תהא formula_1 פונקציה המוגדרת בקטע formula_63. אם formula_1 אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע לעיל, ואם האינטגרל formula_75 מתכנס, אז נאמר ש-formula_1 אינטגרבילית בהחלט בקטע. כמו כן נאמר שהאינטגרל formula_77 מתכנס בהחלט. גם פה קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית (במובן המוכלל).
הרחבת ההגדרה.
תהי formula_1 פונקציה המוגדרת ב-formula_79 ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור. אם קיים formula_80 ממשי כך שהאינטגרלים formula_77, formula_82 מתכנסים, נאמר ש-formula_1 אינטגרבילית ב-formula_79.
מבחני התכנסות.
מבחן קושי.
תהא formula_1 פונקציה המוגדרת בקטע formula_49 בלתי חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע formula_49. אז formula_77 מתכנס אם ורק אם לכל formula_33 קיים formula_90 כך שלכל formula_91 ממשיים מתקיים:
מבחן ההשוואה.
תהיינה formula_38 פונקציות המוגדרת בקטע formula_49. אם formula_1 אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע formula_49 ואם קיים formula_97 כל שלכל formula_98 מתקיים formula_43 אז:
מבחן ההשוואה הגבולי.
תהיינה formula_38 פונקציות רציפות ואי-שליליות בקטע formula_49. אם קיים הגבול formula_106 והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים formula_77 ו- formula_100 מתבדרים ומתכנסים יחדיו.
במידה והגבול שווה ל-0 אז:
ואם הגבול הוא אינסוף אז:
מבחן דיריכלה.
מבחן דיריכלה מאפשר לבדוק התכנסות של פונקציות גם כאשר הן משנות סימן, ובזה כוחו.
תהיינה formula_38 פונקציות בקטע formula_63. אם מתקיים:
בתנאים אלו האינטגרל formula_122 מתכנס.
מבחן אבל.
מבחן אבל הוא מסקנה מיידית ממבחן דיריכלה.
תהיינה formula_38 פונקציות בקטע formula_63. אם מתקיים:
בתנאים אלו האינטגרל formula_122 מתכנס.
הוכחה למבחן אבל.
ע"פ הנתונים נקבל כי:
formula_133
כעת כפי שניתן לראות, formula_134 מתכנס ע"פ מבחן דיריכלה ו-formula_135 מתכנס ע"פ הגדרה.
אינטגרל מוכלל
אינטגרל לא-אמיתי
אינטגרלים לא אמיתיים
אינטגרלים לא-אמיתיים
המחלקה הערבית
המחלקה הערבית, שנודעה בכינויה השחר או המסתערבים, הייתה יחידה של הפלמ"ח ואחר כך, יחידה במחלקת המודיעין של צה"ל בשם שירות מודיעין 18, שאנשיה עסקו בריגול וחבלה בקרב ערביי ישראל ובמדינות השכנות. היחידה פעלה משנת 1943 עד 1950.
רקע.
עם נפילת צרפת במלחמת העולם השנייה התקרבה מאוד המלחמה ליישוב בארץ ישראל, שכן סוריה ולבנון היו תחת שלטון צרפתי, אשר סר למרות ממשלת וישי הפרו-נאצית. היישוב העברי התגייס לעזרת הצבא הבריטי. ב-12 במאי 1941 יצאו לטריפולי עשרים ושלושה לוחמי פלמ"ח וחייל בריטי (כ"ג יורדי הסירה), אשר היו אמורים לחבל בבתי הזיקוק בעיר. יוסף קוסטיקה סוכן המחלקה הסורית ולוחם ביחידת המסתערבים של ההגנה, נשלח לטריפולי לאסוף מודיעין על בתי הזיקוק, לקראת הפעולה. הלוחמים חולקו לשתי קבוצות. קבוצה אחת הייתה אמורה לפוצץ את המפעלים, וקבוצה שנייה, שאנשיה הוסוו כערבים, הייתה אמורה לבצע פעולת הסחה ממזרח לבתי הזיקוק. אולם פעולה זו לא יצאה לפועל - הסירה והלוחמים נעלמו בים. בחודש יוני נפרשה בסוריה רשת של מסתערבים ("המחלקה הסורית") תחת הנחייתו של יגאל אלון. אלו ביצעו פעולות חבלה שונות כדי לפגוע במאמצי המלחמה. שניים מאנשי הרשת, חיים לבקוב וישראל בן-יהודה, נסעו לחלב מצוידים במטעני נפץ מוסתרים בתוך ירקות. הם הטמינו את המטענים בקרונות רכבת תחמושת שחנתה בתחנת הרכבת בעיר והסתלקו מהמקום לנקודת המפגש, שם שמעו את קול הנפץ. באותו לילה בוצעו שלושה-עשר פעולות חבלה שכאלו ברחבי המדינה.
