זוכי פרס כדור הזהב.
להלן רשימה של כדורגלנים אשר זכו בפרס כדור הזהב, על שני גלגוליו, בעודם משחקים בקבוצה מן הלה ליגה. בסך הכול זכו 12 שחקנים ב-23 שנים שונות ומשתי קבוצות בלבד.
מלכי השערים.
העיתון "מארקה" מעניק את "פרס הפיצ'יצ'י" לשחקן שהבקיע את מירב השערים בעונה בלה ליגה. הפרס קרוי על שם כינויו של שחקנה של אתלטיק בילבאו בתחילת המאה ה-20, רפאל מורנו ארנסדי.
להלן רשימת הזוכים לפי עונה:
שיאי שחקנים.
מלכי השערים בכל הזמנים.
נכון ל-23 בספטמבר 2021
שיאני ההופעות.
נכון ל-22 במאי 2021
אוקטהדרון
דגש חזק
דגש חזק, המכונה גם "מִכְפָּל" או "כַּפְלָן", הוא סימן ניקוד בעברית, המורה להכפיל את האות שבה הוא נמצא.
מאפיינים.
צורתו הגרפית של הדגש החזק היא נקודה בתוך האות והוא זהה לסימונו של הדגש הקל. דגש חזק יכול לבוא ברוב האותיות, למעט האותיות א, ה, ח, ע, ר.
המימוש הפונטי של הדגש החזק, מתבטא בהגיית העיצור למשך זמן ארוך מהרגיל, ובאותיות בג"ד כפת גם גורם לביטוין בצורת הדגש הקל, ומבוטא כעיצור סותם. כיוון שמטרתו של הדגש החזק היא להכפיל את ההיגוי ולמושכו להברה שאחריו, דגש הבא בסוף מילה באות שוואית, אף שאיננו אחרי שווא, יהיה דגש חזק; למשל הדגש החזק המכפיל במילה הערבית dubb, לא קיים בעברית בה אין ההכפלה בסוף מילה. בעקבות כך רפה העיצור ב ונוצרה המילה דֹּב (על קיום ההכפלה המקורית מעידה צורת הרבים דֻּבִּים = dubbim).
סימון הדגש החזק בתעתיק הפונטי.
בתעתיק פונטי יש שתי דרכים לסמן מכפל – באמצעות כתיבת העיצור פעמיים, או באמצעות נקודתיים הנכתבות אחרי העיצור הכפול. שתי השיטות משמשות גם לציון תנועה ארוכה. לדוגמה: כָּרַתִּי /kårátti/ או: /kårát:i/. התעתיק המובא כאן אינו משקף את ההגייה המקובלת היום בעברית ישראלית, אלא את זו המתבטאת בניקוד הטברני שפותח בטבריה במאה ה-8 לספירה.
הגורמים להופעת דגש חזק.
באמצע מילה.
דגש חזק קיים גם בערבית, ושם הוא מסומן בסימן הנקרא "שַּדָּה" (شدّة "חיזוק"). כיום נראה הסימן כעין w קטנה מעל האות, והוא נגזר מצורת האות הערבית ش שהיא האות הראשונה במילה "שַדה". התופעה של הכפלת עיצור קיימת בשפות רבות נוספות. ברוב שיטות הכתב היא מסומנת באמצעות הכפלה של האות המסמנת את העיצור המוכפל, למשל, במילה האיטלקית benedetto הכפלת האות t מסמנת שיש לקרוא את העיצור באופן מודגש וממושך יותר.
בתחילת מילה.
על פי רוב, בתחילת מילה יבוא דגש קל ובאותיות בג"ד כפ"ת בלבד. אולם קיימים מקרים מסוימים שיבוא דגש חזק בתחילת מילה (בכל האותיות הסובלות אותו). המאפיין המובהק של מקרים אלו הוא שסמוכה לה מילה המסתיימת בהברה פתוחה, (לרוב פתח, סגול או קמץ). למקרים אלו יש כללים מיוחדים, ושמם הכולל הוא דחיק.
פיאון משוכלל
מצולע משוכלל
בגאומטריה, מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות.
תכונות.
גדלים.
למצולע משוכלל בעל formula_1 צלעות התכונות הבאות:
פאונים.
