המקור המוקדם ביותר לבעיית עץ שטיינר מופיע בהתכתבות של פייר דה פרמה (1601–1665), בה נידון המקרה הלא טריוויאלי הפשוט ביותר של בעיית שטיינר ל-n נקודות - המקרה הפרטי של n = 3. פרמה תיאר את הבעיה הזאת ב-1643 בחיבורו "שיטה לקביעת מקסימום ומינימום ומשיקים לקווים עקומים". הפתרון הידוע המוקדם ביותר לבעיה שהציע פרמה היה בנייה גאומטרית של הפיזיקאי והמתמטיקאי האיטלקי אוונג'ליסטה טוריצ'לי (1608–1647). הבנייה של טוריצ'לי הראתה שהנקודה שסכום מרחקיה מקודקודי המשולש מינימלי היא הנקודה בה רואים כל אחת מצלעות המשולש בזווית שווה, דהיינו 120 מעלות.
את בעיית שטיינר המוכללת הציע לראשונה קרל פרידריך גאוס (1777–1855) במכתב לחברו היינריך כריסטיאן שומאכר משנת 1836, שעסק בבעיית שטיינר במקרה של 4 נקודות. גאוס טען שבעיה מעניינת יותר היא למצוא את הרשת הקצרה ביותר שמחברת בין כל הנקודות, במקום את הנקודה שסכום מרחקיה מכל הנקודות מינימלי. הוא טען שבאמצעות שימוש ברשת (יותר מנקודת שטיינר אחת) ניתן לקצר את האורך הכולל של קווי הקישור שנמתחים בין הנקודות. באותו מכתב דן גאוס בכל הטופולוגיות האפשריות של הפתרון לבעיה, והציע להשתמש בפתרון הבעיה כדי לקצר את האורך הכולל של מסילות הרכבת שיחברו בין ארבע הערים הרבורג, ברמן, הנובר ובראונשוויג.
הוכחת הטענה של טוריצ'לי.
לטענה שנקודת שטיינר של משולש ABC ממוקמת בנקודת פרמה של המשולש יש הוכחה פיזיקלית יפה. נדמיין שולחן בצורת מנסרה שבסיסה זהה למשולש שבבעיה. נדמיין שלושה חוטים העוברים דרך כל אחד מקודקודי הבסיס העליון של המנסרה (שצורתו כצורת משולש ABC), המחוברים ביניהם באמצעות צמה הנמצאת בפנים המשולש. כעת נתלה על כל אחד מקצות החוטים משקולת שמסתה m. ברור שהמערכת תתייצב בנקודה בה האנרגיה הפוטנציאלית הכוללת שלה מינימלית, וכיוון שמסת כל אחת מהמשקולות זהה, נקודה זו היא גם הנקודה בה סכום הגבהים של המשקולות מעל הקרקע מינימלי. ניתן להראות בנקל שבמצב היציב הזה הצמה תתייצב בנקודת שטיינר של המשולש - הנקודה ממנה סכום המרחקים אל קודקודיו מינימלי. כיוון שהמתיחות בכל אחד מהחוטים זהה ושווה למשקל המשקולת, מחשבון וקטורי פשוט ניתן להראות שהקונפיגורציה היציבה היחידה של החוטים תהיה כאשר הם נפגשים בצמה בזוויות של 120 מעלות, כלומר בנקודת פרמה של המשולש.
הרנני אסבדו ג'וניור
שכול
שְׁכוֹל הוא מצב של אבל בו נמצא מי שיַלדוֹ מת. תחושה זו נחשבת קשה יותר מתחושת אבלות של אדם קרוב אחר, כגון בן משפחה או חבר, מכיוון שמקובל לחשוב שהאהבה הגדולה בעולם היא אהבת הורה לילדיו, ומותם בטרם עת הוא בלתי טבעי. אף שבדרך כלל מדובר בתגובה הרגשית, הרי שהדיון בשכול כולל גם היבטים פיזיים, קוגניטיביים, חברתיים ופילוסופיים. הורים שאיבדו את ילדיהם מכונים הורים שַׁכּוּלים.
התמודדות עם השכול.
רגשות השכול קשים מאוד להכלה, והתמודדות איתם מצריכה משאבי נפש גדולים. כחלק מתהליך ההתמודדות עם השכול נהוג לבצע פעולות שונות גם לאחר סיום האבלות הרשמית.
הנצחה.
