Existem homens, mulheres, velhos, criancas, pessoasPra mim, existe voceRaposa astuta e arisca, desconfiadaE dificil descrever a vida de antes de te encontrarTudo parece lembranca distanteAgora meus dias sao mais floridos e ensolaradosNao foi paixao torrida, nao foi paixao de filmeFoi paixao timida e arredia, como nao poderia deixar de serE se transformou em amor calidoAmor de aprendizado e de companheirismoAmor simples, simplesmente amorAmor pra vida todaAmor amorRaposa Amor que e amor dura a vida inteira.Se nao durou e porque nunca foi amor. O amor resiste a distancia, ao silencio das separacoes e ate as traicoes. Sem perdao nao ha amor. Diga-me quem voce mais perdoou na vida, e eu entao saberei te dizer quem voce mais amou. O amor e equacao onde prevalece a multiplicacao do perdao. Voce o percebe no momento em que o outro faz tudo errado, e mesmo assim voce olha nos olhos dele e diz: Mesmo fazendo tudo de errado eu nao sei viver sem voce. Eu nao sou nem a metade do que sou se voce nao estiver por perto.O amor nos possibilita enxergar lugares do nosso coracao que sozinhos jamais poderiamos enxergar !O poeta soube traduzir bem quando disse: Se eu nao te amasse tanto assim, talvez perdesse os sonhos dentro de mim. Se eu nao te amasse tanto assim, talvez nao visse flores, por onde eu vi, dentro do meu coracao !" o que fez comigo? tao certo que nem falou mais comigo, nem mais me olhou! ou sera que tem tanta vergonha do que fez que prefere nem tocar no assunto? sera que quis descontar em mim o que fizeram com voce no passado ou sera que quis simplesmente machucar coracoes para ver como se sairia? Perguntas sem respostas ... e a unica pessoa que poderia me responder e a mesma que eu nao quero perguntar! Nao quero ser apenas mais um(a) na sua vida, quero ser o(a) unico, cada segundo ao seu lado e perfeito. so queremos a mao no ombro, o abraco apertado, ou mesmo o estar ali, quietinho, ao lado sem nada dizer. Um dia alguem entrara em sua vida e te fara entender por que nunca deu certo com ninguem antes. Nao ha satisfacao maior do que aquela que sentimos quando proporcionamos alegria aos outros. nada como um dia apos o outro... Seja $\Phi$ a solucao fundamental da equacao do calor, dada por$$\Phi(x,t)=\left\{\begin{align*}\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\mathrm{e}^{\frac{-|x|^2}{4t}},&\qquad x\in\mathbb{R}^n,\; t>0\\0,& \qquad x\in\mathbb{R}^n,\; t<0\end{align*}\right.$$ Fixados $x\in\mathbb{R}^n$ e $t\in\mathbb{R}$, defina$$E(x,t;r)=\left\{(y,s)\in\mathbb{R}^{n+1}\;\Big |\; s\leq 0,\;\Phi(x-y,t-s)\geq \frac{1}{r^n}\right\}.$$ Problema: Calcular a integral multipla abaixo. $$\iint_{E(0,0;1)}\frac{|y|^2}{s^2}\;dyds.\tag{$*$}$$ Observacao: Para o caso $n=1$, o problema se reduz a calcular a integral dupla $\iint_{\mathcal{R}}\frac{x^2}{y^2}\;dxdy$, onde $\mathcal{R}$ representa a regiaodefinida por $\mathcal{R}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -\tfrac{1}{4\pi}\leq y\leq 0,\;x^2\leq 2y\ln(-4\pi y)\right\}.$Origem do Problema: O livro Partial Differential Equations de L. C. Evans, na Secao 2.3.2 (que trata sobre a equacao do calor) utiliza (no meio da demonstracao do Teorema 3) o fato de que a integral $(*)$ vale exatamente $4$. Apesar deste resultado nao ser obvio e nem facil de obter, o livro nao traz sequer uma palavra sobre como efetuar o computo desta integral. Nesta postagem apresentaremos o