במאה השתים עשרה בוצעו מספר התקדמויות חשובות בתחום, חלק ניכר מהן על ידי המתמטיקאי ההודי בהסקרה השני, שבספרו מוצעות ארבע שיטות לביצוע כפל ארוך. הוא דן גם בנושאים אחרים כמו מספרים חיוביים ושליליים, האפס וחילוק באפס, בעיות העוסקות בכפל ובחילוק, ונושאים באלגברה ובטריגונומטריה.
כבר בתחילת המאה ה-12 ידעו ההודים להבדיל בין שני ערכי השורש הריבועי של מספר חיובי (זה השלילי וזה החיובי) ופיתחו כללים קבועים לארבע פעולות חשבון, כדוגמת הכלל הקובע כי מכפלת שני מספרים שווי סימן תהא חיובית ואילו מכפלת שני מספרים שוני סימן תהא שלילית.
סין.
עקב סיבות גאופוליטיות, במשך שנים רבות התפתחה התרבות של סין העתיקה עם זיקה מעטה מאוד לתרבויות אחרות. המתמטיקה הסינית, בשונה מהמתמטיקה היוונית, הייתה מתמטיקה תכליתית. מחקר מתמטי תאורטי היה מועט למדי בסין העתיקה.
מעט מאוד ידוע על המתמטיקה הסינית עד למאה הראשונה לפני הספירה. הספר החשוב ביותר אשר השתמר בידינו מתקופה זו הוא ה"גּ'וֹּבִּי סְוַּאנְגִּ'ינְגּ" - "המדריך של ג'ואו למדידת צללים" - אשר מתוארך לתקופה של 100 לפנה"ס עד 100 לספירה ואשר נמנה עם "עשר הקלאסיקות". ספר זה עוסק במדידת מיקומם של גופים שמימיים, אך המתמטיקה שבו שימושית אף לצרכים אחרים. ספר זה מכיל את "משפט גאוגו" אשר מהווה גרסה סינית ל"משפט פיתגורס".
הספר הנחשב לחשוב ביותר בהיסטוריה המתמטית של סין הוא "גְּ'יו גַּ'אנְגּ סְוַּאן שוּ" - "תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה" המכיל מידע שנאסף במשך שנים רבות ונחשב לאבן-דרך בהתפתחות המתמטית של סין ספר זה מכיל 246 בעיות מתחומי חיים שונים האמורות להקיף את הידע הדרוש לפתרון בעיות מתמטיות יום-יומיות. בספר זה מתוארות נוסחאות ושיטות חישוב המובאות ללא הוכחה. בפרק הראשון, העוסק במדידת שטחים, ישנם הסברים על ביצוע ארבע פעולות חשבון על שברים, כמו גם את האלגוריתם האוקלידי למציאת מחלק משותף מקסימלי. בפרק השני, העוסק בסחר בטובין, מובאות דוגמאות לשימוש בחוקי הפרופורציות והאחוזים. הפרק השלישי העוסק בסוגי חלוקה; ישנו שימוש בחוקי פרופרציות, הן ישרות והן הפוכות והן שימוש בטורים חשבוניים והנדסיים. הפרק הרביעי עוסק בבעיות שבהן ישנה תלות בין אורך לשטח ועוסק ביישומים של נושאים כגון שברי יחידה ושורשים מסדר שני ושלישי. בפרק זה ניתן למצוא את רעיון הגבול והאינפיניטסימל. הפרק החמישי עוסק בהנדסה אזרחית ובנושאים של הנדסת המרחב. הפרק השישי עוסק בבעיות המשלבות נושאים כמו קצב ופרופורציה. בעיות בסגנונה של "בעיה מספר 26" נפוצות עד לימינו:
בפרקים השביעי והשמיני ניתן למצוא דרכים לפתרון משוואות ליניאריות. הפרק התשיעי עוסק במשולשים ישרי זווית וכולל יישומים של משפט פיתגורס, שלשות פיתגוראיות וחפיפת משולשים. בפרק זה ניתן למצוא משוואות ריבועיות כדוגמת formula_8 ואת פתרונן באמצעות האלגוריתם הסיני להוצאת שורש ריבועי, ולא באמצעים אלגבריים.
