במאה ה-19 חקר הפיזיקאי הבלגי ז'וזף פלאטו קרומי סבון, ובעקבות כך ניסח את רעיון המשטח המינימלי. הביולוג והאמן הגרמני אֶרְנְסְט הֶקֶל צייר מאות אורגניזמים ימיים על מנת להדגיש את הסימטריה שלהם. הביולוג הסקוטי דארסי וונטוורת תומפסון החל את המחקר של דפוסי צמיחה, בצמחים כמו גם בבעלי חיים, והראה כי ניתן להסביר צמיחה ספירלית באמצעות משוואות פשוטות. במאה ה-20 חזה המתמטיקאי הבריטי אלן טיורינג את קיומם של מנגנוני מורפוגנזה היוצרים תבניות של חברבורות ופסים. הביולוג ההונגרי אריסטיד לינדנמאייר, ביחד עם המתמטיקאי הצרפתי-אמריקאי בֶּנוּאָה מנדֶלבּרוֹט, הראו כיצד המתמטיקה של פרקטלים מסוגלת לייצר דפוסי גדילה המופיעים בעולם הצומח.
המתמטיקה, הפיזיקה והכימיה מסבירות תבניות בטבע ברמות שונות. תבניות בעולם החי והצומח מוסברות באמצעות התהליכים הביולוגיים של ברירה טבעית וברירה זוויגית. מחקרים העוסקים בהיווצרות תבניות משתמשים במודלים ממוחשבים כדי ליצור הדמיות של מגוון רחב של תבניות.
היסטוריה.
הפילוסופיה של יוון העתיקה הקדימה את המחשבה המודרנית בניסיונותיה להסביר את הסדר המופיע בטבע. אפלטון (427–347 לפנה"ס לערך) טען לקיומן של תכונות אוניברסליות בעבודותיו על תבניות טבעיות. הוא טען כי אלו מורכבות מצורות אידיאליות (εἶδος, "צורה"), שמהן נגזרים עצמים פיזיים המהווים העתקים לא מושלמים שלהן. הִלכך, פרח יכול להיות עגול, אולם הוא לעולם לא יהווה עיגול מתמטי מושלם. פיתגורס הסביר כי תופעת התבניות בטבע, בדומה להרמוניות מוזיקליות, נובעת ממספרים, שאותם הוא החשיב בתור הגורם הבסיסי לכלל הקיום. אמפדוקלס חזה במידה מסוימת את ההסבר האבולוציוני של דרווין למבניהם של אורגניזמים.
ב-1202 לאונרדו פיבונאצ'י (1170–1250 לערך) הציג לעולם המערבי את סדרת פיבונאצ'י ב"ספר החשבונייה" ("Liber Abaci"). פיבונאצ'י הציג דוגמה ביולוגית (שאינה ריאליסטית), בגידול המספרי של אוכלוסיית ארנבים תאורטית. ב-1917 פרסם דארסי וונטוורת תומפסון (1860–1948) את ספרו "על גידול וצורה" ("On Growth and Form"), המכיל תיאור קלאסי של פילוטקסיס (אופן הסידור של עלים על גבעול צמח) וסדרת פיבונאצ'י, והקשר המתמטי בין תבנית הצמיחה הספירלית של צמחים. הוא הראה כי ניתן לתאר באמצעות משוואות פשוטות את כל תבניות הצמיחה הספירליות המסובכות למראה של קרני בעלי חיים וקונכיות רכיכות.
הפיזיקאי הבלגי ז'וזף פלאטו (1801–1883) ניסח את הבעיה המתמטית של קיום משטח מינימלי לגבול נתון, הקרויה על שמו. הוא חקר לעומק קרומי סבון, וניסח את חוקי פלאטו, המתארים את המבנים הנוצרים על ידי קרומים בקצף.
הפסיכולוג הגרמני אדולף צייזינג (1810–1876) טען כי יחס הזהב מובע בסידור של חלקי הצמח השונים, בשלדים של בעלי חיים והתבנית המסתעפת של העורקים והעצבים שלהם, ובגאומטריה של גבישים.
ארנסט הקל (1834–1919) יצר איורים יפהפיים של אורגניזמים ימיים, בייחוד קרנוניות (רדיולריה), תוך הדגשת הסימטריה שלהם על מנת לתמוך ברעיונות האבולוציוניים הפסאודו-דרוויניסטיים שלו.
הצלם האמריקאי וילסון בנטלי (1865–1931) צילם את תמונת המיקרוסקופ הראשונה של פתית שלג ב-1885.
