את הקריירה שלו החל כבר בגיל 13 כאשר התבקש למלא את מקומו של חזן שחלה, הוא הלך עם אביו לנהל את המשא ומתן הכספי, במהלכו שאל אביו האם בית הכנסת ייתן למשה שופר. נשיא בית הכנסת, שלא היה תלמיד חכם גדול ענה כי משה יצטרך להביא ״את הכלים של עצמו״. עבור משה זו הייתה חוויה קשה, להיווכח כי נשיא הקהילה אינו יודע מה זה שופר של ימים נוראים.
כבר מגיל צעיר היה משה ציוני דתי בעל הכרה רוחנית ופוליטית מפותחת. הוא היה פעיל במסגרת תנועת הציונות הדתית, ותרם רבות לקהילה היהודית בפעילותו. כבר מנעוריו היה מעורב בכמה וכמה תפקידים וערוצי עשייה: הוא היה בין המייסדים של תנועת ״תורה ועבודה״, הוא כיהן כיושב-ראש אזורי של התנועה במנצ׳סטר, ואף העפיל לתפקיד סגן יושב-ראש ההנהלה הארצית של התנועה. בהמשך עשייתו, נבחר כחבר הנהלת הוועד הציוני של יהודי מנצ׳סטר, כיהן כסגן יושב-ראש הסתדרות ״המזרחי״ - ״הפועל המזרחי״ בממלכה המאוחדת.
בנוסף על כל אלה, בזכות כישרונו המילולי הביא אותו להיות נואם מטעם משרד ההסברה של ממשלת בריטניה.
בשנת 1938, כשבאוויר כבר עולים פעמי מלחמת העולם השנייה, נשלח משה כנציג אוניברסיטת מנצ'סטר לוועידה בינלאומית בז'נבה שעסקה באנטישמיות. במרוצת השנים יהיה נושא האנטישמיות לאחד הבולטים מבין עיסוקיו.
השכלה.
למד בישיבת מנצ׳סטר, ולאחר מכן השתלם בהשכלה כללית באוניברסיטת מנצ'סטר, למד תורת המשפט ובתום לימודיו הוסמך כעורך דין ועיתונאי.
במלחמת העולם השנייה.
עם פרוץ מלחמת העולם השנייה, משה יפה השתוקק לקחת חלק במאמץ ההגנתי. הוא עבר ממוסד למוסד בשלטון הבריטי ודרש תפקיד. בסופו של דבר התנדב לשרת כקצין בארגון מכבי האש, שהיה הארגון הפעיל ביותר בהגנה על העורף המופגז בימי המלחמה. בשנת 1940 נפצע קשה בעת מילוי תפקיד זה, תוך פעולת הצלה - כאשר שהה בקרבת תחנת דלק בשעת הפצצה גרמנית, כתוצאה מהכוויות הקשות אושפז חודשיים בבית חולים.
עם החלמתו התמנה לשמש כדובר ומרצה במיניסטריון לאינפורמציה, כנציג המועצה לשעת חירום של הרב הראשי של בריטניה. תחושת השליחות הביאה אותו להפסיק את השתלמותו ובשנת 1943 התנדב כרב צבאי בצבא הבריטי. בתחילת שירותו הוא כיהן במחוז היילנדס שבסקוטלנד.
כרב צבאי.
כרב צבאי, התאקלם משה יפה במהירות במציאות הצבאית, ובעבודתו היום יומית ביצע מגוון משימות כגון ביקורים ביחידות, שיחות עם חיילי היחידה וגם בירור עניינים פרטיים עבור חיילים. בנוסף, היו גם ביקורים בבתי חולים ובתי כלא צבאיים, סידור גירושים ונישואים, משלוח בשר כשר לחיילים דתיים, הפצת עיתונים עבריים בין היחידות, והקמת ספריות קודש במתקנים הצבאיים השונים.
משה יפה הקדיש תשומת לב מיוחדת לעריכת ליל שבת, סדרי פסח, ותפילות בימים נוראים.
במזרח התיכון.
בין השנים 1943–1944, הוצב במזרח התיכון, ובמסגרת שירותו היה אחראי על החיילים היהודים בצבא הבריטי שנכח בסוריה, לבנון ובקפריסין. על אף היותו של משה אברהם יפה איש צבא שאחראי, על פי תפקידו, רק לרווחתם של חייליו, הוא הקפיד תמיד לטפל גם בצרכי האזרחים היהודיים בלבנון והיה מעורב בכל קהילה וקהילה אליה הגיע במסגרת מסעותיו ברחבי המזרח התיכון.
