thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
cartesianas no plano sera fixado quando escolhermos um ponto O nesse plano e por esse ponto O tomarmos duas retas orientadas perpendicularmente, como na figura a seguir. Palhaco Elipse Com o auxilio da computacao grafica podemos produzir interessantes efeitos para a representacao plana de figuras tridimensionais. m = O ponto O e chamado de origem do sistema de coordenadas e as duas retas sao os eixos coordenados (denotados Ox e Oy , como na figura acima). Fixado um sistema de coordenadas, a cada ponto P do plano sera associado a um par ordenado de numeros reais (x, y), que sao as coordenadas de P em relacao a esse sistema. E importante observar a ordem, pois os pares (1, 3) e (3, 1) sao diferentes e representam pontos distintos do plano cartesiano: A coordenada x, chamada abscissa de P, e a coordenada de sua projecao ortogonal P no eixo Ox . A chamada ordenada de P (sua coordenada y) e obtida como a coordenada de sua projecao ortogonal P no eixo Oy . Fica estabelecida, desta forma, uma correspondencia biunivoca entre os pontos de um plano e o conjunto dos pares ordenados de numeros reais. O conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de numeros reais e representado por R2. Os eixos coordenados dividem o plano em quatro regioes chamadas quadrantes. Os pontos do primeiro quadrante sao pontos cujas coordenadas sao ambas positivas; os do terceiro, ha pontos cujas coordenadas sao ambas negativas. No segundo quadrante, temos pontos cuja primeira coordenada e negativa e a segunda e positiva, o contrario ocorrendo para os pontos do quarto quadrante. Temos tambem como caracterizar os semiplanos cujas origens sao os eixos coordenados: correspondem aos conjuntos de pontos do plano em que uma das coordenadas tem sempre o mesmo sinal. QuadrantesSemiplano: {(x, y) R | x > 0} 2o quadrante x < 0, y > 0 1o quadrante x > 0, y > 0 3o quadrantex < 0, y < 0 4o quadrante x > 0, y < 0 O ponto medio de um segmento tera como coordenadas aquelas dos pontos medios de suas projecoes nos eixos Ox e Oy , respectivamente; como ja vimos acima, Agora faca voce 1. Represente os pontos cujas coordenadas sao: (-2, 3), (1, 4), (3, -5), (-4, -3), identificando o quadrante em que se encontram. 2. Represente os conjuntos: f){(x, y) | x = y} (bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes) g){(x, y) | y = x} (bissetriz do segundo e quarto quadrantes) 3. Encontre os valores de k para que o ponto A cujas coordenadas sao (k, 7) esteja: b)na bissetriz y = x dos quadrantes pares; c)na bissetriz y = x dos quadrantes impares; d)no primeiro quadrante; e)no segundo quadrante. 4. As coordenadas de um ponto B sao (3, k 2). Encontre os valores de k para os quais o ponto B esta: 5. (Fuvest) Se (m + 2n, m 4) e (2 m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, entao mn e igual a: 6. Encontre os pontos medios das diagonais do quadrilatero cujos vertices
tem as coordenadas: (0, 0), (0, 4), (3, 5) e (3, 1). 7. Se um dos extremos de um segmento tem coordenadas ( 4, 2) e o ponto medio tem coordenadas (3, 1), encontre as coordenadas do outro extremo do segmento. 8. Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento e obtido do segmento por uma rotacao de 60o, no sentido anti-horario, em torno do ponto A. Encontre as coordenadas do ponto C. 9. Se o par (a, b) e solucao da equacao 2x + 3y = 4, entao ( + 1, + 1) e solucao de 2x + 3y = m. Encontre o valor de m que torna verdadeira esta afirmacao. 