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(1, 1) e raio 1 num ponto T. Calcule a distancia de P a T. 27. No plano Oxy considere os seguintes conjuntos de pontos: A= {(x, y) | |x| 3}, B = {(x, y) | |y| 4} e C= {(x, y) | x2 + y2 25}. Encontre a area do conjunto C (A B). As curvas obtidas quando cortamos um cone (as chamadas seccoes conicas) aparecem com frequencia na natureza e na nossa vida cotidiana. Desde os tempos mais remotos elas despertaram a curiosidade do homem. Vamos destacar alguns exemplos: -ao cortar uma arvore podemos encontrar uma seccao com a forma de uma elipse; -as orbitas descritas pelos planetas girando em torno do Sol sao elipticas; -ao atirar uma pedra, temos descrita uma trajetoria parabolica; -encontramos hoje antenas parabolicas por toda parte; -em condicoes ideais, a chamada onda de choque produzida por um aviao supersonico varre a regiao interior a uma hiperbole. Desde a antiguidade essas curvas tiveram suas propriedades extensamente estudadas. A primeira referencia ao estudo das conicas de que se tem noticia esta registrada no trabalho de um geometra grego de nome Menaechmus, aluno de Eudoxo e contemporaneo de Platao. Seguiram-se trabalhos de Euclides, Arquimedes e o trabalho mais importante e completo foi o de Apolonio, um grande geometra e astronomo que viveu no seculo I A. C. Apolonio e considerado o ultimo dos grandes geometras da escola grega. Ja na era crista, Pappus, um historiador da Geometria grega, acrescentou ao estudo dessas curvas novas informacoes, que chamamos propriedades foco-diretriz. Todos esses geometras exploraram, portanto, as curvas obtidas cortando um cone (que pode ser um cone duplo, como na figura a seguir) por um plano. Observe que, variando a posicao do plano de corte, temos, como interseccao (a partir da esquerda): -uma parabola, se o plano fica paralelo a uma geratriz do cone; -os dois ramos de uma hiperbole, se o plano corta as duas folhas do cone. Unidade 3 Conicas, parabolas, elipses e hiperboles Organizadores Antonio Carlos Brolezzi Martha S. Monteiro Elaboradora Maria Elisa Esteves Lopes Galvao Germinal Dandelin provou, em 1837, que os focos de uma seccao conica sao os pontos em que o plano de corte tangencia esferas inscritas no cone. As trajetorias elipticas dos planetas em torno do Sol, descritas por Kepler em seu famoso trabalho do inicio do seculo XVII, trazem as conicas de volta ao cenario da Matematica da epoca. As relacoes metricas que hoje utilizamos para o estudo das conicas, do ponto de vista da Geometria Analitica, e que envolvem as distancias aos focos ou a diretriz foram provadas de forma muito interessante, no seculo XIX, por Dandelin, e constituem os chamados teoremas belgas para as conicas. As figuras ilustram como sao encontrados os principais elementos das conicas nesse trabalho. Associados as parabolas, elipses e hiperboles, temos pontos que chamamos focos, que sao os pontos de tangencia do plano de corte do cone com as esferas mostrados em cada uma das figuras ao lado. Temos tambem retas que sao chamadas diretrizes, denotadas por d e d ou somente d nas mesmas figuras.
