thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
r = -1 SOLUCAO:Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an e o n-esimo termo.Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.Dai, r = a2 a1 = 0 1 = -1, que e a resposta procurada. 5 - A soma dos multiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos e:a) 64376b) 12846 c) 21286 d) 112 *e) 61376 SOLUCAO:Numeros com 3 algarismos: de 100 a 999.Primeiro multiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que e igual a 8x13)Maior multiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que e igual a 8x124) Temos entao a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).Da formula do termo geral an = a1 + (n 1) . r poderemos escrever:992 = 104 + (n 1).8, ja que a razao da PA e 8.Dai vem: n = 112 Aplicando a formula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376A alternativa correta e portanto, a letra E. 6 Determinar o centesimo termo da progressao aritmetica na qual a soma do terceiro termo com o setimo e igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono e igual a 60.Resp: 965 SOLUCAO:Podemos escrever: a3 + a7 = 30 a4 + a9 = 60 Usando a formula do termo geral, poderemos escrever:a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60 Subtraindo membro a membro as duas expressoes em negrito, vem:3r = 30 , de onde concluimos que a razao e igual a r = 10. Substituindo numa das equacoes em negrito acima, vem:2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25. Logo, o centesimo termo sera:a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965 Agora resolva estes: UFBA - Considere a P.A. de razao r , dada por (log4 , log12 , log36 , ... ). Sendo a22 = k, determine 10k + r : 320. Resposta: 36Para revisar logaritmos, clique AQUI. Determine tres numeros em PA tais que a soma deles seja 15 e a soma dos seus quadrados seja 83.Resposta: 3, 5 e 7.
Desafio 3 :Encontre dois numeros cuja soma e igual a 432 e o Maximo Divisor Comum (m.d.c.) e igual a 36. Solucao Solucao :396 e 36 ou 252 e 180 O cubo de Rubik e um jogo inventado em 1974 pelo escultor e professor de Arquitetura hungaro Erno Rubik e que tornou-se popular na decada de 80. A ideia inicial de Erno Rubik era de construir o cubo de forma a que seus alunos adivinhassem qual era o seu mecanismo interno, como os pequenos cubos podiam rodar segundo tres eixos mantendo-se unidos, obrigando-os a refletir em 3 dimensoes. So posteriormente, por sugestao de um amigo de colorir cada face dos cubos pequenos de uma cor diferente, ele verificou que apos misturadas as faces, a ordem inicial do cubo tornava-se extremamente dificil de encontrar. Rubik teve a ideia entao de comercializa-lo como jogo matematico.O objetivo do jogo e, apos a mistura das seis faces, de manipular o cubo por forma a tentar de dar-lhe o aspeto inicial, em que cada face possui uma cor diferente.Embora seja mais facil jogar o Cubo de Rubik com o cubo propriamente dito, podera tambem joga-lo online aqui. Dizemos que uma sequencia numerica constitui uma progressao geometrica quando, a partir do 2o termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequencia:(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela e uma progressao geometrica, pois se encaixa na definicao dada.4 : 2 = 28 : 4 = 216 : 8 = 232 : 16 = 264 : 32 = 2O termo constante da progressao geometrica e denominado razao.Muitas situacoes envolvendo sequencias sao consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressao capaz de determinar qualquer elemento de uma progressao geometrica. Veja:Com base nessa expressao, temos que:a2 = a1 * qa3 = a1 * q2 a5 = a1 * q4a10 = a1 * q9a50 = a1*q49a100 = a1*q99Exemplo 1Em uma progressao geometrica, temos que o 1o termo equivale a 4 e a razao igual a 3. Determine o 8o termo dessa PG.a8 = 4 * 37a8 = 4 * 2187a8 = 8748O 8o termo da PG descrita e o numero 8748.Exemplo 2Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20o termo.a20 = 3 * 319a20 = 3 * 1.162.261.467a20 = 3.486.784.401Soma dos termos de uma PGA soma dos termos de uma PG e calculada atraves da seguinte expressao matematicaExemplo 4Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os valores foram os seguintes:Janeiro: 98,00Fevereiro: 99,96Marco: 101,96Abril: 104,00Maio: 106,08Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o indice inflacionario foi constante.Os termos estao em progressao geometrica, observe:106,08 : 104 = 1,02104 : 101,96 = 1,02101,96 : 99,96 = 1,0299,96 : 98,00 = 1,02A razao dessa progressao geometrica e dada por 1,02, isto indica que a inflacao entre os meses e de 2%. Vamos determinar a soma dos gastos dessa dona de casa, observe:Os gastos da dona de casa com compras de supermercado, foram equivalentes aR$ 1.314,39. Questoes1-) Encontre o termo geral da P.A.
