Uzluksiz funksiya

Uzluksiz funksiya - maʼlum shartni qanoatlantiruvchi funksiya; muhim tushunchalardan biri. f(x) funksiya £eL toʻplamda aniqlangan va xoyeYe shu toʻplamning limit nuqtasi boʻlsin. Agar limf(x) = f(x0) boʻlsa, f{x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiyaning uzluksizligini quyidagicha aytish ham mumkin: agar ixtiyoriy ye>0 son uchun shunday 5>0 son topilsinki, bunda hx— xp | <5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha jce Ye da hf(x)—f(x^ I <e tengsizlik bajarilsa, ﬁ x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar ﬁ x) funksiya Ye toʻplamning har bir nuktasida uzluksiz boʻlsa, u shu Ye toʻplamda uzluksiz deyiladi. Uzluksiz funksiyalarning xossalari: uzluksiz funksiyalarning yigʻindisi, ayirmasi, koʻpaytmasi hamda nisbati (mahraj nolga teng boʻlmagan holda) yana uzluksiz boʻladi; (ﬁ x) (xe Rm) funksiya FczR1" toʻplamda berilgan boʻlsa, uning xoye Gʻ nuqtada uzluksizligi yuqoridagiday taʼriflanadi.

Birinchi taʻrif 
Agar  boʻlsa,  funksiya  nuqtada uzluksiz deyiladi.

Demak,  funksiyaning  nuqtada uzluksiz ushbu 1)  ning mavjudligi, 2)  boʻlishi shartlarining bajarilishi bilan ifodalanadi.

Misollar 

 Ushbu  funksiya  nuqtada uzluksiz boʻladi, chunki 
 Ushbu  funksiyani qaraylik. Ravshanki,   nuqtada  boʻladi. Demak, qaralyotgan funksiya ,  nuqtada uzluksiz boʻladi. Ammo  boʻlganligi sababli  boʻladi. Demak,  funksiya  nuqtada uzluksiz boʻlmaydi. Funksiya limitning Geyne va Koshi taʻriflariga binoan funksiyaning  nuqtadagi uzluksizligini quyidagicha taʻriflash mumkin.

Ikkinchi taʻrif 
Agar  da    boʻladigan ixtiyoriy  ketma-ketlik uchun   da  boʻlsa,  funksiya  nuqtada uzluksiz deyiladi.

Uchinchi taʻrif 
Agar  son olinganda ham shunday  son topilsaki,  uchun  tengsizlik bajarilsa,  funksiya  nuqtada uzluksiz deyiladi.

Odatda,  ayirma argument orttirmasi,  esa funksiya orttirmasi deyilib, ular mmos ravishda  va  kabi belgilanadi: , .

Unda funksiya uzluksizligining birinchi taʻrifidagi munosabat ushbu  koʻrinishga keladi.

Demak, munosabatni funksiyaning  nuqtada uzluksizligi taʻrifi sifatida qarash mumkin.

Aytaylik,  funksiya  toʻplamda berilgan boʻlib,  nuqta X toʻplamning oʻng (chap) limit nuqtasi boʻlsin.

Toʻrtinchi taʻrif 
Agar   boʻlsa,  funksiya  nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.

Demak,  funksiya  nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz boʻlganda funksiyaning oʻng (chap) limiti uning  nuqtadagi qiymatiga teng boʻladi:   .

Keltirilgan taʻriflardan,  funksiya  nuqtada ham boʻlganda, ham chapdan bir vaqtda uzluksiz boʻlsa, funksiya shu nuqtada uzluksiz boʻlishini topamiz.

Umuman,  funksiyaning  nuqtada uzluksiz boʻlishi,  berilganda ham unga koʻra shunday  topilib,  boʻlishini bildiradi.

Beshinchi taʻrif 
Agar  funksiya  toʻplamining har bir nuqtasida uzluksiz boʻlsa,  funksiya  toʻplamda uzluksiz deyiladi.

Oltinchi taʻrif 
 toʻplamda uzluksiz boʻlgan funksiyalardan iborat toʻplam uzluksiz funksiyalar toʻplami deyiladi va  kabi belgilanadi.

Masalan,  boʻlishi,  funksiyaning  segmentining har bir nuqtasida uzluksiz, yaʻni  funksiya  intervalning har bir nuqtasida uzluksiz,  nuqtadan oʻngdan,  nuqtadan esa chapdan uzluksiz boʻlishini bildiradi.

Funksiyaning uzulishi 
Aytaylik,  funksiya  da  berilgan boʻlib,  boʻlsin.

Maʻlumki,  funksiyaning  nuqtadagi oʻng va chap limitlari ,  mavjud boʻlib,  tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda  funksiya  nuqta  funksiyaning uzulish nuqtasi deyiladi.

Yettinchi taʻrif 
Agar limitlar mavjud va chekli boʻlib, tengliklarning birortasi oʻrinli boʻlmasa,  nuqta  funksiyaning birinchi tur uzulish nuqtasi deyiladi. Bunda  ayirma funksiyning  nuqtadagi sakrashi deyiladi.

Masalan,  funksiya   nuqtada birinchi tur uzilishiga ega, chunki ,  f(p_0)=p-1 boʻlib  boʻladi. Agar hech boʻlaganda limitlarning birortasi mavjud boʻlmasa yoki cheksiz boʻlsa,  nuqta  funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

Masalan, ushbu  funksiya  nuqtada ikkinchi tur uzilishiga ega boʻladi, chunki bu funksiya  nuqtadagi oʻng va chap limitlari mavjud emas.

Murakkab funksiyaning uzluksizligi 
Faraz qilaylik,  funksiya   toʻplamda,  funksiya esa  toʻplamda aniqlangan boʻlib, ular yordamida  murakkab funksiya tuzilgan.

Manbalar 
Umumiy topologiya
Metrik geometriya
Matematik tahlil
Funksiya turlari