de um conjunto com os do outro, de talmodo que todos os elementos de cada conjunto tem exactamente um correspondente nooutro conjunto.O paraiso que Cantor criou Capitulo 436Se eu puder corresponder, elemento por elemento, dois conjuntos bem definidos Me N por uma operacao univoca (e, quando se pode faze-lo duma maneira, pode-se fazelotambem de muitas outras) (...) digo que estes conjuntos tem a mesma potencia, ouainda que eles sao equivalentes. (Cantor, 1883 [1887])Segundo esta definicao, pode procurar-se a equivalencia de grandes conjuntos, comoo dos lugares de um estadio e o dos espectadores que os ocupam para assistir a qualqueracontecimento: se houver espectadores sem lugar, ou se sobrarem lugares nao ocupados,os dois conjuntos nao sao equivalentes; caso contrario, sao.A definicao de Cantor nao exige que contemos, ou mesmo que conhecamos, aspopulacoes dos dois conjuntos para determinar se sao ou nao equivalentes.Como diz Radice (1981), Cantor teve a ousadia intelectual, que duzentos e cinquentaanos antes faltou a Galileu Galilei, de aplicar a definicao infantil de igualdade donumero cardinal de dois conjuntos ao caso de conjuntos infinitos, afirmando que umaparte pode ser equivalente ao todo quando se trata de conjuntos infinitos.Na obra de Galileu Dialogos de Duas Novas Ciencias, escrita dois seculos e meioantes de Cantor, o grande cientista italiano chamou a atencao para a correspondencia, deum para um, entre o conjunto dos numeros naturais e os seus quadrados, emboraintuitivamente parecesse haver muito menos quadrados do que numeros naturais.A contradicao que se deparou a Galileu resolve-se com facilidade, tendo apenas ematencao que o mesmo adjectivo, igual, pode ser empregue com dois significadosdiferentes.Um deles, com origem em Aristoteles, baseia-se no facto de a parte nao poder serigual ao todo, na medida em que no todo existe pelo menos um elemento que nao estana parte.O outro, cantoriano, considera que a parte pode ser igual em numero ao todo.Assim, Cantor nao so afirmou que a correspondencia, de um para um, entre oconjunto dos numeros naturais e os seus quadrados deveria ser literalmente aceite, comotambem provou que o conjunto dos numeros pares, dos impares, dos numerosO paraiso que Cantor criou Capitulo 437triangulares, ..., podem estar em correspondencia, um a um, com o conjunto dosnumeros naturais, ou seja, tem todos a mesma potencia, o mesmo cardinal.Cantor mostrou entao que qualquer subconjunto infinito dos numeros naturais eequipotente a .Quando consideramos ao mesmo tempo conjuntos finitos e infinitos, a equipotenciade um conjunto com uma sua parte propria torna-se uma caracteristica especifica dosconjuntos infinitos.Assim, em 1888, Richard Dedekind definiu um conjunto infinito como aquele emque se pode estabelecer uma bijeccao com um seu subconjunto proprio. Com estadefinicao, Dedekind revolucionou uma maneira de pensar milenaria. Agora ja nao senecessita de definir um conjunto infinito com a negacao do que e finito, podemos, pelocontrario, definir o finito como negacao do que e infinito, ou seja, um conjunto e finitose nao estiver em bijeccao com nenhuma parte propria.O conjunto infinito mais pequeno e o conjunto dos numeros naturais, cujo cardinal edenotado pelo simbolo 0 (alefe-zero), de acordo com a primeira letra do alfabetohebraico. Este numero e o numero infinito mais pequeno.Cantor ficou seduzido pela estranha aritmetica