$w_0=0$. Logo, de (4.1) e (4.4),$$\|w_n\|_X>\eta_0>0,\quad\forall\ n\in \mathbb{N}\qquad\text{e}\qquad \|w_n\|_X\to 0\quad\text{em}\quad \mathbb{R}.$$ABSURDO!$\square$Demonstracao do Teorema de Aubin-Lions. Seja $(v_n)$ uma sequencia limitada em $W$. Entao, existe uma constante $\tilde{M}$ tal que$$\|v_n\|_{L^a(0,T;A)}+\|v_n'\|_{L^b(0,T;B)}\leq \tilde{M},\qquad\forall \ n\in\mathbb{N}.$$Queremos mostrar que existem $v\in L^a(0,T;X)$ e uma subsequencia de $(v_n)$, que sera representada da mesma forma, tais que$$v_n\to v\quad\text{em}\quad L^a(0,T;X),\tag{4.6}$$pois isto implicara que a inclusao (2.1) e compacta. Como $A$ e $B$ sao reflexivos, $L^a(0,T;A)$ e $L^b(0,T;B)$ sao reflexivos pelo Teorema 3.2. Logo, pelos teoremas 3.1 e 3.5, existem $v\in W$ e uma subsequencia de $(v_n)$, que sera representada da mesma forma, tais que$$v_n\rightharpoonup v\quad\text{em}\quad L^a(0,T;A).$$Defina $u_n:= v_n-v$. Entao, $(u_n)$ e uma sequencia em $W$, existe uma constante $M>0$ tal que$$\|u\|_W=\|u_n\|_{L^a(0,T;A)}+\|u_n'\|_{L^b(0,T;B)}\leq M,\qquad\forall \ n\in\mathbb{N}$$e$$u_n\rightharpoonup 0\quad\text{em}\quad L^a(0,T;A).\tag{4.7}$$O nosso objetivo e mostrar que$$u_n\to 0\quad\text{em}\quad L^a(0,T;X),\tag{4.8}$$pois isto implicara (4.6). Pelo Lema 4.1, para cada $\eta>0$, existe $C_\eta>0$ tal que$$\|u_n(t)\|_X\leq\eta\|u_n(t)\|_A+C_\eta\|u_n(t)\|_B,\quad\forall\ t\in (0,T),\;n\in\mathbb{N}.$$Elevando ambos os lados a potencia $a$ e integrando sobre $(0,T)$, concluimos quepara cada $\delta>0$, existe $C_\delta>0$ tal que$$\|u_n\|_{L^a(0,T;X)}^a\leq\delta\|u_n\|_{L^a(0,T;A)}^a+C_\delta\|u_n\|_{L^a(0,T;B)}^a,\quad\forall\ n\in \mathbb{N}.$$Assim, para cada $\varepsilon>0$, podemos tomar $\delta=\frac{\varepsilon}{2M^a}$ e concluir que existe uma constante $C_\varepsilon>0$ tal que$$\|u_n\|_{L^a(0,T;X)}^a\leq\frac{\varepsilon}{2}+C_\varepsilon\|u_n\|_{L^a(0,T;B)}^a,\quad\forall\ n\in \mathbb{N}.$$Portanto, basta mostrar que$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\int_0^T\|u_n(t)\|^a_{B}\;dt}_{\|u_n\|_{L^a(0,T;B)}^a}= 0,$$pois isto implicara (4.8). A estrategia sera aplicar o Teorema da Convergencia Dominada (TCD) a sucessao de funcoes$$\begin{aligned}f_n:(0,T)&\longrightarrow\mathbb{R}\\t&\longmapsto\|u_n(t)\|_B^a\end{aligned}\qquad (n\in\mathbb{N}).$$Pela definicao do espaco $L^a(0,T;B)$, ja sabemos que cada $f_n$ e integravel. Verifiquemos as demais hipoteses do TCD.$(f_n)$ e dominada por uma funcao integravel.Pelo Teorema 3.3, existe uma constante $K>0$ tal que$$\|u_n(t)\|_B\leq\max_{t\in[0,T]}\|u_n(t)\|_B=\|u_n\|_{C([0,T];B)}\leq K\|u_n\|_W\leq KM,\quad\forall \ n\in\mathbb{N}.$$Portanto,$$|f_n(t)|=\|u_n(t)\|_B^a\leq (KM)^a,\quad\forall \ n\in\mathbb{N}.$$$f_n(s)\to 0$ para quase todo $s\in(0,T)$.Seja $s\in(0,T)$. Fixe uma funcao $\phi\in C^1([0,T];\mathbb{R})$ tal que $\phi(0)=-1$ e $\phi(T)=0$. Tome $\lambda\in(0,1-s/T)$ (para ser escolhido posteriormente) e defina $w_n(t)=u_n(s+\lambda t)$. Entao$$u_n(s)=w_n(0)=\phi(t)w_n(t)\Big|_0^T=\int_0^T(\phi w_n)'\;dt=\int_0^T\phi' w_n\;dt+\int_0^T\phi w_n'\;dt:=\alpha_n+\beta_n.