Ola pessoal, hoje apresentarei a solucao do desafio proposto anteriormente aqui blog, quer tentar resolve-lo antes de prosseguir essa postagem? entao clique aqui! Antes de fornecer a resposta temos que lembrar o conceito de congruencia modular.Definicao: Dado um inteiro positivo $n$, dois inteiros $a$ e $b$ sao congruentes modulo $n$ se a diferenca $a-b$ e um multiplo de $n$, ou seja $n|(a-b)$ ($n$ divide $a-b$), representamos a congruencia como abaixo:$$a\equiv b\ (mod\ n)$$Exemplos: a) $10\equiv 1\ (mod\ 3)$, pois $10-1=9$ e $3|9$.b) Se $n$ e impar, entao $n^2\equiv 1\ (mod\ 2)$.De fato, $n=2k+1$, logo $n^2=4k^2+2k+1$, assim $n^2-1=2(2k^2+k)$, portanto $2|(n^2-1)$.Propriedades:a) $a\equiv a\ (mod\ n)$.De fato, $$a-a=0\Rightarrow n|0.$$b) Se $a\equiv b\ (mod\ n)$, entao $b\equiv a\ (mod\ n)$.Suponha que $a\equiv b\ (mod\ n)$, assim$$n|(a-b)\Rightarrow n|(b-a)$$Logo $b\equiv a\ (mod\ n)$.c) Se $a\equiv b\ (mod\ n)$ e $b\equiv c\ (mod\ n)$, entao $a\equiv c\ (mod\ n)$.As duas primeiras hipoteses nos dizem que$$n|(a-b)\quad\mbox{e}\quad n|(b-c).$$Ora, se $n$ divide dois numeros, entao $n$ divide a soma destes, assim$$n|(a-b+b-c)\Rightarrow n|(a-c),$$logo$$a\equiv c\ (mod\ n).$$ d) Se $a\equiv b\ (mod\ n)$ e $c\equiv d\ (mod\ n)$, entao $a\pm e\equiv b\pm d\ (mod\ n)$ e $ac\equiv bd\ (mod\ n)$As duas primeiras hipoteses nos diz que$$n|(a-b)\quad\mbox{e}\quad n|(c-d).$$Se $n$ divide dois numeros, entao $n$ divide a soma destes, assim$$n|[(a-b)+(c-d)]\Rightarrow n|[(a+c)-(b+d)],$$logo$$a+c\equiv b+d\ (mod\ n).$$Agora, devemos provar que $n|(ac-bd)$, assim e facil ver que $n|c(a-b)$ e $n|b(c-d)$, usando o resultado anterior, $n$ divide a soma, logo$$n|(ac-bc+bc-bd)\Rightarrow n|(ac-bd),$$ou seja$$ac\equiv bd\ (mod\ n).$$Muitas problemas podem ser resolvidos usando congruencia, em outros momentos irei explorar mais essa ferramenta aqui no blog, mas por enquanto vamos a solucao do desafio.O desafio era o seguinte:Considere os 16 digitos abaixo2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9.Eles podem ser combinados de modo a criar dois numeros A e B de 8 digitos cada, de modo que B=2A?Solucao: Note inicialmente que todo numero e congruente a soma de seus digitos modulo 3.De fato, seja podemos escrever um numero em funcao de seus digitos da seguinte forma:$$n=a_0+a_1\cdot 10+a_2\cdot 10^2+\cdots+a_k\cdot 10^k,$$onde $0\leq a_i\leq 9,\forall i\in\{0,\ldots,k\}$.Agora$$n-(a_0+a_1+\cdots+a_k)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot 10^i -\sum_{i=0}^n a_i.$$Agrupando os termos temos$$n-(a_0+a_1+\cdots+a_k)=3(3a_1+33a_2+\cdots+\underbrace{33\ldots 3}_{k\ \textrm{vezes}}).$$Assim $n|[n-(a_0+a_1+\cdots+a_k)]$, portanto$$n\equiv (a_0+a_1+\cdots+a_k)\ (mod\ 3).$$Suponha agora que existissem tais numeros no desafio proposto. Por um lado teriamos que$$A+2B\equiv 2(2+\cdots+ 9)\ (mod\ 3),$$ou seja$$A+2B\equiv 88\ (mod\ 3),$$mas $88\equiv 1\ (mod 3)$, logo$$A+2B\equiv 1\ (mod 3).$$Por outro lado, se $B=2A$, entao $A+B=3A$ e como $3|3A$ isso nos diz que$$3A\equiv 0\ (mod\ 3).$$ Absurdo, pois ambas as congruencias nao podem ocorrer ao mesmo tempo, logo nao e possivel encontrar tais numeros.Vou ficando por aqui, mas em breve mostrarei mais aplicacoes e questoes utilizando congruencia, ate mais! Hoje apresento uma propriedade interessante de alguns numeros, como o titulo ja informa, iremos falar dos numeros autobiograficos.Definicao: Um numero autobiografico e um numero $N$ com no maximo 10 digitos, tal que seu primeiro digito informa quantos zeros $N$ possui, o segundo digito informa quantos 1's $N$ possui, e assim sucessivamente.Por exemplo, o numero $3211000$ e um numero autobiografico, pois ele nos informa que ele possui tres zeros, dois 1's, um 2, um 3, zero 4, zero 5, zero 6.E facil ver que nao existem uma quantidade infinita de numeros autobiograficos, pois eles possuem no maximo