Datasets:
Tasks:
Token Classification
Modalities:
Text
Formats:
text
Languages:
English
Size:
10K - 100K
Tags:
math
License:
| ,text,labels | |
| 0,"['in', 'mathematics', 'and', 'physics', 'a', 'vector', 'space', 'also', 'called', 'a', 'linear', 'space', 'is', 'a', 'set', 'whose', 'elements', 'often', 'called', 'vectors', 'may', 'be', 'added', 'together', 'and', 'multiplied', 'scaled', 'by', 'numbers', 'called', 'scalar', 'and', 'physics', 'a', 'vector', 'space', 'also', 'called', 'a', 'linear', 'space', 'is', 'a', 'set', 'whose', 'elements', 'often', 'called', 'vectors', 'may', 'be', 'added', 'together', 'and', 'multiplied', 'scaled', 'by', 'numbers', 'called', 'scalar', 'also', 'called', 'a', 'linear', 'space', 'is', 'a', 'set', 'whose', 'elements', 'often', 'called', 'vectors', 'may', 'be', 'added', 'together', 'and', 'multiplied', 'scaled', 'by', 'numbers', 'called', 'scalar', 'is', 'a', 'set', 'whose', 'elements', 'often', 'called', 'vectors', 'may', 'be', 'added', 'together', 'and', 'multiplied', 'scaled', 'by', 'numbers', 'called', 'scalar']","['O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 1,"['scalars', 'are', 'often', 'real', 'numbers', 'but', 'can', 'be', 'complex', 'numbers', 'or', 'more', 'generally', 'elements', 'of', 'any', 'fiel', 'are', 'often', 'real', 'numbers', 'but', 'can', 'be', 'complex', 'numbers', 'or', 'more', 'generally', 'elements', 'of', 'any', 'field']","['B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 2,"['real', 'vector', 'space', 'and', 'complex', 'vector', 'space', 'are', 'kinds', 'of', 'vector', 'spaces', 'ased', 'on', 'different', 'kinds', 'of', 'scalars', 'real', 'coordinate', 'space', 'or', 'complex', 'coordinate', 'spac', 'ased', 'on', 'different', 'kinds', 'of', 'scalars', 'real', 'coordinate', 'space', 'r', 'complex', 'coordinate', 'spac', 'r', 'complex', 'coordinate', 'space']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math']" | |
| 3,"['vector', 'spaces', 'generalize', 'euclidean', 'vectors', 'which', 'allow', 'modeling', 'of', 'physical', 'quantities', 'such', 'as', 'forces', 'and', 'velocity', 'that', 'have', 'not', 'only', 'a', 'magnitude', 'but', 'also', 'a', 'directio', 'generalize', 'euclidean', 'vectors', 'which', 'allow', 'modeling', 'of', 'physical', 'quantities', 'such', 'as', 'forces', 'and', 'velocity', 'that', 'have', 'not', 'only', 'a', 'magnitude', 'but', 'also', 'a', 'directio', 'but', 'also', 'a', 'direction', 'vectors', 'which', 'allow', 'modeling', 'of', 'physical', 'quantities', 'such', 'as', 'forces', 'and', 'velocity', 'that', 'have', 'not', 'only', 'a', 'magnitude', 'but', 'also', 'a', 'directio']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 4,"['the', 'concept', 'of', 'vector', 'spaces', 'is', 'fundamental', 'for', 'linear', 'algebra', 'together', 'with', 'the', 'concept', 'of', 'matrices', 'which', 'allows', 'computing', 'in', 'vector', 'space', 'is', 'fundamental', 'for', 'linear', 'algebra', 'together', 'with', 'the', 'concept', 'of', 'matrices', 'which', 'allows', 'computing', 'in', 'vector', 'space', 'together', 'with', 'the', 'concept', 'of', 'matrices', 'which', 'allows', 'computing', 'in', 'vector', 'space']","['O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 5,"['this', 'provides', 'a', 'concise', 'and', 'synthetic', 'way', 'for', 'manipulating', 'and', 'studying', 'systems', 'of', 'linear', 'equations']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 6,"['vector', 'spaces', 'are', 'characterized', 'by', 'their', 'dimension', 'which', 'roughly', 'speaking', 'specifies', 'the', 'number', 'of', 'independent', 'directions', 'in', 'the', 'spac', 'are', 'characterized', 'by', 'their', 'dimension', 'which', 'roughly', 'speaking', 'specifies', 'the', 'number', 'of', 'independent', 'directions', 'in', 'the', 'spac']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 7,"['this', 'means', 'that', 'for', 'two', 'vector', 'spaces', 'over', 'a', 'given', 'field', 'and', 'with', 'the', 'same', 'dimension', 'the', 'properties', 'that', 'depend', 'only', 'on', 'the', 'vectorspace', 'structure', 'are', 'exactly', 'the', 'same', 'technically', 'the', 'vector', 'spaces', 'are', 'isomorphi', 'over', 'a', 'given', 'field', 'and', 'with', 'the', 'same', 'dimension', 'the', 'properties', 'that', 'depend', 'only', 'on', 'the', 'vectorspace', 'structure', 'are', 'exactly', 'the', 'same', 'technically', 'the', 'vector', 'spaces', 'are', 'isomorphic', 'dimension', 'he', 'properties', 'that', 'depend', 'only', 'on', 'the', 'vectorspace', 'structure', 'are', 'exactly', 'the', 'same', 'technically', 'the', 'vector', 'spaces', 'are', 'isomorphi']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 8,"['a', 'vector', 'space', 'is', 'finitedimensional', 'if', 'its', 'dimension', 'is', 'a', 'natural', 'numbe', 'is', 'finitedimensional', 'if', 'its', 'dimension', 'is', 'a', 'natural', 'numbe']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 9,"['otherwise', 'it', 'is', 'infinitedimensional', 'and', 'its', 'dimension', 'is', 'an', 'infinite', 'cardina']","['O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 10,"['finitedimensional', 'vector', 'spaces', 'occur', 'naturally', 'in', 'geometry', 'and', 'related', 'area', 'occur', 'naturally', 'in', 'geometry', 'and', 'related', 'area', 'finitedimensional', 'vector', 'spaces', 'occur', 'naturally', 'in', 'geometry', 'and', 'related', 'area']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 11,"['infinitedimensional', 'vector', 'spaces', 'occur', 'in', 'many', 'areas', 'of', 'mathematic', 'occur', 'in', 'many', 'areas', 'of', 'mathematics', 'infinitedimensional', 'vector', 'spaces', 'occur', 'in', 'many', 'areas', 'of', 'mathematic']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 12,"['for', 'example', 'polynomial', 'rings', 'are', 'countably', 'infinitedimensional', 'vector', 'spaces', 'and', 'many', 'function', 'spaces', 'have', 'the', 'cardinality', 'of', 'the', 'continuum', 'as', 'a', 'dimensio', 'are', 'countably', 'infinitedimensional', 'vector', 'spaces', 'and', 'many', 'function', 'spaces', 'have', 'the', 'cardinality', 'of', 'the', 'continuum', 'as', 'a', 'dimensio', 'vector', 'spaces', 'and', 'many', 'function', 'spaces', 'have', 'the', 'cardinality', 'of', 'the', 'continuum', 'as', 'a', 'dimensio']","['O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 13,"['many', 'vector', 'spaces', 'that', 'are', 'considered', 'in', 'mathematics', 'are', 'also', 'endowed', 'with', 'other', 'structure', 'that', 'are', 'considered', 'in', 'mathematics', 'are', 'also', 'endowed', 'with', 'other', 'structure']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 14,"['this', 'is', 'the', 'case', 'of', 'algebras', 'which', 'include', 'field', 'extensions', 'polynomial', 'rings', 'associative', 'algebras', 'and', 'lie', 'algebra']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 15,"['this', 'is', 'also', 'the', 'case', 'of', 'topological', 'vector', 'spaces', 'which', 'include', 'function', 'spaces', 'inner', 'product', 'spaces', 'normed', 'spaces', 'hilbert', 'spaces', 'and', 'banach', 'space', 'which', 'include', 'function', 'spaces', 'inner', 'product', 'spaces', 'normed', 'spaces', 'hilbert', 'spaces', 'and', 'banach', 'space', 'and', 'banach', 'spaces']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 16,"['in', 'this', 'article', 'vectors', 'are', 'represented', 'in', 'boldface', 'to', 'distinguish', 'them', 'from', 'scalar', 'are', 'represented', 'in', 'boldface', 'to', 'distinguish', 'them', 'from', 'scalars']","['O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 17,"['a', 'vector', 'space', 'over', 'a', 'field', 'f', 'is', 'a', 'nonempty', 'set', 'v', 'together', 'with', 'a', 'binary', 'operation', 'and', 'a', 'binary', 'function', 'that', 'satisfy', 'the', 'eight', 'axioms', 'listed', 'belo', 'over', 'a', 'field', 'is', 'a', 'nonempty', 'set', 'v', 'together', 'with', 'a', 'binary', 'operation', 'and', 'a', 'binary', 'function', 'that', 'satisfy', 'the', 'eight', 'axioms', 'listed', 'belo', 'is', 'a', 'nonempty', 'set', 'v', 'together', 'with', 'a', 'binary', 'operation', 'and', 'a', 'binary', 'function', 'that', 'satisfy', 'the', 'eight', 'axioms', 'listed', 'belo']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 18,"['in', 'this', 'context', 'the', 'elements', 'of', 'v', 'are', 'commonly', 'called', 'vectors', 'and', 'the', 'elements', 'of', 'f', 'are', 'called', 'scalar', 'and', 'the', 'elements', 'of', 'f', 'are', 'called', 'scalars']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 19,"['the', 'binary', 'operation', 'called', 'vector', 'addition', 'or', 'simply', 'addition', 'assigns', 'to', 'any', 'two', 'vectors', 'v', 'and', 'w', 'in', 'v', 'a', 'third', 'vector', 'in', 'v', 'which', 'is', 'commonly', 'written', 'as', 'v', 'w', 'and', 'called', 'the', 'sum', 'of', 'these', 'two', 'vector']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 20,"['the', 'binary', 'function', 'called', 'scalar', 'multiplicationassigns', 'to', 'any', 'scalar', 'a', 'in', 'f', 'and', 'any', 'vector', 'v', 'in', 'v', 'another', 'vector', 'in', 'v', 'which', 'is', 'denoted', 'a', 'to', 'any', 'scalar', 'a', 'in', 'f', 'and', 'any', 'vector', 'v', 'in', 'v', 'another', 'vector', 'in', 'v', 'which', 'is', 'denoted', 'a', 'a', 'in', 'f', 'and', 'any', 'vector', 'v', 'in', 'v', 'another', 'vector', 'in', 'v', 'which', 'is', 'denoted', 'a']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 21,"['to', 'have', 'a', 'vector', 'space', 'the', 'eight', 'following', 'axioms', 'must', 'be', 'satisfied', 'for', 'every', 'u', 'v', 'and', 'w', 'in', 'v', 'and', 'a', 'and', 'b', 'in']","['O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 22,"['when', 'the', 'scalar', 'field', 'is', 'the', 'real', 'numbers', 'the', 'vector', 'space', 'is', 'called', 'a', 'real', 'vector', 'space', 'and', 'when', 'the', 'scalar', 'field', 'is', 'the', 'complex', 'numbers', 'the', 'vector', 'space', 'is', 'called', 'a', 'complex', 'vector', 'spac', 'is', 'called', 'a', 'real', 'vector', 'space', 'and', 'when', 'the', 'scalar', 'field', 'is', 'the', 'complex', 'numbers', 'the', 'vector', 'space', 'is', 'called', 'a', 'complex', 'vector', 'space', 'real', 'vector', 'space', 'and', 'when', 'the', 'scalar', 'field', 'is', 'the', 'complex', 'numbers', 'the', 'vector', 'space', 'is', 'called', 'a', 'complex', 'vector', 'spac']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 23,"['these', 'two', 'cases', 'are', 'the', 'most', 'common', 'ones', 'but', 'vector', 'spaces', 'with', 'scalars', 'in', 'an', 'arbitrary', 'field', 'f', 'are', 'also', 'commonly', 'considere', 'with', 'scalars', 'in', 'an', 'arbitrary', 'field', 'f', 'are', 'also', 'commonly', 'considere']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 24,"['in', 'mathematics', 'a', 'linear', 'combination', 'is', 'an', 'expression', 'constructed', 'from', 'a', 'set', 'of', 'terms', 'by', 'multiplying', 'each', 'term', 'by', 'a', 'constant', 'and', 'adding', 'the', 'results', 'e', 'is', 'an', 'expression', 'constructed', 'from', 'a', 'set', 'of', 'terms', 'by', 'multiplying', 'each', 'term', 'by', 'a', 'constant', 'and', 'adding', 'the', 'results', 'e']","['O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 25,"['a', 'linear', 'combination', 'of', 'x', 'and', 'y', 'would', 'be', 'any', 'expression', 'of', 'the', 'form', 'ax', 'by', 'where', 'a', 'and', 'b', 'are', 'constant', 'of', 'x', 'and', 'y', 'would', 'be', 'any', 'expression', 'of', 'the', 'form', 'ax', 'by', 'where', 'a', 'and', 'b', 'are', 'constant']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 26,"['the', 'concept', 'of', 'linear', 'combinations', 'is', 'central', 'to', 'linear', 'algebra', 'and', 'related', 'fields', 'of', 'mathematic', 'is', 'central', 'to', 'linear', 'algebra', 'and', 'related', 'fields', 'of', 'mathematic', 'and', 'related', 'fields', 'of', 'mathematics']","['O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 27,"['most', 'of', 'this', 'article', 'deals', 'with', 'linear', 'combinations', 'in', 'the', 'context', 'of', 'a', 'vector', 'space', 'over', 'a', 'field', 'with', 'some', 'generalizations', 'given', 'at', 'the', 'end', 'of', 'the', 'articl', 'in', 'the', 'context', 'of', 'a', 'vector', 'space', 'over', 'a', 'field', 'with', 'some', 'generalizations', 'given', 'at', 'the', 'end', 'of', 'the', 'articl']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 28,"['in', 'the', 'theory', 'of', 'vector', 'spaces', 'a', 'set', 'of', 'vectors', 'is', 'said', 'to', 'be', 'linearly', 'independent', 'if', 'there', 'exists', 'no', 'nontrivial', 'linear', 'combination', 'of', 'the', 'vectors', 'that', 'equals', 'the', 'zero', 'vecto', 'a', 'set', 'of', 'vectors', 'is', 'said', 'to', 'be', 'linearly', 'independent', 'if', 'there', 'exists', 'no', 'nontrivial', 'linear', 'combination', 'of', 'the', 'vectors', 'that', 'equals', 'the', 'zero', 'vecto', 'is', 'said', 'to', 'be', 'linearly', 'independent', 'if', 'there', 'exists', 'no', 'nontrivial', 'linear', 'combination', 'of', 'the', 'vectors', 'that', 'equals', 'the', 'zero', 'vecto', 'if', 'there', 'exists', 'no', 'nontrivial', 'linear', 'combination', 'of', 'the', 'vectors', 'that', 'equals', 'the', 'zero', 'vecto']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 29,"['if', 'such', 'a', 'linear', 'combination', 'exists', 'then', 'the', 'vectors', 'are', 'said', 'to', 'be', 'linearly', 'dependen', 'exists', 