הביטוי formula_26 הוא ההסתברות שהמספר הסידורי המרבי הוא "m" כאשר "k" טנקים נצפו, אך לפני שנצפו המספרים הסידוריים. את formula_27 ניתן לכתוב מחדש במונחים של יתר הנתונים באמצעות סכימה באמצעות האפשרויות השונות של formula_20:
formula_29
הביטוי formula_30 מתאר את ההסתברות לכך שמספר הטנקים הכולל הוא "n" כאשר "k" טנקים נצפו אך לפני צפייה במספרים הסידוריים. בהנחה שההתפלגות היא התפלגות אחידה (בדידה):
formula_31
החסם העליון formula_32 חייב להיות סופי כיוון שהפונקציה: formula_33 תקבל formula_34 ואינה פונקציית הסתברות. לכן:
formula_35
אם formula_36 אז המשתנה formula_37 מוסר מהנוסחה.
formula_38
עבור formula_39 השכיח של ההתפלגות של מספר הטנקים של האויב הוא "m".
עבור formula_40 ההסתברות שמספר הטנקים שווה ל־n היא: formula_41
וההסתברות שמספר הטנקים של האויב, formula_42, הוא גדול מ־formula_20, היא: formula_44
עבור formula_45, מספר הטנקים formula_46 הוא בעל ערך תוחלת סופי: formula_47
עבור formula_48, מספר הטנקים formula_42 הוא בעל סטיית תקן סופית של: formula_50
נוסחאות אלו מפותחות להלן.
נוסחת סכום.
הזהות הבאה של המקדם הבינומי תשמש להלן לפישוט סדרות הקשורות לבעיית הטנק הגרמני:
סכום זה אנלוגי במידת מה לאינטגרל הבאה:
נוסחאות אלו תקפות עבור formula_53.
טנק יחיד.
תצפית בטנק יחיד באקראי מתוך אוכלוסייה של "n" טנקים, ולו מספר סידורי "m" בהסתברות של formula_54 עבור formula_55 ובהסתברות של אפס עבור formula_56.
. באמצעות שימוש בסוגריי אייברסון ניתן לכתוב זאת:
זו פונקציית הסתברות מותנית שלformula_19.
כאשר מתייחסים לכך כפונקציה "n" עבור מספר קבוע "m" זו פונקציית נראות:formula_59
האומד נראות מקסימלית למספר הטנקים הכולל הוא formula_60.
הנראות הכוללת היא אין סוף כזנב של הסדרה ההרמונית:formula_61
אבל, כאשר formula_62 הוא מספר הרמוני:
פונקציית ההסתברות אשר תלויה בהגבלה formula_37 הניתנת כידע מוקדם:
התוחלת של formula_42 היא:
שני טנקים.
אם נצפים שני טנקים, אז ההסתברות שזה עם המספר הסידורי הגדול יותר שווה ל־"m", היא
כאשר מתייחסים לכך כפונקציה של "n" עבור "m" קבוע זו פונקציית נראות:
הנראות הכוללת היא:
ופונקציית ההסתברות של מספר הטנקים הכולל N כתלות בתצפית במספר הסידורי הגדול m ובצפייה בשני טנקים היא:
החציון formula_72 מקיים: formula_73
ולכן: formula_74. מכאן שערך החציון הוא: formula_75
אך התוחלת של "N" היא אינסופית: formula_76
טנקים רבים.
ההסתברות המותנית שהערך הגדול מבין "k" תצפיות של מספרים סידוריים {1...,"n"}, שווה ל־"m", היא:
פונקציית הנראות של "n" היא:
הנראות הכוללת היא סופית עבור formula_79:
פונקציית ההסתברות של מספר הטנקים הכולל N כתלות בתצפית עם הערך הגדול ביותר m מ-k תצפיות היא:
התפלגות הזנב (המשלים לפונקציית הצטברות) עבור formula_82:
פונקציית ההצטברות עבור formula_84:
דוגמה.
נניח כי קצין מודיעין צפה בארבעה טנקים בעלי מספרים סידוריים 2, 6, 7 ו-14. נסמן את מספר הטנקים בהם צפה ב-formula_86 ואת המספר הסידורי המרבי שנצפה ב-formula_87. מספר הטנקים של האויב, שאותו נסמן ב-formula_46, אינו ידוע ואותו רוצים להעריך על פי תצפיות אלו.
הערכה למספר הטנקים של האויב על פי הגישה השכיחותית:
לעומת זאת הערכה בייסיאנית של מספר הטנקים:
ועל פי ההערכה זו נוכל לאמוד את מספר הטנקים כך:
להתפלגות זו צידוד חיובי, הקשור לכך שמספר הטנקים אינו קטן מ-14.
