מורדל רשם זהויות מהצורה הזו עבור כל "n" שהוא 2 מוד 3 (ראה למעלה), 3 מוד 4, 5 מוד 8, 2 או 3 מוד 5, או 3, 5, או 6 מוד 7, ובכך מכסה את כל המספרים שאינם שאריות ריבועיות עבור הבסיסים הללו. אך, עבור בסיסים גדולים יותר, לא כל המספרים שאינם שאריות ריבועיות מכוסים באמצעות זהויות כאלה.
מהזהויות של מורדל ניתן להסיק שפתרונות קיימים עבור כל הערכים של "n" למעט אולי אלה השקולים ל-1, 121, 169, 289, 361, או 529 מודולו 840. המספר הראשוני הקטן ביותר מהצורה הזו הוא 1801. באמצעות איחוד מחלקות שקילות מודולרית גדולות יותר, וובּ (Webb) ואחרים הראו שהשבר של "n" בקטע [‎1,"N"] היכול לשמש כדוגמה נגדית להשערה, שואף לאפס בגבול כש-"N" שואף לאינסוף
אף על פי שהתוצאות של מורדל מגבילות את הצורות השונות של הזהויות הקונגרואנטיות, ישנה עדיין תקווה להשתמש בזהויות מודולריות כדי להוכיח את השערת ארדש-שטראוס. באופן מידי מהגדרתו, שום מספר ראשוני אינו יכול להיות מספר ריבועי, כך שלפי משפט הסה-מינקובסקי (), עבור כל "p" ראשוני קיים מספר ראשוני גדול יותר "q", כך ש-"p" אינו שארית ריבועית מודולו "q". אם-כן, גישה אפשרית להוכחת המשפט תהיה: עבור כל מספר ראשוני "p", מציאה של מספר ראשוני גדול יותר "q" וקונגרואנציה הפותרת את משוואת ‎4/"n" עבור formula_15;; אם ניתן לעשות את הדבר, שום מספר ראשוני "p" לא יוכל להיות דוגמה נגדית להשערה - כלומר, ההשערה תוכח.
אימותים חישוביים.
אנשים רבים נעזרו במחשבים כדי לחפש דוגמה נגדית להשערה באמצעות שימוש בכוח גס. ניתן להאיץ חיפושים ממין זה אם נתבונן רק במספרים ראשוניים שאינם שייכים ליחסים קונגרואנטים ידועים. נכון ליוני 2014, חיפושים מסוג זה אימתו את ההשערה עבור כל "n" טבעי עד ל-formula_16.
הנושא של כמה פתרונות שונים יש למשוואה עבור כל "n" נחקר גם הוא. גם כאן נעזרו במחשבים כדי למצוא את הערכים עבור "n" קטנים. אך שום חוקיות לא נמצאה עד-כה, המספרים מפגינים התנהגות בלתי-רגילה עבור ערכים גדלים של "n". החל מformula_17, מספר הפתרונות השונים הוא:
1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ... ().
אך גם עבור ערכים גדולים של "n" עשויים להיות רק מעט פתרונות, למשל יש רק שבעה פתרונות שונים עבור formula_18.
הכללות.
המתמטיקאי הפולני ואצלב שרפינסקי הציע גרסה מוכללת להשערה: עבור כל "k" קיים "N" כך שעבור כל formula_19 קיים פתרון למשוואה formula_20, כאשר "k", "N", "n", "x", "y", "z", כולם מספרים טבעיים.
בשנת 2000 הוכיח תומאס האגדרון השערה דומה של ר"ה הארדין וניל סלואן. הם שיערו שעבור מספר טבעי ואי-זוגי, "n", המשוואה formula_21 תמיד פתירה, ו-"x", "y" ו-"z" הם טבעיים, אי-זוגיים ושונים בזוגות.
סומאטרה
אמנ&quot;ס
שארל הראשון, קרדינל דה בורבון
שארל הראשון, קרדינל דה בורבון (בצרפתית: Charles Cardinal de Bourbon; 22 בספטמבר 1523 - 9 במאי 1590) היה מועמד הליגה הקתולית לכתר צרפת.
ביוגרפיה.