הקמת היחידה.
בשנת 1943 הטיל יגאל אלון על ירוחם כהן, איש המחלקה הסורית, להקים "מחלקה ערבית" בפלמ"ח, כדי לאסוף מודיעין מערביי ארץ ישראל והארצות השכנות. המחלקה נועדה להחליף מודיעים ערבים אשר פעלו תמורת בצע כסף. הכוונה הייתה לגייס למחלקה אנשים מבני עדות המזרח. כהן רצה לגייס בוגרי תיכון, אך באותה תקופה היו מעטים כאלה בין בני עדות המזרח. בצר לו, פנה כהן לשכונות העוני. המגויסים היו חדורי מוטיבציה, ורצו להוכיח את יכולתם לאנשי הפלמ"ח, האשכנזים ברובם. אנשי היחידה נהגו לוותר על החופשה שהגיעה להם פעם בשלושה חודשים. אנשי הפלמ"ח כינו את היחידה "מחלקת השחר", מלשון "השחורים". ביניהם אנשי הפלמ"ח עזרא כדורי ומנשה הראל, לימים פרופ' לגאוגרפיה וחתן פרס ישראל, שקבלו זהות (בדויה) ערבית. הם השתלבו בקהילה הערבית בבגדד ובדמשק, ועסקו בהברחת עולים לא"י בשלהי תקופת המנדט הבריטי. בנוסף השתלבו במחלקת השחר הקבוצה שאסף יצחק חנקין בחיפה. ירוחם כהן פיקד על היחידה עד שנת 1945.
בית הספר לריגול של היחידה הוקם בקיבוץ אלונים, ושילב אימונים בנשק עם לימודי המזרח. המדריך המקצועי, שמעון סומך המכונה "סמעאן", לימד את אנשי המחלקה להתנהג כערבים מבטן ולידה. הם שיננו תפילות בערבית ולמדו את הקוראן.
באותה תקופה הדגש היה על שתילת מרגלים יהודים בקרב ערביי ארץ ישראל. כך למשל נשתל שם-טוב אלוני כ"ערבי מסוריה העוסק בתיקון פתיליות" בקרב ערביי יפו. אנשי היחידה נשלחו להיטמע במקומות עבודה גדולים כדי לבנות לעצמם סיפורי כיסוי. הראשון היה חבקוק כהן, אשר נשלח לעבוד בעבודות דחק בנמל חיפה. כהן הגיע לבוש סחבות ועבד בנמל בתנאים קשים ביותר במשך שלושה חודשים, תוך שהוא לומד את הווי הפועלים וההיסטוריה שלהם.
מפקדי היחידה:
במלחמת העצמאות.
בחודשים שלפני הכרזת המדינה שלחו יגאל אלון ויצחק רבין את לוחמי המחלקה הערבית יעקובה כהן ושמעון חורש, מחופשים לרועי צאן, להסתובב ברחבי הגולן ודרום סוריה, כדי לאסוף מודיעין על צבא סוריה, שהתאמן באותה עת בגולן כהכנה לפלישה לארץ ישראל. הם הגיעו לקוניטרה ואף הרחיקו עד דמשק, ואספו מידע רב. מפקד היחידה באותה עת העיד שיגאל אלון אמר לו שהמידע שנאסף שווה בערכו לגדוד לוחמים.
ב-28 בפברואר 1948 נשלחו יעקובה כהן ויצחק שושן לחיפה. לפי מידע שהיה בידי ההגנה, במוסך אבו שעם ברחוב נצרת בחיפה הכינו ערבים מכונית תופת שיועדה להתפוצץ בהדר הכרמל. יעקובה כהן נכנס למוסך עם רכב ממולכד והציג עצמו כערבי משכם ודרש שיתקנו את מכוניתו. הנוכחים סירבו והוא נתבקש להמתין למנהל. כשראה שאין שמים אליו לב הוא הפעיל את מנגנון ההשהייה ויצא מהמקום אל שושן שחיכה לו בחוץ. המכונית התפוצצה ואיתה מכונית הנפץ. בפיצוץ נהרגו כ-30 איש ונפצעו כ-70.
