התפלגות בנפורד נובעת מהנחה שכאשר כותבים את המשתנה בבסיס b, ההסתברות של ספרה מסוימת להופיע אינה תלויה במיקום שלה בתוך המספר. מההנחות האלה נובעת גרסה חזקה של החוק, שלפיה ההסתברות לכך שמספר כלשהו באוכלוסייה יתחיל בספרה formula_1 ניתנת לחישוב, ושווה ל- formula_2. החוק חל על הספרה הראשונה של המספרים, וכן, במידה פחותה והולכת, גם על שתי הספרות הראשונות, השלוש הראשונות, וכן הלאה.
הסבר תאורטי.
נסמן ב-formula_3 את הפונקציה שמחזירה את הספרה המשמעותית המובילה של מספר, ונסמן ב-formula_4 את הסיגמא-אלגברה על החלק החיובי של הממשיים, הנוצרת על ידי הפונקציה S. לכל formula_5 מתקיים formula_6. נוסף על כך, לכל formula_5 מתקיים ש-formula_8 לכל formula_9, ו-formula_10 לכל formula_11 טבעי וחיובי.
התפלגות של משתנה מקרי חיובי X היא מטיפוס בנפורד אם formula_12 לכל formula_13 כל משתנה מקרי ביחס ל-formula_4 המקיים את התנאי שלכל formula_9 יש ל-formula_16 אותה התפלגות כמו של formula_17, הוא מטיפוס בנפורד. אם X,Y משתנים מקריים ביחס ל-formula_4 ובלתי תלויים, ואחד מהם הוא מטיפוס בנפורד, אז כך גם המכפלה XY. המכפלה של משתנים בלתי תלויים רבים formula_19, בעלי אותה התפלגות רציפה, מתפלגת מטיפוס בנפורד.
לדוגמה, משתנה מקרי חיובי formula_20 המקיים formula_21, הוא מטיפוס בנפורד. התכונה הנ"ל מתקיימת בקירוב אם formula_22 מתפלג לוג-נורמלי או לוג-יוניפורמי עם סטיית תקןformula_23. התפלגות לוג-נורמלית מופיעה בצורה טבעית במקרים רבים כאשר יש הצטברות כפלית של גורמים. לדוגמה - מחירי מנייות, גודל אוכלוסייה, מספר הנדבקים במגפה וכו'.
שימושים.
ניתן להשתמש בחוק בנפורד לצורך זיהוי הונאה באוכלוסיות מספרים שהחוק חל עליהן. לדוגמה, כדי לבצע בדיקת אמינות של דיווחי מס. בדומה, כדי לבדוק האם תוצאות הבחירות 2009 באיראן זויפו או לא, נבדקה התאמתן לצפי מחוק בנפורד. במחלת נגיף קורונה 2019 חוקרים השתמשו בחוק כדי לזהות מדינות שזייפו נתוני תחלואה ותמותה. בימים שלאחר בחירות 2020 לנשיאות ארצות הברית עלו טענות שחוק בנפורד מאותת על כך שייתכן ובוצעו שינויים, טעויות או זיופים בתוצאות הבחירות.
דלטוניזם
נורפוק (וירג'יניה)
נורפוק (באנגלית: Norfolk) היא עיר עצמאית הממוקמת במדינת וירג'יניה שבארצות הברית. נורפוק היא אחת מהערים הגדולות ביותר של וירג'יניה, ובמפקד תושבים שנערך בשנת 2010 אוכלוסיית העיר נאמדה בכ-242,803 תושבים.
נורפוק ממוקמת על נהר אליזבת באזור האמפטון רודס, נמל טבעי גדול הממוקם בפתח מפרץ צ'ספיק. נורפוק היא אחת משבע הערים שביחד מהוות את האזור המטרופוליטני המפטון רודס. נורפוק נחשבת למרכז ההיסטורי והתרבותי של המטרופולין. נורפוק נחשבת באופן היסטורי למרכז צבאי ותחבורתי חשוב.
בסיס הצי.
בסיס הצי האמריקני בנורפוק, הוא בסיס האם של "פיקוד כוחות צי ארצות הברית", הצי החמישי של ארצות הברית, והצי השישי של ארצות הברית.
בסיס נורפוק הוא הבסיס הצבאי הימי הגדול ביותר בעולם. שטחו היבשתי הכולל הוא כ-146 קמ"ר. רציפי הבסיס משתרעים לאורך רצועת חוף של כ- 6 ק"מ, בחצי האי המפטון רודס, ואורכם הכולל של רציפי העגינה הוא כ-11 קילומטר.
