יצחק שמיר ושמעון פרס עמדו אז בראש שני הגושים הפוליטיים היריבים בישראל. יצחק שמיר עמד בראש מפלגת הליכוד, ובראש הגוש הפוליטי הימני, בעוד שמעון פרס עמד בראש מפלגת העבודה ובראש הגוש הפוליטי השמאלי. על אף זאת, שני המנהיגים החליטו לשתף פעולה ולכונן ממשלת אחדות לאומית לאחר הבחירות ב-1984, כיוון שמפלגת העבודה לא הצליחה להשיג רוב קואליציוני, ואילו מפלגת הליכוד אמנם הצליחה לכונן קואליציה צרה, אך בתנאים גרועים מבחינתה. הסכם לונדון סימן את לב המחלוקת בין המנהיגים, ואת גבול יכולתם לשתף פעולה. שמיר התמיד בהתנגדותו הנחרצת לכינוסה של ועידה בינלאומית. בשנת 1990, עקב כישלונו של פרס להפיל את הממשלה, בה הוא כיהן, ולהקים במקומה ממשלת שמאל וחרדים צרה, במה שכונה לימים "התרגיל המסריח", הקים שמיר ממשלת ימין צרה יחד עם החרדים. ממשל בוש הוסיף ללחוץ על שמיר להסכים לכינוס ועידה בינלאומית לשלום, ובסופו של דבר הסכים שמיר לכינוסה של ועידת מדריד באוקטובר 1991. זאת בתנאי שהוועידה תהיה טקסית, וכי המשא ומתן שיתקיים בעקבותיה יהיה עם כל מדינה ערבית בנפרד, ולא במסגרת הוועידה. ועידת מדריד אימצה את העיקרון שהותווה בהסכם לונדון שעל-פיו הפלסטינים ייוצגו במסגרת משלחת ירדנית-פלסטינית משותפת, וכי אנשי אש"ף לא ייכללו בה. ישראל זנחה את העיקרון הזה לאחר הקמתה של ממשלת ישראל העשרים וחמש ב-1992 והחלטתה להכיר באש"ף.
אנגרבודה
אנגרבודה (בנורדית עתיקה: Angrboða, פירוש השם הוא "מבשרת הנזק"), היא ענקית במיתולוגיה הנורדית. היא מוזכרת בשירים הנורדיים כאימו של פנריר, אשר אביו הוא לוקי. כמו כן, היא גם אמם של אחיו של פנריר, יורמנגנד הנחש הענק והל מלכת העולם התחתון (אשר גם הם צאצאיו של לוקי).
סנורי סטורלוסון בשירתו קורא לה "ענקית ביוטונהיים" ואמם של פנריר, של יורמנגנד ושל הל.
יריעת עולם
טניסאי
טניסאי או שחקן טניס הוא ספורטאי המשחק טניס. ישנם טניסאים חובבים ואף מקצוענים.
כיום, כל הטניסאים המקצוענים משתייכים להתאחדויות טניס. הטניסאים הגברים משתייכים לסבב ה-ATP המנוהל על ידי התאחדות הטניסאים המקצוענים, והנשים משתייכות לסבב ה-WTA המנוהל על ידי התאחדות הטניס לנשים. במסגרת הסבבים, השחקנים נוסעים ברחבי העולם למשחקים בטורנירים שונים.
הטניסאים מרוויחים את משכורתם מהענף במידה רבה כתוצאה מהטורנירים בהם הם משתתפים, בהתאם לרמת ההצלחה שלהם בהם. עם זאת, טניסאים בכירים רבים מרוויחים כסף רב כתוצאה מהסכמי פרסום עם חברות מובילות. רובם אף נהנים מתמיכתו של ספונסר.
כל הטניסאים נמצאים בכפוף לפדרציה הבינלאומית לטניס (ITF) המנהלת את כלל הטניס ברחבי העולם. הם משתתפים לעיתים עם הנבחרת הלאומית בטניס של מדינתם, ומשחקים עבורה בגביע דייוויס (גברים), גביע הפדרציה (נשים) וטורניר הטניס במשחקים האולימפיים - שלושה טורנירים המאורגנים על ידי ה-ITF.
הטניסאים נמצאים בתוך מועדונים, המעניקים להם לעיתים חסות וכסף. מלבד בסבבים הבינלאומיים, הם משחקים לעיתים עבור מועדוניהם בגביע המדינה של ארצם המשוחק במתכונת קבוצתית, וכמו כן לוקחים חלק באליפות המדינה המנוהלת במתכונת יחידים.
