na Teoria dos Campos Conceituais, do psicologo frances Gerard Vergnaud, que teve suas primeiras insercoes no Brasil no fim dos anos 1980. O pesquisador diferencia o campo aditivo do campo multiplicativo, identificando as particularidades de cada uma das areas, mas tambem ressaltando o que elas tem em comum: as operacoes nao sao estanques - nao se pode descolar a adicao da subtracao, assim como nao se separa a multiplicacao da divisao, e nao ha somente um caminho para solucionar os problemas matematicos.Com tantas negativas em seus pontos-chave, a teoria de Vergnaud se coloca em contraposicao ao ensino convencional. "Trabalhar com campos conceituais e romper o contrato didatico estabelecido tradicionalmente", explica Lilian Ceile Marciano, orientadora pedagogica e formadora de professores da Escola da Vila, em Sao Paulo. "Primeiro voce apresenta a situacao-problema. So depois de ela ser elaborada pelos alunos, e possivel comecar a discussao sobre as possiveis estrategias para resolve-la." O aluno pode nao ter familiaridade com o algoritmo nem perceber que a adicao repetida faz parte do caminho para a multiplicacao, mas vai se apropriando da operacao com as ferramentas que ja possui.Diferentes enunciados criam variados olharesA divisao traz, desde o inicio, um fator de complexidade quando comparada as operacoes do campo aditivo: ela trabalha com quatro termos - dividendo, divisor, quociente e resto -, em vez de apenas os tres da adicao e da subtracao (confira outras caracteristicas no quadro abaixo). A diversidade de tipos de problema exige o dominio das diversas relacoes matematicas para ser resolvida.Divisibilidade sem decorebaTodo numero par e divisivel por 2. Um numero e divisivel por 3 se a soma dos algarismos que o compoem for divisivel por 3. Regras como essas talvez parecam praticas no trabalho com a divisibilidade, mas o seu uso pode incorrer na mesma questao dos algoritmos: ele perde o sentido se nao for revestido de significacao para a garotada. Ao decorar a "formula magica", que verifica se um numero e divisivel por outro sem fazer a conta armada, e possivel ofuscar a maior riqueza desse tipo de atividade: que a crianca perceba as regularidades da divisao. "Em problemas de maximo divisor comum (MDC), por exemplo, os alunos costumam comecar simplesmente testando o maior numero", diz Priscila Monteiro, formadora do programa Matematica E D+, da Fundacao Victor Civita (FVC). "Essa estrategia e positiva e deve ser validada pelo professor." Ela destaca que o interessante do trabalho com atividades que envolvem divisibilidade e o potencial de discutir estrategias e, em conjunto, elaborar hipoteses de generalizacao de fenomenos - o que mais tarde as turmas verificarao serem propriedades da divisao.Assim, pode-se ter varias modalidades de enunciados que se baseiam nos mesmos elementos, como no exemplo: "Dezessete balas sao divididas entre 5 criancas. Quantas balas ganha cada uma se os doces forem distribuidos igualmente?" De formas variadas, os pequenos devem chegar ao resultado:3 balas para cada uma e sobram 2. A questao pode ser alterada sem modificar os termos: e se as balas forem distribuidas uma a uma ate acabarem? Nesse caso, formam-se dois grupos com quantidades diferentes, e o aluno verificara - por contagem,