שבר משולב הוא ביטוי מהצורה formula_1, כאשר המספרים formula_2 הם בדרך כלל מספרים טבעיים, או ביטוי אינסופי בעל מבנה דומה.
שברים משולבים מופיעים בתחומים שונים של תורת המספרים: ניתוח האלגוריתם של אוקלידס לחישוב מחלק משותף מקסימלי, פתרון משוואת פל, ובעיקר קירובים רציונליים למספרים ממשיים. למעשה, נתן להראות כי הקירובים המתקבלים על ידי שברים משולבים הם הקירובים הרציונליים הטובים ביותר. לשברים משולבים יש חשיבות רבה גם באנליזה נומרית, לצורך קירוב של קבועים ופונקציות שונות, לרבות פונקציות לא אלמנטריות.
היסטוריה.
נטען שכבר ארכימדס עשה שימוש בשיטת השברים המשולבים, במסגרת עבודתו על שיטה לחישוב formula_3, שבמהלכה היה צריך לבצע קירובים רציונליים לשורשים ריבועיים של מספרים שאינם ריבועים (ראו גם "על המדידה של המעגל"). מאוחר יותר, גם אריהאבטה ולאונרדו פיבונאצ'י חקרו את השימוש בשברים משולבים. המונח "שבר משולב" נטבע ב-1653 על ידי ג'ון ואליס בחיבורו "Arithmetica infinitorum". בערך באותו זמן, המדען ההולנדי המפורסם כריסטיאן הויגנס עשה שימוש פרקטי ראשון בשברים משולבים, כשהשתמש בהם לצורך בניית מכשירים מדעיים המורכבים מגלגלי שיניים.
את הטיפול השיטתי הראשון בשברים משולבים סיפק לאונרד אוילר במאמריו De fractionibus continuis dissertatio ו- Introductio in analysin infinitorum, בהם ניתח באופן מעמיק את התכונות של שברים משולבים, הוכיח שכל מספר רציונלי ניתן להצגה כשבר משולב סופי, הוכיח את השקילות של טורים אינסופיים מסוימים עם שברים משולבים (נוסחת אוילר לשברים משולבים), ומצא הצגה של הקבוע המתמטי e כשבר משולב אינסופי, ממנה נבע ש-e הוא אי רציונלי. הוא גם עשה שימוש בהם לצורך פתרון משוואת פל. ב-1761, יוהאן היינריך למברט סיפק את ההוכחה הראשונה ש-formula_3 אי רציונלי באמצעות הצגה של formula_5 כשבר משולב. ההוכחה שלו הייתה חריגה בנוף המתמטי של התקופה כיוון שלא רק שהפיתוח לשבר משולב נרשם נכונה לראשונה, אלא שלמברט גם נתן הוכחה של ההתכנסות שלו.
ב-1813, קרל פרידריך גאוס גזר תבנית כללית ביותר של שברים משולבים עם ערכים מרוכבים באמצעות זהות שקשרה בינם לטור ההיפרגאומטרי. גאוס גם חקר לפני כן, ב-1800, את ההתנהגות של שברים משולבים של מספרים ממשיים אקראיים וניסח והוכיח מספר חוקים לגבי ההתנהגות שלהם. רק ב-1928, Kuzmin בנה מחדש את ההוכחה של גאוס.
סימונים והכללות.
לשם הקיצור, מקובל לסמן את השבר המשולב המופיע במבוא בסימון formula_6. שבר כזה, שבו כל המונים שווים ל-1, קרוי לפעמים שבר משולב פשוט, בעוד ששבר משולב מוכלל הוא ביטוי כללי יותר, מן הצורה formula_7. שברים משולבים כאלה כותבים לפעמים כ- formula_8.
הרכיבים הסופיים של שבר משולב.
את השבר האינסופי formula_9 אפשר לחקור בעזרת המרכיבים הסופיים שלו, formula_10, שהם מספרים רציונליים.
הבניה של שבר משולב מן הסדרות formula_11 ו- formula_12 היא תהליך אינסופי, שמלכתחילה לא מובן מאליו שהוא מתכנס למספר כלשהו. התכונה הבסיסית ביותר של שברים משולבים היא העובדה שהתהליך מתכנס כל אימת שהסדרות המגדירות אותו חיוביות.
