בעזרת כלל השרשרת ניתן לקבל שהנגזרת של קוסינוס היא מינוס סינוס, ועל כן הנגזרת הרביעית של סינוס שווה לפונקציית הסינוס עצמה. כך מוצגת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית:
פונקציית הסינוס היא פתרון המשוואה formula_30 כאשר formula_31 ו-formula_32.
הפונקציה הקדומה של הסינוס היא מינוס קוסינוס: formula_33
אפשר גם לגזור את הסינוס באמצעות הנגזרת של הפונקציה ההפוכה ארכסינוס, שהיא שווה לformula_34 על ידי שימוש בכלל לנגזרת פונקציה הפוכה. אמנם את הנגזרת של הארכסינוס מקובל להוכיח בדרך כלל באמצעות הנגזרת של סינוס, ואם רוצים לגזור את הארכסינוס בנפרד צריך להשתמש באינטגרל ובמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
הוכחה בעזרת טורי חזקות.
את פונקציות הסינוס והקוסינוס ניתן להגדיר כפתרונות של המשוואות הדיפרנציאליות formula_35 עם תנאי ההתחלה formula_36. הגדרה שכזו מובילה להצגת הפונקציות באמצעות טורי מקלורין:
formula_37
formula_38
מכיוון שפעולת הגזירה היא אופרטור ליניארי, גזירה של הטור המציג את פונקציית הסינוס תוביל לטור זהה לזה המגדיר את פונקציית הקוסינוס.
formula_39
הגדרת הפונקציות והוכחת הנגזרת בצורה כזו, פותרות את המעגליות של השימוש בכלל לופיטל כדי להוכיח את הגבול של sin(x)/x.
ערכים.
להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות:
sup&gt;1
הפונקציה ההפוכה.
הפונקציה ההפוכה לפונקציית הסינוס נקראת ארקסינוס ומסומנת formula_54 או formula_55. הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע
formula_56, וכיוון שפונקציית הסינוס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים formula_57. הנגזרת שלה היא formula_58.
משפט הסינוסים.
משפט הסינוסים הוא משפט הקובע את הקשר בין צלעות המשולש וזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הסינוס:
כאשר הזוויות formula_60 נמצאות מול הצלעות a, b, c בהתאמה, ו-R הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.
ראובן רבלין
אנרגיה הגרעינית
רובי רבלין
Lost and Found (אלבום)
לוסט אנד פאונד (Lost and Found) הוא האלבומם הרביעי באורך מלא של מאדווין. האלבום יצא לאור ב-12 באפריל 2005, זכה להצלחה בארצות הברית ומכר 800 אלף עותקים נכון לאוגוסט 2006.
פיליפו יוברה
פיליפו יוברה (באיטלקית: Filippo Juvarra; 7 במרץ 1678 - 31 בינואר 1736) היה אדריכל ומעצב תפאורות איטלקי, נציג של הזרם רוקוקו.
חייו.
פיליפו יוברה נולד ב-7 במרץ 1678 במסינה שבסיציליה, איטליה. בין השנים 1703-1705 למד אצל קרלו פונטאנה ברומא. בשנת 1715 עבר להתגורר בטורינו ועבד עבור ויטוריו אמדאו ה-2 מלך מבית סבויה. בתקופה זו החל יוברה לתכנן מחדש את טורינו כבירת ממלכה אירופאית.
עבודתו עבור משפחת רופיו.
ב-1705 שב יוברה למסינה ועבד עבור משפחת האצילים רופיו (Ruffio). יוברה עבד על תכנון המגדל בצורת ספירלה של כנסיית סן גרגוריו. המגדל נבנה לפי תוכניותיו שלו בשנת 1717. כמו כן עבד על תכנון ארמון מסינה בשם ה"פאלאצאטה" (Palazzata). ארמון מסינה היה הארמון הארוך ביותר בסיציליה שאורכו 1,5 ק"מ.
בשירות בית סבויה.
בעיר טורינו ובסביבתה הקרובה הוא תכנן אחדים מהמעונות המלכותיים של בית סבויה. בין השאר הוא תכנן את הארמונות הבאים:
בחצר של מלך ספרד.
בין השנים 1736-1735 עבד עבור פליפה החמישי מלך ספרד ותכנן ארמון גרנחה דה סן אילדפונסו שבקסטיליה ולאון וארמון מדריד הוא ארמון בית המלוכה. אינו משמש כיום כמקום מגורים רשמי של בית המלוכה, אלא כאתר לטקסים ממלכתיים.
