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Le dénominateur est le nombre sous la barre de fraction. Dans l’exemple suivant :
formula_14
12 est le dénominateur.
À noter que le dénominateur ne doit jamais être égal à 0 puisque la division par 0 est impossible.
Prendre la fraction d’un nombre.
Remarque : prendre trois quarts de 12 revient à multiplier formula_15 par 12, car :
formula_16
formula_17
On généralise :
Théorème : prendre la fraction d’un nombre revient à le multiplier par cette fraction.
Remarque : l’ordre des opérations ne change rien ici.
formula_18
formula_17
On généralise par la règle :
Exemple : calculer deux tiers de 14 sous forme de fraction.
formula_20



Puissances





Mathématiques financières/Somme d'une suite géométrique

Somme d'une suite de nombres en progression géométrique.
La base des mathématiques financières repose essentiellement sur les lois concernant les suites arithmétiques et géométriques. La plupart des calculs découleront de ces notions de base.
Pour plus de détails concernant ces deux types de suites, on pourra se référer au cours sur les suites numériques.
Valeur acquise d'une suite de versements.
Cette section concerne les placements par versements fixes à taux fixe.
On a donc, en inversant la formule :
Valeur actuelle d'une suite de versements.
Cette section concerne les remboursements d'emprunts par versements fixes à taux fixe.
On rembourse au terme de chaque période selon le schéma suivant :
i</math>.
&=a\;\frac{1-(1+i)^{-n}}i.
\end{align}</math>
La formule précédente permet de calculer les versements correspondant au remboursement d'un prêt. En effet, la banque prêtant un capital "C" aujourd'hui, il faut que la valeur actuelle de la suite des versements soit égale à "C". On a donc, en inversant la formule précédente :
</math>.



Trigonométrie/Théorème du cosinus

Le théorème du cosinus (aussi appelé théorème de Pythagore généralisé) est applicable à des triangles non rectangles. Historiquement, ce théorème est attribué au mathématicien perse Al-Kashi (1380 - 1429) mais semble avoir été connu dès l'Antiquité. Ce théorème est connu, en France, sous le nom de théorème d'Al-Kashi.
L'énoncé du théorème du cosinus, en français, est le suivant :
"Dans un triangle quelconque, le carré de la longueur d'un des côtés est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, à laquelle il faut algébriquement soustraire le double produit des longueurs de ces deux autres côtés multiplié par le cosinus de l'angle opposé au côté initial."
Rappel du théorème de Pythagore.
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
La longueur de l'hypoténuse est égale à la racine de la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Dans cet exemple, formula_1 et formula_2.
Le théorème de Pythagore généralisé.
Afin d'exprimer le côté formula_3 en fonction des deux autres côtés formula_4 et formula_5 et de l'angle opposé formula_6, nous avons besoin des égalités suivantes :
Nous arrivons donc au résultat suivant :
Les expressions des deux autres côtés formula_4 et formula_5 sont les suivantes :
formula_12
formula_13



