בהתבסס על הקבלה זאת חיפש המילטון הכללה של המספרים המרוכבים שתאפשר לתאר גאומטריה תלת-ממדית. חיפושיו של המילטון לנוסחא שתאפשר הכפלה של שלשות מספרים עלו בתוהו. ב-16 באוקטובר 1843, בעת טיול עם אשתו לאורך התעלה המלכותית בדבלין, בעת שהשניים עברו בסמוך לגשר ברום (Brougham Bridge) מצא המילטון את הבסיס לנוסחת הכפל של רביעיות מספרים. התלהבותו של המילטון מהתגלית הייתה כה גדולה עד כי, במעשה שכונה מאוחר יותר 'אקט של ואנדליזם מתמטי' הוא חרט על הגשר את הנוסחא הבסיסית לכפל קווטרניונים:
formula_10. המילטון כינה את המספרים שגילה בשם 'קווטרניונים' והקדיש למחקר וההפצה של הרעיון את שארית חייו. ספרו האחרון והארוך ביותר של המילטון 'יסודות הקווטרניונים' התפרסם לאחר מותו, ב-1863.
תלמידיו וממשיכי דרכו של המילטון, פיטר טייט ובנג'מין פירס הרחיבו על האופן שבו ניתן להשתמש בקווטרניונים לתיאור פרקים בגאומטריה ובפיזיקה. כך לדוגמה הם הראו שאת משוואות מקסוול ניתן לכתוב באופן פשוט באמצעות קווטרניונים. בסוף שנות ה-80 התנהל ויכוח מדעי ער בין התומכים בשימוש בקווטרניונים לתיאור גאומטריה תלת-ממדית, לבין התומכים בשימוש באנליזה וקטורית. בין היתר בזכות תמיכתם של פיזיקאים ומתמטיקאים כמו ג'וסיה וילארד גיבס ואוליבר הביסייד הפך השימוש באנליזה וקטורית למקובל על הרוב המכריע של הקהילה המדעית. תמיכה זאת נבעה בין היתר מכך שתיאור של גאומטריה אלגברית על ידי וקטורים נחשבה לפשוטה ואינטואיטיבית יותר, ומשום שהיא ניתנת להכללה לכל מספר שהוא של ממדים.
יישום.
לקראת סוף המאה ה-20 החל מתגבר השימוש בקווטרניונים לתיאור מצב זוויתי וסיבובים כתחליף לשימוש בזוויות אוילר. זאת נעשה במגוון תחומים כגון: ניווט, גרפיקה ממוחשבת, אווירודינמיקה, תורת הבקרה, עיבוד אותות, פיזיקה וביואינפורמטיקה. משחק המחשב טומב ריידר משנת 1996 נחשב למשחק המסחרי הראשון שהמנוע הגרפי שלו מבוסס על קווטרניונים, והיום נעשה בקווטרניונים שימוש במרבית משחקי המחשב המסחריים. כמו כן, במערכות טוס על חוט (fly by wire) המשמשות לבקרת גובה במטוסים בעלי יציבות אווירודינמית שלילית, הפקודות לייצוב האווירודינמי של המטוס נשלחות כקווטרניונים (קווטרניון כל חלקיק שנייה).
תכונות בסיסיות.
מתוך השוויון formula_5 נובעים השוויונות הבאים:
קווטרניונים אלה יוצרים את חבורת הקווטרניונים. כאמצעי עזר חזותי לזכירת כללי הכפל של הקווטרניונים ניתן להציב את formula_18 במעגל באופן כזה שהמעבר מכל קווטרניון יסודי לקווטרניון היסודי הבא מתבצע בכיוון השעון. לאור הבנייה הזאת, כפל קווטרניונים יסודיים מתבצע בצורה הבאה: כפל של כל שניים מהם ייתן את השלישי, עם סימן חיובי כאשר האיבר הימני נמצא צעד אחד בכיוון השעון ביחס לאיבר השמאלי, ועם סימן שלילי כאשר ההפך הוא הנכון.
החיבור של שני קווטרניונים הוא:
formula_19.
הכפל מתקבל לאחר פתיחת הסוגריים ושימוש בזהויות שלעיל. תחת פעולות אלה של חיבור וכפל, הקווטרניונים מהווים חוג. באופן מפתיע, לכל קווטרניון (פרט לקווטרניון האפס) יש איבר הפכי, ומה שמונע מהקווטרניונים להיות שדה הוא דווקא אי-קיום תכונת הקומוטטיביות (חילופיות): עבור קווטרניונים formula_20, בדרך כלל formula_21.
