נשים לב כי המאורע formula_52 נקבע על ידי formula_53, ולכן הוא בלתי-תלוי ב-formula_54. אם כך נקבל,
formula_55
אם כך נבחר formula_41 גדול דיו כך שיתקיים formula_57, ואם נשאיף formula_58 נקבל כי הטור formula_39 מתכנס, כנדרש.
דוגמה.
באמצעות משפט זה ניתן למצוא התנהגות מפתיעה של הגרסה האקראית של הטור ההרמוני המתחלף, השונה מההתנהגות המוכרת של הטור ההרמוני המתחלף. ממבחן לייבניץ להתכנסות טורים אנו יודעים כי הטור formula_60 מתכנס וכמותו גם הטור formula_61 מתכנס. עם זאת נראה כי אם הסימנים אינם מתחלפים באופן דטרמיניסטי אלא מוגרלים אקראית, אפילו אם הם מוגרלים בהסתברות שווה — מתגלה התנהגות שונה.
נתבונן בטור שבו הסימן של כל איבר נקבע בצורה אקראית. כלומר, תהי formula_62 סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, בעלי ההתפלגות formula_63. נקבע איזושהי סדרה של מספרים חיוביים formula_64 המתכנסת מונוטונית לאפס. לא קשה לראות ששני התנאים הראשונים מתקיימים תמיד (עבור כל בחירת קבוע formula_65), וכי התנאי השלישי הוא שהטור formula_66 יתכנס.
אם כך עבור הטור ההרמוני האקראי המתקבל מהסדרה formula_67 תנאי זה מתקיים ולכן הוא מתכנס, בעוד שעבור הטור האקראי המתקבל מהסדרה formula_68 תנאי זה אינו מתקיים ולכן הוא מתבדר. באופן כללי יותר, הטור האקראי המתקבל מהסדרה formula_69 מתכנס אם ורק אם formula_70.
בית הכנסת כותאיסי
בית הכנסת כותאיסי () הוא אחד מבין שלושת בתי כנסת בעיר כותאיסי שבגאורגיה והגדול מביניהם.
בניית בית הכנסת הסתיימה בשנת 1885 ברחוב גפונוב 57–59 שבכותאיסי (בהמשך עבר לכתובת 59 בלבד), בית הכנסת הוא הגדול והחדש שבבתי הכנסת של העיר כותאיסי. ישנם עוד שני בתי כנסת בכותאיסי. שניהם ברחוב גפונוב, מספר 10 ומספר 8, בתי הכנסת האלה נוסדו בשנות ה-60 של המאה ה-19.
שושלת אניפולי
חסידות דז'בנה
משפט שלושת הטורים
גיא הצבועים
גיא הצבועים הוא שמו של יישוב או נחל במזרח נחלת שבט בנימין הנזכר בתנ"ך.
האתר נזכר בספר שמואל א' בתיאור פשיטות הפלשתים בחבל בנימין בעת שהותם בעיר מכמש: .
במשנה ובתוספתא נזכר יישוב מתקופת הבית השני בשם הר צבועים, אשר נמצא באזור של אקלים חם במיוחד, שהביא להבשלת הפירות בו מוקדם מהרגיל: .
ייתכן כי שמו של האתר הקדום השתמר בשמו של אפיק נחל הקרוי בימינו ואדי אבו א-צ'באע (מילולית: נחל אבי הצבועים) המתחבר אל נחל פרת.
המצור על ירושלים (66–70)
עיצוב חזותי
בית הכנסת בתומי
בית הכנסת בתומי () הוא בית כנסת בבתומי, אג'ריה, גאורגיה. הוא נבנה על ידי סימון וולקוביץ' בשנת 1904.
ב-1898 נעתר הצאר הרוסי, ניקולאי השני, לבקשת הקהילה היהודית בבתומי לבנות בית כנסת, וזה נחנך ב-1904. ב-1929 נסגר בית הכנסת על ידי השלטון הסובייטי של ברית המועצות, והמבנה שימש לצורך תחרויות ספורט. עם זאת, בשנת 1993, לאחר נפילת הקומוניזם, הותר ליהודים שנותרו בעיר לשוב להשיב למבנה את שימושו המקורי. ב-1998 בית הכנסת שופץ באופן נרחב, הוא נצבע בלבן ונקבע מגן דוד מרשים בממדיו בחלון החזית. ב-2011 הוכרז בית הכנסת כאתר מורשת לאומי.
ארווין פירוב
גנרל ארווין פירוב (; 15 במאי 1890 - 1 בפברואר 1982) היה מפקד בכיר בוורמאכט שפיקד על כוחות במלחמת העולם השנייה.
ביוגרפיה.
קריירה מוקדמת.
