המשפט נכון גם אם לא דורשים שהמספרים יהיו שונים, כאשר בניסוחו מחליפים את "יורדת ממש" ב־"יורדת" (כלומר, לא עולה), ואת "עולה ממש" ב־"עולה" (כלומר, לא יורדת). החסם שנותן המשפט הוא הדוק, דהיינו, הטענה אינה נכונה עבור סדרות באורך formula_9.
הוכחת המשפט.
הוכחה ראשונה.
נגדיר לכל formula_10 את formula_11 להיות אורך תת־הסדרה העולה הארוכה ביותר המתחילה בformula_12, ובאופן דומה את formula_13 להיות אורך תת־הסדרה היורדת הארוכה ביותר המתחילה בformula_12.
למה: אם formula_15 עבור formula_16, אז formula_17. באופן דומה אם formula_18 עבור formula_16 כך formula_20.
הוכחה: אם formula_15 וformula_20, אז לכל תת־סדרה עולה שמתחילה ב־formula_23 ניתן לצרף בתחילתה את formula_24 ולקבל תת־סדרה עולה ארוכה יותר. מכאן formula_25, בסתירה לנתון.
באופן דומה ניתן לקבל את הלמה על formula_26 ו- formula_27.
כעת נעבור להוכחת המשפט עצמו. נניח בשלילה כי אין מוצאים תת־סדרה עולה ממש באורך formula_28 ואין תת־סדרה יורדת ממש באורך formula_29.
לכן, לכל formula_10 מתקיים formula_31. כמו־כן, formula_32; אי־לכך, יש רק formula_33 אפשרויות לערכי הזוג הסדור formula_34. לעומת זאת, יש formula_35 זוגות כנ"ל: formula_36.
מעקרון שובך היונים קיימים formula_37 כך ש־formula_38. כלומר, formula_15 וכן formula_18. על־כן, מהלמה formula_17 וגם formula_20; סתירה.
הוכחה שנייה.
לכל מספר formula_43 נבחר את formula_44 להיות אורך הסדרה היורדת הארוכה ביותר המתחילה בformula_43. אם אחד מאיברי הסדרה formula_46 גדול מ-formula_47, תת־הסדרה המתאימה לו היא תת־סדרה יורדת מאורך גדול מ־formula_48. וָלא, על פי עקרון דיריכלה יש לפחות formula_49 איברים בסדרה formula_46 השווים זה־לזה, נסמן את תת־הסדרה המתאימה להם ב־formula_51 ואת ערכם המשותף ב־formula_52. נשים לב ש־formula_53 בהכרח קטן מ־formula_54 (אחרת – היה אפשר לקחת את הסדרה המתחילה ב־formula_53, לאחריו formula_54 ולאחר מכן, את הסדרה באורך formula_52 המתחילה ב־formula_54, ובכך למצוא סדרה יורדת המתחילה ב־formula_53, בעלת אורך גדול מ־formula_52). אותו נימוק תקף לכל formula_61 האיברים, לפיכך, אם ניקח אותם נקבל סדרה עולה כמבוקש.
יתרונה של ההוכחה השנייה הןא שהיא קונסטרוקטיבית, כלומר, מספקת אלגוריתם למציאת הסדרה ולא רק מוכיחה את קיומה.
הוכחה שהחסם הדוק.
יהיו formula_1 מספרים טבעיים. נתבונן בסדרה הבאה:
formula_63
נשים לב שהסדרה מכילה את כל המספרים מ־1 ועד formula_64, ולכן יש בה בדיוק formula_64 איברים. כמו־כן, נשים לב שאחרי כל איבר יש לכל היותר formula_66 איברים קטנים ממנו, ובפרט, סדרה יורדת מקסימלית היא באורך formula_47 לכל היותר. בנוסף, אם נחלק את הסדרה ל־formula_68 תת־סדרות באורך formula_47 – אז עבור כל איבר – האיבר הבא אחריו, שגדול ממנו, חייב להימצא בתת־הסדרה הבאה. לכן, תת־סדרה עולה מקסימלית היא באורך formula_68. מכאן, אין קיימת לסדרה זו תת־סדרה יורדת באורך formula_71, ובנסוף, אין לה תת־סדרה עולה באורך formula_61. בשל כך, אין משפט ארדש–סקרש מתקיים עבור סדרות באורך formula_64.
