העובדה שדרגת העמודות ודרגת השורות של כל מטריצה הן שוות מהווה חלק חשוב של המשפט היסודי של האלגברה הליניארית. להלן מוצגת הוכחה לטענה זו, התקפה מעל כל שדה.
תהי "A" מטריצה מסדר "m × n" (עם "m" שורות ו-"n" עמודות). תהי "r" דרגת העמודות של "A" ויהיו הווקטורים "c1"...,"cr" בסיס כל שהוא למרחב העמודות של "A". נפעיל Rank factorization על המטריצה "A": נייצג את וקטורי הבסיס למרחב העמודות של "A" בצורה סכמטית כמטריצה "C" מסדר "m × r". כל עמודה של "A" ניתנת להצגה כצירוף ליניארי של "r" העמודות של "C". פירוש הדבר הוא שקיימת מטריצה "R" מסדר "r × n" כך ש-"A = CR". בשפה של העתקות ליניאריות, הצגנו את ההעתקה הליניארית מ-formula_9 ל-formula_10 (המיוצגת על ידי "A") כהרכבה של העתקה מ-formula_9 ל-formula_12 עם העתקה מ-formula_12 ל-formula_10. המטריצה "R" היא המטריצה שבה העמודה ה-"i" נוצרת מהמקדמים שמייצגים את העמודה ה-"i" של "A" כצירוף ליניארי של "r" העמודות של "C". כעת, כל שורה "j" של "A" ניתנת להצגה כצירוף ליניארי של "r" השורות של "R", עם מקדמים ששווים למקדמי השורה ה-"j" של "C". לפיכך, השורות של "R" פורשות את מרחב השורות של "A", ולפי למת ההחלפה של שטייניץ, דרגת השורות של "A" לא יכולה לעלות על "r". זה מוכיח שדרגת השורות של "A" קטנה או שווה לדרגת העמודות. את תוצאה זו ניתן ליישם לכל מטריצה, כך שנפעיל אותה על המטריצה המשוחלפת של "A". כיוון שדרגת השורות של המטריצה המשוחלפת של "A" שווה לדרגת העמודות של "A" ודרגת העמודות של המטריצה המשוחלפת של "A" שווה לדרגת השורות של "A", ניתן להקיש גם את האי-שוויון ההפוך ומשניהם יחד את השוויון של דרגת השורות ודרגת העמודות של "A".
משפטים הקשורים לדרגה.
כאשר שוויון מתקבל רק אם הגרעין של "formula_2" מוכל כולו בתמונה של "formula_38".
זכות העמידה
דרגת מטריצה
Program Segment Prefix
במערכת ההפעלה DOS, תחילית מקטע התוכנית (באנגלית Program Segment Prefix, ובקיצור PSP) היא מבנה נתונים בגודל של 256 (100h) בתים, המשמש את מערכת ההפעלה לשמירת נתונים שונים על התוכניות המופעלות בה. כאשר תוכנית נטענת לזיכרון לשם הרצה, המערכת יוצרת עבורה את טבלת ה-PSP ומעדכנת בה את השדות השונים. התוכנית עצמה נטענת לזיכרון מיד לאחר הטבלה. בקובץ COM מקטע ה-PSP הוא מקטע הבסיס של התוכנית וטבלת ה-PSP נטענת בתחילתו, כך שהתוכנית עצמה נטענת תמיד בהיסט של 100h בתים.
שימושים.
כתובת מקטע ה-PSP של תוכנית משמשת כמזהה ייחודי שלה (Process ID) עבור מערכת ההפעלה בפעולות של ניהול משאבים (זיכרון וקבצים).
הנתונים השמורים ב-PSP משמשים בעיקר את מערכת ההפעלה. השימוש הנפוץ ביותר בתוכנה הוא קבלת הפרמטרים שבשורת הפקודה.
