הניסוח הראשון שניתן עם כל אחת מהגישות בהתאמה הוא: הניסוח של איינשטיין ופלאנק, הניסוח של אוט (Ott) וארזליס (Arzelies), הניסוח של לנדסברג (Landsberg) . הם גם מהווים ניסוחים מייצגים לכל אחת מהגישות.
רקע היסטורי.
זמן קצר לאחר שאיינשטיין פרסם את עבודתו המהפכנית על תורת היחסות הפרטית, הוצגה הבעיה הבאה: תהי מערכת K הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי ותהיינה שתי מערכות ייחוס O ו-’O, כאשר O נמצאת במנוחה ביחס ל-K ו-’O נמצאת בתנועה ביחס ל-O במהירות v, האם ניתן למצוא טרנספורמציית לורנץ כדי לבטא את הגדלים התרמודינמיים במערכת הייחוס 'O בעזרת הגדלים התרמודינמיים במערכת הייחוס O?
ניסיונות ראשונים לפתור את הבעיה היו של פלאנק ואיינשטיין. שניהם הציעו את סט הטרנספורמציות הבא:
formula_1
כאשר T הטמפרטורה, S האנטרופיה ו- p הלחץ של מערכת K במערכת ייחוס O, אשר נמצאת במנוחה ביחס ל-K, ו-'T הטמפרטורה, 'S האנטרופיה ו-'p הלחץ של מערכת K במערכת ייחוס ’O, אשר נעה ביחס ל-O במהירות v.
formula_2
זהו פקטור לורנץ, כאשר v היא המהירות של מערכת הייחוס 'O ביחס למערכת הייחוס O ו- c היא מהירות האור.
ניתן לראות שפקטור לורנץ הוא גדול מ-1. לכן לפי איינשטיין ופלאנק, הטמפרטורה של S במערכת הנעה ’O תהיה קטנה יותר לעומת הטמפרטורה במערכת במנוחה O ואילו האנטרופיה והלחץ אינם משתנים- הם אינווריאנטים לורנץ.
לאחר מכן, פיזיקאים לא הקדישו תשומת לב רבה לבעיה של ניסוח תרמודינמיקה יחסותית, כנראה משום שהם לא מצאו לפתרון הבעיה יישומים מעשיים. סט הטרנספורמציות של איינשטיין ופלאנק היה מקובל על הקהילה המדעית במשך יותר מ-50 שנה. אך בשנת 1963, אוט נקט בגישה שונה מאשר איינשטיין ופלאנק והגיע לניסוח אחר של תיאוריה תרמודינמית יחסותית.
לפי הניסוח של אוט, הגדלים התרמודינמיים עוברים טרנספורמציית לורנץ באופן הבא:
formula_3
כאשר T הטמפרטורה, S האנטרופיה ו- p הלחץ של מערכת K במערכת ייחוס O, אשר נמצאת במנוחה ביחס ל-K, ו-'T הטמפרטורה, 'S האנטרופיה ו-'p הלחץ של מערכת K במערכת ייחוס ’O, אשר נעה ביחס ל-O במהירות v.
הגודל formula_4 הוא פקטור לורנץ והוא גדול מ-1. לכן לפי הניסוח של אוט, הטמפרטורה של K במערכת הייחוס 'O הנעה תהיה גדולה יותר לעומת הטמפרטורה במערכת הייחוס במנוחה O. לעומת זאת, בניסוח של אוט, האנטרופיה והלחץ של המערכת K אינם משתנים, כלומר הם אינווריאנטים לורנץ, כמו בניסוח של פלאנק ואיינשטיין.
לפי אוט, במערכת ייחוס הנעה לעומת המערכת K, המערכת K תראה חמה יותר מאשר במערכת ייחוס אשר במנוחה לעומת K. זאת, בניגוד לאיינשטיין ופלאנק, שטענו שהיא תראה קרה יותר. גישת אוט זכתה לתמיכה מצד עבודות נוספות שיצאו בשנים לאחר פרסום עבודתו, כגון העבודה של ארזליס וסוטקליף. גישת ארזליס אמנם הייתה שונה משל אוט, אך הוא הגיע למסקנה דומה.
עקב שתי העבודות של אוט וארזליס, מחלוקת קשה התעוררה בקהילה המדעית, בין גישת איינשטיין ופלאנק לגישת אוט וארזליס. המחלוקת הביאה פיזיקאים להקדיש תשומת לב לבעיה של תרמודינמיקה יחסותית. עקב כך, מספר עבודות פורסמו בנושא בשנות ה-60 עם ניסוחים שונים לתיאוריה תרמודינמית יחסותית.
