בהינתן משוואה דיפרנציאלית חלקית עבור הפונקציה formula_10, ניתן "לנחש פתרון" שבו הפונקציה formula_11 ניתנת להצגה כמכפלה של שתי פונקציות formula_12. כעת, ניתן לקחת את כל הנגזרות ולעבור לformula_13 וכך בדומה לנגזרות לפי formula_14. כעת, השאיפה שלנו היא להפעיל על המשוואה מניפולציות אלגבריות, עד שהיא מגיעה לצורה כזו: formula_15מדוע זה טוב לנו? מפני שהפונקציה באגף שמאל תלויה אך ורק בx, והפונקציה באגף ימין תלויה אך ורק בy. אם כך, אנחנו מקבלים שאגף שמאל לא יכול להיות תלוי בx - הרי שינוי של x בלבד ישפיע על אגף שמאל ולא על אגף ימין, אבל אז לא ייתכן שהם יישארו שווים. לכן שני האגפים שווים שניהם לקבוע שמכונה "קבוע ההפרדה". כעת, הפרדת המשתנים העבירה אותנו ממשוואה אחת ב"הרבה" נעלמים, לשתי משוואות עם פחות נעלמים בכל אחת. אם נמשיך לבצע הפרדות משתנים נגיע לבסוף למד"ר.
עם זאת, נשים לב שהפרדת משתנים פוגעת כמעט תמיד בכלליות הפתרונות - למשל, במשוואת שרדינגר, כל פונקציית גל חוקית מקיימת את המשוואה אבל הפרדת משתנים מצמצמת אותנו לפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כפול פונקציה זמנית. עם זאת, לעיתים (כמו במשוואת שרדינגר) כל פתרון למשוואה ניתן להצגה כסכום של פתרונות המתקבלים מהפרדת המשתנים. במקרה זה לא הפסדנו הרבה.
דוגמאות לשימוש בהפרדת משתנים.
במשוואה דיפרציאלית רגילה.
נתבונן במשוואה הבאה
ניתן להעביר אגפים ולכתוב אותה כך:
כאן ביצענו הפרדת משתנים - אגף ימין תלוי במשתנה x ואילו אגף שמאל תלוי במשתנה y. השוויון ישמר אם נבצע אינטגרציה של אגף ימין לפי x ושל אגף שמאל לפי y.
חישוב האינטגרל נותן
כאשר C קבוע אינטגרציה. מכאן ניתן לחלץ את y ולקבל כי פתרון המשוואה הוא:
במשוואה דיפרנציאלית חלקית.
נתבונן במשוואת הגלים
נחפש פתרון מן הצורה
formula_22
נציב זאת למשוואה ונקבל:
נחלק ב formula_22 ונקבל
במשוואה שקיבלנו, אגף ימין תלוי במשתנה t בלבד, ואילו אגף שמאל תלוי במשתנה x בלבד (כאן הגענו להפרדת משתנים). כיוון שהשוויון צריך להתקיים לכל x ו-t כל אגף חייב להיות שווה לקבוע שנסמנו ב-formula_26. קיבלנו במקום המשוואה הדיפרנציאלית החלקית ממנה התחלנו, שתי משוואות דיפרנציאליות רגילות:
שאותן קל יותר לפתור (בדוגמה זו מדובר במשוואות אוסצילטור הרמוני שפתרונן ידוע).
דוגמה נוספת לשימוש: משוואת שרדינגר.
משוואת שרדינגר היא המשוואה היסודית במכניקת הקוונטים הלא-יחסותית. הנה פתרונה, באמצעות הפרדת משתנים:
מנחשים פתרון מהצורה
מציבים את הביטוי במשוואה התלויה בזמן ומקבלים
מחלקים בformula_31 ומקבלים
אגף שמאל תלוי רק בזמן, ואגף ימין רק במרחב, והם שווים תמיד לכן קבועים. נקרא לקבוע ההפרדה formula_33(שכן הוא מה שאנחנו תופסים כאנרגיה).
המשוואה עבור הזמן תהיה(לאחר העברת אגפים)
כעת נותרנו עם הפונקציה formula_37,
ועבור formula_38 מקבלים את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:
זוהי משוואת ערכים עצמיים שאפשר לפתור באמצעות תורת שטורם ליוביל. למעשה אנחנו מחפשים פונקציות formula_40 כך ש
כלומר: פעולת אופרטור ההמילטוניאן עליהן פשוט מחזירה את הפונקציה כפול האנרגיה שלה. אנרגיות אלה (שהן הערכים העצמיים של המד"ר) נקראות "האנרגיות העצמיות" ואילו הפונקציות המתאימות להן נקראות "המצבים העצמיים". נעיר שאת המצבים העצמיים נהוג לנרמל, כלומר - לכפול במקדם סקלרי כך ש formula_42 . דרישת הנרמול נובעת מהפירוש ההסתברותי של מכניקת הקוונטים.