Étude des systèmes électriques/Condensateur et circuit RC

Présentation du composant.
Un condensateur est un dipôle constitué de 2 lames métalliques (les "armatures") séparées par un isolant (aussi appelé "diélectrique") qui permet d'emmagasiner de l'énergie électrique pendant un certain temps, il en existe de différentes formes et de différents types. Notons que les condensateurs électrolytiques (ou chimiques) sont polarisés : il faut alors faire attention au sens dans lequel on les introduit dans un circuit.
Charge d’un condensateur.
Lorsqu'on applique un courant électrique aux bornes d’un condensateur, il se charge. Celui-ci peut-être comparé à une pompe à électrons : à chaque fois qu'un électron arrive sur l'une des deux armatures qu'on notera formula_1 (en bas sur le schéma), un électron de l'autre armature qu'on notera formula_2 (en haut) se dirige vers la borne positive de la pile. Si une charge négative quitte l'armature formula_2 alors il apparait sur cette armature une charge positive. À chaque instant formula_4 la "charge" du condensateur. Petit à petit, il se crée une différence de potentiel électrique entre les armatures formula_1 et formula_2. Quand cette différence de potentiel (appelée aussi tension électrique) est égale à celle aux bornes de la pile, le condensateur est chargé. Le courant ne circule plus dans le circuit.
Une fois chargé, il conserve une charge électrique sur ses armatures même lorsqu'on le débranche, qu'on le met hors tension : il se comporte comme un réservoir de charges électriques. Si on relie les deux bornes d’un condensateur chargé par un fil électrique il se décharge immédiatement ; il ne faut donc pas toucher les deux bornes d’un condensateur chargé (il y a un risque de choc électrique).
Relation entre intensité et charge du condensateur.
Au cours de la charge ou de la décharge d’un condensateur, formula_7 varie : c’est une fonction du temps que nous noterons parfois formula_8 et qui est "a priori" dérivable. D'après la définition de l'intensité et en prenant les notations précédentes nous trouvons :
où formula_7 s'exprime en coulombs (formula_10), formula_11 en ampères (A) et le temps en secondes (s).
Cette intensité peut être positive ou négative, selon que le condensateur se charge ou se décharge.
Capacité d’un condensateur.
La tension électrique (notée u) aux bornes d’un condensateur est proportionnelle à sa charge formula_7. On note :
où C est une constante appelée la capacité du condensateur à ne pas confondre avec l'unité de la charge électrique ; celle-ci s'exprime en Farad (F). Comme c’est une unité très grande, les capacités que l’on rencontre le plus fréquemment s'échelonnent entre formula_13 et formula_14 farad, c'est-à-dire entre le millifarad (mF) et le picofarad (pF).
Relation intensité tension.
Au cours de la charge ou de la décharge du condensateur, la charge électrique (formula_7), l'intensité du courant (formula_11) et la tension aux bornes du condensateur (formula_17) varient au cours du temps, nous les noterons donc parfois formula_8, formula_19 et formula_20. À l'aide des deux relations précédentes, on peut écrire :
formula_21
formula_22 pour formula_17 et formula_11 représentées sur le schéma par des flèches de sens « opposés », c’est ce qu'on appelle la convention récepteur. Si nous avions choisi formula_17 et formula_11 de même « sens » (convention générateur) cela n'aurait rien changé aux grandeurs réelles bien sûr, mais nous aurions comme relation : formula_27
Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension.
Dans le jargon des physiciens, un "circuit RC" est un circuit où se trouvent en série une résistance R et un condensateur de capacité C. On appelle échelon de tension le passage brutal de la tension appliquée à l’ensemble {R + C} d’une valeur nulle à une valeur non nulle : on suppose qu’à t <0, la tension du générateur est nulle et qu’à partir de t = 0 elle est égale à une constante E.
Équation différentielle.
Schéma 1
"Équation différentielle du circuit RC :"
Solution.
La solution de cette équation différentielle est de la forme formula_31
formula_36
formula_37
formula_38
formula_39
Cette équation devant être valable pour toute valeur de "t", et notamment pour "t = 0", c’est donc que formula_40 dont nous déduisons formula_41
Tension aux bornes du condensateur en fonction du temps lors de la charge :
formula_42
Constante de temps du circuit RC.
Définition et analyse dimensionnelle.
Puisque ce qui se trouve dans une exponentielle ne doit pas avoir de dimension, c’est que le produit formula_43 a la dimension d’un temps. En effet :
formula_44
Le produit formula_43 est donc analogue à une durée qu'on appelle constante de temps et qu'on note : formula_46. En unités internationales, formula_47 s'exprime en secondes.
Détermination de la constante de temps.

Le dénominateur est le nombre sous la barre de fraction. Dans l’exemple suivant :

formula_14

12 est le dénominateur.

À noter que le dénominateur ne doit jamais être égal à 0 puisque la division par 0 est impossible.

Prendre la fraction d’un nombre.

Remarque : prendre trois quarts de 12 revient à multiplier formula_15 par 12, car :

formula_16

formula_17

On généralise :

Théorème : prendre la fraction d’un nombre revient à le multiplier par cette fraction.

Remarque : l’ordre des opérations ne change rien ici.

formula_18

formula_17

On généralise par la règle :

Exemple : calculer deux tiers de 14 sous forme de fraction.

formula_20

Puissances

Mathématiques financières/Somme d'une suite géométrique

Somme d'une suite de nombres en progression géométrique.

La base des mathématiques financières repose essentiellement sur les lois concernant les suites arithmétiques et géométriques. La plupart des calculs découleront de ces notions de base.

Pour plus de détails concernant ces deux types de suites, on pourra se référer au cours sur les suites numériques.

Valeur acquise d'une suite de versements.

Cette section concerne les placements par versements fixes à taux fixe.

On a donc, en inversant la formule :

Valeur actuelle d'une suite de versements.

Cette section concerne les remboursements d'emprunts par versements fixes à taux fixe.

On rembourse au terme de chaque période selon le schéma suivant :

i</math>.

&=a\;\frac{1-(1+i)^{-n}}i.

\end{align}</math>

La formule précédente permet de calculer les versements correspondant au remboursement d'un prêt. En effet, la banque prêtant un capital "C" aujourd'hui, il faut que la valeur actuelle de la suite des versements soit égale à "C". On a donc, en inversant la formule précédente :

</math>.

Trigonométrie/Théorème du cosinus

Le théorème du cosinus (aussi appelé théorème de Pythagore généralisé) est applicable à des triangles non rectangles. Historiquement, ce théorème est attribué au mathématicien perse Al-Kashi (1380 - 1429) mais semble avoir été connu dès l'Antiquité. Ce théorème est connu, en France, sous le nom de théorème d'Al-Kashi.

L'énoncé du théorème du cosinus, en français, est le suivant :

"Dans un triangle quelconque, le carré de la longueur d'un des côtés est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, à laquelle il faut algébriquement soustraire le double produit des longueurs de ces deux autres côtés multiplié par le cosinus de l'angle opposé au côté initial."

Rappel du théorème de Pythagore.

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

La longueur de l'hypoténuse est égale à la racine de la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Dans cet exemple, formula_1 et formula_2.

