בחפירות ארכאולוגיות שנעשו בעיר דוד נחשף מבנה ייחודי בעל גרם מדרגות בעל צורת פרמידה, אשר נבנה מאבני גזית גדולות אשר לטענת הארכאולוגים ייתכן ושימש כ'אבן הטוען' התלמודית. מיקומה של האבן הוא על ציר העלייה לירושלים המוביל מנקבת השילוח להר הבית, שנקרא "דרך העולים".
שברולט סדרת Task Force
דואליות פונטריאגין
במתמטיקה, ובאופן ספציפי יותר בתחומים של אנליזה הרמונית וחבורות טופולוגיות, החבורה הדואלית (The dual group/Pontryagin Dual) היא אובייקט, המוגדר ביחס לחבורה טופולוגית נתונה, אך
מופיעה בעיקר בהקשר של חבורות אבליות קומפקטיות-מקומית (הגדרה בהמשך). המילה "דואלית" מציינת את ההתאמה בין האובייקט הנתון לאובייקט החדש המוגדר.
החבורה הדואלית של חבורה טופולוגית נתונה formula_1 היא חבורת כל הפונקציות מ-formula_1 למעגל היחידה, אשר שומרות על המבנה של formula_1 כחבורה וכמרחב טופולוגי. כלומר, כל פונקציה כזאת היא הומומורפיזם של חבורות ורציפה. פונקציות אלה מכונות קרקטרים.
אנלוגיה טובה למושג הדואליות היא בהקשר של מרחבים וקטוריים: עבור מרחב וקטורי formula_4, המרחב הדואלי formula_5 הוא מרחב הפונקציונלים הליניאריים על formula_4. גם כאן האובייקט הדואלי הוא תת-קבוצה של מרחב פונקציות על האובייקט הנתון, במקרה הזה הטווח של הפונקציות הוא השדה שמעליו מוגדר formula_4. יתר על כן, הפונקציות הן משמרות-מבנה בהקשר של מרחבים וקטוריים, כלומר העתקות ליניאריות. בנוסף, המרחב הדואלי הוא אובייקט "מאותו הסוג" כלומר מרחב וקטורי.
החבורה הדואלית נקראת בנוסף "דואל פונטריאגין" (Pontryagin Dual) על-שם המתמטיקאי לב פונטריאגין (Lev Pontryagin) שייסד את התאוריה על חבורות אבליות קומפקטיות-מקומית ועל הדואליות ביניהן, בעבודתו בשנת 1934.
באמצעות החבורה הדואלית ניתן להכליל את ההגדרה של התמרת פורייה עבור פונקציות/מידות על חבורה אבלית קומפקטית-מקומית כללית.
הגדרות.
תהי formula_1 חבורה טופולוגית.
הגדרה: קרקטר (character) על formula_1 הוא פונקציה formula_10 כאשר formula_11 הומומורפיזם של חבורות טופולוגיות, כלומר מתקיימים שני תנאים-
1) formula_11 רציפה.
2) לכל formula_13 מתקיים כי-
formula_14הערה: כאן formula_15 מסמן את החבורה הכפלית של מעגל היחידה כתת-קבוצה של שדה המספרים המרוכבים עם טופולוגיית תת-המרחב. בנוסף, אנו מסמנים כפל בכל אחת מהחבורות ב-formula_16, או בכתיבת הסימנים זה לצד זה- formula_17.הגדרה: החבורה הדואלית (נקראת גם דואל פונטריאגין/חבורת הקרקטרים ובאנגלית The Dual group/Pontryagin Dual) של formula_1 היא קבוצת כל הקרקטרים על formula_1 ומסומנת בדרך כלל ב-formula_20 (נהגה "formula_1 כובע") כלומר- formula_22.
נגדיר פעולה דו-מקומית על formula_20 על ידי כפל נקודתי - formula_24.
נגדיר את הטופולוגיה על formula_20 להיות הטופולוגיה המושרה מהטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה על מרחב הפונקציות formula_26.
