אלפייה היא שיר בן כאלף בתים (מ-ألف הוא אֶלֶף). מחברי אלפיאת היו על פי רוב הדקדקנים הערביים של ימי הביניים, שנעזרו בסוג שירה זה כמסגרת נוחה לשימוש להוראת הדקדוק. ליתר דיוק, אלפייה מלמדת את תורת הצורות ואת התחביר של השפה הערבית הקדומה.
בשירה הערבית המסורתית, כל הבתים של אותו שיר חייבים להסתיים באותו העיצור, כאשר נסמכת לו אותה ההברה הארוכה, לאורך כל השיר בלא שינוי. מעין מקבילה בשירה העברית נמצאת בשירים כמו "אדון עולם", הכלול ברוב סידורי התפילה, שבו כל בית ובית מסתיים ב-rā: נִבְרָא, נִקְרָא, נוֹרָא, בְּתִפְאָרָה, לְהַחְבִּירָה, וְהַמִּשְׂרָה, צָרָה, אֶקְרָא, וְאָעִירָה, אִירָא. חוק זה אינו תקף באלפייה, שכן יש בה חרוזים, אך לא חרוז אחיד לאורך כל אלף הבתים. אלפייה כמעט תמיד מבוססת על משקל ה-رجز (רַגַ’ז), שנחשב לַקמאי והפשוט ביותר מבין 17 סוגי המשקלים בשירה המסורתית. החרוז הלא-אחיד והמשקל הפשוט הובילו את המפרשים המערביים להתייחס לאלפיאת כשירים שאין בהם ממש שירה, שאינם יותר מספרי לימוד. בנימה של זלזול כתב המזרחן הצרפתי סילבסטר דה סאסי (1758-1838): "Il n’est qu’une forme de prose rimée" (אינה באמת יותר ממין פּרוזה חרוזה). במחקר של ימינו מנסים להעריך גם את הפן האמנותי באלפייה.
אלפיית אבן מאלכ.
האלפייה המפורסמת ביותר חוברה על ידי אִבְּן מַאלִכּ (נפטר בערך 1276 לספירה), הנחשבת פחות או יותר כאלפייה לשמה, והממשיכה לשמש כמסכת לימודית במדינות ערב. מאז חיבורה אין כמעט דור של דקדקנים ערביים שלא פירש אותה, ואין אזור בעולם הערבי שלא חובר בו פירוש עליה. אלפיית אבן מאלכ היא אחד הספרים העשירים בפירושים של כל הספרות הערבית. גם במערב הקדימו להבין את חשיבותה בבלשנות. הראשון שפרסמה היה דה ססי, שהוציא לאור מבחר בתים עם תרגום צרפתי והערות מסבירות כפרק מתוך ה-Anthologie grammaticale שלו (פריז 1829). גרסה מתוקנת של כל 1,002 הבתים פורסמה על ידי המזרחן הגרמני פרידריך היינריך דִּיטֶרִיצִי (1821-1903), ומצורף בה פירוש ערבי שהוא בעצמו נחשב כעמוד התווך שבתוך הפירושים: הפירוש של אִבְּן עַקִיל. דיטריצי כתב מבוא לטיני לספר והוציאו כ"Alfijjah, carmen didacticum grammaticum auctore Ibn Mâlik et in Alfijjam commentarius quem conscripsit Ibn ʿAḳîl" (לייפציג 1851). מהדורה זו קנתה לה מוניטין במהרה: ספר הדקדוק הערבי של ויליאם רייט (1830-1889), השגור בכל המכונות ללימודי ערבית בעולם הדובר אנגלית, מצטט אותה כאחד המקורות הראשיים שלו. דיטריצי המשיך לעסוק בספר זה בצורה אינטנסיבית, ושנה לאחר מכן תרגום שלם ראשון בשפה אירופית ראה אור: "Ibn ʿAḳîl’s Commentar zur Alfijja des Ibn Mâlik. Aus dem Arabischen zum ersten Male übersetzt" (ברלין 1852).
