בסריג סינוסואידלי הצבע משתנה בין שחור מלא ללבן מלא דרך גוני אפור הדרגתיים באופן סינוסואידלי. במקרה של סריג שקוף, ההשתנות היא בין אטימות מלאה לשקיפות גמורה. לצורך הדיון נניח ששני הסריגים מודפסים כל אחד בדיו בגווני אפור על דף לבן, כאשר האטימות (למשל, גוון אפור) של החלק ה"מודפס "ניתנת בערך בין 0 (לבן) ל־1 (שחור) ועד בכלל, ו- מייצג אפור 50%. אנו גם בוחרים לייצג את אטימות התבנית הנובעת מהדפסת סריג אחד על השני בנקודה מסוימת כמוצע האריתמטי של אטימות כל סריג במיקום זה. ערך זה אינו עולה על 1.
כדי לחשב את תבנית המוארה הנוצרת בהדפסת סריג אחד על ניר ואז הדפסת סריג שני על גביו, מייצגים את העוצמה האפורה בכל סריג על ידי פונקציית אטימות חיובית של המרחק בכיוון קבוע (נניח, קואורדינטת ה- x) במישור הנייר: formula_5 כאשר נוכחות של 1 שומרת על הפונקציה חיובית מוגדרת, והחלוקה על ידי 2 מונעת ערכי פונקציה גדולים מ־1.
הגודל מייצגת את התדר המרחבי של עוצמת האפור של התבנית. נניח כעת שני שריגים כאלה, עם תדרים מרחביים "k" השונים זה מזה מעט : formula_6 הממוצע של שתי הפונקציות הללו מייצג את תבנית המוארה "f" המתקבלת בהדפסה, כדלקמן: formula_7 כאשר formula_8 ו formula_9 ערך הפונקציה f 3, נמצא בבירור בטווח [0,1]. היות שההשתנות המרחבית היא הממוצעת בין k 1 ו- k 2 וקרובה לשניהם, תבנית מוארה מודגמת בצורה ייחודית על ידי פונקציית המעטפה הקוסינוסית או הפעימה (cos(Bx, שההשתנות המרחבית שלה היא חצי מההבדל בין השונויות המרחביות k 1 ו- k 2, כלומר, תדר מרחבי נמוך בהרבה מ- k 1 ו- k 2 .
הניתוח המתמטי הזה ישים גם עבור פעימות אקוסטיות.
סיבוב סריגי רונצ'י.
נניח שני סריגי רונצ'י עם מרחק זהה בין הקווים , כאשר הסריג השני מסובב בזווית ביחס לראשון, כפי שמראות התמונות התשיעית והעשירית בצד שמאל. בתבנית ההתאבכות רואים קווים כהים וחיוורים כאשר הקווים החיוורים תואמים את קווי הצמתים, כלומר קווים העוברים בצמתים של שני הסריגים. בתמונה התשיעית מלמעלה רואים שמתקבל מעוין שצלעו "d" נתונה על ידי המשוואה d = p / sin α, כי הוא היתר במשולש ישר הזווית שבו מול הזווית נמצא הניצב . הקווים החיוורים תואמים את האלכסון הקטן של המעוין. והמרווח בין שני קווים חיוורים הוא , מחצית האלכסון הארוך. האלכסון 2D הארוך הוא היתר במשולש ישר-זווית הניצבים הם הם (d (1 + cos α ו- . משפט פיתגורס נותן: formula_10 זה: formula_11 לכן formula_12 כאשר הוא קטן מאוד ( α &lt; π / 6 ) ניתן לערוך את הקירובים הבאים בזווית הקטנה :
לכן formula_13 אנו יכולים לראות שככל ש קטן יותר, כך הקווים החיוורים יותר רחוקים זה מזה; כאשר שני הדפוסים מקבילים ( α = 0 ), המרווח בין הקווים החיוורים הוא אינסופי (אין קו חיוור).
יש אפוא שתי דרכים לקבוע את : על ידי כיוון הקווים החיוורים ועל ידי המרווח שלהם formula_14 אם אנו בוחרים למדוד את הזווית, השגיאה מתכונתית לשגיאת המדידה. אם אנו בוחרים למדוד את המרווח D, השגיאה מתכונתית להיפוך של המרווח. לפיכך, עבור הזוויות הקטנות, עדיף למדוד את המרווח.
השלכות ויישומים.
הדפסה וסריקה של תמונות צבעוניות.