'then', 'the', 'vectors', 'are', 'said', 'to', 'be', 'linearly', 'dependent']","['O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 30,"['these', 'concepts', 'are', 'central', 'to', 'the', 'definition', 'of', 'dimension']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 31,"['a', 'vector', 'space', 'can', 'be', 'of', 'finite', 'dimension', 'or', 'infinite', 'dimension', 'depending', 'on', 'the', 'maximum', 'number', 'of', 'linearly', 'independent', 'vector', 'can', 'be', 'of', 'finite', 'dimension', 'or', 'infinite', 'dimension', 'depending', 'on', 'the', 'maximum', 'number', 'of', 'linearly', 'independent', 'vector', 'or', 'infinite', 'dimension', 'depending', 'on', 'the', 'maximum', 'number', 'of', 'linearly', 'independent', 'vector']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 32,"['the', 'definition', 'of', 'linear', 'dependence', 'and', 'the', 'ability', 'to', 'determine', 'whether', 'a', 'subset', 'of', 'vectors', 'in', 'a', 'vector', 'space', 'is', 'linearly', 'dependent', 'are', 'central', 'to', 'determining', 'the', 'dimension', 'of', 'a', 'vector', 'spac', 'and', 'the', 'ability', 'to', 'determine', 'whether', 'a', 'subset', 'of', 'vectors', 'in', 'a', 'vector', 'space', 'is', 'linearly', 'dependent', 'are', 'central', 'to', 'determining', 'the', 'dimension', 'of', 'a', 'vector', 'spac']","['O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 33,"['linear', 'algebra', 'is', 'central', 'to', 'almost', 'all', 'areas', 'of', 'mathematic', 'is', 'central', 'to', 'almost', 'all', 'areas', 'of', 'mathematics']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 34,"['for', 'instance', 'linear', 'algebra', 'is', 'fundamental', 'in', 'modern', 'presentations', 'of', 'geometry', 'including', 'for', 'defining', 'basic', 'objects', 'such', 'as', 'lines', 'planes', 'and', 'rotation', 'is', 'fundamental', 'in', 'modern', 'presentations', 'of', 'geometry', 'including', 'for', 'defining', 'basic', 'objects', 'such', 'as', 'lines', 'planes', 'and', 'rotation', 'including', 'for', 'defining', 'basic', 'objects', 'such', 'as', 'lines', 'planes', 'and', 'rotation', 'and', 'rotations']","['O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 35,"['also', 'functional', 'analysis', 'a', 'branch', 'of', 'mathematical', 'analysis', 'may', 'be', 'viewed', 'as', 'the', 'application', 'of', 'linear', 'algebra', 'to', 'function', 'space', 'a', 'branch', 'of', 'mathematical', 'analysis', 'may', 'be', 'viewed', 'as', 'the', 'application', 'of', 'linear', 'algebra', 'to', 'function', 'space']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O']" | |
| 36,"['linear', 'algebra', 'is', 'also', 'used', 'in', 'most', 'sciences', 'and', 'fields', 'of', 'engineering', 'because', 'it', 'allows', 'modeling', 'many', 'natural', 'phenomena', 'and', 'computing', 'efficiently', 'with', 'such', 'model']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 37,"['for', 'nonlinear', 'systems', 'which', 'can', 'not', 'be', 'modeled', 'with', 'linear', 'algebra', 'it', 'is', 'often', 'used', 'for', 'dealing', 'with', 'firstorder', 'approximations', 'using', 'the', 'fact', 'that', 'the', 'differential', 'of', 'a', 'multivariate', 'function', 'at', 'a', 'point', 'is', 'the', 'linear', 'map', 'that', 'best', 'approximates', 'the', 'function', 'near', 'that', 'poin', 'linear', 'algebra', 'it', 'is', 'often', 'used', 'for', 'dealing', 'with', 'firstorder', 'approximations', 'using', 'the', 'fact', 'that', 'the', 'differential', 'of', 'a', 'multivariate', 'function', 'at', 'a', 'point', 'is', 'the', 'linear', 'map', 'that', 'best', 'approximates', 'the', 'function', 'near', 'that', 'poin']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 38,"['in', 'mathematics', 'a', 'matrix', 'p', 'a', 'matrix', 'p']","['O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O']" | |
| 39,"['matrices', 'is', 'a', 'rectangular', 'array', 'or', 'table', 'of', 'numbers', 'symbols', 'or', 'expressions', 'arranged', 'in', 'rows', 'and', 'columns', 'which', 'is', 'used', 'to', 'represent', 'a', 'mathematical', 'object', 'or', 'a', 'property', 'of', 'such', 'an', 'objec']","['B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 40,"['matrices', 'are', 'used', 'to', 'represent', 'linear', 'maps', 'and', 'allow', 'explicit', 'computations', 'in', 'linear', 'algebr', 'are', 'used', 'to', 'represent', 'linear', 'maps', 'and', 'allow', 'explicit', 'computations', 'in', 'linear', 'algebr', 'and', 'allow', 'explicit', 'computations', 'in', 'linear', 'algebra']","['B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 41,"['therefore', 'the', 'study', 'of', 'matrices', 'is', 'a', 'large', 'part', 'of', 'linear', 'algebra', 'and', 'most', 'properties', 'and', 'operations', 'of', 'abstract', 'linear', 'algebra', 'can', 'be', 'expressed', 'in', 'terms', 'of', 'matrice', 'is', 'a', 'large', 'part', 'of', 'linear', 'algebra', 'and', 'most', 'properties', 'and', 'operations', 'of', 'abstract', 'linear', 'algebra', 'can', 'be', 'expressed', 'in', 'terms', 'of', 'matrice', 'and', 'most', 'properties', 'and', 'operations', 'of', 'abstract', 'linear', 'algebra', 'can', 'be', 'expressed', 'in', 'terms', 'of', 'matrice', 'can', 'be', 'expressed', 'in', 'terms', 'of', 'matrices']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 42,"['for', 'example', 'matrix', 'multiplication', 'represents', 'the', 'composition', 'of', 'linear', 'map', 'multiplication', 'represents', 'the', 'composition', 'of', 'linear', 'maps']","['O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 43,"['not', 'all', 'matrices', 'are', 'related', 'to', 'linear', 'algebr', 'are', 'related', 'to', 'linear', 'algebra']","['O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 44,"['this', 'is', 'in', 'particular', 'the', 'case', 'in', 'graph', 'theory', 'f', 'incidence', 'matrices', 'and', 'adjacency', 'matrice', 'f', 'incidence', 'matrices', 'and', 'adjacency', 'matrice']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O']" | |
| 45,"['this', 'article', 'focuses', 'on', 'matrices', 'related', 'to', 'linear', 'algebra', 'and', 'unless', 'otherwise', 'specified', 'all', 'matrices', 'represent', 'linear', 'maps', 'or', 'may', 'be', 'viewed', 'as', 'suc', 'related', 'to', 'linear', 'algebra', 'and', 'unless', 'otherwise', 'specified', 'all', 'matrices', 'represent', 'linear', 'maps', 'or', 'may', 'be', 'viewed', 'as', 'suc', 'and', 'unless', 'otherwise', 'specified', 'all', 'matrices', 'represent', 'linear', 'maps', 'or', 'may', 'be', 'viewed', 'as', 'suc', 'represent', 'linear', 'maps', 'or', 'may', 'be', 'viewed', 'as', 'suc']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 46,"['square', 'matrices', 'matrices', 'with', 'the', 'same', 'number', 'of', 'rows', 'and', 'columns', 'play', 'a', 'major', 'role', 'in', 'matrix', 'theor', 'matrices', 'with', 'the', 'same', 'number', 'of', 'rows', 'and', 'columns', 'play', 'a', 'major', 'role', 'in', 'matrix', 'theory']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 47,"['square', 'matrices', 'of', 'a', 'given', 'dimension', 'form', 'a', 'noncommutative', 'ring', 'which', 'is', 'one', 'of', 'the', 'most', 'common', 'examples', 'of', 'a', 'noncommutative', 'rin', 'of', 'a', 'given', 'dimension', 'form', 'a', 'noncommutative', 'ring', 'which', 'is', 'one', 'of', 'the', 'most', 'common', 'examples', 'of', 'a', 'noncommutative', 'rin', 'form', 'a', 'noncommutative', 'ring', 'which', 'is', 'one', 'of', 'the', 'most', 'common', 'examples', 'of', 'a', 'noncommutative', 'rin']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 48,"['the', 'determinant', 'of', 'a', 'square', 'matrix', 'is', 'a', 'number', 'associated', 'to', 'the', 'matrix', 'which', 'is', 'fundamental', 'for', 'the', 'study', 'of', 'a', 'square', 'matrix', 'for', 'example', 'a', 'square', 'matrix', 'is', 'invertible', 'if', 'and', 'only', 'if', 'it', 'has', 'a', 'nonzero', 'determinant', 'and', 'the', 'eigenvalues', 'of', 'a', 'square', 'matrix', 'are', 'the', 'roots', 'of', 'a', 'polynomial', 'determinan', 'of', 'a', 'square', 'matrix', 'is', 'a', 'number', 'associated', 'to', 'the', 'matrix', 'which', 'is', 'fundamental', 'for', 'the', 'study', 'of', 'a', 'square', 'matrix', 'for', 'example', 'a', 'square', 'matrix', 'is', 'invertible', 'if', 'and', 'only', 'if', 'it', 'has', 'a', 'nonzero', 'determinant', 'and', 'the', 'eigenvalues', 'of', 'a', 'square', 'matrix', 'are', 'the', 'roots', 'of', 'a', 'polynomial', 'determinan', 'is', 'a', 'number', 'associated', 'to', 'the', 'matrix', 'which', 'is', 'fundamental', 'for', 'the', 'study', 'of', 'a', 'square', 'matrix', 'for', 'example', 'a', 'square', 'matrix', 'is', 'invertible', 'if', 'and', 'only', 'if', 'it', 'has', 'a', 'nonzero', 'determinant', 'and', 'the', 'eigenvalues', 'of', 'a', 'square', 'matrix', 'are', 'the', 'roots', 'of', 'a', 'polynomial', 'determinan', 'of', 'a', 'square', 'matrix', 'are', 'the', 'roots', 'of', 'a', 'polynomial', 'determinan', 'are', 'the', 'roots', 'of', 'a', 'polynomial', 'determinant']","['O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 49,"['in', 'geometry', 'matrices', 'are', 'widely', 'used', 'for', 'specifying', 'and', 'representing', 'geometric', 'transformations', 'for', 'example', 'rotations', 'and', 'coordinate', 'change', 'are', 'widely', 'used', 'for', 'specifying', 'and', 'representing', 'geometric', 'transformations', 'for', 'example', 'rotations', 'and', 'coordinate', 'change', 'and', 'coordinate', 'changes']","['O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes']" | |
| 50,"['in', 'numerical', 'analysis', 'many', 'computational', 'problems', 'are', 'solved', 'by', 'reducing', 'them', 'to', 'a', 'matrix', 'computation', 'and', 'this', 'often', 'involves', 'computing', 'with', 'matrices', 'of', 'huge', 'dimensio', 'many', 'computational', 'problems', 'are', 'solved', 'by', 'reducing', 'them', 'to', 'a', 'matrix', 'omputation', 'and', 'this', 'often', 'involves', 'computing', 'with', 'matrices', 'of', 'huge', 'dimensio']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 51,"['matrices', 'are', 'used', 'in', 'most', 'areas', 'of', 'mathematics', 'and', 'most', 'scientific', 'fields', 'either', 'directly', 'or', 'through', 'their', 'use', 'in', 'geometry', 'and', 'numerical', 'analysi', 'are', 'used', 'in', 'most', 'areas', 'of', 'mathematics', 'and', 'most', 'scientific', 'fields', 'either', 'directly', 'or', 'through', 'their', 'use', 'in', 'geometry', 'and', 'numerical', 'analysi', 'and', 'most', 'scientific', 'fields', 'either', 'directly', 'or', 'through', 'their', 'use', 'in', 'geometry', 'and', 'numerical', 'analysis']","['B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 52,"['matrix', 'theory', 'is', 'the', 'branch', 'of', 'mathematics', 'that', 'focuses', 'on', 'the', 'study', 'of', 'matrice', 'is', 'the', 'branch', 'of', 'mathematics', 'that', 'focuses', 'on', 'the', 'study', 'of', 'matrice', 'that', 'focuses', 'on', 'the', 'study', 'of', 'matrices']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 53,"['it', 'was', 'initially', 'a', 'subbranch', 'of', 'linear', 'algebra', 'but', 'soon', 'grew', 'to', 'include', 'subjects', 'related', 'to', 'graph', 'theory', 'algebra', 'combinatorics', 'and', 'statistic', 'but', 'soon', 'grew', 'to', 'include', 'subjects', 'related', 'to', 'graph', 'theory', 'algebra', 'combinatorics', 'and', 'statistic', 'algebra', 'combinatorics', 'and', 'statistics', 'algebra', 'combinatorics', 'and', 'statistic', 'combinatorics', 'and', 'statistic']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O']" | |
| 54,"['functional', 'analysis', 'is', 'a', 'branch', 'of', 'mathematical', 'analysis', 'the', 'core', 'of', 'which', 'is', 'formed', 'by', 'the', 'study', 'of', 'vector', 'spaces', 'endowed', 'with', 'some', 'kind', 'of', 'limitrelated', 'structure', 'for', 'example', 'inner', 'product', 'norm', 'or', 'topology', 'and', 'the', 'linear', 'functions', 'defined', 'on', 'these', 'spaces', 'and', 'suitably', 'respecting', 'these', 'structure', 'is', 'a', 'branch', 'of', 'mathematical', 'analysis', 'the', 'core', 'of', 'which', 'is', 'formed', 'by', 'the', 'study', 'of', 'vector', 'spaces', 'endowed', 'with', 'some', 'kind', 'of', 'limitrelated', 'structure', 'for', 'example', 'inner', 'product', 'norm', 'or', 'topology', 'and', 'the', 'linear', 'functions', 'defined', 'on', 'these', 'spaces', 'and', 'suitably', 'respecting', 'these', 'structure', 'the', 'core', 'of', 'which', 'is', 'formed', 'by', 'the', 'study', 'of', 'vector', 'spaces', 'endowed', 'with', 'some', 'kind', 'of', 'limitrelated', 'structure', 'for', 'example', 'inner', 'product', 'norm', 'or', 'topology', 'and', 'the', 'linear', 'functions', 'defined', 'on', 'these', 'spaces', 'and', 'suitably', 'respecting', 'these', 'structure', 'endowed', 'with', 'some', 'kind', 'of', 'limitrelated', 'structure', 'for', 'example', 'inner', 'product', 'norm', 'or', 'topology', 'and', 'the', 'linear', 'functions', 'defined', 'on', 'these', 'spaces', 'and', 'suitably', 'respecting', 'these', 'structure', 'norm', 'or', 'topology', 'and', 'the', 'linear', 'functions', 'defined', 'on', 'these', 'spaces', 'and', 'suitably', 'respecting', 'these', 'structure', 'or', 'topology', 'and', 'the', 'linear', 'functions', 'defined', 'on', 'these', 'spaces', 'and', 'suitably', 'respecting', 'these', 'structure', 'and', 'the', 'linear', 'functions', 'defined', 'on', 'these', 'spaces', 'and', 'suitably', 'respecting', 'these', 'structure']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 55,"['the', 'historical', 'roots', 'of', 'functional', 'analysis', 'lie', 'in', 'the', 'study', 'of', 'spaces', 'of', 'functions', 'and', 'the', 'formulation', 'of', 'properties', 'of', 'transformations', 'of', 'functions', 'such', 'as', 'the', 'fourier', 'transform', 'as', 'transformations', 'defining', 'for', 'example', 'continuous', 'or', 'unitary', 'operators', 'between', 'function', 'space', 'lie', 'in', 'the', 'study', 'of', 'spaces', 'of', 'functions', 'and', 'the', 'formulation', 'of', 'properties', 'of', 'transformations', 'of', 'functions', 'such', 'as', 'the', 'fourier', 'transform', 'as', 'transformations', 'defining', 'for', 'example', 'continuous', 'or', 'unitary', 'operators', 'between', 'function', 'space', 'as', 'transformations', 'defining', 'for', 'example', 'continuous', 'or', 'unitary', 'operators', 'between', 'function', 'space']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O']" | |
