"יסודות" לא היה הספר הראשון מסוג זה. קדמו לו לפחות שלושה, ובהם ספרו של היפוקרטס מכיוס. עם זאת הספר "יסודות" הצליח כל כך עד שלא היה צורך בספרים שקדמו לו, וכך היה "יסודות" ליחיד שעותקיו שרדו מן התקופה ההלניסטית. אפילו עובדה זו לבדה מדגימה את ייחודו, ומסבירה את ההשפעה הרבה שהייתה לו. מעתיקי הספר הוסיפו לו הערות והסברים, וכאלה מופיעים בכל אחד מן העותקים שנמצאים בידינו. ההסברים שונים זה מזה, ומכאן ניתן להסיק שלא נכללו בספר המקורי.
בניגוד לדעה המקובלת, לא היה "יסודות" אנציקלופדיה שמטרתה לכסות את כל הידע בגאומטריה. זהו ספר מבוא שדן בגאומטריה, באלגברה (במובנה דאז, כלומר, של פעולות וקשרים בין כמויות גאומטריות) ובאריתמטיקה. בספר לא נכלל ידע במתמטיקה שימושית ובשיטות מעשיות לביצוע חישובים, אף שאין ספק שידע כזה היה קיים באותה תקופה. הספר גם אינו מטפל בגאומטריה של חתכי חרוט, שנחקרה בדורות שקדמו לו.
מבנה ה"יסודות".
החיבור מחולק לשלושה-עשר פרקים, או "ספרים". ששת הראשונים עוסקים בגאומטריית המישור, שלושת הבאים בתורת המספרים האלמנטרית, העשירי דן בקטעים ללא מידה משותפת (בשפה מודרנית, אי-רציונליים), ושלושת האחרונים - בגאומטריית המרחב. הספר אינו כולל מבוא אינטואיטיבי או היסטורי, והוא נפתח ברשימה של עשרים ושלוש הגדרות, המגיעות כנראה מאפלטון.
אוקלידס מגדיר, לדוגמה:
מנקודת מבט מודרנית קשה לראות בהגדרות כאלה מצע מספק לפיתוח מסודר של הגאומטריה. הן כוללות מושגים רבים שלא הוגדרו כלל, ואשר נחשבו טבעיים יותר מן האובייקטים הגאומטריים. חלקן בנוי באופן שלילי, על ידי ציון התכונות החסרות במושג המוגדר.
לאחר ההגדרות מונה אוקלידס חמש הנחות או "פוסטולטים" (יוונית: Αιτηματα, אַיטֶמַטַא) וחמש מוסכמות או אקסיומות (יוונית: Κοιναι εννοιαι, קוֹינַי אֵנּוֹיַי). אצל אריסטו יש הבחנה חדה בין שני הסוגים. המוסכמות צריכות להיות נכונות כמובן מאליו לכל אדם, בעוד שההנחות הן כאלו המיוחדות למקצוע, מעין הנחות-עבודה פרגמטיות ותו לא. לא ברור האם אוקלידס התכוון לאמץ את מלוא המשמעות של חלוקה זו. בכמה מעותקי הספר מקובצות יחד עשר הנחות היסוד. במתמטיקה המודרנית אין למעשה הבדל בין המושגים.
על-פי מרבית המקורות שבידינו, חמש ההנחות הן כדלקמן:
חמש הנחות אלה היו למסד של הגאומטריה האוקלידית בגישתה האקסיומטית. ההנחה האחרונה היא אקסיומת המקבילים, שעליה נכתב רבות.
לאלה נוספו חמש המוסכמות, שמקורן בחשיבה של אסכולת אריסטו:
אף על פי שהספר נודע לתהילה כמופת של דיוק וקפדנות, מנקודת מבט מודרנית ניתן לטעון שהגדרותיו אינן מספקות. בעקבות אריסטו, העדיף אוקלידס הוכחות המצריכות שימוש במספר הנחות יסוד קטן ככל האפשר; עם זאת אפשר לזהות הנחות נסתרות ברבות מן ההוכחות. ההנחה הראשונה, לדוגמה, קובעת שדרך כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע ישר, ובהוכחות המסתמכות עליה מניחים, כמובן מאליו, שקיים רק קטע אחד כזה.
למרות פגמים אלה היה הספר הישג בדורו והפך למופת של כתיבה מדוקדקת. המבנה הלוגי המסודר, היוצא מהנחות יסוד מצומצמות ככל האפשר ומגיע מהן למסקנות מרחיקות לכת, הצית את דמיונם של מדענים שקראו בו במשך הדורות, והפך לאבן בוחן לפיתוח מסודר של תורה מתמטית.
