thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
a convencao de que o sentido de baixo para cima e positivo. Consequentemente, o sentido de cima para baixo fica negativo. Como os corpos aceleram para baixo, a aceleracao da gravidade pode ser representada como negativa. Esta representacao e muito util em problemas envolvendo a ascensao de corpos. Por exemplo, um corpo atirado para cima com velocidade instantanea 40m/s, apos 1s estara com 30m/s (uma soma de -10m/s em 1s ou 40m/s+(-10m/s)=30m/s). Neste texto, a aceleracao continuara sendo considerada positiva porque apenas a queda a partir do repouso sera abordada.Quarto passo: Analisar a distancia percorrida durante a queda. O aumento da velocidade instantanea nao da uma ideia exata da distancia percorrida durante a queda. Por exemplo, apos 1s de queda, um corpo atinge a velocidade instantanea de 10m/s. Um raciocinio rapido e equivocado pode levar a conclusao de que apos 1s o corpo tem velocidade de 10m/s, logo caiu 10m. O problema deste raciocinio e a confusao entre velocidade instantanea e velocidade media. Durante o intervalo entre 0 e 1s, um corpo em queda aumenta de velocidade instantanea de 0 para 10m/s. Por exemplo, em t=0,4s, o corpo tem velocidade instantanea de 4m/s. Para cair 10m, o corpo precisaria ter caido o tempo todo com velocidade instantanea de 10m/s, fato que so ocorre no instante exato t=10s. Se a velocidade instantanea aumentou progressivamente de 0 para 10m/s entre os instantes t=0 et=10m/s, a velocidade media e a media entre 0 e 10m/s: 5m/s. Assim, no primeiro segundo de queda o corpo percorre 5m. Em suma, apos 1s, o corpo caiu 5m e atingiu velocidade instantanea de 10m/s. O mesmo raciocinio pode ser repetido para o instante 2s. As velocidades instantaneas nos instantes 0 e2s sao respectivamente 0 e 20m/s. A velocidade media entre estes instantes fica a media entre 0 e 20m/s:10m/s. Para atingir uma velocidade media de 10m/s em 2s, o corpo deve cair 20m. Resumindo, apos 2s, o corpo baixou 20m e sua velocidade instantanea ficou 20m/s. Antes de prosseguir, e interessante pensar no que acontece entre 1s e 2s apos largar o corpo. As velocidades instantaneas sao respectivamente 10m/s e 20m/s. A velocidade media entre estes instantes e a media entre as velocidades 10m/s e 20m/s: 15m/s. Assim, entre 1s e 2s, o corpo cai 15m. Entao o corpo caiu 5m entre 0 e 1s, mais 15m entre 1s e 2s, totalizando 5m+15m=20m nos dois primeiros segundos. Isso confirma o resultado do paragrafo anterior. Repetindo o mesmo raciocinio, o leitor podera concluir que no instante 3s o corpo atingiu 30m/s, a velocidade media entre 0 e 3s foi 15m/s e a distancia percorrida foi 45m. Muitas outras coisas poderiam ser faladas sobre a aceleracao da gravidade. No entanto, o objetivo deste texto foi apenas mostrar uma outra forma de estudar o problema da queda dos corpos. Caso o leitor esteja interessado em maiores informacoes sobre a aceleracao da gravidade, fica a recomendacao do antigo video abaixo: Lei da Queda dos Corpos.
