אחת ההשראות וההנעות הראשיות לפרינקיפיה היא העבודה של גוטלוב פרגה בלוגיקה, אשר ראסל גילה שמאפשרת את היצירה של קבוצה פרדוקסלית (הפרדוקס של ראסל). פרינקיפיה נועדה להימנע מבעיה זו על ידי שלילת האפשרות ליצירה שרירותית של קבוצות. דבר זה הושג על ידי החלפת הרעיון של קבוצה כללית עם הרעיון של היררכית קבוצות מטיפוסים שונים, כך שקבוצה מטיפוס מסוים יכולה להכיל רק קבוצות מטיפוסים נמוכים יותר. מתמטיקה מודרנית נמנעת מפרדוקסים כגון זה בדרכים פחות מגושמות, כמו אקסיומות צרמלו-פרנקל.
אין לבלבל בין ה-Principia Mathematica לבין "The Principles of Mathematics" של ראסל שמשמעות שמו דומה אבל יצא לאור בשנת 1903. בפרינקיפיה מצוין ש:"במקור יעדנו להכליל את העבודה הזו ככרך שני של "the principles"... אבל ככל שהתקדמנו, הלך והתברר שהנושא גדול בהרבה משניתן היה להניח. לא רק זאת אלא שמשוואות בסיסיות רבות אשר נותרו מעורפלות ונתונות בספק בעבודה הקודמת, עתה הגענו למה שאנו רואים כפתרונות המשביעים את הדעת". הפרינקיפיה של ראסל שואבת את שמה מן הפרינקיפיה המפורסמת האחרת, של אייזיק ניוטון.
הוצאת הספרייה המודרנית (Modern Library) דרגה את PM במקום ה-23 ברשימת 100 ספרי העיון של השפה האנגלית במאה העשרים.
היקף היסודות שהונחו.
הפרינקיפיה מתמטיקה כיסתה רק את תורת הקבוצות, מספרים קרדינליים, מספרים סודרים ומספרים ממשיים. משפטים מאנליזה ממשית לא נכללו, אבל לקראת סוף הכרך השלישי היה ברור למומחים שבאופן עקרוני ניתן באמצעות התוכן הקיים לפתח חלקים ניכרים מהתחומים שלא כוסו. היה ברור גם כמה מורכב ומסובך יהיה פיתוח מלא מסוג זה.
כרך רביעי אודות היסודות של הגאומטריה תוכנן לצאת לאור, אך המחברים הודו בתשישות אינטלקטואלית עם השלמתו של הכרך השלישי.
בסיס תאורטי.
כפי שצוין בביקורת של קורט גדל, שלא כמו תאוריית הפורמליזם, התאוריה ה"לוגית" של הפרינקיפיה חסרה את התחביר המדויק של הפורמליזם. הערה נוספת היא שכמעט מיד מוצגים פירושים (במובן של תורת המודלים) כמונחים של ערכי אמת עבור ההתנהגות של הסמל"⊢" (טענות נכונות), "~" (לא) ו "V" (או).
ערכי אמת: הפרינקיפיה מטמיעה את המושגים של "אמת" (truth) ו"שקר" (falsity) במושג של "טענה פרימיטיבית" (primitive proposition). תאוריה פורמליסטית גולמית (טהורה) לא תספק את המשמעות של הסמלים אשר יוצרים טענות פרימיטיביות - הסמלים עצמם יכולים להיות שרירותיים ובלתי מוכרים לחלוטין. התאוריה תציין רק איך הסמלים מתנהגים בהתבסס על התחביר של התאוריה. לאחר מכך, על ידי הקצאה של "ערכים", מודל יכול לספק פירוש של מה הנוסחאות מביעות. על כן, במערכת הסמלים של Kleene, ה"פירוש" של המשמעות הנפוצה של הסמלים, ואופן השימוש המשתמע ממנה, ניתנת בסוגריים. למשל: "¬ (לא)". אבל, אין זו תאוריה פורמליסטית טהורה.
הבניה של תאוריה רשמית התואמת את התקופה.
התאוריות הפורמליסטיות הבאות מוצגות כנגד התאוריה הלוגיסטית של הפרינקיפיה. מערכת רשמית התואמת את התקופה תבנה בדרך זו:
תאוריות רבות מתארות את האקסיומות הראשונות שלהן כקלסיות, מודוס פוננס או "חוק הניתוק":A, A ⊃ B │ B&lt;br&gt;
הסמל "|" נכתב בדרך כלל כקו אנכי, כאן "⊃" מציין "גורר" (implies). הסמלים A ו-B הם "שומרי מקום" (stand-ins) עבור שרשורים. צורה זו של כתיבה מכונה "סכמת האקסיומה". ניתן לקרוא את זה בדרך דומה ל "אם-אז", אבל עם שינוי: בהינתן שרשור הסמלים "אם A" ו- "A גורר B" "אז B" (וניתן לשמר רק את B לצורך שימוש עתידי). אבל לסמלים אין שום "פירוש" (אין טבלת אמת, ערכי אמת או פונקציות אמת) ומודוס פוננס ממשיכה באופן מכני על ידי הדקדוק לבדו.
