נוסחת סטירלינג היא קירוב מתמטי לערך של formula_1 (במילים: formula_2 עצרת) עבור ערכים גדולים של formula_2. הנוסחה קרויה על שם המתמטיקאי הסקוטי, ג'יימס סטירלינג.
נוסחת סטירלינג קובעת ש-formula_4.
זוהי נוסחה אסימפטוטית בשימוש בסימון אסימפטוטי, ופירושה שבגבול formula_5 היחס שואף לאחד: formula_6.
כתוצאה מכך (כפי שיפורט להלן), formula_7.
בגרסה כללית יותר, הנוסחה נותנת הערכה לפונקציית גמא המהווה הרחבה של פונקציית העצרת: formula_8.
משפט: קיימת פונקציה ממשית formula_9 המקיימת: formula_10
עבור formula_11-ים גדולים formula_12 ולכן formula_13. כפל של שני האגפים ב-formula_11 ייתן את הנוסחה ל-formula_1.
פיתוח הנוסחה מתבסס על פיתוח אסימפטוטי לטור של האינטגרל המגדיר את פונקציית גמא והפיכתו לאינטגרל של גאוסיאן כפול תיקונים מסדרים שונים.
הוכחה אסימפטוטית למשפט עוברת דרך ההוכחה ש formula_7.
נפתח את הביטוי ln(n!):
formula_17
הסבר: את המעבר מצד שמאל של המשוואה עשינו בעזרת הגדרת העצרת. את השוויון השני קיבלנו בעזרת חוקי הלוגריתמים. את הקירוב קיבלנו בעזרת סכום דרבו עליון. כל המעברים האלה נכונים מבחינה מתמטית גם עבור formula_18 ולכן formula_19.
מצד שני:
formula_20.
ההפרש בין האינטגרל במשוואה לסכום שמשמאלו הוא קבוע התלוי ב-n וניתן למצוא אותו באמצעות .
NOT לוגי
AND לוגי
OR לוגי
אורח חיים (שולחן ערוך)
אורח חיים (בראשי תיבות או"ח) הוא החלק הראשון בספר ארבעה טורים של רבי יעקב בן אשר ושל החלק המקביל לו בשולחן ערוך. יצא לאור לראשונה בוונציה שכ"ה-שכ"ו.
תוכן הספר ושמו.
ה"אורח חיים" עוסק במכלול הדינים של סדר היום ומעגל השנה של היהודי וכולל את הלכות התפילות, ברכות, שבת, עירובין, חגים וצומות.
הכינוי "אורח חיים" משמש במובן הרחב ככינוי להלכות אלו, ובספרות האחרונים משמש הכינוי "אורח חיים" בספרי הלכה ושות"ים, לאותו חלק מהספר המתייחס לנושאי היום יום ומעגל השנה היהודי.
אורח חיים נחשב בעל קדימות בלימוד הלכה, כפי הסברו של רבי ישראל מאיר הכהן מראדין בתחילת ספרו משנה ברורה, מכיוון שרוב ההלכות הנידונות בו נוגעות לחיי היום יום בזמן שאין לאדם אפשרות לעיין בספר ועל כן יש לו ליודען מבעוד מועד.
עמוס ברנס
עמוס ברנס (1944 – 3 בספטמבר 2011) היה ישראלי שהורשע בשנת 1976 ברצח רחל הלר, נשפט למאסר עולם. לאחר שהתברר כי היו במשפטו עיוותי דין ועדויות שקר של חוקרי המשטרה, נקצב עונשו על ידי נשיא המדינה ל-12 שנות מאסר, ולאחר ניכוי שליש הוא שוחרר מהכלא בתום שמונה וחצי שנות מאסר. לאחר מאבק ארוך של ברנס לקיום משפט חוזר נקבע לו משפט חוזר ב-2002, אך עקב החלטת פרקליטות המדינה שלא להגיש כתב אישום חוזר, זוכה ברנס זיכוי אילם, ואף נפסקו לו פיצויים בסך 5 מיליון שקלים על מאסר שווא.
רקע.
ברנס נולד בלוב, עלה עם משפחתו בגיל 5 לישראל. גדל בביריה ובכפר שגב, למד במשך שנתיים בבית הספר המקצועי יד נתן פילדלפיה בעכו, ולאחר מכן בתיכון עיוני. שירת בצה"ל כלוחם בחטיבת הצנחנים והשתחרר ב-1964. בשירות המילואים השתתף כחיל בחיל התותחנים במלחמת ששת הימים, במלחמת ההתשה בסיני ובמלחמת יום הכיפורים באזור חושניה ברמת הגולן. לאחר שחרורו למד מכונאות מטוסים ועבד בתחום מספר חודשים. למד בסמינר למדריכי נוער במכון בית רוטנברג ושימש מדריך נוער בוואדי סאליב. הוא עבד בעיריית עכו, שימש נהג משאית, עבד בחברת עמידר והועסק בעבודות מזדמנות. התגורר בבית הוריו בעכו.
