que deixar claro que estes calculos so tem sentido se considerarmos que o raio de luz tem todo o percurso em um unico meio a uma velocidade constante. No entanto, em meios diferentes, como ar, agua, vidro, a luz tem velocidades diferentes. Se um raio de luz passa do ar para a agua, ele e refratado passando a uma direcao mais proxima da perpendicular a interface. O percurso $APB$ nao e mais o caminho mais curto de $A$ a $B$.[Figura 3]Em $1621$ o cientista holandes Snell descobriu empiricamente que o caminho real do raio de luz e o que satisfaz a equacao:\begin{equation}\frac{\text{sen}(\alpha)}{\text{sen}(\beta)} = \text{constante}\end{equation}onde essa constante e independente da posicao de $A$ e $B$. Esse fato e chamado de Lei de Refracao de Snell. Podemos provar a Lei de Snell partindo do pressuposto de que o raio percorre um caminho de $A$ a $B$ de modo a minimizar o tempo total de percurso.Seja a velocidade da luz no ar denotada por $V_{ar}$ e na agua $V_{ag}$ e seja $T$ o tempo total do percurso, tempo no ar mais o tempo na agua:\begin{equation*}T = \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{V_{ar}} + \frac{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}{V_{ag}}\\\ \\T = \frac{1}{V_{ar}}\left(a^2+x^2\right)^{1/2} + \frac{1}{V_{ag}}\left(b^2+(c-x)^2\right)^{1/2}\end{equation*}Se calcularmos a derivada desta funcao $T(x)$ e observarmos o seu significado em termos da figura acima, obteremos:\begin{equation*}\small \frac{dT}{dx} = \frac{1}{V_{ar}} \cdot \frac{1}{2}\cdot \left(a^2+x^2\right)^{-1/2} \cdot 2x + \frac{1}{V_{ag}}\cdot \frac{1}{2}\cdot \left( b^2+(c-x)^2 \right)^{-1/2} \cdot 2(c-x)\cdot (-1)\\\end{equation*}\begin{equation}\frac{dT}{dx} = \frac{1}{V_{ar}}\cdot\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - \frac{1}{V_{ag}}\cdot \frac{c-x}{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}\end{equation}E ainda pela figura acima, temos:\begin{equation*}\text{sen}(\alpha) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} \quad \text{e} \quad \text{sen}(\beta)=\frac{c-x}{\sqrt{b^2(c-x)^2}}\end{equation*}Substituindo na derivada anterior, obtemos:\begin{equation*}\frac{dT}{dx} = \frac{\text{sen}(\alpha)}{V_{ar}} - \frac{\text{sen}(\beta)}{V_{ag}}\end{equation*}Para obtermos o $T$ minimo, igualamos essa derivada a zero:\begin{equation*}0 = \frac{\text{sen}(\alpha)}{V_{ar}} - \frac{\text{sen}(\beta)}{V_{ag}}\\\ \\\frac{\text{sen}(\alpha)}{V_{ar}} = \frac{\text{sen}(\beta)}{V_{ag}} \end{equation*}Ou ainda:\begin{equation}\frac{\text{sen}(\alpha)}{\text{sen}(\beta)} = \frac{V_{ar}}{V_{ag}} \end{equation}Esta e a forma mais reveladora da Lei de Snell porque da um significado fisico da constante que aparece em $(3)$, pois e a razao entre a velocidade da luz no ar e a velocidade (menor) da luz na agua. Essa constante e chamada de indice de refracao da agua. Se substituirmos a agua por qualquer outro meio translucido, como alcool, glicerina, vidro, ... entao a constante teraum valor numerico diferente, pois cada meio possui um indice de refracao diferente.Podemos aplicar o teste da segunda derivada em $(4)$ para verificar se $(5)$ realmente minimiza $T$, observando se esta e positiva:\begin{equation*}\frac{d^2T}{dx^2} = \frac{1}{V_{ar}}\frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} + \frac{1}{V_{ag}}\frac{b^2}{\left( b^2+(c-x)^2 \right)^{3/2}}>0\end{equation*}Referencias:[1] Calculo com Geometria Analitica - Simmons - Ed. McGraw-HillVeja mais:O refinamento de SnellUsando derivadas para aproximar funcoesAplicacao de derivadas para determinacao de maximos e minimos