מוחמד שחרר אותם והם עזבו לסוריה. לאחר נטישת בני הקינקאע המשיך שבט קוריש בהתנכלויותיו כנגד המוסלמים עד כדי כך שראש קוריש, אבו סופיאן, פקד על 200 לוחמים מצבא מכה והסתנן איתם לאזור אל־מדינה. הוא סיכם עם השבט היהודי בני נדיר להתקיף את המוסלמים בלילה, לטבוח בהם ולצאת מאל־מדינה ומאזור בני נדיר.
אבו סופיאן ואנשיו פעלו כמו שודדי דרכים. כשהתברר למוסלמים המצב האמיתי, יצא מוחמד בראש קבוצת לוחמים מוסלמים אחרי אבו סופיאן ולוחמיו ואלה ברחו במהירות לעבר מכה וכך ניצלו. לאחר מכן הודיע המודיעין האסלאמי ששני שבטים (תועלבה ומוחארב) מתכננים להתקיף את אל־מדינה. הנביא מוחמד יצא בראש 450 לוחמים לעבר שני השבטים האלה והם ברחו לפסגות ההרים. הנביא ולוחמיו נשארו באדמות השבטים כחודש ולאחר מכן חזרו לאל־מדינה.
אחד מראשי היהודים, אדם עשיר בשם כעב בן אלאסרף, היה משורר יפה תואר. כששמע שהמוסלמים ניצחו בקרב בדר אמר: אם כך, עדיף להיות מתחת לאדמה מאשר מעליה. כשווידא שהמוסלמים אכן ניצחו ניצחון מזהיר בבדר, התחיל לגנותם בשיריו (לשיר בזמן ההוא היה משקל כבד בעיצוב דעת הקהל). הוא קילל אותם והתחיל להסית נגדם.
כעב בן אלאסרף ביקר במכה והתחיל להסית את מנהיגיה להתקיף את המוסלמים באל מדינה.
בשיריו גם שיבח את היהדות דיבר רעות על האישה המוסלמית ושם את האסלאם ללעג. בשל כך החליטו המוסלמים לחסלו. חמישה מוסלמים ניגשו אליו והרגו אותו. כששמעו היהודים באל מדינה על מותו של כעב, הדבר עורר בהם פחד מהבאות. הדרך בה עברו הסוחרים בין מכה לסוריה נהייתה מסוכנת וקוריש בחרה בדרך חלופית שהאריכה את המסע לסוריה.
שיירה גדולה של גמלים ממכה נשלחה בדרך הזאת. איש מודיעין איסלמי היה במכה והודיע לנביא על השיירה ועל דרכה המתוכננת. מוחמד שלח כ־100 לוחמים בפיקוד זיד בן אלחארת להשתלט על השיירה. שומרי השיירה ברחו ועזבוה והמוסלמים לקחו את השלל.
קרב לקסינגטון וקונקורד
עבד א-רחמן סמבא
עבד א-רחמן סמבא (בערבית: عبدالرحمن صمبا; תעתיק מדויק: עבד אלרחמן צמבא; נולד ב-5 בספטמבר 1995 בערב הסעודית) הוא אצן קטרי. שיאו האישי בריצת 400 מטר משוכות מדרג אותו במקום הרביעי בכל הזמנים.
ביוגרפיה.
סמבא נולד בערב הסעודית, אך בחר לייצג בתחרויות את מאוריטניה, בה אביו נולד. הוא היגר לקטר על מנת לייצג את המדינה בשנת 2015.
בתחרות שנערכה בסאסולבורג בדרום אפריקה ב-28 במרץ 2017 קבע סמבא בריצת 400 מטר משוכות שיא אישי חדש של 48.31 שניות, תוצאה שדירגה אותו במקום שמיני בעולם באותה שנה. באליפות העולם שנערכה בלונדון, בריטניה באוגוסט הוא סיים במקום שביעי בריצת 400 מטר משוכות בתוצאה של 49.74 שניות. בשלב חצי הגמר הוא קבע תוצאה של 48.75 שניות ועלה מהמקום החמישי.
בתחרות ליגת היהלום בדוחא, שנערכה בחודש מאי, סיים סמבא במקום הראשון בריצת 400 מטר משוכות בשיא אישי חדש של 47.57 שניות. באותו חודש, בליגת היהלום ברומא, סיים במקום הראשון בשיא אישי נוסף של 47.48 שניות. בחודש יוני, בליגת היהלום באוסלו, סיים שוב במקום הראשון בתוצאה של 47.60 שניות, ובתחרות ליגת היהלום בסטוקהולם שנערכה באותו חודש סיים במקום הראשון בשיא אישי חדש של 47.41 שניות.
