בְּדִידִים (או בשמם הלועזי: "מקלות קְוִּיזֶנֶר") הם אמצעי המחשה המשמשים כעזר בהוראת המתמטיקה בכיתות הנמוכות. זוהי מערכת של עשר תיבות שהקטנה שבהן היא קובייה שאורך מקצועה 1 ס"מ, והיתר הן כפולות (בין 2 ל־10) של קובייה זו.
הבדידים ידועים בעולם כ"מקלות קוויזנר". הם הומצאו על ידי ז'ורז' קוויזנר (Georges Cuisenaire, 1891–1976), מורה בבית ספר יסודי מבלגיה, שפרסם ספרון על שימושם ב-1952 שנקרא 'Les Nombres en Couleurs' ("מספרים בצבעים"). הבדידים נבדלים זה מזה באורכם ובצבעם, כך שלשני בדידים באותו אורך יש אותו הצבע, ולהפך. בשיטתו של קוויזנר, כל אחד מסוגי הבדידים מייצג מספר בין 1 ל־10. כך למשל, המספר "1" מיוצג על ידי קובייה לבנה, המספר "2" מיוצג על ידי תיבה שצבעה אדום, וגודלה שווה לשתי קוביות של "1", וכך הלאה.
רקע.
בשנת 1953, גילה פרופ' כלב גטניו, מתמטיקאי יהודי-בריטי יליד אלכסנדריה, את הפוטנציאל של הבדידים כאמצעי המחשה ללימוד אלגברה בגיל צעיר, ופיתח שיטה שלמה ללימוד מתמטיקה וללימוד שפות באמצעותם, כך שהם משמשים להמחשת מצבים, זמנים ושינויים במיצובם. שימוש בבדידים כאמצעי המחשה מתמטי נועד לתמוך בפיתוח היכולת לבצע פעולות פורמליות על מספרים,
ולפעול באופן כמותי, באמצעות הענקת תמיכה מוחשית לתפישה המופשטת של המספר.
הבדידים יכולים לשמש גם ללימוד גאומטריה,
על ידי המחשת מושגי האורך והשטח, ויכולים לשמש גם לבחינת תפיסות מתקדמות יותר, כמו כפל ארוך, שברים ואף חזקות ושורשים.
הבדידים משמשים גם להוראת מתמטיקה לתלמידים בעלי לקויות למידה,
ויש המשתמשים בהם אף להוראת שפה.
בהשפעתו של פרופ' גטניו, הפכו הבדידים לאמצעי לימוד נפוץ, ובסוף שנות ה־50 שימשו הבדידים ללימוד משוואות ליניאריות וגם אלגברה, לפי שיטתו. עד שנת 1960, השתמשו בבדידים יותר מ-10,000 בתי ספר במאה מדינות לשם לימוד מתמטיקה. בישראל, הבדידים ושיטת גטניו הוכנסו לתוכנית הלימודים בשנת 1960, ומאות מורים הוכשרו על ידי פרופ' גטניו עצמו, ועל ידי מורים שהוכשרו על ידו, כמו גאולה זעירי וג'וני אוברמן. בתחילה נקראו מקלות קוויזנר "כפיסים", ומאוחר יותר, בהנחיית משרד החינוך, ניתן להם השם "בדידים". התלמידים שלמדו בשיטת גטניו הגיעו להישגים גבוהים ולהבנה נרחבת של מושגים מתמטיים כבר בכיתה ב', אבל המורים של כיתות ג', שלא הייתה להם השכלה מתמטית גבוהה, התקשו ללמד ברמה הגבוהה שהבדידים איפשרו, לכן, העדיפו אותם מורים לוותר על השיטה, אך לא ויתרו על הבדידים. לתוך החלל שנוצר נכנסה שיטה בשם "1-2-3", שזנחה את הפן המתקדם והמורכב של הבדידים והתמקדה רק בספירה, חיבור וחיסור.
השימוש באמצעי המחשה בהוראת מתמטיקה התרחב בעולם, יחד עם התפישות המודרניות של החינוך, לפיהם הילד אינו "מבוגר קטן" או "לוח חלק", ויש להתאים את ההוראה ליכולות שלו ולתפישותיו. בשנת 1972 החלה פרופ' פרלה נשר לפעול ליישום רעיונות אלו בבתי הספר הישראליים, באמצעות ספרי "אחת, שתיים ו... שלוש", ו"ועוד אחת" של המרכז לטכנולוגיה חינוכית. הבדידים היו אמצעי ההמחשה הזכור ביותר מתוכנית זו.
