בשובו לניו יורק כתב אנקה מילים חדשות למנגינה הצרפתית, אשר את הזכויות לה קיבל ללא תמורה. אנקה ניסה במהלך הכתיבה להיכנס לתוך דמותו של סינטרה, תוך שהוא שואל את עצמו: "אם פרנק היה כותב את זה, איך הוא היה מתנסח?". אנקה חש כי סינטרה סימל את הדור הראשון ששם את "האני במרכז", ולכן לא היסס מלעשות שימוש במינוחים ששמים דגש חזק על האינדיבידואל, אשר מפאר את עצמו כמעט ללא שמץ של צניעות או ענווה.
אנקה סיים לכתוב את מילות השיר המשוכתב בשעה חמש לפנות בוקר, ובהזדמנות הראשונה התקשר לסינטרה אשר שהה כבר באותה העת במלון סיזר'ס פאלאס בלאס-וגאס, ובשיחה זו בישר לו שיש לו שיר "מאוד מיוחד עבורו".
אנקה סיפר בדיעבד כי חברת התקליטים שלו באה אליו מאוחר יותר בטרוניה על כך שלא שמר את השיר לעצמו. אנקה השיב כי מבחינתו השיר נכתב עבור פרנק סינטרה, והוא היה האיש שהיה צריך לבצע אותו.
הצלחת השיר.
השיר "My Way" יצא לרדיו בשנת 1969 כסינגל, ופורסם באלבום אוסף של פרנק סינטרה שנקרא גם הוא "My Way". בשלב ראשון לא נחשב כהצלחה בארצות הברית, והגיע למקום ה-27 בלבד מתוך 100 הסינגלים של שירי הפופ באותה שנה.
פריצתו של השיר הגיעה עת שודר בבריטניה בהמשך אותה שנה, שם הפך הסינגל ללהיט באופן מיידי. השיר הגיע למקום החמישי ברשימת הסינגלים הבריטיים באותה שנה, וזאת אף על פי שמבצעו היה אמריקאי. באביב 1969 היה השיר "My Way" הסינגל הנמכר ביותר בבריטניה. השיר הגיע למקומות גבוהים ברשימת הסינגלים בבריטניה גם בשנים 1970 ו-1971, ושבר שיא במכירות.
בתגובה להצלחת הסינגל בבריטניה הפך השיר להצלחה גם בארצות הברית, ובשנות השבעים הפך לסימן ההיכר של פרנק סינטרה.
גרסאות כיסוי.
עם השנים השיר הוקלט ובוצע עשרות פעמים על ידי אומנים שונים. בין המבצעים היו נינה סימון (ב-1971), אלביס פרסלי ופול אנקה עצמו.
ביצוע בולט לשיר הוא גרסת הפּאנק של סיד וישס מהסקס פיסטולס, בו השיר מבוצע בזיוף לעגני ובשינוי חלק מהמילים. ביצוע זה יצא על סינגל ב-1978 והוא מופיע בסרט המוקומנטרי על הלהקה: "The Great Rock'n'Roll Swindle" בו וישס נראה כשהוא מבצע את השיר אל מול קהל בורגני חנוט בחליפות מהודרות, כאשר בסוף השיר הוא שולף אקדח ויורה בקהל.
השיר תורגם לעברית פעמים אחדות ובוצע על ידי ספי ריבלין, ישראל יצחקי ואריק לביא.
בינואר 2017, בליל טקס השבעתו, בחר נשיא ארצות הברית לשעבר דונלד טראמפ בשיר לביצוע ריקוד הסלואו בנשף הגאלה שנערך עבורו ועבור הגברת הראשונה מלאניה טראמפ.
עוגת סברינה
ליגת העל האירית
מודל פרויקטיבי
מודול פרויקטיבי
באלגברה הומולוגית, מודול פרויקטיבי מעל חוג formula_1 הוא מודול formula_2 בעל התכונה הבאה: כל הומומורפיזם formula_3 מתפצל דרך כל הטלה formula_4; כלומר - במקרה כזה תמיד קיים הומומורפיזם formula_5 כך ש-formula_6.
מודולים פרויקטיביים מהווים הכללה של המודולים החופשיים (אלו שיש להם בסיס): כל מודול חופשי הוא פרויקטיבי. ההגדרה של מודולים פרויקטיביים בשפה של מורפיזמים מאפשרת גמישות רבה, והופכת אותם למרכיב יסודי באלגברה הומולוגית. מנקודת המבט הזו, התכונה המרכזית היא שמודול formula_2 הוא פרויקטיבי אם ורק אם הפונקטור formula_8 הוא מדויק.
