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Razao AureaQual e a melhor maneira de dividir um segmento de reta em duas partes? Talvez a pergunta tenha lhe parecido um tanto estupida. Vou tentar explica-la melhor. Imagine um segmento de reta de um comprimento qualquer como o da Figura 1. Vamos chama-lo, como convem, de segmento AB. Figura 1: Segmento AB Ele pode ser dividido em duas partes inserindo-se em uma posicao qualquer de seu interior um terceiro ponto, digamos o ponto D. Se D for inserido em um local em que as distancias dele as duas extremidades do segmento forem iguais, ele o dividira ao meio (ou na proporcao 1:1, ou ainda um para um), como na Figura 2. Figura 2: Segmento AB dividido ao meio Mas pode-se escolher qualquer outra posicao para o ponto D. A figura 3 mostra situacoes diversas em que o ponto D divide o segmento em diferentes proporcoes, como 1:2 (um para dois, no ponto D2), 1:3 (um para tres, no ponto D3), 1:4 (um para quatro, no ponto D4) ou qualquer outra, como a mostrada pelo ponto D da Figura 3. Figura 3: Segmento AB dividido em diversas proporcoes Pois bem, considerando-se tudo isto, voltemos a nossa pergunta: alguma dessas formas de dividir o segmento ou qualquer outra, a seu criterio poderia ser considerada a melhor? Talvez agora, que voce entendeu a pergunta em toda a sua profundidade, extensao e desdobramentos, lhe advenha a certeza de que ela e realmente estupida. Como considerar uma forma qualquer de dividir um segmento melhor que outra? O que se pode considerar melhor em um contexto como este? Pois bem: estupida ou nao, essa questao preocupa a humanidade ha milenios. Ela vem sendo discutida atraves dos seculos pelas mais privilegiadas mentes das geracoes passadas. A historia relata que esta pergunta ocupou os pensamentos de genios do quilate de Johannes Kepler, o astronomo que concebeu as leis do movimento planetario, Pitagoras, o mago dos numeros, Euclides, o pai da geometria (me refiro a euclidiana, naturalmente), Leonardo da Vinci, o genio da ciencia e das artes, e gente talvez menos ilustre mas nem por isso menos importante como Leonardo de Pisa (tambem conhecido como Leonardo Pisano, ou Fibonacci), que concebeu a sequencia de Fibonacci, Luca Pacioli, que dedicou todo um tratado a este tema e centenas, talvez milhares, dos mais ilustres matematicos, geometras, astronomos e cientistas que abrilhantaram a historia da humanidade e que acreditaram que sim, ha uma forma melhor que todas as demais para dividir um segmento de reta. Como e que pode? E qual seria esta forma ideal de dividir um segmento, uma proporcao tao especial que despertou tamanho interesse em mentes tao privilegiadas? Esta divisao seria a correspondente a posicao do ponto D na Figura 3, que define o chamado Segmento Aureo, mostrada em destaque na Figura 4. Ela foi considerada por todos estes cerebros geniais como a forma mais bonita, mais harmonica, mais elegante, esteticamente perfeita, a mais nobre maneira de dividir um segmento de reta. Figura 4: O segmento aureo Mas o que tem esta posicao do ponto D que a torna tao
especial? E em que proporcao ela divide o segmento? Voltemos um pouco no tempo. Caminhemos pouco mais de vinte e tres seculos em direcao ao passado ate o ano 300 AC quando o genial Euclides publicou seus Elementos, uma formidavel colecao de treze volumes que sedimentaram as bases da chamada Geometria Euclidiana e que foram, talvez, junto com o Philosophiae naturalis principiae mathematica de Newton, as publicacoes mais importantes da ciencia universal. Euclides iniciou os Elementos pelos postulados, ou axiomas, verdades tao evidentes que nao necessitavam (algumas delas na verdade nem poderiam) ser demonstradas. Como por exemplo o axioma que afirma que por um ponto de um plano so se pode tracar uma reta paralela a outra reta. Em seguida, usando apenas seus axiomas, regua, compasso e logica pura, Euclides demonstrou diversas proposicoes ou teoremas. Por exemplo, a proposicao 10 do livro 1 dos Elementos mostra como dividir um segmento de reta exatamente ao meio tracando duas circunferencias a partir de suas extremidades e unindo as intersecoes destas circunferencias por uma reta que, demonstrou Euclides, nao somente dividia o segmento ao meio como era perpendicular a ele (veja Figura 5). Figura 5: Divisao de um segmento ao meio (Euclides, Elementos, livro 1) E assim, de teorema em teorema, Euclides criou toda uma estrutura maravilhosamente complexa e interligada de conhecimentos que hoje conhecemos por geometria Euclidiana. Pois bem: na proposicao 30 do livro 6 de seus Elementos Euclides ensina como dividir um segmento nas razoes media e extrema. E esta divisao, voce ja deve ter adivinhado, corresponde exatamente aquela exibida na Figura 4, que define o segmento aureo (ou de ouro). O que quis Euclides dizer quando se referiu as razoes media e extrema? Simples: ele quis dizer que a razao (ou proporcao) existente entre o comprimento do segmento inteiro e o de sua maior divisao (razao extrema) e exatamente igual a razao (ou proporcao) entre o comprimento desta maior divisao e o da menor (razao media). E que e exatamente isto, esta dupla proporcionalidade entre apenas tres elementos, que torna esta forma de dividir o segmento tao especial. Empregando o meio usual de exprimir proporcoes, teremos: AB/AD = AD/DB Mas qual sera o valor (numerico) desta proporcao? Bem, nao e dificil calcula-lo. Bastam algumas nocoes elementares de matematica, incluindo a resolucao de uma equacao do segundo grau, coisa que se aprende no primeiro (desculpem, mas o jogo de palavras foi irresistivel...) A solucao e mostrada na Figura 6, mas se voce nao e chegado a matematica pode pular os entrementes e ir direto aos finalmentes logo apos a figura. Figura 6: Calculo da Razao Aurea A proporcao que estavamos procurando corresponde a primeira solucao, cujo valor Fi (ja justificaremos este estranho nome) e 1,61803 e a proporcao sera de 1:1,61803... Esse numero, o irracional Fi = 1,61803..., e um numero muito especial sobre o qual ainda falaremos muito hoje e nas proximas colunas. Mas, antes de prosseguir, vamos ver o que e exatamente um numero irracional. Trata-se de um numero que nao pode ser obtido pela divisao de dois numeros inteiros e
que, quando expresso sob a forma de fracao decimal, resulta em um numero fracionario com uma quantidade infinita de casas decimais. O Prof. Ron Knott, usando o aplicativo matematico Maple, computou o valor numerico de Fi com dez mil casas decimais, que pode ser encontrado aqui (e, apenas para sua informacao: Fi foi o primeiro numero irracional conhecido pela matematica). Mas por que o nome Fi? Bem, acontece que numeros importantes tem nomes e simbolos. Voce certamente conhece o mais famoso deles, o numero Pi, simbolizado pela letra grega de mesmo nome, tambem irracional e tambem representando uma proporcao geometrica (entre o comprimento de uma circunferencia e o de seu diametro). Pois nosso numero, aquele que representa a proporcao aurea, tambem recebeu um nome, que deriva igualmente de uma letra grega, a letra Fi (em ingles escreve-se Phi, com o ph pronunciado com o som do fonema f). Ha quem considere Pi e Fi os dois numeros mais importantes da matematica. A representacao de ambos sob a forma das letras gregas correspondentes pode ser vista na Figura 7. Figura 7: Representacoes de Fi e de Pi Da importancia de Pi estou certo que voce esta ciente. E Fi, por que sera tao importante? Apenas porque representa a proporcao aurea? O que tem ele de tao especial? Da para escrever um tratado sobre isso (e de fato, em 1509 Frei Luca Bartolomeo Paciolo, matematico italiano e colaborador de Leonardo da Vinci, publicou um, intitulado La Divina Proportione, a divina proporcao, um nome alternativo pelo qual e conhecida a razao aurea). Mas vamos abordar aqui apenas alguns pontos essenciais. Primeiro: por que Fi? Qual a razao de escolherem justamente esta letra grega entre tantas para representar o numero correspondente a razao aurea? Consta que foi uma homenagem a Fidias, o famoso arquiteto e escultor grego que viveu ha dois mil e quatrocentos anos mas cuja obra monumental perdura ate hoje e que usava e abusava da razao aurea em suas obras. Por isso adotaram sua inicial (em grego) para dar nome ao numero Fi que representa esta razao. E, se resta alguma duvida sobre o fato de Fidias dedicar uma atencao especial a este numero basta examinar a Figura 9, que mostra uma reproducao do frontispicio original da mais celebre de suas obras, o Partenon, cujas ruinas (a Figura 8 exibe uma foto) ate hoje enfeitam o monte Olimpo, em Atenas. Figura 8: Ruinas do Partenon, no Monte Olimpo Na Figura 9 estao assinaladas algumas das relacoes entre os elementos estruturais que obedecem a razao aurea, inclusive o retangulo que circunscreve a fachada (um retangulo aureo, ou seja, aquele cujos lados obedecem a proporcao aurea). Figura 9: Frontispicio do Partenon com razoes aureas destacadas E por que teria Fidias recorrido tantas vezes ao numero Fi? Uma das mais importantes contribuicoes a ciencia matematica foi dada pelos seguidores de Pitagoras que fundaram a Escola Pitagorica, uma organizacao secreta de carater religioso com 300 membros que se dedicavam ao estudo da Matematica e da Filosofia. Todas as suas acoes eram orientadas por uma frase proferida por
