a um importante teorema sobre otriangulo-retangulo, que inaugurou um novo conceito de demonstracao matematica.Mas enquanto a escola pitagorica do seculo VI a.C. constituia uma especie deseita filosofica, que envolvia em misterio seus conhecimentos, os"Elementos" de Euclides representam a introducao de um metodoconsistente que contribui ha mais de vinte seculos para o progresso dasciencias. Trata-se do sistema axiomatico, que parte dos conceitos e proposicoesadmitidos sem demonstracao (postulados o axiomas) para construir de maneiralogica tudo o mais. Assim, tres conceitos fundamentais - o ponto, a reta e ocirculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para todaGeometria chamada euclidiana, util ate hoje, apesar da existencia de geometriasnao-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditorios) dos deEuclides.O corpo como unidadeAs primeiras unidades de medida referiam-se direta ouindiretamente ao corpo humano: palmo, pe, passo, braca, cubito. Por volta de3500 a.C. - quando na Mesopotamia e no Egito comecaram a ser construidos osprimeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades maisuniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um unicohomem (geralmente o rei) e com essas medidas construiram reguas de madeira emetal, ou cordas com nos, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.Angulos e figurasTanto entre os sumerios como entre os egipcios, oscampos primitivos tinham forma retangular. Tambem os edificios possuiam plantasregulares, o que obrigava os arquitetos a construirem muitos angulos retos (de90o). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens ja resolviam oproblema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terraassinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas quefuncionavam a maneira de compassos: dois arcos de circunferencia se cortam edeterminam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta,formando os angulos retos.O problema mais comum para um construtor e tracar, porum ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior nao resolve esteproblema, em que o vertice do angulo reto ja esta determinado de antemao. Osantigos geometras, o solucionavam por meio de tres cordas, colocadas de modo aformar os lados de um triangulo-retangulo. Essas cordas tinham comprimentosequivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitagorasexplica porque: em todo triangulo-retangulo, a soma dos quadrados dos catetos eigual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao angulo reto). E 32+42=52, istoe, 9+16=25.Qualquer trio de numeros inteiros ou nao que respeitemtal relacao definem triangulos-retangulos, que ja na antiguidade forampadronizados na forma de esquadros.Para medir superficiesOs sacerdotes encarregados de arrecadar os impostossobre a terra provavelmente comecaram a calcular a extensao dos campos por meiode um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentandocom mosaicos quadrados uma superficie retangular, algum sacerdote deve ternotado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileirae repetir esse numero tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu aformula da area do retangulo: multiplicar a base pela altura.Ja para descobrir a area do triangulo, os antigosfiscais seguiram um raciocinio extremamente geometrico. Para acompanha-lo,basta tomar um quadrado ou um retangulo e dividi-lo em quadradinhos iguais.Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retangulo 12. Essesnumeros exprimem entao a area dessas figuras. Cortando o quadrado