o passar do tempo o estudante, devido a outras atividades profissionais, pode esquece-los.Portanto, resumiremos sobre alguns topicos importantes sobre vetores no espaco bidimensional e tridimensional, componentes escalares e vetoriais, vetores unitarios ou versores, produto escalar ou produto interno. Depois, chegaremos na magnifica tecnica de derivacao de um vetor em relacao a uma variavel x e da derivacao do produto escalar. No final do estudo sao lancados e respondidos quatro questoes para fixar mais o aprendizado do aluno sobre o tema.Sabemos que os vetores sao assuntos presentes em todos os estudos que envolvem as Ciencias Exatas, por isso abra sua mente e tenha um profundo interesse e dedicacao neste tema. Os leitores deste blog residentes no Brasil, Angola, Portugal, India, Franca, nas Americas e em toda a Europa que recebem estes estudos via e-mail nao conseguirao ver as equacoes em um formato elegante, por isso precisam acessar as postagens pelos seus navegadores Firefox, IE, Chrome e outros. Bons estudos! VISUALIZACAO DE UM VETOR EM DUAS DIMENSOESAs figuras a seguir foram inseridas apenas para voce visualizar e recordar sobre um vetor e suas componentes. Inicialmente, vamos considerar um vetor A, no espaco bidimensional, de acordo com a figura abaixo. O vetor A possui componentes escalares, dadas por Ax e Ay e componentes vetoriais, dadas por Axi e Ayj, que atuam nas direcoes positivas dos versores i e j. Os versores sao vetores unitarios e ortogonais. Possuem caracteristicas interessantes de serem fixos no espaco e nao variar com o tempo.Estamos interessados nas componentes vetoriais do vetor A, que de acordo com a figura e dada por$$\vec{A}=A_{x}\hat{i}+A_{y}}{\hat{j}.$$VISUALIZACAO DE UM VETOR EM TRES DIMENSOESAgora, vamos considerar um vetor A, no espaco tridimensional, de acordo com a figura abaixo. Dessa vez, o vetor A possui componentes escalares, dadas por Ax e Ay e Ax e componentes vetoriais dadas por Axi, Ayj e Ayz. Observe que as componentes do vetor A tambem sao atuantes nas direcoes positivas dos versores cartesianos unitarios e positivos i, j, k.Estamos interessados nas componentes vetoriais do vetor A, que de acordo com a figura e expressada por$$\vec{A}=A_{x}\hat{i}+A_{y}}{\hat{j}+A_{z}}{\hat{k}}.$$O PRODUTO ESCALAR ENTRE VETORESJa estamos um pouco familiarizados com o conceito de produto escalar ou produto interno entre dois vetores: obtemos um pequena nocao sobre produto interno no estudo intitulado O Delta de Kronecker, a partir da pagina 2.Para iniciarmos nosso trabalho com os vetores vamos optar por representa-los por duas letras gregas, no caso, pela letra alfa e por beta. Sabemos que o produto escalar e definido como:$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} =|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|cos\theta.$$Igualando o angulo a 0o, seu cosseno se igualara a 1 e a expressao acima torna-se$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} =|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|.$$Vimos, de acordo com a ultima figura, que no sistema de coordenadas cartesianas os vetores podem ser especificados pelas suas respectivas componentes vetoriais, nesse caso, por:$$\vec{\alpha} =\alpha_{x}\hat{i}+\alpha_{y}}{\hat{j}+\alpha_{z}}{\hat{k}$$e por$$\vec{\beta} =\beta_{x}\hat{i}+\beta_{y}}{\hat{j}+\beta_{z}}{\hat{k}.$$PRODUTO ESCALAR EM FUNCAO DAS COMPONENTES VETORIAISO calculo do produto escalar destes vetores em funcao das suas componentes pode ser efetuado da seguinte maneira:$$\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}=(\alpha_{x}\hat{i}+\alpha_{y}\hat{j}+\alpha_{z}}{\hat{k})(\beta_{x}\hat{i}+\beta_{y}}{\hat{j}+\beta_{z}}{\hat{k}).$$Utilizando as seguintes propriedades dos versores$$\hat{i}\cdot \hat{i}=\hat{j}\cdot \hat{j}=\hat{k}\cdot \hat{k}=1$$e$$\hat{i}\cdot \hat{j}=\hat{i}\cdot \hat{k}=\hat{j}\cdot \hat{k}=0,$$podemos multiplicar cada termo das componentes vetoriais do vetor alfa$$(\alpha_{x}\hat{i}+\alpha_{y}}{\hat{j}+\alpha_{z}}{\hat{k})$$por cada termo das componentes