ארבעת המטריצות הן הרמיטיות, והריבוע שלהן שווה למטריצת היחידה:
בנוסף הן מקיימות את יחס האנטי חילופיות (אם i ו-j שונים):
בכתיב דיראק המשוואה נכתבת כך:
פיתוח המשוואה.
דיראק חשב לנסות משוואה מסדר ראשון הן בזמן והן במרחב. אפשר למשל, על ידי התעללות בסימון (abuse of notation), לקחת את הקשר היחסותי בין תנע לאנרגיה
להחליף את p באופרטור מדידת התנע, ולפתוח את השורש לסדרה אינסופית של אופרטורי גזירה. רוב הפיזיקאים לא כל כך האמינו בכיוון הזה, אפילו אם טכנית היה אפשרי.
האגדה מספרת, כי דיראק בהה באח הבוערת בקיימברידג', מהרהר בבעיה, כאשר הבריק לו הרעיון לקחת את השורש של אופרטור הגל:
כאשר מכפילים את האגף הימני אפשר לראות שכדי שכל האיברים מהצורה formula_19 ייעלמו, עלינו להניח כי:
וכן ש:
דיראק, שהיה אז מעורב מאוד בהנחת היסודות למכניקת המטריצות של הייזנברג, הבין מייד שההנחות הללו יוכלו להתקיים אם formula_22 ,formula_23 ,formula_24 ו-formula_25 הם מטריצות. המשמעות היא שלפונקציית הגל יש מספר רכיבים, מה שמסביר מדוע מופיעה פונקציית גל עם שני רכיבים בתאוריית הספין של פאולי, מה שעד אז אפילו פאולי בעצמו החשיב כמסתורי. עם זאת על המטריצות להיות מממדים של 4x4 לפחות, לא ניתן למצוא סט של ארבע מטריצות בלתי תלויות ממימד נמוך יותר שמקיימות את ההנחות הללו, כך שלפונקציית הגל יש 4 רכיבים ולא שניים כמו בתאוריה של פאולי או אחד כמו בתאוריה של שרדינגר. פונקציית הגל עם ארבעת הרכיבים, היא סוג חדש של אובייקט מתמטי שמופיע כאן לראשונה.
באמצעות השורש של אופרטור הגל, ניתן כעת לכתוב משוואה
כאשר עדיין צריך לקבוע מהו formula_27 אם נפעיל את האופרטור פעם נוספת על שני אגפי המשוואה נקבל:
אם נקבע ש formula_29, נקבל שפונקציית הגל מקיימת את הקשר היחסותי בין תנע לאנרגיה.
כך שהמשוואה המבוקשת שהיא מסדר ראשון הן בזמן והן במרחב היא
נציב
ומכיוון ש formula_32
מתקבלת משוואת דיראק שרשומה למעלה.
כתיב יחסותי.
את משוואות דיראק ניתן לכתוב בצורה אינווריאנטית לורנץ ובעלת סימטריה בין הזמן למרחב, באמצעות מטריצות גאמה של דיראק. המשוואה היא
formula_33
או ביחידות בהן formula_34
formula_35
הלגראנז'יאן של דיראק הוא
formula_36
כאשר formula_37.
פרשנות פיזיקלית.
הפרשנות הפיזיקלית של formula_38 היא שהם אופרטורים הפועלים במרחב המכפלה בין אופרטורי בורגיות לבין אופרטורי הספין. קיימות הצגות שקולות לאופרטורים הללו, והמעבר בין ההצגות שקול לטרנספורמצית סיבוב במרחב הדו ממדי של הבורגיות. בהצגה הסטנדרטית:
הצגה נפוצה נוספת היא ההצגה הבורגית:
כאן formula_43 מסמל את אופרטור היחידה במרחב הדו ממדי, והאופרטור formula_44 מיוצג על ידי מטריצות פאולי.
פתרונות שליליים לאנרגיה.
הפתרונות לאנרגיה יכולים לקבל ערכים שליליים. יתרה מכך, האנרגיה של המערכת לא חסומה מלמטה כלומר למערכת כזאת אין מצב יסוד, פתרון שאיננו מתקבל על הדעת מבחינה פיזיקלית.
תוצאה מוזרה זו הובילה את דיראק למסקנה כי מצב היסוד של המערכת, או מצב הריק, הוא מצב שבו כל מצבי האנרגיה השליליים מאוכלסים (הים של דיראק). במצב שבו כל הרמות השליליות מאוכלסות, עקרון האיסור של פאולי ימנע מפרמיון מלרדת לרמות האנרגיה הנמוכות.
