בפרק זמן קצר מהרגיל הוא נהפך מאסיר פשוט לאחראי בגולאג, הודות לעצתו למנהלי המחנה שיגמלו לאסירים שעובדים קשה יותר במזון רב יותר, הצעה שנודעה בתור "סולם הזנה". לא ברור במדויק כיצד פרנקל הצליח להפוך את עצמו מאסיר לאחראי במחנה. לפי הסיפורים הוא נכנס למחנה והיה מזועזע מהניהול הכושל שלו, הוא החליט לכתוב מכתב למנהלי הגולאג ובו שטח את כל מה שהיה פסול בעיניו מבחינת ניהול המשאבים (הן האסירים והן חומרי הגלם). את המכתב הוא הניח בתיבת התלונות של האסירים ומשם המסמך הגיע לידי גנריך יגודה, בירוקרט במשטרה החשאית ולימים מפקד הצ'קה. נאמר שיגודה דרש לפגוש את כותב המכתב מיידית. פרנקל עצמו סיפר שהוא נלקח למוסקבה כדי לדון ברעיונותיו עם יוסיף סטלין ולזר קגנוביץ', אחד מנאמניו של סטלין. שוב, האמת לוטה בערפל, שכן נמצאו רישומים שפרנקל נפגש עם סטלין בשנות השלושים וקיבל הגנה מפני הטיהורים הגדולים, אך מנגד לא נמצאו עדויות לכך שנפגשו בשנות העשרים.
מה שידוע בוודאות הוא שפרנקל קודם מדרגה של אסיר לשומר בגולאג תוך זמן קצר באופן מפתיע, אפילו בהשוואה לסטנדרטים של סלון. כבר בנובמבר 1924, כשעוד היה אסיר במחנה במשך פחות משנה, מפקדי המחנה ביקשו לסיים את עונשו ובקשתם נענתה בשנת 1927. נכתב עליו:
בסיס הצוללות בלוריין
ג'ון פורסית'
ג'ון פורסית' (פוליטיקאי)
לוריין (ברטאן)
לוריון
משפט אוילר על חלוקת מצולעים
משפט אוילר על חלוקת מצולעים (באנגלית: Euler’s Theorem of Polygon Division) הוא מונח בקומבינטוריקה ועוסק במספר הטריאנגולציות של מצולע קמור, כלומר מספר החלוקות האפשרי שלו למשולשים באמצעות העברת אלכסונים שלו כך שלא יחתכו אחד את השני. אוילר מצא ביטוי מתמטי כללי הפותר את הבעיה, ולמעשה גילה את הדוגמה הראשונה לסדרת המספרים הידועה כמספרי קטלן. לבעיה ישנה מספר וריאציות, והערך הזה עוסק בווריאנט בו יש לחלק את הקודקודים של המצולע לזוגות באמצעות קווים שאינם חותכים אחד את השני. אם נסמן ב-formula_1 את מספר החלוקות של מצולע בעל 2n קודקודים, במקרה זה התוצאה של אוילר קובעת כי: formula_2, כאשר formula_3 הוא מספר קטלן ה-nי.
תיאור הבעיה; רקע היסטורי.
את הבעיה הציע המתמטיקאי לאונרד אוילר לחברו כריסטיאן גולדבך במכתב משנת 1751. את הבעיה ניתן לתאר כך: בכמה דרכים שונות ניתן לחלק מצולע קמור בעל n קודקודים לזוגות (כאשר n חייב להיות זוגי), כך שהקווים שמחברים כל זוג נקודות לא יחתכו אחד את השני. במקרה של מצולע בעל ארבעה קודקודים הפתרון פשוט והוא שתי חלוקות. אוילר שיער במכתבו את הביטוי הכללי לסדרת הערכים, ונתן ביטוי לפונקציה היוצרת של סדרת המספרים. אולם, אוילר התוודא לאחר קבלת הביטוי כי: "תהליך האינדוקציה שהפעיל לפתרון הבעיה היה מאוד מפרך, ושהוא אינו מטיל ספק שניתן להגיע לאותה תוצאה בקלות רבה יותר". גולדבך השיב שהפונקציה היוצרת של אוילר מקיימת את המשוואה הפונקציונלית formula_4. אוילר בתגובה השיב במכתב משלו, ונתן פרטים נוספים לגבי הגזירה של הפונקציה היוצרת, אך הוא עדיין לא השלים את ההוכחה. מאוחר יותר, אוילר שיתף את המתמטיקאי Johann Andreas von Segner בבעיה שהעסיקה אותו ואת גולדבך, וזה פרסם בתגובה מאמר ב-1758 עם הוכחה ליחס הנסיגה שמקיימים הערכים בסדרה. אוילר זיהה שהקשר הרקורסיבי שהוא עצמו "החמיץ" הוא בדיוק החלק החסר בהוכחה שלו, ובסיום 1758 אוילר, גולדבך ו-Segner הרכיבו הוכחה שמספר הטריאנגולציות של מצולע קמור עם n + 2 צלעות הוא: formula_5.
