ת'אבת אבן קורה, אחד מהמתמטיקאים שצמחו בבית החוכמה, ידוע בגילויה של משוואה המאפשרת למצוא זוגות של מספרים ידידותיים. המתמטיקאי אל-היית'ם פיתח את הידע בנושא המספרים המושלמים והעלה את המשפט הידוע כמשפט וילסון הטוען כי אם המספר p ראשוני אזי formula_14 מתחלק ב-p . לא ידוע האם הוכחת המשפט הייתה ידועה לו, אך הוכחה סופית למשפט זה ניתנה רק בשנת 1771 על ידי ז'וזף לואי לגראנז'. אל-פאריסי המשיך את המחקר בתחום המספרים הידידותיים. הוא נתן הוכחה חדשה למשפטו של אבן קורה תוך שימוש ברעיונות חדשים בנוגע לפירוק לגורמים וקומבינטוריקה. הוא מצא את זוג המספרים הידידים 17,296 ו-18,416.
האינקה.
האינקה הייתה אימפריה שהתקיימה משנת 1200 בערך ועד כיבושה בשנת 1532. לתקופה קצרה בהיסטוריה שלטה אימפריית האינקה על שטח גדול באמריקה הדרומית, שכלל חלקים מהמדינות המודרניות פרו, בוליביה, אקוודור, צ'ילה וארגנטינה. באימפריה זו חיו כ-6 מיליון איש בני עמים שונים, שדיברו ביותר מ-700 שפות.
באימפריית האינקה לא נעשה שימוש בכתב ולכן הדבר מקשה את הבנתנו לגבי הרמה המתמטית אליה הגיעו בני תרבות האינקה. החוקר G. Urton טוען בספרו כי לאינקה הייתה רמה מתמטית אשר כללה הבנה מופשטת של המספרים.
למרות היעדר הכתב, ניהולה של מערכת מדינית כה גדולה דרש צורה מסוימת של אחסון מידע מתמטי (כגון מיסים, כלי נשק, בהמות וכו'). לצורך אחסון המידע המתמטי השתמשו האינקה בכלי הנקרא קִיפּו, מילולית: קשר. הקיפו היה עשוי חבלים כך שאחסון המידע עליו התבצע באמצעות קשירות עם מערכת מיקום עשרונית כך שגודלה המוחלט של ספרה בוטא על ידי מספר קשרים רצופים. לדוגמה: שלושה קשרים רצופים בתחילת החבל ייצגו שלושה אחדות, חמישה קשרים רצופים המופיעים אחריהם ייצגו חמש עשרות וכו'. אפס בוטא על ידי השארת מרווח גדול בין הקשרים. כיוון שבקיפו נכרכו יחדיו מספר חבלים, הבידול ביניהם (כך שניתן יהיה לזכור איזה חבל מיצג איזה מספר) נעשה על ידי קשירת חבלים בצבעים שונים. דרך נוספת לבידול החבלים הייתה על ידי יצירת "חבלי משנה" אשר חוברו ל"חבל ראשי" באמצעו.
מלך האינקה מינה פקידים אחראי קיפו אשר היו קרויים "קויפוקאמאיוק". אלה הוצבו בכל עיר וערכו רישומים שונים כאשר בערים גדולות היו מספר פקידים. הקיפו היו בשימוש גם בידי מערכת המשפט. ידוע על מכשיר בשם יוּפּנה אשר שימש את האינקה כמעין חשבונייה. ישנן מספר השערות לגביו, לגבי תפקידו ואופן פעולתו.
האריתמטיקה ביהדות.
האריתמטיקה במקרא.
מתקופת המקרא בני ישראל עשו שימוש במתמטיקה ובאריתמטיקה לצרכים שונים, בין היתר בעקבות הצורך בה בהלכה היהודית, כגון חוקי השבת האוסרים ללכת בשבת למעלה מתחום השבת, חוק הכלאים שלפיו אסור לזרוע שני מיני זרעים יחד אלא במרווח מסוים, ניתוחים אסטרונומיים לצורך חישובים הנוגעים ללוח העברי לצורכי קביעת המועדים ועוד.
