למרות הקושי האינטואיטיבי, כבר בתקופה זו פיתח ארכימדס חישוב המשתמש בחלוקה אינסופית, על מנת לחשב את שטח העיגול. ארכימדס הניח כי העיגול מכיל אינסוף משולשים צרים לאינסוף, ולכן אפשר לחשב את שטחו על בסיס הנוסחה לחישוב שטחו של משולש. ארכימדס הניח, אם כך, שניתן לעבוד עם המושג "קטן עד אינסוף", אולם טרם היו בידיו הכלים המתמטיים להגדיר זאת.
העת החדשה.
בסוף המאה ה-17 וראשית המאה ה-18 המשיכו לייבניץ וניוטון את דרכו של ארכימדס ופיתחו חשבון המסוגל לחשב, בין היתר, את שטחן של צורות עקומות: חשבון אינפיניטסימלי. גם כאן נדרשה חלוקה אינסופית. הפעם הציב החישוב גם קשיים לוגיים. במהלך החישוב הופיע מושג האינפיניטסימל - "גודל קטן לאין סוף", שדרך ההתייחסות אליו הייתה כפולה: בראשית החישוב התייחסו אליו כגדול מאפס, ובהמשך החישוב התייחסו אליו כשווה ממש לאפס.
בתקופה זו עדיין היה קשר חזק יחסית בין המתמטיקה לפילוסופיה. ניוטון, ובעיקר לייבניץ, התייחסו בכתביהם למושג הרציפות האינטואיטיבי. לייבניץ ניסה להסביר מדוע לדעתו קיימת רציפות בטבע, כפי שהיא קיימת במתמטיקה. הפילוסוף ג'ורג' ברקלי ביקר את שיטותיהם של ניוטון ולייבניץ:
הקושי הלוגי שהתעורר בחשבון האינפיניטסימלי גרם למתמטיקאים לעבור מעיסוק בגאומטריה לעיסוק בהגדרות לוגיות ובתורת המספרים.
הפתרון העיקרי שניתן בתחום החשבון האינפיניטסימלי היה החלפת המושג "גודל קטן עד אין סוף" במושג גבול. מושג הגבול מביע את הרעיון המופיע במושג "גודל קטן עד אין סוף", אולם ניסוחו המתמטי אינו יוצר קשיים לוגיים, מפני שהגבול שם נקודת גבול לאינסוף המתכנס ובכך שם סוג של סוף (גבול), או נקודת עצירה לאינסוף, או במילים אחרות, הופך את הרציפות לדבר המורכב מאובייקטים בדידים קטנים כרצוננו אך סופיים (אפסילון - epsilon).
הפתרון העיקרי שניתן להגדרת המספרים האי-רציונליים, היה פיתוחה של תורת הקבוצות. קנטור פיתח מושגים ושיטות שבהן אין "תהליך אינסופי" (אינסוף פוטנציאלי) אלא קבוצות אינסופיות (אינסוף אקטואלי). בצורה זו ניתן להגדיר בכלים סופיים מהו מספר אי-רציונלי.
פתרונות אלו מאפשרים למתמטיקה המודרנית לעבוד עם גדלים אינסופיים. עם זאת, יש הטוענים שנותרו קשיים לוגיים עד היום במתמטיקה, בעיקר בגלל העבודה עם גדלים אינסופיים (בנושא זה, ראו ספרו של ארנון אברון, "משפטי גדל ובעיית יסודות המתמטיקה").
כמו כן, פתרונות אלו עקפו את השאלות העמוקות בדבר אפשרות חלוקתו האינסופית של הרצף, וטיבם של גדלים קטנים לאינסוף. שאלות אלה הופרדו מן המתמטיקה והוכרזו כעניין לפסיכולוגיה, או לפילוסופיה, שאין לו נגיעה בעבודת המתמטיקאי. אך למעשה, רעיונות אלה נותרו חבויים באקסיומות שעליהן נשענים מושגי המספר והגבול.
מאחר שהמתמטיקה נפרדה מן הפילוסופיה, המתמטיקאים אינם עוסקים בשאלות כגון: "כיצד ניתן לתפוס שאוסף נקודות חסרות גודל יוצרות קו בעל גודל?" או "כיצד ניתן לתפוס תהליך אינסופי?"
האם הטבע רציף?
רציפות בפיזיקה.
עד העת החדשה הייתה שאלת הרציפות בפיזיקה שאלה תאורטית בלבד. חלק מן המדענים והפילוסופים (כמו דמוקריטוס) סברו כי הטבע מורכב מיחידות סופיות ובדידות בשם "אטומים", וחלק סברו אחרת. שאלות אלו הפכו לנחלתה של הפיזיקה הנסיונית, עם פיתוחן של תאוריות חדשות במאה ה-19 ומכשירים חדשים במאה ה-20.
