מידה μ על אלגברת בורל של "G" היא אינווריאנטית משמאל, אם לכל תת-קבוצת בורל "S" של "G" ולכל איבר "a" ב "G" מתקיים formula_4; כלומר - הנפח של קבוצות אינו משתנה כאשר מכפילים אותן משמאל. באותו אופן אפשר להגדיר אינווריאנטיות מימין.
קיום ויחידות של מידת האר.
מתברר כי, עד כדי כפל בקבוע חיובי, קיימת בדיוק מידה רגולרית אינווריאנטית להזזות שמאלה אחת על אלגברת בורל של "G", המקיימת formula_5 לכל קבוצת בורל פתוחה "U". מידה כזו נקראת מידת האר שמאלית. באותו אופן מתברר גם שקיימת מידה ימנית אחת ויחידה על החבורה.
ממידת האר השמאלית, μ, אפשר להגדיר מידת האר ימנית, ν, לפי הנוסחה formula_6. (זוהי אכן מידת האר ימנית, משום שלכל קבוצת בורל "S" ולכל איבר "a" ב־"G" מתקיים formula_7). מכיוון שמידת האר הימנית היא יחידה (עד כדי קבוע) הרי שקיים קבוע חיובי k כך ש-formula_8 לכל קבוצת בורל "S" ב"G".
בהגדרה של מידת האר, ההגבלה לקבוצות בורל היא הכרחית: אם החבורה "G" אינה דיסקרטית, אז לא קיימת מידה אינווריאנטית משמאל המוגדרת על כל תת-הקבוצות של "G" (זאת אם מניחים את אקסיומת הבחירה; ראו פרדוקס בנך-טרסקי, עבור המקרה של החבורה הקומפקטית formula_9).
הפונקציה המודולרית.
הזזה משמאל של מידת האר ימנית היא מידת האר ימנית. ליתר דיוק, אם μ היא מידת האר ימנית אז לכל איבר "t" ב"G" ההעתקה
formula_10
היא גם מידת האר ימנית.
לפיכך קיימת פונקציה יחידה Δ, הנקראת הפונקציה המודולרית של "G", כך שלכל קבוצת בורל "A" ב"G" ולכ איבר "t" ב"G" מתקיים formula_11.
נשים לב כי לכל זוג איברים "s" ו"t" ב"G" ולכל קבוצת בורל "A" מתקיים:
לפיכך, לכל "s" ו-"t" מתקיים formula_13,
כלומר, הפונקציה המודולרית היא הומומורפיזם של חבורות מ"G" אל החבורה הכיפלית של המספרים הממשיים השונים מאפס.
חבורה נקראת יונימודולרית אם ורק אם הפונקציה המודולרית היא הפונקציה הקבועה "1". כל חבורה אבלית קומפקטית (כגון: formula_14 היא יונימודולרית. לעומת זאת, החבורות formula_15, או חבורת הטרנספורמציות האפיניות של הישר הממשי, (כלומר חבורת ההעתקות מהצורה formula_16 כאשר formula_17, ביחס להרכבה) אינן יונימודולריות באופן כללי.
אינטגרל האר.
בעזרת התאוריה הכללית של אינטגרל לבג, ניתן להגדיר אינטגרל לכל הפונקציות המדידות בורל על "G". אינטגרל זה נקרא אינטגרל האר. אם μ היא מידת האר שמאלית אז לכל פונקציה אינטגרבילית "f" מתקיים:
עובדה זו נובעת מן האינווריאנטיות עבור פונקציות פשוטות, ומכאן (בטכניקות הרגילות של תורת המידה) לכל פונקציה אינטגרבילית.
המרחב formula_19, מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע, הוא הצגה של החבורה G, שלה תפקיד מרכזי בתורת ההצגות, המקביל לזה של ההצגה הרגולרית עבור חבורות סופיות.
דוגמאות.
באופן יותר כללי:
כאשר dX מסמנת את מידת לבג על formula_26 המזוהה עם קבוצת המטריצות בגודל formula_27.