ניתן ליצור בעזרת מצולעים משוכללים פאונים. פאון משוכלל הוא פאון בו כל המצולעים זהים, בכל קודקוד מספר שווה של מצולעים ובכל פאה נוגעים מספר שווה של מצולעים. לשם יצירת פאון כזה יש לחבר לפחות שלושה מצולעים סביב קודקוד כך שסכום הזוויות יהיה פחות מ-360 מעלות. האפשרויות לכך הן: לחבר שלושה, ארבעה או חמישה משולשים (מתקבלים ארבעון, תמניון ועשרימון בהתאמה), שלושה ריבועים (מתקבלת קובייה) או שלושה מחומשים (מתקבל תריסרון) מסביב לקודקוד.
אם מסירים את הדרישה כל הפאות תהיינה חופפות מתקבלים פאונים הנקראים פאונים משוכללים למחצה. אלה כוללים את המנסרות משוכללות, את האנטי-מנסרות משוכללות, את הפאונים ארכימדיים ואת הפאונים המשוכללים שהוזכרו לעיל.
ריצופים.
אפשר לרצף את המישור בעזרת מצולעים משוכללים. הריצופים המשוכללים הם ריצופים בהם כל האריחים זהים, כך שצלעות נוגעות זו בזו. לשם כך יש לסדר סביב הקודקוד מצולעים שיסגרו את כל הקודקוד, כלומר על הזווית לחלק את 360 מעלות. ישנן שלוש אפשרויות לעשות זאת: משולשים, מרובעים ומשושים.
אם משתמשים במצולעים מסוגים שונים (אך מותירים את הדרישה שמצולעים מאותו הסוג יהיו מגודל זהה ושהריצוף יהיה צלע לצלע) מקבלים בנוסף גם את הריצופים הבאים:
תריסרון
בגאומטריה, תְּרֵיסָרוֹן (דּוֹדֵקָהֶדְרוֹן "dōdeka" "שנים עשר" + "hédra" "בסיס" או "פאה") הוא כל פאון עם שתים עשרה פאות שטוחות. התריסרון המוכר ביותר הוא תריסרון משוכלל, שהוא פאון משוכלל. ישנם גם שלושה כוכבי תריסרון משוכלל, אשר בנוים כמו כוכב (stellations) של צורה קמורה.
גוף אפלטוני
חמשת הגופים האפלטוניים
משחק דיפרנציאלי
בתורת המשחקים משחק דיפרנציאלי הוא משחק שפעולות השחקנים בו משפיעות על הדינמיקה של מערכת דינמית, שהדינמיקה שלה מתוארת במערכת של משוואות דיפרנציאליות.
לדוגמה, שני שחקנים שולטים בתנועות של נקודה על מסך מחשב; האחד באמצעות חוגה הקובעת את התנועה למעלה או למטה, והשני באמצעות חוגה הקובעת תנועה ימינה או שמאלה. המסך כולל אזורים שבהם השחקן הראשון צובר נקודות, ואזורים אחרים שבהם השחקן השני צובר נקודות. דוגמה דומה, אך מורכבת יותר: שני טייסים אוחזים בהגאי מטוס, המגיב לתנועות שניהם. בין אם הטייסים תומכים זה בזה ובין אם מטרותיהם שונות, קיימת פונקציית מטרה המאפשרת לתאר את התהליך כמשחק דיפרנציאלי.
הראשון להציג ולחקור את המשחקים הדיפרנציאלים היה רופוס אייזקס בספרו הקלאסי בנושא שהתפרסם ב-1965.
הגדרת המשחק.
הסעיפים הבאים מתארים משחק בין שני שחקנים.
נתונה מערכת דינמית, שמתוארת על ידי משוואת המצב הבאה:
formula_1
כאשר במערכת הזאת:
כדי לתאר את אילוצי המערכת בצורה מתמטית פשוטה משתמשים בפונקציית האילוצים הבאה:
formula_6
למערכת הזאת מוגדר אינדקס ביצועים באופן הבא:
formula_7
כאן formula_8 היא פונקציה של וקטור המצב ווקטורי הבקרה.
למערכת יש משטח סיום בזמן tf שהניצב אליו הוא n.
אופן הפתרון.
ההמילטוניאן.
בדומה לבקרה אופטימלית משתמשים בפונקציה הנקראת המילטוניאן, שמשלבת בתוכה את אינדקס הביצועים, את משוואות המערכת באמצעות כופלי לגראנז' ואת אילוצי המערכת. להלן ההמילטוניאן של המשחק המתואר:
formula_9
ומכאן פותרים באופן דומה לפתרון של המילטוניאן בבקרה אופטימלית, כלומר גוזרים את ההמילטוניאן לפי וקטור המצב ולפי וקטור כופלי הלגראנז'. מקבלים סט של משוואות דיפרנציאליות, המורכב ממשוואות המערכת הדינמית וממשוואות דיפרנציאליות לכופלי הלגראנז' עם תנאי התחלה של וקטור המצב ותנאי סיום על וקטור כופלי הלגראנז' (שלא יתואר כאן).
