thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
$f(x)$ se aproxima consideravelmente para $5$, logo, podemos dizer que: $$ \lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ (2x+1) } =5$$Le-se: O limite de $2x+1$ quando $x$ tende a $2$ pela direita e igual a $5$. Nota: Perceba que dessa vez utilizamos o sinal de adicao, ao lado do $2$ para identificarmos que estamos trabalhando com o limite lateral direito dessa funcao. Uma vez que encontramos os dois limites laterais dessa funcao e identificamos que ambos os limites sao iguais, podemos simplesmente dizer que: $$ \lim _{ x\rightarrow { 2 }}{ (2x+1) } =5$$Le-se: O limite de $2x+1$ quando $x$ tende a $2$ e igual a $5$.Vamos partir para um novo exemplo a fim de fundamentarmos esse conteudo.Seja$$f\left( x \right) =\begin{cases} { x }^{ 2 }-4,\quad se\quad x>0 \\ 3-x,\quad se\quad x\le 0 \end{cases} $$Determine:$$ \lim _{ x\rightarrow {0}}{ f(x) }$$Perceba que essa funcao possui duas condicoes, ou seja, devemos considera-la como sendo ${ x }^{ 2 }-4$ quando $x>0$ e considera-la como sendo $3-x$ quando $ x\le 0$.Analisando o limite dessa funcao a direita de zero temos que a medida que aproximarmos o valor de $x$ a $0$ pela direita a funcao $f(x)$ ira se aproximar de $-4$, logo:$$ \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f(x) } =-4 $$Le-se: O limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $0$ pela direita e igual a $-4$.Analisando o limite dessa funcao a esquerda de zero temos que a medida que aproximarmos o valor de $x$ a $0$ pela esquerda a funcao $f(x)$ ira se aproximar de $3$, logo:$$ \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ f(x) } =3 $$Le-se: O limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $0$ pela esquerda e igual a $3$.Note que os limites laterais dessa funcao sao diferentes, portanto podemos afirmar que essa funcao nao possui limite quando $x$ tende a $0$ (zero), ou seja:$$ \lim _{ x\rightarrow { 0 }}{ f(x) } = \nexists $$Consideracoes FinaisNa aula de hoje aprendemos basicamente o que sao limites laterais e para que servem. Na proxima aula iremos aprender a realizar essa analise de limites laterais de uma maneira bem mais pratica e rapida utilizando os graficos das funcoes que iremos trabalhar. Para complementar essa aula de hoje deixo, ainda, como recomendacao de estudo que assistam a seguinte aula: Limites atraves de graficos de funcoes, do meu amigo Rafael Procopio do Canal Matematica Rio.E fundamental que voce pratique em casa como construir o grafico de funcoes basicas como: funcoes do primeiro e segundo grau, funcoes modulares, funcoes exponenciais entre outras. Recomendo que assistam as aulas do canal Vestibulandia do meu amigo Nerckie, la voce ira encontrar todas essas explicacoes sobre construcao de graficos de funcoes.Aula Anterior Proxima Aula
Pretende-se mostrar neste trabalho, por meio de um exemplo numerico e sem usar o rigor matematico que e proprio dos massacradores de cerebros, as distorcoes nos resultados, quando se usa a taxa media de inflacao dos periodos cosiderados, para calcular a taxa interna de retorno real (TIRR), ou seja, a RR do investimento, ao inves de se usar a taxa ocorrida em cada periodo.Por uma proposta de investimento, segundo (FARO, $1990$), entende-se a inversao de capital num determinado empreendimento, quer seja ele uma aplicacao no mercado de capitais ou no projeto de uma fabrica, com a finalidade de obtencao de receitas. E por rentabilidade real entende-se como sendo a TIRR do investimento, ou seja, a rentabilidade em moeda