הסשנים התנהלו ביעילות רבה יותר מאלה של "The Madcap Laughs" - הוקלט הרבה חומר שלא נכלל באלבום, וכנראה ישנם שירים שלא ראו אור מעולם ומשך ההקלטה של האלבום היה קצר משמעותית ממשך ההקלטה של קודמו.
באותה תקופה מצבו הנפשי של בארט היה עדיין בכי רע; ב-6 ביוני 1970 בארט הופיע יחד עם ג'רי שירלי ודייוויד גילמור באולם האולימפיה שבלונדון' בארט בלבל את הקהל וגם את שירלי וגילמור, ובשיר הרביעי הניח את הגיטרה שלו בפתאומיות וירד מהבמה. שירלי וגילמור הם סיימו את השיר - "Gigolo Aunt" במהירות וחתמו את ההופעה היחידה בקריירת הסולו של בארט.
"Barrett" יצא בנובמבר 1970 והתקבל בהרבה פחות עניין מאשר קודמו. בארט אמר בראיון איתו שהתזמון של יציאת האלבום היה גרוע וקרוב מדי לזה של האלבום הקודם ולכן הוא לא נכנס למצעדים.
יו&quot;ר ההסתדרות
יהודה קיסר
יהודה מיכאל קיסר (נולד ב-19 בינואר 1954) הוא גיטריסט ומוזיקאי ישראלי, בעל סגנון נגינה ייחודי המשלב מוזיקת רוק, מזרחית ויוונית.
ידוע בעיקר בזכות תרומתו הרבה החל משנות ה-70 למוזיקה המזרחית, על כך זכה גם בפרס מפעל חיים.
ביוגרפיה.
קיסר נולד בקריית אונו להורים שעלו מתימן. הוא גדל בשכונת כרם התימנים בתל אביב. עוד בנעוריו התוודע לגיטרה, כשאת הגיטרה הראשונה בחייו קיבל מאביו בגיל 12 בעת אשפוזו בבית החולים איכילוב, לאחר שנפצע בלונה-פארק במתקן המכוניות המתנגשות. את נגינתו על הגיטרה הוא למד משמיעה וצפייה בלהקות ואמני רוק שונים כמו לד זפלין, פינק פלויד, סנטנה, להקת כוורת וזמרים וגיטריסטים מזרחיים מאותה תקופה, שהמשפיע והבולט ביניהם היה אריס סאן. עד היום הוא מעיד כי אינו קורא תווים.
קיסר החל את דרכו המוזיקלית בתחילת שנות השבעים כנגן ליווי של אמנים רבים, בהם אהובה עוזרי ובעז שרעבי. נגינתו כגיטריסט בעל צליל וסגנון ייחודי החלה להתגבש בלהקתו הראשונה אותה הקים עם רמי דנוך, להקת "צלילי העוד". בהמשך הפך לנגן מבוקש וכך תרם לאלבומיהם והופעותיהם של גדולי הזמר המזרחי, בקריירה ארוכת שנים שנמשכה מאז ועד היום, ובהם זוהר ארגוב, ג'קי מקייטן, אהובה עוזרי, שימי תבורי, מרגלית צנעני, חיים משה, משה גיאת, זהבה בן, שרית חדד, מייק שריף, אייל גולן ועוד. האמן איתו מזוהה קיסר ביותר היה זוהר ארגוב, שאותו ליווה לאורך כל הקריירה הקצרה שלו, בהקלטות אולפן ובהופעות. בשנותיו האחרונות הופיע ארגוב, לעיתים רק עם מכונת תופים ועם ליווי של יהודה קיסר בגיטרה.
סימן ההיכר הייחודי של קיסר הוא מגבעת, שאותה הוא מקפיד לחבוש בכל הופעה פומבית.
אלבום סולו.
אלבום הסולו היחיד עד כה שהוציא קיסר הופק בידי חברי להקת אתניקס, זאב נחמה ותמיר קליסקי. האלבום שיצא בשנת 2000 ונקרא "הקיסר האחרון", הכיל קטעי מוזיקה אינסטרומנטליים בהם הוביל קיסר וכל הקטעים בו הולחנו על ידי נחמה וקליסקי.
הגיטרה המזרחית.
צליל הגיטרה החשמלית המיוחד וסגנון הנגינה של קיסר (על גבי גיטרה מסוג גיבסון ES-335) הפך עם השנים לאלמנט מוכר ובולט במוזיקה הים תיכונית הישראלית.
