לברנש השני נודע כמלך לוחם ורבים מהחוקרים מאמינים על סמך הטבלאות הללו שלברנש השני הגיע בכיבושיו עד הים השחור: בשנתו הראשונה הרס סופית את "זַלפּהַ" מצפונה של חתושש ויריבתה הגדולה. בשנה השנייה למלכותו יצא לברנש למסע כיבושים בסוריה והרס את העיר אללח' והסיר את שושלת המלוכה מבית ימחד שנוסדה על ידי ירים-לים מלך אללח'. בשנה השלישית נלחם בממלכת אַרְזַוַה (לימים לידיה) במערב אנטוליה. העדרו הביא להתקפת החורים ממזרח על הממלכה, ולכן נאלץ להעביר את שנתו החמישית במלחמות בדרום-מזרח אנטוליה. הוא כבש את הערים החוריות החשובות חשום, אורשו וחחום. בתיאור הכיבוש מופיע אזכור בו מציין חתושיליש הראשון שאיש לא חצה את הפרת לפניו, פרט לסרגון מאכד, שמלך במאה ה-24–23 לפנה"ס. הוא מציין שסרגון לא שרף את העיר, ואילו הוא, חתושיליש, החרים את העיר עבור אל הסער של השמים. בתיאור שלו הוא נלחם בחחום בשנה החמישית למלכותו, שלוש פעמים נלחם על שעריה, הרס אותה ואת רכושה הביא לחתושש. בתיאור השלל הוא מציין שני צמדי עגלות עמוסות כסף, מרכבת פריון, אייל אחד מכסף, וספינה אחת עם חרטום מצופה זהב. הוא מציין שהוא שחרר את העבדים והשפחות של העיר ומסר אותם לאלת השמש. הוא מספר ששרף את העיר באש, ואת העשן הראה לאל הסער, את המלך רתם לעגלה.
לצורך המלחמה בחחום, ביקש חתושיליש הראשון את עזרתו של תוניפ-תשוב, מלך על ממלכה בשם טיקונני , שהיה לה כנראה גבול עם חחום, והן היו כנראה עוינות אחת לשנייה.
חתושיליש הראשון ידוע גם בזכות בניית המבצר המתנשא על הצוק מעל לעיר חתושש. הוא נחשב גם למחוקק ולמכונן של הממשל והמנהל של הממלכה החתית.
גוראם הראשון מאיבריה
ג'ורג' השישי מלך הממלכה המאוחדת
אליזבת השנייה מלכת הממלכה המאוחדת
קרן אלפים
לאפרויג
אלת מסטיק
דירוג מטריצות
דירוג מטריצות היא הפעלה של פעולות מתמטיות מסוימות על מטריצה, שאינן משנות את מרחב הפתרונות שלה. השימושים של תהליך זה הם מציאת פתרונות של מערכת משוואות ליניאריות, מציאת דרגה של מטריצה, מציאת דטרמיננטה של מטריצה ומציאת המטריצה ההופכית של מטריצות הפיכות.
השיטה שבעזרתה מדרגים מטריצות נקראת "שיטת החילוץ של גאוס" או "שיטת האלימינציה של גאוס", ולעיתים גם "אלימינציית גאוס-ג'ורדן". שיטה זו קרויה על שם המתמטיקאי הגרמני קרל פרידריך גאוס. שיטות דומות מופיעות כבר בפרק השמיני של תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה, כתב מתמטי סיני עתיק מלפני הספירה.
הגדרות בסיסיות.
איבר מוביל.
בכל שורה במטריצה שאיננה שורת אפסים, הרכיב הראשון השונה מאפס ייקרא האיבר המוביל של השורה.
מטריצה מדורגת.
מטריצה תקרא מטריצה מדורגת אם היא מקיימת את התנאים הבאים:
מטריצה מדורגת קנונית.
מטריצה תקרא מטריצה מדורגת קנונית אם מתקיימים התנאים הבאים:
פעולות מותרות על שורות.
הרעיון המנחה את האלגוריתם הוא ביצוע פעולות על שורות המטריצה, באופן שאינו משנה את מרחב הפתרונות של המערכת שהיא מייצגת. הפעולות הבאות נקראות פעולות אלמנטריות:
קל לראות באמצעות פעולות אלגבריות פשוטות, כי ביצוע הפעולות האלמנטריות הללו אינו משנה את מרחב הפתרונות.
מטריצה המתקבלת ממטריצת היחידה על ידי הפעלת פעולה אלמנטרית נקראת מטריצה אלמנטרית.
