בנוסף לכך קיימים הגבול מימין והגבול משמאל של פונקציה. הגבול מימין של הנקודה formula_2 מוגדר, באופן אינטואיטיבי, כמספר formula_1 שכאשר formula_3 הולך ומתקרב ל-formula_2 מימין (כלומר מתקרב מכיוון המספרים הגדולים מ-formula_2) אזי ערך הפונקציה הולך ומתקרב ל-formula_1. באופן דומה מוגדר גם הגבול משמאל (הפעם המשתנה שואף ל-formula_2 מכיוון המספרים הקטנים ממנו). הצורך בגבולות אלו מתברר כאשר רוצים לחשב גבול של פונקציה מהסוג הבא:
בנקודה formula_16 לפונקציה לא קיים גבול, מאחר שלא קיים מספר אחד שאליו שואפת הפונקציה כאשר formula_3 שואף ל-0. לעומת זאת קיימים גבולות מימין ומשמאל. הגבול מימין שווה ל-0 והגבול משמאל שווה ל-2. כפי שניתן לראות, אין חובה לכך שהגבול מימין יהיה שווה לגבול משמאל ואין חובה לכך שאחד מהם יהיה שווה לערך הפונקציה בנקודה עצמה.
ניתן להגדיר את מושג הגבול של פונקציה בשתי דרכים שקולות: אחת מסתמכת על הגדרת הגבול בסדרות ומסתכלת על התנהגות הסדרות ששואפות לנקודה, והשנייה עומדת בפני עצמה. הגדרת הגבול בעזרת סדרות מאפשרת להחיל משפטים שנכונים על גבולות של סדרות גם לגבולות של פונקציות.
בהגדרה באמצעות סדרות, אומרים שפונקציה מתכנסת לגבול בנקודה מסוימת, אם ורק אם עבור כל הסדרות שמתכנסות לאותה נקודה, הסדרות המתקבלות מהפעלת הפונקציה על אברי אותן סדרות מתכנסות לאותו גבול.
ההגדרה העצמאית אומרת שעבור כל סביבה של נקודת הגבול, ניתן למצוא סביבה של הנקודה שאליה ערכי ה-x מתקרבים כך שכל התמונות של הנקודות הקרובות לנקודה שאותה בודקים יעברו לאותה סביבה של נקודת הגבול. תמונת הפונקציה באותה נקודה שאליה מתקרבים ערכי ה-x לא רלוונטית לגבול, אלא רק הערכים שקרובים אליה. רק כאשר פונקציה היא רציפה יש חשיבות גם לנקודה שאליה מתקרבים.
הגדרות.
עד כה דנו בגבול מבלי להגדיר אותו מתמטית ובאופן מדויק. כיום מקובלות שתי הגדרות (שקולות) של גבול. הראשונה, של קארל ויירשטראס, מבוססת על עבודתו של קושי, ומנוסחת בשפה של אפסילון ודלתא. השנייה, על-פי היינה, מבוססת על התנהגות של סדרות.
גבול בנקודה.
תהא formula_18 פונקציה המקבלת ומחזירה ערכים ממשיים, המוגדרת בסביבה של formula_2 (אך לא בהכרח בנקודה formula_2 עצמה).
אזי formula_36.
אפיון גבול של פונקציה לפי קושי.
תנאי קושי הוא אפיון שקול לגבול של פונקציה בנקודה. פונקציה המקיימת את תנאי קושי בסביבה נתונה, היא פונקציה שאם המרחק בין כל שני איברים בתחום שלה קטן מגודל נתון אז גם המרחק בין כל שני ערכי הפונקציה של איברים אלה קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שאף על פי שפונקציה המקיימת את תנאי קושי בסביבה נתונה בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול של הפונקציה, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע קיום גבול של פונקציה בנקודה מבלי להתייחס לגבול עצמו, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול.
גבול אינסופי בנקודה.
שתי ההגדרות להתכנסות שקולות. אם הן מתקיימות, מסמנים formula_58.
באופן דומה ניתן להגדיר שאיפה למינוס אינסוף כאשר בנוסח הראשון ההבדל מתבטא בכך שformula_59 ושformula_60, ובנוסח השני מתקיים formula_61.
הגדרת הגבול מימין והגבול משמאל.
הגדרה בלשון formula_45:
גבול באינסוף.
גבול סופי.
