המסילה המרוצפת נותרה בשימוש כל תקופת הכיבוש הרומי של יוון (146 לפנה"ס – 330 לספירה) ובתקופת הקיסרות הביזנטית עד המאה ה-9 לפחות. ב-1893 נפתחה לשיט התעלה הקורינתית, אשר נחפרה סמוך מאוד לנתיב הדיולקוס. חלק גדול משרידיו נהרס בעבודות כריית התעלה, אך כ-500 מטרים ממנו נחפרו ונחקרו על ידי ארכאולוגים בין השנים 1956-1962. עדיין ניתן לראות את שרידי הדיולקוס בצד הדרומי של הכניסה המערבית לתעלה.
חוג נתרי
באלגברה מופשטת, חוג נתרי הוא חוג עם יחידה המקיים את תנאי השרשרת העולה על האידיאלים השמאליים שלו, כלומר כל סדרה עולה ממש של אידיאלים שמאליים בחוג כזה מוכרחה להסתיים. חוגים אלו קרויים על שמה של אמי נתר אשר חקרה חוגים אלה, בעקבות מורה דויד הילברט. מתנאי השרשרת נובע שכל אידיאל שמאלי של החוג הוא בעל מספר יוצרים סופי, ועובדה זו מגבילה את הגודל והמורכבות של חוגים נתריים. בתורת החוגים נודעת חשיבות מיוחדת לחוגים נתריים, בשל הקשר שלהם לאובייקטים גאומטריים ותורת המבנה שניתן לבסס עבורם; חוגים שאינם נתריים עשויים להיות מורכבים וסבוכים בהרבה.
אחת התכונות החשובות של חוגים אלה היא שלאידיאלים הראשוניים יש גובה סופי - ולכן אפשר ללמוד את הספקטרום באינדוקציה על הממד, דרך שרשראות של אידיאלים ראשוניים. גובהם של האידיאלים הראשוניים סופי, אבל אינו בהכרח חסום, ולכן ישנם חוגים נתריים שממד קרול שלהם אינסופי. עם זאת, לאלגברות אפיניות (קומוטטיביות), שהן אחד המקורות העיקריים לדוגמאות של חוגים נתריים, יש ממד קרול סופי.
תנאי השרשרת היורדת, שהוא דואלי לתנאי השרשרת העולה, מגדיר חוגים הנקראים ארטיניים. הסימטריה מדומה בלבד: כל חוג ארטיני הוא נתרי (משפט הופקינס-לויצקי). חוגים נתריים מקיימים את תנאי משפט גולדי, על שיכון חוגים ראשוניים (למחצה) בחוגים ארטיניים פשוטים (למחצה).
אוסף החוגים הנתריים סגור ביחס לפעולות אלגבריות מסוימות: חוג מנה של חוג נתרי הוא נתרי, וגם מכפלה ישרה של שני חוגים נתריים היא נתרית. לעומת זאת, (ובניגוד למצב עבור מודולים נתריים), תת-חוג של חוג נתרי אינו בהכרח נתרי. חוג הוא נתרי אם ורק אם כל המודולים הנוצרים סופית מעליו הם נתריים. חוג פולינומים מעל חוג נתרי הוא נתרי, וחוג המטריצות מעל חוג נתרי הוא נתרי.
הגדרות.
הנתריות מוגדרת (ברוב הספרים) במונחי האידיאלים השמאליים. באופן דומה אפשר להגדיר גם:
ישנם חוגים נתריים שאינם נתריים ימניים (ולהפך), אבל בחוגים קומוטטיביים מתלכדות כל התכונות.
הגדרות שקולות.
חוג הוא נתרי אם ורק אם הוא נתרי כמודול מעל עצמו (משום שהאידיאלים השמאליים של החוג הם תת-המודולים שלו).
מתנאי המקסימום אפשר להסיק שכל אידיאל שמאלי בחוג מוכל באידיאל שמאלי מקסימלי; תכונה זו נכונה בכל חוג, על-פי הלמה של צורן.
משפט. חוג קומוטטיבי הוא נתרי אם ורק אם כל אידיאל ראשוני נוצר סופית.
תכונות.
משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נתרית.
