האלכסון, אם כן, מחלק את מרחב ROC לשני חלקים: נקודות מעליו מייצגות סיווג מוצלח (עדיף על בחירה אקראית), ונקודות מתחתיו סיווג רע (גרוע מבחירה אקראית). יצוין שאם מסווג נמצא מתחת לאלכסון אחרי בדיקה במדגם גדול מספיק, ניתן פשוט להפוך את הסיווג שלו משלילי לחיובי ולהפך, כדי לקבל סיווג מוצלח.
דוגמה.
בדוגמה הבאה מוצגים ארבעה סיווגים שונים ממדגם שבו 100 פרטים חיוביים ו־100 שליליים:
ארבעת המסווגים מיוצגים על ידי נקודת במרחב ROC שבתמונה. התמונה מראה בבירור שמסווג A הוא המוצלח ביותר מבין A, B ו־C. תוצאת הסיווג של B נמצאת על קו הניחוש האקראי (האלכסון), וניתן לראות גם שהנכונות של B היא 50%. עם זאת, אם נשקף את נקודה C דרך הנקודה (0.5,0.5), התוצאה המתקבלת, C' היא מוצלחת אפילו יותר מ־A. C' פשוט מחליפה בין הקטגוריות של C (כאשר C מסווגת "שלילי", C' מסווגת חיובי, ולהפך).
PPV= שח"א/(שח"א+שח"כ). PPV מייצג את שיעור החיוביים האמיתיים מתוך כלל החיוביים.
עקומות במרחב ROC.
סיווגים מבוססים לעיתים רבות על משתנה מקרי רציף. במקרה כזה, ניתן לכתוב את צפיפויות ההסתברות של כל אחת מהקטגוריות כפונקציה של המשתנה המקרי (T). אם נסמן את צפיפות ההסתברות לקטגוריה חיובית ב־formula_1 ואת צפיפות ההסתברות לקטגוריה שלילית ב־formula_2, נוכל לקבל את הביטויים הבאים לשח"א (TPR) ולשח"כ (FPR) כפונקציה של סף ההחלטה formula_3:
formula_4
כעת, ניתן לשרטט את עקומת ROC של המסווג כפונקציה של הפרמטר formula_3.
כדוגמה, נניח שריכוזי החלבונים בדם של חולים ושל בריאים מתפלגים נורמלית סביב ממוצע של 2 גרם לד"ל וגרם אחד לד"ל, בהתאמה. בדיקה רפואית מסוימת עשויה למדוד את ריכוזו של חלבון מסוים בדגימות הדם, ולסווג כדגימה מאדם חולה כל דגימה שבה הריכוז גבוה מערך מוגדר מראש. על ידי הזזת ערך הסף מטה (באיור: הזזת הקו העבה שמאלה), ניתן להגדיל את שיעור החיוביים האמתיים, יחד עם הגדלת שיעור החיוביים הכוזבים, והזזה מעלה (באיור: ימינה) תקטין את שניהם יחד. צורתה של העקומה תיקבע לפי מידת המובחנות בין שני הגירויים (באיור: כמות החפיפה בין שתי ההתפלגויות).
ערכים נגזרים.
לעיתים, יוצרים מתוך עקומת ROC מדדים נוספים למסווג. דוגמאות נפוצות הן:
רקע היסטורי.
השימוש הראשון בעקומת ROC היה בימי מלחמת העולם השנייה, לשם ניתוח אותות מכ"ם. בעקבות המתקפה על פרל הארבור בשנת 1941, צבא ארצות הברית החל במחקר חדש על מנת להגדיל את יכולת הזיהוי של כלי טיס יפניים על ידי המכ"מים שבידיו.
בשנות ה־50 של המאה ה־20, החלו להימצא עקומות ROC בשימוש הפסיכופיזיקה, על מנת להעריך את יכולת הזיהוי של אותות חלשים על ידי אנשים (ולעיתים גם על ידי בעלי חיים נוספים). ברפואה, ניתוח ROC נמצא בשימוש נרחב לשם הערכות בדיקות אבחון. עקומות ROC גם נמצאות בשימוש נרחב באפידמיולוגיה ומחקר רפואי, ולעיתים קרובות מוזכרות בהקשר של רפואה מבוססת ראיות. ברדיולוגיה, ניתוח ROC הוא טכניקה נפוצה להעריך טכניקות רדיולוגיה חדשות. במדעי החברה, ניתוח ROC, הנקרא בהקשר זה לעיתים קרובות יחס נכונות ROC, הוא טכניקה נפוצה לבחינת הנכונות של מודלים הסתברותיים להפרת הלוואה. עקומות ROC נפוצות גם ברפואת מעבדה כדי להעריך את הדיוק האבחנתי של בדיקה, לבחור את הסף האופטימלי לבדיקה ולהשוות את דיוק אבחון של כמה בדיקות.
