קבוצת מנדלברוט היא אחד הנושאים הנחקרים בתחום הפרקטלים, שהחל לתפוס תאוצה בתחילת המאה ה-20, אשר מאבותיו ניתן למנות את פייר פטו וגסטון ז'וליה. קבוצת מנדלבורט תוארה לראשונה על ידי המתמטיקאי רוברט ברוקס בשנת 1978. בשנת 1980 גילה בנואה מנדלברוט את הקבוצה תוך ביצוע אנימציות של קבוצת ג'וליה במחשב, וכתב מאמר ראשוני בו היא נכללה. בשנת 1985 פרסמו שני מתמטיקאים נוספים מאמר נרחב על קבוצה זו, וקראו לה על שם מנדלברוט. בהמשך, הפכה קבוצת מנדלבורט לאובייקט מחקר בסיסי בתורת המערכות הדינמיות המרוכבות.
החל משנת 1985 הפך עניין שרטוט קבוצת מנדלבורט למושא עניינם של רבים, וגם פורסמו אלגוריתמים לשרטוט הקבוצה ותמונות צבעוניות שלה.
הגדרה.
קבוצת מנדלברוט מוגדרת באופן הבא:
לכל מספר מרוכב formula_1, אפשר להגדיר באופן רקורסיבי סדרה, שאיברה הראשון formula_2, והמשכה מחושב על-פי הכלל formula_3. הסדרה עשויה להיות חסומה או בלתי-חסומה, תלוי בערכו של formula_1. קבוצת מנדלברוט מורכבת מן המספרים formula_5 שעבורם הסדרה formula_6 חסומה.
מנקודת מבט שונה במקצת, לכל formula_1, מוגדרת קבוצת ג'וליה formula_8 כשפה של קבוצת הנקודות formula_9 שעבורן הסדרה formula_10 חסומה (כאשר formula_11). ג'וליה ו-Fatou הוכיחו שאם הסדרה formula_12 חסומה (כלומר formula_1 שייכת לקבוצת מנדלברוט) אז formula_8 קשירה, ואם היא אינה חסומה, אז formula_8 בלתי קשירה לחלוטין. משפט זה מוביל להגדרה שקולה נוספת של הקבוצה: זהו המקום הגאומטרי הקשיר של משפחת הפולינומים formula_16, כלומר אוסף הנקודות עבורן קבוצת ג'וליה המתאימה היא קשירה.
הצגת הקבוצה כפרקטל.
את קבוצת מנדלברוט מתארים במישור המרוכב שבו הצירים מייצגים את החלק הממשי והמדומה של כל מספר. הנקודות השייכות לקבוצה (כלומר, הערכים של c שעבורם הסדרה formula_6 חסומה) נצבעות בשחור, וכל נקודה אחרת מקבלת צבע התלוי במספר האיברים בסדרה שערכם המוחלט קטן ממספר מסוים - 2 בדרך כלל.
הדגמה.
בהדגמה שלהלן מתבצע שינוי קנה המידה. כל תמונה היא הגדלה של אזור מסוים בתמונה הקודמת. ההגדלה הכוללת מהתמונה הראשונה לאחרונה מגיעה עד כדי 60 מיליארד.
הכללה.
את קבוצת מנדלברוט ניתן להכליל באופן הבא: במקום להביט בפונקציה formula_11 ולהציב בה ערכים, מביטים בפונקציה הכללית formula_19, עבור formula_20 ממשי כלשהו. כאשר formula_20 מספר שלם, המשפט אודות הקשר בין הגדרה זו להגדרה בעזרת קבוצת ג'וליה נשאר תקף.
כאשר formula_20 משתנה, ניתן לשרטט את הקבוצה ולקבל תמונה שונה בכל פעם. כך למשל, כאשר formula_20 נמצא בין 0 ל-5 (כמו בתמונה המצורפת), ניתן לראות את קבוצת מנדלברוט "נולדת" מכלום ומתפתחת.
קירוב לפאי בעזרת קבוצת מנדלברוט.
שימוש נוסף של קבוצת מנדלברוט הוא האפשרות לקרב את פאי בעזרת מונחים וכלים מנושא זה. כידוע, המספר formula_24 הוא המספר הממשי הגדול ביותר בקבוצת מנדלברוט; עוד ידוע כי כל פעם שהסדרה formula_6 חסומה, אז היא קטנה מ-2 בהכרח. כעת, לכל מספר ממשי formula_26, מסמנים ב-formula_27 את מספר הפעמים שיש לבצע את האיטרציה עד שעוברים את 2, כלומר המספר הראשון כך ש-formula_28.