Detalhando as propriedades geometricas que relacionam os elementos que nelas aparecem teremos as propriedades que caracterizam cada uma das curvas,chamadas de seccoes conicas, que passaremos a estudar a seguir. Para trabalhar com as seccoes conicas utilizando os recursos da Geometria Analitica o passo inicial e a escolha de um sistema de coordenadas. O segundo passo e encontrar uma equacao, nas coordenadas escolhidas, cujo conjunto solucao corresponda aos pontos da curva que queremos estudar. Um bom sistema de coordenadas e, em geral, aquele em que a equacao que descreve a curva seja razoavelmente simples, ou a mais simples possivel. EEEEESTUDOSTUDOSTUDOSTUDOSTUDODADADADADA P P P P PARABOLAARABOLAARABOLAARABOLAARABOLANo modulo 4 (pagina 27), a parabola ja foi estudada utilizando a definicao que sera tambem adotada para explorarmos suas propriedades do ponto de vista da Geometria Analitica. Examinando o corte do cone que nos da a parabola, ilustrado pela figura acima, observamos que ela tem um foco F e uma reta diretriz d (que e a reta por G e K).Verifica-se que: Os pontos P da parabola sao os pontos equidistantes do foco e da diretriz ou seja, tais qued (P, F) = PF = d (P, d)O eixo da parabola e a reta que passa pelo foco e e perpendicular a diretriz. A parabola e simetrica em relacao ao eixo . Usando o caderno Vamos construir o grafico de uma parabola por pontos. Escolha: -um ponto sobre uma das linhas do caderno para ser o foco da parabola; -uma outra linha como a reta diretriz, seguindo a figura a seguir (a construcao fica mais facil se a distancia do foco a diretriz e um numero par); -a perpendicular a diretriz, passando pelo foco que sera o eixo da parabola. Propriedade refletora da parabola: os raios paralelos ao eixo de simetria se refletem passando pelo foco. O primeiro ponto da parabola que identificamos e o seu vertice, que e o ponto medio do segmento com extremos no foco e no ponto de interseccao do eixo com a diretriz. Com o auxilio do compasso, vamos tracar as circunferencias com centro no foco, passando pelos pontos de interseccao das linhas do caderno com o eixo. A distancia entre as linhas pode ser considerada a nossa unidade de medida. No exemplo acima, o vertice esta distante 2 unidades do foco e da diretriz. Os pontos que estao 3 unidades distantes do foco e da diretriz sao os pontos de interseccao da circunferencia de raio 3 com a reta que dista 3 unidades da diretriz (observe que temos sempre dois pontos, dada a simetria da parabola em relacao ao eixo). Esses serao os pontos da parabola cujo grafico queremos desenhar. Para obter mais pontos, vamos aumentando a distancia ao foco e a diretriz de uma unidade em cada etapa; dessa forma encontramos uma serie de pontos da parabola, observando sempre a propriedade: PF = d (P, d) Para encontrar a equacao da parabola, da mesma forma que na construcao acima, tomamos o segmento da perpendicular a diretriz que passa pelo foco. Como ja observamos, o vertice V da parabola e o ponto
medio desse segmento. Vamos escolher o sistema de coordenadas de forma que a origem (0, 0) coincida com o vertice V e um dos eixos coordenados coincida com o seu eixo de simetria. Tomando coordenadas (p, 0) para o foco F, a equacao para a reta diretriz d sera x + p = 0 (verifique, lembrando da simetria). Se P = (x, y) e um ponto da parabola, usando a formula para a distancia euclidiana e a expressao para a distancia de P a d, obtemos (como ja foi verificado no modulo 4, usando as distancias) a equacao: = |x + p| e, finalmente, simplificando, chegamos a equacao reduzida da parabola (com eixo de simetria no eixo Ox ): y2 = 4px.
blog da matematica E.M: Matematica - Aula 9 - Inequacoes - Parte 7 Ola, Criancas.Hoje irei filosofar...Voces ja sofreram uma queda? claro, quem nunca caiu, nao e verdade?Que licao importante tiramos da queda?Obviamente pequena para algumas pessoas a licao passa desapercebida, mas todos ja aprenderam de alguma forma que a cura para a queda e levantar-se novamente...Isso foi uma analogia criada naturalmente pela Vida, e segue identica com o passar dos tempos.Voce ja se apaixonaram de verdade? Sim, e sobre isso que vim filosofar, o Amor, de novo... outra vez...Ja repararam como e dificil esquecer uma pessoa que passou por sua vida e deixou marcas tao profundas que qualquer possibilidade de um reencontro faz seu peito apertar, quase eclodindo em seu corpo? eu