חוג המנה formula_41 איזומורפי באופן טבעי למרחב הקו-משיק, על ידי ההגדרה: formula_42 כאשר formula_43 היא פונקציית האיזומורפיזם בין formula_41 למרחב הקו-משיק. בדרך זו גם ניתן להראות שממד המרחב המשיק הוא כממד היריעה.
דיפרנציאל של העתקה בין יריעות.
כל העתקה חלקה (דיפרנציאבלית) "φ" : "M" → "N" בין יריעות חלקות (דיפרנציאביליות) משרה מפה ליניארית בין המרחבים המשיקים
אם המרחב המשיק מוגדר על ידי עקומות, מפה זו מוגדרת
אם המרחב המשיק מוגדר על ידי דריבציות, אז
ההעתקה הליניארית d"φ""x" נקראת לעיתים קרובות "דיפרנציאל" אך גם "נגזרת" או "total derivative" או ה"pushforward" של "φ" בנקודה "x", ומסומנת במספר סימונים שונים, בהם
במובן מסוים, הדיפרנציאל הוא הקירוב הליניארי הטוב ביותר ל-"φ" ליד "x". כאשר formula_49, המפה d"φ""x" : T"x""M"→R היא הדיפרנציאל הרגיל של "φ" במובן של חשבון אינפיניטסימלי. בקואורדינטות מקומיות הנגזרת של ƒ נתונה על ידי מטריצת יעקבי.
תוצאה חשובה לגבי הדיפרנציאל היא המשפט הבא:
משפט זה הוא הכללה של משפט הפונקציה ההפוכה לפונקציות שהן העתקות בין יריעות.
חריש
קציר (פירושונים)
ארתור הונגר
ארתור הונגר (Arthur Honegger;
10 במרץ 1892 – 27 בנובמבר 1955) היה מלחין שווייצרי, שנולד בצרפת וחי חלק גדול מחייו בפריז. הוא היה חבר בקבוצת השישה. יצירתו המבוצעת בתדירות הרבה ביותר היא, קרוב לוודאי, "פאסיפיק 231" לתזמורת, המחקה את קולו של קטר קיטור.
הונגר נודע ברבים כחובב נלהב של רכבות וצוטט כמי שאמר פעם: "תמיד אהבתי קטרים בלב ונפש. בשבילי הם יצורים חיים ואני אוהב אותם כמו שאחרים אוהבים נשים או סוסים".
ביוגרפיה.
ארתור-אוסקר הונגר נולד בלה-האבר, צרפת. התחיל ללמוד הרמוניה וכינור בפריז, ואחרי תקופה קצרה בציריך, חזר לשם ללמוד אצל שארל-מארי וידור וונסן ד'אנדי. הוא המשיך ללמוד בעשור השני של המאה ה-20 לפני שחיבר את הבלט Le dit des jeux du monde בשנת 1918, שנחשב בדרך כלל ליצירתו האופיינית הראשונה. בשנת 1926 נשא לאישה את אנדריאה ווראבור, פסנתרנית וחברה ללימודים בקונסרבטואר בפריז. בת אחת, פסקל, נולדה להם בשנת 1932. להונגר היה גם בן, ז'אן-קלוד, שנולד בשנת 1926 לזמרת קלייר קרואזה.
בין מלחמת העולם הראשונה למלחמת העולם השנייה, היה הונגר פורה מאוד. הוא חיבר את המוזיקה לסרטו האפי של אבל גאנס משנת 1927, נפוליאון. הוא חיבר תשעה באלטים ושבע אופרות, ואורטוריות דרמטיות, שהושפעו מן הנאו-קלאסיציזם בנוסח איגור סטרווינסקי. האחת, "ז'אן ד'ארק על המוקד" (1935) נמנית עם יצירותיו המשובחות ביותר. באורטוריה "המלך דוד" ניכרת השפעתו של יוהאן סבסטיאן באך, בעיקר בכוראל הגדול המסיים אותה.
נוסף לאופרות שכתב ביחידות, שיתף פעולה עם ז'אק איבר הן באופרה, "הנשר הצעיר" L'Aiglon משנת (1937) והן אופרטה. במהלך תקופה זו כתב גם את "ריקוד העז" Danse de la Chèvre משנת 1921 קטע חיוני ברפרטואר לחליל. יצירה זו, שהוקדשה לרנה לה רוי וכתובה לחליל בלבד, רעננה ומלאת חיים, אבל טבועה בחותם הישירות המאפיינת את כל יצירותיו של הונגר.
