קל לראות שכל גרף קשיר הוא formula_4-מרחיב עבור formula_11 קטן מספיק. לכן מתייחס לפעמים השם "גרף מרחיב" למשפחה אינסופית של גרפים שכולם מרחיבים עם אותו קבוע formula_4 (ואותו formula_3), ולא לגרף בודד.
הגדרה ספקטרלית.
בהינתן גרף רגולרי כאמור לעיל, מטריצת השכנות שלו היא מטריצה בגודל formula_14 כך שהתא במיקום formula_15 מכיל את הערך 1 אם קודקוד formula_16 מחובר לקודקוד formula_17, ואת הערך 0 אחרת. הערך העצמי המקסימלי של מטריצת שכנות של גרף k-רגולרי הוא תמיד formula_3 ואם הגרף דו צדדי, גם formula_19 הוא ערך עצמי. ערכים עצמיים אלה נקראים טריביאלים. אומרים שהגרף הוא formula_20-מרחיב (במובן הספקטרלי) אם לכל ערך עצמי לא טריביאלי מתקיים formula_21.
הגדרה זו של גרפים מרחיבים שקולה להגדרה הקודמת, כלומר לכל k ולכל formula_22 יש formula_23 כך שכל גרף שהוא formula_20-מרחיב לפי ההגדרה הספקטרלית, הוא גם formula_4-מרחיב בהגדרה הקומבינטורית ולהפך.
קיום ובניה של גרפים מרחיבים.
על ידי שיקולי ספירה קל להראות שיש גרפים מרחיבים. ליתר דיוק, אם formula_26 ואם מגרילים גרף מקרי k-רגולרי על formula_2 קדקדים, אז כאשר formula_2 שואף לאינסוף, ההסתברות שהגרף הוא formula_29-מרחיב שואפת ל-1. בפרט, יש גרפים מרחיבים מכל סדר גדול מספיק.
בניה מפורשת של גרפים מרחיבים, לעומת זאת, איננה בעיה קלה. הבניה הראשונה ניתנה על ידי גריגורי מרגוליס בשנת 1975. הגרפים שנבנו היו גרפי קיילי של חבורות מטריצות מעל שדות סופיים. ההוכחה שגרפים אלה הם אכן מרחיבים משתמשת בתורת ההצגות (האינסוף ממדית!) של חבורות לי פשוטות.
בשנת 1988 אלכס לובוצקי ופיטר סרנק בנו דוגמה מפורשת לגרפי רמנוג'אן שהם אקספנדרים אופטימליים.
הבנייה נעזרה בהוכחה של השערת רמנוג'אן על ידי פייר דלין בתורה של תבניות מודולריות, כתוצאה מהוכחת השערות ווייל.
כיום ידועות מספר שיטות לבניית גרפים מרחיבים. השיטות המודרניות נעזרות בתחום הקומבינטוריקה האריתמטית, ונסמכות על עבודות של הלפגוט, בורגיין-גמבורד-סרנק, בורגיין-ואריו וגרין-טאו-ברוליארד.
שימושים של גרפים מרחיבים.
לגרפים מרחיבים שימושים רבים במתמטיקה ובמדעי המחשב. להלן מבחר דוגמאות:
אי שוויון צ'יגר.
קבוע צ'יגר (Cheeger) הוא מדד מספרי האם גרף מכיל "צוואר בקבוק". הקבוע מוגדר על ידי formula_30 (מהי קבוצת הקודקודים בגודל של עד חצי ממספר הקודקודים, שעבורה מספר הקשתות שיצאו ממנה ביחס לגודל שלה יהיה מינימלי).
עבור גרף G שהוא d רגולרי קיים קשר בין הפער הספקטרלי (formula_31 ) לקבוע זה, שהוכח על ידי טנר, ובאופן בלתי תלוי על ידי נוגה אלון וויטלי מילמן:
formula_32
השמיניה (סדרה)
ז'אן-פיליפ ראמו
ז'אן-פיליפ ראמו (בצרפתית: Jean-Philippe Rameau; הוטבל ב-25 בספטמבר 1683 בדיז'ון - 12 בספטמבר 1764 בפריז) היה אחד מחשובי המלחינים והתאורטיקנים למוזיקה בצרפת תקופת הבארוק. הוא החליף את ז'אן-בטיסט לולי כמלחין הראשון במעלה של האופרה הצרפתית, והיה מושא התקפותיהם של המעדיפים את סגנונו של לולי.
חייו ויצירתו.