ג'ון הרט
סר ג'ון וינסנט הרט (באנגלית: John Vincent Hurt; 22 בינואר 1940 – 25 בינואר 2017) היה שחקן קולנוע בריטי זוכה 3 פרס באפט"א ומועמד ל-2 פרסי אוסקר, והיה חבר במסדר האימפריה הבריטית. נמנה עם שחקני האופי הידועים והמבוקשים ביותר בבריטניה. במהלך הקריירה המגוונת שלו, שהחלה עוד בשנות השישים של המאה העשרים, גילם באופן מהימן תפקידי אופי רבים, רבים מהם מבוססים על דמויות היסטוריות.
קורות חייו.
נעוריו ותחילת דרכו.
הרט נולד בצ'סטרפילד, דרבישייר אנגליה לפיליס, שחקנית חובבת וארנולד הרברט הרט, כומר.
למד אמנות בבית הספר לאמנויות "סנט מרטין", אולם ב-1962 פנה למשחק.
הופיע עם ה"רויאל שייקספיר קומפני" ולמד באקדמיה המלכותית לאמנות הדרמה (RADA). במשך שנים היה אלכוהוליסט, אולם נגמל עם חלוף הזמן.
קריירה קולנועית.
תפקידו הקולנועי הראשון, משנת 1962, היה בסרט "הפראיים והנכונים",
אולם את דמותו המרכזית הראשונה גילם בסרט "אדם לכל עת", כריצ'רד ריץ'.
היה זה תפקידו כקוונטין קריספ השערורייתי, בסרט הטלוויזיה הביוגרפי "ערום בשירות הציבור" (1975), שהקנה לו את פרסומו – הרט זכה בפרס באפט"א לטלוויזיה בגין תפקידו זה.
בשנת 1976 גילם את דמותו של הקיסר הרומי הנודע לשמצה, קליגולה, בסדרת הדרמה הבריטית "אני, קלאודיוס". הרט החל לפתח קריירה קולנועית משגשגת, ובין תפקידיו הבולטים ניתן למנות את קיין, הקורבן הראשון של החוצן בסרט "הנוסע השמיני", מקס במותחן הפשע של אלן פארקר "אקספרס של חצות" (שעליו היה מועמד לראשונה לפרס אוסקר על שחקן משנה ובנוסף זכה בפרס באפט"א לשחקן הטוב ביותר בתפקיד משנה ובפרס גלובוס הזהב), פעיל בית הספר הרדיקלי "סקרוודייק" בסרט "מלקולם הקטן" ודמותו של ג'וזף מריק, בביוגרפיה הקולנועית "איש הפיל".
כן גילם תפקיד ראשי בשובר הקופות של סאם פקינפה (The Osterman Weekend" (1983", סרט שנקטל בידי הביקורות.
הרט שיחק פעמיים בעיבודים לספרו של דוסטויבסקי, "החטא ועונשו", ב-1979 גילם את רסקולניקוב התפקיד הראשי במיני-סדרה טלוויזיונית, ובשנת 2002 הופיע בתפקיד החוקר פורפירי בסרט קולנוע בבימויו של מנחם גולן.
במהלך הקריירה שלו גילם דמויות פוליטיות רבות, השונות זו את זו באופיין – בתחילת הקריירה שלו גילם את דמותו של וינסטון סמית' בעיבוד הקולנועי לספר 1984. מאידך, בשנת 2006 גילם את מנהיגה של בריטניה הפאשיסטית בסרט "ונדטה".
ב-2007 השתתף בתפקיד ראשי בסרט "רציחות באוקספורד", שבו גילם את ארתור סלדום, פרופסור באוניברסיטת אוקספורד.
בשנת 2016 שיחק בסרט הדרמה הביוגרפי "ג׳קי" על ג'קלין קנדי-אונאסיס, רעייתו של נשיא ארצות הברית ג'ון פ. קנדי, בכיכובה של נטלי פורטמן.
ביוני 2004 קיבל את אות מסדר האימפריה הבריטית.
נפטר ב- 25 בינואר 2017 בגיל 77.
קריירה טלוויזיונית.