באנלוגיה למספרים מרוכבים, מגדירים צמוד של קווטרניון: formula_22 - וערך מוחלט של קווטרניון:
formula_23. בהתאם לזהות ארבעת הריבועים, formula_24.
ייצוג מטריציוני וקטורי.
דרך אחרת לייצג קווטרניונים היא בייצוג מטריציוני:
formula_25. במקרה זה, החיבור והכפל של שני קווטרניונים נעשים לפי הכללים של חיבור וכפל מטריצות.
דרך נוספת להבין קווטרניונים היא להציג אותם כזוג סדור של סקלר ווקטור תלת-ממדי: formula_26. במקרה זה, פעולות החיבור והכפל הן:
הקווטרניונים ממלאים את יעודם המקורי, לסובב את המרחב התלת-ממדי, על ידי פעולת ההצמדה: החבורה formula_32 של הקווטרניונים מנורמה 1 פועלת על ידי הצמדה על תת-המרחב התלת-ממדי formula_33; פעולה זו מגדירה איזומורפיזם formula_34 לחבורת הסיבובים (שהיא חבורת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1).
קווטרניונים שלמים.
אוסף הקווטרניונים מהצורה formula_35 עבור formula_36 נקרא מסדר ליפשיץ ואילו האוסף הכולל את אלו יחד עם הקווטרניונים שבהם formula_37 נקרא מסדר הורוויץ. מסדר הורוויץ מהווה מסדר מקסימלי יחיד (עד כדי הצמדה) באלגברת הקווטרניונים הרציונליים formula_38, ואפשר להיעזר בתכונות שלו כדי לקבל הוכחה קלה למשפט ארבעת הריבועים של לגרנז'. האחרון הוא אוקלידי (מימין ומשמאל) ביחס לפונקציית הנורמה. מסדר ליפשיץ הוא "כמעט אוקלידי": לכל formula_39 אפשר לחלק עם שארית כאשר formula_40.
אינווריאנטים מקומיים.
אלגברת הקווטרניונים של המילטון מתפצלת בכל השלמה של המספרים הרציונליים, פרט ל- formula_41 ו- formula_42.
ניר פרידמן
ניר פרידמן (נולד ב-15 בפברואר 1971) הוא זמר, מדבב ושחקן ישראלי.
ביוגרפיה.
פרידמן נולד, גדל והתחנך בתל אביב. בין השנים 1986–1989 היה חבר ב"להקת צעירי תל אביב", יחד עם הלהקה הופיע כזמר וכשחקן במספר מסגרות, בין היתר בתוכנית הבידור "זהו זה!" שם הייתה ללהקה פינה קבועה ובסדרת הטלוויזיה "החופש האחרון", הסדרה הראשונה בהשתתפות הלהקה, אשר שודרה בשנת 1989.
לאחר שרותו הצבאי בלהקת פיקוד צפון שיחק בסדרות הטלוויזיה "עניין של זמן", "קפה פריז" ו"פלורנטין".
במקביל למשחק, פתח פרידמן בקריירה כזמר. תחילה הקים ב-1993 את להקת הרוק "השוונג של הפיתה", יחד עם אלעד קרן, נעם רוקח ורן שמעוני. ב-1993 זכתה הלהקה במקום הראשון בתחרות להקות צעירות במועדון הרוק הידוע רוקסן, בעקבות הזכייה הוחתמה הלהקה בחברת הד ארצי. האלבום הראשון והיחיד של הלהקה, "עכשיו בחנויות", יצא בשנת 1995 וזכה להצלחה רבה ומתוכו בלט הלהיט "אוכלת מהצד" (אשר כתב והלחין אלדד זיו).
ב-1999 הקים יחד עם השחקנית אסי לוי את הצמד "מונטנה". באותה השנה הוציא את אלבומו הראשון כסולן, "מסתובב בשכונה שלי", שלא זכה לרמת ההצלחה של אלבום הלהקה "השוונג של הפיתה", אולם בלט ממנו השיר "פרחים לבנים". כמו כן הוא הפיק מוזיקלית את אלבום הבכורה של אורי בנאי "פרפרים".
בשנת 2000 במקביל למשחקו בסדרה "פלורנטין" הוא הוציא את הסינגל "חי בפלורנטין".