הוכחה: נשתמש כאן פעמיים בתנאי ה-ACC של חוג נתרי. נניח ש-formula_22 הוא איבר לא הפיך ב-formula_1, ונגדיר את הסדרה formula_26 על ידי הכללים: formula_27;
formula_28 הוא מחלק אמיתי של formula_29 (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה). האידיאלים מהצורה formula_30 יוצרים שרשרת עולה ממש, ולכן, על פי תנאי ה-ACC, זו שרשרת סופית, והאיבר האחרון בה הוא אי-פריק. הוכחנו כי לכל איבר לא הפיך יש מחלק אי-פריק. נשתמש בעובדה זו על מנת ליצור סדרה חדשה formula_31 המוגדרת על ידי: formula_32;
formula_33, כאשר formula_34 אי-פריק.
קיבלנו ש-formula_35 הוא מכפלה של איברים אי-פריקים.
השערת ג'ייקובסון, השואלת האם formula_36 כאשר formula_37 הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג, פתוחה עבור חוגים שהם נתריים גם מימין וגם משמאל.
פוז'ארוואץ
פוז'ארוואץ (בסרבית: Пожаревац או Požarevac; ברומנית: Pojarevaţ; בהונגרית: Pozsarevác) היא עיר ומרכז מנהלי של מחוז בראניצ'בו בסרביה.
העיר פוז'ארוואץ שוכנת בצפון מזרח סרביה ובשנת 2011 התגוררו בה 41,183 תושבים.
בשנת 435 נכרת במקום הסכם בין מנהיגי ההונים, אטילה ואחיו בלדה ובין האימפריה הביזנטית. ב-21 ביולי 1718 נחתם במקום זה שלום פוז'ארוואץ בין האימפריה העות'מאנית מצד אחד ובין אוסטריה והרפובליקה של ונציה מצד שני.
בעיר נולד המנהיג הסרבי סלובודן מילושביץ', ובה הוא קבור.
איאן קרטיס
איאן קווין קרטיס (באנגלית: Ian Kevin Curtis; 15 ביולי 1956 – 18 במאי 1980) היה זמר, יוצר, וגיטריסט אנגלי שזכה להצלחה בינלאומית רחבה בזכות היותו המייסד, כותב השירים והסולן הראשי של להקת הפוסט-פאנק הבריטית ג'וי דיוויז'ן, שפעלה בשנים 1977–1980 והוציאה שני אלבומים מצליחים - "Unknown Pleasures" ו-"Closer". באלבומים אלו נכללו כמה מהשירים המפורסמים ביותר שכתב קרטיס, כגון Love Will Tear Us Apart Again, She's Lost Control ו-Transmission. שירים אלו היוו אבן דרך חשובה בסצנת הפאנק-רוק בבריטניה, לצד להקת הסקס פיסטולס.
קרטיס היה מוכר בעיקר בזכות קול הבריטון-בס העמוק והכבד שלו, סגנון הריקוד שהשתלב עם מחלת האפילפסיה שלו וזכה לכינוי "ריקוד האפילפסיה". קרטיס סבל מדיכאון ורבים משיריו עוסקים בהתבודדות, דיכאון, אהבה וחוסר שליטה.
בסופו של דבר, הבעיות הנפשיות והבריאותיות שמהן סבל קרטיס הובילו אותו להתאבדות בתלייה במטבח ביתו בערב 18 במאי 1980, ביום הראשון לסיבוב ההופעות של הלהקה ברחבי צפון אמריקה. מותו הוביל לפירוק הלהקה. מאוחר יותר, סאמנר והוק הקימו את להקת הפופ-רוק ניו אורדר.
קרטיס היה בן 23 במותו ומאז נחשב לאחד מבין הזמרים, היוצרים, הכותבים, האמנים והגיטריסטים הגדולים ביותר בכל הזמנים, בעיקר בסצנת הפאנק-רוק. ליצירתו הייתה להשפעה על אמנים כמו רוברט סמית', שהקים את להקת The Cure בהשפעת ג'וי דיוויז'ן, ועל אמנים אחרים, כגון דייב גהאן מלהקת דפש מוד.
ביוגרפיה.
קרטיס נולד בבית החולים אולד טראפורד שבמנצ'סטר בשנת 1956. מאוחר יותר עברו הוריו להתגורר בעיר מקלספילד שם בילה את ילדותו. כבר בגיל צעיר ניכר היה שניחן בכישרון לכתיבת שירים, ואף על פי שבגיל 11 זכה במלגת לימודים לבית הספר קינג'ס סקול שבעירו, מעולם לא התעניין בקריירה אקדמית, ואת עתידו ראה בקריירה מוזיקלית. מגיל צעיר כבר התעניין בספרי פילוסופיה ושירה, חבריו הקרובים אמרו שלקרטיס היה באישיותו שילוב של ג'ים מוריסון ושל דייוויד בואי. גיבורי נעוריו של קרטיס היו דייוויד בואי, הדלתות, איגי פופ ולהקתו הסטוג'ס והוולווט אנדרגראונד. את צעדיו הראשונים ב"תעשיית המוזיקה" עשה כשעבד בחנות תקליטים במנצ'סטר, שם גם נחשף למגוון רחב של סגנונות מוזיקליים.
