Viete formulalari

Viete formulalari () — koʻphadning koeffitsiyentlarini uning ildizlari orqali ifodalovchi formulalar. Bu formulalar bilan koʻphadning ildizlari toʻgʻriligini tekshirish qulay. Shuningdek, bu formulalar yordamida berilgan ildizlar boʻyicha koʻphadni tuzish mumkin. Bu formulalar farang matematigi François Viète ()  (fransuzcha François Viète, lotinlashtirilgani Franciscus Viete) nomi bilan ataladi. Viete formulalari koʻproq algebrada ishlatiladi.

Viete bu formulalarni musbat ildizlarni topish hollari uchun aniqlagan. Viete yashagan davrda tenglamalarda faqat musbat ildizlar mavjud xolos deb ishonilgan. Viete ham manfiy ildizlar mavjud emas deb hisoblagan va tenglama ildizlari va uning koeffitsiyentlari orasidagi munosabatlarni qisman tushungan xolos. 1629-yilda boshqa farang matematigi Albert Girard Viete formulalarini faqatgina musbat haqiqiy ildizlarga cheklanmagan umumiy holini topgan.

Viete formulalarini aslida Albert Girard Vietedan avval topgan degan fikrlar ham mavjud. Masalan, 18-asrda yashagan britan matematigi Charles Huttonga koʻra, Viete formulalarining umumiy holi haqida Albert Girard Vietedan oldinroq oʻz asarlarida yozgan.

Qoidalar

Asosiy formulalar 
n-darajali har qanday koʻphad

  (bu yerda koeffitsiyentlar haqiqiy yoki kompleks son boʻlishi mumkin va an ≠ 0)

algebraning asosiy teoremasiga koʻra n ta (bir-biridan farqli boʻlishi shart boʻlmagan) x1, x2, …, xn kompleks ildizga ega.

Viete formulalari koʻphadning koeffitsiyentlarini { ak } shu koʻphad ildizlarining yigʻindisi va koʻpaytmasi { xi } bilan quyidagicha qilib bogʻlaydi:

 

Boshqacha qilib aytganda, an−k (n − k) inchi koeffitsiyenti ildizlarning barcha mumkin boʻlgan koʻpaytmalarini har safar k ta olingan yigʻindisiga quyidagicha bogʻlangan:

 

Bu yerda k = 1, 2, …, n. Bu yerda yana ik indekslarini oʻsib borish tartibida yozamiz. Chunki ildizlarning har bir koʻpaytmasi faqat bir marta yozilishi kerak. Viete formulalarining chap tomoni ildizlarning elementar simmetrik funksiyalaridir.

Halqalarga umumlashtirish 
Viete formulalari koʻpincha koeffitsiyentlari har qanaqa butunlik oblasti () R da joylashgan koʻphadlar bilan ishlatiladi. Bu holda  boʻlaklari R ning ulushlar halqasiga () kiradi. Agar  R da qaytariluvchi boʻlsa boʻlaklar R ning oʻziga kiradi.  ildizlar algebraik yopiq maydonda () olinadi. Odatda R butun sonlarning halqasidir va kasrlar maydoni ratsional sonlar maydonidir. Algebraik yopiq maydon boʻlsa kompleks sonlar maydonidir. Bu holda Viete formulalari foydalidir. Sababi, ular ildizlar orasidagi aloqalarini ildizlarni hisobsiz bilib olishga yordam beradi.

Butunlik oblasti boʻlmagan kommutativ halqa (yoki abel halqasi) koʻphadlari uchun Viete formulalarini har doim ham emas, balki  lar  lardan hisoblangandagina ishlatsa boʻladi. Masalan, 8 modulli butun sonlari halqasida  koʻphadida toʻrt ildiz bor. Bular 1, 3, 5, 7 dir. Agar  va  boʻlsa, Viete formulalari toʻgʻri boʻlmaydi.

Misollar

Kvadrat tenglama 
Teorema
Agar

 keltirilgan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega boʻlsa, u holda ularning yigʻindisi -pga, koʻpaytmasi esa qga teng boʻladi.Yaʼni,

  (1)
                                    
Keltirilgan kvadrat tenglama ildizlarining yigʻindisi qarama-qarshi ishora bilan olingan ikkinchi koeffitsiyentga, ildizlarining koʻpaytmasi esa ozod hadga teng.

