פונקציית החלוקה של מערכת זו, formula_76, מוגדרת להיות הסכום על כל מצבי המיתר האפשריים כאשר המשקל של מצב בעל אנרגיה formula_77 הוא formula_78. כאן formula_79 הוא קבוע בולצמן ו- formula_80 היא הטמפרטורה, ולכן:
formula_81
אמפליטודת המעבר formula_82 עבור זמן מדומה formula_83 נתונה באינטגרל המסלולי:
formula_84
המבנה של שני הביטויים שקיבלנו, פונקציית החלוקה של מיתר קלאסי, ואמפליטודת המעבר בזמן מדומה, זהה, ומכאן נובעת האנלוגיה בין שתי הבעיות. בטבלה הבאה מסוכמת אנלוגיה זו בין הבעיות:
אינטגרלי המסלול של פיינמן, האנלוגייה שלהם לבעיות בפיזיקה סטטיסטית, כמו גם אינטגרציה בזמן מדומה, אינן שעשוע מתמטי ותו לא. לאינטגרלי המסלול של פיינמן אפליקציות רבות ומגוונות בתחומים כגון מחקר של פולימרים, של DNA, של תנועה בראונית ואף של תנודות הבורסה. אינטגרלי המסלול של פיינמן נותנים אף רקע להבנה אינטואיטיבית של ההבדלים בין הסטטיסטיקה הפרמיונית והבוזונית.
פלאש (קומיקס)
הפלאש או הברק (באנגלית: The Flash, "ההבזק") הוא שמם המשותף של מספר דמויות בדיוניות, גיבורי-על שמופיעים בחוברות קומיקס של חברת DC קומיקס. הפלאש המקורי מתור הזהב נוצר על ידי הכותב גרדנר פוקס והמאייר הארי למפרט והופיע לראשונה בחוברת "Flash Comics #1" מינואר 1940. הפלאש ניחן ביכולת של מהירות-על שכוללת את היכולת לרוץ ולהתנועע במהירות עצומה, בעל רפלקסים על אנושיים, תוך הפרת חוקי הפיזיקה. עד כה, ארבע דמויות שונות אשר השיגו את כוח המהירות אימצו לעצמן את הכינוי "פלאש": ג'יי גאריק (משנת 1940 ועד היום), בארי אלן (1956–1986, 2008 ועד היום), וולי וסט (משנת 1986–2006, 2007–2011), ובארט אלן (2006–2007, 2009 ועד היום). לפני נטילת זהות הפלאש, וולי ובארט היו מוכרים כבני חסותו, תחת הכינוי קיד פלאש.
גלגולה השני של הדמות, בארי אלן, נחשבת בדרך כלל לגיבור-העל הראשון מתור הכסף של הקומיקס והדמות נשארה פופולרית מאז. בשעה שהפלאש מתור הזהב הוא חבר מרכזי בחברת הצדק של אמריקה, אלה שבאו לאחריו חברים בליגת הצדק והטיטאנים הצעירים, כאשר שלושתן הן קבוצות גיבורי-העל המובילות של DC קומיקס. וולי וסט חזר לאחרונה לשורות ליגת הצדק, ובארי אלן חזר לחיים באירועי המשבר האחרון.
גרסת הפלאש בדמותו של בארי אלן (שכללה אלמנטים מדמותו של וולי וסט) עובדה לסדרת טלוויזיה "הברק" בשנת 1990, בכיכובו של ג'ון וסלי שיפ, בעוד גרסת הפלאש בדמותו של וולי וסט (שכללה אלמנטים מדמותו של בארי אלן) עובדה ל"ליגת הצדק: סדרת האנימציה".
במסגרת חברותם בקבוצות גיבורי העל, הפלאשים נהפכו לחברים טובים לגיבורי-העל הנושאים את השם גרין לנטרן, כאשר החברויות הנודעות ביותר הן בין ג'יי גאריק לאלן סקוט (הגרין לנטרן של תור הזהב), בין בארי אלן להאל ג'ורדן (הגרין לנטרן של תור הכסף), ובין וולי וסט לקייל ריינר (הגרין לנטרן של העידן המודרני).
היסטוריה פרסומית.
תור הזהב.
