יהי V מרחב וקטורי מעל חוג עם חילוק D. כל העתקה ליניארית הפיכה formula_31 משרה קולינאציה של formula_17 (קולינאציה היא העתקה הפיכה של הנקודות, המעבירה ישר לישר). שתי העתקות ליניאריות משרות את אותה קולינאציה אם ורק אם אחת מהן מתקבלת מהשנייה על ידי כפל משמאל באיבר מרכזי של D. את חבורת ההעתקות המתקבלות באופן הזה מסמנים ב-formula_33 (אם D הוא שדה, הסימון מתלכד עם הסימון המקובל לחבורה הליניארית הפרויקטיבית).
אם formula_34, כך ש-formula_35 הוא מרחב פרויקטיבי d-ממדי, אז חבורת הקולינאציות formula_36 פועלת טרנזיטיבית על החדרים של המרחב (חדר הוא דגל מקסימלי, כלומר שרשרת של תת-מרחבים בממדים formula_37). בדומה לזה, החבורה formula_38 פועלת טרנזיטיבית על התבניות של המרחב (תבנית, frame, היא קבוצה של d+2 נקודות שכל d+1 מהן מהוות בסיס למרחב הפרויקטיבי); ואם D שדה (קומוטטיבי), אז הפעולה הזו היא חדה.
כדי לקבל את כל הקולינאציות של formula_17, יש להכליל את חבורת ההעתקות הליניאריות להעתקות ליניאריות למחצה: העתקה אדיטיבית formula_40 היא ליניארית למחצה אם יש אוטומורפיזם formula_41 כך ש-formula_42. את חבורת ההעתקות הליניאריות למחצה מסמנים ב-formula_43, וכמו במקרה של העתקות ליניאריות, formula_44. המשפט היסודי השני של הגאומטריה הפרויקטיבית קובע שחבורת הקולינאציות של formula_17 היא formula_46.
דואליות ופולריות.
אם P הוא מרחב פרויקטיבי מהצורה formula_17, כאשר V מרחב וקטורי שמאלי מעל חוג עם חילוק D, אז המרחב הדואלי של P הוא המרחב הפרויקטיבי formula_48, כאשר formula_49 הוא המרחב הדואלי של V, המהווה מודול שמאלי מעל החוג המנוגד formula_50.
במרחבים פרויקטיביים המתוארים על ידי קואורדינטות הומוגניות, אפשר לתאר את כל הדואליוֹת והפולריוֹת באמצעות תבניות ביליניאריות והכללות שלהן, באופן הבא. תבנית ססקווילינארית של V היא פונקציה בי-אדיטיבית formula_51 המקיימת formula_52 ו-formula_53, כאשר formula_41 הוא אנטי-אוטומורפיזם. כל תבנית כזו מגדירה דואליות על המרחב formula_17, לפי formula_56. כל דואליות של formula_17 מוגדרת באופן כזה.
לפי משפט בירקהוף--פון נוימן, כל פולריות של formula_17 מוגדרת כמתואר לעיל, כאשר התבנית f היא סימטרית, או אנטי-סימטרית, או הרמיטית או אנטי-הרמיטית ביחס ל-formula_59 שהיא אינוולוציה של D.
ג'ון פנטסיל
ג'ון פנטסיל (באנגלית: John Paintsil; נולד ב-15 ביוני 1981) הוא כדורגלן עבר גאנאי ששיחק בעמדת המגן הימני ולזכותו 89 הופעות במדי נבחרת גאנה.
קריירה.
פנטסיל גדל בקבוצת הנוער של המועדון הגאנאי ברקום ארסנל. לאחר שעלה לבוגרים שיחק גם בליברטי, וכשעזב את גאנה שיחק תקופה קצרה בקבוצה הפולנית וידז'ב לודז'.
בעונת 2002/2003 הגיע פנטסיל לישראל ושיחק במכבי תל אביב תחת המאמן ניר קלינגר. על אף שלא השתלב בקבוצה מבחינה חברתית, באותה עונה זכה פנטסיל יחד עם מכבי תל אביב באליפות. יכולתו הטובה גם בעונה שלאחר מכן, זיכתה אותו בזימון לנבחרת גאנה הצעירה ששיחקה באולימפיאדת אתונה, ואף הפתיעה במהלך הטורניר את נבחרת איטליה. בעונת הגיע עם מכבי תל אביב לשלב הבתים בליגת האלופות. במהלך משחק ביתי נגד באיירן מינכן הכשיל פנטסיל את רוי מקאיי ברחבה וגרם לפנדל, שעלה לצהובים בהתמודדות. בהמשך העונה ישב פנטסיל רבות על הספסל, ובמקביל המשיך להפגין סממנים של אי השתלבות חברתית בקבוצה, שהתפוצצו בריב מתוקשר עם בלם הקבוצה, אבי סטרול, שהוביל להשעייתו של פנטסיל משורות מכבי תל אביב.