באופן דומה ניתן להגדיר גבול כאשר formula_93, כאשר ההבדלים בהגדרה בנוסח הראשון הם: formula_94 וformula_95.
גבול אינסופי.
גם כאן ניתן להגדיר באופן דומה עבור גבולות השואפים למינוס אינסוף ועבור גבולות בformula_93.
גבול (טופולוגיה)
בטופולוגיה גבול של סדרה הוא נקודה במרחב שהסדרה מתכנסת אליה, במובן שיוסבר בהמשך. מושג זה מכליל את מושג הגבול של סדרה מן החשבון האינפיניטסימלי. בעוד שההגדרות הקשורות בגבולות של סדרות ממשיות טובות כמעט ללא שינוי לסדרות בכל מרחב מטרי, הרי שבמרחב טופולוגי כללי יש צורך להחליף אותן בהגדרות כלליות יותר. יתרה מזו, ההכללה למרחבים שאינם מטריים מחייבת טיפול בגבולות של מערכות מורכבות, כמו רשתות או מסננים.
הגדרה.
יהי X מרחב טופולוגי. נקודה formula_1 היא גבול של הסדרה formula_2 אם בכל סביבה של x נמצאים כמעט כל אברי הסדרה. במרחב מטרי, אפשר לנסח את ההתכנסות במונחי המטריקה: הסדרה formula_2 מתכנסת ל-formula_4 אם
לכל formula_5 קיים אינדקס טבעי N כך שלכל k &gt; N מתקיים formula_6.
אחת הדרכים לאפיין מרחבי האוסדורף היא שגבול של סדרה במרחב כזה, כאשר הוא קיים, הוא יחיד.
רשת היא מערכת של נקודות formula_7 במרחב, כאשר קבוצת האינדקסים היא קבוצה סדורה המקיימת את התנאי הבא: לכל formula_8 קיים
formula_9. נקודה y היא גבול של הרשת אם לכל סביבה formula_10, אברי הרשת שייכים אליה לבסוף (כלומר קיים formula_11 כך שאם formula_12 אז formula_13). בניגוד לגבולות של סדרות, הכרת כל הגבולות של רשתות מאפשרת לשחזר את הטופולוגיה במלואה (כלומר, שתי טופולוגיות על X שעבורן לכל רשת יש אותן נקודות גבול, מוכרחות להיות שוות זו לזו).
משכן נוב
משכן נוב היה מבנה מקודש שהוקם, על פי המקרא, בעיר נוב, לאחר חורבן משכן שילה. לפי מסורת חז"ל, המבנה בנוב התקיים 13 שנה וחרב על ידי שאול המלך, ואז הועבר לגבעון. בזמן קיום המבנה הותרה ההקרבה בבמות הפרטיות. בזמן שהות המבנה בנוב ארון הברית היה בקריית יערים.
לפי המסורת היהודית משכן נוב עמד בין השנים ב'תתע"א - ב'תתפ"ד (889 לפנה"ס - 876 לפנה"ס).
נוב המקראית.
בתקופת שאול נוב הייתה עיר כהנים, שעל פי המקובל שכנה בנחלת שבט בנימין בסביבות ירושלים; אך יש המשערים שהייתה בסביבות עמק יזרעאל. בתקופת אחימלך הכהן, השמיד דואג האדומי את כל תושבי נוב, בהוראת שאול המלך, בטענה שהם עזרו לדוד המורד במלכות. יש המזהים פעולה זו כחורבן משכן נוב, והעברתו לגבעון.
הקמת נוב.
לפי התלמוד ביום שבו מת עלי הכהן הגדול חרב משכן שילה. אובדן זה, התרחש לאחר הפסד משמעותי של עם ישראל לפלשתים, הפסד שגבה מחיר דמים כבד הכולל את בניו של עלי חפני ופנחס, ואף את ארון הברית. אירועים אלו הובילו לאובדן החשיבות והדומיננטיות של המרכז בשילה, ושרידי בית עלי הקימו את המשכן מחדש בנוב. המשכן בנוב היה קיים 13 שנה, ובו הקריבו את קורבנות הציבור. אולם מלבד נקודה זו חשיבותו הרוחנית הייתה פחותה מאשר המרכז בשילה, כך ארון הברית שהה מעתה בקרית יערים שבנחלת שבט יהודה; ובנוסף לכך הציבור הכללי כבר לא נמנע מהקרבת קורבנות אישיים בנחלתו, כאשר המבנה בנוב משמש רק כמבנה לצורך ציבורי.
