ייתכן שתחילה הדרישה שכל פונקציה רגולרית תהיה ניתנת להרחבה על המרחב כולו נראית לא טבעית, אך למעשה המצב דומה מאוד למרחבים טופולוגים נורמלים, שם משפט ההרחבה של טיצה מבטיח שפונקציה רציפה על קבוצה סגורה ניתנת להרחבה לפונקציה רציפה על המרחב כולו.
בדומה לכך שאוסף הפונקציות הרגולריות על formula_9 יוצרות חוג חילופי, כך גם אוסף הפונקציות הרגולריות על קבוצה אלגברית "V" כלשהי. חוג זה מסומן ב-formula_46, ונקרא חוג הקואורדינטות של "V".
מכיוון שפונקציות רגולריות על "V" הן צמצומים של פונקציות רגולריות על המרחב כולו, הרי שקיים קשר בין חוגי הקואורדינטות שלהם. באופן מפורש, שתי פונקציות רגולריות "f" ו-"g" על "V" הן שוות אם הן מזדהות על "V". כלומר, "f=g" אם לכל נקודה formula_47 מתקיים formula_48, או formula_49. לכן, formula_50 אם ורק אם formula_51 ולפיכך ניתן לזהות את חוג הקואורדינטות על "V" עם חוג המנה formula_52.
הקטגוריה של יריעות אפיניות.
בעזרת פונקציות רגולריות מיריעות אפיניות לformula_53 נוכל להגדיר פונקציות רגולריות בין שתי יריעות אפיניות. תחילה נגדיר פונקציות רגולריות מיריעה אפינית למרחב האפיני: נניח כי "V" היא יריעה אפינית בformula_9. נבחר "m" פונקציות רגולריות על "V" ונסמנן ב-formula_55. נאמר שפונקציה "f" מ-"V" ל-formula_56 היא פונקציה רגולרית אם לכל formula_57 מתקיים
formula_58.
אם "W" היא יריעה אפינית בformula_56, נאמר ש "f" היא פונקציה רגולרית מ-"V" ל-"W" אם התמונה של "f" מוכלת ב-"W".
הקטגוריה של יריעות אפיניות מוגדרת להיות הקטגוריה שהאובייקטים שלה הם יריעות אפיניות והמורפיזמים הם פונקציות רגולריות. המשפט הבא מאפיין את הקטגוריה של יריעות אפיניות:
הקטגוריה של יריעות אפיניות היא הקטגוריה ההפוכה (כלומר אותם אובייקטים ומורפיזמים הפוכים) לקטגוריה של "k-"אלגבראות נוצרות סופית שהן תחומי שלמות.
המרחב הפרויקטיבי.
נתבונן ביריעה formula_60. אם נצייר אותה נקבל פרבולה. כאשר המשתנה "x" גדל, שיפועו של הישר העובר דרך הראשית ודרך הנקודה formula_61 הולך וגדל. לעומת זאת, כאשר "x" קטן, שיפועו של הישר הזה הולך וקטן.
אם נשווה זאת ליריעה formula_62, נראה שכאשר "x" גדל השיפוע גדל כמקודם, אך כאשר "x" קטן, השיפוע שוב גדל. לפיכך ההתנהגות "באינסוף" של formula_60 שונה מההתנהגות "באינסוף" של formula_62. ישנו קושי להגדיר את המושג "התנהגות באינסוף" במרחב האפיני.
הפתרון לבעיה זו הוא הצגת המרחב הפרויקטיבי. המרחב הפרויקטיבי מתקבל מהמרחב האפיני על ידי הוספה של "נקודות באינסוף". המרחב הפרויקטיבי הוא האנלוג של הגאומטריה האלגברית למרחבים שהם האוסדורף קומפקטים. באמצעות הוספה של נקודות באינסוף למרחב, נוספות נקודות באינסוף גם ליריעות האפיניות, ומתקבלות יריעות פרויקטיביות. הנקודות באינסוף מאפשרות לקבל מידע נוסף על היריעה.
מבחינה אלגברית, על מנת לטפל ביריעות פרויקטיביות מגדירים את המושג של קואורדינטות הומוגניות, המאפשרות להשתמש בטכניקות אלגבריות בגאומטריה פרויקטיבית. הצגתו של המרחב הפרויקטיבי גרמה לכך שטענות רבות בגאומטריה אלגברית הפכו פשוטות יותר. לדוגמה, משפט בזו קובע שמספר נקודות החיתוך של שתי יריעות פרויקטיביות שווה בדיוק למכפלת הממדים של היריעות. למשפט זה אין אנלוג כה מוצלח במרחב האפיני. לפיכך, למרחב הפרויקטיבי חשיבות רבה בגאומטריה האלגברית.
