משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות הוא משפט באלגברה ליניארית העוסק בשוויון עבור העתקה ליניארית בין מימד התחום לבין מימד תמונת וגרעין ההעתקה הליניארית.
בכתיב מתמטי: יהיו formula_1 ו-formula_2 תתי מרחבים וקטורים מעל שדה formula_3. נגדיר את formula_4 להיות העתקה ליניארית, formula_5, אזי formula_6.
הוכחת המשפט.
אסטרטגיה.
נבחר בסיסים שמכילים מספר וקטורים מסומן כללי עבור התמונה וכך גם עבור הגרעין, ונראה שמקורות הווקטורים בבסיס התמונה מצורפים יחד עם וקטורי הבסיס של הגרעין מהווים בסיס עבור התחום. מכך, ינבע שסכום מספר הווקטורים בבסיס של הגרעין ומספר הווקטורים בבסיס התמונה (שזה אותו מספר הווקטורים שהם המקורות) שווה למספר הווקטורים בתחום. מכאן ינבע כי סכום מימד התמונה ומימד הגרעין שווה למימד התחום של העתקה ליניארית, כנדרש.
הוכחה.
בחירת סדרות וקטורים מתאימות.
נקח את formula_7 להיות הבסיס של גרעין ההעתקה, ואת formula_8 להיות הבסיס של תמונת ההעתקה. מכאן, מימד הגרעין הוא formula_9 ומימד התמונה הוא formula_10. נשים לב לכך שלכל וקטור בתמונה יש מקור מהתחום, כלומר ניתן לרשום את formula_8 כך: formula_12, (כאשר formula_13 וקטורים ב-formula_1). צריך להוכיח שמימד התחום הוא formula_15. נעשה זאת על ידי הוכחה כי סדרת וקטורים formula_16 מהווה בסיס של התחום formula_1.
הוכחה כי סדרת הווקטורים פורשת את המרחב formula_1.
נראה כי formula_19. תחילה, נראה כי formula_20: כל וקטור בסדרת הווקטורים formula_16 מוכל ב-formula_1 בפני עצמו (שכן הגרעין הוא קבוצת וקטורים מהתחום, וגם המקורות של התמונה הם קבוצת וקטורים מהתחום), ולכן formula_20.
כעת, נראה כי formula_24: נקח וקטור כללי מ-formula_1 ונסמנו formula_26. נתבונן בהצגה היחידה של formula_27 על ידי בסיס התמונה: formula_28. כעת, נתבונן בוקטור formula_29 (ששייך ל-formula_1, מכיוון ש-formula_1 הוא תת-מרחב וקטורי, ולכן סגור לחיבור ולכפל בסקלר). נפעיל את ההעתקה formula_4 על הווקטור בו אנו מתבוננים ונראה שהואיל ו-formula_4 היא העתקה ליניארית, כלומר משמרת חיבור וכפל בסקלר, מתקיים:
formula_34
לכן נובע ש-formula_35, ולכן יש לו ייצוג על ידי צירוף וקטורי בסיס הגרעין: formula_36ולאחר העברת אגפים נקבל את הייצוג של formula_26 על ידי צירוף הווקטורים formula_16:
formula_39
ולכן, formula_24. קיבלנו הכלה דו כיוונית ומכאן formula_19.
הוכחה כי סדרת הווקטורים בלתי תלויים ליניארית.
כדי להוכיח אי-תלות ליניארית נניח שעבור הסקלרים formula_42 הצירוף הליניארי של הווקטורים formula_16 מביא לאפס השדה. צריך להוכיח כי formula_44 (תנאי שקול לאי תלות ליניארית). לפי הנחה זו: formula_45
נפעיל על השוויון את ההעתקה הליניארית formula_4:
formula_47
(הווקטורים של בסיס הגרעין שייכים לגרעין ולכן הפעלת ההעתקה עליהם מביאה לאפס.וכל העתקה ליניארית על וקטור האפס שווה ל-0). ואם כן מכיוון ש-formula_8 בסיס של התמונה, אזי המקדמים formula_49 הם אפסים (מכיוון שהווקטורים formula_8 בלתי תלויים ליניארית). ואז, נחזור לביטוי המקורי ונקבל formula_51 ומאותם שיקולים של היות formula_7 בסיס, נובע ש-formula_53 אפסים. ולכן כל הסקלרים המקדמים הם בהכרח 0, ולכן קיבלנו ש-formula_16 בלתי תלוים ליניארית, כנדרש.
סיכום.
