הצפנת אל גמאל (ElGamal encryption) היא שיטת הצפנה אסימטרית אקראית שהומצאה ב-1984 על ידי טאהר אל-גמאל, קריפטוגרף אמריקאי ממוצא מצרי. בדומה לפרוטוקול דיפי-הלמן, ביטחונה מסתמך על הקושי המשוער שבבעיית הלוגריתם הבדיד ובעיית דיפי-הלמן. והיא יכולה לשמש הן להצפנה והן לחתימה דיגיטלית. צופן אל-גמאל היה בשימוש בתוכנות חופשיות GPG וכן PGP ומערכות אחרות. אלגוריתם חתימה דיגיטלית DSA הוא וריאציה של חתימה דיגיטלית של אל-גמאל.
אף על פי ש-RSA קדמה לה, להצפנת אל-גמאל חשיבות היסטורית מאחר שהיא הצפנת מפתח-ציבורי הנחשבת המשך ישיר למאמר המפורסם של דיפי והלמן מ-1979 "כיוונים חדשים בהצפנה" שהעלה לראשונה את ההצפנה האסימטרית וחתימה דיגיטלית על המפה. אפשר ליישם את הצפנת אל-גמאל מעל שדה סופי formula_1 או מעל חבורת עקום אליפטי. וכן זוהי ההצפנה הראשונה שיישמה הצפנה הסתברותית, כלומר מוכחת כבטוחה סמנטית תחת מודל התקפת מוצפן-נבחר, בהנחה שבעיית דיפי-הלמן היא בעיה קשה.
תיאור האלגוריתם.
תיאור הצופן מהספר An Introduction to Mathematical Cryptography. כמו בכל הצפנת מפתח ציבורי, בהצפנת אל-גמאל המקבלת אליס מכינה לעצמה שני מפתחות, מפתח סודי שנשאר אצלה ומיועד לפענוח ומפתח ציבורי שאותו היא שולחת לבוב, או מפרסמת אותו לכל דורש. כדי להכין את המפתחות, תחילה עליה לבחור מספר ראשוני formula_2 אקראי גדול. היות שביטחון ההצפנה מסתמך על בעיית הלוגריתם הבדיד בשדה הראשוני אליס צריכה לבחור ראשוני מספיק גדול כך שפתרון הבעיה יהיה "קשה". בביטוי קשה מתכוונים שהניסיון לנחש את המפתח הסודי מתוך המפתח הציבורי השקול לפתרון בעיית הלוגריתם הבדיד, עם מיטב האלגוריתמים הידועים יהיה אסימפטוטית בסיבוכיות מעריכית, כלומר אינו מעשי. וכן צריכה לבחור אלמנט formula_3 מסדר ראשוני גבוה שנקרא יוצר. את שני המספרים הללו היא יכולה להכין ולפרסם בעצמה או להשתמש בסט מספרים קבוע שפורסם על ידי צד שלישי נאמן. כעת כמו בפרוטוקול דיפי-הלמן היא בוחרת מספר אקראי formula_4 המשמש כמפתח פרטי ומחשבת את הערך:
אליס מפרסמת את המפתח הציבורי formula_6 לכל דורש ושומרת בסוד את formula_4. כעת אם בוב מעוניין להצפין מסר formula_8 כלשהו עבור אליס, תחילה הוא בוחר מספר חד פעמי formula_9 (מודולו formula_2) איתו הוא מסתיר את המסר ולאחר מכן משמיד אותו. השלם formula_9 נקרא מפתח ארעי (ephemeral key) כיוון שנועד אך ורק להצפנת מסר יחיד.
בוב לוקח את המסר formula_8 עם השלם החד-פעמי formula_9 והמפתח הציבורי של אליס formula_6 ומחשב את זוג הערכים:
כזכור formula_2 ו-formula_3 הם פרמטרים ציבוריים כך שלכולם יש נגישות אליהם. הטקסט המוצפן שבוב הכין הוא הזוג formula_19 אותם הוא שולח לאליס בערוץ ציבורי. אפשר להבחין בחיסרון בולט של הצופן: הטקסט המוצפן הוכפל בנפחו. כעת אם אליס רוצה לפענח את הטקסט המוצפן שקיבלה היא משתמשת במפתח הפרטי שלה כדי לחשב את:
וכן מחשבת את formula_21 שהוא ההופכי הכפלי של formula_22 מודולו formula_2. ואז מכפילה את formula_24 ב-formula_25 כדי לקבל את formula_8 או בניסוח פורמלי.
