thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
Veja abaixo como ficaria algumas fracoes representadas em forma de porcentagem:$$ \frac { 3 }{ 100 } =3 \% $$$$ \frac { 57 }{ 100 } =57 \% $$$$ \frac { 3 }{ 5 } =\frac { 3\cdot 20 }{ 5\cdot 20 } =\frac { 60 }{ 100 } =60 \% $$Nota: Observe que nem sempre teremos o caso em que o denominador da fracao e igual a $100$ (exemplo $3$), portanto, faz-se necessario que utilizemos algum artificio matematico para transformar o denominador no valor $100$, porem sem alterar o resultado da nossa fracao e para isso utilizamos o conceito de fracoes equivalentes.Fracoes equivalentesDuas fracoes sao ditas equivalentes quando representam a mesma parte de um todo ou, em outras palavras, quando simplificadas apresentam a mesma fracao irredutivel, ou ainda quando o produto do meios for igual ao produto dos extremos dessas fracoes.Exemplo: $$ \frac { 3 }{ 4 } \quad e\quad \frac { 12 }{ 16 } $$A fracao $ \frac { 3 }{ 4 }$ ja esta em sua forma irredutivel, pois nao pode ser mais simplifica. Ja a fracao $ \frac { 12 }{ 16 }$ pode ser simplificada por $4$. Logo temos:$$ \frac { 12:4 }{ 16:4 } =\frac { 3 }{ 4 } $$Como o resultado e igual a primeira fracao dizemos entao que essas duas fracoes sao equivalentes.Para mostrar essa afirmacao podemos utilizar a terceira definicao multiplicando os meios pelos extremos dessas duas fracoes, observe:$$ \frac { 3 }{ 4 } \quad e\quad \frac { 12 }{ 16 } $$$$ 3\cdot 16\quad ?\quad 4\cdot 12 $$$$ 48\quad =\quad 48 $$Como o produto foi igual em ambos os membros podemos afirmar novamente que essas duas fracoes sao equivalentes.Para encontrarmos fracoes equivalentes basta multiplicarmos uma fracao por um numero constante pertencente aos reais tanto no numerador como no denominador dessa fracao. Vamos encontrar por exemplo $3$ fracoes equivalentes a fracao $ \frac {2} {3} $. Para isso podemos multiplica-la pelos numeros $2$, $3$, e $4$, veja:$$ \frac { 2\cdot (2) }{ 3\cdot (2) } =\frac { 4 }{ 6 } $$$$ \frac { 2\cdot (3) }{ 3\cdot (3) } =\frac { 6 }{ 9 } $$$$ \frac { 2\cdot (4) }{ 3\cdot (4) } =\frac { 8 }{ 12 } $$Logo, as fracoes $\frac { 4 }{ 6 }$, $\frac { 6 }{ 9 }$ e $\frac { 8 }{ 12 }$ sao fracoes equivalentes a fracao $\frac { 2 }{ 3 }$.Transformando fracao em porcentagemAgora que voce conhece o conceito de fracao equivalente vamos aprender a transformar fracoes em porcentagem seguindo essa linha de raciocinio (sempre que possivel).Para transformar uma fracao em porcentagem sabemos que o denominador dessa fracao precisa ser igual a $100$ para substituirmos ele pelo simbolo da porcentagem " $\%$ ". Logo, quando o denominador nao for igual a $100$, precisamos encontrar um fator pertencente aos reais que multiplicado por esse denominador resulte no valor $100$. Veja alguns exemplos abaixo:$$ \frac { 2 }{ 5 } =\frac { 2\cdot (20) }{ 5\cdot (20) } =\frac { 40 }{ 100 } =40 \% $$$$ \frac {
7 }{ 25 } =\frac { 7\cdot (4) }{ 25\cdot (4) } =\frac { 28 }{ 100 } =28 \% $$Observe que os exemplos acima sao bem faceis de se encontrar um valor que multiplicado pelo denominador resultem no valor $100$, porem nem sempre nos deparamos com situacoes faceis como essa, por isso vamos aprender outro metodo para transformar fracoes em porcentagem, confira o exemplo a seguir:$$ \frac { 1 }{ 8 } =0,125=0,125\cdot 100 \% =12,5 \% $$Nota: Multiplicar um numero por $100 \%$ e o mesmo que multiplicar esse numero por 1, pois $100 \%$ e igual a $ \frac { 100 }{ 100 } = 1 $, logo isso nao modificara em nada o valor do numero que estamos multiplicando por $100 \%$. No exemplo anterior dividimos o numerador pelo denominador e depois multiplicamos por $100 \%$, como queriamos que a porcentagem aparecesse multiplicamos o resultado por "100" e permanecemos com o simbolo da porcentagem ao lado. Observe abaixo mais exemplos com esse metodo:$$ \frac { 3 }{ 5 } =0,6=0,6\cdot 100 \%=60 \% $$$$ \frac { 9 }{ 12 } =0,75=0,75\cdot 100 \%=75 \% $$$$ \frac { 1 }{ 4 } =0,25=0,25\cdot 100 \%=25 \% $$$$ \frac { 2 }{ 3 } =0,666...