בגיל 32 חיבר ספר ללימוד לטינית בסיסית לתלמידי תיכון ואוניברסיטה. לאחר פרוץ מלחמת העולם השנייה וכיבוש פולין על ידי ברית המועצות ב-1939 המשיך לעבוד כמורה בקאלוש תחת השלטון הסובייטי. בתחילת שנות ה-40 ברח עם אשתו מזרחה לברית המועצות האסיאתית, לטורקמניסטן; בשואה נספו הוריו ובני משפחתו. לאחר המלחמה חזר לפולין, לביטום (1946) שם לימד את הניצולים היהודים. אחר כך שימש כמורה ללטינית וחוקר השפה והתרבות של יוון ורומא. בשנת 1951 מונה לפרופסור לפדגוגיה ולרקטור בבית הספר לחינוך של אוניברסיטת ורשה, ושימש בתפקיד זה עד 1956.
בשנת 1957 עלה שפיגל לישראל עם אשתו והתיישב בירושלים. זמן קצר לאחר עלייתו קיבל אותו אלכסנדר פוקס מהאוניברסיטה העברית בירושלים (היסטוריון של יוון העתיקה, יליד פולין) לעבודה כספרן בספרייה לפילוסופיה ולימודים קלאסיים באוניברסיטה העברית, וכעבור מספר שנים התמנה שפיגל לפרופסור וכיהן כראש החוג ללימודים קלאסיים (1970-74). פרש כפרופסור אמריטוס.
בנוסף לכתיבתו בפולנית בראשית דרכו האקדמית (ספרי לימוד השפה הלטינית ומספר עבודות בתחום חקר הספרות היוונית), שפיגל כתב ופרסם בישראל למעלה מ-30 תרגומים, ספרי מחקר והגות בתחומי התמחותו.
על הישגיו בחקר הספרות הקלאסית ובתרגומה לעברית זכה שפיגל בפרס ישראל לשנת 1990. בהחלטת השופטים נכתב בין היתר כי "אין היום בישראל, ולא היה, איש שהעשיר את מדף הספרים של הקורא העברי במספר כה רב של ספרים פופולריים, שנכתבו תוך שליטה מלאה במקורות העולם היווני-הרומי".
נתן שפיגל סעד את אשתו, שבגלל אירוע מוחי הייתה משותקת ללא יכולת דיבור, במשך 17 שנים עד שנפטרה. הוא נפטר בירושלים בשנת 1995, שלושה חודשים לפני יום הולדתו ה-90. נקבר בהר המנוחות.
ארכיונו שמור בספרייה הלאומית.
קישורים חיצוניים.
מפרי עטו:
הצפנה מבוססת עקום אליפטי
הצפנה מבוססת עָקֹם אֶלִיפְּטִי או בקיצור הצפנת עקום אליפטי (באנגלית: Elliptic Curve Cryptography, בקיצור ECC), היא שיטת הצפנה אסימטרית העושה שימוש במבנה האלגברי-גאומטרי הנקרא עקום אליפטי מעל שדה סופי גדול, למימוש מערכת כגון פרוטוקול דיפי-הלמן או צופן אל-גמאל. הדעה הרווחת היא שבבחירת פרמטרים מושכלת, ניתן להשיג בדרך זו אלגוריתמים מהירים ויעילים באופן משמעותי מאלו המבוססים על אריתמטיקה מודולרית בשל העובדה שמפתח ההצפנה קצר יותר מאשר בהצפנה אסימטרית רגילה, ללא פגיעה בביטחון המידע. בשל עובדה זו הצפנה מבוססת עקומים אליפטיים אטרקטיבית במיוחד בחומרה מוגבלת במשאבים כמו סנסור אלחוטי, כרטיס חכם או מערכות משובצות.
היסטוריה ורקע.
עקומים אליפטיים הם אובייקטים מתמטיים הנחקרים בתחומים רבים, בעיקר אנליזה מרוכבת, תורת המספרים וגאומטריה אלגברית. למרות תיאורם האלגנטי, הבסיס התאורטי שלהם עמוק ומורכב ביותר. בשל סגולותיהם המיוחדות, עקומים אליפטיים נחקרו מזה שנים רבות על ידי טובי המתמטיקאים. הם סייעו בעבר בתחומים שונים בתורת המספרים כמו פירוק לגורמים ובדיקת ראשוניות ושיחקו תפקיד מרכזי בהוכחת המשפט האחרון של פרמה. כיום נחשבים עקומים אליפטיים ככלים קריפטוגרפיים מבטיחים. קיימים תקנים בינלאומיים לשיטות הצפנה מבוססות עקומים אליפטיים והמחקר בנושא עדיין בעיצומו.
