פונקציות כאלה שכיחות בכל תחומי המדע: הקצב של תגובה כימית הוא פונקציה עולה של החום; תאוצת הנפילה של גוף היא פונקציה יורדת של המרחק מן הגוף אליו הוא נופל; ההיצע הוא פונקציה עולה של המחיר; כמות הנפט בכדור הארץ היא פונקציה יורדת של הזמן (מאז ראשית ההיסטוריה); ועוד.
פונקציות עולות ופונקציות יורדות הן סוגים מיוחדים של פונקציות מונוטוניות, ביחס לסדר הטבעי בישר הממשי.
הגדרות נוספות.
למונח "פונקציה עולה" יש, בהקשרים שונים, שני פירושים קרובים. אם formula_3 לכל formula_2, אז הפונקציה עולה במובן החזק; אם מתקיים היחס החלש יותר formula_8 לכל formula_9, אז הפונקציה עולה במובן החלש. באופן דומה מגדירים ירידה במובן החזק ובמובן החלש. פונקציה קבועה formula_10 היא הפונקציה היחידה העולה ויורדת, במובן החלש, באותו קטע.
עליה וירידה אינם מושגים נקודתיים, משום שאת הערך בנקודה יחידה אין למה להשוות. עם זאת, אומרים שהפונקציה עולה בנקודה x אם קיים קטע פתוח המכיל את x, שבו הפונקציה עולה; וכן לפונקציה יורדת.
דוגמאות.
כל הדוגמאות הבאות הן של פונקציות ממשיות:
דוגמה שאינה פונקציה ממשית:
מונוטוניות ורציפות.
אוסף נקודות אי הרציפות של פונקציה מונוטונית הן כולן "נקודות מסוג ראשון". קבוצות נקודות אי-הרציפות היא בת מנייה, הגם שאינה חייבת להיות סופית, ואף יכולה להיות צפופה אפילו כאשר הפונקציה חסומה, כפי שמראה הדוגמה הבאה:
מתכונות אלה של נקודות אי-הרציפות נובע שכל פונקציה מונוטונית המוגדרת בקטע סגור, היא אינטגרבילית לפי לבג.
לפונקציה מונוטונית במובן החזק, ורציפה, יש פונקציה הפכית שגם היא מונוטונית ורציפה.
את המונוטוניות אפשר לאבחן באמצעות הנגזרת, במקומות שבהם הפונקציה גזירה: אם פונקציה גזירה מונוטונית עולה בקטע מסוים נגזרתה אי-שלילית. אם היא מונוטונית יורדת, נגזרתה אינה חיובית. במסגרת מחקריו בתורת המידה, הוכיח אנרי לבג שפונקציה מונוטונית היא גזירה כמעט בכל מקום.
לפונקציה עולה מקטע סגור לעצמו יש (בדומה לפונקציה רציפה) נקודת שבת. המשפט אינו נכון עבור פונקציה יורדת.
מונוטוניות ונגזרות.
אם פונקציה f עולה במובן החלש בנקודה x, והיא גזירה שם, אז הנגזרת שלה מקיימת formula_29. מאידך, אם הפונקציה גזירה ו- formula_30, אז היא עולה, במובן החזק, בנקודה x:
מבחינת ההתנהגות הנקודתית, העובדה ש- formula_29 אינה מספיקה אפילו לעליה במובן החלש, כמו שמראה למשל הפונקציה formula_16 בנקודה x=0. באופן דומה, אף אם הפונקציה עולה במובן החזק, זה אינו מבטיח שהנגזרת תהיה חיובית ממש, כפי שמדגימה הפונקציה formula_36.
כאשר מדובר בקטע פתוח, אם הפונקציה גזירה בכל הקטע והנגזרת שלה אי-שלילית, אז היא עולה שם במובן החלש. כך מתקבלים הקשרים
במסגרת מחקריו בתורת המידה, הוכיח אנרי לבג שפונקציה מונוטונית היא גזירה כמעט בכל מקום.
