מפריח הבועות קל גם הוא להכנה וניתן לקנותו יחד עם נוזל בועות בחנות צעצועים. הדרך הקלה ביותר להכין מפריח בועות שימושי היא ללפף חוט מתכת ולעטוף את החלק המרכזי שלו בתחבושות או בחוטים כדי שהסבון יידבק ביתר קלות. ניתן גם להשתמש במקטרת בועות, מכשיר בצורת מקטרת עישון שיש לנשוף לתוכו, והבועות מופרחות מהפתח ממנו יוצא עשן במקטרת רגילה.
מפריחי הבועות כצעצועים.
האזכור הראשון שנמצא לבועות כמשחק הוא בציורים פלמים מהמאה ה-17 שבהם נראים ילדים מפריחים בועות באמצעות מקטרות מחרס. חברה משיקגו בשם צמוטוי החלה למכור נוזל בועות כצעצוע ב-1940, והאופנה לא חלפה מאז. אין ספק כי המוצר כצעצוע בימינו, מצליח ביותר.
מיצגים אומנותיים.
הופעות של בועות סבון משלבות בידור עם הישגים אומנותיים. אמנים מסוימים יוצרים בועות שעוטפות חפצים ענקיים, אפילו אנשים. אחרים מצליחים לייצר בועות בצורת קוביות, משולשים ופסלים, וזאת לרוב בעקבות הוספת מרכיבים שונים למי הסבון שמהם מיוצרות הבועות. בדרך כלל מטופלות הבועות בידיים. כדי להוסיף לאפקט הוויזואלי מוסיפים להן לפעמים עשן או הליום, המשולב עם לייזר ועם אש. אפשר למלא בועות בחומר דליק ואז להציתן, אף על פי שפעולה כזו הורסת את הבועה.
בועה
שחלה
שחלה היא איבר רבייה המצוי ברוב היצורים החיים המתרבים ברבייה זוויגית. השחלה מצויה אך ורק בנקבות של יצורים אלו, ותפקידה הוא להוות כמקום להבשלת תאי הרבייה הנקביים - הביציות. השחלה היא הגונדה הנקבית; גונדה היא איבר המייצר תאי רבייה.
היצורים הידועים ביותר שלהם שחלות הם רובם של בעלי החיים וכל צמחי הפרחים.
שחלה בצמחים.
בצמחים בעלי פרחים השחלות נמצאות בפרחים עצמם, בתחתיתו של עמוד העלי.
השחלה לרוב תיצור חלל סגור שבתוכו תתפתחנה הביציות המכילות את הגמטופיט הנקבי ושם תתרחש ההפריה כאשר תאי הרבייה הזכריים יגיעו.
לרוב, לאחר ההפריה, נושרים עלי הכותרת של הפרח והשחלה גדלה, מתעבה והופכת לפרי, המכיל את הזרעים.
שחלה בבעלי חיים ובאדם.
בבעלי חיים מפותחים משתייכת השחלה למערכת הרבייה. באדם וברוב היונקים - אלה המשתייכים לשלייניים (יונקי שליה) - קיימות שתי שחלות, אך ביצורים אחרים - עופות, למשל - קיימת שחלה בודדת.
בנקבות האדם מצויות השחלות בחלל הבטן, מעל לרחם. הביציות נודדות מהשחלה אל החצוצרות שם הן ממתינות זמן קצר להפריה (קליטת תא רבייה זכרי), ומשם ממשיכות בנדידתן אל הרחם. אם הביצית מופרה על ידי תא זרע היא נדבקת אל קיר הרחם ומתפתחת לעובר בתהליך הקרוי היריון. אם לא מתרחשת הפריה - זהו המצב השגרתי - נפלטת הביצית, יחד עם דם אשר הזין אותה במשך ההמתנה, אל מחוץ לגוף בתהליך הקרוי וסת (המחזור החודשי).
