כשחקן, זכור ארנסן מתקופותיו בהולנד, שם שיחק במדיהן של אייאקס, עמה זכה בשלוש אליפויות ובגביע אחד, ושל פ.ס.וו. איינדהובן, עמה זכה גם כן בשלוש אליפויות וגביע, וכן זכה עמה בגביע אירופה לאלופות. בנוסף, שיחק באנדרלכט, עמה זכה באליפות, ובולנסיה הספרדית. לזכותו של ארנסן 14 שערים ב-52 הופעות במדי נבחרת דנמרק, אותה ייצג בין היתר בטורנירי יורו 1984 ומונדיאל 1986.
לאחר פרישתו פנה לקריירה מקצועית, בשיאה שימש כמנהל מקצועי במועדונים נבחרים באירופה, ובהן פ.ס.וו. איינדהובן, שם התמחה באיתור שחקנים צעירים ומבטיחים, וכן בטוטנהאם הוטספר, צ'לסי, המבורג ועוד.
קריירת משחק.
אייאקס.
לאחר שהחל את הקריירה בקבוצת הנוער של פרמאד אמאגר, עבר ארנסן לקבוצת הפאר ההולנדית אייאקס בדצמבר 1975, כשהיה בן 19 בלבד, בצוותא עם חברו לקבוצה סרן לרבי בן ה-17. ארנסן הצטרף לקבוצה, ששיחקה באותה העונה תחת המאמן רינוס מיכלס בקדנציה השנייה שלו במועדון, וערך את הופעת הבכורה שלו ב-6 במרץ 1976, בשוויון 1-1 מול אוטרכט. הייתה זו הופעה ראשונה מתוך 13 הופעות ליגה רצופות. בשלהי אותו החודש כבש את שער הבכורה שלו בליגה, בהפסד הביתי 1–3 לפ.ס.וו. איינדהובן. עד לתום העונה כבש ארנסן שלושה שערים ב-13 הופעות במדי המועדון.
עונה לאחר מכן, נכנס ארנסן לרוטציה של המאמן החדש, טומיסלב איביץ', וערך בסך הכול 23 הופעות ליגה באותה העונה, מתוכן 18 בהרכב הפותח, וכבש שני שערים בדרך לזכייתה של אייאקס באליפות הולנד. ארנסן המשיך להשתפר ביכולתו ובמקביל לזכות בדקות משחק משמעותיות יותר. הוא תרם 13 שערי ליגה ב-34 הופעות בדרך לזכייתה של הקבוצה באליפות נוספת בעונת , וסייע לה להשלים זכייה בדאבל, עם זכייה בגביע באותה העונה. ארנסן כבש בשלבי רבע וחצי הגמר, ופתח בהרכב במשחק הגמר מול אוטרכט שהסתיים בשוויון 1-1 לאחר הארכה, ובמשחק הגמר החוזר בו גברה אייאקס 0–3 על אוטרכט בדרך לזכייה.
בעונת זכתה אייאקס באליפות שנייה ברציפות, ושלישית של ארנסן בקבוצה. ארנסן כבש שבעה שערי ליגה ב-26 הופעות בלבד, אך תרם להופעתה המרשימה של אייאקס בגביע אירופה לאלופות, בה נעצרה בחצי הגמר על ידי הזוכה בתום הטורניר, נוטינגהאם פורסט. ארנסן כבש ארבעה שערים לזכות אייאקס בשבע הופעות במפעל.
לקראת עונת , ועם סיום דרכו של הקפטן רוד קרול במועדון, קיבל ארנסן בן ה-24 את תפקיד הקפטן. בכך, היה לקפטן אייאקס הזר הראשון מאז וליבור ואסוביץ' בעונת . באותה העונה, שהייתה האחרונה שלו במועדון, קבע ארנסן שיא קריירה אישי של 16 שערי ליגה ב-32 הופעות, אך אייאקס סיימה את העונה כסגנית בלבד.
בסך הכול, בחמש וחצי עונות במועדון רשם ארנסן 159 הופעות ליגה, בהן כבש 52 שערים.
ולנסיה.
לקראת עונת 1981/1982 נרכש ארנסן על ידי ולנסיה, בעצתו של יוהאן קרויף, שהמליץ על השחקן בעל הכישרון האישי הגדול כמחליפו של מריו קמפס שעזב את ולנסיה באותו הקיץ. ארנסן הפגין יכולת מרשימה בעונתו הראשונה בקבוצה, ואף היה למלך שערי הליגה שלה עם 13 כיבושים ב-32 הופעות, שסייעו לקבוצה לסיים את העונה במקום החמישי בטבלה, ואף להעפיל לרבע גמר גביע אופ"א (שלושה שערים לארנסן בשמונה הופעות). אלא שבקיץ שלאחר העונה ספג פציעה קשה בברכו הימנית, שאף העמידה בספק את המשך הקריירה שלו. הוא נאלץ להחמיץ את כל המשחקים בעונת 1982/1983, בה ניצלה ולנסיה מירידה על אף חזרתו של קמפס לקבוצה.
