הגזע של הברוש הפטגוני בצבע חום אדמדם, ומהקליפה החלקה שצבעה אפרפר-צהבהב ניתקים לעיתים קרובות קטעים ארוכים. הענפים של העץ קצרים יחסית וגדלים בצורה אופקית או כלפי מטה, מה שמשווה לברוש מראה כללי של חרוט. העלים הדקיקים של הברוש הפטגוני צומחים בשלישיות לכיוון צדדי הגבעול כשכל אחד מהם מגיע לאורך של 3–8 מילימטר ולרוחב של 2 מילימטר, וסמוך לקצה העלים המשולשים מכונסים זה בזה ויוצרים יחד מערבולת עלים קטנים דמויי קשקשים; העלים מסומנים בזוג פסים לבנים דקים וארוכים. רק הקשקשים במרכז המערבולת פוריים ונושאים 2–3 זרעים לכל קשקש; הזרעים החלקים שצבעם חולי מגיעים לאורך של 2–3 מילימטר, והם מבשילים 6–8 חודשים לאחר ההאבקה. לאחר מכן, מהזרעים נוצרים איצטרובלים קטנים המורכבים מ-9 טבעות, ובקצה יש שרף דביק וריחני.
צוות חוקרים מאוניברסיטת טסמניה מצא מאובנים של מיני ברוש פטגוני על גדות נהרות במערב טסמניה אשר קיבלו את השם המדעי "Fitzroya tasmanensis". הממצא הוכיח את הזיקה העתיקת יומין בין הפלורה האוסטרלית לזו של אמריקה הדרומית הנובעת מכך שהיבשות היו מחוברות בעבר יחד עם אנטארקטיקה.
תפוצה.
הברוש הפטגוני צומח בפטגוניה שבדרום הרי האנדים באמריקה הדרומית, בין חוג הגדי לחוג האנטארקטי, באזור המהווה גם את קצה טבעת האש ביבשת זו. הוא מצוי בעיקר בצ'ילה בהמחוזות הבאים: מאולה, ביוביו, אראוקניה, לוס ריוס, לוס לאגוס (כולל האי צ'ילואה) עד לדרום מחוז אייסן; בנוסף, הוא מצוי במידה מצומצמת בדרום מערב ארגנטינה בתחומי הפרובינציות הבאות: צ'ובוט, ריו נגרו ונאוקן.
הברוש הפטגוני גדל בדרך כלל על קרקעות חוליות, קרקעות סחוטות, ביצות כבול, או כאלה המתאפיינות באפר געשי ושאריות של זרמי לבה. הוא מהווה חלק מהפלורה הייחודית של יערות הגשם הממוזגים באמריקה הדרומית. מגבלת הגובה העליון של הברוש היא 1,500 מטר מעל פני הים. כמות המשקעים הממוצעת בבית הגידול שלו היא 4,000-2,000 מילימטר לשנה.
איומים ושימור.
הברוש הפטגוני מסווג על ידי הרשימה האדומה של IUCN במצב השימור סכנת הכחדה (EN), בשל אובדן בית גידול איכותי בתחום ההיסטורי של הברוש העולה בשיעורו על 50% במהלך העשורים האחרונים שמשמעותו גם הצטמצמות תחום התפוצה של הברוש. הוא מאוים רבות משריפות מכוונות ומכריתת עצים לא חוקית.
במשך למעלה מ-300 שנה, סבל הברוש הפטגוני מניצול יתר עבור גזעי העץ היקרים שלו; שריפות והמרת שטחי יער לאדמות מרעה צמצמו באופן משמעותי את תחום התפוצה שלו והותירו אותו נפוץ בצפיפות נמוכה באזורים הסמוכים למקומות יישוב. בארגנטינה, 60% מתת-האוכלוסיות של העצים מראים סימנים של הפרעות אנתרופוגניות שמקורם ברעייה של בקר הבית, אך מצבם עדיין טוב יחסית למרות סחר לא חוקי ברמה נמוכה בעצים מאז 1980. בצ'ילה, הברוש הפטגוני נעלם כמעט לגמרי ממרכז המדינה עד 1987, ובין 1977 ל-1998 שריפות מעשי ידי אדם כילו 9,777 דונם של יערות ברכס החוף הצ'יליאני; במהלך אותם שנים, שריפת יערות ברושים פטגוניים היוותה כ-34% מכלל שריפות היער במחוזות ואלדיביה ולאנקיונו. לאורך טווח התפוצה של העץ, חל אובדן של 42% מהתחום המקורי שלו אשר ירד מ-617,000 דונם ל-265,000 דונם, ויתר על כך, הירידה באיכות בית הגידול ההיסטורי היא מעל 50%: ניתן למצוא ביערות הצ'יליאנים על מורדות רכס החוף והרכס המרכזי של האנדים שטחים גדולים שרופים שטרם התאוששו, וההתחדשות הטבעית של היערות הללו איטית מאוד.
