a seguinte solucao geral de (24):(29) z(t) = Ce-(1-a)nt + s/nPara passarmos da solucao geral para a solucao definida, precisamosdeterminar C, o que faremos supondo que conhecemos z(0). Assim, fazendo t = 0em (29), obtemos:(30) z(0) = C + s/nDonde(30) C = Z(0) - s/nInserindo em (29) esta expressao de C, obtemos a solucao definida de(24).[O teste da validade desta solucao e apresentado em anexo, no finaldeste texto.]Agora precisamos voltar a variavel k. Dado que z = k1-a,tem-se que k = z1/(1-a). Fazendo essa substituicao em (31), obtemosa solucao definida na variavel k.A analise mais importante a fazer em relacao a (32) consiste em observarque, quando t tende a infinito, o primeiro termo dentro doscolchetes tende a zero, de modo que k(t) tende a (s/n)1/(1-a), que eum valor constante.Em outras palavras, a relacao K/L (simbolizada por k) possui um limitefinito de crescimento no modelo sem progresso tecnologico. E, sendo Y/L = (K/L)a,resulta que a relacao Y/L (simbolizada por y) tambem possui um limite finito decrescimento no modelo sem progresso tecnologico.Esta conclusao e intuitiva: sem progresso tecnologico, o aumento daquantidade de capital por trabalhador estara submetido a lei dos rendimentosdecrescentes, de modo que o produto marginal do capital tendera a zero. Ou seja, o produto portrabalhador em uma economia sem progresso tecnologico so podera crescer ate queeste limite finito seja alcancado.Antes deste limite, porem, o ritmo de crescimento do produto per capitapode ate ser acelerado, o que explica o fato de que alguns paisestecnologicamente muito atrasados crescam aceleradamente durante algum tempo.Ja para os paises tecnologicamente maduros, o ritmo de crescimento doproduto per capita depende essencialmente do ritmo do desenvolvimento tecnologico.O fato de que o MBS esta submetido a lei dos rendimentos decrescentesdecorre da forma da funcao de producao em termos de produto medio portrabalhador, qual seja: y = kaDiferenciando y em relacao a k e lembrando que 0<a<1, obtemos:dy/dk = aka-1 = a/k1-a.Portanto, dy/dk (produto marginal do capital por unidade de trabalho)diminui a medida que k aumenta, tendendo a zero quando k tende a infinito.3. Modelo com Progresso Tecnologico (MPT)3.1 Solucao para o Produto TotalVamos seguir o mesmo roteiro que seguimos no MBS.A funcao de producao macroeconomica que adotaremos e ainda aCobb-Douglas, so que agora com uma variavel referente ao progresso tecnologico.Esta variavel vai ser representada pela letra A.(33) Y(t) = AKaL(1-a)Tal como as variaveis K e L, a variavel A tambem e considerada funcao dotempo, de modo que na funcao de producao acima ela deve ser entendida comoA(t).Alem disso, tal como a variavel L, a variavel A tambem e tratada porSolow como exogena; e sua taxa geometrica de crescimento sera considerada constante esera designada por g. Todavia, considerando a dificuldade paraescolher um criterio de medicao de A, vamos seguir Solow e considerar A(0) = 1.Portanto,(34) A(t) = egtMantendo os criterios ja adotados no MBS, podemos reescrever a funcao deproducao do MPT da seguinte forma:(35) Y(t) = egtKaL01-ae(1-a)ntA funcao de acumulacao de capital passa a ser a seguinte:(36) dK/dt = sY = segtKaL01-ae(1-a)ntPodemos reescrever (36) da seguinte forma:(36) dK/dt = sKaL01-ae[g+(1-a)n]tTambem aqui, temos uma equacao diferencial que pode ser colocada sob aforma de