הבנייה.
לתאוריה של הפרינקיפיה יש נקודות דמיון ושוני בהשוואה לתאוריה פורמלית. קלן (Kleene) מציין ש"הדידקציה (deduction) של מתמטיקה מלוגיקה הוצאה כאקסיומה אינטואטיבית. האקסיומות נועדו לכך שיאמינו בהן, או שלפחות יקבלו אותן כהיפותזות אפשריות בנוגע לעולם. אמנם, בשונה מתאוריה פורמליסטית שעורכת מניפולציות על סמלים על פי חוקי תחביר, הפרינקיפיה מציגה את המושג של "ערכי אמת" (כלומר, אמת ושקר כפי שהם באים לידי ביטוי בעולם הממשי) ואת "טענת הנכונות" באופן כמעט מיידי כאלמנטים החמישי והשישי במבנה של התאוריה (PM 1962:4–36):
p ⊃ q .=. ~ p ∨ q Df. (PM 1962:11)&lt;br&gt;
ותוצר לוגי מוגדר כ:
p . q .=. ~(~p ∨ ~q) Df. (PM 1962:12)&lt;br&gt;
שקילות לוגית מופיעה שוב כהגדרה:p ≡ q .=. ( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p ) (PM 1962:12),&lt;br&gt;
שימו לב להופעתם של הסוגריים. השימוש התחבירי הזה אינו מפורט באופן מוגדר ומופיע באופן בלתי סדיר (ספוראדי). עם זאת לסוגריים יש תפקיד חשוב בשרשורים של סמלים, כמו למשל הסימול "(x)" עבור "x∀" הנהוג במתמטיקה המודרנית.
רעיונות פרמיטיביים.
Cf. PM 1962:90–94, עבור המהדורה הראשונה:
טענות פרמיטיביות.
המהדורה הראשונה (ראה את הדיון על המהדורה השנייה בהמשך) מתחילה עם הגדרת הסימן "⊃"
✸1.01. p ⊃ q .=. ~ p ∨ q. Df.
✸1.1. כל מה שנגרר או מרומז (implied) על ידי טענה אמיתית בסיסית הוא אמת. Pp מודוס פונס
✸1.2. ⊦: p ∨ p .⊃. p. Pp עיקרון של טאוטולוגיה
✸1.3. ⊦: q .⊃. p ∨ q. Pp עקרון החיבור
✸1.4. ⊦: p ∨ q .⊃. q ∨ p. Pp עיקרון החילוף
✸1.5. ⊦: p ∨ ( q ∨ r ) .⊃. q ∨ ( p ∨ r ). Pp עקרון הקיבוץ
✸1.6. ⊦:. q ⊃ r .⊃: p ∨ q .⊃. p ∨ r. Pp עקרון החיבור
✸1.7. אם p היא תענה בסיסית, ~p היא נענה בסיסית. Pp
✸1.71. אם p ו- q הן טענות בסיסיות, p ∨ q i היא טענה בסיסית. Pp
✸1.72. אם φp ו- ψp הן טענות בסיסיות פונקציונלית (elementary propositional functions) functions שמשתמשות בטענות בסיסיות כארגומנטים (arguments), φp ∨ ψp היא טענה בסיסית. Pp
יחד עם ה"הקדמה למהדורה השנייה", נספח A של המהדורה השנייה זונח את כל סעיף ✸9. זה כולל שיש טענות פרימיטיביות ✸9 עד ✸9.15 יחד עם אקסיומות הפריקות (reducibility)
התאוריה המחודשת (revised theory) נהיית קשה יותר עקב ההצגה של קו שֶׁפֶר ("|") לסימול "אי התאמה" (למשל, אם שתי הטענות הבסיסיות p ו- q אמיתיות, ה"קו" שלהן p | q הוא שקרי), התואם ל"לא-וגם" הלוגי ( NAND: not-AND). בתאוריה המחודשת, ההקדמה מציגה את המושג של "טענות אטומיות" (atomic proposition), "נתון" אשר "מקושר לחלק הפילוסופי של הלוגיקה". אין להן חלקים שהם טענות והם לא מכילים את המושגים "הכל" או "חלק". לדוגמה: "זה אדום", או "זה מוקדם יותר ממנו". דברים כאלו יכולים להתקיים כ- ad finitum, למשל גם "מנייה אין סופית" (infinite eunumeration) שלהם להחלפת ה"הכללה" (generality). כמו למשל המושג "לכל". הפרינקיפיה "מתקדמת לטענות מולקולריות" המקושרות על ידי קו שפר. הגדרות נותנות שקילות עבור "~", "∨", "⊃", ן- ".".