פונקציה יורדת
שערי חולדה
שערי חולדה הם שתי נקודות כניסה סמוכות בכותל הדרומי של הר הבית. בנקודה המערבית שני שערים ובנקודה המזרחית שלושה.
שערי חולדה התקיימו בתקופת בית המקדש השני, ייתכן שעוד לפני מקדש הורדוס. השערים היו במפלס נמוך מרובו של הר הבית, ועל כן רוב החוקרים סבורים שהשערים מובילים במחילה אל תוך שטח ההר ומשם היה צורך לעלות במדרגות אל הרחבה.
שערי חולדה במקורות.
השערים מתועדים במשנה במסכת מידות, המספרת על חמשת שערי הר הבית:
ההשערה המקובלת במחקר היא שהמשנה במסכת מידות מדברת על שטח הר הבית החשמונאי ולא על ההרחבה של הורדוס. יוצא שהשערים הנמצאים בכותל הדרומי היום אינם זהים עם שערי חולדה של המשנה וממילא אין סיבה לקרוא להם בשם זה.
במדרש שיר השירים רבה (וילנא, פרשה ב), יחד עם האמירה שהכותל המערבי של בית המקדש אינו חרב לעולם, נאמר זאת גם על "שער הכהן" ושער חולדה.
מדוע שני שערים.
התפארת ישראל יכין באות י"ג מסביר מדוע שערי חולדה היו שניים בשונה משאר השערים שהיו שער אחד. לפי שירושלים הייתה בדרום העזרה ושם היה ששער הכניסה העיקרי והשימושי ביותר וגם עיקר תשמישי העזרה היו שם לפיכך הוצרכו לשתי שערים.
מיקום השערים.
גם בימי הביניים ידעו לזהות את השערים. בספר כפתור ופרח בפרק ו מתייחס המחבר אשתורי הפרחי לגבולות הר הבית בתקופתו, וכותב:
היום השרידים היחידים שנשארו מהשערים הם חצי מהמשקוף של אחד השערים המערביים, ומיקומם של השערים המזרחיים (אף שניתן לראות רישום של שלושה שערים חסומים בקיר, רק שתיים מתוך האבנים הן מקוריות).
בספר עזרת כהנים מוצעת האפשרות שהמרחק בין השערים היה שווה למרחק ביניהם לכותל (דהיינו 160 אמה רווח ואז שער 10 ועוד רווח 160 ועוד שער 10 ועוד רווח 160 = 500 אמה), וזה היה דרך נוי. מובאת שם אפשרות נוספת לפיה השערים היו בשטח שהיה כנגד אורך עזרת היה ישראל, והיה מתחלק באותה צורה (דהיינו 55.6666 * 3 ועוד 20 אמה לשערים = 187 אמה) אמנם נוטה יותר לפי' הראשון. הספר דוחה את האפשרות שהם היו כנגד שער הדלק והמים שאם כן יוצא שכל שערי הר הבית מכוונים מול שערי העזרה ולא הייתה לכהנים פרטיות, וכבר נאמר בזבחים נט: "אפשר כהן עומד על גבי המזבח וכל העם רואין אותו מבחוץ".
המחקר הארכאולוגי
המחקר הארכאולוגי ליד השערים נערך על ידי יובל ברוך ורוני רייך מטעם רשות העתיקות. בין היתר הם העלו שהשער המשולש הוא הראשון שנבנה במסגרת הרחב הר הבית על ידי הורדוס הגדול. ושאל השער ממזרח עלה רחוב רחב משופע. עליו, כך הם מאמינים, הובלו בהמות הקורבן. למרגלות השערים הם גילו עשרות אבנים מעוטרות ששימשו לטענתם כחלק מעיטורי הסטיו המלכותי.
