בסטטיסטיקה, תיקון בונפרוני הוא אחד ממספר שיטות המשמשות על מנת להתמודד עם בעיית ההשוואות המרובות. השיטה נקראת על שם המתמטיקאי האיטלקי קארלו אמיליו בונפרוני , בשל השימוש שעשה ב"אי-שוויונות בונפרוני" (Bonferroni inequalities) בשנת 1936. עם זאת, השימוש המודרני בתיקון בונפרוני מיוחס דווקא למתמטיקאית האמריקנית אוליב ג'יין דאן, שתיארה בצורה מפורטת את הפרוצדורה של תיקון בונפרוני בצמד מאמרים שפרסמה ב-1959 וב-1961.
הסבר כללי.
בדיקת השערות סטטיסטיות היא תהליך המבוסס על ניסוח השערה שאותה אנו רוצים להפריך, לה קוראים "השערת האפס", איסוף נתונים, ולבסוף ניתוח סטטיסטי של הנתונים על מנת לבדוק אם אכן ניתן לדחות את ההשערה ברמת ודאות מספקת. רמת המובהקות מייצגת את הסיכוי לכך שאנו נדחה את השערת האפס למרות היותה נכונה. לכן, אם אנו רוצים לדחות את ההשערה ברמת ודאות של formula_1 (למשל 95%), עלינו לקחת רמת מובהקות של formula_2 (למשל 5%). רמת המובהקות מייצגת את הסיכוי לטעות מסוג I, הנחשבת לטעות שהסיכויים להתרחשותה חייבים להישאר נמוכים מאוד (בדרך כלל 5% או 1%).
כשמבצעים בדיקת השערות מרובות במקביל (נניח למשל שישנן formula_3 השערות שנבדקות), הסיכוי שלנו לבצע טעות מסוג I באחת מהן לפחות הופך להיות גדול בהרבה מרמת המובהקות שבה בחרנו עבור השערה בודדת. על מנת להתמודד עם בעיה זו, תיקון בונפרוני מציע להקטין את רמת המובהקות עבור כל בדיקה בודדת מ-formula_2 ל-formula_5, ועל ידי כך לגרום לרמת המובהקות (הסיכוי לטעות מסוג I) של הבחירה המרובה, להיות שווה בקירוב ל-formula_2 המקורית שבה החוקרים חפצים.
לדוגמה: אם רמת המובהקות הנדרשת היא formula_7 (5%), ומתבצעת בדיקה של 50 השערות במקביל, אז לפי תיקון בונפרוני צריך לקחת רמת מובהקות של formula_8 (0.1%) עבור כל השערה, כדי שהסיכוי לטעות מסוג I של בדיקת כל ההשערות יחד תהיה בקירוב 5%.
הגדרה.
נניח ש-formula_9 היא משפחה של השערות ו-formula_10 הם ערכי ה-p-value המתאימים לאותן השערות (השערה נדחית אם ורק אם ה-p-value שלה נמוך מ-formula_2). הסיכוי לטעות מסוג I בבדיקת כל משפחת ההשערות ביחד (Family-wise error rate, FWER) היא ההסתברות לדחות לפחות השערה אחת formula_12 למרות היותה נכונה, כלומר הסיכוי לעשות לפחות טעות אחת מסוג I.
תיקון בונפרוני קובע שאם נחליט לדחות את השערת האפס לכל השערה בודדת רק עבור formula_13, ה-FWER יהיה בהכרח לא-גדול מ-formula_14, כלומר שהתיקון "שולט" על ה-FWER. ההוכחה עושה שימוש בחסם האיחוד :
ללא צורך בהנחה שישנה תלות או אי-תלות בין ערכי ה-p-value.
הרחבות.
הכללה.
במקום לקבוע רמת מובהקות קבועה של formula_16 עבור כל אחת מההשערות הנבדקות, ניתן לבדוק את ההשערות עם רמות מובהקות אחרות בתנאי שהסכום של כולן הוא formula_2. למשל, אם אנחנו מעוניינים ברמת מובהקות של 0.05 ויש לנו שתי השערות, במקום לבחור ברמת מובהקות של 0.05/2 = 0.025 עבור כל אחת, ניתן לבחור עבור אחת מהן ברמת מובהקות של 0.04 ועבור השנייה רמת מובהקות של 0.01.
רווחי סמך.
ניתן להשתמש בתיקון בונפרוני על מנת לתקן רווחי סמך. אם מעוניינים למצוא formula_3 רווחי סמך ברמת סמך כוללת של formula_19, יש לקבוע עבור כל רווח בודד רמת סמך של formula_20 כדי להגיע לרמת הסמך המבוקשת עבור כל הרווחים יחדיו.
