חבריו של פרלמן תארו אותו כאדם סגור למדי מאז ומתמיד. אולם לפני שהוכיח את ההשערה לא היה פרלמן מנותק מהעולם. הוא קיים קשרים חברתיים ומקצועיים עם מספר מתמטיקאים. בשנים שבהן עבד על ההשערה הוא היה מרוכז כמעט לחלוטין בה אך שמר עדיין על קשרים אלו. בשנתיים הראשונות לאחר שהוכיח את ההשערה המשיך לתקשר עם מתמטיקאים רבים ואף הסכים לשוחח עם עיתונאים. אולם בשנים לאחר מכן החל פרלמן להתבודד מהעולם ולנתק כמעט כל קשר שהיה לו. אף על פי שהתהילה הגדולה שזכה לה, אפשרה לו למצוא בקלות עבודה מכניסה מאוד, הוא נשאר לחיות בעוני בדירה קטנה בסנקט פטרבורג. יתר על כן, בסוף שנת 2005 התפטר מעבודתו, והודיע לקומץ חבריו שהחליט להפסיק לעסוק במתמטיקה.
הפולמוס סביב התנהגותם של יאו ותלמידיו בנושא.
ביוני 2006 פרסמו האו דונג קאו ושי-פינג ז'ו מאמר בז'ורנל האסייתי למתמטיקה תחת הכותרת "הוכחה שלמה של השערת הגאומטריזציה - יישום של תורת זרימת ריצ'י של המילטון-פרלמן". המאמר פורסם ביוזמת העורך הראשי של כתב העת שינג טונג יאו מורם של השניים, תוך כדי שהוא עוקף את יתר העורכים. בדומה למאמרים קודמים מאמר זה מציג הוכחה מפורטת להשערה המבוססת על עבודותיו של פרלמן, אך בשונה משאר המאמרים שעשו כן, כותרת המאמר והתקציר שלו, מציגים את המאמר כהוכחה ולא כהצגה מפורטת של הוכחה קיימת. בנוסף, במאמר הם העתיקו הסברים שפרסמו קודם לכן קלינר ולוט לחלק מהפרטים החסרים אצל פרלמן ללא שציינו את קלינר ולוט.
התנהלותו של יאו (חתן מדליית פילדס) ושל תלמידיו גררה ביקורת קשה. הפרשה חרגה מגבולות הקהילה המתמטית כאשר באוגוסט 2006 התפרסם מאמר בניו יורקר מאת סילביה נזר ודויד גרובר הסוקר את הפרשה ומאשים את יאו בניסיון ליחס לו ולתלמידיו קרדיט על ההוכחה.
במאמר בניו יורקר נטען כי במסיבת עיתונאים בסין, תיאר יאו איך הוא רואה את חלוקת הקרדיט עבור הוכחה: 50% להמילטון כ־25% לפרלמן ו-30% ליאו ותלמידיו (הסכום לא 100 במקור). המאמר גם מאשים את יאו בהתנהגות דומה במקרים אחרים.
יאו התנער מההאשמות כלפיו. טען שהציטוט ממסיבת העיתונאים מפוברק, שמעולם לא ניסה לנכס לעצמו או לתלמידיו קרדיט על ההוכחה, ושמעולם לא טען שבהוכחה של פרלמן יש חורים אלא רק שהיא לא ברורה דיה ויש חשיבות להשלמת הפרטים. יאו אף איים לתבוע את הניו-יורקר.
מספר מתמטיקאים כתבו מכתבי תמיכה ביאו. ביניהם גם המילטון, שכתב מכתב שמשבח את תרומתו של יאו לתוכנית להוכחת ההשערה עוד בשנות ה-80, מתאר מספר מקרים בהם יאו התנהג בצורה הגונה ואף סירב לקחת קרדיט כאשר הרגיש שלא תרם מספיק לתוצאה מסוימת. המילטון גם כותב שיאו תמך בהענקת מדליית פילדס לפרלמן ושלמיטב ידיעתו יאו מעולם לא טען שמגיע לו או לאיש מלבד פרלמן והמילטון קרדיט על ההוכחה.
בדצמבר 2006 פרסמו קאו וז'ו ב-arXiv גרסה מעודכנת של מאמרם שבה הם נותנים את מלוא הקרדיט על ההוכחה להמילטון ופרלמן, ומתנצלים על כך שלא התייחסו לקלינר לוט כשהשתמשו בתוצאותיהם. כמו כן הם פרסמו אראטום בז'ורנל האסייתי למתמטיקה באותו החודש. המאמר המקורי הוסר מכתב העת באותו הזמן.
