הייתה חברה בתנועת נוער המחנות העולים, למדה לנגן בפסנתר, ובתיכון למדה במגמה הומנית. את שירותה הצבאי עשתה בנח"ל. לאחר מכן למדה עבודה סוציאלית באוניברסיטת תל אביב ועבדה במרכז הרפואי שיבא. למדה עריכה באוניברסיטת בר-אילן ועובדת כעורכת ספרים.
בשנת 1978 יצא לאור ספרה הראשון, "טאבו". באותה השנה גם יצא ספרה הראשון לילדים, "טיול בצבעים".
גלברט ייסדה וערכה את עיתון הילדים "משהו", שפעל בין השנים 1986–1992.
משנת 1978 ועד היום הוציאה לאור 40 ספרים, ביניהם "נסיך אדום, נסיכה כחולה", "קירות שלא רואים", עליו זכתה בפרס הבינלאומי לספרות ילדים על שם יאנוש קורצ'אק (1993), ו"המכוערים של דניאל", שעליו זכתה בפרס זאב לשנת תשס"ו. בשנת תשע"ג זכתה בפרס ראש הממשלה לסופרים עבריים ע"ש לוי אשכול; מנימוקי השופטים: "מבכירי סופרי הילדים בארץ. כתיבה רב-גילאית על נושאים הקרובים ללבם של הילדים, על חריגים ועל הלא מקובלים. בעקיפין ובאיפוק, היצירות המותחות-קולחות שלה, מעבירות ערכיות רבה לקורא."
ספרה "החיים שלי, דוט.קום" (2012) זכה בפרס הספריות הציבוריות לספרות ילדים לשנת 2015. מנימוקי השופטים: "הסופרת משלבת בספר שני סגנונות, סגנון הספרות היפה וסגנון הדיבור בצ'טים באינטרנט. עירוב הסגנונות מפתח מודעות מרתקת אצל הקורא להבדל שבין סגנון הדיבור לסגנון הכתיבה, ולהבדל שבין ספרות יפה לכתיבה דוקומנטרית".
בשנת 2021 הוענק לה פרס דבורה עומר על מפעל חיים בספרות ילדים.
גלברט-אבני היא אם לשני בנים וסבתא לחמישה.
יריעה חלקה
יריעה חלקה (או יריעה דיפרנציאלית) היא יריעה טופולוגית שבה המפות מתנגשות באופן חלק, כלומר אם formula_1 ו- formula_2 הן מפות אז הפונקציה formula_3 היא פונקציה חלקה מהמרחב האוקלידי אל עצמו. האטלס של היריעה החלקה (שהוא אוסף המפות) נקרא אטלס דיפרנציאלי. שני אטלסים נקראים שקולים אם האיחוד שלהם יוצר שוב אטלס דיפרנציאלי, כלומר המבנים שמוגדרים על ידי כל אחד מהאטלסים לא "מתנגשים" אחד בשני. (אפשר לראות בקלות שזהו באמת יחס שקילות על קבוצת כל האטלסים.)
היריעה החלקה היא מבנה חשוב באנליזה שמאפשר הכללות של משפטים בסיסיים (כמו משפט הפונקציות הסתומות, משפט הקיום והיחידות במשוואות דיפרנציאליות רגילות וכו') מהמרחב האוקלידי.
עצמים מתמטיים רבים בנויים כיריעה דיפרנציאלית עם תוספת מבנה לדוגמה אם נוסיף ליריעה דיפרנציאלית מבנה של חבורה (כך שפעולות הכפל וההופכי הן חלקות) נקבל חבורת לי, אם נבנה על היריעה מטריקה חלקה - נקבל יריעה רימנית וכן הלאה.
הגדרה נוספת.
ניתן להגדיר יריעות חלקות בתור מרחבים מחויגים בעזרת אלומת הפונקציות החלקות, שאיזומורפיים למרחב האוקלידי עם אלומת הפונקציות החלקות הרגילה.
ביתר פרוט, נגדיר יריעה חלקה כזוג סדור של יריעה טופולוגית עם אלומה, שמתאימה לכל קבוצה פתוחה ביריעה תת-אלגברה של אלגברת הפונקציות הרציפות מן היריעה לממשיים. מכריזים על פונקציות ששייכות לאלגברה הזו כפונקציונלים חלקים. כמתחייב מתפקידה כאלומה, ההתאמה מקיימת שצמצום פונקציונל חלק לתת קבוצה פתוחה שוב פונקציונל חלק, וכן פונקציה רציפה שהיא פונקציונל חלק מקומית היא פונקציונל חלק. מבנה זה נקרא לעיתים מבנה פונקציונלי.
