12, 17].2 Navier-Stokes em dominios limitados de $\mathbb{R}^2$Em tudo o que segue, $T>0$ e um numero real fixo (e finito), $\Omega$ e um aberto limitado de $\mathbb{R}^2$ com fronteira regular e $\nu>0$ e uma constante.2.1 Motivacao para a formulacao fracaA versao classica do problema que vamos considerar e a seguinte:Problema 2.1 (Navier-Stokes no plano). Dados $\mathbf{f}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^2$ e $\mathbf{u}_0:\Omega\to\mathbb{R}^2$, encontrar $\mathbf{u}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^2$ e $p:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}$ tais que$$ \left\{\begin{aligned}\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}-\nu\Delta\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=\mathbf{f}-\nabla p&\quad\text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\\operatorname{div}\mathbf{u}=0&\quad \text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\\mathbf{u}=0&\quad\text{em}\quad \partial\Omega\times(0,T),\\\mathbf{u}=\mathbf{u}_0&\quad\text{em}\quad \Omega\times\{0\}.\\\end{aligned}\right.\tag{2.1}$$Escreva $Q=\Omega\times(0,T)$. Suponhamos que, para uma funcao $\mathbf{f}=(f^1,f^2)\in C(\bar{Q})\times C(\bar{Q})$, o Problema 2.1 possua uma solucao $(\mathbf{u},p)$ com $\mathbf{u}=(u^1,u^2)\in C^2(\bar{Q})\times C^2(\bar{Q})$ e $p\in C^1(\bar{Q})$.$^{\text{(iv)}}$ Note que a equacao (2.1)$_1$ se reescreve como$$u^i_t-\nu\Delta u^i+\sum_{j=1}^2 u^ju^i_{x_j}=f^i-p_{x_i},\qquad i=1,2.$$Multiplicando por $v^i\in \mathcal{D}(\Omega)$, integrando sobre $\Omega$ e mantendo implicita a dependencia de $t$, segue que$$(u^i_t,v^i)_{L^2}-\nu\int_\Omega v^i\Delta u^i\;dx+\sum_{j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=(f^i,v^i)_{L^2}-\int_\Omega p_{x_i}v^i\;dx.$$Integrando por partes (e utilizando que $v^i$ se anula sobre $\partial\Omega$), obtemos$$(u^i_t,v^i)_{L^2}+\nu\int_\Omega \nabla v^i\nabla u^i\;dx+\sum_{j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=(f^i,v^i)_{L^2}+\int_\Omega pv^i_{x_i}\;dx.$$Somando com respeito ao indice $i$, resulta que$$\sum_{i=1}^2(u^i_t,v^i)_{L^2}+\nu\sum_{i=1}^2\int_\Omega \nabla v^i\nabla u^i\;dx+\sum_{i,j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=\sum_{i=1}^2(f^i,v^i)_{L^2}+\int_\Omega p\operatorname{div}\mathbf{v}\;dx,$$onde $\mathbf{v}=(v^1,v^2)$. Supondo adicionalmente que $\operatorname{div}\mathbf{v}=0$, esta ultima igualdade se reduz a$$\sum_{i=1}^2(u^i_t,v^i)_{L^2}+\nu\sum_{i,j=1}^2(u^i_{x_j}, v^i_{x_j})_{L^2}+\sum_{i,j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=\sum_{i=1}^2(f^i,v^i)_{L^2}.$$Definindo$$a(\mathbf{u},\mathbf{v})=\sum_{i,j=1}^2(u^i_{x_j}, v^i_{x_j})_{L^2},\qquad b(\mathbf{u},\mathbf{w},\mathbf{v})=\sum_{i,j=1}^2 (u^jw^i_{x_j},v^i)_{L^2},$$a expressao anterior pode ser reescrita como$$(\mathbf{u}_t,\mathbf{v})+\nu a(\mathbf{u},\mathbf{v})+b(\mathbf{u}, \mathbf{u},\mathbf{v})=(\mathbf{f},\mathbf{v}),$$onde $(\cdot,\cdot)$ e o produto interno usual em $L^2(\Omega)\times L^2(\Omega)$. Escrevendo $\mathbf{u}(\cdot,t)=\mathbf{u}(t)$, $\mathbf{f}(\cdot,t)=\mathbf{f}(t)$ e tornando explicita a dependencia de $t$ na expressao anterior, obtemos$$(\mathbf{u}_t(t),\mathbf{v})+\nu a(\mathbf{u}(t),\mathbf{v})+b(\mathbf{u}(t), \mathbf{u}(t),\mathbf{v})=(\mathbf{f}(t),\mathbf{v}),\quad\forall\ t\in(0,T).