1.3, p. 162 e 163). (b) Ver [4] (p. 155 e 156) ou [12] (p. 122) ou [17] (p. 293). (c) Ver [12] (Observacao 3, p. 122). $\square$Observacao 2.9. Fixado $(u,w)\in V\times V$, segue do Lema 2.8 que a aplicacao $v\mapsto b(u,w,v)$ e um funcional linear continuo. Logo, pelo Teorema de Representacao de Riesz, podemos definir uma aplicacao bilinear continua $B:V\times V\to V'$ satisfazendo $\langle B(u,w),v\rangle_{V'\times V}=b(u,w,v)$ para quaisquer $u,w,v\in V$.Lema 2.10. Se $u,v\in L^\infty(0,T;H)\cap L^2(0,T;V)$, entao existe uma constante positiva $C$ tal que$$\|B(u(t),v(t))\|_{V'}\leq C\|u(t)\|_V^{1/2}\|v(t)\|_V^{1/2},\quad\text{q.s. em}\quad[0,T]\tag{2.10}$$e, consequentemente, $B(u(\cdot),v(\cdot))\in L^2(0,T;V')$.Prova: Ver [4] (Lema 4, p. 130) ou [12] (Lema 4, p. 120) ou [17] (p. 293). $\square$Lema 2.11 (De Rham, Necas). Sejm $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ um aberto limitado com fronteira regular e $S\in[H^{-1}(\Omega)]^2$. Se$$\langle S,v\rangle_{[H^{-1}(\Omega)]^2\times [H_0^1(\Omega)]^2}=0,\quad\forall \ v\in\mathcal{V},$$entao existe uma unica funcao $P\in L^2(\Omega)$ com media nula satisfazendo $S=\nabla P$ em $[H^{-1}(\Omega)]^2$ e verificando$$\|P\|_{L^2(\Omega)}\leq a\|S\|_{[H^{-1}(\Omega)]^2},\quad \|S\|_{[H^{-1}(\Omega)]^2}\leq b\|P\|_{L^2(\Omega)},\tag{2.11}$$onde $a$ e $b$ sao constantes positivas que dependem apenas de $\Omega$.Prova: Ver [2] (Proposicao IV.1.7, p. 238, e Teorema IV.2.3, p. 242) ou [15] (Lema 2.2.2, p. 75) ou [17] (proposicoes 1.1 e 1.2, p. 14, e Nota 1.4, p. 15). $\square$2.4 Existencia e unicidade de solucao fracaO teorema a seguir resolve o Problema 2.2.Teorema 2.12. Dados $f\in L^2(0,T;V')$ e $u_0\in H$, existe uma unica funcao $u\in L^\infty(0,T; H)\cap L^2(0,T;V)$ com $u'\in L^2(0,T;V')$ satisfazendo,$^{\text{(vii)}}$ para todo $v\in V$,$$\left\{\begin{aligned}&\frac{d}{dt}(u(\cdot),v)+\nu a(u(\cdot),v)+b(u(\cdot), u(\cdot),v)=\langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V}\text{ em }\mathcal{D}'(0,T),\\&u(0)=u_0.\end{aligned}\right.\tag{2.12}$$Prova:ExistenciaPROBLEMA APROXIMADOSeja $\{w_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ a base de $H$ dada pelo Lema 2.7. Para cada $m\in\mathbb{N}$, defina $V_m=\mathrm{span}\{w_1,...,w_m\}$. O primeiro passo e mostrar que, para cada $m\in\mathbb{N}$ e cada $j=1,...,m$, existem$$\left\{\begin{aligned}u_m(t)=\sum_{i=1}^mg_{im}(t)w_j\in V_m,&\\\quad {u_0}_m\in V_m,&\end{aligned}\right.\tag{2.13}$$satisfazendo o "problema aproximado"$$\left\{\begin{aligned}&(u'_m(t),w_j)+\nu a(u_m(t),w_j)+b(u_m(t), u_m(t),w_j)=\langle f(t),w_j\rangle_{V'\times V}\text{ q.s. em }[0,T]\\&u_m(0)={u_0}_m,\\&{u_0}_m\overset{m\to\infty}{\longrightarrow} u_0\quad\text{em}\quad H.\end{aligned}\right.\tag{2.14}$$Seja$${u_0}_m=\sum_{i=1}^m(u_0,w_i)w_i\tag{2.15}$$a projecao de $u_0=\sum_{i=1}^\infty(u_0,w_i)w_i$ sobre $V_m$. Entao $({u_0}_m)$ e uma sequencia em $H$ satisfazendo (2.13)$_2$ e (2.14)$_3$. Assim, substituindo (2.13)$_1$ e (2.15) em (2.14)$_{1,2}$, concluimos que resolver o problema aproximado equivale a resolver o seguinte sistema de EDOs com $1\leq j\leq m$:$$\left\{\begin{aligned}&g'_{jm}(t)+\lambda_jg_{jm}(t)+\sum_{i,k=1}^mb(g_{im}(t), g_{km}(t),w_j)=\langle f(t),w_j\rangle_{V'\times V}\text{ q.s. em }[0,T],\\&g_{jm}(0)=(u_0,w_j),\\\end{aligned}\right.\tag{2.16}$$onde $\lambda_j\in \mathbb{R}$ e o autovalor correspondente a autofuncao $w_j$. Pelo Teorema de Caratheodory, para cada $m\in\mathbb{N}$ o sistema (2.16), e por conseguinte o sistema de interesse (2.14), possui uma unica solucao local absolutamente continua definida sobre um intervalo $[0,t_m]$. A primeira estimativa feita a seguir garante que tal solucao pode ser estendida ao intervalo $[0,T]$.1a ESTIMATIVAMultiplicando (2.14)$_1$ por $g_{jm}(t)$ e somando com respeito a $j$, segue que$$\begin{align*}(u'_m(t),u_m(t))+\nu a(u_m(t),u_m(t))+b(u_m(t), u_m(t),u_m(t))&=\langle f(t),u_m(t)\rangle_{V'\times V}\\&\leq \|f(t)\|_{V'}\|u_m(t)\|_{V}.\end{align*}$$Note que$$\begin{align*}(u'_m(t),u_m(t))&=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|u_m(t)|_H^2,\\a(u_m(t),u_m(t))&=\|u_m(t)\|^2_V,\\b(u_m(t), u_m(t),u_m(t))&=0,\end{align*}$$onde na segunda igualdade usamos a definicao de $a(\cdot,\cdot)$ e, na terceira, usamos o Lema 2.8. Portanto, pela desigualdade de Young,$$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|u_m(t)|_H^2+\nu \|u_m(t)\|^2_V\leq C_\varepsilon\|f(t)\|_{V'}^2+\varepsilon\|u_m(t)\|_{V}^2.$$Tomando $\varepsilon$ suficientemente pequeno (de modo que $\nu-\varepsilon>0$), obtemos$$\frac{d}{dt}|u_m(t)|_H^2+ \|u_m(t)\|^2_V\leq C_1\|f(t)\|_{V'}^2.$$Integrando de $0$ ate $t\in[0,t_m]$, resulta de (2.14)$_2$ que$$|u_m(t)|_H^2+\int_0^t\|u_m(s)\|^2_V\;ds\leq |{u_0}_m|_H^2+C_1\|f\|_{L^2(0,T;V')}.$$De (2.14)$_3$, obtemos uma constante $C$ (independente de $t_m$) tal que$$|u_m(t)|_H^2+\int_0^t\|u_m(s)\|^2_V\;ds\leq C,\quad\forall\ t\in[0,t_m].\tag{2.17}$$Assim, a solucao $Y_m=(g_{1m},...,g_{mm})$ do sistema (2.16) satisfaz$$|Y_m(t)|_{\mathbb{R}^m}=\sum_{i=1}^mg_{im}^2(t)=\left(\sum_{i=1}^mg_{im}(t)w_i,\sum_{k=1}^mg_{km}(t)w_k\right)=(u_m(t),u_m(t))=|u_m(t)|^2_H\leq C$$para todo $t\in [0,t_m]$. Isto implica que $Y_m$, e por conseguinte a solucao $u_m$ de (2.14), pode ser estendida ao intervalo $[0,T]$. Uma vez que dispomos de uma solucao definida sobre $[0,T]$, podemos repetir os calculos anteriores com $T$ no lugar de $t_m$ e concluir que (2.17) vale com $T$ no lugar de $t_m$. Portanto,$$\begin{align*}(u_m)\quad&\text{e limitada em}\quad L^\infty(0,T;H),\tag{2.18}\\(u_m)\quad&\text{e limitada em}\quad