| 56,"['this', 'point', 'of', 'view', 'turned', 'out', 'to', 'be', 'particularly', 'useful', 'for', 'the', 'study', 'of', 'differential', 'and', 'integral', 'equations']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'I-Math']" | |
| 57,"['the', 'usage', 'of', 'the', 'word', 'functional', 'as', 'a', 'noun', 'goes', 'back', 'to', 'the', 'calculus', 'of', 'variations', 'implying', 'a', 'function', 'whose', 'argument', 'is', 'a', 'functio', 'implying', 'a', 'function', 'whose', 'argument', 'is', 'a', 'function']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 58,"['however', 'the', 'general', 'concept', 'of', 'a', 'functional', 'had', 'previously', 'been', 'introduced', 'in', 'by', 'the', 'italian', 'mathematician', 'and', 'physicist', 'vito', 'volterr']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 59,"['the', 'theory', 'of', 'nonlinear', 'functionals', 'as', 'continued', 'by', 'students', 'of', 'hadamard', 'in', 'particular', 'fréchet', 'and', 'lév']","['B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 60,"['hadamard', 'also', 'founded', 'the', 'modern', 'school', 'of', 'linear', 'functional', 'analysis', 'further', 'developed', 'by', 'riesz', 'and', 'the', 'group', 'of', 'polish', 'mathematicians', 'around', 'stefan', 'banac']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 61,"['in', 'modern', 'introductory', 'texts', 'on', 'functional', 'analysis', 'the', 'subject', 'is', 'seen', 'as', 'the', 'study', 'of', 'vector', 'spaces', 'endowed', 'with', 'a', 'topology', 'in', 'particular', 'infinitedimensional', 'space', 'the', 'subject', 'is', 'seen', 'as', 'the', 'study', 'of', 'vector', 'spaces', 'endowed', 'with', 'a', 'topology', 'in', 'particular', 'infinitedimensional', 'space', 'endowed', 'with', 'a', 'topology', 'in', 'particular', 'infinitedimensional', 'space']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 62,"['in', 'contrast', 'linear', 'algebra', 'deals', 'mostly', 'with', 'finitedimensional', 'spaces', 'and', 'does', 'not', 'use', 'topolog', 'deals', 'mostly', 'with', 'finitedimensional', 'spaces', 'and', 'does', 'not', 'use', 'topolog', 'and', 'does', 'not', 'use', 'topology']","['O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 63,"['an', 'important', 'part', 'of', 'functional', 'analysis', 'is', 'the', 'extension', 'of', 'the', 'theories', 'of', 'measure', 'integration', 'and', 'probability', 'to', 'infinite', 'dimensional', 'spaces', 'also', 'known', 'as', 'infinite', 'dimensional', 'analysi', 'and', 'probability', 'to', 'infinite', 'dimensional', 'spaces', 'also', 'known', 'as', 'infinite', 'dimensional', 'analysi', 'functional', 'analysis', 'is', 'the', 'extension', 'of', 'the', 'theories', 'of', 'measure', 'integration', 'and', 'probability', 'to', 'infinite', 'dimensional', 'spaces', 'also', 'known', 'as', 'infinite', 'dimensional', 'analysi']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 64,"['in', 'mathematics', 'differential', 'refers', 'to', 'several', 'related', 'notions', 'derived', 'from', 'the', 'early', 'days', 'of', 'calculus', 'put', 'on', 'a', 'rigorous', 'footing', 'such', 'as', 'infinitesimal', 'differences', 'and', 'the', 'derivatives', 'of', 'function', 'refers', 'to', 'several', 'related', 'notions', 'derived', 'from', 'the', 'early', 'days', 'of', 'calculus', 'put', 'on', 'a', 'rigorous', 'footing', 'such', 'as', 'infinitesimal', 'differences', 'and', 'the', 'derivatives', 'of', 'function', 'and', 'the', 'derivatives', 'of', 'function']","['O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O']" | |
| 65,"['the', 'term', 'is', 'used', 'in', 'various', 'branches', 'of', 'mathematics', 'such', 'as', 'calculus', 'differential', 'geometry', 'algebraic', 'geometry', 'and', 'algebraic', 'topolog', 'algebraic', 'geometry', 'and', 'algebraic', 'topolog', 'and', 'algebraic', 'topology']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 66,"['in', 'mathematics', 'and', 'more', 'specifically', 'in', 'linear', 'algebra', 'a', 'linear', 'map', 'also', 'called', 'a', 'linear', 'mapping', 'linear', 'transformation', 'vector', 'space', 'homomorphism', 'or', 'in', 'some', 'contexts', 'linear', 'function', 'is', 'a', 'mapping', 'between', 'two', 'vector', 'spaces', 'that', 'preserves', 'the', 'operations', 'of', 'vector', 'addition', 'and', 'scalar', 'multiplicatio', 'a', 'linear', 'map', 'also', 'called', 'a', 'linear', 'mapping', 'linear', 'transformation', 'vector', 'space', 'homomorphism', 'or', 'in', 'some', 'contexts', 'linear', 'function', 'is', 'a', 'mapping', 'between', 'two', 'vector', 'spaces', 'that', 'preserves', 'the', 'operations', 'of', 'vector', 'addition', 'and', 'scalar', 'multiplicatio', 'also', 'called', 'a', 'linear', 'mapping', 'inear', 'transformation', 'vector', 'space', 'homomorphism', 'or', 'in', 'some', 'contexts', 'linear', 'function', 'is', 'a', 'mapping', 'between', 'two', 'vector', 'spaces', 'that', 'preserves', 'the', 'operations', 'of', 'vector', 'addition', 'and', 'scalar', 'multiplicatio', 'linear', 'transformation', 'vector', 'space', 'homomorphism', 'or', 'in', 'some', 'contexts', 'linear', 'function', 'is', 'a', 'mapping', 'between', 'two', 'vector', 'spaces', 'that', 'preserves', 'the', 'operations', 'of', 'vector', 'addition', 'and', 'scalar', 'multiplicatio', 'vector', 'space', 'homomorphism', 'or', 'in', 'some', 'contexts', 'linear', 'function', 'is', 'a', 'mapping', 'between', 'two', 'vector', 'spaces', 'that', 'preserves', 'the', 'operations', 'of', 'vector', 'addition', 'and', 'scalar', 'multiplicatio']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 67,"['the', 'same', 'names', 'and', 'the', 'same', 'definition', 'are', 'also', 'used', 'for', 'the', 'more', 'general', 'case', 'of', 'modules', 'over', 'a', 'ring', 'see', 'module', 'homomorphism']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 68,"['f', 'a', 'linear', 'map', 'is', 'a', 'bijection', 'then', 'it', 'is', 'called', 'a', 'linear', 'isomorphis', 'is', 'a', 'bijection', 'then', 'it', 'is', 'called', 'a', 'linear', 'isomorphism', 'bijection', 'then', 'it', 'is', 'called', 'a', 'linear', 'isomorphis']","['O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 69,"['in', 'the', 'case', 'where', 'a', 'linear', 'map', 'is', 'called', 'a', 'linear', 'endomorphis', 'is', 'called', 'a', 'linear', 'endomorphism']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 70,"['sometimes', 'the', 'term', 'linear', 'operator', 'refers', 'to', 'this', 'case', 'but', 'the', 'term', 'linear', 'operator', 'can', 'have', 'different', 'meanings', 'for', 'different', 'conventions', 'for', 'example', 'it', 'can', 'be', 'used', 'to', 'emphasize', 'that', 'and', 'are', 'real', 'vector', 'spaces', 'not', 'necessarily', 'with', 'citation', 'needed', 'or', 'it', 'can', 'be', 'used', 'to', 'emphasize', 'that', 'is', 'a', 'function', 'space', 'which', 'is', 'a', 'common', 'convention', 'in', 'functional', 'analysi', 'refers', 'to', 'this', 'case', 'but', 'the', 'term', 'linear', 'operator', 'can', 'have', 'different', 'meanings', 'for', 'different', 'conventions', 'for', 'example', 'it', 'can', 'be', 'used', 'to', 'emphasize', 'that', 'and', 'are', 'real', 'vector', 'spaces', 'not', 'necessarily', 'with', 'citation', 'needed', 'or', 'it', 'can', 'be', 'used', 'to', 'emphasize', 'that', 'is', 'a', 'function', 'space', 'which', 'is', 'a', 'common', 'convention', 'in', 'functional', 'analysis', 'function', 'space', 'which', 'is', 'a', 'common', 'convention', 'in', 'functional', 'analysi']","['O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 71,"['sometimes', 'the', 'term', 'linear', 'function', 'has', 'the', 'same', 'meaning', 'as', 'linear', 'map', 'while', 'in', 'analysis', 'it', 'does', 'no', 'linear', 'function', 'has', 'the', 'same', 'meaning', 'as', 'linear', 'map', 'while', 'in', 'analysis', 'it', 'does', 'no']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 72,"['in', 'the', 'language', 'of', 'category', 'theory', 'linear', 'maps', 'are', 'the', 'morphisms', 'of', 'vector', 'space', 'linear', 'maps', 'are', 'the', 'morphisms', 'of', 'vector', 'space', 'are', 'the', 'morphisms', 'of', 'vector', 'spaces']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 73,"['a', 'linear', 'map', 'from', 'to', 'always', 'maps', 'the', 'origin', 'of', 'to', 'the', 'origin', 'o']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 74,"['moreover', 'it', 'maps', 'linear', 'subspaces', 'in', 'onto', 'linear', 'subspaces', 'in', 'possibly', 'of', 'a', 'lower', 'dimension', 'for', 'example', 'it', 'maps', 'a', 'plane', 'through', 'the', 'origin', 'in', 'to', 'either', 'a', 'plane', 'through', 'the', 'origin', 'in', 'a', 'line', 'through', 'the', 'origin', 'in', 'or', 'just', 'the', 'origin', 'i', 'in', 'onto', 'linear', 'subspaces', 'in', 'possibly', 'of', 'a', 'lower', 'dimension', 'for', 'example', 'it', 'maps', 'a', 'plane', 'through', 'the', 'origin', 'in', 'to', 'either', 'a', 'plane', 'through', 'the', 'origin', 'in', 'a', 'line', 'through', 'the', 'origin', 'in', 'or', 'just', 'the', 'origin', 'i']","['O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 75,"['linear', 'maps', 'can', 'often', 'be', 'represented', 'as', 'matrices', 'and', 'simple', 'examples', 'include', 'rotation', 'and', 'reflection', 'linear', 'transformation', 'can', 'often', 'be', 'represented', 'as', 'matrices', 'and', 'simple', 'examples', 'include', 'rotation', 'and', 'reflection', 'linear', 'transformation', 'and', 'simple', 'examples', 'include', 'rotation', 'and', 'reflection', 'linear', 'transformation', 'and', 'reflection', 'linear', 'transformations']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 76,"['a', 'bijective', 'linear', 'map', 'between', 'two', 'vector', 'spaces', 'that', 'is', 'every', 'vector', 'from', 'the', 'second', 'space', 'is', 'associated', 'with', 'exactly', 'one', 'in', 'the', 'first', 'is', 'an', 'isomorphism']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 77,"['because', 'an', 'isomorphism', 'preserves', 'linear', 'structure', 'two', 'isomorphic', 'vector', 'spaces', 'are', 'essentially', 'the', 'same', 'from', 'the', 'linear', 'algebra', 'point', 'of', 'view', 'in', 'the', 'sense', 'that', 'they', 'can', 'not', 'be', 'distinguished', 'by', 'using', 'vector', 'space', 'propertie', 'preserves', 'linear', 'structure', 'two', 'isomorphic', 'vector', 'spaces', 'are', 'essentially', 'the', 'same', 'from', 'the', 'linear', 'algebra', 'point', 'of', 'view', 'in', 'the', 'sense', 'that', 'they', 'can', 'not', 'be', 'distinguished', 'by', 'using', 'vector', 'space', 'propertie', 'isomorphic', 'vector', 'spaces', 'are', 'essentially', 'the', 'same', 'from', 'the', 'linear', 'algebra', 'point', 'of', 'view', 'in', 'the', 'sense', 'that', 'they', 'can', 'not', 'be', 'distinguished', 'by', 'using', 'vector', 'space', 'propertie']","['O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 78,"['an', 'essential', 'question', 'in', 'linear', 'algebra', 'is', 'testing', 'whether', 'a', 'linear', 'map', 'is', 'an', 'isomorphism', 'or', 'not', 'and', 'if', 'it', 'is', 'not', 'an', 'isomorphism', 'finding', 'its', 'range', 'or', 'image', 'and', 'the', 'set', 'of', 'elements', 'that', 'are', 'mapped', 'to', 'the', 'zero', 'vector', 'called', 'the', 'kernel', 'of', 'the', 'ma', 'is', 'testing', 'whether', 'a', 'linear', 'map', 'is', 'an', 'isomorphism', 'or', 'not', 'and', 'if', 'it', 'is', 'not', 'an', 'isomorphism', 'finding', 'its', 'range', 'or', 'image', 'and', 'the', 'set', 'of', 'elements', 'that', 'are', 'mapped', 'to', 'the', 'zero', 'vector', 'called', 'the', 'kernel', 'of', 'the', 'ma', 'is', 'an', 'isomorphism', 'or', 'not', 'and', 'if', 'it', 'is', 'not', 'an', 'isomorphism', 'finding', 'its', 'range', 'or', 'image', 'and', 'the', 'set', 'of', 'elements', 'that', 'are', 'mapped', 'to', 'the', 'zero', 'vector', 'called', 'the', 'kernel', 'of', 'the', 'ma', 'or', 'not', 'and', 'if', 'it', 'is', 'not', 'an', 'isomorphism', 'finding', 'its', 'range', 'or', 'image', 'and', 'the', 'set', 'of', 'elements', 'that', 'are', 'mapped', 'to', 'the', 'zero', 'vector', 'called', 'the', 'kernel', 'of', 'the', 'ma']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O']" | |
