פולנק היה חבר ב"קבוצת השישה" הצרפתית המפורסמת, יחד עם ז'ורז' אוריק, לואי דורה, ארתור הונגר, דריוס מיו וז'רמן טאייפר. ששת החברים בקבוצה הרדיקלית היו שונים זה מזה באישיות ובסגנון ומה שאיחד ביניהם היו זיקה לאריק סאטי וז'אן קוקטו, ידידות ורוח שנות ה-20. סאטי וקוקטו כאחד התנגדו לאימפרסיוניזם והטיפו תחת זאת לפשטות וצלילות ולהתרחקות מכוונת, קלת-דעת, מן הרומנטיות.
פולנק היה אדם חזותי מטבעו, ואמנות חזותית השפיעה עליו ונתנה לו מהשראתה במשך כל הקריירה שלו. בחלק מן המוזיקה שלו, למשל ב"חמש פואמות של פול אלואר", ניכר מאמץ מודע לצמצם את המורכבות לקווים פשוטים וברורים, כפי שדימה לראות בציוריו של אנרי מאטיס.
Rapsodie nègre של פולנק משנת 1917, שנכתבה לבריטון, פסנתר, רביעיית מיתרים, חליל וקלרינט כתובה להברות חסרות משמעות, שחיבר לצורך זה משורר ליברי שחור. היצירה, המוקדשת לסאטי, הביאה לסילוקו מן הקונסרבטואר הפריזאי.
יצירתו של פולנק נעה בין מוזיקה פופולרית קלה כדוגמת "טוטפות" (Cocardes) משנת 1919
ליצירות בעלות אופי דתי עמוק, מנוגדות לאסתטיקה של קוקטו. הוא אימץ לו את הטכניקות של תנועת הדאדא ויצר מלודיות, שהיו מתאימות לאולמות המוזיקה הפאריזאיים. פולנק ראה בוולגריות מקסימה תחליף נאות לרגשנות רומנטית מכל סוג שהוא.
כפסנתרן מחונן, הרבה פולנק לכתוב לכלי זה בראשית הקריירה שלו. הוא הרבה גם לשאול מחיבוריו הוא כמו גם מאלה של מוצרט וקאמי סן-סנס, בין היתר.
יצירתו "להטוטנים" Jongleurs הייתה נחשבת לראשונה, שנכתבה לכלי הקשה בלבד, אלמלא שימוש בחצוצרות סיניות בפרלוד שלה. בהמשך כתב אדגר וארז את Ionisation שלו לכלי הקשה בלבד וזכה בתואר הראשוניות.
ידידותו של פולנק עם משוררי אוואנגארד מובילים ברובע מונפארנס, כמו גיום אפולינר, מקס ז'אקוב ופול אלואר הניעה אותו לכתוב יותר מ-150 שירים אמנותיים לקול סולו, רבים מהם למילים שלהם. הוא ליווה בפסנתר לכל אורך חייו קבוצה נבחרת של זמרים, ביניהם הבריטון פייר ברנאק והסופרן הצרפתייה דניז דיוואל, שבה ראה את אחת ה"מוזות" שלו ולמענה כתב את "הקול האנושי".
פולנק כתב כמות גדולה של מוזיקה תזמורתית ויצירות כוראליות. בשנת 1936, לאחר התקרבותו מחדש לאמונה הקתולית, החל ליצור מוזיקה דתית, קודרת וחמורה יותר באופייה. רבים רואים ביצירות דת אלה את חיבוריו המשמעותיים ביותר, אם כי האטרקציה המוזיקלית העיקרית שלו באה לביטוי בכתיבת אופרות. לאופרה הראשונה שלו, שבוצעה באופרה-קומיק בפריז ב-1947, בחר ב"שדי טירסיאס" של אפולינר משנת 1917.
האופרה משנת 1957, "הדיאלוגים של הכרמליטיות", נכתבה בהזמנת ג. ריקורדי ושות' בשביל לה סקאלה. עלילת האופרה מספרת על הוצאתן להורג של נזירות כרמליטיות בתקופת המהפכה הצרפתית ומבוססת על ספרה של גרטרוד פון לה פורט, "האחרונה על הגרדום". האופרה האחרונה של פולנק הייתה טרגדיה בת מערכה אחת מאת ז'אן קוקטו, בשם "הקול האנושי". הצגת הבכורה שלה הייתה באופרה-קומיק בפריז ב-6 בפברואר 1959.
