ב-1966 נוסדה בגרמניה האופוזיציה החוץ-פרלמנטרית APO נגד שתי מפלגות הקואליציה הגדולות – CDU/CSU ו-SPD. ה-APO פעלה בעיקר נגד חקיקת חוקים לשעת חירום. אדורנו היה מבקר גלוי כנגד החוקים לשעת חירום, והשתתף באירוע שארגן ועד הפעולה "דמוקרטיה במצב חירום". כשהסטודנט בנו אונזורג (Benno Ohnesorg) נורה בידי שוטר בהפגנה נגד ביקורו של השאה הפרסי, הקצינו העמדות של APO השמאלנית והתחילו מהומות באוניברסיטאות. במידה רבה היו אלה סטודנטים של אדורנו שתרגמו תאוריה של התקוממות למעשה, וגזרו פרקסיס מתוך תאוריה ביקורתית. ב-31 בינואר 1969 ביקש אדורנו את עזרת המשטרה בסילוק סטודנטים שהשתלטו על המכון בפרנקפורט, מתוך פחד מוונדליזם, וכתוצאה מכך נעצרו 76 מחברי תנועת ה-SDS של רודי דוצ'קה. אדורנו עצמו נעשה אז למטרה לפעולות של הסטודנטים. הוא ביקר בחריפות את הנטייה האנטי-אינטלקטואלית בשמאל של שנות ה-60, וקרא ל"מחשבה פתוחה": "מעבר לכל תוכן מסוים, המחשבה היא בראש ובראשונה כוח ההתנגדות". ב-1969 התגברו ההפרעות בהרצאות שלו, והמפורסמת שבהן הייתה השתלטותן של סטודנטיות חשופות-חזה על בימת המרצה, עד שאדורנו הפסיק את סדרת ההרצאות. במכתב לסמואל בקט, הוא כתב: "ההרגשה להיות מותקף פתאום כריאקציונר – יש בה מן ההפתעה, לכל הפחות".
ביוגרף של אדורנו בשם סטפן מולר-דום (Stefan Müller-Doohm) טוען שאדורנו היה משוכנע שהתקפות הסטודנטים מכוונות כלפי התאוריות שלו כמו כלפיו עצמו ושהוא חשש שהמצב הפוליטי באותו זמן עלול להוביל לטוטליטריזם.
אדורנו יצא עם אשתו לחופשה בשווייץ, ובניגוד לאזהרות רופאיו יצא לטפס במעלה הר שגובהו 3,000 מטר, וכתוצאה מכך חש בפעמת. באותו יום נסעו הוא ואשתו אל העיר השכנה ויספ, ושם חזרה התופעה על עצמה, והוא הובהל למרפאה העירונית. בבוקר שלמחרת, ב-6 באוגוסט, הוא נפטר מהתקף לב, בגיל 65.
תאוריה.
בתחילת דרכו הושפע אדורנו מסרן קירקגור, והעביר קורס (ראשון) בהשפעתו אודות מגבלות הפילוסופיה. בהמשך, שכלל את רעיונותיו, וטען כי דרך ההסתכלות שלנו על העולם מושפעת מאוד מהתרבות בה אנו חיים. כתוצאה מכך, חקר האמת נידון כמעט תמיד לכישלון מאחר שהסביבה שלנו יוצרת עבורנו שפה – עולם מושגים, או תפישה – הממסכים על האמת. לפעולת מיסוך זו קרא "חרושת תרבות" וטען כי הסיכוי היחיד להימלט ממנה ולהתקרב להתבוננות על האמת נמצאת באמנות. יחד עם התאורטיקנים הרמן ברוך וקלמנט גרינברג הרחיב גם את המושג קיטש, המסמל את מוצרי חרושת התרבות, ואת המושג אוונגרד, המסמל את האמנות הצועדת על קרקע שלא "נכבשה" עדיין על ידי חרושת התרבות. הנושא מטופל בהרחבה בספרו "תאוריה של האסתטיקה" ("Ästhetische Theorie") שפורסם ב-1970.
