thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
matriz A3x2 com a matriz B2x3, que segundo uma das propriedades da adicao nao e permitida, ja que o numero de elementos i e j das matrizes nao sao iguais. Temos:SUBTRACAO DE MATRIZESPor processo analogo ao anterior, obtemos a solucao.Exemplo 1. Encontre a matriz C diferenca das matrizes A e B abaixo: ResolucaoA - B = CA partir desse ponto podemos encontrar um tipo de matriz chamada de Matriz Oposta, o que nada mais e do que a troca dos sinais da Matriz B quando essa e negativa, isto e, um pequeno jogo de sinais, assim: IGUALDADE ENTRE MATRIZESPor processo semelhante tambem podemos igualar matrizes. Pegando o mesmo exemplo anterior, suponhamos que saibamos quem e a matriz A e C, mas nao a matriz B. Podemos encontrar B da seguinte forma:A - B = CComo nao sabemos quem e B, fazemos: Do mesmo modo como somamos e subtraimos, agora igualamos, sempre obedecendo as respectivas linhas e colunas dos elementos matriciais de A e B. Temos: Encontramos os elementos de B, e como esperado realmente obtivemos uma matriz B2x2 MATRIZ TRANSPOSTA Seja a matriz Dizemos que ela pode ser Transposta se seus elementos de linhas e colunas podem se deslocar para colunas e linhas respectivamente e representamos esse tipo de matriz por At, assim: Notamos que a ordem tambem foi invertida sendo MULTIPLICACAO DE MATRIZES Uma matriz So pode ser multiplicada por uma matriz B, se e somente se, o numero de colunas de A for igual ao numero de linhas de B, ou o numero de elementos da coluna de A for igual ao numero de elementos da linha de B, isto e, se Amxn e Bnxp, cujo produto sera Cmxp.Sejam as matizes do exemplo 2 da SOMA DE MATRIZES descrita anteriormenteO produto A.B gerara uma matriz C3x3. Vejamos: Multiplicamos os elementos de mesma ordem da linha da matriz A pelos elementos da coluna da matriz B e os somamos, assim: Podemos tambem igualar produtos entre matrizes, desde que obedecidas as propriedades iniciais dadas.MULTIPLICACAO POR UM ESCALAR KA mesma Matriz pode ser multiplicada por um valor k qualquer, com k R . Seja a matriz A abaixo multiplicada por k, assim temos: Exemplo 1. Encontra a Matriz 2A abaixo:PROPRIEDADES BASICAS DAS MATRIZES POR ADICAO E MULTIPLICACAO (i) (A + B) + C = A + (B + C)(ii) A + 0 = A(iii) A + (-A) = 0(iv) A + B = B + A(v) k(A + B) = kA + Kb(vi) (k + s)A = kA + as(vii) 1.A = A(viii) (ks)A = k(sA)(ix) 0.A = 0 MATRIZ IDENTIDADEUma matriz e dita identidade, e representamos por In, se e quadrada e os elementos de sua Diagonal Principal sao todos iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero como no exemplo a seguir: Como a matriz e quadrada escrevemos apenas a notacao In;Exemplo 1. Achar a matriz Identidade I3. MATRIZ NULADizemos que uma Matriz e nula quando todos os seus elementos sao iguais a zero MATRIZ INVERSADizemos que uma Matriz A e inversa se existe outra Matriz B cujo produto
e a Matriz Identidade, onde B = A-1, assim:A.B-1 = InA.A-1 = In MATRIZES QUADRADASAlgumas Matrizes Quadradas importantesMATRIZ DIAGONALUma Matriz e dita diagonal se os elementos nao-diagonais sao todos iguais a zero, isto e; A matriz Identidade e um exemplo de Matriz Diagonal. MATRIZ TRIANGLARUma Matriz e dita triangular se os elementos fora as Diagonal Principal sao iguais a zero, podendo ser triangulares superiores, se os ditos elementos estiverem abaixo, ou inferiores, se os elementos estiverem acima. Veja: MATRIZ FAIXAChama-se Matriz Faixa aquela que possui todos os elementos da vizinhanca da Diagonal Principal iguais a zero, assim: MATRIZ SIMETRICAUma Matriz se diz simetrica se AT = A, com A sendo quadrada. Da