angulos retos, as duas linhas retas, se estendidas indefinidamente, se encontram daquele lado da linha no qual os angulos sao menores do que dois angulos retos". Tanto devido ao contraste deste enunciado original com a clareza com que foram enunciados os outros postulados, como devido ao fato de Euclides evitar o maximo possivel fazer uso deste postulado na demonstracao das proposicoes, suspeitou-se durante dois mil anos da independencia deste postulado, ou seja, imaginava-se que este fosse apenas uma proposicao que pudesse ser demonstrada utilizando-se os outros postulados. Ao longo dos seculos, diversos enunciados equivalentes ao 5o. Postulado foram feitos, o mais popular de todos sendo o de John Fairplay (1748-1819): Por um ponto nao contido em uma reta dada, pode ser tracada uma e apenas uma reta paralela a reta dada. Este enunciado acabou batizando o 5o. Postulado com o nome de Postulado das Paralelas. Durante o seculo 18 diversos matematicos, tais como Girolomo Saccheri e Johann Heinrich Lambert tentaram demonstrar o 5o. postulado. Apesar de nao serem bem sucedidos em seu intento (o que nao nos surpreende hoje em dia, pois sabemos ser um postulado realmente independente), conseguiram diversos e importantes avancos. Foi provado, por exemplo, que sem o Postulado das Paralelas, obtem-se que a soma dos angulos internos de um triangulo pode ser maior ou menor do que p. A falta ou excesso (a diferenca entre a soma dos angulos internos e p) depende da area do referido triangulo, de modo semelhante ao que ocorre em uma esfera. Apenas na primeira metade do seculo 19, comecou-se a suspeitar que o Postulado das Paralelas fosse realmente independente dos demais.da independencia do Postulado das Paralelas. Matematicos como Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Janos Bolyai (1802-1860) e Nicolai Lobatchevsky (1793-1856) trataram da questao ao considerar tres situacoes distintas: Por um ponto nao contido em uma reta dada, passa mais de uma, apenas uma ou nenhuma reta paralela a reta dada. Por suspeitarem da independencia do Postulado das Paralelas, ou seja, de que sua negacao poderia gerar uma geometria consistente, sem contradicoes, desenvolveram de forma axiomatica um estudo amplo e detalhado de uma geometria que assumia a existencia de mais de uma reta paralela (a terceira hipotese, da inexistencia de retas paralelas pode ser descartada, conforme vremos mais adiante), criando o que veio a ser chamada com o tempo de Geometria de Lobatchevsky ou Geometria Hiperbolica. No entanto, as duvidas referentes a consistencia desta nova geometria, so foram dirimidas no final do seculo, quando matematicos como Eugenio Beltrami, Henri Poincare e Felix Klein criaram modelos euclidianos para esta geometria. A criacao de modelos euclidianos para a geometria hiperbolica resolve a questao da consistencia desta geometria, pois qualquer eventual contradicao a ser encontrada implicaria em uma contradicao existente na geometria euclidiana, ou seja, as geometrias hiperbolica e euclidiana tem o mesmo grau de consistencia (uma descricao detalhada sobre a equivalencia entre a consistencia destas duas geometrias pode ser encontrada em Po1). Este texto esta dividido em tres secoes. Na primeira delas apresentamos os axiomas da geometria neutra e alguns resultados decorrentes destes axiomas. Por geometria neutra