בשנות השבעים של המאה העשרים היה נפוץ מתקן פנימי למתיחת חבלי כביסה. ארבעה חבלים היו מגולגלים (ברווחים קבועים ביניהם) סביב ציר בעל קפיץ, וקצותיהם מחוברים למוט ברווחים מתאימים. הציר היה מותקן על קיר. כאשר היה צורך בתוספת חבלי כביסה פנימיים, היה ניתן למשוך את כל ארבעת חבלי הכביסה יחד, ולקבע את המוט על הקיר הנגדי. בסיום השימוש, היו החבלים נגללים חזרה בכוח הקפיץ.
בשנות התשעים של המאה העשרים החלה תפוצתם של מתקני כביסה מתקפלים, אשר כבליהם עשויים כולם מתכת. מתקני כביסה ניידים כאלה משמשים בתוך הבית (לפעמים הניחו מאווררים ליד המתקנים כדי לזרז את יבוש הכביסה), אך לעיתים קרובות הם משמשים גם מחוץ לבית (במרפסת או בגינה), כאשר מתלה הכביסה הקבוע אינו מתוכנן באופן העולה בקנה אחד עם צורכי הבית. אופן שימוש זה במתקן פוגע בייעודם של שטחי נוי והנאה בבית והופך אותם לשטחים תפקודיים.
אי-תלות (הסתברות)
בתורת ההסתברות, שני מאורעות הם תלויים אם הידיעה על התרחשותו של אחד מהם משנה את ההסתברות להתרחשות המאורע האחר. מאורעות שאינם תלויים נקראים בלתי תלויים.
הגדרה.
שני מאורעות הם בלתי תלויים אם ההסתברות ששניהם יקרו שווה למכפלת ההסתברויות של כל מאורע בנפרד. באופן פורמלי, המאורעות formula_1 ו-formula_2 בלתי תלויים אם ורק אם formula_3.
לפיכך, אם formula_4 אז formula_5, כפי שמתקבל מחוק בייס.דוגמה: שני ומיכל רוכשות כרטיסי לוטו וממלאות ניחושים שונים. המאורע 'מיכל זכתה בפרס הראשון' והמאורע 'שני זכתה בפרס הראשון' תלויים, מכיוון שהניחושים שונים, והידיעה על זכייתה של שני הופכת את ההסתברות לזכייתה של מיכל ל-0, כאשר לפני כן ההסתברות הייתה אמנם קטנה אך גדולה ממש מאפס. לעומת זאת, המאורע 'מיכל לא זכתה בפרס הראשון בכל ההגרלות הקודמות' והמאורע 'מיכל תזכה בפרס הראשון בהגרלה הבאה' הם בלתי תלויים, שכן הידיעה על זכייתה של מיכל בהגרלה כלשהי איננה משנה את ההסתברות לזכייה מחודשת.הערה: כל שני מאורעות זרים הם תלויים (למעט המקרה המנוון שבו formula_6 או formula_7) שכן ידיעת קיומו של האחד מבטיחה את אי־קיומו של האחר.
תלות ואי־תלות של משתנים מקריים.
ההגדרה לעיל מתייחסת למאורעות, אך הגדרת התלות מוצגת באופן דומה גם עבור משתנים מקריים. שני משתנים מקריים formula_8 ו-formula_9 הם בלתי תלויים אם ורק אם פונקציית ההסתברות המצטברת שלהם מקיימת: formula_10. נשים לב כי הגדרה זו כוללת הן משתנים מקריים בדידים והן משתנים מקריים רציפים. במקרה שבו קיימת למשתנים המקריים הנתונים גם פונקציית צפיפות הסתברות, הם בלתי תלויים אם ורק אם formula_11.
