vetoriais do vetor beta$$(\beta_{x}\hat{i}+\beta_{y}}{\hat{j}+\beta_{z}}{\hat{k}),$$com o intuito de obter a expressao do produto interno como um numero real (um escalar) e obtermos para o espaco tridimensional a seguinte expressao:$$\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}=\alpha_{x}\beta_{x}+\alpha_{y}\beta_{y}+\alpha_{z}\beta_{z}.$$E, para o espaco bidimensional, a relacao acima se reduz a$$\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}=\alpha_{x}\beta_{x}+\alpha_{y}\beta_{y}.$$CALCULO DA DERIVADA DE UM VETORDado um vetor$$\vec{\alpha}=\alpha_{x}\vec{i}+\alpha_{y}\vec{j}++\alpha_{z}\vec{k},$$ sua derivada em relacao a variavel x pode ser dada por:$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}=\frac{d\alpha_{x}}{dx}\vec{i}+\frac{d\alpha_{y}}{dx}\vec{j}+\frac{d\alpha_{z}}{dx}\vec{k}.$$Para o espaco bidimensional a relacao acima se reduz a$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}=\frac{d\alpha_{x}}{dx}\vec{i}+\frac{d\alpha_{y}}{dx}\vec{j}.$$A seguir, vamos praticar o que aprendemos ate aqui por meio de exercicios.EXERCICIO DE FIXACAO 1Derive o seguinte vetor em relacao a x:$$\vec{\alpha}= 2x^{2}\vec{i}+x^{2}\vec{j}.$$A derivada do vetor em relacao a variavel x pode ser dada por:$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}=\frac{d(2x^{2}\vec{i}+{x^{2}\vec{j})}}{dx}=4x\vec{i}+2x\vec{j}.$$Calcule o valor desta derivada no ponto x = 1.Basta substituir o x por 1 e temos que$$\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}= 4.1\vec{i}+2.1\vec{j} =4\vec{i}+2\vec{j}.$$EXERCICIO DE FIXACAO 2Derive o seguinte vetor em relacao a x:$$\vec{\beta}= 6x^{3}\vec{i}+4x^{2}\vec{j}-2x\vec{k}.$$A derivada do vetor em relacao a variavel x pode ser dada por: $$\frac{d{\vec{\beta}}}{dx}=\frac{d(6x^{3}\vec{i}+4x^{2}\vec{j}-2x\vec{k})}{dx}=18x^{2}\vec{i}+8x\vec{j}-2\vec{k}.$$Calcule o valor desta derivada no ponto x = 1.Basta substituir o x por 1 e temos que$$\frac{d{\vec{\beta}}}{dx}=18x^{2}\vec{i}+8x\vec{j}-2\vec{k}=18\vec{i}+8\vec{j}-2\vec{k}.$$CALCULO DA DERIVADA DE UM PRODUTO ESCALARJa estudamos um pouco sobre a derivada do produto usando o metodo usual no estudo intitulado Como calcular facilmente a derivada do produto. Pois bem, o metodo usual para a derivada do produto e analoga a da derivada de um produto escalar e pode ser obtida mediante a seguinte regra:$$\frac{d}{dx}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=\vec{\alpha} \cdot \frac{d{\vec{\beta}}}{dx}+\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}\cdot \vec{\beta}$$A seguir, vamos praticar o que aprendemos na teoria por meio de exercicios.EXERCICIO DE FIXACAO 3Considere os vetores$$\vec{\alpha}= 2x\vec{i}+2x^{2}\vec{j}$$e$$\vec{\beta}= 3x^{2}\vec{i}-2x^{2}\vec{j}.$$Derive o produto escalar entre esses vetores.Aplicando a regra de derivacao de um produto escalar, temos que$$\frac{d}{dx}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=\vec{\alpha} \cdot \frac{d{\vec{\beta}}}{dx}+\frac{d{\vec{\alpha}}}{dx}\cdot \vec{\beta}.$$ Calculando a derivada do vetor alfa$$\frac{{d\vec{\alpha}}}{dx}=2\vec{i}+4x\vec{j}.$$Calculando a derivada do vetor beta$$\frac{{d\vec{\beta}}}{dx}=6x\vec{i}+4x\vec{j}.$$Substituindo esses valores na expressao da regra do produto interno, temos$$\frac{d}{dt}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=\vec{\alpha} \cdot (6x\vec{i}+4x\vec{j})+(2\vec{i}+4x\vec{j})\cdot \vec{\beta}.$$Portanto,$$\frac{d}{dt}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=(2x\vec{i}+2x^{2}\vec{j}) \cdot (6x\vec{i}+4x\vec{j})+(2\vec{i}+4x\vec{j})\cdot (3x^{2}\vec{i}-2x^{2}\vec{j}),$$equivale a: $$\frac{d}{dt}(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})=18x^{2}-16x^{3}.$$EXERCICIO DE FIXACAO 4Calcule por outro metodo o produto escalar dos vetores do exercicio anterior.Podemos fazer esta operacao do seguinte modo:Inicialmente, fazer o produto escalar do vetor alfa com o vetor beta:$$(\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta})=(2x\vec{i}+2x^{2}\vec{j})(3x^{2}\vec{i}-2x^{2}\vec{j})=6x^{3}-4x^{4}.$$Depois, derivar o resultado em relacao a x e encontraremos novamente o resultado$$\frac{d(6x^{3}-4x^{4})}{dx}=18x^{2}-16x^{3}.$$CONTINUE APRENDENDOViu como foi facil derivar um vetor? Agora e sua vez de fazer a sua parte, repetindo os calculos feitos por aqui no seu caderno, lendo mais nos livros didaticos ou na rede sobre vetores unitarios, regras de derivacao de vetores, componentes vetoriais e produto escalar. Espero que este estudo ajude voce de alguma maneira. Se ajudou comente ai. Se voce estiver gostando do meu trabalho, recomende-o para os colegas e amigos de escolas e de universidades. Obrigado pela paciencia e sucesso para voce.