ב-1966, פרסם לנדסברג עבודה עם ניסוח משלו לתרמודינמיקה יחסותית ובה הטמפרטורה היא אינווריאנט לורנץ, בנוסף לאנטרופיה וללחץ. כלומר במערכת ייחוס הנעה ביחס למערכת K, המערכת K לא תראה חמה או קרה יותר, לעומת במערכת ייחוס הנמצאת במנוחה ביחס ל-K.
לפי הניסוח של לנדסברג, גדלים התרמודינמיים עוברים טרנספורמציית לורנץ באופן הבא:
formula_5
כאשר T הטמפרטורה, S האנטרופיה ו- p הלחץ של מערכת K במערכת ייחוס O, אשר נמצאת במנוחה ביחס ל-K, ו-'T הטמפרטורה, 'S האנטרופיה ו-'p הלחץ של מערכת K במערכת ייחוס ’O, אשר נעה ביחס ל-O במהירות v.
שלושת הגישות הראשיות הללו: גישת פלאנק ואיינשטיין, גישת אוט וארזליס וגישת לנדסברג, הביאו לשורה של עבודות ברבות השנים, כל אחת תומכת באחת מהן.
בשנת 1969, שלוש שנים לאחר עבודתו של לנדסברג, פרסמו קלוורלי וסלגרלי עבודה עם גישה רביעית. לפיהם, זה הגיוני להגיד טמפרטורה רק במערכת המנוחה O ולכן הם מסיקים שאין טרנספורמציית לורנץ כללית לטמפרטורה ושאר הגדלים התרמודינמיים. גישה זו גם היא נתמכה על ידי מספר עבודות. יש לציין שאיינשטיין בעצמו תמך בכל אחת מהגישות בשלבים המאוחרים של חייו.
עיקר המחלוקת בין הניסוחים השונים נובע מהגדרות שונות של המחברים לגדלים התרמודינמיים והנחות בסיס שונות. בשל מספר האפשרויות הרב והקושי לבדוק את ההשערות בניסוי, הבעיה נשארת פתוחה. הוויכוח הגיע למעין הסכמה כללית עמומה שכל אחת מהתיאוריות עקבית במסגרת העבודה שלה בשנות ה-70 המוקדמות. אמנם יש חוקרים הסוברים שהבעיה נפתרה, אך יש כאלו שעדיין סוברים שהבעיה פתוחה.
האחרונים מנסים להכריע בין הניסוחים השונים לתרמודינמיקה יחסותית או לאחד ביניהן לתיאוריה אחת, שממנה שלושת הניסוחים יכולים לנבוע. במאמר שפורסם ב-2017, בג'ורנל Nature Reports, הוצע סט של טרנספורמציות לורנץ, שנוסחו תחת ההנחה שחוקי התרמודינמיקה צריכים להיות קווריאנטיים, ומהם עולה שגישת אוט וארזליס נכונה. לעומת זאת, במאמר שפורסם ב-2019, בג'ורנל Annals of Physics, כותבי המאמר טוענים שהכריעו בין הניסוח של אוט לניסוח של פלאנק ואיינשטיין, לטובת פלאנק ואיינשטיין. הם מגיעים למסקנה במאמר שהניסוח של אוט אינו מתאים כי החוק הראשון של התרמודינמיקה אינו קווריאנטי בניסוח הזה, בניגוד לניסוח של פלאנק ואיינשטיין. לסיום, במאמר שפורסם ב-2012, בג'ורנל Progess of Theoretical Physics, כותבי המאמר טוענים שניתן לקבל את שלוש התיאוריות מתיאוריה אחת והיא התיאוריה של ואן קמפן ווורנר ישראל.
ניסוח איינשטיין- פלאנק לתרמודינמיקה יחסותית.
ב-1907, איינשטיין פרסם את התיאוריה לתרמודינמיקה יחסותית. הוא הניח שהמערכת K סגורה בקופסה שאטומה לקרינה. הוא טען שמכיוון שהמערכת K במנוחה במערכת הייחוס ’O ונעה במהירות formula_6 ביחס למערכת O, הרכיבים הקרטזיים של כוח formula_7 במערכת עוברים טרנספורמציית לורנץ כך: formula_8 . עקב כך, אם הכוח נובע מלחץ, אז: formula_9 כאשר formula_10 הוא הלחץ במערכת הייחוס 'O ו-formula_11 הוא וקטור המאונך למשטח שעליו מופעל הלחץ ומכוון לכיוון פנים הקופסה שסוגרת את המערכת K בתוכה.
