משפט שטיינר-הויגנס שימושי גם במכניקה של גוף תלת ממדי וגם בתחום הסטטיקה, בהנדסה אזרחית ובהנדסת מכונות עבור חישוב מומנטי התמד סביב צירים כלשהם כאשר ידוע מומנט ההתמד סביב ציר מסוים, בדרך כלל מרכז המסה או מרכז הכובד. נתוני מומנטי ההתמד סביב מרכז הכובד מופיעים בלוחות טכניים.
הוכחה.
עבור גוף קשיח כלשהו, מניחים, ללא הגבלת הכלליות, כי במערכת צירים קרטזית המרחק האנכי מציר s, לציר סיבוב מקביל לו, העובר דרך מרכז המסה, הוא לאורך ציר ה-"x" ,כך שציר הסיבוב מקביל לציר ה-"z". לצורך החישוב, נוח למקם את ראשית הצירים תוצב במרכז המסה של הגוף. לפיכך, מומנט ההתמד של הגוף יחסית למרכז המסה הוא:
formula_12
מומנט האינרציה ביחס לציר הנתון s (המצוי במרחק formula_1 לאורך ציר ה-"x", ממרכז המסה) הוא:
על ידי פתיחת הסוגריים וליניאריות האינטגרל, מתקבל:
האיבר הראשון הוא formula_6, האיבר השני הוא formula_17, ואילו האיבר השלישי מתאפס משום ש-"x" נמדד ממרכז המסה (האינטגרל שווה, עד כדי כפל במסה הכוללת, למיקום רכיב ציר ה-"x" של מרכז המסה, וביחס למרכז המסה ערכו של רכיב זה הוא 0).
כלומר מתקבל הביטוי:
formula_18
כנדרש.
הכללה עבור טנזור האינרציה.
ניתן להוכיח באופן דומה כי בהינתן Jij טנזור ההתמד (טנזור האינרציה) ביחס לנקודה P שרירותית ו- Iij, טנזור האינרציה ביחד למרכז המסה G, מתקיים:
formula_19
כאשר
הוא הווקטור המחבר בין P ל- G, ו-formula_21 הוא הדלתא של קרונקר.
נשים לב שאם טנזור ההתמד הוא אלכסוני, נקבל את המקרה הפשוט המצוין לעיל.
(הערה - הווקטורים העצמיים אשר מלכסנים את טנזור ההתמד התלת ממדי הם הצירים הראשיים של המערכת.
במקרה ולגוף יש סימטריות לסיבוב, צירי הסיבוב יתלכדו עם הצירים הראשיים).
קישורים חיצוניים.
&lt;hr&gt;
הצי החמישי של ארה&quot;ב
הפנתרים השחורים (ארה&quot;ב)
מלחמת ארה&quot;ב מקסיקו
אליפות ארה&quot;ב הפתוחה
מרדכי קירשנבאום
סלמנדרה מצויה
סלמנדרה מצויה (שם מדעי: "Salamandra infraimmaculata"), מין במשפחת הסלמנדריים החי בצפון המזרח התיכון ובטורקיה. גבול התפוצה העולמי הדרומי שלו הוא בצפון ארץ ישראל (בכרמל ובגליל). הסלמנדרה נתונה בסכנת הכחדה בישראל ומוגדרת מין מוגן. בעבר היא סווגה כתת-מין של הסלמנדרה הכתומה שחיה באירופה ("Salamandra salamandra"), אך מחקר גנטי הגדיר מין זה כמין נפרד לאחרונה. השם העממי המקובל למינים השונים של הסוג סלמנדרה ("Salamandra") הוא סלמנדרת האש (Fire salamander).
אוכלוסיות הסלמנדרה מתרכזות בעיקר סביב מקווי מים מתוקים קטנים, שלוליות גדולות ונחלים עתירי גבים, בהם הן מתרבות. בישראל הסלמנדרות מתרבות גם במקווי מים זמניים ובשלוליות חורף, ומציגות התאמות אבולוציוניות מגוונות להתמודדות עם זמניות בית הגידול.
תיאור ומבנה גוף.
גודלו של הבוגר עד 30 ס"מ. צבעו שחור עם כתמים כתומים או צהובים. דגם הכתמים שונה בין פרטים, ומשתנה מעט מאוד במהלך חייו של פרט, כך שהדגם מהווה מעין "טביעת אצבע" ולפיו ניתן לזהות פרטים באופן אישי.
לסלמנדרה הבוגרת בלוטות רעל המופרש בעת סכנה מנקבוביות המצויות על עורה לאורך הגב. לא ידוע על טורפים טבעיים של הבוגרים, כנראה הודות לרעילותם.
