Binet tenglamasi

Jak Filipp Mari Binet tomonidan olingan Binet tenglamasi tekislik qutbli koordinatalarda orbital harakatning shakli berilgan markaziy kuch shaklini beradi. Tenglamadan maʼlum bir kuch qonuni uchun orbita shaklini olish uchun ham foydalanish mumkin, lekin bu odatda ikkinchi tartibli chiziqli boʻlmagan oddiy differentsial tenglamaning echimini oʻz ichiga oladi. Quvvat markazi atrofida aylanma harakatda yagona yechim mumkin emas.

Tenglama

Orbita shakli koʻpincha nisbiy masofa nuqtai nazaridan qulay tarzda tavsiflanadi  burchak funktsiyasi sifatida  . Binet tenglamasi uchun orbital shakli oʻrniga qisqaroq tasvirlangan  funktsiyasi sifatida  . Muayyan burchak momentumini quyidagicha aniqlang  qayerda  burchak impulsi va  massa hisoblanadi. Keyingi boʻlimda olingan Binet tenglamasi funksiya boʻyicha kuchni beradi  :

Chiqarish 
Nyutonning ikkinchi qonuni sof markaziy kuch uchun

Burchak momentining saqlanishi shuni taqozo etadi

ning hosilalari  vaqtga nisbatan hosila sifatida qayta yozilishi mumkin  burchakka nisbatan:

Yuqoridagilarning barchasini birlashtirib, biz quyidagiga erishamiz

Umumiy yechim 

bu yerda  zarrachaning dastlabki koordinatasidir.

Misollar

Kepler muammosi

Klassik 
Teskari kvadrat qonunining orbitasini hisoblashning anʼanaviy Kepler muammosi differensial tenglamaning yechimi sifatida Binet tenglamasidan oʻqilishi mumkin.

Agar burchak  periapsisdan oʻlchanadi, keyin (oʻzaro) qutb koordinatalarida ifodalangan orbita uchun umumiy yechim boʻladi.

Yuqoridagi qutbli tenglama konus kesimlarini tasvirlaydi, bilan  yarim latus rektum (ga teng ) va  orbital ekssentriklik .

Relyativistik 
Shvartsshild koordinatalari uchun olingan relyativistik tenglama 

bu yerda  yorugʻlik tezligi va  Shvartsshild radiusidir . Va Reissner-Nordström metrikasi uchun biz olamiz

bu yerda  elektr zaryadidir va  vakuum oʻtkazuvchanligi hisoblanadi.

Teskari Kepler muammosi 
Teskari Kepler muammosini koʻrib chiqing. Qanday kuch qonuni ellips fokusi atrofida aylana boʻlmagan elliptik orbita (yoki umuman olganda aylana boʻlmagan konus kesimi) hosil qiladi?

Ellips uchun yuqoridagi qutb tenglamasini ikki marta differensiallash

Shuning uchun kuch qonuni

Bu kutilayotgan teskari kvadrat qonuni. Orbitalning mos kelishi  kabi jismoniy qadriyatlarga  yoki  Nyutonning universal tortishish qonunini yoki Kulon qonunini takrorlaydi.

Shvartsshild koordinatalari uchun samarali kuch 

bu yerda ikkinchi aʼzo periapsisning burchak siljishi kabi toʻrt kutupli taʼsirlarga mos keladigan teskari kvarts kuchdir (Uni kechiktirilgan potentsiallar orqali ham olish mumkin ).

Parametrlangan post-Nyuton formalizmida biz erishamiz

bu yerda  umumiy nisbiylik nazariyasi uchun va  klassik holatda.

Kotes spirallari 
Teskari kub kuch qonuni shaklga ega

Teskari kub qonunining orbitalarining shakllari Cotes spirallari deb nomlanadi. Binet tenglamasi orbitalar tenglamaning yechimi boʻlishi kerakligini koʻrsatadi

Differensial tenglama Kepler muammosining turli konus kesimlariga oʻxshab uch xil yechimga ega. Qachon , yechim epispiral, shu jumladan toʻgʻri chiziqning patologik holati qachon  . Qachon , yechim giperbolik spiraldir . Qachon  yechim Puinsot spiralidir .

Eksadan tashqari aylanma harakat 
Binet tenglamasi kuch markazi atrofida aylana harakati uchun yagona kuch qonunini bera olmasa ham, tenglama aylananing markazi va kuch markazi mos kelmasa, kuch qonunini berishi mumkin. Masalan, toʻgʻridan-toʻgʻri kuch markazidan oʻtadigan dumaloq orbitani koʻrib chiqing. Bunday dumaloq diametrli orbita uchun (oʻzaro) qutbli tenglama  hisoblanadi

Farqlash  ikki marta va Pifagor kimligidan foydalanish imkonini beradi

Kuch qonuni shunday

Eʼtibor bering, umumiy teskari masalani yechish, yaʼni jozibali orbitalarni qurish  kuch qonuni, ancha qiyinroq muammodir, chunki u echishga tengdir

ikkinchi tartibli chiziqli boʻlmagan differentsial tenglama.

Manbalar

Adabiyotlar
 Bohr-Sommerfeld quantization -Relativistic orbit
 Klassik markaziy kuch masalasi
 Umumiy nisbiylik nazariyasi
 Nisbiylik nazariyasida ikki jism masalasi
 Bertrand teoremasi

Mexanika
Fizika