\tag{2.2}$$Estas consideracoes motivam a definicao dos espacos funcionais, a definicao das aplicacoes e a formulacao fraca estabelecidas na secao seguinte.2.2 Formulacao fracaDefina os espacos$$\mathcal{V}=\{v\in \mathcal{D}(\Omega)\times\mathcal{D}(\Omega)\mid \operatorname{div}v=0\},\qquad V=\overline{\mathcal{V}}^{[H^1(\Omega)]^2},\qquad H=\overline{\mathcal{V}}^{[L^2(\Omega)]^2}.\tag{2.3}$$Defina tambem a forma bilinear $a:V\times V\to\mathbb{R}$ e a forma trilinear $b:V\times V\times V\to\mathbb{R}$ por$$a(u,v)=\sum_{i,j=1}^2(u^i_{x_j}, v^i_{x_j})_{L^2},\qquad b(u,w,v)=\sum_{i,j=1}^2 (u^jw^i_{x_j},v^i)_{L^2}.\tag{2.4}$$Note que $a(\cdot,\cdot)$ e o produto interno usual em $[H_0^1(\Omega)]^2$. A seguir, vamos considerar o seguinte problema:Problema 2.2 (Formulacao fraca). Dados uma funcao $f:[0,T]\to V'$ e um vetor $u_0\in H$, provar que existe uma funcao $u\in L^\infty(0,T; H)\cap L^2(0,T;V)^{\text{(v)}}$ tal que, para todo $v\in V$,$$\left\{\begin{aligned}&\frac{d}{dt}(u(\cdot),v)+\nu a(u(\cdot),v)+b(u(\cdot), u(\cdot),v)=\langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V}\;\text{ em }\;\mathcal{D}'(0,T),\\&u(0)=u_0.\end{aligned}\right.\tag{2.5}$$Como antes, $(\cdot,\cdot)$ representa o produto interno usual em $[L^2(\Omega)]^2$. Note que (2.5)$_1$ e uma versao mais fraca de (2.2). A funcao $u$ devera ter regularidade suficiente para que a condicao (2.5)$_2$ tenha sentido.2.3 PreliminaresNesta secao apresentaremos alguns resultados que serao necessarios na secao seguinte. Comecamos com dois resultados gerais.Teorema 2.3. Seja $\{e_j\}_{j\in J}$ uma familia ortonormal em um espaco de Hilbert $\mathcal{H}$. Sao equivalentes:(I) $\{e_j\}_{j\in J}$ e maximal (no sentido de inclusao de conjuntos).(II) $ x=\sum_{j\in J}(x,e_j)e_j$ para todo $x\in \mathcal{H}$.(III) $ \|x\|^2=\sum_{j\in J}|(x,e_j)|^2$ para todo $x\in \mathcal{H}$.(IV) $\overline{\operatorname{span}\{e_j\mid j\in J\}}=\mathcal{H}$.Prova: Para (I) $\Rightarrow$ (II) $\Rightarrow$ (III) $\Rightarrow$ (I), ver [10] (Corolario 12.8, p. 532). A implicacao (II) $\Rightarrow$ (IV) e imediata. Para (IV) $\Rightarrow$ (II) ver [3] (Corolario 5.10, p. 143). $\square$Observacao 2.4. No contexto do metodo de Galerkin, a "base" de um espaco normado separavel $X$ geralmente e definida como sendo uma familia L.I. contavel cujo espaco gerado e denso em $X$ (a separabilidade do espaco garante a existencia de tal familia - ver Lema 4.1, p. 83, em [8]). Por outro lado, no contexto dos espacos de Hilbert, a "base" as vezes e definida como sendo uma familia ortonormal maximal. Segue do Teorema 2.3 que, se $X$ e Hilbert separavel, entao estes dois conceitos de base coincidem. A seguir, a expressao "sistema