ב-1952, אלן טיורינג (1912–1954), המוכר בעיקר מעבודותיו במדעי המחשב ושבירת-צפנים, כתב את "הבסיס הכימי של מורפוגנזה", ניתוח של המנגנונים שצריכים להתקיים על מנת שייווצרו תבניות בייצורים חיים, באמצעות התהליך המכונה "מורפוגנזה". הוא חזה את קיומן של תגובות כימיות מחזוריות, וספציפית את ריאקציית בלוסוב-ז'בוטינסקי (Belousov–Zhabotinsky ). טיורינג הציע כי מנגנוני הפעלה-עיכוב כאלו יכולים לייצר תבניות של פסים וחברבורות אצל בעלי חיים, ולתרום להיווצרות התבניות הספירליות המופיעות בפילוטקסיס של צמחים.
ב-1968 פיתח הביולוג התאורטי ההונגרי אריסטיד לינדנמאייר (1925–1989) פיתח את מערכת לינדנמאייר (מערכת-L) – מערכת דקדוק פורמלית שניתן למדל באמצעותה תבניות גדילה של צמחים בסגנון פרקטלי. למערכות-L יש אלפבית של סמלים שניתן לשלבם באמצעות כללי ייצור (Production rules) על מנת ליצור מחרוזות ארוכות יותר של סמלים, ומנגנון לתרגום המחרוזות הללו למבנים גאומטריים. ב-1975, לאחר מאות שנים שבמהלכן המתמטיקה של התבניות קודמה באיטיות על ידי גוטפריד לייבניץ, גאורג קנטור, הלגה פון קוך, ואצלב שרפינסקי ואחרים, כתב בנואה מנדלברוט את מאמרו המפורסם "כמה ארוך הוא החוף של בריטניה? דמיון עצמי סטטיסטי והממד הפרקטלי", אשר גיבש את המחשבה המתמטית הקיימת לכדי רעיון הפרקטל.
בתבניות האבסטרקטיות שניתן לראות בעולם החי, כגון על סחלבים, יונקי דבש, וזנב הטווס, ישנו יופי של צורה, צבע, ודפוס, שאמנים מתקשים לחקות. ישנן רמות שונות של גורמים ליופי הנחזה בטבע, בעיקר במתמטיקה המסדירה את התבניות הנוצרות, ובעקרונות של ברירה טבעית, המסדירה את התפתחות התבניות המופיעות אצל יצורים חיים.
המתמטיקה שואפת לגלות ולהסביר תבניות מופשטות או סדירויות מכל הסוגים. ניתן להסביר תבניות ויזואליות בטבע באמצעות תורת הכאוס, פרקטלים, ספירלות לוגריתמיות, טופולוגיה ותבניות מתמטיות נוספות. לדוגמה, באמצעות מערכות-L ניתן ליצור מודלים משכנעים לתבניות שונות של צמיחת עצים.
חוקי הפיזיקה מיישמים את ההפשטות המתמטיות על העולם האמיתי, תכופות בהתבסס על ההנחה כי הוא מושלם. לדוגמה, גביש שאין לו אף פגם מבני (כגון נקעים) והוא סימטרי לחלוטין, הוא גביש מושלם. מושלמות מתמטית מוחלטת יכולה רק לתת הערכה מקורבת לעצמים אמיתיים. התבניות הנצפות בטבע נשלטות על ידי חוקי הטבע; למשל, דינמיקה של נוזלים יכולה להסביר את היווצרותם של נפתולים.
בביולוגיה, ברירה טבעית יכולה להוביל להתפתחותם של תבניות אצל יצורים חיים מכמה סיבות, בהן הסוואה, ברירה זוויגית, וסוגים שונים של איתות דוגמת חקיינות או סימביוזת ניקוי . אצל צמחים, הצורות, הצבעים והתבניות של פרחים דוגמת השושן התפתחו על מנת לייעל האבקה על ידי חרקים (צמחים אחרים עשויים לעבור האבקה על ידי רוח, ציפורים, או עטלפים) דבורת הדבש האירופית, וחרקים מאביקים אחרים, נמשכים לא רק לריח ולתגמול של צוף עשיר בסוכר ולאבקנים אכילים, אלא גם לדוגמאות הרדיאליות בצבען וצורתן המוצגות על הפרחים, ואשר משמשות כמנחי-צוף שניתן לראותן למרחק רב.
סוגי תבניות.
סימטריה.