ja...Por isso vim aqui citar nomes, que estao gravados tao fundo em meu Ser, que nao da pra tirar ou restaurar...Valeska: o primeiro amor deste ser noturno, quase esquecido pelo tempo, era a epoca da pureza, onde beijar era no rosto e andar de maos dadas uma vitoria.E sim, eu ainda lembro do rosto dela.Stefanie: Namorada de 2 dias, nao e brincadeira, durou 2 dias o namoro... mas aprendi mais com ela do que aprenderia sem ela.Mari: uma pessoa que me usou quanto estava carente, eu me aproveitei deixando... nao ha o que se dizer alem disso.Jessyca: o termo para ela na minha vida seria lolicon, mas eu tambem tinha idade pra isso, nao sei o que deu errado, onde eu fui e onde eu ia, mas no fim foi em uma conversa que tudo acabou.Valeu a Pena cada segundo com ela.Priscila: Acredite, nao era para eu ser tao apaixonado por ela quanto eu era, superei tao bem que nao me importei em ve-la namorando, ao vivo, outra pessoa... e olha que com meu historico de ciumes isso e uma vitoria, mais minha do que de qualquer outra pessoa.Tauana: Houve quem me alerta-se, garotas como ela fazem isso mesmo. A unica que foi capaz de destruir cada pedaco do meu Ser antes e depois de me chutar da vida dela. Complicado, mas como reza a analogia feita no inicio, o desafio maior e superar, levantar e continuar em frente.Karina: Serio.Aconteceu mesmo. Melhores amigos nao deveriam permitir uma coisa dessas, mas a carne sempre e fraca, mas ninguem se arrepende... tal como nao se falam mais... ironico, mas era uma pessoa para eu manter por perto sempre e no fim, a distancia aumentou gradativamente ate nao ter mais volta. Nao posso ver ela, FATO, nao sei o motivo, mas eu nao consigo me desligar dela, me desprender dela.Seja foto, ouvir a voz no telefone ou ouvir o nome dela em uma conversa, eu piro, aceleracao dos batimentos, borboletas no estomago, soma todos os fatores possiveis causados pelo sentimento mais puro que vc conhece, junta tudo... depois diga para si mesmo: VOCE PERDEU ISSO! (dedico a ela a segunda analogia).Mandy: Sabe quando voce pisa na bola por um motivo e depois esquece o motivo, mas lembra que pisou na bola, tenta se reconciliar e depois lembra do motivo de ter pisado
na bola e pisa denovo? resumi bem a minha historia com esta menina, que nao sei pq, mas marcou.Ana Paula: Manja o amor instantaneo? aquele que fica pronto em 3 minutos... entao, esta e a garota que me ganhou facil assim, mas que eu sei que nao me quer. simples ne?Renata: O que eu poderia dizer? essa e uma garota que "acontece" na minha vida, digamos que neste relacionamento eu ainda estou "dando a cara a tapa". E recente, eu adoro, so poderei filosofar melhor quando ficar bem serio ou acabar de vez... o.o" incrivel, mas e verdade, nao tem como se filosofar sobre uma coisa durante ela, apenas torcer para dar certo (como sempre fiz e faco)!Bom Criancas da Noite!Boa Noite, ou Nao!
Ola, Criancas da Noite, seres da eterna escuridao que se cria quando o Sol adormece no horizonte. Como vao estas cabecas vazias e maos calejadas?Indicacao de Filme para ser visto: O Aprendiz de Feiticeiro ( E Disney).Indicacao Literaria: Morte - A Festa por Jill Thompson. Uma historia inedita da personagem de Neil Gaiman em uma brilhante homenagem ao estilo manga.(Morte e uma personagem do universo Sandman, ela e irma do proprio Sandman, uma dos Perpetuos, seres mais velhos do mundo. Nesta historia ela se complica quando os portoes do inferno se abrem e os Mortos comecam a vagar por ai. Vale a pena ler esta obra.) Ola, adoradores do Luar!VALE A PENA SE DOAR A ALGUEM?A resposta e SIM.Por mais que tentemos nos dizer que nao vale a pena se entregar por completo a uma pessoa achando que isso e gostar de si mesmo, a verdade e que so se doa quem sabe exatamente o quanto esse gesto vale. Nao significa que a pessoa ira dar valor a isso, nao significa que a pessoa ira retribuir o ato, mas mostra que voce esta acima do que se diz orgulho ou egoismo. Se valorizar, mas ainda assim, tomar atitudes em razao da felicidade de outrem que nao a si proprio.Amor.Uma palavra que atrai os olhares, todos os olhares. Sejamos claros e sabios ao proclamarmos o amor que sentimos, essa palavra adquire diversos significados.Amor Incondicional.Jogo de palavras, mas ainda com o mesmo afeto que amor sozinho pode alcancar, estamos apenas dando enfase na quantidade ou forma. A verdade e que tem certos amores que nao