do alefe-zero:0 0 +1 = e 0 0 0 + =Ou seja, quando somamos 1 ao infinito continuamos a ter infinito, assim como,quando duplicamos o infinito continuamos a ter infinito.Estas propriedades estavam no centro do paradoxo do Hotel de Hilbert, assimchamado em honra ao lendario matematico alemao David Hilbert.Hilbert descreveu um hotel com um numero infinito de quartos, numerados 1, 2, 3,...Uma noite, quando todos os quartos estavam ocupados, um hospede solitario chega aprocura de quarto. O recepcionista do hotel fez cada hospede avancar um quarto, demaneira que o ocupante do quarto 1 fosse transferido para o quarto 2, o ocupante doquarto 2 para o quarto 3, e assim sucessivamente. Assim, depois de todas as mudancasfeitas, o quarto 1 fica entao livre para o novo hospede! Na noite seguinte chegou umautocarro, com um numero infinito de novos hospedes, e nenhum dos antigos hospedesO paraiso que Cantor criou Capitulo 438tinha saido. Nao ha problema, anunciou o recepcionista. Desta vez, transferiu oocupante do quarto 1 para o quarto 2, o do quarto 2 para o 4, o do 3 para o 6 e, em geral,o ocupante do quarto n para o quarto 2n. Isto deixou desocupado um numero infinito dequartos impares para os infinitamente muitos recem-chegados. Portanto, o passageironumero 1 do autocarro pode ir para o quarto 1, o numero 2 para o quarto 3, o numero 3para o quarto 5, e em geral, o numero n para o quarto 2n 1. Mesmo que chegue umainfinidade de autocarros infinitos de turistas, toda a gente pode ser acomodada.O hotel de Hilbert mostra que certos tipos de argumentos estao disponiveis no casofinito, mas nao podem ser usados em qualquer outro caso: por exemplo, o principio dagaiola de pombos, que afirma ser impossivel colocar n +1 objectos em n caixascolocando no maximo um em cada uma, e falso para qualquer n infinito, e em particularpara 0 n = .Cantor chamou numeravel ao conjunto dos numeros naturais e considerou quequalquer conjunto que estivesse em correspondencia, um a um, com o conjunto dosnumeros naturais tambem era numeravel.O proximo passo era responder a questao: Terao todos os conjuntos infinitos omesmo cardinal?Assim, surgiu a tentativa, bem sucedida, de estabelecer uma bijeccao entre osnumeros inteiros e os numeros naturais.f : + >2 1 02 0n se nn se nn aCantor mostrou que, de facto, tambem o conjunto dos numeros inteiros tem tamanhoalefe-zero e perguntou-se entao se o conjunto dos numeros racionais teria tambem otamanho alefe-zero (o que a primeira vista parece falso).O paraiso que Cantor criou Capitulo 439MEstamos habituados a ideia de que ha muito mais racionais do que naturais, porqueos naturais tem grandes espacos entre si, enquanto os racionais estao densamentedistribuidos. Por exemplo, se olharmos para o bordo de uma regua graduada vemos que,entre dois numeros naturais quaisquer, ha espaco para uma infinidade de fraccoes, o quenos levaria a concluir que as fraccoes sao infi infinitamente mais numerosas do que osnaturais.Cantor sabia, naturalmente, que algumas fraccoes se repetiriam e incitava que,quando se encontrassem representacoes alternativas, essas deveriam ser ignoradas.Enfim, como aconteceu com outras ideias incrivelmente originais, so aqueles queestavam preparados para