העברים השתמשו בגרסה של שיטה העשרונית שהייתה בנויה על חוקי החיבור והכפל, ולמרות זאת אנו יודעים כי חלק מן המידות והמשקולות במקרא נמדדו על פי בסיס 60 ובסיס 12. אף שייתכן כי לבני ישראל הייתה, כמו לשאר עמי הסהר הפורה הקדום, ובהם הבבלים והמצרים, שיטת ספירה משלהם, התנ"ך איננו כולל סימנים אריתמטיים, והמספרים כתובים בו אך ורק במילים. כל מספר מ-1 עד 10 נקרא בתנ"ך בשם שונה. שמות המספרים מ-11 עד 19 בנויים מצירוף היחידות אל העשרת, כבעקרון החיבור. השם "עשרים" הוא צורת רבים זוגית של המילה עשר, והוא מורה על פעולת הכפל "עשר כפול שתיים". באותו האופן, גם המילה "שלושים" היא בעצם "שלוש כפול עשר", כאשר סיומת הרבים "-ים" מהווה בהקשר זה, הלכה למעשה, סימן לשוני לכפל בעשרת.
היחידה הראשונה אחרי עשר היא מאה, אחריה אלף, והשלישית והגדולה ביותר במקרא היא רבבה, וברבים רבבות או ריבוא.
כתיבת מספרים גדולים במקרא התבצעה בשתי דרכים שונות. האחת היא "בסדר עולה", כלומר – מהיחידה הקטנה ביותר אל היחידה הגדולה ביותר. דוגמה: "ויחי ירד שתים ושישים שנה ומאת שנה, ויולד את חנוך" (). דרך זו היא הקדומה יותר והיא נובעת, ככל הנראה, מקשיי התפיסה של האדם הקדמון באשר לכמות, קרי: היה לו קל יותר לספור ראשית את היחידות – איתן התעסק רבות והכיר היטב – ובשלב הבא לעסוק במספרים בסדרי גודל היותר "מרוחקים" ממנו ושהיכרותו עמם מעורפלת יותר.
הדרך השנייה לכתיבת מספרים היא לפי "סדר יורד", כלומר – מן היחידה הגדולה ביותר לקטנה ביותר. בכל ספרי הנביאים פרט ליחזקאל, כתובים המספרים בסדר יורד. דוגמה: "ויהי משקל הזהב, אשר בא לשלמה בשנה אחת, שש מאות ושישים כיכר זהב" ().
במקביל, ישנם מקומות שבהם שתי הדרכים הנ"ל "מתערבבות", כלומר, חלק אחד במשפט נכתב בסדר עולה, והשני בסדר יורד. דוגמה: "ויהי כל בכור זכר במספר שמות, מבן חדש ומעלה לפקודיהם, שנים ועשרים אלף, שלושה ושבעים ומאתיים" ().
השימוש באריתמטיקה בקרב בני ישראל היה רב, שכן זו היוותה כלי חשוב למתן תרומות ומעשרות, מיקח וממכר, הן עם ישראלים והן עם עמי האזור, גביית מס מארצות כבושות ועוד. איננו יודעים בוודאות כיצד ערכו העברים את חישוביהם, אך הסברה ההגיונית ביותר היא שבנוסף לעשר אצבעותיהם נעזרו באבקוס כמו המצרים והבבלים.
ישנם בתנ"ך תרגילי חשבון הערוכים במלואם, לדוגמה: "אולי יחסרון חמישים הצדיקים חמישה, התשחית בחמישה את כל העיר? ויאמר: לא אשחית אם אמצא שם ארבעים וחמישה" (), כלומר 45=50-5.
במקביל אליהם, מופיעים בתנ"ך אף תרגילי חשבון חלקיים. למשל, ישנם בתנ"ך מופעים בהם החסירו את אחד הגורמים, כמו: "וכי יגף שור איש את שור רעהו ומת, ומכרו את השור החי וחצו את כספו" (שמות כא לה). ישנם גם פעמים בהם נתונים הגורמים, אך התוצאה חסרה, כמו: "ראה זה מצאתי, אמרה קהלת, אחת לאחת למצוא חשבון" () ובלשון מתמטית: ?=1+1.
היחס אל האריתמטיקה כפי שמופיע בתורה ובכתבים מאוחרים יותר, הוא ברובו כאל כלי שימושי ולא כאל מדע מחקרי. ככל הנראה, קיבלו בני ישראל את מרבית ידיעותיהם האריתמטיות מהעמים הסובבים אותם.
השברים במקרא.
במקרא מצויים שברים רבים והם: חצי, רבע, חמישית, שישית ועשירית. יש להניח שהשברים 1/20, 1/30 ו- 1/50 נכנסו לחישוביהם של העברים, מכיוון שהגרה הייתה החלק העשרים של השקל, הסאה – החלק השלושים של החומר והשקל – החלק החמישים של המנה.
