לוקחים את הזוג הגדול ביותר שעוד לא "טופל" ומצמידים אותו מימין לשארית מהסבב הקודם. (בשלב הראשון השארית היא 0) – נסמן את החיבור הזה ב-Y.&lt;BR&gt;
בכל שלב מחפשים את הספרה a הגדולה ביותר המקיימת: formula_11
רושמים את הספרה a מעל לזוג המתאים והשארית החדשה היא:formula_12
דוגמה לחישוב:
formula_13
הוצאת שורש מודולרית.
מציאת השורש ריבועי של מספר נתון מודולו מספר אחר היא בעיה שכיחה בהצפנה מודרנית. לדוגמה במציאת השורש של 37 מודולו 63, הבעיה היא למצוא שלם formula_3, המקיים formula_15. הצעד הראשון לפתרון הבעיה הוא פירוקה לגורמים לפי משפט השאריות הסיני: formula_16, ולכן עלינו למצוא מספר שיקיים בו זמנית את שתי המשוואות formula_17 ו- formula_18. למעשה, היכולת להוציא שורשים מודולו n שקולה, מבחינה חישובית, ליכולת לפרק את n לגורמים ראשוניים (ראו שיטת רבין).
אם formula_19 הוא חזקה של מספר ראשוני, הוצאת שורש מודולו n קשה בערך כמו הוצאת שורש מודולו p עצמו. המעבר החישובי משורש מודולו p לשורש מודולו n נעשה באינדוקציה על k, כמו בלמה של הנזל. לא לכל מספר קיים שורש מודולו n; אם p אי זוגי, אז שורש כזה קיים מודולו n אם ורק אם הוא קיים מודולו p - וכאשר יש למספר (שונה מאפס) שורש, יש לו בדיוק שניים. אם n הוא חזקת 2, אז קיים לו שורש אם ורק אם קיים שורש מודולו 8, ואם קיים שורש אז קיימים בדיוק ארבעה. (לפרטים בנושא זה, ראו חבורת אוילר).
הוצאת שורש ריבועי מודולו מספר ראשוני formula_20 (אי-זוגי), מתחלקת לשני מצבים. אם formula_21 אז formula_22, ולכן formula_23 הוא שורש של formula_2 או של formula_25 (רק לאחד מהם יש שורשים). המקרה השני, כאשר formula_26, יותר מסובך.
הוצאת שורש בשדה סופי.
נניח ש- formula_27 הוא השדה הסופי בן q איברים. החבורה הכפלית של השדה היא בת q-1 איברים. אם q הוא חזקת 2, לפי משפט לגראנז', formula_28 הוא שורש של a. אם q אי זוגי המצב דומה להוצאת שורש מודולו ראשוני (אף על פי שהוצאת שורש בשדה בגודל 27 היא משימה אחרת מהוצאת שורש מודולו 27).
הוצאת שורש בשדות מספרים.
לפעמים רוצים לחשב את השורש של מספר שאיננו רציונלי, כגון formula_29, באופן מדויק, ולקבל תשובה מאותה צורה (ולא רק מספר עשרוני, שהוא פתרון מקורב). זוהי בעיה קשה באופן כללי, אבל במקרים מסוימים אפשר לפתור אותה בקלות יחסית. הכלי המרכזי במקרה זה הוא הנורמה, שמוגדרת במקרה של השדה formula_30 לפי הנוסחה formula_31.
מכיוון ש- formula_32, ברור שהשורש formula_33 (אם קיים שורש מצורה זו) יהיה בעל נורמה formula_34 או formula_35, כלומר, formula_36 מצד שני, השורש מקיים formula_37, או formula_38. מחיבור וחיסור שתי המשוואות על formula_39 מקבלים שהנורמה היא דווקא 211, formula_40 והשורש הוא formula_41.
שורש ממטריצה חיובית או אופרטור.
לא לכל מטריצה קיים שורש מעל שדה המספרים הממשיים: יש מטריצות A עבורן לא ייתכן ש- formula_42. לעומת זאת, אם A היא מטריצה חיובית, אפשר למצוא את השורש (הריבועי, ומכל סדר) על ידי לכסון אורתוגונלי והוצאת השורש מן המטריצה האלכסונית המתקבלת.
ישיבת עץ חיים
ישיבת עץ חיים היא ישיבה ותיקה של היישוב הישן בירושלים, הכוללת תלמוד תורה, ישיבה וכולל.
היסטוריה.
