t tende a infinito.Vamos agora aplicar este modelo geral ao nosso problema da relacao divida/PIB.2. Formulas e Criterios GeraisComecaremos pela simples apresentacao das duas principais formulas deste texto.Suas deducoes serao apresentadas no item 3. Elas correspondem, respectivamente,as formulas (7) e (9) do item 3. A condicao para a reducao da relacao divida publica bruta/PIB e:i < r + (h/z) [ou h > (i r)z],onde:. i = taxa media real de juros (ao ano) incidentesobre a divida publica. r = taxa de crescimento anual do PIB real. h = relacao superavit primario/PIB. z = relacao divida publica bruta/PIB. h/z =relacao superavit primario/divida publica brutaA formula a seguir fornece a relacao divida publica bruta/PIB no ano t,dados os valores das variaveis acima indicadas e a relacao divida/PIB no ano 0.z(t) = [z(0) h/(i r)]e(i-r)t + h/(i r)Esta formula (que corresponde a solucao definida do modeloapresentado na Introducao) pressupoe que as novas dividascontraidas pelo governo se enquadrem necessariamente em uma das tressituacoes abaixo:(a) Se o superavit primario for grande o suficientepara pagar integralmente os juros e ainda permitir a reducao progressivada divida, as novas dividas serao contraidas apenas para a rolagem da dividaremanescente.(b) Se o superavit primario nao for suficiente sequer para o pagamento integraldos juros, as novas dividas serao contraidas exclusivamente para a coberturados juros nao pagos com o superavit primario e para a rolagem da divida.(c) Se o superavit primario for exatamente o suficiente para o pagamentointegral dos juros, as novas dividas serao contraidas apenas para as operacoesde rolagem (e o montante da divida ficara, obviamente, constante ao longode tempo).Portanto, a formula acima so se aplica quando o governo esta realmente empenhado em conter a divida publica. Se o governo se endivida alem dos limites citados, nao epossivel usar tal formula para projetar a relacao divida publicabruta/PIB. Caso o endividamento alem desses limites obedecesse a uma regra fixa,esta regra poderia ser incorporada ao modelo acima, mas este caso nao foitratado aqui. 3. Deducao das FormulasSejam:. Y = PIB anual real. t = tempo, medido em anos. r = (dY/dt)/Y = taxa de crescimento anual do PIBreal. D = montante da divida publica bruta. z = D/Y = relacao divida bruta/PIB. i = taxa media real de juros (ao ano) incidentesobre a divida bruta. H = montante anual do superavit primario. h = H/Y = superavit primario/PIBPartimos da seguinte equacao dinamica do montante dadivida bruta:(1) dD/dt = iD H [variacaoanual do montante da divida bruta = montante anual de juros devidos montanteanual do superavit primario]Precisamos agora caminhar para a equacao dinamica da relacao dividabruta/PIB; e para isso comecemos dividindo (1) por D.(2) (dD/dt)/D = i (H/D) = i [(H/Y)/(D/Y)] = i (h/z) [expressao da taxade variacao anual do montante da divida bruta, em funcao da taxa de juros(i), da relacao superavit primario/PIB (h) e da relacao divida bruta/PIB (z)]Por outro lado, como z D/Y, tem-se D zY, donde lnD ln z + ln Y.Diferenciando os dois lados desta ultima expressao em relacao a t (o que so epermitido porque se trata de uma identidade), obtem-se:(3) (dD/dt)/D = (dz/dt)/z + (dY/dt)/Y = [(dz/dt)/z] + rComparando