בגישה זאת השוויון formula_26 נובע ישירות מההגדרה מכיוון שעל-פי יחס השקילות שהוגדר מעלה שני יצוגים אלה שקולים. היתרון של הגדרה זאת שהיא מפורשת ואלמנטרית והחסרונות שלה שלא ברור למה מושג זה מתאים לאינטואיציה שלנו לגבי מספרים ממשיים וקשה להגדיר את פעולות החשבון הבסיסיות באמצעות הגדרה זאת.
גישה אקסיומטית למספרים ממשיים.
במקום לתת בנייה מפורשת של אוסף המספרים הממשיים, ניתן לתת רשימת פעולות שאנו רוצים לבצע על מספרים ממשיים ודרישות שפעולות אלה צריכות לקיים. לדרישות אלה קוראים אקסיומות. יש מספר מערכות של אקסיומות המתארות את המספרים הממשיים ביחידות עד כדי איזומורפיזם. זאת אמרת, שלא יכולות להיות שתי דוגמאות שונות לקבוצות עם פעולות שיקיימו את מערכת האקסיומות. אלה אם דוגמאות אלה יהיו שקולות במובן שתהיה העתקה חח"ע ועל בין הקבוצות ששומרת על הפעולות.
אחת ממערכות האקסיומות המגדירות את המספרים הממשיים היא מערכת האקסיומות של שדה סדור שלם. בשדה סדור שלם הגבול של סדרה עולה שווה לסופרמום שלה. זאת אומרת למספר הקטן ביותר שגדול או שווה לכל איברי הסדרה. על פי גישה זאת, על מנת להוכיח את השוויון formula_27 יש להסיק אותו מהאקסיומות. להלן דוגמה להוכחה כזאת:
היתרון הגדול של הגישה האקסיומתית היא האוניברסליות שלה. כל בנייה של המספרים הממשיים תקיים את האקסיומות וכל קבוצה עם פעולות שמקיימת את האקסיומות יכולה להיקרא קבוצת המספרים הממשיים. כמו כן האקסיומות עצמן אינטואיטיביות למדי, ומתיישבות עם הניסיון היום יומי שלנו עם מושג המספרים הממשיים. מה שלא ברור אינטואיטיבית הוא שהאקסיומות
מספיקות כדי לתאר את המספרים הממשיים, ושכל עובדה שנכונה עבור המספרים הממשיים תהיה נכונה עבור כל קבוצה המקיימת את האקסיומות. טענה זאת נובעת מהיחידות (עד כדי איזומורפיזם) של קבוצת המספרים הממשיים. יחידות זאת קל יחסית להוכיח פורמלית (בהסתמך על האקסיומות של תורת הקבוצות).
החיסרון של הגישה האקסיומתית הוא שהגישה לא מספקת בנייה מפורשת לקבוצת המספרים הממשיים. היא לא נותנת באופן ישיר את התשובה לשאלה "מהוא מספר ממשי?". כמו כן היא לא מוכיחה שקימת קבוצה המקיימת את כל האקסיומות. לכן כדאי להשלים גישה זאת על ידי בנייה מפורשת של המספרים הממשיים והוכחה שהאקסיומת מתקיימות עבור בנייה זאת. בנייה מפורשת כזאת תספק גם הוכחה שמערכת האקסיומות של המספרים הממשיים היא עיקבית, בהינתן העיקביות של תורת הקבוצות.
ניתן להוכיח שהבנייה שמופיעה מעלה מקיימת את האקסיומות, אולם ההוכחה מסורבלת, לכן בדרך כלל מעדיפים בניות אחרות.
בניות נוספות של המספרים ממשיים.
שתי הבניות המקובלות לשדה המספרים הממשיים הן חתכי דדקינד ומחלקות שקילות של סדרות קושי. שתי הבניות מתבססות על אותו רעיון כללי:
רעיון זה עלול להראות קונטרא-אינטויטיבי כי נדמה שמה שאנחנו מגדירים זה לא המספר עצמו אלה משהוא שמיצג אותו. למעשה רעיון זה שימושי מאוד בכל המתמטיקה, כיוון שבמתמטיקה בדרך כלל אין משמעות למהות האובייקטים עצמם אלה רק לאוסף האובייקטים הרלוונטיים והאינטראקציות ביניהם. כך אפשר לראות, הן חתך דדקינד והן במחלקת שקילות של סדרות קושי בתור שמות שונים לאותו מספר ממשי.
