אחד המניעים העיקריים עבור הגדרת הערך העיקרי Arg הוא היכולת לכתוב מספרים מרוכבים בצורת ערך מוחלט וארגומנט. לכן עבור כל מספר מרוכב מתקיים formula_20
זה תקף רק אם formula_21 אבל יכול להיחשב גם ב-"z=0" אם קובעים formula_22 (מספר ממשי סופי) באופן שרירותי (שימו לב ש-formula_23).
עוד כמה זהויות מתקדמות יותר עוקבות. אם formula_24 הם שני מספרים מרוכבים שונים מאפס, אז
אם "z" ≠ 0 ו-formula_27 הוא כל מספר שלם, אז
לדוגמה:
יהודה אבן וירגה
יהודה אבן וירגה היה היסטוריון, אסטרונום, מתמטיקאי ומקובל ספרדי. נולד בסביליה במאה ה-15. יהודה היה ככל הנראה סבו או אביו של שלמה אבן וירגה מחבר הספר 'שבט יהודה', שנשענה על עבודתו המוקדמת של יהודה (ואף נקראה על שמו). חלק ניכר מן הפרטים הביוגרפיים אודותיו ידועים לנו מן החיבור המאוחר הזה.
חשוב להבחין בין יהודה אבן וירגה איש המאה ה-15, לבין אדם אחר בעל שם זהה, איש המאה ה-16 שהתכתב עם ר' יוסף קארו (אבקת רוכל, סימנים צט-ק).
חייו.
בספר "שבט יהודה" (אות לח) מציין שבעת שהיהודים בני כפר הסמוך לסביליה הואשמו כי חטפו את גופתו של יהודי שהמיר דתו לנצרות על מנת לקוברו בבית עלמין יהודי, ויהודה אבן וירגה נחלץ לעזרתם והצליח לשכנע את מושל אנדלוסיה כי כמרים נוצריים העלילו עליהם שקר. יהודה אבן וירגה היה פעיל בתיווך בין האנוסים לבין היהודים שנשארו ביהדותם. כאשר האינקויזיציה ביקשה לדלות מפיו מידע על אנוסים השומרים על יהדותם, נמלט לליסבון, שם התגורר ככל הנראה מספר שנים עד שנתפס בידי האינקיויציה והומת בידיהם בייסורים (שבט יהודה, אות סב).
חיבוריו.
יהודה אבן וירגה כתב את קורות רדיפות היהודים בספרד, בהשענו על החיבור המוקדם יותר, 'זיכרון השמדות' מאת בעל 'האפודי', פרופייט דוראן. חיבורו של יהודה אבן וירגה שימש בסיס לחיבור 'שבט יהודה' שנכתב על ידי שלמה אבן וירגה. בדרך כלל מקובל לזהות את יהודה אבן וירגה של 'שבט יהודה' כאותו יהודה אבן וירגה המופיע כמחברם של החיבורים הבאים, חלקם מתועדים לשנת 1457 בליסבון (ומאוגדים יחדיו בכתב יד, הספרייה הלאומית של צרפת):
בנוסף, יהודה אבן וירגה חיבר (סביב שנת 1480) פירוש לעיבודו המקוצר של האסטרונום הפרסי אל-פרע'אני לספרו של האסטרונום היווני תלמי, ספר אלמגסט.
הלכה וטכנולוגיה
התפתחות הטכנולוגיה, שמעניקה לאדם כלים חדשים ויכולות חדשות מצריכה לעיתים התייחסות של פוסקי הלכה לחידושים אלה, כדי לקבוע את אופן שילובם בכללי ההלכה.
אצל פוסקי ההלכה ניתן למצוא גישות אחדות לטכנולוגיה חדשנית:
חשמל בשבת.
סוגיה מרכזית במפגש בין הלכה וטכנולוגיה היא סוגיית השימוש בחשמל בשבת, הנתונה למחלוקות הלכתיות רבות. דיון אחד נוגע להגדרת האיסור ההלכתי בהדלקה ובשימוש במכשירי חשמל בשבת. דיון אחר נוגע לגבי שימוש בחשמל המיוצר בפעולות המוגדרות כחילול שבת של עובדי חברת החשמל, בהיתר המבוסס על העובדה כי החשמל נצרך לצורכי פיקוח נפש.