המדענים המובילים במאות ה-16 וה-17, בהם קופרניקוס, קפלר, גלילאו ובמיוחד ניוטון, הושפעו רבות מן ה"יסודות", ויישמו בעבודתם את גישתו של אוקלידס. ספרים בעלי מבנה דומה נכתבו במאות האחרונות על ידי פילוסופים (כדוגמת שפינוזה וויטגנשטיין) ולוגיקאים (כראסל ווייטהד), שכתבו ספרי "יסודות" משלהם.
סדר האקסיומות לפי מהדורת 1752.
בשנת 1752 ראתה אור מהדורה שחילקה את האקסיומות באופן מעט שונה, והיא שהייתה בידיהם של מדעני המאה ה-19. לפי מהדורה זו נמנו שלושה פוסטולטים ו-11 אקסיומות, כאשר הפוסטולטים הם:
ואחת-עשרה האקסיומות הן:
בשל כך נקראת לעיתים אקסיומת המקבילים בספרות המאה ה-19 "האקסיומה ה-11"
תוכן החיבור.
ששת הספרים הראשונים עוסקים, כאמור, בגאומטריה. ארבעת הראשונים עוסקים בגאומטריית המישור. הראשון והשני מסכמים כנראה את עבודתו של פיתגורס, בעוד שהשלישי והרביעי מייצגים את עבודתו של היפוקרטס מכיוס.
ארבעת הספרים הבאים עוסקים בתורת המספרים:
שלושת הספרים האחרונים עוסקים בגאומטריית המרחב.
יסודות
רנט ל'אוראנז
רֶנֶט ל'אוֹראַנֶז (בצרפתית: Reinette l'Oranaise; 1918 - 17 בנובמבר 1998), הוא שם הבמה של סולטנה דאוד, זמרת יהודיה ונגנית עוד של מוזיקה אנדלוסית-מוגרבית.
ילדותה.
סולטנה דאוד נולדה בעיר טִיאַרֵט שבצפון מערב אלג'יריה. אביה היה רב ממוצא מרוקאי. בגיל שנתיים התעוורה כתוצאה ממחלת אבעבועות שחורות קשה.
היא הושמה במוסד לעיוורים עד גיל 12, שם למדה לקרוא ולכתוב כתב ברייל. אמה, שהייתה נחושה להקנות לה מקצוע שיאפשר לה להיות מאושרת, רשמה אותה ללימודים אצל סעוד מדיאוני, זמר וכנר שהיה בקיא באמנות ההוזי (סגנון שנגזר מהמוזיקה הערבית-אנדלוסית). תוך זמן קצר הראתה רנט הקטנה הצטיינות בלימודיה, פיתחה את קולה, למדה לנגן בעוד, והחלה לעבוד כזמרת בבית-הקפה שבבעלותו של סעוד מדיאוני ברובע היהודי של אוראן. סעוד היה מי שהמציא את הכינוי שהפך לשם הבמה המוכר, "רנט ל'אוראנז" (בצרפתית: כינוי חיבה ל"מלכה מאוראן").
הקריירה.
במשך כעשר שנים הופיעו היא וסעוד כצמד ברחבי אלג'יריה וגם הוציאו את תקליטם הראשון. בשנת 1938 החליט סעוד מדיאוני לפתוח בית-קפה מוזיקלי בפריז שבצרפת, כשרנט נוסעת בעקבותיו, אך עד מהרה חזרה לאלג'יריה. בזמן הכיבוש הנאצי נתפס מדיאוני בפשיטה בעיר מרסיי ונשלח למחנה ריכוז, משם לא חזר.
רנט המשיכה את הקריירה שלה באלג'יריה ותפסה מקום של כבוד בין גדולי הזמרים המוסלמים והיהודים במדינה, לצידה של הזמרת המפורסמת אליס פיטוסי מהעיר קונסטנטין (אלג'יריה), שיחד איתה הפיחה חיוּת בחתונות וחגיגות יהודיות אחרות רבות.
באחת מחגיגות אלה היא פגשה את בעלה לעתיד, הכנר ז'ורז' נסים לאיאני (Georges Nessim Layani) (1926–2003), שגם כונה "העיניים שלה", ושנהג ללוות אותה בהופעותיה בדרבוקה.
אחד מהשירים המפורסמים ביותר אותו ביצעה הוא שיר החתונה "אַבּיָאדִי יָאנַא" (הידוע גם בכינוי היותר עממי טִי פּארִי פּאטִי על שום הפזמון החוזר והקליט שבו). להלן מילות השיר כפי שנקלטו משמיעה של אחת מגירסותיה (ייתכנו לכן שיבושים קלים):
בעקבות מלחמת אלג'יריה נאלצה לעבור לגור בצרפת. תקופה ארוכה הופיעה שם בעיקר בחגיגות של היהודים שבאו מצפון אפריקה. אחרי שבשנת 1980 פורסמה כתבה עליה בעיתון "ליברסיון" התעורר העניין בכשרונה ובשירתה גם בקרב הקהל הרחב. הוזמנה להופעות באולמות "בטקלן" ו"אולימפיה" ויצאה לסיורים מתוקשרים, בין השאר, באנגליה וספרד.
