עבודותיו של פואנקרה הניחו את היסודות לטופולוגיה האלגברית המודרנית. עם זאת, הגדרותיו לא היו מלאות. למשל מושג ההומולוגיה שפואנקרה הגדיר הניח קיום של טריאנגולציה על יריעה – דבר שאינו קיים באופן כללי. כמו כן, ההומולוגיות של פואנקרה לא היו חבורות (כפי שהן היום) אלה מספרים הנגזרים מחבורות אלה. מתמטיקאים רבים (אמי נטר, ג'יימס אלכסנדר, סולומון ליפשיץ ואחרים) שיפרו הגדרות אלה עד שבשנת 1944 הגיע סמואל אלנברג להגדרה המקובלת כיום.
עבודתו של פואנקרה היוותה גם את הבסיס לתורת ההומוטופיה. פואנקרה הגדיר את החבורה היסודית שהיא הראשונה בסדרה של חבורות הנקראות חבורת הומוטופיה. את יתר חבורת ההומוטופיה הגדירו אדוארד צ'אך וווטולד הורביץ בשנות ה-30. הורביץ הגדיר גם את מושג השקילות ההומוטופית והוכיח את משפט הורביץ החוקר את הקשר בין הומולוגיה והומוטופיה.
פיתוח חשוב נוסף בתחום הטופולוגיה האלגברית היה מושג הקומפלקס התאי. מושג זה פותח על ידי ג'ון וייטהד ומהווה מסגרת טובה עבור הטופולוגיה האלגברית. כל התוצאות בטופולוגיה האלגברית עובדות בצורה מיטבית עבור מרחבים אלה. וייטהד הגדיר גם את מושג השקילות ההומוטופית החלשה והוכיח את משפט וייטהד שאמר שעבור קומפלקסים תאיים, שקילות הומוטופית חלשה שקולה לשקילות הומוטופית.
כפי שהוסבר מעלה, פיתוחים אלה אפשרו להראות שיריעה (טופולוגית) המקיימת את תנאי השערת פואנקרה שקולה הומוטופית חלש לספירה תלת ממדית. אולם באותו שלב עדיין לא היה ידוע שעל יריעות כאלה יש מבנה של קומפלקס תאי, כך שלא היה ניתן להסיק מכך שהיריעה שקולה הומוטופית לספירה.
המעבר לממד כללי.
בשנות ה-30 וה-40 החלו להופיע גרסאות של ההשערה לממדים גבוהים יותר.
במקרה הרב-ממדי, לא כל היריעות הקומפקטיות (ללא שפה) פשוטות הקשר שקולות הומוטופית לספירה. לכן הן גם לא יכולות להיות הומיאומורפיות לה. לכן יש צורך בהנחות נוספות על היריעה. אחת מהגרסאות המקובלות להשערת פואנקרה המוכללת אומרת
שכל יריעה (קומפקטית בלי שפה) אשר שקולה הומוטופית לספירה גם הומיאומורפית לה. כפי שהוסבר למעלה גרסה זאת שקולה לגסאות חזקות יותר, שדורשות פחות תנאים על היריעה. גם גרסאות אלה הופיעו באותה תקופה, אך השקילות ביניהם התבררה רק מאוחר יותר. עם זאת, ניתן היה להסיק מהתוצאות של אותה התקופה, שיריעות המקיימות את הדרישות החלשות יותר בהכרח שקולות הומוטופית חלש לספירה.
תורת מורס.
תורת מורס החלה את התפתחותה בסוף שנות ה-20. את בסיס התורה פיתח מרסטון מורס ומספר מתמטיקאים המשיכו את פיתוחה.
תורת מורס מאפשרת לפרוס יריעה חלקה לפרוסות קלות יחיסת להבנה. פריסה זו נקבעת לפי פונקציה על היריעה המקיימת תכונות מסוימות. פונקציה כזאת נקראת פונקציית מורס.
תורת מורס מהווה כלי מרכזי במחקר יריעות. רוב ההוכחות החלקיות של הגרסאות השונות של השערת פואנקרה התבססו על תורת מורס בצורה זו או אחרת.
תורת מורס מאפשרת בין היתר להגדיר מבנה תאי על כל יריעה חלקה. דבר זה מוכיח, בהתבסס על התוצאות הקודמות, שכל יריעה חלקה המקיימת את תנאי ההשערה שקולה הומוטופית לספירה.
ניסיונות מוקדמים להוכחת ההשערה.
בשנת 1934 פרסם וייטהד הוכחה שגויה להשערה.