10. Encontre as coordenadas do ponto P interior ao segmento tal que PA = 3PB. 1. Um lado de um paralelogramo tem extremidades nos pontos A = ( 3, 5) e B = (1, 7). Sabendo-se que P = (1, 1) e o ponto medio das diagonais, encontre os outros vertices do paralelogramo. 12. Dois vertices de um quadrado tem coordenadas (2, 1) e (2, 5). Encontre os outros dois vertices. De todas as respostas possiveis. Matrizes e representacao de pontos no plano Um quadrado de lado unitario pode ser representado no plano cartesiano com vertices nos pontos A = (0, 0), B = (1, 0), C = (1, 1) e D = (0, 1). Podemos representar esses pontos como colunas de uma matriz 2x4, que e uma tabela com duas linhas e quatro colunas, na forma: Matrizes do mesmo tipo podem ser somadas (somando posicao a posicao) e podemos multiplicar uma matriz por um numero real (multiplicando cada um de seus elementos por esse numero). O produto de duas matrizes exige uma condicao adicional: dadas duas matrizes A e B, para multiplicar A por B o numero de linhas de A deve ser igual ao numero de colunas de B. Vejamos um exemplo: A matriz produto e obtida, posicao a posicao , multiplicando os elementos de cada linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes de cada coluna da segunda matriz, e somando os resultados. Mais detalhadamente: -A primeira linha da primeira matriz e [1 2] e a primeira coluna da segunda e ; o produto da primeira linha pela primeira coluna sera: 1 . 0 + 2 . 0 = 0. Os produtos da primeira linha de A pelas outras colunas da matriz B, orde- O estudo das matrizes so surgiu no seculo XIX. As matrizes foram introduzidas em 1850 por James Sylvester, matematico ingles que trabalhou em muitos problemas relacionados aos sistemas lineares. Foram utilizadas sistematicamente como importante auxilio aos calculos por Cayley, um outro matematico ingles que viveu entre 1821 e1895 ,para o estudo das transformacoes lineares. nadamente, darao os elementos da primeira linha da matriz produto produto A . B: 1 . 1 + 2 . 0 = 1 (primeira linha, segunda coluna) 1 . 1 + 2 . 1 = 3 (primeira linha, terceira a coluna) 1 . 0 + 2 . 1 =
2 (primeira linha, quarta coluna) Da mesma forma, tomando a segunda linha da primeira matriz e multiplicando pelas colunas da segunda teremos a segunda linha da matriz produto: 0 . 1 + 2 . 0 = 0 0 . 1 + 1 . 0 = 0 0 . 1 + 1 . 1 = 1 0 . 0 + 1 . 1 = 1 Se fizermos o grafico do novo quadrilatero cujas coordenadas dos vertices sao dadas pelas colunas da matriz produto, teremos a figura ao lado. Agora faca voce 1. Seja M a matriz acima (que represente os vertices do quadrado unitario), represente graficamente os quadrilateros cujos vertices sao as colunas da matriz produto B, B = A . M onde A e a matriz dada: a) A = c) A = e) A = b) A = d) A = Observe, em cada caso, qual e a relacao entre o novo quadrilatero e o quadrado original. 2. Encontre a matriz das coordenadas dos vertices do hexagono da figura ao lado, sabendo que o seu lado tem medida 4. Calculando distancias Para continuar o trabalho com Geometria Analitica precisamos da expres- sao para a chamada distancia euclidiana entre dois pontos P1 e P2 ) as ) ou e P 2 , o teorema de Pitagoras, nos da: Agora faca voce 1. Usando distancias, mostre que: a)o triangulo com vertices A, B e C cujas coordenadas sao, respectivamente, ( 2, 4), ( 5, 1) e ( 6, 5) e um triangulo isosceles; b)o triangulo com vertices A, B e C cujas coordenadas sao, respectivamente, (3, 6), (8, 2) e ( 5, 1) e um triangulo retangulo; c)o triangulo com vertices A, B e C cujas coordenadas sao, respectivamente, ( 4, 0), (0, 6) e (14, 0) e um triangulo obtusangulo (lembre-se das leis dos senos ou dos cossenos). 