mesma forma dizemos que uma Matriz A e anti-simetrica se AT = - AExemplo 1. Verifique se A e simetrica de B. Sim a Matriz A e simetrica da Matriz B, pois as linhas de A formam as colunas de B, sendo, portanto, sua Transposta, A = AT Exemplo 2. Verifique se A e anti-simetrica de B.Como no exemplo anterior, com B = - A, temos: MATRIZES ORTOGONAISUma matriz e ortogonal se, e somente se, for quadrada e invertivel tipo A-1 = AT em que AAT = ATA = I. MATRIZES COMPLEXASUma Matriz e dita Complexa se seus elementos sao numeros complexos, tipo Este e um exemplo de Matriz Complexa.Dentro das Matrizes Complexas temos:* * As Hermitianas: Se AH = A* *Anti-hermitianas: Se AH = - A * Unitarias: Se AH = A-1 e suas linhas (colunas) formam um conjunto ortogonal de vetores ao produto interno de vetores complexos. * Normais: Uma Matriz quadrada e Normal se AAH = AHA APLICACOES DAS MATRIZESCertamente o ramo mais prodigioso do campo das Matrizes e o computacional em que o uso de vetores e operacoes matriciais e indispensavel, seja na elaboracao e desenvolvimento de softwares as imagens geradas de filmes e fotos. Cada filme ou foto carrega uma quantidade incrivel de pixels, que sao calculadas por matrizes e que, por sua vez, sao mais bem transportadas por matrizes linhas ou colunas (vetores). Para a obtencao de rotacoes em computacao grafica, as grandezas geradas por escalares e tensores na mecanica, nos circuitos eletricos e suas fiacoes e linhas bem como na distribuicao de energia eletrica, nas comunicacoes, redes de transportes e etc. Nao obstante elas tambem tem aplicabilidade na vida pratica, nao sendo necessariamente apenas nas ciencias aplicadas. No artigo de Cristiani dos Santos Campos, (SANTOS, 2008, p.19-20), uma professora de Jandaia do Sul, Parana, ela faz um comparativo entre os gastos caloricos com a alimentacao intermediada por exercicios fisicos. Baseando os dados numa pessoa de 60 kg de peso corporal em atividades fisicas de tempo de 1 hora, montou uma tabela, como a que se segue: Durante uma semana em acompanhamento de uma hora, teriamos Das duas Matrizes e possivel construir uma associacao de Matrizes e determinar a quantidade de calorias gasta por dia por essa pessoa, assim:Dai e possivel concluir que seguindo a dieta de alimentacao e exercicios fisicos, na segunda feira a pessoa gastara 552 calorias, na terca-feira, 890 calorias, na
quarta-feira 1016 calorias, na quinta-feira 895 calorias e na sexta-feira 678 calorias.Nesse mesmo estudo a Professora nao so mostra as aplicacoes matriciais no cotidiano, mas como tambem insere a interdisciplinaridade uma vez que tal estudo foi embasado nos casos de diabetes. Uma facil aplicabilidade das Matrizes consiste no estudo das Equacoes Lineares. Considere um jornal de grande circulacao nas cidades do interior nordestino do pais. Dessas, tiremos cinco: Petrolina, Juazeiro, Sobradinho, Curaca e Santa Maria. A tabela a seguir mostra a quantidade vendida desse jornal de segunda a sexta nessas cidades:Vendas por dia da semana de Segunda a Sexta Deseja-se saber o preco vendido em cada cidade, durante a semana de segunda a sexta, sabendo o jornal apurou R$ 100.000,00 durante a referida semana. As duas tabelas apresentadas podem ser escritas em forma de Matrizes. Aqui a Matriz Quantidade, representada por Q e a Matriz Precos, representada por P. Assim temos: Verificamos que o numero de colunas de Q e o mesmo que o numero de linhas de P, o que nos permite uma multiplicacao, Q.P = F, onde F e a Matriz Faturamento. Fica:Entao em Petrolina e Juazeiro o Jornal custa R$ 1,58, em Sobradinho R$ 3,16 e em Santa Maria e Curaca, R$ 4,08.
