ברנולי גם דן במאורעות של "הוצאה עם החזרה". אם ישנם formula_23 איברים בכד ומוציאים formula_133 מתוכם, כאשר כל איבר יכול להילקח עם כפילויות (כלומר הצירוף של formula_133 האיברים יכול לכלול את אותו איבר כמה פעמים. למשל, כד מלא בכדורים בצבעים שונים. כאשר כל כדור מוצא מן הכד, נספר, ומיד אחר מוחזר לכד), אז מספר הקומבינציות הוא formula_153, כיוון שכל אחד מ-formula_133 האיברים נספר הן כאחד מ-formula_23 המקוריים והן כאחד מ-formula_133 האיברים שהוצאו. לקיחת formula_133 איברים מתוך formula_23, אם כן, שקולה להשמת formula_26 מחיצות ב-formula_160 מיקומים אפשריים, כאשר ישנן formula_161 אפשרויות לסידורם.
כמו כן הראה ברנולי כי מספר הפרמוטציות האפשריות ללקיחת formula_133 איברים מתוך formula_23 כאשר מאפשרים כפילויות הוא formula_164, וזאת אם ישנה חשיבות לסדר (אחרת, אם אין חשיבות, יש לחלק את הביטוי במספר האפשרויות לסידורים השונים). בהמשך הדגים ברנולי בעזרת טבלאות שיטה אלגוריתמית למציאת מספר הצירופים האפשריים לכל תוצאה במספר קוביות נתון.
כמו פסקל, גם ברנולי חקר את "משולש פסקל", וחזר על הוכחות באופן דומה. מחקריו במשולש פסקל הובילו אותו גם למספר תוצאות חשובות בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. כן פיתח ברנולי פתרון ל"בעיית המשחק המופסק" עבור משחקים התלויים במיומנות כמו טניס, כלומר בעיה בה ההסתברות לניצחון כל אחד מן הצדדים אינה formula_165. פתרונו לבעיה זו היווה הכללה של נוסחת הרקורסיה של פסקל (ראו לעיל).
בהמשך מצא ברנולי נוסחאות לסכומים של פרמוטציות, קישר בין הנוסחאות בהסתברות לביטויים רב-איבריים ועוד. בכך סיכם ברנולי את תורת ההסתברות הנאיבית, שעסקה במאורעות שווי-הסתברות בהם סכום ההסתברויות שווה ל-1, ושבכל שלב יש מספר סופי של אפשרויות בדידות. כך סוכמה עבודתם של פסקל, פרמה והויגנס.
ברנולי מצא את הנוסחה לבעיית המשחק בעל אורך בלתי מוגבל שהציג הויגנס, ופתר מספר מקרים פרטיים שלה. למשל, אם שני שחקנים formula_21 משחקים משחק, בו המנצח צריך להשיג תוצאה של formula_57 בקובייה בודדת. הזריקות מתבצעות בסדר הבא: בשלב הראשון formula_1 זורק פעם אחת ואחריו formula_2 זורק פעם אחת, בשלב השני formula_1 זורק פעמיים ואחריו formula_2 זורק פעמיים, בשלב הבא הם זורקים שלוש פעמים בזה אחר זה, וכן הלאה עד אינסוף. נסמן formula_172 ונסמן formula_173.
ההסתברות שהמשחק יסתיים בשלב הראשון היא ההסתברות ששחקן formula_1 ינצח, formula_16, ועוד ההסתברות ששחקן formula_2 ינצח, formula_177 (שכן צריך ששחקן formula_1 לא ינצח, וזה מתרחש בהסתברות formula_18). באופן דומה, ההסתברות שהמשחק יסתיים בשלב השני היא ההסתברות ששחקן formula_1 ינצח בשלב השני, formula_181, ועוד ההסתברות ששחקן formula_2 ינצח formula_183. וכן הלאה, ההסתברות שהמשחק יסתיים בשלב ה-formula_22 היא ההסתברות ששחקן formula_1 ינצח, formula_186, ועוד ההסתברות ששחקן formula_2 ינצח, formula_188. בסך הכל נקבל כי ההסתברות למאורע שהמשחק יסתיים בשלב כלשהו, היא הטור האינסופי: formula_189. אם נסמן בקיצור formula_190, נקבל כי ההסתברות שהמשחק יסתיים בשלב כלשהו היא formula_191, והיות ש-formula_192 נובע כי טור זה אכן מתכנס, כפי שנוסח באופן פורמלי שנים רבות לאחר עבודתו של ברנולי. הייתה זו הפעם הראשונה בה בעיה בהסתברות נפתרה באמצעות סכום אינסופי.
