באלגברה מופשטת, חבורה למחצה (נקראת גם: אגודה) היא מבנה אלגברי הכולל קבוצה ופעולה בינארית אסוציאטיבית. חבורה למחצה שיש לה, בנוסף, איבר יחידה, היא מונואיד. העבודות הראשונות על חבורות למחצה הן של P. Hoyer ב-1902 ו-J.A. de Seguier ב-1904
דוגמאות.
חבורות למחצה מסתתרות בתוך מבנים אלגבריים מסוגים שונים: כל מונואיד הוא חבורה למחצה, ובפרט, כל חבורה היא חבורה למחצה. אוסף האיברים בחוג הוא חבורה למחצה (ביחס לפעולת הכפל), גם כאשר זהו חוג בלי יחידה. כל אידיאל בחוג הוא חבורה למחצה (ביחס לכפל).
יש 5 חבורות למחצה (עד כדי איזומורפיזם) מסדר 2, 24 מסדר 3, 188 מסדר 4 ו-1915 מסדר 5 .
איברים מיוחדים.
בחבורה למחצה אפשר להגדיר איבר יחידה מימין (איבר formula_1 המקיים את היחס formula_2 לכל formula_3) ואיבר יחידה משמאל (איבר המקיים את היחס formula_4 לכל formula_3). בחבורה למחצה יכולים להיות כמה איברי יחידה מימין, או כמה איברי יחידה משמאל, אבל אם יש בה איבר יחידה מימין ואיבר יחידה משמאל, אז הם מוכרחים להיות שווים זה לזה. חבורה למחצה שיש בה איבר יחידה נקראת מונואיד. במונואיד אפשר למיין איברים לפי תכונות חד-צדדיות. איבר formula_6 הוא ההפכי מימין של formula_7 אם formula_8, והוא ההפכי משמאל של formula_7 אם formula_10. יחסים אלה אינם נובעים זה מזה באופן כללי, ובמונואידים מסוימים יש איברים הפיכים מימין (או משמאל), שאינם הפיכים. מאידך, אם יש לאיבר formula_7 גם הפכי מימין וגם הפכי משמאל, אז הם שווים זה לזה, והאיבר הפיך; במקרה כזה, מסמנים את ההפכי ב- formula_12. אוסף האיברים ההפיכים במונואיד סגור לכפל (בגלל התכונה formula_13), והוא מהווה לכן חבורה. איבר formula_14 המקיים formula_15 לכל formula_3, נקרא איבר אפס.
יחסי גרין מוליכים למיון של אברי החבורה לפי האידיאלים (הימניים, השמאליים והדו-צדדיים) שהם יוצרים. שלא כמו בחבורות או חוגים, המנה של חבורה למחצה מעל אידיאל (דו-צדדי) מתקבלת מכיווץ האידיאל לאיבר אחד, כששאר האיברים נשארים נבדלים כשהיו.
אידמפוטנטים.
איבר formula_17 בחבורה למחצה, המקיים את הזהות formula_18, נקרא אידמפוטנט. בחבורה יש רק אידמפוטנט אחד (הלא הוא איבר היחידה), אבל בחבורות למחצה יש בדרך כלל אידמפוטנטים רבים, ואפשר ללמוד מהם רבות על המבנה שלה. את אוסף האידמפוטנטים בחבורה-למחצה formula_19 מקובל לסמן ב- formula_20. בין האידמפוטנטים מוגדר יחס שקילות: formula_21 אם קיימים formula_22 כך ש- formula_23 ו- formula_24 (היחס טרנזיטיבי משום שאם formula_25 ו-formula_26, אז formula_27 ו-formula_28). אידמפוטנט e הוא פרימיטיבי אם לא קיים אידמפוטנט אחר f שעבורו fe=ef=f.
אחת הדרכים לפענח את המבנה של חבורה למחצה היא דרך תת-החבורות שלהן, שהן חבורות-למחצה המוכלות במבנה המקורי, ומהוות, כשלעצמן, חבורות. איבר היחידה של כל תת-חבורה כזו הוא אידמפוטנט.
כל חבורה למחצה בת-מניה אפשר לשכן בחבורה למחצה הנוצרת על ידי שלושה אידמפוטנטים. אם הראשונה סופית, אפשר להניח שגם האחרונה כזו.
