פרסם בעיתוני הארץ מאמרים בנושאים מדיניים. היה בעל טור שבועי ב"ידיעות אחרונות".
נפטר בשנת 2000, בגיל 89, ונטמן ליד אשתו, סוניה, בחלקת חברי ההגנה בבית הקברות הישן בהרצליה.
קישורים חיצוניים.
מפרי עטו:
האימפריה הצרפתית הראשונה
רייצ'ל גריפית'ס
רייצ'ל אן גריפית'ס (באנגלית: Rachel Anne Griffiths; ) היא שחקנית ובמאית קולנוע אוסטרלית. מועמדת פרס אוסקר לשחקנית המשנה הטובה ביותר על תפקידה בסרט "הילרי וג'קי", והיא זוכת פרס גלובוס הזהב לשחקנית משנה בסדרת טלוויזיה על תפקידה בסדרת הטלוויזיה האמריקאית "עמוק באדמה" כברנדה צ'נווית'.
ביוגרפיה.
גריפית'ס נולדה במלבורן, ויקטוריה, אוסטרליה. גדלה בגולד קוסט, קווינסלנד. לה שני אחים. למדה בתיכון קתולי לבנות-בלבד.
קריירה.
הייתה שחקנית מתחילה כשלוהקה לסרט "חתונתה של מיוריאל" (1994) כרונדה, חברתה הנאמנה של מיוריאל. הצלחתו של הסרט קידמה מאוד את הקריירות שלה ושל טוני קולט ששיחקה בו לצידה.
בשנת 1998 היא הייתה מועמדת לפרס אוסקר לשחקנית המשנה הטובה ביותר על תפקידה בסרט "הילרי וג'קי".
בשנת 2001 עלתה לשידור הסדרה האמריקאית "עמוק באדמה" ברשת HBO, בה שיחקה גריפית'ס את ברנדה צ'נווית', מדריכת יוגה ממשפחה בעייתית בכל חמש עונות הסדרה עד שהסתיימה ב-2005. תפקיד זה זיכה אותה בפרס גלובוס הזהב לשחקנית משנה בסדרת טלוויזיה, פרס גילדת שחקני המסך, עוד מועמדות לפרס גלובוס הזהב ושתי מועמדויות לפרס אמי.
משנת 2006 עד לשנת 2011 שיחקה גריפית'ס בסדרת הטלוויזיה האמריקאית "אחים ואחיות" את שרה ווידון (ווקר) במשך 5 עונות ברשת ABC. על תפקידה אף הייתה מועמדת פעמיים לפרס גלובוס הזהב ופעמיים לפרס אמי לשחקנית משנה בסדרת דרמה.
בשנת 2014 הצטרפה לצוות השחקנית הראשי בעונה השלישית של סדרת הדרמה-קומית האוסטרלית "House Husbands" בדמותה של בלה קראב.
בשנת 2016 שיחקה במיני-סדרת הדרמה האוסטרלית "ברקודה" ברשת ABC TV האוסטרלית, את דמותה של סמנת'ה טיילור.
בשנת 2019 יצאה סרטה הראשון כבמאית "Ride Like a Girl", בו כיכבו טרסה פאלמר וסם ניל.
חיים אישיים.
ב-31 בדצמבר 2002 נישאה גריפית'ס לאמן אנדרו טיילור, ולהם נולדו שלושה ילדים.
במהלך הקריירה שלה גילמה דמויות עם מבטאים שונים. כדי לגלם דמויות אלה גריפית' למדה לדבר במבטאים בריטי, אמריקני, וולשי.
תיאטרון מרסלוס
תאטרו די מרצ'לו
פלאו גואל
פּלַּאוּ גוּאֶל (בקטלאנית: Palau Güell - "ארמון גואל") הוא ביתה של משפחת גואל השוכן בשכונת אל רבאל בסמיכות לשדרות הרמבלס של ברצלונה שבספרד. המבנה תוכנן על ידי האדריכל הקטלאני אנטוני גאודי עבור משפחת התעשיין הקטלאני העשיר אוסביו דה גואל (Eusebio de Güell).
בשל יופיו, הוכרז המבנה על ידי אונסק"ו כאתר מורשת עולמית.
תיאור המבנה.
המבנה הוקם על ידי גאודי עבור משפחת התעשיין אוסביו דה גואל לאחר שזה ראה עבודות מוקדמות שעשה גאודי במונטסראט. גאודי תכנן עבור משפחת גואל כניסה ייחודית שאפשרה כניסת המרכבות אל תוך הבית, ירידת הנוסעים בכניסה הראשית למבנה, וירידת המרכבות למרתף הבית שם היו האורוות ושם יכלו לסובב את המרכבות על מנת להעלותן שוב לקומת הכניסה, לצורך העלאת הנוסעים עליהן.
