רק בימי הביניים, אני עדים לקיום דיון על קיומו של האל. ההוגים היהודים הרציונליסטים מימי הביניים ואילך הגדירו אמונה לאור המסורת הפילוסופית ממקורותיה היווניים, כקבלת דבר מה כנכון.
המקור בתורה ובהלכה.
בתורה נאמר: , ועל סמך פסוק זה פוסק הרמב"ם בספרו ההלכתי משנה תורה:
המחלוקת על הגדרת המצווה.
הרמב"ם, הרמב"ן, ספר החינוך ועוד, רואים באמונה אחת מתרי"ג מצוות. מאידך, בעל "הלכות גדולות" לא מנה אותה בספר המצוות שלו. על כך כתב הרמב"ן: "והנראה מדעתו שלבעל ההלכות שאין מנין תרי"ג מצות אלא גזירותיו יתעלה שגזר עלינו לעשות או מנענו שלא נעשה, אבל האמונה במציאותו [...] הוא העיקר והשורש שממנו נולדו המצוות לא ימנה בחשבונן".
גם אופי האמונה הנדרשת שנוי במחלוקת. לדעת הרמב"ם, המצווה היא בידיעה.
פרשנות המצווה.
על פי הפרשנות צריך לקבוע את האמונה בתודעה, ולדעת שאין אפשרות אחרת מעקרונותיה. המצווה מחייבת פעולות המחזקות את האמונה והימנעות מעיסוקים הפוגעים בה.
על פי הפרשנות פירושה של המילה "אמונה" היא משורש אמון, שפירושה לסמוך על הבורא, ולהאמין שכל מעשיו הם אך ורק על מנת להיטיב לברואיו. לפיכך האמונה בו כוללת כמה חלקים.
א. הידיעה שהוא קיים.
ב. הידיעה שהוא אינו מוגבל, ושהוא היחיד בעל הכוחות.
ג. הידיעה שכל שרצונו להיטיב.
ד. הידיעה שבחר בעם ישראל להיות הם תכלית הבריאה ולהיטיב להם באחריתם.
כלל הידיעות הללו הם הנקראים "אמונה" ואם יחסר אחד מהם הרי זה חיסרון באמונה כולה.
לפי ההבנה הזאת זהו פירושו של הפסוק "אנכי ה' אלוהיך אשר הוצאתיך וכו'" שנאמר בתחילת מתן התורה, דע שאני אחד, שאני בעל הכוחות כולם, ושאני הוצאתיך כדי להיטיב לך.
ישנה מחלוקת בין ההוגים היהודיים, האם האמונה צריכה להיות מבוססת על מחקר ובירור שכלי, או להיות "אמונה תמימה" - נתינת אמון במסורת הדורות, ובלי להעמיק יתר על המידה בחקירת העניין, הבולט שבין המחזיקים בגישה האחרונה הוא רבי נחמן מברסלב.
טעם המצווה.
מצווה זו היא היסוד הבסיסי ביותר ביהדות, כי האמונה נותנת תוקף לכל שאר המצוות.
חשיבות האמונה למוסר והאתיקה האנושית.
על פי היהדות, האמונה היא היסוד הבסיסי ביותר לעשיית הטוב ולהימנעות מרע שכן אמונה באלוהים משמעותה אמונה בחוקותיו כפי שנמסרו בתורה כגון האיסור לשקר, האיסור לרכל (להלן רכילות), האיסור לדבר לשון הרע, האיסור לגזול, האיסור לגרום צער לזולת באמצעות הדיבור.
מפתח ציבורי
הצפנת מפתח ציבורי (Public key encryption) היא ענף בקריפטוגרפיה הנקרא גם הַצְפָּנָה אָסִימֶטְרִית (Asymmetric encryption), שבו מפתח ההצפנה שונה ממפתח הפענוח. כלומר, כל משתמש מכין לעצמו זוג מפתחות: מפתח ציבורי (Public key) שהוא מפתח הצפנה הנגיש לכל ומפתח פרטי (Private key) מתאים, הנשמר בסוד ומשמש לפענוח. ההתאמה היא חד-חד-ערכית (לכל מפתח ציבורי קיים אך ורק מפתח פרטי יחיד המתאים לו, ולהפך). כדי להצפין מסר בשיטה זו על המצפין להשיג לידיו עותק אותנטי של המפתח הציבורי של המקבל, שבעזרתו הוא מצפין ושולח לו את המסר. רק המקבל מסוגל לשחזר את הטקסט המוצפן בעזרת המפתח הפרטי המתאים שברשותו. ביטחון שיטת המפתח הציבורי נשען על הקושי שבחישוב המפתח הפרטי מתוך המפתח הציבורי. מסיבה זו מכונה שיטה זו "אסימטרית", בניגוד לשיטת הצפנה סימטרית, שבה מפתח הפענוח זהה למפתח ההצפנה (על כל פנים ניתן לחישוב בקלות מתוך מפתח ההצפנה).