בתחום האומנות הגרפית והמדפסת, הטכנולוגיה המקובלת להדפסת תמונות בצבע מלא כרוכה בהצבת מסכי בארבעה צבעים זה על גבי זה. המדובר במסכי נקודה מלבניים רגילים, בדרך כלל בצבעי ציאן, צהוב, מגנטה ושחור(CMYK). הופעת תבניות מוארה במידה מסוימת היא בלתי נמנעת, אך במצב הטוב תבנית המוארה צפופה כל כך עד שאינה מורגשת. באומנות הגרפית כאשר מזכירים מוארה הכוונה היא שתבנית המוארה נראית לעין יתר על המידה. חלק מאמנות ההדפסה מורכבת מבחירת זוויות מסך ותדרי הלפטון אשר ממזערים את הופעת תבניות מוארה בלתי-רצויות. קשה לעיתים לחזות את הופעת תבניות מוארה ואותה קבוצת מסכים עשויה להניב תוצאות טובות עם תמונות מסוימות, בעוד שבתמונות אחרות מופיעות תבניות מוארה.
יש תוכנות מחשב של סורקי תמונות שמספקות מסנן "מסך", למניעת הופעה של תבניות מוארה.
מסכי טלוויזיה ותצלומים.
תבניות מוארה נראים בדרך כלל על מסכי טלוויזיה כאשר אדם לובש חולצה או ז'קט של מארג או . תבנית המוארה נוצרת בגלל התאבכות בין תבנית האריג ותבנית הפיקסלים במצלמה הדיגיטלית או במסך הטלוויזיה. בגלל זה, שדרני חדשות ואנשי מקצוע אחרים המופיעים בטלוויזיה באופן קבוע מקבלים הנחיות להימנע מביגוד שעלול לגרום להופעה לא רצויה של תבניות מוארה.
כאשר מצלמים מסך טלוויזיה או מחשב במצלמה דיגיטלית עלולים לקבל תבניות מוארה בגלל התאבכות מטריצת הפיקסלים במצלמה עם מטריצת הפיקסלים במסך. כדי למנוע זאת, מומלץ לצלם בזווית של כ-30 מעלות ביחס למסך.
תבניות מוארה משמש במשואות לכלי שיט הנקראות "סימני מוביל של אינוגון" או "אורות אינוגון", המיוצרים על ידי Inogon Licens AB, שוודיה, כדי לכוון את הספינות לדרך הבטוחה ביותר לעבר מרינות, או נמלים וולציין סכנות מתחת למים כגון צינורות או כבלים. תבניות המוארה בשלט הן בצורת חיצים לעבר אזור הסכנה או למסלול התנועה קו המעבר הבטוח. כאשר הספינה עוברת את מסלול התנועה, החיצים על המשואה הופכים לפסים אנכיים לפני שהם חוזרים לחצים המפנים בכיוון ההפוך. בנוסף, אורות אינוגון פרוסים בשדות תעופה כדי לסייע לטייסים בשטח לשמור על הקו המרכזי של מסלולי ההסעה .
מדידת מעוות.
בתעשיות הייצור משתמשים בתבניות מוארה לבחינה של מעוות או עיבור מיקרוסקופי בחומרים: על ידי עיוות רשת ביחס לרשת התייחסות ומדידת תבנית מוארה, ניתן להסיק את רמות הלחץ וסוגו. טכניקה זו אטרקטיבית מכיוון שקנה המידה של תבנית מוארה גדול בהרבה מהסטייה הגורמת לה, דבר המקל על המדידה. לשם כך, צריך לצייר תבנית קווים אחת על האובייקט ולהניח תבנית קווים השנייה על התבנית הראשונה בלי להצמידן מכנית, כפי שמודגם בתמונה משמאל.
שטרות כסף.
בתכנון שטרות כסף מנצלים את נטייתם של סורקים דיגיטליים לייצר תבניות מוארה וכוללים בשטר עיצובים עגולים או גליים עדינים אשר עשויים להציג תבניות מוארה כאשר הם סרוקים ומודפסים.
מיקרוסקופיה.
במיקרוסקופ ברזולוצית-על משתמשים בתבנית מוארה כדי להשיג תמונות עם רזולוציה גבוהה יותר מגבול ההפרדה,על ידי שימוש בתאורה מובנית .