constante.Como a taxa de inflacao por periodo e variavel com o tempo, o que e o caso comum, iremos analisar uma proposta de investimento hipotetica. Caso algum investidor venha a se defrontar com um caso real no seu dia a dia, basta substituir os valores hipoteticos pelos valores reais, e aplicar a metodologia a seguir.1.1 Proposta de Investimento Constituida por um Unico Recebimento Suponha que alguem invista, hoje, em regime de juros compostos, $R\$ 10.000,00$ e obtenha no fim de dois meses o montante de $R\$ 13.800,00$. Sabendo-se que a inflacao do $1o$ e $2o$ meses foi, respectivamente, $3\%$ e $4\%$, pergunta-se: qual a RR do investimento? 1.1.1 Usando a Inflacao de cada PeriodoSe a inflacao do 1o e 2o meses foi, respectivamente, de $3\%$ e $4\%$, logo, a inflacao acumulada dos dois meses foi:$$\left[ (1,03)\cdot (1,04)\quad \quad 1 \right] \cdot 100=7,12\%$$Deflacionando os $R\$ 13.800,00$, obtem-se:$$ \frac { R$13.800,00 }{ 1,0712 } =R$12.882,75 $$O diagrama de fluxos de caixa (DFC), em termos de poder de compra, ou seja, em moeda constante, e o seguinte:Calculando a RR, encontra-se:$$ 1000=\frac { 12882,75 }{ { \left( 1+RR \right) }^{ 2 } } \\ RR=13,50\% $$1.1.2 Usando a Formula da Taxa RealA formula que nos da a taxa real de um investimento, e a seguinte:$$ { i }_{ r }=\left( \frac { 1+{ i }_{ a } }{ 1+{ I }_{ M } } - 1 \right) \cdot 100 $$Onde: ${ i }_{ r }$ = Taxa real do investimento${ i }_{ a }$ = Taxa aparente do investimento${ I }_{ M }$ = taxa media de inflacaoA taxa aparente do investimento e a taxa interna de retorno, quando nao se leva em consideracao a taxa de inflacao, respectivamente, de $3\%$ e $4\%$ do $1o$ e $2o$ meses. O DFC em moeda corrente e o seguinte:Calculando a rentabilidade do investimento em moeda corrente, ou seja, a rentabilidade aparente, obtem-se:$$ 1000=\frac { 13800 }{ { \left( 1+{ i }_{ a } \right) }^{ 2 } } \\ { i }_{ a }=17,47\% $$Se a inflacao do $1o$ e $2o$ meses foi, respectivamente, de $3\%$ e $4\%$, logo, a taxa media de inflacao (TMI) foi:$$ TMI=\left[ \sqrt { \left( 1,03 \right) \cdot \left( 1,04 \right) } \quad -\quad 1 \right] \cdot 100=3,5\% $$Substituindo os valores da ${ i }_{ a }$ e da TMI na formula da taxa real, obtem-se:$$
{ i }_{ r }=\left( \frac { 1,1747 }{ 1,035 } -1 \right) \cdot 100=13,5\% $$1.1.3 Usando a Taxa Media de Inflacao (TMI)Se a taxa de inflacao do $1o$ e $2o$ meses foi, respectivamente, de $3\%$ e $4\%$, a TMI como foi visto no item $1.1.2$, foi de $3,5\%$ a.m. Como os $R\$ 13.800,00$, do $2o$ mes, vao ser deflacionados com a taxa de inflacao acumulada do $1o$ e $2o$ meses, e como a taxa de inflacao acumulada e a mesma tanto usando a taxa media de inflacao como a inflacao de cada mes, entao, a RR do investimento usando a TMI, tambem e a mesma, ou seja, $13,5\%$ a.m. ConclusaoSe uma proposta de investimento for constituida de um unico recebimento, e indiferente usar: ou a inflacao de cada periodo, ou a taxa media de inflacao ou a formula da taxa real, para se determinar a rentabilidade real de um investimento.Sera que se uma proposta de investimento for constituida por mais de um recebimento, chega-se a mesma conclusao? E o que veremos a seguir.1.2 Proposta de investimento Constituida por mais de um Recebimento Suponha que alguem invista, hoje, em regime de juros compostos, $R\$ 1.000,00$, numa instituicao financeira, por dois meses, e obtenha em cada mes $R\$ 800,00$. Se durante os dois meses a taxa de inflacao foi de $4\%$ no $1o$ mes e de $5\%$ no $2o$, qual foi a RR do investimento, ou seja, a rentabilidade mensal do investimento em termos de poder de compra?1.2.1 Usando a Taxa Media de Inflacao Se a taxa de inflacao do $1o$ e $2o$ meses foi, respectivamente, de $4\%$ e $5\%$, logo, em regime de juros compostos, a taxa media de inflacao e dada por:$$ TMI=\left[ \sqrt { \left( 1,04 \right) \cdot \left( 1,05 \right) } \quad -\quad 1 \right] \cdot 100=4,5\% \quad a.m.