פתרון הבעיה.
קבלת הנוסחה הרקורסיבית.
ראשית נראה כי שני קודקודים של המצולע ניתנים לחיבור אם ורק אם ביניהם מספר זוגי של קודקודים. ההסבר לכך פשוט: כיוון שאסור שקווים יחתכו אחד את השני, אם נחבר שני קודקודים שביניהם מספר אי זוגי של קודקודים אזי נקבל קודקוד אחד עודף, ולכן על מנת לזווג קודקוד זה עם קודקוד נוסף ניאלץ בהכרח לחצות את הקו שכבר שרטטנו עם הקו הנוסף. תכונה זו נובעת ישירות מקמירות המצולע. לכן, אם נבחר זוג קודקודים שעונה לתנאי הזה ונחבר אותם על ידי קו, מעתה ואילך כל החלוקות יהיו פנימיות בשני המצולעים הקמורים שיצרנו (הקו שחיבר את הקודקודים חצה את המצולע המקורי לשני מצולעים). עבור כל חצייה ראשונית של המצולע, מספר אפשרויות החלוקה הפוטנציאלי שהיא מאפשרת שווה למכפלת מספר האפשרויות לחלק את המצולע הראשון כפול מספר האפשרויות לחלק את המצולע השני. לפיכך formula_6 הוא סכום של מכפלות מהצורה formula_7, כאשר r עובר על כל המספרים הזוגיים (כולל 0). לפיכך מתקבלת הנוסחה הרקורסיבית הבאה לחישוב
formula_1:
formula_9.
בדרך זו מתקבלים בקלות 5 הערכים הלא טריוויאליים הראשונים בסדרה:
formula_10
בסיס הצוללות בלוריון
פניציליום
פֶּניציליום (שם מדעי: "Penicillium") הוא סוג של פטרית שק בעלת חשיבות גדולה בטבע, כמו גם ביצור מזון ותרופות.
כמה מהמינים בסוג מייצרים פניצילין, מולקולה המשמשת כאנטיביוטיקה, אשר הורגת או עוצרת את הצמיחה של סוגים מסוימים של חיידקים בתוך הגוף. מינים אחרים משמשים גבנים. נכון ל-2008 הסוג מכיל למעלה מ-300 מינים.
טקסונומיה.
הסוג תואר לראשונה בספרות המדעית ב-1809 על ידי יוהאן היינריך פרידריך לינק. שלושת המינים שתוארו בעבודה "p. candidum", "p.expansum" ו-"p.glaucum" בעלי נבג אל-מיני (conidiophore).
אטימולוגיה.
שם הסוג Penicillium נגזר מן המילה הלטינית penicillum, כלומר "מברשת צביעה", מתייחס לשרשראות הנבגים (conidia) הדומות לשערות מברשת או מטאטא.
מיקלוש השני גאראי
מיקלוש השני גאראי או מיקלוש גאראי הבן (בהונגרית: II. Garai Miklós, בקרואטית: Nikola II Gorjanski, 1433-1367) היה אציל הונגרי, שכיהן כ (נאדור) של הונגריה בשנים 1433-1402, באן של מאצ'ווה, אוסורה וסול (טוזלה של ימינו), של סלאבוניה (1402-1397), ושל קרואטיה ודלמטיה. תחת חסותו נמצאו גם אזורי ברניצ'בו, סרם, באצ'קה, באנאט ובאראניה.
יחד עם בן בריתו המקורב שטיבור משטיבוריץ' הפך גאראי לאחד מעשירי האצילים בהונגריה והחזקים שבהם לאורך 30 שנה.
גאראי ניהל את ענייניה הפנימיים של הונגריה כאדם השני אחרי המלך ז'יגמונד לבית לוקסמבורג (1437-1368). המלך גמל לו בשנת 1416 והוסיף לשלט האצולה שלו את סמלי מסדר הדרקון (שהקים ב-1408) ומסדר הצעיף.
ביוגרפיה.
ילדות וצעירות.