פיריאטין
פיריאטין (באוקראינית: Пирятин) היא עיר במחוז פולטבה שבאוקראינה, בה התקיימה עד השואה קהילה יהודית גדולה.
תולדות היישוב.
פיריאטין נזכרת לראשונה בשנת 1155, ובשנת 1239 נהרסה בידי המונגולים. לאחר מכן שוקמה העיר, ונשלטה בידי הדוכסות הגדולה של ליטא.
תחת שלטון האימפריה הרוסית בסוף המאה ה-18 הפכה פיריאטין לעיר מחוז, ונבנתה בה קתדרלה. בשנת 1802 נכללה העיר במחוז פולטבה.
יהודי פיריאטין.
בתחילת המאה ה-20 חיו בעיר כ-3,100 יהודים, קרוב למחצית תושביה. בפברואר 1919 נערך בעיר פוגרום בידי חיילי הצבא הלבן, בו נרצחו 19 יהודים.
ב-18 בספטמבר 1941 נכבשה העיר בידי הגרמנים, ואלו ריכזו את יהודיה בגטו קטן, בו נצטוו בענידת סרט זרוע. במרץ 1942 נמנו בגטו 1,530 יהודים.
ב-6 באפריל 1942 החל חיסול גטו פיריאטין. במשך ארבעה ימים נרצחו כל יושביו בידי גרמנים ושוטרים מקומיים בכפר פירוגובסקאיה לוודה. ב-18 במאי 1942 נרצחו עוד כמה עשרות יהודים שנתפסו מסתתרים בעיר.
פיגוע הרכבת בוויטרי-לה-פרנסואה
פיגוע הרכבת בוויטרי-לה-פרנסואה התרחש ב-18 ביוני 1961. רכבת נוסעים בצרפת ירדה מהפסים עקב התפוצצות מטען חבלה שהטמינו אנשי ארגון הצבא הסודי (OAS). כתוצאה מכך נהרגו 24 אנשים ולמעלה ממאה נוספים נפצעו. זה היה פיגוע הטרור החמור ביותר בתולדות צרפת עד לפיגועי 13 בנובמבר 2015 בפריז.
הפיגוע התרחש בשעה 15:10 בקו הרכבת משטרסבורג לפריז, ליד העיירה ויטרי-לה-פרנסואה (Vitry-le-François), כ-160 קילומטרים ממזרח לפריז. מטען החבלה הונח על ידי אנשי ארגון OAS (Organisation de l'armée secrète), ארגון שהקימו אנשי צבא צרפתים שהתנגדו למתן עצמאות לאלג'יריה. הרכבת שנפגעה הייתה רכבת האקספרס מס' 12, שנעה במהירות גבוהה על הפסים. חקירת האירוע העלתה שמטען החבלה הונח על הפסים כך שיופעל על ידי הרכבת בעוברה שם.
פישצ'ץ
פישצ'ץ (בפולנית: Piszczac) הוא כפר במחוז ביאלא פודולסק שבפרובינציית לובלין בפולין, בסמוך לגבול בלארוס, בו התקיימה עד השואה קהילה יהודית.
תולדות היישוב.
היישוב נזכר לראשונה במאה ה-15 ככפר פרטי בבעלות אצולה, ולאחר מכן הוענקו לו זכויות עיר. באמצע המאה ה-17 נהרס היישוב כתוצאה מפלישת האימפריה השוודית.
במהלך מלחמת העולם הראשונה ננטש היישוב זמנית, בשל הפיכתו לזירת קרבות בין צבאות רוסיה וגרמניה.
יהודי פישצ'ץ.
התיעוד הראשון לישיבת יהודים בכפר הוא מהמחצית השנייה של המאה ה-18. לאחר מלחמת העולם הראשונה שבו לכפר רק חלק מיהודיו. בין מלחמות העולם נמנו ביישוב כ-400 יהודים, כמחצית מתושביו, והתקיימה בו פעילות של המפלגות היהודיות השונות. בשנת 1937 פרעו פולנים ביהודי היישוב, תוך ניפוץ שמשות בבתיהם.
במסגרת הסכם ריבנטרופ–מולוטוב נכלל היישוב בתחום השלטון הגרמני בפולין בסוף ספטמבר 1939. בשלב זה נותרו ביישוב כ-200 יהודים, אך בהמשך העבירו אליו הגרמנים מאות יהודים מכפרי הסביבה וכ-700 עובדי כפייה יהודים. יהודי היישוב חויבו בענידת סרט זרוע ובביצוע עבודות כפייה, ומעת לעת נרצחו חלקם. בהמשך, רוכזו יהודי היישוב בגטו שהוקם בו.
