משוואת איינשטיין או משוואת השדה של איינשטיין היא המשוואה המרכזית של תורת היחסות הכללית, הקרויה על שם הפיזיקאי אלברט איינשטיין. היא מקשרת בין הגאומטריה של המרחב-זמן, המגולמת בטנזור איינשטיין, לבין החומר במרחב, המבוטא באמצעות טנזור מאמץ-אנרגיה, תוך שימוש בקבוע הכבידה האוניברסלי של ניוטון formula_1 ובקבוע של מהירות האור formula_2. מציאת המשוואה הייתה פסגת עבודתו של איינשטיין מפרסום תורת היחסות הפרטית ב-1905 עד להצלחה בנובמבר 1915. היא משוואה המתארת קשר בין שדות טנזוריים, היא דיפרנציאלית ולא-ליניארית.
רקע.
איינשטיין רצה לתאר את הכבידה כתורת-שדה עם משוואות שדה, בדומה להישגים בתיאור תורה אלקטרומגנטית. הרעיון שלו היה להכליל את משוואת פואסון הקלאסית של פוטנציאל כבידה (ניוטוני)
לצורה קו-וריאנטית יחסותית, כלומר צורה שאינה תלויה במערכת ייחוס ספציפית (מסקנה של תורת היחסות הפרטית). לאחר שנכשל מתודית בגיבוש תורה סקלרית (רכיב שדה יחיד) ותורה וקטורית (ארבעה רכיבי שדה, בדומה לתורה אלקטרומגנטית), פנה לחפש תורה טנזורית, בו לשדה יש 16 רכיבים (בפועל, תחת הדרישה שהטנזור סימטרי, 10 רכיבים בלתי-תלויים לכל היותר).
מרכיבי המשוואה.
צד הגאומטריה.
איינשטיין תיאר את שדה הגרביטציה כשדה מטריקה, כלומר טנזור סימטרי בארבעה ממדי מרחב-זמן, formula_4. מטריקה זו מגדירה את עקמומיות המרחב-זמן.
מהמטריקה ניתן להגדיר את טנזור ריצ'י וסקלר ריצ'י, ומאלה מרכיבים את טנזור איינשטיין
צד החומר.
החומר (כל חומר) נכנס למשוואה איינשטיין דרך טנזור המאמץ-אנרגיה, גם הוא טנזור סימטרי בארבעה ממדי מרחב-זמן, המסומן formula_6. רכיביו מתארים את צפיפות האנרגיה (כלומר מסה), צפיפות התנע, לחץ ומאמץ בכל נקודה במרחב. לחומרים שונים תרומות שונות לטנזור זה; המודלים הפשוטים ביותר מתארים ואקום, מסה נקודתית, גז, אבק, קרינה ועוד.
המשוואה.
כאשר בצד השמאלי יש רק גדלים שקשורים לגאומטריה של המרחב ובצד הימני של המשוואה יש טנזור (טנזור צפיפות האנרגיה) שמכיל מידע על החומר, משוואת איינשטיין מאפיינת את הקשר ביניהם:
זו היא משוואה טנזורית, המורכבת למעשה ממשוואה עבור כל רכיב. לטנזורים במרחב-זמן יש 4x4=16 רכיבים, אך מאחר שהם סימטריים יש בפועל רק 10 רכיבים, ובהם 4 הניתנים לשינוי חופשי באמצעות בחירת מערכת קואורדינטות. זוהי משוואה דיפרנציאלית לא ליניארית אך מוצגת היטב וניתנת לפתרון.
זו משוואת-שדה, עבורה ידועים מספר פתרונות. המפורסמים שבהם כוללים פתרון של ואקום, פתרונות של חור שחור, ופתרונות של גלי כבידה.
הקבוע הקוסמולוגי.
מאוחר יותר גילה איינשטיין שיש משוואה כללית יותר המקיימת את הדרישות התאוריות שהעלה. משוואה זו היא המשוואה הקודמת בתוספת תיקון שרירותי הידוע בשם "הקבוע הקוסמולוגי". המשוואה המלאה, הכוללת את הקבוע הקוסמולוגי formula_8, היא
איינשטיין הוסיף את הקבוע הקוסמולוגי למשוואת השדה כיוון שבתקופתו הייתה נטייה להאמין שהיקום סטטי במהותו, ואינו מתפשט או מצטמצם בגודלו. אולם, מרגע שהאסטרונום אדווין האבל גילה שהיקום מתפשט, ב-1929, הבין איינשטיין שהקבוע הקוסמולוגי היה סתם תיקון אד-הוק, וכינה אותו "השטות הגדולה ביותר בחיי" ("biggest blunder of my life").
