הוא תופס טרמפ לביתו עם אדם בשם ראסל, שמסיע את אחותו, פנצ'רץ', לביתה. ארתור מגלה שעברו חודשים ספורים בלבד מאז הפעם האחרונה שבה היה בכדור הארץ. כמו כן, ראסל מספר לו שאחותו החלה לסבול מהזיות מיד לאחר תאונה כלל-עולמית שהובילה להיסטריה המונית בעקבות ה"הזיה על חלליות צהובות". בנוסף לכך, ארתור מגלה שבעקבות אותה תאונה כל הדולפינים נעלמו מכדור הארץ. ארתור חוזר לביתו, ומוצא בין כל הדואר שהצטבר במהלך היעדרותו קערה שעליה חרוטות המילים "היו שלום ותודה...".
ארתור חוזר לחייו הקודמים, ומנסה למצוא את פנצ'רץ', שאותה פגש במכוניתו של ראסל. למזלו, הוא מצליח לאתר אותה ולפתוח איתה בשיחה ולפני שהיא עוזבת גם נותנת לו את מספר הטלפון שלה, אך ארתור מאבד אותו. ארתור מצליח לאתר את ביתה באמצעות איתור מיקומה של המערה שבה שהה לאחר שהתרסק בכדור הארץ פרהיסטורי. משיחותיהם עולה כי יש להם הרבה מאוד דברים משותפים והם מתאהבים. פנצ'רץ' מספרת לארתור שדקות ספורות לפני אותה הזיה על הספינות הצהובות, הייתה לה הארה איך להפוך את הכל לטוב יותר, אבל שניות אחדות לאחר מכן איבדה את הכרתה, ומאז היא לא מסוגלת להיזכר באותה הארה.
ארתור נוסע עם פנצ'רץ' לארצות הברית כדי לפגוש את "וונקו השפוי" ולברר לאן נעלמו הדולפינים. בשיחה עם וונקו הוא מגלה להם כי ברשותו נמצאת קערה דומה לזו של ארתור, ומתברר כי גם לפנצ'רץ' יש קערה זהה. וונקו מעודד אותם "להקשיב" לדברי הקערה, וכשהם עושים זאת, הם שומעים הודעה קולית שהשאירו הדולפינים לפיה הם נטשו את כדור הארץ לפני השמדת כדור הארץ ועברו למימד מקביל, אך לפני עזיבתם שיחזרו את כדור הארץ ההרוס על מנת להציל את האנושות. בעוד שארתור איבד משהו וקיבל אותו חזרה, פנצ'רץ' מרגישה שהיא גילתה משהו ואיבדה אותו, ושניהם מחליטים לעזוב את כדור הארץ ולצאת אל החלל כדי להגיע אל המקום בו נמצאת ההודעה האחרונה של אלוהים לברואיו.
במקביל להתרחשויות בכדור הארץ, פורד פרפקט מגלה שבעקבות עדכון "מדריך הטרמפיסט לגלקסיה", הערך של כדור הארץ, שבעבר כלל רק את המילים "לא מזיק ברובו", הוחלף בערך גדול בהרבה שכתב פורד בזמן שהותו בכדור הארץ. הדבר נראה לו חשוד, והוא מחליט לשוב אל כדור הארץ. פורד מגיע לכדור הארץ בעזרתה של חלליתו של רובוט עצום, שנוחתת במרכז לונדון וגורמת להיסטריה רבה, ופוגש את ארתור ופנצ'רץ'. שלושתם תופסים את הפיקוד בחללית שבעזרתה פורד הגיע ועוזבים את כדור הארץ.
ארתור מגיע יחד עם פנצ'רץ' אל כוכב לכת שבו הם פוגשים את הרובוט "מרווין", שכעת נמצא במצב רעוע. על הכוכב שלושתם מגלים מהי ההודעה האחרונה של אלוהים לברואיו: "מצטערים על התקלה" (במקור We apologise for the inconvenience", אנו מתנצלים על אי הנוחות), ומרווין, שלא יכול להמשיך עוד, נפטר.
הדיון סביב הספר.
