Ola, hoje vamos ver uma igualdade bem interessante do calculo vetorial, partindo do terorema da divergencia, chegaremos a uma formula alternativa para o calculo da area de uma superficie fechada .TEOREMA DA DIVERGENCIA: Seja uma regiao solida simples e seja a superficie fronteira de , com um vetor normal unitario exterior a superficie . E seja um campo vetorial cujas funcoes componentes tem derivadas parcias continuas em uma regiao aberta que contenha . Entao: Onde: *O teorema da divergencia e algumas vezes chamado de teorema de Gauss, em homenagem ao grande matematico alemao Carl Friedrich Gauss que descobriu esse teorema durante suas pesquisas sobre eletrostatica. Em muitos paises da europa, o teorema da divergencia e conhecido como Teorema de Ostrogradsky, em homenagem ao matematico russo Mikhail Ostrogradski que publicou esse resultado em 1826.Da relacao: temos que se o campo for igual ao vetor normal, ou seja , ,entao: Porem, como e um vetor normal unitario, temos que E entao: Vamos utilizar essa formula para o calculo da area da superficie da esfera :Esfera: O vetor normal unitario e dado por:E entao:utilizando a formula ,temos que :portanto, a area da esfera e dada por:onde e o raio. Frequentemente quando estudamos trigonometria necessitamos saber o cosseno ou seno de alguns angulos para resolver algum calculo. Alguns angulos sao bem simples de calcular como e o caso dos angulos 30 , 45, 60. porem algumas vezes nos deparamos com alguns casos em que precisamos de um pouco mais de matematica para determinar o seno ou cosseno de determinado angulo, como e o caso de cosseno 72 .Nesse post vamos calcular o cosseno 72 de duas maneiras diferentes.FORMA GEOMETRICAConsidere o triangulo isosceles ABC abaixo com medidas de lado $1$ e $x$ e angulos 36 e 72 .dividindo o angulo de 72 no vertice A temos que o triangulo ADC na figura abaixo e semelhante ao triangulo ABC o segmento AD tem comprimento $x$ pois o triangulo ADC e isosceles. Aplicando a lei dos cossenos no triangulo ABC temos que $$1^2=1^2+x^2-2.1.x.\cos 72$$$$1^2-1^2=x^2-2.1.x.\cos 72$$$$0= x^2-2.1.x.\cos 72$$$$-x^2=-2.1.x.\cos 72$$$$-x=-2.\cos 72$$$$\cos 72 =\frac{x}{2}$$Agora, aplicando a lei dos cossenos no triangulo ACD abaixo que e semelhante ao triangulo ABCtemos que$$x^2=x^2+(1-x)^2-2.x.(1-x).\cos 72$$$$x^2-x^2=(1-x)^2-2.x.(1-x).\cos 72$$$$0= (1-x)^2-2.x.(1-x).\cos 72$$$$-(1-x)=-2.x.\cos 72$$$$-(1-x)=-2.x.\cos 72$$$$\cos 72 =\frac{1-x}{2x}$$agora, como os triangulos ABC e ACD sao semelhantes temos utilizando as relacoes de semelhanca entre os dois triangulos que$$\frac{1-x}{2x}=\cos 72 =\frac{x}{2}$$logo temos que $$2x^2=2(1-x)$$$$2x^2=2-2x$$$$2x^2-2+2x=0$$$$x^2-1+x=0$$cujas raizes sao $$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$$como $x>0$ temos que $$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$logo $$\cos 72=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$FORMA ALGEBRICAConsidere $X= 18$assim temos: $$5X=90$$$$2X+3X=90$$$$2X=90-3X$$aplicando o seno temos$$\sin 2X=\sin(90-3X)$$$$2\sin X\cos X=\sin 90\cos 3X-\cos 90\sin 3X$$$$2\sin X\cos X=\cos 3X$$agora, fazendo $\cos 3X=\cos(X+2X)$ e desenvolvendo o cosseno da soma temos que $\cos 3X= 4\cos^3 X-3\cos X$assim ficamos com $$2\sin X\cos X=4\cos^3 X-3\cos X$$$$2\sin X\cos X-4\cos^3 X+3\cos X=0$$$$(2\sin X-4\cos^2 X+3)\cos X=0$$Como $ \cos X=\cos 18\neq 0$ temos que $$2\sin X-4\cos^2 X+3=0$$logo $$2\sin X-4(1-\sin^2 X)+3=0$$$$2\sin X-4+4\sin^2 X)+3=0$$$$2\sin X+4\sin^2 X-1=0$$e entao como 18 esta no primeiro quadrante temos que $$\sin X= \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$Agora, $$\cos 72=\cos (90-18)=\sin 18= \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$ Sempre que tenho tempo, costumo assistir alguns seriados, inclusive seriados NERDs. E hoje ao assistir "The Big Bang Theory", nao pude deixar de perceber um fato interessante quando Sheldon