ומכאן להגדיר את המרחק (מטריקה) בין שתי נקודות להיות האינפימום של האורכים של עקומים שמתחילים בנקודה אחת ומסתיימים בשנייה. פונקציית המרחק הזו היא מטריקה.
אלמנט נפח.
בהינתן מטריקה רימנית ניתן להגדיר אלמנט נפח אינווריאנטי על ידי
ואלמנט נפח כזה הוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
ההוכחה לכך היא כזו:
ראשית,
כאשר
הוא היעקוביאן של הטרנספורמציה.
כמו כן,
ולכן, מכפליות של דטרמיננטה,
לכן
שכן מדובר בדטרמיננטות של מטריצה וההפכית לה
( formula_16 ).
דוגמאות.
כדי לתאר מטריקה רימנית, נהוג לבחור מערכת קואורדינטות מקומיות ולתאר את המטריקה הרימנית בעזרת המטריצה של פונקציות formula_17.
formula_31
איזומורפיזמים מוזיקליים.
מכיוון שמטריקה רימנית היא תבנית לא מנוונת, היא משרה איזומורפיזם בין המרחב המשיק למרחב הקו-משיק. בקואורדינטות מקומיות, האיזומורפיזם נתון על ידי formula_32 ו formula_33 כאשר המטריצה formula_34 מסמנת את המטריצה ההופכית של formula_2 ומשתמשים בהסכם הסכימה של איינשטיין. בעזרת איזומורפיזם זה ניתן להגדיר איזומורפיזמים נוספים בין כפולות טנזוריות גבוהות יותר של המרחב המשיק והקו משיק, לדוגמה בין formula_36 ובין formula_37 ומכך לקבל העתקות בין שדות טנזורים. העתקות אלה נקראות גם הורדה והעלאה של אינדקסים וגם איזומורפיזמים מוזיקליים.
Unterseeboot 110 (U-110) הייתה צוללת מסוג IXB של הקריגסמרינה אשר נתפסה על ידי הצי המלכותי ב-9 במאי 1941 כשבה מכונת ההצפנה אניגמה ומספר מסמכי צפנים סודיים. תפיסת ה-U-110 זכתה בהמשך לשם הקוד מבצע פרימרוס והייתה אחד הסודות הגדולים של המלחמה. תפיסתה נשמרה בסוד במשך שלושים שנה. וינסטון צ'רצ'יל מסר את המידע על תפיסת הצוללת לנשיא האמריקני פרנקלין רוזוולט רק בינואר 1942.
הצוללת יוצרה במספנת AG וזר בברמן שבגרמניה. היא נכנסה לשירות ב-21 בנובמבר 1940 תחת פיקודו של פריץ-יוליוס למפ (Lemp).
U-110 ערכה שני סיורים, היא הטביעה שלוש ספינות במשקל כולל של 10,149 טון ופגעה בשתיים נוספות במשקל כולל של 8,675 טון. ב-23 במרץ 1941, תותח ה-105 מ"מ שעל סיפונה התפוצץ במהלך ירי, ושלושה אנשים נפצעו.
ב-9 במאי 1941 נתפסה הצוללת. U-110 התקיפה שיירה יחד עם U-201 באוקיינוס האטלנטי הצפוני דרומה מאיסלנד. למפ שגה כאשר צפה בפריסקופ במשך זמן רב מדי, ואז הבחינו בו אוניות הליווי. אוניית הליווי, הקורבטה אה"מ Aubretia הבחינה בצוללת והחלה להטיל פצצות עומק. הצוללת שרדה את התקיפות הראשונות אך כאשר הצטרפו למתקפה המשחתות אה"מ Bulldog ו-Broadway, נפגעה U-110 ונאלצה לעלות אל פני הים. Bulldog התכוונה למסלול התנגשות; למפ ראה את מסלולה והורה לנטוש את הצוללת, כנראה מאחר שהניח שהספינה עומדת להתנגש בה ולהטביעה, וסודותיה - כדוגמת ספרי קוד ורשימות הגדרת אניגמה - יהיו בטוחים.
מפקדה של Bulldog, הקברניט ג'ו בייקר-קרסוול הבחין כי תפיסת הספינה אפשרית ושינה את מסלולו. למפ ראה שהצוללת לא טבעה וניסה לשחות חזרה אליה על מנת להשמיד את החומר המסווג. הוא לא נראה עוד. ייתכן שנורה במים על ידי מלח בריטי (כפי שהעיד עד ראייה גרמני), אך גורלו לא נודע. ישנן סברות שאיבד עצמו לדעת לאחר שהבין שסודות הצוללת נחשפו. 15 איש (כולל למפ) נהרגו בפעולה ו-32 נתפסו.
