המסדר הראשון בנה כוכב מוות חדיש ומשופר בשם "קוטל הכוכבים" (Starkiller) המסוגל לשלוח קרן לייזר עוצמתית שבכוחה להשמיד מערכת שלמה של כוכבים ולא רק כוכב בודד (כמות אנרגיה הגדולה פי כמה מיליארדים מכוכב מוות). בנוסף, הנשק משגר קרן לייזר דרך העל-חלל, דבר המאפשר תקיפה מבסיס נייח והגעה למטרה תוך זמן קצר. משם קרן הלייזר מתפצלת ומשמידה את מטרותיה.
למסדר הראשון מהלכים כבדים, תותח על להתכת מתכות כבדות, מגה-משחתת (60 ק"מ לרוחב), משחתות (כולל הספינה של סנוק) וצי אדיר של ספינות וחלליות קרב.
מלחמת הסוכר
ורנה
עונת 1993/1994 בליגה הלאומית
עונת 1993/1994 בליגה הלאומית הייתה העונה ה-38 של הליגה הלאומית כליגת הכדורגל הבכירה בישראל.
על ניצחון במשחק הוענקו שלוש נקודות ונקודה בודדת הוענקה על תיקו. הליגה כללה 14 קבוצות ששיחקו ביניהן במשך 3 סיבובים בני 13 משחקים כל אחד - 39 מחזורים בסה"כ. הקבוצות שעלו לליגה הלאומית לעונת 1993/1994 היו מכבי הרצליה והפועל כפר סבא.
בעונה זו נשברו שיאים רבים בכדורגל הישראלי, כאשר הבולטים שבהם הם פתיחת העונה המושלמת של מכבי תל אביב עם 11 ניצחונות רצופים וסיומה של העונה הסדירה בזכייתה של מכבי חיפה באליפות ללא הפסד ליגה בעונה של 39 מחזורים. שיא נוסף בעונה זו היה מספר הנקודות שצברה מכבי חיפה (95 נקודות), שלא נשבר עד היום. בעקבות זכייתה של חיפה באליפות באותה עונה נכתב שיר האליפות "ירוק בעיניים".
מלך השערים והמבקיע המצטיין של העונה היה אלון מזרחי ממכבי חיפה עם 28 שערים. לכדורגלן העונה בישראל נבחר אייל ברקוביץ', קשרה של מכבי חיפה שכבש 10 שערים ובישל 13. שחקנים בולטים אחרים היו קשרה הימני של מכבי חיפה אלון חזן שכבש 8 שערים ובישל 16 והקשר האחורי של מכבי חיפה סרגיי קנדאורוב שכבש 10 שערים ובישל 5.
בסיום העונה הפועל כפר סבא ירדה ליגה. הקבוצות שעלו לליגה הלאומית לעונת 1994/1995 היו הפועל בית שאן, בית"ר תל אביב ועירוני ראשון לציון.
משחקי המבחן.
בסיום העונה התקיימו משחקי מבחן לליגה הבכירה כשהפועל חיפה שסיימה במקום ה-13 בליגה התמודדה מול שמשון תל אביב שסיימה במקום הרביעי בליגת המשנה.
הפועל חיפה ניצחה 3-1 בסיכום שני המשחקים ונשארה בליגה הבכירה.
ראבקה זדרוי
ראבקה זדרוי (בפולנית: Rabka-Zdrój; ביידיש: ראבקע) היא עיירת נופש במחוז נובי טארג שבפרובינציית פולין קטן בפולין, במפגש הנהרות ראבה, סלונקה ופוניצ'אנקה, ובגובה של 550 מטרים מעל פני הים, הידועה בשל המרחצאות החמים שבה.
תולדות היישוב.
העיירה נזכרת מהמאה ה-13, עת השתייכה למנזר, ובשנת 1364 עברה לבעלות מלוכה. במאה ה-15 עברה העיירה לבעלות פרטית של משפחת אצולה, ומשנת 1570 החלו להפיק מלח מהמעיינות בסביבת היישוב.
מהמאה ה-19 הפכה העיירה למוקד נופש וקיט אזורי, ועם חיבורה לקו מסילת הברזל, הואץ פיתוחה, ונבנה בה גם אתר סקי.
