גם בתחשיב הפרדיקטים נעשה שימוש בכל הקשרים הלוגיים הסטנדרטיים המוכרים מתחשיב הפסוקים (או בחלק מהם, ובלבד שתיווצר קבוצה שלמה של קשרים באמצעותה ניתן להביע כל פעולה בוליאנית): formula_23. בנוסף מופיעים בתחשיב שני כמתים, formula_24 הוא הכמת הישי, המביע שפרדיקט מסוים מחזיר אמת עבור אובייקט אחד לפחות מתוך התחום. formula_25 הוא הכמת הכולי או האוניברסלי, המציין כי עבור כל אובייקט בתחום, פרדיקט מסוים מחזיר ערך אמת.
הסמלים של תחשיב הפרדיקטים מציינים משתנים (מצוינים באותיות x,y,z עם או בלי אינדקס ממוספר), קבועים (שמות, המצוינים באותיות a,b,c וכו') ופרדיקטים (מצוינים באותיות גדולות Px, Rxy, וכו'), וכן קבועים לוגים (הקשרים והכמתים) וסימני פיסוק (סוגריים). לעיתים כוללים את יחס הזהות בסימני התחשיב וכך נעשה להלן.
את הנוסחאות הבנויות היטב של התחשיב ניתן להגדיר באינדוקציה ע"פ חמשת הכללים התחביריים (סינטקטיים) הבאים:
תפקידם של הסוגריים למנוע דו-משמעות בקריאה של המשפטים. עם זאת מקובל להשמיט את הסוגריים החיצוניים ביותר.
כאשר בנוסחה כל המשתנים הם קשורים, דהיינו כאשר כל משתנה מצוי בטווח של כמת מתאים, הנוסחה נחשבת כפסוק (או טענה). או אז ניתן ליחס לה ערך אמת, בתלות בפירוש שהסמנטיקה נותנת לפרדיקטים ולתחום האובייקטים (ר' להלן).
בתחשיב הפרדיקטים הפסוק היסודי (או הפסוק האטומי) הוא בעל שני חלקים בלבד, פרדיקט ואובייקט, החוברים זה לזה כפי שפונקציה חלה על משתנים. דוגמאות לפסוקים כאלו ניתנות לעיל, בסעיף הלוגיקה של פרגה. כוחו של תחשיב הפרדיקטים ניכר ביכולתו להביע את קשרי ההיסק הלוגיים בין טענות שאין אפשרות להביע באמצעות תחשיב הפסוקים. למשל, ניתן להראות באמצעותו כי הטיעון הבא הוא תקף:
בתחשיב הפרדיקטים הכמתים מופיעים כחלק מן המבנה הפנימי של הטענה, ובאמצעות כך ניתן כעת לנסח בו טענות שיש בהם כימות מרובה של מספר משתנים בעת ובעונה אחת. טכניקות אלו מעניקות ללוגיקה כוח להביע עובדות וקשרים שאינם ניתנים להבעה באמצעות תחשיב הפסוקים או בלוגיקה האריסטוטלית. למשל הוא מאפשר לתת תיאור של מושג המספר, של מושג האינסוף ושל מושג הגבול באנליזה המתמטית של פונקציות, שכן לשם הבעת מושגים אלו יש צורך בטענה מרובת כמתים מן הצורה "לכל ε קיים δ כך ש...". דוגמה פשוטה יחסית לאופן בו נעשה שימוש כזה בכמתים היא ההצרנה של הטענה "לכל אחד יש חבר", כאשר נציין את היחס בין חברים שוב כפרדיקט דו-מקומי, F:
דוגמאות נוספות ניתנות בערך תחשיב הפרדיקטים.
סמנטיקה של תחשיב הפרדיקטים.
הסמנטיקה של תחשיב הפרדיקטים מציעה פירושים, אשר במסגרתם בלבד ניתן ליחס לפסוקים ערך אמת. פירוש מסוים מעניק מובן לכל אחד מן הקבועים הלא לוגים (השמות והפרדיקטים) וקובע את תחום-הדיון אשר על פיו נקבע הטווח של הכמתים. לדוגמה:
לא כל אובייקט בתחום דורש שיינתן לו שם. אולם צריך להיות ברור מן הסמנטיקה, עבור כל אובייקט וכל פרדיקט בתחום, האם הפרדיקט חל עליו או לא.
כעת ניתן להעריך את ערך האמת של הפסוקים הבאים בפירוש הנוכחי:
ענפי משנה נוספים של הלוגיקה בת ימינו.
לוגיקה מודלית.