פעולת התמודדות חשובה עם השכול היא פעולת הנצחה, שבה מנציחים את זכרונו של האדם האהוב בדרכים שונות. בפעולות אלו נרתמים הצער והכאב כמנוע לעשיה חיובית שמקדמת את החברה. רבים מבין המנציחים בוחרים להקים אנדרטת הנצחה. ישנם הבוחרים כי האנדרטה תהיה ספר זיכרון שבו מסופרים מעלותיו של האדם שנפטר. בעולם הישיבות ובאקדמיה מקובל להוציא ספר זיכרון של מאמרים בתחום מסוים, שמשתתפים בו אנשים הבולטים בתחום, בעיקר כאלה שהיו קרובים לנפטר. ישנם כאלו הבוחרים פעולות הנצחה אחרות כמו תרומות למוסדות תורניים או ארגוני צדקה וחסד.
ימי זיכרון.
המנהג לעלות לקברו של המנוח ביום השנה למותו אף הוא רווח בתרבויות שונות. בנוסף לימי זיכרון אישיים, מקיימות מדינות רבות ובהן מדינת ישראל ימי זיכרון ממלכתיים אחדים.
ימי אבל וזיכרון לאומיים במדינת ישראל.
במדינת ישראל נהוגים ימי הזיכרון הממלכתיים הכלליים הבאים:
בנוסף נהוגים ימי זכרו לאישים בולטים בתולדות האומה.
קריסה תחת השכול.
לעיתים ההתמודדות עם השכול איננה מצליחה. הכאב, התסכול והעצב גורמים לקריסה תחת משא השכול. במיוחד כאשר מדובר באירוע טראגי של מחלה קשה, תאונה, פיגוע או נפילה בקרב, המתרחשת לאדם צעיר שנפטר בטרם עת. במקרים כאלה הורים שכולים עלולים להסתגר ולהגיע למצב דיכאוני חמור, הדורש התערבות וטיפול תרופתי ופסיכותרפי על מנת לחזור לחיי שגרה תקינים.
הזדקנות בצל השכול.
במחקר שפורסם על ידי מכון מאיירס-ג'וינט-ברוקדייל בשנת 2018, נמצאה תחלואה עודפת בקרב ההורים השכולים המבוגרים בחלק מן המחלות, בהשוואה לאוכלוסייה הכללית המקבילה, ובחלק מן המחלות התחלואה דומה לאוכלוסייה הכללית. דיכאון ובעיות בשינה נמצאו בשכיחות גבוהה יותר בקרב ההורים השכולים המבוגרים. בנוסף לכך נמצא, כי בפריפריה שיעורי הנעזרים בשירותים הפורמליים ובבני משפחתם גבוהים יותר, ושכיחותן של תחושות בדידות ודיכאון נמוכה יותר, בהשוואה להורים שכולים מבוגרים הגרים במרכז הארץ. עם זאת, בפריפריה זקוקים ההורים לעזרה נוספת בניקיון, בטיפול אישי ובליווי או הסעה לטיפולים ולקניות.
קרטיס סקפרוטי
קרטיס סקפרוטי (באנגלית: Curtis Scaparrotti; נולד ב-5 במרץ 1956) הוא קצין לשעבר בדרגת גנרל ששירת עד לשנת 2019 כמפקד פיקוד אירופה של ארצות הברית ומפקד כוחות נאט"ו.
ביוגרפיה.
סקפרוטי, בנם של בטי ומייקל, נולד בלוגן שבאוהיו. אביו שירת בצבא במהלך מלחמת העולם השנייה, השתחרר והתגייס מחדש למשמר הלאומי. ב-1978 סיים סקפרוטי לימודים באקדמיה הצבאית של ארצות הברית, הוא בוגר קורס קציני חי"ר וקורס קציני חי"ר מתקדם, בוגר המכללה לפיקוד ומטה ובוגר מכללת המלחמה של הצבא. הוא בעל תואר שני במנהל חינוך מאוניברסיטת קרוליינה הדרומית.
