שני הזנים שונים מהזן המכונה "ריחן קדוש" המשמש לטקסים דתיים הינדואיסטים.
ברפואה העממית.
במהלך ההיסטוריה שימש הריחן ברפואה העממית למטרות שונות. מאז המאה השישית משתמשים בו כדי לשפר את זרימת הדם והעיכול. באופן חיצוני משתמשים בו להרגעת עיניים אדומות ולהקל על גרד בעור.
הריחן, המכיל חומרים אנטי-בקטריאליים, שימש גם לטיפול בריח רע מהפה, להגנה מפני עששת וכמשחת שיניים, וכן לטיפול בכאבי ראש וגזים. הוא משמש מקור עשיר לנוגדי חמצון.
ריבוי וגידול ביתי.
הריחן מתרבה בעזרת הפצת זרעיו. הזרעים מתפתחים בשחלת הפרח הלבן בראש עמודי תפרחת המתפצלים מהגבעול. כשהפרחים מתייבשים ניתן לחלץ את הזרעים מתוכם באופן ידני ולזרוע באדמה או במנבטה בעומק סנטימטר. הבזיליקום נחשב צמח קל לריבוי, גם על ידי גנן חובב, והנביטה מתרחשת לרוב בתוך כשבועיים.
ניתן להרבות את הריחן גם ברבייה וגטטיבית, באמצעות ייחורים: יש להניח גבעולים בריאים בעלי מספר מפרקים במים למשך ימים אחדים, עד שהם מפתחים שורשים, ואז לשתול אותם באדמה.
קל לגדל עציצי בזיליקום באופן ביתי מכיוון שהם צומחים מהר ולא דורשים התעסקות רבה. כדאי לשתול את הבזיליקום בעונת האביב מכיוון שהוא לא חובב קור, בהתאם, יש להניח אותו במקום שבו יש שמש בין 6–8 שעות ביממה. יש להשקות באופן תדיר כך שאדמתו תהיה רוב הזמן רטובה. דבר נוסף - אם רוצים להשתמש בעלים הבזיליקום לבישול, כדאי להסיר את הפרחים עם הופעתם מכיוון שהם גוזלים הרבה מהמים שהעציץ צורך. כאשר קוטפים מהצמח עלים, יש להשאיר עליו מספר עלים כדי שיוכל לחדש את עצמו.
הריחן בתרבות.
ישנם טקסים ואמונות רבות הקשורות בריחן. בצרפתית הצמח מכונה לעיתים "העשב המלכותי" l'herble royale, באיטליה הריחן מסמל את האהבה, ובפורטוגל נהוג לתת לאדם אהוב סיר עם ריחן ושיר ביום הקדוש יוחנן וביום הקדוש אנטוניוס. לעומת זאת, ביוון העתיקה בפרט ובאירופה בכלל, קושר הריחן עם שנאה ואף כסמלו של השטן. אגדת עם אפריקאית טוענת שהריחן מגן מפני עקרבים. הבוטניקאי הבריטי ניקולס קולפפר (1616-1654), ציטט בכתביו "פיזיקאי צרפתי מבדר" שטען שהסנפת הריחן יתר על המידה תביא לגדילתם של עקרבים במוח.
ריחן קדוש, המכונה "טולסי", מוכר מאוד בדת ההינדואיזם. בכנסייה היוונית האורתודוקסית לריחן יש חשיבות דתית, שכן הוא משמש להכנת מים קדושים. מכיוון שעל פי אמונתם, הריחן יצמח סמוך לקבר המשיח ביום תחיית המתים. בכנסייה האורתודוקסית הבולגרית, הסרבית, המקדונית והרומנית, משתמשים גם כן כדי להכין מים קדושים, ובנוסף, נוהגים להניח סירים מלאים בריחן מתחת למזבח.
באירופה נהוג לשים ריחן ביד המתים כדי להבטיח מסע בטוח לעולם הבא. בהודו הוא מונח בפה המתים, כדי להבטיח את הגעתם אל האל.
באיטליה נחשב הריחן סמל לאהבה. כך אדם שמיקם בשערו ענף של הצמח ביטא את כוונותיו להינשא לאהובת ליבו. אם האישה בחרה לקבל את המחזר, הייתה מניחה כלי עם בזיליקום במרפסת ביתה.
בזיליקום
נישואי הזוג ארנולפיני
נישואי הזוג ארנולפיני (בהולנדית: Portret van Giovanni Arnolfini en zijn vrouw) הוא ציור של יאן ואן אייק שנעשה בשנת 1434. זהו ציור שמן על עץ אלון שגודלו 69X82 ס"מ. הציור מציג דיוקן של זוג ממשפחת ארנולפיני שנישא לאחרונה. הציור מוצג כיום בגלריה הלאומית בלונדון.
בתמונה נראה הבעל ג'ובאני, סוחר עשיר שחי בעיר ברוז', עומד בצד שמאל. הוא מחזיק בידה של ג'ואנה אשתו, שצדה השמאלי פונה אל המתבונן, ומרים את ידו השנייה לשבועה. הזוג מוצג כשהוא עומד בחדר השינה המפואר שלהם.
סגנון התמונה הוא ריאליסטי ונטורליסטי. תיאור הדמויות והפריטים יורד לפרטי פרטים, תוך דייקנות בהדגשת המרקמים השונים של העצמים.
הפרטים בציור.
