אם מקדם ההתקבצות של צומת מסוים, formula_5, שווה ל־1, זה אומר שהסביבה שלו, formula_11, היא גרף מושלם, וכל הצמתים בה מחוברים זה לזה. אם מקדם ההתקבצות שלו הוא אפס, משמעות הדבר היא שהדרך היחידה לעבור בין שני צמתים בסביבה שלו היא דרכו - הוא היחיד שמחזיק את הסביבה מחוברת.
מקדם ההתקבצות של הגרף כולו, נחשב לממוצע מקדמי ההתקבצות של כל הצמתים בגרף: formula_45. בסוציולוגיה הגודל הזה מכונה לעיתים "fraction of transitive triplets", אם כי עשויה להיות לו משמעות מתמטית שונה לעיתים: היחס בין מספר הקשתות הקיימות למספר הקשתות האפשריות בגרף כולו.
באיור משמאל מוצגת סביבה בת 3 צמתים של הצומת המסומן, ומקדם ההתקבצות בקונפיגורציות שונות של קשתות: אם קיימות כל שלוש הקשתות, מקדם ההתקבצות הוא 1, אם קיימת קשת אחת מתוך שלוש, מקדם ההתקבצות הוא שליש, ואם אף צומת בסביבה של הצומת המסומן איננו מחובר לאחרים, מקדם ההתקבצות של הצומת המסומן הוא 0.
גדר הצפון
גֶדר הצפון הייתה גדר תיל מבוצרת שהוקמה בשנת 1938 על ידי שלטונות המנדט הבריטי בצפון פלשתינה-א"י, במסגרת המאבק במרד הערבי. הגדר הוקמה בידי פועלים יהודים, עובדי חברת "סולל בונה", והאחראי לביטחונם היה יהושע אשל. בכל בניית קטע בגדר בנו העובדים מאהל מגורים, ועם סיום בנייתו העתיקו את המאהל למקום הבא. הקשיים בנושא השמירה הובילו לאחר זמן קצר לפנייה ליוסף הכט, שב-1931 סיים את תפקידו כ"מפקד הארצי הראשון של ההגנה". יוסף היה ידוע בכישוריו לפקד ולהניע אנשים, לכן התבקש להצטרף לפיקוד על השמירה, והיה מעורב יחד עם הבריטים בתהליכי הבנייה. לצד הגדר הוקמה שורה של מצודות טגארט ופילבוקסים. תוואי הגדר היה לאורך כביש הצפון, ובהמשך ממצודת כח לכנרת ומדרום הכנרת לירמוך, באופן שיישובי אצבע הגליל נותרו מחוץ לגדר.
על מידת הצלחת הגדר בדיכוי המרד הערבי ניטש ויכוח. רבים סבורים כי הצלחתה בייעודה זה הייתה חלקית בלבד. מבחינת היישוב העברי בארץ ישראל, היה מדובר במעשה חשוב, שחשיבותו אף בעצם עשייתו. משלוח אלף פועלים (מתוך אוכלוסייה של כ-400,000 איש) לחבל ארץ קשה ועוין, על מנת לפתחו, היווה אתגר קשה לכושר הארגון של היישוב. הגנתם של הגוֹדְרִים, שהוטלה גם היא על היישוב העברי, הייתה כשלעצמה מבצע צבאי מורכב; בהפעלתו צברה "ההגנה" ניסיון וידע שלימים שימש אותה היטב. הקמת הגדר הייתה אחד ממבצעי התיישבות והביטחון הגדולים של היישוב העברי בימי המנדט הבריטי. מסכם דוד הכהן בספר זיכרונותיו:
הגדר פורקה בין 1942 ל־1946, וכיום אין לה כל זכר. לאורך כביש הצפון ישנם מבנים ואתרים הקשורים להקמת הגדר ולפעולתה.
רקע היסטורי.
גבולה הצפוני של ארץ ישראל בימי המנדט הבריטי.
הסכם סייקס–פיקו.
עד לימי המנדט הבריטי היו ארץ ישראל, סוריה ולבנון חלק מן האימפריה העות'מאנית. עוד במהלך מלחמת העולם הראשונה פעלו המעצמות לחלוקת השטח ביניהן: בריטניה ראתה בארץ ישראל, בחוף המערבי של המפרץ הפרסי ובשטח שלימים נודע כעיראק שטח השפעה בריטי עתידי, ואילו צרפת תבעה דריסת רגל בסוריה, לבנון, אסיה הקטנה ותראקיה.