pelo pitagorismo. Apesar de geniais, os pitagoricos tinham um conceito bem restrito de numero. O 1 nao era numero. Numeros eram pluralidade e o 1 era unico, singular. O primeiro numero era o 2, o segundo era o 3, etc. Os pitagoricos conheciam as fracoes mas nao as classificavam como numeros. Fracoes podiam ser representadas como um par de numeros (por exemplo, 2/3, 3/5, etc.) ou como o 1 seguido de um numero (por exemplo, 1/2, 1/3, etc.). A existencia de medidas que nao podiam ser representadas por fracoes, hoje chamadas de numeros irracionais, provocaram um verdadeira crise na escola pitagorica. Paradoxalmente, diversas medidas nao fracionarias sao encontradas atraves do "teorema de Pitagoras''. Os pitagoricos tambem nao conceberam o zero, nem os numeros negativos e nem os complexos. Mas isso e outra historia... Em linguagem moderna, o numeros concebidos pelos pitagoricos juntamente com o zero e o 1 formam o conjunto dos numeros naturais, representados por N. Geralmente o conjunto dos naturais e apresentado na forma: N={0,1,2,3,4,...} onde as reticencias significam que o conjunto continua infinitamente. As partes de um numero, os divisores. Para conhecer o interior de alguma coisa e necessario dividi-la. Com os numeros nao e diferente. Para conhecer o interior de um numero e necessario dividi-lo. Mas a divisao que interessa e a divisao exata. Por divisao exata os matematicos se referem a divisao com resto zero. Por exemplo, 10 pode ser dividido em 2 grupos com 5 unidades cada. Em outras palavras, 10=5+5=2x5. Assim a divisao de 10 por 2 e exata. Da mesma forma, o numero 10 pode ser dividido em 5 grupos de 2 unidades, 10=2+2+2+2+2=5x2. Entao a divisao de 10 por 5 tambem e exata. A divisao de 10 por 1 e exata porque e possivel pensar neste numero como 1 grupo com 10 unidades, 10=1x10. Enfim a divisao 10 por 10 e exata porque se obtem 10 grupos com 1 unidade cada, 10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10x1. Mas 10 nao pode ser dividido exatamente em 3 grupos. Dez resulta em 3 grupos de 3 unidades com resto 1, ou seja, 10=3x3+1. Assim 10 dividido por 3 nao e uma divisao exata. A divisao de 10 por 4 nao e exata porque 10=4x2+2. As divisoes de 10 por 6, 7, 8 e 9 tambem nao sao exatas. Quando um numero dividido por outro resulta em divisao exata, o segundo e designado como divisor do primeiro. Por exemplo, 1, 2, 5 e 10 sao divisores de 10. Ja 3, 4, 6, 7, 8 e 9 nao sao divisores de 10. Os numeros 1, 2, 3, 4, 6 e 12 sao divisores de 12. Ja 5, 7, 8, 9, 10 e 11 nao sao divisores de 12. Um conceito que facilita o estudo dos divisores e o de ``multiplo''. Se um numero e divisor de um segundo, o segundo e multiplo do primeiro. Por exemplo, 2 e divisor de 10, logo e 10 multiplo de 2. Ja o 3 nao e divisor de 10, logo 10 nao e multiplo de 3. A ideia por tras da nomenclatura "multiplo" e que a
relacao pode ser escrita como multiplicacao. Por exemplo, 10 e multiplo de 2 porque 10 pode ser escrito como 2x5. Ja 15 nao e multiplo de 2 porque nao ha numero "natural" multiplicado por 2 que resulte em 15. Mas 15 e multiplo de 3 porque 15=3x5. Eis abaixo uma lista dos numeros de 1 ate 30 com seus respectivos divisores: 1: 1 2: 1 e 2 3: 1 e 3 4: 1, 2 e 4 5: 1 e 5 6: 1, 2, 3 e 6 7: 1 e 7 8: 1, 2, 4 e 8 9: 1, 3 e 9 10: 1, 2, 5 e 10 11: 1 e 11 12: 1, 2, 3, 4, 6 e 12 13: 1 e 13 14: 1, 2, 7 e 14 15: 1, 3, 5 e 15 16: 1, 2, 4, 8 e 16 17: 1 e 17 18: 1, 2, 3, 6, 9 e 18 19: 1 e 19 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20 21: 1, 3, 7 e 21 22: 1, 2, 11 e 22 23: 1 e 23 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 25: 1, 5 e 25 26: 1, 2, 13 e 26 27: 1, 3, 9 e 27 28: 1, 2, 4, 7, 14 e 28 29: 1 e 29 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30 Alguns padroes que aparecem na lista de divisores dos numeros podem ser generalizados. E necessario ressalta-los. O numero 1 e divisor de todos os numeros naturais. Dividir um numero por 1 e formar um unico grupo com todas as unidades sem nenhum resto. Assim, um numero dividido por 1 e ele mesmo. Por exemplo, 10=1x10, 11=1x11, etc. Outra forma de descrever o