צלילו המיוחד הוא שילוב של מוזיקת רוק, מזרחית ויוונית. צליל זה התפתח עוד עם משה בן-מוש, הגיטריסט והסולן של להקת "צלילי הכרם". השניים אימצו ואף פיתחו את סגנון הנגינה של אריס סאן על גיטרה, ויצרו את סגנון הגיטרה המזרחית.
כיום, נגנים רבים מחקים את סגנון הנגינה הייחודי הזה והוא אף מזוהה כסגנון "קיסר", על שמו.
פעילות כיום.
בשנת 2009 התארח קיסר באלבומו של גלעד שגב "נועדנו", שבו ניגן בגיטרה בשיר הנושא, "נועדנו".
ב-2010 התארח באלבומה של להקת הדג נחש "6", וניגן עם הלהקה בשיר "שיר נחמה".
בתקופה זו יהודה קיסר נעלם מקדמת הבמה ואף נקלע לקשיים כלכליים בעקבות הצפה באולפן ההקלטות שלו. חבריו הטובים נרתמו לעזרתו וערכו לכבודו אירועי התרמה שונים.
באותה תקופה היה מנגן ומוכר דיסקים בימי שישי ברחבת סופרים ומתחמים מסחריים, בשוק ראש העין וכן בשוק מחנה יהודה בירושלים.
ב-16 בפברואר 2010 הקליט יהודה קיסר את "נעימת הקיסר", נעימה אינסטרומנטלית חדשה שהופקה בשיתוף פעולה עם האתר חריף.
ביולי 2015, השתתף בתוכנית המציאות "אקס פקטור ישראל", בעונתה השנייה. הצליח לעבור עם להקתו "יהודה והקיסרים" את שלב האודישנים, אך לא צלח את שלב מחנה האימונים. כיום, הלהקה עדיין מופיעה על הבמות.
בדצמבר 2017, בהחלטת השרה מירי רגב, קיבל פרס מפעל חיים מטעם משרד התרבות והספורט על פועלו ותרומתו למוזיקה הישראלית והים תיכונית. כמו כן, קיבל מענק זכייה בסך 50,000 ש"ח.
ב-2020 הופיע בסדרה "שנות השמונים".
חיים אישיים.
קיסר גרוש פעמיים. מאשתו הראשונה, דינה, יש לו בת. מאשתו השנייה, חני, יש לו ארבעה ילדים. בנו הוא היוטיובר וכוכב הרשת בן קיסר.
יהודה הוא הדוד של הגיטריסט יוני קיסר.
בעיית בזל
בעיית בזל היא בעיה מפורסמת באנליזה מתמטית, שהוצגה לראשונה בשנת 1644 על ידי פייטרו מנגולי, ונפתרה על ידי לאונרד אוילר בשנת 1735. כיוון שהבעיה נשארה לא פתורה לנוכח ניסיונות מתמשכים של המתמטיקאים המובילים באותה תקופה, פרסום פתרונו של אוילר, כאשר היה בן 28, הביא לו תהילה מיידית. אוילר הכליל את הבעיה באמצעות פונקציית זטא ופתר את הבעיה הכללית, ורעיונותיו שימשו השראה לברנהרד רימן, אשר בעבודתו משנת 1859 השתמש בפונקציה בהקשר למשפט המספרים הראשוניים. הבעיה נקראת על שם בזל, עירו של אוילר כמו גם של בני משפחת ברנולי, שלא הצליחו לפתור את הבעיה.
בעיית בזל היא מציאת סכום הטור האינסופי של הערכים ההופכיים של ריבועי מספרים הטבעיים. כלומר הסכום:
formula_1
סכום טור זה שווה בקירוב ל-1.644934. בעיית בזל דורשת את הערך המדויק של סכום הטור. אוילר הוכיח שהסכום המדויק הוא formula_2 ופרסם את התגלית הזו בשנת 1735. ההוכחה שלו התבססה על שיטות שלא נראו עד אז.
פתרונו של אוילר.
פתרונו של אוילר לבעיה נחשב מקורי ומבריק. הוא תקף את הבעיה מנקודת מבט שונה לגמרי ממה שנראה עד אז. טיעונו של אוילר הוא כזה: נפתח את טור טיילור של הפונקציה formula_3 ונקבל:
נחלק ב-x ונקבל:
כעת, פונקציה זו מתאפסת בנקודות מהצורה formula_6 כאשר formula_7. נניח, לפיכך, כי ניתן, בדומה לפולינומים להביע את formula_8 כמכפלת האפסים שלה:
כעת, אם נכפול בצורה פורמלית ביטוי זה, ונאסוף את המקדמים של formula_11, נקבל כי המקדם של formula_11 ב-formula_8 הוא
אך מטור טיילור של formula_8, אנו יודעים כי המקדם של formula_11 הוא formula_17.