ב-24 באוקטובר 1974 נמצאה גופתה של רחל הלר, חיילת בת 19 מבת ים, בצד כביש "קיט ושיט", המחבר את קיסריה ואור עקיבא; בגדיה ותיקה נמצאו לאחר ימים אחדים מתחת למעביר מים באזור זכרון יעקב.
עמוס ברנס, שהכיר את הלר באופן שטחי מבית רוטנברג בחיפה, פנה מיוזמתו למשטרה, לטענתו כדי לסייע בחקירה. ברנס נחקר, ובמשך מספר חודשים לא יצרה עמו המשטרה קשר אלא חקרה חשודים אחרים. רק לאחר מספר חודשים, כשהוקם צוות חקירה מיוחד שלישי, בראשות סנ"ץ שאול מרכוס, זימנה המשטרה את ברנס לחקירה חוזרת. מאותו רגע, נחקר ברנס בחשד לרציחתה של הלר. ברנס נחקר תוך מניעת שינה, סטירות, וכן איימו עליו שהשב"כ יחסל אותו ויביים את התאבדותו, כביכול בשל "ייסורי מצפון", ולכן עמוס ברנס נאלץ להודות ברצח. הוא אף אולץ לשחזר את הרצח שכביכול ביצע.
שקרים בחקירה.
הלחץ הציבורי שהופעל על המשטרה, הוביל להקמת צוות חקירה (שלישי), שחתר להשגת חשוד וכתב אישום מהיר. כבר בשלב בקשת הארכת המעצר, שיקרו השוטרים בפני בית המשפט, כאשר פקד יהודה אלבז העיד עדות שקר בשבועה כי ברנס היה חשוד בביצוע מעשים מגונים בשתי בחורות ובנער, וברנס טען בפניהם כי אינו זוכר את הפרטים.
לאחר ארבעה ימים ללא שינה ולאחר שקיבל סטירות במהלך חקירתו, הסכים ברנס לשחזר את הרצח. במהלך השחזור, ברנס קטע את השחזור המבוים באמצע. לדבריו הוא חשב שזו הצגה. אז הגיע סנ"ץ מרכוס, סטר לברנס, וזה הסכים להמשיך את השחזור. החוקרים טענו בבית המשפט כי מרכוס כלל לא היה נוכח בחקירה. השוטרים שנחקרו בבית-המשפט על האירוע, טענו שלא היו מצוות החקירה, אלא רק שמרו על החשוד. ברנס טען שחוקר בשם סימון אבוטבול כבל אותו באזיקים. ברנס התלונן בפני ד"ר בצלאל בלוך, רופא מהמכון לרפואה משפטית, על המכות שקיבל מהשוטרים. ד"ר בלוך טען שברנס כלל לא התלונן בפניו. אחרי קרוב לשבע שנים, נמלך ד"ר בלוך בדעתו, וביום 15 בפברואר 1981, הצהיר בפני עזרא גולדברג בכתב ואחר כך מסר על כך עדות במשטרה, שברנס אכן התלונן בפניו אז על מכות שקיבל מהחוקרים.
אף על פי שבית המשפט המחוזי ביקר את השוטרים מרכוס ואלבז על מתן עדות שקר (לגבי מרכוס מדובר בשקר במשפט-זוטא ולא בנוגע להשתתפות בחקירה), הוא החליט להרשיעו על סמך עדויותיהם של שאר השוטרים, ועל סמך הודאת החשוד. השופטים קבעו כי ברנס משקר "במצח נחושה" בנוגע לאלימות, ובקשר להימצאותו של סגן ניצב מרכוס בחקירתו. ארבעה מהחוקרים: שאול מרקוס, יהודה אלבז, יחיאל פיקהולץ ועדי בראונר הועמדו לדין בבית משפט השלום ונמצאו אשמים בטיוח ושקרים בחקירה. הארבעה ערערו לעליון ויצאו זכאים מחמת הספק.
הרשעה.
בפסק דין של בית המשפט המחוזי בחיפה, שניתן ב-11 בינואר 1976 הורשע עמוס ברנס ברצח רחל הלר ונידון למאסר עולם. הוא טען במשפטו כי הודה משום שחוקרי המשטרה הפעילו עליו לחץ, וכי חשב שבבית המשפט יוכל להוכיח את חפותו. בקשתו לפסול את הודאתו נדחתה במסגרת משפט זוטא. במהלך משפט הזוטא, זומן מומחה פוליגרף משטרתי שהעיד על מצבו הגופני של ברנס. בתשובה לאחת משאלות ההגנה אמר המומחה שמבדיקת הפוליגרף של ברנס לא ניתן לקבוע אם דיבר אמת או שיקר.
