כפי שניוטון הראה, הטענה נכונה אפילו אם מדובר רק בישרים העוברים דרך הראשית. במקרה כזה הישר מוגדר על ידי הזווית שלו ביחס לציר ה-x, והלמה קובעת ששטח הגזרה אינו פונקציה אלגברית של קוסינוס הזווית. אם מניחים שהעקום עצמו מוגדר על ידי משוואה אלגברית, אז נקודת החיתוך של הישר עם העקום היא פונקציה אלגברית של המקדמים, ואז אפשר לנסח את הטענה גם כך: "שטח הגזרה, עם בסיס קבוע, אינו פונקציה אלגברית של הנקודה הקובעת את הגזרה". זהו הניסוח שהיה נחוץ לניוטון על-מנת להראות שאין קשר אלגברי בין הזמן לבין מקומו של כוכב לכת במסלולו.
לדוגמה, הלמה של ניוטון קובעת ששטח הגזרה של עיגול אינו תלוי אלגברית בקוסינוס הזווית של הגזרה. אכן, שטח הגזרה פרופורציונלי לזווית עצמה, והקוסינוס באמת אינו פונקציה אלגברית של הזווית.
ההוכחה של ניוטון.
ניוטון קבע את ראשית הצירים P כנקודה פנימית של העקום, והתבונן בספירלה של הנקודות (r,θ) בקואורדינטות פולריות אשר המרחק שלהן r מ-P הוא השטח המוקצה מהעקום הקמור על ידי הגזרה התחומה בקווים הישרים היוצאים מ-P בזוויות 0 ו-θ. בכל פעם שהישר מסתובב ועובר סיבוב שלם, השטח המצטבר גדל בקבוע. אם כך, עבור כל שיפוע m של ישר y = mx (העובר דרך P), יש לספירלה הזאת אינסוף נקודות חיתוך עם הישר הזה, ולכן r לא יכול להיות פונקציה אלגברית של m. זה נובע מהסתכלות על (r(m כעל פונקציה רב-ערכית - פונקציה היא אלגברית אם ורק אם הפונקציה ההופכית לה היא אלגברית, וכיוון שהפונקציה (ההופכית) (m(r מקבלת כל ערך אינסוף פעמים, יש לה מספר אינסופי של שורשים. אולם לכל פונקציה פולינומית מספר השורשים שלה לא יכול לעלות על הדרגה של הפולינום, ולכן השטח שנחתך על ידי ישר כלשהו לא יכול להיות פונקציה אלגברית של המקדמים של הישר.
כהערת שוליים יש לציין שבטיעון המקורי שלו ניוטון הגדיר את הספירלה כעקום הנוצר על ידי נקודה הנעה לאורך ישר המסתובב בקצב קבוע סביב נקודה, ובקצב תנועה רדיאלי שפרופורציונלי ל-formula_2 כאשר formula_3 הוא אורך הרדיוס מנקודה P בזווית θ בעקום המקורי. הגדרה זו שקולה לגמרי להגדרה הקודמת (formula_4 הוא בדיוק שטח הגזרה בעקום המקורי), אולם קל יותר להבין בה מדוע הטיעון הזה לא יכול לשמש להוכיח למשל ש-formula_4 לא אלגברית - formula_6 היא פונקציה מונוטונית עולה, והיא לא חוזרת לערכה ההתחלתי בכל פעם שהישר משלים סיבוב של formula_7 רדיאנים, וזאת בניגוד לשיפוע, שערכו כן מחזורי. אם ניקח למשל הדוגמה של מעגל, אז אם מגדירים את formula_6 כך שתחזור לערכה ההתחלתי אחרי סיבוב שלם, גם השטח יחזור לערכו ההתחלתי, שכן formula_9 יהיה שלילי בנקודת הקפיצה, כך שלא ניתן לטעון לאי תלות אלגברית.
ניוטון הראה לפיכך שמהסגירות והחלקות של העקום נובעת אי תלות אלגברית שלו בשטח שמוקצה על ידי ישר עם פרמטרים מסוימים. הדרישה לחלקות העקום היא הכרחית - הטענה שקיום אינסוף שורשים גורר אי אלגבריות נובעת מהחלקות של הפונקציה; אחרת הספירלה עשויה להיות איחוד אינסופי של חתיכות של עקומים אלגבריים שונים. זה מה שקורה במגוון הדוגמאות הנגדיות למשפט של ניוטון בעבור עקומים לא חלקים. לדוגמה, בלמינסקטה של ברנולי formula_10, שטח הגזרה (המוגבל בין העקום, ציר ה-x והישר המחבר את הראשית עם הנקודה (x,y)) הוא formula_11, שהיא פונקציה אלגברית! במקרה זה ההוכחה אינה תקפה, משום שכאשר הישר מסתובב, ערך השטח עובר לענף אנליטי אחר של הפונקציה, היות שהעקום אינו חלק בראשית.
