הפתרון הכללי של משוואה זו הוא:
formula_11,
כאשר formula_12, ו formula_13 נקבעים על ידי תנאי ההתחלה. זוהי פונקציה מחזורית, בתדירות formula_14, ובזמן מחזור formula_15.
המרחק מנקודת שיווי המשקל הוא formula_16 (שוב, בקירוב של זוויות קטנות), ולכן גם המרחק מקיים תנודה הרמונית:
formula_17.
באופן כללי, ניתן לפתור את המשוואה פתרון אנליטי גם ללא הקירוב של זוויות קטנות, בעזרת אינטגרל אליפטי.
במערכת זו, כאשר formula_18 הוא המילטוניאן וכאשר formula_19 שרטוט הפאזה יתן הפרדה בין שני אזורים. הפרדה זו נקראת ספרטריקס.
פתרון מדויק.
כאמור, ניתן למצוא את זמן המחזור של מטוטלת פשוטה גם ללא ההנחה של זוויות קטנות, אולם פתרון זה אינו אנליטי (כלומר, לא ניתן להציגו כהרכבה של פונקציות אלמנטריות: פולינומים, אקספוננטים ופונקציות טריגונומטריות). הפתרון מערב אינטגרל אליפטי, שאותו יש לחשב באופן נומרי.
משימור אנרגיה מתקבל מיידית כי formula_20. כאשר formula_21 הוא ההפרש בין גובה המטוטלת לגובהה המקסימלי. אנו יודעים כי formula_22 ולכן
מצד שני, משיקול גאומטרי ניתן לראות ש formula_24, כאשר formula_25 היא הזווית שבה המטוטלת נמצאת בגובהה המקסימלי. מתקבלת המשוואה הדיפרנציאלית
זוהי משוואה פרידה, וצריך לבצע את האינטגרל
formula_27.
ניתן לקבל את זמן המחזור על ידי אינטגרציה על רבע מחזור והכפלה ב-4:
אינטגרל זה אינו פתיר אנליטית, אך ניתן להביעו באמצעות formula_29 האינטגרל האליפטי של לז'נדר מהסוג הראשון, כך:
הרחבה - ניתוח האופנים העצמיים למטוטלת בעלת N מתנדים צמודים.
מטוטלת בעלת N מתנדים צמודים, היא בעצם מספר מטוטלות הקשורות זו לזו כאשר החוט של הראשונה יוצא מסוף המטוטלת הקודמת. מספר האופנים העצמיים של מטוטלות מתמטיות צמודות, הוא בדיוק כמספר המתנדים הצמודים שבה. האופנים העצמיים מצביעים על אורך פרקי הזמן שבהם המערכת חוזרת לאותו מבנה מרחבי, ללא חשיבות לזווית ביחס לאנך לרצפה, אלא רק לזוויות בתוך המערכת. עם הוספת מתנד צמוד למטוטלת, האופנים העצמיים שלה מתפלגים באופן הבא: מספר האופנים העצמיים של המערכת גדל והפרש הערכים בין אחד למשנהו קטן. בנוסף לכך, הם הולכים ומתבדרים.
ניתוח מתמטי עבור שני מתנדים צמודים.
על מנת לחשב את משוואות התנועה עבור מטוטלת בעלת שני גופים, נשתמש במשוואות אוילר-לגראנז'. לפי משוואות אלו:
formula_31
כאשר: T - האנרגיה הקינטית האצורה במערכת.
U, אנרגיית הגובה האצורה במערכת היא:
formula_32
פונקציית הלגראנז' L של המערכת היא:
formula_33;
&lt;נחשב עתה את משוואת אוילר-לגראנז' לפי הזווית formula_34 :
formula_35 לאחר חישוב הנגזרות החלקיות בכל אגף מתקבלת המשוואה:
formula_36
formula_37
באותה צורה, מחישוב משוואת אוילר-לגראנז' לפי הזווית formula_38 מתקבלת המשוואה:
formula_39
formula_40
לאחר קירוב לזווית קטנות וארגון המשוואות, מקבלים מ-(I):
formula_41
הערה: משמעות הסימונים למשוואות (n,k) הוא: המשוואה ה-k עבור n מתנדים צמודים.
מ-(II) מקבלים:
formula_42
ניתוח מתמטי עבור שלושה מתנדים צמודים.
מחישוב משוואות אוילר לגראנז' בצורה זהה לזו שפורטה לעיל, קירוב לזוויות קטנות, וארגון המשוואות מתקבלות המשוואה הבאות:
formula_43
formula_44
formula_45
הכללה ל-N מתנדים צמודים.
