ב- 1225 הציג והוכיח פיבונאצ'י את נוסחת המכפלה formula_2, שהייתה מוכרת כנראה כבר לדיופנטוס, אף על פי שהלה לא ניסחה במפורש. מן הנוסחה עולה שכדי להציג מספר נתון כסכום של שני ריבועים שלמים, די להציג באופן הזה את גורמיו הראשוניים; אז אפשר להיעזר בנוסחה כדי לקבל הצגות עבור המכפלה. לדוגמה, מן ההצגות formula_3 ו- formula_4, אפשר לקבל את formula_5.
ב- 1638 הציע פרמה לדקארט להוכיח שלא ניתן להציג מספר מן הצורה formula_6 כסכום של שני ריבועים. כעבור ימים ספורים שלח דקארט את הבעיה ופתרונה למרסן: הריבוע של כל מספר שלם הוא מן הצורה formula_7 או formula_8. ב-1659 כתב פרמה לפסקל שהוא מצא הוכחה לכך שניתן להציג כל ראשוני מהצורה 4k+1 כסכום של שני ריבועים, בשיטה של נסיגה אינסופית.
פרמה המשיך לעסוק בבעיה גם אחר-כך, וכאשר פרסם ב-1670 קובץ הערות על הספר "אריתמטיקה" של דיופנטוס, התייחס גם למשוואה formula_9. פרמה טען שאם n ראשוני מהצורה 4k+1, אז אפשר לפתור את המשוואה באופן יחיד (פרט להחלפת המשתנים, ולשינוי הסימן), וכן, שאם formula_10 ו- p ראשוני מהצורה הנזכרת, אז יש למשוואה בדיוק formula_11 פתרונות. בעזרת נוסחת המכפלה, הציג פרמה שיטה למציאת מספרים שיש להם בדיוק m הצגות כסכום של שני ריבועים.
ל-Bernard Frénicle de Bessy מיוחסת ההבחנה שהצגת מספר כסכום של שני ריבועים בשתי דרכים שונות מאפשרת לפרק אותו לגורמים.
למעשה, אם formula_12 הן הצגות שונות של formula_13 כסכום של 2 ריבועים, ניתן להגדיר: formula_14, formula_15 ואז formula_16 הוא גורם לא טריוויאלי של formula_13. הפונקציה formula_18 מסמלת את המחלק המשותף המקסימלי של a ושל b.
ב- 1747, במכתב לגולדבך, הוכיח לאונרד אוילר שאם a ו- b זרים, אז כל גורם של formula_1 ניתן להצגה כסכום של שני ריבועים. ההוכחה, המתאימה לתיאורו של פרמה על נסיגה אינסופית (ראו להלן), היא הראשונה שעל קיומה יש ראיות ברורות. אוילר עסק בבעיה זו פעמים רבות, ובאחת ההזדמנויות (ספרו "אלגברה", 1770) העיר שאת נוסחת המכפלה אפשר להוכיח באמצעות חישוב הנורמה המרוכבת של המכפלה formula_20. היום ידוע שאפשר להוכיח את כל התכונות הרצויות של התבנית formula_21 בעזרת האוקלידיות של חוג השלמים של גאוס, formula_22.
מאוחר יותר, אדריאן-מארי לז'נדר (ב-1798) וקרל פרידריך גאוס (ב-1801) סיפקו תוצאות על מספר ההצגות של מספר כסכום של שני ריבועים, בעוד קרל גוסטב יעקב יעקובי נתן ביטוי אלגנטי יותר ב-1829, אותו הוכיח מספר שנים מאוחר יותר (ב-1834) דרך התורה החדשה של טורים אינסופיים של פונקציות אליפטיות.
הוכחה באמצעות נסיגה.
נוכיח שאם p מספר ראשוני השקול ל-1 מודולו 4, אז אפשר להציג אותו כסכום של שני ריבועים. ידוע ש- 1- הוא שארית ריבועית מודולו p, כלומר, קיים x כך ש- formula_23. אם נבחר פתרון x כך ש-formula_24, מתקבלת הצגה formula_25 כאשר formula_26. נתבונן בהצגה formula_27 שבה x,y אינם מתחלקים ב- p, ונניח ש-formula_28. הפתרון יושג על ידי הוכחה בנסיגה אינסופית. על ידי חילוק עם שארית של x,y ב-m אפשר לכתוב formula_29, כאשר formula_30. כך יוצא ש- formula_31, ומצד שני formula_32. מכאן ש- formula_33 עבור formula_34.