המונח הצפנת מפתח ציבורי מתייחס לשיטות קריפטוגרפיות שהדגש בהן הוא שימוש במפתח הצפנה לא סודי. השימושים העיקריים במפתח ציבורי הם:
הגדרה בסיסית.
כל מערכת הצפנת מפתח ציבורי מכילה מספר פרמטרים בסיסיים. לצורך ההסבר, מקובל לכנות את השולח והמקבל אליס ובוב ואיב היא מצותתת פסיבית, ייתכנו גורמים נוספים כמו קרול או מלורי שלהם "תפקידים" שונים בהתאם לנושא. בתיאור זה אליס היא השולחת ובוב המקבל. formula_1 מייצג את מרחב כל המסרים האפשריים מהם אליס מעוניינת לשלוח מסר אחד formula_2 לבוב, בסימון מתמטי formula_3. מרחב המסרים יכול להיות מקודד בכל דרך מוסכמת כמו מחרוזת בינארית או מספר שלם ובלבד שתהיה דרך קלה ומסוכמת להמיר את המסר לפורמט המתאים למערכת ההצפנה ובחזרה. המסר המוצפן המתקבל שייך למרחב המסרים המוצפנים של המערכת המסומן ב-formula_4 או בקיצור formula_5. (ברוב המקרים המרחבים חופפים כך שמתקיים formula_6 אך אין זה חובה). מה שמייחד מערכת אסימטרית הוא מרחב המפתח formula_7 של בוב, שבניגוד למערכת סימטרית מורכב למעשה משני מפתחות, מפתח פרטי המסומן ב-formula_8 ומפתח ציבורי מתאים formula_9. באופן פורמלי:
המפתח הציבורי formula_9 משמש את פונקציית ההצפנה formula_12 כך:
במילים, פונקציית ההצפנה formula_12 היא פונקציה חד-כיוונית שיכולה להיות גם פונקציה הסתברותית, המקבלת את formula_2 ואת formula_9, מצפינה את formula_2 ומחזירה את הטקסט המוצפן formula_18. במקרה של הצפנה הסתברותית נוסף לתהליך ההצפנה אלמנט אקראי כך שבכל פעם שמצפינים את formula_2 יתקבל formula_18 אחר, אפילו אם המפתח זהה.
באופן דומה המפתח הפרטי formula_8 משמש את פונקציית הפענוח formula_22 כך:
פונקציית הפענוח formula_22 היא פונקציה דטרמיניסטית המבצעת את הפעולה ההפוכה, היא מקבלת את formula_18 ואת המפתח הפרטי formula_8 ומשחזרת את formula_2 המקורי. עבור כל מפתח ציבורי קיים אך ורק מפתח פרטי יחיד המתאים לו וכמו בכל מערכת הצפנה כדי שהיא תקרא שלמה; בהינתן כל זוג מפתחות תואם formula_10 וכל מסר formula_3 צריך תמיד להתקיים:
לפי עקרונות מערכת הצפנה מודרנית מקובל שפונקציות ההצפנה והפענוח אינן סודיות והן ידועות לכל, הדבר היחידי שנשמר בסוד הוא מפתח הפענוח. ומעל הכול כדי שמערכת כזו תקרא בטוחה, חובה שיהיה "קשה מאוד" לאויב לחשב את מפתח הפענוח הפרטי formula_8 מתוך מפתח ההצפנה הציבורי formula_9 הידוע לכל. ולכן יהיה קשה מאוד לחשב את פונקציית הפענוח formula_33 בהינתן המידע המתקבל מפונקציית ההצפנה formula_34.