את אמירתו המפורסמת של אדורנו משנת 1949, "לכתוב שירה אחרי אושוויץ זו ברבריות", ניתן לפרש בכמה צורות. משה צוקרמן רואה בה הבעה של אי-אמון באמנות נוכח כישלונה הבוגדני אל מול הברבריות, הוא שומע בה גם פקפוק לגבי יכולתה של האמנות להיחלץ מהפקת עונג, אפילו בהקשר של עימות עם הזוועה האולטימטיבית, והוא גם חש בה את מועקת התודעה, שהשואה איננה ניתנת לייצוג, לא באופן מושגי-שכלתני ולא באופן אסתטי-אמנותי. בערוב ימיו חזר בו אדורנו מן הנחרצות של אמירתו. בספרו "דיאלקטיקה שלילית" הוא טען שהסבל זכאי לייצוג כשם שהמעונה זכאי לצרוח, ועל-כן "ייתכן שהייתה זו טעות לקבוע שאחרי אושוויץ לא ניתן עוד לכתוב שירה".
טור טיילור
טור טיילור הוא טור חזקות המשויך לפונקציה חלקה ולנקודה כלשהי formula_1 פנימית לתחום הגדרתה, שמקדמיו מחושבים על ידי ערכי הנגזרות של הפונקציה ב"נקודת הפיתוח" formula_1 של הטור. לעיתים טור טיילור של הפונקציה מתכנס אליה בסביבה כלשהי של נקודת הפיתוח, ובמקרה זה הסכומים החלקיים של הטור, כלומר פולינומים, מקרבים את הפונקציה בסביבה זו. זוהי למעשה הכללה של הקירוב הליניארי (קירוב מסדר ראשון) formula_3 שמתקבל על ידי משפט הערך הממוצע של לגראנז'.
היתרון העיקרי של טור טיילור הוא האפשרות לחשב באופן מקורב את הערכים של פונקציות מסובכות (כגון סינוס) באמצעות פולינומים, כלומר באמצעות פעולות חיבור וכפל בין מספרים ממשיים. לעיתים ניתן גם לחשב באופן מקורב את הנגזרת והאינטגרל של פונקציות אלה באמצעות חישוב הנגזרות והאינטגרלים של הפולינומים בטור.
תורה זו העסיקה מתמטיקאים כמו ברוק טיילור וקולין מקלורן. שאיפתם הייתה לנסות ולקרב פולינומים לפונקציות כמו האקספוננט, הלוגריתם והקוסינוס. כדי לבצע קירוב זה, מנסים למצוא את הפולינום שקרוב מספיק לפונקציה בתחום מסוים, כזה שאת ההפרש (השגיאה) בינו לבין הפונקציה עצמה ניתן להקטין כרצוננו, כך שההבדל בין הפונקציה לפולינום ילך ויהפוך זניח. את המטרה הזו משרתים טורי טיילור, שמתברר כי הפולינומים שמרכיבים אותם מוגדרים באופן יחיד לכל פונקציה ולקירוב מכל סדר. הטור נקרא על שמו של ממציאו ברוק טיילור. טור טיילור המפותח בנקודה formula_4 נקרא טור מקלורן (הדמיון בין שם זה לשמו של טור לורן, שהוא הכללה של טור טיילור, הוא מקרי).
טור טיילור (המפותח בנקודה מסוימת formula_5) מתכנס לפונקציה בסביבה מסוימת של formula_5 אם ורק אם סדרת השאריות שבפיתוח טיילור של הפונקציה אפסה בכל נקודה בסביבה הנ"ל. במקרה כזה, נאמר שהפונקציה היא אנליטית בנקודה formula_5.
אינטואיציה.
טור טיילור מאפשר לחשב פונקציה על פי התנהגות הפונקציה בנקודה מסוימת.
נביט, לדוגמה, בפונקציה formula_8 המתארת את מיקומה של מכונית כפונקציה של הזמן, t. אם ידוע המיקום של המכונית בזמן מסוים, כלומר אם אנחנו יודעים את הערך של formula_9, אז הקרוב הבסיסי ביותר הוא שזהו המיקום של המכונית בכל זמן שהוא, כלומר formula_10. הקרוב הזה מדויק אם המכונית חונה, כלומר אם המהירות שלה היא אפס, והתאוצה שלה אפס.
הקירוב הבא למיקומה של המכונית הוא זה שמתחשב במהירות המכונית. הביטוי המתמטי למהירות הוא הנגזרת של פונקציית המיקום בזמן: formula_11, ואם מתחשבים במהירות המכונית מקבלים קירוב מסדר ראשון למיקום המכונית: formula_12. קירוב זה הוא מדויק כאשר המהירות של המכונית קבועה, כלומר התאוצה שלה היא אפס. באופן מתמטי פירושו של דבר שהנגזרות מסדרים גבוהים מאחד (הנגזרת מסדר אחד היא המהירות) מתאפסות כולן.
