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Ola como eu havia dito na postagem anterior eu tenho umas novidades uma delas e a minha nova paixao, artesanato em telha de barro, gente agora nao posso ver uma telha largada por ai que ja tenho varias ideias, como e bom ter inspiracao de novo :)Esta na realidade e a segunda, a primeira eu ainda nao tirei foto mas logo posto para vcs darem a sua opiniao.Bj a todos!!!!!!! Ola, estava eu nas lojas a procura de um lacinho para cabelo que combinasse com a roupas das minhas filhas e advinha? Nao achei nada que me agradasse.Mas ai eu pensei: Que isso mulher, voce e uma artesa, faca voce mesma.Conclusao acabei fazendo todos estes aqui, kkkkkkkk e com certeza tao cedo comprarei.Coloquei alguns no salao da minha mae, sucesso!!!!! Ola, respondendo a pedidos eis aqui o grafico do peixe de croche, devo frisar que este grafico nao fui eu que o criei, eu copiei da internet fiz o peixe com algumas modificacoes, mas nada extremo, apenas queria que ficasse mais chamativo. Pelas fotos na postagem do meu trabalho na postagem tapete peixe, bom divertimento e ate a proxima. Ola estava meio afastada mas nao deixei de fazer arte.Eis aqui uma das coisas que andei fazendo. Artesanato em telha de barro, confesso que me apaixonei em fazer essas casinhas sempre acho algo de novo para incluir nelas e deixa-las ainda mais lindas.Esta ja foi vendida. Desta vez estou com um vestido de croche. a Gabi esta vestindo um macacao de la com capuz e sapatinho, Aqui a Gabi esta vestindo vestido de Verao.Olha ela aqui de novo. Esta e uma neta que ganhei da Cris, que trabalha comigo o nome dela e Gabi, nao e Linda Acima estou com meu marido e a minha amiga bruna, abaixo a Odete a Bruna e Eu. A Gabi de macacao de la. Esta blusa eu fiz agora no fim do ano. Veja este vestido que a Gabi esta usando, ele e feito de trico. Esta Colcha eu fiz para o Natal . o que voces acharam eu pelo menos gostei. O que voces acharam desta colcha, eu amei, foi feita por mim. A equacao diofantina linear ou nao tem nenhuma solucao inteira ou possui infinitas solucoes inteiras. Isto decorre do fato de que, se houver solucoes inteiras, entao divide e divide . E nem sempre isto e possivel.No artigo 005 mostrei que, se tem solucoes, entao e multiplo do .Ja no artigo 019 provei que se admitir uma solucao , entao para todo , as outras solucoes terao o formato O par e chamado de solucao inicial e pode ser achada pelo algoritmo de Euclides, um metodo essencialmente aritmetico e, por vezes, trabalhoso ( ver artigos 017 e 019.)Mas, ainda no post 019, expus alguns atalhos para a solucao inicial . No entanto, dependem da sorte dos coeficientes , e . Seja, por exemplo, resolver . Logo de cara vemos que e e uma solucao inicial. Assim, as outras solucoes sao e , com . Mas esta facilidade nao temos para a equacao que tem
solucoes inteiras porque e divide . Neste caso e empregado o algoritmo de Euclides... ou o metodo algebrico que sugiro no presente artigo e no qual explanarei a seguir.Existe uma maneira de fatorar , mas da forma que se apresenta e impossivel. E necessario uma fissao de variaveis. Conseguido a fatoracao, podemos utilizar o metodo dos divisores complementares utilizado para resolver a equacao , conforme visto no artigo anterior.Seja a equacao Dividindo ambos os membros pelo coeficiente , Somando ambos os membros por , Agora, fazendo e , com e , temos E passamos para a conhecida fatoracao do trinomio em do primeiro membro ou Aqui, podemos chamar . Entao e sao divisores inteiros complementares de . Chamando estes divisores de e , onde , temos e , de forma que Exemplo. Achar uma solucao inicial para a EDL . Temos entao , e , com Os divisores inteiros de sao Pegando os dois primeiros complementares, temos e , com e Logo, uma solucao inicial para a equacao e .E as outras solucoes sao geradas por e , com .
