כיוון שאינטגרל מסילתי מסוג שני הוא תלוי כיוון, ישנה חשיבות לכיוון שבו תתבצע האינטגרציה בעזרת הפרמטריזציה החדשה. פרמטריזציה אשר שומרת על כיוון האינטגרציה המקורי נקראת "פרמטריזציה שומרת כיוון". פרמטריזציה היא שומרת כיוון אם ורק אם מתוארת על ידי פונקציה מונוטונית עולה. אם הפונקציה מונוטונית יורדת, אזי לאחר ביצוע האינטגרציה תתקבל תוצאה הפוכת סימן. במקרים אחרים, מקובל לחלק את העקומה שעל פיה מתבצעת האינטגרציה למספר חלקים שבכל אחד מהם הפרמטריזציה מתוארת על ידי פונקציה מונוטונית.
משפטים חשובים הקשורים לאינטגרל קווי מסוג שני.
משפטי סטוקס (משפט גרין, משפט סטוקס במרחב).
משפטי סטוקס הם קבוצת משפטים המהווה הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור יריעות חלקות. משפטים אלו מאפשרים החלפה של אינטגרלים על תחום באינטגרלים מממד נמוך יותר על שפתם.
אחד ממשפטי סטוקס הוא משפט גרין המאפשר החלפת חישוב של אינטגרל כפול באינטגרל קווי על ידי נוסחה הנקראת "נוסחת גרין". הנוסחה היא
נוסחה זו מתקיימת עבור תחום פשוט קשר formula_94 המוקף על ידי מסילה formula_22 חלקה למקוטעין, סגורה, אשר לא חותכת את עצמה ובהינתן אוריינטציה חיובית המוגדרת כנגד כיוון השעון. להרחבה ראו משפט גרין.
בעזרת נוסחה זו ניתן להמיר אינטגרלים קוויים במשטחיים ולהפך ובכך לפשט בעיות שונות.
נוסחת גרין היא מקרה פרטי של משפט סטוקס במרחב, על פיו במרחב הווקטורי formula_96, מתקיים:
כאשר A היא יריעה אוריינטבילית דו-ממדית, האגף השמאלי הוא אינטגרל קווי של השדה על שפת A, והאגף הימני הוא אינטגרל קווי על השטף של רוטור השדה דרך A. להרחבה ראו משפט סטוקס.
קשר בין אינטגרל קווי לשדה משמר.
בעזרת משפט גרין ניתן להוכיח את המשפט הבא, אשר נקרא לעיתים "המשפט היסודי של האינטגרל הקווי" ומהווה הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי:
משילובן של שתי טענות אלו, עולה מסקנה חשובה: עבור שדה פוטנציאלי, האינטגרל על כל מסילה סגורה מתאפס, שכן הוא שווה להפרש הפוטנציאלים בין קצוות הקטע. כיוון שקצוות הקטע מתלכדים, ההפרש הוא זהותית אפס. למסקנה זו שימושים רבים בעת דיון על כוחות משמרים.
אנליזה מרוכבת.
האינטגרל הקווי הוא כלי בסיסי באנליזה מרוכבת. בהינתן עקומה סופית formula_101 במישור המרוכב ובהינתן formula_102 היא ו- formula_103 פונקציה מרוכבת, אם formula_104 גזירה ברציפות, ניתן לחשב את האינטגרל הקווי כאינטגרל של פונקציה של משתנה ממשי:
משפטים חשובים על אינטגרלים קוויים הם משפט אינטגרל קושי ונוסחת אינטגרל קושי, הקובעת כי מתקיים
עבור formula_107 פונקציה הולומורפית בעיגול formula_94 המוכל בתחום (קבוצה פתוחה וקשירה) formula_100 במישור המרוכב, כאשר מגמת האינטגרל היא נגד כיוון השעון.
כתוצאה של משפט השאריות, מאפשר לעיתים קרובות להשתמש באינטגרל על עקומה סגורה במישור המרוכב כדי למצוא אינטגרלים של פונקציות ממשיות של משתנה ממשי. לדוגמה ניתן לקבל בשיטה זו את התוצאה:
שימושים.
מאפיינים פיזיים של גופים המיוצגים על ידי עקומה.
