דוגמה פשוטה היא תיאור מצבם של פני המים בשלולית: המים בשלולית יכולים להיות במצב נייח, בו פני המים אחידים. זהו פתרון מדויק למשוואות המתארות את מצבם. אך פני המים יכולים גם לנוע, אם נוצרים בהם גלים. אם הגלים קטנים יחסית, אפשר להתייחס אליהם כהפרעות, כלומר סטיות קטנות מהמצב בו פני המים אחידים. בצורה כזו קל יחסית לפתור כיצד יתקדמו הגלים במים, ולקבל קירוב טוב (כלומר, תיאור מדויק יחסית) למצבם של פני המים.
הרעיון העומד מאחורי תורת ההפרעות הוא שאף על פי שישנן בעיות מתמטיות שקשה מאוד או אי אפשר לפותרן במדויק, בכל זאת ניתן למצוא מידע חשוב אודות פתרון הבעיה על ידי שימוש בהנחות מפשטות, ואז לחקור סטייה מהנחות אלו על ידי חקירת הפרעה קטנה בפתרון.
דוגמה מתמטית לשימוש בתורת ההפרעות.
נקח כדוגמה את המשוואה הבאה:
במקרה הקיצון, formula_3, המשוואה מתנוונת למשוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון, אותה ניתן לפתור בפשטות.
זהו הפתרון של בעיית הקיצון. ברוב המקרים פתרון של בעיות קיצון אינם פיזיקליים. לדוגמה, אם בדוגמה זו formula_2 מייצג את מספר ריינולדס, הוא יכול להיות מספר מאוד קטן אך אינו יכול להשתוות לאפס. היות שכך, יש צורך לחקור את המקרה בו formula_2 קטן מאוד אך אינו אפס.
נגדיר, אם כן:
תנאי השפה המתאים הוא:
הצבת הביטוי עבור formula_10 במשוואה לעיל נותן:
ניתן עתה להפריד בין הסדרים השונים של המשוואה כדהלן:
סדר זה נקרא הסדר המוביל, והוא מדויק מסדר ראשון. חיסורו מהמשוואה לעיל ייתן את הסדרים הבאים, שהם סדר formula_2 וסדר formula_14, בהתאמה.
ניתן לפתור בהדרגה את המערכת לעיל, שהיא בעצם מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון. פתרון המשוואה הראשונה, כאמור: formula_17 כלומר ששגיאת הקיטוע היא מסדר formula_2. הצבה של פתרון זה במשוואה מסדר formula_2 יתן formula_20, וכן הלאה, כאשר בכל פעם ניתן לקבל פתרון מדויק יותר.
דוגמה פיזיקלית - יציבות מודית בבעיית חום.
בעזרת תורת ההפרעות ניתן לבצע אנליזה לבעיית חום חד ממדית פשוטה בתחום formula_21:
כאשר T מייצג את הטמפרטורה ו-c מייצג קבוע דיפוזיה של חום.
תנאי השפה וההתחלה הם:
במקרה זה, הפתרון של המשוואה פשוט ביותר: formula_24, כלומר שהטמפרטורה נותרת קבועה בכל המישור ואין שינוי בטמפרטורה עם הזמן.
עתה ניתן לחקור מה יקרה אם תתווסף הפרעה קטנה לבעיה. ההפרעה תהא מהצורה formula_25 והפתרון של הבעיה ללא ההפרעה יסומן ב-formula_26. formula_27 מייצג את קצב הדעיכה של ההפרעה.
ניתן להגדיר כי הפתרון יהיה מהצורה:
כאשר formula_2 הוא מספר קטן מאוד מאחד, על מנת לשמור על הפרעה קטנה. ניתן להציב פתרון זה בבעיית החום ולקבל:
מכיוון ש-formula_31 קבוע, הנגזרות שלו מתאפסות ונותר רק:
ועל ידי צמצום וחלוקה ב-c ניתן לחלץ את פרמטר הדעיכה:
למעשה ניתן להסיק מסוג ההפרעה שנכנס את זמן הדעיכה האופייני שלה, כתלות בפרמטרים של הבעיה.
עודד תאומי
עודד תאומי (20 ביוני 1937 – 1 במרץ 2019) היה שחקן תיאטרון, קולנוע וטלוויזיה ישראלי. שימש כמרצה בחוג לתיאטרון של אוניברסיטת תל אביב.
ביוגרפיה.
