enumeravel de $[0,T]$, $(v_k(t_i))_{k\in\mathbb{N}}$ converge em $B$; Mostrar que $(v_k)$ e de Cauchy em $C([0,T];B)$; Mostrar que $(v_k)$ e de Cauchy em $C([0,T];X)$.Etapa 1. Como $(u_n)$ e limitada em $L^\infty(0,T;A)$, existe uma constante $C_1$ tal que$$\|u_n(t)\|_A\leq C_1\quad\text{quase sempre em}\quad [0,T],\qquad \forall\ n\in\mathbb{N}.$$Tome $\varepsilon>0$. Escolha $\eta>0$ tal que $2C_1\eta<\frac{\varepsilon}{2}$ e seja $C_\eta$ a constante dada pelo Lema 4.2. Como $\{u_n:[0,T]\to B\;|\;n\in\mathbb{N}\}$ e equicontinua, existe $\delta>0$ tal que$$|t-s|<\delta\quad\Longrightarrow\quad \|u_n(t)-u_n(s)\|_B<\frac{\varepsilon}{2C_\eta}, \qquad\forall \ n\in \mathbb{N}.$$Assim, pelo Lema 4.1,$$|t-s|<\delta\quad\Longrightarrow\quad \|u_n(t)-u_n(s)\|_X\leq \eta\|u_n(t)-u_n(s)\|_A+C_\eta\|u_n(t)-u_n(s)\|_B<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}$$para todo $n\in\mathbb{N}$.Etapa 2. Seja $M:=\{t_i\;|\;i\in\mathbb{N}\}$ um subconjunto enumeravel denso de $[0,T]$. Vejamos que $(u_n)$ possui uma subsequencia $(v_k)$ tal que$$(v_k(t_i))_{k\in\mathbb{N}}\quad\text{converge em}\quad B,\qquad\forall\ i\in\mathbb{N}.\tag{5.1}$$Como $u_n\in L^\infty([0,T];A)$, a sequencia $(u_n(t_1))_{n\in\mathbb{N}}$ e limitada. Como a inclusao $A\subset X$ e compacta, tal sequencia possui uma subsequencia $(u_k^1(t_1))_{k\in\mathbb{N}}$ que converge em $X$. Analogamente: $(u_k^1(t_2))_{k\in\mathbb{N}}$ possui uma subsequencia $(u_k^2(t_2))_{k\in\mathbb{N}}$ que converge em $X$; $(u_k^2(t_3))_{k\in\mathbb{N}}$ possui uma subsequencia $(u_k^3(t_3))_{k\in\mathbb{N}}$ que converge em $X$ e assim por diante. Este procedimento nos permite construir uma sequencia\begin{align*}(u^1_k)&=u^1_1,\;u^1_2,\;u^1_3,\;u^1_4,\;...\\(u^2_k)&=u^2_1,\;u^2_2,\;u^2_3,\;u^2_4,\;...\\(u^3_k)&=u^3_1,\;u^3_2,\;u^3_3,\;u^3_4,\;...\\\vdots\;\;\;\end{align*}de subsequencias de $(u_n)$ com a propriedade de que $(u_k^{m})_{k\in\mathbb{N}}$ e uma subsequencia de $(u_k^i)_{k\in\mathbb{N}}$ sempre que $m\geq i$. Consequentemente, $u^m_m$ e um termo de $(u^i_k)_{k\in\mathbb{N}}$ sempre que $m\geq i$. Assim, $(u_k^k)_{k\geq i}$ e uma subsequencia de $(u^i_k)_{k\in\mathbb{N}}$. Considere a sequencia diagonal$$(v_k):=(u^1_1,\;u^2_2,\;u^3_3,\;...,\;u^k_k,\;...).$$Tome $i\in\mathbb{N}$. Pelo que vimos, $(v_k(t_i))_{k\geq i}=(u_k^k(t_i))_{k\geq i}$ e uma subsequencia de $(u^i_k(t_i))_{k\in\mathbb{N}}$. Por construcao, $(u^i_k(t_i))_{k\in\mathbb{N}}$ converge em $X$ donde $(v_k(t_i))_{k\in\mathbb{N}}$ tambem converge. Logo, vale (5.1) (porque a inclusao $X\subset B$ e continua).Etapa 3. Como $\{u_n:[0,T]\to B\;|\;n\in\mathbb{N}\}$ e equicontinua, existe $\delta>0$ tal que$$|t-s|<\delta\quad\Longrightarrow\quad \|v_k(t)-v_k(s)\|_B<\frac{\varepsilon}{3},\qquad\forall\ k\in\mathbb{N}.