במשך כאלפיים שנה נחשבה הלוגיקה האריסטוטלית כמשהו שאין כל צורך לפתחו או לשנותו, אף שנעשו מעט תוספות מינוריות למטרות דידקטיות. ואולם, כבר בסוף המאה השמונה עשרה, אצל קאנט, ניכרת חוסר נוחות הולכת וגוברת באשר ליכולתה של הלוגיקה האריסטוטלית לתאר את כל אופני המחשבה התקפים. קאנט ביקר את הלוגיקאים הסכולסטים על כך שצורת הטענה היחידה בה הם מטפלים היא טענה של נושא-נשוא (א הוא ב). קאנט הציע להחשיב גם את הצורות של משפט התנאי (אם א אז ב) ושל המשפט הדיסיונקטיבי (א או ב) כצורות יסודיות של טענות.
החל במאה התשע עשרה, התפתחות הלוגיקה הייתה תלויה במידה רבה בעניין שגילו בה מתמטיקאים, אשר ביקשו להבין את אופיין של טענות מתמטיות (למשל משוואות, שצורתן אינה כזו של נושא-נשוא) ואת אופיו של הטיעון המתמטי, דהיינו ההוכחה. במקביל לחקירת המאפיינים הלוגיים של המתמטיקה, החל שימוש במתודות מתמטיות בלוגיקה, וההפריה ההדדית בין שני המדעים גברה. מתמטיקאים ופילוסופים כמו ג'ורג' בול, אוגוסטוס דה מורגן, ויליאם סטנלי ג'בונס, צ'ארלס פירס, וארנסט שרדר, הניחו במחקריהם את היסודות ללוגיקה המודרנית. עבודתם של בול וממשיכיו עומדת ביסוד תחשיב הפסוקים המודרני, וגישתם האלגברית ללוגיקה עומדת ביסוד מדעי המחשב. בול וממשיכיו הציגו לראשונה מונחי יסוד של תורת הקבוצות במסגרת הדיון בלוגיקה, ובאמצעותם ייצגו הסקים אריסטוטליים כמשוואות שהמסקנה היא פתרונן. במקביל, מתמטיקאים ופילוסופים כמו ברנרד בולצאנו ואלקסיוס מיינונג חקרו את מושג הטענה ואת האופן בו תפיסותינו של האובייקטיביות של הלוגיקה והמתמטיקה מחייבות אותנו לקיומן האידיאלי של טענות. התפתחויות אלו עומדות בבסיס עבודתו של גוטלוב פרגה, שאף שעיקר הישגיו בלוגיקה הושגו במאה התשע-עשרה, הם כמעט לא נודעו עד תחילת המאה העשרים.
הלוגיקה של פרגה.
גוטלוב פרגה נחשב הדמות הבולטת ביותר בלוגיקה מאז ימי אריסטו. אף על פי שעבודתו לא הוכרה כמעט בימיו, רעיונותיו קיבלו תהודה בעיקר דרך מי שהושפע ממחקרו וכתביו בעיקרם ג'וזפה פאנו, ברטראנד ראסל ולודוויג ויטגנשטיין.
חידושיו של פרגה.