מנוסחת המכפלה יוצא ש- formula_35, אבל שני הגורמים formula_36 מתחלקים ב- m. לאחר שמחלקים את המשוואה ב- formula_37 מתקבלת הצגה של formula_38 כסכום של שני ריבועים.
דוגמה. נציג את p=89 כסכום של שני ריבועים. פתרון המשוואה formula_39 הוא formula_40, ואכן formula_41, כלומר formula_42. ההצגה של כפולת p כסכום שני ריבועים היא formula_43. נחלק את x=34 ו-y=1 עם שארית ב-m=13, ונקבל formula_44 ו-formula_45, כלומר formula_46. אכן, formula_47, כלומר formula_48. מנוסחת המכפלה יוצא formula_49, וכשמחלקים ב-formula_50 מקבלים את ההצגה formula_51. נחזור לתחילת התהליך, והפעם עם m=2. ההצגה של כפולת p כסכום שני ריבועים היא formula_52. נחלק את x=13 ו-y=3 ב-m=2, ונקבל formula_53 ו-formula_54, כלומר formula_55. אכן, formula_56, כלומר formula_57. מנוסחת המכפלה יוצא formula_58, וכשמחלקים ב-formula_59 מקבלים את ההצגה formula_60.
מספר ההצגות של מספר כסכום של שני ריבועים.
גאוס טען, במאמר 182 של מחקרים אריתמטיים שלו, שאם M הוא מספר שנכתב בצורה formula_61, כאשר formula_62 הם גורמים ראשוניים מהצורה formula_63, ו-S הוא מכפלת כל הגורמים הראשוניים של M מהצורה formula_64 (ו-S חייב להיות ריבוע), אזי ישנם:
formula_65
הצגות שונות של M כסכום של שני ריבועים. אם formula_66 כולם זוגיים אז יש להוסיף formula_67 לביטוי הנ"ל כדי לקבל את מספר ההצגות. משמעות התוצאה היא שמספר ההצגות תלוי רק במעריכים של הגורמים הראשוניים מהצורה formula_63 ולא תלוי בכלל בגורמים מהצורה formula_64 (כלומר אין קשר ל-S), בשונה מהוכחת הקיום של הצגה כסכום של שני ריבועים, שם קיומה של הצגה תלוי בקיומו של שורש ריבועי טבעי ל-S.
הקשר למספרים מרוכבים.
הסכום formula_21 הוא גם הנורמה של המספר המרוכב formula_71 כאשר formula_72. כלומר, כדי להציג את n כסכום של שני ריבועים, עלינו למצוא מספר מרוכב formula_71, בעל מקדמים שלמים, שהנורמה שלו היא n. את הבעיה הזו אפשר לפתור בעזרת התכונות האריתמטיות של חוג השלמים של גאוס, formula_74, שהוא חוג אוקלידי ולכן תחום פריקות יחידה. את הראשוניים של החוג הזה קל למצוא: לאור ההוכחה לעיל, כל מספר ראשוני טבעי השקול ל-1 מודולו 4 אפשר להציג כנורמה (כלומר לפרק למכפלה של שני גורמים צמודים), ואילו מספר ראשוני טבעי השקול ל-3 מודולו 4 נשאר ראשוני גם בחוג השלמים של גאוס. לכן הראשוניים בחוג השלמים של גאוס שייכים לשלוש מחלקות: הראשוני 1+i; הראשוניים הטבעיים השקולים ל-3 מודולו 4; והאיברים x+yi כאשר x^2+y^2 ראשוני השקול ל-1 מודולו 4. כעת, כדי להציג את n כסכום של שני ריבועים, יש לפרק אותו לגורמים מעל חוג השלמים, ואחר-כך מעל חוג השלמים של גאוס. אם גורמי הפירוק מסתדרים בזוגות צמודים זה לזה, מתקבלת הצגה של n כסכום של שני ריבועים.
ג'ילונג
ג'ילונג (באנגלית: Geelong) היא העיר השנייה בגודלה במדינת ויקטוריה שבאוסטרליה. העיר היא עיר נמל עם אוכלוסייה עירונית של כ-184,000 איש.
ג'ילונג ממוקמת במפרץ קוריו, 75 קילומטרים דרומית מערבית לבירת המדינה, מלבורן.
העיר היא שער לאתרי תיירות מפורסמים, במיוחד "דרך האוקיינוס הגדולה", חוף שרידי האוניה וחצי האי בלירין. ג'ילונג היא גם בית למועדון הכדורגל השני הוותיק ביותר בעולם, מועדון הכדורגל של ג'ילונג, נקרא על ידי המקומיים "החתולים".
