'מאצ'נט' נוסדה ב-1997 בלוס אנג'לס בארצות הברית על ידי אלון כרמל וג'ו שפירא. שפירא, שחבר לאלון כרמל ויחד הקימו ב-1997 את האתר הראשון שלהם - JDate.com, שנועד להיכרויות בין יהודים בארצות הברית. האתר הפך במהרה להיות האתר הגדול ביותר בתחום ההיכרויות ליהודים. הרשת החלה להתרחב וקנתה את אתר השידוכים האמריקני "אמריקן סינגלס" ואת אתר "קופידון" הישראלי.
'מאצ'נט' פתחה אתרים חדשים והקימה את JDate גם בשפה העברית.
ב-2000 הנפיקו את החברה בבורסת פרנקפורט, כיום היא נסחרת שם לפי שווי של 165 מיליון אירו (נכון למרץ 2006).
בשנת 2004 הכריזה החברה על כוונתה להנפיק גם בנאסד"ק. הם הגישו תשקיף, אך כעבור תקופת זמן קצרה הם משכו אותו בחזרה. זמם קצר אחר כך, מנכ"ל החברה פוטר ושם החברה הוחלף, והחברה נקראת כיום ספארק נטוורקס. במרץ 2005 הוגש שוב תשקיף מתוקן. הציפיות הגדולות לא התממשו - החברה נסחרת ברשימת ה"פינק שיטס" בנאסד"ק, לפי שווי של 200 מיליון דולר.
במאי 2005 רכשה ספארק נטוורקס חברת שידוכי אינטרנט אמריקאית בשם מינגל מאץ' תמורת כ-12 מיליון דולר במזומן, והכפילה בכך את מספר אתרי ההיכרויות שלה, המסתכם בכ-30 אתרים ברחבי העולם.
בשנת 2016, רכשה ספארק נטוורקס את האפליקציה JSwipe, אפליקציית שידוכים ליהודים בדומה לטינדר, האפליקציה הוקמה ב 2014, ויש לה מעל מיליון משתמשים ופריסה בכ-70 מדינות.
בישראל.
'ספארק נטוורקס' מפעילה בישראל שני אתרי הכרויות: JDate.co.il ו"קופידון". JDate.co.il הוא גרסה עברית של אתר JDate.com, שמתרכז בהיכרויות בין יהודים בישראל ובעולם בכלל. "קופידון" (cupid.co.il) נרכש על ידי ספארק נטוורקס ב-1998.
משפט קזוראטי-ויירשטראס
משפט קזוראטי-ויירשטראס הוא משפט מתמטי מתחום הפונקציות המרוכבות, הנותן מידע בדבר תמונת פונקציה הולומורפית בסביבה של נקודת סינגולריות עיקרית.
המשפט קרוי על שם המתמטיקאי האיטלקי פליס קזוראטי והמתמטיקאי הגרמני קארל ויירשטראס. בספרות מתמטית רוסית המשפט קרוי משפט סוחוצקי, על שם המתמטיקאי הרוסי-פולני יוליאן סוחוצקי .
ניסוח.
תהי formula_1 פונקציה הולומורפית בתחום formula_2, מלבד נקודת סינגולריות עיקרית אחת formula_3. אזי לכל סביבה formula_4 של formula_5, הקבוצה formula_6 צפופה במישור המרוכב. למעשה קובע המשפט כי תנאי זה שקול להיות formula_5 נקודת סינגולריות עיקרית של formula_1.
משפט פיקארד מחזק את המשפט, וקובע שתמונת פונקציה הולומורפית בסביבה נקובה של נקודת סינגולריות עיקרית, היא לא רק צפופה אלא ממש שווה למישור המרוכב כולו פרט אולי לנקודה אחת.
הוכחה.
ההוכחה היא על דרך השלילה.
נניח בשלילה, שקיימת סביבה formula_9 של הנקודה formula_10, בה formula_1 אנליטית פרט לנקודת סינגולריות עיקרית formula_10, ו-formula_13 לא צפופה במישור המרוכב.
כידוע, קבוצה היא צפופה במרחב אם ורק אם היא פוגשת כל קבוצה פתוחה. לכן, קיימים formula_14 ו-formula_15, כך ש-formula_16 (כאשר formula_17 הוא כדור פתוח ברדיוס formula_18 סביב הנקודה formula_19).
