הלהקה בכל זאת יצאה לסיבוב הופעות נוסף. בין היתר הופיעה הלהקה ב-Tokyo Dome ביפן לצד מטאליקה ות'אנדר. לאחר 10 שנים של כתיבה, הקלטה וחזרות החליטה הלהקה ב-1992 לפרק את החבילה. הלהקה התפרקה רשמית בשנה זו.
מאז פירוק הלהקה, ג'ואי טמפסט וג'ון נורום הוציאו אלבומי סולו שלא בלטו במיוחד. טמפסט המשיך להצליח בשוודיה כסולן, ג'ון נורום ניגן למשך תקופה מסוימת בלהקת ההבי מטאל האמריקאית דוקן. לקראת סוף שנת 1999 וכניסתו של המילניום התבקשה הלהקה להתאחד לאירוע חד פעמי לכבוד המילניום החדש. הלהקה עלתה על הבמה חמושה בשני הגיטריסטים של הלהקה, לאחר כמעט 8 שנים שלא התראו. "אירופה" ביצעה את "Rock The Night" ואת "The Final Countdown".
במהלך השנים שלאחר אותה הופעה חד פעמית, התרוצצו שמועות בדבר איחוד הלהקה. השמועות קיבלו תוקף רשמי ב-2 באוקטובר 2003, כאשר יורופ הודיעה על איחוד וצאתו של אלבום חדש. הגיטריסט קיי מרסלו החליט שלא לקחת חלק באיחוד. הלהקה יצאה לסיבוב הופעות עולמי ראשון ב-2004, לאחריו יצא האלבום "Start From The Dark" שקיבל ביקורות טובות והביא איתו גם DVD שנקרא Live From The Dark שכולל הופעה מלאה באנגליה כחלק מסיבוב ההופעות העולמי של האלבום. בשנת 2006 הוציאה הלהקה אלבום שני לאחר האיחוד ושביעי סך הכל שנקרא Secret Society וב-2009 יצא האלבום "Last Look At Eden" ששם אותם ברף מאוד גבוה שוב עם שירים כמו "New Love In Town" שהצליח מאוד וגרר אחריו קליפ מושקע.
כיום סיימה הלהקה סיבוב הופעות ברחבי בריטניה שבמהלכו צולם DVD שעתיד לצאת במאי השנה.
ב 18 באפריל 2012 הלהקה הוציאה את אלבומה התשיעי "Bag of Bones" שהצליח ברחבי אירופה, מזרח אסיה, דרום אמריקה ובמיוחד בשוודיה שהגיע מקום 2 במצעד אלבומי הרוק, וגם הוסמך לזהב.
חברי הלהקה.
חברי להקה קודמים:
ווירד אל
גולף לעוורים
מומנט אינרציה
הרחבת שדות
באלגברה ובעיקר בתורת השדות, הרחבה של שדות מתארת מצב שבו שדה אחד מכיל שדה אחר, באופן שפעולות החיבור והכפל בשדה הגדול מסכימות עם אלו המוגדרות בשדה הקטן. השדה הקטן נקרא שדה הבסיס.
לאמירה שהשדה הקטן הוא תת שדה של השדה הגדול יש אותה משמעות; מתייחסים להכלה formula_1 של שדות כאל הרחבה כאשר הדגש הוא על האופן שבו נבנה השדה הגדול formula_2 מן השדה הקטן formula_3, וכאל תת שדה במקרה ההפוך, שבו רוצים להבדיל את אברי formula_3 משאר האיברים של formula_2. זוהי הבחנה מתודית בלבד, ואין לה משמעות מתמטית.
את ההרחבה formula_1 מסמנים לפעמים בסימון formula_7.
הרחבה היא בדרך כלל תהליך אלגברי, שבו מוסיפים לשדה הבסיס formula_3 איברים חדשים. יש דרכים אחרות לבנות הרחבות, כאשר שדה הבסיס מצויד במבנה נוסף, כגון סדר או הערכה - ראו השלמה של שדה.
דוגמאות.
להלן כמה דוגמאות להרחבות של שדות; המושגים יוסברו בהרחבה בהמשך.
יוצרים של הרחבה.