אביו של ראמו היה נגן העוגב בקתדרלה של דיז'ון, הראשון לשושלת נגני מקלדת במשפחת ראמו, שכללה את ז'אן-פיליפ עצמו, אחיו הצעיר קלוד ואחותו קתרין, בנו הצעיר של קלוד ז'אן-פרנסואה ואחיו למחצה של ז'אן-פרנסואה, לאזאר, שהיה גם לדמות בדיאלוג של דני דידרו, "אחיינו של ראמו".. האב עודד את זאן-פיליפ להתאמן בצ'מבלו מן הגיל הצעיר ביותר האפשרי. אף על פי כן, ראמו התחיל ללמוד משפטים לפני שהחליט, שחקר מוזיקה והלחנתה הם אהבת חייו האמיתית. הוא בילה חלק גדול מנעוריו באיטליה ובפריז ולמשך זמן מה הלך בדרכי אביו כנגן עוגב בקתדרלה של קלרמון. ראמו נודע ביותר, אולי, בתאוריות שלו בנוגע לטונאליות באמצעות "באס פונדמנטאל" או תווים ראשיים, הרעיון שאקורדים נשארים שווי ערך בהיפוך, שתואר ב-Traité de l'harmonie משנת 1722 ו- Nouveau système de musique théorique משנת 1726. רק לאחר שהגיע לשנות ה-40 לחייו התבלט ראמו בתחום הקומפוזיציה, אבל עם מותו של קופרן בשנת 1733 היה מקום לראות בו את המלחין הראשון במעלה בתקופתו. מאז והלאה הקדיש את עצמו בראש ובראשונה לאופרה, החל ב-Hippolyte et Aricie משנת 1733. הוא עבד בשיתוף פעולה עם וולטר במספר אופרות, בעיקר "נסיכת נאווארה", שזיכתה אותו בתואר המלכותי "מחבר המוזיקה של הארמון". גם אם מעולם לא חיבר סימפוניה אמיתית, הרי גילה את כישוריו, בייחוד בז'אנר האופראי, כמחדש מוזיקה תזמורתית ותזמור, שהשפיע על המוזיקה של הבאים אחריו וחזה מראש את המוזיקה של התקופה הקלאסית והרומנטית (הקטור ברליוז), ואפילו את הנאו-קלאסיציזם של סטרווינסקי, בפרלוד קצר באופרה האחרונה שלו, Les Boréades משנת 1763. שלושת קובצי היצירות לצ'מבלו שחיבר ראמו - ובייחוד השלישי מביניהם - מגלים מקוריות ותעוזה יוצאים מגדר הרגיל. בזכותם ובזכות ה-Pièces de Clavecin en Concert (סוויטות קונצרטנטיות לצ'מבלו, כינור וויולה דה גמבה) נחשב ראמו בין טובי המלחינים לכלי.
שני מלחינים צרפתיים דגולים העריצו את המוזיקה שלו: הקטור ברליוז, שתיאר את אמנותו של ראמו כ"אחת התפיסות הנעלות ביותר של מוזיקה דרמטית", וקלוד דביסי, שהתרשם בעיקר מן האופרה "קסטור ופולוקס" של ראמו (1737), שהוחזרה לרפרטואר בשנת 1903: "גאוניותו של גלוק נטועה עמוק ביצירותיו של ראמו. (...) השוואה מפורטת מאפשרת לנו לקבוע בוודאות, שגלוק יכול היה לרשת את מקומו של ראמו על הבימה הצרפתית אך ורק על ידי הטמעת יצירותיו היפהפיות של ראמו עד להיותן שלו עצמו." קאמי סן-סנס, ונסן ד'אנדי ופול דיקא הם עוד שלושה מוזיקאים צרפתים חשובים, שתמכו מעשית במוזיקה של ראמו בזמנם.
נבחרת לאוס בכדורגל
נבחרת לאוס בכדורגל לגברים מייצגת את לאוס מאז 1961.
במוקדמות מונדיאל 2006 השיגה נבחרת הכדורגל של לאוס תיקו במשחק אחד והפסידה במשחק השני, עלתה לבית בו הפסידה לנבחרת איראן בכדורגל, נבחרת ירדן בכדורגל ונבחרת קטר בכדורגל.