פירוב נולד ב-15 במאי 1890 בברלין, שהשתייכה לאימפריה הגרמנית. בשנת 1908 התגייס פירוב לצבא האימפריה הגרמנית, והצטרף לרגימנט הרגלים ה-64 (ברנדנבורג ה-8 - פלדמרשל פרידריך קרל, נסיך פרוסיה), ולחם בשורותיו במהלך מלחמת העולם הראשונה. ב-27 בינואר 1915 הועלה פירוב לדרגת אובר לויטננט, וב-13 במאי 1916 נפצע במהלך הקרבות. ב-18 באפריל 1917 הועלה לדרגת האופטמן, ובדצמבר 1917 מונה לקצין מטה במחלקת הרכבות במטכ"ל הקיסרי. על פעולותיו בקרבות קיבל פירוב את עיטורי צלב הברזל דרגה ראשונה ושנייה, וצלב הכבוד של מלחמת העולם 1914/1918.
לאחר המלחמה הצטרף פירוב לרייכסווהר, ומילא בו תפקידי פיקוד ומטה. ב-1 בפברואר 1928 הועלה פירוב לדרגת אוברסט לוטננט, וב-1 באוקטובר 1933 מונה למפקד הגדוד ה-2 ברגימנט הרגלים ה-15. ב-1 בספטמבר 1934 הועלה לדרגת אוברסט, וב-1 באוקטובר אותה שנה מונה למפקד רגימנט הרגלים ה-36. ב-6 באוקטובר 1936 מונה למפקד רגימנט הרגלים ה-105, ב-12 באוקטובר 1937 מונה לראש מטה הקורפוס ה-11, וב-1 בינואר 1938 הועלה לדרגת גנרל מיור.
מלחמת העולם השנייה.
ב-15 בספטמבר 1939 מונה פירוב למפקד הדיוויזיה ה-96, ובמהלך המערכה על צרפת לחם עמה כחלק מהקורפוס ה-43 במסגרת הארמייה התשיעית. ב-1 בינואר 1940 הועלה פירוב לדרגת גנרל לויטננט, וב-1 באוגוסט 1940 מונה למפקד הדיוויזיה ה-9. ב-1 בינואר 1941 הועלה פירוב לדרגת גנרל חיל הרגלים, וב-6 בפברואר 1941 מונה למפקד הקורפוס ה-55. במהלך מבצע ברברוסה לחם הקורפוס שבפיקודו כחלק מהארמייה השישית, והשתתף בקרב קייב ובקרב חרקוב הראשון. ב-15 בנובמבר 1941 קיבל פירוב על פעולותיו את עיטור צלב האבירים של צלב הברזל, וב-14 בפברואר 1943 מונה למפקד הקורפוס ה-20, שהיה חלק מהארמייה הרביעית. ב-1 ביולי 1943 מונה למפקד הצבאי במערב צרפת, וב-1 בספטמבר 1944 נפל בשבי הבריטי.
לאחר המלחמה.
בשנת 1947 שוחרר פירוב מהשבי. לאחר שחרורו התגורר בעיר טקלנבורג, עד למותו ב-1 בפברואר 1982.
עומר מסקרל
עומר מסקרל גונסאלס (בספרדית: Omar Mascarell González, נולד ב-2 בפברואר 1993 בסנטה קרוס דה טנריפה שבספרד) הוא כדורגלן ספרדי המשחק באלצ'ה מהלה ליגה בעמדת הקשר האחורי.
קריירת מועדונים.
מסקרל גדל בטנריפה שבאיים הקנריים ושיחק במועדונים מקומיים עד גיל 17. בגיל זה החל לשחק באקדמיה של ריאל מדריד, ובאוגוסט 2011 ערך את הופעת הבכורה בקבוצת המילואים, ריאל מדריד קסטיליה, במשחק מול קבוצת המילואים של ספורטינג חיחון במשחק במסגרת הליגה השלישית. בעונה זו, ערך מסקרל 24 הופעות, וסייע לריאל מדריד קסטיליה להעפיל אל הליגה השנייה, ממנה נעדרה חמש שנים. על אף הצלחתו, את עונת פתח מסקרל בקבוצה השלישית של ריאל מדריד, שגם היא שיחקה בליגה הספרדית השלישית, אך עד מהרה חזר לריאל מדריד קסטיליה. באוקטובר 2012 ערך מסקרל את הבכורה שלו כשחקן מקצוען בליגה השנייה, כאשר החליף את פדרו מוסקרה בניצחון 2–4 על ספורטינג חיחון. ביוני 2013, במחזור האחרון של עונת 2012/13, ערך מסקרל את הופעת הבכורה בלה ליגה, כאשר החליף את מסוט אוזיל בניצחון 2–4 על אוסאסונה. הייתה זו הופעתו היחידה של מסקרל בקבוצה הבכירה של ריאל מדריד. בעונת המשיך מסקרל לשחק בקבוצות המילואים של ריאל מדריד.
