do dominio, existe $y\in D(A)$ tal que $\|y-x\|_X<\frac{\varepsilon}{4}$. Como $T(t)y\overset{\lambda\to\infty}{\longrightarrow}\mathrm{e}^{tA_\lambda}y$ uniformemente em $t$ sobre intervalos limitados (ver Observacao 4.2), existe $\lambda>0$ tal que $\|T(t)y-\mathrm{e}^{tA_\lambda}y\|_X<\frac{\varepsilon}{4}$ para todo $t\in[0,1]$. Como $\{\mathrm{e}^{tA_\lambda}\}_{t\geq 0}$ e um semigrupo fortemente continuo (ver Exemplo 2.4), existe $\delta>0$ tal que $\|\mathrm{e}^{tA_\lambda}y-y\|_X<\frac{\varepsilon}{4}$ para todo $t\in[0,\delta]$. Assim, se $0\leq t\leq\min\{1,\delta\}$, entao$$\begin{aligned}\|T(t)x-x\|_X&\leq \|T(t)x-T(t)y\|_X+\|T(t)y-\mathrm{e}^{tA_\lambda}y\|_X+\|\mathrm{e}^{tA_\lambda}y-y\|_X+\|y-x\|_X\\&\leq 1\cdot\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}=\varepsilon.\end{aligned}$$Afirmacao 6: $A$ e o gerador infinitesimal de $\{T(t)\}_{t\geq 0}$.Seja $B:D(B)\subseteq X\to X$ o gerador infinitesimal de $\{T(t)\}_{t\geq 0}$. Vejamos que $B=A$.Tome $x\in D(A)$ e $t>0$. Inicialmente, note que $\mathrm{e}^{sA_\lambda}A_\lambda x\overset{\lambda\to\infty}{\longrightarrow}T(s)Ax$ uniformemente em $s$ sobre intervalos limitados, pois$$\|\mathrm{e}^{sA_\lambda}A_\lambda x-T(s)Ax\|_X\leq\|\mathrm{e}^{sA_\lambda}\|_{\mathcal{L}}\|A_\lambda x-A x\|_X+\|\mathrm{e}^{sA_\lambda}A x-T(s)Ax\|_X$$e, conforme ja vimos, o ultimo termo no lado direito da ultima desigualdade converge para zero uniformemente em $s$ sobre intervalos limitados (ver Observacao 4.2). Assim, dado $\varepsilon>0$, temos $$\left\|\int_0^t\mathrm{e}^{sA_\lambda}A_\lambda x\;\mathrm{d}s-\int_0^tT(s)Ax\;\mathrm{d}s\right\|_X\leq\int_0^t\|\mathrm{e}^{sA_\lambda}A_\lambda x-T(s)Ax\|_X\;\mathrm{d}s<t\frac{\varepsilon}{t}=\varepsilon$$para todo $\lambda$ suficientemente grande. Consequentemente (usando e Exemplo 3.2 e o Teorema 3.4),$$T(t)x-x=\lim_{\lambda\to\infty}(\mathrm{e}^{tA_\lambda} x-x)=\lim_{\lambda\to\infty}\int_0^t\frac{d}{ds}(\mathrm{e}^{sA_\lambda} x)\;\mathrm{d}s\\=\lim_{\lambda\to\infty}\int_0^t\mathrm{e}^{sA_\lambda}A_\lambda x\;\mathrm{d}s=\int_0^tT(s)Ax\;\mathrm{d}s.$$Dividindo ambos os lados por $t$ e tomando o limite com $t\to0^+$, concluimos (pelo Teorema 2.6) que $x\in D(B)$ e $Bx=Ax$. Assim, $A\subseteq B$ e, portanto, resta mostrar que $D(B)\subseteq D(A)$.Como $A\subseteq B$ e como $I-A:D(A)\to X$ e sobrejetiva (pois $1\in\rho(A)$ por hipotese), concluimos que $(I-B)D(A)=(I-A)D(A)=X$. Como $I-B:D(B)\to X$ e injetiva (pois $1\in \rho(B)$ pela parte "$(a)\Rightarrow(b)$" ja provada), segue que $D(A)=(I-B)^{-1}(I-B)D(A)=(I-B)^{-1}X=D(B)$.Caso II: $\omega> 0$. Defina $B=A-\omega$. Entao, $B$ e fechado (pois $A$ e fechado e $\omega$ e limitado), $D(B)$ e denso em $X$ (pois $D(B)=D(A)$), $(0,\infty)\subseteq \rho(B)$ (pois $(\omega,\infty)\subseteq\rho(A)$) e $\|(\lambda-B)^{-1}\|_{\mathcal{L}}\leq\frac{1}{\lambda}$ para todo $\lambda>0$ (pois vale \eqref{8}). Portanto, pelo caso ja provado, $B$ e o gerador infinitesimal de um semigrupo $\{S(t)\}_{t\geq 0}$ do tipo $(1,0)$. Considere o semigrupo $\{T(t)\}_{t\geq 0}$ dado por $T(t)=\mathrm{e}^{\omega t} S(t)$. Resulta do Teorema 3.3 que o gerador infinitesimal de $\{T(t)\}_{t\geq 0}$ e o operador $B+w=A$. Como $\{T(t)\}_{t\geq 0}$ e do tipo $(1,\omega)$, a prova esta completa. $\square$Observacao 4.3. Todo operador que possui resolvente nao vazio e fechado. Logo, no enunciado do item (b) do Teorema 4.1 podemos suprimir a hipotese de $A$ ser fechado.4.1.1 AplicacaoComo aplicacao do Teorema de Hille-Yosida, vamos considerar o seguinte PVIF para uma equacao do calor linear homogenea em dominio unidimensional com condicoes de Dirichlet nulas:$$(\text{P}_1)\;\left\{\begin{aligned}u_t-u_{xx}&=0, &&t>0,\;x\in(0,\ell),\\u&=0, &&t>0,\;x=0,\;x=\ell,\\u&=u_0,&&t=0,\;x\in(0,\ell).\end{aligned}\right.$$Formulacao abstrataVamos encarar o problema do ponto de vista abstrato. Ou seja, nao vamos encarar uma solucao de $(\text{P}_1)$ como sendo uma funcao $u:[0,\infty)\times [0,\ell]\to\mathbb{R}$ satisfazendo$$\left\{\begin{aligned}u_t(t,x)-u_{xx}(t,x)&=0, &&t>0,\;x\in(0,\ell),\\u(t,0)=u(t,\ell)&=0, &&t>0,\\u(0,x)&=u_0(x),&&x\in(0,\ell),\end{aligned}\right.$$mas sim como sendo uma funcao $u:[0,\infty)\to X$, onde $X$ e um espaco apropriado de funcoes reais definidas em $[0,\ell]$, satisfazendo$$\left\{\begin{aligned}(u_t(t))(x)-(u(t))_{xx}(x)&=0, &&t>0,\;x\in(0,\ell),\\(u(t))(0)=(u(t))(\ell)&=0, &&t>0,\\(u(0))(x)&=u_0(x),&&x\in(0,\ell).\end{aligned}\right.$$Para que $(u(t))_{xx}$ tenha sentido, basta que $u(t)\in H^2(0,\ell)$. Para que $(u(t))(0)=(u(t))(\ell)=0$, precisamos ter $u(t)\in H_0^1(0,\ell)$. Isto nos motiva a definir $A:D(A)\subset L^2(0,\ell)\to L^2(0,\ell)$ colocando $D(A)=H^2(0,\ell)\cap H_0^1(0,\ell)$ e $Au=u_{xx}$. Com esta definicao de $A$, provar existencia de solucao para o problema $(\text{P}_1)$ equivale a provar que existe $U:[0,\infty)\to D(A)$ satisfazendo o problema de Cauchy Abstrato$$(\text{P}_2)\left\{\begin{aligned}U_t(t)&=AU(t),\qquad t> 0\\U(0)&=u_0.\end{aligned}\right.$$ExistenciaTeorema 4.4. Se $u_0\in D(A)$, entao o problema $(\text{P}_2)$ possui uma solucao $U\in C^1([0,\infty); L^2(0,\ell))$.Prova:Fato 1: Para cada $\lambda>0$, o operador $(\lambda-A)$ e invertivel.De fato, tome $f\in L^2(0,\ell)$. O Lema de Lax-Milgram aplicado a forma bilinear$$\begin{aligned}b:H_0^1(0,1)\times H_0^1(0,\ell)&\to \mathbb{R}\\(u,v)&\mapsto\int_0^\ell u(x)v(x)\;\mathrm{d}x+\int_0^\ell u_x(x)v_x(x)\;\mathrm{d}x\end{aligned}$$implica que existe uma unica funcao $u\in D(A)$ tal que $\lambda u-u_{xx}=f$. Isto mostra que o operador $(\lambda-A)$ e bijetivo e,