יש ארבעה סוגים של פעולות טרנזיטיביות על קבוצה מסדר ראשוני. (1) החבורה הסימטרית וחבורת התמורות הזוגיות. (2) תת-חבורות של חבורת ההעתקות האפיניות formula_50 המכילות את החבורה החיבורית של השדה. (3) תת-חבורות של החבורה הליניארית המוכללת formula_51 המכילות את
formula_52 במקרים שבהם הסדר formula_53 של המרחב הפרויקטיבי עליו פועלת החבורה הוא מספר ראשוני. (4) שלושה מקרים ספורדיים: formula_54 בהצגה (לא סטנדרטית) מדרגה 11, וחבורות מתיו formula_55 ו-formula_56.
טרנזיטיביות מסדר גבוה.
מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין החבורות הסופיות. ב-1873 הוכיח Jordan שהחבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי חד הן formula_57 וחבורת מתיו formula_58; שהחבורות היחידות הפועלות באופן 5-טרנזיטיבי חד הן formula_59 וחבורת מתיו formula_60, ושהחבורות היחידות הפועלות באופן formula_25-טרנזיטיבי חד, עבור formula_62, הן formula_63.
ב-1936 הראה Zassenhaus שהחבורות היחידות הפועלות באופן 3-טרנזיטיבי חד הן formula_64 (לכל חזקת-ראשוני formula_65), ו-formula_66 (לכל חזקת-ראשוני שהיא ריבוע אי-זוגי); formula_66 היא תת-חבורה של formula_68 המכילה את formula_69.
כתוצאה ממיון החבורות הפשוטות הסופיות, ידוע היום שפרט לחבורות formula_39 ו-formula_41, החבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי הן ארבע מבין חמש חבורות מתיו (היינו: formula_58 ו-formula_73 הן 4-טרנזיטיביות, ו-formula_60 ו-formula_75 הן 5-טרנזיטיביות)
ריצוף (גאומטריה)
בגאומטריה, ריצוף הוא כיסוי של משטח דו-ממדי, או מרחב מממד גבוה יותר, באריחים מאותו סוג. ישנם סוגים שונים של ריצופים - הנבדלים זה מזה באופי הקבוצה שאותה מכסים, במספר האריחים המותרים בשימוש, ובמחזוריות שלהם. הדוגמה הפשוטה ביותר היא כיסוי של המישור באריחים ריבועיים, כפי שמשבצות מכסות דף במחברת חשבון. הצד השווה בכל הריצופים הוא שכל נקודה בקבוצה שאותה מכסים, מכוסה בדיוק על ידי אריח אחד.
לריצופים יש חשיבות רבה בגאומטריה (ובטופולוגיה אלגברית), בכך שהם מאפשרים ללמוד את הקבוצה המכוסה X על ידי תכונות של הכיסוי. לכיסוי משויכת חבורת סימטריות G. במקרה שהחבורה פועלת באופן טרנזיטיבי, האריחים בהכרח חופפים זה לזה, ואפשר להתאים ביניהם לבין מרחב המנה formula_1. קשרים אלה הם נקודת המוצא של תוכניתו של פליקס קליין מסוף המאה ה-19, ללמוד מרחבים גאומטריים דרך החבורות הפועלות עליהם, ולהפך.
Arabidopsis thaliana
Musca domestica
Cyperus rotundus
מצביע
במדעי המחשב, מצביע (באנגלית: Pointer) הוא טיפוס נתונים אשר ערכו מפורש ככתובת בזיכרון המחשב. שימוש בו מאפשר טיפול בנתונים תוך התייחסות לכתובתם, ולא להם עצמם.
מצביעים הם מאבני היסוד של שפות התכנות הקלאסיות.
מהות המצביע.
המחשב שומר נתונים ביחידות זיכרון נפרדות, כך שלכל יחידת זיכרון מוקצת כתובת. לרוב כל מילה או בית בזיכרון המחשב מהווים יחידת זיכרון.
מצביע מאפשר להתייחס אל יחידת הזיכרון דרך מיקומה בזיכרון המחשב, ולא באופן ישיר. דרך פעולה זו מאפשרת:
שימוש שגוי במצביעים עלול לגרום לחריגות ולשגיאות זמן ריצה, משום שניסיון גישה לכתובת לא חוקית יגרום לחריגת גישה. שורש הבעיה נעוץ בקלות בה ניתן לבצע מניפולציות על המצביע, המכיל ערכים מספריים לכל דבר ועניין.
סוגי מצביעים.
מצביעי טיפוס.
