I.8. יש לפחות ארבע נקודות שאינן שייכות לאותו מישור.
II. סדר.
II.1. אם הנקודה b נמצאת בין הנקודות a ו-c, אז היא נמצאת גם בין הנקודות c ו-a, ושלוש הנקודות מונחות על אותו ישר.
II.2. לכל שתי נקודות שונות a ו-c, קיימת נקודה b הנמצאת בין a ו-c (קבוצה סדורה צפופה).
II.3. לכל שלוש נקודות על אותו ישר, בדיוק אחת מהן נמצאת בין שתי האחרות.
II.4 לכל שלוש נקודות a,b,c שאינן על ישר אחד, ולכל ישר L המוכל במישור הכולל אותן ושאינו עובר דרך אף אחת מן הנקודות, מתקיים כי: אם L כולל נקודה של הקטע ab, אז L כולל גם נקודה של הקטע ac או של הקטע bc (אקסיומת פש).
III. חפיפה.
III.1. לכל שתי נקודות a ו-b, ונקודה c על ישר L, יש בדיוק שתי נקודות, d ו-e, על L, כך ש-c נמצאת בין d ו-e, והקטעים ab, cd ו-ce חופפים זה לזה (שווים באורכם) (הקצאת קטע על ישר).
III.2. אם formula_2 וגם formula_3, אז formula_4. (טרנזיטיביות של חפיפת קטעים).
III.3. נניח שהקטעים ab ו-bc מונחים על הישר L באופן שהנקודה המשותפת היחידה להם היא b; וכן שהקטעים de ו-ef מונחים על הישר M באופן שהנקודה המשותפת היחידה להם היא e. אם formula_5 ו-formula_6, אז formula_7 (אדיטיביות).
III.4. לכל זווית abc וקרן de, קיימות בדיוק שתי קרניים dx ו-dy, כך שformula_8 וגם formula_9 (הקצאת זווית על קרן).
III.5. לכל משולשים abc ו-xyz, אם הקטעים formula_10, וגם formula_11, וגם formula_12, אז formula_13 (בדומה לחפיפת משולשים לפי "צלע-זווית-צלע").
IV. הקבלה.
IV.1. לכל ישר L ונקודה a שמחוץ לו, ומישור הכולל את a ואת L, קיים לכל היותר ישר אחד במישור הכולל את a ואינו כולל אף נקודה של L (אקסיומת המקבילים).
V. רציפות.
V.1 לכל קטע cd וקרן ab, קיים מספר טבעי n ונקודות formula_14 שעל הקרן, כך שהקטעים formula_15 כולם חופפים ל-cd, וכך ש-b נמצאת בין a ו-formula_16 (תכונת ארכימדס).
V.2 כל הוספה של נקודות לישר, מפירה (סותרת) לפחות אחת מחמש האקסיומות: I, II, III.1, III.2, V.1 ("שלמות הישרים").
תחולה והערות.
מערכת האקסיומות שהוצגה לעיל מתארת את גאומטריית המרחב; דהיינו, הגאומטריה של המרחב האוקלידי התלת-ממדי. אם מסירים את חמש האקסיומות I.4-8 העוסקות במישורים שונים, ומסירים את האזכור למישור מאקסיומה IV.1, מתקבל תיאור אקסיומטי של גאומטריית המישור האוקלידית.
במקור, הילברט כלל אקסיומה נוספת – "לכל ארבע נקודות על ישר, ניתן לבחור את השמות a,b,c,d כך ש-b בין a ו-c, וגם בין a ו-d; וכן c בין a ו-d ובין b ו-d"; אולם E.H.Moore הראה (ב-1902) שניתן להסיק אקסיומה זו כמשפט משאר המערכת.
האקסיומות של הילברט אינן מהוות תורה מסדר ראשון, משום שהאקסיומות בקבוצה V לא ניתנות לתיאור במסגרת של שפה מסדר ראשון. משום כך, חשיבותה העיקרית של המערכת היא מתודולוגית, בתרומתה לתוכנית הילברט לבסס את כל המתמטיקה על תורת הקבוצות (האקסיומטית).
גאומטריה המניחה את כל האקסיומות של הילברט, למעט אקסיומת המקבילים, נקראת גאומטריה אבסולוטית.
גאומטריה המניחה את אקסיומות השייכות והסדר נקראת גאומטריית הסדר.
רמברנדט ון-רין
גלריית אופיצי
גלריית אופיצי (באיטלקית: Galleria degli Uffizi; "גלריית המשרדים") היא מוזיאון לאמנות בפירנצה שבאיטליה. המוזיאון הוא אחד הידועים והעתיקים ביותר בעולם והוא מכיל יצירות אמנות רבות שרובן נאספו על ידי משפחת מדיצ'י, פטרונית האמנות החשובה ביותר של הרנסאנס האיטלקי. מבנה המוזיאון עצמו נחשב על ידי חוקרי אדריכלות רבים לאחד המבנים המרשימים בעולם ומקרה מבחן חשוב גם בהתפתחות התכנון העירוני במאה ה-16.
היסטוריה.
בניית המבנה החלה ב-1560 על ידי האדריכל ג'ורג'ו וזארי עבור הדוכס של טוסקאנה, קוזימו הראשון דה מדיצ'י. לאחר מכן המשיכו בבנייה ברננדו באוטלנטי ואלפונסו פריג'י עד לסיום ב-1581. המבנה תוכנן להכיל את משרדי השופטים הפיורנטינים ומכאן שמו. במהלך השנים הלכה משפחת מדיצ'י וצברה אוצרות אמנות רבים אשר רובם הוצבו בחללי תצוגה באופיצי. בני משפחת מדיצ'י נחשבו לפטרוני האמנות הגדולים ביותר של איטליה ואוספיהם הלכו וגדלו. באמצע המאה ה-17 ירדה המשפחה מהשלטון בפירנצה אך אוצרות האמנות נשארו בגלריית האופיצי. למרות שכבר במאה ה-16 הייתה הגלריה פתוחה למבקרים בתיאום מראש, רק בשנת 1765 היא נפתחה לציבור באופן רשמי.
בשנת 1993 נפגע חלק מן הגלריה מפיצוץ מכונית תופת ברחוב סמוך, שבו נהרגו 5 אנשים. הפיצוץ, שבוצע כנראה על ידי המאפיה, פגע בחלק מהמבנה ובמספר פסלים אשר שוחזרו אך מספר פרסקאות ניזוקו קשה ולא ניתן היה לשחזר אותם.
המוזיאון הוא אחת מאטרקציות התיירות המרכזיות בפירנצה, ופוקדים אותו מדי שנה יותר ממיליון מבקרים. בשל מספרן הרב של יצירות האמנות הנמצאות במוזיאון ביחס לגודלו, הועברו במהלך השנים חלק מהיצירות למוזיאונים אחרים בפירנצה, כגון הבארג'לו. במהלך שנת 2006 עבר המוזיאון שיפוצים לשם הרחבת חללי התצוגה.
מבנה.
המוזיאון בנוי משני אגפים בשני צידי רחוב ששמו "פיאצלה דלי אופיצי" ("הכיכר הקטנה של האופיצי"). קטע רחוב זה מגיע בחלקו הדרומי אל נהר הארנו ובחלקו הצפוני אל כיכר הסיניוריה – פאלאצו וקיו (Palazzo Vecchio). במבט צפוני אל הרחוב נראה מגדל העירייה הבנוי בסגנון הגותי-טוסקני. בחלקו הדרומי של הרחוב בנוי גשר המחבר בין שני האגפים ותוחם את חלל הפיאצלה. חלק זה בנוי כ"קיר מסך" המסוגנן בסגנון דורי ומתחתיו מעבר חופשי כשער פתוח לרחוב הניצב אליו. המבנה שומר על קו בניין רציף ומציג חזית מרשימה נוספת.
הפרספקטיבה הנראית משער הכניסה תוכננה בקפידה על ידי האדריכל וזארי (שהיה גם צייר) כמו גם פרופורציות החלל שבין שני אגפי המוזיאון. כרכובי גגות שתי החזיתות המקבילות מודגשים לכל אורכם ושומרים על קו אחיד על מנת לחזק את תחושת העומק של הרחוב. באופן דומה, לכל אורך הרחוב בשני צידיו שלוש מדרגות הממשיכות עד לבית העירייה ומחזקות את קווי הפרספקטיבה גם כן. שתי החזיתות מעוטרות בסגנון טוסקני קלאסי ובמקצבים קבועים. מגדל בית העירייה בקצה המבט נראה בצד ימין, שובר את הסימטריה ויוצר ייחוד במבט זה. כמו כן, המבט אל כיכר העירייה הנמצא בהמשך הרחוב מקל על ההתמצאות בסביבת המוזיאון והוא בעל חשיבות אורבנית רבה. מתכנני ערים רבים לאורך ההיסטוריה ראו בתכנון האופיצי מקרה מבחן חשוב, שבו חצר של מבנה מתפקדת כרחוב ציבורי בעל השפעה רבה על תנועת הולכי הרגל בסביבתו ותכנון היוצר פרספקטיבות דרמטיות מתוכננות בנוף העירוני.
