למניסקטה זו קרויה גם היפופידה או "הלמניסקטה של בות'", על שמו של ג'יימס בות', שחקר אותה במאה ה-19.
הלמניסקטה של ברנולי.
ב-1680 חקר קאסיני משפחה של עקומים, שכעת נקראים האובל של קאסיני, אותה הגדיר כך: המקום הגאומטרי של כל הנקודות, אשר מכפלת מרחקיהן משתי נקודות קבועות, שהן המוקדים של העקום, קבועה. כאשר מחצית המרחק בין המוקדים משתווה לשורש הריבועי של הקבוע, האובל של קאסיני הופך ללמניסקטה.
ב-1694 חקר יוהאן ברנולי את המקרה שבו האובל של קאסיני הופך ללמניסקטה (שכעת נקראת הלמניסקטה של ברנולי) בהקשר של "בעיית האיזוכרונות" שהוצעה קודם על ידי לייבניץ. עקומה זאת ניתנת לתיאור אנליטית על ידי המשוואה הפולינומית formula_5. אחיו של יוהאן, יאקוב ברנולי, חקר גם הוא את העקומה באותה שנה, והוא שהעניק לה לראשונה את השם "למניסקטה". זהו מקרה פרטי של העקום שנוצר על ידי חיתוך של מישור בטורוס כאשר formula_6, מצב שקורה כאשר הלמניסקטה היא חתך של טורוס אשר החור הפנימי שלו והחתך המעגלי שלו (כלומר חתך ה"צינור" שכופף לכדי טורוס) הם בעלי אותו קוטר.
בקואורדינטות קוטביות משוואת הלמניסקטה של ברנולי היא: formula_7.
חלוקת הלמניסקטה בעזרת סרגל ומחוגה.
בעבור חלוקת עקומת הלמניסקטה לחלקים שווים קיים קריטריון אנלוגי לזה של חלוקת המעגל בעזרת סרגל ומחוגה. במקרה של חלוקת המעגל לקשתות שוות, גאוס הוכיח שניתן לחלק את המעגל ל-formula_8 קשתות שוות אם ורק אם formula_8 הוא מכפלה של חזקה של formula_10 וראשוני פרמה שונים. בהקדמה לפרק השביעי של "מחקרים אריתמטיים" שלו (מאמר 335), גאוס כתב:
בכתביו של גאוס שלא פורסמו מופיעה חלוקה אלגברית מפורשת של הלמניסקטה לחמישה חלקים שווים. עם זאת, דבר בכתביו שנותרו לא כולל תוצאה מקיפה כמו התוצאה שלו בנוגע למעגל. הראשון שפתר את הבעיה של חלוקת הלמניסקטה ל-"formula_8" חלקים שווים באופן מלא היה נילס הנריק אבל ב-1827, בהשראת ספרו של גאוס, שמצא שהלמניסקטה ניתנת לחלוקה לחלקים שווים בדיוק עבור אותם ערכים של "formula_8" כמו במקרה של המעגל, דהיינו: formula_13 כאשר כל formula_14 הוא מהצורה formula_15. תוצאה נפלאה זאת שימשה, אולי יותר מכל תוצאה אחרת, כדי להדגים את התפקיד המאחד שיש לפונקציות אליפטיות בגאומטריה, באלגברה ובתורת המספרים.
חלוקת הלמניסקטה ל-formula_8 חלקים שווים שקולה לבניית שורשי היחידה הלמניסקטיים formula_17, שהם מספרים אלגבריים. נוסחאות החיבור מטילות על קבוצת השורשים formula_18 פעולה ההופכת אותה לחבורה הציקלית מסדר formula_8. בדומה למקרה של סיפוח שורשי יחידה רגילים, הרחבת השדות formula_20 היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה איזומורפית לחבורת אוילר של formula_8. התוצאה של אבל נובעת מעובדות אלה, בדומה למיון המצולעים המשוכללים הניתנים לבניה.
אלן ז'סואה
אלן ז'סואה (בצרפתית Alain Jessua; 16 בינואר 1932 - 30 בנובמבר 2017), היה במאי קולנוע ותסריטאי צרפתי-יהודי. התחלת הקריירה שלו הייתה מרשימה, כשזכה ב-1956 בפרס ז'אן ויגו על סרטו הקצר "Lion la Lune", וזכה ב-1964 לשבחי הביקורת על סרטו הראשון באורך מלא "La vie à l’envers", סרטיו המאוחרים יותר כוללים את "Jeu de massacre" - זוכה פרס קאן לתסריט הטוב ביותר ב-1967, "Traitment du choc", "Les chiens" ו-"Paradise For All". על אף שלא זכה לפרסום בעשורים האחרונים של חייו, עבודתו הקולנועית נחשבת כבולטת בזמנה כבעלת דמיון ומעוררת מחשבה. בחלק ניכר מסרטיו מופיעות פנטזיות העוסקות בשלטון ובאלימות.
