באמיתות המשפט במקרה של הרחבות ריבועיות ניתן להשתכנע באופן הבא: כל הרחבה ריבועית של הרציונליים באה מסיפוח שורש של מספר שלם חופשי מריבועים, ולכן מספיק לדון במקרה של סיפוח שורש של ראשוני (אי־זוגי).
כאמור, כל הרחבה p־ציקלוטומית היא אבלית (מממד זוגי) ולכן מכילה הרחבה ריבועית יחידה (היא שדה השבת המתאים לתת־החבורה היחידה מאינדקס 2 של החבורה הציקלית מסדר p-1). הדיסקרימיננטה של הרחבה p־ציקלוטומיות היא חזקה של p, ולכן כך גם הדיסקרימיננטה של הרחבת הביניים הריבועית; אבל באמצעות חישוב הדיסקרימיננטה להרחבות ריבועיות (עבור formula_4 הדיסקרימיננטה היא d אם d שקול לְ־1 מודולו 4 וְ־4d אחרת) מקבלים כי d מוכרח להיות - עד כדי סימן - הראשוני שסיפחנו שורש של היחידה מן הסדר שלו (את הסימן ניתן 'לתקן' בעזרת סיפוח formula_5) . מכאן שכל הרחבה ריבועית מוכלת בהרחבה ציקלוטומית.
ניסוח הטענה בלשון חבורת גלואה האבסולוטית.
כשקובעים ראשוני p ושורש היחידה formula_6 באשר q חזקה של p ניתן להתאים לכל אוטומורפיזם בחבורת גלואה האבסולוטית סדרה שבה במקום ה־n־י כתובה החזקה של formula_6 שאליה שולח אותו האוטומורפיזם.
כשנותנים למעריך של p לשאוף לאינסוף מתקבל אבר בחבורה הכפלית של חוג השלמים ה־p־אדיים, וההומומורפיזם המושרה משליחת כל אוטומורפיזם לסדרה המתאימה לו נקרא הקרקטר ה־p־אדי ציקלוטומי.
כעת ניתן 'להדביק' את כל הקרקטרים הללו ביחד ולקבל (באמצעות מכפלה ישרה של הקרקטרים) הומומורפיזם מן החבורה האבסולוטית למכפלת החבורות הכפליות של חוגי השלמים ה־p־אדיים, שאיזומורפית בתורה - כמעין הכללה למשפט השאריות הסיני - לחבורה הכפלית של החבורה הפרו־ציקלית (הגבול ההפוך של מערכת החבורות הציקליות הסופיות).
כעת, כדי להבין טוב יותר את ההרחבה האבלית המקסימלית של הרציונליים, עוברים לנסות לתאר את חבורת הגלואה שלהם. היא נתונה באמצעות האבליניזציה של חבורת הגלואה האבסולוטית של הרציונליים, כלומר המנה של החבורה האבסולוטית בתת-החבורה הסגורה הנורמלית הנוצרת על ידי תת-חבורת הקומוטטורים (כאשר הטופולוגיה היא הטופולוגיה הפרו־סופית הרגילה).
אכן, מאחר שתמונת ההומומורפיזם שהוגדר קודם (דרך מכפלת הקרקטרים) אבלית, הוא מוגדר כהומומורפיזם מן האבליניזציה, היא חבורת גלואה של ההרחבה האבלית המקסימלית. משפט קרונקר־ובר קובע אפוא שההומומורפיזם המושרה מן האבליניזציה הוא למעשה איזומורפיזם.
כך, התנהגות החלק האבלי של ההרחבות האלגבריות של הרציונליים נקבעת אך ורק על־פי ההתנהגות של ההרחבות ה־p־ציקלוטומיות ומכאן ניסוחו השני של המשפט: כל הרחבת גלואה אבלית סופית של שדה המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי.
המקרה המקומי.
בשנים 1965 וְ־1966 הוכיחו ג'ונתן לובין וג'ון טייט מעין גרסה של משפט קרונקר-ובר לשדות מקומיים, לפיה כל הרחבה אבלית של שדה מקומי מוכלת בהרחבה הנוצרת דרך הרחבות ציקלוטומיות ודרך הרחבות לובין-טייט (שהן הרחבות של שדות מקומיים המתקבלות מפולינומי אייזנשטיין באופן מסוים; להרחבות כאלה חבורת גלואה שהיא מנה קנונית של חבורת היחידות של חוג השלמים של השדה המקומי).
מאידך, בעזרת למת הנזל ניתן להוכיח שכל הרחבה לא מסועפת של ההשלמה ה־p־אדית של formula_8 מתקבלת באמצעות סיפוח שורש היחידה מתאים.
