ניתן לחשב את היכולת של השוק להסתגל לשינויים במחירים באמצעות יחידות מידה לכל יחידת מטבע (לדוגמה, ליטר לכול שקל ישראלי, או מכוניות לכול ין יפני), אך שיטת חישוב זו אינה מאפשרת שימוש נוח בתוצאות במקרים מסוימים. כך, לדוגמה, אם נרצה להשוות את השפעת עליית המחירים של בנזין בישראל ובארצות הברית, קיימת המרה מסובכת מגלון לכל דולר אמריקאי וליטר לכל שקל ישראלי. מסיבה זו מעדיפים כלכלנים רבים להשתמש בשינוי היחסי באחוזים, או במילים אחרות - בגמישות. מבחינה גרפית, גמישות של ביקוש והיצע תתבטא בשיפוע עקומותיהם: ככל שהעקומה, העולה או היורדת, אופקית יותר - היא משקפת גמישות גבוהה, היינו שינוי קטן יחסית במחיר (הנמדד על הציר האנכי) ישפיע במידה רבה יותר בכמות (הנמדדת על הציר האופקי); ככל שהעקומה אנכית יותר - היא משקפת ביקוש או היצע קשיחים יותר (גמישות נמוכה), היינו שינוי גדול יחסית במחיר (בציר האנכי) יביא לשינוי קטן יחסית בכמות (הציר האופקי). הגמישות עשויה להשתנות בנקודות שונות לאורך העקומה, שכן שיפועה אינו בהכרח קבוע, ועל כן מקובל לדבר על "גמישות נקודתית".
לדוגמה, אם מחירו של עט עלה מ-₪1.00 ל-₪1.05, וכמות העטים המיוצרים והנמכרים עלה מ-100 עטים ל-102 עטים, השיפוע הוא formula_25, כלומר 40 עטים לכל שקל. הגמישות תלויה בשינוי באחוזים, ולכן: כמות העטים עלתה ב-2% ואילו המחיר עלה ב-5%, כלומר גמישות המחירים של ההיצע היא formula_26 או 0.4.
הואיל והגמישות נמדדת באחוזים, שינוי יחידת המידה או יחידת המטבע לא ישפיע על הגמישות. אם הכמות המבוקשת או המיוצרת משתנה במידה רבה כאשר המחיר משתנה במידה מועטה, אזי מדובר בעקומה גמישה. אם הכמות המבוקשת או המיוצרת משתנה במידה מועטה כאשר המחיר משתנה במידה רבה, אזי מדובר בעקומה קשיחה. עקומת היצע קשיחה לחלוטין היא למעשה עקומה אנכית.
ניתן להתייחס לגמישות ביחס למשתנים נוספים מלבד מחיר המוצר. משתנה נפוץ אחד הוא ההכנסה. כיצד ישתנה הביקוש למוצר נתון אם ההכנסה גדלה או קטנה? גמישות זו ידועה בשם גמישות ההכנסה. לדוגמה, בכמה ישתנה הביקוש למכוניות יוקרה אם ההכנסה הממוצעת עלתה ב-10%? אם הגמישות חיובית, העלייה בביקוש תיוצג מבחינה גרפית כתזוזה ימינה של עקומת הביקוש, שכן הכמות המבוקשת של מכוניות יוקרה תעלה בכול רמת מחיר.
הגמישות הצולבת של הביקוש גם היא מובאת בחשבון לעיתים בעת התבוננות במוצרים תחליפיים ומוצרים משלימים. גמישות זו מודדת את שיעור השינוי בביקוש למוצר נתון ביחס לשיעור השינוי במחירו של מוצר אחר. לדוגמה ניקח שני מוצרים משלימים, בנזין ומכוניות. אם בתגובה לעלייה של 10% במחיר הבנזין, יורד הביקוש למכוניות ב-20%, הגמישות הצולבת של הביקוש תהיה formula_27.
אז'ן אונסקו
תקופת הראשונים
הראשונים
אאכן
אַאכֶן (גרמנית: Aachen, ; בניב המקומי של אאכן:אוכה = Oche ;צרפתית: Aix-la-Chapelle; הולנדית: Aken) היא עיר בגרמניה, במדינת נורדריין-וסטפאליה, השוכנת על הגבול עם הולנד ועם בלגיה. העיר היא בירת מחוז אאכן.
אאכן היא העיר הגרמנית המערבית ביותר. בעיר מתגוררים כ-260,000 תושבים, מתוכם כ-40,000 סטודנטים. בעיר נמצאת האוניברסיטה הטכנית של חבל הריין-וסטפאליה (RWTH), שנוסדה ב-1870, והיא אחד ממוסדות הטכנולוגיה הטובים בגרמניה. עם הזמן קמו סביב האוניברסיטה בית חולים ותעשיות תוכנה ומחשבים.