סגנון האדריכלות של פיליפו יוברה.
סגנון האדריכלות של פיליפו יוברה הושפע מאדריכלות הבארוק, שתחילתה בשנותיה הראשונות של המאה ה-17 באיטליה. אדריכלים איטלקים מן התקופה הם ג'ובאני לורנצו ברניני ופרנצ'סקו בורומיני.
ליגת העל האירנית
זמפר-אופרה
זמפר-אופרה (גרמנית: Semperoper), הידוע גם בשם "האופרה הממלכתית הסקסונית של דרזדן", הוא בית אופרה בדרזדן שבגרמניה, מן המפורסמים ביותר בעולם.
היסטוריה.
את הבית בנה בשנת 1841 האדריכל גוטפריד זמפר
בסגנון הרנסאנס המוקדם. הבניין נהרס בשריפה בשנת 1869 ונבנה מחדש. האזרחים דרשו שזמפר יבצע את מלאכת השחזור והשיקום, אם כי בתקופה זו שהה בגלות בגלל פעולותיו בהתקוממות של מאי בשנת 1849. בנו, מנפרד זמפר, השלים איפוא את בית האופרה השני על פי התוכניות של אביו. הבניין השני נבנה בסגנון נאו-רנסאנס בשנת 1878. בתקופת הבנייה, התקיימו ההצגות ב-Gewerbehausall, שנפתח בשנת 1870.
הבניין נחשב לדוגמה ראשונה במעלה לאדריכלות "הבארוק של דרזדן". הוא ניצב בכיכר התיאטרון במרכז דרזדן על גדת הנהר אלבה. מעל הפתח מתנוססת מרכבת ארבעה הנושאת את דיוניסוס. את פנים הבניין עיצבו אדריכלים מפורסמים באותה תקופה, ביניהם יוהנס שילינג. על גג הבניין עומדים פסליהם של יוצרים כמו יוהאן וולפגנג פון גתה ופרידריך שילר, ויליאם שייקספיר, סופוקלס, מולייר ואאוריפידס. עוד יש בבניין מיצירות ארנסט ריצ'ל וארנסט יוליוס הנל.
בשנים שלפני המלחמה, עלו על בימת בית האופרה הצגות בכורה של רבות מיצירות ריכרד שטראוס. בחלק מהם כסולנית הופיע זמרת ממצוה יהודי מרגיט בוקור שעזבה את האופרה לאחר עליית הנאצים לשלטון בשנת 1933.
בשבועות האחרונים של מלחמת העולם השנייה, בשנת 1945, נהרס הבניין שנית - הפעם בהפצצת דרזדן על ידי בעלות הברית ושריפות הענק שהשתוללו בעקבותיה. בדיוק כעבור 40 שנים, ב-13 בפברואר 1985, נבנה בית האופרה מחדש כמעט כפי שהיה לפני המלחמה. הוא נפתח מחדש בהצגת האופרה, שהייתה האחרונה לעלות על בימתו לפני החורבן ב-1945: "הקלע החופשי" של ובר.
בשיטפון של שנת 2002, כשנהר האלבה עלה על גדותיו, סבל הבניין נזקים כבדים מן המים. הודות לעזרה נכבדה מרחבי העולם, נפתח בית האופרה מחדש בדצמבר 2002.
כיום מלווה את רוב האופרות התזמורת הסקסונית הממלכתית של דרזדן. האולם מלא כמעט תמיד עד אפס מקום.
המנצח הראשי המיועד של התזמורת הוא דניאלה גאטי.
מנהל מחלקת האופּרה מ־2010 הוא .
המנצחים הישראלים אשר פיש, עומר מאיר ולבר ורני קלדרון מופיעים בּדרזדן לעיתים קרובות.
