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Temos um novo blog de matematica na area, chamado Uniao do Blogs de Matematica, este blog nada mais e do que o conjunto dos blogs de matematica, mas sendo ele um blog de matematica, ele deveria conter a si mesmo? Ops!!! "Uniao" e uma das palavras que sempre me fizeram sentir o mundo como um lugar melhor. Acredito que a uniao entre as pessoas e uma das chaves para melhorar o mundo, melhorar a rotina, melhorar as relacoes entre as pessoas, enfim, melhorar tudo. Para mim foi uma surpresa a criacao deste blog que unia os blogs matematicos, este foi um ato que simplesmente mudou minha vida para uma vida melhor, nao porque vai ajudar meu blog, ou vai me facilitar a achar conteudos matematicos de outros blogs, mas porque me mostrou que os matematicos estao realmente de maos dadas por uma causa maior, que e a propria matematica! A criacao deste blog foi uma ideia muito feliz, e eu espero que ela seja o inicio de uma boa fase para os blogueiros e para todos aqueles que se interessam por matematica. Considero um grande problema o fato de a matematica ser tao odiada por tantos estudantes, e acho que isso se deve muito ao modo como ela e ensinada nas escolas. Com os blogs temos uma maneira diferente de mostrar como a matematica pode ser interessante e ate divertida, neste sentido, esta uniao dos blogs pode vir a ser algo de enorme valor futuramente. Estou muito agradecido por estar aqui presenciando este momento e por estar me filiando a este blog tambem. Vida longa a UBM e a todos os blogs matematicos! Agora temos apenas 33 casos para analisar na primeira pesagem, e isso pode ser feito "na forca bruta", quero dizer, a pessoa pode fazer um caso de cada vez e ir vendo quais deles sao bons e quais nao sao. A forca bruta de fato e usada muitas vezes para resolver diversos problemas na matematica, e nao apenas na matematica, mas em diversas areas. Mas a forca bruta esta longe de ser um modo inteligente de resolver as coisas, isso porque ela resolve as coisas do modo mais lento possivel e porque nao se exige muito raciocinio elaborado para usa-la. Quando nos usamos a inteligencia, nos somos capazes de entender e descobrir atalhos para a solucao de algum problema, foi usando a inteligencia que chegamos a 33 casos para analisar quando originalmente se tem 5040 casos, imagine fazer os 5040 casos um por um, isso seria usar a forca bruta, pouca inteligencia e muito esforco.Entao a partir de agora vamos fazer um pacto, vamos sempre procurar resolver as coisas do modo mais inteligente que pudermos, se voce fizer isso, ja esta dando um passo importante na sua vida, seja como matematico ou nao. De qualquer maneira, como vamos resolver esse problema com a inteligencia? O que podemos fazer agora? Aquelas filtragens que eu disse antes eram bem legais, mas elas nao filtraram tudo, e agora parece que esta bem dificil ver algo para ser filtrado, mas de fato ainda
existe mais uma coisa. Essa ultima filtragem que e a filtragem magica, ela e que traz a tona o que e um pensamento inteligente, um pensamento elegante. Acredite, existe beleza nos pensamentos, nao e so em musica, pintura, etc. Na verdade, pois mais que seja dificil de acreditar, existe criatividade em matematica, e ela de fato pode ser vista como um tipo de arte. Para comecar, de uma olhada no desenho abaixo:Nesse desenho eu comparei a pesagem de 4 perolas com todas as que estao abaixo de 4. E aqui deu pra constatar que o lado onde tem 4 perolas sempre e mais pesado. Se eu tivesse comparado um lado com 3 perolas e o outro com menos de 3, tambem ia dar que o lado de 3 sempre estaria mais pesado. Ja deu pra ver aonde quero chegar?Eu nao vou fazer todos os casos, mas o que quero mostrar e que se voce colocar mais pedras de um lado, esse lado vai ser mais pesado, nao importa se a pedra mais leve esta ali ou nao. Parece obvio demais? Pode ser que sim, agora que foi dito. Mas antes de ser dito, nao era obvio, e a questao toda e essa: conseguir enxergar esse tipo de coisa obvia. Se pra alguem ainda nao esta claro, vou explicar o porque.Se no lado direito temos n+1 perolas, no lado esquerdo temos no maximo n perolas ( tem que ser assim porque o lado direito tem que ter mais perolas que o esquerdo ). Eu disse antes que o lado que tem mais perolas sempre e mais pesado que o outro