רמדיה האשימה את חברת הומנה הגרמנית, שיצרה את תחליף החלב עבור רמדיה, כי הפחיתה בכמות הוויטמין בלי ליידע אותה, אך בספטמבר 2006 הודיעה פרקליטות המדינה על כוונה להגיש תביעה על גרימת מוות ברשלנות נגד גורמים בכירים בחברה. בפברואר 2013 הרשיע בית המשפט את טכנולוג המזון של החברה, פרדריק בלק, בגרימת מוות ברשלנות. מנכ"ל רמדיה, גדעון לנדסברגר, זוכה ממרבית האישומים אך הורשע בעבירה על פי חוק התקנים. משה מילר, דירקטור בחברה זוכה מכל העבירות שבהן הואשם. לאחר מתן הכרעת הדין ערערה המדינה לבית המשפט המחוזי בלוד על זיכויו של מנכ"ל החברה ומנגד, טכנולוג המזון, פרידריק בלק, ערער אף הוא על הרשעתו. לאחר הסדר טיעון הורשע לנדסברגר בגרימת מעשה העלול להפיץ מחלה ונידון ל-400 שעות שירות לתועלת הציבור ועונשו של בלק הופחת ל-15 חודשי מאסר.
הוגשה גם תביעה נגד עובדים במשרד הבריאות, שהיו מופקדים על בדיקת מרכיבי המזון, ואף אישרו את הכנסתה ושיווקה של הפורמולה החדשה. בהסדר טיעון שנחתם ביוני 2011 הודו הנאשמים במעשה העשוי להפיץ מחלה ברשלנות, אך לא הורשעו בפלילים, ונגזרו עליהם עונשים של שירות לתועלת הציבור.
הפגיעה בילדים.
חמישה נפגעים נפטרו כתוצאה מההזנה ברמדיה צמחית ואחרים נפגעו בצורה חמורה. שלושה נפגעים נפטרו בינקותם כתוצאה מחולי שריר הלב, ענבר שובע שקעה למצב וגטטיבי ולבסוף הלכה לעולמה בשנת 2010 בגיל 7 ונועה חייבי, שנפגעה באופן חמור ביותר מההזנה ברמדיה צמחית, הלכה לעולמה בגיל 15 ב-4 בספטמבר 2018. שבעה נפגעים סבלו מפיגור שכלי ובעיות תנועתיות, שבעה נפגעים סבלו מאפילפסיה קשה, שניים מגבנון עם עקמת ונפגע אחד מחסם הולכה מלא של הקוצב המשני.
בשנת 2009 פרסמה ד"ר פתאל מחקר שממנו עולה כי ילדים שסבלו בעבר במחסור בוויטמין B1 משום שנזונו מרמדיה צמחית, עלולים לסבול מעיכובים בהתפתחות המוטורית. קשיים כגון גמגום, לקות שמיעה וכאבים בגפיים עלו בקרב ילדים שניזונו מהפורמולה זמן מועט יחסית וסבלו בינקותם מתסמינים קלים יחסית.
במחקרים נוספים שנערכו לאורך השנים, נמצא כי כ-80% מ"ילדי רמדיה" סובלים מלקות שפתית, ו-50% סובלים מהפרעה בהתפתחות המוטורית. מתוך 12 התינוקות שנפגעו באורח הקשה ביותר, רק אחת מבטאת כיום התפתחות תקינה, בעוד האחרים סובלים מקשיים משמעותיים ובהם פיגור שכלי, אפילפסיה, פגיעות בעמוד השדרה ובגזע המוח, ופגיעות קשות במוטוריקה. במחקר אחר נמצא כי מתוך 61 ילדים שנבדקו, בקרב 59 ילדים נמצאו בעיות בהתפתחות השפה, אך אצל רובם לא ניכרת פגיעה באינטליגנציה. מחקר השוואתי יחיד שהתפרסם בשנת 2012 השווה 216 פעוטות בני 3–5 שצרכו בינקותם את התרכובת הצמחית הפגומה של רמדיה, לקבוצה דומה שצרכה תרכובת צמחית ראויה למאכל, ומצא בשתי הקבוצות שיעור מוגבר דומה של הפרעות קשב, ריכוז והיפראקטיביות. החוקרים שיערו כי חלק מהפעוטות הועברו לתזונה צמחית בשל קשיי התנהגות שהפגינו בינקותם, ובכך נוצרה קשר סיבתי הפוך בו הפרעות התנהגות הובילו לתזונה צמחית ולא להפך.