במסגרת דיונו של הרב יצחק שמעלקיש משנת 1895 בבחינת השימוש בטלפון בשבת הוא מחדש כי קיים בהפעלת כל מכשיר חשמלי איסור מדרבנן בשל "התעוררות כח החשמל" כתוצאה מה"עלעקטרישע פערבינדונג" (חיבור חשמלי). איסור זה נקרא לימים 'מוליד זרם'. הרב אברהם ישעיהו קרליץ, ה'חזון איש', חידש בשנת 1948 שכל סגירה של מעגל חשמלי בשבת אסורה משום מלאכת בונה או מלאכת מכה בפטיש.
נגד השימוש בחשמל בשבת עלו טיעונים אחדים, ובראשם האיסור על מעשה שבת - אסור לגרום ליהודי או לגוי לעבור על איסורים, ובשימוש בחשמל בשבת גורמים לעובדי חברת החשמל להרבות במלאכות הכרוכות בייצור החשמל. אולם, כיוון שיש הכרח לספק חשמל לכל רחבי מדינת ישראל בכל יום ויום, כולל שבת, וכל פגיעה באספקת החשמל כרוכה בסיכון חיי אדם, מצאו חלק מהפוסקים צד היתר לשימוש בחשמל המיוצר בשבת. עקב כך שבבתי החולים ישנם מכשירים רפואיים רבים מצילי חיים שעובדים על ידי חשמל, וגם בבתים פרטיים חולים רבים נעזרים במכשירים חשמליים להצלת חיים, וכמו כן כוחות הביטחון והמשטרה נעזרים באספקת החשמל כדי להיות ערוכים למצב חירום, פסקו שמותר להשתמש בחשמל המיוצר בשבת בחברת החשמל, כיוון שממילא הוא מיוצר לצורכי פיקוח נפש. על אף הצדדים שהעלו פוסקים להקל בשימוש בחשמל המיוצר על ידי יהודים בארץ ישראל, בירושלים ובבני ברק ובשאר חלקי הארץ ישנם אלפי בתי אב חרדים אשר נוהגים על עצמם איסור שימוש ברשת החשמל בשבת, בעיקר בהתבסס על פסקו של החזון איש, ומשתמשים בשבת בחשמל המיוצר באופן פרטי, על ידי גנרטורים של הקהילה או במצברים פרטיים הממוקמים בדרך כלל בדירה.
הפעלת מכשיר חשמלי בשבת על ידי פעולת אדם, כגון הפעלת מתג התאורה, אסורה בשבת. הומצאו שיטות וטכניקות בהיתר הלכתי לעשות שימוש בחשמל בשבת, אך זאת ללא מגע האדם אלא באופן אוטומטי. אחד ההיתרים היותר מוכרים הוא שעון שבת, המפעיל ומכבה מכשירים ואמצעי חשמל בביתו של האדם הדתי. את שעון השבת מכוונים בטרם כניסת השבת לשעות הרצויות, ועל ידי כך ניתן לקבוע את הפסקת או התחלת פעילותו של מכשיר חשמלי לאורך כל השבת.
קיימים בימינו כמה וכמה מינים וסוגים שונים של אמצעים ומכשירים הפועלים בעזרת חשמל בהם ניתן להשתמש בשבת בצורה אוטומטית, בהם מכשירים כמו מחם, פלטת שבת ומעלית שבת. במכשירים אלה קיים מנגנון המאפשר שימוש בשבת ללא חשש חילול שבת. דוגמה נוספת היא מעלית שבת - מעלית הנעה בין הקומות בצורה אוטומטית ועוצרת בכל תחנה ללא צורך בלחיצה על כפתורי הפעלה. המעלית ממתינה זמן מה בכל קומה לכניסת הנוסעים ומתריעה בזמזום כמה שניות לפני סגירת הדלתות. חיישנים חשמליים, כגון עין אלקטרונית בדלת ומנגנוני שקילה, מנוטרלים בדרך כלל על מנת למנוע את השפעת האדם על ההפעלה האוטומטית של המעלית. אף על פי שרבנים רבים, כמו הרב שלמה זלמן אוירבאך והרב יהושע ישעיה נויבירט, התירו את השימוש במעלית שבת, אוכלוסייה דתית נרחבת (בעיקר מהציבור החרדי) נמנעת משימוש במעלית שבת בשבת. איסור השימוש במעליות שבת התרחב לאחר שהרב יוסף שלום אלישיב פסק כי אין היתר להשתמש במעלית שבת ולטענתו היא גורמת לחילול שבת.