lado, entao vou forcar um pouco a barra e colocar a perola mais leve do lado direito pra ver se consigo fazer o esquerdo passar. Um desenho disso seria algo assim:Acontece que as n perolas de cada lado se igualam, e no lado direito entra a mais leve, e acaba que ele fica um pouco mais pesado. Como eu fiz o maximo possivel pro esquerdo passar o direito e nao consegui, e porque nao tem como mesmo, sempre que um lado tiver mais pedras ele vai ficar mais pesado que o outro.As vezes muitas coisas obvias passam sem ninguem percebe-las, ate matematicos podem deixar coisas simples passar sem percebe-las. O segredo para voce conseguir perceber melhor essas coisas e simples: pratica, pratica e pratica. Coloque a cabeca pra funcionar, procure resolver qualquer problema da sua vida de modo inteligente, procure resolver enigmas, sudoku, palavras cruzadas, enfim, pratique atividades mentais diversas. E se voce quer ficar bom em alguma area em particular, pratique bastante coisas ligadas a essa area. Nao existem barreiras intransponiveis, nao existe inferioridade mental, nem ninguem esta destinado a ser burro. Quem quer ficar bom em alguma coisa, tem que acreditar que pode, e correr atras.Nossa! Mas isso nao e uma coisa tao obvia? Acho que nao estou falando nenhum segredo aqui, todo mundo sabe que quem quer algo tem que acreditar e correr atras. Entao, se alguem acha que e incapaz, pode ir parando por ai, porque nao e. Afinal,
se voce fosse incapaz, teu cerebro nao ia reduzir 5040 possibilidades pra 33. A verdade e que todos nos temos um instinto matematico, nos nascemos com isso, e quem quiser pode desenvolver, em outras palavras, nao e questao de poder ou nao, e questao de querer ou nao.
"Ola" para todos os leitores! Estamos de volta para continuar o assunto que comecamos ha alguns meses atras.Eu queria provar que "se a e menor que b e b e menor que c, entao a e menor que c", que e uma afirmacao que fica mais clara se escrevermos "se a < b e b < c, entao a < c". Vimos tambem o que significava um numero ser menor que outro, em termos matematicos, e como verificar isso matematicamente.Entao vamos la, dizer que o numero a e menor que b significa que existe um numero p de modo que a + p = b, e b ser menor que c, significa que existe um outro numero, que vou chamar de q, de modo que b + q = c. Lembre-se que tanto p quanto q devem ser positivos.Vou mostrar que a partir destas hipoteses e necessario acontecer a < c, e vou fazer isso por dois caminhos diferentes:1o caminho: nossas duas hipoteses sao as duas equacoes a + p = b e b + q = c. Pegue a primeira equacao e some o numero q nos dois lados, ficamos entao coma + p + q = b + q. Sabemos que b + q e igual a c, por causa da segunda hipotese, entao podemos trocar b + q por c, e assim ficamos com a + p + q = c. Posso fazer p + q = r, ai ficamos com a + r = c, como r e um numero positivo ( pois e a soma de dois positivos ), podemos concluir que o numero a e menor que o numero c, ou seja, a < c, e isso era justamente o que esperavamos concluir.2o caminho: podemos isolar b na equacao b + q = c, ficando com b = c - q, pegamos este resultado e substituimos na equacao a + p = b, ai ficamos com a + p = c - q, jogando q para o outro lado temos que a + p + q = c. Fazemos a substituicao p + q = r, ai ficamos com a + r = c. Como r e positivo, temos que a e menor que c, ou seja, a < c.Claro que estes nao sao os dois unicos modos de se provar esta afirmacao, mas sao dois modos simples, o que e o suficiente para nos neste momento. Espero tudo ate agora esteja claro, caso contrario, escreva um comentario para que eu possa esclarecer melhor o que foi feito.Bom, este exemplo foi simples e intuitivo o suficiente para que qualquer um conseguisse prever a conclusao antes mesmo de eu prova-la ( mas ainda assim tivemos que usar diversas letras, o que pode ter sido um pouco trabalhoso para o leitor pouco acostumado a matematica neste nivel de abstracao ). Isso foi proposital, e eu fiz isso apenas como um passo inicial, para mostrar como estas nocoes simples podem ir longe com um pouco de esforco, paciencia, engenhosidade e criatividade ( sim, existe criatividade na matematica, mais do
que muita gente imagina ).Vou dar uma parada por aqui, na proxima vez iremos dar o proximo passo e ver o que mais podemos fazer a partir destas nocoes simples.Um Abraco!