מסתבר שהסדרה formula_29 מתכנסת ל-formula_30.
נקודות נוספות בקבוצת מנדלברוט אשר מאפשרות לקרב את פאי כוללות נקודות הנמצאות על התפר בין הצורות של הקבוצה. עבור נקודות כאלו, המסלול אשר בעזרתו שואפים אל הנקודה משתנה ולרוב איננו כולל מספרים ממשיים.
הסבר אינטואיטיבי אודות הקשר בין קבוצת מנדלברוט לפאי.
עבור הפונקציה הממשית formula_31, הישר formula_32 משיק לפונקציה; לכן, בעת הפעלת התהליך של סדרת מנדלברוט, נוצרת מעין פונקציית מדרגה תחומה בין הפרבולה לבין הישר, אשר שואפת בגובהה אל formula_33 אך לא מגיעה. לעומת זאת, בפונקציה formula_34, הישר formula_32 לא משיק אל הפרבולה, ולכן נוצרת ביניהם פונקציית מדרגה. במובן מסוים, פאי הוא ה"זמן" שלוקח לאותה פונקציית מדרגה לעבור את formula_33.
הסבר נוסף כלהלן: כאמור לעיל, הפונקציה הממשית formula_34 עוברת את formula_33. צורת הגרף סביב ערך זה (בטווח) מתקרבת לצורה של פונקציית הטנגנס ככל שאפסילון קטן יותר. הקשר של פונקציה זו לפאי מעולם הטריגונומטריה ברור.
אותיפרון
אֶוּתִיפְרוֹן (ביוונית: Εὐθύφρων) הוא דיאלוג שנכתב על ידי אפלטון. הדיאלוג מתאר שיחה בין סוקרטס לחברו אותיפרון, שנפגשים לפני תחילת משפטו של סוקרטס.
במהלך הדיאלוג מנסה סוקרטס לחקור את אותיפרון בנוגע לטיבה של החסידות בעולם.
הרקע לדיאלוג.
אותיפרון מגיע לאתונה על מנת לתבוע את אביו על כך שרצח את אחד מעבדיו. העבד הנרצח רצח את אחד מעבדי אביו, האב זרק את העבד לבור עד שיגיעו אנשים שיאסרו אותו ויביאו אותו לדין. כל אותה העת שוכח האב את העבד הרוצח, והעבד מת ממחסור במזון ומים. אותיפרון רואה את מעשה אביו כלא מוסרי, ולכן הולך לתבוע את אביו על מעשיו.
סוקרטס הועמד למשפט בעקבות תביעת שלושה קטגורים, ובראשם מילטוס, על כך שסוקרטס מקלקל את הצעירים בדבריו, דן על הדברים שהם בשמים ומתחת לארץ, מקלל את האלים כדימוניים ומנסה לחנך את האנשים בצורה בה הוא קורא לרע טוב ואת הטוב הוא הופך בדבריו לרע.
הדיאלוג עם אותיפרון הוא צעד נוסף במסכת של סוקרטס לגלות אחר החכמה, התבונה והאדם החכם ממנו, לכן סוקרטס מבקש מאותיפרון שילמד אותו "מהי החסידות" ובכך יוכל להראות למילטוס כי האדם שלימד אותו חכם ממנו, וכי סוקרטס לא מתיימר כלל להציג את עצמו כחכם באדם - דברים שהיוו את הבסיס להעמדתו של סוקרטס במשפט.
הדיאלוג.
סוקרטס מבקש מאותיפרון להציג לו את מושג "החסידות" כדי שיוכל לקחת אותו לידיו ולהשוות אותו עם מעשים אחרים עמם הוא נתקל, ובכך לשפוט אותם בין אם הם חסודים, ובין אם לאו - "הגד נא לי את הדבר שהבטחתני שאתה יודעו בבירור". סוקרטס רוצה תשובה שיוכל לעבוד עימה, כלומר: הוא רוצה תבנית אליה יוכל להכניס את האובייקטים שינסה לבדוק את התאמתם למושג. נראה כי סוקרטס לא באמת רוצה לראות 'תבנית' של חסידות משום שחסידות היא רעיון\אידאה (תורת האידאות מוצגת בדיאלוג "פיידון") שלא ניתן לקבלו כתבנית שאפשר לקחת כאבן בוחן למעשים אחרים - אידאה לא יכולה להיות תבנית משום שהיא פרי מחשבתי, ולכן זהו דבר שיהיה קשה לקבלו כמשהו אמפירי וקיים. נראה כי סוקרטס לא רק מסתפק במתן הדוגמה לחסידות, אלא הוא גם רוצה שדוגמה זו תענה על ההגדרה של המעשה הלא-חסוד. הוא רוצה שהתשובה הן תספק את האידאה של החסידות והן את האידאה המנוגדת לה.