למרות הגנה משפטית לאומית ובינלאומית, הברוש הפטגוני ממשיך להיות מנוצל בצ'ילה לצורך מסחר העץ, והדבר בא לידי ביטוי בעובדה שבמהלך 1977–1996 היצוא של הברוש לארצות הברית הסתכם ב-865,000 דולר. היתרי שימוש בברושים ניתנים בעיקר על כאלו שמתו לפני 1976 שאז הברוש הוכרז כמומונומט לאומי וחל איסור לכרות עצים חיים. עם זאת, קביעת מועד המוות היא בעייתית, ובמקרים רבים המקומיים יוצרים שריפות מכוונות ביערות האנדים בתקווה לקבל אישור להשתמש בעצים לאחר מכן.
הברוש הפטגוני נכלל בנספח א' של אמנת CITES החל משנת 1973, והמשמעות לכך היא שהסחר הבינלאומי במין זה ובמוצריו אסור לחלוטין. בשנת 1976 הוכרז הברוש כערך טבע לאומי בצ'ילה וניצול של עצים חיים נאסר מאותו זמן ואילך. בארצות הברית, הברוש נכלל כמין מאוים החל מ-1979 תחת חוק המינים בסכנת הכחדה - מה שאוסר את היבוא של מוצריו למדינה. בצ'ילה, 47,400 דונם מתוך 264,993 דונם של יערות ברוש פטגוני נמצאים בתוך גנים לאומיים ושמורות טבע (כ-17%). 83% הנותרים נמצאים על אדמה פרטית - בעיקר בפארק פומאלין המכיל כ-250,000 דונם של יערות. בארגנטינה, למעלה מ-80% מיערות הברוש הפטגוני נמצאים באזורים מוגנים. חוקרים מאוניברסיטת אוסטרל דה צ'ילה, מבצעים שיקום אקולוגי של הברוש על ידי גידול שתילים שלו בשיתוף עם בעלי קרקעות מקומיים. מחקר גנטי הראה ששתי אוכלוסיות של הברוש הפטגוני בדרום ארגנטינה (ריו טיגרה ולאגו אספרנסה) ייחודיות מבחינה גנטית, והאובדן שלהם עלול לגרום לצמצום המגוון הגנטי של העץ. הריחוק שלהם ממקומות יישוב הוביל לכך שהאוכלוסיות הללו הן נציגי היערות האחרונים באמריקה הדרומית שנותרו ללא פגע מאז הקולוניזציה האירופאית שחוותה היבשת. מכיוון שהאוכלוסיות הללו נמצאות מחוץ לאזורים מוגנים, IUCN ממליץ להקים בדחיפות אזורים מוגנים חדשים סביבם על מנת לשמר אותם.
טרנספורמציה אפינית
בגאומטריה, טרנספורמציה אפינית או העתקה אפינית (מלטינית, "affinis", "מחובר עם") היא פונקציה בין מרחבים אפינים אשר משמרת נקודות, קווים ישרים ומישורים. כמו כן, קבוצות של קווים מקבילים נשארים מקבילים לאחר טרנספורמציה אפינית. טרנספורמציה אפינית לא בהכרח שומרת על זוויות בין ישרים או מרחק בין נקודות אבל היא משמרת יחס מרחק בין נקודות שנמצאות על אותו ישר.
דוגמאות לטרנספורמציה אפינית כוללות: הזזה, שינוי קנה מידה, שיקוף, סיבוב, גזירה והרכבה שלהן בכל סדר שהוא.
אם X ו-Y הם מרחבים אפיניים, אז כל טרנספורמציה אפינית formula_1 היא מהצורה formula_2, כאשר M היא העתקה ליניארית מ-X ל-Y, ו-b הוא וקטור ב-Y. כאשר formula_3, ההעתקה אינה משמרת את איבר האפס, וזאת בניגוד להעתקה ליניארית. מכך נובע שהעתקה אפינית היא הכללה של ההעתקה הליניארית.