Hoje vou falar um pouco sobre o pensamento matematico em si. Como funciona o pensamento de um matematico? Quais sao as diferencas entre o pensamento de um matematico e o de uma pessoa comum?Para responder essas perguntas vou abordar um problema de raciocinio que pode ser entendido por qualquer um, e com isso vamos ver como cada um pensa.O problema e o seguinte: eu te mostro 7 perolas, sendo que elas aparentemente sao iguais. Entao eu te digo que entre as 7 perolas, 6 tem o mesmo peso, e uma e mais leve que todas as outras. Ate ai tudo bem, ne? O desafio e achar qual e a perola mais leve, mas isso e facil, e so colocar na balanca. Pois bem, o desafio de fato vem agora, nesse problema a unica balanca que voce tem e aquela balanca de dois pratos, e voce so pode fazer duas pesagens com a balanca. Entao, como que voce consegue descobrir qual a perola mais leve com estas condicoes?Eu ja passei este problema para muitas pessoas e ja vi muitas reacoes. E possivel agrupar as pessoas de acordo com alguns simples criterios:1 tipo de pessoa: Aquela que tenta resolver o problema.2 tipo de pessoa: Aquela que nao tenta resolver o problema.Acredito que ninguem vai discordar desse meu modo de classificar as pessoas. Para evitar muitas variantes, vamos supor que as pessoas nao estao com outros compromissos, ou com pressa, ou qualquer coisa semelhante, assim as pessoas do 2 tipo sao aquelas que nao tentam pela propria vontade, isto e, elas nao querem mesmo!Esses dois tipos de pessoas possuem subdivisoes:1 tipo de pessoa: a) Aquela que tenta e resolve.b) Aquela que tenta e nao resolve.2 tipo de pessoa: a) Aquela que nao quer tentar resolver o problema porque acha que nao consegue.b) Aquela que nao quer tentar por qualquer outro motivo.Ainda acredito que este tipo de classificacao nao gera nenhuma discordancia e que cobre todas as possibilidades. Agora vou fazer uma nova classificacao e vou juntar essa com a anterior:1 tipo de pessoa: Aquela que tem capacidade para resolver o problema.2 tipo de pessoa: Aquela que nao tem capacidade para resolver o problema.Quando digo que a pessoa nao tem capacidade de resolver o problema, quero dizer o tipo de pessoa que realmente nunca vai entender como resolver por causa de incapacidade cerebral mesmo. Tem o tipo de pessoa que nao resolveu mas entende a solucao depois de explicada, esta pessoa e do 1 tipo, ela tem capacidade de aprender este problema e resolve-lo depois. Gostaria tambem de ressaltar que a grande maioria das pessoas e do 1 tipo, ou seja, a maioria e capaz de entender a solucao e resolver o problema depois se quiser, mas um grande problema esta no fato de uma grande maioria se encaixar tambem no 2 tipo de pessoa da classificacao anterior, ou seja, a maioria apesar de ser capaz nao quer tentar resolver o problema. Muitos por se acharem incapazes, outros por acharem que nao tem como, ou nao gostarem, ou por ter preguica, ou qualquer outro motivo pessoal.