אך שני מקדמים אלו חייבים להיות שווים זה לזה, ולפיכך
ועל ידי הכפלת שני האגפים ב-formula_19 נקבל את הדרוש.
פתרונו של אוילר אינו ריגורוזי לחלוטין בסטנדרט המתמטי המודרני. זאת משום שלא הצדיק את ההנחה שניתן להביע את formula_8 כמכפלת גורמים ליניאריים המאפסים את האפסים. ביטוי זה מוצדק בדיעבד על ידי משפט הפירוק של ויירשטראס.
קשר למכפלת וואליס.
ג'ון ואליס גילה ב-1665 את נוסחת המכפלה שלו לפאי:
formula_21.
וואליס גזר את המכפלה האינסופית הזאת בצורה שנעשית בטקסטים של חשבון אינפיניטסימלי כיום - באמצעות השוואת formula_22 בעבור ערכים זוגיים ואי זוגיים של formula_23. בדיעבד, כפי שאוילר הבחין, נוסחת המכפלה של וואליס היא מסקנה פשוטה מן השיטות שלו לפתרון בעיית בזל. נראה זאת:
נציב formula_25 ונקבל:
פתרון באמצעות אנליזה הרמונית.
את הבעיה אפשר לפתור כמקרה פרטי של טור פורייה: פיתוח פונקציה מחזורית בקטע לטור של סינוסים וקוסינוסים.
תהי formula_27 פונקציית הזהות formula_28 בקטע formula_29. כדי שטור פורייה שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להמשיך אותה באופן מחזורי. נשים לב, שבהמשכה זה הפונקציה איננה רציפה ובכל זאת קיים לה פיתוח לטור פורייה.
נחשב את מקדמי פורייה שלה. מאחר שזו פונקציה אי-זוגית נשתמש בהצגה הטריגונומטרית שלה, כי אז כל המקדמים של הקוסינוסים מתאפסים ורק מקדמי הסינוסים נשארים (זאת מאחר שהסינוס היא פונקציה אי-זוגית והקוסינוס היא פונקציה זוגית).
לכן,
כעת, נחשב את מקדמי הסינוסים:
בסך הכל, טור פורייה של x הוא
כעת נשתמש בזהות פרסבל
כדי לקבל ש
נחלק ב-2 את הביטוי ונצמצם את פאי באגף הימני ונקבל
כמבוקש.
ההוכחה של קאלאבי.
ב-1993 מצא קאלאבי הוכחה קצרצרה למשפט של אוילר , שאפשר להכליל לחישוב ערכים נוספים של פונקציית זטא. ההוכחה משתמשת בהחלפת משתנים דו-ממדית, כלדקמן.
נסמן ב-formula_39 את ריבוע היחידה formula_40 וב-formula_41 את המשולש formula_42.
הפונקציה formula_43 מעתיקה את formula_41 על formula_39 באופן חד-חד-ערכי, והיעקוביאן שלה הוא formula_46. לכן
formula_47.
היינריך איזאק
היינריך איזאק (באנגלית: Heinrich Isaac; 1450–1517), מלחין מהאסכולה הפרנקו-פלמית (גם - הנדרלאנדית) בתקופת הרנסאנס. איזאק, בן זמנו של ז'וסקן דה פרה, נחשב לאחד המלחינים המשפיעים ביותר על התפתחות המוזיקה הפוליפונית בגרמניה.
חייו האישיים.
מעט מאוד ידוע על ראשית חייו, אולם אפשר שנולד בבראבנט.
קריירה.
מוזיקולוגים מעריכים, שהחל להלחין בשנות השבעים של המאה החמש עשרה. המסמך הדוקומנטארי הראשון אודותיו הוא משנת 1484, כשהיה איזאק מלחין חצר באינסברוק. לאחר מכן הועסק כנגן עוגב על ידי בית מדיצ'י בפירנצה, והיה למורה ילדיו של לורנצו דה מדיצ'י. אחד מתלמידיו היה לימים האפיפיור ליאו העשירי. באותה תקופה התחתן עם מקומית, אולם לאחר הדחת בית מדיצ'י בשנת 1494, עזב איזאק את איטליה על מנת למצוא תעסוקה במקום אחר, זאת עד להעסקתו על ידי מקסימיליאן הראשון, קיסר האימפריה הרומית הקדושה, בשנת 1497.