בהינתן נקודת ההתחלה בזמן t=0, בעיית n הגופים אינה אלא פתרון של מערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. ככזו, משפטי הקיום והיחידות מבטיחים פתרון אנליטי בקטע זמן formula_1, עבור T מקסימלי. אם T סופי, זה מפני שהמערכת מגיעה בזמן T לנקודה סינגולרית. ב-1895 חקר פול פנלבה את נקודות הסינגולריות של בעיית n הגופים, והראה שכל נקודה כזו מתקבלת מכך שהמרחק בין שניים מהגופים שואף לאפס. תופעה כזו מתרחשת כמובן אם הגופים מתנגשים, אבל היא עשויה להופיע למשל גם אם שני גופים בורחים יחד לאינסוף והולכים ומתקרבים זה לזה. פנלבה הוכיח שבבעיית שלושת הגופים כל נקודת סינגולריות נובעת מהתנגשות. ב-1908 הראה von Zeipel שנקודת סינגולריות נובעת מהתנגשות אם ורק אם הגבול של אנרגיית האינרציה סופי, וכך יקרה בהכרח אם מקומותיהם של הגופים במערכת חסומים בקטע formula_1. מאידך, von Zeipel לא הוציא מכלל אפשרות נקודות סינגולריות שבהן אנרגיית האינרציה שואפת לאינסוף.
ב-1992 מצא Zhihong Xia פתרון לבעיית חמשת הגופים, שבו מופיעה סינגולריות בזמן סופי, שלא כתוצאה מהתנגשות. במערכת שבנה Xia יש שני זוגות של גופים קלים ושווי-משקל שמרכזם על ישר סימטריה קבוע, וגוף חמישי, כבד, הנע על אותו ישר. הגוף הכבד מתנדנד לאורך הישר, ובכל פעם שהוא חולף בסמוך לאחד הזוגות, הוא גורם להם להתקרב, מושך אותם אחריו הרחק מן הזוג השני, ונופל בחזרה. התנועה ההדדית מקרבת את הגופים בכל אחד מהזוגות ומאיצה את הגוף הכבד באופן שהוא בורח לאינסוף בזמן סופי.
העולם הוא שטוח
העולם הוא שטוח הוא ספרו של העיתונאי והפובליציסט האמריקני תומאס פרידמן שפורסם בשנת 2005, ועוסק בתופעת הגלובליזציה. בספרו סוקר פרידמן את הגורמים ש"שיטחו" את העולם ואת האירועים והתהליכים הגלובליים והדינמיים שמעצבים את חיינו. הוא עוסק בתמורות הכלכליות, הפוליטיות, החברתיות והטכנולוגיות שהובילו לפתיחת השווקים הסיניים וההודיים, להסכמי הסחר העולמיים והשוק החופשי, לשימוש באינטרנט ובתכנות קוד פתוח, למיקור חוץ (אאוטסורסינג) ולמגמות עדכניות של ניהול ידע ולהשפעותיהן על החינוך, התרבות, המדע ועוד. לדבריו, הרשת מאפשרת למשתמשים, קבוצות ויחידים בכל העולם לשתף פעולה, להתחרות זה בזה ולסחור זה עם זה, ללא מגבלת זמן או מרחק.
תקציר הספר.
ספרו של פרידמן מחולק לחמישה פרקים. בפרק הראשון, איך השתטח העולם, המחבר סוקר שלושה עידנים חשובים של גלובליזציה, הראשון מ-1492 ועד סביבות 1800. עידן זה צמצם את העולם והכוח שהניע את תהליך האינטגרציה היה העוצמה. בעידן הראשון מדינות וממשלות בהשראת הדת או האימפריאליזם עמדו בחוד החנית, הפילו חומות ותרמו לאינטגרציה גלובלית. העידן השני נמשך מ-1800 ועד ל-2000 תוך קטיעות של תקופות קצרות. הכוח המניע היו חברות בינלאומיות וטכנולוגיות אשר הביאו לכלכלה גלובלית אמיתית ולהתבססות שוק גלובלי. השינוי בשלב זה התאפשר הודות לפריצות הדרך בתחום החומרה העידן השלישי החל לערך בשנת 2000 והוא שלב התעצמותם של יחידים והוא התאפשר מפריצות הדרך בתחום התוכנה ההופכים את כולנו לשכנים קרובים.