הייזנברג
חתימה דיגיטלית אל-גמאל
אלגוריתם חתימה דיגיטלית של אל-גמאל (ElGamal) הוא מנגנון קריפטוגרפי אקראי לחתימה דיגיטלית עם נספח (שהחתימה מהווה תוספת נפרדת למסר ואינה הצפנה של המסר עצמו). האלגוריתם הוא פרי המצאתו של טאהר אל-גמאל שפרסם ב-1986 את רעיון השימוש במפתח-פומבי ליצירת מנגנון חתימה דיגיטלית המבוסס על בעיית הלוגריתם הבדיד בהשראת עבודתם של דיפי והלמן ב-1976. אף על פי שהשימוש במנגנון המתואר בהמשך לא נפוץ מבחינה מעשית, הוא מהווה בסיס לפיתוחים דומים והוביל בין היתר להמצאת אלגוריתם DSA שהוא למעשה וריאציה של אל-גמאל.
חתימת אל-גמאל נקראת "אקראית" כיוון שהיא מערבת שימוש במספר פסאודו-אקראי שונה עבור כל מסר (ראו להלן). כמו כן חתימת אל-גמאל מחייבת שימוש בפונקציית גיבוב קריפטוגרפית. מנגנון החתימה מייצר 'תווית' הנשלחת יחד עם המסר ליעדה בעוד המסר עצמו נותר קריא. התווית מאפשרת למקבל המסר להבטיח את שלמותו ולאמת את מקורו על ידי פענוח התווית והשוואת תוצאת פונקציית הגיבוב של המסר עם תווית. מכיוון שרק בעל המפתח הפרטי המתאים יכול לייצר את התווית האמורה, ניתן להסיק שהוא מקור המסר. אם מתגלה הבדל כלשהו אזי בסבירות גבוהה מאוד המסר שונה בדרך.
הכנת מפתחות עבור חתימת אל-גמאל.
המשתמש מייצר מפתח ציבורי ומפתח פרטי מתאים כדלהלן:
המפתח הציבורי הוא formula_7 המפתח הפרטי הוא formula_4.
חתימה.
תהליך החתימה על המסר formula_9:
formula_18 הוא תוצאת הפעלת פונקציית גיבוב בטוחה כלשהי על המסר לפני החתימה. החתימה על המסר formula_9 היא צמד הערכים formula_20.
אימות.
תהליך אימות החתימה נעשה בעזרת המפתח הפומבי של החותם formula_7.
החתימה מתקבלת כאותנטית אם ורק אם formula_26.
הוכחה לנכונות תהליך האימות.
אם מכפילים את שני צידי המשוואה בשורה 4 בתהליך החתימה לעיל ב-formula_10, מקבלים:
לכן:
מזה נובע:
על כן: formula_26.
ביטחון.
אם תוקף ינסה לזייף את החתימה על ידי בחירת formula_10 כזה שמקיים formula_15, יהיה עליו לחשב גם את formula_34. בעיה זו שקולה לבעיית הלוגריתם הבדיד שהיא כאמור בעיה מתמטית קשה. על כל פנים חובה לבחור formula_10 שונה עבור כל מסר משום שאם לא כך, יהיה אפשרי לחשוף את המפתח הפרטי של החותם כדלהלן:
אם נתונות המשוואות עבור המסרים formula_36 ו-formula_37 בהתאמה:
אזי formula_40.
אם formula_41 לא שקול ל-formula_42 (מודולו formula_5), יוצא ש-
כעת אם formula_10 ידוע ניתן לחשב בקלות את formula_4. מכאן נובע כי formula_10 חייב להיות שונה עבור כל מסר שנחתם באמצעות אותו מפתח פרטי formula_4.
פונקציית גיבוב.
הצורך בפונקציית גיבוב נובע מהעבודה שמשוואת החתימה formula_49 (ללא פונקציית הגיבוב) מאפשרת לתוקף לזייף את החתימה כדלהלן: הוא בוחר זוג הערכים formula_50 כאשר formula_51 זר ל-formula_5 ומחשב את formula_53 השקול ל- formula_54 וכן formula_55. במקרה כזה הערכים formula_20 יהיו חתימה תקפה עבור המסר formula_57 היות ש: formula_58. בכך הצליח למצוא מסר אחר שעבורו נוצרה חתימה זהה. פונקציית הגיבוב מבטלת בעיה זו.
התקפות.
