אם מפזרים כדורים במישור ולוחצים עליהם כדי לקרבם זה לזה הם יסתדרו באחת משתי צורות - ראו סידורים A ו-B בדיאגרמה שבמסגרת בראש ערך זה. בסידור A לכל כדור ארבעה שכנים ובסידור B לכל כדור שישה שכנים. אם נשים שכבה מסוג A ישירות על שכבה מסוג A (או B מעל B) ונלחץ – יתקבלו קוביות. אם לעומת זאת נמקם כל כדור בשכבה B העליונה בין שלושה כדורים בשכבה B התחתונה יתקבל סידור בעל צפיפות גבוהה יותר (כלומר יותר כדורים לנפח כולל נתון). בסידור זה לכל כדור שישה שכנים בשכבה שלו ועוד שלושה מלמעלה ושלושה מלמטה. במקרה זה לחץ על הכדורים יוביל לדודקהדרונים-המעוינים. קפלר טוען שאין סידור אחר של כדורים (לא לחוצים) שיתן צפיפות גבוהה יותר. קפלר לא הוכיח את הטענה הנקראת "השערת קפלר". ניתן להראות שלמעשה ישנם סידורים רבים המביאים לאותה צפיפות מקסימלית. מעל שתי שכבות B שתוארו ניתן להוסיף שכבה B שלישית בדיוק מעל השכבה B התחתונה, או בהזזה כך שכל כדור נמצא מעל מרווח בשכבה התחתונה. ראו איור. כיוון שבכל שכבה הנוספת מלמעלה יש שתי אפשרויות כאלה יוצא שיש אינסוף סידורים צפופים אפשריים של המרחב. בכל מקרה הצפיפות המתקבלת היא של
בהשוואה לצפיפות של כ-0.65 המתקבלת כשמכניסים כדורים באופן אקראי לתחום מוגבל.
הרקע להשערה והוכחתה.
את בעיית דחיסת הכדורים קיבל קפלר במהלך התכתבות שערך ב-1606 עם המתמטיקאי האנגלי תומאס הריוט, שבתורו עסק בשאלה שהציג לו וולטר ראלי בהקשר של מציאת הדרך היעילה ביותר לסדר כדורי תותח על סיפון הספינה. אחרי פרסום ההשערה על ידי קפלר ניסו רבים להוכיחה. בשנת 1831 הוכיח קרל פרידריך גאוס את ההשערה למקרים בהם הכדורים מסודרים בסריג סדור. אחרי גאוס לא הייתה עוד התקדמות במאה ה-19, וב-1900 דויד הילברט כלל את ההשערה כאחת מ-23 הבעיות הפתוחות במתמטיקה. בשנת 1953, הראה המתמטיקאי ההונגרי László Fejes Tóth שניתן להכריע את השאלה בעזרת מספר גדול אך סופי של חישובים. בשנת 1992 פתח תומאס קליסטר האלס (מאוניברסיטת מישיגן באותם ימים) בתוכנית מחקר שבה הראה בעזרת מחשב שכ-5000 סידורים מייצגים הם בעלי צפיפות שאינה גבוהה מהגבול של קפלר. ב-1998 הסתיימו החישובים, וההוכחה הארוכה התקבלה על ידי ועדת מומחים ב"99%" ודאות. בשנת 2015 האלס שיפר את הפתרון כשפרסם הוכחה פורמלית שיכלה הפעם בעצמה לעבור בדיקת נכונות על ידי מחשב ובכך להסיר כל ספק בנכונותה.
סיום המאמר.
קפלר ממשיך לסקור צורות נוספות בטבע, כמו החלוקה המחומשת של הפרחים, הפירות, וגם תאי הזרעים בכמה צמחים. כאן הוא חושב שה"מניע נותן הצורה" (facultas formatrix) קשור איכשהו באסתטיקה. המחומש עצמו ניתן לבנייה בעזרת יחס הזהב הקשור גם הוא באסתטיקה ובצמחים. אך מה המניע לגבי פתית השלג המשושה? השלג נוצר מאדים המתקררים לפתיתים (בניגוד לקרח הנוצר ממים שקפאו). מדוע אבל פתיתי השלג הם שטוחים ולא בעלי נפח ככדורים? אולי כיוון שהמשושה הוא מישורי במהותו כיוון שהוא המצולע המשוכלל הראשון שאינו מרכיב לבדו פאונים תלת ממדיים? או מפני שהמאבק בין קור לחום מתרחש קודם כל במשטחים? בכל אופן, כדי לכסות את המישור במשושים יש צורך שיהיו באותו גודל, והרי פתיתי השלג הם בגדלים שונים. מכאן שהם נוצרים לא בבת אחת אלא כהרכבה והרחבה של יחידות קטנות יותר. לסיום, לגבישים במכרות יש צורות שונות ולא רק משושות, מכאן שהמשושה לא הכרחי אלא מאפיין את החומר. אולי יש במים מעין מלח המתגבש במשושים? בנקודה זאת קפלר סוגר את הדיון ומעביר את השאלה אל הכימאים, ואל ידידו ווקאר.
