אלסטיות או גמישות היא תכונתו של חומר המתארת את התנגדותו למַעֲוָת (דפורמציה) חיצוני, ואת יכולתו של החומר לחזור לצורתו ולממדיו המקוריים לאחר הסרת הכוח המעוות. זוהי תורה מקרוסקופית, כלומר היא אינה מתחשבת במרכיביו המיקרוסקופיים של החומר. חקר האלסטיות מנסה ליצור מודל מתמטי המכמת את תגובת החומר למעוות המופעל עליו, במקרים בהם מתאפשרת הזנחת התהליכים המיקרוסקופיים המרכיבים את החומר.
מבוא איכותני.
על מנת לתאר את האלסטיות של החומר מבחינה פיזיקלית הוגדרו שני פרמטרים הראשון נקרא 'סבילות לעיוות' או מודולוס, אשר מוגדר על ידי כמות הכוח שצריך להפעיל ליחידת שטח על מנת לגרום לעיוות, כלומר כמה קשה לעוות את החומר. הפרמטר השני הוא גבול המתיחה, אשר מוגדר כמתיחה המקסימלית שחומר יכול להכיל לפני שנגרם לו עיוות קבוע, כלומר כמה החומר מסוגל להימתח בלי להשתנות. יחידותיהם של שני הפרמטרים הן פסקל (pa).
שני הפרמטרים הם בלתי תלויים זה בזה, ויכולים להיות חומרים אשר הם בעלי מודולוס גבוה וגבול מתיחה נמוך כמו מתכות, או בעלי גבול מתיחה גבוה ומודולוס נמוך כמו גומיות. לרוב בשימוש היומיומי המונח אלסטיות משמש רק לגבול המתיחה.
היווצרות גבול המתיחה.
כאשר מפעילים כוח על גוף נוצרת הזזה של חלקיו. ניתן לחלק את ההשפעה על הגוף לשני חלקים:
כאשר נוצרת אנרגיה פוטנציאלית כתוצאה מהפעלת כוח על גוף, כל עוד אינם מחסומים אנרגטיים ייטה הגוף להגיע למצב בו האנרגיה הפוטנציאלית הכי נמוכה. במקרים מסוימים נטייה זו יכולה לגרום לגוף לחזור למצבו המקורי. דוגמה לדבר היא העלאת כדור במעלה הר. על הכדור מושקע כוח נגד כיוון משיכת כדור הארץ המעניק לכדור אנרגיה פוטנציאלית כובדית. בהסרת הכוח המעלה את הכדור ידרדר הכדור במורד המדרון ובכך חזור למקומו. תופעה זו מתרחשת הן בהעתקה ליניארית והן במקרה של דפורמציה ובשני המקרים מקור האנרגיה הפוטנציאלית משתנה בין סביבות שונות עליהן פועל הכוח. במתכות האנרגיה הפוטנציאלית נוצרת כיוון שסידור האטומים בסריג המתכתי הוא בעל אנרגיה פוטנציאלית נמוכה יחסית למצב לא מסודר. כאשר מופעל כוח על השריג המתכתי ונשברת צורת השריג נוצרת אנרגיה פוטנציאלית כיוון שמולקולות המתכת ייטו להסתדר מחדש בצורת השריג המקורי. אי לכך כאשר יוסר הכוח האטומים המרכיבים את השריג כל עוד הכוח המופעל ליחידת שטח לא עבר רף מסוים המשנה את שריג שיווי המשקל המולקולות ייטו לחזור למצב היציב ולכן יסתדרו מחדש בצורת שריג שקרוב יותר למצב ההתחלתי בו היה שרוי החומר מאשר המצב אחר הפעלת הכוח, הרף המשנה את השריג בו יימצא שיווי המשקל באופן לא זניח מוגדר כגבול המתיחה.
חומר אלסטי מושלם.
כאשר גבול המתיחה שואף לאינסוף ניתן להגיד על חומר כי הוא חומר אלסטי מושלם, לחומר שכזה כל הפעלת כח, ללא תלות בעוצמת הכח או בסוגו, לא תשנה את צורתו או את נפחו, חומר כזה הוא אידאה פיזיקלית אך כיום במדע החומרים ובפיזיקה של מצב מוצק מתקיימים מחקרים רבים השואפים לפתח חומרים המתקרבים כמה שיותר לחומר אלסטי מושלם כיוון שככל שחומר יותר אלסטי פחות תתבזבז אנרגיה עקב לחצים חיצוניים על המערכת.