הראנו ש-formula_16 סדרת וקטורים בלתי תלויה ליניארית שפורשת את formula_1 ולכן הם מהווים בסיס עבור formula_1. אם כן, נשים לב שמימדו של formula_1 הוא formula_15. נזכור כי בתחילת ההוכחה הגדרנו את מימד התמונה להיות formula_10 ומימד הגרעין להיות formula_9, אזי לפיכך נקבל:
formula_62
שזה מה שצריך להוכיח.
התארכות אפית
התארכות אפית (אנגלית: Epic lengthening) היא תופעה בפונטיקה לפיה ניתן לשקול תנועה קצרה כארוכה עבור המטריקה.
ἠὲ κασίγνητον ὁμογάστριον ἠὲ καὶ υἱόν
Hom. Il. 24.47
התופעה יכולה להתרחש גם בהיאטוס:
χρυσέῳ ἐν δέπαϊ, ὄφρα λείψαντε κιοίτην
Hom. Il. 24.285
יוטה הייתה צריכה להיות קצרה בשל correption אולם במקום יש התארכות יוטא.
לעיתים ביוונית הומרית יש שינוי תנועה במילה לדוגמה:
φαινομένη λήθεσκεν ὑπεὶρ ἅλα τ᾽ ἠϊόνας τε.
השפה היוונית הלירית לעיתים רבות יצרה צירופים תנועות כדי להקל על המשקל. במקרה לעיל ὑπείρ היה צריך להיות ὑπέρ אולם כדי שהמילה תתאים למשקל האפסילון נכתב כדיפתונג.
רות אנדריאס-פרידריך
רות אנדריאס-פרידריך (בגרמנית: Ruth Andreas-Friedrich; 1901, ברלין - 1977, מינכן), הייתה סופרת, עיתונאית, מתנגדת הנאצים וחסידת אומות העולם מגרמניה.
קורות חייה.
לפני עליית הנאצים לשלטון בגרמניה.
בצעירותה הייתה אנדריאס חברת הוואנדרפוגל. היא למדה עבודה סוציאלית ולפרנסתה מכרה בחנות ספרים. בשנות העשרים ואילך פרסמה טורי ביקורת ופיליטונים במספר עיתונים גרמניים. בשנת 1924 נישאה לאוטו פרידריך , לימים ראש הקונפדרציה של איגודי הפועלים הגרמניים . לאחר שנה נולדה בתה קארין. בשנת 1930 התגרשה. בשנות השלושים חייתה עם המנצח לאו בורכארד.
בתקופת השלטון הנאצי בגרמניה.
עם עליית הנאצים לשלטון ייסדו אנדריאס-פרידריך ובורכארד קבוצת מתנגדים לשלטון הנאצי בשם "הדוד אמיל" (Onkel Emil), קבוצה הומניטרית לא פוליטית. חברי הקבוצה סיפקו לאנשים שנמנו על נרדפי הנאצים מזון ומסמכי זהות מזויפים, בחלקם זוהו הנרדפים כבני הגזע הארי על מנת למנוע את רדיפתם. רות אנדריאס-פרידריך ציטטה בספרה אחד מהאנשים שקיבלו תעודות כאלה. האיש חי בברלין בזהות בדויה, היה נגן בתזמורת וסיפר לה על אירוע שקרה לו ביולי 1944:
בספרה על פעילות ההצלה כתבה אנדריאס-פרידריך: "אנו שקועים בעבודה קדחתנית. מחליפים תלושי מזון, מתכננים זיופי תעודות, בוחנים אפשרויות מגורים, מחפשים מקומות לנזקקים."
חברי הקבוצה הפיצו עלונים וקיימו צעדות בהן הצהירו על האג'נדה שלהם והביעו התנגדות לנאציזם. גם בתה בת העשרה של רות אנדריאס-פרידריך, קארין, הייתה פעילה בקבוצה.
לאחר המלחמה.
בשנת 1948 עברה אנדריאס-פרידריך למינכן. שם נישאה למנהל אוניברסיטת מינכן, ולטר זייץ (Walter Seitz), שהשתייך גם הוא למחתרת "הדוד אמיל". היא כתבה מספר ספרים על קורותיה בשנות המלחמה ובשנים שלאחר המלחמה וכן ספרי ביקורת. יומנה מתקופת מלחמת העולם השנייה ראה אור במספר שפות.
בשנת 1977 התאבדה.
הכרה.
בשנת 2002 הכיר יד ושם באנדריאס-פרידריך כחסידת אומות העולם.
בשנת 2004 הכיר יד ושם בבתה, של רות אנדריאס-פרידריך, קארין, כחסידת אומות העולם.
