כשחוקרים יריעות מבחינה טופולוגית, אין משמעות כמותית למושג מרחק אלא מתעניינים רק בתכונות היריעה הנשמרות תחת מתיחות וכיווצים. לדוגמה, מבחינה טופולוגית, בלון אינו משתנה אם מנפחים אותו, או מעוותים את צורתו, למעשה הוא שקול מבחינה טופולוגית לפני כדור הארץ.
בשם "הספירה התלת-ממדית" () מתכוונים לשפתו התלת-ממדית של כדור במרחב האוקלידי הארבע-ממדי, כלומר לקבוצה מהצורה formula_1. באופן דומה, "הספירה הדו-ממדית" היא שטח הפנים של כדור תלת-ממדי, כגון פני כדור הארץ, ו"הספירה החד-ממדית" היא מעגל. הראשונה היא יריעה דו-ממדית, והשנייה – יריעה חד-ממדית.
באופן פורמלי ניתן להגדיר יריעה טופולוגית בצורה הבאה:
קבוצה formula_2 במרחב האוקלידי מהווה יריעה טופולוגית (ללא שפה) מממד formula_3 אם לכל נקודה formula_4 קיים כדור פתוח formula_5 סביבה כך ש החיתוך formula_6 הומיאומורפי למרחב האוקלידי formula_7, כלומר קיימת פונקציה רציפה חד-חד ערכית ועל formula_8.כך שההעתקה ההופכית של formula_9 גם היא רציפה.
יריעה טופולוגית היא הגרסה הבסיסית ביותר של מושג היריעה. יש גרסאות נוספות המבוססת על גרסה זו. השערת פואנקרה, בנסוחה המקובל עוסקת ביריעות טופולוגיות.
הקבוצה formula_10 נקראת קומפקטית אם היא סגורה וחסומה.
ניסוח ההשערה וגרסאותיה.
יריעה formula_10 נקראת קשירה (מסילתית) אם כל שתי נקודות ב formula_10 ניתן לחבר בעקום המשוכן ב-formula_10. היריעה formula_10 נקראת פשוטת קשר אם כל עקום סגור ב-formula_10 אפשר לכווץ, כלומר להקטין אותו ברציפות (מבלי שאף חלק ממנו יצא מ-formula_10) לנקודה. באופן פורמלי יותר. עקום סגור הוא העתקה רציפה formula_17 ממעגל ל formula_10. לכווץ את העקום משמעו להרחיב העתקה זו להעתקה רציפה formula_19 מעיגול ל-formula_10. כאמור, השערת פואנקרה טוענת:
הכללות לממד גדול מ-3.
להשערת פואנקרה יש הכללה ליריעות מממד כלשהו. הכללה זו נקראת השערת פואנקרה המוכללת . ולעיתים גם סתם השערת פואנקרה. להכללה זו מספר ניסוחים שקולים. אחד מהם מבוסס על מושג השקילות ההומוטופית. באופן אינטואיטיבי שני מרחבים טופולוגיים formula_10 ו- formula_22 שקולים הומוטופית, אם כל אובייקט שניתן לכיווץ ב-formula_10 ניתן גם לכיווץ ב-formula_22. באופן יותר פורמלי שקילות הומוטופית היא העתקה רציפה formula_25 כך שקיימת העתקה רציפה formula_26 כך שההרכבות formula_27 ו-formula_28 הומוטופיות להעתקות הזהות (על המרחבים formula_22 ו-formula_10 בהתאמה). כלומר, ניתן לשנות את formula_31 ו-formula_32 באופן הדרגתי עד שיהפכו להעתקת הזהות.
כעת ניתן לנסח את השערת פואנקרה המוכללת כך:
על פניו השערה זו, למקרה formula_33, נראית חלשה יותר מהשערת פואנקרה. בעוד שברור שכל מרחב טופולוגי ששקול הומוטופית לספירה (מממד גדול מ-1) הוא פשוט קשר, ההפך אינו נכון באופן כללי. הטענה הבאה סוגרת פער זה:
טענה: אם formula_10 יריעה טופולוגית formula_3-ממדית (ללא שפה) קומפקטית קשירה ופשוטת קשר כך שלכל formula_36 חבורות ההומולוגיה formula_37 מתאפסת אז formula_10 שקולה הומוטופית לספירה formula_3-ממדית.