לכן, לכל formula_20, מתקיים formula_21, לכן formula_22. לכן, בקבוצה formula_9 מוגדרת הפונקציה formula_24. מהגדרתה, הפונקציה אנליטית באופן מיידי בכל formula_9 פרט אולי ל-formula_10.
באשר ל-formula_10, הפונקציה חסומה סביבה: formula_28, לכן formula_10 נקודה סינגולרית סליקה של formula_18. לכן קיים formula_31, כך ש-formula_32.
נפריד למקרים - אם formula_33, אז מכך ש-formula_34 נקבל formula_35.
אחרת, אם formula_36 נקבל כי formula_37. שני המקרים מובילים לסתירה, שכן גבול הפונקציה בנקודה סינגולרית עיקרית לא קיים כלל.
ראו גם.
משפטי פיקארד
E (קבוע מתמטי)
e (נקרא גם קבוע אוילר על שם לאונרד אוילר, או קבוע נפייר על שם ג'ון נפייר) הוא קבוע מתמטי טרנסצנדנטי חשוב שערכו בקירוב 2.71828182845904, המשמש כבסיס הלוגריתם הטבעי.
ניתן להגדיר את הקבוע e בדרכים אחדות, השקולות זו לזו. הקבוע e מתאר את הגידול בסוף השנה בהפקדת סכום כסף בריבית של 100% לשנה, לו היה הבנק מחשב את סכומי הריבית המגיעים למפקיד בכל רגע ומפקיד אותם מיד באותם תנאים. באופן זה e מוגדר כגבול הערך formula_1 כאשר formula_2 שואף לאינסוף. מכיוון שתהליכים בטבע מצייתים לחוקי התנהגות רגעיים, הקבוע מופיע כמו מעצמו בתיאור של תופעות רבות בהן קיים שינוי רציף, כמו גם בחישובי ריבית.
הסימון באות מיוחדת עבור e הוכנס לשימוש על ידי לאונרד אוילר ב-1727.
היסטוריה.
האזכור הראשון לקבוע זה פורסם ב-1618 בטבלה בסוף עבודה על לוגריתמים מאת ג'ון נפייר. אולם, הטבלה לא כללה את המספר עצמו אלא רק רשימת לוגריתמים שחושבו על פי הקבוע. ההנחה הרווחת היא שהטבלה נכתבה על ידי ויליאם אוטרד. ההתייחסות הראשונה למספר בתור קבוע הייתה של יאקוב ברנולי, כשניסה למצוא את הערך של הביטוי:
formula_3
השימוש הראשון לקבוע, שסומן אז בתור b, הוא במכתב ששלח גוטפריד לייבניץ אל כריסטיאן הויגנס ב-1690. לאונרד אוילר סימן לראשונה את הקבוע כ-e ב-1727, והפרסום הראשון שעשה שימוש בסימון זה היה ספרו של אוילר "מכניקה" מ-1736. אף על פי שבשנים הראשונות חלק מן החוקרים השתמשו באות c, האות e הייתה נפוצה יותר ולבסוף הפכה לסטנדרט המדעי.
הסיבה לשימוש דווקא באות זו אינה ידועה, אבל סביר שזה בגלל היותה האות הראשונה במילה הלטינית אקספוננט. אפשרות נוספת היא שאוילר בחר אות זו היא, כי זוהי התנועה הראשונה אחרי האות a, שכבר הייתה בשימוש. לא ברור, על פי אפשרות זו, למה אוילר בחר דווקא תנועות ולא עיצורים.
אפשרות נוספת היא שאוילר בחר באות זאת כי זאת האות הראשונה בשם משפחתו ("e"uler).
הגדרה.
מקובלות ארבע דרכים להגדרתו המתמטית של המספר e, כולן שקולות:
1. הגבול של הסדרה הבאה:
formula_4
הגדרה זו למעשה מתארת 'גידול המשכי', המופיע הן בחישובי ריבית דריבית והן בגדילה וצמיחה בעולם החי, בו התאים משכפלים את עצמם והצמיחה היא בקצב אחיד לאורך תקופות. על כך בהרחבה בהמשך.
2. מהגדרה זו נובע שעד כדי כפל בקבוע, הפונקציה formula_5 היא היחידה השווה לנגזרת של עצמה ולכן e הוא היחס formula_6 כאשר formula_7 היא פונקציה המקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית formula_8 ואיננה זהותית 0.
