ניתן לראות גם את הספֵירה של רימן כספירה (פני כדור) במרחב האוקלידי התלת ממדי, שבה נקודת ה"צפון" היא נקודת האינסוף ונקודת ה"דרום" (הנקודה האנטיפודית לנקודת הצפון) היא הנקודה אפס. ניתן לפרוש מחדש מהספֵירה את המישור המרוכב בעזרת ההטלה הסטריאוגרפית דרך נקודת האינסוף. קל לראות שהבחירה לבצע את ההטלה דרך נקודת האינסוף הייתה שרירותית וניתן היה לבצע אותה דרך כל נקודה אחרת על הספֵירה. כאן מתבטאת תכונה כללית של הספֵירה של רימן - נקודת האינסוף איננה נקודה מיוחדת אלא זהה לכל נקודה אחרת, והיא מקיימת כל תכונה גאומטרית שהנקודות האחרות מקיימות.
נסמן את המישור המרוכב יחד עם נקודת האינסוף בכיתוב formula_1. את תכונות המישור המרוכב המורחב נגדיר באמצעות הפונקציה formula_2. באופן טבעי פונקציה זו מוגדרת על כל נקודות המישור חוץ מהנקודה 0, אבל אחרי שהוספנו את הנקודה formula_3 אפשר להגדיר את הפונקציה כך שיתקיימו השוויונים formula_4. בצורה הזו מתקבל בעצם הומאומורפיזם בין המישור המרוכב ללא נקודת האפס, אך עם נקודת האינסוף לבין המישור המרוכב הרגיל.
מבנה דיפרנציאלי.
לספֵירה של רימן יש מבנה טבעי כיריעה מעל המספרים המרוכבים. זו יריעה מממד 1 מעל המספרים המרוכבים (או יריעה מממד 2 מעל המספרים הממשיים) על ידי שתי המפות הבאות:
בצורה הזו הספֵירה של רימן היא יריעה אנליטית. בנוסף הספֵירה של רימן דיפאומורפית, ובפרט הומאומורפית לספֵירה הדו ממדית הרגילה ולכן היא קומפקטית ופשוטת קשר.
אוטומורפיזמים.
כל האוטומורפיזמים של הספירה של רימן הם העתקות מביוס - כל פונקציה הפיכה שומרת מבנה (כלומר הולומורפית) על הספירה היא מהצורה formula_6, כאשר formula_7 רגולרית. אלו הן פונקציות הולומורפיות בכל המישור המרוכב למעט בנקודה formula_8, אך על הספירה של רימן הן מהוות אוטומורפיזמים - על ידי הפעלת ההעתקה formula_9 ניתן להחיל את העתקות מביוס גם על הנקודות שבהן המכנה מתאפס, וגם בנקודת האינסוף על ידי ההגדרות הרגילות: formula_10.
המטריצה שמגדירה העתקת מביוס מוגדרת עד כדי כפל בסקלר, ולכן העתקות מביוס הן למעשה אוטומורפיזמים של הישר הפרויקטיבי המרוכב formula_11. ולכן את הטענה לעיל ניתן לנסח כך: חבורת האוטומורפיזמים של טבעת מביוס היא ההחבורה הפרויקטיבית הליניארית formula_12.
פרנקפורט על נהר המיין
מידווי
גוטינגן
התפתחות הטנקים
היסטוריה של הטנק
שטרן (שבועון)
שטרן (גרמנית: Stern, "כוכב") הוא שבועון חדשות גרמני בבעלות קבוצת ברטלסמאן. נוסד על ידי העיתונאי הנרי נאנן, ויוצא לאור מאוגוסט 1948. תפוצתו בשנת 2004 הייתה כ-1.07 מיליון עותקים.
בשנת 1983 רכש השבועון ופרסם את יומני היטלר, שהתגלו כמזויפים בבדיקה מדעית. הפרשה הובילה להתפטרות עורכיו, ולמשבר קשה בעיתון בפרט ובעיתונות הגרמנית בכלל.
מאונטיין
מאונטיין (באנגלית: Mountain, הר) היא להקת רוק כבד אמריקאית, הפעילה החל מסוף שנות השישים ועד היום. הלהקה נוסדה בשנת 1969 על ידי הגיטריסט לזלי וסט (שמה של הלהקה נגזר מממדי גופו הגדולים), נגן הבס פליקס פאפלרדי, הקלידן סטיב נייט והמתופף נ.ד. סמארט.
היסטוריה.
