חוק ההדדיות הריבועית קובע כי מספר ראשוני q הוא שארית ריבועית מודולו מספר ראשוני p בהתניה בתוצאת הקונגרואנציה ההפוכה; בניסוחו הבסיסי, המשפט מקשר בין היכולת לפתור את שתי המשוואות הבאות: אם formula_6 הם שני מספרים ראשוניים אי זוגיים, אז המשוואות הן:
כלומר, השאלה היא מתי כל אחד מהמספרים הוא ריבוע מודולו המספר השני.
על פי המשפט, התשובה לשאלה זו תלויה בשארית של formula_6 בחלוקה ב-4. אם השארית של שניהם בחלוקה ב-4 היא 3, קיים פתרון לאחת מהמשוואות אם ורק אם לא קיים פתרון לשנייה. לעומת זאת, אם השארית בחלוקה ב-4 של לפחות אחד משני הראשוניים היא 1, הרי שקיים פתרון לאחת מהמשוואת אם ורק אם קיים פתרון לשנייה, ומכאן נובע שם החוק "חוק ההדדיות הריבועית" - כלומר חייבת להיות הדדיות בפתירות הקונגרואנציות הריבועיות (במקרה השני).
דוגמה.
אם formula_10 (עבור שניהם, השארית בחלוקה ב-4 היא 1), קיימים פתרונות לשתי המשוואות:
לעומת זאת, אם formula_13 (גם כאן, השארית בחלוקה ב-4 היא 1 עבור שניהם) לא קיים פתרון לאף אחת מהמשוואת (ניתן להיווכח בכך על ידי בדיקה ישירה).
כעת, אם formula_14 אז השארית בחלוקה ב-4 של שני המספרים היא במקרה זה 3, וניתן לראות כי קיים פתרון למשוואה הראשונה:
אך בדיקה ישירה מעלה כי לא קיים פתרון למשוואה השנייה.
נשים לב כי לא ניתנת שיטה נוחה למציאת הפתרונות, אלא רק מוצבע על הקשר בין קיומם.
משפטי עזר.
בנוסף למשפט המרכזי, ישנם שני משפטי עזר המתלווים אליו, ומאפשרים להשתמש בו בצורה כללית יותר.
המשפט הראשון אומר כי אם formula_16 הוא ראשוני אי זוגי, אז למשוואה:
קיים פתרון אם ורק אם formula_16 משאיר שארית 1 בחלוקה ב-4. לדוגמה, עבור formula_19 קיים הפתרון:
אך עבור formula_21 לא קיים פתרון.
המשפט השני עוסק במשוואה:
ועל פיו יש למשוואה פתרון אם ורק אם formula_16 משאיר שארית של 1 או 7 בחלוקה ב-8.
ניסוח בעזרת סימן לז'נדר.
ניתן לנסח את המשפט בצורה קומפקטית יותר באמצעות סימן לז'נדר, המוגדר בצורה הבאה עבור formula_16 ראשוני אי זוגי ו-formula_25 שלם כלשהו:
בסימונים אלו, משפט ההדדיות הריבועית ומשפטי העזר יכולים להיות מנוסחים בצורה הבאה:
אם formula_6 ראשוניים אי זוגיים, אז:
וכמו כן:
הוכחה.
ההוכחה המתוארת כאן, היא ההוכחה השלישית של קרל פרידריך גאוס למשפט ההדדיות הריבועית.
למה 1: הלמה של גאוס:
יהי p מספר ראשוני אי זוגי, ונניח ש- a זר ל- p. אם n הוא מספר המספרים בקבוצה
formula_31 המשאירים שארית גדולה מ- p/2 כשמחלקים אותם ב-p, אז: formula_32, כאשר ( ) הוא סימן לז'נדר.
הוכחה. מכיוון ש- a זר ל- p, כל formula_33 המספרים בקבוצה S שונים זה מזה מודולו p. נסמן ב-
formula_34 את שאריות החילוק הקטנות מ- p/2, וב- formula_35 את שאריות החילוק הגדולות מ- p/2. המספרים formula_36 כולם חיוביים וקטנים מ- p/2. יתרה מזו, אלו מספרים שונים, מפני שאם
formula_37, כאשר formula_38 ו-formula_39,
formula_40, והרי המכפלות בקבוצה S הן תמיד בגורמים קטנים מ- p/2.
אם כך, המספרים ברשימה הנ"ל שווים למספרים formula_41 בסדר כלשהו, ומכפלתם שווה ל- formula_42; לכן
formula_43. מצד שני, המספרים formula_44 מהווים סידור מחדש של הקבוצה S, ומכאן ש-
formula_45. לכן
formula_46. אבל לפי מבחן אוילר,
formula_47.
