היה חבר בתנועת תורה ועבודה. לאחר מלחמת ששת הימים הקימו תלמידיו ביוזמתו כמה ישיבות הסדר: ישיבת הכותל, ישיבת ברכת משה במעלה אדומים, ישיבת הגולן, וישיבת מעלות. בתשל"ד הוקמה גם ישיבה קצרת ימים בגדה המערבית של תעלת סואץ, במתחם שדה התעופה פאיד. בישיבות הודגש הצורך לסייע במשימות לאומיות כמו חינוך, קליטת עלייה, ביטחון והתיישבות. נהג לחזור על הסיסמה: "ארץ ישראל לעם ישראל על פי תורת ישראל". לדעתו הברית בין היהדות הדתית לבין התנועה הציונית חרותה בסלע קיומנו.
על שמו נקרא רחוב בשכונת הר חומה בירושלים. בשנת 2003 הקים בנו הרב אהרון בינה את ישיבת נתיב אריה, על שם אביו.
ספרו.
"אישון אריה - חידושים, שו"ת ומאמרים תורניים של הרב אריה בינה זצ"ל", בעריכת רועי תמיר וארי בינה, ה'תשפ"ב
ויליאם ראסל
ויליאם יוסטיס ראסל (באנגלית: William Eustis Russell; 6 בינואר 1857 - 16 ביולי 1896) היה פוליטיקאי אמריקאי, שכיהן כמושל מסצ'וסטס ה-37.
ביוגרפיה.
ראסל נולד וגדל בקיימברידג' שבמסצ'וסטס, בנו של פרקליט. הוא התחנך בבתי ספר ציבוריים ובמכללת הרווארד (המכללה ללימודי תואר ראשון של אוניברסיטת הרווארד), שם סיים את לימודיו בשנת 1877. לאחר מכן למד משפטים בבית הספר למשפטים של אוניברסיטת בוסטון. לאחר לימודיו שם החל לעבוד כעורך דין לצד אביו בקיימברידג'.
בשנת 1884 נבחר ראסל הצעיר לתפקיד ראש עיריית קיימברידג'. הוא כיהן בתפקיד זה עד שנת 1887. בסמוך לסיום תפקידו הצליח לגייס סכומי כסף גבוהים עבור העיר, תרומה מהיורש הצעיר פרדריק הסטינגס רינדג', חברו לספסל הלימודים בהרווארד. כספיו של רינדג' הופנו לבניית ספרייה, בית עירייה חדש ובית ספר. שמו של רינדג' הונצח בעיר; בית הספר שמימן, שדרה, דרך ופרויקט מגורים ציבורי נקראו על שמו.
ראסל התמודד פעמיים בחוסר הצלחה על משרת מושל מסצ'וסטס, הוא הובס על ידי אוליבר איימס
(מושל מסצ'וסטס ה־35) וג'ון קווינסי אדמס בראקט (המושל ה־36). בבחירות 1890 הביס ראסל את בראקט ונבחר למושלה ה־37 של מסצ'וסטס מטעם המפלגה הדמוקרטית. המושל הצעיר ביותר בהיסטוריה של המדינה באותה עת וגם כיום (2008).
בעת כהונתו כמושל קידם ראסל חוקים להגנת זכויות עובדים, ביטל את מסי הגולגולת במדינה והנהיג מס ירושה. הוא עודד את שימורן של שמורות טבע ושטחים ציבוריים אחרים. ראסל הצליח לקדם את מדיניותו על אף שליטתם של הרפובליקנים בבית המחוקקים של המדינה באותה עת. הוא כיהן כמושל במשך שלוש קדנציות בנות שנה אחת ולא התמודד על קדנציה רביעית. לאחר שעזב את כיסא המושל שב לעיסוקו כעורך דין.
ראסל נפטר בגיל 39. בנו, ריצ'רד מנינג ראסל, הלך בעקבותיו לפוליטיקה וכיהן גם הוא כראש עיריית קיימברידג'. הוא ייצג את המחוז התשיעי של מדינת מסצ'וסטס בבית הנבחרים של ארצות הברית בשנות השלושים של המאה העשרים.