שחיטה כשרה.
שחיטת בעל חיים לשם הכנתו לאכילה נעשית לפי כללים מדוקדקים, שחריגה מהם פוסלת את הבשר לאכילה. בשלהי המאה ה-19 הונהג בקרב הגויים הימום של הבהמה בשוק חשמלי, כצעד מכין להריגתה ואף כאמצעי להמתת הבהמה. נבדקה גם האפשרות של הרדמת הבהמה באמצעים כימיים, אך הרבנים נאלצו לסגת מהאפשרות להמם את הבהמה לפני השחיטה ללא פסילת השחיטה. במדינות שונות הופעל לחץ על יהודים להשתמש בשיטה זו, בנימוק שהיא מפחיתה את סבל הבהמה. במדינות רבות התנהל מאבק להתרת השחיטה הכשרה, אך במדינות אחדות, בהן נורווגיה, שוודיה ושווייץ נקבע בחקיקה איסור שחיטה כהלכתה.
מניעת היריון.
מניעת היריון גובלת בביטול מצוות עשה של פריה ורבייה, שכן המצווה הראשונה בתורה, היא בעצם ברכה שמברך אלוהים את האדם: "ויאמר להם אלוהים פרו ורבו", חוזרת ונשנית לנח אחרי צאתו מהתיבה: "ואתם פרו ורבו, שרצו בארץ ורבו בה", עיקרה הוא להוליד בן ובת הראויים בעצמם להוליד, וכך להמשיך את יישוב העולם.
בפרקטיקות שונות למניעה, העוצרות את הזרע ממגע עם גוף האישה ייתכן איסור הוצאת זרע לבטלה, איסור המובא בתלמוד ובספרות ההלכה בחומרה רבה, ומיוחס לנאמר בתורה במעשה ער ואונן.
במניעת היריון על ידי סירוס זמני של האישה, או הגבר, יש לדון מצד איסור סירוס אדם דבר הנאסר בתלמוד ונלמד מהנאמר בתורה לגבי סירוס בעלי חיים, אולם איסור זה קל מהאיסורים הקודמים, שכן על אישה לא חל איסור זה, ובפרט שמדובר על סירוס זמני.
מעבר לשאלה העקרונית האם מותר למנוע היריון, עולות שאלות בדבר הטכנולוגיה המותרת למטרה זו. לדעת רוב הפוסקים הגלולה למניעת היריון היא אמצעי המניעה העדיף, בתנאי שאין בו סכנה לאישה. כאשר לא ניתן להשתמש בגלולה היו שהעדיפו את ההתקן התוך-רחמי, הדיאפרגמה או קוטלי הזרע.
אמצעי תקשורת.
טלוויזיה.
שידורי הטלוויזיה כוללים פעמים רבות תכנים שאינם תואמים את ההלכה, ולכן יש שפסקו שצפייה בטלוויזיה היא בניגוד לאיסור לא תתורו אחרי לבבכם ואחרי עיניכם.
סלולרי כשר.
ההתפתחות הטכנולוגית המואצת של המכשירים הסלולריים בתחילת המאה ה-21, הפכה אותם ממכשיר שנועד לשיחה בלבד לכלי של בידור ופנאי, כמו גלישה ברשת האינטרנט וצפייה בטלוויזיה. אנשים בציבור החרדי החלו להשתמש במכשירים אלה ולהיחשף דרכם לתכנים אינטרנטיים שחלקם נחשב בציבור החרדי כלא מתאימים ואף כתועבה. כדי להתמודד עם הבעיה הוקמה בשנת 2004 "ועדת הרבנים לענייני תקשורת", במטרה להביא ליצירת טלפון סלולרי לציבור החרדי. סלולרי כשר הוא מכשיר טלפון סלולרי הנמצא בשימוש נרחב בציבור החרדי ובמידה מועטה גם בציבור החרד"ל. מכשירי סלולר אלו מיועדים בעיקר לביצוע שיחות, ואין בהם תכונות המצויות ברוב המכשירים הסלולריים המתקדמים - כמו גלישה באינטרנט, שימוש במצלמה, משחקים, ומשלוח וקבלת מסרונים (SMS).
טלפון מסוג זה מבוסס על שני מרכיבים:
אינטרנט כשר.