פלימפטון 322 הוא ממצא ארכאולוגי המדגים את הרמה המתמטית שאליה הגיעו הבבלים. זהו לוח חרסית שמקורו בבבל והוא מתוארך בין השנים 1900 לפנה"ס עד 1600 לפנה"ס. הפרשנויות לגבי לוח זה חלוקות. על פי חלק מהפרשנויות, הלוח שימש לייצור שלשות פיתגוריות או לחישוב ערכיה של פונקציה טריגונומטרית ובכך הוא מעיד על רמה מתמטית גבוהה של התרבות הבבלית ומתבלט ביחס לשאר הממצאים מסוגו. על פי פרשנות אחרת, הלוח שימש כלי עזר בהוראת חשבון, ואין בו ייחוד רב ביחס לממצאים הדומים לו.
יוון העתיקה.
היוונים היו הראשונים שפיתחו את האריתמטיקה המחקרית, במאה ה-6 לפנה"ס, בניגוד לבבלים, לסינים ולמצרים שראו באריתמטיקה כולה בבחינת מדע שימושי. כבר בימי פיתגורס (המאה ה-6 לפנה"ס), התקיימה אצל היוונים גישה דומה ביותר לגישה המודרנית לאריתמטיקה. היוונים השתמשו במערכת אקסיומות כדי לבסס את חישוביהם, התעניינו במהות המספרים הפילוסופית, מיינו את המספרים לסוגים שונים, וחקרו את תכונותיהם הכלליות. כמו כן, היוונים היו הראשונים שהוכיחו שישנם אינסוף מספרים ראשוניים (ראו קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים), כשהראשון שהציג הוכחה לכך בכתב היה אוקלידס בספרו "יסודות", ולהלן ההוכחה מסִפרו:
היוונים סללו את הדרך למציאת הוכחה למשפט היסודי של האריתמטיקה.
ניתן לומר שהפיתגוראים גילו את היותו של השורש הריבועי של 2 אי-רציונלי, אך תגליתם הייתה למעשה רק שהקטעים הם חסרי מידה משותפת, והתכונה אי-רציונליות התגלתה מאוחר יותר. אזכור ראשון לקיומם של קטעים חסרי מידה משותפת מופיע בדיאלוג "תאיטיטוס" של אפלטון, אך רעיון זה היה מוכר עוד קודם לכן, במאה החמישית לפנה"ס להיפאסוס, בן האסכולה הפיתגוראית, ואולי לפיתגורס עצמו.
כדי לייצג מספרים בכתב, היוונים השתמשו תחילה במערכת מספרים המבוססת על כפולות של חזקות של 10, כאשר הסמל של כל מספר היה האות הראשונה של אותו מספר באלפבית היווני. למשל, המספר 5 (ביוונית: Πέντε) סומל באות π. כפולות של חזקות של 10 הוצגו בעזרת סמל המספר הכופל ואחריו סמל החזקה, כמפורט בטבלה להלן. מספר שהיה מורכב מיותר מכפולה אחת של חזקה של 10 הוצג כסכום. שיטה זו נקראה השיטה האטית, על שם האזור בו התפתחה - אטיקה.
בתקופה מאוחרת יותר השתמשו היוונים בשיטת סימון מתקדמת יותר, שבה הוצגו המספרים לפי האלפבית היווני. בשיטה זו השתמשו ב-26 האותיות היווניות, כאשר לסימון המספרים בין 1 ל-9 נקבעו תשע האותיות הראשונות (דאז, כאשר האות ϝ הייתה בשימוש), בתוספת גרש ( ' ) בצד ימין של האות, למעלה. תשע האותיות הבאות ייצגו את העשרות מ-10 עד 90, והבאות את המאות. לסימון הספרות בין 1000 ל-900,000, השתמשו היוונים באותן אותיות, אך הוסיפו לאותיות את הגרש דווקא מצד שמאל של האותיות, למטה. ממיליון ומעלה, כנראה השתמשו היוונים בשני תגים במקום אחד.
אחד המתמטיקאים היוונים החשובים ביותר היה דיופנטוס, שחיבר במאה ה-3 לספירה את ספרו "אריתמטיקה" שנחשב המקביל האריתמטי-אלגברי ל"יסודות" של אוקלידס. בספר זה הציג דרכים לפתירת מערכת משוואות אשר מספר הנעלמים בהן גדול ממספר המשוואות ופתרונותיהם הם מספרים שלמים בלבד. משוואות כאלה קרויות על שמו משוואה דיופנטית. בזכות יצירה זו מכונה דיופנטוס בשם "אבי האלגברה".