האלגוריתם.
הרעיון של האלגוריתם הוא לבצע רצף של פעולות אלמנטריות כדי להביא אותה לצורה מדורגת קנונית.
פסאודו-קוד.
i := 1
j := 1
while (i ≤ m and j ≤ n) do
"Find pivot in column j, starting in row i:"
maxi := i
for k := i+1 to m do
if abs(A[k,j]) &gt; abs(A[maxi,j]) then
maxi := k
end if
end for
if A[maxi,j] ≠ 0 then
swap rows i and maxi, but do not change the value of i
"Now A[i,j] will contain the old value of A[maxi,j]."
divide each entry in row i by A[i,j]
"Now A[i,j] will have the value 1."
for u := i+1 to m do
subtract A[u,j] * row i from row u
"Now A[u,j] will be 0,"
"since A[u,j] - A[i,j] * A[u,j] = A[u,j] - 1 * A[u,j] = 0."
end for
i := i + 1
end if
j := j + 1
end while
סיבוכיות.
זמן הריצה האלגוריתם היא formula_5. קיימות גרסאות יעילות יותר (אסימפטוטית) כגון זו של קופרסמיט-וינוגרד formula_6. נכון ל-2018 הסיבוכיות המיטבית היא formula_7.
דוגמה.
נניח שלפנינו מערכת המשוואות הבאה:
בהצגה מטריציאלית
וקיבלנו את הצורה המדורגת קנונית ממנה אפשר לקרוא את הפתרון:
שימושים.
פתרון מערכת משוואות ליניאריות.
שיטת דירוג המטריצות, הידועה גם בשם אלימינציית גאוס-ג'ורדן, היא שיטה לפתרון מערכת משוואות ליניאריות. באלגברה ליניארית מוכיחים כי כל מטריצה ניתנת לדירוג עד להבאתה לצורתה הקנונית היחידה. לכן במסגרת שיטה זו מדרגים את המטריצה המתקבלת מהוספת וקטור המקדמים החופשיים למטריצת המקדמים, ומקבלים מטריצה מדורגת קנונית ממנה אפשר בקלות לקרוא את הפתרון. כאשר יש פתרון יחיד למערכת (המטריצה הפיכה) מגיעים לצורה
כאשר 'b הוא וקטור ובו איברים ההמתקבלים מצירופים ליניאריים של המקדמים החופשיים, ותלויים בפעולות הדירוג שנעשו על המטריצה. למשל, עבור מערכת של 2 משוואות ב-2 נעלמים מקבלים
ממנה קוראים את הפתרון formula_15.
מציאת ההפכי של מטריצה.
כדי למצוא את המטריצה ההפכית של מטריצה הפיכה A, יש ליצור מטריצה חדשה המורכבת מבלוקים A ו-I (מטריצת היחידה). כעת יש לדרג את A לצורת המדרגות הקנונית, כך ש-A תהפוך ל-I, ובמקביל לבצע את אותן הפעולות על I (כלומר: כל פעולה שעושים על שורות A עושים על השורות המקבילות ב-I). המטריצה המתקבלת היא המטריצה ההפכית (אם לא ניתן לדרג את המטריצה המקורית למטריצת היחידה, היא איננה הפיכה).
מציאת דרגה של מטריצה.
כדי למצוא דרגה של מטריצה יש לדרג אותה עד לצורה מדורגת (אין צורך להגיע לקנונית דווקא), ואז מספר השורות פחות מספר שורות האפסים שווה לדרגת המטריצה.
חישוב דטרמיננטה.
הדרך היעילה ביותר לחשב דטרמיננטה עבור מטריצות גדולות (למשל מסדר 4 ומעלה) היא לדרג את המטריצה עד אשר מגיעים למטריצה משולשית. הדטרמיננטה של מטריצה משולשית היא מכפלת איברי האלכסון של המטריצה המשולשית. כדי לקבל את הדטרמיננטה של המטריצה המקורית, יש לעקוב אחרי פעולות הדירוג שביצענו, ולתקן את ערך הדטרמיננטה בהתאם:
שיטת הלכסון של גאוס
הארו
פיימונט
Voice Over Internet Protocol
משפט העליה למעלה של כהן-סיידנברג
אנסטאס מיקויאן
אנסטאס איוואנוביץ' מיקויאן (בארמנית: Անաստաս Հովհաննեսի Միկոյան – אנסטאס חובנסי מיקויאן, ברוסית: Анастас Иванович Микоян – אנסטאס איבנוביץ' מיקויאן; 1978-1895) היה מנהיג קומוניסטי ופוליטיקאי סובייטי ממוצא ארמני. בסוף הקריירה הפוליטית שלו כיהן כיושב ראש הפרזידיום של הסובייט העליון של ברית המועצות. אחיו של מהנדס המטוסים הסובייטי ארטיום מיקויאן.
