במילים אחרות, נאמר שהגבול של פונקציה formula_2, שווה ל־formula_3, כאשר formula_4 שואף ל־formula_12 (formula_21), אם נוכל להביא את formula_2 קרוב ל־formula_3 ככל שנרצה, אם ניקח formula_4 קרוב מספיק ל־formula_12 שאינו שווה ממש ל־formula_12.
כשאנו אומרים ששני מושגים "קרובים", כמו formula_2 ל־formula_3 או "formula_4" ל-formula_12, אנו מתכוונים שההפרש (או המרחק) ביניהם הוא קטן כרצוננו. כאשר formula_2, formula_3, formula_4 ו־formula_12 הם מספרים ממשיים, המרחק בין שני מספרים הוא הערך המוחלט של ההפרש בין השניים. לפיכך, כאשר אנו אומרים ש־formula_2 קרוב ל־formula_3 אנו מתכוונים ש-formula_37 קטן כרצוננו וכשאנו אומרים ש־"formula_4" ו־formula_12 קרובים, אנחנו מתכוונים ש-formula_40 קטן כרצוננו.
כשאנו אומרים שנוכל לקרב כרצוננו את formula_2 ל־L, אנו מתכוונים שעבור כל מרחק formula_42, שאינו אפס, אנו יכולים להפוך את המרחק בין formula_2 ל־formula_3 (formula_37) לקטן מ־formula_42.
כשאנו אומרים שנוכל לקרב כרצוננו את formula_2 ל־L על ידי הדרישה ש-formula_4 צריך להיות מספיק קרוב, אבל לא בדיוק formula_12, אנו מתכוונים לכל מרחק formula_42 שאינו אפס, יש מרחק formula_51 שאינו אפס, כך שאם המרחק בין formula_4 ל-formula_12 הוא פחות מ-formula_51 אז המרחק בין formula_2 ל-formula_3 קטן מ- formula_57 .
היסטוריה.
אף על פי שהיוונים בחנו את תהליך הגבול, כמו בשיטה הבבלית לחישוב שורש ריבועי, נראה שלא היה להם מושג הדומה לגבול המודרני. הצורך במושג הגבול עלה במאה ה-17 כאשר פייר דה פרמה ניסה למצוא את השיפוע קו המשיק בנקודה מסוימת של פונקציה באמצעות גודל שאינו אפס, אך כמעט אפס. כמקובל, השיפוע מסומן באות formula_58, הפונקציה מסומנת באות formula_10, הנקודה מסומנת באות formula_4 והגודל האפסי מסומן באות formula_61. למשל עבור הפונקציה formula_62 פרמה ביצע את החישוב הבא:formula_63
המפתח לחישוב שלמעלה הוא שמאחר ש-formula_61 הוא לא אפס, אפשר לחלק את formula_65 ב-formula_61, אך מאחר ש-formula_61 קרוב כרצוננו ל-formula_68, אז formula_69 זה בעצם formula_70. גדלים כמו formula_61 נקראים אינפיניטסימלים. הבעיה בחישוב זה היא שמתמטיקאים מהתקופה לא הצליחו להגדיר באופן ריגוזורי גודל עם התכונות של formula_61. אף על פי שהיה נהוג 'להזניח' אינפיניטימליים גדולים יותר ונראה היה כי זה מניב תוצאות נכונות.
בעיה זו הופיעה שוב מאוחר יותר במאה ה-17 במרכז התפתחות החשבון האינפיניטסימלי, שכן חישובים כמו של פרמה נחוצים לחישוב נגזרות. אייזק ניוטון פיתח לראשונה חישוב באמצעות גודל אינפיניטסימלי הנקרא . הוא פיתח אותו בהתייחס לרעיון של "רגע קטן עד אינסוף בזמן..." עם זאת, מאוחר יותר דחה ניוטון את הרעיון לטובת תאוריית יחסים הקרובה להגדרת הגבול המודרנית בשימוש formula_73. יתרה מזו, ניוטון היה מודע לכך שגבול היחס בין גדלים אינפיניטסימלים אינו יחס כשלעצמו, כפי שכתב:
בנוסף, ניוטון דיבר על גבולות במונחים הדומים להגדרת האפסילון-דלתא. גוטפריד וילהלם לייבניץ פיתח אינפיניטסימל משלו וניסה לספק לו בסיס ריגורוזי, אך הוא עדיין נתקל בחוסר שביעות רצון מכמה מתמטיקאים ופילוסופים.
