Kant1/French_Wikiversity_articles · Datasets at Hugging Face

text stringlengths 0 7.83k
Au cours de la charge du condensateur à travers une résistance formula_51, sous une tension formula_52 du générateur :
La constante donne donc un ordre de grandeur de la charge d’un condensateur et nous pourrons retenir qu"'au bout de formula_57 le condensateur est quasiment chargé". Le temps de charge d’un circuit RC peut donc être contrôlé en modifiant les valeurs de R et C.
Décharge d’un condensateur dans une résistance.
formula_58
Équation différentielle.
D'après la loi d'additivité des tensions, formula_59
Or formula_60 et formula_61
On remplace : formula_62
Soit
Solution.
On a une solution de la forme formula_63
formula_64
formula_65
formula_66
à formula_70 d'où formula_71
formula_72
Énergie électrique emmagasinée dans un condensateur.
En convention récepteur, la puissance du condensateur s'écrit:
formula_73
Or, formula_74
On a donc formula_75
Puis formula_76, on en déduit:
formula_77;
L'expression de l'énergie dans un condensateur dépend du temps. Sa formule est la suivante :
Démonstration :
L'énergie électrique emmagasinée lors de la charge sous une tension "u" est de la forme :
En effet,
Capacité Équivalente.
Il est possible de calculer la capacité équivalente à celle de plusieurs condensateurs :



Notions de base d'optique géométrique





Formation d'images et stigmatisme





Miroirs en optique géométrique





Notions sur les différentielles





Notions sur les différentielles/Dérivées d'une fonction

Dérivée d’une fonction à une variable.
Il s'agit de la limite quand formula_1 tend vers 0 du taux d'accroissement de formula_2.
Notations.
En physique, on note couramment les dérivées sous la forme d'un rapport de différentielles (cf. chapitre 2) :
Dérivée logarithmique.
Autrement dit, la dérivée logarithmique de la fonction "f" est la dérivée de la fonction "g" définie par formula_8. Or comme on sait que la dérivée du logarithme népérien est la fonction inverse, on a : formula_9
Dérivée partielle d'une fonction à plusieurs variables.
Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs variables, couramment formula_10, formula_11, formula_12, et formula_13 en physique, il faut distinguer les dérivées selon ces différentes variables.
De même les dérivées par rapport aux autres variables s'écrivent :
De telles dérivées sont appelées "dérivées partielles". On peut de nouveau dériver ces dérivées par rapport à formula_10, formula_11, formula_12, ou formula_13, ce qui nous donne les dérivées partielles secondes :



Notions sur les différentielles/Notation différentielle

Différentielle d'une fonction à une seule variable.
Le théorème de Taylor-Young assure qu'une fonction formula_1, dérivable formula_2 fois au point formula_3, admet un développement limité d'ordre formula_2 en ce point
On se contente souvent du développement limité d'ordre 1 :
avec
Pour simplifier cette écriture, on introduit la notation différentielle. Pour cela, il faut remarquer que formula_9 est une toute petite variation de formula_3. On note alors formula_11 la "différentielle" de formula_3. De même, formula_13 est une toute petite variation de formula_1. On note alors formula_15 la "fonction différentielle" de formula_1. On obtient une relation entre ces différentielles :
Différentielle d'une fonction à deux variables.
Si la fonction formula_1 dépend de deux variables, par exemple formula_3 et formula_19, et en se limitant à un développement limité d'ordre 1 en un point formula_20 en lequel les deux dérivées partielles sont continues :
avec
En introduisant la notation différentielle, on peut exprimer la différentielle de formula_1 parfois nommée différentielle totale pour insister sur le fait qu'elle représente l'accroissement de formula_1 selon formula_3 et selon formula_19 :
Généralisation à plusieurs variables.
Il est fréquent de rencontrer des grandeurs représentées par des fonctions de formula_3, formula_28, formula_29 et formula_19. La différentielle de formula_1 s'écrit alors :



Notions sur les différentielles/Différentielle totale

On a montré dans le chapitre précédent que la différentielle d’une fonction peut se décomposer en une somme de différentielles de ses variables. On se pose maintenant la question inverse : si l’on a une somme de différentielles de plusieurs variables, est-ce qu'on peut trouver une fonction dont la différentielle est égale à cette somme ? Avant d'y répondre on va poser le problème plus proprement.
On ne va pas démontrer la réponse à cette question ici, on se contente de la donner : l’expression précédente est une différentielle totale si et seulement si les trois relations suivantes sont vérifiées :
On s'intéresse au cas d’une fonction "f" telle que formula_4. Dans ce cas, les variables "x", "y", et "z" sont implicitement liées entre elles : "x(y,z)", "y(x,z)", "z(x,y)". On a, d’après le chapitre précédent :
Or cela est valable pour tout "dx" et pour tout "dz". On peut donc supposer successivement que "dz = 0" puis que "dx = 0" :



Résolution d'équations différentielles simples/Point de départ

Définition.
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, notée "f". Cette équation fait intervenir "f" et ses dérivées. Résoudre une équation différentielle correspond donc à trouver toutes les fonctions "f" qui la vérifient.