המכניקה הקלאסית, שפותחה על ידי ניוטון בסוף המאה ה-17, הכילה בתוכה כמה הנחות יסוד אודות הטבע. בין היתר, היא הניחה כי ניתן להבדיל בין חומר, הנתפס בחושים, לבין אנרגיה, שאיננה נתפסת בחושים. על בסיס זה ניסתה הפיזיקה הקלאסית להסביר את חוקי התנועה של עצמים חומריים, כמו תנועתם של כדורי ביליארד המתנגשים זה בזה.
גישה זו גרמה לפיזיקאים להניח כי ניתן למצוא תשובה לשאלת הרציפות על ידי חלוקה של החומר ליחידות הקטנות ביותר.
במהלך המאה ה-19 הועלו תאוריות שונות בנוגע למבנה האטום, ובתחילת המאה ה-20 החל להתברר מבנהו. מצד אחד נתגלה כי האטום מכיל חלקיקים יסודיים יותר כמו אלקטרונים, פרוטונים וקווארקים. מצד שני, התצפית בחלקיקים אלו נתגלתה כבעייתית גם בגלל גודלם וגם בגלל התנהגותם. אם בסוף המאה ה-19 סברו הפיזיקאים שיוכלו לתאר את תנועת החלקיקים כשם שמתארים תנועת כדורי ביליארד, הרי שבמהלך המאה ה-20 התברר כי זוהי משימה בלתי אפשרית.
מאז פרסום תורת היחסות, לא מתבצעת אותה הבחנה חדה בין חומר לאנרגיה. מאז פרסום עיקרון אי הוודאות של הייזנברג, נראה כי בכל מקרה לא ניתן לחשב את תנועתם של חלקיקים משום שעצם התצפית משפיעה על תנועתם. מאמצע המאה העשרים לערך, החלה להתקבל תאוריה המכונה מכניקת הקוונטים, הטוענת שהחלקיקים אינם בהכרח בדידים, אלא שלעיתים הם בדידים ולעיתים הם גלים. תאוריה זו מקבלת גם את ההנחה שלא ניתן לצפות את תנועתם של החלקיקים על פי חוקי הפיזיקה הקלאסית, אלא לכל היותר ניתן לשער אותה על ידי סטטיסטיקה.
מכל האמור לעיל משתמע כי הפיזיקה טרם הגיעה להסבר ברור ומקובל בנוגע למבנה החומר ותנועתו, או אפילו בנוגע לפירוש המושג "חומר". במצב זה, שאלת הרציפות בטבע נשארה מעורפלת מתמיד.
עמדותיהם של פילוסופים בנוגע לרציפות בטבע.
במהלך העת החדשה העסיקה סוגיית הרציפות בטבע כמה פילוסופים בולטים. סעיף זה דן בפילוסופים שפעלו לפני הפיזיקה הקוונטית.
בהכללה גסה, ניתן לומר שפילוסופים המאמינים שיש ביכולתנו לתפוס את הרציפות בשכל, מאמינים גם כי היא קיימת בטבע. גישה זו שייכת לאסכולה הנקראת ריאליזם.
דקארט טען כי הטבע רציף מהסיבות הבאות:
לייבניץ טען אף הוא כי הטבע רציף:
לעומתם, ניוטון היה זהיר יותר:
האם אנו מסוגלים לתפוס רציפות?
תפיסה חושית לעומת תפיסה שכלית.
ניתן לחלק את יכולת התפיסה האנושית לתפיסה חושית ולתפיסה שכלית. הגישה הפילוסופית המדגישה את התפיסה החושית נקראת אמפיריציזם, בעוד הגישה המדגישה את התפיסה השכלית נקראת רציונליזם.
מאחר שאין לאדם יכולת לתפוס את הרציפות (כלומר גדלים קטנים עד אין סוף) בחושים, הרי שפילוסופים אמפיריציסטים נוטים לטעון שהמושג אינו רלוונטי. לעומתם, פילוסופים רציונליסטיים נוטים לטעון כי יש ביכולתנו לתפוס רציפות בשכל.
עמדותיהם של פילוסופים בנוגע לתפיסת רציפות.