לאוגוסטן לואי קושי הייתה תפיסה מעט פרימיטיבית יותר, והוא נתן הגדרה לגבול באמצעות מונח אותו כינה "גודל מִשְׁתַּנֶּה", ולא באמצעות אפסילון-דלתא. חלק מההוכחות של קושי מכילות אינדיקציות לשיטת האפסילון-דלתא. השאלה אם גישתו היסודית יכולה להיחשב כ"מבשרת" של ויישטראס היא נושא למחלוקת אקדמית. גראבינר טוען שכן, בעוד שוג'יבור (2005) לא. נקאן טוען שוויישטראס וקושי העניקו את אותו השם לתפיסות שונות של מושג הגבול. בסופו של דבר, הקרדיט ניתן לוויירשטראס ובולצאנו על מתן בסיס ריגוזורי לחישוב גבול בצורה המודרנית של formula_74. מאז לא היה עוד צורך להתייחס לאינפיניטסימל formula_61 והחישוב של פרמה הפך לחישוב של הגבול הבא:
formula_76
אין זה אומר שהגדרת הגבול הייתה נקייה מבעיות. אף על פי שלא היה עוד צורך באינפיניטסימלים, היא חייבה את בניית שדה המספרים הממשיים על ידי ריכרד דדקינד. זה גם לא אומר שלאינפיניטסימלים אין יותר מקום במתמטיקה המודרנית, שכן מתמטיקאים מאוחרים יותר הצליחו ליצור באופן ריגוזורי גדלים אינפיניטסימלים כמספרים היפר־ממשיים או כמספרים סוריאליסטיים. יתרה מזאת, ניתן לפתח באופן ריגוזורי חשבון עם גדלים כאלה ויש להם שימושים מתמטיים אחרים.
דוגמאות.
דוגמה 1.
נראה כי formula_77.
יהי formula_78. עלינו למצוא formula_79 כך שלכל formula_80 מתקיים formula_81.
נשים לב כי:
formula_82
מתכונות ערך מוחלט:
formula_83
מכיוון שסינוס חסום בין 1 ל-1 אז:
formula_84
לפיכך, אם ניקח formula_85, אז formula_86 מתקיים formula_87, מש"ל.
דוגמה 2.
נוכיח formula_88 עבור כל formula_89.
יהי formula_13. עלינו למצוא formula_79 כך שלכל formula_92 מתקיים formula_93 .
נתחיל בפישוט: formula_94.
נראה כי הביטוי formula_95 חסום על ידי formula_96, כך שנוכל להניח מראש חסם של 1 ובהמשך לבחור משהו קטן מזה עבור formula_96.
אז אנחנו מניחים formula_98 . ידוע שלכל formula_4 ו־formula_100 ממשיים מתקיים: formula_101. ובפרט, formula_102 לכן, formula_103.
לפי אי השוויון במשולש מתקיים: formula_104 לפיכך, אם אנו מניחים כיformula_105 אז formula_106.
לסיכום, נקבע formula_107
ולכן אם formula_108, אז:
formula_109
לפיכך, מצאנו formula_96 כך ש־formula_111 ולכן formula_106 . אם כן, הראינו כי formula_88 עבור כל מספר ממשי formula_12.
דוגמה 3.
נוכיח כי formula_115
אנו רוצים להראות זאת formula_116.
נשים לב formula_117, כלומר נדרש formula_118. נחלק ב-3: formula_119 ונקבל מיד את התוצאה הרצויה - formula_120. כך שההוכחה הושלמה.
יוסף לוינשטיין (סרוצק)
הגדרת הגבול על פי קושי
השואה באלבניה
השואה באסטוניה
השואה בבלארוס
השואה בלוקסמבורג
השואה ברוסיה
השואה בלטביה
השואה באוקראינה
בי-קיוריוס
בי-קיוריוס (Bi-curious, "סקרן לגבי ביסקסואליות"; מילולית "בי-סקרן") הוא אדם בעל נטייה מינית הטרוסקסואלית או הומוסקסואלית, שיש לו סקרנות או פתיחות מסוימת בנוגע לקיום פעילות מינית עם אדם מהמין שאינם מעדיפים. המונח משמש לעיתים לתיאור רצף רחב של נטייה מינית שהיא בין הטרוסקסואליות וביסקסואליות. רצפים כאלה כוללים אנשים שהם "בעיקר-הטרוסקסואלים" או "בעיקר-הומוסקסואלים", אך ניתן להזדהות ככאלה גם מבלי להזדהות כביסקסואלים. המונחים "הטרופלקסיבל" (heteroflexible, "גמיש לגבי הטרוסקסואליות") ו"הומופלקסיבל" (homoflexible, "גמיש לגבי הומוסקסואליות") נחשבים גם הם כבי-סקרנות ("בי-קיוריוסיטי"), אם כי יש כותבים המייחדים את ההטרופלקסיביליות (או ההומופלקסיביליות) בתור חוסר הרצון להתנסות במיניות מסוימת, להבדיל מן השם "בי-קיוריוס" שמשתמע ככזה שמתאר אדם שיש לו רצון להתנסות באותה המיניות.
