במתמטיקה, זווית היפרבולית היא פרמטר שמאפיין גזרות של היפרבולה, בדומה לאופן שבו זוויות רגילות מאפיינות גזרות של מעגל. הזווית ההיפרבולית מוגדרת ראשית בעבור "מיקום סטנדרטי", ולאחר מכן כמידה על אינטרוול של ענף היפרבולי.
הגדרה ותכונות.
זווית היפרבולית במיקום סטנדרטי היא הזווית ב-formula_1 בין הקרן שעוברת ב-formula_2 לקרן שעוברת ב-formula_3 כאשר
x &gt; 1; זווית זו שווה לארקטנגנס ההיפרבולי ההופכי ("ארקטנגנס היפרבולי") formula_4. הזווית ההיפרבולית שלילית כאשר x בין 0 ל-1.
הזווית ההיפרבולית שווה לפעמיים השטח של הגזרה ההיפרבולית המתאימה, השווה ל-formula_5 (הוכחה תובא בהמשך הערך), בדיוק כשם שהגודל של זווית מעגלית הוא השטח של הגזרה המעגלית המתאימה לזווית מרכזית זאת. בניגוד לזווית מעגלית, הגודל של זווית היפרבולית אינו חסום.
נניח ש-formula_6 ו-formula_7 כאשר formula_8, כך שהנקודות formula_9 ו-formula_10 מגדירות אינטרוול על ההיפרבולה "xy" = 1. יש העתקה אפינית משמרת שטח הממפה את האינטרוול הזה לאינטרוול בין formula_2 ל-formula_12. חשבון שטחים פשוט מראה שהשטח תחת ההיפרבולה באינטרוול זה הוא גם השטח של הגזרה ההיפרבולית המתאימה לנקודות formula_2 ו-formula_12. לפי תוצאה של גרגואיר דה סנט וינסנט, לשטח זה תכונות לוגריתמיות.
הפונקציות ההיפרבוליות sinh, cosh ו-tanh נעזרות בזווית ההיפרבולית כמשתנה הבלתי תלוי שלהן, ומכיוון שהערכים שלהן ניתנים לחישוב באופן אנלוגי לפונקציות הטריגונומטריות המעגליות. לכן המושג של "זווית היפרבולית" הוא שימושי ביותר בבעיות של חשבון אינפיניטסימלי במשתנה ממשי; המושג מקנה אינטואיציה כיצד להתיר בעיות בנושא.
הקבלה לזווית מעגלית.
למעגל היחידה formula_15 יש גזרה מעגלית ששטחה חצי מהזווית המעגלית ברדיאנים. באופן אנלוגי, להיפרבולת היחידה formula_16 יש גזרה היפרבולית עם שטח ששווה למחצית הזווית ההיפרבולית.
הזווית ההיפרבולית מהווה יותר מהגדרה שרירותית המקבילה לזו של זווית מעגלית, אלא שהיא טומנת בחובה עומק רב; הרעיון הבסיסי של חיבור זוויות דרך תכונות של הנקודות המתאימות לזוויות האלו, תקף גם לזווית המעגלית וגם לזווית ההיפרבולית. הבניות הבאות מראות את ההקבלה בין הזווית ההיפרבולית לזווית המעגלית:
זוויות מעגליות ניתנות לאפיון באופן גאומטרי באמצעות התכונה שאם לשני מיתרים formula_17 ו-formula_18 מתאימות זוויות formula_19 ו-formula_20 במרכז המעגל, אז הסכום שלהן formula_19 + formula_20 הוא הזווית המרכזית המתאימה למיתר formula_23 שמקביל ל-formula_24.
אותה הבניה נכונה גם להיפרבולה: אם בוחרים formula_25, formula_26 ו-formula_27, אז באמצעות חישוב שיפועים ניתן להראות שתנאי ההקבלה מכתיב ש-formula_28 תהא הנקודה formula_29. נקודה זאת מתקבלת גם מהגדרת הזווית ההיפרבולית כפונקציה לוגריתמית; הנקודה המתאימה לסכום הזוויות ההיפרבוליות שמתאימות לנקודות formula_30 ו-formula_31 היא, לפי הזהות formula_32, הנקודה formula_29.
היסטוריה.