ארץ נהדרת (דמויות)
המנהל האזרחי
המִנְהַל האזרחי (בר"ת: מנהא"ז) הוא גוף צבאי, הכפוף למתאם פעולות הממשלה בשטחים, שמנהל מטעם מדינת ישראל, את הפעילות האזרחית (הלא-צבאית) בחלקים משטחי יהודה ושומרון שבהם לא החילה את סדרי המינהל והשיפוט שלה. בחודשים שלאחר מלחמת סיני ברצועת עזה ובסיני ומאחרי מלחמת ששת הימים ועד נובמבר 1981, הייתה האוכלוסייה הפלסטינית כפופה למנהל תחת הממשל הצבאי הישראלי בשטחים. בנובמבר 1981, עם מינוי פרופ' מנחם מילסון לראש המינהל האזרחי ביהודה ושומרון, הופרד המינהל האזרחי מהממשל הצבאי והוכפף ישירות לשר הביטחון.
ראש המנהל האזרחי הנוכחי הוא תת-אלוף פארס עטילה.
היסטוריה.
מיד לאחר מלחמת ששת הימים הוחל הממשל הצבאי הישראלי בשטחים, שהיה אמון הן על ההיבט הביטחוני והן על הטיפול באוכלוסייה האזרחית. יהודה ניצן מונה "מתאם העניינים האזרחיים בשטחים המוחזקים", תפקיד זמני שביצע בשירות מילואים וכיהן בו במשך מספר חודשים. ב-10 בספטמבר 1967 מונה אל"ם דן חירם כמתאם העניינים האזרחיים עד ספטמבר 1968. במקביל מונה שלמה גזית, באוגוסט 1967, ליו"ר ועדת התיאום המדיני-ביטחוני בשטחים, ולקראת סוף שנת 1968 מונה גם למרכז ועדת המנכ"לים המטפלת בנושאים אזרחיים בשטחים המוחזקים ובדצמבר 1967 מונה לראש מחלקת ממשל צבאי וביטחון מרחבי במטכ"ל. תחת הממשל הצבאי התקיים מטה המינהל האזרחי שכלל שני ענפים: ענף כלכלה וענף מינהל ושירותים. בראש הענפים עמדו קציני צבא ולידם פעלו קציני מטה אזרחיים שהיו כפופים להם מבצעית אך מקצועית היו שליחים של משרדי ממשלה אזרחיים.
ראשי הערים בשטחים המוחזקים, לרוב נשארו בתפקידיהם (דוגמת מוחמד עלי אל-ג'עברי בחברון) והמשיכו לנהל את העניינים האזרחיים בערים הגדולות. לכל נפה מונה מושל צבאי בדרגת סגן אלוף. בגדה הוקמו שבע נפות: חברון, בית־לחם, רמאללה, ירדן, שכם, ג'נין וטול־כרם. בשנת 1973 החל הממשל הצבאי לגבש תוכנית להעברת ניהול נושאים אזרחיים כחינוך, בריאות וחקלאות מידי קציני המטה הישראלים לידי התושבים הפלסטינים. הדבר לא יצא לפעול עקב התנגדות של ההנהגה המקומית שראתה במהלך שיתוף פעולה ונורמליזציה של הכיבוש הישראלי.
בספטמבר 1981 החליט שר הביטחון, אריאל שרון, להפריד בין המשימה הרגילה של צה"ל להגן על מדינת ישראל ואזרחיה מפני איומים חיצוניים, לבין אחריותו לדאוג לצרכיה האזרחיים של האוכלוסייה הפלסטינית שבשליטת ישראל. לשם כך הוא הפריד את המנהל האזרחי מהממשל הצבאי והותיר בידי הממשל הצבאי רק את האישור הסופי לפעולות בעניינים אזרחיים. ב-4 בנובמבר 1981 פוצלו הסמכויות. המושלים הצבאיים הפכו לקציני המנהל האזרחי, סמכויותיהם צומצמו לנושאים אזרחיים בלבד. ראש המנהל האזרחי האחראי עליהם כפוף למתאם הפעולות בשטחים ולשר הביטחון. במקביל הוקמו שלושה מרחבים: יהודה, בנימין ושומרון, שמפקדיהם, קצינים בדרגת אלוף-משנה, עוסקים בביטחון שוטף וכפופים לאלוף פיקוד המרכז וממנו למטכ"ל ולשר הביטחון. לאחר האינתיפאדה הראשונה הורחבה פריסת צה"ל והוקמה אוגדת אזור יהודה ושומרון. המרחבים פוצלו לשש חטיבות מרחביות: חטיבת מנשה, חטיבת אפרים, חטיבת שומרון, חטיבת בנימין, חטיבת יהודה וחטיבת עציון.