לוגיקה מודָלית (modal logic) היא הרחבה של הלוגיקה הקלאסית, המאפשרת הגדרה פורמלית של ביטויים מודליים. ביטויים מודליים הם למשל כאלה המאפיינים את אמיתותם של משפטים, כגון "הכרחי" ו"אפשרי". לדוגמה, על פסוק כמו "יורד גשם", ניתן להפעיל את האופרטורים המודליים של ההכרח והאפשרות ולקבל "בהכרח יורד גשם" או "אפשרי שיורד גשם". הלוגיקה המודלית מציעה מספר מערכות אקסיומטיות בעלות תכונות שונות, והיא ניתנת להחלה במספר תחומים נוספים, למשל לשם תיאור מושגים דאונטיים (מושגי החובה וההיתר המוסרי, אותם ניתן להחיל על טענות הקובעות מה ראוי, מה אסור, ומה מותר) וטמפורליים (המאפשרת להביע את המובן הזמני של טענות כאופרטורים החלים על טענות לא-זמניות, וכך לייצג קשרי היסק לוגיים בין טענות אלו), וכן בתורת הידיעה (לוגיקה אפיסטמית) ובהסתברות.
לוגיקה אינטואיציוניסטית.
הלוגיקה האינטואיציוניסטית נובעת מעבודתו של המתמטיקאי לויצן אגברטוס יאן בראואר. היא אינה מכירה בחוק השלישי הנמנע (לפיו כל טענה היא אמיתית או שקרית, ללא חלופה אפשרית אחרת), ולפיכך היא אינה מאפשרת הוכחה בדרך השלילה. אקסיומת הבחירה של תורת הקבוצות נדחית אף היא. הלוגיקה האינטואיציוניסטית נוסחה באופן פורמלי על ידי ארנד הייטינג וארט בישופ, וקיבלה את התורה הסמנטית שלה מאת סול קריפקי.
לוגיקה עמומה.
לוגיקה עמומה, או לוגיקה מעורפלת (באנגלית: Fuzzy Logic), הוא שם כללי לתורות לוגיות המנסות להחיל את עקרונות החשיבה הרציונלית על תחומים שבהם נראה כי שני חוקי היסוד של הלוגיקה הקלאסית אינם מתאימים. בעיקר מדובר על תחומים שבהם יש צורך להתבסס על הערכות סובייקטיביות או רב-משמעיות (בתחומים הקשורים למדעי החברה או לכלכלה, כמו שיווק למשל).
מרק דניאל מאירוביץ'
הדדיות ריבועית
חוק ההדדיות הריבועית
שמות ביהדות
שמות ביהדות הם השמות הפרטיים המצויים בשימוש אצל יהודים.
מבוא.
ביהדות אין כללים לבחירת שם, אבל בקהילות המסורתיות התפתח מנהג שעל פיו קוראים לרך הנולד על שם אדם חשוב. בקהילות אשכנז, בנים נקראים בדרך כלל על שם אבות המשפחה שנפטרו, ובנות על שם אמהות המשפחה שנפטרו. בחלק מקהילות עדות המזרח קיים מנהג לקרוא לנולדים בשמות הסבים או הסבתות בעוד האחרונים בחיים. דוגמאות למנהגים המשתנים מקהילה לקהילה: אין לקרוא לשלושה אחים "אברהם, יצחק ויעקב" או לקרוא בשם "בן ציון" לילד שנולד למשפחה ששכלה ילד. מנהג נוסף המעיד על חשיבות השם הוא קריאת פסוק המתחיל באות הפותחת את שמו של המתפלל ומסתיים באות הסוגרת אותו בכל תפילת "עמידה", הנאמרת שלוש פעמים ביום. מנהג זה מסמל את חשיבותו של שם האדם כחלק מן העניין האלוהי, ומשמש כסגולה לזכירת השם באחרית הימים, כחלק מתהליך הגאולה ותחיית המתים. השם ה"יהודי" המקובל הוא שילוב של שם האדם ושם אביו, למשל יצחק בן אברהם, אך צורה זו אינה אופיינית לעם היהודי בלבד.
עבור חוקר הגנאלוגיה, חשיפת שמו של אדם היא היעד הראשוני בחקר מוצאו. לעיתים קרובות אנו יודעים על קיומה של דמות מסוימת בזכות ההקשר המשפחתי, כגון "אב של...", "בת של...", "בעל של...", אך מתקשים לשחזר את שמה.
ביהדות אשכנז.
