באופן שיטחי ולא מדויק ניתן לתאר את הוכחתו של סמייל להשערה כך: תחילה משתמשים במשפט תום כדי להראות שיריעה formula_47-ממדית formula_10 המקיימת את תנאי ההשערה מהווה שפה של יריעה (עם שפה) קומפקטית formula_59. לאחר מכן מבצעים סדרה סופית של פעולות ה"משפרות" את formula_59. לבסוף מוכיחים שלאחר מספיק פעולות formula_59 הופכת לכדור formula_48-ממדי. מכאן ש-formula_10 חיובת להיות הספירה.
בממד נמוך מ-4 "אין מספיק מקום" כדי לבצע פעולות אלה. בממד-4 אומנם ניתן לבצען, אך הן לא "משפרות את המצב".
הוכחתו זו זיכתה את סמייל במדליית פילדס בשנת 1966.
ההוכחה לממד-4.
בשנת 1982 הצליח מייקל פרידמן להכליל את תוצאתיו של סמייל למקרה ה-4-ממדי. הוא סיפק גרסה 4-ממדית של משפט ה-h-קו-בורדיזם והוכיח את השערת פואקרה המוכללת עבור ממד 4. יתר על כן, הוא סיפק מיון מלא של כל היריעות ה-4-ממדיות הקופקטיות פשוטות הקשר.
באופן אינטואיטיבי, הוכחתו התבססה על בניה אינסופית בה מבצעים את התהליך שביצע סמייל אינסוף פעמים ומראים שאז הוא באמת "משפר את המצב".
על הוכחת השערת פואנקרה בממד 4 קיבל פרידמן מדליית פילדס בשנת 1986.
מבנים אקזוטיים על יריעות 4-ממדיות.
תוצאותיו של פרידמן, בשילוב עם תוצאות של דונלדסון על אינווריאנטים של יריעות חלקות 4-ממדיות, הובילו למציאת דוגמאות של מבנים אקזוטיים על יריעות 4-ממדיות (דבר שלא היה ידוע קודם). בפרט נמצאו formula_64 מבנים אקזוטיים על המרחב האוקלידי ה-4-ממדי formula_65. מרחב זה הוא המרחב האוקלידי היחיד בעל מבנים אקזוטיים. שאלת קיומם של מבנים אקזוטיים על הספירה ה-4-ממדית עודנה פתוחה.
על מציאת מבנים אקזוטיים על formula_65 קיבל דונלדסון את מדליית פילדס בשנת 1986.
מרחק גרומוב-האוסדורף ומשפט הקומפקטיות של גרומוב.
בשנת 1975 פיתח דויד אדוארדס גרסה אבסולוטית למרחק האוסדורף. גרסה זאת נקראה לימים "מרחק גרומוב-האוסדורף". בעוד שמרחק האוסדורף מוגדר עבור תת-קבוצות במרחב מטרי נתון, מרחק גרומוב-האוסדורף מוגדר עבור מרחבים מטריים קומפקטיים כלשהם, ללא שיהיה צורך לשכנם במרחב מטרי גדול יותר. מושג זה מאפשר לדון במרחב המטרי של כל המרחבים המטריים.
בשנת 1981 פתיח מיכאיל גרומוב מושג זה מחדש, ללא שהיה מודע לעבודותיו של אדוארדס. גרומוב גם הוכיח תכונות רבות של מושג זה, שהידועה ביניהן היא "משפט הקומפקטיות של גרומוב". משפט זה אומר שקבוצות מסוימות במרחב המטרי של המרחבים המטריים הן קומפקטיות.
משפט הקומפקטיות של גרומוב מאפשר לראות במרחבי אלכסנדרוב כמקרה גבולי של יריעות רימינות. למסקנה זאת הייתה חשיבות מכרעת בהוכחת השערת פואנקרה.
ניסוח השערת הגאומטריזציה.
בשנת 1982 ניסח ויליאם ת'ורסטון השערה המספקת מיון (חלקי) ליריעות תלת-ממדיות קומפקטיות. באופן לא פורמלי, ההשערה טוענת שכל יריעה כזו ניתן "להרכיב" מאבני בניין פשוטות יחסית הנקראות גאומטריות.
אבני בניין אלה הן יריעות שעליהן קיימת מטריקה רימנית (מושג כמותי של מרחק) מאוד סימטרית. באופן פורמלי יותר: כך שלכל formula_67 על היריעה formula_10 קיימת איזומטריה של formula_10 ( מ-formula_10 לעצמו השומרת מרחק), המעבירה את formula_71 ל-formula_72.