היסטוריה של הרפובליקה הדומיניקנית
הרפובליקה הדומיניקנית היא מדינה המשתרעת על חלקו המזרחי של האי היספניולה שבים הקריבי. לאחר גילוי האי על ידי כריסטופר קולומבוס בשנת 1492, החלה בו התיישבות אירופית, שהביאה להכחדת תושביו המקוריים, בני הטאינו, וליישובו באירופאים ובעבדיהם האפריקנים. מוסד העבדות השפיע השפעה ניכרת על ההיסטוריה של האי. במקביל להיסטוריה של האיטי, המדינה שהתגבשה במערב האי, השיגה גם הרפובליקה הדומיניקנית את עצמאותה ושחררה את עבדיה. מאז רצופה ההיסטוריה של האי במתחים בין הרצון לעצמאות, ובין השפעותיהן של מעצמות זרות - צרפת, ספרד וארצות הברית, בין החתירה לדמוקרטיה ומנגד - לרודנות אכזרית, בין יציבות שלטונית וכלכלית המבוססת על הגידולים שהאי התברך בהם, ובמיוחד הטבק וקנה הסוכר, ובין תקופות של מחסור ואנרכיה.
עם הטאינו וכיליונו.
האי היספניולה, בעל האקלים הטרופי, השני בגודלו באיים האנטילים ידע גלי הגירה של בני שבטי האראוואק, עמי אינדיאנים שהיגרו צפונה מהדלתה של נהר האורינוקו, ויישבו את איי הים הקאריבי. מעריכים כי בתחילת המאה ה-7 הגיע לאי עם הטאינו, אחד משבטי הארוואק, שתרבותו הייתה תרבות של תקופת האבן המאוחרת. העם השתלט על האי ואוכלוסייתו החליפה את אוכלוסיית הארוואק הקיימת.
במסעו הראשון אל העולם החדש, נחת כריסטופר קולומבוס על אדמת האי ב-5 בדצמבר 1492, וכינה אותו בשם "לה היספניולה". בני הטאינו שפגשו במשלחת האירופית האמינו כי הם פוגשים ביצורים על-טבעיים, וקיבלו אותם בכבוד גדול. הספרדים סברו כי המבנה החברתי השוויוני של הטאינו, שלא ניכרו בו הבדלי מעמדות, מלמד על חולשת החברה, ועל האפשרות לנצלה. הם התייחסו אל הטאינו באלימות. לאחר שאונייתו של קולומבוס, הסנטה מריה, עלתה על שרטון, החליט קולומבוס לבנות באי מבצר קטן ולהציב בו חיל מצב, שיסייע לתביעתה הטריטוריאלית של ספרד על האי. 39 מאנשי קולומבוס נותרו במבצר, שכונה "לה נאבידד" (חג המולד), בשל התאריך שבו טבעה הספינה והחלה בניית המצודה. חלק מאנשי המצודה הספרדים החלו להתייחס אל המקומיים בגסות, ולנסות לגנוב את נשותיהם. מנהיג מקומי בשם קאונאבו לא היה יכול עוד להבליג, תקף את הספרדים, הרג אותם עד האחרון שבהם, והשמיד את לה נאבידד.
ב-1493 שב קולומבוס לאי, במסעו השני, וייסד את המושבה הספרדית הראשונה בעולם החדש, העיר איזבלה. ב-1496 ייסד ברתולומיאו קולומבוס, אחיו של כריסטופר קולומבוס, על חופו הדרומי של האי, את היישוב סנטו דומינגו, שהפך לבירתו החדשה של האי. ברתולומיאו קולומבוס שיעבד את 400,000 בני הטאינו, תושבי האי, והעבידם במכרות הזהב. כתוצאה מדיכוי, מעבדות, מרעב, ממחלות ומהרג המוני, הצטמצמה אוכלוסיית הטאינו באי לכלל 60,000 איש עד לשנת 1508. ב-1535 חיו על אדמת האי בני טאינו בודדים.
בשנת 1501 הכריזו מלכי ספרד, פרננדו השני, מלך אראגון ואשתו איזבלה הראשונה, מלכת קסטיליה כי הם מתירים ייבוא עבדים אפריקנים לארצות העולם החדש. העבדים החלו להגיע לאדמת היספניולה ב-1503. הם הביאו עמם תרבות עשירה ועתיקה שהייתה בעלת השפעה קרובה לזו של האירופאים על התרבות, הפוליטיקה, הדת והיחסים הגזעיים באי, ואף ברפובליקה הדומיניקנית כיום. השמדת האוכלוסייה המקומית, ובצידה הצמיחה הכלכלית של התעשיות החדשות, הביאו לצורך בידיים עובדות, ואוכלוסיית העבדים גדלה מאוד במהלך העשורים הבאים. בעלי מטעי קנה הסוכר הפכו לאליטה הקולוניאלית החדשה, ושכנעו את המלך הספרדי להכריז עליהם כמחוז שלטוני (אודיינסיה) ולבחור מקרבם את ה"אודיינסיה", בית הדין בעל סמכות שיפוט במחוזם, בשנת 1526.
