בשנת 1968 הופק "המפקח קלוזו חוזר" (Inspector Clouseau), על פי תסריט שנכתב על ידי תסריטאי שאר הסרטים, תחת אותה חברת הפקה של הסרטים האחרים, בבימויו של באד יורקין, ובכיכובו של אלן ארקין כמפקח השלומיאל, סרט הנחשב טכנית כהמשך הסדרה, אחרי "ירייה באפלה", אך לא זכה לאותה ההצלחה כמו האחרים. הסיבה לשינוי הייתה שבאותה שנה היו פיטר סלרס ובלייק אדוארדס עסוקים בהפקת הסרט "המסיבה". הם חזרו בהמשך ליצור עוד ארבעה סרטים נוספים בסדרה. באחרון שבהם, "בעקבות הפנתר הוורוד", נעשה שימוש בחומר ארכיוני בו מופיע פיטר סלרס, שנפטר ב-1980, כשנתיים לפני הפקת הסרט.
בשנת 1993 ביים אדוארדס את סרטו האחרון, "בנו של הפנתר הוורוד", בו כיכב רוברטו בניני, סרט שנכשל הן בקופות והן בביקורת.
בעשור הראשון של המאה ה-21 נכנס סטיב מרטין לנעליו של המפקח קלוזו בשתי קומדיות חדשות בסדרה, שזכו להצלחה יחסית.
אינטגרלי מסלול
שיטת אינטגרלי המסלול היא תיאור של מכניקת הקוונטים על פיה, למשל, ניתן להציג את הסתברות המעבר של חלקיק מנקודה אחת לאחרת כסכום (אינטגרל) על כל המסלולים האפשריים בהם החלקיק יכול לעבור בין שתי הנקודות. שיטה זו פותחה על ידי הפיזיקאי חתן פרס נובל ריצ'רד פיינמן ב-1948. גישה זו מצטרפת לאלו של שרדינגר והייזנברג כתיאור נוסף של מכניקת הקוונטים. היא מדגישה את השוני בין המכניקה הקוונטית והמכניקה הקלאסית, כיוון שבזו האחרונה, מעבר חלקיק בין שתי נקודות נתונות מתבצע לאורך מסלול אחד ויחיד. אינטגרלי מסלול הוכיחו עצמם כיעילים מאוד לצורך פיתוח התמונה הפיזיקלית, ופתרון של בעיות רבות בתורת הקוונטים, וההכללה שלהם לתורת שדות היא כיום ה"שפה" המקובלת של הפיזיקה התאורטית.
הערת מינוח.
אינטגרלי המסלול (path integrals) שהוצגו על ידי פיינמן ב-1948 ובהם דן מאמר זה, הומצאו מתוך ניסיון להבנה עמוקה יותר של מכניקת הקוונטים והם שונים בתכלית מאינטגרלי המסלול במתמטיקה. במתמטיקה אינטגרלי מסלול (או אינטגרלים מסילתיים) מתייחסים לאינטגרלים של פונקציות (סקלריות או וקטוריות) לאורך מסילות במרחב. לעומת זאת כאן האינטגרציה היא של פונקציונלים והמסילות במרחב הן למעשה משתני האינטגרציה. כשם שחשבון וריאציות הוא הכללה של פעולת הנגזרת עבור פונקציונלים, אינטגרלי מסלול, בהקשר בו נדון כאן, מהווים הכללה של פעולת האינטגרציה.
דיון איכותי.
בניגוד למכניקה הקלאסית הדטרמיניסטית, תיאור הדינמיקה של מערכות קוונטיות נעשה במונחים של הסתברות. בפרט, משוואת שרדינגר מתארת את ההתפתחות בזמן של מערכת קוונטית, היא משוואה עבור אמפליטודת הסתברות או פונקציית הגל אשר הערך המוחלט שלה בריבוע נותן את ההסתברות עבור מציאת החלקיק במקום מסוים או במצב מסוים.
