בשני משולשים אלו, formula_14 צלע, והגובה מ-formula_25 ל-formula_14 שווה לגובה מ-formula_15 ל-formula_14. (כי formula_17)
לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר formula_18
אם מוסיפים לשני האגפים את שטח המשולש formula_19, מקבלים formula_20
מחלקים את שני האגפים בשטח המשולש formula_19, ונקבל formula_51
מורידים גובה formula_21 מ-formula_53 ל-formula_23, וגובה formula_24 מ-formula_56 ל-formula_26.
מכיוון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, מקבלים:
formula_58
לאחר צמצום, מקבלים: formula_59
הרחבה שנייה.
על הקטע formula_60, מסמנים נקודה formula_61, כך ש-formula_62.
מכיוון ש-formula_62 וש-formula_64, formula_65 מקבילית, ולכן formula_66
לכן, על פי משפט תאלס, (כאשר מתייחסים לזווית formula_67)
formula_68
נציב formula_62, ונקבל formula_70
המשפט השני.
בגאומטריה האוקלידית, משפט תאלס קובע שהזווית המונחת על קוטר במעגל היא זווית ישרה: אם הנקודות formula_71 ,formula_25 ו-formula_15 מונחות על מעגל והקו formula_26 עובר דרך מרכז המעגל, אז הזווית formula_75 שווה לתשעים מעלות.
משפט זה היה ידוע ככל הנראה באופן אמפירי כבר למצרים והבבלים, אבל הם לא עסקו בהוכחות גאומטריות, וממילא לא סיפקו הוכחה גם למשפט זה. ההוכחה הראשונה מיוחסת לפילוסוף והגאומטרן היווני תאלס ממילטוס, שעל-שמו קרוי המשפט.
הוכחת המשפט.
ההוכחה מסתמכת על שתי עובדות ידועות, שגם אותן מייחס אוקלידס בספרו, "יסודות", לתאלס.
נסמן ב-formula_76 את מרכז המעגל. מכיוון שהנקודות formula_71 ,formula_25 ו-formula_15 מונחות על המעגל, מתקיים formula_80, ולכן המשולשים formula_81 ו-formula_82 שניהם שווי-שוקיים. לפי העובדה הראשונה שהוזכרה לעיל, formula_83 וכן formula_84. נסמן את הזווית הראשונה באות formula_85, ואת השנייה באות formula_86. סכום הזויות במשולש ABC הוא formula_87, ואם נחלק את שני האגפים בשניים ונקבל formula_88.
ניסוח סימטרי והכללה.
המשפט, כפי שהוצג כאן, קובע שאם משולש חסום במעגל באופן שאחת מצלעותיו היא קוטר, אז המשולש הוא ישר-זווית. גם ההפך נכון, וכך אפשר לנסח את המשפט באופן סימטרי:
משפט תאלס הוא מקרה פרטי של המשפט שלפיו זווית מרכזית המונחת על מיתר במעגל כפולה תמיד מן הזווית ההיקפית.
מקור השם.
השם לשני המשפטים ניתן במחצית השנייה של המאה ה-19 בצרפת ובאיטליה מחד ובגרמניה מאידך. באותה עת גברה ההתעניינות בהיסטוריה של המתמטיקה והתחקות אחר מקורותיה. לכך התחבר צורך דידאקטי: לתת שמות למשפטים שנחשבו מרכזיים בספרי הלימוד. בחירת שמות מתמטיקאים מהעת העתיקה ובפרט מיוון, ערש התרבות המערבית, עשוי היה להקנות ערכים של חשיבות ומסורת. שני משפטים אלה (או הקרובים להם מאוד) הם מבין חמשת המשפטים הידועים כהישגיו של תאלס, אך אין עדויות לכך שהוכיח אותם.
הבחירת במשפטים שונים בצרפת ובגרמניה היא עדות לשוני בשתי המדינות בגישה לגאומטריה. הצרפתים הושפעו מספרו של אדריאן-מארי לז'נדר "יסודות בגאומטריה". לז'נדר הקדים את חקירת המעגל (פרק שלישי בספר יסודות של אוקלידס) לחקירת המשולש והמקבילית (פרקים ראשון ושני). הגאומטריה האפינית והגאומטריה הפרויקטיבית שהתפתחו באותה תקופה העמידו במרכז את היחסים בין קטעים בעוד שאצל אוקלידס הם מופיעים בפרק שש כדמיון משולשים. הפיכת סדר הפרקים הצביעה על שינוי מהותי בתפישה. לפיכך בחרו הצרפתים במשפט שדן ביחסים בין קטעים. הגרמנים דגלו בגאומטריה האוקלידית, הקפידו על הסדר שבספרו ומרכזיות משפט פיתגורס ולכן בחרו במשפט שמתחבר לנושא המשולש (משולש התחום במעגל).