מהתבוננות בהגדרת האינטגרל הקווי מסוג ראשון, ניתן לראות כי בבחירת פונקציה השווה זהותית לאחד, מתקבל הסכום formula_111. משמעותו של סכום זה היא אורך העקומה עליה מתבצעת האינטגרציה. כך, בהינתן עקום ניתן לחשב את אורכו בעזרת אינטגרל קווי. בהינתן הגדרה אקסיומטית של מושג האורך של קו ישר, ניתן להשתמש בסכום זה על מנת להגדיר את המושג "אורך של עקום".
בהינתן פונקציה המבטאת צפיפות של גודל פיזיקלי כלשהו כפי שהיא משתנה לאורך העקום, כאשר העקום הוא מודל לגוף כלשהו (למשל, חוט) ניתן לחשב את כמות הגודל הכוללת לאורך אותו גוף על ידי אינטגרל קווי מסוג ראשון. כך, למשל, בהינתן צפיפות מסה קוית, ניתן לחשב את מסתו של גוף ובהינתן צפיפות מטען קווית, ניתן לחשב את המטען המפוזר לאורכו של גוף.
שימושים פיזיקליים.
עבודה.
אחת הדוגמאות הבולטות לשימוש באינטגרל קווי מסוג שני היא חישוב עבודה. עבודתו של כוח קבוע המניע מסה לאורך קו ישר מוגדרת כמכפלת היטלו של הכוח לאורך ציר התנועה במרחק שגרם למסה לנוע. בכתיב מתמטי, מיוצגת העבודה לפי הנוסחה formula_112 כאשר formula_113 הוא הכוח המניע ו-formula_114 הוא וקטור ההעתק. במקרה הכללי ביותר, כאשר הכוח הוא כוח משתנה והמסלול איננו בהכרח קו ישר, ניתן לקרב את המסלול על ידי חלוקתו לחלקים קטנים בהם המסלול הוא בקירוב ישר והכוח הוא בקירוב קבוע, לחשב את העבודה בכל אחד מהם ולסכום את סך כל העבודות המתבצעות בקטעים לעיל. בכך, מתקבלת העבודה הכוללת. הלכה למעשה, חישוב זה זהה במהותו לחישובו של אינטגרל קווי מסוג שני ולכן, בהינתן מסילה formula_104, מוגדרת העבודה לאורכה על ידי הנוסחה formula_116.
כיוון שאינטגרל של שדה משמר לאורך מסילה סגורה הוא אפסי, עולה מכך שתנועתו של גוף הנע במסלול סגור תחת השפעת כוח משמר, איננה משנה את הפוטנציאל שלו, כאשר המשמעות הפיזיקלית של פוטנציאל זה היא אנרגיה. קרי – אנרגיה של גוף לא משתנה כאשר הוא נע במסלול סגור תחת השפעת כוח משמר. למשפט זה חשיבות פיזיקלית רבה.
שימושים נוספים.
אינטגרלים קוויים מופיעים, בין היתר, במקומות בהם מערכות פיזיקליות נידונות מתוארות על ידי פונקציות שדה. אינטגרלים מסוג זה משמשים בתורה האלקטרומגנטית ומופיעים בניסוחים האינטגרליים של משוואות מקסוול, שם הם מתארים את הקפת השדה המגנטי והחשמלי. חוק ביו-סבר, המהווה גרסה של חוק אמפר, מאפשר חישוב של שדות מגנטיים על ידי שימוש באינטגרל קווי. מכניקת הזורמים, אשר בחלק מענפיה מתקיימת סימטריה מסוימת בין הניסוחים המתמטיים המתארים אותה לבין אלו של התורה האלקטרומגנטית, היא ענף פיזיקלי נוסף בו נעשה שימוש באינטגרלים קוויים. כדוגמה, לחוק ביו-סבר שהוזכר לעיל, שימושים גם באווירודינמיקה, שם הוא משמש לחישובים של מהירות המושרית מקווי מערבולת. כדוגמה נוספת, משפט קוטה-ז'וקובסקי קושר בין הקפת שדה המהירות של נוזל לבין כוח העילוי שהוא מפעיל.
פישוט חישובים.
