יעבץ הוא שם משפחה יהודי מסוג פטרונימי (שם שמקורו בשמו של אחד מאבות המשפחה). במקרה זה השם ממקור מקראי.
רוני סופרסטאר
ז'ול רנאר
ז'ול רנאר (צרפתית: Jules Renard; 22 בפברואר 1864 - 22 במאי 1910) היה סופר צרפתי.
חייו.
רנאר נולד בכפר שלון די מן בצפון צרפת, שבסביבתו אביו פיקח על הנחת קווי מסילת הברזל. ב-1868 עברה משפחתו להתגורר בכפר שיטרי לה מין בחבל בורגון. ב-1875–1881 למד בבית ספר תיכון בעיר נוור שבמרכז צרפת. סבל מרגשי נחיתות משום שהיה הבן הצעיר במשפחתו, ורצה להוכיח את יכולתו בכתיבה ובלימודי ספרות. עבר לפריז ולמד שם פילוסופיה, אך משלא התקבל לבית ספר יוקרתי, כתב שירים, נובלות ומחזות קצרים. נעשה חבר בחוגים הספרותיים של פריז שנפגשו בבתי הקפה שבעיר, והחל לפרסם מאמרים בעיתונים. ב-1885–1886 שירת בצבא הצרפתי בעיר בורז' בחבל ברי. ב-1888 נשא לאישה את מארי מורנו. הזוג התגורר בפריז, אך נהג לבלות מספר חודשים בשנה בכפר ילדותו של רנאר, שיטרי לה מין.
ז'ול רנאר קיבל את השראתו בכתיבה מחיי הכפר. הוא התפרסם בשל הנובלה "ראש גזר", המשקפת את זיכרונות ילדותו בכפר. ב-1896 פרסם "סיפורים עממיים" שבהם עשה האנשה של חיות, ולהפך: תיאר אנשים המדברים ומתנהגים כחיות. במשך שלוש עשרה השנים האחרונות לחייו כתב "יומן", מקור עשיר על החיים הספרותיים בפריז של תקופתו, ותיאור חודר של סופרים ומדינאים צרפתיים, המעיד על סגנונו האירוני ועל שליטתו המעולה ברזי השפה הצרפתית. ז'ול רנאר הכיר באופן אישי את מנהיגי הסוציאליזם הצרפתי, לאון בלום וז'ן ז'ורס, ופרסם מאמרים בעיתונות הסוציאליסטית של פריז. הוא היה לוחם שלום והתנגד להשתלטותם של אנשי צבא ושל אנשי דת על המדינה. הוא אמר: "יש לי נפש אנטי דתית ולב של נזיר." ב-1907 נבחר לחבר "אקדמיית גונקור" בעזרתו של אוקטב מירבו. ז'ול רנאר נפטר ב-1910 כתוצאה מהסתיידות עורקים, ונקבר בכפר ילדותו, שיטרי לה מין. ב-1925 יצא לאור ה"יומן" של ז'ול רנאר.
מרחב פרויקטיבי
מרחב פרויקטיבי הוא גאומטריה עם נקודות וישרים, המקיימת כמה אקסיומות פשוטות. למרחב פרויקטיבי יש ממד, ומרחב מממד 2 נקרא מישור פרויקטיבי. מרחבים פרויקטיביים הם מושא המחקר המרכזי בגאומטריה פרויקטיבית. מרחבים פרויקטיביים קשורים קשר הדוק למרחבים אפיניים, וכמותם אפשר לטפל בהם גם מנקודת מבט אקסיומטית וגם מנקודת המבט של הדוגמה העיקרית למרחב אפיני – המרחב האוקלידי.
הגישה האקסיומטית.
הגדרה.
מנקודת המבט של גאומטריית חילה, מרחב פרויקטיבי הוא גאומטריה שיש בה שני טיפוסים, נקודות וישרים, עם יחס חילה ביניהם. מערכת של נקודות וישרים נקראת מרחב פרויקטיבי אם דרך כל שתי נקודות x,y עובר ישר יחיד xy, יש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים, ומתקיימת אקסיומת ובלן-יאנג: אם הישרים ab ו-cd נחתכים, אז גם ac ו-bd נחתכים. מרחב פרויקטיבי הוא מרחב דזרגי אם הוא מקיים את משפט דזרג.
