בפיזיקה מתמטית, קירוב WKB או שיטת WKB היא שיטת קירוב ליניארי לצורך מציאת פתרונות של משוואות דיפרנציאליות חלקיות עם מקדמים המשתנים במרחב. בדרך כלל, נעשה שימוש בשיטה זו עבור חישוב סמי-קלאסי במכניקה קוונטית, שבו פונקציית הגל מתנהגת כפונקציה אקספוננטציאלית, המתפשטת סמי-קלאסית במרחב ואשר או המשרעת או הפאזה של פונקציה זו משתנים באופן איטי.
מקור השם WKB הוא בראשי תיבות של המדענים ונצל-קרמרס-ברילואן (Wentzel–Kramers–Brillouin). קירוב זה ידוע גם כקירוב LG או קירוב ליוביל-גרין (Liouville–Green). לעיתים הוא נקרא  JWKB או WKBJ כאשר ה-J מתייחסת לג'פרי (Jeffreys).
היסטוריה.
קירוב WKB קרוי על שם הפיזיקאים: גרגור ונצל, הנס קרמרס ולאון ברילואן (Wentzel–Kramers–Brillouin), אשר פיתחו אותה בשנת 1926.
בשנת 1923, פיתח המתמטיקאי הבריטי הרולד ג'פרי שיטה כללית של קירוב לפתרונות משוואות ליניאריות דיפרנציאליות מסדר שני. שנתיים מאוחר יותר פותחה משוואת שרדינגר וונצל, קרמרס, וברילואן שלא היו מודעים לעבודה המוקדמת של ג'פרי, פיתחו קירוב ליניארי כללי שניתן ליישמו כפתרון למשוואת שרדינגר.
מקורות מוקדמים יותר לשיטה ניתן למצוא בעבודתם של : קרליני (1817), ליוביל (1837), גרין 1837, ריילי (1912) וגנז בשנת 1915. יש הסבורים כי ניתן לזהות את ז'וזף ליוביל וג'ורג' גרין כאבות השיטה ולכן קירוב זה ידוע גם כקירוב LG או קירוב ליוביל-גרין (Liouville–Green).
תרומתם של ונצל, קרמרס, וברילואן לשיטה הייתה הכללת הטיפול של נקודות מפנה , על ידי "תפירת" הפתרונות התנודתיים והזמניים משני צדי נקודת המפנה. לדוגמה, פתרון משוואת שרדינגר עם גבעת אנרגיה פוטנציאלית (אזור סביב מקסימום מקומי של אנרגיה פוטנציאלית).
שיטת WKB.
באופן כללי, תאוריית WKB היא שיטה למציאת קירוב לפתרון משוואות דיפרנציאליות אשר נגזרתה הגבוהה ביותר מוכפלת בפרמטר קטן, formula_1:
formula_2
מניחים פתרון בצורת הרחבה לטור אסימפטוטי:
formula_3
בגבול שבו formula_4.
דוגמה.
מניחים משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר שני כגון:
formula_5
כאשר formula_6.
מציבים:
formula_7
ומקבלים:
formula_8
עבור הסדר המוביל, אפשר לקרב את משוואה formula_9 :
formula_10
בגבול שבו formula_4, האיבר הדומיננטי ניתן על ידי:
formula_12
כך ש-formula_13 פרופורציונלי ל-formula_1.
הצבת 2 גדלים אלו כשווים והשוואת החזקות של formula_1 ב"סדר 0" מניבה:
formula_16
המוכרת כמשוואה איקונלית עם הפתרון:
formula_17השוואת החזקות של formula_1 בסדר הראשון קובעת:
formula_19
המוכרת כמשוואת מעבר עם הפתרון:
formula_20
כאשר formula_21 הוא קבוע שרירותי.
מאחר ש-formula_22 יכול להיות הן חיובי והן שלילי, קירוב WKB של formula_23 בסדר ראשון יהיה צירוף ליניארי של זוג פתרונות כדלהלן:
formula_24
ניתן לקבל פתרונות לסדרים גבוהים יותר formula_25 על ידי חישוב דומה של:
formula_26
יישום עבור משוואת שרדינגר.
משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן במימד אחד היא:
formula_27
ניתן לכתוב משוואה זו בצורה אחרת:
formula_28
פונקציית הגל ניתנת להגדרה על ידי אקספוננט של פונקציה אחרת, "formula_29" (המשויכת לפעולה), אשר יכולה להיות גם פונקציה מרוכבת:
formula_30
כך ש:
formula_31
כאשר "formula_32" היא הנגזרת של "formula_29" לפי "formula_34".