רעיון השימוש בעקום אליפטי ככלי קריפטוגרפי הועלה לראשונה ב-1985 על ידי ויקטור מילר ומעט מאוחר יותר על ידי ניל קובליץ. כאמור רעיון יישום הצפנת מפתח-פומבי (כדוגמת פרוטוקול דיפי-הלמן) בשדות סופיים הנוצרים מעקום אליפטי, מציע יתרון משמעותי על פני שיטות הצפנה אסימטריות אחרות, בשל השימוש במפתח הצפנה קטן יותר. תכונה זו מאפשרת יישום יעיל של ההצפנה בסביבה מוגבלת במשאבים, כדוגמת מעגלים משולבים במתקנים ניידים כמו טלפון סלולרי, כרטיס חכם וכדומה.
הצפנת מפתח-פומבי מבוססת על פונקציה חד כיוונית עם דלת מלכודת (Trapdoor), שהיא מידע נוסף שבלעדיו חישוב הפונקציה ההופכית הוא משימה קשה. בהקשר זה המידע הנוסף הוא המפתח הפרטי שנשמר בסוד. השיטות הנפוצות כמו RSA מתבססות על מספר מצומצם של בעיות מתמטיות קשות כפירוק לגורמים ובעיית הלוגריתם הבדיד בחבורות. השאיפה היא שפענוח ההצפנה ללא המפתח יהיה קשה לפחות כפתרון הבעיה המתמטית עליה היא מבוססת; טענה שלא הוכחה מתמטית בכל השיטות האסימטריות (למעט הצפנת רבין). חסרונן העיקרי של שיטות אלו הוא באורך מפתח ההצפנה. בשל ההתקדמות הטכנולוגית (בעיקר בתחום פירוק לגורמים) ופגיעותן לאלגוריתמים לפתרון בעיות אלה, המפתחות חייבים להיות בסדר גודל של אלפי ספרות בינאריות. עובדה המאפילה על יעילותם, כיוון שחישובים אריתמטיים בסדר גודל כזה איטיים מאוד. אולם ניתן ליישם מערכת מפתח-פומבי בכל סביבה מתמטית שמספקת פונקציה חד-כיוונית כמו עקום אליפטי. בשל כך הצפנת עקום אליפטי זוכה להתעניינות רבה, ה-NSA כינה אותה "הדור השני" של הצפנת מפתח-פומבי, משום שהאלגוריתמים הטובים ביותר הידועים כיום לפתרון הבעיות המתמטיות הנפוצות, אינם ישימים נכון להיום בעקומים אליפטיים.
הגדרה כללית.
עקום אליפטי הוא עקום אלגברי פרויקטיבי חלק (שאין לו "קצוות חדים"), המוגדר על ידי משוואה ממעלה שלישית. ניתן להגדיר עקום אליפטי מעל כל שדה (כלומר שהמקדמים הם אלמנטים בשדה). מעל שדה בעל מאפיין שאינו 2 או 3, אפשר להגדיר את העקום לפי נוסחאות ויירשטראס בעקום אליפטי על שם המתמטיקאי קרל ויירשטראס מהצורה:
כאשר formula_2 ו- formula_3 הם אלמנטים קבועים מהשדה formula_4, בניסוח פורמלי formula_5. העקום הוא קבוצת כל הנקודות המקיימות את המשוואה האמורה, בתוספת נקודה מיוחדת הנקראת "הנקודה באינסוף", אותה מקובל לסמן ב-formula_6. המשוואה מתארת עקום אליפטי אם ורק אם הדיסקרימיננטה formula_7.
מעל שדה בעל מאפיין 2, צורתו של העקום האליפטי (שאינו סופרסינגולרי) נתונה על ידי:
שמם של עקומים אלה מגיע מהאינטגרלים האליפטיים, הקשורים באורך קשת האליפסה. מעל שדה המספרים המרוכבים, העקום איזומורפי לטורוס.
ניתן להגדיר עקום אליפטי גם מעל שדה המספרים הממשיים, למשל אם formula_10 ו-formula_11 מתקבל עקום אליפטי עם המשוואה: formula_12.