השחקנים ממוקמים על פי מספר הנקודות שהם משיגים בדירוגים העולמיים של ה-ATP וה-WTA. על ידי רבים, נחשב רוג'ר פדרר כטניסאי הטוב בהיסטוריה, מאחר שהוא ניצב בפסגת הדירוג העולמי לגברים במשך ארבע שנים וחצי, ואף זכה למחמאות לא מעטות בתקשורת מטניסאי עבר מובילים, כדוגמת פיט סמפראס, ביורן בורג ובוריס בקר.
בסיום כל שנה מחולק פרס "טניסאי השנה" מטעם איגוד עיתונאי הספורט הבינלאומי. הזוכה בתואר (2009) הוא רוג'ר פדרר. בנוסף, סבב ה-ATP מחלק את תואר "שחקן החודש" לטניסאי היחידים ו"זוג החודש" לשחקני הזוגות המצטיינים בכל חודש מסוים.
ערך נוכחי
ערך נוכחי (או ערך מהוון) הוא הערך בהווה של סכום כסף (או זרם תשלומים) שאמור להתקבל במועד כלשהו בעתיד.
הערך הנוכחי נמוך מן הערך בעתיד בשיעור הריבית המצטברת במשך אותה תקופה, פער זה נותן את ערך הזמן של הכסף. מציאת הערך הנוכחי מתבצעת על ידי היוון.
ערך נוכחי הוא אחד מכלי העבודה המרכזיים בתורת המימון העוסקת, בין השאר, בבחירה בין אלטרנטיבות של השקעה או מימון, ובתורת האקטואריה העוסקת בפתרון בעיות כלכליות בהן משולבים מצבי אי-ודאות תוך שימוש בטכניקות מתמטיות וסטטיסטיות.
כללי.
מציאת הערך הנוכחי PV של סכום עתידי FV, או היוון, היא "ניכוי" הריבית שמתווספת על הסכום PV עד המועד העתידי. במילים אחרות, ערכו הנוכחי של הסכום העתידי FV הוא הסכום בהווה PV, שאם יצבור ריבית עד המועד העתידי, ישווה ל FV.
כך למשל, כאשר הריבית המתווספת היא R ומספר התקופות הוא t, חישוב הערך הנוכחי יתבצע על ידי הכפלת הסכום העתידי בגורם:
formula_1
חישוב הערך הנוכחי עבור סכום חד פעמי.
הערך הנוכחי של סכום כסף עתידי המתקבל בעוד t שנים מחושב באופן הבא: formula_2
"PV" - ערך נוכחי
"FV" - ערך עתידי
"R" - שיעור הריבית התקופתית
"t" - מספר תקופות צבירת ריבית
חישוב הערך הנוכחי עבור סדרת סכומים.
באופן כללי, כאשר מחשבים את הערך הנוכחי עבור סדרת סכומים, נשתמש בנוסחה הבאה: formula_3.
כאשר מפקידים סכום קבוע בסוף כל תקופה, הנוסחה לחישוב הערך הנוכחי היא:
formula_4
"PV" - ערך נוכחי
"pmt" - סכום תקופתי קבוע
"R" - ריבית
"n" - תקופות
נוסחה זו נובעת ישירות מהנוסחה לחישוב סכום של סדרה הנדסית.
הגורם: formula_5, נקרא גם "מקדם ערך נוכחי מצטבר" (מ.ע.נ.מ).
דוגמה.
אדם מעוניין ללוות כסף. יכולת ההחזר שלו היא 1,000 שקלים בחודש. ההלוואה היא ל-10 שנים, ומכאן שמספר התשלומים הוא 120. הריבית השנתית היא 6%.
כמה כסף יוכל ללוות?
תשובה - על ידי הצבה בנוסחה:
formula_6
ומכיוון שהריבית החודשית היא (בקירוב) 0.005 [ 12 / 6% = 0.005 ], ומספר התשלומים הוא 120, נפתור את המשוואה כדלהלן:
formula_7
הנוסחה עבור קצבה תמידית (אנונה צמיתה-קונסול).
ישנם מקרים בהם נרצה לחשב את הערך הנוכחי של תזרים אינסופי של ריבית. למשל, כמה כסף יש להפקיד בקרן כך שתניב הכנסה קבועה לעד?