הונגר שמר על קשר מתמיד עם שווייץ, הארץ ממנה באו אבותיו, אבל עם פרוץ המלחמה והכיבוש הנאצי, מצא עצמו לכוד בפריז. הוא התגייס לרזיסטנס, המחתרת הצרפתית, ובסך הכול לא הושפע מן הנאצים עצמם, שהתירו לו להמשיך בעבודתו בלי להתערב בה יותר מדי. המלחמה דיכאה אותו, אך בין תחילתה למותו, כתב את ארבע הסימפוניות האחרונות שלו (ממספר שתיים עד חמש), המבוצעות ומוקלטות לעיתים קרובות.
בשנת 1929 ושוב ב-1947 ביקר בארצות הברית. הוא לקה שם במחלת לב, שממנה לא נרפא עוד עד מותו
בהתקף לב ב-27 בנובמבר 1955, בביתו שבפאריז. הוא נקבר בבית הקברות סן-וינסן ברובע מונמרטר בפריז.
אף כי הונגר היה חבר בקבוצת השישה, יצירותיו אינן שותפות לקלילות המשועשעת ולפשטות של שאר חברי הקבוצה. לא זו בלבד, שהוא לא גילה התנגדות פעילה לרומנטיקה של ריכרד וגנר וריכרד שטראוס כיתר חברי הקבוצה, יצירותיו הבוגרות של הונגר מגלות השפעה ברורה של יצירותיהם. על אף ההבדלים בסגנונותיהם, הוא וחברו לקבוצת השישה, דריוס מיו, היו ידידים קרובים, מאז לימודיהם בצוותא בקונסרבטואר של פריז. מיו הקדיש את חמישיית המיתרים הרביעית שלו לזכרו של הונגר.
דמותו של הונגר מונצחת כיום על שטר הכסף בן 20 פרנק שווייצריים.
יצירות חשובות.
מספרי אופוס לקוחים מן הקטלוג השלם של הארי הלברייך.
תורת הבלימה
תורת הבלימה (באנגלית: Containment) הייתה האסטרטגיה שהנחתה את מדיניות החוץ של ארצות הברית בשנים הראשונות של המלחמה הקרה. ביסודה של התורה עמדה הנחישות האמריקנית לבלום את ההתפשטות הקומוניסטית למדינות נוספות ולנסות לבודד את ברית המועצות במטרה סופית להביא לשינוי השיטה הפוליטית ברוסיה.
המדיניות הוצעה לראשונה על ידי ג'ורג' קנאן ב"מברק הארוך" שכתב ממוסקבה ב-1946. שנה לאחר מכן היא נחשפה לציבור במאמר "The Sources of Soviet Conduct" שהתפרסם בירחון "Foreign Affairs" תחת השם הבדוי "X". "X" היה לא אחר מאשר קנאן עצמו. ב-1948 הייתה הבלימה למדיניות החוץ הרשמית של ארצות הברית ולאבן הפינה של דוקטרינת טרומן.
מכאן ואילך חל תהליך של הקצנה במימוש של העקרונות שהעלה קנאן על הנייר. בעוד שהוא דגל בבלימה כלכלית ופוליטית בעיקר, אירועים כמצור על ברלין ב-1948, הניסוי הראשון של הסובייטים בנשק גרעיני ב-1949 ונפילת סין בידי הקומוניסטים מיד לאחר מכן - כל אלה גרמו לפרשנות מקצינה והולכת של הבלימה בכיוון הצבאי. בשנות החמישים כבר רווחה תאוריית הדומינו, שגרסה כי נפילה של מדינות בודדות, בלתי חשובות ככל שיהיו, עלולה לגרום לאפקט אזורי של נפילת מדינות נוספות, אחת אחרי השנייה כאבני דומינו. גרסתו של קנאן עמדה על מספר נקודות - אירופה המערבית, יפן וצפון אמריקה - שרק להן חשיבות אסטרטגית עליונה ורק עליהן צריך להאבק, וגם אז לא רק באמצעים צבאיים. אולם לא זו הגרסה שהתקבלה על ידי קובעי המדיניות (קנאן עצמו עזב את מחלקת המדינה בפתח שנת 1950), אלא הגרסה הרחבה שדרשה למנוע בכל מחיר את נפילתה של כל מדינה בעולם. התוצאה הייתה המעורבות האמריקאית במלחמת קוריאה ובמלחמת וייטנאם אחריה.