מספר לוחיות זיכרון מוצבות להנצחתה במספר אזורים בברלין: באחד מרובעי המגורים, רובע סטגליץ (Steglitz), ברחוב היננשטייג Hünensteig) 6); וכן ליד הגן הבוטני של ברלין, ליד האוניברסיטה החופשית של ברלין.
ליסה האניגן
ליסה מרגרט האניגן (באנגלית: Lisa Margaret Hannigan; נולדה ב-12 בפברואר 1981) היא זמרת-יוצרת מוזיקת אינדי פולק. החלה את דרכה המוזיקלית בלהקת הרוק ג'וניפר ("Juniper") של הזמר דמיאן רייס.
ילדות ונעורים.
האניגן נולדה בדבלין, גדלה בקילקלון (Kilcloon), מחוז מית', אירלנד. למדה בתיכון בבית ספר נוצרי פרוטסטנטי ולאחר מכן למדה אמנות בטריניטי קולג'.
קריירה.
בזמן לימודיה בקולג', בשנת 2001, הלכה האניגן להופעה בדבלין ופגשה את דמיאן רייס, אשר הפציר בה לשיר באלבומו "O" אשר יצא לאור ב-2002, ובאלבומיו הבאים לאחר מכן. ליסה חברה לרייס ולהקתו לסיבובי הופעות כזמרת, ולעיתים אף ניגנה בגיטרה חשמלית, בס ותופים.
ב-2007 חזרה לדבלין והחלה בקריירת סולו, הקימה להקה בשם רביעיית דייזי אוקל ("The Daisy Okell Quartet"), והשתתפה בהקלטות של מיק כריסטופר, The Frames ושל הרבי הנקוק.
אלבומים ועבודות נוספות.
ב-2013 השתתפה בפסקול הסרט כוח משיכה ("Gravity").
ב-2014 דיבבה את אחת הדמויות בסרט שיר הים, והשתתפה בפסקול הסרט.
דרופליסט
ליסה האנינגן
קרייג גורדון
קרייג גורדון (באנגלית: Craig Gordon; נולד ב-31 דצמבר 1982) הוא כדורגלן סקוטי, המשחק בעמדת השוער בקבוצת הארט אוף מידלות'יאן ובנבחרת סקוטלנד.
קריירה.
גורדון התחיל את הקריירה שלו בשנת 1999, כששיחק במחלקת הנוער של הארט אוף מידלות'יאן.
בחודש ספטמבר 2001, הושאל לקבוצת קאודנבית' (Cowdenbeath) מהליגה השלישית על מנת לצבור ניסיון וזמן משחק.
בסוף שנת 2002, חזר לשחק בהארט אוף מידלות'יאן ובשנת 2003, ערך את הופעת הבכורה האירופית שלו במשחק נגד בורדו.
בעונת 2005/2006, זכה עם קבוצת הארט אוף מידלות'יאן בגביע הסקוטי לאחר שעצר פנדל במשחק נגד גרטנה (Gretna) וסייע לקבוצתו לנצח במשחק.
בעונת 2007/2008, חתם בקבוצת סנדרלנד לאחר שרכשה את כרטיס השחקן שלו תמורת כ-9 מיליון פאונד.
בעונת 2014/2015, חתם בקבוצת סלטיק שבחרה להחתים אותו למרות שלא שיחק שנתיים באף מסגרת רשמית.
בעונת 2020/2021, חתם בקבוצת הארט אוף מידלות'יאן.
נבחרת סקוטלנד.
בשנת 2004, ערך את הופעת הבכורה שלו בנבחרת סקוטלנד, במשחק מול טרינידד וטובגו.
ג'וזפה פורינו
ג'וזפה פורינו (באיטלקית: Giuseppe Furino; נולד ב-5 ביולי 1946 בפלרמו) הוא כדורגלן עבר איטלקי ששיחק בעמדת הקשר האחורי.
פורינו שיחק לאורך רוב הקריירה בקבוצת יובנטוס, והיה קפטן הקבוצה במשך כעשור. הוא מחזיק בשיא הזכיות באליפות איטליה ביחד עם וירג'יניו רוזטה וג'ובאני פרארי עם שמונה זכיות, והוא היחיד שזכה בכולן במדי אותה הקבוצה. בנוסף, הוא זכה עם קבוצתו גם בשני תארים אירופים - גביע אופ"א וגביע אירופה למחזיקות גביע. לפורינו שלוש הופעות במדי נבחרת איטליה, הראשונה שבהן במהלך טורניר מונדיאל 1970.
קריירת משחק.