באלגברה, מרחב וקטורי הוא קבוצה עם פעולות של חיבור וכפל ביחס לשדה הנמצא ברקע. מרחבים נורמיים הם מרחבים וקטוריים שבהם אפשר למדוד מרחק, ובמרחבי מכפלה פנימית אפשר למדוד גם זוויות. תכונות אנליטיות נוספות יש למרחבי בנך ומרחבי הילברט.
לאיברי המרחב קוראים לרוב נקודות.
מרחבים.
מרחבים גאומטריים:
מרחבים טופולוגיים (קבוצה עם מערכת סביבות, או מרחקים בין נקודות):
מרחבים אלגברים (קבוצה עם פעולה או פונקציה מעליהם):
מרחבים אלגבריים וטופולוגים:
חבילת גלים
חבילת גלים היא פתרון של משוואת גלים ליניארית הבנוי כאוסף של גלים מונוכרומטיים. חבילות גלים נמצאות בשימוש כדי לתאר פתרונות פיזיקליים של משוואות גלים במרחב אינסופי, כלומר פתרונות התופסים תחום סופי במרחב. זאת בניגוד לגלים מונוכרומטיים, הנמצאים בכל המרחב. בפרט, במכניקת קוונטים, חבילות גלים משמשות לתיאור הדינמיקה של חלקיקים. חבילות גלים הם כלי שימושי בהנדסת חשמל, בתחום של עיבוד אותות.
הגדרה פורמלית.
אם מניחים שיחס הנפיצה של משוואת הגלים שבה מדובר נתון על ידי הפונקציה: formula_1 כאשר formula_2 היא תדירות הגל, ו-formula_3 הוא וקטור הגל, אזי חבילת גלים מתוארת באופן כללי כסכום (או אינטגרל או סופרפוזיציה) של גלים מישוריים מונוכרומטיים:
formula_4
כאשר formula_5 הוא המשקל של הגל המישורי המונוכרומטי formula_6. משקל זה ניתן לקבוע מצורת הגל בזמן formula_7 באמצעות טרנספורם פורייה:
formula_8
במקרים רבים יחס הנפיצה של משוואת הגלים מתואר על ידי פונקציה formula_9 שאינה חד-ערכית. לדוגמה, יחס הנפיצה של גלים אלקטרומגנטיים הוא formula_10 (כאשר formula_11 היא מהירות האור) ולכן formula_12. במקרה זה הענפים השונים של יחס הנפיצה מתארים גלים הנעים בכיוונים מנוגדים, וקל להכליל את ההגדרה שלמעלה לצורך תיאורם. ברם, בדרך כלל חבילות גלים משמשות לתיאור של גלים הנעים בכיוון אחד, כיוון שתיאור של מקרים מורכבים יותר מתקבל מסופרפוזיציה שלהם.
דוגמאות.
formula_16
formula_21
formula_24
formula_32
formula_33
מהירויות המאפיינות חבילות גלים.
כאשר תחום אורכי הגל ממנו מרכבת החבילה קטן ביחס לסקלה האופיינית של השינויים ביחס הנפיצה, אפשר לאפיין את חבילת הגלים בעזרת שתי מהירויות. מהירויות אלו נובעות מהפיתוח של יחס הנפיצה לטור מסביב לאורך הגל המרכזי, formula_34 המרכיב את החבילה:
formula_35
פיתוח זה מגדיר שתי מהירויות:
מהירות פאזה.
מהירות הפאזה מוגדרת בתור:
formula_36
זוהי מהירותו של גל מונוכרומטי בעל אורך גל formula_34 ותדירות formula_38, וזוהי גם מהירותו של הגל הנושא של חבילת הגלים.
מהירות חבורה.
מהירות החבורה מוגדרת בתור:
formula_39
והיא מהירות ההתקדמות של מעטפת הגל. ניתן לזהות מהירויות אלו בדוגמה (4) שלמעלה.
מהירות החבורה היא המהירות שבה ניתן להעביר אותות (כלומר מידע) והיא קטנה ממהירות האור.
דוגמה.
כדוגמה למהירות חבורה ומהירות פאזה נסתכל על יחס הנפיצה של גלי רדיו ביונוספירה:
formula_40
כאשר formula_41 היא תדירות קבועה הנקראת תדירות הפלזמה ו-formula_11 היא מהירות האור. מהירות הפאזה ומהירות החבורה במקרה זה הן:
formula_43
formula_44
דוגמה זו מראה כי אף על פי שמהירות הפאזה יכולה להיות גדולה ממהירות האור, מהירות החבורה, שהיא המהירות בה ניתן להעביר מידע, קטנה ממהירות האור.
