thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
Veremos agora a representacao das relacoes entre os numeros em uma funcao atraves de conjuntos. Vamos utilizar o mesmo exemplo anterior, observe: Lado Area 2 4 5 25 9 81 12 144 Nesta nova forma de visualizar, temos que cada conjunto representa uma coluna da tabela do exemplo anterior, e as flechas representam a relacao A=L2.O conjunto em que as flechas estao saindo pode ser chamado de "conjunto de saida". E o conjunto em que as flechas estao chegando pode ser chamado de "conjunto de chegada".Vamos fazer um exemplo mais pratico, algo que ja comeca a aparecer em vestibulares: - Dados os conjuntos A={5, 12, 23} e B={5, 7, 14, 15, 16, 25, 26}, a relacao entre eles e expressa pela formula y = x + 2 com "x" pertencente ao conjunto A, e "y" pertencente ao conjunto B. Desenhe estas relacoes em forma de conjuntos: Veja que o relacionamento (a flecha) leva um numero do conjunto de saida diretamente ao numero duas unidades maior do que ele presente no conjunto de chegada (como manda a lei y=x+2). Novamente observamos que:- Todo elemento do conjunto "A" esta relacionados a algum elemento do conjunto "B";- Para cada elemento do conjunto "A" esta relacionado somente um elemento do conjunto "B".A formula (y = x + 2) e chamada de funcao de "A" em "B". E pode-se escrever:(e lido como "f e uma funcao de A em B")Este e como se fosse uma "assinatura" da funcao.Neste exemplo utilizamos "f" como sendo o nome da funcao, por isso escrevemos . Se tivessemos dado o nome da funcao de "g", escreveriamos g: A > B. Esta foi uma apresentacao um tanto quanto intuitiva para as relacoes.Para que uma dessas relacoes entre dois conjuntos possa ser chamada de funcao, duas regras devem ser observadas (regras vistas intuitivamente nos exemplos acima).Uma relacao de de um conjunto A em um conjunto B sera uma funcao somente se: - Para cada elemento do conjunto de saida (elemento x), esta relacionado um unico elemento do conjunto de chegada (elemento y);Olhando na representacao por conjuntos isso significa que so pode sair uma flecha de cada elemento do conjunto de saida. - Todos os elementos do conjunto "A" deve estar relacionado, nao podendo ter nenhum elemento voando sozinho dentro deste conjunto. Obs1.: Note que a primeira regra nao fala nada que nao pode ter duas flechas chegando no mesmo elemento do conjunto de chegada. Ou seja, Um elemento do conjunto de chegada pode estar se relacionando com dois elementos do conjunto de saida.Obs2.: Se uma relacao nao satisfaz estas duas regras, nao sera uma funcao. Sera considerada apenas uma relacao! Digamos que temos uma funcao chamada de "g", que relaciona elementos do conjunto R aos elementos do conjunto N. Dizemos isso matematicamente:g: R > NCuja lei de associacao e y = 2x-1, como "y" e uma variavel dependente de "x" tambem representamos "y" como sendo g(x), leia-se "ge de xis". Ou seja, poderiamos ter escrito:g(x) = 2x - 1 * Esta representacao pode ser utilizada independente do nome da funcao. Veja mais dois exemplos:y
= x + 3 h(x) = x + 3y = 5x - 2 f(x) = 5x - 2A lei pode ser escrita de ambas formas, tendo o mesmo significado para Matematica.Exemplos com solucoes:Este exemplo nao e uma funcao, pois o conjunto "A" tem um elemento sobrando, o que contraria a regra 2.Este exemplo e uma funcao, pois atende as exigencias de uma funcao:- Todos elementos de "A" possuem correspondentes;- Para cada elemento de "A" e relacionado um e apenas um elemento de "B".Obs.: Veja que neste exemplo temos duas flechas chegando no elemento 25 do conjunto B, de chegada. Isso nao tem problema, pois a regra 1 diz que nao pode ter duas flechas no mesmo elemento do conjunto de saida.
