com coeficiente constante[(1 - a)n] e termo variavel [(1 - a)segt].Este tipo de equacao diferencial (com coeficiente constante e termovariavel) pode, em alguns casos, ser resolvido pelo metodo dos coeficientes indeterminados. Como a equacao (55) e umdestes casos, vamos resolve-la por este metodo. Preparando a solucao, vamos fazer b = 1 - a (apenas para simplificar anotacao) e vamos colocar (55) na seguinte forma:(56) dz/dt + bnz = bsegtA solucao desta equacao, como sempre, e constituida pela soma da funcao complementar com a solucao particular.A dificuldade aqui e achar a solucao particular, em virtude de o termo [expressao do lado direito de(56)] ser funcao de t. Ja a funcaocomplementar pode ser achada sem dificuldade, pois o coeficiente (que e bn) e constante.Comecemos pela funcaocomplementar, que e a solucao da equacaodiferencial reduzida, qual seja, (57) dz/dt + bnz = 0Ou, dividindo tudo por z e rearrumando, tem-se:(57) dz/z = (-bn)dtIntegrando os dois lados, obtemos:(58) lnz = -bnt + CPortanto, a funcao complementar e a seguinte:(59) z(t) = e-bnteCOu, lembrando que eC e uma constante indefinida, tem-se:(59) z(t) = Ce-bnt Determinemos agora a solucaoparticular, que e qualquer solucao de (56), a equacao diferencial completa.A aplicacao do metodo dos coeficientes indeterminados e possivel aquiporque diferenciacoes sucessivas do termo(bsegt) geram sempre o mesmo tipo de expressao: uma constante multiplicando egt.Por exemplo:d(bsegt)/dt = bsgegt ; d2(bsegt)/dt2= bsg2egt ; dn(bsegt)/dtn= bsgnegtTenha-se presente que bsgn e uma constante.A solucao particular de (56) e(60) z(t) = Begtonde B e o coeficiente a ser determinado.Para determinar B, e melhor escrever (56) da seguinte forma:(61) z(t) + bnz(t) = bsegtA partir de (60), obtemos:(62) z(t) = BgegtAplicando (60) e (62) em (61), obtemos:(63) Bgegt + bnBegt = bsegt Ou(63) B(g+bn)egt = bsegtChega-se, entao, ao seguinte valor de B:Inserindo este valor de B em (60), obtemos a solucao particular queprocuramos:Juntando a funcao complementar (59) com a solucao particular (65),obtemos a seguinte solucao geral de (56):Supondo que conhecemos z(0), facamos t=0 em (66), de modo a determinarC:Portanto,Aplicando este valor de C na solucao geral (66), obtemos a solucaodefinida de (56), qual seja:[O teste da validade destasolucao e apresentado em anexo, no final deste texto.]Fazendo z = k1-a = kb, obtemos aseguinte solucao definida na variavel k:Quando t tende a infinito em (69), o primeiro termo dentro dos colchetes tende a zero, mas o segundo tendea infinito. Isto quer dizer que, no modelo com progresso tecnologico, arelacao K/L (=k) pode crescer indefinidamente (ao contrario do queacontece no modelo sem progresso tecnologico). Com isso, a relacao Y/L (=y) tambem podecrescer indefinidamente.ANEXO: Teste de validade das solucoes dos modelos em termos deproduto por unidade de trabalho (As solucoes em termos de produto total nao serao testadas porque sao as mesmas do texto de Solow)A validade da solucao de uma equacao diferencial deve ser testada emdois aspectos: (1) sua diferenciacao deve ser compativel com a equacaodiferencial original e (2) a solucao deve satisfazer a condicao inicial. Estestestes sao apresentados a seguir.A.1 Modelo Basico de Solow (MBS)Equacao diferencial original:(24) dz/dt + (1 - a)nz = (1 - a)sA solucao obtida foi a seguinte:Diferenciando (31), obtemos:Observando-se (31), ve-se que:Inserindo-se este