טענה זו מספקת מספר ניסוחים שקולים להשערת פואנקרה המוכללת. למשל, במקום לדרוש ש-formula_10 שקול הומוטופית לספירה די לדרוש ש-formula_10 פשוטת קשר ושחבורות ההומולוגיה שלה איזומורפיות לאלה של הספירה.
גרסאות לסוגים שונים של יריעות.
בתקופתו של פואנקרה המושג יריעה עדיין לא הוגדר כראוי. במחצית הראשונה של המאה ה-20 הוגדרו מספר גרסאות למושג היריעה. השערת פואנקרה מתייחסת ליריעות טופולוגיות שהוא המושג הכללי ביותר של יריעה. יש להשערת פואנקרה גרסאות עבור סוגים נוספים של יריעות: יריעות חלקות (יריעות שעליהן ניתן להגדיר את מושג הנגזרת) ויריעות ליניאריות למקוטעין , (מושג שמהווה מושג ביניים בין יריעות טופולוגיות ויריעות חלקות). באופן עקרוני, אף אחת מגרסאות אלה אינה גוררת את האחרת. לדוגמה, כל יריעה חלקה היא יריעה טופולוגית אבל לא להפך, כך שההשערה עבור יריעות טופולוגיות היא כללית יותר מאשר ההשערה עבור יריעות חלקות. אולם, אם יריעה חלקה היא הומיאומורפית לספירה (שקולה לספירה כיריעה טופולוגית) אין זה אומר שהיא דיפיומורפית לה (שקולה לספירה כיריעה חלקה), כך שההשערה עבור יריעות טופולוגיות לא גוררת את השערה עבור יריעות חלקות.
לפי משפט מויס , כל הגרסאות האלה שקולות זו לזו בממד 3. בממד כללי רק הגרסה ליריעות טופולוגיות הוכחה. הגרסה ליריעות חלקות הופרכה והגרסה ליריעות ליניאריות למקוטעין עודנה פתוחה.
התפתחות ההשערה והוכחתה.
המקרה החד-ממדי.
ירעות חד ממדיות נקראות עקומים. עקומים לא מהווים מוקד עניין בטופולוגיה גאומטרית ואלגברית. מיונם פשוט למדי. בפרט העקום (ללא שפה) הקומפקטי הקשיר היחיד (עד כדי הומיאמורפיזם) הוא מעגל. בתקופתו של פואנקרה, לפני שמושג היריעה הוגדר באופן פורמלי, עובדה זו לא נחשבה לטענה שדורשת הוכחה, ולכן גם המקרה החד-ממדי של השערת פואנקרה נחשב לטריוויאלי. בתחילת המאה ה-20, כאשר מושג היריעה הוגדר פורמלית, גם מוינו כל העקומים ובהתאם הגרסה החד-ממדית של השערת פואנקרה מעולם לא היוותה מוקד עניין.
המקרה הדו-ממדי.
יריעות דו-ממדיות נקראות משטחים. מיון של משטחים קומפקטיים התבצע בעיקרו במהלך המאה ה-19. המיון התפתח באופן הדרגתי והתבצע על ידי מספר מתמטיקאים. מיון זה לא היה ריגורוזי, בין היתר מכיוון שהמושג המודרני של יריעה לא היה קיים. מיון ריגורוזי הושלם בשנות ה-20 על ידי ברהאנה.
פואנקרה, שהיה מהאבות המייסדים של הטופולוגיה האלגברית, פיתח את מושג ההומולוגיה - אחד הכלים הראשונים שפותחו במסגרת הטופולוגיה האלגברית. תורת ההומולוגיה מצמידה לכל מרחב טופולוגי סדרה של חבורות אבליות הנקראות חבורות ההומולוגיה שלה. למרחבים הומיאומורפיים יש חבורות הומולוגיה איזומורפיות. פואנקרה חישב את חבורות ההומולוגיה של כל המשטחים הקומפקטיים וגילה שגם ההפך נכון: אם חבורות ההומולוגיה של שני משטחים איזומורפיות אז המשטחים הומיומורפיים. עובדה זו מוכיחה את הגרסה הדו-ממדית של השערת פואנקרה.
המקרה התלת-ממדי - ניסוח ההשערה.