נקודת המבט המודרנית.
הגישה המודרנית לגאומטריה האלגברית מגדירה מחדש את האובייקטים הבסיסיים בתחום. יריעות (אפיניות או פרויקטיביות) מהוות מקרה פרטי של מושג הסכמה שהומצא על ידי אלכסנדר גרותנדיק. תורת הסכמות מתחילה בהבחנה שאם "k"-אלגבראות נוצרות סופית שהן תחומי שלמות מהוות אובייקטים גאומטריים, אז אולי ניתן לראות בחוגים קומוטטיביים כלשהם מבנים גאומטריים. בכך מהוות סכמות מבנים גאומטרו-אלגבריים כלליים יותר, ודרך נוחה לעבודה עם חוגים קומוטטיביים. שפת הסכמות הוכחה כשפה יעילה מאוד לעבודה עם אובייקטים גאומטריים והפכה לאבן פינה בגאומטריה האלגברית המודרנית.
היסטוריה והערות נוספות.
המתמטיקאי הפרסי עומר ח'יאם (נולד ב־1048) המציא שיטות כללית לפתרון משוואות ממעלה שלישית על ידי חיתוך של פרבולה ומעגל. עומר ח'יאם אף שילב את השימוש בטריגונומטריה ותורת הקירובים על מנת למצוא פיתרונות למשוואות אלגבריות באמצעות כלים גאומטריים.
העיסוק המודרני בגאומטריה אלגברית החל באמצע המאה ה-19, עם תוצאות של יוליוס פלוקר ואחרים. פלוקר הוכיח (ב-1839) שלכל עקום ב-formula_65 המוגדר על ידי פולינום הומוגני ממעלה רביעית, כדוגמת עקום פרמה formula_66, יש בדיוק 28 ישרים המשיקים אליו פעמיים. תוצאה דומה מאותו זמן: לכל עקום ב-formula_65 המוגדר על ידי פולינום הומוגני ממעלה שלישית, יש בדיוק תשעה ישרים המשיקים לו השקה משולשת (ישר משיק השקה משולשת למשטח, אם לצמצום של משוואת המשטח אל הישר יש שורש משולש). ארתור קיילי הראה ב-1849 שכל משטח חלק ב-formula_68 המוגדר על ידי פולינום הומוגני ממעלה שלישית (כגון formula_69) מכיל בדיוק 27 ישרים. קבוצת חוקרים איטלקים המשיכה את המחקר של עקומים ומשטחים במחצית הראשונה של המאה ה-20. סגנונם היה אינטואיטיבי ולא עמד בדרישות הריגורוזיות של המתמטיקה המודרנית.
בשנות ה-30 וה-40 של המאה ה-20, הבינו אוסקר זריצקי, אנדרה וייל ואחרים שיסודות הגאומטריה האלגברית צריכות להיבנות על אלגברה קומוטטיבית ותורת ההערכות.
אלגברה קומוטטיבית פותחה על ידי דויד הילברט, מקס נתר, עמנואל לסקר, אמי נתר, וולפגנג קרול ואחרים. במשך זמן רב לא היו יסודות אחידים לגאומטריה האלגברית.
בשנות ה-50 וה-60 ז'אן-פייר סר ואלכסנדר גרותנדיק בנו את היסודות מחדש בעזרת תורת האלומות. לאחר מכן, בשנות ה-60, רעיון הסכמה נולד, ובצמידות לו השימוש בשיטות הומולוגיות. לאחר עשור של התפתחות מאסיבית, התחום התייצב בשנות ה-70, ושימושים חדשים נמצאו, הן בתורת המספרים והן לשאלות קלאסיות על יריעות אלגבריות.
אחת מקבוצות היריעות אשר לא ניתן להבין ישירות מהמשוואות המגדירות אותן היא היריעות האבליות, שהן יריעות פרויקטיביות שהנקודות שלהן הן גם חבורות אבליות. הדוגמאות הידועות ביותר ליריעות אבליות הן עקומים אליפטים, שהם בעלי תאוריה עשירה מאוד, והיוו כלי חשוב בהוכחת המשפט האחרון של פרמה, ובעלי שימושים גם בקריפטוגרפיה (ראו גם - הצפנה מבוססת עקומים אליפטיים).
