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O conjunto $G = \left \{ \begin{bmatrix}a & b \\c & d\end{bmatrix} : a,b,c,d \in \mathbb{Z}, \left | ad - bc \right | = 1 \right \}$, com a operacao usual de produto de matrizes, forma um grupo, em que o elemento neutro e a matriz identidade $ I = \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix} $. Dado um elemento $A \in G$, define-se a ordem de $A$ como sendo o menor inteiro positivo $m$ tal que $A^m = I$, caso $m$ exista. Se nao existir, diz-se que $A$ tem ordem infinita.Considerando $ A = \begin{bmatrix}-1 & -1 \\1 & 0\end{bmatrix} $ e $ I = \begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix} $, avalie as assercoes a seguir:.O elemento $ AB $ tem ordem seisPORQUE$ A $ tem ordem tres e $ B $ tem ordem dois. .A respeito dessas assercoes, assinale a opcao correta.As duas assercoes sao proposicoes verdadeiras, e a segunda e uma justificativa correta da primeira.As duas assercoes sao proposicoes verdadeiras, mas a segunda nao e uma justificativa correta da primeira.A primeira assercao e uma proposicao verdadeira, e a segunda, uma proposicao falsa.A primeira assercao e uma proposicao falsa, e a segunda, uma proposicao verdadeira.Tanto a primeira quanto a segunda assercoes sao proposicoes falsas.Resposta D:Vamos analisar as assercoes dadas:Primeira - Falsa.$ AB = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} $ e $ (AB)^6 = \begin{bmatrix} 13 & -8 \\ -8 & 5 \end{bmatrix} $ , logo $ AB $ nao possui ordem seis.Segunda - Verdadeira.$ A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ e $ B^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ , logo $ A $ possui ordem tres e $ B $ possui ordem dois. Um peso atado a uma mola move-se verticalmente para cima e para baixo de tal modo que a equacao do movimento e dada por $ s''(t) + 16s(t) = 0 $ em que $ s(t) $ e a deformacao da mola no instante $ t $ . Sabe-se que $ s(t) = 2 $ e $ s'(t) = 1 $, para $ t = 0 $. Para a funcao deformacao $ s(t) $, tem-se que $ s(t) = 0 $ quando $ t $ e igual a$ \frac{1}{4} arctan(8) $$ \frac{1}{4} arctan(\frac{1}{8}) $$ arctan(\frac{1}{32}) $$ \frac{1}{4} arctan(- \frac{1}{8}) $$ \frac{1}{4} arctan(-8) $Resposta E:Bem, estamos frente a uma EDO-2, equacao diferencial ordinaria linear de 2a. ordem: $ s''(t) + 16s(t) = 0 $Como de praxe, vamos supor a solucao padrao: $ s(t) = e^{\lambda t} $, e portanto $ s''(t) = \lambda^2 e^{\lambda t} $ .E nossa equacao fica da seguinte forma: $ \lambda^2 e^{\lambda t} + 16 e^{\lambda t} \iff \left( \lambda^2 + 16 \right) e^{\lambda t} $. Como $ e^{\lambda t} \neq 0, \forall \lambda $ entao $ \lambda^2 + 16 = 0 $ o que nos da $ \lambda = -4i $ oou $ \lambda = 4i $.Isto posto, temos como solucao geral a seguinte equacao: $ s(t) = c1 \cdot e^{4it} + c2 \cdot e^{-4it} $.Usando a
formula de Euler para os complexos, temos:$ s(t) = C1 \cdot cos(4t) + C2 \cdot i \cdot sen(4t) $, que derivando nos da:$ s'(t) = -4 \cdot C1 \cdot sen(4t) + 4 \cdot C2 \cdot i \cdot cos(4t) $. Agora, usando os dados do enunciado:$ s(0) = 2 = C1 \cdot cos(4 \cdot 0) + C2 \cdot i \cdot sen( 4 \cdot 0 ) \Rightarrow C1 = 2 $.$ s'(0) = 1 = -4 \cdot C1 \cdot sen(4 \cdot 0) + 4 \cdot C2 \cdot i \cdot cos(4 \cdot 0) \Rightarrow C2 = \frac{1}{4i} $.Voltando a nossa equacao temos:$ s(t) = 2 \cdot cos(4t) + \frac{1}{4i} \cdot i \cdot sen(4t) \iff s(t) = 2 \cdot cos(4t) + \frac{1}{4} \cdot sen(4t) $.E, por fim, como e pedido o valor de $ t $ para $ s(t) = 0 $ entao:$ s(t) = 0 \Rightarrow 2 \cdot cos(4t) + \frac{1}{4} \cdot sen(4t) = 0 \iff $$ \frac{1}{4} \cdot sen(4t) = - 2 \cdot cos(4t) \iff \frac{sen(4t)}{cos(4t)} = - 8 \iff $$ tg(4t) = -8 $. E portanto, $t = \frac{arctg(-8)}{4}$.