כל המרחבים האוקלידיים הם אפיניים, אבל יש מרחבים אפיניים שאינם אוקלידיים. בקואורדינטות אפיניות, ובכללן קואורדינטות קרטזיות במרחבים אוקלידיים, כל קואורדינטת פלט של העתקה אפינית היא צירוף ליניארי של כל קואורדינטות הקלט וסקלר אחד. דרך נוספת להציג טרנספורמציה אפינית היא לבחור את נקודות המוצא, ואז כל העתקה אפינית שווה להעתקה ליניארית (של וקטורי המיקום במרחב) ואחריה ההזזה.
הגדרה מתמטית.
העתקה אפינית formula_4 בין שני מרחבים אפיניים היא פונקציה על הנקודות שמתנהגות באופן ליניארי על הווקטורים (כלומר, וקטורים בין נקודות במרחב). למשל, formula_5 מגדירה טרנספורמציה ליניארית formula_6, כך שעבור כל זוג של נקודות formula_7:
ניתן לתת מובן אינטואיטיבי יותר להגדרה זו אם נבחר את ראשית הצירים formula_10, ו-formula_11 הוא התמונה שלה, אז עבור כל וקטור formula_12:
כלומר, באופן אינטואיטיבי, formula_5 מורכבת מהזזה ומהעתקה ליניארית.
הגדרה חלופית.
בהינתן שני מרחבים אפיניים formula_15 ו-formula_16 מעל אותו השדה, פונקציה formula_17 היא העתקה אפינית, אם ורק אם עבור כל משפחה formula_18 של נקודות משוקללות ב-formula_15 המקיימות
אז בהכרח
במילים אחרות, formula_5 משמר מרכז כובד.
ייצוג.
כאמור, טרנספורמציה אפינית היא ההרכבה של שתי פונקציות: הזזה והעתקה ליניארית. אלגברה וקטורית רגילה משתמשת בכפל מטריצות לייצג מיפוי ליניארי, והוספת וקטורים לייצוג הזזות. באופן פורמלי, במקרה בעל מספר סופי של ממדים, אם ההעתקה הליניארית מיוצגת ככפל במטריצה formula_23 וההזזה מיוצגת כחיבור וקטור formula_24, ניתן לייצג העתקה אפינית formula_5 הפועלת על וקטור formula_26 בצורה
מטריצה מורחבת.
ניתן לייצג גם את ההזזה ואת המיפוי הליניארי באמצעות כפל מטריצות בודד, אם מרחיבים הן את הווקטורים והן את המטריצות: לווקטורים מוסיפים שורה אחרונה ובה המספר 1, ולכל המטריצות מוסיפים שורה של אפסים בתחתית, ועמודה נוספת (וקטור ההזזה) מימין, שבתחתיתה המספר 1. כך, למשל, אם formula_23 מטריצה,
שווה לפעולה
המטריצה המורחבת המוזכרת לעיל נקראת מטריצת טרנספורמציה אפינית.
ייצוג זה מציג את הקבוצה של כל הטרנספורמציות האפיניות ההפיכות כמו מכפלה חצי ישרה של formula_31 ו-formula_32. זו חבורה תחת פעולת ההרכבה של פונקציות, שנקראת החבורה האפינית.
כפל רגיל בין מטריצה לוקטור תמיד מעביר את הראשית לראשית, ולכן הוא אינו יכול לייצג הזזה, שכן הזזה מעבירה בהכרח את הראשית לנקודה אחרת. התוצאה של צירוף קואורדינטת "1" לכל וקטור היא שהמרחב שממפים אליו הופך להיות תת-מרחב של מרחב עם מימד נוסף. במרחב הזה, המרחב המקורי תופס תת-קבוצה שבה הקואורדינטה הנוספת היא 1. לפיכך הראשית של המרחב המקורי נמצאת ב. formula_33, ולכן הזזה בתוך המרחב המקורי על ידי העתקה ליניארית מממד גבוה יותר אפשרית.
היתרון בשימוש בקואורדינטות הומוגניות הוא שניתן להרכיב כל שילוב של טרנספורמציות אפיניות לטרנספורמציה אחת, על ידי הכפלה של המטריצות המתאימות. מאפיין זה משמש בהרחבה בגרפיקה ממוחשבת, בראייה ממוחשבת וברובוטיקה.
מטריצה מורחבת לדוגמה.
אם הווקטורים formula_34 הם הבסיס של המרחב של הטלי וקטור מקום, ואם formula_35 הם הווקטורים המתאימים במרחב וקטורי נוסף אז המטריצה המורחבת formula_36 שהיא הטרנספורמציה האפינית הזו:
היא