הספר בעל אופי שונה מקודמיו לסדרה: תחילה, משום שיש בו רומנטיקה וקפיצות מרובות בין הזמנים והעלילות. בנוסף, הוא כמעט ולא מכיל מסעות בחלל, ומתמקד בעיקר בכדור הארץ. דאגלס אדמס עצמו הצהיר שאינו מרוצה מהעלילה, משום שהעורך האיץ בו לסיים את כתיבת הספר.
עלילת הספר מציגה גם את השינוי בהשקפתו של אדמס כלפי מחשבים. בספריו הקודמים, המחשבים תוארו לרוב בצורה שלילית והומוריסטית, שהציגו את השקפתו דאז. לעומת זאת, במהלך כתיבת הספר השלישי בסדרה דעתו כלפי הטכנולוגיה השתנתה, וזאת בעקבות רכישת מחשב המקינטוש הראשון שהופץ באנגליה. בספרו הרביעי מסופר שארתור מחליט לקנות מחשב לצורך מיפוי כוכבים, ואדמס העיר הערה לעגנית בנוגע להחלטתו.
משפט קיילי-המילטון
משפט קיילי-המילטון הוא משפט באלגברה ליניארית, הקובע שכל מטריצה ריבועית A (מעל שדה) מאפסת את הפולינום האופייני שלה formula_1, כלומר, מתקיים formula_2. בפרט, הפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה.
המשפט קרוי על שמם של המתמטיקאים ארתור קיילי וויליאם המילטון. במאמר מ-1858 הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות בגודל formula_3, והוא מדווח כי בדק את הטענה גם עבור מטריצות בגודל formula_4; עם זאת, הוא כותב, "לא מצאתי לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל גודל". מעט אחר-כך גילה המילטון את המשפט עבור מטריצות בגודל 4, במהלך מחקריו על אלגברת הקווטרניונים. את המקרה הכללי הוכיח פרדיננד גאורג פרובניוס, ב- 1878.
המשפט תקף כאשר מקדמי המטריצה מגיעים מחוג קומוטטיבי כלשהו, ונובע ממנו שכל חוגי המטריצות formula_5 הם חוגי זהויות פולינומיות.
הוכחת המשפט.
נסמן formula_6. ראשית ידוע כי לכל מטריצה formula_7 מתקיים כי formula_8, ולכן עבור formula_9 מתקיים כי formula_10 ומכיוון שאיברי המטריצה formula_11 הם פולינומים ממעלה ראשונה ולכן גם כן איברי formula_12 פולינומים אכן ממעלה גדולה או שווה ל-formula_13. לכן ניתן לכתוב את formula_14 כפולינום על מקדמים שהם מטריצות, formula_15. מכיוון ש-formula_16 אז מתקיים כי formula_17 ו-
formula_18 ולכן על ידי השוואת מקדמים לפולינומים זהים נקבל כי formula_19 אז אם נכפול ב-A נקבל כי formula_20 ולכן על ידי הצבה בפולינום המציין נקבל טור טלסקופי שמתאפס.
הוכחה עבור מטריצות לכסינות.
אם מניחים שהמטריצה לכסינה, ההוכחה קלה יותר:
דמיון מטריצות
דמיון הוא יחס שקילות בין מטריצות ריבועיות מאותו גודל, המוגדר באופן כזה ששתי מטריצות דומות זו לזו אם הן מייצגות את אותה טרנספורמציה ליניארית, בבסיסים שונים.
המונח 'דמיון' בהקשר זה אינו מוצלח, משום שמדובר במקרה פרטי של יחס הצמידות מתורת החבורות, אלא שהמונח השתרש ללא תקנה. גם באנגלית מקובל לקרוא למטריצות דומות similar matrices, בעוד שצמידות היא conjugacy.
הגדרה.
מטריצות ריבועיות formula_1 בגודל formula_2 הן דומות אם קיימת מטריצה ריבועית הפיכה formula_3, כך ש-formula_4.
יחס הדמיון הוא יחס שקילות, משום שהוא רפלקסיבי (כל מטריצה דומה לעצמה: ניקח formula_5, מטריצת היחידה), סימטרי (אם formula_4 אז formula_7) וטרנזיטיבי (אם formula_4 וגם formula_9 אז formula_10, כך ש-formula_11 דומה ל-formula_12).
מטריצות והעתקות ליניאריות.
