Bezout nisbati

Bezout nisbati- butun sonlarning eng katta umumiy boʻluvchisining butun son koeffitsientlari bilan chiziqli birikmasi sifatida tasviri hisoblanadi .

Bezout nisbati Fransuz matematigi Etyen Bezout sharafiga nomlangan.

Tarixi 
Birinchi marta bu fakt 1624-yilda fransuz matematigi Klod Gaspard Bachet de Meziriac tomonidan nisbatan tub sonlar ishi uchun e'lon qilingan. Bashe formulasi quyidagicha: “Ikki [oʻzaro] tub son berilgan boʻlsa, har birining boshqasiga bir karrali boʻlgan eng kichik karralini topish” . Muammoni hal qilish uchun Basche Evklid algoritmidan ham foydalangan.

Etyen Bezout o'zining 1766-yil 3-jilddagi "Matematika kurslari" nomli to'rt jildlik asarida teoremani ixtiyoriy sonlar juftligiga ham, ko'phadlarga ham kengaytirish orqali umumlashtirgandir.

Keltirib chiqarishi 
 GCD
|}Mayli 𝑎,𝑏- kamida bittasi nolga teng bo'lmagan butun sonlardir. Keyin bunday butun sonlar mavjud 𝑥,𝑦, bu munosabat GCD

(𝑎,𝑏)=𝑥⋅𝑎+𝑦⋅𝑏

Ushbu bayonot Bezout munosabati deb ataladi (son qiymatlar uchun  va ), shuningdek, Bezout lemmasi yoki Bezoutning shaxsi. Butun sonlar bo'lganda  Bezout koeffitsientlari deb ataladi.

Natural sonlar bilan cheklangan Bezout munosabatining modifikatsiyasi ham mavjud hisoblanadi:

𝑎, 𝑏 natural sonlar boʻlsin. U holda 𝑥,𝑦 natural sonlar borki,GCD (𝑎,𝑏)=𝑥⋅𝑎−𝑦⋅𝑏 munosabati

Bezout koeffitsientlari 

 GCD  Bezout munosabatlari quyidagi shaklarga ega:
 
 GCD parchalanishining boshqa variantlari hammavjud, masalan:

Yechimlari 
Agar raqamlar  ko‘paytma va keyin tenglama

 

butun sonli yechimlarga ega bo'ladi. Bu muhim fakt birinchi darajali diofant tenglamalarini yechishni osonlashtiradi.

GCD  sonlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin bo‘lgan eng kichik natural sondir  va  butun son koeffitsientlari bilan hisoblanadi.

Ko'p sonli chiziqli birikmalar  GCD uchun ko'paytmalar to'plamlariga to'g'ri keladi: .

Bezout koeffitsientlari 
Raqamlardan kamida bittasi nol bo'lgan holatdan beri  nolga tengligi ahamiyatsiz, bu bo'limning qolgan qismi bu raqamlarning ikkalasi ham nolga teng emas deb hisoblanadi.

Noaniqlik 
Bezout koeffitsientlarini topish ikkita noma'lumli birinchi tartibli diofant tenglamasini yechish usuli bilan hisoblaymiz:

  Buyerda  GCD

Yoki, bu bilan bir xil:

 

Bundan kelib chiqadiki, Bezout koeffitsientlari  noaniq belgilangan - agar ularning ba'zi qiymatlari  ma'lum bo'lsa, u holda barcha koeffitsientlar to'plami formula bilan hisoblash mumkin bo'ladi.

 

Quyida ko'rsatiladi tengsizliklarni qanoatlantiruvchi Bezout koeffitsientlari mavjud bo'lishi uchun  Va  .

Evklid algoritmi yordamida koeffitsientlarni hisoblash 
Bezout koeffitsientlarini topish uchun siz GCD ni topish keyin kengaytirilgan Evklid algoritmidan foydalanishingiz va qoldiqlarni a va bning chiziqli birikmalari sifatida ko'rsatishingiz kerak. Algoritmning bosqichlari quyidagi shaklda ham yoziladi:

 
 
 
 …
 

 Misol

Quyidagi uchun Bezout munosabatini toping  Evklid algoritmining formulalari shaklga ega bo'lsin:

 
 
 

Shunday qilib, GCD  . Ushbu formulalardan biz quyidagilarni bilib  olamizshimiz mumkin:

 
 

Natijada, Bezout munosabati quyigagi shaklga ega bo'ladi

Davomli kasrlar yordamida koeffitsientlarni hisoblash: 
Tenglamani yechishning muqobil (taqriban ekvivalent) usullaridan biri  davomli kasrlarni ishlatadi. Tenglamaning ikkala tomonini GCD ga bo'lamiz:  . Keyin esa biz  davomli kasrga aylantiramiz va konvergentlarni hisoblaymiz  . Oxirgi  ulardan teng bo'ladi  va oldingi doimgi munosabat bilan bog'liq:

 

Ushbu formulani almashtiramiz   va ikkala tomonni   ga ko'paytirib olamiz

 

Birinchi belgigacha, bu Bezoutning nisbati. shuning uchun oxirgi konvergent  yechimining modullarini beradi:  bu kasrning maxraji bo'ladi va  - surati hisoblanadi. Asl tenglamaga asoslanib, belgilarni topish qoladi  ; Buning uchun tenglamalarning oxirgi raqamlarni topish kifoya  .