זכיתו של פרלמן במדליית פילדס.
מדליית פילדס מחולקת בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים המתקיים אחת לארבע שנים. הפעם הראשונה בה הקונגרס התכנס לאחר פרסומיו של פרלמן הייתה באוגוסט 2006. באותה העת היה קונצנזוס בקהילה המדעית על כך שעבודותיו של פרלמן משמעותיות, אך שלמותה של ההוכחה עדיין לא התבררה באופן סופי. ועדת פרס פילדס לשנת 2006 בראשות נשיא האיגוד המתמטי הבינלאומי ג'ון באל החליטה להעניק לפרלמן את המדליה "על תרומתו לגאומטריה ותובנותיו המהפכניות למבנה האנליטי והגאומטרי של זרימת ריצ'י". בהודעה לתקשורת על זכייתו, הם מציינים את הוכחתו של פרלמן להשערת פואנקרה והשערת הגאומטריזציה ואת העובדה שבזמן שעבר לא נמצאו בה חוסרים משמעותיים, אך גם את העובדה שתהליך הבדיקה טרם הסתיים. פרלמן סירב לקבל את המדליה. הייתה זו הפעם הראשונה שמתמטיקאי סירב לקבל פרס זה. לצדו של פרלמן זכו במדליית פילדס באותה שנה עוד שלושה מתמטיקאים על עבודות בתחומים שונים במתמטיקה.
זכיתו של פרלמן בפרס קליי.
על פי תקנון פרס קליי, על מנת שפתרון ייבחן על ידי מכון קליי צריכים להתקיים התנאים הבאים:
המכון אינו דורש שהפרסום יתבצע על ידי פותר הבעיה. כשנתיים לאחר פרסום מאמריהם של קלינר לוט מורגן וטיאן מינה המכון ועדה שבחנה את זכאותו של פרלמן לפרס. הוועדה כללה את סיימון דונלדסון, דויד גבאי, מיכאיל גרומוב, טרנס טאו ואנדרו ויילס. בשנת 2010 קבעה הוועדה כי פרלמן הוכיח את ההשערה וזכאי לפרס. החלטת הוועדה אושרה על ידי המועצה המדעית של מכון קליי (ג'יימס קארלסון, סיימון דונלדסון, גרגורי מרגוליס, ריצ'רד מלרוז, יום-טונג סיו ואנדרו ויילס).
במרץ 2010 פרסם המכון הודעה על זכייתו של פרלמן. פרלמן התלבט כשלושה חודשים האם לקבל את הפרס. לבסוף לקראת טקס הענקת הפרס הודיע פרלמן שהוא דוחה את הפרס. לא ברור מה ההסבר שנתן פרלמן. מקורות שונים מציינים הסברים שונים. חלקם נותנים את ההסבר הסתום "הסיבה העיקרית היא חוסר הסכמה עם הקהילה המתמטית. לא מוצאות חן בעיני ההחלטות שלהם, אני מוצא אותן לא הוגנות" אחרים מוסיפים הסבר מפורט יותר: "אני רואה בתרומתו של המתמטיקאי האמריקאי המילטון לפתרון הבעיה לא פחותה משלי"
השערת פואנקרה כמקרה מבחן לקשר בין תורות גאומטריות.
תחומים שונים בגאומטריה עוסקים במחלקות שונות של אובייקטים גאומטריים. לכל תחום יש את מחלקת האובייקטים שבה הוא עוסק ואת המניפולציות שאפשר לבצע על האובייקטים מבלי שנחשיב אותם לשונים. בשפה של תורת הקטגוריות לכל תחום מתאימה קטגוריה. התחום חוקר את האובייקטים בקטגוריה המתאימה, ושני אובייקטים נחשבים לשקולים אם הם איזומורפיים בקטגוריה המתאימה.
לעיתים כל אובייקט מתחום אחד מהווה גם אובייקט מתחום אחר. לדוגמה כל יריעה חלקה, מהווה גם יריעה טופולוגית וכל יריעה טופולוגית מהווה גם מרחב טופולוגי. בשפה של תורת הקטגוריות מצב כזה אומר שיש פונקטור שוכח בין הקטגוריות המתאימות.
פונקטורים שוכחים הם בדרך כלל נאמנים. אם נתון פונקטור שוכח נאמן formula_75 אפשר לראות באובייקטים ב - formula_76 בתור אובייקטים ב-formula_77 המצוידים במבנה נוסף ומקימים תכונות מסוימות.