O objetivo do presente artigo e verificar, graficamente e passo a passo, por intermedio de um exemplo, como se constroi um polinomio de grau , a partir de valores iniciais, ou seja, , ,...,. Veremos tambem o significado geometrico do coeficiente do termo de maior grau deste polinomio e dos polinomios auxiliares que o formam. Para este fim, introduzimos o conceito dePolinomio corretor , de grau , e aquele que possui as seguintes propriedades.a) para , , ..., ;b) para , ou seja, dado um numero real , temos .Logo, tal polinomio tem a forma O polinomio corretor serve para que uma funcao qualquer funcione conforme a natureza de uma funcao conhecida, conforme as igualdades , ,....,, no entanto , sendo um valor arbitrariamente escolhido.Por exemplo, , , , . Sabemos que, para os tres primeiros valores, funciona como . No entanto para temos a diferenca . Logo, fazendo no polinomio corretor , temos que a funcao e melhor definida por,De fato, pois,,, CONSTRUCAO DE UM POLINOMIO DE GRAU g A PARTIR DE VALORES INICIAIS. CONCEITO DE VETOR DE VARIACAO DE GRAU. REPRESENTACAO GEOMETRICA.Dados , , e , calcular o polinomio correspondente. E ainda, identificar no grafico cartesiano os numeradores dos coeficientes de todos os polinomios corretores utilizados.Temos entao os pontos , , e , conforme o diagrama a seguir.Vejam que , representado pelo ponto , sugere o polinomio de grau , . Assim, observem no diagrama a seguir que temos e . Mas nao queremos o ponto vermelho e sim, o ponto azul na mesma vertical , porque .A diferenca das ordenadas de e e o modulo de valor do vetor que indica o sentido da correcao. Chamarei vetores deste tipo de vetor de variacao de grau. Logo, para alcancarmos o ponto tendo por base o polinomio de grau , e necessario somar ao mesmo o polinomio corretor de grau , o que da origem a equacao da reta , representada no grafico a seguir.Embora a reta passe pelos pontos azuis e , ela nao alcanca o ponto azul , pois , vide ponto vermelho . A diferenca das ordenadas de e e o modulo de valor do vetor que indica o sentido da correcao. Logo, para alcancarmos o ponto tendo por base o polinomio de grau , e necessario somar ao mesmo o polinomio corretor de grau , o que da origem a equacao quadratica representada pela parabola do diagrama a seguirAgora a parabola abrange os pontos azuis , e , mas nao "pega" o ponto azul . De fato, pois ( ponto vermelho ).A diferenca das ordenadas de e e o modulo de valor do vetor que indica o sentido da correcao. Logo, para alcancarmos o ponto , tendo por base o polinomio , de grau , e necessario somar ao mesmo o polinomio corretor de grau , e assim temos polinomio procurado cujo grafico eonde todos os pontos pretendidos sao alcancados.No proximo diagrama, estao representados todos as representacoes geometricas ou vetoriais dos numeradores dos coeficientes , do polinomio cubico assim estruturado. Observem que Colocaremos, em um mesmo sistema
de coordenadas cartesianas, as curvas geradas pela funcao e pela relacao , com o objetivo de visualizar os tipos de transformacoes que a curva de goza sob um radical, conforme .Podemos, desde ja, constatar o seguinte.1) O dominio da relacao sao todos os valores de , onde . Na pratica, relativo ao esboco de , desprezamos os ramos da curva de , onde . 