לנוכח הכישלון האמריקאי בווייטנאם איבדה תורת הבלימה את חינה בעיני קובעי המדיניות. במקומה אומצה גישה של דטאנט, הכרה בברית המועצות כעובדה ודו קיום איתה. אולם רונלד רייגן סובב את הגלגל לאחור בשנות השמונים ואף הרחיק לכת מעבר לבלימה, כאשר גרר את הרוסים למירוץ חימוש יקר, במטרה לרושש אותם ולמוטט את משטרם. ב-1991 נפלה ברית המועצות ועמה נעלם, על פניו, הצורך בתורת הבלימה.
למרות שעידן הבלימה חלף עם תום המלחמה הקרה, תוצאותיה עדיין שרירות וקיימות. למעלה מ-700 בסיסי צבא אמריקאים פזורים ברחבי העולם. נוכחות זו, שנדמית כמובנת מאליה היום, לא הייתה קיימת לפני מלחמת העולם השנייה.
גם מדיניות החוץ של ארצות הברית כיום נושאת עימה שרידים של תורת הבלימה. לאחר מותו של קנאן אמרה מזכירת המדינה קונדוליזה רייס בנאום בטוקיו בשנת 2005:
הביטוי "לא מרוסנת" (untethered במקור האנגלי) אינו מקרי. כאשר מרסנים חיה ברצועה, הדבר מאפשר לה מרחב תנועה מצומצם מסביב לה. משמעות זו קרובה לתקוותו של קנאן, להגביל את השפעתה של ברית המועצות על מדינות אחרות. נראה מכאן שהבלימה נשארה, אך היריב הנבלם השתנה.
מטיסים
סמל גיברלטר
סמל גיברלטר הוא שלט אצולה שהוענק לגיברלטר לראשונה עם הרשאה מלכותית בטולדו, ב-10 ביולי 1502, על ידי איזבלה הראשונה, מלכת קסטיליה בתקופת השלטון הספרדי על גיברלטר. שלט האצולה מורכב ממגן ותיאור של מבצר בעל שלושה מגדלים אדומים מעל מפתח מזהב התלוי מהפתח הקדמי של המבצר.
עיצובו של הסמל.
שלט האצולה מתואר בהרשאה המלכותית של המלכה איזבלה הראשונה כך:
הסמל הוא שלט אצולה הכולל מגן הצבוע בשני השלישים העליונים בלבן (ארז'ן) ובתוכו מתוארת טירה אדומה בת שלושה מגדלים. השליש התחתון צבוע אדום (גולס) ובמרכזו תלוי מפתח בצבע זהב (אור) אשר תלוי ממרכז הטירה.
שלט האצולה של גיברלטר יונק את שורשיו מההרלדיקה של ממלכת קסטיליה, הממלכה הגדולה והחשובה ביותר בספרד של ימי הביניים, בה הייתה המלכה איזבלה הראשונה. בפתיחה להרשאה המלכותית לשלט האצולה של גיברלטר נאמר כך:
הרעיון שגיברלטר היא המפתח לספרד או לים התיכון מקורו עוד לפני הכיבוש הספרדי. על ממשיכיו של המפקד המוסלמי ברברי טאריק בן זיאד, שפלש לספרד דרך גיברלטר בשנת 711, נאמר שהם אימצו את הסמל של המפתח בעת שהתיישבו בגרנדה.
השימוש כיום.
כיום, שלט האצולה הרשמי הנמצא בשימוש אצל ממשלת גיברלטר מורכב משלט האצולה המקורי בתוספת מוטו:"Montis Insignia Calpe", שמשמעותו "הסמל של הר הצוק" ("Mons Calpe" היה השם הלטיני של צוק גיברלטר בפי הרומאים) שניתן על ידי המכללה להרלדיקה בשנת 1836 במטרה להנציח את המצור הגדול על גיברלטר שהתרחש בשנים 1779-1783. זהו שלט האצולה העתיק ביותר הנמצא כיום בשימוש בטריטוריות הבריטיות שמעבר לים, והיחיד במינו בשל העובדה שזהו הסמל המגן היחיד שמקורו בתקופה שלפני שלטונה של בריטניה הקולוניאלית במקום.
הסמל שונה מהחותם הרשמי של גיברלטר המכיל את צוק גיברלטר ולפניו ספינה שטה. לא ידוע מתי נוצר החותם הרשמי. החל משנת 1982 שימש הסמל גם כדגל גיברלטר וכן כדגל מושל גיברלטר. סמל ממשלת גיברלטר זהה לסמל הממלכה המאוחדת עם סמל גיברלטר בתחתיתו.
מרסל רייך-רניצקי