לאחר הפסקה בחפירות, הן חודשו בשנת 2005 במשלחת של אוניברסיטת ארקנסו (University of Arkansas). המשלחת חפרה במשך 3 עונות חפירה, בשנים 2005 ו-2008-2007. הממצאים הראו שהיישוב במקום לא סבל מתקופת הבצורת שהתרחשה במאה ה-22 לפנה"ס והביאה לנפילת תרבויות שונות, ביניהן האימפריה האכדית. באתר זה נמצאה התרחבות של היישוב בתקופה זאת. להשערת החוקרים, היישוב החזיק מעמד בגלל קרבתו לנהר האורונטס. בחפירות אלה נמצא מקדש קטן עשוי מאבן, המתוארך לשנת 2200 לפנה"ס. במקדש נמצאה סדרה שלמה של אגנים מטויחים בתוך המבנה, ששמשו כנראה לטקס ניסוך. בנוסף, נמצאו צלמיות, עצמות כבשים צעירים, אבנים גדולות עומדות וכנים לקטורת.
האתר נחפר גם במשך 10 שנים על ידי משלחת של דרטמות' קולג' מארצות הברית. החפירות פסקו בשנת 2011 בעקבות פרוץ מלחמת האזרחים בסוריה.
חלק מהממצאים באתר הועברו לתצוגה במוזיאון בעיר חמה.
פילזנו
פילזנו (בפולנית: Pilzno; ביידיש: פילזן) היא עיירה במחוז דמביצה שבפרובינציית פודקרפאטי בפולין, כ-12 ק"מ מדמביצה, בה התקיימה עד השואה קהילה יהודית.
תולדות היישוב.
העיירה נזכרת לראשונה בשנת 1105, ובשנת 1354 הוענקו לה זכויות עיר. בשנים שלאחר מכן הפכה העיירה למרכז מסחרי לסביבתה, בו התקיימו ירידים וימי שוק.
במאות ה-15 וה-16 נחרבה העיירה, תחילה בידי ההונגרים, ולאחר מכן בידי הטטרים. כמו כן, פגעו בעיירה מספר שריפות גדולות, ובאמצע המאה ה-17 הוחרבה פעם נוספת בידי גייסות האימפריה השוודית.
יהודי פילזנו.
עד שנת 1577 ישבו בעיירה מספר יהודים, אך באותה שנה ניתן לעיר כתב זכויות האוסר על ישיבת יהודים בה. רק במחצית השנייה של המאה ה-19 השתקם היישוב היהודי בעיירה.
במהלך הכיבוש הרוסי בתחילת מלחמת העולם הראשונה עזבו את העיירה רבים מיהודיה, ורכושם נבזז. לאחר נסיגת הרוסים, הגיעו לעיירה כ-12,000 פליטים יהודים מיישובי הסביבה. בנובמבר 1918 ערכו איכרים פולנים פרעות ביהודי העיירה, ומאורעות אלו שבו על עצמם במאי 1919. לאחר המלחמה, עזבו את העיירה רבים מיהודיה. בין מלחמות העולם השתקמה הקהילה בעיירה, והתקיימה בה פעילות ציונית, לצד פעילות של אגודת ישראל.
במהלך שנות השלושים של המאה ה-20 התרבו ההתנכלויות האנטישמיות בעיירה, ובשנת 1936 נרצח בסמוך לעיירה זוג קשישים יהודים. בשנים אלה נמנו בעיירה כ-800 יהודים, מתוך כ-3,500 תושבים.
בין השנים תרנ"ה-תר"ס כיהן ברבנות העיירה רבי בצלאל הורוביץ (בנו של רבי נפתלי חיים מדז'יקוב).
עם כיבוש העיירה בידי הגרמנים בספטמבר 1939, החלו אלו בגיוס יהודיה לעבודות כפייה ובביצוע מעשי רצח ביהודי היישוב. ב-20 ביוני 1942 רוכזו כ-1,500 יהודי העיירה וסביבתה בגטו שהוקם בה. באקציה שנערכה בגטו כעבור זמן קצר נרצחו 17 יהודים במקום, וכל יתר היהודים גורשו לגטו דמביצה, ממנו שולחו למחנה ההשמדה בלז'ץ.
בעיית הטנק הגרמני
באמידה, הבעיה של אמידת המקסימום של התפלגות אחידה בדידה ממדגם ללא החזרה ידועה באנגלית כבעיית הטנק הגרמני (German tank problem), בשל השימוש בה בהקשר של מלחמת העולם השנייה על מנת להעריך את מספר הטנקים הגרמניים. בעיה זו מדגימה את ההבדל בין הסקה שכיחותנית (Frequentist) לבין הסקה בייסיאנית.