| 79,"['all', 'these', 'questions', 'can', 'be', 'solved', 'by', 'using', 'gaussian', 'elimination', 'or', 'some', 'variant', 'of', 'this', 'algorith']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 80,"['in', 'mathematics', 'and', 'more', 'specifically', 'in', 'linear', 'algebra', 'a', 'linear', 'subspace', 'or', 'vector', 'subspacenote', 'is', 'a', 'vector', 'space', 'that', 'is', 'a', 'subset', 'of', 'some', 'larger', 'vector', 'spac', 'and', 'more', 'specifically', 'in', 'linear', 'algebra', 'a', 'linear', 'subspace', 'or', 'vector', 'subspacenote', 'is', 'a', 'vector', 'space', 'that', 'is', 'a', 'subset', 'of', 'some', 'larger', 'vector', 'spac', 'a', 'linear', 'subspace', 'or', 'vector', 'subspacenote', 'is', 'a', 'vector', 'space', 'that', 'is', 'a', 'subset', 'of', 'some', 'larger', 'vector', 'spac', 'or', 'vector', 'subspacenote', 'is', 'a', 'vector', 'space', 'that', 'is', 'a', 'subset', 'of', 'some', 'larger', 'vector', 'spac', 'is', 'a', 'vector', 'space', 'that', 'is', 'a', 'subset', 'of', 'some', 'larger', 'vector', 'space']","['O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 81,"['a', 'linear', 'subspace', 'is', 'usually', 'simply', 'called', 'a', 'subspace', 'when', 'the', 'context', 'serves', 'to', 'distinguish', 'it', 'from', 'other', 'types', 'of', 'subspace', 'is', 'usually', 'simply', 'called', 'a', 'subspace', 'when', 'the', 'context', 'serves', 'to', 'distinguish', 'it', 'from', 'other', 'types', 'of', 'subspace']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 82,"['as', 'a', 'corollary', 'all', 'vector', 'spaces', 'are', 'equipped', 'with', 'at', 'least', 'two', 'possibly', 'different', 'linear', 'subspaces', 'the', 'zero', 'vector', 'space', 'consisting', 'of', 'the', 'zero', 'vector', 'alone', 'and', 'the', 'entire', 'vector', 'space', 'itsel', 'linear', 'subspaces', 'the', 'zero', 'vector', 'space', 'consisting', 'of', 'the', 'zero', 'vector', 'alone', 'and', 'the', 'entire', 'vector', 'space', 'itsel', 'the', 'zero', 'vector', 'space', 'consisting', 'of', 'the', 'zero', 'vector', 'alone', 'and', 'the', 'entire', 'vector', 'space', 'itsel']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 83,"['these', 'are', 'called', 'the', 'trivial', 'subspaces', 'f', 'the', 'vector', 'spac', 'f', 'the', 'vector', 'space']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 84,"['if', 'v', 'is', 'a', 'vector', 'space', 'over', 'a', 'field', 'k', 'and', 'if', 'w', 'is', 'a', 'subset', 'of', 'v', 'then', 'w', 'is', 'a', 'linear', 'subspace', 'of', 'v', 'if', 'under', 'the', 'operations', 'of', 'v', 'w', 'is', 'a', 'vector', 'space', 'over', 'k', 'equivalently', 'a', 'nonempty', 'subset', 'w', 'is', 'a', 'linear', 'subspace', 'of', 'v', 'if', 'whenever', 'w', 'w', 'are', 'elements', 'of', 'w', 'and', 'α', 'β', 'are', 'elements', 'of', 'k', 'it', 'follows', 'that', 'αw', 'βw', 'is', 'in', 'vector', 'space', 'ver', 'a', 'field', 'k', 'and', 'if', 'w', 'is', 'a', 'subset', 'of', 'v', 'then', 'w', 'is', 'a', 'linear', 'subspace', 'of', 'v', 'if', 'under', 'the', 'operations', 'of', 'v', 'w', 'is', 'a', 'vector', 'space', 'over', 'k', 'equivalently', 'a', 'nonempty', 'subset', 'w', 'is', 'a', 'linear', 'subspace', 'of', 'v', 'if', 'whenever', 'w', 'w', 'are', 'elements', 'of', 'w', 'and', 'α', 'β', 'are', 'elements', 'of', 'k', 'it', 'follows', 'that', 'αw', 'βw', 'is', 'in']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 85,"['in', 'mathematics', 'he', 'linear', 'span', 'also', 'called', 'the', 'linear', 'hull', 'or', 'just', 'span', 'of', 'a', 'set', 's', 'of', 'vectors', 'from', 'a', 'vector', 'space', 'denoted', 'spans', 'is', 'defined', 'as', 'the', 'set', 'of', 'all', 'linear', 'combinations', 'of', 'the', 'vectors', 'in', 's', 'for', 'example', 'two', 'linearly', 'independent', 'vectors', 'span', 'a', 'plan', 'he', 'linear', 'span', 'also', 'called', 'the', 'linear', 'hull', 'or', 'just', 'span', 'of', 'a', 'set', 's', 'of', 'vectors', 'from', 'a', 'vector', 'space', 'denoted', 'spans', 'is', 'defined', 'as', 'the', 'set', 'of', 'all', 'linear', 'combinations', 'of', 'the', 'vectors', 'in', 's', 'for', 'example', 'two', 'linearly', 'independent', 'vectors', 'span', 'a', 'plan', 'also', 'called', 'the', 'linear', 'hull', 'or', 'just', 'span', 'of', 'a', 'set', 's', 'of', 'vectors', 'from', 'a', 'vector', 'space', 'denoted', 'spans', 'is', 'defined', 'as', 'the', 'set', 'of', 'all', 'linear', 'combinations', 'of', 'the', 'vectors', 'in', 's', 'for', 'example', 'two', 'linearly', 'independent', 'vectors', 'span', 'a', 'plan']","['O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 86,"['the', 'linear', 'span', 'can', 'be', 'characterized', 'either', 'as', 'the', 'intersection', 'of', 'all', 'linear', 'subspaces', 'that', 'contain', 's', 'or', 'as', 'the', 'smallest', 'subspace', 'containing', 's', 'the', 'linear', 'span', 'of', 'a', 'set', 'of', 'vectors', 'is', 'therefore', 'a', 'vector', 'space', 'itsel', 'can', 'be', 'characterized', 'either', 'as', 'the', 'intersection', 'of', 'all', 'linear', 'subspaces', 'that', 'contain', 's', 'or', 'as', 'the', 'smallest', 'subspace', 'containing', 's', 'the', 'linear', 'span', 'of', 'a', 'set', 'of', 'vectors', 'is', 'therefore', 'a', 'vector', 'space', 'itsel', 'that', 'contain', 's', 'or', 'as', 'the', 'smallest', 'subspace', 'containing', 's', 'the', 'linear', 'span', 'of', 'a', 'set', 'of', 'vectors', 'is', 'therefore', 'a', 'vector', 'space', 'itsel', 'vectors', 's', 'therefore', 'a', 'vector', 'space', 'itsel']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 87,"['spans', 'can', 'be', 'generalized', 'to', 'matroids', 'and', 'module', 'and', 'modules', 'spans', 'can', 'be', 'generalized', 'to', 'matroids', 'and', 'module']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 88,"['to', 'express', 'that', 'a', 'vector', 'space', 'v', 'is', 'a', 'linear', 'span', 'of', 'a', 'subset', 's', 'one', 'commonly', 'uses', 'the', 'following', 'phraseseither', 's', 'spans', 'v', 's', 'is', 'a', 'spanning', 'set', 'of', 'v', 'v', 'is', 'spannedgenerated', 'by', 's', 'or', 's', 'is', 'a', 'generator', 'or', 'generator', 'set', 'of', 'vector', 'space', 'v', 'is', 'a', 'linear', 'span', 'of', 'a', 'subset', 's', 'one', 'commonly', 'uses', 'the', 'following', 'phraseseither', 's', 'spans', 'v', 's', 'is', 'a', 'spanning', 'set', 'of', 'v', 'v', 'is', 'spannedgenerated', 'by', 's', 'or', 's', 'is', 'a', 'generator', 'or', 'generator', 'set', 'of']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 89,"['in', 'mathematics', 'a', 'set', 'b', 'of', 'vectors', 'in', 'a', 'vector', 'space', 'v', 'is', 'called', 'a', 'basis', 'p', 'vector', 'space', 'v', 'is', 'called', 'a', 'basis', 'p', 'vectors', 'in', 'a', 'vector', 'space', 'v', 'is', 'called', 'a', 'basis', 'p']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 90,"['bases', 'if', 'every', 'element', 'of', 'v', 'may', 'be', 'written', 'in', 'a', 'unique', 'way', 'as', 'a', 'finite', 'linear', 'combination', 'of', 'elements', 'of', 'if', 'every', 'element', 'of', 'v', 'may', 'be', 'written', 'in', 'a', 'unique', 'way', 'as', 'a', 'finite', 'linear', 'combination', 'of', 'elements', 'of']","['B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O']" | |
| 91,"['the', 'coefficients', 'of', 'this', 'linear', 'combination', 'are', 'referred', 'to', 'as', 'components', 'or', 'coordinates', 'of', 'the', 'vector', 'with', 'respect', 'to', 'or', 'coordinates', 'of', 'the', 'vector', 'with', 'respect', 'to', 'linear', 'combination', 'are', 'referred', 'to', 'as', 'components', 'or', 'coordinates', 'of', 'the', 'vector', 'with', 'respect', 'to']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 92,"['the', 'elements', 'of', 'a', 'basis', 'are', 'called', 'basis', 'vector', 'are', 'called', 'basis', 'vectors']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 93,"['equivalently', 'a', 'set', 'b', 'is', 'a', 'basis', 'if', 'its', 'elements', 'are', 'linearly', 'independent', 'and', 'every', 'element', 'of', 'v', 'is', 'a', 'linear', 'combination', 'of', 'elements', 'of', 'and', 'every', 'element', 'of', 'v', 'is', 'a', 'linear', 'combination', 'of', 'elements', 'of']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O']" | |
| 94,"['in', 'other', 'words', 'a', 'basis', 'is', 'a', 'linearly', 'independent', 'spanning', 'se', 'is', 'a', 'linearly', 'independent', 'spanning', 'set']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'I-Math']" | |
| 95,"['a', 'vector', 'space', 'can', 'have', 'several', 'bases', 'however', 'all', 'the', 'bases', 'have', 'the', 'same', 'number', 'of', 'elements', 'called', 'the', 'dimension', 'of', 'the', 'vector', 'spac', 'can', 'have', 'several', 'bases', 'however', 'all', 'the', 'bases', 'have', 'the', 'same', 'number', 'of', 'elements', 'called', 'the', 'dimension', 'of', 'the', 'vector', 'spac', 'however', 'all', 'the', 'bases', 'have', 'the', 'same', 'number', 'of', 'elements', 'called', 'the', 'dimension', 'of', 'the', 'vector', 'spac']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 96,"['this', 'article', 'deals', 'mainly', 'with', 'finitedimensional', 'vector', 'spaces']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 97,"['however', 'many', 'of', 'the', 'principles', 'are', 'also', 'valid', 'for', 'infinitedimensional', 'vector', 'spaces']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 98,"['in', 'mathematics', 'a', 'system', 'of', 'linear', 'equations', 'or', 'linear', 'system', 'is', 'a', 'collection', 'of', 'one', 'or', 'more', 'linear', 'equations', 'involving', 'the', 'same', 'variable', 'a', 'system', 'of', 'linear', 'equations', 'or', 'linear', 'system', 'is', 'a', 'collection', 'of', 'one', 'or', 'more', 'linear', 'equations', 'involving', 'the', 'same', 'variable', 'or', 'linear', 'system', 'is', 'a', 'collection', 'of', 'one', 'or', 'more', 'linear', 'equations', 'involving', 'the', 'same', 'variable']","['O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 99,"['a', 'solution', 'to', 'a', 'linear', 'system', 'is', 'an', 'assignment', 'of', 'values', 'to', 'the', 'variables', 'such', 'that', 'all', 'the', 'equations', 'are', 'simultaneously', 'satisfie', 'to', 'a', 'linear', 'system', 'is', 'an', 'assignment', 'of', 'values', 'to', 'the', 'variables', 'uch', 'that', 'all', 'the', 'equations', 'are', 'simultaneously', 'satisfie', 'uch', 'that', 'all', 'the', 'equations', 'are', 'simultaneously', 'satisfie']","['O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O']" | |
| 100,"['in', 'the', 'example', 'above', 'a', 'solution', 'is', 'given', 'by', 'the', 'ordered', 'triple', 'since', 'it', 'makes', 'all', 'three', 'equations', 'vali', 'is', 'given', 'by', 'the', 'ordered', 'triple', 'since', 'it', 'makes', 'all', 'three', 'equations', 'vali']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O']" | |
| 101,"['linear', 'systems', 'are', 'the', 'basis', 'and', 'a', 'fundamental', 'part', 'of', 'linear', 'algebra', 'a', 'subject', 'used', 'in', 'most', 'modern', 'mathematic', 'a', 'subject', 'used', 'in', 'most', 'modern', 'mathematics', 'linear', 'systems', 'are', 'the', 'basis', 'and', 'a', 'fundamental', 'part', 'of', 'linear', 'algebra', 'a', 'subject', 'used', 'in', 'most', 'modern', 'mathematic']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 102,"['computational', 'algorithms', 'for', 'finding', 'the', 'solutions', 'are', 'an', 'important', 'part', 'of', 'numerical', 'linear', 'algebra', 'and', 'play', 'a', 'prominent', 'role', 'in', 'engineering', 'physics', 'chemistry', 'computer', 'science', 'and', 'economic', 'solutions', 'are', 'an', 'important', 'part', 'of', 'numerical', 'linear', 'algebra', 'and', 'play', 'a', 'prominent', 'role', 'in', 'engineering', 'physics', 'chemistry', 'computer', 'science', 'and', 'economic']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 103,"['a', 'system', 'of', 'nonlinear', 'equations', 'can', 'often', 'be', 'approximated', 'by', 'a', 'linear', 'system', 'see', 'linearization', 'a', 'helpful', 'technique', 'when', 'making', 'a', 'mathematical', 'model', 'or', 'computer', 'simulation', 'of', 'a', 'relatively', 'complex', 'syste', 'can', 'often', 'be', 'approximated', 'by', 'a', 'linear', 'system', 'see', 'linearization', 'a', 'helpful', 'technique', 'when', 'making', 'a', 'mathematical', 'model', 'or', 'computer', 'simulation', 'of', 'a', 'relatively', 'complex', 'syste']","['O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 104,"['very', 'often', 'and', 'in', 'this', 'article', 'the', 'coefficients', 'of', 'the', 'equations', 'are', 'real', 'or', 'complex', 'numbers', 'and', 'the', 'solutions', 'are', 'searched', 'in', 'the', 'same', 'set', 'of', 'numbers', 'but', 'the', 'theory', 'and', 'the', 'algorithms', 'apply', 'for', 'coefficients', 'and', 'solutions', 'in', 'any', 'fiel', 'and', 'solutions', 'in', 'any', 'fiel']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O']" | |
| 105,"['for', 'solutions', 'in', 'an', 'integral', 'domain', 'like', 'the', 'ring', 'of', 'the', 'integers', 'or', 'in', 'other', 'algebraic', 'structures', 'other', 'theories', 'have', 'been', 'developed', 'see', 'linear', 'equation', 'over', 'a', 'rin']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O']" | |