נוסף לשלוש האופרות שלו, חיבר פולנק כמה קונצ'רטי לעוגב, צ'מבלו ופסנתר, מיסות ומוזיקה קאמרית. יצירותיו לתזמורת מועטות. את הקונצ'רטו לצ'מבלו הזמינה אצלו ונדה לנדובסקה בשנת 1938. גם הקונצ'רטו לשני פסנתרים והקונצ'רטו לעוגב נכתבו לפי הזמנה.
פולנק נטה חיבה מיוחדת לכלי נשיפה מעץ ותכנן קובץ סונאטות לכולם, אך הספיק להשלים רק שלוש מהן: סונאטה לחליל (1956), סונאטה לאבוב (1962) וסונאטה לקלרינט (1962), יצירות המצטיינות ביופי אלגי ושלמות טכנית.
סכסופון
רמבם
המרחב המשיק
המרחב המשיק בגאומטריה דיפרנציאלית הוא מרחב וקטורי שנבנה על יריעה חלקה ומתפקד כ"קירוב ליניארי" של אותה יריעה באופן מקומי, במובן זה, שהוא מתאר את הכיוונים השונים שבהם ניתן להתקדם על היריעה. לכל נקודה formula_1 על היריעה יש מרחב משיק משלה שמסומן ב formula_2 אבל הואיל וכל המרחבים המשיקים הם מרחבים וקטורים באותו ממד, הם איזומורפיים זה לזה.
הגדרה.
הגדרה על ידי נגזרות כיווניות.
במרחב האוקלידי למונח "הכיוונים השונים שבהם ניתן להתקדם מהנקודה" יש פירוש אינטואיטיבי כמרחב כל הנגזרות הכיווניות בנקודה. זהו מרחב וקטורי שאיזומורפי למרחב האוקלידי עצמו (על ידי האיזומורפיזם הטבעי שמעביר את הנגזרת הכיוונית לפי הווקטור v לווקטור v עצמו). את מרחב הנגזרות הכיוונות בנקודה p ניתן להציג כאוסף של פונקציונלים:
משמעות התנאי היא ש-v הוא פונקציונל ליניארי על מרחב הפונקציות החלקות (formula_4), שמקיים בנוסף לליניאריות תנאי גזירה מסוים (שלעיתים מכונה "כלל לייבניץ") לגבי הפעולה שלו על מכפלה. אוסף זה מכונה המרחב המשיק בנקודה p ואיבריו מכונים וקטורים משיקים. ניתן לראות מההגדרה של האוסף שהוא מרחב ליניארי ומקיים, לפי כלל לייבניץ, שלכל וקטור משיק formula_5, כלומר כל הווקטורים המשיקים מתאפסים על פונקציות קבועות.
ההצגה הזו שנראית אולי מסורבלת במרחב האוקלידי מאפשרת ליצור הכללה ליריעות דיפרנציאליות כלליות בצורה טבעית ביותר- ביריעה M המרחב המשיק בנקודה p, הוא האוסף הבא:
כאשר formula_7 הוא אוסף הפונקציות החלקות על היריעה M. כמו במרחב האוקלידי זהו מרחב וקטורי בעל ממד ששווה לממד היריעה.
אם formula_8 מערכת קואורדינטות מקומיות בנקודה p אז הווקטורים המשיקים formula_9 הם בסיס למרחב המשיק בנקודה (כאשר הם מוגדרים
formula_10 ו- ti הוא הציר ה-i-י במערכת הצירים ב- formula_11).
ביריעות שגזירות רק k פעמים (כלומר שלכל שתי מפות הפונקציה formula_12 גזירה k פעמים אבל לא בהכרח חלקה) ההגדרה הנ"ל יכולה ליצור מרחב מממד אינסופי ולכן מגדירים את המרחב המשיק ביריעות האלו כמרחב שנפרש על ידי הווקטורים המשיקים formula_13 שמוגדרים באותה צורה.
הגדרה על ידי מסילות חלקות.
ניתן להגדיר את המרחב המשיק מכיוון יותר גאומטרי: אם נלך לאורך קו מסוים על היריעה (שניתן על ידי עקומה חלקה) וניקח פונקציה חלקה כלשהי, אז לאורך אותו עקום הפונקציה החלקה הזו תיוצג כפונקציה ממשית במשתנה אחד. את הפונקציה הזו אפשר לגזור בצורה הרגילה וכך לראות איך היא משתנה לאורך אותו קו (גדלה, קטנה וכו'). &lt;br&gt; באופן פורמלי: תהי formula_14 עקומה חלקה. נגדיר את הווקטור המשיק ל-formula_14 בנקודה formula_16 (על ידי הפעולה שלו על פונקציה חלקה):
זהו וקטור משיק (לפי ההגדרה הקודמת- כלומר פונקציונל ליניארי שמקיים את כלל לייבניץ). יתר על כן- כל וקטור משיק ניתן להצגה כמשיק של עקום חלק כלומר זו הגדרה שקולה להגדרה הקודמת של המרחב המשיק.