על שמו של ויליאם ראסל נקרא בית ספר ציבורי בבוסטון.
מספר p-אדי
בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, מספר p-אדי הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני p, שהוא סופי בצד החזקות השליליות formula_1, ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר p, וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.
תכונות.
במספר p-אדי, שצורתו הכללית
עשויים המקדמים formula_3 להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח formula_4, שבהם אין חזקות שליליות של p.
מרחק בין שני מספרים.
בין מספרים ה-p-אדיים a ו- b מגדירים מרחק לפי חזקת p הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש – ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר. באופן פורמלי, אם formula_5 אזי formula_6 כאשר k הוא המספר הקטן ביותר שמקיים formula_7. כמו כן, מגדירים formula_8. המטריקה היא formula_9.
תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים formula_10 הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה formula_11 שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה formula_12 היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.
הצגת מספר שלילי.
לפי ההגדרה, המקדמים בהצגה כטור חזקות הם formula_13 שלכאורה הם חיוביים ולכן אפשר לחשוב שאי-אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדים. זה לא נכון. לדוגמה: יהי formula_14 ונסתכל על המספר
נחבר לו את המספר 1, נקבל
שכן 1+2=3 ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם 1+2=3 ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים:
ולכן formula_18
במקרה הכללי מתקיים ש-formula_19. אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של formula_14 אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגדלות של p מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן formula_21 ולכן
כעת, כל מספר שלילי m ניתן להציג כמכפלה של ההצגה הפיאדית של formula_23 בהצגה הפיאדית של formula_24.
הצגת מספר רציונלי.
כל מספר רציונלי ניתן להציג, באופן יחיד, בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). לדוגמה, בשדה המספרים ה-5-אדיים,
formula_25. אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור formula_26 מתכנס, וסכומו על-פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים, formula_27. לכן הסכום לעיל מתכנס ל- formula_28.
השבר המצומצם formula_29 הוא שלם p-אדי, אם ורק אם p אינו מחלק את המכנה b. למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי. למשל, formula_30 (ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר formula_31, ו- a הוא מספר שלם זר ל-p ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל- a שורש p-אדי אם ורק אם a הוא שארית ריבועית מודולו p. בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מכיוון שלמספר השלילי formula_32 תמיד יש שורש p-אדי.
חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.
הגישה האלגברית.
ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה:
כך שלכל formula_34 :formula_35 (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו p). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:
נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור p ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים formula_40. אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:
למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: formula_43).
זהו חוג עם אפס formula_44 ויחידה formula_45. יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן formula_46.
גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל.
מעבר בין ההצגה כטור חזקות להצגה כגבול הפוך.
נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:
כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:
בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:
או בנוסחה מפורשת:
כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר: לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל: formula_51).
שדה המספרים וחוג השלמים ה-p-אדיים.
קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הקרוי שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-formula_40, מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה-p אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח שלמשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות p-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעיתים קרובות משימה קלה בהרבה.
כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר formula_53. אוסף ההעתקות הרציפות מ-formula_40 למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה formula_55.
גזטה דלו ספורט
עכסנים
עַכְסָנִים היא קבוצת צפעיים מתת-המשפחה צפעוני גומה הכוללת 2 סוגים: עכסן ("Crotalus") ועכסן גמדי ("Sistrurus").
כאשר עכסן חש מאוים הוא מרשרש ב"עכסן" שבקצה זנבו ולכן מכונה גם "עכסן פעמונים". בסוג Crotalus מצויים 29 מינים ולהם 52 תת-מינים (רק ל-15 מהמינים ישנם תת-מינים), ובסוג Sistrurus שלושה מינים, שבכל אחד מהן שלושה תת-מינים. העכסנים מצויים ברחבי צפון אמריקה ובמרכזה, והוא העכסן הנפוץ ביותר בארצות הברית.
התנהגות ותזונה.
עונת הרבייה של מרבית מיני העכסנים מתרחשת באביב. בניגוד לצפעיים רבים נקבת העכסן לא מטילה ביצים; היא משריצה ולדות חיים העצמאיים מרגע היוולדם.