הבעיה ההיסטורית.
במהלך מלחמת העולם השנייה נעשו מאמצים ממושכים על ידי בעלות הברית כדי לקבוע את היקף הייצור הגרמני, וניסו לפתור זאת בשתי גישות: באמצעות איסוף מודיעין בצורה קונבנציונלית ובאמצעות אמידה סטטיסטית. במקרים רבים הניתוח הסטטיסטי עלה באיכותו על המודיעין הקונבנציונלי. במקרים מסוימים נעשה שימוש במודיעין קונבנציונלי בצירוף ניתוח סטטיסטי, כמו במקרה של הערכת ייצור טנקי הפנתר לפני הפלישה לנורמנדי.
הפיקוד של בעלות הברית סבר כי טנקי פנצר סימן 5 (פנתר) שנצפו באיטליה, שלהם מהירות גבוהה ותותחי 75 מ"מ/L70, הם טנקים כבדים נדירים במיוחד, ויהיו רק במספר קטן בצפון צרפת, באופן דומה לטנקי הטיגר I שנצפו בתוניסיה. צבא ארצות הברית היה משוכנע כי טנקי שרמן ימשיכו לתפקד היטב, כפי שתפקדו נגד טנקי פנצר סימן 3 ופנצר סימן 4 בצפון אפריקה ובסיציליה.
זמן קצר לפני הפלישה לנורמנדי הגיעו שמועות על כך שהגרמנים עושים שימוש במספר גדול של טנקים מסוג פנצר סימן 5. כדי לברר את נכונות השמועות, ניסו בעלות הברית להעריך את מספר הטנקים שיוצרו. הם ביססו את הערכותיהם על המספרים הסידוריים של טנקים שנתפסו או נהרסו. המספרים העיקריים ששימשו לניתוח זה היו מספרים סידוריים של תיבות ההילוכים, מאחר שאלו פוצחו על ידי בעלות הברית. מספרי השלדה והמנוע שימשו אף הם לניתוח, אך השימוש בהם היה מסובך יותר. מידע מרכיבים נוספים שימש לביסוס נוסף של הניתוח. ניתוח דומה נעשה גם על פי מספרים סידוריים של גלגלי מרכוב, שלהם ניתנו מספרים ברצף (1, 2, ...N).
ניתוח גלגלי הטנקים הניב ההערכה של מספר סוגי הגלגלים שהיו בשימוש. בדיקות שנעשו יחד עם מומחים בריטיים לייצור גלגלים העריכו את מספר הגלגלים שניתן היה לייצר מסוגים אלו, וכך את מספר הטנקים המיוצרים מדי חודש. ניתוח של גלגלים משני טנקים (בכל אחד מהם 32 גלגלים) הוביל להערכה של 270 טנקים שיוצרו בפברואר 1944.
ממסמכים גרמניים שנתפסו לאחר המלחמה התברר כי מספר הטנקים שיוצרו בפברואר 1944 היה 276 טנקים. הניתוח הסטטיסטי התברר כמוצלח יותר מהערכות המודיעין הקונבנציונליות, ו"בעיית הטנק הגרמני" הפך לשם שגור לתיאור בעיות מסוג זה.
השימוש במספרים סידוריים ובניתוחים סטטיסטים לא היה מוגבל רק להערכת מספר הטנקים, ושימש את בעלות הברית גם להערכת הייצור הגרמני באופן כללי, ובפרט מספר המפעלים וחשיבותם, אורך שרשרת האספקה (הזמן מהייצור ועד הכנסה לשימוש), שינויים בייצור ושימוש במשאבים כדוגמת גומי.
נתוני הייצור והערכות.
על פי הערכות המודיעין הקונבנציונלי של בעלות הברית, ייצרו הגרמנים בסביבות 1,400 טנקים מדי חודש בין יוני 1940 לספטמבר 1942. אבל תוך שימוש בניתוח הסטטיסטי שיוצג להלן, הוערך מספר הטנקים שיוצרו ב-246 מדי חודש בלבד. לאחר המלחמה, מסמכים עם פרטי הייצור שנתפסו ממשרדו של אלברט שפר הראו כי המספר האמיתי היה 245.
הערכות עבור מספר חודשים מוצגות להלן:
אנליזות דומות.
