מאז 1965, כאשר נחקק "חוק התכנון והבנייה" בישראל, חייב כל מהלך מדרגות לעמוד בנוסחה הנקראת נוסחת המדרגות: 2H+B=61-63. כלומר, גובה שני רומים ועוד אורך שלח אחד חייבים לתת את התוצאה שבין 61 ל-63 ס"מ. מכאן שאם אנו רוצים ליצור מהלך מדרגות בעל 16 מדרגות והגובה בין שני מפלסים הוא 2.64 מטר, חילוק המספרים זה בזה נותן את גובה המדרגה (16.5 ס"מ), מכאן אנו מציבים בנוסחה את הגובה (H=16.5) ומקבלים שהשלח חייב להיות 28–30 ס"מ.
בישראל, על פי "חוק התכנון והבנייה" מדרגות לולייניות או טרפזיות אינן מוגדרות כמדרגות המשמשות למוצא בטוח ממבנה בשעת חירום.
אנסטטיט
אנסטטיט הוא מינרל השייך לקבוצת הפירוקסן, קבוצה של מינרלים אינוסיליקטים - (סיליקטים במבנה בצורת שרשרות) בעלי שרשרת בודדת. האנסטטיט (MgSiO3) המכיל בעיקר מגנזיום מצוי בתחילתה של שורת המינרלים האיזומורפית (כלומר שורה של תרכובות אנלוגיות בהרכבן) הקרויה "קבוצת האנסטטיט" שנוסחתה הכללית Mg,Fe)SiO3), המסתיימת בפרוסיליט המכיל בעיקר ברזל (FeSiO3).
בעבר היה נהוג לכנות בשם היפרסתן מינרל המצוי באמצעיתה של קבוצת האנסטיט והמכיל כמויות שוות של מגנזיום וברזל, אך הוועדה לשמות מינרלים באגודה הבינלאומית למינרלוגיה פסלה ב-1988 את השימוש בשם זה וקבעה כי במקומו להשתמש בשם אורתופירוקסן ולציין את כמות האנסטטיט (En) או הפרוסיליט (Fs) בהתאם ליחס מגנזיום/ברזל במינרל (לדוגמה En80Fs20).
המינרלים שבקבוצת האנסטטיט מכונים גם אורתופירוקסנים משום שהם שייכים לקבוצת הפירוקסן והמבנה שלהם אורתורומבי. והם מינרלים בוני סלעים נפוצים המצויים בסלעי יסוד, סלעים מותמרים ומטאוריטים.
אנסטטיט המכיל מעט ברזל והעובר בליה מקבל ברק תת-מתכתי וצבע דמוי ארד (ברונזה), ולכן יש המכנים חומר זה ברונזיט, אם כי השם הנכון יותר הוא אנסטטיט שעבר שינוי. רוב הגבישים הטבעיים הם אורתורומביים, למרות שידועים שלושה פולימורפים. הפולימורף של טמפרטורה גבוהה ולחץ נמוך מכונה פרוטואנסטטיט ואף הוא אורתורומבי. הפולימורף של טמפרטורה נמוכה מכונה קלינואנסטטיט והוא מונוקליני.
הברונזיט וההיפרסתן היו מוכרים זמן רב לפני שנתגלה האנסטטיט לראשונה. המינרל תואר לראשונה על ידי ג. א. קננגוט (G. A. Kenngott) ב-1855. מקור השם מיוונית - "אנסטטס" – יריב, בשל עמידות המינרל לחום ולחץ.
נוהגים לחתוך את סוג האנסטטיט שלו גוון ירוק אזמרגד, המכונה אנסטטיט-כרום, לשימוש כאבן חן. הצבע הירוק נגרם בשל כמויות זעירות של כרום, ומכאן שם הסוג. גם בברונזיט עושים לעיתים שימוש כאבן חן.
תפוצה.
ניתן למצוא אנסטטיט בסלעי תהום כדוגמת גברו ודיוריט. אנסטטיט יכול ליצור פנוקריסטים קטנים בעלי צורה ייחודית כמו גם את הגרגרים של מסת האם בסלעי פרץ כדוגמת בזלת, אנדזיט ודקיט
אנסטטיט המכיל מעט ברזל (En90Fs10) הוא מינרל משמעותי בסלעי פרידוטיט ופירוקסניט המצויים במעטפת כדור הארץ. קסנוליתים של פרידוטיט נפוצים בקימברליט ולעיתים בבזלת. מדידות של תכולת הסידן, האלומיניום והכרום באנסטטיט בקסנוליתים אלו היו הגורם המכריע בקביעת העומקים מהם נלקחו קסנוליתים אלו על ידי המגמה העולה.
