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Imagine a principio que um determinado evento e composto por duas etapas sucessivas e independentes, ou seja, os acontecimentos em uma etapa nada influenciam nos acontecimentos da outra etapa, de maneira que a primeira etapa possa ocorrer de p maneiras e que a segunda etapa possa ocorrer de q maneiras. Entao, o numero de maneiras de o evento ocorrer sera p*q.Esse e o Principio Fundamental da Contagem.Ele nao se limita apenas a eventos compostos por duas etapas, ou seja, o principio e aplicavel a eventos compostos por diversas etapas, desde que todas sejam independentes.Vejamos um exemplo.Joao Manoel pretende ir a uma festa no sabado a noite. Ele possui tres camisas de cores diferentes, uma calca social e uma jeans , um tenis e um sapato.De quantas maneiras distintas Joao Manoel pode se vestir para ir a festa escolhendo uma camisa, uma calca e um calcado?Resolucao:Para se vestir, Joao Manoel precisa tomar tres decisoes, todas independentes.Escolher a camisa.Escolher a calca.Escolher o calcado.Para a opcao 1, ele possui tres opcoes de escolha. A escolha da calca pode ser feita de duas maneiras diferentes, o mesmo numero de maneiras de se escolher o calcado.Entao, pelo Principio Fundamental da Contagem, o numero de maneiras de Joao Manoel se vestir para ir a festa e 3*2*2 = 12 A uniao de dois eventos e um unico evento que contem todos os elementos dos dois eventos que se deseja unir.Por exemplo: No lancamento de um dado, podemos criar varios eventos e depois determinar a uniao de alguns deles.A: Sair face par.B: Sair face impar.C: Sair face numero primo.D: Sair face multiplo de 5.A ou B.D ou C.A = {2, 4, 6}B = {1, 3, 5}C = {2, 3, 5}D = {5}AUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6}DUC = {1, 2, 3, 5}Obs.: A intersecao de dois eventos e um unico evento que contem os elementos em comum dois dois eventos.BC = {3, 5}AB = { }CD = {5}Exemplo: No lancamento de um dado honesto, determine a probabilidade de sair ou impar ou primo.A: Sair primo.B: Sair impar.A imagem a abaixo exibe o espaco amostral e os eventos.P(A ou B) = 4/6 0,666... 66,67%Em geral, podemos calcular a probabilidade da uniao da seguinte forma.P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)Vamos resolver o exemplo anterior utilizando a formula.P(A) = 3/6, P(B) = 3/6 e P(AB) = 2/6. Logo,P(AUB) = 3/6 + 3/6 - 2/6 = 4/6 0,666... 66,67% Como se sabe p ( pi ), e o numero mais famoso da historia universal, o qual recebeu um nome proprio, um nome grego, pois embora seja um numero, nao pode ser escrito com um numero finito de algarismos. O p representa a razao entre o perimetro do circulo e seu diametro.O numero p tem uma historia fascinante, que comecou acerca de 4000 anos atras. Antes de mais e importante focar que na historia do p, um dos passos fundamentais, consistiu em adquirir consciencia da constancia da razao entre o perimetro e o diametro de qualquer circulo, pois sem esta consciencia nunca se teria calculado o p . Inumeros povos andaram
a sua procura mesmo antes que chegassem a ter consciencia matematica. No velho testamento ( I Reis 7 : 23 ) le-se: " E ele ( Salomao ) fez tambem um lago de dez cubitos, de margem a margem, circular, cinco cubitos de fundo, e trinta cubitos em redor", este mesmo verso aparece tambem em II Cronicas 4 : 2. Esta passagem ocorre numa lista de especificacoes para o grande templo de Salomao, construido cerca de 950 a.C.. A circunferencia era, pois, seis vezes o raio, ou tres vezes o diametro. Isto significa que os antigos Hebreus se contentavam em atribuir a p o valor 3. Este valor foi muito possivelmente encontrado por medicao. Alguns aproveitam ridiculamente esta passagem da biblia para contestar que a biblia provem de Deus, pois dizem " Como p =3 e obviamente falso, a biblia nao pode provir de Deus...". Mas biblia nao e um livro de texto cientifico e esta passagem especifica nao foi escrita com a intencao de revelar o valor do p , mas para dar uma descricao do templo e dos objetos nele contidos. O valor 3 foi usado durante muito tempo