(2, 7, ...).2-) Encontre o termo geral da P.A. (7/3, 11/4, ...).3-) Qual e o decimo quinto termo da P.A. (4, 10, ...).4-) Qual e o centesimo numero natural par ?5-) Ache 0 5o termo da P.A. (a+b ; 3a-2b ; ...).6-) Ache o sexagesimo numero natural impar.7-) Numa P.A. de razao 5, o primeiro termo e 4. Qual e a posicao do termo igual a 44 ?8-) Ache a1 numa P.A., sabendo que r=1/4 e a17=21.9-) Quantos termos tem uma P.A. finita, de razao 3, sabendo-se que o primeiro termo e -5 e o ultimo e 16 ?10-) Calcule o numero de termos da P.A. (5, 10, ..., 785).11-) Qual e o primeiro termo de uma P.A. cujo setimo termo e 46, sendo o termo precedente 39 ? 12-) Quantos multiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos ?13-) Quantos sao os numeros naturais menores que 98 e divisiveis por 5 ? 14-) Quantos numeros inteiros existem, de 100 a 500, que nao sao divisiveis por 8 ? 15-) Interpole 11 meios aritmeticos entre 1 e 37. 16-) Quantos termos aritmeticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razao da interpolacao seja 8 ? 17-) Determine a media aritmetica dos seis meios aritmeticos que podem ser interpolados entre 10 e 500. 18-) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no quilometro 3 e outro no quilometro 88. Entre eles serao colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distancia. Determine em quais marcos quilometricos deverao ficar esses novos telefones.19-) (ITA-SP) Quantos numeros inteiros existem, de 1000 a 10000, que nao sao divisiveis nem por 5 nem por 7 ? 20-) Uma fabrica produziu, em 1986, 6530 unidades de um determinado produto e, em 1988, produziu 23330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a producao anual desse produto vem crescendo em progressao aritmetica, pede-se:a) Quantas unidades do produto essa fabrica produziu em 1987 ?b) Quantas unidades foram produzidas em 1991 ? RespostasQuestao 1Dados: a1 = 2 ; r = 7 - 2 = 5 ; an = ? ; n = ? Resolucao:an = a1 + (n-1).ran = 2 + (n -1).5 an = 2 + 5n - 5 an = 5n - 3Resposta: an = 5n - 3 Questao 2Dados: a1 = 7/3 ; r = 11/4 - 7/3 = (33 - 28)/12 = 5/12 ; an = ? ; n = ? Resolucao:an = a1 + (n-1).ran = 7/3 + (n -1). 5/12 an = 7/3 + 5/12n - 5/12 an = 5/12n + 28/12 - 5/12 an = 5/12n + 23/12 Resposta: an = 5/12n + 23/12 ou an = (5n + 23)/12 Questao 3Dados: a1 = 4 ; r = 10 - 4 = 6 ; an = a15 = ? ; n = 15 Resolucao: an = a1 + (n-1).ra15 = 4 + (15 -1).6 a15 = 4 + 14.6 a15 = 4 + 84 a15 = 88 Resposta: a15 = 88 Questao 4Dados: a1 = 0 ; r = 2 - 0 = 2 ; an = a100