אורך חייהן של הסלמנדרות עשוי להיות ארוך מאוד. במוזיאון הגרמני להיסטוריה של הטבע ע"ש אלכסנדר קניג חיה סלמנדרה אף יותר מ-50 שנה.
כמו כל הדו-חיים, עורן של הסלמנדרות אינו אטום למים והן זקוקות לסביבה לחה על-מנת שלא להתייבש. לכן הסלמנדרות הבוגרות פעילות בעיקר בלילות גשומים או ערפיליים, או כאשר הקרקע לחה. במהלך הקיץ החם והיבש, הסלמנדרות מסתתרות במערות, בסדקים בקרקע או בגזעי עצים רקובים על מנת לשמור על לחות גופן, ומפחיתות את פעילותן.
תזונה.
הסלמנדרות, הן כראשנים והן כבוגרים, ניזונות בעיקר מחסרי חוליות.
ראשני הסלמנדרה חיים בבריכות מים מתוקים וטורפים את רוב המינים הקטנים מהם החיים באותן בריכות, כולל סרטנים קטנים ממחלקת הסרטנים הירודים או שטרגליים, זחלי יתושים, ראשני צפרדעים וקרפדות. ראשני הסלמנדרה מאוד אגרסיביים זה כלפי זה ולעיתים קרובות ראשנים גדולים יטרפו ראשנים קטנים יותר (תופעה זואולוגית נפוצה הקרויה קניבליזם). בעוד קניבליזם עשוי להיות הכרחי עבור הישרדות הראשנים בתנאים מסוימים, הראשנים מפנים התנהגות אגרסיבית זאת כלפי ראשנים אחרים רק בהתאם למידת הקרבה הגנטית בין השניים, כלומר, התוקפנות נמוכה ביותר בין אחים וגבוהה ביותר בין ראשנים שאינם קרובים גנטית (ראו גם ברירת שארים).
כאשר דגים מצויים בבריכה, הם הטורפים העיקריים של ראשני הסלמנדרה. נוכחות דגים בבריכה בדרך כלל תביא לירידה משמעותית באוכלוסיית הראשנים או לפגיעה בקצב גדילתם. בהיעדר דגים במקווה המים, ראשני הסלמנדרה הם טורפי-על, ומשפיעים באופן משמעותי על הרכב ומגוון המינים בבריכה.
הבוגרים חיים על היבשה וניזונים מחרקים, שלשולים, חשופיות, חלזונות קטנים, רבי-הרגליים, סרטנאים ואף מפרטי סלמנדרה צעירים.
רבייה.
עונת הרבייה של הסלמנדרות בישראל היא במהלך החורף, בעיקר בתחילתו. ההזדווגות נערכת בדרך כלל במהלך לילות גשומים ובסמוך לבריכות מים מתוקים ושלוליות חורף. נקבת סלמנדרה המוכנה להפריה נעמדת זקופה ליד זכר, הזוחל מתחת לגופה ומטיל על הקרקע תיק זרע הנקרא ספרמטופור וזז הצידה. הספרמטופור הוא גוף המכיל תיקי זרע לבנים מצופים בשכבת ריר מוקשה הנדבק אל ביב הנקבה הנשארת במקומה ומנמיכה את גופה. תאי הזרע חודרים לביב ומגיעים לתוך צינוריות הביצים, שם הם מפרים את הביצים.
הנקבה עשויה להזדווג עם יותר מזכר אחד במהלך העונה ולשמור זרע לאורך זמן. במהלך הריון בודד מתפתח בגופה של הנקבה שגר הכולל עד כ-200 ביצים שהופרו על ידי מספר אבות שונים. ההריון נמשך כמעט כשנה, ובמהלך גשמי החורף הראשונים (אוקטובר-דצמבר) הנקבות מתחילות לחפש בריכות ושלוליות על-מנת להשריץ את הראשנים לתוכן. הראשנים בוקעים מהביצים בבטן הסלמנדרה בסמוך להשרצה, במהלכה או מיד לאחריה.
