פאותיהם של כל אחד מחמשת הפאונים האפלטוניים (פאונים משוכללים) הן מצולעים משוכללים חופפים, מסוג אחד. פאותיה של קובייה, למשל, הן שישה ריבועים חופפים. שמות הפאונים האפלטוניים (פרט לקובייה) משקפים את מספר פאותיהם.
פאותיהם של פאונים ארכימדיים הן מצולעים משוכללים חופפים, משניים או שלושה סוגים. למשל: לארבעון קטום יש 8 פאות - 4 בצורת משולש שווה-צלעות ו-4 בצורת משושה משוכלל, ולקובוקטהדרון הקטום יש 26 פאות - 12 ריבועים, 8 משושים ו-6 מתומנים.
נוסחת אוילר קושרת בין מספר פאותיו, צלעותיו וקודקודיו של פאון. הנוסחה היא V - E + F = 2, כאשר V הוא מספר הקודקודים של הפאון, E הוא מספר הצלעות ו-F הוא מספר הפאות.
הגדרה מכלילה.
ניתן להגדיר את המושג פאה באופן שיתייחס לכל גוף גאומטרי שהוא. בהתאם להגדרה זו, פאה של גוף, היא משטח חלק אשר בעצמו, או בצירוף עם פאות נוספות, מהווה את פני השטח של הגוף. בהתאם להגדרה זו, פאה יכולה להיות צורה כלשהי, לאו דווקא מצולע, למשל, בסיס החרוט. כמו כן, פאה יכולה להיות לאו דווקא מישורית, למשל, מעטפת החרוט. בהתאם להגדרה, ניתן לסווג גופים על פי מספר הפאות שלהם:
מרוץ מכוניות
מרוץ מכוניות הוא ענף ספורט מוטורי שבו מתחרים נהגי מרוץ במכוניות. מרוצי מכוניות החלו ב-1894 בצרפת.
היסטוריה.
מרוצי מכוניות החלו בסמוך להמצאת המכונית, המרוץ הראשון נערך מפריז לרואן ב-22 ביולי 1894 על ידי מגזין "לה פטי ג'ורנל" כמבחן אמינות למכוניות התקופה. שנה לאחר מכן, נערך לראשונה מרוץ לשם הספורט. המרוצים הראשונים התקיימו בדרך כלל על דרכים ציבוריות מעיר אחת לאחרת, ב-1903 התרחשה תאונה קטלנית במרוץ מפריז למדריד, ובעקבותיה נאסרו מרוצים בדרכים ציבוריות בצרפת. בתוך מספר שנים הופיעו מרוצים במסלול סגור, באורך של עשרות קילומטרים, אותו הקיפו המתחרים מספר פעמים. אחד מהמרוצים האלו היה המרוץ של לה מאן, שהיה גם המרוץ הראשון שנקרא "מרוץ גרנד פרי" (מרוץ הפרס הגדול), ובכך החל סבב תחרויות באותו השם.
לקראת שנות ה-30 של המאה ה-20 החלו להופיע מכוניות על שנבנו במיוחד למרוצים. הן צוידו במנועי 8 עד 16 צילינדרים בעלי מאות כוח סוס והוגבלו למשקל של עד 750 קילוגרם לפי תקנות המכונות פורמולה. בין היצרנים הבולטים היו גרמנים כדוגמת אוטו יוניון ומרצדס בנץ וצרפתים כדוגמת בוגאטי, דליי ודלהיי. לקראת סוף שנות ה-30 היצרנים הגרמנים השיגו שליטה מוחלטת במרוצי הגרנד פרי, ככל הנראה בעידוד השלטון הנאצי. באותן שנים החלו להתארגן אליפויות בינלאומיות שאיחדו מרוצי גרנד פרי מכמה ארצות. בתחילה חושב ניקוד עבור יצרני המכוניות בלבד, אך ב-1935 נוסדה אליפות הנהגים של ה"גרנד פרי האירופאי" - אליפות זו נערכה מאז מדי שנה עד לפרוץ מלחמת העולם השנייה.
במקביל למרוצי הגרנד פרי, שהתקיימו במסלולים סגורים, המשיכו להתקיים מרוצים מנקודה לנקודה שכונו מרוצי ראלי. מרוצים אלו התקיימו בדרכים ציבוריות ובאותן שנים התפשטו למדינות מרכז אירופה, בעיקר מסביב להרי האלפים. אופי המרוצים היה שונה מאירוע לאירוע - לעיתים כלל האירוע עצירות בנקודות מסוימות לשם ביצוע מבחני שליטה ברכב, ולעיתים המרוץ התבסס בעיקר על יכולות הניווט וקריאת המפה של הנהגים.