הפלאש הופיע לראשונה בקומיקס שיצא בשנת 1940 בשם "Flash Comics #1", על ידי בית ההפצה "All-American Publications", אחת משלוש החברות שיתאחדו ליצור את DC קומיקס. הפלאש המקורי הוא ג'יי גאריק, תלמיד מכללה שהשיג את כוח העל שלו משאיפה של אדי מים כבדים. הוא חבש קסדה בעלת שתי כנפיים ממתכת, בצורה שמזכירה את אל המיתולוגיה היוונית הרמס. הוא נודע כגיבור-העל הראשון שכוחו המרכזי הוא מהירות, ואחד מגיבורי-העל הראשונים בעלי כוח אחד ויחיד (בניגוד לגיבורי מרובי כוחות כמו סופרמן).
גאריק היה דמות מאוד פופולרית בשנות ה-40. הוא כיכב גם ב-"Flash Comics" וגם ב-"All-Flash Quarterly" (שלאחר מכן יפורסם פעם בחודשיים כ-"All-Flash"). הוא הופיע גם ב-"Comic Cavalcade" והיה חבר מרכזי בחברת הצדק של אמריקה, שהופיעה ב-"All Star Comics". כאשר פופולריות גיבורי-העל ירדה לאחר מלחמת העולם השנייה, "Flash Comics" בוטל בחוברת #104 (שנת 1949). ההרפתקה האחרונה של חברת הצדק של תור הזהב הייתה ב-"All Star Comics" מספר #57 (ב-1951 הכותר ישנה את שמו ל-"All Star Western").
תור הכסף.
בשנת 1956, חברת DC קומיקס הצליחה להחיות מספר גיבורי-על פופולריים מתור הזהב של הקומיקס, בתקופה שנודעה כתור הכסף של הקומיקס. במקום להביא את אותם גיבורי-על מתור הזהב, כשם שחברת "אטלס קומיקס" (קודמתה של חברת מארוול קומיקס בשנות ה-50) ניסתה ונכשלה, DC קומיקס הציגה מחדש את הדמויות בכך שהתאימה אותם לתקופה העכשווית. הפלאש היה הראשון שהוחייה בחוברת הקומיקס הנסיונית "Showcase #4" (אוקטובר 1956).
הפלאש החדש הוא בארי אלן, מדען העובד בשורות המשטרה שקיבל את כוחו כשהוצף בכימיקלים שנפלו ממדף כתוצאה ממכת ברק. הוא אימץ את הכינוי "פלאש" לאחר שקרא חוברת קומיקס שהציגה את הפלאש המקורי מתור הזהב. לאחר עוד מספר הופעות ב-Showcase, דמותו של אלן קיבלה כותר משלה, כשהחוברת הראשונה של הכותר נחשבת כחוברת מספר #105 (המשכו של הקומיקס המקורי שבו הופיע ג'יי גאריק).
פלאש של תור הכסף הצליח להיות פופולרי מספיק כדי שחברת DC קומיקס תחייה עוד מספר גיבורי-על בדרך דומה, ביניהם גם חידוש לחברת הצדק של אמריקה, צוות גיבורי-העל המקורי, הידועים כעת בשם ליגת הצדק, ופלאש הוצג גם שם כדמות-מפתח.
הפלאשים משני העולמות.
חוברת הקומיקס של הפלאש הציגה כלי עלילתי ראשון מסוגו ואשר זכה לחיקויים רבים, כאשר התגלה שגאריק ואלן התקיימו ביקומים מקבילים. כוחותיהם איפשרו להם לחצות את הגבולות הבין-ממדיים שבין העולמות, והשניים הפכו לידידים טובים. הסיפור "הפלאשים משני העולמות" ("The Flash #123") היה לאירוע הקרוסאובר הראשון שבו דמות מתור הזהב פוגשת דמות מתור הכסף. עד מהרה, היו מיזוגים של רבים מחברי קבוצות ליגת הצדק וחברת הצדק, וסדרות הכותרים של שתי הקבוצות החלו בהרצת חוברות שנתיות של מפגשים בנוסח זה, דבר שנמשך מתחילת שנות ה-60 ועד לאמצע שנות ה-80 של המאה ה-20.
הרפתקאותיו של אלן המשיכו בסדרת כותרים משלו עד לאירועי המשבר בעולמות האינסופיים, כאשר אלה בוטלו בחוברת מספר 350. חייו של אלן הפכו למבולבלים בצורה ניכרת, וחברת DC החליטה להעביר את הנטל לפלאש חדש. אלן מת בגבורה בחוברת "Crisis on Infinite Earths #8", והודות ליכולתו לנסוע בזמן, דמותו הופיעה מספר פעמים נוספות בשנים הבאות.
