במונחים גאומטריים, formula_23 הוא חוג הקואורדינטות של המרחב האפיני formula_24, formula_11 הוא חוג הקואורדינטות של יריעה אלגברית כלשהי (שחייבת להיות מאותו ממד כמו formula_23).
מכיוון ש-formula_27, הרי שקיים הומומורפיזם הכלה:
המורפיזם המושרה על הסכמות האפיניות הוא מורפיזם סופי:
formula_30
המסקנה היא שכל יריעה אלגברית היא כיסוי מסועף של מרחב אפיני.
איניגו ג'ונס
איניגו ג'ונס (באנגלית: Inigo Jones; 15 ביולי 1573 - 21 ביוני 1652) היה אדריכל אנגלי שנחשב לאחד מחשובי האדריכלות האנגלית. ג'ונס היה זה אשר הביא את סגנון אדריכלות הרנסאנס לאנגליה ולצרפת.
חייו.
ג'ונס נולד בסמית'פילד שבמרכז לונדון, בן ליצרן בדים קתולי ולשי. ג'ונס נקרא על שם אביו איניגו (ככל הנראה קיצור של "איגנשיוס" - "ignatius") והוטבל בכנסיית סנט ברת'ולומיו הקטנה. לא ידוע היכן התחנך בצעירותו, אולם בסוף המאה ה-16 נסע ללמוד אדריכלות באיטליה, ובכך היה לאחד מראשוני תושבי אנגליה שעשה זאת).
ג'ונס ביקר באיטליה בין השנים 1598–1603 (ככל הנראה במימון רוג'ר מנרס, הארל החמישי מרות'לנד), ובשנית בין 1613 ו-1614. בביקוריו הושפע מסגנון אדריכלות הרנסאנס האיטלקי וכן מעבודותיו של אנדראה פלדיו. השפעות אלו נראו לימים בתכנוניו של ג'ונס ובכך הביא לאנגליה את סגנון האדריכלות הפלדיאנית, הקרוי על שמו של פלדיו.
עם פרוץ מלחמת האזרחים האנגלית בשנת 1642 הוחרם רכושו, אולם זה הושב לו בשנת 1646. בתקופה שבה הוחרם רכושו התגורר במגורים שניתנו לו בבית סומרסט.
ג'ונס נקבר בכנסיית רציף סנט בנט פאול שבלונדון.
עבודותיו הבולטות.
עם יצירותיו הידועות ביותר של ג'ונס נמנים בית המלכה שבגריניץ', אותו תכנן בשנת 1616, ובית הסעודות שהיה חלק מארמון וייטהול, אותו תכנן ג'ונס בשנת 1619 בסיועו של עוזרו ואחיינו, האדריכל ג'ון וב.
ג'ונס תכנן את מתחם קובנט גרדן במימונו של פרנסיס ראסל, הארל הרביעי מבדפורד, אשר ביקש ממנו לתכנן פיאצה איטלקית. ראסל התחייב לבנות בכיכר כנסייה, אולם ביקש לחסוך בהוצאות ועל מנת לבנות יותר יחידות דיור במתחם הורה לג'ונס לבנות "אסם". ג'ונס הסכים, אולם לעוזרו אמר כי יבנה את "האסם הכי יפה באירופה".
ג'ונס שימש כמנהל עבודות הבנייה עבור המלך צ'ארלס הראשון ובמסגרת תפקיד זה התבקש לערוך סקר ארכיטקטוני של סטונהנג' והיה הראשון שערך מדידות מסודרות במקום. כמו כן תכנן עבור המלכה הנרייטה מריה את הקפלה הקתולית בבית סומרסט.
תחומי יצירה נוספים.
בנוסף להיותו אדריכל מוכשר ג'ונס פעל רבות בתחום עיצוב תפאורות ותלבושות לתיאטרון. הוא היה לראשון שתכנן תפאורות נעות עבור התיאטרון האנגלי. כמו כן, תכנן תחפושות, תלבושות ואביזרי במה עבור בן ג'ונסון.
