על-פי ההגדרה, חבורת אוילר היא חבורת האיברים ההפיכים של החוג formula_28. אם המספרים formula_1 ו-formula_30 זרים זה לזה, אפשר להוכיח באמצעות משפט השאריות הסיני, בין אם באופן ישיר ובין אם בעזרת הזהות formula_31, את האיזומורפיזם formula_32. מכאן יוצא שכדי לתאר את חבורת אוילר כמכפלה של חבורות ציקליות, די לתאר חבורה זו עבור formula_1 שהוא חזקת ראשוני.
כאשר formula_34 ראשוני, חבורת אוילר formula_35 היא ציקלית. לדוגמה, החבורה formula_36 נוצרת על ידי 2. לעובדה שתמיד קיימים יוצרים קטנים יחסית של החבורה יש חשיבות רבה במבחני ראשוניות. טענה זו, על הציקליות של formula_35, היא מקרה פרטי של משפט כללי יותר - תת-חבורה כפלית, סופית, של שדה היא תמיד ציקלית. כדי להוכיח את הטענה, יש להבחין כי למשוואה formula_38 יש (בשדה) לכל היותר formula_39 פתרונות; מצד שני, אם formula_39 מחלק את formula_41, אז הפולינום formula_42 מחלק את הפולינום formula_43, וכך אפשר לראות שלמשוואה יש בדיוק formula_39 פתרונות. אם formula_45 יסמן את מספרם של המספרים שסדרם שווה ל-formula_39, אפשר להוכיח באינדוקציה על formula_39 את השוויון formula_48.
כדי לראות שחבורת אוילר ציקלית גם עבור חזקות formula_49, די להצביע על איבר מסדר formula_50 (מכפלתו של איבר כזה באיבר מסדר formula_41 היא מסדר formula_52). ואכן, כאשר formula_34 אי-זוגי, האיבר formula_54 הוא כזה. לדוגמה, בחבורה formula_55, האיבר 2057 הוא מסדר 4, ואילו 6 מסדר 625. המכפלה, 2967, יוצרת את החבורה.
במקרה של חזקת 2 החבורה אינה ציקלית, ובמקום זה formula_56 (כאשר formula_57). את החבורה יוצרים המספרים formula_58.
כך אפשר לפרק את חבורת אוילר באופן כללי. למשל,
formula_59, ומכאן שהאקספוננט של חבורה זו הוא formula_60. במילים אחרות, לכל a שאינו מתחלק ב-2 או ב-5, מתקיים formula_61, והמספר 80 הוא הקטן ביותר בעל תכונה זו.
את האקספוננט של חבורת אוילר מסדר formula_1 מסמנים ב-formula_63, בעוד שפונקציית אוילר של formula_64 מתקבלת מהכפלת כל המספרים formula_65, הפונקציה formula_66 שווה לכפולה המשותפת המינימלית של כל המספרים האלה (לאחר שהגורם formula_67 מוחלף ב-formula_68, אם formula_69).
טום לרר
תומאס אנדרו "טום" לרר (באנגלית: Thomas Andrew "Tom" Lehrer; נולד ב-9 באפריל 1928) הוא זמר-יוצר, משורר ומלחין, סאטיריקן, פסנתרן ומתמטיקאי יהודי-אמריקאי, הידוע בשיריו ההומוריסטיים ובהופעותיו הקומיות בתחילת שנות ה־60.
האקדמיה.
לרר קיבל תואר ראשון במתמטיקה (בהצטיינות יתרה) באוניברסיטת הרווארד בשנת 1947, בגיל 18 ונבחר כחבר אחוות פי בטא קפא. שנה לאחר מכן קיבל תואר שני. הוא לימד בהארוורד, MIT ובמכללת ולסלי. הוא נשאר בהרווארד לתוכנית הדוקטורט, עם הפסקות לקריירה המוזיקלית שלו ולעבודה כחוקר במעבדה הלאומית לוס אלמוס שבניו מקסיקו. הוא התגייס לצבא האמריקאי משנת 1955 עד 1957, ועבד ב-NSA. כל ההתנסויות האלה הפכו במרוצת השנים לשירים.