Rarities (אמריקאי)
המלך ג'ורג' השני
Rarities
ביורן בורג
ביורן רון בורג (בשוודית: Björn Rune Borg, נהגה "בְּייֶרְן בּוֹרִי"; נולד ב-6 ביוני 1956) הוא טניסאי עבר שוודי, שדורג ראשון בעולם במשך 109 שבועות בסוף שנות השבעים וראשית שנות השמונים של המאה העשרים, וזכה ב-11 תוארי גראנד סלאם. בורג נחשב לאחד הטניסאים הטובים ביותר אי פעם, בעיקר בזכות חמש זכיותיו הרצופות בווימבלדון וארבע זכיותיו הרצופות באליפות צרפת הפתוחה. הוא הטניסאי היחיד שזכה בשלושה תוארי גראנד סלאם ללא איבוד מערכה. הוא אחד מארבעה שחקנים בעידן הפתוח שהצליח לזכות בווימבלדון וברולאן גארוס באותה שנה, והוא היחיד שעשה זאת שלוש פעמים ברצף. הוא הגבר הראשון בהיסטוריה שזכה ביותר מ-10 תוארי גראנד סלאם בעידן הפתוח. בדרכו לתארים ושיאים אלה - שאותם השיג במשך קריירה מקצוענית קצרה יחסית בת תשע שנים ולמרות שהשתתף פעם אחת באליפות אוסטרליה הפתוחה.
בורג היה השחקן הראשון שהרוויח יותר ממיליון דולר מפרסי זכייה בעונה אחת, ב-1979.
ראשית חייו.
ביורן בורג נולד ב-6 ביוני 1956, וגדל בעיירה סדרטליה שבפרוורי סטוקהולם. אביו, שהיה שחקן טניס שולחן ידוע בשוודיה, העניק לבנו את מחבט הטניס הראשון שלו, לאחר שזכה בו בתחרות טניס שולחן. המתנה הסיטה את בורג הצעיר מענפי ספורט חורף כגון הוקי קרח, לטניס, שלא היה ענף ספורט מפותח במיוחד בשוודיה באותה העת. בורג היה אתלטי ובעל סיבולת גדולה מאוד בנוסף למהירותו הגבוהה. שריריו אפשרו לו לשים טופספין כבד במכת הגב יד שלו ובמכת הכף יד שלו. הוא הלך אחרי ג'ימי קונורס והשתמש בשתי ידיו בעת מכת גב היד שלו.
קריירה.
בגיל 10 החל להתאמן תחת המאמן פרסי רוסברג. התקדמותו המהירה התבטאה בכך שהביס את הטניסאים השוודים הגדולים ממנו בשנים. בורג הצטרף לסבב המקצועני בגיל 14.
ב-1972 ערך בורג בן ה-15 הופעת בכורה בגביע דייוויס, והיה הצעיר ביותר בתולדות המפעל לעשות כן, ואף ניצח את יריבו הניו-זינלנדי אוני פרון, שדורג אז בין 20 הראשונים בעולם. באותה השנה זכה באליפות וימבלדון לנערים. שנה לאחר מכן השתתף לראשונה בטורניר הבוגרים בווימבלדון, והעפיל לשלב רבע הגמר.
ב-1974 זכה בתואר מקצועני ראשון, בטרם מלאו לו 18. זמן קצר לאחר יום הולדתו ה-18 זכה בתואר גרנד סלאם ראשון מבין 11 בקריירה שלו, אליפות צרפת הפתוחה 1974. בשעתו היה הצעיר ביותר לזכות בטורניר הגברים של הגרנד סלאם הצרפתי, אולם שיאו זה נשבר מאז. ב-1975 הגן על תוארו בצרפת (ניצח בגמר את גיז'רמו וילאס מארגנטינה), והוביל את נבחרת שוודיה לזכייה ראשונה בתולדותיה בגביע דייוויס. בווימבלדון אותה שנה, בורג הגיע לרבע הגמר שם הפסיד לאלוף שבדרך, ארתור אש. בורג לא הפסיד משחק מאז עד שנת 1981 בווימבלדון.
בשנת 1976 באליפות צרפת הפתוחה הפסיד בורג לאיטלקי אדריאנו פנטה (פנטה הוא השחקן היחידי שניצח את בורג ברולאן גארוס, זה קרה פעמיים: פעם אחת ב-1973 בסיבוב הרביעי, וב-1976 ברבע הגמר).
ב-1976 זכה בורג בן העשרים בווימבלדון בלא לאבד אף מערכה. כך החל רצף חסר תקדים של חמש זכיות רצופות בתחרות היוקרתית, הישג שאותו שחזר רוג'ר פדרר ב-2007. ב-1977 דורג בורג לראשונה במקום הראשון בעולם, ובין השנים 1978 ו-1980 היה בשיאו, כאשר זכה בווימבלדון ובאליפות צרפת הפתוחה בכל אחת משלוש השנים. הוא זכה בצרפת ב-1978, כמו בווימבלדון שנתיים קודם לכן, בלא שהפסיד ולו מערכה אחת. ב-1979 וב-1980 זכה גם בטורניר המאסטרס של סוף השנה.
