מופיעה בהסתברות 0.5, בעוד ששאר האפשרויות לסדרת מצבי מזג האוויר בשבוע הראשון מוגרלות בהסתברות שווה (כלומר, בהסתברות formula_75 כל אחת). לאחר יום שבת, מזג האוויר מוגרל לפנים - כל פעם על סמך היום שלפניו.
השוויון המופיע בהגדרת תכונת מרקוב אומנם מתקיים ביום שני בשבוע הראשון (ובאופן טריוויאלי גם ביום ראשון, ובכל הימים שלאחר השבוע הראשון), אך מיום שלישי ועד ליום שבת בשבוע הראשון הוא מופר. למשל, ההסתברות שיום שבת יהיה גשום בהינתן שיום שישי היה גשום היא formula_76. בעוד שההסתברות לכך שיום שבת יהיה גשום בהינתן שמיום ראשון ועד יום שישי היה גשום, היא formula_77, שזה יותר מ-99.9%.
בתהליך זה, בניגוד לתהליכים מרקוביים, משתלם לזכור את ההיסטוריה גם מעבר למצב הנוכחי - המידע הנוסף (על מזג האוויר מיום ראשון עד יום חמישי) מחדד את הניבוי לגבי מזג האוויר ביום שבת. במצב זה ישנם גורמים נסתרים, שאינם מתבטאים במלואם במצב מזג האוויר של יום שישי, ומשפיעים על מזג האוויר ביום שבת.
שימושים לשרשראות מרקוב.
שרשראות מרקוב משמשות במגוון רב של תחומים ובפרט במדע ובמתמטיקה. ניתן למצוא שימושים של שרשראות מרקוב בפיזיקה סטטיסטית, כימיה, ביולוגיה ותורת התורים
דוגמאות למודלים אשר מהווים שרשראות מרקוב:
בפיזיקה.
מודל המתאר את הדיפוזיה של formula_5 חלקיקים בין שני מיכלים זהים. המודל מתאר זאת כתהליך לידה ומוות מרקובי בעל formula_79 מצבים וההנחה שלכל היותר מעבר יחיד מתרחש בכל צעד. הסתברות המעבר מהמצב הformula_20 למצב הformula_81 היא formula_82 והסתברות המעבר מהמצב הformula_20 למצב הformula_84 היא formula_85 כאשר formula_86 הוא קצב החלפת המיכל של חלקיק.
כאשר אנחנו במצב שיווי משקל התהליך הפיך ולכן נדרוש קיום של תנאי האיזון המפורט. כלומר שformula_71 נקבל שformula_88 ממשוואה זו נקבל באינדוקציה כי formula_89
מכיוון שאנחנו דורשים שהווקטור יתאר התפלגות הסתברות נדרוש כי formula_90 על ידי שימוש בנוסחא formula_91 נקבל כי formula_92. כאשר formula_93 ייצג את פרק הזמן היחסי שבו יהיו במיכל formula_20 חלקיקים. באופן דומה ניתן להתייחס לכמות הכדורים בכל מיכל כאל טמפרטורת המיכל ובכך לקבל תיאור סטטיסטי של מעבר חום במקום תיאור קלאסי. עקב העובדה שהשרשרת במודל זה הם מחזוריים (בעלי מחזור 2) וקטור ההתפלגות אינו יתכנס להתפלגות הסטציונרית ללא תלות במצב ההתחלתי אלא יבצע תנודות סביבה. למרות זאת בשנת 1947 הוכיח מארק קארק כי עבור מצב התחלתי השונה ממצב שיווי המשקל מתקיים כי האנטרופיה מונוטונית עולה (תאוריית H). ובכך בעצם המודל מהווה הסבר לחוק השני של התרמודינמיקה ופותר את הפרדוקס הנוצר מההפיכות המיקרוסקופית הנובעת מחוקי ניוטון לבין החוק השני של התרמודינמיקה. מודל דומה נוסף הוא מודל ברנולי לפלס המאפשר מהלך ללא מעבר של חלקיקים בין המיכלים ובכך יוצרים שרשרת בלתי פריקה לא מחזורית ובכך מתקיים שוקטור ההתפלגות במודל זה יתכנס לוקטור ההתפלגות הסטציונרית ללא תלות במצב ההתחלתי. גם במודלים הללו האנטרופיה מקסימלית עבור ההתפלגות הסטציונרית והם מהווים הסבר לחוק השני. בנוסף במודלים הללו ניתן להשתמש בקשר formula_62 על מנת להראות שתוחלת זמן החזרה למצבים הרחוקים ממצב שיווי משקל במערכות רב חלקיקיות גדולה בהרבה מהזמנים המאפיינים ניסויים ולהסיק מכך שניתן באופן פרקטי להתעלם ממשפט ההישנות של פואנקרה.