תת-מרחבים.
במרחב פרויקטיבי נתון, קבוצת נקודות הכוללת יחד עם כל שתי נקודות x,y את כל הנקודות על הישר xy נקראת תת-מרחב. תת-מרחב שאינו מוכל כולו בישר אחד מהווה מרחב פרויקטיבי בעצמו. אם U תת-מרחב של מרחב פרויקטיבי P ו-p נקודה מחוץ לו, אז איחוד הישרים pu (עבור הנקודות u על U) הוא תת-המרחב הנוצר על ידי U ו-p; תת-המרחב הזה נוצר על ידי U וכל נקודה שלו שמחוץ ל-U. תת-המרחב הנוצר על ידי שלוש נקודות x,y,z שאינן על ישר אחד נקרא מישור.
בדומה להגדרות באלגברה ליניארית, אפשר להגדיר בסיס של מרחב פרויקטיבי P כקבוצה S שהיא פורשׂת (כלומר S יוצרת את P) ובלתי תלויה (S אינה נפרשת על ידי אף תת-קבוצה אמיתית שלה). קבוצה היא בסיס אם ורק אם היא פורשת מינימלית, אם ורק אם היא בלתי תלויה מקסימלית. לכל מרחב פרויקטיבי יש בסיס (עובדה זו מצריכה את הלמה של צורן). הבסיסים של מרחב פרויקטיבי P מקיימים את למת ההחלפה של שטייניץ, וכתוצאה מכך לכל הבסיסים אותו גודל - וזהו, על-פי ההגדרה, הממד של P. הממד מקיים את נוסחת הממדים formula_1. תת-מרחב מקסימלי (כזה שבהוספת נקודה אחת פורש את המרחב כולו) נקרא על-מישור.
טרנספורמציות.
העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של מרחב פרויקטיבי לקבוצת הנקודות של מרחב פרויקטיבי נקראת קולינאציה אם לכל x,y,z על ישר אחד, גם התמונות נמצאות על ישר אחד. כל קולינאציה משרה העתקה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצות הישרים של המרחבים, ומעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים. קולינאציה שומרת על בסיסים וממדים. מרחבים פרויקטיביים שיש ביניהם קולינאציה הם איזומורפיים.
קולינאציה a ממרחב פרויקטיבי לעצמו היא מרכזית אם יש לה נקודת מרכז (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a). תכונה זו שקולה לקיומו של ציר (על-מישור שכל נקודותיו נשמרות). קולינאציה מרכזית שנקודת המרכז שלה אינה שייכת לציר נקראת הומולוגיה. אוסף הקולינאציות formula_2 עם מרכז נתון p וציר נתון H מהווה חבורה. קולינאציה ב-formula_2 נקבעת באופן יחיד על ידי התמונה של נקודה כלשהי שאינה ב-formula_4; אם המרחב דזרגי, אז החבורה פועלת טרנזיטיבית על החלק שמחוץ ל-formula_4 של כל ישר דרך p.
(על הקולינאציות של המישור הפרויקטיבי הקלאסי, ראה מישור פרויקטיבי).
הקשר למרחבים אפיניים.
אם מסירים ממרחב פרויקטיבי את כל הנקודות בעל-מישור, מתקבל מרחב אפיני; וכל מרחב אפיני מתקבל כך, באופן יחיד (עד כדי איזומורפיזם). קולינאציה בין מרחבים פרויקטיביים משרה קולינאציה בין המרחבים האפיניים המתקבלים מהם, ולהפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרויקטיביים שהם מגדירים.
דואליות ופולריות.
יהי P מרחב פרויקטיבי. המרחב הדואלי formula_6 הוא הגאומטריה שהנקודות והישרים שלה הן תת-המרחבים מקו-ממד 1 ו-2 של P, בהתאמה. זהו מרחב פרויקטיבי, מאותו ממד כמו P. קולינאציה מ-P למרחב הדואלי (שהיא התאמה בין נקודות לתת-מרחבים מממד d-1, המעבירה שלוש נקודות על ישר לשלושה מרחבים הנחתכים במימד d-2) נקראת דואליות של P. אם formula_7 היא דואליות, אז לכל תת-מרחב U של P מתקיים formula_8.