אוסף האמנות.
אוסף יצירות האמנות המוצגות במוזיאון הוא מן המרשימים בעולם והוא כולל יצירות רבות של גדולי האמנים האיטלקיים מסוף ימי הביניים, הרנסאנס והבארוק. עם האמנים שיצירותיהם מוצגות באופיצי נמנים צ'ימבואה, ג'וטו, לאונרדו דה וינצ'י, פיירו דלה פרנצ'סקה, סנדרו בוטיצ'לי, מיכלאנג'לו, טיציאן, רפאל, פלאוטילה נלי ועוד.
רוב היצירות מוצגות באולמות תצוגה שבתוך המבנה אך באכסדרות שבקומת הקרקע הפתוחה ניצבים פסלים של בני משפחת מדיצ'י, אמנים שבהם תמכו, כגון דה וינצ'י ואלברטי ופסלים של אנשי מדע ורוח נוספים כגון ניקולו מקיאוולי ואמריגו וספוצ'י.
אופיצי
שלילת הגשמות
שלילת הגשמות היא עיקרון תאולוגי של כמה דתות מונותאיסטיות באופן תפיסתן את מהותו של האלהים. עקרון שלילת הגשמות מורה על כך שהאל מופשט, אבסטרקטי, איננו חומרי. שלילת הגשמות נחשבת חלק מעיקרי האמונה היהודית, ומהעיקרים המכוננים בדת האסלאם. בשתי דתות אלו, נספחות לעיקרון שלילת הגשמות דעות או מצוות נוספות התלויות בו ומשלימות אותו, כדוגמת שלילת התארים מהאל ואיסור עשיית פסלים ומסכות. הרמב"ם בספרו החשוב מורה הנבוכים דן בהרחבה בעיקרון שלילת הגשמות.
פגניזם ואנתרופומורפיזם.
פוליתאיזם בעולם העתיק.
עמי קדם, הפגניים, האמינו באלים רבים. לכל עם היה פנתאון אלים משלו, שאותם עבד והעריץ, ירא מהם וכיבדם.
כמעט אין תופעה – תופעת טבע או תופעה מנטלית – שלא זכתה לפרסוניפיקציה ולפולחן כלשהו.
אף על פי שייחסו להם תכונות אלוהיות כאלמותיות, ידיעה מקיפה, שליטה בגורל בני אדם וכדומה, בכל זאת היו האלים במחשבת עמי העולם העתיק אנתרופומורפיים או אנימימורפיים – הייתה להם דמות אדם (גבר, אשה, אינטרסקס), או דמות חיה כלשהי כחתול, שור או תיש. כך למשל, אל הרעם והברקים (נינורטה) תואר בשומר כאריה ענק בעל כנפיים, ובכנען (שם הוא נקרא בעל) כלוחם גיבור האוחז בידו כידון ובידו השנייה חזיז ברק. הדבר הנהוג ביותר בפולחן העמים הקדומים היה עשיית פסל בדמות האל; לפסל היו מקטירים קטורת ומתפללים, וסביבו היו נעשים הטקסים הדתיים. האמונה הייתה כי כוח האל שוכן בפסל שנעשה לכבודו.
לאלים הייתה ביוגרפיה, הם הופעלו על ידי רגשות ויצרים, ובמרבית הדתות העתיקות הם גם היו מוחשיים. נשתמש באנומה אליש (סיפור בריאת העולם במיתולוגיה הבבלית, תחילת האלף ה-2 לפנה"ס) כדוגמה להאנשתם של הקדמונים את תופעות הטבע: על פי האנומה אליש, הבריאה נעשתה לאחר מאבקים קוסמיים בין אלים שונים.
האלה תיאמת וחיילותיה לוחמים באל מרדוך. לאחר שזה מנצחם הוא מבתר את גופת תיאמת ומחלקי גופתה בורא את היקום. מחלק אחד הוא בורא את הארץ ומחלק שני את השמים. יש כאן האנשה מוחלטת של האלים.
מוטיב זה של בריאה לאחר מאבקים בין אלים חוזר כמעט בכל המיתולוגיות של העמים. מרבית התיאורים שנמצאים במיתולוגיה אחת חוזרים במיתולוגיות של עמים אחרים עקב שינוי שמות האלים או שוני בפרטים מסוימים בסיפור. דבר זה די מובן, כיוון שכל העמים סגדו לאותן תופעות טבע, לאחר שהאנישו אותן, בהכרח הם גם עבדו אלים זהים.