Toʻgʻri burchakli potensial chuqurlik

Kvant mexanikasida toʻgʻri burchakli (yoki baʼzan kvadrat) potensial toʻsiq toʻlqin-mexanik tunnel (shuningdek, „kvant tunnellash“ deb ataladi) va toʻlqin-mexanik aks ettirish hodisalarini koʻrsatadigan standart bir oʻlchovli muammodir. Muammo toʻrtburchaklar potentsial energiya toʻsigʻiga duch kelgan zarra uchun bir oʻlchovli vaqtga bogʻliq boʻlmagan Shredinger tenglamasini echishdan iborat. Odatda, bu yerda boʻlgani kabi, erkin zarracha toʻsiqqa chap tomondan uriladi deb taxmin qilinadi.

Klassik jihatdan nuqta massasi sifatida harakat qiladigan zarracha, agar uning energiyasi kamroq boʻlsa, aks ettiriladi  haqiqatda oʻzini materiya toʻlqini sifatida tutadigan zarrachaning toʻsiqdan oʻtib ketishi va boshqa tomondan toʻlqin sifatida harakatini davom ettirish ehtimoli nolga teng boʻlmagan. Klassik toʻlqin fizikasida bu taʼsir yoʻqolgan toʻlqin birikmasi deb nomlanadi. Zarrachaning toʻsiqdan oʻtish ehtimoli uzatish koeffitsienti bilan, aks ettirish ehtimoli esa, aks ettirish koeffitsienti bilan beriladi. Shredingerning toʻlqin tenglamasi bu koeffitsientlarni hisoblash imkonini beradi.

Hisoblash 

Toʻlqin funksiyasi uchun vaqtga bogʻliq boʻlmagan Shredinger tenglamasi  oʻqiydi:

bu yerda  Gamiltoniyalik,  (kamaytirilgan) Plank doimiysi,  massa hisoblanadi,  zarrachaning energiyasi va

balandlik bilan toʻsiq potensiali hisoblanadi  va kenglik  .  Bu Heaviside qadam funksiyasi, yaʼni,

Toʻsiq oʻrtasida joylashgan  va  . Toʻsiqni har qanday joyga oʻtkazish mumkin  natijalarni oʻzgartirmasdan pozitsiya. Gamiltonda birinchi atama,  kinetik energiya hisoblanadi.

Toʻsiq boʻshliqni uch qismga ajratadi () Ushbu qismlarning har qandayida potentsial doimiydir, yaʼni zarracha kvazi-erkindir va Shredinger tenglamasining yechimini chap va oʻng harakatlanuvchi toʻlqinlarning superpozitsiyasi sifatida yozish mumkin (erkin zarrachaga qarang) Agar 

bu yerda toʻlqin raqamlari orqali energiya bilan bogʻliq

indeks  koeffitsientlar boʻyicha  va  tezlik vektorining yoʻnalishini bildiradi. Eʼtibor bering, agar zarrachaning energiyasi toʻsiq balandligidan past boʻlsa,  xayoliy boʻladi va toʻlqin funksiyasi toʻsiq ichida eksponent ravishda parchalanadi. Shunga qaramay, biz belgini saqlab qolamiz  bu holatda toʻlqinlar endi tarqalmasa ham. Bu yerda biz taxmin qildik  . Ish  quyida muomala qilinadi.

Koeffitsientlar  da toʻlqin funksiyasining chegara shartlaridan topish kerak  va  . Toʻlqin funksiyasi va uning hosilasi hamma joyda uzluksiz boʻlishi kerak, shuning uchun

Toʻlqin funksiyalarini kiritish, chegara shartlari koeffitsientlarga quyidagi cheklovlarni beradi:

E = V 0 
Agar energiya toʻsiq balandligiga teng boʻlsa, toʻsiq mintaqasi ichidagi toʻlqin funksiyasining ikkinchi differentsiali 0 ga teng boʻladi va shuning uchun Shredinger tenglamasining echimlari endi eksponensial emas, balki fazo koordinatasining chiziqli funksiyalari boʻladi.

Shredinger tenglamasining toʻliq yechimi yuqoridagi kabi toʻlqin funksiyalari va ularning hosilalarini moslashtirish orqali topiladi.  va  . Bu koeffitsientlarda quyidagi cheklovlarga olib keladi:

Transmissiya va aks ettirish 
Shu oʻrinda vaziyatni klassik holat bilan solishtirish ibratlidir. Ikkala holatda ham zarracha oʻzini toʻsiq hududidan tashqarida erkin zarracha sifatida tutadi. Energiyaga ega klassik zarracha  toʻsiq balandligidan kattaroqdir  har doim toʻsiqdan oʻtadi va klassik zarracha bilan  toʻsiqdagi voqea har doim aks ettirilgan.

Kvant holatini oʻrganish uchun quyidagi vaziyatni koʻrib chiqing: zarrachaning chap tomondan toʻsiqqa tushishi  aks ettirilishi mumkin  yoki uzatilgan 

Chapdan tushish uchun aks ettirish va uzatish amplitudalarini topish uchun biz yuqoridagi tenglamalarni qoʻyamiz.  (kiruvchi zarracha),  (aks ettirish),  (oʻngdan kiruvchi zarracha yoʻq) va  (yuqish). Keyin koeffitsientlarni yoʻq qilamiz  tenglamadan  va  va yechish

Natijada:

Modelning koʻzgu simmetriyasi tufayli oʻngdan tushish amplitudalari chap tomondagilar bilan bir xil. Bu formulalar har qanday energiya uchun amal qiladi:   Agar  keyin  demak, bu formulalarning ikkalasida ham birlik bor.

Manbalar 
 ingliz tilidagi manba
 K.Krane „Introduction nuclear physics“