טוקוויל לא טען כי הדמוקרטיה האמריקאית היא ללא רבב. לטענתו, הדספוטיזם של דעת הקהל, עריצות הרוב ורמה נמוכה של חירות אינטלקטואלית מורידה את רמת הספרות, הלמדנות והמדינאות לגורם המשותף הנמוך ביותר. ספר זה חזה כי תהיה אלימות במאבקי המפלגות, וכי הבורים הם שיחליטו את ההחלטות החשובות במקום ששיפוטם של החכמים יעמוד בראש. ניתן להתווכח על ההתגשמות של תחזיות אלה.
רונאלדו דה אסיס מוריירה
תנועות ליברליות באסלאם
מאז המאה ה-19, מוסלמים פרוגרסיביים פיתחו הגות איסלאמית ליברלית. למוסלמים אלה יש דעות דתיות דומות, שנסמכות בעיקר על אג'תהאד, או פרשנות מחדש של הכתובים. מוסלמים ליברליים מפרשים את הקוראן ואת החדית' מנקודת מבטם האישית ולא על פי נקודת המבט המוסלמית המסורתית. ליברלים בדרך כלל טוענים שהם חוזרים לעקרונות של האסלאם המוקדם, ולכוונה המוסרית והפלורליסטית של הכתובים.
רפורמה בתוך האסלאם.
תנועות אלה מנסות להישאר בתוך האסלאם ולא להתפלג ממנו. ככאלה, הן מחזיקות בעקרונות האמונה הבסיסיות של האסלאם, כגון ששת עקרונות האמונה או חמשת עמודי האסלאם, ורואות את דעותיהם כמותאמות לתורות של האסלאם. ההבדל העיקרי בינם לבין הדעות המוסלמית השמרניות יותר היא בשאלה של כיצד ליישם את הערכים האיסלאמיים הבסיסיים לחיים המודרניים.
ניתן למצוא תקדימים להתמקדות של האסלאם הליברלי בפרשנות ומוסר אישי ולא על המשמעות המילולית של הכתובים, במסורת הסופית של המיסטיקה האיסלאמית.
עקרונות מרכזיים.
חמישה עקרונות מרכזיים התפתחו:
מחלוקות בעבר ובהווה.
במשך המאות ה-19 וה-20, מוסלמים ליברלים נטו לפרש מחדש היבטים שונים של דתם, יחד עם המודרניזציה של החברה והדעות שלהם. דבר זה נכון בעיקר אצל מוסלמים שחיים במדינות לא-איסלאמיות. אנשים אלה עשויים לראות את עצמם כליברלים, פרוגרסיביים או רפורמיסטים, כך שישנה קשת רחבה של דעות כלפי המסורת והפרשנות האיסלאמית. אם כי אין קונצנזוס בין מוסלמים ליברלים לגבי דעות אלה, הם נוטים להסכים לגבי חלק מהנושאים הבאים:
ביקורת כלפי האסלאם הליברלי.
מוסלמים שמרנים ביקורתיים כלפי ליברלים, כתומכים בגרסה לא-אמיתית של האסלאם, שנועדה להיות פשרה עם התרבות המערבית. מנקודת ראות שמרנית, המוסלמים הליברליים נוטשים את האסלאם ופשוט מחקים את המערב.
מבקרים גם טוענים כי אפשר לקבל הרבה מהנקודות הליברליות העיקריות, כולל זכויות נשים ותיאורית האבולוציה, בתוך המסגרת של האסלאם המסורתי.
תנועות איסלאמיות ליברליות
חוסר ב-G6PD
חבורה טופולוגית
בתורת החבורות, חבורה טופולוגית היא חבורה המהווה גם מרחב טופולוגי, ובה פעולות הכפל וההיפוך הן פונקציות רציפות. בזכות הופעתן של חבורות אלה בתחומים רבים כל-כך במתמטיקה, חבורות טופולוגיות הן הסוג החשוב ביותר של חבורות אינסופיות.
כל חבורה אפשר להפוך לחבורה טופולוגית על ידי בחירת הטופולוגיה הדיסקרטית; במובן זה, החבורות הדיסקרטיות הן החבורות הטופולוגיות הטריוויאליות.
תת-חבורות.