Markov chain Monte Carlo או בקצרה MCMC הם סוג של אלגוריתמים המיועדים לדגימת התפלגות הסתברות. על ידי יצירת שרשרת מרקוב בעלת התפלגות סטציונרית השווה לפונקציה ידועה הפרופורציונית להתפלגות ההסתברות ניתן לדגום את ההסתברות עצמה גם אם היא אינה ידועה ובאמצעות הדגימות ניתן לבצע קירוב של התפלגות ההסתברות. בנוסף ניתן להשתמש בדגימות על מנת להעריך גדלים אותם אנו מעוניינים לחשב.
דוגמה לצורך באלגוריתם מסוג זה היא בחישוב התפלגות בולצמן על ידי שימוש באלגוריתם מטרופוליס. ידוע שעבור מערכת קנונית ההסתברות של חלקיק להמצא במצב formula_20 נתונה על ידי formula_97 - כאשר formula_98. אם מספר המצבים האפשרים קטן, ניתן למצוא את Z על ידי סכימה ישירה, אך כיוון שמספר המצבים האפשרי גדל אקספוננציאלית כתלות במספר החלקיקים לרוב לא יהיה ניתן לבצע זאת. לעומת זאת ניתן להגדיר שרשרת מרקוב המקיימת formula_99 עבור formula_100 כאשר formula_101 היא סביבת המצבים של formula_102 אשר ההבדל בין המצבים הוא חלקיק יחיד. בדומה לאלגוריתם מונטה קרלו המצב הformula_103 יבחר באופן אחיד מתוך formula_101. לבסוף על מנת שהשרשרת תהיה לא מחזורית נגדיר formula_105. כעת בזכות העובדה שזוהי שרשרת מרקוב ניתן להבטיח שההתפלגות תשאף להתפלגות הסטציונרית ללא תלות בבחירה ההתחלתית ולכן ניתן לבחור מצב formula_20 התחלתי כללי (על מנת לעשות זאת באופן נומרי צריך לספור את מספר הביקורים עבור כל מצב ולחלק במספר הביקורים הכולל בסך כל המצבים). בנוסף ניתן לראות שהתהליך שבחרנו הוא תהליך הפיך שכן תנאי האיזון המפורט מתקיים.
מודלים פיזקלים רבים מהווים למעשה שרשראות מרקוב בזמן רציף. עבור שרשראות מרקוב בזמן רציף ניתן לחשב - בהתאם לקצבי המעבר וההגעה את המטריצה היוצרת האינפיניטיסמלית ובאמצעותה להגיע למערכת משוואות דיפרנציאליות. מודלים מסוג זה כוללים את התנועה הבראונית ואת משוואת המסטר. על ידי מעבר לגבול הרצף (כלומר, הגבול בו המצבים הבדידים בשרשרת המרקוב הופכים לרציפים) ניתן לפתח מתוך משוואת המסטר את משוואות קולמגרוב ומשוואת פוקר פלאנק. בנוסף על ידי שימוש בתנאי האיזון המפורט עבור משוואת פוקר פלנק ניתן להסיק את יחס איינשטיין.
מולאסה
מודולו
אצבעות קסם
אצבעות קסם (או אצבע אלוהים) הוא משחק אסטרטגיה מתמטי לשני שחקנים, המבוסס על פעולת החיבור, ובגרסאות מתקדמות יותר על פעולת המודולו. המשחק מצריך ראייה קדימה של מספר צעדים מראש, בדומה למשחק השחמט. המשחק מהווה משחק ידיים כמו גם משחק נסיעה.
כללי המשחק.
כלי המשחק הם ידי המשתתפים, כאשר מספר האצבעות הפשוטות מסמל את מספר האצבעות שיש לשחקן באותה יד. מטרת המשחק להביא את מספר האצבעות של השחקן השני לאפס.