por motivos religiosos e culturais em certas civilizacoes, como a dos Egipcios e a dos Babilonios, quando ja se conheciam, nessas mesmas civilizacoes determinacoes melhores. Os melhores valores Egipcios e Babilonios que se conhecem sao respectivamente 4 (8/9)2 = 3.16 e 3+1/8 = 3.125. No caso egipcio ignoramos como chegaram ao valor 4 (8/9)2, que se encontra no Papiro de Ahmes ou Rhind, gravado no segundo seculo a.C.. E este valor que se obtem experimentalmente, medindo a circunferencia de latas, pratos e cestas e dividindo-a pelos diametros respectivos. No caso Babilonio o valor 3+1/8 deduz-se de uma das Placas de Susa, unico exemplo conhecido nessas epocas do que parece ser familiaridade com um processo geral que, em principio, permite determinacoes tao exatas quanto se queira. Nao sabemos, em pormenor, de que modo os Babilonios chegaram a esta boa aproximacao. Arquimedes de Siracusa ( 287-212 a.C. ), pos maos a obra com expedientes novos, muito mais profundos. Sabia que p nao era racionalmente determinavel, ou, ao menos, o suspeitava. Assim sendo, propos-se descobrir um processo para a determinacao de p , o Metodo de Arquimedes , com a precisao que se desejasse. Este usou, processos geometricos, complicados mas gerais, que dao limites inferiores e superiores para p . Arquimedes utilizou alguns poligonos regulares, com um numero crescente de lados, ate chegar ao poligono de 96 lados, atraves do qual obteve a seguinte aproximacao de p , 3.1410 < p < 3.1428 Descobriu-se recentemente que, no ano 480 de nossa era, um certo engenheiro hidraulico de nome Tsu Chung- Chi ( 430-501 d.C. ), chegou a um valor de p extraordinariamente preciso, considerada a epoca em que foi calculado. O p de Tsu Chung- Chi, em nossa notacao decimal, oscilaria entre 3.1415926 e 3.1415927. Ignoramos como e que ele chegou a este resultado. A epoca do Renascimento Europeu trouxe, na altura devida, um novo mundo matematico. Entre os primeiros efeitos deste renascer esta
a necessidade de encontrar uma formula para o p. Descobriu-se entao a definicao nao geometrica de p e do papel "nao geometrico" deste valor. Assim se chegou a descoberta das representacoes de p por series infinitas. Um dos primeiros foi Wallis ( 1616-1703 ) com a formula, Uma outra formula que e por vezes atribuida a Leibniz ( 1646-1716), mas que parece ter sido primeiro descoberta por James Gregory (1638-1675 ) e A serie de Gregory converge lentamente, de tal forma que se pretendermos obter quatro casas decimais corretas temos que ter cerca de 10000 termos da serie. Esta formula e mais apropriada para o calculo computacional do que para o calculo humano. Contudo Gregory tambem demonstrou um resultado mais geral, - entao usando o facto seguinte conclui-se que, a qual converge mais rapidamente, pois para se obter quatro casas decimais correctas necessitamos apenas de nove termos da serie. Em 1706, John Machin introduziu uma variacao da serie de Gregory com um aumento significativo da convergencia. Ele conseguiu calcular o p com 100 casas decimais. A formula de Machin e uma das que ainda hoje e usada, pelos programas de computadores, para calcular os digitos do p . A formula encontrada por Machin e dada por, Um ingles chamado Shanks, usou a formula de Machin para calcular p ate as 707 casas decimais, das quais so 527 estavam corretas, publicando o resultado do seu trabalho em 1873. Em 1949 um computador foi usado para calcular p ate as 2000 casas decimais. Em 1961 conseguiu-se atraves de computacao a aproximacao de patraves de 100 265 casas decimais, mais tarde em 1967 aproximou-se ate as 500 000 casas decimais. Recentemente, David Bailey, Peter Borwein e Simon Plouffe contabilizaram 10 bilhoes de casas decimais para p , usando uma formula que da cada casa decimal do p individualmente, para cada n escolhido. E ainda importante focar, que o primeiro a usar o simbolo p , com o significado que este tem hoje em dia, foi o matematico ingles William Jones em 1706. O matematico suico Leonhard Euler em 1737 adoptou o simbolo que rapidamente se tornou uma notacao standard.