בסיס נורפוק מסוגל לספק מקומות עגינה ותמיכה עורפית של שירותי נמל ל-75 ספינות ו-134 כלי טיס ב-14 רציפי עגינה ו-11 האנגרים למטוסים.
בבסיס הצי בנורפוק מתנהלות כ-3100 תנועות כניסה ויציאה של ספינות לעגינה והפלגה, ויותר מ-100,000 המראות ונחיתות של מטוסים בשנה.
מתנחל
ימליאן פוגצ'וב
יֵמֵליָאן איבנוביץ' פּוּגָצ'וֹב (ברוסית: Емельян Иванович Пугачёв; (1742 – 10 בינואר 1775), מנהיג מרד הקוזאקים הגדול ביותר בהיסטוריה הרוסית. המרד של פוגצ'וב התרכז באורל וכוון נגד הצארינה יקטרינה השנייה בשנים 1773–1774.
ביוגרפיה.
השנים הראשונות.
ימליאן פוגצ'וב נולד במחנה זימוביסקה של מחוז דון למשפחה אורתודוקסית מהקוזקים של הדון. משפחתו של פוגצ'וב נמנתה עם הזרם הרשמי של הדת בניגוד לרוב הקוזקים שהיו מבני "אדוקי האמונה הישנה". מגיל 18 שירת בצבא הרוסי בחיל הקוזקים של הדון והשתתף במלחמת שבע השנים בין 1756 ל-1763 ובמלחמת רוסיה-טורקיה, 1774-1768. בגיל 19 נשא לאשה את סופיה. בעת שירותו בצבא עזר לכמה חיילים לערוק ולבסוף נאלץ לערוק בעצמו ב-1771. לאחר שערק הגיע לטרק, והחל לקשור קשרים עם משתתפי המרד הקודם של 1771. במקביל התחיל פוגצ'וב - להפתעת עצמו, כפי שהעיד באחת החקירות - לטעון שהוא הצאר הנמלט פיוטר ה-3. רוב האנשים שסביבו לא האמינו לו, אך מאחר שחיפשו רעיון מאחד ובגלל כישורי המנהיגות שלו בחרו בו הקוזקים של טרק למנהיגם (אטמן). פוגצ'וב נתפס על ידי הבולשת ונאסר במוזדוק, אך נמלט מהמאסר. ב-1772 הגיע לסטניצה מצ'טניה ליד סראטוב שם התוודע אל סטרו-אוברדצי-אורתודוקסים רוסיים שלא קיבלו את חידושיו של הפטריארך ניקון ונחשבו מאז כופרים בכנסייה הרוסית האורתודוקסית. אי-שביעות הרצון מן היחס אליו בצבא, התלונות על הדיכוי מצד השלטון ששמע במצ'טניה וכן רצונם של הקוזקים להמשיך את המרידה שדוכאה בשנה שלפני כן הניעו אותו לארגן מרד קוזקים חדש נגד המלכה.
המרד.
ב-1773 הגיע פוגצ'וב לנהר יאיק (אורל), למחנה הקוזקים שמרדו בשלטון בשנה שלפני כן, והכריז על מרד נגד השלטון. על עצמו הכריז שהוא הצאר פיוטר ה-3, וכי יקתרינה לא הצליחה לרצחו. בהנהגתו של פוגצ'וב התמרדו מיד כמעט כל הקוזקים של אורל וכן בשקירים, טטרים וקלמיקים תושבי האזור. לאחר כיבוש העיר יאיק עלה פוגצ'וב עם צבאו במעלה הנהר אורל וכבש את כל הערים והמבצרים שנמצאו שם. בתחילת המרד הוא הטיל גם מצור על אורנבורג, אך היא החזיקה מעמד ולא נכנעה לו עד להסרת המרד על ידי הצבא הרוסי, שהממשלה הצארית שלחה לדכא את המרד בהנהגת הגנרלים ביביקוב, מיכלסון ואחר כך אלכסנדר סובורוב. בתחילה הנחיל פוגצ'וב תבוסה לכל מי שהתנגד לו, ורבים ממתנגדיו עברו לצדו, אך כשיצאו נגדו צבאות סדירים בפיקודם של ביביקוב ומיכלסון ירדו לטמיון כל פירות ניצחונותיו הקודמים, והוא הצליח להחזיק מעמד עוד זמן מה. לאחר שהגיע פוגצ'וב לזרם העליון של אורל עבר לזרם הוולגה וכבש את קזן. הצבא הצארי כבש את אורנבורג ואת כל המבצרים והערים שלא נכנעו לפוגצ'וב ובאוגוסט 1774 נערך קרב מכריע ליד צריצין (לימים וולגוגרד), ובו הביס מיכלסון את צבאו של פוגצ'וב. שארית צבאו של פוגצ'וב נסוגה לקדמת הים הכספי. שותפיו של פוגצ'וב הסגירו אותו לידי הצבא תמורת 100,000 רובל ב-8 בספטמבר. פוגצ'וב הובא למוסקבה וב-21 בינואר 1775 נערף ראשו בכיכר המרכזית.