צוותה של Bulldog רוקן את U-110 מכל ציוד נייד ובכלל זה מסמכיה הסודיים ומכונת ההצפנה האניגמה. U-110 נגררה לאנגליה אך טבעה בדרכה לסקפה פלו שבאיי אורקני, סקוטלנד. ההטבעה הייתה ספק תאונה וספק מכוונת; האדמירליות הבריטית הבינה שעדיף שדבר הלכידה לא ייוודע, ולכן מוטב שהצוללת תטבע בים. הסוד אכן נשמר, ואפילו אנשי צוותה של הצוללת לא ידעו שציודה נלכד.
המסמכים שנתפסו ב-U-110 סייעו לשוברי הצפנים בבלצ'לי פארק לפצח את נוהל הגיבוי הידני שהיה שיטת הצפנה ידנית לגיבוי במקרה שהאניגמה אינה פועלת.
פוליאמין
פוליאמינים הם מולקולות פחמניות קטנות בעלות מטען חיובי עם שייר של לפחות קבוצת אמין ראשוני אחת. ניתן למצוא אותן בכל סוגי היצורים החיים (למעט בשני מיני חיידקים).
מולקולות הפוליאמינים נקשרות למולקולות DNA ,RNA, חלבונים וממברנות. בין היתר מסייעות מולקולות אלה בסינתזת חלבונים וחומצות גרעין, מעורבות ביצירת מבנה הכרומוזומים, ביטוי גנים ותרגום RNA. כמו כן, ידוע כי יש למולקולות אלו תפקיד גם בהעברת אותות לגדילה, חלוקה ומוות של תאים.
הפוליאמינים הנפוצים ביותר ידועים בשמות פיוטרסין (putrecine), ספרמידין (spermidine) וספרמין (Spermine). עקב חשיבותם הרבה לקיום תהליכי החיים בתא, ריכוזם מפוקח בקפידה על ידי סידרה של מערכות בקרה. מחקר שבחן השפעת נטילת תוסף עשיר בספרמידין על ציוני מבחני זיכרון של בני 60-90 שחשו ירידה קוגניטיבית, לא מצא השפעה כזו.
קיים ויכוח בקהילה המדעית, האם ניתן לסווג את הפוליאמינים כהורמונים צמחיים. ידוע כי עיכוב ביצירת פוליאמינים בתא הצמחי, עשוי לפגוע בגדילתו התקינה.
הנס פרוידנטל
הנס פרוידנטל (בגרמנית: Hans Freudenthal; 17 בספטמבר 1905 - 13 באוקטובר 1990) מתמטיקאי וסופר יהודי שהוביל רפורמה בחינוך ובהוראת המתמטיקה במאה ה-20.
חייו.
פרוידנטל נולד ב-1905 בגרמניה כבנו של מורה יהודי, והתעניין כבר בגיל צעיר במתמטיקה מורכבת. בגיל 18 החל בלימודי מתמטיקה גבוהים, ולאחר שסיים את הדוקטורט שלו עבר לאמסטרדם שבהולנד שם עבד כעוזרו של לויצן אגברטוס יאן בראואר, המתמטיקאי המפורסם. בעזרת אשתו ההולנדית-אירית (שהייתה אף היא מתמטיקאית) שרד את מלחמת העולם השנייה. ב-1946 הוא הפך לפרופסור באוניברסיטת אוטרכט ותרם רבות לטופולוגיה, לגאומטריה ולתאוריה של חבורות לי.
פרוידנטל ייסד את עקרונות החינוך המתמטי הריאליסטי, שהציג את הוראת המתמטיקה כמבוססת על חיי היום-יום. הוא לא דגל בשיטות פורמליות המבוססות על לוגיקה אשר אינן מתאימות לרוב הלומדים, ולימד על ידי סיפורים ומעשיות שנבחרו על ידיו בקפידה אשר מעידים על הבנה מתמטית מעמיקה ומובנית.
הוא האמין שאדם לומד מתמטיקה על ידי יצירתה מחדש, ושהמתמטיקה מעניינת יותר בדרך של סיפורים.
ב-1971 הקים פרוידנטל את IOWO (instituut ontwikkeling wiskunde onderwijs) – המכון להתפתחות החינוך המתמטי, אשר נקרא כיום על שמו. מכון זה, גם היום, נחשב לאחד המובילים בתחום המתמטיקה בהולנד ובעולם.