מבנים נוספים.
האגד המשיק.
האגד המשיק הוא איחוד כל המרחבים המשיקים על פני כל היריעה, מסומן ב formula_18. איחוד זה הוא איחוד זר כיוון שכל וקטור משיק שייך למרחב משיק של נקודה אחת בלבד, מעצם ההגדרה שלו (בעצם כל וקטור הוא מהצורה formula_19 כאשר formula_20 formula_21 ).&lt;br&gt; על האגד המשיק קיים מבנה טבעי של יריעה שנוצר על ידי המפות:formula_22 כאשר n הקוארדינטות הראשונות פועלות על p ו-n האחרונות על v, ו- formula_23 היא מפה שמכילה את p. האגד המשיק הוא יריעה חלקה בממד כפול מממד היריעה.&lt;br&gt;
פונקציות מהיריעה לאגד המשיק נקראות שדות וקטורים. כאשר הפונקציות האלו חלקות אומרים שזהו שדה וקטורי חלק (או formula_24) בדרך כלל מתעסקים בשדות וקטוריים חלקים בלבד וכאשר אומרים "שדה וקטורי" הכוונה היא לשדה וקטורי חלק אלא אם אומרים במפורש אחרת. לשדות הווקטוריים יש חשיבות בהכללת אלמנטים מהמרחב המשיק שבכל נקודה לאגד המשיק כולו בצורה חלקה, כמו במטריקת רימן ובמערכת משוואות דיפרנציאליות על יריעות. &lt;br&gt; אם formula_25 מערכת קואורדיטות מקומיות, אז ב-U ניתן להציג את השדה הווקטורי V על ידי:
מההצגה הזו ניתן לראות את השדות הווקטוריים כאופרטורים על הפונקציות החלקות שמהווים הרחבה של הווקטורים המשיקים הנקודתיים ליריעה כולה. (כאשר אם g היא הפונקציה formula_28 אז נגדיר formula_29 ומההצגה של השדה הווקטורי כסכום- g חלקה.)
האגד המשיק הוא מקרה פרטי של אגד וקטורי מעל היריעה.
המרחב הקו-משיק.
המרחב המשיק הוא מרחב וקטורי מממד סופי, ולכן המרחב הדואלי שלו הוא גם כן מרחב וקטורי מאותו ממד. מרחב זה נקרא המרחב הקו-משיק ומסומן Tp*M. באמצעות מרחב זה מגדירים את מושג האינטגרל על היריעה.
עבור כל פונקציה חלקה f הדיפרנציאל של f, שמסומן df, הוא וקטור במרחב הקו-משיק שמוגדר על ידי הפעולה שלו על הווקטורים המשיקים:
הבסיס הדואלי לבסיס formula_32 הוא formula_33 ולפי הנוסחאות של מרחבים דואליים מממד סופי:
קל לראות שכל וקטור קו-משיק ניתן להצגה כדיפרניציאל של פונקציה חלקה, ומכאן נובעת הגדרה שקולה למרחב הקו-משיק, על ידי פיתוח טיילור: &lt;br&gt;
נגדיר אידיאל בחוג formula_35 (חוג הפונקציות החלקות בסביבת הנקודה p) על ידי: &lt;br&gt;
זהו האידיאל של כל הפונקציות החלקות שמתאפסות ב-p. מתוכו ניקח אידיאל קטן יותר - formula_37 - שהוא האידיאל שנוצר על ידי כל הפונקציות שמתאפסות פעמיים כלומר כל הפונקציות שהן מכפלה של שתי פונקציות מ-formula_38. פונקציות אלו מאפסות כל וקטור משיק.&lt;br&gt;
ביריעה חלקה ניתן להציג כל פונקציה חלקה על ידי טור טיילור המתאים לה, לדוגמה עבור יריעה מממד 2: &lt;br&gt;
formula_39 כאשר formula_40. &lt;br&gt;
למעשה, בנוסחה למעלה הקואורדינטות x ו-y הן קואורדינטות מקומיות ולכן ההצבה שלהם בתוך הפונקציה f היא סימון מקוצר; f מקבלת ערכים מתוך היריעה עצמה ולא מהמישור האוקלידי, והכוונה היא לנקודה על היריעה שהקואורדינטות המקומיות שלה הן x,y.