למספר חיובי יש שני שורשים ריבועיים ממשיים, חיובי ושלילי. למשל, למספר 100 יש את השורשים פלוס 10 ומינוס 10, אשר כל אחד בריבוע מחזיר 100. עם זאת, כאשר מדובר על השורש הריבועי של מספר, מקובל כי סמל השורש הוא בדרך כלל חיובי בלבד (Principal square root). השורש הריבועי החיובי מסומן כך: formula_1. אולם, פתרון המשוואה formula_2 הוא formula_3 ו-formula_4.
למספרים ממשיים שליליים אין שורש ריבועי ממשי (מכיוון שכל מספר ממשי שמוכפל בעצמו נותן תוצאה אי שלילית, בין אם הוא שלילי ובין אם הוא חיובי). המספרים המרוכבים פותחו בין היתר על מנת לתת מענה לבעיה זו: במספרים המרוכבים יש שני שורשים ריבועיים לכל מספר (ממשי או מרוכב).
תכונות.
השורש הממשי.
הפונקציה formula_5, שנקראת פונקציית השורש (הריבועי), היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל מהמספרים הממשיים האי-שליליים לעצמם. פונקציה זו היא רציפה בכל מקום שבו היא מוגדרת, וגזירה עבור כל מספר חיובי. בנקודה formula_6 פונקציית השורש לא גזירה (גם לא באופן חד-צדדי), והנגזרת שלה שואפת לאינסוף, כאשר המשתנה שואף לאפס. &lt;br&gt;
פונקציית השורש משמרת את פעולת הכפל ואת פעולת החילוק, כלומר:
לעומת זאת, פונקציית השורש בדרך כלל לא משמרת חיבור, כלומר:
קל לראות ששוויון מתקבל אם ורק אם formula_12 כלומר אחד המספרים, או שניהם הוא אפס.
השורש המרוכב.
במספרים המרוכבים, לכל מספר יש שני שורשים. בניגוד למספרים הממשיים, במישור המרוכב אין דרך להגדיר מספר חיובי ולכן לא ניתן להחזיר תמיד את "השורש החיובי" כמו שאפשר לעשות במספרים הממשיים, ולכן הבחירה איזה שורש מהשורשים מיוצג בפונקציה היא שרירותית. ההגדרה המקובלת לפונקציית השורש במספרים המרוכבים היא באמצעות פונקציות האקספוננט והלוגריתם הטבעי המרוכבות, בהתאם להגדרת החזקה המרוכבת:
הגדרה זו למעשה מעבירה את נקודת ההחלטה לבחירת הענף של הלוגריתם, כאשר שינוי הענף יוסיף formula_14 למעריך החזקה ולכן יכפיל את השורש ב 1-.
במספרים המרוכבים, פונקציית השורש לא רציפה בכל המישור, כיוון שפונקציית הלוגריתם איננה רציפה. מהסיבה הזו הנוסחאות הרגילות של מכפלת שורשים ומנת שורשים לא בהכרח מתקיימות. לדוגמה:
פיתוח לטור טיילור.
נוסחת הבינום של ניוטון נותנת את טור טיילור formula_16, המתכנס עבור formula_17.
שורש מעוקב
מגדל פרידום
אר-דקו
Ramjet
יהודה חיוג'
רבי יהודה בן דוד אבן חיוג' (945–1012 לערך) היה ממדקדקי העברית והפרשנים הפילולוגיים למקרא בספרד המוסלמית. תגליתו העיקרית, שבלשון העברית השורשים הם שלשיים, כלומר בני שלושה יסודות, הביאה לקפיצת דרך משמעותית, הן בחקר השפה העברית והן בפרשנות המקרא.
רבי אברהם אבן עזרא בפירושו לתהלים (פרק קב פסוק כז) מביא מדברי רבי יהודה ומכתיר אותו בתואר: "המדקדק הראשון שהיה בארץ מערב".
ביוגרפיה.
יהודה אבו זכריא יחיא אבן דאוד, המכונה חיוג', נולד בעיר פאס במרוקו בסביבות שנת 945. ב-960 נסע לקורדובה, בעת שהיה הוויכוח ביו דונש בן לברט לבין מנחם בן סרוק בעיצומו. יש מחלוקת בין החוקרים האם חיוג' הוא יהודה בן דוד, שהיה אחד מתלמידי מנחם, ושהגן על מנחם נגד דונש. ככל הנראה מדובר באותו אדם.
