1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Matematikada 1 – 2 + 3 – 4 + ··· cheksiz qator boʻlib, hadlari oʻzgaruvchan belgilar berilgan ketma-ket musbat sonlardir. Sigma yigʻindisi yozuvidan foydalanib, qatorning birinchi m hadlarining yigʻindisi quyidagicha ifodalanishi mumkin.Cheksiz qator ajralib chiqadi, yaʼni uning qisman yigʻindilar ketma-ketligi (1, −1, 2, −2, 3, …) hech qanday chekli chegaraga moyil emas. Shunga qaramay, XVIII asrning oʻrtalarida Leonhard Euler oʻzi tan olgan paradoksal tenglamani yozdi. Leonhard EulerUshbu tenglamaning qatʼiy izohi koʻp vaqt oʻtmay keladi. 1890 yildan boshlab Ernesto Sezar, Emile Borel va boshqalar divergent qatorlarga umumlashtirilgan summalarni belgilashning aniq belgilangan usullarini, shu jumladan Eylerning urinishlarining yangi talqinlarini tadqiq qildilar. Ushbu yigʻindilash usullarining koʻpchiligi osongina 1 − 2 + 3 − 4 + …  1/4 „qiymati“ ga tayinlanadi. Sezar yigʻindisi 1 − 2 + 3 — 4 + … ni yigʻmaydigan bir necha usullardan biridir, shuning uchun seriya Abel yigʻindisi kabi biroz kuchliroq usul talab qilinadigan misoldir.

1 − 2 + 3 − 4 + … qatori Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + .1 − 1 + 1 − 1 + seriyasi bilan chambarchas bogʻliq. Eyler bu ikkalasini umumiy ketma-ketlikning maxsus holatlari sifatida koʻrib chiqdi. 1 — 2n + 3n — 4n + …, bu erda mos ravishda n = 1 va n = 0. Ushbu tadqiqot yoʻnalishi Bazel muammosi boʻyicha ishini kengaytirdi va hozir Dirichlet eta funktsiyasi va Riemann zeta funktsiyasi deb nomlanuvchi funktsional tenglamalarga olib keldi.

Divergentsiya 

Seriya hadlari (1, −2, 3, −4, …) 0 ga yaqinlashmaydi; shuning uchun 1 — 2 + 3 — 4 + … test atamasi boʻyicha farqlanadi. Divergensiyani bevosita taʼrifdan ham koʻrsatish mumkin: cheksiz qator, agar qisman yigʻindilar ketma-ketligi chegaraga yaqinlashsagina yaqinlashadi, bu holda bu chegara cheksiz qatorning qiymati hisoblanadi. 1 − 2 + 3 − 4 + … ning qisman yigʻindilari:

Qisman yigʻindilar ketma-ketligi qatorning maʼlum bir raqamga yaqinlashmasligini koʻrsatadi: har qanday taklif qilingan x chegarasi uchun, keyingi qisman yigʻindilarning hammasi [x-1, x+1] oraligʻidan tashqarida boʻlgan nuqta mavjud), shuning uchun 1 — 2 + 3 — 4 + … farqlanadi.

Qisman summalar har bir butun sonni bir marta oʻz ichiga oladi, hatto boʻsh qisman yigʻindi hisoblansa ham 0 boʻlsa ham, toʻplamning hisoblanishini oʻrnatadi.  butun sonlar.

Jamlash uchun evristika

Barqarorlik va chiziqlilik 
 atamalar oddiy sxema boʻyicha kelganligi sababli,  qatorlarini haddan tashqari oʻzgartirish va oʻzgartirish orqali boshqarish mumkin. raqamli qiymatni berish uchun qoʻshiladi. Agar baʼzi oddiy s soni uchun  yozish mantiqiy boʻlsa, quyidagi manipulyatsiyalar  uchun bahslashadi.

