גרסה פופולרית (ושגויה) של משפט אי השלמות הראשון של גדל קובעת ש"בכל תורה קיימת טענה אמיתית שאינה ניתנת להוכחה". משפט השלמות סותר במפורש את הניסוח הזה: כל משפט שהוא אמיתי (בכל מודל), ניתן להוכחה. אכן, לפי משפט אי השלמות קיימת בתורה (חזקה מספיק, דהיינו אריתמטית, אפקטיבית ועקבית) נוסחה שאינה ניתנת להוכחה (וגם לא לסתירה) - אבל אין זה נכון שנוסחה זו נכונה בכל מודל. אדרבא, לפי משפט השלמות, קיים מודל עקבי שבו היא נכונה, וקיים מודל עקבי שבו היא אינה נכונה.
הוכחת שקילות הניסוחים.
כאמור, משפט השלמות קובע כי אם טענה נכונה בכל מודל של תורה כלשהי, אז ניתן להוכיח את הטענה מתוך תורה זו. נראה כי המשפט שקול לטענה כי לכל תורה עקבית קיים מודל.
בכיוון אחד, אם משפט השלמות מתקיים, ואם בשלילה קיימת תורה עקבית שאין לה מודל, אז תנאי משפט השלמות מתקיים באופן ריק עבור תורה זו: כל טענה נכונה בכל המודלים שלה (שהרי אין כאלו). ממשפט השלמות נקבל שניתן להוכיח מתורה זו כל טענה, ובפרט ניתן להוכיח בה טענה ושלילתה, ולכן היא אינה עקבית, בסתירה להנחה.
בכיוון השני, נניח כי לכל תורה עקבית יש מודל. אם נניח בשלילה כי משפט השלמות לא מתקיים, אז קיימת תורה עקבית formula_1 וטענה formula_2, כך ש- formula_2 נכונה בכל המודלים של formula_1, אולם formula_2 לא ניתנת להוכחה מ- formula_1. ממשפט הנאותות נקבל שגם שלילתה של formula_2 אינה ניתנת להוכחה מ- formula_1 (כיוון ש- formula_2 עצמה מתקיימת בכל המודלים של formula_1, ואנו יודעים שקיים לפחות מודל אחד כזה), ולכן אפשר להרחיב את formula_1 על ידי הוספת השלילה של formula_2 אליה כאקסיומה חדשה, ו- formula_1 עדיין תישאר עקבית. עתה, מכיוון ש- formula_2 מתקיימת בכל המודלים של formula_1, אז נקבל שלתאוריה החדשה שקיבלנו אין מודלים כלל, וזו סתירה לכך שהיא עקבית.
מבואות ים
מְבוֹאוֹת יָם הוא כפר נוער, הממוקם בקרבת היישוב מכמורת שבין חדרה לנתניה במישור החוף.
בכפר הנוער נלמדים מקצועות רבים על פי מגמות ובין היתר, חקלאות ימית, חובלים, מערכות ימיות (מדעים הים וימאות), מכטרוניקה וחשמל ומקצועות ימיים אחרים, וזאת בנוסף למקצועות הומניים ולמגמות טכנולוגיות ואומנותיות.
היסטוריה.
כפר הנוער הוקם בשנת 1951.
בכפר מתגוררים כ-400 תלמידים ותלמידות מכל רחבי הארץ. לפנימייה מספר כלי שיט, ימית ופזית, שתי היאכטות העיקריות אליהן מצטרפת ה"מבואות ים 1" ספינת הדגל של הפנימייה, כמו כן קיימת הסירה "לולה" ומספר סנוניות (סירות מפרש קטנות) ועליהן ניתן לעשות הסמכות כמו: מפקד סירה, סקיפר, רישיון לסירה מהירה ועוד.
החל משנת 2014 החל לפעול בכפר הנוער בית החינוך הניסויי "רמות ים", שבו לומדים תלמידים מעמק חפר (שלמדו בעבר בבית הספר "רמות חפר" בקיבוץ מעברות) וכן חניכי הכפר.
בפנימייה נהוגות מספר מסורות ביניהן "מבצע משוט" (עד חוף דור) הכולל חתירה ממכמורת לחוף דור (טנטורה), "מבצע מפרש" הכולל מסע בסנונית מפרש לחוף דור, מסע האדמירל, טורניר "אלבז" בכדורגל.
בעבר, תלמידי הפנימיה לבשו מדי חאקי ונמצאו תחת כללי משמעת גבוהה. תלמידי הפנימיה יוצאים במהלך הלימודים לקורסים שונים כמו: קורס מפקדי כיתה (מ"כים), קורס סגנים ומפקדי סירות ועוד. מדי קיץ תלמידי הכפר ומגמת ימאות יוצאים להפלגות ליוון, קפריסין וטורקיה.
