"קייזר", באופן יוצא דופן, הכריזה על עצמה ככשירה לפעילות מלאה בבוקר שלאחר הקרב. מאוחר יותר, לאחר המלחמה, היא הוסבה לאונייה משוריינת ונשארה בשירות עד לשנת 1910. מבצעיה הייחודיים, בהתמודדותה עם 4 אוניות משוריינות מטווח קצר בהיותה עדיין אוניית עץ, נראים כיום חסרי תקדים ומעולם לא שוחזרו בקרב ימי אחר כלשהו.
מת&quot;ב
קרויצברג
קרויצברג ("הר הצלב") הוא רובע במערב ברלין, גרמניה. בשנת 2001, במסגרת רפורמת הרבעים, אוחדה קרויצברג למחוז מוניציפלי אחד עם שכונת פרידריכסהיין הצמודה, והמחוז המאוחד נקרא באופן רשמי פרידריכסהיין-קרויצברג, אך בפי התושבים והמבקרים נשמרת ההבחנה בין שני הרבעים. הברלינאים מבדילים בין שני חלקיה של קרויצברג לפי מספרי המיקוד הישנים: החלק קרויצברג 61, הגדול יותר, וקרויצברג 36 (הקרוי גם SO36), הקטן יותר אך המוכר יותר. בזמן שגרמניה המזרחית הייתה קיימת, הייתה קרויצברג 36 מוקפת משלושה כיוונים בחומת ברלין ונוצרה בה אווירה אלטרנטיבית.
הרובע גובלת בפרידריכסהיין (Friedrichshain) במזרח, במיטה (Mitte) בצפון ובמערב, בטמפלהוף (Tempelhof) בדרום-מערב, בטירגארטן (Tiergarten) במערב, ובנויקלן (Neukölln) בדרום. בכיוון מזרח-מערב חוצים אותה קווי הרכבת התחתית U1 בצפונה ו-U7 בדרומה, וכן הקווים U6 ו-U8 בכיוון צפון-דרום.
היסטוריה.
הרובע נוצר בשנת 1920 מאיחוד של האזורים טמפלהופר פורשטאדט (Tempelhofer Vorstadt - פרוור טמפלהוף), דרום פרידריכשטאדט (Friedrichstadt) וחלק מלואיזנשטאדט (Luisenstadt). בזמן מלחמת העולם השנייה שרדו החלקים טמפלהופר פורשטאדט ולואיזנשטאדט ללא פגע. בפברואר 1945 נהרס לגמרי בהפצצות בעלות הברית האזור של הלשס טור (Hallesches Tor - שער האלה), פרינצנשטרסה (Prinzenstraße) ורחוב קוך (Kochstraße) והוא נבנה בצורה מודרנית לאחר המלחמה.
שם הרובע ניתן לו בספטמבר 1921, על שם גבעת קרויצברג - גבעה קטנה בפארק ויקטוריה (Viktoriapark), בדרום מערב השכונה.
הרובע מפורסם בעיקר בגלל ההיסטוריה המרגשת של החלק המזרחי של רובע קרויצברג 36, שהיה מוקף בגבול משלושה עברים ונודעה בשנות ה-70 וה-80 כמרכז החיים האלטרנטיביים והפלישה לבתים (סקווטים). היום חלק זה של הרובע הוא אחד העניים בברלין. החלק קרויצברג 61 הוא עשיר בהרבה, בעיקר האזור ליד רחוב ברגמן (Bergmanstraße) וגנייזנאו (Gneisenaustraße).
אוכלוסייה ואופי.
כמעט שליש מ-160 אלף תושבי הרובע הם מהגרים, בעיקר טורקים, המתגוררים בעיקר בקרויצברג 36. חלק מרכזי מהאוכלוסייה ברובע הוא מוסלמי. אתר מוסלמי מרכזי בשכונה, לדוגמה, הוא מסגד עומר בן אל-ח'טאב.
ב-1987 ובמשך כמה שנים רצופות היו בקרויצברג 36 מהומות בקשר לאירועי אחד במאי, שכללו עימותים עם שוטרים. מאז שנת 2005 שככו המהומות באופן משמעותי והן יותר צעדות עם סממני שמאל אידאולוגי וקומוניסטיים ופחות אירועי אלימות.