הדמויות הבולטות בתקופה זו היו פיתגורס מהאי סמוס, הזכור בעיקר בשל משפט פיתגורס והאסכולה הפיתגוראית שעסקה בנומרולוגיה, אוקלידס מחבר הספר "יסודות", שהיה הספר המרכזי ללימוד הגאומטריה במשך מאות רבות וארכימדס מסירקוסאי, שהמציא בין השאר שיטת ספירה עבור מספרים גדולים, והגיע עד ל- formula_4.
מלבד התרומה של המתמטיקאים היווניים לגיבוש וארגון התחומים שבהם עסקו, יש לציין את פיתוח התאוריה של חתכי חרוט, שנולדה במהלך התקופה ההלניסטית, והתפתחה ללא שימוש מפורש באלגברה או בטריגונומטריה. המתמטיקה הגיעה לרמה כזו, שאפשרה לתלמי לנסח מודל גיאוצנטרי של מערכת השמש, שהיה בשימוש עד למאה ה-17.
רומא העתיקה.
תרומתם של הרומים לאריתמטיקה איננה התפתחות מתמטית חשובה, אלא הכנסת השימוש בספרות רומיות והגדרת האריתמטיקה כחלק חשוב מ"סל הכלים" של האדם המלומד, כפי שניתן לראות בהכללתה בשבע האומנויות החופשיות. בספרות הרומיות השתמשו בכל רחבי אירופה, עד שהוחלפו בספרות ההודיות-ערביות, בשל פשטותן ונוחות השימוש בהן ביחס לשיטה הרומית.
השיטה הרומית מבוססת על הקבצה - כל מספר מיוצג כאוסף של סימנים, כאשר כל אחד מהסימנים מייצג כמות קבועה מראש, אף על פי שהיא כן תלויה במיקומו במספר. ערכו של המספר נקבע על פי סכום ערכי הסימנים המופיעים, כאשר חלק מהסימנים עשויים להיות מחוסרים מהסכום, בהתאם למיקומם במילה.
שיטת הספרות הרומיות מכילה שבעה סימנים בסיסיים שמקורם באלפבית הלטיני:
I, המייצגת את הספרה אחת, ובשפת המקור "unus".
V, המייצגת את הספרה חמש, ובשפת המקור "quinque".
X, המייצגת את הספרה עשר, ובשפת המקור "decem.
L המייצגת את הספרה חמישים, ובשפת המקור "quinquaginta".
C המייצגת את הספרה מאה, ומקורה כנראה במילה "centum" שפירושה מאה.
D המייצגת את הספרה חמש מאות, ובשפת המקור "quingenti".
M המייצגת את הספרה אלף, ומקורה כנראה במילה "mille anangu" שפירושה אלף.
למספרים גדולים השתמשו הרומאים בקו עליון מעל הספרה, המסמל למעשה את הכפלתה ב-1,000.
דוגמאות:
V = 5,000.
X = 10,000.
בכתיבת מספר, הספרות נרשמות משמאל לימין, מהגדולות לקטנות. אם מופיעה ספרה קטנה משמאל לספרה הגדולה ממנה, יש לחסר את הספרה הקטנה מהמספר הכולל. למשל:
מטרת החיסור היא לפשט צירופים: במקום לכתוב IIII עבור 4, די לכתוב שתי ספרות: IV.
השימוש בשיטת החיסור נעשה עבור הספרות הבאות: I יכול להופיע משמאל ל-V או ל-X .X יכול להופיע משמאל ל-L או ל-C, ו-C יכול להופיע משמאל ל-D או ל-M.
בעת העתיקה השימוש בשיטת החיסור היה מקובל פחות מאשר בימינו, ועל כן לרוב השתמשו ב-IIII על מנת לייצג 4, ולא ב-IV, וכדומה.
הספרות הרומיות נותרו לשימוש בעיקר כאמצעי דקורטיבי, למשל בשעונים. בנוסף, הן מופיעות גם בטקסטים רשמיים כגון חוקת ארצות הברית.
התרבות ההודית.
תרומתם העיקרית של ההודים לאריתמטיקה היא פיתוח השיטה העשרונית והכנסת שימוש מלא במושג אפס, כמו גם עבודתם עם מספרים שליליים.