Hoje, depois de algum tempo ausente, gostaria de retomar as postagens do blog. Desta vez, excepcionalmente, com um assunto fora da tematica principal. Trata-se de um texto em homenagem aos pais que escrevi por ocasiao da formatura no curso de matematica e que agora venho compartilhar neste espaco.Asas e Raizes"Bendito aquele queconsegue dar asas e raizes aos seus filhos". Essa fraseatribuida a Dalai Lama sintetiza o papel dos pais em nossas vidas. Desde o momento que osfilhos nascem, ate mesmo antes disso, os pais iniciam o trabalho,que nao tem prazo para terminar, de dar-lhes raizes e asas. Osfilhos, por sua vez, passam a viver sob as asas dos pais ate que assuas proprias estejam prontas para os voos que desejarem ou que avida lhes impuser.Os pais criam os filhosdando-lhes amor, carinho, cuidados. Mostram os caminhos a seguir,valorizando a familia, a dignidade, o respeito, a etica, a moral ea boa convivencia com as outras pessoas. Mostram aquilo queconsideram certo ou errado. Corrigem, perdoam, amparam. Abdicam, emmuitos casos, do seu proprio bem-estar para que seus filhos otenham. Estao dando-lhes as raizes solidas da existencia humana.Os pais tambem ensinam,o tempo todo. Ensinam aos filhos os cuidados pessoais mais basicos enecessarios a sobrevivencia. Ensinam como os filhos devem secomportar. Ensinam-os a conter e a expor as emocoes. Ensinam tantoo valor das conquistas como, tambem, o valor dos tropecos.Ensinam-os a ouvir nao, a dizer sim. Colocam seus filhos na escola elutam para que la permanecam e tenham sucesso. Estao dando-lhesasas cada vez mais vigorosas para que um dia voem por si.As raizes sao as bases, mais do quefisicas, que alicercam a vida dos filhos, lhes dao o rumo e sao oporto seguro para onde podem voltar quando quiserem ou necessitarem.As asas, por sua vez, sao os instrumentos pelos quais se pode iralem, alcancar novos patamares e vislumbrar novos caminhos.Nesse momento no qual os filhos, osformandos aqui presentes, conquistam mais um reforco para as suasasas. Momento no qual preparam novos voos, mais seguros eindependentes, vamos deixar registrada a nossa gratidao pelas raizese as asas que nossos benditos pais nos deram. Resposta C:Vamos analisar as afirmacoes dadas:I - Correto.Essa e uma das caracteristicas das classes de equivalencia.II - Incorreto.Essa e a definicao de conjunto quociente.III - Correto.E compativel com a definicao proposta no enunciado.IV - Incorreto.Basta ver que a relacao $ \geq $ nao e uma relacao de equivalencia em $ Z $, pois nao e reflexiva. Consideremos a funcao quadratica $ f(x) = ax^2 + bx + c $, com os coeficientes $ a,b,c \in R, a \gt 0 $. Vamos verificar inicialmente quando $ f(x) = c $.Para $ f(x) = c $, temos: $ ax^2 + bx + c = c $. Dessa forma $ ax^2 + bx = 0 $.Podemos colocar o $ x $ em evidencia e temos: $ x(ax + b) = 0 $.Dessa expressao obtemos $ x = 0 $, resultado bem conhecido. Ou, ainda que $ ax + b = 0 \iff x = - \frac{b}{a} $.O primeiro resultado, $ x=0 $, mais conhecido, representa o valor da abcissa no qual
o valor da funcao quadratica e igual ao valor de seu coeficiente $ c $, que e o valor da ordenada no qual o grafico da funcao corta o eixo vertical.O segundo resultado, pouco explorado, representa a segunda abcissa para a qual o valor da funcao quadratica e igual ao valor de seu coeficiente $ c $.Dessa forma conseguimos determinar dois pontos $ C $ e $ C' $ da funcao quadratica que repousam sobre a reta $ y=c $, que sao $ (0, c) $ e $ ( - \frac{b}{a}, c) $ respectivamente. Agora vamos calcular a distancia entre esses dois pontos:$ d(C,C') = \sqrt{ \left( - \frac{b}{a} - 0 \right)^2 + \left( c - c\right)^2 } = \sqrt{ \left( - \frac{b}{a} \right)^2 } = \left| - \frac{b}{a} \right| $.Voltando ao segundo resultado acima, $ x = - \frac{b}{a} $ concluimos que esse valor e o simetrico de $ x=0 $ em relacao a reta $ x = - \frac{b}{2a} $ que passa pelo vertice da parabola.A partir desse resultado podemos prever uma aplicacao para o mesmo:Esbocar o grafico da parabola quando a mesma nao possui raizes reais ou encontra-las seja moroso. Podemos usar os pontos $ (0, c) $ e $ ( - \frac{b}{a}, c) $ e, rapidamente calcular o vertice ou outro ponto qualquer e, entao, tracar o grafico da funcao.Podem existir outras aplicacoes para isso, como por exemplo para a distancia calculada acima, vou pensar um pouco mais sobre isso.