איחוד גרמניה ונפילת החומה הפך את קרויצברג מרובע בקצה העיר ליד החומה לרובע במרכז בירת גרמניה ועובדה זו משכה חברות רבות לרובע, במיוחד לאורך נהר השפרה וליד גשר אוברבאום (Oberbaumbrücke). היום נחשב הרובע לצעיר מאוד ואטרקטיבית בקרב צעירים וסטודנטים במיוחד, יחד עם פרנצלאואר ברג ופרידריכסהיין. מרכז קרויצברג 36 נמצא באורניינשטראסה (Oranienstraße - רחוב בית אורנז') ובו בתי קפה ומועדונים רבים (ידוע במיוחד הוא המועדון SO36) ומרכז קרויצברג 61 נמצא ברחוב ברגמן (Bergmannstraße) האופנתי.
בקרויצברג מספר אתרי תיירות, המוכרים שמביניהם: המוזיאון היהודי בברלין בתכנון דניאל ליבסקינד; פארק ויקטוריה; אורניינשטראסה (Oranienstraße), בתי הקפה והמועדונים שלו; פארק גרליץ (Görlitzer Park); רחוב ברגמן (Bergmannstraße) ובתי הקפה שבו; תחנת המעבר בחומת ברלין צ'קפוינט צ'ארלי; וכן תעלת לאנדוור (Landwehrkanal) והגדה ע"ש פאול לינקה (Paul-Lincke-Ufer).
משפט ארו
משפט האי-אפשרות של ארו (או פרדוקס ארו) הוא משפט מתמטי בתחום הבחירה החברתית (שמהווה חלק מתורת המשחקים) שהוכח על ידי הכלכלן קנת' ג'וזף ארו. לפי המשפט, לא קיימת שיטה הוגנת לשקלול בחירתם של מספר מצביעים הבוחרים בין שלוש אפשרויות או יותר.
ניסוח מפורט.
המערכת שבה דן משפט ארו כוללת פרלמנט בן מספר מצביעים, המבקשים לבחור אחת מבין כמה אפשרויות. כל מצביע מדרג את האפשרויות מן הטובה ביותר לגרועה ביותר. חוקה היא מנגנון המשקלל את הדירוגים הפרטיים, בדרך כלשהי, ומחזיר דירוג משלו. דירוג זה הוא הדירוג הקיבוצי, על-פי החוקה.
בלשון מתמטית, כאשר N מצביעים בוחרים בין m אפשרויות, המנגנון הוא פונקציה formula_1, כאשר דירוג הוא תמורה של האפשרויות הנתונות.
חוקה (מנגנון שקלול) המקיימת את שלוש הדרישות הבאות תוגדר כחוקה הוגנת:
אין דרישה מהחוקה שתעניק לכל המצביעים מעמד שווה, כדי שתקרא הוגנת; קרי, מותר לחוקה לאפשר התחשבות בגורמים כמו ותק, או מבנה מדורג של ועדות.
משפט ארו התקבל בהפתעה רבה:
דוגמה.
נניח כי שלושה חברים: אבי, בני וגלית מעוניינים להזמין פיצה. באפשרותם לבחור רק אחת מבין שלוש תוספות: פטריות, זיתים או תירס. כמו כן, יכול להיות שחלק מהתוספות אזלו, ושלא ניתן להזמין אותן. שלושת החברים מעוניינים לגבש סדר העדפות מסוים, שיבטא את העדפותיהם.
נסתכל על מספר שיטות לשקלול ההעדפות של החברים:
הוכחת המשפט.
נניח כי אנו משתמשים בשיטה לשקלול העדפות שעומדת בשני התנאים הראשונים, ונוכיח כי קיים בה דיקטטור. את המשפט נוכיח באמצעות שני משפטי עזר.
משפט העזר הראשון.
המשפט: אם כל אחד מהפרטים ממקם את אפשרות formula_2 בראש או בתחתית סדר ההעדפות שלו, אפשרות formula_2 תהיה בראש או בתחתית סדר ההעדפות החברתי.
הוכחה: נניח בשלילה כי הטענה איננה נכונה. אזי קיימות שתי אפשרויות formula_4 שעבורן מתקיים בסדר ההעדפות החברתי: formula_5 (כאשר משמעות הסימון formula_6 היא: אפשרות formula_7 רצויה יותר מאפשרות formula_8).
נבנה חתך העדפות דומה לחתך הנתון, שבו אצל כל פרט, formula_9 (ניתן להשיג זאת תוך שימוש רק בהחלפות בין שתי אפשרויות אלה, שלא משפיעות על הדירוג היחסי של כל אחת מהן לעומת formula_2, מאחר שאפשרות formula_2 נמצאת בראש או בתחתית סדר ההעדפות). נשקלל את ההעדפות בחתך ההעדפות החדש באמצעות השיטה ההוגנת שלנו.
