2004 היה: תחת אותם שמיים! ("!Under The Same Sky"), מתוך רצון להדגיש את החשיבות של התקשורת בין האיחוד האירופי לטורקיה. בנוסף לכך, באותה שנה, בפעם הראשונה, נעשה שימוש בלוגו רשמי חדש עם דגל בצורת לב במרכז, אשר משתנה מאז משנה לשנה בהתאם למדינה המארחת את התחרות.
כל מדינה המשתתפת בתחרות, כולל אלה שלא העפילו אל הגמר, הורשו להצביע למדינות אחרות. לאחר שכל ההופעות הושלמו, כל מדינה פתחה את קווי הטלפון שלה כדי לאפשר לצופיה להצביע עבור השיר האהוב שלהם, עם ההגבלה לפיה מצביע לא יכול להצביע עבור מדינתו. כל מדינה זכתה בנקודות על פי מספר הקולות שניתנו לכל שיר: שיר אשר קיבל את רוב קולות הצופים קיבל 12 נקודות, השני 10 נקודות, השלישי 8 נקודות וכך הלאה מ-7 עד 1. במקרה של שוויון בכמות הקולות, בין שתי מדינות או יותר, המדינה שקיבלה את מספר הנקודות ממספר רב יותר של מדינות, היא תהיה המנצחת. במקרה של שוויון נוסף, סופרים איזו מדינה קיבלה 12 נקודות מספר פעמים רב יותר, ובמקרה של שוויון נוסף סופרים איזו מדינה קיבלה 10 נקודות מספר פעמים רב יותר וכך הלאה.
זו הפעם הראשונה בה טורקיה העניקה ניקוד לשירה של קפריסין, והשנה השנייה ברציפות שקפריסין העניקה ניקוד לטורקיה. עם זאת, לאור המחלוקת בין שתי המדינות על השליטה בחלקה הצפוני של קפריסין, עם ההגעה לנקודה בה קפריסין אמורה הייתה להקריא את הנקודות שלה, הוצג במפה רק חלקו הדרומי של האי, כלומר ללא החלק המוגדר על-יד טורקיה כ"רפובליקה הטורקית של צפון קפריסין".
חידושים.
הייתה זאת הייתה הפעם הראשונה שתחרות האירוויזיון התקיימה באירוע בן-יומיים - חצי-גמר ביום רביעי, ומופע גמר בשבת. על פי הפורמט החדש, ארבע המממנות העיקריות של התחרות, שהן צרפת, גרמניה, ספרד ובריטניה, יחד עם המדינה המארחת טורקיה, מעפילות ישירות לגמר, מבלי להשתתף בחצי-הגמר, וגם 10 המדינות בעלות הניקוד הגבוה ביותר מאירוויזיון 2003. אנדורה, אלבניה, בלארוס וסרביה ומונטנגרו השתתפו בפעם הראשונה בתחרות, ומונקו חזרה להשתתף בתחרות לאחר היעדרות של 25 שנה. לוקסמבורג הייתה אמורה לחזור לתחרות לאחר היעדרות של 11 שנה, אך התעוררו בעיות, והיא לא חזרה לתחרות. זאת הייתה השנה הראשונה שבה כל 36 המדינות המשתתפות הצביעו בטלפון לשיר האהוב עליהן, אולם צרפת, פולין ורוסיה לא הצביעו, כי הן לא השתתפו ולא שידרו את חצי-הגמר, ולכן לא יכלו להצביע.
המדינות המשתתפות.
מדינות המשתתפות בגמר.
הגמר של התחרות שודר ב-15 במאי 2004 בשעה 21:00.
24 הפיינליסטיות היו:
חצי גמר.
חצי הגמר של התחרות שודר ב-12 במאי 2004 בשעה 21:00 (שעון ישראל).
22 מדינות הופיעו וכל המשתתפות בתחרות, מלבד מצרפת, פולין ורוסיה, הצביעו.