= ? ; n = 100 Resolucao:an = a1 + (n-1).ra100 = 0 + (100 -1).2 a100 = 0 + 99.2 a100 = 198 Resposta: a100 = 198 Questao 5Dados: a1 = a+br = (3a-2b)-(a+b) r = 3a-2b - a-b r = 2a-3b an = a5 = ? ; n = 5Resolucao:an = a1 + (n-1).ra5 = a+b + (5-1).(2a-3b) a5 = a+b + 4.(2a-3b) a5 = a+b +8a-12b a5 = 9a - 11b Resposta: a5 = 9a - 11b Questao 6Dados: a1 = 1 ; r = 3 - 1 = 2 ; an = a60 = ? ; n = 60 Resolucao:an = a1 + (n-1).ra60 = 1 + (60 -1).2 a60 = 1 + 59.2 a60 = 1 + 118 a60 = 119 Resposta: a60 = 119 Questao 7Dados: a1 = 4 ; r = 5 ; an = 44 ; n = ? Resolucao:an = a1 + (n-1).r44 = 4 + (n-1).5 44 = 4 + 5n -5 44 -4 + 5 = 5n 45 = 5n 45/5 = n 9 = n ou n = 9 Resposta: 9a posicao Questao 8Dados: a1 = ? ; r = 1/4 ; a17 = 21 ; n = 17 Resolucao:an = a1 + (n-1).ra17 = a1 + (17-1).(1/4) 21 = a1 + 16/421 = a1 + 421 - 4 = a117 = a1Resposta: a1 = 17 Questao 9Dados: a1 = -5 ; r = 3 ; an = 16 ; n = ? Resolucao:an = a1 + (n-1).r16 = -5 + (n-1).316 = -5 + 3n -316 = 3n - 816 + 8 = 3n 24 = 3n24/3 = n8 = nResposta: n = 8 Questao 10Dados: a1 = 5 ; r = 5 ; an = 785 ; n = ? Resolucao: an = a1 + (n-1).r785 = 5 + (n-1).5785 = 5 + 5n -5785 = 5n785/5 = n 157 = n Resposta: n = 157 Questao 11Dados: a1 = ? ; an = a7 = 46 ; a6 = 39 ; r = a7 - a6 ; r = 46 - 39 ==> r = 7 ; n = 7 Resolucao:an = a1 + (n-1).r46 = a1 + (7-1).7 46 = a1 + 6.7 46 = a1 + 42 46 - 42 = a1 4 = a1Resposta: a1 = 4 Questao 12Dados: P.A.(105,...,994); a1 = 105 ; an = 994 ; r = 7 ; n = ? Resolucao:an = a1 + (n-1).r994 = 105 + (n-1).7 994 = 105 + 7n - 7 994 = 105 - 7 + 7n994 = 98 + 7n994 - 98 = 7n896 = 7n 896/7 = n 128 = nResposta: n = 128 Questao 13Dados: P.A.(0,...,95);a1 = 0 ; an = 95 ; r = 5 ; n = ? Resolucao:an = a1 + (n-1).r95 = 0 + (n-1).5 95 = 0 + 5n - 5 95 + 5 = 5n 100 = 5n100 = 5n100/5 = n20 = nResposta: n = 20 Questao 141-) Calculamos a quantidade de numeros, entre 100 e 500, que sao divisiveis por 8.Dados: P.A.(104,...,496);
a1 = 104 ; an = 496 ; r = 8 ; n = ? Resolucao:an = a1 + (n-1).r496 = 104 + (n-1).8 496 = 104 + 8n - 8 496 = 96 + 8n 496 - 96 = 8n 400 = 8n 400/8 = n 50 = n 2-) Calculamos a quantidade de todos os numeros, entre 100 e 500.Dados: P.A.(100,...,500); a1 = 100 ; an = 500 ; r = 1 ; n = ? Resolucao: an = a1 + (n-1).r500 = 100 + (n-1).1 500 = 100 + n - 1 500 = 99 + n 500 - 99 = n 401 = n3-) Calculamos o numero de termos que nao sao divisiveis por 8, fazendo: n = 401 - 50 = 351Resposta: n = 351 Questao 15P.A.(1, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _,37)Dados: a1 = 1 ; r = ? ; an = a13 = 37 ; n = 13 Resolucao: an = a1 + (n-1).ra13 = 1 + (13-1).r 37 = 1 + 12.r 37 -1 = 12r 36 = 12r 36/12 = r 3 = r Calculamos as 11 interpolacoes:a2 = a1 + r = 1+3 = 4a3 = a2 + r = 4+3 = 7a4 = a3 + r = 7+3 = 10a5 = a4 + r = 10+3 = 13a6 = a5 + r = 13+3 = 16a7 = a6 + r = 16+3 = 19a8 = a7 + r = 19+3 = 22a9 = a8 + r = 22+3 = 25a10 = a9 + r = 25+3 = 28a11 = a10 + r = 28+3 = 31a12 = a11 + r = 31+3 = 34Resposta: an = P.A.(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37) Questao 16Dados: P.A.(2,...,66); a1 = 2 ; an = 66 ; r = 8 ; n = ? Resolucao:an = a1 + (n-1).r66 = 2 + (n-1).8 66 = 2 + 8n - 8 66 = 8n - 6 66 + 6 = 8n 72 = 8n 72/8 = n 9 = n Subtraimos 2 termos dos 9 termos encontrados: n = 9 - 2 = 7. Resposta: n = 7 Questao 17Dados: P.A.(10, _, _, _, _, _, _,500); a1 = 10 ; an = a8 = 500 ; r = ? ; n = 8 Resolucao:an = a1 + (n-1).r500 = 10 + (8-1).r 500 = 10 + 7.r 500 - 10 = 7r 490 = 7r 490/7 = r 70 = r Calculamos as 6 interpolacoes:a2 = a1 + r = 10+70 = 80a3 = a2 + r = 80+70 = 150a4 = a3 + r = 150+70 = 220a5 = a4 + r = 220+70 = 290a6 = a5 + r = 290+70 = 360a7 = a6 + r = 360+70 = 430 Calculamos a media aritmetica:M.A. = Adicao dos termos / numero de termos adicionados = (a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7) / 6 M.A. = (80 + 150 + 220 + 290 + 360 + 430)
