0 tornou-se posteriormente conhecida como série de Maclaurin. Johann Bernoulli (1667--1748) também fez uma descoberta independente do teorema de Taylor. Euler (1707--1783) usou freqüentemente séries infinitas em seu trabalho para desenvolver novos métodos ou para modelar problemas aplicados. Publicou Mechanica em 1736, onde aplicou sistematicamente o cálculo à mecânica e desenvolveu novos métodos para resolver equações diferenciais usando séries de potências. Estabeleceu a notação de somatório que usamos hoje, usando sigma para o símbolo da soma. D'Alembert (1717--1783) escreveu cinco artigos lidando com métodos para integrar equações diferenciais. Embora tenha recebido pouca educação científica formal, é claro que ele conhecia os trabalhos de Newton, L'Hospital e dos Bernoullis. D'Alembert publicou muitos trabalhos sobre matemática e física matemática, culminado com seu trabalho principal, Traité de dynamique. Considerou a derivada como um limite da diferença de quocientes, o que o colocou à frente dos seus pares no entendimento do cálculo. Também desenvolveu o teste da razão para determinar a convergência de muitas séries. Através do trabalho de D'Alembert, a natureza da pesquisa sobre séries estava mudando de cálculos práticos para uma fundamentação mais teórica. Lagrange (1736--1813) estendeu o trabalho de Euler nas equações de movimento e o entendimento da energia potencial. Publicou Mécanique analytique (1787), que aplicava cálculo ao movimento de objetos. O maior trabalho de Lagrange foi na teoria e aplicação do cálculo. Ele sentiu que a série de Taylor desempenhava um papel fundamental no entendimento do cálculo, embora ainda evitasse o limite e as propriedades de convergência de seqüências e séries. Bolzano (1781-1848) confrontou este assunto, apontando que a convergência era importante para entender e usar séries. Tentou explicar convergência associando-a com a idéia de subconjuntos limitados. Bolzano acreditava no método de Lagrange para usar séries de Taylor como a base para o cálculo. Fourier (1768--1830) fez contribuição ao estudo e cálculo da difusão de calor e à solução de equações diferenciais. Théorie analytique de la chaleur (A Teoria Analítica do Calor, 1822) contém uso extenso de séries consistindo de funções trigonométricas que hoje chamamos de séries de Fourier. Apesar disso, contribuiu muito pouco para a teoria destas séries, as quais eram conhecidas, muito antes, por Euler, Daniel Bernoulli e Lagrange. Finalmente, a comunidade matemática foi motivada a estabelecer fundamentos mais teóricos para as idéias de limite e convergência de seqüências e séries. Cauchy (1789-1857) foi o primeiro a definir por completo as idéias de convergência e convergência absoluta de séries infinitas. Este trabalho foi feito em conjunto com o desenvolvimento de uma análise rigorosa do cálculo. Também foi o primeiro a desenvolver uma teoria sistemática para números complexos e a transformada de Fourier para equações diferenciais. Contudo, ambos Cauchy e seu colega Niels Henrik Abel (1802--1829) ignoraram a utilidade das séries divergentes. Abel escreveu em 1828 "séries divergentes são a invenção do diabo, e é uma vergonha basear nelas qualquer demonstração". Runge (1856--1927) desenvolveu o método de resolução baseado em seqüências para solucionar numericamente equações diferenciais junto com M. W. Kutta (1867--1944). Seqüências e séries tornaram-se ferramentas padrão para aproximar funções e calcular resultados em computação numérica. O matemático indiano autodidata