podemos Mensurar ou Moldar. Esses amores sao aqueles que estarao com voce, mesmo voce nao querendo, mesmo voce os afastando. Criancas da Noite adentrem nesse novo mundo de sabedoria.Amar nao so por aquilo que gostamos, mas por aquilo que nao gostamos tambem.O Amor nao vem da razao de gostar... Vem do sentimento de se importar... Ele cresce e diminui, ele se move... Mas esta sempre em voce... Mesmo que voce deseje que o amor de alguem por voce seja de determinada forma, voce nao tem controle... Nunca tera... Seja homem ou seja mulher, ou ambos, nao podemos controlar outra pessoa sem afastar o amor... O Amor e uma imensidao de coisas que voce so pode ofertar, nunca tomar pra si. (Obs: doar-se e como amar, ofertando aquilo que e de mais importante para si a outrem, se nao vale a pena, entao voce nao vale a pena.)Boa Noite, Criancas! A Cancao do YukonPegue o treno, meu amigo felinoFiz um lanche pra gente levarEstamos prontos, e o nosso destinoE partir e nao mais voltar!Pros diabos com a velha vida!Adeus, mamae e papai.Cansamos da rotina sofrida.E, ao rabanete, diremos nao mais!Quero que a vida tenha sentido.Quero brincar na neve o ano inteiro.E nao meus pais berrando no ouvidoO seu quarto esta um chiqueiro.Yukon e onde queremos morar!Nao ha outra alternativaLa vamos gritar e xingarE agir de maneira primitiva.E aquela escola nefastaNao mais iremos voltarAos professores tiranicos, um bastaNinguem vai me ensinar a somar.Legume e uma bobagemEspinafre nao faz crescerDe agora em
diante serei um selvagemE so uso garfo se eu bem entender!Nossos amigos serao os lobosVamos dormir tarde e com eles uivarA noite inteira sentados num tocoE de manha queremos cacar.Espero estar sendo enfatico:Em mim ninguem v ai mandar!O terras geladas do Artico!Isso e que e vida! Mal posso esperar!Nada de regras pra nos!O tempo sem neve acabou.Ja vao tarde os adultos bacos!Estamos partindo! Yukon Ho!(Yukon Ho! - As aventuras de Calvin e Haroldo por Bill Watterson)
Ola, Midnight Lovers!!!Acreditem, nada mudou e tudo esta diferente, agora minha vida toma um rumo adulto, apesar de eu ainda me sentir uma crianca com medo... minhas asas cresceram, mas voar nao se faz possivel...Trechos do Meu Coracao... e como eu pretendo me dispor... como a poesia mais brilhante e a luz mais triste...Vim hoje trazer a traducao (na verdade versao brasileira) de uma musica tema de Yu Yu Hakusho: Daydream Generation...Geracao dos SonhosA dor que traz o adeusDe alguem que vive em meus sonhosQuero estar mais pertoDessa luz que e o seu olharNo frio da cidadeEu so vejo solidaoA forca da bondade tao distante da ilusaoEu so quero tocar em suas maosTe ter mais perto de mimE sentir o abraco teuQue esse momento nunca tenha fimNem que o vento sopre enquanto a chuva caiE leve pra longe esse sonhoNao vou ligar se me machucarNao existe mal se o sonho e realNem que o vento sopre enquanto a chuva caiE leve pra longe esse sonhoNem que o vento sopre enquanto a chuva caiTudo que eu preciso e ter voce...Nem que o vento sopre enquanto a chuva caiE leve pra longe esse sonhoNem que o vento sopre enquanto a chuva caiTudo que eu preciso e ter voce.. A Lua, o Senhor das Nuvens e o PoetaOla Senhor das Nuvens, como vai a Lua atras de Ti?Encoraja-me a Luz que mal passa por seu Reino de Trevas.Seria pedir muito, um mero servo, ve-la alem de Tuas fronteiras?Muito me alegraria a visao de tamanha Beleza.Se nao fiz por merecer, juro hei de trabalhar dobrado.Mas permita-me vislumbrar da Luz Dela?Oh! De mim estas lagrimas com tamanha luminosidade.Ah!Luz inebriante, sensacao de pureza na alma.A Lua e tao bela, Senhor das Nuvens.Entendo entao por que A esconde com Teu Reino de Trevas.Ah! Tao Bela...Oh! Obrigado, Meu Senhor!Foste generoso com este velho servo.Tu es Nobre, pois olhaste por mim neste momento e foste generoso.Ao Senhor, espero agradar, dedico meu verso.(Paulo Vitor) Sentimentos OndeantesSinto a onda de sentimentosEla quebra, faz barulho, mas recua.Ela vem novamente, vem fraca, mas e vasta, abundante e inunda.Volta, rasteira, lenta.Ela sobe aos ceus e quebra forte, derruba e empurra,Mas vai embora, rapida, puxando.Nao retorna, torna-se mansa.Ate que se inquieta novamente, contorce-se, agita-se.Iniciando, mais uma vez, um ritmo envolvente.Inebriando, entorpecendo, enlouquecendo.Voltando com novos sentimentos, tao iguais, tao diferentes.Agonizante, mas desejada.A onda que quebra, bate, toma para si e nao devolve.Ela molha, ha quem nao goste, mas Eu... Amo!