O matematico Peter Sarnak, do Instituto de Estudos Avancados de Princeton, ganhou o Premio Wolf de 2014. O premio lhe foi concedido pelas contribuicoes em analise, geometria, teoria dos numeros e combinatoria.Peter SarnakO anuncio esta aqui.[leia sobre os ganhadores de 2013]Referencia: transcrito do Noticiario Eletronico da Sociedade Brasileira de Matematica, numero 48. Foto extraida daqui.Erros podem ser relatados aqui. Nesta postagem sera apresentada a demonstracao do Teorema de Hille-Yosida, incluindo os principais pre-requisitos referentes a teoria de semigrupos de operadores lineares limitados. O material, proveniente de um seminario apresentado pelo autor em disciplina de doutorado na UFRJ, foi elaborado com base nas referencias [1-9].Indice1 Consideracoes iniciais2 Semigrupos de operadores3 Geradores infinitesimais4 Teoremas de geracao 4.1 Teorema de Hille-Yosida 4.1.1 Aplicacao 4.2 Forma geral do Teorema de Hille-YosidaReferencias1 Consideracoes iniciaisNesta exposicao suporemos conhecidas as teorias de diferenciacao e integracao de funcoes a valores vetoriais (integral de Bochner). Alem disso, usaremos as seguintes notacoes:$X$ - espaco de Banach$\mathcal{L}(X)$ - espaco dos operadores lineares limitados de $X$ em $X$$\|\cdot\|_{\mathcal{L}}$ - norma usual em $\mathcal{L}(X)$$\|\cdot\|_{X}$ - norma em $X$$\circ$ - composicao de operadores em $\mathcal{L}(X)$$I$ - operador identidade em $X$$\rho(A)$ - conjunto resolvente do operador $A$$\mathbb{R}_+$ - reais nao negativos$\mathrm{e}^A$ - exponencial de um operador linear limitado $A$, definida por $\mathrm{e}^A=\sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{k!}$$A\subseteq B$ - "o conjunto $A$ e um subconjunto do conjunto $B$" ou "o operador $B$ e uma extensao do operador $A$" 2 Semigrupos de operadoresDe um modo geral, um semigrupo e um conjunto $S$ munido com uma operacao binaria $* :S\times S\to S$ que e associativa. O conceito de semigrupo de operadores (definido a seguir) consiste em um caso particular desta nocao geral, especificamente, o caso em que $S$ e um subconjunto de $\mathcal{L}(X)$ indexado por $\mathbb{R}_+$ e $*$ e a composicao de operadores (a discussao em [4] e interessante).Definicao 2.1 (Semigrupo de Operadores). Seja $X$ um espaco de Banach. Um semigrupo sobre $X$ e uma familia $\{T(t)\}_{t\geq 0}$ de operadores lineares limitados $T(t):X\to X$ que satisfaz as seguintes condicoes: $T(0)=I$; $T(s)\circ T(t)=T(s+t)$, quaisquer que sejam $s,t\geq 0$.Definicao 2.2 (Semigrupo Fortemente Continuo). Um semigrupo fortemente continuo (ou semigrupo de classe $C_0$ ou $C_0$-semigrupo) e um semigrupo $\{T(t)\}_{t\geq 0}$ tal que $$\lim_{t\to0^+}\|T(t)x-x\|_{X}=0,\quad\forall\ x\in X.$$Observacao 2.3. Dizer que $\{T(t)\}_{\geq 0}$ e fortemente continuo equivale a dizer que, para cada $x\in X$, a aplicacao $[0,\infty)\ni t\mapsto T(t)x\in X$ e continua a direita no ponto zero (com respeito a topologia da norma em $X$). Isto justifica a terminologia $C_0$.Exemplo 2.4. Seja $B\in \mathcal{L}(X)$. Entao, $\{\mathrm{e}^{tB}\}_{t\geq 0}$ e um semigrupo fortemente continuo. De fato, um computo direto (e trabalhoso) mostra que as propriedades de semigrupo se verificam. Alem disso, o semigrupo e fortemente continuo porque, para todo $t\leq 1$,$$\begin{aligned}\|\mathrm{e}^{tB}x-x\|_X&\leq \|\mathrm{e}^{tB}-I\|_\mathcal{L}\|x\|_X=\left\|\sum_{k=0}^\infty\frac{t^kB^k}{k!}-I\right\|_\mathcal{L}\|x\|_X=\left\|\sum_{k=1}^\infty\frac{t^kB^k}{k!}\right\|_\mathcal{L}\|x\|_X\\ &=t\left\|\sum_{k=1}^\infty\frac{t^{k-1}B^k}{k!}\right\|_\mathcal{L}\|x\|_X\leq t\sum_{k=1}^\infty\frac{t^{k-1}\|B^k\|_\mathcal{L}}{k!}\|x\|\leq t\sum_{k=1}^\infty\frac{\|B^k\|_\mathcal{L}}{k!}\|x\|_X\\&\leq t\sum_{k=0}^\infty\frac{\|B\|_\mathcal{L}^k}{k!}\|x\|_X=t\mathrm{e}^{\|B\|_\mathcal{L}}\|x\|_X. \end{aligned}$$Teorema 2.5. Seja $\{T(t)\}_{t\geq 0}$ um semigrupo fortemente continuo. Entao, existem $\omega\geq 0$ e $M\geq 1$ tais que\begin{equation}\label{3}\|T(t)\|_{\mathcal{L}}\leq M\mathrm{e}^{\omega t},\quad\forall \ t\in[0,\infty).\end{equation}Prova: Afirmamos que existem $\eta,M>0$ tais que\begin{equation}\label{2}\|T(t)\|_{\mathcal{L}}\leq M,\quad\forall \ t\in[0,\eta].\end{equation}De fato: se a afirmacao e falsa, entao, para cada $n\in\mathbb{N}$, existe $t_n\in[0,1/n]$ tal que\begin{equation}\label{1}\|T(t_n)\|_{\mathcal{L}}>n.\end{equation}Como $t_n\overset{n\to\infty}\longrightarrow0$ e como o semigrupo e fortemente continuo, segue que $T(t_n)x\overset{n\to\infty}\longrightarrow x$ em $X$, para todo $x\in X$. Logo, pelo Principio