במערכה השנייה הם נוסעים שוב אחורה בזמן כשהם מחפשים את סוד חיי הנצח, כשהם עוצרים במועדים שונים בהיסטוריה, כמו בגרנדה ב-1492, שם הם ממליצים לאיזבלה הראשונה, מלכת קסטיליה להקשיב לאיטלקי מגנואה או כמו ברוונה בשנת 690 (במטרה להשיג אספקה). הם מסיימים את מסעם בחונאן שבסין בשנת 220 שם סינדולפו מצפה כי יוכל להכריח את קלריטה להינשא לו. הקיסר הסיני "היאן טי" מראה לנוסעים כי המצאות רבות כדוגמת מכבש הדפוס וספינות ברזל כבר היו ידועות לסינים בתקופתו. מכיוון שהקיסרית "סון צה" מתה לא מכבר, הוא מציע עסקת חליפין, את קלריטה תמורת סוד חיי הנצח. לאמיתו של דבר נקברה הקיסרית על ידי בעלה כשהיא עדיין בחיים ומתברר כי היא בעצם המומיה הסינית שסינדולפו קנה והביא למכונה. כך, היא משתחררת ורוצה להינשא לסינדולפו. הדמויות בסיפור התפתחו כך שבנחמין נעשה כפייתי בנוגע לחיי נצח, דון סינדולפו מטורף מקנאה לקלריטה, וקלריטה מאוהבת בקפטן לואיס. בנחמין מגלה כי ההוסרים שנעלמו צצו שוב משום שנשמותיהם בנות האלמוות לא נטשו את האנאקרונופטה ושאשתו הראשונה של סינדולפו הייתה בעצם גלגול נשמות של הקיסרית הסינית. בעודם עוזבים מקים קאו פי את שושלת ווי (תקופת שלוש הממלכות).
במערכה השלישית, לאחר עצירת ביניים בפומפיי בזמן התפרצות הווזוב בשנת 79, הם מגיעים למאה ה-30 לפני הספירה לזמנו של נח. שם הם מגלים שסוד חיי הנצח הוא אלוהים. לבסוף, דון סינדולפו בטירופו מאיץ את האנאקרונופטה והיא מתפוצצת בהגיעה ליום הבריאה.
דון סינדולפו מתעורר. לאמיתו של דבר ישן עד כה בזמן הצגת מחזה של ז'ול ורן בתיאטרון בו צפה יחד עם הזוג הנשוי הטרי קלריטה ולואיס.
הרומן מתאים לרוח התקופה, שבה ספריו של ז'ול ורן הצליחו מאוד. הרומן ללא ספק הושפע מהספר "לומן" (Lumen) של הסופר הצרפתי קאמי פלאמאריון (Camille Flammarion). "אל אנאקרונופטה", שנכתב ב-1881, קודם לספרו של אז'ן מוטון (Eugène Mouton) "ל'היסטוריוסקופ" (L'historioscope) ולפיכך לא ייתכן כי הושפע מספר זה.
המהדורה המקורית בהוצאת דניאל קורטסו (Daniel Cortezo) אוירה בידי פרנססק סולר (Francesc Soler). ב-1999 הועלה הספר על מדיה מגנטית בידי אגודת המדע הבדיוני הספרדית (אסוסיאסיון אספניולה דה פנטסיה סיינסיה-פיקסיון אי טרור. - "Asociación Española de Fantasía, Ciencia-Ficción y Terror") ובשנת 2000 יצאה לאור בהוצאת סירקולו דה לקטורס (Círculo de Lectores). מינוטאורו (Minotauro) הוציאה לאור את המהדורה של סירקולו ב-2005 עם האיורים המקוריים ().
בשר צלוי
משפט האפסים של הילברט
במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה ובגאומטריה אלגברית, משפט האפסים של הילברט (בגרמנית: Nullstellensatz – "משפט מקומות האפסים") הוא משפט המקשר בין יריעות אלגבריות לבין אידיאלים בשדות סגורים אלגברית. הוא הוכח לראשונה על ידי דויד הילברט.
נניח כי "K" הוא שדה סגור אלגברית (למשל, שדה המספרים המרוכבים), ונניח כי "I" הוא אידיאל בחוג הפולינומים ב-"n" משתנים מעל "K" – formula_1.