בעזרת שש המשוואות שפותחו לעיל, ננסח עתה נוסחה כללית עבור מספר (k) של מתנד במטוטלת בעלת N מתנדים:
formula_46
כאשר: formula_47 היא הזווית ה-i מלמעלה
הערה: אם k=N האיבר האחרון אינו מופיע, משום שהסכום מ-N+1 עד N הוא סכום ריק.
נפיצה
נפיצה, או דיספרסיה, היא תופעה המתרחשת כאשר גלים בתדרים שונים נעים במהירויות שונות בתווך. אחת מהדרכים בהן התופעה באה לידי ביטוי היא כאשר מתקיימת שבירה אל התווך שגורמת לגלים שאינם מונוכרומטיים להישבר בזוויות שונות כשהם עוברים בתוך תווך, בתלות באורך הגל (או בתדירות) שלהם.
דוגמאות לנפיצה הן הקשת בענן, פיזור אור העובר דרך מנסרה, והתרחבות פולסי אור בסיבים אופטי.
רקע.
במקרים רבים, יצירת הפרעה בתווך בתדירות קבועה formula_1 תגרום להתפשטות גל בתווך בתדר זהה. עם זאת, מהירות התפשטות הגל היא תכונה של התווך: לדוגמה, הפרעה בחבל מתוח תתקדם מהר יותר מהפרעה בחבל רפוי. בנוסף, בתווכים מסוימים, התכונות שקובעות את מהירות הגל בתווך יכולות להשתנות כתלות בתדר ההפרעה (בדומה לנדנדה שתתנדנד בעוצמות שונות אם מנדנדים אותה לאט מידי, מהר מידי, או בדיוק בתדר הנדנוד שלה). במקרים כאלו, נאמר שגל בתווך יחווה נפיצה, והתווך נקרא דיספרסיבי.
כאשר גל לא מחזורי ינוע בתווך, הנפיצה תגרום לעיוות צורתו. לדוגמה, חבילת גלים המתקדמת בתווך תחווה התרחבות ככל שתתקדם בו יותר. הסיבה לכך היא שחבילת הגלים מורכבת מאוסף של גלים סינוסיים בעלי אורך גל ותדירות שונים הנעים כל אחד במהירות אחרת, עקב שינוי יחס הנפיצה (ומקדם השבירה) כתלות באורך הגל.
ביטוי בולט לנפיצה הוא פירוק האור הלבן למרכיביו במעבר דרך מנסרה: אף על פי שמהירות האור בריק היא גודל קבוע אשר איננו תלוי בתדירותו, בתווך חומרי כל רכיב של האור (בעל תדירות שונה) נע במהירות אחרת. כיוון שלפי חוק סנל תלויה זווית השבירה במהירות האור בחומר, כל רכיב של האור נשבר בזווית אחרת וכך מתקבלת תבנית של פסי אור בצבעים שונים, המסודרים לפי אורך הגל שלהם.
האור עובר נפיצה בחומרים שונים בהיקף שונה, אותו נהוג לבטא על ידי מספר אבה. ככל שמספר אבה נמוך יותר הנפיצה גדולה יותר.
תיאור מתמטי של נפיצה.
נסמן ב-formula_2 את התדירות הזוויתית של גל סינוסי וב-formula_3 את מספר הגל שלו.
גל כללי ניתן לכתיבה כסכום של גלים סינוסיים, כאשר התרומה של כל גל סינוסי ניתנת לחישוב כמקדם טור פורייה שלו אם הגל מחזורי או כהתמרת פורייה של הגל הכולל במקרה של חבילת גלים. כל גל סינוסי מתקדם במהירות פאזה המתאימה לתדירות שלו, והתוצאה היא שמעטפת חבילת גלים מתקדמת בקירוב במהירות החבורה, אך הצורה הכוללת של הגל משתנה עם הזמן במעין מריחה.
תוכנית רוג'רס
תוכנית רוג'רס הוא שמן של שלוש תוכניות שלום בין ישראל למצרים וירדן שהציע מזכיר המדינה האמריקאי ויליאם רוג'רס בשנים 1969–1971.
תוכנית רוג'רס הראשונה.
בספטמבר 1968, כאשר התחדשה הלחימה בין ישראל למצרים עם פרוץ מלחמת ההתשה, מינה נשיאה החדש של ארצות הברית, ריצ'רד ניקסון, את מזכיר המדינה ויליאם רוג'רס להיות מתווך בסכסוך הישראלי-ערבי מטעמו.
