בשנת 1973 נערכה רפורמה מקיפה בחוק, ונשארו בו בעיקר הסעיפים הנוגעים למין עם קטינים. גיל ההסכמה הונמך מ-21 ל-18 (גיל ההסכמה ליחסים הטרוסקסואליים היה 14). ב-1986 נבחר לראשונה נציג הומוסקסואל גלוי לבונדסטאג מטעם מפלגת הירוקים. הוא ניסה להביא לביטולו של הסעיף, מה שהיה מוריד את גיל ההסכמה ל-14. הניסיון נכשל, וסעיף 175 נשאר בספר החוקים הגרמני עוד שמונה שנים. החוק בוטל לבסוף ב-1994, בין השאר בעקבות איחוד גרמניה והצורך להתאים בין חוקי המערב והמזרח.
שדה ארכימדי
במתמטיקה, שדה ארכימדי הוא שדה סדור המקיים את תכונת ארכימדס, שפירושה הוא שאיברי השדה אינם יכולים להיות גדולים מכל מספר טבעי. לדוגמה, השדה הממשי הוא שדה ארכימדי, בעוד שהשדה formula_1 של טורי לורן מעל השדה הממשי, אינו ארכימדי. ידוע שכל שדה ארכימדי הוא תת-שדה של שדה המספרים הממשיים.
תכונת ארכימדס ושדה ארכימדי קרויים על שם ארכימדס מסירקוזה, שקבע שניתן להשוות כל שני קטעים ממשיים: אם מניחים עותקים של הקטע הקצר בזה אחר זה, בסופו של דבר אפשר יהיה לעבור את הקטע הארוך. בניסוח מודרני, זוהי בדיוק תכונת הארכימדיות של השדה הממשי.
מושג הארכימדיות יוחס לראשונה באופן מפורש לשדות בסביבות 1900, על ידי המתמטיקאי האוסטרי אוטו שטולץ (1842-1905).
הגדרה.
כל שדה סדור הוא בעל מאפיין 0, ולכן מכיל עותק של המספרים הרציונליים והשלמים.
התכונות הבאות שקולות זו לזו, ושדה סדור המקיים אותן הוא ארכימדי:
קשר לתכונות אחרות.
תכונת ארכימדס מתקיימת בכל שדה סדור שהוא שלם במובן של קיום חסם עליון, אבל אינה נובעת מן התכונה החלשה יותר, של שלמות במובן הטופולוגי. מצד שני, בשדה סדור ארכימדי, שני התנאים לשלמות מתלכדים. לפרטים, ראו שדה סדור שלם.
ארכימדיות עוברת בתורשה לתת-שדות (כל תת שדה של שדה ארכימדי הוא ארכימדי).
שדה סדור שהוא גם שלם (במובן של חסמים, ולכן ארכימדי), לא ניתן להרחיב תוך שמירה על הארכימדיות:
משפט: אם formula_8 שניהם שדות סדורים ארכימדיים, ו- formula_9 שלם, אז formula_10.
הוכחה: נניח ש- formula_11. מן הארכימדיות של formula_12 נובע שהקבוצה formula_13 חסומה על ידי מספר טבעי, ולכן היא חסומה גם ב- formula_9. נסמן ב- formula_15 את החסם העליון שלה. אם formula_16 אז קיים formula_17 טבעי כך ש- formula_18 ואז formula_19, סתירה להגדרת formula_20. מצד שני אם formula_21 אז קיים formula_17 טבעי כך ש- formula_23 ואז formula_24, שוב סתירה. לכן formula_25.
לכל שדה ארכימדי formula_26 אפשר לבנות את השדה formula_27 של חתכי דדקינד ב-formula_26. שדה זה הוא שלם (במובן של חסמים, ולכן ארכימדי), ו- F צפוף בו. על-פי ההגדרה, שדה המספרים הממשיים הוא ההשלמה formula_29 של שדה הרציונליים. מכיוון ש- formula_26 מכיל עותק של formula_31, יש שיכון formula_32. אבל כאן שני השדות שלמים; מן המשפט נובע ש- formula_33 - כלומר, כל שדה ארכימדי הוא תת שדה של השדה הממשי, ושדה זה הוא שדה חתכי דדקינד של כל אחד מהם.
שדה סדור שלם
באנליזה מתמטית, המונח שדה סדור שלם מתאר שדה סדור, שהוא שלם באחד משני מובנים (שונים), שיתוארו בהמשך. הדוגמה החשובה ביותר לשדה כזה היא שדה המספרים הממשיים, אותו אפשר להגדיר כשדה הסדור השלם הארכימדי היחיד.