היריעה האפינית "(V(I" מוגדרת להיות אוסף כל הנקודות formula_2 כך שלכל "f" ב-"I" מתקיים formula_3.
משפט האפסים של הילברט קובע כי אם "p" הוא פולינום כלשהו המקיים שלכל formula_4 מתקיים formula_5 (כלומר "p" מתאפס על היריעה "(V(I") אז קיים מספר טבעי "r" כך ש formula_6.
מסקנה מיידית ממשפט זה היא משפט האפסים החלש הקובע כי אם "I" הוא אידיאל ממש (כלומר אינו שווה לחוג כולו), אז הקבוצה formula_7 אינה ריקה, כלומר קיימת נקודה "x" שהיא אפס משותף לכל הפולינומים ב"I". מסקנה זו היא במובן מסוים הכללה של המשפט היסודי של האלגברה: שכן במקרה של פולינום אחד, הדרישה שהוא אינו יוצר (כאידיאל) את החוג כולו בדיוק שקולה לכך שהוא אינו קבוע, ובמקרה כזה, לפי המשפט היסודי של האלגברה יש לפולינום שורש.
בסימונים המקובלים בגאומטריה האלגברית, נהוג לכתוב את משפט האפסים של הילברט כך:
formula_8
לכל אידיאל "J". הסימון formula_9 הוא הרדיקל של "J" המוגדר להיות אוסף האיברים בחוג שחזקה חיובית כלשהי שלהם שייכת ל-"J", ו-"(I(Z" הוא אידיאל כל הפולינומים שמתאפסים על הקבוצה formula_10 .
גרסאות שונות של המשפט.
הניסוח הנפוץ למשפט האפסים של הילברט הוא זה המופיע בהקדמה. יחד עם זאת, יש למשפט גרסאות נוספות אשר שימושיות בהקשרים שונים. ניתן לחלק את הגרסאות השונות לגרסאות "שקולות" ולגרסאות "חלשות". את הסוג הראשון ניתן להסיק יחסית בקלות מהנוסח המקורי של המשפט, וניתן גם להסיק את המשפט המקורי מהניסוח - ולכן מכונות שקולות. את הגרסאות החלשות, לעומת זאת, ניתן להסיק מהנוסח המקורי, אך יחסית קשה יותר להסיק את המשפט מהן. אחת מהדרכים להסיק את הגרסה המקורית של המשפט מתוך הגרסאות החלשות היא הטריק של רבינוביץ', אשר מנוסח בהמשך.
גרסה שקולה.
מערכת שוויונות ואי-שוויון.
גרסה שקולה למשפט האפסים של הילברט היא כלהלן. נניח כי "K" הוא שדה סגור אלגברית ויהיו formula_11 פולינומים כך שמערכת המשוואות formula_12 פתירה מעל "K". יהיה "g" פולינום כך שלמערכת הבאה אין פתרון" ב-K":formula_13 אזי, קיימים פולינומים "formula_14" ומספר טבעי" r," כך ש-"formula_15". זאת אומרת, קיים עד לכך שהמערכת הנתונה אינה פתירה.
ניתן להראות כי גרסה זו שקולה לניסוח המקורי של המשפט בצורה הבאה: נשים לב שהתנאי על הפולינום "g" שקול לכך שלכל formula_16 מתקיים formula_17. בנוסף, קיים מספר טבעי "r" כך ש formula_18 אם ורק אם קיימים פולינומים "formula_14," כך ש-"formula_15". לכן, גרסה זו שקולה למשפט האפסים עבור אידיאלים מהצורה formula_21. ממשפט הבסיס של הילברט, "לכל" אידיאל formula_22 קיימים פולינומים formula_11 כך ש-formula_21 ולכן הגרסאות שקולות.
גרסאות חלשות.
הגרסאות הבאות מכונות "חלשות" כיוון שניתן להסיק אותן בקלות מהנוסח המקורי של המשפט, אך לא להפך. אף על פי כן, גרסאות אלו מספיקות לשימושים רבים.
שורת סתירה.
גרסה חלשה למשפט האפסים של הילברט, המוכרת גם כ"משפט האפסים החלש" היא כלהלן:
"משפט"- יהיה "K" שדה סגור אלגברית, ויהי formula_25 כך ש-formula_26. אזי, formula_27.