ב-9 בדצמבר 1969 הציע רוג'רס את תוכנית השלום הראשונה שלו, לפיה תיסוג ישראל לגבול הבינלאומי עם מצרים ויובטח חופש השיט לכלי שיט ישראלים בתעלת סואץ. מעמדן של רצועת עזה ושארם א-שייח' יקבע במשא ומתן בין המדינות, וירושלים תישאר מאוחדת, אך תנוהל על ידי נציגי שלוש העדות הדתיות. הצעה זו נדחתה הן על ידי מצרים, שראתה בה ויתור גדול מדי לטובת ישראל, והן על ידי ישראל, שלא מצאה בה ערובות לביטחונה, קריאה למשא ומתן ישיר, או הבטחה לריבונות ישראלית בירושלים.
האמריקאים לא אמרו נואש וב-18 בדצמבר שילב נציג ארצות הברית באו"ם, צ'ארלס וודראף יוסט , את ירדן בתוכנית. הוא הוסיף לתוכנית נסיגה ישראלית לקווי 1949 (בתיקונים מזעריים), מעמד שווה לישראל וירדן בירושלים בתחומי הדת, הכלכלה והמינהל האזרחי, חופש שיט לישראל במפרץ אילת, ושתינתן לפליטים אפשרות הבחירה בין שיבה לישראל לבין קבלת פיצוי כספי. ירדן אומנם הסכימה לדון בהצעה זו, אך ישראל דחתה אותה ב-22 בדצמבר.
תוכנית רוג'רס השנייה.
לאחר כישלון התוכנית הראשונה, פרס רוג'רס ביוני 1970 תוכנית שנייה בפני הצדדים. הייתה זו תוכנית למשא ומתן בין ישראל ומצרים בחסות שליח האו"ם השוודי גונאר יארינג (שכבר היה מעורב בניסיונות השכנת שלום בין ישראל למדינות ערב). תוכנית זו התבססה על נסיגת ישראל משטחים שכבשה במלחמת ששת הימים בהתאם להחלטה 242 של מועצת הביטחון, הכרה הדדית של כל הצדדים בריבונותן של המדינות, שלמותן הטריטוריאלית, ועצמאותן המדינית, והסכמי שלום.
רוג'רס הציע שהשלב הראשון בתוכנית יהיה סיום מלחמת ההתשה וחידוש שביתת הנשק בין ישראל למצרים. ממשלת ישראל דחתה את ההצעה ב-21 ביוני, אולם הממשלה המצרית הודיעה שהיא מסכימה לדון ביוזמה.
בעקבות ההסכמה המצרית החל נשיא ארצות הברית ריצ'רד ניקסון ללחוץ על ראש ממשלת ישראל גולדה מאיר להסכים להצעה. הוא הבטיח שארצות הברית תערוב לריבונותה, שלמותה וביטחונה של מדינת ישראל ותשמור על מאזן החימוש באזור, והבהיר למאיר כי הדרישה היא לנסיגה ישראלית לגבולות בטוחים ומוסכמים ולא לגבולות הקו הירוק ושלא תיכפה על ישראל נסיגה לפני שיחתם הסכם שלום חוזי מחייב. כמו כן סוגיית הפליטים תטופל באופן שלא יפגע בקיומה של מדינת ישראל כמדינה יהודית.
בעקבות ההבטחות וההבהרות האמריקאיות הסכימה גם ממשלת ישראל ב-31 ביולי לדון בתוכנית באופן עקרוני, אולם בשל כך פרשה גח"ל מממשלת הליכוד הלאומי. הסכם הפסקת האש בין ישראל למצרים שסיים את מלחמת ההתשה נכנס לתוקף ב-7 באוגוסט. בו ביום הפרו המצרים את סעיף 3 בהסכם המחייב שימור הסטטוס קוו הצבאי כאשר קידמו טילי נ"מ לתוך תחום 50 הקילומטרים ממערב לתעלה וישראל, בתגובה, השעתה את השיחות בתיווכו של יארינג. השיחות חודשו חצי שנה מאוחר יותר בפברואר 1971.
תוכנית רוג'רס השלישית.
ב-4 באוקטובר 1971 הגיש רוג'רס תוכנית שלישית לעיון הצדדים, אולם זו נדחתה עוד באותו היום על ידי ישראל, כיוון שלא נכתב בה שלאחריה יבואו מהלכים להשכנת שלום בין ישראל ושכנותיה.
הנילוס הלבן