mesmo fato e que "todo o numero e multiplo de 1". Todo o numero e divisor de si mesmo. Dividir um numero por ele mesmo e formar um grupo para cada unidade. Cada grupo fica com uma unica unidade sem nenhum resto. Assim um numero dividido por ele mesmo e 1. Por exemplo, 10=10x1, 11=11x1, etc. Outra forma de descrever isso e que todo numero e multiplo de si mesmo. Entre os divisores de um numero, o mesmo e denominado ``divisor improprio''. Em outras palavras, todo numero e um divisor improprio de si mesmo. Assim 10 e divisor improprio de 10, 11 e divisor improprio de 11, etc. Os demais divisores de um numero sao denominados ``divisores proprios''. Por exemplo, 1, 2 e 5 sao divisores proprios de 10, enquanto 10 e divisor improprio de 10. O unico divisor proprio de 11 e 1 enquanto 11 e divisor improprio. Os pitagoricos nao incluiam os divisores improprios em suas listas. Por exemplo, para os pitagoricos os unicos divisores de 10 seriam 1, 2 e 5. O unico divisor de 11 seria o 1. O divisor improprio de 1 e 1. O numero 1 e o unico que tem apenas um divisor: o proprio 1. O numero 1 e o unico que nao tem divisor proprio. O problema dos divisores de
zero sera discutido no proximo topico. Com excecao do 0 e do 1, os demais numeros tem pelo menos dois divisores: o 1 e o divisor improprio, ele mesmo. O numero 2 e divisor de todos os numeros pares mas nao e divisor de nenhum impar. A propria definicao de par e de um numero que e multiplo de 2. Na classificacao moderna o numero 1 e impar porque nao e multiplo de 2. Mas para os pitagoricos o 1 nao era um numero, portanto nao podia ser impar. Na classificacao moderna o zero e par porque e multiplo de 2 (0=2x0). Mas os pitagoricos desconheciam o zero de forma que para eles 0 nao podia ser par. Os numeros que tem exatamente dois divisores recebem o adjetivo "primo". Se os numeros primos tem apenas dois divisores, eles devem ser o 1 e o divisor improprio. O numero 0 nao e primo por razoes que serao discutidas no proximo topico. Ja o numero 1 nao e primo porque tem apenas um unico divisor. O numero 2 tem dois divisores, 1 e 2, portanto e o primeiro numero primo. O 3 tambem e primo porque tem somente dois divisores, 1 e 3. Mas o 4 nao e primo porque tem 3 divisores: 1, o divisor improprio (4) e 2. Ha infinitos numeros primos. Na lista acima e possivel ver que os numeros primos entre 1 e 30 sao: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. O unico divisor proprio de um numero primo e o 1. Como os pitagoricos nao incluiam o divisor improprio como divisor de um numero, para eles o unico divisor de um primo era o 1. Por esta razao, os pitagoricos usavam o adjetivo "primo" com o sentido de "primordial", "primeiro". O numero primo nao tinha "partes" caso ele fosse escrito como um produto. Por exemplo, o numero 7, que e primo, so pode ser escrito como 1x7 ou 7x1. Fica impossivel escreve-lo como produto de numeros diferentes de 7. Isso pode ser generalizado para todos os primos. O numero primo nao pode ser "decomposto", ele e primordial, indivisivel. Os numeros diferentes de 0 que tem mais de 2 divisores sao chamados de compostos. Por exemplo, o numero 4 e composto porque tem mais de dois divisores. O numero 11 nao e composto porque tem somente dois divisores. Assim 11 e primo. Ja o numero 15 e composto porque tem mais de dois divisores: 1, 3, 5 e 15. Todos os pares diferentes de 0 e 2 sao compostos porque tem pelo menos tres divisores: 1, 2 e o divisor improprio. Ou seja, o unico numero par que e primo e o 2. Os numeros compostos recebiam este nome porque podiam ser escritos como "compostos" por um produto de numeros diferentes deles mesmos. Assim o numero 6, que e composto, pode ser escrito como 2x3. O numero composto 9 pode ser escrito como 3x3. Enfim, todos os numeros compostos podem ser "decompostos". A decomposicao mais completa que um numero composto pode sofrer e em fatores
