Nyuton dinamikasi

Fizikada Nyuton dinamikasi (Nyuton mexanikasi deb ham ataladi) Nyutonning harakat qonunlariga muvofiq zarracha yoki kichik jismning dinamikasini oʻrganuvchi fandir  .

Matematik umumlashtirishlar 
Odatda, Nyuton dinamikasi tekis boʻlgan uch oʻlchovli Evklid fazosida sodir boʻladi. Biroq, matematikada Nyutonning harakat qonunlarini koʻp oʻlchovli va egri boʻshliqlar uchun umumlashtirish mumkin. Koʻpincha Nyuton dinamikasi atamasi Nyutonning ikkinchi qonuniga toraytiriladi .

Koʻp oʻlchovli fazoda Nyutonning ikkinchi qonuni

Oʻylab koʻring  massali zarralar  muntazam uch oʻlchovli Evklid fazosida . Mayli  baʼzi inertial koordinatalar sistemasida ularning radius-vektorlari boʻlsin. Keyin bu zarralarning harakati ularning har biriga qoʻllaniladigan Nyutonning ikkinchi qonuni bilan boshqariladi

 

Uch oʻlchovli radius-vektorlar  bittaga tuzilishi mumkin  -oʻlchovli radius-vektor. Xuddi shunday, uch oʻlchovli tezlik vektorlari  bittaga tuzilishi mumkin  -oʻlchovli tezlik vektori:

 

Koʻp oʻlchovli vektorlar nuqtai nazaridan (2) tenglamalar (1) quyidagicha yoziladi

 

yaʼni ular birlik massaga ega boʻlgan bitta zarraga nisbatan qoʻllaniladigan Nyutonning ikkinchi qonuni shaklini oladi  .

Taʼrif . Tenglamalar (3) yassi koʻp oʻlchovli Evklid fazodagi Nyuton dinamik tizimining tenglamalari deb ataladi, bu tizimning konfiguratsiya fazosi deb ataladi. Uning nuqtalari radius-vektor bilan belgilanadi  . Nuqtalari vektorlar juftligi bilan belgilangan fazo  dinamik sistemaning fazo fazosi deyiladi (3).

Evklid tuzilishi 
Dinamik sistemaning konfiguratsiya fazosi va faza fazosi (3) ikkalasi ham Evklid fazolari, yaʼni ular Evklid strukturasi bilan jihozlangan. Ularning Evklid tuzilishi shunday aniqlanadiki, birlik massaga ega boʻlgan yagona koʻp oʻlchovli zarrachaning kinetik energiyasi  massalari bilan uch oʻlchamli zarralarning kinetik energiyalari yigʻindisiga teng  :

Cheklovlar va ichki koordinatalar 
Ayrim hollarda zarrachalarning massalar bilan harakati  cheklanishi mumkin. Odatdagi cheklovlar shaklning skalyar tenglamalariga oʻxshaydi

 

Shaklning cheklovlari (5) golonomik va skleronomik deb ataladi. Radius-vektor nuqtai nazaridan  Nyuton dinamik sistemasining (3) kabi yoziladi

 

Har bir bunday cheklov Nyuton dinamik tizimining erkinlik darajalari sonini bittaga kamaytiradi (3). Shuning uchun, cheklangan tizim mavjud  erkinlik darajalari.

Taʼrif . Cheklash tenglamalari (6) an ni aniqlaydi  — oʻlchovli manifold  Nyuton dinamik tizimining konfiguratsiya maydoni ichida (3). Bu manifold  cheklangan tizimning konfiguratsiya maydoni deb ataladi. Uning tangens toʻplami  cheklangan sistemaning faza fazosi deyiladi.

Mayli  nuqtaning ichki koordinatalari boʻlsin  . Ulardan foydalanish Lagranj mexanikasi uchun xosdir. Radius-vektor  ning qandaydir aniq funksiyasi sifatida ifodalanadi 
 ,

(7) vektor-funksiya cheklash tenglamalarini (6) ni (7) ni (6) ga almashtirganda (6) tenglamalar quyidagida bir xil bajariladi degan maʼnoda hal qiladi.  .

Tezlik vektorining ichki taqdimoti 
Cheklangan Nyuton dinamik sistemasining tezlik vektori vektor-funksiyaning qisman hosilalari (7) bilan ifodalanadi:

 

Miqdorlar  tezlik vektorining ichki komponentlari deyiladi. Baʼzan ular alohida belgi yordamida belgilanadi

 

va keyin mustaqil oʻzgaruvchilar sifatida koʻrib chiqiladi. Miqdorlar

 

 — cheklangan Nyuton dinamik tizimining faza fazosi nuqtasining ichki koordinatalari sifatida ishlatiladi.

Oʻrnatish va induksiyalangan Riman metrikasi 
Geometrik jihatdan vektor-funksiya (7) konfiguratsiya maydonini joylashtirishni amalga oshiradi  Cheklangan Nyuton dinamik tizimining  -cheklanmagan Nyuton dinamik tizimining oʻlchovli tekis konfiguratsiya fazosi (3). Bunday joylashtirish tufayli atrof-muhit fazosining Evklid tuzilishi Rieman metrikasini manifoldga induktsiya qiladi. . Ushbu induksiyalangan metrikaning metrik tensorining komponentlari formula bilan berilgan

 

bu yerda  Evklid strukturasi bilan bogʻlangan skalyar mahsulotdir (4).

Cheklangan Nyuton dinamik tizimining kinetik energiyasi 
Cheklanmagan tizimning Evklid tuzilishidan boshlab  zarralar ularning kinetik energiyasi, konfiguratsiya fazosida induktsiyalangan Riman tuzilishi orqali kiritiladi.  Cheklangan tizimning kinetik energiyaga munosabati saqlanib qoladi:

 

(12)-formula (8) ni (4) ga almashtirish va (11) ni hisobga olish orqali chiqariladi.

Cheklash kuchlari 
Cheklangan Nyuton dinamik tizimi uchun (6) tenglamalar bilan tavsiflangan cheklovlar odatda baʼzi mexanik ramkalar tomonidan amalga oshiriladi. Ushbu ramka baʼzi yordamchi kuchlarni ishlab chiqaradi, shu jumladan tizimni konfiguratsiya manifoldida ushlab turadigan kuch.  . Bunday ushlab turuvchi kuch perpendikulyar  .  — bu normal kuch deb ataladi. kuch (6) dan ikki komponentga boʻlinadi

 

 

Miqdorlar  da (14) kuch vektorining ichki komponentlari deyiladi.

Nyutonning egri fazodagi ikkinchi qonuni 
Konfiguratsiya manifoltiga cheklangan Nyuton dinamik tizimi (3).  cheklash tenglamalari (6) orqali differensial tenglamalar bilan tavsiflanadi

 

bu yerda  Rieman metrikasi (11) tomonidan ishlab chiqarilgan metrik aloqaning Kristoffel belgilaridir .

Lagranj tenglamalariga munosabat 
Cheklovli mexanik tizimlar odatda Lagrange tenglamalari bilan tavsiflanadi:

 

bu yerda  kinetik energiya (12) formula bilan berilgan cheklangan dinamik tizimdir. Miqdorlar  da (16) tangens kuch vektorining ichki kovariant komponentlari  (qarang (13) va (14)). Ular ichki kontravariant komponentlardan ishlab chiqariladi  vektorning  metrik (11) yordamida standart indeksni pasaytirish protsedurasi yordamida:

 

(16) tenglamalar (15) tenglamalarga teng. Biroq, konfiguratsiya manifoldining metrik (11) va boshqa geometrik xususiyatlari  (16) da aniq emas. Metrik (11) kinetik energiyadan tiklanishi mumkin  formula yordamida aniqlanadi:

Manbalar 

Mexanika
Fizika