direita. Seu conteudo intuitivo e facil de entender se pensarmos em derivadas como taxas de variacao:Se $y$ varia $a$ vezes mais rapido que $u$ e se $u$ varia $b$ vezes mais rapido que $x$, entao $y$ varia $ab$ vezes mais rapido que $x$.Voltando a funcao composta dada em $(1)$ e sua decomposicao $(4)$, podemos aplicar a formula $(7)$, obtendo:\begin{matrix}\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}&=&3u^2(2x+5)=3(x^2+5)^2(2x+5)\\&=& 6x^5+75x^4+300x^3+375x^2\end{matrix}O resultado obtido e o mesmo encontrado em $(3)$. Da mesma forma, podemos calcular facilmente a derivada de $y = (7x^5+19)^{100}$. Escrevemos:\begin{equation*}y=u^{100}\quad \text{onde} \quad u=7x^5+19\end{equation*}e usamos a formula $(7)$, obtendo:\begin{matrix}\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}&=&100u^{99}\cdot 35x^4=100(7x^5+19)^{99}\cdot 35x^4\\&=& 3500x^4(7x^5+19)^{99}\end{matrix}Vejam como esses exemplos mostram como a regra da cadeia e um instrumento poderoso para o calculo.Demonstracao:Usando uma variacao infinitesimal $\Delta x$ na variavel independente $x$, esta produz uma variacao $\Delta u$ na variavel $u$, que por sua vez, produz uma variacao $\Delta y$ na variavel $y$. Derivabilidade implica em continuidade, assim, $\Delta u \rightarrow 0$ quando $\Delta x \rightarrow 0$. Olhando as definicoes das tres derivadas que queremos relacionar:\begin{equation}\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \quad , \quad\frac{dy}{du}=\lim_{\Delta u \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u} \quad , \quad\frac{du}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}\end{equation}podemos completar a demonstracao por algebra simples:\begin{equation}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}\end{equation}e assim:\begin{equation}\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} =\\\ \\= \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u} \right] \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x} \right]=\\\ \\=\left[ \lim_{\Delta u \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u} \right] \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x} \right]= \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\end{equation}A falha desta demonstracao e na possivel divisao por zero. Ao calcularmos $dy/dx$ pela definicao dada em $(8)$, sabemos pelo significado dessa formula que o incremento $\Delta x$ e infinitesimal, tendendo a zero, mas nunca sera igual a zero. Por outro lado, pode ocorrer de $\Delta x$ nao induzir uma variacao real em $u$, de modo que $\Delta u = 0$. Essa possibilidade invalida as relacoes $(9)$ e $(10)$.Podemos contornar este problema usando um artificio matematico. Comecamos com a definicao de derivada $dy/du$:\begin{equation}\frac{dy}{du} = \lim_{\Delta u \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u}\end{equation}Isto e equivalente a:\begin{equation}\frac{\Delta y}{\Delta u} = \frac{dy}{du}+\epsilon\\\ \\\Delta y = \frac{dy}{du}\Delta u + \epsilon \Delta u\end{equation}onde $\epsilon \rightarrow 0$ quando $\Delta u \rightarrow 0$.Nestas equacoes supomos que $\Delta u$ e um incremento nao-nulo em $u$, mas a ultima equacao e valida mesmo quando $\Delta u = 0$. Dividindo esta por um incremento nao-nulo $\Delta x$, obtemos:\begin{equation}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{du} \frac{\Delta u}{\Delta x} + \epsilon \frac{\Delta u}{\Delta x}\end{equation}E se fizermos $\Delta x \rightarrow 0$ obtemos a regra da cadeia dada em $(7)$, desde que $\epsilon \rightarrow 0$.A regra da cadeia e muito importante e indispensavel para uma boa parte dos calculos mais complexos de derivadas. Um exemplo disso foi mostrado no calculo da derivada de $y = (7x^5+19)^{100}$. Podemos expressar em linhas gerais como:\begin{equation}\frac{d}{dx}\left(~~~\right)^n = n\left(~~~\right)^{n-1}~\frac{d}{dx}\left(~~~\right)\end{equation}onde qualquer funcao derivavel de $x$ pode ser inserida nos parenteses. Se denotarmos a funcao por $u$, a formula pode ser escrita como:\begin{equation}\frac{d}{dx}\left(~u~\right)^n = n\left(~u~\right)^{n-1}~\frac{du}{dx}\end{equation}Exemplo $1$:Aplicar a regra da cadeia para derivar $y=(3x^4+1)^7$.Usando a formula $(15)$ e fazendo $u = 3x^4+1$, obtemos:\begin{equation*}\frac{d}{dx}\left(~u~\right)^n = n\left(~u~\right)^{n-1}~\frac{du}{dx}\\\ \\\frac{dy}{dx}