על סמך העקרונות המתוארים לעיל פותחו שיטות רבות, ביניהן מכניקה המילטונית, משוואת המילטון-יעקובי, וטרנספורמציות קנוניות, שמהותן חיזוק הכלים לפתרון בעיות מכניות. ישנן התפתחויות עקרוניות לתורה כגון תורת ההפרעות המאפשרת לדון במערכות שיש בהן איבוד אנרגיה (דיסיפציה, לדוגמה) וכאוס הדנה במערכות עם משוואות לא ליניאריות.
בשנת 1918 ניסחה המתמטיקאית אמי נתר את "משפט נתר" והוכיחה אותו. המשפט קושר בין סימטריות של מערכת פיזיקלית וחוקי שימור שהיא מקיימת, וקובע כי עבור כל סימטריה רציפה (וגזירה) של הפעולה, קיים גודל שמור. כך למשל, חוק שימור האנרגיה נובע מסימטריה להזזה בזמן, חוק שימור התנע נובע מסימטריה להזזה מרחבית וחוק שימור המטען החשמלי נובע מסימטריית כיול. למשפט נתר חשיבות גדולה במכניקה אנליטית בפרט ובפיזיקה תאורטית ככלל.
למכניקה האנליטית יישומים רבים בתחומים שונים של הפיזיקה, אך היא כושלת בהתמודדות עם בעיות מתחום התרמודינמיקה, שכן מספרם העצום של החלקיקים המעורבים במערכת הופך את פתרון משוואות התנועה שלהם לבלתי אפשרי. כדי לפתור בעיות מסוג זה פותחו בתרמודינמיקה כלים אחרים בדמות התאוריה הקינטית של הגזים והמכניקה הסטטיסטית.
כיום, במכניקת הקוונטים, אשר סותרת לכאורה את המכניקה הקלאסית, משתמשים דווקא במונחים מהמכניקה האנליטית ופחות במונחים ניוטוניים, תוך הכללתם לעולם התוכן הקוונטי. כך, בתורת הקוונטים, אופרטור ההתפתחות בזמן מוגדר על ידי ההמילטוניאן של הבעיה, ואילו בתורת השדות הקוונטית משתמשים בלגראנז'יאן של השדה כמושג מרכזי.
נייפידאו
נייפידאו (בבורמזית: နေပြည်တော်) היא בירת מיאנמר (בורמה) והעיר השלישית בגודלה במדינה לאחר יאנגון ומנדליי, אוכלוסייתה מונה נכון לשנת 2021 639,759 תושבים.
הבירה המינהלית של מיאנמר הועברה באופן רשמי לאזור צבאי סגור כשלושה ק"מ ממערב לפיינמנה ב-6 בנובמבר 2005. נייפידאו שוכנת כ-320 ק"מ מצפון ליאנגון, העיר הגדולה במדינה ובירתה הקודמת.
שמה הרשמי של עיר הבירה הוכרז ביום הכוחות המזוינים במרץ 2006. העיר משתרעת על שטח עצום של 4600 קמ"ר (כגודלו של הגליל העליון).
היסטוריה.
פיינמנה הייתה בסיס של צבא העצמאות הבורמזי (מאוחר יותר שונה שמו על ידי היפנים לצבא הלאומי של בורמה). בפיינמנה שכן מחנה אימונים של הצבא. במהלך מלחמת העולם השנייה שינה הצבא את נאמנותו וסייע למלחמת הגרילה, עד לשחרורה של בורמה. פיינמנה הפכה לסמל לצבא הבורמזי, כמקום שבו הובסו פולשים בעלי כוח עדיף. רבים טוענים כי הסיבה להעתקת עיר הבירה למיקום זה היא כדי להתכונן לפלישה אפשרית של כוחות מן החוץ (ארצות הברית למשל).
החונטה הצבאית השלטת כיום במיאנמר החלה להעביר את משרדי הממשלה מיאנגון לנייפידאו בשעה 06:37 בדיוק, ב-6 בנובמבר 2005. חמישה ימים אחר כך, בשעה 11:00 בבוקר, שיירה שנייה של 1,100 משאיות צבאיות הנושאות 11 חטיבות ו-11 משרדי ממשלה, עזבה את יאנגון. התוכנית הייתה כי משרדי הממשלה יחלו לפעול במיקומם החדש עד סוף חודש פברואר 2006, אולם עקב מחסור בבתי ספר, הופרדו המשפחות של עובדי הממשלה וחלו עיכובים בתחילת פעולות המנהל בבירה החדשה. על פי התוכנית, פועלים במקום שני מתחמים נפרדים, האחד מתחם משרדי הממשלה והשני מטה הצבא. הכניסה לאזרחים אסורה לשני המתחמים. לרוכלים קיימת גישה אך ורק לאזור מסחרי מוגדר, סמוך למשרדי הממשלה. השימוש בטלפונים סלולריים ובצלחות לקליטת שידורי לווין אסורים אף הם בבירה החדשה.
