הלוגיקה המודרנית היא לוגיקה סימבולית, דהיינו היא בוחנת צורות מופשטות המיוצגות באמצעות סמלים, שניתן להבין אותן כמייצגות את הצורות של הטענות וההיסקים שאנו מכירים מן השימוש הטבעי בשפה. בלוגיקה מנסחים ובוחנים מערכות לוגיות בשפה הסימבולית. מערכת לוגית היא תחשיב (calculus) בו ניתן לבצע הוכחות. שני התחשיבים הלוגיים הבסיסיים הם תחשיב הפסוקים (propositional calculus או sentential calculus) ותחשיב הפרדיקטים (predicate calculus). תחשיב הפסוקים הוא הרחבה פשוטה למדי של הלוגיקה הקלאסית, ואילו תחשיב הפרדיקטים בוחן את המבנה הפנימי של הטענות ומאפשר שימוש בכמתים, ובכך מעניק ללוגיקה כוח ביטוי שאינו בר השוואה לזה של הלוגיקה האריסטוטלית.
התחשיב הוא מערכת פורמלית שיש בה נוסחאות בנויות כהלכה (נב"כ) מבחינה תחבירית, שחלקן מקבלות מעמד מיוחד של אקסיומות, וכן מערך של כללי היסק הקובעים אילו נוסחאות ניתן לגזור מאילו, ובכך להוכיח אותן. התחביר של התחשיב מגדיר באופן רקורסיבי את כל הנב"כים של התחשיב.
בלוגיקה המודרנית, נהוג להבחין בין התחביר (syntax) של המערכת, הקובע מהו משפט תקני ומהם הכללים לגזירה של משפט אחד ממשנהו, ובין הסמנטיקה (semantics) שלה, הקובעת את ערכי האמת של המשפטים שניתן ליצור באמצעות השפה של המערכת. אם מדובר בשפה כמו תחשיב הפסוקים, הסמנטיקה מספקת ערך אמת לכל אחד מן הפסוקים היסודיים, והיא מספקת פירוש סמנטי לפעולתם של כל אחד מן הקשרים הלוגיים, למשל באמצעות טבלת אמת המציגה כיצד משפט מורכב מקבל את ערך האמת שלו על בסיס ערכי האמת של המשפטים שהוא מחבר זה לזה (ר' להלן). בשפות לוגיות מורכבות יותר, דוגמת תחשיב הפרדיקטים, הסמנטיקה קובעת מהי קבוצת האיברים של תחום הדיון, מהן הקבוצות של האובייקטים המשויכים לכל פרדיקט (דהיינו, לאילו אובייקטים יש את התכונה שהפרדיקט מייצג), וכן את הפירוש של הקשרים הלוגיים. כל פירוש סמנטי של מערכת כזו הוא מודל, אולם התכונות הלוגיות של המערכת עצמה צריכות להיות תקפות עבור כל מודל אפשרי. לדוגמה, תקפות לוגית של טיעון חייבת להיות תלויה בצורה הלוגית של הטענות המקושרות בו, ללא קשר לפירוש שאנו נותנים למונחים הלא-לוגיים המופיעים בהן.
מכאן שהלוגיקה המודרנית עוסקת בבחינת תכונותיהן הצורניות של מערכות לוגיות, הן מבחינת התחביר שלהן והן מבחינת הסמנטיקה שלהן. למחקר כזה קוראים מטא-לוגיקה. מבין התכונות הצורניות החשובות ביותר של מערכות לוגיות, ניתן להזכיר את התכונות הבאות, אשר את קיומן עבור מערכות מסוימות ניתן להוכיח או לשלול:
הוכחות לשלמות ולנאותות מעידות על הזיקה שבין התחביר והסמנטיקה של המערכת. התחביר קובע איזו נוסחה היא תיאורמה (או משפט), דהיינו איזו נוסחה ניתנת לגזירה מן האקסיומות, באמצעות כללי ההיסק. הסמנטיקה קובעת איזו נוסחה היא טאוטולוגיה, דהיינו איזו נוסחה היא אמיתית בהכרח מכוח משמעותם של המונחים המקושרים בה והאופן בו הם מקושרים. לפי הגדרות אלו, למערכת יש שלמות, כאשר כל טאוטולוגיה היא גם תאורמה. למערכת יש נאותות, כאשר כל תיאורמה היא טאוטולוגיה.
