1. IntroducaoO modelo de crescimento de Solow, publicado em 1956 com o titulo AContribution to the Theory of Economic Growth, e a base da principal vertenteatual dos modelos de crescimento economico.Vamos apresentar este modelo em duas versoes, que serao denominadasModelo Basico de Solow (MBS) e Modelo com Progresso Tecnologico (MPT).O MBS nao considera a existencia de progresso tecnologico, o que, emtermos de modelagem, significa nao incluir, na funcao de producao,uma variavel representativa do progresso tecnologico. Ja na funcao de producaodo MPT, esta variavel e incluida.Seguindo o criterio de Solow, vamos considerar (tanto no MBS quanto noMPT) a variavel investimento em termos liquidos, o que equivale afazer de conta que os bens de capital nao se desgastam. Ou seja, todo oinvestimento vai resultar em aumento da capacidade produtiva, pois nao haveranecessidade de investimentos destinados a substituir os bens de capital que sedesgastam.Em termos de modelagem, isto significa nao incluir umavariavel para representar a taxa de depreciacao anual. Tal criterio reduz otamanho de algumas das expressoes matematicas (que ainda assim serao grandes),sem comprometer em nada os aspectos essenciais do modelo.Como a preocupacao de Solow e o mecanismo de crescimento a longo prazo enao os problemas de recessao e inflacao, os dois modelos desconsideram apossibilidade de desemprego e de desigualdade ex ante entrepoupanca e investimento. Com isso, poupanca e investimento serao tratados comosinonimos. No que se refere a notacoes, cabe mencionar apenas que, ocasionalmente,adotaremos a pratica usual de representar a derivada de uma variavel emrelacao ao tempo por meio de um ponto sobre a letra representativadessa variavel. Por exemplo, y dy/dt.2. Modelo Basico de Solow (MBS)2.1 Solucao para o Produto TotalEste item e designado como solucao para o produto total porque noproximo item o modelo sera tratado em termos de produto medio por unidade detrabalho.A funcao de producao macroeconomica que adotaremos e a Cobb-Douglas, comcerteza familiar a todos que possam ler este texto com algum proveito. Como noMBS nao ha a variavel progresso tecnologico, a Cobb-Douglas aqui e aseguinte:(1) Y(t) = KaL(1-a)Y produto liquido no ano tK quantidade de capital (media no ano t)L quantidade de trabalho (media no ano t)a e um parametro da funcao [0 < a < 1] As magnitudes K e L sao tambem funcoes do tempo, embora isso nao tenhasido explicitado em (1) para nao sobrecarregar a formula. Ou seja, as variaveisno lado direito de (1) devem ser entendidas como K(t) e L(t).O objetivo do modelo e representar a evolucao temporal de Y, sendo K e Lfuncoes do tempo. Em outras palavras, encontrar a solucao do modelo erepresentar Y em funcao apenas de t, dos parametros do modelo e dos valores iniciais [isto e, em t=0] supostamente conhecidos de K e L [isto e, K(0) e L(0)].A quantidade de trabalho (L) sera tratada como variavel exogena. Suataxa geometrica de crescimento sera considerada constante esera designada por n. Assim, partindo-se de L(0) = L0, amagnitude de L no ano t sera dada por:(2) L(t) = L0 ent [o queimplica L/L = n, como e facil conferir]Quanto a evolucao temporal de K, adotaremos a seguinte funcao deacumulacao de capital:(3) dK/dt = sYO