שימוש באלגוריתם תחשיב אינדקסים כדי לתקוף את מנגנון החתימה אפשרי במקרה ש-formula_1 קטן. על כן רצוי ש-formula_1 יהיה גדול דיו כדי לסכל התקפה כזו (ההנחה היא כי סדר גודל של 2000 ספרות בינאריות מספק). כמו כן רצוי של-formula_61 יהיה גורם ראשוני גדול כדי לסכל התקפה באמצעות אלגוריתם פוליג-הלמן. שיקול בטיחותי נוסף הוא בצורך שהיוצר formula_2 יהיה יוצר של תת-חבורה של formula_3 מסדר ראשוני כלשהו במקום יוצר של formula_3 ישירות. מאחר שמצב זה האחרון מהווה נקודת תורפה אם היוצר formula_2 הוא מחלק של formula_61.
יעילות.
תהליך החתימה של מנגנון אל-גמאל מהיר יחסית ודורש רק העלאה בחזקה מודולרית אחת. יתרה מזו, formula_67 ניתן להכנה מראש (בעזרת אלגוריתם אוקלידס המורחב) ובמקרה כזה תהליך החתימה דורש רק שתי הכפלות מודולריות. אולם תהליך האימות איטי יותר ודורש לפחות שלוש העלאות בחזקה. שינוי קל של תהליך האימות מאפשר שיפור משמעותי ביעילות. אם משוואת האימות תהיה: formula_68 והחתימה במקרה כזה תתקבל אם formula_69. אזי ניתן יהיה לבצע את שלוש ההעלאות בחזקה במקביל באמצעות אלגוריתם סימולטני.
גרסאות.
אלגוריתם אל-גמאל הבסיסי המתואר כאן, למעשה מהווה בסיס למשפחת אלגוריתמים גדולה בה נמנה אלגוריתם DSA, שהמכנה המשותף לה הוא השענות על בעיית לוגריתם בדיד. השוני העיקרי בין הגרסאות השונות הוא בתהליך החתימה.
בהתאמה קלה אפשר לכתוב את השלד הבסיסי של מנגנון החתימה המתואר כאן, כך:
משוואות אילו מתארות את שלב 4 בתהליך החתימה ושלב 3 בתהליך האימות, המתוארים בגרסה הבסיסית לעיל. בתהליך המפורט לעיל הפרמטרים הם: formula_72. אולם הפרמטרים formula_73 ניתנים להחלפה ביניהם, כדי ליצור גרסאות נוספות של אותו מנגנון החתימה. להלן מספר אפשרויות:
חלק מהגרסאות, מאפשר מימוש יעיל יותר מהיבט מעשי ואילו חלקן מאפשר חישוב חד-פעמי, כשלב הכנה מוקדם. דוגמה 1 מעניינת כיוון שבטיחותה נשענת בין היתר גם על formula_77, הבעיה הכללית של חישוב formula_78 עבור formula_79 קבוע כלשהו, שונה מבעיית לוגריתם בדיד האמורה. אם formula_1 גדול זו בעיה קשה.
הכללות.
אף על פי שמנגנון החתימה המתואר כאן, הוא מעל החבורה הכפלית formula_3. למעשה ניתן ליישמו מעל כל חבורה אבלית סופית. כאמור מנגנון החתימה נשען על בעיית לוגריתם בדיד בחבורה formula_82 כך שחבורה זו צריכה לענות על 2 תנאים הכרחיים:
כריסטי'ס
כריסטי'ס הוא בית מכירות פומביות, מהמובילים בעולם. במסגרתו נמכרות יצירות של מיטב האמנים. לכריסטי'ס יש סניפים באירופה, ניו יורק וגם בישראל.
היסטוריה.
בספרות הרשמית של החברה נכתב כי המייסד ג'יימס כריסטי (1730–1803) ערך את המכירה הראשונה בלונדון, אנגליה, ב-5 בדצמבר 1766, וקטלוג המכירות הפומביות המוקדם ביותר שניהלה החברה הוא מדצמבר 1766. עם זאת, מקורות אחרים מציינים כי ג'יימס כריסטי שכר חדרי מכירות פומביות משנת 1762, ונמצאו גם פרסומי עיתונים למכירות של כריסטי משנת 1759. לאחר מותו, בנו של כריסטי, ג'יימס כריסטי הצעיר (1773–1831), השתלט על העסק.