אלטרנטיבות.
ישנן דרכים אחרות על מנת לשלוט ב-FWER (הסיכוי לטעות מסוג I בבדיקת משפחת השערות). לדוגמה, שיטת הולם-בונפרוני היא שיטה "חזקה" יותר לשליטה ב-FWER מאשר תיקון בונפרוני, כלומר שהעוצמה הסטטיסטית שלה תמיד גדולה לפחות כמו זו שמתקבלת בתיקון בונפרוני, אך לעיתים גדולה יותר. בניגוד לתיקון בונפרוני, שיטה זאת אינה שולטת על תוחלת כמות הטעויות מסוג I במשפחת ההשערות הנבדקות (אלא רק על הסיכוי לכך שתהיה לפחות טעות אחת).
ביקורת.
תיקון שמרני מדי.
תיקון בונפרוני הוא תיקון שמרני - הוא מבטיח שרמת המובהקות של הבדיקה המרובה תהיה לא-גדולה מ-formula_2 (כמו שהוכח לעיל), אך החיסרון שלו הוא בכך שבמקרים רבים הוא מקטין את רמת המובהקות מעבר לנדרש. שמרנות זו מגדילה את הסיכוי לטעות מסוג II, ומקטינה את העוצמה הסטטיסטית של הבדיקה מעבר לנדרש (כלומר, ניתן היה להשיג את רמת המובהקות הנדרשת formula_2 עם עוצמה סטטיסטית גבוהה יותר).
יש שני גורמים עיקריים שעלולים לגרום לכך שרמת המובהקות של הבדיקה המרובה עם תיקון בונפרוני תהיה קטנה מ-formula_2:
חלוקה למשפחות.
במסגרת תיקון בונפרוני, צריך קודם כל להחליט איך לקבץ את ההשערות הנבדקות ל"משפחות" (families) של השערות שלגביהן הגיוני שנרצה שיהיה למשפחה כיחידה אחת טעות מסוג I (formula_2) שאינה עולה על ערך מסוים. על מנת להמחיש את הצורך בחלוקה למשפחות, נסתכל על חוקר המבצע שני מחקרים שונים ובשניהם מבצע בדיקת השערות - מחקר אחד עוסק בחקר התנהגות לווייתנים, והאחר עוסק בתכונות של מוליכים חשמליים. ברור שבמצב זה אין צורך לקבץ את ההשערות משני הניסויים ולעשות לשניהם ביחד את תיקון בונפרוני. עם זאת, בניגוד למקרה קיצוני זה, ישנם מצבים רבים בהם לא ברור האם יש לפצל השערות למספר משפחות או להשאירן ביחד באותה משפחה, או באיזה אופן לפצל אותן למספר משפחות.
הביקורת על תיקון בונפרוני היא שאין כללים ברורים ומוסכמים על הכל לגבי איך לבצע את החלוקה למשפחות, וכן שאופן החלוקה למשפחות עשוי לשנות באופן מהותי את תוצאות הבדיקה - מה שאומר שתוצאות הבדיקה עשויות להיות מושפעות מבחירה מסוימת שאינה טריוויאלית לגבי אופן החלוקה.
עיטור האומץ (משטרת ישראל)
גז'גוז' קריכוביאק
גז'גוז' קריכוביאק (בפולנית: Grzegorz Krychowiak; נולד ב-29 בינואר 1990 בגריפיצה שבפולין) הוא כדורגלן פולני, המשחק בעמדת הקשר אחורי בקבוצת א-שבאב (ריאד) ובנבחרת פולין.
קריירה.
קריכוביאק החל לשחק כדורגל במספר אקדמיות לנוער בכדורגל בפולין. בשנת 2005, בעודו בן, 15, עבר למחלקת הנוער של ארקה גדיניה הפולנית בה שיחק כעונה אחת. בשנת 2006 הצטרף למחלקת הנוער של ז'ירונדן דה בורדו הצרפתית. בשנת 2008 עלה קריכוביאק לקבוצת הבוגרים של המועדון. בעונתו הקראשונה בקבוצה, שותף הקשר האחורי רק בשני משחקי ליגה.