קל יחסית למיין את כל הגאומטריות. בהתאם גם לא מאוד קשה (בשימוש בכלים סטנדרטיים שהיו קיימים באותה עת) להסיק את השערת פואנקרה מהשערת הגאומטריזציה. טרם ניסוח השערת הגאומטריזציה באופן כללי הוכיח אותה ת'ורסטון למשפחה רחבה של יריעות תלת-ממדיות.
עבודותיו של ת'ורסטון על יריעות מממד נמוך זיכו אותו במדליית פילדס בשנת 1982.
פיתוחה של זרימת המילטון-ריצ'י.
בשנת 1982 הוכיח ריצ'רד המילטון את "משפט הספירה". משפט זה אומר שיריעה רימנית (יריעה חלקה עם מטריקה רימנית עליה) המקיימת תנאים מסוימים, היא דיפאומורפית לספירה מממד מתאים. לשם כך הוא פיתח זרימה גאומטרית שאותה כינה זרימת ריצ'י (היום היא מכונה לעיתים גם זרימת המילטון-ריצ'י). זרימה גאומטרית היא דרך לשנות את הגאומטריה של אובייקט מסוים באופן רציף והדרגתי. זרימת המילטון-ריצ'י משנה את המטריקה הרימנית על היריעה (מבל לשנות את היריעה עצמה) על ידי הוספה של עקמומיות ריצ'י שלה (עם מקדם) למטריקה. תהליך זה הופך את היריעה לסימטרית יותר. המילטון הוכיח שבתנאי המשפט היריעה תהפוך בסופו של דבר לספירה מבחינה מטרית, ומכיוון שהזרימה אינה משנה את המבנה הטופולוגי, זו ראיה לכך שמלכתחילה הייתה דיפאומורפית לספירה.
זרימת המילטון-ריצ'י מוגדרת על ידי מערכת משוואת דפרנציאליות חלקיות. הזרימה מהווה פתרון למערכת הזו. מערכת משוואות זו דומה למשוואת החום אלא שבמקום לפזר חום היא "מפזרת" עקמומיות. לכן, המטריקה הופכת ליותר סימטרית לאורך הזרימה. כפי שקורה במקרים רבים של משוואות דיפרנציאליות חלקיות, ליריעות רימניות כלליות, למערכת משוואות זו אין פתרון המתקיים לאורך זמן, לכן זרימת ריצ'י "נתקעת" לאחר זמן מה.
במהלך שנות ה-80, בעקבות הצעה של שינג טונג יאו הגה המילטון אסטרטגיה להוכחת השערת הגאומטריזציה המבוססת על זרימת ריצ'י. תחילה בוחרים מבנה של יריעה חלקה על היריעה הנתונה formula_43. קיום (ויחידות) של מבנה כזה היה ידוע עוד בשנות ה-50. לאחר מכן בוחרים מטריקה רימנית כלשהי על formula_43. קל להוכיח קיום של מטריקה רימנית על כל יריעה חלקה. אז מפעילים את זרימת ריצ'י על היריעה עד אשר היא "תתקע". קצת לפני שהיא נתקעת "חותכים" את היריעה באופן שיאפשר המשך זרימה על כל אחד מהחלקים בנפרד (תוך כדי התאמת המקדם בזרימה לכל חלק בניפרד). ממשיכים בתהליך עד שכל אחד מהחלקים מגיע למצב קבוע. המילטון הראה שמצבים אלו הם בדיוק הגאומטריות. כעת נותר רק "להרכיב" את היריעה בחזרה מגאומטריות אלה.
בתחילת שנות ה-90 ניסה המילטון לממש אסטרטגיה זו, ואף הצליח בכך במספר רב של מקרים. אך בסופו של דבר נקלע למבוי סתום ולא הצליח להוכיח את ההשערה.
בשנת 2011 כעשור לאחר שהשערת פואנקרה הוכחה על ידי פרלמן באמצעות זרימת המילטון-ריצ'י, זכה המילטון בפרס שאו על פיתוח זרימה זו.
הכלת הבעיה בפרס המילניום של קליי.
בשנת 2000 פרסם מכון קליי רשימה של שבע בעיות במתמטיקה לכבוד תחילת המילניום השלישי. מכון קליי הבטיח פרס בסכום של מיליון דולר על פתרון כל אחת מהבעיות. הבעיות נגעו לתחומים הבאים: פיזיקה מתמטית, תורת המספרים (האנליטית והאלגברית), תאוריה של מדעי המחשב, גאומטריה אלגברית וטופולוגיה אלגברית וגאומטרית.