Le théorème de Pythagore généralisé.

Afin d'exprimer le côté formula_3 en fonction des deux autres côtés formula_4 et formula_5 et de l'angle opposé formula_6, nous avons besoin des égalités suivantes :

Nous arrivons donc au résultat suivant :

Les expressions des deux autres côtés formula_4 et formula_5 sont les suivantes :

formula_12

formula_13

Étude des systèmes électriques/Condensateur et circuit RC

Présentation du composant.

Un condensateur est un dipôle constitué de 2 lames métalliques (les "armatures") séparées par un isolant (aussi appelé "diélectrique") qui permet d'emmagasiner de l'énergie électrique pendant un certain temps, il en existe de différentes formes et de différents types. Notons que les condensateurs électrolytiques (ou chimiques) sont polarisés : il faut alors faire attention au sens dans lequel on les introduit dans un circuit.

Charge d’un condensateur.

Lorsqu'on applique un courant électrique aux bornes d’un condensateur, il se charge. Celui-ci peut-être comparé à une pompe à électrons : à chaque fois qu'un électron arrive sur l'une des deux armatures qu'on notera formula_1 (en bas sur le schéma), un électron de l'autre armature qu'on notera formula_2 (en haut) se dirige vers la borne positive de la pile. Si une charge négative quitte l'armature formula_2 alors il apparait sur cette armature une charge positive. À chaque instant formula_4 la "charge" du condensateur. Petit à petit, il se crée une différence de potentiel électrique entre les armatures formula_1 et formula_2. Quand cette différence de potentiel (appelée aussi tension électrique) est égale à celle aux bornes de la pile, le condensateur est chargé. Le courant ne circule plus dans le circuit.

Une fois chargé, il conserve une charge électrique sur ses armatures même lorsqu'on le débranche, qu'on le met hors tension : il se comporte comme un réservoir de charges électriques. Si on relie les deux bornes d’un condensateur chargé par un fil électrique il se décharge immédiatement ; il ne faut donc pas toucher les deux bornes d’un condensateur chargé (il y a un risque de choc électrique).

Relation entre intensité et charge du condensateur.

Au cours de la charge ou de la décharge d’un condensateur, formula_7 varie : c’est une fonction du temps que nous noterons parfois formula_8 et qui est "a priori" dérivable. D'après la définition de l'intensité et en prenant les notations précédentes nous trouvons :

où formula_7 s'exprime en coulombs (formula_10), formula_11 en ampères (A) et le temps en secondes (s).

Cette intensité peut être positive ou négative, selon que le condensateur se charge ou se décharge.

Capacité d’un condensateur.

La tension électrique (notée u) aux bornes d’un condensateur est proportionnelle à sa charge formula_7. On note :

où C est une constante appelée la capacité du condensateur à ne pas confondre avec l'unité de la charge électrique ; celle-ci s'exprime en Farad (F). Comme c’est une unité très grande, les capacités que l’on rencontre le plus fréquemment s'échelonnent entre formula_13 et formula_14 farad, c'est-à-dire entre le millifarad (mF) et le picofarad (pF).

Relation intensité tension.

Au cours de la charge ou de la décharge du condensateur, la charge électrique (formula_7), l'intensité du courant (formula_11) et la tension aux bornes du condensateur (formula_17) varient au cours du temps, nous les noterons donc parfois formula_8, formula_19 et formula_20. À l'aide des deux relations précédentes, on peut écrire :

formula_21

formula_22 pour formula_17 et formula_11 représentées sur le schéma par des flèches de sens « opposés », c’est ce qu'on appelle la convention récepteur. Si nous avions choisi formula_17 et formula_11 de même « sens » (convention générateur) cela n'aurait rien changé aux grandeurs réelles bien sûr, mais nous aurions comme relation : formula_27

Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension.

Dans le jargon des physiciens, un "circuit RC" est un circuit où se trouvent en série une résistance R et un condensateur de capacité C. On appelle échelon de tension le passage brutal de la tension appliquée à l’ensemble {R + C} d’une valeur nulle à une valeur non nulle : on suppose qu’à t <0, la tension du générateur est nulle et qu’à partir de t = 0 elle est égale à une constante E.

Équation différentielle.

Schéma 1

"Équation différentielle du circuit RC :"

Solution.

La solution de cette équation différentielle est de la forme formula_31

formula_36

formula_37

formula_38

formula_39

Cette équation devant être valable pour toute valeur de "t", et notamment pour "t = 0", c’est donc que formula_40 dont nous déduisons formula_41

Tension aux bornes du condensateur en fonction du temps lors de la charge :

formula_42

Constante de temps du circuit RC.

Définition et analyse dimensionnelle.

Puisque ce qui se trouve dans une exponentielle ne doit pas avoir de dimension, c’est que le produit formula_43 a la dimension d’un temps. En effet :

formula_44

Le produit formula_43 est donc analogue à une durée qu'on appelle constante de temps et qu'on note : formula_46. En unités internationales, formula_47 s'exprime en secondes.

Détermination de la constante de temps.