משפט ניוטון על מסלולים סובבים היה הניסיון הראשון שלו להבין את הפרצסיה האפסידית באופן כמותי. לפי משפט זה, ההוספה של סוג מסוים של כוח מרכזי - כוח היפוך מעוקב - יכולה להפיק מסלול מסתובב; המהירות הזוויתית מוכפלת בפקטור "k", בעוד התנועה הרדיאלית נותרת ללא שינוי. אף על פי כן, המשפט הזה מוגבל לסוג מסוים של כוח שעשוי לא להיות רלוונטי; נדמה כי ההשפעה של מספר אינטראקציות כבידתיות היפוך ריבועיות (כמו אלו של כוכבי לכת אחרים) לא מסתכמת במדויק לכוח היפוך מעוקב. כדי להפוך את המשפט שלו לבר-יישום לסוגים אחרים של כוח, ניוטון מצא את הקירוב הטוב ביותר של כוח מרכזי שרירותי (F(r שצריך להוסיף לכוח היפוך מעוקב בגבול של מסלולים קרובים למעגליים, כלומר מסלולים עם אקסצנטריות נמוכה, קירוב הנכון למרבית המסלולים הפלנטריים במערכת השמש. כדי למצוא את הקירוב הזה, ניוטון פיתח טור אינסופי שניתן לראות אותו כמבשר של השיטה של טור טיילור. קירוב זה אפשר לניוטון להעריך את קצב הפרצסיה בעבור חוקי כוח שרירותיים. ניוטון יישם את הקירוב שלו כדי לבחון מודלים שונים של הכוח שגורם לפרצסיה האפסידית של מסלול הירח. עם הזאת, הבעיה של תנועת הירח היא מורכבת ביותר, וניוטון מעולם לא פרסם מודל גרביטציוני מדויק של הפרצסיה האפסידית של הירח. אחרי מודל מדויק יותר של קלרו ב-1747, מודלים אנליטיים של תנועת הירח פותחו בשלהי המאה ה-19 על ידי Hill, Brown ו- Delaunay.
המשפט של ניוטון הוא יותר כללי מאשר משפט שרק מסביר את תופעת הפרצסיה האפסידית. הוא מתאר את האפקטים של הוספת כוח היפוך מעוקב לכל כוח מרכזי (F(r, לא רק לכוחות היפוך ריבועיים כמו אלו שבחוק הכבידה העולמי של ניוטון או בחוק קולון. המשפט של ניוטון מפשט בעיות מסלוליות במכניקה קלאסית בכך שהוא מביא תוצאה מיידית לאפקט של כוחות היפוך מעוקבים. בערך 230 שנים אחרי פרסום הפרינקיפיה של ניוטון, אלברט איינשטיין נעזר במשפט ניוטון על מסלולים סובבים כדי להסביר את הפרצסיה של מסלול כוכב הלכת חמה. במקרה זה, איינשטיין הראה כי האפקטים היחסותיים שפועלים על מסלול כוכב הלכת חמה שקולים מתמטית לתוספת של כוח מרכזי שמשתנה לפי היפוך החזקה הרביעית של המרחק r מהשמש - "F" "C"/"r"4, כלומר תוספת של כוח מרכזי כזה נוסף על הכוח ההיפוך ריבועי הניוטוני. עקרונות תורת היחסות הכללית שלו אפשרו לו לחשב במדויק את ערך הקבוע "C", והוא לאחר מכן נעזר במשפט של ניוטון כדי לחשב את קצב הפרצסיה הצפוי של מסלול חמה, והראה שהניבוי של התאוריה תואם את התצפיות. זהו היה אחד האישושים הראשונים של תורת הכבידה החדשה של איינשטיין, והוא הדגים את הכוח של המשפט של ניוטון, גם בבעיות שלא נחשבות חלק מהמכניקה הקלאסית.
ניסוח מתמטי.
נתייחס לחלקיק הנע בהשפעת כוח מרכזי שרירותי ("F"1("r" אשר גודלו תלוי רק במרחק "r" בין החלקיק ונקודה קבועה. כיוון שהתנועה של החלקיק תחת הכוח המרכזי נחה במישור, המיקום של החלקיק ניתן לתיאור על ידי קואורדינטות פולריות ("r", "θ"1), הרדיוס והזווית של החלקיק יחסית למרכז הכוח. שתי הקואורדינטות האלו, ("r"("t" ו-("θ"1("t", משתנות בזמן "t" כאשר החלקיק נע.