תוצאות המרד.
בעקבות המרד פקדה הצארית יקתרינה לשנות את שמותיהם של מספר אתרים שהיו שותפים במרד, שם הנהר יאיק הוחלף לאורל, שם מקום לידתו של פוגצ'וב הוחלף לפוטיומקינסק. במקום 20 הגוברניות הישנות הוקמו 50. האצולה הטטרית, הבשקירית והקלמיקית קיבלה הכרה ברמה של האצולה הרוסית והותר לה לשלוט באיכרים. הקוזקים קיבלו יותר חופש והקלות רבות בשירות הצבאי. בתי חרושת רבים לייצור מתכות באורל שהצטרפו למרד הפסידו 5 מיליון רובל, והממשלה נאלצה להשקיע הון רב כדי לשקמם. בעקבות המרד חוקקה יקתרינה חוק חדש ששינה את אופן ניהול המחוזות באימפריה הרוסית. החוק שינה את חלוקת המחוזות והורה על הקמת 205 ערים חדשות ברחבי האימפריה.
פוגצ'וב בתרבות הרוסית.
המרד וגורלו של מנהיגו עניינו מאז ומתמיד את גדולי סופריה של רוסיה. הראשון שבהם הוא אלכסנדר פושקין, שכתב סיפור על המרד, בת הקפיטן. גם לב טולסטוי התעניין במרד. בתרבות הבשקירית נחשב שותפו הבשקירי של פוגצ'וב סלבט יולייב כגיבור לאומי וכפטרונה של בשקירה. כמו כן רואים הבשקירים במרד ביטוי לגאווה לאומית ומרידה נגד השלטון הרוסי המדכא. בתקופה הסובייטית ראו בפוגצ'וב גיבור וחוזה מהפכת אוקטובר הקומוניסטית. בחוגי האינטליגנציה הייתה תנועה שנקראה "פוגצ'וב באוניברסיטה", שדגלה בניהיליזם.
הנצחתו ברוסיה.
שמה של סלובודה מצ'יוטניה, שממנה פוגצ'וב התחיל את המרד שונה לפוגצ'וב בשנת 1918 על ידי וסילי צ'פייב. כמו כן נקראה על שמו הכיכר המרכזית בעיר אורלסק שבמערב קזחסטן.
אי-שוויון הממוצעים
במתמטיקה, אי שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של סדרה סופית של מספרים ממשיים חיוביים. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את אי-השוויון הוכיח אוגוסטין קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.
באותו שם נקרא גם אי שוויון בין הממוצע ההנדסי לממוצע ההרמוני ואי השוויון בין הממוצע הריבועי לממוצע ההנדסי; יחדיו, טוענים שני האי-שוויונות שלכל קבוצה formula_1 של מספרים ממשיים חיוביים, מתקיים
שלושת הביטויים מתאימים, בהקשרים שונים, לשמש כ"ממוצע", למשל בכך ששלושתם נמצאים תמיד בין הערך הקטן ביותר לגדול ביותר בסדרה formula_3. לפי אי-שוויון הממוצעים, formula_4. במקרה formula_5 טענה זו קובעת כי לכל a ו-b חיוביים, formula_6, ושוויון מתקיים אם ורק אם a שווה ל-b.
הוכחות.
המקרה n=2.
נשתמש בעובדה הפשוטה שהריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אי-שלילי:
כלומר:
ולכן לאחר חלוקה ב-4 ולקיחת שורש:
קל לראות ש-formula_10 ולכן מכיוון ש-formula_11 בהכרח formula_12.
הוכחתו של קושי.