Formas e medidas nos cercam por toda parte. Lidamos com elas para decorar o quarto, atravessar a rua ou ate mesmo organizar a comida no prato. Em particular, os produtores de desenhos animados trabalham muito bem om elas.Em Up-atlas aventuras, freddricksen cercou-se de objetos geometricos, desde os baloes com que trabalhava- e que ajudaram sua casa a levantar voo- ate um pequeno distintivo feito com uma tampinha de refrigerante, que ganhou de presente de sua falecida esposa, Ellie.Muitas dessas formas podem ser matematizadas, ou seja, transformadas em sentencas matematicas para que os computadores graficos das produtoras consigam transformar essas sentencas matematicas em desenhos. Sem a Matematica, nao teriamos esses ambientes e personagens visualmente ricos.Cena do filme Up-Atlas AventurasNa cena do desenho animado da imagen acima, ha varios elementos graficos que podem ser representados por uma equacao. Repare, por exemplo, na corda que prende o menino Russell a corda puxada por Fredricksen. A corda esticada tem forma de uma reta, que pode ser representada pela equacao y = ax + b. Ja o nariz de Fredricksen poderia ter seu "volume" calculado pela formula V = 4r3/3, pois e semelhante a uma esfera. Com a ajuda da computacao grafica, essas formulas viram desenhos que divertem multidoes de espectadores. Podemos determinar a equacao fundamental de uma reta utilizando o angulo formado pela reta com o eixo das abscissas (x) e as coordenadas de um ponto pertencente a reta. O coeficiente angular da reta, associado a coordenada do ponto, facilita a representacao da equacao da reta. Observe: Considerando uma reta r, o ponto C(xC, yC) pertencente a reta, seu coeficiente angular m e outro ponto D(x,y) generico diferente de C. Com dois pontos pertencentes a reta r, um real e outro generico, podemos calcular o seu coeficiente angular.m = y y0/x x0 m (x x0) = y y0 Portanto, a equacao fundamental da reta sera determinada pela seguinte expressao: y y0 = m (x x0) Exemplo 1 Encontre a equacao fundamental da reta r que possui o ponto A (0,-3/2) e coeficiente angular igual a m = 2. y y0 = m (x x0) y (3/2) = 2(x 0) y + 3/2 = 2x 2x + y + 3/2 = 0 Exemplo 2 Obtenha uma equacao para a reta representada abaixo: Para determinarmos a equacao fundamental da reta precisamos das coordenadas de um dos pontos pertencentes a reta e o valor do coeficiente angular. As coordenadas do ponto fornecido e (5,2), o coeficiente angular e a tangente do angulo . Iremos obter o valor de com a diferenca 180 135 = 45, entao = 45o e a tg 45 = 1. y y0 = m (x x0) y 2 = 1 (x 5) y 2 = x 5 y x + 3 = 0 Exemplo 3 Determine a equacao da reta que passa pelo ponto de coordenadas (6; 2) e possui inclinacao de 60o. Coeficiente angular e dado pela tangente do angulo 60o: tg 60o = 3. y y0 = m (x x0) y 2 = 3 (x 6) y 2 = 3x 63 3x +
AlgebraX? Y? Entenda os calculos com letrasCarlos Alberto Campagner* Para representar os problemas da vida real em linguagem matematica, muitas vezes utilizamos letras que substituem incognitas (os valores que voce nao conhece, e quer descobrir). E ai que entram os famosos x, y, etc. O ramo da matematica que utiliza simbolos (normalmente letras do nosso alfabeto latino e do grego) para a resolucao de problemas e chamado algebra. As equacoes sao a aplicacao mais conhecida dessa area da matematica.Por exemplo, a area de um retangulo de base b e altura c e dada pela formula:A = b . cEsse monte de letra nada mais e que a representacao de "fatos da vida real" por meio de numeros: a representa a area, b e c representam os lados do retangulo. Essa formula vale para qualquer retangulo cuja area se deseja calcular.Letras substituem valores iguaisComo voce resolveria o seguinte calculo?