$$Como e $M$ e denso em $[0,T]$, a familia $\{(t_i-\delta,t_i+\delta)\;|\;i\in\mathbb{N}\}$ forma uma cobertura de $[0,T]$, a qual possui uma subcobertura finita $\{(t_{i_1}-\delta,t_{i_1}+\delta),...,(t_{i_M}-\delta,t_{i_M}+\delta)\}$. Por (5.1), $(v_k(t_{i_1})),...,(v_k(t_{i_M}))$ sao de Cauchy em $B$. Logo, existe $N\in\mathbb{N}$ tal que$$k,m>N\quad\Longrightarrow\quad \|v_k(t_{i_r})-v_m(t_{i_r})\|_B<\frac{\varepsilon}{3},\qquad\forall\ r=1,...,M.$$Dado $t\in[0,T]$, tome $t_{i_r}$ tal que $t\in(t_{i_r}-\delta,t_{i_r}+\delta)$. Entao, para $k,m>N$ tem-se\begin{align*}\|v_k(t)-v_m(t)\|_B&\leq \|v_k(t)-v_k(t_{i_r})\|_B+\|v_k(t_{i_r})-v_m(t_{i_r})\|_B+\|v_m(t_{i_r})-v_m(t)\|_B\\&\leq\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}.\end{align*}Tomando o supremo com respeito a $t$, segue que $(v_k)$ e de Cauchy em $C([0,T];B)$.Etapa 4. Tome $\varepsilon>0$. Escolha $\eta>0$ tal que $2C_1\eta<\frac{\varepsilon}{2}$ e seja $C_\eta$ a constante dada pelo Lema 4.1. Como $(v_k)$ e de Cauchy em $C([0,T];B)$, existe $N\in\mathbb{N}$ tal que$$k,m>N\quad\Longrightarrow\quad \|v_k(t)-v_m(t)\|_B<\frac{\varepsilon}{2C_\eta},\qquad\forall\ t\in[0,T].$$Assim, pelo Lema 4.1,$$k,m>N\quad\Longrightarrow\quad \|v_k(t)-v_m(t)\|_X\leq \eta\|v_k(t)-v_m(t)\|_A+C_\eta\|v_k(t)-v_m(t)\|_B<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}$$para todo $t\in[0,T]$. Portanto,$$k,m>N\quad\Longrightarrow\quad \sup_{t\in[0,T]}\|v_k(t)-v_m(t)\|_X\leq \varepsilon,$$ou seja, $(v_k)$ e de Cauchy em $C([0,T];X)$.$\square$Referencias[1] ADAMS, R. A., AND FOURNIER, J. J. F. Sobolev Spaces. Academic Press, Amsterdam, 2003.[2] BOYER, F., AND FABRIE, P. Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models. Springer, New York, NY, 2013.[3] CAVALCANTI, M. M., AND CAVALCANTI, V. N. D. Introducao as Equacoes Diferenciais Parciais. UEM/DMA, Maringa, PR, 2010.[4] DIESTEL, J., AND UHL, J. Vector measures. American Mathematical Society, Providence, RI, 1977.[5] EVANS, L. C. Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998.[6] FILHO, M. C. L., LOPES, H. J. N., AND ZHENG, Y. Weak solutions for the equations of incompressible and inviscid fuid dynamics. 1999.[7] KUTTLER, K. Modern Analysis. CRC Press, Boca Raton, FL, 2000.[8] LIONS, J. L. Quelques Methodes de Resolution des Problemes aux Limites non Lineaires. Dunod, Paris, 1969.[9] MEDEIROS, L. A. Topicos em Equacoes Diferenciais Parciais - Parte I. UFRJ/IM, Rio de Janeiro, RJ, 2006.[10] ROUBICEK, T. Nonlinear Partial Differential Equations with Applications. Birkhauser Verlag, Berlin, 2005.[11] TEMAM, R. Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis. North-Holland