Bom aqui vem a primeira diferenca entre um pensamento matematico e um pensamento comum, a questao nao e que o matematico seja mais inteligente, ele simplesmente nao e travado por achismos ou por gostos pessoais ou preguica ou qualquer motivo pessoal, ele simplesmente ve um problema e tenta de verdade achar uma solucao do melhor modo que puder.Essas sao as principais diferencas das pessoas do 2 tipo da primeira e da segunda classificacao em relacao a um matematico, agora vamos falar sobre as diferencas das pessoas do 1 tipo da primeira classificacao, ou seja, aquelas que tentam resolver o problema. Bom, supondo que essa pessoa tenha capacidade cerebral para resolver o problema, ela pode ainda assim resolve-lo ou nao, mas independente disso, se alguem lhe explicar ela entendera e podera resolver sozinha depois o problema. Eu nao posso afirmar isso com 100% de garantia, mas para mim todos os matematicos podem resolver esse problema se assim quiserem, porque mesmo que um matematico tivesse dificuldades em resolver ele tentaria ate a exaustao, e essa e outra caracteristica de um matematico, a persistencia. Mesmo um problema parecendo impossivel, o matematico so ficaria tranquilo depois que provasse que ele e impossivel, se esse fosse o caso. Um problema que voce nao sabe resolver e nao sabe se pode ser resolvido ou nao e uma questao em aberto, e toda questao em aberto sera atacada pelos matematicos ate que ela seja resolvida de vez, isso e a mais pura verdade, tanto que existiram e existem problemas matematicos que tem centenas de anos de vida. A persistencia em resolver os problemas vai alem de uma unica vida, e aqueles que nao resolveram durante sua vida um problema, atacaram-o do melhor modo que puderam, e todas suas conclusoes foram passadas para a geracao seguinte, como uma corrida de revezamento, so que o fim dessa corrida ninguem sabe onde e, mas continuamos correndo, e assim continuaremos ate o fim dos tempos.Em geral os matematicos estao entre as pessoas do 1 tipo da primeira e da segunda classificacao, mas existem pessoas que estao nesse mesmo grupo de pessoas e nao sao matematicos, inclusive muitas podem resolver o problema tranquilamente e nao serem matematicos. Quem sao essas pessoas? Pode-se pode se dizer que essas pessoas sao como matematicos, mas normalmente elas concentram suas capacidades em outros assuntos, e provavelmente sao tao esforcadas quanto um matematico, nao existe nem mais nem menos inteligente.Bom, mas o que diferencia o pensamento do matematico dessas pessoas? Existe diferenca mesmo? Se elas tem a mesma capacidade porque nao pensam igual?Aqui nos comecamos a explorar coisas que vao muito alem das classificacoes iniciais, vamos nos aprofundar um pouco mais. Uma coisa que diferencia um matematico de outras pessoas inteligentes e a questao de solucionar um problema. Normalmente pessoas inteligentes se satisfazem resolvendo um problema, ja o matematico nao se satisfaz apenas com isso, na verdade, ele pode considerar a solucao como algo de menor importancia, o que importa para o matematico e compreender a alma das coisas, entender ao maximo tudo sobre aquele problema, desde coisas minimas