המעשה החסוד הוא המעשה שהוא עושה - תביעת אביו למרות הקרבה המשפחתית ביניהם. המניע לתביעה המשפטית הוא האמונה שמה שעושה אותיפרון הוא צעד נכון ונגזר מחסידות. לפי אותיפרון ההריגה ברשלנות הוא מעשה לא חסוד שיש להילחם בו.
--- סוקרטס בתגובה אומר כי הדוגמה למעשה החסוד אינה מספיקה לו, אלא הוא רוצה תבנית יותר כללית להבנת טיבה של החסידות.
המעשה החסוד הוא מה שאהוב על האלים.
--- תגובת סוקרטס: טוען כי הריגה ברשלנות כדוגמה היא דבר שזאוס אוהב אותו, ואילו הפטסיאוס לא אוהבת. - נראה שהמעשה נכנס תחת קטגוריה של מעשה חסוד ולא חסוד, ובכך הוא גורם לסתירה.
החסידות היא מה שכל האלים אוהבים אותו.
--- סוקרטס מנסה לעלות על הבעיה שבתשובה השלישית, ומחלק אותה לשני חלקים: סוקרטס שואל מדוע האלים אוהבים את החסידות - מהו היחס בין החסידות לאהבת האלים?
(1) האם אישור האל הוא זה שמכונן את החסידות. המעשה חסוד כי האלים אוהבים אותו?
(2)החסידות היא זו שמכוננת את אישור האל. האלים אוהבים אותו כי המעשה חסוד - המעשה חסוד בגלל החסידות שבו.
ההגדרה שהמעשה חסוד בגלל שהוא אהוב על ידי האלים זוהי הצגה מאוד מוזרה של האלים, משום שהאלים אמורים להיות תבוניים, יציביים ועקביים - ואילו פה מדובר על זה שהאלים פועלים על עצמם... כאילו הם הופכים את המעשה לחסוד על-מנת שהם יאהבו אותו...
גם הרעיון שהאלים אוהבים אותו כי המעשה חסוד נראה בעייתי, מפני שהאלים אוהבים את המעשה שקיבל את חסידותו ממקור חיצוני אחר... - רמיזה אולי על משהו שהוא הרבה יותר גבוה מהאלים.
חסידות היא חלק הצדק המטפל באלים, והטיפול באנשים הוא חלקו הנותר של הצדק.
--- תגובת סוקרטס: מנסה לבדוק את מהות המושג "טיפול". סוקרטס מנסה לבדוק את דברי אנשים ובודק אם אותיפרון התכוון כי מעשי חסידות של האנשים הם הדברים שמטפלים ומטיבים עם האלים. אותיפרון אומר שלא התכוון לכך כלל וכלל. "ניחא; אולם איזה טיפול באלים תהיה החסידות?", שואל סוקרטס, ואותיפרון עונה לו כי יהיה זה מעין שירות לאלים. סוקרטס ממשיך ומבקש מאותיפרון להסביר לו מה יוצא לאדם מעצם העובדה שהוא מספק לאלים שירות מעין זה. אותיפרון עונה: "כשידע האדם לומר ולעשות, בתפילותיו וקורבנותיו, דברים הרצויים לאלים - אלה הם דברי החסידות, והיפוכם הוא החטאים". סוקרטס לא מקבל את ההסבר הדתי הזה ואומר שבעצם אותיפרון החזיר אותו לנקודת ההתחלה בכך שלא סיפק לו את התשובה הרצויה. סוקרטס אומר (נראה אם כי באמירה צינית): "אם כן, תהיה החסידות, מתוך הגיון הדברים, הידיעה כיצד לבקש מהאלים בקשות ולתת להם מתנות [...] החסידות תהיה מעין סחר גומלין בין האלים והאנשים".
סוקרטס מוכיח את טעותו של אותיפרון כך:
(1) מזכיר לו כי מקודם הסכימו השניים כי החסידות והדבר האהוב על האלים איננו עומד בקנה אחד. מתשובתו השנייה של אותיפרון.
(2) לדבריו של אותיפרון בתשובתו השלישית, אומר סוקרטס, כי אותיפרון שוב טוען כי החסידות היא מה שאהוב על ידי האלים - ובכך אנו מגיעים לסתירה מתשובתו השנייה של אותיפרון.