2) Tendo em vista que ou , a curva de e simetrica em relacao ao eixo .3) Como para e para , temos que:I - Os modulos das ordenadas de sao maiores ou iguais que os modulos das ordenadas de para e;II - Os modulos das ordenadas de sao menores que os modulos das ordenadas de para .Nos exemplos graficos, as curvas de estarao na cor negra e as curvas de na cor vermelha. Podemos,entao, comprovar os itens 1), 2) e 3) no exemplo elementar onde e , conforme o grafico duplo a seguir.Em alguns casos, e verificado uma simetria tambem com o eixo , desde que ja possua este tipo de simetria. Por exemplo, e . Informalmente falando, a raiz quadrada desta parabola e uma hiperbole.Observem que se invertemos os sinais do segundo membro da equacao anterior da parabola, ou seja , . A curva e uma conhecida figura."A raiz quadrada desta parabola e um circulo."Entramos em um terreno interessante. O aspecto grafico fechado ( circulo, elipse, ovais) aparece na curva de toda vez em que um ponto maximo se encontra entre duas raizes de .Exemplos. Dado , o grafico de e um circulo para e uma elipse para . Vejam os exemplos para e .Sairemos da dimensao das figuras fechadas mais conhecidas. Vejam que a curva vermelha de apresenta dois ramos, sendo um de aspecto oval, enquanto a curva de apresenta duas ovais.Uma curva bastante exotica, que apresentei e analisei no post 107 e gerada pela equacao , explicitamente expressa por , ou seja, a funcao do radicando e ( em negrito, no grafico a seguir ).A relacao transcendente interessante e mais basica, cujo grafico apresenta ovais, e .Por outro lado, ate uma relacao formada por uma funcao descontinua como pode produzir ovais. E o caso de .Geralmente, os modulos das ordenadas das funcoes exponenciais tem um impeto de crescer "agressivamente" para o infinito. Mas essa "ansia" pode ser contida numa curva fechada por intermedio da relacao .Para finalizar, um exemplo feito no programa online Wolfran Alpha.
"Qualquer um pode ser um matematico de primeira sem habilidade para fazer calculos. E e possivel ter um grande poder de calculo sem ter a menor ideia do que e a Matematica."Georg Novallis Os matematicos costumam inventar artificios variados com o intuito de resolver problemas complexos ou ate mesmo impossiveis por metodos tradicionais. Por exemplo, dividir um angulo dado em tres partes iguais apenas com regua nao graduada e compasso e impossivel mas nao a partir de curvas especiais. Uma delas e a curva de Hipias que nao so resolve a questao da trisseccao angular como tambem o da quadratura do circulo. A quadratura consiste em encontrar com os instrumentos euclidianos ( regua e compasso) o lado de um quadrado de mesma mesma area que um circulo de raio conhecido. A curva de Hipias, curva exotica mais antiga conhecida, foi criada pelo grego Hipias de Elis com o objetivo de resolver o problema da trisseccao. Outro grego, Dinostrato de Atenas e usando a mesma curva, solucionou a questao da quadratura . Por estes motivos, a curva recebeu o nome de trissectriz ou quadratriz de Hipias.DefinicaoUma curva diz-se mecanica quando seus pontos sao gerados pela intersecao de figuras geometricas em movimento. E o caso da curva de Hipias. Considere o quadrado a seguir. A curva e a trissectriz de Hipias. Observe que, em uma mesma vertical, as ordenadas dos pontos desta curva sao menores que as ordenadas dos pontos do quarto de circulo . Realmente uma curva estranha. Veremos agora sua lei de formacao.Considere os seguintes movimentos. A reta move-se em movimento uniforme e vertical ate coincidir com a reta . No mesmo tempo que inicia seu movimento, a reta gira uniformemente e em sentido horario em torno do ponto ate coincidir tambem com a reta chegando ao mesmo tempo que a reta no seu movimento vertical.Em um dado momento, seja a posicao da reta e a posicao da reta . O ponto e a interseccao de e . O lugar descrito pelo ponto considerando todas as interseccoes possiveis das retas e durante seus movimentos e a curva , a curva de Hipias.TrisseccaoA mais importante propriedade da curva de Hipias e a proporcionalidade direta do segmento com o angulo ou a proporcionalidade direta do segmento com o angulo . E o que permite a trissecao.Teorema. O espaco vertical percorrido pelo segmento e diretamente proporcional ao angulo formado