כדי להוכיח את השווין formula_37 (או כל טענה אחרת) בבנייה מפורשת מסוימת, די להוכיח שהאקסיומות של המספרים הממשיים מתקיימות בבנייה זאת. העובדה שהשווין נובע מהאקסיומות הוסברה לעליל. ניתן גם להסיק שוויון זה ישירות מכל אחת מהבניות האלה.
קשיים שמעלה הביטוי ...0.999 בהוראת המתמטיקה.
השוויון formula_27 מעלה מספר קשיים אצל תלמידים רבים:
קשיים אלה מושכים תשומת לב רבה לנושא.. כמו כן, הם גורמים ל- טרחנים כפייתים רבים לעסוק בו. אלה מנסים ליצור הגדורות אלטרנטיביות, ובדרך כלל לא עיקביות ולא מנוסחות היטב, למספרים הממשיים, שבהן השוויון לא יתקיים. כאמור, ניסיונות אלה נדונים לכישלון, אלא אם מוותרים על חלק מהתכונות הבסיסיות של המספרים הממשים ועל הפיתוח העשרוני שלהם.
עם זאת, כמו כל טענה מתמטית, שוויון זה תלוי בהגדרות שלפיהן מפרשים את שני אגפי השוויון. לדוגמה, אם מפרשים את אגף שמאל כפיתוח בבסיס גדול מ-10, אז השיויון לא נכון. גם אם מפרשים את שני האגפים כביטוים עשרוניים ולא כערכים המספריים שלהם, אז הם כמובן שונים.
תופעת היצוג כפול על ידי שבר עשרוני במתמטיקה.
אוסף הביטויים העשרוניים.
אם נסמן ב- formula_48 את אוסף כל הביטויים מהצורה formula_19, אז ניתן להתייחס לייצוג עשרוני של מספר בתור העתקה formula_50. העובדה שלמספרים ממשיים מסוימים יש יותר מייצוג עשרוני אחד אומרת שההעתקה הזאת איננה חד-חד ערכית. העובדה שלכל מספר ממשי יש ייצוג עשרוני אומרת שהעתקה זאת היא על. לא ניתן להגדיר מבנה של שדה על formula_48 שיתאים למבנה השדה על formula_52. אולם ניתן להגדיר טופולוגיה על formula_48 שתתאים לטופולגיה על formula_52. זאת אומרת להגדיר על formula_48 טופולוגיה כך ש formula_56 תהיה פונקציה רציפה ופונקציה פתוחה. במילים אחרות הטופולוגיה על formula_52 תתקבל כטופולוגיית מנה של formula_48. כך שכל מה "שחסר" כדי ש formula_56 תהיה הומיאומורפיזם זה ש formula_56 תהיה חד-חד ערכית. מאידך הטופולוגייות על formula_48 ועל formula_52 מאוד שונות. בעוד ש formula_52 מרחב קשיר formula_48 אינו קשיר לחלוטין.
אם מתמקדים בקטע הסגור formula_65 אז העתקה formula_56 הופכת להיות formula_67 כאשר הטופולוגיה על formula_68 היא טופולוגיית המכפלה. המרחב formula_68 הומיאומורפי לקבוצת קנטור.
ניתן להחליף את בסיס הספירה formula_70 בכל בסיס ספירה אחר והתוצאה תהיה דומה.
תופעת היצוג הכפול בחישוב עוצמת הממשיים.
לתופעת היצוג הכפול על ידי שבר עשרוני יש השפעה (מינורית) על הוכחת העובדה שעוצמת שדה המספרים הממשיים היא formula_71. ההוכחה הסטנדרטית של עובדה זאת מתבססת על ההעתקה formula_56 שהוגדרה מעלה. קל לראות ש formula_48 היא מעוצמה formula_71 (למעשה זה פשוט עוד יותר כשעובדים בבסיס 2) אך מכיוון ש- formula_56 איננה חד-חד ערכית זה לא אומר באופן מיידי שזו גם עוצמת שדה הממשיים. קל להסיק זאת באמצעות משפט קנטור-ברנשטיין אך למעשה גם לא קשה להוכיח זאת ישירות במקרה זה.
מספרים p-אדיים.
