Bessel funktsiyalari

Matematikadagi Bessel funktsiyalari — bu Bessel differentsial tenglamasining kanonik yechimlari boʻlgan funktsiyalar oilasidir:

 

qayerda  ixtiyoriy haqiqiy son (umumiy holatda, kompleks son), tartib deb ataladi.

Eng koʻp ishlatiladigan Bessel funktsiyalari butun sonli tartiblarning funktsiyalaridir.

Garchi  va  bir xil tenglamalarni yaratadi, ular odatda turli funktsiyalar ularga mos kelishiga rozi boʻlishadi (bu, masalan, Bessel funktsiyasida  silliq boʻlishi uchun amalga oshiriladi.).

Bessel funktsiyalari birinchi marta shveytsariyalik matematik Daniel Bernoulli tomonidan aniqlangan va Fridrix Bessel sharafiga nomlagan.

Ilovalar 
Bessel tenglamasi silindrsimon va sferik koordinatalarda Laplas tenglamasi va Gelmgolts tenglamalarining yechimlarini topishda yuzaga kelib qoladi. Shuning uchun Bessel funktsiyalari toʻlqinlarning tarqalishi, statik potentsiallar va boshqalarning koʻplab muammolarini hal qilishda qoʻllaniladi, masalan:

 silindrsimon toʻlqin qoʻllanmada elektromagnit toʻlqinlar ;
 silindrsimon ob’ektlardagi issiqlik oʻtkazuvchanligi ;
 yupqa dumaloq membrananing toʻlqin shakllari;
 dumaloq tuynuk bilan diffraksiyalangan yorugʻlik intensivligini taqsimlash;
 suyuqlik bilan toʻldirilgan va oʻz oʻqi atrofida aylanadigan silindrdagi zarrachalarning tezligi;
 sferik simmetrik potentsial qutidagi toʻlqin funktsiyalari.

Bessel funktsiyalari boshqa muammolarni hal qilishda, masalan, signalarni qayta ishlashda ham qoʻllaniladi.

Bessel funksiyasi sinus funksiyasini umumlashtirilishidir. Bu oʻzgaruvchan qalinligi, oʻzgaruvchan kuchlanish (yoki ikkala shart bir vaqtning oʻzida) boʻlgan ipning tebranishi sifatida talqin qilinishi mumkin; oʻzgaruvchan xususiyatlarga ega boʻlgan muhitda tebranishlar; disk membranasining tebranishlari va boshqalarni oʻz ichiga oladi.

Taʼriflar 
Yuqoridagi tenglama ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bo‘lgani uchun uning ikkita chiziqli mustaqil yechimi bo‘lishi kerak. Biroq, ushbu qarorlarning turli xil taʼriflari vaziyatga qarab tanlanadi. Quyida ulardan baʼzilari misol tariqasida keltirilgan.

Birinchi turdagi Bessel funktsiyalari 
Belgilangan birinchi turdagi Bessel funktsiyalari , yechimlar nuqtada cheklangan  butun yoki manfiy boʻlmagan  uchun qoʻllaniladi . Muayyan funktsiyani tanlash va uni normallashtirish uning xususiyatlari bilan belgilanadi. Ushbu funktsiyalarni Teylor seriyasida nolga yaqin kengaytirish orqali aniqlash mumkin (yoki  butun sonlar uchun umumiy quvvat seriyasida):

 

Bu yerda  Bu Eyler gamma funktsiyasi boʻlib, faktorialni butun son boʻlmagan qiymatlarga umumlashtirishdir. Bessel funktsiyasining grafigi sinusoidga oʻxshaydi, uning tebranishlari proportsional ravishda parchalanadi. , garchi aslida funktsiyaning nollari vaqti-vaqti bilan joylashmasa ham (ammo, ketma-ket ikkita nol orasidagi masofa  da ) .

Quyida jadvallar keltirilgan  uchun  :

Agar a  butun son emas, funktsiyalar  va  chiziqli mustaqil va shuning uchun tenglamaning yechimlari shu boʻladi. Lekin agar  butun son boʻlsa, quyidagi munosabat toʻgʻri boʻladi:

 

Bu shuni anglatadiki, bu holda funktsiyalar chiziqli bogʻliqdir. Keyin tenglamaning ikkinchi yechimi ikkinchi turdagi Bessel funktsiyasi boʻladi (2-rasmga qarang). .

