משמעות היותה של C "חלקה למקוטעין" היא שבקטע formula_10 הפונקציה המתארת את העקום רציפה וגזירה ברציפות בתחום האינטגרציה, למעט במספר סופי של נקודות. על הפרמטריזציה של העקומה להיות חד-חד ערכית ובעלת נורמה (בהקשר זה "גודל") שונה מאפס. במקרה זה, משמעות הפרמטריזציה היא התאמה בין ערכי הפרמטר formula_11 לבין נקודות על העקום. כלומר, לכל ערך של formula_11 בתחום האינטגרציה formula_10 מתאימה נקודה על העקום נקודה על העקום מתאים ערך של formula_11 בתחום formula_10. כך, ישנה התאמה בין כל הערכים של formula_11 בתחום formula_10 לבין כל הנקודות של העקום. בשפה פשוטה, העקום מתואר בשלמותו על ידי ערכים של formula_11 בתחום formula_10.
הגדרה.
על העקומה formula_22 מבוצע ההליך של חלוקה למספר כלשהו של קטעים על ידי בחירה שרירותית של נקודות ומתיחת קווים ישרים ביניהן. הצורה המתקבלת היא קו שבור המורכב ממיתרים ומקרב את העקום. בכל חלק של הקו השבור נבחרת באופן שרירותי נקודה אשר תסומן formula_23. זוהי "נקודה מייצגת". הערך שמקבלת הפונקציה באותה נקודה הוא formula_24. זהו "ערך מייצג" של הפונקציה באותו הקטע. קירוב "סכום הערכים" שמקבלת הפונקציה בכל קטע נתון על ידי המכפלה formula_25 כאשר formula_26 הוא אורך הקטע המקרב את הקשת עליה הוא נשען. סכימת כל המכפלות באותו הקטע, formula_27, נותנת בקירוב את "סכום הערכים" של הפונקציה על העקום המקורי. את החלוקה מעדנים יותר ויותר על ידי בחירת נקודות נוספות ובנייה מחודשת של קטעים על פי כל הנקודות שנבחרות על העקום. ככל שהליך זה נמשך, עולה רמת הדיוק של קירוב הקשת על ידי אוסף מיתרים. עתה, מפעילים גבול במצב שבו אורך כל קטע ישר המקרב את העקום שואף לאפס: formula_28. זהו סכום רימני אשר מסומן בקיצור formula_29 ונקרא "אינטגרל קווי מסוג ראשון".
נוסחה לחישוב.
חישובו של סכום זה ישירות איננו מעשי מפאת מורכבותו ולכן מקרבים אותו על ידי סכום אחר אשר חישובו ידוע, זהו הסכום האינטגרלי של רימן המגדיר את האינטגרל המסוים, אותו קל יותר לחשב בעזרת נוסחת ניוטון לייבניץ או בעזרת שיטות נומריות שונות.
בעזרת הפרמטריזציה הנתונה של הישר, ניתן להציג את הפונקציה בצורה formula_32. אורך הקטע המקרב את הקשת formula_26 מחושב ידי הכללה של משפט פיתגורס בצורה
כאשר formula_35 הוא שינוי קטן של אחד ממשתני הפרמטריזציה המגדירים את הקשת. לאחר כפל וחילוק של כל שינוי כזה ב- formula_36 ולאחר ארגון מחדש מתקבל
בהפעלת הגבול בו ערכה של החלוקה הגדולה ביותר שואף לאפס, השברים שואפים לנגזרות של המשתנים המגדירים את העקומה לפי הפרמטר formula_11. כמו כן, הערך formula_39 מוחלף בדיפרנציאל, המבטא שינוי קטן בערכו של formula_11. כך, מתקבל
הערך של formula_42 שהתקבל הוא אמנם קירוב, אך ניתן להוכיח כי הגבול המתקבל עבור הערך המקורב והמקורי זהים, ולכן לצורך חישובים מעשיים ניתן להחליף את הערך המקורי בערך המקורב. באופן זה, אם בקצוות תחום האינטגרציה מקבל הפרמטר formula_43 את הערכים formula_44 ו- formula_45, ניתן לחשב את האינטגרל הקווי על ידי הנוסחה הבאה:
formula_46.
