יהי "K" שדה סגור אלגברית, יהי formula_22 אידיאל ויהי "g" פולינום המתאפס בכל formula_4. ממשפט הבסיס של הילברט, קיימים formula_11 כך ש-formula_21. נרצה להראות כי formula_73. אם "g = 0", אזי התנאי מתקיים. אחרת, נוסיף משתנה חדש "y", ונשים לב שלפולינומים formula_74, אין שורש משותף. זאת אומרת, formula_75. ממשפט האפסים החלש, נקבל כי formula_76, ובפרט,formula_77עבור פולינומים formula_78 כלשהם. נתבונן בשוויון המתקבל בחוג המנה formula_79. כיוון שבחוג זה "y = 1/g", נקבל כי formula_80כיוון שבביטוי שבאגף ימין רק "g" מופיע במכנה, אזי עבור "r" טבעי ופולינומים formula_81 כלשהם מתקיים
formula_82ולכן בחוג "R," formula_83. זאת אומרת, קיים פולינום formula_84, כך שמתקיים השוויוןformula_85כיוון שבאגף שמאל, המקדם של המשתנה "y" הוא אפס, אזי "q = 0", ולכן formula_86. זאת אומרת, formula_73, כרצוי.
מסקנות.
שוויון רדיקלים.
אחת מהמסקנות הנובעות ממשפט האפסים של הילברט היא כי רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה נוצרת סופית שווה לרדיקל הנילפוטנטי. רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה "A", אשר מסומן על ידי formula_88, או לעיתים formula_89, מוגדר להיות החיתוך של כל האידיאליים המקסימליים ב-"A". לעומת זאת, הרדיקל הנילפוטנטי, אשר מסומן על ידי formula_90, או formula_91, מוגדר כחיתוך של כל האידיאליים הראשוניים ב-"A". כיוון שכל אידיאל מקסימלי הוא גם אידיאל ראשוני, אזי רדיקל ג'ייקובסון תמיד מוכל ברדיקל הנילפוטנטי. המסקנה מראה כי אם האלגברה "A" נוצרת סופית, אזי למעשה יש שוויון.
שדות סופיים.
על אף שמשפט האפסים של הילברט מנוסח עבור שדות סגורים אלגברית, ובפרט אינסופיים, ניתן להסיק ממנו את הגרסה הבאה עבור שדות סופיים:
"משפט" - יהיו formula_92 פולינומים, אזי קיים להם שורש משותף בשדה formula_93, אם ורק אם קיים פתרון בשדה סופי formula_94 ממאפיין "p," עבור כמעט כל ראשוני "p".
המשפט מקשר, בצורה אשר אינה משתמעת באופן מידי, בין שדות ממאפיין אפס לכאלו עם מאפיין חיובי.
קישור בין משפחות של אידיאלים לעצמים גאומטריים.
ממשפט זה אפשר להסיק את ההתאמות הבאות, בין משפחות אידיאלים של חוגי פולינומים לבין עצמים גאומטריים:
התאמות אלו הן הבסיס לגאומטריה האלגברית הקלאסית. בגאומטריה האלגברית המודרנית, התאמות אלו מוכללות להתאמה החשובה הבאה:
אידיאל formula_95 סכמה אפינית
כלומר, יש התאמה מלאה בין אידיאלים של חוג הפולינומים לבין סכמות אפיניות.
הוכחה.
למשפט האפסים יש הוכחות רבות, מתוכן נציין שתי הוכחות. הראשונה היא עבור שדות גדולים, והיא קצרה יחסית; השנייה מוכיחה את המקרה הכללי ומופיעה בהמשך. בשתי ההוכחות, נוכיח את משפט האפסים של הילברט על ידי כך שנוכיח את הגרסה החלשה - פתרון למערכות פולינומים בהרחבת שדות. ניתן להסיק את הגרסה המלאה בהינתן החלשה על ידי הטריק של רבינוביץ' אשר מנוסח למעלה. שתי ההוכחות מתבססות הטיעון הבא:
יהיה "K" שדה ויהיו formula_11 פולינומים. נניח כי קיימת הרחבת שדות "L/K", כך שקיימים איברים formula_51, עבורם formula_52 לכל formula_53. נסמן ב-formula_103 את הסגור האלגברי של "K". מספיק להראות שקיים פתרון formula_104, כך ש-formula_55 לכל formula_53. אכן, אם ישנו כזה פתרון, אזי קיים פתרון בשדה formula_107, ובנוסף ההרחבה "K'/K" סופית, כיוון שהאיברים formula_108 אלגבריים מעל "K". לכן, נניח מעתה שהשדה "K" סגור אלגברית.