&lt;BR&gt;משהצטברו בסוף שנות ה-90 של המאה ה-20 עדויות לקיומה של אנרגיה אפלה ביקום, הוצע להשיב את הקבוע הקוסמולוגי למשוואות כדי לתאר את קיומה.
פיתוח המשוואה.
את משוואות השדה אפשר גם להסיק באופן ריגורוזי באמצעות עקרון הפעולה, לשם כך צריך לחשב את הפעולה של מרחב שיכול להתעקם ולעשות וריאציה על formula_10
כאשר SM היא הפעולה של החומר (מוואריאציה מקבלים את טנזור צפיפות האנרגיה), formula_11 הוא פעולת האנרגיה האפלה (מוואריאציה עליה מקבלים את הקבוע הקוסמולוגי) ואילו SH היא הפעולה של מרחב עקום. המתמטיקאי דויד הילברט חישב את הפעולה של מרחב עקום ומצא שהיא שווה ל
כאשר R הוא סקלר ריצ'י המבטא את עקמומיות המרחב. מוואריאציה על פעולה זו (שנקראת "פעולת הילברט") מקבלים את אגף שמאל של משוואת השדה של איינשטיין.
ישנו פיתוח אחר של משוואת איינשטיין
שלב ראשון: טנזור איינשטיין.
משוואת איינשטיין נכתבת בצורה:
formula_13 (1)
יחסות כללית עולה בקנה מידה אחד אם שימור לוקאלי של האנרגיה והתנע, הביטוי המתמטי לכך הוא:
formula_14 (2)
לכן נחפס טנזור איינשטיין formula_15 אשר מקיים את התנאי:
formula_16 (3)
נתחיל בזהות ביאנקי הדפרנציילית:
formula_17 (4)
נכפיל את שני צידי המשוואה בformula_18:
formula_19
שווה ל:
formula_20
נכפיל את שני צידי המשוואה בformula_21:
formula_22
שווה ל:
formula_23
formula_24
formula_25
formula_26
נכפיל את שני צידי המשוואה בformula_27:
formula_28
formula_29
formula_30 (5)
נגדיר טנזור איינשטיין formula_15 כך:
formula_32
טנזור איינשטיין מקיים את התנאי (לפי משוואה 5):
formula_16
לכן הוא טנזור איינשטיין הוא הטנזור שנמצא בצד השאמלי של משוואת איינשטיין.
שלב שני: הקבוע הכבידה של איינשטיין.
כעת נחפס את הערך הקבוע formula_34 קבוע הכבידה של איינשטיין. משוואת השדה צריכה לשמר את צורת תאורית הכבידה הניוטונית בקרובים של כבידה חלשה, למעשה לפתוח של משוואת השדה נעשה שימוש בתאורית הכבידה הניוטונית בכבידה חלשה.
תאורית הכבידה של ניוטון מנוסחת בצורותה הכללית ביותר על ידי חוק גאוס הכבידתי. חוק גאוס הכבידתי מקשר בין פטנציאל הכבידה formula_35 לבין צפיפות המסה formula_36.
formula_37 (6)
מסלול של גוף הנופל נפילה חופשית הוא:
formula_38
formula_39 (7)
משוואת התנועה ביחסות כללית היא משוואת הגאודזיה שנכתבת כך:
formula_40 (8)
עובר קירוב של מהירויות נמוכות אנו מניחים ש 4-וקטור המהירות הוא:
formula_41 (9)
חשב של סמלי כריסופל על ידי שימוש במשוואת התנועה (8) עבור מהירויות נמוכות נותן.
formula_42
לפי משוואה 7
formula_43 (10)
עבור מהירויות נמוכות טנזור האנרגיה תנע היה שווה ל:
formula_44 (11)
אנו מניחים שהכבידה חלשה לכן עקמומיות המרחב זמן גם כן קטן ולכן המטריקה היא:
formula_45 (12)
כאשר formula_46 הוא ערך קטן מאוד.