עקרון אי-הוודאות.
הדוגמאות לעיל מראות שככל שחבילת הגלים מרוכזת במרחב מספרי הגל, כך היא רחבה יותר במרחב המקום. בפרט, אם התחום שחבילת הגלים תופסת במרחב המקום הוא מסדר גודל של formula_30, אזי רוחב התחום של אורכי הגל שתורם לחבילה הוא מתכונתי הפוך לרוחבה והוא מסדר גודל של formula_46 (למעשה, החסם התחתון למכפלה formula_47 מתקבל עבור חבילת גל גאוסיאנית). עקרון אי-הוודאות של הייזנברג נובע מתכונה זו.
יצחק זילבר
הרב יצחק יוסף זילבר (ג' באב ה'תרע"ז, 22 באוגוסט 1917 - ח' באב ה'תשס"ד, 26 ביולי 2004) היה מחנך, פעיל למען קירוב יוצאי ברית המועצות אל הדת היהודית.
ביוגרפיה.
נולד בקאזאן, בירת הרפובליקה הטטרית שברוסיה, לרב בן-ציון חיים זילבר, רב העיר, וללאה גיטל בת הרב משה מישל שמואל שפירא, רב העיר רוגובה שבליטא, מחבר הספר "תבואות שמש" ועוד. אביו התגלגל לקאזאן, שבחלקים הפנימיים של האימפריה הרוסית, בעקבות העברת האוכלוסייה מהאזורים הקרובים לקו החזית במלחמת העולם הראשונה. אביו לא שלח אותו לבית הספר, כדי להימנע מחילול שבת, אלא לימדו בעצמו את מקצועות החול בנוסף לתנ"ך, למשנה ולתלמוד. מגיל ארבע עשרה החל לעבוד בבית מלאכה לתיקונים. בגיל שבע עשרה התקבל למכון טכנולוגי לכימיה, אף על פי שלא סיים בית ספר. כיון שהלימודים שם היו כרוכים בחילול שבת, עבר ללמוד באוניברסיטת קאזאן בפקולטה למתמטיקה תחת הנחייתו של ניקולאי צ'בוטריוב. ב-1945 נשא לאישה את גיטה-לאה זיידמן מהעיר סמרה. למרות הקשיים שמר מצוות בדקדקנות ועל רקע זה התחכך עם השלטונות הקומוניסטים. הוא פוטר מעבודתו ונקרא לחקירות. ב-1951 הפקיד אצלו ידיד איגרות חוב ממשלתיות, שעל פי חוקי ברית המועצות נאסר לסחור בהן, בחשבו שלא ייערך חיפוש בביתו של הרב זילבר. כאשר באופן אקראי נערך חיפוש בביתו, נמצאו האיגרות האסורות. הרב זילבר, שסירב להפליל את הידיד, תלה את האשם בעצמו, ונשפט לשנתיים מאסר במחנה עבודה. בשנת 1960, בעקבות הביקורת שהושמעה נגד אורח חייו הדתי מעל גבי העיתונות הסובייטית, ובגלל החשש מהפקעת האחריות על ילדיו, עבר להתגורר בעיר טשקנט. בשבט ה'תשל"ב (19 בפברואר 1972) עלה לישראל והשתכן בשכונת סנהדריה מורחבת בירושלים. עבד כמורה למתמטיקה בישיבה התיכונית והמקצועית קריית נוער. יסד את ישיבת "שבי גולה" ואת ארגון "תולדות ישורון" לעולים מרוסיה.
נפטר בערב תשעה באב ה'תשס"ד (26 ביולי 2004) ונקבר בליל הצום בהר המנוחות בירושלים.
פעילותו הציבורית.
בברית המועצות מסר שיעורי תורה והיה בעל קורא. גם בישראל העביר שיעורי תורה לדוברי רוסית בישיבות לבעלי תשובה, כמו "שבות עמי" ו"דבר ירושלים". עסק בקירוב עולים לחיק היהדות במסגרת חוגי בית בישראל, באירופה ובארצות הברית. בעלי תשובה רבים יוצאי ברית המועצות רואים עצמם כתלמידיו. היה פעיל בעריכת בריתות וחופות ליוצאי ברית המועצות ופעל למען סידור גיטין עבור נשים מסורבות גט.