אאכן התפתחה מתוך יישוב ואתר מרחצאות רומי שברבות הימים הפך למקום המושב המועדף של קרל הגדול. בשנים 1531–936 בעיר זו הוכתרו 31 קיסרים של האימפריה הרומית הקדושה כמלכי גרמניה או של מלכי הגרמנים.
העיר היא מרכז לאזור של תעשיית הפחם. מדרום לה מתחיל הפארק הלאומי אייפל.
השם.
העיר אאכן חייבת את שמה למעיינות המינרליים החמים שלה, שמשכו לכאן מתיישבים עוד בתקופה הנאוליטית. מקור שם העיר Aachen הוא במילה הלטינית Aquae שמשמעותה "מים". הרומאים קראו למקום Aquae granni - "מי גראנוס", על שמו של גראנוס, אל קלטי של הבריאות שפולחנו התנהל במעיינות החמים או נקשר להפולחן של אפולו "גראנוס" המושפע מהמסורת הקלטית. גם היום באיטלקית שם העיר הוא Aquisgrana ובספרדית Aquisgrán ובפולנית Akwizgran. המילה הלטינית Aquae המקורית הפכה בצרפתית ל"Aix", מילה המופיעה בכמה שמות של ערים בצרפת. בימי המלך הפרנקי פפין הגוץ נקרא היישוב Axis villa. אחרי שקרל הגדול הקים כאן כנסייה נקראה בצרפתית "אקס-לה-שאפל" -"Aix-la-Chapelle" Z (שבה Chapelle משמעותה קפלה, כנסייה).
גם בניבים דרום גרמניים ובשפה הגרמנית העילית העתיקה קיימות מילים דומות ל-aquae הלטיני ושמשמעותן "מים", "זרם" או "נהר".
היסטוריה.
באאכן מחצבה מהעידן הנאוליתי, המעידה על התיישבות ותיקה מאוד של אנשים במקום. המעיינות החמים בעיר ידועים עוד מימי הרומאים, ויש בה מרחצאות רומיים שעדיין פעילים. נראה שהיישוב במקום היה רציף תקופה ארוכה מאוד – ישנו תיעוד שלפיו בשנת 768 ביקר במקום קרל הגדול, והוא מצא חן בעיניו עד שלאחר 20 שנה החל לבנות בו ארמון. הקתדרלה של אאכן שנבנתה ב-796 הייתה במקור הכנסייה של ארמון זה. קרל הגדול התגורר בארמון בתקופת החורף משנת 800 ועד מותו ב-814. הוא נקבר בכנסייה וקברו נמצא גם היום בתוך הקתדרלה, כמו גם קברו של אוטו השלישי.
בשנת 936 הוכתר באאכן אוטו הראשון לקיסר האימפריה הרומית הקדושה. כל הקיסרים שבאו ב-600 השנים הבאות הוכתרו אף הם באאכן. הקיסר האחרון שהוכתר היה פרדיננד הראשון ב-1531.
בימי הביניים הייתה אאכן אחת הערים הגדולות ביותר באימפריה. אחרי מלחמת שלושים השנים פחתה חשיבותה של העיר והיא הייתה בעיקר למרכז מקומי, אם כי נחתמו בה מספר בריתות חשובות.
בשנת 1748 נחתם באאכן הסכם אקס-לה-שאפל בתום מלחמת הירושה האוסטרית.
ב-1804 ביקר בעיר נפוליאון בונפרטה כהקדמה להכתרתו כ"קיסר הצרפתים" בקתדרלת נוטרדאם בפריז.
ב-1880 הייתה אוכלוסיית העיר 80,000 איש. כמה מסילות רכבת ראשיות עברו בעיר, והיא הפכה למרכז, שבו ייצרו ברזל לפסי רכבת, מחטים, כפתורים, טבק ובגדי צמר ומשי.
במלחמת העולם השנייה הופגזה העיר וניזוקה קשות. העיר נכבשה בידי בעלות הברית ב-21 באוקטובר 1944. היא הייתה העיר הראשונה בגרמניה המערבית, שאליה נכנסו כוחות חיל רגלים של בעלות הברית.
הקתדרלה היא האטרקציה ההיסטורית העיקרית של העיר בימינו. לאחר בנייתה הייתה במשך 400 שנה הקתדרלה הגבוהה ביותר מצפון להרי האלפים. כיום היא מוגדרת על ידי אונסק"ו כאתר מורשת עולמית.