ישראל קליינר (מתמטיקאי)
ישראל קליינר הוא מתמטיקאי קנדי וחוקר ההיסטוריה של המתמטיקה.
חייו.
קליינר קיבל את הדוקטורט שלו ב-1967 מאוניברסיטת מקגיל בהנחייתו של יואכים למברק, כשכותרת עבודת התזה שלו Lie modules and rings of quotients. קליינר היה פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת יורק החל מ-1965, ושם היה אחראי על תוכנית הלימודים למורים למתמטיקה. הוא ידוע בשל עבודתו על היסטוריה של האלגברה ועל לימודיו בתחומי המתמטיקה וההיסטוריה של המתמטיקה.
הוא זכה בפרס קרל אלנדורפר ב-1987 על מאמרו על התפתחות תורת הקבוצות ופעם נוספת ב-1992 על מאמרו הסוקר את ההתפתחות של הוכחות קבילות במתמטיקה. ב-1990 זכה בפרס ג'ורג' פוליה על מאמרו על התפתחות מושג הפונקציה, וב-1995 זכה בפרס לסטר רנדולף פורד, יחד עם נצה מובשוביץ-הדר. באמצע העשור הראשון של המאה ה-21 היה סגן נשיא של האגודה הקנדית לפילוסופיה והיסטוריה של המתמטיקה.
ישראל קליינר
אשליי וקסמן בקשי
גינדיבו
גִנְדִבֻ הערבי היה מנהיגם של שבטים ערביים בצפון המדבר הסורו-ערבי במחצית המאה התשיעית לפנה"ס והוא האישיות הערבית הקדומה ביותר המוזכרת בתיעוד הארכאולוגי. שמו הופיע במצבת כורח כמנהיג ערבי שהשתתף בקואליציה האזורית שהתעמתה עם הצבא האשורי בקרב קרקר בשנת 853 לפנה"ס. מוקד פעילותו היה, כנראה, סביב ואדי סירחאן בצפון המדבר הסורו-ערבי (צפון ירדן בימנו).
תיעוד בארכאולוגיה.
שמו של גינדיבו מופיע פעם אחת בלבד במצבת אבן שנכתבה בתקופת מלך אשור, שלמנאסר השלישי, ונמצאה בחפירות ארכאולוגיות ב-1861 ליד הכפר הכורדי כֻורְח, בדרום מזרח טורקיה. מצבה זו הוקמה ככל הנראה בסוף שנת 853 לפנה"ס, או בתחילת שנת 852 לפנה"ס, והיא מתארת את פעליו של שלמנאסר השלישי בשש השנים הראשונות לשלטונו, מאז 859 לפנה"ס.
בין המאורעות המתוארים במצבה, מתואר גם מסע המלחמה של המלך האשורי נגד קואליציית מלכים שהתקבצה נגדו במערב האימפריה בהנהגתו של אירחולני הארמי מלך חמת ובהשתתפותם של מלכים אחרים באזור כהדדעזר מארם דמשק ואחאב הישראלי. מסע המלחמה הסתיים בקרב קרקר.
בין המשתתפים בקרב מוזכר גם "גינדיבו הערבי": "...1,200 מרכבות, 1,200 פרשים, 20,000 רגלי של הדדעזר מדמשק; 700 מרכבות, 700 פרשים, 10,000 רגלי של אירחולני החמתי; 2,000 מרכבות, 10,000 רגלי של אחאב הישראלי; 500 חיילים מגְבָל; 1,000 חיילים ממצרים; 10 מרכבות, 10,000 חיילים מערקת; 200 חיילים של מתנבעל הארוָדי; 200 חיילים מאוסנתו; 30 מרכבות 000[...] חיילים של אדנבעל מסִיָנֻ; 1,000 גמלים של גִנְדִבֻ הערבי; 00[...] חיילים של בעשא בן רחוב מהר אמנה; את 12 המלכים האלה הביא לעזרתו. הם עלו נגדי לקרב ומלחמה...".
על פי הכתוב במצבה ניצח שלמנאסר השלישי את קואליציית המלכים, אולם על בסיס העובדה שנאלץ להילחם שוב באותו אזור בשנים הבאות, מעריכים חוקרים שתוצאות הקרב לא היו חד משמעיות.