העברת מרכז הפעילות אל מחוץ לישראל.
חבקוק כהן, אחד מאנשי היחידה אשר נשתל בקרב ערביי חיפה, הבחין בתחילת העזיבה המבוהלת של חמישים אלף ערביי חיפה את העיר, ותוך סיכון חייו יצא לעבר הכוחות היהודים וביקש להעביר את הידיעה למפקדיו. הוחלט לשתול מסתערבים בין הבורחים, למרות הידיעה שהם מסכנים את חייהם וישנו סיכוי גדול שלא יחזרו. כמה מאנשי היחידה הצטרפו לזרם הפליטים שיצאו ללבנון והקימו לעצמם תא ריגול בביירות, שם אספו מודיעין וביצעו פעולות שונות. אלה היו גמליאל כהן, יצחק שושן, חבקוק כהן ושאול כרמלי. בהמשך, נשלח אליהם שמעון חורש, שהוחדר ללבנון כנהגו של איש כמורה בכיר שהורשה לחצות את הגבולות, ונשא עימו מכשיר אלחוט שאיפשר לחוליה לקיים קשר סדיר עם מפעיליהם בארץ. אחריו הונחת בסירה בחוף ביירות יעקובה כהן, שנשא עימו חומרי חבלה, כלי נשק וכסף לצייד בהם את חוליית הריגול. יעקובה כהן רכש והפעיל מונית בביירות, אשר סיפקה לו ולחבריו סיפור כיסוי לנסיעותיהם הרבות ברחבי לבנון ואף לסוריה. אולם אנשי היחידה חשו שהם מבצעים פעילות קטנה מדי ולא חשובה, וחשבו שהם יכולים לעשות יותר. על אנשי היחידה בחו"ל נאסר ליצור קשר עם יהודי המקום ולקיים קשרים עם נשים, אך לא אחת הם חרגו מהנחיות אלה.
פעולה אחת מבין הפעולות שביצעו אנשי היחידה תחת פיקודו של שמריה גוטמן (אשר היה מפקד היחידה משנת 1948 ועד פירוקה בשנת 1950) הייתה פיצוץ האוניה "איגריס" (אשר בעברה הייתה היאכטה של אדולף היטלר). אליהו ריקה, איש היחידה, נשלח ללבנון. הוא הועבר לביירות בסתר באמצעות אונייה של חיל הים והונחת בחוף ביירות, שם המתינו לו חברי החוליה שישבו בעיר. משם יצא בשחייה לעבר האיגריס. כשהגיע לאונייה הצמיד מוקשים לבטנה ושחה לעבר החוף. האונייה התפוצצה, והוסר האיום מעל חופי צפון הארץ. היה זה המבצע הגדול הראשון של היחידה, אשר הוכיחה יכולת להחדיר סוכן מעבר לקווי האויב, לעקוב אחר תנועותיו ולהשלים בהצלחה מבצע חבלה.
החל מ-1949 החלה לפעול שלוחה של חוליית ביירות בדמשק, אותה איישו שמעון חורש ושאול כרמלי.
בינתיים, שולב הפלמ"ח בצה"ל והמחלקה הערבית הפכה לענף במחלקת המודיעין בשם "ש.מ. 18". בסופו של דבר, פורקה היחידה בשנת 1950 ולוחמיה הוחזרו משירותם בארצות ערב. כמה מהם נשלחו לקורס קצינים והמשיכו את שירותם כקת״מים (קציני תפקידים מיוחדים) ביחידה 154 ("מודיעין 10") - היחידה לגיוס והפעלת סוכנים בארצות ערב.
אנשי היחידה שנהרגו.
שבעה מאנשי היחידה נהרגו בעת פעילות מבצעית:
שמותיהם חקוקים באתר ההנצחה לחללי קהיליית המודיעין בגלילות.
היסטוריה של ממלכת ירושלים
ההיסטוריה של ממלכת ירושלים התחילה בכיבוש ירושלים על ידי משתתפי מסע הצלב הראשון בקיץ 1099, הממלכה ששלטה בירושלים נכבשה ב-1187, אולם נוכחות הצלבנים בארץ ישראל נמתחה לאורך מאתיים שנה עד להכחדתה על ידי צבא האימפריה הממלוכית בכיבוש עכו בשנת 1291.