ב-26 בנובמבר 2009 הושאל לסטאד ריימס מהליגה הצרפתית השלישית עד לסוף העונה. באותה העונה עלתה הקבוצה לליגה המשנית בצרפת. לאחר מכן חתם קריכוביאק להשאלה לעונה נוספת בסטאד ריימס וזכה בתואר שחקן העונה של הקבוצה. ב-17 בנובמבר 2011 לאחר שחזר לז'ירונדן דה בורדו הושאל לנאנט עד לסוף העונה. ביוני 2012 חתם השחקן לשלוש שנים בסטאד ריימס שעלתה לליגת העל הצרפתית. סך הכל בכל השנים בסטאד ריימס רשם קריכוביאק 124 הופעות ליגה, וכבש 12 שערי ליגה.
ביולי 2014 חתם קריכוביאק בקבוצת הפאר הספרדית סביליה תמורת 4.5 מיליון אירו. ב-12 באוגוסט 2014 ערך השחקן את הופעת הבכורה שלו בקבוצה במסגרת הסופר קאפ האירופי בהפסד 0–2 לריאל מדריד. ב-27 במאי 2015 שיחק קריכוביאק בגמר הליגה האירופית וכבש שער בדקה ה-28 בניצחון 2–3 על דניפרו והיה לשחקן הפולני הרביעי שזוכה במפעל. ב-11 באוגוסט 2015 שיחק 120 דקות בהפסד 4–5 לברצלונה בסופר קאפ האירופי, ובתום אותה עונה זכה עם סביליה פעם שנייה בליגה האירופית, לאחר שפתח בהרכב הקבוצה למשחק הגמר בו גברה 1–3 על ליברפול.
ב-3 ביולי 2016 חתם קריכוביאק ל-5 שנים בפריז סן-ז'רמן תמורת 30 מיליון אירו. ב-30 באוגוסט 2017 הושאל לעונה אחת לווסט ברומיץ' אלביון. ביולי 2018 הושאל ללוקומוטיב מוסקבה הרוסית ובהמשך חתם בה.
נבחרת פולין.
ב-18 בדצמבר 2008 ערך קריכוביאק את הופעת הבכורה שלו במדי נבחרת פולין במשחק הידידות נגד נבחרת סרביה ב-14 בנובמבר 2014 כבש הקשר האחורי את שער הבכורה שלו בנבחרת, בניצחון 0–4 על נבחרת גאורגיה במוקדמות יורו 2016. שבוע לאחר מכן כבש את שער הניצחון על נבחרת אירלנד בניצחון 1–2 במוקדמות המפעל. קריכוביאק כבש את פנדל הניצחון, בשמינית גמר יורו 2016 בניצחון 4–5 בפנדלים על נבחרת שווייץ, לאחר שהמשחק עצמו הסתיים ב-1-1.
קווין פרינס בואטנג
ציר יועץ
מזכיר ראשון
מזכיר שני
יועץ (דיפלומטיה)
ציר-יועץ
נספח (דיפלומטיה)
הכפר העברי
המורה דרורה לא מפלצת
המורה דרורה לא מפלצת הוא רומן רב-מכר לבני הנעורים מאת הסופר והתסריטאי ינץ לוי. הספר, שהתפרסם בשנת 2014 בהוצאת זמורה ביתן, מבוסס על חוויות מילדותו של המחבר.
עלילת הספר.
עלילת הספר מתרחשת בשנות ה-80 של המאה ה-20 ומספרת על מיכאל, תלמיד בית ספר מצטיין, שתקן וצייתן, אבל מאוד לחוץ. מיכאל מוצא את עצמו בוכה פעם אחר פעם בבית ספר מרוב לחץ ומצוקה רגשית. במהלך החופש הגדול הוא מבטיח לעצמו שבשנה הבאה הוא לא יבכה, אלא שבתחילת השנה הוא מגלה שהמורה שלו היא דרורה, "המורה הכי מפחידה מאז ימי הדינוזאורים". דמותה הקומית-טראגית של המורה דרורה קשוחה, נבחנית ונוהגת להטיל מורא על תלמידיה. יש לה קול צרוד וצורמני. היא חסרת סבלנות ורגישות ונוהגת להשפיל את התלמידים. אמנם תחילת השנה נראית מאיימת, אך מיכאל אינו יודע מה צופן בחובו העתיד. בסיפור התבגרות רגיש, מותח ומשעשע, מיכאל עובר תהפוכות מפתיעות, ועלילת הספר נוגעת בהיבטים מרכזיים בחייהם של ילדים ובני נוער - התאהבות, מקובלים ולא מקובלים, לימודים בבית ספר, חברות, יחסי ילדים והורים ועוד. העלילה הריאליסטית בעיקרה נוגעת גם בחוויות יוצאות דופן הכוללות אוצר, בית נטוש ומסתורי, חבורה שיוצאת למבצע חשאי ועוד.