Nesta postagem, vamos demonstrar que:\begin{equation*}\int e^{ax}\ dx = \frac{e^{ax}}{a} + C\end{equation*}onde $a$ $\in \mathbb{R}$ e $a$ $\neq$ $0$.Seja a integral:\begin{equation*}I = \int e^{ax}\ dx\end{equation*}Para o integrando $e^{ax}$, fazemos a substituicao $u=ax$. Assim, $du=adx$ e $dx = \frac{1}{a}du$.Assim:\begin{equation*}I = \int \frac{e^u}{a}\ du\\\ \\I= \frac{1}{a} \int e^u\ du\end{equation*}A integral de $e^u$ e $e^u$. Assim:\begin{equation*}I = \frac{e^u}{a} + C\end{equation*}Mas $u = ax$, logo:\begin{equation*}I = \frac{e^{ax}}{a} + C\end{equation*}Exemplo $1$:Calcular a area sob a curva $f(x)=e^{x/4}$ compreendida no intervalo $[0,1]$.Para calcularmos a area desejada, utilizamos o conceito de integral definida, com limite inferior de integracao igual a $0$ e superior igual a $1$. Utilizando o resultado obtido acima, temos que:\begin{equation*}A = \int_0^1 e^{x/4}\end{equation*}Resolvendo a integral, temos que:\begin{equation*}A = \left[ \frac{e^{x/4}}{1/4} \right]_0^1 = \left[ 4\ e^{x/4} \right]_0^1\\\ \\A = \left[ 4\ e^{1/4} - 4\ e^{0/4} \right] \\\ \\A = 4\ e^{1/4} - 4\\\ \\A \approx 1,136\end{equation*}Veja mais:Lista de resolucao de integrais Integracao por substituicaoIntegracao por partes O que diz?Encontrar a taxa de variacao instantanea de uma grandeza que varia com o tempo, calcular como seu valor varia em um breve intervalo de tempo e dividi-lo pelo tempo em questao. E entao fazer com que esse intervalo se torne tao pequeno quando se queira.Por que e importante?Fornece uma base rigorosa para o calculo, o meio mais importante que os cientistas usam para modelar o mundo natural.Qual foi a consequencia?O calculo de tangentes e areas. Formulas para volumes de solidos e comprimentos de curvas. As leis do movimento de Newton, equacoes diferenciais. A lei da conservacao da energia e da quantidade de movimento. A maior parte da fisica matematica.Referencias: [1] 17 Equacoes Que Mudaram o Mundo Ian Stewart Veja mais:Diferenciacao implicitaAlgumas observacoes sobre a notacao de derivadaAplicacao de derivadas para determinacao de maximos e minimos Durante a madrugada inteira de $30$ de maio de $1832$, o matematico frances Evariste Galois escreveu, escreveu e escreveu. Nas margens do caderno, como um simbolo de seu desespero, anotou: Nao tenho tempo, nao tenho tempo. Ele sabia que estaria morto antes de o Sol nascer, provavelmente com um tiro na testa. Tinha apenas $20$ anos, mas muita coisa a dizer. Especialmente sobre os numeros que vinha rabiscando de maneira confusa desde os $16$. Equacoes incompreensiveis na opiniao de alguns celebres matematicos, talvez equivocadas.Doze anos depois, os rascunhos e as anotacoes insanas daquela noite foram finalmente examinados. O rapazote Galois era um genio! Sua complexa teoria de grupos abria todo um novo campo para a algebra. Algo que no seculo seguinte seria fundamental para o desenvolvimento dos computadores, por exemplo.Mas em $1832$ nada disso parecia possivel. O jovem Evariste estava atolado ate o pescoco em uma confusao dos diabos. Ou melhor, diversas confusoes. A escalada comecou em $1829$, com o suicidio inesperado de seu pai apos uma briga feia com inimigos monarquistas. O pais estava dividido em faccoes apaixonadas, opondo catolicos a protestantes, republicanos a monarquistas, e Galois resolvera ser republicano ate a morte.Tanto que se envolveu em uma bela enrascada ao fugir da escola para participar das manifestacoes contra a posse do rei Luis Felipe, em $1830$. Foi expulso e nem se abalou: alistou-se