למעשה, לא הצלחנו להיפטר מסימן האינטגרל, ויתר על כן, הגענו לאותו האינטגרל שקודם לכן לא יכולנו לפתור. יחד עם זאת, ישנה דרך להגיע לפתרון האינטגרל. לשם כך נסמן formula_43. נציב בחזרה את פתרון האינטגרל השני ונקבל: formula_44. נעביר אגפים ונקבל formula_45. על ידי חלוקה בשתיים, נמצא את פתרון האינטגרל: formula_46.
אינטגרלים של חזקות של פונקציות טריגונומטריות.
כל פונקציה טריגונומטרית שהיא ניתן להציג על ידי מנה או מכפלה של שתי הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות formula_47 ו-formula_48. כל אינטגרל מהצורה formula_49 לכל formula_50 ניתן לפתור באחת מהדרכים הבאות:
formula_51
השלמה לריבוע.
טכניקת ההשלמה לריבוע יעילה במקרים מסוימים מאוד. יהי אינטגרל formula_52 כאשר formula_53. נרצה להציג את המכנה כביטוי ריבועי ועוד קבוע, ובכך נקל באופן משמעותי על פתרון הבעיה. על ידי הוצאת גורם משותף formula_54 ניתן להביא את האינטגרל לצורה formula_55. כעת נרצה להציג את המכנה כריבוע שלם ועוד מספר קבוע ולשם כך ניעזר בנוסחאות הכפל המקוצר למעלה השנייה. כאשר נביא את האינטגרל לצורה formula_56 נוכל לבצע הצבה formula_57 ולהעביר את האינטגרל למשתנה החדש formula_58 והפתרון formula_59.
אינטגרלים של פונקציות רציונליות.
יהיו שני פולינומים formula_60 (פולינום מסדר formula_61) ו-formula_62(פולינום מסדר formula_63). פונקציה רציונלית היא כל פונקציה מהצורה formula_64. במקרים רבים, יש צורך בחישוב האינטגרל של פונקציות מסוג זה. ישנן שתי שיטות שמיועדות לשני מקרים שונים שעוזרות לפתור את האינטגרלים מהסוג הזה.
פירוק לשברים חלקיים.
שיטה זו משמשת במקרים בהם formula_65, כלומר כאשר הפולינום במונה מסדר נמוך יותר מהפולינום במכנה (או בצורה פשוטה יותר: כשבמכנה מופיעה חזקה גבוהה יותר מאשר במונה). בשיטה זו, נרצה לפרק את המנה של הפולינומים למנות קטנות יותר של איבר ליניארי או קבוע, באיבר ליניארי או ריבועי.
ובכן, תחילה יש לפרק את formula_62 לאיברים ליניאריים או פרבוליים. קיים משפט אשר מבטיח כי כל פולינום ניתן להצגה כמכפלה של פולינומים לכל היותר מסדר שני, כלומר כל פולינום ניתן להציג כמכפלה של ביטויים ליניאריים ופרבוליים.
זאת אומרת שנרצה להציג את formula_62 כמכפלה של ביטויים מהצורה formula_68 ו-formula_69. לאחר שהמכנה פורק, נפרק כבר את כל הביטוי. נניח שיש לנו מספר שברים עם מכנים שונים. כאשר נבצע מכנה משותף נקבל שבר אחד שבמכנה שלו תהיה מכפלה של כל המכנים של השברים הראשוניים. זאת אומרת שאם במכנה יש מכפלה של ביטויים, ניתן להפריד כל ביטוי לשבר נפרד, וכל מה שישאר זה למצוא את האיברים שמופיעים במונים של השברים.
נוכיח את נכונות השיטה. הפונקציה formula_72 היא קדומה של הפונקציה formula_73, ולכן מתקיים formula_74. כעת נוכל להסתמך על כלל השרשרת ועל נוסחת הגזירה של פונקציה הפוכה, ונקבל כי -
formula_75
כלומר, formula_77 היא אכן קדומה של formula_78 כפי שרצינו.
אינטגרל של פונקציה טריגונומטרית.
