arcos congruos?Marcar no circulo trigonometrico as extremidades dos arcos de medidas x=2k/3, onde k e um numero inteiro.Marcar no circulo trigonometrico as extremidades dos arcos de medidas x=/4+2k/3, onde k e um numero inteiro.cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)podemos dividir a expressao de cima pela de baixo, para obter:tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b) Matematica Essencial: Alegria Financeira Fundamental Medio Geometria Trigonometria Superior Calculos Trigonometria: Resolucao de triangulos Resolucao de triangulosLei dos Senos Lei dos CossenosArea de um triangulo (Heron) Resolucao de triangulosOs elementos fundamentais de um triangulo sao os seus lados, os seus angulos e a sua area, resolver um triangulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Conhecendo-se tres entre estes elementos podemos usar as relacoes metricas ou as relacoes trigonometricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas relacoes estao expostas na sequencia. Lei dos SenosSeja um triangulo qualquer, como o que aparece na figura ao lado, com lados a, b e c, que sao os lados opostos aos angulos A, B e C, respectivamente. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do angulo oposto a este lado e uma constante igual a 2R, em que R e o raio da circunferencia circunscrita ao triangulo, isto e:asen(A)=bsen(B)=csen(C)=2RDemonstracao: Para simplificar as notacoes iremos denotar o angulo correspondente a cada vertice pelo nome do vertice, por exemplo para o triangulo de vertices ABC os angulos serao A, B e C respectivamente, assim quando escrevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do angulo correspondente ao vertice A.Seja ABC um triangulo qualquer, inscrito numa circunferencia de raio R. Tomando como base do triangulo o lado BC, construimos um novo triangulo BCA', de tal modo que o segmento BA' seja um diametro da circunferencia. Este novo triangulo e retangulo em C.Temos tres casos a considerar, dependendo se o triangulo ABC e acutangulo, obtusangulo ou retangulo.Triangulo acutangulo: Os angulos correspondentes aos vertices A e A' sao congruentes, pois sao angulos inscritos a circunferencia que correspondem a um mesmo arco BC. Entao:sen(A')=sen(A)=a2Risto e,asen(A)=2RRepetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientesbsen(B)=csen(C)=2RTriangulo obtusangulo: Se A e A' sao os angulos que correspondem aos vertices A e A', a relacao entre eles e dada por A'=-A, pois sao angulos inscritos a circunferencia correspondentes a arcos replementares BAC e BA'C. Entaosen(-A)=a2R=sen(-A)isto e,asen(A)=2RRepetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientesbsen(B)=csen(C)=2RTriangulo retangulo: Como o triangulo ABC e um triangulo retangulo, e imediato quesen(B)=ba, sen(C)=ca e sen(A)=sen(/2)=1Como, neste caso a=2R, temos,asen(A)=bsen(B)=csen(C) Lei dos CossenosEm um triangulo qualquer, o quadrado da medida de um lado e igual a diferenca entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do angulo formado por estes lados.a2 = b2 + c2 - 2bc cos(A)b2 = a2 + c2 - 2ac cos(B)c2 = a2 + b2 - 2ab cos(C)Demonstracao: Temos tres casos a considerar, dependendo se o triangulo ABC e acutangulo, obtusangulo ou retangulo.Triangulo retangulo: Se o triangulo ABC e retangulo, com angulo reto no vertice A. A relacaoa2 = b2 + c2 - 2bc