הוכחת נכונות.
כדי לראות מדוע זה עובד מתבוננים בביטוי formula_28, לאחר הרחבה מתקבל:
כדי להבין מדוע formula_9 חייב להיות חד-פעמי ואין להשתמש בו להצפנת שני מסרים עם אותו מפתח. נניח שבוב הצפין את formula_30 ו-formula_31 עם formula_9 זהה. לאחר הצפנה מתקבל:
נניח שהמצותתת איב משיגה את שני זוגות הטקסטים המוצפנים שנשלחו על ידי בוב formula_36, שים לב שמתקיים:
כעת אם איב גילתה את formula_30 בדרך כלשהי (למשל אם הוא קבוע כלשהו שידוע מראש) היא יכולה בעזרת מידע זה לחשב את formula_31. מסיבה זו אסור להצפין שני מסרים עם אותו formula_9.
ביטחון.
המשימה של איב (המצותתת) היא לנסות לפענח את המסר המוצפן formula_19 שבוב שלח לאליס. היא יודעת מה הם formula_2 ו-formula_3 וכן מהו המפתח הציבורי של אליס formula_6 כי הם נתונים ציבוריים. אם איב מסוגלת לפתור את בעיית דיפי הלמן (או בעיית הלוגריתם הבדיד) בקלות, היא יכולה פשוט לחלץ את המפתח הפרטי של אליס מתוך המפתח הציבורי (לחשב את formula_4 מתוך formula_6) ולפענח את המסר בדיוק כמו שאליס עושה. השאלה היא האם הצפנת אל-גמאל קשה לפיצוח לפחות כפתרון בעיית דיפי-הלמן או שהיא מכילה פגם ניסתר המאפשר לפצח אותה בקלות ללא צורך בפתרון בעיית דיפי-הלמן. ההוכחה לכך מבוססת על דרך המשל, נניח שישנו "אורקל אל-גמאל" ממנו יכולה איב לבקש פענוח באמצעות אלגוריתם אל-גמאל כל טקסט מוצפן שתבחר. אפשר לראות שבעזרתו היא יכולה לפתור את בעיית דיפי-הלמן כדלהלן: כאשר איב מגישה לאורקל את הזוג formula_19 יחד עם מפתח ציבורי formula_6 כלשהו היא מקבלת בחזרה את formula_51 שזהו כביכול הפענוח המבוקש של הטקסט המוצפן עם המפתח הפרטי המתאים ל-formula_6. כזכור בעיית דיפי-הלמן היא למצוא את formula_53 מתוך formula_54 ו-formula_55 (כאשר formula_4 ו-formula_57 סודיים). עם האורקל האמור איב יכולה לבצע את הטריק הבא: היא בוחרת formula_58 ו-formula_24 אקראי כלשהו והמפתח ציבורי הוא formula_6, היא שולחת אותם לאורקל ומבקשת ממנו להחזיר את תוצאת הפענוח שלהם. מה שהיא מקבלת בחזרה הוא כביכול את formula_8 שהוא פענוח הטקסט המוצפן המקיים
כעת כדי לקבל את formula_53 היא יכולה לחשב את:
הרי שלכאורה עם מידע שהתקבל מאורקל אל-גמאל היא "פתרה" את בעיית דיפי-הלמן. זוהי הוכחה שמי שיכול לפצח את הצפנת אל-גמאל יכול גם לפתור את בעיית דיפי הלמן כך שהצפנת אל-גמאל בטוחה לפחות כבעיית דיפי-הלמן. כל עוד בעיה זו קשה לפתרון בכלים הקיימים ההצפנה תיוותר בטוחה. יש לשים לב שבהתקפה המתוארת איב לא פתרה את בעיית הלוגריתם הבדיד כלומר לא הצליחה לגלות מה הם formula_4 או formula_57 אלא רק את formula_53. כלומר השאלה נותרה פתוחה האם בעיית דיפי-הלמן קשה כמו בעיית הלוגריתם הבדיד.