יעילותן של עקומות ROC הוכחה גם בהערכת יכולותיהן של שיטות בלמידת מכונה. אחד המיישמים הראשונים של ניתוח ROC בתחום הלמידה החישובית היה קנת ספקמן, שהדגים את חשיבותן של עקומות ROC בהשוואה בין אלגוריתמים שונים לסיווג.
ארץ קרה
ארץ קרה (באנגלית: North Country) הוא סרט דרמה אמריקאי משנת 2005, בבימויה של ניקי קארו, ובכיכובם של שרליז ת'רון, פרנסס מקדורמנד, שון בין, ריצ'רד ג'נקינס, ג'רמי רנר, וודי הרלסון וסיסי ספייסק. התסריט שכתב מייקל סייצמן מבוסס על הספר "תובענה ייצוגית: סיפורה של לואיס ג'נסון והתביעה המכוננת ששינתה את חוק ההטרדה המינית" של קלרה בינגהם ולורה לידי גנסלר, שתיעד את התיק ג'נסון נגד חברת אוולת' טקונייט בבית המשפט הפדרלי במינסוטה.
עלילה.
ב-1989, ג'וזי איימז נמלטת מבעלה המתעלל, ושבה לבית הוריה, אליס והאנק, בצפון מינסוטה, יחד עם שני ילדיה, סמי וקארן. האנק מתבייש בג'וזי, כיוון שהיא ילדה את סמי בעודה נערה מתבגרת, מאב לא ידוע. ג'וזי מתחילה לעבוד במספרה, שם היא מתפרנסת בדחק. חברת ילדות שלה, גלורי דודג', מציעה לה לבוא לעבוד במכרה עפרות ברזל, שם המשכורות גבוהות הרבה יותר. ג'וזי מגיעה למכרה, למורת רוחו של האנק, שגם עובד שם. המתחים ביניהם גוברים, וג'וזי והילדים עוברים לגור עם גלורי ובעלה קייל.
ג'וזי יוצרת קשרי חברות עם עובדות אחרות במכרה, ונוכחת לדעת שנשים אלה סופגות הטרדות מיניות מתמשכות והשפלות מרוב הגברים שעובדים במכרה, שמאמינים שהנשים גוזלות משרות מגברים להם הן נועדו. ג'וזי מוצאת את עצמה מטרה להתעללותו של בובי שארפ, אותו הכירה בתיכון. היא מנסה לדבר על המצב עם הממונה עליה, ארלן פאביץ', אך הוא לא לוקח את תלונותיה ברצינות. בעקבות פנייתה, הגברים מגבירים את ההטרדות, ובובי מפיץ שמועה שג'וזי ניסתה לפתות אותו מינית. אשתו של בובי מתפרצת על ג'וזי, ומשפילה אותה בציבור. סמי נוטר לאימו טינה על האופן שבו אנשי העיירה מתייחסים אליהם, ומאמין לשמועות שמפיצים עליה.
ג'וזי פונה לבעל המכרה, דון פירסון, אבל למרות שהוא הבטיח שהוא יעזור, כשהיא מגיעה לפגישה היא מוצאת בחדר את פאביץ' ומנהלים בכירים אחרים, המציעים לה להתפטר מייד. היא מסרבת, ויוצאת מהחדר, הרוסה. אך כשבובי תוקף אותה מינית, היא מתפטרת, ופונה לעורך דין, ביל וייט, חבר של גלורי וקייל, ומבקשת ממנו להגיש בשמה תביעה נגד החברה. ביל מציע לה לגייס נשים נוספות שעברו חוויות דומות ולהגיש תובענה ייצוגית, הראשונה מסוגה. אך הכורות חוששות לפרנסתן, ולהטרדה נוספת, ומסרבות. ג'וזי מחליטה להתקדם עם התביעה לבד. היא גם מגלה שגלורי חלתה במחלת לו גריג, ובריאותה מתדרדרת במהירות.
אליס והאנק מתווכחים על התביעה, האנק מסרב לסלוח לג'וזי, ואליס עוזבת אותו. בישיבת איגוד העובדים של המכרה, ג'וזי מנסה להסביר לכורים למה היא תובעת את המכרה, אך הם מפריעים לה ומבזים אותה, עד שהאנק קם ונוזף בהם על ההתייחסות שלהם לג'וזי ולנשים האחרות במכרה. אליס והאנק משלימים ביניהם.