חוג הוא פשוט למחצה אם ורק אם כל המודולים שלו פרויקטיביים. כל מודול חסר פיתול מעל חוג דדקינד הוא פרויקטיבי.
תכונות בסיסיות.
אם formula_9 הוא מודול חופשי, אז formula_2 פרויקטיבי, ולהפך - כל מודול פרויקטיבי הוא מחובר ישר של מודול חופשי (וכל מודול פרויקטיבי נוצר סופית הוא מחובר ישר של מודול חופשי נוצר סופית). מכאן נובע שסכום ישר של מודולים הוא פרויקטיבי, אם ורק אם כל אחד מן המחוברים פרויקטיבי. כמו כן נובע מכך שכל מחובר ישר של מודול פרויקטיבי הוא בעצמו פרויקטיבי.
מודול formula_2 הוא פרויקטיבי אם ורק אם כל סדרה מדויקת קצרה formula_12 מתפצלת. כלומר, אם formula_2 מופיע כמנה של formula_14, אז הוא מחובר ישר שלו.
חופשיות מוגדרת לפי בסיס. יש הגדרה דומה למודולים פרויקטיביים: מודול formula_2 הוא פרויקטיבי אם ורק אם יש איברים formula_16 והומומורפיזמים formula_17 כך שלכל formula_18 מתקיים formula_19.
תת-מודולים.
חוג שמעליו פרויקטיביות עוברת בתורשה לתת-מודולים, נקרא חוג תורשתי. אם התורשה פועלת רק על תת-מודולים נוצרים סופית, החוג הוא תורשתי למחצה. קפלנסקי הוכיח שכל מודול פרויקטיבי אפשר לפרק לסכום ישר של מודולים נוצרים-מנייתית. מעל חוג תורשתי למחצה (ואפילו תורשתי למחצה חלש), מודול פרויקטיבי הוא סכום ישר של מודולים נוצרים סופית
החבורה K0.
את אוסף המודולים הפרויקטיביים של חוג formula_1 אפשר ללמוד באמצעות החבורה formula_21, המוגדרת באמצעות הפונקטור K0: זוהי חבורת גרותנדיק של מונואיד המודולים הפרויקטיביים הנוצרים סופית, ביחס לפעולת הסכום הישר.
מעל חוג עם חילוק (לרבות שדה), חוג מקומי (גם אם אינו קומוטטיבי), או חוג שבו כל אידיאל שמאלי הוא ראשי (לרבות תחום ראשי), כל מודול פרויקטיבי נוצר סופית הוא חופשי. במקרים כאלה formula_22.
"הטריק של איילנברג" מראה מדוע מוכרחים להגביל הגדרה זו למודולים נוצרים סופית: אם formula_2 פרויקטיבי, אז formula_24 חופשי עבור מודול (פרויקטיבי) מתאים formula_25, ולכן formula_26; לכן formula_2 שקול לאפס בחבורת גרותנדיק של כל המודולים הפרויקטיביים מעל formula_1.
אם "formula_1" חוג קומוטטיבי עם ספקטרום קשיר, אז כל מודול פרויקטיבי מעל "formula_1" שאינו נוצר סופית, הוא חופשי.
מכפלה טנזורית.
המכפלה הטנזורית formula_31 של שני מודולים פרויקטיביים formula_32 מעל החוג הקומוטטיבי formula_33, היא מודול פרויקטיבי. פרויקטיביות נשמרת תחת הרחבת סקלרים, במובן הבא: אם formula_2 מודול פרויקטיבי מעל החוג הקומוטטיבי formula_33, ו-formula_1 אלגברה מעל formula_33, אז formula_38 הוא מודול פרויקטיבי מעל formula_1.
השערת סר.
"השערת סר" (Serre), שאותה הוכיחו Quillen ו- Suslin (בנפרד, ב-1976), קובעת שכל מודול פרויקטיבי מעל חוג הפולינומים בכמה משתנים מעל שדה הוא חופשי. ההשערה הייתה אחד הגורמים החשובים בהתפתחות תורת המודולים מעל חוגים קומוטטיביים. אם מחליפים את השדה בחוג עם חילוק, התוצאה אינה נכונה.
תכונות דומות.
