לפי הבודהיזם יש שלושה סימני קיום בכל התופעות ביקום. שהם:
מכאן, שלא ייתכן קיום של "מצב מושלם"; מכאן אנרכיסטים בודהיסטים מסיקים כי אפשר רק לנסות ולהתקרב לקהילה אידיאלית לכולם. כל מוסד מעשה-ידי אדם הוא ארעי ובלתי מושלם, היות שהאנשים והעולם משתנים כל הזמן. זאת ועוד, שום עושר חומרי או כוח פוליטי לא יעניקו אושר מתמשך - סיפוק ללא הארה הוא אשליה שרק מעצימה את הסמסרה. חופש לפרט, בעוד שהוא מטרה ראויה עבור אנרכיסטים, הוא על כל פנים בלתי-שלם, במובן שהוא מונע את האנושיות המשותפת שלנו, היות שבסופו של דבר אין "עצמי" הנפרד אינהרנטית משאר היקום.
לאחר שיש הכרה בדבר זה, מטרתו של "בודהיסאטווה" היא לנסות ולהקטין את הסבל שמתקיים במהלך החיים של ישויות בעלות תודעה. האנרכיסטים החברתיים טוענים כי המדינה והקפיטליזם יוצרים דיכוי, ולכן גם סבל. המדינה היא מוסד אשר יוצר מסגרת לתשוקה לכוח, והקפיטליזם, מסגרת עבור התשוקה לעושר חומרי. ניסיון לשלוט בבני אדם אחרים, לפי הראיה של אנרכיסטים בודהיסטים, רק יגרום להם לסבול ובסופו של דבר יגרור סבל לאלו אשר מנסים לשלוט. בדומה לכך, ניסיון להחזיק ולצבור עושר חומרי, מחזק את הסבל עבור הקפיטליסט ועבור אלו שאיתם הוא עושה עסקים או משפיע על חייהם.
חמלה, עבור בודהיסט, נובעת מהעדר עצמיות יסודית. חמלה עבור האנושות בכללה היא הדבר שנותן לבודהיסט השראה לפעולה; עם זאת, רוב, אם לא כל הקבוצות הפוליטיות נוטות ללכת בניגוד לדרך המתומנת האצילה אשר מתווה את המחשבה והפעולה הבודהיסטית. לכן, אנרכיזם, החסר את המבנה האידאולוגי הקשיח ואת הדוגמות, נראה כדבר מה שבודהיסטים יכולים ליישמו.
אלומה (מתמטיקה)
במתמטיקה, אלומה (בצרפתית: Faisceau, באנגלית: Sheaf) היא אמצעי המאפשר לרכז מידע על תכונות מקומיות של מרחב, כדי להשוות אותן לתכונות הגלובליות שלו. האלומה formula_1 מוגדרת על מרחב טופולוגי X, ומתאימה לכל קבוצה פתוחה U מידע כלשהו formula_2 (המידע יכול להיות קבוצה, חבורה, חוג, מודול או אלגברה). האקסיומות שאלומה נדרשת לקיים מבטיחות שהמידע המקומי יהיה מאורגן באופן רציף.
לעיתים קרובות האלומה מתארת מבנים גאומטריים המוגדרים על קבוצות קטנות יחסית של המרחב, כגון פונקציות רציפות, תבניות דיפרנציאליות וכן הלאה. מקורו של הסימון המקובל, formula_1, הוא המלה הצרפתית לאלומה - Faisceau.
האלומות הופיעו במתמטיקה לראשונה בהקשר של המשכה אנליטית של פונקציות מרוכבות, ובהמשך הפכו לאבן יסוד בפיתוחה של הגאומטריה האלגברית המודרנית; האובייקטים הבסיסיים של הגאומטריה האלגברית המודרנית (סכמות) מוגדרים בשפה של אלומות. אלומות שימושיות במיוחד בגאומטריה (במיוחד גאומטריה דיפרנציאלית וגאומטריה אלגברית) ובטופולוגיה.
הגדרה פורמלית.
אלומה היא "קדם אלומה" המקיימת את אקסיומת ההדבקה (שתוגדר להלן), ולפיכך נפתח בהגדרה של קדם אלומה. ההגדרה תעסוק באלומה של חוגים. אלומות של מבנים אלגבריים אחרים מוגדרות בצורה אנלוגית.
קדם אלומה.
