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problema, segundo Bergson, reside no aplicar o movimento a linha percorrida e na suposicao de que o que e verdadeiro para a linha seja verdadeiro para o movimento (H. Bergson, Materia e memoria, in F. Cajori, The history of Zeno's arguments on motion, The American mathematical monthly, p. 293) ou, tambem, Ao inves que nos mantermos no intimo devir das coisas, nos colocamos do lado de fora, com o objetivo de recompor artificialmente seu devir (The cinematographic view of becoming, in W. C. Salmon, op. cit., p. 61)Nos deparamos com o problema da passagem da matematica a fisica, na qual e necessario distinguir a realidade fisica do raciocinio matematico que a essa realidade e aplicado. O proprio calculo infinitesimal e uma aproximacao formal a uma realidade fisica que nao e, de fato, alcancada. Isso nao significa que tal realidade nao exista: e necessario, alias, conceber tal realidade de maneira a explicar porque para ela pode ser aplicado o calculo infinitesimal. Leibniz, portanto, concebera a realidade como um conjunto de monadas e Anaxagoras, antes dele, como um conjunto de homeomerias E ainda: O que aprendemos com Zenao e que se nos traduzimos os termos de um discurso logico-matematico em dados de uma experiencia de fato, nao nos deparamos com nossa experiencia real, mas somente com o absurdo Enfim, a divisibilidade ad infinitum de espaco e tempo nada mais sao do que uma convencao que ajuda a determinar o carater de uma linguagem (a linguagem da geometria) que substitui a linguagem do senso comum quando nos, dos problemas da vita cotidiana, passamos para os temas mais delicados da tecnologia e da ciencia pura. Mas se nos nao esperamos que essa linguagem mais precisa explique uma correspondencia um a um entre seus termos e a experiencia cotidiana, evitaremos o erro de pensar que Aquiles seja condenado a realizar infinitas tarefas. Nos podemos muito bem dizer que Aquiles deve percorrer dez metros, depois um metro, depois um decimetro, e assim por diante; mas isso nao complica em nada a tarefa de Aquiles, e ele pode alegremente alcancar a tartaruga, ignorando tranquilamente a rapidez do matematico em representar a imortal corrida atraves de formulas cada vez mais complexas (E. Paci, Storia del pensiero presocratico, p. 75-76)A solucao do problema consiste em tomar consciencia do fato que, inevitavelmente, nos deparamos com contradicoes toda vez que espaco, tempo e movimento sao considerados, ao mesmo tempo, do ponto de vista da percepcao sensivel e do raciocinio abstrato (Loewe em F. Cajori, The history of Zeno's arguments on motion, The American mathematical monthly, p. 184)Muitos dos tradicionais, insoluveis problemas do espaco e do tempo, originam-se do fato de filosofos e pesquisadores terem frequentemente esquecido que espaco e tempo nada mais sao do que elaboracoes conceituais complexas, quadros descritivos realizados pela mente, com elementos muito mais simples, na tarefa de ordenar as percepcoes (M. Ageno, La costruzione operativa della fisica, p. 193)Da dificuldade de conciliar esses dois planos, ocupou-se ate Piaget: Por quanto movel e cinetico seja o modo de formar as imagens na intuicao geometrica, tal modo nao alcanca o continuo
