כאשר formula_89 היא האנרגיה הכללית והיא קבועה במערכת הסגורה.
אם המאגר formula_73 מאוד גדול, כך ש - formula_91, פונקציית הריבוי גם כן מאוד גדולה (בהתאם למספר האפשרויות עבור המצבים המיקרוסקופיים השונים), ועל כן ניתן להגדיר את ההסתברות בהתאם לאנטרופיה של המאגר על ידי הקשר:
formula_92, כאשר formula_93 היא האנטרופיה של המאגר formula_94.
כעת ניתן לפתח לטור טיילור סביב formula_95 כיוון שהמאגר formula_94 גדול מאוד:
formula_97
נזכיר כי הטמפרטורה הוגדרה עבור formula_98. כמו כן, בהתאם לחוק שימור האנרגיה נראה כי: formula_99
נוכל להזניח איברים מסדר שני, formula_100, שכן על פי ההנחה בעת בניית המאגר formula_94, הטמפרטורה לא משתנה.
בנוסף, נציין כי formula_102 שכן האנטרופיה של המאגר formula_94 ידועה לפני החיבור למערכת formula_104.
הפיתוח של טור הטיילור בוצע עבור הפונקציה formula_105 ולא עבור פונקציית הריבוי formula_106 שכן הפיתוח עבור פונקציית הריבוי בטור טיילור אינו בהכרח מקיים את תנאי ההתכנסות של הטור.
בהתאם לכל הפיתוח, נקבל:
formula_107
מכאן נראה כי ביטוי מתמטי מהצורה: formula_108 ידוע בתור פקטור בולצמן בהתאם להתפלגות בולצמן. בהתאם להגדרה זו ניתן להגדיר את פונקציית החלוקה:
formula_109
והסיכוי למצוא את המערכת formula_104 במצב מיקרוסקופי כלשהו נתונה על ידי: formula_111
באופן דומה, ניתן לפתח את פונקציית החלוקה הגרנד קנונית בהתאם לפונקציית הריבוי, עבור מערכת המצומדת למאגר גדול עם טמפרטורה ופוטנציאל כימי קבועים.
בהתאם לכך, פונקציית הריבוי של המאגר תוגדר בהתאם לשינוי האנרגיה ומספר החלקיקים במערכת:
formula_112
ועל ידי פיתוח טור טיילור סביב formula_113 נקבל את פונקציית החלוקה הגרנד קנונית בהתאם לפקטור גיבס:
formula_114
כאשר formula_115 מוגדר להיות פקטור גיבס בדומה לפקטור בולצמן.
נציין כי פיתוח זה זהה לפיתוח עבור הצבר המקרוקנוני, בהתאם להגדרה עבור מאגר בעל פוטנציאל כימי קבוע בנוסף לטמפרטורה.
דוגמאות.
מודל פרומגנט - אוסף של ספינים.
נניח כי קיימים formula_116 אתרים שונים במערכת כלשהי, המתוארים על ידי אוסף של ספינים במישור. לצורך פשטות, נגדיר שני מצבים נפרדים (מודל בינארי) בלבד לכל ספין באמצעות חיצים:
חץ הפונה למעלה מייצג מומנט מגנטי של formula_117, וחץ הפונה למטה מייצג מומנט מגנטי של formula_118
על כן, נוכל לייצג את אוסף הספינים בהתאם לייצוג: formula_119 עבור formula_120 אתרים, כאשר כל ספין בכל אתר יכול להיות מיוצג על ידי formula_121 או formula_122
כידוע, אוסף של ספינים מייצג מודל של פרומגנט בהתאם לתכונות החומר.
מספר המצבים המיקרוסקופיים הכולל, בהתאם לחוקי קומבינטוריקה הוא formula_123
נמצא כעת את מספר המצבים המקרוסקופיים:
נגדיר את כמות הספינים עם חץ הפונה למעלה בתור: formula_124 ואת כמות הספינים עם חץ הפונה למטה בתור: formula_125
מספר האתרים הכולל נתון על ידי: formula_126
נגדיר מספר formula_127 המייצג את השינוי בספין בכל אתר ועל כן נוכל להגדיר: formula_128 ו - formula_129
נוכל להגיע לביטוי מתמטי עבור הספין על ידי התייחסות למספר המצבים בכל אתר. אם נסתכל על כל אתר בתור מגנט, אז כשנסובב את המגנט המופנה כלפי מעלה לכיוון המנוגד, כלפי מטה, אז השינוי בכמות משתנה פי formula_130. כלומר, באופן פורמלי נקבל: formula_131 ו - formula_132 כאשר formula_133 מייצג את הספין של כל אתר.