אינטגרלי המסלול של פיינמן מבטאים את אמפליטודת ההסתברות formula_1 למעבר מנקודת ההתחלה formula_2 לנקודת הסיום formula_3, לאחר זמןformula_4, כסכום על כל המסלולים האפשריים formula_5 המחברים נקודות אלו, כלומר מסלולים שנקודת ההתחלה שלהם היא formula_6 ונקודת הסיום formula_7:
formula_8
כאן המקדם formula_9 מייצג את המשקל (המידה) של תרומת המסלול ה-formula_10י, ואילו formula_11 הוא פונקציונל הפעולה הקלאסית של החלקיק הנע לאורך המסלול זה. אם, בפרט, נניח שחלקיק בעל מסה formula_12 נע תחת ההשפעה של האנרגיה הפוטנציאלית formula_13, אזי פונקציונל הפעולה המתייחס למסלול כלשהו formula_14 הוא:
formula_15
כאשר
formula_16
הוא הלגראנז'יאן של המערכת, ו formula_17 מציין את מהירות החלקיק או הנגזרת לפי הזמן של מיקומו. הפעולה המחולקת בקבוע פלאנק מיצגת את הפאזה שצובר החלקיק לאורך המסלול. הפרוש של נוסחה זו הוא שחלקיק קוונטי עובר מנקודה אחת לשנייה דרך כל המסלולים האפשריים בו זמנית, וההתאבכות של התרומות מכל המסלולים היא שקובעת את אמפליטודת ההסתברות (ולכן גם את ההסתברות) למעבר.
ההצגה בעזרת אינטגרלי מסלול מבהירה את הבדל בין הדינמיקה הקלאסית והקוונטית: הדינמיקה הקלאסית נקבעת מעקרון הפעולה המינימלית לפיו המסלול בו נע החלקיק הוא זה עבורו פונקציונל הפעולה מינימלי. לעומת זאת התורה הקוונטית מאפשרת תנועה של החלקיק גם במסלולים אחרים עבורם הפעולה אינה מינימלית. למרות זאת, כפי שנראה בהמשך, למסלולים הקלאסיים, בהיותם "נקודות מינימום" של פונקציונל הפעולה (ע"ע חשבון וריאציות), מעמד מיוחד, ותרומתם בגבול של אורכי גל קצרים דומיננטית.
גזירה של אמפליטודת המעבר.
בחלק זה נראה תמצות לדרך בה מקבלים, באופן פורמלי, את ההצגה של אמפליטודת ההסתברות בעזרת אינטגרלי המסלול. החישוב המפורט, מראשיתו ועד סופו, מופיע בערך המורחב. לשם פשטות, נתבונן במערכת חד-ממדית המתוארת באמצעות ההמילטוניאן:
formula_18
כאשר formula_12 היא מסת החלקיק, formula_20 התנע שלו, formula_21 מיקומו ו- formula_13 האנרגיה הפוטנציאלית שלו.
אמפילטודת המעבר מנקודה formula_2 לנקודה formula_3 נתונה בביטוי:
formula_25
כאשר השתמשנו בסימון דיראק בו המצב formula_26 מציין מצב מקום. לגודל זה נהוג גם לקרוא אופרטור ההתפתחות בזמן (או הפרופגטור) כיוון שהוא מקדם את המערכת בזמן. מכיוון שהמערכת אינה תלויה מפורשות בזמן אפשר לרשום את האופרטור formula_27 כמכפלה של formula_28 גורמים formula_29 כאשר formula_30. בשלב הבא מציבים בין כל זוג גורמים במכפלה הזו את אופרטור הזהות formula_31 המבוטא באמצעות יחס השלמות של מצבי המקום:
formula_32
ומכאן מקבלים
formula_33
כאשר לשם נוחות ההצגה החלפנו את המציין של נקודת הסיום להיות formula_34.
אופרטור ההתפתחות בזמן עבור פרק זמן קטן formula_35 הוא:
formula_36
ולכן אמפליטודת המעבר בגבול formula_37 היא
formula_38
לנוסחה זו ניתן לתת את הפרוש הבא: אמפליטודת ההסתברות למעבר בין שתי נקודות נתונות בפרק זמן formula_4 היא מכפלה של אמפליטודות הסתברות למעבר דרך סדרת נקודות formula_40 כאשר פרק הזמן למעבר בין כל שתי נקודות שכנות הוא formula_41, ויש לסכם על כל נקודות הבינים האפשריות. אם נפרש את המשתנים formula_42 כדגימה של הפונקציה formula_14, המתארת את מסלול החלקיק, בזמנים formula_44, אזי האינטגרל שלמעלה מתאר אינטגרציה על כל המסלולים האפשריים המחברים את נקודת ההתחלה והסיום.
השלב האחרון הוא בסך הכול הסימון של האינטגרל שלעיל. בהנחה ש- formula_42 הן נקודות הדגימה של מסלול החלקיק formula_14, ניתן להבין את הסכום באספוננט כסכום רימן אשר בגבול formula_37 נותן את הפעולה לאורך המסלול:
formula_48
ולכן נהוג לסמן את האינטגרל המסלולי בצורה:
formula_49
כאשר formula_50 הוא הלגראנז'יאן של המערכת. הסמל formula_51 אנלוגי לסמל formula_52 באינטגרציה של פונקציות, ומשמעותו שיש לסכם על כל המסלולים עם משקל (מידה) הנקבעת דרך הדיסקרטיזציה של האינטגרל לנקודות זמן formula_53, בגבול formula_54.
הכללות.
אינטגרלי מסלול, שהוצגו כאן עבור חלקיק יחיד בממד אחד, ניתנים להכללה בכמה אופנים:
שימושים.
גזירת עקרון הפעולה המינימלית.
המכניקה הקוונטית מהווה תיאור מיקרוסקופי מדויק של חוקי הפיזיקה, ולכן אפשר לצפות שחוקי המכניקה הקלאסית מתקבלים כגבול של התורה הקוונטית, כשם שחוקי ניוטון מתקבלים מתורת היחסות הפרטית בגבול של מהירויות נמוכות ממהירות האור. במקרה דנן, המכניקה הקלאסית מתקבלת מהגבול בו קבוע פלאנק שואף לאפס formula_59. כדי לראות שגבול זה מזדהה עם עקרון הפעולה המינימלית (ממנו נגזרים חוקי המכניקה הקלאסית) יש לזהות מהם המסלולים בעלי התרומה הגדולה ביותר לאינטגרל המסלולי המתאר את אמפליטודת המעבר בין שני מצבים. כפי שאפשר לראות אמפליטודת המעבר בעלת סינגולריות עיקרית בגבול formula_59. משמעות הדבר, כאן, שבגבול formula_59 שינוי קטן בצורת המסלול משנה את הפאזה שלו באופן משמעותי, ולכן הסכום על המסלולים, בדרך כלל, יתמצע לאפס בדומה לאינטגרציה של פונקציה מחזורית שהממוצע שלה אפס. יוצאים מן הכלל הם המסלולים אשר שינויים קטנים שלהם אינם משנים את הפאזה באופן משמעותי. מסלולים אלו הם המסלולים עבורם:
formula_62
כאשר
formula_63
הוא פונקציונל הפעולה, ו- formula_64 מציינת וריאציה קטנה של המסלול formula_14, והאפס באגף ימין הוא עד כדי אבר מסדר שני בווריאציה (ע"ע חשבון וריאציות). המסלולים היחידים שתורמים בגבול הקלאסי formula_59 הם, אם כן, אלו שפעולתם מינימלית, ובכך הוכחנו את עקרון הפעולה המינימלית.
הקשר בין אינטגרלי מסלול ומכניקה סטטיסטית.
מתברר שאינטגרלי המסלול של פיינמן, ובפרט פרופאגאטוריי פיינמאן, הם אנלוגיים לפונקציית החלוקה של מערכת קלאסית (בעלת מימד אחד גבוה יותר מהמימד של המערכת הקוונטית). אם אנו מעוניינים לעקוב אחרי דמיון זה, עלינו לבצע אינטגרל בזמן מדומה. לקשר זה משמעות גדולה כיוון שהוא מספק נקודת מבט נוספת על מערכות קוונטיות. נדגים אותו באמצעות דוגמה: נתבונן במיתר המתוח בין שתי נקודות formula_67 ו-formula_68 ונניח שהוא יכול לבצע תנודות רוחביות בכיוון ציר formula_21 הניצב לישר שלאורכו מתוח המיתר כאשר הוא במנוחה. נוכל לתאר את צורת המיתר בעזרת הפונקציה formula_70. נניח כעת שהמיתר נמצא תחת השפעה של פוטנציאל כך שהאנרגיה של אלמנט אורך אינפינטיסימלי formula_71 היא formula_72. בנוסף לכך אם מתיחות המיתר היא formula_73 אז האנרגיה הכרוכה בעיוות המיתר ממצב שיווי המשקל שלו לצורה כלשהי formula_70 נתונה על ידי הפונקציונל:
formula_75