Sonlar ketma-ketligi va ularning limiti

Sonlar ketma-ketligi va ularning limiti — sonli fazo elementlari ketma-ketligining chegarasi. Sonli fazo metrik fazo boʻlib, unda masofa elementlar orasidagi farq moduli sifatida aniqlanadi. Kompleks sonlarda ketma-ketlik chegarasining mavjudligi kompleks sonlarning haqiqiy va xayoliy qismlarining tegishli ketma-ketliklarining chegaralari mavjudligiga tengdir. 

Limit (sonli ketma-ketlik) matematik analizning asosiy tushunchalaridan biridir. Har bir haqiqiy son kerakli qiymatga yaqinlashishlar ketma-ketligining chegarasi sifatida ifodalanishi mumkin. Sanoq sistemasi bunday takomillashtirish ketma-ketligini taʼminlaydi. Butun va ratsional sonlar davriy yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan, irratsional sonlar esa davriy boʻlmagan yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan tavsiflanadi. Sonli usullarda sonlarni chekli sonli belgilar bilan tasvirlash qoʻllaniladi, bunda yaqinlashishlar tizimini tanlash alohida oʻrin tutadi. Taxminlovchilar tizimining sifati mezoni yaqinlashuv tezligi hisoblanadi. Shu nuqtai nazardan, raqamlarning davomli kasrlar koʻrinishida ifodalanishi samaralidir.

Tarixi 
Ketma-ketlik chegarasi tushunchasi XVII asrning ikkinchi yarmida Nyuton va XVIII asrning Euler va Lagrange kabi matematiklari tomonidan qoʻllanilgan, lekin ular chegarani intuitiv ravishda tushungan. Ketma-ketlik chegarasining birinchi qatʼiy taʼriflari 1816-yilda Bolzano va 1821-yilda Cauchy tomonidan berilgan.

Birinchi taʼrif 
Birinchisi akslantirishning akslaridan iborat ushbu  toʻplam sonlar ketma-ketligi deyiladi. Uni  yoki  kabi belgilanadi.

 sonlar ketma-ketlikning hadlari deyiladi. Masalan, 1) , 2) , 3)  4)  5)  lar sonlar ketma-ketliklardir. Biror  ketma-ketlik berilgan boʻlsin.

Ikkinchi taʼrif 
Agar shunday oʻzgarmas  soni mavjud boʻlsaki, ixtiyoriy  uchun  tengsizlik bajarilsa (yaʼni  boʻlsa), ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deyiladi.

Uchinchi taʼrif 
Agar shunday oʻzgarmas  soni mavjud boʻlsaki, ixtiyoriy  uchun  tengsizlik bajarilsa (yaʼni  boʻlsa), ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi.

Toʻrtinchi taʼrif 
Agar  ketma-ketlik ham yuqoridan, ham quyidan chegaralanga boʻlsa 
(yaʼni  boʻlsa), ketma-ketlik chegaralangan deyiladi. Misol uchun. Ushbu   ketma-ketlikning chegaralanganligi isbotlansin. Ravshanki,  uchun  boʻladi. Demak, qaralyotgan ketma-ketlik quyidagi chegaralangan. Maʼlumki,  boʻlib, undan  yaʼni  boʻlishi kelib chiqadi. Bu esa berilgan ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligin bildiradi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan.

Beshinchi taʼrif 
Agar  ketma-ketlik uchun   boʻlsa, ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan deyiladi.

Sonlar ketma-ketligining limiti 
Aytaylik,  son hamda ixtiyoriy musbat  son berilgan boʻlsin.

Oltinchi taʼrif 
Ushbu  toʻplam  nuqtaning  - atrofi deyiladi. Faraz qilaylik  ketma-ketlik  va  soni berilgan boʻlsin.

Yettinchi taʼrif 
Agar ixtiyoriy  son olingandan ham shunday  natural soni mavjud boʻlsaki,  tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlar uchun  tengsizlik bajarilsa, (yaʼni  boʻlsa),  son  ketma-ketlikning limiti deyiladi va  yoki  da  kabi belgilanadi.

Ravshanki, yuqoridagi tengsizlik uchun  yaʼni, ,  boʻladi. Shuni eʼtiborga olib, ketma-ketlikning limitini quyidagicha taʼriflasa boʻladi.

Sakkizinchi taʼrif 
Agar  nuqtaning ixtiyoriy  ham  ketma-ketlikning biror hadidan keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli boʻlsa,  soni  ketma-ketlikning limiti deyiladi.

Yuqorida keltirilgan taʼriflardan koʻrinadiki  ixtiyoriy musbat son boʻlib, natural  soni esa  ga qaraliyotgan ketma-ketlikka bogʻliq ravishda topiladi.

Manbalar 
Cheklovlar
Qatorlar va ketma-ketliklar