(Paulo Vitor) Ola Criancas da Noite!Vamos ler mais e mais ate nossas cabecas explodirem!Atualmente estou lendo um livro assas interessante!(Qual livro nao e interessante?)Uma obra prima NACIONAL! E isso ai, criancas, mas nao pensem que e um livro que fala da vida de algum personagem maluco em uma epoca da qual seus avos sentem falta, nao!O livro chama-se "A Batalha do Apocalipse - da queda dos anjos ao crepusculo do mundo" escrito por ninguem menos que Eduardo Spohr.O livro e fantastico do comeco ao fim, nao e o meu tipo de tema favorito, mas fez por merecer o meu respeito, eu aconselho.Nao sou de fazer propaganda, mas o livro
Boa noite criancas, venho postar a voces mais um fato incontestavel da minha vida.Eu sou "trilhado", minha vida tem trilha sonora o tempo todo... nao dou um passo sem ter uma musica pra registrar como trilha... E sim, eu viajo ouvindo musicas... vou dar um exemplo para isso:Ver TV momentos antes de ir para escola (5aserie para ser mais exato) = Fear of the Dark-Iron MaidenDentro de um carro durante a noite, chovendo: Qualquer Putz Putz em que as batidas graves parecam com batimentos cardiacos, serio...Musicas que lembram pessoas:Tauana - Don't Wanna Miss a ThingKarina - Right Round e qualquer Musica do Enigma(Menos "Return to Innocense" - essa ta na minha vida antes da Kah!).E existem musicas que fazem parte de "fases" da minha vida, assim elas caracterizam nao uma cena, mas uma serie delas... O caso da musica que vim postar... Ela caracteriza meu estado de espirito no momento: Sem preocupacoes demais...Break Your HeartTaio Cruz feat. LudacrisWoah WoahNow listen to me babyBefore I love and leave youThey call me heart breakerI don't wanna deceive youIf you fall for meI'm not easy to pleaseI might tear you apartTold you from the start, baby from the start.I'm only gonna break break ya break break your heartWoah woahThere's not point trying to hide itNo point trying to evade itI know I got a problemBy doing this behavingIf you fall for meI'm not easy to pleaseI might tear you apartTold you from the start, baby from the start.I'm only gonna break break ya break break your heartWoah woah And I know karma's gonna get me back for being so coldLike a big bad wolf I'm born to be bad and bad to the boneIf you fall for me I'm only gonna tear you apartTold you from the start.I'm only gonna break break ya break break your heartWoah woahBoa Noite, Criancas da Noite!Esse e mais um recadinho bacana para quem quiser me conhecer, eu sou um livro sendo escrito e quem quiser pode ler o que ja passou... E quem quiser escrever comigo, eu convido!*vivendo uma fase completamente melhor que todas que ja teve*(vlw, a todos que me ajudaram a chegar onde estou, serio, nao estou me desfazendo de ninguem, mas Renata: serio acho que o comeco diferente tornou tudo melhor durante e acredito em nos... sem duvida alguma, eu acredito em nos) Boa noite, Criancas da Noite!Sentiram minha falta?Quase dois anos de afastamento, me sinto indiscretamente, igual.Estou incomodado com minha atual situacao, mas deveras relutante em assumir uma postura madura e muda-la.Nao sou capaz de dissertar sobre a sensacao que tenho ao comecar a planejar e saber que nenhum plano seguira como proposto.E irritante conhecer tudo o que deve-se fazer e, simplesmente, nao faze-lo.Minha mente faz tudo e meu corpo nao acompanha, e como se fosse um erro na comunicacao corpo e alma, literalmente.Obrigado, o retorno esta mais proximo, novamente.Ate logo, Criancas da Noite! Querido diario, hoje eu irei falar do que me aconteceu, eu e a minha prima Larissa fomos ao shopping para uma secao de cinema, nos iriamos assistir o filme Gato de
Botas 3D, mas infelizmente nosso passeio foi meio frustrado, porque quando chegamos la todas as secoes ja estavam esgotadas alias nao so do nosso filme mas de todos os filmes que estavam em cartaz no naquele cinema e no outro cinema do outro shopping nao tinha nem um filme que nos agradasse, resumindo perdemos nosso tempo e ainda tivemos que aturar cada coisa, e triste morar em uma cidade pequena que nem uma variedade de escolhas nos temos!! Se eu tivesse levado a camera tiraria umas fotos para voce ver do que eu estou falando mas infelizmente esta ideia nem me passou pela cabeca. . .sabe estou comecando a desconfiar que isso foi uma praga que nos rogaram kkk. . .
