אחד המאפיינים החשובים של מצב תהודה הוא שהוא מתקבל בתדירות הכוח המאלץ שבה קצב מעבר האנרגיה למערכת מגיע לערכו המרבי. לתכונה זו משמעות מרחיקת לכת מבחינה טכנולוגית. בפרט, התכנון המכני של כל מוצר, מגורד שחקים, גשר או מטוס ועד מכונת כביסה או טלפון סלולרי צריך להתחשב באפשרות שכוחות חיצוניים או פנימיים עלולים להביאו למצב של תהודה. המקרה הידוע ביותר של תכנון לקוי, אשר לא התחשב בתופעה זו, הוא של גשר מצר טקומה שבמדינת וושינגטון בארצות הברית. הגשר לא תוכנן כהלכה ונכנס למצב תהודה לעיתים קרובות. עם זאת, ההתמוטטות הסופית נבעה מחוסר יציבות.
דוגמה נוספת לצורך להתחשב בתופעת התהודה היא בתכנון של תנור מיקרוגל. אופן פעולת התנור מבוסס על עירור של מולקולות המים שנמצאות במזון על ידי גל אלקטרומגנטי. ברם, עירור זה נעשה בתדירות גבוהה במקצת מתדירות התהודה של מולקולות המים ושתי סיבות לכך:
ההתחשבות בתהודה חשובה במיוחד בתכנון אולמות קונצרטים. לכל אולם יש אופני תנודה עצמיים (גלים עומדים) של גלי הקול אשר נקבעים על ידי צורת האולם ועל ידי תכונות הבליעה וההחזרה של ציפוי הקירות והתקרה. אופני תנודה אלו עלולים להיכנס לתהודה כתוצאה מהמוזיקה המתנגנת באולם, ובמצב זה נוצרת הגברה לא מאוזנת של צלילים מסוימים ביחס לצלילים אחרים (אשר תלויה במיקום המאזין). אחת המטרות של תכנון אקוסטי של אולם קונצרטים היא להימנע ממצב זה.
בשונה מהדוגמאות שהובאו עד כה, ישנם גם מקרים בהם תהודה היא מצב רצוי. לדוגמה, כל שעון (משעון מטוטלת ועד לשעון האטומי) מכיל רכיב הנמצא בתהודה, ושומר על אחידות קצב הפעולה של השעון כולו. דוגמה נוספת היא קליטה של שידורי רדיו: האנטנה קולטת גלים בכל אורכי הגל, וכדי להפריד בין התחנות השונות משתמשים בבורר שהוא מעגל תהודה (הבנוי באופן כללי מקבל משתנה ומסליל). המעגל מאפשר להעביר ולהגביר תחום תדירויות צר מתוך שלל התדירויות הנקלטות. גם שיטת ההדמיה בתהודה מגנטית (MRI) הנפוצה כיום ברפואה מבוססת על בליעה ועל פליטה של קרינה בגרעיני האטומים בגוף האדם, שנכנסים לתהודה.
ביטויים של תהודה בטבע.
בליעה של אור בחומר.
תופעות רבות ניתנות להסבר איכותי באמצעות שיקולים קלאסיים, אף על פי שסוגיית האינטראקציה שבין אור לחומר דורשת טיפול במסגרת תורת הקוונטים. אחת התופעות היא בליעה של קרני אור בחומרים דיאלקטריים, אשר נובעת מתהודה.
התנהגות האור במעבר דרך חומרים דיאלקטריים מאופיינת על ידי שילוב של שלוש תופעות עיקריות: התאבכות, בליעה, ופליטה מחדש של האור. האור, בהיותו קרינה אלקטרומגנטית, מעורר את הדיפולים החשמליים שבאטומי החומר, ואלו פולטים קרינה - קרינה דיפולית. בהפשטה ניתנים הדיפולים לתיאור כמתנדים הרמוניים מרוסנים, שמאולצים להתנודד על ידי הקרינה האלקטרומגנטית. כאשר תדר הקרן הפוגעת רחוק מאוד מהתדירות העצמית של הדיפולים נבלעת הקרינה אך נפלטת מיד (במינוח הקוונטי זהו תהליך וירטואלי) וההתאבכות בין הקרן המקורית והקרינה הדיפולית באה לידי ביטוי בירידה של מהירות האור בחומר.
