הסינגל הראשון מהאלבום הוא "Dangerous Woman" שגם נושא את שם האלבום. הוא יצא ב-11 במרץ 2016 ותוך 24 שעות מיציאתו הוא הגיע למקום הראשון במצעד השירים של iTunes ביותר מ-30 מדינות והגיע למקום ה-10 במצעד הפזמונים האמריקאי בילבורד הוט 100 בשבוע הראשון ליציאתו ולמקום ה-8 בשיאו. ב-31 במרץ, יצא הווידאו קליפ לשיר.
השיר "Into You" הוא הסינגל השני מתוך האלבום ויצא ב-6 במאי 2016. הוא הגיע למקום 13 בארצות הברית, וזכה להצלחה פושרת שם, אבל זכה להצלחה באירופה ונכנס ל-Top 10 ביותר מ-10 מצעדים.
השיר "Side to Side" בהשתתפות ניקי מינאז' הוא הסינגל השלישי מתוך האלבום ויצא ב-28 באוגוסט 2016 במהלך טקס ה-VMA. השיר זכה להצלחה בינלאומית ונכנס ל-Top 10 ביותר מ-20 מצעדים ברחבי העולם.
השיר "Everyday" הוא הסינגל הרביעי מתוך האלבום ויצא ב-10 בינואר 2017, השיר זכה להצלחה נמוכה יחסית לשאר השירים של הזמרת (מקום 55 בארצות הברית ו-132 בבריטניה).
Dangerous Woman (שיר)
Dangerous Woman (בעברית: אישה מסוכנת) הוא שיר של הזמרת האמריקאית אריאנה גרנדה. השיר יצא לאור ב-11 במרץ 2016 כסינגל הראשון מתוך האלבום השלישי של גרנדה שנושא את אותו השם, תוך 24 שעות מיציאתו השיר הוא הגיע למקום הראשון במצעדי השירים של iTunes ביותר מ-30 מדינות ודורג במקום ה-10 במצעד הפזמונים האמריקאי בילבורד הוט 100 בשבוע הראשון ליציאתו ומקום שמיני בשיאו.
גרנדה הופיעה עם השיר בסאטרדיי נייט לייב.
ב-31 במרץ גרנדה הוציאה את הקליפ לשיר.
הנוך קון
הענעך קאן
הנריק קון
האנס קון
פורזינגיס
עונת 1966/1968 בליגה א'
עונת 1966/1968 בליגה א' הייתה העונה ה-12 של ליגה א' כליגה השנייה בחשיבותה בכדורגל בישראל.
על ניצחון במשחק הוענקו שתי נקודות ונקודה בודדת הוענקה על תיקו.
הליגה כללה 32 קבוצות, 16 קבוצות בכל בית. את העונה הסדירה סיימו הפועל כפר סבא ובית"ר ירושלים במקום הראשון והעפילו לליגה העליונה לקראת עונת 1968/1969. ארבע הקבוצות האחרונות ירדו ליגה.
ברוכוב
דב בר ברוכוב
מהלך השיכור
הילוך אקראי
מהלך שיכור
דב ברוכוב
WOH G64
WOH G64  הוא כוכב על-ענק אדום בגלקסיית ענן מגלן הגדול, גלקסיית לוויין של גלקסיית שביל החלב, בקבוצת הכוכבים הדרומית דג זהב. מרחקו של הכוכב מכדור הארץ הוא 168,000 שנות אור (50,000 פרסק), והוא מהכוכבים הגדולים ביותר שנצפו.
ל-WOH G64 רדיוס של 1,540 רדיוסי שמש או 1.07 מיליארד קילומטר, ונפחו גדול פי 3.65 מיליארד מנפח השמש. לו היה ממוקם במרכז מערכת השמש, היה מגיע עד מסלולו של כוכב הלכת צדק.
עונת 1968/1969 בליגה א'
עונת 1968/1969 בליגה א' הייתה העונה ה-13 של ליגה א' כליגה השנייה בחשיבותה בכדורגל בישראל.
על ניצחון במשחק הוענקו שתי נקודות ונקודה בודדת הוענקה על תיקו.
הליגה כללה 32 קבוצות, 16 קבוצות בכל בית. את העונה סיימו מכבי פתח תקווה ובית"ר תל אביב במקומות הראשונים והעפילו לליגה העליונה לקראת עונת 1969/1970. ארבע הקבוצות האחרונות ירדו ליגה.