אייפ&quot;ק
בעיית הלוגריתם הבדיד
באלגברה חישובית ובקריפטוגרפיה, בעיית הלוגריתם הבָּדִיד (דיסקרטי) המסומנת בקיצור DLP (באנגלית: Discrete Logarithm Problem), היא מציאת המעריך formula_1 בהינתן הבסיס formula_2 והתוצאה formula_3 כך שמתקיים formula_4, בקיצור formula_5 כאשר formula_6 ו-formula_1 הם מספרים שלמים.
בניגוד ללוגריתם רגיל מעל המספרים הממשיים שאותו קל לחשב בשיטות המסתמכות על קירוב, קשה לחשב לוגריתם בדיד בקבוצה סופית של מספרים שלמים מודולו שלם כלשהו הנקרא מודולוס. בעיית הלוגריתם הבדיד בחבורה ציקלית משוערת מזה כמה עשורים כבעיה מתמטית קשה והיא הבסיס למספר אלגוריתמים חשובים בהצפנת מפתח ציבורי כמו פרוטוקול דיפי-הלמן ואלגוריתם חתימה דיגיטלית DSA.
חבורה ציקלית.
תהי formula_8 חבורה סופית מסדר formula_9. עבור כל איבר formula_10 קבוצת החזקות של formula_2:
היא תת-חבורה ציקלית של formula_8 שהסדר שלה הוא השלם הקטן ביותר formula_14 המקיים formula_15. קל לראות שהרצף חוזר על עצמו כי formula_16 וכן formula_17 וכן הלאה. במקרה זה formula_2 נקרא יוצר או איבר פרימיטיבי (שורש פרימיטיבי). אם formula_9 ראשוני אז formula_8 היא צקלית וכל איבריה פרט ל-1 הם יוצרים שלה. לעומת זאת סדר החבורה הכפלית formula_21 אינו ראשוני (למעט אם formula_22). לדוגמה formula_23 לפי אוילר היא מסדר formula_24. לא כל האיברים של חבורה זו הם יוצרים שלה, רואים ש-2 למשל אינו יוצר של החבורה כי formula_25 והסדר שלו הוא 4 (כלומר אם מעלים את 2 בחזקת formula_14 עבור formula_27 רואים שמתקבלת חבורה ציקלית עם ארבעה איברים שחוזרים על עצמם). כן רואים שלפי חוקי החבורות סדר תת-חבורה תמיד מחלק של סדר החבורה. אם formula_8 היא חבורה ציקלית מסדר ראשוני formula_29, קיים יוצר של החבורה formula_30 כך שמתקיים formula_31 (למעשה יכולים להיות יוצרים רבים). במילים אחרות, עבור כל שלם formula_32 קיים שלם ייחודי formula_33 המקיים formula_34. אם החבורה formula_8 מובנת מההקשר קוראים ל-formula_1 "הלוגריתם הבדיד" של formula_3 בבסיס formula_2 ואפשר לכתוב זאת בקיצור formula_39. כמו כן אם formula_40 עבור שלם כלשהו formula_41 אז formula_42. הסיבה שהלוגריתם נקרא כאן "בדיד" נובעת מהעובדה שהוא נלקח מעל חבורה סופית, זאת בניגוד ללוגריתם רגיל שטווח הערכים שלו הוא מעל קבוצה אין סופית.
חוקי הלוגריתמים.
לוגריתם בדיד מציית לחוקי הלוגריתמים הרגילים. למשל, formula_43 (כאשר '1' הוא איבר יחידה של formula_8) וכן:
הגדרה פורמלית.
הגדרה פורמלית של בעיית הלוגריתם הבדיד היא:
ביתר פירוט, נתון אלגוריתם פולינומי יעיל formula_48 שמקבל את formula_49 ומחזיר את החבורה formula_8, הסדר שלה formula_29 ויוצר formula_10. ונתון הניסוי הבא:
ניסוי לוגריתם בדיד formula_53:
בהגדרה פורמלית, אומרים שבעיית הלוגריתם הבדיד (המסומנת בקיצור DLP) קשה לפתרון ביחס ל-formula_48 אם עבור כל אלגוריתם פולינומי הסתברותי formula_63 קיימת פונקציית זניחות formula_69 כך שמתקיים:
במילים, ההשערה היא שקיימת חבורה formula_8 שבה בעיית DLP קשה לפתרון מבחינה חישובית למעט בהסתברות זניחה.