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Aristoteles, baseia-se no facto de a parte nao poder serigual ao todo, na medida em que no todo existe pelo menos um elemento que nao estana parte.O outro, cantoriano, considera que a parte pode ser igual em numero ao todo.Assim, Cantor nao so afirmou que a correspondencia, de um para um, entre oconjunto dos numeros naturais e os seus quadrados deveria ser literalmente aceite, comotambem provou que o conjunto dos numeros pares, dos impares, dos numerosO paraiso que Cantor criou Capitulo 437triangulares, ..., podem estar em correspondencia, um a um, com o conjunto dosnumeros naturais, ou seja, tem todos a mesma potencia, o mesmo cardinal.Cantor mostrou entao que qualquer subconjunto infinito dos numeros naturais eequipotente a .Quando consideramos ao mesmo tempo conjuntos finitos e infinitos, a equipotenciade um conjunto com uma sua parte propria torna-se uma caracteristica especifica dosconjuntos infinitos.Assim, em 1888, Richard Dedekind definiu um conjunto infinito como aquele emque se pode estabelecer uma bijeccao com um seu subconjunto proprio. Com estadefinicao, Dedekind revolucionou uma maneira de pensar milenaria. Agora ja nao senecessita de definir um conjunto infinito com a negacao do que e finito, podemos, pelocontrario, definir o finito como negacao do que e infinito, ou seja, um conjunto e finitose nao estiver em bijeccao com nenhuma parte propria.O conjunto infinito mais pequeno e o conjunto dos numeros naturais, cujo cardinal edenotado pelo simbolo 0 (alefe-zero), de acordo com a primeira letra do alfabetohebraico. Este numero e o numero infinito mais pequeno.Cantor ficou seduzido pela estranha aritmetica do alefe-zero:0 0 +1 = e 0 0 0 + =Ou seja, quando somamos 1 ao infinito continuamos a ter infinito, assim como,quando duplicamos o infinito continuamos a ter infinito.Estas propriedades estavam no centro do paradoxo do Hotel de Hilbert, assimchamado em honra ao lendario matematico alemao David Hilbert.Hilbert descreveu um hotel com um numero infinito de quartos, numerados 1, 2, 3,...Uma noite, quando todos os quartos estavam ocupados, um hospede solitario chega aprocura de quarto. O recepcionista do hotel fez cada hospede avancar um quarto, demaneira que o ocupante do quarto 1 fosse transferido para o quarto 2, o ocupante doquarto 2 para o quarto 3, e assim sucessivamente. Assim, depois de todas as mudancasfeitas, o quarto 1 fica entao livre para o novo hospede! Na noite seguinte chegou umautocarro, com um numero infinito de novos hospedes, e nenhum dos antigos hospedesO paraiso que Cantor criou Capitulo 438tinha saido. Nao ha problema, anunciou o recepcionista. Desta vez, transferiu oocupante do quarto 1 para o quarto 2, o do quarto 2 para o 4, o do 3 para o 6 e, em geral,o ocupante do quarto n para o quarto 2n. Isto deixou desocupado um numero infinito dequartos impares para os infinitamente muitos recem-chegados. Portanto, o passageironumero 1 do autocarro pode ir para o quarto 1, o numero 2 para o quarto 3, o numero 3para o quarto 5, e em geral, o numero n para o quarto 2n 1. Mesmo que chegue umainfinidade de autocarros infinitos de turistas, toda a gente pode ser acomodada.O hotel de Hilbert mostra que certos tipos de
argumentos estao disponiveis no casofinito, mas nao podem ser usados em qualquer outro caso: por exemplo, o principio dagaiola de pombos, que afirma ser impossivel colocar n +1 objectos em n caixascolocando no maximo um em cada uma, e falso para qualquer n infinito, e em particularpara 0 n = .Cantor chamou numeravel ao conjunto dos numeros naturais e considerou quequalquer conjunto que estivesse em correspondencia, um a um, com o conjunto dosnumeros naturais tambem era numeravel.O proximo passo era responder a questao: Terao todos os conjuntos infinitos omesmo cardinal?Assim, surgiu a tentativa, bem sucedida, de estabelecer uma bijeccao entre osnumeros inteiros e os numeros naturais.f : + >2 1 02 0n se nn se nn aCantor mostrou que, de facto, tambem o conjunto dos numeros inteiros tem tamanhoalefe-zero e perguntou-se entao se o conjunto dos numeros racionais teria tambem otamanho alefe-zero (o que a primeira vista parece falso).O paraiso que Cantor criou Capitulo 