בהתאם לכך נגדיר את הספין העודף במערכת: formula_134
בהתאם לניוון עבור כיוון הספין, נקבל כי כמות המצבים המקרוסקופיים של אוסף הספינים הוא formula_135
כלומר, לכל מצב מקרוסקופי קיימים מספר רב של מצבים מיקרוסקופיים, כיוון ש - formula_136 עבור formula_137.
כעת נוכל למצוא את פונקציית הריבוי של אוסף ספינים:
נסתכל על המצב של כל אתר בהתאם לכיוון החץ על ידי הביטוי formula_138 כפי שהוסבר לעיל.
בהתאם לנוסחת הבינום של ניוטון ובהתאם להגדרת הכיוון של הספין לכל האתרים נתאר את מספר המצבים המיקרוסקופיים הכולל:
formula_139
נגדיר את פונקציית הריבוי בהתאם למספר המצבים המיקרוסקופיים הזמינים לאוסף של formula_120 ספינים: formula_141
בהתאם לכך, הסיכוי להיות במצב עודף ספין מסוים הוא: formula_142
נוכל לקרב את פונקציית הריבוי אם formula_137 וגם formula_144 בהתאם לנוסחת סטירלינג על ידי שימוש ב - formula_145:
formula_146
ובהתאם לקירוב סטירלינג: formula_147
ובאופן דומה: formula_148,
formula_149
ועל כן נוכל להציב בנוסחה עבור פונקציית הריבוי ולקבל:
formula_150
נוכל לפשט את הביטוי על ידי פיתוח טור טיילור עבור ביטוי מהצורה formula_151 והצבה בביטוי שהוגדרו עבור formula_152 ו - formula_153:
formula_154
ובצורה דומה:
formula_155
נציב את הביטויים שהתקבלו בביטוי הלוגריתמי של פונקציית הריבוי ולבסוף נקבל:
formula_156
ועבור פונקציית הריבוי נקבל:
formula_157 כאשר formula_158
כאשר זוהי התפלגות גיאוסיאן סביב אפס, בהתאם למשפט הגבול המרכזי.
מספר מאפיינים של התפלגות זו:
שתי מערכות ספינים בצימוד תרמי.
כפי שהוגדר לעיל, עבור שתי מערכות בצימוד תרמי נוכל להגדיר את פונקציית הריבוי המשולבת. על כן, עבור שתי מערכות של אוסף ספינים פונקציית הריבוי של שתי המערכות היא מכפלה של כל פונקציות הריבוי:
formula_166
כאשר נגדיר formula_167 עבור המערכת הראשונה ו- formula_168 עבור המערכת השנייה.
אם נצמיד את המערכות כך שכמות החלקיקים formula_169 לא ישתנו, ונגדיר את כמות הספינים במערכת עבור formula_133 קבוע בתור formula_171 נקבל את פונקציית הריבוי:
formula_172
כעת הסיכוי למצוא את המערכת המצומדת עם ספין formula_173 הוא: formula_174
עבור formula_137, ההתפלגות שהתקבלה formula_176 מאוד צרה סביב קונפיגורציית שיווי המשקל שלה, כאשר זו הקונפיגורציה המסתברת ביותר.
מערכת ספינים בשדה מגנטי.
נניח כי אוסף הספינים נמצא מושפע על ידי שדה מגנטי formula_177. עבור השדה המגנטי, האנרגיה של כל ספין נתונה על ידי: formula_178 כאשר formula_179 הוא המגנטון של בוהר.
האנרגיה הכוללת של מערכת הספינים: formula_180
כאשר פונקציית הריבוי תישאר זהה עבור כלל המצבים המיקרוסקופיים השונים.