/ 6 = 1530 / 6 = 255 Resposta: M.A. = 255 Questao 18P.A.(3,..,88)Dados: a1 = 3 ; r = ? ; an = a18 = 88 ; n = 18 Resolucao: an = a1 + (n-1).ra18 = 3 + (18-1).r 88 = 3 + 17.r 88 - 3 = 17r85 = 17r 85/17 = r 5 = r Calculamos as 16 interpolacoes:a2= a1 + r = 3+5 = 8a3= a2 + r = 8+5 = 13a4= a3 + r = 13+5 = 18a5= a4 + r = 18+5 = 23a6= a5 + r = 23+5 = 28a7= a6 + r = 28+5 = 33a8= a7 + r = 33+5 = 38a9= a8 + r = 38+5 = 43a10= a9+ r = 43+5 = 48a11= a10+ r = 48+5 = 53a12= a11+ r = 53+5 = 58a13= a12+ r = 58+5 = 63a14= a13+ r = 63+5 = 68a15= a14+ r = 63+5 = 73a16= a15+ r = 73+5 = 78a17= a16+ r = 78+5 = 83 Resposta: Marcos quilometricos: 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83 Questao 19Dados: M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000. M(7) = 1001, 1008, ..., 9996.M(35) = 1015, 1050, ... , 9975.M(1) = 1, 2, ..., 10000. Resolucao:Para multiplos de 5, temos: an = a1+ (n-1).r => 10000 = 1000 + (n - 1). 5 => n = 9005 / 5 => n = 1801.Para multiplos de 7, temos: an = a1+ (n-1).r => 9996 = 1001 + (n - 1). 7 => n = 9002 / 7 => n = 1286.Para multiplos de 35, temos: an = a1 + (n - 1).r => 9975 = 1015 + (n - 1).35 => n = 8995 / 35 => n = 257.Para multiplos de 1, temos: an = a1 = (n -1).r => 10000 = 1000 + (n - 1).1 => n = 9001. Sabemos que os multiplos de 35 sao multiplos comuns de 5 e 7, isto e, eles aparecem no conjunto dos multiplos de 5 e no conjunto dos multiplos de 7 (dai adicionarmos uma vez tal conjunto de multiplos). Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35).Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171 Resposta: n = 6171 Questao 20 P.A.(6530, _ , 23330) Dados: a1 = 6530 ; r = ? ; an = 23330 ; n = 3 Resolucao:an = a1 + (n-1).ra3 = 6530 + (3-1).r 23330 = 6530 + 2.r 23330 - 6530 = 2r 16800 = 2r 16800/2 = r 8400 = ra2 = a1 + r a2 = 6530 + 8400 a2 = 14930P.A.(6530, 14930, 23330, _ , _, _) Dados: a1 = 6530 ; r = 8400 ; an = a6 = ? ; n = 6 Resolucao: an = a1 + (n-1).ra6 = 6530 + (6-1).8400 a6 = 6530 + 5.8400 a6 = 6530 + 42000 a6 = 48530 Resposta: a) 14930; b) 48530 Progressao GeometricaDefinicaoE uma sequencia em que cada termo, a partir do segundo, e o produto do anterior com uma
