thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
duas funcoes e equivalente a diferenca dos limites dessas funcoes, logo temos que:$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x-2 \right) } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x \right) } -\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( 2 \right) } $$Aplicando a propriedade do limite da constante no primeiro termo e a propriedade que diz que o limite de uma funcao $f(x)=x$ quando $x$ tende a um valor $p$ e igual ao proprio $p$, no segundo termo, temos que:$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x \right) } -\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( 2 \right) } =1-2=-1 $$Importante: Observe que essa funcao estava bem definida para "$x=1$". De acordo com ela "$f(1) =3$", porem vimos que o limite dessa funcao quando $x$ se aproximava de $1$ foi igual a $-1$. Isso quer dizer que mesmo a funcao estando definida em um ponto nao quer dizer que o limite dessa funcao sera igual ao valor que essa funcao possui nesse ponto. Fique bem atento a essas observacoes!Exercicio 05: $$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \frac { \sqrt { 1+x } -2 }{ x-3 } \right) } $$Observe que no limite acima se substituirmos o valor que $x$ esta tendendo iremos chegar em uma indeterminacao matematica, ou seja, uma divisao de zero por zero. Para fugirmos dessa indeterminacao poderiamos utilizar novamente a fatoracao, mas perceba que neste caso nao podemos fatorar mais esta expressao, logo temos que buscar outro artificio matematico.Uma saida para esse caso e multiplicarmos tanto o numerador como o denominador dessa expressao pelo conjugado do numerador. Se voce nao sabe o que e um conjugado recomendo que pesquise mais sobre isso pela internet para familiarizar-se com esse tema. De maneira bem simples eu poderia dizer que o conjugado e uma especie de numero oposto de um numero composto, por exemplo, imagine que voce tem o numero "$a+b$" entao o seu conjugado sera o numero "$a-b$".Fique por dentro: Uma observacao interessante e que quando multiplicamos um numero composto por seu conjugado ele sempre gera o famoso produto notavel conhecido como diferenca de dois quadrados.Com essas informacoes podemos chegar a conclusao de que o conjugado do numero $\sqrt { 1+x } -2$ nada mais e do que o numero $\sqrt { 1+x } +2 $, logo temos que:$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \frac { \sqrt { 1+x } -2 }{ x-3 } \cdot \frac { \sqrt { 1+x } +2 }{ \sqrt { 1+x } +2 } \right) = } \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { { \left( \sqrt { 1+x } \right) }^{ 2 }-{ (2) }^{ 2 } }{ (x-3)\cdot \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } \right] } $$Agora o que precisamos fazer e desenvolver essa expressao e simplificar o que for possivel, veja:$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { 1+x-4 }{ (x-3)\cdot \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } \right] } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { x-3 }{ (x-3)\cdot \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } \right] } $$Como $x$ se aproxima de $3$, mas
nunca sera igual a $3$, entao, podemos afirmar que "$x-3$" e diferente de zero e, portanto, podemos realizar a simplificacao desse termo na expressao acima, logo:$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { x-3 }{ (x-3)\cdot \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } \right] } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { 1 }{ \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } \right] } $$Agora podemos aplicar a propriedade 7 da aula passada que diz que o limite da divisao entre duas funcoes e equivalente a divisao entre os limites dessas funcoes se, e somente se, o limite da funcao que fica no denominador for diferente de zero. Como sabemos que o limite da funcao que fica no denominador, nesse exemplo, e diferente de zero, entao podemos aplicar esta propriedade, logo:$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { 1 }{ \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } \right] } =\frac { \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 1 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } } $$Vamos aplicar a propriedade 3 da aula passada no denominador que diz que o limite da soma entre duas funcoes e equivalente a soma dos limites dessas funcoes, logo temos que:$$ \frac { \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 1 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \sqrt { 1+x } +2 \right) } } =\frac { \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 1 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \sqrt { 1+x } \right) } +\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } } $$Agora iremos aplicar as propriedades mais basicas dos limites que ja vem sendo executadas desde o primeiro exemplo e que dessa vez deixarei de mencionar pelo simples fato de querer evitar que o artigo fique longo e repetitivo demais, entao temos que:$$ \frac { \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 1 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \sqrt { 1+x } \right) } +\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } } =\quad \frac { 1 }{ \sqrt { 1+3 } +2 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 4 } +2 } =\frac { 1 }{ 2+2 } =\frac { 1 }{ 4 } $$Estamos chegando ao fim de mais uma aula do nosso curso. Embora tenham sido mostrados apenas cinco exercicios resolvidos nesta aula creio que abordei os principais assuntos em cada um deles. Lembre-se de por em pratica essas propriedades resolvendo outros exercicios em casa. Caso queiram posso deixar mais tarde uma pequena lista com exercicios parecidos com estes para serem respondidos por voces.E complicado criar artigos de resolucoes de exercicios pelo fato de ser dificil realizar a insercao das equacoes no editor do blogger devido a sua limitacao, espero em breve, conseguir refazer essas aulas em formatos de videos para que eu possa responder mais exercicios e assim ajudar mais ainda com as duvidas. Desde ja agradeco pela presenca nesta aula.Deixem o feedback de voces na area de comentarios e digam se gostaram
da aula e quais conteudos gostariam de ver nas proximas aulas do curso. Sua participacao e muito importante para o desenvolvimento deste curso.Um grande abraco, bons estudos e ate a proxima!Referencias bibliograficas:[1] Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos; Jose Machado, Nilson. Fundamentos de Matematica Elementar, volume 8. Limites, Derivadas e Nocoes de Integral. Editora Saraiva S.A. Livreiros Editores, Sao Paulo, 2005.[2] Regis Vieira Alves, Francisco. Calculo I. Equipe de elaboracao UAB/IFCE, Fortaleza, 2011.Aula Anterior Proxima Aula
No dia 05 de janeiro de 2012, ha exatos 4 anos atras, tive a ideia de criar este blog de matematica. Nunca pensei que fosse permanecer e manter esse projeto por tanto tempo. Devo atribuir esse feito a todas as pessoas que visitam e participam deste site ao longo desses 4 anos e que me encorajam a manter esse projeto em andamento. Se voce tem um blog ou ja teve um, alguma vez, sabe como e dificil mante-lo por tanto tempo na web. Muitos sao os motivos que podem fazer voce abandonar um blog. Navegando pela web encontrei 8 razoes pelas quais as pessoas abandonam seus sites no site Pinceladas da Web.Para se ter uma pequena ideia de quantos blogs existem atualmente, em 2006, ja existiam mais de 50 milhoes de blogs no mundo. Desse numero 2% eram de lingua portuguesa, o que ja representa um total de 1 milhao de blogs. Atualmente esse numero e bem maior, mas infelizmente a taxa de "morte" desses sites e muito grande, por isso e bem provavel que a grande maioria desses blogs que foram criados ja nao sejam mais atualizados ou nao existam mais. Isso acontece por varios motivos. No site do Gerenciando Blog do grande ProBlogger Adelson Smania ele explica Por que os Blogs Morrem, recomendo a leitura. Esse ano de 2016 promete ser um ano de muitas mudancas. Espero poder manter uma frequencia melhor de publicacoes de artigos aqui no blog para nao desapontar meus leitores. Pretendo voltar ainda este mes com as publicacoes sobre o Curso de Calculo que estou criando aqui no blog e que tem rendido muitos comentarios e muitos assinantes. Ja sao mais de 3.400 assinantes. Enfim, poderei dar inicio as video aulas tao sonhadas para o blog e ainda estou vendo a possibilidade de dar uma repaginada no visual do site que esta com esse formato a um certo tempo. Nao e minha intencao aqui tornar este artigo extenso. Meu intuito com esta publicacao foi a de agradecer mais uma vez as pessoas que me ajudaram a ainda ajudam com o andamento desse site, em especial aos colegas Edigley Alexandre, Charles Bastos e Kleber Kilhian que, alem de parceiros do blog Vivendo entre Simbolos, tornaram-se grandes amigos na web. Nao posso esquecer de agradecer, tambem, a todas as pessoas que visitam e participam direta e indiretamente do blog seja elogiando ou seja criticando, sem voces eu nao teria chegado ate aqui. Muito Obrigado!Um feliz 2016 a todos e ate breve! Prof. Romirys Cavalcante Na medida em que o tempo passa as coisas ao nosso redor mudam. Umas das coisas que mudaram bastante de uns tempos pra ca foi a maneira como as pessoas adquirem informacao. Hoje em dia temos informacao ilimitada na palma de nossas maos gracas a dispositivos como smartphones e tabletes combinada a uma ferramenta chamada internet.A fim de manter-se atualizado com essas mudancas e com o objetivo de proporcionar a melhor transmissao de informacao e conteudo possivel para voce leitor, o site Vivendo entre Simbolos mudou e mudou para melhor.O site Vivendo entre Simbolos