תנועות אלסטודינמיות.
לעיתים הפעלת כח על גוף תגרום להחלפה מתמדת בין אנרגיות פוטנציאליות, מה שיגרום לתנודות מחזוריות כיוון שאין נקודת שיווי משקל בה האנרגיה הפוטנציאלי מינימלית. תופעה זו נפוצה בטבע וניתן לראות אותה בין היתר בקפיצים, במיתרים רוטטים וברעידות אדמה. כתוצאה מהתנודות ניתן לכמת את תדר התנועה ואורך הגל שלה, והיא הבסיס לגלים מכניים. בפועל כתוצאה ישירה מהחוק השני של התרמודינמיקה המערכת בסופו של דבר תפסיק לנוע באופן הניתן למדידה בטכניקות מאקרוסקופיות, כיוון שאנרגיית המערכת תתפזר לחום. ניתוח של חומרים אלסטיים אידיאלים נלמד כבר במסגרות תיכוניות והוא זכה לכינוי תנועות הרמוניות.
ניתוח מתמטי.
המודל הפשטני ביותר המציע ניתוח של אלסטיות החומר הוא מודל אשר הוצע על ידי החוקר רוברט הוק על סמך תצפיות אמפיריות על חומרים. הוק מצא כי חומרים ספציפיים תחת לחצים בקנה מידה קטן מתארכים בעקבות מתיחה באופן הפרופורציונלי לכוח המותח. בעקבות כך הוא פיתח מערכת מכנית פשוטה למדידת קבוע הפרופורציה לחומרים שונים, קבוע זה מייצג בקירוב גס את מידת המודולוס של החומר הנמתח המאפיין חלק מהאלסטיות החומר. לאחר התפתחות המדע והכלים המתמטים וההנדסיים בהם המדע משתמש נוצרו שיטות מתמטיות מורכבות המשתמשות בתורת הטנזורים ואנליזה וקטורית מתקדמת על מנת לכמת את כמות המעוות גם לחומרים היוצאים מגדר ההגבלות של הוק ואף של נוזלים לא ניוטונים המציגים תכונות אלסטיות תחת לחצים גבוהים ומהירים. באופן מעשי משתמשים בהנדסה בשיטות קירובים נומריות ואת החישובים עושים אלגוריתמים ממחשבים.
אנליזה מודרנית.
ניתוח מדויק לכלל החומרים ולכלל הכוחות המופעלים על גוף התפתח במאות האחרונות, והיכולת להשתמש במחשבים על מנת לבצע סימולציות תרמה רבות לעדכון השיטות. להלן יוצגו המשוואות המתמטיות העומדות בבסיס האנליזה.
אלסטיות לא ליניארית.
אלסטיות לא ליניארית מתארת תהליך הפיך בו מבצעים דפורמציה לחומר ללא הנחה שהדפורמציה קטנה. מצב ההתחלה, לפני הדפורמציה, נקרא מצב הייחוס. נוח לתאר את המצב לפני ואחרי הדפורמציה באמצעות הווקטורים:
התורה האלסטית מניחה שהאנרגיה הדרושה לביצוע דפורמציה תלויה רק בשינוי המרחק בין חלקיקי החומר. כלומר ניתן לרשום:
formula_1
כאשר formula_2 מוגדרת להיות המטריקה.
אלסטיות ליניארית.
כאשר formula_3 קטן יחסית ל-formula_4 ניתן לקרב ליניארית את הנגזרות של s ולהזניח סדרים גבוהים מסדר ראשון. סך הכל מתקבל:
formula_5
טנזור המעוות מוגדר על ידי:
formula_6
וכדי לקבל את התאוריה לאלסטיות, ניתן להניח שהאנרגיה החופשית לביצוע דפורמציה הולכת כמו ריבוע טנזור המעוות, וזה כדי שכאשר formula_7 האנרגיה תהיה במינימום (מה שלא מתקבל באיבר ליניארי) – לא מבצעים דפורמציה. אם כך, נכתוב את האנרגיה החופשית (תוך הנחת לוקאליות של הבעיה):
formula_8
כאשר אינדקסים חוזרים נסכמים.
בלי הגבלת הכלליות ניתן לבחור את C כך שהוא יהיה סימטרי בהחלפה של formula_9 כך שסה״כ נשאר עם 21 מקדמים בלתי תלויים. תחת סימטריות ניתן להוריד את מספר הקבועים הללו, לדוגמה בסימטריה קובית נישאר עם 3 מקדמים בת״ל בלבד.