המשך התפתחותה של תורת ההסתברות.
דה-מואבר.
המתמטיקאי הצרפתי אברהם דה-מואבר הרחיב את עבודתם של הויגנס וברנולי, וספרו "תורת הסיכויים: מתודה לחישוב הסתברויות של מאורעות במשחק", הוא הספר השני המשמעותי אודות תורת ההסתברות לאחר ספרו של ברנולי. ספר זה פורסם בארבע מהדורות; הראשונה בלטינית בשנת 1711, ושלוש מהדורות נוספות באנגלית בשנים 1718, 1738 ו-1756. תרומתו הכוללת של דה-מואבר לתורת ההסתברות הייתה כה חשובה, עד שבמאה ה-19 כתב עליו ההיסטוריון של המתמטיקה אייזיק טודהאנטר כי "תורת ההסתברות חייבת את רובה לדה-מואבר, עם יוצא דופן אחד והוא לפלס". אמירה זו כבר אינה תקפה באשר לתורת ההסתברות בימינו אנו, אך שיקפה את מצבה של תורת ההסתברות במאה ה-19.
במהדורה משנת 1738 הגדיר דה-מואבר את המושג היסודי של תלות בין מאורעות, וניסח במפורש את התובנה שההסתברות להתרחשות זוג מאורעות תלויים אינה מכפלת ההסתברויות להתרחשות כל אחד מהמאורעות. עם זאת הוא לא כתב במפורש את הנוסחה הידועה formula_193.
במהדורות המאוחרות של ספרו כלל דה-מואבר תוצאה שגילה בשנת 1733, לפיה ההתנהגות האסימפטוטית של ההתפלגות הבינומית מקורבת על ידי מה שכונה מאוחר יותר התפלגות נורמלית או התפלגות גאוסיאנית, כלומר גרסה של משפט הגבול המרכזי עבור ההתפלגות הבינומית. דה-מואבר גילה זאת על ידי כך שמצא כי אם מבצעים סדרות גדולות של הטלות מטבע פעמים רבות בזו אחר זו, מספר ה"עצים" שמתקבל על ידי סדרות ההטלות מתואר על ידי גרף הפעמון המפורסם של ההתפלגות הנורמלית. הייתה זו הפעם הראשונה בה שגיאת קירוב תוארה במונחים של התפלגות, ונעשה ניתוח של השגיאה באמצעים הסתברותיים. דה-מואבר עשה צעד נוסף לעבר גילוי ההתפלגות הנורמלית, בכך שפרסם ניתוח סטטיסטי של טבלאות של התפלגות התמותה של בני אדם לפי גיל, ששימשו ליישומים אקטואריים. יש שייחסו לפיכך לדה-מואבר את גילוי ההתפלגות הנורמלית, אך עם זאת ברור כי דה-מואבר לא הבין את חשיבותה של ההתפלגות הנורמלית כשלעצמה וגם לא ידע כיצד לתאר אותה במונחים של פונקציית צפיפות, אלא ראה בה רק קירוב אסימפטוטי של ההתפלגות הבינומית.
דה-מואבר הכליל את נוסחת הבינום של אייזק ניוטון, והציג את נוסחת המולטינום. כמו כן בשנת 1733 גילה דה-מואבר נוסחה לחישוב מקורב של פונקציית העצרת, דבר ששימש רבות בחישובים הסתברותיים. הקירוב שהציג דה-מואבר היה formula_194 כאשר formula_195 היה קבוע שדה-מואבר ידע רק לקרב. מאוחר יותר גילה ג'יימס סטירלינג כי formula_196, ומכאן השם "נוסחת סטירלינג".
הישג מוקדם נוסף של דה-מואבר היו כמה תוצאות אודות התפלגות פואסון, עד שהיו שטענו שההתפלגות צריכה לשאת את שמו של דה-מואבר. עם זאת המתמטיקאי הצרפתי סימאון דני פואסון הוא זה שפרסם לראשונה תיאור מלא של ההתפלגות, בשנת 1837 בספרו "מחקר על תורת ההסתברות של פסקי-דין פליליים ואזרחיים". בספרו זה תיאר פואסון באופן מלא את התפלגות פואסון, המתארת את ההסתברות למאורעות נדירים ובלתי-תלויים המתרחשים בממוצע בקצב קבוע. פואסון השתמש בהתפלגות זו כדי לתאר את "תהליך פואסון", שהוא תהליך מקרי בו התפלגות מספר המאורעות בפרק זמן נתון היא התפלגות פואסון. בנוסף, פואסון פרסם בספרו זה גרסה של החוק החלש של המספרים הגדולים.
