כאשר p ראשוני אי-זוגי ו- a זר ל-p, אז a הוא שארית ריבועית מודולו חזקות של p אם ורק אם הוא שארית ריבועית מודולו p עצמו. עבור חזקות של 2, מספר אי זוגי הוא שארית ריבועית מודולו חזקות גבוהות של 2 אם ורק אם הוא שארית ריבועית מודולו 8. לדוגמה, 5 הוא שארית ריבועית מודולו 2 או 4, אבל לא מודולו 8. לגבי הבעיה החישובית של מציאת השורש כאשר a הוא שארית ריבועית, ראו הוצאת שורש ריבועי.
את הבעיה של זיהוי שאריות ריבועיות מודולו p ראשוני, מקודדים בסימן לז'נדר. הסימן מוגדר לפי formula_7 אם a זר ל- p והוא שארית ריבועית, formula_8 אם a אינו שארית ריבועית, ו- formula_9 אם a מתחלק ב- p. סימן יעקובי מוגדר באופן כללי יותר, גם כאשר p אינו ראשוני, אבל הקשר שלו לשאריות ריבועיות פחות מיידי. מצד שני את סימן יעקובי קל יחסית לחשב, בעזרת משפט ההדדיות הריבועית.
תכונות בסיסיות.
ניתן להוכיח את התכונה הזו על ידי חישוב פשוט בחבורה הכפלית של השדה הסופי formula_11, או לחלופין בחבורת אוילר של p:&lt;br&gt;
אם formula_12, אז formula_13 לפי משפט לגראנז', מכיוון שסדרה של חבורת אוילר הוא p-1. בכך הוכחנו שאם אגף ימין שווה ל-1, אז כך גם אגף שמאל. מצד שני, לכל מספר שונה מאפס בשדה שיש לו שורש ריבועי, יש בדיוק שניים. זה מוכיח שיש formula_3 שאריות ריבועיות, אבל למשוואה formula_15 לא יכולים להיות יותר מ- formula_3 שורשים, כיוון ש-formula_11 הוא שדה; מכאן שכל השורשים הם שאריות ריבועיות. כדי לסיים את ההוכחה מספיק להבחין ש- formula_18 כמקודם, ולכן אגף שמאל שווה תמיד לפלוס או מינוס 1; מכאן שהוא שווה למינוס 1 עבור השאריות שאינן ריבועיות.
בפרט, מהנוסחה הזו נובעת תוצאה חשובה לגבי הריבועיות של 1-:
כלומר, 1- הוא שארית ריבועית מודולו p אם formula_20, ואינו שארית ריבועית כאשר formula_21.
מתוצאה זו נובע (בעזרת שיטת הנסיגה האינסופית שפיתח אוילר) שניתן להציג כל מספר ראשוני מן הסוג הראשון, כסכום של שני ריבועים (למשל, formula_22). עובדה זו קובעת את הפירוק לראשוניים בחוג השלמים של גאוס, והיא מדגימה את הקשר בין שאריות ריבועיות, תבניות ריבועיות בינארית, ופירוק לראשוניים בחוג שלמים של שדה מספרים ריבועי.
תכונה זו מסייעת לחישוב סימן לז'נדר באמצעות משפט ההדדיות הריבועית, שכן היא מאפשרת לפרק את המספר שבודקים את סימן לז'נדר שלו לגורמים ראשוניים.
למעשה, זוהי תוצאה ישירה של הנוסחה הראשונה, כיוון שאם a,b אינם שניהם זרים ל-p התוצאה מיידית (שני האגפים שווים ל-0), ואחרת:
formula_24
קיבלנו שקילות מודולו p של שני האגפים, ומכיוון ששניהם יכולים לקבל רק את הערך 1 או מינוס 1, מתקיים שוויון ממש.
אראם חצ'טוריאן
בוקאצ'ו
זלמן שוקן
בית ג'מאל
בית גִ'מָאל (בערבית: بيت جمال/الحكمه) הוא כפר ומנזר קתולי של המסדר הסלזיאני הנמצא בשיפולי הרי יהודה, סמוך לצידה הדרומי של העיר בית שמש.