הצבות לפתרון אינטגרל מהצורה formula_79, כאשר R פונקציה רציונלית (מנת פולינומים):
הצבה טריגונומטרית מקובלת נוספת היא מהסוג:
formula_87. ואז מתקיים:
הצבה זו נקראת ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית והיא מתאימה לכל אינטגרל טריגונומטרי מהצורה לעיל. הצבה אוניברסלית זו היא פרמטריזציה של מעגל היחידה כש-t נע בין ∞+ ל∞−. ברוב המקרים, אם ניתן להשתמש באחת מההצבות האחרות, היא תביא לפתרון מהיר יותר. דוגמה לשימוש בהצבה זו:
formula_88
הצבות לחיסול שורשים.
אינטגרל מהצורה formula_89 כאשר b מספר אי-זוגי ניתן לפתור למשל באמצעות ההצבה: formula_90. כאשר b זוגי, ניתן לפתור את האינטגרל באמצעות ההצבות הבאות:
הצבות טריגונומטריות.
באינטגרלים שונים, נדרשת הצבה מסוג זה כדי לפשט את האינטגרל, ולהביא לפתירתו, אף על פי שהאינטגרל עלול לא להכיל אף פונקציה טריגונומטרית אחת.
האינטגרלים הבאים ודומים להם, יפתרו בצורה די מיידית עבור formula_91 קבוע חיובי ו- formula_92 שלם:
דוגמאות לשימוש בשיטה זו:
הצבות היפרבוליות.
בדומה לאינטגרלים שהוזכרו קודם, קיימים אינטגרלים שהצבה מסוג היפרבולית תסייע לפתירתם.
האינטגרלים הבאים ודומים להם, יפתרו בצורה די מיידית עבור formula_91 קבוע חיובי ו- formula_92 שלם:
זאת בשל הנוסחה היסודית
formula_110
דוגמאות לשימוש בשיטה זו:
חישוב אורך קשת של הפרבולה formula_111:
הצבות אוילר.
עבור פונקציה רציונלית (מנה של שני פולינומים) ב- formula_112 ושורש ריבועי של פולינום ריבועי מסוים formula_113, ניתן לפעמים להשתמש בהצבות שפיתח לאונרד אוילר.
formula_117
מגזירת הביטוי האחרון אפשר לקבל את הנגזרת formula_118 כפונקציה רציונלית של formula_119 בלבד, ובכך נהפך האינטגרל לאינטגרל של פונקציה רציונלית ב-formula_119.
formula_123
שוב, מגזירת הביטוי האחרון אפשר לקבל את הנגזרת formula_118 כפונקציה רציונלית של formula_119 בלבד, ובכך נהפך האינטגרל לאינטגרל של פונקציה רציונלית ב-formula_119.
שיטות אנליטיות לחישוב אינטגרלים מסוימים
לחלק מהאינטגרלים לא ניתן מצד אחד לקבל פתרון עבור האינטגרל הלא מסוים אולם מהצד השני ניתן לקבל פתרונות אנליטיים (כלומר כאלו שאינם מצריכים אנליזה נומרית) עבור גבולות מסוימים של אינטגרל מסוים.
להלן רשימה חלקית של שיטות לביצוע תהליך האינטגרציה כזה:
זוגיות ואי זוגיות.
כאשר יש פונקציות שהיא אי זוגית ביחס לנקודה a, כלומר מתקיים formula_1 והאינטגרל סימטרי סביב הנקודה a, כלומר הגבולות הם מהצורה formula_2 אזי האינטגרל הוא אפס; למשל: formula_3.
פונקציה זוגית סביב הנקודה a ניתנת לחישוב רק בחצי מהתחום (מעל או מתחת לנקודה a) תוך הכפלה בשניים. למשל:
formula_4
חישוב במסלול סגור במישור המרוכב.
כאשר מבצעים המשכה אנליטית של פונקציה ממשית למישור המרוכב, ניתן להשלים את מסלול האינטגרציה במישור המרוכב כך שייווצר מסלול סגור שניתן לחשב אותו באמצעות משפטים המתאימים לאינטגרל קווי במישור המרוכב כמו משפט אינטגרל קושי, נוסחת אינטגרל קושי, ובעיקר משפט השאריות. השיטה מתבססת על יצירת מסלול סגור C המכיל את הקטע formula_5 המופיע באינטגרל המקורי (אותו נסמן ב-I), וחישוב האינטגרל במסלול C (אותו נסמן ב-IC) ובקטעים האחרים המופיעים במסלול. כך מגיעים למשוואה מהצורה: formula_6 כאשר f היא פונקציה הפיכה בתחום המתאים ל-I (בפרט אינטגרל של פונקציה ממשית הוא תמיד ממשי).
