התמרת לפלס היא התמרה אינטגרלית: פונקציה המקבלת פונקציה (ממשית או מרוכבת) ומחזירה פונקציה מאותו סוג. ההתמרה היא טרנספורמציה ליניארית ממרחב הפונקציות הממשיות לעצמו (למעשה, הטרנספורמציה מוגדרת רק בתנאים מסוימים, כפי שיתואר בהמשך). ייחודה בכך שהיא מקיימת את הזהות formula_8, וכך היא הופכת נגזרת לכפל במשתנה, תכונה המקלה על ניתוח של מערכות דינמיות ליניאריות הקבועות בזמן. ההתמרה שימושית במיוחד בפתרון של משוואות דיפרנציאליות. בהנדסת חשמל מקובל לומר שהתמרת לפלס מעבירה ממישור הזמן למישור התדר. זאת אף על פי שלמישור לפלס אין כלל משמעות של תדר, ההתמרה שמעבירה ממישור הזמן למישור התדר היא התמרת פורייה (למעשה, אם s הוא מדומה טהור, התמרת לפלס זהה להתמרת פורייה). מישור לפלס הוא מישור מדומה ללא משמעות פיזיקלית פשוטה, שמשתמשים בו לפתרון משוואות דיפרנציאליות.
היסטוריה.
התמרות אינטגרליות הוצגו לראשונה על ידי לאונרד אוילר שפתר בעזרת ההתמרות משוואות דיפרנציאליות רגילות ליניאריות מסדר שני. לפלס עצמו מזכיר בכתביו את עבודתו של אוילר על התמרות אינטגרליות. היה זה שפיצר שהצמיד את שמו של לפלס לביטוי formula_9 שאוילר השתמש בו. בסוף המאה ה-19 הורחבה התמרת לפלס גם למישור המרוכב ולשני משתנים על ידי Poincaré, Pincherle, Abel, Picard. במאה ה-20 שוכללה התמרת לפלס על ידי החוקרים Bateman, Bernstein, Doetsch, Heaviside, Bromwich.
הרחבה למספרים מרוכבים.
כאמור, התמרת לפלס פועלת גם במישור המרוכב, והדרישה הממשית s&gt;0 מוחלפת בדרישה המרוכבת Re(s)&gt;0. נראה זאת בדוגמה הבאה:
השוויון האחרון מתקיים מכיוון ש:
באופן דומה ניתן להראות כי: formula_12.
לכן, על פי הליניאריות של ההתמרה נקבל כי:
ניתן לראות שאם s הוא מדומה (כלומר, Re(s)=0 ) התמרת לפלס הופכת להתמרת פורייה.
סדר מעריכי של פונקציה.
נשאלת השאלה לאילו פונקציות קיימת התמרת לפלס. על פי ההגדרה, אם האינטגרל מתכנס אז ההתמרה קיימת, אבל קיים גם מדד עבור הפונקציה עצמה - הסדר המעריכי שלה:
לפונקציה formula_3 יש סדר מעריכי בגובה formula_16 אם קיימים קבועים formula_17 כך שלכל formula_18 מתקיים formula_19.
לדוגמה, הסדר המעריכי של formula_20 הוא formula_21 (formula_21 יכול להיות שלילי), הסדר המעריכי של formula_23 הוא 0 (כי נוכל לבחור formula_24 מספיק גדול), ולפולינומים יש סדר מעריכי כלשהו גדול מ-0 (שוב, כי נוכל לבחור formula_24 מספיק גדול, ובאינסוף אקספוננט "מנצח" פולינום). ל- formula_26 לעומת זאת, לא קיים סדר מעריכי כי לא ניתן לחסום אותה כאמור עם אקספוננט.
ואז: אם formula_3 רציפה למקוטעין על חצי-הישר הימני, ומסדר מעריכי formula_16 אז קיימת לה התמרת לפלס לכל formula_29 (במקרה הממשי - formula_30). כלומר, האקספוננט formula_31 צריך "למשוך למטה" חזק יותר. יש לשים לב שבעוד שלכל פונקציה המקיימת את התנאים האמורים קיימת התמרת לפלס, קיימות פונקציות שאינן מקיימות תנאים אלו, ובכל זאת קיימת להן התמרה. לדוגמה, לפונקציה formula_32 לא קיים סדר מעריכי אך קיימת לה התמרת לפלס לכל formula_33.