שארל היה בנם של שארל דה בורבון, דוכס ונדום ושל פרנסואז ד'אלנסון. הוא היה דודו של אנרי השלישי, מלך נווארה (לימים אנרי הרביעי, מלך צרפת, ראשון מלכי בית בורבון). הוא התקדם מהר מאוד בהיררכיה של הכנסייה הקתולית. שימש כבישוף נבר שבחבל בורגון (1540–1545), ובישוף סינט שבחבל פואטו-שראנט (1545 -1550). ב-1548 התמנה לקרדינל. היה בישוף נאנט שבחבל פיי דה לה לואר (1550 -1554). ב-1551 התמנה לממלא מקום של מושל פריז וחבל איל-דה-פראנס. הוא החזיק גם בתואר ארכיבישוף רואן שבחבל נורמנדי (1550 עד מותו), ובתואר שליח האפיפיור לאביניון (1565 עד מותו).
ב-18 באוגוסט 1572 ערך בפריז את טקס נישואי אחיינו, אנרי, מלך נווארה ההוגנוטי למרגריט דה ולואה, בתם של אנרי השני מלך צרפת ושל קטרינה דה מדיצ'י. מאורע זה היה אחת הסיבות לטבח ליל ברתולומאוס הקדוש, שהחל שישה ימים אחרי נישואים אלה.
עם מות יורש העצר פרנסואה, דוכס אנז'ו (19 ביוני 1584) הפך שארל הראשון, קרדינל דה בורבון למועמד הליגה הקתולית לכתר צרפת. פיליפ השני מלך ספרד אישר את הסכם ז'ואנוויל (31 בדצמבר של אותה שנה) שלפיו הוכר הקרדינל דה בורבון כיורש העצר הצרפתי, אם כי אחיינו, אנרי מלך נווארה ההוגנוטי היה יורש העצר החוקי.
ב-23 בדצמבר 1588 הקרדינל דה בורבון, שהגיע לארמון בלואה יחד עם מנהיגי הליגה הקתולית כדי להשתתף באספת המעמדות הצרפתית, הושם במעצר בידי אנשיו של אנרי השלישי, מלך צרפת. אחרי מות אנרי השלישי (2 באוגוסט 1589) התבקש שארל מלורן, דוכס מאיין, שהיה ראש הליגה הקתולית במלחמות הדת בצרפת נגד ההוגנוטים, לקחת על עצמו את המלוכה. אך הוא העדיף לתמוך במועמדותו של הקרדינל דה בורבון, שהיה אסיר של אנרי מלך נווארה, והוחזק בכלא בארמון שינון.
ב-1590 הקרדינל דה בורבון נפטר בכלאו, והקתולים הקיצוניים דרשו למנות למלך צרפת מועמד קתולי אחר. אולם המתונים בקרב הקתולים שחששו מהשתלטות בית הבסבורג על צרפת, ביקשו לקיים שיחות שלום עם אנרי מלך נווארה, יורש העצר ההוגנוטי. אחרי שקיבל על עצמו את הדת הקתולית ב-25 ביולי 1593, נמשח אנרי מלך נווארה לאנרי הרביעי מלך צרפת בקתדרלת שארטר ב-27 בפברואר 1594.
גולדן ליג
Golden League
דומינו (פירושונים)
אותיפרון (דיאלוג אפלטוני)
קריטון (דיאלוג אפלטוני)
הוקי רולר
הוקי רולר הוא ענף משחק ספורט קבוצתי הדומה להוקי קרח, ממנו התפתח. במשחק משתתפות שתי קבוצות, שמנסות להבקיע דיסקית או כדור פלסטיק לשער הקבוצה היריבה, באמצעות מחבט ייעודי בעל להב מעוקל ותוך כדי החלקה על רולרבליידס. הקבוצה שהבקיעה יותר שערים מיריבתה היא המנצחת במשחק.
שני גופים מתחרים מנהלים את ענף ההוקי רולר בעולם. האחד הוא פדרציית ההוקי קרח הבינלאומית (IIHF, ראשי תיבות של International Ice Hockey Federation) בו חברות 74 מדינת נכון ל-2015. גם הפדרציה הבינלאומית לספורט הגלגיליות (FIRS) מנהלת טורנירים משלה בענף.
הגוף המנהל את הענף בישראל הוא התאחדות ההוקי קרח הישראלית, שהיא חברה ב-IIHF מאז 1991.
הוקי רולר הוא ענף ספורט לא אולימפי.
נתונים בסיסיים.
במשחק הוקי רולר משתתפות 2 קבוצות המונות 6 שחקנים כל אחת: 5 שחקני שדה ושוער (במקרים מסוימים, כגון פיגור לקראת סיום המשחק, נוהגים להוציא את השוער ולהכניס שחקן שדה נוסף כדי לנסות ולהשוות). מטרת המשחק היא לחבוט את הדיסקית אל תוך שער היריב באמצעות מקלות הוקי - מחבטים בעלי להב מעוקל בקצוותיהם, והקבוצה אשר חבטה את הדיסקית יותר פעמים לתוך שער הקבוצה היריבה היא המנצחת.