| 106,"['integer', 'linear', 'programming', 'is', 'a', 'collection', 'of', 'methods', 'for', 'finding', 'the', 'best', 'integer', 'solution', 'when', 'there', 'are', 'man']","['B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 107,"['gröbner', 'basis', 'theory', 'provides', 'algorithms', 'when', 'coefficients', 'and', 'unknowns', 'are', 'polynomial']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 108,"['tropical', 'geometry', 'is', 'another', 'example', 'of', 'linear', 'algebra', 'in', 'a', 'more', 'exotic', 'structur', 'is', 'another', 'example', 'of', 'linear', 'algebra', 'in', 'a', 'more', 'exotic', 'structur']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 109,"['a', 'linear', 'endomorphism', 'is', 'a', 'linear', 'map', 'that', 'maps', 'a', 'vector', 'space', 'v', 'to', 'itsel', 'is', 'a', 'linear', 'map', 'that', 'maps', 'a', 'vector', 'space', 'v', 'to', 'itsel', 'that', 'maps', 'a', 'vector', 'space', 'v', 'to', 'itsel']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O']" | |
| 110,"['if', 'v', 'has', 'a', 'basis', 'of', 'n', 'elements', 'such', 'an', 'endomorphism', 'is', 'represented', 'by', 'a', 'square', 'matrix', 'of', 'size', 'of', 'n', 'elements', 'such', 'an', 'endomorphism', 'is', 'represented', 'by', 'a', 'square', 'matrix', 'of', 'size']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O']" | |
| 111,"['with', 'respect', 'to', 'general', 'linear', 'maps', 'linear', 'endomorphisms', 'and', 'square', 'matrices', 'have', 'some', 'specific', 'properties', 'that', 'make', 'their', 'study', 'an', 'important', 'part', 'of', 'linear', 'algebra', 'which', 'is', 'used', 'in', 'many', 'parts', 'of', 'mathematics', 'including', 'geometric', 'transformations', 'coordinate', 'changes', 'quadratic', 'forms', 'and', 'many', 'other', 'part', 'of', 'mathematic', 'linear', 'endomorphisms', 'and', 'square', 'matrices', 'have', 'some', 'specific', 'properties', 'that', 'make', 'their', 'study', 'an', 'important', 'part', 'of', 'linear', 'algebra', 'which', 'is', 'used', 'in', 'many', 'parts', 'of', 'mathematics', 'including', 'geometric', 'transformations', 'coordinate', 'changes', 'quadratic', 'forms', 'and', 'many', 'other', 'part', 'of', 'mathematic', 'and', 'square', 'matrices', 'have', 'some', 'specific', 'properties', 'that', 'make', 'their', 'study', 'an', 'important', 'part', 'of', 'linear', 'algebra', 'which', 'is', 'used', 'in', 'many', 'parts', 'of', 'mathematics', 'including', 'geometric', 'transformations', 'coordinate', 'changes', 'quadratic', 'forms', 'and', 'many', 'other', 'part', 'of', 'mathematic', 'have', 'some', 'specific', 'properties', 'that', 'make', 'their', 'study', 'an', 'important', 'part', 'of', 'linear', 'algebra', 'which', 'is', 'used', 'in', 'many', 'parts', 'of', 'mathematics', 'including', 'geometric', 'transformations', 'coordinate', 'changes', 'quadratic', 'forms', 'and', 'many', 'other', 'part', 'of', 'mathematic', 'quadratic', 'forms', 'and', 'many', 'other', 'part', 'of', 'mathematic', 'geometric', 'transformations', 'coordinate', 'changes', 'quadratic', 'forms', 'and', 'many', 'other', 'part', 'of', 'mathematic']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 112,"['this', 'allows', 'all', 'the', 'language', 'and', 'theory', 'of', 'vector', 'spaces', 'or', 'more', 'generally', 'modules', 'to', 'be', 'brought', 'to', 'bea']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 113,"['for', 'example', 'the', 'collection', 'of', 'all', 'possible', 'linear', 'combinations', 'of', 'the', 'vectors', 'on', 'the', 'lefthand', 'side', 'is', 'called', 'their', 'span', 'and', 'the', 'equations', 'have', 'a', 'solution', 'just', 'when', 'the', 'righthand', 'vector', 'is', 'within', 'that', 'spa', 'of', 'the', 'vectors', 'on', 'the', 'lefthand', 'side', 'is', 'called', 'their', 'span', 'and', 'the', 'equations', 'have', 'a', 'solution', 'just', 'when', 'the', 'righthand', 'vector', 'is', 'within', 'that', 'spa']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 114,"['if', 'every', 'vector', 'within', 'that', 'span', 'has', 'exactly', 'one', 'expression', 'as', 'a', 'linear', 'combination', 'of', 'the', 'given', 'lefthand', 'vectors', 'then', 'any', 'solution', 'is', 'uniqu', 'within', 'that', 'span', 'has', 'exactly', 'one', 'expression', 'as', 'a', 'linear', 'combination', 'of', 'the', 'given', 'lefthand', 'vectors', 'then', 'any', 'solution', 'is', 'uniqu']","['O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 115,"['in', 'any', 'event', 'the', 'span', 'has', 'a', 'basis', 'of', 'linearly', 'independent', 'vectors', 'that', 'do', 'guarantee', 'exactly', 'one', 'expression', 'and', 'the', 'number', 'of', 'vectors', 'in', 'that', 'basis', 'its', 'dimension', 'can', 'not', 'be', 'larger', 'than', 'm', 'or', 'n', 'but', 'it', 'can', 'be', 'smalle']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 116,"['this', 'is', 'important', 'because', 'if', 'we', 'have', 'm', 'independent', 'vectors', 'a', 'solution', 'is', 'guaranteed', 'regardless', 'of', 'the', 'righthand', 'side', 'and', 'otherwise', 'not', 'guarantee']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 117,"['geometric', 'interpretatio']","['B-Math', 'O']" | |
| 118,"['for', 'a', 'system', 'involving', 'two', 'variables', 'x', 'and', 'y', 'each', 'linear', 'equation', 'determines', 'a', 'line', 'on', 'the', 'xyplan']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 119,"['because', 'a', 'solution', 'to', 'a', 'linear', 'system', 'must', 'satisfy', 'all', 'of', 'the', 'equations', 'the', 'solution', 'set', 'is', 'the', 'intersection', 'of', 'these', 'lines', 'and', 'is', 'hence', 'either', 'a', 'line', 'a', 'single', 'point', 'or', 'the', 'empty', 'se']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 120,"['for', 'three', 'variables', 'each', 'linear', 'equation', 'determines', 'a', 'plane', 'in', 'threedimensional', 'space', 'and', 'the', 'solution', 'set', 'is', 'the', 'intersection', 'of', 'these', 'plane', 'determines', 'a', 'plane', 'in', 'threedimensional', 'space', 'and', 'the', 'solution', 'set', 'is', 'the', 'intersection', 'of', 'these', 'plane', 'in', 'threedimensional', 'space', 'and', 'the', 'solution', 'set', 'is', 'the', 'intersection', 'of', 'these', 'plane']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 121,"['thus', 'the', 'solution', 'set', 'may', 'be', 'a', 'plane', 'a', 'line', 'a', 'single', 'point', 'or', 'the', 'empty', 'se', 'may', 'be', 'a', 'plane', 'a', 'line', 'a', 'single', 'point', 'or', 'the', 'empty', 'se', 'a', 'line', 'a', 'single', 'point', 'or', 'the', 'empty', 'se', 'a', 'single', 'point', 'or', 'the', 'empty', 'se', 'or', 'the', 'empty', 'set']","['O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 122,"['for', 'example', 'as', 'three', 'parallel', 'planes', 'do', 'not', 'have', 'a', 'common', 'point', 'the', 'solution', 'set', 'of', 'their', 'equations', 'is', 'empty', 'the', 'solution', 'set', 'of', 'the', 'equations', 'of', 'three', 'planes', 'intersecting', 'at', 'a', 'point', 'is', 'single', 'point', 'if', 'three', 'planes', 'pass', 'through', 'two', 'points', 'their', 'equations', 'have', 'at', 'least', 'two', 'common', 'solutions', 'in', 'fact', 'the', 'solution', 'set', 'is', 'infinite', 'and', 'consists', 'in', 'all', 'the', 'line', 'passing', 'through', 'these', 'point']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 123,"['for', 'n', 'variables', 'each', 'linear', 'equation', 'determines', 'a', 'hyperplane', 'in', 'ndimensional', 'space', 'determines', 'a', 'hyperplane', 'in', 'ndimensional', 'spac', 'variables', 'each', 'linear', 'equation', 'determines', 'a', 'hyperplane', 'in', 'ndimensional', 'spac']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 124,"['the', 'solution', 'set', 'is', 'the', 'intersection', 'of', 'these', 'hyperplanes', 'and', 'is', 'a', 'flat', 'which', 'may', 'have', 'any', 'dimension', 'lower', 'than', 'is', 'the', 'intersection', 'of', 'these', 'hyperplanes', 'and', 'is', 'a', 'flat', 'which', 'may', 'have', 'any', 'dimension', 'lower', 'than', 'hyperplanes', 'nd', 'is', 'a', 'flat', 'which', 'may', 'have', 'any', 'dimension', 'lower', 'than']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 125,"['in', 'general', 'the', 'behavior', 'of', 'a', 'linear', 'system', 'is', 'determined', 'by', 'the', 'relationship', 'between', 'the', 'number', 'of', 'equations', 'and', 'the', 'number', 'of', 'unknown']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 126,"['here', 'in', 'general', 'means', 'that', 'a', 'different', 'behavior', 'may', 'occur', 'for', 'specific', 'values', 'of', 'the', 'coefficients', 'of', 'the', 'equation']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 127,"['in', 'general', 'a', 'system', 'with', 'fewer', 'equations', 'than', 'unknowns', 'has', 'infinitely', 'many', 'solutions', 'but', 'it', 'may', 'have', 'no', 'solutio']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 128,"['such', 'a', 'system', 'is', 'known', 'as', 'an', 'underdetermined', 'system']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 129,"['in', 'general', 'a', 'system', 'with', 'the', 'same', 'number', 'of', 'equations', 'and', 'unknowns', 'has', 'a', 'single', 'unique', 'solutio', 'and', 'unknowns', 'has', 'a', 'single', 'unique', 'solution']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 130,"['in', 'general', 'a', 'system', 'with', 'more', 'equations', 'than', 'unknowns', 'has', 'no', 'solutio', 'than', 'unknowns', 'has', 'no', 'solution']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 131,"['such', 'a', 'system', 'is', 'also', 'known', 'as', 'an', 'overdetermined', 'system']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 132,"['in', 'the', 'first', 'case', 'the', 'dimension', 'of', 'the', 'solution', 'set', 'is', 'in', 'general', 'equal', 'to', 'n', 'm', 'where', 'n', 'is', 'the', 'number', 'of', 'variables', 'and', 'm', 'is', 'the', 'number', 'of', 'equation', 'of', 'the', 'solution', 'set', 'is', 'in', 'general', 'equal', 'to', 'n', 'm', 'where', 'n', 'is', 'the', 'number', 'of', 'variables', 'and', 'm', 'is', 'the', 'number', 'of', 'equation', 'is', 'in', 'general', 'equal', 'to', 'n', 'm', 'where', 'n', 'is', 'the', 'number', 'of', 'variables', 'and', 'm', 'is', 'the', 'number', 'of', 'equations', 'variables', 'and', 'm', 'is', 'the', 'number', 'of', 'equation']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 133,"['the', 'following', 'pictures', 'illustrate', 'this', 'trichotomy', 'in', 'the', 'case', 'of', 'two', 'variables']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 134,"['the', 'first', 'system', 'has', 'infinitely', 'many', 'solutions', 'namely', 'all', 'of', 'the', 'points', 'on', 'the', 'blue', 'lin', 'solutions', 'namely', 'all', 'of', 'the', 'points', 'on', 'the', 'blue', 'lin']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 135,"['the', 'second', 'system', 'has', 'a', 'single', 'unique', 'solution', 'namely', 'the', 'intersection', 'of', 'the', 'two', 'line', 'single', 'unique', 'solution', 'namely', 'the', 'intersection', 'of', 'the', 'two', 'line']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 136,"['the', 'third', 'system', 'has', 'no', 'solutions', 'since', 'the', 'three', 'lines', 'share', 'no', 'common', 'point']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 137,"['it', 'is', 'possible', 'for', 'a', 'system', 'of', 'two', 'equations', 'and', 'two', 'unknowns', 'to', 'have', 'no', 'solution', 'if', 'the', 'two', 'lines', 'are', 'parallel', 'or', 'for', 'a', 'system', 'of', 'three', 'equations', 'and', 'two', 'unknowns', 'to', 'be', 'solvable', 'if', 'the', 'three', 'lines', 'intersect', 'at', 'a', 'single', 'poin', 'solution', 'if', 'the', 'two', 'lines', 'are', 'parallel', 'or', 'for', 'a', 'system', 'of', 'three', 'equations', 'and', 'two', 'unknowns', 'to', 'be', 'solvable', 'if', 'the', 'three', 'lines', 'intersect', 'at', 'a', 'single', 'poin', 'if', 'the', 'two', 'lines', 'are', 'parallel', 'or', 'for', 'a', 'system', 'of', 'three', 'equations', 'and', 'two', 'unknowns', 'to', 'be', 'solvable', 'if', 'the', 'three', 'lines', 'intersect', 'at', 'a', 'single', 'point']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 138,"['a', 'system', 'of', 'linear', 'equations', 'behave', 'differently', 'from', 'the', 'general', 'case', 'if', 'the', 'equations', 'are', 'linearly', 'dependent', 'or', 'if', 'it', 'is', 'inconsistent', 'and', 'has', 'no', 'more', 'equations', 'than', 'unknown', 'behave', 'differently', 'from', 'the', 'general', 'case', 'if', 'the', 'equations', 'are', 'linearly', 'dependent', 'or', 'if', 'it', 'is', 'inconsistent', 'and', 'has', 'no', 'more', 'equations', 'than', 'unknown']","['O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 139,"['a', 'differential', 'equation', 'can', 'be', 'homogeneous', 'in', 'either', 'of', 'two', 'respect', 'can', 'be', 'homogeneous', 'in', 'either', 'of', 'two', 'respect']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 140,"['a', 'first', 'order', 'differential', 'equation', 'is', 'said', 'to', 'be', 'homogeneous', 'if', 'it', 'may', 'be', 'writte', 'is', 'said', 'to', 'be', 'homogeneous', 'if', 'it', 'may', 'be', 'writte']","['B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 141,"['where', 'f', 'and', 'g', 'are', 'homogeneous', 'functions', 'of', 'the', 'same', 'degree', 'of', 'x', 'and']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 142,"['in', 'this', 'case', 'the', 'change', 'of', 'variable', 'y', 'ux', 'leads', 'to', 'an', 'equation', 'of', 'the', 'for']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O']" | |