\cong 0,6667\cdot 100 \%=66,67 \% $$Calculo da porcentagem de um valorAgora vamos aprender a calcular porcentagens de determinados valores. Para calcular uma certa porcentagem de um valor e necessario simplesmente multiplicar essa porcentagem por esse valor, por exemplo queremos saber quanto vale $20 \%$ de $100$, para isso basta multiplicarmos:$$ 20 \%\cdot 100=\left( \frac { 20 }{ 100 } \right) \cdot 100=\frac { 2000 }{ 100 } =20 $$Ou seja, $20 \%$ de $100$ e igual a $20$. Podemos resolver esse tipo de situacao usando o conceito de porcentagem, que diz que estamos trabalhando com a retirada de um valor fixo a cada $100$ unidades de um valor solicitado, logo, se queremos $20 \%$ de $100$ isso quer dizer que a cada $100$ unidades devemos retirar $20$ e como tinhamos apenas $100$ unidades nosso resultado final foi o proprio $20$.Vamos imaginar agora uma situacao em que temos que encontrar $20 \%$ de $300$, mas para isso vamos utilizar o conceito de porcentagem para resolve-la, veja como e simples.Se queremos $20 \%$ de $300$, isso quer dizer que a cada $100$ unidades devemos pegar $20$ para gente, logo como temos $300$ unidades entao pegaremos $20$ da primeira centena, mais $20$ da segunda centena e mais $20$ da terceira centena totalizando $60$ unidades. Portanto $20 \%$ de $300$ nada mais e do que $60$.Vamos comprovar isso agora com o calculo:$$ 20 \%\cdot 300=\left( \frac { 20 }{ 100 } \right) \cdot 300=\frac { 6000 }{ 100 } =60$$Perceba que trabalhar com porcentagem nao e complicado quando se entende o conceito de porcentagem. Em alguns casos podemos resolver porcentagens ate mesmo de cabeca bem rapido. Vamos resolver alguns exemplos onde podemos fazer isso, veja. Exemplo 1: Calcular $40 \%$ de $500$. Resolucao: Observe que devemos apenas pegar $40$ unidades a cada $100$ unidades dos $500$. Como sabemos que o
$100$ "cabe" $5$ vezes dentro de $500$ entao basta multiplicarmos o $40$ por $5$ e pronto, encontramos nossa resposta, ou seja:$$ 40 \%\quad de\quad 500=40+40+40+40+40=200 $$Veja a explicacao para isso na imagem abaixo:Exemplo 2: Calcular $30 \%$ de $300$.Resolucao: Para isso devemos pegar $30$ unidades para cada $100$ unidades do valor solicitado, como o valor e $300$ vamos conseguir pegar $3$ vezes o valor de $30$ unidades o que resulta em $90$ unidades logo, $30 \%$ de $300$ e igual a $90$. Vale ressaltar aqui, mais uma vez, que nem sempre teremos valores fechados como esses dos exemplos acima. Quando isso acontece fica um pouco mais complicado utilizar essa regrinha de resolver a porcentagem pelo conceito, logo, devemos utilizar o metodo que eu ensinei anteriormente que resume-se a multiplicar a porcentagem pelo valor solicitado. Para fundamentar esse metodo veja mais exemplos abaixo:$$ 60 \%\quad de\quad 120=60 \%\cdot 120=\left( \frac { 60 }{ 100 } \right) \cdot 120=\frac { 7200 }{ 100 } =72 $$$$ 12 \%\quad de\quad 96=12 \%\cdot 96=\left( \frac { 12 }{ 100 } \right) \cdot 96=\frac { 1152 }{ 100 } =11,52 $$$$ 23 \%\quad de\quad 238=23 \%\cdot 238=\left( \frac { 23 }{ 100 } \right) \cdot 238=\frac { 5474 }{ 100 } =54,74 $$Como voce pode perceber o conteudo de porcentagem nao e complicado quando se entende o conceito de porcentagem e se aprende a trabalhar com ele. Nas proximas publicacoes sobre porcentagem irei ensinar como calcular descontos e reajustes. Nessas proximas publicacoes vamos ver onde a porcentagem se aplica em situacoes do nosso dia a dia e como e importante conhecer esse conteudo para evitar possiveis enganos na hora de fazer compras, por exemplo.O que voce gostaria que eu focasse sobre porcentagem nos proximos artigos dessa serie? Sera que este artigo esta faltando informacoes? O que voce achou dessa aula sobre porcentagens? Que tal deixar sua opiniao nos comentarios abaixo? Com sua ajuda e participacao pretendo tornar esse ambiente mais completo e organizado para que mais pessoas possam aprender com mais facilidade essa ciencia tao magnifica que e a Matematica.Obrigado pela leitura, um abraco e ate a proxima!