נפטרה בשנת 1988 והובאה לקבורת ישראל בבית הקברות פאנטן בפריז. בעלה, שנפטר בשנת 2003 נקבר לצידה.
עקרב (קבוצת כוכבים)
קבוצת הכוכבים עקרב (Scorpius בלטינית), סימון: ♏︎, היא אחת מקבוצות הכוכבים הבולטות ביותר בחצי הדרומי של השמים המכילה לא פחות מ-11 כוכבים עם בהירות נראית מדרגה קטנה מ-3. עקרב היא גם קבוצת הכוכבים השמינית בגלגל המזלות והשמש עוברת דרכה בסוף נובמבר.
כוכבים חשובים.
α בעקרב (אנטארס - ביוונית יריבו של מאדים בשל צבעו האדום) הוא על-ענק אדום, שקוטרו פי 300 משל השמש. הוא נמצא במרחק של כ-600 שנות אור ובהירותו הנראית משתנה בין דרגות 0.9 ו-1.1. בטלסקופ ניתן להבחין שזהו כוכב זוגי עם בן זוג כחול-ירקרק עם בהירות מדרגה 6.
β בעקרב (גרפיאס) הוא מערכת מרובת כוכבים במרחק של כ-530 שנות אור, בטלסקופ חובבים ניתן לראות שניים מהם עם בהירויות מדרגות 3 ו-5.
δ בעקרב (דשובה) הוא כוכב משתנה שבהירותו נעה בין דרגות 2.3 ו-1.6. זהו למעשה כוכב זוגי שזוג הכוכבים מקיפים זה את זה בזמן מחזור של כ-10 שנים.
π בעקרב הוא מערכת בת לפחות שלושה כוכבים במרחק של כ-585 שנות אור ממערכת השמש ובהירות נראית מדרגה 2.89.
ζ1 בעקרב ו-ζ2 בעקרב הם זוג כוכבים שניתן להפריד ביניהם ללא ציוד עזר, ζ1 בעקרב הוא על ענק כחול, ככל הנראה חלק מצביר הכוכבים NGC6231 במרחק של 5000 שנות אור. בהירותו הנראית היא מדרגה 5. ζ2 בעקרב הוא ענק כתום קרוב בהרבה ובהירותו היא מדרגה 4.
μ1 בעקרב ו-μ2 בעקרב הם זוג כוכבים נוסף שניתן לראות בעין. μ1 בעקרב הוא בעצמו כוכב זוגי במרחק של 820 שנות אור, המכיל כוכב כחול עם בהירות מדרגה 2.8, אותו מקיף כוכב עמום בהרבה, שמסתיר אותו חלקית פעם ביום וחצי ומוריד את בהירותו לדרגה 3.1. μ2 בעקרב הוא גם כוכב כחול במרחק של 515 שנות אור עם בהירות מדרגה 3.5.
τ בעקרב (אל ניאט) הוא כוכב הסדרה הראשית כחול שנמצא במרחק של כ-474 שנות אור ממערכת השמש עם בהירות מדרגה 2.81.
σ בעקרב (אל ניאט) הוא מערכת מרובת כוכבים שנמצאת במרחק של כ-567 שנות אור ממערכת השמש עם בהירות מדרגה 2.89.
ε בעקרב הוא ענק כתום שנמצא במרחק של כ-64 שנות אור ממערכת השמש עם בהירות מדרגה 2.3.
θ בעקרב (סרגס\גירטאב) הוא ענק לבן-צהבהב בזנבו של העקרב
κ בעקרב הם זוג ענקים כחולים בזנבו של העקרב
υ בעקרב (לסאת') הוא תת-ענק כחול בעוקץ העקרב
AH בעקרב - אחד הכוכבים הגדולים ביותר שידועים
Wray 17-96 - בעלת בהירות מוחלטת -10.9, מהגדולות הידועות
מיתולוגיה.
במיתולוגיה היוונית זהו העקרב שנשלח על ידי הרה (בגרסה אחרת על ידי אפולו) לעקוץ ולהרוג את אוריון – הצייד. קבוצת עקרב זורחת בדיוק כאשר קבוצת אוריון שוקעת ובכך מסמלת את נפילתו של אוריון מעוקצו של העקרב.
במיתולוגיה הסינית הקבוצה מייצגת את דרקון התכלת שהופעתו בשמי הלילה מבשרת את בוא האביב.