| 143,"['otherwise', 'a', 'differential', 'equation', 'is', 'homogeneous', 'if', 'it', 'is', 'a', 'homogeneous', 'function', 'of', 'the', 'unknown', 'function', 'and', 'its', 'derivative', 'is', 'homogeneous', 'if', 'it', 'is', 'a', 'homogeneous', 'function', 'of', 'the', 'unknown', 'function', 'and', 'its', 'derivative']","['O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 144,"['in', 'the', 'case', 'of', 'linear', 'differential', 'equations', 'this', 'means', 'that', 'there', 'are', 'no', 'constant', 'term']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 145,"['the', 'solutions', 'of', 'any', 'linear', 'ordinary', 'differential', 'equation', 'of', 'any', 'order', 'may', 'be', 'deduced', 'by', 'integration', 'from', 'the', 'solution', 'of', 'the', 'homogeneous', 'equation', 'obtained', 'by', 'removing', 'the', 'constant', 'ter', 'of', 'any', 'order', 'may', 'be', 'deduced', 'by', 'integration', 'from', 'the', 'solution', 'of', 'the', 'homogeneous', 'equation', 'obtained', 'by', 'removing', 'the', 'constant', 'term', 'homogeneous', 'equation', 'obtained', 'by', 'removing', 'the', 'constant', 'ter']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 146,"['there', 'is', 'a', 'strong', 'relationship', 'between', 'linear', 'algebra', 'and', 'geometry', 'which', 'started', 'with', 'the', 'introduction', 'by', 'rené', 'descartes', 'in', 'of', 'cartesian', 'coordinate', 'and', 'geometry', 'which', 'started', 'with', 'the', 'introduction', 'by', 'rené', 'descartes', 'in', 'of', 'cartesian', 'coordinate']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 147,"['in', 'this', 'new', 'at', 'that', 'time', 'geometry', 'now', 'called', 'cartesian', 'geometry', 'points', 'are', 'represented', 'by', 'cartesian', 'coordinates', 'which', 'are', 'sequences', 'of', 'three', 'real', 'numbers', 'in', 'the', 'case', 'of', 'the', 'usual', 'threedimensional', 'spac', 'now', 'called', 'cartesian', 'geometry', 'points', 'are', 'represented', 'by', 'cartesian', 'coordinates', 'which', 'are', 'sequences', 'of', 'three', 'real', 'numbers', 'in', 'the', 'case', 'of', 'the', 'usual', 'threedimensional', 'spac']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 148,"['the', 'basic', 'objects', 'of', 'geometry', 'which', 'are', 'lines', 'and', 'planes', 'are', 'represented', 'by', 'linear', 'equation', 'which', 'are', 'lines', 'and', 'planes', 'are', 'represented', 'by', 'linear', 'equation', 'and', 'planes', 'are', 'represented', 'by', 'linear', 'equation', 'are', 'represented', 'by', 'linear', 'equations']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 149,"['thus', 'computing', 'intersections', 'of', 'lines', 'and', 'planes', 'amounts', 'to', 'solving', 'systems', 'of', 'linear', 'equations', 'lines', 'and', 'planes', 'amounts', 'to', 'solving', 'systems', 'of', 'linear', 'equation', 'and', 'planes', 'amounts', 'to', 'solving', 'systems', 'of', 'linear', 'equation']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 150,"['this', 'was', 'one', 'of', 'the', 'main', 'motivations', 'for', 'developing', 'linear', 'algebra']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 151,"['most', 'geometric', 'transformation', 'such', 'as', 'translations', 'rotations', 'reflections', 'rigid', 'motions', 'isometries', 'and', 'projections', 'transform', 'lines', 'into', 'line', 'such', 'as', 'translations', 'rotations', 'reflections', 'rigid', 'motions', 'isometries', 'and', 'projections', 'transform', 'lines', 'into', 'line', 'rotations', 'reflections', 'rigid', 'motions', 'isometries', 'and', 'projections', 'transform', 'lines', 'into', 'line', 'reflections', 'rigid', 'motions', 'isometries', 'and', 'projections', 'transform', 'lines', 'into', 'line', 'rigid', 'motions', 'isometries', 'and', 'projections', 'transform', 'lines', 'into', 'line', 'isometries', 'and', 'projections', 'transform', 'lines', 'into', 'line', 'and', 'projections', 'transform', 'lines', 'into', 'line']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'O', 'O', 'O']" | |
| 152,"['it', 'follows', 'that', 'they', 'can', 'be', 'defined', 'specified', 'and', 'studied', 'in', 'terms', 'of', 'linear', 'maps']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 153,"['this', 'is', 'also', 'the', 'case', 'of', 'homographies', 'and', 'möbius', 'transformations', 'when', 'considered', 'as', 'transformations', 'of', 'a', 'projective', 'space']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 154,"['until', 'the', 'end', 'of', 'the', 'th', 'century', 'geometric', 'spaces', 'were', 'defined', 'by', 'axioms', 'relating', 'points', 'lines', 'and', 'planes', 'synthetic', 'geometr', 'were', 'defined', 'by', 'axioms', 'relating', 'points', 'lines', 'and', 'planes', 'synthetic', 'geometry']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 155,"['around', 'this', 'date', 'it', 'appeared', 'that', 'one', 'may', 'also', 'define', 'geometric', 'spaces', 'by', 'constructions', 'involving', 'vector', 'spaces', 'see', 'for', 'example', 'projective', 'space', 'and', 'affine', 'spac', 'by', 'constructions', 'involving', 'vector', 'spaces', 'see', 'for', 'example', 'projective', 'space', 'and', 'affine', 'spac', 'see', 'for', 'example', 'projective', 'space', 'and', 'affine', 'spac', 'and', 'affine', 'space']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 156,"['it', 'has', 'been', 'shown', 'that', 'the', 'two', 'approaches', 'are', 'essentially', 'equivalent']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 157,"['in', 'classical', 'geometry', 'the', 'involved', 'vector', 'spaces', 'are', 'vector', 'spaces', 'over', 'the', 'reals', 'but', 'the', 'constructions', 'may', 'be', 'extended', 'to', 'vector', 'spaces', 'over', 'any', 'field', 'allowing', 'considering', 'geometry', 'over', 'arbitrary', 'fields', 'including', 'finite', 'field', 'the', 'involved', 'vector', 'spaces', 'are', 'vector', 'spaces', 'over', 'the', 'reals', 'but', 'the', 'constructions', 'may', 'be', 'extended', 'to', 'vector', 'spaces', 'over', 'any', 'field', 'allowing', 'considering', 'geometry', 'over', 'arbitrary', 'fields', 'including', 'finite', 'field', 'are', 'vector', 'spaces', 'over', 'the', 'reals', 'but', 'the', 'constructions', 'may', 'be', 'extended', 'to', 'vector', 'spaces', 'over', 'any', 'field', 'allowing', 'considering', 'geometry', 'over', 'arbitrary', 'fields', 'including', 'finite', 'field']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 158,"['presently', 'most', 'textbooks', 'introduce', 'geometric', 'spaces', 'from', 'linear', 'algebra', 'and', 'geometry', 'is', 'often', 'presented', 'at', 'elementary', 'level', 'as', 'a', 'subfield', 'of', 'linear', 'algebr', 'geometric', 'spaces', 'from', 'linear', 'algebra', 'and', 'geometry', 'is', 'often', 'presented', 'at', 'elementary', 'level', 'as', 'a', 'subfield', 'of', 'linear', 'algebr', 'from', 'linear', 'algebra', 'and', 'geometry', 'is', 'often', 'presented', 'at', 'elementary', 'level', 'as', 'a', 'subfield', 'of', 'linear', 'algebr', 'is', 'often', 'presented', 'at', 'elementary', 'level', 'as', 'a', 'subfield', 'of', 'linear', 'algebra']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 159,"['linear', 'algebra', 'is', 'used', 'in', 'almost', 'all', 'areas', 'of', 'mathematics', 'thus', 'making', 'it', 'relevant', 'in', 'almost', 'all', 'scientific', 'domains', 'that', 'use', 'mathematic', 'is', 'used', 'in', 'almost', 'all', 'areas', 'of', 'mathematics', 'thus', 'making', 'it', 'relevant', 'in', 'almost', 'all', 'scientific', 'domains', 'that', 'use', 'mathematic']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 160,"['functional', 'analysis', 'studies', 'function', 'space', 'studies', 'function', 'spaces']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 161,"['these', 'are', 'vector', 'spaces', 'with', 'additional', 'structure', 'such', 'as', 'hilbert', 'space', 'with', 'additional', 'structure', 'such', 'as', 'hilbert', 'spaces']","['O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 162,"['linear', 'algebra', 'is', 'thus', 'a', 'fundamental', 'part', 'of', 'functional', 'analysis', 'and', 'its', 'applications', 'which', 'include', 'in', 'particular', 'quantum', 'mechanics', 'wave', 'functions', 'and', 'fourier', 'analysis', 'orthogonal', 'basi', 'is', 'thus', 'a', 'fundamental', 'part', 'of', 'functional', 'analysis', 'and', 'its', 'applications', 'which', 'include', 'in', 'particular', 'quantum', 'mechanics', 'wave', 'functions', 'and', 'fourier', 'analysis', 'orthogonal', 'basi', 'and', 'its', 'applications', 'which', 'include', 'in', 'particular', 'quantum', 'mechanics', 'wave', 'functions', 'and', 'fourier', 'analysis', 'orthogonal', 'basis']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'I-Math']" | |
| 163,"['nearly', 'all', 'scientific', 'computations', 'involve', 'linear', 'algebra']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 164,"['consequently', 'linear', 'algebra', 'algorithms', 'have', 'been', 'highly', 'optimize']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 165,"['for', 'improving', 'efficiency', 'some', 'of', 'them', 'configure', 'the', 'algorithms', 'automatically', 'at', 'run', 'time', 'for', 'adapting', 'them', 'to', 'the', 'specificities', 'of', 'the', 'computer', 'cache', 'size', 'number', 'of', 'available', 'core']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 166,"['some', 'processors', 'typically', 'graphics', 'processing', 'units', 'gpu', 'are', 'designed', 'with', 'a', 'matrix', 'structure', 'for', 'optimizing', 'the', 'operations', 'of', 'linear', 'algebr', 'for', 'optimizing', 'the', 'operations', 'of', 'linear', 'algebra']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 167,"['the', 'modeling', 'of', 'ambient', 'space', 'is', 'based', 'on', 'geometry']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 168,"['sciences', 'concerned', 'with', 'this', 'space', 'use', 'geometry', 'widel', 'sciences', 'concerned', 'with', 'this', 'space', 'use', 'geometry', 'widel']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 169,"['this', 'is', 'the', 'case', 'with', 'mechanics', 'and', 'robotics', 'for', 'describing', 'rigid', 'body', 'dynamics', 'geodesy', 'for', 'describing', 'earth', 'shape', 'perspectivity', 'computer', 'vision', 'and', 'computer', 'graphics', 'for', 'describing', 'the', 'relationship', 'between', 'a', 'scene', 'and', 'its', 'plane', 'representation', 'and', 'many', 'other', 'scientific', 'domain']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 170,"['in', 'all', 'these', 'applications', 'synthetic', 'geometry', 'is', 'often', 'used', 'for', 'general', 'descriptions', 'and', 'a', 'qualitative', 'approach', 'but', 'for', 'the', 'study', 'of', 'explicit', 'situations', 'one', 'must', 'compute', 'with', 'coordinate', 'is', 'often', 'used', 'for', 'general', 'descriptions', 'and', 'a', 'qualitative', 'approach', 'but', 'for', 'the', 'study', 'of', 'explicit', 'situations', 'one', 'must', 'compute', 'with', 'coordinates']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 171,"['this', 'requires', 'the', 'heavy', 'use', 'of', 'linear', 'algebra']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 172,"['most', 'physical', 'phenomena', 'are', 'modeled', 'by', 'partial', 'differential', 'equations']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math']" | |
| 173,"['to', 'solve', 'them', 'one', 'usually', 'decomposes', 'the', 'space', 'in', 'which', 'the', 'solutions', 'are', 'searched', 'into', 'small', 'mutually', 'interacting', 'cell']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 174,"['for', 'linear', 'systems', 'this', 'interaction', 'involves', 'linear', 'function', 'this', 'interaction', 'involves', 'linear', 'functions']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 175,"['for', 'nonlinear', 'systems', 'this', 'interaction', 'is', 'often', 'approximated', 'by', 'linear', 'function', 'this', 'interaction', 'is', 'often', 'approximated', 'by', 'linear', 'functions']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 176,"['bthis', 'is', 'called', 'a', 'linear', 'model', 'or', 'firstorder', 'approximatio', 'or', 'firstorder', 'approximation']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 177,"['linear', 'models', 'are', 'frequently', 'used', 'for', 'complex', 'nonlinear', 'realworld', 'systems', 'because', 'it', 'makes', 'parametrization', 'more', 'manageabl', 'are', 'frequently', 'used', 'for', 'complex', 'nonlinear', 'realworld', 'systems', 'because', 'it', 'makes', 'parametrization', 'more', 'manageabl']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'I-Attributes', 'I-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 178,"['in', 'both', 'cases', 'very', 'large', 'matrices', 'are', 'generally', 'involve']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O']" | |
| 179,"['weather', 'forecasting', 'or', 'more', 'specifically', 'parametrization', 'for', 'atmospheric', 'modeling', 'is', 'a', 'typical', 'example', 'of', 'a', 'realworld', 'application', 'where', 'the', 'whole', 'earth', 'atmosphere', 'is', 'divided', 'into', 'cells', 'of', 'say', 'km', 'of', 'width', 'and', 'km', 'of', 'heigh']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 180,"['fluid', 'mechanics', 'fluid', 'dynamics', 'and', 'thermal', 'energy', 'system', 'fluid', 'dynamics', 'and', 'thermal', 'energy', 'system', 'and', 'thermal', 'energy', 'systems']","['B-Attributes', 'I-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'I-Attributes']" | |