$$ Deflacionando os $R\$ 800,00$ do 1o mes:$$ \frac { R\$ 800,00 }{ 1,045 } =R\$ 765,55 $$Deflacionando os $R\$ 800,00$ do 2o mes:$$ \frac { R\$ 800,00 }{ \left( 1,045 \right) \cdot \left( 1,05 \right) } =R\$729,10 $$O DFC em moeda constante e o seguinte:Calculando a RR, encontra-se:$$ RR=31,85\%\quad a.m. $$E caso a inflacao de cada mes tivesse sido de $5\%$ e $4\%$ ao inves de $4\%$ e $5\%$, qual seria, agora, a RR do investimento? Ora, seria a mesma; haja vista que a TMI nao se alteraria.Sera que se chega a mesma conclusao fazendo a analise do investimento com a taxa de inflacao de cada mes, ao inves de se usar a taxa media de inflacao? E o que veremos a seguir. 1.2.2 Usando a Inflacao de Cada MesComo a taxa de inflacao, no $1o$ e $2o$ meses foi, respectivamente, de $4\%$ e $5\%$, logo, deflacionando os $R\$ 800,00$ do $1o$ mes:$$ \frac { R\$ 800,00 }{ 1,04 } =R\$ 769,23 $$Deflacionando os $R\$ 800,00$ do $2o$ mes:$$ \frac { R\$ 800,00 }{ \left( 1,04 \right) \cdot \left( 1,05 \right) } =R\$ 732,60 $$O DFC e o seguinte: Calculando a RR, encontra-se:$$ RR = 32,30\%\quad a.m. $$Nos item $1.2.1$ e $1.2.2$ as RR's falam por si, ou seja, a
RR do investimento quando se usa a taxa de inflacao por periodo e um pouco maior do que a RR do investimento quando se usa a taxa media de inflacao. A RR do investimento cresce ainda mais, quando se usam as taxas de inflacao por periodo, a medida que essas taxas se distanciam umas das outras.1.2.3 Mudando a Ordem de Ocorrencia da InflacaoSuponha que no exemplo em estudo, a inflacao tenha sido, no $1o$ e $2o$ meses, respectivamente, $5\%$ e $4\%$, ao inves de $4\%$ e $5\%$, qual sera, agora, a RR do investimento? Deflacionando os $R\$ 800,00$ do 1o mes:$$ \frac { R\$ 800,00 }{ 1,05 } =R\$ 761,90 $$Deflacionando os $R\$ 800,00$ do $2o$ mes:$$ \frac { R\$ 800,00 }{ \left( 1,05 \right) \cdot \left( 1,04 \right) } =R\$ 732,60 $$O DFC e o seguinte: Calculando a RR, encontra-se:$$ RR = 31,78\% \quad a.m. $$1.2.4 Usando a Formula da Taxa Real Por ser correto o uso da formula da taxa real na determinacao da RR de uma proposta de investimento, quando esta e constituida de um unico recebimento, isso induz, a um analista de investimento, a usar, incorretamente, a formula da taxa real na determinacao da RR de uma proposta de investimento com mais de um recebimento. E o que veremos a seguir.O DFC, sem se levar em consideracao a taxa de inflacao do $1o$ e $2o$ meses, e o seguinte: Calculando a ${i}_{a}$, do DFC acima, encontra-se:$${i}_{a} = 37,98\% \quad a.m. $$A TMI, de acordo com o resultado obtido no item 1.2.1., e:$$TMI = 4,5\%$$Calculando a RR por meio da formula da taxa real, obtem-se:$$ { i }_{ r }=\left( \frac { 1,3798 }{ 1,045 } -1 \right) \cdot 100=32,04\%\quad a.m.