Bessel integrallari 
Butun sonlar uchun Bessel funktsiyasining boshqa taʼrifini berish mumkin , integral yordamida koʻramiz:

 

Bu yondashuv Bessel tomonidan qoʻllanilgan va u funksiyalarning baʼzi xususiyatlarini oʻrganish uchun foydalangan. Boshqa integral vakillik ham boʻlishi mumkin:

 

Bessel funktsiyasining toʻliq boʻlmagan holda integral tasvirini topish  abtsissa oʻqi boʻylab kesma mavjudligini hisobga olish kerak. Buning sababi, integral endi yoʻq  — davriy. Shunday qilib, integratsiya konturi 3 qismga boʻlinadi: nur  dan  gacha, qayerda , birlik radiusi doirasi va nur dan gacha . Oddiy matematik oʻzgarishlarni amalga oshirib, siz quyidagi integral tasvirni olishingiz mumkin:

 

Butun son uchun buni tekshirish oson  bu ifoda oldingi formulaga qoʻyiladi.

Neyman funktsiyalari 
Neyman funksiyalari — Yechimlar  Bessel tenglamalari bir nuqtada cheksiz boʻladi u nuqta  .

Bu xususiyat bilan  quyidagi nisbatga bogʻliq:

 

bu erda butun son boʻlsa  chegarasi olinadi , masalan, Lapital qoidasi yordamida hisoblangan.

Neyman funksiyalari ikkinchi turdagi Bessel funksiyalari deb ham ataladi. Birinchi va ikkinchi turdagi Bessel funktsiyalarining chiziqli birikmasi Bessel tenglamasining toʻliq yechimidir:

 

Quyida grafik keltirilgan  uchun  :

Bir qator kitoblarda Neyman funktsiyalari koʻrsatilgan  .

Sferik Bessel funktsiyalari 

Sferik koordinatalarda Helmgolts tenglamasini oʻzgaruvchilarni ajratish usuli bilan yechishda radial qism uchun tenglama shaklga ega boʻladi.

 

Ikkinchi chiziqli mustaqil yechim sferik Bessel funksiyalari deyiladi  va  va odatiy Bessel funktsiyalari bilan bogʻliq  va Neyman  yordamida ifodalanadi.

 

 ham yoki  bilan belgilanadi; baʼzi mualliflar bu funktsiyalarni sferik Neyman funktsiyalari deb atashadi.

Sferik Bessel funksiyalarini (Reyleigh formulasi) shaklida ham yozish mumkin boʻladi.

 

Bir necha birinchi sharsimon Bessel funksiyalari dan misollar :

 

va Neyman :

Funktsiyalarni keltirib chiqarish 
Sferik Bessel funksiyalarini yaratish :

Differentsial munosabatlar 
Quyidagi formulalarda bilan almashtirilishi mumkin , h(1)n, h(1)n, h(2)n, h(2) sharsimon Hankel funktsiyalari, uchun :

Xususiyatlari

Ortogonallik 
Mayli  Bessel funksiyasining nollari  . Keyin :

  .

Asimptotiklar 
Asimptotik formulalar birinchi va ikkinchi turdagi Bessel funktsiyalari uchun maʼlum. Kichik argumentlar uchun  va haqiqiy  ular shunday koʻrinadi :

 

  ,

qayerda  — Eyler doimiysi — Mascheroni (0,5772 …) va  Eyler gamma funktsiyasidir . Katta argumentlar uchun () formulalar quyidagichakoʻrinishda koʻrinadi:

 

 

Asimptotik kengayishning keyingi atamasidan foydalanish natijani sezilarli darajada yaxshilash imkonini beradi. Nolinchi tartibli Bessel funktsiyasi uchun u quyidagicha koʻrinishda koʻrinadi:

Gipergeometrik qatorlar 
Bessel funktsiyalari gipergeometrik funktsiya bilan ifodalanishi mumkin:

 

Shunday qilib, butun son uchun  Bessel funktsiyasi bitta qiymatli analitikdir va butun sonlar uchun u koʻp qiymatli analitik boʻladi.

Yaratish funktsiyasi 
Birinchi turdagi Bessel funktsiyalari va maʼlum bir turdagi funktsiyaning Loran qatori koeffitsientlari boʻyicha butun tartibli tasvirlar mavjuddir.

Nisbatlar

Yakobi-Angera formulasi va tegishli 
Hosil qiluvchi funksiya ifodasidan olingan ,  :

 

, da :

Takroriy munosabatlar 
Bessel funksiyalari uchun bir qancha takrorlanish munosabatlari mavjuddir. Mana ulardan baʼzilari quyidagilar:

 

 

  .

Qoʻshish teoremasi 
Har qanday butun n va kompleks uchun ,  bajarilgan

Integral ifodalar 
Har qanday masala uchun  va  (shu jumladan murakkab) uchun quyidagilar bajarildi

 

Oxirgi formulaning alohida holati ifodadir

Shuningdek 

 Silindrsimon funktsiyalar
 Sferik funktsiyalar
 Oʻzgartirilgan Bessel funktsiyalari
 Bessel nuri

Manbalar

Adabiyotlar