כאשר formula_29. זוהי למעשה העתקת מביוס אוניטרית. על פי משפט הסיבובים של אוילר, הרכבה של שני סיבובים תלת-ממדיים היא בעצמה סיבוב תלת-ממדי, ולכן האוסף של העתקות מביוס אוניטריות מהווה תת-חבורה של החבורה הכללית של העתקות מביוס.
העתקות מביוס מסוג מתיחה/כיווץ (דהיינו formula_30 כאשר "k" ממשי ושונה מ-1) ניתנות לפירוש כהגדלה או כיווץ של ספירת רימן - כך שהמרחק מהראשית של ההיטלים של נקודות עליה מוגדל באותו יחס - ולא כתנועות שלה, ולפיכך אינן רלוונטיות לחלק זה.
זיהוי הסיבוב המתאים להעתקת מביוס אוניטרית נתונה.
נקודת המבט הגאומטרית מאפשרת לתת הסבר אינטואיטיבי לנקודות השבת של העתקת מביוס, במקרה של סיבוב טהור; אלו הן בדיוק התמונות של קטבי הסיבוב המתאים של ספירת רימן (הנקודות בהן חותך ציר הסיבוב את הספירה), תחת פעולת ההטלה הסטריאוגרפית. בנוסף, שורש אחד של המשוואה הריבועית (משוואת נקודת השבת) מתקבל מאחר על ידי הנגדה של האינוורסיה של השורש השני; הווה אומר:
והקדם-תמונה של formula_32 היא הנקודה האנטיפודית של הקדם-תמונה של formula_33 על ספירת רימן.
את הסיבוב המתאים להעתקת מביוס אוניטרית נתונה ניתן לתאר באמצעות הצגה קווטרניונית:
כאשר formula_35 הוא וקטור יחידה המייצג את ציר הסיבוב של ספירת רימן (ראו גם קווטרניונים וסיבובים מרחביים), ו-formula_36 היא זווית הסיבוב מסביב לציר הזה. כדי למצוא את formula_36, נעזר במשפט החשוב הבא:
טענה: הנגזרת המרוכבת של העתקת מביוס אוניטרית formula_38 באחת מנקודות השבת מקיימת:
הוכחה: נסמן את הפונקציה ההפוכה להטלה הסטריאוגרפית ב-formula_40, ונוכיח תחילה ש-formula_41. בסביבה כדורית אינפיניטסימלית של
formula_42 שתי הקדם-תמונות של formula_43 ו-formula_44 נמצאות במרחק שווה מאותו קוטב (הן באותו "קו רוחב") - ומכיוון שהן כמעט באותה נקודה (המרחק ביניהן שואף לאפס) פעולת ההטלה הסטריאוגרפית תמתח מרחקים זהים אלו באותה מידה - ולכן גודל השינוי האינפיניטסימלי ב-"z" מתורגם לשינוי בעל גודל זהה של "(f(z", או במילים אחרות הערך המוחלט של הנגזרת המרוכבת בנקודת השבת הוא 1. כעת נוכיח ש-formula_39. ההסבר לעובדה זו נעוץ בכך שההטלה הסטריאוגרפית, כמו העתקת מביוס, היא קונפורמית (משמרת זוויות בין עקומים). נסתכל על שני הקטעים הבאים במישור המרוכב: formula_46 ו-formula_47. שני קטעים אלו יוצרים ביניהם זווית formula_36, וזאת משום שהם מהווים הטלה של משולש כדורי אשר קודקוד אחד שלו נמצא בקוטב של הסיבוב המגדיר את העתקת מביוס, קודקוד שני ב-formula_49 וקודקוד שלישי ב-formula_50. הזווית הפולרית (הזווית בקודקוד הקוטבי) של המשולש הכדורי הזה היא לפי הגדרה formula_36, ולכן מתכונת הקונפורמיות נובע שגם הזווית בין הקטעים היא formula_36, ופירוש הדבר הוא ש-formula_39. מ.ש.ל
כדי להמשיך בפיתוח, תחילה נמצא את formula_33:
הנגזרת של העתקת מביוס בנקודת השבת נותנת:
ולפי זהויות טריגונומטריות של חצי-זווית פירוש הדבר הוא ש-: formula_57, ולכן החלק הממשי של הקווטרניון המייצג של הסיבוב הוא formula_58. בנוסף לכך, הנורמה של formula_33 שווה לפי תכונות ההטלה הסטריאוגרפית ל-formula_60 כאשר formula_61 היא זווית הזנית של הקדם-תמונה של formula_33 על ספירת רימן (זווית הזנית היא קואורדינטה כדורית). לפיכך נקבל:
הגודל formula_64 הוא לא אחר מאשר formula_65, ונזהה את ציר "z" עם הקווטרניון היסודי "k". בדומה לכך נקבל, שמכיוון שמתקיים
formula_66, וכמו כן formula_67, ש-:
וזה משלים את מציאת החלק הווקטורי של הקווטרניון המייצג. לסיכום, בהצגה קווטרניונית נקבל:
כאשר במעבר האחרון זיהינו את ציר "j" עם הישר הממשי ואת ציר "i" עם הישר המדומה.
