הטופולוגיה כענף במתמטיקה, מייצגת את המציאות בעיוותים של כיווץ, ניפוח וקריעה של הצורה. בציור הטופולוגי של יגאל ורדי המציאות מיוצגת בצורה פלואידית, כאוטית, היברידית וקולאז'ית. עוד מיוצגת המציאות בציור של ורדי כטרנספורמציה מעגלית של פריעת צורה, שבה מתחולל באופן משלים תהליך מקבילי של הרס ובנייה של המציאות, כשני הפכים משלימים – כאוס כתנאי לסדר. הציור הטופולוגי של ורדי מייצג את המציאות באופן מעוות גם באמצעות מפגש סימולטני של שלושה סגנונות ציור – האימפרסיוניזם, הקוביזם והאקספרסיוניזם, שמייצגים בהתאמה את העין התמימה, העין החושבת והיד המציירת.
השפעות מתולדות האמנות על התפתחות הסגנון.
אמנים שונים הביאו לידי ביטוי ביצירתם את העיוות הטופולוגי: בסגנונו הסוריאליסטי, פבלו פיקאסו הציג עיוות מוקצן של המציאות, שהתבסס למעשה על סגנון הקוביזם הסימולטני שלו, שייצג את המציאות מנקודות מבט שונות בצורה בו-זמנית. אמנים נוספים שהביאו לידי ביטוי את העיוות הטופולוגי היו אומברטו בוצ'וני ביצרתו הפוטוריסטית, וכך גם פרנסיס בייקון בסגנון הציור שלו. הציור הביומורפי של ז'ואן מירו, פאול קלה וז'אן ארפ מהדהד גם הוא את המבט הטופולוגי כלפי המציאות, וגם ציוריו של מאוריץ קורנליוס אשר משקפים חשיבה טופולוגית באמצעות הצגת המציאות במעגליות סגורה, על-פי המבנה של רצועת מואביוס ועל בסיס רצף סגור של מטמורפוזה.
סגנון ציוריו האחרונים של סלבדור דאלי כונה "הציור הטופולוגי", והוא הציג ראייה טופולוגית במובהק של המציאות.
הבארוקי והקלאסי: הציור הטופולוגי כארכיטיפ בארוקי.
חוקר האמנות היינריך ולפלין ניסה לתאר את תולדות סגנונות האמנות על בסיס מה שהוא כינה "שני אופני ראייה" המייצגים שני ארכיטיפים סגנוניים: הבארוקי והקלאסי. הסגנון הבארוקי מתאפיין בתנועתיות, בקווים עגולים ובצורות מטושטשות ביחס לרקע. לעומת זאת, הסגנון הקלאסי מתאפיין בסטטיות, בקווים ישרים ובקונטיורות ברורות המגדרות את האובייקט מול המציאות. מנקודת מבט טרנס-היסטורית, שמייצגת את תולדות האמנות על בסיס סגנונות ארכיטיפים א-היסטוריים, ניתן לומר שהסגנון הבארוקי הוא טופולוגי במהותו, מכיוון שהוא מייצג את המציאות בעיוות תנועתי, בתהליך של צורה בהתהוות (מורפו-גנזה). הסגנון הארכיטיפי, הטרנס-היסטורי, מתממש בצורות שונות בזמן ובמקום, ומקבל את האפיון הייחודי בכל תקופה ותקופה.
לציור הטופולוגי המיוצג בסגנונו של יגאל ורדי אמנם ישנו מכנה משותף לציור הבארוקי הקלאסי המתבטא בייצוג המציאות בתהליך של התהוות ולא באופן סטטי, אולם הוא שונה ממנו בתווים הייחודיים שלו.
לאונרדו דה וינצ'י: קריקטורות טופולוגיות.
סגנונו של לאונרדו דה וינצ'י התאפיין במגמה משלימה בין הצגת המציאות בציור באופן הרמוני, סימטרי ומעודן, כפי שזה בא לידי ביטוי לדוגמה בציור המונה ליזה, לבין ציורי קריקטורות המציגים פנים מעוותות באופן קיצוני. דה וינצ'י חקר את המורפוגנזה של הטבע, את סוד התהוות הצורות, ונתן לכך ביטוי בתרשימים המציגים את היחסים ההדדיים בין הקווים הקמורים לקעורים, המחוללים את תנועת ההתהוות של הצורות. תרשימיו מייצגים באופן ברור חשיבה טופולוגית, אשר הוא נתן לה ביטוי גם במחקריו הכתובים, במקביל לתרשימים של צורות המייצגות תהליך התהוות והתעוותות הדרגתית ממצב מתון למצב קוטבי יותר.