\quad \text{(Errado)} $$Vejamos a seguir por que a RR de $32,04\% $ a.m. nao e a correta.Conforme os resultados obtidos nos itens $1.2.2$ e $1.2.3$, a RR do investimento e de $32,30\%$ a.m. para uma inflacao de $4\%$ no $1o$ mes e $5\%$ no $2o$ ou $31,78\%$ a.m. para uma inflacao de $5\%$ no $1o$ mes e $4\%$ no $2o$. Portanto, a RR correta e de $32,30\%$ a.m. ou $32,78\%$ a.m.; e nao $32,04\%$ a.m. Suponha que no exemplo apresentado, a taxa de inflacao tivesse se mantido constante no $1o$ e $2o$ meses. Vamos supor $5\%$. Se a taxa de inflacao fosse de $5\%$ no $1o$ e $2o$ meses, e claro que a taxa media de inflacao seria tambem de $5\%$ a.m.Deflacionando os $R\$ 800,00$ do $1o$ mes, obtem-se: $$ \frac { R\$ 800,00 }{ 1,05 } =R\$ 761,90 $$Deflacionando os $R\$ 800,00$ do $2o$ mes, encontra-se:$$ \frac { R\$ 800,00 }{ { \left( 1,05 \right) }^{ 2 } } =R\$ 725,62 $$O DFC, em moeda constante, e o seguinte:Calculando a RR do DFC acima, encontra-se:$$ RR = 31,41\%\quad a.m. $$Ja que a ${i}_{a}$ do investimento foi de $37,98\%$ a.m., conforme resultado do item $1.2.4$, e a TMI foi de $5\%$ a.m., logo, a RR do investimento e dada por:$$ { i }_{ r }=\left( \frac { 1,3798 }{ 1,05 } -1 \right) \cdot 100=31,41\%\quad a.m. $$A RR do
investimento, nos dois casos, foi de 31,41% a.m., o que nos assegura ser correto o novo processo de calculo, da RR do investimento, usando a formula da taxa real.Conclusao Caso alguem aplique $R\$ 1.000,00$, hoje, em regime de juros compostos, durante dois meses, e obtenha em cada mes $R\$ 800,00$, se a inflacao por hipotese for, respectivamente, de $4\%$ e $5\%$ ou $5\%$ e $4\%$ no $1o$ e $2o$ meses, a TIRR (Taxa Interna de Retorno Real) do investimento (ou a RR do investimento) sera:a) $17,46\%$, em ambos os casos, quando se considera a taxa media de inflacao (Item $1.2.1$) ou a formula da taxa real (Item $1.2.4$); b) $32,30\%$ a.m., quando se considera a inflacao de $4\%$ e $5\%$ cada mes (Item $1.2.2$);c) $31,78\%$ a.m., quando se muda a ordem de ocorrencia da inflacao de $4\%$ a.m. e $5\%$ a.m. para $5\%$ a.m. e $4\%$ a.m. para cada mes. (Item $1.2.3$).Mesmo sendo igual a inflacao acumulada, ou seja:$$ (1,04)\cdot (1,05)1=(1,05)\cdot (1,04)1 $$Nas duas hipoteses, a TIRR (Taxa Interna de Retorno Real) do investimento (ou a RR do investimento) foi diferente:- $32,30\%$ a.m. para uma inflacao acumulada de:$$(1,04)\cdot (1,05)1$$- $31,78\%$ a.m. para uma inflacao acumulada de:$$(1,05)\cdot (1,04)1$$Ha ainda um fato marcante a se observar nas letras "b" e "c": a inflacao sendo mais intensa no $1o$ mes e depois decrescendo no $2o$, conduz ao resultado de menor TIRR, letra "c"; e inversamente, quando a inflacao comeca em menor escala no $1o$ mes e depois crescendo no $2o$, letra "b". Ja na letra "a", como a inflacao media mensal e a mesma, esse fato nao e percebivel. Portanto, e desaconselhavel, totalmente, a utilizacao da taxa media de inflacao e da formula da taxa real, nas tomadas de decisao sobre a rentabilidade real de uma proposta de investimento, quando ela e constituida por mais de um pagamento ou recebimento. O correto e usar a inflacao de cada periodo, caso ela seja variavel com o tempo. Se a inflacao se mantiver constante, com o tempo, entao, e indiferente usar: a taxa media de inflacao, a formula da taxa real ou a inflacao de cada periodo. ImportanteEste e um artigo criado por Sebastiao Vieira do Nascimento, conhecido por todos como Seba. Ele e graduado em Economia pela UFPB Universidade Federal da Paraiba e mestre em Engenharia de Producao tambem pela UFPB. E professor titular aposentado da UFCG Universidade Federal de Campina Grande PB.Durante os vinte e sete anos que atuou como professor, lecionou as seguintes disciplinas: Matematica Financeira, Engenharia Economica e Pesquisa Operacional. Atualmente, dedica seu tempo escrevendo livros sobre as areas em que atuou e sobre Teoria dos Numeros. Desde sua aposentadoria ate hoje, ele ja publicou sete livros pela Editora Ciencia Moderna.
