נתייחס כעת לשני מקרי הקצה - גלי מים עמוקים וגלי מים רדודים. במים עמוקים המכפלה formula_26 שואפת לאינסוף (שכן k קשור בהופכי של אורך הגל), לכן הטנגנס ההיפרבולי הופך שווה ל-1 ומקבלים שמהירות הגל לא מושפעת בכלל מעומק המים, אלא רק ממספר הגל. במקרה זה נקבל: formula_27, ולפיכך מהירות המופע היא:
formula_28.
במים רדודים לעומת זאת, המכפלה formula_26 שואפת לאפס, לפיכך הטנגנס ההיפרבולי שווה ל-kh, והביטוי למהירות המופע של גל הוא:
formula_28
כלומר מספר הגל מצטמצם - מהירות הגל לא תלויה בכלל באורך הגל אלא רק בעומק המים. נוסחה זאת היא למעשה מהירות התקדמות גל צונאמי באוקיינוס הפתוח. ראוי להבחין כי המהירות הנצפית של גלי מים אינה בהכרח זאת, שכן גל לעולם אינו מופיע בצורתו הסינוסואידלית הטהורה - אלא שמופיעות דווקא חבילות גלים בתחום תדרים צר סביב תדר מסוים. לפיכך נכון יותר להשתמש במהירות החבורה כדי לחזות את מהירות הגלים. מהירות החבורה, שמתקבלת מגזירת יחס הנפיצה, היא:
formula_31, כאשר formula_32 היא מהירות המופע. בגבול של מים עמוקים (kh שואף לאינסוף) נקבל שמהירות החבורה היא רק חצי ממהירות המופע: formula_33. לעומת זאת, במקרה של מים רדודים נקבל שמהירות החבורה שווה למהירות המופע. באיור משמאל מופיעים גרפים שמסכמים את התנהגות הגלים (מהירות המופע ומהירות החבורה) בתלות ביחס formula_34.
פרמטרים פיזיקליים המקושרים לגלי מים.
הלחץ מתחת לגל.
כתוצאה מחלוף הגל, ישנם אוסצילציות בלחץ הסטטי שחווה עצם בעומק מסוים מתחת למפלס z = 0. ניתן להעריך את הלחץ הסטטי בעומק z כפונקציה של הזמן בעזרת שימוש בשנית במשוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית בלתי יציבה - אלא שהפעם מיישמים אותה לפנים הזורם ולא לשפה (בה הלחץ קבוע ושווה ללחץ האטמוספירי). תחת ההנחה של מים עמוקים, ניתן להניח כי כל המסלולים של אלמנטי הזורם להם רדיוס משמעותי (מספר אחוזים מרדיוס התנועה בפני המים) הם בקירוב טוב מעגליים, כאשר התנועה לאורך המעגל היא במהירות קבועה. הדבר מאפשר לפשט משמעותית את משוואת ברנולי המתאימה, שכן כאשר מיישמים את המשוואה לקו זרם מסוים, איבר ריבוע המהירות הופך קבוע ובלתי משפיע על הלחץ. כעת נרשום שוב את משוואת ברנולי:
formula_35
הצבה של פונקציית הפוטנציאל שנגזרה קודם במשוואה הזאת מניבה את התוצאה:
formula_36
שינוי צורה של המשוואה נותן: formula_37, כאשר formula_38 הוא קבוע שתלוי רק בעומק. הקבוע formula_39 נקרא פקטור שינוי הלחץ. המשוואה האחרונה ללחץ מייצגת תנודות סינוסואידליות של הלחץ בעומק z מסביב ללחץ ההידרוסטטי הטבעי והממוצע בעומק z (היינו formula_40). הערך של formula_39 יורד כמעט מעריכית עם העומק, ופירוש הדבר הוא שתנודות הלחץ המקושרות למעבר של גל מים יורדות עם העומק, עד שבעומק מסוים כבר לא ניתן להבחין בשינויים בלחץ. החישוב נעשה עבור המקרה של מים עמוקים; במים רדודים לא ניתן עוד להזניח את האקסצנטריות של המסלולים האליפטיים, והביטוי המתקבל לשינויים המחזוריים בלחץ מעט סבוך יותר.
צפיפות האנרגיה של גלי מים.