1985 בקולנוע
אאוסביוס מקיסריה
מרחב T4
אריזונה קרדינלס
אריזונה קרדינלס (באנגלית: Arizona Cardinals) היא קבוצת פוטבול אמריקאית מליגת ה-NFL שבסיסה בעיר גלנדייל, הסמוכה לפיניקס שבמדינת אריזונה. הקרדינלס נוסדה בשנת 1898 בעיר שיקגו בשם שיקגו קרדינלס והיא הקבוצה המקצוענית הוותיקה ביותר, וממייסדות ליגת ה-NFL. כינוי הקבוצה וסמלה על שם ציפור השיר הקרדינל.
הקבוצה זכתה פעמיים באליפות ליגת ה-NFL (טרם האיחוד עם ה-AFL), בשנים 1925 וב-1947. היא העפילה פעם אחת לסופרבול, בעונת 2008 (סופרבול XLIII) בו נוצחה על ידי פיטסבורג סטילרס.
ב-1960 עברה הקבוצה לסנט לואיס שבמיזורי ונקראה סנט לואיס קרדינלס. ב-1988 עברה לאריזונה, שיחקה תחילה בטמפי ונקראה פיניקס קרדינלס. משנת 1994 נקראת בשמה הנוכחי ומשנת 2006 משחקת באצטדיון בעיר גלנדייל, אשר שינה את שמו בשנת 2018 לאצטדיון "סטייט פארם".
אטלנטה פלקונס
אטלנטה פלקונס (באנגלית: Atlanta Falcons - בזי אטלנטה) היא קבוצת פוטבול אמריקאית מהעיר אטלנטה במדינת ג'ורג'יה שבארצות הברית. הפלקונס משחקים בבית ה-NFC דרום של ליגת הפוטבול הלאומית (NFL). ארגון אטלנטה פלקונס הוקם ב-30 ביוני 1965 כאשר קומישינר ה NFL פיט רוזל העניק את בעלות הקבוצה לרנקין סמית. בחירת הדראפט הראשונה של אטלנטה והכללית בדראפט 1966 הייתה הליינבקר טומי נוביס ובכך הפכה אותו לשחקן הראשון בהיסטוריה של המועדון. הקבוצה נמצאת כיום תחת בעלותו של איש העסקים ארתור בלאנק שבבעלותו עוד שלוש קבוצת ספורט נוספות בעיר.
לפלקונס קבוצת מעודדות הקרויה בפשטות "מעודדות אטלנטה פלקונס", ובז קמע בשם פרדי פאלקון.
רקע כללי.
עונתה הראשונה של הקבוצה הייתה 1966 וב-1 באוגוסט אותה השנה שיחקה את המשחק הראשון שלה (במשחקי טרום העונה) בו היא הפסידה לפילדלפיה איגלס. לאחר שהפסידה את תישעת משחקיה הראשונים, ניצחה הקבוצה את ניו יורק ג'איינטס במשחק חוץ ובכך זכתה בניצחונה הראשון, אטלנטה סיימה את שנות ה-60 עם 12 ניצחונות בלבד.
אטלנטה שיחקה בפעם הראשונה במשחק המרכזי של המחזור (משחק הפוטבול של יום שני) בשנת 1970, למרות שסיימה את העונה במאזן שלילי. שנת 1971 הייתה השנה בה אטלנטה הצליחה לראשונה להשיג מאזן חיובי במהלך העונה. בשנת 1978 הגיעה הקבוצה להישג הממשי ראשון, העפלה לפלייאוף. רק שלוש עשרה שנים לאחר הקמת המועדון.
בשנת 1998, הגיעה הקבוצה להישג השיא שלה, כאשר הקוורטרבק כריס צ'נדלר והרץ האחורי ג'אמאל אנדרסון סחפו אותה לניצחון בגמר ה-NFC על המינסוטה ויקינגס הפייבוריטים וחגגו עלייה ראשונה לסופרבול. בסופרבול עצמו נגמרה החגיגה כאשר דנוור ברונקוס גברה על הפלקונס 19-34.