הסיבות להעברת בירת מיאנמר לנייפידאו אינן ברורות, אולם קיימות השערות מספר בעניין זה. האחת היא מיקומה האסטרטגי העדיף של נייפידאו על פני יאנגון, בכך שהיא מרוחקת יותר מקו החוף. לעובדה זו יתרון אם מיאנמר תבוא תחת התקפה של כוחות עוינים. סיבה זו הוכחשה על ידי הגנרל טהאן שהוו, העומד בראש המדינה. נייפידאו אף משמשת כמרכז תחבורתי, זאת עקב מיקומה המרכזי ליד המחוזות המדיניים שאן, צ'ין וקארן ויש להניח כי נוכחות צבאית קבועה במקום תעזור לייצב את המשטר באזורים מרוחקים אלה. יש המשערים כי ההחלטה להעביר את עיר הבירה נבעה מתוך תחושת פרנויה של ראשי המשטר, שמא ההמונים העניים המרודים מבין תושבי יאנגון עלולים למרוד כנגד המשטר. בגלל אופיו החשאי של המשטר במיאנמר ייתכן שראשי המשטר רצו להרחיק את מוסדות השלטון למקום שבו לא נמצאים אמצעי תקשורת זרים ואין סכנה של ריגול. לבסוף, היו ששיערו כי המעבר נעשה בעצתו של האסטרולוג האישי של השליט טהאן שהוו. על פי השערה זו ניבא האסטרולוג כי הממשל הנוכחי יודח עד לסוף חודש פברואר 2006, אלא אם כן תועבר בירת המדינה. התומכים בהשערה זו מוצאים לה תימוכין בחזרה החידתית על המספר 11 בכל הקשור לעבודות העתקת הבירה. הירחון איראוואדי המופיע בתאילנד כתב: "אנשים בראנגון לועגים להחלטה והסבו את תשומת הלב לאימרה הבורמזית: נמר משנה את משכנו אך ורק כדי לפגוש את מותו."
ב-27 במרץ 2006 צעדו יותר מ-12,000 חיילים במפגן הצבאי הפומבי הראשון בבירה החדשה, זאת כדי לציין את יום הכוחות המזוינים – יום בו מציינים את התקוממות בורמה כנגד הכובשים היפניים בשנת 1945. המצלמות שתיעדו את המצעד הוגבלו לצילום מגרש המסדרים בלבד, מעליו ניצבו שלושה פסלים ענקיים של שלושה ממלכיה ההיסטוריים של בורמה. שמה הרשמי של העיר נייפידאו נקבע בטקסים אלה.
תחבורה.
ניתן להגיע לנייפידאו בנסיעה של תשע שעות ברכבת מיאנגון. הרכבת יוצאת מיאנגון בשעה תשע בערב ומגיעה לבירה בשש בבוקר. בחודש מרץ 2006 החלו טיסות של חברת אייר מנדאליי בין יאנגון לנייפידאו. החל מ-5 ביוני 2006 החלה חברה זו לטוס מנייפידאו לערים נוספות בבורמה.
סמל העיר תל אביב-יפו
סמל העיר תל אביב-יפו נקבע ביוזמת העירייה בשנותיה הראשונות של העיר. הסמל המקורי עוצב על ידי נחום גוטמן וכולל מספר אלמנטים ציוניים בהקשר של העיר העברית הראשונה ועם השנים חלו בו מספר שינויים. לצד הסמל המקורי נעשה שימוש על ידי העירייה בתוספות גרפיות שונות. הסמל בגלגולו הנוכחי כולל סמליל בדמות עיגול צבעוני לצד סמלו המקורי של גוטמן.
עיצוב הסמל.
ההצעות הראשונות.
הצורך הראשון בסמל לעיריית תל אביב הועלה על ידי ראש העיר הראשון, מאיר דיזנגוף, עוד בשנת 1921, עקב קבלת מעמד רשות מוניציפלית נפרדת של תל אביב מיפו בימי המנדט הבריטי, ורצון להעמיד את תל אביב בשורה אחת עם הערים הגדולות בעולם.