בין השנים 2500 לפנה"ס ל-1700 לפנה"ס התקיימה בהודו תרבות עמק האינדוס. אנשי תרבות זו אימצו מערכת של מידות ומשקולות המבוססת על חלוקה עשרונית של "מידות טבעיות". בחפירות ארכאולוגיות נמצאו שרידים המראים על שימוש ביחידת מידה של 3.35 ס"מ אשר מהווה באורכה עשירית מיחידת הרגל. ממצאים אחרים הראו על שימוש ביחידת מידה שאורכה 0.932 ס"מ ומהווה מאית מיחידת הפסע. מדידות באתרים ארכאולוגיים הראו כי יחידות אלה היו בשימוש לצורכי בנייה.
עם ירידת קרנם של תושבי עמק האינדוס, תפסו את מקומם ההינדו-אריאנים. ספרי הקודש שלהם, הוודה, כללו בין היתר את ה"שולבה סוטרא" - ספר קודש המתאר בניית מזבחות המיועדים להקרבת קורבנות. בספר זה מובאים משפטים ללא הוכחות המתארים, למשל, בניית מזבח רבוע ששטחו זהה לזה של משולש נתון או בניית מזבח רבוע ששטחו זהה בקירוב לזה של מעגל נתון. בחישוביהם היה עליהם למצוא את ערכו של formula_5, ככל הנראה על מנת לפתור בעיות הנוגעות להכפלת שטחו של מזבח רבוע. בשולבה סוטרא נתן הסבר זה לחישוב ערכו:
ובכתיב מתמטי formula_6. הקירוב מדויק עד הספרה החמישית אחרי הנקודה (זהו השבר הקרוב ביותר ל-formula_7 מבין כל השברים שהמכנה שלהם קטן מ-985). לא ידוע לנו כיום כיצד הושג דיוק מרשים זה, אך ישנן מספר השערות בנושא.
בערך בסביבות המאה השלישית לפנה"ס, החלו להופיע הספרות הברהאמיניות (ראו איור). ספרות אלה הן היסוד לספרות המוכרות לנו כיום מהשימוש בשיטה העשרונית. הסימנים המוכרים לנו כיום התקבעו במאה החמש-עשרה, בין היתר הודות לצורך במערכת מוסכמת שבא בעקבות מהפכת הדפוס. ישנן מספר השערות בנוגע לדרך בה אימצו ההודים את השילוב של בסיס עשרוני עם העקרון של סדר גודל התלוי במיקום הספרה. השערה אחת מתבססת על העובדה שהראשונים לקשר בין מיקום הספרה לסדר הגודל שלה היו הבבלים. לפי השערה זו, העיקרון הועבר להודים על ידי היוונים כאשר ההודים "שילבו" אותו עם השימוש בבסיס ספירה עשרוני. השערה אחרת רואה בפיתוח התבססות על השיטה הסינית. השערה שלישית טוענת כי ההודים הגיעו לרעיון זה לבדם ללא גורם מתווך.
על חשיבותה של שיטת הספירה ההודית אמר פייר-סימון לפלס את הדברים הבאים:
עם ירידת קרנה של הדת ההודית, החלו דתות אחרות לבסס את מעמדן. אחת מהן, הייתה הג'ייניזם שהתפתחה במאה השישית לפני הספירה, על בסיס ההינדואיזם. הקוסמולוגיה הג'יינית והצורך בתחזיות אסטרונומיות (לכתיבת לוחות שנה, למשל) היוו כוח מניע להתפתחויות מתמטיות רבות. עם זאת, המתמטיקה נתפסה עדיין כמדע שימושי או ככלי יישומי. כך, למשל, הביאו סוגיות בקוסמולוגיה פיתוח רעיונות בנושא האינסוף שלא נשקלו בשנית עד לעבודותיו של גאורג קנטור.
בערך בשנת 500 לספירה פרסם המתמטיקאי ההודי אריאבהטה את עבודתו אשר כללה סיכום של ידע רב במתמטיקת הג'יין והצגה של מספר רעיונות מהפכניים ביחס לאותה תקופה באסטרונומיה. בכך נחשבת עבודתו למבשרת העידן הקלאסי של המתמטיקה ההודית. בין היתר, ביסס אריאבהטה תאוריה מדעית לביסוס התופעות של מופעי הירח וליקויי מאורות. בעבודותיו שילב טריגונומטריה ופתרון משוואות. פיתוח עבודותיו נמשך רבות גם אחרי מותו. תקופת "העידן הקלאסי" במתמטיקה ההודית הביאה עמה שכלולים וחידושים בתחומים רבים, בהם גם שכלול של שיטת הספירה ההודית.