החבורות בדוגמאות הבאות הן חבורות אבליות קומפקטיות-מקומית. המושג "איזומורפים" מתייחס כאן לאיזומורפיות כחבורות טופולוגיות.
formula_188 כאשר תמונת מספר שלם היא פונקציה ב-formula_189.
הקשר להתמרת פורייה.
באנליזה הרמונית לומדים תחילה על שני מקרים של התמרת פורייה, שננסח כעת. לאחר מכן, ניתן בעזרת החבורה הדואלית משמעות כללית יותר למושג "התמרת פורייה".
ננסח את המקרים ה"ידועים" באופן שיתאים להכללות שנציג:1)המקרה הראשון הוא ב-formula_175. בהינתן פונקציה formula_203 שהיא רציפה, חסומה ושהאינטרגל של formula_204 על כל הישר הממשי מתכנס, ניתן להגדיר את התמרת פורייה. התמרת פורייה של formula_108 היא פונקציה formula_206, המוגדרת באופן הבא: formula_207. ניתן להראות כי פונקציה זו גם היא רציפה וחסומה אך ניתן להבטיח "רק" כי האינטגרל של formula_208 על כל הישר מתכנס.2) המקרה השני הוא ב- formula_15, אשר איזומורפי כחבורה טופולוגית למרחב המנה (שהוא גם חבורת מנה) formula_210, נדבר אם כך במונחים של חבורה זו. כאן, כל פונקציה formula_211 שהיא רציפה נתפסת כפונקציה רציפה formula_212 כאשר formula_213 (שקול גם לפונקציה רציפה, מחזורית עם מחזור 1 על כל הישר הממשי). formula_108 כזו היא גם חסומה מקומפקטיות formula_210 ומתקיים כי האינטגרל של formula_204 ב- formula_217 קיים. במקרה זה, ניתן להגדיר את התמרת פורייה של formula_108 להיות פונקציה formula_219 כאשר formula_187 היא החבורה האדיטיבית עם הטופולוגיה הדיסקרטית, באופן הבא: formula_221. פונקציה זו היא רציפה מדיסקרטיות formula_187. בנוסף, ניתן להראות גם את התכונות חסימות (נובע מלמת רימן-לבג) והתכנסות הטור formula_223 שמהווה מושג של אינטגרציה על formula_187. על-מנת להכליל את המושג "התמרת פורייה" לחבורות אבליות קומפקטיות-מקומית, נכליל תחילה את מושג האינטגרל על חבורה קומפקטית-מקומית (לא בהכרח אבלית).
אינטגרל האר.
אנו לא נבנה כאן את אינטגרל האר, אלא נסביר את המוטיבציה. לפירוט, ראו בביליוגרפיה ואת הערך הויקיפדי על מידת האר.
עבור חבורה קומפקטית-מקומית והאוסדורף formula_1, ברצוננו למצוא קבוצת פונקציות formula_226 המקיימת תכונות מסוימות - נרצה שקבוצה זו תהווה מרחב וקטורי מעל formula_83 ותכיל בין היתר את כל הפונקציות הרציפות עם תומך קומפקטי, כלומר formula_228.
על מרחב זה יהיה מוגדר פונקציונל ליניארי formula_229 שאיננו פונקציונל האפס, שיקיים את התכונות הבאות:1) אם formula_230 וגם לכל formula_101, formula_232 (סימון: formula_233) אז formula_234. תכונה זו נקראת אי-שליליות.2) לכל formula_230 ולכל formula_236, עבור הפונקציה במשתנה formula_167 שמוגדרת על ידי formula_238 מתקיים כי formula_239. תכונה זו נקראת אינוואריאנטיות-משמאל.פונקציונל כזה נקרא אינטגרל האר או אינטגרל האר שמאלי על formula_1.
משפט: קיים (ויחיד עד כדי כפל בסקלר חיובי) אינטגרל האר שמאלי על formula_1, שמוגדר על המרחב הווקטורי formula_242 וניתן להרחבה למרחב וקטורי הנקרא formula_243. מרחב זה מקיים- formula_244, כלומר זהו מרחב הפונקציות עם "אינטגרל מתכנס בהחלט".
נסמן לכל formula_245, את האינטגרל של formula_108 על formula_1 להיות - formula_248.
נסמן ב- formula_249 את תת-המרחב הווקטורי המוגדר על ידי - formula_250.
הכללה 1.
כעת נעשה שימוש ראשון בחבורת הקרקטרים.