דוגמה.
formula_7
את האינטגרל formula_8, כאשר formula_9, ניתן לחשב על ידי סגירת המסלול הסגור המצויר בצד שמאל והשאפת R לאינסוף.
תחילה נפתח אותו לצורה נוחה יותר:formula_10
על פי נוסחת אינטגרל קושי על המסלול הסגור מקבלים כי:
formula_11
על פי למת ז'ורדן מקבלים כי: formula_12,
ועל ידי הצבה מקבלים:
formula_13
ובסה"כ מתקיים:
formula_14
דוגמה נוספת.
נחשב את האינטגרל formula_15 (עבור formula_16), בעזרת בניית קונטור מתאים במישור המרוכב. נשים לב כי נקודות סינגולריות מתקבלות כאשר formula_17 או formula_18 (כאשר formula_19 מספר טבעי). על מנת ליישם את משפט השארית, נבנה קונטור בצורת גזרת מעגל המתאימה לזווית מרכזית formula_20, אשר רדיוס אחד שלה הוא כל הישר הממשי והרדיוס השני שלה הוא הישר (האינסופי) העובר דרך ראשית הצירים ושורש היחידה ב-formula_21. הקונטור מכיל בתוכו נקודת סינגולריות אחת בלבד, ב-formula_22, ועל פי חישוב שאריות נקבל שהשארית של formula_23 ב-formula_24 היא formula_25. לפיכך תוצאת האינטגרל הקווי לאורך הקונטור כולו היא formula_26.
כעת נשים לב לעובדות הבאות:
כלומר קיבלנו לבסוף את הקשר:
ממנו ניתן לחלץ את formula_15. על ידי חילוק של מספרים מרוכבים ומעט טריגונומטריה, נקבל לבסוף:
מעבר למערכת קואורדינטות אחרת.
כאשר לאינטגרל יש סימטריה כלשהי, ניתן לעבור למערכת קואורדינטות אחרת שבה הוא מופיע בצורה פשוטה יותר. מעבר כזה מהווה למעשה מקרה פרטי של שיטת ההצבה.
דוגמה – חישוב שטח עיגול (בעל רדיוס R):עוברים ממערכת קואורדינטות קרטזיות למערכת קואורדינטות פולריות ומקבלים אינטגרל פשוט הרבה יותר:
formula_38
דוגמה נוספת:
חישוב האינגרל הבא: formula_39.
formula_40
לכן: formula_41.
שימוש בהתמרות.
יש מקרים בהם ניתן להציג את האינטגרל המסוים בעזרת התמרה מסוימת (למשל התמרת פורייה) ולהשתמש בתכונות שלה.
לדוגמה, נחשב את formula_42.
נגדיר פונקציה formula_43. קל לבדוק ש-formula_44 בעלת נקודת אי-רציפות סליקה בנקודה 0, ולכן נוכל להתייחס אל formula_44 כאל פונקציה הרציפה בקטע formula_46.
לכן formula_47 רציפה בקטע formula_48.
מהלמה של רימן-לבג אפשר לראות שמתקיים:
formula_49
כאשר: formula_50 מקדמי הפורייה של formula_51.
לכן:formula_52
בפרט, גם:formula_53
ולכן:formula_54
כי מנוסחת אוילר: formula_55
כלומר:formula_56
נחלק לשני אינטגרלים, ונקבל:formula_57
האינטגרל השמאלי הוא אינטגרל של גרעין דיריכלה, ולכן שווה 1 לכל n טבעי.formula_58
האינטגרל שנותר הוא של פונקציה זוגית, ולכן ניתן להחליף את התחום ב-formula_59 ולהכפיל ב-2:formula_60
כלומר:formula_61
על ידי הצבה: formula_62, נקבל:formula_63
ומכיוון שהאינטגרל מתכנס (ממבחן דיריכלה), מתקיים:formula_64כנדרש.
שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים
בעוד שחלק מהאינטגרלים ניתן לחשב באמצעות שיטות אנליטיות הרי יש אינטגרלים אותם לא ניתן לחשב בצורה כזאת אלא רק עם אנליזה נומרית, כלומר התוצאה המתקבלת היא מספר מסוים המדויק בכל רמת דיוק שנרצה.