על ידי שימוש במשפטי סטוקס, ובפרט במשפט גרין ובמשפט סטוקס במרחב, ניתן להחליף את חישוביהם של אינטגרלים משטחיים באינטגרלים קוויים על שפתם ולהפך. כך, ניתן לפשט מספר חישובים.
כך, למשל, על סמך משפט גרין, עבור זוג פונקציות formula_117 ו- formula_118 המקיימות formula_119, האינטגרל הקווי formula_120 נותן את השטח שכולאת העקומה formula_22. לעיתים, חישוב זה נוח יותר מחישוב השטח באמצעות כלים אחרים (למשל, אינטגרל כפול).
כאמור, לאינטגרלים קוויים שימושים רבים גם באנליזה מרוכבת.
ניקלבק
ניקלבק (באנגלית: Nickelback) היא להקת רוק ופוסט-גראנג' מאלברטה, קנדה שהוקמה בשנת 1995. הלהקה החלה כלהקת קאברים, והתפרסמה בזכות הסינגל "How You Remind Me" שיצא ב-2001, וכבש את המקום ה-1 במצעד הבילבורד האמריקאי.
הלהקה זכתה בתשעה פרסי ג'ונו, בפרס המוזיקה האמריקאית ובפרס של MTV על "הקליפ הטוב ביותר של השנה" (Hero), ופרס מוזיקה עולמי על "להקת הרוק עם הכי הרבה מכירות עולמיות".
הסגנון של ניקלבק מוגדר כהארד רוק בעל אופי של פוסט-גראנג'. תוכן השירים כוללים אהבות מתחילות (ובמיוחד אהבת נעורים), אהבות נכזבות ועל השנאה במערכות יחסים בלתי-מוצלחות.
היסטוריה.
ניקלבק התחילו את דרכם בעיירה קטנה בשם Hana, כ-215 קילומטרים צפון מזרח לקלגרי. הם התחילו כלהקה שעושה גרסאות כיסוי לשירים מפורסמים. לבסוף נמאס להם לנגן שירים של אנשים אחרים וצ'אד, הסולן כתב כמה שירים מקוריים, לווה 4000 דולר מאביו החורג ונסע לוונקובר העיר הגדולה, כדי להקליט את השירים באולפן של חבר. על סמך התוצאות, צ'אד, מייק, ניק וברנדון (המתופף בראשית דרכה של הלהקה) עברו לוונקובר ב-1996. באותה שנה, הקליטו הלהקה את אלבום הדמו שלהם "Hesher" שכלל 7 שירים. מאוחר יותר באותה שנה, הקליטו ניקלבק את אלבום הבכורה שלהם, "Curb", שאותו הוציאה הלהקה באופן עצמאי ב-1998, ויצאו לסיבוב ההופעות הראשון שלהם. צ'אד, הסולן, מצא דרך מקורית להפיץ את שם הלהקה, הוא אמר לחברים ולמשפחה לבקש בתוכניות הרדיו את שירי ניקלבק. השירים נוגנו שוב ושוב עד שלניקלבק היו מעריצים משלהם.
מאוחר יותר ב-1998, החליטו חברי הלהקה שהמנהלים שלהם לא היו מסוגלים להביא אותם אל "השלב הבא" והם התחילו לנהל את עצמם. מייק טיפל בהפצה, צ'אד טיפל ביחסי הציבור וריאן טיפל בהזמנות ההופעות. הלהקה השקיעה 30000 דולר באלבום השני, "The State" שהוקלט ויצא כאלבום עצמאי ב-1998. האלבום סימן את פריצת הדרך של הלהקה. הסינגל של הלהקה Leader Of Men נוגן ללא הפסקה בתחנות הרדיו וניקלבק החלו להתפרסם. ניקלבק הופיעו ללא הפסקה, בסיבוב ההופעות של The State הלהקה הופיעה בכ-200 הופעות יחד עם להקות כמו Creed, 3 Doors Down ו-Fuel. הסגנון הפוסט גראנג'י של הלהקה תפס את הקהל ולבסוף חברת התקליטים "EMI" החתימה את הלהקה ו-The State יצא שוב ומכר כ-500,000 עותקים. הוא הגיע למעמד אלבום זהב בקנדה וארצות הברית.