קושי הוכיח את האי-שוויון formula_13 בשיטה הנקראת לפעמים "אינדוקציה הפוכה": ראשית, הוא הראה שאם אי-השוויון מתקיים לסדרות בנות n מספרים, אז הוא מתקיים לסדרות בנות 2n מספרים - ולכן, באינדוקציה (רגילה), הוא מתקיים לסדרות בנות formula_14 מספרים, לכל m. בנוסף לזה, הראה קושי שאם אי-השוויון מתקיים לסדרות בגודל מסוים, אז הוא מתקיים לסדרות קטנות יותר. מכיוון שכל מספר קטן מאיזו-שהיא חזקה של 2, ההוכחה הושלמה.
הצעד הראשון: נניח שאי-השוויון formula_15 מתקיים לכל formula_1 חיוביים.
formula_17
formula_18
formula_19
כאשר האי-שוויון הראשון נובע מן ההנחה שאי-השוויון מתקיים לקבוצות בגודל n, והשני מן המקרה formula_5.
הצעד השני: נניח שאי-השוויון מתקיים לקבוצות בגודל n; אם נתונים formula_21 כאשר formula_22, נסמן formula_23 ונקבל formula_24, ולכן formula_25.
את אי-השוויון formula_26 אפשר להוכיח בדרך דומה.
הוכחה באמצעות אי-שוויון ינסן.
ניתן להוכיח את האי-שוויון באמצעות אי-שוויון ינסן, הקובע כי
לכל פונקציה f קמורה. אם משתמשים בפונקציה formula_28, ומציבים formula_29, מתקבל
הכללות.
אחת ההכללות החשובות לאי-השוויון מתקבלת מחזרה על כל רכיב formula_31 מספר פעמים, למשל formula_32. אם formula_1 חיוביים כמקודם ו- formula_34 שלמים חיוביים וסכומם formula_35, אז האי-שוויון הופך להיות
באי-שוויון זה אפשר להחליף את המקדמים formula_32 במספרים חיוביים כלשהם; למשל, כאלה שסכומם formula_38. כאשר כל המקדמים שווים ל-formula_39, מתקבל אי-שוויון הממוצעים.
בנוסף, יש הכללות לאי שוויון ממוצעים עבור חזקות שונות:formula_40 זו פונקציה עולה ביחס ל - formula_41, כאשר formula_42 אי שליליים. אי שוויון הממוצעים מתקבל כשאומרים שכאשר formula_43 הפונקציה גדולה יותר מאשר כש - formula_44.
אפפלשטרודל
שטרודל תפוחים
בלקבירד
המשחקים הנמאיים
המשחקים הנמאיים היו תחרויות ספורט שנערכו מדי שנתיים בנמאה שביוון העתיקה כחלק מארבעת המשחקים הפאן-הלניים.
משחקים אלה נערכו החל משנת 573 לפנה"ס באותה שנה בה נערכו המשחקים האיסתמיים - שנה לפני ושנה לאחר המשחקים האולימפיים ושנה לפני ושנה לאחר המשחקים הפיתיים, כחלק ממחזור התחרויות הארבע שנתי ביוון העתיקה (האולימפיאד).
משחקים אלה, בדומה למשחקים האולימפיים, נערכו לכבודו של זאוס.
על פי האמונה היוונית, משחקים אלה נוסדו על ידי הרקולס לאחר שהביס את האריה הנימאי. לפי אמונה אחרת, המשחקים החלו כחלק משחקים שנערכו להנציח את מותו של אופלטס, בנו של מלך נמאה, ליקורגוס.
ההיסטוריונים משערים שהמשחקים החלו להיערך החל מהמאה השישית לפנה"ס.
המנצחים במשחקים אלה קיבלו זר של עלי סלרי מהעיר ארגוס.
המשחקים הפאן-אתנאיים
המשחקים הפאן-אתנאיים היו תחרויות ספורט שנערכו מדי ארבע שנים באתונה שביוון העתיקה. משחקים אלה היו חלק מפסטיבל הפאנאתנאיה שנערך מדי שנה, אולם בכל שנה רביעית נערך פסטיבל מיוחד שנקרא הפנאתנאיה הגדולה שכלל את תחרויות הספורט, וארך 4 ימים יותר מהפסטיבל השנתי.
משחקים אלה היו בעלי חשיבות רבה עבור אזרחי אתונה, אולם נחשבו משניים למשחקים האולימפיים ולמשחקים הפאן-הלניים האחרים.
היסטוריה.