ב-1960 חזר להארוורד, אך לא סיים את הדוקטורט שלו מעולם. ב־1972 הצטרף לסגל אוניברסיטת קליפורניה בסנטה קרוז ולימד קורס מבוא בפקולטה למדעי הרוח בשם "טבעה של המתמטיקה" ("The Nature of Mathematics") או כפי שהוא כינה אותו, "מתמטיקה לטנורים" ("Math for Tenors"). הוא גם לימד קורס בתיאטרון מוזיקלי. השמועה הייתה כי בשנים מאוחרות יותר לימד קורסים אלה תחת שם בדוי וגירש מהם את כל מי שקרא לו בשמו האמיתי, כשמטרתו הייתה להפיץ שמועות על מותו ולצוץ יום אחד ולהכריז כי "השמועות על מותי היו מוקדמות מדי" (ציטוט של מארק טוויין).
המוזיקה.
בימיו כסטודנט החל לרר לכתוב שירים מצחיקים כדי לשעשע את חבריו - למשל "Fight Fiercely, Harvard", על קבוצת הפוטבול של האוניברסיטה שלו. שירים אלה קובצו להופעתו הראשונה, "The Physical Revue" (פרודיה על שמו של כתב העת המדעי החשוב Physical Review). שירים אלה כללו, למשל, שירת כל היסודות בטבלה המחזורית למנגינת "Modern Major General" של גילברט וסאליבן.
על סמך הצלחת ההופעות, לרר הקדיש זמן להקלטות אולפן של האלבום "Songs by Tom Lehrer" שנמכר בהזמנה בדואר. ללא מימון או פרסום, האלבום הצליח באמצעות שמועות מפה לאוזן. על סמך זאת, יצא לרר לסיבוב הופעות נוסף, וגם הקליט אלבום נוסף בשתי גרסאות: "More Songs by Tom Lehrer" היה גרסת אולפן, בעוד ש־"An Evening Wasted With Tom Lehrer" היה הקלטה חיה של הופעה, ובו כל שיר הופיע עם הקדמה קצרה (פחות או יותר) לקהל.
בשנות ה־60 המוקדמות, פרש מסיבובי ההופעות, אותם תיעב, ונשכר ככותב שירים לתוכנית סאטירה בשם "That Was The Week That Was". רבים משיריו בתקופה זו היו פוליטיים, ותקפו נושאים שעמדו בראש הפרק כמו זיהום אוויר, גזענות, מיליטנטיות אמריקאית והתחמשות גרעינית, כולם באותה סאטירה חדה ומשעשעת של שיריו עד אותה העת. מגוון שירים מאלו הופיעו באלבומו "That Was The Year That Was".
השמועה מספרת כי בהופעתו האחרונה התחיל לשיר את "Fight Fiercely, Harvard" מהבית השני. הוא הבין את טעותו, הפסיק, והתחיל לנגן שוב. שוב הוא התחיל לשיר מהבית השני. הוא התרגז, וזעף על הקהל, "אתם ממילא יודעים את זה יותר טוב ממני," וביטל את שאר הופעותיו עקב היותו סנילי מדי.
אגדה נוספת מספרת כי הפסיק לכתוב סאטירה פוליטית כשהנרי קיסינג'ר קיבל את פרס נובל לשלום ב־1973. לרר צוטט באומרו כי הענקת הפרס לקיסינג'ר הפכה את הסאטירה הפוליטית לחסרת-רלוונטיות. הוא גם טען כי הפסיק לכתוב סאטירה מספר שנים לפני כן.
השנים שאחרי.
בשנות ה־70 ריכז לרר את מאמציו בלימוד בקליפורניה. הוא גם כתב מספר שירים חינוכיים עבור תוכנית הטלוויזיה לילדים "The Electric Company".
בתחילת שנות ה־80, מפיק מחזות הזמר קמרון מקינטוש העלה לבמה את ההצגה "Tom Foolery" בלונדון. "Tom Foolery" הייתה אוסף של שיריו של לרר, והייתה להצלחה מסחררת. לרר תמך בהצגה, ואף שכתב מספר שירים עבורה.