2. A abscissa de um ponto e 6 e sua distancia ao ponto cujas coordenadas sao (1, 3) e . Encontre a ordenada desse ponto. 3. Determinar os vertices B e C de um triangulo equilatero ABC, sabendo que o ponto medio do lado e (, 1) e que A e a origem do sistema de coordenadas. 4. Conhecidas as coordenadas ( 4, 3) e (0, 0) de dois dos vertices de um triangulo equilatero, encontre as coordenadas do terceiro vertice. 5. (Fuvest) Os vertices de um triangulo ABC, no plano cartesiano, sao A = (1, 0), B = (0, 1) e C = (0, ). Entao o angulo BAC mede: a) 60ob) 45oc) 30o d) 18o e) 15o6. Se um ponto P cujas coordenadas sao (x, y) equidista de A = (3, 7) e B = (4, 3), qual e a relacao existente entre x e y? 7. Seja Q um ponto do terceiro quadrante cujas coordenadas sao ( 1, a). Encontre o valor de a para que a distancia do ponto P = (a, 1) ao ponto Q seja 2. 8. Se o ponto P = (x, y) e equidistante dos pontos O = (0, 0), M = (7, 7) e N
= (8, 0), calcule x2 + y2. 9. O ponto P = (m, 2m) e equidistante de A = (3, 0) e B = ( 7, 0). Calcule m. 10. Calcule a area do quadrilatero da figura 1: ou seja, d(P1, P2 ) = P1 P2 1. Sabendo que o triangulo ABC da figura 2 e retangulo, com o angulo reto no vertice C, encontre o valor de m. 12. (Fuvest) Considere o retangulo representado na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a 1 cm. A area do triangulo, em cm2 e: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 13. Sabendo que o ponto P = (x, y) esta mais proximo do ponto A = (1, 0) do que do eixo das ordenadas, encontre a inequacao que relaciona x e y. 14. (Fuvest 2004) Duas irmas receberam como heranca um terreno na forma de um quadrilatero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo construindo uma cerca perpendicular ao lado passando pelo ponto P = (a, 0). 15. (Fuvest) Sejam a, b e c tres numeros estritamente positivos em progressao aritmetica. Se a area do triangulo ABC, cujos vertices sao A = ( a, 0), B = (0, b) e C = (c, 0), e igual a b, entao, o valor de b e: a ) 5b) 4 c) 3 d) 2 e) 1Voltando as ilustracoes do inicio da unidade, vamos observar alguns detalhes sobre as funcoes que utilizamos para desenha-los. Na primeira figura, temos apenas segmentos de retas, e na segunda alguns segmentos de parabo- Figura 1 Figura 2 las. Ja sabemos, do modulo 4, que os pontos do grafico de uma funcao do tipo y = ax + b sao pontos de uma reta e que se considerarmos uma funcao f(x) = ax2 + bx + c o seu grafico sera uma parabola. Vamos, a seguir, detalhar alguns fatos importantes a respeito das retas no plano que nos deem novas alternativas de trabalho com essas funcoes. Coeficiente angular de uma reta Dados dois pontos distintos P1 e ) e ) respectivamente, usando uma das relacoes trigonometricas no trian- gulo P1PP2 da figura acima, temos que a tangente do angulo a sera dada pela expressao: tg = A tangente do angulo a e utilizada para avaliar a inclinacao da reta pelos pontos P1 e P2 e e chamada o coeficiente angular da reta determinada pelos Se P1 e P ou seja, pontos que determi- nam uma reta paralela ao eixo Ox , a inclinacao sera nula. A inclinacao de uma reta paralela ao eixo Oy nao esta definida. Um fato importante e: Retas paralelas tem o mesmo coeficiente angular Agora faca voce 1. Encontre a inclinacao do segmento com extremos nos pontos a) (1, 2) e (3, 8);b) (0, 3) e (4, 1); c) (4, 1) e (5, 3); d) (1, 8) e (3, 8).2. Mostre que os pontos com coordenadas ( 4, 1), (3, 8/3), (8, 4), e (2, 9) sao os vertices de um trapezio, comparando as inclinacoes de seus lados. 3.
