Golonomik cheklovlar

Klassik mexanikada golonomik cheklovlar pozitsiya oʻzgaruvchilari (va ehtimol vaqt) oʻrtasidagi munosabatlar boʻlib, ular quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin:

 

bu yerda  tizimni tavsiflovchi n ta umumlashtirilgan koordinatalar (cheklanmagan konfiguratsiya maydonida). Masalan, shar yuzasida yotish bilan chegaralangan zarrachaning harakati golonomik cheklanishga boʻysunadi, lekin agar zarracha tortishish kuchi taʼsirida sferadan tushishi mumkin boʻlsa, cheklov golonomik boʻlmagan boʻladi. Birinchi holda, golonomik cheklov tenglama bilan berilishi mumkin

 

bu yerda  radiusli sharning markazidan masofa , holbuki, ikkinchi holonomik boʻlmagan holat tomonidan berilishi mumkin

 

Tezlikka bogʻliq cheklovlar (yarim golonomik cheklovlar deb ham ataladi) masalan,

 

odatda golonomik emas.

Golonomik tizim 
Klassik mexanikada tizimning barcha cheklovlari golonomik boʻlsa, tizim golonomik deb taʼriflanishi mumkin. Cheklov golonomik boʻlishi uchun u funksiya sifatida ifodalanishi kerak:

 

yaʼni golonomik cheklov faqat koordinatalarga bogʻliq  va ehtimol vaqt  . Bu tezliklarga yoki t ga nisbatan yuqori tartibli hosilaga bogʻliq emas. Yuqorida koʻrsatilgan shaklda ifodalab boʻlmaydigan cheklov golonomik boʻlmagan cheklovdir .

Kirish 
Yuqorida taʼriflanganidek, golonomik tizim (oddiy qilib aytganda) tizimning holatini faqat vaqt oʻtishi bilan tizim tarkibiy qismlarining oʻzgarishini bilish orqali chiqarish mumkin boʻlgan tizimdir, lekin tezlikni yoki nimada ekanligini bilish shart emas . komponentlarni bir-biriga nisbatan koʻchirishni buyurtma qiling. Bundan farqli oʻlaroq, golonomik boʻlmagan tizim koʻpincha tizim holatining oʻzgarishini aniqlash uchun vaqt oʻtishi bilan tarkibiy qismlarning tezligi maʼlum boʻlishi kerak boʻlgan tizim yoki harakatlanuvchi qism cheklovga bogʻlana olmaydigan tizimdir. yuza, haqiqiy yoki xayoliy. Golonomik tizimlarga misollar portal kranlar, mayatniklar va robot qoʻllardir. Golonomik boʻlmagan tizimlarga misollar Segways, velosipedlar va avtomobillardir.

Terminologiya

Konfiguratsiya maydoni  Har bir erkinlik darajasi uchun bittadan tizim tarkibiy qismlarining siljishini sanab oʻtadi. Konfiguratsiya maydoni yordamida tavsiflanishi mumkin boʻlgan tizim skleronomik deb ataladi.

 

Voqealar maydoni konfiguratsiya maydoni bilan bir xil, oʻzgaruvchini qoʻshishdan tashqari  vaqt oʻtishi bilan tizimdagi oʻzgarishlarni ifodalash (agar tizimni tavsiflash uchun kerak boʻlsa). Faqat konfiguratsiya maydoni oʻrniga hodisa maydoni yordamida tasvirlanishi kerak boʻlgan tizim reonomik deb ataladi. Koʻpgina tizimlarni skleronomik yoki reonomik jihatdan tavsiflash mumkin. Masalan, mayatnikning umumiy ruxsat etilgan harakatini skleronomik cheklash bilan tasvirlash mumkin, lekin mayatnikning vaqt ichida harakatini reonomik cheklash bilan tasvirlash kerak.

 

Holat maydoni  konfiguratsiya maydoni, shuningdek, konfiguratsiya maydonidagi har bir atama tezligini tavsiflovchi shartlar.

 

Holat-vaqt fazosi vaqtni qoʻshadi  .

