MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}});Antes de comecarmos a resolver os exercicios, devemos lembrar qual e a ideia que fundamenta a contagem! Tudo comeca com um intervalo de elementos que serao contados, numerados em ordem crescente. Se chamarmos o elemento inicial de $e_{i}$ e o elemento final de $e_{f}$, podemos representar o intervalo de contagem conforme a figura abaixo:Para obter a quantidade de elementos no intervalo considerado contamos todos os elementos ate o elemento final do intervalo (um total de $e_{f}$ elementos) e retiramos os elementos que estao fora do intervalo, subtraindo 1 do primeiro elemento do intervalo (um total de $e_{i}-1$ elementos).O numero de elementos ($n_{e}$) em um intervalo e, portanto:$n_{e}=e_{f}-(e_{i}-1)=e_{f}-e_{i}+1$1. Quantos numeros existem:a) entre 15 e 50?b) de 43 a 78?c) no intervalo (52,136] (ou seja, maiores que 52 e menores ou iguais a 136)?d) no intervalo [23,423] (ou seja, maiores ou iguais a 23 e menores ou iguais a 423)?e) no intervalo [85,721) (ou seja, maiores ou iguais a 85 e menores que 721)?a) Como os numeros considerados estao entre os extremos 15 e 50, nao consideramos esses valores na contagem. Assim, contamos apenas de 16 ($e_{i}=16$) ate 49 ($e_{f}=49$). Ate 49 temos 49 elementos; ate 15 (o anterior ao primeiro elemento) temos 15 elementos. Portanto, o intervalo tera $49-15=34$ elementos.b) Nesse caso o intervalo considera os extremos 43 e 78. Assim, contamos de 43 ($e_{i}=43$) ate 78 ($e_{f}=78$). Ate 78 temos 78 elementos; ate 42 (o anterior ao primeiro elemento) temos 42 elementos. Portanto, o intervalo tera $78-42=36$ elementos.c) Nesse intervalo excluimos o 52 mas consideramos o 136. Assim, contamos de 53 ($e_{i}=53$) ate 136 ($e_{f}=136$). Ate 136 temos 136 elementos; ate 52 (o anterior ao primeiro elemento) temos 52 elementos. Portanto, o intervalo tera $136-52=84$ elementos.d) Nesse intervalo consideramos tanto o 23 quanto o 423. Assim, contamos de 23 ($e_{i}=23$) ate 423 ($e_{f}=423$). Ate 423 temos 423 elementos; ate 22 (o anterior ao primeiro elemento) temos 22 elementos. Portanto, o intervalo tera $423-22=401$ elementos.e) Por fim, nesse intervalo consideramos o 85 e excluimos o 721. Assim, contamos de 85 ($e_{i}=85$) ate 720 ($e_{f}=720$). Ate 720 temos 720 elementos; ate 84 (o anterior ao primeiro elemento) temos 84 elementos. Portanto, o intervalo tera $720-84=636$ elementos.2. Quantos anos tem uma pessoa que:a) nasceu em 1975 e ja fez aniversario?b) nasceu em 1982 e ja fez aniversario?c) nasceu em 1954 e ainda nao fez aniversario?d) nasceu em 2001 e ainda nao fez aniversario?a) O primeiro ano do intervalo, que e o ano em que a pessoa completa 1 ano, e 1976 ($e_{i}=1976$). O ultimo ano do intervalo e o ultimo em que ela fez aniversario, ou seja, 2012 ($e_{f}=2012$). Portanto, a pessoa tera $2012-1975=37$ anos (lembrando que devemos subtrair o numero anterior ao primeiro termo, ou seja, 1975).b) O primeiro ano do intervalo, que e o ano em que a pessoa completa 1 ano, e 1983 ($e_{i}=1983$). O ultimo ano do intervalo e o ultimo em que ela fez aniversario, ou seja, 2012 ($e_{f}=2012$). Portanto, a pessoa tera $2012-1982=30$ anos.c) O primeiro ano do intervalo, que e o ano em que a