הממשיים כשדה סדור שלם.
אחת המשימות של ענף המתמטיקה הקרוי אנליזה מתמטית, היא לארגן בצורה פורמלית את המושגים האינטואיטיביים שלנו על המספרים הממשיים. המטרה היא כפולה: ראשית, לזהות את התכונות המהותיות של המספרים הממשיים, שבזכותן הם בעלי תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה; ושנית, אם יתברר שישנן מערכות אחרות המקיימות אותן תכונות, אפשר יהיה לפתח נושאים מסוימים באנליזה גם עבור מערכות אלה, ולזכות בראייה רחבה יותר של התחום.
כאשר בוחנים את קבוצת המספרים הממשיים, מזהים כמה מאפיינים בולטים. בראש ובראשונה, ניתן להגדיר עבור המספרים האלה פעולות חיבור וכפל, המקיימות כמה אקסיומות חשובות. כל אלה מאוגדים בהצהרה שקבוצת המספרים הממשיים מהווה שדה. שנית, בין המספרים הממשיים יש יחס סדר, שלפיו אורכו של קטע גדול מאורכו של קטע חלקי לו. יחס זה מתואם עם פעולות השדה, וכך הופכים המספרים הממשיים להיות שדה סדור.
העובדה שמערכת המספרים שבה מטפלים מהווה שדה סדור, עדיין אינה מספיקה להפעלת השיקולים היסודיים של האנליזה. לדוגמה, שדה המספרים הרציונליים הוא שדה סדור, שבו לא קיימים אפילו שורשים ריבועיים. מבחינה אנליטית, אלו 'חורים' במערכת, שיש להפטר מהם. כדי להשלים את התמונה, יש לצרף תכונה טופולוגית של שדה המספרים הממשיים - העובדה שמדובר במרחב מטרי "שלם".
אלא שכאן מתברר שיש, תאורטית, שתי אפשרויות לאפיין מערכת מספרים נטולת חורים - שכן השדה הסדור הוא בעת ובעונה אחת גם מרחב מטרי וגם קבוצה סדורה. מנקודת המבט הראשונה, ישנה בטופולוגיה הגדרה מקובלת למרחב מטרי שלם, הקשורה בקיום גבול לסדרות מתאימות. מנקודת המבט השנייה, כאשר מדובר בקבוצה סדורה, יש הגדרה שימושית אחרת, הנוגעת לקיומם של חסמים מדויקים לקבוצות חסומות. משום כך, למונח שדה סדור שלם יש שתי משמעויות אפשריות (שיוצגו במדויק בהמשך).
תכונה חשובה נוספת של המספרים הממשיים - הם מקיימים את תכונת ארכימדס: אפשר להגיע לכל מרחק (גדול ככל שיהיה) אם צועדים מספיק צעדים באורך חיובי וקבוע (ויהיה אורך הצעדים קטן ככל שיהיה). מתברר שעבור שדה סדור ארכימדי, שתי ההגדרות האפשריות למושג השלמות, מתלכדות.
את יסודות האנליזה המתמטית אפשר לפתח מעל כל שדה סדור שלם, גם אם מדובר בשלמות במובן החלש יותר, ללא תכונת ארכימדס. מאידך, התכונות שנדונו כאן מספיקות כדי לאפיין את שדה המספרים הממשיים: זהו השדה הסדור הארכימדי השלם היחיד (עד כדי איזומורפיזם).
הגדרות של שלמות עבור שדה סדור.
מבחינה לוגית התאוריה של שדות סדורים קודמת לזו של השדה הממשי, ולכן בערך זה נשתמש בכמה מושגים מקובלים באנליזה במשמעות כללית יותר מהרגיל, שאינה נסמכת על קיומו של השדה הממשי.
מטריקה היא פונקציה המקיימת כמה אקסיומות, שערכיה הם מספרים ממשיים. פונקציה המקיימת אותן אקסיומות ומחזירה ערכים בשדה סדור (לאו דווקא בשדה הממשי), נקראת 'מטריקה מוכללת', ומרחב המצויד בפונקציה כזו הוא 'מרחב מטרי מוכלל'. כל שדה סדור הוא מרחב מטרי מוכלל: פונקציית המרחק formula_1 מקיימת את כל הדרישות הרגילות, ומחזירה ערכים בשדה עצמו.