ja esta na web ha mais de 4 anos e nesse pequeno intervalo de tempo ja passou por varias mudancas. Todas essas mudancas sao necessarias para que possamos atingir o nosso principal objetivo, ou seja, transmitir informacoes e conteudos com qualidade e praticidade para que voce tenha a melhor experiencia possivel ao visitar nosso site de matematica. Veja o que ha de novo no site Vivendo entre Simbolos. Template ResponsivoVoce que e leitor assiduo do nosso site deve ter notado facilmente que estamos com um visual completamente novo. Esse template e totalmente responsivo, assim como o antigo. Mas o que isso quer dizer? Isso significa que voce pode acessar nosso site de qualquer dispositivo movel ou com qualquer tamanho de tela, seja de um PC, notebook ou por uma Smart TV de 72 polegadas.Carregamento de PaginaEsse template utiliza poucos scripts em seu codigo fonte o que proporciona um carregamento bem mais rapido de qualquer pagina de nosso site, isso significa que as paginas que voce acessar serao carregadas quase que instantaneamente oferecendo o conteudo que voce quer na velocidade que voce precisa.Pagina Inicial A pagina inicial esta bem mais organizada e com mais categorias para que voce possa encontrar, com maior facilidade, os artigos que necessita para estudar. Perceba que temos um menu horizontal azul sobre os conteudos onde voce encontra artigos organizados pelas principais categorias que trabalhamos aqui no site.Caso queira, voce podera utilizar a ferramenta de busca que tambem se encontra nesse menu horizontal em azul, pesquisando pela palavra chave do conteudo ou assunto que esta procurando aprender em nosso site.Sistema de ComentariosAgora voce pode comentar nossos artigos utilizando tres sistemas de comentarios diferentes que ficam a sua escolha. Sao eles:Facebook (voce pode compartilhar seu comentario no Facebook com seus amigos) Disqus (voce pode inserir imagens)Blogger (voce pode inserir equacoes em Latex) Mapa do Site (Artigos por Categoria)O mapa do site foi atualizado e agora oferece todos os artigos ja postados nele organizados por categorias. Para conferir este recurso acesse a guia Sitemap em qualquer menu (superior/inferior) no nosso site.Deixe seu comentario nesta publicacao de atualizacao e diga o que achou das novidades.
Estou dando inicio a aula 8 do nosso curso de calculo aqui no Vivendo entre Simbolos. Hoje vamos analisar os limites laterais de uma funcao real por meio de seus graficos. Para isso iremos utilizar o GeoGebra como ferramenta de apoio em nossos estudos.Na aula passada vimos como os limites laterais ajudam na hora de determinarmos o limite de uma funcao real. Basicamente, trouxemos a ideia de unicidade do limite de uma funcao, ou seja, mostramos que uma funcao so possui limite se seus limites laterais forem iguais. Hoje vamos trabalhar, basicamente, o mesmo assunto so que de uma maneira um pouco diferente, ou seja, vamos realizar essa analise dos limites laterais de uma funcao utilizando seus graficos. Observacao: Para um(a) aluno(a) que esta cursando calculo em sua graduacao, saber construir (ou plotar) graficos de funcoes e um pre-requisito que espera-se que ele tenha aprendido em seu periodo de ensino medio. Caso voce tenha dificuldades nesse assunto recomendo que estude um pouco sobre ele no canal Vestibulandia do meu amigo Nerckie no YouTube.Uma vez que voce esteja familiarizado com a construcao de graficos de uma funcao iremos comecar a nossa aula. Em cada caso, a seguir, iremos utilizar as representacoes dos graficos, das funcoes em questao, construidas com o auxilio da ferramenta GeoGebra.Exemplo 01: Vamos determinar o limite da funcao $f(x)=2x+3$ quando $x$ tende a $2$. Perceba que vamos comecar com uma funcao mais simples (funcao do 1 grau) para que possamos compreender claramente como devemos realizar a analise de seus limites por meio de seus graficos. Na medida em que avancarmos com os exemplos iremos aumentar o nivel de dificuldade das funcoes analisadas.Abaixo voce pode conferir o grafico da funcao $f(x)=2x+3$Por se tratar de uma funcao do 1 grau temos uma reta como grafico para essa funcao. Perceba que essa reta possui um ponto, marcado em azul, que