השערת פואנקרה הייתה הבעיה השישית ברשימה זו. היא הייתה הבעיה היחידה שניתן לשייך לתחומי הטופולוגיה האלגברית והגאומטרית באופן מובהק. לצדה הייתה גם השערת הודג' שנמצאת על התפר שבין גאומטריה אלגברית לטופולוגיה אלגברית.
את נוסח ההשערה הרשמי כתב ג'ון מילנור.
הוכחת ההשערה.
בתחילת שנות ה-90 עבד גריגורי פרלמן על מרחבי אלכסנדרוב יחד עם יורי בורגו, מיכאיל גרומוב ואנתון פתונין. בשנת 1992 נסע פרלמן לארצות הברית למספר שנים. בתקופה זו הוא שמע הרצאה של ריצ'רד המילטון. לאחר ההרצאה שוחח פרלמן עם המילטון ארוכות. בשיחה זו סיפר לו המילטון את כל ההתקדמות שהייתה לו בהוכחת השערת פואנקרה. זמן מה לאחר מכן (בשנת 1996), לאחר שפרלמן ראה פרסום של המילטון ב-arXiv, הוא פנה להמילטון והציע לו לשתף פעולה בניסיון להוכיח את ההשערה. לאחר שהמילטון לא ענה להצעה זו, חזר פרלמן לרוסיה (למכון סטקלוב בסנט-פטרסבורג) לעבוד על ההשערה בגפו. פרלמן הבין שכאשר זרימת ריצ'י נתקעת, היא הופכת את היריעה למרחב אלכסנדרוב, ולכן קיווה שבעזרת מרחבי אלכסנדרוב יוכל להתקדם במקום שבו נעצר המילטון.
פרלמן עמל על ההשערה כשבע שנים ולבסוף, בשנים 2002–2003 פרסם את עיקרי הוכחתו להשערת פואנקרה בסדרה של שלושה מאמרים ב-arXiv.
אחרית דבר.
אימות ההוכחה.
פרסום תוצאות מתמטיות חשובות באתר אינטרנט כדוגמת ה-arXiv טרם פרסום בכתב עת מדעי, הוא דבר מקובל מאוד. אולם בדרך כלל, לאחר פרסום כזה, המאמר מוגש לכתב עת, שם הוא עובר ביקורת עמיתים. אחת המטרות של תהליך זה היא בדיקת נכונת המאמר. פרלמן בחר שלא להגיש את המאמר לכתב עת, דבר שלא איפשר בדיקה באופן זה. בנוסף, מאמריו של פרלמן לא הכילו פרטים רבים מההוכחה, ודרשו עבודת השלמה. מכל מקום, לבעיות מסדר גודל כמו השערת פואנקרה, יש תכופות היסטוריה של "הוכחות" שגויות, והוכחתן מורכבת מאוד, כך שלוקח זמן לקהילה המדעית להשתכנע בשלמות ההוכחה.
לאחר שפרסם את מאמריו, הוזמן פרלמן לתת מספר הרצאת בארצות הברית על עבודתו. בהרצאות אלה נכחו מומחים רבים בתחומים אליהם נגעה ההשערה. מספר מתמטיקאים החלו לעבוד על אימות ההוכחה והשלמת הפרטים.
בשנת 2006 כתבו, ברוס קלינר (Bruce Kleiner) ג'ון לוט (John Lott) ג'ון מורגן (John Morgan) וגאנג טיאן (Gang Tian) מספר מאמרים ב-arXiv שהתבססו על עבודותיו של פרלמן והכילו הוכחה מפורטת של ההשערה. בשנים 2007–2008 התפרסמו מאמרים אלה בכתבי עת לאחר שעברו ביקורת עמיתים. נקודה זו היוותה עבור רבים סיום בדיקת ההוכחה. מאמרים נוספים עם הסברים שונים ופרספקטיבות שונות על ההוכחה התפרסמו בשנים לאחר מכן. העבודות של קלינר לוט מורגן וטיאן לא היו חפות לחלוטין מטעויות. אולם הטעויות שהתגלו במהלך השנים היו קטנות ותוקנו במהרה. קלינר לוט מורגן וטיאן, כמו גם רוב המתמטיקאים שעבדו על הנושא אחריהם, לא ניסו לנכס לעצמם קרדיט על ההוכחה, כולם הסכימו שפרלמן הוכיח את המשפט בהתבסס על פריצת הדרך של המילטון והעבודות המאוחרות יותר באו רק לבאר את ההוכחה.
פרלמן לאחר שהוכיח את ההשערה.