"ALUNOS DE CONHECIMENTO MEDIO NAO PASSAM EM MINHAS PROVAS"Frases como essas sao muito comuns em salas de aula de Universidades em todo o Brasil. O Ensino Medio publico passa, sem sombra de duvidas, por uma de suas maiores crises, e esse fato vem se acentuando devido a entrada cada vez mais macica de alunos de escolas publicas pelo SISU (sistema de selecao que avalia e promove ao Ensino Superior atraves do Enem) nas IES. E mais impressionante ainda a qualidade baixa do ensino matematico que se vem praticando, desde o Ensino Fundamental I ao Superirior!Em aulas ministradas pelo Professor Elon Lajes Lima, do Instituto de Matematica Aplicada do Rio de Janeiro, IMPA, especialmente falando sobre a Analise da Reta no R^n, o professor e claro ao relatar alguns erros matematicos absurdos cometidos em livros didaticos do Ensino Medio em territotio Nacional. Mas como tantas erros passaram na selecao de tais livros pelo MEC? Por conta de erros desse tipo o conhecimento matematico implantado no Ensino Medio sofre, por diversas vezes,de preconeceito e em varias ocasioes e achatado de cima para baixo pelos profesores que, pressionados pelo baixo conhecimento matematico do aluno declaram palavras inflamadas e insensatas de desprezo e despojo por aqueles que usam ferramentas do Ensino Medio para realizar seus calculos. E cada vez mais notorio as criticas ferrenhas que vem sofrendo os alunos do Ensino Superiror no que tange ao seus conhecimentos sobre matematica.Notas ruins, desespero, exagero em excesso de estudos, stress, pesadelos, depressao, baixa-estima sao alguns dos varios males que acometem estudantes de matematica em todo o Brasil. Eplicitamente falando, o decaimentos das notas do Ensino Superior e o mais fantastico fenomeno que sempre existiu em todas as epocas da historia dessa ciencia e se nao houver emprenho forcoso de mudancas continuara existindo. Vemos aqui mais que o decaimento dessa nobre ciencia, vemos a anunciacao de sua morte.E mais impressionante e como o Superior vem tratando esse assunto e o mais curioso: A primeira farpada que se ouve de um professor universitario sao frases como "abandonem os cohecimentos do Ensino Medio", "alunos com cabecinha do Medio nao vao passar em minha disciplina" ou entao a mais vagamente expressa "esquecam tudo o que viram no Ensino Medio" como se todo o conhecimento anterior do aluno nao o servisse de nada. O mais incrivel e que esses professores julgam mal o ensino que se vem dando ao Medio e nem se tocam que o que tem de fazer nao sao criticas em sala de aula para pobres alunos medianos, mas sim mudancas. Se ele acha que o Medio esta ruim, o que, de fato, estao fazendo para mudar? Realmente e possivel mudar o quadro apenas sentando em uma cadeira ou em laboratorio com pesquisas e, em seguida, jogar todas suas frsutacoes do baixo conhecimento nesses alunos?A matematica agoniza, clama por ajuda mas pouco se faz por ela. Ha, ainda empenhos forcosos de uma educacao matematica de qualidade como encontros periodicos nacionais, como o ENEM, dega-se de passagem o ultimo aconteceu em Salvador-Ba, revistas de divulgacao como o PROFESSOR DE MATEMATICA, CALCULANDO
e outras. Entretanto falta a coragem de agir e mudar de vez por todas as bases do ensino a fim de proporcionar um de maior qualidade a os brasileiros. Para ser mais claro e preciso investimento pesado na educacao basica, principalmente enfatizando o ensino fundamental I, que e onde ocorre a maior parte do que ficara na cabeca do aluno!Com escolas e professores bem preparados desde o maternal e fundamental a tendencia e de sempre haver alunos com formacao mais adequada e de qualidade, mas o que acontece e justamente o contrario: existe pouquissima preocupacao no que tange a essa modalidade de ensino; professores de criancas ganham pessimo, suas escolas sempre sao as que menos recebem recursos, sao mais desvalorizadas e menos visadas socialmente. Investir nessa fase do ensino e preparar melhor e adequadamente o discente, sim, mais alem e erguer um alicerce mais solido para um pais mais democratico e justo. VAMOS A LUTA BRASIL, VAMOS A MUDANCA MATEMATICOS!