בספרו של שְׂיָאהוֹאוּ יָאנְג (חי בערך בין השנים 400 ל-470) "המדריך של שְׂיַאהוֹוּ יַאנְגּ למתמטיקה" נתן למצוא הצגות עשרוניות למספרים תוך שימוש בחזקות חיוביות ושליליות. במדריך אחר מאת גַּ'אנְגּ צְ'יוֹגְּ'יֵן נתן למצוא נוסחה לסכום של טור חשבוני. האסטרונום דְּזוּ צ'ונְגּ-גְּ'ה (429–501), בעזרת בנו, הוכיח כי ערכו של π נמצא בין 3.1415926 לבין 3.1415927. הוא המליץ להשתמש בקירוב 355/113 עבור עבודות מדויקות ובקירוב 22/7 עבור עבודות מדויקות פחות.
וַּאנְגּ שְׂיַה טונְגּ (580–640 בקירוב) כתב את "האריתמטיקה על בסיס הכללים העתיקים", עבודה בת 20 בעיות בלבד שכולן בעיות מדידה. בעבודה כלולה מתמטיקה מתקדמת למדי ביחס לתקופתה, כולל משוואות ממעלה שלישית, וניתן לראות בה את ראשית האלגברה הסינית.
התפתחויות חשובות נוספות בתחום האריתמטיקה בוצעו על ידי גְּ'יַה שְׂיֵן (חי בערך בין 1010 לספירה לבין 1070) אשר שכלל את הדרכים למציאת שורשים מרובעים ושורשים קוביים.
תרבות המאיה.
תרבות המאיה התקיימה במרכז אמריקה. התור הקלאסי של תרבות המאיה התקיים בין השנים 250 ל-900 לספירה. העיר טיקאל בחצי האי יוקטן הגיעה בשיאה לאוכלוסייה של כ-50,000 תושבים ועם כ-3,000 מבנים. כוהני הדת של תרבות המאיה עסקו רבות באסטרונומיה והיו בעלי השפעה רבה על תרבות המאיה בכללותה. לפיכך, כפועל יוצא, היה צורך בכלים מתמטיים לשם בניית לוחות שנה ולניבויים אסטרונומיים. לצורך זה פיתחו בני המאיה מערכת ספרות מתקדמת יחסית לתקופתם.
בני המאיה השתמשו בספרות המאיה שפיתחו, שהתבססו על בסיס 20, ככל הנראה מתוך ספירה על ידי שימוש באצבעות הרגליים והידיים גם יחד. אחד משלושת הסימנים מייצג את המספר 5, ככל הנראה כנגד 5 אצבעות בכף-יד. כל ספרות המאיה נכתבות באמצעות שלושה סימנים פשוטים: נקודה - המסמנת את המספר אחד, קו - המסמל את המספר חמש, וקונכייה - המסמלת את המספר אפס. שיטה זו נחשבת למתקדמת למדי לתקופתה שכן כללה הן את השילוב של עיקרון תלות מיקום הספרה לסדר הגודל של המספר הנמצא בה והן את קיומו של המספר אפס שאף קדם למערכת המיקומית והיה לאלמנט מהפכני ביחס לתקופתו. בני המאיה היו הראשונים להכניס את האפס לשימוש מלא במערכת הספרות שלהם, שעה שבמערכות אחרות נהגו להותיר מקום ריק במקום בו אמור היה להופיע האפס.
בשיטת הספירה של המאיה, "גודלה האפקטיבי" של הספרה a (ספרה כלשהי) אשר נמצאה במקום formula_9 המקיים formula_10 היה, לפי חישובי המאיה, formula_11. כך, לדוגמה, ערכו של המספר
formula_12.
אצל בני המאיה התקיים קשר הדוק בין שיטת הספירה ללוח השנה; אנשי המאיה עשו שימוש בשני לוחות שנה נפרדים: אחד בן 260 ימים אשר שימש לצרכים פולחניים וכלל 13 חודשים בני 20 יום כל אחד ואחד בן 365 ימים אשר שימש למטרות אזרחיות וכלל 18 חודשים בני 20 יום כל אחד ועוד "חודש" בין חמישה ימים.
המכנה המשותף הקטן ביותר של 260 ו-365 הוא 18,980 ימים, כלומר: 52 שנים אזרחיות או 73 שנים פולחניות, ואכן, לבני המאיה היה "מעגל ספירה" מקודש בן 52 שנים.
נוסף על לוח שנה זה, ספרו בני המאיה את הזמן מבריאת העולם, לפי אמונתם, בשנים בנות 365 ימים כל אחת. בכל שנה היו 18 חודשים בני 20 יום כל אחד, ועוד "חודש" קצר בן חמישה ימים שנחשב למביא מזל רע.