439MEstamos habituados a ideia de que ha muito mais racionais do que naturais, porqueos naturais tem grandes espacos entre si, enquanto os racionais estao densamentedistribuidos. Por exemplo, se olharmos para o bordo de uma regua graduada vemos que,entre dois numeros naturais quaisquer, ha espaco para uma infinidade de fraccoes, o quenos levaria a concluir que as fraccoes sao infi infinitamente mais numerosas do que osnaturais.Mas, nao obstante a aparencias, Cantor provou que e possivel emparceirar qualquerfraccao com um numero natural, apresentando uma demonstracao engenhosa quemostra que existem tambem 0 racionais.Cantor comecou a demonstracao por dispor todas as fraccoes do tipoqp, com p,q e q = 0 , numa matriz. A primeira linha contem, por ordem crescente, todas asfraccoes de denominador 1, a segunda linha todas as fraccoes cujo denominador e 2, eassim por diante.Assim, usando o seu engenhoso argumento diagonal, Cantor mostrou que sefizessemos um percurso diagonal era possivel por em correspondencia, de um para um,os numeros racionais e os numeros naturais.Cantor sabia, naturalmente, que algumas fraccoes se repetiriam e incitava que,quando se encontrassem representacoes alternativas, essas deveriam ser ignoradas.Enfim, como aconteceu com outras ideias incrivelmente originais, so aqueles queestavam preparados para fazer um esforco para as entender e usar no seu trabalho asapreciaram.ttalvez ze rezolva no zentibo be eoria como a Cantoriana, que combina a nossa nocao intuitiva de pontos e acontecimentos individuais com uma teoria sistematica de conjuntos infinitos.
ResumoO presente artigo sugere uma reflexao acerca da nocao de pluralidade no filosofo pre-socratico Zenao de Eleia bem como explorar possiveis dialogos entre esse conceito e a matematica moderna. Para o desenvolvimento desse objetivo a primeira parte do artigo propoe uma reflexao sobre o conceito de pluralidade na escola eleatica e suas objecoes frente as filosofias da epoca.Em seguida busca-se compreender a partir dos paradoxos elaborados por Zenao de que forma o filosofo concebe em sua dialetica as nocoes de movimento e pluralidade. Por fim apresentam-se possiveis relacoes entre essa nocao e a matematica moderna. Sobre a escola eleatica e a dialetica de Zenao de EleiaA "escola de pensamento" conhecida como eleatica esta associada a polis de Eleia, no sul da peninsula italiana e se refere as filosofias de Parmenides de Eleia, Zenao de Eleia e Melisso de Samos. Os principais conceitos investigados por esses filosofos eram o "ser", o "nao-ser", o "movimento", o "tempo" "espaco", "continuidade" sendo que essa escola tinha como principal caraceristica o fato de defender a unicidade estatica de tudo o que existe um "Uno" eterno e imutavel. por nossa mente, capaz de apreender a unicidade da existencia. Os eleatas foram os primeiros a defender a necessidade de criterios objetivos para o estabelecimento da verdade e criaram argumentos que partiam de premissas claras e indubitaveis. Eles tambem consideravam falsa a realidade que se apresenta aos nossos sentidos, que percebem tudo como uma multiplicidade, e a contrapunham a efetiva realidade percebida. Sobre a escola Eleatica Zeller escreve:ao seu mestre Parmenides, que sustentava que o Ser e um quanto ao conceito, e que a realidade, ao inves, e multiplice quanto a evidencia sensivel, ele [Zenao] aderiu atraves de quarenta argumentos acerca da unidade do Ser: com efeito, ele considerou um dever apoiar a tese do proprio mestre. E ainda, novamente com a intencao de apoiar o proprio mestre, que afirmava a imobilidade do Ser, demonstra, atraves de cinco argumentos, que o Ser e imovel eleatica ate um ponto alem do qual ela nao podia ser de fato conduzida. Aos seus sucessores