הקונבולוציה היא סך השטח הכלוא מתחת למכפלת שתי הפונקציות כאשר אחת מהן משוקפת סביב הציר האנכי ומוזזת ב-t. המשתנה t לאו דווקא מסמל זמן, ובתחומים שונים הפונקציות הן של משתנים שונים. ניתן להתייחס לקונבולוציה כממוצע נע משוקלל: (f(t היא הממוצע של הפונקציה (g(τ לפי פונקציית המשקל (h(-τ המוזזת ב-t (או המשתנה עם הזמן).
קונבולוציה של סדרות.
הקונבולוציה של הסדרות formula_10 ו-formula_11 היא הסדרה formula_12. בדומה לזה מוגדרת קונבולוציה של טורים כטור המתאים לקונבולוציה של הסדרות המתאימות. לפי משפט קושי (תורת הטורים), הקונבולוציה של טורים המתכנסים בהחלט מתכנסת בהחלט.
קונבולוציה מעגלית.
אם הפונקציה formula_13 היא מחזורית עם מחזור T, כך שניתן לכתוב אותה כסכום:
אז הקונבולוציה של formula_13 עם פונקציה formula_3 שאינה מחזורית גם היא מחזורית עם מחזור T וניתן לרשום אותה כך:
ניתן לראות זאת כסכימה של השטח מתחת למכפלת מחזור אחד של formula_13 בהזזות של הפונקציה (h(t, במקום סכימה של השטח מתחת למכפלה של הזזות של מחזור אחד של הפונקציה formula_4 בפונקציה formula_3.
formula_21 נקראת הקונבולוציה המעגלית או הקונבולוציה הציקלית של formula_3 ו-formula_4. כלומר, הקונבולוציה המעגלית של שתי פונקציות שאינן מחזוריות היא קונבולוציה רגילה בין הפונקציה האחת לבין פונקציה מחזורית שמחזור שלה זהה לקטע מן הפונקציה השנייה.
אם נגדיר פונקציה מחזורית formula_24 כפונקציה שמחזור שלה זהה לקטע מהפונקציה formula_3:
אז ניתן לכתוב את הפונקציה formula_21 כך:
והיא נקראת הקונבולוציה המחזורית של formula_24 ו-formula_13. כלומר, הקונבולוציה המחזורית של שתי פונקציות מחזוריות עם מחזור משותף T דומה לקונבולוציה רגילה, אלא שהאינטגרציה נעשית על פני זמן באורך של מחזור אחד T, כאשר to שרירותי.
אינטואיציה.
לשם המחשת המושג ניקח דוגמה מתחום האקוסטיקה. נניח שאנו נמצאים בחדר אשר מחזיר הד עבור קולות הנשמעים בו. אם נשמיע קול בחדר זה ההד יתנהג בצורה הבאה: לאחר שנייה אחת עוצמת הקול שנשמעת היא חצי מהקול המקורי, לאחר שתי שניות היא רבע ממנו, וכן הלאה. ובאופן כללי: formula_31 (כאשר h היא ההגבר). נניח כי מוצב תוף בחדר ואדם מכה בו כל שנייה בעוצמה אחרת, ו- formula_32 היא הסדרה המייצגת את עוצמת המכה בכל שנייה. אם אנחנו מעוניינים לדעת לאחר זמן מסוים מה תהיה עוצמת הקול בחדר, עלינו לסכום את התרומות של כל הקולות שנעשו מאז תחילת התיפוף ועד הזמן שאנחנו מעוניינים בו. הבעיה היא שעבור כל מכה בתוף עבר זמן שונה ונצטרך להתחשב בו. הדרך לחשב זאת היא לחבר את העוצמה שנשמעה ברגע זה עם חצי העוצמה שנשמעה בשנייה הקודמת עם רבע מהעוצמה שנשמעה בשנייה שלפני כן וכן הלאה עד לתחילת התיפוף, כלומר: formula_33ביטוי זה שקיבלנו הוא הקונבולוציה בזמן בדיד אך אפשר בקלות לקבל ביטוי דומה עבור זמן רציף.
תכונות.
הקונבולוציה אסוציאטיבית וקומוטטיבית, ודיסטריבוטיבית ביחס לחיבור. לכן היא הופכת את מרחבי הפונקציות שבהן היא מוגדרת לאלגברה קומוטטיבית. הסגירות ביחס לפעולת הקונבולוציה תלויה באוסף הפונקציות: הקונבולוציה של פונקציות רציפות היא רציפה; הקונבולוציה של פונקציות אינטגרביליות היא אינטגרבילית. הדלתא של דיראק, שאינה פונקציה, משמשת כאיבר יחידה: formula_34.
