משפט דיריכלה קובע שהדרגה של חבורת ההפיכים בחוג השלמים של K שווה ל- r+s-1. לשדה
formula_16 יש רק שיכון אחד, ממשי, וחבורת ההפיכים של חוג השלמים שלו, formula_3, היא אכן חבורה סופית, מדרגה אפס. חבורת הפיכים סופית יש גם לחוג השלמים formula_5 של formula_19, שלו יש רק זוג שיכונים מרוכבים. לעומת זאת, לשדה formula_20 יש שני שיכונים ממשיים, וכך דרגתה של חבורת ההפיכים בחוג השלמים formula_7 שווה לאחד, כפי שראינו.
סקירת ההוכחה.
הרעיון המרכזי בהוכחה הוא ההעתקה של החבורה הכפלית של השדה K אל המכפלה formula_22, לפי הנוסחה formula_23. כאן formula_24 הם השיכונים השונים של K (מסודרים כך שהשיכונים הממשיים מופיעים ראשונה). העתקה זו היא 'כמעט שיכון' - רק שורשי היחידה בשדה (שמספרם סופי) עוברים לאפס.
מתברר שכאשר מצמצמים את ההעתקה הזו לאוסף ההפיכים של חוג השלמים, מתקבל סריג, דהיינו תת-חבורה דיסקרטית של V. עובדה טופולוגית זו, הנמצאת בליבו של הטיעון, נובעת מכך שיש רק מספר סופי של שלמים אלגבריים שכל הצמודים שלהם קטנים (בערכם המוחלט) מחסם נתון. אם ממשיכים את השיכון אל הממשיים על ידי סיכום הרכיבים, תמונתו של כל איבר שווה ללוגריתם הערך המוחלט של הנורמה שלו, וכך הגרעין כולל בדיוק את האיברים ההפיכים. מנימוקים אלה נובע שחבורת ההפיכים של חוג השלמים נוצרת סופית, ודרגתה לכל היותר formula_25.
כדי להוכיח שהדרגה שווה לחסם המדובר, יש להראות שדרגת הסריג שווה לממד של V. לשם כך נעזרים במשפט מינקובסקי, המאפשר לאתר איברים בעלי תכונות מתאימות ולבנות בסיס לסריג.
שיר לשלום
"שיר לשלום" הוא פזמון, שנכתב בידי יענק'לה רוטבליט והולחן בידי יאיר רוזנבלום. הושר במקור בשנת 1969, בימי מלחמת ההתשה, על ידי להקת הנח"ל בתוכניתה "שא לשלום" ("היאחזות הנחל בסיני"), עם הסולנית מירי אלוני.
היסטוריה.
במקור יועד השיר ללהקת חיל הים, אלא שרוזנבלום, שהלחין את השיר ושלח אותו ללהקה ממקום מושבו בלונדון, התעקש לעבד אותו בעצמו. המנהל המוזיקלי של להקת חיל הים, בני נגרי, דחה את הדרישה, ורוזנבלום העביר את השיר ללהקת הנח"ל, עימה עבד זמן רב קודם לכן.
במקור נכתב באחת השורות בשיר "שירו שיר לאהבה ולא לניצחונות". שורה זו רצתה לבטא יותר מכל את הצורך להלל ולייחל לאהבה ולפיוס ולא לחשב ניצחונות וכיבושים, כי אלה עולים בדם של שני הצדדים. כיוון שהשיר יועד ללהקה צבאית, ראשי אגפי החינוך בצה"ל דרשו להשמיט שורה זו מהשיר בטענה שחיילים לא יכולים להופיע מול חיילים אחרים בשיר שיש בו פגיעה מורלית שכזו. לבסוף הוסכם על החלפת המילה, והשיר הוקלט ופורסם עם המשפט "שירו שיר לאהבה ולא למלחמות".
על כתיבת שיר לשלום דווקא ללהקה צבאית אמר רוטבליט שצה"ל נלחם כדי להשיג בסופו של דבר שלום. רוטבליט עצמו נפצע בקרב על אבו תור במלחמת ששת הימים, וראה בשלום משהו נכסף. בריאיון לרינו צרור משנת 2007 אמר על "שיר לשלום" שהשיר היה מלא תקווה עם תמימות מסוימת, אבל פריצת האינתיפאדה השנייה לאחר שיחות קמפ דייוויד הביאה אותו להתפכחות, שהורידה את האשליה שעצמתה של מדינת ישראל, תביא להכרה בה מצד העולם הערבי והמוסלמי.
וכך גם אמר בריאיון למקור ראשון בשנת 2020:
מעבד השיר.