סלבדור דאלי: מציאות מומסת ומעוותת.
הצייר היחיד בתולדות האמנות שכינה את יצירתו במונח "ציור טופולוגי" היה סלבדור דאלי, שאת ארבע היצירות האחרונות שיצר בחייו כינה "הציור הטופולוגי, מחווה למתמטיקאי רנה תום". יצירות אלו מסכמות למעשה את דרכו האמנותית שבה הציג את המציאות כ"מומסת" וכמעוותת. דאלי הושפע גם מהתאוריה של רנה תום המכונה "תורת הקטסטרופות" ומציגה "קרע" ברצף הלא-ליניארי של התהוות המציאות, ובמקביל גם מהתאוריה הביולוגית של דרס'י תומפסון על אודות תהליך התהוות הצורות בטבע על פי הגיון מתמטי.
פבלו פיקאסו: התקופה הסוריאליסטית כציור טופולוגי.
בספרו "ויווה פיקאסו - פרשנות אסתטית ליצירתו", טוען יגאל ורדי כי פבלו פיקאסו ייצג את המציאות מנקודת מבט טופולוגית, במיוחד בתקופת הציור הסוריאליסטית שלו. הסגנון הסוריאליסטי של פיקאסו מייצג עיוותים של המציאות בצורה קיצונית עד למצב של דה-פרסונליזציה קיצונית. כראייה לכך, ניתן לראות מה שכתב קרל גוסטב יונג, לפיו יצירתו של פיקאסו מאפיינת מצב נפשי סכיזופרני.
מהפכת הקוביזם האנליטי, שהתאפיינה בהצגת המציאות באופן סימולטני מנקודות מבט שונות, באמצעות "שברים פרקטלים"" של הקצעים (facets) ציוריים, הייתה ראשיתה של הצגת המציאות בצורה מעוותת וטופולוגית. כראייה היסטורית, ניתן להיווכח כי פיקאסו, שרקם במוחו (יחד עם בראק) את מהפכת הציור הקוביסטי, ישב לשיחות עם אינטלקטואלים, וביניהם המתמטיקאי מאוריס פרניסט, ודנו על אודות המתמטיקה הטופולוגית של פואנקרה. פיקאסו, שהאזין וספג מידע מתמטי ופיזיקלי בשיחות אלו, המיר אותו לשפה ציורית חדשה, המקבילה לתאוריה המתמטית. כך מאוחר יותר, הציור הטופולוגי בסגנונו הסוריאליסטי בא לידי ביטוי ב"פיסול הקווי" בפסל שיצר לזכרו של אפולינר. בעצם, כך פיקאסו חשב טופולוגית, מבלי שדיווח על כך במוצהר, והביא זאת לידי ביטוי במהפכה הציורית שחולל החל מהקוביזם האנליטי ועד לסגנונו הסוריאליסטי.
אומברטו בוצ'וני: הוספת המימד הרביעי (התנועה) לקוביזם.
הכנסת התנועה ליצירה הסטטית בקוביזם האנליטי באה לידי ביטוי בסגנון הפוטוריסטי ובמיוחד אצל אומברטו בוצ'וני כצייר וכפסל. בוצ'וני ביקר בסטודיו של פיקאסו וספג את השפעת רזי הקוביזם האנליטי הסטטי. לאחר מכן, הוא חזר לאיטליה ושם הוסיף את "המימד הרביעי", שהוא התנועה, לקוביזם האנליטי הסטטי של פיקאסו. יצירתו של בוצ'וני, גם בציור וגם בפיסול, היא טופולוגית במהותה, ומבוססת על שדות כוח המצויים בתנועה ומעוותים את קואורדינטות מרחב המציאות. בתחילה, פיקאסו היה זה שהשפיע על בוצ'וני, ולאחר מכן פיקאסו אימץ את "המימד הרביעי" של התנועה שבוצ'וני והפוטוריסטים המציאו, מה שהיווה קטליזטור ללידת סגנונו הסוריאליסטי, שבו הציג את המציאות בעיוותים טופולוגיים קיצוניים ומובהקים.
פרנסיס בייקון: דיוקנאות מעוותות.