primos. Por exemplo, 6=2x3 e 2 e 3 sao primos. O numero 45 pode ser escrito como 3x15, mas apenas 3 e primo. Reescrevendo 45=3x3x5, os unicos fatores, 3 e 5, sao primos. O produto dos primos gera todos os compostos.Assim os numeros naturais podem ser primos ou compostos, um ou outro, sendo que o 1 e o 0 ficam excluidos desta classificacao. Breve discussao sobre o zero Nos dois paragrafos seguintes sera descrito o problema do zero na divisao. Caso o leitor nao compreenda os dois paragrafos, nao desanime e siga em frente para o proximo topico, "perfeicao de um numero". Nao e necessario entender o "zero" para compreender os numeros perfeitos. Mas ja que se falou de divisao, vale a pena mencionar o papel do 0. Nao se pode dividir nenhum numero por zero. As razoes nao sao obvias. Um argumento superficial e que nao se pode dividir um numero em zero grupos. Que sentido teria dividir 10 em zero grupos ? Quantas unidades ficam em cada grupo se nao ha grupos ? Nem mesmo o 0 pode ser dividido por 0. Entao zero nao e divisor de nenhum numero. Com isso 0 nao e divisor nem de si mesmo. Zero e o unico numero que nao tem divisor improprio. O numero zero pode ser dividido por qualquer numero diferente de 0. Zero pode ser dividido em um unico grupo com zero unidades (0=1x0), em dois grupos com zero unidades cada (0=0+0=2x0), em tres grupos com zero unidades cada (0=0+0+0=3x0) e assim sucessivamente. Em outras palavras, 0 dividido por qualquer numero diferente de 0 e 0. Todos os numeros sao divisores de 0 exceto o proprio 0. Assim zero tem infinitos divisores. O numero 0 nao e primo porque tem mais de 2 divisores. Zero tambem nao e composto porque a propria definicao ja excluiu o zero. Assim como o numero 1, 0 nao e primo e nem composto. Em resumo, nenhum numero pode ser dividido por zero mas 0 pode ser dividido por todos os outros numeros, resultando em 0. Mas caso o leitor nao tenha entendido este topico, prossiga. Quando os numeros perfeitos foram concebidos pelos pitagoricos, o 0 nao era nem sonhado. Perfeicao nos numeros Para entender um numero, os pitagoricos somavam seus divisores proprios. Se os divisores proprios de um numero revelariam como ele pode ser decomposto, a soma deles sintetizaria as informacoes. Por exemplo, os divisores proprios de 4 sao 1 e 3. A soma destes divisores e 1+2=3. Assim soma dos divisores proprios de 4 e 3. O unico divisor proprio de 5 e 1. Assim a soma dos divisores proprios de 5 e 1. Isso pode ser generalizado para todos os numeros primos. A soma dos divisores proprios de um numero primo e 1, confirmando seu carater primordial. Os divisores proprios de 6 sao 1, 2 e 3. A soma dos divisores proprios de 6 e 1+2+3=6. Esta coincidencia chamou a atencao dos pitagoricos. Todo numero cuja a soma dos divisores proprios coincide com ele mesmo recebe o adjetivo de "perfeito". O segundo
Pietro Cataldi (1552-1626) e os franceses Marin Mersenne (1588-1648), Rene Descartes (1596-1650) e Pierre Fermat (1601-1665). Enfim o grande matematico suico Leonard Euler (1707-1783) deu contribuicoes decisivas para a teoria dos numeros perfeitos. Atualmente os computadores sao um aliado essencial na busca pelos numeros perfeitos. Sem os computadores seria impossivel continuar a busca pela perfeicao nos numeros. Uma lista dos numeros perfeitos obtidos ate 2006 esta exposta no endereco eletronico:http://amicable.homepage.dk/perfect.htm A lista acima nao leva em conta que o quinto, sexto e setimo numeros perfeitos foram descobertos pelos arabes. As datas e creditos das descobertas sao relativas as redescobertas europeias.Defeito nos numeros Um numero cuja a soma dos divisores proprios e menor do que o mesmo recebe o adjetivo "defeituoso" ou "menos que perfeito" . Isso acontece com quase todos os numeros. Por exemplo, os numeros primos sao defeituosos porque a soma de seus divisores proprios e 1 e 1 e menor do que qualquer primo. O numero 4 nao e primo, mas e defeituoso porque a soma de seus divisores proprios e 3 e 3 e menor do que 4. E assim por diante. O fato dos numeros defeituosos serem qualificados como tais nao implica que eles eram desprezados pelos pitagoricos. Por que os pitagoricos classificariam os numeros primos como defeituosos se eles sao primordiais ? Por que os pitagoricos chamariam seu numero mais sagrado, o 