entao guarde bem essa informacao:O Fulereno $C_{60}$ possui 60 atomos em sua composicao.Abaixo temos uma representacao tridimensional dessa estrutura, note a semelhanca da mesma com uma bola de futebol.Mas o que bolas de futebol e fulerenos tem a ver com matematica?Aqui vem um fato bem legal: Na construcao de uma bola de futebol sao necessarios 12 pentagonos e 20 hexagonos.Isso quer dizer que, nao importa o tamanho da bola, se a mesma for construida na forma abaixo, precisaremos de exatamente 12 pentagonos e 20 hexagonos, mas agora vem a palavra crucial: POR QUE?A resposta para esse fato encontrasse na topologia do objeto, ja sabemos que em todo poliedro convexo vale a relacao de Euler:$$V-A+F=2,$$onde $V$ e o numero de vertices, $A$ o numero de arestas e $F$ o numero de faces do poliedro. Voce pode afirmar: -Tudo bem, isso vale para poliedros, mas a bola de futebol e redonda, nao tem vertices ou lados e so uma face, o que podemos concluir?Bem, a relacao acima na verdade e um caso particular para uma relacao mais geral, trata-se da caracteristica de Euler $\chi$.Vamos nos ater a dimensao 2, a caracteristica de Euler de uma superficie compacta e um invariante topologico, isso quer dizer que a caracteristica de Euler de uma superficie e preservada por qualquer homeomorfismo.Topologicamente duas superficies sao homeomorfas se conseguirmos exibir uma aplicacao que seja continua, invertivel e sua inversa seja continua.Podemos visualizar isso na ilustracao abaixo:Fonte: WikipediaTransformamos uma rosquinha em uma caneca continuamente, ou seja, nao rasgamos ou colamos nenhuma parte para transforma um objeto em outro.A mesma coisa ocorre entre uma bola de futebol e sua representacao geometrica: Chamamos o solido acima de Icosaedro Truncado, para transformar o icosaedro truncado em uma bola de futebol basta ter folego, ou seja, basta inflar esse objeto ate que ele fique redondo, pela observacao anterior a caracteristica de Euler da bola de futebol e do icosaedro sao as mesmas, pois a acao de "inflar" o objeto pode ser modela atraves de um homeomorfismo.De fato, basta considerar o icosaedro centrado na origem do espaco $\mathbb{R}^3$ (o ponto $(0,0,0)$ deve estar no interior do solido) e aplicar a transformacao $T:S\to\mathbb{S}^2(r)$,definida por $T(x)=\dfrac{rx}{|x|}$.O leitor mais familiar com topologia pode verificar que essaaplicacao e um homeomorfismo.Em postagens futuras abordarei mais detalhadamente esses conceitos de caracteristica, homeomorfismos e outros temas relacionados a topologia.Voltemos ao nosso problema: calcular exatamente quantos pentagonos e hexagonos uma bola de futebol possui.Ora, seja $P$ o numero de pentagonos e $H$ o numero de hexagonos na bola.O numero de faces sera exatamente $P+H$;O numero de arestas sera igual a $\dfrac{5P+6H}{2}$, pois cada pentagono possui 5 arestas e cada hexagono possui 6 arestas, o motivo do quociente 2 se deve ao fato de que cada aresta e compartilhada por dois hexagonos ou por um pentagono e um hexagono;O numero de vertices e igual a $\dfrac{5P+6H}{3}$, pois cada pentagono possui 5 vertices e cada hexagono possui 6 vertices, o motivo do quociente 3 se deve ao fato de que cada vertice e compartilhada por dois hexagonos e um pentagono.Agora basta olhar para a relacao de