Denomina-se fundamentos da matematica a uma area de estudo que abrange tanto problemas da filosofia da matematica, como da logica e da matematica. Ela teve a sua origem nas ultimas decadas do seculo XIX e desenvolveu-se durante as primeiras decadas do seculo XX, como uma resposta a crise dos fundamentos gerada pelos paradoxos[1]. Do ponto de vista logico, tem como questao fundamental as relacoes entre a logica e a matematica. Do ponto de vista matematico abrange pesquisas nas areas de logica matematica, teoria de conjuntos, teoria dos tipos, teoria de modelos, teoria da prova, teoria da recursao e topologia.O matematico Georg Cantor comecou as suas pesquisas estudando series trigonometricas, mas logo foi direcionado por elas a elucidar o conceito de conjunto. Dessa maneira ele deu origem a teoria de conjuntos, desenvolvendo a primeira teoria matematica dos numeros infinitos e o inicio da topologia dos conjuntos de pontos surgida a partir das questoes do Analysis Situs, agora colocadas no contexto da teoria de conjuntos[2]. Richard Dedekind, em constante contato com Cantor, utiliza os desenvolvimentos da teoria de conjuntos na sua elucidacao do conceito de continuidade e na sua definicao dos numeros reais. Como expressa Hilbert com referencia a Dedekind:"O matematica viu-se forcado a ser um filosofo, para poder seguir sendo matematico"[3]Em outro sentido, Gottlob Frege afirma que a matematica deve fortalecer as suas bases logicas, colocando claramente sua posicao no livro Fundamentos da aritmetica[4] e depois nas Leis fundamentais da aritmetica[5], onde comeca com um desenvolvimento da logica matematica para passar a matematica, como maneira de justificar a unidade de ambas. Como resposta a teoria de Cantor dos ordinais transfinitos, Burali-Forti anuncia que nessa teoria pode ser derivada uma contradicao, posteriormente denominada paradoxo de Burali-Forti. Em 1902, Bertrand Russell escreve uma carta para Frege na qual anuncia que no sistema das Leis fundamentais da aritmetica pode ser derivada uma contradicao, hoje conhecida como paradoxo de Russell, mas certas fontes afirmam que ja era conhecida com anterioridade por Ernst Zermelo, pertencente ao circulo de Hilbert.Esses paradoxos, mais outros enunciados posteriormente, geram uma crise de fundamentos (em alemao: Grundlagenkrise), na qual sao questionados os metodos e a logica utilizada pela matematica.As respostas a crise de fundamentos desenvolveram-se em diferentes direcoes, formando-se tres correntes principais denominadas de logicismo, formalismo e intuicionismo.Russell aderiu ao pressuposto de Frege da unidade de logica e matematica e escreveu, junto com Whitehead, o monumental texto dos Principia Mathematica, no qual sao desenvolvida de uma maneira continua a logica e a matematica. Esse aprofundamento das ideias de Frege como resposta a crise constitui a base da tendencia logicista.Hilbert nao participa da ideia de unidade da logica e a matematica, mas considera que a formalizacao da logica que culmina na obra de Frege e uma parte importante de uma outra resposta. Hilbert propoe a formalizacao e axiomatizacao das diferentes areas da matematica, para assim poder dar uma demonstracao da consistencia de essas teorias, ou seja, de que nao e possivel a derivacao de contradicoes nelas, constituindo a base do Programa de Hilbert e o inicio da corrente formalista, continuada por figuras como Paul