f(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}=0,\quad\forall\ \theta\in\mathcal{D}(0,T),\;v\in V$$donde$$\big\langle u'(\cdot)+\nu Au(\cdot)+B(u(\cdot),u(\cdot))-f(\cdot),\theta\big\rangle =0\quad\text{em}\quad V',\qquad\forall\ \theta\in\mathcal{D}(0,T).$$Isto implica que$$u'(\cdot)+\nu Au(\cdot)+B(u(\cdot),u(\cdot))-f(\cdot)=0\quad\text{em}\quad \mathcal{D}'(0,T;V').$$Por hipotese, $f(\cdot)\in L^2(0,T;V')$. Ja vimos que $u\in L^2(0,T;V)$ e $u'\in L^2(0,T;V')$. Como $A:V\to V'$ e limitado, segue que $Au(\cdot)\in L^2(0,T;V')$. Do Lema 2.10, $B(u(\cdot),u(\cdot))\in L^2(0,T;V')$. Logo, a ultima igualdade vale em $L^2(0,T;V')$ e pode ser reescrita como$$u'(\cdot)+\nu Au(\cdot)+B(u(\cdot),u(\cdot))=f(\cdot)\quad\text{em}\quad L^2(0,T;V')$$donde$$u'(t)+\nu Au(t)+B(u(t),u(t))=f(t)\quad\text{em}\quad V',\qquad\text{q.s. em}\quad [0,T].$$UnicidadeSejam $u,\tilde{u}\in L^\infty(0,T;H)\cap L^2(0,T;V)$ duas solucoes do problema (2.12) com $u',\tilde{u}'\in L^2(0,T;V')$. Entao, de (2.30), a funcao $w:=u-\tilde{u}$ satisfaz$$\left\{\begin{aligned}&w'(t)+\nu Aw(t)+B(u(t), u(t))-B(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t))=0\quad\text{em}\quad V',\text{ q.s. em }[0,T],\\&w(0)=0.\end{aligned}\right.\tag{2.31}$$De (2.31)$_1$ segue que, para todo $v\in V$,$$\langle w'(t),v\rangle_{V'\times V}+\langle \nu Aw(t),v\rangle_{V'\times V}+\langle B(u(t), u(t)),v\rangle_{V'\times V}-\langle B(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t)),v\rangle_{V'\times V}=0$$q.s. em $[0,T]$, ou ainda,$$\langle w'(t),v\rangle_{V'\times V}+\nu a(w(t),v)+b(u(t), u(t)),v)-b(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t)),v)=0\quad\text{q.s. em}\quad[0,T].$$Em particular,$$\langle w'(t),w(t)\rangle_{V'\times V}+\nu a(w(t),w(t))+b(u(t), u(t)),w(t))-b(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t)),w(t))=0$$q.s. em $[0,T]$. Pelo Lema 2.8, segue que$$\langle w'(t),w(t)\rangle_{V'\times V}+\nu a(w(t),w(t))=-b(w(t),u(t),w(t))\leq C\|w(t)\|_{H}\|w(t)\|_{V}\|u(t)\|_V$$q.s. em $[0,T]$. Da definicao de $a(\cdot,\cdot)$ e da desigualdade de Young, segue que$$\langle w'(t),w(t)\rangle_{V'\times V}+\nu\|w(t)\|_V^2\leq \nu\|w(t)\|_{V}^2+ C\|w(t)\|_{H}^2\|u(t)\|_V^2\quad\text{q.s. em}\quad[0,T].$$Integrando sobre $(0,t)$ e usando (2.31)$_2$, concluimos que$$\|w(t)\|_H=\int_0^t\frac{d}{dt}\|w(s)\|_H\;ds = 2\int_0^t\langle w'(s),w(t)\rangle_{V'\times V}\;ds \leq C\int_0^t\|w(s)\|_{H}^2\|u(s)\|_V^2\;ds.$$Pela desigualdade de Gronwall concluimos que $w=0$ e, portanto, $u=\tilde{u}$. $\square$Observacao 2.13. Note que provamos mais do que enunciamos no Teorema 2.12. Na verdade, demonstramos o seguinte resultado:Teorema 2.14. Dados $f\in L^2(0,T;V')$ e $u_0\in H$, existe uma unica funcao $u\in L^\infty(0,T; H)\cap L^2(0,T;V)$ com $u'\in L^2(0,T;V')$ satisfazendo $$\left\{\begin{aligned}&u'+\nu Au+B(u,u)=f\quad\text{em}\quad L^2(0,T;V'),\\&u(0)=u_0.\end{aligned}\right.$$Isto implica que$$\langle u'(t),v\rangle_{V'\times V}+\nu a(u(t),v)+b(u(t), u(t),v)=\langle f(t),v\rangle_{V'\times V}\quad\text{q.s em}\quad[0,T],\quad\forall\ v\in V$$que tambem e uma versao fraca de (2.2), porem, "melhor" do que a formulacao fraca original (2.5)$_1$.2.5 Recuperacao da pressao Note que a pressao $p$ que aparece no problema original (2.1) foi "perdida" no processo da formulacao fraca. Nesta secao vamos "recupera-la", tambem em um sentido fraco - diferente, porem, daquele que foi considerado anteriormente. Especificamente, vamos "recupera-la" no sentido das distribuicoes sobre $Q:=\Omega\times (0,T)$.Observacao 2.15. No que segue, o valor de uma distribuicao $g\in\mathcal{D}'(\Omega)$ em $v\in\mathcal{D}(\Omega)$ sera representado por $\langle