הנגזרת של קונבולוציה מקיימת: formula_35
משפט הקונבולוציה.
משפט הקונבולוציה קובע שהתמרת פורייה של קונבולוציה בין שתי פונקציות היא מכפלת ההתמרות שלהן: formula_36, כאשר formula_37 מסמלת הפעלת התמרת פורייה והקבוע formula_38 משתנה בהתאם לנרמול ההתמרה.
המשוואה ההפוכה היא: formula_39.
כמו כן, ניתן לכתוב: formula_40. משפט הקונבולוציה שימושי מאוד משום שהפעלת מכפלה (אף לאחר חישוב התמרות פורייה) מסובכת הרבה פחות מאשר חישוב הקונבולוציה לפי הגדרתה, וכך היא מחושבת באופן נומרי. משפטים מקבילים קיימים עבור התמרת לפלס והתמרת Z.
יצחק מורדכי
משה ליכטנשטיין
הרב משה ליכטנשטיין (נולד בכ"ג בתמוז תשכ"א, 7 ביולי 1961) הוא מראשי ישיבת הר עציון.
ביוגרפיה.
הרב משה ליכטנשטיין הוא בנם של הרב אהרן ליכטנשטיין וד"ר טובה ליכטנשטיין, בתו של הרב יוסף דב סולובייצ'יק. למד בישיבה התיכונית נתיב מאיר, וב-1978 הצטרף כתלמיד לישיבת הר עציון, שירת בצבא בחיל השריון, חזר ללימודים בישיבה ובשנת 1992 התחיל לשמש בה כר"מ.
הרב ליכטנשטיין שימש ראש כולל תורה מציון בקליבלנד. כמו כן למד באוניברסיטה העברית בירושלים ובישיבה יוניברסיטי בניו יורק בשהותו עם סבו הרב סולובייצ'יק. בסוף שנת תשס"ח (2008), בשיחת הפרישה של הרב יהודה עמיטל מראשות ישיבת הר עציון, הוכרז הרב ליכטנשטיין רשמית כאחד מראשי הישיבה, לצד אביו, הרב ברוך גיגי והרב יעקב מדן.
בשנת תשס"ב (2002) יצא לאור ספרו הראשון "ציר וצאן" בהוצאת ישיבת הר עציון. תרגום לאנגלית יצא לאור בשנת 2008. ספרו השני, "נתיבי נבואה - מבט אל ההפטרות", יצא לאור בשנת תשע"ה (2015).
הרב ליכטנשטיין היה בין הרבנים הבודדים בציבור הדתי-לאומי אשר התבטאו בעד תוכנית ההתנתקות. באוקטובר 2020 טען שבישיבות התיכוניות לא קיים מספיק דגש על לימוד גמרא וביקר את המגזר החרדי על כך שלא קיימו את ההנחיות בנושא נגיף הקורונה.
נשוי לד"ר מיכל (לבית מינצר), אב לשלוש בנות, וגר עם משפחתו באלון שבות.
פורטלנד טרייל בלייזרז
דיאן וורן
דיאן איב וורן (באנגלית: Diane Warren; נולדה ב-7 בספטמבר 1956) היא פזמונאית יהודיה-אמריקאית, מהמצליחות בתחומה.
קורות חייה.
וורן נולדה בלוס אנג'לס, קליפורניה למשפחה יהודית. אביה היה סוכן ביטוח חובב מוזיקה, אשר האמין בכשרונה של בתו בכתיבת שירים ועודד אותה להתמיד בתחום. לעומתו, אמה של וורן התנגדה לכך שבתה תתמקד בעסקי המוזיקה והעדיפה כי תעסוק במקצוע רציני יותר. את הלהיט שלה, "Because You Loved Me", כתבה לזכרו של אביה. בגיל 10 קנה לה אביה גיטרה והיא החלה להתאמן בה ולפתח את כשרונה המוזיקלי. בנוסף, הפגיש אותה אביה עם מפיקים מוזיקליים, אולם אלו לא גילו בה עניין ודרכה להצלחה הייתה ארוכה וקשה.
