מסקנה זו הופכת את הפתרון לישיר ומיידי. את המערכת מאפיינים N-יות של מספרים קוונטים: formula_50 כאשר ni מסמן את דרגת העירור של האוסצילטור ה-i, כלומר: אם הוא בדרגת עירור ni אזי האנרגיה שלו היא formula_51 והוא במצב העצמי המתאים. המצב המתאים ל-N לעיל הוא מכפלה טנזורית של המצבים העצמיים של כל אוסצילטור חד-ממדי המתאים לדרגת העירור שלו
עם אנרגיה עצמית
בשיטת אופרטורי הסולם, אנו מגדירים סט של N אופרטורים (ו-N צמודים):
ובאופן אנלוגי למקרה החד-ממדי אפשר להראות שהאופרטורים "a""i" ו "a"†"i" מורידים ומעלים (בהתאמה) את דרגת העירור של האוסצילטור ה-i. רמות האנרגיה של המערכת הן, אם כן
כמו במקרה החד-ממדי, ספקטרום האנרגיות הוא מקוונטט (ולא רציף). אנרגיית היסוד היא N פעמים כפול אנרגיית היסוד של אוסצילטור חד-ממדי, כמצופה מכך שהמערכת שקולה ל-N אוסצילטורים שכאלה. ברם, ישנו הבדל אחד בין הספקטרום החד-ממדי לזה הרב-ממדי והוא שהספקטרום הרב-ממדי מנוון, כלומר: יש 2 מצבים קוונטים שונים בעלי אותה אנרגיה עצמית, בעוד שבספקטרום החד-ממדי לכל אנרגיה היה מצב עצמי אחד בלבד.
ניתן לחשב את דרגת הניוון בקלות יחסית. נתבונן, לדוגמה, במקרה התלת-ממדי.
נגדיר: "n" = "n"1 + "n"2 + "n"3.
כל המצבים עם "n" נתון הם מנוונים. עבור "n" נתון, נבחר "n"1 כלשהו. לפיכך,
"n"2 + "n"3 = "n" − "n"1. ישנן "n" − "n"1 + 1 קבוצות אפשריות {"n"2, "n"3}. המשתנה "n"2 יכול לקבל את הערכים 0 עד "n" − "n"1, ולכל "n"2 הערך של "n"3 נקבע ביחידות. לכן, דרגת הניוון היא (הסכימה היא רק על "n"1):
יישומים.
תנודות בגביש.
תנודות בגביש (סריג מוצק, lattice) ניתן לתאר כאוסף אוסצילטורים מצומדים
כאשר הקואורדינטה xi הוא המיקום של האטום ה-i בסריג ביחס לנקודת שיווי המשקל שלו בסריג.
הסכימה כאן נעשית רק על זוגות שכנים סמוכים, ואף על פי שזהו בדרך כלל רק קירוב - ברוב המקרים זהו קירוב מוצדק. קירוב זה מתאים למודל שבו כל שני חלקיקים שכנים סמוכים בגביש מחוברים ביניהם בקפיץ (דמיינו רשת תלת-ממדית של קוביות, בה בכל קודקוד יש חלקיק וכל צלע היא קפיץ).
מסתבר שישנה מערכת קואורדינטות בה ניתן להציג את הבעיה כאוסף של N אוסצילטורים בלתי-תלויים. בקואורדינטות אלה ההמילטוניאן מלוכסן ואפשר להפעיל מיידית את הפתרון שמצאנו קודם. ברם, לא ניתן עוד לפרש את ה"אוסצילטורים" והפתרונות שקיבלנו כאמפליטודות התנודה של חלקיק מסוים בגביש, אלא כעירורים קולקטיביים בהם כל הגביש רוטט באופן תנודה כלשהו. לעירורים או אופני תנודה אלה קוראים "פונונים Phonons" ומתייחסים אליהם כאל חלקיקים, מאחר שכמו פוטונים, ניתן ליחס להם תכונות חלקיקיות (אנרגיה, תנע, העברת קוונט אנרגיה, יצירת זרם פונונים). את הפונונים ניתן למצוא במוצקים רבים ולהם אפקטים חשובים ביותר, שאינם ניתנים להזנחה. חקר השפעת הפונונים על התנודות בגביש ועל תכונות כגון פיזורי בראג, קיבול חום ומוליכות הוא ענף חשוב של פיזיקה של מצב מוצק.
קוד גריי
קוד גריי הוא שיטה לקידוד מספרים באופן בינארי שבה כל מספר-עוקב שונה מקודמו בספרה בינארית אחת. קוד גריי הוא קוד מראה שנהגה על ידי פרנק גריי במעבדות בל בשנת 1947 כדי למנוע פלט שגוי ממתגים אלקטרומכניים. היום שימושו העיקרי של קוד גריי הוא בתיקוני טעויות בתקשורת ספרתית כגון טלוויזיה בכבלים.