so restou a tarefa de defender suas ideias contra as representacoes comuns e de fundamenta-las com maior precisao em seus particulares (E. Zeller; R. Mondolfo, La filosofia dei Greci nel suo sviluppo storico, Parte I: I Presocratici)As principais doutrinas da "escola eleatica" opunham-se as teorias dos filosofos pre-socraticos que os precederam, notadamente aos milesianos, que explicavam toda a realidade atraves de um elemento unico, primario, e a Heraclito, que descrevia a realidade como a soma de mudancas constantes e ininterruptas.A caracteristica de Zenao e a dialetica. Ele e o mestre da Escola Eleatica nela seu puro pensamento torna-se o movimento do conceito em si mesmo, a alma pura da ciencia - e o iniciador da dialetica. A principal proposicao da escola Eleatica e a seguinte: "O nada nao possui realidade, nao e, e aquilo que e surgir e desaparecer cai fora". Em Zenao, pelo contrario, tambem descobrimos tal afirmar e sobressumir daquilo que o contradiz, mas nao o vemos, ao mesmo tempo, comecar com esta afirmacao; e a razao
que realiza o comeco - ela aponta, tranquila em si mesma, naquilo que e afirmado como sendo sua destruicao. Parmenides afirmou: "O universo e imutavel, pois na mudanca seria posto o nao-ser daquilo que e; mas somente e ser, no 'nao-ser e' se contradizem sujeito e predicado". Zenao, pelo contrario, diz: "Afirmai vossa mudanca: nela enquanto mudanca, e o nada para ela, ou ela nao e nada". Nisto consistia o movimento determinado, pleno para aquela mudanca; Zenao falou e voltou-se contra o movimento como tal ou puro movimento.Zenao e os paradoxos; contra a multiplicidadeZenao buscou provar a inconsistencia dos conceitos de multiplicidade e divisibilidade, criando quatro paradoxos, relativos ao movimento e ao tempo, que foram retomados por Aristoteles e que sao conhecidos pelos nomes de Dicotomia, Aquiles, a Seta e o Estadio. O paradoxo da dicotomia sugere a ideia de que, para se percorrer determinada distancia se tem primeiro que percorrer metade dessa distancia, mas antes disso, tem de percorrer um quarto. Isto continua indefinidamente, ate uma infinidade de subdivisoes. Segue-se, entao, que o movimento nao pode chegar sequer a comecar.O paradoxo de Aquiles diz o seguinte: Aquiles e uma tartaruga movem-se na mesma direcao ao longo de uma linha reta. Se Aquiles der algum adianto a tartaruga, nunca conseguira alcanca-la, ja que quando ele atingir a posicao inicial da tartaruga, ela ja tera avancado e se encontrara noutro local adiante dele, e quando ele chegar a essa nova posicao, ja a tartaruga tera realizado novo avanco; e assim sucessivamente.Segundo Boyer (1984), a Dicotomia e Aquiles argumentam que o movimento eimpossivel sob a hipotese de subdivisibilidade indefinida do espaco e do tempo. Zenaomostrou que se os conceitos de continuo e infinita divisao forem aplicados aomovimento de um corpo, entao este torna-se impossivel. Na verdade, a essencia domovimento e tal que, quando vamos a querer fixar a posicao de um objecto, emdeterminado instante, num ponto da sua trajectoria, ja ele ai nao se encontra entre dois instantes, por mais proximos que sejam um do outro, o objecto percorreu um segmento, com uma infinidade de pontos. Deste fenomeno se pode dizer, como Leonardo da Vinci disse da chama: olha para a chama e considera a sua beleza; fecha os olhos e torna a olhar: o que ves nao estava la e o que la estava ja nao o encontras.Assim, os dois primeiros paradoxos de Zenao mostravam que um segmento finito pode ser dividido num numero infinito de pequenos segmentos, cada um deles com comprimento finito. Esta questao seria hoje descrita como a convergencia de uma serie real. Na Dicotomia, a trajectoria do objecto pode ser representada pelo segmento de reta[AB] , C o ponto medio de [AB] , D o ponto medio de [AC] , E o ponto medio de[AD] , e assim por diante Paradoxo da Seta: Uma seta lancada para o alvo esta, na verdade, parada. Com efeito, em cada instante, a seta ocupa uma posicao fixa, ou seja, em cada instante a seta esta parada. Segue-se entao, que a seta jamais se move. Paradoxo do estadio: Sejam tres filas paralelas de