המבנה בנוי בסגנון גאודי - סגנון שהיווה חלק מתנועת המודרניסטה בארכיטקטורה. גאודי בנה כניסה מיוחדת לאורחים שהובילה לחדרי קבלת האורחים הם היו חרכי הצצה מהם יכלו בעלי הבית להציץ ולראות מי הגיע מבלי שנראו בעצמם, וזאת על מנת לאפשר להם להתלבש בהתאם.
תקרת חדר האוכל במבנה מחוררת ובה חלונות זעירים שאפשרו לתקרה להיראות כשמים מלאי כוכבים (בלילה הודלקו עששיות מעל החלונות).
החל משנת 2005 נערכים שיפוצים בבניין. החל מפברואר 2008 הבניין נפתח למבקרים - אך רק באופן חלקי ומאוחר יותר באופן מלא.
משפט הקומפקטיות
משפט הקומפקטיות הוא משפט מרכזי בלוגיקה המתמטית, המאפשר לטפל במערכות אינסופיות של אקסיומות על ידי הבנת חלקים סופיים שלהן.
כמשפטים רבים אחרים מלוגיקה, קיימות למשפט זה שתי גרסאות: בתחשיב הפסוקים, ובלוגיקה מסדר ראשון.
בתחשיב הפסוקים המשפט קובע כי לאוסף פסוקים יש מודל אם ורק אם לכל תת-קבוצה סופית שלו יש מודל (הכוונה במודל של פסוק היא להשמה של ערך אמת לפסוקים האטומיים, המספקת את הפסוק). שמו של המשפט בא מקיומה של הוכחה טופולוגית עבורו, המתבססת על קומפקטיות של מרחב טופולוגי מסוים ומשפט טיכונוף.
את גרסת המשפט ללוגיקה מסדר ראשון הוכיח אנטולי מלצב ב-1936. בגרסה זו המשפט קובע שאם לכל תת קבוצה סופית של קבוצת פסוקים נתונה בשפה מסדר ראשון יש מודל, אז יש מודל לקבוצה כולה.
את המשפט ניתן להוכיח בעזרת אקסיומת הבחירה (וליתר דיוק, גרסה מוחלשת של אקסיומת הבחירה, כדוגמת למת העל-מסננים, מספיקה), ולכן הוא עשוי שלא להיות תקף כאשר מפתחים את תורת הקבוצות ללא אקסיומה זו.
הוכחות למשפט.
הן בתחשיב הפסוקים והן בתחשיב היחסים, קיימות הוכחות רבות למשפט הקומפקטיות.
ההוכחה הנפוצה ביותר היא זו המסתמכת על משפט השלמות של גדל. נציג את עיקרי ההוכחה הזו בלוגיקה מסדר ראשון (קיימת גרסה דומה לתחשיב הפסוקים):
משפט הקומפקטיות הוא סמנטי במהותו (עוסק במודלים), ולא תחבירי (עוסק בהוכחות). הרעיון בהוכחה זו הוא להראות שמספיק להוכיח גרסה תחבירית של משפט הקומפקטיות: "בהינתן קבוצת פסוקים, אם כל תת-קבוצה סופית שלה היא עקבית, אז הקבוצה כולה עקבית". ההוכחה של הטענה הזו קלה מאוד ומסתמכת על כך שכל הוכחה היא סופית.
הקושי הוא, אם כן, לעבור לגרסה התחבירית הזו; הכלי שמאפשר לקשר בין סמנטיקה לתחביר הוא משפט השלמות של גדל, לפיו "עקביות" ו-"קיום מודל" הם היינו-הך. מרגע שתפסנו את האבחנה הזו, ההוכחה טריוויאלית.
נעיר שקיימת הוכחה של משפט השלמות של גדל מתוך משפט הקומפקטיות: משפט הקומפקטיות ומשפט השלמות של גדל שקולים במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל לגרסה חלשה יותר של אקסיומת הבחירה, והיא למת העל-מסננים (לפיה כל מסנן על קבוצה כלשהי ניתן להרחבה לעל-מסנן).
כפי שציינו, קיימת הוכחה טופולוגית למשפט הקומפקטיות, ומכאן שמו. עיקרי ההוכחה: בתחשיב הפסוקים הסטנדרטי, קבוצות ההשמות המקיימות פסוקים נתונים הן קבוצות סגורות במרחב הטופולוגי הקומפקטי של כל ההשמות, ולכן אם החיתוך של כל מספר סופי מהן אינו ריק, אז גם החיתוך של כולן אינו ריק.
