O efeito final das geometrias naoeuclidianas passa a ser uma simples pantomima de magico, em que as ideias sao sustentadas apenas pela fe.E naturalmente, uma vez aberta esta porta, o numero de sistemas contraditorios de verdades cientificas inabalaveis fatalmente aumentaria. Um alemao chamado Riemann apresentou outro sistema impecavel de geometria, que elimina nao so o postulado de Euclides, como tambem o primeiro axioma, segundo o qual apenas uma reta pode passar por dois pontos. Este sistema nao apresentava qualquer contradicao logica interna; era apenas incompativel com as geometrias de Euclides e Lobachevski.Segundo a Teoria da Relatividade, a geometria de Riemann e a que melhor descreve o nosso mundo. Para resolver o problema do que seja a verdade matematica, segundo Poincare, era necessario primeiro determinar a natureza dos axiomas geometricos. Seriam eles julgamentos sinteticos e aprioristicos, conforme dizia Kant. Ou seja, fariam parte da consciencia humana, sem se relacionarem com a experiencia, nem terem sido criados a partir dela? Poincare achava que nao. Se assim fosse, eles se imporiam a nos com uma forca tal, que nao conseguiriamos conceber a proposicao contraria, nem construir uma estrutura teorica. Nao existiriam geometrias nao-euclidianas. Deveriamos, portanto, concluir que os axiomas da geometria sao verdades experimentais? Poincare tambem nao acreditava nisso. Se tal fosse o caso, eles estariam sujeitos a continuas mudancas e revisoes, a medida que fossem surgindo novos dados experimentais. Tal ideia parece opor-se a propria natureza da geometria. Poincare concluiu que os axiomas da geometria sao convencoes; uma escolha feita entre todas as convencoes possiveis e orientada pelos dados experimentais, mas permanece livre, sendo limitada apenas pela necessidade de evitar qualquer contradicao.Eis por que os postulados podem conservar toda a sua carga de veracidade, mesmo que as leis experimentais que determinaram sua adocao sejam apenas aproximativas. Em outras palavras, os axiomas geometricos sao apenas definicoes disfarcadas. Tendo identificado a natureza dos axiomas geometricos, ele passou a considerar outra questao: qual e a geometria verdadeira, a de Riemann ou a de Euclides?A resposta foi que tal pergunta nao tinha cabimento. Era o mesmo que perguntar se o sistema metrico era verdadeiro, e o sistema avoir-dupois, falso; se as coordenadas cartesianas eram verdadeiras, e as polares, falsas. Uma geometria nao pode ser mais verdadeira do que a outra; pode ser mais conveniente. A geometria nao e verdadeira; e vantajosa.Poincare procurou entao demonstrar a natureza convencional de outros conceitos cientificos, tais como espaco e tempo, fazendo ver que nao ha maneira mais, ou menos, verdadeira de determinar essas entidades. A maneira geralmente adotada e apenas a mais conveniente.Nossos conceitos de espaco e tempo tambem sao definicoes, escolhidas com base na sua conveniencia, em termos da manipulacao dos fatos.Entretanto, essa concepcao radical dos nossos mais basicos conceitos cientificos ainda nao esta completa; o misterio em torno do que sejam espaco e tempo podera ser melhor compreendido atraves dessa explicacao, mas agora sao os fatos que sustentam a ordem do universo. Que sao os fatos?Poincare dispos-se a fazer um exame critico do assunto. Quais os fatos a serem observados? Uma infinidade. A observacao indiscriminada dos fatos tem tanta probabilidade