הבעיה של תרבוע ההיפרבולה היא הבעיה של הערכת השטח של גזרה היפרבולית. בעיה זאת נפתרה לראשונה על ידי גרגואיר דה סנט וינסנט ב-1647 בחיבורו החשוב Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni. כפי שהיסטוריון אחד ניסח זאת:
"הוא ערך את התרבוע של ההיפרבולה ביחס לאסימפטוטות שלה, והראה שהשטח גדל בהתאם לטור חשבוני כאשר x גדל בטור גאומטרי."
תלמידו של גרגואיר, A. A. de Sarasa, פירש מחדש את השטח הזה כלוגריתם והגדיר באופן גאומטרי את הלוגריתם הטבעי. כאחת הדוגמאות הראשונות לפונקציות טרנסצנדנטיות, הלוגריתם מפורסם יותר מהרעיון שהתניע את גילויו, דהיינו הזווית ההיפרבולית.
הראשון שהרחיב את הישג ידה של הטריגונומטריה המעגלית כדי שתכלול גם את תכונות ההיפרבולות היה אוגוסטוס דה מורגן בספרו Trigonometry and Double Algebra.
ב-1914 פרסם Ludwik Silberstein את חיבורו על תורת היחסות החדשה, ובו הוא נתן פרשנות לתורה המתבססת על מושג הזווית ההיפרבולית. בהמשך לעבודתו של הרמן מינקובסקי על האיחוד המתמטי של המרחב והזמן, Silberstein הראה שניתן לפרש את טרנספורמציות לורנץ כסיבוב בזווית היפרבולית של קואורדינטות המרחב-זמן; לאחר שמגדירים זווית היפרבולית a המקיימת tanh a = v/c, טרנספורמציות לורנץ למעשה מזיזות את הקואורדינטות המרחב-זמניות של אירוע לאורך היפרבולת האינטרוול formula_34 כאשר מערכת הייחוס משתנה. הזווית ההיפרבולית המוגדרת בדרך זאת מסייעת להבחין בין מערכות ייחוס הנמצאות במהירות יחסית אחת לשנייה, וניתן להראות את העקביות של הגדרת formula_35 בדרך זאת:
formula_36 (במעבר האחרון השתמשנו ב-x = 0, t = 1).
formula_37.
באותו חיבור, Silberstein נעזר גם במושג של זווית ההקבלה (angle of parallelism) של לובצ'בסקי (Π(a כדי להגיע לתוצאה cos Π(a) = v/c.
זווית היפרבולית כזווית מעגלית מדומה.
הזווית ההיפרבולית מוצגת לעיתים כמספר מדומה; אם x הוא מספר ממשי ו-"i"2 = −1 אז:
formula_38 ו-formula_39.
כך שהפונקציות ההיפרבוליות cosh ו-sinh ניתנות להצגה באמצעות פונקציות מעגליות. הזהויות האלו ניתנות להבנה גם במונחים של טורים אינסופיים. הטור המייצג את הפונקציה האקספוננציאלית (formula_40 ) מורכב מאיברים עם חזקות זוגיות ואי זוגיות, כאשר טור החזקות הזוגיות מרכיב את פונקציית הקוסינוס ההיפרבולי (formula_41) וטור החזקות האי זוגיות מרכיב את פונקציית הסינוס ההיפרבולי (formula_42). הטור האינסופי לקוסינוס נגזר מהטור האינסופי לקוסינוס היפרבולי באמצעות הפיכתו לטור מתחלף. בדרך דומה מתקבל גם הטור ל-sin מהטור ל-sinh, אלא שהפעם החזקות האי זוגיות בטור הופכות למדומות ולכן נדרש הפקטור i.
Say My Name
Say My Name (בעברית: אמור את שמי) הוא סינגל של להקת הבנות האמריקאית דסטיניז צ'יילד. השיר נכתב על ידי חברות הלהקה ביונסה נואלס, לטביה רוברסון, לאטויה לאקט וקלי רונלד ביחד עם לאשון דניאלס ופרד ג'רקינס השני, שגם הפיק את השיר. השיר יצא כסינגל השלישי מתוך אלבומן השני, "The Writing's on the Wall".
הפקה.
השיר מסמן את כניסתן של חברות הלהקה החדשות מישל ויליאמס ופארה פרנקלין והוא הסינגל מצליח ביותר באלבום ונחשב לאחד השירים המזוהים ביותר עם הלהקה.
השיר זכה להצלחה בביקורות, הוא זכה בשני פרסי גראמי ב-2001, עבור ביצוע הR&amp;B הטוב ביותר על ידי קבוצה ועבור שיר ה-R&amp;B הטוב ביותר, השיר הועמד גם לקטגוריית "שיר השנה" ו"הקלטת השנה" הקליפ זכה בטקס פרסי הVMA בשנת 2000 בפרס עבור "קליפ הR&amp;B הטוב ביותר".