בחלון ההעברות של אמצע עונת 2004/2005, במהלך נדיר של חילופי שחקנים, לאור היריבות בין המועדונים, עבר פנטסיל להפועל תל אביב תמורת אדוארדו מרקש, שעשה את הדרך ההפוכה. המאמן שייע פייגנבוים, שהגיע זמן קצר קודם לכן לקבוצה שנקלעה לתחתית הטבלה, הביא את פנטסיל למועדון כדי לחזק את חוליית ההגנה של הקבוצה, ואכן הייתה לו תרומה נכבדה במסע ההישארות של המועדון באותה עונה. פנטסיל הפך לאחד השחקנים המובילים בקבוצה, ועונה אחת לאחר מכן, היה שותף לזכייתה בגביע המדינה ב-2006.
בשנת 2005 הבטיח פנטסיל יחד עם נבחרת גאנה את העלייה למונדיאל 2006 שנערך בגרמניה. פנטסיל סייע לנבחרתו להעפיל עד לשלב שמינית הגמר, בו הודחה מול נבחרת ברזיל. אירוע יוצא דופן נרשם במהלך המשחק השני של הנבחרת, בו ניצחה 2–0 את נבחרת צ'כיה בשלב הבתים, כאשר פנטסיל הניף את דגל ישראל לאחר הבקעת כל אחד משני שערי נבחרתו ובסיום המשחק. המהלך, ששודר בשידור ישיר בערוצי הטלוויזיה ברחבי העולם, גרם לתגובות נזעמות מצד מדינות ערב, והתאחדות הכדורגל של גאנה פרסמה התנצלות על המקרה. בישראל עורר המהלך אהדה רבה כלפי פנטסיל ונבחרת גאנה.
הצלחת נבחרת גאנה במונדיאל 2006 עוררה עניין רב בפנטסיל מצד קבוצות בחו"ל. ב-1 באוגוסט 2006 עזב את ישראל וחתם בוסטהאם יונייטד מהפרמייר ליג האנגלית. פנטסיל התקשה להתאקלם בקבוצה, ולאחר שנתיים עבר לקבוצה לונדונית נוספת, כשחתם בפולהאם ב-16 ביולי 2008. עם פולהאם הגיע פנטסיל בשנת 2010 לגמר הליגה האירופית, שם הפסידה הקבוצה לאתלטיקו מדריד. באותה שנה נכלל בסגל נבחרת גאנה למונדיאל שנערך בדרום אפריקה. ב-21 ביולי 2011 חתם בשורות לסטר סיטי. כשהמאמן סוון-יוראן אריקסון עזב את הקבוצה, פנטסיל לא הצליח לתפוס מקום בהרכב ובתום העונה שוחרר מהמועדון.
ב-12 באוגוסט 2012 שב לישראל, וחתם לעונה אחת בהפועל תל אביב. פנטסיל לא הצליח לשחזר את יכולתו מתקופתו הקודמת במועדון ושותף רק בתשעה משחקי ליגה בעונת 2012/2013, ובינואר 2013 שוחרר מהמועדון.
לאחר כמעט שנה שלא שיחק, ב-10 באוקטובר 2013 חתם פנטסיל בקבוצת סנטוס מליגת המשנה בדרום אפריקה, ובמדיה שיחק עונה אחת. ב-8 ביולי 2014 חתם בקבוצת מריצבורג יונייטד מהליגה הבכירה, ובמדיה שיחק שנתיים.
ב-23 ביוני 2016 הודיע פנטסיל על פרישה ממשחק פעיל.
מייד לאחר פרישתו מונה פנטסיל לתפקיד עוזר המאמן בקבוצת קייזר צ'יפס מהליגה הבכירה בדרום אפריקה. בינואר 2018 מונה ליועץ בכיר באקדמיית הכדורגל "וויז'ן אקספלוררס", ולמאמן הקבוצה של האקדמיה אשר משחקת בליגה השנייה בגאנה.
יורו 1960
אליפות אירופה בכדורגל 1960, הידועה גם בשם גביע אירופה לאומות 1960 היא אליפות אירופה בכדורגל הראשונה שארגנה אופ"א. הטורניר נערך בצרפת בין ה-6 ל-10 ביולי 1960.