הפאנאתניה הראשונה אורגנה על ידי פייסיסטראטוס בשנת 566 לפנה"ס, בניסיון לחקות את המשחקים האולימפיים. פיסיסטרטוס הוסיף לתחרויות גם תחרויות שירה ומוזיקה, בדומה לתערוכות שהיו חלק מהמשחקים הפיתיים.
התחרויות חולקו לתחרויות בהן הורשו להשתתף רק אזרחי אתונה, ותחרויות בהן הורשו להשתתף גם בני ערים יווניות אחרות. התחרויות, בדומה למשחקים האולימפיים, כללו תחרויות איגרוף, היאבקות, פאנקרטיון, פנטאתלון, ומרוצי מרכבות - שהיו התחרות החשובה ביותר (בניגוד למשחקים האולימפיים בהם הסטאדיון - תחרות הריצה, הייתה החשובה ביותר).
הזוכים במרוץ המרכבות קיבלו כפרס 140 אמפורות פאן אתנאיות, מלאות בשמן זית.
התחרויות בהן הורשו רק תושבי אתונה להשתתף כללו מרוץ לפיד אל הפרתנון (המקור למרוץ הלפיד של האולימפיאדה המודרנית), קרבות רגלים וקרבות פרשים מדומים, זריקת חנית מגב סוס, אפובאטאי - מרוץ מרכבות בו צריך הנהג לקפוץ מהמרכבה ולשוב אליה, הפיריכה - אימון צבאי בליווי מוזיקה, והאאואנדריון - תחרות יופי בין האתלטים. במהלך השונים נוספה גם תחרות חתירה בסירה.
תחרויות השירה והמוזיקה כללו תחרות דקלום של שירת הומרוס, ניגון באאולוס וקיתרה, ותחרות שירה.
בראשית התחרות נערכה צעדה אל הפרתנון, שהייתה חשובה מהתחרויות עצמן. במהלך צעדה זו הובא אל פסל האלה אתנה חלוק מיוחד (הפפלוס) שנארג על ידי נשות אתונה עבור האלה, וכן הוקרבו הקאטומב - מאה שוורים - לאלה. מבשר שוורים אלה נערך משתה בלילה האחרון של הפסטיבל (הפאניכאיס).
התחרויות נערכו באצטדיון פאנאתינאיקו הקיים עד ימינו.
תודעה עצמית
הכרה עצמית
סימור קריי
סימור רוג'ר קריי (28 בספטמבר 1925 – 5 באוקטובר 1996) היה מהנדס חשמל אמריקאי וארכיטקט מחשבי-על, אשר ייסד את החברה Cray Research וקודם לכן נמנה עם מייסדי חברת קונטרול דאטה.
ביוגרפיה.
קריי נולד בשנת 1925 בוויסקונסין. אביו היה מהנדס אזרחי, אשר טיפח את משיכתו של קריי למדע ולהנדסה. בגיל 10 הצליח קריי לבנות התקן להמרת נייר מנוקב לאותות קוד מורס. מחסן בית המשפחה ניתן לקריי הצעיר והפך למעבדתו.
קריי סיים בית ספר תיכון בשנת 1943 וגויס לצבא כמפעיל רדיו במהלך מלחמת העולם השנייה.
במהלך שירותו הצבאי, שהה באירופה ולאחר מכן בזירה הפסיפית, שם שירת כמפענח צפנים יפניים. עם שובו לארצות הברית, קיבל תואר ראשון בהנדסת חשמל מאוניברסיטת מינסוטה בשנת 1950. לאחר כשנה קיבל תואר M.Sc במתמטיקה שימושית.
בשנת 1951 הצטרף לחברת Engineering Research Associates, ופיתח בה את המחשב ERA 1103, המחשב המדעי הראשון שזכה להצלחה מסחרית. בשנת 1957 ייסד, יחד עם ויליאם נוריס את חברת קונטרול דאטה, שהפכה ליצרנית בולטת של מחשבים מהירים.
בתחילת דרכו בקונטרול דאטה פיתח מחשב של 6-ביט מבוסס טרנזיסטורים, לשם בחינת רעיונותיו למחשב גדול יותר. המחשב, שכונה "CDC Little Character", זכה להצלחה רבה. בשנת 1959 הציגה החברה מחשב של 48-ביט מבוסס טרנזיסטורים, . קריי החל במיזם שמטרתו לייצר את המחשב המהיר בעולם, מהיר פי 50 מ-CDC 1604. מיזם זה חייב שינוי יסודי במבנה המחשב, ונמשך שנים אחדות. התמשכות המיזם הייתה למורת רוחה של הנהלת החברה. בתגובה דרש קריי ב-1962 לקבל מעבדה נפרדת אחרת יתפטר, והמעבדה הוקמה ב שבוויסקונסין. בשנת 1964 הסתיים פיתוחו של המחשב שעליו עמלו קריי וצוותו. המחשב, CDC 6600, היה מהיר פי עשרה ממתחריו, ונחשב למחשב-על. מחירו הגיע לשמונה מיליון דולר. גרסאות זולות יותר שלו היו CDC 6400 ו-CDC 6500.
