אם לפונקציה יש אפסים המהווים קבוצה מבודדת, ניתן להשתמש בטענות הנ"ל כאשר כעת בוחרים את formula_76 להיות סביבה שלא מכילה אפסים. ניתן להסיק קיומו של שורש formula_66-י אנליטי על כל התחום מקיומו על הקבוצה ללא האפסים, אם ורק אם כל שורש של הפונקציה הוא מסדר המתחלק ב-formula_66.
דוגמאות.
משפט נילסן-שרייר.
מהתאוריה של מרחבי כיסוי ניתן גם להסיק על חבורות - ניתן להוכיח למשל שתת-חבורה של חבורה חופשית ב- formula_66 יוצרים formula_95 היא חופשית (אולי מאינדקס אינסופי). כדי לעשות זאת, ניקח את המרחב formula_20 להיות זר עם formula_66 עלים (כלומר, המרחב שמתקבל על ידי הלחם של formula_66 מעגלים בנקודה משותפת). החבורה היסודית שלו היא formula_95. אם formula_100 אז לפי האמור לעיל, מתאים לה מרחב כיסוי של formula_20. אך מרחב כיסוי של גרף הוא גרף, ולכל גרף חבורה יסודית חופשית - לכן החבורה היא חופשית. במקרה והאינדקס formula_102 סופי, מתקיים formula_103 (ראו גם על מרחבי CW בערך על משפט ואן קמפן).
באנליזה מרוכבת.
לפי האמור לעיל על מציאת שורש/לוגריתם אנליטיים, נביט במספר דוגמאות.
formula_106
וזה מספיק, כי בדקנו את התנאי הנ"ל על יוצר של החבורה היסודית, ולכן הוא נכון לכל איבר בחבורה היסודית. ניתן גם להסיק שאין לה אף שורש אי זוגי, ולכן בפרט אין לה לוגריתם אנליטי בתחום.
הטבת נזקי גוף
הטבת נזק גוף היא תמיכה המוענקת למי שנפגע ממעשה נזיקין על ידי גורם חיצוני, שאינו המזיק. תמיכה זו יכולה לבוא לידי ביטוי באמצעות טובת הנאה כלכלית, או מתן שירות וסיוע לניזוק. מקורן של טובות ההנאה יכול שיהיה בחובה שבדין, בחובה חוזית ואף בסיוע הניתן מחמת רצונו הטוב של נותן ההטבה. סוגיה זו מוסדרת בדין הישראלי באמצעות הוראות סטטוטוריות שונות, המרכזית שבהן היא ה.
הגדרה.
הסיטואציה בה עוסקת הטבת נזק גוף.
הטבת נזקי גוף, מתקיימת כאשר לניזוק מוענקות טובות הנאה, שמטרתן השבת מצב הניזוק לקדמותו טרם ביצוע מעשה העוולה, אם באופן חלקי ואם באופן מלא, כשטובות הנאה אלו מוענקות לניזוק ממקור חיצוני שאינו המזיק. תמיכה זו יכול שתעשה בעת התרחשות המעשה הנזיקי או לאחריו. היא לובשת צורה באמצעות הוצאות כספיות או במתן שירות, במטרה לתקן את הנזק שנגרם לניזוק, למנוע את החמרתו, או על-מנת להקל על הניזוק מסבלו. תמיכה זו כוללת גם תמיכה שניתנה לניזוק למחייתו, ואף למחיית בני ביתו, שנזקק לה בעקבות הנזק. נדגים היווצרותה של סיטואציה כזו: לאה צעדה ברחוב, כשלפתע נפגעה רגלה ממסמר, שהשאיר שמעון על המדרכה שבפתח ביתו. יוסי, שראה את לאה יושבת חסרת אונים על המדרכה, ניגש לבית המרקחת הקרוב, קנה יוד ופד גזה, וטיפל בלאה. במקרה המדובר, לאה היא הניזוקה, שנפגעה מרשלנותו של שמעון, הוא המזיק, בעוד יוסי, שנתן ללאה שירות במטרה לתקן את נזקה, הוא המיטיב.
