לאחר מותו של אביו ב-1385 קיבל יוחנן את השלטון על הערים בחוף ים מרמרה, כוסל למעשה של הטורקים העות'מאנים. בתמיכתו של הסולטאן תפס יוחנן את השלטון בקונסטנטינופול בשנת 1390 משום שדודו מנואל השני היה בשביו של הסולטאן העות'מאני, באיזיט הראשון. מנואל הצליח לברוח אחרי חמישה חודשים בשבי, והשלטון נלקח חזרה מידיו של יוחנן השביעי, שנאלץ לחזור לסלימבריה. למרות זאת הכריז מנואל על יוחנן כיורשו משום שהיה חסר בנים לעת עתה.
משנת 1397 עד 1402 קונסטנטינופול הייתה במצור הטורקים ויוחנן והיה בראשות הגנת הבירה כאשר מנואל השני נסע לחצרות המלכותיות באירופה בניסיון לגייס תמיכה בממלכתו. למרבה מזלה של הקיסרות, טימור לנג הביס וכבש את ממלכת באיזיט בקרב אנקרה ב-1402, המצור נגמר ויוחנן הצליח להחזיר לשלטון ביזנטיון את הערים על חוף ים מרמרה. ב-1403 קיבל את התואר "קיסר תראקיה" ושלט בה באופן עצמאי למעשה מסלוניקי עד יום מותו. היה לו בן, אנדרוניקוס החמישי שהיה גם קיסר משותף עם אביו ומנואל השני אך הוא מת לפני אביו.
הספסל של גאודי
באבא גאנוש
בבא גנוש
מקאפה
מקאפה (בפורטוגזית: Macapá) היא בירת מדינת אמאפה שבברזיל. העיר קרויה על שם פרי הדקל המקומי, בשפת הטופי. בעיר מתגוררים 368,367 (2006) תושבים.
גאוגרפיה ואקלים.
העיר ממוקמת בגובה של 14 מטרים מעל פני הים, ואקלימה הוא אקלים טרופי. העיר ממוקמת על קו המשווה.
כלכלה.
עיקר כלכלת העיר מתבססת על כריית מחצבים - בעיקר עפרות ברזל, זהב, מנגן וכן על כריתת עצים, עיבוד עורות ודיג.
התעשיות העיקריות של העיר הן תעשיות הגומי והמכוניות.
היסטוריה.
האזור בו נמצאת העיר התגלה לראשונה למתיישבים אירופאים בשנת 1544. במקום הוקם בשנת 1688 מוצב צבאי במטרה להגן על פתח נהר האמזונאס. העיר עצמה נוסדה ב-4 בפברואר 1758. העיר גדלה בהדרגה עד שהפכה לבירת המדינה בשנת 1944.
אתרים בעיר.
המצודה העתיקה ממנה התפתחה העיר משמשת כיום כמוזיאון להתפתחות העיר.
איוואן אלכסנדר, קיסר בולגריה
איוואן אלכסנדר או יואן אלכסנדר (בבולגרית: Иван Александър; ברומנית: Ioan Alexander), (1301 - 17 בפברואר 1371) היה קיסר (צאר) האימפריה הבולגרית השנייה בין השנים 1331 ל-1371. איוואן אלכסנדר כבש מחדש את כל המחוזות שנכבשו על ידי דספוטט סרביה והאימפריה הביזנטית, לפני עלייתו לכס ממלכת בולגריה. הקיסר זכה בתמיכת הכנסייה האורתודוקסית לכל פעולותיו, גם משום שרדף את הכופרים בעיני הכנסייה הקתולית (בעלי האמונה הבוגומילית) ואת היהודים. במשך שלטונו פרחה התרבות הבולגרית. למרות מלחמות רבות והפסדיו נגד האימפריה העות'מאנית, מאבקו בפלישת ההונגרים בצפון בולגריה והמוות השחור, חלק ניכר מבולגריה היה במצב שלום ופריחה.
חייו של איוואן אלכסנדר.
