Principio Cosmologico (para uma visao geral do procedimento de Friedmann veja Os primeiros passos na cosmologia relativista). Posteriormente, o matematico e fisico norte-americano Howard Robertson (19031961) e o matematico ingles Arthur Walker (19092001) mostraram, independentemente, em meados da decada de 1930, que as solucoes de Friedmann eram caracterizadas pela metrica espacio-temporal mostrada na Eq. 4. Devido as simetrias introduzidas pelo Principio Cosmologico, esta metrica, que ficou conhecida como metrica de Friedmann-Robertson-Walker, e, tambem, mais apropriadamente expressa em coordenadas esfericas:. (4)S(t) e o chamado fator de escala do universo e k e a constante de curvatura da secao espacial. Esta metrica descreve os modelos em expansao tipicos do MPC e tambem admite modelos particulares em contracao. Os valores de k podem ser: +1, correspondendo a um universo finito, ilimitado e fechado, 1, a um universo infinito e aberto e 0, a um universo infinito e plano (ou critico). A geodesica nula e em geral curva, sendo reta apenas para o modelo critico. Estas tres possibilidades estao ilustradas na Fig. 2.Figura 2Representacoes bidimensionais das secoes espaciais dos espacos-tempos deFriedmann-Robertson-Walker. As somas dos angulos internos dos triangulosvermelhos sao: maior do que 180, menor do 180 e igual a 180, para assecoes espaciais fechada, aberta e plana, respectivamente.O universo, ou modelo, de Friedmann fechado possui densidade de materia-energia maior do que a chamada densidade critica, o universo aberto possui densidade menor do que a densidade critica, e o universo plano e o modelo cuja densidade e a densidade critica, e desta forma, a define. Todos estes modelos classicos de Friedmann estao em expansao desacelerada, sendo que o modelo fechado e ciclico, alternando fases de expansao e contracao. O leitor esta convidado a ler o artigo Observacoes sobre as solucoes classicas da equacao de Friedmann, onde algumas caracteristicas dos universos classicos de Friedmann sao discutidas.Como vimos, entao, o espaco-tempo de FRW, dado pela metrica da Eq. 4, e obviamente curvo pois representa uma solucao da TRG, e as suas secoes espaciais podem ou nao ser curvas, dependendo do valor da constante de curvatura k.4. Consideracoes finaisApresento aqui alguns textos que podem complementar e enriquecer a discussao sobre as caracteristicas do espaco-tempo e do espaco nas teorias relativistas.A TRG e uma teoria de gravitacao e admite inumeras solucoes, cada uma delas referente a uma situacao fisica diferente. Os dois exemplos que mencionamos acima, a saber, a solucao de Schwarzschild e a solucao de Friedmann sao qualitativamente bastante diferentes. A solucao de Schwarzschild tem sido comprovada exemplarmente pelas experiencias e observacoes astronomicas e e responsavel pelo enorme prestigio de que goza a TRG. Ja as solucoes cosmologicas de Friedmann ainda nao foram comprovadas nem por experiencias nem por observacoes astronomicas, ao contrario do que muitas vezes e apregoado. Uma discussao mais detalhada desta questao qualitativa e apresentada no artigo Uma pedra no caminho da Teoria da Relatividade Geral. Muitas vezes, o sucesso da solucao de Schwarzschild e inconscientemente transferido para as cosmologias modificadas de Friedmann, como se elas proprias fossem um sucesso de comprovacao observacional. O que de forma alguma e verdadeiro.Uma curiosidade: a deflexao gravitacional da luz, uma