בוחרים סט ראשוני של מיקומים מרחביים ותנעים: formula_4 ומבצעים אינטגרל על משוואות התנועה (1) עד שמגיעים לזמן בו מתרחשת ההתנגשות הסטוכסטית הראשונה. נסמן את החלקיק שהשתתף בהתנגשות ב- i. אז התנע של החלקיק לאחר ההתנגשות נבחר אקראית מהתפלגות בולצמן בטמפרטורה T. השינוי בתנע מתרחש מיידית. שאר החלקיקים אינם מושפעים מההתנגשות, ולכן יש לבצע אינטגרל על משוואות התנועה המייצגות את סך כל החלקיקים, עד הזמן בו מתרחשת ההתנגשות הבאה. וחוזר חלילה על האלגוריתם המתואר, זהו אלגוריתם של אנדרסון.
התוצאה של תהליך זה היא מסלול מוגבל של N חלקיקים בנפחV: formula_5. מסלול זה יכול לשמש לחישוב ממוצעי זמן של כל גודל שהוא formula_6 באופן הבא:
formula_7
השילוב של המכניקה של ניוטון והתנגשות סטוכסטית הופכות את הסימולציה הזו לשרשרת מרקוב. אנדרסון הראה שהחלוקה הקנונית במרחב הפאזה אינה משתנה תחת יישום חוזר ונשנה של האלגוריתם הנ"ל. בשילוב עם העובדה ששרשרת מרקוב אינה מחזורית ואינה ניתנת להפחתה, משתמע שהאלגוריתם של אנדרסון אכן מייצר התפלגות קנונית. למעשה, ממוצע הזמן של כל F כלשהו המחושב באמצעות מסלול אנדרסון שווה לממוצע האנסמבל של F עבור האנסמבל הקנוני בו הטמפרטורה היא T.
formula_8
formula_9
כאשר Q היא פונקציית החלוקה של האנסמבל הקנוני ו- formula_10
החיסרון.
של התרמוסטט של אנדרסון הוא שמאחר והאלגוריתם משנה את המהירויות באופן אקראי הדינמיקה למעשה אינה פיזיקלית. כך שהתרמוסטט של אנדרסון לא מהווה שיטה טובה למדידת המאפיינים הדינמיים של המערכת.
התרמוסטט של נוייס הובר - שיטה של המערכת המורחבת.
הרחבה של משוואות התנועה.
האנרגיה של מערכת של N חלקיקים בטמפרטורה קבועה מבצעת תנודות סביב ערך שיווי המשקל. לכן, על מנת לדמות מערכת שכזו צריך מנגנון כלשהו שיגרום לתנודות אלה. לשם כך, נוייס מציע לגראנגיאן מורחב, לאגרנג'יאן המכיל קואורדינטות ומהירויות נוספות ומאלכותיות. למעשה, שיטת הלגרנג'יאן המורחב הוצגה לראשונה על ידי אנדרסון בסימולציית הלחץ הקבוע. השימוש בשיטה זו נפוץ יותר באופן שהציע נוייס ולכן שיטה זו מכונה גם התרמוסטט של נוייס-הובר.
נניח שהמערכת המדומה מכילה N חלקיקים עם קואורדינטות formula_11, מסות formula_12, אנרגיה פוטנציאלית formula_13 ותנע formula_14. דרגת חופש נוספת s משמשת כמערכת חיצונית למערכת המדומה. בנוסף, ישנם משתנים וירטואליים formula_15 שקשורים למשתנים האמיתיים (q^',p^',t) באופן הבא:
formula_16
והמהירות האמיתית מבוטאת על ידי:
formula_17
כעת ניתן להסתכל על הטרנספורמציות הנ"ל בשינוי זמני: formula_18.
הלגרנג'יאן של המערכת המורחבת של N חלקיקים ומשתנה s במונחי המשתנים הווירטואליים:
formula_19
כאשר Q זוהי המסה האפקטיבית שקשורה לs ו-g מייצג במהותו את מספר דרגות החופש של המערכת. עם זאת, ערכו המדויק יבחר כך שתהיה התפלגות קנונית בשיווי משקל. בנוסף, לוגריתם תלות הפוטנציאל במשתנה s היא חיונית לייצור האנסמבל הקנוני. הקשר בין התנע לבין formula_20 ו-s ניתן באופן הבא:
formula_21
באמצעות קשרים אלה ניתן להגיע להמילטוניאן של המערכת המורחבת של N חלקיקים והמשתנה s במונחי המשתנים הווירטואליים:
formula_22
לפי הפורמליזם של ההמילטוניאן משוואות התנועה ניתנות על ידי:
formula_23
formula_24
formula_25
formula_26
כעת ניתן לראות שההמילטוניאן המורחב formula_27 נשמר כאשר המערכת המורחבת נוצרה לפי משוואות התנועה הנ"ל. לכן, שיטה זו מייצרת אנסמבל מיקרוקנוני עבור המערכת המורחבת.