משמעות הביטויים לעיל בעלת חשיבות רבה בהסתברות וסטטיסטיקה. כאשר המשתנים תלויים, יש לטפל בפונקציית ההסתברות המשותפת, פונקציה דו-ממדית (או רב-ממדית במקרה הכללי), ואילו כאשר המשתנים בלתי תלויים, ניתן לטפל במקום זאת באוסף פונקציות חד-ממדיות, אותן לרוב קל יותר לשערך.
משתנים מקריים בלתי מתואמים.
שני משתנים מקריים formula_12 נקראים בלתי מתואמים (או חסרי קורלציה) אם התוחלות שלהם מקיימות formula_13 . במקרים רבים קשה מאוד להוכיח או לבדוק אי־תלות סטטיסטית, שכן נדרשת ידיעה של פונקציית ההסתברות המצטברת במלואה, דבר שאינו בהכרח זמין בהינתן אוסף מדידות מסוים. בנוסף, במקרים רבים המשתנים עשויים להיות תלויים סטטיסטית לפי ההגדרה, אך ייתכן שקיימת במערכת אי־תלות חלשה יותר. במקרים כאלו, ניתן לעיתים לבדוק האם המשתנים בלתי מתואמים ובכך לקבל מושג כלשהו על אופי הקשר בין המשתנים.
דוגמה: במקרים רבים מתעניינים בשונות של סכום שני משתנים מקריים: formula_14, כאשר formula_15 היא השונות המשותפת של שני המשתנים המקריים. מכיוון שהגדרת השונות המשותפת היא formula_16, הרי שעבור שני משתנים מקריים בלתי מתואמים נקבל כי שונות הסכום היא סכום השונויות. באופן זה קיבלנו מושג על הקשר בין שני המשתנים, אף על פי שלא הוכחנו אי-תלות סטטיסטית.
ניתן להראות כי אוסף משתנים מקריים בלתי תלויים הם גם בלתי מתואמים, באמצעות אחת ההגדרות לעיל בשילוב עם הגדרת התוחלת והשונות המשותפת. ההפך אינו נכון, כלומר: במקרה הכללי, חוסר קורלציה איננו מעיד על אי-תלות סטטיסטית.
אי־תלות סטטיסטית וחוסר קורלציה עבור משתנים מקריים גאוסיים.
שני משתנים מקריים formula_12 נקראים משתנים מקריים גאוסיים במשולב (או: במשותף) אם פונקציית הצפיפות המשותפת שלהם גאוסית רב-ממדית. במקרה זה גם כל אחד מהמשתנים יהיה משתנה מקרי גאוסי, וחוסר קורלציה בין המשתנים יעיד על אי-תלות סטטיסטית. כלומר, עבור משתנים אקראיים גאוסיים במשולב, יש שקילות בין אי-תלות סטטיסטית לחוסר קורלציה. ניתן להראות זאת על ידי כתיבת פונקציית הצפיפות באופן ישיר והצבת שונות משותפת מתאימה.
עם זאת, יש לשים לב כי במקרה זה נדרשים המשתנים להיות גאוסיים במשולב, ולא די בכך שנתבונן בשני משתנים אקראיים גאוסיים כלליים, שלהם אין בהכרח צפיפות משותפת גאוסית רב-ממדית.
הערה: ייתכנו מקרים בהם פונקציית הצפיפות אינה קיימת, ובמקרה זה יש להתבונן בפונקציה האפיינית.
דוגמה: יהי formula_8 משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי (כלומר: בעל תוחלת אפס ושונות יחידה), ויהי formula_2 משתנה מקרי בלתי תלוי ב-formula_8 המקבל את הערכים formula_21 בהסתברות שווה. ניתן להראות על ידי בחינת פונקציית ההתפלגות המתאימה כי המשתנה המקרי formula_22 גאוסי ובעל פילוג זהה למשתנה המקרי formula_8. כמו כן ניתן לראות כי שני המשתנים הגאוסיים formula_12 חסרי קורלציה:
formula_25.