מאחר שזו משוואה ליניארית, את הפתרון הכללי אפשר להציג כסופרפוזיציה של המצבים העצמיים, כלומר:
במקרה של משוואת שרדינגר, ניתן להשתמש בדרישה שעל ההמילטוניאן להיות הרמיטי, ולכן להסיק כי אכן, צירופים ליניאריים כאלו מכסים את כל הפתרונות.
נשים לב שההפרדה פה לא קידמה אותנו "עד הסוף" שכן נותרנו עדיין עם משוואה בשלושה ממדים - אך פעמים רבות ניתן להפריד בה משתנים שוב.
ג'מאסין אל ערבי
צאריצין
מרון-א-ראס
הגדה השמאלית (במת שמאל)
הגדה השמאלית היא במה ביקורתית לתרבות וחברה, ביטאון שמאל רדיקלי ביקורתי הפועל בשני מישורים, כאתר אינטרנט וכמועדון ומרכז חברתי.
אתר האינטרנט.
אתר הגדה השמאלית הוקם באביב 2002. מאות אנשי שמאל כתבו וכותבים בו, ומדי יום יש יותר מ-3,000 כניסות. "הגדה השמאלית" כמועדון התבססה בשנים הראשונות של שנות התשעים כתוצאה מהתארגנות של קבוצה במפלגה הקומוניסטית, עמה נמנו אלי גוז'נסקי, עו"ד מור סטולר, ראובן קמינר, ח"כ ד"ר דב חנין וח"כ לשעבר עיסאם מח'ול. השקפות הקבוצה היו מרקסיסטיות והתבססו על כתבי הוגים דוגמת אנטוניו גראמשי ורוזה לוקסמבורג. עם זאת, האתר כבר אינו פעיל מאז 2018.
הפעלת האתר מבוססת על התנדבות חברי המערכת, הפועלים כמערכת לכל דבר. בתוקף אחריותה קבעה המערכת שלאתר עניין בפרסום מאמרים עיונים ואקטואליים הכתובים מנקודת ראות שמאלית, ואשר נועדו לקדם את השמאל ואת מאבקיו. החל מחודש אוגוסט 2010 שינה האתר את פניו ופועל במתכונת עדכנית וזמינה בהתאמה מלאה לפלטפורמות מידע חברתיות.
המועדון.
מועדון הגדה השמאלית נוסד בשנת 1990, פועל במנותק מאתר האינטרנט, והוא עמותה עצמאית הפועלת בסיוע חד"ש. המועדון ממוקם ברחוב אחד העם בתל אביב.
מועדון הגדה השמאלית מציע עצמו במחירים נמוכים כחלק מהאופק הרעיוני המנחה אותו לקדם תרבות קהילתית שווה לכל נפש. במועדון, בתל אביב, מתקיימות ערבים חברתיים כגון הרצאות, הופעות רוק, פאנק והארדקור, ערבי שירה ועוד. את המועדון מנהל ערן סגל.
תל נפוליאון
תל נפוליאון הידוע גם כתל ג'רישה, תל גריסה או גבעת נפוליאון, הוא תל ארכאולוגי השוכן בחלקו הדרומי של פארק הירקון, בסמיכות לשכונות הצפוניות של רמת גן. מהתל נשקפת תצפית פנורמית לכל הכיוונים. שטחו של התל הוא כארבעים דונמים וצורתו כשל אוכף. הוא מתנשא לגובה של 38 מטרים מעל פני הים.
שמו של התל בעת העתיקה אינו ידוע, ומקורם של כינוייו הנוכחיים הם בשמו של הכפר הערבי ג'רישה ששכן ליד שבע טחנות, ובמחנה של צבא נפוליאון שקם על התל ולידו בעת המצור על יפו ב-1799 במהלך מסעו בארץ ישראל.
הארכאולוגים יוחנן אהרוני ובנימין מזר הציעו לזהות את התל עם גת רמון, עיר מקראית הנזכרת ברשימת ערי שבט דן וגבולותיו בספר יהושע, בגבול המערבי יחד עם יהד, בני ברק ומי הירקון. ועם גת (כנת) המופיעה ברשימת היישובים של פרעה תחותמס השלישי.