בשפה של תורת הקטגוריות, קדם אלומה היא פונקטור קונטרה-וארינטי מהקטגוריה של קבוצות פתוחות במרחב טופולוגי (עם העתקות השיכון), לקטגוריה של חוגים (עם המורפיזמים הרגילים). פירושו של דבר הוא שקדם אלומה היא פונקציה formula_1, המתאימה לכל קבוצה פתוחה U במרחב טופולוגי X חוג formula_5, באופן שמתקימות ארבע אקסיומות:
בהינתן קבוצות פתוחות formula_12, ואיבר formula_13, את הצמצום של formula_14 מ-U ל-V מסמנים ב- formula_15 (בדומה לסימון של צמצום התחום של פונקציה).
אקסיומת ההדבקה.
תהי formula_16 משפחה של קבוצות פתוחות ב-X. ונניח שלכל אינדקס i נתון אובייקט formula_17. לכל זוג אינדקסים i,j נסמן formula_18. נניח שלכל i ו-j מתקיים formula_19, כלומר: הצמצומים של fi ו-fj מזדהים על החיתוך. במקרה זה, אקסיומת ההדבקה דורשת את קיומו של "אובייקט גלובלי" יחיד formula_13, כאשר formula_21 ולכל i מתקיים formula_22
קדם אלומה formula_1 המקיימת את אקסיומת ההדבקה היא אלומה.
חתך מעל קבוצה פתוחה.
בהינתן קבוצה פתוחה formula_24, איבר formula_25 נקרא חתך מעל "U". חתך מעל "X" (כלומר, איבר formula_26) נקרא חתך גלובלי.
נבט של אלומה.
יהיו X מרחב טופולוגי, x נקודה ב-X, וformula_1 אלומה על X. ברצוננו להגדיר חוג אשר יבטא את התכונות של האלומה formula_1 בקרבת הנקודה x. על מנת לעשות זאת באופן מדויק, נגדיר חוג אשר יקרא הנבט (Stalk) של formula_1 ב x ויסומן בformula_30. הנבט של formula_1 ב-x הוא הגבול הישר של מערכת החוגים formula_2, עם ההומומורפיזמים של צמצום, כאשר עוברים על כל הקבוצות הפתוחות U המכילות את x. באופן קונקרטי, איברי החוג הם מחלקות שקילות של זוגות מהצורה formula_33, כאשר U קבוצה פתוחה של X המכילה את x ו formula_25; שני זוגות formula_33 ו- formula_36 הם שקולים זה לזה אם קיימת קבוצה פתוחה formula_37 המכילה את x, כך שהצמצום של s ל-W שווה לצמצום של t ל-W.
בהינתן שתי מחלקות שקילות formula_38 ו- formula_39, נגדיר את הסכום שלהן לפי הנוסחה formula_40 (כאשר מצמצמים את s+t לחיתוך). כפל יוגדר בצורה אנלוגית, ובאופן זה נקבל חוג הקרוי הנבט של formula_1 ב-x.
בדרך כלל הנבט של אלומה מכיל אך ורק מידע מקומי. כך למשל הדבר במקרה של אלומת הפונקציות החלקות על יריעה דיפרנציאלית. אך לעיתים קורה שהנבט מכיל מידע שאינו בהכרח מקומי. לדוגמה, מאחר שפונקציה אנליטית בקבוצה פשוטת קשר נקבעת ביחידות על ידי הנבט שלה, הרי שהנבט של אלומת הפונקציות האנליטיות על יריעה אנליטית מכילה מידע רב שאינו מקומי.
הומומורפיזם של אלומות.
בהינתן שתי אלומות formula_42 ו- formula_1 על מרחב טופולוגי X, הומומורפיזם formula_44 הוא כלל המתאים לכל קבוצה פתוחה U ב-X הומומורפיזם formula_45 כך שהומומורפיזמים אלו מתחלפים עם העתקות הצמצום של formula_1 ו- formula_42.
במילים אחרות, בהינתן 2 קבוצות פתוחות formula_48 ב-X, הדיאגרמה הבאה דיאגרמה קומוטטיבית:
לכל נקודה x בX הומומורפיזם של אלומות משרה הומומורפיזם מתאים של הנבטים formula_49. בשפה של תורת הקטגוריות, זוהי העתקה טבעית בין פונקטורים.
מורפיזם חד-חד-ערכי.
נאמר שמורפיזם של אלומות formula_50 הוא חד-חד-ערכי אם לכל נקודה x ולכל קבוצה פתוחה U המכילה את x קיימת קבוצה פתוחה formula_7 המכילה את x כך ש formula_52 היא פונקציה חד חד ערכית. ניתן להוכיח שדרישה זו שקולה לכך שלכל קבוצה פתוחה U, הפונקציה formula_53 היא חד חד ערכית.