העידן המודרני.
הפלאש השלישי הוא וולי וסט, שהוצג לראשונה ב-"Flash #110" בשנת 1959 כ"קיד פלאש". וסט, אחיינו של בארי מנישואין, השיג את כוחותיו מתאונה דומה לזו של אלן. הוא אימץ את הכינוי "קיד פלאש" ושמר על חברות בקבוצת הטיטאנים הצעירים. לאחר מותו של בארי הוא אימץ את זהותו של הפלאש ב-"Crisis on Infinite Earths #12", וקיבל סדרה משלו החל מהכרך השני בשנת 1987. כתוצאה מהמיני סדרה "המשבר האינסופי" והקפיצה שנה אחת קדימה בזמן יקום DC, DC קומיקס ביטלה את הכרך השני בשנת 2006, כאשר החוברת האחרונה הייתה מספר 230. סדרה חדשה החלה ב-21 ביוני 2006 בשם "The Flash: The Fastest Man Alive", ונכתבה על ידי דני בילסון ופול דימאו (שהיו צמד הכותבים גם לסדרת הטלוויזיה משנת 1990), והיא נמשכה 13 חוברות בלבד. בסדרה זו הוצג נכדו של בארי, בארט אלן, היורש הבא לשושלת מאיצי השני.
לאחר ביטול הכותר, הכרך השני המשיך בהרצתו מהיכן שהפסיק, כשאת מלאכת הכתיבה לקח מארק וייד. וייד גם כתב את "All-Flash #1", שגישר בין שתי סדרות הכותרים. בשנת 2009, בארי אלן שב לתפוס את מקומו כפלאש במיני סדרה בת שישה חלקים, "". באתחול המחודש "ה-52 החדשים", שנעשה לאחר אירועי פלאשפוינט, דמותו של הפלאש אופסה מחדש לבארי אלן.
ביוגרפיה בדיונית.
תור הזהב.
ג'יי גאריק היה תלמיד מכללה שקיבל את כוחותיו על ידי שאיפה של אדי מים כבדים בעת שנימנם במעבדתו, שבה עישן. כתוצאה מכך הוא גילה שביכולתו לרוץ במהירות גבוהה, מה שעזר לו להתקבל לנבחרת הפוטבול במכללה בה למד. לאחר קריירה קצרה ככוכב נבחרת הפוטבול, הוא החל ללבוש חולצה אדומה וקסדה בעלת שתי כנפיים (בהשראת תמונות של האל הרומי מרקוריוס) והחל ללחום בפשע כפלאש. ג'יי הצליח לשמור על זהותו בסוד ללא מסיכה בכך שבפומבי נהג לרטוט את גופו כך שכל תמונה בה מצלמים את פניו תהיה מטושטשת. ממייסדי חברת הצדק של אמריקה והאיטי מבין השלושה ואף פעם לא עבר את מהירות הקול בכוחות עצמו אלא רק על ידי שימוש ביכולתו "לגנוב" מהירות מגיבורים אחרים.
תור הכסף.
בארי אלן הוא מדען העובד בשורות המשטרה שקיבל את כוחותיו לאחר שמדף מלא בכימיקלים נפל עליו כתוצאה ממכת ברק. הוא גילה שביכולתו לרוץ במהירויות על והיו לו רפלקסים דומים. הוא לבש חליפה אדומה עם סמל ברק בחזה (בדומה לקפטן מארוול), כינה עצמו פלאש בהשראת גיבור ילדותו ג'יי גאריק, ולחם בפשע. מאוחר יותר התגלה כי אותו ברק מסתורי שפגע במדף הכימיקלים היה הוא עצמו מן העתיד. בארי אלן הוא הפלאש המהיר ביותר מבין כל הפלאשים.
העידן המודרני.
וולי וסט הוא אחיינו של בארי אלן מנישואין. כאשר היה בן 10, וולי ביקר במעבדת המשטרה של דודו, כאשר תאונה זהה לזו שנתנה לאלן את כוחותיו חזרה על עצמה. אימץ את הזהות "קיד פלאש" והיה מהחברים המייסדים של הטיטאנים הצעירים. לאחר מאורעות המשבר בעולמות האינסופיים שבה נהרג בארי אלן, וולי וסט אימץ את זהות הפלאש. לפני שדמותו הפסיקה להתפרסם בעקבות אירועי פלאשפוינט, וסט היה חבר בליגת הצדק.