למה 2: אם p הוא מספר ראשוני אי זוגי ו-a הוא מספר שלם אי זוגי המקיים 1 =(gcd(a,p אז:
formula_48
הוכחה: בדומה ללמה של גאוס.
הוכחת משפט ההדדיות הריבועית:
נתבונן בשתי הקבוצות הבאות: {N = {1,2...,(p-1)/2 ו- {M = {1,2...,(q-1)/2 . מספר הזוגות (m,n) כאשר m נבחר מתוך הקבוצה M ו-n נבחר מתוך הקבוצה N שווה לפי עקרון כפל האפשרויות ל- formula_49 . נחלק את קבוצות הזוגות (m,n) לשלוש קבוצות: האחת אשר הזוגות בה מקיימים: formula_50, השנייה: formula_51, השלישית:
formula_52. אם formula_51 אז נקבל: nq = pm, ומאחר ש-p ו-q זרים נקבל
ש-q מחלק את m, סתירה, לכן אין זוגות כאלה.
לכל m, מספר המספרים הטבעיים n הקיימים את התנאי בקבוצה הראשונה הוא בדיוק [mp/q] ולכל n מספר המספרים הטבעיים m המקיימים את התנאי בקבוצה השלישית הוא בדיוק [nq/p]. מאחר שסה"כ הזוגות הסדורים
(m,n) שווה לסכום הזוגות המשתייכים לקבוצה הראשונה ולקבוצה השלישית, נקבל:
formula_49 = formula_55.
אבל לפי למה 2: formula_56 ו-:
formula_57, ולכן: formula_58 ובכך נשלמה הוכחת משפט ההדדיות הריבועית.
הכללה לסימן יעקובי.
בהינתן מספר שלם אי זוגי formula_59 מגדירים את סימן יעקובי באמצעות סימן לז'נדר בצורה הבאה: אם formula_60 הוא פירוק לגורמים של formula_59 (הגורמים אינם בהכרח שונים זה מזה) אז סימן יעקובי מוגדר כך לכל formula_25 שלם:
תחת הכללה זו ניתן לנסח את משפט ההדדיות הריבועית בצורה דומה עבור סימן יעקובי: אם formula_64 שני מספרים שלמים אי זוגיים חיוביים, אז:
דוגמה לשימוש.
נניח כי רוצים לדעת האם קיים פתרון למשוואה:
נראה כיצד לעשות זאת תוך שימוש במשפט ההדדיות הריבועית ובשתי תכונות בסיסיות של סימן לז'נדר:
בעזרת המשפט ושתי תכונות אלו נקבל:
כאשר המעבר האחרון נובע מכך ש-17 מתחלק ב-8 עם שארית 1 ולכן: formula_74
כעת, נמשיך בצורה דומה:
ושוב נעשה את אותו הדבר בדיוק:
וקיבלנו שאין למשוואה פתרון. המעבר האחרון נובע מכך ש-formula_77 לכל formula_16 (למעשה, formula_79 לכל formula_16 ראשוני ולכל formula_25, על פי הגדרה).
הכללות.
קיימות הכללות של המשפט לסדרים גבוהים יותר - למשל, לחזקה שלישית ורביעית. עם זאת, מכיוון שחלק משורשי היחידה של 1 מסדר שהוא גבוה מ-2 אינם ממשיים, משפטים אלו מתבססים על אריתמטיקה שמערבת את המספרים המרוכבים ואינה תלויה אך ורק במספרים רציונליים, ולכן שייכים יותר לתורת המספרים האלגברית.
פירמידת מאסלו
אריה נבון
אריה נבון (קליגְמן) (22 במאי 1909 – 29 בנובמבר 1996) היה צייר ורשם ישראלי, הקריקטוריסט הראשון ביישוב, מעצב תפאורות, אמן קומיקס ומאייר ספרים. חתן פרס ישראל לאמנויות הבמה לשנת 1996.
ביוגרפיה.
נבון נולד בשם אריה קליגמן (קליגמאן) בשנת 1909 בעיירה דונייבצי שבדרום-מערב רוסיה (כיום באוקראינה), בנם של מלכה בת הרב יצחק מאיר מאוסטבורג, ומשה הכהן בן יצחק קליגמן. עלה לארץ ישראל עם משפחתו בשנת 1919 (בגיל 10) באונייה "רוסלאן".
צייר מאות רבות של ציורים, ברובם רישומים בדיו או בפחם, וכן עשרות דיוקנאות של אנשי ציבור, סופרים, שחקנים ואמנים. מבחר מהם מופיע בספרו "רישומים".