Classifique o quadrilatero cujos vertices sao: A = (0, 0), B = (1, 3), C = (1, 7) e D = (0, 4), encontrando as inclinacoes de seus lados. 4. O coeficiente angular da reta que passa por A = (0, m) e B = (m, 0), sendo m = 0 vale: a) 1b) 1c) 0d) me) Barquinho Pinheiro Condicao de alinhamento Se tivermos tres pontos, estes pontos estarao alinhados, isto e, pertencerao a uma mesma reta, se e somente se o coeficiente angular da reta por P1 e P 2 coincidir com o coeficiente angular da reta por P2 e P 3 , ja que essas duas retas devem coincidir. Temos entao: tg = = Efetuando os produtos em teremos: ) = 0 O primeiro membro desta equacao e exatamente a expressao obtida quando calculamos o determinante da matriz O calculo do determinante de uma matriz 3 x 3 pode ser feito da seguinte forma: 1o passo: formamos uma nova matriz (agora 3 x 5) copiando, a direita da matriz dada, as suas duas primeiras colunas; no nosso caso, ficamos com a nova matriz: x2 y1x3 y2 x1 y 3 x2 y3 x2 y1 x1 y2o passo: somamos os produtos que estao nas paralelas a chamada diagonal principal da matriz (indicada com a seta laranja). Teremos; 3o passo: somamos os produtos que estao nas paralelas a chamada diagonal secundaria da matriz (indicada com a seta preta). Teremos: x2 y1 + x3 y2 + x1 y 3 4o passo: o determinante da matriz e a diferenca dos resultados obtidos no 2o e 3o passos, isto e, ou, rearranjando os termos da expressao acima, Portanto, a equacao que nos da a condicao de alinhamento dos pontos P 1 e P pode ser escrita na forma: Os pontos P1 e P ), respectivamente, estao alinhados se e somente se Veremos, mais adiante, que o determinante dessa matriz M esta tambem relacionado com a area do triangulo determinado pelos tres pontos P1 e P Agora faca voce 1. Determine o valor de k para que os segmentos e sejam paralelos, dados M = (k, 2), N = (2, 10), P = (3, 1) e Q = (2, 7). 2. Encontre os valores de a para que os pontos A = (a, 2a 1), B = (a + 1, 2a + 1) e C = (a + 2, 2a + 3) sejam colineares. 3. Determinar o ponto P = (x0 , y0 ) colinear simultaneamente com os pontos A = ( 1, 2) e B = (2, 1) e com C = ( 2, 1) e D = (4, 2). 4. Para que valores de k os pontos cujas coordenadas sao A = (2, 3), B = (5, 4) e C = (1, k) sao vertices de um triangulo? 5. Considere os pontos A = (2, 2), B = (4, 1) e C = (m, 0). Calcule o valor de m para que a soma AC + CB seja minima. Podemos representar graficamente os pontos de uma reta associados ao grafico de uma funcao da forma
y = ax + b, mas tambem podemos associa-los ao conjunto de solucoes de uma equacao, como originalmente fizeram Descartes e Fermat. Vamos agora trabalhar nessa direcao. Dados dois pontos distintos P1 e P para encontrarmos uma equacao para a reta por esses dois pontos e suficiente observar que um ponto P com coordenadas (x, y) pertence a essa reta se e somente se pois P, P1 e P 2 estao alinhados. Desenvolvendo o determinante, teremos: ) y = 0 Chamando a = y1 y2 , b = x2 x1 e c = x1 y2 x2 y1 , a equacao acima fica na forma: ax + by + c = 0 que e chamada equacao geral da reta. ) pertence a reta de equacao ax + by + c = 0 se e somente se temos: + c = 0 Agora faca voce 1. Verifique quais pontos abaixo pertencem a reta de equacao 3x 4y + 12 = 0: a) (0, 3)b) (1, 2)c) 2, d) (1, 1) 2. Dada a reta encontre sua equacao na forma geral e identifique dois de seus pontos. Explorando a equacao da reta Vamos retomar a equacao ax + by + c = 0, onde ,b = x2 x1 ec = x1 y2 x2 y1a = y1 y2 , ) coordenadas dos pontos P e Q. Os pontos P e Q sao distintos, o que garante que os coeficientes a e b nao sejam ambos nulos, ou seja, pelo menos um deles e diferente de zero. Note que esses pontos pertencem a reta. (Verifique!) E importante observar que: -se a = 0 a equacao da reta fica: by + c = 0 ou y = e temos uma reta paralela ao eixo Ox (por que?); -se b = 0 a equacao da reta fica: ax + c = 0 ou x = e temos uma reta paralela ao eixo Oy (por que?); -quando b = 0, podemos reescrever a equacao da reta na forma: y = x = mx + q O coeficiente = = m e exatamente o coeficiente angular da reta, ja definido anteriormente. Por outro lado, se fizermos x = 0 na equacao da reta, teremos y = ou seja, o ponto (0, ) e o ponto em que a reta corta o eixo Oy . O chamado coeficiente linear da reta e o valor q = que corresponden- te a ordenada da interseccao da reta com o eixo Oy . Com essas notacoes, a equacao da reta pode ser tambem escrita como: y = mx + q sendo esta ultima equacao a chamada equacao reduzida da reta, que coincide com a funcao polinomial de grau um ja estudada no modulo 4. Agora faca voce 1. Encontre o valor de k para o qual a reta 3x + ky 6 = 0: 2. Encontre o valor de k para o qual a reta kx + 3y 2 = 0 c)corte o eixo Ox no ponto (5, 0). 3. O coeficiente angular da reta (k +1)x 2y + 3 = 0 vale 2. Determine