רובן סוברינו
רובן סוברינו פוסלו (בספרדית: Rubén Sobrino Pozuelo; נולד ב-1 ביוני 1992) הוא כדורגלן ספרדי המשחק בקבוצת הכדורגל קאדיס כחלוץ.
קריירת מועדונים.
ביולי 2008, כשהיה בן 16, הצטרף סוברינו לקבוצת הנערים של ריאל מדריד ב'. בעונת 2011/2012 ערך סוברינו את הופעת הבכורה שלו בקבוצת ריאל מדריד ג' כששיחק 77 דקות נגד ראיו מחאדאונה.
ב-26 במאי ערך סוברינו את הופעת הבכורה שלו בריאל מדריד ב' כשנכנס כמחליף של חסה נגד אלצ'ה במשחק אשר הסתיים בתוצאה 1–1.
ב-7 באוגוסט 2014 עבר סוברינו לקבוצת ליגת הבוגרים של פונפראדינה. ב-28 באוגוסט 2015, הועבר למנצ'סטר סיטי תמורת 250,000 אירו ושכר של 200,000 אירו בשנה. מיד אחרי שעבר למנצ'סטר סיטי הוא הושאל לקבוצת הכדורגל ז'ירונה. ב-14 ביולי 2016 הושאל לעונה לדפורטיבו אלאבס. ב-6 ביולי 2017 חתם באופן קבוע בלאבס. ב-31 בינואר 2019 חתם לשלוש וחצי שנים בולנסיה. ב-31 בינואר 2021 הושאל לקאדיס עד לסוף העונה. ב-30 באוגוסט 2021 חתם באופן קבוע בקאדיס לשלוש שנים.
משמר האריות
מהריק&quot;ש
שושלת נישכיז
מרדכי מנישכיז
מטריצת לפלסיאן
בתורת הגרפים, מטריצת לפלסיאן (לעיתים מטריצת קירכהוף) היא מטריצת המתארת גרף. למטריצת הלפלסיאן שימושים רבים והיא מאפשרת למצוא תכונות שונות של גרפים. בין היתר באמצעות משפט קירכהוף ניתן לחשב את מספר העצים הפורשים בגרף. שימוש חשוב נוסף של מטריצת הלפלסיאן הוא בהקשר של גרפים מרחיבים, שבהם אי שוויון צ'יגר קושר בין הערך העצמי השני של מטריצת הלפלסיאן לחתך המינימלי בגרף.
הגדרות.
מטריצת הלפלסיאן עבור גרף "formula_1", שבו "formula_2" קודקודים היא מטריצה בגודל formula_3 המוגדרת כך:
כאשר:
כאשר עוסקים בגרף מכוון לעיתים נעשה שימוש בדרגת הקשתות הנכנסות ולעיתים נעשה שימוש בדרגת הקשתות היוצאות כתלות בשימוש.
התאים במטריצת formula_9 נתונים על ידי:
formula_10
כאשר formula_11 היא הדרגה של הקודקוד ה-"formula_12".
שתי מטריצות הנגזרות ממטריצת הלפלסיאן, מטריצת הלפלסיאן הסימטרית המנורמלת ומטריצת הלפלסיאן המנורמלת של מהלך אקראי, הן גרסאות מנורמלות של המטריצה, ולהן שימושים בהקשרים שונים.
מטריצת לפלסיאן סימטרית מנורמלת (symmetric normalized Laplacian matrix) מוגדרת כך:
formula_13,
התאים ב-formula_14 נתונים על ידי:
formula_15
מטריצת לפלסיאן מנורמלת של מהלך אקראי (random-walk normalized Laplacian matrix) מוגדרת כך:
formula_16
האיברים של formula_17 נתונים על ידי:
formula_18
דוגמה.
להלן דוגמה לגרף ולמטריצת הלפלסיאן שלו:
תכונות.
עבור גרף לא מכוון "formula_1", שמטריצת הלפלסיאן שלו היא "formula_9" עם ערכים עצמיים formula_21:
מטריצת החילה.
עבור גרף formula_35, שבו formula_36 הם קבוצת הקודקודים ו-formula_37 היא קבוצת הקשתות, מטריצת החילה (Incidence matrix) formula_38 היא מטריצה בגודל formula_39 שהתא ה-formula_40 עבור formula_41 ו-formula_42 נתון על ידי:
ניתן לחשב את מטריצת הלפלסיאן ממטריצת החילה באופן הבא:
כאשר formula_45 הוא שחלוף השורות והעמודות של "formula_38".
