יחידות פלאנק המצומצמות (reduced Planck units) הן יחידות פלאנק בהן נקבע 8πG=1 במקום G=1. מערכת יחידות זו שימושית בחישובים הקשורים לתורת היחסות הכללית ולקוסמולוגיה.
יחידות נוספות.
על פי יחידות הבסיס ניתן להגדיר יחידות נגזרות (derived units) לשאר הגדלים הפיזיקליים:
נגד משתנה
נגד משתנה ("פוטנציומטר") הוא רכיב חשמלי שתפקידו להתנגד למעבר זרם חשמלי דרכו. ערך ההתנגדות שלו נמדד באוהם כמו בנגד קבוע, אך ייחודו של הנגד המשתנה בכך שהתנגדותו אינה קבועה וניתנת לכוונון בטווח מסוים.
נגדים משתנים בנויים ממוליך ארוך שהתנגדותו ליחידת אורך ידועה, ושינוי ההתנגדות מושג על ידי שליטה על אורך המוליך שהזרם עובר דרכו. לרוב יש לנגדים משתנים שלושה מגעים חשמליים, או שלוש "רגליים": שתי רגליים בדומה לנגד רגיל, בשני קצוות המוליך, ורגל שלישית ("זחלן") שאת מקומה ניתן לשנות לאורך הרכיב ותפקידה לשנות את אורך המוליך (ולפיכך את ההתנגדות) שהזרם עובר, מכמעט אפס ועד להתנגדות המקסימלית, כשהזרם עובר את כל אורכו של המוליך.
החיבור לנגד משתנה נעשה בין אחד הקצוות לזחלן (הרגל האמצעית). את הקצה השני נהוג לחבר לזחלן.
שימוש נפוץ של הנגד המשתנה הוא כמחלק מתח במעגלים אלקטרוניים בהם נדרש ויסות ערך של מתח. דוגמה לכך היא ווסת העוצמה (ווליום) ברדיו או מגבר. במקרה זה החיבור נעשה בצורה הבאה: מתח הכניסה מחובר לשני קצות הנגד המשתנה ומתח היציאה מתקבל בין אחד הקצוות לזחלן. הואיל וערך המתח על פי חוק אוהם, מתכונתי להתנגדות, אז מתח המוצא נע בין אפס לבין ערך מתח הכניסה, בתלות במצב הזחלן.
ראוסטט (Rheostat) הוא נגד משתנה גדול ממדים, המיועד לעמוד בזרמים ו/או מתחים גבוהים. בנגדים כאלה המוליך שיוצר את ההתנגדות הוא חוט ארוך, מלופף על שטח מעטפת גלילי, והזחלן הוא זרוע מתכת שנוגעת בבסיסו העליון של הגליל וניתנת לסיבוב. שינוי הזווית של זרוע זו גורם לשינוי האורך הכולל של החוט שהזרם צריך לעבור, ולפיכך להגדלת ההתנגדות.
תגובתם של נגדים משתנים לתזוזת הזחלן היא בדרך כלל קרובה לליניארית, כלומר הכפלת אורך המוליך מביאה להתנגדות כפולה. נגדים משתנים מסוימים מתוכננים דווקא לשינוי התנגדות לוגריתמי (או אנטי לוגריתמי), במיוחד כאלה המתוכננים לשימוש במערכות שמע. בנגדים כאלה התנגדות המוליך ליחידת אורך איננה קבועה לאורך (או להיקף) הנגד המשתנה, אלא היא משתנה לאורך המוליך באופן הרצוי, כך שאותה תזוזה אורכית (או זוויתית) של הזחלן מפיקה שינוי אחר בהתנגדות, בכל נקודה בתחום.
ברכיבים קטנים, כגון אלו המופיעים בתמונה, מתבצע שינוי ההתנגדות על ידי סיבוב חוגה במרכז הרכיב, באמצעות מברג, וזו מזיזה את הזחלן (לא ניתן לראותו כי הוא מוסתר בתוך מארז הרכיב). בנגדים משתנים בעלי ממשק דיגיטלי נקבעת ההתנגדות ללא מגע יד אדם, על ידי תוכנה.
אדפטציה
קומקום
קומקום הוא כלי מטבח המשמש להרתחת מים.
הקומקום הקלאסי הוא מכל מתכת שממלאים במים ושופתים על אש, קומקום שכזה מצויד לפעמים במשרוקית אדים, ש"שורקת" כשהמים מגיעים לנקודת הרתיחה. לפני המצאת הקומקום החשמלי היו קומקומי מתכת הדרך הנפוצה ביותר להרתיח מים לצרכים ביתיים.