תכונות.
בהינתן שתי פונקציות formula_3 ו formula_35, והתמרות הלפלס שלהן הן formula_4 ו-formula_37 בהתאמה,
מתקיימות התכונות הבאות:
התמרת לפלס של טורי חזקות.
נגדיר טור חזקות: formula_54. על ידי שימוש בתכונת הליניאריות ובטבלת ההתמרות, נקבל: formula_55. לטורי חזקות אינסופיים, לעומת זאת, לא תמיד קיימת התמרת לפלס. התמרת לפלס עבור טור החזקות formula_56 קיימת אם הטור מתכנס לכל formula_57, וקיים formula_58 טבעי כך שלכל formula_59 ולכל formula_60 מתקיים formula_61. במקרה זה נקבל: formula_62.
משפט הערך ההתחלתי.
אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות formula_63 אז מתקיים:
משפט זה נוח במיוחד כאשר מעוניינים בערך התחילי של הפונקציה במישור הזמן, כי אינו מחייב חישוב התמרת הלפלס ההפוכה של F.
משפט הערך הסופי.
אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות formula_63 וכל הקטבים של F נמצאים בחצי המישור השמאלי, ולכל היותר ישנו קוטב בודד בראשית, אז מתקיים:
משפט זה שימושי כאשר מעוניינים בהתנהגות המערכת לאחר ריסון תנאי ההתחלה.
קישורים חיצוניים.
מחשבון להתמרת לפלס
אוגוסטין
הר הגעש אוגוסטין (באנגלית: Augustine Volcano) הוא הר געש פעיל היוצר את האי אוגוסטין בצידו הדרום מערבי של מפרץ קוק לחוף מדינת אלסקה שבארצות הברית, 280 ק"מ דרום מערבית לאנקורג'.
תיאור ההר.
הר אוגוסטין הוא מעגלי בצורתו, שרוחבו 12 ק"מ ממזרח למערב ו-10 ק"מ מצפון לדרום. במרכזו נמצאת הפסגה שגובהה 1,260 מטרים.
בפסגת ההר מספר כיפות שנוצרו בעקבות ההתפרצויות הרבות של ההר, וסביב הפיסגה שרידים למפולות אדמה רבות שנגרמו בשל ההתפרצויות.
התפרצויות בעת האחרונה.
ב-27 במרץ 1986 התפרץ ההר, ובשל ענן האפר נעצרה התעופה האווירית באזור העיר אנקורג' למספר ימים.
ב-11 בינואר וב-13 בינואר 2006 התפרץ ההר מספר פעמים. עמוד העשן והאפר הגיע לגובה של 15,849 מטרים.
חיים ברלב
טרשונים
הזנב הארוך
תאוריית הזנב הארוך (The Long Tail) הוא ביטוי מתחום הסטטיסטיקה שטבע כריס אנדרסון, עורך מגזין "Wired", לתיאור תופעות כלכליות ותרבותיות הבאות לידי ביטוי במיוחד בערוצי שיווק מתקדמים כגון האינטרנט והטלוויזיה הדיגיטלית.
אנדרסון טוען כי עיקר ההצלחה של חברות כמו אמזון ונטפליקס היא לא ממכירה של מספר מוגבל של להיטים כמו בחנויות המסורתיות, אלא ממספר עצום של פריטים בעלי פופולריות נמוכה. לפי טענה זו, כשנותנים לבני האדם את חופש הבחירה התרבותית, הטעם שלהם יותר מגוון מאשר כל מגוון שמוגבל במגבלות פיזיות. חברות שיספקו את חופש הבחירה הזה ירוויחו יותר מאשר חברות שיספקו מספר מצומצם של להיטים. הרווח של החברות יבוא לידי ביטוי במכירות מרובות של פריטים פחות פופולריים באופן מצטבר. לפיכך, סך הרווח מהמכירה של הפריטים הלא פופולריים, יעלה על הפריטים הפופולריים שנחשבים "רבי מכר".
הזנב הארוך בסטטיסטיקה.