תקריב
פרנקים (כינוי)
פרנקים או פרנג'ים, הוא כינוי לאירופאים הנפוץ בשפות, תרבויות ואזורים שונים. בהם מקורות עבריים באירופה ובארץ ישראל, ובשפות העמים בארצות ערב, פרס, אתיופיה, דרום-מזרח אסיה ותת-היבשת ההודית. מקור הכינוי בשבטי הפרנקים, אשר שטפו את מערב אירופה במאה השישית והקימו את האימפריה הפרנקית. בהמשך שימש השם גם לצלבנים שהקימו את ממלכת ירושלים. מאז מסעי הצלב ואחריהם, שימש הכינוי פרנג'ים לכינוים של אירופאים שהגיעו לממלכות של הערבים. הכינוי עבר לאתיופיה ופרס. בעידן התגליות התפשט הכינוי בתרבויות נוספות לחופי האוקיינוס ההודי וכיום הוא מופיע בהטיות שונות בשפות הינדי, אורדו, תאית, פרסית, ערבית, אמהרית ואחרות.
עם השנים נקראו פרנג'ים גם צליינים, מיסיונרים, ואף שכירי חרב מאירופה.
בימי הביניים.
מקור השם פרנקים הוא בשבטי הפרנקים הגרמניים. אולם גלגולו לכינוי לצלבנים ואירופים זרים במזרח התיכון אינו ברור. הפרנקים היו שבטים גרמניים שחיו באזור פרנקיה, בגבולות האימפריה הרומית. לאחר התפוררותה הם הקימו אימפריה. בהמשך האימפריה התפוררה. חלקה המערבי המשיך להיקרא „ממלכת הפרנקים״ ובהמשך ממלכת צרפת ("ממלכת פרנקיה").
מבין ארבע קבוצות האבירים שיצאו למסע הצלב הראשון, שתיים היו מממלכת צרפת והשלישית הגיעה מאזור פלנדריה: אזור בו ישבו הפרנקים. הערבים כינו את הכובשים הצלבנים שהגיעו לארץ ישראל בעקבות מסע הצלב הראשון "פרנקים". בהמשך המונח שימש לתיאור כל האירופים שהגיעו לארץ ישראל באחד ממסעות הצלב, בעלייה לרגל או אזרחי ממלכת ירושלים ומדינות צלבניות אחרות.
הכינוי מוצא את מקומו במקומות רבים לתיאור זרים או חדשים.
בעת החדשה.
באתיופיה ואריתריאה.
הכינוי פרנג' (אמהרית: ፈረንጅ; תגרית: ፈረንጂ) באתיופיה הגיע מהשפה הערבית ובתחילה התייחס לאירופאים מהדת הנוצרית קתולית. אירופאים שלא היו קתולים כונו "גבצווי" לרבות ארמנים ויוונים. במאה ה-19 עם בואם של מיסיונרים פרוטסטנטים הכינוי היה שגור גם כלפיהם. במאה ה-20 היו שגורים הכינויים "מוסקוב" (ሞሰቆበ) כלפי רוסים ו"גרק" (ገሬቀ) כלפי יוונים. הכינוי גרק מקורו ביוונים שחיו באתיופיה ולא היו קתולים או פרוטסטנטים, אלו עבדו בעיקר בעבודת כפיים. בתקופה זו הכינויים "פרנג'" ו"גרק" התייחסו יותר למעמדות מאשר ללאומים או דתות. עם הזמן הכינוי גרק ניתן לכל אירופאי שהיה עובד עבודת כפיים. בעיני האירופאים המקומיים הכינוי היה כינוי גנאי. באתיופיה עצמה הייתה נפוצה האמונה כי האירופאים באירופה משתמשים ביוונים כעבדים, בעיני האתיופים המונח "גרק" הוא מקבילה אירופאית למונח האתיופי "ברייה". עם התמעטות הקהילה היוונית המונח גרק יצא מכלל שימוש והכינוי פרנג' ניתן לכל אדם מערבי ולבן עור.
כיום "פרנג'י" באמהרית הוא כינוי (גנאי) לכל אדם לבן עור.
בהודו.
בהודו שימש הכינוי פִירַנג (Firang) או פרנג'י לתיאור מבקרים מהעולם המערבי, בטרם התייחד ככינוי גנאי לעובדי חברת הודו המזרחית הבריטית וקציני האימפריה הבריטית. בטמילית כונו האירופאים ככלל והבריטים בפרט "פּרנגיאר" (Parangiar). גם במלאית, הינדי ואורדו נעשה שימוש בכינויים אלה במובן זה. בסרי לנקה משמשת המילה "פָּרַנגי" (Parangi) הן לתיאור פורטוגזים והן לתיאור סוג מסוים של עגבת שאלה הביאו עמם.
בדרום-מזרח אסיה.