ערים אלה, אוגסבורג, נירנברג ורגנשבורג, היוו מרכז חשוב של תלמידי־חכמים שלמדו על־פי שיטת הפלפול, ואף היו דרכי חשיבה אופייניות שכונו על שם ערים אלה; דרכי חשיבה שהתאפיינו בהתמקדות בפריסת כל האלטרנטיבות שמתאפשרות מבחינה לוגית.כך לדוגמה, "נירנברגר" היא קושיה המתעוררת כאשר מקשים ממקור אחד נגד אחר, אך מתעלמים מכך שקיים מקור נוסף בעניין המניח הנחת יסוד שונה. דוגמה ל"פלפול נירנברגר", היא סוגיית ריבית, שבה קיימת מחלוקת אמוראים בין רבי אלעזר לרבי יוחנן, האם ריבית קצוצה – ריבית קבועה – יוצאת בדיינים, כלומר, נלקחת בכוח מהמלווה, או שההלוואה וההתחייבות לריבית בעינן עומדות ובית-דין אינם מתערבים. התלמוד מקשה על אמוראים אלה משתי ברייתות שונות, מהאחת מוכח כי חלה חובת השבה ומהאחרת מוכח כי אין חובת השבה, אך אם התלמוד ידע מראש על קיומן של שתי הברייתות, מדוע הוא הביא בתחילה רק אחת מהן כדי להקשות, והעלים את השנייה?! בסוג זה של קושיות, התאפיין בין השאר הפלפול הנירנברגאי. סוג נוסף של פלפול נירנברגר הוא כשאמורא מקשה שאלה על שתי שיטות, לחפש שיטה שלישית שתתאים לעמדת האמורא השואל.
"רגנסבורגר" הוא כפי שמגדיר הרב מרדכי מארדוש, מבאר חידושי המהר"ם שיף: "רעגשבורג היינו כשחוזר בעל האיבעיא ומקשה על הפשיטות מברייתא; קשה, מאי מיבעיא ליה – הא ידע הברייתא!"; כלומר, מצב בו אדם שואל שאלה, ולמרבה התמיהה לאחר שנענה, הוא מוכיח ממקורות כאחד הצדדים, כך שעולה תמיהה מדוע שאל אם ידע את המקור שהוא עצמו הביא.
סוגי קושיות נוספות הם "אויסברנגר", כלומר, במקרה שהגמרא מביאה קושיה ממשנה על דברי אמורא ואינה צריכה להביא את תחילת המשנה ובכל זאת מביאה, ועל כך קשה שהבאת כל דברי המשנה זה מיותר. וכך בצורה הפוכה "פירברנגר" שהגמרא יכלה להביא רק את תחילת המשנה ולא את סופה, התירוץ בדרך כלל היה, שקשה גם מתחילת המשנה וגם מסופה, או שלולי סוף המשנה היה ניתן לתרץ באופן מסוים. השל"ה התנגד לתירוצים אלו וסבר שהתירוץ הפשוט הוא, שמכיוון שהגמרא הביאה חלק מהמשנה אגב כך הביאה את כולה, בכדי ללמד את הקוראים הלכות נוספות.
המוכר יותר הוא ה"בלוסר", לעיתים הגמרא מניחה הנחה ואחריה שואלת שאלה והשאלה קשה גם ללא ההנחה, וכאן קשה "בלוסר" – (בלא זאת בהגיה אשכנזית) הקושיה קשה גם בלי ההנחה, התירוץ מסביר למה לא קשה ללא הנחה, בעל החוות יאיר טען שהאמרה "חזור חזור ואל תצטרך לבלזור" מדברת על הבלוסר ולא על צמח הבלדור.
שיטת 'גג על גג' וה'לשיטתו'.
צורות פלפול נוספת שהתפתחה במאה השמונה עשרה, הפלפול הלא מקומי, שעיקרו הוא לקשר בין נושאים שונים לחלוטין תוך מציאת רעיון משותף ביניהם, אסוציאציות מופלגות וחריפות, ותוך חיבור שרשרת של של סוגיות בתלמוד, שתכונה סמויה משותפת לכולם, או תירוץ אחד לשרשרת בלתי תלויה של קושיות, השוואות רופפות ודמיון מרפרף ושטחי שמקשר דברים לפי תכונה חיצונית או בודדת, דרך לימוד זה מכונה "גג על גג", "עוקר הרים וטוחנם זה בזה", מבין אלו שלמדו בצורה כזו נודע במיוחד האדמו"ר מאיר יחיאל מאוסטרובצה, ששיכלל את השיטה ונודע בפלפוליו החריפים.