נניח גם כן שהמטריקה אינה תלויה בזמן (כי המהירויות הם מאוד נמוכות) לכן:
formula_47 (13)
כעת נחשב את טנזור ריצ'י על ידי שימוש במשוואת איינשטיין עבור שולשת ממדי המרחב
formula_48
לפי משוואה 12 ביטוי זה שווה בקרוב ל:
formula_49
formula_50 (13)
נחשב את סקלר ריצ'י
formula_51
נציב את משוואה 13
formula_52
לכן:
formula_53 (14)
מתוך המשוואות 13 ו- 14
formula_54 (15)
כעת נחשב את formula_55 לפי נוסחת טנזור ריצ'י
formula_56
טנזור רימן הוא:
formula_57
לכן עובר formula_55:
formula_59
מתוך ההנחה שהכבידה חלשה מאוד (משוואה 12) סמלי קריסטופל קטנים לכן ניתן לבצע קירוב לביטוי זה
formula_60
מתוך ההנחה שהמטריקה אינה תלויה בזמן (משוואה 13) ניתן לכתוב ביטוי זה כך:
formula_61
לכן:
formula_62
נציב את משוואה 6 ונקבל:
formula_63 (16)
נכתוב את משוואת איינשטיין:
formula_64
לפי הנחת הכבידה החלשה (משוואה 12), והצבה של משוואה 15, ניתן לכתוב משוואת איינשטיין כך:
formula_65
שווה ל:
formula_66
לכן המשוואה איינשטיין עבור formula_67 היא:
formula_68
נציב את משוואה 14 ונקבל:
formula_69
נציב את משוואה 16 ונקבל:
formula_70
לכן קבוע הכבידה של איינשטיין הוא:
formula_71
formula_72
לכן משוואת השדה של איינשטיין היא:
formula_73
המטרייה הכחולה
המטרייה הכחולה (באנגלית: The Blue Umbrella) הוא סרט הנפשה ממוחשבת קצר מבית היוצר של פיקסאר. הסרט הוקרן בבתי הקולנוע לפני בית ספר למפלצות שיצא לאקרנים ב־21 ביוני 2013.
הסרט בוים על ידי סשקה אנסלד (Saschka Unseld).
הפקה.
במאי הסרט, סשקה אנסלד, אמר כי חשב על הרעיון לסרט כאשר ראה מטרייה שבורה בצידי הדרך בסן פרנסיסקו.
אנסלד ושותפיו לסרט החלו לצלם חפצים דוממים ברחובות הערים ניו יורק, סן פרנסיסקו, שיקגו ופריז. אנסלד תיאר את הסרט כ״הצהרת אהבה לגשם״.
מערכות המחשב של פיקסאר עודכנו על מנת ליצור אלמנטים של תאורה והשתקפות ריאליסטיים.
בדומה לשאר הסרטים הקצרים של פיקסאר, הסרט אילם ללא כל דיאלוג, אלא מלווה במוזיקה ואלמנטים חזותיים על מנת לעורר תגובה רגשית אצל הצופים.
עלילה.
העיר ניו יורק מתעוררת לחיים על ידי סופת גשמים. חפצים רבים לאורך הרחוב (כגון: תמרורים, תיבות דואר, מרזבים, בניינים וחלונות) מתעוררים לחיים ו״מקבלים פנים״ (האנשה). אנשים עוברים ברחוב מתחת למטריות שלהם, כל המטריות שחורות בעלות פנים זעופות, למעט מטרייה אחת בצבע כחול הנראית שמחה וצוהלת מן הגשמים.
הבעלים של המטרייה הכחולה נעצר במעבר החצייה ומחכה לרמזור ירוק. המטרייה הכחולה פוגשת לפתע במטרייה אדומה ויפה. השתיים מחליפות מבטים מבוישים ומלאי סקרנות, אך דרכיהם של הבעלים שלהן נפרדות.
הבעלים של המטרייה הכחולה מתחיל לרדת לכיוון תחנת הסאבווי, אך המטרייה בורחת ממנו ומתעופפת לכיוון המטרייה האדומה. בחיפוש אחר המטרייה האדומה, המטרייה הכחולה נקלעת לסכנות בכביש המהיר אך נחלצת בעזרת חבריה, החפצים.
המטרייה הכחולה נתקלת לבסוף בפגוש של משאית ומוטלת שבורה לצד הכביש. בעליה של המטרייה באים לקחת אותה ופוגשים במטרייה האדומה ובבעליה.
שתי המטריות ובעליהן מתיישבות במסעדה בחוץ, בזמן הגשם השוטף, לשמחתן ולשמחת החפצים ברחוב.
פרסום.
הסרט הוקרן לראשונה ב־12 בפברואר 2013 בפסטיבל הסרטים הבינלאומי בברלין ה-63.