חבורה למחצה שכל אבריה אידמפוטנטים היא סופית-מקומית. חבורה למחצה קומוטטיבית שכל אבריה אידמפוטנטים נקראת גם סריג למחצה.
הפכיים.
במונואיד, אוסף האיברים ההפיכים מהווה חבורה. בחבורה למחצה, בהיעדר איבר יחידה, לא ניתן אפילו להגדיר את המושג 'איבר הפיך' - ועל-כן מסתפקים במושג חלש יותר: formula_29 הוא הפכי (או הפכי חלש) של formula_3 אם formula_31 ו-formula_32 (זהו כמובן יחס סימטרי). ייתכן שלאותו איבר יהיו הפכיים רבים. אם formula_29 הפכי של formula_3, אז formula_35 ו-formula_36 שניהם אידמפוטנטים. אידמפוטנטים הפוכים זה לזה הם שקולים.
חבורות למחצה אינסופיות.
כל חבורה למחצה אינסופית כוללת תת-חבורה למחצה אינסופית מאחד הטיפוסים הבאים:
ממילא, כל חבורה למחצה קומוטטיבית אינסופית כוללת תת-חבורה למחצה אינסופית מאחד הטיפוסים הנ"ל למעט (5); וכל חבורה למחצה נילית כוללת תת-חבורה למחצה אינסופית מטיפוס (6).
חבורות למחצה רגולריות.
חבורה למחצה היא רגולרית, אם לכל איבר formula_7 קיים איבר formula_6, שעבורו formula_39 (ראו גם חוג רגולרי פון-נוימן). במקרה כזה האיבר formula_40 הוא הפכי של formula_41, ולכן אפשר גם להגדיר: חבורה למחצה היא רגולרית, אם כל האיברים בה הפיכים.
לדוגמה, החבורה למחצה של כל הפונקציות מקבוצה אל עצמה היא רגולרית. אלגברת המטריצות formula_42, מעל כל שדה, היא חבורה-למחצה רגולרית. אם formula_43 אלגברה ממימד סופי, אז החבורה-למחצה של כל האיברים (ביחס לכפל) היא רגולרית אם ורק אם האלגברה פשוטה למחצה. אם formula_44 חבורה אלגברית מעל שדה סגור אלגברית formula_45, אז סגור זריצקי שלה, שהוא תת-חבורה-למחצה של formula_42, הוא רגולרי אם ורק אם החבורה רדוקטיבית.
רצועות.
חבורה-למחצה formula_19 שכל אבריה הם אידמפוטנטים נקראת "רצועה" (band). אם formula_19 סופית, כל מודול אי-פריק של FS הוא חד-ממדי. כל רצועה היא רגולרית (כל איבר הפכי לעצמו).
רצועה המקיימת את הזהות formula_49 נקראת "רצועה רגולרית משמאל" (left-regular band). לרצועות רגולריות יש שימושים בחקירת הילוכים על מבנים גאומטריים כגון אוסף התאים הנוצר מחלוקת המרחב באמצעות על-מישורים.
חבורה למחצה הפיכה.
חבורה למחצה שבה לכל איבר יש הפכי יחיד (במובן שהוגדר לעיל), נקראת חבורה למחצה הפיכה (inverse semi-group). בחבורה-למחצה כזו מקובל לסמן את ההפכי של formula_3 בסימון formula_51. אם שני אידמפוטנטים formula_52 בחבורה-למחצה כזו הם שקולים, אז קיים איבר formula_3 כך ש-formula_54 ו-formula_55.
משפט. חבורה למחצה היא הפיכה אם ורק אם היא רגולרית, וכל האידמפוטנטים מתחלפים זה עם זה.
יש גרסה של משפט קיילי מתורת החבורות, עבור חבורות-למחצה הפיכות: כל חבורה למחצה הפיכה ניתנת לשיכון באוסף הפונקציות החלקיות החד-חד-ערכיות formula_56 של קבוצה כלשהי, formula_57.