constante, denominada razao, representada pela letra 'q'. Elementos a1 : 1o termoan : termo generico, termo geral (ou n-esimo termo)q : razaon : numero de termosSn : soma dos termosPn : produto dos termos Formula do Termo Geral da P.G. an = a1 . qn-1 Produtos dos Termos de uma P.G. O produto dos 'n' termos de uma P.G. e dado por: ou Soma dos Termos da P.G.P.G. limitada (ou finita) ou P.G. ilimitada (ou infinita) decrescente Obs.: para -1 < q < 1 e o numero de termos tendendo ao infinito. Termo Medio de uma P.G.TM2 = a1.an Representacao de 3 termos na P.G.Para representar tres termos em P.G., sendo dado o produto dos termos, use: Exercicios - PROGRESSAO GEOMETRICA - P.G.Questoes1-) Escreva os cinco primeiros termos de cada P.G., sendo dados: a) a1 = 2 e q = 3Resposta: P.G. (2, 6, 18, 54, 162, ...) b) a1 = 3 e q = -1Resposta: P.G. (3, -3, 3, -3, 3, ...) c) a1 = -6 e q = 1/2Resposta: P.G. (-6; -3; -1,5; -0,75; -0,375; ...) ou (-6; -3; -3/2; -3/4; -3/8; ...) d) a1 = -2 e q = 5/4Resposta: P.G. (-2; -5/2; -25/8; -125/32; -625/128; ...) e) a1 = 7 e q = 0Resposta: P.G. (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...) f) a1 = q = 1Resposta: P.G. (1, 1, 1, 1, 1, ...) 2-) Calcule o valor do primeiro termo de uma P.G., sabendo que o quarto termo e -108 e a razao e q = 3. 3-) A soma do 2o com o 3o termo de uma P.G. vale 16 e o produto do 1o com o 3o e 16. Determine essa P.G. sabendo que ela e crescente. Resolucao:a2 + a3 = 16 (I)a1 . a3 = 16 (II)Fazer a3 = a1 . q 2 e substituir em (II).a1 . a1 . q 2 = 16a1 2 .q 2 = 16Extrair a raiz quadrada dos dois membros.a1 .q = 4a1 = 4/qSe a2 = a1 .qa2 = 4/q . qa2 = 4 Como a2 + a3 = 16, temos:a3 = 12q = a3 / a2 = 12/4 = 3Dai a1 = 4/qa1 = 4/3 Resposta: P.G. (4/3, 4, 12, ...) 4-) Interpole quatro meios geometricos entre 1/8 e 4. 5-) Interpole seis meios geometricos entre 1 e 2187. Resolucao:an = a1. qn-12187 = 1.q 8-12187 = 1.q 7Fatorando 2187, temos: 2187 = 37.Entao, 37 = q 7Se os expoentes sao iguais, as bases das potencias tambem sao iguais. Logo, q = 3a2 = a1 . q a3 = a2 . q a4 = a3 . q a5 = a4 . q a6 = a5 . q a7 = a6 . q P.G.(1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187) 6-) Uma pessoa aplicou R$ 8.000,00 a taxa de 2,5 por cento ao mes. Calcule por quanto tempo esse dinheiro deve ficar aplicado para que o montante seja de R$ 11.586,38. (Use log 1,025 = 0,0107 e log 1,4129732 = 0,1501.) 7-) Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (7, 14, ...). Resolucao:Sn =
a1. (qn-1) / q-1S6 = 7.(26-1) / 2-1S6 = 7.(64-1) / 1S6 = 7.63S6 = 441-)Questoes1-) Escreva os cinco primeiros termos de cada P.G., sendo dados: a) a1 = 2 e q = 3Resposta: P.G. (2, 6, 18, 54, 162, ...) b) a1 = 3 e q = -1Resposta: P.G. (3, -3, 3, -3, 3, ...) c) a1 = -6 e q = 1/2Resposta: P.G. (-6; -3; -1,5; -0,75; -0,375; ...) ou (-6; -3; -3/2; -3/4; -3/8; ...) d) a1 = -2 e q = 5/4Resposta: P.G. (-2; -5/2; -25/8; -125/32; -625/128; ...) e) a1 = 7 e q = 0Resposta: P.G. (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...) f) a1 = q = 1Resposta: P.G. (1, 1, 1, 1, 1, ...) 2-) Calcule o valor do primeiro termo de uma P.G., sabendo que o quarto termo e -108 e a razao e q = 3. 