איוואן אלכסנדר היה בנו של הדספוט סראצימיר מקראן, (בבולגריה המודרנית, קראן ממוקמת במחוז סטארה זאגורה, ליד קאזאנלק), ופטריצה שהייתה אחותו של הקיסר מיכאיל שישמן (מיכאל III אסן), דהיינו היה אחיינו של מיכאיל שישמן. איוואן אלכסנדר שייך היה לענף אסן, של משפחת המלוכה הבולגרית-שישמן. ב-1330 מונה איוואן אלכסנדר לדספוט בעיר לובץ'. ב-28 ביולי 1330, השתתף איוואן אלכסנדר יחד עם אביו וחמיו, בקרב ולבוז'ד נגד הסרבים. הבולגרים הפסידו בקרב ואיבדו מספר מחוזות. בנוסף, הביזנטים כבשו את דרום בולגריה ונמלים חשובים. איוואן סטפן בעזרת הביזנטים ערך הפיכה והפך לקיסר בולגריה. ב-1331 בוצעה הפיכה נגד איוואן סטפן ואיוואן אלכסנדר נטל את כס ממלכת בולגריה.
לבקשה של המלכה שרה-תאודורה, חילק איוואן אלכסנדר את ממלכתו בין שני יורשיו בעודו בחייו. החלק המרכזי ובו הבירה טרנובו נמסר לאיוואן שישמן והחלק הצפון מערבי ובמרכזו העיר וידין נמסר לאיוואן סרצימיר שהפך לשליט צארות וידין.
ב-1365 פלש לבולגריה לאיוש הראשון, מלך הונגריה, הכניע את צארות וידין ולקח בשבי את איוואן סרצימיר ומשפחתו. במקביל, התעמתו מול צבאו של יוחנן החמישי, קיסר האימפריה הביזנטית. איוואן שישמן פנה למוראט הראשון סולטאן האימפריה העות'מאנית במטרה ליצור ברית ביניהם ולכך שהצבא העות'מאני יסייע לכוחותיו להדוף את ההונגרים אל מחוץ לגבולות הממלכה ולהחזיר לאחיו את כסאו. ב-1369 הצליחו הבולגרים והעות'מאנים להביס את ההונגרים ולהסיגם מבולגריה. מוראט הראשון ניצל את העובדה שכוחות עות'מאניים גדולים חונים על אדמת בולגריה וסירב להסיג את צבאו. שישמן נאלץ להפוך לוסל עות'מאני ולהעלות מס למוראט הראשון וכמחוות פיוס אף השיא לו את אחותו תמרה.
איוואן אלכסנדר ורעייתו המלכה תאודורה (Czarina Theodora) נקברו בכנסיית סנט פטקה (Tserkva Sveta Petka/Sveta Paraskeva) שנהרסה.
איוואן אלכסנדר והקהילה היהודית.
בשטחי הממלכה הבולגרית התגוררו יהודים רומניוטים מזה מאות שנים ומרביתם התרכזו בבירה טרנובו. מקרב בני הקהילה נמנו סוחרים עשירים אשר זכו למעמד רם במרקם החברה בבולגריה. יהודים התגוררו גם בפיליפופוליס ובסקופיה. ב-1346 התגרש איוואן אלכסנדר מאשתו הראשונה תאודורה (תאופנה) ונשא לאישה את שרה בת לאחת המשפחות היהודיות העשירות בטרנובו. מנישואין אילו נולדו איוואן שישמן והנסיכה תמרה. שרה התנצרה ושינתה את שמה לתאודורה. בני הקהילה היהודית סמכו על חסותה של המלכה החדשה, צברו מעמד חברתי רם יותר והעניין הוביל לעימותים מול האוכלוסייה הנוצרית.
ב-1352 התכנסו ראשי הכנסייה הפרובוסלאבית הבולגרית לוועידה בטרנובו ובה דנו בהתפשטות האמונה הבוגומילית והתחזקות מעמדם של "הכופרים היהודים". הוחלט להטיל עליהם חרם כלכלי. ב-1360 קיים איוואן אלכסנדר כנס נוסף שכוון נגד הבוגומילים ובמסגרתו הוחלט שבמידה ויתפסו יהודים המטיפים להתגיירות או מחללים את הקדושים הנוצרים, הם יוצאו להורג. מספר חודשים לאחר הכנס הוטל על שלושה ילדים יהודים גזר דין מוות על שזילזלו בקדושים נוצרים. ילד אחד התנצר וזכה לחנינה, בשני בוצע לינץ' על ידי ההמון הנזעם והוא נהרג והשלישי נתלה עד צאת נשמתו.
איוואן סטפן, קיסר בולגריה
איוואן סטפן (בבולגרית Иван Стефан; 1300 -1373, נאפולי, ממלכת נאפולי), היה קיסר (צאר) האימפריה הבולגרית השנייה רק במשך שנה אחת 1330-1331.
