על פי תקן AC-3, קצב המידע המקודד המקסימלי הוא 640 קילו-ביט לשנייה. נגני DVD ביתיים בדרך כלל אינם מסוגלים לקרוא יותר מ-448 קילו-ביט לשנייה, בגלל מגבלות שמטילים היצרנים השונים. זו גם מגבלת רוחב הפס שמוגדרת לתקן AC-3 בטלוויזיה בכבלים (דיגיטלית). קונסולת המשחקים XBOX מוציאה את הקצב המקסימלי המוגדר בתקן - 640 קילו-ביט לשנייה.
חברת דולבי שותפה לפיתוח AAC, התקן העתיד להחליף את AC-3 בשימושי MPEG, שביצועיו טובים יותר אך הוא מורכב יותר.
שישה כובעי חשיבה
ששת כובעי החשיבה (באנגלית: Six Thinking Hats) של אדוארד דה בונו, היא שיטת חשיבה שמטרתה שיפור תהליך קבלת ההחלטות בקבוצות. במסגרת השיטה, המשתתפים בדיון מבצעים משחק תפקידים בהתאם לכובע הדמיוני שהם חובשים. דה בונו פרסם את השיטה בספרו "שישה כובעי חשיבה" שראה אור בשנת 1985. הספר תורגם גם לעברית.
עיקרי השיטה.
משתתף רשאי להחליף כובעים במהלך הדיון וכך לייצג דרכי חשיבה שונות זו מזו. ביקורתיות מצד אחד, הפריית הדיון ויצירתיות מצד שני, שיפוט נייטרלי לקבלת החלטות שקולות הם ממאפיני השיטה.
כובע לבן - עובדות, נתונים ומידע.
חשיבה נייטרלית, משמעת והכוונה. חשיבה נייטרלית ואובייקטיבית בהצגת
המידע לקבלת החלטה שקולה. הכובע הלבן עונה על השאלות: איזה מידע יש בידינו? איזה מידע דרוש לנו ואין לנו? איך משיגים את המידע הזה? אנו זקוקים לצבע זה לצורך מתן מענה לשאלה, בחירת ההסבר הנכון, הערכת רעיון, פתרון לבעיה, קבלת החלטה וכדומה...
כובע אדום - רגשות, תחושות ואינטואיציה.
לגיטימציה להכנסת רגשות כולל שנאה ופחד למשל בחשיבה. שימוש
בתחושות ובאינטואיציה ובחוש שישי לקבלת החלטות. הכובע האדום עונה על השאלות: מה אני מרגיש בקשר לעניין כרגע? מהי "תחושת הבטן" שלי? מה האינטואיציה שלי?
הנטייה הטבעית שלנו היא להוציא את רגשותינו גם בשיחה נייטרלית. הכובע האדום נותן לגיטימציה לשלב "איתותים" רגשיים בשיחה רצינית. במקרה של ניסיון בשטח יש לזה ערך רב, אך באותה מידה הוא יכול להטעות.
כובע שחור - שיפוט שלילי, מדוע לא יצליח (תפקיד פרקליט השטן).
חשיבה בקורתית. הערכה שלילית לנושא בדיון. ניסיון אובייקטיבי להראות
המרכיבים השליליים והצבעה על טעויות לוגיות או הסתמכות על העבר. הכובע השחור עונה על השאלות: האם זה נכון? האם זה יצליח? האם זה מתאים? מהן הסכנות, הקשיים והבעיות שיש לקחת בחשבון?
משתמשים בו כשרוצים לבטל רעיון, לנמק מדוע לא כדאי לקבל הצעה מסוימת או לשכנע לבטל תוכנית מסוימת.
כובע צהוב - גישה חיובית ואופטימית, הזדמנויות.
חשיבה חיובית קונסטרוקטיבית. ניסיון להראות החיוב. חיפוש היתרונות.
חיפוש הבסיס הלוגי לרעיון. חיפוש הזדמנויות. הכובע הצהוב עונה על השאלות: מה היתרונות שיש? מה התועלת שתצמח מזה? מדוע זה יצליח?
משתמשים בו כאשר רוצים לבחון את תרומת הרעיון, או היתרונות של פתרון: האם כדאי לקבל את הרעיון והאם כדאי לבצע זאת? כל רעיון יצירתי משתמש בכובע צהוב. החשיבה החיובית איננה טבעית כמו חשיבת הכובע השחור ודורשת לעיתים מאמץ מכוון.
כובע ירוק - יצירתיות וצמיחת
חשיבה יצירתית, חיפוש חלופות. ניסיון להתקדם אל מעבר לידע הקיים.