ככל הידוע, לא היו לבני המאיה שיטות לכפל ארוך ולא שימוש בשברים, אך למרות זאת הגיעו להישגים אסטרונומיים מרשימים. למשל, הם הצליחו לחשב את אורכה של השנה בתור 365.242 ימים כאשר כיום ידוע הערך של 365.242198 ימים.
העולם המוסלמי.
בין המאה השמינית למאה החמש-עשרה לספירה חלו מספר התפתחויות חשובות במתמטיקה הערבית בכללותה ובאריתמטיקה בפרט.
בארצות ערב היו מקובלות שלוש שיטות ספירה עיקריות: השיטה האונארית, הבסיס הסקסגסימלי (שימוש במספר 60 כבסיס) והשיטה ההודית-ערבית. השיטה האונרית שימשה בעיקר לחישובי מסחר תוך שימוש באצבעות ככלי ספירה והייתה בשימוש בעיקר בקרב הסוחרים. המתמטיקאי הפרסי אבו אל-וואפה, שידע להשתמש גם בשיטה ההודית-ערבית, אמר עליה:
השיטה הסקסגסימלית נכתבה בעזרת אותיות מהאלפבית הערבי והייתה בשימוש בעיקר לצורך חישובים אסטרונומיים. בקרב האסטרונומים המוסלמים היה השימוש בבסיס סקסגסימלי כה נפוץ עד כי כלליו זכו לכינוי "אריתמטיקה של אסטרונומים".
השיטה העשרונית הובאה מהודו אך לא נעשה שימוש בסימנים מוסכמים בעת העבודה עמה כך שבמקומות שונים ניתן היה למצוא סימונים שונים. הערבים שכללו את השיטה ואת עיצוב הספרות והיו בעלי תרומה חשובה לעיצובו של המושג אפס.
תקופת שלטונו של הח'ליף העבאסי החמישי הארון א-רשיד, השתרעה בין השנים 786–809, ומכונה לעיתים "תור הזהב העבאסי". תקופה זו לוותה בהתפתחויות חברתיות ותרבותיות רבות, בהן תרומות למתמטיקה. א-ראשיד עודד מחקר והתפתחות מתמטיים ובתקופתו תורגם ה"יסודות" לערבית. בתקופתו של בנו, הידוע בכינויו אל-מאמון, המשיכה פריחה זו. הוא הקים את בית החוכמה בבגדאד ובו אסף מלומדים רבים בני דתות שונות שעסקו במחקר ובתרגום של כתבים חשובים משפות זרות. במסגרת זו עמלו מתרגמים רבים בעלי השכלה מתמטית על תרגומם של כתבים מתמטיים חשובים, תוך מטרה להעשיר את הידע אשר היה ברשותם. בין מלומדים אלה נכלל ח'ואריזמי, אבי האלגברה. המילה "אלגברה" עצמה נגזרת משמו של אחד מספריו והמונח המתמטי "אלגוריתם" נגזר משיבוש שמו. להלן ציטוט מדבריו המדגים את גישתו:
ביחס לתקופתו מבטאות מילים אלה הבנה עמוקה ומופשטת יחסית של המספרים. תרומתו החשובה של ח'וארזימי לפיתוח האלגברה הובילה לפתיחת כיווני מחשבה וכלים חדשים אשר איפשרו פיתוח נוסף ועמוק יותר של האריתמטיקה. נוסף על כך כתב ח'וארזימי מסה חשובה שעסקה בספרות ההינדיות. החיבור כולל את תיאור השיטה ומתייחס אף למספר אפס. ח'ואריזמי היה לחלוץ בפיתוחו של האפס בשילובו אותו במערכת הספירה מבוססת המקום. כמו כן, תיאר ח'וארזימי שיטות לביצוע חישובים אריתמטיים כגון מציאת שורש ריבועי. המתמטיקאי בן תקופתו אבו כאמל, הבין את החוק formula_13. המתמטיקאי הפרסי אל-קראג'י נחשב לאדם אשר ביסס את האלגברה סופית על בסיס הפעולות האריתמטיות (כפי שהיא מוכרת לנו כיום) ולא על בסיס הגאומטריה.
המספרים האי-רציונליים היו מוכרים לעולם המוסלמי; הפרסים עומר ח'יאם וכן נסיר א-דין א-טוסי טענו שכל יחס בין גדלים ניתן להציג כמספר, רציונלי או אי-רציונלי. עם זאת, לא אימצו הערבים את קיומם של מספרים שליליים. שברים עשרוניים הופיעו בספרות המתמטית האסלאמית כבר במאה העשירית.