השימוש באמצעי המחשה היה ידוע שנים רבות, ותפס למשל חלק משמעותי בשיטת מונטסורי, אך הוא התפשט בעולם המערבי בראשית שנות השבעים כתגובה לשיטות קודמות, שתמכו בלימוד מתמטיקה מופשט (new math) ולתפישת החינוך הישנה, שדגלה בשינון ותרגול. השימוש בבדידים ובאמצעי המחשה אחרים מיועד לאפשר לתלמיד לבנות את הידע שלו, תוך כדי יצירת תפישה מתמטית וכישורים לעבודה כמותית. אמצעי המחשה איפשרו פעילויות מתמטיות שבאופן אחר הן מופשטות ולכן לא ניתנות לביצוע בגילאים צעירים, כגון למידת חקר - בחינה עצמאית של תופעות לא מוכרות, והבנתן באמצעים של ניסוח טענות ונימוקים, הבניית מושגים, שיח מתמטי, ובהמשך הוכחות והפרכות.
הלמידה באמצעות אמצעי המחשה היא בעיקרה למידה בהתנסות, בעבודה אישית ובקבוצות, עם דגש על השיח הכיתתי בין התלמידים למורה ובינם לבין עצמם. זוהי גישת האסכולה הקונסטרוקטיביסטית בחינוך, שנולדה בעקבות מחקריו של פיאז'ה על הלמידה האנושית, וגורסת כי הידע נבנה על ידי פעולה בעולם, וכי לא ניתן לבנות ידע שלם בנושא מהקשבה פאסיבית.
ביקורת.
בשנת 2002 הקים פרופסור רון אהרוני את "העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל", תנועת "בחזרה לבסיס" שדגלה בחזרה לשיעורים פרונטליים עם דגש על שינון ותרגול, והתנגדה לגישה הקונסטרוקטיביסטית, ובכללה השימוש בבדידים ובאמצעי המחשה אחרים. הקמת העמותה לוותה בדיון ציבורי ער. לטענת חברי העמותה, שיטת הבדידים משתמשת בהמחשה מסוג אחד בלבד של מושג הכמות, ועלולה ליצור קשרים לוגיים שגויים שמפריעים לתלמיד ללמוד במקום לסייע לו. לדוגמה, הצמדת צבע לכמות על ידי צביעת כל בדיד בצבע המייחד אותו, גורמת לפגיעה בייצוג הפנימי של המספר, ולבלבול אצל תלמידים ממוצעים או חלשים.
ב-2003, בעקבות פעילות העמותה, אסר משרד החינוך את השימוש בבדידים בבתי ספר בישראל, והיא הפכה למדינה היחידה בעולם בה מקלות קוויזנר פסולים לשימוש על ידי משרד החינוך.
עומרי אפק
מלתעות
ביירן מינכן
היסטוריה של אסטוניה
הזמן הקדום.
אבותיו הקדמונים של העם האסטוני חיו לפני מעל ל-5,000 שנים בשבטים באיים הדרום-מזרחיים של הים הבלטי. מעריכים כי במאה הראשונה לספירה חיו באסטוניה למעלה מ-150,000 איש, במשקים חקלאיים קטנים, תחת משטר מבוזר.
מאבקי עצמאות.
אסטונים היו מהעמים האחרונים באירופה שהוטבלו לנצרות. ב־1193 קרא האפיפיור סלסטינוס השלישי לעריכת מסע צלב נגד הפגאניזם בצפון-אירופה. לאורך תקופה ארוכה ניהלו השבטים האסטונים מלחמות נגד צלבנים אשר ניסו לנצרם בכוח הזרוע. צלבנים גרמנים הקימו את מבצר ריגה בלטביה המודרנית, והחלו לפשוט על אסטוניה בעזרת שבטים לטבים. השבטים האסטונים התנגדו להתקפות, ולעיתים אף הצליחו לתקוף שטחים נוצריים. מאוחר יותר, צפון אסטוניה נכבש על ידי צלבנים דנים, וב־1227, מסדר צלבני גרמני הביס את אחרון כיסי ההתנגדות האסטונים. לאחר הכיבוש, האסטונים נוצרו ואיבדו את עצמאותם; ניסיונות לשמר את העצמאות דוכאו, ואסטוניה חולקה בין המסדר הליבוני, בישופות טאלין ובישופות אוסל-וויק. אסטוניה הצפונית הייתה תחת כיבוש דנמרק עד 1346 ולאחר מכן אסטוניה נשלטה על ידי ברונים גרמניים.