ההסבר המודרני לצורה המשושה של פתיתי השלג.
קפלר, כאמור, לא הגיע לפתרון מספק לשאלה שהגדיר. אף על פי שהבין שצורת הגביש נובעת מהרכבה והרחבה של צורות בסיסיות דומות, הוא לא תמך בתורה האטומית של החומר, ולמשל בפתיחת המאמר כשחיפש נושא "קרוב לאין" הוא פסל את האטום כיוון שהוא שווה ממש לאין ולא סתם קרוב אליו. בכל זאת, ההסבר המקובל כיום לצורת הגבישים, ופתיתי השלג ביניהם, הוא במבנה האטומי של המולקולות המרכיבות את הגביש. בקריסטלוגרפיה, המערכת הגבישית ההקסגונלית (מיוונית הקסגון = משושה; נקראת גם המערכת הגבישית המשושה) היא אחת משבע המערכות הגבישיות. במקרה של מים, &lt;chem&gt;H_2O&lt;/chem&gt;, שני אטומי המימן יוצרים זווית של כ-104.45° סביב גרעין החמצן. מולקולת מים היא קוטבית עם קטבים חיוביים באטומי המימן ושליליים בחמצן, כך שמימן של מולקולת מים אחת נמשך לחמצן של מולקולה שכנה (קשר מימן). סידור יציב מתקבל כאשר שישיית מולקולות נקשרות בקשרי מימן זו לזו במעגל (כלומר במשושה) כמו גם למולקולות מים שכנות. פתית השלג נוצר מהצטברות של עוד ועוד מולקולות מים סביב הגרעין המשושה המקורי. ההסתברות של מולקולות להצטבר בפינות גדולה מאשר בשאר האזורים. הצורה שבה המולקולות הנוספות מצטברות תלויה בתנאי מזג אוויר מקומיים. למשל, ב.ג. מייסון מראה אילו סוגי משושים מתקבלים בכל תחום טמפרטורות. תנאי מזג האוויר זהים בכל פינות הגביש ולכן צורתן זהה. הפתיתים אבל שונים זה מזה ועדיין אין הסבר מלא לצורתם.
ארץ ישראל/פלשתינה
ממלכת נגרופונטה
ממלכת נגרופונטה או טריארכית נגרופונטה הייתה מדינה צלבנית אשר הוקמה על האי אביה (באיטלקית: Negroponte) לאחר חלוקת האימפריה הביזנטית, בעקבות מסע הצלב הרביעי. הממלכה חולקה לשלוש ברונויות (כלקיס, קריסטוס ואוריאו) ונוהלה על ידי מספר קרובי משפחה מלומברדיה. האי עבר להשפעת הרפובליקה של ונציה והחל משנת 1390, והפך למושבה של ונציה בשם הממלכה של נגרופונטה.
היסטוריה.
יסוד הממלכה.
בהתאם לחלוקת הטריטוריה הביזנטית ( "Partitio terrarum imperii Romaniae"), האי אביה הוענק לבונפיס ממונטפראט, מלך סלוניקי. בוניפציוס בתורו ויתר על האי לטובת האציל הפלמי ז'אק השני מאבסנס, אשר ביצר את הבירה כלקיס.
לאחר מותו של ז'אק השני, באמצע שנת 1205, האי הועבר לשליטת שלושה ברונים מוורונה. אלה חילקו את האי לשלוש ברונויות: הצפונית אוריו ("terzero del Rio"), הדרומית, קריסטוס ("terzero di Caristo"), והמרכזית, כלקיס ("terzero della Clissura"). העיר כלקיס או נגרופונטה ("המוזיקלית città' דה לומברדי", "עיר של הלומברדים") אף שהייתה בשליטת הברונות המרכזית, שימשה כבירת הממלכה ובה ישבו שלושת השליטים הלומברדים ובני משפחותיהם. בשנת 1209 ביסס עצמו, אחד מן השלושה, רבאנו דלה קרצ'רי, כשליטו הבלעדי של האי.