בכך הגענו לסתירה, ומכאן שהטענה נכונה.
משפט העזר השני.
המשפט: קיים פרט formula_19 שבחתך מסוים יכול לשנות את הצבעתו כך שאפשרות formula_2 תעלה מתחתית סדר ההעדפות החברתי לראש סדר ההעדפות החברתי.
הוכחה: נבנה חתך העדפות שבו כל פרט מציב את אפשרות formula_2 בתחתית סדר ההעדפות. נמספר את הפרטים בקבוצה. כעת נבחן את המצבים שמתקבלים כאשר כל אחד מהפרטים מעביר את formula_2 לראש סדר ההעדפות, לפי הסדר. לפני שהפרט הראשון יעשה זאת, לפי כלל הקונצנזוס, formula_2 יהיה בתחתית סדר ההעדפות החברתי. לעומת זאת, לאחר שהאחרון יעשה זאת, formula_2 יהיה בראש סדר ההעדפות החברתי. בכל שלב, formula_2 יהיה בראש או בתחתית סדר ההעדפות החברתי. לכן קיים פרט formula_26 שכאשר הוא זה שיבצע את ההעברה, הוא ישנה את מקומו של formula_2.
בהמשך ההוכחה, נקרא לחתך ההעדפות שהיה לפני ההעברה של formula_26 בשם חתך I, ולחתך ההעדפות שנוצר בעקבות ההעברה - חתך II.
השלמת ההוכחה.
ראשית, נראה שעבור שתי אפשרויות שונות formula_4 שאף אחת מהן איננה formula_2, אם בסדר ההעדפות של formula_26 מתקיים formula_32 - כך גם בסדר ההעדפות החברתי. לפי כלל האי-תלות, הדירוג היחסי של שתי האפשרויות בסדר ההעדפות החברתי תלוי אך ורק בדירוג היחסי שלהן אצל כל פרט. לכן, דירוג זה לא ישתנה גם אם נניח ש-formula_2 נמצא בראש סדר ההעדפות של כל פרט לפני formula_26, בתחתית סדר ההעדפות של כל פרט אחרי formula_26, ואצלו עצמו נמצא בין formula_12 ל-formula_15, כלומר: formula_5.
אם נבחן את הדירוג היחסי של formula_39, נראה שאצל כל פרט הוא זהה לדירוג היחסי ביניהם בחתך I, ולכן בסדר ההעדפות החברתי formula_14, כפי שקורה בחתך I.
אם נבחן את הדירוג היחסי של formula_41, נראה שאצל כל פרט הוא זהה לדירוג היחסי ביניהם בחתך II, ולכן בסדר ההעדפות החברתי formula_17, כפי שקורה בחתך II.
מכאן, formula_32.
כעת, נראה שעבור כל אפשרות formula_12 שאיננה formula_2, הדירוג היחסי בינה לבין formula_2 בסדר ההעדפות החברתי זהה לדירוג היחסי ביניהן בסדר ההעדפות של formula_26. על פי משפט העזר השני, נמצא את formula_48, עבור formula_15 כלשהו שאיננו formula_12 או formula_2. הוא קובע לבדו את הדירוג היחסי של כל שתי אפשרויות formula_52 שאף אחת מהן איננה formula_15, לרבות האפשרויות formula_39. אך מכיוון שבהוכחת משפט העזר השני ראינו כיצד בחתך מסוים הדירוג היחסי בין שתי אפשרויות אלה משתנה כאשר רק formula_26 משנה את העדפותיו, נובע מכך: formula_56.
מכאן נובע, כי formula_57 הוא דיקטטור.
הרחבת המשפט לבחירה חלקית של המועמדים.
נרחיב את המשפט לפונקציות שבוחרות רק K מהמועמדים, כלומר, מחזירות דירוג על קבוצה בגודל קבוע של מועמדים.
משפט:
נניח שישנם לפחות שלושה מועמדים. כל פונקציה המתאימה יחס על תת-קבוצה של אפשרויות לכל וקטור של יחסי העדפות שמקיימת את הדרישות הבאות היא דיקטטורה.
הוכחה
עבור formula_58 זהו משפט גיבארד-סתרסוויט, ואם K הוא מספר המועמדים זהו משפט ארו.
נוכיח תחילה את המשפט באינדוקציה על K כאשר הטווח של הפונקציה הוא קבוצת יחסי העדפות חזקים על קבוצות בנות K אפשרויות. בסיס האינדוקציה formula_58 כבר נתון.
נניח שהמשפט נכון עבור K ונוכיח אותו עבור formula_60.