כל העתקה ליניארית ממרחב וקטורי formula_13 (בעל ממד סופי) אל עצמו, אפשר לייצג במטריצה ריבועית. הייצוג תלוי בבחירת בסיס למרחב, וכשמייצגים את אותה העתקה בשני בסיסים, מתקבלות מטריצות דומות. מטריצות דומות אינן אלא הצגות שונות לאותו אובייקט. זוהי הסיבה לחשיבות של בעיית המיון של מטריצות למחלקות דמיון, כלומר, מציאת דרך לקבוע מתי שתי מטריצות נתונות דומות זו לזו.
מאפיינים ומיון למחלקות.
למטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני (ולכן גם אותם דטרמיננטה, עקבה וערכים עצמיים), אותו פולינום מינימלי, ואותה דרגה. בדרך כלל תכונות אלו אינן מספיקות כדי להבטיח דמיון: אם לשתי מטריצות בגודל formula_14 או formula_15 יש אותם פולינום אופייני ופולינום מינימלי, אז הן דומות, אבל למטריצות גדולות יותר טענה זו אינה נכונה.
מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורה רציונלית. כאשר הפולינום האופייני מתפרק לגורמים ליניאריים (וזה תמיד כך מעל שדה סגור אלגברית), מטריצות הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן.
דמיון למטריצות מיוחדות.
מטריצה הדומה למטריצה אלכסונית (מטריצה שכל איבריה שמחוץ לאלכסון הראשי שווים לאפס) נקראת "מטריצה לכסינה" (או: "מטריצה ניתנת ללכסון"). תנאי הכרחי ומספיק לכך הוא שכל הערכים העצמיים של המטריצה נמצאים בשדה המדובר, ושהריבוי הגאומטרי של כל אחד מהם שווה לריבויו האלגברי. בפרט, זה קורה כאשר למטריצה בגודל formula_16 ישנם n ערכים עצמיים שונים.
אחד המשפטים החשובים באלגברה ליניארית קובע שמעל שדה סגור אלגברית, כל מטריצה דומה למטריצת ז'ורדן אחת ויחידה (עד כדי סדר הבלוקים).
התלות בשדה הבסיס.
א-פריורי, השאלה אילו מטריצות דומות זו לזו תלויה גם בשדה שמעליו הן מוגדרות. לכאורה, היה צריך לומר ששתי מטריצות formula_11 ו- formula_18 בעלות רכיבים בשדה formula_19 הן 'דומות מעל formula_19', אם קיימת מטריצה formula_3 הפיכה, בעלת מקדמים באותו שדה, המקיימת את התנאי formula_4. נראה כאילו זה אפשרי שמטריצות תהיינה דומות מעל הרחבה של formula_19 (המאפשרת יותר חופש בבחירת formula_3), גם אם אינן דומות מעל formula_19. אלא שבפועל המצב פשוט יותר: אם שתי מטריצות המוגדרות מעל formula_19 דומות מעל איזשהו שדה (גדול ככל שיהיה), אז הן דומות כבר מעל formula_19. ההוכחה לעובדה זו דורשת את התאוריה של צורות רציונליות של מטריצות.
גשר (מבנה)
מוריץ הס
עפרה
עָפְרָה היא התנחלות במתכונת של יישוב קהילתי-דתי על מורדות רמת חצור בגבול הרי בנימין והשומרון. היישוב ממוקם על כביש 60 מצפון לירושלים וצפונית-מזרחית לרמאללה, ומשתייך למועצה אזורית מטה בנימין וליישובי "אמנה", תנועת ההתיישבות של גוש אמונים. היישוב קרוי על שמה של עפרה המקראית בנחלת שבט בנימין המזוהה עם הכפר הפלסטיני הנוצרי טייבה הסמוך.
בעפרה מתגוררות כיום כ-600 משפחות, שהן כ-3,000 תושבים.
במשך שנים רבות, להתנחלות לא היה שטח שיפוט או תוכנית מתאר מפורטת שמכוחה ניתן לאשר בנייה, הבתים בה בנויים חלקם על אדמות פרטיות שידוע מי הם בעלי הקרקע, חלקם על אדמות של הכפרים עין יברוד וסילוואד ולא ידוע בבירור מי בעלי הקרקע, וחלקם על אדמות מדינה. בסוף שנת 2013 הופקדה לראשונה תוכנית מתאר עבור חלק קטן מהיישוב.
היסטוריה.