בשנת 1998, בחגיגת 30 שנה להפקותיו של קמרון מקינטוש, הסכים לרר להופיע באופן חד פעמי ומפתיע ביותר למעריציו עם שירו "Poisoning Pigeons in the Park". הוא הוסע אל הבמה על פסנתר נוסע, ודיבר על מקינטוש ויצירת "Tom Foolery", בסגנון ההקדמות לשירים מהופעותיו 30 שנה לפני כן. הוא אמר:
"Tom Foolery" was a huge success. And after "Tom Foolery" came "Cats", and the combined profits of "Tom Foolery" and "Cats" made him a very wealthy man. And as I went from adolesence to senility, hoping to bypass maturity, he went from rags to riches. But as someone who knew him way back when, I can say he had exquisite taste in rags.
בשנת 2000, חברת Rhino Entertainment הוציאה אלבום כפול בשם "The Remains of Tom Lehrer". הוא כלל גרסאות מוקלטות וחיות משני אלבומיו הראשונים, "That Was The Year That Was", והשירים שכתב עבור "The Electric Company", וכן חומרים שלא פורסמו מעולם. האלבום כלל חוברת עם המילים לכל השירים והקדמה על ידי Dr. Demento.
באוקטובר 2020 הודיע לרר באתר האינטרנט שלו כי כל מילות השירים שכתב אשר מופיעות באתר מותרות להורדה חופשית כאילו היו נחלת הכלל עד 31 בדצמבר 2024.
טריוויה נוספת.
בזמן הופעותיו נהג לרר לצטט משפטים מהביקורות השליליות על שיריו. דוגמאות אלה הגיעו לעטיפות אלבומיו:
רשימת אלבומים.
שירים רבים נוספים שחוברו על ידי לרר מבוצעים על ידי אנשים אחרים ב־"That Was "That Was The Week That Was"" שיצא ב-1981.
טום לרר בעברית.
טום לרר תורגם לעברית על ידי מספר מתרגמים ובהם: קובי לוריא, דן אלמגור, יהונתן גפן ונתן אלתרמן.
"בלדה אירית" ("The Irish ballad") תורגם על ידי אלתרמן ולוריא. השיר, בתרגום האחרון, בוצע על ידי שלישיית פיקוד צפון - חוה אלברשטיין, חיותה דביר ומירי פליקס ב-1966. באותו מופע שרו השלישייה גם את "שיריטיטים" בתרגום דידי מנוסי.
"טנגו מזוכיסטי" תורגם על ידי דן אלמגור ובוצע על ידי יהורם גאון ב-1969.
לוריא עיבד שירים שתרגם למחזמר "פצצת תום" (תרגום של משחק המילים TomFoolery). המופע, בכיכובו של דורי בן זאב ובהשתתפותו של איקה זהר, הוצג ב-1987. יזם וביים דן רונן.
תרגומיו של לוריא יצאו לאור בספר "שירים של טום לרר" ובדיסק "שירים ועוד שירים של טום לרר".
תיאטרון בית לסין העלה מופע שנקרא "אמנים שרים טום לרר" על פי תרגומי יהונתן גפן.
בשנת 2006 העלה תיאטרון הספרייה של בית צבי "ערב שירי טום לרר" בבימוי משה קפטן ודוקי עצמון.
אנסיפרום
אנסיפרום היא להקת פולק מטאל/ויקינג מטאל מהלסינקי שבפינלנד.
היסטוריה.
אנסיפרום נוסדה ב-1995 על ידי מרקוס טויונן (גיטרה חשמלית), סאולי סבוליינן (גיטרה בס) וקימו מייטינן (תופים). שם הלהקה לקוח מהשפה הלטינית ופירושו "חוגר חרב". ב-1996 הצטרף ללהקה יארי מאנפה, בגיטרה ובשירה). הדמו הראשון של הלהקה אשר הכיל שלושה שירים יצא בשנת 1997 .
בשנת 1998 עזבו סאולי וקימו את הלהקה והוחלפו באחיו של קימו, יוקה-פקה, ואוליבר פוקין. ב-1999 יצאו עוד שני דמואים אשר הכילו תשעה שירים, ובשנת 2000 חתמו על חוזה עם ספיינפארם רקורדס (Spinefarm Records) והחלו לעבוד על האלבום המלא הראשון שלהם Ensiferum שיצא באוגוסט 2001. באותה שנה הצטרפה ללהקה מייו אנהו (קלידים).