במיקרוסקופ מנהור סורק, פסי מוארה מופיעים אם לשכבות אטומיות בפני השטח יש מבנה גביש שונה מהגביש. זה יכול להיות למשל בגלל שחזור פני השטח של הגביש, או כאשר שכבה דקה של גביש שני נמצאת על פני השטח, למשל שכבה יחידה, שכבה כפולה של גרפן, או מבנה ננו ואן דר וואלס מעורב של גרפן ו- hBN, או מבני ננו של ביסמוט ואנטימון.
במיקרוסקופ אלקטרונים חודר (TEM), ניתן לראות פסי מוארה בגלל סריגי גבישיים משתנים וחופפים, עם מרווחים שונים או עם כיוונים שונים.
מדעי החומרים.
במדע חומרים, דוגמאות ידועות המציגות תבניות מוארה הן שכבות דקות או ננו-חלקיקים מסוג (MX (M = Ti, Nb; X = C, N אשר חופפים למטריצה אוסטניטית. בשני הרכיבים, השכבה הדקה MX והמטריצה, יש מבנה גביש קובי ומתקבל מבנה של קובייה על קובייה. אולם, יש אי התאמה משמעותית בין הרכיבים של סריג של בערך של 20-24% (בהתבסס על ההרכב הכימי של הסגסוגת), שמייצר תבנית מוארה.
תבנית מוארה מופיעה גם בחומרים דו ממדיים. זאת, כאשר יש אי התאמה בין פרמטר הסריג או הזווית של שכבת הדו-מימד לזו של המצע. תבנית המוארה נובעת מחוסר ההתאמה, ומנוצלת כאמצעי להנדסה של המבנה האלקטרוני או התכונות האופטיות. . דוגמה בולטת היא בגרפן דו-שכבתי, אשר "בזווית קסם" מיוחדת יוצר תבנית מוארה בד בבד עם הצגת מוליכות-על ותכונות חשובות אחרות.
בישראל.
בשנים 1977–1994 פעלה בקריה למחקר גרעיני בנגב (קמ"ג) קבוצת מחקר שכללה בין השאר את ד"ר עודד כפרי, ד"ר עמינדב ליבנת, ד"ר אילנה גלאט וד"ר אליעזר קרן ועסקה ביישומים שונים של תבניות מוארה. חברת היישומים של קמ"ג, רותם תעשיות, הקימה ב-1986 מחלקה שמימשה את הידע המדעי שהצטבר בקבוצה במוצרים שונים, ובשנת 1994 הפכה את המחלקה לחברת הבת רותלקס . רותלקס פעלה תחילה בפארק רותם ליד דימונה ועברה מאוחר יותר לפארק התעשייתי בעומר. רותלקס פעילה בתחום בדיקת האיכות של משקפיים, עדשות מגע ו להחדרה תוך-עינית (במקרי קטרקט וקוצר ראייה חזק).
תבניות מוארה שימשו ברותם תעשיות גם לבדיקת איכות של מראות משושות קעורות שהיוו חלק ממראת מקטעים לריכוז אור שמש שבנו לנדו וחבריו. זאת, על ידי שימוש בתבנית קווים צפופה של 3 קווים למ"מ שהונחה על גבי המראה. התבנית השתקפה במראה הנבדקת והתאבכה עם עצמה. התמונה בצד שמאל מדגימה תבניות מוארה שהתקבלו בבדיקת ארבע מראות משושות. תבנית המוארה הקונצנטרית בצד שמאל למעלה התקבלה ממראה קעורה באיכות גבוהה עם רדיוס עקמומיות של 17 מטר. שאר המראות היו באיכות נמוכה יותר, דבר שהתבטא בתבניות מוארה עם עיוותים שונים של המבנה הקונצנטרי.
וילה מדיצ'י די סראווצה
פאלאצו מדיצ'י די סראווצה (באיטלקית: Palazzo mediceo di Seravezza), היא וילה השוכנת בקומונה סראווצה (Seravezza) בנפת לוקה במחוז טוסקנה שבמרכז איטליה. הווילה היא אחת "הווילות של משפחת מדיצ'י", אתר מורשת עולמית שהוכרז על ידי ארגון אונסק"ו ב-2013. היא שוכנת על מורדות הרי האלפים האפונים (Alpi Apuane), רכס הרים שאיננו חלק מהרי האלפים ובמפגש הנהרות סרה (Serra) ווצה (Vezza). בתוך הבניין פועלת כיום ספרייה עירונית, והמוזיאון לעבודה והמסורות הפופולריות של ורסיליה ההיסטורית", הבניין הסמוך ששיכן בעבר את האורוות של הדוכס הגדול שוחזרו ב-2006 ומשמש משכן לתערוכות ואירועים זמניים.