pelo segmento e o eixo .Demonstracao. O movimento do segmento e do segmento sao uniformes, por definicao. Logo, podemos fazer e , onde e a velocidade linear de e a velocidade angular de . Assim,caracterizando a proporcao direta do espaco linear percorrido com do espaco angular percorrido .Consequentemente e diretamente proporcional a . E esta segunda visao de proporcionalidade que normalmente e utilizado na trisseccao. Passaremos a descrever o processo da mesma. Contemplem o diagrama.Comecamos dividindo o segmento nas partes iguais , e . Sejam , e os pontos da curva de Hipias que interceptam os segmentos horizontais , e , respectivamente. Assim, os segmentos , e dividem o angulo hachurado de vertice em tres partes
identicas.Da mesma forma, de dividissemos o segmento em partes iguais, entao se dividiria o angulo hachurado em partes iguais, ou seja, Hipias tinha conseguido algo muito alem do que uma trisseccao angular, que era um problema em volga e importante da sua epoca.Equacao Cartesiana e PolarVimos que e diretamente proporcional ao angulo ou vice-versa. Tendo em vista que , temos Para achar o valor da constante atribuimos e verificamos que quando entao . Logo, e Mas vejam que . Assim, a equacao cartesiana da curva de Hipias e dado na forma implicita Para a equacao polar, usaremos o raio da curva ( nao confundir com o raio do quarto de circulo que e ) e o angulo . Sabemos que . Fazendo e substituindo chegamos a equacao polar da curva de Hipias:Quadratura Fazer a quadratura do circulo com regua e compasso nao e possivel porque o numero nao e construtivel com estes instrumentos. Mas a partir do segmento limitado pela origem e pela curva de Hipias, a quadratura passa a ser possivel. Porque? A resposta e que o valor de e uma funcao racional de . E como calcular ?Da equacao polar , tiramos quando . Aqui, temos o limite conhecidoLogo, Interessante observar que , onde e a constante de proporcionalidade direta de com o segmento Para quadrar o circulo basta utilizar para construir um segmento do comprimento de que e de circunferencia de raio Entao, um retangulo de medidas e tem a mesma area que um circulo de raio . Para finalizar constroi-se facilmente um quadrado com area igual a este retangulo.Natureza Oculta da Curva de HipiasA equacao cartesiana da curva de Hipias e implicita mas sua inversa nao e. Trocando o pelo e vice-versa, temos: Assim fica bem mais simples fazer o grafico com esta equacao. Fazendo vejam o ramo da curva de Hipias invertido pela troca de eixos.Se a curva de Hipias, alem da trisseccao angular e da quadratura do circulo tambem resolvesse a questao da duplicacao do cubo, entao seria a curva mais genial ja descoberta pois solucionaria todos os tres problemas gregos famosos da antiguidade. Referencia Bibliografica Historia de Matematica, Carl B. Boyer, Editora Edgard Blucher LTDAReferencia na NET:http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/Hipias.htmlhttp://www.prof2000.pt/users/miguel/histmat/af18/materiais/texto10.htm http://www.matematica.br/historia/trissectriz.htmlhttp://www.prof2000.pt/users/miguel/tese/capitulo1.htmhttp://sofistas.no.sapo.pt/hipias.htm
Sem usar um calendario padrao, existem tabelas que informam qual o dia da semana de uma data qualquer de qualquer ano, mas que, em geral, sao algo complexas. O ideal para compreender a ideia central dessas ferramentas e considerar apenas o ano corrente e construir um algoritmo simples para descobrir qual o dia da semana de uma data de , por exemplo. Com memorizacao e treinamento, e possivel o leitor calcular, mentalmente, qualquer dia da semana de um data de , impressionando assim um amigo, referente a data de aniversario do mesmo ou outra data qualquer). O algoritmo a seguir sera justificado logo apos o exemplo de sua