היסטוריה.
לפני הקמת המושבות הלבנות בתחילת המאה ה-19, אזור ג'ילונג וחצי האי בלרין אוכלס במקור על ידי שבטים אבוריג'ינים.
האדם הלא-אבוריג'יני הראשון שתועד מבקר באזור ג'ילונג היה לוטננט ג'ון מוריי, אשר פיקד על ספינת "ליידי נלסון".
גאוגרפיה ואקלים.
ג'ילונג ממוקמת במפרץ קוריו, מפרצון דרומי מערבי של פורט פיליפ. העיר מוקפת בשטחים נרחבים של חוות חקלאיות מתפתחות, וידועה ביקביה הרבים ובחופי הגלישה לאורך "דרך האוקיינוס הגדולה". במזג אוויר בהיר, קו הרקיע של מלבורן נראה מאזורים מסוימים בג'ילונג. נהר בראוון זורם דרך העיר לכיוון דרום לפני הכניסה למיצר בס.
ג'ילונג מחוברת באמצעות דרכים לכל דרום-מערב מדינת ויקטוריה. העיר מחוברת לערים אחרות כמו מלבורן באמצעות דרך M1, לוורנמבול באמצעות דרך A1, באלארט באמצעות דרך A300, ולהמילטון באמצעות דרך B140.
חומרים רבים שימשו לבניית בניינים ויקטוריאניים רבים הגיעו מג'ילונג, כמו האבן הכחולה, אשר שימשה ליצירת המדרגות של בית הפרלמנט במלבורן ואבן חול, אשר שימשה לבניית קתדרלת Sacred Heart בבנדיגו.
אקלים.
הטמפרטורה הגבוהה הממוצעת היא 25.6 מעלות צלזיוס (מקסימום) במהלך חודש פברואר עד ל-14.1 מעלות צלזיוס (מינימום). הטמפרטורות בחורף נעות מ-13.9 מעלות ל-5.1 מעלות. כמות הגשמים השנתית הממוצעת היא 551.8 מ"מ..
כלכלה.
התעשיות והמעסיקים הגדולים ביותר בג'ילונג הם פורד אוסטרליה, אשר נוסדה ב-1926, גודפריי הירסט – יצרן שטיחים, טארגט אוסטרליה , אלקואה, סטגלס ורויאל דאטצ' של – בתי זיקוק. רשתות שיווק אוסטרליות גדולות כמו טארגט אוסטרליה אשר החלה לפעול בג'ילונג בשנת 1925, עם משרדיה הראשיים אשר עדיין ממוקמים במקומם המקורי בצפון ג'ילונג ברחוב טומפסונס. העיר הקרובה טורקי היא המקום לרבים מיצרני ציוד הגלישה, כמו ריפ קורל (Rip Curl), כמו כן גם חופי הגלישה הטובים באוסטרליה ומוזיאון הגלישה העולמי .
אגודת בניין הפירמידה, נוסדה בג'ילונג בשנת 1959, התמוטטה בשנת 1990 והשאירה אחריה חובות של כ-2 מיליארד דולר אוסטרלי. רבים ממשקיעי ג'ילונג הושפעו כלכלית מהתמוטטות זו.
חינוך.
אוניברסיטאות ומכללות.
בעיר נמצא בית הספר לדקדוק המפורסם של ג'ילונג, אשר בין בוגריו הנסיך צ'ארלס, רופרט מרדוק, קארי פאקר, ראשי ממשלת אוסטרליה לשעבר, לורד ברוארס (סגן נשיא אוניברסיטת קיימברידג'). בית הספר מושך מבקרים לאזור ג'ילונג וסטודנטים מכל העולם.
אוניברסיטת דיקין ממוקמת בפרבר וורן פונדס ובעלת קמפוס בשטח החוף של מפרץ קוריו בג'ילונג. הקמפוס בוורן פונדס יהיה בית לבית הספר לרפואה האזורי הראשון של מדינת ויקטוריה, שייפתח ב-2008. מוסדות להשכלה גבוהה נוספים בג'ילונג הם מוסד גורדון של TAFE, המכללה לניהול חוות על שם מרקוס הולדאם, המכללה התאולוגית הרפורמית, מרכז לסיבים בינלאומי, מכללת ג'ילונג והמכללה הבינלאומית ע"ש קרדיניה.