ניתוחים סטטיסטיים דומים נעשו על פי מספרים סידוריים גם בהקשר לציוד צבאי אחר במלחמת העולם השנייה, ובפרט לטילי V-2. במהלך מלחמת העולם השנייה העריך הצבא הגרמני את היקף הייצור הצבאי הסובייטי, ובמהלך מלחמת קוריאה, נעשה ניתוח של מספרים סידוריים של ציוד סובייטי. גם ברית המועצות העריכה את ייצור הטנקים הגרמניים באופן דומה במהלך מלחמת העולם השנייה.
בשנות ה-80 מספר אמריקאים קיבלו גישה לקווי הייצור של טנקי מרכבה. היקף הייצור סודי, אך לטנקים היו מספרים סידוריים, שאפשרו להעריך את היקף הייצור שלהם.
אמצעי הגנה.
על מנת להגן מפני ניתוח המבוסס על מספרים סידוריים ניתן להימנע מציונם, או להעניק מספרי ייצור מוצפנים או כאלו שאינם קשורים למספרים המיוצרים בפועל.
ניתוח שכיחותי.
אינטואיציה.
אינטואיטיבית האומד הוא המקסימום במדגם ועוד ההפרש הממוצע בין התצפיות במדגם. המקסימום במדגם נבחר כאומד ראשוני מאחר שהוא אומד נראות מקסימלית, והוספת ההפרש מפצה על ההטיה מטה של המקסימום במדגם לעומת המקסימום באוכלוסייה כולה.
אם "m" הוא המקסימום במדגם, ו-"k" הוא מספר הדגימות, הנוסחה תהיה:
ניתן להמחיש זאת בכך שהדוגמאות נמצאות בהפרש קבוע ביניהן בתוך הטווח, ודוגמאות נוספות נמצאות ממש מעבר לטווח של 0 ו "N"+1. אם מתחילם בהפרש ראשוני של בין 0 למינימום במדגם הפרש הממוצע בין הדוגמאות הוא formula_2; ההחסרה של formula_3 נעשית משום שהדוגמאות עצמן אינן נספרות בהפרש בין הדוגמאות.
הרעיון שבבסיס תיאור זה מנוסחות בצורה פורמלית באמצעות אמידת רווח מקסימלי (maximum spacing estimation).
אומד חסר הטיה בעל שונות מינימלית.
פיתוח של הנוסחה:
formula_4
עבור אמידה נקודתית (אמידת נקודה יחידה מסה"כ formula_5), אומד חסר הטיה בעל שונות מינימלית (minimum-variance unbiased estimator; MVUE) ניתן באמצעות:
formula_6
כאשר "m" הוא המספר הסידורי הגבוה ביותר שנצפה ו-"k" הוא מספר התצפיות. כאשר מרגע שנצפה מספר סידורי מסוים, הוא לא יצפה בשנית. לכך יש שונות:
formula_7
כך שסטיית התקן היא בערך "N"/"k", הגודל הממוצע (של האוכלוסייה) של ההפרש בין הדוגמאות; בהשוואה ל "m"/"k" לעיל.
גזירה.
ההסתברות שהמקסימום במדגם הוא "m" ניתנת באמצעות formula_8; כאשר formula_9 הוא המקדם הבינומי. בהינתן גודל אוכלוסייה "N" וגודל מדגם "k" התוחלת של המקסימום במדגם היא:
formula_10
מערך לא ידוע זה ניתן לבטא את N מתוחלת וגודל המדגם: formula_11
מליניאריות התוחלת מקבלים: formula_12
ולכן האומד הבלתי מוטה של "N" ניתן באמצעות החלפת התוחלת במדגם ומכאן:
formula_13
על מנת להראות שזה אומד שונות מינימלית:
ניתוח בייסיאני.
הגישה הבייסיאנית לבעיית הטנק הגרמני היא לבחון את ההסתברות של formula_14 כך שמספר הטנקים של האויב N שווה ל־n, מספר הטנקים שנצפו K שווה ל־k והמספר הסידורי הגבוה ביותר שנצפה M הוא m. לשם הקיצור נשתמש ב־formula_15 לציון formula_16.
מכללים של הסתברות מותנת מקבלים: formula_17
הנוסחה formula_18 היא ההסתברות המותנית שהמספר הסידורי הגבוה ביותר שנצפה הוא formula_19 כאשר ידוע שמספר הטנקים של האויב הוא formula_20 ו־formula_21 טנקים נצפו:
formula_22
כאשר המקדם הבינומי formula_23 הוא מספר הקבוצות של דוגמאות בגודל formula_21 מאוכלוסייה של formula_20.