חשיבה לטרלית (צידית, רחבה, מתפרשת) לגיבוש תפיסות ומושגים חדשים. הכובע הירוק עונה על השאלות: מה עוד? (רעיון, היבט, הסבר, פתרון, מסקנה) אילו אלטרנטיבות אפשר להציע? האם קיימים כיווני חשיבה שלא העלינו?
הכובע הירוק שימושי ביותר כאשר מחפשים הסבר לתופעה, פתרון לבעיה מעבר לפתרונות הקיימים, כשהדיון נתקע, כשצריך פרובוקציה כדי לקדם את הדיון הלאה.
כובע כחול - רוגע ושליטה. לחשוב על החשיבה.
חובש הכובע הכחול מארגן את תהליך החשיבה, מגדיר את הנושא, מנסח
את השאלות. אוכף המשמעת ואחראי לסיכום הדברים. הכובע הכחול עונה על השאלות (לצורך ניתוח מצב ותכנון): מה המטרה? למה הגענו? היכן אנו עומדים? מה תוכנית החשיבה מכאן ואילך? מה הצעד הבא? וגם לצורך סיכום ורפלקציה: מה אפיין את החשיבה שלנו? האם הייתה יעילה? מה היו ההצלחות בחשיבה? מה היו הקשיים? איך נמנע אותם?
הכובע הכחול מתפקד כ"נווט החשיבה" של הקבוצה: הוא מתבונן, מברר, ממקד, מגדיר מטרה, מנסח שאלות, מזהה סטייה ממסלול החשיבה, עורך סיכומי ביניים וסיכומים סופיים.
הבעיה השלישית של הילברט
הבעיה השלישית מבין עשרים ושלוש הבעיות שהציג דויד הילברט בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים של שנת 1900 עוסקת ביסודות האקסיומטיים של גאומטריית המרחב. הבעיה השלישית היא הבעיה הראשונה של הילברט שנפתרה: את הפתרון מצא מקס דן (Max Dehn), עוד לפני שהבעיה הוצגה בקונגרס.
הבעיה פשוטה לניסוח:
הבעיה.
בעיקרו של דבר, מושגי השטח והנפח הם מושגים השוואתיים. אם שתי צורות מישוריות מורכבות מאותם מרכיבים (למשל, ריבוע בעל צלע 1, ריבוע בעל צלע 2 ומשולש שווה-צלעות בעל צלע 2), אז הן בוודאי בעלות אותו שטח, גם אם המרכיבים מחוברים זה לזה בדרכים שונות. עוד לפני סוף המאה ה-19 הוברר שכל שני מצולעים (פשוטים) שיש להם אותו שטח, אפשר לפרק למספר סופי של מרכיבים, שאותם אפשר לסדר בזוגות חופפים (לתיאור מלא של ההוכחה ראו הערך חידות חיתוך והרכבה).
דוגמה פשוטה לעובדה זו אפשר לראות בנוסחה לשטח מקבילית. אם קודקודי המקבילית הם ABCD והגובה מהקודקוד A פוגע בצלע CD בנקודה H (שבתוך הצלע), אז אפשר לפרק את המקבילית למשולש ישר-זווית AHD וטרפז ישר-זווית ABCH. כאשר מחברים את המשולש מצדו האחר של הטרפז, על ידי הסעת המשולש AHD למשולש שקודקודיו BRC, מתקבל מלבן ABRH בעל אותו גובה ואותו בסיס כמו המקבילית. בהיפוך הסדר, אפשר לטעון ששוויון השטחים בין המלבן ABRH למקבילית ABCD נובע מכך שכל אחד מהם אפשר לפרק לטרפז ומשולש, כאשר שני הטרפזים ושני המשולשים חופפים זה לזה. דוגמה זו עשויה להטעות, משום שלא תמיד יפגע הגובה בנקודה שבתוך הצלע. כאשר מכלילים את הרעיון שהוצג כאן, יש צורך להפעיל את תכונת ארכימדס של המספרים הממשיים: אם צועדים בפסיעות שאורכן קבוע וחיובי, אפשר להגיע רחוק ככל שרוצים, ובלבד שמספר הצעדים גדול מספיק. גם כאשר למלבן ומקבילית יש אותם בסיס וגובה (ולכן אותו שטח), לא תמיד אפשר לפרק אותם לשני מרכיבים החופפים זה לזה בזוגות; תכונת ארכימדס מבטיחה, עם זאת, שתמיד יהיה קיים פירוק סופי.