ג'ובאני, הבעל, נראה לבוש בגלימה חומה ויוקרתית שבשוליה פרווה, וחובש כובע צילינדר דבר המדגיש את מעמדו הגבוה. אשתו ג'ובאנה עטופה בבגד ירוק עשיר, עשוי קטיפה ומעוטר בפרווה. היא מרימה את שמלתה כך שנראה כאילו היא בהיריון. כלב עומד בין ג'ואנה לג'ובאני. באותה תקופה כלב היה סימן ההיכר של בני המעמד הגבוה. כלב הוא גם סימן לנאמנות ושלום בית, כמו זו המתבקשת בנישואים.
הנברשת היא מתכתית ומגיע אליה ברק מן האור הבוקע מהחלון שבימין. בנברשת דולק רק נר אחד, וייתכן כי זהו סמל לכך שהמשפחה רק הוקמה, ובעתיד יהיו יותר נרות ויותר חום. על הקיר מאחורי הזוג ישנה מראה ועליה ציורים של 12 הקדושים הנוצרים. למעשה, במראה מצוירת ההשתקפות של כל הציור, כלומר, ניתן לראות את הציור גם מאחור. דרך המראה ניתן לראות גם את יאן ואן אייק בעצמו.
נעליים מופיעות פעמיים ביצירה. ישנו זוג אחד משמאלו של ג'ובאני ואחד ליד הכורסה מאחורי הזוג. נעלי הבית מסמלות ביתיות, נוחיות וחמימות. נעלי הבית האדומות מסמלות זאת במיוחד משום שהצבע האדום מסמל גם את מעמד האצולה וגם חמימות. לצד החלון ועל השידה מונחים פירות שמסמלים פוריות ושפע.
מעל המראה נמצאת חתימתו של האמן. הוא מנציח את עצמו ורושם "אני ואן אייק, הייתי נוכח כאן בשנת 1434".
אמצעים אמנותיים.
המראה מאפשרת לצופה לראות את החלקים שלא ניתן לראות בתיאור פרספקטיבי רגיל. היא יוצרת עומק ומראה את החלל הכולל של החדר. הפריטים ביצירה צוירו בדיוק כפי שנראו בעין האמן ולכן נוצר עומק ללא תכנון. לדוגמה, פרט אחד צויר קטן יותר מהאחר כי כך הוא באמת נראה, ולכן נראה כי הוא רחוק יותר (כפי שקרה במציאות). על הרצפה קווים המתנקזים אל נקודת מגוז, מה שיוצר בציור עומק.
מקור האור המרכזי מגיע מן החלון בשמאל התמונה. האור מעוצב בדייקנות והוא חודרני. הוא תורם לאווירה השקטה והרוגעת שבתמונה. בנוסף ישנו עוד מקור אור, חלוש יותר, מהנר בנברשת. טכניקת צבעי השמן ושליטתו של האמן בה אפשרה תיאור נאמן של החומרים השונים, כגון רצפת העץ והבדים. ישנו מיזוג מושלם של הגוונים. משיכות המכחול אטומות, שקופות למחצה או שקופות. משיכות עדינות ומלוטשות שלא ניתן להבחין בהן. נוצרת תחושה של תיעוד אמיתי.
תרפ&quot;ח
גליל העליון
טום ווייטס
תת-חבורת הקומוטטורים
במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים formula_1 של חבורה formula_2 היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה formula_3 היא המנה האבלית הגדולה ביותר של formula_2.
איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים אפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר מכפלה formula_5 שכך שיש תמורה formula_6 המקיימת formula_7 כאשר formula_8 הוא איבר היחידה בחבורה.
הגדרה.
הקומוטטור של שני איברים formula_9 בחבורה formula_2 הוא האיבר formula_11. תת-חבורת הקומוטטורים של formula_2 היא החבורה הנוצרת formula_13. את החבורה המתקבלת מסמנים formula_1 או formula_15. הסימון האחרון רומז שלחבורה יש תפקיד כפול בהגדרת הקומוטטור, מה שמאפשר הכללה: אם formula_16 תת-חבורות נורמליות של formula_2, אז formula_18 היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים formula_19 עבור formula_20; זו תת-חבורה נורמלית גם של formula_21 וגם של formula_22.
תכונות.
תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה נורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה formula_3 היא אבלית. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית formula_24 של formula_2, המנה formula_26 אבלית אם ורק אם formula_27. זהו למעשה אפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה formula_3 נקראת האבליזציה של formula_2.
מכיוון שהומומורפיזם formula_30 מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה formula_31. בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש-formula_32 ובפרט formula_33.
הכללות.
פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של formula_2, באינדוקציה: formula_35, ולכל formula_36, formula_37. בפרט מקצרים וכותבים formula_38, formula_39 וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז formula_2 היא חבורה פתירה. חבורה המקיימת את השוויון
formula_41 נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות formula_42 היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, formula_43, בעוד ש-formula_43 מושלמת לכל formula_45 (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).
בדומה לזה, מגדירים formula_46, כאשר formula_47. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית.
נוסחת קומוטטורים מוכללת היא הנוסחה formula_48, או נוסחה מהצורה formula_49 כאשר formula_50 הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. פיליפ הול הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות formula_51 (לכל חבורה formula_2), ואלו המקיימות formula_53; והוכיח שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות formula_54, וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות formula_54, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.
תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות formula_56 של formula_2, מתקיים formula_58.
האורך בחבורת הקומוטטורים.