בהמשך הפרק הוא מתאר כיצד "השתטח" העולם. פרידמן מונה את עשרת הגורמים לשיטוח העולם, הראשונה היא נפילת חומות ברלין וקריסת ברית המועצות. הגורם השני הוא הנפקת נטסקייפ שהפכה את האינטרנט לידידותי למשתמש. המשטח השלישי על פי פרידמן הוא יצרתן של תוכנות זרימת עבודה שהביאו להיווצרות פלטפורמת עבודה אוניברסלית במערכות המחשוב. הכוח הרבעי בהשטחת העולם הוא התפתחות קהילות עצמאיות ושיתופיות כגון יצירת קוד פתוח באינטרנט אשר הופכת את הרשת לחינמית ופתוחה לכל. משטח מספר חמש הוא מיקור החוץ של העבודה ברמה גבוהה לארצות בהם כוח העבודה הוא הזול והיעיל ביותר. גורם שישי המעורב בשיטוח העולם הוא העברת המשרות הכלל עולמית. משטח מספר שבע הוא בניית שרשרת אספקה גלובלית אשר לוקחת את הטוב ביותר מכל המקומות באופן מהיר ויעיל. משטח שמיני הוא מיקור פנים בתוך הארצות המפותחות והשלטת שיטות טכנולוגיות טובות ומהירות יותר. משטח מספר תשע מנועי החיפוש האינטרסנטים אשר מוצאים את הכוח משומרי הידע ומביאים את הידע להישג ידם של כולם. הגורם המשטח האחרון שפרידמן מונה הוא הפיכת המידע והחומרה למימד דיגיטלי נגיש ובר העברה ממחשב למחשב בכל מקום בעולם בלחיצת כפתור.
התלכדות הגורמים המשטחים מביאה לסדר עולמי חדש ושונה בו אין מנצלים ומנוצלים אלא מי שמבין את העולם החדש ומתיישר לפיו ייהנה ממנו ומי שלא יישאר מאחור. בפרק השני, אמריקה והעולם השטוח, מנסה הסופר להסביר את השפעת העולם השטוח על הכלכלה והחברה האמריקאית ומעלה שלוש סוגיות אשר חייבות לבוא בחשבון בסדר העולמי החדש. ראשית פער הכמות של ארצות העולם המתפתח במהנדסים ומדענים על החברה האמריקאית. שנית, פער השאפתנות של הארצות המתפתחות על הארצות השבעות ושלישית, הפער בחינוך שהארצות המתפתחות פותחות על הארצות המערביות בתחומי המדע והתוכנה.
בפרק השלישי, מדינות מתפתחות והעולם השטוח, מציג פרידמן את השתלבותם של מדינות שונות במערכת העולמית. לטענתו מדינות חסרות משאבים טבעיים מיטיבות להשתלב כיוון שהן מוציאת את המיטב מההון האנושי שלהן ובכך באות לידי יתרון תחרותי על מדינות אחרות. התרבות המקומית גם כן מוצגת כגורם היכול לסייע בעולם החדש ובתרבויות בהם יש דגש על חינוך וקידמה יש השתלבות מוצלחת יותר במערכת בגלובלית. תרבויות מסתגרות תידרסנה ואנשיהן יושארו מאחור.
הפרק הרבעי, חברות והעולם השטוח, בוחן את דרך התמודדותם של חברות מסחריות עם המצב החדש. חברות אשר אימצו את הכללים הבאים משתלבות בהצלחה בעולם הגלובלי החדש. הכלל הראשון הוא, השתטח יחד עם העולם, אל תבנה סביבך חומות. כלל שני הוא לחברה קטנה לשחק כמו חברה גדולה ולנצל כל הזדמנות. כלל שלישי הוא לחברה גדולה ללמוד להיות קטנים ולאפשר ללקוחות להיות גדולים. כלל רבעי הוא לשתף פעולה בתוך הארגון ובין ארגונים שונים. כלל חמש הוא להיות פתוחים וגלויים כלפי הלקוחות. כלל שישי הוא להשתמש במיקור חוץ לגדול ולא על מנת להתכווץ. כלל שבע טוען כי מיקור חוץ היא לא מילה גסה ומיועד גם לאידיאליסטים.