Misol

 

kvadrat tenglamasi berilgan boʻlsin. Bu tenglamada ikki ildiz, yaʼni  va  mavjud deb qaralsin. Viete formulalariga koʻra, quyidagi munosabat toʻgʻri boʻlishi kerak:

 

Bu yerda ildizlarning koʻpaytmasi musbat son boʻlgani uchun ildizlar ham musbat sonlar ekanligini bilib olish mumkin. Ildizlar musbat butun sonlar deb tasavvur qilsak, faqat ikki holdagina koʻpaytma 6 ga teng boʻladi, yaʼni  va  hollarida. Viete teoremasining ikkinchi sharti boʻyicha bu yerda ildizlar yigʻindisi 5 ga teng boʻlishi lozim. 1 bilan 6 ning yigʻindisi bu shartni qanoatlantirmaydi. Ammo 2 va 3 sonlarining yigʻindisi berilgan shartni qanoatlantiradi: . Demak, tenglamaning ildizlari 2 va 3 ga teng.

Yana boshqa munosabatlar

Keltirilgan kvadrat tenglama
 

ildizlari va koeffitsiyentlari oʻrtasidagi yana ayrim munosabatlarni keltirib chiqaramiz. Ildizlar kvadratlarining yigʻindisini topamiz:

 

Endi (1) dan foydalanib quyidagicha yozamiz:

  (2)

Ildizlar kublarining yigʻindisini topamiz:

 

(1) va (2) formulalardan foydalanib, quyidagicha yozamiz:

 

Teskari teorema
Viete teoremasiga teskari teorema oʻrinlidir.
 Teorema: Agar  va  sonlar shunday boʻlsaki, ,  boʻlsa, u holda  va  lar kvadrat tenglamaning ildizlaridan iborat boʻladi.Bu teorema bir qator hollarda kvadrat tenglama ildizlarini ildizlar formulasidan foydalanmasdan topishga imkon beradi.

 Uchinchi darajali tenglama 
Agar
  
  uchinchi darajali tenglama ildizlari boʻlsa, unda
 

 Isboti 
Viete formulalarini quyidagi tenglikdan foydalanib isbotlash mumkin:

 .

Bu ifoda toʻgʻri, chunki  bu koʻphadning barcha ildizlaridir. Isbotlash uchun koʻphadni yoyish kerak. Keyin oʻng tomondagi faktorlarni koʻpaytirish kerak. Soʻngra ning har bir darajasi koeffitsiyentlarini aniqlash kerak.

 ifodasini yoysak, hadlar  boʻladi. Bu yerda  koʻpaytmaga kiritilgan-kiritilmaganiga qarab  yoki 0, yoki 1 boʻladi. k boʻlsa kiritilmagan  larning sonidir. Shundan kelib chiqib, koʻpaytmadagi faktorlarning umumiy soni n dir. Bu yerda n ta binar tanlov boʻlgani uchun ( ni yoki x ni kiritish)  ta had bor. Geometrik jihatdan bu hadlarni giperkub uchlari deb tushunish mumkin.

Bu hadlarni daraja boʻylab guruhlash  dagi sodda simmetrik koʻphadlarini chiqaradi. Yaʼni,  ning k-karra bir-biridan farqli koʻpaytmalarini beradi.

 Tarixi 

Viete formulalari 16-asrda yashagan farang matematigi François Viète () (, ) nomi bilan ataldi. Viete bu formulalarni musbat ildizlarni topish hollari uchungina aniqlagan. Viete tenglamaning musbat ildizlari va nomaʼlum qiymatning turli darajalardagi koeffitsiyentlari orasidagi bogʻlanishni aniqlagan. Viete yashagan davrda tenglamalarda faqat musbat ildizlar mavjud xolos deb ishonilgan. Viete ham manfiy ildizlar mavjud emas deb hisoblagan va tenglama ildizlari va uning koeffitsiyentlari orasidagi munosabatlarni qisman tushungan xolos.

1629-yilda boshqa farang matematigi Albert Girard Viete formulalarini faqatgina musbat haqiqiy ildizlarga cheklanmagan umumiy holini topgan.

Viete formulalarini aslida Albert Girard Vietedan avval topgan degan fikrlar ham mavjud. Masalan, 18-asrda yashagan britan matematigi Charles Huttonga koʻra, Viete formulalarining umumiy holi haqida Albert Girard Vietedan avvalroq oʻz asarlarida yozgan. Hutton bunday deb yozadi:

yaʼni,

Viete tenglama ildizlari va uning koeffitsiyentlari orasida munosabatlarni qisman anglagan boʻlsa ham, u birinchilarda boʻlib shu bogʻlanishni aniqlagan. Koʻpchilik Vietening bu formulalarning rivojlanishida qoʻshgan hissasi katta deb hisoblaydi. Shu sabab bu formulalarni uning nomi bilan atash xato emas.

 Yana qarang 
 Kvadrat tenglama

 Manbalar 

 Havolalar 
 Viete formulalari, Math World 
 Koʻphadni koʻpaytuvchilarga boʻlish. Viete formulalari, Rezolventa 
 Viete teoremasining kavdadrat tenglamalarni yechishda ishlatilishi, „Ochiq dars“ festivali'' 

Algebra
Matematika