המשחק נפתח כאשר שני השחקנים מושיטים אצבע בכל אחת מידיהם. לפי תור, על כל שחקן לגעת באמצעות אחת מידיו באחת מידיו של השחקן השני. על השחקן שננגע (השחקן הפסיבי בתור) לחבר את מספר האצבעות שביד הנוגעת למספר האצבעות שביד שננגעה, ולהציג מספר זה באמצעות היד שנגעו בה. למשחק כמה גרסאות, הנבדלות זו מזו בשלוש נקודות:
פעולה של העברת אצבעות מיד ליד מוגדרת כמהלך, כלומר באה במקום נגיעה ביד של השחקן היריב. אפשר להוסיף אצבעות ליד של היריב, רק כאשר היא מציגה אצבעות (אחת או יותר).
ניצחון במשחק: שחקן ששתי ידיו מציגות אפס אצבעות, הפסיד.
דוגמה.
השחקנים A ו- B מתחילים את המשחק עם אצבע אחת בכל יד. A נוגע ביד אחת של B, העובר ממצב של (1,1) למצב (1,2). B נוגע ביד שבה 2 אצבעות באחת מידי A, העובר למצב (1,3). אז נוגעת ידו המציגה 3 אצבעות של A בידו המציגה אצבע אחת של B, ומעבירה את B למצב (4,2). בתשובה, נוגע B בידו המציגה 4 אצבעות, בידו המציגה אצבע אחת של A - יד זו מתאפסת, ו- A עובר למצב (0,3). A נוגע באחת מידיו של B ומאפס אותה, אבל B נוגע בו ביד הנותרת, ומנצח.
ניתוח המשחק.
בגרסת החיבור הפשוט, כאשר יד המתבקשת להציג 5 אצבעות או יותר מתאפסת, והעברת אצבעות מותרת בכל מקרה, המשחק פתור:
העמדה ההתחלתית, שבה כל שחקן מציג אצבע אחת בכל יד, היא עמדת הפסד: הצד הראשון יפסיד בתוך 26 צעדים (בהנחה שהשחקן המפסיד ישתדל לדחות את קצו, והשחקן המנצח יעשה כל שביכולתו לקרב אותו). כאן "צעד" הוא מחצית התור.
מן העמדה (1,1) כנגד (1,2) שתופיע אחרי הצעד הראשון, יוכל השחקן השני לכפות עמדה של (1,1) (ידי הראשון) כנגד (0,4) (לשני), ואז כנגד (1,4), ואז כנגד (3,3) - כל מעבר בשני צעדים. אחר-כך הוא יוכל לכפות (0,1) כנגד (0,3) בארבעה צעדים, ואז (0,1) כנגד (2,2) או (1,3) בשניים (השחקן הראשון יוכל לבחור את ההסתעפות), וכנגד (2,3) בעוד שניים, בשני המקרים. משם יגיעו השחקנים לעמדה של (0,1) כנגד (3,3) בארבעה צעדים, ואז כנגד (0,2) בשני צעדים, כנגד (1,2) בשניים, וכנגד (0,4) בשניים נוספים. בעמדה זו ינצח השחקן השני על ידי מגע ידו המציגה 4 אצבעות בידו האחת של השחקן הראשון.
אלברט פיני
אלברט פיני (באנגלית: Albert Finney; 9 במאי 1936 - 7 בפברואר 2019) היה שחקן תיאטרון, קולנוע וטלוויזיה בריטי. ביים והפיק מספר סרטים. היה מועמד חמש פעמים לפרס אוסקר, וזכה שלוש פעמים בפרס גלובוס הזהב על תפקידיו בקולנוע.
ראשית הקריירה כשחקן תיאטרון.
נולד בסלפורד ליד מנצ'סטר. למד משחק בלונדון באקדמיה המלכותית לאמנות הדרמה. במחזורו למדו גם אלן בייטס ופיטר או'טול. הצטרף ללהקת התיאטרון "Birmingham Repertory Company", וערך איתם ב-1956 את הופעת הבכורה שלו על הבמה במחזהו של ג'ורג' ברנרד שו - "קיסר וקלאופטרה". זכה לפרסום ראשון לאחר שב-1958 שיחק במחזה "המסיבה" מול צ'ארלס לוטון. לאחר מכן הצטרף ל"Shakespeare Memorial Theatre" ושיחק, בין היתר, ב"אותלו" בתפקיד קאסיו (בבימוי טוני ריצ'רדסון ועם פול רובסון בתפקיד הראשי), ב"חלום ליל קיץ" בתפקיד ליסאנדר (שוב, יחד עם צ'ארלס לוטון) וב"קוריולנוס" יחד עם לורנס אוליבייה. פיני זכה להצלחה גדולה כשגילם ב-1960 את דמות הגיבור בהפקה הראשונה של המחזה "בילי בדאי".
ראשית הקריירה הקולנועית.