Os poliedros sao estudados desde a Grecia Antiga na escola de Pitagoras, 600 aC, embora haja evidencia de que os Povos Neoliticos que viveram na Escocia tinham esculpidos alguns destes solidos 1000 anos antes. Alguns destes modelos, ver figura 1, encontram-se no Museu Ashmolean em Oxford, Reino Unido.FIG 1: Modelos Neoliticos dos Solidos PlatonicosOs poliedros ilustrados na figura 2 tiveram um papel crucial na Filosofia de Platao, que serao os nossos objectos de estudo.FIG 2: Tetraedro Cubo (Hexaedro) Octaedro Dodecaedro IcosaedroNa sua admiracao e entusiasmo (porque so cinco?) pela Geometria, Euclides e a Grecia Antiga, chamou a estes os Solidos Platonicos associando-os aos atomos do universo. Da mesma forma que hoje nos acreditamos que toda a materia e feita de combinacoes de atomos, tambem na Grecia Antiga se acreditava que a materia era feita com os solidos Platonicos.Tambem se acreditava que toda a materia tambem tinha o lado mistico. Assim, no dialogo Timaios, Platao associou o tetraedro ao elemento fogo, o cubo a terra, o icosaedro a agua e finalmente o dodecaedro ao quinto elemento (o universo).O cubo, tetraedro e o dodecaedro tinham sido considerados pelos pitagoricos, e os restantes por Thetetus amigo de Platao -- que pensava que o universo estava envolvido por um dodecaedro gigante.Os pitagoricos sabiam que existiam apenas cinco regular solidos regulares convexos e que cada um podia ser rigorosamente circunscrito por uma esfera. Euclides descreve estes solidos no seu livro Elementos, parte XIII, da proposicao 13 a proposicao 17, onde se encontra o argumento heuristico de que estes sao os unicos solidos regulares. O matematico Euler fez a demonstracao deste resultado no sec. XVIII.Kepler no inicio do sec. XVII, sugeriu associar os Solidos Platonico aos planetas conhecidos nessa altura: Mercurio, Venus, Marte, Jupiter e Saturno.Apresentacao dos solidos platonicos:Poliedros (poli = muitos; hedros = faces) sao solidos delimitados por regioes planas (poligonos) que constituem as denominadas faces. Os segmentos de recta que limitam as faces designam-se por arestas e os pontos de encontro destas por vertices.Um poliedro diz-se convexo quando os angulos diedros formados por duas faces consecutivas forem menores que 180o.Solidos Platonicos sao poliedros convexos cujas faces sao poligonos regulares (poligonos com os lados e angulos todos iguais) e que tem o mesmo numero de faces que se encontram em cada vertice.Sera que todos os poliedros regulares sao convexos?Kepler descobriu dois poliedros que sao simultaneamente regulares e nao convexos- o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado. Mais tarde, foi provado que existem apenas nove poliedros regulares, sendo cinco convexos (solidos platonicos) e quatro nao convexos (solidos de Kepler-Poinsot).Ao construir poliedros regulares, os alunos irao encontrar a formula de Euler, que quando aplicada a um dado poliedro regular convexo se conclui que esse poliedro tera de ser um dos cinco Solidos Platonicos.Os Solidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares sao, grosso modo, poliedros convexos cujas faces sao poligonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vertices sao congruentes, isto e, existe o mesmo arranjo de poligonos em torno de cada vertice. Alem disso, todo vertice pode ser transformado em outro vertice por uma simetria do