כלומר, בידינו שני משתנים גאוסיים וחסרי קורלציה, אך ניתן להראות שהם גם תלויים סטטיסטית, למשל על ידי ההבחנה כי מתקיים formula_26, כלומר: בידיעת ערכו של formula_9, המשתנה formula_8 מקבל אחד משני הערכים formula_29, בעוד שללא ההתניה מדובר במשתנה מקרי רציף. הדבר אינו מהווה סתירה, שכן אין הם גאוסיים במשולב.
תלות משותפת.
ניתן להכליל את מושגי האי-תלות וחוסר הקורלציה עבור משתנים מרובים על ידי הרחבת ההגדרה: אוסף סופי של משתנים מקריים formula_30 יהיה בלתי תלוי אם ורק אם פונקציית ההסתברות המצטברת שלהם מקיימת formula_31, וידיעת כל אוסף מבין המשתנים איננה משנה את ההסתברות של אוסף אחר מתוך אותה קבוצה, כל עוד שני האוספים זרים.
במקרה של אוסף משתנים מקריים בלתי תלויים, כל תת-אוסף של משתנים יהיה גם הוא בלתי תלוי, אך ההפך אינו נכון: אי-תלות של תתי קבוצות מתוך אוסף משתנים מקריים אינו מעיד, באופן כללי, על אי-תלות של אוסף כל המשתנים המקריים.
דוגמה: יהיו formula_12 זוג משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי פילוג, המקבלים את הערכים formula_21 בהסתברות שווה. נסמן formula_34. חישוב ישיר יראה כי פילוגו של המשתנה המקרי formula_35 זהה לפילוג של כל אחד משני המשתנים שכן הוא מקבל את הערכים formula_21 בהסתברות שווה, והפילוג נותר בעינו גם כאשר מתנים באחד המשתנים formula_8 או formula_9. כלומר, כל זוג באוסף המשתנים formula_39 הוא בלתי תלוי. לעומת זאת, השלשה איננה בלתי תלויה, שכן ידיעת ערכיהם של formula_8 ו-formula_9 יחד מכתיבה באופן חד משמעי את ערכו של formula_35.
התפלגות ברנולי
בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות, התפלגות ברנולי, על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, היא התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך formula_1 או ערך formula_2 בהסתברות formula_3 ו-formula_4. מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים – הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב-formula_5 (כלומר: formula_6).
למשל, בקובייה הוגנת ההסתברות לנפילה על formula_7 היאformula_8, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא formula_9. אם תסומן התוצאה formula_7 כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון, אז המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר formula_11.
את העובדה שלמשתנה מקרי formula_12 יש התפלגות ברנולי מסמנים formula_13 (לעיתים formula_14). והשונות שלו היא formula_15. משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה formula_16 לכל formula_17 (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ומכאן שכל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־formula_18.
משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של formula_17 משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, formula_20 (ובפרט, ההתפלגות formula_21 היא התפלגות ברנולי).
תכונות.
אם formula_12 הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:
פונקציית הסתברות formula_24 של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:
צורה שקולה לביטוי זה היא:
בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור formula_28.
גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של formula_18. עבור ערכי formula_30 ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של formula_18 עבור מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה.
תוחלת.
התוחלת של משתנה מקרי formula_12 המתפלג ברנולי היא:
formula_33
זאת משום שעבורformula_12 בו formula_3 יחד עם formula_36 מתקבל:
שונות.
השונות של משתנה מקרי formula_12 המתפלג ברנולי היא:
הוכחה.
ראשית,
ומכאן:
כמובטח.
סדרה אינסופית
קדיש סילמן
קדיש יהודה-ליב סילמן (28 בנובמבר 1880, חנוכה תרמ"א, ליטא – 13 בנובמבר 1937, ט' בכסלו תרצ"ח, ירושלים), מורה, משורר, סופר, מתרגם ובלשן ארץ-ישראלי. ממייסדי תל אביב ושכונת בית הכרם בירושלים.
תולדות חייו.