ערך התוחלת formula_25 של גודל מדיד formula_26 עבור מערכת במצב טהור formula_27 ניתן על ידי
formula_28
כאשר formula_29 הם מצבים עצמיים של האופרטור formula_26, ו-formula_31 היא ההסתברות שבמדידת מערכת במצב formula_32, תוצאת המדידה תהא formula_33 והמערכת תהא במצב
formula_29.
כדי לתאר התפלגות סטטיסטית של מצבים טהורים, כלומר מצב מעורב, יש להשתמש במטריצת צפיפות,formula_35. בכך מורחבת מכניקה קוונטית למכניקה סטטיסטית קוונטית. מטריצת צפיפות מוגדרת כך:
formula_36
כאשר formula_37 הוא שבר של כל צבר במצב formula_38. הממוצע מעל הצבר של מדידת הגודל
formula_39 על המערכת במצב מעורב הוא:
formula_40
כאשר חשוב לשים לב ששני סוגי ממוצעים מתרחשים כאן, האחד הוא הממוצע מעל הבסיס הווקטורי של המצבים הטהורים, והשני הוא הממוצע הסטטיסטי מעל הצבר של המצבים הטהורים.
קבר רחל
קבר רחל הוא מבנה השוכן במבואותיה הצפוניים של בית לחם, מדרום לירושלים, בין השכונות גילה והר חומה, הנמצא תחת שליטה ישראלית (דרך מסדרון צר מגודר). מסורות קדומות של למעלה מ-1,700 שנה מזהות את המקום כאתר שבו נקברה רחל אמנו, ומשום כך הוא נחשב למקום מקודש בעיני היהודים, הנוצרים והמוסלמים. במשך הדורות עברו המצבה שבמקום והמבנה שמעליה שינויים רבים המתועדים בספרות הנוסעים הענפה. מראה מבנה הקבר היה אחד הסמלים המפורסמים של ארץ ישראל, והוא הופיע על חפצי אמנות יהודיים, על בולים ובספרי קודש.
חוקרי ארץ ישראל חלוקים באשר לנכונות הזיהוי של האתר מצפון לבית לחם כמקום קבורתה של רחל. אחד הזיהויים הנוספים המקובלים במחקר למיקומו של קבר רחל הוא האתר המכונה בערבית קוּבּ֫וּר בַּ֫נִי אִסְרַאאִ֫יל (קברי בני ישראל) דרומית ליישוב גבע בנימין.
כיום קבר רחל משמש מקום תפילה ליהודים הפוקדים את המקום במשך כל ימות השנה, ובמיוחד בי"א בחשוון, המקובל במסורת היהודית כיום פטירתה של רחל.
בתנ"ך.
על פי ספר בראשית נקברה רחל בדרך בית לחם: "וַתָּמָת רָחֵל וַתִּקָּבֵר בְּדֶרֶךְ אֶפְרָתָה הִוא בֵּית לָחֶם. וַיַּצֵּב יַעֲקֹב מַצֵּבָה עַל קְבֻרָתָהּ הִוא מַצֶּבֶת קְבֻרַת רָחֵל עַד הַיּוֹם", וכן: "וַאֲנִי בְּבֹאִי מִפַּדָּן, מֵתָה עָלַי רָחֵל בְּאֶרֶץ כְּנַעַן בַּדֶּרֶךְ, בְּעוֹד כִּבְרַת-אֶרֶץ, לָבֹא אֶפְרָתָה; וָאֶקְבְּרֶהָ שָּׁם בְּדֶרֶךְ אֶפְרָת, הִוא בֵּית לָחֶם". פסוקים אלו תואמים את המסורת המקובלת לפיה נמצא קבר רחל סמוך לבית לחם, מדרום לירושלים.
לעומת זאת, בספר שמואל א' מסופר שקברה של רחל נמצא בגבול שבט בנימין, שעה שהעיר בית לחם שוכנת בנחלת שבט יהודה ולא בגבול נחלת בנימין.