חלק נוסף מדרך לימוד זה נקרא "לשיטתו", והוא לקשר בין מאמרים של תנא או אמורא מסוים שלכאורה אין ביניהם שום קשר ולמצוא את הרעיון המשותף, דוגמה לכך אפשר להביא מהקישור של מאמרי אביי ורבא ביע"ל קג"ם שכולם שאביי לשיטתו ורבא לשיטתו, והם תלוים אחד בשני למרות שבעצם אין להם שייכות בין הנושאים כלל.
בין אלו שהשתמשו בדרך לימוד זה נמנו רבי יחזקאל לנדא בספרו דורש לציון ואף האדמו"ר רבי מאיר יחיאל מאסטרובצה, ורבי מאיר שפירא, בדורינו עסק בזה רבות הרבי מלובביץ'.
דרך לימוד זה היה מקובל בעיקר בפולין ובגליציה ובליטא והונגריה, במאה השמונה עשרה ואילך אולם בימינו התמעט השימוש בה, ומקובלת בעיקר בחצרות צאנז, וסאטאמר.
ההתנגדות לפלפול.
רבים התנגדו לשיטה זו, חלקם באופן עקיף ובהתייחס לצורך "אסוקי שמעתא אליבא דהלכתא", וחלקם התנגדו באופן ישיר כאשר ראו את תוצאותיה של השיטה בקהילותיהם שהובילה להספק לימוד דל, לעיסוק ממושך בנושאים מצומצמים ולעיוותים אינטלקטואליים.
בין המתנגדים לשיטה היו גדולי האחרונים כמו המהר"ל מפראג, רבי שלמה לוריא (מהרש"ל), רבי ישעיה הלוי הורוביץ (מחבר ספר השל"ה) החת"ם סופר ואחרים. למעט רבי יעקב פולק היו תומכים נוספים לשיטה, אם כי באופן מסויג יותר, ביניהם המהרש"א, מהר"ם שיף, היעב"ץ והפני יהושע.
המהר"ל מפראג כתב:
הרמב"ם קדם למהר"ל בהתנגדותו הנחרצת לפלפול, וראה בשיטה זו בזבוז זמן (באיגרתו לתלמידו ר"י בן יהודה). ואכן בארצות בהן הושפעה היהדות מהרמב"ם ניכרה מגמה של לימוד תלמוד על מנת לפסוק הלכה – .
מהר"י ברונא, שהיה ראש הישיבה ברגשנבורג כותב על דרך לימוד זאת שיש להזהר מלפסוק הלכה על פיה:
שיטת החילוקים
עקבה (אלגברה)
עִקְבָה היא העתקה בעלת שימושים רבים באלגברה. מקורה באלגברה ליניארית, ומשם היא עשתה את דרכה לתורה של חבורות מטריצות, לתורת גלואה, ולחקר האלגברות מממד סופי באופן כללי.
עקבה באלגברה ליניארית.
הגדרה.
העִקְבָה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום האיברים באלכסון הראשי של המטריצה. אם רכיבי המטריצה שייכים לשדה formula_1, אז העקבה היא פונקציה formula_2, המוגדרת לפי: formula_3
תכונות.
העקבה היא העתקה ליניארית, כלומר, מתקיימים התנאים הבאים:
עבור כל מטריצות ריבועיות formula_6 ו-formula_7, ועבור כל סקלר formula_8.
העקבה של המטריצה המשוחלפת שווה לזו של המטריצה המקורית: formula_9.
העקבה מאפשרת להגדיר תבנית ביליניארית formula_10 לפי הנוסחה formula_11, וזוהי תבנית סימטרית: formula_12. קיומה של תבנית כזו הופך את אלגברת המטריצות לאלגברת פרובניוס.
מתכונת הסימטריות נובע שאם formula_13 מטריצה הפיכה, אז formula_14 לכל מטריצה formula_6. במילים אחרות, לשתי מטריצות דומות יש אותה עקבה. למעשה, העקבה של מטריצה בגודל formula_16 מופיעה כמינוס המקדם של formula_17 בפולינום האופייני formula_18, ולכן עובדה זו היא מקרה פרטי של העובדה שלמטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני.
מן הסימטריות נובע גם שלכל formula_19 מטריצות formula_20 ולכל formula_21 מתקיים formula_22. עם זאת, בדרך כלל formula_23.
