Nesta postagem, veremos que:\begin{equation*}\int \frac{x}{ax+b}dx = \frac{1}{a^2} \left(ax -b \ln \left|ax+b \right| \right)+C\end{equation*}onde $a$ e $b$ sao constantes $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq 0$.Seja a integral:\begin{equation*}I = \int \frac{x}{ax+b} dx\end{equation*}Reescrevemos o integrando como:\begin{equation*}I = \int \left(\frac{1}{a}-\frac{b}{a(ax+b)}\right) dx\end{equation*}Integrando termo a termo:\begin{equation*}I = \frac{1}{a} \int dx - \frac{b}{a} \int \frac{1}{ax+b} dx\end{equation*}Para o integrando $\cfrac{1}{ax+b}$, fazemos a substituicao $u = ax+b$. Assim, $du = a~dx$ e $dx = \cfrac{1}{a}du$:\begin{equation*}I = \frac{1}{a} \int dx - \frac{b}{a} \int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{a} du \\\ \\I = \frac{1}{a} \int dx - \frac{b}{a^2} \int \frac{1}{u} du\end{equation*}A integral de $1$ e $x$ e a integral de $\cfrac{1}{u}$ e $\ln (u)$. Assim:\begin{equation*}I = \frac{x}{a} - \frac{b}{a^2} \ln (u)+C \\\ \\I = \frac{ax - b \ln (u)}{a^2} + C\\\ \\I = \frac{1}{a^2}\left( ax-b \ln (u)\right)+C\end{equation*}Mas $u = ax+b$, assim:\begin{equation}I = \frac{1}{a^2} \left(ax - b \ln |ax+b|\right) + C\end{equation}Exemplo $1$:Encontrar a area entre as curvas $f(x)= \cfrac{x}{x+1}$ e $g(x)=\cfrac{x}{3x+2}$, compreendida no intervalo $[0,1]$.A area desejada e a diferenca entre as areas das duas curvas. Para o calculo dessas area, utilizamos o conceito de integral definida com limite inferior igual a $0$ e superior igual a $1$, de modo que: \begin{equation*}A = \int_0^1 \frac{x}{x+1}dx - \int_0^1 \frac{x}{3x+2}dx\end{equation*}Utilizamos a formula obtida em $(1)$.\begin{equation*}A = \left[ \left(x - \ln |x+1|\right) \right]_0^1 - \left[ \frac{1}{9} \left(3x - 2 \ln |3x+2|\right)\right]_0^1\\\ \\A = \left[ 1- \ln (2) + \ln (1)\right] - \left[ \frac{3-2\ln(5)+2\ln(2)}{9}\right]\\\ \\A \approx 0,177~\text{unidades de area} \end{equation*} Exemplo $2$:Encontrar a area compreendida entre as curvas $f(x)=\cfrac{x}{2x+0,2}$ e $g(x)=\cfrac{x}{2-0,25 x}$, sendo o limite inferior igual a $0$ e o limite superior o ponto de interseccao entre as duas curvas no quadrante onde $x$ e $y$ sao positivos.Comecamos escrevendo as funcoes como:\begin{equation*}f(x) = \frac{5x}{10x+1} \quad \text{e} \quad g(x) = \frac{4x}{8-x}\end{equation*}Para encontrarmos os ponto de interseccao entre as duas curvas, fazemos $f(x)=g(x)$ e calculamos o valor de $x$:\begin{equation*}\frac{5x}{10x+1} = \frac{4x}{8-x}\\\ \\5x(8-x) = 4x(10x+1)\\\ \\45x^2-36x = 0\\\ \\x(45x-36)=0\\\ \\x_1=0 \quad \text{e} \quad x_2 = \cfrac{4}{5}\end{equation*}Desta forma, os limites de integracao serao $0$ e $4/5$, e a area desejada sera a diferenca das areas de $f(x)$ e $g(x)$, dada pela diferenca das integrais definidas:\begin{equation*}A = \int_0^{4/5}\frac{x}{2x+\frac{1}{5}}dx - \int_0^{4/5}\frac{x}{2-\frac{x}{4}} dx\end{equation*}Para a primeira integral, temos que $a=2$ e $b=1/5$. Para a segunda integral, temos $a=-1/4$ e $b=2$. Assim, aplicando a formula encontrada em $(1)$:\begin{equation*}A = \left[ \frac{1}{4}\left(2x-\frac{1}{5}\ln\left|2x+\frac{1}{5}\right| \right) \right]_0^{4/5} - \left[16\left( -\frac{x}{4}-2\ln \left|-\frac{x}{4}+2\right|\right)\right]_0^{4/5}\end{equation*}Aplicando os limites em $x$:\begin{equation*}A=\left[ \frac{1}{4}\left( \frac{8}{5}-\frac{1}{5}\ln\left(\frac{9}{5}\right) \right) -\frac{1}{4}\left( -\frac{1}{5}\ln\left(\frac{1}{5}\right) \right) \right] - \\\ \\\left[ 16\left( -\frac{1}{5}-2\ln\left(\frac{9}{5}\right) \right) - 16\left( -2\ln(2) \right) \right]\ \\A \approx 0,1186 ~\text {unidades de area}\end{equation*}Veja mais:Lista de resolucao de integrais Integracao por substituicaoIntegracao por partes O blog O Baricentro da Mente, desde sua criacao em novembro de $2008$, chegou a marca de $5,3$ milhoes de visualizacoes neste mes de dezembro.Neste ano de $2016$ o blog teve cerca de $1.300.000$ paginas visualizadas, $10\%$ a mais que o ano anterior (obrigado!), cerca de $250$ comentarios e inumeros e-mails e mensagens pelo formulario de contato. Essas visualizacoes foram distribuidas nos $472$ artigos contidos no blog, sendo $14$ (apenas) publicados em $2016$.A fa-page no Facebook, atualmente esta com $20.000$ seguidores, sendo que $8.000$ novas curtidas da pagina foram em $2016$.Faremos uma retrospectiva