על פי הכתוב במסכת סופרים, ברכת הלבנה איננה ברכה העומדת לבדה, אלא טקס שהברכה עומדת במרכזו. כך עם השנים נוספו לנוסח ברכת הלבנה אמירת מזמורי תהילים, אמירת דוד מלך ישראל חי וקיים, ובמנהג אשכנז המזרחי, גם תפילת עלינו לשבח וקדיש יתום (כאשר יש מניין). נהוג להסביר את אמירת תפילת עלינו לשבח כדי שלא ייראה הדבר כאילו מתפללים לירח, ועל כן מוסיפים תפילה זו שבה מודגש עניין העבודה לה' לבדו. עם זאת, בשאר העדות אומרים רק קדיש, ללא עלינו לשבח. מנהג חסידי סלונים לאמרה כחלק מתפילת ערבית לפני עלינו לשבח, וכן שהקדיש בסופה לא יהיה קדיש יתום. במנהג אשכנז המערבי, לא אומרים לא עלינו ולא קדיש. כיום נהוג בהרבה קהילות לרקוד בסיום ברכת הלבנה, בשירת 'טובים מאורות' שמלותיה לקוחות מהפיוט אל אדון על כל המעשים. מנהג בקרב קהילות גאורגיה, בסיום הקדיש לומר קטע הפותח במילים:" כדנא תאמרון להום...", ולאחר מכן לחזור לבית הכנסת לעמוד לפני ההיכל ולזמר " אל אדון על כל המעשים...".
הפניות אל הלבנה ("ברוך יוצרך...", "כשם שאני רוקד כנגדך...") שבנוסח ברכת הלבנה כמו שהוא מופיע במסכת סופרים, אינן מופיעות כלל בסידור של רס"ג, לא בנוסח הרמב"ם בספר משנה תורה () ואף לא בסידורי יהדות תימן העתיקים. הרב יוסף קאפח, בפירושו למשנה תורה, מסביר זאת בכך שרס"ג והרמב"ם הסתייגו מהפנייה הישירה אל הלבנה, משום שנראית קצת כמו עבודה זרה.
בעקבות משימות אפולו התעורר קושי דתי-הגותי באמירת המשפט "כשם שאני רוקד כנגדך ואיני יכול לנגוע בך, כך לא יוכלו אויבי לנגוע בי לרעה", הנהוג להאמר מדי חודש בברכת הלבנה, תוך דילוג וקפיצה סמלית של המתפללים לעבר הירח כדי להביע את חוסר היכולת לגעת בה. יש שפטרו את הקושי ופירשו שכוונת המשפט היא שאין ביכולת האדם להגיע אל הירח באמצעות ה"ריקוד" והקפיצה כנגדו, אך לא שאין באפשרות האדם כלל להגיע אל הירח. רבנים אחדים הוסיפו וציינו שמדובר בלשון ציורית-פיוטית שבאה לעורר ולרגש את המתפלל על ידי הבעת הרעיון של מורכבותו וגודלו של היקום, שאין בכוח האדם עצמו להגיע אליו ללא המערכות המורכבות שבתחנות החלל. אולם הרב שלמה גורן לא הסתפק בזה, ושינה את נוסח הברכה בסידורי צה"ל ל"ואיני נוגע בך", כפי שנאמר בנוסח המקורי במסכת סופרים.
ברוב הקהילות נהוג להוסיף גם פסוק מהמקרא בצורה רגילה ובצורה פלינדרומית אופן האמירה של הפסוק בצורה זו ייחודי לברכת הלבנה מכל שאר התפילות ביהדות.
את ברכת הלבנה יש לומר בעמידה, ונהוג לומר אותה דווקא בקהל גדול ולא ביחידות.
בהרבה בתי כנסת נהוג לרשום את סדר "קידוש לבנה" על שלט התלוי מחוץ לבית הכנסת באותיות גדולות. על כן, הביטוי אותיות קידוש לבנה מציין אותיות גדולות במיוחד. אותיות אלה ניתן לקרוא בקלות גם בחוץ כאשר התאורה מועטה. זאת בניגוד לאותיות טל ומטר, שהן אותיות קטנות במיוחד. (ראו עוד בערך גופן).
ברכת הלבנה בתרבות.