על פי המסורת המקובלת במרכז אירופה ומזרחה, שם הילד או הילדה משמש כדרך להנצחתו של בן משפחה שנפטר. רק במקרים נדירים, כאשר "נוצלו" כל שמות הנפטרים, נבחרו שמות נוספים. שמות נוספים אלו היו, בדרך כלל, שמותיהם של רבנים או אישי ציבור ידועים. בקהילות "מודרניות" יותר, הייתה הקפדה פחותה על שימוש בשמות המסורתיים בלבד, ורשימת השמות הייתה יצירתית יותר.
זיהויו של האדם בקהילה היהודית, היה מורכב בדרך כלל מכמה סוגי שמות נפרדים, ששימשו כל אחד בזמן ולצורך מסוים.
השם היהודי.
השם היהודי נקרא במקורות "שם קודש", והיו בשימוש בעיקר בבתי הכנסת בתפילות השונות ובבתי הקברות, ברישום על המצבות וברישומי חברה קדישא. השם ניתן לאחר הלידה, בדרך כלל על שמו של אחד מהסבים או קודמיהם. לעיתים הורכב השם משניים ואף שלושה שמות (עבריים), ולעיתים כאלו שבאופן מסורתי צמודים זה לזה, כגון אריה-יהודה (אריה הוא סימנו של שבט יהודה), או ציפורה-בלומה לבת. במקרים אחרים היה השם שילוב של שמות של מספר נפטרים. שמות יהודיים מיוחדים ניתנו גם בעקבות לידת הילד בתקופה מסוימת, דוגמת: פסח, ניסן, חנוכה, יום-טוב, או במקרה של בנות: חיה-שרה (לפי פרשת השבוע "חיי שרה"), אתל (במקרא) אסתר (בפורים) וכו'. ביהדות אירופה היה מקורם של הרבה שמות ביידיש שזוהי הייתה השפה המקובלת בין הקהילות היהודיות לדוגמה: "פרומה" או "פרימה"- שם שהיה נפוץ בעיקר ביהדות רומניה שפירושו הוא אישה דתייה, גולדה -זהבה או שיינה-יפה.
השם בשפת היומיום.
שם זה היה לעיתים השם העברי בתרגום ליידיש או לשם מקובל אחר כשם נוסף לשם המקורי, כגון אפרים-פישל ("פיש" הוא דג, סמל לפריון) על פי ברכת יעקב לאפרים שבה אמר יעקב: "...וְזַרְעוֹ, יִהְיֶה מְלֹא-הַגּוֹיִם" שלמה-זלמן (שיבוש של "סלומון", השם שלמה בלועזית), אשר-זליג/אנשל דב-בער, אריה-לייב, שרגא-פייבל, או אורי-פייבל ("שרגא" בארמית נר, ו"פייבל" או "פייביש" מהשם היווני Phoebus, שמשמעותו אור) וכו'. כך גם לגבי שמות הבנות: ציפורה-פייגה, יונה-טויבה, יהודית-יודעס וכו'. סוג אחר של שמות "נרדפים" הם השמות בצורה המוקטנת, כלומר: חיים הופך לחייק'ל, יעקב הופך ליענק'ל, חנה לחנצ'ה ורחל לרוח'ל. לחלק מן השמות הנרדפים אין הסבר מדויק, כמו מנחם-מנדל. שמות אלו היו בשימוש החברה היהודית במיוחד בעיירות הקטנות יותר ובכפרים, כלומר במקומות בהם החברה היהודית הייתה סגורה יותר ולא קיימה מגע הדוק עם הסביבה הלא-יהודית.
במסורת היהודית נקרא השם היום יומי שם כנוי, כלומר בנימין המכונה וולף, אז בנימין הוא שם קודש וולף הוא הכנוי שנגזר מהשם זאב. יששכר המכונה בער, אשר המכונה זעליג, אורי המכונה פייבל. אבל אפשר גם להשתמש בשלושה שמות כמו אורי המכונה פייבל הנקרא פיליפ. אורי הוא שם קודש, פייבל הוא הכנוי ופיליפ הוא השם האזרחי כפי שנרשם אצל השלטונות. היות ששם הקודש משמש בעיקר לצורכי דת, כמו עלייה לתורה וכדומה, הרי אצל נשים שם זה לא קיים וכבר מזמן ימי הבינים באירופה התחילו לתת לנשים שמות גרמנים או לטיניים (איטלקיים, צרפתיים וספרדים). כמו טויבה (יונה בגרמנית), פליציה (מאושרת בלטינית), פלורנסיה (פרח בלטינית), בלומה (פרח בגרמנית) ועוד.
כינוי או שם נוסף.