3-) A soma do 2o com o 3o termo de uma P.G. vale 16 e o produto do 1o com o 3o e 16. Determine essa P.G. sabendo que ela e crescente. Resolucao:a2 + a3 = 16 (I)a1 . a3 = 16 (II)Fazer a3 = a1 . q 2 e substituir em (II).a1 . a1 . q 2 = 16a1 2 .q 2 = 16Extrair a raiz quadrada dos dois membros.a1 .q = 4a1 = 4/qSe a2 = a1 .qa2 = 4/q . qa2 = 4 Como a2 + a3 = 16, temos:a3 = 12q = a3 / a2 = 12/4 = 3Dai a1 = 4/qa1 = 4/3 Resposta: P.G. (4/3, 4, 12, ...) 4-) Interpole quatro meios geometricos entre 1/8 e 4. 5-) Interpole seis meios geometricos entre 1 e 2187. Resolucao:an = a1. qn-12187 = 1.q 8-12187 = 1.q 7Fatorando 2187, temos: 2187 = 37.Entao, 37 = q 7Se os expoentes sao iguais, as bases das potencias tambem sao iguais. Logo, q = 3a2 = a1 . q a3 = a2 . q a4 = a3 . q a5 = a4 . q a6 = a5 . q a7 = a6 . q P.G.(1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187) 6-) Uma pessoa aplicou R$ 8.000,00 a taxa de 2,5 por cento ao mes. Calcule por quanto tempo esse dinheiro deve ficar aplicado para que o montante seja de R$ 11.586,38. (Use log 1,025 = 0,0107 e log 1,4129732 = 0,1501.) 7-) Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (7, 14, ...). Resolucao:Sn = a1. (qn-1) / q-1S6 = 7.(26-1) / 2-1S6 = 7.(64-1) / 1S6 = 7.63S6 = 441 Questao 1(UE PA) Um carro, cujo preco a vista e R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressao geometrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisicao desse carro?ver resposta Questao 2Sabendo que uma PG tem a1 = 4 e razao q = 2, determine a soma dos 10
primeiros termos dessa progressao.ver resposta Questao 3A sequencia seguinte e uma progressao geometrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8o termo dessa progressao. ver resposta Questao 4(Vunesp SP Adaptado)Varias tabuas iguais estao em uma madeireira. Elas deverao ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tabua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas ja estejam na pilha. Por exemplo:Determine a quantidade de tabuas empilhadas na 12a pilha.ver resposta RespostasResposta Questao 1an = a1 * q n1a2 = 4000a4 = 1000a2 = a1 * q4000 = a1 * qa1 = 4000 / qa4 = a1 * q31000 = 4000 / q * q31000 / 4000 = q3 / q1 / 4 = q21/4 = q2q = 1/2a1 = 4000 / 1/2a1 = 4000 * 2a1 = 80001a prestacao: R$ 8 000,002a prestacao: R$ 4 000,003a prestacao: R$ 2 000,004a prestacao: R$ 1 000,005a prestacao: R$ 500,00Soma total das prestacoes: R$ 15 500,00Entrada (valor do carro menos o total das prestacoes)R$ 24 000,00 R$ 15 500,00 = R$ 8 500,00O valor da entrada foi de R$ 8 500,00
Desafio 4 :Um numero possui tres vezes menos de divisores que o seu quadrado.Quantos divisores possui o numero?SolucaoSolucao : Divisores Chama-se Progressao Aritmetica PA a toda sequencia numerica cujos termos a partir do segundo, sao iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razao. Exemplos:A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razao = 4 (PA crescente)B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razao = 9 (PA crescente)C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razao = 0 (PA constante)D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razao = -10 ( PA decrescente) 3 - Termo Geral de uma PA Seja a PA generica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razao r. De acordo com a definicao podemos escrever:a2 = a1 + 1.r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r..................................................... Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n 1) . rA expressao an = a1 + (n 1) . r e denominada termo geral da PA.Nesta formula, temos que an e o termo de ordem n (n-esimo termo) , r e a razao e a1 e o primeiro termo da Progressao Aritmetica PA. Exemplos: Qual o milesimo numero impar positivo?Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razao r = 2 e queremos calcular o milesimo termo a1000. Nestas condicoes, n = 1000 e poderemos escrever:a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999. Portanto, 1999 e o milesimo numero impar. Qual o numero de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n. Substituindo na formula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ; logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos. Se numa PA o quinto termo e 30 e o vigesimo termo e 60, qual a razao?Temos a5 = 30 e a20 = 60. Pela formula anterior, poderemos escrever:a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;60 - 30 = 15r ; logo, r = 2. Numa PA de razao 5, o vigesimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?Temos r = 5, a20 = 8.Logo, o termo procurado sera: a3 = a20 + (3 20).5a3 = 8 17.5 = 8 85 = - 77. 4 - Propriedades das Progressoes Aritmeticas Numa PA, cada termo (a partir do segundo) e a media aritmetica dos termos vizinhos deste.Editado: Jonathan A. R. Tangram O Tangram e um antigo jogo solitario
chines. Ele e composto por sete pecas que se podem agrupar para formar um quadrado (quadrado original):- 5 triangulos;- 1 quadrado;- 1 paralelogramo.Repara que o triangulo menor e a unidade de area do quadrado original, sendo esta 16 vezes a area do triangulo menor. A diagonal do quadrado original e 4 vezes a altura do triangulo menor, seu lado 2 vezes a base ou 4 vezes a mediana da base do triangulo menor.O Tangram pode ser utilizado de duas formas distintas: ora como puzzle, ora como material de avaliacao de flexibilidade,de fluidez e de originalidade criativa.Na sua funcao de puzzle, o objectivo do jogo e reproduzir uma forma dada. As regras sao simples: temos que utilizar sempre a totalidade das pecas que devem ser dispostas numa superficie plana e sem sobrepo-las.Existem cerca de 2000 modelos diferentes, alguns extremamente dificeis, o que torna o Tangram um jogo ainda mais interessante! Estes modelos podem ser geometricos ou figurativos.A Associacao Atractor possui um artigo sobre o Tangram que, para alem de explicar as regras deste jogo, da-nos a possibilidade de jogar online e de conhecer as suas caracteristicas matematicas. Para aceder a pagina referida, clique aqui.