ניתן להראות כי ערך האינטגרל הקווי מסוג ראשון אינו תלוי בפרמטריזציה שנבחרה.
אינטגרל קווי מסוג שני.
אינטגרל קווי מסוג שני מתבצע על שדה וקטורי. סימון: formula_47 – זוהי פונקציה במרחב בעל n ממדים עליה מבוצעת האינטגרציה. ניתן לחשוב על פונקציה זו כעל אוסף של n פונקציות סקלריות. תחת ההנחה כי פונקציה זו רציפה, כאמור לעיל, נניח כי המסילה formula_22 היא מסילה חלקה למקוטעין המוגדרת בקטע formula_10. כיוון הסכימה חיובי מוגדר מ- formula_50 עד formula_51.
הגדרה.
כאמור לעיל, חוזרים על הליך חלוקת העקום למיתרים, כך שכל נקודה מייצגת מסומנת formula_23. עבור כל היטל של השדה הווקטורי על הצירים, כופלים את ערכה של הפונקציה הווקטורית בנקודה המייצגת באורך ההיטל. עבור ההיטל של הרכיב ה- formula_53 (formula_54) של הפונקציה הווקטורית ועבור הציר ה- formula_53, מתקבל formula_56. סכימת כל החלקים, formula_57, נותנת בקירוב את "סכום הערכים" של היטלי הרכיב ה- formula_53 של הפונקציה formula_59 באותו הקטע. באופן דומה, לאחר הטלת כל רכיבי הפונקציה על כל הצירים וסכימת הערכים המתקבלים, מתקבל formula_60. בהשאפת אורך החלק המוטל הגדול ביותר לאפס, מתקבל formula_61. לפי הגדרת המכפלה הסקלרית, סכום זה לזהה לביטוי
formula_62. זהו סכום רימני אשר מסומן בקיצור formula_63, כאשר formula_64 הוא אלמנט אורך וקטורי. סכום זה נקרא "אינטגרל קווי מסוג שני".
הגם שהפונקציה עליה מתבצעת האינטגרציה היא וקטורית, התוצאה היא סקלרית, שכן החישוב מתבצע על ידי סכימת המכפלות לעיל בכל אחד מהיטליה של הפונקציה הווקטורית, שהוא סקלר. כאמור, ניתן להציג הסכומים האינטגרליים על ידי מכפלה סקלרית, אשר תוצאתה סקלר.
נוסחה לחישוב.
על מנת לחשב סכום זה, ננקטת גישה דומה לזו אשר יושמה בעת חישוב האינטגרל הקווי מהסוג הראשון. על ידי שימוש בפרמטריזציה הנתונה של הישר, מבוטא כל רכיב של אלמנט האורך בצורה formula_66. השדה הווקטורי מיוצג באופן formula_67. הסכום ייכתב עתה formula_68. בהפעלת הגבול בו ערכה של החלוקה הגדולה ביותר שואף לאפס, השברים שואפים לנגזרות של המשתנים המגדירים את העקומה לפי הפרמטר formula_11. כמו כן, את formula_36 ניתן להחליף בדיפרנציאל. כך, מתקבל אלמנט האורך הווקטורי
והנוסחה לחישוב מקבלת את הצורה
formula_72.
גם כאן, ניתן להראות כי ערך האינטגרל הקווי מסוג שני אינו תלוי בפרמטריזציה שנבחרה.
הקפה.
ההקפה (בלעז, סירקולציה) של שדה וקטורי formula_73, המסומנת לרוב באות formula_74, מוגדרת בתור
קרי: אינטגרל קווי של השדה על פני מסלול סגור. להקפה שימושים רבים בפיזיקה, ובפרט היא מופיעה בניסוח האינטגרלי של משוואות מקסוול. ראו הרחבה בנושא בהמשך, בפרק הדן בשימושים הפיזיקליים של האינטגרל הקווי.
דוגמאות.
אינטגרל קווי מסוג ראשון.