על אוסף הנקודות בעקום (לרבות הנקודה באינסוף) אפשר להגדיר פעולה בינארית formula_13, ההופכת אותו לחבורה אבלית, שבה הנקודה באינסוף היא הנקודה הנייטרלית. מבחינה מעשית, חישוב הנקודה formula_14, כאשר formula_15 ו- formula_16 נקודות נתונות על העקום, אורך כשלושים פעולות יסודיות של חיבור, כפל וחילוק בשדה שמעליו העקום מוגדר.
קיימים עקומים אחרים כמו עקום קובליץ, עקום מונטגומרי, עקום אדוארד ועקום הסה שלהם שימושים בתחום הקריפטוגרפיה. לכל אחד מהם יתרונות בשדות שונים בהם חיבור וכפל נקודות קל יותר מאשר באחרים. גרסה מפותלת של עקום אדוארד שולבה בעקום 25519 ובעקום 448 שניהם עקומים חדשים הידועים בביטחון וביעילות גבוהים ונוספו כמועמדים לפרוטוקול SSL וכן נכללו מספר תקנים בינלאומיים (ראו ).
אריתמטיקה בעקומים אליפטיים.
קיימת שיטה ותיקה לחיבור נקודות בעקום אליפטי המיוחסת לדיופנטוס שעושה שימוש במיתר ומשיק. בייצוג גרפי פעולת החיבור של הנקודות formula_17 ו-formula_18 היא השתקפות הנקודה השלישית החותכת את הישר העובר דרך שתיהן (ראו תרשים). בחיבור נקודה לעצמה (formula_19 או formula_20 שנקרא point doubling) התוצאה היא השתקפות הנקודה השנייה החותכת את הישר המשיק לה. כאמור כיוון שהעקום אינו סופרסינגולרי, ישר העובר דרך שתי נקודות יחתוך את העקום בדיוק בנקודה נוספת אחת ויחידה. כאשר הנקודות מתכנסות כלומר הופכות לנקודה אחת הישר המשיק להן יחתוך את העקום בדיוק בנקודה אחת. כדי למצוא את הנקודה השלישית משתמשים ב-formula_21 המייצג את שיפוע הישר (החותך את הנקודות או המשיק לנקודה במקרה של נקודה יחידה). במקרה של formula_22 (כאשר formula_23 היא נקודת ההשתקפות של formula_24) הישר העובר דרכן אנכי ולכן התוצאה מוגדרת כנקודת האין סוף formula_6 כתוצאה מכך formula_26, לכן יש לכלול את נקודת האין סוף בקבוצת נקודות העקום, יחד עם נקודת האין סוף מתקבלת חבורה ציקלית (אבלית).
חוק החיבור בעקום האליפטי formula_27 מקיים את הכללים הבאים:
שני הכללים הראשונים נכונים כי כל קו אנכי שחותך את העקום חותך גם את נקודת האין סוף formula_36. וכן חוק האסוציאטיביות מובן כי כל קו שמחבר בין formula_17 ל-formula_18 מחבר גם בכיוון ההפוך בין formula_18 ל-formula_17 כך שסדר הנקודות אינו חשוב. חוק האסוציאטיביות נובע מהכלל האריתמטי של החיבור.
ניתן להגדיר עקומים אליפטיים מעל כל שדה, אך לצרכים קריפטוגרפים מתמקדים בשדות סופיים. במקרה זה, על אף שניתן להציג את הנקודות על העקום בצורה גרפית, הדבר איננו מקובל. התרשים משמאל ממחיש את העקום האליפטי formula_41 מעל השדה formula_42 (המקדמים הם שלמים חיוביים מודולו 71) שנראה כמו תפזורת אקראית של נקודות.
כללי האריתמטיקה.
כללי האריתמטיקה לעקום אליפטי משתנים בהתאם לשדה עליו הוא מבוסס. בשדה בעל מאפיין גדול מ-2 (לעקום שאינו סופרסינגולרי) תרגום הפעולות הגרפיות לנוסחאות אלגבריות הוא כדלהלן:
סכום שתי נקודות (ECADD) formula_43:
הכפלת נקודה יחידה (ECDBL) formula_45, החיבור זהה למעט:
הנקודה ההפכית של formula_47 היא formula_48.
מעל שדה סופי פעולת החילוק מתבצעת על ידי הכפלה בהופכי הכפלי, לדוגמה הפעולה formula_49 שקולה לפעולה formula_50. לשם כך צריך להשתמש באלגוריתם למציאת הופכי כפלי המבוסס על הרעיון של אוקלידס.
דוגמאות.