רובה של הגאומטריה האלגברית עוסקת בטענות מופשטות לגבי יריעות, אך שיטות אפקטיביות לביצוע חישובים קונקרטיים בפולינומים תוך שימוש בטכניקות של גאומטריה אלגברית פותחו אף הן. הטכניקה החשובה ביותר היא בסיסי גרובנר הממומשים בכל המערכות האלגבריות הממוחשבות.
לקריאה נוספת.
ספרים קלאסיים, לפני המצאת מושג הסכמה:
ספרים מודרניים שאינם משתמשים במושג הסכמה:
ספרים אשר משתמשים בשפת הסכמות:
באינטרנט:
17 במרס
18 במרס
19 במרס
20 במרס
21 במרס
22 במרס
23 במרס
24 במרס
25 במרס
26 במרס
27 במרס
28 במרס
29 במרס
30 במרס
31 במרס
לואי הראשון דה בורבון, נסיך דה קונדה
לואי הראשון דה בורבון, נסיך דה קונדה (בצרפתית: Louis Ier de Bourbon-Condé; 7 במאי 1530 - 13 במרץ 1569), היה גנרל, מנהיג ההוגנוטים.
ביוגרפיה.
לואי היה בנו של שארל דה בורבון, דוכס ונדום. הוא היה צאצא של לואי התשיעי מלך צרפת, ראה את עצמו כמועמד לכתר צרפת, והתנגד לבית גיז שהיו לו תביעות דומות לכתר. יריבות זו בין בית גיז הקתולי לבין בית בורבון שתמך בהוגנוטים, הייתה אחת הסיבות למלחמות הדת בצרפת.
כגנרל בצבא הצרפתי, בשירותו של אנרי השני, מלך צרפת, לואי הראשון דה קונדה לחם נגד הספרדים במצור שהטיל צבאו של קרל החמישי, קיסר האימפריה הרומית הקדושה על העיר מץ שבחבל לורן (1552 ), ובמצור שהטיל צבאו של פליפה השני, מלך ספרד על העיר סן-קנטן שבחבל פיקרדי (1557).
אחרי מות אנרי השני ביולי 1559, נודעה לבית גיז השפעה רבה על בית המלוכה. קטרינה דה מדיצ'י, שהייתה עוצרת בשם בנה פרנסואה השני, המשיכה ברדיפת ההוגנוטים ורבים מהם נידונו למיתה. ב-1560 ההוגנוטים בהשפעת בית בורבון, קשרו קשר לחטוף את המלך פרנסואה השני, ולשים קץ להשפעת בית גיז בחצר המלכות. לואי הראשון דה קונדה הואשם בכך שידו הייתה בקשר, והוא נקרא להופיע בפני בית הדין המלכותי, אולם שוחרר מחוסר הוכחות. מאוחר יותר באותה שנה דה קונדה, שהואשם בכך שניסה להקים צבא ולהכריז על מדינה עצמאית, נשפט ונידון למיתה. אך ב-5 בדצמבר, חמישה ימים לפני ביצוע גזר הדין, נפטר המלך פרנסואה השני כשהוא בן 16 שנה בלבד, ואמו, העוצרת, קטרינה דה מדיצ'י, ביטלה את הרשעתו של דה קונדה.
אחרי טבח ואסי (1 במרץ 1562) שבו נרצחו אנשי כפר הוגנוטים בידי אנשי צבאו של פרנסואה הדוכס מגיז, דה קונדה הכריז על רצונו לשחרר את בית המלוכה מהשפעת בית גיז. בקרב דרה (19 בדצמבר 1562) דה קונדה נפל בידי הקתולים בפיקודו של פרנסואה הדוכס מגיז, אך גם אן דה מונמורנסי, שהיה ממנהיגי הקתולים, נפל בידי ההוגנוטים. נערכו שיחות שבהן דה קונדה וגאספאר דה קוליני השני ייצגו את ההוגנוטים, ואן דה מונמורנסי ייצג את הקתולים. בשיחות אלה שהובילו להסכם אמבואז (19 במרץ 1563) זכו ההוגנוטים למידה מסוימת של סובלנות דתית, ומלחמת הדת הראשונה הסתיימה.
ב-1564, בהשפעת הישועים, בוטלו הזכויות שניתנו להוגנוטים. דה קונדה הצטרף לכוחותיו של דה קוליני בעיר לה רושל (19 בספטמבר 1567) והם התקדמו לעבר פריז. התקדמותם נבלמה בקרב סנט דני (10 בנובמבר 1567) על ידי אן דה מונמורנסי שנהרג בקרב זה.