ראשית חייו.
נולד ב-1932 בפריז, למשפחה יהודית. בשנות מלחמת העולם השנייה שהה כילד במחבוא. חוויה זו השפיעה עליו בהמשך דרכו להזדהות עם מצוקות הזר והשונה. כבר בנעוריו הוקסם מהקולנוע והחליט לעסוק בתחום. לאחר סיום לימודיו החל לעבוד כעוזר במאי אצל ז'ק בקר , איב אלגרה , מרסל קרנה ומקס אופולס, ממנו למד כיצד לביים שחקנים וטכניקות ששימשו אותו בהמשך דרכו. ב-1956, לאחר שהשתמש בכספי פיצויים שקיבל לאחר תאונת דרכים בה היה מעורב, יצר את הסרט הקצר והאילם, "Lion la Lune", המתאר באופן פואטי וריאליסטי יום ולילה בחייו של נווד פריזאי. הסרט הביא לו הכרה מיידית. הוא זכה ב-1957 בפרס ז'אן ויגו היוקרתי וזכה לשבחים מהמשורר והתסריטאי, ז'אק פרוור.
שנות השישים.
מזמן פרסום סרטו הקצר ועד יציאת סרטו הארוך הראשון ב-1963, "החיים במהופך" ("La vie à l’envers"), חלפו שבע שנים. באותן שנים עלתה קרנה של תנועת הגל הצרפתי החדש. ז'סואה לא נמנה עם תנועה זו, אך כבן דורם של במאיה, חלק איתם את התשוקה לקולנוע והנחישות הבלתי מתפשרת לצעוד בדרכו האישית. גיבור סרטו, בגילומו של שארל דנר הוא צעיר מצליח שבעקבות הרהוריו על משמעות החיים בוחר בתהליך של ויתור על הקריירה שלו ועל קשריו החברתיים עד שהוא מגיע לאשפוז בבית חולים לחולי רוח ורואה בהעדפתו לאיבוד חירותו כניצחון. הסרט זכה בפרס הראשון לסרט ביכורים בפסטיבל הסרטים של ונציה ב-1964 וביסס את מעמדו של ז'סואה כיוצר בעל חזון קולנועי מובחן ומקורי.
סרטו הבא יצא לאור ב-1967 ונקרא "משחקי רצח" ("Jeu de massacre"). הסרט עסק בפנטזיות של נער שעשועים צעיר (מישל דושוסואה) המשכנע גבר ואישה (ז'אן-פייר קאסל וקלודין אוז'ה); יוצרי הקומיקס האהוב עליו, לשהות בביתו וליצור קומיקס אודותיו. העניינים מסתבכים כאשר הוא מתחיל לדמיין שהוא עצמו גיבור הקומיקס ולפעול בהתאם. הסרט היה מהיר וצבעוני ויוצרו החזותי, ברוח אמנות הפופ ושנות ה-60 היה האמן גי פלאר . הסרט זכה בהצלחה מסחרית בלתי מבוטלת בצרפת ובפרס לתסריט המקורי בפסטיבל קאן.
בעקבות הצלחתו החל ז'סואה לעבוד על הפרויקט הגדול שעליו חלם: סרט מדע בדיוני בשם "כוכב הלכת הכחול" ("Le planet bleu"). קנה המידה של ההפקה השאפתנית דרש גיבוי של מפיק גדול, כך שכאשר המפיק האיטלקי, קרלו פונטי, שעמד מאחורי סרטים מצליחים רבים, כמו "הבוז" של גודאר (1963) ו"ד"ר ז'יוואגו" של דייוויד לין (1965), הראה עניין בתסריט, נראה היה כאילו יש סיכוי שהסרט יגיע להפקה. קשר זה הוביל למה שז'סואה תיאר מאוחר יותר: "התגוררתי כמו נווד בחיק המותרות והיוקרה במשך שלוש שנים, בלונדון, ברומא ובניו יורק". פונטי אמנם מימן את שלבי ההפקה הראשוניים של תכנון הסרט, אך לא העמיד את התקציב הנדרש כדי להפיק את הסרט כולו. לבסוף, משהבין שפונטי שיקר לו, עבר ז'סואה ללוס אנג'לס וניסה למצוא מימון לסרט שם, אבל להוליווד, שחיפשה להיטים בעלי תקציב נמוך, דוגמת "אדם בעקבות גורלו", היה עניין מועט בהימורים על סרט מדע בדיוני בעל תקציב גדול על ידי במאי אירופאי שטרם הוכיח הצלחה אמיתית. מיואש, חזר ז'סואה לצרפת והכניס את עצמו לאחד מן הטיפולים האופנתיים של אותה עת (טיפול במי-ים) בתקווה לשקם את רוחו. כאן הוא הגה לראשונה את הרעיון לסרט הבא שלו.