הוכחה עבור שדות גדולים.
נוכיח תחילה עבור המקרה formula_109, שלו יש הוכחות קצרות רבות. נציג כאן את אחת מהן: נסמן ב-formula_110 את מקדמי הפולינום formula_111 לכל formula_53. מתקיים שישנו פתרון למערכת המשוואות בשדה formula_113. כיוון ש-formula_114, וכיוון שהשדה "K" סגור אלגברית, ניתן לשכן את "'L" ב-"K" ולכן קיים פתרון ב-K"."
הוכחה עבור המקרה הכללי.
נוכיח עתה את המקרה הכללי. נניח, בלי הגבלת הכלליות, כי ההרחבה "L/K" היא נוצרת סופית, אחרת נבחר את ההרחבה הנוצרת סופית formula_115, אשר מכילה גם היא פתרון. נסדר את איברי הפתרון formula_116 כך שיתקיים התנאי הבא: האיבר formula_117 טרנסצנדנטי מעל formula_66, האיבר formula_119 טרנסצנדנטי מעל formula_120, ובאופן כללי האיבר formula_121 טרנסצנדנטי מעל formula_122 לכל formula_123, עבור formula_124. יתר האיברים, formula_125, הם אלגבריים מעל formula_126. נסמן formula_127 ונשים לב כי ההרחבה formula_128 היא סופית, מאופן בחירת "k". כיוון ש-formula_121 טרנסצנדנטי מעל formula_122 לכל formula_123, אזי מתקיים כי formula_132, זאת אומרת, "" הוא שדה הפונקציות הרציונליות עם "k" איברים ומקדמים ב-"K."
יהי formula_133 בסיס ל-formula_128 ונניח נניח כי formula_135, אחרת נוסיף אותו לבסיס. יהיו formula_136 איברים כך ש-formula_137 לכל formula_138, ו-formula_139 לכל formula_140.בחירה זאת מאפשרת לנו להציג את המשוואות formula_52 כמנה של פונקציות ליניאריות באיברי הבסיס עם מקדמים ב-formula_142. נרצה למצוא איברים formula_143 אשר לא יאפסו את המכנה. כדי לעשות זאת, נבחר formula_144 ככה שכל האפסים של המכנה יהיו אפסים של הפולינום formula_145 ונבחר formula_143 כך ש-formula_147. בצורה פורמלית, נבחר formula_144 כך ש-formula_149 לכל formula_150 ו-formula_151 לכל formula_152 ולכל formula_153. כיוון ש-formula_154, אזי קיים formula_155 כך ש-formula_156. מתקבל כי formula_157, ובפרט formula_158, לכל formula_53.
נגדיר "K-"אלגברה "A" באופן הבא: formula_160מוגדרת על ידי הבסיס formula_161 כך שמתקיים formula_162 לכל formula_138. במילים אחרות, "A" היא האלגברה הנוצרת על ידי הצבת formula_164 בבסיס "e". נגדיר formula_165 על ידי formula_166. באופן זה מתקיים כי formula_167 לכל formula_53. לבסוף, יהיה formula_169 אידיאל מקסימלי ולכן formula_170 הוא שדה. בנוסף הוא הרחבה סופית של "K." כיוון ש-"K" סגור אלגברית, אזי formula_171. נסמן formula_172 ההטלה לשדה המנה, לכל formula_140, ונקבל כי formula_174 לכל formula_53. זאת אומרת, formula_176 הוא פתרון למערכת הפולינומים formula_57, כרצוי.
גרסה פרויקטיבית.
בגאומטריה פרויקטיבית ניתן לנסח משפט מקביל אך מעט שונה.