Estou dando inicio a aula 6 do curso: Como Aprender Calculo Diferencial e Integral. Na aula de hoje vamos colocar em pratica as propriedades de Limites que aprendemos na aula passada. Irei resolver uma serie de exercicios de forma detalhada dando enfase em quais propriedades estao sendo utilizadas em cada processo de resolucao.Em todos os casos abaixo calcule os limites das funcoes, caso existam, detalhando as propriedades utilizadas em cada processo de sua resolucao.Exercicio 01: $$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x+3 \right) } $$Observe que este e um limite bem simples e que poderia, muito bem, ser resolvido apenas da seguinte maneira:$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x+3 \right) } =4\cdot 2+3=8+3=11 $$Isso por que ao substituirmos o valor em que $x$ esta tendendo nao chegamos em nenhuma indeterminacao matematica, porem como queremos entender como as propriedades dos limites podem ser aplicadas iremos resolver esse limite da seguinte maneira. Primeiro vamos aplicar a propriedade do limite da soma que diz que o limite da soma e igual a soma dos limites, logo chegamos a seguinte conclusao: $$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x+3 \right) } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x \right) } +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 3 \right) } $$Agora se observarmos o primeiro termo dessa nova expressao podemos aplicar a propriedade do limite do produto, que diz que o limite do produto e igual ao produto dos limites, logo: $$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x \right) } +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 3 \right) } =\left[ \left( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4 } \right) \cdot \left( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ x } \right) \right] +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 3 \right) } $$Agora podemos aplicar a propriedade do limite da constante no primeiro e terceiro termo dessa expressao e podemos aplicar a propriedade $2$ da aula passada no segundo termo dessa expressao que diz que o limite de uma funcao $f(x)=x$ quando $x$ tende a um valor $p$ e igual ao proprio $p$, logo temos que:$$ \left[ \left( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4 } \right) \cdot \left( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ x } \right) \right] +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 3 \right) } =\left( 4\cdot 2 \right) +3=8+3=11 $$Importante: Note que este tipo de resolucao leva um pouco mais de tempo, porem nos mostra como podemos aplicar as propriedades dos limites em suas resolucoes, no entanto, isso nao quer dizer que voce precise, necessariamente, resolver todos os seus limites dessa maneira, pois, como eu disse, isso e apenas para entendermos melhor suas propriedades. Fique ligado nisso!Exercicio 02: $$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6{ x }^{ 2 }-4x \right) } $$Note que este e outro limite bem facil de ser resolvido e que poderia ser solucionado apenas substituindo o valor que $x$ esta tendendo na funcao, pois isso nao geraria nenhuma indeterminacao, porem, como queremos aplicar as propriedades dos limites, vamos, mais uma vez resolve-lo de forma diferente e mais detalhada. Esse limite e bem interessante por que pode ser resolvido de maneiras
diferentes, utilizando propriedades diferentes, portanto irei mostrar duas maneiras de como poderiamos resolver esse limite. A primeira maneira e bem simples. Note que podemos aplicar a propriedade do limite da diferenca, pois sabemos que o limite da diferenca e igual a diferenca dos limites, logo:$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6{ x }^{ 2 }-4x \right) } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6{ x }^{ 2 } \right) } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4x \right) } $$Agora podemos aplicar em ambos os termos dessa expressao a propriedade do limite do produto que diz que o limite do produto e igual ao produto dos limites, logo:$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6{ x }^{ 2 } \right) } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4x \right) } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( { x }^{ 2 } \right) } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } $$Agora podemos aplicar a propriedade 8 da aula passada que diz que o limite de uma funcao elevada a $n$ e equivalente ao limite elevado a $n$ dessa funcao, logo:$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( { x }^{ 2 } \right) } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6 \right) } \cdot { \left( \lim _{ x\rightarrow 3 }{ x } \right) }^{ 2 }-\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } $$Por fim iremos aplicar a propriedade do limite da constante no primeiro e terceiro termo da expressao e a propriedade 2 da aula passada no segundo e quarto termo dessa expressao que diz que o limite de uma funcao $f(x)=x$ quando $x$ tende a um