בלוגיקה מסדר ראשון, קיימת הוכחה נוספת ואלגנטית מתחום תורת המודלים, הנעזרת בעל-מכפלות ובמשפט Łoś.
ניתן להוכיח בקלות יחסית את גרסת המשפט לתחשיב הפסוקים מגרסתו בלוגיקה מסדר ראשון.
שימושים למשפט.
בראש ובראשונה, ובדומה למשפטי לוונהיים-סקולם, משפט הקומפקטיות מעיד על חולשה כלשהי של הלוגיקה מסדר ראשון. באמצעותו ניתן למצוא תכונות שלא ניתנות להבעה באמצעות קבוצות של פסוקים מסדר ראשון. נדגים זאת:
יישום טיפוסי של משפט הקומפקטיות הוא לבניית שדה סדור לא ארכימדי השקול אלמנטרית לשדה הממשיים. מכאן, תכונת הארכימדיות היא תכונה שלא ניתן להביע באמצעות לוגיקה מסדר ראשון.
יישום נוסף, המיוחס לסקולם, של משפט הקומפקטיות, הוא לבניית מודל בן מניה לא סטנדרטי של האריתמטיקה. מודל כזה הוא מבנה בן מניה השקול אלמנטרית למספרים הטבעיים בשפת אריתמטיקת פאנו (גרסה מסדר ראשון של מערכת פאנו), אך אינו איזומורפי להם. הדרך לבנות מודל כזה היא לצרף לתורה השלמה של הטבעיים את אוסף הנוסחאות: formula_1 לכל מספר טבעי formula_2.
נקבל אוסף מורחב של נוסחאות. כל תת-קבוצה סופית של אוסף זה היא עקבית (המספרים הטבעיים מהווים מודל שלה), ולכן יש מודל לאוסף כולו. (יתרה מכך, ממשפט לוונהיים סוקלם היורד ניתן למצוא מודל כזה שהוא בן מניה). אם כן, מודל זה לא איזומורפי לטבעיים אך שקול אלמנטרית להם - זהו מודל לא סטנדרטי לאריתמטיקה.
מסקנה מעניינת היא שאקסיומת האינדוקציה אינה ניתנת לניסוח בלוגיקה מסדר ראשון, שכן ניתן להשתמש בה (ובשתי אקסיומות נוספות מסדר ראשון) כדי לאפיין את הטבעיים עד כדי איזומורפיזם. אקסיומה זו כן ניתנת לניסוח בלוגיקה מסדר שני, ולכן קיבלנו שמשפט הקומפקטיות כושל בלוגיקה זו (ומכאן גם משפט השלמות לא תקף בה).
ניתן להשתמש במשפטי הקומפקטיות על מנת להוכיח מגרסתו הסופית של משפט ארבעת הצבעים את גרסתו האינסופית, וכנ"ל לגבי משפט החתונה של הול. יישומים טיפוסיים אלו מדגימים את האופן שבו מושג הקומפקטיות מקשר בין הסופי לאינסופי. כך, למשל, ניתן להסיק ממשפט הקומפקטיות שאם לקבוצת נוסחאות יש מודלים סופיים גדולים כרצוננו, יש לה מודל אינסופי.
משפט הקומפקטיות הוא אחד משתי תכונות מפתח המשמשות במשפט לינדסטרום לאפיון הלוגיקה מסדר ראשון. התכונה השנייה היא משפט לוונהיים-סקולם היורד.
קרנטקה
ג'ון קייג'
ג'ון מילטון קייג' (באנגלית: John Milton Cage; 5 בספטמבר 1912 - 12 באוגוסט 1992) היה מלחין אמריקני אוונגרדי שחיבר מוזיקה ניסיונית, סופר ואמן חזותי. מזוהה בעיקר עם יצירתו 4′33″ (משנת 1952), ששלושת פרקיה מבוצעים מבלי לנגן ולו תו אחד.
ביוגרפיה.
קייג' נולד בלוס אנג'לס ולמד בתיכון לוס אנג'לס. הוא ממוצא אנגלי וסקוטי.
קייג' למד במכללת פומונה, ובשנה השנייה ללימודיו נשר ונסע לאירופה, שם נשאר 18 חודשים, ועבד כעוזר אדריכל. באירופה כתב את החומרים הראשונים שלו במוזיקה, אך הוא לא אהב את מה שיצר והשאיר את היצירות מאחוריו. קייג' חזר לקליפורניה ב-1931.
ב-1935, נישא קייג' לאמנית אקסניה אנדריונה קאשהיורף.
בסוף שנות ה-30 קייג' נרשם לבית הספר לאומניות בסיאטל, וושינגטון.