3. פיתוח עובדה זו לטור טיילור (או חישוב הגבול באינסוף של הסדרה הנ"ל בעזרת הבינום של ניוטון) מספק טור אינסופי המסתכם ל-formula_9.
4. המספר formula_10 המקיים:
formula_11
תכונות.
e הוא מספר אי-רציונלי. יתרה מכך, הוא גם מספר טרנסצנדנטי, כלומר – e אינו שורש של פולינום בעל מקדמים רציונליים.
לפונקציה המעריכית formula_15 (אקספוננט) יש תכונה מיוחדת: הנגזרת שלה שווה לפונקציה עצמה. כלומר: formula_16. תכונה זו ייחודית לפונקציית האקספוננט (ולכפולות שלה בקבועים). את פונקציית האקספוננט נהוג לרשום גם כ-formula_17 ואז formula_18. רישום זה נפוץ בספרים ישנים, שבהם היה קושי להציג נוסחאות מורכבות בגלל מגבלות ההדפסה.
הפונקציה ההפוכה לפונקציית האקספוננט היא פונקציית הלוגריתם הטבעי formula_19, המסומנת בקיצור כ-formula_20.
הפונקציה formula_21 גם משמשת להגדרת הפונקציות הטריגונומטריות (סינוס וקוסינוס) כאשר הארגומנט הוא מספר מדומה, באמצעות נוסחת אוילר:
כאשר נציב בנוסחה זו formula_23 נקבל את הקשר בין חמשת הקבועים הבסיסיים של המתמטיקה, הידוע בשם זהות אוילר:
formula_24
הוכחת אי-רציונליות.
בשנת 1737 הוכיח אוילר ש-e הוא מספר אי-רציונלי. הוכחתו התבססה על הצגתו של e כשבר משולב. להלן הוכחתו המאוחרת יותר של ז'וזף פורייה לטענה זו. נניח בשלילה כי e הוא רציונלי. e הוא בבירור מספר חיובי, ולפיכך קיימים מספרים טבעיים a ו-b כך ש formula_25.
נסמן
והביטוי האחרון הוא מספר שלם משום ש-n קטן או שווה ל-b.
כזכור, formula_28, ולפיכך formula_29
לכן נוכל לכתוב:
formula_30
הביטוי האחרון הוא טור הנדסי שאיברו הראשון הוא formula_31 ומנתו היא formula_32, ולפיכך, על פי נוסחת הסכום של טור הנדסי, סכומו הוא formula_33
לכן formula_34, כלומר x הוא מספר חיובי שלם הקטן מ-1. זוהי סתירה ולפיכך e הוא מספר אי-רציונלי.
הוכחת טרנסצנדנטיות.
העובדה שהקבוע e הוא מספר טרנסצנדנטי, מספר שאין אפשרות להגדיר אותו באמצעות פעולות אלגבריות של חיבור, חיסור, כפל, חילוק והעלאה בחזקה, נתגלתה בידי שארל הרמיט בשנת 1873. בהמשך המתמטיקאי פרדיננד לינדמן השתמש בעובדת היותו של e מספר טרנסצנדנטי ובאמצעות נוסחת אוילר הקושרת את הקבוע e עם הקבוע פאי, הוכיח שגם פאי הוא מספר טרנסצנדנטי.
שימושים.
הקבוע e מופיע בניתוחים ומשמש בחישובים של בעיות מתחומים שונים, בעיקר מתחום הניתוח ההסתברותי, הכלכלה ומדעי החיים והטבע, הקשורים בגידול המשכי.
גידול המשכי.
תהליכי גידול המשכי (נקראים גם גידול מעריכי או גידול אקספוננציאלי) הם תהליכי צמיחה בהם כמות הצמיחה הנוכחית תלויה באופן קבוע בכמות הצמיחה הקודמת. גידול המשכי מתואר כך: יחידה מקורית צומחת בקצב מסוים, וכל חלק חדש הנובע מהצמיחה, עם היווצרו צומח אף הוא באותו הקצב. בתחום הכלכלה ובחישובי ריבית דריבית היחידה המקורית נקראת הקרן. הקבוע e מתאר את כמות הצמיחה כאשר קצב הגידול הוא של הכפלה עצמית בתקופה הנמדדת.