Hoje, trago as solucoes que conheco para o problema de algebra linear proposto na postagem anterior. Abaixo, o problema e as solucoes.Problema. Sejam A e B duas matrizes simetricas. Se A e positiva definida, entao AB e diagonalizavel.A primeira solucao que apresento e devida a Rafael A. da PonteSolucao 1. Mostra-se, primeiro, que os autovalores de $AB$ sao reais. Seja $\alpha$ um autovalor de $AB$, seja $v$ um autovetor correspondente a $\alpha$ (eventualmente com entradas nao-reais) e $\beta$ o conjugado de $\alpha$. Entao, teremos:$Bv\cdot v = v \cdot Bv $ <=> $ A^{-1}ABv\cdot v = v\cdot A^{-1}ABv $ <=> $A^{-1}\alpha v\cdot v = v\cdot A^{-1}\alpha v$ <=> $\alpha A^{-1}v\cdot v = \beta v \cdot A^{-1}v. $Dai, teremos $\beta = \alpha$ ou $Av\cdot v = 0.$ A ultima possibilidade nao acontece, pois $A^{-1}$ e positiva e $v$ e nao nulo. Logo $\alpha$ e real. Uma vez mostrado que os autovalores de $AB$ sao reais, supomos que $AB$ nao e diagonalizavel, isto e, existem $\alpha$ real e vetores $v$ e $w$ nao-nulos tais que $ABv = \alpha v + w$ e $ABw = \alpha w$ (tais vetores aparecem naturalmente no Teorema de Jordan). Entao:$Bv\cdot w = Bw\cdot v$ <=> $A^{-1}ABv\cdot w = A^{-1}ABw\cdot v$ <=> $\alpha A^{-1}v\cdot w + A^{-1}w\cdot w = \alpha A^{-1}w\cdot v$ <=> $A^{-1}w\cdot w = 0.$ A ultima igualdade nao pode ocorrer, uma vez que $A^{-1}$ e positiva e $w$ e nao-nulo. Logo, a matriz de Jordan de $AB$ e diagonal, logo $AB$ e diagonalizavel. Final da solucao 1.A solucao seguinte conheci atraves do site http://math.stackexchange.com (user 1551) e coincide com a solucao enviada por Diego Sousa (o autor do blog gigamatematica)Solucao 2.Seja $M$ matriz simetrica e invertivel tal que $M^2=A.$ A existencia de $M$ vem do fato de $A$ ser uma matriz positiva. Entao, $AB= M (MBM) M^{-1}$, isto e, $AB$ e semelhante a $MBM$ que e matriz simetrica, logo $AB$ e diagonalizavel. Final da solucao 2.Agora, a solucao que o Professor Flavio Cruz me apresentou. Solucao 3. Desde que $A$ e uma matriz simetrica positiva, a seguinte funcao $(v,w)\rightarrow A^{-1}v\cdot w$ define um produto interno em $\mathbb{R}^n$ que faz da matriz $AB$ um operador auto-adjunto, donde diagonalizavel.Final da solucao 3.Finalmente, gostaria de observar que a questao levantada por Diego Sousa no campo de comentarios da postagem anterior, a saber: "qual seria a versao complexa do problema acima ?" foi respondida por Rafael A. da Ponte no mesmo campo de comentarios fazendo referencia a Solucao 1 apresentada aqui. MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); Por Bill BastosBem, promessa feita &promessa cumprida! Tive uma pequena conversacao com o Prof.Alexandre e combinamos fazer um pequeno post de Teoria dos Grupos.Peco desculpas, a priori, por ter incluido um problema naorelacionado ao Tema: raizes de grupos. Tive boas intencoes!Mas quero ver para onde a conversa converge!Raizesde GruposPequeno(a) repeteco(retrospectiva): Dizemos que umespaco topologico $Y$ e uma raiz de um outro espaco topologico$X$ se: $X$ e homeomorfo a $Y \times Y$. Ops, os espacostopologicos $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^3$ e $\mathbb{S}^2$ nao possuem raizes!!! Veja os postsanteriores (aqui e aqui).Raizes de Grupos:Nada nos impede depensar esse problema numa versao para