סרט הבנוי על רישומיו בשם "דרך זמר במדבר" נוצר ב-1956, בשיתוף פעולה בינו לבין יעקב אגם ואריה ממבוש.
הורה רישום במכון אבני ובסמינר הקיבוצים אורנים.
השתתף בתערוכות רבות בארץ ובעולם. תערוכת יחיד שלו נערכה במוזיאון ישראל ב-1978.
על ציוריו זכה בפרס דיזנגוף לציור (1939) ופעמיים בפרס ירושלמי לציור (1941, 1944).
פרסם קריקטורות במספר עיתונים ובסופו של דבר, התקבל על ידי ברל כצנלסון לעבודה בעיתון ההסתדרות "דבר". היה הקריקטוריסט הקבוע של "דבר" למעלה משלושים שנה (1933–1964). כמו כן צייר קריקטורות בעיתונים אחרים (אשמורת, דבר השבוע, דואר היום, 9 בערב ועוד), חלקן עוד לפני 1930. אחדות מהקריקטורות שלו בימי המנדט נפסלו על ידי הצנזורה הבריטית, ואחת הובילה לסגירה של העיתון למשך שבוע. על עבודתו כקריקטוריסט זכה בפרס סוקולוב לעיתונאות ב-1958.
חיבר וצייר סדרות קומיקס (המוכרות בשם "אורי מורי", כשמו של גיבורן הראשון) שהופיעו לראשונה ב"דבר: מוסף לילדים" ב-1934, והחלו להתפרסם מדי שבוע בעמוד האחרון של "דבר לילדים" החל משנת 1936 (האחרונה בהן הופיעה ב-1957). רבות מהן נחרזו על ידי המשוררת לאה גולדברג, כגון הקומיקס "אורי מורי".
אייר עשרות ספרים, בהם של נתן אלתרמן, אברהם שלונסקי, לאה גולדברג, אביגדור המאירי, ש"י עגנון, משה שמיר, אהרן מגד, חיים חפר, וסיפורים מן המקרא.
כמו כן אייר את הסרט המונפש העברי הראשון, "הרפתקאותיו של גדי בן סוסי", אותו הפיקו וצילמו האחים אגדתי וכתב אביגדור המאירי.
משנת 1948 עיצב תפאורות להצגות בכל התיאטראות, בעיקר בתיאטרון הקאמרי, הבימה ותיאטרון חיפה. החל בהצגת "הוא הלך בשדות" של משה שמיר וביותר מ-150 הצגות לאחר מכן. הייתה לו משרה קבועה בתיאטרון הקאמרי. על פועלו בתחום התפאורה זכה בפרס ישראל לאמנויות הבמה בשנת 1996 (וקודם לכן בפרס המועצה לתרבות ולאמנות, 1972, ובפרס כינור דוד, 1966).
ב- 1975 נבחר על ידי ארגון התיאטרון הבינלאומי כאחד מ-13 אמני התיאטרון המצטיינים והחדשניים בשנים 1970-75 (לצד הבמאי פיטר ברוק ואחרים).
נפטר בתל אביב ב-1996, בגיל 87. נקבר בבית העלמין ירקון.
משנת תש"א היה נשוי לאטה לבית ציפּקֶביץ. בנו הוא חתן פרס ישראל לפסיכולוגיה פרופסור דוד נבון. אחיו הגדול היה המחנך שמואל נבון. אח נוסף, זאב נבון, היה אף הוא אמן ומורה לציור.. אח נוסף נקרא חיים.
אוסף של מכתבים שנשלחו אליו נשמר בספרייה הלאומית.
עבודות לתיאטרון.
נבון החל לעבוד בתיאטרון בשנת 1948. לבד מרשימת התיאטראות הגדולים המצויה להלן, נבון יצר במשך השנים גם עבור המטאטא, מועדון התיאטרון, תיאטרון דז'יגאן ושומאכר, תיאטרון החמאם, תיאטרון סמבטיון, תיאטרון יידיש, תיאטרון זוטא, תיאטרון בימות, תיאטרון הנוער, פסטיבל עין גב, להקת בת דור, ערב שמעון ישראלי, סטאדסטארן (שוודיה), אנסמבל תיאטר (הולנד), ניקולמאלן תיאטר (דרום אפריקה).
ניתן למיין את הטבלה ע"פ שנה, מחבר או במאי ההצגה.
לקריאה נוספת.
טקסט (עם או בלי ציורים)
ציורים בלבד
הרברט פון קאריאן
מיצב
מֵיצב, באמנות, הוא סוג של פסל המתייחס לחלל שבו הוא מוצב.