לעומת זאת, במצב של תהודה, כלומר כאשר תדירות האור הפוגע בחומר קרובה לאחת מהתדירויות העצמיות של הדיפולים שבו, נבלע האור בחומר ובמקום להפלט בחזרה הופכת האנרגיה לחום (או למעבר קרינתי בתדירות אחרת). מכאן שקרן אור בעלת תדירות הקרובה לאחת מהתדירויות העצמיות של הדיפולים בחומר אינה יכולה לעבור דרכו. זו אחת הסיבות לכך שרוב החומרים אינם שקופים, אלא יש להם צבע.
מבנה הטבעות של שבתאי.
אחד הביטויים של תהודה בתחום האסטרונומיה הוא מבנה הטבעות של שבתאי. הסיבה המרכזית למרווחים בין הטבעות ולהיררכיה שבהם נעוצה בתופעת התהודה. כדי להסביר זאת יש להתייחס לשבתאי ולחומר שממנו עשויות הטבעות (בעיקר קרח ואבק) בתור "המערכת", בעוד שהירחים של שבתאי (דוגמת מימס, אנסלדוס, ריאה וטיטאן) מספקים את הכוח המאלץ. הכוח הוא כוח המשיכה שמפעילים הירחים על הטבעות, ולכל אחד מהם סדרת תדירויות אופיינית המתקבלת מתדירות הסיבוב היסודית של כל ירח, והכפולות השלמות שלה. אפשר לתאר את הכוח שמפעיל ירח כפונקציה מחזורית בזמן, שפיתוח פורייה שלה מכיל את כל הכפולות של התדירות היסודית, ורק אותן.
תדירות הסיבוב של החומר המצוי בטבעות תלויה במרחק משבתאי ומשתנה באופן רציף עם ההתרחקות מכוכב הלכת. לכן ישנם אזורים שבהם תדירות הסיבוב נמצאת בתהודה עם אחת מהתדירויות של הכוח המאלץ הנובע מהירחים. התנועה של חלקיקי החומר באזורים אלו אינה יציבה כיוון שהם מקבלים אנרגיה. כתוצאה מכך הם מוסטים ממסלולם ומתנגשים עם חלקיקים אחרים. תהליך זה מוביל בסופו של דבר ליצירת המרווחים בין הטבעות של שבתאי.
תהודה באתר מסוים בעת התרחשות רעידת אדמה.
בעת התרחשות רעידת אדמה, משוגרים גלים סייסמיים ממוקד הרעידה במעמקי קרום כדור הארץ לכל עבר. בהגיע הגלים אל פני השטח, הם יוצרים תאוצות קרקע שאחראיות לנזקים בכל אתר אליו הן מגיעות ולאפקטים סייסמיים אחרים. האנרגיה בגלים הללו הולכת ונוחתת ככל שהם מתרחקים מהמוקד. כתוצאה מכך קיימת ציפייה שככל שאתרים כלשהם מרוחקים ממוקד רעידת האדמה, כך השפעתה על אתרים אלה תהיה קטנה או פחותה מאשר באתרים קרובים יותר. ברם, יש לא מעט מקרים שבהם תהודה שנגרמת באתר מסוים, מגבירה מאוד את תאוצות הקרקע בו אפילו עד כדי פי 50 ויותר מכפי הצפוי על פי המרחק מהמוקד. זאת מכיוון שהגלים הללו מתפזרים בכל התדרים. תחילה נבלעים התדרים הגבוהים, וככל שמתרחקים מהמוקד, התדרים הנמוכים הם המאפיינים את תחומם שם. אם וכאשר מגיעים לאתר מסוים גלים בתדר הקרוב מאוד או זהה לתדירות העצמית של תצורת הסלע עליה בנויים המבנים, תתרחש תהודה שתביא לתאוצות קרקע מוגברות, כאמור עד כדי פי 50 (ראו איור של גרף תאוצה ספקטרלית משמאל). אם גם המבנים הבנויים שם יהיו בעלי תדירות עצמית דומה, אזי זה יגביר את עוצמות הנזק וההרס במבנים אלו. מכיוון שבאזורים הרחוקים מהמוקד, "שולטים" בנוכחותם הגלים בעלי התדירות הנמוכה, ובהכללה ניתן לומר שהתדירות העצמית של מבנים גבוהים נמוכה גם כן, הרי שזה בהחלט חיזיון נפוץ למצוא מבנים מודרניים יחסית, שלא נבנו על פי תקנים מחמירים מאוד של עמידות בפני רעידות אדמה, נפגעים ממנה מאד.