ראשית, במקרה הפרויקטיבי יריעה פרויקטיבית היא אוסף פתרונות של פולינומים מאידיאל הומוגני formula_29 (אידיאל שלכל איבר בו, גם החלקים המונומיים שלו שייכים אליו), אותה נסמן גם כן formula_179.
בכיוון ההפוך, כל תת-קבוצה formula_180 במרחב פרויקטיבי שולחים לאידיאל שנוצר על ידי הפולינום ההומוגניים שמאפסים את כל הנקודות בה, אותו נסמן formula_181.
נקבל טענה דומה לגרסה החלשה על שורת סתירה כלעיל:
"משפט" - עבור אידיאל הומוגני formula_29, מתקיים formula_183 אם ורק אם formula_29 מכיל אידיאל הומוגני formula_185, בו כל מונום של כל פולינום הוא ממעלה formula_186 לפחות.
וכעת נקבל את ההתאמה:
"משפט האפסים בגרסה הפרויקטיבית"- לכל אידיאל formula_29 עבורו מתקיים formula_49 (כלומר הוא לא מכיל אידיאל formula_185 כנ"ל), מתקיים formula_190.
תוצאות קשורות.
למשפט האפסים של הילברט יש מספר תוצאות דומות מתחומים שונים במתמטיקה. נציין כאן כמה מהן.
משפט האפסים הקומבינטורי.
משפט בקומבינטוריקה, המוכר בשם "משפט האפסים הקומבינטורי", משמש להוכחת תוצאות שונות מתורת המספרים האדיטיבית, תורת הגרפים וקומבינטוריקה, ומנוסח כלהלן: יהיה "K" שדה ויהי formula_191 פולינום ממעלה "d". יהיו formula_192 שלמים כך שהמקדם של המונום formula_193 ב-"f" אינו אפס, וכן כי formula_194. אזי, לכל תתי קבוצות formula_195 המקיימות formula_196, לכל formula_140, קיימים formula_198, כך ש-formula_199.
השימוש במשפט מוכר לעיתים גם כ"שיטה הפולינומית" שמקורה במאמר של נוגה אלון ומיכאל טרסי. השיטה פותחה לאחר מכן על ידי אלון, נתנסון ורוזה בשנים 1996-1995 ונוסחה מחדש על ידי אלון בשנת 1999. המשפט קיבל את שמו כיוון שניתן לראות בו כמקרה פרטי של משפט האפסים של הילברט. דוגמאות לשימושים של המשפט הן הוכחות פשוטות ל על אפסים של מערכות של פולינומים, ו בקומבינטוריקה אדיטיבית.
משפט גלפנד מזור.
באנליזה פונקציונלית, משפט גלפנד מזור, הקרוי על שם המתמטיקאים ישראל גלפנד וסטניסלב מזור, הוא המשפט הבא: תהי "A" אלגברת בנך מרוכבת עם יחידה וחלוקה. אזי "A" איזומטרית לשדה המספרים המרוכבים. במילים אחרות, שדה המספרים המרוכבים הוא האלגברת בנך המרוכבת היחידה בה כל איבר לא אפס הוא הפיך, כאשר היחידות היא עד כדי איזומטריה.
משפט הבסיס של הילברט
במתמטיקה, משפט הבסיס של הילברט (Hilbert) קובע שאם formula_1 חוג נתרי, אז גם חוג הפולינומים (במספר סופי של משתנים מרכזיים) מעל R מקיים את אותה תכונה. בפרט, אם formula_2 הוא שדה, אז כל אידיאל בחוג הפולינומים ב-"n" משתנים formula_3 נוצר על ידי מספר סופי של פולינומים. את המשפט הוכיח דויד הילברט בשנת 1888.
בשפה של גאומטריה אלגברית ניתן לנסח את המשפט כך: כל יריעה אלגברית ניתנת לתיאור כקבוצת האפסים המשותפים של מספר סופי של פולינומים.
המשפט תקף לגבי חוג בסיס לאו דווקא קומוטטיבי, ואזי את תכונת הנותריות יש להחליף באחת מבין התכונות: נותריות שמאלית, ימנית או חלשה (תנאי השרשרת העולה על אידיאלים דו-צדדיים). כל אחת מהן 'עולה' מ-formula_1 ל-formula_5.