נגדיר סדרות נסיגה על-פי תנאי ההתחלה formula_13; formula_14, ונוסחת הנסיגה formula_15 ,formula_16.
מתברר שתחת הגדרה זו, המנות formula_17 מתארות את השלבים הסופיים בפיתוח השבר המשולב, כלומר, formula_18 לכל k טבעי.
formula_19
formula_23
formula_24
formula_25
את נוסחת הנסיגה אפשר לכתוב בעזרת מטריצות, באופן הבא:
formula_26. מהשוואת הדטרמיננטה בשני האגפים, נובע באינדוקציה ש- formula_27. זוהי זהות חשובה ביותר, שאפשר להסיק ממנה תכונות רבות של הסדרות המעורבות. לדוגמה, בשבר משולב פשוט מתקיים formula_28 לכל k, ואם כך הזהות קובעת שהמספרים formula_29 ו- formula_30 זרים, כך שהשבר formula_31 שהם מציגים הוא שבר מצומצם.
כדי להוכיח את התכנסות התהליך, נחלק את הזהות במכפלה formula_32, ונקבל formula_33, כלומר formula_34. מנוסחת הנסיגה, קל להיווכח כי הסדרה formula_35 היא סדרה יורדת של מספרים חיוביים, ומשפט לייבניץ מבטיח שהטור המתחלף המגדיר את formula_31 - מתכנס.
למעשה, חישוב בעזרת נוסחת הנסיגה מביא לנוסחה formula_37, שממנה מתקבל היחס formula_38. מכאן שסדרת הקירובים הזוגיים היא סדרה עולה, וסדרת הקירובים האיזוגיים היא סדרה יורדת. עוד אפשר להוכיח שאברי הסדרה הזוגית תמיד קטנים מאברי הסדרה היורדת.
הצגה של מספרים ממשיים.
הדיון לעיל מראה שאם המספרים formula_11 טבעיים, אז הביטוי formula_40 הוא תמיד מספר ממשי מוגדר היטב (דהיינו, סדרת המספרים formula_31 מתכנסת). מן האלגוריתם של אוקלידס (או באינדוקציה) נובע שלכל מספר רציונלי יש הצגה כשבר משולב סופי. מאידך, אפשר להוכיח שלכל מספר ממשי שאינו רציונלי קיימת הצגה (יחידה) כשבר משולב אינסופי.
את ההצגה של x כשבר משולב אפשר לחשב על ידי הגדרת סדרת עזר, באופן הבא: formula_42, ולכל formula_43, מגדירים formula_44 (החלק השלם) ו- formula_45. השבר המשולב formula_46 שווה במקרה זה ל- x.
משפט. ההצגה של מספר ממשי כשבר משולב היא מחזורית, אם ורק אם המספר הוא שורש למשוואה ריבועית בעלת מקדמים שלמים.
לדוגמה, השבר המשולב formula_47 מייצג את יחס הזהב formula_48, משום שלפי ההגדרה formula_49. בדומה לזה, formula_50, כי מ- formula_51 מתקבלת המשוואה formula_52. הפיתוח של formula_53 לשבר משולב מחזורי מאפשר לפתור את משוואת פל formula_54.
ישנם מספרים אי-רציונליים יוצאי דופן, עבורם הייצוג כשבר משולב ידוע, אף על פי שאינו מחזורי. למשל, עבור הקבוע formula_55 ניתן להוכיח כי formula_56. אם נתיר לחבר אפסים במכנה, נקבל את הייצוג formula_57 (שכן formula_58) בו החוקיות יותר ניכרת.
קירובים על ידי שברים משולבים.
כידוע, כל מספר אי־רציונלי ניתן לקרב על ידי סדרת מספרים רציונליים. למשל, נוכל לקרב את formula_59 באופן דצימלי על ידי הסדרה formula_60. ניתן להתקרב למספר אי־רציונלי עד למרחק קטן כרצוננו, אולם לשם כך יהא עלינו להגדיל את המכנה בשבר המקרב. לכן מודדים את טיב הקירוב במרחק של השבר הרציונלי מן היעד, יחסית לגודל המכנה.