אוסילטור הרמוני.
פתרון הבעיה עבור האוסילטור ההרמוני, אשר מוגדרת בספרות לעיתים בתור מוצקי איינשטיין (Einstein Solid), ניתנה על ידי מקס פלאנק בהתאם לפיתוח התאורטי עבור קרינת גוף שחור, אשר הובילה לפיתוח תורת הקוונטים.
נמצא את פונקציית הריבוי של אוסילטור הרמוני:
למצבים הקוונטיים של אוסילטור הרמוני יש ערכים עצמיים המוגדרים על ידי: formula_181. בהתאם לפיתוח ההמילטוניאן של אוסילטור הרמוני עבור משוואת שרדינגר, נקבל כי הערכים העצמיים הללו הם האנרגיות העצמיות עבור המצבים השונים. כאשר נגדיר את המצב הקוונטי בתור formula_182, ואת formula_183 בתור התדירות הזוויתית של האוסילטור. מספר המצבים הוא מספר בר מנייה, ועל כן ישנן אינסוף מצבים קוונטיים עבור האוסילטור ההרמוני. עם זאת, פונקציית הריבוי עבור אוסילטור הרמוני יחיד היא formula_184, בהתאם לניוון במערכת.
כעת נתבונן במערכת של formula_6 אוסילטורים הרמוניים, כאשר לכל אוסילטור יש את אותה התדירות הזוויתית formula_183. סך האנרגיה של כלל המערכת נתון על ידי:
formula_187
כפי שהוזכר לעיל, פונקציית הריבוי עבור אוסילטור הרמוני יחיד היא: formula_188. כדי לפתור את הבעיה, נמצא את הפונקציה היוצרת של הסדרה: formula_189
על כן, עבור formula_6 אוסילטורים הרמוניים, הפונקציה היוצרת היא: formula_191
כעת נבחין כי: formula_192
ובהתאם לקומבינטוריקה בסיסית נוכל להגדיר את התוצאה שהתקבלה עבור פונקציית הריבוי של formula_6 אוסילטורים הרמוניים:
formula_194
באופן דומה נוכל לפתח את פונקציית הריבוי עבור אוסילטור הרמוני קוונטי.
האנרגיה של אוסילטור הרמוני קוונטי נתונה על ידי formula_195.
התפשטות ספונטנית בגז אידיאלי.
נפתח את פונקציית הריבוי של גז אידיאלי עבור התפשטות ספונטנית במערכת. לצורך פשטות, נניח כי הגז חד - אטומי, למשל הליום (formula_196). האנרגיה הפנימית הכללית במערכת תהיה סכום האנרגיה הקינטית של כל האטומים.
לצורך כך, נניח כי ישנם formula_6 אטומים עם מסה formula_198 כל אחת. ידוע כי עבור בעיה תלת ממדית, לכל אטום יש שלושה כיוונים עבור המיקום והתנע. כלומר, סך הכל ישנם formula_199 רכיבי תנע ומיקום עבור כלל המערכת, אותם נגדיר כ - formula_200 בהתאמה כאשר formula_201.
על כן, האנרגיה הכללית במערכת נתונה על ידי:
formula_202 כיוון שהאנרגיה הקינטית עבור כל אטום נתונה על ידי formula_203.
המצב המקרוסקופי מתקבל על ידי קיבוע של הגדלים התרמודינמיים במערכת:
formula_31 - האנרגיה הפנימית מאלצת את התנעים של האטומים במערכת.
formula_37 - הנפח מאלצת את המיקומים של האטומים במערכת.
על כן, המצבים המיקרוסקופיים של המערכת יוגדרו בתור כל הערכים של המיקומים formula_206 ושל התנעים formula_207 עבור האטומים בהתאם לאילוצים של formula_31 ו - formula_37.
האנרגיה הכללית של גז אידיאלי נתונה על ידי הביטוי: formula_210 כאשר formula_52 הוא קבוע בולצמן ו-formula_58 הוא הטמפרטורה.
בצבר המיקרוקנוני, המערכת סגורה ועל כן האנרגיה אינה משתנה. בהתאם לכך, הטמפרטורה קבועה: formula_213.