הספר "תיאום כוונות" של הרב חיים סבתו מתחיל, מסתיים, ומלווה כמוטיב חוזר בברכת הלבנה שהמחבר התפלל יחד עם חברו, , בבית הכנסת של חסידות אמשינוב במוצאי יום כיפור תשל"ד. במהלכה השניים שהיו על מדים ועמדו לצאת בעקבות גיוס המילואים בשל המלחמה אשר פרצה באותו היום, קיבלו ברכה מהאדמו"ר ירחמיאל יהודה מאיר קאליש הלקוחה מפסוק בולט במרכז ברכת הלבנה: , ואז הוסיף: "עליהם ולא עליכם! עליהם ולא עליכם!".
לאופולד צונץ
ליאופולד צונץ
חשבון וריאציות
חשבון וריאציות הוא תחום במתמטיקה אשר עוסק במציאת נקודות קיצון של פונקציונלים, בניגוד לחשבון דיפרנציאלי רגיל אשר עוסק בפונקציות. פונקציונל הוא בדרך כלל מיפוי מקבוצה של פונקציות לשדה המספרים הממשיים. פונקציונלים לרוב מבוטאים כאינטגרלים מסוימים של פונקציות בלתי ידועות ונגזרותיהן. המטרה היא מציאת פונקציות אשר יביאו את הפונקציונל למקסימום או למינימום.
השיטה פותחה בשלהי המאה ה-17 על ידי ניוטון, האחים יוהאן ויאקוב ברנולי, לייבניץ, ומאוחר יותר על ידי לופיטל, אוילר, לגראנז' ואחרים.
הדוגמה הפשוטה ביותר לבעיה כזו היא מציאת העקום בעל האורך המינימלי בין שתי נקודות, אשר נקרא גאודיזה. במרחב אוקלידי הפתרון הוא קו ישר, אבל אם יש מגבלות על הפתרון, למשל שהקו יימצא על משטח כלשהו, הפתרון פחות ברור מאליו. בעיה קשורה היא עיקרון פרמה באופטיקה: האור עובר במסלולים בעלי מסלול אופטי מינימלי בין שתי נקודות (המסלול האופטי תלוי בתווך). עיקרון קשור במכניקה הוא עקרון הפעולה המינימלית.
בעיות חשובות רבות עוסקות בפונקציות בעלות משתנים מרובים. פתרון בעיות עם תנאי שפה למשוואת לפלס מקיימות את עיקרון דיריכלה. בעיית פלטיאו דורשת מציאת משטח בעל שטח מינימלי אשר עובר במתאר נתון במרחב. הפתרון לבעיה זו קשור לאופן היווצרות בועות סבון בעת טבילת מסגרת ברזל במי סבון. אף על פי שניסויים כאלו הם קלים לביצוע, התיאור המתמטי שלהם לעיתים סבוך: ישנם כמה פתרונות אפשריים ויכולה להיות להם טופולוגיה לא טריוויאלית.
היסטוריה.
פיתוח חשבון הוריאציות החל כאשר בעיית הברכיסטוכרון (המילה "ברכיסטוכרון" היא הלחם שמקורו יוונית (βράχιστος χρόνος), ומשמעותו "הזמן הקצר ביותר") הגיעה אל המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי. אחיו, יוהאן ברנולי, גם הוא מתמטיקאי שווייצרי, השתמש בבעיית הטאוטוכרון (אותו זמן) לפתרון הבעיה, שנחשב לאלגנטי וקצר יותר מפתרונו של יאקוב. יאקוב, שהיה איתו בתחרות מתמדת, ניסח את בעיית הברכיסטוכרון בגרסה שונה ומורכבת יותר, ופתרונו לבעיה זו הביא אותו לפתח שיטות אנליטיות חדשות. שיטות אלה לוטשו מאוחר יותר על ידי לאונרד אוילר והפכו למה שנקרא חשבון וריאציות.
אופי הבעיה.
נביא את הבעיה המתמטית לצורה הבאה:
מטרתנו היא למצוא את הפונקציה formula_2 אשר תביא את הפונקציונל לאקסטרמום.
מציאת הפונקציה המבוקשת מתבצעת על ידי פתרון משוואת אוילר-לגראנז':
חישוב.
נניח שקיים אקסטרמום לפונקציונל ושהפונקציה אשר מביאה אליו היא formula_4.
נוכל לבטא כל פונקציה בצורה formula_5, כאשר formula_6 פונקציה כלשהי ובעלת תנאי השפה formula_7, כך ש־formula_2 מקיימת את תנאי השפה ו־formula_9 מספר ממשי כלשהו.