התנהגות כאוטית של מערכות.
תהודה מסבירה את המעבר מדינמיקה סדירה (אינטגרבילית) לכאוטית כאשר מוסיפים הפרעה קטנה למערכת האינטגרבילית. במונח "התנהגות סדירה" הכוונה היא לדינמיקה המאופיינת בכך שהמרחק בין שני מסלולים קרובים גדל כמו חוק חזקה בזמן, ואילו התנהגות כאוטית מאופיינת בכך שהתרחקות המסלולים מעריכית בזמן. הוספה של הפרעה קטנה למערכת אינטגרבילית גוררת, בדרך כלל, התנהגות כאוטית, והמעבר בין האופי השונה של התנהגות המסלולים, שתלוי בעוצמת ההפרעה, מתואר על ידי התאוריה של קולמוגורוב, ארנולד ומוזר (Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) theory).
קטרליתהאזורים במרחב הפאזה בהם התנועה היא כאוטית נוצרים מתהודה בין דרגות חופש שונות של המערכת שמצומדות על ידי ההפרעה. תהודה זו מובילה לאי-היציבות של המסלולים ולכן גם להתרחקות המעריכית בין שני מסלולים קרובים. בדרך כלל הולכים האזורים הכאוטיים וגדלים ככל שההפרעה חזקה יותר, עד שהם מכסים, אפקטיבית, את כל מרחב הפאזה. מערכות מסוג זה, שהן הנפוצות יותר בטבע, נהוג לכנות מערכות כאוטיות רכות.
מודל פיזיקלי.
כאמור, מערכת במצב תהודה מקבלת אנרגיה מהכוח המאלץ. כתוצאה מכך הולכת משרעת התנודה של המערכת וגדלה. ייתכנו מספר תהליכים המביאים את הגידול במשרעת התנודות לרוויה. השניים העיקריים הם:
המודל המתמטי המוצג להלן לתיאור של תהודה מניח שהגורם הראשי לרוויה הוא חיכוך. מניחים לשם פשטות שדרגת החופש הרלוונטית של המערכת ניתנת לתיאור על ידי מתנד הרמוני מרוסן, והוא מאולץ על ידי כוח חיצוני מחזורי. משוואת הכוחות המתארת את המערכת היא:
formula_1
כאן formula_2 היא סטיית המתנד מנקודת שיווי המשקל, formula_3 היא מסת המתנד, formula_4 היא תדירותו העצמית, formula_5 הוא מקדם החיכוך, ו- formula_6 ו- formula_7 הם המשרעת והתדירות של הכוח המאלץ, בהתאמה. הפתרון העמיד (פתרון בגבול של זמן ארוך מספיק בו אין תלות בתנאי ההתחלה של המערכת) של משוואה זו הוא:
formula_8
כאשר משרעת התנודה היא:
formula_9
ואילו פיגור הפאזה נתון בביטוי:
formula_10
ההספק הממוצע של הכוח המאלץ, כלומר קצב מעבר האנרגיה למתנד, הוא:
formula_11
מצב התהודה של המערכת הוא כאשר הספק זה נמצא ליד נקודת המקסימום שלו. ערכו המרבי מתקבל כאשר formula_12, ובמצב זה הסחת הפאזה היא formula_13.
כאשר החיכוך הוא אפס זהותית, formula_14, ו- formula_12, אין הפתרון שלמעלה תקף, כיוון שהמכנה מתאפס. הפתרון הנכון במקרה זה הוא:
formula_16 (כאן formula_17 ו- formula_14)
מכאן שבמצב תהודה, כאשר כוחות החיכוך זניחים, גדלה משרעת התנודה של המתנד באופן מתכונתי לזמן.
תפילת שחרית של שבת
תפילת שחרית של שבת היא תפילת הבוקר הנהוגה ביהדות בבוקר יום השבת וחובה לקיימה. תפילה זו שונה מתפילת שחרית של יום חול בכך שהיא כוללת פסוקי דזמרא רבים יותר, תוספות שונות וקריאת התורה, ונערכת באופן חגיגי. בקהילות השונות קיימים פיוטים ולחנים הייחודיים לתפילה זו. בסיום תפילה זו מתחילה מיד תפילת מוסף של שבת, והיחס הרגיל אליהם הוא כאל תפילת אחת ארוכה.
זמן התפילה.