המבנה בנוב.
תיאור צורת המבנה בנוב אינו ברור, ותיאורו לוט בערפל. לחלק מהדעות נוב וגבעון נבנו לפי הדגם של משכן שילה. דברים אלו מבוססים על מקורות שונים המגדירים מבנים אלו בתואר אוהל מועד, במקרא, בתוספתא ובתלמוד. אך מתוך מקורות אחרים ניתן לראות שלעיתים המבנה בנוב מתואר בכינוי אחר, מה עוד שקיום התקרה במבנה נוב והעובדה שארון הברית לא היה בו, מעידים על שינויים ידועים; כך שניתן להעריך שהתקיימו שינויים נוספים.
סוג המבנה.
אין בהירות האם המבנה בנוב מהווה משכן או מקדש. מלשון הרמב"ם הבניין בנוב מכונה 'מקדש'; אולם לפי תפיסות שונות המבנה בנוב מהווה 'משכן'. ברור הדיון תלוי בהבדל בין המושג 'משכן' למושג 'מקדש'; כאשר רוב השיטות מזהות את המבנה בנוב כמשכן.
ההבדל בין משכן למקדש.
למציאת ההבדלים בין משכן למקדש קיימות כמה שיטות:
היחס בין שילה לנוב.
יש שכותבים שהיחס בין נוב למשכן שילה, מקביל ליחס בין בית המקדש השני לבית המקדש הראשון. כלומר קיימת ירידה ברמת השראת השכינה, בין המשכן בשילה לבין המשכן בנוב; ירידה המתבטאת בכך שארון הברית לא היה בנוב במקומו, ובעקבות זאת אף היתר הבמות שהיה בזמן משכן נוב. אולם ירידה רוחנית זו משולבת בעלייה חומרית, כאשר רמת הבנייה בנוב הייתה טובה יותר יחסית למשכן שילה (כך מבחינה חיצונית התקיימה עלייה מתמדת, ממשכן נודד במדבר, למשכן קבוע בגלגל, ומשם לבניין ללא תקרה בשילה וממנו לבניין שלם בנוב). זאת בהתאם לבית מקדש שני שהיה גדול יותר וחזק יותר מאשר בית מקדש ראשון אך היה בו ירידה רוחנית ביחס לבית מקדש ראשון.
טורקים מסחתים
הטורקים המסחתים (גאורגית: თურქი მესხები, תּוּרכִּי מֶסחֵבִּי; או მესხები, מֶסחֵבִּי; או მაჰმადიანი მესხები, מאהמאדאני מֶסחֵבִּי; או אהיסקה-טורקים, טורקית: Ahıska Türkleri, אהיסקה טורקלֶרי, או Meshet Türkleri; רוסית: Турки-месхетинцы, טורקי-מֶסחֶטינצי) הם קבוצה אתנית שהיו תושביה המוסלמים דוברי הטורקית של חבל מסחתי, חבל ארץ בדרום גאורגיה הסמוך לגבול עם טורקיה, שהוגלו, בשנת 1944, על ידי סטלין למרכז אסיה (קזחסטן, קירגיזסטן ואוזבקיסטן), יחד עם מוסלמים אחרים, בנימוק של סיוע לאויב (גרמניה או טורקיה שהייתה אויב פוטנציאלי) ובגידה באומה הסובייטית. הסברה המקובלת כי הטורקים המסחתים הם טורקים במוצאם, אולם ישנם חוקרים הסבורים שחלקם או כולם הם בעצם גאורגים שהתאסלמו. כיום, רוב המסחתים הטורקים מרוכזים במדינות ברית המועצות לשעבר, בין 10-15% בטורקיה וכ- 5-8% בארצות הברית.
הטורקים המסחתים התגוררו במחוז הדרומי של גאורגיה, שנקרא מסחתי, הממוקם ממזרח לאג'ריה, סמוך לגבול הטורקי. האזור נמצא כיום בנפות: נפת אדיגני, נפת אספינדזה, נפת אחלציחה, נפת אחלכלכי ונפת נינוצמינדה (נקראה בעבר ראיון בוגדאנובקה Богдановский район). הם התרכזו בעיקר בעמק נהר הקורה המגיע מטורקיה וזורם במסחתי. כיום אזור זה מאוכלס ברובו בארמנים.
מקור השם.