Eu vi o amor passar pela minha portaNunca esteve tao perto assim antesNunca foi tao facil ou tao lentoAndei atirando no escuro por tempo demaisQuando algo nao esta certo, esta erradoVoce vai me deixar solitario quando se forNuvens de dragao tao no altoConheci apenas amor descuidadoSempre me acerta por baixoDesta vez, esta mais corretoBem no alvo, tao diretoVoce vai me deixar solitario quando se forTrevo purpura, laco da Rainha AnneCabelo carmesim em seu rostoVoce poderia me fazer chorar se nao sabeNao consigo lembrar no que estava pensandoVoce pode estar me mimando demais, amorVoce vai me deixar solitario quando se forFlores na colina brotando como loucasGrilos conversando de um lado a outro em rimasRio azul correndo lenta e preguicosamenteEu poderia ficar com voce para sempre e nunca perceber o tempoSituacoes ja terminaram malRelacionamentos foram todos ruinsOs meus tem sido como o de Verlaine e RimbaudMas nao ha como compararTodas aquelas cenas com este casoVoce vai me deixar solitario quando se forVoce vai me deixar perguntando o que estou fazendoFicando para tras sem voceVoce vai me deixar perguntando o que estou dizendoMe obrigar a ter uma conversa seria comigo mesmoVou te procurar em HonoluluSao Francisco, AshtabulaVoce vai me deixar agora, eu seiMas te verei no ceu acimaNa grama alta, naqueles que eu amoVoce vai me deixar solitario quando se forVoce vai me deixar solitario quando se forVoce vai me deixar solitario quando se forVoce vai me deixar solitario quando se for.(Miley Cirus - You're gonna make me lonesome when you go) Devo admitir com pesar que somos exatamente assim. Tendo ou nao um motivo valido, acabamos por criar estorias, imaginar cenas, pensar em falas que sequer passaram pela cabeca dos homens. Para nos, nada e por acaso. Se algo acontece, isso tem um motivo. acha que nao? entao ta!leia abaixo e tire suas proprias conclusoes:Ai tem"As coisas sao como sao. Se alguem diz que esta calmo, e porque esta calmo. Se alguem diz que te ama, e porque te ama. Se alguem diz que nao vai poder sair a noite porque precisa estudar, esta explicado. Mas a gente nao escuta so as palavras: a gente ouve tambem os sinais. Ele telefonou na hora que disse que ia ligar, mas estava frio como um iglu. Voce falava, falava, e ele quieto, monossilabico. Ate que voce o coloca contra a parde: "O que esta havendo?". "Nada, to na minha, so isso". So isso???Ai tem.Ele telefonou na hora que disse que ia ligar, mas estava exaltado demais. Nao parava de tagarelar. Um entusiasmo fora do comum. Voce pergunta a queima-roupa: "Que alegria e essa?". "Ue, to feliz. so isso" So isso??? Ai tem.Os tais sinais. Ansiedade fora de hora, mudez estranha, olhar perdido, mudanca no jeito de se vestir, olheiras e bocejos de quem dormiu pouco a noite: ai tem. Somos doutoras em traduzir gestos, silencios e atitudes incomuns. Se ele esta calado demais, e porque esta pensando na melhor maneira de nos dar uma ma noticia. Se esta esfuziante demais, e porque andou rolando novidades que voce nao esta sabendo. Se ele esta carinhoso demais, e
porque nao quer que voce perceba que esta com a cabeca em outra. Se manda flores, e porque esta querendo que a gente facilite alguma coisa pra ele. Se viajar com os amigos, e porque nao nos ama mais. Se parou de fumar, e uma promessa que ele nao contou pra voce. Enfim, o cara nao pode respirar diferente que ai tem.As vezes nao tem.O cara pode estar calado porque leu um troco que mexeu com ele, ou esta falando muito porque o time dele venceu. Pode estar mais carinhoso porque conversou sobre isso na terapia e pode estar mais produzido porque teve um aumento de salario. Por que tudo que eles fazem tem que ser um recado pra gente?E uma generalizacao, mas as mulheres costumam ser mais inseguras que os homens no quesito relacionamento. Qualquer mudanca de rota nos deixa em estado de alerta, qualquer outra mulher que cruze o caminho dele pode ser uma concorrente, qualquer rispidez nao justificada pode ser um cartao amarelo. O que ele diz importa menos do que sua conduta. Pobres homens. Se nao estao babando por nos, se tiram o dia para meditar ou para assistir um jogo de volei na teve sem avisar com duas semanas de antecedencia, danou-se: ai tem"(Martha Medeiros)