הילברט מייחס את הבעיה השלישית לגאוס, שתהה האם האפשרות להסביר כל שוויון של נפחים באמצעות פירוק למרכיבים, בדומה לשוויון של שטחים: האם כל שני פאונים שווי נפח אפשר לפרק למספר סופי של מרכיבים חופפים. באופן מסורתי, שוויון נפחים הוסבר באמצעות תהליכי מיצוי שדרשו פירוק למספר גדל והולך של מרכיבים, באופן שמתקרב בסופו של דבר להליכי החישוב של האינטגרל המסוים. הילברט חשד שלא ניתן להפטר מן המרכיב האינסופי, ולכן ניסח את הבעיה השלישית באופן שלילי, כפי שהוצג במבוא. (הילברט דרש בנוסף שהפאונים לא יהיו ניתנים לפירוק חופף, אפילו אחרי שמוסיפים לכל אחד מהם אותם מרכיבים חופפים).
למרות הניסוח הפשוט לכאורה, מדברי המבוא של הילברט לבעיה מובן שהוא מעוניין בשאלה עקרונית: מהן האקסיומות הנחוצות להוכחת טענות בגאומטריה של המרחב. מבחינה זו, הבעיה מצטרפת לבעיה הראשונה, השנייה, הרביעית והששית, שכולן עוסקות ביסודות האקסיומטיים של המתמטיקה.
פתרונה.
הבעיה השלישית של הילברט נפתרה כמעט מיד על ידי מקס דֶן (Max Dehn), יהודי, שנולד בהמבורג בשנת 1878. דן סיים את עבודת הדוקטורט שלו באוניברסיטת גטינגן ב-1900, וכך נחשף לנושאים שהעסיקו את הילברט מיד ראשונה.
הפתרון של דן מבוסס על הבחנה פשוטה ורבת עוצמה, ששימשה אותו גם בעבודתו בתחומים מתמטיים אחרים: הצמדת שמורה (אינווריאנט) לכל פאון, שלא תושפע מן הפירוק למרכיבים. לכל צלע בפאון יש שני מאפיינים מספריים: אורך הצלע, והזווית בין שתי הפאות הנפגשות באותה צלע. נניח שאפשר למצוא פונקציה f של שני ערכים אלה, שתקיים את השוויונות formula_1 ו- formula_2. אם נגדיר את ה'משקל' של פאון להיות הסכום של ערכי f במעבר על כל צלעות הפאון, התכונות של f יבטיחו שבכל פירוק של הפאון למספר מרכיבים, סכום המשקלים של המרכיבים יהיה שווה למשקלו של הפאון המקורי. מכאן נובע מיד ששני פאונים בעלי משקל שונה לא ניתן לפרק למרכיבים חופפים בזוגות.
דן מצא פונקציה כזו. לשני הארבעונים שבסיסם משולש ישר-זווית ושווה שוקים ABC בעל שוק AB=BC באורך 1, וגובהם 1, שבאחד מהם הקודקוד שמעל לבסיס מונח מעל ל- A ובשני מעל ל- B, יש משקלים שונים, ולכן לא ניתן לפרק אותם למרכיבים חופפים בזוגות - בדיוק כפי שביקש הילברט.
אדריאנה קארמבו
מאטריקס
קפיצת סקי
חולה רוח
משפט השלמות של גדל
משפט השלמות, אותו הוכיח קורט גדל בעבודת הדוקטורט בשנת 1929, הוא אחד המשפטים היסודיים בלוגיקה מתמטית. המשפט קושר שתיים מן הדרכים היסודיות לטיפול המתמטי במושגים של אמת ושקר, נכון ולא נכון: הנכונות של טענה בכל מודל למערכת אקסיומות, לעומת האפשרות לבנות הוכחה מתוך האקסיומות.
לפי משפט השלמות, כל טענה שהיא נכונה - בכל מודל של מערכת אקסיומות נתונה - ניתן להוכיח באופן פורמלי מתוך מערכת האקסיומות. בניסוח אחר, לכל תורה עקבית קיים מודל. הוכחת משפט השלמות היא קונסטרוקטיבית, כלומר מראה כיצד ניתן לבנות מודל זה, ומתקבל שהוא בן מניה אם מערכת האקסיומות של התורה סופית, וגודלו אינו עולה על גודלה של מערכת האקסיומות, אחרת.
משפט הפוך למשפט השלמות הוא משפט הנאותות, שקובע כי אם ניתן להוכיח טענה כלשהי ממערכת אקסיומות נתונה, אזי טענה זו נכונה בכל מודל של מערכת זו.