235711131719232931374143475359616771737983899710110310710911312713113713914915115716316717317918119119319719921122322722923323924125125726326927127728128329330731131331733133734734935335936737337938338939740140941942143143343944344945746146346747948749149950350952152354154755756356957157758759359960160761361761963164164364765365966167367768369170170971972773373974375175776176977378779780981182182382782983985385785986387788188388790791191992993794194795396797197798399199710091013101910211031103310391049105110611063106910871091109310971103110911171123112911511153116311711181118711931201121312171223122912311237124912591277127912831289129112971301130313071319132113271361136713731381139914091423142714291433143914471451145314591471148114831487148914931499151115231531154315491553155915671571157915831597160116071609161316191621162716371657166316671669169316971699170917211723173317411747175317591777178317871789180118111823183118471861186718711873187718791889190119071913193119331949195119731979198719931997199920032011201720272029203920532063206920812083208720892099211121132129213121372141214321532161217922032207221322212237223922432251226722692273228122872293229723092311233323392341234723512357237123772381238323892393239924112417242324372441244724592467247324772503252125312539254325492551255725792591259326092617262126332647265726592663267126772683268726892693269927072711271327192729273127412749275327672777278927912797280128032819283328372843285128572861287928872897290329092917292729392953295729632969297129993001301130193023303730413049306130673079308330893109311931213137316331673169318131873191320332093217322132293251325332573259327132993301330733133319332333293331334333473359336133713373338933913407341334333449345734613463346734693491349935113517352735293533353935413547355735593571358135833593360736133617362336313637364336593671367336773691369737013709371937273733373937613767376937793793379738033821382338333847385138533863387738813889390739113917391939233929393139433947396739894001400340074013401940214027404940514057407340794091409340994111412741294133413941534157415941774201421142174219422942314241424342534259426142714273428342894297432743374339434943574363437343914397440944214423444144474451445744634481448344934507451345174519452345474549456145674583459145974603462146374639464346494651465746634673467946914703472147234729473347514759478347874789479347994801481348174831486148714877488949034909491949314933493749434951495749674969497349874993499950035009501150215023503950515059507750815087509951015107511351195147515351675171517951895197520952275231523352375261527352795281529753035309532353335347535153815387539353995407541354175419543154375441544354495471547754795483550155035507551955215527553155575563556955735581559156235639564156475651565356575659566956835689569357015711571757375741574357495779578357915801580758135821582758395843584958515857586158675869587958815897590359235927593959535981598760076011602960376043604760536067607360796089609161016113612161316133614361516163617361976199620362116217622162296247625762636269627162776287629963016311631763236329633763436353635963616367637363796389639764216427644964516469647364816491652165296547655165536563656965716577658165996607661966376653665966616673667966896691670167036709671967336737676167636779678167916793680368236827682968336841685768636869687168836899690769116917694769496959696169676971697769836991699770017013701970277039704370577069707971037109712171277129715171597177718771937207721172137219722972377243724772537283729773077309732173317333734973517369739374117417743374517457745974777481748774897499750775177523752975377541754775497559756175737577758375897591760376077621763976437649766976737681768776917699770377177723772777417753775777597789779378177823782978417853786778737877787978837901790779197927793379377949795179637993800980118017803980538059806980818087808980938101811181178123814781618167817181798191820982198221823182338237824382638269827382878291829382978311831783298353836383698377838783898419842384298431844384478461846785018513852185278537853985438563857385818597859986098623862786298641864786638669867786818689869386998707871387198731873787418747875387618779878388038807881988218831883788398849886188638867888788938923892989338941895189638969897189999001900790119013902990419043904990599067909191039109912791339137915191579161917391819187919992039209922192279239924192579277928192839293931193199323933793419343934993719377939193979403941394199421943194339437943994619463946794739479949194979511952195339539954795519587960196139619962396299631964396499661967796799689969797199721973397399743974997679769978197879791980398119817982998339839985198579859987198839887990199079923992999319941994999679973 A Geometria esta em todo lugar...A GeometriaApalavra Geometria tem origem grega, formada pelos radicais GEO (terra) e METRIA(medida). Ha 5.000 anos, era a ciencia de medir terrenos, seus perimetros esuas areas. Com o tempo tornou-se a parte da Matematica que estuda o espaco eas figuras que podem ocupa-lo. Esta apoiada sobre alguns axiomas, postulados,definicoes, teoremas e corolarios, sendo que essas afirmacoes e definicoes saousadas para demonstrar a validade de cada teorema.Ageometria esta muito presente no nosso dia-a-dia. Olhe ao redor e veja quantasfiguras geometricas fazem parte da sala de aula, da sua casa, dos objetos donosso cotidiano, etc. Por isso, as ideias geometricas sao muito utilizadas naarquitetura, engenharia e em muitas outras areas do conhecimento humano.Ageometria formal nasceu do desenho e foi criada pelos gregos, mas tevecontribuicoes importantissimas dos babilonicos e egipcios. A simples tarefa delevantar uma tenda no meio da floresta, talvez, obrigasse o ser humano a tracaralgumas linhas no chao. Isso vale tambem para dividir terras ferteis a beirados rios, construir casas e templos, etc. Como desenvolvimento da matematica, os desenhos comecaram a nao caber mais natabua de argila, no papiro e, depois, nos papel. A precisao comecou a ficarmaior do que a capacidade de afiar do lapis: uma ponta mais grossa do que oestritamente necessario podia desvirtuar as coisas.Notempo das grandes navegacoes, usavam-se os compassos e as reguas para tracar ocurso das caravelas e - ate muito pouco tempo atras - cartas nauticas aindaeram muito usadas. Como pudemos observar, a Geometria surgiu para solucionarproblemas praticos e por isso ela e de extrema importancia para todos nos. Alemdisso, trabalhando com geometria desenvolvemos nosso raciocinio logico, nossacapacidade de abstracao e de estabelecer relacoes. Por isso, ela vem sendocobrada no Exame Nacional do Ensino Medio desde sua primeira edicao. E saoesses os objetivos que buscaremos alcancar no decorrer deste ano letivo.Conceitos geometricos primitivos.AGeometria baseia-se nos chamados conceitos geometricos primitivos, ou seja,aqueles que nao admitem definicao, isto e, os conceitos que sao aceitos porserem obvios ou convenientes para uma determinada teoria, mesmo que sem umaapresentacao formal atraves de palavras. Os conceitos geometricos primitivossao os seguintes:Ponto:e o conceito geometrico primitivo fundamental. Euclides o definiu como"aquilo que nao tem parte". Ou seja, para Euclides e o conceito de"parte", e nao de "ponto", que e primitivo. Imagine o pontoo menor que voce puder. Diz-se que o ponto nao tem dimensao (e adimensional),ou seja, ele e tao infimo quanto quisermos, e nao faz sentido mencionarqualquer coisa sobre tamanho ou dimensao do ponto. A unica propriedade do pontoe a localizacao. Representa-se o ponto por uma letra maiuscula qualquer doalfabeto latino. Linhaou curva: Imagine um pedaco de barbante sobre uma mesa, formando curvas ou nossobre si mesmo: este e um exemplo de linha. Reta:E uma linha infinita e que tem uma unica direcao. Uma reta e o caminho maiscurto entre dois pontos quaisquer. Semi-reta:Enquanto a reta e infinita para os dois lados, a semi-reta e infinita numa direcaoe finita na outra. Segmentode reta: Enquanto a reta e infinita dos dois lados o segmento de reta terminaem ambos os lados.Plano:Voce pode imagina-lo como uma folha de papel infinita. Um