באופן דומה אפשר להמשיך ולהכניס תיקונים לפונקציית המיקום של המכונית המתחשבים בסדרים גבוהים יותר: התיקון מסדר שני מתייחס לתאוצה של המכונית, התיקון מסדר שלישי מתייחס לקצב שבו התאוצה משתנה וכך הלאה. הדרך לתיקונים תהיה: מכיוון שהפונקציה הקדומה מסדר n של הקבוע formula_13 היא formula_14 (מכיוון שformula_15), נוסיף כל פעם את האיבר formula_16.
מבחינה מתמטית, המשמעות של טור טיילור היא שניתן לשחזר באופן מלא התנהגות של פונקציה אם יש לנו מידע מלא על ההתנהגות שלה בנקודה מסוימת - כלומר אם ידועות לנו הנגזרות של הפונקציה מכל סדר שהוא בנקודה.
בבעיות פיזיקליות לעיתים קרובות התרומה העיקרית להתנהגות פונקציה מגיעה מהאיברים הראשונים בטור - ולכן אפשר להזניח איברים הגבוהים יותר. כך לדוגמה חוק הוק הקובע שהכוח שמפעיל קפיץ פרופורציונלי לאורך המתיחה של הקפיץ, למעשה איננו מתאר במדויק את התנהגותם של קפיצים אמיתיים, הוא רק קירוב מסדר ראשון, קירוב ליניארי להתנהגות זו, אך במקרים רבים קירוב זה טוב מספיק. הקירוב מסדר שני, שגם בו נעשה שימוש רב בפיזיקה, נקרא הקירוב ההרמוני.
הגדרה.
טור טיילור של פונקציה ממשית במשתנה יחיד formula_17, הגזירה אינסוף פעמים סביב הנקודה formula_5, הוא טור החזקות
formula_19,
ובקצרה
formula_20
כאשר formula_21 היא הנגזרת מסדר formula_22 של formula_23 בנקודה formula_1, (נהוג לסמנה גם ב-formula_25), ומוסכם שעבור formula_26 מתקבל formula_27.
הסכומים החלקיים של טור טיילור נקראים פולינומי טיילור ובפרט הסכום החלקיformula_28
נקרא פולינום טיילור מסדר formula_29 של formula_23 סביב הנקודה formula_1.
טור טיילור מוגדר, כאמור, כאשר הפונקציה גזירה אינסוף פעמים בנקודה. עבור הפונקציות האלמנטריות אקספוננט, סינוס וקוסינוס, הטור מתכנס בכל הישר. מאידך, ייתכן שהטור יתכנס רק בקטע מסוים (עם או בלי קצות הקטע). אם הטור מתכנס אל הפונקציה בקטע פתוח כלשהו, היא נקראת אנליטית.
לא תמיד טור טיילור של פונקציה מתכנס אליה, גם אם היא גזירה אינסוף פעמים. קושי הציע את הדוגמה הבאה: הפונקציה formula_32 (עם formula_33, כמובן), שהגרף שלה מוצג משמאל, גזירה אינסוף פעמים על כל הישר, וערכי הנגזרות באפס הם אפס, כך שטור טיילור שלה מתכנס זהותית לאפס, אף על פי שהפונקציה מקבלת ערך זה רק בנקודה אחת.
שימושים.
הטור מהווה כלי חשוב באנליזה נומרית על מנת להעריך את ערכה הנומרי של פונקציה על ידי חישוב סדרת חזקות בלבד. שימוש בטור טיילור הוא אחת הדרכים בה יכולים מחשבים להחזיר ערכים מספריים של פונקציות דוגמת סינוס, אם כי ישנן שיטות קירוב נוספות, שחלקן יעילות יותר במקרים מסוימים. עם זאת, לטור טיילור, פרט לחשיבותו בחישובים מספריים יש גם חשיבות תאורטית רבה בזכות העובדה שהוא מתאר פונקציה שיכולה להיות מסובכת באמצעות טור של פונקציות פשוטות. נוסחת אוילר, לדוגמה, מוכחת באמצעות פיתוח טיילור של פונקציית האקספוננט.
אם טור טיילור של פונקציה מתכנס בכל הישר הממשי, הוא מאפשר להרחיב את ההגדרה של הפונקציה לכל אלגברת סי כוכב. למשל באופן זה ניתן להגדיר את האקספוננט של מטריצה ממשית או מרוכבת.
חישובי שארית.