הקרדיט על העיבוד ניתן למלחין יאיר רוזנבלום, אולם דני סנדרסון מעיד שהוא עיבד וגם חיבר את הפתיחה הרוקיסטית שהייתה נקודת ציון במעבר ממה שמכונה "שירי ארץ ישראל" שהיו מזוהים עם האקורדיאון של רוזנבלום למוזיקת רוק.
אופי השיר.
השיר מבטא כמיהה לשלום, מבכה את הרעים שנפלו בקרבות, ומדבר לכאורה בשם הנופלים. השיר מערער על תרבות השכול והאדרת המלחמה הקיימת לכאורה בארץ, וקורא לנותרים בחיים לשאוף לשלום. בין השאר מבטלות מילות השיר, לדוגמה, את הנוהג לאמירת תפילת קדיש על הקבר: "הַזַּכָּה שֶבַּתְּפִלּוֹת אותנו לא תחזיר". כמו כן מתעמתות מילות השיר עם האתוסים של הנצחת החיילים שנפלו, לדוגמה: "תנו לשמש לחדור מבעד לפרחים" (- שעל הקבר); וכן עושות שימוש במושגים מתחום המלחמה, ומייתרות אותם, לדוגמה: "שאו עיניים בתקווה, לא דרך כוונות" (- כוונות הרובה)". מילות השיר מתנגדות ל"שירי מלחמות" המאדירים את תרבות המלחמה (כדוגמת מגש הכסף, גבעת התחמושת ובלדה לחובש), וקוראות לשיר במקומם שירים לאהבה: "שירו שיר לאהבה, ולא למלחמות".
השיר נושא אפיונים של המנון, בקצבו ובמילותיו, ומילותיו מתייחסות אל ההמון, וקוראות לפעולה, בציווי, בלשון רבים ("ובכל הכיכרות / הריעו רק
שלום"). השיר הושפע כנראה מרוח התקופה, שבשיאה "תרבות הנגד" של ההיפים. רבים שומעים דמיון רב לשיר let the sunshine in מתוך המחזמר "שיער", שיצא לאור שנים ספורות קודם.
מעמדו המיוחד של השיר.
כבר מהימים הראשונים להשמעתו עורר השיר מחלוקת עזה. רבים הזדהו עם מסר השלום העולה משורותיו, דווקא בימים בהם הייתה בשיאה מה שנתפס על ידי חלק מהציבור כ"כוחניות הישראלית" שלאחר מלחמת ששת הימים, ובטרם עבר הציבור הישראלי את הטראומה של מלחמת יום הכיפורים. יש הרואים בו הדים ל"נאום הר הצופים" שנשא הרמטכ"ל יצחק רבין, בו העלה על נס את הקורבן האישי של הנופלים, כמו גם את המחיר ששילם האויב, מעבר לניצחון הגדול במלחמה.
לעומתם, היו שראו בו שיר תבוסתני, וראו בביקורת שמותח השיר על נושאים כתרבות השכול, משום חילול הקודש. בשנת 1970 אלוף פיקוד המרכז, רחבעם זאבי, טען שהשיר גורם לדה-מורליזציה בקרב החיילים ופוגע ברגשותיהם של המשפחות השכולות, לכן אסר על השמעתו בפיקוד המרכז כמו מקבילו אלוף פיקוד הדרום, אריאל שרון.
השיר הפך להמנון פוליטי בלתי רשמי של תנועות השלום הישראליות (כגון "שלום עכשיו") והחל מ-1974 (אחרי מלחמת יום כיפור) הושר בעצרות ובהפגנות, לעיתים גם בליווי גרסה בשפה הערבית. תנועת מרצ יצרה מהשורה הראשונה בשיר, "תנו לשמש לעלות", סיסמת בחירות: "תנו למרצ לעלות".
השיר הושר בהפגנה הגדולה נגד גולדה מאיר ב-1974, גם בשנת 1977 (לאחר עליית הליכוד לשלטון) ובתום עצרת כן לשלום - לא לאלימות ב-4 בנובמבר 1995 בביצוע מירי אלוני, יצחק רבין, שמעון פרס, הגבעטרון והאירוסים. בתום אותה עצרת נרצח יצחק רבין, והדף עם מילות השיר, שהיה בכיס חולצתו, נתגלה מוכתם בדמו. "שיר לשלום" הפך מאז לאחד מסמלי הזיכרון לרבין, ולאחד ממייצגי מורשתו.
קישורים חיצוניים.
