החל משנת 2002 עורכת הקבוצה ניסוי עולם קטן דרך הדואר האלקטרוני שמתעתד להיות "האימות הראשון להשערת העולם הקטן בקנה מידה גדול, כלל-עולמי". בשנת 2003 נגמר החלק הראשון של הניסוי, בו השתתפו מעל 60,000 איש שניסו להגיע ל-18 אנשי יעד מ-13 מדינות, ותוצאותיו פורסמו בכתב העת "Science". לפי החוקרים, רמת ההפרדה נעה בין 5 מתווכים, כשאיש היעד והמשתתף שמתחיל את השרשרת נמצאים באותה מדינה, לבין 7 מתווכים, כשהם נמצאים במדינות שונות.
בניגוד לניתוח התוצאות בניסוי של מילגרם, במחקר זה התחשבו בשרשראות שלא הושלמו בעת חישוב רמת ההפרדה. עם זאת, בדומה לניסוי של מילגרם, לא ברורה מידת ההתחשבות בכך שנבחרה מלכתחילה אוכלוסייה שאיננה בהכרח מייצגת: המשתתפים בניסוי עשויים להיות פרטים מקושרים יותר (משתמשים בעלי גישה לדואר אלקטרוני) וקרובים יותר אל אנשי היעד (שגם להם גישה לדואר האלקטרוני), דבר שעשוי להוות גורם למתן תוצאה נמוכה מהנתון הממשי. מבצעי המחקר כתבו שאוכלוסיית המשתמשים בדואר האלקטרוני גדולה מאוד ולכן מספיקה לביצוע ניתוחים סטטיסטיים, אך אין זה אומר בהכרח שהיא מייצגת את כלל האוכלוסייה האנושית.
החוקרים אף ציינו שבניסוי שלהם לא נצפה שימוש ב"רכזות" מצד המשתתפים, ושבחיפוש כזה ברשת חברתית אחר יעד מסוים יש להן משמעות מוגבלת בלבד.
דיגום מתמטי.
תורת הרשתות האקראיות.
לפי מודל הגרפים האקראיים שפיתחו פול ארדש ואלפרד רניי, כאשר הדרגה הממוצעת של גרף מגיעה ל-1 ייווצר צביר (רכיב קשירות) שכולל את רוב הצמתים בגרף. במילים אחרות, ברגע שבו לכל צומת יהיה קישור אחד בממוצע, רוב הצמתים יהיו מקושרים לרוב הצמתים האחרים. התפלגות הדרגות של צומת במודל זה היא התפלגות פואסון, בה יש מקסימום ראשי, ומשני צדדיו ההסתברות צונחת במהירות. משמעות הדבר היא שאם נחיל את המודל של ארדש ורניי על החברה האנושית, לרוב האנשים יהיה אותו מספר של חברים בקירוב, וההסתברות למצוא אדם שסוטה מהממוצע קטנה באופן מעריכי ביחס למרחק מהממוצע.
אף על פי שהרשת החברתית האנושית איננה גרף אקראי, תופעה זו של הופעת הצביר מספקת קנה מידה לשם השוואה. לפי ההערכות המקובלות, כיום רוב האנשים בעולם מכירים בין 200 ל-5,000 אנשים באופן אישי - הרשת החברתית האנושית עוברת בהפרזה את הדרגה הנדרשת ליצירת צביר.
צבירים.
בסוף שנות ה-60 של המאה ה-20 החל מארק גרנובטר, סטודנט לתואר שלישי באוניברסיטת הרווארד, לחקור רשתות חברתיות, לאחר שנחשף לרעיון בסדרת הרצאות של הריסון וייט, מחלוצי הסוציולוגיה המתמטית. במאי 1973 פורסם מאמרו של גרנובטר "עוצמתם של קשרים חלשים", לאחר שנדחה ב-1969 בידי ה-"American Sociological Review" ("בשל סדרה אינסופית של סיבות שבולטות מיד לעין", כפי שנוסח בידי אחד הבודקים האנונימיים שדחו את כתב היד), וחולל מהפכה בתחום.