בפרק החמישי, גאופוליטיקה והעולם השטוח, טוען המחבר כי תועלת עצומה תצמח לעולם כולו משיתוף פעולה בין העולם השטוח וחלקי העולם שטרם השתטחו. פתרונות למחלות ורעב אשר נבנים בידי תאגידים שטוחים יעזרו לכולם. המחבר מזהה את האסלאם הקיצוני כזה שפוחד מתהליך הגלובליזציה ומגדיר את הנפט כקללת העולם הערבי אשר משאיר אותו מאחור בעוד העולם הגלובלי מתקדם.
גלובליזציה.
פרידמן מחלק את הזמן המודרני לשלוש קבוצות זמן כפי שהן מתייחסות לנושא הגלובליזציה. כל פרק זמן כזה מכונה עידן הגלובליזציה 1.0, 2.0, 3.0, כפי שממספרים מהדורות של תוכנות מחשב:
הכוח הכלכלי החדש.
פרידמן מצטט בספר את שירלי אן ג`קסון שהייתה נשיאת האגודה האמריקאית לקידום המדע ואחר כך נשיאת מכון רנסלר לתחומי הפוליטכניקה. היא אומרת שאמריקה עוברת משבר שקט הכולל שחיקה בתשתית המדעית וההנדסית, תשתית שהייתה מקור החדשנות שגרם בעבר להתחדש ולעלות ברמת החיים. ארצות הברית הולידה את הכוחות הכלכליים-החדשניים כמו מיקרוסופט, גוגל, אינטל ואחרים אבל בשנים האחרונות מעבירות החברות האלה את הידע למרכזי פיתוח גלובאליים בכל העולם. וממקומות אלה ולא מארצות הברית יצמחו בעתיד התעשיות החדשניות בתהליך איטי אבל ניתן לצפייה.
מהאוניברסיטאות של סין ומהאוניברסיטאות של הודו יוצאים מספר הבוגרים הגדול בעולם. לא פלא שבשילוב טכנולוגיה מצד אחד והשכר הנמוך ביחס למשולם בארצות הברית, בוגרי אוניברסיטה אלה מפעילים מארצם מרכזי שרות רבים בנושאים מגוונים בשיטה של מיקור חוץ (outsourcing). פרידמן מציין כיצד השווקים ההודים בעלי האוכלוסייה הגדולה והזולה אך המיומנת המצליחה להשתלב מרחוק בעבודות רבות בארצות הברית באמצעות התקשורת, האינטרנט ותוכנות מיוחדות. העולם השטוח הוא מקום פעולה קל גם לטרוריסטים בינלאומיים. ארגוני טרור יכולים לתכנן ולבצע פיגועים המוניים. נפילת חומת ברלין שחררה רבים מעבר למסך הברזל מצד אחד ואילו הפגיעה במגדלי התאומים עלולה להקים חומות חדשות של פחד ושל שיתוק.
אירועים ששיטחו את העולם.
עשרת הגורמים שהביאו לדעת תומאס פרידמן להשטחת העולם:
פרידמן מרבה לכתוב בשבחי מערכת ההפעלה "חלונות" ותרומתה לסטנדרטיזציה ולשיטוח העולם אך לא מונה אותה כתורם בפני עצמו.
לפי פרידמן, "השתטחות" העולם קשורה לפריצות דרך טכנולוגיות, בעיקר בתחום אמצעי התקשורת האלקטרונית, שתשתיותיהן הונחו במדינות רבות מסביב לגלובוס והביאו לצמצום המרחקים והפערים ביניהן. בעולם השטוח של פרידמן חברות ענק בינלאומיות מחזיקות רשתות אספקה חובקות עולם, רופאים הודים מנתחים צילומי רנטגן של חולים בארצות הברית ומנהלי חשבונות סינים והודיים מכינים להם את דוחות המס. פרידמן מביא בספרו אינספור דוגמאות. ראו כמה מהן במסגרת.
נפילת חומת ברלין ואסון התאומים.