assunto interessante, mas comecar com ela seria assumir implicitamente:(1) que existem uma teoria e uma pratica uniforme, objetiva e bem estabelecida de demonstracao em matematica, e(2) que o progresso feito pelos matematicos consiste em provar teoremas.E importante examinar essas hipoteses, em lugar de aceita-las como obvias e prosseguir. A pergunta nem mesmo eComo os matematicos fazem o progresso em matematica?Em vez disso, como uma forma mais explicita (e dirigida) da pergunta, eu prefiroComo os matematicos aumentam o entendimento humano da matematica?Esta pergunta traz a tona algo que e fundamental e universal: o que fazemos e encontrar maneiras pelas quais as pessoas possam entender e pensar sobre matematica.O rapido avanco dos computadores ajudou a enfatizar esse ponto, porque computadores e pessoas sao muito diferentes. Por exemplo, quando Appel e Haken completaram a prova do Teorema do Mapa de Quatro Cores usando grande quantidade de calculos dificeis executados por computador, levantou-se muita controversia. Interpreto esta como tendo muito pouco a ver com as duvidas quanto a veracidade do teorema e a correcao da prova. Em vez disso, ela refletiu o desejo continuo da compreensao humana da prova, alem do simples conhecimento de que o teorema e verdadeiro.Num nivel mais usual, e comum principiantes em computacao fazerem longos calculos que poderiam ser feitos a mao numa escala menor. Pode-se produzir uma lista com os primeiros numeros primos apenas para verificar, posteriormente, que nao era exatamente isso que se queria. Descobre-se com esta experiencia que o que realmente se pretende nao e um conjunto de "respostas" - mas sim compreensao.Pode parecer quase circular dizer que o que os matematicos realizam e o avanco da compreensao humana da matematica. Nao tentarei resolver isso discutindo o que e a matematica, pois isso nos levaria longe demais. Os matematicos geralmente sentem que sabem o que e a matematica, mas tem dificuldade em apresentar uma boa definicao direta. E interessante tentar. Para mim, "a teoria dos modelos formais" e a que mais se aproxima, mas sua discussao nos levaria a um novo ensaio.Poderia a dificuldade de se dar uma definicao direta de matematica ser algo intrinseco, indicando que a matematica possui uma qualidade recursiva que lhe e essencial? Nessa direcao poderiamos dizer que a matematica e a menor area de conhecimento que satisfaz as seguintes condicoes: A matematica e o que inclui os numeros naturais e as geometrias plana e espacial. A matematica e o que os matematicos estudam. Matematicos sao pessoas que aumentam a compreensao humana da matematica.Em outras palavras, a medida que a matematica avanca, nos a incorporamos ao nosso pensamento. A medida que este se torna mais sofisticado, geramos novos conceitos e estruturas matematicas: os assuntos da matematica mudam para refletir a maneira como pensamos.Se o que estamos fazendo e construir melhores maneiras de pensar, entao os aspectos psicologicos e social sao essenciais para um bom modelo do progresso da matematica. Estas dimensoes estao ausentes da visao popular. A visao popular assegura, caricatamente, queD. Os matematicos partem de umas poucas estruturas matematicas e de um conjunto de axiomas "dados" sobre estas estruturas, que T. existem varias questoes