Esta semana, recebi um email de meu amigo Professor Diego Marques (UNB) comunicando que iniciara um projeto de postagem dos videos de suas palestras em um canal no youtube. Excelente iniciativa!!! Fui la conferir. O primeiro video e uma bela palestra em que o Diego apresenta algumas provas da irracionalidade de $\sqrt{2}$ com o objetivo apresentar tecnicas de prova que sao utilizadas em outros problemas correlatos. Esse video corresponde a primeira aula de um minicurso sobre Teoria dos Numeros ministrado no IMPA.Abaixo, compartilho o link do referido videohttps://www.youtube.com/watch?v=uhZf8Oa2F7Q MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); Antes de finalizar esta postagem, gostaria de dar a minha contribuicao apresentando uma prova da irracionalidade de $\sqrt{2}$ diferente das apresentadas pelo Diego.Observe que se a soma de dois quadrados de inteiros, digamos $m^2+n^2$, e divisivel por 3 entao cada inteiro, $m$ e $n$, e divisivel por 3. Logo, se supusermos que $\sqrt{2}$ seja um numero racional, podemos escrever $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$, em que $m$ e $n$ sao numeros inteiros primos entre si. Entao, $3n^2=m^2+n^2$, dai $m$ e $n$ necessariamente sao multiplos de 3. Absurdo!Ah! Quase me esqueci que havia prometido que apresentaria, nesta postagem, uma solucao do problema abaixo . Problema. Seja $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ uma funcao continua tal que $f(f(f(x)))=x^2+1$ para todo $x$. Mostre que $f$ e uma funcao par.Solucao. Desde que $x^2+1>x$ para todo $x$, temos que $f$ nao possui ponto fixo. Em particular, $f(0)\neq 0$. Sejam$P=\{x : f(x)=f(-x)\}$ e $I=\{x : f(x)=-f(-x)\}$. Como $f$ e continua, Temos que os subconjuntos acima sao subconjuntos fechados de $\mathbb{R}$. Mostraremos que:1. $\mathbb{R}=P\cup I$;2. $P\cap I=\emptyset$.Uma vez provados 1 e 2,desde que $\mathbb{R}$ e conexo e $0\in P$, segue que $P=\mathbb{R}$, isto e, $f$ e uma funcao par.Prova de 1. Dado $x$, temos que $f(x)^2+1=f(f(f(f(x))))=f(x^2+1)$. Portanto, $f(-x)^2+1=f(x)^2+1$, isto e, $x\in P\cup I$.Prova de 2. Por contradicao, suponha que $x\in P\cap I$. Logo $f(x)=0$ e $f(-x)=0$. Como $f(0)\neq 0$, garantimos a existencia de um y positivo tal que $f(y)=0$.Temos $f(1)=f(0^2+1)=f(f(f(f(0))))=f(0)^2+1>1$. Assim, a funcao $g(z)=f(z)-z$ e positiva no ponto 1 e negativa no ponto y. Pelo Teorema do Valor Intermediario, a funcao $g$ tem um zero, isto e, a funcao $f$ tem um ponto fixo. O que e um absurdo.C.Q.D. Depois de um longo tempo sem postar, retorno para parabenizar meu filho, Alexandre Lima Fernandes, por sua grande conquista na ultima edicao da Olimpiada Brasileira de Informatica OBI; Medalha de Ouro. MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); Abaixo, segue uma pequena amostra da prova da segunda (e ultima) etapa da OBI 2014 Modalidade Iniciacao: Armario de TrofeusO Centro Academico mandou construir dois armarios, um vermelho e um branco (as cores do colegio) para guardar os trofeus das equipes de esporte. Ha quatro prateleiras em cada armario, numeradas de 1 a 4, de baixo para cima. Ha sete tipos de trofeus que devem ser colocados nas prateleiras: handebol, volei, futebol, futsal, judo, natacao e tenis. Cada tipo de trofeu deve ser colocado em exatamente uma prateleira, exceto futebol, que ocupa duas prateleiras, uma acima da outra, no mesmo armario. As seguintes condicoes devem ser obedecidas:Os trofeus de volei e futsal estao nas prateleiras mais altas do armario.Os trofeus de