somente com o absurdoEnfim, a divisibilidade ad infinitum de espaco e tempo nada mais sao do que uma convencao que ajuda a determinar o carater de uma linguagem (a linguagem da geometria) que substitui a linguagem do senso comum quando nos, dos problemas da vita cotidiana, passamos para os temas mais delicados da tecnologia e da ciencia pura. Mas se nos nao esperamos que essa linguagem mais precisa explique uma correspondencia um a um entre seus termos e a experiencia cotidiana, evitaremos o erro de pensar que Aquiles seja condenado a realizar infinitas tarefas. Nos podemos muito bem dizer que Aquiles deve percorrer dez metros, depois um metro, depois um decimetro, e assim por diante; mas isso nao complica em nada a tarefa de Aquiles, e ele pode alegremente alcancar a tartaruga, ignorando tranquilamente a rapidez do matematico em representar a imortal corrida atraves de formulas cada vez mais complexas (E. Paci, Storia del pensiero presocratico, p. 75-76) ConclusaoZenao foi inovador em sua dialetica no sentido de ter se voltado contra a ideia de pluralidade e movimento enquanto a ideia central da escola eleatica era a de que: "O nada nao possui realidade, nao e, e aquilo que e surgir e desaparecer cai fora". Em Zenao, pelo contrario, tambem descobrimos tal afirmar e sobressumir daquilo que o contradiz, mas nao o vemos, ao mesmo tempo, comecar com esta afirmacao; e a razao que realiza o comeco - ela aponta, tranquila em si mesma, naquilo que e afirmado como sendo sua destruicao. Seus famosos e intrigantes paradoxos atravessaram o tempo e provavelmente tenham sido um dos motores no desenvolvimento da matematica moderna.
Texto 1Direito dos animais.o artigo se refere as ideias de Peter Singer a partir do conceito de principio da Igualdade de Interesses, bem como o conceito de ser humano e a significacao de dor e prazer.Singer com seu principio da Igualdade de Interesses nao opera dentro de um otica principialista. Para ele e seu conceito de pessoa esta baseado na concepcao da capacidade de individuacao que o agente possui, humano ou nao humano, ou seja na capacidade de se ver diferente dos outros e se reconhecer como um ser unico, na capacidade de temporalidade ou seja no conceito de presente, passado e futuro que o ser tem. Na capacidade de significacao em relacao a dor e prazer.Ser pessoa esta na capacidade de individuacao, na sua capacidade de temporalidade e na significacao de dor e prazer. Independente de ser humano ou nao. O conceito de pessoa nao se refere a moralidade. Um animal nao sera um ser com conceitos morais, mas tera e reconhecera os conceitos anunciados: Consciencia, individuacao, temporalidade e significacao de dor e prazer (sencientes). O utilitarismo de Peter Singer estabelece significado de preferencias e o ponto de partida para que todos os seres sencientes serem respeitados, sendo levados em consideracao seus interesses. Assim Peter Singer estende o Principio de Igualdade de Interesses para alem da especie humana.Texto 2Como nos, outros animais tem sensacoes de prazero artigo se refere as ideias do Especialista em comportamento animal, o ingles Jonathan Balcombe. A partir de pesquisas ele a defende a tese de que como nos, outros animais tem sensacoes de dor e tambem de prazerDiz ele: Dois lemures de cauda anelada - possivelmente um casal, possivelmente dois sujeitos curtindo o