| 181,"['linear', 'algebra', 'a', 'branch', 'of', 'mathematics', 'dealing', 'with', 'vector', 'spaces', 'and', 'linear', 'mappings', 'between', 'these', 'spaces', 'plays', 'a', 'critical', 'role', 'in', 'various', 'engineering', 'disciplines', 'including', 'fluid', 'mechanics', 'fluid', 'dynamics', 'and', 'thermal', 'energy', 'system', 'a', 'branch', 'of', 'mathematics', 'dealing', 'with', 'vector', 'spaces', 'and', 'linear', 'mappings', 'between', 'these', 'spaces', 'plays', 'a', 'critical', 'role', 'in', 'various', 'engineering', 'disciplines', 'including', 'fluid', 'mechanics', 'fluid', 'dynamics', 'and', 'thermal', 'energy', 'system', 'dealing', 'with', 'vector', 'spaces', 'and', 'linear', 'mappings', 'between', 'these', 'spaces', 'plays', 'a', 'critical', 'role', 'in', 'various', 'engineering', 'disciplines', 'including', 'fluid', 'mechanics', 'fluid', 'dynamics', 'and', 'thermal', 'energy', 'system', 'and', 'linear', 'mappings', 'between', 'these', 'spaces', 'plays', 'a', 'critical', 'role', 'in', 'various', 'engineering', 'disciplines', 'including', 'fluid', 'mechanics', 'fluid', 'dynamics', 'and', 'thermal', 'energy', 'system', 'between', 'these', 'spaces', 'plays', 'a', 'critical', 'role', 'in', 'various', 'engineering', 'disciplines', 'including', 'fluid', 'mechanics', 'fluid', 'dynamics', 'and', 'thermal', 'energy', 'system', 'fluid', 'dynamics', 'and', 'thermal', 'energy', 'system', 'and', 'thermal', 'energy', 'systems']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'I-Attributes']" | |
| 182,"['in', 'fluid', 'mechanics', 'linear', 'algebra', 'is', 'integral', 'to', 'understanding', 'and', 'solving', 'problems', 'related', 'to', 'the', 'behavior', 'of', 'fluid', 'linear', 'algebra', 'is', 'integral', 'to', 'understanding', 'and', 'solving', 'problems', 'related', 'to', 'the', 'behavior', 'of', 'fluid']","['O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 183,"['it', 'assists', 'in', 'the', 'modeling', 'and', 'simulation', 'of', 'fluid', 'flow', 'providing', 'essential', 'tools', 'for', 'the', 'analysis', 'of', 'fluid', 'dynamics', 'problems']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'I-Attributes']" | |
| 184,"['for', 'instance', 'linear', 'algebraic', 'techniques', 'are', 'used', 'to', 'solve', 'systems', 'of', 'differential', 'equations', 'that', 'describe', 'fluid', 'motio', 'techniques', 'are', 'used', 'to', 'solve', 'systems', 'of', 'differential', 'equations', 'that', 'describe', 'fluid', 'motion']","['O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes']" | |
| 185,"['these', 'equations', 'often', 'complex', 'and', 'nonlinear', 'can', 'be', 'linearized', 'using', 'linear', 'algebra', 'methods', 'allowing', 'for', 'simpler', 'solutions', 'and', 'analyse']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 186,"['in', 'the', 'field', 'of', 'fluid', 'dynamics', 'linear', 'algebra', 'finds', 'its', 'application', 'in', 'computational', 'fluid', 'dynamics', 'cfd', 'a', 'branch', 'that', 'uses', 'numerical', 'analysis', 'and', 'data', 'structures', 'to', 'solve', 'and', 'analyze', 'problems', 'involving', 'fluid', 'flow']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 187,"['cfd', 'relies', 'heavily', 'on', 'linear', 'algebra', 'for', 'the', 'computation', 'of', 'fluid', 'flow', 'and', 'heat', 'transfer', 'in', 'various', 'application']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 188,"['for', 'example', 'the', 'navierstokes', 'equations', 'fundamental', 'in', 'fluid', 'dynamics', 'are', 'often', 'solved', 'using', 'techniques', 'derived', 'from', 'linear', 'algebra']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 189,"['this', 'includes', 'the', 'use', 'of', 'matrices', 'and', 'vectors', 'to', 'represent', 'and', 'manipulate', 'fluid', 'flow', 'field', 'and', 'vectors', 'to', 'represent', 'and', 'manipulate', 'fluid', 'flow', 'field', 'to', 'represent', 'and', 'manipulate', 'fluid', 'flow', 'fields']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'I-Attributes']" | |
| 190,"['furthermore', 'linear', 'algebra', 'plays', 'a', 'crucial', 'role', 'in', 'thermal', 'energy', 'systems', 'particularly', 'in', 'power', 'systems', 'analysi', 'plays', 'a', 'crucial', 'role', 'in', 'thermal', 'energy', 'systems', 'particularly', 'in', 'power', 'systems', 'analysi']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'I-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 191,"['linear', 'algebraic', 'concepts', 'such', 'as', 'matrix', 'operations', 'and', 'eigenvalue', 'problems', 'are', 'employed', 'to', 'enhance', 'the', 'efficiency', 'reliability', 'and', 'economic', 'performance', 'of', 'power', 'system', 'operations', 'and', 'eigenvalue', 'problems', 'are', 'employed', 'to', 'enhance', 'the', 'efficiency', 'reliability', 'and', 'economic', 'performance', 'of', 'power', 'system', 'linear', 'algebraic', 'concepts', 'such', 'as', 'matrix', 'operations', 'and', 'eigenvalue', 'problems', 'are', 'employed', 'to', 'enhance', 'the', 'efficiency', 'reliability', 'and', 'economic', 'performance', 'of', 'power', 'system']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 192,"['the', 'application', 'of', 'linear', 'algebra', 'in', 'this', 'context', 'is', 'vital', 'for', 'the', 'design', 'and', 'operation', 'of', 'modern', 'power', 'systems', 'including', 'renewable', 'energy', 'sources', 'and', 'smart', 'grid']","['O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 193,"['overall', 'the', 'application', 'of', 'linear', 'algebra', 'in', 'fluid', 'mechanics', 'fluid', 'dynamics', 'and', 'thermal', 'energy', 'systems', 'is', 'an', 'example', 'of', 'the', 'profound', 'interconnection', 'between', 'mathematics', 'and', 'engineerin', 'in', 'fluid', 'mechanics', 'fluid', 'dynamics', 'and', 'thermal', 'energy', 'systems', 'is', 'an', 'example', 'of', 'the', 'profound', 'interconnection', 'between', 'mathematics', 'and', 'engineerin', 'fluid', 'dynamics', 'and', 'thermal', 'energy', 'systems', 'is', 'an', 'example', 'of', 'the', 'profound', 'interconnection', 'between', 'mathematics', 'and', 'engineerin']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'I-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 194,"['the', 'existence', 'of', 'multiplicative', 'inverses', 'in', 'fields', 'is', 'not', 'involved', 'in', 'the', 'axioms', 'defining', 'a', 'vector', 'space']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 195,"['one', 'may', 'thus', 'replace', 'the', 'field', 'of', 'scalars', 'by', 'a', 'ring', 'r', 'and', 'this', 'gives', 'the', 'structure', 'called', 'a', 'module', 'over', 'r', 'or', 'rmodul']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 196,"['the', 'concepts', 'of', 'linear', 'independence', 'span', 'basis', 'and', 'linear', 'maps', 'also', 'called', 'module', 'homomorphisms', 'are', 'defined', 'for', 'modules', 'exactly', 'as', 'for', 'vector', 'spaces', 'with', 'the', 'essential', 'difference', 'that', 'if', 'r', 'is', 'not', 'a', 'field', 'there', 'are', 'modules', 'that', 'do', 'not', 'have', 'any', 'basi', 'and', 'linear', 'maps', 'also', 'called', 'module', 'homomorphisms', 'are', 'defined', 'for', 'modules', 'exactly', 'as', 'for', 'vector', 'spaces', 'with', 'the', 'essential', 'difference', 'that', 'if', 'r', 'is', 'not', 'a', 'field', 'there', 'are', 'modules', 'that', 'do', 'not', 'have', 'any', 'basi', 'also', 'called', 'module', 'homomorphisms', 'are', 'defined', 'for', 'modules', 'exactly', 'as', 'for', 'vector', 'spaces', 'with', 'the', 'essential', 'difference', 'that', 'if', 'r', 'is', 'not', 'a', 'field', 'there', 'are', 'modules', 'that', 'do', 'not', 'have', 'any', 'basi']","['O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 197,"['module', 'homomorphisms', 'between', 'finitely', 'generated', 'free', 'modules', 'may', 'be', 'represented', 'by', 'matrices']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 198,"['the', 'theory', 'of', 'matrices', 'over', 'a', 'ring', 'is', 'similar', 'to', 'that', 'of', 'matrices', 'over', 'a', 'field', 'except', 'that', 'determinants', 'exist', 'only', 'if', 'the', 'ring', 'is', 'commutative', 'and', 'that', 'a', 'square', 'matrix', 'over', 'a', 'commutative', 'ring', 'is', 'invertible', 'only', 'if', 'its', 'determinant', 'has', 'a', 'multiplicative', 'inverse', 'in', 'the', 'rin', 'over', 'a', 'ring', 'is', 'similar', 'to', 'that', 'of', 'matrices', 'over', 'a', 'field', 'except', 'that', 'determinants', 'exist', 'only', 'if', 'the', 'ring', 'is', 'commutative', 'and', 'that', 'a', 'square', 'matrix', 'over', 'a', 'commutative', 'ring', 'is', 'invertible', 'only', 'if', 'its', 'determinant', 'has', 'a', 'multiplicative', 'inverse', 'in', 'the', 'rin', 'is', 'similar', 'to', 'that', 'of', 'matrices', 'over', 'a', 'field', 'except', 'that', 'determinants', 'exist', 'only', 'if', 'the', 'ring', 'is', 'commutative', 'and', 'that', 'a', 'square', 'matrix', 'over', 'a', 'commutative', 'ring', 'is', 'invertible', 'only', 'if', 'its', 'determinant', 'has', 'a', 'multiplicative', 'inverse', 'in', 'the', 'rin', 'matrices', 'over', 'a', 'field', 'except', 'that', 'determinants', 'exist', 'only', 'if', 'the', 'ring', 'is', 'commutative', 'and', 'that', 'a', 'square', 'matrix', 'over', 'a', 'commutative', 'ring', 'is', 'invertible', 'only', 'if', 'its', 'determinant', 'has', 'a', 'multiplicative', 'inverse', 'in', 'the', 'rin']","['O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 199,"['vector', 'spaces', 'are', 'completely', 'characterized', 'by', 'their', 'dimension', 'up', 'to', 'an', 'isomorphis', 'are', 'completely', 'characterized', 'by', 'their', 'dimension', 'up', 'to', 'an', 'isomorphis', 'up', 'to', 'an', 'isomorphism']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 200,"['in', 'general', 'there', 'is', 'not', 'such', 'a', 'complete', 'classification', 'for', 'modules', 'even', 'if', 'one', 'restricts', 'oneself', 'to', 'finitely', 'generated', 'module']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 201,"['however', 'every', 'module', 'is', 'a', 'cokernel', 'of', 'a', 'homomorphism', 'of', 'free', 'module']","['O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 202,"['modules', 'over', 'the', 'integers', 'can', 'be', 'identified', 'with', 'abelian', 'groups', 'since', 'the', 'multiplication', 'by', 'an', 'integer', 'may', 'be', 'identified', 'to', 'a', 'repeated', 'additio', 'over', 'the', 'integers', 'can', 'be', 'identified', 'with', 'abelian', 'groups', 'since', 'the', 'multiplication', 'by', 'an', 'integer', 'may', 'be', 'identified', 'to', 'a', 'repeated', 'additio', 'since', 'the', 'multiplication', 'by', 'an', 'integer', 'may', 'be', 'identified', 'to', 'a', 'repeated', 'additio', 'by', 'an', 'integer', 'may', 'be', 'identified', 'to', 'a', 'repeated', 'addition', 'integers', 'can', 'be', 'identified', 'with', 'abelian', 'groups', 'since', 'the', 'multiplication', 'by', 'an', 'integer', 'may', 'be', 'identified', 'to', 'a', 'repeated', 'additio']","['B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 203,"['most', 'of', 'the', 'theory', 'of', 'abelian', 'groups', 'may', 'be', 'extended', 'to', 'modules', 'over', 'a', 'principal', 'ideal', 'domai', 'may', 'be', 'extended', 'to', 'modules', 'over', 'a', 'principal', 'ideal', 'domai']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 204,"['in', 'particular', 'over', 'a', 'principal', 'ideal', 'domain', 'every', 'submodule', 'of', 'a', 'free', 'module', 'is', 'free', 'and', 'the', 'fundamental', 'theorem', 'of', 'finitely', 'generated', 'abelian', 'groups', 'may', 'be', 'extended', 'straightforwardly', 'to', 'finitely', 'generated', 'modules', 'over', 'a', 'principal', 'rin', 'of', 'a', 'free', 'module', 'is', 'free', 'and', 'the', 'fundamental', 'theorem', 'of', 'finitely', 'generated', 'abelian', 'groups', 'may', 'be', 'extended', 'straightforwardly', 'to', 'finitely', 'generated', 'modules', 'over', 'a', 'principal', 'rin']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 205,"['there', 'are', 'many', 'rings', 'for', 'which', 'there', 'are', 'algorithms', 'for', 'solving', 'linear', 'equations', 'and', 'systems', 'of', 'linear', 'equation', 'rings', 'for', 'which', 'there', 'are', 'algorithms', 'for', 'solving', 'linear', 'equations', 'and', 'systems', 'of', 'linear', 'equation']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 206,"['for', 'more', 'details', 'see', 'linear', 'equation', 'over', 'a', 'rin', 'over', 'a', 'ring']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 207,"['in', 'multilinear', 'algebra', 'one', 'considers', 'multivariable', 'linear', 'transformations', 'that', 'is', 'mappings', 'that', 'are', 'linear', 'in', 'each', 'of', 'a', 'number', 'of', 'different', 'variable', 'one', 'considers', 'multivariable', 'linear', 'transformations', 'that', 'is', 'mappings', 'that', 'are', 'linear', 'in', 'each', 'of', 'a', 'number', 'of', 'different', 'variable']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 208,"['this', 'line', 'of', 'inquiry', 'naturally', 'leads', 'to', 'the', 'idea', 'of', 'the', 'dual', 'space', 'the', 'vector', 'space', 'v', 'consisting', 'of', 'linear', 'maps', 'f', 'v', 'f', 'where', 'f', 'is', 'the', 'field', 'of', 'scalar', 'the', 'vector', 'space', 'v', 'consisting', 'of', 'linear', 'maps', 'f', 'v', 'f', 'where', 'f', 'is', 'the', 'field', 'of', 'scalar', 'vector', 'space', 'v', 'consisting', 'of', 'linear', 'maps', 'f', 'v', 'f', 'where', 'f', 'is', 'the', 'field', 'of', 'scalar']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 209,"['multilinear', 'maps', 't', 'vn', 'f', 'can', 'be', 'described', 'via', 'tensor', 'products', 'of', 'elements', 'of', 't', 'vn', 'f', 'can', 'be', 'described', 'via', 'tensor', 'products', 'of', 'elements', 