Achei interessante conhecer-me atraves dos olhos de outro alguem.Esse texto foi escrito por alguem que acompanha minhas bobeiras, minhas loucuras e meus pensamentos desde que comecei a escrever:"Marianna, menina. Menina moca. Moca mulher! Menina moleca medrosa, melindrosa, engracada como ninguem! Diz que canta no chuveiro, na rua, e quando ninguem ve; justificando por si so que 'quem canta seus males espanta!', frase que minha avo dizia quando desafinava as notas de Cazuza. Diz que e romantica, mas o romantismo e macabro, triste, tenebroso, melancolico e suicida, sem exageros. Diria que e uma eterna apaixonada. Ah, apaixonada sim, por amigos, familia, pela vida e pelo Amor de sua vida (homem de sorte, diga-se de passagem). Marianna menina, moca bailarina. Encanta com a ponta dos pes. Faz de sua vida um palco e nele brilha; sim, brilha na ponta dos pes. Embora sinta dor, carrega esta com um sorriso no rosto, no palco, na vida, graciosa como bailarina. Marianna diz ser forte, e e nesse momento que me desprendo em gargalhadas sem fim. Ninguem e forte! Tolice sua achar que pode carregar em seus ombros o mundo todo. Mas teimosa como e, Marianna tenta ser forte. E e quando esta em sua falsa forca que um abraco provavelmente a desmorona, aflorando fragilidade. A pureza de seu coracao atrai a todos. A docura de suas palavras agrada ate a quem nao merece. A beleza que vem de dentro para fora, aflora e encanta. Marianna finge. Finge ser de ferro quando alguem mais precisa. Finge nao se importar quando alguem a magoa. Finge ser fria quando convence-se que isso e necessario. Finge ser normal, quando todos precisam disso.Marianna esta em constante mutacao altruista, deixando a si mesma de lado. Ato lindo em um ser humano, porem nao comumente visto. Maria, Marianna. Marianna e mulher, e moca, e menina. Sim; Marianna menina que nunca podera crescer......para nao perder o encanto de Marianna." (Anonimo) imagem por: Kati Froes...e como uma crianca assustada a procura de qualquer feixe de luz em seu quarto escuro; assim fui acordada para o tao propriamente dito "mundo real".Sim, vestidos cor-de-rosa, arranjos de flores no cabelo, pessoas gentis e coisas assim, nao existem no mundo em que vivo agora. Nada e facil como em meus sonhos, nao quando se trata do mundo real.O clima nao e agradavel, as pessoas sao mal educadas, a vida e cada dia mais complicada e frustrantemente chata. Nao ha compreensao, nem paciencia, nem boa vontade, nesse mundo em que cai. Sim, me senti como Alice ao cair na toca do coelho; vendo tudo que havia em meus sonhos ficar pra tras enquanto continuo em constante queda livre. A boa casa, o bom marido, a boa familia, a boa vizinhanca, a boa cidade, o bom salario, o bom meio de vida, os bons amigos, as boas viagens, os bons finais de semana, a boa pessoa, tudo isso fui deixando em sonhos, quando cai. E o desespero de agarrar esses sonhos e tao grande que, como louca tento alcanca-los com as maos, mas de nada adianta tal esforco. Enfim cai em
mim e percebi que sonhos nao vao deixar de ser sonhos. Estes nao se tornam realidade; pois a realidade e que temos de viver um dia de cada vez, sem planos para serem frustrados, sem expectativas que podem nunca ser alcancadas, sem sonhos, que nunca deixarao de ser sonhos. A realidade de contas do mes, de irritabilidade, de discussao, de ma vontade, de despreocupacao, de egoismo, de injustica, de desvantagem, de desonestidade, enfim, de toda essa roda viva deste mundo em que cai muito me faz mal. Desde miuda fui ensinada: Nunca deixe de sonhar!Queria seguir este conselho ate o fim da vida, e assim seria. Mas, ao chegar no fim da toca, o coelho me chacoalhou, deu tres tapinhas em meu rosto para que despertasse, e quando isso se deu, ele olhou com indiferenca dentro dos meus olhos e declarou com desanimo;-Voce chegou! Bem vinda ao mundo real. lamento. Ah, como queria fechar os olhos e voltar para meus sonhos, meus vestidos cor-de-rosa...mas nao ha caminho de volta.E desde entao abandonei meus sonhos, e comecei a viver como todos os outros que estao no "mundo real".
