אם מסלולי הפתרון האופטימלי חותכים זה את זה, לא ניתן להמשיך את הפתרון הרגיל ונקודת החיתוך הופכת לסינגולריות, כלומר הפתרון מגיע למשטח סינגולרי.
שימושים במשחקים דיפרנציאליים.
קיימות דוגמאות רבות למשחקים דיפרנציאליים בספרות. להלן כמה שמות של משחקים:
המשותף לכל משחק דיפרנציאלי הוא רמת הידע שיש לשחקן אחד על הפעולות של השחקן השני. אם קיים ידע, השחקן יכול לשנות את האסטרטגיה שלו בהתאם כדי לשפר את ביצועיו ביחס למטרות המשחק שלו.
לקס לות'ר
אלכסנדר ג'וזף (לקס) לות'ר (באנגלית: Alexander Joseph "Lex" Luthor) הוא דמות בדיונית של נבל-על המופיעה בחוברות הקומיקס סופרמן וליגת הצדק ביקום DC קומיקס. דמותו הופיעה לראשונה בחוברת "Action Comics #23" מאפריל 1940 ונוצרה על ידי הכותב ג'רי סיגל והמאייר ג'ו שוסטר, יוצריו של סופרמן. מאז, היסטוריית הדמות שוכתבה פעמים רבות, וסיפור המקור הנוכחי שלו מסופר במיני סדרה "" משנת 2004 שנכתבה על ידי מארק וייד ומכילה גם את סיפור המקור הנוכחי של סופרמן.
לקס לות'ר היה אויבו הראשי של סופרמן ברוב שנות קיומו של גיבור-העל, והגה מספר תוכניות על מנת להשמידו. בגרסאות הראשונות לות'ר היה מדען משוגע, אך בגרסאות מאוחרות יותר הוא תואר מחדש כאיש עסקים ערמומי עם גישה למשאבים עצומים של הון וטכנולוגיה מתקדמת. לתקופה קצרה בשנות ה-2000 הוא כיהן כנשיא ארצות הברית.
דמותו של לקס לות'ר מדורגת במקום הרביעי ברשימת מאה נבלי-העל הגדולים של כל הזמנים לפי אתר IGN, במקום השמיני ברשימת מאה הנבלים הגדולים של כל הזמנים לפי מגזין ויזארד וכן במקום ה-32 ברשימת 50 דמויות הקומיקס הגדולות של כל הזמנים לפי מגזין אמפייר.
את דמותו גילמו שחקני הקולנוע ג'ין הקמן בסרט "סופרמן" (1978), סופרמן 2 (1980) ו (1987); קווין ספייסי גילם את דמותו של לות'ר בסרט סופרמן חוזר (2006); וג'סי אייזנברג גילם את דמותו בסרטים "" (2016), "ליגת הצדק" (2017) ו"" (2021).
ביוגרפיה בדיונית.
לפני המשבר.
כשהופיע לראשונה מעל דפי הקומיקס, ללות'ר הייתה רעמת שער אדמונית ומלאה. בחוברת #41, עקב טעות של אחד המאיירים, לא צויר שערו והוא נשאר קירח. שוסטר, אחד מיוצרי הדמות, החליט שזה הולם אותו, ומאז הפכה הקרחת לסימן ההיכר של לות'ר.
בתחילת שנות ה-40 של המאה ה-20 היה לות'ר אחד מהנבלים שעיטרו את רומני המתח הזולים של אותה תקופה, שבהם תוארו מדענים מטורפים שמנסים להשתלט על העולם או להרוס אותו, בעזרת מגוון של מזימות זדוניות. לות'ר ניסה פעמים רבות, אך כל נסיונותיו סוכלו על ידי סופרמן, דבר שהפך את סופרמן ולות'ר לאויבים מושבעים. על אף שמזימותיו סוכלו, תמיד היה לות'ר חומק ללא עונש או לחלופין בורח מהכלא.