ארבעת שחקני השדה שעל המגרש מתחלקים בדרך כלל לשני מגינים ושני חלוצים. בפועל כל ארבעת השחקנים משתתפים במאמצי ההגנה וההתקפה גם יחד.
משחק הוקי רולר נמשך שתי מחציות בנות 25 דקות כל אחת. אם בתום המחציות לא הושגה הכרעה, מתקיימת הארכה בת 5 דקות, שנערכת בשיטת "שער זהב" - הקבוצה הראשונה להבקיע בהארכה מוכרזת כמנצחת. אם המשחק לא הוכרע לאחר ההארכה, מתקיים דו-קרב מכות עונשין.
הוקי רולר הוא משחק מהיר ומתיש, ומסיבה זו מחליפות הקבוצות את השחקנים על הקרח לעיתים תכופות - כל חצי דקה עד דקה. ההחלפה יכולה להתבצע כאשר המשחק מופסק מסיבה כלשהי, או תוך כדי שהמשחק משוחק (באנגלית: changing on the fly). לצורך כך נרשמים בסגל של כל קבוצה למשחק הוקי בינלאומי 16 שחקנים ועוד שני שוערים.
בשונה מהוקי קרח, השחקנים לא יכולים לפגוע אחד בשני בעזרת המותניים או הכתף, מה שמוריד באופן משמעותי את רמת האגרסיביות. המשחק עצמו דורש מיומנות החלקה, זריזות, אגרסיביות, מיומנות גבוהה בשליטה בדיסקית באמצעות מקל ההוקי, תגובה מהירה ויכולת חבטה חזקה.
מגרש המשחק.
המשחק משוחק על זירת פלסטיק מלבנית בעלת פינות מעוגלות, הסגורה סביבה בלוחות עשויים זכוכית אקרילית שקופה, על מנת למנוע מהדיסקית לצאת החוצה מהמגרש מצד אחד, ולאפשר לקהל צפייה במתרחש מצד שני. מבנה המגרש מאפשר המשך המשחק לאחר שהדיסקית פוגעת בקירות.
אורך המגרש הוא 60 מטר, ורוחבו 30 מטר.
במקביל לצלע הקצרה של המגרש נמתח קו הרוחב, המהווה גם את קו השער. מרחקו מקצה המגרש הוא 4 מטר. הדבר מאפשר לשחקנים להחליק או להעביר את הדיסקית גם מאחורי השערים. על מנת ששער ייחשב, הדיסקית צריכה להיכנס לשער כשהיא עוברת את כל רוחבו (5 ס"מ) של קו השער במלוא היקפה.
את המגרש מחלק לשניים קו אמצע אדום.
בשונה מהוקי קרח, בהוקי רולר אין קווים כחולים.
עימות (FaceOff).
סמוך לכל שער מסומנים שני עיגולים בקוטר 4.50 מטר שנקודה מסומנת במרכזו. עיגול דומה משורטט במרכז המגרש. כמו כן, משורטטות שתי נקודות בין כל עיגול לקו מרכז המגרש. תשעת הסימונים האלה משמשים לעימות (faceoff) בין שני שחקנים יריבים, בעוד חבריהם ממתינים מחוץ לעיגול לדיסקית שתימסר לעברם. כל חידוש משחק בהוקי רולר נעשה באמצעות עימות בין שני יריבים, כאשר השופט מטיל את הדיסקית ביניהם וכל אחד מהם מנסה למסור את הדיסקית לחבריו לקבוצה. מיקום העימות על אחת מתשע הנקודות ייקבע לפי מיקום הפסקת המשחק, הסיבה להפסקתו, ונסיבות חידושו.
כיוון שכל חידוש משחק נעשה בעימות, יש חשיבות גדולה לשחקנים המחוננים ביכולת לנצח בעימות את יריביהם ולזכות בדיסקית עבור קבוצתם. אחוז ההצלחה בעימות הוא אחד מנתוני הסטטיסטיקה החשובים לשחקן הוקי רולר.
השער.
גובה השער הוא 1.22 מטר ורוחבו 1.83 מטר. לפני פי השער משורטטת רחבת שער (באנגלית: Crease), שצורתה חצי עיגול. לשחקני שדה אסור להיכנס לרחבה כל עוד הדיסקית לא נמצאת שם, על מנת להגן על השוער ולאפשר לו לבצע את תפקידו.
דיסקית או כדור.