Shunday qilib  .

 odatiy maʼnoda yigʻindiga ega boʻlmasa ham, tenglama 

1 − 2 + 3 − 4 + … odatiy maʼnoda yigʻindiga ega boʻlmasa ham, s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1⁄4 tenglamani eng tabiiy javob sifatida qoʻllab-quvvatlash mumkin, agar shunday summa aniqlanishi kerak. Divergent qatorning „yigʻindisi“ning umumlashtirilgan taʼrifi yigʻish usuli yoki yigʻish usuli deb ataladi. Koʻp turli xil usullar mavjud va ular oddiy yigʻishning baʼzi xususiyatlarini baham koʻrishlari maʼqul. Yuqoridagi manipulyatsiyalar aslida quyidagilarni isbotlaydi: chiziqli va barqaror boʻlgan va 1 — 2 + 3 — 4 + … qatorlarini yigʻadigan har qanday yigʻish usulini hisobga olsak, u ishlab chiqaradigan yigʻindi  1⁄4 ga teng.

Bundan tashqari, beribunday usul Grandi qatorlarini ham  sifatida jamlashi kerak.

bunday usul Grandi qatorlarini ham 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1⁄2 sifatida jamlashi kerak.

Cauchy mahsuloti 
1891 yilda Ernesto Sesaro divergent qatorlar hisob-kitoblarga qatʼiy kiritilishiga umid bildirdi va shunday taʼkidladi: „Bir kishi allaqachon yozgan  va ikkala tomon teng ekanligini taʼkidlaydi “. Sezar uchun bu tenglama u oʻtgan yili eʼlon qilgan teoremaning qoʻllanilishi edi, bu yigʻiladigan divergent qatorlar tarixidagi birinchi teoremadir. Uning yigʻish usuli haqida batafsil maʼlumot quyida keltirilgan; markaziy fikr shundan iboratki,   ning  bilan Koshi mahsuloti (diskret konvolyutsiya) hisoblanadi.   .

Ikki cheksiz qatorning Koshi mahsuloti, hatto ularning har ikkalasi bir-biridan farq qilganda ham aniqlanadi. a n = b n = (−1) n boʻlgan holatda, Koshi mahsulotining shartlari chekli diagonal yigʻindilar bilan beriladi.
Mahsulot seriyasi keyinShunday qilib, ikki qatorning Koshi mahsulotini hurmat qiladigan yigʻindi usuli — va  qatorga 1/2 yigʻindini belgilaydi —  summasi 1/4. Oldingi boʻlimning natijasi bilan, bu chiziqli, barqaror va Koshiga rioya qiladigan usullar bilan  va  yigʻindisi oʻrtasidagi ekvivalentlikni nazarda tutadi. mahsulot.

Sezar teoremasi nozik misoldir.  qatori eng zaif maʼnoda Sezar yigʻiladigan,   esa Sezar teoremasining kuchliroq shaklini talab qiladi., boʻlish  Sezar teoremasining barcha shakllari chiziqli va barqaror boʻlgani uchun yigʻindilarning qiymatlari yuqorida hisoblangandek boʻladi.

Maxsus usullar

Sezar va Xölder 

1 − 2 + 3 − 4 + … ning (C, 1) Sezar yigʻindisini topish uchun, agar u mavjud boʻlsa, qatorning qisman yigʻindilarining arifmetik vositalarini hisoblash kerak. Qisman summalar:.

va bu qisman summalarning arifmetik vositalari:

Ushbu vositalar ketma-ketligi yaqinlashmaydi, shuning uchun 1 − 2 + 3 − 4 + … Cesàro yigʻindisi emas.

Sezar yigʻindisining ikkita mashhur umumlashmasi mavjud: ulardan kontseptual jihatdan soddaroqsi n natural sonlar uchun (H, n) usullarning ketma-ketligidir. (H, 1) yigʻindisi Sezar yigʻindisidir va yuqoriroq usullar vositalarni hisoblashni takrorlaydi. Yuqorida juft maʼnolari yaqinlashadi boʻlsa, toq oʻrtachalarning barchasi 0 ga teng, shuning uchun vositalarning vositalari oʻrtacha 0 ga yaqinlashadi va, yaʼni . Demak,  (H, 2) ga yigʻiladi .

„H“ harfi Otto Xolderni anglatadi, u birinchi marta 1882 yilda matematiklar Abel yigʻindisi va (H, n) yigʻindisi oʻrtasidagi bogʻliqlik deb oʻylashlarini isbotlagan;  uning birinchi misoli edi. Gap shundaki  ning (H, 2) yigʻindisi, uning ham Abel yigʻindisi ekanligini kafolatlaydi; Bu ham quyida toʻgʻridan-toʻgʻri isbotlanadi.