בכפר מתקיים מדי שנה גם "כנס מכמורת למנהיגות נוער", או בשמו הקצר "כנס מנהיגות". בכל שנה נושא הכנס משתנה ומביאים אנשים אשר חוללו שינויים במערכות השונות במדינה ואשר יודעים מנהיגות מהי. בשנת 2016 נושא הכנס היה "שסעים בחברה הישראלית".
בשנת 1967 דווח שבוגרי בית הספר התגייסו לחיל הים ליחידות שונות, כולל לצוללות ושייטת 13, ולאחר השירות הצבאי שירתו בנח"ל ימי בקיבוצים העוסקים בדיג, כמו עין גב וגינוסר או בדיג למרחקים.
בין בוגרי בית הספר "מבואות ים", נמנים בוגרי "קורס חובלים", קצינים בכירים בחיל הים, רבי חובלים, קציני מכונות ראשיים, נתבי נמלים, מייסדי צי הדייג הישראלי והחקלאות הימית וכן בעלי מקצועות חופשיים, כלכלנים, עורכי דין, שופטים, מהנדסים, נבחרי ציבור ועוד. ראו כאן את
הערות שוליים.
המרכז האקדמי רופין
המרכז האקדמי רופין הוא מכללה אקדמית באזור עמק חפר בקרבת היישוב כפר מונש ובתחומה של מועצה אזורית עמק חפר.
היסטוריה.
המרכז האקדמי רופין, הקרוי על שמו של ארתור רופין, החל את דרכו בקורסים קצרים בהשתלמות חקלאית שהתקיימו במקומות שונים. בכינוס לזכרו של רופין, בהובלת המרכז החקלאי בראשות חיים הלפרין, הוחלט להקציב חצי פרומיל מכספי הפדיון של התוצרת החקלאית ששווקה בידי תנובה להקמת המדרשה החקלאית על שם א. רופין. לצורך הקמת המכללה, הקצתה הקרן הקיימת בתחילת 1946 שטח של 250 דונם בעמק חפר. בתחרות לתכנון המכללה זכו בתחילת 1947 שולמית נדלר ומיכאל נדלר. בנובמבר 1947 הונחה אבן פינה לאולם ההרצאות.
טקס הפתיחה התקיים בפברואר 1949. המנהל הראשון היה אהרון רודשטיין מאשדות יעקב.
בראשיתו התקיימו במרכז האקדמי רופין קורסים קצרים של חמישה שבועות. בשנת 1956 הקים מינהל המים של משרד החקלאות, מכון להדגמה והדרכה לצד המכללה. בסוף שנות ה-50 התקיימה בו תוכנית לימודים דו שנתית. החל משנת 1960 קיימה בו המחלקה לקשרי חוץ של משרד החקלאות קורסים לתלמידים ממדינות שונות כדוגמת אפריקה.
בשנות ה-60 הרחיבה המדרשה את מסלולי הלימוד בה מעבר לחקלאות גם לנושאי ארגון ומינהל, כספים, טכנאות, שירותים וקורסים תעשייתיים.
באפריל 1974 פנתה המדרשה ל בבקשה להכיר במסלול לניהול כקורס אקדמי, שיפעל בשם המכללה ע״ש חיים הלפרין. באפריל 1977 קיבלה המדרשה לראשונה הכרה כמוסד להשכלה גבוהה, אך לא קיבלה זכות לחלק תארים. בשנת 1981, נשיא מדינת ישראל מר יצחק נבון ושר החינוך מר זבולון המר, אישרו בחתימתם כי סטודנטים הלומדים במדרשת רופין כלכלה ומנהל החל משנת 1979 זכאים לתואר בוגר. בנוסף הוקם באותה עת בית הספר להנדסאים.
בשנת 1986, שונתה האסטרטגיה של המוסד, מהתמקדות בקהל יעד המגיע מהמושבים והקיבוצים, לפנייה לכלל תושבי מדינת ישראל תוך התאמת תוכניות הלימוד.
בשנת 1993 נוסדה המחלקה לכלכלה וחשבונאות אשר הוכרה רשמית על ידי המל"ג בשנת 1994, בשנת 1997 נוסדה והוכרה תוכנית הבוגר במנהל עסקים.
