תוקף הנחה הרצף יכול להתאמת על ידי ניתוח תאורטי, שבה מזוהה מחזוריות ברורה או אחידות סטטיסטית וארוגודיות של המיקרו מבנים הקיימים. באופן ספציפי יותר, הנחת הרצף מבוססת על ייצוג אלמנטים נפחיים והפרדה של קנה המידה המבוסס ועל מצב היל-מנדל. מצב היל-מנדל מספק קשר בין נקודת המבט הניסויית לבין נקודת המבט התאורטית (קשרים ליניארים ולא ליניארים של אלסטיות או משוואות מצומדות) וכן בין הצורה המרחבית לבין המבנה הסטטיסטי הממוצע של מבנים מיקרוסקופיים.
כאשר לא ניתן להבחין בין סדרי הגודל או כאשר רוצים ליצור רצף הנוגע לרזולוציה עדינה יותר של האלמנט הייצוגי (RVE= representative volume element), יש צורך להשתמש בגישה סטטיסטית (SVE= statistical volume element) אשר בתורו מוביל לשדות רציפים אקראיים. שדות אלו גורמים לבסס מיקרו-מכניקה של אלמנטים סופיים סטוכסטי (SFE=stochastic finite elements). רמות האקראיות (SFE) והייצוגיות (RVE) מקשרות בין מכניקת הרצף לבין מכניקה סטטיסטית. את הייצוגיות ניתן להעריך באמצעים מוגבלים על ידי ניסויים, כאשר התגובה הקונסטיטיבית עוברת למרחב הומוגני.
באופן ספציפי עבור זורמים מספר קנודסון משמש כדי להעריך את עד כמה ההמשכיות קיימת בזורם ועד כמה ניתן לנתח אותו במבט-על.
בעיית תנועה כדוגמה מייצגת.
נביט בתנועת כלי רכב המתקדמים בכביש מהיר, בעל נתיב יחיד עבור פישוט הבעיה. באופן מפתיע וביעילות רבה, מכניקת הרצף מתארת את תנועת כלי הרכב באמצעות משוואה דיפרנציאלית חלקית (מד"ח) עבור צפיפות הרכבים. ההיכרות של הסיטואציה הנ"ל מאפשרת להבין במעט את הדיכוטומיה בין הרציפות לבדידות ואת המידול הרציף באופן כללי. במכניקת הרצף אנו מעוניינים להביט על תנועת כלי הרכב בכללותה ולא על תנועת כלי רכב בודד.
עבור מודל זה נגדיר, formula_1כך שימדוד מרחק (ק"מ) לאורך הכביש המהיר. formula_2- זמן (בדקות). formula_3יסמן את צפיפות כלי הרכב בכביש המהיר, (מכוניות לקילומטר לאורך נתיב יחיד). formula_4 - מהירות הזרימה (מהירות ממוצעת), של המכוניות במיקום formula_1.
חוקי שימור עבור משוואות דיפרנציאליות חלקיות (מד"ח).
מכונות לא יכולות להופיע או להיעלם. נביט בכל קבוצה של מכוניות: מהמכונית הממוקמת בחלק האחורי של הקבוצה בformula_6עד המכונית הספציפית הנמצאת בחלק הקדמי של הקבוצה בformula_7. הכמות הכוללת של המכוניות בקבוצה היא: formula_8. כיוון שתמיד יהיו מכונית ראשונה ואחרונה (גם במקרה של עקיפה, אז המכונית הקדמית או האחורית מתחלפת) ניתן לומר כי: formula_9, נשתמש בכלל לייבניץ עבור אינטגרלים : formula_10
האינטגרל מתאפס לכל קבוצת מכוניות, עבור כל האינטרוואלים formula_11. האפשרות היחידה שתוצאת אינטגרל שווה זהותית לאפס לכל אינטרוול היא שהאינטגראד שווה לאפס לכל formula_1. כתוצאה מכך, נוצר שימור של מד"ח לא-ליניארית מסדר ראשון.
formula_13
עבור כל הנקודות לאורך הכביש המהיר.
חוק השימור עבור מד"ח חל לא רק על תנועת כלי-רכב אלא גם על זורמים, מוצקים, קהלים, בעלי חיים, סוחרים פיננסיים וכו'.
תצפית הסוגרת את הבעיה.
