thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
= ( aij ) e matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j entao podemos afirmar que o seu determinante e igual a:*a) 0b) 1c) 2d) 3e) -42 - UFBA-90 - Calcule o determinante da matriz:Resp: 153 - Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i 3 j e aij = i + j se i < j. Pede-se calcular a soma dos elementos da diagonal secundaria.Resp: 124 - As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, sao tais que B = 2.At , onde At e a matriz transposta de A.Se o determinante de B e igual a 40 , entao o determinante da matriz inversa de A e igual a:*a) 1/5b) 5c) 1/40d) 1/20e) 205 - Dadas as matrizes A = (aij)3x4 e B = (bij)4x1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elementoc12 da matriz C = A.B e:a)12b) 11c) 10d) 9*e) inexistente
Considere a figura abaixo, onde vemos um triangulo ABC inscrito numa circunferencia de raio R. Observe que tambem podemos dizer que a circunferencia esta circunscrita ao triangulo ABC.Na figura acima, temos:AH = diametro da circunferencia = 2R(R = raio)AO = OH = raio da circunferencia = RMedidas dos lados do triangulo ABC:AB = c, BC = a e AC = b.Para deduzir o teorema dos senos, vamos iniciar observando que os angulos H e B sao congruentes ou seja possuem a mesma medida, pois ambos estao inscritos no mesmo arco CA. Alem disso, podemos afirmar que o angulo ACH e reto (90o), pois AH e um diametro. Portanto o triangulo ACH e um triangulo retangulo.Podemos entao escrever:sen H = sen B = cateto oposto / hipotenusa = AC / AH = b/2RLogo, fica: sen B = b / 2R e, portanto, b/senB = 2R.Analogamente chegariamos as igualdadesc/senC = 2Ra/senA = 2RComo estas tres expressoes sao todas iguais a 2R, poderemos escrever finalmente:Esta expressao mostra que as medidas dos lados de um triangulo qualquer sao proporcionais aos senos dos angulos opostos a estes lados, sendo a constante de proporcionalidade igual a 2R, onde R e o raio da circunferencia circunscrita ao triangulo ABC. Este e o teorema dos senos TS.O teorema dos senos visto acima, permite a deducao de uma importante formula para o calculo da area de um triangulo qualquer. Seja o triangulo ABC da figura abaixo, de altura h.Sabemos que a area de um triangulo e igual ao semiproduto da base pela altura:S = 1/2 . base . altura . Logo,S = 1/2 . a . hMas, no triangulo retangulo CAH, podemos escrever:sen C = cateto oposto/hipotenusa = h/b h = b.senCSubstituindo na formula da area acima, vem:S = 1/2.a.b.senCMas, sabemos do teorema dos senos quec/senC = 2R, onde R e o raio da circunferencia circunscrita ao triangulo ABC. Logo: senC = c / 2RPortanto, S = 1/2.a.b.c/2R = abc/4R.Temos entao a seguinte formula para o calculo da area de um triangulo qualquer:onde a, b e c sao as medidas dos lados do triangulo e R e o raio da circunferencia circunscrita ao triangulo e S a area do triangulo.Ja sabemos da Geometria Plana, que a area de um triangulo ABC, cujos lados medem respectivamente a, b e c, e dada pela formula:onde p e o semiperimetro do triangulo ou seja: p = (a+b+c) / 2Esta formula e conhecida comumente como Formula de Heron.Heron de Alexandria celebre geometra grego. Viveu no seculo 1o da era crista.Assim, substituindo o valor de S da formula anterior, na formula S=abc/4R,encontraremos uma formula util para o calculo do raio da circunferencia circunscrita a um triangulo qualquerde lados a, b e c:Temos: S = abc / 4R R = abc / 4SPortanto,Onde p, conforme vimos acima e o semiperimetro dado por p = (a+b+c)/2.Exemplo de aplicacao: Vestibular da Univ. Federal do Ceara/1990Seja R o raio do circulo circunscrito ao triangulo cujos lados medem 10m, 17m e 21m. Determine em metros, o valor de 8R.Solucao:Temos: a = 10, b = 17 e c = 21 p =