מכיוון שהראשנים חיים במים ואמם חיה ביבשה, לא מתקיים טיפול הורי ישיר בצאצאים. עם זאת, נקבת הסלמנדרה מציגה התנהגות רבייה מורכבת בבחירת אתר ההשרצה, על-מנת להגדיל את סיכויי ההישרדות של הראשנים. בכל הריון הנקבה מפזרת את השגר שלה בזמן: כלומר, היא אינה משריצה את כל הראשנים מיד עם תחילת הגשמים אלא במהלך מספר השרצות חלקיות לאורך חודשי החורף הראשונים (לעיתים עד ינואר). כמו כן, היא אינה משריצה את כל הראשנים בבריכה אחת אלא מפזרת אותם במרחב, בבריכות שונות. הנקבות משריצות מספר גדול יותר של ראשנים בבריכות עמוקות מאשר בבריכות רדודות. כפי הנראה, הנקבות נוטות להעדיף בריכות פנויות ולהימנע מלהשריץ בבריכה שבה כבר מצויים ראשנים גדולים שהושרצו קודם לכן, כדי שצאצאיהן לא ייפלו קורבן לקניבליזם. בהיעדר בריכות פנויות, הנקבות יעדיפו בריכות המכילות מקומות מסתור רבים עבור צאצאיהן על מנת להפחית את תמותתם. לעומת זאת, בהינתן בריכות פנויות, הנקבות יעדיפו בריכות ללא מקומות מסתור, כנראה כדי שצאצאיהן יוכלו לטרוף ביתר קלות את הראשנים שיושרצו לאחר מכן על ידי נקבות אחרות.
התפתחות הראשנים ומטמורפוזה.
כמו מרבית הדו-חיים, לסלמנדרה המצויה מחזור חיים מורכב, הכולל שלב פגית הנקרא ראשן וחי במים מתוקים, ושלב בוגר יבשתי.
עם השרצתם בבריכה, לראשנים ארבע גפיים (בניגוד לראשני דו-חיים חסרי זנב הבוקעים מהביצה ללא גפיים כלל), שתי מערכות זימים חיצוניים מכל צד של הראש לנשימת חמצן המומס במים (ראה תצלום תקריב) וסנפיר זנב רחב לצורך שחיה. משקלם עם ההשרצה הוא כ-200 מ"ג, ובתחילה רוב האנרגיה שהם רוכשים ממזונם כנראה מנוצלת לגדילה. הראשנים זקוקים למשך כשלושה חודשים לפחות להתפתחות בבריכה (תלוי במצאי המזון), במהלכם הם מתחילים להשקיע אנרגיה הולכת וגוברת בשינויים התפתחותיים לקראת המטמורפוזה.
השינויים ההתפתחותיים כוללים התפתחות ריאות לנשימת אוויר, לצד ניוון הדרגתי של הזימים החיצוניים, חיזוק הגפיים לקראת הליכה על היבשה, שינויים במבנה ובתפקוד העור, העיניים, מערכת העיכול ומערכת הדם לתפקוד על פני היבשה, ניוון סנפיר הזנב, ועוד שינויים רבים. במהלך המטמורפוזה משתנה צבע העור של הראשן לשחור מבריק ונוצרות שתי רצועות צהובות לאורך צידי עמוד השדרה. לאחר מכן, עם הגדילה בשלב הצעיר, רצועות אלה מתפצלות ונמתחות לדגם הכתמים הצהובים-כתומים שעל גב הסלמנדרות. משקל הראשן בעת המטמורפוזה יכול לנוע בין כ-500 מ"ג (המשקל המינימלי המאפשר מטמורפוזה) לבין 2 גרם. בעת המטמורפוזה עצמה, הנמשכת בין ימים ספורים לכשבועיים, הראשנים מפסיקים לאכול, ומשקל גופם יורד. חלק מהפרטים מתים במהלך התהליך התובעני, שבסופו הראשן הופך לצעיר (Juvenile), ויוצא מהמים לחיים יבשתיים.
מאחר שרבים מהראשנים חיים בשלוליות עונתיות, שמועד ההתייבשות שלהן אינו ידוע, הראשנים מצויים במירוץ התפתחותי כנגד הזמן. הדלק של מרוץ זה הוא המזון שקיים בשלולית, שהוא לעיתים מוגבל. הראשנים חייבים להשיג מספיק מזון כדי להגיע לגודל המינימלי המאפשר מטמורפוזה, וכן כדי להשלים את התהליכים ההתפתחותיים הכרוכים במטמורפוזה עצמה. במידה ולא יספיקו לעשות זאת לפני התייבשות הבריכה, הם ימותו. לכן, קיימת תחרות בין הראשנים על משאבי המזון, והם נאבקים זה בזה באגרסיביות, עד כדי קניבליזם. בתנאים מסוימים, כגון משך קיום קצר של הבריכה ומיעוט משאבי מזון, בהם כל הראשנים עלולים למות בטרם הגיעם למטמורפוזה, קניבליזם הופך להתנהגות חשובה שמאפשרת למספר קטן של ראשנים לרכוש אנרגיה מספקת ולהינצל.