No dia 5 janeiro de 2017 completamos 5 anos de existencia na web. Mais uma vez estamos comemorando essa data tao importante para nosso site. Nesse curto periodo de tempo aprendemos muitas coisas, divulgamos muitos assuntos, criamos inumeros conteudos e conhecemos varias pessoas. Enfim, contribuimos, da melhor maneira possivel, nesse pequeno periodo de tempo, para que voce pudesse atingir o aprendizado em matematica desejado.Para quem acompanha meus artigos aqui no Vivendo entre Simbolos sabe que toda vez que comemoramos um aniversario faco questao de mencionar como e dificil criar e manter um site de matematica na web por tanto tempo. Muitas sao as pessoas que criam blogs e desistem em menos de um ano de existencia, isso porque se dedicar a um blog e procurar criar artigos de qualidade neles nao e uma tarefa facil.Felizmente tenho obtido muito exito com os artigos publicados aqui no Vivendo entre Simbolos, desde os artigos do Curso de Calculo a artigos mais gerais sobre assuntos diversos de matematica. Atualmente temos uma media de 10.000 a 15.000 acessos diariamente em nosso site. Isso nos da uma media de 450.000 acessos mensais, ou seja, temos quase meio milhao de visitas em nosso humilde site todos os meses desde que atualizamos nosso template. Isso sem duvidas me deixa muito feliz. O carinho e a gratidao que os leitores desse site demonstram em seus comentarios e sem explicacao. Todos os dias recebo comentarios e e-mail's de pessoas agradecendo por meus artigos que foram publicados e que, de alguma forma, contribuiram para seus aprendizados. Todos os dias pessoas se inscrevem em nosso Feed de Noticias para acompanhar novos artigos, tanto e que, em apenas um ano, aumentamos nosso numero de assinantes em mais 2000, totalizando +5323 assinantes em nosso site atualmente.Em nossa pagina do Facebook tambem temos muitas pessoas que apoiam nosso projeto e que participam diariamente seja curtindo, compartilhando, comentando ou, simplesmente, visualizando nossas publicacoes. Atualmente temos +4000 curtidas em nossa pagina oficial no Facebook. Esses numeros sao o melhor pagamento que alguem poderia desejar ter em um site de matematica. E por esses motivos que estamos na web ate hoje, firmes e fortes criando materiais de qualidade para que voce tenha o melhor aprendizado possivel. Como e de costume eu nao poderia deixar de agradecer as pessoas que fizeram com que tudo isso fosse possivel atualmente, voce leitor. A voce que visita, sempre que pode, meus artigos desejo todo o sucesso do mundo e o meu muitissimo obrigado. Gostaria de deixar um agradecimento especial para os parceiros, quer dizer, amigos mais proximos que conquistei ao longo desse tempo aqui no Vivendo entre Simbolos, que sao Charles Bastos, Edigley Alexandre e Kleber Kilhian. Esses grandes blogueiros part-time sao grandes amigos meus e ja me ajudaram bastante, todos esses anos, a crescer com meu site e torna-lo o que ele e hoje. Um feliz 2017 a todos voces e muito sucesso em seus estudos. Estou dando inicio a aula 5 do curso: Como Aprender Calculo Diferencial e Integral. Na aula de hoje vamos estudar sobre as propriedades operatorias dos limites, conteudo
de grande importancia quando estamos trabalhando com limites. Ja pensou ter que resolver limites pela definicao toda vez? Seria muito complicado e chato nao e mesmo? Com o conteudo de hoje voce vai aprender caminhos e metodos mais faceis para encontra-los.Propriedades Basicas dos LimitesAbaixo voce vai conhecer os dois limites mais basicos de se aprender quando estudamos as propriedades de limites. Seja $f(x)=x$ e $k$ uma constante, temos:Propriedade 1: O limite de uma funcao $f(x)=x$ sera equivalente ao valor que o "$x$" se aproxima, no caso abaixo, o limite da funcao $f(x)$ sera "$p$", pois este e valor em que "$x$" esta se aproximando.$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow p }{ x=p } } $$ Exemplos:$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ x=3 } $$$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ x=5 } $$$$ \lim _{ x\rightarrow \pi }{ x=\pi } $$Propriedade 2: O limite de uma constante e a propria constante.$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ k=k } $$ Exemplos:$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ 9=9 } $$$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \pi =\pi } $$$$ \lim _{ x\rightarrow +\infty }{ 12=12 } $$Principais Propriedades dos LimitesSeja $k$ uma contante, $\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)=L } $ e $\lim _{ x\rightarrow p }{ g(x)=M }$ e $ n\in { N }^{ \ast } $, entao:Propriedade 3: O limite da soma entre duas funcoes e equivalente a soma dos limites dessas funcoes. $$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ f(x)+g(x) \right] =L+M=\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)+\lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) } } } $$ Exemplos:$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( { x }+4 \right) = } \lim _{ x\rightarrow 1 }{ { x }+\lim _{ x\rightarrow 1 }{ 4=1+4=5 } } $$$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left( 3x+7 \right) =\lim _{ x\rightarrow 5 }{ { 3x }+\lim _{ x\rightarrow 5 }{ 7=15+7=22 } } } $$Propriedade 4: O limite da diferenca entre duas funcoes e equivalente a diferenca dos limites dessas funcoes.