ישנם כמה מודלים תאורטיים להערכת ביטחון מערכת הצפנה אסימטרית. באופן לא פורמלי בביטוי "קשה מאוד" מתכוונים שניסיון לנחש את המפתח הפרטי מתוך המפתח הציבורי עם מיטב האלגוריתמים הידועים יהיה בסיבוכיות גבוהה מעבר ליכולת המחשוב הנוכחית עם שולי ביטחון מניחים את הדעת. זו תכונה יסודית של מערכת הצפנה אסימטרית ומכאן נובע שמה. מסיבה זו המקבל בוב יכול לשלוח לאליס ללא חשש את מפתח ההצפנה באמצעות ערוץ תקשורת פתוח שניתן לציתות על ידי כל אחד. הדרך היחידה לפענח מסר שהוצפן עבור בוב עם המפתח הציבורי שלו היא לדעת מהו מפתח הפענוח formula_8 המתאים שברשותו. ההנחה היא שרק בוב יודע מהו כי הוא נשמר בסוד ולעולם אינו נשלח ברשת פתוחה. המפתח הפרטי נקרא מהיבט תאורטי "דלת צונחת" מכיוון שהוא מאפשר קיצור דרך למקבל כדי לחשב את הפונקציה ההופכית של פונקציית ההצפנה החד-כיוונית ולפענח את המסר המוצפן ביעילות.
בתרשים למעלה מתוארת מערכת מפתח ציבורי טיפוסית: בוב מכין זוג מפתחות formula_36. את המפתח הציבורי formula_9 הוא שולח לאליס ואת formula_8 הוא שומר בסוד. כעת אליס מצפינה את המסר formula_2 עבור בוב באמצעות הפונקציה formula_40 ואילו בוב משחזר את הטקסט המוצפן באמצעות formula_41. איב שהיא מצותתת פאסיבית המסוגלת לראות את תעבורת הרשת, רואה את formula_9 (שנשלח על ידי בוב) ואת formula_18 (שנשלח על ידי אליס). אולם ההנחה היא שאיב תוכל לפענח את הטקסט המוצפן formula_18 רק בידיעת formula_8. כיוון ש-formula_8 מעולם לא שודר, ביכולתה רק לנחשו בכוח גס כלומר ניסוי כל האפשרויות שברוב המכריע של המקרים, אם המפתח מספיק גדול, אינו בר ביצוע מבחינה מעשית.
ביטחון.
הצפנת מפתח ציבורי ניתנת ליישום על בסיס מגוון רחב של בעיות מתמטיות קשות שלא ידוע אם קיים עבורן פתרון בזמן פולינומי. בעיות אלו מאפשרות יישום פונקציה חד כיוונית עם דלת צונחת. הצפנה שקולה להפעלת הפונקציה החד-כיוונית על המסר ואילו הפענוח נעשה על ידי המפתח הפרטי שנקרא דלת צונחת, שהוא מידע נסתר שהמקבל מנצל כדי להפוך את הפונקציה החד-כיוונית. ללא מידע זה הפיכת הפונקציה תהיה קשה, כי זה נובע מעצם הגדרתה, אלא אם תמצא דרך יעילה לפתור את הבעיה המתמטית שבבסיס הרעיון.
טרם ניתנה הוכחה פורמלית לכך שפונקציה חד-כיוונית אכן קיימת, הוכחה כזו בהכרח תשליך על פתרון בעיה מתמטית ארוכת שנים מתורת הסיבוכיות שנקראת P=NP, מה שלא סביר כלל שיקרה. לכן הדרך המקובלת להתייחס לפונקציה חד-כיוונית היא במונחים של יעילות חישובית. מועמדת טובה לפונקציה חד-כיוונית היא פונקציה כזו שכדי לחשב את הפונקציה ההופכית שלה ללא ידיעת המידע הנסתר נדרשת עוצמת מחשוב וזמן ביצוע כאלו שאינם מעשיים כלל. ורק בחלוף הזמן אם חרף מאמצים מרובים של מומחים רבים לא נמצאה דרך יעילה להפוך את הפונקציה, היא נחשבת בטוחה לשימוש וככל שעובר הזמן היא צוברת אמון רב יותר.
לדוגמה, הפונקציה: