Ao escrever os Elementos, Euclides pretendia reunir num texto tres grandes descobertas do seu passado recente: a teoria das proporcoes de Eudoxo, a teoria dos irracionais de Teeteto (417 a. C. - 369 a. C.) e a teoria dos cinco solidos regulares, que ocupava um lugar importante na cosmologia de Platao. Euclides compilou nos Elementos toda a geometria conhecida na sua epoca. Mas, nao se limitou a reunir todo o conhecimento geometrico, ordenou-o e estruturou-o como ciencia. Isto e, a partir de uns axiomas desenvolveu e demonstrou os teoremas e proposicoes geometricas, dando novas demonstracoes quando as antigas nao se adaptavam a nova ordem que havia dado as proposicoes. Alem disso, esmiucou a fundo as propriedades das figuras geometricas, das areas e dos volumes e estabeleceu o conceito de lugar geometrico.Embora os Elementos tenham algumas deficiencias logicas, pelos padroes actuais, tais deficiencias passaram despercebidas durante mais de dois milenios. O movimento critico iniciou-se talvez nos finais do seculo XVII, com John Wallis (1616-1703), continuando um pouco difuso durante o seculo seguinte, com o abade jesuita Saccheri (1667-1733) e os matematicos Lambert (1728-1777) e Gauss (1777-1855). E ja bem dentro do seculo XIX que a critica a Euclides se assume ate as ultimas consequencias, culminando quer na proposta de geometrias alternativas por Bolyai (1802 - 1860), Lobachewski (1792 - 1856) e Riemann (1826 - 1866), quer numa completa revisao dos fundamentos da geometria euclidiana por Pasch (1843 - 1930) e por Hilbert (1862 - 1943), quer ainda no surgimento de novas concepcoes sobre a classificacao das geometrias por Felix Klein (1849 - 1925).Nada disto retira valor a monumental obra de Euclides. Como dizem Borsuk (1905 - 1982) e Szmielew (Foundations of geometry, 1960): "Se o valor de um trabalho cientifico pode ser medido pelo tempo durante o qual ele mantem a sua importancia, entao os Elementos de Euclides sao a obra cientifica mais valida de todos os tempos." Os postulados de Euclides tiveram expressao durante mais de dois mil anos, nunca tendo sido questionados. Mas, atraves das tentativas de reduzir o designado "axioma das paralelas" - por um ponto passa uma reta paralela a uma reta dada e uma so - a um teorema conduziram, no seculo XIX, a uma apreciacao completa da sensatez do ponto de vista de Euclides ao adopta-lo como um axioma e levaram a descoberta das chamadas geometrias nao euclidianas.Se, como Lobachevski, considerarmos que por um ponto passam infinitas retas paralelas a uma reta dada obtemos a geometria hiperbolica. Se, por outro lado, supusermos, como Riemann, que por um ponto nao passa nenhuma reta paralela a uma recta dada teremos a geometria esferica. No entanto, existe a certeza de que, devido a Euclides, os conceitos de geometria adquiriram forma cientifica na Grecia. Embora a sua origem se encontre no antigo Egito, local onde sentiu a necessidade de efetuarem medicoes da terra devido as inundacoes periodicas do rio Nilo.Medir as terras para fixar os limites das propriedades era uma tarefa importante nas civilizacoes antigas, especialmente no Egito. Ali, as enchentes do Nilo derrubavam os marcos fixados no ano anterior, obrigando