טענות האליבי של ברנס נדחו על ידי בית המשפט מפני שהעדים ישראל קפקא ומקס בוחבוט, שהיו אמורים לאשר את טענות האליבי, כביכול, לא אישרו אותן.
ברנס עירער לבית המשפט העליון, ובפסק דינם של השופטים חיים כהן, יהודה כהן ואליהו מני (ע"פ 127/76), שניתן ב-6 ביולי 1976 הוחלט לדחות את הערעור, חרף פגמים שנמצאו בחקירה. ב-12 באוגוסט, דחה השופט שמעון אגרנט את בקשתו של ברנס לדיון נוסף. בקשתו למשפט חוזר, שהוגשה כעבור שנתיים, נדחתה על ידי השופט יואל זוסמן, בטענה שלא נמצאה ראיה חדשה המסייעת לברנס.
קציבת העונש.
עזרא גולדברג, ניצב משנה בדימוס, שהיה מפקד מרחב מרכז ופרש מהמשטרה בספטמבר 1974, הגיע בשנת 1979 למסקנה כי לא ברנס הוא שרצח את הלר, זאת על סמך ההודאה שלא תאמה את הממצאים הפתולגים, והשחזור המבולבל שנקטע 46 פעמים, הוא סבר שהרוצח היה אנס סדרתי שפעל באותו אזור. דפוס הפעולה הדומה הוביל אותו למסקנה זו. הוא פנה לשופט חיים כהן, שהסיק מכך שטעה בפסק הדין. השופט כהן פנה לברנס, והציע לו לבקש חנינה. ברנס סירב, וטען שבקשת חנינה תהיה הודאה באשמה על רצח שלא ביצע. בעקבות לחץ תקשורתי, נפתחה חקירה נוספת, ולאחר שהוברר כי סגן ניצב מרכוס שיקר, הוא הועמד לדין והורשע במתן עדות שקר. אולם, גם לאחר הגשת ערעור, השופטים בביהמ"ש העליון לא השתכנעו כי הופעל לחץ פיזי על ברנס.
השופט חיים כהן פנה לנשיא המדינה, ושכנע אותו לקצוב את עונשו של ברנס. הנשיא קצב את עונשו ל-12 שנות מאסר ולאחר ניכוי שליש, שוחרר ברנס כעבור 8.5 שנים, ביוני 1983.
בקשה למשפט חוזר.
ברנס לא הסתפק בשחרור, וכעבור שנה מיום שחרורו, הגיש בקשה למשפט חוזר. השופטת מרים בן-פורת דחתה במרץ 1985 את הבקשה בטענה שברנס לא הציג בפניה כל ראיה חדשה, והיא אף המליצה על טיפול פסיכולוגי: "המוצא ממצב נפשי זה הוא, לדעתי, בקבלת עזרה מתאימה של מומחה לדבר וחבל אם לא יבחר בדרך זו".
בשנת 1996 תוקן סעיף הבקשה למשפט חוזר בחוק בתי המשפט, ועקב כך פנה ברנס בשלישית לקיום משפט חוזר בעניינו. השופט שלמה לוין דחה את בקשתו של ברנס בטענה שאין ראיותיו מהוות עילה למשפט חוזר.
ברנס לא התייאש, ופנה אל הסניגוריה הציבורית. עו"ד דייוויד וינר, שהיה אז סגן הסניגור הציבורי הארצי, החליט שיש בסיס להגשת בקשה נוספת למשפט חוזר, ורתם את צוות הסניגוריה הציבורית למשימה.
ב-14 במרץ 2002 החליטה השופטת דליה דורנר (בפסק דין ) להורות על משפט חוזר לברנס (להחלטה הייתה גם השפעה על פתיחת משפטם החוזר של מורשעי כנופיית מע"צ). דורנר הצביעה על הפגמים החמורים שנפלו בהליך הרשעתו של ברנס, ואף שלא הייתה בטוחה בחפותו, קבעה כי הוא זכאי למשפט חוזר. כארבעה שבועות לאחר מתן פסק דין זה, נפטר השופט (בדימוס) חיים כהן. שיחת הטלפון האחרונה בחייו של כהן הייתה לשופטת דורנר. הוא טלפן אליה ממיטת חוליו כדי להודות לה בהתרגשות על כך שתיקנה את העוול "שאני עשיתי", כדבריו. ברנס היה מנושאי ארונו של כהן בהלווייתו.