שימור האנסמבל הקנוני.
היתרון בהמילטוניאן המורחב הוא שניתן להשליך את פונקציית החלוקה של המערכת המורחבת על המערכת המקורית, והאצלה תשחזר את האנסמבל הקנוני. פונקציית החלוקה של המערכת המורחבת:
formula_28
כאשר E מייצג את האנרגיה שניתנה מראש ו- formula_29 מייצג את ההמילטוניאן הקלאסי:
formula_30
באמצעות החלפת משתנים ניתן להמיר את המשתנים הווירטואליים למשתנים האמתיים, ולקבל:
formula_31
נשים לב, שעבור g= 3N+1 פונקציית החלוקה של המערכת המורחבת זהה לפונקציית החלוקה של המערכת המקורית באנסמבל הקנוני מלבד פקטור קבוע:
formula_32
ואז, פונקציית החלוקה בשיווי משקל:
formula_34
ולבסוף נקבל:
formula_35
תרמוסטט גאוסיאן- שינוי קנה המידה של המהירות.
זו השיטה הראשונה שהוצעה לקיבוע ערך הטמפרטורה (ללא תנודות). בשיטה זו המהירויות נמדדות לפי קנה המידה:
formula_36
כאשר formula_37 זו הטמפרטורה הרצויה ו-T זו הטמפרטורה שחושבה באמצעות מהירות החלקיקים.
הרחבה של שיטה זו מרמזת על אילוץ משוואות התנועה כדי לשמור על הטמפרטורה קבועה. עקרון גאוסיאן עבור האילוץ הפחות משמעותי קובע כי כח שנוסף להגבלת תנועה החלקיקים צריך להיות מאונך למשטח. לפי עקרון זה, כח מאלץ formula_38 מתווסף למשוואת הכוחות (1) וכתוצאה מכך המשוואות לא מוצגות בצורה הקנונית. הפרמטר α נקבע לפי הדרישה שהטמפרטורה, או האנרגיה הקינטית הכוללת, קבועה:
formula_39
formula_40
formula_41
השיטה הזו יכולה לשחזר את ההתנהגות הקנונית בקואורדינטות מרחביות אם קובעים g= 3N-1 כאשר N מייצג את מספר החלקיקים. כיוון שנעשה שימוש בעקרון גאוסיאן, שיטה זו נקראת גם תרמוסטט גאוסיאן. תרמוסטט זה הוא למעשה מקרה פרטי של תרמוסטט נוייס-הובר.
חסרון.
ישנו חסרון בשיטה, כיוון שהיא מניבה אי רציפות בתנע של המסלול בעקבות נוהל שינוי קנה מידת המהירות בכל שלב.
ליגת הכדורגל הלאומית המקצוענית (דרום אפריקה)
ליגת הכדורגל הלאומית המקצוענית (באנגלית: The National Professional Soccer League, בראשי תיבות: NPSL) הייתה שמה של ליגת כדורגל הבכירה בדרום אפריקה, בשנים 1971–1995. באותן שנים, הליגה נוהלה על ידי שלושה ארגונים שונים לחלוטין. בשנת 1996 ירשה אותה ליגת העל הדרום-אפריקאית.
היסטוריה.
1971–1977.
בשנים 1971–1977 הליגה שנראה ליגת קאסל (NPSL Castle League) הייתה מיועד רק לקבוצות דרום אפריקאיות שחורות.
1978–1984.
בשנת 1978 הליגה התמזגה עם ליגת הכדורגל הלאומית (NFL), שבעבר התארגנה רק לשחקנים דרום אפריקאים לבנים בשנים 1959–1977. שתי הליגות הקימו יחד ליגת כדורגל חדשה "לא גזעית" שהתקיימה בשנים 1978–1984 (נקראה בשם NPSL), שם הותר ל"קבוצות הלבנות" להחזיק מקסימום שלושה שחקנים שחורים.