בשנת 1995 נוסדה המחלקה למדעי ההתנהגות, ובשנת 1996, הוקם בית הספר למדעי החברה והניהול. בשנת 2010 פוצל בית הספר לחברה וניהול לשני בתי ספר:
בשנת 1996 החלה את פעילותה הפקולטה להנדסה, במסגרת שלוחה של אוניברסיטת קובנטרי הבריטית, כתוכנית ארבע שנתית. התוכנית התנהלה באנגלית תוך שילוב של צוות מרצים שהגיע מאנגליה וצוות מרצים מקומי. המחלקה הראשונה שנפתחה הייתה הנדסת תעשייה וניהול. שנה אחר-כך נפתחה המחלקה להנדסת חשמל ואלקטרוניקה, הנדסת מחשבים ובהמשך המחלקה מדעי המחשב והמידע. בשנת 2001, בעקבות פניית המועצה להשכלה גבוהה, הוחלט לשנות את אופי פעילתו של בית הספר להנדסה תוך הפיכתו למוסד ישראלי המעניק תארים המוכרים על ידי המועצה להשכלה גבוהה לאותן תוכניות. בינואר 2004 הוסמך בית הספר להעניק תוארי B.Tech ב-3 תחומים: הנדסת תעשייה וניהול, הנדסת חשמל ואלקטרוניקה והנדסת מחשבים, והחל משנת 2005, הוסמך בית הספר להעניק תוארי B.Sc. בתחומים אלה. בהמשך הוסמך לתת תואר שני בלוגיסטיקה ושרשרת האספקה הגלובלית.
בסוף שנות ה-90 פקד את המרכז האקדמי רופין משבר כלכלי, לאחר שצבר חובות של כ-75 מיליון שקל. ב-2002 המרכז נכנס להליך של הסדר חוב, שכלל מכירת נדל"ן וקרקע בשטח 300 דונם, והפיכת המכללה לעמותה. בסיום התהליך הפך המרכז למוסד המתוקצב על ידי המועצה להשכלה גבוהה, שגובה שכר לימוד אוניברסיטאי (למעט תוכנית ה'BA מנהלים' שעדיין גובה שכר לימוד בלתי מסובסד).
באוקטובר 2007 הכריז התאגיד הצרפתי ויאוליה על הקמת מרכז מחקר לאיכות הסביבה ברופין.
נשיאת המרכז האקדמי בשנים 2004–2016 הייתה שוש ארד. בשנים 2016–2021 שימשה גליה צבר בתפקיד. החל מאוקטובר 2021, נשיא המרכז הוא פרופסור אביעד קליינברג.
בדצמבר 2014, נחנך בניין חדש עבור בית הספר למינהל עסקים, שנבנה בעלות של 35 מיליון שקל.
תחומי פעילות.
במרכז האקדמי פועל בית הספר לכלכלה ומנהל עסקים, בית הספר למדעי החברה והקהילה, בית הספר להנדסה, ובסך הכל 15 מחלקות אקדמיות לתואר בוגר ומוסמך, בהן לומדים יחדיו מעל 4,300 סטודנטים. בנוסף מפעיל רופין את בית הספר למדעי הים במכמורת. הוא הוקם ב-1997 כ"מכללה הימית לישראל", שקיבלה את החסות האקדמית של האוניברסיטה העברית בירושלים. בשנת 2003 הצטרפה המכללה הימית לישראל למרכז האקדמי רופין. משנה זאת נקרא שמה "בית הספר למדעי הים והסביבה הימית", והיא הפכה למכללה ציבורית המתוקצבת על ידי הות"ת של המועצה להשכלה גבוהה. בבית הספר למדעי הים ישנן תוכניות ללימודי תואר ראשון במדעי הים והסביבה הימית ולימודי תואר ראשון בביוטכנולוגיה ימית. בנוסף, נפתחו שתי תוכנית ללימודי תואר שני בניהול משאבי ים ותואר מדעי מחקרי עם תזה.
בצד הפעילות הלימודית במחלקות, מעודד המרכז האקדמי מחקר ופעילויות אקדמיות מגוונות, קיום כנסים אקדמיים וימי עיון במבחר נושאים במשך כל השנה והפעלת רשות מחקר לצורך העצמה וקידום הסגל האקדמי. המרכז האקדמי רופין לא מסתפק רק בהכשרה אקדמית שגרתית ושם לעצמו למטרה להעמיד דור חדש של מנהלים בעלי גישה ערכית ומודעות סביבתית. בתוך כך מניף המרכז שני דגלים מרכזיים - סביבה ומעורבות חברתית. "הקמפוס הירוק" של המרכז האקדמי רופין הוא חלק מתפיסת עולם הטומנת בחובה מעורבות חברתית למען הקהילה ולמען הסביבה בה אנו חיים.