לעיתים לא נדרש שום מבנה נוסף. בכזה מקרה הפונקטור השוכח הוא פונקטור מלא וניתן לחשוב על formula_76 בתור תת-קטגוריה מלאה ב-formula_77. זה המצב לדוגמה במקרה של הפונקטור השוכח בין יריעות טופולוגיות למרחבים טופולוגיים. לעיתים התנאים הנוספים שנדרשים מערבים רק את המבנה הנוסף, כך שעל כל אובייקט מ-formula_77 קיים מבנה של אובייקט מ-formula_76. בכזה מקרה הפונקטור הוא פונקטור סוריקטיבי עקרונית ואפשר לחשוב על formula_76 בתור תת-קטגוריה רחבה של formula_77. זה המצב לדוגמה במקרה של הפונקטור השוכח בין מרחבים טופולוגיים לקבוצות.
בהינתן פונקטור שוכח formula_75 אפשר לשאול את שתי השאלות הבאות:
ניתן לנסח את שתי שאלות אלה באופן הבא: פונקטור formula_75 משרה העתקה formula_91 בין אספי מחלקות האיזומורדיזם של הקטגוריות המתאימות.
לא תמיד יש עינין בשאולת אלה. לדוגמה
אולום במקרים רבים שאלות אלה הן קשות ומענינות מאוד.
אחת הקטגוריות הבסיסיות בטופולוגיה גאומטרית היא קטגורית היריעות הטופולוגיות הקומפקטיות. אחת הקטגוריות הבסיסיות בטופולוגיה אלגברית היא קטגורית הטיפוסים ההומוטופיים. הספירות מהוות אובייקטים יסודי בשתי קטגוריות אלה.
השערת פואנקרה עוסקת בשאלה השנייה עבור הפונקטור השוכח בין קטגוריות אלה במקרה הפרטי של הספירה התלת-ממדית. כשההשערה נוסחה, הספירה התלת ממדית הייתה הספירה מהמימד הנמוך ביותר עבורה ההשערה לא הייתה ידועה. היא גם הייתה האחרונה שעבורה נפתרה ההשערה. באופן כללי, שאלה זאת עדיין פתוחות בשביל אובייקטים כללים בקטגוריות אלה.
השערת פואנקרה ובעיית המרחב.
מספר מקורות, בניסיון להנגיש את השערת פואנקרה, מנסים לקשר בין ההשערה לבעיית תיאור היקום שלנו. אולם קשר זה רופף ביותר, מהסיבות הבאות:
עם כל זאת, הספירה בכלל והספירה התלת ממדית בפרט הן מהדוגמאות הבסיסיות לירעות. זה אחד ממקורות העינין בהשערת פואנקרה. מודלים רבים המתארים את מבנה היקום מתבססים על הספירה התלת-ממדית בצורה זאת או אחרת.
מאמץ כפיפה
זלצבורג (מדינה)
מדינת זלצבורג (בגרמנית: Salzburg; מילולית: "טירת המלח") היא אחת מתשע המדינות המרכיבות את אוסטריה. היא ממוקמת במרכז אוסטריה, סמוך לגבולה עם גרמניה. אוכלוסייתה מונה כ-530,000 תושבים, והיא משתרעת על שטח של 7,154 קמ"ר. עיר בירתה היא זלצבורג, שהיא גם מחוז בפני עצמו במדינה. המדינה גובלת במדינות האוסטריות אוסטריה עילית ממזרח, שטיריה ממזרח, קרינתיה מדרום, וטירול ממערב ומדרום, בגרמניה (המדינה הגרמנית בוואריה) מצפון, ובאיטליה (האזור האוטונומי דרום טירול) מדרום.
חלוקה מנהלית.
זלצבורג מחולקת לחמישה מחוזות (הנקראים בגרמנית Bezirke ובניב המקומי Gaue), ועיר מחוז אחת.
גאוגרפיה.
הנהר הראשי במדינה הוא זלצך, המתחיל בהרי האלפים וזורם מדרום לצפון לכיוון בוואריה, שם הוא מתחבר לנהר אין הזורם לדנובה. בדרום המדינה משתרעים הרי האלפים, ובהם נמצאים גם ההרים דאכשטיין וגרוסגלוקנר.
בשטח מדינת זלצבורג נמצאת העיירה באד הופגאסטיין הידועה באתר סקי שלה ומעיינות המרפא שלה והעיירה פלכאו הידועה באחד מאתרי הסקי הגדולים באירופה.
היסטוריה.