לאחר שכרת ברית לא מוצלחת בעת המרד הלומברדי נגד הקיסר הלטיני, הנרי מפלנדריה, רבאנו ביקש למצוא לעצמו נותן חסות חזק. לפיכך, בחודש מרץ 1209, הוא חתם על ברית עם ונציה, אשר הכיר בוונציה כשליטה העליונה ונתן לוונציה זכויות מסחריות משמעותיות. למרות זאת, בחודש מאי 1209, במטרה לאזן עצמו מבחינה מדינית, רבאנו הכריז על עצמו כווסאל של האימפריה הלטינית.
סכסוכי ירושה.
עם מותו של רבאנו בשנת 1216, החל סכסוך בין יורשיו על בחירת המנהיג הבא, עובדה שאיפשרה לשליח ונציה להתערב כמתווך. הוא חולק את שלושת הברונויות לשניים, ובכך יצר שש טריטוריות. הברונות הצפונית של אוריאו חולקה בין שני אחייניו של רבאנו; הברונות הדרומית חולקה בין אלמנתו, איזבלה, ובתו, ברטה. הברונות הדרומית חולקה בין יורשי עמיתו ג'יברטו. נקבעו גם הוראות באשר לסדר הירושה העתידי כדי להבטיח כי השלטון יוותר בידי המשפחות הלומברדיות.
מותה של קרינטנה דלה קרסרי, שליטת מחצית אוראוס ואשתו של גיום השני וילאהרדואין, שליטה הפורמלי של נגרופונטה, הוביל למה שכונה בשם "מלחמת הירושה של אביאטה", אשר כללה את נסיכות אכאיה ואת ונציה. ויליאם תבע לעצמו את עיזבון אשתו, בעוד שהברונים הלומברדים לא היו מוכנים לוותר על חלקה. ב-14 ביוני 1256, גיום מוורונה ונרזונה דלה קרסרי, שניים מן הברונים, התכחשו לנאמנותם לגיום השני והצהירו אמונים לוונציה. גיום השני הגיב בהשתלטות על העיר כלקיס, אותה כבשה ונציה מחדש בתחילת 1258. המלחמה הסתיימה בקרב קרידי בחודשים מאי ויוני 1258, שם הביס גיום השני את דוכס אתונה, גי דה לה רוש, אשר כרת ברית עם הברונים המורדים. סכסוך זה הסתיים באוגוסט 1259, אז הביא דוכס ונציה את הצדדים ל משא ומתן לשלום, בעקבותיו נחתם הסכם בשנת 1262, אשר הכיר בשלטון גיום השני על האי, אבל לא בשליטתו באוראוס.
תקופת השלטון הביזנטי.
בעת שנחתם ההסכם בתיווך דוכס ונציה ביססה עצמה האימפריה של ניקאה ככוח מוביל באזור של האימפריה הביזנטית לשעבר, לאחר שכבשה מחדש שטחים מן השליטים הלטינים. לשיא הצלחתה הגיעה האימפריה בכיבוש קונסטנטינופול בשנת 1261 ולייסודה מחדש של האימפריה הביזנטית, אשר שליטה, מיכאל השמיני פלאולוגוס, ביקש לכבוש שוב את השטחי שטחי הנסיכויות בדרום יוון. למטרה זו הוא גייס את שירותיו של ליקריו, מורד איטלקי אשר בסיסו היה ליד קריסטוס. כוחות ביזנטים, בפיקוד ליקריו, השתלטו עד מהירה על אביה, להוציא את העיר כלקיס.
רק לאחר עזיבתו של ליקריו, לאחר שנת 1280, חזרה השליטה הלטינית לאי בסיוע ונציה. בשנת 1296 גורשו הביזנטים באופן מוחלט מאביה בעזרת בוניפזיו דה ורונה..
היסטוריה מאוחרת.
בשנת 1317 נפלה קריסטוס לידי החברה הקטלנית של דון אלפונסו פדריק, שליטה הדתי של דוכסות אתונה ובנו הלא חוקי של פרדריק השלישי מסיציליה. בשנת 1319, נחתם חוזה שלום בין ונציה לדון אלפונסו, לפיו הוא שמר שליטתו בקריסטוס, אשר את הזכויות עליה רכשה ונציה בשנת 1365.