לאחר שתי עונות ופציעה קשה, סיים ארנסן את דרכו בספרד עם 32 הופעות ליגה ו-13 שערים.
אנדרלכט.
לקראת עונת עבר ארנסן למחזיקת גביע אופ"א המכהנת, אנדרלכט של המאמן פול ון הימסט, שם שיתף פעולה בין היתר עם חבריו לנבחרת, מורטן אולסן, פר פרימן וקנט ברילה לארסן. בעונת הבכורה שלו במועדון הוגבל ל-12 משחקי ליגה בלבד, בהם כבש שלושה שערים, אך היה לחלק משמעותי במסעה של הקבוצה עד לגמר גביע אופ"א עונה שנייה ברציפות. ארנסן רשם שבע הופעות במהלך הטורניר, כולל בצמד משחקי הגמר מול טוטנהאם הוטספר. במשחק הראשון בבית עלה כמחליף בדקה ה-82, שלוש דקות לפני השער של אולסן שקבע 1-1 בסיום. בגומלין פתח בהרכב והוחלף בדקה ה-77, שבע דקות בלבד לפני שער השוויון של טוטנהאם ששלח את המשחק להארכה, בסיומה הפסידה אנדרלכט את התואר בדו-קרב בעיטות עונשין.
בעונת הפך ארנסן לשחקן הרכב משמעותי בקבוצה של ון הימסט, וכבש עשרה שערי ליגה ב-27 הופעות, שסייעו לאנדרלכט לזכות באליפות בלגיה. ארנסן פתח את עונת היטב עם שני שערי ליגה ב-11 משחקים. אנדרלכט המשיכה לזכייה שנייה ברציפות באליפות באותה העונה, אך בנובמבר 1985 נמכר ארנסן ולא המשיך את העונה עם הקבוצה. בסך הכול תרם ארנסן 15 שערי ליגה בחמישים הופעות במדי אנדרלכט.
פ.ס.וו. איינדהובן.
בנובמבר 1985, חודשים ספורים לתוך עונת , חזר ארנסן להולנד והצטרף לפ.ס.וו. איינדהובן, יריבתה הגדולה של אייאקס, בה שיחק בתחילת הקריירה. ארנסן הצטרף, בין היתר, לבן ארצו יאן היינצה וכן לרשימת שחקני הרכש הבולטים של הקבוצה בקיץ, בהם אריק גרטס ורוד חוליט. באותה העונה תרם ארנסן ארבעה שערי ליגה ב-16 הופעות לזכייתה של פ.ס.וו. באליפות הולנד הראשונה שלה מזה שמונה שנים, והרביעית של ארנסן בקריירה.
עונה לאחר מכן השלים זכייה שנייה ברציפות באליפות עם שני שערי ליגה ב-23 הופעות. בשלהי אותה העונה הגיע לקבוצה המאמן חוס הידינק, שהבטיח את זכייתה של פ.ס.וו. בתואר, והוביל אותה לעונה היסטורית בעונת . אל פ.ס.וו. הצטרפו באותה העונה חברו של ארנסן לנבחרת ולאייאקס, סרן לרבי, ורונאלד קומאן שחיפו על עזיבתו של חוליט. הקבוצה של הידינק חגגה אליפות שלישית ברציפות, השלימה זכייה בגביע ההולנדי, והחזירה את גביע אירופה לאלופות להולנד לראשונה לאחר 15 שנים (מאז זכייתה של אייאקס בעונת 1972/1973). ארנסן כבש חמישה שערי ליגה ב-15 הופעות באותה העונה, ושותף בארבעה משחקים של הקבוצה בגביע אירופה (צמד משחקי רבע הגמר וצמד משחקי חצי הגמר), אך נאלץ להחמיץ את משחק הגמר מול בנפיקה ליסבון לאחר ששבר את קרסולו זמן קצר קודם לכן.
תקופתו של ארנסן בפ.ס.וו. הייתה רצופת פציעות והיעדרויות, בייחוד בעקבות פציעת הברך אותה גרר מאז תקופתו בוולנסיה, אך הפציעה בקרסול הייתה קטלנית לקריירה שלו. עם תום העונה פג חוזהו של ארנסן בקבוצה, שהציעה לו הארכה של שישה חודשים כדי להעריך את חומרת הפציעה. ארנסן לא הצליח להתגבר על הפציעה, ונאלץ לפרוש ממשחק פעיל בגיל 32.