k. 4. (Fuvest) Duas retas s e t do plano cartesiano se interceptam no ponto (2, 2). O produto de seus coeficientes angulares e 1 e a reta s intercepta o eixo y no ponto (0, 3). A area do triangulo determinado pelo eixo x e as retas s e t e: a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6 Podemos tambem escrever a equacao da reta conhecendo um ) pelo qual ela passa e o seu coeficiente angular m = tg a. Observando a figura ao lado, podemos escrever, para um ponto P = (x, y) generico, pertencente a reta, m = tg = que nos da: y y0 = m (x x0 Agora faca voce Dados os pontos P e Q cujas coordenadas sao (p, 0) e (0, q), respectivamente, p = 0, q = 0, encontre a equacao da reta por P e Q. Observe que a equacao que voce encontrou pode ser escrita na forma que e chamada a equacao segmentaria da reta Resumindo ) a equa- cao da reta por P1 e P2 pode ser encontrada atraves do calculo do determinante: que conduz a uma equacao na forma geral: ax + by + c = 0 O coeficiente angular da reta e dado por: m = tg = e, como no caso do grafico da funcao y = mx + q temos tambem o coeficiente linear q (o grafico corta o eixo Oy em (0, q)). ) e o coeficiente angular m , podemos escrever a equacao tambem na forma: y y0 = m (x x0 A equacao na forma segmentaria: e obtida a partir das coordenadas p e q dos pontos de interseccao com os eixos Ox e Oy , respectivamente. Agora faca voce 1. Dado o ponto A = (1, 2), determine as coordenadas de dois pontos P e Q situados, respectivamente, sobre as retas de equacao y = x e y = 4x de tal modo que A seja o ponto medio do segmento . 2. Os pontos de coordenadas (a, 1) e (2, b) estao sobre a reta x + 2y = 0. Calcule a distancia entre eles. 3. Na figura 1, A = (2, 3), C = (3, 1) e BC = . Encontre a equacao da reta por A e B. 4. Na figura 2, M = (a, a) e o ponto medio do segmento , A = (2, 6), B = (0, a) e C = (c, 0). Encontre a equacao da reta por B e C. 5. Na figura 3, ABCDEF e um hexagono regular de lado 4. a) Encontre a equacao da reta que contem o lado b) Mostre que as retas e sao paralelas. 6. Se uma reta tem equacao geral 3x y + 3 = 0, encontre sua equacao segmentaria. 7. Escreva a equacao segmentaria de cada uma das retas abaixo: 8. A reta x + y k = 0 corta o eixo das coordenadas nos pontos A e B. Determine k para que o triangulo OAB tenha area igual a 25 unidades. 9. Seja B = (0,
0) o ponto da reta de equacao y = 2x cuja distancia ao ponto A = (1, 1) e igual a distancia de A a origem. Encontre a abscissa de B. 10. Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triangulo isosceles cujos vertices sao a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos cooordenados. Se a area do triangulo e 18, encontre a equacao da reta r. 1. Seja r a reta que passa pelos pontos cujas coordenadas sao (2, 3) e (5, 0). Determinar a equacao da reta s, simetrica a r em relacao a reta de equacao x = 5. Figura 1 Figura 2 Figura 3 12. O retangulo PQRS da figura abaixo e o retangulo de area maxima inscrito no triangulo ABC. Encontre a relacao entre a, b, c e d. Duas equacoes gerais a1 x + b1 y + c1 = 0 e a2 x + b2 y + c2 = 0 representam uma mesma reta se e somente se seus coeficientes sao proporcionais, isto e, existe um numero real k tal que a1 = k a2, b1 = k b2 e c1 = k c2 . Neste caso, pode- mos verificar que todo ponto de uma das retas pertence tambem a outra reta e vice-versa. Diremos que as retas, neste caso, serao coincidentes. Os coeficientes angulares dessas retas sao iguais, assim como os coeficientes lineares. Duas retas distintas do plano podem ser paralelas ou concorrentes. Podemos distinguir as retas paralelas