דוגמה: יחידה מקורית צומחת ומכפילה את עצמה במהלך תקופה של אלף ימים. היחידה בנויה מאלף תתי יחידות, אשר לאחר אלף ימים ישוכפלו כולן. בכל יום משוכפלת תת-יחידה אחת, אך מיד עם שכפולה, ברגע שנוצרת תת-היחידה החדשה, גם זו תתחיל בשכפול עצמה בקצב של היחידה המקורית, כלומר ביום הבא, בנוסף לשכפול תת-יחידה, יחל שכפול של אלפית מתת היחידה הקודמת שנוצרה לפני יום.
וכך:
וכן הלאה.
לאחר אלף ימים, בנוסף ליחידה המשוכפלת יהיו גם תתי היחידות הנוספות שצמחו. סך כל הצמיחה שנוצרה יהיה e, מעט יותר מפעמיים וחצי מספר תתי היחידות המקורי, ובקירוב: 2718 תתי יחידות, חישוב מקורב של e כפול אלף.
הגידול ההמשכי יכול לתאר תהליכי צמיחה, כאשר כל העת מתווספות יחידות חדשות, או דעיכה, כאשר יחידות הולכות ונחסרות.
גידול המשכי קיים בתחומים רבים, בהם בטבע ובעולם החי, בנוסחאות מתמטיות וחישוביות, וכן בתופעות אקראיות החוזרות על עצמן ומצטברות. משום כך הקבוע e מופיע בחישובי הסתברות, בניתוחי צמיחה בכלכלה ובמדעי הטבע החיים והסביבה, ותופס מקום חשוב בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי.
ריבית דריבית.
בחישובי ריבית דריבית e מהווה קבוע לחישוב החוב כעבור זמן מסוים או כעבור מספר מחזורים מסוים. הקבוע e נתגלה בידי יאקוב ברנולי בעת ניתוח חישובי ריבית דריבית.
לדוגמה, אם אדם מפקיד בבנק סכום של שקל אחד (הקרן היא שקל אחד) ומקבל ריבית של 100% המחושבת אחת לשנה, הוא יצבור סכום של שני שקלים בסוף השנה. אם הבנק יחשב את הריבית מדי חצי שנה בריבית דריבית, כלומר ריבית של 50% בחצי הראשון של השנה שלאחריו יהיה בבנק שקל וחצי, וחישוב ריבית של 50% בחצי השני של השנה, הפעם 50% על שקל וחצי, שהם 50% על הקרן – השקל, ועוד 50% על הריבית שנצברה – חצי השקל שהתקבל בחלק הראשון של השנה. בתום החצי השני של השנה יהיו ברשותו 2.25 שקלים. אם חישוב הריבית יבוצע מדי רבע שנה, יסיים עם 2.44 שקלים. אם חישובי הריבית יבוצעו במרווחי הזמן הקטנים ביותר הסכום שיתקבל יתקרב ל-e כפול הקרן. בדוגמה שלנו הקרן הוא שקל אחד, ולכן בסוף השנה המפקיד יקבל מהבנק e שקלים לפי הנוסחה: formula_35 שהם בקירוב 2 שקלים ו-72 אגורות.
חישובי הסתברות.
התפלגות נורמלית.
בתורת ההסתברות, פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות נורמלית נתונה על ידי
formula_36 פונקציה זו נקראת "פעמון גאוס" או "גאוסיאן" על שם המתמטיקאי הנודע קרל פרידריך גאוס. פונקציה זו שימושית ביותר – הן לצורכי תאוריה והן לצרכים ניסיוניים, שכן לפי משפט הגבול המרכזי הממוצע של מספר גורמים אקראיים, בלתי תלויים ובעלי אותה התפלגות, שואף לאחר נירמול מתאים להתפלגות נורמלית.
הקבוע e משמש גם כאן, כתוצאה מ'גידול המשכי' בהגדרת פעמון גאוס, כאשר הצמיחה הולכת וקטנה בתלות בצמיחה הקודמת, ובכך מגדירה את צורת העקומה.
הסתברות לזכייה של אדם המשתתף במספר רב של הגרלות.
