ארכימדס לאחר מכן סובב את התחום המישורי שבין "y" = 0 ל- "y" = "x" (על מישור ה-"x"-"y") מסביב לציר ה-"x", כך שנוצר חרוט. חתך הרחוב של החרוט הזה הוא מעגל ברדיוס formula_5:
formula_6
והשטח של החתך הזה הוא:
formula_7
כך שאם פרוסות של החרוט ושל הכדור נשקלות יחד, שטח החתך הכולל (וגם המשקל שלהם) שלהם שווה ל-:
formula_8
אם שתי הפרוסות ממוקמות יחדיו במרחק 1 מנקודת המשען, המשקל הכולל שלהם יתאזן במדויק על ידי מעגל ששטחו formula_9 הממוקם במרחק "x" מנקודת המשען מצדה השני. זה אומר שהחרוט והכדור יחדיו יימצאו בשיווי משקל עם גליל מן הצד השני של נקודת המשען.
על מנת שהפרוסות יאזנו את זו של הגליל שהוגדר מקודם, כל פרוסה של הכדור והחרוט צריכה להיתלות במרחק 1 מנקודת המשען, כך שהמומנט שייווצר יהיה פרופורציונלי לשטחם המשותף (או לחלופין לסכום הנפחים של שתי הפרוסות האינפיניטסימליות), בעוד שכפי שהוסבר מקודם הפרוסה המתאימה של הגליל צריכה להיות במרחק "x" מנקודת המשען. כיוון ש-"x" נע בין 0 ל-2, מרכז הכובד של הגליל יהיה במרחק 1 מנקודת המשען, כך שניתן להתייחס לכל המשקל של הגליל כאילו הוא פועל בנקודה "x" = -1. תנאי שיווי המשקל מבטיח שנפח החרוט ועוד נפח הכדור שווה לנפח הגליל.
נפח הגליל שווה לשטח הבסיס שלו, formula_9, כפול הגובה, שהוא 2, שזה שווה formula_11. ארכימדס יכל למצוא גם את נפח החרוט באמצעות השיטה המכנית, כיוון שבמונחים מודרניים, האינטגרל שצריך לחשב הוא בדיוק כמו זה שצריך לחשב כדי למצוא את שטח הפרבולה. נפח החרוט הוא לכן 1/3 ממכפלת שטח הבסיס שלו בגובה שלו. בסיס החרוט הוא מעגל ברדיוס 2, ששטחו formula_11, בעוד הגובה הוא 2, כך שנפח החרוט הוא formula_13. החסרת נפח החרוט מנפח הגליל נותנת את נפח הכדור:
formula_14
התלות של הנפח ברדיוס היא ברורה מאליו משיקולי סקלות, אף על פי שגם את זה לא היה קל להפוך לריגורוזי באותה תקופה. השיטה הזאת מניבה את הנוסחה המוכרת לנפח הכדור. באמצעות אנליזה ממדית ליניארית ארכימדס הרחיב בקלות את התוצאה לנפח לספרואידים.
הטיעון של ארכימדס כמעט זהה לטיעון לעיל, אבל לגליל שלו יש רדיוס גדול יותר, כך שהחרוט והכדור נתלים במרחק גדול יותר מנקודת המשען. הוא החשיב את הטיעון הזה להישגו הגדול ביותר, וביקש שאיור של כדור, חרוט וגליל בשיווי משקל ייחרט על מצבתו.
שטח הפנים של הכדור.
כדי למצוא את שטח הפנים של הכדור, ארכימדס טען שבדיוק כשם שניתן לחשוב על שטח המעגל כעל סדרה של אינסוף משולשים ישרי זווית המתקדמים לאורך ההיקף (ראו המדידה של המעגל), אזי ניתן לחשוב על נפח הכדור כמחולק להרבה חרוטים עם גובה ששווה לרדיוסו ובסיס על פני השטח שלו. לכל החרוטים יש את אותו גובה, כך שנפחם הוא 1/3 שטח הבסיס שלהם כפול הגובה המשותף.
ארכימדס טוען שהנפח הכולל של הכדור שווה לנפחו של חרוט אשר לבסיס שלו יש אותו שטח כמו לפני הכדור וגובהו כאורך הרדיוס של הכדור. קו חשיבה זה מקביל לזה שהוא הציג ב-"מדידה של המעגל", בו הוא טוען ששטח המעגל שווה לזה של משולש ישר-זווית שניצב אחד שלו הוא רדיוס המעגל והניצב השני שלו הוא היקף המעגל. עם זאת, הכללת צורת החשיבה לתלת-ממד דורשת בסיס ריגורוזי חזק יותר, וארכימדס מוכיח שהקבלה זו תקפה בעל הכדור והגליל.