בשנת 2001 הפאלקונס קיבלו מהסן דייגו צ'רג'רס בחירת דראפט ראשונה בסיבוב הראשון תמורת בחירת דראפט חמישית בסיבוב הראשון והתופס טים דוויט. את הבחירה הראשונה הם ניצלו כדי לקחת את הקוורטרבק מייקל ויק מוירג'יניה טק. מייקל ויק התחיל כקוורטרבק משני לכריס צ'אנדלר, ובשנת 2002 הוא היה לקוורטרבק הפותח של הקבוצה, באותה השנה מייקל ויק הוביל את הפלקונס לפליי-אוף בו הם הפסידו לפילדלפיה איגלס בגמר האזורי. במהלך משחקי קדם העונה של עונת 2003 מייקל ויק שבר אתה הרגל ולא שיחק במהלך שנים עשר המשחקים הראשונים, בסוף אותה שנה המאזן של אטלנטה היה שלילי ועמד על 5–11. ויק חזר בעונת 2004 והוביל את הפאלקונס למאזן 5–11 ולפלייאוף בו הם הפסידו שוב לפילדלפיה איגלס בגמר המחוזי. הפעם הבאה שהעפילה הקבוצה לפלייאוף הייתה בעונת 2008 בהנהגתו של הקוורטרבק הרוקי מאט ראיין. בעונת 2016 העפילה הקבוצה בפעם השנייה בתולדותיה לסופרבול. בסופרבול LI נפגשה עם ניו אינגלנד פטריוטס ולמרות שהובילה 28–3 במהלך המחצית השנייה ו-28–9 בפתיחת הרבע האחרון, הפסידה הקבוצה בהארכה, 28–34.
אצטדיון.
הקבוצה אירחה את משחקיה הביתיים באצטדיון אטלנטה פולטון קאונטי, אשר שימש גם כמגרשה הביתי של קבוצת הבייסבול של העיר, האטלנטה ברייבס. בשנת 1992 עברה הקבוצה לאצטדיון ג'ורג'יה דום, שעלותו הייתה 214 מיליון דולר, והכיל 71,228 מקומות, האצטדיון אירח פעמיים את הסופרבול, בשנים: בשנת 1994 (XXVIII) ובשנת 2000 (XXXIV).
בשנת 2017 עברה הקבוצה לשחק באצטדיון מרצדס-בנץ שנבנה עבורה בעלות של 1.4 מיליארד דולר.
בולטימור רייבנס
בולטימור רייבנס (באנגלית: Baltimore Ravens; כינוי: רייבנס) היא קבוצת פוטבול אמריקאית מהעיר בולטימור, המשחקת בליגת ה-NFL.
בעבר יוצגה העיר על ידי הקולטס, אך זו עזבה ובמקומה הגיעה ב-1996 הקליבלנד בראונס שחיפשה מגרש ביתי חדש. אוהדי הפוטבול בבולטימור לא רצו ששם העיר יהיה קשור לבראונס, ולפיכך הוחלפו צבעי הקבוצה וחברי היכל התהילה של הבראונס נשארו בקליבלנד. בשלוש העונות הראשונות לאחר הקמתה הקבוצה לא הייתה קרובה להעפיל לפלייאוף, אך בעונה הרביעית (1999) מצבה השתפר והיא החמיצה את ההעפלה בגלל משחק אחד.
בעונת 2000 הצליחה הקבוצה להעפיל לסופרבול (סופרבול XXXV), שנערך בטמפה. במשחק עצמו היא גברה על ניו יורק ג'איינטס בתוצאה 34–7. ריי לואיס, שחקן ההגנה של הרייבנס, זכה בתואר MVP של משחק הסופרבול. בעונות לאחר מכן הגיעו הרייבנס שש פעמים נוספות לפלייאוף, אך לא הצליחו להעפיל עד לסופרבול. בעונת 2012 הדיחו הרייבנס את דנוור ברונקוס ואת ניו אינגלנד פטריוטס בפלייאוף, העפילו בפעם השנייה בתולדותיהם לסופרבול, (סופרבול XLVII), בו גברו על סן פרנסיסקו 49' 31-34.
פנים אל פנים
פנים אל פנים הוא שבועון לציבור הדתי שהחל לצאת לאור בישראל בשנות החמישים, ויצא לאור במשך 18 שנה. את השבועון יסד, ערך והוציא לאור הרב שמואל אבידור הכהן, יחד עם אחיו, פינחס פלאי. תחילה נקרא "עין בעין" ואחר כך שינה את שמו ל"פנים אל פנים". חלק ניכר מתוכנו נכתב על ידי הכהן עצמו, בשמות בדויים, אחד מהם היה השם אבידור (אבי יעקב-דוד ורינה), שהפך לחלק משמו המלא. כמו כן הרבו לכתוב בו האח פינחס פלאי, האחות טובה (גיתית) הכהן (לימים וכטפוגל), ואביהם הרב מרדכי הכהן.