בתחרות ליגת היהלום בפריז שנערכה ב-30 ביוני, סיים סמבא במקום הראשון בריצת 400 מטר משוכות תוך שהוא קובע את התוצאה השנייה בטיבה בכל הזמנים, 46.98 שניות, האתלט השני בהיסטוריה שרץ ריצה זו מתחת ל-47 שניות.
בתחרות ליגת היהלום בלוזאן, בחודש יולי, סיים במקום הראשון בריצת 400 משוכות בתוצאה של 47.42 שניות. על אף שבסיום התחרויות הרגילות דורג במקום הראשון, סמבא החליט לא לקחת חלק בגמר ליגת היהלום.
באליפות אסיה זכה סמבא במדליית זהב בריצת 400 מטר משוכות בתוצאה של 47.51 שניות. לאחר מכן, אמר כי הוא מתכנן לשבור את שיא העולם בריצה זו עד סוף השנה.
בתחרות ליגת היהלום בשנגחאי שנערכה בחודש מאי, התחרה לראשונה נגד ראיי בנג'מין, הממוקם מקום אחד אחרי סמבא ברשימת המהירים בכל הזמנים, וסיים במקום הראשון בשיא תחרות חדש של 47.27 שניות. בנג'מין, שהוביל את הריצה עד לחמישים המטרים האחרונים, סיים שני בתוצאה של 47.82 שניות.
משוואת ריצ'רדס
משוואת ריצ'רדס (באנגלית: Richards' Equation) היא משוואה דיפרנציאלית חלקית, לא ליניארית, המתארת זרימה של מים בסביבה נקבובית לא רוויה (למשל, בתוך קרקע). פיתוח המשוואה מיוחס ללורנצו א. ריצ'רדס על אף שפיתוח דומה הוצג תשע שנים מוקדם יותר, בשנת 1922 בספרו של לואיס פ. ריצ'רדסון.
ניסוח המשוואה מבוסס על משוואת מאזן המסה ועל חוק השטף של דרסי. פתרון שדה זרימת המים על ידי משוואת ריצ'רדס הוא בעל חשיבות בתחומים כמו הזנת הצמח, השקיה והסעת מומסים. לא ניתן לעסוק בחיזוי וניתוח של תנועת מומסים בקרקע ללא פתרון של משוואת ריצ'רדס ולכן המעקב אחר תנועה של נוטריינטים, חומרי הדברה ואירועי זיהום מחייב את פתרונה.
ניסוח וקטורי של משוואת ריצ'רדס הוא:
formula_1
כאשר,
formula_2 הוא מקדם המוליכות ההידרולית (ביחידות של אורך לזמן)
formula_3 הוא העומד ההידרולי הכולל (ביחידות אורך)
formula_4 היא תכולת הרטיבות (ביחידות של נפח מים לנפח כולל)
formula_5 הוא הזמן
תיאור המשוואה.
משוואת ריצ'רדס כוללת שני נעלמים, העומד הכולל, formula_3, ותכולת הרטיבות, formula_4. לאור זאת, כדי לפתור את משוואת ריצ'רדס יש להוסיף משוואה המכונה עקום התאחיזה המתארת את התלות בין תכולת הרטיבות formula_4 והעומד המטריצי (formula_9). בנוסף, היות שמקדם המוליכות formula_2 תלוי בתכולת הרטיבות, פתרון של משוואת ריצ'רדס מחייב שימוש במשוואה המתארת את מקדם המוליכות כתלות בתכולת הרטיבות. עם זאת, השימוש בעקום התאחיזה לצורך תיאור הקשר בין שני המשתנים התלויים במשוואת ריצ'רדס מתאים כל עוד התלות בין שני המשתנים הגיעה למצב שיווי המשקל שמתואר על ידי עקום התאחיזה ושהעקום לא סובל מתופעת ההיסטרזה.
מפתרון מלא של משוואת ריצ'רדס ניתן לקבל את השדה התלת ממדי של תכולת הרטיבות בכל רגע בזמן. לאור הקשר בין תכולת הרטיבות לעומד המטריצי, ניתן גם לקבל מהפתרון את שדה העומד המטריצי שהוא אחד ממרכיבי העומד הכולל. היות שהמשוואה מתאימה לתנועה האיטית שמתרחשת בקרקע (מספר ריינולדס קטן מאחד), מרכיבי העומד הכולל כוללים את עומד הרום והעומד המטריצי בלבד, בעוד תרומת העומד המהירותי זניחה.
