כלומר, תוצאת הכפל היא מטריצת היחידה כפולה בדטרמיננטה של המטריצה.
את המשפט ניתן להוכיח על ידי כפל ישיר של A במטריצה המצורפת. באופן הזה במקום ה-ij של המטריצה שתיווצר יופיע פיתוח הדטרמיננטה של מטריצה אחרת המתקבלת על ידי החלפת השורה ה-j ב-A בשורה ה-i, ללא שינוי השורה ה-i, כאשר פיתוח הדטרמיננטה נעשה לפי השורה ה-j. אם i אינו j, הדטרמיננטה המתקבלת היא של מטריצה בה השורה ה-i מופיעה פעמיים ולכן היא אפס. אם i שווה ל-j, מתקבלת הדטרמיננטה של המטריצה A.
מסקנות.
מסקנות מהגדרת המטריצה המצורפת ומן המשפט המרכזי:
איחוד הפרובינציות של מרכז אמריקה
טמפלהוף
טמפלהוף (בגרמנית: Tempelhof) הוא רובע בדרום ברלין, בירת גרמניה. ברובע, הקרוי על שם מסדר הטמפלרים שהתיישבו במקום, גרים כ-200 אלף בני אדם.
הרובע גובל בקרויצברג (Kreuzberg) בצפון, בנויקלן (Neukölln) במזרח, בשטגליץ (Steglitz) בדרום-מערב, בשנברג (Schöneberg) בצפון-מערב ובדרום היא גובלת במדינת ברנדנבורג.
כבר ב-1220 הוקמה כנסיית הכפר בטמפלהוף (Dorfkirche Tempelhof) שבנויה מאבנים שנמצאו בשדות (Feldsteine), היא אחת מהעתיקות בכל אזור ברנדנבורג. אחרי התפזרות המסדר הטמפלרי במקום, עבר המקום לרשות המסדר היואניטי וב-1435 נמכר השטח למדינת ברלין.
בשנת 2001 אוחד הרובע במסגרת רפורמת הרבעים של ברלין עם רובע שנברג. הרובע המאוחד נקרא טמפלהוף-שנברג, אף שבפועל מקובל השימוש בשמות הישנים. הרובע מורכב מהאזורים מריינדורף (Mariendorf), מריינפלדה (Marienfelde), ליכטנראדה (Lichtenrade) וטמפלהוף. יש לה ברית ערים תאומות עם נהריה.
שדה התעופה טמפלהוף.
חלק מהרובע שימש כשדה אימונים וצעדות עבור פרידריך השני מלך פרוסיה וב-1897 שימש השדה להמראת ספינת האוויר הראשונה בעולם, על ידי דוד שוורץ. ב-1909, אורוויל רייט קבע שיא עולמי בטיסת גובה, כשהמריא מהשדה לגובה של 172 מטרים וב-1923 נקבע המקום כשדה תעופה, אחד מהראשונים בעולם. בשנת 1930 נחתה ספינת האוויר (הצפלין) גראף צפלין במקום לאחר חציית האוקיינוס האטלנטי. ב-1939 נפתח על ידי הנאצים שדה התעופה המרכזי של טמפלהוף (Zentralflughafen Tempelhof). שדה התעופה הברוטליסטי מתאפיין בארכיטקטורה שהייתה אופיינית לתקופה הנאצית ולאדריכל אלברט שפר.
בזמן הסגר על ברלין הטיסו בעלות הברית המערביות אל העיר ברכבת אווירית למעלה מ-2.3 מיליון טון מזון ומצרכים בסיסיים. מרבית מטוסי הרכבת האווירית הגיעו לשדה התעופה טמפלהוף. על שם המבצע נקראות הכיכר שמול שדה התעופה וכן תחנת המטרו במקום Platz der Luftbrücke (כיכר הגשר האווירי).
לאחר איחוד ברלין היה טמפלהוף הקטן מבין שלושת שדות התעופה של העיר. ייחודו היה במיקומו במרכז העיר, אך מגבלות הרעש שהלכו והתרחבו הותירו המראה ונחיתה של מטוסים קטנים. בשנת 2008 הופסקה הפעילות האווירית במקום, כחלק מתהליך הדרגתי של סגירת כל שלושת שדות התעופה והחלפתם בנמל התעופה הבינלאומי ברלין ברנדנבורג.
אוכלוסייה.
רוב אוכלוסיית השכונה היא ממעמד הביניים, בעיקר משפחות ועובדי עירייה. בשכונה אין אתרי תיירות ראויים לציון פרט לשדה התעופה. אזור טמפלהוף מאופיין בבתי קומות והאזורים האחרים מאופיינים בעיקר בבתים פרטיים של המעמד הבינוני.