הזנב הארוך הוא כינוי מקובל לתכונה ידועה של התפלגויות סטטיסטיות בהן ישנה אוכלוסייה מעטה עם הסתברות גבוהה ואוכלוסייה רבה עם הסתברות נמוכה, ש"מזדנבת". במקרים רבים, המשקל של ה"זנב" גדול מהמשקל של החלק הראשון. תופעה זו מכונה גם "זנבות כבדים" או "זנב פארטו".
ניתן להמחיש זאת בהקשר הכלכלי. נניח שיש ערימה של מאות מטבעות אחד על השני, ולידה ערימה כזו קטנה יותר, לידה ערימה קטנה עוד יותר וכן הלאה. לאחר ערימות שפרוסות לאורך כמטר הן מגיעות לגובה של מטבע אחד או שניים. הערימות הקטנות הללו, שלכאורה חסרות חשיבות ממשיכות לאורך קילומטרים רבים. בסך הכול הערימות הקטנות מכילות יותר מטבעות מהערימות הגדולות.
אוכלוסיות רבות בסביבה האמיתית מתנהגות בהתפלגויות בעלות זנב ארוך. לדוגמה:
התאוריה של אנדרסון.
אנדרסון הגה את תאוריית הזנב הארוך במהלך שנת 2004, בעקבות נתוני מכירות באתרי אינטרנט ונתוני גלישה באופן כללי. הוא פרסם את התאוריה בעיתון Wired אותו הוא עורך. המאמר מכיל דוגמאות רבות מאתרי האינטרנט:
דוגמה אופיינית נוספת של הזנב הארוך הוא שירות AdSense של חברת גוגל. בשירות זה החברה מספקת לאתרים קטנים מודעות מילים בדומה לשירות העיקרי של החברה, בו מסופקות מודעות מילים לדפים של מנוע החיפוש של גוגל. באופן מפתיע הכנסותיו של שירות AdSense קרובות מאוד להכנסות מהפרסום במנוע החיפוש: 675 מיליון דולר ברבעון השלישי של שנת 2005 מ-AdSense לעומת 885 מיליון דולר ממנוע החיפוש. בעוד ההכנסות ממנוע החיפוש של גוגל, שבעשור השני של המאה ה-21 נחשב לשימושי בעולם ובעל נתח שוק גדול, לא ימשיכו לגדול בקצב הנוכחי, צופים אנליסטים כי שירות AdSense ימשיך לגדול מכיוון שיש עוד הרבה אתרים קטנים שאין להם כל הכנסה מפרסום. בסופו של דבר יהפכו ההכנסות משירות זה לעיקריות. כך, אפילו לאחד מאתרי האינטרנט הפופולריים ביותר בעולם יש צורך לפנות לזנב הארוך של אתרי האינטרנט כדי לגדול בהכנסותיו.
הכלכלה של הזנב הארוך.
לפי אנדרסון, הפירמות הכלכליות יצרו במאה ה-20 כלכלה שמעודדת יצירת "להיטים". הסיבה לכך היא כי אמצעי הייצור השתכללו אולם אמצעי ההפצה המשיכו להיות הרבה פחות יעילים. לדוגמה, עלויות הייצור של תקליטור הן נמוכות למדי, גם כשמדובר בכמויות קטנות. לעומת זאת, חנות מוזיקה לא תחזיק תקליטור על מדפיה אם הוא לא יימכר לכל הפחות פעם בחודש. בכמויות קטנות מאלו, שטח המדף הופך להיות יותר יקר מהרווח על המכירה של אותו תקליטור.
האינטרנט שינה מודלים אלו על ידי הורדה משמעותית במחיר ההפצה, עד כדי עלות אפסית. במודל של חנויות אינטרנט רבות הוא איפשר אגירת מלאי ענק במחסנים מרוחקים כאשר המוצרים "מוצגים" לראווה רק באתר ונשלחים ללקוח לפי דרישתו. במוצרים מסוימים, שנצרכים באופן דיגיטלי, כמו שירים המורדים למחשב היכולת לאגור "מלאי" על גבי אמצעי אחסון ממוחשבים והפצתו דרך רשת האינטרנט מורידים עלויות אלו עוד יותר.