הקומקום החשמלי עשוי מפלסטיק עמיד או ממתכת, ובתוכו גוף חימום המחובר לחשמל. הקומקום מכיל תרמוסטט כך שברגע שהמים מגיעים לנקודת הרתיחה גוף החימום כבה.
במקומות מסוימים בעולם משמעות המילה "קומקום" היא סיר מתכת המשמש להרתחה או בישול. במשמעות הזאת הקומקום הוא כנראה כלי הבישול המתכתי העתיק ביותר.
מקור המילה קומקום בלשון חז"ל, מלטינית cucuma, מיוונית κούκκουμα (koúkkouma).
קומקומים בתרבויות שונות.
בחצי האי ערב מצויים סוגים שונים של קומקומים המשמשים לתכליות שונות. משקה הקפה שמוגש באירועים או קפה שמוגש בבית מבושל ב'דאללה', הוא קומקום גדול ורחב בעל בסיס עגול וזרבובית מעוקלת. קפה שמבושל בדאללה מוגש בקומקום המכונה 'מסב' (מקור השם במלה הערבית סוב = מזיגה) והוא חרוטי בצורתו. מצידו יוצאת ידית גלילית. תה מבושל ב'בריק'. בריק הוא קומקום בעל בסיס עגול וזרבובית מעוקלת. ידית הבריק מאחור, בצד המנוגד לזרבובית. במצרים מקובל לבשל קפה ותה ב'רלייה' הוא קומקום בצורת כוס מתכת וידית יוצאת בצידו. בניצב לידית יש בדרך כלל מגרעת המסייעת במזיגה ממנו.
הקומקום המרוקני רחב בסיס ובעל זרבובית מעוקלת.
הקומקום האתיופי עשוי כדור חומר או פח וצוואר מזיגה ישר וצר יוצא ממנו.
חבורה אבלית נוצרת סופית
בתורת החבורות, חבורה אבלית נוצרת סופית (Finitely generated abelian group) היא חבורה אבלית שהיא נוצרת סופית, כלומר, שאפשר ליצור את כל אבריה באמצעות פעולת הכפל, ממספר סופי של איברים נתונים, גם אם אינה סופית בעצמה. בניגוד לחבורות שאינן אבליות, שהמבנה שלהן יכול להיות מסובך ביותר, המבנה של כל החבורות האבליות הנוצרות סופית מוכר וידוע, וניתן למיין אותן באופן מלא. כל חבורה כזו מתפרקת לסכום ישר של חבורה אבלית סופית ושל מספר עותקים של החבורה הציקלית האינסופית. בתורן, החבורות האבליות הסופיות נבנות כסכומים ישרים של חבורות ציקליות סופיות. זהו משפט בסיסי בתורת החבורות הסופיות, שהרי כל חבורה סופית היא חבורה נוצרת סופית.
המשפט הוא מקרה פרטי של משפט המיון למודולים נוצרים סופית מעל תחום ראשי.
מבוא.
חבורה היא מבנה אלגברי בסיסי שמופיע במתמטיקה בהקשרים רבים ושונים, ומורכב מקבוצת איברים עם פעולה בינארית המוגדרת עליהם, ומקיימת מספר אקסיומות. עולם החבורות עשיר בדוגמאות, כגון החבורה הסימטרית formula_1, חבורת המטריצות formula_2 מעל שדה F, או החבורה של המספרים הרציונליים ביחס לחיבור. שתי הדוגמאות הראשונות אינן אבליות, כלומר, הכפל אינו מקיים בהן את התכונה formula_3; חבורות כאלה יכולות להיות מסובכות מאוד. הדוגמה השלישית, על-אף שהיא אבלית, אינה נוצרת סופית (כל תת-חבורה נוצרת סופית שלה היא ציקלית).
אחד מהתחומים בהם עוסקת האלגברה המופשטת הוא סיווג של חבורות, או מבנים אלגבריים אחרים, על פי תכונותיהן. משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית מספק סיווג כזה עבור החבורות האבליות שיש להן תת-קבוצה סופית של איברים, שממנה אפשר ליצור, על ידי פעולת החבורה, את כל איברי החבורה.
