Appell harakat tenglamasi

Klassik mexanikada Appell harakat tenglamasi (Gibbs-Appell harakat tenglamasi) 1879-yilda Josia Uillard Gibbs  va 1900-yilda Pol Emil Appell  tomonidan tasvirlangan klassik mexanikaning muqobil umumiy formulasidir.

Bayonot 
Gibbs-Appell tenglamasi quyidagicha

 

bu yerda  ixtiyoriy umumlashtirilgan tezlanish yoki umumlashtirilgan koordinatalarning ikkinchi marta hosilasidir. , va  uning tegishli umumlashgan kuchidir . Umumlashtirilgan kuch bajarilgan ishni beradi

 

indeks bu yerda  ustidan yuguradi  umumlashtirilgan koordinatalar , bu odatda tizimning erkinlik darajalariga mos keladi. Funktsiya  zarracha tezlanishlarining massaviy yigʻindisi kvadrati sifatida aniqlanadi,

 

indeks bu yerda  ustidan yuguradi  zarralar va

 

ning tezlashishi hisoblanadi  -chi zarra, uning pozitsiya vektorining ikkinchi marta hosilasi  . Har biri  umumlashtirilgan koordinatalar bilan ifodalanadi, va  umumlashgan tezlanishlar bilan ifodalanadi.

Klassik mexanikaning boshqa formulalari bilan aloqalari 
Appellning formulasi klassik mexanikaga hech qanday yangi fizikani kiritmaydi va shuning uchun Lagrang mexanikasi va Gamilton mexanikasi kabi klassik mexanikaning boshqa reformulalariga tengdir. Barcha klassik mexanika Nyutonning harakat qonunlarida mavjud. Baʼzi hollarda Appellning harakat tenglamasi odatda ishlatiladigan Lagranj mexanikasiga qaraganda qulayroq boʻlishi mumkin, ayniqsa golonomik boʻlmagan cheklovlar ishtirok etganda. Aslida, Appell tenglamasi toʻgʻridan-toʻgʻri Lagranjning harakat tenglamalariga olib keladi.  Bundan tashqari, u murakkab kosmik kemalarning harakatini tavsiflash uchun juda mos keladigan Keyn tenglamalarini olish uchun ishlatilishi mumkin.  Appell formulasi Gaussning eng kam cheklash printsipining qoʻllanilishidir.

Chiqarish 

D umumlashtirilgan koordinatalarining cheksiz kichik oʻzgarishi uchun zarrachalarning joylashuvi r k oʻzgarishi

 

Vaqtga nisbatan ikkita hosila olish tezlashuvlar uchun ekvivalent tenglamani beradi.

 

Umumlashtirilgan koordinatalarda cheksiz kichik oʻzgarish dq r tomonidan bajarilgan ish

 

bu yerda k -chi zarra uchun Nyutonning ikkinchi qonuni

 

ishlatilgan. Formulani d r k oʻrniga qoʻyish va ikkita yigʻindining tartibini almashtirsak, formulalar hosil boʻladi.

 

Shuning uchun umumlashgan kuchlar

 

Bu umumlashtirilgan tezlanishlarga nisbatan S ning hosilasiga teng

 

Appellning harakat tenglamasi olinadi

Misollar

Qattiq jismlar dinamikasining Eyler tenglamalari 
Eyler tenglamalari Appell formulasining ajoyib tasvirini beradi.

Qattiq tayoqchalar bilan birlashtirilgan N zarrachaning qattiq tanasini koʻrib chiqaylik. Tananing aylanishini burchak tezligi vektori bilan tasvirlash mumkin , va mos keladigan burchak tezlanish vektori

 

Aylanish uchun umumlashtirilgan kuch moment hisoblanadi , cheksiz kichik aylanish uchun bajarilgan ish beri  hisoblanadi  . ning tezligi  -chi zarracha tomonidan berilgan

 

bu yerda  zarrachaning Dekart koordinatalaridagi holati; uning mos keladigan tezlanishi

 

Shuning uchun, funktsiya  sifatida yozilishi mumkin

 

ga nisbatan S ning hosilasini belgilash  momentga teng Eyler tenglamalarini beradi

Manbalar 
 
 
 
  Connection of Appell’s formulation with the principle of least action.

Qoʻshimcha adabiyotlar 
 PDF copy of Appell’s article at Goettingen University
 PDF copy of a second article on Appell’s equations and Gauss’s principle

Mexanika
Dinamika
Fizika