בחבורה למחצה הפיכה formula_19 שהיא סופית, אם formula_1 הוא אידמפוטנט אז formula_60 היא תת-חבורה מקסימלית של formula_19 (ואיבר היחידה שלה הוא formula_1). את תורת ההצגות של חבורה-למחצה הפיכה אפשר לתרגם לשפה של גרופואידים: לכל חבורה-למחצה הפיכה formula_19, קיים גרופואיד formula_64, ולכל שדה formula_45, האלגברות formula_66 ו- formula_67 איזומורפיות.
חבורות למחצה פשוטות.
תת-קבוצה לא ריקה של חבורה למחצה S היא אידיאל אם היא סגורה לכפל מימין ומשמאל באברי S. למשל, אם ב-S יש איבר אפס 0, אז {0} הוא אידיאל. חבורה למחצה היא פשוטה אם אין לה אידיאלים למעט עצמה.
כל חבורה למחצה אפשר לשכן בחבורה פשוטה. את החבורה למחצה {0,1} (עם הכפל הרגיל) אי אפשר לשכן בחבורה למחצה פשוטה סופית. חבורה למחצה פשוטה היא פשוטה לחלוטין אם יש לה אידמפוטנט פרימיטיבי (לדוגמה, אם היא סופית). משפט ריס (Rees, 1940) מתאר את החבורות למחצה שהן פשוטות לחלוטין בתור אלו שמתקבלות מבניה מטריציאלית מסוימת ("Rees matrix semigroup" מעל חבורה).
חבורות למחצה ואוטומטים.
אוטומט הוא מנגנון בסיסי במדעי המחשב התאורטיים, המתואר בדרך כלל כגרף מכוון עם מידע נוסף על הקשתות, כגון אותיות הקלט והפלט של האוטומט. אפשר לתאר אוטומט דטרמיניסטי עם מרחב מצבים Q ואלפבית formula_68 גם כצמד פעולות: של המונויד formula_69 (אוסף המלים הסופיות, עם פעולת ההדבקה) על Q, ושל Q על formula_69, באופן הבא.
הפעולות formula_79 מהוות כעת פונקציות חלקיות ממרחב המלים לעצמו. החבורה למחצה הנוצרת על ידי הפונקציות האלה היא חבורה למחצה אוטומטית (לפעמים מגבילים את המונח הזה לאוטומט דטרמיניסטי שלם דווקא).
החבורה למחצה הנוצרת על ידי אוטומט בי-דטרמיניסטי (אוטומט דטרמיניסטי שנותר דטרמיניסטי גם כשהופכים את תפקידי הקלט והפלט) היא חבורה למחצה הפיכה . החבורה למחצה הנוצרת על ידי אוטומט בי-דטרמיניסטי ובי-שלם (אוטומט שלם, הנותר שלם בהחלפת תפקידי הקלט והפלט) היא חבורה. חבורה כזו נקראת חבורה אוטומטית. בעיית המלה פתירה בחבורות אוטומטיות.
אברהם לבינסון
אברהם לבינסון (Lewensohn; 1923 – 1986) היה צייר, פרסומאי, גרפיקאי ומוציא לאור. מחלוצי ענף הפרסום בישראל ומהדמויות המובילות בתחום הקריאייטיב בענף הפרסום בשנות ה-60 וה-70 של המאה ה-20.
ביוגרפיה.
נולד בירושלים, בנם של בנימין לבינסון (שהקים את חברת הפרסום הראשונה בפלשתינה-א"י ב-1922) ופרומה, שהייתה בת אחותו של בוריס שץ.
לאחר סיום לימודיו בתיכון בית הכרם, התגייס לצבא האמריקאי, שם שירת במחלקה הגרפית. לאחר שירותו הצבאי למד ציור וגרפיקה ב-Ozenfant School of Fine Arts. עם שובו לישראל בשנת 1951 התמנה לעורך הגרפי של דבר השבוע וקנה לו מעריצים רבים בשל איוריו המשעשעים לטור השבועי הקבוע "מה נשמע?" שכתב דן בן אמוץ, ושהודפס מאז כספר במהדורות רבות.
בשנת 1954 הקים יחד עם מאט גורדון (Matt Gordon) ואורי (הנרי) אילון (Uri Aylon) את חברת הפרסום "גורדון לבינסון אילון", שהפכה לימים ל"שחם לבינסון אילון" ואחר כך ל"חגי לבינסון אילון".