תאומי נולד בתל אביב וסיים את לימודיו התיכוניים בגימנסיה הרצליה. הוא דור שני לבמת התיאטרון: אביו, מאיר תאומי, היה שחקן תיאטרון "האוהל" (הוא נרצח באירוע הידוע כרצח בגן הוואי ב-10 באוגוסט 1947), ודודו, יעקב טימן, היה שחקן תיאטרון "המטאטא". טימן אף דאג לשבץ את עודד אחיינו בתפקידי ילד בהצגות התיאטרון.
עודד תאומי שירת בצה"ל בלהקת פיקוד המרכז, ובשנת 1958 הצטרף לתיאטרון הקאמרי וגילם מאז עשרות תפקידים, רובם ב"קאמרי" אך גם בתיאטרון הבימה, בתיאטרון האוהל ובתיאטרון בית ליסין. במחזות השקספיריים הוא גילם את ז'אק ב"כטוב בעיניכם", את יאגו ב"אותלו", את ריצ'רד ב"ריצ'רד השלישי" ואת קוריולנוס. במחזות ידועים אחרים הוא היה ג'ון ב"אוליאנה", טריגורין ב"השחף", ד"ר אסטרוב ב"הדוד וניה", סליירי ב"אמדאוס", ד"ר סטוקמן ב"אויב העם", נילס בוהר ב"קופנהגן", וילי ברנדט ב"דמוקרטיה", פרופ' היגינס במחזמר "גבירתי הנאווה", סולנס ב"אלוף הבונים" ועוד. במחזאות העברית הוא גילם את ישראל קסטנר בהצגה "קסטנר", וכן שיחק ב"כנרת כנרת", "ערפל" ו"צור וירושלים".
בראשית שנות ה-70 השתתף גם בשני מופעים לילדים: במופע עם נעמי שמר שנקרא "נעמי שמר שרה לילדים ועודד תאומי עושה להם הצגות", שבו ביצע לראשונה את השיר "אלף בית", ולאחר מכן במופע עם חוה אלברשטיין בשם "חוה ועודד בארץ הקסמים". שני המופעים הועלו על גבי תקליטים.
במהלך שנות ה-70 העלה תאומי שלוש הצגות יחיד פרי עטו שעסקו בספיריטואליזם - "מעל ומעבר", "אותות ומופתים" ו"על החיים ועל המוות".
תאומי שיחק במספר סרטי קולנוע ישראליים, בהם: "חולות לוהטים", "הם היו עשרה", "חבורה שכזאת", "תעלת בלאומילך", "מרגו שלי", "המניע לרצח", "מבצע יונתן", "החוב" ו"סוף שבוע בגליל". הוא הנחה את סדרת הטלוויזיה לילדים "הספינה המזמרת" בשנת 1973, שיחק בסדרת הטלוויזיה "כתב פלילי". גילם בפרק "מסדר הזיהוי" מתוך הסדרה "סיפורים לשעת לילה מאוחרת" אדם שנקלע במקרה למסדר זיהוי משטרתי ומואשם ברצח. השתתף בדרמות הטלוויזיה האמריקאיות "סיפורו של דוד" (1976), ו"אישה ושמה גולדה" (1982). בשנת 1996 שיחק תאומי את תפקיד המנצח וילהלם פורטוונגלר שנחשד בקשרים עם המפלגה הנאצית בהצגה שעלתה בתיאטרון הקאמרי. הופיע בתפקידים קטנים בסרטים האמריקאיים "The Long Shadow" מ-1992, "קוד אומגה" (1999) ו"מינכן" (2005).
בדצמבר 2008 קיבל את פרס רוזנבלום לאמנויות הבמה על מפעל חיים.
תאומי הוא זוכה פרס התיאטרון הישראלי לשנת 2010 על מפעל חיים.
בשנת 2015 שיחק בתפקיד ראשי לצד גילה אלמגור ומרים זוהר בסרט "ציפורי חול" בבימויו של אמיר וולף. על תפקידו בסרט היה מועמד לפרס אופיר לשחקן הראשי הטוב ביותר לשנת 2015.
בשנת 2017 ערך תיאטרון הקאמרי מופע מחווה בעקבות הידרדרות במצבו הבריאותי של תאומי.
חיים אישיים.
בשנת 2007 התגלה בגופו סרטן שלפוחית השתן, ממנו החלים.
רעייתו, חוה, נפטרה מלוקמיה ב-2012.
עודד תאומי נפטר מדום לב בשנתו ב-1 במרץ 2019, בגיל 81. הותיר אחריו שתי בנות ונכדים. בתו אמירה תאומי היא מנכ"לית להקת המחול הקיבוצית, ובתו עינת תאומי היא פסיכולוגית קלינית בכירה בכללית.