בשנת 1947, לאחר מלחמת העולם השנייה, החלה להתארגן אליפות עולם שבה נקבעו מגבלות מוגדרות (המכונות פורמולה - Formula) למכוניות המשתתפות. סבב המרוצים התרחב ובמקביל החלה להתהוות הפדרציה הבינלאומית לרכב (FIA), שקיבלה את האחריות לקביעת התקנות מאז ועד לימינו. עם התפתחות סבב המרוצים אליפות זו קיבלה את השם פורמולה 1.
ב-1955 החל ה-FIA לארגן אליפות מרוצים שנתית למכוניות ספורט - "אליפות העולם במרוצי סיבולת". המכוניות במרוצים אלו היו מבוססות על מכוניות ספורט סדרתיות, ברמות עדכון שונות והמרוצים התקיימו במסלולים סגורים. במהלך השנים חולקו המרוצים לקטגוריות שונות על פי מבנה הרכב. אירועים מרכזיים באליפות זו היו מרוצי 24 השעות בהן התחרו גם בשעות החשיכה. המכוניות שהתחרו במרוצים אלו היו מכוניות סגורות, בעלות גלגלים המכוסים על ידי גוף המכונית. לעיתים נפתחו קטגוריות ייעודיות למכוניות בעלות גג פתוח ומבנה ייחודי שלא היה מבוסס על מכוניות סדרתיות אך עדיין היה בעל גלגלים מכוסים. לעומת זאת, בתחרויות הפורמולה השונות השתתפו בדרך כלל מכוניות בעלות "גלגל פתוח" (שאינו מכוסה).
בשנות ה-60 עם ההתקדמות בפיתוח כלי רכב המותאמים לנסיעה בשטח התפתחו מרוצי שטח במתכונות שונות. הנפוצים ביותר היו המרוצים בסגנון פשיטת הראלי, כדוגמת מרוץ הבאחה במקסיקו ב-1967 ועשור לאחר מכן ראלי דקר. כלי הרכב המשתתפים היו ייעודיים לשטח או כלי רכב סדרתיים שעברו התאמות ושיפורים.
סוג נוסף של מרוצים שהחל את דרכו בשנות ה-60 הוא מרוצי דראג, בהן התחרו מכוניות במרוצים למרחק קצר (בדרך כלל 400 מטר) בקו ישר. המכוניות המשתתפות נבנו במיוחד כדי להשיג את הזינוק המהיר ביותר.
ב-1973 יסד ה-FIA את אליפות העולם בראלי. באליפות זו השתתפו מכוניות סדרתיות משופרות שבמראן החיצוני הזכירו מכוניות קומפקטיות רגילות, בניגוד למכוניות הספורט. מאפיין נוסף של תחרויות הראלי היה נסיעה בדרכים ציבוריות שאינן משמשות כמסלול מרוצים בדרך כלל, כבישים סלולים ודרכי עפר.
בעשורים האחרונים של המאה ה-20 לא חלו שינויים משמעותיים בסוגי המרוצים. המגמה הכללית הייתה קיצוץ באורכם של המרוצים (מבחינת זמן או מרחק) בעיקר כתוצאה מהעלות ההולכת ועולה של המכוניות והמרוצים עם התקדמות טכנולוגיית כלי הרכב. סוגיה נוספת שהשפיעה רבות על אופי המרוצים היא נושא הבטיחות. מרוצים קוצצו ומותנו ומכוניות הוגבלו כדי להתאים לסטנדרטים מחמירים של בטיחות הנהגים המתחרים והקהל הצופה במרוצים.
סוגי מרוצים.
מרוצי גלגל חשוף (פורמולה ואינדי).
מכוניות בעלות מושב יחיד הן בדרך כלל מכוניות הספורט הקיצוניות והמהירות ביותר בעולם המרוצים. בדרך כלל הן בעלות גלגל חשוף (Open wheel - שאינו מכוסה על ידי גוף המכונית) ושלדה מחומרים קלים וקשיחים.