ניתן למצוא אנסטטיט טהור או אנסטטיט המכיל מעט ברזל בחלק מהסרפנטינים שעברו התמרה. גבישים גדולים באורך של 30 סנטימטר שרובם עברו שינוי לסטיאטיט נמצאו ב-1874 בעורקים של אפטיט כשהם חוצים שיסט-נציצי ושיסט-הורנבלנדה במכרה האפטיט של קיורסטד (Kjorrestad) בקרבת ברוויג בדרום נורווגיה.
אנסטטיט הוא מינרל נפוץ במטאוריטים. גבישים של אנסטיט נמצאו במטאוריטים סלעיים או מטאוריטים של ברזל, כולל במטאוריט שנפל בברייטנהאך שליד ארזגבירג', בוהמיה. בחלק מהמטאוריטים מהווה האנסטטיט, יחד עם אוליבין את רוב החומר. האנסטטיט יכול להיווצר בגושים כדוריים קטנים שהמבנה הפנימי הוא של קרניים מהמרכז כלפי חוץ.
0.999...
במתמטיקה, הסימון ...0.999 מציין את הפיתוח העשרוני האינסופי, שבו כל הספרות שאחרי הנקודה העשרונית הן 9. על-פי ההגדרה המקובלת לפיתוח העשרוני, המספר שווה ל־1. השוויון ...0.999=1 אינו ייחודי; כל מספר ממשי בעל שבר עשרוני סופי אפשר לייצג גם באמצעות שבר עשרוני המסתיים בסדרה אינסופית של תשיעיות. כך למשל, המספר 13.412 ניתן לייצוג גם בתור המספר ...13.411999. תכונה זו בעצמה אינה ייחודית לכתיב העשרוני: לכל בסיס b, אפשר לייצג כל שבר סופי גם בעזרת רצף אינסופי שבו חוזרת הספרה b-1.
אף על פי שהשוויון מקובל ללא עוררין על הקהילה המדעית, הגדרת הפיתוח העשרוני מסתמכת על המושג "טור מתכנס" מתחום האנליזה המתמטית. אנשים שאינם מכירים, אינם מבינים או אינם מקבלים רעיונות אלה, מתנגדים לשווין ומנסים ליצור גישות אלטרנטיביות בהן הוא לא יתקיים. יש כמובן מערכות מספרים ושיטות כתיבה אחרות בהן לביטוי ...0.999 אין משמעות או יש משמעות שונה מ-1, אולם בכל דרך עיקבית להציג את המספרים הממשיים באמצעות שברים עשרוניים שיויון זה יתקיים.
העוסקים בחינוך מתמטי מכירים את הקושי שבקבלת השוויון של המספר שבכותרת ל-1. גם בקבוצת הדיון sci.math, נערכו דיונים רבים בנושא השוויון, ואלו הביאו בסופו של דבר להכללת הסברים עבורו בקובץ השאלות והתשובות של הקבוצה.
קיימת הוכחה פשוטה לשוויון ...0.999999 = 1, המבוססת על ההנחות הבאות:
מבחינה מתמטית אין עניין מיוחד בשוויון ...0.999999 = 1. הוא מסקנה מיידית מהמושג פיתוח עשרוני של מספר ממשי. אולם השווין מושך תשומת לב רבה בהוראת המתמטיקה כיוון שהוא מקרה מבחן להבנת המושגים: מספר ממשי, טור, סדרה, גבול, פיתוח עשרוני אינסופי ועוד. אמנם מושגים אלה יסודיים מאוד במתמטיקה המודרנית, אך הם עמוקים וקשים להבנה. בהתאם, בבית הספר הם נלמדים באופן שיטחי בלבד, ולמידה מעמיקה שלהם מתבצעת רק בבמסגרת לימודים אקדמיים במתמטיקה.
מסיבה זאת הנושא מושך אליו גם "טרחנים כפייתיים" רבים.
פיתוח עשרוני.
בשיטה העשרונית, שבה אנו משתמשים בחיי היום-יום והיא גם שיטת הספירה המקובלת במתמטיקה, מבטאים כל מספר שלם כסכום של חזקות של 10, המוכפלות בספרות 0 עד 9. בשיטה העשרונית אפשר להציג כשבר עשרוני סופי רק את המספרים השווים למנת החילוק של מספר טבעי a בחזקה שלמה של 10, formula_1. מספרים רבים, ובהם מספרים רציונליים רבים, כגון 1/3, לא ניתן להציג באופן זה (משום ש- 3 אינו מחלק אף חזקה של 10). מתברר, שכל מספר רציונלי, ואף כל מספר ממשי x, אפשר להציג כסכום אינסופי של חזקות (שליליות) של 10, הנקרא "הפיתוח העשרוני" של x; אבל עובדה זו אינה מובנת מאליה, ואף אינה דרושה כאן.
