פעמים רבות הדרישות מהמערכת יכולות להיות מושגות על ידי שימוש בחלק מרכיבי הבקר והשמטה של פעולת החלקים האחרים. שימוש שכזה שקול, בעצם, לאיפוס המקדם של הענף הרלוונטי כך שהשפעתו על פלט הבקר תבוטל. במקרה כזה, יקרא הבקר על שם הענפים בהם נעשה שימוש בלבד. לדוג', במידה ומתכנן מעוניין לבטל את השפעתו של החלק הדיפרנציאלי של הבקר בלבד, ייקרא הבקר "בקר PI". דבר זה נעשה לעיתים קרובות בשל העובדה שבמקרים רבים ניתן להגיע לתוצאות משביעות רצון עם בקר פשוט יותר. כל שימוש בענף של הבקר מוסיף חישובים נוספים למערכת (ולכן עשוי להשפיע על ביצועי המערכת בהינתן מגבלות תוכנה, חומרה וכדומה) וחלקים שונים של הבקר עשויים להיות רגישים יותר לתופעות מסוימות וליצור בעיות שאינן הכרחיות. כך, לדוג', הענף הדיפרנציאלי של הבקר רגיש יותר לרעשי מדידה, ועשוי להשפיע על המערכת באופן בלתי רצוי כך שהיתרון שבשימוש בחלק זה לא מצדיק את השימוש בו.
היסטוריה.
אחד היישומים הראשונים של בקרה רציפה, לפי המצאת בקר ה-PID, הוא הוסת הצנטריפוגלי, אשר הומצא במאה ה-17 על ידי כריסטיאן הויגנס על מנת לשלוט על המרחק שבין אבני הריחיים בטחנות רוח. התקן זה משתמש בתאוצה הצנטריפוגלית של גוף מסוים על מנת לשלוט במשתנים הקשורים במערכת ומהווה, בפועל, בקר פרופורציונלי. בשנת 1788, לאחר ששמע עליו משותפו, אימץ ג'יימס ואט את הרעיון והתאים אותו למנועי קיטור על מנת לאפשר מהירות סיבוב קבועה שלהם. הגרסה הראשונה של הוסת סבלה מחסרונות רבים, כשחלקם חסרונות מוּבְנִים של בקר פרופורציונלי - הוסת התאים לעומס מסוים על המערכת ולא הביא לתוצאות הרצויות כאשר העומס השתנה, טווח המהירויות שלו היה קטן, וכן דרש תחזוקה רבה.
בשנת 1868, פרסם ג'יימס קלארק מקסוול מאמר בשם "On Governers", בו הוא מסביר תופעות אי-יציבות של הווסת הצנטריפוגלי תוך שימוש במשוואות דיפרנציאליות לתיאור המערכת. מאמר זה הציג את החשיבות והיעילות שבשימוש במודלים ומתודות מתמטיים להבנה של תופעות מורכבות, וסימנה את התחלת השימוש במתמטיקה תאורטית בתחום הבקרה. אף על פי שעקרונות של תורת הבקרה הופיעו כבר קודם, לא היה זה באופן משמעותי ומשכנע כפי שהיו הדברים באנליזה שהציג מקסוול. עם זאת, במאמרו יצא מקסוול בקריאה למתמטיקאים שימשיכו לפתח את התחום ולפתור את הבעיות שעלו בו. המשך חקר התחום אכן נעשה על ידי אדוארד ראות' וצ'ארלס סטרום בשנת 1874, ובהמשך על ידי אדולף הורוויץ בשנת 1895, אשר תרמו כולם לפיתוח קריטריונים ליציבות מערכות, כאשר על שמם של ראות' והורוביץ נקרא קריטריון ראות'-הורוביץ ליציבות של מערכות דינמיות. בשימושים מאוחרים יותר נעשו שיפורים בבקרי המהירות של מנועים, כאשר בתחום זה ניתן לציין את וילארד גיבס שבשנת 1872 פיתח אנליזה תאורטית לווסת של וואט.
בערך בתקופה זו, התעוררה בעיית בקרה שדרשה בקרה מורכבת יותר מאשר זו שהציע הבקר הפרופורציונלי. בשנת 1868 פותח על ידי רוברט ווייטהד טיל טורפדו הנקרא על שמו (Whitehead torpedo), ואחד האתגרים שעלו עם פיתוח הטורפדו היה הצורך לבקר את העומק בו ינוע הטיל. השימוש בחיישן לחץ בלבד התברר כבעייתי משום שהגבר גדול מדי עלול היה לגרום לטיל לאבד יציבות ולא לשמור על העומק הרצוי. לשם כך נוספה לטורפדו מערכת בקרה המכונה בקר מטוטלת והידרוסטט, שתפקידה לרסן את תנועת הטורפדו כתלות במהירות הצלילה/טיפוס של הטיל. בקרה זו הייתה בעצם בקרה דיפרנציאלית, שכן היא התחשבה בקצב השינוי של השגיאה ולא רק בערך השגיאה עצמה, מה שהפך את מערכת הבקרה של עומק הטיל לבקר PD.
