Nosso objetivo de hoje sera calcular a soma dos inversos dos quadrados dos naturais de algumas maneiras distintas, obtendo assim uma pequena colecao de belas provas de tal fato. Teorema: $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} $$Prova 1: Essa prova sera feita com uso de Series de Fourier. Seja $\psi : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $\psi(x) = x - \frac{1}{2}$. Veremos $\psi$ como uma funcao periodica de periodo 1. Assim, esta admite uma transformada de Fourier discreta. Um calculo simples mostra que $$ \hat{\psi}(n) = \int_{[0,1]} e^{-2\pi i t \cdot n} \psi(t) dt = -\frac{1}{2\pi i n} $$Se $n \ne 0$, e $\hat{\psi} (0) = 0$. Pelo Teorema de Plancherel-Parseval, temos que $$ \|\psi\|_2^2 = \sum_{k\in \mathbb{Z}} \frac{1}{4 \pi^2 n^2} $$Mas $\int_0^1 \psi(t)^2 dt = 2 \int_0^{1/2} t^2 dt = \frac{1}{12} $ Isto implica que $\frac{4 \pi^2}{12} = \sum_{k\in \mathbb{Z}} \frac{1}{k^2} = 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$, terminando nossa primeira prova. $\square$.Prova 2: Esta prova utiliza Analise Complexa nao-trivial. Mais especificamente, usamos a Teoria de Residuos. Seja $P_n$ O retangulo de lados paralelos aos eixos coordenados que intersecta o eixo horizontal nos pontos $\pm (n + \frac{1}{2})$, e o eixo vertical nos pontos $ni$, e $f(z) = \cot (\pi z) \frac{1}{z^2}$. Sabemos ja que $f$ e meromorfa neste retangulo, e um calculo direto mostra que $f$ restrita ao bordo de $P_n$ satisfaz que $|f(z)|\le \frac{2}{n^2}$. Assim, $$ \left| \int_{P_n} f(z) dz \right| \le \frac{C}{n} \rightarrow 0 $$Mas, do Teorema dos Residuos, temos que a integral e igual a $$ 2\pi i \sum_{|k|<n+1} \text{Res}(f,k) $$Utilizando a serie de potencias da cotangente, temos que $$ \text{Res}(f,0) = -\frac{\pi}{3} $$ Alem, como $\cot$ e periodica de periodo $\pi$, entao $\cot(\pi z) = \cot(\pi (z-k))$. Isto implica que $\text{Res}(f,k) = \frac{1}{\pi k^2}$. Portanto, sumarizando o que fizemos, temos que $$ 4 i \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}\right) - \frac{2 \pi^2 i}{3} \rightarrow 0 $$Ou seja, $$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} $$$\square$Prova 3: Talvez a mais elementar as provas apresentadas aqui. Comecamos observando que basta calcular a soma $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} $$Pois esta e igual a $3/4$ da soma original. Mas sabemos tambem que $$ \frac{1}{2k+1} = \int_0^1 x^{2k} dx \Rightarrow \frac{1}{(2k+1)^2} = \int_{[0,1]^2} (xy)^{2k}dxdy$$Assim, somando as identidades acima e usando o Teorema de Fubini para trocar as ordens de integrais (pois o integrando e positivo), temos que $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \int_{[0,1]^2} \sum_{k=1}^{\infty} (xy)^{2k} dxdy = \int_{[0,1]^2} \frac{1}{1-x^2y^2} dxdy $$Para calcular esta ultima integral, basta efetuar a substituicao $x = \sin u / \cos v, y = \sin v/\cos u$, que mapeia a regiao $\{(u,v);0<u,v, u+v < \pi/2\}$ homeomorficamente no quadrado $(0,1)^2$. Calculando, vemos que $\frac{1}{1-x^2y^2}dxdy = dudv$, i.e., a integral que desejamos calcular e apenas a area de um triangulo, e esta e igual a $\frac{\pi^2}{8}$. Isto implica que $3S/4 = \pi^2/8 \Rightarrow S = \frac{\pi^2}{6}$, como desejado. $\square$.Prova 4: Mais uma prova por Analise Complexa. Desta vez, vamos observar a fatoracao de Weierstrass de $\sin$: $$ \sin(\pi z) = e^{Az+B} \pi z \prod_{n\ne 0}\left(1 - \frac{z}{n}\right)e^{z/n}$$Como $\sin(\pi z)/\pi z \rightarrow 1$ quando $z \rightarrow 0$, entao podemos tomar $B=0$. Se $f(z) = \frac{\sin \pi z}{\pi z}$, entao