$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ f(x)-g(x) \right] =L-M=\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)-\lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) } } } $$ Exemplos:$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left( { x }-7 \right) = } \lim _{ x\rightarrow 5 }{ { x }-\lim _{ x\rightarrow 5 }{ 7=5-7=-2 } } $$$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x-1 \right) =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ { 4x }-\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 1=8-1=7 } } } $$Propriedade 5: O limite de uma constante por uma funcao e equivalente ao produto da constante pelo limite da funcao.$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ k\cdot f(x) \right] =k\cdot L=k\cdot \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } } $$ Exemplos:$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left[ 3\cdot \left( { 4x }+7 \right) \right] = } 3\cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left( { 4x }+7 \right) } \right] =3\cdot \left[ 4\cdot 5+7 \right] =3\cdot 27=81$$$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left[ 2\cdot \left( { x }+1 \right) \right] = } 2\cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x+1 \right) } \right] =2\cdot \left[ 1+1
\right] =2\cdot 2=4 $$ Propriedade 6: O limite do produto entre duas funcoes e equivalente ao produto dos limites dessas funcoes. $$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ f(x)\cdot g(x) \right] =L\cdot M=\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } \cdot \lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) } } $$ Exemplos:$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \left( 2x \right) \cdot \left( x+4 \right) \right] = } \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 2x } \right] \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+4 \right) } \right] =4\cdot 6=24$$$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \left( { x }^{ 3 } \right) \cdot \left( x-1 \right) \right] = } \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { x }^{ 3 } } \right] \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x-1 \right) } \right] =8\cdot 1=8 $$Propriedade 7: O limite da divisao entre duas funcoes e equivalente a divisao entre os limites dessas funcoes se, e somente se, o limite da funcao que fica no denominador for diferente de zero, no caso abaixo, a propriedade e valida se $ \lim _{ x\rightarrow p }{ g(x)\neq 0 } $.$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ \frac { f(x) }{ g(x) } \right] =\frac { L }{ M } =\frac { \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } }{ \lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) } } } $$ Exemplos:$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( 4x \right) }{ \left( x+2 \right) } \right] = } \frac { \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4x } \right] }{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+2 \right) } \right] } =\frac { 8 }{ 4 } =2$$$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { \left( 8x \right) }{ \left( 3x-3 \right) } \right] = } \frac { \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ 8x } \right] }{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x-3 \right) } \right] } =\frac { 24 }{ 6 } =4 $$Propriedade 8: O limite de uma funcao elevada a $n$ e equivalente ao limite elevado a $n$ dessa funcao.$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ { \left[ f(x) \right] }^{ n }={ { \left( L \right) }^{ n }=\left[ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } \right] }^{ n } } $$ Exemplos:$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \left[ x+2 \right] }^{ 3 }= } { \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \left( x+2 \right) } } \right] }^{ 3 }={ \left( 4 \right) }^{ 3 }=64$$$$ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ { \left[ 3x-1 \right] }^{ 2 }= } { \left[ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ { \left( 3x-1 \right) } } \right] }^{ 2 }={ \left( 11 \right) }^{ 2 }=121$$Outras Propriedades Importantes de LimitesAs propriedades abaixo sao pouco conhecidas, mas sao de grande importancia em alguns casos para resolucao de limites, por isso e importante conhecer e aprender cada uma delas.Seja $k$ uma contante, $\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)=L } $ e $ n\in { N }^{ \ast } $, entao:Propriedade 9: O limite da raiz enesima de uma