כיסוי פרויקטיבי.
מודול פרויקטיבי formula_2 עם העתקה מ-formula_2 למודול formula_42 שהגרעין שלה הוא תת-מודול קטן נקרא כיסוי פרויקטיבי של formula_42. לא תמיד קיים כיסוי כזה, אבל אם קיים אז הוא יחיד (עד כדי איזומורפיזם). חוג שמעליו לכל מודול (נוצר סופית) יש כיסוי פרויקטיבי נקרא מושלם (למחצה).
קוואזי-פרויקטיביות.
מודול נקרא קוואזי-פרויקטיבי אם כל הומומורפיזם מתת-מודול שלו אל עצמו, ניתן להרחבה לאנדומורפיזם מן המודול כולו. כל מודול פרויקטיבי הוא קוואזי-פרויקטיבי, אבל המשפחה האחרונה כוללת גם את כל המודולים הפשוטים למחצה. כל סכום ישר סופי של עותקים איזומורפיים של מודול קוואזי-פרויקטיביים, הוא קוואזי-פרויקטיבי.
מודול שאפשר להרים אליו כל אנדומורפיזם של מודול מנה, נקרא דמוי-פרויקטיבי . כל מודול קוואזי-פרויקטיבי הוא דמוי-פרויקטיבי.
מודול formula_42 הוא formula_45-פרויקטיבי, אם לכל פירוק formula_46 (הסכום לאו-דווקא ישר), יש אנדומורפיזם formula_47 כך ש-formula_48 ו-formula_49. כל מודול דמוי-פרויקטיבי הוא כזה, וכך גם כל מודול יוניסריאלי (מודול שבין כל שני תת-מודולים שלו אחד מכיל את השני). מעל חוג השלמים, formula_45-פרויקטיביות שקולה לדמוי-פרויקטיביות. חוג שמעליו כל מודול הנוצר על ידי שני איברים הוא formula_45-פרויקטיבי, הוא פשוט למחצה.
פרויקטיביות נאמנה.
מודול פרויקטיבי formula_2 מעל formula_1 הוא "פרויקטיבי נאמנה" (faithfully projective) אם formula_54 לכל אידיאל formula_55 של formula_1 (השווה למודול נאמן). תכונה זו מועילה למשל כאשר formula_2 הוא בעצמו חוג: אם formula_1 הוא תת-חוג של formula_2, ו-formula_2 הוא פרויקטיבי בנאמנות מעל formula_1, אז formula_1 הוא מחובר ישר ב-formula_2
Hurt הוא שיר שנכתב על ידי טרנט רזנור, ושיצא לראשונה ב-1994 כסינגל של להקת "Nine Inch Nails". ב-2002 הוציא ג'וני קאש גרסת כיסוי לשיר, שזכתה לביקורות מהללות.
לחן השיר היווה את ההשראה לפזמון השיר "עולה ויורד" של נעם רותם, שיצא ב-2007. כמו כן, פזמון השיר מצוטט בעמודיו הראשונים של ספרו של סטיבן קינג, "המגדל האפל". השיר הגיע למקום השמיני במצעד של נורווגיה.
תיאור השיר.
השיר הוא הקינה המסיימת את אלבום הקונספט "The Downward Spiral" של "Nine Inch Nails". זהו השיר השקט ביותר באלבום, לצד "A Warm Place".
השירה השקטה מלווה בפריטת ארפג'ו, אליה מצטרפים במהלך הפזמון גם פסנתר ותופים. מילות השיר עוסקות בתובנה אליה מגיע המספר כי לו הייתה ניתנת לו הזדמנות נוספת, היה עולה בידו לתקן את דרכיו ולהימנע מהסבל אותו עבר. למרבה הטרגדיה, תובנה זו מגיעה מאוחר מדי - לאחר שהשיר הקודם, הנושא את שם האלבום, מתאר את התאבדותו של המספר. הפזמון השני נקטע בפתאומיות על ידי רעש אלקטרוני חזק הדועך לאיטו במשך יותר מדקה, וכך מסיים את השיר והאלבום.
הביצוע של ג'וני קאש.
הביצוע של קאש לשיר היה הלהיט האחרון שלו לפני מותו ב-2003. הוא נכלל באלבום "American IV" מ-2002, ונחשב לביצוע מרגש במיוחד. הביצוע זכה בפרס "סינגל השנה" מטעם פרס מוזיקת הקאנטרי.