כיוון שארכימדס כבר הוכיח בעזרת שימוש במנופים שנפח הכדור הוא formula_15, וכיוון שנפח החרוט עם שטח בסיס "S" וגובה "r" הוא formula_16, נובע איפוא ששטח הפנים של הכדור חייב להיות שווה formula_17, או "ארבע פעמים שטח המעגל הגדול ביותר שלו".
צורות עקמומיות עם נפחים רציונליים.
אחד הדברים המדהימים שארכימדס עושה בספרו השיטה הוא למצוא צורות המוגדרות על ידי חיתוכים של גלילים, אשר נפחם לא מערב את הקבוע "π", אף על פי שלצורות יש גבולות עקמומיים. זוהי נקודה מרכזית בחקירה; ניתן לרבע צורות עקמומיות מסוימות בעזרת סרגל ומחוגה, כך שיש יחסים רציונליים לא טריוויאליים בין הנפחים המוגדרים על ידי חיתוכים של גופים גאומטריים (גם אם כל אחד מהגופים בנפרד מגדיר נפח שערכו טרנסצנדנטי).
ארכימדס מביא כדוגמה את הבעיה של חישוב הנפח של הגוף הנוצר על ידי חיתוך שני גלילים עם אותו רדיוס המוצבים בזווית ישרה אחד יחסית לשני. זהו גוף מקורי שהתוצאה לחישוב נפחו לא מובאת באף אחד מהחיבורים האחרים של ארכימדס, ושמהווה דוגמה יפה לשילוב בין דמיון ויזואלי והכלים של החשבון האינטגרלי. הגוף כשלעצמו הוא מקרה פרטי של Steinmetz solid, שארכימדס מצא את נפחו במקרה הדו-גלילי.
הגוף שהוא מביא הוא למעשה החיתוך של שני גלילים בעלי רדיוס 1 שמשוואותיהם הן: formula_18, כך שהתחום ("x", "y", "z") במרחב התלת ממדי שמוכל בו מקיים:
formula_19
אם נחתוך מהגוף פרוסות שמקבילות למישור ה- x-z, המשוואות של הגלילים נותנות formula_20 ו-formula_21, מה שאומר שעבור כל שיעור y הפרוסה שתתקבל היא ריבוע במישור ה-"x"-"z" עם אורך צלע formula_22, על כן נפחו הכולל של הגוף הוא:
formula_23
כאשר הנוסחה למקרה שרדיוסו של הגליל הוא r היא כמובן formula_24.
תהליך חישוב נפח הדו-גליל שתואר לעיל עושה שימוש בסימונים ומונחים מודרניים הלקוחים מן הגאומטריה האנליטית של דקארט ומהחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי של ניוטון ולייבניץ (בפרט הוא עושה שימוש בסימון האינטגרל formula_25), שלא התקיימו בזמנו של ארכימדס. כיוון ש-"השיטה" מכיל רק את התוצאה הסופית של נפח הדו-גליל ולא את הדרך, ניתן לשער שארכימדס חישב אותו בצורה ישירה וויזואלית יותר, תוך שימוש בגרסה גבולית של טכניקות גאומטריות מתוחכמות - בדומה לדרך שבה פתר בעיות אינטגרציה אחרות בחיבורו.
טענות אחרות בפלימפססט.
סדרה של טענות גאומטריות מוכחות בפלימפססט באמצעות טיעונים דומים. משפט אחד קובע שמרכז הכובד של ההמיספירה (חצי כדור) ממוקם בנקודה הנמצאת 5/8 הדרך מהקוטב למרכז הכדור. בעיה זו ראויה לתשומת לב, שכן היא כרוכה בחישוב אינטגרל מעוקב. משפט חשוב אחר מספק תוצאה על הנפח הנחתך מגליל על ידי מישור מסוים (חישוב הנפח של cylindrical hoof), וקובע כי נפח החלק שנחתך הוא 1/6 מנפח המנסרה הריבועית החוסמת את הגליל.
יוהאן גאורג הרביעי, הנסיך הבוחר מסקסוניה
יוהאן גאורג הרביעי, הנסיך הבוחר מסקסוניה (גרמנית: Johann Georg IV, Kurfürst von Sachsen; 18 באוקטובר 1668 - 27 באפריל 1694) היה נסיך בוחר של סקסוניה בין השנים 1691–1694.
ביוגרפיה.
