חלק מהבעיות בהן עסקו פרמה ופסקל כבר נפתרו על ידי קרדנו, אך הם לא היו מודעים לכך. באשר למשחקי קובייה, פסקל ופרמה דנו בבעיות כמו מה ההסתברות שיופיע המספר formula_57 בארבע זריקות של קובייה אחת, או שיופיע רצף של formula_58 בשמונה זריקות לכל היותר (כלומר בזריקה אחת, או בשתי זריקות וכן הלאה עד שמונה) של שתי קוביות, וכדומה. במהלך ההתכתבות נעשה שימוש שיטתי בכללי החיבור והמכפלה, כלומר: אם ההסתברות למאורע formula_1 היא formula_16 וההסתברות למאורע formula_2 היא formula_18, אזי ההסתברות להתרחשות המאורע formula_19 היא formula_20 (כלל זה תקף רק כאשר המאורעות formula_21 זרים), וההסתברות להתרחשות המאורע formula_66 היא formula_67 (כלל זה תקף רק כאשר המאורעות formula_21 בלתי-תלויים). כמו כן נעשה שימוש ראשון במכפלה של ההסתברות לזכייה בערך הזכייה - המוכרת כיום כתוחלת, אחד המושגים הבסיסיים בתורת ההסתברות. כן הם עשו שימוש במונח "קומבינציה" — צירוף בו אין חשיבות לסדר האיברים.
בנוסף התייחסו פרמה ופסקל בהתכתבותם למאורעות שאת היחסים ביניהם ניתן לתאר במונחים מאוחרים יותר כתלות, אולם הם לא הציגו תיאור כללי של תלות ואי-תלות.
פרמה סיפק לראשונה פתרון הוגן לבעיית הניקוד: נניח כי לשחקן formula_1 חסרות formula_70 נקודות, וכי לשחקן formula_2 חסרות formula_72 נקודות. במצב זה, המשחק יסתיים אחרי לכל היותר formula_73 צעדים, ולכן יש לכל היותר formula_74 אפשרויות שונות להמשך המשחק. פתרונו של פרמה הוא כדלקמן: נבנה טבלה את כל התוצאות האפשריות של formula_75 הצעדים הבאים במשחק (נתעלם מכך שהמשחק יכול להיות מוכרע עוד לפני שכולם הסתיימו). נספור את המקרים בהם כל שחקן מנצח ונסמן אותם formula_76 בהתאמה (אפשר לבצע חישוב בעזרת משולש פסקל). ההסתברויות לניצחון של כל שחקן הן formula_77, ואת החלוקה ההוגנת קובעים לפי יחס ההסתברויות formula_78.
פסקל שיפר את הפתרון של פרמה (אשר הולך ומסתבך ככל שמספר הנקודות החסרות גדל) על ידי פתרון רקורסיבי לבעיה, דבר שהיווה שימוש ראשון ברקורסיה לפתרון בעיות בהסתברות: נסמן ב-formula_79 את החלק היחסי מהקופה שצריך לקבל שחקן formula_1 במצב שתואר לעיל (formula_81 מספר הנקודות הדרושות לניצחון עבור כל שחקן). אילו בוצע צעד נוסף במשחק, היו יכולים להיות שני מצבים אפשריים - formula_82 או formula_83, בהסתברות שווה, ולכן צריך לתת להם משקלים שווים, ומכאן ניתן לחשב באופן רקורסיבי:
formula_84
כאשר תנאי העצירה הם: formula_85.
formula_79 היא למעשה תוחלת הזכייה, ופסקל משתמש בה כאן לראשונה, בלי להגדירה במפורש.
פסקל ופרמה דנו באותה בעיה גם עם שלושה שחקנים. הפתרון הרקורסיבי פעל גם במקרה זה באופן דומה, אך בשיטה של פרמה (מניית האפשרויות) נוצר סיבוך נוסף: מספר התוצאות האפשריות הוא formula_87, אבל יש מקרים בהם שני שחקנים משיגים את מספר הניצחונות הדרוש להם, ואז כדי להחליט למי לייחס את התוצאה יש להתחשב בסדר בו השיגו השחקנים את הניצחונות - ולא ניתן לנצל את משולש פסקל לחישוב מקוצר כמו במקרה של שני שחקנים.