חיי רבי יהודה חיוג' אינם ידועים, כך לא ידוע מי היו רבותיו ולא ידוע מי היו תלמידיו. סביר להניח שהוא לא התבלט בימי חייו ועבודותיו התגלו כיצירות משמעותיות רק לאחר מותו. נפטר בשנת 1012 בערך.
שיטתו.
שלשיות השורש.
המדקדקים שקדמו לחיוג' סברו שהשורש מוגדר לפי אותן האותיות המתקיימות בכל ההטיות שלו. תוצאה של הגדרה זו היא שאין מספר קבוע של רדיקאלים בשורש, והוא יכול לנוע החל מאחד ועד שבעה רדיקאלים. לדוגמה: המילים הלכתי, אלך - מקורן מהשורש 'לך'. המלים מטה, נטיתי, אטה - השורש הוא בן אות אחת בלבד, 'ט'. מכה, הכיתי, אכה - השורש 'כ'. מדקדקי הערבית גילו כבר במאה השמינית את שלשיותם של השורשים, אך כיוון שחכמי היהודים נמנעו מלימוד משווה של שתי השפות, הגילוי התעכב. חיוג', שהיה מצוי מאוד בערבית וגדל בפאס ובקורדובה שהיו מרכזים ערביים חשובים, דילג על המעצור התרבותי וגילה את התופעה הזו גם בעברית.
חיוג' גילה את העובדה שגם בעברית כל השורשים בנויים משלושה יסודות, בין אם הם עיצורים או תחליפיהם (בגזרות). לפי תגלית זו קיימת חוקיות מרבית בתורת הלשון העברית ולכן משמעות השורשים הפכה מדויקת יותר מזו שבשיטה הרב-גונית, שנהגה עד ימיו. ידיעת השורש המדויק מאפשרת גם דיוק רב יותר במשמעות, ולכן תורמת לפרשנות מדויקת יותר של המקרא.
חיוג' בדק בחריצות את השורשים העבריים והגיע למסקנה שרוב השורשים הם תלת עיצוריים, ובאלה שאינם תלת עיצוריים בא במקום אחד העיצורים יסוד אחר, כגון תנועה ארוכה או דגש חזק. שורשים יוצאי דופן אלו מכונים החסרים, הנחים, המורכבים והכפולים ועוד, אלו הנקראים היום – גזרות.
את ניצני התגלית ניתן לראות כבר אצל דונש, שלא חיבר ספרים מיוחדים לדקדוק, אך בתשובותיו נגד רס"ג ומנחם, דרכו הדקדוקית מראה שהוא כבר החל להבחין בכך שהשורש העברי מכיל שלוש אותיות. ואולם הדברים לא נעשו בשיטתיות ובירידה לעומק. דונש מכיר עדיין בשורשים של שתי אותיות, ואפילו של אות אחת. הוא הכיר למשל בקיומו של השורש יג"ע, גם כשבצורה הופיעה ו במקום י (למשל הוֹגִיעַ), וגם כשפה"פ (כאשר פ' הפועל) י לא באה לידי ביטוי כלל בצורה. כך גם בשורש יב"ש, שגם בו היו"ד נעלמת לפעמים. הוא הדין עם חסרי פ"נ (כאשר האות השורשית הראשונה היא נ) – גם כשהנו"ן לא מופיעה הוא הכיר בנו"ן הנמצאת ונבלעת בשורש. לפי הגורסים שחיוג' הוא מתלמידי מנחם וממגיניו, הרי מצאנו שהוא הולך בעניין זה דווקא אחר דונש.
הפרשנים הפילולוגיים והבלשנים שקמו אחר חיוג' השתמשו בתגלית זו. כך רבי יונה אבן ג'נאח, רבי משה אבן ג'יקטילה, רבי יהודה אבן בלעם, רבי אברהם אבן עזרא ורד"ק. למרות זאת היו פרשנים רבניים וקראים, שלא סרו מן הדרך הרב-גונית (בה יכול להיות למילה שורש בן אות אחת או שתיים או שלוש ועוד), ולא קיבלו את השיטה התלת עיצורית.