את דברה וודרוף, אשתו לעתיד, פגש קרטיס כשעוד למדו יחדיו במקלספילד. הם נישאו ב-23 באוגוסט 1975. ב-16 באפריל 1979 נולדה בתם היחידה נטלי. נטלי העידה שאביה (איאן קרטיס) אהד את קבוצת הכדורגל מנצ'סטר סיטי.
ג'וי דיוויז'ן (1976–1980).
נקודת המפנה בחייו של קרטיס הייתה לאחר שנכח בהופעה של הסקס פיסטולז בשנת 1976. באותה הופעה הבין שעתידו נמצא בהופעות מול קהל ולא רק כמעריץ. לאחר כמה ניסיונות כושלים להקים להקה יחד עם חבריו במקלספילד, פגש קרטיס את ברנרד סאמנר ופיטר הוק הצעירים שניסו גם הם להקים להקה וחיפשו סולן; קרטיס חבר לשניים. זמן קצר לאחר מכן צירפה השלישייה את המתופף סטפן מוריס, שהיה לחבר האחרון בהרכב. תקופה קצרה נקראה הלהקה "ורשה" אך כדי להימנע מבלבול עם להקה אחרת בעלת שם דומה, שינתה ב-1978 הלהקה את שמה ל"ג'וי דיוויז'ן".
התמדתו העיקשת של קרטיס היא שהביאה להחתמת הלהקה בפקטורי רקורדס, הלייבל האגדי לימים שהקים טוני וילסון. קרטיס אף שכנע את וילסון לתת ללהקה לבצע את השיר Shadowplay בתוכנית החדשות המקומית אותה הגיש, Granada Reports.
גם אחרי שהלהקה צברה קהל מעריצים במנצ'סטר, המשיך קרטיס לעבוד כפקיד האחראי על טיפול במובטלים בשירות הציבורי כדי לפרנס אותו ואת דבורה. "אני זוכר מקרים ששילמנו לו כדי שיישאר לסדר את האולפן אחרי החזרות", סיפר פיטר הוק לימים.
מלבד היותו סולן, היה קרטיס אחראי לכל הטקסטים של הלהקה, בין השאר הושפע מכותבים כג'יי ג'י באלארד, ויליאם ס. בורוז ודייוויד בואי. ברבים מהשירים שכתב הופיעו דימויים של דיכאון, ייאוש, מוות, אלימות, ניכור והניוון של החיים בעיר. בספרה הביוגרפי "לגעת ממרחק", על מערכת היחסים שלה עם איאן, מתארת דבורה איך היה קרטיס יושב על הרצפה בביתם ומשרבט את רעיונותיו במחברות.
קולו העמוק והמצמרר, נוכחותו הבימתית והמחוות שאימץ לעצמו (בין השאר בהשראת פרנק סינטרה) יצרו תמהיל ייחודי בעל השפעה מיסטית על הקהל. שנים לאחר מכן אמר סולן להקת U2, בונו, ש"כל זמן שקרטיס היה בחיים הוא היה הפרפורמר הטוב ביותר ברוק". לדעת רבים כתיבתו של איאן שיקפה את רגשותיו ואת הקשיים אותם עבר, ולמרות זאת מכריו מתארים אותו כאדם היודע ליהנות, אמנם אקסצנטרי מעט, אך בעל חוש הומור.
על הבמה סיגל לעצמו קרטיס סגנון ריקוד תזזיתי, המאזכר התקפי אפילפסיה, מחלה שהוא עצמו לקה בה. לעיתים לא היה ברור לאנשים בקהל אם קרטיס חווה התקף אפילפטי, רוקד או שמא שניהם בו זמנית כ"חלק מהמופע". למחלה, מרגע שאובחנה בינואר 1979, הייתה השפעה מכרעת על חייו של קרטיס. אף על פי שתכיפותם של ההתקפים ועוצמתם לא הייתה עקבית, התרופות שנאלץ ליטול גרמו לשינויים קיצוניים במצבי רוחו, מה גם שהתקף יכול היה להיגרם על ידי הבזקי אור במועדונים, ולא אחת קרה שהתקפים קרו על הבמה במהלך הופעה.
מותו.