Apresentaremos agora uma breve nocao do que e a Geometria Analitica aplicada ao Plano e a Reta do R3 aliado ao conceito de vetores e suas caracteristicas mais usuais.1. APRESENTACAO DO PLANO OXYZ.Pouco se fala, em nivel medio, sobre coordenadas em tres dimensoes. Geralmente o que se aplica nesse nivel se baseia no R2, i.e, em duas dimensoes simbolizados pelas retas x (abcissas) e y (ordenadas) colocadas perpendicularmente uma a outra cujas coordenadas sao dispostas em diversos pontos nesse espaco, como por exemplo aos pontos P(2,3) e Q(3,2), pertencentes a esse espaco. Contudo, aqui, exploraremos essas mesmas propriedades a nivel de tres dimensoes, ou seja, agora alem de "x" e "y" teremos tambem "z" (cota), perpendiculares entre si, como na figura: Fig. 1: Plano OxyzPela figura 1 vemos como estao distribuidos alguns pontos no plano. Temos o ponto P1 de coordenadas (x, 0, 0), por isso marcado apenas no eixo das abcissas. Tambem os pontos P2 e P3. O ponto Q0 ja possui valores para x, y e z, que sao representados por x , y e z , ambos pertencentes a Oxyz com x < x , y< y e z < z na parte positiva do plano. Lembre-se de que O e a origem. Quando dados os pontos, os valores de x , y e z terao valores numericos reais. Por exemplo, o ponto Q poderia ter coordenadas Q (1, 2, 3).2. VETORES2.1 IDENTIFICACAO DE VETORESUm vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado. Em matematica pode ser um ponto, a partir da origem, ou o segmento de reta definido entre dois pontos com tamanho, direcao e sentido. Ver figura 1.1:Fig. 2.1: Vetor u = B - A definido pelos pontos A e BQuando um segmento de reta e delimitado por dois pontos quaisquer, como na Fig. 2.1, identificamos o vetor como a diferenca entre os pontos, ou seja, o vetor u = B - A, i.e., u = (x0 - x, y0 - y). O seu comprimento pode ser obtido atraves do |u| (modulo de u), que se escreve assim, |u|2 = (x - x0)2 + ( y - y0)2, ou Alem disso um vetor u por exemplo, pode ter seu tamanho reduzido ou ampliado atraves de um t qualquer pertencente a os Reais. Se t < 1, teremos uma reducao, se t > 1, teremos um ampliacao. Se t < 0. teremos uma mudanca de sentido, isto e, o se o vetor u aponta para a direita, depois de multiplicado por esse t, ele inverte o seu sentido mudando para a esquerda. Essa mudanca pode ser maior do que o vetor u original ou menor que ela, com t > -1 ou t < -1, respectivamente. Se t = 1 ou t = -1 nao houve mudancas no tamanho. Fig. 2.1.2: Vetor tu, com t > 1. Observa-se que nesse caso o vetor u teve um aumento de t vezes o seu tamanhoOBS: Um caso interessanteQuando, dado dois vetores, um e perpendicular ao outro, o produto interno entre ambos e zero, ou seja um numero real.