המשוואות של אייזיקס Main Equations of Isaacs.
המשוואה הראשונה עוסקת ביחס שבין ערכי ההמילטוניאן שנקבל כאשר u ישחק באסטרטגיה אופטימלית, שני השחקנים ישחקו כך, או רק v:
formula_10
משוואה זו אומרת, במילים פשוטות, שהערך של ההמילטוניאן אם רק u ישחק באופן אופטימלי יהיה קטן יותר מאשר הערך שיתקבל אם שני הצדדים ישחקו באופן אופטימלי. אם רק v ישחק באופן אופטימלי הערך של ההמילטוניאן יהיה גדול עוד יותר. זה מובן מראש, כיוון שההמילטוניאן תלוי באינדקס הביצועים, ותפקידו של u למזער את אינדקס זה בעוד v מנסה להגדיל את אינדקס הביצועים למקסימום.
המשוואה השנייה קובעת שאם שני השחקנים יפעלו באסטרטגיה אופטימלית אזי:
formula_11
האסטרטגיות האופטימליות של שני השחקנים הן:
formula_12
משחק דטרמיניסטי.
כאמור, במשחק כזה אחד השחקנים מנסה למזער את אינדקס הביצועים והשני מנסה להגדילו. ניתן להסתכל על זה גם כך:
אחד השחקנים מנסה למצוא את המינימום לאורך הטורים של הטבלה הבאה והשני מנסה למצוא את המקסימום לאורך השורות בטבלה.
כלומר, מתקיים: formula_13
אם במשחק יש תור אזי אחד השחקנים קובע את הטור או השורה והשחקן השני בוחר את התא המתאים לו מהבחירה של הראשון. במקרה כזה נגיע לתוצאה ברורה. אם אין תור, עדיין יכול להיות ששני השחקנים יבחרו את אותו פתרון, על פי עקרון שיווי המשקל של נאש.
למשחק בו min(max)=max(min) קוראים משחק דטרמיניסטי ותוצאתו שווה לשוויון הזה. זה נכון גם למשחקים דיפרנציאליים.
לדוגמה, בטבלה הבאה שני הצדדים יבחרו את התא שערכו 1, כי המינימייזר מנסה להשיג את המקסימום הנמוך ביותר לאורך טור (והוא יבחר את הטור השני שהמקסימום שלו הוא 1) ואילו המקסימייזר ינסה להשיג את המינימום הגבוה ביותר מבין השורות (והוא יבחר את השורה הראשונה שבה הערך המינימלי גבוה יותר):
משחק סטוכסטי.
כאשר אין פתרון ברור הערך הסופי של המשחק לא ברור, אבל ניתן לחסום אותו בין שני הערכים שתוארו קודם לכן. במשחק כזה לא שווה לשחקנים לשחק באסטרטגיה קבועה, כי הם יכולים להפתיע אחד את השני ולהשיג יותר. לכן, הם ישחקו באופן "סטוכסטי" והתוצאה הממוצעת של המשחק תהיה formula_14.
לדוגמה:
במקרה הזה, המינימייזר בוחר את הטור הימני, בו הערך המקסימלי נמוך יותר, כלומר את התא בעל ערך 4. המקסימייזר בוחר את השורה התחתונה כי בה המינימום גבוה יותר, כלומר הוא בוחר בתא בעל הערך 2. פתרון המשחק ינוע בין ערכים אלה, כאשר הערך הממוצע תלוי בהסתברות שבה כל אחד מהשחקנים יבחר להפתיע את יריבו.
פתרון רגיל.
מבצעים אינטגרציה לאחור בזמן מהנקודות במשטח הסיום עד לתנאי ההתחלה וכך מייצרים את המסלולים האופטימליים (ההיסטוריה של וקטורי המצב) ושל עוצמת הבקרה המופעלת על ידי כל שחקן. ניתן לבצע זאת כל עוד מסלולי המצב לא חותכים זה את זה. אם כל המסלולים שאינם חותכים זה את זה ממלאים את כל מרחב המצב המותר למשחק הפתרון מסתיים.
פתרון סינגולרי.