אפשר לשאול את מושג ההתכנסות מן התאוריה של מרחבים מטריים, ולהגדיר סדרות מתכנסות וסדרות קושי בכל מרחב מטרי מוכלל, בדומה להגדרה הרגילה. כך, מרחב מטרי מוכלל הוא מרחב שלם, אם כל סדרת קושי בו מתכנסת. באופן דומה אפשר לאמץ את ההגדרות המקובלות של קבוצה חסומה ושל חסם עליון.
ישנן שתי הגדרות רלוונטיות:
משפט: שדה סדור הוא שלם במובן של חסמים, אם ורק אם הוא ארכימדי, ושלם במובן של סדרות.
הוכחה: נניח ש- F הוא שדה סדור שלם, במובן של חסמים. נניח שסדרת המספרים הטבעיים חסומה מלעיל, אז יש לה חסם עליון M; גם M-1 הוא חסם מלעיל של הקבוצה, וזו סתירה להנחה ש- M חסם עליון. מכאן שהשדה ארכימדי.
נניח ש- formula_2 סדרת קושי; לכל i נסמן ב- formula_3 את החסם התחתון של הקבוצה formula_4. נסמן ב- t את החסם העליון של הקבוצה formula_5. לכל n קיים i כך ש- formula_6, וקיים formula_7 כך ש- formula_8. לכן formula_9, ותת-הסדרה formula_10 מתכנסת ל- t. לכן גם הסדרה formula_11 מתכנסת לאותו גבול.
כעת נניח ש- F שדה סדור ארכימדי, שהוא שלם במובן של סדרות. תהי A קבוצה חסומה מלעיל. לכל n, קיים formula_12 שהוא חסם מלעיל של הקבוצה, כך ש- formula_13 אינו חסם מלעיל (קיומו של איבר כזה נובע מן הארכימדיות). קל להוכיח שהסדרה המתקבלת היא סדרת קושי, ושגבולה הוא חסם עליון של A.
מושג השלמות במובן של חסמים עשוי לחול כמובן על סתם קבוצה סדורה (שאינה שדה). הממשיים עם הסדר הטבעי הם הקבוצה הסדורה היחידה שהיא שלמה, ספרבילית (יש בה קבוצה בת-מניה צפופה) ואין בה איבר ראשון או אחרון.
עוצמה אינסופית
חואן ראמון חימנז
מרכבת חרמש
קונצ'רטים ברנדנבורגיים
פארק מת&quot;ם
פארק מת"ם (ראשי התיבות של "מרכז תעשיות מדע") הוא מתחם תעשיות היי-טק הממוקם במבואות הדרומיים של חיפה, סמוך לגבולה עם טירת כרמל, בין כביש 2 לכביש 4, הנפגשים בסמוך אליו. הפארק נמצא בבעלות משותפת של חברת גב-ים לקרקעות בע"מ והחברה הכלכלית של חיפה. מת"ם הוא מראשוני הפארקים לטכנולוגיה עילית בישראל, ואחד הגדולים שבהם. קרבתו לטכניון מסייעת בגיוס עובדים למרכזי המחקר והפיתוח שבו.
היסטוריה.
הפארק הוקם ביוזמת אלרון, עיריית חיפה ומשרד המסחר והתעשייה, שבסוף 1965 ביקשו ממינהל מקרקעי ישראל שטח של 100 דונם לקריה למפעלי אלקטרוניקה. המינהל הקצה לשם כך אדמות שהיו שייכות בעבר לנויהרדטהוף. בניית הפארק החלה בסוף שנת 1968 וטקס הנחת אבן הפינה לפארק נערך ב-6 במרץ 1969. המפעלים של קבוצת אלרון החלו לאכלס אותו בשנת 1972. בשנת 1984 כבר עבדו בפארק 4,000 עובדים.
בשנת 1991 הוקם מרכז הפיתוח של מיקרוסופט בפארק, שהיה הראשון שהקימה החברה מחוץ לארצות הברית. ב-2015 עבר המרכז לבניין חדש המשתרע על שטח של 7,500 מ"ר.
באוקטובר 1998 מכרה עיריית חיפה לחברת גב-ים, מקבוצת דיסקונט השקעות 50.1% מחברת מת"ם בעלת הפארק, תמורת 240 מיליון שקל, ההצעה הגבוהה ביותר שהוגשה במכרז שנערך.
באוגוסט 2006 הוקם מרכז הפיתוח של גוגל ישראל בפארק.