אוטו דיקס
וילהלם היינריך אוטו דיקס (בגרמנית: Wilhelm Heinrich Otto Dix; 2 בדצמבר 1891 - 25 ביולי 1969) היה צייר גרמני, פעל במיוחד בתקופת הרפובליקה הוויימארית. ידוע בשל סגנונו הגרוטסקי והריאליסטי ונחשב לאחד מהבולטים בזרם "האובייקטיביות החדשה" או "התכליתיות החדשה" (אנגלית: New Objectivity, גרמנית: Neue Sachlichkeit).
ביוגרפיה.
אוטו דיקס נולד בעיירה אונטרהאוס (גרמנית: Unterhaus) ליד העיר גרה שבמחוז סקסוניה לארנסט פרנץ ולפאולינה לואיז דיקס. אביו היה יוצר תבניות במפעל ברזל ואמו שהייתה משוררת בנעוריה, ולאחר מכן עבדה לפרנסת המשפחה כתופרת.
אוטו היה הבכור מבין אחיו ושלושה מהם האריכו ימים אחריו: טוני, פריץ והדוויג. אח גדול ממנו, שנקרא גם הוא פריץ, נפטר שנה לפני לידתו, והאחות הקטנה אליסה, נפטרה סמוך ללידתה ב-1899. משפחתו חיה בבית משותף שכיום משמש כמוזיאון המוקדש לזכרו ונוסד בשנת 1991. מעט לאחר לידתו נדדה המשפחה בין כמה בתים זמניים עד שבשנת 1908 קנה האב בית בקצה אונטרהאוס. קניית הבית למשפחה ממעמד הפועלים התאפשרה בזכות העלאה משמעותית בשכרו של האב בתחילת שנת 1900. עבודתו של האב כטכנאי הייתה מוערכת מאוד והכשרתו הייתה ייחודית, דבר שמסביר את משכורתו הגבוהה יחסית.
דיקס היה ילד חולני שסבל מדלקת ריאות, חום וסיוטים חוזרים, בהם חלום אחד שחזר על עצמו, בו הוא בורח מחרמשם של שני איכרים הקוצרים שדה תירס. סיוט זה הפך לציור שלו מאוחר יותר ומוצג היום במוזיאון העיר גרה.
לימודי אמנות.
דיקס נחשף לאמנות מגיל צעיר מאוד. בגיל עשר הוא שימש דוגמן לבן דודו מצד אימו, פריץ אמאן, וציין בשלב מאוחר יותר שזה היה השלב בו החליט להיות צייר בעצמו. הוא הוקסם מהאווירה בסטודיו ומ"הריח הנפלא של צבעי שמן ולכה". בן דודו שימש לו מנחה ראשון ולימד אותו את העקרונות הראשוניים.
במקביל ללימודיו בבית הספר היסודי בשנים 1897–1906, לקח אותו מורו לאמנות פרופסור ארנסט שונקה תחת חסותו. בשנות לימודיו נסע איתו שונקה לאזורים כפריים פתוחים והנחה אותו בציור באמצעות חומרים רבים דוגמת גיר, פחם, דיו, גרפיט צבעי מים ועוד. ספר שרטוטים של דיקס מהשנים 1903–1906 מראה את כישרונו הגדול מגיל צעיר, כמו גם את סגנונו הייחודי והקפדני.
ארנסט שונקה זיהה את הפוטנציאל הגדול שהיה חבוי בו וסייע לו להגיש בקשה למלגת לימודים "על-תנאי" לנסיך היינריך ה-28 של רויס. תנאי לקבלת המלגה הייתה התחייבות לתקופת התמחות במלאכה אצל מומחה העיצוב והציור קארל זנף בעיר גרה, מ-1905 למשך ארבע שנים. בתקופה זו רכש דיקס כלים מקצועיים רבים ושכלל את סגנונו הייחודי, למרות חוסר ההערכה שהביע כלפיו זנף. דבר זה ניכר, בין השאר בציטוט מפורסם בו טען זנף כי דיקס לעולם לא יהיה אמן אמיתי, לכל היותר יהווה שוליה לצייר.