איניגו ג'ונז
מר אל כאן אנה
משפטי כהן-סיידנברג
במתמטיקה, ובעיקר באלגברה קומוטטיבית, משפטי כהן-סיידנברג (Going up and going down theorems) קובעים שאם חוג קומוטטיבי formula_1 הוא שלם אלגברית מעל תת-חוג formula_2, אז כל אידיאל ראשוני בחוג הקטן "ניתן להרמה" לחוג הגדול. המשפט הוכח על ידי אברהם סיידנברג ואירווין כהן
באופן פורמלי, נניח כי "formula_1" הוא חוג חילופי וכי formula_4 הוא תת-חוג של "formula_1". נניח כי "formula_1" שלם אלגברית מעל "formula_4" (כלומר כל איבר ב"-formula_1" הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ"-formula_4"). נניח כי formula_10 הוא אידיאל ראשוני ב"-formula_4". מסקנת המשפט היא שקיים אידיאל ראשוני formula_12 ב"-formula_1" הנמצא מעל "formula_10", כלומר מתקיים formula_15.
שפת ההיפך
זוגי (בלשנות)
זוגי הוא סוג של מספר דקדוקי, המציין כמות של 2 בדיוק, ובא לידי ביטוי בדרך כלל באמצעות נטייה מורפולוגית. למשל, הצורה יומיים היא צורה ייחודית בעברית לציון שני ימים, ללא צורך בשם המספר שניים. בשפות שבהן יש נטייה עשירה של זוגי, גם שמות התואר, כינויי הגוף והפעלים יכולים ו/או צריכים לשאת התאם זוגי.
הבחנה סמנטית זוגית היא הבחנה מסומננת יחסית, ובכל שפה שבה יש צורות זוגי, יש בהכרח גם צורות רבים רגילות. בשפות המקיימות צורות זוגי, השימוש בהן הוא בדרך כלל חובה. כך למשל, בעברית, הצירוף שתי שנים פחות תקין משנתיים, וזקוק להקשר מיוחד.
זוגי בשפות עולם.
ככלל, שפות בעלות הבחנה של זוגי נוטות לאבד את ההבחנה הזאת עם הזמן. בשפות עתיקות רבות (סנסקריט, יוונית, אנגלית, רוסית ואירית עתיקות, עברית מקראית ועוד) התקיימו צורות זוגי עשירות, אך ברוב השפות הללו הן הלכו והידלדלו, וכבר בימי הביניים נשמרו בצורה מוגבלת בלבד.
ברוב השפות הסלאביות (וכן בפרוטו-סלאבית) היו בעבר צורות זוגי רבות, אך השפות היחידות ממשפחה זו שמקיימות זוגי בצורה מלאה ופרודוקטיבית עד היום הן סלובנית וסורבית, בעוד שבשפות אחרות נותרו רק שרידים, ובעיקר בשמות שהקונספט הזוגי ממילא דומיננטי בהם (כגון אברי גוף). למשל, ברוסית ובסרבית/קרואטית, מתקיימת עד היום נטייה מיוחדת עבור שמות עצם המופיעים בסמיכות למספרים 2 עד 4, המבוססת על שרידים של הזוגי הקדום.
באשר למשפחת השפות השמיות, בערבית קלאסית ובעברית מקראית נמצא קיום של צורות זוגי: בערבית – לגבי כל הקטגוריות הדקדוקיות (שם, תואר, פועל, כינוי גוף) ובעברית מקראית רק לגבי שמות עצם, ובצורה זניחה לגבי תוארי פועל ("בעצלתיים") וכינויי גוף ("שתיהם", כינוי גוף מקראי המיוחד לציון שתי נקבות). אולם גם במשפחת שפות זו ניכרת הידלדלות של הזוגי: ברוב הדיאלקטים המדוברים של ערבית אמנם קיים זוגי, אולם בניגוד לערבית הספרותית, הנטייה היא רק לגבי שמות עצם, וגם היא בגדר רשות בלבד. בעברית המודרנית, אין כמעט שימוש בצורות זוגי, וכל צורות הזוגי הן צורות קפואות של שמות עצם מקראיים (להוציא מיעוט כגון גרביים שנוצרה בעברית החדשה).
ההתפתחות של צורת הזוגי בעברית.
צורן הזוגי בעברית, הן לזכר והן לנקבה, הוא הסופית -ַיִם, כגון: יָדַיִם, שְׂפָתַיִם. הסופית מתחברת על פי רוב לצורת היסוד של המילה (הדומה בדרך כלל לצורת הנסמך), ולא לצורת הרבים; לכן נקודָתיים ולא .
כבר במקרא היו צורות הזוגי בגדר שארית זניחה של תופעה קדומה, והן הפכו - כמו שאר מרכיבי השפה - לצורות קפואות, כשהעברית פסקה להיות מדוברת, במאה השנייה לספירה. במקורות הכתובים של העברית ניתן למצוא עשרות בודדות של צורות זוגי בלבד, רובן שמות עצם, המקבלות התאם רגיל של רבים.