כעת ניתן להגדיר מורפיזמים של מבנים פונקציונליים: אלו הם פונקציות רציפות בין היריעות הטופולוגיות כך שהרכבת פונקציונל חלק איתן נותנת פונקציונל חלק. באופן דומה ניתן להגדיר איזומורפיזם של מבנים פונקציונליים.
מבנה פונקציונלי חשוב ובסיסי ניתן על ידי המרחב האוקלידי, המצויד באלגברת הפונקציות החלקות (גזירות אינסוף פעמים) בתור מבנה פונקציונלי. מבנה פונקציונלי שהוא איזומורפי למרחב האוקלידי (האיזומורפיזם כאן הוא של מבנים פונקציונליים) ייקרא יריעה.
הגדרה זו שקולה להגדרה הראשונה שניתנה כאן, כלומר ניתן לצייד באופן טבעי כל מבנה פונקציונלי שאיזומורפי למבנה האוקלידי באטלס מתאים ולהפך, יריעה טופולוגית עם אטלס משרה אלומת פונקציות חלקות (באמצעות הרכבה עם פונקציות חלקות מהממשיים לעצמם).
דוגמאות.
לכל נקודה חוץ מ-N נגדיר את formula_8 להיות הנקודה (היחידה) הנוצרת מהחיתוך של הקו הישר XN עם המישור P. כדי "למפות" גם את N נבנה מפה שנייה באותה צורה רק שנחליף את התפקידים של N ו-S כלומר הפעם הקו הישר שנחתך עם P יהיה XS. מהבניה נובע שקיים הומאומורפיזם בין Rn לבין הספירה ה-n ממדית לאחר הוצאת הנקודה N. כיוון שהספירה כולה היא מרחב קומפקטי, בנייה זאת יוצרת קומפקטיפיקציה של Rn .
ניתן לבנות מפות יותר אינטואיטיביות לספירות ה-n ממדיות. לדוגמה את formula_9, הספירה החד-ממדית (שמשוכנת במישור), ניתן לפרק למפות כמו שמתואר בציור. המפה הירוקה לדוגמה ניתנת לביטוי על ידי הזוג:
formula_10
כאשר האיבר הימני בזוג הוא הקבוצה שאותה הפונקציה ממפה- הצד הימני של המעגל, והאיבר השמאלי הוא הפונקציה, שהיא פשוט הטלה של הנקודה על ציר ה-Y.
על ידי זיהוי formula_9, עם מעגל היחידה במרוכבים ניתן לראות של-formula_9 יש גם מבנה של חבורה, שנובע מהכפל במרוכבים.
פונקציות חלקות על יריעות.
פונקציה formula_13 נקראת "פונקציה חלקה בנקודה p" אם קיימת סביבה formula_14 של "p" כך שהפונקציה formula_15 חלקה. כמו במרחב האוקלידי גם על יריעות קבוצת הפונקציות החלקות בנקודה מהווה חוג. אפשר לראות שכיוון שלכל זוג אינדקסים formula_16 היא פונקציה חלקה, אז גם כאשר על סביבה מסוימת מוגדרות מספר מפות, פונקציות שחלקות לפי מפה אחת יהיו חלקות גם לפי כל מפה אחרת (כי:
formula_17, כלומר זו הרכבת פונקציות חלקות שהיא תמיד פונקציה חלקה). מהבחינה הזו המושג של פונקציה חלקה היא אינווריאנטי ביחס לשינוי קואורדינטות.
לפי אותו רעיון פונקציה formula_18 היא פונקציה חלקה בין היריעות M ו-N אם לכל שתי מפות formula_19 הפונקציה formula_20 היא חלקה בתחום הגדרתה.
אם נתייחס לקטע הפתוח formula_21 כאל יריעה (עם המבנה הטבעי) אז העקומה formula_22 היא "עקומה חלקה" (או מסילה חלקה) אם היא פונקציה חלקה כפונקציה בין היריעות (a,b) ו-M.