נדמיין כעת חלקיק שני עם אותה המסה "m" ועם אותה התנועה הרדיאלית ("r"("t", אבל שהמהירות הזוויתית שלו היא "k" פעמים מהירה יותר מזה של החלקיק הראשון. במילים אחרות, הזוויות האזימוטליות של שני החלקיקים קשורות זו לזו בקשר המתמטי ("θ"2("t") = "k θ"1("t". ניוטון הראה כי ניתן ליצור את התנועה של החלקיק השני על ידי הוספת כוח היפוך - מעוקב לכל כוח ("F"1("r" שפועל על החלקיק הראשון:
formula_1
כאשר "L"1 הוא הגודל של התנע הזוויתי של החלקיק הראשון, שהוא קבוע תנועה (גודל שמור) בעבור כוחות מרכזיים. ניוטון הראה לפיכך כי הכוח ההיפוך המעוקב הוא המפתח להבנת בעיות הקשורות בפרצסיה של מסלולים. התוצאה הזו נובעת ישירות מהתייחסות אל הכוח הצנטריפוגלי (בתנועה מעגלית, הכוח הצנטריפוגלי שווה בגודלו והפוך בכיוונו מהכוח הצנטריפטלי, כלומר הוא מכוון החוצה ממרכז המעגל) ככוח דחייה "אפקטיבי" שמשתנה לפי היפוך החזקה השלישית של המרחק ממוקד הכוח (ראו גם גזירת המשפט בסוף הערך).
אם "k"2 גדול יותר מאחד, "F"2 − "F"1 הוא מספר שלילי; לכן, הכוח ההיפוך מעוקב שמתווסף צריך להיות כוח משיכה, כפי שניתן לראות בתנועת הכוכב הירוק באיורים 4 - 1 ו-9. בניגוד לכך, אם "k"2 קטן מאחד, "F"2 − "F"1 הוא מספר חיובי; הכוח ההיפוך מעוקב שצריך להוסיף הוא כוח דחייה, כפי שניתן לראות בתנועת הכוכב הירוק באיורים 5 ו-10, וזו של הכוכב האדום באיורים 4 ו-5.
שינוי של מסלול החלקיק.
ההוספה של כוח היפוך מעוקב גם משנה את ה"מסלול" שהחלקיק מבצע. כשמדברים על המסלול שהחלקיק מתווה לא מתייחסים לתלות בזמן של התנועות הרדיאליות והזוויתיות, כמו ("r"("t" ו- ("θ"1("t"; בשונה מכך, המסלול מקשר את משתני הרדיוס והזווית אחד לשני. למטרה זו, משתנה הזווית הוא לא מוגבל ויכול לגדול באופן שרירותי כשהחלקיק מסתובב מסביב לנקודה המרכזית מספר פעמים. לדוגמה, אם החלקיק מסתובב פעמיים מסביב לנקודה המרכזית וחוזר למיקום ההתחלתי שלו, הזווית הסופית שלו היא לא כמו הזווית ההתחלתית שלו; היא גודלת ב-2×360° = 720°. באופן פורמלי, משתנה הזווית מוגדר כאינטגרל של המהירות הזוויתית:
formula_2
הגדרה דומה תופסת גם ל-"θ"2, הזווית של החלקיק השני.
אם המסלול של החלקיק הראשון מתואר בצורה ("r" "g"("θ"1, המסלול של החלקיק השני ניתן על ידי הפונקציה
("r" "g"(θ2/"k", כיוון ש- "θ"2 "k θ"1. לדוגמה, נניח שהמסלול של החלקיק הראשון הוא אליפסה:
כאשר "A" ו-"B" הם קבועים; אז המסלול של החלקיק השני ניתן על ידי:
formula_4.
במקרה של החלקיק השני, המסלול שיתואר על ידו אינו בהכרח "מסלול סגור", אלא דווקא מסלול דמוי-שושנה - מסלול שמבצע פרצסיה.
פרצסיה מסלולית.
אם k קרוב, אבל לא שווה, לאחד, המסלול השני דומה מאוד לראשון, אבל סובב בהדרגה מסביב למרכז הכוח; תכונה זו נקראת פרצסיה מסלולית (איור 3). אם k גדול יותר מאחד, המסלול מבצע פרצסיה באותו כיוון כמו כיוון התנועה של הכוכב (איור 3); אם k קטן מאחד, המסלול יבצע פרצסיה במגמה הפוכה למגמת הסיבוב של הכוכב.
