ocidental.Naquela epoca, Pitagoras determina matematicamente a subdivisao da oitava e a derivacao dos intervalos consonantes, formulados mediante as caracteristicas vibratorias de uma unica corda percutida. Com esse procedimento, descobre a existencia do inter-relacionamento fundamental entre o comprimento de uma corda em vibracao e suas proporcoes aritmeticas. Estudos posteriores resultam na producao dos intervalos diatonicos, cromaticos e enharmonicos, sendo que estes ultimos foram particularmente importantes para a construcao de instrumentos musicais nos seculos XVI, XIX e XX, instrumentos esses que reproduziam os intervalos de quarto de tom (sonoridades existentes entre as unidades de frequencia da escala temperada). Posteriormente, Pitagoras procura relacionar esses sons com as vibracoes que julgava emanar dos varios planetas do sistema solar (a chamada Musica ou Harmonia das Esferas).O filosofo e matematico Boecio (c. 480-524), juntamente com seu contemporaneo Cassiodorus (c. 485-560) introduzem na Idade Media os escritos de Pitagoras, Euclides, Aristoteles, Aristoxeno, Ptolomeu e Platao, os quais continham discussoes sobre musica. Boecio, em sua obra De institutione musica, divide a musica em tres categorias fundamentais, a saber: musica mundana (representativa da harmonia ou ritmo do universo); musica humana (harmonia ou proporcoes do corpo); e a musica instrumentalis (integrada pela musica vocal e instrumental). Nesta triade, a primeira categoria e analoga a harmonia grega das esferas, sendo tambem precursora da moderna concepcao das ondas sonoras. Boecio tambem estabelece a divisao da musica instrumental em tres categorias: percussao, cordas e sopros, divisao essa adotada por Cassiodorus e Isidoro de Sevilha (570-636). Esse procedimento lanca as bases da construcao estrutural das primeiras obras da musica medieval. O trabalho desses dois teoricos foi posteriormente sistematizado no seculo IX por Aureliano de Reome em duas de suas obras, Musica disciplina e Musica enchiriadis, sendo que nesta ultima reafirma a relacao entre musica e matematica.A definicao do que vem a ser musica, bem como a instituicao de seus principios, sendo assim definitivamente estabelecidos ao longos desses seculos, faz com que teoricos posteriores - tais como Guido D'arezzo, Franco de Colonia, Anonymus IV, Johannes de Grocheo - passem a se concentrar em procedimentos composicionais e problemas notacionais, possibilitando a criacao das primeiras obras musicais propriamente ditas. Durante os seculos XI, XII e XIII sao fixadas proporcoes para a altura e para sistemas de afinacao, bem como a determinacao de intervalos consonantes e dissonantes.No inicio do seculo XVII, Marcheto de Padua, Phillipe de Vitre e Gillaume de Machaut (1300-1377) teorizam acerca das complexidades das estruturas ritmicas passiveis de serem aplicadas a composicao musical. Marcam, com esse procedimento, as origens do periodo que veio a ser denominado Ars novae musicae, marcado sobretudo pelos progressos da grafia notacional, possibilitando o jogo polifonico de varias melodias que se desenvolvem simultaneamente. Inauguram, assim, a nocao de tempo metrico na musica ocidental.Ainda durante esse periodo, o teorico Johanes Tinctoris, em sua obra Proportionale musices, institui os "principios de proporcoes" para compositores e executantes. Esses principios se referiam a igualdade e nao igualdade das duracoes, acompanhados por definicoes dos procedimentos notacionais. Em suas pesquisas, as relacoes ritmicas existentes entre os elementos constituintes da obra assumem uma complexidade comparavel as estruturas encontradas em algumas