עבור חבורה אבלית קומפקטית-מקומית formula_1, עם ההגדרה של אינטגרל האר הנ"ל, לכל formula_252 ולכל formula_95 מתקיים formula_254 לפי המשפט שהצגנו ולכן formula_255.
אם כך, נגדיר עבור formula_252 את התמרת פורייה של formula_108 להיות הפונקציה formula_258 המוגדרת ע"י- formula_259.
הערות:
יחסי גרמניה–פולין
היחסים בין הרפובליקה הפדרלית של גרמניה לבין רפובליקת פולין הם יחסים היסטוריים שתחילתם במהלך ימי הביניים, ובמהלך השנים ידעו עליות ומורדות. לאחר קריסת ברית המועצות ואיחוד גרמניה מחדש, התחזקו קשרי המדינות, וכיום שתי המדינות חברות בנאט"ו ובאיחוד האירופי, ומקיימות ביניהם קשרים כלכליים, חברתיים ותרבותיים בשלל תחומים, תוך שהם חולקות גבול משותף של 467 ק"מ.
היסטוריה.
ימי הביניים.
בשנת 960 הקים מיישקו הראשון משושלת פיאסט את המדינה הפולנית, ובהמשך הוא התנצר וכרת ברית עם אוטו הראשון, קיסר האימפריה הרומית הקדושה. מיישקו ויורשו בולסלאב הראשון, דוכס פולין שמרו על יחסים טובים עם האימפריה הרומית הקדושה, אולם לאחר עלייתו של היינריך השני, קיסר האימפריה הרומית הקדושה לשלטון בשנת 1002 התדרדרו היחסים, ובעקבות כך פרצו המלחמות הגרמניות-פולניות (1002–1018), שהסתיימו לבסוף בשלום באוצן.
במהלך השנים שלאחר מכן החלה הגירה גדולה של גרמנים לשטחי פולין, ושליטי פולין אף ראו זאת בעין יפה. במהלך המאה ה-13 התנהל מסע הצלב הפרוסי, שבו הביאו האבירים הגרמנים לניצור השבטים הפרוסים הפגאנים. עם השנים התחזק כוחם של אבירי המסדר הטבטוני, אולם בשנת 1410 הם הובסו על ידי כוח פולני-ליטאי משולב בקרב גרונוולד. בעקבות המפלה נאלצו הטבטונים בסופו של דבר לוותר על מדינתם העצמאית ולהתמזג בנסיכות הבוחר מברנדנבורג. הקרב שינה את מאזן הכוחות במזרח אירופה, וסימל את עלייתו של האיחוד הפולני-ליטאי ככוח הדומיננטי מבחינה פוליטית וצבאית באזור. בשנת 1466 נחתמה האמנה השנייה של תורן, שסיימה את מלחמת שלוש עשרה השנים, והפכה את פרוסיה לשטח חסות פולני עד לשנת 1660.
במהלך המאה ה-17 בעקבות מלחמת שלושים השנים והקונטרה-רפורמציה, הפכה פולין למעוז קתולי מובהק, ובשנת 1683 סייעו כוחות פולנים בפיקודו של יאן סובייסקי לכוחות האימפריה הרומית הקדושה, בהסרת המצור בקרב וינה, ובכך הביאו לתחילת שקיעתה של האימפריה העות'מאנית.
ממלכת פרוסיה.
בשנת 1701 הוקמה ממלכת פרוסיה, אשר סימלה את עצמאותה הסופית של פרוסיה מפולין. במחצית השנייה של המאה ה-18 נחלש כוחה של פולין, ובעקבות כך חילקו פרוסיה, אוסטריה ורוסיה את פולין ביניהן. באזורים שנמסרו לשליטה פרוסית, ניסו מלכי פרוסיה לגרמן את האזור, ואף אסרו את השימוש בשפה הפולנית.
הקמת פולין מחדש.
לאחר מלחמת העולם הראשונה הוקמה פולין מחדש, ובשלזיה עילית ובאזור פולין גדול ופוזן התנהלו קרבות בין פולנים לגרמנים, ולבסוף זכתה פולין כמעט בכל השטח.
בשנת 1934 חתמו גרמניה ופולין על הסכם אי-התקפה ל-10 שנים, אולם היטלר ביטל אותו בקיץ 1939.
מלחמת העולם השנייה.