הודו ובורמה.
בשנת 1944 מונה לכהן כרב הראשי לכוחות הצבאיים של בעלות הברית בדרום-מזרח אסיה. במסגרת תפקיד זה שירת בחזיתות הודו ובורמה בדרגת מייג'ור. תוך ביצוע תפקיד זה היה אחראי יפה על חיילים הפזורים במרחב גאוגרפי נרחב, ובמסגרת תפקידו היה צריך לנסוע מאות קילומטרים כדי להגיע גם לחיילים ספורים המפוזרים ביחידות שונות. תפקידו של יפה, לא היה רק דתי: אצל החיילים היהודיים הוא מילא גם תפקיד פסיכולוגי, מטרתו של משה אברהם יפה הייתה להעצים את רוח החיילים.
רב צבאי ראשי לבריגדה היהודית.
ב-8 בינואר 1946, קיבל הרב משה יפה מכתב מהרב הצבאי הראשי, הרב ברודי, שבישר לו כי נבחר לשרת כרב הצבאי הראשי של הבריגדה היהודית. חודש לאחר מכן, בפברואר 1946 נקרא הרב יפה ללונדון, על מנת לדון בהיבטים השונים של תפקיד הרב הצבאי בתקופה זו של סיום מלחמת העולם השנייה. היה ברור כי הטיפול בילדים העקורים, בשארית הפליטה ובמתי המעט ששרדו את השואה, יוטל על הרבנים הצבאיים - הרב יפה היה נכון לכך.
כאשר נכנס לתפקידו, יחד עם מילוי חובותיו הרשמיות הקדיש הרבה זמן ליצירת קשרים עם הקהילות המשתקמות באירופה המערבית ועם ריכוזי הפליטים בגרמניה ואוסטריה. הוא סייע רבות למרכזי ההכשרות החלוציים ולמוסדות החינוך לנוער היהודי. בפעילותו למען שארית הפליטה באירופה, לעיתים תוך חריגה ברורה מגבולות המותר לו בתוקף תפקידו הצבאי הביא לעלייתם המוצלחת של המוני ניצולי מחנות לישראל.
הברחת עקורים לארץ ישראל.
במסגרת פעילותו הענפה של המייג׳ור יפה עבור שארית הפליטה באירופה, הוא פעל להברחת עקורים ושורדי שואה לישראל. הוא הוציא לפועל תוכנית של ״חילופי אישיות״: חייל יהודי היה לובש בגדים אזרחיים של עקור, והעקור היה לובש את מדיו של החייל, כך יכלו העקורים לעלות לארץ ישראל והחיילים הבריטיים היו נשארים מסווים במחנות העקורים השונים.לעיתים, ניצל המייג׳ור את תפקידו כדי לנסות ולעזור לעקורים נוספים - כך למשל, הוא פגש במחנה העקורים אישה יהודייה שנותרה לבד מכל משפחתה שנספתה בשואה, למעט אח אחד שנותר בחיים ושהה במחנה בצרפת. המייג׳ור יפה הבחין באישה, לקח אותה איתו אל המכונית הצבאית שהייתה ברשותו, והורה לנהג לנסוע לצרפת: מרחק מאות קילומטרים מהמקום בו שהו. כך, המייג׳ור יפה השתמש פעמים רבות בדרגתו, במכוניתו הצבאית ובהופעתו הרשמית כדי להצליח ולהגניב יהודים רבים, מחוסרי ויזות או סרטיפיקטים אל הריכוזים השונים של הסוכנות היהודית. כך למשל, כשנעצר באחד המקרים בתחנת גבול בדרך, נשאל בחשד מי היא האישה ששוהה בחלק האחורי של הטנדר בו נסע. המייג׳ור יפה ענה ללא השתהות כי זוהי מזכירתו. כאשר דרש החייל לראות את ניירות המעבר שלה הפנה אליו המייג׳ור יפה פנים זועפות, בטענתו כי היא ביצעה משימות רבות וקשות כל כך כל השבוע, ושתהיה זו חוצפה מבחינת החייל להפריע לשנתה. מתוך האסרטיביות, הנחישות והביטחון של המייג׳ור יפה, החייל נאלם דום ונתן להם לעבור.
הצלת הילדים עם הרב הראשי הרצוג.