בשפות תכנות רבות ניתן להגביל מצביעים כך שיוכלו להצביע רק על טיפוסי נתונים מסוימים.
לדוגמה, ניתן להגדיר מצביע לטיפוס int (מספרים שלמים). מצביע כזה יוכל להצביע אך ורק למבנה נתונים מסוג int ונוכל להתייחס אל ערכו רק באופן בו ניתן להתייחס ל- int.
מצביע לשגרה.
ניתן להשתמש במצביעים על מנת להצביע על שגרה. יכולת זו מאפשרת להעביר שגרות כפרמטרים.
מצביע האפס.
למצביע האפס יש ערך שמור (ע"פ רוב 0) המהווה אינדיקציה לכך שזוהי כתובת ריקה. כתובת זו שאליה הוא מצביע מוגדרת מראש.
מצביעי אפס הם בשימוש רב, על מנת לסמן מצבי קצה. מצבי קצה כאלו יכולים להיות מגוונים ביותר, לדוגמה- השבתת מצביע להקצאה דינמית או ציון קצה מבנה נתונים.
שימוש מושכל במצביעים.
השימוש במצביעים הוא בעל פוטנציאל גבוה לבעיות בעיקר בגלל האפשרות לחריגת גישה. למרות זאת, היתרונות שבשימוש בהם גוברים על החסרונות. בשל כך הביאו שפות תכנות מתקדמות במדעי המחשב (כמו Java ו־C#), לשימוש בטיפוסים קצת יותר מוגבלים המאפשרים הצבעה על אובייקטים, אולם לא מאפשרים ביצוע מניפולציה מספרית על המצביע. כך למעשה מתבצעת הפרדה בין היכולת להצביע על אובייקטים, לבין היכולת לגשת לכתובות אקראיות בזיכרון.
בעיה נוספת הקשורה במצביעים ובהקצאת זיכרון דינאמית, היא דליפת זיכרון, הנובע מכך שבהליך מסוים זיכרון שהוקצה לצורך פעולה, לא שוחרר בתום הפעילות ונשאר תפוס. כאשר פעולה זו מתבצעת פעמים רבות זיכרון נתפס על ידי התוכנית לשווא, מכיוון שלא נעשה בו כל שימוש. גם כאן שפות תכנות מתקדמות ניסו לתת פתרונות הולמים, כגון "איסוף זבל" (garbage collector) מובנה אוטומטי.
מחלקות לטיפול במצביעים.
גישה נוספת לפתרון ולכיסוי החסרונות, היא ליצור מחלקה שתעטוף את נושא המצביעים ותאפשר לבצע פעילות שכזו, מבלי להיות חשוף לאותן הבעיות הכרוכות בהקצאה דינמית.
כך למשל ב-Visual Basic באמצעות מחלקת אוסף (Collection), ניתן להוסיף ולהסיר איברים באופן דינמי. האיברים יכולים להיות מכל סוגי המשתנים הקיימים, ויכולים להיות בו-זמנית שונים בגודלם ובסוגם, והגישה לאיברים היא באמצעות אינדקס כמו במערך. בדוט נט ישנה מחלקה מיוחדת (Marshal בשיתוף עם המשתנה IntPtr) שתפקידה לטפל בהקצאה דינמית מבלי לאפשר הקצאה דינמית ישירה. למחלקה זו יש אפשרויות רבות ומגוונות, וייחודה בכך שהיא מאפשרת הקצאה דינמית אך מצמצמת את הבעיות הכרוכות בכך.
שמוליק קראוס
שמואל (שמוליק) קראוס (1 ביולי 1935 – 17 בפברואר 2013) היה זמר-יוצר, מוזיקאי, פזמונאי, מלחין ושחקן קולנוע ישראלי, מחלוצי הרוק הישראלי וחתן "פרס שר החינוך" למפעל חיים לשנת 2006. קראוס היה בין המלחינים הבולטים בישראל, והלחין שירי משוררים לצד פזמונים. כמו כן התפרסם כשחקן בסרטי קולנוע ובסדרה "לול".
ביוגרפיה.
תחילת הדרך.