ניתן לראות כי התכונות נאותות ושלמות קשורות זו לזו, אף שלא כל מערכת נאותה היא גם שלמה. קורט גדל הוכיח ב-1931 שבמערכות לוגיות שהן חזקות מספיק (כאלו שכוללות את האריתמטיקה בתוכן, כמו המערכת שהציע ברטראנד ראסל בפרינקיפיה מתמטיקה), יש נוסחאות אמיתיות שלא ניתן להוכיח אותן או את שלילתן. חוק זה נקרא משפט אי השלמות של גדל.
תחשיב הפסוקים.
תחשיב הפסוקים מאפשר לייצג את הקשרים בין ערכי האמת של טענות (פסוקים) שונות. תחשיב הפסוקים אינו מתחשב בטענות אלא שאם יש להן ערכי אמת, דהיינו הוא אינו בוחן את הצורה הפנימית של הטענות, ואת הקשרים שהן מציגות, למשל, בין אובייקטים (בתחשיב הפרדיקטים, הנידון להלן, יש ניתוח של מבנה עומק זה). הסמנטיקה של תחשיב הפסוקים מורה לנו כיצד עלינו להבין את היחס בין הסמלים המייצגים פסוקים שונים, ובין טענות מן השפה הטבעית. כאשר אנו מעוניינים לנתח טיעון בשפה הטבעית באמצעות תחשיב הפסוקים, הצעד הראשון שעלינו לעשות מכונה הצרנה'. בתהליך זה מסמנים כל משפט חיווי בסיסי (למשל 'השמש תזרח מחר' או 'יוסי גר בלונדון') בסימן קבוע (בדרך כלל אות אנגלית גדולה כמו P או Q, או הסימן Pi עם האינדקס i, המייצג מספר מסוים). סימן זה משמש לייצג את הטענה בכל מקום שתופיע בטיעון, והוא מכונה "פסוק יסודי", או "פסוק אטומי". תחשיב הפסוקים אינו עוסק בשאלה כיצד נקבע ערך האמת של פסוקים אטומיים, אלא בשאלה כיצד נקבע ערך האמת של פסוקים מורכבים יותר, המורכבים ממספר פסוקים אטומיים באמצעות קַשַּרים לוגיים. ערך האמת של הפסוקים האטומיים יכול להיקבע על ידי הפירוש הסמנטי שאנו נותנים לאותיות הפסוקיות; אולם ניתן גם להשאיר אותו כמשתנה, ולבחון כך את כלל היחסים האפשריים בין הטענות המורכבות, עבור כל הצבה של ערכי אמת לאותיות הפסוקיות. באמצעות הכללה כזו ניתן לקבוע כי טיעונים הם תקפים, כאשר עבור כל הצבה של ערכי אמת לפסוקים האטומיים המרכיבים את ההנחות, כאשר הצבה כזו עושה את ההנחות של הטיעון לאמיתיות, היא גם עושה את המסקנה לאמיתית.
תחביר לתחשיב הפסוקים.
תחשיב פסוקים מסוים כולל קבוצה של "פסוקים יסודיים" או "פסוקים אטומיים", ומספר קָשַרים לוגיים סטנדרטיים. לדוגמה, נגדיר ש P מייצג את הטענה "הגביע הוא שלנו", ו-Q מייצג את הטענה "אנחנו במפה"'. או אז ניתן להדגים את התחביר של חמשת הקשרים הלוגיים כך:
הסמנטיקה של הקשרים הקלסיים (שתדון להלן) מאפשרת להביע חלק מן הקשרים במונחים של הקשרים האחרים, וכך לבנות גרסאות שונות של תחשיבי פסוקים, שצורתם שונה אך זהים מבחינת כוח הביטוי שלהם, באמצעות בחירה שונה של הקשרים המשתתפים. לדוגמה, אפשר להביע את קשר התנאי ("אם A אז B") באמצעות דיסיונקציה ושלילה ("B או לא-A"). כללי דה-מורגן מאפשרים להביע דיסיונקציה במונחים של קוניונקציה ושלילה, וקוניונקציה במונחים של דיסיונקציה ושלילה. וכו'.
תחשיב פסוקים שלם (או קבוצה שלמה של קשרים) הוא קבוצת קשרים שאפשר להציג באמצעותה כפסוק כל פעולה בוליאנית או כל טבלת אמת (ר' להלן). ניתן להגדיר שני קשרים לא קלאסיים, שכל אחד מהם מאפשר בעצמו תחשיב פסוקים שלם. קשרים אלו הם הקשרים קו-שפר ("לא-וגם", NAND) ו"לא-או" (NOR).
למשל, באמצעות התנאי והשלילה, נביע את הקשרים האחרים כך:
סמנטיקה לתחשיב הפסוקים.