מדינות שהושפעו מהגישה הצרפתית היו: ספרד, בלגיה ורוסיה. מדינות שהושפעו מהגישה הגרמנית היו: אוסטריה, הונגריה וצ'כוסלובקיה. עד שנות העשרים של המאה ה-20 ספרי הלימוד ביוון בחרו בגישה הגרמנית ואז זו הוחלפה בגישה הצרפתית. באנגליה וארצות-הברית לא נעשה שימוש בשמו של תאלס למשפטים אלה באותה תקופה.
משפט תלס
בועת סבון
בועת סבון היא גוף חלול העשוי משכבה דקה מאוד של מי סבון. לרוב בועות סבון שורדות זמן קצר, לפני שהן מתפוצצות, בין אם בעצמן או בגלל מגע עם חפץ אחר. ילדים מרבים לשחק עם הבועות, אך מיצגים אמנותיים הראו שגם מבוגרים מתעניינים בהן. בועות סבון מהוות המחשה פיזיקלית לבעיה מתמטית מורכבת בנושא מינימום שטח פנים.
תכונות פיזיקליות.
מתח הפנים.
בועות יכולות להתקיים מכיוון שלשכבת הפנים של נוזל, (במקרה של בועות סבון, בדרך כלל מים) יש מתח פנים מסוים, אשר גורם לה להתנהג כיריעה אלסטית. למרות זאת, בועה המורכבת מנוזל בלבד איננה יציבה ולכן היא זקוקה לחומר כגון סבון כדי להתקיים. טעות נפוצה היא שהסבון מעלה את מתח הפנים שבמים - ההפך הוא הנכון: סבון מוריד את מתח הפנים של המים. למים שהומס בהם סבון יש בערך שליש ממתח הפנים של מים ללא סבון. סבון איננו "מחזק" בועות, הוא מייצב אותן. כשהסבון נמתח ריכוזו הולך ופוחת, מה שגורם למתח הפנים לעלות. כך מחזק הסבון את החלקים החלשים ביותר של הבועה, ומונע מהם מלהימתח עוד. בנוסף מונע הסבון התאיידות וכך מאפשר לבועה לשרוד מעט יותר זמן.
צורת הפנים הכדורית של הבועה נגרמת גם היא ממתח הפנים. המתח גורם לבועה ליצור כדור, שכן לכדורים יש את שטח הפנים הקטן ביותר עבור נפח נתון. צורת הכדור אמנם מושפעת מהאוויר, אבל בהנחה שהבועה מרחפת כשלעצמה במקום חסר רוח, היא תשמור על צורה קרובה מאוד לכדור, בעיקר בשל משקלה הנמוך.
קיפאון.
בועת סבון המופרחות באוויר בטמפרטורה של פחות ממינוס 15 מעלות צלזיוס תקפא כשתיגע בקרקע. אז יפעפע האוויר שבתוך הבועה החוצה לאטו עד שהיא תקרוס תחת משקלה.
בועת סבון המופרחת באוויר בטמפרטורה של פחות ממינוס 25 מעלות צלזיוס תקפא עוד באוויר, ועלולה להתנפץ כשתפגע בקרקע. בטמפרטורה הזו, בועה מופרחת כשהיא מלאה באוויר חם, ולכן בהתחלה תקפא ככדור כמעט מושלם, אך ככל שהאוויר יתקרר ובכך יקטן בנפחו יתחילו חלקים מהבועה לקרוס. בועה שמופרחת בטמפרטורה כזו תמיד תהיה קטנה יחסית בגודלה. היא תקפא מהר, וניסיון להמשיך ולנפח אותה יוביל לניפוצה.
איחוד.
כששתי בועות מתאחדות פועל אותו עיקרון פיזיקלי והבועות יתפסו את הצורה בעלת שטח הפנים הקטן ביותר. המשטח המשותף ביניהן ישתנה כדי להתאים לצורת הכדור של הבועה הגדולה מבין השתיים, והבועה הקטנה תהפוך לכעין בליטה. זאת מכיוון שלבועות קטנות יותר לחץ פנימי גבוה יותר. אם הבועות שוות בגודלן יהיה המשטח ביניהן מישורי.
במקרה שבו מתאחדות שלוש בועות הן מסתדרות בזווית של 120° אחת מהשנייה. זוהי הבחירה היעילה ביותר, וזו גם הסיבה שדבורים משתמשות גם הן בזווית 120° ובכך יוצרות משושים משוכללים בכוורותיהן.
בנקודה אחת עשויות להיפגש ארבע בועות לכל היותר, והזווית בין כל הקווים שבהם נפגשות שלוש בועות היא 109.47°.
צבע.
הצבעים המשתנים של בועות סבון נגרמים מהתאבכות של גלי האור. כשהאור פוגע בקצה הבועה הוא נשבר: חלקו מוחזר מהדופן החיצונית וחלקו נשבר דרכה ומוחזר רק בהגיעו אל הדופן הפנימית. אלומת האור המוחזרת מהבועה נקבעת, אם כן, על סמך התאבכות שני המרכיבים. הפרש הפאזה שנוצר בכל מסע בין המשטח החיצוני והמשטח הפנימי של הבועה הוא ביחס ישר לעובי הבועה וביחס הפוך לאורך הגל. מכאן שעבור כל עובי אפשרי של הבועה, ההתאבכות היא בונה עבור אורכי גל מסוימים, והורסת עבור אחרים. אם מקרינים על בועה אור לבן (כלומר, אור שמכיל את כל אורכי הגל הנראים), יבלטו מספר צבעים שיוחזרו ממנה בעוד שאחרים ייעלמו. הדבר ייצור מעין גוון צבעוני שמשתנה כשמשתנה עובי הבועה.
את שינויי הצבע אפשר לראות בבירור כשהבועה מתכווצת כתוצאה מאידוי. בתחילה, כאשר הבועה עבה, אין גלי האור הארוכים נראים, והבועה נראית ירוקה וכחולה, ואין בה כמעט אדום. לעומת זאת כשהבועה מתכווצת והמרחק בן הדפנות קטן, נעלם הצהוב, (ונותרת בועה כחולה יחסית). אחריו נעלם הירוק (מה שמשאיר בועה אדומה יחסית) ואחריו הכחול (מה שמשאיר בועה צהובה). לבסוף, כשהבועה דקה מאורך הגל הנראה, יבטלו כל הגלים זה את זה ולא תראה שום השתקפות. בשלב זה יהיה עובי הבועה פחות מ-25 ננומטרים וקרוב לוודאי שהיא תהיה על סף פיצוץ.
השפעת ההתאבכות קשורה גם לזווית שבה פוגעת קרן האור בבועה. אפילו אם עובי הבועה הוא אחיד (מצב בלתי אפשרי שכן כוח המשיכה מושך את הנוזל כלפי מטה) ישתנו הצבעים בגלל תנועה של הבועה או של מקור האור.
היבטים מתמטיים של התופעה.
בועות סבון הן ההתגלמות הפיזית של בעיית מינימום שטח הפנים של נפח נתון, שהיא בעיה מתמטית מסובכת. אף על פי שכבר מ-1884 ידוע שבועה היא הדרך לעטוף נפח נתון בשטח הפנים הקטן ביותר, רק בשנת 2000 הוכיחה קבוצת מדענים ששתי בועות מאוחדות הן הדרך לעטוף שני נפחים בשטח פנים הקטן ביותר.
בועות סבון שואפות להקטין את שטח הפנים שלהן, ולכן הצורה המושלמת עבור בועה, היא כדור, כיוון שלו שטח הפנים המינימלי עבור נפח נתון. עם זאת, כשמספר רב של בועות נמצא יחד, לדוגמה בקצף, יש להן צורות מורכבות הרבה יותר.
אופן הכנת בועות הסבון.
הדרך הקלה ביותר ליצור בועות סבון היא באמצעות קניית נוזל בועות מסחרי (המשווק כצעצוע), או על ידי ערבוב מעט מסבון מדיח הכלים במים (אך שיטה זו אינה עובדת טוב במיוחד). ישנן מספר שיטות לשפר את נוסחאות נוזל הבועות הביתי, כדי להפוך אותו ליעיל יותר:
מפריח הבועות.