מאונטיין נוסדה בשנת 1969, כאשר לזלי וסט שניגן עד אותה עת בלהקה מהחוף המזרחי של ארצות הברית בשם "המשוטטים" (The Vagrants) פגש בנגן הבס ובמפיק פליקס פאפלרדי, שהיה בעל השכלה מוזיקלית בתחום הקלאסי, והתמקצע בתורת הניצוח והניהול המוזיקלי. פאפלרדי התפרסם כבר בשנת 1967 כשהפיק את אלבומם השני של להקת הקצפת – Disraeli Gears. את הרביעייה השלימו הקלידן סטיב נייט, והמתופף נ.ד. סמארט, שהקליטו את אלבומו הראשון של ווסט שנקרא Mountain בסתיו 1969.
מאונטיין היו מחלוצי הרוק הכבד של שנות השבעים, ואחת מן הלהקות החשובות והמוכרות של התקופה, והצליחה ליצור לעצמה בסיס נרחב של מעריצים. קולו הצרוד והמחוספס של וסט היה סימן ההיכר של הלהקה, זאת בנוסף לצליל הפראי והכבד של נגינתו שהשתלבה היטב עם הצלילים הכבדים אף הם של גיטרת הבס של פאפלרדי. הופעתה הראשונה של הלהקה התקיימה בשנת 1969 באולם הפילמור איסט בניו יורק. הופעתה הרביעית של הלהקה שהקנתה לה את מירב פרסומה התקיימה ב-17 באוגוסט 1969 בפסטיבל וודסטוק. סמארט עזב את הלהקה מעט לאחר וודסטוק, והוחלף על ידי המתופף הקנדי, לורנס "קורקי" ליינג. אלבומם הראשון של "הר" יצא בשנת 1970 ונקרא "טיפוס" (Climbing). אלבום זה כלל את להיטה הגדול ביותר של הלהקה "מלכת המיסיסיפי" (Mississippi Queen), שהגיע ל-40 הראשונים במצעד הלהיטים האמריקאי, וכן את השיר "נושא למערבון דמיוני" (Theme For An Imaginary Western) שהפך אף הוא לאחד מן המפורסמים בקריירה של הלהקה. האלבום עצמו הגיע ל-20 הראשונים במצעד האלבומים האמריקאי.
אלבומם הבא, Nantucket Sleighride יצא בשנת 1971, והגיע למקום העשרים במצעד האמריקאי. מאונטיין הוציאו אלבום אולפן נוסף באותה שנה (Flowers Of Evil), וכשנה לאחר מכן שיחררו אלבום שהוקלט בהופעה חיה (Mountain Live - The Road Goes On Forever) והתפרקו ב-1972. לאחר הפירוק, הקים וסט הרכב רוק כבד חדש שהיה למעשה סופרגרופ, יחד עם נגן הבס לשעבר של להקת הקצפת, ג'ק ברוס, ועם המתופף קורקי ליינג (West, Bruce And Laing). ההרכב החדש הוציא שני אלבומים והתפרק. מאונטיין שבו והתאחדו בשנת 1974 ויצאו, כמו רבים מאמני התקופה לסיבוב הופעות ביפן, שם הוקלטה הופעתם באלבום Twin Peaks. לאחר מכן התפרקה הלהקה פעם נוספת, אך שבה להופיע בשנות השמונים. ב-17 באפריל 1983, נורה פליקס פאפלרדי בנסיבות לא ברורות על ידי אשתו, גייל קולינס בביתם שבמנהטן. קולינס הורשעה בבית המשפט ברצח מדרגה שנייה, ונשפטה ל-4 שנות מאסר. קולינס הייתה גם שותפתו של פאפלרדי לכתיבת חלק משירי הלהקה, וכתבה גם חומרים לאמנים אחרים. בין היתר כתבה עמו ועם אריק קלפטון את שירם הידוע של להקת הקצפת "שיכר מוזר" (Strange Brew), וכן עיצבה גם כמה מעטיפות אלבומי הלהקה. לאחר שיחרורה מן הכלא פרשה לחיים פרטיים, ונעלמה מאור הזרקורים. מאונטיין ממשיכים להופיע עד עצם היום הזה. הופעתם האחרונה התקיימה באנגליה בראשית קיץ 2006.
לזלי וסט נפטר ב-22 בדצמבר 2020.
ז'וזף ניספור נייפס
ספיידרמן
ספיידרמן (באנגלית: Spider-Man, בתרגום חופשי לעברית: איש העכביש) הוא דמות בדיונית של גיבור-על המופיעה בחוברות הקומיקס ביקום מארוול קומיקס. הדמות הופיעה לראשונה בחוברת "#15 Amazing Fantasy" מאוגוסט 1962, ונוצרה על ידי הכותב סטן לי והמאייר סטיב דיטקו.