Considere um conjunto com m elementos. Cada disposicao ordenada dos m elementos e chamada de permutacao. Em outras palavras, cada mudanca de posicao dos elementos do conjunto e uma permutacao.Permutacao SimplesNas permutacoes simples, todos os m elementos do conjunto dado sao diferentes. Nesse caso, o numero de permutacoes distintas que podemos formar com os esses elementos ePm = m!Ex: Quantos anagramas possui a palavra AMOR?Como todas as letras das palavra AMOR sao diferentes, o numero total de anagramas e simplesmenteP4 = 4! = 4.3.2.1 = 24Ex: Quantas senhas de 5 algarismos, com todos os algarismos distintos pode-se formar, tendo a disposicao os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4?Tendo a disposicao 5 algarismos e nao podendo repeti-los, o numero total de senhas seraP5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120Permutacao com repeticaoNas permutacoes com repeticao, pelo menos um dos m elementos do conjunto se repete. Nesse caso, o numero de permutacoes distintas que podemos formar com esses elementos, consideramos que existem a, b e c elementos repetidos sera Ex: Quantos anagramas possui a palavra MATEMATICA?Como MATEMATICA possui letras repetidas (M=2, T=2 e A=3) o numero total de anagramas sera Na probabilidade, um experimento aleatorio e um experimento onde nao se pode prever o que vai acontecer. E um experimento que, ao seu repetido varias vezes, em condicoes bem semelhantes, exibe resultados em sua maioria distintos. Por exemplo; lancamento de um dado perfeito, lancamento de uma moeda sem vicios, etc.Espaco Amostral ()O conjunto de todos os resultados possiveis em um experimento aleatorio e chamado de espaco amostral.Por exemplo:No lancamento de um dado, = {1,2,3,4,5,6}.No lancamento de uma moeda, = {cara, coroa}.EventosQualquer subconjunto de um espaco amostral e um evento do experimento aleatorio.Por exemplo:No lancamento de um dado, podemos criar alguns eventos.A Sair face com numero par.B Sair face com numero impar.C Sair face com numero primo.D Sair face com numero maior do que 7.E Sair face com numero multiplo de 1.A={2,4,6}B={1,3,5}C={2,3,5}D={ }E={1,2,3,4,5,6}Os eventos D e E sao chamados respectivamente de eventos impossivel e certo, pois, o evento D nunca acontecera e o evento E sempre ocorrera. Vai dizer que o tempo nao parou naquele momento? Sabe quando alguem chega na tua vida, e muda tudo? Porque quando estou com voce oque eu mais quero e que o tempo pare, congele no seu sorriso aquele mesmo que voce faz sempre que te chamo deminha ou de meu amor mas a verdade e, nao importa se voce esta sorrindo ou nao, eu quero que o tempo pare sempre que estou com voce porque essa e a melhor hora do meu dia, sempre quando estou contigo e como se meu coracao nao fosse meu e sim nosso. Coloque ser feliz no topo da lista de suas prioridades. Nao tem ninguem que se compare a voce. Ela: Voce esqueceu de mim, nem me procura mais. Ele: Tem como esquecer de respirar? Ela: Nao. Ele: Entao nao tem como esquecer de voce. Sempre antes de dormir, fico imaginando como seria se voce estivesse aqui, se ainda estariamos acordados fazendo planos para amanha ou se ja estariamos dormindo de conchinha.
As vezes me imagino levando seu cafe da manha na cama e voce com aquela cara de surpresa. Fico imaginando um dia chuvoso a gente dentro de casa assistindo um filme daqueles que voce gosta de comedia romantica agarradinhos de baixo da coberta, pena que por enquanto e tudo imaginacao, imaginacao cruel que nos faz acreditar que um dia podera ser uma realidade.
Eu te amarei de uma forma da qual voce desconhece. Amarei seus defeitos, seus erros, seus medos. E muito facil amar um retrato, uma perfeicao, um sorriso, um olhar, um beijo. Mas e complexamente forte amar alguem por um choro, um desentendimento, uma irritacao. Raramente se ama alguem dessa forma, e relevante dizer que so pode se amar de tal maneira quando se conhece verdadeiramente tal pessoa. E facil entender, as aplicacoes do amor podem ser sensatas ou nao, podem ser vindas da paixao, ou nao. Quando de certo modo se afeicoa a alguem por seus defeitos, o relacionamento se torna duradouro e completo. Eu o amo por completo, seja nos sorrisos ou nas lagrimas, eu estarei ali, seja na corrida ou no descanso, eu te acompanharei, e quanto aos nossos defeitos? Que amemos eles mais do que as qualidades, isso garante o eterno. Diego Souza Eu acredito que o amor e capaz de vencer barreiras, acredito que ele va alem disso, e sei que todo esse sentimento, toda nossa historia, tudo que passamos pra estar juntos agora e o que ha de prevalecer no final, fases ruins qualquer casal tem, e e exatamente esse amor que nao deixa com que isso destrua uma relacao tao linda. Eu te amo cada dia mais um pouco, e vou