יש לחשב את האינטגרל formula_76 כאשר המסלול formula_22 מתואר על ידי formula_78. לפי הנוסחה לחישוב מפורש, ניתן לחשב אינטגרל זה על ידי חישוב האינטגרל המסוים formula_79. התקבל אינטגרל מסוים אשר ניתן לחשב על ידי החלפת formula_80 במשתנה אחר. התוצאה המתקבלת היא formula_81.
אינטגרל קווי מסוג שני.
יש לחשב את האינטגרל formula_82 כאשר formula_22 הוא העקום formula_84 עבור formula_85. ניתן לכתוב הצגה זו גם בצורה formula_86. בצורה זו, הפרמטר אשר על פיו מבוצעת האינטגרציה הוא formula_11 (באותה המידה, ניתן היה גם לכתוב formula_88במקומו, או כל אות אחרת – לשמו של משתנה האינטגרציה אין כל משמעות מתמטית). על פי הנוסחה לחישוב ישיר, מתקבל האינטגרל המסוים formula_89. זהו אינטגרל מיידי שלאחר חישובו מתקבל formula_90.
תכונות.
האינטגרל הקווי מקיים תכונות של אדיטיביות וליניאריות כמו האינטגרל המסוים, זאת ניתן לראות מהגדרתו של כסכום. להרחבה ראו ערך אינטגרל.
בהינתן פונקציה חיובית, האינטגרל הקווי מהסוג הראשון איננו תלוי בכיוון ביצוע הסכימה כך שסכימה "מההתחלה אל הסוף" ו"מהסוף אל ההתחלה" תניב תוצאות זהות. ניתן לתת לדבר אינטואיציה פיזיקלית בדמות העובדה שאורך או מסה של עקום אינם תלויים בכיוון מהם אנו "מרכיבים" אותם. בנוסחת החישוב המפורשת, הדבר מתבטא בכך שהסכום המופיע בה הוא של שלושה גורמים חיוביים: פונקציה חיובית, שורש ריבועי (חיובי בהכרח כאשר השדה מעליו עובדים הוא שדה המספרים הממשיים) והערך המוחלט של formula_36.
לעומת כך, בהינתן אינטגרל קווי מסוג שני, החלפת סדר הסכימה תגרור החלפת סימן של האינטגרל. לכך ניתן לתת אינטואיציה פיזיקלית בדמות העובדה כי עבודה של כוח, למשל, תהיה שלילית אם הוא נע בכיוון הפוך לכיוון המוגדר כ"חיובי". בנוסחה הדבר מתבטא בהחלפת הסימן של formula_36.
באופן כללי, ערכו של אינטגרל קווי הוא תלוי מסלול, כך שעבור מסלולים שונים יתקבלו ערכי אינטגרל שונים. אינטואיציה פיזיקלית לכך ניתנת, עבור אינטגרל מסוג ראשון, למשל, בדמות העובדה כי עבור צפיפות נתונה, גוף ארוך ישקול יותר מגוף קצר. עבור אינטגרל קווי מסוג שני ניתן לתת אינטואיציה על סמך העובדה, למשל, שעבודתו של כוח החיכוך גדולה יותר בערכה המוחלט ככל שהמסלול ארוך יותר. ייתכן מקרה מיוחד בו ערכו של אינטגרל מסוג שני לא יהיה תלוי בצורת מסלול האינטגרציה אלא בקצוות הקטע בלבד. נושא זה נדון בהרחבה בפרק קשר בין אינטגרל קווי לשדה משמר בהמשך ערך זה.
החלפת פרמטריזציה באינטגרל קווי.
בהינתן פרמטריזציה מסוימת המתארת את העקום שעל פניו מתבצעת האינטגרציה, ניתן לכתוב את האינטגרל הקווי גם על ידי פרמטריזציה אחרת המתארת גם היא את העקום הנתון, בלא שינוי בתוצאה המתקבלת. באופן מעשי, כאמור, חישוב האינטגרל הקווי מתבצע על ידי החלפתו באינטגרל מסוים. בהינתן שתי פרמטריזציות המתארות את אותו העקום, ניתן להחליף את הפרמטריזציות שעל פי הן נעשה החישוב על ידי הכללים המקובלים להחלפת משתנה בשלב חישוב האינטגרל המסוים. ראו שיטת ההצבה להרחבה.