נהוג לסמן את טנזור הלחץ:
formula_10
ואז לקבל:
formula_11
אלסטיות בסימטריה קובית.
סימטריה קובית מוגדרת ככזאת שקיימות בה סימטריות תחת שיקופים בכל אחד מהצירים. ניתן להראות שבמקרה זה נשארים עם שלושה קבועים בלבד מתוך כל ה-21: formula_12 ו-formula_13.
נקבל את הביטוי לאנרגיה חופשית:
formula_14
נהוג במקרה זה לסמן:
formula_15;
formula_16
formula_17
ובאותו אופן מגדירים את הגדלים formula_18. נקבל:
formula_19
עתה ניתן מתוך האנרגיה החופשית לחשב את מודול הנפח על ידי:
formula_20
ובמקרה של שריג קובי בו מופעל לחץ אחיד על כל הדפנות מתקבל:
formula_21
formula_22
אלסטיות בסימטריה איזוטרופית.
בגוף בו קיימת סימטריה איזוטרופית, נוספת סימטריה נוספת לבעיית הסימטריה הקובית - סימטריית סיבוב. כלומר אם לכתוב:
formula_23
כאשר R היא מטריצת סיבוב כלשהי. נרצה שתחת סיבוב כזה האנרגיה החופשית לא תשתנה.
ניתן על ידי בחירת מטריצת סיבוב המתאימה ל-45 מעלות ודרישה לשוויון באנרגיה החופשית בין המצב ההתחלתי למצב המסובב להראות שמשלושה קבועים בלתי תלויים, יורדים לשני קבועים בלבד. כאשר הקבוע השלישי ניתן על ידי:
formula_24
במקרה זה נוכל לכתוב:
formula_25
כאשר:
formula_26 נקראים קבועי לאמה.
ניתן לקבל אינטואיציה למשמעותם של הגדלים המופיעים בביטוי באנרגיה החופשית על ידי כתיבת משוואות התנועה של הגוף. נוסיף איבר קינטי סטנדרטי מהצורה:
formula_27 כאשר formula_28 צפיפות המסה.
באמצעות משוואות אוילר-לגראנז' מתקבלת משוואת התנועה:
formula_29
על ידי אינטגרציה בשני הצדדים ניתן לראות את הדבר הבא:
צד שמאל מהווה על פי הגדרה את הכוח המופעל על הגוף. בצד ימין ניתן להפעיל את משפט גאוס ולקבל שהכוח הפועל על גוף ניתן על ידי החלק המתאים בטנור הלחץ. ומכאן שמו, שכן הוא באמת מתאר את הלחץ המופעל על גוף בכל אחת מפאותיו. נשים לב שכצפוי הכוח מגיע משפות הגוף בלבד. ניתן לראות באיור את חלקיו של הטנזור.
במקרה האיזוטרופי נוכל לכתוב:
formula_30
ועל ידי הפיכת המטריצה מתקבל:
formula_31
אם נפעיל על הגוף לחץ אחיד S בכיוון z נוכל לחשב את מודול יאנג:
formula_32
גביש נוזלי.
גביש נוזלי היא פאזה בחומר בין מוצק לנוזל בה קיים כיוון מועדף למולקולות. כיוון זה נקרא ה-director ונסמן אותו ב-formula_33. תורה אלסטית לגביש נוזלי חשובה לדוגמה להבנת כמות האנרגיה הדרושה לשינוי כיוון המולקולות. דבר הכרחי לדוגמה בבניית מסכי LCD. תורה כזו מניחה שהאנרגיה הדרושה לשינוי כיוון ה-director תלויה רק בנגזרות שונות של n תחת ההנחות:
ניתן להראות שתחת הנחות אלו נגזרות ראשונות מתבטלות. נשאר לחפש איברים מסדר שני.
לאחר הרבה אלגברה ושימוש בהנחות אלו מקבלים לבסוף שהאנרגיה החופשית ניתנת על ידי
formula_36
בית פשוטי העם
בית הנבחרים הבריטי
בית הנבחרים הבריטי (באנגלית: House of Commons) הוא הבית התחתון של הפרלמנט של הממלכה המאוחדת. בית זה הוא אחד משלושת הגופים המהווים את הפרלמנט הבריטי (יחד עם המלכה ובית הלורדים - הבית העליון של הפרלמנט), וכיום הוא החזק בהם.