באוגוסט 2014 הצטרף מסקרל בהשאלה לעונה אחת לדרבי קאונטי מהפוטבול ליג צ'מפיונשיפ האנגלית. את הבכורה ערך מול רות'רהאם יונייטד כשנכנס כמחליף במסגרת הליגה. על אף ששיחק בדרבי קאונטי עונה אחת בלבד ולא היה שחקן הרכב קבוע, נכנס מסקרל ללבבות האוהדים, כאשר הפגין את כישורי ניהול המשחק ובישול השערים שלו, וזכה לשירים שנכתבו עליו. לאחר שסיים מסקרל את השאלתו לדרבי קאונטי, הושאל שוב מריאל מדריד, והפעם לספורטינג חיחון מהלה ליגה הספרדית. מסקרל ערך 28 הופעות בעונת , וסייע לספורטינג חיחון להישאר בליגה, על חודה של נקודה אחת מהיורדת ראיו ואיקאנו. בתום עונה זו, חזר מסקרל לריאל מדריד.
בקיץ 2016 נמכר מסקרל לאיינטרכט פרנקפורט תמורת כ-850 אלף אירו, וחתם על חוזה לשלוש שנים, עם אופציה לרכישה מחדש על ידי ריאל מדריד תמורת 4 מיליון אירו. מסקרל רשם עונה ראשונה טובה מאוד בפרנקפורט, וערך 28 הופעות ליגה, כשהוא משתף פעולה בקישור עם מרקו פביאן, סלובודן מדויביץ', אנטה רביץ', דני בלום וטאלב טוואטחה. לקראת סיום העונה נפצע והחמיץ את גמר הגביע הגרמני בו הפסידה פרנקפורט לבורוסיה דורטמונד. מסקרל היה מושבת למשך חודשים ארוכים והחמיץ את תחילת עונת 2017/18, וחזר לקראת פגרת החורף. במשחק רבע גמר הגביע הגרמני מול מיינץ 05, הבקיע מסקרל את השער השלישי בניצחון 0–3, שהיה שער הבכורה שלו במועדון. במחזור ה-33 של אותה עונה, הבקיע מסקרל את שער הבכורה שלו בבונדסליגה, בניצחון 0–3 על המבורג. בהמשך העונה, היה מסקרל שותף לזכייה ההיסטורית של איינטרכט פרנקפורט בגביע הגרמני, לאחר ניצחון 1–3 בגמר על באיירן מינכן, בו שיחק 90 דקות.
ביוני 2018, הופעל סעיף הרכישה מחדש של מסקרל תמורת 4 מיליון אירו על ידי ריאל מדריד. ביולי 2018 נמכר מסקרל מריאל מדריד לשאלקה 04 תמורת 10 מיליון אירו, וחתם על חוזה בשאלקה לארבע שנים. בעונת 2020/2021 מונה לקפטן הקבוצה עד לחזרתו של סיאד קולאשינאץ בינואר.
ב-23 באוגוסט 2021 חזר לספרד וחתם באלצ'ה לעונה אחת.
קריירה בינלאומית.
למסקרל שורשים בגינאה המשוונית מצד אביו. במאי 2012 זומן מסקרל לצמד משחקים של נבחרת גינאה המשוונית במוקדמות מונדיאל 2014 מול נבחרות תוניסיה ונבחרת סיירה לאון. מסקרל נסע לבירת גינאה המשוונית, מלאבו, אך לבסוף לא שיחק במשחקים אלה, משום שערך הופעה אחת במדי נבחרת ספרד עד גיל 20, ולא רצה לוותר על האופציה לשחק בנבחרת ספרד. זאת על אף שהתאחדות הכדורגל של גינאה המשוונית סיימה את התהליכים הפרוצדורליים על מנת שמסקרל יוכל לשחק בנבחרת גינאה המשוונית.
תארים.
עם איינטרכט פרנקפורט:
אומר מסקרל
עומאר מסקרל
אומאר מסקרל
דגם ירושלים בימי בית שני
חנן עינור
חנן עינור (20 באוקטובר 1916 - 15 בדצמבר 1993) היה פעיל במוסד לעלייה ב'. שירת במגוון תפקידים חשובים בישראל ומחוצה לה כעובד משרד החוץ הישראלי. ממייסדי המרכז לשיתוף פעולה בינלאומי. לזכרו נוסדה "קרן חנן עינור", המעניקה מלגות לימודים לישראלים יוצאי אתיופיה.
שנות חייו המוקדמות.