V'$ por$$U(t)=\int_0^tu(s)\;ds,\quad F(t)=\int_0^tf(s)\;ds,\quad \beta(t)=\int_0^t B(u(s),u(s))\;ds.$$Sabemos que $u,f,B\in L^2(0,T;V')$. Logo, $U$, $F$ e $\beta$ sao absolutamente continuas. Em particular,$$ U,F,\beta\in C([0,T]; V')\tag{2.35}$$Integrando (2.32)$_1$ concluimos que, para todo $t\in[0,T]$,$$u(t)-u_0+\nu AU(t)+\beta(t)=\int_0^tu'(s)\;ds+\nu \int_0^tAu(s)\;ds+\beta(t)=F(t)\text{ em } V'.\tag{2.36}$$Defina $S:[0,T]\to V'$ por $S(t)=u(t)-u_0+\nu AU(t)+\beta(t)-F(t)$. De (2.35) e da Observacao 2.16,$$S\in C([0,T]; [H^{-1}(\Omega)]^2).\tag{2.37}$$De (2.33) e de (2.36),$$\langle S(t),v\rangle _{[H^{-1}(\Omega)]^2\times [H_0^1(\Omega)]^2}=\langle S(t),v\rangle _{V'\times V}=\langle 0,v\rangle _{V'\times V}=0,\quad \forall\ v\in V,\; t\in[0,T].$$Resulta do Lema 2.11 que, para cada $t\in[0,T]$, existe $P(t)\in L^2(\Omega)$ tal que $S(t)=\nabla (P(t))$ em $[H^{-1}(\Omega)]^2$. Escrevendo $S(t)=(S_1(t),S_2(t))$, obtemos$$S_i(t)=\partial_{x_i}(P(t))\quad\text{em}\quad H^{-1}(\Omega),\tag{2.38}$$onde $\partial_{x_i}P(t)$ representa a derivada distribucional de $P(t)$ com respeito a $x_i$ em $\mathcal{D}'(Q)$. Alem disso, por (2.37), $\nabla (P(\cdot))\in C([0,T]; [H^{-1}(\Omega)]^2)$ e isto implica que $P\in C([0,T];L^2(\Omega))$ por causa da estimativa (2.11). Assim, a funcao $P$ (pela Observacao 2.17) e a funcao $S_i$ (pela Observacao 2.18) podem ser vistas como elementos de $\mathcal{D'}(Q)$ satisfazendo\begin{align*}&\langle \partial_{x_i} P,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\;\langle P, \varphi_{x_i}\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=-\int_0^T\langle P(t), \varphi_{x_i}(\cdot,t)\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}\;dt=\int_0^T\langle \partial_{x_i} (P(t)), \varphi(\cdot,t)\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}\;dt\\&\hspace{2.08cm}\overset{(2.38)}{=}\int_0^T\langle S_i(t), \varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt=\langle S_i,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}\end{align*}para toda $\phi\in \mathcal{D}(Q)$. Isto mostra que $\partial_{x_i}P=S_i$ em $\mathcal{D}'(Q)$. Derivando ambos os membros com respeito $t$ no sentido distribucional de $\mathcal{D}'(Q)$, segue da segunda parte da Observacao 2.18 que$$\partial_{x_i} \partial_tP=\partial_t\partial_{x_i}P=\partial_tS_i=S_i'\quad\text{em}\quad\mathcal{D}'(Q).$$Definindo $p=-\partial_t P$, concluimos que$$-\nabla p =(\partial_{x_1} \partial_tP,\partial_{x_2} \partial_tP)=(S_1',S_2')=S'=u'+\nu Au+B(u,u)-f\quad\text{em}\quad [\mathcal{D}'(Q)]^2.$$Isto prova o seguinte resultado, que nos da uma versao fraca da equacao original (2.1)$_1$:Teorema 2.19. Existe uma distribuicao $p\in\mathcal{D}'(Q)$ tal que a funcao $u$ dada pelo Teorema 2.14 satisfaz$$u'+\nu Au+B(u,u)=f-\nabla p \quad\text{em}\quad [\mathcal{D}'(Q)]^2.$$Notas (i) De acordo com [17], p. 280.(ii) A palavra "completas" refere-se ao fato de que nao estamos considerando as equacoes estacionarias e nem linearizadas; estamos considerando as equacoes de evolucao nao lineares. O caso estacionario linearizado pode ser encontrado no Capitulo 1 de [17] e no Capitulo XIX de [7]. O Capitulo XIX de [7] tambem contem o caso nao estacionario linearizado. E o Capitulo 2 de [17] contem o caso estacionario nao linearizado.(iii) Premio oferecido pelo The Clay Mathematics Institute. Os enunciados dos problemas foram extraidos da pagina oficial.(iv) Esta regularidade e utilizada nas integracoes por partes feitas neste paragrafo.(v) De acordo com [16], p. 35, e natural procurar uma solucao com essa regularidade porque, do ponto de vista fisico, a condicao $u\in L^\infty(0,T; H)$ expressa o fato de que a energia cinetica do sistema permanece limitada e a condicao $u\in L^2(0,T;V)$ expressa o fato de que a energia perdida para a viscosidade e finita.(vi) Estas caracterizacoes de $V$ e $H$ nao serao utilizadas explicitamente na proxima secao.(vii) Pela regularidade de $u'$, o termo $\frac{d}{dt}(u(\cdot),v)$ pode ser escrito como $\langle u'(\cdot),v\rangle_{V'\times V}$.(viii) Dizer que $T_m\to T$ em $\mathcal{D}'(0,T)$ significa que $\langle T_m,\theta\rangle\to \langle T,\theta\rangle$, para toda $\theta\in\mathcal{D}(0,T)$ (ver pagina 464 de [5] ou secao 1.19 em [8] ou paragrafo 6.16 em ]14]).Referencias[1] R. A. Adams and J. J. F. Fournier. Sobolev Spaces. Academic Press, Amsterdam, 2003.[2] F. Boyer and P. Fabrie. Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models. Springer, New York, NY, 2013.[3] H. Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer, New York, NY, 2011.[4] M. M. Cavalcanti and V. N. D. Cavalcanti. Introducao as Equacoes Diferenciais Parciais. UEM/DMA, Maringa, PR, 2010.[5] R. Dautray and J-L Lions. Mathematical Analysis and