לאחר תחיית השפה העברית (1880 ואילך) זכו גם צורות הזוגי המקראיות להיות מדוברות ולהיכתב במילונים, אולם רוב צורות הזוגי שנכנסו לעברית החדשה היו צורות "קפואות" (כמו מאזניים, כיריים ועוד) שלא הביעו זוגיות ממשית, אלא לכל היותר שיקפו תהליך היסטורי שגרם להיווצרות הצורה בצירוף מוספית הזוגי.
בשנות ה-30 עד ה-60 – וביתר שאת בשנות ה-30 וה-40 – נוצר גידול רחב היקף של מאות צורות זוגי, בעיקר בשפה הכתובה (עיתונות, ספרות, שירה) על ידי יוצרים כמו נתן אלתרמן, אברהם שלונסקי, ע. הלל ובני דורם. זאת בניגוד לביאליק ולבני דורו שמיעטו מאוד להשתמש בצורות זוגי, קל וחומר להמציא צורות חדשות.
אולם, תופעה זו לא תפסה תאוצה, ולא חלחלה לגמרי ללקסיקון המדובר והחי של העברית: עד מהרה נעלמו רוב הצורות החדשות ושוב נותרו רק צורות הזוגי ה"קפואות" והצורות העתיקות. וכיום, בעברית המדוברת של שנות האלפיים, אין מוצאים צורות זוגי טהורות מלבד אלו המציינות כמויות (אלפיים, מאתיים) ויחידות זמן (יומיים, שבועיים וכו'). בשפה הכתובה, עם זאת, ניתן למצוא מעט צורות זוגי "מיוחדות" יותר, אך בחינה דקדקנית של הסמנטיקה של אותן צורות מגלה שלא מדובר תמיד בזוגי של ממש.
סוגי הזוגי בעברית.
בעברית קיימות שתי קבוצות עיקריות של מילים עם מוספית הזוגי -יים (["ayim"-]), לפי החלוקה הבאה:
זוגי טהור.
לקבוצה זו שייכות כל המילים שהמוספית –יים בהן מייצגת את הכמות או המספר 2 בדיוק (כלומר הן צורות זוגי "אמיתיות"). צורות אלו עומדות בניגוד לצורת היחיד ולצורת הרבים, וניתן להמירן לפי הנוסחה: 'X' + יים = 2 'X'. לקבוצה זו שייכות מילים מהמקורות, המציינות בעיקר יחידות זמן ומדידה, ורובן שימושיות מאוד גם בעברית מודרנית:
במילים שלעיל ניכרת דרך המלך של גזירת צורת הזוגי בעברית המקראית, על בסיס צורת היחיד של השם, למשל: שעה+יים=שעתיים ולא *שעות+יים=. על בסיס כלל זה נקבעו גם החוקים הנורמטיביים ליצירת זוגי על ידי האקדמיה ללשון בימינו, ולפיכך יש לומר "אוטובוס קומָתיים" (מן: קומה) ולא (מן: קומות), כפי שנהוג בפי הדוברים, ו"נקודתיים" ולא .
קיימות צורות זוגי נוספות מהמקורות, שאינן שימושיות בעברית מודרנית, וכבר בהן מתגלים סדקים בחוקיות של יצירת הזוגי בעברית המקראית, כלומר הן נגזרות מן הרבים, כגון:
זוגי מדומה (Pseudo Dual).
זוגי מדומה המציין ריבוי.
הזוגי המדומה המציין ריבוי כולל את השמות המסתיימים בסיומת –יים, שהסמנטיקה שלהם היא של רבים לכל דבר (קרי 2 או יותר מ-2), בניגוד ליחיד. המוספית בשמות אלה אינה מייצגת את המספר 2 כלל. ולראיה, אין כל סתירה במשפטים הבאים:
לשמות מקבוצה זו, כגון עיניים, אין צורת רבים אחרת, שאינה מסתיימת ב-יים (נניח: *עיניים), וצורת הזוגי המדומה היא-היא צורת הרבים הרגילה שלהם. רוב השמות בקבוצה זו הם חלקי גוף (של בני אדם או בעלי חיים) ואביזרים הקשורים אליהם, כגון: אוזניים, ברכיים, גפיים, ידיים, ציפורניים, שיניים, ירכיים, כנפיים, כתפיים, טלפיים, נעליים, עיניים, רגליים, שוקיים, שפתיים, לחיים, עפעפיים, קרניים, נחיריים, מגפיים, גרביים, מכנסיים, משקפיים ועוד.