פירוק לשברים חלקיים
באלגברה, פירוק לשברים חלקיים של פונקציה רציונלית מבטא את הפונקציה כסכום של שברים, כאשר:
חשיבותה של שיטת הפירוק לשברים חלקיים נעוצה בכך שהיא מספקת אלגוריתם מובנה למגוון חישובים המערבים פונקציות רציונליות, חישובים אשר מאפשרים מציאת פונקציות קדומות (ראו אינטגרציה בשברים חלקיים) של פונקציות רציונליות, פיתוחי טיילור ועוד. בלב השיטה עומד משפט קיום מרכזי, המתבסס על אלגוריתם אוקלידס לפולינומים.
הרעיון של השיטה פותח ב-1702 בידי גוטפריד וילהלם לייבניץ, אולם הוא לא הצליח לטפל באופן מלא בבעיית האינטגרציה של השברים עם המכנה הריבועי. יוהאן ברנולי השלים את הפרטים החסרים של האלגוריתם, וסיפק נוסחאות (סבוכות במקצת) לאינטגרלים של שברים עם מכנים שהם חזקות של פולינומים ריבועיים.
עקרונות בסיסיים.
אם לפונקציה רציונלית formula_1 במשתנה בלתי תלוי אחד "x" יש מכנה שמתפרק לגורמים כ-:
מעל שדה "K" (שיכול להיות שדה הממשיים או המרוכבים) ואם בנוסף ל-"P" ו-"Q" אין גורם משותף, אז לפי זהות בזו לפולינומים, ששקולה לאלגוריתם אוקלידס המורחב, קיימים פולינומים "(C(x" ו-"(D(x" כך ש-formula_3, formula_4 ומתקיים:
לכן:
ולפיכך "R" ניתנת לכתיבה גם כ-:
כאשר כל המונים הם פולינומים.
באמצעות אינדוקציה הפונקציה הרציונלית ("R"("x" ניתנת לכתיבה כסכום של שברים עם מכנים שהם חזקות של פולינומים אי-פריקים. אם נרחיב רעיון זה, ניתן לכתוב את:
כסכום של שברים עם מכנים שהם חזקות של "F" ומונים ממעלה נמוכה מזו של "F", בתוספת אפשרית של פולינום. התוצאה היא המשפט הבא:
משפט: יהיו "f" ו-"g" פולינומים שונים מאפס מעל שדה "K". נכתוב את "g" כמכפלה של חזקות של פולינומים זרים ואי פריקים:
אז ישנם פולינומים (יחידים) "b" ו-"a""ij" שדרגותיהם מקיימות deg "a""ij" &lt; deg "p""i", כך שמתקיים:
אם deg "f" &lt; deg "g", אז "b" = 0.
אם "K" הוא שדה המספרים המרוכבים, אז מהמשפט היסודי של האלגברה מובטח לנו שכל הגורמים "p""i" הם גורמים ליניאריים ממעלה אחת, וכל המונים formula_11 הם קבועים. כאשר "K" הוא שדה הממשיים, חלק מהגורמים "p""i" עשויים להיות ריבועיים, כך שבפירוק לשברים חלקיים, חלוקות של פולינומים ליניאריים בדרגות של פולינומים ריבועיים עשויות להופיע גם כן.
דוגמאות.
להלן יובאו מספר דוגמאות לפירוק לשברים חלקיים.
גורם ריבועי פריק במכנה.
נניח וברצוננו לפרק את השבר
לשברים חלקיים. באמצעות טרינום קל לראות שהמכנה מתפרק לגורמים הבאים:
לפיכך, אנו מחפשים סקלרים "formula_14" ו-"formula_15" כך ש:
דרך אחת למצוא את "formula_14" ו-"formula_15" היא על ידי "העלמת השברים", כלומר, הכפלת שני הצדדים במכנה המשותף formula_13. זה מביא אותנו לביטוי הבא:
נאסוף באגף הימני של המשוואה את אשר מוכפל ב-"formula_21" ואת אשר לא.
מכיוון שיש שוויון בין שני אגפי המשוואה, ניתן להשוות את המקדמים של הביטויים הדומים.
הפתרון לביטויים אלו הוא "formula_24", "formula_25". לפיכך, מתקבל הפירוק הבא לשבר זה:
גורם ריבועי בלתי פריק במכנה.