נשים לב שתחת הנחותינו מתקיים: formula_10 ויותר מכך, מתקיים: formula_11
נפתח את הביטוי למקסימה של הפונקציונל:
מכיוון שגבולות האינטגרל בפונקציונל אינם תלויים ב־formula_9 נוכל להחליף את סדר הגזירה והאינטגרציה. לאחר מכן נשתמש באינטגרציה בחלקים ונקבל:
נזכור כי formula_15 מתאפסת בנקודות הקצה ולכן האבר האחרון מתאפס. נקבל:
formula_16
נשים לב כי גבולות האינטגרל שרירותיים, ולכן האינטגרנד חייב להתאפס. מכיוון ש־formula_15 פונקציה שרירותית ובאופן כללי שונה מפונקציית האפס, נקבל כי:
הכללות.
ניתן לקבל בקלות את משוואת אוילר-לגראנז' באותה שיטה גם למקרים הבאים:
formula_20
זהו קבוצת N משוואות, המתקיימות לכל הפונקציות formula_19
זהות בלטראמי.
זהות בלטראמי היא צורה חלופית לניסח משוואת אוילר-לגראנז', פתרון משוואת אוילר-לגראנז' באמצאות זהות בלטראמי לרוב תהיה יותר פשוטה.
זהות בלטראמי עובדת רק בתנאי ש- formula_24 (תנאי הקובע ש- formula_25 אסור להיות תלוי ישירות ב-formula_26, הוא יכול להיות תלוי ב-formula_26 רק בצורה עקיפה דרך formula_28 ו-formula_29, formula_26 לא מופיע בנפרד). בעזרת תנאי זה ניתן לפשט את משוואת אוילר-לגראנז' לזהות בלטראמי.formula_31
פיתוח זהות בלטראמי.
תחילה נגזור את formula_32 לפי formula_33 בעזרת כלל השרשרת.
formula_34
לפי התנאי formula_24
formula_36
נפשט את הביטוי:formula_37לפי משוואת אוילר-לגראנז':
formula_38
לכן הביטוי הוא:
formula_39
ולכן:
formula_40
נבצע אינטגרל בשני צידי המשוואה ונקבל את זהות בלטראמי:
formula_41
דוגמאות.
דוגמה פשוטה לפונקציונל, מתחום האופטיקה, היא הזמן שאורך לקרן לעבור בין שתי נקודות דרך מסלול כלשהו במרחב. המסלול במקרה זה מיוצג על ידי formula_42 כאשר formula_43 הן קואורדינטות ו־formula_44 פרמטר כלשהו המגדיר את המיקום לאורך המסלול, למשל אורך הקשת או הקואורדינטה לאורך אחד הצירים. לכן אם מהירות הגל בנקודה formula_45 במרחב היא formula_46 ו־formula_44 מיצג את אורך הקשת, אזי זמן המעבר formula_48 בין שתי הנקודות נתון בביטוי:
מכאן ברור שכל מסלול של הקרן נותן, בדרך כלל, ערך שונה של זמן המעבר formula_48, וחשבון הווריאציות מאפשר לנו לחשב מהו המסלול עבורו זמן המעבר מינימלי (או באופן מדויק יותר אקסטרמלי), כשם שפעולת הנגזרת מאפשרת למצוא את נקודות האקסטרמום של הפונקציה. לפי עקרון פרמה המסלולים בהם הקרן אמנם עוברת הם המסלולים עבורם formula_48 מינימלי, ולכן חשבון הווריאציות הוא הדרך לחישוב המסלולים של קרן אור בתווך כלשהו.
דוגמה נוספת, אשר הייתה אחד הזרזים להתפתחות התחום, היא בעיית הברכיסטוכרון ("הזמן הקצר ביותר"):
כיוון שהקואורדינטה formula_53 מציינת את גובה החלקיק, אזי שימור האנרגיה קובע שמהירותו היא formula_56. לכן פונקציונל הזמן במקרה זה הוא:
גאנט
תרשים גאנט הוא תרשים המשמש לתיאור פעילויות עם הקשרים ביניהן תוך ציון הזמן של כל פעילות ופעילות.
התרשים פותח על ידי הנרי גאנט בשנת 1910. גאנט יצר לא מעט תרשימים שונים, אך "תרשים הגאנט" כפי שמוכר לנו היום פותח לצורתו הסופית על ידי W. Clark בשנת 1942. לאחר היווצרו הפך התרשים לתקן בניהול פרויקטים. התרשים נתון לשדרוגים עם התפתחות טכנולוגיית מידע.