המספרים ה-p-אדיים מהווים מערכת מספרים מקבילה למספרים הממשיים. המספרים ה-p-אדיים שונים מאוד בתכונתיהם מהמספרים הממשיים אך באספקטים מסוימים הם אנלוגיים למספרים הממשיים. מספרים p-אדיים ניתן לכתוב כשברים על פי בסיס ספירה ראשוני p. גם שברים אלה אינסופיים אבל באופן שונה: יש להם מספר סופי של ספרות לאחר הנקודה ומספר אינסופי של ספרות לפניה. הסיבה לכך שהמספר p קטן מ-1 בתור מספר p-אדי. הבדל זה גורם לכך שהמספרים ה-p-אדיים מתנהגים מאוד שונה מהמספרים הממשיים הן מבחינה אריתמטית והן מבחינה טופולוגית. תופעת היצוג הכפול לא קיימת בספרים ה-p-אדיים: לכל מספר p-אדי יצוג יחיד על ידי שבר בבסיס ספירה p. זה למעשה ההבדל הטופולוגי בין המספרים ה-p-אדיים לממשיים. הדבר גורם לכך ששדה המספרים ה-p-אדיים דומה בטופולוגיה שלו לקבוצת קנטור. בפרט כדור היחידה ב-p-אדיים (תת קבוצה של מספרים p-אדיים המקבילה לקטע [0,1] בממשיים) הומיאומורפי לקבוצת קנטור.
מדרגה
אדריכלות ירוקה
ארכיטקטורה ירוקה
יהודית דויטש הספל
תומר שטיינהאוור
דמנסיה
ברוך אדלר
ברוך אדלר (1 באוגוסט 1926 – 30 בנובמבר 2005, כ"א באב ה'תרפ"ו - כ"ט בחשוון ה'תשס"ו) היה עיתונאי, עורך לילה וכתב בעיתון "הצופה". אדלר כתב גם ב"הארץ", ב"ידיעות אחרונות", ב"שערים" וב"מבט".
ביוגרפיה.
נולד בטרנובה שבצ'כוסלובקיה, ונקרא על שמו של רבי ברוך הגר, האדמו"ר השני לבית חסידות ויז'ניץ. ב-1936 עלה ארצה עם משפחתו ממניעים ציוניים, הורים ושבעה ילדים, חלקם נשואים, ובהם גיסו יהודה שפיגל. אביו, מנחם מנדל אדלר, היה מראשוני חסידי ויז'ניץ בארץ ישראל. המשפחה לקחה איתה ארצה מכונות סריגה ופתחה עסק משפחתי של ייצור סוודרים ומוצרי סריגה בתל אביב.
לאחר תום לימודיו בישיבת היישוב בתל אביב הצטרף לאגודת אליצור, בה עסק בפעילות ציונית דתית. כמו כן, היה חבר בהגנה. במלחמת העצמאות נלחם עם חטיבת אלכסנדרוני באזורים שונים ובהם כיבוש מחנה תל ליטוינסקי, כיבוש לוד ורמלה במבצע דני ועוד. במילואים שירת בתותחנים וכקצין הגנה מרחבית. ב-1956 נישא לרחל לוי, ועבר להתגורר בשכונת יד אליהו בתל אביב.
בשל מצבה הדחוק של משפחתו לא זכה להשכלה על-תיכונית.
עבד תחילה כמורה לחינוך גופני. ב-1954 החל לעבוד כעיתונאי במערכת העיתון הציוני דתי הצופה, שם עבד במשך 46 שנים. תחום הכתיבה העיקרי שלו היה בנושאים כלכליים, אך הוא שימש גם ככתב צבאי, כתב לענייני תחבורה ותעופה וכתב לענייני תיירות. גם לאחר שחלה בפרקינסון, והתקשה בכתיבה, הוא המשיך להכתיב את כתבותיו למזכירותיו במערכת. בנוסף לעבודתו ב"הצופה" עבד כפרילנסר, בעיקר בתחום הכלכלי, בעיתונים נוספים כדוגמת "הארץ", והעיתונים הכלכליים "מבט" ו"שערים".
בעבודתו ב"הצופה" קידם נושאים שהיו חשובים בעיניו, בעיקר בהובלת מאבקים סוציאליים לטובת עמיתיו בעיתון.
נפטר בכ"ט בחשוון ה'תשס"ו ונקבר בבית העלמין ירקון. הותיר אחריו אישה, רחל אדלר, מפקחת בחינוך הממלכתי-דתי במשרד החינוך, שלושה בנים ובת. צעיר הבנים הוא הזמר-יוצר אורי אדלר. התגורר בבית מגורי העיתונאים, שני בנייני מגורים בשכונת יד אליהו בתל אביב בהם התגוררו כמה עיתונאים מרכזיים, ובהם יוסף לפיד, יגאל לב, שבתי דון-יחייא, לוי יצחק הירושלמי, יצחק בראט ונפתלי קראוס.
טראביס
קסנוטרנספלנטציה
יו טרבור-רופר