דוגמה נוספת לבקרת PID מוקדמת היא עבודתו של אלמר ספרי, שבשנת 1911 פיתח אותה עבור ניהוג ספינות, אולם פיתוח זה היה מבוסס על אינטואיציה יותר מאשר על פיתוח מתמטי.
הפעם הראשונה בה נעשתה אנליזה תאורטית של בקר PID כפי שאנו מכירים אותו כיום הייתה בשנת 1922, על ידי המהנדס הרוסי-אמריקאי ניקולס מינורסקי. פיתוח זה נעשה כחלק ממחקר ופיתוח של מערכות ניהוג אוטומטי לספינות הצי האמריקאי, והתבסס על תצפיותיו על אופן פעולת ההגאי. מינורסקי שם לב לכך שההגאי מכווין את הספינה לא רק בהתאם לסטייה הנוכחית של הספינה ממסלולה הרצוי, אלא גם על סמך הסטייה בעבר, ועל סמך קצב שינוי הכיוון שלה, וניסח את התובנות הללו באופן מתמטי. מטרתו העיקרית של מינורסקי הייתה השגת יציבות ולא בקרה כללית, מה שפישט את הבעיה - הבקרה הפרופורציונלית המבוססת על השגיאה הנוכחית הייתה טובה כנגד הפרעות קטנות, אולם לא הספיקה על מנת להתגבר על הפרעה קבועה, מה שדרש את ההתייחסות לשגיאת העבר. החלק הדירפנציאלי נוסף למערכת על מנת לשפר את היציבות והבקרה.
הניסויים של מערכת הבקרה שהציע מינורסקי בוצעו על ספינת חיל הים האמריקאי USS New Mexico, כאשר הבקרה נעשתה על המהירות הזוויתית של הגה הספינה, ולא על הזווית עצמה. בקרת PI הצליחה להגיע לשגיאה של formula_12, ושימוש בבקרת PID מלאה הצליחה להביא לשגיאה של כ-formula_13, תוצאה שהייתה טובה מזו שיכלו להשיג רוב ההגאים. בסופו של דבר לא אימץ הצי האמריקאי את המערכת בשל התנגדות כוח האדם. פיתוחים דומים נעשו ופורסמו בשנות ה-30 של המאה ה-20.
השפעת הבקר על התנהגות המערכת.
הדרישות ממערכות בקרה עשויות להיות מגוונות, ותלויות במטרת המערכת. הדרישות יכולות להיות מבוטאות במספר אופנים, כמו מישור הזמן, מישור התדר ועוד. בנוסף, הדרישות יכולות להיות עבור אירועים ומקרים שונים, כתלות במערכת ובתנאים בהם היא צפויה לעמוד. לדוגמה, תכונה ידועה של מכוניות בה נעשה שימוש רב היא זמן ההאצה של המכונית ממצב מנוחה ועד למהירות מסוימת. עבור מערכת אחרת, כגון מערכת שיכוך זעזועים, הדרישה יכולה להיות עבור שינוי פתאומי וחד בכניסה למערכת.
תגובת מדרגה.
אחת התגובות הנפוצות בתחום הבקרה היא תגובת המערכת לכניסה של פונקציית מדרגה כאות ייחוס, אולם במקרה של תגובת מדרגה במערכת בקרה הערך הסופי יכול להיות כל ערך, ולא רק הערך 1. זוהי תגובה נפוצה מאוד, שכן במערכות רבות המערכת מקבלת פקודה פתאומית הדורשת ממנה לעבור ממצב מסוים למצב אחר. לדוג' - כאשר אנו לוחצים על כפתור להפעלת מאוורר, אנו בעצם פוקדים עליו לעבור ממצב מנוחה למהירות סיבוב מסוימת. כאשר אנו פוקדים על רחפן להגיע לגובה מסוים - זוהי תגובת מדרגה גם כן. התגובה של המערכת לכניסה כזו נקראת תגובת המדרגה של המערכת. יש לשים לב שהמדרגה יכולה להופיע גם כהפרעה, ולא רק כאות ייחוס. אם לדוג' ננסה להטיס רחפן ותתחיל רוח קבועה שמסיטה אותו ממסלולו, זו תהיה כניסת מדרגה של הפרעה.