iremos utilizar como base para nossas observacoes.De acordo com esse grafico podemos perceber que a medida em que aproximamos $x$ a valores proximos de $2$, tanto pela esquerda como pela direita, os valores de $f(x)$ (eixo das coordenadas) aproximam-se de $7$. Abaixo voce pode ver isso com mais facilidade com auxilio das setas em azul.Logo, podemos afirmar, com base no grafico, que o limite da funcao $f(x)=2x+3$ quando $x$ tende a $2$ e igual a $7$, pois seus limites laterais se aproximam desse valor, ou seja, sao ambos iguais a $7$.Algebricamente temos: $$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ (2x+3) } =7 $$Le-se: o limite de $2x+3$ quando $x$ tende a $2$ e igual a $7$.Percebeu como fica facil de determinar o limite de uma funcao quando conhecemos o seu grafico? Exemplo 02: Vamos determinar o limite da funcao $ f\left( x \right) =\frac { 1 }{ x } $ quando $x$ tende a $0$ (zero). Perceba, a principio, que essa funcao nao esta definida para $x=0$, pois nao podemos efetuar a divisao de alguma coisa por nada.Porem, sabemos que o limite nao se trata de saber o que acontece com a funcao no valor de $x$ que estamos analisando e sim o que
acontece em suas extremidades, ou seja, nas laterais de $x$. Por isso uma funcao pode possuir um limite para um determinado valor $x$ mesmo que ela nao esteja definida nesse ponto em seu dominio. Nunca se esqueca desse "pequeno" detalhe.Abaixo voce pode conferir o grafico da funcao $ f\left( x \right) =\frac { 1 }{ x } $.Perceba que na origem do plano cartesiano colocamos uma "bolinha" em branco na hora de montarmos nosso grafico. Isso quer dizer que essa funcao esta definida para todos os demais pontos do eixo das abscissas (eixo horizontal) com excecao daquele ponto, ou seja, ele nao faz parte do grafico de $f(x)$.Note que a medida em que aproximamos valores de $x$ proximos de zero, pela direita, os valores de $f(x)$ tendem ao infinito positivo e a medida em que aproximamos valores de $x$ proximos de zero, pela esquerda, os valores de $f(x)$ tendem ao infinito so que, dessa vez, negativo. Voce pode conferir isso na imagem abaixo com auxilio das setas em azul.Logo, podemos concluir, de acordo com a analise de seu grafico, que essa funcao nao possui limite, uma vez que seus limites laterais sao diferentes.Exemplo 03: Vamos determinar o limite da funcao $f(x)=\frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } $ quando $x$ tende a $2$. Note que essa funcao tambem nao esta definida para $x=2$, pois ela gera uma indeterminacao matematica, veja:$$ f(x)=\frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } \\ f(2)=\frac { 4-{ 2 }^{ 2 } }{ 2-2 } \\ f(2)=\frac { 4-4 }{ 2-2 } \\ f(2)=\frac { 0 }{ 0 } $$Por esse motivo dizemos que a funcao $f(x)=\frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x }$ nao esta definida para $x=2$.Felizmente sabemos que o limite nao se preocupa com o que acontece com a funcao exatamente no valor de $x$, mas sim o que acontece em suas extremidades. Sabemos tambem que, em alguns casos, podemos utilizar de alguns artificios matematicos para procurar "fugir" dessas indeterminacoes matematicas.Na maioria dos casos podemos utilizar o artificio da fatoracao utilizando algumas propriedades matematicas que ja foram mencionadas e ate comentadas nesse curso de calculo em nossa aula 2.Se analisarmos atentamente a funcao $f(x)$ perceberemos que seu denominador e um polinomio conhecido como diferenca de dois quadrados e que pode ser reescrito como o produto da soma pela diferenca, logo:$$f(x)=\frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } \\ f(x)=\frac { 2^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } \\ f(x)=\frac { (2+x)\cdot (2-x) }{ 2-x } $$Nesse momento podemos fazer o cancelamento do termo ($2-x$) do numerador com o termo ($2-x$) do denominador somente por que sabemos que $x\neq 2$, caso contrario esse cancelamento nao poderia ser feito. Entao ficamos com a seguinte expressao:$$f'(x)=2+x$$Logo podemos concluir que:$$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ (2+x) } $$Observacao: E importante que voce saiba que essas duas funcoes possuem, apenas, o mesmo limite, porem isso nao quer dizer que elas sejam iguais, ou