באוקטובר 1942 שילחו שוטרים פולנים את כל יושבי הגטו שבכפר בקרונות משא למחנה ההשמדה סוביבור. בשעת הסלקציה, שולחו מעט מיהודי הגטו לעבודה במיינדזיז'ץ פודלסקי.
קישורים חיצוניים.
הרמוניה (מיתולוגיה)
הרמוניה (יוונית עתיקה: Αρμονία; "צירוף") היא אלת הסדר, השליטה, ההסכמה, וההרמוניה במיתולוגיה היוונית. הרמוניה היא בתם של אפרודיטה וארס. הרמוניה מייצגת את ההסתדרות בין הפכים גמורים, והיא ההיפוך של אריס. אלתה הרומית המקבילה היא קונקורדיה.
תיאורה.
בתור ביתם של ארס ואפרודיטה, היא נחשבת אלת מלחמה. היא שולטת גם על סדר ושלווה בין-אישית, כלומר מרגיעה סכסוכים ומחלוקות, וגם על ההרמוניה ותיאום בין לוחמים. לפי מקורות מסוימים הרמוניה היא ביתם של זאוס ונימפה אלקטרה.
מקורות מאוחרים יותר מתארים אותה בתור אלה המנהלת את האיזון הקוסמי בעולם.
מיתוסים על דמותה.
הרמוניה, בגלל היותה ביתה הלא חוקית של אפרודיטה, גדלה בחסות הפליאדה אלקטרה.
הרמוניה וקאדמוס.
קאדמוס שחט את דרקון המים של ארס ועל כך נענש בכך שהיה עבד שלו למשך שמונה שנים קולל שהוא יהפוך לנחש בסוף חייו. לאחר שסיים את תקופת העבדות שלו, זאוס הביא לו את הרמוניה לאישה. לחתונה שלהם הוזמנו כל האלים והם הביאו לשניים מתנות רבות. הפייסטוס, אל הנפחים והאש, היה בעלה של אפרודיטה בזמן שהתעברה עם הרמוניה בידי ארס. הוא עדיין זעם על בגידתה של אשתו ועל כך הביא להרמוניה שרשרת מקוללת שגזרה את צאצאיה לטרגדיות אינסופיות. לפי גרסאות אחרות של הסיפור הרמוניה קיבלה את השרשרת מאלים אחרים- לעיתים אפרודיטה ולעיתים אתנה. קאדמוס היה מלך תבאי ומקימה, ויחד שלטו על העיר. מסופר כי החתונה של הרמוניה וקאדמוס הייתה החתונה הראשונה בה הייתה סעודת אלים.
מקורות אחרים, בהם הרמוניה היא ביתו של זאוס, מתארים את הרמוניה כסמוטריקאית ומספרים כי קאדמוס חטף אותה והם סייעו לאנכלים לכבוש את האילירים. לאחר מכן קאדמוס הפך למלך האילריאנים.
ככל שקאדמוס התקרב למותו, הוא הפך ליותר ויותר דמוי נחש עד שהפך כולו לנחש, לפי הקללה של ארס. בתגובה, הרמוניה פשטה את בגדיה והתחננה לאלים שיהפכו אותה גם היא לנחש כדי שתוכל להיות עם בעלה. האלים נענו לבקשתה והשניים, בתור נחשים, רכבו בכרכרה רתומה לדרקונים אל אליסיום.
השרשרת המקוללת.
הרמוניה ידועה בעיקר בזכות השרשרת הקטלנית שקיבלה ביום חתונתה. כשאתנה העניקה לקדמוס את העיר תבי, זאוס נתן לו את הרמוניה. כל האלים כיבדו את החתונה בנוכחותם. קדמוס העניק לכלה גלימה ושרשרת שקיבל מהפייסטוס. שרשרת זו, המכונה בדרך כלל שרשרת הרמוניה, הביאה חוסר מזל לכל מי שהחזיק אותה וגרמה לטרגדיות רבות לצאצאיה של הרמוניה.
היגינוס נותן גרסה אחרת. לדבריו, הדבר שהביא את הקללה לצאצאי הרמוניה אינו שרשרת. לפי דבריו, השרשרת הביאה שלום והחזיקה בתוכה את כוחותיה של הרמוניה, ולשם האיזון הגלימה שקיבלה הפכה למקוללת ול"טבולה בפשע".
הרמוניה בתרבות.