המונח בי-קיוריוס רומז כי לאדם אין ניסיון הומוסקסואלי כלל (או שיש לו ניסיון מצומצם) במקרה של אנשים הטרוסקסואלים, או שאין לו ניסיון הטרוסקסואלי כלל (או שיש לו ניסיון מצומצם), במקרה של אנשים הומוסקסואלים, אך אלה עשויים להמשיך להזדהות עצמית כבי-קיוריוס אם הם לא מרגישים שבדקו את הרגשות האלה במידה מספקת, או אם הם לא רוצים להזדהות כביסקסואלים.
למונח, כמו לעוד מונחים רבים מעולם הלהט"ב, אין מילה מקבילה (רשמית) בעברית, ולרוב משתמשים בצורה המתועתקת של המונח מאנגלית – "בי-קיוריוס".
אצטדיון אליג'אנט
אצטדיון אַלִיגַ'אנְט (באנגלית: Allegiant Stadium) הוא אצטדיון מקורה הממוקם בפרדייז במדינת נבדה, שבארצות הברית. אצטדיון אליג'אנט ישמש כאצטדיון הביתי של קבוצת לאס וגאס ריידרס מליגת הפוטבול הלאומית, ושל קבוצת הפוטבול של אוניברסיטת נבדה בלאס וגאס, UNLV רבלס פוטבול. האצטדיון ממוקם על שטח של כ-250 דונם (מערבית למפרץ מאנדליי) ב"דרך ראסל" ו"שדרת האסיאנדה" ובין "שדרת פולריס" ל"דין מרטין דרייב", מעט מערבית לכביש המהיר 15. בניית האצטדיון בעלות 1.8 מיליארד דולר החלה ב-13 בנובמבר 2017, והסתיימה ב-31 ביולי 2020, בדיוק בזמן לפני עונת 2020 של ה-NFL.
האירוע המתוכנן הראשון באצטדיון החדש היה קונצרט של גארת' ברוקס ב-22 באוגוסט 2020, אך הוא נדחה ל-2021 בגלל מגפת הקורונה. האירוע הראשון שכן התקיים באצטדיון זה היה משחק העונה הסדירה הראשון שהתקיים ביום שני בלילה בין הריידרס לניו אורלינס סיינטס ב-21 בספטמבר 2020.
היסטוריה.
בינואר 2016 התפרסמו דיווחים כי חברת לאס וגאס סנדס שוקלת לבנות אצטדיון בשיתוף עם Majestic Realty ו-אוניברסיטת נבדה בלאס וגאס (UNLV), באתר של 170 דונם (42 אקרים) ב"שדרת טרופיקנה" שבבעלות UNLV. UNLV חיפשה אצטדיון חדש שיחליף את אצטדיון סם בויד מאז שנת 2011 לפחות. בעלי האוקלנד ריידרס, מארק דייוויס, ביקר בלאס וגאס ב-29 בינואר כדי לסייר במקום ולהיפגש עם יו"ר ה"סנדס" שלדון אדלסון ואישים מקומיים אחרים. הריידרס, שניסו לבנות אצטדיון חדש לקבוצה מאז שנות ה-80, בדיוק החמיצו את המעבר ללוס אנג'לס באותו החודש, כאשר נקבע כי הסנט לואיס ראמס והסן דייגו צ'רג'רז יעברו לאצטדיון חדש באינגלווד שבקליפורניה והריידרס נשארו תקועים במבוי סתום באוקלנד. על מנת שהקבוצה תעבור ללאס וגאס, נדרש אצטדיון חדש, מכיוון שאצטדיון סם בויד היה קטן מהגודל המתאים עבור ה-NFL, ולא היו עוד אצטדיונים מקצועיים ברמה הדרושה בנבדה.