Sezar yigʻindisining yana bir keng tarqalgan umumlashmasi (C, n) usullarining ketma-ketligidir. (C, n) yigʻindisi va (H, n) yigʻindisi har doim bir xil natija berishi isbotlangan, lekin ularning tarixiy asoslari har xil. 1887 yilda Sesaro (C, n) yigʻindisining taʼrifini aytishga yaqin keldi, lekin u bir nechta misollar keltirdi. Xususan, u  to ni jamlagan (C, n) deb qayta ifodalanishi mumkin boʻlgan, ammo oʻsha paytda oqlanmagan usul bilan. U 1890 yilda (C, n) yigʻiladigan qator va (C, m) yigʻiladigan qatorlarning Koshi koʻpaytmasi (C, m + n +) ekanligi haqidagi teoremasini bayon qilish uchun (C, n) usullarini rasman belgilab berdi. 1) — yigʻiladigan.

Abel yigʻindisi 

1749-yilgi hisobotda Leonhard Eyler seriyalar bir-biridan farq qilishini tan oladi, ammo baribir uni umumlashtirishga tayyor:

Eyler bir necha marta „sum“ soʻzini umumlashtirishni taklif qildi.  boʻlsa, uning gʻoyalari hozirgi Abel yigʻindisi deb ataladigan narsaga oʻxshaydi:

Buni koʻrishning koʻplab usullari mavjud, hech boʻlmaganda mutlaq qiymatlar uchun , Eyler bu borada haqliOʻng tomonning Teylor kengaytmasini olish mumkin yoki koʻphadlar uchun rasmiy uzun boʻlinish jarayonini qoʻllash mumkin. Chap tomondan boshlab, yuqoridagi umumiy evristikaga amal qilib,  ga ikki marta koʻpaytirishga yoki  geometrik qatorni kvadratga olishga harakat qilish mumkin.   . Eyler, shuningdek, oxirgi turkum atamalarini atama boʻyicha farqlashni taklif qilganga oʻxshaydi.

Zamonaviy koʻrinishda 1 — 2 x + 3 x 2 — 4 x 3 + … hosil qiluvchi funktsiya  da funktsiyani aniqlamaydi, shuning uchun qiymatni natijada olingan ifodaga oddiygina almashtirib boʻlmaydi. Funktsiya hamma uchun aniqlanganligi uchun , x 1 ga yaqinlashganda ham chegarani olish mumkin va bu Abel summasining taʼrifi:

Eyler va Borel 

Eyler seriyaga boshqa texnikani qoʻlladi: Eyler transformatsiyasi, oʻzining ixtirolaridan biri. Eyler konvertatsiyasini hisoblash uchun oʻzgaruvchan qatorni tashkil etuvchi musbat hadlar ketma-ketligidan boshlanadi — bu holda     Ushbu ketma-ketlikning birinchi elementi 0 bilan belgilanadi.

Keyin  orasidagi toʻgʻridan-toʻgʻri farqlar ketma-ketligi kerak; bu faqat     Ushbu ketma-ketlikning birinchi elementi D a 0 bilan belgilanadi. Eyler konvertatsiyasi ham farqlar farqiga va yuqori iteratsiyalarga bogʻliq, ammo  oʻrtasidagi barcha toʻgʻridan-toʻgʻri farqlar 0 ga teng.  Eyler konvertatsiyasi quyidagicha aniqlanadi

Zamonaviy terminologiyada aytilishicha,  Eylerning yigʻindisi hisoblanadi. .

Eyler yigʻindisi ham umumiy boʻlgani kabi bir xil yigʻindi qiymatiga ega Borel yigʻindisini ham nazarda tutadi.

Tarozilarni ajratish 
Saichev va Voychiński  da kelishadi.

Bu natija φ (x) = exp(− x) ga ruxsat berish orqali tiklanadigan Abel yigʻindisini umumlashtiradi. Umumiy fikr ketma-ketlikdagi hadlarni m dan ortiq juftlash va ifodani Riman integraliga aylantirish orqali isbotlanishi mumkin. Oxirgi bosqich uchun  uchun mos keladigan dalil oʻrtacha qiymat teoremasini qoʻllaydi, ammo bu erda Teylor teoremasining kuchliroq Lagrange shakli kerak.

 Agar φ (x) birinchi va ikkinchi hosilalari uzluksiz va (0, ∞) ustida integrallanadigan funksiya boʻlsa, ph(0) = 1 va ph(x) va x ph(x) ning +∞ da chegaralari boʻlsin. ikkalasi ham 0, keyin  
Bu natija Abel yigʻindisini umumlashtiradi, u ph(x) = exp(−x) ga ruxsat berish orqali tiklanadi. Umumiy fikrni qatordagi hadlarni m dan ortiq juftlash va ifodani Riman integraliga aylantirish orqali isbotlash mumkin. Oxirgi bosqich uchun 1 — 1 + 1 — 1 + uchun mos dalil. oʻrtacha qiymat teoremasini qoʻllaydi, lekin bu erda Teylor teoremasining kuchliroq Lagrange shakli kerak.

Umumlashtirish 

 ning uch karrali Koshi koʻpaytmasi  uchburchak sonlarning oʻzgaruvchan qatori; uning Abel va Eyler yigʻindisi .  ning toʻrt karra Koshi koʻpaytmasi  tetraedral sonlarning oʻzgaruvchan qatori, Abel yigʻindisi .

1 — 2 + 3 — 4 + … biroz boshqacha yoʻnalishdagi yana bir umumlashma n ning boshqa qiymatlari uchun  qatoridir. Musbat butun sonlar uchun n, bu qatorlar quyidagi Abel yigʻindilariga ega:

Bu yerda Bn — Bernoulli raqamlari. Hatto n uchun bu ga kamayadiRiemann zeta funksiyasining manfiy juft qiymatlari nolga teng deb talqin qilish mumkin. Bu summa 1826-yilda Niels Henrik Abel tomonidan alohida masxara ob’ektiga aylandi:
Sezarning oʻqituvchisi Ejen Charlz Katalan ham bir-biridan farq qiluvchi seriyalarni yomon koʻrdi. Kataloniya taʼsiri ostida Sezar dastlab  uchun „anʼanaviy formulalar“ ni „bemaʼni tenglik“ deb atagan va 1883 yilda Sezar formulalar notoʻgʻri ekanligi haqidagi odatiy fikrni bildirgan. lekin baribir qandaydir rasmiy ravishda foydali. Nihoyat, 1890-yilda "Sur la multiplication des séries" asarida Sesaro taʼriflardan boshlab zamonaviy yondashuvni qoʻlladi.

Seriya n ning butun boʻlmagan qiymatlari uchun ham oʻrganiladi; Bular Dirichlet eta funksiyasini tashkil qiladi. Eylerning  bilan bogʻliq qatorlarni oʻrganish motivatsiyasining bir qismi eta funktsiyasining funktsional tenglamasi boʻlib, bu toʻgʻridan-toʻgʻri Riemann zeta funktsiyasining funktsional tenglamasiga olib keladi. Eyler allaqachon bu funksiyalarning qiymatlarini musbat juft sonlarda (jumladan , Bazel muammosi) topish bilan mashhur boʻlgan va u musbat toq sonlardagi qiymatlarni (jumladan , Aperi doimiysi) topishga harakat qilgan, bugungi kunda bu muammoni hal qilish qiyin. . Ayniqsa, eta funksiyasini Eyler usullari bilan hal qilish osonroq, chunki uning Dirichlet seriyasi hamma joyda Abel yigʻindisidir; zeta funktsiyasining Dirichlet qatorini uning ajralish joyini yigʻish ancha qiyin. Masalan, zeta funksiyasidagi  oʻxshashi oʻzgaruvchan boʻlmagan  qator boʻlib, u zamonaviy fizikada chuqur ilovalarga ega, lekin ancha kuchliroq talablarni talab qiladi. jamlash usullari.

Yana qarang 

 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
 1 + 2 + 4 + 8 + ·. . .
 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

Manbalar

Adabiyotlar 

Originally published as 

 2nd Ed. published by Chelsea Pub. Co., 1991. . .

 Author also known as A. I. Markushevich and Alekseï Ivanovitch Markouchevitch. Also published in Boston, Mass by Heath with . Additionally, , .

Matematika
Sonlar
Matematik qator
Divergent seriyalar
Matematik paradokslar