"כתב מושגים", ספרו הראשון והמהפכני של פרגה מ-1879, סימן את תחילתה של תקופה חדשה בהיסטוריה של הלוגיקה. בספר זה הציע פרגה לראשונה אקסיומטיזציה של תחשיב הפסוקים ושל תחשיב פרדיקטים, המנתח את מבנה הטענה כבעלת שני חלקים בלבד. בעוד שאריסטו סבר כי לטענות יש שלושה חלקים: שני מונחים והאוגד המחבר ביניהם ("א' הוא ב'", או "כל א' הוא ב'"), בתחשיב הפרדיקטים של הלוגיקה החדשה הטענה האטומית היא בעלת שני חלקים בלבד, פרדיקט ואובייקט, החוברים זה לזה כפי שפונקציה חלה על משתנים. שיטת התיווי הלוגי של פרגה לא התקבלה, גם כאשר רעיונותיו נתקבלו במסורת. למשל, את המשפט "דני הוא חכם", ניתן להצרין בעקבות פרגה כך:
formula_1
כאשר F מציין את הפרדיקט חכם, ו-a מציין את שמו של האובייקט, דני. שיטתו של פרגה מאפשרת גם להביע יחסים בין שני אובייקטים או יותר באמצעות פרדיקטים דו מקומיים, המקבלים שני אובייקטים. למשל כדי לומר שדני (a) הוא חבר של רני (b), תוך ציון יחס החברות באמצעות האות R, נקבל את הנוסחה הבאה:
formula_2
פרגה תרם תרומה הכרחית למתמטיקה וללוגיקה באמצעות המצאת תורת הכימות (קוונטיפיקציה). הלוגיקה החדשה אינה תופסת את הכמת הלוגי כאפיון של הטענה כולה או של האוגד שלה, אלא כפונקציה מסדר גבוה יותר החלה על הפרדיקט ועל המשתנה שלו. למשל, כך מביע פרגה את צורתה של הטענה "כל דבר הוא חכם":
וכך מסמנים פסוק זה בשיטה המודרנית formula_3
וכך הוא מביע את הטענה "יש דבר אחד לפחות שהוא חכם":
וכך מסמנים פסוק זה בשיטה המודרנית formula_4 השקולה ל- formula_5
באמצעות התחביר החדש של תחשיב הפרדיקטים, הכולל הכימות, יכולים הכמתים להופיע כחלק מן המבנה הפנימי של הטענה, ובאמצעות כך ניתן כעת לנסח טענות שיש בהם כימות מרובה של מספר משתנים בעת ובעונה אחת. טכניקות אלו מעניקות ללוגיקה החדשה כוח להביע עובדות וקשרים שאינם ניתנים להבעה באמצעים האריסטוטלים. למשל הצליחה הלוגיקה המודרנית לתת לראשונה תיאור פורמלי של מושג האינסוף, שהוביל מאז ימי האסכולה האלאטית לפרדוקסים, ושל מושג הגבול באנליזה המתמטית של פונקציות, שכן לשם הבעת מושגים אלו יש צורך בטענה מרובת כמתים מן הצורה "לכל ε קיים δ כך ש...". דוגמה פשוטה יחסית לאופן בו נעשה שימוש כזה בכמתים היא ההצרנה של הטענה "לכל אחד יש חבר", כאשר נציין את היחס בין חברים שוב כפרדיקט דו-מקומי, R:
formula_6
הפילוסופיה של הלוגיקה של פרגה.
בפילוסופיה של הלוגיקה, פרגה מציג את שלושת העקרונות היסודיים שלו בהקדמה לספרו השני, "יסודות האריתמטיקה". העיקרון הראשון מציג את התנגדותו של פרגה לפסיכולוגיזם, דהיינו לעירוב של שיקולים פסיכולוגיים בניתוח הרעיונות הלוגיים היסודיים. הוא סבר כי חוקי הלוגיקה אינם רק חוקי המחשבה, אלא חוקי האמת, ושיש לתכנים לוגיים קיום אובייקטיבי, ולא סובייקטיבי ותלוי במבנה האמפירי של המוח האנושי. מבחינה זו, פרגה היה ריאליסט בנוגע לישויות אידיאליות, כולל הישויות המתמטיות הבסיסיות ביותר - המספרים. העיקרון השני מציג את עקרון הקונטקסט (הרלוונטי גם בפילוסופיה של הלשון) - לפיו מילה מקבלת את משמעותה רק בקונטקסט של השיפוט שהיא משמשת כחלק ממנו. העיקרון השלישי מציג את ההבחנה בין מושג לבין מושא. על פי פרגה, מושגים הם פונקציות, המקבלות את משמעותן רק כאשר ניתן להן אובייקט כערך שלהן. כשלעצמו, המושג הוא בלתי רווי (unsaturated), ורק כשהוא מתחבר לשם או לשם של משתנה, הוא מקבל משמעות. כך פותר פרגה את בעיית אחדות הטענה שהטרידה אחר כך את ראסל, ומציע, באופן מובלע, תורת טיפוסים פרימיטיבית: מושגים (מסדר ראשון) חלים על אובייקטים בלבד, משום שרק באמצעותם הם נהיים רוויים במשמעות. אולם מכאן עולות גם כמה מסקנות פרדוקסליות. מכיוון שרק בצירוף לשם או למשתנה יש למושג משמעות, המושג אינו יכול להופיע כנושא במשפט. מכאן יוצא, כי אין אפשרות לומר "המושג סוס הוא מושג", משום שכאן המושג סוס מופיע כאובייקט, ולא כמושג. פרגה נאלץ לפיכך לטעון: "המושג סוס אינו מושג", ומכאן נובע (אם כי פרגה אינו אומר זאת מפורשות): "המושג מושג אינו מושג". הטענה הפרדוקסלית חושפת כיצד שלושת העקרונות של פרגה קשורים זה לזה. לאור עקרון הקונטקסט, פרגה אינו מוכן לקבל שלפרדיקט יש משמעות במנותק מן המסגרת הטענתית בה הוא מופיע, ובה הוא רווי בזכות קישורו לאובייקט. לאור התנגדותו לפסיכולוגיזם, פרגה שולל את ההתייחסות אל המושג כאובייקט וסבור שהתייחסות כזו נובעת מתפיסת המושג כתוכן מנטלי אינרטי, ולא כפונקציה. עם זאת יש לפרגה דרכים לטפל במושגים במסגרת לוגיקה מסדר שני. דרך אחת היא על ידי ציון האקסטנציה של המושגים (ranges of values או Wertverläufe), דהיינו הקבוצה של האובייקטים שעבורם המושג מעניק ערך אמיתי. קבוצה זו נתפשת כמושא, והיא יכולה להופיע, למשל, בטענות שוויון מספרי. טענות כגון אלו, המכריזות על שוויון מספרי בין האקסטנציות של מושגים שונים הן מהותיות עבור ההגדרה הלוגית של מושג המספר שפרגה הוא מקורה.