בשנת 1946 הגיע לבלגיה הרב יצחק אייזיק הלוי הרצוג, שהיה הרב הראשי של ארץ ישראל, על מנת לאתר ילדים ניצולי שואה שהופקדו במהלך המלחמה אצל משפחות נוצריות. מטרת ביקורו הייתה לאתרם, להשיבם אל חיק היהדות ולהעלותם לארץ ישראל. המייג׳ור יפה ליווה אותו בעת ביקורו. מכיוון שבהרבה מנזרים וכנסיות סירבו הכמרים לגלות מי מן הילדים יהודי, הציע יפה כי הרב הרצוג יקרא את קריאת ״שמע ישראל״, ובוודאי שכל הילדים היהודיים יענו את המשך הפסוק, ״ה׳ אלוקינו ה׳ אחד״. בכל מנזר ומנזר אליו הגיעו, זעק הרב יעקב הרצוג את הפסוק, הילדים שענו סומנו כיהודים והועלו לארץ ישראל.
נישואין בין חיילים מארץ ישראל לניצולות שואה.
המייג׳ור יפה פעל על מנת להשיא ניצולות שואה לחיילים יהודיים, מכיוון שלאחר הנישואין קיבלו החייל ואשתו אוטומטית רשות לעלות לארץ ישראל. נישואים אלה היו רשמיים מבחינה חוקית, אך למעשה היו פיקטיביים. המייג׳ור יפה השיא עשרות זוגות כאלו, ובחלק מהמקרים ערך בעצמו את החופה וקידושין.
בחיים האזרחיים.
בתום השירות.
בחודש ינואר 1947, קיבל המייג׳ור יפה תעודת שחרור מן הצבא הבריטי. לאחר שפשט את המדים חזר משה במרץ לפעילותו הציבורית באנגליה. אחרי שש שנות מלחמה הממלכה הבריטית הייתה עסוקה בתקופה זו בהתאוששות ושיקום. בשנת 1946 עובר שלמה זלמן שרגאי, חבר הנהלת ההסתדרות הציונית ללונדון, עם שחרורו של יפה הוא מזמין אותו לעמוד בראש המשרד ולנהל את פעילותו. שרגאי ויפה השקיעו מאמצים רבים בהסברה של העמדה היהודית-דתית-ציונית בקרב חוגים נוצריים בבריטניה, ופעלו רבות להשמיע את קולם נגד סגירת חופי ארץ ישראל בפני שארית הפליטה וניצולי השואה.
המחלקה המדינית של הסוכנות היהודית.
חושיו הפוליטיים המחודדים של יפה, וסגולת יחסי הציבור שלו משכו את תשומת ליבם של ראשי הציונות באותם ימים: דוד בן-גוריון, חיים ויצמן ומשה שרת - הם הביאו לכך שמשה יפה התמנה כחבר המחלקה המדינית של הסוכנות היהודית בלונדון. במסגרת תפקידו זה פרסם מאמרים רבים להסברת השאיפות של התנועה הציונית, בין היתר בעיתון רב ההשפעה הדיילי מייל, ובהמשך הפך לאחד מכותביו הקבועים.
העלייה לישראל.
בתחילת שנת 1948, אחרי תקופה של פעילות רבה בתחום ההסברה באנגליה, החליט יפה לעלות לישראל. בארץ, כבר ידעו אנשי המזרחי, הסוכנות היהודית ומשרד החוץ כי בכוונתו להגיע לישראל. בעצתו של משה שרת, שר החוץ הראשון של מדינת ישראל, הגיע יפה ירושלים. הוא החל את דרכו כמנהל המחלקה לקשרי חוץ במרכז העולמי של המזרחי, במהלך תקופה זו יצא לביקורים במדינות שונות וגייס כספים עבור ״קרן ארץ ישראל״ של המזרחי שעסקה במימון, פיתוח והקמה של מוסדות חינוך בארץ ישראל. הוא נהיה יושב ראש הנהלת המזרחי והפועל המזרחי בירושלים, חבר הוועד הפועל של המפדל בישראל, חבר ועדת הפיתוח והתיירות של עיריית ירושלים וחבר מפקדת הג"א בעיר. באותה תקופה החל לעבוד גם בלשכה הראשית של הקרן הקיימת לישראל כסגן מנהל המחלקה לארצות דוברות אנגלית.
יפה הפך להיות דובר מבוקש של גופים ומוסדות בארץ ובעולם, שביקשו ייצוג של ישראל הנלחמת על חייה. כאשר שר החוץ שרת רצה לשגר את הדיפלומטים והשגרירים הראשונים, שייצגו את מדינת ישראל ברחבי העולם, הביא בפניהם את הרב ד״ר משה אברהם יפה, להרצות בפניהם.
היכל שלמה ובית הכנסת הגדול.