מעבר לתיעוד זה אין כל מידע בממצאים הארכאולוגיים או בטקסטים אחרים על גינדיבו. אזכורו של גינדיבו כמנהיג ערבי, הוא למעשה הפעם הראשונה שמופיע בטקסטים שנמצאו בחפירות ארכאולוגיות שמו של מנהיג ערבי והמושג "ערבי" בכלל.
אונטולוגיה.
השם גינדיבו הוא הגרסה של שמו בשפה האכדית, בה נכתבה מצבת כורח. חוקרים מעריכים ששמו המקורי היה גֻנְדֻב, גִנְדֻב, או גֻנְדָאב. משמעות המילה בערבית היא חגב. השימוש בשם בעל חי לשמות אנשים מוכר בשפות השמיות, כפי שמוכרות דמויות כאלה במקרא (רחל, כלב בן יפונה, אלנתן בן עכבור וכדומה).
מעמדו ומוקד פעילותו.
בשל ההעדר המוחלט של מידע על גינדיבו מעבר לאזכורו הקצר במצבת כורח, לא ידוע דבר על מעמדו הרשמי, האזור בו פעל ונסיבות השתתפותו בעימות נגד אשור במחצית המאה התשיעית לפנה"ס. עם זאת, על בסיס ניתוח תעודות אשוריות אחרות, גיבשו חוקרים הערכה לגבי סוגיות אלה. במחקרו על הערבים בתקופה הקדומה מצביע ישראל אפעל על כך שתעודות קודמות ומאוחרות של שלמנאסר השלישי סביב מסע המלחמה בדמשק והחורן בשנת 841 לפנה"ס, או אחרי הכנעת המרד הארמי של בר-הדד השלישי ב-805 לפנה"ס, אינן מזכירות נוכחות או מעורבות ערבית. המסקנה, להבנתו, היא שלא הייתה באזור דמשק/החורן במאה ה-9 נוכחות ערבית, ומעורבותו של גינדיבו בקרב קרקר הייתה הרחק ממוקד מחייתו הקבוע. להערכתו, שבטו של גינדיבו שכן בעיקר במרחב צפון המדבר הסורו-ערבי, באזור ואדי סירחאן, צפונית לחצי האי ערב ממערב למסופוטמיה, או צפון ירדן המודרנית. להערכת אפעל, מעורבותו של גינדיבו בעימות עם אשור, וקשריו עם בן-הדד הארמי ואחאב הישראלי, משקפים אינטרסים כלכליים, בעיקר בתחום המסחר וחששו מפגיעה באינטרסים אלה כתוצאה מהתחזקות אחיזת שלמנאסר השלישי בדרכי המסחר באזור המערב שמי. להערכתו, גם אם ציון 1,000 הגמלים שברשותו הייתה הגזמה אשורית אופיינית למצבות כגון זו בכורח, הדבר כנראה שיקף את מעמדו המשמעותי והמוניטין שצבר כמנהיג בעל השפעה אזורית.
גם מחקרו של יאן רצו (Jan Rest) באותו נושא מצביע על אזור ואדי סירחאן כמקור מושבו המשוער של גינדיבו ואף ממקד אותו לנווה המדבר באזור אל אזרק. על רקע מיעוט הפרטים הידועים על גינדיבו, ניתח רצו ציורי גמלים במצבות ותבליטים אשוריים. לטענתו, התיאור המתאים ביותר לגמליו של גינדיבו מצוי על תבליטי הברונזה שבשער העיר אִמְגֻר-אנליל (בלאוואת המודרנית) המתאר קרב בצפון סוריה בשנת 858 לפנה"ס. גמלים אלא נשאו אוכפי-כריות מאחורי דבשת הגמל (מכונה "אוכף דרום ערבי"). אופן רכיבה זה מרמז על שימוש בגמל כאמצעי מסחרי ולא קרבי (בו האוכף מורכב על מרכז הדבשת ומאפשר ירי חצים תוך כדי רכיבה.). על בסיס זה, מעריך רצו שתפקידו של גינדיבו בקרב קרקר היה לוגיסטי בעיקרו ולא השתתף בפועל בלחימה.
בכל מקרה, הופעתו של גינדיבו במצבת כורח היוותה סנונית ראשונה להופעתם המרובה של ערבים בטקסטים אשוריים ובבליים מאמצע המאה התשיעית לפנה"ס על רקע החיכוך שהיו לאימפריות הללו לאורך כל המרחב הסורו-ערבי.
מומיה אבו-ג'אמאל
האגודה הישראלית לכרטוגרפיה ולמערכות מידע גיאוגרפי
ריצ'ארד או'בריאן
טורקי אל-פייסל
ברקשייר האת'אוויי
יוז'י סורינוב
אליזבת סליידן