$$Assim, basta mostrar que para todo $\varepsilon>0$ existe $n_0\in\mathbb{N}$ tal que $$n\geq n_0\qquad\Longrightarrow\qquad \|\alpha_n+\beta_n\|_B<\varepsilon,\tag{4.9}$$para algum $\lambda$ convenientemente escolhido (e dependente de $\varepsilon)$, pois isto implicara $f_n(s)=\|u_n(s)\|_B^a\to 0$.Note que$$\beta_n=\int_0^T\lambda\phi(t) u_n'(s+\lambda t)\;dt=\int_s^{s+\lambda T}\phi(\lambda^{-1}(\tau-s)) u_n'(\tau)\;d\tau.$$Logo, pela desigualdade de Holder,$$\begin{aligned}\|\beta_n\|_{B}&\leq C\int_s^{s+\lambda T}\|u_n'(\tau)\|_B\;d\tau\\&\leq C(\lambda T)^{1-\frac{1}{b}}\left(\int_s^{s+\lambda T}\|u_n'(\tau)\|_B^b\;d\tau\right)^{\frac{1}{b}}\\&\leq C(\lambda T)^{1-\frac{1}{b}}\left(\int_0^T\|u_n'(\tau)\|_B^b\;d\tau\right)^{\frac{1}{b}}\\%&= C(\lambda T)^{1-\frac{1}{b}}\|u_n'\|_{L^b(0,T;B)}\\&\leq CT^{1-\frac{1}{b}}M\lambda^{1-\frac{1}{b}}.\end{aligned}$$Portanto, podemos escolher $\lambda$ suficientemente pequeno de forma que se obtenha$$\|\beta_n\|_{B}\leq\frac{\varepsilon}{2},\quad \forall \ n\in\mathbb{N}.\tag{4.10}$$Agora, de (4.7) resulta que$$u_n|_{(s,s+\lambda T)}\rightharpoonup 0\quad\text{em}\quad L^a(s,s+\lambda T;A).$$Logo, pelo Teorema 3.4,$$\alpha_n=\int_0^T\phi' w_n\;dt=\lambda^{-1}\int_s^{s+\lambda T}\phi'(\lambda^{-1}(\tau-s)) u_n(\tau)\;d\tau\rightharpoonup 0\quad\text{em}\quad A.\tag{4.11}$$Isto implica que $(\alpha_n)$ e limitada em $A$. Como $A\subset X$ e compacta e $X\subset B$ e continua, $A\subset B$ e compacta. Portanto, $(\alpha_n)$ possui uma subsequencia, que sera representada da mesma forma, tal que$$\alpha_n \to 0\quad\text{em}\quad B.\tag{4.12}$$Note que, para concluir que o limite da subsequencia e zero, estamos usando (4.11) (pois convergencia forte implica convergencia fraca). De (4.10) e (4.12) obtemos $n_0$ satisfazendo (4.9).Terminamos, assim, a verificacao das hipoteses do TCD concluindo que$$\lim_{n\to\infty}\int_0^T\|u_n(t)\|^a_{B}\;dt= \int_0^T\lim_{n\to\infty}\|u_n(t)\|^a_{B}\;dt=\int_0^T0\;dt=0,$$conforme desejado.$\blacksquare$5 Outra versao do Teorema de Aubin-LionsNesta secao apresentaremos a versao do Teorema de Aubin-Lions que se encontra exposta em [6].Teorem 5.1 (Aubin-Lions). Sejam $A$, $B$, $X$ espacos de Banach tais que $A\subset X\subset B$ e $(u_n)$ uma sequencia limitada em $L^\infty(0,T;A)$. Suponha quea inclusao $A\subset X$ e compacta;a inclusao $X\subset B$ e continua;a colecao $\{u_n:[0,T]\to B\;|\;n\in\mathbb{N}\}$ e equicontinua.Entao, $(u_n)$ e pre-compacta em $C([0,T];X)$.Prova. A demonstracao sera dividida em quatro etapas. Sao elas: Mostrar que $u_n\in C([0,T];X)$ para todo $n\in\mathbb{N}$; Mostrar que $(u_n)$ possui uma subsequencia $(v_k)$ tal que, para cada $t_i$ fixado num certo subconjunto denso