ג'ון לוק, כנציג מובהק של האמפיריציזם, טען כי אין ביכולתנו לתפוס רציפות:
גם דייוויד יום, כאמפיריציסט, טען כי אין ביכולתנו לתפוס רציפות:
לעומתם, לייבניץ טוען שאין צורך בתפיסה חושית על מנת לתפוס רציפות:
Strawberry Fields Forever
Strawberry Fields Forever (מאנגלית: שדות תות לנצח) הוא אחד השירים המפורסמים והידועים של הביטלס.
הפקה.
השיר שנכתב על ידי ג'ון לנון (הקרדיט ניתן ללנון-מקרטני) לא נכתב על שדות תותים, אלא על בית יתומים הסמוך לבית ילדותו של לנון, הנקרא Strawberry Fields. השיר הופיע, יחד עם Penny Lane של מקרטני, בתור איי-סייד כפול במהלך לא שגרתי. במקור, השיר נכתב לאלבום Sgt. Pepper's Lonely Hearts Club Band, אך ג'ורג' מרטין החליט להוציא אותו משם משום שהוא חשב שלכלול סינגל קודם בתוך האלבום זוהי הונאת הקהל. מאותה סיבה הוצא גם Penny Lane מהאלבום. במקום זאת, שניהם הופיעו באלבום האמריקאי Magical Mystery Tour.
תמליל השיר ותזמורו אפלים ודיכאוניים ובנויים על "טריפ רע" של לנון בעת שנטל LSD. השיר כולל סולם יורד של אקורדים שנחשב ל"שטני", כמו כן הוא כולל נגינת חצוצרות בסגנון גוסטב מאהלר, הנשמעות כמבשרות את יום הדין ונגינת צ'לו מועצמת, שאף היא מעניקה לו גוון אפל. השיר הוא אחד משירי הרוק הראשונים אשר בהם היה שימוש בכלי המלוטרון אשר הפך לפופולרי בשימושו בז'נארים כמו רוק מתקדם, רוק פסיכדלי אך גם פופ ועוד רבים אחרים.
השיר כולל קודה, סיומת ארוכה יחסית המופיעה לאחר שהשיר מסתיים ומכילה ניגון מהיר של סליל הקלטה לאחור ומלמולים. בסיום השיר אומר ג'ון לנון "Cranberry sauce" ("רוטב חמוציות"), בניגוד לאגדה האורבנית לפיה הוא אומר "I buried Paul" ("אני קברתי את פול")
לאחר הרצחו של לנון, הוקם בניו יורק אתר זיכרון בשם Strawberry Fields.
בין האומנים שביצעו את השיר נמצאים להקת אואזיס, טאטרן ופרנק זאפה.
אדג'
מסננת
מִסְנֶנֶת (נקראת גם כְּבָרָה או נָפָה) היא כלי מטבח קעור ומחורר המשמש לסינון מוצרי מזון.
מסננות עשויות בדרך כלל מתכת דקה (אלומיניום או פלדת אל חלד) או פלסטיק. ישנן מסננות בצורת קערה עם ידית ארוכה, לפעמים עם "אוזניים" לאיזונן על דפנות כיור, סיר או קערה, כך שיטפטפו מטה. אחרות הן מעין קערה עם שתי ידיות אחיזה עגולות משני צידיהן ובסיס המאפשר הצבת המסננת, למשל בתוך כיור, כדי לאפשר לנוזלים לזרום ממנה. ישנן מסננות בגדלים שונים, וגם גודל החרירים משתנה.
שימוש נפוץ במסננת גדולה הוא לאחר בישול פסטה, כדי לרוקן את מי הבישול מהפסטה. לעיתים מטרת הסינון אינה להיפטר מהנוזלים אלא להפריד בינם לבין המוצקים, כך למשל סינון מרק, כאשר הנוזל ניגר מהמסננת כדי להפרידו מהמוצקים (שעשויים לשמש גם הם למאכל, ביחד או בנפרד מהמרק). טכניקה כזו משמשת גם להכנת רגל קרושה וגספצ'ו.
מסננות עם חרירים קטנים משמשות בין השאר לחליטת תה ולזריית אבקת סוכר בשכבה דקה על מאפים.
קוסקוס מבשלים באמצעות כלי רב קומות, שחלקו העליון הוא כעין מסננת לאידוי הסולת באדי הירקות והבשר המתבשלים מתחתיה.
מסננת מיוחדת משמשת לטיגון עמוק כדי להקל על הוצאת המזון מהשמן. היא בעלת חרירים רחבים וידיות, מונחת בתוך סיר בו מורתח שמן ומכניסים לתוכה את המזון הדורש טיגון, למשל רצועות או פרוסות תפוחי אדמה להכנת טוגנים. בגמר הטיגון הרשת נשלפת להוצאת המזון.