גאוס.
בשנת 1807 פרסם המתמטיקאי הגרמני קרל פרידריך גאוס את ספרו "תאוריית התנועה של גופים שמימיים בחתכים חרוטיים סביב השמש", ובו תיאר לראשונה באופן מלא את ההתפלגות הנורמלית. גאוס בספרו תיאר את שיטת הריבועים הפחותים ואת שיטת אמידת נראות מרבית, שתיהן שיטות יסודיות ביותר המשמשת רבות בסטטיסטיקה, ועשה בהן שימוש על מנת לנתח נתוני מדידות אסטרונומיות שלעיתים סתרו זו את זו.
כדי לאמוד את השגיאה של המדידות, גאוס בחר להניח כי הממוצע החשבוני הוא הערך שממזער את שגיאת המדידה. כלומר, המדידה שמרחקה מן הממוצע החשבוני הוא המזערי, היא בהסתברות גבוהה הקרובה ביותר לערכים האמיתיים. תחת הנחה זו הוא חישב ומצא כי ההתפלגות הנורמלית מתארת את שגיאת המדידה, וסיפק נוסחה של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.
לפלס.
בשנת 1812 פרסם המתמטיקאי הצרפתי פייר-סימון לפלס את ספרו "התאוריה האנליטית של ההסתברות", שנכתב בעיקר כדי לבסס את "תורת השגיאות" — התפלגות שגיאות המדידה אותה חקר גאוס. אף על פי שגאוס תיאר לראשונה את התפלגות שגיאות המדידה כהתפלגות נורמלית, הוא לא סיפק תיאור מלא של התפלגות זו. לפלס היה זה שחישב לראשונה את הנוסחה המלאה לפונקציית ההתפלגות המצטברת של ההתפלגות הנורמלית, על ידי חישוב האינטגרל formula_197 שסיפק את הקבוע החשוב של ההתפלגות הנורמלית. בבואו לחקור את התפלגות השגיאות, גישתו של לפלס הייתה הפוכה מזו של גאוס, בייסיאנית במהותה: לפלס בחר להניח כי לשגיאות המדידה ישנה התפלגות משותפת מסוימת, התפלגות אפריורית, וטען כי גם כאשר התפלגות זו אינה ההתפלגות הנורמלית — היא בכל אופן מתכנסת להתפלגות הנורמלית, כפי שקובע משפט הגבול המרכזי. לפלס לא סיפק ניסוח מלא והוכחה של משפט הגבול המרכזי, אך הוא הציג גרסה ראשונה שלו עבור התפלגות בינומית, כפי שכבר חזה דה-מואבר, ובשנים 1810–1811 הוא פיתח את התורה של פונקציות אופייניות שסיפקה הוכחה לגרסה זו. בכך תרם לפלס לביסוס חשיבותה התאורטית העליונה של ההתפלגות הנורמלית.
בשנת 1814 לפלס אף ניסה לתאר באופן אקסיומטי את תורת ההסתברות, כפי שיפורט בפרק על הנושא, אולם היה זה ניסיון בוסרי שלא היה פורמלי דיו במונחים מודרניים.
הערכות מוקדמות העניקו ללפלס מקום של כבוד, וכך במאה ה-19 כתב ההיסטוריון של המתמטיקה אייזיק טודהאנטר כי "תורת ההסתברות חייבת את רובה לדה-מואבר, עם יוצא דופן אחד והוא לפלס". הסטטיסטיקאי הנודע רונלד פישר טען כי השקפותיו של לפלס על הסתברות היו ברובן "שטויות חסרות בסיס", מתוך עמדה המתנגדת לסטטיסטיקה בייסיאנית. אולם מנגד — ואולי אף מבלי לסתור זאת — חוקרים חשובים אחרים תיארו את עבודותיו המוקדמות של לפלס כחשובות כל-כך, עד כי הסטטיסטיקה המודרנית היא "סדרת הערות שוליים ללפלס".
צ'בישב.