Querido diario, hoje eu descobri um site bem legal de filmes, voce pode assistir uns filmes bem legais online, e voce pode fazer uma assinatura gratis de 1 mes, e se voce nao se interessar pode cancelar a assinatura depois, eu ja fiz a minha e ja estou assistindo a um filme bem legal!! Este e o site: Netflix . . .FOTOS DO SITE: Querido diario, queria te contar sobre outras coisas que eu gosto de fazer, eu adoro tudo que esta relacionado com beleza feminina, por isso adoro moda, make up e esmaltes mas acho que isso toda garota ou mulher gosta e sao raras as que nao gostam. . . mas o meu ponto e eu gosto de lancar minha propria moda e ultimamente tenho inventado umas pinturas diferentes para as unhas, vou mostrar umas fotos me diga o que achou? Querido diario, bom depois disso comecei a me preparar para o vestibular, eu e minha amiga Jessica nos inscrevemos para um cursinho pre-vestibular oferecido pelo governo, ele e gratuito e muito bom e o Universidade Ja, nos nos inscrevemos e conseguimos entrar para o curso, pena que ficamos em salas separadas! =/ Querido diario, bom... Entao o tempo passou e quando estava quase chegando as ferias do cursinho, nem ela nem eu sabemos muito bem por que e que aconteceu, mas aconteceu, eu e minha amiga tao querida Jessica nos desentendemos, e acabamos ficando sem nos falar por um booom tempo, tempo ate demais, e por causa disso acabamos nos afastando, eu desisti do cursinho e nao voltei depois das ferias, ela prosseguiu. Eu comecei a sair mais com a minha prima, saiamos quase todos os finais de semana, ela tem um amigo que eu ja conhecia ha algum tempo, uma vez ela me disse que ele havia se interessado por mim, mas eu nao levei a serio, bom quando comecamos a sair ela imediatamente convidou esse amigo, queria nos "apresentar'', no inicio a gente so saia mesmo, ele me dava carona e nos conversamos, ai um certo dia nos ficamos, e foi tudo tao rapido e tao bom, que quando percebi a gente ja estava namorando, mas a gente se desentendia demais... Em uma dessas resolvi que iria fazer auto-escola, e fiz (alias to fazendo ate hoje =/)...Por fim acabei me desentendendo demais com ele e resolvi terminar o namoro... ah isso nao foi facil! Briguei com ele, discuti feio com a minha prima tambem, e depois disso nunca mais nos falamos ate hoje, dai resolvi que tinha de dar um jeito na minha vida, em algum momento voltei a falar com a minha amiga, isso foi bom porque eu sentia muita falta dela... ai voltei para o "intensivao" do cursinho com minhas amigas (a Karine tambem estava) ta certo aquela altura do campeonato ja nao estava mais interessada em estudar, mas rever minhas amigas, conversar e dar risadas iria me fazer bem, e fez me distrai bastante, mas pena que nao adiantou nada, porque nao passei no vestibular... isso foi ruim =/ Querido diario, lembra quando eu