realizado na Inglaterra (Frydman e Bryant, 1988) demonstrou que apenas 40% das criancas de 4 anos sabem responder quantas figurinhas Paulo tem sem conta-las. Uma das ideias basicas para se compreender a natureza da representacao numerica e que quantidades equivalentes sao representadas pelo mesmo numero, porem muitas criancas ainda nao descobriram a importancia da equivalencia. Portanto, e essencial que na pre-escola a crianca tenha a oportunidade de pensar sobre a funcao representativa dos numeros e a importancia da equivalencia nesse contexto. Outra situacao interessante refere-se a escolha do numero que representa a quantidade apos a contagem. Quando ensinamos as criancas a contar, basicamente lhes ensinamos uma rotina que envolve o uso da correspondencia um a um e o uso do ultimo rotulo numerico para representar o conjunto. Elas aprendem isso relativamente bem e sao capazes inclusive de identificar os erros cometidos por um fantoche manipulado por um adulto que, por exemplo, contou o mesmo objeto duas vezes. Contudo, nem sempre compreendem que, se o boneco errou na contagem, o rotulo que o fantoche usar para representar a quantidade nao representa o numero de objetos no conjunto. Algumas criancas pensam que o numero que o fantoche disse representa corretamente a quantidade, mesmo que o fantoche tenha contado errado (Freeman, Antonuccia e Lewis, 2000). Essa e outra questao a ser explorada com criancas pre-escolares com o objetivo de ajuda-las a pensar sobre a natureza da representacao numerica: quando o fantoche contou um mesmo objeto duas vezes, qual sera o numero de objetos no conjunto?Outras situacoes interessantes para se explorar a natureza da representacao numerica envolvem variacoes em relacao aos erros na contagem. Se o fantoche pular um objeto durante a contagem e terminar a contagem no numero 7, quantos objetos esse conjunto tem? A deducao de que sao 8 objetos e necessaria para uma crianca que compreende a natureza da representacao numerica em nosso sistema de contagem. Porem, muitas criancas nao conseguem chegar a nenhuma conclusao quanto ao numero certo de objetos, mesmo tendo identificado o erro do fantoche durante a contagem. E se o fantoche contar usando a correspondencia corretamente, mas comecar a contagem a partir do numero dois? A que conclusao as criancas chegam quando se pergunta quanto objetos ha no conjunto? Outra variacao interessante explorada em estudos recentes foi usar um fantoche que contava de tras para frente. Por exemplo, dado um conjunto com 4 objetos, o fantoche apontava para os objetos e dizia 4, 3, 2, 1. A que conclusao as criancas chegam quando o fantoche conta de tras para frente? E se o conjunto tiver 4 objetos e o fantoche comecar contando 5, 4, 3, 2? Diferentes pesquisadores (Bermejo, Morales e deOsuna, 2004) mostram que refletir acerca do processo de contagem sob a orientacao de um adulto influencia positivamente o desenvolvimento da compreensao da natureza da representacao numerica. Apos refletir sobre uma situacao - por exemplo, a contagem a partir do numero 2 -, as criancas demonstravam ser capazes de deduzir corretamente o numero de objetos em outra situacao - por exemplo, quantos objetos ha no conjunto quando o