במקרה זה הנוסחה פשוטה הרבה יותר והיא מתמצה ב:
formula_8
"PV" - ערך נוכחי
C" - נקרא גם:PMT " - סכום קבוע עתידי
"r" - גובה הריבית
הערה: קיימות נוסחאות נוספות עבור סכומים ההולכים וגדלים (או קטנים) לאורך הזמן.
אלגוריתם מילר-רבין
אלגוריתם מילר-רבין (או 'רבין-מילר') Miller-Rabin, הוא אלגוריתם לבדיקת ראשוניות של מספר טבעי. הוא דומה למבחן פרמה לבדיקת ראשוניות אשר מבוסס על ההיפוך הלוגי של המשפט הקטן של פרמה, אך מרחיב אותו בצורה שמתגברת על מספרי קרמייקל - מקרי הקצה עבורם מבחן פרמה אינו עובד. הוכחת הנכונות של האלגוריתם דורשת את השערת רימן המוכללת.
יש לאלגוריתם גרסה הסתברותית מהירה יחסית, שמזהה כל מספר ראשוני ככזה, אבל עשויה, בהסתברות נמוכה ככל שנרצה, להכריז כך גם על מספר פריק. גרסה זו, שפותחה על ידי פרופ' מיכאל רבין מן האוניברסיטה העברית, היא המבחן המקובל לבדיקת ראשוניות (תפקיד אותו מילא קודם מבחן סולוביי-שטרסן .)
תיאור המבחן.
נתון מספר אי-זוגי שלם n. אפשר לכתוב formula_1, כאשר r אי-זוגי. יהי a מספר שלם כלשהו. אם n ראשוני, אז המשפט הקטן של פרמה מבטיח ש- formula_2. מכיוון שבחשבון מודולו מספר ראשוני יש ל-1 בדיוק שני שורשים ריבועיים, formula_3, בהכרח מתקיים
תנאי זה חייב להתקיים אם n ראשוני. סיבוכיות הבדיקה כ- formula_7 פעולות.
לצורך המבחן, בוחרים באקראי את הבסיס a, ובודקים את השוויונים לעיל. אם הם אינם מתקיימים, n הוא מספר פריק. אם אחד מהם מתקיים, אז a הוא עד חזק לכך ש- n ראשוני (המונח עד משמש, בהקשר דומה, במבחן פרמה), אבל זו אינה הוכחה לראשוניות: קיימים מספרים פריקים שיש עדים חזקים לראשוניות שלהם. אפשר להוכיח שאם n פריק, אז לכל היותר רבע מבין המספרים עד n-1 עלולים להיות עדים חזקים לראשוניות של n. משום כך, אם בדיקה באמצעות t עדים אקראיים מודיעה שהמספר הנבדק ראשוני, הסיכוי לטעות באימוץ ההצהרה הוא לכל היותר formula_8. לצרכים מעשיים (למשל, הגרלת מספרים ראשוניים גדולים עבור אלגוריתמי הצפנה כגון RSA או שיטת רבין), מקובל להסתפק בבדיקה כזו ולא להפעיל אלגוריתמים דטרמיניסטיים לבדיקת ראשוניות, שהם איטיים בהרבה.
קוד של אלגוריתם מילר רבין.
להלן מימוש של האלגוריתם בשפת פייתון:
from random import randrange
def surely_composite(n, d, s, a):
'n-1 == 2**s * d'
x = pow(a, d, n) # a^d mod n, efficiently
if x == 1 or x == n - 1:
return False
for _ in range(s):
x = pow(x, 2, n)
if x == 1: return True
if x == n - 1: return False
return True
def miller_rabin(n, number_of_rounds):
(d, s) = n - 1, 0
while d % 2 == 0:
(d, s) = (d//2, s+1)
for round in range(number_of_rounds):
if surely_composite(n, d, s, randrange(2, n - 1)):
return "Composite"
return "Probably Prime"
דוגמה.
נבדוק את המספר formula_9, שעבורו formula_10. בבדיקת הבסיס 5 מתברר ש- formula_11 (שהרי formula_12). לכן 5 הוא עד חזק לראשוניות של 781. עבור הבסיס 17, מקבלים formula_13, ולכן גם 17 הוא עד חזק. לעומת זאת, בדיקת הבסיס 2 נותנת formula_14, ומכאן ש- 781 אינו יכול להיות ראשוני. ואכן, formula_15.
נזיר (פירושונים)
אייר קנדה סנטר
נזיר (יהדות)