העתקות מביוס כמטריצות.
אם נרכיב את ההעתקה formula_70 עם ההעתקה formula_71, תתקבל העתקה
formula_72.
ניתן לזהות קשר הדוק עם כפל המטריצות
formula_73.
נשים לב גם כי כפל בסקלר של כל המקדמים אינו משנה את ההעתקה - formula_74. בנוסף, הדרישה formula_3 היא בדיוק הדרישה שהמטריצה תהיה הפיכה. לכן, ניתן לזהות העתקות עם העתקות ליניאריות מ formula_76 ל formula_76, עד כדי כפל במטריצה סקלרית. כלומר, formula_78, (כאשר
formula_79 היא חבורת המטריצות ההפיכות, מודולו המטריצות הסקלריות).
האורווה
נחירה
נחירה היא הפקת רעש בזמן שינה בעקבות היצרות דרכי האוויר בלוע ובגרון.
הרעש נוצר באחורי הפה, במקום שהלשון, הענבל, החלק העליון של הגרון והחך נפגשים. תופעה זו קיימת בדרגות חומרה שונות: החל מנחירה קלה, האופיינית למצבי עייפות רגילים, ועד לנחירות בעוצמה של 50-60 דציבלים, בדומה לרעש הנשמע מאוטובוס נוסע, כאשר עומדים במרחק 3 מטרים ממנו.
סכנות הנחירה.
הנחירה עצמה אינה מסוכנת, אולם לעיתים, נחירות כבדות מאוד הן סימן לבעיות רציניות יותר, כמו דום נשימה בשינה – דבר העלול לסכן את חיי הנוחר.
במצב של דום נשימה, אנשים למעשה מפסיקים לנשום למשך מספר שניות. הפרעה זו יכולה לתרום ללחץ דם גבוה ואפילו לגרום לשבץ.
אדם ממוצע אינו מסוגל להבחין בין נחירות 'כבדות' לבין נחירות 'רגילות' – מסיבה זו מומלץ לכל אדם הנוחר באופן קבוע לפנות למומחה שינה כדי שיאבחן זאת ויקבע האם הבעיה היא דום נשימה, או שהוא סובל מנחירות 'רגילות'.
עבור רוב האנשים הנחירות אינן מהוות סיכון בריאותי גדול, למרות שעל פי מחקרים, הנחירות פוגעות באיכות השינה, מה שעלול לגרום ליתר לחץ דם, לירידה באחוז החמצן בדם ולירידה בקצב הלב.
נזקים נוספים שעלולים להיגרם מכך הם עצבנות, דיכאון, עייפות וחוסר ריכוז.
דרכי מניעה.
רוב הרופאים ממליצים להתחיל תחילה בשינויים בסגנון החיים. שינויים אלו כוללים ירידה במשקל, התעמלות רבה יותר, הגבלת כמות האלכוהול ותרופות הרגעה שונות לפני השינה והפסקת העישון.
דרכי המניעה בנחירות תלויים לעיתים קרובות בגורם עצמו. לעיתים די בשינוי תנוחת השינה כדי למנוע את הנחירות. כך למשל מומלץ להימנע משינה על הגב ולהעדיף שינה על הצד.
שריקה ליד הנוחר גורמת להפסקה זמנית בנחירות.
מי שסובל מעודף משקל יחוש בדרך כלל שיפור ניכר אם ירזה.
דרכי טיפול.
במידה והנחירות אינן חולפות על ידי דרכי המניעה שלעיל, קיימות כמה שיטות טיפול אחרות, חלקן מספקות מענה ממוקד וחד-פעמי, ואחרות מהוות פתרון לטווח הארוך. מי שסובל מנחירות עלול לסבול גם מדום נשימה, ולכן צריך להיבדק במעבדת-שינה ולעבור בדיקה אצל רופא אף אוזן גרון:
טיפול והתמודדות עם דום נשימה חסימתי.