מאיה פולק, העשור שבו "שיר לשלום" התנפץ מול מציאות מדממת, מקור ראשון, 26 בפברואר 2020
מנהרת הולנד
מנהרת הולנד (באנגלית: Holland Tunnel), שנקראה בעת הקמתה "מנהרת כלי הרכב של נהר ההדסון" (Hudson River Vehicular Tunnel) או מנהרת רחוב קנאל (Canal Street Tunnel) היא מנהרה שעוברת מתחת לנהר הדסון ומחברת בין האי מנהטן שבעיר ניו יורק לבין מדינת ניו ג'רזי.
הקמת המנהרה.
עבודות הקמת המנהרה החלו ב-1920 והסתיימו ב-1927. המנהרה נקראה על שמו של קליפורד מילבורן הולנד (1883–1924), המהנדס הראשי של הפרויקט, שנפטר טרם השלמתו.
המנהרה הייתה המנהרה הראשונה המאווררת שנבנתה. מאווררים שקוטרם 24 מטרים דוחסים אוויר לתוך המנהרה דרך שרשרת צינורות, כדי למנוע הצטברות של פחמן חד-חמצני שנפלט מכלי הרכב שבמנהרה.
הקמת המנהרה הייתה יוזמה של ועדה משותפת של מדינות ניו ג'רזי וניו יורק משנת 1906. משיקולי עלות שקלה הוועדה בתחילה בניית גשר מעל הנהר, אולם לאחר בדיקה התברר כי גובה התמוכות של הגשר צריך להיות לפחות 60 מטרים על מנת למנוע הפרעה למעבר אוניות בנהר, ועל כן הוחלט לבנות מנהרה.
במהלך השנים שלאחר החלטת הוועדה הוכנו מספר תוכניות להקמת המנהרה. שתי התוכניות הראשונות הציעו הקמת מנהרה אחת ובה תנועת כלי רכב בשני מפלסים. האדריכל ג'ורג' וושינגטון גואת'לס הציע שכל מפלס ישמש לכיוון תנועה אחר ואילו חברת האדריכלים "ג'ייקוס ודייוויס" הציעה שהמפלס התחתון ישמש לתנועה איטית יותר, והעליון לתנועה מהירה.
המהנדס קליפורד מילבורן הולנד הציע להקים שתי מנהרות (שני צינורות) נפרדות, שבכל אחד שני נתיבים הנוסעים באותו כיוון, ותוכניתו היא שהתקבלה לבסוף. העבודות החלו באוקטובר 1920, אולם הולנד לא זכה לראות בהשלמת תוכניתו, והוא נפטר בשנת 1924 בעת ניתוח הוצאת שקדים. המהנדס מילטון ה. פרידמן החליף את הולנד בניהול הפרויקט, אולם גם הוא מת מספר חודשים מאוחר יותר, והוחלף על ידי אולה סינגסטאד.
עלות הקמת המנהרה הייתה 48 מיליון דולר אמריקאי. הבנייה נעשתה על ידי כריית מנהרה בלחץ גבוה על מנת למנוע ממי הנהר לחדור למנהרה שנכרתה בקרקע הבוצית. מסיבה זו יכלו העמלים על הקמת המנהרה לשהות במנהרה זמן קצר ביותר. בצאת העובדים מן המנהרה נאלצו לשהות בתאי לחץ בהם הורד הלחץ בהדרגה, על מנת למנוע שכרון מעמקים וחנק מבועות חנקן בדם. בשל נוהלי העבודה הזהירים לא נהרג אף עובד מסיבה זו, אם כי 13 עובדים נהרגו בתאונות עבודה שונות.
המנהרה נפתחה לקהל ב-13 בנובמבר 1927, וביומה הראשון עברו בה 51,694 כלי רכב ששילמו 50 סנט כל אחד.
בשנת 1931 עבר ניהול ואחזקת המנהרה ל-רשות הנמלים של ניו יורק וניו ג'רזי. מאז הקמת המנהרה, ומעבר לעלות הקמתה, הושקעו בה $378,057,000.
החל ממועד פתיחתה נאסרה הנסיעה במנהרה על מרכבות רתומות לסוסים, ונמנע מהולכי רגל לחצות אותה (אף שהדבר לא נאסר מפורשות).
שריפת מנהרת הולנד.
בשנת 1949, פרצה שרפה במשאית נושאת כימיקלים שנסעה במנהרה, ונגרם נזק למנהרה הדרומית. באירוע שנקרא שריפת מנהרת הולנד, איש לא נהרג, אולם 66 איש נפצעו והמנהרה ניזוקה בצורה קשה, ונדרשו $600,000 על מנת לשקמה.
אירועי ה-11 בספטמבר 2001.