כלומר, בשדה סגור אלגברית, לכל מערכת משוואות פולינומית בכל כמות סופית של משתנים יש פתרון כאשר אין שורת סתירה (כאשר formula_28 איננו צירוף של איברי formula_29). כאמור לעיל, זוהי הכללה של המשפט היסודי של האלגברה.
ניתן להסיק גרסה זו מהנוסח המקורי באופן הבא: יהי אידיאל "J" כך שמתקיים formula_26, אזי מתקיים גם כי formula_31. ממשפט האפסים, formula_32, ובפרט קיים "r" טבעי כך ש-formula_33, ולכן formula_27.
אידיאלים מקסימליים.
גרסה חלשה נוספת מאפיינת את האידיאלים המקסימליים בשדות סגורים אלגברית.
"משפט" - נניח כי "K" הוא שדה סגור אלגברית, אזי האידיאלים המקסימלים של החוג formula_1 הם בדיוק האידיאלים: formula_36.
במילים אחרות, ישנה התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת האידיאלים המקסימליים של חוג זה לבין קבוצות הנקודות של המרחב האפיני ה-"n"-ממדי.
ניסוח זה נובע מהניסוח הקודם. אכן, יהיה "J" אידיאל מקסימלי ובפרט formula_37. מהניסוח הקודם קיים formula_38. נגדיר הומומורפיזם formula_39 על ידי הצבה בנקודה "a," זאת אומרת formula_40. מתקיים כי formula_41, ולכן, ממשפט האיזומורפיזם, formula_42. כיוון ש-"K" הוא שדה, אזי formula_43 הוא אידיאל מקסימלי, וממקסימליות "J" נסיק כי formula_44.
הניסוח שורת סתירה נובע מניסוח זה באופן הבא: יהי formula_37 אידיאל ויהי formula_46 אידיאל מקסימלי המכיל אותו. מהניסוח עבור אידיאלים מקסימליים נסיק כי formula_47 ולכן formula_48, ובפרט formula_49.
פתרון למערכות פולינומים בהרחבת שדות.
ניסוח חלש נוסף הוא הניסוח הבא, אשר מאפיין פתרונות למערכות פולינומים:
"משפט" - יהיה "K" שדה ויהיו formula_11 פולינומים. נניח כי קיימת הרחבת שדות "L/K", כך שקיימים איברים formula_51, עבורם formula_52 לכל formula_53. אזי קיימת הרחבת שדות סופית "K'/K" ואיברים formula_54 כך ש-formula_55 לכל formula_53.
במילים אחרות, אם קיים פתרון למערכת בהרחבת שדות כלשהי, אז קיים פתרון בהרחבה סופית. בפרט, אם השדה "K" סגור אלגברית, נקבל כי קיום פתרון בהרחבה כלשהי גורר קיום פתרון בשדה "K".
ניסוח זה נובע משורת סתירה, נראה זאת עבור המקרה בו השדה "K" סגור אלגברית: נניח כי לא קיים שורש משותף למערכת הפולינומים formula_57. משורת סתירה, נקבל כי formula_28 הוא צירוף של הפולינומים formula_57, ולכן לא קיים פתרון באף הרחבת שדות.
ניתן גם להסיק את שורת סתירה ממשפט זה: יהי "J" אידיאל ויהיו formula_11 פולינומים כך ש-formula_61. באופן מידי נקבל שקיים פתרון למערכת הפולינומים באלגברה formula_1. יהיה formula_63 אידיאל מקסימלי, אז קיים גם פתרון במנה formula_64. ממקסימליות "m" נקבל כי "F" שדה, ובנוסף הוא נוצר סופית כאלגברה, כיוון שממשפט הבסיס של הילברט formula_1 מקיים תכונה זו. מהמשפט, כיוון ש-"K" סגור אלגברית, נקבל כי קיים פתרון למערכת הפולינומים בשדה "K".
הלמה של זריצקי.
הלמה הבאה, הידועה כלמה של זריצקי, שקולה לגרסאות החלשות למשפט האפסים.
"למה" - יהיה formula_66 שדה, לא בהכרח סגור אלגברית, ותהי formula_67 הרחבת שדות של "K". נניח כי formula_68 נוצר סופית כאלגברה מעל "K", אזי "F" נוצר סופית כשדה הרחבה של "K".
הטריק של רבינוביץ'.
הטריק של רבינוביץ' הוא הוכחה עבור הגרסה המקורית של משפט האפסים של הילברט מתוך הגרסה החלשה - שורת סתירה.