האורך של formula_22 הוא formula_23, וחצי זווית הסיבוב היא 60°. לפיכך אנו עוסקים בהצמדה על ידי קווטרניון היחידה:
אם "f" היא פונקציית הסיבוב, אז
ניתן להוכיח בקלות שההופכי של קווטרניון יחידה מתקבל מהפיכת הסימן של החלקים המדומים שלו. כתוצאה,
את ביטוי זה ניתן לפשט באמצעות הכללים הרגילים לאריתמטיקה של קווטרניונים ל-:
כצפוי, הסיבוב מייצג קובייה המקובעת בנקודה אחת ושמסתובבת ב-120° ביחס לאלכסון הראשי העובר דרך הנקודה הנתונה (שים לב כיצד שלושת הצירים "i","j","k" עוברים תמורה מעגלית).
מטריצת הסיבוב הנגזרת מן הקווטרניונים.
ניתן להמיר את פעולת הסיבוב המיוצגת על ידי הצמדה בקווטרניון סיבוב formula_15 (כאשר formula_30) למטריצת סיבוב תלת-ממדית המקיימת formula_31, כאשר formula_32 היא מטריצה בעלת הצורה:
כאן formula_34, כך שאילו "q" הוא קווטרניון יחידה אז formula_35.
ניתן להגיע אל המטריצה הזאת בעזרת חשבון וקטורי ואלגברה ליניארית אם מבטאים את formula_36 ו-formula_37 באמצעות החלק הסקלרי והווקטורי שלהם ואז עושים שימוש בתהליך המתאר את פעולת קווטרניון הסיבוב formula_37 על קווטרניון האוריינטציה "p", שניתן בנוסחה: formula_15. אם נכתוב את formula_36 כ-formula_41, את formula_42 כ-formula_43 ואת formula_37 כ-formula_45, כאשר formula_46, אז משוואת ההצמדה הופכת ל-: formula_47. באמצעות שימוש בנוסחה המתארת כפל קווטרניונים שמיוצגים בעזרת החלק הסקלרי והווקטורי שלהם,
(כאשר formula_49 היא מכפלה סקלרית ו-formula_50 היא מכפלה וקטורית), מקבלים שמשוואה זו ניתנת לכתיבה מחדש כ-:
כאשר formula_52 היא סוג של מכפלה בין וקטורים הנקראת מכפלת החיצון , formula_53 היא מטריצת היחידה ו-formula_54 היא המטריצה המייצגת של הטרנספורמציה אשר הפעלתה על הווקטור formula_55 נותנת את תוצאת המכפלה הווקטורית formula_56.
מכיוון ש-formula_57, ניתן לזהות את formula_32 כביטוי formula_59, אשר תחת פיתוח מניב את התוצאה הרשומה בצורה מטריציונית לעיל.
קווטרניונים וגאומטריה כדורית.
תכונה מועילה של פורמליזם הקווטרניונים היא שבעזרתו ניתן לזהות בקלות את הסיבוב השקול הנגזר מהרכבת שני סיבובים מרחביים המיוצגים על ידי קווטרניוני סיבוב "R"B ו-"R"A, זאת שכן לאחר הכפלת הקווטרניונים ניתן לזהות מיידית את ציר הסיבוב השקול ואת זווית הסיבוב השקולה (מתקיים "R"C = "R"B"R"A).
נניח שהקווטרניון המקושר לסיבוב מרחבי "R" נבנה על סמך ציר הסיבוב שלו S וזווית הסיבוב formula_60. הקווטרניון ניתן על ידי formula_61 .
והרכבת הסיבוב "R"B עם "R"A היא הסיבוב "R"C = "R"B"R"A עם ציר סיבוב וזווית המוגדרת על ידי מכפלת הקווטרניונים formula_62
שהיא formula_63
ואם נפתח מכפלה זאת נקבל
formula_64
נוסחה זאת מתארת את ציר הסיבוב השקול, שנתון בחלק הווקטורי של מכפלת הקווטרניונים, ואת זווית הסיבוב השקולה, שנתונה בחלק הממשי של מכפלת הקווטרניונים. השוויון בין החלקים הממשיים של שני אגפי המשוואה האחרונה, formula_65,
מבטא את הקשר הידוע כמשפט הקוסינוסים בגאומטריה כדורית.
הקשר למשולשים כדוריים.