Essa sou eu. Me dou por inteiro a quem creio merecer tal atencao. Me desdobro, altero, melhoro, mudo, recordo...Por quem acredito que mereca. As tentativas foram muitas, os acertos foram poucos,de ambos os lados. E quando isso acontece, temos que continuar tentando. Cada um tem seu valor, e este deve ser reconhecido.Ha muito o que melhorar, cada um, todos nos.Quando nao ha reconhecimento do natural valor que temosTentamos novamenteSomos feitos da necessidade de dar e receber;amor, carinho, confianca, seja la o que forE quando este sentimento e reciproco, e como o paraiso. NAO HA MELHOR SENSACAO DO QUE AMAR E SER AMADO. Ate sermos tomados pelo cansaco, e pela decepcaoE a tristeza comecar a consumir por dentro, te fazendo malEsta e a hora de cessar com as tentativas.Esta e a hora de abandonar o navioEssa sou euMe dou por inteiro a quem julgo merecer tal dedicacaoFaco mil coisas para agradar.Mas tudo acaba.E quando acabar, e porque todas as tentativas nao tiveram sucessonenhum.Posso parecer fragil, mas quando decido-me ser forteviro rocha por dentro. Quando isso acontecer, melhor nem tentar,pois sera tudo em vao. Recebi recentemente esse texto de uma pessoa. Apos ler e refletir, achei que seria bom postar para que outros pudessem refletir assim como eu. Leia, e pense bem, antes de contar uma mentira, por menor que seja. Mentira, o mundo paralelo. Alguem ja paroupara pensar o que, na realidade, envolve uma mentira? O que e uma mentira?Quais as consequencias de uma mentira na vida de quem mente e na vida de quemouve a mentira? Ate entendo o ditado que diz que setoda a verdade fosse dita nao existiria mais a amizade no mundo. De fato asuper sinceridade nao e algo agradavel. Mas a mentira maldosa, aquela que temobjetivo de fugir das consequencias dos seus atos, de enganar alguem, de fazeralguem acreditar em algo que nao existe, essa mentira e algo que nao se comparaa uma pequena afirmacao inveridica para nao magoar o seu proximo. Analisando do meu limitado ponto devista, a mentira surge do medo, da falta de coragem para admitir ou enfrentar adureza da realidade. O mentiroso cria a sua mentira com o objetivo de seesconder do que realmente e o mundo a sua volta. E e ai que surge o titulodesse texto, Mentira, o mundo paralelo. Sim por que o mentiroso e o maiorenganado da historia toda, visto que a partir da primeira mentira ele precisacriar toda uma trama de mentiras para aquela primeira parecer logica aos olhosdos supostos enganados. Quando menos se espera ele mesmo ja esta vivendo umarealidade paralela e confunde suas verdades com suas mentiras. Onde terminam asverdades e onde comecam as mentiras? Talvez a pergunta seria: uma veziniciada, quando se termina uma mentira? Agora imagine um marido traido,vivendo um amor que nao existe, se dedicando a uma pessoa que ele acredita serfiel e sua companheira. Nao esta ele tambem vivendo em um mundo paralelo? Em ummundo que so existe na realidade criada pela esposa mentirosa? A mentira mostrao tamanho do egoismo do mentiroso em esconder a verdade de quem tem direito desabe-la. Nao importa
se e uma traicao ou apenas um simples detalhe. Seaconteceu A e a pessoa disse que foi B para alguem que tem o direito de teraquela informacao, essa pessoa e egoista, ou pelo menos esta sendo no momento,e de maneira nenhuma mostra respeito para com a pessoa para quem esta mentindo.E mesmo que a informacao nao interesse a quem pergunta, basta dizer: Nao teinteressa. Mais correto nao? Seria tudo mais simples no mundo hojese todos dissessem a verdade. Se as coisas fossem ditas as claras. Muita coisahoje em dia seria bem diferente. Quantas vidas foram desperdicadas vividas demodo errado, do lado da pessoa errada, ou simplesmente vivida em cima de umamentira? Quanta maldade da parte de quem mente! Mas a conclusao que chego e baseada nofilme Matrix. Aqueles que vivem no mundo paralelo da mentira, enganados pelosmentirosos, ainda sim podem ser felizes pois nao tem consciencia de que aquilonao e a realidade. Os verdadeiros enganados e que sofrerao pelo resto da vida comuma consciencia atormentada de viver em uma mentira sao os proprios mentirosos. Sim, uma verdadepode machucar, mas uma mentira quando descoberta nao machuca, mata!
