entao $y^2=\cos^2(x)$ e a derivada de $\left(y^2\right)^\prime = 2\cos(x)\cdot \left(-\text{sen}(x)\right)$ e nao somente $2\cos(x)$. Deste modo, continuamos nosso problema escrevendo:\begin{equation*}4x^3 + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 2\end{equation*}Agora, isolamos $dy/dx$:\begin{equation*}\frac{dy}{dx} = \frac{2-4x^3}{2y} = \frac{1-2x^3}{y}\end{equation*}Exemplo $3$:A regra do produto e utilizada quando em um ou mais termos da equacao aparece um produto entre as variaveis $x$ e $y$, tal como $xy$. Vamos considerar a equacao $3x^2 +y^3+xy=x+1$. Para derivarmos implicitamente, aplicamos o operador diferencial $d/dx$ em ambos os membros da equacao:\begin{equation*}\frac{d}{dx} \left(3x^2 + y^3 + xy\right) = \frac{d}{dx} \left(x+1 \right)\\\ \\\frac{d}{dx}\left(3x^2 \right) + \frac{d}{dx} \left(y^3 \right) + \frac{d}{dx} \left(xy \right) = \frac{d}{dx} \left(x\right) \frac{d}{dx} \left(1\right)\end{equation*}A derivada de $3x^2$ e $6x$. Para a derivada de $y^3$, aplicamos a regra da cadeia, obtendo $\displaystyle 3y^2\left( \frac{d}{dx}~y\right)$. Para a derivada de $xy$, aplicamos a regra do produto, obtendo $\displaystyle 1y + x \frac{dy}{dx}$. A derivada de $x$ e $1$ e da constante $1$ e zero. Assim:\begin{equation*}6x +3y^2 \frac{d}{dx}(y) + \left(y+x\frac{dy}{dx}\right) = 1\\\ \\6x + 3y^2 \frac{dy}{dx} + y + x\frac{dy}{dx} = 1\\\ \\\left(3y^2 + x \right) \frac{dy}{dx} = 1-y-6x\\\ \\\frac{dy}{dx} = \frac{1-y-6x}{3y^2+x}\end{equation*}Exemplo $4$:Vamos encontrar a derivada implicita da seguinte equacao envolvendo seno e cosseno $3x^2y^3+4~\text{sen}(y)=\cos(x)$.Iniciamos diferenciando termo a termo ambos os membros da equacao:\begin{equation*}\frac{d}{dx} \left(3x^2y^3+4~\text{sen}(y)\right) = \frac{d}{dx} cos(x)\\\ \\3\frac{d}{dx}\left(x^2y^3\right) + 4\frac{d}{dx}\left(\text{sen}(y)\right) = \frac{d}{dx} \left(\cos(x)\right) \end{equation*}Para derivarmos $x^2y^3$, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. Ja para a derivada de $\text{sen}(y)$, aplicamos a regra da cadeia. E para a derivada de $\cos(x)=-\text{sen}(x)$ . Assim:\begin{equation*}3\left[ \frac{d}{dx} \left(x^2\right)\right]y^3+3x^2\left[ \frac{d}{dx}\left( y^3 \right) \right]+4\frac{d}{dx}\left[\text{sen}(y)\right] = \frac{d}{dx}\left[ \cos(x) \right]\\\ \\6xy^3 + 9x^2y^2\frac{dy}{dx}+4\cos(y)\frac{dy}{dx} = -\text{sen}(x)\\\ \\\left(9x^2y^2+4\cos(y)\right)\frac{dy}{dx} = -\text{sen}(x)-6xy^3\\\ \\\frac{dy}{dx} = \frac{-\text{sen}(x)-6xy^3}{9x^2y^2+4\cos(y)} = -\frac{\text{sen}(x)+6xy^3}{9x^2+4\cos(y)}\end{equation*}Exemplo $5$:Assim como a regra do produto, podemos utilizar a regra do quociente quando em um ou mais termos da equacao aparece um quociente entre as variaveis $x$ e $y$, tal como $x/y$. Vamos considerar a equacao $x^3+y-\cfrac{2x}{y}=\ln(y)$. Para derivarmos implicitamente, aplicamos o operador diferencial $d/dx$ em ambos os membros da equacao:\begin{equation*}\frac{d}{dx}\left( x^3+y+\frac{2x}{y} \right)=\frac{d}{dx} \left(\ln(y)\right)\\\ \\\frac{d}{dx}\left(x^3\right)+\frac{d}{dx}\left(y\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{y}\right) = \frac{1}{y}\left(\ln (y)\right)\\\ \\3x^2+\frac{dy}{dx}+\left[ \frac{2 y-2x \frac{dy}{dx}}{y^2} \right] = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}\\\ \\3x^2+\frac{dy}{dx}+\frac{2}{y}-\frac{2x}{y^2}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\\\ \\\left( 1-\frac{1}{y}-\frac{2x}{y^2} \right)\frac{dy}{dx} = -3x^2-\frac{2}{y}\\\ \\\left(\frac{y^2-y-2x}{y^2} \right)\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2y-2}{y}\\\ \\\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{y^2-y-2x}\cdot \frac{(-3x^2y-2)}{y}\\\ \\\frac{dy}{dx} = \frac{y(-3x^2y-2)}{y^2-y-2x}\\\ \\\frac{dy}{dx} = \frac{y(3x^2y+2)}{2x+y-y^2}\end{equation*}Exemplo $6$:Neste exemplo, vamos utilizar a diferenciacao implicita para provar que a regra da potencia para expoentes inteiros no calculo de derivadas, tambem e valida para expoentes fracionarios. Vamos demonstrar que:\begin{equation*}\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}\end{equation*}para todo $n = p/q$.Iniciamos a prova para expoentes fracionarios introduzindo $y$ como a variavel dependente:\begin{equation*}y = x~^{p/q}\end{equation*}Elevamos ambos os membros a potencia $q$:\begin{equation*}y^q = x^p\end{equation*}Derivamos implicitamente em relacao a $x$, utilizando a regra da potencia para expoentes inteiros:\begin{equation*}q~u~^{q-1} \frac{dy}{dx} = p~x~^{p-1}\\\ \\\frac{du}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x~^{p-1}}{y~^{q-1}}\end{equation*}Podemos escrever $y~^{q-1}$ como $y^q \cdot y^{-1} = \cfrac{y^q}{y}$. Assim:\begin{equation*}\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x~^{p-1}}{\cfrac{y~^q}{y}}\end{equation*}Mas $y^2=x^p$ e $y = x^{p/q}$, assim:\begin{equation*}\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x~^{p-1}}{x~^p}\cdot x^{p/q}\\\ \\\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot x^{p-1-p} \cdot x^{p/q}\\\ \\\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot x^{-1} \cdot x^{p/q}\\\ \\\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot x~^{p/q~-1}\end{equation*}Finalizando a prova.Referencias:[1] Calculo com Geometria Analitica V1 - Simmons[2] Calculo V1 - Munem-FoulisVeja mais:Funcoes compostas e a regra da cadeiaAplicacao de derivada na determinacao de maximos e minimosAplicacao de derivada no estudo de reflexao e refracao de um raio de luz