יהודי ראבקה זדרוי.
יהודים ישבו בעיירה מראשית המאה ה-19, ובשנת 1907 הוקם בה בית הבראה לילדים יהודים. בין מלחמות העולם התקיימה בעיירה קהילה יהודית קטנה, בת פחות מ-200 איש, ופעלו בה תנועות הנוער עקיבא ובית"ר. כמו כן, פעל בעיירה סניף של ההסתדרות הציונית.
עם כיבוש העיירה בידי הגרמנים בספטמבר 1939, הוטלו על יהודיה גזירות שונות, ובהן חובת תשלום סכומי כופר, גיוס לעבודות כפייה, הגבלות תנועה וחובת ענידת טלאי צהוב. בד בבד בזזו הגרמנים והפולנים את בתי וחנויות היהודים ביישוב. כעבור מספר שבועות הועלמו מהיישוב 13 יהודים.
בשנת 1941 רוכזו יהודי העיירה בגטו שהוקם בה. בתקופה זו פעל בעיירה בית ספר לאנשי ס"ד, אשר הכשירם בשיטות רצח שונות, תוך שימוש ביהודי העיירה וכפרי הסביבה כמטרות חיות, ורצח רבים מהם.
ב-20 במאי 1942 רצחו הגרמנים כ-40 מיהודי העיירה, וב-26 ביוני 1942 רצחו כ-160 יהודים נוספים, חלקם מנובי סונץ'. ביולי 1942 רצחו הגרמנים בעיירה מאות רבות של יהודים מיישובי הסביבה, תוך השלכתם לקבר אחים, בו כוסו בסיד.
בסוף אוגוסט 1942 בוצעה אקציית חיסול בעיירה, בה שולחו רוב יהודי המקום למחנה ההשמדה בלז'ץ, וכ-200 יהודים שעברו סלקציה הוכנסו למחנה עבודה שהוקם בעיירה. במחנה נרצחו רוב היהודים, והיהודים המעטים שנשארו בחיים הועברו למחנה פלאשוב.
ראבקה
מבחני התכנסות לסדרות
במתמטיקה, מבחני התכנסות לסדרות מהווים כלים לבדיקה אם סדרה מתכנסת או מתבדרת. סדרות, והתכנסות סדרות בפרט, מהווים בסיס וכלים לנושאים רבים במתמטיקה, במיוחד בחשבון אינפיניטסימלי.
הגדרת התכנסות וסימונים.
סימונים.
גבול של סדרה מסומן כך:
וניתן לסמן אותו גם בצורה המקוצרת:
כאשר:
הגדרת התכנסות.
כמו שציינו קודם, formula_2
בפרט, הגדרה רגורוזית להתכנסות היא:
צורת כתיבה נוספת:
מבחן המנה להתכנסות סדרות.
תהי formula_21 נסמן formula_22 .
formula_43
מבחן השורש לסדרות.
נשים לב שמבחן השורש חזק יותר ממבחן המנה, כלומר ישנם מקרים בהם הגבול במבחן המנה לא יהיה קיים והגבול במבחן השורש יהיה קיים. אבל לפי משפט, אם הגבול של מנת האיברים קיים formula_51 . אזי הוא שווה לגבול ממבחן השורש, כלומר formula_52 .
תהי formula_21 סדרה חיובית. נסמן formula_52 .
אפיון התכנסות לפי קושי.
תנאי קושי הוא אפיון שקול לסדרה מתכנסת. סדרה המקיימת את תנאי קושי היא סדרה שהמרחק בין כל שני איברים שגדולים מאינדקס כלשהו, קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שאף על פי שסדרה המקיימת את תנאי קושי בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול אליו הסדרה מתכנסת, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע האם סדרה מתכנסת מבלי להתייחס לגבול אליו היא מתכנסת, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול.
משפט קושי לסדרות.
הסדרה formula_21 מתכנסת (לגבול סופי) אם ורק אם היא סדרת קושי.
נוכיח את הכיוון הראשון.
נניח כי formula_85 . יהי formula_80 . לכן קיים אינדקס formula_81 כך שלכל formula_88 מתקיים formula_89 .