מיקלוש גאראי השני נולד בשנת 1366 או 1367 באחת מהחשובות שבמשפחות האצולה ההונגרית של המאה ה-15. הוא היה בנו הבכור של מיקלוש גאראי (1386 - לערך 1325) שמילא גם הוא את תפקיד פלטין הונגריה בימי המלך לאיוש הגדול לבית אנז'ו.
משפחת גאראי או בקרואטית גוריאנסקי קיבלה את שמה מאחוזתה ביישוב הכפרי גארה או בקרואטית גוריה, שעל יד העיר ג'אקובו של ימינו שבמחוז סלאבוניה של קרואטיה.
אחרי מות המלך לאיוש הוכתרה למלכה בתו הקטינה, מריה שהייתה מאורסת בהתאם לרצון המלך לנסיך הגרמני-צ'כי זיגיסמונד לבית לוקסמבורג. בממלכה פרצו מאבקי כוח.
העוצרת אליזבתה מבוסניה, אלמנת המלך לאיוש הגדול, רצתה לחתן את בתה מריה בניגוד לרצון בעלה המנוח, עם הנסיך הצרפתי לואי לבית ואלואה - אורליאן, אחיו הצעיר של שארל השישי, מלך צרפת. המלך קרלו השלישי מנאפולי (קרלו די דוראצו), קרוב משפחה של לאיוש המנוח ויליד הונגריה, נקרא מיד להונגריה על ידי חלק מהאצילים, הדיח מהשלטון את מריה ואת אמה. הוא הכריז את עצמו למלך הונגריה בשם קארוי השני. אולם כעבור זמן קצר המלך האיטלקי נרצח עקב מזימה של אליזבתה בעזרת הפלטין מיקלוש גאראי האב. רצח המלך החזיר את מריה לכס המלכות. באוגוסט 1385 לכד זיגיסמונד את מריה ואילץ אותה להתחתן איתו ועל סמך קשר הנישואים ביניהן, הכריז עצמו מלך הונגריה , בתמיכת ליגה שקמה בקרב חלק מהאצולה ההונגרית.
בשנת 1386 בעיצומה של מלחמת אזרחים גאראי האב נרצח בעת ניסיונו להגן באחוזת משפחתו גארה (גוריאן) על שתי המלכות - אליזבתה ומריה - שמרכבתן הותקפה על ידי המורדים, האחים יאנוש ופאל הורבאטי ואיוואן פאליז'נה, שפעלו, ככל הנראה, בתמיכת זיגיסמונד.
שתי המלכות נפלו בשבי בידי המורדים ונכלאו. בעת המאסר, ב-1387 נפטרה אליזבתה או אולי נרצחה בחניקה. בסיוע ונציאני, זיגיסמונד שחרר משבי את אשתו הקטינה והגיע לפיוס זמני עם האצולה שהכירה בו כמלך. אשתו מריה שמרה לו טינה כל שאר חייה מכיוון שראתה בו אחראי למות אמה. היא נפטרה כעבור מספר שנים ב-1395.
הקריירה הצבאית והפוליטית.
מקורב למלך זיגיסמונד. פעילותו בדרום הממלכה.
אחרי שניצל מן הטבח בגארה (1386), שבו נרצח אביו, הצטרף גאראי הצעיר לצבאו של המלך זיגיסמונד שהיה אז בן 18.ב-1386 מוזכר שמו כקסטלן של המבצר לוגוז' בבאנאט.
הוא הצטיין בהמשך בפעילותו הצבאית בדרומה של ממלכת הונגריה - באזורים השייכים לקרואטיה ובוסניה של ימינו.
בשנים 1387–1390 כיהן כבאן של מצ'ווה. ב-1388 התמנה גם ל"אישפאן ראשי" (פרפקט או רוזן ראשי) (főispán) של המחוז ורץ (Verőcz)(וירוויטיצה במזרח קרואטיה)
בשנת 1388 הביס גאראי את צבאו של יאנוש הורבאט בחבל סרם, אולם בשנת 1390 נאלץ להעביר את תפקידיו לבני לושונצי.
המסעות הצבאיים במזרח הבלקן.
בשנת 1392 חזר גאראי השני לקדמת הבמה הפוליטית והצבאית. ב-1395 השתתף במסע צבאי בוולאכיה ויחד עם פטר פרני חיפה על נסיגת כוחותיו של המלך זיגיסמונד. ב-1396 לחם בקרב ניקופול בבולגריה, שבו הכוחות הנוצרים המאוחדים בראשות זיגיסמונד הובסו תבוסה קשה מידי הטורקים.
מזימות האצולה וברית מחודשת של גאראי עם המלך זיגיסמונד.