...tanta coisa na cabeca e nada consigo passar para o papel.Tantos sentimentos misturados; tantas preocupacoes. Tenho em mim um sentimento estranho, que me confunde poishora me deixa de um jeito, hora de outro totalmente diferente. Nao e culpa minha, tampouco culpa sua. Ele simplesmente veme vai. Claro, algo serve de estopim para que ele apareca; mas nao que sejaminha culpa, ou sua. Talvez eu seja complicada demais, talvez carente demais,talvez preocupada demais, talvez queira ser mimada demais; mas nenhum desses epecado. Eu e meus talvez, minhas duvidas, minhas perguntas... ...perco meu sono toda vez que isso acontece, esperando umaviso, uma ligacao talvez, dizendo tudo aquilo que eu quero ouvir. Nao enecessario adivinhar, e tao obvio. Espero demais por algo nao costumeiro. E talvez eu tenha de me adaptar a essa nova situacao; asmudancas, que por sua vez, mexem com esse sentimento maluco que tenho. Amordemais talvez. Mas nao e culpa minha, tampouco culpa sua......sobre hoje, nao sei dizer ao certo como estou e porqueestou assim. Aflita, quieta, chorando por dentro, pensativa; bom, sao muitos os palpitessobre como estou. Nao e culpa minha, tampouco culpa sua. Peco para que nao se preocupe, nao se culpe. A inexperiencia me prejudica, bem como a carencia excessiva, mas nao e culpa sua. Sou eu. Sim, soueu... ...Mas passa, tudopassa. "Eu peco somente o que eu puder dar "(Titas)E quando paro pra pensar em reciprocidade, percebo o quao egoista e o ser humano. Simples assim. Somos generosos, bondosos, fazemos de tudo por alguem; pai, mae, filho, marido, namorado, amigo, cachorro, papagaio, periquito...Sempre fazemos algo para agradar tal pessoa, satisfazendo seus gostos, suas vontades, mostrando que nos importamos e nos lembramos dela; e automaticamente um dispositivo e ativado no nosso subconsciente que espera, sim, algo em troca. Nao existe isso de nao esperar nada em troca quando fazemos algo para alguem, pois as vezes esperamos por um simples sorriso, um obrigado, um beijo de gratidao, um abraco de reconhecimento. O ser humano espera sim esse reconhecimento, como um cachorrinho que espera o osso por ter agradado o dono dando a patinha. Bom, ate ai, nada de errado. Nao ha problema algum em sentir falta do reconhecimento, ou de uma demonstracao de consideracao, carinho, amor ou afeto da pessoa em questao. O problema todo esta em querer que a reciprocidade aconteca, claro, do nosso jeito. Por ter esse desejo e alimentar a esperanca de que sera do jeitinho que pintamos o quadro mental, acabamos por nao perceber que a reciprocidade existe sim, e o algo em troca aconteceu. Pode nao ser como esperavamos, mas acontece. Cada ser humano e unico, e como tal, tem sua forma peculiar de agradar e satisfazer alguem. Mas muitas vezes acabamos por manter o foco em como queriamos que algo acontecesse, ao inves de prestar atencao em cada detalhe que a outra pessoa faz para arrancar um sorriso do nosso rosto. Seja atento a como alguem corresponde aquilo que voce faz por ele. Nem sempre o que ele pode dar e exatamente igual ao que voce fez por ele, mas isso nao quer dizer