האנרגיה של גלי מים היא גודל בעל חשיבות ראשונה במעלה ליישומים טכנולוגיים כמו הפקת אנרגיה הידרואלקטרית, וזהו הגודל המרכזי שמעבירות רכבות גלים באוקיינוס. כפי שהודגם מקודם, גדלים רבים המקושרים לגלים כמו התרוממות פני המים והמהירות המסלולית של האלמנטים, הם תנודתיים בטבעם עם ממוצע אפס (במסגרת התאוריה הליניארית). בגלי מים, הגודל האנרגטי שנעשה בו שימוש רב ביותר הוא צפיפות האנרגיה הממוצעת ליחידת שטח של הגל. זהו הסכום של האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית, המסוכמות לכל העומק של שכבת הזורם וממוצעות במהלך מחזור אחד של גל. הגודל הפשוט יותר לחישוב הוא האנרגיה הפוטנציאלית הממוצעת ליחידת שטח Epot של גלי כבידה בזורם, שהיא הסטייה של האנרגיה הפוטנציאלית מהמצב היציב (כאשר פני המים אחידים בגובהם) אודות לקיום הגלים:
formula_42
כאשר המעבר האחרון נובע מהעובדה שהממוצע של formula_43 על פני מחזור אחד הוא 1/2. האנרגיה הקינטית הממוצעת ליחידת שטח Ekin מחושבת באופן דומה על ידי אינטגרציה על כל הערכים של z (העומקים השונים) ואז מיצוע של תוצאת האינטגרציה על פני מחזור של הגל:
formula_44
כאשר formula_45 היא התדירות הזוויתית. בעזרת שימוש ביחס הנפיצה, נקבל שהתוצאה לאנרגיה הקינטית הממוצעת היא:
formula_46
כפי שניתן לראות, צפיפות האנרגיה הקינטית הממוצעת שווה לצפיפות האנרגיה הפוטנציאלית הממוצעת. זוהי תכונה כללית של צפיפויות אנרגיה של גלים ליניאריים מתקדמים במערכת משמרת. צפיפות האנרגיה הממוצעת ליחידת שטח של הגל היא:
formula_47
קצב זרימת האנרגיה דרך חתך ניצב לכיוון התקדמות הגל שווה למכפלת צפיפות האנרגיה הכוללת במהירות הגל וברוחב הגל L (רוחב הגל אינו אורך הגל). כלומר:
formula_48
וכאשר מדובר בחבילת גלים יש להחליף את מהירות המופע במהירות החבורה. בנוסף, משימור שטף האנרגיה של חזיתות גלים ניתן לקבל תוצאה חשובה נוספת (חוק גרין) על שינוי האמפליטודה של גלי מים רדודים:
formula_49.
כאשר h הוא עומק המים המקומי. תוצאה זאת מתארת היטב את הגידול העצום בגובה של גלי צונאמי עם הגעתם לחופים. יותר מכך, על סמך ידיעת תוואי הקרקעית, הקשר שהחוק מתאר בין רוחב חזית הגל לאמפליטודה שלו מאפשר לנבא באילו אזורים צפויים הגלים להתחזק מעבר לממוצע, שכן תוואי הקרקעית הוא שמכתיב את התעקמות הקרניים המייצגות את חזיתות הגלים (התעקמות הקרניים נשלטת על ידי העקיפה והשבירה של הגלים).
אפקטים מסדרים גבוהים יותר.
סחיפת סטוקס.
ניתן ליישם את עקרונות התאוריה הליניארית של איירי גם כדי להשיג קירוב טוב של אפקטים לא ליניאריים הקשורים בגלי ים. למשל, ניתן להיעזר בפתרון היסודי של איירי כדי לקבל אומדן לסחיפת סטוקס (Stokes drift) - תופעה בה המהירות האופקית הממוצעת של אלמנט מים שונה מאפס, כך שמתקבלים מסלולים פתוחים ונוצרת "סחיפה" של אלמנטי הזורם בזמן - מעבר מים נטו בכיוון התקדמות הגל. למעשה, מה שמבדיל את תאוריית הגלים של סטוקס מתאוריית הגלים של איירי הוא התחשבות בשיפוע הלא זניח של הגל. בפיתוח התאוריה של איירי, הזנחנו את שיפוע הגל בקבלת התנאי הקינמטי השלישי (על מהירות אלמנט זורם בסמוך לפני המים), ובחלק זה נבצע אנליזה כללית ומדויקת יותר בגבול של מים עמוקים.