ביוגרפיה.
נולד בעיירה סאנאהין בארמניה ב-25 בנובמבר 1895. בצעירותו למד מיקויאן בסמינר נרסיסיאן לכמרים בטביליסי ולאחר מכן בסמינר התאולוגי גבורקיאן שבאצ'מיאדזין. בשנת 1915 הצטרף למפלגה הבולשיביקית. בין השנים 1915–1917 היה קומיסר בחוגי המפלגה בקווקז. במהלך מלחמת האזרחים ברוסיה לחם נגד הצבא הבריטי שכבש את באקו. לאחר המלחמה אמצו מיקויאן ואשתו את בניו של סרגיי שאומיאן שנרצח ביחד עם יתר ראשי קומונת באקו.
לאחר מלחמת האזרחים היה פעיל במפלגה הקומוניסטית הרוסית ובמהרה עלה לצמרת המפלגה. הוא שימש שנים רבות כשר המסחר של ברית המועצות (בשנים 1926–1955, השר לסחר חוץ). כמו כן היה חבר הפוליטבירו הסובייטי משנת 1926, תחילה כמועמד לחברות ומשנת 1935 כחבר. תמך בסטלין כל חייו והיה מהאנשים הנאמנים ביותר בחוגו של סטלין.
ההיסטוריון סיימון סבאג מונטיפיורי שכתב ביוגרפיה על סטלין מספר כי בתקופת הטיהורים שעשה סטלין בקרב חברי מפלגה בסוף שנות השלושים נחשב מיקויאן לאיש טוב לב שניתן לפנות אליו לעת צרה. עם זאת כוחו של מיקויאן להציל אנשים בתקופת הטיהורים היה מוגבל מאוד. ייתכן שהדבר גרם לכך שהחלה התדרדרות ביחסו של סטלין כלפי מיקויאן. בסוף שנת 1937 נשלח מיקויאן לארמניה עם רשימה של כשלוש מאות אנשים המיועדים לטיהור והוא נאלץ לעצור אנשים רבים. לפי מונטיפיורי, רק לאחר שמלא מיקויאן שליחות אכזרית זאת שב והתחמם יחסו של סטלין אליו.
במלחמת העולם השנייה שירתו שלושה מבניו של מיקויאן, סטפן, אלכסיי וולדימיר, כטייסים בחיל האוויר של הצבא האדום. בנו סטפן נפצע במהלך המלחמה ובמערכה על סטלינגרד נהרג בנו ולדימיר והוא רק בן שמונה עשרה.
בסוף ימיו של סטלין סומן מיקויאן על ידו כמועמד לחיסול וייתכן כי רק מותו של סטלין מנע זאת. בוועידת המפלגה הקומוניסטית באוקטובר 1952 תקף סטלין את מיקויאן בחריפות רבה. מיקויאן ניסה להתווכח ולטהר עצמו מאשמה. צעד זה, העשוי להראות טבעי לקורא המערבי, היה שקול בברית המועצות של סטלין להתאבדות. לימים סיפר מיקויאן לאנוור הוג'ה כי עלתה האפשרות לחסל את סטלין אך הוא התנגד לכך שכן חשש שהעם לא יבין זאת.
לאחר מותו של סטלין המשיך להיות חלק מהנהגת ברית המועצות והיה מהתומכים בדה-סטאליניזציה של ברית המועצות. בשנת 1957 סירב לקחת חלק בפוטש נגד חרושצ'וב ומונה לסגן ראשון לראש הממשלה הסובייטי ומלא שליחויות דיפלומטיות שונות. לאחר הדחת חרושצ'וב מונה ליושב ראש הפרזידיום של הסובייט העליון של ברית המועצות וכיהן בתפקיד זה בשנים 1964–1965.
נפטר ב-21 באוקטובר 1978.
מלונות הרודס
הרודס (באנגלית: Herods, שמו האנגלי של הורדוס) הוא מותג מלונות יוקרה בבעלות רשת מלונות פתאל. תחת שם מותג זה מפעילה הרשת מספר בתי מלון:
מלונות הרודס אילת.