קיים קשר אלגנטי בין פעולת חבורת הסיבובים התלת-ממדיים על ספירת היחידה לבין המשולש הכדורי הנוצר על ידי הרכבת שני סיבובים מרחביים; אם נסמן ב-formula_66 את נקודת החיתוך של שני צירי סיבוב עם ספירת היחידה וב-formula_67 את זוויות הסיבוב המתאימות, בעוד שאת נקודת החיתוך של ציר הסיבוב השקול להרכבת שני הסיבובים עם ספירת היחידה נסמן ב-formula_68 ואת זווית הסיבוב השקולה ב-formula_69, אז הזוויות של המשולש הכדורי המוגדר על ידי שלושת הנקודות formula_70 הן בדיוק formula_71.
מאיה חנוך
מאיה חנוך (נולדה ב-1 בינואר 1970) היא סופרת, במאית ומעצבת ישראלית.
ביוגרפיה.
חנוך נולדה וגדלה בתל אביב, לזמר שלום חנוך ולליהי חנוך (נכדתו של גדעון מר ובת-דודתו של ג'וליאנו מר). השיר "מאיה" של אביה נכתב עליה עוד לפני שנולדה.
חנוך עוסקת ביצירה לטלוויזיה, כתיבה לילדים, ובתפקידי עיצוב שונים בתחומי הבמה בישראל. היא מעצבת אמנותית ומעצבת תפאורה בתוכניות טלוויזיה רבות, בין היתר בתוכנית המציאות הישראלית הכוכב הבא, בתוכניות הראיונות גלית ואילנית, אופירה וברקוביץ' ועוד.
בשנים 2000–2001 יצרה ביחד עם שירה גפן ואתי אנטה-שגב את תוכנית הטלוויזיה לילדים "הנימנומים", המציגה שלוש בובות כוכב חיות בשמיים בין העננים, ועוסקות בשאלה המגיעה מחדרו של ילד שגר בכדור הארץ. חנוך גם עיצבה את התפאורה והבובות ושימשה המנהלת האמנותית בסדרה. בשנת 1999 עיצבה חנוך את התפאורה בתחרות האירוויזיון ששודר בישראל.
חיים אישיים.
חנוך הייתה נשואה לדרור קרן, ולשניים שני בנים. בנה עמרי קרן הוא מוזיקאי.
סוני ליסטון
צ'ארלס ל. "סוני" ליסטון (Charles L. "Sonny" Liston; 1930 – 30 בדצמבר 1970) היה מתאגרף מקצועי אמריקני, שהתחרה בין השנים 1953–1970. הוא נחשב למתאגרף דומיננטי בעידן שלו, והפך לאלוף העולם במשקל כבד בשנת 1962 לאחר שהכניע את פלויד פטרסון בסיבוב הראשון, ושחזר את הנוקאאוט בשנה העוקבת, כשהגן על תוארו. בקרב זה הוא הפך לאלוף המשקל הכבד של ה-WBC.
ליסטון היה ידוע במיוחד בקשיחות שלו, כוח האגרוף האימתני, אורך מוטת הידיים שלו והמראה המאיים.
אף על פי שליסטון נחשב לבלתי מנוצח, הוא איבד את התואר בשנת 1964 למוחמד עלי, שנכנס כאנדרדוג עם סיכוי של 7–1. ליסטון נכנע בפינה שלו בגלל כתף מודלקת. מחלוקת התפתחה בעקבות טענות שליסטון שתה בכבדות בלילה לפני הקרב, ושנכנס לקרב עם כתף פגועה. בקרב החוזר שלו עם עלי בשנת 1965, ליסטון ספג נוקאאוט בלתי צפוי בסיבוב הראשון שהוביל לחשדות בלתי פתורים למכירת הקרב. הוא עדיין היה מתאגרף שעמד בצמרת הדירוג העולמית כשמת בנסיבות מסתוריות בשנת 1970. קשרים עם העולם התחתון ותאריכי הלידה והמוות שלו, שלא תועדו, הוסיפו למסתורין.
מגזין "הזירה" מדרג את ליסטון כאלוף במשקל כבד העשירי בגדולתו בכל הזמנים, בזמן שסופר האגרוף הארב גולדמן דירג אותו במקום השני וריצ'רד אובראיין, העורך הבכיר של "ספורטס אילוסטרייטד", הציב אותו במקום השלישי. אלפי פוטס הארמר בספורטסטר גם דירג אותו כמשקל הכבד השלישי בגודלו והמתאגרף השישי בגודלו בכל משקל. ליסטון נכנס להיכל התהילה הבינלאומי של האיגרוף בשנת 1991.