מעבר למתמטיקה, כתב פרוידנטל רבות לעיתונים הולנדים איכותיים בנושאים כמו: שפה, היסטוריה, חינוך ופוליטיקה.
קריגסמרינה
ה"קְרִיגְסמָרִינֶה" (בגרמנית: Kriegsmarine, בתרגום לעברית: "צי המלחמה") היה שמו של צי המלחמה של גרמניה הנאצית בין השנים 1935–1945. הוא החליף את ה"רייכסמרינה" ("הצי של הרייך").
היסטוריה.
על פי תנאי הסכם ורסאי הותר לגרמניה להחזיק צי מלחמתי מינימלי. מיד עם עלות הנאצים לשלטון ב-1933 החל היטלר להתעלם מהגבלות רבות של ההסכם והאיץ את התחמשותה מחדש של גרמניה. ההסכם הימי האנגלי-גרמני מ-18 ביוני 1935 הרשה לגרמניה לבנות צי השווה בגודלו ל-35% מהדחק אוניות השטח של בריטניה ול-45% מהדחק הצוללות שלה; ממדי אוניות המערכה הוגבלו ל-35,000 טון לכל היותר. לאחר משבר חבל הסודטים ב-1938 פסקה גרמניה להעמיד פנים כאילו היא דבקה בהגבלות ההסכם על צייה המלחמתי.
תוכנית הבנייה הימית הגרמנית, שקיבלה את הכינוי "תוכנית צֶט" (Plan Z) ואשר הכנתה הושלמה ב-1938, כללה בניית כ-800 אוניות במשך שמונה השנים הבאות (1938-1947), ובהן 10 אוניות מערכה וסיירות-קרב, 4 נושאות-מטוסים, 15 אוניות מערכה זוטות (Panzerschiffe, Pocket Battleships), חמש סיירות כבדות, 44 סיירות קלות, 158 משחתות וספינות טורפדו, 249 צוללות ועוד מספר רב של כלי שיט קטנים יותר. מצבת כוח האדם של הצי תוכננה לעלות ל-200,000 איש ויותר.
הבנייה המהירה של הצבא וחיל האוויר הגרמניים בעת ובעונה אחת הצריכו מאמצים ומשאבים עצומים, ולכן לא התקדם מימוש תוכנית הבנייה הימית במידה ניכרת עד פרוץ מלחמת העולם השנייה. ואומנם, ביצועה החל רק בינואר 1939, עם תחילת בנייתן של שתי אוניות מערכה מדגם H. ב-1 בספטמבר 1939 מנה כוח האדם של הצי 78,000 איש בלבד, והוא לא היה מוכן כלל ועיקר לתפקידו העיקרי במלחמה. מאחר שהגרמנים ציפו לניצחון מהיר ביבשה, נדחתה למעשה "תוכנית צט", והמשאבים שיועדו מלכתחילה לביצועה הועברו בחלקם הגדול לבניית צוללות.
הפעולה המבצעית הראשונה של ה"קריגסמרינה" ארעה במהלך מלחמת האזרחים בספרד, כאשר אוניות גרמניות -יחד עם כוחות ימיים של בריטניה, צרפת ואיטליה - סיירו לאורך חופי ספרד כדי לאכוף את אמברגו הנשק הבינלאומי. האוניות הגרמניות סיירו בין אלמריה (Almería) וולנסיה (Valencia) שלחופי הים התיכון. למעשה, נוצלה הנוכחות הגרמנית להענקת סיוע לכוחות הלאומניים של פרנקו. בתגובה לכך הפגיזו ב-29 במאי כוחות רפובליקנים ספרדיים באיביזה את אוניית המערכה זוטא (Panzerschiff) "דויטשלנד" ("Deutschland") והסבו לה נזקים.
הקריגסמרינה במלחמת העולם השנייה.
הפעולות העיקריות של ה"קריגסמרינה" במהלך השנה הראשונה למלחמת העולם השנייה היו קרב נהר לה פלטה והטבעת אה"מ "רויאל אוק" (HMS "Royal Oak"). באותה שנה החל גם הקרב על האטלנטי, אם כי הצוללות הגרמניות סבלו ממחסור בנמלים טובים מהם יכלו לתקוף את הספנות של בעלות הברית.
באפריל 1940 השתתף הצי בפלישה לנורווגיה (מבצע ווסראיבונג, Weserübung). אבדותיו היו כבדות למדי, ובהן הסיירת הכבדה "בליכר" ("Blücher"), שהוטבעה באוסלו, ועוד עשר משחתות. הוא עצמו הטביע כמה אוניות בריטיות, ובהן נושאת המטוסים "גלוריוס" (HMS "Glorious").