valor $p$ e igual ao proprio $p$, logo temos que:$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6 \right) } \cdot { \left( \lim _{ x\rightarrow 3 }{ x } \right) }^{ 2 }-\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } =6\cdot { 3 }^{ 2 }-4\cdot 3=6\cdot 9-12=54-12=42 $$Essa foi uma das maneiras que poderiamos ter resolvido este limite usando suas propriedades. Outra maneira bem interessante seria a de primeiro colocarmos em evidencia o $2x$ da funcao $f(x)=6{ x }^{ 2 }-4x$, logo teriamos entao que calcular o limite da seguinte expressao:$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ 2x\cdot \left( 3x-2 \right) \right] } $$Com base nessa nova expressao poderiamos a principio aplicar a propriedade 6 da aula passada que diz que o limite do produto entre duas funcoes e equivalente ao produto dos limites dessas funcoes, logo temos que:$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ 2x\cdot \left( 3x-2 \right) \right] } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2x \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x-2 \right)
} $$Agora podemos aplicar no segundo termo dessa expressao a propriedade do limite da diferenca que diz que o limite da diferenca e igual a diferenca dos limites, logo:$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2x \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x-2 \right) } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2x \right) } \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x \right) } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } \right] $$Agora vamos aplicar a propriedade que diz que o limite do produto e igual produto dos limites no primeiro e segundo termo dessa expressao, logo:$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2x \right) } \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x \right) } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } \right] =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } \cdot \left[ \left( \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } \right) -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } \right] $$Por fim, vamos aplicar a propriedade do limite da constante no primeiro, terceiro e quinto termo dessa expressao e vamos aplicar a propriedade 2 da aula passada no segundo e quarto termo dessa expressao que diz que o limite de uma funcao $f(x)=x$ quando $x$ tende a um valor $p$ e igual ao proprio $p$, logo temos que:$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } \cdot \left[ \left( \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3 \right) } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right) } \right) -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right) } \right] =2\cdot 3\cdot \left[ \left( 3\cdot 3 \right) -2 \right] =6\cdot 7=42 $$Importante: Note que ambas as resolucoes resultaram no mesmo limite, pois por mais que tenhamos utilizado metodos diferentes devemos sempre encontrar o mesmo resultado, ja que nao mexemos na funcao inicial a ponto de mudar o seu limite. Perceba que voce pode utilizar artificios matematicos para mudar seus calculos como o que fiz nessa resolucao acima quando coloquei um termo em evidencia da funcao. Existem casos em que fazer esse tipo de "jogada" minimiza e muito nossos calculos. Fique ligado nisso!Exercicio 03: $$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-4 }{ x^{ 2 }-2x } \right) } $$Observe que neste caso calcular o limite nao e tao simples quanto pode parecer, pois se apenas substituirmos o valor que $x$ esta tendendo na funcao chegaremos a uma indeterminacao matematica, pois teremos zero dividido por zero, logo faz-se necessario que utilizemos outro artificio matematico para "fugir" dessa indeterminacao que no caso sera a fatoracao.Note que o numerador dessa funcao e um produto notavel conhecido como diferenca de dois quadrados, logo ele pode ser reescrito como o produto da soma pela sua diferenca de acordo com a propriedade que foi apresentada na aula $2$ do nosso curso, veja:$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{
\left( \frac { { x }^{ 2 }-4 }{ x^{ 2 }-2x } \right) } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-{ 2 }^{ 2 } }{ x^{ 2 }-2x } \right) } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) \cdot \left( x-2 \right) }{ x^{ 2 }-2x } \right] } $$Agora, se observarmos o denominador dessa funcao podemos perceber que o termo $x$ e o fator comum dessa expressao, logo podemos coloca-lo em evidencia, entao teremos a seguinte expressao resultante, veja:$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) \cdot \left( x-2 \right) }{ x^{ 2 }-2x } \right] } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) \cdot \left( x-2 \right) }{ x\cdot \left( x-2 \right) } \right] } $$Como sabemos que $x$ se aproxima de $2$, mas nunca sera igual a $2$, entao podemos afirmar que "$x-2$" e diferente de zero, portanto podemos realizar a simplificacao do "$x-2$" do numerador com o "$x-2$" do