הגדרה: formula_1 תקרא חבורה אבלית קומפקטית-מקומית (LCA group - Locally Compact Abelian group) אם היא אבלית כחבורה (פעולת הכפל על formula_1 קומוטטיבית), קומפקטית מקומית כמרחב טופולוגי ובנוסף מקיימת את תכונת האוסדורף (formula_29).הערות:1) במקום התכונה formula_29 ניתן להניח את התכונה formula_31. תחת הנחה זו ניתן לקבל כי formula_1 מרחב טופולוגי רגולרי-לחלוטין ובפרט האוסדורף.2) לעיתים מגדירים בלי תכונת האוסדורף, אך נדרשים להניח תכונה זו בניסוח טענות רבות.3) נדגיש כי במסמך זה, בכל מקום שמופיע הביטוי "חבורה אבלית קומפקטית מקומית" הכוונה שגם תנאי האוסדורף מתקיים. אם הביטוי שונה ולא כתוב במפורש שמניחים את תנאי האוסדורף, אז איננו מניחים אותו.
תכונות בסיסיות.
נמנה כעת מספר תכונות בסיסיות של החבורה הדואלית ונוכיח חלק מהן לאחר מכן. המושג "איזומורפים" מתייחס כאן לאיזומורפיות כחבורות טופולוגיות.
הוכחת המבנה כחבורה אבלית.
עבור חבורה טופולוגית כללית formula_1, נראה כי formula_20 עם פעולת הכפל שהגדרנו היא חבורה אבלית.0) סגירות תחת הפעולה - ראשית נוודא שהפונקציה המוגדרת על ידי כפל נקודתי היא אכן קרקטר. תהיינה formula_65. נראה כי formula_66 הומומורפיזם של חבורות - עבור formula_67, מכיוון ש-formula_68 הומומורפיזמים של חבורות אז formula_69 מקומוטטיביות הכפל בשדה המרוכבים נובע כי formula_70 כפי שרצינו. נראה כי formula_66 רציפה - מכיוון שזהו הומומורפיזם של חבורות, עבור formula_72 איבר היחידה מתקיים formula_73 ומספיק להוכיח רציפות ב-formula_74.עבור formula_75 ניקח מרציפות formula_68 סביבה formula_77 של formula_74 כך ש- formula_79 ולכן לכל formula_80 מתקיים כי formula_811) פעולת כפל אסוציאטיבית - לכל formula_82, מתקיים מאסוציאטיביות ב-formula_83 כי-
formula_84 ולכן formula_85.2) אבליות - לכל formula_86 מתקיים מחילופיות (קומוטטיביות) ב-formula_83 כי-
formula_88 ולכן formula_89.3) קיום איבר יחידה - הפונקציה הקבועה formula_90 הנתונה על ידי formula_91 היא קרקטר ומקיימת לכל formula_92 כי- formula_93 ולכן formula_94.מאבליות, נכונה גם אדישות לכפל מימין.4) קיום איבר הופכי - לכל formula_95 נטען כי הפונקציה formula_96 המוגדרת על ידי formula_97, היא איבר הופכי ל-formula_11.ואכן, פונקציה זו רציפה כהרכבת רציפות (הצמדה רציפה ב-formula_83) והיא הומומורפיזם של חבורות כהרכבת הומומורפיזמים של חבורות (הצמדה שומרת על כפל ב-formula_83).בנוסף, מתקיים לכל formula_101 כי formula_102 ולכן formula_11 הפיך.
סגירות טופולוגית במרחב הפונקציות הרציפות.
בטופולוגיה שהגדרנו מתקיים כי כל נקודת הצטברות formula_104 רציפה של formula_20 היא הומומורפיזם של חבורות.
הוכחה: (כולל שימוש ברעיון של רשתות) יהיו formula_67 ונראה כי formula_107.
מההנחה על formula_108 ניקח רשת formula_109 המתכנסת ל-formula_108.
יהיו formula_67 ונראה כי formula_107. מתקיים כי הטופולוגיה של התכנסות נקודתית (טופולוגיית המכפלה) על formula_36 גסה יותר מהטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה (מוכלת בה כקבוצה) ,כי יחידונים הם קבוצות קומפקטיות. לכן, אנו מקבלים כי הרשתות formula_114 מתכנסות ל-formula_115 בהתאמה.
לכן מיחידות הגבול ב-formula_15 כמרחב האוסדורף ומכפליות formula_117 לכל formula_118 נקבל-
formula_119, כנדרש.