utilizacao. Para calcular qual dia da semana e a data de de setembro de , consulta-se duas tabelas, da seguinte forma.1) Calcula-se o resto da divisao do dia do mes, no caso , por . Temos entao .2) Soma-se com o codigo do mes da primeira tabela, ou seja, ( SET ). Entao fica . Se o resultado for maior que , subtrai-se . Assim, 3) Por fim, com este ultimo resultado ( ), consultamos a segunda tabela e concluimos que o dia de setembro de recaira numa quinta-feira.Cada ano tera sua tabela especifica de codigo do dia da semana em sintonia com os primeiros sete dias do ano especifico. Para os anos bissextos, a tabela codigo do mes eJUSTIFICATIVA A aritmetica modular, particularmente a de base , e a pedra angular em questoes deste tipo. Um inteiro positivo , quando dividido por , deixa um resto , tal que, . Dizemos entao que e equivalente a este resto , modulo . Simbolicamente, . Entao qualquer inteiro positivo tem uma representacao modulo , que nada mais e do que o resto da divisao deste inteiro positivo por . Exemplo, , tento em vista que . Para cada dia da semana, podemos atribuir um numero , conforme os primeiros dias do mes de , iniciando com Quinta , porque foi o dia 1o. Procedendo desta forma, temos Sexta , Sabado , Domingo , Segunda , Terca , e Quarta . Porque Quarta e nao Quarta ? A resposta e que e vamos sempre trabalhar com essas equivalencias. Ora, cada dia da semana se repete de em dias. Assim, para descobrir que dia da semana sera, por exemplo, dia de janeiro de , basta verificar a equivalencia e sabemos que corresponde a um sabado. Porem, para dia de fevereiro, temos que levar em conta que e o dia de numero do ano. Assim, como , temos que o primeiro dia de fevereiro recaira no domingo, em harmonia com o calculo anterior. Da mesma forma o dia do ano de numero sera numa Terca , porque .Para entender o codigo do mes para ano nao-bissexto, considere a data do exemplo, de setembro de . Ela corresponde ao numero de dias Mas, na soma dos dias dos meses de janeiro a agosto, temos Entao e o codigo do mes de setembro para o ano nao bissexto. Somado este resultado pela equivalencia modulo do dia do mes , ,
temos , onde e o codigo para quinta-feira na segunda tabela.Conclusao: o codigo do mes da primeira tabela e a equivalencia modulo do somatorio de todos os dias dos meses anteriores a . E como nao se considera nenhum mes do ano anterior, tem-se que o codigo de janeiro e .Mesma analise procede-se para os anos bissextos, onde, no somatorio dos dias dos meses, considera-se o mes de fevereiro com dias. Para saber se determinado ano e bissexto, divide-se por . Se essa operacao resultar exata, o ano e bissexto. Nao e o caso de . COMO CALCULAR OS SETES PRIMEIROS DIAS DA SEMANA DE 2016. Sabemos que a segunda tabela, a de codigo da semana, serve apenas para . Mas podemos construir uma para . Basta saber o dia da semana de de janeiro de , calculando o dia da semana de de dezembro de , usando as tabelas de . Procedendo com este calculo ( fica como exercicio ) saberemos que de dezembro de sera uma quinta-feira. Logo, de janeiro de sera uma sexta, que atribuiremos o codigo para a tabela semanal de que fica
A pedra angular do calculo diferencial e o limite e dele podemos extrair as regras gerais de derivacao, como a regra da soma e a regra do produto de funcoes, etc, assim como as regras especificas, por exemplo, a derivada de uma potencia .No entanto, podemos calcular as derivadas de , e usando apenas matematica elementar. Sao exercicios interessantes de geometria analitica e plana.Derivada de No caso de , se queremos encontrar a inclinacao da reta tangente ao ponto da parabola, primeiramente encontramos a equacao da reta que passa pelo ponto , ou seja, ou . Mas, pelo ponto passam infinitas retas.Para que a equacao seja a da reta