תוצאה נוספת של הסימטריות היא שלכל המטריצות מהצורה formula_24, כלומר, קומוטטורים חיבוריים, יש עקבה אפס. מצד שני, אפשר להוכיח שכל מטריצה בעלת עקבה אפס היא קומוטטור, כך שהגרעין של העתקת העקבה כולל את כל הקומוטטורים. אוסף זה של מטריצות מהווה אלגברת לי פשוטה (ביחס לפעולת הקומוטטור) - הדוגמה הקלה ביותר לאלגברות ממשפחה זו.
את העקבה של מטריצה מרוכבת אפשר להציג גם כערך ממוצע: formula_25, כאשר n הוא ממד המטריצה, formula_26 היא חבורת המטריצות האוניטריות, שהיא חבורה קומפקטית, והאינטגרל הוא ביחס למידת האר על החבורה (המנורמלת כך שמידת החבורה היא 1).
עקבה בתורת גלואה.
אם formula_27 היא הרחבת גלואה סופית, העתקת העקבה formula_28 מוגדרת לפי הנוסחה formula_29, כאשר הסכום הוא על כל האוטומורפיזמים של ההרחבה. זוהי העתקה ליניארית, שהיא תמיד על.
אם ההרחבה ציקלית, כלומר, הרחבת גלואה עם חבורת גלואה ציקלית הנוצרת על ידי אוטומורפיזם formula_30, אז אפשר לתת לגרעין של העקבה את האפיון השימושי הבא: formula_31 אם ורק אם קיים formula_32 כך ש- formula_33. בניסוח מתוחכם יותר, פירושו של אפיון זה הוא שחבורת הקוהומולוגיה הראשונה של formula_34 עם מקדמים בחבורה החיבורית של formula_35, היא טריוויאלית. גם כאשר המקדמים נלקחים מן החבורה הכפלית של K חבורת הקוהומולוגיה מתאפסת - זהו משפט 90 של הילברט.
עקבה באלגברות מממד סופי.
לכל אלגברה formula_6 בעלת ממד סופי formula_19 מעל שדה formula_1, יש שיכון לתוך האלגברה של מטריצות בגודל formula_19 מעל השדה - זוהי ההצגה הרגולרית. שיכון זה מאפשר להגדיר באלגברה כמה אינווריאנטים של מטריצות, כגון העקבה והדטרמיננטה, וגם הפולינום האופייני. (הפולינום המינימלי מוגדר כבר לאברים ב- formula_6). בפרט, קיימת העתקת עקבה ליניארית מן האלגברה אל שדה הבסיס.
בתורת האלגברות הפשוטות מממד סופי ידועה גם ה'עקבה המצומצמת', המבוססת על שיכון של אלגברה מממד formula_41 באלגברת מטריצות בגודל formula_19, במקום העקבה הרגילה המחושבת לפי השיכון הרגולרי במטריצות בגודל formula_41.
אלפא
אָלפָא (אות גדולה: Α, אות קטנה: α, ביוונית: ἄλφα ) היא האות הראשונה באלפבית היווני. במערכת הספרות היווניות ערכה 1.
מקורה באות הפיניקית אלף (), ממנה התפתחה גם האות העברית א. מקור הא' הפיניקית הוא באות הפרוטו-כנענית, שצורתה כראש "אלוף" - השור ().
מהאות אלפא התפתחו (דרך שפות נוספות) האות הלטינית A והאות הקירילית А.
גמא
גמא (אות גדולה: Γ, אות קטנה: γ) היא האות השלישית באלפבית היווני. ביוונית עתיקה נהגתה כגימ"ל (IPA: /ɡ/). ביוונית מודרנית נהגית כגימ"ל רפה בעבר (IPA: /ɣ/ - כהגיית ע'ין בערבית). הצירוף γγ נהגה נְגְּ, כמו במילה "אנגליה". הצירוף γκ נהגה כגימ"ל בעברית. הצירוף γι נהגה כאות Y באנגלית. הצירוף γου משמש לתעתוק צליל W משפות זרות.
לואיס ליקי
לואיס סימור באזט ליקי (באנגלית: Louis Seymour Bazett Leakey; 7 באוגוסט 1903 - 1 באוקטובר 1972) היה ארכאולוג ופליאואנתרופולוג קנייתי ממוצא בריטי, שזכה להכרה בזכות עבודתו בתחום התפתחות האדם ביבשת אפריקה.