דוגמה
עשרוני גריי
0 ---- 000
1 ---- 001
2 ---- 011
3 ---- 010
4 ---- 110
5 ---- 111
6 ---- 101
7 ---- 100
כפי שניתן לראות, הקוד של 2 ו־3 הוא היפוך הסדר של הקוד של 0 ו־1, בהוספת הסיבית 1 משמאל. באותו אופן, הקוד של 4 עד 7 הוא היפוך הקוד של 0 עד 3, בהוספת 1 משמאל (והצבת אפסים בספרות החסרות). באופן זה, ניתן להמשיך ולבנות את הקוד. הקוד עבור 8 יהיה 1100, והקוד עבור 15 יהיה 1000.
המרה בין קוד גריי ובסיס 2.
על מנת להפוך מספר בבסיס 2 לקוד גריי נתחיל משמאל. את הספרה הראשונה משמאל נעתיק. עכשיו נביט בספרה הסמוכה לה - אם זו סיפרה זהה נרשום מימין לסיפרה שהעתקנו 0, אם היא שונה נרשום 1 (פעולת XOR בין שני משתנים).
לדוגמה, נמצא את הייצוג של המספר 100110 בקוד גריי:
על מנת לבצע את הפעולה ההפוכה (להפוך מיצוג של קוד גריי למספר בבסיס 2) צריך להתחיל מהספרה הימנית ביותר ולספור את מספר האחדות הנמצאים משמאלה. אם יש מספר זוגי של אחדות מעתיקים את הספרה, ואם יש מספר אי זוגי הופכים. לדוגמה נקח את המספר 110 (4) ונסתכל מהספרה הימנית. נראה שיש מספר זוגי (2) של אחדות ולכן נעתיק 0. נמשיך לספרה הבאה ונראה שמשמאלה יש רק ספרת 1 בודדה ולכן נהפוך אותה ל-0. את הספרה האחרונה פשוט מעתיקים לכן יצא לנו 100 שזהו 4 בבסיס 2.
שיטה נוספת להמרה מגריי לבינארי רגיל: מתחילים מהספרה השמאלית. הספרה המקבילה במספר הבינארי היא הספרה הנוכחית בקוד גריי XOR הספרה הקודמת בקוד הבינארי (עבור האיטרציה הראשונה אפשר להוסיף 0 משמאל למספר הבינארי). עבור אותו מספר: 110, נוסיף 0 אחד משמאל: ???0. XOR של 1 ו-0 זה 1- הספרה השמאלית במספר הבינארי, כך שבינתיים יש לנו ??01. עוברים לספרה הבאה מימין: XOR של 1 ו-1 זה 0, ונקבל ?010. עוברים עוד ספרה: XOR של 0 ו-0 זה 0. קיבלנו 0100 שזה 4 דצימאלי כמו בשיטה הקודמת.
אפשר לייצג את זה בנוסחה: Gi זו הספרה ה-i בקוד גריי, ו-Bi זו הספרה ה-i במספר הבינארי.
formula_1
שימושים.
אחד היתרונות של קוד גריי הוא בתיקון שגיאות בתקשורת נתונים. מכיוון שכל ספרה נבדלת מקודמתה (ולכן גם מהעוקבת לה) בסיבית אחת בלבד, קל לזהות שיבוש בקידוד. תכונה זו של הקוד גם מאפשרת להשתמש בו במפת קרנו (טכניקה ליצירת מעגל סיפרתי המממש פונקציה לוגית). לעיתים משתמשים גם בקוד גריי באלגוריתמים גנטיים (כדי שמוטציות ישנו רק במעט את התכונה של היצור). יכולים גם להשתמש בקוד לצורך פתירת משחק מגדלי האנוי.
פרוג'יה (כדורגל)
סווינגל סינגרס
סווינגל סינגרס (אנגלית: Swingle Singers) הוא הרכב המתמחה במוזיקת א-קפלה (שירה ללא ליווי כלי נגינה), שהוקם בשנת 1963 בפריז, בידי וורד סווינגל האמריקאי. כעבור עשר שנים סווינגל נסע ללונדון לאחר שהתפרק ההרכב הצרפתי, והקים בה הרכב בריטי בעל אותו שם. הגם שמאז עברו כמה דורות של זמרים, ההרכב פעיל עד עצם היום הזה.
הסווינגל סינגרס קנו לעצמם שם של וירטואוזים של הקול האנושי. הרפרטואר של ההרכב, הנע מעיבודי א-קפלה למוזיקה קלאסית ועד ביצועים קוליים לסטנדרטים של ג'אז. למעשה, חלק ניכר מתהילתם בא להם דווקא מהחיבור בין השניים: עיבודי ג'אז ליצירות של י.ס. באך מתקופת הבארוק.