פואנקרה תהה אילו תכונות מטופולוגיה אלגברית דרושות כדי לאפיין גופים טופולוגיים פשוטים, כמו הספירה התלת-ממדית. פואנקרה חשב בתחילה שכמו במקרה הדו-ממדי, די בחבורות ההומולוגיה של הספירה כדי לתאר אותה, דהיינו שגוף תלת-ממדי שיש לו אותה הומולוגיה כמו לספירה, מוכרח להיות ספירה בעצמו, והוא אף העלה טענה זו על הכתב ב-1900. כמה שנים אחר-כך, ב-1904, מצא פואנקרה דוגמה נגדית להשערה זו: הוא גילה מרחב (הקרוי ספירת פואנקרה), שיש לו הומולוגיה של ספירה, אך הם אינם שקולים זה לזה.
בטופולוגיה האלגברית ידועה שיטה נוספת, שהיא במובנים מסוימים עדינה יותר מן ההומולוגיה. התבוננות בלולאות העוברות במרחב נתון מאפשרת להצמיד לו חבורה נוספת, הקרויה החבורה היסודית, שאינה חייבת להיות אבלית. חבורה זו היא טריוויאלית (כלומר, יש בה רק איבר אחד), אם כל לולאה סגורה העוברת במרחב אפשר לכווץ בהדרגה לנקודה, בלי לצאת מגבולות המרחב. מרחב שיש לו תכונה זו נקרא מרחב פשוט קשר. הספירה היא פשוטת קשר, בעוד שלספירת פואנקרה יש חבורה יסודית מסדר 120 ולכן הם אינם יכולים להיות הומיאומורפיים זה לזה.
בעקבות הבחנה זו, העלה פואנקרה את ההשערה שאם ליריעה תלת-ממדית סגורה יש אותה חבורה יסודית כמו לספירה, אזי היא הומיאומורפית אליה.
פירמול ההשערה וגרסאותיה.
במחצית הראשונה של המאה ה-20 תחום הטופולוגיה בכלל והטופולגיה האלגברית והגאומטרית בפרט התפתח מאוד. התפתחות זו אפשרה את הניסוח המודרני והמדויק של ההשערה. היא גם אפשרה לעמוד על דקויות בניסוח ההשערה שלא היו ברורות קודם לכן, ובהתאם נוסחו מספר גרסאות להשערה. כמו כן נוצר עניין בהכללות של ההשערה לממדים גבוהים מ-3. הכלים שפותחו בתקופה זו היוו את אבני הבניין בהוכחות ההשערה, הכללותיה וגרסאותיה.
פירמול הטופולוגיה הקבוצתית.
בעשור השני של המאה ה-20 פיתח פליקס האוסדורף את המושג מרחב טופולוגי. אומנם תחום הטופולוגיה היה קיים כבר שנים רבות אך מושג זה אפשר לנסח תוצאות והשערות בתחום בצורה ריגורוזית הדומה לצורה שבה מתמטיקאים מדברים עליהן כיום. עבודותיו של האוסדורף לא התמקדו ביריעות אלא במרחבים טופולוגיים ומטריים כלליים. כשהוכחה השערת פואנקרה, כמאה שנים לאחר האוסדורף, התברר שכחלק מההוכחה הופיעו מרחבים מטריים שאינם יריעות כלל. עבודתו של האוסדורף על מרחבים אלו הייתה שימושית מאוד בהוכחה. ספציפית, המושג מרחק האוסדורף, המהווה מושג של מרחק בין שתי תת-קבוצות של מרחב מטרי, היה הבסיס לאחד הכלים בהוכחה.
פירומול מושג היריעה.
בהתבסס על עבודותיו של האוסדורף נתן הרמן וייל הגדרה ריגוזית למושג יריעה חלקה. המיון הריגורוזי של משטחים התבצע בשנות ה-20 על ידי ברהאנה,
באופן סיסטמטי יותר פותח מושג היריעה על ידי הסלר ויטני. עבודות אלה אפשרו לנסח את השערת פואנקרה באופן ריגורוזי, כמו כן אפשרו לעמוד על ההבדלים בין הגרסאות עבור מחלקות יריעות שונות: יריעות טופולוגיות ויריעות חלקות.
פירומול ופיתוח הטופולוגיה האלגברית.