ate as mais gerais. Depois de tudo compreendido a solucao vem como uma curiosidade a mais, apenas mais um fato entre tantos. Pode-se dizer que o matematico e um explorador, ele explora estruturas, relacoes, causas e consequencias, etc. Mas isso faz do matematico mais inteligente que os outros? Certamente que nao, a ferramenta maxima do matematico e sua mente, por isso ele e associado a inteligencia, mas nada impede que um profissional de qualquer outra area tenha o mesmo interesse em se aprofundar nos problemas de sua area assim como o matematico faz. Entretanto, convem ressaltar aqui um fato, maximo rigor e maximo aprofundamento mental sao regras na matematica, algo que nao acontece em qualquer area, dependendo mais da pessoa que de sua area de trabalho.Para quem nao sabe, vou dizer o que significa esse rigor e aprofundamento na matematica:Rigor: Todos os seus pensamentos (sem nenhuma excecao) a respeito de alguma coisa tem que ser explicitados, e todos eles devem estar absolutamente corretos. Ou seja, toda acao que voce toma tem que ser mostrada e voce tem que provar que ela esta certa. Desde as coisas minimas ate coisas mais complicadas, nesse sentido, nada passa em branco na matematica, nada mesmo!Aprofundamento: Todos os assuntos abordados sao explorados, revirados e dissecados ao maximo possivel. E mesmo tendo se esforcado ao maximo para se aprofundar, sempre ha chance de algo ter passado despercebido.Por causa do rigor, o matematico so vai anunciar como sendo verdadeiro o que esta de fato provado ser verdadeiro, e por causa do aprofundamento, o matematico sempre vai voltar a coisas ja provadas tentando achar alguma coisa nova. Nao existe bom-senso, estimativas, estatisticas ou qualquer outro tipo de coisa duvidosa em matematica, se algo de natureza duvidosa aparece, esse fato e explicitado para nao gerar confusao.Para aqueles que ainda tem duvida sobre essas diferencas, no proximo post vou esclarecer tudo com um grande exemplo!
Da ultima vez, nos vimos que se a e menor que b e b e menor que c, entao a e menor que c, ou de modo mais matematico, se a < b e b < c, entao a < c.Esta afirmacao matematica, nao apenas e intuitiva, mas tambem e facil de se provar, e nos fizemos isso de duas maneiras diferentes. Existem outras afirmacoes matematicas, que tambem sao bastante intuitivas, todos nos usamos sem perceber durante toda a vida na escola, e ate fora dela. Vou colocar algumas delas abaixo.Considere tres numeros, a, b, c.ADICAO MULTIPLICACAOa + ( b + c ) = ( a + b ) + c a ( b c ) = ( a b ) ca + 0 = a a 1 = aa + (- a) = 0 a 1/a = 1 ( a nao pode ser zero neste caso)a + b = b + a a b = b a ADICAO E MULTIPLICACAOa ( b + c ) = a b + a c Concordo que pra quem nunca viu isso antes, pode parecer uma tabua de mandamentos matematicos. Mas aos ceticos, recomendo que facam testes a vontade, procure por contradicoes, tentem ao maximo. Depois de muito testar, alem de nao encontrar nenhuma contradicao, voces vao perceber que estas afirmacoes sao coisas obvias que sempre foram tomadas como verdade enquanto voces faziam contas na escola. Algumas delas, como a + 0 = a, sao obvias demais para merecerem ser testadas.A beleza matematica reside no fato de que praticamente tudo que nos vimos de matematica na escola, se baseia apenas nestes "mandamentos", voce nao precisa de mais nada, esta e a origem de tudo! Voce pode literalmente esquecer tudo a respeito de PA, PG, log, exponenciacao, raizes, fracoes, etc. Nao importa, se voce tiver em mente este pequeno pacote de mandamentos, e possivel descobrir tudo sozinho, como se voce estivesse criando a matematica novamente.Estes "mandamentos", sao o que os matematicos chamam de "axiomas". Os axiomas sao as afirmacoes iniciais, sao o ponto de partida para criar matematica. Qualquer teorema que existe tem os axiomas como ponto de partida. Uma coisa interessante dos axiomas e que apesar de serem naturais e intuitivos, eles nao sao provados, entao neste sentido, voce pode mesmo ve-los como mandamentos.Como exemplo, vou mostrar como descobrir um teorema a partir dos axiomas acima.Talvez alguem tenha notado que nao coloquei uma afirmacao extremamente obvia como axioma, estou falando de a 0 = 0. Se eu nao coloquei esta afirmacao junto com os outros axiomas, entao deve ser possivel concluir ela a partir dos axiomas, vamos la.Eu sei que "a ( b + c ) = a b + a c" e um axioma, nao importa quais sejam os numeros, entao eu posso fazer b = 0 e c = 1, o que sera que sai disso? a 0 + a 1 = a ( 0 + 1 ) Axioma de Adicao e Multiplicacao a ( 0 + 1 ) = a ( 1 ) Resolvendo 0 + 1, que e igual a 1,