גרנובטר בדק כיצד 282 עובדי "צווארון לבן" (עובדים בתפקידים טכניים, תפקידי ניהול וכדומה; בניגוד ל"צווארון כחול" - תפקידי ייצור) הגיעו לעבודותיהם הנוכחיות. הוא גילה שיותר ממחציתם (56%) הגיעה לעבודה הזו דרך היכרויות אישיות, בעוד רק 19% התקבלו לעבודה דרך פרסומים וסוכנויות העסקה, 19% נוספים דרך פנייה ישירה לחברה, ו-7% באופנים אחרים.
גרנובטר המשיך ובדק את חוזק הקשרים בין העובדים למכרים שעזרו להם להשיג את עבודותיהם. לצורך זה הוא חילק את הקשרים לשלוש קטגוריות לפי תדירות המפגשים בין העובדים למכרים:
גרנובטר ריאיין 100 מהעובדים וגילה תוצאה מפתיעה לכאורה הנוגדת את האינטואיציה. מתוך העובדים שמצאו עבודה דרך מכרים רוב של מעל ארבע חמישיות מהעובדים השתמש ב"קשרים הבינוניים" וב"קשרים החלשים" כדי להשיג את העבודה:
כלומר, מעל ארבע חמישיות מהעובדים השיגו את העבודות שלהם בעזרת מכרים שאיתם הם נפגשים פחות מפעמיים בשבוע, ו"קשרים חלשים" תרמו למציאת העבודות יותר מאשר "הקשרים החזקים". גרנובטר גם בדק את הקשרים של המכרים עם המעסיק, וגילה ש-39.1% מהמכרים הכירו ישירות את המעסיק, 45.3% הכירו אדם שהכיר את המעסיק, 12.5% קושרו למעסיק דרך שני אנשי קשר, ורק 3.1% מהמכרים היו רחוקים מהמעסיק שני אנשי קשר ומעלה.
ביטויים בתרבות הפופולרית.
לתופעה ביטויים רבים בתרבות הפופולרית:
שש דרגות של הפרדה.
על פי אלברט לאסלו ברבאשי, עוד לפני שאנשי המדע בדקו את התופעה היא הופיעה בסיפור הקצר בהונגרית בשם "שרשראות" שנכתב על ידי פרידיש קארינתי בשנת 1929. גיבור הסיפור מעלה את הטענה שהוא יכול למצוא קשר לכל אחד מתושבי כדור הארץ, באמצעות שרשרת של חמישה מכרים לכל היותר.
בעקבות הניסוי של מילגרם, הופיע מחזה בשם "שש דרגות של הפרדה", ולאחר הצלחה רבה שלו הופק גם סרט קולנוע בשם זה. מאז צבר המונח "שש דרגות של הפרדה" פופולריות רבה, והפך לביטוי שמתאר את האמונה שהיום החברה האנושית צפופה מאוד, והפרטים בה קרובים מאוד זה לזה.
מספר ארדש.
פול ארדש נחשב למתמטיקאי הפורה ביותר שחי אי-פעם, מלבד לאונרד אוילר, מבחינת מספר המאמרים המדעיים שפרסם. הוא פרסם מעל ל-1,500 מאמרים, רובם הגדול עם מחברים-עמיתים: 509 במספר. בעקבות כך, הפך ארדש לנקודת מוקד בפולקלור המתמטי במה שמכונה "גרף המאמרים", גרף המכיל מתמטיקאים כצמתים, ומקשר ביניהם לפי פרסום מאמרים משותפים.
מרחקו של אדם מארדש בגרף זה מכונה "מספר ארדש" שלו. המחברים שפרסמו יחד עם ארדש מאמר, נחשבים בעלי "מספר ארדש 1". אלו שפרסמו מאמר עם מתמטיקאי שפרסם עם ארדש מאמר (כלומר אלה שפרסמו מאמר עם מישהו שהוא בעל "מספר ארדש 1") הם בעלי "מספר ארדש 2" (כאלו יש כ-7,000), וכן הלאה.
מספר בייקון.
שש דרגות של קווין בייקון (פרפרזה על שש דרגות של הפרדה) הוא משחק בו צריכים המשתתפים למצוא את הקשר של כל שחקן לקווין בייקון, על ידי מציאת סרטים משותפים שבהם שיחק עמו. "מספר הבייקון" מוגדר בדומה למספר ארדש - מרחקו של שחקן מקווין בייקון, כשהקשרים הם סרטים משותפים.
באוניברסיטת וירג'יניה הוקם אתר שדרכו יכול הגולש למצוא את מספר הבייקון של כל שחקן. קיימים מעט מאוד שחקנים בעלי מספר בייקון אינסופי, דהיינו שאי אפשר לקשרם לקווין בייקון דרך אף שחקן משותף. לפי האתר, המבוסס על נתוני IMDb, וכולל כמעט 800 אלף שחקנים, מספר הבייקון הגבוה ביותר שהתגלה עד היום (מלבד האינסוף) הוא 8, ומספר הבייקון הממוצע הוא 2.950.
משמעות הדבר היא שניתן ליצור קשר בין שחקנים רבים בכשישה צעדים, מאחר ששש הוא המרחק הממוצע מקווין בייקון כפול שתיים - הדרך משחקן פלוני לקווין בייקון, וממנו לשחקן אלמוני. בנוסף, ניתן ליצור קשר בין כל שני שחקנים שמספר בייקון שלהם איננו אינסופי ב-16 צעדים (המקסימום כפול שתיים).
קווין בייקון איננו המרכז הטוב ביותר, כלומר איננו השחקן עם ממוצע המרחקים הנמוך ביותר לשאר חברי הרכיב הקשיר שלו. השחקנים המרכזיים משתנים לעיתים תכופות עקב הוספת סרטים חדשים, וידוע כי דונלד סתרלנד, רוד סטייגר ודניס הופר היו מרכזיים בשלב מסוים.
מספר ארדש-בייקון.
לאנשים מעטים יחסית ניתן לחשב מספר ארדש-בייקון - סכום מספר ארדש ומספר בייקון שלהם. רוב בעלי מספר ארדש-בייקון הם מתמטיקאים ומדענים שהשתתפו בסרטים כניצבים או בתפקידי אורח.
תורת חיים
גרף מקרי
בתורת הגרפים, גרף מקרי הוא גרף הנוצר על ידי תהליך אקראי, או נבחר מתוך התפלגות על מרחב הגרפים. תורת הגרפים האקראיים עוסקת בתכונות של הגרף המתקיימות בהסתברות 1, ובהתפלגויות של תכונות של הגרף.
מודל מתמטי.
ישנם מודלים רבים לתהליך היוצר גרף מקרי. את המודל הראשון הציעו ריי סולומונוף ואנאטול רפופורט ב-1951, אך זה לא זכה להתייחסות רחבה בספרות. את המודל השימושי והנפוץ ביותר הציגו פול ארדש ואלפרד רניי בסדרה של 8 מאמרים שפורסמו בשנים 1959-1968. לפי מודל ארדש-רניי, גרף formula_1 הוא גרף בן formula_2 קודקודים, שבו בוחרים עבור כל קשת, בסיכוי formula_3 ובאופן בלתי תלוי, האם הקשת קיימת בגרף. המודל בוחר, לפיכך, גרף אחד מבין formula_4 הגרפים האפשריים, וההסתברות של גרף מסוים בן formula_5 קשתות היא formula_6. כאשר formula_7, למרחב יש התפלגות אחידה בדידה.
המודל formula_8 מתאר מרחב הסתברות אחיד על כל הגרפים עם formula_2 קדקודים ובדיוק formula_10 קשתות. ישנם גם מספר מודלים לגרפים רגולריים מקריים (גרף רגולרי הוא גרף שבו מכל קדקוד יוצא אותו מספר של קשתות).
מודל נוסף שהציגו ארדש ורניי הוא של גרף על מספר בן מניה ולא סופי של קודקודים. במודל זה כל זוג קודקודים מחובר בהסתברות formula_11 (ולמעשה אפשר לבחור כל formula_12 לטיפוס איזומורפיזם יחיד המכונה "גרף רדו". לגרף זה תכונות אוניברסליות חשובות, וכך למשל כל גרף בן מניה משתכן בו.
האבולוציה של גרף מקרי.
יש תכונות של הגרף שאותן אפשר לחשב בקלות. לדוגמה, תוחלת מספר המשולשים בגרף formula_1 היא formula_14, משום שיש formula_15 שלשות של קדקודים, וכל אחת מהווה משולש בסיכוי של formula_16.
לעומת זאת, ניתוח של תכונות גלובליות כמו קשירות או המספר הכרומטי עשוי להיות סבוך ביותר, והתאוריה עוסקת בעיקר בתכונות כאלה.