Oi, pessoal!Dada a falta de tempo dos administradores do blog, nao estamos conseguindo postar muito conteudo. Para compensar a falta de material novo, apresentamos aqui mais uma leva de problemas interessantes: 1 - Ache todas as funcoes continuas $ H : L^1(\mathbb{R}^n) \rightarrow \mathbb{C}$ tais que $H$ e linear e $H(f*g) = H(f)H(g)$. 2 - (Rearranjo de Hardy-Littlewood)(a) Sejam $ \{a_i\}$ e $\{b_i\}$ duas sequencias de reais positivos. Se $\{c_i\}$, $\{d_i\}$ sao, respectivamente, seus rearranjos decrescentes (i.e., $\{c_i\}= \{a_i\}$, $\{d_i\}=\{b_i\}$, com $c_1 \ge c_2 \ge c_3 \ge \cdots \ge c_n$, $d_1 \ge d_2 \ge d_3 \ge\cdots \ge d_n$), mostre que$$ \sum_{i=1}^n a_i b_i \le \sum_{i=1}^n c_i d_i $$(b) Mostre que, se f, g sao funcoes mensuraveis, e se f*, g* sao seus rearranjos decrescentes (c.f. Wikipedia ) definidos em R, entao$$ \int_{\mathbb{R}^n} f(x)g(x) dx \le \int_{0}^{\infty} f^{*} (t) g^*(t) dt $$3 - Seja V espaco vetorial. Suponha que, neste espaco vetorial, tenhamos uma forma bilinear $ a: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$, e que sao conhecidos apenas os valores de $a(v,v), \forall v \in V$. Mostre que, de fato, conhecemos todos os valores $a(u,v) \forall u,v \in V$.4 - Seja V um espaco vetorial dotado de um produto interno $\langle , \rangle$. Dada uma base $\{u_1,\cdots, u_n\}$, prove que existe uma base ortogonal $\{v_1,...,v_n\}$, e descreva explicitamente uma tal base.5 - Mostre que, para todo conjunto Boreliano $E \subset [0,1]$, temos que$$ \int_E x^{-1/2} dx \le 2 m(E)^{1/2} $$6 - Suponha que Sao dados $n$ pontos $w_1,...,w_n$ na circunferencia unitaria do plano complexo. Mostre que existe um ponto $w$ tal que o produto das distancias $|w-w_i|$ e maior estritamente que 1. Voce e capaz de dar cotas melhores? Tente provar que existe um ponto tal que este produto e $\ge 2$. 7 - Seja $P(x)$ um polinomio. Mostre que $$ \int_0 ^{\infty} e^{-x} P(x) dx = P(0) + P'(0) + P''(0) + \cdots $$ Dicas e Sugestoes 1 - Use o Teorema de Representacao para $L^1$ para concluir que $$ H(f) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \alpha (x) dx $$Para alguma funcao $\alpha \in L^{\infty}$. Use a propriedade de que $H$ respeita convolucoes para concluir que, para $f,g$, temos que $$ \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} f(x)g(x) \alpha (x) \alpha (y) dx dy = H(f)H(g) = \\ = H(f*g) = \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)g(y)\alpha(x) dx dy = \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n} f(x)f(y) \alpha(x+y) dx dy $$Isso implica que $\alpha(x+y) = \alpha(x) \alpha(y)$ para quase todo par $(x,y) \in {\mathbb{R}^n}\times {\mathbb{R}^n}$. E conhecido, porem, que isto implica que $\alpha(x) = e^{a \cdot x}$, $a \in {\mathbb{C}^n}$. Use que $\alpha \in L^{\infty}$ Para concluir. 2 - Uma prova das desigualdades pode ser facilmente obtida adaptando o argumento dado aqui. Contudo, e possivel provar (a) diretamente fatorando a soma da direita menos a da esquerda, e (b) pode ser provado aproximando funcoes mensuraveis por funcoes simples. 3 - Mostre que $a(u,v) = \frac{1}{2} (a(u+v,u+v) - a(u,u) - a(v,v) )$. 4 - Argumente indutivamente. Ache $v_n$ em funcao de $v_1,...,v_{n-1},u_n$ como um elemento mutuamente ortogonal a $v_1,...,v_{n-1}$ achado a partir de $u_n$. Para mais detalhes, veja aqui. 5 - Comece mostrando para $E$ um intervalo. Mostre