ב-23 באוגוסט 1939 נחתם הסכם ריבנטרופ–מולוטוב בין גרמניה הנאצית לברית המועצות, ובו הוסכם על חלוקת פולין ביניהן. ב-1 בספטמבר פלשה גרמניה לפולין, ובכך פרצה מלחמת העולם השנייה. עד מהרה הובסו הכוחות הפולנים, ופולין חולקה בין הגרמנים לסובייטים כפי ההסכם ביניהן. בשטח שנשלט על ידי הגרמנים החל עד מהרה מסע טרור וגל רציחות כנגד היהודים, במה שהיווה את תחילת השואה, אולם גם האוכלוסייה הפולנית סבלה רבות מידי הגרמנים. בקיץ 1941 החל מבצע ברברוסה, ובמהלכו כבשו הגרמנים גם את חלקה המזרחי של פולין. באביב 1943 פרץ מרד גטו ורשה, שהביא לחיסול הגטו, ולגירוש כמעט כל יהודי ורשה להשמדה בטרבלינקה. בקיץ 1944 פרץ מרד ורשה, אך על אף גילויי גבורה רבים מצד הפולנים ולחימתם הנואשת, הביאו הגרמנים לבסוף לחורבן העיר. בינואר 1945 נערך מבצע ויסלה-אודר, שבו שוחררה רוב פולין בידי כוחות הצבא האדום. במהלך המלחמה נהרגו כ-6 מיליון פולנים, מתוכם כ-3 מיליון יהודים.
המלחמה הקרה.
לאחר המלחמה נקבע גבולה המזרחי של פולין כקו קרזון עם תיקונים קטנים, וכפיצוי קיבלה פולין את שטחי שלזיה, פומרניה, וחלקים מברנדנבורג ופרוסיה המזרחית שהשתייכו קודם לכן לגרמניה, וקו הגבול נקבע כקו אודר-נייסה. לקראת סוף המלחמה ומיד לאחריה, גורשו רוב הגרמנים מהשטחים שנמסרו לפולין.
במהלך המלחמה הקרה קיימה פולין יחסים טובים עם גרמניה המזרחית, שאף הכירה בגבול החדש בשנת 1950, אך יחסיה עם גרמניה המערבית היו מתוחים ברוב הזמן. בשנת 1970 החל וילי ברנדט בתוכנית האוסטפוליטיק, להרגעת המתיחות עם הגוש המזרחי, ובעקבות כך הפשירו יחסי גרמניה המערבית עם פולין, וגרמניה המערבית אף הכירה בקו האודר-נייסה באמנת ורשה.
פוסט-קומוניזם.
לאחר קריסת ברית המועצות ואיחוד גרמניה מחדש השתפרו היחסים בין המדינות, על אף שעקב נושאים פוליטיים ישנה מתיחות לפעמים בין המדינות. במהלך תקופה זו המשיכו הגרמנים בתשלומי פיצויים לפולין על המלחמה, אשר חולקו בידי הקרן לפיוס הפולני-גרמני. בשנת 1999 הצטרפה פולין לנאט"ו, ובשנת 2004 התקבלה כחברה באיחוד האירופי. על אף שיפור היחסים בין המדינות, גרמו הצהרות של פוליטיקאים שמרנים משני הצדדים למתיחות ביחסי המדינות. במהלך תחילת המאה ה-21 דיפלומטית פולנייה יוליה אנה פשילבסקה בהיותה עובדת השגרירות פעלה רבות להחזרת הרכוש הפולני בשטח גרמניה ובתשלום פיצויים לפולנים שנפגעו במהלך מלחמת העולם השנייה.
ב-24 בספטמבר 2013 הציע לך ואלנסה להקים איחוד פוליטי בין הרפובליקה של פולין לבין הרפובליקה הפדרלית של גרמניה; מכיוון שהגבולות באירופה הופכים בכל מקרה ללא רלוונטיים, ויש לשכוח מהעבר ולייצר עתיד טוב יותר.
פולין וגרמניה קיימו התייעצויות בין-ממשלתיות כדי לדון בשיתוף הפעולה הפוליטי והכלכלי בין שתי המדינות במספר הזדמנויות בעבר. בשנת 2018, שר החוץ הפולני יאצק צ'פוטוביץ' ומקבילו הגרמני הייקו מאס הסכימו להעביר הצהרה המפרטת את סדרי העדיפויות האסטרטגיים לשיתוף פעולה גרמני-פולני, שקבעה כי "שתי המדינות תומכות בסדר רב צדדי מבוסס כללים ודוגלות באירופה מאוחדת".