המשפט מראה כי כל חבורה אבלית נוצרת סופית היא, למעשה, סכום של חבורות ציקליות. מכיוון שחבורות ציקליות פשוטות מאוד לתיאור, הדבר מסייע להבנה של מבנה החבורה שעליה מופעל המשפט, וכן מקל לבדוק האם שתי חבורות שהוגדרו בדרכים שונות הן בעלות אותו המבנה - על ידי השוואת ההצגה שלהן כמכפלות של חבורות ציקליות.
פיתול.
בדרך-כלל מסמנים את הפעולה בחבורה אבלית בסימן החיבור, ואת האיבר הנייטרלי בסימן 0. בכל חבורה אבלית A אפשר לאסוף את האיברים formula_4 שעבורם קיים formula_5 כך ש- formula_6. אלו האיברים המפותלים של החבורה, וביחד הם מהווים תת-חבורה, formula_7. אם יש איברים כאלה (פרט ל-0), אומרים ש"יש לחבורה פיתול", ואם כל האיברים הם כאלה - החבורה מפותלת. חבורה חסרת פיתול היא חבורה ללא איברים מפותלים. חבורת המנה formula_8 היא תמיד חסרת פיתול.
כל חבורה אבלית סופית היא מפותלת. בין החבורות הציקליות, רק החבורה הציקלית האינסופית היא חסרת פיתול, ואכן, חבורה אבלית נוצרת סופית ללא פיתול מוכרחה להיות איזומורפית לסכום ישר של מספר סופי של עותקים של חבורה זו.
מאידך, חבורה אבלית נוצרת סופית ומפותלת היא סופית, ומוכרחה להיות איזומורפית לסכום ישר של חבורות ציקליות סופיות.
הדרגה.
קבוצה שאפשר ליצור ממנה את כל אברי החבורה נקראת קבוצת יוצרים. גודלה של הקבוצה הקטנה ביותר היוצרת את החבורה הוא הדרגה של החבורה (לחבורה יש דרגה סופית אם ורק אם היא נוצרת סופית). למשל, דרגתה של החבורה formula_9 היא 5, ואילו הדרגה של formula_10 היא 2. כל חבורה אבלית מדרגה r מהווה חבורת מנה של החבורה האבלית החופשית מדרגה r,
formula_11.
משפט המיון.
משפט המיון של החבורות האבליות הנוצרות סופית קובע שכל חבורה כזו איזומורפית לחבורה יחידה מהצורה
כאשר formula_13 והמספרים formula_14 הם חזקות (לא בהכרח שונות זו מזו) של מספרים ראשוניים.
צורת הצגה זו נקראת "צורת המחלקים האלמנטריים", והמספרים formula_15 נקראים "המחלקים האלמנטריים". דרך הצגה יחידה נוספת היא באמצעות "הגורמים האינווריאנטיים": בצורת הצגה זו, formula_16 איזומורפית לסכום הישר הבא:
כאשר מתקיים יחס החלוקה הבא: formula_18. גם צורת הצגה זו היא יחידה.
מהמשפט ניתן לראות כי כל חבורה אבלית נוצרת סופית formula_16 מורכבת מסכום ישר של שני חלקים: החלק האחד הוא הסכום formula_20 שמייצג את תת חבורת הפיתול של formula_16, כלומר את תת-החבורה הנוצרת על ידי האיברים מסדר סופי.
החלק השני בסכום הוא formula_11. זוהי חבורה אבלית חופשית מדרגה סופית formula_23.
הוכחה.
הוכחה פשוטה יחסית למשפט המיון נובעת מתוצאה כללית יותר בתורת המודולים, ומתבססת על כך שניתן לראות כל חבורה אבלית גם כמודול מעל החוג formula_24.
הל (חצי אי)
חצי האי הל (בפולנית: Mierzeja Helska, בגרמנית: Halbinsel Hela) הוא חצי אי צר עשוי חול (לשון חול) שאורכו 35 ק"מ, בצפון פולין. חצי האי מפריד בין מפרץ פק מהים הבלטי וממוקם במחוז פק.
רוחבו של חצי האי נע בין 300 מטרים באזור יוראטה ל־100 מטרים בנקודה הצרה ביותר, ומתרחב לרוחב של קילומטר באזור העיר הל .
מאחר שחצי האי עשוי חול, סופות החורף הסוחפות את החול הופכות אותו לעיתים לאי. עד המאה ה-17 היה חצי האי למעשה רצועה של איים, שרק בקיץ הפכה למעשה לחצי אי רציף. במהלך קרב הל בשנת 1939 פוצץ צבא פולין את חצי האי והפך אותו לאי.