סדרת המרוצים היוקרתית ביותר בקטגוריה זו היא הפורמולה 1 של ה-FIA שזוכה לפופולרית עצומה במקומות רבים בעולם. במרוצי הפורמולה 1 משתתפות מכוניות בעלות מנוע V6 בנפח של עד 1600 סמ"ק עם הספק של כ-700 כוח סוס. משקלי המכוניות הנמוכים, מעט מעל 600 קילוגרם, מושגים באמצעות שימוש בחומרים מרוכבים וסיבי פחמן.
סדרות מרוצים נוספות בקטגוריה הן: סדרת האינדי בארצות הברית, פורמולה 2 , פורמולה 3 ופורמולות נוספות ברמת כניסה כדוגמת פורמולה רנו. פורמולה 1 כוללת אליפות לנהגים וליצרנים.
מסלולי המרוצים בסדרות לעיל הם מסלולים סגורים וכמעט תמיד מפותלים. המכוניות בנויות לספק היגוי ברמה הגבוהה ביותר ולכן באות לידי ביטוי ועומדות למבחן במסלול מפותל. למרות זאת, בסדרת האינדי מתקיימים לעיתים מרוצים במסלול אובלי מעגלי. כוחות הצד המופעלים על הנהגים בפניות עשויים להגיע לעד 5g (כוח g). יכולת זו מושגת באמצעות הצמדת המכונית אל הקרקע (כמעין עילוי הפוך) באמצעות כנפיים אווירודינמיות בקדמת ואחורי המכונית.
במרוצים נשים מתחרות בגברים. דניקה פטריק הפכה לאישה הראשונה שמנצחת מרוץ בסדרת מרוצי האינדי, והאישה השנייה שמנצחת בתחרות מוטורית אמריקנית, לאחר ששירלי מולדוויני ניצחה שלוש פעמים בתחרות "NHRA Top Fuel Championships".
ראלי.
מרוצי ראלי הם מרוצים הנערכים בדרכים ציבוריות בתוואי לא מעגלי. תוואי המרוץ כולל בדרך כלל דרכים סלולות (סגורות באופן זמני), שבילי עפר ואף קרח או שלג. המכוניות המשתתפות עשויות להתבסס על מכוניות סדרתיות אך לא בהכרח. אליפות העולם בראלי (WRC) היא סדרה שנתית הנערכת ברחבי העולם וכוללת אליפות לנהגים וליצרנים. המכוניות מתאימות לנהיגה בתוואי השטח השונים ומצוידות בהנעה כפולה.
מרוצים מטיפוס אחר המכונים ראלי ונערכים מחוץ לדרכים סלולות הם מרוצי פשיטת הראלי. עקרונות המרוץ דומים לראלי שהוצג לעיל בכך שנעשה שימוש בשטח ציבורי ובכך שמוגדרת נסיעה מנקודה לנקודה. השוני הוא בנסיעה בתוואי בלתי מוגדר מראש, לעיתים ללא שביל ברור, כך שהמתחרים מנווטים את דרכם לנקודת הביקורת הבאה במגוון דרכים. במרוצים אלו משתתפים בדרך כלל במעורב כלי רכב מסוגים שונים (למשל מכוניות, אופנועים ומשאיות) ודירוג הנהגים מתחלק לקטגוריות השונות מכלי רכב סדרתיים ועד לאבות טיפוס כדוגמת רכבי באגי המיוצרים במיוחד למרוץ. במרוצים אלו מקובל לחלק את הדרך לקטעים מיוחדים (ספיישלים) וקטעים מנהלתיים. מדידות הזמנים לנהגים מתבצעות בקטעים המיוחדים בלבד ובקטעים המנהלתיים נדרש המתחרה רק להגיע לנקודה מסוימת עד לשעה שנקבעה מראש.
תיור.
מרוצי מכוניות תיור או מרוצי מכוניות סדרתיות (Stock) נערכים עם מכוניות בייצור סדרתי או דומה לסדרתי במגוון רמות שיפור. הטיפוס הנפוץ ביותר היא מכונית בתצורת סדאן. בסדרות האירופיות או באוסטרליה משתתפות בדרך כלל מכוניות סדאן והקופה הספורטיביות ביותר של היצרנים ב.מ.וו, מרצדס, אאודי ועוד. השיפורים נסובים סביב כל המכלולים בדרך כלל, פרט לשלדה. מסלולי המרוץ הם תמיד סגורים, סלולים, מעגליים ומפותלים. דוגמאות לסדרות כאלו הן ה-WTCC - אליפות העולם למכוניות תיור, DTM - גרמניה, BTCC בריטניה, GT500 - יפן ו- Supercars V8 - אוסטרליה.
נאסקאר.