tangente que procuramos, e necessario que a igualdade tenha uma unica solucao, tendo em vista que existe um unico ponto de contato. Isto e um caso de discriminante delta nulo na equacao equivalente . Vejamos, Isto prova que , pois o ponto pode ser qualquer um da parabola ou .Derivada de Sabemos, pela geometria plana que, se temos duas retas de inclinacoes e e se as mesmas sao perpendiculares entre si, entao .No diagrama, queremos achar a inclinacao da reta tangente ao semicirculo no ponto . A inclinacao do raio e , logo, como o raio passando por e perpendicular a tangente em , temos que a inclinacao da tangente ao semicirculo neste ponto e .Como a equacao do semicirculo e , decorre que Derivada de Considere o ponto (vermelho) em movimento circular uniforme ( ), sentido anti-horario, com raio de trajetoria e espaco angular inicial zero, ou seja, quando , temos , medidos a partir do eixo horizontal, no primeiro quadrante e no sentido do movimento.O tempo de uma volta completa e o periodo . Assim, a velocidade angular e e o espaco angular e dado por . O espaco e velocidade do ponto na propria trajetoria sao dados por e .Seja agora o ponto (azul) a projecao do ponto no eixo . Acompanhando o movimento do ponto vermelho, o ponto azul faz um movimento oscilatorio "para cima" e "para baixo", cujos extremos de espaco sao e .Nos interessa calcular as funcoes horarias do espaco e velocidade , do ponto azul. Pelo diagrama ,verifique que o espaco percorrido pelo ponto azul no eixo vertical e . Ja e o modulo do vetor velocidade do ponto vermelho na propria trajetoria. Seja o vetor velocidade a projecao do vetor velocidade sobre o eixo . Assim, pela relacao entre os triangulos retangulos temos que . Ora, pelo Calculo sabemos que, se , entao . Logo o que vimos foi uma prova cinematica de que , para e .Para provar cinematicamente que basta considerar o mesmo movimento circular de , mas com projecao no eixo . Chamo de o enesimo numero livre de ao enesimo inteiro positivo nao-multiplo de . Simbolizo por .A sequencia dos numeros impares consiste nos numeros livres de . Seu termo geral e .A sequencia representa os numeros livres de . Qual a formula do termo generico de ?Na sucessao temos os numeros livres de . Como podemos calcular ?Qual a formula
do termo geral dos numeros livres de Para responder a estas perguntas, precisamos conhecer ou lembrar da funcao colchete, onde, dado , a mesma e definida como = parte inteira de , se . No caso de , temos . So usaremos a primeira opcao pois trabalharemos apenas com sucessao de numeros positivos. No entanto, segue-se exemplos gerais. Duas operacoes envolvendo a funcao colchete que usarei neste artigo:1) Dado e , obviamente, ;2) Dados , com e e se temos , entao e facil verificar intuitivamente que , ou seja e a parte inteira da divisao de por .LEMA. Na sequencia definida por , com , temos que nao divide . Exemplo: se , com , entao nao divide .Demonstracao. Ora, implica em , logo nao pode dividir a soma .Para maior compreensao, usando o exemplo do lema com , ou seja, , temos E como , segue que nao e multiplo de . TEOREMA. Se representa o enesimo numero livre de , entao Demonstracao. Observe que em , temos ( ver 2) ) . Assim, Como vimos pelo LEMA demonstrado, nunca e multiplo de . O proximo passo, para conseguir , e ordenar , ou seja, colocar em funcao de . Dado o inteiro , com , temos que qualquer elemento do conjunto quando dividido por , deixa resto . Assim, os elementos deste conjunto podem ser representados pela sequencia de termo geral . Podemos, entao fazer, , logo ( ver 1) ) Desta forma,Na sequencia dos numeros impares , ;Nos numeros livres de , cujos primeiros termos sao , temos ;Na sucessao dos numeros livres de , temos que o milesimo termo da sequencia e calculado como se segue.