ההקדמה החדשה מגדירה "טענות בסיסיות" כטענות אטומיות ומולקולריות ביחד. או אז היא מחליפה את כל הטענות הפרמיטיביות ✸1.2 עד ✸1.72 עם טענה פרמיטיבית בודד,  המבוססת על המושגים של קו שפר:
"אם p, q, r הן טענות בסיסיות, בהינתן p ו- p|(q|r), אנו יכולים להסיק את r. זוהי טענה בסיסית."
ההקדמה החדשה משמרת את המושג של "קיימות" (there exists) אשר עוצבה מחדש כ"אמיתי לפעמים" ו"לכל" אשר שעוצבה מחדש כ"תמיד אמיתי". נספח A מחזק את המושג של "מטריצה" או "פונקציית ניבוי" (predicative function) (טענה בסיסית, PM 1962:164) ומציגה ארבע טענות פריטיביות חדשות כ ✸8.1–✸8.13.
✸88. אקסיומת הכפל
✸120. אקסיומה של אין סוף
תוכן.
חלק I לוגיקה מתמטית. כרך I מ-1✸ עד 43✸.
חלק זה מתאר את תחשיב הפסוקים ותחשיב הפרדיקטים, ונותן את התכונות הבסיסיות של מחלקות, יחסים וטיפוסים.
חלק II דיון מקדים לתחשיב העוצמות. כרך I מ-50✸ עד 97✸.
חלק זה מקיף תכונות מגוונות של יחסים, במיוחד אלו שנדרשות לאריתמטיקה של עוצמות.
חלק III תחשיב העוצמות. כרך II מ-100✸ עד 126✸.
חלק זה מכסה את ההגדרה והתכונות הבסיסיות של עוצמות. לכל טיפוס יש את אוסף הקרדינלים המיוחסים לו וישנו צורך בניהול חשבונות משמעותי להשוואה בין קרדינלים מסוגים שונים. הפרינקיפיה הגדירה את החיבור, כפל והעלאה לחזקה של קרדינלים, והשוותה הגדרות שונות של עוצמות סופיות ואינסופיות. 120.03✸ היא האקסיומה של אין סוף.
חלק V סדרות. כרך II מ-200✸ עד 234✸ וכרך III מ-250✸ עד 276✸.
חלק זה מכסה את נושא הסדרות.
חלק VI כמות. כרך III מ-300✸ עד 375✸.
חלק זה בונה את מושג השלמים, שדה המספרים הרציונליים ושדה המספרים הממשיים, ומשפחות וקטורים, שמקושרות למה שמכונה היום טורסורים מעל חבורות אבליות.
הבדלים בין מהדורות.
פרט לתיקון של טעויות דפוס, רוב הטקסט של הפרינקיפיה לא השתנה בין המהדורה הראשונה והשנייה. במהדורה השנייה כרכים 2 ו-3 כמעט שלא השתנו, פרט למספור העמודים. עם זאת, בכרך הראשון היו חמש תוספות חדשות:
בשנת 1962 Cambridge University Press פרסמה מהדורה מקוצרת בכריכה רכה, המכילה חלקים מהמהדורה השנייה של כרך 1: ההקדמה החדשה, הטקסט העיקרי עד 56* ונספחים A ו-C.
המפקח ז'אבר
כיסא נדנדה
כיסא נדנדה או כורסה מתנדנדת הוא רהיט לבית או לגינה, שדומה לכיסא או לכורסה, שיכול להתנדנד ויש לו מגע בקרקע (להבדיל מנדנדה תלויה).
כרהיט לבית, על פי רוב, בסיסו של כיסא הנדנדה מורכב משתי קשתות, שכל אחת מהן מחברת שתיים מרגלי הכיסא - אחת לשתי הרגליים הימניות ואחת לשתי השמאליות. אולם, קיימים גם כיסאות נדנדה עם בסיס קבוע על הרצפה, שמחובר בצירים אל גוף הכיסא, כך שהנידנוד מושג בתנועה סביב צירים אלו. כרהיט לגן, כיסא הנדנדה מקובע לרוב לקרקע בקפיץ חזק.