פרגה היה התומך המשמעותי הראשון של לוגיציזם – העמדה לפיה ניתן לצמצם את המתמטיקה כולה ללוגיקה. פרגה אף ניסה להוכיח כי חוקי האריתמטיקה, ומושג המספר עצמו, ניתנים לפיתוח מתוך אקסיומות שאותן תפס פרגה כלוגיות במובהק. לאחר שפורסם הכרך הראשון של ספרו השלישי, "חוקי היסוד של האריתמטיקה", ברטראנד ראסל גילה את הפרדוקס של ראסל, והצליח להראות שהאקסיומות של פרגה, ובמיוחד אקסיומה מספר חמש, מובילות אליו (מן האקסיומה החמישית נובע כי עבור כל מושג, יש אובייקט המהווה את האקסטנציה של מושג). הוא כתב על כך לפרגה, שהוסיף נספח לכרך השני של הספר בו הוא מודה כי אין לו פתרון מספק לבעיה, והוא לא הצליח לתקן את עבודתו על מנת למנוע את הפרדוקס. בפרסומים מאוחרים יותר של ראסל ושל ג'ון פון נוימן מוצע פתרון לבעיה באמצעות תורת הטיפוסים (theory of types).
לוגיקה בת ימינו.
באמצעות פיתוחם של אמצעים סימבולים חדשים להבעת היחסים הלוגיים בין חלקי הטענה, ובאמצעות גילוין של דרכים חדשות להבין את מבנה העומק של הטענות, הפכה הלוגיקה המודרנית לכלי רב עוצמה באמצעותו ניתן לבחון טיעונים מורכבים יותר מאלו שהלוגיקה האריסטוטלית עסקה בהם; לתת ניתוחים יסודיים של טענות מתמטיות מורכבות; ולזהות תכונות צורניות לא רק של הטענה ושל הטיעון, אלא גם של מערכות לוגיות שלמות, תכונות כגון שלמות, נאותות, כריעות וקומפקטיות, שהן תכונות הנוגעות לאפשרויות ההבעה הגלומות בשפה מסוימת או במערכת אקסיומטית מסוימת, ולא תכונות של טענה או של קבוצה מסוימת של טענות. הלוגיקה המודרנית סיפקה, באמצעים אלו, את היסודות למדעי המחשב ואפשרה את פיתוחם של המחשבים המודרניים.
בעקבות פרגה, פרח המחקר הלוגי במאה העשרים בעבודתם של ברטראנד ראסל, לודוויג ויטגנשטיין, אלפרד טרסקי, קורט גדל, אלן טיורינג, ואחרים. במרבית המקרים הייתה עבודתם רלוונטית הן לפילוסופים והן למתמטיקאים, שכן היא עסקה ביסודות המשותפים לכל שפה ולכל מערכת לוגית באשר היא. למעשה, התנועה המובילה בלוגיקה בתחילת המאה העשרים, הלוגיציזם, ביקשה להראות כי המתמטיקה מבוססת על הלוגיקה. ראסל, למשל, סבר כי בעיות היסוד של המתמטיקה אינן מעניינו של המתמטיקאי, אלא של הפילוסוף והלוגיקאי.