Misollar

Portalli kran 

Oʻng tomonda koʻrsatilganidek, portalli kran — bu oʻqlar bilan koʻrsatilgandek, oʻz holatini 3 oʻqda harakatlantirishga qodir boʻlgan yuqori imkoniyatlarga ega kran. Intuitiv ravishda biz kran golonomik tizim boʻlishi kerak degan xulosaga kelishimiz mumkin, chunki uning tarkibiy qismlarining maʼlum bir harakati uchun komponentlar qanday tartib yoki tezlikda harakatlanishi muhim emas: har bir komponentning maʼlum bir boshlangʻich holatidan toʻliq siljishi sharti bilan. bir xil boʻlsa, barcha qismlar va butun tizim bir xil holatda tugaydi. Matematik jihatdan biz buni quyidagicha isbotlashimiz mumkin:

Tizimning konfiguratsiya maydonini quyidagicha belgilashimiz mumkin:

 

Aytishimiz mumkinki, kranning har bir komponentining „nol“ holatidan egilishi , , va , mos ravishda koʻk, yashil va toʻq sariq komponentlar uchun. Koordinatalar tizimining yoʻnalishi va joylashishi tizimning golonomik ekanligida muhim emas, lekin bu misolda komponentlar uning oʻqlariga parallel ravishda harakatlanadi. Agar koordinata tizimining kelib chiqishi kranning orqa-pastki-chap qismida boʻlsa, u holda biz pozitsiyani cheklash tenglamasini quyidagicha yozishimiz mumkin:

 

bu yerda  kranning balandligi. Biz standart shaklga soddalashtirishimiz mumkin, bu yerda barcha konstantalar oʻzgaruvchilardan keyin joylashtiriladi:

 

Chunki biz cheklovchi tenglamani golonomik shaklda oldik (aniqrogʻi, cheklash tenglamamiz shunday koʻrinishga ega. , bu yerda ), bu tizim golonomik boʻlishi kerakligini koʻrishimiz mumkin.

Mayatnik 

Oʻng tomonda koʻrsatilganidek, oddiy mayatnik ogʻirlik va ipdan tashkil topgan tizimdir. Ip yuqori uchida burilishga, pastki uchida esa ogʻirlikga biriktiriladi. Uzayib boʻlmaydigan boʻlib, ipning uzunligi doimiydir. Bu tizim golonomikdir, chunki u golonomik cheklovga boʻysunadi:

 

bu yerda  ogʻirlikning holati va  satr uzunligi.

Qattiq jism 
Qattiq jismning zarralari golonomik cheklovga boʻysunadi

 

bu yerda ,  mos ravishda zarrachalarning joylashuvi  va , va  ular orasidagi masofa hisoblanadi. Agar berilgan tizim golonomik boʻlsa, koʻrib chiqilayotgan tizimning tarkibiy qismlariga qoʻshimcha qismlarni qattiq bogʻlash uni golonomik boʻlmasligi mumkin, chunki erkinlik darajalari kamaymaydi (boshqacha qilib aytganda, konfiguratsiya maydoni oʻzgarmagan deb hisoblasak).

Pfaff shakli 
Cheklovning quyidagi differensial shaklini koʻrib chiqamiz:

 

bu yerda  differensiallarning koeffitsientlaridir  i cheklov tenglamasi uchun. Bu shakl Pfaff shakli yoki differensial shakl deb ataladi.

Agar differensial shakl integrallansa, yaʼni funksiya mavjud boʻlsa  tenglikni qondiramiz

 

u holda bu cheklov golonomik cheklashdir; aks holda, bu golonomik emas. Shuning uchun barcha golonomik va baʼzi nogolonomik cheklovlarni differensial shakl yordamida ifodalash mumkin. Bu tarzda ifodalab boʻlmaydigan golonomik cheklovlarga misollar umumlashtirilgan tezliklarga bogʻliq boʻlganlardir.  Pfaff koʻrinishidagi cheklash tenglamasi bilan cheklov golonomik yoki nogolonomik boʻladimi, Pfaff shakli integrallanishiga bogʻliq. Pfaffian shakli cheklovining integratsiyalashuvini (yoki yoʻqligini) tekshirish uchun test tavsifi uchun quyidagi golonomik cheklovlar uchun universal testga qarang.

Golonomik cheklovlar uchun universal test 
Agar tizimning cheklash tenglamasi Pfaff cheklash shaklida yozilgan boʻlsa, tizim golonomik yoki yoʻqligini aniqlash uchun matematik test mavjud.

Cheklov tenglamasi uchun yoki  cheklash tenglamalari toʻplami (yuqoridagi kabi vaqtni ifodalovchi oʻzgaruvchi(lar)ni kiritish mumkinligiga eʼtibor bering.  va  quyidagi shaklda):

 

test tenglamasidan foydalanishimiz mumkin:

 

bu yerdaichida  har bir cheklov tenglamasi uchun sinov tenglamalarining kombinatsiyasi  cheklash tenglamalari toʻplami.

Boshqacha qilib aytadigan boʻlsak, uchta oʻzgaruvchidan iborat tizimni shartlar bilan bitta test tenglamasi bilan bir marta sinab koʻrish kerak boʻladi.  shartlar boʻlish  cheklash tenglamasida (har qanday tartibda), lekin toʻrtta oʻzgaruvchidan iborat tizimni sinab koʻrish uchun test toʻrt martagacha toʻrt xil sinov tenglamalari bilan, atamalar bilan bajarilishi kerak boʻladi.  shartlar boʻlish , , , va  cheklash tenglamasida (har biri har qanday tartibda) toʻrt xil testda. Beshta oʻzgaruvchidan iborat tizim uchun bu haqiqatni tekshirish uchun golonomik tizimda oʻnta test va uchta cheklash tenglamalari toʻplamiga ega besh oʻzgaruvchidan iborat tizim uchun oʻttizta test (oʻzgaruvchining oʻzgarishi kabi soddalashtirilgan holda) oʻtkazilishi kerak. bu raqamni kamaytirish uchun bajarilmaydi). Shu sababli, ushbu usulni uchdan ortiq oʻzgaruvchiga ega tizimlarda qoʻllashda, koʻrib chiqilayotgan tizim golonomik yoki yoʻqligi haqida umumiy fikrni qoʻllash tavsiya etiladi va agar tizim boʻlmasa, sinovdan oʻtish kerak. Bundan tashqari, matematik sezgidan foydalanib, qaysi test birinchi boʻlib muvaffaqiyatsiz boʻlishini bashorat qilishga urinib koʻrish va shu bilan boshlash, avvaliga muvaffaqiyatli boʻlishi mumkin boʻlgan testlarni oʻtkazib yuborish yaxshiroqdir.

Agar har bir sinov tenglamasi barcha cheklash tenglamalari uchun kombinatsiyalar toʻplami uchun toʻgʻri boʻlsa, tizim golonomik hisoblanadi. Agar u hatto bitta test kombinatsiyasi uchun notoʻgʻri boʻlsa, tizim golonomik boʻlmagan.

Misol 
Pfaff koʻrinishidagi cheklash tenglamasi bilan tasvirlangan ushbu dinamik tizimni koʻrib chiqing:

 

Tekshirish orqali konfiguratsiya maydoni  . Konfiguratsiya maydonida faqat uchta atama mavjud boʻlganligi sababli, faqat bitta sinov tenglamasi kerak boʻladi. Oʻzgartirishga tayyorgarlik koʻrish uchun biz cheklash tenglamasining shartlarini shunday tashkil qilishimiz mumkin:

 
 
 
 
 
 

Shartlarni almashtirib, test tenglamamiz quyidagicha boʻladi:

 

Barcha qisman hosilalarni hisoblab chiqqach, biz quyidagilarni olamiz:

 

Soddalashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

 

Bizning sinov tenglamamiz toʻgʻri ekanligini koʻramiz va shuning uchun tizim golonomik boʻlishi kerak.

Biz sinovni tugatdik, ammo endi tizim golonomik ekanligini bilib, golonomik cheklash tenglamasini topishni xohlashimiz mumkin. Biz uni Pfaff shaklining har bir atamasini birlashtirib, ularni bitta tenglamaga birlashtirishga harakat qilish orqali topishga harakat qilishimiz mumkin, masalan:

 
 
 

Golonomik cheklash tenglamasini topish uchun integratsiyalarimiz natijalarini birlashtira olishimizni koʻrish oson:

 

Bu yerda C — integratsiya konstantasi.

Doimiy koeffitsientlarning cheklovlari 
Berilgan Pfaff cheklovi uchun har bir differensialning har bir koeffitsienti doimiy, boshqacha qilib aytganda, cheklov koʻrinishida:

 

cheklov golonomik boʻlishi kerak.

Buni quyidagicha isbotlashimiz mumkin: toʻgʻridan-toʻgʻri yuqorida tavsiflanganidek, har bir differentsialning har bir koeffitsienti doimiy boʻlgan Pfaff koʻrinishidagi cheklovlar tizimini koʻrib chiqing. Ushbu cheklovlar tizimining golonomik ekanligini tekshirish uchun biz universal testdan foydalanamiz. Koʻrishimiz mumkinki, sinov tenglamasida nolga teng boʻlishi kerak boʻlgan uchta atama mavjud. Shuning uchun, agar har bir test tenglamasidagi ushbu uchta shartning har biri nolga teng boʻlsa, unda barcha test tenglamalari toʻgʻri va bu tizim golonomikdir. Har bir test tenglamasining har bir atamasi quyidagi shaklda boʻladi:

 

bu yerda:

 , , va  baʼzi kombinatsiyalar ( bilan jami kombinatsiyalar) ning  va  berilgan cheklov uchun  .
 , , va  ning mos keladigan birikmasidir  va  .

Bundan tashqari, mavjud  test tenglamalari toʻplami.

Biz taʼrifi boʻyicha hammasini koʻrishimiz mumkin  doimiylardir. Maʼlumki, har qanday konstantaning hosilasi  (toʻliq yoki qisman) boʻladi. Shunday qilib, biz har bir qisman hosilani quyidagicha qisqartirishimiz mumkin:

 

va shuning uchun har bir atama nolga teng, chap tomonda har bir test tenglamasi nolga teng, har bir test tenglamasi toʻgʻri va tizim golonomikdir.

Ikki yoki bitta oʻzgaruvchining konfiguratsiya boʻshliqlari 
Pfaff cheklovi bilan tavsiflanishi mumkin boʻlgan va faqat ikkita oʻzgaruvchi yoki bitta oʻzgaruvchidan iborat konfiguratsiya maydoni yoki holat maydoniga ega boʻlgan har qanday tizim golonomik hisoblanadi.

Biz buni quyidagicha isbotlashimiz mumkin: konfiguratsiya maydoni yoki holat fazosi bilan dinamik tizimni koʻrib chiqing:

 

agar tizim holat fazosi bilan tasvirlangan boʻlsa, biz shunchaki aytamiz  bizning vaqt oʻzgaruvchimizga teng  . Ushbu tizim Pfaffian shaklida tasvirlanadi:

 

bilan  cheklovlar toʻplami. Tizim universal test yordamida sinovdan oʻtkaziladi. Biroq, universal test konfiguratsiya yoki davlat maydonida uchta oʻzgaruvchini talab qiladi. Buni amalga oshirish uchun biz shunchaki qoʻgʻirchoq oʻzgaruvchini qoʻshamiz  shakllantirish uchun konfiguratsiya yoki holat maydoniga:

 

Chunki soxta oʻzgaruvchi  taʼrifi boʻyicha tizimdagi biror narsaning oʻlchovi emas, uning Pfaff koʻrinishidagi koeffitsienti boʻlishi kerak  . Shunday qilib, biz Pfaffian shaklimizni qayta koʻrib chiqamiz:

 

Endi biz testdan maʼlum bir cheklov uchun foydalanishimiz mumkin  Agar cheklovlar toʻplami mavjud boʻlsa:

 

Buni anglagandan keyin :  chunki soxta oʻzgaruvchi  tizimni tavsiflash uchun ishlatiladigan koeffitsientlarda paydo boʻlishi mumkin emas, biz sinov tenglamasi barcha cheklash tenglamalari toʻplami uchun toʻgʻri boʻlishi kerakligini va shuning uchun tizim golonomik boʻlishi kerakligini koʻramiz. Shunga oʻxshash dalilni konfiguratsiya yoki holat boʻshligʻidagi bitta haqiqiy oʻzgaruvchi va ikkita qoʻgʻirchoq oʻzgaruvchi bilan Pfaff shaklida tasvirlangan erkinlik darajasidagi tizimlar ham har doim golonomik ekanligini tasdiqlash uchun amalga oshirish mumkin.

Xulosa qilib shuni tushunamizki, golonomik boʻlmagan tizimlarni Pfaff shaklida modellashtirish mumkin boʻlsa ham, Pfaff shaklida modellashtirilishi mumkin boʻlgan har qanday tizim ikki yoki undan kam erkinlik darajasiga ega (erkinlik darajalari soni konfiguratsiya maydonidagi atamalar soniga teng).) golonomik boʻlishi kerak.

Muhim eslatma: test tenglamasi bajarilmadi, chunki testga kiritilgan qoʻgʻirchoq oʻzgaruvchi va shuning uchun testga kiritilgan qoʻgʻirchoq differentsial haqiqiy konfiguratsiya yoki holat boʻshligʻi oʻzgaruvchilari funksiyasi boʻlgan har qanday narsani farqlaydi.  . Quyidagi konfiguratsiya yoki holat maydoniga ega tizimga ega boʻlish:

 

va bir yoki bir nechta cheklovlar Pfaff shaklida boʻlgan cheklovlar toʻplami:

 

tizimning golonomikligini kafolatlamaydi, chunki bitta differentsial koeffitsientga ega boʻlsa ham , konfiguratsiya yoki davlat maydonida tasvirlangan uchta erkinlik darajasi hali ham mavjud.

Mustaqil umumlashtirilgan koordinatalarga aylantirish 
Golonomik cheklash tenglamalari tizimimizdagi baʼzi bogʻliq oʻzgaruvchilarni osongina olib tashlashga yordam beradi. Misol uchun, agar biz olib tashlashni xohlasak , bu cheklash tenglamasining parametridir , biz tenglamani quyidagi shaklga oʻzgartirishimiz mumkin, buni amalga oshirish mumkin deb faraz qilamiz,

 

va  ni almashtiring. Yuqoridagi funksiyadan foydalangan holda tizimning har bir tenglamasida. Buni har doim umumiy jismoniy tizimlar uchun qilish mumkin, agar hosilasi boʻlsa  uzluksiz boʻlsa, u holda yashirin funktsiya teoremasi boʻyicha, yechim , baʼzi ochiq toʻplamlarda kafolatlangan. Shunday qilib, qaram oʻzgaruvchining barcha hodisalarini olib tashlash mumkin  .

Aytaylik, fizik tizim mavjud  erkinlik darajalari. Endi,  tizimga golonomik cheklovlar qoʻyiladi. Keyin erkinlik darajalari soni kamayadi  . Biz foydalanishimiz mumkin  mustaqil umumlashtirilgan koordinatalar () sistemaning harakatini toʻliq tasvirlash. Transformatsiya tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin:

Fizik tizimlarning tasnifi

Klassik fizikani qatʼiy va uslubiy oʻrganish uchun biz tizimlarni tasniflashimiz kerak. Oldingi muhokamaga asoslanib, biz fizik tizimlarni golonomik tizimlarga va golonomik boʻlmagan tizimlarga ajratishimiz mumkin. Koʻpgina teorema va tenglamalarni qoʻllash shartlaridan biri bu sistema golonomik tizim boʻlishi kerak. Masalan, agar fizik tizim golonomik tizim va monogen sistema boʻlsa, u holda Gamilton prinsipi Lagrange tenglamasining toʻgʻriligi uchun zarur va etarli shartdir.

Manbalar

Mexanika
Fizika