מקרה פרטי של משוואה ליניארית לא-הומוגנית מסדר ראשון הוא: formula_19, כאשר b ו-c קבועים. פתרון המשוואה ניתן לכתיבה כסכום של פתרון הומוגני ופתרון פרטי (לא-הומוגני): formula_20, כאשר k קבוע כלשהו. זוהי דעיכה מעריכית לערך קבוע, והיא נפוצה בטבע.
גידול ודעיכה מעריכית נפוצים בתחומי מדע רבים משום שתופעות רבות מקיימות בקירוב משוואה דיפרנציאלית זו. משוואות לוטקה-וולטרה, למשל, משמשות לחקר האוכלוסיות בביולוגיה. במעגלים חשמליים כמו מעגל RC או RL (המכונים מעגלים מסדר ראשון) זהו מתח חשמלי. ריכוז המגיבים בתגובה כימית מסדר ראשון ושל חומרים העוברים התפרקות רדיואקטיבית וכמו כן הטמפרטורה של גוף חם בסביבה קרה גם הם גדלים או דועכים באופן מעריכי.
משוואות ספרביליות (ניתנות להפרדה).
משוואה דיפרנציאלית נקראת ספרבילית אם היא מהצורה formula_21 או שניתן להביאה לצורה זו. כלומר, ניתן להפריד בין המשתנה formula_15 והמשתנה formula_23. דרך כתיבה נוספת למשוואה זו היא formula_24, כלומר, "מפרקים" את הנגזרת formula_25 למרכיבים שכל אחד באגף נפרד. נשים לב כי זהו סימון בלבד.
פתרון של משוואה ספרבילית נעשה באמצעות הבאתה לצורה formula_24 וביצוע אינטגרציה לשני האגפים: formula_27, כאשר formula_28 הוא תנאי ההתחלה של המשוואה. (זו אמנם אינה דרך פתרון שכל הצעדים בה תקינים פורמלית, אך ניתן להוכיח כי היא מחזירה את התוצאה הנכונה).
משוואות מדויקות וגורמי אינטגרציה.
משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון נקראת מדויקת אם היא מהצורה formula_29 כך שמתקיים formula_30.
כדי לפתור משוואה מדויקת, מחפשים פונקציה formula_31 אשר תקיים formula_32. אם נמצאה פונקציה כזו, הפתרון של המשוואה נתון על ידי formula_33, או formula_34.
אם משוואה איננה מדויקת, ניתן לנסות ולהביא אותה לצורה של משוואה מדויקת על ידי הכפלת שני האגפים בפונקציה כלשהי. פונקציה שמכפלה בה הופכת את המשוואה למדויקת נקראת גורם אינטגרציה.
שיטת הפתרון, בהינתן formula_35 כאשר y הוא הפונקציה המבוקשת, היא לכפול את השוויון בגורם אינטגרציה - פונקציה formula_36 כך שאגף שמאל יהיה שווה ל- formula_37. במצב זה ניתן לבצע אינטגרציה של שני האגפים ולקבל פתרון.
כדי למצוא גורם אינטגרציה מתאים, נשתמש בחישוב הנגזרת של המכפלה שהיא
formula_38
והיא צריכה להיות שווה ל- formula_39. מכאן נובע שצריך להתקיים:
formula_40.
בעזרת הזהות formula_41, ניתן לראות כי formula_42 הוא גורם מתאים להכפלה, ומכאן על ידי אינטגרציה של שני האגפים מתקבל הפתרון.
כדי לפתור את המשוואה formula_43 נכפול בגורם האינטגרציה formula_44 ונקבל
formula_45.
מכאן
formula_46
ולכן
formula_47.
משוואות הומוגניות.
משוואה דיפרנציאלית הומוגנית היא משוואה מהצורה formula_48 כאשר מתקיים formula_49 לכל formula_50. ניתן להביא משוואה שכזו לצורה של משוואה ספרבילית על ידי החלפת משתנים עם ההצבה formula_51.
משוואת ברנולי.
משוואה דיפרנציאלית מהצורה formula_52 נקראת משוואת ברנולי (על שם המתמטיקאי יאקוב ברנולי). משוואה שכזו ניתן לפתור על ידי ההצבה formula_53, שממנה מקבלים את המשוואה הליניארית formula_54.
שיטה נוספת לפתרון משוואה זו היא על ידי ההצבה formula_55, כך שהמשוואה הדיפרנציאלית מוצגת בצורה formula_56. מניחים כי formula_57, מוצאים את formula_58 בעזרת הפרדת משתנים, ולאחר מכן מוצאים את formula_59 בעזרת הפרדת משתנים של המשוואה formula_60.
משוואות מסדר שני.
באופן כללי, משוואה מסדר שני מתוארת על ידי הפונקציה formula_61. משוואות מסדר שני קשות לפתרון יותר מאשר משוואות מסדר ראשון, אך קיימות שיטות פתרון יעילות עבור משוואות ליניאריות מסדר שני. שיטות אלו הן מקרים פרטיים של השיטות הכלליות לטיפול במשוואה ליניארית מסדר כלשהו, אך בשל פשטותן היחסית הן יותר קלות לשימוש ולהבנה מאשר השיטות הכלליות.
משוואות ליניאריות הומוגניות מסדר שני.
משוואה ליניארית הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה formula_62. סכום וכפל בקבוע של פתרונות משוואה זו הם פתרונות בעצמם, ולכן, הפתרונות מהווים מרחב וקטורי, וניתן למצוא בסיס למרחב זה. כלומר, בהינתן שני פתרונות פרטיים בלתי תלויים של המשוואה, כל צירוף ליניארי שלהם מהווה בעצמו פתרון שלה. תנאי הכרחי ומספיק לכך ששני פתרונות יהוו בסיס מובע באמצעות מטריצה של הפונקציות ונגזרותיהן הראשונות, הנקראת ורונסקיאן.
קיימת שיטה כללית שמאפשרת, בהינתן פתרון אחד למשוואה ההומוגנית, למצוא פתרון בלתי תלוי בו. על כן, כדי לפתור משוואה הומוגנית ליניארית מסדר שני, די למצוא פתרון אחד (אבל גם זה יכול להיות קשה מאוד לעיתים).
כאשר הפונקציות formula_63 הן קבועים, כלומר המשוואה היא מהצורה formula_64, פתרונות המשוואה הם מהצורה formula_65, כאשר formula_66 הוא שורש של הפולינום formula_67 (פולינום זה מכונה הפולינום האופייני של המשוואה). אם לפולינום שני שורשים שונים, שני הפתרונות שהם נותנים הם בלתי תלויים. אם יש רק שורש יחיד, formula_68 הוא פתרון בלתי תלוי. אם השורשים הם מספרים מרוכבים, ניתן על ידי חיבורם או חיסורם (ובעזרת נוסחת אוילר) וחלוקה בקבוע לקבל שני פתרונות בלתי תלויים ממשיים - אם formula_69 הם השורשים, מקבלים את הפתרונות formula_70.
משוואות ליניאריות אי-הומוגניות מסדר שני.
משוואה ליניארית אי-הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה formula_71 כאשר formula_72. בניגוד למשוואות הומוגניות מסדר שני, סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה זו אינם בהכרח פתרונות בעצמם (למעשה ניתן להראות שאם formula_73 ו-formula_74 הם פתרונות של המשוואה אז formula_75 הוא גם כן פתרון אם ורק אם מתקיים formula_76). פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית ליניארית אי-הומוגנית מסדר שני מתקבל בעזרת הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה (המשוואה שבה formula_77) על ידי כך שמחברים לפתרון זה גם פתרון פרטי של המשוואה האי-הומוגנית.
משוואות מסדר "n".
באופן כללי, משוואה מסדר formula_1 מתוארת על ידי הפונקציה formula_79.
ניתן להראות כי כל משוואה דיפרנציאלית מסדר formula_1 ניתנת להצגה כמערכת של formula_1 משוואות דיפרנציאליות מסדר 1.
משוואות ליניאריות מסדר "n".
משוואה ליניארית מסדר formula_1 היא משוואה מהצורה formula_83
כאשר formula_84 המשוואה היא הומוגנית וכאשר formula_85 המשוואה היא לא הומוגנית (או אי-הומוגנית).