סימטריה קיימת באופן נרחב בעולם החי והצומח. אצל בעלי חיים ישנה בעיקר סימטריה דו-צדדית (סימטריית מראה), כמו גם אצל עלים של צמחים, ופרחים מסוימים דוגמת סחלבים. אצל צמחים מופיעה לעיתים קרובות סימטריה רדיאלית או סיבובית, כמו אצל פרחים רבים וקבוצות מסוימות של בעלי חיים כגון שושנות ים. ניתן לראות סימטריה מחומשת אצל פרטים מסוימים ממערכת קווצי העור, הכוללת כוכבי ים, קיפודי ים, וחבצלות ים.
מחוץ לעולם החי, סימטריה משושה מרשימה במיוחד מצויה בפתיתי שלג: כל פתית הוא ייחודי, ומבנהו מגלם מעין תיעוד של התנאים המשתנים במהלך התגבשותו, כאשר תבנית הצמיחה היא כמעט זהה בין שש הזרועות. לגבישים יש מגוון רחב של סוגי סימטריה וצורת גביש; הם עשויים להיות קובייתיים או אוֹקטָהדרליים, אך גבישים אמיתיים אינם יכולים להפגין סימטריה מחומשת (שלא כמו גבישים כמו-מחזוריים, או קווזיפריודיים). ניתן לראות סימטריה סיבובית בקני מידה שונים בעצמים דוממים, כמו תבנית ההתזה דמוית-הכתר הנוצרת כאשר טיפה נופלת לתוך אגם, או בצורה הספרואידית של פלנטה כגון שבתאי, כמו גם בצורת הטבעות שסביבה.
ישנם מגוון גורמים היוצרים סימטריה. סימטריה רדיאלית מתאימה לאורגניזמים כמו שושנות ים, שצורתם הבוגרת נייחת: מזון ואיומים עשויים להגיע מכל כיוון. אולם אצל בעלי חיים שנעים בכיוון מסוים, ישנם בהכרח צד עליון וצד תחתון, כמו גם קדמי ואחורי, ושמאלי וימני. הראש מתמחה באברי חישה ופה (צֶפָליזציה ), והגוף מקבל סימטריית מראה (אף שהדבר אינו הכרחי באיברים הפנימיים). תמוה יותר מאלו הוא הגורם לסימטריה המחומשת המופיעה אצל קווצי העור. קווצי עור קדומים היו בעלי סימטריית מראה, דבר הניכר עדיין בזחליהם. סומראל וריי (Sumrall and Wray) טוענים כי ישנם גורמים התפתחותיים ואקולוגיים באובדן הסימטריה הקודמת.
עצים, פרקטלים.
פרקטלים הם מבנים מתמטיים איטֶרָטיביים בעלי דמיון עצמי אינסופי וממד פרקטלי. חזרה-עצמית אינסופית אינה אפשרית בטבע, כך שכל המבנים הפרקטליים הם למעשה קירובים בלבד. לדוגמה, עליהם של שרכים או סוככיים הם בעלי דמיון עצמי (מנוצים ) רק 2, 3 או 4 פעמים. דגמי צמיחה שרכיים מתרחשים אצל צמחים ובעלי חיים, ביניהם חיטחבים, אלמוגים, הידרתים כגון שרך האוויר ("Sertularia argentea" ), ובתופעות כמו פריקה חשמלית . באמצעות פרקטלים של מערכות-L ניתן למדל תבניות שונות של צמיחת עצים באמצעות שינויים במספר פרמטרים קטן, כגון זווית הסתעפות, המרחק (אורך גבעול) בין צמתים או נקודות הסתעפות, ומספר ההסתעפויות מכל נקודה כזו.
תבניות דמויות-פרקטל מופיעות באופן נרחב בטבע בתופעות כגון עננים, מערכות נהרות, קווי שבר גאולוגיים, הרים, קווי חוף, צבעי בעלי חיים, פתיתי שלג, גבישים, סיעוף כלי דם, וגלי מים.
ספירלות.
ספירלות נפוצות בקרב צמחים ובעלי חיים מסוימים, בעיקר רכיכות. לדוגמה, אצל הנאוטילוס (שייטניים), רכיכה ממחלקת הסִילוֹנִיּוֹת, כל תא בקונכייה הוא העתק מקורב של התא שאחריו, בשינוי קנה מידה קבוע, והתאים מסודרים בספירלה לוגריתמית. בעקבות ההבנה המודרנית של פרקטלים, ניתן לראות את ספירלת הגדילה כמקרה מיוחד של דמיון עצמי.