pelo axioma a + 0 = a a ( 1 ) = a 1 Retirando os parenteses a 1 = a Axioma de Multiplicacao a 1 = aEu comecei em a 0 + a 1 e cheguei ate a, atraves de igualdades e usando os axiomas, entao estas duas expressoes sao iguais. a 0 + a 1 = aUsando o axioma de multiplicacao a 1 = a, a equacao fica assim:a 0 + a = aEu posso adicionar -a nos dois lados da equacao, e a coisa fica assim:( a 0 + a ) + (-a) = a + (-a) a 0 + ( a + (-a) ) = a + (-a) Primeiro Axioma de Adicao no lado esquerdo a 0 + 0 = 0 Axioma de Adicao a + (- a) = 0 nos dois lados a 0 = 0 Axioma de Adicao a + 0 = a no lado esquerdoPronto! Provamos que a 0 = 0, usando os axiomas dados no inicio. E e assim que a matematica funciona. Cada pequeno passo e justificado, de modo que nao ha duvidas de que ele seja valido. Por isso quando alguem afirma que a 0 = 0, e porque e isso mesmo, esta provado, e irrefutavel. E claro, a partir de agora podemos usar este fato como se fosse um axioma se quisermos provar outra coisa futuramente. Quanto mais fatos formos provando, mais vamos nos distanciando dos axiomas, ate que chega a um ponto em que voce nem mais usa os axiomas. A ideia e justamente essa, nos partimos de uma base segura, que sao os axiomas, e dali vamos andando, cada vez para mais longe, cada vez mais alto, entrando em mundos fantasticos, onde ninguem poderia imaginar que seria possivel chegar ao ver aqueles axiomas tao simplorios e inocentes.Espero ter dado uma ideia de como as coisas funcionam, e espero que tenha sido interessante ver as coisas neste nivel.Note que ainda falta rigor na minha prova dada acima. Vou deixar algumas perguntas em aberto, propositalmente, para fazer voce pensar, refletir, quem sabe filosofar um pouco, e espero que se empolgue para se aprofundar na matematica, assim como eu e tantos outros fazem por ai.1) Quando eu disse "Considere tres numeros, a, b, c". O que eu quero dizer com "numeros" ?O que sao numeros?2) Na primeira linha da prova de a 0 = 0, eu coloquei "a 0 + a 1 = a ( 0 +1 )" e disse que usei o axioma de multiplicacao e adicao. Mas eu escrevi a igualdade ao contrario, voce notou?O que eu deixei implicito e a seguinte afirmacao "se A = B, entao B = A", mas por que isso e valido? Caso queira pesquisar, comece vendo a logica da Antiga Grecia.3) O inicio da prova foi feita atraves de uma sequencia de igualdades, que posso resumir como "a 0 + a 1 = a ( 0 + 1 ) = a ( 1 ) = a", dai eu conclui que a 0 + a = a. Mas por que em uma sequencia de igualdades
a primeira expressao pode ser igual a ultima? Esta questao tambem tem a ver com a logica da Antiga Grecia.4) Eu usei parenteses do inicio ao fim, mas como funcionam os parenteses? Eu simplesmente deixei implicito que todos entendem como funciona, e tenho certeza de que quando escrevi "( a 0 + a ) + (-a) = a + (-a)" algumas pessoas podem ter estranhado.5) Eu disse que "posso adicionar -a nos dois lados da equacao", mas sera que posso mesmo? Por que eu posso? Isso pode ser provado a partir dos axiomas, e eu nao provei de proposito. Voce notou esse buraco que eu deixei?Encerro por aqui a saga "Como a matematica funciona", deixando alguns deveres de casa.Boa diversao!