ברוב בעלי החיים מייצרות השחלות את כל הביציות עוד לפני לידת הנקבה, והביציות הלא-בשלות נשמרות בשחלה במשך שנים. בגיל ההתבגרות מבשילות הביציות ומתחילות את נדידתן - ביצית אחת בכל 28 יום אצל האדם - אל הרחם. המחזור החודשי נפסק כשהאישה מגיעה לגיל הבלות, בו אינה יכולה יותר להיכנס להריון (בשל הפסקת הבשלת הביציות- כשבשחלותיה מתחת לאלף ביציות שלא הבשילו). תגליות חדשות ביצורים מסוימים - עכברים, למשל - מצביעות על כך שהנקבות מסוגלות לייצר ביציות גם בחייהן הבוגרים. עניין זה טרם הוברר דיו.
בנוסף לייצור הביציות מבוצעת בשחלות סינתזה של מספר הורמונים נשיים. תרכובות אלו נשלחות מהשחלות, דרך מחזור הדם, אל כל חלקי הגוף, וגורמות לשינויים פיזיולוגיים שבהם מתאפיין ההבדל בין זכרים ונקבות (אצל הגברים מיוצרים הורמונים זכריים באשכים, הגונדות הזכריות).
לעיתים מתרחש מפגש בין תא זרע וביצית לפני שהאחרונה מספיקה להגיע אל הרחם. העובר מתחיל להתפתח בחצוצרה ובמקרים נדירים מאוד - בשחלה עצמה. במקרה של היריון בשחלה כמעט ולעולם לא מצליח העובר להתפתח בצורה תקינה, ונדרשת התערבות כירורגית להסרתו (ראו: הפלה מלאכותית). יכולתה של האישה להיכנס להריון בעתיד לאחר מקרה זה בדרך כלל נפגמת במידה זו או אחרת.
אי-שוויון ברנולי
אי-שוויון ברנולי הוא האי-שוויון formula_1לכל מספר שלם formula_2 ולכל מספר ממשי formula_3. אי-שוויון ברנולי הוא יסודי ושימושי באנליזה מתמטית. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה formula_4 עולה בזמן שהסדרה formula_5 יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, formula_6, כגבולן המשותף.
תחולה.
אי השוויון נכון לכל formula_7 ממשי, ובלבד ש-formula_8 (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי השוויון נכון לכל formula_9, וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל formula_10 (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).
הוכחה.
עבור formula_11 אפשר להוכיח במהירות על פי נוסחת הבינום של ניוטון:
formula_12.
את המקרה הכללי (היינו formula_13) ניתן להוכיח באינדוקציה:
עבור formula_14 מתקיים: formula_15.
נניח את נכונות אי-השוויון עבור formula_16, ונוכיח את נכונותו עבור formula_17 (t טבעי כלשהו). כלומר, נניח ש: formula_18, ונוכיח ש-formula_19. נשים לב ש-formula_20 ולכן: formula_21. מכיוון שכפל של אי-שוויון בגורם חיובי לא משנה את כיוונו, מתקיים: formula_22, ומכאן: formula_23. הביטוי formula_24 חיובי (כי formula_25 וגם formula_26) ולכן מתקיים: formula_27.
הכללה.
לכל חזקה ממשית formula_28 ניתן להכליל את האי-שוויון כך שעבור כל formula_29 ולכל formula_3
ועבור כל formula_32
כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.
משפט ההתמדה של סילבסטר
באלגברה ליניארית, משפט ההתמדה של סילבסטר קובע שסימנם של המקדמים בתבנית ריבועית אלכסונית מעל הממשיים אינו תלוי בבסיס שבו היא מתוארת. מבחינה גאומטרית, המשפט מתבטא בכך שהטיפוס של צורה המוגדרת על ידי תבנית ריבועית (כגון: אליפסה, פרבולה או היפרבולה) אינו משתנה כשמסובבים, מותחים או משקפים את המרחב שבו היא מוגדרת.
מבוא.
אחד השימושים הנאים של תורת המטריצות הוא לתיאור ולטיפול בתבניות ריבועיות, שהן פונקציות כדוגמת formula_1. (נניח מעתה שהמאפיין של שדה הבסיס שונה מ-2). פונקציות כאלה אפשר לייצג על ידי מטריצה בצורה formula_2 כאשר A היא מטריצה סימטרית, והוקטור הוא formula_3. בייצוג כזה, החלפה ליניארית של המשתנים שקולה להחלפת המטריצה A במטריצה formula_4 כאשר P מטריצה הפיכה.