נניח שאדם מסוים משתתף באופן עקבי בהגרלות כך שבסופו של דבר הוא צפוי להשתתף ב- formula_37 הגרלות. נניח שההסתברות של אותו אדם לזכות בהגרלה בודדת היא formula_38. לצורך הפשטות, נניח הנחה ריאלית ש-formula_39. הקבוע e משמש לחישוב הסתברות שאותו אדם יזכה מתוך כל ההגרלות שבהן ישתתף לפחות בהגרלה אחת. אם נניח שאין תלות בין התוצאות של ההגרלות וש-formula_37 הוא מספר מספיק גדול, אז ההסתברות שמשתתף מסוים לא יזכה באף אחת מההגרלות, קרובה ל- formula_41 וההסתברות שאותו המשתתף יזכה לפחות באחת מההגרלות היא בקירוב formula_42.
החישוב:
אם משתתף מסוים משתתף ב-formula_37 הגרלות, ההסתברות שהמשתתף לא יזכה באף אחת מן ההגרלות מחושבת כך:
formula_51.
דוגמה:
נניח שאדם משתתף ב-formula_52 הגרלות, כשהסתברות הזכייה שלו בהגרלה בודדת היא formula_53. בתנאים אלו,
formula_54. ההסתברות שלא יזכה באף אחת מההגרלות היא בקירוב formula_55. ההסתברות שהאדם יזכה בהגרלה אחת לפחות היא formula_56.
בעיית הדוור.
בעיה דומה לבעיה הקודמת, נתגלתה בידי פייר ריימונד דה מונטמורט יחד עם ברנולי, ונקראת בעיית הדוור, או בעיית 'בדיקת הכובעים':
דוור מבולבל מחלק באקראי n מכתבים ל-formula_37 תיבות. הקבוע e משמש לחישוב ההסתברות שאף מכתב לא יגיע ליעדו.
את חישוב ההסתברות ניתן למצוא באמצעות עקרון ההכלה וההפרדה. מקבלים כי ההסתברות שווה לסכום הטור:
formula_58.
טור זה הוא טור טיילור של הפונקציה formula_59 בנקודה 1 (או טור טיילור של הפונקציה formula_60 בנקודה formula_61). על כן, כאשר formula_37 שואף לאינסוף, שואף סכום הטור ל-formula_63.
חישוב עצרת לערכים גדולים (נוסחת סטירלינג).
נוסחת סטירלינג נותנת קירוב לפונקציית העצרת. במשפט אודות העצרת נקבע כי עבור formula_64 גדול, מתקיים formula_65. את המשפט מוכיחים בעזרת פונקציית גמא (המאפשרת ליצור הכללה של פונקציית העצרת למספרים שאינם שלמים):
formula_66
אשר עבור n טבעי מקיימת: formula_67.
כל מספר עצרת, מכפיל את כל המספרים הקודמים לו,
וכך עצרת למעשה מהווה פונקציה הקשורה בגידול המשכי, ומכאן הקשר לקבוע e.
חישובים במדעי הטבע והחיים.
בפיזיקה.
הקבוע e משמש לחישוב דעיכת מהירות חלקיק בזמן, בעקבות חיכוך המשכי, על פי חוקי ניוטון.
לפי החוק השני של ניוטון, התאוטה (כלומר השינוי במהירות) של חלקיק הנע בהשפעת כוח חיכוך המתכונתי למהירותו (כלומר כאשר כוח החיכוך תלוי במהירות הנוכחית), נקבע לפי:
formula_70
כאשר formula_71 מהירות החלקיק, formula_72 המסה שלו ו-formula_73
מקדם החיכוך. המהירות החדשה, בהנחה שהמהירות ההתחלתית של החלקיק היא formula_74 הוא:
formula_75.
כלומר, המספר formula_76 משמש לתיאור דעיכת מהירות החלקיק בזמן.
כמו כן, הקבוע משמש למדידת הדעיכה של זרם כפונקציה של זמן במעגל חשמלי במהלך טעינה או פריקה של קבל לפי נוסחה דומה:
formula_77 כאשר formula_78 הוא הזרם ההתחלתי ו-formula_79 הוא קבוע הזמן ששווה ל-formula_80 – הנגד השקול במעגל כפול הקיבול של הקבל השקול.
במדעי החיים והסביבה.
הקבוע e משמש לחישוב הצמיחה והדעיכה של אוכלוסיות, צמחים, איברים ובעלי חיים, כאשר מדובר בתהליכי גידול המשכי. אלו קיימים במקרים רבים בעולם החי, כאשר תאים משכפלים את עצמם ומכפילים את כמותם בקצב קבוע, וגם כאשר התופעות הנמדדות אינן של הכפלה עצמית, אך קצב הצמיחה או הדעיכה שלהן תלוי באוכלוסייה הקודמת. בחישובים אלו, formula_81 מגדיר את הגדילה, כאשר
במדעי הסביבה, וכן בחישובי התפשטות מחלות במדעי הרפואה, במצבים של משאב מתכלה גידול האוכלוסייה בזמן נתון לפי עקומת גאוס, שנוסחתה תלויה בקבוע e, כאשר בתקופת הצמיחה האוכלוסייה צומחת בגידול המשכי, ואילו לאחר הרוויה היא דועכת באופן דומה.