ניתן להכליל את השיטות שבהם משתמשים כדי לפתור משוואה ליניארית מסדר שני כך שיוכלו לשמש לפתרון משוואות מסדר formula_1. בדומה למשוואות ליניאריות הומוגניות מסדר שני, סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה ליניארית הומוגנית מסדר formula_1 הם פתרונות בעצמם. כמו כן, בדומה למשוואות ליניאריות אי-הומוגניות מסדר שני, גם במקרה הכללי (של משוואות מסדר formula_1) ניתן לקבל את הפתרון הכללי של המשוואה הליניארית האי-הומוגנית על ידי כך שמחברים פתרון פרטי של המשוואה האי-הומוגנית לפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה
(המשוואה שבה formula_84) כאשר את הפתרון הפרטי למשוואה האי-הומוגנית מוצאים בשיטות דומות לאלו שמשתמשים בהם במקרה של משוואה מסדר שני.
תנאי התחלה.
תנאי התחלה הוא תנאי שעל הפונקציה או על אחת מנגזרותיה לקיים. התנאי הוא מהצורה: formula_90, כאשר formula_91.
כאשר פותרים משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר formula_1 מקבלים פתרון עם formula_1 פרמטרים (הנקרא פתרון כללי של המשוואה). כדי שיהיה ניתן למצוא פונקציה מסוימת (ללא פרמטרים) יש צורך ב-formula_1 תנאי התחלה (פתרון זה נקרא פתרון פרטי).
למערכת של משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר formula_1 עם formula_1 תנאי התחלה קוראים בעיית התחלה.
דוגמה.
אחת המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות הפשוטות ביותר היא המשוואה:
formula_97
הפתרון הכללי שלה הוא:
formula_98
כאשר formula_99 הוא פרמטר.
עבור תנאי ההתחלה:
formula_100
נקבל ש:
formula_101
ולכן הפתרון של בעיית ההתחלה:
formula_102
הוא:
formula_103
משה בן שאול
ג'ייסון מיוז
ג'ייסון אדוארד מיוז (באנגלית: Jason Edward Mewes; נולד ב-12 ביוני 1974) הוא שחקן טלוויזיה וקולנוע אמריקאי, מוכר בעיקר בדמות סוחר הסמים המקלל "ג'יי", החצי הקולני יותר בצמד הקולנועי-בדיוני ג'יי ובוב השקט, לצידו של חברו קווין סמית'.
קריירה.
את דמותו של ג'יי גילם בשבעה סרטי קולנוע: "מוכרים בלבד" (בתפקידו הקולנועי הראשון), "עכברי הקניון", "לרדוף אחרי איימי", "דוגמה", "ג'יי ובוב השקט מכים שנית", "מוכרים בלבד 2" והופעת אורח בסרט "צעקה 3". ביחד עם סמית' הופיע גם בסדרת הטלוויזיה המצוירת "מוכרים בלבד". כמו כן, כיכב בפרק הפיילוט של סדרה בבימויו של קווין סמית', שנקראה "שונאים את האל". הסדרה לא המשיכה מעבר לפרק הפיילוט.
ב-2006 השתתף בסרט "ישבנים למעלה" בתפקיד הראשי, בסרטו של דייוויד ארקט "טריפ קטלני" ובסרט "תקוות גדולות" לצד לייסי שאבר.
ב-2008 השתתף בסרטו של סמית', "זאק ומירי עושים פורנו", אך הפעם לא בתפקיד הקבוע של ג'יי. ב-2009 שיחק בסרט "שני גברים וחלום".
בשנת 2010 החל מיוז להגיש יחד עם סמית' את הפודקאסט השבועי "Jay &amp; Silent Bob Get Old" ("ג'יי ובוב השקט מזדקנים") ברשת "סמודקאסט", ובשנת 2011 החלו השניים להגיש באתר גם תוכנית יומית בשידור חי תחת השם "Jay &amp; Silent Bob Get Jobs" ("ג'יי ובוב השקט מקבלים עבודות").
בשנת 2012 שיחק בקומדיה "נובס" לצד מויסס אריאס וסברינה קרפנטר.
בשנת 2021 דיבב את דמותו של סטינקור בסדרה המונפשת שיצר חברו קווין סמית' לנטפליקס "".
חיים אישיים.