את מקורן של טובות ההנאה ניתן לסווג למספר קטגוריות מרכזיות: הראשונה, טובות ההנאה הניתנות מכוח חובה שבדין. דהיינו, הוראות סטטוטוריות המטילות על המדינה ומוסדותיה תשלומי גמלה לניזוק. השנייה, הטבה המבוססת על חובה חוזית, כגון דמי ביטוח מפוליסה שביטח הניזוק את עצמו, או קבלת משכורת ממעביד, בתקופה בה לא יכול היה הניזוק לבצע עבודתו, כתוצאה מהנזק שנגרם בעקבות מעשה העוולה. הקטגוריה האחרונה, היא הטבות הניתנות לניזוק, מחמת רצונו הטוב של המיטיב וללא כל חובה מצדו. לדוגמה, קרוב או מכר הסועד את הניזוק בחוליו.
מערכת היחסים המשולשת מזיק-מיטיב-ניזוק ושאלת שומת הפיצויים.
לצורך קבלת תמונה מלאה לגבי הנזק ותוצאותיו, יש לצרף ליחסי המזיק–ניזוק את המיטיב. נינה זלצמן מסבירה במאמרה, "הטבת נזקי גוף לפי חוק הטבת נזקי גוף: יחסי מזיק, מיטיב, מוטב", כי הטבת הנזק אינה משפיעה על כללי האחריות בנזיקין: בעת קביעת היקף האחריות הנזיקית של המזיק כלפי הניזוק, אין להתחשב בעובדת ההטבה, ויש לפסוק פיצויים בהתאם לאחריותו הנזיקית של המזיק. עובדת ההטבה תעטה חשיבות רק בעת חלוקת הפיצויים. ההטבה מעלה שאלות שונות בדבר הזכויות והחובות שבין המזיק, המטיב והניזוק, וחלוקת נטל הפיצויים ביניהם. זלצמן, נועצת את עיצובה של מערכת היחסים הנ"ל בגישתה של שיטת המשפט למטרת דיני הנזיקין, וכן בנכונותה להכיר בזכות המיטיב לשיפוי הוצאותיו, בגין הטבת הנזק.
השופט אהרן ברק מונה במאמרו "הערכת הפיצויים בנזקי גוף: דין הנזיקין המצוי והרצוי", את הפונקציות השונות שממלאים דיני הנזיקין, ובפרט דיני הנזיקין בישראל, תוך שהוא עומד על השפעתן בקביעת שיעור הפיצויים. פרשנותו של חוק, העוסק בהענקת 'פיצויים' לניזוק, מתבצעת בהתאם למטרה החקיקתית שביסוד דיני הנזיקין. אם שיטת המשפט הספציפית שמה לעצמה למטרה להעניק סעד ולהסיר את הנזק שנגרם — לא יפסקו פיצויים מעבר לנזק שנגרם, גם אם אשמו של המזיק עולה על הנזק שנגרם. שיעור שונה של פיצויים היה נקבע, מקום בו שיטת המשפט מדגישה את הענשת המזיק, שאז היו נפסקים גם פיצויים עונשיים העולים על שיעור הנזק שנגרם. כך, היה נקבע שיעור פיצויים שונה, אם שיטת המשפט הייתה מבקשת לקדם פיצויים, שנועדו להרתעתם של מזיקים פוטנציאליים.