פיתוח עשרוני אינסופי.
בדיוק כפי שרצף ספרות סופי formula_2 מובן כסכום formula_3, שהוא לעולם מספר רציונלי, אפשר להבין את הרצף האינסופי formula_4 כסכום אינסופי, formula_5. לסכום כזה נקרא "טור עשרוני", המתאים לשבר העשרוני האינסופי formula_6.
בגישה זו (שהיא התפיסה המקובלת במתמטיקה, ללא עוררין), יש שתי בעיות.
לכן כדי לתת משמעות לשבר עשרוני יש לקבוע תחילה איזה סוג מספר הוא מתאר ובאיזה מושג של התכנסות משתמשים כדי לפרש אותו. בהקשרים מסוימים יש יותר ממשמעות אחת למושג ההתכנסות. קביעת משמעות למושג ההתכנסות נעשית בדרך כלל על ידי קביעת טופולוגיה. מקובל לתאר באמצעות שברים עשרוניים אינסופיים מספרים ממשיים. על אוסף המספרים הממשיים יש טופולוגיה מקובלת אחת, לפי טופולוגיה זאת סכום של טור חיובי הוא המספר הקטן ביותר אשר גדול מכל הסכומים הסופיים של איברי הטור.
יש דרך קלה להבחין בין הטורים העשרוניים שסכומם רציונלי, לאלו שסכומם אינו כזה. בשבר עשרוני מחזורי יש קבוצת ספרות החוזרת שוב ושוב ממקום מסוים והלאה. בשבר כזה מקובל לסמן את הקבוצה החוזרת בקו עילי או בנקודות עיליות, או להמשיך את השבר בשלוש נקודות, כאשר הקבוצה החוזרת מובנת מן ההקשר. כך למשל formula_7 מסמן את השבר שבו, לאחר הספרה 5, חוזרות הספרות 90 ללא גבול. באופן דומה, בפיתוח העשרוני ...0.333, שלוש הנקודות מציינות שהפיתוח אינו מסתיים, והספרה 3 מופיעה בו בכל מקום. מספר זה שונה, מן השבר הסופי 0.333. מתברר שלכל טור עשרוני מחזורי יש סכום רציונלי, ולכל טור עשרוני שאינו מחזורי יש סכום שאינו רציונלי.
סיכום של שברים עשרוניים.
כדי להעניק משמעות לכל שבר עשרוני (מחזורי או שאינו מחזורי) יש להקדים ולפתח באופן מסודר את שדה המספרים הממשיים (באחת משתי השיטות המקובלות, סדרות קושי או חתכי דדקינד, או בדרך אחרת). לאחר מכן, ההגדרה המקובלת, והמתבקשת מאליה, תתאים לביטוי הפורמלי
formula_6
את המספר הממשי היחיד שהוא סכומו של הטור
formula_9.
בגישה זו יש להוכיח שהטור מתכנס (במרחב של המספרים הממשיים).
אף-על-פי-כן, אם מעוניינים לסכם רק שברים עשרוניים מחזוריים
(כגון השבר formula_10), אין בכך צורך: סכומו של הטור ההנדסי
formula_11
הוא
formula_12,
ולכן אפשר לקבל, כהגדרה, שהשבר המחזורי
formula_13
מסתכם למספר הרציונלי
לחלופין, אפשר להוכיח את נכונותה של נוסחה זו, אם מניחים שתי הנחות פשוטות:
משתי הנחות אלה נובע, למשל, ש- formula_17, ולכן formula_18.
...0.999 בהגדרות שונות של שדה המספרים הממשיים.
יש מספר דרכים שקולות להגדיר את המושג של מספר ממשי.
מספרים ממשיים בתור מחלקות שקילות של כיתובים עשרוניים.
אחת הדרכים האלמנטריות לעשות זאת היא להגדיר מספר ממשי בתור כיתוב עשרוני (זאת אומרת בטוי מהצורה formula_19 כאשר formula_20 ו-formula_21 הם ספרות) עד כדי יחס השקילות הבא:
formula_22
שקול ל
formula_23ובאופן דומה:
formula_24
שקול ל
formula_25