במתמטיקה.
כאמור, הקבוע e הוא המספר היחיד שאם מציבים אותו במקום formula_82 בפונקציה formula_83 וגוזרים את הפונקציה לפי formula_84, תתקבל אותה פונקציה עצמה. במילים אחרות, השיפוע של הגרף של formula_85 בכל נקודה נתונה שווה בערכו לגובה הגרף באותה נקודה. בשל כך, הוגדר הלוגריתם הטבעי להיות לוגריתם בבסיס e, והוא בעל חשיבות גדולה בענפי מתמטיקה רבים, בהם חשבון אינפיניטסימלי, ובמיוחד לגבי מספרים מרוכבים – הצגת המספרים המרוכבים באופן גאומטרי, וחישובי פונקציות עם מספרים מרוכבים.
נוסחת אוילר וזהות אוילר.
באמצעות הגדרתו במשפט טיילור של הקבוע e, ניתן להסיק את משפט אוילר הקובע כי formula_86 לכל x שהוא.
המקרה הפרטי בו formula_87 נקרא זהות אוילר, הקובעת כי formula_88, וקושרת חמישה קבועים חשובים במתמטיקה: היחידה (המספר אחד), אפס, קבוע אוילר, פאי (היחס בין הקוטר להיקף המעגל) והיחידה המדומה (המספר formula_89).
ייצוג גאומטרי של מספרים מרוכבים באמצעות הקבוע e.
בייצוג גאומטרי של מספרים מרוכבים במישור המרוכב, חיבור שקול לתזוזה במישור המרוכב בשיעור אחד המספרים, ותזוזה נוספת בשיעור המספר האחר. תוצאת פעולת הכפל היא מספר שגודלו הוא מכפלת הערכים המוחלטים של שני המספרים, והזווית שלו מחלקו החיובי של הציר האופקי ("ציר ה-x") היא סכום זוויות אלו של שני המספרים.
בנוסף, ניתן להגדיר כל מספר מדומה formula_90 באמצעות הגאומטריה במישור המרוכב:
מכאן, לפי משפט אוילר, ניתן לייצג את אותו המשתנה z באמצעות הנוסחה:
בכיוון ההפוך, ניתן לעבור ליצוג המספרים המרוכבים דרך המתמטיקה של חזקות הקבוע e. אם formula_97 הוא מספר מרוכב כלשהו, כך ש-formula_82 ו-formula_99 הם ממשיים, אז מגדירים, כמו במספרים הממשיים,
ולכן מתקיים:
בעקבות הזהות הזו, וכללי החזקה המתקיימים גם במספרים מרוכבים, ניתן להבין את הסיבה לפעולת החיבור בין הזוויות הנדרשת כדי לפתור פעולת כפל בין שני מספרים מרוכבים, כפי שמחברים את המעריכים כאשר שני מספרים בעלי אותו הבסיס (במקרה זה הקבוע e) מוכפלים זה בזה. באותו הזמן פעולת הכפל הרגילה נדרשת על מנת לבצע את מכפלת הערכים (המרחקים). באופן זה בייצוג הגאומטרי על המישור המרוכב, פעולות מכפלה של מספרים מרוכבים הופכות לפעולות סיבוב (רוטציה) ומתיחה (סקאליזציה).
קוריוזים מתמטיים.
לכל formula_84 מתקיים formula_104. זהו המספר היחיד המקיים תכונה זו.
בדומה לקירוב הידוע של formula_105 formula_106, הנותן את formula_105 בדיוק של 6 ספרות מימין לנקודה העשרונית, קיים הקירוב ל-e: formula_108, הנותן את e בדיוק של 4 ספרות מימין לנקודה העשרונית.
המספר formula_109 (או formula_110 לפי זהות אוילר) ידוע כקבוע גלפונד, והטרנסצנדנטיות שלו נובעת ממשפט גלפונד-שניידר. על המספר formula_111 לא ידוע האם הוא אלגברי או טרנסצנדנטי.
e בפולקלור.