במסגרת הסמנטיקה של תחשיב הפסוקים, כל פסוק יסודי יכול לקבל אחד משני ערכי אמת: "אמת" או "שקר", ובלבד שהוא מקבל את אותו ערך בכל הופעה שלו באותו טיעון. כל קשר לוגי מובן כפונקציית-אמת, דהיינו עבור כל צירוף של ערכי אמת, מחזיר הקשר ערך אמת אחד ויחיד. לדוגמה, השלילה מחזירה פסוק שקרי עבור כל פסוק אמיתי אליו היא מקושרת, ומחזירה פסוק אמיתי עבור כל פסוק שקרי. נוח לייצג פונקציות אמת באמצעות טבלת אמת, בהן T ו-F מייצגים את הערכים אמת ושקר, בהתאמה (באלגברה בוליאנית יוחלפו אלו בערכים 1 ו-0 בהתאמה). בטורים הימניים של הטבלה אנו ממצים את כלל הצירופים האפשריים של ערכי האמת הניתנים לפסוקים היסודיים, ובטורים השמאליים אנו מציגים את ערך האמת המתקבל עבור הפסוק המורכב:
כל שיוך של ערכי אמת לפסוקים יסודיים נקרא פירוש ("אינטרפרטציה") או הצבה. בטבלאות האמת, כל שורה היא פירוש. פסוק מורכב המקבל את הערך "אמת" בכל פירוש של הפסוקים היסודיים (כלומר כזה שבטבלת האמת שלו הוא מקבל T בכל השורות, נקרא טאוטולוגיה. משמעות הדבר היא שפסוק זה הוא אמיתי בזכות הקשרים הלוגיים שבין רכיביו, ללא תלות באמיתותם של הפסוקים האטומיים עצמם. פסוק המקבל את הערך "שקר" בכל פירוש נקרא סתירה.
פסוק הוא קונטינגנטי אם ורק אם אינו סתירה ואינו טאוטולוגיה. קבוצה של פסוקים נקראת עקבית (קונסיסטנטית) אם קיים פירוש עבורו כל הפסוקים בקבוצה מקבלות ערך "אמת".
טבלאות אמת הן כלי נוח לשם בדיקת תקפותם של טיעונים (היסקים) בתחשיב הפסוקים. הטכניקה של טבלאות אמת מאפשרת לבטא את ערכי האמת של כל פסוק מורכב במונחי ערכי האמת של הפסוקים המרכיבים אותו, וכאשר הטבלה גמורה, ניתן לבדוק האם ישנם מצבים בהם ההנחות של הטיעון אמיתיות אבל המסקנה שקרית. אם יש שורה כזו בטבלה, הרי שהטיעון אינו תקף, שהרי זו דוגמה נגדית. אולם אם אין שורה כזו, הראנו שהטיעון תקף.
מערכות הוכחה לתחשיב הפסוקים.
ניתן לבנות לתחשיב הפסוקים מערכות הוכחה, שבהן ניתן להוכיח מקבוצת טענות נתונה טענות נוספות שנובעות ממנה. מערכות היסק אלה בנויות מכללים סינטקטיים (תחביריים) טכניים בלבד. המערכת הפשוטה ביותר מכונה מערכת הדדוקציה הטבעית, המכילה עשרה כללי היסק. עבור כל אחד מחמשת הקשרים היא מכילה כלל הכנסה (Introduction) וכלל הוצאה (Elimination).
מערכת זו היא נאותה (כלומר, כל נוסחה שניתנת להוכחה, היא אמיתית) ושלמה (כלומר, כל נוסחה אמיתית גם ניתנת להוכחה מקבוצה זו במערכת).
תחשיב הפרדיקטים.
תחשיב פרדיקטים מסדר ראשון הוא מערכת אקסיומטית המאפשרת לטפל בפסוקים שהמבנה הבסיסי שלהן כולל נשואים (פרדיקטים) החלים על אובייקטים, או על משתנים שערכיהם הם אובייקטים. הפרדיקטים עצמם הם פונקציות המחזירות ערך אמת (אמיתי או שקרי) עבור אובייקטים מסוימים או עבור משתנים מסוימים. בתחשיב פרדיקטים מסדר גבוה יותר, פרדיקטים יכולים לחול על פרדיקטים אחרים וכמתים יכולים לחול על פרדיקטים. במתמטיקה תחשיב הפרדיקטים מופיע כשפה מסדר ראשון או כשפה מסדר שני.
תחביר של תחשיב הפרדיקטים.