das retas concorrentes comparando seus coeficientes angulares: -se os coeficientes angulares de duas retas distintas sao iguais, entao essas retas sao paralelas; -se os coeficientes angulares de duas retas distintas sao diferentes, entao essas retas sao concorrentes. Atraves do teorema de Pitagoras podemos verificar que duas retas concor- rentes sao perpendiculares se e somente se seus coeficientes angulares m1 e m1 . m 2 = 1 ou m2 = , se m1 1 0. As coordenadas do ponto comum a duas retas concorrentes podem ser obtidas resolvendo o sistema linear de duas equacoes e duas incognitas (S) formado por equacoes das duas retas, pois as coordenadas do ponto procurado devem satisfazer simultaneamente as duas equacoes. retas paralelasretas concorrentes Sistemas lineares e determinantes um pouco de historia Nos trabalhos de Leibniz, por volta de 1678, temos o processo de resolucao de equacoes lineares eliminando incognitas e identificando o que, mais tarde, seria o determinante. O mesmo processo foi aperfeicoado por Maclaurin para sistemas com tres ou quatro incognitas. Uma regra bem conhecida para a resolucao de sistemas utilizando determinantes e a chamada regra de Cramer (1704-1752); outros desenvolvimentos para o seu calculo foram estabelecidos por Sarrus e Laplace (1772), e a teoria dos determinantes teve a sua organizacao e principais propriedades estabe- lecidas por Vandermond,em 1776.a1 x + b1 y + c1 = 0 a2 x + b2 y + c2 = 0 Dois sistemas de equacoes serao chamados equivalentes se tem o mesmo conjunto solucao. Duas observacoes importantes justificam as tecnicas que utilizamos para resolver os sistemas de equacoes: 1.Quando multiplicamos
uma equacao em um sistema por um numero nao nulo, obtemos uma outra equacao que e equivalente a primeira, ou seja, temos duas equacoes com as mesmas solucoes. 2.Uma das equacoes do sistema pode ser trocada pela soma ou diferenca desta com um multiplo de outra equacao do mesmo sistema, e, nesta troca, temos um novo sistema equivalente ao sistema original. Essas observacoes justificam as estrategias elementares de eliminacao ou substituicao que usamos frequentemente para resolver os sistemas de equacoes. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1 Para encontrar o ponto de interseccao das retas de equacoes x + 2y + 3 = 0 e y = 1, precisamos resolver o sistema de duas equacoes e duas incognitas (x e y): As incognitas representam as coordenadas do ponto P = (x, y) de interseccao das duas retas que estamos procurando. Da segunda equacao sabemos que y = 1. Substituindo esse valor de y na primeira equacao teremos que: x + 2 . 1 + 3 = 0, ou seja, x + 5 = 0, o que nos da a solucao x = 5. A solucao (unica) do sistema e (x, y) = ( 5, 1) e, portanto, o ponto P de interseccao das duas retas tem coordenadas P = (x, y) = ( 5, 1). Esbocando o grafico das retas dadas, podemos confirmar a solucao obtida. Confira na figura ao lado. Exemplo 2 Encontrar as coordenadas do ponto de interseccao das retas x + 2y + 3 = 0 e x y = 0. Temos, agora, que resolver o sistema: (S)Podemos agora resolver equacao 3y + 3 = 0 e temos y = 1. Substituindo na primeira equacao, a solucao de x + 2 . 1 + 3 = 0 sera x = 1. O ponto de interseccao das duas retas e P = (x, y) = ( 1, 1). Esboce agora o grafico das retas para conferir geometricamente a solucao obtida. x + 2y + 3 = 0 y = 1 x + 2y + 3 = 0 x y = 0 x + 2y + 3 = 0 3y + 3 = 0 Exemplo 3 Vamos agora encontrar o ponto de interseccao das retas x + 2y + 3 = 0 e 2x + 4y 1 = 0. Para resolver o sistema (S)Trocando a segunda equacao pela diferenca entre as duas equacoes de (S) obtemos e, neste caso, chegamos a um absurdo; nao podemos encontrar numeros x e y que tornem possivel 0.x + 0.y + 7 = 0. Como interpretar esse resultado? Trata-se de um sistema impossivel (isto e, para o qual nao existe solucao). Geometricamente podemos verificar que as retas descritas pelas equacoes x + 2y + 3 = 0 e 2x + 4y 1 = 0 sao paralelas (compare as suas inclinacoes). Logo, nao ha ponto de interseccao para essas retas. Exemplo 4 O ponto de interseccao das retas x + 2y + 3 = 0 e 2x + 4y + 6 = 0 pode ser obtido resolvendo o sistema (S)que e equivalente ao sistema (S), trocando, novamente, a