המסקנה מתיאור זה היא שכדי ליצור חור בים של דיראק יש להשקיע אנרגיה של לכל הפחות formula_45 (פעמיים מסת המנוחה של חלקיק) ותוצאה של יצירת חור תהיה יצירת זוג של חלקיק ואנטי חלקיק. דיראק ייחס בתחילה את החלקיק החיובי החזוי לפרוטונים, שהיו אז החלקיקים החיוביים הידועים היחידים, למרות שלחלקיקים החזויים צריכה הייתה להיות מסה זהה למסתו של האלקטרון.
עובדת קיום החלקיקים החיוביים אומתה בניסוי עם גילוי הפוזיטרון בשנת 1932. כשנשאל דיראק מדוע לא העז וחזה את קיום הפוזיטרון ענה "פחדנות לשמה!".
פרייז'ר
פרייז'ר (באנגלית: Frasier) היא קומדיית מצבים אמריקאית מצליחה, שנוצרה כסדרת בת לסדרת הטלוויזיה חופשי על הבר, בהתבסס על דמות הפסיכיאטר פרייז'ר קריין (קלסי גראמר). הסדרה שודרה ברשת NBC במשך 11 עונות, מספטמבר 1993 עד מאי 2004. כל אחת-עשרה עונות הסדרה יצאו במארזי DVD.
יוצרי ומפיקי הסדרה - דייוויד אנגל, פיטר קייסי ודייוויד לי - הפיקו את הסדרה חופשי על הבר, ויצרו את הסדרה כנפיים. הסדרה צולמה בלוס אנג'לס, למעט פרק אחד שצולם בסיאטל. בפרק הסיום של הסדרה צפו כ-25.4 מיליון צופים.
בישראל הסדרה שודרה עד עונתה החמישית בערוץ 3 בכבלים, ולאחר מכן נרכשה על ידי זכיינית ערוץ 2 "טלעד", אשר שידרה את עונות 7–9. בהמשך שודרה הסדרה בערוצים שונים ב-yes.
מאז הסדרה נרכשה שוב על ידי ערוץ 3 אשר שידר מספר פעמים את כל 11 עונותיה, וכן היא גם שודרה בערוץ סטאר וורלד. בשנים 2009–2010 שודרו 6 העונות הראשונות של הסדרה בערוץ ביפ, ומאוחר יותר הועלו כל פרקי הסדרה לשירות ה-VOD של הוט.
הסדרה חודשה וצפויה לעלות בפראמונט+ בשנת 2022.
תקציר העלילה.
הסדרה עוקבת אחרי חייו של הפסיכיאטר ד"ר פרייז'ר קריין לאחר חזרתו לעיר בה הוא נולד וגדל, ומוצא עבודה כמנחה תוכנית ייעוץ בתחנת הרדיו KACL בסיאטל (KACL = מחווה ליוצרי הסדרה Angell Casey Lee, כאשר קידומת K מקובלת בכל תחנות הרדיו ממערב למיסיסיפי). את התוכנית מפיקה חברתו הטובה, רוז דויל. את מרבית המגישים הנוספים בתחנה (כמו בוב "בולדוג" בריסקו, מגיש פינת הספורט או גיל צ'סטרטון, מגיש פינת ביקורת המסעדות), הוא אינו מחבב.
אביו של פרייז'ר הוא שוטר בדימוס, מרטין (מרטי) קריין. אביו עובר לגור עמו לאחר שנפצע במהלך סיכול שוד. הוא צולע ונעזר במקל הליכה. כדי לטפל בו, נשכרים שירותיה של דפני מון, מטפלת ממוצא אנגלי. היא מיד צדה את עינו של אחיו של פרייז'ר, ד"ר ניילס קריין, פסיכיאטר גם הוא. חוסר יכולתו לחזר כראוי אחרי דפני הוא מוטיב מרכזי בעלילת הסדרה. יחד עמם גר הכלב אדי (מסוג ג'ק ראסל טרייר). אדי הוא אחד מהכלבים המפורסמים שהופיעו בטלוויזיה, ומהחביבים שבהם.
פרייז'ר וניילס דומים יחסית באופיים, שניהם עוסקים באותו מקצוע, ומחשיבים את עצמם לאנשי המעמד הגבוה. ככאלה, הם מאמצים גינונים של אנשי בוהמה - שותים יינות יקרים, מסתובבים בגלריות, מארחים ומתארחים אצל מפורסמים. הם חובבי אומנות ומעריצים אנשי רוח ויוצרים - לעיתים רק כדי להתחכך באנשי האצולה של סיאטל. הם שונים מאוד מאביהם, איש פשוט וצנוע, אשר אינו מתחבר לחוג חבריהם. הזהות בין פרייז'ר וניילס, והשונות הגדולה כל כך מאביהם, היא שיצרה את הקסם בסדרה.