calor-estao reclinados lado a lado. Suas barrigas brancas estao expostas, seus pes, largados, para garantir total exposicao ao sol do Madagascar. Para completar o quadro, eles so precisariam de um oculos escuros. Essa postura tem uma explicacao evolutivaCientistas empregam "regulacao termica comportamental" para explicar como um animal conserva sua temperatura corporal central. Mas, como explica Balcombe em "The Exultant Ark" (a arca exultante), sobre o prazer dos animais, esta claro que os lemures tambem estao curtindo um prazer.trata-se de um estudo serio sobre o tema do prazer dos animais. Para comecar, o prazer e adaptativo: assim como "a dor desencoraja os animais de fazer coisas que resultem no risco de ferimentos ou morte, que nao sao resultados bons no processo evolutivo", ele escreve, o prazer "e a maneira usada pela natureza para aumentar as chances de sobrevivencia e a producao reprodutiva".Em segundo lugar, sabemos que o prazer existe em pelo menos uma especie animal: a humana. Balcombe argumenta que os animais podem experimentar "formas de prazer inacessiveis aos humanos". O terceiro argumento e simples: que os animais sao equipados para sentir prazer. Como sabemos que os animais sentem dor, por que nao sentiriam prazerEm sua conclusao, Balcombe argumenta que a capacidade que um animal possui de sentir prazer e um fator importante a ser levado em conta na discussao dos direitos dos animais. "O fator decisivo real quando se analisa se um ser
merece ou nao respeito e compaixao e a capacidade de sentir", ele escreve.Resposta da 2: Como muitos cientistas vem constando, a dor e o prazer nao sao proprios apenas da especie humana sendo que os animais sao seres sencientes, ou seja, assim como os seres humanos, eles sao capazes de sentir dor, medo, prazer, alegria e estresse, fato que levanta questoes filosoficas no campo da moral e etica contemporaneaA dor e o prazer , assim como a ciencia revela, tambem se manifesta em outros animais seja por necessidade de sobrevivencia ou qualquer outro motivo. Assim ,a dor fisica nao necessariamente tem a ver com o raciocinio; Como afirma Balcombe: "a dor desencoraja os animais de fazer coisas que resultem no risco de ferimentos ou morte, que nao sao resultados bons no processo evolutivo", ele escreve, o prazer "e a maneira usada pela natureza para aumentar as chances de sobrevivencia e a producao reprodutiva". No campo da moral, Peter Singer defende uma etica que da enfase ao emprego do principio da igualdade moral no tratamento da dor e minimizacao do sofrimento de todos os seres sencientes, criticando o especismo e fazendo uma analogia com outras formas de preconceito como racismo e sexismo, tambem baseados na aparencia. As tres formas de preconceito, racismo, sexismo e especismo expressariam o descaso egoista pelos interesses de outros e por seu sofrimento, quando nao tem a mesma aparencia daquele que os maltrata, ele ainda critica as concepcoes morais que nao admitem que temos um dever de respeito direto para com os seres que sofrem com nossas acoes, entre eles os animais, entre elas a teoria cartesiana, a tradicao judaico-crista, o contratualismo, e a teoria kantiana. O autor propoem a expansao do circulo da moralidade de modo a incluir os interesses dos animais nao-humanos concentrando suas criticas a moral tradicional, antropocentrica e egoista que nos foi legada, cheia de preconceitos e discriminacao.Assim, a partir da constatacao de que os animais sao sencientes pode-se pensar que os argumentos da moral tradicional, alicercados no especismo nao tem fundamentacao logica, nem etica capaz de se sustentar sendo que nossos habitos, modo de viver, e a forma de ver e tratar os animais devem ser revistos a luz de sua argumentacao