לכל הרחבה יש קבוצת יוצרים: תת קבוצה formula_25 של formula_2 היא קבוצת יוצרים של ההרחבה formula_7, אם אפשר לקבל כל איבר של formula_2 באמצעות פעולות השדה (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) מן האיברים ב-formula_25 והמקדמים ב-formula_3. במקרה זה אין אף תת-שדה המכיל את formula_3 ואת formula_25, מלבד formula_2 עצמו, כלומר K הוא השדה המינימלי שמכיל גם את השדה F וגם את איברי S; כותבים formula_34, ואם formula_35 כותבים גם formula_36. אם formula_3 תת-שדה של שדה formula_38 המכיל גם קבוצת איברים formula_25, אז formula_40 הוא תת-השדה הקטן ביותר של formula_38 המכיל את formula_3 ואת formula_25.
מבחינים בין כמה סוגים של הרחבות. ראשית, ההרחבה נוצרת סופית אם יש לה קבוצת יוצרים סופית, ואינה נוצרת סופית אם אין לה קבוצת יוצרים כזו. אם formula_3 שדה אינסופי וההרחבה נוצרת סופית (או אפילו נוצרת על ידי קבוצה בת-מניה), אז העוצמה של formula_2 שווה לזו של formula_3.
לדוגמה, כיוון שהעוצמה של שדה המספרים הממשיים formula_47 גדולה מזו של שדה המספרים הרציונליים formula_48, ההרחבה formula_49 אינה נוצרת סופית.
הרחבות פשוטות.
הרחבה formula_7 היא הרחבה פשוטה אם היא נוצרת על ידי איבר אחד. הרחבות כאלה אפשר ללמוד באופן הבא, שמדגים את ההבדל בין הרחבות אלגבריות לשאינן כאלה.
נניח ש-formula_51, כלומר, תת-השדה הקטן ביותר של K המכיל את formula_3 ואת a הוא K עצמו. אפשר להגדיר הומומורפיזם מחוג הפולינומים formula_53 לשדה K, על ידי הצבה: formula_54. תמונת ההומומורפיזם היא תת-חוג של שדה, ולכן היא תחום שלמות. מכאן נובע שהגרעין של ההומומורפיזם הוא אידיאל ראשוני. יש שתי אפשרויות: ייתכן שהגרעין שווה לאפס; כלומר, הומומורפיזם ההצבה הוא שיכון, ואין פולינום המאפס את a; במילים אחרות, a טרנסצנדנטי, ואז התמונה של הומומורפיזם ההצבה היא חוג הפולינומים formula_55, שאינו שדה. האפשרות האחרת היא שהגרעין אינו אפס; במקרה זה, מכיוון שחוג הפולינומים הוא אוקלידי, האידיאל חייב להיות אידיאל מקסימלי, והתמונה שלו שווה ל-K. הגרעין נוצר על ידי פולינום אי-פריק f מעל formula_3, שהוא הפולינום המינימלי של a.
הרחבה ממימד סופי K/F היא פשוטה אם ורק אם יש לה מספר סופי של הרחבות ביניים (תת-שדות formula_57).
אלגבריות וממד.
שדה-הרחבה K הוא תמיד מרחב וקטורי מעל שדה הבסיס, כאשר פעולת הכפל בסקלר היא פעולת הכפל בשדה הגדול (מצומצמת מפעולה formula_58 לפעולה formula_59). בפרט, יש להרחבה ממד formula_60, שהוא הממד של K כמרחב וקטורי מעל F. לממדים יש תכונת כפליות שימושית: אם formula_61, אז formula_62.
איבר a של K הוא איבר אלגברי אם קיים פולינום בעל מקדמים ב-formula_3, אשר a הוא שורש שלו. אם כל האיברים של K הם אלגבריים, אומרים שההרחבה היא הרחבה אלגברית. כל הרחבה אלגברית נוצרת סופית היא בעלת ממד סופי, וכל הרחבה בעלת ממד סופי היא הרחבה אלגברית נוצרת סופית. לעומת זאת, קיימות הרחבות אלגבריות שאינן נוצרות סופית, כמו זו של שדה המספרים הניתנים לבניה מעל הרציונליים, או של הסגור האלגברי של שדה סופי, מעל השדה.
אם formula_64 היא תת-קבוצה כלשהי, הסימון formula_65 מתאר את תת-החוג הקטן ביותר של K המכיל את F ואת S (בהשוואה ל- formula_40, שהוא תת-השדה הקטן ביותר; כמובן formula_67). אם כל האיברים של הקבוצה S אלגבריים, אז formula_65 הוא שדה, ובמקרה זה formula_69.