קולוניאליזם וכיבוש זר.
מושבה ספרדית.
במהלך המאה ה-16 ביססה ספרד את שליטתה באזורים נרחבים ביבשת אמריקה. המסע מאמריקה לספרד ארך בין שישה לשמונה שבועות. האיים הקאריביים הפכו לנקודה מרכזית להצטיידות והתארגנות למסע הטרנס-אטלנטי. כתוצאה מהשלל הרב שעבר בנתיבי הסחר החדשים, הפך הים הקאריבי בשנות ה-40 של המאה ה-16 למקום שבו פעלו כנופיות של שודדי ים אנגלים, צרפתים והולנדים. ב-1541 נאלצו הספרדים להקיף את סנטו דומינגו בחומה בצורה. בתקופה זו הייתה נהוגה ברחבי האימפריה שיטת סחר בשיירות גדולות ומאובטחות שכונו "Flotas", ויצאו אחת לחצי שנה. השיטה הונהגה הן מטעמי ביטחון, והן על מנת לשמור על המונופול בסחר עם המושבות. הוואנה שהייתה במקום נוח יותר מבחינת התנועה הימית, בשל מיקומה יחסית לזרם הגולף, הפכה לנקודת ההתארגנות וההצטיידות הראשית של השיירות. הדבר הביא להרס המסחר בקנה הסוכר, שמקומו בהיספניולה.
עם כיבוש היבשת האמריקנית על ידי האירופאים, הלכה חשיבותה של היספניולה ופחתה. רוב המתיישבים הספרדים העדיפו את העושר שמצאו במקסיקו ובפרו. בעוד שמתיישבים חדשים לא הגיעו לאי, החקלאות הידלדלה, עבדים חדשים לא יובאו עוד, והמתיישבים הוותיקים, עבדיהם, וקהילות העבדים המשוחררים חיו בעליבות ובעוני. מצב זה הביא לטשטוש הגבולות החברתיים ואלו שהפרידו בין הקאסטות השונות (הבדלי מעמד המבוססים על מוצא וצבע עור, וכן על מעמד כלכלי והון תרבותי - שליטה בשפה ובגינונים). כך החל תהליך "מולאטיזציה" של מרבית האוכלוסייה, ובתוך מספר דורות הייתה האוכלוסייה ברובה ממוצא מעורב ספרדי ואפריקני. פרט לעיר סנטו דומינגו, שם נשמרה מידה מסוימת של שמירת החוק, היו הנמלים הדומיניקנים מקור להברחות, ששימשו, בנוסף לגידול בהמות הבית, מקור המחיה העיקרי של שוכני האי.
ב-1605 התקיפה ספרד אזורים נרחבים בצפון ומערב האי, והכריחה את יושביהם להתיישב קרוב יותר לעיר סנטו דומינגו. פעולה זו הייתה טעות קשה. יותר מחצי מהמגורשים מתו מרעב וממחלות. שודדי ים אנגלים וצרפתים, שכונו בקנירים, ניצלו את ריכוזם של הספרדים בפינה אחת של האי, והשתלטו על האי הסמוך טורטוגה ב-1629. ב-1640 הפכה צרפת את טורטוגה למושבה צרפתית רשמית, והחלה בפשיטות ובהתיישבות בחופה הצפוני של היספניולה עצמה.
בשנת 1697 הגיעו המעצמות האירופיות להסכמה המכונה חוזה ריזוויק. על פי תנאי ההסכם הועבר השליש המערבי של היספניולה, שהיה ממילא בהשפעה צרפתית, לידי צרפת. יתר האי נותר בידי ספרד. הסכמה זו היא הבסיס לחלוקת האי בימינו בין האיטי והרפובליקה הדומיניקנית.