המנזר נמצא על גבעה בגובה 370 מטר מעל פני הים ובמרחק של 35 קילומטר מזרחית לקו החוף. במתחם בית ג'מאל ישנם ארבעה מבנים מרכזיים: בית לנזירים הסליזיאניים המקדישים את עצמם לחינוך במקומות שבהם האוכלוסייה חלשה ונזקקת לעזרה, כנסיית סטפנוס הקדוש, מנזר לנשים של מסדר בית לחם של סן ברונו, ועל תל גמליאל שבדרום המתחם, נמצא המנזר לגברים של מסדר בית לחם של סן ברונו.
מידע כללי.
פירוש השם בערבית הוא "בית היופי" והוא מיוחס לנוף היפה הנשקף מהמקום. לפי המסורת הנוצרית, המקום נקרא בעבר כפר גמלא (כפר גמליאל), על שם רבן גמליאל הזקן שהיה נשיא הסנהדרין, התנצר בחשאי ונקבר במקום שהיה אחוזתו, וכתובת מקומית מן המאה החמישית לספירה "מתעדת" את קבורתו.
במבנה הכניסה למנזר הנשים בית לחם, נמכרים מוצרי המנזר (כלי קרמיקה, שמן זית, זיתים כבושים, דבש, נרות ועוד) בשתי חנויות קטנות. המנזר מוכר גם יינות של יקב כרמיזן. במנזר נערכים קונצרטים של מוזיקה קלאסית בשבתות. המקום משמש אתר תיירות ומשיכה למטיילים ישראלים רבים.
בחצר המנזר פועלת תחנה מטאורולוגית קטנה שהוקמה ב-1919 ונחשבת לתחנה הוותיקה בארץ ישראל אשר פועלת ברצף עד היום.מול הכניסה למנזר במרחק של כ-400 מטרים, על "תל גמליאל", ניצב מבנה המשמש כמנזר לגברים השייכים למסדר בית לחם. במבנה זה גרים 6 נזירים (נכון ל-2021), העוסקים בחקלאות, בגידול גפנים (בעיקר קברנה סוביניון, שרדונה וריזלינג), במסיק זיתים, ובכבישת שמן זית וזיתים. חלק מעצי הזית השייכים למנזר הם בני מאות שנים. הגפנים משמשים לייצור יין ביקב כרמיזן, השייך למסדר הסלזיאני. חלק מאדמות המנזר הוחכרו לקיבוץ צרעה הסמוך.
היסטוריה.
התקופה העות'מאנית.
בית ג'ימאל, כמו שאר ארץ ישראל, נכבש על ידי האימפריה העות'מאנית בשנת 1517. על פי מרשמי המיסים משנת 1596 היה זה כפר בסנג'אק (מחוז) של עזה עם אוכלוסייה של 37 משקי בית, כולם מוסלמים. הם שילמו מס קבוע של 33.3% לשלטון העות'מאני על מוצרים חקלאיים, שכללו: חיטה, שעורה, עצי זית, עזים וכוורות דבורים, ובנוסף, שילמו מס להכנסות מזדמנות בסך של 3,500 אקצ'ה.
באחד ממסעותיו הרבים, ויקטור גרין ביקר במקום בשנת 1863, ודיווח כי התושבים סובלים מחום כבד ומתגוררים בבתים רעועים. בנוסף דיווח כי ישנה מגפה שהתפשטה והפילה חללים בבית ג'ימאל. רשימת כפרים עות'מאנית, בשנת 1870 לערך, הראתה כי בבית ג'מאל האוכלוסייה מנתה 21 אנשים, עם בסך הכל 8 בתים, אם כי מפקד האוכלוסין כלל גברים בלבד.
אדמות בית ג'מאל נרכשו בשנת 1869 על ידי אנטוניו בלוני, כומר איטלקי בפטריארכיה הלטינית שבירושלים ופרופסור לתאולוגיה בסמינר הלטיני שבבית ג'אלה שליד בית לחם, במימון ובסיוע של המרקיז הקתולי סקוטי לורד דה בוטה. בשנת 1878 יסד הכומר אנטוניו בלוני בית ספר חקלאי ופנימייה לבנים עניים ויתומים מהכפרים שבסביבה מתוך כוונה להקדיש את חייו וכוחו לטיפול ביתומים, תושבי המקום אף קראו לו "אבו אל-יתמה" (אבי היתומים). בשנת 1891 התמזגה הקהילה הקטנה של האב אנטוניו בלוני עם המסדר הסלזיאני אשר נוסד על ידי דון בוסקו הקדוש במאה ה-19, דון בוסקו הקדיש את חייו לחינוך ילדים ונערים ואף פיתח שיטת חינוך משלו אשר נקראת "השיטה המונעת" המבוססת על חכמה, אהבה ודת.