העבריים, כמו המצרים באותה התקופה, לא השתמשו בשברים שאינם שברים יסודיים (בעלי מונה הגדול מאחד), זאת אנו למדים מאי הופעתם של שברים שאינם יסודיים במקרא. סביר להניח שזאת משום שלא הבינו את מושג השבר שמונהו גדול מ-1. השברים שמונהם גדול מאחד מצוינים במקרא על ידי המילה "ידות" המצינת ריבוי של שברים שמונהם אחד. לדוגמה:
"ארבע הידות", משמעו, "ארבעה חלקים". המחקר המודרני מחזק השערה בדבר אי הכרת שברים שאינם יסודיים בטיעון כי אדם מודרני היה כותב "חמישית...והשאר", או את המונה והמכנה, כפי המקובל כיום: "ונתתם חמישית לפרעה, וארבע החמישיות יהיה לכם".
אזכור ה"עשרון" בתנ"ך — "שלושה עשרונים לפר ושני עשרונים לאיל" () — איננו סותר הנחה זו, משום שהעשרון הווה יחידת מידה, ואף נקרא לעיתים בשם אחר, הלא הוא עומר: "וְהָעֹמֶר עֲשִׂרִית הָאֵיפָה הוּא" (). בכל הנוגע למספרים מעורבים, העברים נהגו לכתוב את השלם לפני השבר. דוגמה: "ועשו ארון עצי שטים, אמתיים וחצי אורכו, אמה וחצי רוחבו, ואמה וחצי קומתו" ().
אריתמטיקה עברית בימי הביניים.
החיבור העברי "משנת המידות" נחשב לספר המתמטיקה העברי הראשון. ציטוטים ממנו משוקעים בדברי חכמי היהודים מימי הביניים, אולם במאה ה-19 התגלה לראשונה קטע כתב יד של החיבור בעצמו, מאז ועד היום נמצאו עוד שני קטעי כתב יד, היוצרים יחדיו את החיבור השלם, המכיל 6 פרקים ו-49 משניות, כאשר כתב היד המוקדם ביותר מתוארך למאה ה-12 לספירה. על זהות המחבר וזמנו חלוקות הדעות, יש המתארכים אותו לראשית התקופה המוסלמית, המאה ה-9 לספירה, ויש המקדימים ומייחסים אותו לתנא רבי נחמיה, בן המאה ה-2 לספירה.
במאה האחת עשרה ובמאה השתים עשרה פורסמו מספר כתבים חשובים בנושא האריתמטיקה על ידי אברהם בר חייא (ראב"ח) ואברהם אבן-עזרא אשר סימנו את "לידתה" של המתמטיקה העברית. בר-חייא, יליד ברצלונה, אשר נחשב לאבי המדע העברי, חיבר אנציקלופדיה מדעית וחיבורים מתמטיים רבים, בהם "יסודי התבונה ומגדל האמונה" ו"חיבור המשיחה והתשבורת" השופכים אור על המחשבה המתמטית שהונהגה באותה תקופה בארצות האסלאם המערביות. בספר זה מופיע אזכור עברי ראשון לפונקציות הטריגונומטריות.
חיבורו של אבן עזרא, יליד אראגון, "ספר המספר", פרש לראשונה את הצגתה של מערכת ספירה עשרונית תלוית-מיקום הכוללת את האפס. בספר זה מוסברים עקרונות אריתמטיים חשובים כגון ארבע פעולות חשבון, שברים, פרופורציות ושורשים ריבועיים. הרמב"ם פיתח שיטה מתמטית לחישוב מופעי הירח.
המאה הארבע עשרה אופיינה בתנופת תרגום בה תורגמו יצירות חשובות לעברית, הכוללות בין היתר כתבים מרכזיים של תלמי, אוקלידס (ובכלל זה ספרו המפורסם "יסודות") ואבו איבן אל חיתאם. פרסום יצירות אלה הכשיר את הקרקע לכתיבת יצירות מקור עבריות. בתקופה זו פרסם המלומד היהודי מטולדו יהודה בן סלומון הכהן, ראשית בערבית, אנציקלופדיה מדעית בשם "מדרש החוכמה". חיבור מתמטי בעל נדבך אריתמטי מעניין מאוד מתקופה זו הוא "ספר המלכים" העוסק בתכונותיהם של מספרים טבעיים. לוי בן גרשום חיבר מספר כתבים בנושאים מדעיים, בהם אריתמטיקה. מספר שנים אחר כך עסק עמנואל בין יעקב בהצגתם של שברים עשרוניים ובתכונות המעגל.