על פי הסכם סייקס–פיקו בין הבריטים לצרפתים משנת 1916, נועדה ארץ ישראל להתחלק בין אזורים שבשליטה בריטית ישירה - עבר הירדן המזרחי, הנגב ומובלעת חיפה שתהיה באזור בין מפרץ עכו למפרץ חיפה שתאפשר נמל בריטי לחופי הים התיכון ליצוא הנפט העתיד לזרום בצינור מכירכוכ, אזור בשליטה צרפתית - הגליל העליון וחלקו הגדול של הגליל התחתון, לבין ליבת הארץ שתהיה תחת חסות משותפת של מדינות ההסכמה. גבולו הצפוני של השטח בארץ ישראל המערבית, שנועד להיות תחת חסות משותפת - השטח שלימים נודע כליבתה של פלשתינה-א"י - נקבע מעט מצפון לעכו באזור אכזיב וירד דרומה עד לכנרת, באזור טבחה; גבולו הדרומי נמתח בין עזה לחברון.
המאבק על אצבע הגליל.
לאחר סיום מלחמת העולם הראשונה ולאור העובדה שהבריטים כבשו את ארץ ישראל וסוריה ותרומת הצרפתים למאמץ הזה הייתה שולית, לא ראתה עצמה בריטניה מחויבת לאמור בהסכמי סייקס-פיקו ככתבם וכלשונם. מדיניותה הרשמית, על פי הצהרת בלפור, צידדה בהקמת בית לאומי לעם היהודי בשטחי ארץ ישראל ולא עוד חסות משותפת. התנועה הציונית הפקידה את דרישותיה הטריטוריאליות בידי ועידת השלום בפריז: בצפון - השטח עד הנהר ליטני, שבו ראתה מקור מים חיוני לבית הלאומי העתידי, וכן את מקורות נהר הירדן; ובמזרח השיקו דרישותיה למסילת הברזל החיג'אזית בעבר הירדן המזרחי עד מפרץ עקבה. בדרום נמתח קו הגבול הציוני באלכסון מאל עריש שלחופו הצפוני של חצי האי סיני ועד לטאבה לחופו המערבי של ים סוף.
לפי הסכם חדש מספטמבר 1919, הסכם דוביל, שערכו ביניהם לויד ג'ורג', ראש ממשלת בריטניה וז'ורז' קלמנסו ראש ממשלת צרפת, פינו האנגלים את האזורים שכבשו מצפון לקו שנמתח בין ראש הנקרה לבין בואזיה בעמק החולה (מעט צפונה מאיילת השחר של ימינו). אולם השטח מקו זה וצפונה עד צור, הפך הלכה למעשה לשטח הפקר, ובו ארבע נקודות יהודיות מבודדות: תל חי, מטולה, חמארה וכפר גלעדי, שכן הצרפתים לא ביססו את ריבונותם בו עד הקביעה הסופית של קו הגבול. ערביי המקום ניצלו את המצב כדי למרוד בשלטון הצרפתי, ואף להתנכל לכפרי הנוצרים באזור, שלהם נתנה צרפת את חסותה. כנופיות של בדואים פעלו באזור, בעידוד מסוים של הבריטים. על רקע זה, ועל רקע הרצון ליצור "עובדות בשטח" מצד היהודים והערבים כאחד, הותקפה במרץ 1920 תל חי. במקביל, התנהלו דיונים בין בריטניה לצרפת על קביעת קו הגבול.
סימון הגבול המנדטורי.
ב-23 בדצמבר 1920 נחתם הסכם בין בריטניה לצרפת. צרפת ויתרה על מקצת שטחי הגליל, והותירה בידיה את נהר הליטני, את מקורות הירדן, את מרבית הגולן ואת החרמון. הנימוק של צרפת היה שמירת אחדותם של המתואלים השיעים שישבו משני צדי נהר הליטני.
הגבול המנדטורי יצא מסמח' (צמח) צפונה, חצה את הכנרת, עלה עד סמוך לבניאס תוך הכללת שטחים נרחבים מצדו המזרחי של הירדן, ומהבניאס פנה מערבה, שמר את מטולה בשטח המנדט, וירד דרומה עד סמוך לקיבוץ סאסא, ומשם, תוך פיתולים מסוימים, מערבה עד ראש הנקרה. התוצאה הייתה יצירתה של אצבע הגליל, וכך נוספו לשטח המנדט הבריטי מטולה, תל חי וכפר גלעדי, שעד ההסכם היו מחוץ לתחומי המנדט. רבים ייחסו את שינוי הגבול והכללת אצבע הגליל בתחומי ארץ ישראל, ומכאן בתחומי המדינה היהודית העתידית, להתיישבות היהודית במטולה ובתל חי.