מורפיזם על.
נאמר שמורפיזם של אלומות formula_50 הוא על אם לכל נקודה x ולכל קבוצה פתוחה "U" קיימת קבוצה פתוחה formula_7 המכילה את "x" כך ש formula_52 היא פונקציה על. אזהרה: במקרה זה אין זה נכון שדרישה זו שקולה לכך שתנאי זה יתקיים לכל קבוצה פתוחה "U". במילים אחרות, פונקטור החתכים הגלובליים מדויק משמאל, אך אינו מדויק. את ההבדל מודד הפונקטור הנגזר של פונקטור החתכים הגלובליים, קוהומולוגיה של אלומות.
איזומורפיזם.
הומומורפיזם של אלומות שהוא גם חד-חד-ערכי וגם על יקרא איזומורפיזם. אם formula_57 הוא איזומורפיזם של אלומות, קל לראות שההומומורפיזם שהוא משרה על הנבטים formula_58 הוא איזומורפיזם לכל x.
מודול מעל אלומה.
בהינתן אלומה formula_59 של חוגים על מרחב טופולוגי formula_60, נאמר כי אלומה של חבורות אבליות formula_61 על formula_60 מהווה מודול מעל formula_59 אם לכל קבוצה פתוחה formula_64, החוג formula_65 פועל על החבורה האבלית formula_66 (באופן שהופך אותה למודול) כך שהפעולה מתואמת עם מורפיזמי הצמצום (בשתי האלומות).
שימושים.
בגאומטריה אלגברית.
נביא כעת דוגמה קלאסית מגאומטריה אלגברית: בהינתן תחום שלמות A (נוצר סופית, מעל שדה סגור אלגברית, נאמר, k) המוצג כמנה של חוג הפולינומים מעל k באידיאל I, ניתן להתבונן בספקטרום, שהוא תת-יריעה המרחב של המרחב האפיני מעל k של כל הנקודות שמאפסות כל אבר ב-I. על הספקטרום ניתן להגדיר טופולוגיה (טופולוגית זריצקי) וגם אלומת מבנה ההופכת אותו למרחב מחויג (מקומית): לכל קבוצה פתוחה U, נתאים כחוג את המיקום של A בכל האיברים שמתאפסים על המשלים של U. לפי משפט של סר, קטגוריית המודולים מעל אלומת המבנה שקולה למנה של קטגוריית ה-A-מודולים.
ניתן לחזור על הבנייה שתוארה כאן במקרה הפרויקטיבי, כלומר אם I אידיאל הומוגני ניתן להתבונן בספקטרום הפרויקטיבי ולפעול באופן דומה. גם במקרה זה, לפי משפט של סר, קטגוריית המודולים מעל אלומת המבנה שקולה למנה של קטגוריית ה-A-מודולים המדורגים מודולו קטגוריית הגבולות הישרים של A-מודולים מדורגים נוצרים סופית.
בגאומטריה לא קומוטטיבית.
בגאומטריה לא קומוטטיבית לעיתים לא ניתן להגדיר מרחב טופולוגי שמיצג את המרחב הלא קומוטטיבי הנדון. על אחת כמה וכמה לא ניתן להגדיר אלומות מעליו. אולם ניתן להגדיר קטגוריה שתחליף את קטגוריית האלומות ותייצג את המרחב הלא קומוטטיבי.
למשל, ניתן להגדיר את הספקטרום הפרויקטיבי של חוג לא קומוטטיבי A, המקיים דרישות מסוימות (זוהי סכמה לא קומוטטיבית) כקטגוריית המנה שתוארה לעיל. כשממד גלפנד-קירילוב של החוג A הוא 2, יש מעין מיון של הסכמות הלא קומוטטיביות המתקבלות באופן זה, שניתן לראות בהן עקומים פרויקטיביים לא קומוטטיביים. המיון, שנעשה בידי מייקל ארטין וטובי סטפורד קובע שכל עקום כזה שקול בירציונלית (ניתן להגדיר אנלוגיה לשדה הפונקציות הרציונליות באמצעות שברים של איברים הומוגניים מאותה דרגה מתוך A; או אז שקילות בירציונלית פירושה איזומורפיזם של שדות הפונקציות הרציונליות) לעקום קומוטטיבי.
אלומה חופשית באופן מקומי.