המד"ח הקודמת היא משוואה אחת עם שני נעלמים, יש צורך במשוואה נוספת על מנת שהבעיה תהיה מוצגת היטב . משוואה נוספת כזו נדרשת על פי רוב במכניקת הרצף, משוואה כזו מופקת בדרך כלל מניסויים. במקרה תנועת כלי רכב ניתן לקבוע כי מכוניות בדרך כלל נוסעות בהתאם לצפיפות, formula_14. במספר ניסויים נמצא כי הפונקציה formula_15היא פונקציה של צמצום הצפיפות. לדוגמה, ניסויים במנהרת לינקולן מצאו כי ישנה הלימה (חוץ מבמקרים של צפיפות נמוכה) טובה עבור המשוואה הבאה: formula_16 (ק"מ לשעה יחסית ל מכוניות/ק"מ).
לפיכך, המודל הרציף הבסיסי עבור תנועת כלי רכב הוא המד"ח הבאה:
formula_17
עבור צפיפות כלי רכב formula_3בכביש מהיר.
תחומים עיקריים.
תחום נוסף של מכניקת הרצף כולל קצף אלסטומרי, אשר מציג קשר מאמץ-מעוות היפרבולי מעניין. האלסטומר רציף אבל חלוקה הומוגנית של חללים מעניקה לו תכונות בלתי רגילות.
הגדרת מודלים.
הגדרת מודל במכניקת הרצף מתחילה בהגדרת מרחב אוקלידי בעל שלושה ממדים עבור גוף חומרי formula_19. הנקודות שקיימות בתוך אזור זה נקראות חלקיקים או נקודות חומר. תצורות שונות של הגוף מתאימות לאזורים שונים בחלל האוקלידי. האזור המתאים עבור תצורה כלשהי של הגוף בזמן formula_2יסומן בצורה הבאה: formula_21.
חלקיק מסוים בתוך הגוף עבור תצורה מסוימת יסומן על ידי וקטור מיקום:
formula_22
כאשר formula_23הן קואורדינטות באותה מערכת צירים/סביבת ייחוס, עבור הבעיה (ראו איור מס' 1). את הווקטור ניתן להציג כפונקציה של מיקום החלקיקים formula_24בתצורת התייחסות מסוימת. לדוגמה התצורה בה ניתן לבטא את המיקום ההתחלתי היא:
formula_25.
פונקציה זו נדרשת למגוון מאפיינים, כך שהמודל צריך להיות פיזיקלי. הפונקציה formula_26נדרשת לקיים את התנאים הבאים:
עבור ניסוח מתמטי של המודל, formula_26היא פונקציה רציפה ודיפרנציאבילית פעמיים, כך שבאמצעות מניפולציות דיפרנציליות ניתן לתאר את תנועת הגוף במרחב באופן מתמטי.
כוחות במכניקת הרצף.
מכניקת הרצף עוסקת בגופים הניתנים לעיוות, בניגוד לגופים קשיחים. גוף מוצק הוא גוף הניתן לעיוות, שיכול לשאת במאמצי גזירה (הנובעים מכוחות הפועלים על פני שטח מסוים במקביל לו). לעומת זאת זורמים אינם יכולים לשאת מאמצי גזירה. לצורך לימוד והבנה של המאפיינים המכניים של מוצקים וזורמים יש להניח כי מדובר בגופים רציפים, החומר מצוי בכלל הנפח/המרחב המוגדר שלו, למרת כי למען האמת החומר עשוי מאטומים המכילים חללים ובפועל הוא בדיד. לכן, כאשר מכניקת הרצף מתייחסת לנקודה או חלקיק בגוף רציף, היא אינה מתארת חלל תוך אטומי או חלקיק אטומי אלא נקודה/חלק בגוף רציף אידיאלי המוגדר בנקודה הזו.
הדינמיקה הקלאסית ע"פ ניוטון ואוילר, גורסת כי תנועת גוף חומרי היא תוצאה של הפעלת כח חיצוני, אשר ניתן לסווג לשני סוגים שונים: כוחות שטח formula_28וכוחות גוף formula_29. כך שסכום הכוחות הכולל formula_30הפועל על גוף או חלק מגוף ניתן לידי ביטוי כך:
formula_31
כוחות שטח.