לאחר ווסט פוינט הוצב כמפקד מחלקה בגדוד השלישי של הרגימנט המוטס ה-325 בדיוויזיה המוטסת ה-82 של צבא ארצות הברית. שימש כקצין מבצעים בגדוד הראשון של רגימנט 87 בדיוויזיה ההררית העשירית ופיקד על הגדוד השלישי ברגימנט המוטס ה-325, בתחילת תפקידו כמפקד הגדוד, נקראה היחידה לסייע באבטחת פעולת הארגוניים הבינלאומיים שפעלו למען הפליטים מזאיר ורואנדה בעקבות רצח העם ברואנדה. במהלך מלחמת בוסניה השתתפה יחידתו כחלק מכוח האכיפה הרב-לאומי, היחידה הוטסה והוצבה במשימת אבטחת העיר טוזלה והפרדה בין הצדדים היריבים. בהמשך שירותו פיקד על הרגימנט השני בדיוויזיה המוטסת ה-82. בשנים 2004–2006 שימש מפקד הצוערים באקדמיה הצבאית של ארצות הברית. ב-2008 מונה למפקד הדיוויזיה המוטסת ה-82, במהלך תפקידו השתתפה היחידה במלחמת אפגניסטן. ב-2010 מונה למפקד קורפוס I, במקביל שימש מפקד כוח הסיוע הביטחוני הבינלאומי של נאט"ו וכן שימש סגן מפקד הכוחות האמריקאים באפגניסטן. ב-2012 מונה לעוזר ראש המטות המשולבים. ב-2013 מונה למפקד פיקוד כוחות ארצות הברית בקוריאה, מפקד הכוח המשולב ארצות הברית-קוריאה הדרומית ומפקד כוחות האו"ם בקוריאה הדרומית.
באפריל 2016 מונה למפקד פיקוד אירופה של ארצות הברית ובמקביל מכהן כמפקד כוחות נאט"ו. הוא שירת בתפקיד עד מאי 2019.
לאחר פרישתו הצטרף לחברת הייעוץ של ויליאם כהן "קבוצת כהן". כמו כן הוא חבר בצוות ההנהלה של צוות החשיבה המועצה האטלנטית.
סקפרוטי נשוי לסינדי ואב לבן ובת.
ליביו דראגניה
לִיבְיוּ ניקולאָיֶה דְראַגְנְיָה (ברומנית: Liviu Nicolae Dragnea, נולד ב-28 באוקטובר 1962 בכפר גראטיה, מחוז טלאורמן) הוא פוליטיקאי רומני, מהנדס תחבורה בהשכלתו, יושב ראש המפלגה הסוציאל-דמוקרטית ברומניה בין השנים 2015–2019, יושב ראש בית הנבחרים של רומניה בשנים 2016–2019.
בינואר-פברואר 2009 כיהן זמן קצר כשר המנהל והפנים בממשלת אמיל בוק. בדצמבר 2012 התמנה לסגן ראש הממשלה ולשר המנהל והפיתוח האזורי בממשלת ויקטור פונטה. נבחר לבית הנבחרים של רומניה מטעם מחוז הולדתו, טלאורמן בין השנים 2012–2019
ביוגרפיה.
ליביו דראגניה נולד בשנת 1962 בכפר גראטיה שבמחוז טלאורמן בחבל מונטניה (ולאכיה). בשנת 1981 סיים את לימודיו בתיכון למתמטיקה-פיזיקה "אוניריה" ("האיחוד") בטורנו מגורלה. לאחר מכן למד במכון הפוליטכני בבוקרשט (בימינו - האוניברסיטה הפוליטכנית של בוקרשט), בפקולטה לתחבורה, המחלקה לכלי רכב, אותה סיים בשנת 1987. מאוחר יותר, ב-1997, השתלם בבית הספר ללימודים גבוהים למנהל של משרד הפנים האיטלקי ברומא. ב-2001 למד קורס המשך למנהל ציבורי מקומי באקדמיה ללימודים כלכליים בבוקרשט וב-2003 סיים לימודים נוספים בפקולטה לניהול ולמנהל ציבורי באוניברסיטה האקולוגית בבוקרשט. ב-2004 סיים לימודים במכללה לביטחון - האוניברסיטה הלאומית לביטחון על שם קרול הראשון.
קריירה פוליטית.
בשנת 1996 נבחר למועצת העיר טורנו מגורלה. בשנים 1996–2000 פעל כחבר במפלגה הדמוקרטית-ליברלית.
בין 1996–2000 כיהן כפרפקט של המחוז טלאורמן בשנים 2004–2009 היה יושב ראש מועצת המחוז טלאורמן.
ב-2000 הצטרף לשורות המפלגה הסוציאל-דמוקרטית. בתקופה שבין 20 בינואר 2009 ל-2 בפברואר 2009 החליף את גבריאל אופריה כשר המנהל והפנים בממשלת בוק הראשונה. בין דצמבר 2012 ל-15 במאי 2015 החליף את אדוארד הלוויג בממשלת ויקטור פונטה השנייה, השלישית והרביעית כשר למנהל ולפיתוח אזורי וסגן ראש הממשלה. ב-22 ביולי 2015, בעקבות התפטרותו של ויקטור פונטה מראשות הממשלה ומראשות המפלגה הסוציאל-דמוקרטית, נבחר דראגניה ליושב ראש המפלגה הסוציאל-דמוקרטית.