(10+17+21) / 2 = 24Portanto, substituindo diretamente na formula acima, fica:Como o problema solicita o valor de 8R, vem: 8R = 8.170/16 = 170/2 = 85.Portanto, 8R = 85, que e a resposta do problema.Resposta: 85m
Considere o triangulo ABC na figura abaixo:AH = altura do triangulo em relacao a base CB.Medidas dos lados: AC = b, AB = c e CB = a.Podemos escrever no triangulo AHB:AH2 + HB2 = c2 (Teorema de Pitagoras).Analogamente, podemos aplicar o teorema de Pitagoras no triangulo AHC:b2 = CH2 + AH2Mas, CH = CB HB = a HBPortanto: b2 = (a - HB)2 + AH2b2 = a2 2.a.HB + HB2 + AH2Observe que HB2 + AH2 = AB2 = c2Entao fica: b2 = a2 + c2 2.a.HBNo triangulo retangulo AHB, podemos escrever:cosB = cateto adjacente/hipotenusa = HB/cDai, HB = c.cosBSubstituindo, fica:b2 = a2 + c2 2.a.c. cosBDa formula acima, concluimos que num triangulo qualquer, o quadrado da medida de um lado e igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo coseno do angulo que eles formam.Isto e o TEOREMA DOS COSENOS TC.Analogamente, poderemos escrever:a2 = b2 + c2 2.b.c.cosAc2 = a2 + b2 2.a.b.cosCEm resumo:a2 = b2 + c2 2.b.c.cosAb2 = a2 + c2 2.a.c.cosBc2 = a2 + b2 2.a.b.cosCExemplo 1: Num triangulo dois lados de medidas 4cm e 8cm formam entre si um angulo de 60o. Qual a medida do outro lado?Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos:x2 = 42 + 82 2.4.8.cos60o = 16 + 64 2.4.8.(1/2), ja que cos60o = 1/2.x2 = 16 + 64 32 = 48 = 16.3; logo, poderemos escrever:x2 = 42.3 x = 4O3 cmExemplo 2: Determine o comprimento do lado de um hexagono regular inscrito num circulo de raio R.R = raio do circulo.Sabemos que um hexagono regular possui 6 lados de medidas congruentes, ou seja de medidas iguais. Observe que o angulo A e igual a 60o. Logo, o lado PQ do hexagono regular sera dado pelo teorema dos cosenos por:PQ2 = R2 + R2 2.R.R.cos60o = 2R2 R2 (Obs: cos60o = 1/2)PQ2 = R2, de onde conclui-se: PQ = R.CONCLUSAO: A medida do lado de um hexagono regular inscrito num circulo de raio R e igual a R. Esta e uma propriedade importantissima dos hexagonos regulares. Vale a pena memorizar esta propriedade dos hexagonos regulares. Considere a funcao y = ax , denominada funcao exponencial, onde a base a e um numero positivo e diferente de 1, definida para todo x real.Observe que nestas condicoes, ax e um numero positivo, para todo x I R, onde R e o conjunto dos numeros reais.Denotando o conjunto dos numeros reais positivos porR+* , poderemos escrever a funcao exponencial como segue:f: R R+* ; y = ax , 0 < a 1 1Esta funcao e bijetora, pois:a) e injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.b) E sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradominio.Assim sendo, a funcao exponencial e BIJETORA e, portanto, e uma funcao inversivel, OU SEJA, admite uma funcao inversa.Vamos determinar a funcao inversa da funcao y = ax , onde 0 < a 1 1.Permutando x por y, vem:x = ay \ y = logaxPortanto, a funcao logaritmica e entao:f: R+* R ;
y = logax , 0 < a 1 1.Mostramos a seguir, os graficos das funcoes exponencial ( y = ax ) e logaritmica( y = logax ), para os casos a > 1 e 0 < a 1 1. Observe que, sendo as funcoes, inversas, os seus graficos sao curvas simetricas em relacao a bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simetricos em relacao a reta y = x.Da simples observacao dos graficos acima, podemos concluir que:1 - para a > 1, as funcoes exponencial e logaritmica sao CRESCENTES.2 - para 0 < a 1 1, elas sao DECRESCENTES.3 - o dominio da funcao y = logax e o conjunto R+* .4 - o conjunto imagem da funcao y = logax e o conjunto R dos numeros reais.5 - o dominio da funcao y = ax e o conjunto R dos numeros