O Teorema de Pitagoras e um dos teoremas mais conhecidos da matematica por todo o mundo, principalmente, devido a sua aplicacao em situacoes da vida real. Este teorema ja era utilizado bem antes de Pitagoras (570 495 a.C.), porem, ficou eternizado como sendo deste ultimo. O enunciado do Teorema de Pitagoras e o seguinte:Teorema de Pitagoras: "O quadrado da hipotenusa e igual a soma dos quadrados dos catetos".Triangulo ABC, retangulo em C.Demonstracao: Seja $\Delta ABC$ retangulo em C, o seu semiperimetro e $p=\frac{a+b+c}{2}$, utilizando a formula de Heron (ou Herao) para expressar a area do triangulo.Formula de Heron:$\begin{eqnarray} A_{\Delta ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{eqnarray}.$Area do triangulo tambem e expresso por $\begin{eqnarray} A_{\Delta ABC}=\frac{ab}{2} \end{eqnarray}.$ Entao, temos$\begin{eqnarray} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{ab}{2}\\ \sqrt{\left( \frac{a+b+c}{2}\right)\left( \frac{a+b-c}{2}\right)\left( \frac{c+(b-a)}{2}\right)\left( \frac{c-(b-a)}{2}\right)}=\frac{ab}{2}\\\frac{1}{4}\sqrt{\left[(a+b)^2-c^2 \right]\cdot \left[c^2-(b-a)^2\right]}=\frac{ab}{2}\\2a^2c^2-2a^2b^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4=0\\\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4c^2\left(a^2+b^2\right) \Rightarrow a^2+b^2+c^2=2c\sqrt{a^2+b^2}\end{eqnarray}$Fazendo $\lambda = \sqrt{a^2+b^2}$, temos:$\begin{eqnarray} \lambda^2-2c\lambda+c^2=0\\ (\lambda - c)^2=0 \Rightarrow \lambda = c\end{eqnarray}.$Logo, $c = \sqrt{a^2+b^2}$ ou $c^2=a^2+b^2$.Vale pensar como os antigos chegaram a esta conclusao, lembrando que a linguagem algebrica de outrora era praticamente inexistente, eles usavam desenhos e descreviam por extenso todas as demonstracoes, nem tambem existia o simbolo de radical para expressar raizes como utilizamos hoje. A sequencia ($A_1$, $A_2$, $A_3$, ..., $A_n$, ...) e uma progressao aritmetica de termos positivos com razao r naonula.Se o somatorio S e dado por$$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}}}}}$$entao S e representado porA) $\dfrac{n^2}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$B) $\dfrac{n}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$C) $\dfrac{n-1}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$D) $\dfrac{n+1}{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_{n+1}}}$Solucao: Primeiro devemos lembrar que $A_1$, $A_2$, $A_3$, ..., $A_n$ formam uma P.A. (Progressao Aritmetica) de razao $r$, entao, temos:$$A_2=A_1+r, ..., A_{n+1}=A_n+r,$$ou ainda,$$A_{n+1}=A_1+nr.$$Segundo passo, e fazer uma racionalizacao de denominadores:$$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}}}=\frac{1\cdot (\sqrt{A_i}-\sqrt{A_{i+1}})}{(\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}})(\sqrt{A_i}-\sqrt{A_{i+1}})}=\frac{\sqrt{A_i}-\sqrt{A_{i+1}}}{A_i-A_{i+1}}=\frac{\sqrt{A_{i+1}}-\sqrt{A_{i}}}{A_{i+1}-A_i}=\frac{\sqrt{A_{i+1}}-\sqrt{A_{i}}}{r}}.$$Entao,$$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{A_i}+\sqrt{A_{i+1}}}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{\sqrt{A_{i+1}}-\sqrt{A_i}}{r}}}=\frac{\sqrt{A_{n+1}}-\sqrt{A_{1}}}{r}=\frac{(\sqrt{A_{n+1}}-\sqrt{A_{1}})(\sqrt{A_{n+1}}+\sqrt{A_{1}})}{r(\sqrt{A_{n+1}}+\sqrt{A_{1}})}=\frac{A_{n+1}-A_1}{r(\sqrt{A_{n+1}}+\sqrt{A_{1}})}=\frac{n}{\sqrt{A_{1}}+\sqrt{A_{n+1}}}}.$$Opcao B. Conceitos PrimitivosA nossa geometria que estudamos no ensino fundamental e medio, e tambem em cursos de graduacao, foi desenvolvida ao longo de varios seculos antes de Cristo. Varios povos da antiguidade ja dominavam a geometria (egipcios, babilonicos, fenicios, gregos, hindus, arabes, entre outros). No entanto, Euclides de Alexandria (360 a295 a.C.) e quem compilou e reuniu grande parte do conhecimento da geometria ate o seu tempo em uma coletanea de livros, chamada "Os Elementos". Neste trabalho, Euclides lanca a base axiomatica de toda a geometria, definindo alguns conceitos (definicoes, axiomas, postulados) que sao verdadeiros ate hoje. Vejamos os conceitos primitivos mais importantes para a geometria: ponto, reta e plano.Ponto: E aquilo que nao tem partes. Fazendo uma analogia com as ciencias naturais, podemos afirmar que o ponto e equivalente ao atomo na geometria, nao e possivel dividi-lo. O ponto nao tem dimensao.Reta: e o ente geometrico dotado apenas de comprimento, nao tem largura. A reta tem apenas uma dimensao. A reta e infinita, formada por uma infinidade de pontos.Plano: e o lugar geometrico onde podemos conter pontos, retas e outras figuras geometricas. O plano e dotado de duas dimensoes (comprimento e largura).Representamos pontos com letras maiusculas: pontos A, B e C. As retas sao representadas com letras minusculas: reta r, reta s, reta t, etc.Os planos podem ser representados por letras minusculas do alfabeto grego: plano $\alpha$, plano $\beta$, plano $\pi$, etc.Pontos A, B e C, reta r e plano $\pi$Todos estes conceitos primitivos sao conhecidos intuitivamente e tomados como verdadeiros (axiomas).Determinando retas e planos axioma: Dados dois pontos distintos passa uma unica reta.Este tipo de afirmacao