הויגנס.
הצעדים הבאים נעשו על ידי כריסטיאן הויגנס, שפרסם ב-1657 את חיבורו "על חישובים במשחקי מזל". חיבור זה היה הפרסום הפומבי הראשון בענייני הסתברות (ספרו של קרדנו יצא לאור כאמור רק ב-1663). בחיבור זה ישנם כללים שאת כולם הציג הויגנס ברקורסיה, ועל ידי דוגמאות מספריות מסוימות ולא בצורה כללית. חיבורו של הויגנס היווה אבן יסוד בנושא ההסתברות והביא להתעניינות בתחום מצד מתמטיקאים חשובים, כדוגמת יאקוב ברנולי. הוא הקנה לתחום גישה מסודרת ואנליטית, לא מעט גם בגלל השעשוע שבפתרון הבעיות שהוצגו בו.
בנפרד מהבעיות ההסתברותיות בהן דן הויגנס, הוא התייחס ל"טבלאות חיים" — טבלאות בהן מוצגים נתונים על ילודים, מתחילה מגיל אפס ועם השנים חלקם מתים, עד שכולם מסיימים את חייהם. הויגנס התייחס לטבלה כזאת כמין הגרלה בה כל משתתף (ילוד) "מגריל" כרטיס ובו מספר השנים שנועדו לו, ובכך הציג לראשונה את הקשר העמוק בין סטטיסטיקה לבין תורת ההסתברות.
כמו פרמה ופסקל, גם הויגנס נגע במושג התלות, אך לא הגדיר אותו באופן כללי ומדויק דיו.
הויגנס הציג הכללה של מושג ה"תוחלת", אותה גם הגדיר לראשונה: אם נמצאים במצב בו ישנם שני מאורעות אפשריים, נאמר מאורע formula_1 (למשל זכייה בהגרלה) שערכו הוא formula_70 (למשל מספר שלם וחיובי של מטבעות), ומספר האפשרויות בהן מתרחש המאורע formula_1 הוא formula_16, וכמו כן מאורע formula_2 (למשל הפסד בהגרלה) שערכו הוא formula_72 (למשל מספר שלם ושלילי של מטבעות), ומספר האפשרויות בהן מתרחש המאורע formula_2 הוא formula_18, אז התוחלת של המצב בו אנו נמצאים היא:
formula_96
בהמשך דן הויגנס בווריאציות שונות של בעיית הניקוד עם שניים או שלושה שחקנים, וכן בווריאציות שונות של אפשרויות במשחקי קובייה. הכלל האחרון שהוצג בחיבורו, ייחודי בכך שמדובר במשחק בו אין מגבלה לאורכו, ובמסגרתו פיתח הויגנס שיטת אנליזה הקרויה על שמו: שחקן formula_1 זוכה אם בהטלת שתי קוביות סכום התוצאות הוא formula_98, שחקן formula_2, שגם זורק ראשון, צריך להשיג בהטלה של שתי קוביות סכום תוצאות של formula_57. הויגנס סימן את ההסתברות ש-formula_1 יזכה על ידי formula_102, אם תורו של שחקן formula_2, והוא סימן אותה ב-formula_104, אם תורו של formula_1. כעת הוא השתמש בבנייה הבאה כדי למצוא במפורש את formula_106. תחילה יש לשים לב כי ההסתברות ל-formula_98 בזריקה אחת של שתי קוביות היא formula_108, וההסתברות ל-formula_57 בזריקה אחת של שתי קוביות היא formula_110. כעת, בניתוח של תור בודד, נניח של שחקן formula_2, ההסתברות ששחקן זה יזכה היא formula_110, וההסתברות שלא יזכה היא formula_113, ואז ההסתברות לניצחון של formula_1 היא formula_104. אם כך, ההסתברות ש-formula_1 יזכה אם כעת תורו של formula_2 היא formula_118. כעת נניח שתורו של formula_1 לשחק. ההסתברות שיזכה מיד היא formula_108 וההסתברות שלא יזכה מיד היא formula_121. ההסתברות ש-formula_1 ינצח אם כעת תורו היא לפיכך formula_123. התקבלו אם כך שתי משוואות בשני הנעלמים formula_106.