מקור נוסף המצביע על כך שקבר רחל נמצא בצפונה של ירושלים, הוא הפסוק בספר ירמיהו: "קול ברמה נשמע נהי בכי תמרורים רחל מבכה על בניה". רוב מפרשי התנ"ך זיהו את ה"רמה" בפסוק זה, עם הרמה המוזכרת בספר ירמיהו כמקום כינוסם של גולי בבל על ידי נבוכדנצר השני. התיאור לפיו עוברים בניה של רחל ליד קברה בדרכם לגלות מוזכר במדרש בראשית רבה: "מה ראה אבינו יעקב לקבור את רחל בדרך אפרת. אלא צפה יעקב אבינו שהגליות עתידות לעבור דרך שם, לפיכך קברה שם כדי שתהא מבקשת עליהם רחמים".
ניסיון ליישב את המקורות המקראיים נעשה כבר במדרש בראשית רבה, וכן שני לפרשנות מלווה בהנמקות בזמננו. פרשנות אחרת לסתירה בין הפסוקים היא שהמילים: "גבול בנימין בצלצח" אינן מכוונות לנחלת בנימין, אלא למקום בקרבת קבר רחל בשם זה (יש המזהים אותה עם חרבת צליח שבקצה בנימין. כ-2 ק"מ מצפון לקבר רחל). מקום זה, המצוי על כביש דרך חברון, בסמוך לפניה לשכונת הר חומה, היה אתר מקודש לנוצרים ולמוסלמים. יש הרואים במקום זה את מקום פטירתה של רחל (שאינו זהה למקום קבורתה) ומקום הולדת בנימין, והמסורות המקומיות תומכות בכך. לפי זה מתפרש היטב השם 'גבול בנימין' על שם הולדת בנימין, אף שהוא בנחלת יהודה.
מגמות בזיהוי אתר הקבר בספרות המחקר.
חוקרי ארץ ישראל חלוקים לגבי הזיהוי הנכון של מקום הקבר. האזכורים בספר בראשית תמכו בזיהוי המקובל דורות רבים, באתר מצפון לבית לחם. לעומת זאת, האזכורים בספר שמואל ובספר ירמיהו שימשו בסיס לתאוריה, אשר מצטטת מדרשים ונתמכה בראיות בעיקר משל שארל קלרמון-גנו, נגה הראובני ואחרים, המזהים את קבר רחל באתר מצפון לירושלים השוכן ליד צומת חיזמה, בכניסה ממזרח לירושלים. המקום מכונה בפי הערבים קוּבּ֫וּר בַּ֫נִי אִסְרַאאִ֫יל (קברי בני ישראל).
בעת העתיקה.
המקורות הראשונים המזהים את קבר רחל בצפון בית לחם הם מקורות נוצריים: הברית החדשה מהמאה ה-1, אוסביוס ו"הנוסע מבורדו" מהמאה ה-4 והירונימוס שחי בבית לחם במאה ה-5.
בימי הביניים.
במפת מידבא מהמאה ה-6 מצוירת אפרתה סמוך לבית לחם ולידה נרשם "רמה, קול ברמה נשמע". מלבד המקורות המקראיים, המקור היהודי הקדום ביותר המזהה את קברה של רחל מצפון לבית לחם הוא מדרש לקח טוב מהמאה ה-11 המתאר את מצבת קבורת רחל באופן זהה לתיאורים אחרים בני זמנו.
מקור ראשוני לצורת הקבר קיים בתיאורו של הכומר הנוצרי מצרפת ארקולף שביקר בארץ ישראל בשנת 670. על פי תיאורו בנוי הקבר כמצבה של אבנים פשוטות ללא שום קישוט.
הנוסע היהודי רבי בנימין מטודלה, שביקר בארץ ב-1170, מתאר את קבר רחל בספרו "מסעות בנימין": . תיאור דומה מופיע גם אצל נוסעים נוספים בימי הביניים: יעקב בן נתנאל הכהן, רבי פתחיה מרגנשבורג ותלמיד הרמב"ן. התיאורים כוללים גם הסבר מדוע קיימות רק אחת עשרה אבנים ולא שתים עשרה.
בתיאורו של תלמיד הרמב"ן מסוף המאה ה-13 לא מוזכרים העמודים והכיפה וייתכן שהם נהרסו על ידי המוסלמים שניתצו והחריבו הרבה מבנים צלבניים-נוצריים בארץ ישראל או מבנים שדימו לראותם ככאלו. הרמב"ן עצמו ביקר בקבר רחל כמה שנים לפני תלמידו. בפירושו לתורה תיעד את רשמי ביקורו במקום והסביר כי בעקבות הביקור חזר בו מסברתו הראשונית ולפיה מקום קבורת רחל הוא בגבול בנימין.