הווידאו, בבימויו של ג'וזף קאהן, כולל את ארבע חברות הלהקה יחד עם שתי רקדניות ורקדן אחד שרים ורוקדים בחדרים בצבעים שונים שמזכירים חדרי מגורים. קלי רולנד הייתה בחדר הכחול. ביונסה נמצאת בחדר הכתום, פארה פרנקלין בחדר אדום ומישל ויליאמס בחדר לבן. אחרי הבית הראשון והפזמון, הבנות, יחד עם הרהיטים שלהם עוברות במהירות בין הסטים של חברות להקה אחרות. מיד לאחר הבית השני, כל הבנות מתאספות במוסך מלא במכוניות, כאשר חברות הלהקה והרקדנים לבושים במכנס שחור וחולצה כתומה.
נכון לאוקטובר 2021, השיר נצפה כ-300 מיליון פעם ביוטיוב והוא השיר הנצפה ביותר של דסטיניז צ'יילד.
מורשת.
באוקטובר 2011, "NME" הכניסו את השיר במקום 58 ברשימה של "150 השירים הטובים ביותר ב15 שנים האחרונות", ומגזין "פיצ'פורק" בחרו אותו במקום 131 ברשימת "ל-500 השירים הטובים ביותר של שנות ה-2000". VH1 גם עשו רשימה של 100 השירים הטובים ביותר של שנות ה-1990, שם השיר דורג במספר 17.
אניה ניסן
אניה ניסן (באנגלית: Anja Nissen; נולדה ב-6 בנובמבר 1995) היא זמרת-יוצרת, רקדנית ושחקנית אוסטרלית-דנית. זוכת העונה השלישית של תוכנית המציאות "The Voice אוסטרליה".
ניסן התחרתה ב "Dansk Melodi Grand Prix 2016" ב-13 בפברואר 2016, עם השיר "Never Alone", אשר נכתב על ידי זוכת האירוויזיון הדנית אמילי דה פורסט, המפיק רון וסטברג ומוזלה. ניסן הגיעה למקום השני עם 36% מהקולות. ב-25 בפברואר 2017 ניצחה ניסן בתחרות "Dansk Melodi Grand Prix" עם השיר "Where I Am" והיא תייצג את דנמרק באירוויזיון 2017 עם שיר זה. ניסן הופיעה שמינית בסדר ההשמעה של חצי הגמר השני שנערך ב-11 במאי, ועשירית בסדר ההשמעה בגמר שייערך ב-13 במאי.
חיים וקריירה.
נעוריה.
אניה ניזן נולדה ליד סידני, ניו סאות ' ויילס ב אוסטרליה לזוג הורים ממוצא דני. אמה ואביה היגרו מדנמרק לאוסטרליה כאשר הם היו בני 11 ו-22 שנים, בהתאמה. היא למדה בתיכון ווינמאלי. במהלך התיכון אניה היה חלק מתוכנית בלעדית לפיתוח כישרונות, ודרכה התחרתה במספר תחרויות שירה.
בשנת 2008, ניסן הגיעה לשלב חצי הגמר של העונה השנייה של תוכנית חיפוש הכישרונות האוסטרלית המצליחה, ל"אוסטרליה יש כישרון", בגיל 12. היא גם ביצעה את ההמנון הדני הלאומי בחברת מרי נסיכת הכתר הדני.
2014-2016: "The Voice אוסטרליה".
ב-2014, ניסן התחרתה בעונה השלישית של The Voice אוסטרליה. היא הייתה בצוות של ויל.איי.אם ובסופו של דבר גם ניצחה בתחרות. אלבום הבכורה של ניסן, שנקרא בשמה, כלל שירים מהתכנית. אלבומה לא קודם באמצעות סינגל לרדיו, מה שהשפיע על המכירות שלו. ניסן הקליטה בשלב מאוחר יותר שיתוף פעולה עם Will.i.am ועם קודי וויז שיר בשם "I'm So Excited", שיר שהתגובות עליו היו מעורבות. מיד לאחר שחרורו, ניסן החלה לכתוב חומר לאלבום הבא שלה בלוס אנג'לס ובדנמרק. לא ידוע מתי או אם אלבום זה יופץ.
2016–הווה: ייצוג דנמרק בתחרות האירוויזיון.