Au cours de la charge du condensateur à travers une résistance formula_51, sous une tension formula_52 du générateur :

La constante donne donc un ordre de grandeur de la charge d’un condensateur et nous pourrons retenir qu"'au bout de formula_57 le condensateur est quasiment chargé". Le temps de charge d’un circuit RC peut donc être contrôlé en modifiant les valeurs de R et C.

Décharge d’un condensateur dans une résistance.

formula_58

Équation différentielle.

D'après la loi d'additivité des tensions, formula_59

Or formula_60 et formula_61

On remplace : formula_62

Soit

Solution.

On a une solution de la forme formula_63

formula_64

formula_65

formula_66

à formula_70 d'où formula_71

formula_72

Énergie électrique emmagasinée dans un condensateur.

En convention récepteur, la puissance du condensateur s'écrit:

formula_73

Or, formula_74

On a donc formula_75

Puis formula_76, on en déduit:

formula_77;

L'expression de l'énergie dans un condensateur dépend du temps. Sa formule est la suivante :

Démonstration :

L'énergie électrique emmagasinée lors de la charge sous une tension "u" est de la forme :

En effet,

Capacité Équivalente.

Il est possible de calculer la capacité équivalente à celle de plusieurs condensateurs :

Notions de base d'optique géométrique

Formation d'images et stigmatisme

Miroirs en optique géométrique

Notions sur les différentielles

Notions sur les différentielles/Dérivées d'une fonction

Dérivée d’une fonction à une variable.

Il s'agit de la limite quand formula_1 tend vers 0 du taux d'accroissement de formula_2.

Notations.

En physique, on note couramment les dérivées sous la forme d'un rapport de différentielles (cf. chapitre 2) :

Dérivée logarithmique.

Autrement dit, la dérivée logarithmique de la fonction "f" est la dérivée de la fonction "g" définie par formula_8. Or comme on sait que la dérivée du logarithme népérien est la fonction inverse, on a : formula_9

Dérivée partielle d'une fonction à plusieurs variables.

Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs variables, couramment formula_10, formula_11, formula_12, et formula_13 en physique, il faut distinguer les dérivées selon ces différentes variables.

De même les dérivées par rapport aux autres variables s'écrivent :

De telles dérivées sont appelées "dérivées partielles". On peut de nouveau dériver ces dérivées par rapport à formula_10, formula_11, formula_12, ou formula_13, ce qui nous donne les dérivées partielles secondes :

Notions sur les différentielles/Notation différentielle

Différentielle d'une fonction à une seule variable.

Le théorème de Taylor-Young assure qu'une fonction formula_1, dérivable formula_2 fois au point formula_3, admet un développement limité d'ordre formula_2 en ce point

On se contente souvent du développement limité d'ordre 1 :

avec

Pour simplifier cette écriture, on introduit la notation différentielle. Pour cela, il faut remarquer que formula_9 est une toute petite variation de formula_3. On note alors formula_11 la "différentielle" de formula_3. De même, formula_13 est une toute petite variation de formula_1. On note alors formula_15 la "fonction différentielle" de formula_1. On obtient une relation entre ces différentielles :

Différentielle d'une fonction à deux variables.

Si la fonction formula_1 dépend de deux variables, par exemple formula_3 et formula_19, et en se limitant à un développement limité d'ordre 1 en un point formula_20 en lequel les deux dérivées partielles sont continues :

avec

En introduisant la notation différentielle, on peut exprimer la différentielle de formula_1 parfois nommée différentielle totale pour insister sur le fait qu'elle représente l'accroissement de formula_1 selon formula_3 et selon formula_19 :

Généralisation à plusieurs variables.

Il est fréquent de rencontrer des grandeurs représentées par des fonctions de formula_3, formula_28, formula_29 et formula_19. La différentielle de formula_1 s'écrit alors :

Notions sur les différentielles/Différentielle totale

On a montré dans le chapitre précédent que la différentielle d’une fonction peut se décomposer en une somme de différentielles de ses variables. On se pose maintenant la question inverse : si l’on a une somme de différentielles de plusieurs variables, est-ce qu'on peut trouver une fonction dont la différentielle est égale à cette somme ? Avant d'y répondre on va poser le problème plus proprement.

On ne va pas démontrer la réponse à cette question ici, on se contente de la donner : l’expression précédente est une différentielle totale si et seulement si les trois relations suivantes sont vérifiées :

On s'intéresse au cas d’une fonction "f" telle que formula_4. Dans ce cas, les variables "x", "y", et "z" sont implicitement liées entre elles : "x(y,z)", "y(x,z)", "z(x,y)". On a, d’après le chapitre précédent :

Or cela est valable pour tout "dx" et pour tout "dz". On peut donc supposer successivement que "dz = 0" puis que "dx = 0" :

Résolution d'équations différentielles simples/Point de départ

Définition.

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, notée "f". Cette équation fait intervenir "f" et ses dérivées. Résoudre une équation différentielle correspond donc à trouver toutes les fonctions "f" qui la vérifient.