<>Imagine que x represente um objeto, por exemplo, uma maca. Entao voce faria:"3 macas mais 7 macas"Logicamente o resultado e "10 macas". Entao:<>O procedimento, como voce viu, e simples: para somar numeros que acompanham incognitas, basta soma-los, normalmente (desde que as incognitas sejam iguais).Agora suponha que x valha 17 macas. O resultado de nossa operacao seria 170.Problemas resolvidos pela algebraVamos descobrir quanto medem os lados de um retangulo em que um lado e o dobro do outro e cujo perimetro e igual a 60.<>Para comecar, e necessario saber o que e perimetro - e a soma de todos os lados de uma figura geometrica.Como um lado foi chamado de x, o outro - que e o dobro - sera 2x.Nesse caso, o perimetro pode ser escrito como a soma dos 4 lados:<>Logo:<>Como o perimetro deve ser igual a 60, o unico numero que multiplicado por 6 resulta 60 e o numero 10, logo: <> Depois de conhecermos o conceito de funcao, estudaremos agora como classifica-las.Se voce nao sabe do que se tratam os simbolos D(f), CD(f) e Im(f), convem revisar a simbologia utilizada ao trabalharmos com funcoes, ela sera necessaria para uma boa compreensao desta materia.Estudaremos os tres tipos de funcao que sao: Sobrejetora, injetora e bijetora.Funcao Sobrejetora Vamos analisar o diagrama de flechas ao lado:Como sabemos o conjunto A e o dominio da funcao e o conjunto B e o seu contradominio.E do nosso conhecimento que o conjunto imagem e o conjunto formado por todos os elementos do contradominio que estao associados a pelo menos um elemento do dominio e neste nosso exemplo, todos os elementos de B estao associados a pelo menos um elemento de A, logo nesta funcao o contradominio e igual ao conjunto imagem.Classificamos como sobrejetora as funcoes que possuem o contradominio igual ao conjunto imagem.Note que em uma funcao sobrejetora nao existem elementos no contradominio que nao estao flechados por algum elemento do dominio.Nesta funcao de exemplo temos:Dominio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 }Contradominio: CD(f) = { 12, 3, 27 }Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 }Esta funcao e definida por:Substituindo a variavel independente x, de 3x2, por qualquer elemento de A, iremos obter o elemento
de B ao qual ele esta associado, isto e, obteremos f(x).Do que sera explicado a seguir, poderemos concluir que embora esta funcao seja sobrejetora, ela nao e uma funcao injetora.Funcao Injetora Vejamos agora este outro diagrama de flechas:Podemos notar que nem todos os elementos de B estao associados aos elementos de A, isto e, nesta funcao o conjunto imagem difere do contradominio, portanto esta nao e uma funcao sobrejetora.Alem disto podemos notar que esta funcao tem uma outra caracteristica distinta da funcao anterior.Veja que nao ha nenhum elemento em B que esta associado a mais de um elemento de A, ou seja, nao ha em B qualquer elemento com mais de uma flechada. Em outras palavras nao ha mais de um elemento distinto de A com a mesma imagem em B.Nesta funcao temos:Dominio: D(f) = { 0, 1, 2 }Contradominio: CD(f) = { 1, 2, 3, 5 }Conjunto Imagem: Im(f) = { 1, 3, 5 }Definimos esta funcao por:Veja que nao ha no D(f) qualquer elemento que substituindo x em 2x + 1, nos permita obter o elemento 2 do CD(f), isto e, o elemento 2 do CD(f) nao e elemento da Im(f).Funcao Bijetora Na explicacao do ultimo tipo de funcao vamos analisar este outro diagrama de flechas:Do explicado ate aqui concluimos que este e o diagrama de uma funcao sobrejetora, pois nao ha elementos em B que nao foram flechados.Concluimos tambem que esta e uma funcao injetora, ja que todos os elementos de B recebem uma unica flechada.Esta funcao tem:Dominio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 }Contradominio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 }Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 }Esta funcao e definida por:Ao substituirmos x em -4x, por cada um dos elementos de A, iremos encontrar os respectivos elementos de B, sem que sobrem elementos em CD(f) e sem que haja mais de um elemento do D(f) com a mesma Im(f).Funcoes que como esta sao tanto sobrejetora, quanto injetora, sao classificadas como funcoes bijetoras.
Funcao ParDenominamos funcao par uma funcao f, quando para todo elemento x pertencente ao dominio da funcao temos f(x) = f(-x). Vamos analisar a funcao cuja representacao grafica temos ao lado.Vamos comecar pelo lado direito do eixo das ordenadas.Veja que para x igual a 1, 2 ou 3, temos y igual a -4, 2 ou 12, respectivamente.Isto porque:Agora vamos analisar o lado esquerdo do eixo das ordenadas.Note que para x igual a -1, -2 e -3, temos y igual aos mesmos -4, 2 e 12, respectivamente.Evidentemente porque:Qualquer que seja x temos f(x) = f(-x):Portanto e uma funcao par.Visto que f(x) = f(-x), entao x e o seu oposto -x possuem a mesma imagem.Como voce ja deve ter percebido, o grafico de uma funcao par e simetrico em relacao ao eixo das ordenadas, isto e, o lado direito espelha o esquerdo e vice-versa.Funcao ImparDenominamos funcao impar uma funcao f, quando para todo elemento x pertencente ao dominio da funcao, temos f(x) = -f(-x), que tambem podemos escrever como -f(x) = f(-x). Vamos analisar a funcao representada pelo grafico ao lado.Podemos notar que o grafico e simetrico em relacao a origem do plano cartesiano.Observe que os pontos para os quais x e igual a 1, 2 ou 3, estao localizados em posicao simetrica a partir da origem, em relacao aos pontos para os quais x e igual a -1, -2 ou -3, respectivamente.Para termos o valor exato das imagens, primeiramente vamos calcular f(x) para x igual a 1, 2 e 3:Ainda para x igual a 1, 2 e 3 vamos calcular -f(-x) para podermos fazer uma comparacao:Veja que f(x) = -f(-x):Visto que -f(x) = f(-x), entao x e o seu oposto -x tem imagens opostas.Funcoes que nao sao Par nem ImparNo casos dos numeros naturais quando um numero nao e par ele so pode ser impar e vice-versa.No caso de funcoes a coisa nao e bem assim que funciona.Para que uma funcao seja denominada funcao par ou funcao impar, e preciso que a mesma se enquadre exatamente nas condicoes impostas vistas acima.Acontece que existem funcoes que nao satisfazem nem a condicao para serem denominadas funcoes pares, nem tampouco para serem denominadas funcoes impares.Vejamos o caso da funcao no grafico ao lado. Como podemos observar, nao existe a simetria visual vistas nos graficos anteriores, nem quanto a uma funcao par, nem quanto a uma funcao impar.No caso funcao par teriamos f(x) = f(-x), ou seja, as imagens de x = 1 e de x = -1, por exemplo, deveriam ser iguais, mas pelo grafico e pelos calculos realizados abaixo vemos que isto nao ocorre:Entao nao e uma funcao par.Para que ela fosse uma funcao impar teriamos -f(x) = f(-x), ou seja, as imagens de x = 1 e de x = -1, por exemplo, deveriam ser opostas uma da outra, mas pelo grafico e pelos calculos realizados acima vemos que isto tambem nao ocorre:Portanto tambem nao e uma funcao impar. Pontos no Plano CartesianoA Geometria Analitica estuda as propriedades das figuras geometricas estabelecendo uma relacao entre a Geometria Plana e a Algebra. Toda figura geometrica
pode ser analisada como um conjunto de pontos e para traduzirmos em linguagem algebrica as propriedades destas figuras geometricas associamos esses pontos a numeros. Podemos marcar um ponto em uma regua, por exemplo, vamos marcar o ponto onde fica o 3 em nossa regua: Desta forma estamos associando o ponto A ao numero 3. Podemos marcar assim todos os pontos existentes nessa regua. Mas esta nossa regua e limitada, como fariamos para representar o ponto associado ao numero 1023? Ou ao numero - 57, ou ainda ao numero 0,0000356? Ou seja, como marcariamos os pontos que nao pertencem a esta regua? Para isso estabelecemos um sistema de coordenadas sobre uma reta onde associamos cada ponto desta reta a um numero real, como na figura abaixo: O ponto C esta associado ao numero real 1. Podemos afirmar entao que a coordenada do ponto C e o numero real 1. Na figura abaixo encontramos outra limitacao da nossa regua: Se dissermos que existe um ponto associado ao numero 3 nao sera suficiente para determinar de qual ponto estamos falando A ou B. Pois A esta mais distante da regua que B. Para determinarmos a localizacao de A e B usaremos uma outra regua mas desta vez na vertical.Agora sim podemos determinar a localizacao dos pontos A e B. A esta associado ao numero 3 na regua horizontal e ao numero 6 na regua vertical. B tambem esta associado ao numero 3 na regua horizontal mas na regua vertical esta associado ao numero real 4. Chamamos estas duas coordenadas de cada ponto de par ordenado. Com as reguas acima ficamos limitados aos numeros positivos menores que 15. Para determinarmos a localizacao de qualquer ponto precisariamos de duas reguas infinitas. Representamos a correspondencia entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de numeros reais por duas retas infinitas e perpendiculares denominadas eixos ortogonais que formam o sistema cartesiano ortogonal. O eixo horizontal e chamado de eixo x ou eixo das abscissas e o eixo vertical e chamado de eixo y ou eixo das ordenadas. Na figura abaixo podemos observar que o ponto C esta associado ao par ordenado (257,143). Considerando o ponto D(-200,-100) dizemos que o numero -200 e a coordenada x ou a abscissa do ponto D e o numero -100 e a coordenada y ou a a ordenada do ponto D. Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em 4 regioes chamadas quadrantes como na figura abaixo. Lembre-se que os eixos coordenados sao infinitos e portanto as regioes definidas por eles tambem sao, isto e:1o quadrante: regiao onde os pares ordenados associados aos pontos tem como abscissa numeros reais maiores que 0 e como ordenadas numeros reais maiores que zero, ou seja, x > 0 e y > 0.2o quadrante: regiao onde os pares ordenados associados aos pontos tem como abscissa numeros reais menores que 0 e como ordenadas numeros reais maiores que zero, ou seja, x < 0 e y > 0.3o quadrante: regiao onde os pares ordenados associados aos pontos tem como abscissa numeros reais menores que 0 e
como ordenadas numeros reais menores que zero, ou seja, x < 0 e y < 0. 4o quadrante: regiao onde os pares ordenados associados aos pontos tem como abscissa numeros reais maiores que 0 e como ordenadas numeros reais menores que zero, ou seja, x > 0 e y < 0. O ponto de interseccao dos eixos x e y, O(0,0), e chamado de origem e pertence aos dois eixos. Os pontos situados sobre os eixos coordenados por convencao nao pertencem a nenhum quadrante. Marcar pontos no software Geogebra e muito facil, acompanhe a atividade 1: atividade 1 Tutorial do Geogebra Atividade 2
E ae pessoal! Passeando pelo YouTube em mais um final de semana feliz no meu trabalho (rs), encontrei este video bem legal sobre a cidade de Sao Paulo. Nele, podemos ver os primeiros registros em imagens desta nossa amada cidade:Bom FDS (para quem pode)! Na cidade de Sao Paulo, numa noite fria e escura de inverno, proximo a uma esquina por onde passavam varias pessoas, um garotinho vendia balas a fim de conseguir alguns trocados. Mas o frio estava intenso e as pessoas ja nao paravam mais quando ele as chamava.Sem conseguir vender mais nenhuma bala, elesentou na escada em frente a uma loja e ficou observando o movimento das pessoas.Sem que ele percebesse, um policial se aproximou.-"Esta perdido, filho?"O garoto balancou a cabeca.-"So estou pensando onde vou passar a noite hoje... normalmente durmo em minha caixa de papelao, perto do correio, mas hoje o frio esta terrivel....-O senhor sabe me dizer se ha algum lugar onde eu possa passar esta noite?"O policial mirou-o por uns instantes e cocou a cabeca, pensativo.-"Se voce descer por esta rua", disse ele apontando o polegar na direcao de uma rua, a esquerda,la embaixo vai encontrar um casarao branco; chegando la, bata na porta e quando atenderem apenas diga:"Joao 3:16 ".Assim fez o garoto. Desceu a rua estreita e quando chegou em frente ao casarao branco, subiu os degraus da escada e bateu na porta. Quem atendeu foi uma mulher idosa, de feicao bondosa.-"Joao 3:16", disse ele, sem entender direito.- "Entre, meu filho". A voz era meiga e agradavel.Assim que ele entrou, foi conduzido por ela atea cozinha onde havia uma cadeira de balanco antiga,bem ao lado de um velho fogao de lenha-"Sente-se, filho, e espere um instante, ta?"O garoto se sentou e, enquanto observava abondosa mulher se afastar, pensou consigo mesmo: "Joao 3:16... Eu nao entendo o que isso significa mas sei que aquece a um garoto com frio".Pouco tempo depois a mulher voltou.-"Voce esta com fome?", perguntou ela.-"Estou um pouquinho, sim... ha dois dias nao como nada e meu estomago ja comeca a roncar.."A mulher entao o levou ate a sala de jantar, onde havia uma mesa repleta de comida. Rapidamente o garoto sentou-se a mesa e comecou a comer ; comeu de tudo, ate naoaguentar mais. Entao ele pensou consigo mesmo:"Joao 3:16... Eu nao entendo o que issosignifica, mas sei que mata a fome de um garotofaminto".Depois, a bondosa senhora o levou ao andar superior, onde se encontrava um quartinho com umabanheira cheia de agua quente. O garoto so esperou que a mulher se afastasse e entao rapidamente se despiu e tomou um belo banho, como ha muito tempo nao fazia. Enquanto esfregava a bucha pelo corpo pensou consigo mesmo:"Joao 3:16... Eu nao entendo o que isso significa, mas sei que torna limpo um garoto que ha muito tempo estava sujo".Cerca de meia hora depois a bondosa mulher voltou e levou o garoto ate um quarto onde havia uma cama de madeira, antiga, mas grande e confortavel. Ela o abracou, deu-lhe um beijo na testa e, apos deita- lo na cama, desligou a
luz e saiu. Ele se virou para o canto e ficou imovel,observando a garoa que caia do outro lado do vidro da janela. E ali, confortavel como nunca, ele pensou consigo mesmo:"Joao 3:16... Eu nao entendo o que isso significa, mas sei que da repouso a um garoto cansado".No outro dia, de manha, a bondosa senhora preparou uma bela e farta mesa e o convidou para o cafe da manha. Quando o garoto terminou de comer, ela o levou ate a cadeira de balanco, proximo ao fogao de lenha. Depois seguiu ate uma prateleira e apanhou um livro grande, de capa escura. Era uma Biblia. Ela voltou, sentou-se numa outra cadeira, proximo ao garoto e olhou dentro dos olhos dele, de maneira doce e amigavel.-"Voce entende Joao 3:16, filho?"-"Nao, senhora... eu nao entendo... A primeira vez que ouvi isso foi ontem a noite... um policial que falou...".Ela concordou com a cabeca, abriu a Biblia em Joao 3:16 e comecou a explicar sobre Jesus.E ali, aquecido junto ao velho fogao de lenha, o garoto entregou o coracao e a vida a Jesus. E enquanto lagrimas de felicidade deixavam seus olhos e rolavam face a baixo, ele pensou consigo mesmo:"Joao 3:16... ainda nao entendo muito bem o que isso significa, mas agora sei que isso faz um garoto perdido se sentir realmente seguro" ."Porque Deus amou o mundo de tal maneira, que deu seu unico Filho para que todo aquele que nele cre, nao pereca, mas tenha a vida eterna." (Joao 3:16)Deus nao mandou Jesus para condenar o mundo, mas sim para salva-lo. Aquele que crer em Jesus nao sera condenado, mas tera a vida eterna!
as estuprou", contou. "Meu filho me perguntou: 'Quem sao essas mulheres?'. Eu nao pude dizer nada. Caso contrario, ele (o marido) bateria em mim", acrescentou.Emocoes nunca reveladas foram possiveis gracas ao "Niqab". No programa, as participantes usam uma mascara bicolor: o azul, a cor tradicional das burcas, representa a opressao; o branca simboliza a inocencia.- E muito dificil para as mulheres afegas falarem sobre os seus problemas e a violencia que enfrentam em casa - disse a CNN Sami Sami Mahdi, de 28 anos, o criador do programa, que se diz influenciado pela vida da mae. - Mas nao estou falando apenas da minha mae. Estou falando de todas as maes do Afeganistao.