בין השנים 1974 ל-1980 העמיד בורג מספר שיא של 33 ניצחונות רצופים ביחידים במסגרת מפעל זה.
זכייתו השישית והאחרונה בצרפת (1981) זיכתה אותו בתואר הגרנד סלאם האחרון בקריירה. באותה שנה שם ג'ון מקנרו קץ לשלטון היחיד של בורג בווימבלדון, כשניצח אותו בגמר בארבע מערכות. באליפות ארצות הברית הפתוחה שלאחר מכן שוב ניצח מקנרו את בורג, בגמר הגרנד סלאם האחרון בקריירה של הטניסאי השוודי.
כמי שהחל את הקריירה המקצוענית בגיל צעיר מאוד, ושיחק באינטנסיביות עצומה, סבל בורג משחיקה רבה כבר באמצע שנות העשרים שלו. כתוצאה ממנה שיחק ב-1982 בטורניר אחד בלבד, ובראשית 1983 הודיע על פרישתו מטניס.
חיים אישיים.
בורג החל לצאת בשנת 1976 עם הטניסאית מריאנה סמיונסקו מרומניה. בשנת 1980 הם התחתנו בבוקרשט והתגרשו בשנת 1984. בשנת 1985 נולד בנו מקשר עם הדוגמנית השוודית יניקה ביורלינג. בשנים 1989 עד 1993 היה נשוי לזמרת האיטלקייה לורדנה ברטה. בשנת 2002 התחתן עם פטריסיה אוסטפלד ובשנת 2003 נולד בנם.
לאחר שפרש ידע בורג עליות ומורדות בחייו האישיים וסבל בין השאר מהתמכרות לסמים ומקשיים כלכליים. בראשית שנות התשעים ניסה את כוחו בסבב המקצועני לאחר כמעט עשור של היעדרות, אולם חזרה לפעילות זו לא צלחה: הוא הפסיד שורה של משחקי סיבוב ראשון לטניסאים זוטרים יחסית, וזכה לקיתונות של לעג כשהתעקש לשחק עם מחבט העץ הישן שלו, למרות נחיתותו הברורה לעומת המחבטים המודרניים. לאחר שנתיים פרש בשנית ועבר לשחק בסבב הסיניורים, שם חידש את יריבותו מושכת-הקהלים עם מקנרו, וילאס וקונורס.
במרץ 2006 שב בורג לכותרות העיתונים, כאשר נודע כי העמיד את גביעי וימבלדון שלו, יחד עם שניים ממחבטיו, למכירה פומבית. בסופו של דבר היה זה יריבו הגדול מקנרו, ששכנע את בורג לקנותם בחזרה. . בשנת 2012 שב לכותרות העיתונים כקשור לשערוריות בהן מעורב מלך שוודיה והעולם התחתון.
סגנון משחק.
סגנון המשחק של בורג נחשב כייחודי. ביסודו היה חובט מקו הבסיס (baseliner), שמיעט להתקרב לרשת, והשתמש בטופספין (topspin) ובכח רב כדי לתת תוקף לחבטותיו אף ששוגרו ממרחק. כושר גופני היה אלמנט חשוב במשחקו, כמו גם חבטת גב-היד בשתי הידיים, שמזוהה איתו יותר מכל. היכולת שלו כשחקן קו-בסיס לזכות בהצלחה כה רבה על משטח הדשא בווימבלדון אינה מובנת מאליה, והיא מוסברת על ידי חבטת הגשה טובה, והיכולת העקבית לבצע את חבטותיו ולהתיש את יריביו. מבין השחקנים שאחרי בורג, אנדרה אגסי, רפאל נדאל וכן רוג'ר פדרר הצליחו לזכות באליפות צרפת הפתוחה על חימר ובדשא האנגלי. בורג עשה זאת באותה שנה עצמה, שלוש שנים ברציפות.
מורשת.
הצלחתו המטאורית של בורג הביאה במולדתו לפיתוח מואץ של ענף הטניס. בין פירותיו של גל זה ניתן למנות את פריחתם של שני טניסאים נוספים שהגיעו למקום הראשון בעולם: מאטס וילאנדר וסטפן אדברג; כמו גם את הצלחתם של רבים נוספים: תומאס אנקוויסט, מגנוס נורמן, יונאס ביורקמן ואחרים. לזכותה של מעצמת הטניס השוודית עומדות כיום שבע זכיות בגביע דייוויס. בורג הוביל אותה לראשונה שבהן והיווה את ההשראה לדורות השחקנים שהביאו את האחרות.