בניית שבר משולב נותנת טכניקה לקירוב רציונלי של מספרים אי רציונליים. אפשר להציג את formula_61 כשבר משולב על ידי formula_62. מתוך תחילת הייצוג נוכל לקבל את הקירוב formula_63 למספר formula_59. קירוב זה הוא בעל מכנה דומה לקירוב formula_65 אולם מתקיים formula_66, ואילו formula_67, וכך הקירוב שהתקבל מתוך פיתוח השבר המשולב הוא טוב יותר.
יהא formula_68 שבר המתקבל משלב כלשהו בפיתוח השבר המשולב של מספר אי־רציונלי formula_69. שבר זה הוא מיטבי לקירוב, מהבחינות הבאות:
התנהגות כמעט תמיד.
כאשר מתאימים מספר ממשי x לפיתוח formula_79, אפשר לבחון את התנהגות הסדרה formula_11 עבור ערכים שונים של x. למשל, ידוע שכמעט לכל x, הסדרה אינה חסומה; ליתר דיוק, קבוצת הערכים formula_81 שעבורם הסדרה חסומה היא קבוצה ממידה אפס. המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר חינצ'ין (Александр Хинчин) הוכיח בספרו תוצאות רבות מסוג זה, העוסקות בערכים formula_11 ו- formula_83 המתקבלים מהצגת מספר ממשי שנבחר באקראי (בין היתר עשה התקדמות אל הוכחה של השערה מיומנו של גאוס). להלן כמה מן המשפטים החשובים שהוכיח חינצ'ין.
משפט. תהי formula_84 סדרה כלשהי. אם הטור formula_85 מתבדר, אז כמעט תמיד מתקיים אי-השוויון formula_86 עבור אינסוף ערכי n; ואם הטור מתכנס, אז כמעט תמיד מתקיים אי-שוויון זה רק עבור מספר סופי של ערכי n.
(לדוגמה, כמעט לכל x הסדרה formula_87 אינה חסומה).
משפט. כמעט לכל x, מתקיים formula_88. בפרט, הסדרה formula_83 גדלה במהירות אקספוננציאלית (למעשה, קל לראות מן ההגדרה שהסדרה גדלה מהר לפחות כמו סדרת פיבונאצ'י).
חינצ'ין חקר גם את ההתפלגות של המקדמים formula_11 (עבור x בעל התפלגות אחידה בקטע (0,1)), והראה שלכל פונקציה f שאינה גדלה מהר מדי (formula_91 עבור קבוע מתאים C ו- formula_92), הערך הממוצע formula_93 של המספרים formula_94 שווה, בהסתברות 1, ל- formula_95. בפרט, שכיחות ההופעה של קבוע N בסדרה היא formula_96. תוצאה זו מכלילה את מידת גאוס, שהיא המידה על קטע היחידה האינווריאנטית להעתקה formula_97.
טבלואיד
קרלסבאד
קרלסבד
Paypal
בניין טראמפ
בניין טראמפ (באנגלית: The Trump Building) שנקרא בעבר וול סטריט 40, הוא גורד שחקים הממוקם בוול סטריט 40, מנהטן, ניו יורק, ארצות הברית. הבניין מתנשא לגובה של 282.6 מטרים והוא בן 70 קומות. בזכות כך, החזיק בתואר "הבניין הגבוה ביותר בעולם" במשך חודש אחד, 27 באפריל-27 במאי 1930, עד השלמת בנייתו של בניין קרייזלר.
הבניין נבנה ב-11 חודשים בלבד והוקם על ידי בנק מנהטן ואף נקרא בעבר בשם זה. כיום הוא ידוע בשם "בניין טראמפ" על שם המיליארדר דונלד טראמפ שקנה ושיפץ אותו בשנת 1995, ומאוחר יותר נהיה גם נשיא ארצות הברית.
היסטוריה.
אדריכלות.
הבניין תוכנן על ידי האדריכל ה. קרייג סברנס בליווי האדריכל Yasuo Matsui ומשרד האדריכלים הניו יורקי, "שריב, לם והרמון" ששימש כיועץ לפרויקט. אדוארד קלדוול תכנן את מערכת התאורה והאדריכל דר סקוט תכנן את לובי הכניסה.
המירוץ לבניית המגדל הגבוה בעולם.