בעת החדשה.
בתקופה העות'מאנית.
מהמאה ה-15 וה-16 קיימות עדויות על מבנה חדש שהוקם מעל המצבה. חלק מהעדויות כוללות עדיין תיאור של אחת עשרה או שתים עשרה אבנים נפרדות, אולם רובן מזכירות מצבה אחת בלבד. לפי השערת חלק מהמבקרים, האבנים הנפרדות טויחו ביחד ולכן נראו כמצבה אחת. על פי התיאורים נחשב המקום כמקודש ליהודים, למוסלמים ולנוצרים ושימש כמקום תפילה. משולם מוולטרה מאיטליה אשר ביקר בארץ ישראל ב-1481 מספר על מבנה הקבר ועל המנהג להתפלל במקום: . תיאור דומה של המבנה מוסרים רבי עובדיה מברטנורא (1488) המספר על תפילתו במקום, פליקס האבר (1483) המעיד כי "המקום מקודש במידה שווה על הסרצנים, היהודים והנוצרים" ומשה באסולה (1522).
מתיאורי נוסעים וציורים שנדפסו בספרים שונים במהלך המאה ה-16 ניתן ללמד כי מבנה הקבר הורחב ונוספו לו שתי כיפות קטנות לצד הכיפה המרכזית וכן חומה נמוכה בצורת מלבן שהקיפה את המתחם.
בשנים 1621–1622 התיר מושל ירושלים, מחמד פחה, ליהודים להקיף בקירות את ארבעת העמודים שסביב לקבר, ובפעם הראשונה הפך המקום למבנה סגור וקיבל את צורתו המוכרת, המזכירה קבר של קדוש מוסלמי ("ואלי"). משה פוריית כתב בחיבורו "דרכי ציון" שהתפרסם ב-1650 על שני מועדים, חול המועד פסח ול"ג בעומר בהם נהגו יהודים לפקוד את הקבר: .
נוסע צרפתי תיאר את הקבר ב-1657: "הוא תחת כיפה קטנה, פתוח לכל צדדיו, ונתמך בארבעה עמודים מרובעים. מצבה זאת מוקפת כותל קטן, שלוש רגל גובהו, ויש לה רק מבוא צר שאליו יורדים בארבע מדרגות".
עדויות מהמאה ה-18 ומה-19 מספרות על היהודים הרבים הפוקדים את קבר רחל ועל המיסים וההיטלים השונים ששילמו לשלטונות המוסלמיים ולתושבי האזור תמורת הזכות לבקר באתר. בתקופה זו החלו הבדואים בני שבט התעמרה לקבור את מתיהם סמוך לקבר מתוך אמונה כי הימצאות הנפטר סמוך לקבר של אישיות מקודשת תביא לו ברכה רבה בעולם הבא. רבי דוד דבית הלל, שביקר במקום ב-1824, כתב כי באזור הקבר עצמו קיים בית קברות אך "אין איש דר שם". לעומת זאת, "בהר מנגד יש כפר שתושביו ערבים והם רעים מאוד. זר שבא לבקר בקבר רחל נשדד בידיהם". על הסכנה המצויה בדרך בין ירושלים לחברון העיד גם ד"ר אליעזר הלוי, מזכירו של משה מונטיפיורי. הלוי, שביקר במקום בשליש הראשון של המאה ה-19, תיאר את מבנה הקבר כ"בנין מרובע ועליו גג עגול מהודר. הקבר אשר בתוכו מסוייד סיד לבן, ועליו רבבות אלפי שמות אורחים כתובים בכתב עברי".
מאמצע המאה ה-19 עד מלחמת העולם הראשונה.
במחצית הראשונה של המאה ה-19 חל שינוי מהותי במעמדו של קבר רחל. בשנת 1827 הצליח רבי אברהם בכר אברהם, פקיד "כוללות הספרדים" בירושלים, להשיג מהשלטון העות'מאני הכרה במעמדם ובזכויותיהם של היהודים בקבר רחל. הפירמאן נדרש מאחר שהמוסלמים ערערו על חזקתם של היהודים בקבר רחל ואף התנכלו למבקרים היהודים במקום. בפירמאן נאמר: