בעזרת הרעיונות האלו, ניתן להסיק כי עקומה שלא מסתובבת כלל סביב לראשית היא בעלת אינדקס ליפוף אפס, ולעומת זאת, עקומה שמסתובבת בכיוון השעון סביב לראשית היא בעלת אינדקס סיבוב שלילי. לכן, אינדקס הסיבוב של עקומה יכול להיות כל מספר שלם. התמונות הבאות מראות עקומות עם אינדקסי סיבוב בין 2- עד 3:
הגדרה פורמלית.
ניתן להגדיר עקומה במישור על ידי הצגה פרמטרית:
formula_1
אם נחשוב על הפרמטר "t" כהזמן, אז המשוואות האלו מתארות את התנועה של אובייקט במישור בין הזמן והזמן . המסלול של התנועה הזאת היא עקומה כל עוד הפונקציות "(x(t" ו-"(y(t" הן רציפות. העקומה הזאת היא סגורה כל עוד התנועה של האובייקט היא זהה כאשר ו- .
אנחנו מגדירים את אינדקס הליפוף של עקומה כזאת בעזרת קואורדינטות פולריות. בהנחה שהעקומה אינה עוברת בראשית, ניתן לכתוב מחדש את המשוואות הפרמטריות בצורה פולרית:
formula_2
הפונקציות "(θ(t" ו-"(r(t" צריכות להיות רציפות, עם . מכיוון שהנקודות בהתחלה ובסוף הן זהות, ("θ"(0 ו-("θ"(1 צריכות להבדל בכפולה שלמה של 2"π". המספר השלם הזה הוא אינדקס הליפוף:
formula_3
זה מגדיר את אינדקס הליפוף של עקומה מסביב לראשית. בעזרת הזזה של מערכת הצירים, ניתן להרחיב את ההגדרה הזו לכלול מספרי ליפוף מסביב לכל נקודה "p."
הגדרות חלופיות.
אינדקס הליפוף מוגדר לעיתים קרובות בדרכים שונות בחלקים שונים במתמטיקה. כל ההגדרות להלן הן שקולות לזו שניתנת לעיל:
מספור אלכסנדר.
כלל קומבינטורי פשוט להגדרת אינדקס הליפוף הוצע על ידי אוגוסט פרדיננד מוביוס בשנת 1865, ושוב באופן בלתי תלוי על ידי ג'יימס ואדל אלכסנדר ה-2 בשנת 1928. כל עקומה מחלקת את המישור לכמות כלשהי של תחומים קשירים, כך שאחת מהן לא חסומה. אינדקסי הליפוף סביב שתי נקודות באותו התחום הם שווים. אינדקס הליפוף סביב לכל נקודה בתחום הלא חסום הוא אפס. לבסוף, אינדקסי הליפוף לכל שני תחומים סמוכים מובדלים בדיוק ב-1, כאשר התחום עם אינדקס הליפוף הגדול יותר מופיע בצד שמאל של העקומה (ביחס לכיוון התנועה במהלך העקומה).
גאומטריה דיפרנציאלית.
בגאומטריה דיפרנציאלית, מניחים לרוב שמשוואות פרמטריות הן גזירות (או לפחות גזירות למקוטעין). במקרה כזה, הארגומנט "θ "קשור לקואורדינטות "x" ו-"y" עם המשוואה:
formula_4
מהמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי ואינטגרלי, השינוי הכולל של "θ "שווה לאינטגרל של "dθ". לכן, אנחנו יכולים לבטא את אינדקס הליפוף של עקומה גזירה בעזרת האינטגרל המסילתי:
formula_5
חד-התבנית "dθ" (המוגדרת על המישור ללא הראשית) היא תבנית סגורה אבל לא מדויקת, והיא יוצרת את חבורת קוהומולוגיית דה-רהם הראשונה של המישור ללא הראשית. בפרט, אם "ω" היא חד-תבנית סגורה דיפרנציאבילית המוגדרת על המשלים לראשית, אזי האינטגרל של "ω" על מסילות סגורות נותן כפולה של אינדקס הליפוף.
אנליזה מרוכבת.
מספרי ליפוף משחקים תפקיד חשוב באנליזה מרוכבת (ראו את משפט השאריות). באנליזה מרוכבת, ניתן לבטא את אינדקס הליפוף של עקומה סגורה formula_6 במישור המרוכב בעזרת הקואורדינטות המרוכבות "z" = "x" + "iy". בפרט, אם נכתוב "z" = "reiθ", אזי:
formula_7
ולכן
formula_8
השינוי הכולל ב-(ln("r" הוא אפס, ולכן האינטגרל של "dz" ⁄ "z" שווה ל-"i" כפול השינוי הכולל ב-"θ". לכן, אינדקס הליפוף של עקומה סגורה formula_6 סביב לראשית ניתנת על ידי הביטוי
formula_10
באופן יותר כללי, אם formula_6 היא עקומה סגורה הנתונה בפרמטריזציה עבור formula_12, אינדקס הליפוף של formula_6 סביב ל-formula_14, הידוע גם כהאינדקס של formula_6 ביחס ל-formula_14, מוגדרת עבור כל מספר מרוכב formula_17, ושווה לביטוי
formula_18
זה מקרה פרטי של נוסחת האינטגרל של קושי.
חלק מהתכונות הבסיסיות של אינדקס ליפוף במישור המרוכב נתונות על ידי המשפט הבא:
משפט. תהי formula_19 מסילה סגורה ויהיה formula_20 המשלים של התמונה של formula_6, כלומר, formula_22. אזי אינדקס הליפוף של formula_14 ביחס ל-formula_6, הוא:
formula_25
בנוסף, מתקיים כי:
(א) האינדקס הוא מספר שלם. כלומר, formula_26 לכל formula_27.
(ב) האינדקס קבוע על כל רכיב קשירות (תת-קבוצה קשירה מקסימלית) של formula_20.
(ג) האינדקס הוא אפס אם formula_14 נמצא ברכיב הלא חסום של formula_20.
כמסקנה מיידית של המשפט, ניתן לקבל את אינדקס הליפוף של עקומה מעגלית formula_6 סביב נקודה formula_14. כמצופה, אינדקס הליפוף סופר את כמות הפעמים ש-formula_6 מסתובב סביב formula_14 (נגד כיוון השעון).
מסקנה. אם formula_6 היא העקומה המוגדרת על ידי formula_36, אזי מתקיים: formula_37.
טופולוגיה.
בטופולוגיה, אינדקס הליפוף הוא מונח חלופי לדרגה של העתקה רציפה. בפיזיקה, אינדקסי ליפוף לרוב נקראים מספרים קוונטים טופולוגיים. בשני המקרים, ההגדרה מבוססת על אותו הרעיון.
לדוגמה לעיל של עקומה המסתובבת סביב נקודה יש פירוש טופולוגי פשוט. המשלים של נקודה במישור שקול הומוטופית למעגל, כך שצריך להתייחס רק לפונקציות מהמעגל לעצמו. ניתן להראות שכל מפה כזאת היא הומוטופית לאחת המפות הסטנדרטיות formula_38, כאשר כפל במעגל מוגדר עם הזיהוי שלו עם מעגל היחידה המרוכב. קבוצת מחלקות ההומוטופיה מהמעגל למרחב טופולוגי יוצרים חבורה, שנקראת חבורת ההומוטופיה הראשונה, או החבורה היסודית, של המרחב. החבורה היסודית הראשונה של המעגל הוא קבוצת המספרים השלמים, Z, ואינדקס הליפוף של עקומה מרוכבת מזוהת עם מחלקת ההומוטופיה שלה.
פונקציות מה-3-ספירה לעצמה לפעמים גם כן מזוהות עם מספר שלם, שגם כן לפעמים נקרא אינדקס ליפוף, ולפעמים מחלקת פונטריאגין.
מצולעים.
במצולעים, אינדקס הליפוף נקרא לפעמים צפיפות המצולע. עבור מצולעים קמורים, ובאופן יותר כללי, עבור מצולעים פשוטים (שלא חותכים את עצמם) הצפיפות היא 1, ממשפט ז'ורדן על עקומות. בניגוד לכך, עבור הכוכב המשוכלל "{p/q}", הצפיפות שווה ל-"q".
אינדקס סיבוב.
ניתן גם לחשוב על אינדקס הליפוף של עקומה ביחס למשיק לעקומה עצמה. כעקומה ביחס לזמן, הדבר יתן את אינדקס הליפוף ביחס לראשית של ווקטור המהירות. במקרה של הדוגמה המצוירת בהתחלה, אינדקס הסיבוב יהיה 3, מכיוון שסופרים גם כן את הלולאה הקטנה.
