Na figura a seguir, estao esbocados os graficos das funcoes quadraticas $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$.Com base no grafico, analise as relacoes entre $f$ e $g$:I. $f (x) = g( x) \forall x\in\mathbb{R}$II. $f (x 2) = g(x) \forall x\in\mathbb{R}$III. $f (x) = g(x + 2) \forall x\in\mathbb{R}$IV. $f (x + 2) = g(x) \forall x\in\mathbb{R}$V. $f (x) = g(x 2) \forall x\in\mathbb{R}$Estao corretas, somente:a) IV e Vb) II e IIIc) I , IV e Vd) I , II e IIIe) III e IVSOLUCAOComo cada uma das funcoes quadraticas interceptam um ponto do eixo das abscissas, entao, elas tem a forma $h(x)=a_h\cdot (x-x_h)^2$, onde $a_h\in\mathbb{R}$ e $x_h$ e a raiz da funcao $h$. Observando os graficos das funcoes $f$ e $g$, temos$$\left\{\begin{matrix}f(x) & = & (x+1)^2\\ g(x)&= &-(x-1)^2 \end{matrix}\right.$$Desta forma, podemos testar as relacoesI. $-g(-x)=-[-(-x-1)^2]=-[-(-1)^2(x+1)^2]=$$-[-(x+1)^2]=(x+1)^2=f(x)$II. $f(x-2)=(x-2+1)^2=(x-1)^2=-g(x)$III. $-g(x+2)=-[-(x+2-1)^2]=(x+1)^2=f(x)$IV. $f(x+2)=(x+2+1)^2=(x+3)^2\neq (x-1)^2=-g(x)$V. $-g(x-2)=-[-(x-2-1)^2]=(x-3)^2\neq f(x)$Alternativa D Um site da internet que auxilia os usuarios a calcularem a quantidade de carne que deve ser comprada para um churrasco considera que quatro homens consomem a mesma quantidade de carne que cinco mulheres. Se esse site aconselha que, para $11$ homens, devem ser comprados $4400$ gramas de carnes, a quantidade de carne, em gramas, que ele deve indicar para um churrasco realizado para apenas sete mulheres e igual a:(A) $2100$(B) $2240$(C) $2800$(D) $2520$(E) $2450$SOLUCAOSabe-se que a quantidade de carne comprada para $4$ homens e igual a quantidade de carne compra para $5$ mulheres e deve-se compra $4400 g$ de carne para $11$ homens. A fim de determinar a quantidade de carne que deve ser comprada para $7$ mulheres, vamos determinar a quantidade de homens que tem a mesma indicacao de carne para $7$ mulheres, sendo assim, seja $x$ essa quantidade: Homens Mulheres 4 5 $x$ 7 $$\dfrac{4}{x}=\dfrac{5}{7}\Rightarrow x=\dfrac{28}{5}$$Por fim, vamos determinar a quantidade $y$ de carne indicada para $\dfrac{28}{5}$ homens, em gramas.HomensCarne114400$\dfrac{28}{5}$y$$\dfrac{11}{\frac{28}{5}}=\dfrac{4400}{y}\Rightarrow y=\dfrac{4400\cdot 28}{11\cdot 5}=2240$$Como a quantidade de carne indicada para $7$ mulheres e igual a de $\dfrac{28}{5}$ homens, entao, a deve-se comprar $2240g$ de carne.Alternativa B Na figura abaixo, a area da regiao compreendida entre as curvas $y = x^2$ e $y = x + 2$ , em unidades de area, e igual a:a) $\dfrac{31}{6}$b) $\dfrac{9}{2}$c) $\dfrac{13}{6}$d) $\dfrac{1}{2}$e) $\dfrac{10}{3}$SOLUCAOVamos determinar os pontos de intersecao entre as curvas$$x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x_1=-1\text{ e } x_2=2$$Temos que a regiao sombreada esta entre as curvas no intervalo $x\in [-1,2]$, entao, sua area $A$ e determinada por:$$A=\int_{-1}^{2}[(x+2)-x^2]\text{d}x=\left.\left(-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x\right)\right|_{-1}^{2}$$$$A=\left(-\dfrac{8}{3}+2+4\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-2\right)=\dfrac{9}{2}$$Alternativa B Em uma sala estao presentes apenas tecnicos em edificacoes e tecnicos em informatica. O numero de tecnicos em edificacoes presentes na sala excede o de tecnicos em informatica em 4, e cada tecnico exerce apenas uma especialidade (edificacoes ou informatica). Sabe-se que seria necessario sortear ao acaso 20 pessoas da sala, no maximo, para garantir a formacao de 4 duplas de tecnicos, cada uma com um tecnico de cada especialidade. Sendo assim, o numero de tecnicos em edificacoes que estao presentes na sala e igual a (A) 26. (B) 18. (C) 24. (D) 16. (E) 28. SOLUCAOConsidere:$x$ o numero de tecnicos em informatica; e$x+4$ o numero de tecnicos em edificacoes.Como o objetivo e sortear ate 20 pessoas de