שנות השבעים.
סרטו הבא של ז'סואה יצא למסכים ב-1973. הסרט "טיפול בהלם" ("Traitment du choc") מתרחש במרפאה אקסקלוסיבית, בה קהל הלקוחות העשיר מתאשפז לצורך טיפולי התחדשות שנועדו לגרום להם להרגיש ולהיראות צעירים יותר. שניים מהכוכבים הגדולים של צרפת באותה עת, אלן דלון ואנני ז'יררדו כיכבו בסרט; דלון כמנהלה הכריזמטי של המרפאה, וז'יררדו כמעצבת אופנה המגיעה למרפאה בהרגשה כי היא "זקנה", לאחר שנדחתה על ידי המאהב שלה לטובת אשה צעירה יותר. בהתחלה היא שמחה כאשר נראה שהטיפולים עובדים, והיא מתפתה לקסמו של הרופא, אך עד מהרה מוטרדת הלן לנוכח ההתאבדות המסתורית של ידידתה הקרובה והיעלמותם של כמה מהצעירים הפורטוגלים העובדים בספא. כשהיא מנסה לחקור היא נתקלת באמת הנוראה אודות המעבדה של הרופא. בדומה ליצירותיהם של בונואל ושל שברול, הסרט מנסה לפסוע על הקו הדק בין שבין מותחן ובין סטירה חברתית ומדגיש את האובססיה המודרנית להרגשה ולמראה הצעיר, תוך ביקורת על המעמד הבורגני המוכן להעלים עין מניצול אחרים כל עוד זה משרת את מאווייהם האנוכיים. בסרט צפו בצרפת 1.857 מיליון צופים. הסרט זכו לביקורות פושרות, וחלק מהמבקרים ראו בו כמי שמנסה להדגים את האידאה השחוקה של "עולם של חזקים הזוללים את החלשים ומתחסדים להיות נאורים", אך טענו שהסרט "שטחי עד כדי גיחוך".
ב-1977 ביים ז'סואה את "ארמגדון" (Armaguedon) בכיכובם של אלן דלון וז'אן יאן, על פי סיפור של המלחין דייוויד ליפינקוט . הסרט עסק במרדף של המשטרה והאינטרפול אחר אדם פשוט בעל נטיות מהפכניות המכונה ארמגדון (ז'אן יאן) שהתעשר כתוצאה מירושה והחליט להפוך למפורסם בכל מחיר. אלן דלון מגלם את הפסיכולוג המסייע למשטרה בניסיונה לפצח את דמותו של ארמגדון. את המוזיקה לסרט הלחין אסטור פיאצולה וצפו בסרט בצרפת כ-716,000 צופים.
ב-1979 יצא למסכים סרטו "הכלבים" (Les Chiens), על פי סיפור של ג'יימס גראהם באלארד. בסרט מככב ז'ראר דפארדייה כמאמן כלבים דומיננטי בעל שיטות עבודה קיצוניות, המגיע לעיירה קרתנית כדי לפתור בעיה של התקפות נשיכה בלתי פתורות המטילות פחד על העיירה. הסרט מנסה להראות עד כמה בקלות יכולה הקהילה לפנות לפאשיזם מתוך פאניקה.
שנות השמונים.
ב-1982 ביים ז'סואה את הקומדיה השחורה "גן עדן לכולם" (Paradis pour tous), שעסקה ברדיפה המודרנית אחר האושר. אלן (פטריק דוור , שהתאבד לאחר צילומי הסרט) הוא סוכן ביטוח בעל נטייה לדיכאון ועבר של ניסיונות התאבדות, המקבל טיפול חדשני מד"ר ולואה (ז'אק דיטרון ) שמביא אותו לאושר תמידי. הבעיה היא שבמקביל, הוא הופך אדיש לסביבתו ומאבד את יכולת האמפתיה כלפי הסובבים אותו, כולל כלפי אשתו (פאני קוטנקון ). הפתרון של הדוקטור הוא להחיל את הטיפול גם על האשה וגם על עצמו.