בשנת 2006 השתתף בסדרת הטלוויזיה "ילדות רעות", והשתתף בעונה השלישית של הסדרה "השיר שלנו".
בשנת 2007 הוציא את אלבומו השני כסולן, "אפס מעלות".
כמו כן משמש פרידמן כקריין בפרסומות ברדיו ובטלוויזיה. השתתף גם בדיבוב סדרות שונות, ביניהן "סיפורי ספר הג'ונגל" (קא), "פאוור ריינג'רס" (גולדאר וארני), "האופנוברים ממאדים" (בור גריז) ו"ספיידרמן" (הארי אוסבורן ואביו, ניק פיורי, המעניש, קרנג' ובלייד).
בשנת 2012 שב לשחק בסדרה "עניין של זמן" את דמותו של ניר בן-בנישתי.
בשנת 2016 השתתף בעונה השביעית של סדרת הדוקו-ריאליטי "מחוברים+".
חיים פרטיים.
מאז 2004 פרידמן בזוגיות עם השחקנית שחר רוזנצוויג הצעירה ממנו ב-14 שנה, ולהם שתי בנות.
התגורר במשך שלוש שנים במושב חד נס ברמת הגולן, ובשנת 2016 חזר להתגורר שוב בתל אביב.
גוסטב השישי אדולף, מלך שוודיה
גוסטב השישי אדולף, מלך שוודיה (בשוודית: Gustaf VI Adolf, שמו המלא: אוסקר פרדריק וילהלם אולף גוסטף אדולף; 11 בנובמבר 1882 – 15 בספטמבר 1973) היה מלך שוודיה מ-29 באוקטובר 1950 ועד למותו. הוא היה בנם הבכור של גוסטב החמישי, מלך שוודיה ושל אשתו ויקטוריה, נסיכת באדן ובמשך 43 שנות מלכותו של אביו הוא היה יורש העצר.
גוסטב השישי היה ארכאולוג חובב והתעניין במיוחד בתרבויות העתיקות של איטליה. בשלבים מאוחרים יותר של חייו הוא היה תומך נלהב של התנועה לזכויות האזרח של ארצות הברית ונפגש בסטוקהולם עם מרטין לותר קינג.
גוסטב השישי הוא המלך שהעניק לש"י עגנון את פרס נובל לספרות לשנת 1966.
ראשית חייו.
גוסטב השישי נולד בארמון סטוקהולם. בלידתו הוענק לו התואר דוכס סקונה. הוא היה צאצא של בית המלוכה של משפחת ברנדוט מצד אביו וצאצא של בית ואסה מצד אמו. דרך אמו הוא היה גם צאצא של גוסטב הרביעי אדולף, מלך שוודיה.
ב-8 בדצמבר 1907, לאחר מות סבו, אוסקר השני, הפך גוסטב אדולף לנסיך הכתר.
מלך.
ב-29 באוקטובר 1950, עם מות אביו, גוסטב החמישי, בהיותו בן 67, הפך גוסטב השישי למלך שוודיה. באותה עת הוא היה יורש העצר המבוגר ביותר בעולם. המוטו האישי שלו היה "החובה לפני הכל" (בשוודית: Plikten framför allt).
במהלך תקופת מלוכתו, התקיים תהליך של יצירת חוקה חדשה שתחליף את החוקה הקודמת שכוננה ב-1809, שינוי שנכנס לתוקף רק לאחר מותו של המלך. בין הרפורמות שהיו אמורות להיות במסגרת שינויים אלה היה הרעיון של ביטול המלוכה, או לכל הפחות מיתונו של הסעיף בחוקה שאמר "המלך לבדו מושל בממלכה".
איכויותיו האישיות של גוסטב השישי עשו אותו דמות אהודה בקרב עמו ובתמורה אהדה ציבורית זו הובילה לדעת קהל חזקה לטובתה של השארת המלוכה על כנה. מומחיותו והתעניינותו של המלך במגוון רחב של תחומי ידע (אדריכלות ובוטניקה היו רק שניים מתוכם), גרמו לציבור לרחוש לו כבוד, בנוסף לטבעו הצנוע והבלתי פורמלי ולהימנעותו המכוונת מגינוניי פאר והדר. עם זאת, הוכפפה המלוכה למוסדות הדמוקרטים של המדינה. סמכויות נוספות של המלך בוטלו כאשר הושלם תהליך כינונה של החוקה ב-1975.