seja, a primeira funcao $f(x)$ nao esta definida para $x=2$ enquanto que a segunda, que tomamos o cuidado de identificar por $f'(x)$, esta definida para $x=2$, por esse motivo nao podemos dizer que sao a mesma funcao. Nunca se esqueca disso.De fato podemos perceber a veracidade dessa informacao quando plotamos os graficos de ambas essas funcoes no GeoGebra, veja:Note que a primeira funcao (representada pela cor preta) tem o mesmo grafico da segunda funcao (representada pela cor vermelha) ficando ambas uma em cima da outra. Lembre-se que a unica diferenca e que para a segunda funcao (representada pela cor vermelha) o valor de $x=2$ esta bem definido.Perceba que colocamos mais uma vez a "bolinha" branca para indicar que, para a primeira funcao (representada pela cor preta) o valor para $x=2$ nao pertence a ela.Agora que plotamos nosso grafico podemos perceber que a medida em que aproximamos $x$ de valores proximos de $2$ tanto pela esquerda como pela direita, os valores de $f(x)$ aproximam-se, cada vez mais, de $4$.Perceba isso com auxilio das setas em azul na imagem abaixo:Com base nesse grafico, podemos concluir que o limite da funcao $f(x)$ em questao e igual a $4$. Algebricamente temos que:$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } } =4 $$Consideracoes finaisEssa foi uma aula bem simples sobre como podemos determinar os limites laterais de uma funcao por meio de seus graficos com ajuda do GeoGebra. Estou procurando ser bem direto nas explicacoes e por esse motivo elas tendem a ser curtas e bem rapidas.Na medida do possivel pretendo manter a frequencia de publicacoes das aulas desse curso gratuito de calculo para ajudar o maximo de pessoas possivel. Em breve iniciarei as video aulas de calculo em nosso canal no YouTube. Bons estudos, um grande abraco e ate a proxima aula.Aula Anterior Proxima Aula
Estou dando inicio a aula 7 do nosso curso de calculo aqui no VS. Hoje vamos conhecer e compreender um pouco sobre o que sao os limites laterais de uma funcao e como esse conhecimento pode ser util na hora de determinarmos o limite de uma funcao. Por que estudar limites laterais?Voce, muito provavelmente, deve ter se peguntado no inicio deste artigo por que precisa estudar e aprender sobre limites laterais ou em como isso vai lhe ajudar ao longo deste curso.Para que possa perceber a importancia desse assunto voce devera lembrar do conteudo abordado em nossa aula 4 desse curso onde explanei sobre a unicidade do limite de uma funcao. Durante essa aula expliquei, por meio de demonstracoes basicas, que se uma funcao possui limites laterais iguais, entao podemos afirmar que existe ($\exists $) um limite para ela, caso contrario, ou seja, se uma funcao possuir limites laterais distintos, entao podemos afirmar que o limite da funcao em questao nao existe ($\nexists $).E nesse momento que vemos a importancia desse assunto, pois e ele quem nos dira se uma funcao possui ou nao limite.O que sao limites laterais?Quando analisamos o comportamento de uma funcao em um ponto especifico, nos preocupamos em observar o que acontece com os valores de $f(x)$ quando $x$ se aproxima desse ponto tanto pela direita quanto pela esquerda. E isso que chamamos de limites laterais, ou seja, os resultados para o limite de uma funcao $f(x)$ quando a variavel $x$ se aproxima de um valor em suas extremidades.Observacao: Vale lembrar que nesta aula utilizaremos o dominio e o contradominio de nossas funcoes dos Reais nos Reais, ou seja, $f\left( x \right) :\Re \rightarrow \Re $.Vamos encontrar o limite da funcao a seguir por meio de seus limites laterais.$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ (2x+1) } $$Le-se: Limite de $2x+1$ quando $x$ tende a $2$.Vamos analisar o que acontece com a essa funcao quando $x$ se aproxima de $2$ pela esquerda, ou seja, para valores menores que $2$. Para $x=1,2$ temos que $f(x)=3,4$Para $x=1,9$ temos que $f(x)=4,8$Para $x=1,99$ temos que $f(x)=4,98$Para $x=1,999$ temos que $f(x)=4,998$Perceba que a medida que aproximamos $x$ pela esquerda para valores proximos de $2$ o valor de $f(x)$ se aproxima consideravelmente para $5$, logo, podemos dizer que: $$ \lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }{ (2x+1) } =5$$Le-se: O limite de $2x+1$ quando $x$ tende a $2$ pela esquerda e igual a $5$. Nota: Perceba que ao lado do $2$ existe um sinal de subtracao, isso significa que estamos falando do limite lateral esquerdo dessa funcao. Lembre-se que quando estivermos trabalhando com limites laterais precisaremos utilizar o sinal de subtracao ou adicao para identificarmos os limites pela esquerda ou pela direita, respectivamente, da funcao. Vamos analisar agora o que acontece com a essa funcao quando $x$ se aproxima de $2$ pela direita, ou seja, para valores maiores que $2$. Para $x=2,2$ temos que $f(x)=5,4$Para $x=2,001$ temos que $f(x)=5,002$Para $x=2,0001$ temos que $f(x)=5,0002$Para $x=2,00001$ temos que $f(x)=5,00002$Perceba que a medida que aproximamos $x$ pela direita para valores proximos de $2$ o valor de