בעיה נוספת שהויגנס מציג דומה לבעיה הקודמת, אלא שבה formula_2 זורק ראשון, formula_1 זורק פעמיים, formula_2 פעמיים וכן הלאה. בעיה אחרת היא משחק בו שלושה שחקנים מוציאים ומחזירים מיד כדור מתוך כד בו יש ארבעה כדורים אדומים ועוד שמונה כדורים כחולים, והמנצח הוא מי שמוציא כדור אדום ראשון. בעיה נוספת היא מצב בו יש 40 קלפים, 10 מכל סוג, וצריך להוציא ארבעה, כל אחד מסוג אחר וללא החזרה של הקלפים.
ברנולי.
המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי כתב ספר רב השפעה בשם "אמנות הניחוש", שפורסם רק ב-1713, כשמונה שנים לאחר מותו. היה זה ספר היסוד המוקדם ביותר לתורת ההסתברות שהיה מוגדר ככזה, וכחיבור מחקרי מתמטי של ממש. לספר היו ארבעה חלקים: הערות מקיפות על ספרו של הויגנס; טיפול יסודי בקומבינטוריקה ובתמורות; משחקי מזל מנקודת מבט מתמטית; ויישומים לכלכלה ולפוליטיקה. חלקו האחרון כלל הוכחה של החוק החלש של המספרים הגדולים עבור משתני ברנולי, שניסח לראשונה באופן מתמטי את הקשר העמוק שבין מושג הממוצע לבין מושג התוחלת.
בחלקו הראשון של הספר סיכם ברנולי את עבודתו של הויגנס, והכליל אותה לכדי נוסחאות (הויגנס נתן פתרונות מספריים, כאמור), וכן סיכם את עבודתו של פסקל. ברנולי הציג תאוריה שלמה של צירופים ותמורות. כמו כן הוא ציין את כלל המכפלה להסתברות של קיום שניים או יותר מאורעות בלתי תלויים, בכמה וריאציות: אם ישנם formula_23 מאורעות, ולכל מאורע הסתברות formula_16, ההסתברות שיתקיימו כולם היא formula_130. במקרה זה ההסתברות לאי-קיום המאורע היא formula_131, ולכן עבור כל formula_132, ההסתברות למאורע בו מתקיימים בדיוק formula_133 מאורעות ולא מתקיימים בדיוק formula_134 מאורעות, היא: formula_135, אם נודעת חשיבות לסדר המאורעות. אם אין חשיבות לסדר, יש להכפיל את התוצאה האמורה במספר האפשרויות ללקיחת formula_133 איברים מתוך formula_23, כלומר ב-formula_138.
ברנולי עמד על ההבדל בין מאורעות זרים לבין מאורעות שאינם זרים. מאורעות זרים הם למשל שתי התוצאות האפשריות בהטלת מטבע — עץ או פלי. מאורעות שאינם זרים הם למשל שני נידונים למוות שמקבלים רשות לשחק משחק בו כל אחד מטיל שתי קוביות בתורו, ומי שסכום קוביותיו גבוה יותר ישוחרר, אך אם התוצאה זהה — ישוחררו שניהם. כלומר המאורע שאסיר אחד ישוחרר והמאורע שהאסיר האחר ישוחרר אינם זרים, לכל נידון הסתברות גבוהה יותר מ-50% להשתחרר.
בחלקו השני של הספר הציג ברנולי לראשונה את הקומבינטוריקה בצורה שיטתית. תחילה הוכיח ברנולי באינדוקציה שמספר התמורות של formula_23 איברים הוא formula_140, ושמספר התמורות של formula_23 איברים בהם יש formula_41 איברים מסוג אחד, formula_42 איברים מסוג שני, וכן הלאה, עד formula_43 איברים מסוג formula_44, היא formula_146 (נוסחת מרסן). בהמשך הספר, קבע ברנולי את מספר האפשרויות לחלק n איברים לשתי קבוצות בגודל formula_147, כך שמאחת התת-קבוצות לוקחים formula_148 איברים ומהשנייה לוקחים formula_72 איברים, כמכפלה של מספר האפשרויות של תת-קבוצה אחת במספר האפשרויות של תת-הקבוצה האחרת.