יהודי אאכן.
בתעודות היסטוריות שונות מוזכר יהודי בשם יצחק שבשנת 802 ליווה את שגריר הקיסר קארל הגדול אל הארון א-רשיד. באותה תקופה הייתה התיישבות יהודית דלה בפאתי העיר.
בתחילת מאה ה-9 הזמין המלך קארל סוחרים יהודים להתיישב באזור שלטונו, והמקום הראשון היה עיר המלוכה אאכן.
במאורעות תתנ"ו, בעת מסע הצלב הראשון, ניצלה עיר זו מהפרעות, והבישוף של אאכן, שתיאוריו מקובלים בדרך כלל על היסטוריונים, תיאר את הרציחות כפעולה של אספסוף אשר פעל ממניעי שנאה שאינם בהכרח קשורים לאדיקות הדתית.
לפי תעודות עתיקות מהעיר, בשנת 1349 "נמסרו" יהודי אאכן לידי הרוזן ייליך (Jülich) שגבה מהם מיסים ואישר את שהותם בעיר. ב-1629 גורשו היהודים מאאכן. הדבר גרם להפסד ניכר בגביית מיסים, ועשר שנים אחר כך הוחזרו בניגוד לדעת ועד העיר. ב-1777 נכללו ענייני הקהילה היהודית בתקנות העיר. רק ב-1823 הורשו לקבור את מתיהם בבית קברות סמוך לעיר. ב-1847 קיבלו מעמד אזרחי במסגרת הממלכה הפרוסית.
ב-1845 נבנה בית ספר יסודי יהודי בעיר, וב-1862 נוסד בית הכנסת הגדול בעיר. בשנת 1911 הוקם בעיר התא הציוני הראשון בכל גרמניה.
בליל הבדולח שרפו הנאצים את בית הכנסת הגדול באאכן ובתי כנסת נוספים. פרעות אלו מתועדות בימינו באתר הספרייה היהודית המקוונת, וכן באתר "בית אשכנז".
לא נמצאו נתונים מסודרים על מספר היהודים, בתי הספר, המקוואות ומוסדות הדת יהודיים בעיר, ולא על גורלם, בשנות השואה. קהילת יהודי אאכן הייתה בזמנו קהילה גדולה ומשגשגת. שיעור התבוללות היהודים היה גדול. כך גם נמצא בתיעוד משפחות, בעיון בשמות משפחה בספר טלפונים לפני המלחמה, וכן עולה מעדויות של צאצאי יהודי אאכן ששרדו. בתיעוד אישי של ניצולת שואה אדל גלזר, ביום ו' בניסן ה'תש"ד (24 במרץ 1942) נשלחו 2,200 יהודים מהגטו באיזביצא למחנה ההשמדה בלז'ץ, על מנת לפנות מקום להגעתם של שני משלוחים בני כ-1,000 יהודים למחרת. המשלוח הראשון היה בעיקרו מהעיר אאכן.
לאו בלך, המנצח ממוצא יהודי של תזמורת ברלין עד לשלטון הנאצי, היה יליד העיר אאכן. המנצח הרברט פון קאראיין, שבתחילת מלחמת העולם השנייה היה המנצח האהוד על היטלר, החל את דרכו בתזמורת הפילהרמונית של אאכן, בהחלפת אישים שסולקו מתפקידם עקב היותם יהודים או "אוהדי יהודים".
עם סיום המלחמה התפרסם החייל היהודי-פולני (כיום בארצות הברית) מקס פוקס כחזן הנושא את התפילה הרשמית והחופשית הראשונה תחת שלטון הצבא האמריקני.
בשנת 1954 מנתה קהילת יהודי אאכן 104 יהודים, וזו טיפלה ב-46 בתי עלמין בתחומה. הקהילה פנתה לקבלת פיצויים באופן עצמאי מממשלת גרמניה המערבית כנפגעי המשטר הנאצי.
בשנת 1995 נבנה בית הכנסת מחדש במתכונתו המקורית, בעת כהונתו של ראש העיר יורגן לינדן. כיום הרחוב שבו עמד בית הכנסת נקרא "Synagogeplatzstrasse", כלומר רחוב כיכר בית הכנסת.
ב-1 בספטמבר 1997 ניתן "פרס השלום של העיר אאכן" לאורי אבנרי, הפעיל הליברלי מישראל.
בשנת 2002 יצרה האמנית זויה צ'רקסקי את הגדה של פסח של אאכן, בעת שהותה בעיר במסגרת חילופי אומנים.