דואליות היא פולריות, אם formula_9 אם ורק אם formula_10; פולריות אינה אלא דואליות מסדר 2. תת-מרחב U של P הוא מוחלט ביחס לפולריות formula_11, אם formula_12. אם לפולריות יש לפחות ישר מוחלט אחד, אז הנקודות והישרים המוחלטים מהווים מרחב פולרי.
אם P מוגדר בקואורדינטות הומוגניות, אפשר לתאר את הדואליות והפולריות שלו באמצעות תבניות ביליניאריות; ראו להלן.
בניה בקואורדינטות הומוגניות.
קואורדינטות הומוגניות מספקות דרך נוחה לבנות מרחב פרויקטיבי.
יהי "F" שדה ויהי formula_13 מרחב וקטורי. מ-V מסלקים את נקודת הראשית (שתשמש עוגן לפרספקטיבה), ועל הנקודות הנותרות מגדירים יחס שקילות באופן הבא: הנקודות formula_14 שקולות אם קיים סקלר formula_15, כך ש- formula_16.
הנקודות של המרחב הפרויקטיבי formula_17 הן, על-פי ההגדרה, מחלקות השקילות formula_18, המייצגות ישרים מנוקבים (בלא הראשית) במרחב המקורי. לכל תת-מרחב ליניארי formula_19, המרחב הפרויקטיבי המתאים כולל את הנקודות formula_20 עבור formula_21. הממד הפרויקטיבי תמיד קטן ב-1 מן הממד באלגברה ליניארית: מרחבים חד-ממדיים מתאימים לנקודות, מרחבים דו-ממדיים לישרים, וכן הלאה.
אם formula_22 הוא מרחב וקטורי מממד סופי, אפשר לתאר כל וקטור שלו על ידי קואורדינטות באמצעות הבסיס הסטנדרטי: formula_23. יחס השקילות מוגדר על formula_24 באופן הבא: formula_25, כלומר: קיים סקלר שונה מאפס כך ששתי ה-"n+1"-יות פרופורציוניות זו לזו על ידי סקלר זה. זהו יחס שקילות על "V". את מחלקת השקילות של וקטור תחת היחס הזה נסמן formula_26 כאשר סימון הנקודתיים בא להזכיר שמה שרק היחסים בין הקואורדינטות משמעותיים. הקואורדינטות המתארות את מחלקת השקילות formula_27 נקראות "קואורדינטות הומוגניות". המרחב הפרויקטיבי מוגדר להיות המרחב של כל מחלקות השקילות הללו, כלומר: formula_28.
שדה הסקלרים.
בבניה שתוארה לעיל אפשר להחליף את שדה הסקלרים F בכל חוג עם חילוק (אסוציאטיבי) D, כאשר המרחב הווקטורי V מוחלף במרחב וקטורי שמאלי מעל D (לאו דווקא מממד סופי). כל מרחב פרויקטיבי מממד 3 ואילך נבנה באופן הזה, וכל מרחב פרויקטיבי הנבנה באופן זה הוא דזרגי. לפי המשפט היסודי הראשון של הגאומטריה הפרויקטיבית, כל מרחב פרויקטיבי דזרגי הוא מהצורה formula_17 עבור מרחב וקטורי שמאלי V מעל חוג עם חילוק. ההוכחה של המשפט היסודי אינה קלה, אבל הרעיון המרכזי פשוט למדי. בהינתן המרחב הפרויקטיבי P, מסירים ממנו על-מישור כדי לקבל מרחב אפיני A, בו בוחרים נקודת אפס ומגדירים פעולת חיבור על ידי פעולות ההזזה (המתחלפות זו עם זו). אוסף ההומולוגיות של A, ביחס לנקודת המרכז 0, ויחד עם העתקת האפס (המכווצת את המרחב לנקודה), מהווה חוג עם חילוק D ש-A מרחב וקטורי מעליו.
המרחב הפרויקטיבי formula_17, כאשר V מרחב וקטורי מעל שדה הסקלרים D (חוג עם חילוק, כאמור), מקיים את משפט פאפוס אם ורק אם D הוא שדה (קומוטטיבי). התאמה זו בין תכונה אלגברית של שדה הסקלרים לבין התכונות הגאומטריות של המרחב הווקטורי, הייתה אחד הגורמים הראשונים לפיתוחה של תורת הזהויות של חוגים.
טרנספורמציות.