טופולוגיה במקרה של קומפקטיות מקומית.
עבור חבורה טופולוגית כללית formula_1, הגדרנו את הטופולוגיה על החבורה הדואלית formula_20 להיות הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה. כלומר במונחים של formula_20 זו הטופולוגיה שנוצרת על-ידי תת-הבסיס:
formula_123.
במקרה ש-formula_1 היא קומפקטית-מקומית כמרחב טופולוגי, יש תיאור נוסף לטופולוגיה על החבורה הדואלית. מכיוון ש-formula_125 כלומר כל פונקציה בחבורה הדואלית היא רציפה, נובע מטיעונים טופולוגיים בלבד, (בין היתר ממטריות formula_126) כי הטופולוגיה שהגדרנו על formula_20 מזדהה עם הטופולוגיה של התכנסות במידה-שווה על קבוצות קומפקטיות, שנוצרת על-ידי הבסיס:
formula_128
דואליות בין חבורות קומפקטיות וחבורות דיסקרטיות.
נראה כעת כי אם formula_1 חבורה טופולוגית קומפקטית אז החבורה הדואלית היא מרחב דיסקרטי. ולהפך, אם formula_1 חבורה דיסקרטית אז formula_20 קומפקטית. נשים לב כי בשני המקרים formula_1 קומפקטית-מקומית ולכן הטופולוגיה על formula_20 היא הטופולוגיה של התכנסות במידה-שווה על קבוצות קומפקטיות.
עבור המקרה השני נצטרך את משפט ארצלה-אסקולי, נזכר בו כעת.
משפט ארצלה-אסקולי: (בגרסה הרלוונטית) אם formula_134 מרחב טופולוגי ו-formula_135 מרחב מטרי, תת-קבוצה סגורה formula_136 היא קומפקטית בטופולוגיה של התכנסות קומפקטית אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
א) formula_137 רציפה במידה אחידה, כלומר לכל formula_138 לכל formula_139 יש סביבה formula_140 כך ש-
formula_141 כאשר formula_142 כדור פתוח בטופולוגיה המטרית על formula_143.
ב) מתקיים כי לכל formula_138, הסגור הטופולוגי של הקבוצה formula_145 קומפקטי כתת-מרחב של formula_143.
אם formula_1 קומפקטית אז formula_20 דיסקרטית.
סכימת הוכחה:על מנת להוכיח טענה זו עלינו להוכיח שתי טענות-"טענה1:" אם formula_149 כך שformula_150 אז יש formula_151 כך שformula_152.באמצעות "טענה1" ניתן להוכיח את הטענה הבאה-"טענה2:" אם formula_1 חבורה טופולוגית, אז הטופולוגיה של התכנסות במידה-שווה על formula_20 היא הטופולוגיה הדיסקרטית."מסקנה:" מכיוון ש-formula_1 קומפקטית ו-formula_126 מרחב מטרי, אז הטופולוגיה של התכנסות קומפקטית על formula_157 מזדהה עם הטופולוגיה של התכנסות במידה-שווה. בפרט הטופולוגיות מזדהות על formula_20 ולכן היא דיסקרטית לפי "טענה2".
אם formula_1 דיסקרטית אז formula_20 קומפקטית.
הוכחה: נראה שהחבורה הדואלית מקיימת את תנאי משפט ארצלה-אסקולי כתת-קבוצה של formula_157.נסמן formula_162. ראינו שהחבורה הדואלית סגורה במרחב הפונקציות הרציפות, כלומר formula_163.נראה קיום תנאי משפט ארצלה-אסקולי-א) formula_137 רציפה במידה אחידה- יהי formula_101, אז formula_166 סביבה פתוחה של formula_167. בנוסף מתקיים כי formula_168. לכן לכל formula_169 מתקיים
formula_170 ומכאן ש-formula_137 רציפה במידה אחידה.ב) מכיוון ש-formula_15 מרחב קומפקטי, כל תת-מרחב סגור שלו הוא מרחב קומפקטי, בפרט נכון עבור כל המרחבים formula_173.מכיוון שהתנאים מתקיימים, formula_162 קומפקטי.
דוגמאות.