ב־1343, החלו תושבי צפון אסטוניה והאי סארמאה במרד שכונה התקוממות ליל ג'ורג' הקדוש (Jüriöö ülestõus) נגד ברונים גרמניים שהשתלטו על המדינה. המרד דוכא בידי אבירי המסדר הטבטוני ונכשל. כתוצאה מן המרד נחלשו הדנים בצפון אסטוניה והמלך ולדמר הרביעי מכר את נחלות הדנים באסטוניה למסדר הטבטוני ב-1346.
למרות ניסיונות רבים למרוד, פשיטות רוסיות שזכו להצלחה ב־1481 וב־1558, הברונים הגרמנים המקומיים המשיכו לשלוט באסטוניה.
ב־1561, אסטוניה הצפונית נמסרה לשליטה שוודית, וב־1625, אסטוניה היבשתית כולה הייתה תחת שליטת שוודיה. ב־1721, הביסה רוסיה את שוודיה במלחמה, והחוק הרוסי נכפה באזור.
בשנת 1819, המחוזות הבלטיים היו הראשונים באימפריה הרוסית בהם האצולה האוטונומית הרשתה לאיכרים בעלות על אדמות ומעבר לערים. המהלכים תרמו לייסוד "הקרן הכלכלית למען תרבות אסטוניה הלאומית", שנועדה לסייע לתרבות האסטונית שדוכאה במשך 600 שנות שליטה זרה, ואסטוניה נסחפה בגל התעוררות לאומית. התנועה קידמה את אימוץ האסטונית כשפת הלימוד בבתי־הספר, קיימה פסטיבלים של זמרה בהשתתפות מאות מקהלות וסייעה לפתח ספרות באסטונית.
ההתעוררות הלאומית והמאבק למען העצמאות.
בעוד מהפכת 1905 ברוסיה פשטה באסטוניה, האסטונים קראו לחופש העיתונות והקמת פרלמנט, לזכות הצבעה ולאוטונומיה לאומית. התוצאות היו צנועות, אך היציבות המתוחה שגברה בין 1905 ל־1917 סייעה לקידום עצמאות כלשהי לחבל האסטוני.
עם התמוטטות האימפריה הרוסית במלחמת העולם הראשונה, העניקה ממשלת מעבר הדמוקרטית של רוסיה אוטונומיה לאומית לאסטוניה. הוקם בית־מחוקקים, אשר אולץ במהרה לרדת למחתרת לאחר מהפכת אוקטובר ברוסיה ותפיסת השלטון באסטוניה על ידי הקומוניסטים. ועדת הבוגרים של בית המחוקקים הכריזה על רפובליקת אסטוניה העצמאית ב־24 בפברואר 1918. ביום המחרת נכבשה טאלין בידי צבא גרמניה הקיסרי.
לאחר תבוסת גרמניה במלחמת העולם הראשונה ונסיגת צבאה מאסטוניה נטלה ב-11 בנובמבר 1918 הממשלה הזמנית מחדש את השליטה במדינה ובעקבותיה גם הפרלמנט. ב-28 בנובמבר פלשו הבולשביקים לשטחה של המדינה הצעירה ובכך פרצה מלחמת העצמאות האסטונית.
במרץ 1919 הצליח צבא אסטוניה המתארגן, שמנה כ-75,000 חיילים, להדוף את הצבא האדום אל מחוץ לגבולות אסטוניה.
באפריל 1919 התארגנה האספה המכוננת (Asutav Kogu) ושימשה בתפקידה עד דצמבר 1920. במהלך שנת 1919 פעלו נציגי אסטוניה בחבר הלאומים בפריס למען הכרה בעצמאות אסטוניה. בדצמבר 1919 התנהלו מגעים בין ברית המועצות לאסטוניה על הסכם שלום ביניהן. ברית המועצות סירבה להפסקת אש ודרשה הסכם שלום מיידי. היא דרשה הכרה בממשלה הסובייטית כשלטון הלגיטימי של רוסיה, סחר חופשי, הוצאת הצבאים הזרים מאסטוניה ואפשרות שימוש בנמלי הים של אסטוניה. בתחילת ינואר 1920 נכרת הסכם הפסקת אש בין אסטוניה וברית המועצות, אך זו לא האריכה ימים.
ב־2 בפברואר 1920, נחתם חוזה טארטו על ידי רפובליקת אסטוניה ורוסיה הבולשביקית, בו ויתרה רוסיה על דרישותיה מאסטוניה והכירה בעצמאותה.
אסטוניה העצמאית בין שתי מלחמות העולם.