רפי איתן
רפאל (רפי) איתן (23 בנובמבר 1926 – 23 במרץ 2019) היה לוחם ואיש קהילת המודיעין הישראלית, ששירת בשירות הביטחון הכללי ובמוסד למודיעין ולתפקידים מיוחדים, ולאחר מכן איש עסקים ויושב ראש מפלגת גיל בכנסת השבע עשרה. כיהן כחבר הכנסת, כשר לענייני גמלאים ולענייני ירושלים וכיושב ראש המועצה הלאומית המייעצת להשבת זכויות ורכוש יהודי במשרד ראש הממשלה, יושב ראש מפלגת הגמלאים "דור". איתן נודע בהיותו אחד ממפקדי מבצע לכידת אדולף אייכמן בארגנטינה והבאתו למשפט בישראל.
ביוגרפיה.
ילדותו.
נולד בקיבוץ עין חרוד ליהודית ונח הנטמן, אנשי תנועת החלוץ שעלו מרוסיה, בני העלייה השלישית. הוא גדל כבכור, אך בפועל היה הילד השלישי שילדה אמו – שני הילדים שנולדו לפניו נפטרו בטרם נולד.
בגיל 3 עבר עם הוריו לרמת השרון, שם ניהלו משק מעורב שהקימו (פרדס, גן ירק, מכוורת ורפת). לאחר סיום בית הספר העממי ברמת השרון עבר לתיכון החקלאי בקיבוץ גבעת השלושה.
בבית ספר זה התגוררו בחדר אחד ארבעה תלמידים, ובהם רפי איתן ורחבעם זאבי. שם קיבל את כינויו "רפי המסריח":
שירותו בפלמ"ח.
איתן התנדב לפלמ"ח, עבר הכשרה כלוחם, קורס מפקדי כיתות וקורס מפקדי מחלקות. בין השאר השתתף בשחרור מעפילי עתלית, במבצע ליל הגשרים ובהתנקשות בשני טמפלרים אקראיים בנובמבר 1946 כדי להרתיע את יתר חברי הקהילה מלשוב לארץ בתום המלחמה.
באחת הפעולות לקליטת מעפילים בקיבוץ יגור התפוצץ מוקש לידו וגרם לו חירשות כמעט מוחלטת. מאז נעזר במכשירי שמיעה רבי עוצמה.
בעת שירותו בפלמ"ח שימש כקצין הסיור של הגדוד הראשון של הפלמ"ח, בהמשך פיקד על הפעולה הרביעית לפיצוץ תחנת רדאר.
במלחמת העצמאות שירת כמ"מ בגדוד הראשון של חטיבת יפתח והשתתף בקרבות עם אנשיו של קאוקג'י במשמר העמק ובקרבות מלכיה. ב-15 במאי נפצע קשה ברגליו ורסיסים נותרו בגופו.
בהמשך שב לחזית להשתתף ב"מבצע דני", בו החליף את רחבעם זאבי.
כקצין מודיעין של חטיבת יפתח ירד איתן לדרום ותכנן את מערך ההגנה של העיר אילת.
בקהילת המודיעין.
לאחר שירות צבאי כקצין המודיעין של חטיבת יפתח, גויס איתן לשב"כ על ידי מכרו יעקב כרוז, ושימש כמפקד שלוחת תל אביב של מטה 10, היחידה המבצעית. בשנת 1954 פיקד על מבצע ברן להחזרתו לישראל של קצין צה"ל שטס לרומא, יצר קשר עם השגרירות המצרית שם ונחשד בריגול. בשנת 1955 החל ללמוד בבית הספר לכלכלה של לונדון ובמקביל שימש איש הקשר של המוסד ל-MI6. הוא לא סיים את לימודיו וחזר ב-1958 לישראל. באוקטובר 1959 מונה איתן לראש מטה 10, יחידת המבצעים של השב"כ שסיפקה שירותים גם למוסד. איתן היה בין היתר מופקד על מבצע לכידתו של הפושע הנאצי אדולף אייכמן בארגנטינה בשנת 1960. לאחר מלחמת ששת הימים עמד בראש שלוחת "אגף צומת" באירופה. במסגרת זו היה מעורב בפרשת בן ברקה ובמאמץ לסכל את העסקת המדענים הגרמנים במצרים.