קאראיין נטל חלק חשוב בפיתוח התקליטור. הוא העריך מאוד את איכות ההמצאה החדשה, ותרם לה מהידע הרב שצבר במהלך השנים בנושאי סאונד. הוא גם הופיע במסיבת העיתונאים שהכריזה על ההמצאה החדשה. הגרסאות הראשונות של התקליטור הכילו זמן הקלטה מוגבל ל-60 דקות. ישנה סברה כי זמן ההקלטה הורחב ל-74 דקות כדי לאפשר הקלטה רציפה של הסימפוניה התשיעית של בטהובן. מכל מקום, סברה זו נדחתה על ידי קס אימניק שהשתתף בהמצאת התקליטור.
פוליטיקה.
כמו במקרה של זמרת הסופרן אליזבת שוורצקופף, חברותו של קאראיין במפלגה הנאצית בין השנים 1933 ל-1945 הטילה עליו אור לא מחמיא כשהתגלתה מאוחר יותר, על אף העובדה הגלויה לעין שהוא הצטרף למפלגה כדי לקדם את הקריירה שלו, ולא מתוך סיבות אידאולוגיות. ב-1944 שמו נכלל ברשימת המבורכים על ידי משרד הרייך לתעמולה ולהשכלת העם. מוזיקאים כמו אייזק שטרן ויצחק פרלמן סירבו לנגן בקונצרטים בניצוחו בגלל עברו הנאצי. עם זאת, נאמנותו של קאראיין לרעיון הנאצי מוטלת בספק לאור נישואיו בשנת 1942, לאניטה גוטרמן היהודיה. כוכבו של קאראיין בממשל הנאצי דעך מנקודה זו ואילך.
ביטוי מוזיקלי.
מוסכם על רבים שקאראיין ניחן בכישרון מולד של הפקת צליל תזמורתי יפה במיוחד. הדעות נחלקות בשאלת המטרה האסתטית הרחבה יותר, שהצליל הקאראייני שימש להשגתה. המבקר האמריקאי הארווי זאקס ביקר את הגישה של קאראיין באלה המילים:
הצליל הכל-תכליתי, האחיד הזה הרשים מאזינים רבים כמניב דרגות הצלחה שונות במוזיקה מתקופות שונות. מנתונים ברשת עולה, שמבין הקלטותיו הרבות מספור של קאראיין, אלה של הרפרטואר הרומנטי של המאה התשע-עשרה מתקבלות לעיתים קרובות בהתפעלות ובהוקרה (ושרבים רואים בתקליטי הסימפוניות של בטהובן בניצוחו, משנת 1962, קנה מידה לכל יתר הביצועים של יצירות אלה), אך ההתפעלות שוככת כשמדובר בניצוחיו על מוזיקה מן הבארוק או התקופה הקלאסית.
שתי ביקורות, שמידת היותן מייצגות שנויה במחלוקת, מתוך "מדריך פינגווין לתקליטורים" בעל התפוצה הרחבה, יכולות להמחיש נקודה זו:
במה שנוגע למוזיקה של המאה העשרים, הייתה ביקורת על קאראיין משום שהקליט כמעט אך ורק יצירות מלפני 1945 (מאהלר, שנברג, ברג, וברן, ברטוק, סיבליוס, ריכרד שטראוס, פוצ'יני, אילדבראנדו פיצטי, ארתור הונגר, פרוקופייב, דביסי, פאול הינדמית וסטרווינסקי), אם כי הוא הקליט פעמיים את הסימפוניה העשירית של שוסטקוביץ' וניצח בהופעת בכורה על "דה טמפורום פינה קומדיה" של קרל אורף בשנת 1973.
התנהגות מקצועית.
כמה מבקרים, בעיקר המבקר הבריטי נורמן לברכט, האשימו את פון קאראיין בכך שהתחיל ספירלה אינפלציונית הרסנית בתשלום על הופעה. בתקופת כהונתו כמנהל ארגונים במימון ציבורי כמו הפילהרמונית הווינאית, הפילהרמונית הברלינאית ופסטיבל זלצבורג, החל לתגמל כוכבים אורחים בתשלומים מופקעים, ובמקביל העלה את משכורתו שלו.
מרגע שהשיג שליטה על תזמורות, יכול היה להפיק עמן הקלטות שמן התמלוגים עליהן לקח לעצמו את מרבית הכסף, וחזר והקליט יצירות מועדפות לכל טכנולוגיה חדשה עד מותו (תקליטים אריכי-נגן דיגיטליים, תקליטורים, קלטות וידאו, תקליטורי לייזר). נוסף לכך שהקשה על מנצחים אחרים להקליט עם התזמורות שלו, גם העלה את המחירים שדרש לעצמו והביא לכך, שגם מנצחים אחרים ירצו מחירים דומים.
מכיוון שמאז 1918 אסרה אוסטריה לשאת שמות אצולה, הוסר באופן רשמי התואר "פון" משם המשפחה. בסביבות 1958 איים קאראיין לבטל את הופעותיו שם לצמיתות אם שמו לא יופיע במלואו על כרזות הקונצרטים שבניצוחו. מכיוון שזה היה מצב בלתי מתקבל על הדעת, הוחלט ששמו המלא ייחשב כשם אומן.
בשעת חזרה על הקונצרט המשולש של בטהובן, עם דוד אויסטרך, סביאטוסלב ריכטר ומסטיסלב רוסטרופוביץ', שאל אויסטרך את קאראיין אם יוכלו לעבור פעם נוספת על אחד הקטעים, ועל כך השיב קאראיין: "לא, עכשיו הזמן לתמונות." דבריו אלה של קאראיין לא מנעו מאויסטרך להעיד על קאראיין כשמלאו לו 65, שהוא "המנצח הגדול ביותר החי כיום, רב-אמן בכל הסגנונות."
לבסוף, היו שתלו בקאראיין אשמת אהבה עצמית ויהירות מוגזמת. כאשר ניצח על וגנר במטרופוליטן אופרה, הגביה את דוכן המנצח כדי להימצא בקו הראייה של הקהל; בהקלטות אופראיות של ורדי, שינה את האיזון כדי להבליט את צליל התזמורת במיקס הסופי, כדי להדגיש את תפקידו הוא ביצירת המוזיקה. מבקרים משווים אותו לליאונרד ברנשטיין בטענה שלשניהם לא היו מתחרים בתיאטרליות על דוכן המנצחים.
משפט ההדדיות הריבועית
בתורת המספרים, משפט ההדדיות הריבועית הוא משפט באריתמטיקה מודולרית המספק תנאים לפתירות של משוואות ריבועיות מודולו מספרים ראשוניים. המשפט למעשה מקשר בין היכולת לפתור שתי משוואות מודולריות ריבועיות. הוא נוסח לראשונה בידי אוילר ולז'נדר (שהוכיח אותו למקרים פרטיים), אך היה זה גאוס שהוכיח אותו במלואו לראשונה, בשנת 1796. למשפט יש ניסוחים רבים, אך הקביעה הסטנדרטית ביותר שלו היא כדלהלן:
חוק ההדדיות הריבועית:
יהיו "p" ו-"q" שני מספרים ראשוניים אי-זוגיים, אז נגדיר את סימן לז'נדר כך:
אז מתקיים:
חוק זה מאפשר חישוב ישיר של סימן לז'נדר, ומאפשר לקבוע האם ישנו פתרון טבעי למשוואה מודולרית מהצורה formula_3 בעבור "p" ראשוני אי-זוגי; כלומר, במילים אחרות, לקבוע את "הריבועים המושלמים" מודולו "p". בקריפטוגרפיה, המשפט מאפשר גם להכריע בשאלה האם מספר ראשוני נתון "p" הוא שארית ריבועית מודולו מספר ראשוני גדול בהרבה "q" במהירות רבה יותר: בעוד שבדיקה נאיבית של כל הריבועים מודולו "q" עשויה לצרוך זמן חישוב רב, המשפט מאפשר לקצר משמעותית את הבדיקה באמצעות בדיקה של "q" מודולו "p" (כך שיש לבדוק רק "p" ריבועים). אף על פי כן, המשפט הוא תוצאה לא-קונסטרוקטיבית: הוא לא מצביע על שיטה יעילה למציאה של פתרון כזה.
המשפט נחשב לנקודת ציון בתורת המספרים הקלאסית ולתוצאה מפתיעה מאוד; בעוד שבעבור קונגרואנציות ליניאריות משפט השאריות הסיני אומר לנו שההתנהגות של דברים מודולו מספר ראשוני מסוים "p" היא בלתי תלויה בהתנהגות שלהם מודולו מספר ראשוני אחר "q", חוק ההדדיות הריבועית קובע התנהגות שונה עבור קונגרואנציות ריבועיות, ומראה שישנה תלות הדדית מסוימת בין ההתנהגויות -formula_4 מגביל את formula_5. בכך הוא מרמז על מבנה אריתמטי נסתר ועמוק יותר, ומבחינה היסטורית גילויו, הוכחתו והניסיונות להכלילו היו בין הזרזים העיקריים להתפתחות תורת המספרים המודרנית.
מאז גאוס, הכללת חוק ההדדיות הייתה לבעיה מובילה במתמטיקה, ששיחקה תפקיד מרכזי בהתפתחות רבים מהכלים הטכניים של האלגברה, תורת המספרים, והגאומטריה האלגברית המודרנית, כשתהליך זה הגיע לשיאו בניסוח חוק ההדדיות של ארטין, תורת שדות המחלקה ותוכנית לנגלנדס. בנוסף, מחקר מתמטי של המאה ה-20 העיד על יותר ויותר קשרים מעניינים של המשפט עם תאוריות מתמטיות שונות מתחומי הגאומטריה והטופולוגיה - למשל, בתורת הקשרים, שם מושג הקשר הראשוני אנלוגי למספר ראשוני באריתמטיקה, ואת תפקיד ההדדיות הריבועית ממלא המשפט שקובע שאינדקס השזירה סימטרי ביחס להחלפה של שני קשרים ראשוניים.
היסטוריה.
בראייה היסטורית, המשפט הוא אחד הסימנים המובהקים להפיכתה של תורת המספרים למדע מגובש, שכן בעוד שתרבויות רבות הגיעו למידה מסוימת של ידע ותובנה על תבניות ריבועיות (עוד בימי הביניים), לא ניתן למצוא עדויות לרמה מתמטית שמתקרבת למשפט עד שלהי המאה ה-18. יוצא אחד מן הכלל הזה הוא פייר דה-פרמה, אשר ניתן לראות כמה מטענותיו על הצגה של מספר ראשוני על ידי תבניות ריבועיות מסוימות כמרכיבות יחדיו את הטענה המכונה "משפט ההדדיות הריבועית". עם זאת, פרמה עצמו מעולם לא ניסח את המשפט במפורש. משפט ההדדיות הריבועית נוסח לראשונה במפורש בידי אוילר ולז'נדר (שהוכיח אותו למקרים פרטיים), אך היה זה גאוס שהוכיח אותו במלואו לראשונה, בשנת 1796. גאוס כינה אותו בשם "משפט הזהב", וניתן לראות עדות לחיבה שרחש לו בכך שכתב לו שמונה הוכחות שונות במהלך חייו (שתיים מהן פורסמו לאחר מותו).
ההוכחה הראשונה שלו, ממאמרים 125-146 של ספרו "מחקרים אריתמטיים", הייתה אינדוקטיבית באופיה. ההוכחה השנייה שלו, ממאמר 262 של ספרו זה, עשתה שימוש בתאוריית הגנוס של תבניות ריבועיות. ההוכחות הראשונות של גאוס היו טכניות באופן יחסי ולא שפכו אור על התשובה לשאלה: מדוע בעצם חוק ההדדיות הריבועית נכון? המצב הזה השתנה כאשר גאוס עשה שימוש בסכומי גאוס ריבועיים כדי להראות ששדות ריבועיים הם תת-שדות של שדות ציקלוטומיים, והסיק באופן לא מפורש את ההדדיות הריבועית ממשפט הדדיות עבור שדות ציקלוטומיים. הוכחה זאת שימשה כמעין מנשר (בוסרי ביותר) של תורת שדות המחלקה, תורה שניתן לראות אותה כהכללה מרחיקת לכת של ההדדיות הריבועית.
מאז פורסמו הוכחות רבות נוספות; בשנת 2000 פורסם ספר שהכיל רשימה של לא פחות מ-196 הוכחות שונות. מאז פרסום זה עובד המחבר על חלקים נוספים לספרו ומספר ההוכחות המעודכן עומד בדצמבר 2009 על 233..
מוטיבציה וניסוח בסיסי.
חוק ההדדיות הריבועית נוסח בעקבות הצורך לקבוע את הפתירות של משוואות ריבועיות באריתמטיקה מודולרית, כלומר לענות על השאלה האם עבור מספר ראשוני נתון p קיים מספר טבעי x כך שכאשר מציבים אותו במשוואה ריבועית מסוימת התוצאה תתחלק ב-p. בשונה מקונגרואנציות ממעלה ראשונה, בהן ניתן להיעזר במשפטים אריתמטיים בסיסיים כמו משפט השאריות הסיני, לא קיים תהליך מתמטי פשוט אשר מאפשר לבדוק את הפתירות של קונגרואנציה ממעלה שנייה.