deram o nome umtanto abstruso de "regra da falsa posicao". A algebra do Egito, como a da Babilonia, era retorica.O sistema de numeracao egipcio, relativamente primitivo em comparacao com o dos babilonios, ajuda a explicar a falta de sofisticacao da algebra egipcia. Os matematicos europeus do seculo XVI tiveram de estender a nocao indo-arabica de numero antes de poderem avancar significativamente alem dos resultados babilonios de resolucao de equacoes. Algebra geometrica gregaA algebra grega conforme foi formulada pelos pitagoricos e por Euclides era geometrica. Por exemplo, o que nos escrevemos como:(a+b)2 = a2 + 2ab + b2era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposicao 4:Se uma linha reta e dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda e igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retangulo que as partes contem. [Isto e, (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.]Somos tentados a dizer que, para os gregos da epoca de Euclides, a2 era realmente um quadrado.Nao ha duvida de que os pitagoricos conheciam bem a algebra babilonica e, de fato, seguiam os metodos-padrao babilonios de resolucao de equacoes. Euclides deixou registrados esses resultados pitagoricos. Para ilustra-lo, escolhemos o teorema correspondente ao problema babilonio considerado acima.Do livro VI dos Elementos, temos a proposicao 28 (uma versao simplificada):Dada uma linha reta AB [isto e, x+y=k], construir ao longo dessa linha um retangulo com uma dada area [xy = P], admitindo que o retangulo "fique aquem" em AB por uma quantidade "preenchida" por outro retangulo [o quadrado BF na Figura 2], semelhante a um dado retangulo [que aqui nos admitimos ser qualquer quadrado].Na solucao desta construcao solicitada (Fig.2) o trabalho de Euclides e quase exatamente paralelo a solucao babilonica do problema equivalente. Conforme indicado por T.L.Heath / EUCLID: II, 263/, os passos sao os seguintes: Bissecte AB em M: k/2 Construa o quadrado MBCD: (k/2)2 Usando VI, 25, construa o quadrado DEFG com area igual ao excesso de MBCD sobre a area dada P: t2 = (k/2)2 - P Entao e claro que y = (k/2) - t Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante - neste caso, x=(k/2)+t, o que Euclides certamente percebeu mas nao formulou.E de fato notavel que a maior parte dos problemas-padrao babilonicos tenham sido "refeitos" desse modo por Euclides. Mas por que? O que levou os gregos a darem a sua algebra esta formulacao desajeitada? A resposta e basica: eles tinham dificuldades conceituais com fracoes e numeros irracionais.Mesmo que os matematicos gregos fossem capazes de contornar as fracoes, tratando-as como razoes de inteiros, eles tinham dificuldades insuperaveis com numeros como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o "escandalo logico" dos pitagoricos quando descobriram que a diagonal de um quadrado unitario e incomensuravel com o lado (ou seja, diag/lado e diferente da razao de dois inteiros).Assim, foi seu estrito rigor matematico que os forcou a usar um conjunto de segmentos de reta como dominio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz quadrada de