הציור הטופולוגי בסגנונו הסוריאליסטי של פיקאסו, השפיע במישרין על הצייר האנגלי פרנסיס בייקון. הוא הושפע באופן מודע ומוצהר מפיקאסו, ובעקבותיו גיבש סגנון ציורי המעוות את הדיוקנאות והדמויות בציוריו בעיוותים טופולוגיים הברורים לעין, למרות שברוב הספרות המחקרית על אודות בייקון, לא נמצא הסבר ברור לאותם עיוותים. השפעת האקלים התרבותי על אודות המתמטיקה הלא-אוקלידית שמשנתו של אנרי פואנקרה שררה בתקופת המהפכה הקוביסטית, נתנה את אותותיה מאוחר יותר גם באנגליה אצל האמן בייקון בעקבות נטייתו להטמיע את הקוד האסתטי של פיקאסו בסגנונו.
מאוריץ קורנליס אשר: המציאות כטבעת מוביוס.
הצייר מאוריץ קורנליס אשר, צייר את רוב ציוריו בהשפעת התורה הטופולוגית. הוא עשה שימוש בעקרונותיו של המשטח ההיפרבולי הלא-אוקלידי בהשפעת המתמטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה שחקר בצורה מובהקת את רזי הטופולוגיה. אשר הציג ביצירותיו מטמורפוזות שבהן הצורות משתנות בהדרגה לדבר אחר לגמרי, חקר את האינסוף באמצעות סדרה ההולכת וקטנה עד אינסוף, בחן סוגיות בחקר הסימטריה והציג את המציאות כטבעת מביוס משדה הטופולוגיה. במקביל, הוא התבסס על הפיזיקאי רוג'ר פנרוז בהצגת המציאות על בסיס המשולש הבלתי-אפשרי, שגם הוא לקוח משדה הטופולוגיה.
זואן מירו: ביו-מורפיה.
הצייר ז'ואן מירו צייר את יצירותיו בסגנון ביו-מורפי בהשפעת אמנות האר נובו ויצירתו הארכיטקטונית של אנטוני גאודי. גישה זאת התאפיינה בניסיון להתחקות אחר התהוות הצורות בטבע (מורפוגנזה), ולא בתיאור סטטי של הצורות הנגלות בפרק זמן קבוע. הגישה הביומורפית מייצגת בצורה מובהקת את העיוות הצורני של המציאות על פי המתודה הטופולוגית, ומירו צייר באופן מובלע ציור טופולוגי.
פאול קלה: מהאמורפי לעבר הצורה.
הצייר פאול קלה ייצג בחלק מרישומיו, בשחור לבן, את מה שהוא כינה כניסיון "לקחת את הקו לטיול". קלה צייר את רישומיו מבלי להרים את העט מהנייר, ועל ידי כך יצר התהוות של קו אמורפי, חסר צורה, הבונה במהלך תנועתו (הטופולוגית) את הצורות המעוצבות יותר. תנועת הקו האמורפית מייצגת את מגמתו של קלה לייצג את "המציאות הנסתרת" מאחורי המציאות הנגלית לעין.
זאן ארפ: אנטרופיה ואמנות.
הצייר והפסל ז'אן ארפ יצר את עבודותיו בהשפעת חוקי האנטרופיה משדה הפיזיקה, המציגים את המציאות כמתפרקת על פי חוקי התרמודינמיקה. ארפ הציג ביצירותיו את ה"קרע" הנוצר במציאות כאשר מתרחש עיוות קיצוני מעבר לגבולות המתאפשרים בחומר. העיוות הקיצוני הגורם לקרע, הוצג תאורטית על ידי המתמטיקאי רנה תום ב"תורת הקטסטרופות" שלו, אשר הקדימה את תורת הכאוס בהצגת מושג הפרקטל המייצג את אותו שבר מורפולוגי פתאומי. התאוריה של תום השפיעה במישרין על יצירתו הטופולוגית של דאלי כפי שנכתב לעיל.
טופולוגיה ופסיכולוגיה.
ההיבט הפסיכולוגי: החשיבה הסימבולית הטופולוגית.
זיגמונד פרויד זיהה במערך הקוגניטיבי של האדם שני סוגי חשיבה: חשיבה ראשונית וחשיבה שניונית. החשיבה הראשונית מתאפיינת כחשיבה סימבולית ולא לוגית, ואילו החשיבה השניונית מתאפיינת כחשיבה רציונלית והגיונית. החשיבה השניונית-הרציונלית בוחנת את המציאות על פי קנה-מידה של המתמטיקה האוקלידית, ואילו החשיבה הראשונית, האי-רציונלית, בוחנת את המציאות על בסיס מתמטיקה לא-אוקלידית, כלומר טופולוגית. טענתו של פרויד הייתה כי ישנו קשר התהוותי באופן מעגלי בין החשיבה הראשונית לשניונית ולהפך.