נבחרת דנמרק.
ארנסן ערך את הופעת הבכורה שלו במדי נבחרת דנמרק ב-5 באוקטובר 1977, כאשר פתח בהרכב בהפסד החוץ 0–1 ל במשחק ידידות.
במאי 1978 ערך את הופעתו השנייה במדי הנבחרת, והראשונה במשחק רשמי, כאשר עלה מהספסל בשוויון 3-3 מול במסגרת מוקדמות יורו 1980. שבוע לאחר מכן, בהופעתו השלישית בנבחרת, כבש את שער הבכורה שלו במדיה, בניצחון החוץ 1–2 על במסגרת אליפות המדינות הנורדיות בכדורגל. ארנסן היה שותף פעיל לטורנירי מוקדמות יורו 1980 (שער אחד בשבע הופעות) ומוקדמות מונדיאל 1982 (שישה שערים בשמונה הופעות, מקום רביעי בטבלת מלך שערי המוקדמות באירופה), אך בשני המקרים כשלו הדנים להעפיל לטורנירי הגמר.
המאמן הגרמני ספ פיונטק, שהחל לאמן את הנבחרת בשלהי שנות ה-70, בנה בתוך כמה שנים נבחרת אטרקטיבית ואתלטית שעל אף שלא זכתה בתארים, הפגינה כדורגל מרשים ומודרני. הנבחרת נבנתה סביב מספר שחקנים בולטים ובהם ארנסן, וכן אלן סימונסן, זוכה כדור הזהב בשנת 1977, מורטן אולסן, פרבן אלקיאר לארסן, מיכאל לאודרופ ועוד. ההישג המשמעותי הראשון של הנבחרת היה ההעפלה ממוקדמות יורו 1984. ארנסן החמיץ את מרבית טורניר המוקדמות עקב הפציעה שהשביתה אותו לעונה שלמה כששיחק במדיה של ולנסיה, אך הוא חזר ושיחק במשחקה האחרון של דנמרק במוקדמות, בחוץ מול .
ארנסן זומן לסגל הנבחרת לקראת יורו 1984 על ידי המאמן פיונטק. הוא פתח במשחק הראשון מול המארחת, והוחלף בדקה ה-79, דקה אחת לאחר שער הניצחון של מישל פלאטיני. במשחק השני מול כבש ארנסן את שער היתרון של נבחרתו בדקה השמינית, והשלים צמד בדקה ה-69 כאשר כבש בפנדל וקבע 0–3. הוא הוחלף שוב בדקה ה-79, ולאחר החלפתו כבשה דנמרק פעמיים נוספות בדרך לניצחון מרשים, 5-0 בסיום. ארנסן פתח גם במשחק שנעל את שלב הבתים מול . דנמרק נקלעה לפיגור 0–2, אך שער של ארנסן בפנדל בדקה ה-41 החל את המהפך של דנמרק. ארנסן הוחלף שוב בדקה ה-79, חמש דקות לפני השער שהשלים מהפך וניצחון 2–3 לדנים בסיום. דנמרק העפילה לחצי הגמר מהמקום השני בבית, שם פגשה את . ארנסן פתח בהרכב והוחלף בדקה ה-68, דקה לאחר שער השוויון של הספרדים, בגלל פציעה. המשחק נגרר להארכה, שהסתיימה בשוויון 1-1 ששלח את המשחק להכרעה בדו-קרב פנדלים. שם, נעצרו הדנים עם הפסד 4–5. הישג מרשים לארנסן ונבחרתו, כאשר ארנסן היה לאחד משני השחקנים הדנים בנבחרת הטורניר (בצוותא עם אולסן), ואף סיים כסגן מלך שערי הטורניר עם שלושה כיבושים.
ארנסן נטל חלק פעיל בטורניר מוקדמות מונדיאל 1986, כאשר ערך שש הופעות מתוך השמונה של נבחרתו, אותם סיימה בפסגת הבית בדרך לטורניר הגמר במקסיקו, הראשון בתולדותיה. שם, רשמה דנמרק שלב בתים מושלם עם שלושה ניצחונות בשלושה משחקים. במשחק הראשון של שלב הבתים פתח ארנסן בהרכב והוחלף לאחר 74 דקות בניצחון 0–1 על . הוא השלים תשעים דקות בניצחון המרשים 1–6 על , ופתח בהרכב גם בניצחון המרשים 0–2 על , אך הורחק בכרטיס צהוב שני בדקה ה-88, ונאלץ להחמיץ את שלב שמינית הגמר. בהיעדרו של ארנסן, ועל אף שהובילה 0–1 על ספרד, הובסה דנמרק 1–5 וסיימה את דרכה בטורניר.