reais.6 - o conjunto imagem da funcao y = ax e o conjunto R+* .7 - observe que o dominio da funcao exponencial e igual ao conjunto imagem da funcao logaritmica e que o dominio da funcao logaritmica e igual ao conjunto imagem da funcao exponencial. Isto ocorre porque as funcoes sao inversas entre si.Vamos agora, resolver os seguintes exercicios sobre logaritmos:1 - Se S e a soma das raizes da equacao log2 x - logx - 2 = 0 , entao calcule o valorde 1073 - 10S.SOLUCAO:Facamos logx = y; vem:y2 - y - 2 = 0Resolvendo a equacao do segundo grau acima, encontramos: y = 2 ou y = -1.Portanto,logx = 2 OU logx = -1Como a base e igual a 10, teremos:log10x = 2 \ x = 102 = 100log10x = -1 \ x = 10-1 = 1/10As raizes procuradas sao, entao, 100 e 1/10.Conforme enunciado do problema, teremos:S = 100 + 1/10 = 1000/10 + 1/10 = 1001/10Logo, o valor de 1073 - 10S sera:1073 - 10(1001/10) = 1073 - 1001 = 72Resp: 722 - Calcule o valor de y = 6x onde x = log32 . log63 .SOLUCAO:Substituindo o valor de x, vem:y = 6log32 . log63 = (6log63)log32 = 3log32 = 2Na solucao acima, empregamos a propriedade blogbM = M , vista anteriormente.Resp: 23 - UEFS - Sendo log 2 = 0,301, o numero de algarismos de 520 e:a) 13b) 14c) 19d) 20e) 27SOLUCAO:Seja n = 520 . Podemos escrever, usando logaritmo decimal:log n = log 520 = 20.log5Para calcular o valor do logaritmo decimal de 5, ou seja, log5, basta lembrar que podemos escrever:log 5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699Portanto, log n = 20 . 0,699 = 13,9800Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13,9800, isto significa que a caracteristica do log decimal vale 13 e, portanto, o numero n possui 13 + 1 , ou seja 14 algarismos.Portanto, a resposta correta e a letra B.4 - UFBA - Considere a equacao 10x + 0,4658 = 368. Sabendo-se quelog 3,68 = 0,5658 , calcule 10x.SOLUCAO: Temos: 10x + 0,4658 = 368Dai, podemos escrever:log 368 = x + 0,4658 \
x = log 368 - 0,4658Ora, e dado que: log 3,68 = 0,5658, ou seja:log(368/100) = 0,5658Logo, log 368 - log 100 = 0,5658 \ log 368 - 2 = 0,5658 , ja quelog 100 = 2 (pois 102 = 100).Dai, vem entao:log 368 = 2,5658Entao, x = log 368 - 0,4658 = 2,5658 - 0,4658 = 2,1Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21Resp: 215 - Se log N = 2 + log 2 - log 3 - 2log 5 , calcule o valor de 30N.SOLUCAO:Podemos escrever:logN = 2 + log2 - log3 - log52logN = 2 + log2 - log3 - log25logN = 2 + log2 - (log3 + log25)Como 2 = log100, fica:logN = (log100 + log2) - (log3 + log25)logN = log(100.2) - log(3.25)logN = log200 - log75logN = log(200/75)Logo, concluimos que N = 200/75Simplificando, fica:N = 40/15 = 8/3Logo, 30N = 30(8/3) = 80Resp: 30N = 80Agora, resolva estes:1 - UFBA - Sendo log2 = 0,301 e x = 53 . , entao o logx e:*a) 2,997b) 3,398c) 3,633d) 4,398e) 5,0972 - UEFS - O produto das raizes da equacao log(x2 -7x + 14) = 2log2 e:01) 502) 7*03) 1004) 1405) 353 - UCSal - Se 12n+1 = 3n+1 . 8 , entao log2 n e igual a:a) -2*b) -1c) 1/2d) 1e) 24 - UEFS - O dominio da funcao y = log [(2x-3)/(4-x)] e:a) (-3/2,4)b) (-4,3/2)c) (-4,2)*d) (3/2,4)e) (3/2,10)5 - UFBA - Determine o valor de x que satisfaz a equacao log2 (x-3) + log2 (x-2) = 1.Resp: 46 - UFBA - Existe um numero x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. Determine x.Resp: 907 - PUC-SP - O logaritmo, em uma base x, do numero y = 5 + x/2 e 2. Entao x e igual a:a) 3/2b) 4/3c) 2d)5*e) 5/28 - PUC-SP - Se x+y = 20 e x - y = 5 , entao log(x2 - y2 ) e igual a:a) 100*b) 2c) 25d) 12,5e) 1000Sugestao: observe que x2 - y2 = (x - y) (x + y)
Com o modo simples de se representar numeros numa reta, visto acima, podemos estender a ideia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que sera a origem do sistema. Veja a Fig. a seguir:Dizemos que a e a abscissa do ponto P e b e a ordenada do ponto P.O eixo OX e denominado eixo das abscissas e o eixo OY e denominado eixo das ordenadas.O ponto O(0,0) e a origem do sistema de coordenadas cartesianas.Os sinais algebricos de a e b definem regioes do plano denominadas QUADRANTES.No 1o quadrante, a e b sao positivos, no 2o quadrante, a e negativo e b positivo, no 3o quadrante, ambos sao negativos e finalmente no 4o quadrante a e positivo e b negativo.Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada nula e todos os pontos do eixo OY tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equacao do eixo OX e y = 0 e a equacao do eixo OY ex = 0.Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1o quadrante, cuja equacao evidentemente e y = x.Ja os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadas simetricas, definem uma reta denominada bissetriz do 2o quadrante, cuja equacao evidentemente e y = - x.Os eixos OX e OY sao denominados eixos coordenados.Exercicios Resolvidos1) Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , entao :a) m e um numero primob) m e primo e parc) m e um quadrado perfeitod) m = 0e) m < 4Solucao: Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , entao a sua abscissa e nula.Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e portanto a alternativa correta e a letra C, pois 4 e um quadrado perfeito (4 = 22).2) Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertenca a primeira bissetriz , entao podemos afirmar que :a) r e um numero naturalb) r = - 3c) r e raiz da equacao x3 - x2 + x + 14 = 0d) r e um numero inteiro menor do que - 3 .e) nao existe r nestas condicoes .Solucao:Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x), possuem abscissa e ordenada iguais entre si. Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2.Das alternativas apresentadas, concluimos que a correta e a letra C, uma vez que -2 e raiz da equacao dada. Basta substituir x por -2 ou seja:(-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 e raiz da equacao.3) Se o ponto P(k , -2) satisfaz a relacao x + 2y - 10 = 0 , entao o valor de k 2 e :a) 200b) 196c) 144d) 36e) 0Solucao:Fazendo x = k e y = -2 na relacao dada, vem: k + 2(-2) - 10 = 0.Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 =
196.Logo, a alternativa correta e a letra B.2 - Formula da distancia entre dois pontos do plano cartesianoDados dois pontos do plano A(Xa,Ya) e B(Xb,Yb) , deduz-se facilmente usando o teorema de Pitagoras a seguinte formula da distancia entre os pontos A e B:Esta formula tambem pode ser escrita como: d2AB = (Xb - Xa)2 + (Yb - Ya)2 , obtida da anterior, elevando-se ao quadrado (quadrando-se) ambos os membros.Exercicio ResolvidoO ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1), sabe-se que do ponto A se ve o segmento BC sob um angulo reto . Nestas condicoes podemos afirmar que o ponto A e :a) (3,0)b) (0, -1)c) (0,4)d) (0,5)e) (0, 3)Solucao:Como do ponto A se ve BC sob um angulo reto, podemos concluir que o triangulo ABC e retangulo em A. Logo, vale o teorema de Pitagoras: o quadrado da hipotenusa e igual a soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC e a hipotenusa porque e o lado que se opoe ao angulo reto A). Da formula de distancia, podemos entao escrever, considerando que as coordenadas do ponto A sao (0,y) , ja que e dado no problema que o ponto A esta no eixo dos y e portanto sua abscissa e nula:AB2 = ( 0 - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 4 + ( y - 3 )2AC2 = ( 0 - (-4))2 + ( y - 1)2 = 16 + ( y - 1 )2BC2 = ( 2 - (-4))2 + ( 3 - 1 )2 = 40Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )2 + 16 + ( y - 1 )2 = 40 \ ( y - 3 )2 + ( y - 1)2 = 40 - 4 - 16 = 20Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 \ 2y2 - 8y - 10 = 0 \ y2 - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 nao serve, pois foi dito no problema que o ponto A esta no semi-eixo positivo . Portanto, o ponto procurado e A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta e a letra D.3 - Ponto medio de um segmentoDado o segmento de reta AB , o ponto medio de AB e o ponto M I AB tal que AM = BM .Nestas condicoes, dados os pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) , as coordenadas do ponto medioM(xm , ym) serao dadas por:Exercicio ResolvidoSendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triangulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , entao W2 e igual a:a) 25b) 32c) 34d) 44e) 16Solucao:Chama-se mediana de um triangulo relativa a um lado, ao segmento de reta que une um vertice ao ponto medio do lado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC sera o segmento que une o ponto A ao ponto medio de BC.
Das formulas de ponto medio anteriores, concluimos que o ponto medio de BC sera o ponto M( 3, 5). Portanto, o comprimento da mediana procurado sera a distancia entre os pontos A e M. Usando a formula de distancia encontramos AM = O 34 ou seja raiz quadrada de 34. Logo, W = O 34 e portanto W2 = 34, o que nos leva a concluir que a resposta correta esta na alternativa C.4 - Baricentro de um trianguloSabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triangulo ABC e o ponto de encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M e o ponto medio do lado oposto ao vertice A (AM e uma das 3 medianas do triangulo).Nestas condicoes , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triangulo ABC onde A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) e dado por :Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triangulo ABC, sao iguais as medias aritmeticas das coordenadas dos pontos A , B e C.Assim, por exemplo, o baricentro (tambem conhecido como centro de gravidade) do triangulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) sera o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das formulas.Exercicio resolvidoConhecendo-se o baricentro B(3,5), do triangulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?Solucao:Seja o ponto Z(a,b). Temos, pela formula do baricentro:3 = (2 - 4 + a) / 3 e 5 = (5 + 6 + b) / 3Dai, vem que a = 11 e b = 4. O ponto Z sera portanto Z(11, 4).Usando a formula da distancia entre dois pontos, lembrando que B(3,5) e Z(11,4),encontraremos BZ = 651/2 u.c. (u.c. = unidades de comprimento).Agora resolva este:Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) sao os vertices de um triangulo cujo baricentro e o pontoG(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.Resposta: 850
Tipos particulares de funcoesFUNCAO CONSTANTEUma funcao e dita constante quando e do tipo f(x) = k, onde k nao depende de x .Exemplos:a) f(x) = 5b) f(x) = -3Nota : o grafico de uma funcao constante e uma reta paralela ao eixo dos x .Veja o grafico a seguir:FUNCAO DO 1o GRAUUma funcao e dita do 1o grau , quando e do tipo y = ax + b , onde a 1 0 .Exemplos :f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 )f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).Propriedades da funcao do 1o grau :1) o grafico de uma funcao do 1o grau e sempre uma reta .2) na funcao f(x) = ax + b , se b = 0 , f e dita funcao linear e se b 1 0 f e dita funcao afim .Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se oiler) -excepcional matematico suico - 1701/1783).3) o grafico intercepta o eixo dos x na raiz da equacao f(x) = 0 e, portanto, no ponto deabcissa x = - b/a .4) o grafico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b e chamado coeficiente linear .5) o valor a e chamado coeficiente angular e da a inclinacao da reta .6) se a > 0 , entao f e crescente .7) se a < 0 , entao f e decrescente .8) quando a funcao e linear, ou seja, y = f(x) = ax , o grafico e uma reta que sempre passa na origem.Exercicio resolvido:1 - Determine a funcao f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.SOLUCAO:Podemos escrever:5 = 2.a + b-10 = 3.a + bSubtraindo membro a membro, vem:5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)15 = - a \ a = - 15Substituindo o valor de a na primeira equacao (poderia ser na segunda), fica:5 = 2.(- 15) + b \ b = 35.Logo, a funcao procurada e: y = - 15x + 35.Agora resolva esta:A funcao f e definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, entao podemos afirmar que f(1) eigual a:*a) 2b) -2c) 0d) 3e) -3FUNCAO DO 2o GRAUUma funcao e dita do 2o grau quando e do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a 1 0 .Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )Grafico da funcao do 2o grau y = ax2 + bx + c : e sempre uma parabola de eixo vertical .Propriedades do grafico de y = ax2 + bx + c :1) se a > 0 a parabola tem um ponto de minimo .2) se a < 0 a parabola tem um ponto de maximo3) o vertice da parabola e o ponto V(xv , yv) onde:xv = - b/2ayv =
- D /4a , onde D = b2 - 4ac4) a parabola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que sao as raizes daequacao ax2 + bx + c = 0 .5) a parabola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .6) o eixo de simetria da parabola e uma reta vertical de equacao x = - b/2a.7) ymax = - D / 4a ( a < 0 )8) ymin = - D /4a ( a > 0 )9) Im(f) = { y I R ; y 3 - D /4a } ( a > 0 )10) Im(f) = { y I R ; y - D /4a} ( a < 0)11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raizes da de f(x) = ax2 + bx + c , entao ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :y = a(x - x1).(x - x2)Exercicios Resolvidos1 - UCSal - Sabe-se que -2 e 3 sao raizes de uma funcao quadratica. Se o ponto(-1 , 8) pertence ao grafico dessa funcao, entao:a) o seu valor maximo e 1,25b) o seu valor minimo e 1,25c) o seu valor maximo e 0,25d) o seu valor minimo e 12,5*e) o seu valor maximo e 12,5.SOLUCAO:Sabemos que a funcao quadratica, pode ser escrita na forma fatorada:y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, sao os zeros ou raizes da funcao.Portanto, poderemos escrever:y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3)y = a(x + 2)(x - 3)Como o ponto (-1,8) pertence ao grafico da funcao, vem:8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)8 = a(1)(-4) = - 4.aDai vem: a = - 2A funcao e, entao: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3)y = -2x2 + 6x - 4x + 12y = -2x2 + 2x + 12Temos entao: a = -2 , b = 2 e c = 12.Como a e negativo, concluimos que a funcao possui um valor maximo.Isto ja elimina as alternativas B e D.Vamos entao, calcular o valor maximo da funcao.D = b2 - 4ac = 22 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5Logo, a alternativa correta e a letra E.2 - Que numero excede o seu quadrado o maximo possivel?*a) 1/2b) 2c) 1d) 4e) -1/2SOLUCAO:Seja x o numero procurado.O quadrado de x e x2 .O numero x excede o seu quadrado , logo: x - x2.Ora, a expressao anterior e uma funcao quadratica y = x - x2 .Podemos escrever:y = - x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.O valor procurado de x, sera o xv (abcissa do vertice da funcao).Assim,xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2Logo, a alternativa correta e a letra A .Agora resolva estes similares:1 - A diferenca entre dois numeros e 8. Para que o produto seja o menor possivel, um deles deve ser:a) 16b) 8*c) 4d) -4e)