'of']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 210,"['if', 'in', 'addition', 'to', 'vector', 'addition', 'and', 'scalar', 'multiplication', 'there', 'is', 'a', 'bilinear', 'vector', 'product', 'v', 'v', 'v', 'the', 'vector', 'space', 'is', 'called', 'an', 'algebra', 'for', 'instance', 'associative', 'algebras', 'are', 'algebras', 'with', 'an', 'associate', 'vector', 'product', 'like', 'the', 'algebra', 'of', 'square', 'matrices', 'or', 'the', 'algebra', 'of', 'polynomial', 'and', 'scalar', 'multiplication', 'there', 'is', 'a', 'bilinear', 'vector', 'product', 'v', 'v', 'v', 'the', 'vector', 'space', 'is', 'called', 'an', 'algebra', 'for', 'instance', 'associative', 'algebras', 'are', 'algebras', 'with', 'an', 'associate', 'vector', 'product', 'like', 'the', 'algebra', 'of', 'square', 'matrices', 'or', 'the', 'algebra', 'of', 'polynomial', 'there', 'is', 'a', 'bilinear', 'vector', 'product', 'v', 'v', 'v', 'the', 'vector', 'space', 'is', 'called', 'an', 'algebra', 'for', 'instance', 'associative', 'algebras', 'are', 'algebras', 'with', 'an', 'associate', 'vector', 'product', 'like', 'the', 'algebra', 'of', 'square', 'matrices', 'or', 'the', 'algebra', 'of', 'polynomial', 'v', 'v', 'v', 'the', 'vector', 'space', 'is', 'called', 'an', 'algebra', 'for', 'instance', 'associative', 'algebras', 'are', 'algebras', 'with', 'an', 'associate', 'vector', 'product', 'like', 'the', 'algebra', 'of', 'square', 'matrices', 'or', 'the', 'algebra', 'of', 'polynomial']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 211,"['vector', 'spaces', 'that', 'are', 'not', 'finite', 'dimensional', 'often', 'require', 'additional', 'structure', 'to', 'be', 'tractabl']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 212,"['a', 'normed', 'vector', 'space', 'is', 'a', 'vector', 'space', 'along', 'with', 'a', 'function', 'called', 'a', 'norm', 'which', 'measures', 'the', 'size', 'of', 'element', 'is', 'a', 'vector', 'space', 'along', 'with', 'a', 'function', 'called', 'a', 'norm', 'which', 'measures', 'the', 'size', 'of', 'element']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 213,"['the', 'norm', 'induces', 'a', 'metric', 'which', 'measures', 'the', 'distance', 'between', 'elements', 'and', 'induces', 'a', 'topology', 'which', 'allows', 'for', 'a', 'definition', 'of', 'continuous', 'map', 'induces', 'a', 'metric', 'which', 'measures', 'the', 'distance', 'between', 'elements', 'and', 'induces', 'a', 'topology', 'which', 'allows', 'for', 'a', 'definition', 'of', 'continuous', 'map']","['O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 214,"['the', 'metric', 'also', 'allows', 'for', 'a', 'definition', 'of', 'limits', 'and', 'completeness', 'a', 'metric', 'space', 'that', 'is', 'complete', 'is', 'known', 'as', 'a', 'banach', 'space', 'metric', 'space', 'that', 'is', 'complete', 'is', 'known', 'as', 'a', 'banach', 'spac']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 215,"['a', 'complete', 'metric', 'space', 'along', 'with', 'the', 'additional', 'structure', 'of', 'an', 'inner', 'product', 'a', 'conjugate', 'symmetric', 'sesquilinear', 'form', 'is', 'known', 'as', 'a', 'hilbert', 'space', 'which', 'is', 'in', 'some', 'sense', 'a', 'particularly', 'wellbehaved', 'banach', 'spac', 'along', 'with', 'the', 'additional', 'structure', 'of', 'an', 'inner', 'product', 'a', 'conjugate', 'symmetric', 'sesquilinear', 'form', 'is', 'known', 'as', 'a', 'hilbert', 'space', 'which', 'is', 'in', 'some', 'sense', 'a', 'particularly', 'wellbehaved', 'banach', 'spac']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 216,"['functional', 'analysis', 'applies', 'the', 'methods', 'of', 'linear', 'algebra', 'alongside', 'those', 'of', 'mathematical', 'analysis', 'to', 'study', 'various', 'function', 'spaces', 'the', 'central', 'objects', 'of', 'study', 'in', 'functional', 'analysis', 'are', 'lp', 'spaces', 'which', 'are', 'banach', 'spaces', 'and', 'especially', 'the', 'l', 'space', 'of', 'square', 'integrable', 'functions', 'which', 'is', 'the', 'only', 'hilbert', 'space', 'among', 'the', 'applies', 'the', 'methods', 'of', 'linear', 'algebra', 'alongside', 'those', 'of', 'mathematical', 'analysis', 'to', 'study', 'various', 'function', 'spaces', 'the', 'central', 'objects', 'of', 'study', 'in', 'functional', 'analysis', 'are', 'lp', 'spaces', 'which', 'are', 'banach', 'spaces', 'and', 'especially', 'the', 'l', 'space', 'of', 'square', 'integrable', 'functions', 'which', 'is', 'the', 'only', 'hilbert', 'space', 'among', 'the', 'alongside', 'those', 'of', 'mathematical', 'analysis', 'to', 'study', 'various', 'function', 'spaces', 'the', 'central', 'objects', 'of', 'study', 'in', 'functional', 'analysis', 'are', 'lp', 'spaces', 'which', 'are', 'banach', 'spaces', 'and', 'especially', 'the', 'l', 'space', 'of', 'square', 'integrable', 'functions', 'which', 'is', 'the', 'only', 'hilbert', 'space', 'among', 'the', 'and', 'especially', 'the', 'l', 'space', 'of', 'square', 'integrable', 'functions', 'which', 'is', 'the', 'only', 'hilbert', 'space', 'among', 'the']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O']" | |
| 217,"['functional', 'analysis', 'is', 'of', 'particular', 'importance', 'to', 'quantum', 'mechanics', 'the', 'theory', 'of', 'partial', 'differential', 'equations', 'digital', 'signal', 'processing', 'and', 'electrical', 'engineerin', 'is', 'of', 'particular', 'importance', 'to', 'quantum', 'mechanics', 'the', 'theory', 'of', 'partial', 'differential', 'equations', 'digital', 'signal', 'processing', 'and', 'electrical', 'engineerin']","['B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 218,"['it', 'also', 'provides', 'the', 'foundation', 'and', 'theoretical', 'framework', 'that', 'underlies', 'the', 'fourier', 'transform', 'and', 'related', 'method']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O']" | |
| 219,"['analysis', 'is', 'the', 'branch', 'of', 'mathematics', 'dealing', 'with', 'continuous', 'functions', 'limits', 'and', 'related', 'theories', 'such', 'as', 'differentiation', 'integration', 'measure', 'infinite', 'sequences', 'series', 'and', 'analytic', 'function', 'is', 'the', 'branch', 'of', 'mathematics', 'dealing', 'with', 'continuous', 'functions', 'limits', 'and', 'related', 'theories', 'such', 'as', 'differentiation', 'integration', 'measure', 'infinite', 'sequences', 'series', 'and', 'analytic', 'function', 'and', 'related', 'theories', 'such', 'as', 'differentiation', 'integration', 'measure', 'infinite', 'sequences', 'series', 'and', 'analytic', 'functions']","['B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 220,"['these', 'theories', 'are', 'usually', 'studied', 'in', 'the', 'context', 'of', 'real', 'and', 'complex', 'numbers', 'and', 'functions']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 221,"['analysis', 'evolved', 'from', 'calculus', 'which', 'involves', 'the', 'elementary', 'concepts', 'and', 'techniques', 'of', 'analysi', 'analysis', 'evolved', 'from', 'calculus', 'which', 'involves', 'the', 'elementary', 'concepts', 'and', 'techniques', 'of', 'analysi']","['O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 222,"['analysis', 'may', 'be', 'distinguished', 'from', 'geometry', 'however', 'it', 'can', 'be', 'applied', 'to', 'any', 'space', 'of', 'mathematical', 'objects', 'that', 'has', 'a', 'definition', 'of', 'nearness', 'a', 'topological', 'space', 'or', 'specific', 'distances', 'between', 'objects', 'a', 'metric', 'spac', 'may', 'be', 'distinguished', 'from', 'geometry', 'however', 'it', 'can', 'be', 'applied', 'to', 'any', 'space', 'of', 'mathematical', 'objects', 'that', 'has', 'a', 'definition', 'of', 'nearness', 'a', 'topological', 'space', 'or', 'specific', 'distances', 'between', 'objects', 'a', 'metric', 'spac', 'however', 'it', 'can', 'be', 'applied', 'to', 'any', 'space', 'of', 'mathematical', 'objects', 'that', 'has', 'a', 'definition', 'of', 'nearness', 'a', 'topological', 'space', 'or', 'specific', 'distances', 'between', 'objects', 'a', 'metric', 'spac']","['B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 223,"['in', 'mathematics', 'physics', 'and', 'engineering', 'a', 'euclidean', 'vector', 'or', 'simply', 'a', 'vector', 'sometimes', 'called', 'a', 'geometric', 'vector', 'or', 'spatial', 'vector', 'is', 'a', 'geometric', 'object', 'that', 'has', 'magnitude', 'or', 'length', 'and', 'directio', 'or', 'spatial', 'vector', 'is', 'a', 'geometric', 'object', 'that', 'has', 'magnitude', 'or', 'length', 'and', 'directio', 'or', 'length', 'and', 'directio', 'and', 'direction']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes']" | |
| 224,"['vectors', 'can', 'be', 'added', 'to', 'other', 'vectors', 'according', 'to', 'vector', 'algebra', 'vectors', 'can', 'be', 'added', 'to', 'other', 'vectors', 'according', 'to', 'vector', 'algebr']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 225,"['a', 'euclidean', 'vector', 'is', 'frequently', 'represented', 'by', 'a', 'directed', 'line', 'segment', 'or', 'graphically', 'as', 'an', 'arrow', 'connecting', 'an', 'initial', 'point', 'a', 'with', 'a', 'terminal', 'point', 'b', 'and', 'denoted', 'b']","['O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 226,"['a', 'vector', 'is', 'what', 'is', 'needed', 'to', 'carry', 'the', 'point', 'a', 'to', 'the', 'point', 'b', 'the', 'latin', 'word', 'vector', 'means', 'carrie']","['O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 227,"['the', 'magnitude', 'of', 'the', 'vector', 'is', 'the', 'distance', 'between', 'the', 'two', 'points', 'and', 'the', 'direction', 'refers', 'to', 'the', 'direction', 'of', 'displacement', 'from', 'a', 'to', 'is', 'the', 'distance', 'between', 'the', 'two', 'points', 'and', 'the', 'direction', 'refers', 'to', 'the', 'direction', 'of', 'displacement', 'from', 'a', 'to', 'between', 'the', 'two', 'points', 'and', 'the', 'direction', 'refers', 'to', 'the', 'direction', 'of', 'displacement', 'from', 'a', 'to']","['O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 228,"['many', 'algebraic', 'operations', 'on', 'real', 'numbers', 'such', 'as', 'addition', 'subtraction', 'multiplication', 'and', 'negation', 'have', 'close', 'analogues', 'for', 'vectors', 'operations', 'which', 'obey', 'the', 'familiar', 'algebraic', 'laws', 'of', 'commutativity', 'associativity', 'and', 'distributivit', 'on', 'real', 'numbers', 'such', 'as', 'addition', 'subtraction', 'multiplication', 'and', 'negation', 'have', 'close', 'analogues', 'for', 'vectors', 'operations', 'which', 'obey', 'the', 'familiar', 'algebraic', 'laws', 'of', 'commutativity', 'associativity', 'and', 'distributivit', 'addition', 'subtraction', 'multiplication', 'and', 'negation', 'have', 'close', 'analogues', 'for', 'vectors', 'operations', 'which', 'obey', 'the', 'familiar', 'algebraic', 'laws', 'of', 'commutativity', 'associativity', 'and', 'distributivit', 'subtraction', 'multiplication', 'and', 'negation', 'have', 'close', 'analogues', 'for', 'vectors', 'operations', 'which', 'obey', 'the', 'familiar', 'algebraic', 'laws', 'of', 'commutativity', 'associativity', 'and', 'distributivit', 'and', 'negation', 'have', 'close', 'analogues', 'for', 'vectors', 'operations', 'which', 'obey', 'the', 'familiar', 'algebraic', 'laws', 'of', 'commutativity', 'associativity', 'and', 'distributivit', 'have', 'close', 'analogues', 'for', 'vectors', 'operations', 'which', 'obey', 'the', 'familiar', 'algebraic', 'laws', 'of', 'commutativity', 'associativity', 'and', 'distributivit', 'associativity', 'and', 'distributivit', 'and', 'distributivity']","['O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes']" | |
| 229,"['these', 'operations', 'and', 'associated', 'laws', 'qualify', 'euclidean', 'vectors', 'as', 'an', 'example', 'of', 'the', 'more', 'generalized', 'concept', 'of', 'vectors', 'defined', 'simply', 'as', 'elements', 'of', 'a', 'vector', 'space']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math']" | |
| 230,"['vectors', 'play', 'an', 'important', 'role', 'in', 'physics', 'the', 'velocity', 'and', 'acceleration', 'of', 'a', 'moving', 'object', 'and', 'the', 'forces', 'acting', 'on', 'it', 'can', 'all', 'be', 'described', 'with', 'vector', 'play', 'an', 'important', 'role', 'in', 'physics', 'the', 'velocity', 'and', 'acceleration', 'of', 'a', 'moving', 'object', 'and', 'the', 'forces', 'acting', 'on', 'it', 'can', 'all', 'be', 'described', 'with', 'vector', 'object', 'and', 'the', 'forces', 'acting', 'on', 'it', 'can', 'all', 'be', 'described', 'with', 'vector']","['B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Attributes', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 231,"['many', 'other', 'physical', 'quantities', 'can', 'be', 'usefully', 'thought', 'of', 'as', 'vectors']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |
| 232,"['the', 'mathematical', 'representation', 'of', 'a', 'physical', 'vector', 'depends', 'on', 'the', 'coordinate', 'system', 'used', 'to', 'describe', 'i', 'vector', 'depends', 'on', 'the', 'coordinate', 'system', 'used', 'to', 'describe', 'i']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'I-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O']" | |
| 233,"['other', 'vectorlike', 'objects', 'that', 'describe', 'physical', 'quantities', 'and', 'transform', 'in', 'a', 'similar', 'way', 'under', 'changes', 'of', 'the', 'coordinate', 'system', 'include', 'pseudovectors', 'and', 'tensors']","['O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'O', 'B-Math']" | |