בשנת ה'תשמ"ט (1989), כשהשלטון הקומוניסטי בברית המועצות החל להתרופף, נשלח ביוזמתו של הרב משה סולובייצ'יק מציריך למוסקבה, יחד עם הרב אלכסנדר אייזנשטט לבדיקת אפשרות להקמת הישיבה במקום. לאחר שהוקמה הישיבה, היום ישיבת "תורת חיים", נהג להגיע אליה פעמיים בשנה - בפסח ובסוכות - ולמסור בה שיעורים, שמשכו אליהם ציבור יהודי מעבר לתלמידי הישיבה.
בשנת 2000 הקים עם תלמידיו את ארגון "תולדות ישורון" העוסק בהקמת קהילות דתיות של עולים מרוסיה ובקירוב יוצאי ברית המועצות לתורת ישראל.
הגותו.
כצעיר יהודי שומר מצוות בסביבה, שאף לבסס את אמונתו על היגיון וגישה מדעית. בעודו בברית המועצות חיבר ספר המראה כיצד התגשמו נבואות הנביאים לאורך ההיסטוריה. לרעיון זה הוא התעורר בעקבות קריאת מאמרו של א. רקובסקי "דבר אלוקינו קיים לעולם", בכתב העת האסיף בשנת 1887, כפי שצוין בהקדמה לספר. בהגיעו לישראל הוא שחזר את הספר מהזיכרון והרחיבו. הספר יצא לאור בהוצאת "שמי"ר" ב-1984 בשם "Пламя не спалит тебя" - "ולהבה לא תבער בך". מאז יצא הספר במהדורות נוספות ותורגם לעברית (ה'תשס"ב - 2002).
בעקבות הרקע המתמטי שלו עסק בסוגיית "ספירת אותיותיה של התורה", והציע פתרונות לקשיים בסוגיה זו. ב-1994 פרסם ספר ברוסית על בראשית ושמות בשם "שיחות על התורה" ("Беседы о Торе") ובסופו הקדיש כמה מאמרים לפלאי הבריאה. ב-2000 יצא גם החלק השני של הספר, על ויקרא, במדבר ודברים.
הוא ראה ביציאתו מברית המועצות ועלייתו למדינת העם היהודי וכן בהקמת ישיבת תורת חיים במוסקבה אחרי נפילת מסך הברזל, את ניצחון אמונתו בתורה. תחושת הסיפוק וההודיה להקב"ה התבטאה ברוב שיחותיו ושיעוריו.
בסוף חייו, רואיין על ידי כרמלה רייז במשך שנה. ראיונות אלה, שבהם גולל את מסכת חייו, היוו בסיס לספר ביוגרפי שיצא לאור ב-2004 בשם "Чтобы ты остался евреем" - (בתרגום מרוסית "להישאר יהודי") בהוצאת פלדהיים. הספר יצא באותה הוצאה גם בתרגום לעברית ולאנגלית וליידיש.
משפחתו ותלמידיו.
לרב זילבר ולאשתו נולדו שלוש בנות ובן.
בנו, הרב בן-ציון חיים זילבר יו"ר ארגון תולדות ישורון, נשוי לבתו של הרב ברוך רוזנברג, מראשי ישיבת סלבודקה בבני ברק. בתו מלכה הייתה נשואה ליוסף שוינגר, מנכ"ל המרכז הארצי לפיתוח המקומות הקדושים. בתו חוה נשואה לרב אברהם קופרמן, ר"מ בישיבת מיר בירושלים.
בין תלמידיו הבולטים:
יצר הרע
ביהדות, יצר הרע הוא כינוי לנטיותיו השליליות של האדם.
מקורות ושמות.
בתורה מופיע בהקשר של המבול הפסוק "כי יצר לב האדם רע מנעוריו", כהסבר מדוע לא יביא הבורא עוד מבול כעונש על חטאי האנושות. הפסוק מבטא את הניגוד שבין "אשר עשה האלוהים את האדם ישר", לבין "יצר לב האדם" שהוא רע מנעוריו. היצר הרע בהקשר זה מדבר על התאוות והדחפים הקיימים אצל בני האדם, אשר עלולים לגרום להם לפעול באופן מזיק אשר גורם רע להם ולזולתם.
בתלמוד ובמדרשים לעיתים היצר הרע מופיע כדמות חיצונית המסיתה את האדם לעבירה.
במקורות היהדות לעיתים מכונה היצר הרע בשם שטן.
במסכת סוכה מסופר על מספר שמות שהוענקו ליצר הרע:
כינוי נוסף ליצר הרע הוא זקן וכסיל או מלך זקן וכסיל. מקור הביטוי במדרש רבה:
רבי נחמן מברסלב אמר שליצר הרע יש לקרוא אך ורק "המדמה" כי הוא מכניס לאדם רק דמיונות לראש.
במחשבת היהדות.