ההתקפה המתוארת נקראת התקפת גלוי-נבחר, מזה נובע שהצפנת אל-גמאל עמידה במודל ביטחון מחמיר בתנאי שפתרון בעיית דיפי-הלמן יהיה קשה בשדה הנבחר. מסיבה זו רצוי שסדר השדה יהיה גדול, כלומר יש לבחור מספר ראשוני כזה שניסיון לנחש את המפתח הסודי בכוח גס או באמצעות האלגוריתם הטוב ביותר הידוע כיום לפתרון הבעיה, יהיה מעבר ליכולת המחשוב הנוכחית. ידוע שאלגוריתם תחשיב אינדקסים פותר את בעיית הלוגריתם הבדיד (ומכאן גם את בעיית דיפי-הלמן) בזמן תת-מעריכי. כלומר היכן שהוא באמצע הדרך בין זמן פולינומי לזמן מעריכי. אלגוריתם נפת שדה המספרים יכול גם הוא להתאים לפתרון בעיית הלוגריתם הבדיד ונחשב כיום כאלגוריתם הטוב ביותר למטרה זו. אלגוריתמים אילו מציגים זמן ביצוע טוב בהרבה מכוח גס. לאור עובדה זו בהערכה גסה רצוי שגודל הסדר הראשוני יהיה לפחות כ-2000 ספרות בינאריות (שזה בערך מספר בן 600 ספרות עשרוניות).
ראוי להזכיר שכאשר מחשב קוונטי סקלאבילי יהיה מעשי, ניתן יהיה לפתור את בעיית הלוגריתם הבדיד או בעיית דיפי הלמן בזמן פולינומי באמצעות אלגוריתם שור, מה שגורם לכך שהצפנת אל-גמאל לא תהיה בטוחה יותר לשימוש במקרה כזה.
דוגמה במספרים קטנים.
לצורך ההדגמה ולמען הפשטות נניח שאליס בוחרת את הראשוני formula_68 ואיבר פרימיטיבי formula_69. למפתח פרטי היא בוחרת את formula_70 ומחשבת את המפתח הציבורי שלה
בוב מקבל את המפתח הציבורי formula_72 והוא מעוניין להצפין את המסר נניח formula_73. תחילה הוא בוחר מספר חד-פעמי formula_74 ומחשב את הערכים הבאים:
ואת
את הזוג formula_77 הוא שולח לאליס.
אליס משתמשת במפתח הפרטי שלה formula_70 כדי לחשב את הערכים הבאים:
ואז המסר formula_8 מתקבל על ידי חישוב:
הצפנה הסתברותית וביטחון סמנטי.
היסטורית אל-גמאל היה הצופן הראשון שיישם הצפנה הסתברותית. בניגוד לשיטות הצפנה דטרמיניסטיות צופן אל-גמאל מוסיף מספר אקראי בתהליך ההצפנה ולכן בכל הצפנה של אותו מסר יתקבל טקסט מוצפן אחר גם אם מפתח ההצפנה זהה. אלגוריתם שעונה להגדרה זו מספק ביטחון סמנטי, שפירושו שהטקסט המוצפן אינו מדליף שום מידע אודות טקסט המקור שתוקף פוטנציאלי המוגבל בזמן ומקום לא היה יכול להשיג בדרך אחרת. ביטחון סמנטי ניתן לפירוש כגרסה מרוככת של ביטחון מושלם. ההבדל ביניהם הוא שביטחון מושלם בהגדרה הוא כזה שגם תוקף בעל עצמת חישוב בלתי מוגבלת לא ילמד מאומה מהטקסט המוצפן אודות טקסט המקור. למשל RSA הבסיסי הוא דטרמיניסטי ולכן בכל הצפנה של אותו מסר עם אותו מפתח הצפנה יתקבל תמיד טקסט מוצפן זהה. בדרך זו המתקיף יכול לזהות הצפנה חוזרת של מסר מסוים גם אם הוא לא יודע מהו ולכן אינו מוגדר כבטוח סמנטית. אפשר להפוך כל הצפנה דטרמיניסטית לבטוחה סמנטית על ידי ריפוד המסר לפני ההצפנה.
יעילות ויתרונות.
החסרון העיקרי של צופן אל-גמאל הוא שהטקסט המוצפן כפול בנפחו מהמסר המקורי. בנוסף צופן אל-גמאל מצריך שתי העלאות בחזקה מודולרית. לא כל הפעולות תלויות לגמרי במסר כך שניתן לחשב לפחות אחת מהן מראש. בניגוד לשיטות הצפנה אחרות לא ניתן להאיץ את צופן אל-גמאל באמצעות CRT. לייעול הצופן אפשר לשתף מספר ראשוני ויוצר בין מספר משתתפים כפרמטרים ציבוריים משותפים לכולם. לשיטה זו יתרון כיוון שאפשר לנצל זאת כדי להאיץ את תהליך ההצפנה בעזרת טכניקות לחישוב העלאה בחזקה המנצלות את העובדה שבסיס החזקה קבוע.