4, de defeituoso ? Na verdade, nao existe nenhum texto ou evidencia indicando que os primeiros pitagoricos empregavam o termo "defeituoso" para os numeros menos que perfeitos. A classificacao "defeituoso" so aparece na obra de Nicomachus de Gerasa quase 600 anos depois. Neste texto sera mantida a classificacao defeituosa porque ela aparece na literatura. Numeros quase perfeitos e o caminho para perfeicao Entre os numeros defeituosos ha alguns que sao classificados como quase perfeitos. Para estes numeros, a soma dos divisores proprios e o seu proprio antecessor, ou seja, o numero que vem imediatamente antes. O numero 2 e quase perfeito porque a soma dos seus divisores proprios e 1. O numero 4 tambem e quase perfeito porque a soma de seus divisores proprios e 3. O numero 8 e quase perfeito. Os divisores proprios de 8 sao 1, 2 e 4 e 1+2+4=7, onde 7 e antecessor de 8. Ja os divisores de 16 sao 1, 2, 4 e 8 e 1+2+4+8=15 e 15 e antecessor de 16. Assim 16 e um numero quase perfeito. Na verdade qualquer numero que resulte do 2 multiplicado por si mesmo e quase perfeito. Em outras palavras todo o numero quase perfeito e da forma 2, 2x2=4, 2x2x2=8, 2x2x2x2=16, 2x2x2x2x2=32, 2x2x2x2x2x2=64, 2x2x2x2x2x2x2=128, etc. E atraves dos numeros quase perfeitos que se chega aos numeros perfeitos. Mas antes de encontrar os numeros perfeitos e necessario definir uma classe especial, os "primos de Mersenne". Os primos de Mersenne sao numeros antecessores dos quase perfeitos e ao mesmo tempo primos (como o nome ja indica). Por exemplo, o antecessor de 2 e 1, mas 1 nao e primo, entao 1 nao e primo de Mersenne. Ja o antecessor de 4 (numero
quase perfeito) e 3 e 3 e primo. Entao 3 e um primo de Mersenne. O antecessor de 8 (numero quase perfeito) e 7 e este ultimo e primo. Entao 7 e primo de Mersenne. Mas o antecessor de 16 e 15 e 15 nao e primo porque e multiplo de 3 e de 5. Assim 15 nao e primo de Merssenne. O antecessor de 32, 31, e um primo de Mersenne. Mas 63 (antecessor de 64) nao e primo, logo 63 nao e primo de Mersenne. O quarto, quinto, sexto e setimo primos de Mersenne sao respectivamente: 127, 8.121, 131.071 e 524.287. Existem infinitos primos de Mersenne. O nome "primos de Mersenne" e uma homenagem ao matematico Marin Mersenne. Embora Euclides e Ibn Al-Haythan ja sabiam que era necessario achar os primos de Mersenne para encontrar numeros perfeitos, foi Marin Mersenne quem primeiro estudou sistematicamente as propriedades dos numeros que levam seu nome. O grande matematico Leonard Euler fez grandes contribuicoes no estudo dos primos de Mersenne. Foi atraves do estudo dos primos de Mersenne que Euler contribui tanto na procura dos numeros perfeitos. Hoje em dia os computadores sao os grandes aliados na busca dos primos de Mersenne. Uma tabela com os primos de Mersenne encontrados ate agosto de 2008 pode ser encontrada no endereco eletronico:http://pt.wikipedia.org/wiki/Primo_de_Mersenne Finalmente e possivel encontrar os numeros perfeitos. "Multiplique um primo de Mersenne por seu sucessor (numero que vem imediatamente depois). Divida o produto por 2. O resultado final e um numero perfeito". Por exemplo, o primeiro primo de Mersenne e 3. Multiplicando 3 por seu sucessor, 4, chega-se a 3x4=12. Dividindo 12 por 2 chega-se a 6. E 6 e o primeiro numero perfeito. Ja o segundo primo de Mersenne e 7. Multiplicando 7 por seu sucessor, 8, chega-se a 56. E 56 dividido por 2 resulta em 28. O segundo numero perfeito e 28. O terceiro primo de Mersenne e 31, que multiplicado por seu sucessor (32) resulta em 31x32=992. E dividindo 992 por 2 chega-se a 496 (terceiro numero perfeito). Para cada primo de Mersenne que se encontra, chega-se a um numero perfeito. Mas sera que este metodo esgota todas as possibilidades ? Ate 2008, com todo o aparato computacional disponivel, se sabe que todos os numeros perfeitos que tem ate 602 algarismos e encontrado atraves dos primos de Mersenne. Uma das consequencias disso e que todo o numero perfeito termina com 6 ou 8. Assim nunca foi encontrado um numero perfeito impar e nem um perfeito par que terminasse em 0, 2 ou 4. A medida que se avanca no conjunto dos numeros naturais, os primos de Mersenne ficam mais raros. Por exemplo, os cinco primeiros primos de Mersenne sao relativamente proximos: 3,7, 31, 127 e 8.121. Mas o quinto primo de Mersenne e 131.071 e tem dois algarismos a mais do que o quarto. Esta raridade de primos de Mersenne vai aumentado apos 131.071. Como consequencia os numeros perfeitos tambem vao ficando cada vez mais raros. Os quatro primeiros numeros perfeitos sao 6, 28, 496 e 8.128. Ja o quinto