ספיידרמן הוא האלטר אגו של פיטר פארקר, צלם במערכת העיתון "הדיילי ביוגל" אשר ננשך על ידי עכביש רדיואקטיבי (ובגרסאות מאוחרות יותר, גם מהונדס גנטית) והופך לגיבור-על. הוא משתמש בכישוריו כדי להגן על העיר, ולהילחם במגוון רחב של אויבים שרוצים לפגוע בספיידרמן או אפילו בפיטר פארקר עצמו. מאז הופעתו הראשונה, ספיידרמן הפך לאחד מגיבורי-העל המפורסמים בעולם והמצליח ביותר מבחינה מסחרית. כדמות הדגל וכמותג של חברת מארוול קומיקס, ספיידרמן הופיע בשלל מדיות נוספות, בהן סדרות אנימציה, סדרות טלוויזיה וסרטי קולנוע.
דמותו של ספיידרמן מדורגת במקום החמישי ברשימת 50 דמויות הקומיקס הגדולות של כל הזמנים לפי מגזין "אמפייר" ובמקום השלישי ברשימת מאה גיבורי-העל הגדולים, לפי אתר IGN. את דמותו של ספיידרמן בסרטי הלייב אקשן הקולנועיים גילמו שלושה שחקנים - בסרטים "ספיידרמן", "ספיידרמן 2" ו"ספיידרמן 3" מגלם אותו השחקן טובי מגווייר; בסרטים "ספיידרמן המופלא" ו"ספיידרמן המופלא 2" מגלם אותו השחקן אנדרו גארפילד; ובסרטי היקום הקולנועי של מארוול ", ", ", ", " ו" מגלם אותו השחקן טום הולנד.
היסטוריה פרסומית.
תור הכסף.
ספיידרמן הוא יצירתו המוכרת ביותר של סטן לי, שעם הצלחתו של הקומיקס "ארבעת המופלאים" חיפש רעיון לגיבור-על חדש. לי ציין שהדרישה לגיבור הייתה בעקבות גל בקשות של צעירים לחוברות קומיקס. הוא ציין גם שההשראה הגדולה ביותר ליצירת הדמות הייתה זו של גיבור הספרות הזולה "העכביש", שאמנם היה לוחם צדק, אך לא היו לו כוחות-על. נוסף על כך, הרעיון בא לו בהשראת זבוב שטיפס על חלונו, ולי החליט לקרוא לדמותו ספיידרמן, כיוון שהאמין שהשם יישמע מאיים.
אחד הדברים החשובים בעיניו של לי היה לחדש בכל דמות/סיפור שהוא יוצר. בסיפורו של ספיידרמן החידוש הוא בעצם היותו בחור רגיל, עם קשיים יומיומיים בעבודה ובחברה. המוציא לאור של חוברות הקומיקס בזמנו, מרטין גודמן, דחה את הרעיון בטענה שאיש לא יתעניין בקריאת סיפור שכותרתו היא "איש העכביש", אך הסכים לנסות את הגיבור בהרצה האחרונה של גיליון "Amazing Fantasy", החמש עשרה במספר, שיצא באוגוסט 1962. ואכן, ספיידרמן הופיע לראשונה בגיליון זה וגרם לנסיקת מכירות החוברת. בעקבות ההצלחה החליטה מארוול להשיק את עלילות ספיידרמן כחוברת נפרדת, "The Amazing Spider-Man #1".
עד מהרה, הדמות הפכה לאייקון תרבותי. סקר שנערך בשנת 1965 במגזין "אסקווייר" בין קמפוסים במכללות הראה שספיידרמן והענק הירוק נכללו בין גיבורי התרבות המשפיעים ביותר בתקופה זו, לצד בוב דילן וארנסטו צ'ה גווארה. בעקבות עזיבתו של דיטקו בחוברת מספר 38, ג'ון רומיטה האב נטל את מושכות עבודת האיור למשך השנים הבאות. בשנת 1968, רומיטה אייר גם את הרומן הגרפי "The Spectacular Spider-Man", שנועד לקהל קוראים בוגר יותר אך החזיק מעמד כשני גיליונות בלבד. ללא כל קשר, הרומן הגרפי היה לסדרת הספין אוף הראשונה בתולדות כותרי הקומיקס של ספיידרמן, נוסף לחוברות שנתיות שהחלו בפרסום בשנת 1964.
תור הארד והעידן המודרני.