דוגמה במספרים קטנים.
אם formula_72 אז formula_73 היא חבורה ציקלית מסדר formula_74. אם ניקח יוצר של formula_73 למשל formula_76. בהינתן השלם formula_77, הבעיה היא למצוא formula_78 המקיים formula_79, היות ש- formula_80, אז formula_81 ב-formula_73.
הכללה של בעיית הלוגריתם הבדיד.
נתונה חבורה ציקלית מסדר ראשוני formula_29, המסומנת ב-formula_8, ונתונים formula_85 יוצרים formula_86. בהינתן formula_32 איבר כלשהו, בעיית ייצוג הלוגריתם הבדיד (discrete logarithm representation problem) בקיצור DLREP, היא למצוא n-יה formula_88 כך ש-formula_89. n-יה כזו נקראת הייצוג של formula_90 ביחס ל-formula_91.
לדוגמה, ה-n-יה formula_92 היא הייצוג של 1 ביחס לכל בסיס formula_91, והיא נקראת "ייצוג טריוויאלי". בעיית ייצוג הלוגריתם הבדיד נחשבת לבעיה קשה, ובפרט היא קשה יותר מבעיית הלוגריתם הבדיד (אם ניתן לפתור את בעיית ייצוג הלוגריתם הבדיד, אזי ניתן לפתור את בעיית הלוגריתם הבדיד). בעיית DLREP אטרקטיבית כי אפשר להשתמש בה לצורך חתימה עיוורת.
בעיית דיפי-הלמן.
ויטפילד דיפי ומרטין הלמן פרסמו ב-1976 מאמר פורץ דרך שהעלה לראשונה את רעיון ההצפנה האסימטרית והציעו לבססה על בעיה מתמטית קשה בתורת המספרים הקשורה לבעיית הלוגריתם הבדיד שנקראת כיום בעיית דיפי-הלמן והיא מתחלקת לשתים, בעיית דיפי הלמן חישובית, המסומנת בקיצור CDH ובעיית הכרעת דיפי-הלמן המסומנת בקיצור DDH. שתיהן בעיות בעלות חשיבות רבה בתחום הקריפטוגרפיה. נתונה חבורה ציקלית formula_8 ויוצר formula_10 ונתונים שני איברים מהחבורה formula_96 ו-formula_97 כאשר formula_98 ו-formula_99 עבור שני שלמים formula_1 ו-formula_47 לא ידועים. פונקציית דיפי-הלמן מוגדרת כדלהלן:
הבעיה הראשונה, בעיית CDH, היא לחשב את פונקציית דיפי-הלמן formula_103 עבור שני איברים אקראיים formula_104 (כאשר formula_1 ו-formula_47 אינם ידועים אחרת הבעיה טריוויאלית). הבעיה השנייה DDH היא בעיית הכרעה, להבחין בין פלט הפונקציה formula_103 לבין איבר אקראי כלשהו מהחבורה. במילים אחרות עבור איברים formula_104 שנבחרו באקראי ופתרון אפשרי formula_109 הבעיה היא להכריע האם formula_110 או formula_109 הוא איבר אקראי חסר משמעות.
אם בעיית הלוגריתם הבדיד קלה לפתרון אז אפשר לפתור גם את בעיית דיפי-הלמן, תחילה מחשבים את formula_112 ואז מחזירים את formula_113. מאידך לא ברור האם קושייה המשוער של בעיית דיפי-הלמן שקול לבעיית הלוגריתם הבדיד.
בעיית DDH נחשבת לבעיה קשה ביחס ל-formula_8 אם עבור כל אלגוריתם הסתברותי פולינומי formula_63 קיימת פונקציית זניחות formula_69 כך שהמתקיים:
כאשר formula_118 הם איברים אקראיים. במילים פירושו שהבעיה האמורה קשה אם לא קיים אלגוריתם formula_63 שמצליח להכריע האם formula_120 בהסתברות משמעותית ביחס לסדר החבורה. אם formula_121 נבחר באקראי מתוך formula_122 באופן בלתי תלוי בערכים אחרים אז האיבר formula_123 הוא בעל התפלגות אחידה בדידה ב-formula_8.