אף על פי שהמסלול באיור 3 נראה כאילו הוא סובב במהירות אחידה, כלומר במהירות זוויתית קבועה, תנועה אחידה כזאת נכונה רק למסלולים מעגליים. אם המסלול סובב במהירות זוויתית Ω, המהירות הזוויתית של החלקיק השני מהירה יותר או נמוכה יותר מזה של החלקיק הראשון ב-Ω; במילים אחרות, המהירויות הזוויתיות יקיימו את הקשר: formula_5. בנוסף, משפט ניוטון על מסלולים סובבים קובע שהמהירויות הזוויתיות קשורות זו לזו על ידי יחס ההכפלה:formula_6, כאשר k הוא קבוע. שילוב שתי המשוואות האלו מניב את התוצאה שהמהירות הזוויתית של הפרצסיה שווה ל-: formula_7. מכך נובע גם ש-Ω קבוע רק אם formula_8 קבוע. לפי חוק שימור התנע הזוויתי formula_8 משתנה עם הרדיוס r לפי:
formula_10
כאשר "m" ו-"L"1 הם המסה והתנע הזוויתי של החלקיק הראשון, בהתאמה, ושניהם קבועים. מכך נובע איפוא, ש-"ω"1 הוא קבוע אם ורק אם הרדיוס"r", כלומר כאשר המסלול הוא מעגל. במקרה זה, המסלול לא משתנה כאשר הוא מבצע פרצסיה.
דוגמה להמחשה: ספירלות קוטס.
ההמחשה הפשוטה ביותר למשפט של ניוטון מתרחשת כאשר אין כוח מרכזי התחלתי, כלומר כאשר "F"1("r") = 0. במקרה זה החלקיק הראשון נמצא במנוחה או נע בקו ישר. אם הוא נע בקו ישר שלא עובר דרך ראשית הצירים (מרכז הכוח), המשוואה של ישר כזה ניתנת לכתיבה בקואורדינטות פולריות ("r", "θ"1) כך:
formula_11
כאשר "θ"0 היא הזווית בה המרחק ממרכז הכוח מגיע למינימום. המרחק "r" מתחיל באינסוף
(כאשר "θ"1 – "θ"0 −90°) ויורד בהדרגה עד ש-"θ"1 – "θ"0 0°, כאשר המרחק מגיע למינימום, ואז גדל בהדרגה שוב לאינסוף כאשר "θ"1 – "θ"0 90°. המרחק המינימלי נקרא פרמטר פגיעה (Impact parameter), שמוגדר גם כאורך האנך המורד מהמרכז הקבוע לקו של התנועה. ניתן להפיק את אותה התנועה הרדיאלית כאשר מוסיפים כוח היפוך מעוקב.
לכוח היפוך מעוקב ("F"2("r" יש את הצורה:
formula_12
כאשר המונה μ עשוי להיות חיובי (כוח דחייה) או שלילי (כוח משיכה). אם כזה כוח היפוך מעוקב מוסף, המשפט של ניוטון קובע שלפתרונות המתאימים תהיה צורה שנקראת ספירלת קוטס (כלומר הפתרון למסלול שמתקבל כאשר פועל על חלקיק אך ורק כוח היפוך מעוקב הוא ספירלת קוטס). ספירלות אלו הם עקומים המוגדרים על ידי המשוואה:
formula_13
כאשר הקבוע "k" שווה:
formula_14.
כאשר החלק הימני באגף ימין של המשוואה האחרונה הוא מספר חיובי, הפתרון שמתארת המשוואה נקרא אפיספירלה. כאשר הארגומנט "θ"1 – "θ"0 שווה ±90°×"k", הקוסינוס שואף לאפס והרדיוס שואף לאינסוף. לכן, כאשר "k" הוא פחות מאחד, הטווח של זוויות אפשריות הוא קטן והכוח הוא דחייתי (העקום האדום שבצד ימין באיור 7). מצד שני, כאשר "k" גדול יותר מאחד, טווח הזוויות האפשריות גדל, ומתאים לכוח משיכה (העקום הירוק, ציאן וכחול שבצד שמאל באיור 7); המסלול יכול להקיף את המרכז מספר פעמים. הערכים האפשריים של הפרמטר "k" נעים בין אפס לאינסוף, והם מתאימים לערכים של μ שנעים מאינסוף שלילי עד לגבול החיובי העליון, שהוא "L"12/"m". לכן, לכל הכוחות ההיפוך מעוקבים המשיכתיים (μ שלילי), יש אפיספירלה מתאימה, כמו גם לכמה כוחות דחייתיים (μ &lt; "L"12/"m"), כמומחש באיור 7. כוחות דחייתיים חזקים יותר מתבטאים בתנועה ליניארית מהירה יותר.
אחד מהסוגים האחרים של הפתרונות ניתן במונחים של קוסינוס היפרבולי:
formula_15
כאשר הקבוע λ מקיים:
formula_16.