Depois de muito tempo afastado, uma postagem de inutilidade publica: descubra com qual famoso (ou quase famoso) voce faz aniversario. No meu caso destaco o Roberto Bolanos, eterno chaves (quando eu escrevi ele estava vivo; se quando voce estiver lendo ele ja tiver morrido, tome a Ellen Page no lugar).A Wikipedia (biblioteca babilonica da internet) tem uma pagina para cada dia do ano. Dentro de cada uma, varios temas interessantes que aconteceram nessa data: eventos historicos, feriados e eventos ciclicos. Na guia Nascimentos, e possivel ver quem nasceu com voce. Caso se interesse, a guia Falecimentos indica quem perdeu a vida no dia em que voce ganhou. Fim de ano e e tradicao do nosso pais realizar amigo invisivel. A brincadeira e tao simples quanto conhecida, por isso nao vou entrar em detalhes. Algo frustrante, pelo menos no sorteio, e quando alguem sai com o proprio nome e, teoricamente, todos deveriam realizar o sorteio novamente para garantir o pretendido segredo (supostamente, com quem saimos deve ser surpresa para todos os outros). Uma pergunta natural parece ser:Qual a probabilidade de que em um sorteio com n pessoas, ninguem tire o proprio nome?Para facilitar, vamos inicialmente adotar um grupo de 10 pessoas, ou seja, n=10.Em combinatoria, quando uma fila e reorganizada de forma que nenhum elemento permaneca na mesma posicao, dizemos que e uma permutacao caotica (ou desarranjo). Pense nas 10 pessoas formando uma fila e cada uma delas com o papel com seu nome na mao. Em um sorteio de amigo invisivel que deu certo, os papeis sao trocados e vao todos para maos diferentes. Em outras palavras, um sorteio de amigo invisivel otimo deve ser uma permutacao caotica.Felizmente, existe uma formula para calcular isso e esta na pagina de desarranjo da Wikipedia. No caso de 10 pessoas, o numero total de sorteios possivel e 3.628.800 (10!, pelo Principio Fundamental da Contagem). O numero de sorteios otimos, ou seja, o numero de sorteios em que ninguem sai com seu proprio nome e de 1.334.961 (a formula do calculo desse numero encontra-se abaixo). Logo, a probabilidade de que em um sorteio com 10 pessoas ninguem saia com seu proprio nome e de$\dfrac{1.334.961}{3.628.800}\approx 0.367879$ou seja, aproximadamente 37% de chance de que o sorteio de certo.Abaixo, uma tabela de probabilidades. A linha de cima apresenta o numero de pessoas envolvidas no Amigo Invisivel e a de baixo a chance de que ninguem saia com o proprio nome. Pessoas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Chance (%) 100 0 50 33.3333 37.5 36.6667 36.8056 36.7857 36.7881 36.7879 36.7879 ATENCAO, a parte abaixo e puramente matematica, mas sem muito rigor :)Vamos calcular a probabilidade de um sorteio de amigo invisivel com n pessoas ser otimo, otimo no sentido de ninguem sair com o proprio nome.Temos que$P=\dfrac{\#(E)}{\#(\Omega)}$No caso, E e o conjunto dos sorteios otimos, o conjunto de todos os sorteios e #(A) e a cardinalidade do conjunto, ou seja, seu numero de elementos. Pela referencia (super confiavel) da Wikipedia e pelo Principio Fundamental da Contagem, temos que$P=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dfrac{n!}{k!}}{n!}$$P=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k!}$$P=\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{5!}+\cdots+(-1)^n\dfrac{1}{n!}$Se o numero de pessoas for muito