הנגזרת "formula_32", יכולה להתפצל לחלק ממשי ולחלק מדומה הכוללים את הפונקציות הממשיות "formula_36" ו-"formula_37":
formula_38
ואז משרעת פונקציית הגל היא formula_39 ואילו הפאזה היא: formula_40.
משוואת שרדינגר מתחלקת ל-2 משוואות: אחת עבור החלק הממשי formula_41 ואחת עבור החלק הדמיוני formula_42 כדלהלן:
formula_43
formula_44
לאחר מכן, משתמשים בקירוב הסמי-קלאסי, קירוב WKB. משמעות הדבר היא כי כל פונקציה מפותחת כטור חזקות של קבוע פלאנק המצומצם, formula_45. מתוך המשוואות לעיל, ניתן לראות כי טור החזקות חייב להתחיל עם סדר של formula_46 כדי להתאים לחלק הממשי של המשוואה.
על מנת להשיג גבול קלאסי טוב, יש צורך להתחיל עם חזקה גבוהה של קבוע פלאנק המצומצם, formula_45 ככל האפשר:
formula_48
formula_49
עבור "סדר 0" ניתן להביע את "formula_36" ו-"formula_37" כך:
formula_52
formula_53
הנגזרות הראשונות "formula_54" ו-"formula_55" נמחקו מאחר שהן כוללות פקטורים מסדר גודל של formula_46 הגבוה יחסית לסדר הדומיננטי formula_57.
מצד אחד, אם המשרעת משתנה לאט יחסית בהשוואה לפאזה formula_58, אזי מקבלים:
formula_59
המשוואה שלעיל, formula_60, תקפה רק כאשר האנרגיה הכללית גדולה יותר מהאנרגיה הפוטנציאלית formula_61, כפי שקורה תמיד בתנועה קלאסית.
אחרי ביצוע תהליך דומה לסדר הבא בפיתוח לטור חזקות, מקבלים כפתרון למשוואת שרדינגר את פונקציית הגל:
formula_62
מצד שני, אם הפאזה משתנה לאט יחסית בהשוואה למשרעת formula_63, אזי מקבלים:
formula_64
המשוואה שלעיל, formula_65, תקפה רק כאשר האנרגיה הפוטנציאלית גדולה יותר מהאנרגיה הכללית formula_66, כפי שקורה תמיד במנהור קוונטי.
אחרי ביצוע תהליך דומה לסדר הבא בפיתוח לטור חזקות, כמקודם, מקבלים כפתרון למשוואת שרדינגר את פונקציית הגל:
formula_67
2 הפתרונות המקורבים למשוואת שרדינגר, הן formula_68 והן formula_69, נעשים סינגולריים בנקודת המפנה או נקודת ה"תפר", כאשר formula_70 ולכן אינם תקפים בנקודה זו.
תקפות הקירובים היא מעל ומתחת גבעת הפוטנציאל. מעל גבעת הפוטנציאל החלקיק מתנהג כגל חופשי - פונקציית הגל אוסצילטורית. מתחת גבעת הפוטנציאל החלקיק עובר שינויים אקספוננטציאלים במשרעת.
על מנת להבטיח את הגלובליות של קירוב WKB עבור משוואת שרדינגר הכוללת גבעת פוטנציאל נדרש למצוא פתרון מקורב בנקודות המפנה שבהן formula_70. הדבר נעשה בדרך הבאה:
עבור נקודת המפנה הקלאסית, formula_72 וקרוב ל- formula_73, הביטוי formula_74 ניתן לפיתוח כטור חזקות:
formula_75
עבור הסדר הראשון מתקבל:
formula_76
משוואה דיפרנציאלית זו ידועה כמשוואת איירי וניתן להביע את פתרונה במונחים של פונקציית איירי:
formula_77
"תפירת" פתרון זה עם 2 הפתרונות המקורבים מעל ומתחת גבעת הפוטנציאל נעשית על ידי מציאת היחס בין המקדמים השונים, formula_78 ו-formula_79. מאחר שפונקציות איירי בגבול האסימפטוטי, הופכות לפונקציות אקספוננטציאליות כגון: סינוס וקוסינוס, ניתן להביע את היחס בין המקדמים השונים דרך "פונקציות הקשר":
formula_80
formula_81
לסיכום, מתקבל פתרון מקורב גלובלי עבור משוואת שרדינגר הכוללת גבעת פוטנציאל.
קולות הלב (אלבום)
קולות הלב הוא אלבום האולפן הרביעי של גלעד שגב.