הלהיט הראשון שלה הגיע בשנת 1983. היה זה "Solitaire" של הזמרת לורה ברניגן, שהגיע למקום השביעי במצעד בילבורד האמריקני. בשנת 1985 הקימה את חברת השירים "Realsongs", אשר היקנה לה חופש יצירתי רב. מאז ועד היום וורן היא כותבת שירים פורייה הכותבת במגוון רחב של סגנונות, אולם ידועה בעיקר בזכות הבלדות אותם כתבה בעיקר ל"דיוות" (סלין דיון, ויטני יוסטון, שר ואחרות).
זכתה בפרס גראמי בשנת 1996 על הלהיט "Because You Loved Me" (בביצוע סלין דיון) בקטגוריית שיר הנושא של סרט קולנוע.
שנתיים לאחר מכן וורן כתבה והלחינה את שיר הנושא של הסרט "ארמגדון", "I Don't Want To Miss A Thing" בביצוע אירוסמית'. השיר זכה להצלחה מסחררת ולימים הפך ללהיט המצליח ביותר של אירוסמית' וללהיט הראשון של הלהקה המגיע למקום הראשון למצעד בילבורד האמריקאי, 25 שנים לאחר הלהיט הראשון שלהם.
בשנת 2009 כתבה את מילות השיר שייצג את בריטניה באירוויזיון באותה שנה. השיר שנקרא "It's My Time", ואותו הלחין אנדרו לויד ובר, הגיע למקום החמישי בתחרות, והיה להישג הטוב ביותר בבריטניה באירוויזיון מזה שבע שנים.
בשנת 2011 זכתה בפרס גלובוס הזהב בקטגוריית שיר הנושא, על השיר "You Haven't Seen the Last of Me" הלקוח מהסרט "בורלסק" בכיכובה של הזמרת שר. אולם אף על פי כן לא קיבלה דיאן וורן מועמדות לאוסקר באותה שנה.
קיבלה מועמדות כפולה בקטגוריית שיר הנושא של סרט\תוכנית טלוויזיה בטקס גראמי 2012, על "Born to Be Somebody" מתוך הסרט "Justin Bieber:Never Say Never" (בביצוע ג'סטין ביבר) ו"You Haven't Seen the Last of Me" מתוך הסרט "בורלסק" (בביצוע של שר).
כעבור שנתיים קיבלה וורן את המועמדות העשירית שלה לפרס גראמי, על השיר "(Silver Lining (Crazy 'Bout You" מתוך הסרט "אופטימיות היא שם המשחק".
פירות יער
פירות יער הוא שם כולל לפירותיהם של מספר מיני צמחים בעלי פרחים. רובם קטנים, מתוקים או חמצמצים-מתוקים ובעלי צבע בולט, ולפיכך משמשים כאלמנט טעם וצבע בתבשילים שונים. קבוצה זו משתנה מפעם לפעם, על פי מטבחים מקומיים. פירות יער אינם בעלי מאפיינים בוטניים אחידים: הם יכולים להיות מקבצי פירות, ענבות, בתי-גלעין ומצעיות. המשותף להם הוא טעמם החמצמץ/מתוק והשימוש בהם בבישול, אפייה וקישוט.
פירות היער גדלים במדינות בעלות אקלים קריר יחסית (כגון רוסיה, ארצות הברית, קנדה ומדינות אירופה) והפירות מבשילים ומוכנים לקטיף במשך כל תקופת הקיץ.
פירות היער גדלים באופן טבעי ביערות, כפי שמרמז שמם, ומימי הפרהיסטוריה ועד ימינו נוהגים ללקטם ולהשתמש בהם כמקור מזון. בתקופה המודרנית פירות יער רבים מגודלים באופן תעשייתי.
תכונות תזונתיות.
פירות יער נחשבים למקור חשוב של מספר נוגדי חמצון וויטמינים בעלי השפעה על בריאות המוח, פירוק שומנים, תהליכי הזדקנות, המערכת החיסונית, בריאות הלב, כלי הדם ואיזון חומצות השומן בגוף. הם מכילים סיבים תזונתיים המסייעים לפעילות מערכת העיכול.
מיני פירות היער.
פירות היער משתייכים למספר מצומצם של סוגי צמחים, כל אחד כולל מספר מינים המשמשים למאכל. מרבית הסוגים הם שיחים נמוכים, וקיימים מספר מיני עצים. להלן הסוגים הבולטים:
המאפיינים המשותפים לפירות היער הם טעמם החמצמץ מתוק, גודלם הקטן וצבעם הבוהק והבולט בדרך כלל. לפי גורמים משותפים אלו, לעיתים מינים נוספים נחשבים כפירות יער - הדובדבן למשל.
שימושים במטבח.