denominador, resultando na seguinte expressao:$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) \cdot \left( x-2 \right) }{ x\cdot \left( x-2 \right) } \right] } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) }{ x } \right] } $$Agora podemos aplicar a propriedade 7 da aula passada que diz que o limite da divisao entre duas funcoes e equivalente a divisao entre os limites dessas funcoes se, e somente se, o limite da funcao que fica no denominador for diferente de zero. Como sabemos que o limite da funcao que fica no denominador, nesse exemplo, e diferente de zero, entao podemos aplicar esta propriedade, logo:$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) }{ x } \right] } =\frac { \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+2 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right) } } $$Agora podemos aplicar no numerador a propriedade que diz que o limite da soma e igual a soma dos limites, logo temos que:$$ \frac { \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+2 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right) } } =\frac { \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right) } +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 2 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right) } } $$Para finalizar resolvemos os tres limites dessa expressao conforme as propriedades do limite da constante e da propriedade que diz que o limite de uma funcao $f(x)=x$ quando $x$ tende a um valor $p$ e igual ao proprio $p$, logo temos que:$$ \frac { \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right) } +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 2 \right) } }{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right) } } =\frac { 2+2 }{ 2 } =\frac { 4 }{ 2 } =2 $$Importante: Perceba que por mais que essa funcao nao esteja definida no ponto "$x=2$" ela possui limite quando se aproxima desse valor. Isso serve para enfatizar que uma
funcao nao precisa estar necessariamente definida no ponto onde estamos querendo calcular o seu limite. Note tambem que para sairmos de indeterminacoes matematicas, nos limites, precisamos conhecer muito bem os conteudos que envolvem fatoracao de polinomios por isso e de fundamental importancia que voce estude bastante esses assuntos por meio de resolucoes de exercicios e com o auxilio da aula $2$ do nosso curso onde mostramos varias dessas propriedades de fatoracao. Exercicio 04: Seja a funcao $f$ definida por:$$ f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-3x+2 }{ x-1 } ,\quad se\quad x\neq 1 \\ 3,\quad se\quad x=1 \end{cases} $$Calcule: $$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ f(x) } $$Como sabemos que $x$ se aproxima de $1$, mas nunca sera igual a $1$, portanto podemos concluir que a funcao que devemos utilizar para $f(x)$ deve ser a primeira, logo temos que calcular o seguinte limite:$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-3x+2 }{ x-1 } \right) } $$Observe que se substituirmos o valor que $x$ esta tendendo na funcao acima chegaremos em uma indeterminacao de zero dividido por zero, logo temos que utilizar algum artificio matematico para tentarmos "fugir" novamente dessa indeterminacao, ou seja, vamos ter que realizar uma fatoracao.Na aula 2 do nosso curso de calculo ensinei como colocar uma equacao do 2 grau na sua forma fatorada e disse que para fazer isso precisamos conhecer as raizes da nossa equacao. Portanto o primeiro passo que devemos fazer e encontrar as raizes da equacao do 2 grau que se encontra no numerador da nossa funcao.Aviso: Calcular as raizes de uma equacao do 2 grau e uma tarefa facil para quem ja esta na faculdade estudando Calculo I, portanto irei pular essa parte de nosso calculo e ir direto para o proximo passo, uma vez que ja sabemos que as raizes de nossa equacao sao: $1$ e $2$.A forma fatorada de uma equacao do 2 grau e a seguinte:$$ a\cdot \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \cdot \left( x-{ x }_{ 2 } \right) $$Onde ${ x }_{ 1 }$ e ${ x }_{ 2 }$ sao as raizes da equacao do 2 grau e $a$ e o termo que multiplica o $x^{2}$, logo:$$ { x }^{ 2 }-3x+2=1\cdot \left( x-1 \right) \cdot \left( x-2 \right) =\left( x-1 \right) \cdot \left( x-2 \right) $$Substituindo essa informacao na nossa funcao temos que:$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-3x+2 }{ x-1 } \right) } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left[ \frac { \left( x-1 \right) \cdot \left( x-2 \right) }{ x-1 } \right] } $$Como sabemos que $x$ se aproxima de $1$, mas nunca sera igual a $1$, portanto podemos afirmar que "$x-1$" e diferente de zero, logo podemos efetuar sua simplificacao na expressao acima, entao temos que:$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left[ \frac { \left( x-1 \right) \cdot \left( x-2 \right) }{ x-1 } \right] } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x-2 \right) } $$Aplicando a propriedade 4 da aula passada que diz que o limite da diferenca entre