זה מוגדר רק עבור עקומות שהן תמונות של אימרסיה (כלומר, עבור עקומות גזירות עם נגזרת שאף פעם לא מתאפסת), והוא שווה למעלה של מפת גאוס המתאים לעקומה.
זה נקרא אינדקס הסיבוב, והוא ניתן לחישוב בעזרת העקמומיות הכוללת חלקי 2"π".
אינדקס ליפוף ומשוואות הייזנברג על פרומגנטיות.
לבסוף, שימו לב כי אינדקס הליפוף קשור למשוואות הפרומגנטיות הרציפות של הייזנברג ה--ממדיות, ולהרחבות האינטגרביליות שלו (כגון משוואת Ishimori). הפתרונות של המשוואה הזו מתוארות על ידי אינדקס הליפוף (המספר הקוונטי הטופולוגי).
העמסת סוכר
פורמולה 1 עונת 1961
עונת 1961 היא העונה ה-12 של אליפות הפורמולה 1 שאורגנה על ידי הפדרציה הבינלאומית לרכב (FIA). במהלך העונה התקיימו שמונה מרוצים. פיל היל הוכתר כאלוף הנהגים לאחר שיריבו על התואר וולפגנג פון טריפס נהרג בתאונה במהלך הגרנד פרי האיטלקי. פרארי, קבוצתו של היל, זכתה לראשונה באליפות היצרנים.
תקציר העונה.
בעונה זאת נעשה לראשונה שימוש במנועי 1.5 ליטר. רכבי פרארי ניצחו חמישה מתוך שמונה מרוצים בעונה. ארבעה ניצחונות הושגו על ידי נהגי הפרארי פיל היל ווולפגנג פון טריפס. ניצחון נוסף הושג בגרנד פרי צרפת על ידי ג'יאנקרלו בגאטי, שהתחרה באופן עצמאי. עבור בגאטי היה זה מרוץ הבכורה באליפות. המאבק על תואר האליפות בין צמד נהגי פרארי הסתיים בצורה טראגית לאחר שפון טריפס נהרג לאחר התנגשות בג'ים קלארק במהלך גרנד פרי איטליה. בתאונה נהרגו פון טריפס ו-14 צופים שעמדו בסמוך למסלול.
מלבד פון טריפס במהלך העונה נהרגו 2 נהגים נוספים: שיין סאמרס, שנהרג במרוץ שלא נכלל בסבב האליפות במסלול ברנדס האטץ' וג'וליו קבינקה שנהרג במהלך נסיעת מבחן במסלול מודנה.
דירוג האליפות.
שיטת הניקוד.
הנקודות בכל מרוץ הוענקו לנהגים שסיימו באחד מששת המקומות הראשונים. הניקוד למנצח המרוץ שונה משמונה נקודות בעונות הקודמות לתשע נקודות. בחישוב נקודות האליפות הובאו בחשבון 5 התוצאות הטובות ביותר בלבד. הנקודות המופיעות בסוגריים כוללות את סך הנקודות שהושגו בעונה.
דירוג היצרנים.
עונה זאת הייתה העונה הרביעית של אליפות היצרנים. חלוקת הנקודות התבצעה בדומה לאליפות הנהגים. הניקוד ניתן ליצרן, בהתאם לתוצאה הגבוהה ביותר שהשיגו נהגי הקבוצה בכל מרוץ.
שירות בתי הסוהר הממלכתי של אוקראינה
שירות בתי הסוהר הממלכתי של אוקראינה (באוקראינית: Державна кримінально-виконавча служба України, בקיצור ДКВС; מילולית: השירות הממלכתי לביצוע פלילי) הוא הגוף המרכזי של הרשות המבצעת באוקראינה בעלת מעמד מיוחד, המהווה את היחידה המרכזית לניהול מערך הענישה ובתי הכלא של אוקראינה. פעילות השירות מתואמת ומפוקחת על ידי משרד המשפטים של אוקראינה והוא אחראי לניהול כל מתקני המאסר והכליאה במדינה.
היסטוריה.
השירות הוקם בשנת 1996 כיורש לגוף הכליאה הסובייטי, מינהל בתי הסוהר הראשי וקיבל את השם המחלקה הממלכתית לענייני כליאה של משרד הפנים.
בשנת 2010 אורגן מחדש ובשנת 2016 הועבר לאחריות משרד המשפטים ומוזג אל תוכו ובשנת 2017 אומנם הוענקו לו סמכויות חקירה עצמאיות, אך נושל מעמדו כגוף עצמאי.
שירות ההגירה הממלכתי של אוקראינה