אף על פי שדרישות ממערכת בקרה יכולות להינתן במספר דרכים, כמו לדוג' במישור הזמן או התדר, לדרישות במישור הזמן ישנו פן יותר אינטואיטיבי, משום שבסופו של דבר קל יותר לראות את התנהגות המערכת בזמן, ובמקרה של תגובת מדרגה הדרישות בדרך כלל יינתנו במישור הזמן, כלומר - הדרישות יבוטאו כדרישה להתנהגות מסוימת של המערכת בתגובה לכניסה מסוימת. עבור תגובת מדרגה ישנם פרמטרים רבים שניתן להצביע עליהם, אולם אלו המופיעים בדרך כלל בדרישות מהמערכת הם:
יציבות.
המושג "יציבות" נמצא בשימוש רב בתחום ההנדסה והמדעים, ועשוי לשמש במובנים שונים, שלרוב קשורים זה לזה. כשמדובר במערכות דינמיות, יציבות המערכת היא מדד לנטייתה להישאר במצב הנתון / לחזור למצב אפסי, והיא מהווה פרמטר חשוב מאוד בתכנון מערכות בקרה. ניתן לציין שתי הגדרות ליציבות:
כדוג' למצב יציב נהוג להביא דוגמה של כדור המונח בקערה - במידה וישנו חיכוך כלשהו בקערה (מה שתמיד נכון עבור המציאות שלנו), כל תזוזה של הכדור תסתיים במצב מנוחה בתחתית הקערה (אלא אם כן הוא יידחף החוצה). לעומת זאת, כדור הנמצא על גבי קערה הפוכה נמצא במצב לא יציב - כל הפרעה קטנה תגרום לו לתזוזה אינסופית. ישנו כמובן גם מצב ביניים בו הכדור מונח על שולחן שטוח, ובמקרה כזה הכדור ייעצר בסופו של דבר, אולם לא במקומו ההתחלתי.
בתכנון מערכת בקרה, כמעט אף פעם אין עיסוק אך ורק בשאלה "האם המערכת יציבה?". השאלה שבדרך כלל נשאלת היא - "עד כמה המערכת יציבה", כלומר - במידה ויתרחשו שינויים בלתי צפויים - אם במערכת ואם בתנאים בהם היא צריכה לפעול - מהו מרווח הביטחון שיש לנו לפני שהמערכת תאבד יציבות. שאלה זו חשובה מכיוון שקשה מאוד לצפות את מכלול התנאים שיתרחשו בשימוש במערכת בפועל. שינויים שכאלו יכולים להיגרם מהמערכת עצמה, כגון בשינויים קלים בין פריטים המיוצרים בפסי ייצור שונים, או שינוי כלשהו של המערכת לאחר שימוש / זמן ממושך וכדומה, או בסביבה בה המערכת עובדת - כגון שינויי טמפרטורה בלתי צפויים. בנוסף, עודף יציבות נועד להקטין את השפעת ההפרעות על המערכת - בדוגמת הכדור בקערה, ככל שהקערה תהיה תלולה יותר, נקבל תנודות קטנות יותר עבור דחיפה זהה של הכדור.
עם זאת, יציבות גדולה מדי גם אינה טובה, משום שאז יהיה קשה לשלוט על המערכת - כמו שתגובת המערכת להפרעות תהיה קטנה, כך גם תגובתה לפקודות רצויות, שכן אלו הן ניסיונות להוציא אותה משיווי משקל. מטוס יציב מדי, לדוג', לא יגיב בצורה טובה לפקודתיו של הטייס ויקשה על השליטה בו.
השפעת בקר PID על תגובת המדרגה ויציבות המערכת.
מכיוון שכל אחד מענפי בקר PID מבצע פעולה מתמטית שונה, השפעתו של כל ענף על התנהגות המערכת היא אחרת. ניתן לסכם את השפעות ענפי הבקר על תגובת המדרגה של החוג הסגור בטבלה הבאה, כאשר ההשפעה מתייחסת להגדלת ערכו (והשפעתו) של הענף:
חשוב לציין כי מדובר בטבלה כללית העוסקת במערכות סטנדרטיות. ההשפעה המדויקת עשויה להשתנות כתלות במערכת אותה אנו מנסים לבקר ובמאפייניה (סדר המערכת, היותה מינימום פאזה וכו').
תיאור מתמטי.