נבחר מספרים formula_82 ונקבל לפי אי-שוויון המשולש כי:
formula_91
אזי הסדרה היא סדרת קושי.
formula_31
נוכיח את הכיוון השני.
נניח כי formula_21 היא סדרת קושי. ראשית, נוכיח כי היא חסומה. כיון שהיא סדרת קושי, קיים אינדקס formula_81 כך שלכל formula_82 מתקיים formula_83 . אזי לכל formula_88 מתקיים formula_98 אז הסדרה חסומה בקטע formula_99 . בקטע formula_100 יש לסדרה רק מספר סופי של איברים ולכן היא חסומה שם. לפיכך, הסדרה חסומה על כל הישר הממשי.
על פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת, לכן לסדרה formula_21 יש תת־סדרה מתכנסת formula_102. נסמן formula_103 ונוכיח ש־formula_21 מתכנסת ל־formula_105.
יהי formula_80. ראשית, מהתכנסות formula_107 נקבל כי קיים formula_108 טבעי כך שלכל formula_109 מתקיים formula_110. שנית, מהיות הסדרה סדרת קושי, קיים אינדקס formula_81 כך שלכל formula_112 מתקיים formula_113. נסמן formula_114, אז formula_115 ולכן formula_116. בנוסף, סדרת האנדקסים formula_117 מוגדרת כסדרה עולה של טבעיים וניתן להוכיח באינדוקציה שלכל formula_118 טבעי מתקיים formula_119, ובפרט formula_120 ולכן לכל formula_121 מתקיים formula_122. מכאן לכל formula_70 מתקיים:
formula_124
לכן formula_85 .
formula_31
התכנסות לפי כלל הסנדוויץ'.
כלל הסנדוויץ' הוא משפט שימושי לחישוב גבולות בחשבון אינפיניטסימלי. לפי הכלל, אם ניתן לחסום סדרה (או פונקציה) שגבולה אינו ידוע, בין שתי סדרות (או פונקציות) אחרות שגבולותיהן ידועים ושווים זה לזה, אז לסדרה (או לפונקציה) החסומה יש גבול, והוא שווה לגבול הסדרות (או הפונקציות) החוסמות.
בניסוח מתמטי: אם formula_127 סדרות המקיימות:
אז גם לסדרה formula_129 קיים גבול, formula_130 .
כלל דומה תקף למקרה האינסופי. אם ניתן לחסום מלמטה סדרה (או פונקציה) על ידי סדרה (או פונקציה) השואפת לאינסוף, אז גם הסדרה המקורית שואפת לאינסוף.
יהי formula_80 . נרצה למצוא מספר טבעי formula_81 כך שלכל formula_88 יתקיים formula_134 .
קיים formula_135 כך שלכל formula_136 מתקיים formula_137 .
קיים formula_138 כך שלכל formula_139 מתקיים formula_140 .
נסמן formula_141 . מהנתון מתקיים formula_142, לכן
לכן formula_145 .
כלומר formula_130 .
formula_31
התכנסות סדרה לפי תת־הסדרות שלה.
הגדרת תת־סדרה.
תהי formula_21 סדרה כלשהי, ותהי formula_149 סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים. אז הסדרה formula_150 נקראת תת־סדרה של formula_21 .
התכנסות סדרה לפי תת־סדרות.
תהי formula_21 סדרה. formula_153 אם ורק אם כל תת־סדרה של formula_154 מתכנסת ל־formula_105 .
נניח כי formula_153 . אזי לכל formula_80 קיים formula_69 כך שלכל formula_70 מתקיים formula_160 . ניקח תת־סדרה שרירותית formula_161 ונראה כי היא מתכנסת ל־formula_105 . מתקיים formula_163 (הוכחה לכך מובאת בסוף העמוד), אזי עבור formula_164 מתקיים כי formula_165 ולכן נקבל כי formula_166 . לכן formula_167 .
כדי להוכיח את הכיוון ההפוך, נשים לב כי formula_154 היא תת־סדרה של עצמה שמתכנסת ל־formula_105 ולכן זה טריוויאלי שמתקיים formula_153 .
תהי formula_150 תת־סדרה של formula_21 . אזי formula_163 לכל formula_36 .