על פי רוב אדם הסובל מדום נשימה לא מודע לכך. אדם החושד כי הוא סובל מבעיה זו צריך להיבדק במעבדת-שינה, וחייב לעבור בדיקה אצל רופא אף אוזן גרון, כדי לאבחן את הסיבה לדום נשימה ואת החומרה.
לרוב הטיפול בדום נשימה בשינה הוא בעזרת מכשיר CPAP (סיפאפ). מכשיר זה מונע את צניחת הרקמות על ידי הזרמת אוויר. המכשיר בנוי ממדחס המזרים אוויר בלחץ בעזרת מסכה לאף. מכשיר ה-CPAP איננו מרפא את הבעיה אלא רק מונע ממנה להפריע לתפקוד האדם. ההסתגלות ל-CPAP לעיתים לא נוחה כיון שהוא מזרים אוויר קר על הפנים ומשפיע על תנוחת השינה.
בשנים האחרונות מתרחב השימוש בהתקן לקידום הלסת - מכשיר פלסטי שמורכב על השיניים בזמן השינה. ההתקן דוחף את הלסת התחתונה לכיוון קדימה, ויחד איתו נדחף קדימה גם בסיס הלשון, ובכך גדל המרווח של הלוע ומתפנה מקום למעבר אוויר דרכו. זהו פתרון טוב ונוח לחולים שאינם יכולים להסתגל למכשיר CPAP.
על פי מרבית המחקרים מכשיר ה-CPAP יעיל יותר מאשר ההתקן הדנטלי. בכל זאת, במקרים רבים, מטופלים עם מכשיר CPAP אינם משתמשים בו במהלך כל הלילה או אינם משתמשים בו כלל. במחקר השוואתי נמצא, כי בקרב 126 ממטופלים ב-CPAP, 71% העדיפו את השימוש בהתקן הדנטלי, 19% העדיפו את ה-CPAP ו-10% לא יכלו להצביע על מכשיר מועדף.
לאנשים הסובלים מעודף משקל, ירידה במשקל הגוף יכולה להביא לשיפור משמעותי בהפסקות הנשימה עד כדי היעלמותן.
אפשרות נוספת היא ניתוח ה-UPPP כאמור לעיל.
שיטה סוככנית
נחירות
עלילון מקוון
שומרה
פיתאס
פִּיתֶאַס (ביוונית: Πυθέας; חי כמשוער בין השנים 380 – 310 לפני הספירה) היה גאוגרף ומגלה ארצות יווני. פיתאס, יליד מסליה (כיום מרסיי), שהייתה עיר יוונית בתקופה זו, עסק לפרנסתו במסחר. במסגרת מסעותיו הוא הקיף את בריטניה, וייתכן שהגיע אף צפונה יותר. פיתאס היה הראשון, הידוע לנו, שקישר בין תופעת הגאות והשפל ובין הירח, והראשון שהבחין בכך שכוכב הצפון (פולאריס) לא מצביע בדיוק לכיוון צפון. מדריך המסע הימי שכתב "אודות האוקיינוס" (Περί του Ωκεανού) לא השתמר, וידיעותינו עליו מגיעות ממקורות מאוחרים יותר.
המסע לבריטניה.
השנה המדויקת בה יצא פיתאס למסע סביב האי הבריטי אינה ידועה. כיום משערים שהיה זה לאחר שנת 330 לפנה"ס. לא ברור אם הוא הפליג ממרסיי דרך הים התיכון ומצר גיברלטר, משום שבאותה תקופה, השליטה במצר גיברלטר הייתה בידי קרתגו. אנשי קרתגו לא אפשרו לספינות זרות לעבור דרך המצר, ובכך קנו לעצמם שליטה במסחר הימי עם תושבי האי הבריטי. ייתכן שפיתאס חצה את גאליה (כיום צרפת) דרך היבשה ודרך נהרות, ויצא למסע הימי מהחוף המערבי של גאליה.
תחנתו הראשונה של פיתאס באי הבריטי, הייתה באזור הקרוי כיום קורנוול, אשר נמצא בקצה חצי האי הדרום מערבי של בריטניה. הוא עצר שם לצורך לימוד תהליך הפקת הבדיל ועיבודו. ההשערה הרווחת היא שמטרתו המוצהרת של פיתאס בצאתו למסע הייתה מסחר בבדיל, מתכת שהיוונים היו זקוקים לה לצורך יצירת ארד. פתיחת אפיק מסחר זה הייתה יכולה לתרום לעצמאות כלכלית של היוונים, ולא מן הנמנע שפיתאס יצא בשליחות רשמית למסע.