בשנת 1899 היו בבית היתומים בבית ג'מאל כ־30 יתומים, יחד עם נזירות ואחיות מהמסדר הסליזיאני של דון בוסקו הקדוש.
תקופת המנדט הבריטי.
בשנת 1922 העניק חבר הלאומים לבריטניה מנדט על ארץ ישראל ובתוכה בית ג'מאל. במפקד שנערך בשנת 1922 על ידי שלטונות המנדט הבריטי, בית ג'מאל מנתה 59 אנשים, מתוכם היו: 56 נוצרים, ושלושה מוסלמים, כאשר מתוך הנוצרים היו 29 קתולים רומאיים, 24 מלכיתים ו-2 מרונים.
עד מפקד האוכלוסין של 1931 האוכלוסייה עלתה ל 168; 78 נוצרים ו-90 מוסלמים, ובסך הכל 22 בתים.
בשנת 1932 נבנתה כנסיית סטפנוס על שרידי הכנסייה הביזנטית שנמצאו בחפירה ארכאולוגית במקום.
בשנת 1945 האוכלוסייה של בית ג'מאל כללה בסה"כ כ-240; 120 מוסלמים ו-120 נוצרים. שטח האדמה היה 4,878 דונם, מתוכם 715 דונם יועדו למטעים וקרקע להשקיה, 2,899 לדגנים, ואילו 1,264 דונם סווגו כקרקע שאינה מעובדת.
לאחר 1948.
באוקטובר 1948 במהלך מבצע ההר שבמלחמת העצמאות, נכבש בית ג'ימאל והכפרים שסביבו על ידי הגדוד החמישי בפיקודו של משה בן דרור (מוריס) כחלק מכיבוש נרחב של האזורים השולטים על הדרך לירושלים. בית ג'ימאל היה המקום שבו שכנה מפקדת כוחות המצריים באזור.
בעקבות מלחמת העצמאות, המצב הדמוגרפי באזור בית ג'ימאל השתנה, והיתומים והעניים שנהגו לפקוד את בית הספר החקלאי שבאזור חדלו מלהגיע. בעקבות כך בשנת 1957 פסק בית הספר החקלאי מלפעול ובמקומו הוקמה במקום ב־1958 פנימייה לילדים ממשפחות מעורבות ליהודים ונוצרים שהחזיק עד 1963. בשנת 1969 היה בית ג'ימאל בית ספר יסודי ופנימייה עם חטיבת ביניים לילדים מרקע סוציו אקונומי קשה מהגליל, מרמלה ומירושלים, פנימייה זו החזיקה מעמד עד 1981, משום שבשנה זו כבר היה לרוב הכפרים והערים סביב בית ספר מקומי מסודר, ובנוסף היה מחסור בכוח אדם בקרב האחים הסליזיאניים.
בשנת 1985 לאחר מפגש מקרי של הכומר המקומי עם נזירה בבית לחם החלו להגיע נזירות בית לחם של סן ברונו הקדוש מצרפת ומבלגיה ולהשתקע במנזר בבית ג'מאל, הגעתם נתמכה בידי האבות הסליזיאניים במקום ובסיוע של סגן ראש עיריית ירושלים, הפרופסור נתן אנדרה שוראקי, סופר ידוע שאף תרגם את התנ"ך, הברית החדשה והקוראן לצרפתית.
בשנת 1991, בעקבות מלחמת המפרץ, הועתק משכנה של שגרירות איטליה בישראל למשך כחודשיים לבית ג'מאל, בתום המלחמה ב-28 בפברואר חזרה שגרירות איטליה לתל אביב.
בשנת 2000 על הגבעה הגבוהה ביותר בבית ג'מאל, תל גמליאל, הצטרפו כ־8 נזירים מאותו מסדר של נזירות בית לחם של סן ברונו הקדוש אשר נמצאים במבנה סגור וללא כניסת מבקרים. הנזירים מתפרנסים מייצור סוגי קטורת שונים ונרות לכנסיות. נכון לשנת 2021 יש במנזר זה 6 נזירים בלבד.
סכסוך נדל"ני.