יוהאן גאורג נולד ב-18 באוקטובר 1668 בדרזדן, ליוהאן גאורג השלישי, הנסיך הבוחר מסקסוניה לבית וטין ולנסיכה אנה סופיה מדנמרק. בשנת 1691 מת אביו יוהאן גאורג השלישי, הנסיך הבוחר מסקסוניה, ויוהאן גאורג הרביעי עלה במקומו לשלטון. בתחילת שלטונו ייעץ לו יועצו הראשי הנס אדם פון שנינג להתאחד עם נסיכות הבוחר מברנדנבורג נגד לאופולד הראשון, קיסר האימפריה הרומית הקדושה, אולם לאחר מאבק קצר עם צבא הקיסר נשבה פון שנינג, ויוהאן גאורג חידש את כפיפותו המלאה לקיסר.
בשנת 1692 התחתן יוהאן גאורג עם אלאונורה, נסיכת סקסוניה-אייזנך, בתם של יוהאן גאורג הראשון, דוכס סקסוניה-אייזנך ויוהאנטה, רוזנת זיין-ויטגנשטיין על פי דרישת אמו, כביכול על מנת להביא יורש לגיטימי לעולם, אולם כוונתה הייתה לסיים את הקשר בין יוהאן גאורג למגדלנה זיבילה מניידשוץ, שהייתה לכאורה בתו של יוהאן גאורג השלישי, הנסיך הבוחר מסקסוניה מפילגשו. מיד לאחר חתונתו עזב יוהאן גאורג את אשתו, ועבר לגור עם פילגשו שאף ילדה לו את וילהלמינה מריה פרדריקה מרכליץ. יוהאן גאורג שרצה להתחתן רשמית עם פילגשו, ניסה לרצוח את אשתו, אולם נחסם על ידי אחיו פרידריך אוגוסט, שאף נהיה נכה כתוצאה מכך.
ב-4 באפריל 1694 חלתה פילגשו של יוהאן גאורג במחלת אבעבועות שחורות ומתה כתוצאה מכך, וזמן קצר לאחר מכן מת אף הוא עצמו כתוצאה מכך, ואחיו פרידריך אוגוסט הראשון, הנסיך הבוחר מסקסוניה עלה לשלטון במקומו.
ג'סיקה קוקס
גֵ'סִיקָה קוֹקס (באנגלית: Jessica Cox; נולדה ב-1983 באריזונה) היא מטיפת מוטיבציה המתמודדת עם גידמות מלאה (היעדר כל חלק של גפיים עליונות בעקבות מום מולד) אשר נודעה בתור האדם הגידם הראשון בעולם שהוציא רישיון טיס, והיא גם הגידמת הראשונה שקיבלה חגורה שחורה במכון הטאקוונדו האמריקאי.
להישגים אלה ואחרים וכן לפעולות רבות אחרות בחייה (כגון הנחת עדשות מגע, נהיגה, תדלוק, גלישת גלים וצלילה) קוקס לא נעזרת בפרוטזות (מאז גיל 14), כי אם משתמשת בכפות רגליה לאחיזה, הקלדה וכולי. כך למשל ביום חתונתה ב-2012 היא התייצבה על רגל אחת, ובאמצעות כף רגלה השנייה אחזה בנר כלולות וחתכה עוגה.
חייה והישגיה.
בגיל 10 החלה קוקס להתאמן בטאקוונדו בבית ספר בעיר שבה גדלה, סיירה ויסטה. בגיל 14, היא קיבלה לראשונה חגורה שחורה. בימי האוניברסיטה היא התחילה מחדש את אימוני הטאקוונדו במועדון הטאקוונדו בקמפוס.
עקב הישגיה ניתנה לקוקס אפשרות לערוך כמה מכללי מכון הטאקוונדו כדי לאפשר בעתיד לתלמידים גדמים נוספים להשתלב בקאטוונדו.
בהמשך היא הגיעה לדרגה שלישית בחגורה שחורה.
ב-2005 סיימה קוקס תואר ראשון בפסיכולוגיה עם חוג נוסף בתקשורת באוניברסיטת אריזונה.
ב-2008 קיבלה קוקס תעודת טייס לאחר שלוש שנות אימון והיא מוסמכת להטיס מטוס ספורט קל (ERCO) לגובה 10,000 רגל. היא מנווטת את המטוס באמצעות אחיזת ההגאים ברגל אחת, והמצערת ברגלה השנייה.
ב-2014 צלחה קוקס את מקטע 40 המייל בתחרות האופניים אל טור דה טוסון.
יעקב ממוגלינצא
קצין ההנדסה הראשי
תכשיט אלפרד