Minimal juftlik koeffitsientlari 
Davomli kasrlar nuqtai nazaridan oldingi bobda berilgan algoritmlar, shuningdek Evklidning ekvivalent algoritmlari juftlikni keltirib chiqaradi. , tengsizliklarni qoniqtiradi:

 

Bu teorema kasrlar ekanligidan kelib chiqadi  Va , yuqoridagi kabi, ketma-ket yaqinlashuvchilarni hosil qiladi va keyingi yaqinlashuvchining soni va maxraji har doim oldingi  dan kattaroq bo'ladi. Qisqartirish uchun biz bunday juftlikni minimal deb atashimiz mumkin, har doim ikkita bunday juftlik mavjud bo'ladi.

Misol. Mayli  . GSD(12, 42) = 6. Quyida Bezout koeffitsientlari juftlari ro'yxatining ba'zi elementlari qiymatlari, minimal juftliklar qizil rang bilan belgilangan:

Eslatma 
Bezout munosabati koʻpincha boshqa teoremalarni isbotlashda (masalan, arifmetikaning asosiy teoremasi ), shuningdek, diofant tenglamalari va modullarni taqqoslashda lemma sifatida juda ko'p ishlatiladi.

Birinchi darajali diofant tenglamalarini yechishda qo'llanishi 
Quyidagi ko'rinishdagi Diofant tenglamalarining yechimini butun sonlarda ko'rib chiqamiz

 

Quyidagicha belgilaymiz  GCD  Shubhasiz, tenglama faqat agar butun sonli yechimlarga ega  tomonidan  ga bo'linadi . Biz bu shartni bajarilgan deb hisoblaymiz va yuqoridagi algoritmlardan biri Bezout koeffitsientlarini topgan bo'lamiz.  :

 

Shunda asl tenglamaning yechimi quyidagi juft qiymat bo‘ladi. , Qayerda  .

Birinchi darajali taqqoslashlarni yechish usuli 
Birinchi darajali taqqoslashlarni yechish:

 

uni shaklga keltirish kifoya:

 

Amaliy muhim maxsus holat - bu qoldiq halqadagi o'zaro elementni topishdir, ya'ni taqqoslashni hisoblash.

Variatsiyalar va umumlashtirishlar 
Bezoutning munosabati ikkitadan ko'p bo'lgan holatlarga osongina umumlashtiriladi  :

, …,  = 

(𝑎,𝑏)=𝑥⋅𝑎+𝑦⋅𝑏
Bezout munosabati nafaqat butun sonlar uchun, balki boshqa kommutativ halqalarda ham (masalan, Gauss butun sonlari uchun) ham amal sifatida ishlatish mumkin. Bunday halqalar  Bezout halqalari deb ataladi.

Misol: polinomli halqaning formulasi (bitta o'zgaruvchili):
 
Bitta o'zgaruvchidagi ikkita polinom uchun Bezout koeffitsientlari butun sonlar uchun yuqoridagi kabi hisoblanishi ham  mumkin ( kengaytirilgan Evklid algoritmi yordamida ham) bo'ladi. Ikki polinomning umumiy ildizlari ham ularning eng katta umumiy boʻluvchisining ildizlari bo'ladi, shuning uchun Bezout munosabati va algebraning asosiy teoremasidan quyidagi natija kelib chiqadi:

Polinomlar berilsin 𝑓(𝑥) Va 𝑔(𝑥) ba'zi sohalarda koeffitsientlar bilan. Keyin polinomlar 𝑎(𝑥) Va 𝑏(𝑥) shu kabi 𝑎𝑓+𝑏𝑔=1, agar va faqat agar mavjud bo'lsa𝑓(𝑥) Va 𝑔(𝑥) har qanday algebraik yopiq sohada umumiy ildizlarga ega emas (odatda murakkab sonlar maydoni oxirgisi sifatida qabul qilinadi).

Bu natijaning har qanday ko'phadlar va noma'lumlarning umumiy soniga umumlashtirilishi Gilbertning nol teoremasi hisoblanadi .

Shuningdek 

 Evklid algoritmi
 Diofant tenglamasi
 Eng katta umumiy boʻluvchi
 Taqqoslash qarori
 Modul taqqoslash

Havolalar

Havolalar 

 Bezout nisbati kalkulyatori onlayn .
 Bezoutning shaxsi ) .
 Bezout identifikatori, Evklid algoritmi ) .
Algebra
Geometriya