רשב"ם, שנולד כשבעים שנה אחרי מות חיוג', נקט בשיטה החד-גונית שגילה חיוג', בניגוד לסבו רש"י, אף על פי שלא קרא ערבית ולא עסק בלשון כמקצוע. נראה שרשב"ם שמע את הדברים מנוצרים אתם היה במגע, אלו שמרו על קשרים עם אנשי הכנסייה הנוצרית בספרד, שלמדו את הדברים מן היהודים עצמם. רשב"ם לא מתבטא במונחים של תרגומי חיוג' לעברית (אבן ג'קטילה או אבן עזרא שחיו בתקופתו), וייתכן ששינה את המושגים כדי להתאימם למקומו, או שכמו חיוג' עצמו, קיבל אותן ממקור אחר, מתורגם לעברית, או לועזי.
חילוף ושיכול אותיות.
אצל הפרשנים הפילולוגיים הייתה נהוגה הגישה של החלפת אותיות בין שורשים או שיכול אותיות השורש כדי להצביע על זהות בין שורשים שונים. ראב"ע מביא בספרו "ספר צחות" (עא, א) דעה, לפיה המילה "קִפּוֹז" (יש' לד, טו) היא כמו קִפוד. כך לגבי המילים "רעואל" - "דעואל". בין הבלשנים בתקופה הנדונה היה נהוג להחליף בין האותיות ש-ס (שתם-סתם), כ-ג, ה-ח, ל-נ (לטושה-נטושה), ע-ח (ערבה-חרבה), א-ע (אל-על), ו-ב (ועוזו-בעוזו), ב-פ (שובך-שופך), ז-ס-צ.
ככלל, היו מספר שיטות בחילופים:
כאמור, חיוג' מחליף בשורשים רק אותיות אהו"י, ונדיר שהוא מחליף בין סמ"ך לשי"ן שמאלית. הוא לא נקט בחילוף אותיות והשתדל להימנע מכך. בכך הוא דומה למנחם, ואולי זה מחזק את ההשערה שחיוג' היה מתלמידיו.
באשר לשיכול אותיות, ראב"ע מביא בשם דונש שפירש את הפועל "ויחרגו" (תה' יח, מו) כמו "ויחגרו"; את המילה "נגרזתי" (תה' לא, כג) פירשו "נרגזתי"; "תמחץ" (תה' סח, כד) כמו "חמוץ" (בשם אבן בלעם). אבן ג'נאח הקדיש כחצי פרק מתוך "ספר הרקמה" לתופעה זו. רס"ג ויהודה אבן קוריש השתמשו בשיכול אותיות כאשר היה צורך פרשני לפי ההקשר. מנחם המעיט ככל האפשר משיכול אותיות.
חיוג' שלל את שיכול האותיות בגזרת השלמים, רק בפעלים העלולים השתמש חיוג' בשיכול וגם אז עשה זאת בזהירות ותוך כדי הסבר כי מדובר בשני שורשים בעלי אותה משמעות. נדיר שיחליף שורש מגזרת פ"י עם שורש מגזרת ע"ו, כמו יש"ב עם שו"ב, וכן ל"ה עם ע"ו רדה עם רוד. בתהלים לה, א: "רִיבָה ה' אֶת יְרִיבַי", חיוג' מעדיף לומר שאלו שני שורשים שונים, ולא משוכלים. כך במילה "יקום", הוא רואה את היו"ד כנוספת, ולא כשורשית, כדי לא להיזקק לשיכול אותיות. הוא מחזק בכך את התזה שלו – שבכל שורש יש שלושה יסודות. מטרתו הייתה למנוע הבנה שגויה (לשיטתו) כי קיימים שורשים בני שני יסודות בלבד. אם נראה חילוף שורשים רבים, נטען שהשורש הוא דו-מקומי, כפי השיטה הרב-גונית, ומכך ביקש להימנע.
ספריו.
חיוג' חיבר לפחות ארבעה ספרים: כתאב אַלְתַנְקִיט, כתאב אלאפעאל דַ'וַאת חֻרוּף אַלְלִין, כתאב אלאפעאל דַ'וַאת אַלְמִתְ'לַיִן, כתאב אַלְנֻתַף.
מקנס
מֶקְנֶס או מכּנס (בערבית: مكناس, בברברית: ⴰⵎⴽⵏⴰⵙ, בצרפתית: Meknès, בספרדית: Mequinez; העיר נקראת לעיתים בעברית, על פי שמה הערבי, מכּנאס) היא עיר בצפון מרוקו ובירת מחוז מקנס תאפילאלת. העיר שוכנת בגובה של כ-560 מטר מעל פני הים, ובמרחק של כ-120 ק"מ מזרחית מהבירה רבאט. בעיר התגוררו 576,152 איש בשנת 2008 ובאזור האורבאני מתגוררים כ-950,000 איש.