וייטהד הבין את טעותו מה שהוביל אותו בשנת 1935 לתגלית של יריעה תלת ממדית (לא קומפקטית ללא שפה) כוויצה שאינה הומיומורפית ל formula_42.
יריעה זאת נקראת יריעת וייטהד. יריעת וייטהד מהווה דוגמה נגדית לגרסה לא קומפקטית של השערת פואנקרה: בעוד שלפי השערת פואנקרה כל יריעה (קומפקטית בלי שפה) ששקולה הומוטופית לספירה גם הומיאומורפית לה, יריעת וייטהד שקולה הומוטופית למרחב האוקלידי אך אינה הומיאומורפית לו.
לאחר עבודותיו של וייטהד ניסו מספר מתמטקאים להוכיח את ההשערה. ביניהם מקס ניומן, ג'ורג' דה-ראהם, R. H. Bing ולפגאנג האקן, אדוין מויס וקריסטוס פאפאקיריאקופוולס. איש מהם לא הצליח, אך בשנת 1958 בינג הוכיח גרסה חלשה של ההשערה לפיה אם ביריעה formula_43 (קומפקטית תלת-ממדית ללא שפה) כל לולאה פשוטה (כלומר ללא חיתוכים עצמיים) מוכלת בקבוצה פתוחה ההומיאומורפית לכדור תלת-ממדי אז formula_43 הומיומורפית לספירה התלת-ממדית.
מרחבי אלכסנדרוב.
בשנת 1948, ללא כל קשר להשערת פואנקרה הגדיר אלכסנדר אלכסנדרוב מחלקה של מרחבים מטריים שמכלילה יריעות רימניות. בשונה מיריעות, המבנה הטופולוגי המקומי של מרחבים אלה שונה מזה של מרחב אוקלידי. עדיין ניתן לפתח עבורם חלק מהתורה של יריעות רימניות. למעלה מחצי מאה מאוחר יותר, כשהוכחה השערת פואנקרה, התברר שלמרחבים אלה יש תפקיד חשוב בהוכחתה.
מבנים חלקים על יריעות תלת ממדיות, ומבנים תאיים על יריעות ממד כללי.
בשנת 1952 הוכיח אדווין מויס שעל כל יריעה טופולוגית מממד 3 קיים מבנה חלק יחיד (עד כדי דיפאומורפיזם).
לאור תוצאה זאת, הגרסאות של השערת פואנקרה ליריעות שונות, כולן שקולות (לממד 3). בפרט מקבלים שכל יריעה טופולוגית (תלת ממדית) המקיימת את תנאי ההשערה שקולה הומוטופית לספירה.
ההוכחה של השערת פואנקרה השתמשה במשפט מויס, מכיוון שהשלב הראשון בהוכחה הוא בחירה של מבנה חלק על היריעה. מבנה זה קיים בזכות משפט מויס.
משפט מויס לא תקף בממדים גבוהים מ-3 (ראו פרוט למטה). אולם, לפי משפט של רובין קירבי , כל יריעה טופולוגית שקולה הומוטופית לקומפלקס תאי, לכן גם בממדים אלו די לדרוש שקילות הומוטופית חלשה לספירה (או כל תנאי שקול כפי שתואר מעלה) כדי להבטיח את תנאי השערת פואנקרה המוכללת. עם זאת משפט קירבי הוכח רק ב-1969, מספר שנים לאחר שהוכחה השערת פואנקרה המוכללת לממדים גדולים מ-4.
פיתוח תורת הקו-בורדיזם.
בתחילת שנות ה-50 עסק המתמטיקאי רנה תום בתורת הקו-בורדיזם (שיסודותיה הונחו על ידי פונטריאגין). תורה זו חוקרת יריעות עד כדי יחס שקילות חלש יותר מהומיאומורפיזם הנקרא קו-בורדיזם. יש מספר גרסאות למושג קו-בורדיזם. באופן אינטואיטיבי, קו-בורדיזם בין שתי יריעות (קומפקטיות בלי שפה) formula_10 ו-formula_22 ממד formula_47 הוא דרך לחבר ביניהן על ידי יריעה מממד formula_48. באופן פורמלי יותר, על פי אחת הגרסאות, קו-בורדיזם בין formula_10 ו-formula_22 הוא יריעה (קומפקטית עם שפה) formula_43 כך ששפתה מורכבת מהאיחוד הזר של formula_10 ו-formula_22.