Pitagoras que afirmava: Os numeros sao o principio, a fonte e a raiz de todas as coisas. O simbolo da confraria era o pentagrama, uma estrela de cinco pontas sobre a qual voltaremos a falar mas que desde ja podemos dizer que se baseia exclusivamente em combinacoes de segmentos de reta que obedecem a proporcao aurea. Os Pitagoricos descobriram que coisas como a harmonia musical e as relacoes geometricas poderiam ser expressas atraves de numeros. Disso concluiram que tudo no universo, desde os objetos fisicos ate fenomenos atmosfericos e o movimento dos corpos celestes era regido por numeros. Acreditavam que Deus era um geometra e os numeros e figuras geometricas tinham natureza e poder divinos. Cada numero representava algo. Os numeros pares eram femininos e os impares, exceto 1, eram masculinos. O numero 1, por ser o formador de todos os demais, representava Deus. O numero 5 representava o casamento por ser a soma do primeiro numero feminino (2) com o primeiro masculino (3; nao esqueca que 1 nao era masculino). Mas havia outros significados para os numeros. Por exemplo: 2, o primeiro numero feminino, representava igualmente o intelecto, para gaudio das feministas. O numero 3 representava o filho, o terceiro elemento da familia. E, talvez como uma prova de sua divina sabedoria, para os Pitagoricos o numero 5 que representava o casamento representava igualmente a nocao de caos. Pois bem: o que diziam os Pitagoricos do numero Fi? Sim, eles o conheciam. E alem de o utilizarem fartamente na formacao de seu simbolo, o pentagrama, acreditavam que seu uso conferia harmonia e beleza aos objetos. Era considerado como representante da perfeicao. Crenca, alias, compartilhada pela maioria das instituicoes financeiras modernas. Se duvida, meca as dimensoes de seu cartao de credito ou cartao bancario e divida a largura pela altura (em geral 8,4 cm x 5,2 cm). Se o resultado nao for igual a Fi, sera algo muito proximo dele (ou seja: seu cartao de credito e um retangulo aureo, quem diria...) Pois era por isso, por esta busca da beleza e harmonia, que Fidias dedicava tamanha atencao a proporcao aurea. Espantou-se por encontrar o numero Fi em algo tao prosaico como seu cartao de credito? Pois se espantara muito mais ao longo desta serie de colunas: ira encontra-lo nos lugares mais improvaveis, de grandes obras arquitetonicas modernas, como o predio da ONU em Nova Iorque, ate conchas de moluscos, folhas de arvores e em um numero imenso de famosas obras de arte. Alem de espalhado, por mais que lhe custe crer, por todo o nosso corpo. Mas na coluna de hoje estamos mais interessados em suas (curiosissimas) propriedades numericas. Entao vamos a elas. Para comecar, nao deve ter lhe passado despercebido o fato da equacao do segundo grau que fornece o resultado de Fi ter duas raizes. Que, calculadas, resultam em: x = 0,61803... e x = -1,61803... Pois bem: o simetrico da segunda, como ja vimos, corresponde a razao Fi e costuma ser representada pela letra Fi maiuscula. A primeira, que corresponde a relacao entre os comprimentos do segmento menor