הרט גילם את דמותו של מספר הסיפורים הזקן בתוכנית הטלוויזיה הבריטית סיפורי עמים, שהופקה בשנים 1989-1988. הוא שימש כקריין בסדרה כוכב האדם. בשנת 2013, הוא גילם לדקות ספורות את התגלמותו האבודה של הדוקטור בסדרת המדע הבדיוני דוקטור הו. בנובמבר של אותה שנה, חזר הארט וגילם את "דוקטור המלחמה" בספיישל ה-50 שנה לסדרה.
ג'ו פשי
ג'וזף (ג'ו) פרנק פשי (באנגלית: Joseph Frank "Joe" Pesci; נולד ב-9 בפברואר 1943) הוא שחקן קולנוע אמריקני-איטלקי, זוכה פרס האוסקר, קומיקאי וזמר. פשי מרבה לגלם את דמויותיהם של גנגסטרים אלימים.
ביוגרפיה.
פשי נולד בעיר ניוארק, ניו ג'רזי, ועבד בה כספר בשנות ה-60. באותה תקופה, תחת השם ג'וזף ריצ'י, יצא אלבומו "ג'ו הקטן יודע לשיר", בליווי להקה שכללה את חברו הקרוב ומי שעתיד להיות עמיתו למקצוע המשחק, פרנק וינסנט.
קריירה.
פריצת הדרך הקולנועית של פשי אירעה ב-1980, עת כיכב לצידו של רוברט דה נירו בסרטו של מרטין סקורסזה, "השור הזועם". בשנים שלאחר מכן, הוסיף לשחק לצידו של דה נירו, בסרטים "היו זמנים באמריקה", "קזינו" ו"החבר'ה הטובים". בעבור זה האחרון זכה פשי בפרס האוסקר בקטגוריית שחקן המשנה. פשי כיכב גם בסרטים "שכחו אותי בבית", "ג'י. אף. קיי - תיק פתוח", "סהרורי" ו-"בן דודי ויני". כן הופיע בסדרת סרטי "נשק קטלני" (החל מהסרט השני). ב-1999, לאחר יציאתו של הסרט "נשק קטלני 4", הכריז פשי כי הוא פורש ממשחק לטובת פיתוח קריירה מוזיקלית. עם זאת, הוא שב למשחק כאשר הופיע בתפקיד אורח בסרטו החדש של רוברט דה נירו, "שומר המדינה" (2006). בשנת 2019 הופיע בתפקיד ראשי בסרטו של סקורסזה "האירי", לצידו של דה-נירו, שהופק על ידי נטפליקס.
משפט ארדש סקרש
רוברט דובאל
רוברט סלדן דובאל (באנגלית: Robert Selden Duvall; נולד ב-5 בינואר 1931) הוא שחקן ובמאי קולנוע אמריקאי, מועמד שבע פעמים לפרס האוסקר, מתוכן הוא זכה בפרס אוסקר לשחקן הטוב ביותר על תפקידו בסרט "רגעים קטנים של חסד" בשנת 1983. דובאל זכה גם בארבעה פרסי גלובוס הזהב, שני פרסי אמי ופרס אובי.
ביוגרפיה.
דובאל נולד בסן דייגו שבקליפורניה, בנם של ויליאם הווארד דובאל, אדמירל-משנה בצי האמריקני, ולמילדרד-וירג'יניה (לבית הארט), שחקנית חובבת. אביו הוא צאצא של מרין דובאל , הוגנוט צרפתי שהיה מראשוני המתיישבים האמריקאים. אימו היא בת משפחת לי ונצר של גנרל רוברט אי' לי, מפקד צבא הקונפדרציה במלחמת האזרחים האמריקנית. דובאל חונך על פי תפיסת המדע הנוצרי, ולדבריו, זו אמונתו, על אף שהוא לא נוהג ללכת לכנסייה.
כבנו של יוצא צבא, דובאל גדל זמן מה באנאפוליס, מרילנד, ליד אקדמיית הצי האמריקני. הוא הושעה מלימודיו בבית הספר "סברן" שבעיר. בין השנים 1953 ו-1954, הוא שירת בצבא ארצות הברית, והשתחרר בדרגה המקבילה לטר"ש .
דובאל למד משחק בבית הספר לתיאטרון "נייברהוד פלייהאוס" שבניו יורק, ונמנה עם תלמידיו של סנפורד מייזנר. כשחקן בתחילת דרכו, עבד דובאל כפקיד דואר במנהטן, אולם התפטר מקץ חצי שנה.
קריירה.