לדוגמה, הפונקציה formula_23 היא פונקציה חלקה על formula_9 (כי הפונקציה formula_25, שמתקבלת מכל המפות, חלקה בתחום formula_26). לעומת זאת הפונקציה formula_27 (כאן אנו מתייחסים ל-formula_9 כאל מעגל היחידה ב-formula_29, לפי הזיהוי הקודם ומשתמשים בנוסחת אוילר) איננה פונקציה חלקה על כל formula_9 בגלל שיש לה "קפיצה" בגודל formula_31 בין הנקודות שמתחת ציר הממשי והנקודות שמעליו (כלומר היא בכלל לא רציפה שם). למעט נקודה זו, הפונקציה רציפה וחלקה בכל היריעה.
הפונקציה formula_32 שמחזירה לכל נקודה את הנקודה האנטיפודית שלה: formula_33 היא פונקציה חלקה מהספירה ה-n ממדית לעצמה (למעשה זהו דיפאומורפיזם). כדי להראות זאת נשתמש במפות הכלליות שהגדרנו. צריך להראות שהפונקציה formula_34 חלקה כפונקציה ממשית (כאשר formula_35 ו- formula_36 הן קואורדינטות מקומיות). נשתמש בבניה הכללית של המפות לספירה שבנינו בדוגמה. היות שתכונת החלקות של פונקציה לא תלויה בקואודינטות המקומיות וכל נקודה מכוסה על ידי שתי המפות חוץ מ-N ו-S, נבחר את המפות בצורה שנוחה לנו. נתייחס אל formula_5 כאל כדור היחידה ב-formula_38.
נבחר את המפה הראשונה להיות ההטלה דרך N ואת השנייה להיות ההטלה דרך S ונראה שבכל נקודה חוץ משתי אלו הפונקציה חלקה, ואז כיוון שבחירת N היא שרירותית- יתקבל שהפונקציה חלקה על כל הספירה. אפשר לראות את זה מכיוון גאומטרי: הפונקציה הראשונה, formula_39, מעבירה את הנקודה formula_40 לנקודה על הספירה formula_5 שנמצאת גם על הישר שעובר בין הנקודות N ו-(t,0). משם לוקחת אותה הפונקציה formula_42 לנקודה האנטיפודית לה (שהיא בעצם הנקודה שנוצרת מהחיתוך של הישר שעובר דרך formula_43 והראשית עם הספירה). בשלב האחרון המפה formula_35 לוקחת את הנקודה שהתקבלה על הספירה ומחזירה את הנקודה שנוצרת מהחיתוך של הישר שעובר דרכה ודרך S עם ה"מישור" formula_45. למעשה כל המעברים מתרחשים רק על מישור אחד שמכיל את הנקודות formula_46 והראשית. זה בגלל הקו הראשון הוא בין N ו- (t,0) ולכן מוכל במישור, הקו השני הוא בין הנקודה שהתקבלה לבין הראשית, שגם היא במישור ולכן הוא נשאר במישור והקו השלישי עובר בין S, שנמצאת במישור לבין הנקודה מהשלב הקודם ולכן גם הוא במישור. אם נצייר את הקווים נראה שקיימת סימטריה הפוכה בין הישר וחצי הראשונים (מ-(t,0) ל-N ומנקודת החיתוך עם הספירה לראשית) לבין ההמשך (מהראשית לספירה והישר שעובר דרך S והנקודה האנטיפודית) ולכן נקודת החיתוך האחרונה סימטרית לנקודת ההתחלה כלומר formula_47 וזו היא פונקציה ליניארית, ובפרט חלקה.
אחת התכונות החשובות של יריעות חלקות היא האפשרות לבנות פונקציות חלקות ששוות ל-1 על קבוצה סגורה נתונה ומתאפסות מחוץ לקבוצה פתוחה שמכילה אותה (bump function). פונקציות אנליטיות כאלו לא קיימות כלל על יריעות אנליטיות, ואפילו לא במרחב האוקלידי, כי אם פונקציה אנליטית מתאפסת על קטע מסוים - היא מתאפסת על כל הישר.
המרחב המשיק.
המרחב המשיק הוא מרחב וקטורי שנבנה על יריעה חלקה ומתפקד כ"קירוב ליניארי" של אותה יריעה באופן מקומי, במובן שהוא מתאר את הכיוונים השונים שבהם ניתן להתקדם על היריעה כווקטורים (שאותם ניתן לחבר ולהכפיל בסקלר). למושג כיוון אין מובן טבעי ביריעות אבל לנגזרת כיוונית יש, ולכן מגדיר את הווקטורים במרחב המשיק כהכללה של הנגזרות הכיווניות.