ראשית חייו.
צ'ארלס "סוני" ליסטון נולד בסביבות שנת 1930 למשפחה ענייה אשר עיבדה קרקע חכורה במורלאדג' פלנטיישן (Morledge) ליד העיירה ג'ונסון, במחוז פרנציסקוס הקדוש, ארקנסו. אביו, טובי ליסטון, היה באמצע שנות ה -40 לחייו כאשר הוא ואשתו, הלן בסקין, שהייתה צעירה ממנו בכמעט מ -30 שנה, עברו לארקנסו ממיסיסיפי בשנת 1916. להלן נולד ילד אחד לפני שהתחתנה עם טובי, ולטובי נולדו 13 ילדים עם אשתו הראשונה. לטובי והלן היו 12 ילדים יחד. סאני היה הילד השני הכי צעיר מביניהם.
תאריך לידה.
אין תיעוד רשמי של לידתו של ליסטון. ארקנסו, מדינת משפחתו, לא חייבה תעודות לידה עד 1965. ניתן למצוא את משפחתו, אך לא צ'ארלס (או סוני) ליסטון, במפקד 1930, ובמפקד 1940 הוא נרשם כבן 10. ככל הנראה, ליסטון עצמו לא ידע בוודאות באיזו שנה נולד, מכיוון שהוא לא היה עקבי בעניין. ליסטון האמין שתאריך הלידה שלו היה ב־8 במאי 1932 והשתמש בזה במסמכים רשמיים, אולם עד שזכה בתואר העולמי, מראהו המבוגר מכך, הוסיף לשמועות שהוא למעשה מבוגר יותר בכמה שנים. כתב אחד הגיע למסקנה כי תאריך הלידה הסביר ביותר של ליסטון היה 22 ביולי 1930, וציטט רישומי מפקד אוכלוסין והצהרות של אמו במהלך חייה.
נעורים בסנט לואיס.
טובי ליסטון הצליף קשות בבנו עד שהצלקות עדיין נראו עשרות שנים אחר כך. "הדבר היחיד שהזקן שלי נתן לי אי פעם היה מכות," אמר ליסטון. בשנת 1946, הלן בסקין, יחד עם כמה מילדיה, עברו לסנט לואיס, מיזורי כדי לחפש עבודות מפעל. ליסטון – כבן 13, סיפר בדיעד כי נשאר בארקנסו עם אביו. לאחר שנה, סאני – נחוש להתאחד עם אמו ואחיו – ריסק פקאנים מהעץ של גיסו ומכר אותם בפורסט סיטי, ארקנסו. בעזרת ההכנסות, הוא נסע לסנט לואיס לגור עם אמו. ליסטון ניסה ללכת לבית הספר, אך פרש במהרה עקב האנאלפביתיות שלו; התעסוקה היחידה שיכול היה להשיג הייתה ארעית ובתנאי ניצול.
בצעירותו, ליסטון פנה לפשע והנהיג חבורת בריונים שביצעה גניבות ושוד מזוין. בגלל החולצה שלבש במהלך מעשי שוד, משטרת סנט לואיס כינתה אותו "שודד החולצה הצהובה". כאשר נתפס בינואר 1950, ליסטון מסר שהוא כבן 20, ואילו "הדמוקרט סנט לואיס גלוב" דיווח שהוא בן 22. ליסטון הורשע ונידון לחמש שנים בבית הסוהר של מדינת מיזורי, והחל לרצות את עונשו בכלא ב־1 ביוני 1950.
ליסטון מעולם לא התלונן על הכלא ואמר כי מובטחות לו שלוש ארוחות בכל יום. מנהל האתלטיקה בבית הדין הממלכתי של מיזורי, הכומר אלואה סטיבנס, הציע לליסטון לנסות אגרוף. כושרו הברור, יחד עם תמיכה מצד הכומר סטיבנס, סייעו לליסטון בקבלת שחרור מוקדם. סטיבנס ארגן קרב ראווה במשקל כבד עם מתאגרף מקצועי בשם ת'ורמן וילסון כדי להציג את הפוטנציאל של ליסטון. אחרי שני סיבובים, וילסון חטף מספיק: "עדיף שתוציא אותי מהזירה הזו", אמר. "הוא הולך להרוג אותי!"
קריירת חובבים.