שמואל קראוס נולד כבן הבכור לרוזה ומוסא בשכונת נחלת אחים בירושלים. האב מוסא נולד ב־1912 בירושלים. סבתו של שמואל גידלה את מוסא כאם חד־הורית, לאחר שהסבא עזב את המשפחה. מוסא הצטרף בגיל 13 להגנה ועבד כנהג, שהביא סחורות לקיבוץ בית הערבה המבודד ולמפעלי ים המלח. אמו של שמואל, רוזה, הייתה אחותו של רחמו, בעל מסעדה מוכרת ומצליחה בעיר. השניים נמנו על העדה האורפלית. המשפחה גרה בדירה מרווחת בקצה רחוב עזה (רחוב שפרעם כיום). במהלך המרד הערבי הגדול נפצע מוסא ברגלו מירי של ערבים, במהלך נסיעה, והחלים במשך זמן רב בבית מן הפציעה. בתקופה זו נאלצה האם לפרנס את המשפחה בעבודות משק בית בשכונת רחביה. באמצע שנות ה־40 היו לשמואל אח ואחות והמשפחה עקרה לחולון.
בגיל 15 נשלח קראוס לכפר הנוער "הדסים", שאותו עזב כעבור שבוע. לאחר מכן הצטרף לחברת הנוער של קיבוץ שער הגולן. לאחר שסולק משם הצטרף לקורס גדנ"ע ים, ובסופו התגייס לחיל הים. קראוס היה מכונאי בחדר הדוודים באונייה, וכן הופיע בהרכב קטן דמוי להקה צבאית. לאחר שחרורו עבד כימאי בצי הסוחר. בעת עגינה בפאב הימאים "העוגן" בחיפה התחיל בדרך מקרה לנגן בגיטרה, לאחר שנערה ביקשה ממנו להחזיק את הגיטרה שבה ניגנה לכמה רגעים.
ב־1958 החל קראוס להופיע כרקדן סטפס בחיפה. באותה תקופה פגש באברהם רייכשטט, לימים אבי עופרים, והשניים הקימו צמד בשם "העופרים", שבו קראוס ניגן בגיטרה ורייכשטט בתוף מרים. קראוס לימד את עצמו לנגן אקורדים אחדים על פי ספר לימוד אקורדים לשירי עם אמריקאים, והשניים ניגנו בעיקר שירים אמריקאים ידועים. עם תחילת פעילותו של הצמד החליף את שם משפחתו מ"קראוז" ל"קראוס". לאחר כשנה שבה הופיעו השניים הכיר קראוס זמרת צעירה בשם אסתר זייד, לימים אסתר עופרים, והציע לרייכשטט לצרפה לצמד. רייכשטט וזייד התאהבו ונישאו, ואילו קראוס עזב את ההרכב אחרי חילוקי דעות אומנותיים ויצא שוב להפלגות בים.
ב־1959 הלחין קראוס את שני שיריו הראשונים: "עוד נשוב" למילים של עמוס אטינגר ו"שיר הדייג" למילים של אורי שרון. את שני השירים שרו אסתר ואבי עופרים. באותה תקופה הלחין את נעימת השיר שהפכה בהמשך ל"בית הערבה".
לאחר שעזב קראוס את צי הסוחר החל להופיע ברחבי ישראל. בשנת 1961 הקים קראוס פאב בבאר שבע בשם "בר שבע". שם אירח את מיטב כוכבי התקופה, הופיע בחיקויים ושר משיריו המקוריים. ב־1962 התקבל לתפקיד הראשי במחזה "השטח" בתיאטרון הבימה, שהצגתו נמשכה כחודשיים. בהמשך פגש קראוס בג'וזי כץ, שהגיעה לישראל מארצות הברית בקבוצת נוער יהודי־אמריקאי, והפך לבן זוגה.
בקיץ 1964 השתתף קראוס בצילומי הסרט "חור בלבנה" של הבמאי אורי זוהר, שעלה לאקרנים ב־1965. לאחר מכן נסע קראוס לצרפת, ושם הוציא ב־1965 מיני-אלבום בשם "Chants d'israel" ובו ארבעה שירים בעברית: "ערב של שושנים", "שדמתי", "ויבן עוזיהו", ו"דונה דונה". עם שובו מצרפת חזר להתגורר באילת עם כץ. השניים החלו להופיע במועדון "סוף העולם" של רפי נלסון ששכן בעיר. כץ שרה באנגלית וקראוס ליווה אותה בגיטרה ובשירה. לאחר כחצי שנה שבו לתל אביב, והחלו להופיע בקביעות במועדון "עומר כיאם" ביפו. הרפרטואר של השניים הורכב בחלקו מגרסאות כיסוי ובחלקו משירים חדשים שהלחין קראוס. אחד השירים המקוריים היה שיר שכתבה כץ בשם "Long Ago" על פי לחנו של קראוס ששימש בהמשך כלחן השיר "בית הערבה".