על כס ממלכת בולגריה.
איוואן סטפן כיהן גם כקיסר משותף, ביחד עם אביו מיכאל שישמן בין השנים 1323-1324, אבל ברח לסרביה לאחר נישואיו השניים של מיכאל שישמן. עם מותו של מיכאל שישמן בשנת 1330, ובעזרת דודו, דספוט סרביה, החזיר לעצמו איוואן סטפן את כס האימפריה הבולגרית.
בשנת 1330 הביזנטים בראשות קיסר אנדרוניקוס השלישי, כבשו ערים רבות בתראקיה. כתוצאה אצילים ווסאלים ערכו הפיכה צבאית כנגד איוואן סטפן, אמו ואחיו, והם נאלצו לברוח לסרביה. איוואן אלכסנדר הוכרז כקיסר החדש וקיבל את כס ממלכת בולגריה. אחיו של איוואן סטפן, שישמן, ניסה ללא הצלחה להחזיר את הכיסא ב-1337 בסיוע מונגולים וביזנטים.
איוואן סטפן, עבר עם אימו לדרום איטליה עם אימו, שם חי תחת השם לודוויקוס, נישא לנסיכה מקומית וכנראה שהעמיד צאצאים. קיים תיעוד לגביו ממקורות ראשוניים, בו צוין שבשנת 1363 היה כלוא בעיר סיינה. לפי מקורות שניוניים, ניתן להסיק שאיוואן סטפן הלך לעולמו בשנת 1373, בעיר נאפולי, אשר בממלכת נאפולי.
המשכה אנליטית
פונקציה היא המשכה אנליטית של פונקציה אחרת אם היא מסכימה עם הפונקציה השנייה ואנליטית בתחום המכיל את התחום שבו אנליטית הראשונה.
הרעיון של המשכה אנליטית הוכלל בצורה מרחיקת לכת למושג האלומה. המשכות אנליטיות של פונקציות מרוכבות בכמה משתנים היוו את המוטיבציה הראשונית לפיתוח הקוהומולוגיה של אלומות.
הגדרה מתמטית.
אם formula_1 אנליטית ב- formula_2 ו- formula_3 אז formula_4 אנליטית על formula_5 נקראת המשכה אנליטית של formula_1 מ- formula_2 ל- formula_5 אם formula_9
משפט היחידות מבטיח כי כאשר יש המשכה אנליטית מתחום קשיר לתחום פתוח וקשיר, היא יחידה.
השערת ברץ' וסווינרטון-דייר
השערת ברץ' וסווינרטון-דייר היא השערה מרכזית על האריתמטיקה של עקומים אליפטיים, שנוסחה ב-1963 על ידי המתמטיקאים בראיין ברץ' (Birch) ופיטר סווינרטון-דייר (Swinnerton-Dyer). השערה זו היא בין הבעיות הפתוחות החשובות בתורת המספרים, והיא זכתה להכרה כאחת מ"שבע בעיות המילניום" של מכון קליי למתמטיקה.
ההשערה קושרת תכונות של פונקציית L של העקום, המוגדרת לפי התנהגות ההיטלים של העקום לשדות הסופיים מסדר ראשוני, עם מערכת הפתרונות הרציונליים של העקום עצמו.
הטלה של עקום אליפטי.
אחד הרעיונות היסודיים באריתמטיקה הוא שאפשר ללמוד אובייקט נתון על-פי ההתנהגות של היטלים שלו. במקרה של עקום אליפטי, כגון formula_1, ההיטל מודולו מספר ראשוני p הוא אוסף הנקודות בשדה הסופי formula_2, המקיימות את אותה משוואה. אחת התוצאות הבסיסיות בהקשר זה, החסם של הסה, חוסמת את מספר הפתרונות למשוואה בשדה סופי, וקובעת שמבין formula_3 הזוגות formula_4 האפשריים, מספר הפתרונות עומד בין formula_5 לבין formula_6. במילים אחרות, אם formula_7 הוא מספר הפתרונות (זהו "הגודל של העקום האליפטי formula_8"), אז הסקלר formula_9 מקיים formula_10. תיאור זה נכון עבור כל מספר ראשוני, פרט למספר סופי של יוצאי דופן (המחלקים את הדיסקרימיננטה של העקום).
פונקציית L של העקום.