בוועידת סן רמו אושר המנדט הבריטי על ארץ ישראל. באפריל 1921 הסכימו צרפת ובריטניה על הגבול הבינלאומי החדש, על פי הסיכום מדצמבר 1920, אך נקבע כי הגבול כפוף לשינויים על פי מדידות מפורטות שתיערכנה. את המדידות ערכה ועדה בראשות הצרפתי פּוֹלֶה (Paulet) והבריטי ניוּקוֹם (Newcombe), שפעלה בין מרץ 1921 לפברואר 1922 (ההסכם שנוסח בעקבות פעולתה נודע בשם הסכם ניוּקוֹם-פּוֹלֶה). כל עוד נמשכו המדידות היה קו הגבול המדויק בלתי ברור. כך, למשל, נערך בלבנון מפקד אוכלוסין על ידי השלטונות הצרפתיים, ונכללו בו (וכתוצאה מכך גם קיבלו אזרחות צרפתית) גם תושבי הכפרים המתואליים בגליל, שנותרו לאחר מכן בשטח ארץ ישראל, וכן תושבי מטולה וכפר גלעדי.
רק בשנת 1924 לבש הגבול את צורתו הסופית. צרפת ויתרה על מחצית שטח הכנרת, ועל שטח באזור כפר בירעם (כיום: קיבוץ ברעם), והשיבה לעצמה את השטחים ברמת הגולן ממזרח לירדן. גבול זה, שנקבע במשא ומתן בין המעצמות, הוא כיום הגבול הבינלאומי המוכר בין המדינות הריבוניות ישראל ולבנון.
המרד הערבי הגדול.
באפריל 1936 פרץ המרד הערבי הגדול. כבר משלביו הראשונים של המרד היה ברור שהצלחתו תלויה בסיוע שיקבלו המורדים מבחוץ. באוגוסט 1936 הגיע לארץ ישראל פאוזי אל קאוקג'י, יליד לבנון, ששימש המפקד הצבאי של המרד, ועמו מאות חמושים שחצו את הגבול מסוריה ומירדן. מאוקטובר 1936 ובמהלך שנת 1937 חלה הפוגה באירועים, עד רצח מושל הגליל, לואיס אנדרוס, ב-26 בספטמבר 1937 בידי הערבים. רציחתו של אנדרוס סימנה שלב חדש ורצחני במרד. המורדים ניסו להשתלט על אזורים שלמים בארץ ולהשליט שם את שלטונם. אזור הגליל ההררי - שבו היו פזורים יישובים יהודיים מעטים בין יישובים ערביים רבים, ובו קיבלו המורדים אספקה רצופה של כוח אדם, תחמושת ונשק מתומכיהם בסוריה ובלבנון - נראה מתאים להשתלטות כזו. ואכן, לקראת סוף שנת 1937 נראה היה כי הגליל צפוי ליפול לידי המורדים, ושטחים רבים בגליל אכן היו בשליטתם, כאשר הגבולות עם סוריה ולבנון פרוצים, ומשמשים לאספקת נשק וכוח אדם למרידה כולה. נראה כי הצלחתם של הבריטים בדיכוי המרד תלויה באופן שבו יצליחו להשתלט על צפונה של המדינה, ולמנוע מעבר אספקה וכוח אדם למורדים.
פנייתה של בריטניה לשלטונות הצרפתים לסיוע בסגירת הגבול לא הועילה. חלק ניכר מסמכויותיה השלטוניות של צרפת כבר היה נתון בידי המדינות העצמאיות סוריה ולבנון, שרחשו אהדה למורדים. כמו כן, אנשי הממשל הצרפתי חשו טינה נושנה כלפי הבריטים - האחרונים סירבו לסייע להם בדיכוי המהומות בסוריה בשנת 1925 - ומצאו כי עתה בידם להעניק לבריטים יחס דומה.
לממשלת בריטניה היו בשלב זה ניסיון וידע בדיכוי מרידות בשטחי שלטונה. במלחמת הבורים השנייה, בתחילת המאה ה-20, הצליחו הבריטים לדכא את לוחמי הקומנדו הבורים באמצעות חלוקת השטח לתאי שטח המגודרים בגדר תיל (שימוש ראשון באמצעי זה, שהומצא אך בשנת 1876 בארצות הברית ושימש במיוחד לתיחום עדרי בקר), ושליטה בתאי השטח המבודדים. ברור היה כי את הגבול שבין ארץ ישראל, סוריה ולבנון יש לגדר ולתחם באופן שתתאפשר שליטה במעבר בין המדינות, ותופגן נוכחות אפקטיבית בריכוזי האוכלוסייה הערבים בגליל.
לקראת הצבת הגדר.
סלילת כביש הצפון.