numero perfeito e bem maior do que o quarto, 33.550.336.Numeros perfeitos e numeros triangulares Os pitagoricos classificavam como numeros triangulares a soma em sequencia do 1 com os demais numeros. Assim 1+2=3 e triangular. O segundo numero triangular e 1+2+3=6. Assim 6 e ao mesmo tempo um numero perfeito e triangular. O terceiro e 1+2+3+4=10. O quarto numero triangular e 15=1+2+3+4+5. O conjunto do 1 com 2, 3 e 4 recebia o nome de Sagrada Tetraktys. Os pitagoricos tinham uma veneracao especial por este grupo da unidade com os "tres primeiros numeros" (para eles o 1 nao era numero). O 10, por ser a soma do 1 ate 4, tambem era considerado sagrado. Os pitagoricos "quase" desenvolveram o sistema decimal indo-arabico mais de mil anos antes dos indianos. Um dos obstaculos para isso era a falta do algarismo 0. Mas isso e outra historia... Por que falar de numeros triangulares em um artigo sobre numeros perfeitos ? Porque como o leitor ja deve ter desconfiado, todo o numero perfeito e triangular. Mas nem todo o numero triangular e perfeito. Assim 3, 10, 15 e 21 sao triangulares mas nao sao perfeitos. Ja 28, que e perfeito, e necessariamente triangular. De fato, 28=1+2+3+4+5+6+7. Os numeros triangulares fornecem outro metodo de achar numeros perfeitos. Somando a sequencia do 1 ate um primo de Mersenne chega-se a um numero perfeito. Assim a soma de 1 ate 3 (primo de Mersenne) resulta em 6. Ja a soma de 1 ate o primo de Mersenne 7 resulta em 28. A soma de 1 ate 31 resulta em 496. E assim por diante. Abundancia nos numeros Ha numeros cuja soma dos divisores proprios e maior do que o mesmo. Eles sao chamados de numeros abundantes ou "mais que perfeitos". Os numeros "abundantes" sao mais raros do que os imperfeitos mas mais frequentes do que os perfeitos. O numero 12 e o menor numero abundante. Os divisores proprios de 12 sao: 1, 2, 3, 4 e 6 e a soma deles e 1+2+3+4+6=16 e 16 e maior do que 12. Depois do 12 o proximo numero abundante e o 18. Os divisores proprios de 18 sao 1, 2, 3, 6 e 9. A soma 1+2+3+6 +9=21. Os multiplos de um numero perfeito diferentes dele mesmo sao abundantes. Assim todos os multiplos de 6 (exceto o proprio 6) sao abundantes: 12, 18, 24, 30, etc. Os multiplos de 28 (que nao sejam o proprio 28) tambem sao abundantes: 56, 84, 112, etc. Mas nem todo o numero abundante e multiplo de um numero perfeito. Por exemplo, o numero 20 tem como divisores proprios 1, 2, 4, 5 e 10 e nenhum destes numeros e perfeito. No entanto a soma dos divisores proprios de 20 mostra que ele e um numero abundante. Calculando 1+ 2+4+5+10=22 e 22 e maior do que 20. Todo multiplo de um numero abundante e abundante. Assim os multipos de 20 sao todos abundantes: 20, 40, 60, 80, 100, etc. Os multiplos de 56 sao todos abundantes: 56, 112, 168, etc. O menor numero abundante impar e
aperfeicoar-se. Como aplicar o conceito de perfeicao pitagorica ao ser humano ? Perfeicao e o que esta fora concordar com o que esta dentro. Um ser humano perfeito e aquele que cabe em si mesmo. Quem e perfeito e sincero porque mostra o que esta dentro de si mesmo. A pessoa perfeita nao tentaria fingir ou ser algo que ela nao e. Ao contrario, o ser humano perfeito e exatamente ele mesmo, nem mais e nem menos. O caminho da perfeicao comeca com uma pergunta. Quem sou eu ? No momento que o homem encontra a resposta, ele e exatamente ele mesmo. Mas o que fazer enquanto nao se encontra o si mesmo ? So resta continuar buscando o autoconhecimento. Quem chegar a ser quase perfeito ja pode ficar feliz porque a quase perfeicao e o caminho para a perfeicao.