g,v\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}$. Analogamente, o valor de $g\in\mathcal{D}'(Q)$ em $v\in\mathcal{D}(Q)$ sera representado por $\langle g,v\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}$ e o valor de $g\in\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))$ em $v\in\mathcal{D}(0,T;H^{-1}(\Omega))$ sera representado por $\langle g,v\rangle_{\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))}$.Observacao 2.16. Pelo Teorema de Extensao de Hahn-Banach, todo funcional $g\in V'$ pode ser visto como um elemento de $([H_0^1(\Omega)]^2)'\cong [(H_0^1(\Omega))']^2=[H^{-1}(\Omega)]^2$ satisfazendo $\|g\|_{V'}=\|g\|_{[{H^{-1}(\Omega)]^2}}$ e$$\langle g,v\rangle_{V'\times V}=\langle g,v\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)},\quad\forall\ v\in V.\tag{2.33}$$Observacao 2.17. Seja $v\in L^2(0,T;L^2(\Omega))$. Como $L^2(0,T;L^2(\Omega))\cong L^2(\Omega\times (0,T))\subset\mathcal{D}'(Q)$, a funcao vetorial $v$ pode ser vista como uma distribuicao em $\mathcal{D}'(Q)$, especificamente, a distribuicao definida pela funcao escalar $(x,t)\mapsto [v(t)](x)$. Assim, para toda $\varphi \in \mathcal{D}(Q)$,$$\langle v,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_{Q}[v(t)](x)\varphi(x,t)\;dz=\int_0^T\int_{\Omega}[v(t)](x)\varphi(x,t)\;dx\;dt=\int_0^T\langle v(t),\varphi(\cdot,t)\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}\;dt.$$ Observacao 2.18. Seja $v\in C([0,T];H^{-1}(\Omega))$ tal que $v'\in L^2(0,T; H^{-1}(\Omega))$. A funcao $v$ pode ser vista como um elemento de $\mathcal{D}'(Q)$, definido por$$\langle v,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_0^T\langle v(t),\varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt,\quad\forall\ \varphi\in\mathcal{D}(Q).$$Seja $\partial_t v$ a derivada distribucional de $v$ com respeito a $t$ em $\mathcal{D}'(Q)$. Para quaisquer $\phi\in \mathcal{D}(\Omega)$ e $\theta\in \mathcal{D}(0,T)$,\begin{align*}\langle \partial_tv,\phi\theta\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}&=-\langle v,\phi\theta'\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=-\int_0^T\langle v(t), \phi\theta'(t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt=-\int_0^T\langle v(t)\theta'(t), \phi\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt\\&=-\left\langle\int_0^T v(t)\theta'(t)\;dt, \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}=-\left\langle\langle v,\theta'\rangle_{\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))} , \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\\&=\left\langle\langle v',\theta\rangle_{\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))} , \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}=\left\langle\int_0^T v'(t)\theta(t)\;dt, \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\\&=\int_0^T \langle v'(t)\theta(t), \phi\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt=\int_0^T \langle v'(t), \phi\theta(t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt\end{align*}donde$$\langle \partial_tv,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_0^T \langle v'(t), \varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt,\quad\forall\varphi\in\mathcal{D}(Q)$$porque $\operatorname{span}\{\phi\theta\in \mathcal{D}(Q) \mid\phi\in \mathcal{D}(\Omega),\;\theta\in \mathcal{D}(0,T)\}$ e denso em $\mathcal{D}(Q)$ (ver Teorema 39.2, p. 409, em [18]. Logo, a funcao $v'$ tambem pode ser vista como um elemento de $\mathcal{D}'(Q)$, definido por$$\langle v',\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_0^T\langle v'(t),\varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt,\quad\forall\ \varphi\in\mathcal{D}(Q)$$e satisfazendo $v'=\partial_t v$ em $\mathcal{D}'(Q)$.Agora, defina $U,F,\beta:[0,T]\to