e do maior, designaremos pela letra fi minuscula. Nas figuras e relacoes matematicas exibidas sob a forma de ilustracoes, usaremos as letras gregas correspondentes, como na Figura 10. Figura 10: Representacoes de Fi e fi Os numeros Fi e fi apresentam propriedades singulares que se consubstanciam em interessantes relacoes numericas das quais algumas citaremos adiante. Todas podem ser demonstradas matematicamente, mas incluir aqui sua demonstracao tornaria esta coluna enfadonha. Em vez disso vou demonstrar apenas uma delas, a primeira, por ser quase evidente (e se nao lhe agradarem demonstracoes matematicas, pule a figura). Quanto as demais, citarei a fonte onde encontrar a demonstracao. Como vimos na Figura 6, obtivemos o numero Fi invertendo o valor da raiz positiva da equacao de segundo grau. E qual era o valor daquela raiz? Era, naturalmente, o inverso de Fi. Vejamos na figura 11 qual seu valor numerico (consulte a Figura 6 se precisar): Figura 11: Algumas relacoes entre Fi e fi O numero fi = 0,61803..., tambem chamado de razao aurea conjugada, corresponde a raiz positiva da equacao de segundo grau resolvida na Figura 6. Ele representa o inverso da razao aurea, ou seja, a razao entre os comprimentos da menor e da maior divisao do segmento (ou a relacao entre o comprimento da maior divisao e o do segmento inteiro, o que da no mesmo). Repare nas tres relacoes circundadas por um retangulo na parte inferior da Figura 11. A primeira significa que Fi e o inverso de fi, como demonstrado logo acima na mesma figura. A segunda e evidente por si mesma: subtraindo-se 1 de Fi obtem-se fi. Mas a terceira, que se obtem combinando as duas primeiras, ilustra uma propriedade singular, ja que Fi e o unico dentre os numeros reais positivos que a exibe: seu inverso e igual a ele mesmo menos a unidade. As demais propriedades (ou representacoes de Fi) encontradas na Figura 12, algumas delas tambem unicas entre os numeros reais, podem igualmente ser demonstradas e se voce se interessa por este tipo de coisa encontrara a demonstracao na Wikipedia em espanhol(cuidado: a Wikipedia em ingles tambem as demonstra mas usa as letras gregas invertidas para representar as razoes, ou seja, representa Fi com a letra grega minuscula e fi com a maiuscula). Veja como sao singulares e interessantes (eu nao disse que Fi era um numero muito especial?) Figura 12: Relacoes adicionais entre Fi e Fi A primeira destas relacoes e absolutamente unica: ela significa que para se obter o quadrado de Fi, basta somar uma unidade ao proprio Fi. As demais sao formas alternativas e curiosas de se obter os valores numericos de fi e Fi. Agora, que ja conhecemos tanto sobre o numero Fi e a razao aurea, falta conhecer apenas uma forma de determina-la (ou seja, de dividir um segmento na razao aurea). E se voce achou que isso e muito facil pois basta dividir o comprimento total do segmento por Fi para encontrar a maior divisao certamente esqueceu-se que Fi e um numero irracional, com uma quantidade infinita de casas decimais, portanto a divisao
jamais resultara em um valor exato (embora, usando-se uma representacao de Fi com um numero suficiente de casas decimais resulte em um valor tao aproximado que jamais poderia ser distinguido de um valor exato; mas nos aqui nao nos satisfaremos com menos que o valor exato). Pois aqui esta a forma de faze-lo, geometricamente. A Figura 13 mostra a construcao. Figura 13: Como encontrar o ponto D ANIMACAO: Clique aqui para acompanhar passo a passo a construcao acima em uma animacao. E se voce esta interessado na justificativa matematica do procedimento acima, podera encontrar uma interessante demonstracao aqui. Pronto, agora voce ja foi apresentado ao numero Fi. Entao, preparando-nos para a proxima coluna, vou lhe propor um pequeno problema. Que parece nada ter a ver com Fi, mas sempre e bom tomar cuidado com essas afirmacoes ja que este numero estranho costuma aprontar surpresas. Mas seja la como for, vamos ao problema. Partamos das seguintes suposicoes: 1) um cavalheiro adquiriu um casal de coelhos recem nascidos; 2) este (e qualquer outro) casal de coelhos demora um mes exato para atingir a maturidade, tornando-se fertil e podendo reproduzir; 3) cada casal de coelhos fertil gera um casal de filhos a cada mes, aceitando-se cruzamentos consanguineos (e um problema de matematica, nao de genetica...); 4) o cavalheiro jamais se desfaz de seus coelhos que, por sua vez, nunca morrem (como eu disse, e um problema de matematica...). Isto posto, e obedecendo-se a estas estranhas condicoes, pergunto: ao final de um ano quantos coelhos o cavalheiro possuira? E quantos possuia a cada mes? (reitero: e um problema de matematica, nao uma pegadinha ou qualquer brincadeira parecida; o resultado sera a raiz do assunto da proxima coluna e pode ser obtido exclusivamente atraves de raciocinio logico baseado nas premissas acima) Quem acertar, ganha um bombom. Criando coelhos Seu nome era Leonardo, filho