בישראל, התשתית הרעיונית המונחת ביסוד פסיקת הפיצויים, מקום בו לא התקיימה התערבותו של צד ג', היא 'השבת המצב לקדמותו' (restitutio in integrum); כחוט השני עוברת בפסיקה הישראלית הקביעה, לפיה מטרת הפיצויים היא העמדת הניזוק, ככל האפשר במונחים כספיים, במצב בו היה לולא מעשה העוולה. אין משמעות הדבר, שהמצב יושב לקדמותו כפשוטו, כיוון שלא תמיד הדבר אפשרי (בפרט כאשר מדובר בנזק גוף, כגון: יד שנקטעה), אלא בשאיפה להענקת סכום כספי, אשר יעמיד את הנפגע במצב בו היה נתון לולא העוולה. כפי שנאמר בעניין נעים נ' ברדה: ""מטרת הפיצוי היא השבת המצב לקדמותו. אין הפיצוי בא להעניש את המזיק, אין הוא בא ליתן ביטוי לרגשי הזדהות או סימפתיה והבנה לניזוק... ביסוד הפיצוי עומד הנזק, אותו יש להעריך ולכמת." ובעניין חנוביץ נ' כהן: "המזיק משלם את מלוא הנזק, ולא למעלה ממנו. אין מענישים אותו. הניזוק אינו מקבל פיצוי כפול. אין מעשירים אותו."" היוצא מהאמור לעיל, שהניזוק זכאי למלוא הפיצויים שנגרמו לו כתוצאה מפעולות המזיק, אך רק עד כדי שיעורם. כנגד זכות זו של הניזוק, עומדת חובתו של המזיק לפצות את הניזוק על מלוא הנזקים שגרם לנפגע, אך לא מעבר לכך.
חלוקת הפיצויים, כשנעשתה התערבות על ידי צד שלישי, תעשה גם היא בהתאם למטרת דיני הנזיקין. העקרונות המשלימים שנזכרו לעיל, המנחים ביסוד פסיקת הפיצויים, אינם יכולים תמיד לדור בכפיפה אחת כאשר דנים בשומת הפיצויים, במצב שהניזוק הוטב על ידי מקור חיצוני.
בספרו, 'פיצויים בשל נזק גוף', עומד דוד קציר על הקשיים וההתנגשויות השונות ביישומם של העקרונות הנ"ל בסיטואציה שבפנינו, וכן על הפתרונות האפשריים לה.
ההתנגשות הראשונה מתמקדת במישור היחסים שבין המזיק לניזוק, והיא מוצגת באמצעות השאלה בדבר ניכויה של ההטבה שניתנה לניזוק, מכספי הפיצויים להם הוא זכאי מהמזיק. כלומר, האם יש להפחית מסכום הפיצויים בהם יחויב המזיק את שיעורה של ההטבה שניתנה לניזוק. לשאלה זו יכולות להיות תשובות שונות. ניתן לעמוד על תשובות אלו ביתר קלות, בשימוש בנקודות השקפתם השונות של המזיק והניזוק.
נפתח בבחינת שאלה זו מנקודת מבטו של המזיק. במצב בו הובילה ההטבה להפחתת נזקו של הנפגע, אם זו לא תובא במסגרת הערכת הפיצויים, הרי שהמזיק יחויב לשלם יותר מכפי הנזק שנגרם בפועל לניזוק. שכן, בשל ההטבה, בעת הערכת הפיצויים, שיעור נזקו של הנפגע קטן מכפי שהיה לאחר העוולה. אי-ניכוי ההטבה שהובילה להפחתת הנזק, תביא למתן פיצויי יתר לניזוק, מעבר לשיעור הנזק שנגרם לו, ובכך יוביל לשיפור מצב הניזוק, לעומת המצב בו היה נתון לפני העוולה. נקודת השקפה זו מובילה לאפשרות הראשונה להסדרת מערכת היחסים בין המזיק לניזוק — ניכוי ההטבה מסכום הפיצויים לו זכאי הניזוק מהמזיק, תוך הקטנת חבותו של המזיק בגובה ההטבה. כך זוכה הניזוק לפיצוי מלא, אך לא מעבר לנזקו, והמזיק יוצא נשכר על חשבון המיטיב.
מנקודת השקפתו של הניזוק שהוטב, ניתן לומר, שההטבה ניתנה לניזוק ולא למזיק שפגע בו, והבאת ההטבה בחשבון בעת שומת הפיצויים, יש בה כדי להסיר חלק מהעומס הכספי משכמו של המזיק בלא הצדקה. הדבר יוביל להפרת העקרון, לפיו על המזיק לשאת במלוא שיעור הנזק שגרם. קרי, המזיק ישלם פיצויי חסר. נקודת מבט זו תוביל אותנו לפתרון האפשרי השני — הניזוק יורשה לגבות את נזקו הן מהמזיק והן מהמיטיב. פתרון זה כרוך, באופן בלתי-נמנע, במתן פיצויי יתר לניזוק.