הוא לקח שהווקטור formula_12 עובר טרנספורמציה כמו וקטור הכוח: formula_13. אז הכוח במערכת הייחוס O הוא: formula_14. מכאן, הוא הסיק שהלחץ אינו משתנה במעבר בין מערכות הייחוס, כלומר הוא אינווריאנט לורנץ: formula_15.
איינשטיין הסכים עם פלאנק שאנטרופיה צריכה להיות בלתי תלויה במערכת הייחוס, כלומר אינווריאנט לורנץ. נימוקו של פלאנק היה הניסוי המחשבתי הבא. תהי מערכת K המונעת על ידי תהליך הפיך אדיאבטי ממנוחה ביחס למערכת הייחוס O, כך שבסוף התהליך היא במנוחה ביחס למערכת ייחוס ’O. מכיוון שהתהליך הפיך, האנטרופיה של המערכת איננה משתנה בעקבותיו, ולכן האנטרופיה בתחילת התהליך צריכה להיות שווה לאנטרופיה בסופו. כלומר, האנטרופיה של המערכת K כשהיא במנוחה ביחס למערכת O והאנטרופיה שלה כשהיא במנוחה ביחס למערכת ’O צריכות להיות שוות. לפיכך, האנטרופיה של המערכת K אינה תלויה במערכת הייחוס והיא אינווריאנט לורנץ, כלומר: formula_16.
איינשטיין הציע שבמערכת הייחוס ’O, שינוי חום קטן 'dQ ניתן לכתיבה כדיפרנציאל שלם: formula_17 כאשר 'E זוהי האנרגיה הכוללת של המערכת במערכת ייחוס 'O, לא רק האנרגיה הפנימית U כמו בתרמודינמיקה קלאסית, ’p הוא הלחץ, ’V הוא הנפח התלת ממדי של המערכת, formula_18 מהירות המערכת הייחוס 'O ביחס למערכת O ו-formula_19 הוא וקטור התנע.
נשים לב שבמערכת O: formula_20 כי המהירות של מערכת הייחוס O ביחס לעצמה היא אפס. נקודת המוצא של איינשטיין בניסוח שלו לתרמודינמיקה יחסותית היא שאם במערכת המנוחה O שינוי החום הוא dQ, אז במערכת הנעה 'O, ישנה תוספת אנרגיה formula_21 אבל תוספת האנרגיה אינה "חום טהור". במערכת הנעה, המערכת K נעה, ובתורת היחסות, שינוי אנרגיה משמעותו שינוי במסה, לפיכך קיים שינוי בתנע שנובע מהשינוי באנרגיה formula_21. השינוי הזה בתנע יכול לבצע עבודה ולכן יש להחסיר מהגודל formula_21 את העבודה הנדרשת כדי להאט את הגוף ממהירות v למנוחה, שהוא formula_24.
לפי איינשטיין, האנרגיה הכוללת 'E עוברת טרנספורמציית לורנץ כדלקמן: formula_25.
בנוסף, ווקטור התנע 'G במערכת הייחוס ’O קשור לאנרגיה הכוללת E והנפח התלת ממדי V במערכת O באופן הבא: formula_26.
מתקבלים הדיפרנציאלים הבאים: formula_27 ו- formula_28.
בנוסף, ידוע כבר שהלחץ הוא אינווריאנט לורנץ formula_15 והנפח עובר טרנספורמציית לורנץ: formula_30 (האורך בכיוון המהירות formula_18 מתכווץ בפקטור formula_4 במערכת הנעה ובכיוונים המאונכים לא משתנה).
הצבה נותנת: formula_33.
איינשטיין הניח שהקשר בין מעבר חום לטמפרטורה והאנטרופיה בתהליכים הפיכים dQ=TdS תקף בכל מערכות הייחוס. אך האנטרופיה אינווריאנט לורנץ כך ש- dS’=dS ולכן: formula_34.
לפיכך, formula_35 ובמערכת ייחוס שנעה ביחס למערכת K, המערכת K תראה קרה יותר, מאשר במערכת ייחוס שבמנוחה ביחס למערכת K.
טרנספורמציית הטמפרטורה הזו זכתה לתמיכה חזקה מפלאנק והייתה מקובלת בקהילה המדעית במשך 50 שנה.
ניסוח אוט לתרמודינמיקה יחסותית.