sim lutar com todas as forcas para que dure pra sempre, meu amor. AMOR EU AMO TANTO VOCE! PS: EU TE AMAREI PRA SEMPRE. Luto! o jazz perdeu um talento :/ creditos: Julyana Souza ( Priminha *-*' ) O que e, o que e? E abrigo, e abandonoFaz dormir, mas tira o sonoE tao manso e tao vorazCausa guerra e sela a pazE prisao, e liberdadeE romance, e amizadeE encontro, e despedidaA missao maior da vidaO que e, o que e?Doce, as vezes tao amargoModerado, exageradoE estranho e tao normalLeve brisa ou vendavalE deserto, e um oasisUm dom de fazer milagresFaz cair e levantarFaz sorrir e faz chorarNa mesma medida pra homem ou mulherPra quem acredita e pra quem nao tem feQuem vai ser feliz sem um dia provarA emocao que e amarO amor e a respostaE entrega, e apostaPode ser rico ou pobreUm plebeu, ou um nobreE razao, e loucuraE doenca, e a curaSeja la onde forNa alegria, ou na dorO que vale e o amorO que e , o que ? Diva minha , eu te amo s2' Voce foi o maior dos meus casosDe todos os abracos o que eu nunca esqueciVoce foi dos amores que eu tiveO mais complicado e o mais simples pra mim. Voce foi o melhor dos meus errosA mais estranha historia que alguem ja escreveuE e por essas e outras que a minha saudadeFaz lembrar de tudo outra vez. Voce foi a mentira sinceraBrincadeira mais seria que me aconteceuVoce foi o caso mais antigoO amor mais amigo que me apareceuDas lembrancas que eu trago na vidaVoce e a saudade que eu gosto de terSo assim sinto voce bem perto de mim outra vez. OBS: Postem oque irao trazer na caixa de comentarios abaixo. Obrigado!1 pacote de fraldas
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Voce vai ser pra sempre meu destino, minha luz. ELA ESCREVEU PRA MIM! E eu que nao ia com a sua cara e voce muito menos com a minha, nossa amizade nasceu tao derrepente, voce se tornou tao especial so por MSN e orkut, e quando nao falo com voce me bate aquela saudade e nao sei como faco pra me distrair ate o tempo passar, voce e apenas a prima do meu namorado, mais voce e como se fosse minha prima tambem mais do que isso voce e como se fosse minha irma mais velha, aquela que sempre me da esporros e esporros, que briga comigo mesmo, que me xinga, que me conta ate que a sandalia arrebenta, isso e muito amor kk Nos temos muitas coisas em comum e aos poucos fomos percebendo isso, a primeira vez que eu te vi fui tao sem graca com vc ne? Pois e ciumes e ciumes haha, mais depois que construimos uma amizade virtualmente, e se vimos pela segunda vez foi maravilindo, voce correu pra me abracar, tiramos fotos e fotos pra ficar guardadas e marcadas ne? Mesmo que um dia eu nao esteja mais com o seu primo, espero que nossa amizade nao morra porque isso sera um desastre pra mim, voce se tornou tao especial pra mim, minha estrela-guia, te amo Thami Coutinho. <33 Nao ha ninguem que seja bom, a nao ser somente Deus (Lucas 18.19).Um classico problema filosofico diz que ou Deus nao e bom ou nao e poderoso, pois permite a existencia do mal - mas isso nao passa de um raciocinio falso. Quando o homem rico perguntou a Jesus sobre a vida eterna, comecou chamando-o de "Bom Mestre". A resposta desconcertante do Senhor foi uma pergunta: "Por que voce me chama de bom?". Ou: "Qual seu criterio para dizer que sou bom? O seu proprio?" E assim que funciono (e nao estou so): fulano e bom porque faz o que eu acho bom, ou e mau porque nao age conforme meu conceito de bom. Tomo a mim mesmo como padrao, um sintoma da velha doenca adquirida no Eden, quando o ser humano usurpou a "ciencia do bem e do mal", trocando a referencia de bem ou mal dada pelo Criador para usar o eu acho. "Bom" e um dos atributos divinos. Isto e, nas vas tentativas de descrever o ser auto-existente que criou o infinito e toda a realidade conhecida e por conhecer, e e a essencia de tudo e de todos, alguem disse que Deus e absoluto em todas as suas perfeicoes. E uma tentativa fragil de colocar em palavras aquilo que nem ao menos temos capacidade de compreender. Dizer "Deus e bom" e semelhante a dizer "o fogo e quente". Redundante: o fogo nao e quente porque eu acho. Deus e bom. Ponto final. Esqueca o "bom por que". Ele e absoluto, e as coisas ou pessoas que sao boas apenas manifestam um pouquinho desse atributo divino. Se ao sofrer nao entendo o mal, nem por isso o Criador deixou de ser bom - eu
e que ainda nao entendi muita coisa. Isso me da nova liberdade ao andar com ele, pois usufruo com gratidao o que considero bem, e pacientemente tolero o mal, sabendo que meu Pai e bom. Confio em sua bondade, haja o que houver. Desta forma, vivo com maior intensidade e liberdade, sem a falsa e ingenua expectativa de que Deus e uma especie de papai noel que me premiara se fizer boas acoes.Ganhe a liberdade vivendo com o Deus que e bom sempre!