על מנת לפרק את השבר
לשברים חלקיים, ראשית נשים לב כי
ניתן לראות כי הביטוי "x"2 + 2"x" + 4 איננו פריק באמצעות מספרים ממשיים מכיוון שהדיסקרימיננטה של הביטוי היא שלילית. לכן, אנו מחפשים סקלרים "A", "B", "C" כך ש:
לאחר "העלמת השברים" אנו מקבלים
ניתן לסדר משוואה זו ולכתוב על פיה שלוש משוואות ליניאריות בעלות שלושת הנעלמים "A", "B", "C", כמו שעשינו בדוגמה הקודמת, אבל מכיוון שפתירת מערכת כזו של משוואות הופכת למעיקה ככל שמספר המשתנים גדל, אנו מנסים שיטה אחרת. הצבה של 2 במקום "x" במשוואה מעלימה את כל הביטוי הימני השני ואנו מקבלים
מכאן 12"A" = 84, לכן "A"=7 כך שקיבלנו
נציב 0 במקום "x".
מכאן "C"=4. קיבלנו
נציב 1 במקום "x".
מכאן "B"=3. אם כך, הפירוק לשברים חלקיים של שבר זה הוא:
גורמים החוזרים על עצמם במכנה.
עבור שברים מהצורה הזו
(כאשר formula_38 יכול להיות כל פולינום שהוא ממעלה נמוכה דיה), הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא:
דפוס זה של פירוק נכון גם עבור כל גורם ממעלה ראשונה אחר ומספר השברים הנ"ל תלוי במספר החזרות של הגורם במכנה.
לדוגמה, ניקח את השבר הבא:
המכנה מתפרק באופן הבא:
הגורם ממעלה ראשונה ("x" − 4) חוזר על עצמו במכנה. לפיכך, הפירוק לשברים חלקיים נעשה בצורה הבאה:
מכאן פותרים כמו בדוגמאות לעיל.
עבור שברים מהצורה הזו
בעלי גורם ריבועי בלתי פריק במכנה (כאשר שוב, formula_38 יכול להיות כל פולינום שהוא ממעלה נמוכה דיה), הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא:
דפוס זה של פירוק נכון גם עבור כל גורם ריבועי בלתי פריק אחר ומספר השברים הנ"ל תלוי במספר החזרות של הגורם במכנה.
פירוק השבר באמצעות משפט השאריות.
באופן כללי יותר, בהינתן formula_46 והקטבים של הפונקציה formula_47. נסמן ב-formula_48 את הריבוי של כל קוטב ואז עבור ההצגה formula_49
המקדמים נתונים על ידי הנוסחה לחישוב שארית formula_50
יאנג צה
אוניקו וילהלם ואן וסנאר
הרוזן אוניקו וילהלם ואן וסנאר (2 בנובמבר 1692 - 9 בנובמבר 1766) היה דיפלומט ומלחין הולנדי.
חייו.
ואן וסנאייר נולד בדלדן למשפחה עשירה, שופעת באנשי צבא חשובים ודיפלומטים. בשנת 1723 הוא החל ללמוד משפטים בליידן. הוא נשא לאישה את דודוניאה לוסיה ואן גוסלינגה, ונולדו להם שלושה ילדים.
6 קונצ'רטי ארמוניצ'י.
שאלת זהות המחבר.
לא מעט מסתורין ריחף עד לאחרונה מעל ליצירתו החשובה ביותר "6 קונצ'רטי ארמוניצ'י", שהלחין בשנים 1725–1740.
וסנאר נמנע מלפרסמה בשמו בשל היותו אציל (אם כי יש האומרים שסירובו נבע מפקפוקיו שלו ליכולתו הקומפוזיטורית), והיא יוחסה לכנר האיטלקי קארלו ריצ'וטי. בשלב מאוחר יותר העלה המלחין הפולני פרנצ'ישק לסל את האפשרות שפרגולזי הלחין את היצירה מאחר שסגנון הקונצ'רטי איטלקי מאוד.
את החידה פתר לבסוף המוזיקולוג ההולנדי אלברט דונינג בשנת 1979. הוא מצא את הפרטיטורה המקורית של היצירה בארכיון טירת טוויקל (מקום הולדתו של הרוזן). בהקדמה לפרטיטורה זו, שאותה כתב וסנאר עצמו, הסביר מדוע סירב לפרסם את היצירה בשמו.
סגנון היצירה.