כשמתחיל המשפט, נציגי המכרה מנסים להשתמש בפריצותה לכאורה של ג'וזי נגדה, ובובי מעיד שסמי הוא תוצאה של יחסים שג'וזי ניהלה עם מורה בתיכון. ג'וזי מגלה אז שהיא בעצם נאנסה על ידי אותו מורה, לאחר שהוא תפס אותה ואת בובי מתנשקים. האנק תוקף את המורה, אשר נמצא בקהל בית המשפט. סמי עדיין מסרב להאמין לאמו, ובורח. קייל מוצא אותו, ומשכנע אותו לחזור בו, וסמי וג'וזי משלימים.
למחרת, בחקירה נגדית, ביל גורם לבובי להודות ששיקר, ושלמעשה הוא היה עד לאונס, אבל פחד לעשות משהו בנידון. גלורי מגיעה לבית המשפט בכיסא גלגלים, ומכיוון שאינה יכולה לדבר, קייל מקריא את הצהרתה שהיא עומדת לצידה של ג'וזי. אחת אחרי השנייה, נשים נוספות מצטרפות, מה שמאפשר לתביעה הייצוגית להתקיים. המכרה נאלץ לשלם לכל הנשים פיצויים, וגם לקיים מדיניות נגד הטרדה מינית במקום העבודה.
הפקה.
לואיס ג'נסן, עליה מבוססת דמותה של ג'וזי, התחילה לעבוד במכרה ב-1975, והגישה את תביעתה ב-1988, ארבע שנים לפני התביעה המוצגת בסרט. בסרט, ציר הזמן מקוצר מאוד, אך בפועל, לקח 14 שנים לסגור את התיק. ג'נסן סירבה למכור את סיפורה או לפעול כיועצת בהפקת הסרט.
הסרט צולם במספר עיירות בצפון מינסוטה, במיניאפוליס, ובסנטה פה, ניו מקסיקו.
פסקול.
שירים בסרט שלא נכללו באלבום הפסקול כוללים "Wasn't That a Party" של The Irish Rovers, "Shake the House Down" של מולי האצ'ט, וגרסאות קריוקי של "I Drink Alone" של ג'ורג' ת'ורוגוד, והלהיט של פאט בנאטר, "Hit Me with Your Best Shot."
יציאה לאקרנים.
הקרנת הבכורה של הסרט הייתה ב-2005 בפסטיבל הקולנוע הבינלאומי בטורונטו, והוא הוצג גם בפסטיבל הקולנוע הבינלאומי בשיקגו לפני שיצא לבתי הקולנוע בארצות הברית, שם גרף הסרט $6,422,455 בסוף שבוע הפתיחה, והגיע למקום חמישי בקופות. תקציב הסרט היה $30 מיליון, והכנסות קופה של הסרט בעולם הגיעו ל-$25,211,175.
ביקורת.
באתר Rotten Tomatoes, 69% מהמבקרים נתנו לסרט ביקורת חיובית, מתוך 162 ביקורות, עם תשבחות נלהבות להופעות של ת'רון ומקדורמנד.
מנולה דרג'יס מהניו יורק טיימס נתנה לסרט ביקורת מעורבת, בציינה שהסרט בו זמנית מנסה לספר סיפור קשה שתוקף נושא מורכב, וגם לעמוד בדרישות ההוליוודיות לרגשנות וסוף טוב, וציינה לשבח את עושי הסרט שהצליחו לייצר יצירה ראויה גם תחת מגבלות אלו.
רוג'ר איברט כתב על הסרט: "ארץ קרה הוא מסוג הסרטים שמקוממים אותך ומשפיעים עליך, כי הוא מציג לך דברים ששמעת עליהם אבל שלא יצא לך לדמיין אותם באמת." ושהשילוב של ת'רון ומקדורמנד הוא שילוב מנצח, שמייצר "חוויה קולנועית אדירה".
במגזין רולינג סטון, פיטר טרוורס נתן לסרט שני כוכבים מתוך ארבעה, בציינו ש"כל דמיון בין ג'וזי ולואיס ג'נסן, האישה האמיתית שגרמה למכרות אוולת' לשלם על עוונותיהם בתביעה הייצוגית המכוננת של 1988 הוא מקרי לחלוטין." הוא ציין ש"השחקנים, הבמאית ניקו קארו (לרכב על הלווייתן), והצלם הנפלא קריס מנגס עבדו קשה ליצור נראות אותנטית... אבל למרות שהלכלוך והטינופת יושמו באופן אמנותי, זה היה קוסמטי בלבד".