ortonormal completo" sera utilizada como sinonimo de "familia ortonormal maximal".Teorema 2.5. Sejam $V$ e $H$ espacos de Hilbert tais que $V\hookrightarrow H\cong H'\hookrightarrow V'$, onde ambas as inclusoes sao continuas e densas. Entao,$$W(a,b;V,V'):=\{u\in L^2(a,b;V)\mid u'\in L^2(a,b;V')\}\hookrightarrow C([a,b]; H).$$Mais ainda, dadas $u,v\in W(a,b; V,V')$, vale a formula de integracao por partes$$\begin{gathered}\int_a^b\langle u'(t),v(t)\rangle_{V'\times V}\;dt\\=(u(b),v(b))_H-(u(a),v(a))_H-\int_a^b\langle u(t),v'(t)\rangle_{V\times V'}\;dt.\end{gathered}\tag{2.6}$$Prova: Ver [6] (teoremas 1 e 2, p. 473 e 477). $\square$Agora, vejamos alguns resultados que se referem especificamente aos espacos e as aplicacoes definidas na secao precedente.Lema 2.6. Os espacos $V$ e $H$ definidos em (2.3) possuem as seguintes propriedades:(a) $V$ e $H$ sao dados por$^{\text{(vi)}}$ $$V=\{\mathbf{w}\in [H_0^1(\Omega)]^2\mid \operatorname{div}\mathbf{w}=0\},\;H=\{\mathbf{w}\in [L^2(\Omega)]^2\mid \operatorname{div}\mathbf{w}=0,\;(\mathbf{w}\cdot\mathbf{N})|_{\partial\Omega}=0\}.$$(b) $V$ e $H$ com as normas induzidas de $[H_0^1(\Omega)]^2$ e $[L^2(\Omega)]^2$, respectivamente, sao espacos de Hilbert separaveis.(c) $V\hookrightarrow H\cong H'\hookrightarrow V'$, onde ambas as inclusoes sao continuas e densas.(d) A inclusao $V\hookrightarrow H$ e compacta.Prova: (a) Ver [7] (Teoremas 4 e 6, p. 8 e 10) ou [11] (p. 67-68) ou [17] (Teoremas 1.4 e 1.6, p. 15 e 18). (b) Segue de $V$ e $H$ serem subespacos fechados de $[H_0^1(\Omega)]^2$ e $[L^2(\Omega)]^2$, respectivamente. (c) Ver [7] (p. 22) ou [17] (p. 248). (d) Ver [11] (Lema 6.8, p. 74). $\square$Seja $A:V\to V'$ o operador associado a forma bilinear $a(\cdot,\cdot)$, definida em (2.4). Entao (ver [12], p. 15), $A$ e uma bijecao linear continua com inversa continua que satisfaz$$\langle Au,v\rangle_{V'\times V}=a(u,v),\quad \forall\ u,v\in V.\tag{2.7}$$Em particular, se $u\in V$ e tal que $Au\in H$, entao $(Au,v)=a(u,v)$ para toda $v\in V$.Lema 2.7. O espaco $H$ definido em (2.3) possui um sistema ortonormal completo $\{w_j\}_{j\in \mathbb{N}}$ formado por autofuncoes do operador $A$. Mais ainda, se $\{\lambda_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ sao os autovetores correspondentes, entao:(a) $(v,w_j)_V=\lambda_j(v,w_j)$ para todo $v\in V$.(b) $\left\{\frac{w_j}{\sqrt{\lambda_j}}\right\}_{j\in \mathbb{N}}$ e um sistema ortonormal completo em $V$.Prova: Defina $X=\{u\in V\mid Au\in H\}$. Das propriedades de $A$, segue que $\tilde{A}:=A|_{X}$ e uma bijecao linear continua com inversa $\tilde{A}^{-1}:H\to X$ continua. Segue do item (d) do Lema 2.6 que $\tilde{A}^{-1}:H\to H$ e compacta. Mais ainda, $\tilde{A}^{-1}$ e simetrica porque, dados $f,g\in H$,\begin{align*}(\tilde{A}^{-1}h,g)&=(g,\tilde{A}^{-1}h)=(\tilde{A}\tilde{A}^{-1}g,\tilde{A}^{-1}h)=a(\tilde{A}^{-1}g,\tilde{A}^{-1}h)\\&=a(\tilde{A}^{-1}h,\tilde{A}^{-1}g)=(\tilde{A}\tilde{A}^{-1}h,\tilde{A}^{-1}g)=(h,\tilde{A}^{-1}g).\end{align*} Segue do teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos em espacos de Hilbert (Teorema 15.39, p. 673, em [9]) que $H$ possui um sistema ortonormal completo $\{w_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ formado por autovetores de $\tilde{A}^{-1}$, associados a uma familia $\{\mu_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ de autovalores nao nulos. Como este sistema coincide com as autofuncoes de $A$, a primeira afirmacao esta provada. O item (a) segue de um calculo direto. Da parte ja provada, o item (II) do Teorema 2.3 se verifica para $e_j=w_j$ e $\mathcal{H}=H$. Usando isto e o item (a), concluimos que o item (II) do Teorema 2.3 tambem se verifica para $e_j=w_j/\sqrt{\lambda_j}$ e $\mathcal{H}=V$, onde $\lambda_j=\mu_j^{-1}$. Logo, o item (b) esta provado. $\square$Combinando o Teorema 2.3 como o Lema 2.7 concluimos que, para todo $v\in V$,$$\|v\|_V^2=\sum_{j=1}^\infty\left|\left(v,\frac{w_j}{\sqrt{\lambda_j}}\right)_V\right|^2=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left(v,w_j\right)_V\right|^2=\sum_{j=1}^\infty\lambda_j\left|\left(v,w_j\right)\right|^2.\tag{2.8}$$Analogamente, usando (2.7) concluimos que, para todo $h\in V'$,$$\begin{aligned}\|{A^{-1}}h\|_{V}^2&=\sum_{j=1}^\infty\left|\left(A^{-1}h,\frac{w_j}{\sqrt{\lambda_j}}\right)_V\right|^2=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|a(A^{-1}h,w_j)\right|^2\\&=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left\langle AA^{-1}h,w_j\right\rangle_{V'\times V}\right|^2=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left\langle h,w_j\right\rangle_{V'\times V}\right|^2.\end{aligned}\tag{2.9}$$Lema 2.8. A forma trilinear definida em (2.4) e continua e, para quaisquer $u,\tilde{u},v,w\in V$, satisfaz:(a) $b(u,w,v)=-b(u,v,w)$.(b) $|b(w,w,u)|\leq C\|w\|_H\|w\|_V\|u\|_V$.(c) $b(u,u,v)-b(\tilde{u},\tilde{u},v)=b(u-\tilde{u},u,v)-b(u-\tilde{u},u-\tilde{u},v)+b(u,u-\tilde{u},v)$.Prova: (a) Ver [4] (Lemas 1 e 2, p. 126) ou [11] (Lema 6.5, p. 72) ou [12] (Lemas 1 e 3, p. 115 e 119) ou [17] (Lemas 1.2 e