במשך מרבית הסדרה מחפשות כל הדמויות בן זוג. פרייז'ר נפרד מאשתו, לילית, ממנה יש לו ילד, פרדריק. לרוב, הוא לא מצליח להחזיק יחסים מעבר לפגישה או שתיים. גם ניילס אינו מצטיין בתחום. במשך מרבית הסדרה הוא מנהל קרב גירושין מכוער עם מאריס, המתוארת כמרשעת, ודמותה אינה מופיעה. אביהם, מרטי, איבד את אשתו (אמם של פרייז'ר וניילס), ויוצא מדי פעם עם אשה אחרת, אולם גם הוא לא מתמיד. כך גם רוז, שמחליפה גברים בקצב רצחני, עד לרגע בו היא נכנסת להריון. יחסיהן של הדמויות לא נמשכים זמן רב, והן חוזרות לנקודת המוצא בצורה משעשעת כזו או אחרת.
בסוף הסדרה פרייזר מקבל הצעת עבודה מתחנת רדיו בסן פרנסיסקו.
הוא עוזב את ביתו ופותח בפרק חדש בחייו.
הדמויות.
דמויות משנה.
חברי משפחת קריין:
חברי המשפחה:
העובדים בתחנת הרדיו KACL:
שיר הנושא.
שיר הנושא של התוכנית, שמלווה את סיומו של כל פרק, מושר על ידי קלסי גראמר עצמו. המילים הבולטות בשיר הן 'Tossed Salad and Scrambled Eggs' (בתרגום חופשי: סלט מעורבב וביצים מקושקשות). את השיר חיברו המלחין ברוס מילר, והמוזיקאי דריל פינזי. גראמר ביקש לשיר את שיר הנושא, ושיהיה בסגנון ג'אז, וללא אזכורים ברורים לנושאי התוכנית (רדיו, פסיכיאטריה, ייעוץ, או השם פרייז'ר). הסלט המעורבב והביצים המקושקשות הן רמז למאזינים המתקשרים לתוכנית.
שפגט
שתי פרות
שיח'
אנמי אייס
אנמי אייס (Enemy Ace) היא סדרת חוברות קומיקס המפורסמת על ידי חברת DC קומיקס אודות אלוף הפלות ואנטי גיבור גרמני במלחמת העולם הראשונה ומלחמת העולם השנייה בשם הנס פון האמר, הידוע בכינויו "הפטיש מהגיהנום".
אנמי אייס עשה את הופעת הבכורה שלו בכותר "הצבא שלנו במלחמה" (Our Army At War) בפברואר 1965 כסיפור משני, אולם הצליח למרות זאת לצבור פופולריות בקרב הקוראים. יוצרי אנמי אייס היו רוברט קניגר וג'ו קוברט.
הנס פון האמר.
דמותו של פון האמר מבוססת על האייס הגרמני ממלחמת העולם הראשונה מנפרד פון ריכטהופן "הברון האדום", קווי הדמיון נשענים על כך ששניהם הטיסו מטוסים צבועים באדום והיו ממוצא אריסטוקרטי. בגרפיק נובל אנמי אייס: מלחמה בשחקים, המספר את קורותיו של פון האמר כטייס ההלופטוואפה במלחמת העולם השנייה, יש דמיון מסוים בין החלק הראשון של הסיפור (המתרחש בחזית המזרחית) לבין קורותיו של טייס הלופטוואפה האנס אולריך רודל, ובחלק השני של הסיפור (המתרחש בגרמניה ממש לפני תום המלחמה) יש דמיון לקורותיו של טייס הלופטוואפה אדולף גאלאנד.
המיוחד בהצגת דמותו של פון האמר ביב בכך שלא הוצג כנבל גרמני, אלא כאיש בעל כבוד אבירי הרדוף על ידי המוות המתמיד סביבו, בזמן מלחמת העולם השנייה הוא מוצג כאדם מצפוני המצוי בקונפליקט תמידי בין שנאתו למשטר הנאצי לבין תחושת החובה והנאמנות שלו לעם הגרמני ולגרמניה.
רומנים גרפיים.
בנוסף לסיפורים המקוריים משנות השישים, אנמי אייס הופיעה בשני רומנים גרפיים:
סריג (מבנה סדור)