כל מטריצה מן הצורה formula_4 (כאשר P הפיכה) "חופפת" למטריצה A, והגדרה זו קובעת יחס שקילות בין מטריצות, הנקרא יחס החפיפה. לדוגמה, סידור מחדש של השורות ושל העמודות של A (באותו אופן) מהווה חפיפה, המתארת החלפת משתנים. אפשר לסכם ולומר שמטריצות המצויות באותה מחלקת חפיפה מייצגות, עקרונית, את אותה תבנית ריבועית.
אפשר להוכיח שכל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה אלכסונית; באופן דומה, אפשר להביא כל תבנית ריבועית לצורה אלכסונית, ללא גורמים מהצורה formula_6, שאותה קל יותר לנתח. לדוגמה, הצבת המשתנים formula_7 מביאה את התבנית f לצורה formula_8.
כאשר נתונה תבנית אלכסונית, אפשר לבצע בה החלפת משתנים של מתיחה וכיווץ, כלומר, מן הצורה formula_9. החלפה כזו מכפילה את המקדם של formula_10 בתבנית בסקלר formula_11.
כאשר מדובר בתבנית שמקדמיה הם מספרים ממשיים, כל מספר שקול, עד כדי ריבוע, לאחד מבין המספרים formula_12, ולכן אפשר להביא את התבנית לצורה שקולה, שאלו מקדמיה. לדוגמה, את התבנית f אפשר להעביר לצורה formula_13. באופן דומה, כל תבנית ריבועית ממשית (בת n משתנים) שקולה לתבנית אלכסונית מן הצורה formula_14.
משפט יעקובי מספק שיטה חישובית למציאת הצורה האלכסונית, שממנה אפשר להסיק גם על המבנה והתכונות של מטריצות חיוביות ומטריצות בעלות תכונות קרובות.
משפט סילבסטר.
הצגנו הצבה המביאה את התבנית f לצורה אלכסונית שבה הסימנים הם formula_15. לכאורה, ייתכן שהצבה אחרת תביא את אותה תבנית לצורה אלכסונית אחרת, שבה המקדמים הם formula_16. משפט סילבסטר מבטיח שהדבר בלתי אפשרי.
משפט סילבסטר: אם f היא תבנית ריבועית ב- n משתנים מעל הממשיים, אז היא שקולה לתבנית אלכסונית אחת ויחידה מן הצורה formula_14. במילים אחרות, כל מטריצה סימטרית ממשית חופפת למטריצה אלכסונית אחת ויחידה שבה אברי האלכסון הם 0, 1 או 1- (עד-כדי סדר).
המספר k+s נקרא "דרגת התבנית", והמספר k-s הוא "סימן סילבסטר של התבנית" (או של המטריצה המייצגת שלה).
שימושים בגאומטריה.
חתכי חרוט, גופי הסיבוב שלהם, והכללות מממד גבוה, מתוארים כולם על ידי תבניות ריבועיות ומשוואות מן הצורה formula_18. משפט סילבסטר מראה שאפשר במקרה כזה להביא את התבנית הריבועית לצורה אלכסונית ולמיין את התבניות על-פי מספר הסימנים החיוביים והשליליים. לדוגמה: במרחב התלת-ממדי, כל משוואה הומוגנית מן הצורה הנזכרת לעיל אפשר להביא (על ידי שינוי בסיס, כלומר סיבוב, מתיחה ושיקוף) לאחת מבין הצורות הבאות: formula_19 (כדור), formula_20 (היפרבולואיד חד-יריעתי), formula_21 (היפרבולואיד דו-יריעתי), formula_22 או formula_23 או formula_24 (קבוצה ריקה), formula_25 (גליל), formula_26 (יריעה היפרבולית לא קשירה), formula_27 (זוג מישורים מקבילים), formula_28 (נקודה), formula_29 (חרוט כפול), formula_30 (ישר), formula_31 (מישור) או formula_32 (זוג מישורים נחתכים).
במעט יותר מאמץ אפשר לטפל גם ביריעות ריבועיות לא הומוגניות, כדוגמת formula_33. בדרך כלל, הזזה של המרחב מאפשרת להביא את היריעה המתוארת על ידי משוואה לא הומוגנית, לצורה הומוגנית.
הוכחת המשפט.