בשנת 1998 ביצעו הסווינגל סינגרס את האופרה "הנער והקסמים" מאת המלחין הצרפתי מוריס ראוול בביצוע מיוחד ובהשתתפות התזמורת הסימפונית הישראלית ראשון לציון בניצוחו של מנדי רודן.
תחילת הדרך.
בשנת 1963 שימש וורד סווינגל כזמר ליווי באולפן הקלטות בפריז, וליווה יחד עם עמיתיו את שארל אזנבור, אדית פיאף, ואחרים. כשהחלה קבוצת המלווים לעבוד עם מישל לגראן, שהיה אז בתחילת דרכו, נחשפו לעיבודי ג'אז קוליים. בספרו "Swingle Singing" כותב סווינגל:
חברי ההרכב.
נכון ל-2011 השתתפו 74 זמרים בהרכבים השונים של הלהקה. ההרכב בשנים האחרונות מונה ארבעה זמרים וארבע זמרות:
עד שנת 2007 שרה במסגרת ההרכב הזמרת הישראלית כנרת ארז.
קוראט
קוראט הוא גזע של חתול הבית בעל פרווה דלילה בצבע אפור-כחול.
היסטוריה של הגזע.
מוצאו של חתול הקוראט הוא בתאילנד (בעבר סיאם). בארץ מוצאו הוא נחשב כסמל למזל טוב, האמינו כי הוא מביא גשם בגלל צבעו הכסוף של ענני הגשם. אף היה נהוג לתת במתנה זוג חתולי קוראט לכלה כאות למזל טוב.
אחד התיעודים הראשונים של הגזע, מוזכר בספר שירה על חתולים "The cat book Poem" שיצא לאור בין השנים 1350–1767, עותק של הספר ניתן למצוא היום במוזיאון הלאומי של בנגקוק. הספר מציג שבעה עשר חתולים מביאי מזל כאשר ביניהם נמנה הקוראט.
את שמו, קיבל הקוראט מהמלך ראמה ה-5 שהתפעל מיופיו של החתול ואמר את המלה "קוראט". במולדתו נקרא הקוראט, "סי-סוואט" (Si-Sawat) בגלל צבעו הכסוף. ישנן אמונות תאילנדיות ומסורות רבות הקשורות בחתול הקוראט.
להבדיל מגזעי חתולים אחרים שהושבחו על ידי האדם הקוראט הושבח באופן טבעי ללא התערבות האדם.
את הקוראט הביאו לראשונה מתאילנד לארצות הברית בשנות ה -50 של המאה ה-20 ולבריטניה הובאו לראשונה בשנות ה-70 של המאה ה-20. כיום זהו חתול המשתתף בתערוכות חתולים בעולם בהצלחה.
עד היום הגזע הוצג בישראל במידה מועטה וידועים מגדלים אחדים בלבד של הגזע בארץ.
מבנה כללי.
הקוראט אינו חתול גדול, הוא חתול בינוני וקומפקטי. בעל מבנה גוף רזה ואלגנטי. לקוראט אזניים גדולות ממוקמות גבוה על הראש ואף קצר, מה שמעניק לראשו צורה של לב. עיניים גדולות בצבע ירוק בוהק. הפרווה קצרה בצבע כחול כסוף, מרגע לידתו.
צבעים מוכרים.
לקוראט צבע אחד מוכר - כחול. לעיתים נולדים גם קוראטים בצבע לילך אך מרבית ארגוני החתולים בעולם לא מכירים בהם לתצוגה ותחרות.
אופי.
לקוראט מזג מיוחד מאוד. זהו חתול הנאמן מאוד לבעליו, קולני וסקרן ומסתדר טוב מאוד עם משפחה וילדים. יחד עם זאת זהו חתול עדין מאוד.
עששת
עששת היא מחלה זיהומית רב-גורמית, שבה מתרחש תהליך הרס הרקמות הקשות של השיניים- זגוגית השן (האמייל). ההרס עצמו נגרם כתוצאה מפעולתם של חיידקים מסוימים הנמצאים על השיניים. עששת עלולה לגרום לאי נוחות, לכאב, הפרעה בתפקוד (לעיסה, דיבור) ובאסתטיקה של החיוך והפנים.
בנוסף לחיידקים, הגורמים לעששת קשורים גם במאכסן – כמו בהרגלי צריכת סוכרים, איכות וקצב הפרשת הרוק, מבנה והרכב השיניים עצמן והרגלי ההגיינה של הפה.
אפידמיולוגיה.