טורניר הגמר כלל אז ארבע נבחרות בלבד, שעלו מטורניר המוקדמות, ולכן שוחקו רק משחקי חצי הגמר, המשחק על המקום השלישי ומשחק הגמר. באותו הזמן ההכרזה על המדינה המארחת התקיימה רק לאחר היוודע התוצאות של טורניר המוקדמות, ורק אז נבחרה הנבחרת המארחת.
אל טורניר הגמר העפילה נבחרות , לצד שלוש המדינות הקומוניסטיות - , ו. במשחק הגמר, גברה ברית המועצות, בה הצטיין השוער לב יאשין, על יוגוסלביה בתוצאה 1–2 לאחר הארכה. יוגוסלביה עלתה ליתרון ראשון לקראת סיום המחצית, אך ברית המועצות איזנה עם פתיחת המחצית השנייה, ושבע דקות לסיום ההארכה כבש ויקטור פונדלניק את שער הניצחון שהעניק לנבחרתו את תואר אליפות אירופה הראשון בהיסטוריה.
מוקדמות.
טורניר מוקדמות יורו 1960 החל בשנת 1958. שיטת המוקדמות הייתה שיטת בית-חוץ, ללא שימוש בחוק שערי חוץ. במקרה של שוויון בתום שני המפגשים, הוכרעה ההתמודדות במשחק שלישי ומכריע; במהלך מוקדמות יורו 1960 לא היה צורך במשחק שלישי באף אחד מהמפגשים.
17 נבחרות החברות באופ"א נטלו חלק בשלב המוקדמות, אך מן הטורניר נעדרו נבחרות בולטות כגון , , ו. על מנת ליצור שלב שמינית גמר בן 16 קבוצות, נבחרו ו להתמודד ביניהן בסיבוב מוקדם, בו המנצחת תצטרף לשאר 15 הנבחרות. צ'כוסולבקיה התגברה על הפסד 0–2 בחוץ עם ניצחון ביתי של 0–4 כדי להעפיל לשמינית הגמר. אמנם, חלק ממשחקי שמינית הגמר שוחקו עוד בטרם שלב המוקדמות, כך שהמשחק הראשון בהיסטוריה של מוקדמות אליפות אירופה שוחק ב-28 בספטמבר 1958 במוסקבה, והסתיים בניצחונה של על בתוצאה 1–3.
שלב רבע הגמר הגיע לסיומו כחודש לפני פתיחת הטורניר בצרפת. במסגרת שלב זה, הוגרלו להיפגש נבחרות וברית המועצות. ספרד הייתה אז נתונה תחת שלטונו של פרנסיסקו פרנקו, ולכן סירבה הנבחרת לשחק מול ברית המועצות, התומכת הגדולה ביותר של הרפובליקה הספרדית השנייה, בזמן מלחמת האזרחים בספרד. כתוצאה מכך, העפילה ברית המועצות לטורניר הגמר באופן אוטומטי.
צרפת, שרשמה ניצחון כפול על , ו שרשמה ניצחון כפול על , העפילו גם הן לטורניר. אליהן הצטרפה , שהפכה הפסד ל במשחק הראשון לניצחון בגומלין.
אצטדיונים.
טורניר הגמר שוחק בפארק דה פראנס בפריז, שאירח שני משחקים ובהם משחק הגמר, ובסטאד ולודרום במרסיי שאירח את שני המשחקים האחרים.
אדנוזין טריפוספט
פלוריאן אלברט
פלוריאן אלברט (בהונגרית: Albert Flórián; 15 בספטמבר 1941 - 31 באוקטובר 2011) היה כדורגלן הונגרי ומאוחר יותר מאמן ועסקן. אלברט, ששיחק בכל הקריירה שלו (1958–1974) במועדון אחד, פרנצווארוש, זכה בכדור הזהב ב-1967 והוא הכדורגלן ההונגרי היחיד שזכה בתואר. אלברט, ששיחק בעמדת הקשר התוקף, נודע במשחקו האלגנטי, ביכולת הכדרור שלו וביכולתו לנווט את משחק קבוצתו כמו גם בכיבוש שערים רבים.
ביוגרפיה.
אלברט נולד בהרצגסאנטו (Hercegszántó), כפר קטן ליד הגבול עם יוגוסלביה לאב נפח ולאם ממוצא הונגרי-קרואטי, שנפטרה כשהיה בן שנתיים. מאוחר יותר עברה המשפחה לבודפשט, ובגיל 11 הצטרף אלברט למועדון פרנצווארוש.