האלבום יצא בשנת 2013. מתוך האלבום יצאו כמה סינגלים שהיו ללהיטים: קולות הלב, אף אחד ויום קדוש.
ויטוריו אמדאו השני, מלך סרדיניה
ויטוריו אמדאו השני, מלך סרדיניה (באיטלקית: Vittorio Amadeo II) (14 במאי 1666 – 31 באוקטובר 1732) היה דוכס סבויה מ-1675, מלך סיציליה מ-1714 ומלך סרדיניה מ-1718 עד לשנת 1730.
ביוגרפיה.
ויטוריו אמדאו נולד ב-14 במאי 1666 בטורינו, לקרלו אמנואלה השני, דוכס סבויה ולמריה ג'ובאנה בפטיסטה מסבויה-נאמור, בתם של קרלו אמדאו, דוכס נאמור ואליזבת דה בורבון.
בשנת 1675 מת אביו קרלו אמנואלה השני, דוכס סבויה, וויטוריו אמדאו עלה לשלטון במקומו. בתחילה שימשה אמו כעוצרת הדוכסות, אולם בשנת 1684 תפס ויטוריו אמדאו את השלטון, וגירש את אמו משטחי הדוכסות. ויטוריו אמדאו הנהיג בשטחי הדוכסות משטר אבסולוטי, ודיכא בכוח את המרידות נגדו. על אף נישואיו לאן מארי ד'אורליאן שהייתה נסיכה צרפתית, ביקש ויטוריו אמדאו להשתחרר מהתלות בממלכת צרפת, והצטרף לקואליציה הגדולה נגד לואי הארבעה עשר, מלך צרפת, ולחם נגדו במהלך מלחמת תשע השנים, אולם, בשנת 1696 ניצל ויטוריו אמדאו את התנאים המדיניים, וחתם על חוזה שלום נפרד בתנאים נוחים עם צרפת. במהלך מלחמת הירושה הספרדית הצטרף בתחילה ויטוריו אמדאו לצרפת, אולם, בשנת 1703 עבר לצידו של בית הבסבורג, ולצבאו היה חלק בניצחונו של הנסיך אויגן מסבויה בקרב טורינו בשנת 1706. בשלום אוטרכט בשנת 1713 קיבל ויטוריו אמדאו תוספת שטחים נרחבה לנחלותיו, וביניהם האי סיציליה, ואף הוכתר כמלך. בשנת 1718 נאלץ ויטוריו אמדאו למסור את סיציליה לידי קרל השישי, קיסר האימפריה הרומית הקדושה, אך קיבל בתמורה את סרדיניה, ועל ידי כך הקים בשנת 1720 את ממלכת סרדיניה.
ב-3 בספטמבר 1730 הדיח קרלו אמנואלה השלישי, מלך סרדיניה את ויטוריו אמדאו ועלה לשלטון במקומו, וב-31 באוקטובר 1732 מת ויטוריו אמדאו בטורינו.
משפחתו.
ב-10 באפריל 1684, התחתן ויטוריו אמדאו עם אן מארי ד'אורליאן, בתם של פיליפ הראשון, דוכס אורליאן והנרייטה אן, נסיכת אנגליה. לזוג נולדו תשעה ילדים, מתוכם שלושה מתו עם לידתם. ששת הילדים הנותרים היו:
ב-12 באוגוסט 1730 התחתן קרלו אמנואלה עם אנה קנאליס די קומיאנה, בתו של פרנצ'סקו מאוריציו קנאליס ופרנצ'סקה מוניקה סן מרטינו ד'אלייה, אך לא היו לו ממנה ילדים.
בנוסף, היו לוויטוריו אמדאו כמה ילדים לא חוקיים מפילגשיו השונות.
ניקלאס ינסן
ניקלאס כריסטיאן מונברג ינסן (באנגלית: Niclas Christian Monberg Jensen, נולד ב-17 באוגוסט 1974 בקופנהגן שבדנמרק) הוא כדורגלן עבר דני ששיחק בעמדת המגן השמאלי. ינסן הצליח במיוחד בקבוצת פ.צ. קופנהגן, עמה זכה בשלוש אליפויות של ליגת העל הדנית ובגביע הדני. לינסן 62 הופעות במדי נבחרת דנמרק, עמה השתתף במונדיאל 2002 וביורו 2004.
ניקלאס ינסן הוא אחיו הגדול של דניאל ינסן, גם הוא כדורגלן עבר דני בינלאומי.
קריירת מועדונים.