התופעה של סחיפת סטוקס בגלים אינה מיוחדת רק לגלי מים, אף כי במקור ג'ורג' גבריאל סטוקס גילה אותה ב-1847 במחקרו המתמטי המעמיק על גלי ים לא ליניארים. בגלי קול קיימת תופעה דומה של סחיפה כאשר מניחים שאמפליטודת הלחץ של הקול אינה זניחה ביחס ללחץ האטמוספירי - או לחלופין שמהירות אלמנטי האוויר אינה זניחה ביחס למהירות הקול; גם אם המהירות הממוצעת של שדה המהירות בנקודה כלשהי היא אפס, המסלול של חלקיק הנע בכל נקודה במהירות הזרימה המקומית לא יהיה בהכרח חסום. במובן זה, אפקט הסחיפה של חלקיק נגזר מן ההבדל בין התיאור הלגראנז'י והאוילרי של שדה הזרימה. קל להבין זאת כאשר לוקחים שני מקרי קיצון - הראשון כאשר אמפליטודת המהירות בנקודה (x,t) אפסית והשני כאשר אמפליטודת המהירות שווה למהירות הקול. במקרה הראשון נקבל שהאלמנט מתנודד הרמונית מסביב לנקודת שיווי המשקל שלו, ואילו במקרה השני נקבל שהחלקיק מתקדם במהירות הגל הנושא של שדה הזרימה - כך שמבחינתו הגל נייח - ולכן מהירותו לא צריכה להשתנות כלל, אלא שהיא עומדת על ערך קבוע ששווה למהירות הסחיפה.
כלומר, כאשר החלקיק נע בכיוון התקדמות הגל מהירותו משתנה לאט יותר מאשר כאשר הוא נע בניגוד לתנועת הגל, והיא יורדת בקצב שתלוי במהירות היחסית בינו לבין הגל. כיוון שכך, החלקיק שוהה זמן רב יותר בתנועה עם הגל מאשר בתנועה בניגוד לכיוון הגל. הדבר מאפשר לו לגמוע מרחק רב יותר בהתקדמות עם הגל לעומת המרחק שהוא חוזר אחורנית כאשר הוא נע בניגוד אליו. התוצאה של האסימטריה הזאת היא התקדמות נטו של החלקיק בכיוון האופקי בכל מחזור גלי.
בדומה לכך, כאשר מניחים כי המהירות האופקית המרבית של אלמנטי זורם בסמוך לפני השטח של גל מים אינה זניחה ביחס למהירות המופע של הגל, מתקבלת סחיפת מים נטו בכיוון התקדמות הגל. התנאי האחרון שקול להנחה ששיפוע הגל אינו זניח, כי:
formula_50
ו-ka הוא הפקטור שאחראי לתלילות הגל.
במאמרו מ-1847 סטוקס גזר ביטוי למהירות האופקית של אלמנט זורם על פני המים כפונקציה של הזמן, והראה שהוא מכיל איבר בעל ממוצע זמני שונה מאפס, שהוא (ערך הממוצע): formula_51, וזהו איבר הסחיפה. איבר הסחיפה הזה, שיחסי לאמפליטודה של הגל בריבוע, נקרא מהירות הסחיפה. סטוקס הראה גם שהסחיפה בעומק שרירותי z היא : formula_52.
כלומר הדעיכה של אפקט הסחיפה עם העומק היא יותר חזקה מאשר הדעיכה של המהירות האופקית עם העומק; מהירות הסחיפה דועכת בקירוב לפי formula_53 בעוד מהירות האלמנטים יורדת לפי
formula_54.
אפקט נוסף שקשור לרעיונות מאחורי הפיתוח הזה קשור בהבדל בזמן המחזור של הגל שחווה אלמנט זורם בסמוך לפני המים לעומת זמן המחזור של הגל מנקודת מבט אוילרית. זמן המחזור של הגל שיחווה אלמנט זורם יהיה ארוך יותר מהמחזור שימדוד צופה חיצוני. אפקט זה הוא אודות לתוצא דופלר.
שבירת גלים (waves breaking).