בי"ח בסיוון ה'תר"א (יוני 1841) נוסד תלמוד תורה "עץ חיים" בידי הרב שמואל סלנט. כיתות הלימוד פוזרו בין חדרים שונים ברחבי העיר העתיקה. רק בתרי"ז (1857) רוכזו התלמידים לקבוצת מבנים סמוכים בחצר בית הכנסת החורבה, יחד עם בית הדין של ירושלים, ולתלמוד תורה ניתן השם "ישיבת עץ חיים".
הרעיון החדשני המרכזי היה הקמת מסלול לימודים המתחיל מגיל צעיר ומסתיים לאחר הנישואין, מסלול הבנוי ממסגרות תלמידים בעלי אותה יכולת הלומדים יחדיו. הדבר היווה חידוש לעומת השיטה שהייתה קיימת עד אז בירושלים האשכנזית לפיה מספר אבות שכרו "מלמד" שילמד את ילדיהם. הילדים למדו בצוותא באחד מחדרי הבית או בביתו של המלמד ללא חלוקה לרמות ותוך לימוד משותף של בעלי יכולות וגילאים שונים בצוותא. המוסד חולק לתלמוד תורה בו למדו עד גיל 15, ישיבה אמצעית "עיטור רבנים", וישיבה גדולה שהייתה למעשה כולל אברכים. בישיבה הגדולה למדו גם מבוגרים, והיו שלמדו שם עד סוף חייהם, כמו הרב משה יהושע לנדא, הרב חיים דרוק, הרב נחום יצחק פרנק והרב זאב (וועלוועל) צ'צ'יק.
נשיאי המוסד היו הרב ישעיה ברדקי, הרב שמואל סלנט, הרב משה יהודה לייב זילברברג מקוטנא והרב שמעון זרחי מטבריג.
ראשי הישיבה היו בהקמתה הרב שמואל סלנט, הרב משה נחמיה כהניו. משנת תרי"ז עד תרכ"ה כיהן גם הרב משה יהודה לייב מקוטנא ולאחר פטירת הרב כהניו כיהן הרב אליעזר דן רלב"ג (תרמ"ז-תרנ"ה).
ראש המלמדים היה הרב חיים מן, ששימש גם כנשיא 'ועד איחוד המלמדים'. בנו, הרב יהודה לייב מן, היה מזכיר תלמוד התורה ואחד המלמדים. בין המלמדים הידועים: הרב אליהו יוסף שמואל בסן, יקיר ירושלים, הרב חיים יהודה יעקבזון (מחבר הספרים "שיטת החינוך" ו"למשמעות") והרב אברהם חיים הקלמן.
בסוף ימיו מינה הרב סלנט את הרב יחיאל מיכל טוקצינסקי, בעלה של נכדתו, לראש ולמנהל הישיבה. בשנת תרס"ח (1908) יזם הרב טוקצינסקי רכישת קרקע גדולה ברחוב יפו להקמת סניף של הישיבה. עם הקמת בנייני הישיבה במרכז העיר, הוקם במקום גם כולל, ששימש בעיקר את בוגרי הישיבה.
לאחר חיכוכים רבים בין לומדי הישיבה להנהלתה, בה טענו הראשונים כי הם משתכרים פחות מהמורים בתלמוד תורה, קבע הרב צבי פסח פרנק כי יש לשמור על מספר זהה של נציגי בני הישיבה ושל מורי התלמוד תורה בוועד הישיבה, על מנת לשמור על שוויון בהחלטות המתקבלות לטובת כל הצדדים.
הרב איסר זלמן מלצר שעלה לארץ ישראל בשנת תרפ"ה (1925) נתמנה לעמוד בראשות הישיבה עד יום מותו, והרב אריה לוין נתמנה לכהן בתלמוד תורה של הישיבה כמשגיח. לאחר פטירת הרב מלצר נתמנה חתנו הרב אהרן קוטלר לעמוד בראשה, ובתקופות בהן שהה בארץ ישראל מסר בה שיעורים שבועיים. לאחר פטירתם, נתמנה הרב שלמה זלמן זלזניק ואחריו בנו הרב אברהם יעקב זלזניק. במשך שנים רבות מסר בה שיעורים שבועיים הרב אלעזר מנחם מן שך.
בראשית ימי המדינה הונף דגל ישראל בשער המוסדות ביום העצמאות, דבר שעורר תרעומת של חלק מתלמידי הכולל.
