A Insolubilidade de Problemas Matematicos e os Limites da Mente HumanaSEX, 20 DE JULHO DE 2012 01:57Imagine o desafio de ter que mostrar que um dado problema da Matematica e insoluvel! Em alguns casos um tanto lendarios, foram necessarios mais de 2 mil anos para vencer o desafio. Ja na Grecia antiga, matematicos buscavam por metodos sistematicos para resolver problemas geometricos tais como, usando apenas regua e compasso, dividir um dado angulo em tres partes iguais, transformar um circulo num quadrado de mesma area, ou dobrar um cubo (construir um outro cubo com o dobro de seu volume). Somente em 1837, o matematico frances Pierre Wantzel (1814-1848), mostrou que nao existe metodo sistematico para trissectar um angulo, tampouco para dobrar um cubo.Que tal o desafio ainda maior de mostrar que nao existe um metodo sistematico para decidir uma questao matematica expressa numa linguagem formal e precisa tal qual a logica simbolica? Esse foi o desafio posto por um icone da Matematica do seculo XX: em 1928, o matematico alemao David Hilbert (1862-1943) propos a busca por um metodo geral para, ao receber um enunciado matematico representado numa linguagem formal e precisa como a logica simbolica, descobrir se o enunciado era verdadeiro ou falso. Apropriadamente, esse problema ficou conhecido como o problema de decisao.Muitos acreditavam que seria impossivel haver um metodo geral para decidir toda e qualquer questao da Matematica, entre eles o matematico G.H. Hardy (18771947), de Cambridge, que se dizia esperancoso com a confirmacao da impossibilidade, pois se houvesse teriamos um conjunto mecanico de regras para a solucao de todos os problemas matematicos, e nossas atividades como matematicos chegaria ao fim. Para Hilbert, no entanto, seria apenas uma questao de tempo ate que a Matematica encontrasse uma solucao para o problema de decisao, pois, para o matematico nao existe o Ignorabimus... A verdadeira razao por que ninguem conseguiu encontrar um problema insoluvel e que, na minha opiniao, nao existe problema insoluvel (1930). Essa era a sua resposta ao lema Ignoramus et Ignorabimus (nao sabemos e nao saberemos) enunciado em 1872 por seu compatriota, o fisiologista Emil du Bois-Reymond (1818-1916), exprimindo a crenca nos limites do saber cientifico.O metodo, ou algoritmo, pelo qual Hilbert procurava seria capaz de decidir, por exemplo, se questoes antigas e tradicionalmente dificeis tais como a conjectura de Goldbach ou a hipotese de Riemann, sao verdadeiras, ainda que nenhuma prova ou refutacao desses enunciados fosse conhecida. Naturalmente, antes que a questao da solubilidade do problema de decisao pudesse ser resolvida, a nocao de algoritmo tinha que ser matematicamente definida. Afinal de contas, apesar do conceito de algoritmo existir desde a antiguidade grega com o surgimento do metodo de Euclides para encontrar o maximo divisor comum de dois numeros, em pleno seculo XX nao se tinha uma definicao precisa, matematica, do que seria um algoritmo. Dai a inviabilidade de se demonstrar matematicamente a inexistencia de um algoritmo para resolver o problema de decisao.E ai entra em cena um personagem crucial no que veio a ser uma transformacao radical na historia do conhecimento cientifico. Alan Turing (1912-1954), matematico, logico, criptoanalista