תום הראה שאוסף כל היריעות מממד מסוים, עד כדי קו-בורדיזם, מהווה חבורה. הוא גם תיאר חבורה זו (במובן מסוים). בין היתר הראה תום שיריעה המקיימת את התנאים של השערת פואנקרה המוכללת קו-בורדנטית לספירה (מאותו ממד). חלק גדול מההתקדמות בהשערת פואנקרה המוכללת, לרבות הוכחתה לממדים גדולים מ-3, מבוססת על טענה זו.
עבודותיו של תום על תורת הקו-בורדיזם זיכו אותו במדליית פילדס בשנת 1958.
גילוי הספירות האקזוטיות.
באמצע שנות ה-50 עבד על ההשערה המתמטיקאי ג'ון מילנור. בהתבסס על עבודותיהם של תום ופונטריאגין הוא הצליח לבנות אינווריאנט של יריעות חלקות המקיימות את תנאי ההשערה. כלומר, הוא התאים לכל יריעה חלקה כזו אובייקט מסוים, כך שאם שתי יריעות כאלה דיפאומורפיות (זאת אומרת שקיימת העתקה גזירה חד-חד ערכית ועל ביניהן שההעתקה ההופכית לה גם-כן גזירה) אז האובייקטים המתאימים לשתיהן שווים. הוא הצליח לבנות דוגמה ליריעה חלקה 7-ממדית (שמקימת את תנאי ההשערה) שאינווריאנט זה עבורה שונה מאשר ערכו עבור הספירה ה-7 ממדית. בכך הוא הוכיח שיריעה זו אינה דיפאומורפית לספירה ה-7 ממדית. תחילה חשב מילנור שהפריך את השערת פואנקרה המוכללת, אך במהרה הבין כי למעשה היריעה שבנה דווקא הומיאומורפית לספירה (הוא הוכיח זו על ידי תורת מורס), אבל לא דיפאומורפית לה. הייתה זו הדוגמה הראשונה ליריעות שהן הומיאומורפיות אך לא דיפאומורפיות. דוגמה זו הפתיעה מאוד את מילנור ואת הקהילה המתמטית, כיוון שעד אותו שלב ההערכה הייתה שדוגמה כזו אינה קיימת.
מאז, יריעות ההומיאומורפיות לספירה אך לא דיפאומורפיות לה נקראות ספירות אקזוטיות. באופן כללי יותר, יריעות חלקות הומיאומורפיות ליריעה חלקה נתונה formula_43 אך לא דיפאומורפיות לה נקראות מבנים אקזוטיים על formula_43. מילנור יחד עם שותפים מיינו את כל הספירות האקזוטיות מכל ממד למעט 4.
גילוי הספירות האקזוטיות זיכה את מילנור במדליית פילדס בשנת 1962.
ההוכחה למקרה שהממד גדול מ-4.
בשנת 1961 הוכיח סטפן סמייל את השערת פואנקרה המוכללת עבור ממדים גדולים מ-4. בשנת 1962 הכליל סמייל תוצאה זו למשפט שאומר, קיום קו-בורדיזם בין יריעות שממדם גדול מ-4 המקיים תנאים מסוימים, גורר קיום הומיאומורפיזם בין יריעות אלה. קו-בורדיזם שמקיים תנאים אלו נקרא formula_56-קו-בורדיזם, ומשפטו של סמייל אודות קו-בורדיזמים אלו נקרא משפט ה-h-קו-בורדיזם.
זמן קצר לאחר הוכחתו של סמייל הוכיחו ג'ון סטאלינג וקריסטופר זימאן את אותו משפט בדרך אחרת.
הן הוכחתו של סמייל והן אלה של סטאלינג וזימאן היו תקפות רק ליריעות חלקות (כמו גם ליריעות ליניאריות למקוטעין). לא על כל יריעה טופולוגית קיים מבנה חלק, כך שההוכחה אינה מתאימה לכל היריעות הטופולוגיות. בשנת 1966 הוכיח מקס ניומן את המשפט עבור יריעות טופולוגיות כלליות מממדים גדולים מ-4 בהתבסס על השיטה של סטאלינג. למעשה ניומן הוכיח משפט חזק יותר: כל יריעה טופולוגית קומפקטית ללא שפה מממד גדול מ-4 השקולה הומוטופית חלש לספירה, גם הומיאומורפית לה. בדיעבד משפט זה שקול להשערת פואנקרה לממדים אלה, אך זה נובע ממשפט של קירבי שהוכח מספר שנים מאוחר יותר.