בישיבה הקטנה (ה"אמצעית", עיטור רבנים) כיהנו הרב מרדכי דוד לוין, שמסר בה שיעורים כ-45 שנה, עד פטירתו בתשכ"ז (1967) לצד הרב שמואל גדליה ניימן מחבר הספר "גידולי שמואל" והרב ישעיה וינוגרד מחבר הספר "שערי זיו". כמו כן, הרב נטע פריינד כיהן בה כר"מ בכיתה הגבוהה.
לאחר פטירת הרב יחיאל מיכל טוקצינסקי ניהל את המוסדות בנו, הרב ניסן אהרון טוקצינסקי, במשך כחמישים שנה, עד לפטירתו בה'תשע"ב.
בהווה.
במסגרת התלמוד תורה לומדים בבניין המוסדות מעל 500 תלמידים, כמו כן פועלים סניפים נוספים של התלמוד תורה, בשכונת גבעת שאול בירושלים ובביתר עילית. כולל האברכים הוותיק מתקיים גם הוא במרכז המוסדות, אליו נוספו עוד שני כוללי אברכים ללימודי הוראה ודיינות במודיעין עילית ובביתר עילית. בשנת תשע"ג חזרה הישיבה הקטנה לפעול כישיבה רגילה, לאחר שעמדה על סף סגירה.
מבנה הישיבה ברחוב יפו נרכש על ידי יזמים במטרה לבנות במקום מתחם חנויות, משרדים, מלון בוטיק ומבני מגורים, לצד שימור חזיתות מבנה הישיבה. ביולי 2010 נערך בישיבה מעמד פרידה היסטורי מהבניין.
אז עברו למקום זמני בשכירות במרכז מוסדות זווהיל ברחוב שמואל הנביא בירושלים, חצי שנה לאחר מכן, במרץ 2011, רכשה הנהלת הישיבה את מתחם למל העתיק ברחוב ישעיהו בירושלים, ששימש עד אז כתלמוד תורה רוז'ין, לשם עברו המוסדות.
מבני הישיבה.
בראשית המאה ה-20 רכשה הישיבה את המגרש הגדול ברחוב יפו בסמוך לשכונת מחנה יהודה. כדי לנצל את מיקומו של המגרש על הדרך הראשית לירושלים בנתה הישיבה, מכספי תרומות, מבנה חנויות על גבול המגרש ברחוב יפו. מאוחר יותר בנתה הישיבה מבנה חנויות נוסף הפונה לשוק מחנה יהודה. החנויות נבנו כמקור הכנסה לישיבה ונהרסו בשנת 2002 כדי לאפשר את מעבר הרכבת הקלה ברחוב יפו. מיזם נוסף שנבנה כדי לממן את פעולות הישיבה הוא שכונת עץ חיים שבסמוך לגשר המיתרים.
מבנה הישיבה עצמה הושלם רק בשנת 1936 על פי תוכניות של האדריכל דב זוננפלד. המבנה בן שתי הקומות נבנה בצורה סימטרית ייצוגית מאבן אדמדמה. הבניין נכלל ברשימת המבנים לשימור של עיריית ירושלים מאז סוף שנות ה-80. בשנת 2007 ריחף על המבנה איום הריסה מצד יזמים שביקשו לפנות מקום לחנויות ומשרדים. הוועדה המחוזית לתכנון ולבנייה קיבלה את הערעור שהגישה המועצה לשימור אתרי מורשת בישראל יחד עם גופי שימור נוספים וקבעה כי המבנה לא ייהרס. בשנת 2008 נמכר המתחם (ששטחו 6.3 דונם) תמורת 15 מיליון דולר, לטובת הקמת מגדל בתכנון האדריכל האמריקאי איאן ביידר, ממשרד איי אם פיי. המכירה הותנתה בשימור מסוים של המבנה ההיסטורי.
מכירת נכסי הקדש עץ חיים.
במרץ 2019 פרסם יהודה יפרח תחקיר נרחב בעיתון מקור ראשון אודות נכסי ההקדש של ישיבת עץ חיים ומוסדותיה. על פי התחקיר, מכרו נאמני ההקדש את נכסיו לגורמים עלומי-שם בשליטתם או בשליטת מקורביהם במחיר נמוך, בנימוק שהגירעונות הכספיים של ההקדש מחייבים מכירה של נכסיו. הרוכשים מכרו הלאה את הנכסים במחיר האמיתי וכך הרוויחו מיליוני שקלים לכיסם.