בימי מלחמת העולם הראשונה, בלילה שבין ה-20 ל-21 בדצמבר 1917, אל מול התל, צלחה את הירקון חטיבה 155 מן הדיוויזיה ה-52 הסקוטית של חיל המשלוח המצרי ונעה צפון מזרחה על הגדה הצפונית של הירקון לכיבוש העמדה הטורקית בחירבת הדרה, היא רמת החייל.
התל שימש כאתר הצילומים העיקרי לתוכנית הטלוויזיה לילדים ולנוער "הילדים מגבעת נפוליאון" ששודרה בשנים 2001–2004.
בשנת 2005 נהגתה יוזמה בין מספר גופים להפוך את התל לגן אריכאולוגי פתוח למבקרים. היוזמה לא יצאה לבסוף לפועל.
תולדת ההתיישבות בתל.
במקום התגלו שרידיו של יישוב קטן ששכן על התל החל בשנת 2700 לפנה"ס לערך. היישוב התרחב באלף ה-2 לפנה"ס והגיע לשיאו במאה ה-18 ובמאה ה-17 לפנה"ס. תחילה לא היה היישוב מוקף בחומה, אך לאחר מכן בוצר בחומה משופעת ובחלקלקה, בתצורה המאפיינת את ביצורי החיקסוס. החומה הייתה עשויה שכבות של כורכר, לבנים ואדמה כבושה, ורוחבה הגיע לשלושה מטרים. בתקופה זו שכן בעיר מבנה מונומנטלי ששימש כארמון והוקם בה מפעל מים. עם זאת, העיר חרבה באמצע המאה ה-16 לפנה"ס, במקביל לתחילת ההתפשטות המצרית בארץ ישראל.
היישוב על התל התחדש ופרח בתקופת הברונזה המאוחרת (התקופה הכנענית המאוחרת), והוקף בביצורים. על התל זוהו מבנה מונומנטלי אשר שימש ככל הנראה כארמון, ורחבה רבועה ששימשה כשוק. במקום שכן מבנה גדול נוסף ששימושו המדויק טרם הוברר, אך מהממצאים שהתגלו על ריצפתו עולה כי נודעה לו חשיבות רבה. בעיר התגלו סממנים פלשתיים כקרמיקה פלשתית וסימנים לקשרי מסחר עם קפריסין ועם ערים מיקניות. עוד התגלו עדויות לקיומה של תעשיית מתכות מפותחת על התל.
במאה ה-12 לפנה"ס (תקופת הברזל) קם במורד הירקון, כשני קילומטרים מתל נפוליאון, יישוב פלישתי בתל קסילה, וזה היה ליישוב החשוב באזור. הפלשתים התיישבו גם בתל נפוליאון, אך הממצאים מתקופה זו מרוכזים רק בצד הדרומי ובצד הצפוני של התל, שתי הנקודות הגבוהות בתל. מסיבה זו הניחו החוקרים כי חלקו המרכזי של התל, בו חשופה השכבה הכנענית, שימש בתקופה הפלישתית כאזור חקלאי, אך ייתכן כי גם הוא היה נושב, אלא שהקרקע במקום נסחפה יחד עם השרידים. היישוב הפלישתי בתל חרב בתחילת המאה ה-10 לפנה"ס במקביל ובדומה לחורבנו של היישוב הפלישתי בתל קסילה, במחצית השנייה של המאה ה-10 לפנה"ס שכן בחלקו הדרומי של התל כפר חקלאי קטן בשטח של שני דונמים בלבד, וגם יישוב זה ששיוכו הלאומי אינו ודאי, חרב בשריפה. חלקו הצפוני של התל יושב שוב במאה ה-9 או ה-10 לתקופה קצרה.
חפירות וממצאים.
חפירות ראשונות בתל התאפשרו לאחר רכישתו בידי הנדבן יצחק ליב גולדברג והתבצעו על ידי אלעזר ליפא סוקניק וממשיכיו בין השנים 1927–1951. בשנת 1976 התקיימה במקום עונת חפירה בודדת, ובשנים 1981–1995 התקיימו במקום חפירות על ידי משלחת מאוניברסיטת תל אביב בראשותו של פרופ' זאב הרצוג. במתחם נמצאו כלים באיכות גבוהה - כלי קדרות, צלחות, כדים, גרזן קרב, חרב וכדומה. עוד נמצאו שלדי תינוקות קבורים בכדי חרס, כבשן של בית היוצר, ובית קבורה ובו 18 חדרי קבורה עם כוכים בקירותיהם. התל ידוע גם בחרפושיות שהתגלו בו:
תל ג'רישה
דלפוי
הספורט ביוון העתיקה
גבעת נפוליאון
תל גריסה
חדיד (בית חרושת)