פירוק למרכיב טרנסצנדנטי ומרכיב אלגברי.
אוסף האיברים האלגבריים ב-K מהווה תת-שדה שלו, הנקרא הסגור האלגברי היחסי של formula_3 ב-K. בהרחבה אלגברית, כמו formula_71, הסגור הזה הוא K. אם אין ב- K אף איבר אלגברי פרט לאברי formula_3, (כלומר, formula_3 הוא הסגור האלגברי היחסי), אומרים ש-formula_3 סגור אלגברית בהרחבה. (אין פירושו של דבר ש-formula_3 הוא שדה סגור אלגברית, אלא רק שבמובן מסוים, החיתוך של K עם הסגור האלגברי של formula_3 שווה ל-formula_3). מקרה חשוב במיוחד של יחס זה בין השדות הוא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה, שהיא הרחבה בה קיימת קבוצת יוצרים שאבריה אינם מקיימים אף יחס (כלומר, לא קיים פולינום בכמה משתנים, שאם מציבים בו יוצרים שונים מתקבל אפס).
כל הרחבה אפשר לפרק לשרשרת של הרחבות formula_78, כאשר formula_79 היא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה, ואילו formula_80 אלגברית (Steinitz ,1948); אם ההרחבה המקורית נוצרת סופית, להרחבה האחרונה יהיה ממד סופי. למספר היוצרים הקטן ביותר האפשרי של formula_81 קוראים דרגת הטרנסצנדנטיות של ההרחבה formula_7. הפירוק אפשרי רק בסדר זה: בדרך כלל אי-אפשר לפרק הרחבות כך שקודם יבוא המרכיב האלגברי, ואז המרכיב הטרנסצנדנטי. אם ההרחבה formula_1 אלגברית, אז הפירוק יהיה formula_84, שהרי K אינו מכיל אף איבר טרנסצנדנטי מעל formula_3.
דוגמה: נסמן ב- formula_86 את השדה הסופי בן שני איברים, ונסמן ב- x,y שני משתנים מעל שדה זה, המקיימים את היחס formula_87, שאותו נסמן באות E. שדה הפונקציות של העקום האליפטי E הוא, על-פי ההגדרה, formula_88. השדה formula_3 סגור אלגברית ב-K, ועם זאת ההרחבה אינה טרנסצנדנטית טהורה (מפני שהיוצרים x,y קשורים זה בזה ביחס E). לשדה זה יש תת-שדה formula_90, שהוא הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1 מעל formula_3, וההרחבה formula_92 בעלת ממד 2.
ספרביליות.
בהרחבה אלגברית יש שני סוגים של איברים: אלו שהפולינום המינימלי שלהם ספרבילי, ואלו שאינם כאלה. איברים לא-ספרביליים יכולים להתקיים רק כאשר המאפיין של שני השדות הוא ראשוני, p. הרחבה שבה כל אברי K הם ספרביליים נקראת הרחבה ספרבילית של שדות; כל הרחבה במאפיין אפס היא ספרבילית, אבל יש גם הרחבות ספרביליות במאפיין &lt;math&gt;\ 0. לדוגמה, כל הרחבה שבה השדה הגדול סופי היא ספרבילית. לפי משפט האיבר הפרימיטיבי, כל הרחבה ספרבילית נוצרת סופית היא הרחבה פשוטה (כלומר, אפשר להחליף מספר סופי של יוצרים ספרביליים ביוצר אחד).
פירוק למרכיב ספרבילי ומרכיב לא ספרבילי טהור.
אוסף האיברים הספרביליים מהווה תת-שדה של K, הנקרא הסגור הספרבילי של formula_3 ב-K (ומוכל כמובן בסגור האלגברי היחסי). אם כל האיברים של K (פרט לאלו של formula_3) אינם ספרביליים מעל formula_3, אז ההרחבה היא הרחבה לא ספרבילית טהורה.
בהמשך הסעיף נניח שהשדות ממאפיין p ראשוני. אוסף חזקות-p בשדה K מהווה תת-שדה שלו, אותו מסמנים ב- formula_96. באופן זה אפשר ליצור שרשרת יורדת של שדות, formula_97, שאת חיתוכה מסמנים ב- formula_98. אם הממד formula_7 סופי, הסדרה חייבת כמובן להתייצב. ההרחבה formula_100 היא הרחבה לא ספרבילית טהורה.