בשנת 1923 פנה אל מאיר דיזנגוף פרופסור בוריס שץ, אז ראש האקדמיה בבית הספר לאמנות בצלאל, בבקשה לעצב את סמל העיר. שץ ראה בתל אביב עיר מודרנית, מנוגדת לירושלים המיושנת, ושאף לרקום קשרים בין בית הספר בצלאל לבין העיר הצעירה. שאיפה זו באה לידי ביטוי בין השאר בתערוכות של תלמידי האקדמיה שהוצגו בתל אביב, ובהן יוזמה של המחלקה לקרמיקה לעטר את בתי שכונת נווה צדק באריחים מצוירים. למרות היוזמה והצורך, הצעתו של ש"ץ נדחתה בתואנה של שיקולים כלכליים.
בראשית דצמבר 1924 הכריזה העירייה על תחרות לעיצובו של הסמל בלשון הבאה:
לעיריית תל אביב היו דרישות ברורות מהמתחרים. המעצבים התבקשו שהסמל יכיל את חזון העתיד משולב עם אזכור לעבר, אך בו בזמן יהיה "פשוט, לא מגובב ומובן לכל". לתחרות הוצגו מספר הצעות, ביניהן גם הצעה של בוריס שץ אך אף אחת מהן לא התקבלה. תיעוד לתחרות ולהצעות שהוגשו בה לא נשמר.
הצייר נחום גוטמן, שגדל בנווה צדק והפיכתה לעיר תל אביב הייתה אבן דרך בחייו, הוא זה שעיצב לבסוף את סמל העיר. גוטמן התחנך בבצלאל אצל בוריס שץ מגיל צעיר, ורחש הערכה וכבוד למורו. עם שובו ארצה בשנת 1925 מצרפת, שם המשיך את לימודי האומנות, פנה אליו מאיר דיזנגוף בבקשה לעצב את סמל העיר.
יצירת הסמל ומשמעויותיו.
במשימת העיצוב נועץ גוטמן בן ה-27 עם אביו, ש. בן ציון, סופר מאותה תקופה, עם מאיר דיזנגוף ועם הסופר והמשורר חיים נחמן ביאליק. על פי סברה אחת, בן ציון הוא זה שהציע את הכיתוב "אבנך ונבנית".
בכתב העת עת־מול הועלתה סברה אחרת, על פיה שמעון רוקח, מייסד שכונת נווה צדק ומהאנשים הבולטים בתל אביב באותה התקופה, הוא שהציע את הסיסמה, שכן נהג לחתום את מכתביו בביטוי "אבנך ונבנית".
כיתוב זה, שהיה לסיסמת העיר, לקוח מן הפסוק בתנ"ך:
לפסוק זה ישנן משמעויות ופרשנויות רבות. מצודת ציון פירש את שבר הפסוק "עוד אבנך ונבנית": "עוד ר"ל (=רצה לומר) הנה הבית הראשון והשני בנו בני אדם ונחרבו ועוד אבנך אני את השלישי ותשאר בנויה עד עולם, או ר"ל הנה בגולה אתה מפוזר בין העמים כבניין הנהרס אשר יתפזרו אבניו ואני אקבצך להיות יחד כאבנים בכותלי הבניין ועד עולם תהיה בנויה ולא תגלה עוד". ואילו רש"י פירש: כ"בניינים שנים היו לך על ידי אדם לכך חרבו עוד אבנך אני בעצמי בניין שלישי ונבנית לעולם תעדי תתקשטי". את המילים "בתולת ישראל" פירש מצודת דוד כ"את עדת ישראל החביבה עלי כבתולה אשר לא ידעה איש שהיא חביבה לבעלה".
בנוסף, ייתכן שהסמל הושפע מיצירת אמנות המציגה מביטוי הדומה לו, אך שבמקום "בתולת ישראל" זוהי "בתולה בת ציון".
גוטמן בחר בדימוי שמסמל כמה משמעויות על מנת להציג את תל אביב כעיר העברית הראשונה, סמל התיישבות עולי הגולה בארץ הבתולה. בסמל מופיעים מגדלור המפיץ קרני אור ותחתיו שער כניסה מעוגל, "מאור לגולה ושער כניסה פתוח לארץ". אלמנטים אלו מסמלים את הקריאה ליהודי הגולה לשוב ארצה, המגדלור כמראה דרך וכנקודת ציון והשער בתחתיתו כשער בלב ים, דרכו יכנסו הגולים ארצה. בסמל מתוארים גם גלים וחוף תל אביב. הים והחולות הם למעשה שני היסודות שחברו יחדיו כדי לעצב את צביונו של הנוף התל אביבי ולגבש את דפוסי האדם שבו. כל המאפיינים הללו מונחים על רקע של מגן דוד.