כוחות שטח או כוחות מגע, מיוצגים ככח ליחיד שטח, יכולים לפעול על משטחי הגבול של הגוף, כתוצאה מקשר מכני עם גופים אחרים, או על משטחים פנימיים דמיוניים שגובלים חלק מהגוף, כתוצאה מאינטראקציה מכנית בין חלקי הגוף לבין צדדים אחרים של המשטח (עיקרון המאמצים של אוילר וקושי). כאשר מופעל על גוף כוח חיצוני, כוחות מגע פנימיים נוצרים בפנים הגוף מנקודה לנקודה על מנת לאזן את הכח, ע"פ חוק התנועה השלישי של ניוטון כך שמתקיים שימור תנע קווי ותנע זוויתי (עבור גופים רציפים, חוק זה נכלל תחת משוואות התנועה של אוילר). הכוחות הפנימיים בגוף מיוחסים למעוותי גוף ע"פ המשוואות קונסטיטוטיביות. ניתן לתאר את כוחות המגע הפנימיים באופן מתמטי והקשר ביניהם לבין תנועת הגוף, בלי תלות במאפיינים החומריים של הגוף.
פילוג כוחות המגע הפנימיים בכל נפח הגוף מניח שהוא רציף, לכן גם קיימת צפיפות כוח מגע או שדה הטרחה של קושי formula_32אשר מציג את פילוג הכוחות והמאמצים בכיוון, במיקום ובזמן מסוימים. זהו אינו שדה וקטורי כיוון שהוא לא תלוי רק במיקום formula_33של נקודה חומרית מסוימת, אלא גם בכיוון המקומי של אלמנט השטח כפי שהוגדר על ידי הווקטור הנורמלי שלו formula_34.
כל שטח דיפרנציאלי formula_35 בעל וקטור נורמלי formula_34 עבור שטח פנימי נתון formula_37, הגובל עם חלק מהגוף, חווה כוחות מגע formula_38 הנובע מהמגע בין שני חלקי הגוף מכל צד של השטח formula_37, וניתן לידי ביטוי ע"י:
formula_40
כאשר formula_41הוא וקטור ההטרחה (וקטור מאמץ שטחי), או וקטור המאמצים. וקטור המאמצים הוא וקטור אשר לא תלוי במערכות הייחוס (עקרון המאמצים של אוילר וקושי).
כלל כוחות המגע הפועלים על משטח פנימי מסוים formula_37באים לידי ביטוי על ידי סכום (אינטגרל משטחי) של כוחות המגע על פני שטח המגע הדיפרנציאלי formula_35 :
formula_44
במכניקת הרצף, גוף נחשב כגוף חופשי אם הכוחות היחידים הפועלים עליו הם כוחות בין אטומיים (כוחות יוניים, מתכתיים וואן דר ואלס) הנדרשים עבור גיבוש הגוף כמקשה אחת ושמירה על צורתו בהיעדר השפעות חיצוניות (כולל כוח משיכה). מאמצים הנוצרים במהלך ייצור הגוף לתצורתו הדרושה/רצויה, אינם נכללים בחישובי מאמצים מאוחרים יותר שמתבצעים על גוף כלשהו. לכן המאמצים שנלקחים בחשבון במכניקת הרצף הם אך ורק המאמצים שנוצרים על ידי עיוות של הגוף. זאת אומרת רק שינויים יחסיים שנוצרים על הגוף נחשבים, ולא הערכים המוחלטים של אותם מאמצים.
כוחות גוף.
כוחות גוף הם כוחות שמקורם נובע במקורות מחוץ לגוף, שפועלים על נפח (או מסה) של גוף מסוים. ניתן לומר כי כאשר קיימים כוחות גוף הנובעים ממקורות חיצוניים, האינטראקציה בין חלקים שונים בגוף (כוחות פנימיים) באה לידי ביטוי באמצעות כוחות המגע בלבד. כוחות אלו נובעים מעצם היותו של הגוף נתון לשדות כח, למשל: שדה כבידה (כוחות כבידה), שדה אלקטרומגנטי (כוחות אלקטרומגנטים) או מכוחות אינרציה הנובעים כאשר הגוף בתנועה. כאשר ניתן להניח כי מסה של גוף רציף מפוזרת בצורה אחידה/רציפה, כל כוח שמקורו נובע מעצם המסה מופץ גם הוא ברציפות. לכן, כוחות גוף מוגדרים על ידי שדות וקטוריים אשר מניחים כי הם רציפים עבור נפח הגוף כולו, כלומר פועלים על כל נקודה בו. כוחות הגוף מיוצגים על ידי צפיפות כוח הגוף formula_45(עבור יחידת מסה) שהוא שדה וקטורי אדיש למערכות ייחוס (frame-indifferent).