הפירוק לווקטורים עצמיים של מטריצת הלפלסיאן formula_9, עם וקטורים עצמיים עם גודל יחידה formula_48 וערכים עצמיים formula_49:
מאחר ש-formula_49 יכול להיכתב כמכפלה פנימית של הווקטור formula_52 עם עצמו, זה מראה כי formula_25 ולכן כל הערכים העצמיים של formula_9 הם לא שליליים.
מטריצת לפלסיאן סימטרית מנורמלת.
מטריצת לפלסיאן (סימטרית) מנורמלת מוגדרת כך:
כאשר "formula_9" היא מטריצת לפלסיאן, "formula_6" היא מטריצת שכנות ו-"formula_5" היא מטריצת הדרגות. מאחר שמטריצת הדרגות "formula_5" היא אלכסונית וחיובית, השורש ההופכי שלה formula_60 הוא מטריצה אלכסונית שבה הערכים לאורך האלכסון הם ההפכים של השורשים של הערכים על האלכסון של "formula_5".
ניתן לחשב אותה כך: formula_62, כאשר "formula_63" היא מטריצה שבה השורות מאונדקסות על יד הקודקודים והעמודות על פי הקשתות של הגרף כך שבעמודה המתאימה לקשת formula_64, התא בשורה "formula_65" הוא הוא בעל ערך formula_66, ובשורה המתאימה ל-"formula_67" הוא בעל ערך formula_68, ו-0 ביתר התאים. (הערה: formula_69 מייצג את השחלוף של "formula_63").
כל הערכים העצמיים של מטריצת הלפלסיאן המנורמלת ממשים ואי שליליים. אפשר להראות זאת כך: מאחר ש-formula_14 היא סימטרית, הערכים העצמיים בה ממשיים. בנוסף הם אי שליליים: עבור הווקטור העצמי "formula_72" של formula_14 עם הערך העצמי המתאים formula_74 ונניח כי formula_75. (אפשר לחשוב על "formula_72" ו-"formula_77" כפונקציות ממשיות על הקודקודים "formula_67".) אז:
כאשר משתמשים במכפלה הפנימית formula_80, סכום כל הקודקודים "formula_67", ו-formula_82 מסמן סכום על כל הזוגות הלא סדורים של קודקודים סמוכים "formula_83". הסכום
formula_84
נקרא סכום דיריכלה של "formula_77" כאשר הביטוי
formula_86
נקרא מנת רייליג (Rayleigh quotient) של "formula_72".
תהא 1 פונקציה המניחה את הערך 1 עבור כל קודקוד. אז formula_88 הוא פונקציה עצמית שלformula_14 עם ערך עצמי 0.
הערכים העצמיים של מטריצת הלפלסיאן הסימטרית המנורמלת מקיימים "formula_90". ערכים עצמיים אלו ידועים כספקטרום של מטריצת הלפלסיאן המנורמלת.
מטריצת לפלסיאן מנורמלת של מהלך אקראי.
מטריצת לפלסיאן מנורמלת של מהלך אקראי, מוגדרת כך:
כאשר "formula_5" היא מטריצת דרגות. מאחר שמטריצת הדרגות "formula_5" היא אלכסונית, המטריצה ההופכית שלה formula_94 היא מטריצה אלכסונית גם כן, שהערכים על האלכסון שלה הם ההופכיים של האיברים המתאימים להם ב-"formula_5".
עבור קודקודים מבודדים (בעלי דרגה 0), נהוג להגדיר את האיבר המתאים formula_96 ל-0.
התוצאה של הגדרה כזו היא תכונה יפה שמספר הערכים העצמיים שערכם הוא 0 שווה למספר רכיבי הקשירות בגרף.
איברי המטריצה formula_97 נתונים על ידי:
השם מטריצת לפלסיאן מנורמלת של מהלך אקראי בא מהעובדה כי מטריצה זו היא פשוט מטריצת המעברים של מהלך מקרי בגרף. לדוגמה formula_99 וקטור הבסיס הסטנדרטי ה-i, אז formula_100 הוא וקטור הסתברות המתאר את ההתפלגות של מיקום מהלך אקראי לאחר צעד אחד מהקודקוד formula_12, כלומר formula_102.
באופן כללי יותר אם formula_103 הוא התפלגות של מיקום מהלך אקראי בקודקודי הגרף אז formula_104 היא ההתפלגות של מיקום מהלך אקראי לאחר formula_105 צעדים.
ניתן לראות כי: