Um Feliz Natal a todos os leitores do blog Giga Matematica, que voces realizem seus sonhos e que o proximo ano seja de bastante alegria e prosperidade a todos!!!$$\oint\exists\ell\mathbb{I}\mathbb{Z}\quad\mathbb{N}\forall\top\alpha\angle\ !$$ A questao que sera apresentada aqui aborda mais uma das aplicacoes do Teorema do Valor Intermediario (para saber mais clique nessa postagem:As Consequencias do Teorema do Valor Intermediario ), a questao foi enviada pelo leitor Arlyson A. Nascimento, ele e professor do Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia de Alagoas. Obrigado pela confianca no blog!A questao pertence ao exame de admissao no programa de pos-graduacao em matematica aplicada (2011). Vamos ao enunciado:Sejam $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ uma funcao continua, $x_1,\ldots,x_n$ pontos distintos de $[a,b]$, e numeros reais de mesmo sinal $w_1,\ldots,w_n$. Mostre que existe pelo menos um ponto $c\in[a,b]$ tal que$$\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i=f(c)\sum_{i=1}^nw_i$$Solucao: Suponha sem perda de generalidade que $w_i>0$ para todo $1\leq i\leq n$, (a demonstracao e analoga para o outro caso). Note inicialmente que $[a,b]$ e compacto, assim, visto que $f$ e continua, $f$ atinge seu valor de maximo e minimo no dominio, logo, exitem $c_1,c_2$ tais que $f(c_1)=m,f(c_2)=M$ e$$m\leq f(x)\leq M,\quad\forall x\in [a,b]\qquad (1)$$Defina $F:[a,b]\to\mathbb{R}$ por$$F(x)=\sum_{i=1}^n[f(x)-f(x_i)]w_i$$$F$ e claramente continua, pois $f$ e continua. Observe que$$F(c_1)=\sum_{i=1}^n[m-f(x_i)]w_i\leq0,$$pois de $(1)$ temos $m\leq f(x)\Rightarrow m-f(x)\leq0,\forall x \in[a,b]$ e por hipotese $w_i>0$.Analogamente,$$F(c_2)=\sum_{i=1}^n[M-f(x_i)]w_i\geq0,$$pois de $(1)$ temos $M\geq f(x)\Rightarrow M-f(x)\geq0,\forall x \in[a,b]$ e por hipotese $w_i>0$.Temos agora tres casos a considerar:Caso 1: $F(c_1)=0$, se ocorrer esse caso, entao acabamos a questao, pois$$F(c_1)=0$$$$\sum_{i=1}^n[f(c_1)-f(x_i)]w_i=0$$$$\sum_{i=1}^nf(c_1)w_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$$$f(c_1)\sum_{i=1}^nw_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$Caso 2: $F(c_2)=0$, concluimos como no caso anterior que $c_2$ satisfaz a igualdade desejada.Caso 3: $F(c_1),F(c_2)\neq0$, assim so podemos ter $F(c_1)<0$ e $F(c_2)>0$. Como $F$ e continua, pelo Teorema do Valor Intermediario, existe $c\in[a,b]$ tal que $F(c)=0$, nesse caso:$$F(c)=0$$$$\sum_{i=1}^n[f(c)-f(x_i)]w_i=0$$$$\sum_{i=1}^nf(c)w_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$$$f(c)\sum_{i=1}^nw_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$Portanto, existe pelo menos um ponto $c\in[a,b]$ tal que$$\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i=f(c)\sum_{i=1}^nw_i$$E isso, duvidas em relacao a solucao poderao ser postadas nos comentarios.Ate mais ! Ola Pessoal, trago para voces mais um desafio do Giga Matematica!Dessa vez o desafio e bem simples de enunciar, mas voce precisa de um pouco de tempo para responde-lo, ou sera que nao? O desafio e o seguinte:Considere os 16 digitos abaixo$2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9.$Eles podem ser combinados de modo a criar dois numeros $A$ e $B$ de 8 digitos cada, de modo que $B=2A$?Por exemplo, podemos considerar$A=24346788$ e $B=52979356$,porem $2A=48693576$, ou seja, essa combinacao funciona.O desafio foi lancado, voce acha que consegue resolver este desafio de um modo tao simples como ele foi enunciado? Sera que e possivel tal combinacao, em caso afirmativo, que combinacao e essa? Em caso negativo, qual a razao de nao podermos combina-los?As solucoes podem ser enviadas clicando na aba Enviar Arquivo ou clicando aqui . As solucoes serao publicadas aqui no blog!Ate mais ! Ola leitores, aproveito o clima de copa do mundo para trazer uma curiosidade matematica envolvendo a forma das bolas de futebol e os fulerenos.Os fulerenos sao uma forma alotropica do Carbono, foram descobertos acidentalmente em 1985 por tres quimicos, que posteriormente ganhariam o premio Nobel de Quimica por essa descoberta, foram eles: Harold W. Kroto, Robert F. Curl e Richard E. Smalley, inicialmente essa estrutura molecular foi batizada de Buckminsterfulereno ($C_{60}$). Note que essa estrutura molecular possui exatamente 60 atomos de carbono,