המשוואה בצורתה המקובלת לא כוללת אברי בור ומקור שנובעים, למשל, מצריכת שורשי צמחים. בנוסף, היא אינה כוללת מנגנוני זרימה שנובעים מהבדלים בצפיפות המים (למשל, באזור הפן ביני) ומניחה שהמטריצה המוצקה שמרכיבה את הסביבה הנקבובית לא תופחת ולא מתכווצת. לשם תיאור מנגנונים אלה ניתן להוסיף למשוואה איברים מתאימים שיוגדרו עבור כל אחד מהמנגנונים הללו.
תיאור של שדה הזרימה בקרקע רוויה הוא מקרה פרטי של משוואת ריצ'רדס. היות שתכולת הרטיבות בקרקע רוויה שווה לנקבוביות, משוואת ריצ'רדס מקבלת את הצורה של משוואה המתאימה לפתרון של תנועה של מי תהום, formula_11. במקרים בהם מקדם המוליכות ברוויה אחיד במרחב, משוואת ריצ'רדס מקבלת את הצורה של משוואת לפלס, formula_12.
פיתוח משוואת ריצ'רדס.
ניסוח וקטורי של משוואת מאזן המסה הוא:
formula_13
כאשר formula_14 היא צפיפות המים ו-formula_15 מתאר את שטף המים. משוואת ריצ'רדס מתאימה לזרימה בלתי דחיסה (formula_16) ולכן, ניתן לכתוב :
formula_17
מהצבה של חוק דרסי formula_18 לתיאור השטף והעברת אגפים תתקבל משוואת ריצ'רדס כדלקמן:
formula_1
ניסוח תלוי "θ" ותלוי "h".
הניסוח של משוואת ריצ'רדס הכולל גם את תכולת הרטיבות וגם את העומד המטריצי (formula_4,formula_9)  נקרא הניסוח המעורב (Mixed form). בספרות ניתן למצוא שני ניסוחים נוספים – ניסוח שבו המשתנה התלוי היחיד הוא formula_9 וניסוח שבו המשתנה התלוי הוא formula_4. המעבר מהניסוח המעורב לשני הניסוחים מתקבל על ידי שימוש בכלל השרשרת.
ניסוח תלוי "h" עבור בעיה חד ממדית אנכית.
formula_24
כאשר הפונקציה formula_25 היא הנגזרת של עקום התאחיזה formula_26 ו-formula_27 חיובי כלפי מעלה.
ניסוח תלוי "θ" עבור בעיה חד ממדית אנכית.
formula_28
כאשר formula_29 מכונה מקדם הדיפוזיביות ושווה למכפלה של מקדם המוליכות ושיפוע עקום התאחיזה, formula_30. הבחירה בתיאור של מקדם המוליכות כפונקציה של תכולת הרטיבות עדיפה על תיאורו כפונקציה של העומד המטריצי ממספר סיבות. חלק מהסיבות קשורות ליעילות הפתרון הנומרי של המשוואה וחלקן מבוססות על ההלימה בין התיאור המנגנוני של השינוי במוליכות ההידרולית בקרקע המתרחש עם שינוי בתכולת הרטיבות לבין הביטוי המתמטי למוליכות ההידרולית כתלוי בתכולת הרטיבות formula_31. להלן הסבר פשוט לצידוק המנגנוני : עם עליה בתכולת הרטיבות, חלק גדול יותר מנקבובי הקרקע מלאים במים כך שמסלולי תנועת המים בתווך הנקבובי קצרים יותר, המרחק של חלקיקי הזורם מהדופן של חלקיקי הקרקע גדול יותר ועל כן מקדם המוליכות ההידרולית גדל.
ניסוח המשוואה בקואורדינטות שונות.
כתלות במרחב הבעיה, פתרון במערכת קואורדינטות שונה מהמערכת הקרטזית עשוי להיות דרוש. לדוגמה, ניתן לתאר את התנועה התלת ממדית של מים בתוך בקבוק מלא חול תוך כדי יציאתם דרך פתח הבקבוק על ידי ההנחה שהזרימה מתרחשת תוך שמירה על סימטריה צירית (בעיה אקסי-סימטרית). הניסוח של משוואת ריצ'רדס המתאים לדוגמת הבקבוק יהיה ניסוח בקואורדינטות גליליות עם סימטריה צירית:
formula_32
formula_9 הוא העומד המטריצי (ביחידות אורך)
formula_27 היא הקואורדינטה האנכית (ביחידות אורך, חיובי כלפי מעלה)
formula_35 היא הקואורדינטה הרדיאלית (ביחידות אורך)