de Guglielmo. Seu pai era um homem tao bem-humorado que tornou-se conhecido por Bonacci, uma palavra que gerou em portugues o termo bonachao. Por isso, depois de sua morte, Leonardo passou a ser conhecido tambem por Fibonacci, que significa figlio Bonacci, o filho de Bonacci. Voce encontrara ainda citacoes que se referem a ele pelo nome de Leonardo Bigollo (termo toscano usado para designar viajante e logo voce vera por que), Leonardo Pisano ou Leonardo de Pisa, por haver nascido em Pisa em plena Idade Media, provavelmente em 1170, a mesma Pisa de cuja torre inclinada seu conterraneo Galileu tres seculos mais tarde deixaria cair duas esferas de massas diferentes e, ao constatar que chegavam ao solo no mesmo instante, demonstraria que a velocidade com que um corpo cai independe de sua massa, contrariando Aristoteles que afirmava o contrario. Mais isso e uma mera divagacao que nada tem a ver com Fibonacci, sobre quem sabe-se surpreendentemente pouco para um homem de tamanha importancia para as ciencias matematicas e cujo nome e citado com tanta frequencia tres quartos de milenio apos sua morte. Sabe-se, por exemplo, que Leonardo viveu ate 1250, atingindo idade avancada para os tempos medievais. Ainda jovem, viajou ate o Norte da
Africa e viveu por alguns anos na cidade de Bugia (atualmente Bejaia, na Argelia), onde seu pai trabalhou como consul da Republica de Pisa (Il Risorgimento, ou a unificacao da Italia, apenas sobreveio no seculo XIX; na idade media as cidades que hoje a formam eram comunas ou republicas independentes). Na epoca em que viveu Fibonacci todo o Norte da Africa e parte da Europa (inclusive a Peninsula Iberica) estavam sob dominacao arabe. As funcoes oficiais de Guglielmo Bonacci eram ligadas a alfandega e, portanto, ao comercio internacional. O que fez com que ele e seu filho Leonardo se enfronhassem nas artes dos calculos matematicos. Algo relativamente simples nao fora por um detalhe: em Pisa, ainda por influencia do velho Imperio Romano, usava-se a notacao numerica que hoje conhecemos por algarismos romanos, enquanto no Norte da Africa ja se usava o modus Indorum, ou metodo dos hindus, a notacao trazida da India pelos arabes, aquela que por esta razao conhecemos por algarismos arabicos e passamos a usar no sistema numerico posicional de base dez, o sistema decimal. O prezado leitor ja se dedicou alguma vez na vida a efetuar calculos utilizando a notacao romana? Experimente. Uma continha simples, uma bobagem. Digamos: sua idade, subtraindo o ano em que voce nasceu do ano atual. Pegue o lapis e anote ai: MMVII, o Ano da Graca em que estamos. Agora exprima o ano de seu nascimento em algarismos romanos. Nao sabe? Use o meu: MCMXXXIX (voce pensava que eu era mais novinho, nenao?). Entao, vamos nessa: escreva o ultimo numero logo abaixo do primeiro e faca a subtracao. Mas lembre: sem converter para a notacao arabica. Sei nao, mas acho que se depender dessa conta minha idade continuara a ser um misterio para voce... Percebeu a dificuldade? Pois Leonardo tambem (e se voce nao percebeu ou nao sabe exatamente o que e um sistema numerico posicional, de-me a honra de uma visita a meu Sitio, va ate a secao "Escritos, clique no botao Microcosmo, o nome de uma velha colecao de colunas que publiquei no seculo passado, e leia a coluna Fazendo conta, de 16/01/1995; aposto que achara muito interessante). Pois Leonardo achou a notacao numerica usada pelos arabes tao mais simples e, sobretudo, o uso de seu sistema numerico posicional tao mais facil, que dedicou toda a juventude a seu estudo, viajando pela Africa e Europa Mediterranea para manter contato com os mais eruditos matematicos do mundo Arabe e enfronhar-se nos misterios da obra de Al-Khwarismi (qualquer semelhanca com o termo algarismo nao e mera coincidencia), apenas retornando a Pisa no ano de 1200. Dois anos depois, aos 32 de idade, publicou o Liber Abaci (o livro dos calculos), obra que fez com que fosse considerado por muitos como o matematico mais talentoso da Idade Media. Figura 1: Leonardo de Pisa, o Fibonacci Sobre seu livro, diz o proprio Fibonacci: seguindo rigorosamente o metodo dos Hindus (modus Indorum) e tendo muito sofrido para estuda-lo, acrescentando algumas coisas de minha propria autoria e agregando tambem certos conhecimentos das sutilezas da arte da Geometria Euclidiana,