בנדיקט אנדרסון
בנדיקט אנדרסון (26 באוגוסט 1936 בקונמינג שבסין – 13 בדצמבר 2015 בבאטו שבאינדונזיה) היה חוקר אמריקאי של מדע המדינה ויחסים בינלאומיים, פרופסור אמריטוס ליחסים בינלאומיים באוניברסיטת קורנל. אנדרסון נודע בשל התמחותו בדרום-מזרח אסיה בכלל ואינדונזיה בפרט ונתפרסם בפרט בשל ספרו בנושא לאומיות: "קהילות מדומיינות".
אנדרסון נולד בקונמינג, בירת מחוז יונאן שבסין. אביו ג'יימס היה ממוצא אנגלו-אירי ושירת במכס ואמו ורוניקה הייתה ממוצא אנגלי. ב-1941 עברה משפחתו לקליפורניה בארצות הברית, שם הוא גדל וקיבל את חינוכו הראשוני. אנדרסון למד באוניברסיטת קיימברידג' שבבריטניה. ב-1957 קיבל את תואר ה-BA בלימודים קלאסיים. בהמשך לימודיו פנה ללימודי פוליטיקה אסיאנית כשהוא מתמחה באינדונזיה. את עבודת הדוקטורט עשה אנדרסון באינדונזיה עצמה, בה שהה במהלך ההפיכה הצבאית בה עלה לשלטון סוהארטו ותיארה בעבודתו.
אנדרסון פרש בספרו "קהילות מדומיינות" את גישתו ואת הפרשנות האישית שלו לצמיחתה של הלאומיות, כשהוא מתאר את הצמיחה לאורך מאתיים שנה. לדעת אנדרסון הלאומיות היא תופעה מודרנית שראשיתה במחוזות של הכתר הספרדי בדרום אמריקה. בזמן מלחמות נפוליאון בראשית המאה ה-19, נכבשה ספרד על ידי צבאות נפוליאון. הריק השלטוני שנוצר במחוזות הכתר הספרדיים בדרום אמריקה הוביל ליצירת 16 מדינות לאום חדשות באזור זה על בסיס המחוזות הקולוניאליים הקודמים בין השנים 1810-1824. מלחמות עצמאות אלו הובלו על ידי חוזה דה סן מרטין וסימון בוליבר. לדעת אנדרסון, לאחר שנוצר הדגם של מדינת לאום, הוא "נשדד" על ידי המעצמות האירופאיות שראו בכך דרך להתמודד עם משבר הלגיטימציה של המלוכה בתקופה המודרנית. במקום להמשיך להציג את עצמם כ"מלכים בחסד האל", מלכי אירופה החלו להציג את עצמם כנציגים ההיסטוריים של האומה. ביקורת רבה נמתחה על תיאורו של אנדרסון שאיננו מבהיר היטב מהי התופעה הלאומית שעליה הוא מדבר ועל כן מציג תמונה היסטורית לא בהירה.
אחת ההשפעות של אנדרסון הייתה ביצירת המונח "קהילה מדומיינת". לא פעם מצוטט מונח זה במשמעות של זיוף או הונאה אך לא לכך כיוון אנדרסון. לדבריו, קהילה מדומיינת היא תודעת שייכות שאיננה מבוססת על היכרות אישית ישירה אלא על פעולת דמיון. כך למשל, בימי הביניים, הקבוצה הדתית הייתה הקהילה המדומיינת של רוב האנשים (שהרגישו קרבה ושייכות למי שהוא קתולי כמוהם או אורתודוקסי כמוהם או מוסלמי כמוהם וכדומה). מסיבות שונות, שאותן מנתח אנדרסון בהרחבה, הקהילה המדומיינת בתקופה המודרנית התחלפה - מקהילה דתית לקהילה לאומית. מעתה למשל, צרפתי קתולי ירגיש קרוב לכל הצרפתים גם הפרוטסטנטיים, לעומת ימי הביניים שבהם הרגיש קרוב לכל הקתולים בעולם, גם אם אינם צרפתים.
אנדרסון מנתח את צמיחת הלאומיות בצורה מטריאליסטית. הוא מונה את תפוצת השפה ומהפכת הדפוס כזרזים המרכזיים למהפכה הלאומית בגרסתה האירופית.
אחיו הוא האינטלקטואל המרקסיסט פרי אנדרסון .
ארטורו טוסקניני