משנת 1909 ועד 1914 למד באקדמיה לאמנות גבוהה של דרזדן. הוא מימן את לימודיו באמצעות המלגה בת ה-40 מארק לחודש שקיבל. נוסף על כך הוא היה פטור מתשלום מיסים והרוויח מעט ממכירת דיוקנאות. בתקופה זו ביקר בתערוכות גרמניות וצרפתיות ונחשף לסגנונות ציור רבים, בהם סימבוליזם, אימפרסיוניזם, פוסט-אימפרסיוניזם, אקספרסיוניזם וקוביזם. פול גוגן ווינסנט ואן גוך היו אמנים שהשפיעו עליו במיוחד וסגנונו מאותה תקופה מזכיר את זה של ציירים גרמנים מהמאה ה-16 – סגנון רך, מעודן ומעט רומנטי.
מבחינה רוחנית-דתית התנסה דיקס יחד עם חבריו הקרובים בתרגול הדת המזדזנית, סוג של דת נאו-זורואסטרית. כחלק מדת זו שמר דיקס באדיקות על צמחונות, תרגל מדיטציה ותרגולי נשימה, נמנע מעישון אם כי הוא מעיד על עצמו שלא הצליח להימנע לחלוטין משתיית אלכוהול:
"אני דואג לגופי יותר מהרגיל כי יש לי גוף בריא שמוביל לידע בריא... אני צמחוני; אם כי לא באדיקות מלאה כי אני נהנה מאלכוהול. אני עדיין נמנע מעישון".
מלחמת העולם הראשונה.
בשנת 1914 התנדב דיקס לצבא כדי להשתתף במלחמת העולם הראשונה. מניעיו לגיוס לא ברורים לחלוטין אך נראה ממכתבים, ציורים ושיחות שערך עם חבריו שהיה בהם תערובת של פטריוטיזם גרמני מיליטריסטי וניהיליזם מבית מדרשו של פרידריך ניטשה, שבספריו החל לעיין כנראה בתקופת לימודיו בדרזדן. באותן שנים, כנראה בהשפעת ניטשה, האמין כי העולם הוא מערבולת כוחות מנוגדים, היוצרים והורסים במחזוריות בלתי פוסקת של חיים ומוות. הוא האמין שיקיץ הקץ על הסדרים הבורגניים הישנים ו"שחר חדש יפציע על אירופה". למלחמה לקח איתו שני ספרים: התנ"ך ו"המדע העליז" של ניטשה.
דיקס שובץ בחיל הארטילריה וקיבל בתחילה תפקיד של מקלען. את הכשרתו הצבאית עבר בדרזדן ובבאוצן, ונשלח לחזית מלחמת החפירות בריימס שבצרפת ב-21 בספטמבר 1915. הוא היה חייל טוב והתקדם במהירות בדרגות, קיבל עיטור צלב הברזל דרגה שנייה ודרגת קצין בנובמבר באותה שנה. דיקס נפצע בחמש הזדמנויות שונות במהלך שירותו במלחמה ועבר לפחות שלוש חזיתות שונות: נהר הסום שבצפון צרפת, החזית הרוסית והחזית בפלנדריה. באוקטובר 1918 הועלה בדרגה וחודש לאחר מכן שוחרר משירות צבאי, כנראה לאחר פגיעה קשה בצוואר.
במהלך המלחמה הצליח להמשיך בעבודתו האמנותית וצייר בהפוגות, בעיקר רישומים ובצבעי גואש. את יצירותיו שלח הביתה וכך שרדו יצירות רבות של תקופתו האקספרסיוניסטית, יש המעריכים כי צייר מאות יצירות בשנות המלחמה.
רפובליקת ויימאר.
לאחר שחרורו מהצבא חזר דיקס להשלים את לימודיו באמנות באקדמיה של דרזדן בשנים 1919–1922. עבודותיו בשנים אלו מראות שינוי כיוון משמעותי. השתתפותו של במלחמת העולם הראשונה וחוויותיו הקשות ממנה, הובילו אותו להמיר את העושר הצבעוני והוויטאליות שאפיינו את עבודותיו המוקדמות, בצבעים קרים ומנוכרים. סגנונו השתנה מאקספרסיוניזם לדאדא וסוריאליזם בשנות לימודיו האחרונות. עבודותיו קיבלו ממד פוליטי והוא הביע באמצעותן כעס על היחס של גרמניה לנכים ופצועי המלחמה.
מחאה זו באה לידי ביטוי בעבודות כגון: "משחקי הקלפים" (1920), היצירה הידועה ביותר שלו מאותה שנה, המציגה גרוטסקיות חריפה כמו גם אמירה חברתית נוקבת; "חנות הקצב" (1920) ו"פצועי מלחמה" (1922) המציגות שתיהן את החברה הקורסת בתקופה שלאחר מלחמת העולם. דיקס מחה על ההוללות והריקבון שפשטו בחברה הווימארית של שנות ה-20.