da China. Em 1303, escreveu um importante tratado matematico intitulado Ssu-yuan yu-chien (), ou Precioso espelho dos Quatro Elementos. Esta obra marcou o apice no desenvolvimento da algebra chinesa. Ele usou uma extensao do metodo das matrizes para trabalhar com polinomios com ate quatro incognitas. Tambem obteve resultados promissores sobre somas de series.Paginas do livro:Precioso espelho dos Quatro ElementosFigura 1: Precioso espelho dos Quatro Elementos (1303)Figura 2: Precioso espelho dos Quatro Elementos (1303)Os quatro elementos, denominados: ceu, terra, homem e materia, representavam as quatro quantidades (incognitas) desconhecidas em suas equacoes algebricas. Este livro traz figuras triangulares com ate nove linhas. Chu nao atribui a si o merito da descoberta e refere-se ao triangulo como o diagrama do velho metodo para achar potencias oitavas ou menores.Neste livro, e apresentado um metodo de transformacao denominado metodo fan-fan, que em 1819, o matematico ingles William George Horner anunciaria como sendo uma contribuicao sua; o que de acordo com os registros chineses nao corresponde a verdade. No entanto, em todo o mundo matematico, tal metodo e reconhecido como metodo de Horner.A denominacao chinesa mais comum para o Triangulo Aritmetico e Triangulo de Yang-Hui.Figura 3: Triangulo de Yang HuiO triangulo foi ilustrado pelo proprio matematico Yang Hui, (chines tradicional: ; chines simplificado: ; 1238-1298) em sua obra Xiangjie Jiuzhang Suanfa () embora tambem tenha sido usado por Jia Xian em aproximadamente 1100. Triangulo de Jia Xian Figura 4: Triangulo de Jia XianOs ArabesA reconstituicao do envolvimento dos matematicos de religiao islamica com o Triangulo Aritmetico e bastante dificil, pois, sabemos que a maioria dos principais documentos associados ao triangulo perdeu-se no tempo. Contudo e razoavel afirmar que muitos dos matematicos islamitas aprenderam sobre as propriedades do Triangulo Aritmetico atraves das compilacoes escritas no idioma arabe, que foram transcritas em livros indianos, como e o caso do, Principios do Calculo Hindu, escrito por Al Jili c. 1000 dC, e a obra Coisas suficientes para entender o Calculo Hindu, escrita por Al-Nasawi, tambem em c. 1000 dC.Segundo os maiores especialistas em historia da matematica islamita, Roshdi Rashed e Adel Anbouba, o Triangulo Aritmetico teria sido descoberto para obter as solucoes no desenvolvimento de potencias quadraticas, cubicas e quarticas de binomios nos tratados de algebra: o al Fakhri e o al Badi. (1151 d.C). Na mesma epoca o islamita, Al-Samaw'al(1125-1180), um Matematico muculmano e astronomo de ascendencia judaica.Embora Samaw'al tenha nascido de uma familia judaica, Ele se converteu ao Isla em 1163 depois de ter tido um sonho, o qual lhe influenciou na decisao de converter-se ao Isla. Seu pai era um Rabino Judeu do Marrocos. Al-Samaw'al Teve um grande envolvimento com o triangulo. Aos 19 anos escreveu um tratado de algebra al-Bahir fi'l-jabr, Que significa "O brilhante da algebra". Ele tambem desenvolveu o conceito de prova por inducao matematica, o qual usou para corrigir e desenvolver o trabalho de Al-Karaji sobre o Triangulo e o Teorema binomial (Teorema de Newton). No seu livro e possivel observar-se uma figura do triangulo com 12 linhas, e a demonstracao por inducao matematica da validade do Teorema Binomial.Outro grande matematico islamita a envolver-se