בתחילת שנות ה-60 של המאה ה-20 נחשף סיפור המקור של לות'ר יחד עם שמו הפרטי, "לקס". על פי סיפור זה, עברה משפחתו של לות'ר לסמולוויל, העיר שבה גר סופרמן בילדותו, כשהיה נער מתבגר. לות'ר הפך למעריץ של סופרמן, שבאותה עת נקרא סופרבוי, ואף עזר לו. כאות תודה, עזר סופרבוי ללות'ר לבנות מעבדה שבה לות'ר החל לנסות לפתח צורות חיים חדשות, ואף ניסה לפתח נוגדן להשפעת הקריפטונייט על סופרבוי. בערב גורלי אחד, אחד החומרים במעבדה התלקח וסופרבוי, שעוד לא למד לשלוט באופן מלא על כוחותיו, נשף על האש כדי לכבותה, אך עשה זאת בעוצמה רבה מדי. הנשיפה אכן כיבתה את האש, אך גם גרמה לכימיקלים שהיו במעבדה להישפך על ראשו של לות'ר ולעשותו קירח עד סוף ימיו. לות'ר האשים את סופרבוי בחבלה מכוונת עקב קנאה, ונשבע לנקום.
למרות היותו רשע ותאב-כוח, לות'ר היה איש של כבוד. לא פעם סופרמן ולות'ר שיתפו פעולה בלית-ברירה כנגד אויב זה או אחר.
לאחר המשבר.
לות'ר החדש עבר שינוי רציני בהמשכיות שלאחר המשבר בעולמות האינסופיים של שנת 1985. בשלב זה הוא לא היה מדען מטורף שעובד בצללים, אלא איש עסקים משגשג וידוע - פושע צווארון לבן.
לות'ר גדל באחת השכונות הגרועות ביותר של העיר מטרופוליס. הוא גדל לאב מתעלל שלא חשש להראות לו את נחת זרועו. לות'ר היה ילד בודד, היה לו רק חבר אחד - פרי וייט, לימים עורך מערכת העיתון "הדיילי פלאנט". וייט עודד את חברו להגשים את חלומו ולעזוב את השכונה.
ההזדמנות שלו לא איחרה להגיע. לקס פתח פוליסת ביטוח להוריו ללא ידיעתם, וחיבל במכוניתם. הוריו נהרגו בתאונת דרכים, ולקס, לאחר שעבר למשפחה אומנת, קיבל את כספי ביטוח החיים שלהם והפך לאיש עשיר.
גם במשפחתו החדשה לקס היה קורבן להתעללות. משפחתו האומנת חשקה בכספו של לות'ר, אך גילתה שלות'ר הסתיר אותו. בניסיון לשים יד על כספו, ניסה אביו המאמץ לשכנע את בתו לנה לפתות את לקס. לנה סירבה, והאב הזועם הכה אותה למוות. באותו יום נשבע לקס שהוא יצבור כל כוח אפשרי כדי שאיש לא יוכל לפגוע בו שוב.
לקס השתמש בכספו ובכישרונו על מנת להקים חברה בשם "לקסקורפ", שהפכה לחברה רבת השפעה ובעלת קשרים מסועפים במטרופוליס. בשלב מסוים נבחר לות'ר למשרת נשיא ארצות הברית, אך לא הפסיק בנסיונותיו להשמיד את סופרמן. בסופו של דבר, נכשלו כל נסיונותיו, והוא חזר להסתתר.
על פי גרסה זו צמחה היריבות בין לות'ר לסופרמן לאחר שלות'ר ניסה לגייס את סופרמן לשירותו וזה סירב ואף הסגיר אותו לרשויות.
מד גשם
מד גשם הוא מכשיר מדידה שבאמצעותו מודדים את כמות המשקעים שיורדים במקום מסוים ובזמן מסוים. המכשיר יכול להיות אוטומטי או ידני, כלומר שאדם יצטרך לבוא ולבדוק את גובה המים במד הגשם. מד הגשם הוא כלי פשוט, המודד במילימטרים את כמות המשקעים ומאפשר מדידה אחידה.
מדידת כמות המשקעים חיונית לצרכים שונים, החל בחקלאות וכלה באגירת מים במאגרים שונים.
מידע על כמות המשקעים הממוצעת באזור מסוים יכולה גם ללמד אודות המצב בו נמצאת מערכת אקולוגית באותו מקום, ומהווה גורם חשוב במחקר.
היות שהשונות המרחבית בתפרושת הגשמים גדולה, בגלל מבנה העננים והתפתחותם, מדידה של כמות משקעים אינה מבוססת על מד גשם יחיד וישנה עדיפות למדוד את הגשם באמצעות רשת מדי גשם, המוצבים במקומות שונים, מבחינת תנאי האזור: כדוגמת עוצמת רוחות וטמפרטורה, וכן גובה הקרקע.
בגלל השונות הזמנית הגבוהה, נהוג לפרסם גם מדידות שעתיות וגם מדידות יומיות ושנתיות.
יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה
יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה (בגרמנית: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet; 13 בפברואר 1805 - 5 במאי 1859) היה מתמטיקאי גרמני-צרפתי עתיר הישגים, רובם בתורת המספרים. משפט דיריכלה אותו הוכיח ב-1837 נחשב לתחילתה של תורת המספרים האנליטית. תרם תרומות מעמיקות באנליזה מתמטית לתאוריה של טורי פורייה והיה הראשון להוכיח ריגורוזית את המשפט היסודי של טורי פורייה. עשה עבודה חשובה גם בנושאים אחרים באנליזה; היה בין המתמטיקאים הראשונים שנתנו את ההגדרה המודרנית הפורמלית של פונקציה.
ביוגרפיה.
משפחתו הגיעה מהעיירה ריכלה (Richelet) בבלגיה, ומכך נובע שם משפחתו "לז'ן דיריכלה" (מצרפתית:"le jeune de Richelet" = "הבחור הצעיר מרישל").
דיריכלה נולד בדירן (Düren), שבצרפת של אותם הימים, בה ניהל אביו את משרד הדואר המקומי. בנעוריו למד בערים הגרמניות בון וקלן, שם גם זכה להרחיב ידיעותיו באמצעות מורו גאורג אוהם. בהמשך הביאו אותו לימודיו לקולז' דה פראנס, בו זכה ללמוד ממיטב המתמטיקאים. עבודתו הראשונה הייתה בנושא המשפט האחרון של פרמה. דיריכלה פיתח הוכחה חלקית למקרה n = 5, שהושלמה על ידי אדריאן-מארי לז'נדר. מאוחר יותר פיתח הוכחה מלאה למקרה שבו n = 14.
החל משנת 1855 לימד באוניברסיטת גטינגן. הוא נישא לרבקה מנדלסון, נכדתו של הפילוסוף משה מנדלסון ואחותו של המלחין פליקס מנדלסון-ברתולדי. לאופולד קרונקר היה מתלמידיו.
מחקר מתמטי.
תורת המספרים.
תורת המספרים הייתה מושא המחקר המרכזי של דיריכלה, תחום אשר הוא מצא בו מספר תוצאות עמוקות חדשות ואשר בהוכחתם הוא נקט בשיטות וכלים שנהפכו אחר כך לכלים מרכזיים ויסודיים, ורבים מהם נקראו מאוחר יותר על שמו. ב-1837 הוא פרסם והוכיח את משפט דיריכלה על סדרות חשבוניות, זאת באמצעות שימוש במושגים מאנליזה מתמטית כדי לתקוף בעיה אלגברית, ובכך הוא יצר את תורת המספרים האנליטית. בהוכחת המשפט, הוא הציג את הקרקטרים של דיריכלה ואת פונקציות L. בנוסף, במאמר שלו הוא הבחין בין התכנסות מוחלטת והתכנסות בתנאי של טור וכן ניבא את חשיבות ההבדל בין השניים לגיבוש משפט הטורים של רימן. ב-1841 הוא הכליל את המשפט שלו על סדרות חשבוניות לחוג השלמים של גאוס formula_1.
בצמד מאמרים שנכתבו ב-1838 ו-1839 הוא הוכיח את נוסחת מספר המחלקה (Class Number Formula) הראשונה, עבור תבניות ריבועיות. תוצאה מעמיקה זו סללה את הדרך לתוצאות עמוקות רבות מאוחרות יותר, התקפות לשדות מספרים כללים יותר. בהתבסס על מחקרו על המבנה של חבורת היחידות של שדות ריבועיים, דיריכלה גילה והוכיח את משפט היחידות של דיריכלה, תוצאה יסודית בתורת המספרים האלגברית.
הוא עשה שימוש בעקרון שובך היונים (שלעיתים נקרא על שמו "עקרון דיריכלה") כדי להוכיח שכל מספר אי-רציונלי ניתן לקירוב דיופנטי מסדר 2. הוא הוכיח את המשפט האחרון של פרמה למקרים n = 5 ו-n = 14. הוא תרם גם לחוק ההדדיות מסדר רביעי (דיריכלה פירש ופישט את הטיעונים של גאוס בשני מאמריו על שאריות ביריבועיות). בעיית המחלקים של דיריכלה, עבורה הוא מצא את התוצאות הראשונות, עודנה בעיה פתוחה בתורת המספרים על אף תרומות מאוחרות יותר בידי חוקרים אחרים.