outros autores, e originalmente por Hilbert) de conceitos "metamatematicos". Essa expressao me parece um tanto quanto infeliz por atribuir a matematico um sentido tremendamente restrito (no contexto do trabalho de Godel essa expressao sugeriria que a matematica refere-se apenas a aritimetica). Sendo assim, utilizarei simplesmente a expressao "conceitos externos". Entre os simbolos basicos constantes podemos encontrar os seguintes: "~" (negacao, embora as vezes seja utilizado para indicar equivalencia), "f" (sucessor imediato), "V" (ou). Quanto as variaveis, ha uma infinidade (literalmente) de tipos. As variaveis do primeiro tipo sao elementares (representam numeros naturais), as variaveis do segundo tipo sao classes de variaveis elementares, e assim sucessivamente. Entre os simbolos utilizados para representar conceitos externos encontramos o conceito de prova (simbolo "B"), o qual e utilizado da seguinte maneira:xByisso e, x e uma prova (sequencia de passos necessarios, a partir dos axiomas, a obtencao) da formula y. Nessa mesma linha encontramos:Bew(y)ou seja, y e uma formula provavel (y pode ser provada), isso e equivalente a dizer que existe um x tal que x e uma prova de y:Bew(y)=(Ex)xByconforme a notacao de Godel. Outro conceito fundamental e o de generalizacao, simbolizado por "Gen" e utilizado da seguinte maneira:v Gen a isso e, a classe de simbolos a e generica em relacao a sua variavel livre v. Intimamente relacionado a este ultimo conceito encontramos o conceito de substituicao, simbolizado por Sb (ou Subst, ou ainda Su, com algumas variacoes na notacao), o qual sera visto mais a frente. Outro ponto importante, um dos pontos centrais no desenvolvimento do teorema de Godel, diz respeito a um mapeamento entre os simbolos utilizados e os numeros naturais, ou seja, cada simbolo ou conjunto de simbolos poderia ser representado por um numero natural, de acordo com determinadas regras. Feitas essas consideracoes, vamos agora analisar sequencialmente o desenvolvimento do teorema de Godel. Os axiomas da Aritimetica (de Peano) foram tomados como ponto de partida. A fim de utiliza-los de maneira eficiente para os dados propositos, Godel os escreveu de acordo com conceitos provenientes do PM, dentre outras fontes. Propos entao um mapeamento entre a simbologia utilizada e os numeros naturais. Em seguinda definiu o conceito de recursividade (eis um exemplo de recursividade). Lancou entao quatro proposicoes referentes a este conceito (cujas provas foram apresentadas ou indicadas). A partir dos conceitos de recursividade e dos axiomas em si, Godel gerou uma serie de definicoes, contidas em 46 formulas. Nessa serie de formulas pode-se ver o uso do conceito de "heranca", ou seja, uma dada formula pode aproveitar definicoes de formulas anteriores. O proximo passo consistiu em lancar uma quinta proposicao, referente a relacoes recursivas. Como exemplo de relacao recursiva (conforme a definicao de Godel) podemos citar a relacao "sucessor imediato", dada por f: 2= f1= ff0 Godel entao definitiu o que ele chamou de "sistema w-consistente". Segundo essa definicao, um sistema w-consistente e um sistema que nao possui uma classe a para a qual a seguinte proposicao e valida:Na expressao acima o simbolo Flg(k) representa o menor conjunto de formulas que contem todos os axiomas e todas as formulas de k e