בשנת 1972 פרש קריי מקונטרול דאטה והקים את חברת Cray Research, שעסקה בפיתוח וייצור של מחשבי-על.
קריי נפטר ב-5 באוקטובר 1996, שבועיים לאחר שנפגע בתאונת דרכים.
Zone Transfer
ערכיות
לי ניילון
לי ניילון (באנגלית: Lee Nailon; נולד ב-22 בפברואר 1975 בסאות בנד, אינדיאנה) הוא כדורסלן עבר אמריקאי ששיחק בעמדות הסמול פורוורד והפאוור פורוורד. גובהו 2.06 מטר. בעברו שיחק ניילון בליגת ה-NBA, בסרייה א' ובסופרוליג הרוסית ואף נבחר לשחקן העונה בליגה הישראלית בעונת .
קריירה.
ניילון שיחק במכללת טקסס קריסטיאן ונבחר בדראפט 1999 על ידי קבוצת שארלוט הורנטס כבחירה מספר 43. הקבוצה, שלא בנתה עליו כשחקן שמתאים באותו הזמן לליגת ה-NBA, שלחה אותו לשנת ניסיון באירופה והוא הוחתם על ידי אדקו מילאנו מהליגה האיטלקית הראשונה, בה הוביל את קבוצתו בממוצעים (20.4 נקודות למשחק) בעונת 1999-2000.
בעונה שלאחר מכן חתם על חוזה לשנתיים בהורנטס, שלאחריהן עבר לניו יורק ניקס לעונה אחת. בעונת 2003-2004 התחיל את העונה באטלנטה הוקס אך שוחרר וחתם באורלנדו מג'יק. לאחר אותה העונה החליף שוב קבוצה וחתם בקליבלנד קאבלירס. בעיות משמעת עם המאמן והסתבכות עם המשטרה המקומית עקב תקיפת אשתו הובילו לשיחרורו מהקבוצה.
ניילון היה נתון במעצר במשך מספר שעות ושוחרר לאחר ששילם קנס של 300 דולרים למשטרה המקומית בעבור מעצרו. בהמשך הוא גם חויב לעבור סדנה ללימוד שליטה בכעסים. לאחר מכן חזר ניילון לניו אורלינס הורנטס וחתם על חוזה לעונה. בעונה זו, 2004-2005 השתפר משחקו של ניילון והוא הפך לשחקן NBA מהשורה. את העונה סיים עם ממוצע של 14.2 נקודות למשחק. אף על פי כן, בסיום העונה שוחרר מניו אורלינס והתקשה למצוא קבוצה אחרת. לבסוף חתם בפילדלפיה 76', אך שיחק בה רק למשך כמה משחקים לפני ששוחרר שוב.
בשנת 2006 חתם בקבוצת בני השרון הישראלית ונבחר לשחקן העונה בליגת העל על ידי מנהלת הליגה. בשנת 2007, עבר לשחק ברוסיה, בקבוצת סיבירטלקום לוקומוטיב נובוסיבירסק. אחרי כמה עונות הוא עבר לא-ריאדי ביירות מלבנון, ומשם לקבוצה לונדורס Leonadores D מקסיקו. קבוצתו הבאה הייתה בני השרון, אליה חזר לעונה נוספת, והיה שותף להפסדה בגמר גביע המדינה, תוך שהוא קולע 19 נקודות.
לאחר מכן שיחק באטומרומו ההונגרית (2011), בפנטראס דה אגואסקליינטס המקסיקנית (2012), בגויאנג אוריון אוריונס הקוריאנית (2012), באסטודיאנטס דה באיה בלנקה הארגנטינאית (2012–2013), ובעונה הבאה (2013–2014) חזר ניילון לפנטראס דה אגואסקליינטס המקסיקנית.
בשנת 2017 נבחר ניילון במקום ה-13 בדראפט של ליגת ה-BIG3 על ידי קבוצת Tri-State, והוא שיחק בה לצד ג'רמיין אוניל, בונזי ולס, קסבייר סילאס ומייק ג'יימס, תחת המאמן ג'וליוס ארווינג ("ד"ר ג'יי").
לאונדינג