ורנר מייקל בלומנטל
ורנר מייקל בלומנטל (באנגלית: Werner Michael Blumenthal או W. Michael Blumenthal; נולד ב-3 בינואר 1926) הוא איש עסקים, כלכלן ופוליטיקאי יהודי אמריקאי יליד גרמניה, שכיהן כמזכיר האוצר של ארצות הברית בממשלו של הנשיא ג'ימי קרטר בשנים 1977–1979.
ב-1939, בגיל 13, נמלט בלומנטל מגרמניה הנאצית עם משפחתו, ונאלץ לעבור את שנות מלחמת העולם השנייה בגטו שאנגחאי הכבושה בידי היפנים עד 1947. לאחר מכן הוא הגיע לסן פרנסיסקו, שם עבד בעבודות מזדמנות שונות כדי לממן את השכלתו. הוא למד בקולג', ובסופו של דבר סיים את לימודיו באוניברסיטת קליפורניה בברקלי ובאוניברסיטת פרינסטון עם תארים בכלכלה בינלאומית. במהלך הקריירה שלו היה היה פעיל הן בתחום העסקי והן בשירות הציבורי.
לפני שמונה לתפקיד בקבינט של הנשיא הנבחר קרטר, היה בלומנטל למנהל עסקי מצליח והחזיק במשרות בממשליהם של הנשיאים ג'ון פיצג'רלד קנדי ולינדון ג'ונסון. כאיש ממשלו של קרטר, הוא סייע להוביל את המדיניות הכלכלית ולקח חלק בחידוש הקשרים עם סין. לאחר התפטרותו הוא היה ליושב הראש והמנהל הכללי של חברת ייצור החומרה "בורוז קורפוריישן" , שהתמזגה והפכה לחברת "יוניסיס" . לאחר מכן הוא שימש 17 שנים כמנהל המוזיאון היהודי בברלין המשוחזר. בלומנטל פרסם את הספרים "החומה הבלתי נראית" (The Invisible Wall, יצא לאור ב-1998) ו"מגלות לוושינגטון: זכרונות מנהיג במאה העשרים" (From Exile to Washington: A Memoir of Leadership in the Twentieth Century, יצא לאור ב-2013).
ראשית חייו.
ילדות בגרמניה הנאצית.
ורנר מיכאל בלומנטל נולד באורניינבורג שברפובליקת ויימאר (כיום במדינת ברנדנבורג שבגרמניה), כבנם של רוז ואלרי (לבית מרקט) ואוואלד בלומנטל. משפחתו הייתה משפחה יהודית ממעמד כלכלי צנוע שבבעלותה הייתה חנות בגדים. אבות אבותיו חיו באורניינבורג מאז המאה ה-16. לאחר חקיקתם של חוקי נירנברג של המפלגה הנאצית ב-1935, חשו בני המשפחה חשש לחייהם והבינו שעליהם להמלט מגרמניה. בלומנטל זכר את ליל הבדולח, סדרה של התקפות מתואמות נגד היהודים ורכושם שהתרחשה בכל רחבי גרמניה ב-9 בנובמבר 1938.
אנשי הגסטפו התפרצו לבית משפחת בלומנטל בבוקרו של אחד הימים ב-1938 ועצרו את האב מבלי לציין שום סיבה. אביו של בלומנטל נלקח לבוכנוואלד, אחד ממחנות העבודה הגדולים ביותר בגרמניה, שבו נרצחו בסופו של דבר כ-56,000 איש, רובם יהודים. אמו של בלומנטל מכרה בחופזה את רכוש המשפחה והצליחה להשיג את שיחרורו של בעלה. לא הייתה להם ברירה אלא למכור את חנות הבגדים שהייתה בבעלותם שנים רבות למנהלת החנות תמורת "שום דבר למעשה", אמרה אחותו הגדולה של בלונמטל, סטפני. היא נזכרה, "אימי בכתה - לא כל כך בגלל האובדן, אלא בשל התחושה של חוסר ההגינות של זה, שמישהי שהכשרנו לעבודה, ויכלה לפנות נגדנו, יכלה להשיג משהו שעבדנו עבורו כל כך קשה, עבור שום דבר".
פליט בשאנגחאי.