כל תת-חבורה formula_1 של חבורה טופולוגית formula_2 יורשת ממנה גם את המבנה האלגברי וגם את המבנה הטופולוגי, וכך היא מהווה חבורה טופולוגית בעצמה. גם מרחב המנה formula_3 הוא מרחב טופולוגי, עם טופולוגיית המנה, וההטלה formula_4 היא פתוחה. עם זאת, כדי שיהיו למרחב המנה תכונות מוצלחות, תת-החבורה חייבת לקיים תנאים טופולוגיים: formula_3 הוא מרחב האוסדורף אם ורק אם formula_1 סגורה, ו-formula_3 מרחב דיסקרטי אם ורק אם formula_1 פתוחה. מכאן נובעת עובדה חשובה: כל תת-חבורה פתוחה היא גם סגורה (ולכן לחבורה טופולוגית קשירה לא יכולות להיות תת-חבורות פתוחות כלל). מאידך, כל תת-חבורה סגורה מאינדקס סופי היא פתוחה.
הסגור הטופולוגי של תת-חבורה מהווה תת-חבורה סגורה; והסגור הטופולוגי של תת-חבורה נורמלית הוא תת-חבורה נורמלית סגורה. לדוגמה, הסגור של תת-החבורה הטריוויאלית מהווה תת-חבורה נורמלית סגורה.
אם formula_1 תת-חבורה נורמלית, אז חבורת המנה היא בעצמה חבורה טופולוגית.
למרכיב הקשירות של היחידה יש תפקיד מיוחד: זוהי תת-חבורה נורמלית formula_10, ומרחב המנה formula_11 הוא מרחב לא קשיר לחלוטין.
סוגים חשובים של חבורות טופולוגיות.
ישנן שלוש משפחות של חבורות טופולוגיות, זו למעלה מזו.
חבורות עם תכונת האוסדורף.
המשפחה החשובה הראשונה כוללת את החבורות הטופולוגיות המקיימות את תכונת האוסדורף. חבורה טופולוגית היא כזו אם ורק אם תת-החבורה formula_12 היא סגורה. כל חבורה טופולוגית היא רגולרית לחלוטין, וכל חבורה טופולוגית האוסדורף היא מרחב טיכונוף. בחבורת האוסדורף ההעתקה formula_4 היא סגורה, והמכפלה של כל תת-קבוצה סגורה בקבוצה קומפקטית היא סגורה. למעשה, תכונת T0 מספיקה כדי להבטיח שהחבורה תקיים את תכונת האוסדורף.
ה"מאפיין" של חבורה טופולוגית הוא העוצמה הקטנה ביותר של בסיס מקומי לטופולוגיה בנקודת הראשית. משפט Birkhoff-Kakutani (1936) קובע שהטופולוגיה היא מטריזבילית אם ורק אם המאפיין בן מניה לכל היותר.
ב-1941 בנה אנדריי מרקוב חבורות טופולוגיות אבליות חופשיות; בטרמינולוגיה מודרנית, הוא הראה שלכל מרחב טופולוגי formula_14 יש איבר חופשי בקטגוריה של החבורות הטופולוגיות האבליות הנוצרות על ידי אברי formula_14.
חבורות קומפקטיות מקומית.
במחלקה הבאה נמצאות חבורות האוסדורף קומפקטיות מקומית (המונח "חבורה קומפקטית מקומית" כולל, כעניין של הגדרה, גם את תכונת האוסדורף). אם formula_2 חבורה שמוגדרת עליה טופולוגיה כך שהכפל מימין ומשמאל בכל איבר הם רציפים, אז formula_2 חבורה טופולוגית (משפט Ellis). כל תת-חבורה קומפקטית מקומית של חבורה קומפקטית מקומית היא סגורה. התכונה החשובה ביותר של חבורות כאלה הוא קיום של מידת האר יחידה: זוהי מידת בורל ממשית רגולרית (מבפנים על קבוצות פתוחות, ומבחוץ על קבוצות בורל) formula_18, שהיא סופית על קבוצות קומפקטיות, ואינווריאנטית משמאל - formula_19. היחידות היא עד-כדי כפל בקבוע חיובי. באותו אופן קיימת גם מידת האר יחידה שהיא אינווריאנטית מימין. חבורה קומפקטית מקומית שיש לה אופרטור מיצוע אינווריאנטי משמאל היא אמנבילית.
הדוגמה הטיפוסית לחבורה קומפקטית מקומית היא חבורת לי, למשל חבורת המטריצות formula_20. בכל חבורה קומפקטית מקומית formula_2, מרכיב הקשירות של איבר היחידה formula_22 הוא גבול הפוך של חבורות לי, והמנה formula_23 בלתי קשירה לחלוטין.
חבורת הקרקטרים של חבורה טופולוגית אבלית formula_24 היא החבורה של כל ההומומורפיזמים מ-formula_24 אל מעגל היחידה formula_26 (עם פעולת הכפל של מספרים מרוכבים); את החבורה הזו, שגם היא חבורה טופולוגית ביחס לטופולוגיה המתאימה, מסמנים ב-formula_27. לדוגמה, חבורת הקרקטרים של formula_28 היא formula_26, ולהפך. חבורת הקרקטרים של המספרים הממשיים (ביחס לחיבור, עם הטופולוגיה הרגילה) איזומורפית לחבורה עצמה. לפי דואליות פונטריאגין, formula_30 לכל חבורה קומפקטית; van Kampen הכליל את המשפט לחבורות קומפקטיות מקומית.
בחבורה קומפקטית האוסדורף, תת-חבורה היא פתוחה אם ורק אם היא סגורה ובעלת אינדקס סופי.
חבורות פרו-סופיות.
המשפחה השלישית היא של חבורות פרו-סופיות, שהן חבורות המהוות גבול הפוך של חבורות סופיות (דיסקרטיות). הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה אינסופית כזו היא חבורת השלמים ה-p-אדיים, formula_31, שאפשר להציג כגבול של החבורות הציקליות formula_32.
חבורה טופולוגית היא פרו-סופית אם ורק אם היא האוסדורף, קומפקטית ולא-קשירה לחלוטין. תת-חבורה formula_1 היא פתוחה אם ורק אם היא סגורה ובעלת אינדקס סופי. תת-חבורה formula_1 היא סגורה (ונורמלית), אם ורק אם היא מהווה חיתוך של חבורות פתוחות (ונורמליות); תכונה שקולה לכך היא שהטופולוגיה המושרית מ-formula_2 ל-formula_1 תהיה בעצמה פרו-סופית. אם formula_1 סגורה ונורמלית, אז חבורת המנה formula_3 היא פרו-סופית בעצמה.
לכל חבורה formula_2 יש טופולוגיה פרו-סופית (שהבסיס המקומי שלה ביחידה כולל את כל תת-החבורות מאינדקס סופי); והשלמה פרו-סופית, formula_40 (כאשר הגבול הוא על כל תת-החבורות מאינדקס סופי של formula_2), שהיא חבורה פרו-סופית. אם formula_2 חבורה פרו-סופית, הטופולוגיה הפרו-סופית שלה עשויה להיות עדינה יותר מן הטופולוגיה הנתונה (משום שכל תת-חבורה פתוחה היא מאינדקס סופי, אבל ההפך אינו תמיד נכון). חבורה פרו-סופית נקראת קשיחה (rigid, או strongly complete) אם הטופולוגיה הפרו-סופית שלה שווה לטופולוגיה הטבעית; זה קורה אם ורק אם החבורה שווה להשלמה הפרו-סופית שלה.
חוגים ושדות טופולוגיים.
באופן דומה להגדרת המושג חבורה טופולוגית ניתן להגדיר חוג טופולוגי באופן הבא: נניח כי formula_43 הוא חוג שהוא גם מרחב טופולוגי. נאמר ש"-formula_43" הוא חוג טופולוגי אם פעולות החיבור והכפל בחוג הן פונקציות רציפות. אם "formula_43" הוא שדה, נאמר ש"-formula_43" הוא שדה טופולוגי אם גם פעולת ההופכי לכפל (המוגדרת על תת-המרחב formula_47) היא פונקציה רציפה.
רפאל בשן
רְפאל בשן (בלומנשטיין) (20 בדצמבר 1930 – 9 בנובמבר 2000) היה עיתונאי ומראיין ב"מעריב" ואחר כך ב"ידיעות אחרונות". בלט בעיתונות הישראלית בראיונותיו הייחודיים, שבהם הביא בין הטקסטים גם תיאור של הבעת ותגובת מרואייניו.
ביוגרפיה.
בשן נולד בשם רפאל בלומנשטיין בל' בכסלו תרצ"א 1930 בדרזדן שבגרמניה, בן ליעקב וסידוניה בלומנשטיין. בשנת 1933, לאחר עליית הנאצים לשלטון, עלה עם הוריו לארץ ישראל והמשפחה השתקעה בשכונת הדר הכרמל בחיפה. לאביו הייתה חנות נעליים על הכרמל (עד שלימים, בבגרותו של בשן, פשט את הרגל).