A Historia dos Numeros ComplexosPor Joao Bosco Pitombeira de CarvalhoO Espirito Divino expressou-se sublimemente nesta maravilha da analise, neste portento do mundo das ideais, este anfibio entre o ser e o nao ser, que chamamos de raiz imaginaria da unidade negativa. (Leibniz)A historia dos numeros complexos ilustra bem como um conceito matematico fundamental pode demorar muito ate ser bem compreendido e aceito. E uma historia longa de resistencia, por parte de excelentes matematicos, a admitirem a existencia dos numeros complexos, mesmo quando os usavam.Os numeros complexos comecaram a aparecer sistematicamente em Matematica com os algebristas italianos do seculo XVI. Quando isso aconteceu, os matematicos nao tinham nem ainda esclarecido os conceitos de numeros negativos e irracionais. Assim, o desenvolvimento do conceito de numero nao foi algo progressivo, dando-se na ordem que nos aparece natural, e que e exposta nos textos: numeros naturais, inteiros, racionais, reais e por fim complexos. Ate o seculo XIX, quando Gauss com sua autoridade divulgou a interpretacao geometrica dos numeros complexos, a qual lhes deu direito de cidadania, ainda havia matematicos que discutiam se os numeros negativos realmente existiam ou nao!Cardano (15011576), em seu livro Ars Magna (1545), o qual entre outras coisas da o metodo para resolver a equacao do terceiro grau, resolve o problema de dividir 10 em duas partes sujo produto e 40. Este problema reduz-se a resolver a equacao de segundo grau $x^{2}-10x+40=0$. Resolvendo-a pelo metodo usual de completar o quadrado, obtemos $(x-5)^2-25+40=0$, donde $(x-5)^2=-15$, e dai obtemos, operando como se os numeros que aparecem fossem numeros reais, $(x-5)=\pm \sqrt{-15}$, ou seja $x=5\pm \sqrt{-15}$, que e a solucao procurada. Como diz Cardano, Deixando de lado toda a tortura mental envolvida, multiplica $\left ( 5+\sqrt{-15} \right )$ por $\left ( 5-\sqrt{-15} \right )$. O produto e $25-(15)=40$ (...). Assim progride a sutileza aritmetica cujo objetivo, como afirmado, e tao refinado quanto inutil.De qualquer maneira, o encontro dos matematicos com os numeros complexos era inevitavel no estudo da equacao do terceiro grau. No chamado caso irredutivel, quando a equacao possui 3 raizes reais, o emprego do metodo de Cardano acarreta obrigatoriamente o manejo de numeros complexos, embora as solucoes da equacao, que constituem o resultado final, sejam reais!Bombelli (15261572), discipulo de Cardano, compreendeu melhor a algebra dos numeros complexos. Ao retomar o estudo da equacao do terceiro grau, ele introduziu sua quantidade piu di meno, que corresponde a $\sqrt{-1}$, e enunciou, sob forma de versos, as regras de operacao com ela. Embora afirmasse que os numeros complexos eram inuteis e sofisticos, Bombelli operou livremente com eles. Em sua algebra, deduziu que $\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=2+\sqrt{-1}$.Vemos assim que no seculo XVI os matematicos comecaram a usar os numeros complexos, aplicando-lhes as regras usuais de calculo com numeros reais embora escandalizados e dando declaracoes veementes de que eles nao existiam, eram inuteis, etc. A crenca de que se poderia aplicar aos numeros complexos as mesmas regras do calculo com numeros reais levou por vezes a enganos. Euler (17071783), ja no seculo XVIII, afirmou, por exemplo, que $\sqrt{-2}\sqrt{-2}=\sqrt{4}=2$, por analogia com a regra $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, valida para os numeros reais. O principio de