Seja u, v vetores tal que u.v = 0. Sendo u = (a, b) e v = (c, d), temos:u.v = ac + bd = 0Por exemplo. Os vetores x = (1,0) e y = (0,1), sao, na verdade, os eixos "x" e "y" do plano do R2. Veja que o eixo x = (x, 0), pois dados dois pontos de x, seja O = (0,0) e B = (x, 0), temos que o vetor x = B - O:x = (x, 0) - (0,0)x = (x, 0) De modo analogo temos que e y = (0, y), pois sendo O = (0,0), C = (0, y), pontos de y, temos que y = C - O, ou sejay = (0, y) - (0, 0)y = (0, y)Dando um tamanho inicial a eles, seja x = 1 e y = 1 unidade qualquer, temos x = (1,0) e y = (0,1). Entao:x.y = (1, 0).(0. 1)x.y = 0 + 0 x.y = 0. (i)Logo os eixos "x" e "y" sao perpendiculares entre si.2.2 ANGULOS ENTRE VETORESDados dois vetores u, v nao nulos e nao colineares, isto e, um nao e multiplo do outro, podemos identificar um angulo entre eles. Comecemos falando da desigualdade Cauchy Schwarz .2.2.1 Desigualdade Cauchy Schwarz Seja u, v vetores nao nulos. Para qualquer R, temos:(u + v)(u + v) 0Efetuando o produto escalar:u.u + u(v) + u.(v) + 2(v.v) 02|v|2 + 2(u.v) +|u|2 0E facil observar que temos aqui uma equacao de grau II em funcao de . Como 2 > 0 e u, v = 0, calculando o da equacao de II grau, fica: = b2 - 4ac 0(2u.v)2 - 4|v|2.|u|2 04(u.v)2 - 4|v|2.|u|2 0(u.v)2 |v|2.|u|2Considerando u.v > 0, temos:|u.v| |u|.|v| ( I )2.2.2 Usando o cosseno para encontrar o angulo entre dois vetores. Ver figura 2.2.1Pela equacao (I), temos: |u.v| 1 => | |u.v| | 1|u|.|v| | |u|.|v|| -1 | |u.v| | 1. Como temos 0 , fica | |u|.|v||cos = u.v (II) |u|.|v|Fig. 2.2.1.: Os vetores u e v em angulo beta.2.2.3 Provando (i)De posse de (II), podemos encontrar qualquer angulo entre dois vetores. Provemos, por exemplo, (i):Como o eixo "x" (abcissas) faz 90 com o eixo "y", temos:COS(90) = x.y |x||y|x.y = |x|.|y|.cos90x.y = |x|.|y|.0x.y = 0Como queriamos demonstrar 2.3 PRODUTO VETORIALDados dois vetores, u e v podemos determinar um vetor w tal que u e v seja perpendicular a w. Logo temos que u.w = 0 e v.w = o. Ver figura 2.3Fig.2.3. : Vetores u., v perpendiculares ao vetor w.Seja u = (a. b, c), v = (d, e, f) e w = (x, y, z). Como u.w = 0 e v.w = 0, temos:(a, b, c).(x, y, z) = 0 e (d, e, f).(x, y, z) = 0ax + by + cz = 0dx + ey + fz = 0Entao, como possivel solucao:x = bf - ecy = dc - afz = ae - dbFica:w = ( bf - ec, dc - af, ae - db) (III)Logo w e o produto vetorial de u por v e se escreve assim: u
x v.Na observacao do item 2.1, vimos que podemos escrever os eixos "x" e "y" como (1, 0) e (0, 1). De forma analoga a apresentada em 2.1 escrevemos o eixos em R3 como x = (1, 0, 0), y = (0, 1, 0) e z = (0, 0, 1). Chamando de i, j e k respectivamente x, y e z a combinacao linear entre tais eixos resultam no total espaco R3.Seja (x, y, z) R3. Entao:(x, y, z ) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) +z(0, 0, 1)(x, y, z) = xi yj + zk. Para memorizar tratemos a combinacao linear acima como um determinante de terceira ordem:Resolvendo o determinante, temos:= ( bf - ec)i - (af - dc)j + (ae - db)k= (bf - ec, dc - af, ae - db), como em (III)3. DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOSSeja o eixo OXYZ a seguir:Fig. 3. : Representacao da distancia PQPela Fig. 3, observamos a distancia do ponto P ao ponto Q. Veja que por Pitagoras, temos as seguintes relacoes:PQ2 = SP2 + SQ2 ( * )SQ = (z - z0)PS = P0Q0(P0Q0)2 = HP0 + HQ0 (P0Q0)2 = (x - x0)2 + (y - y0)2PS2 = (x - x0)2 + (y - y0)2Em ( * ), vem:PQ2 = (x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2. Logo: 4. EQUACAO PARAMETRICA DA RETAClaro que falando de distancias vem logo a mente as retas. E como seriam as equacoes das retas no R3? Bom, podemos obte-las de uma maneira mais bem geral que no R2. Mais uma vez vamos apelar para uma figura para entendermos melhor coo funciona.Fig. 4: Reta r paralela ao vetor vPela Fig.4, um ponto P(x, y, z) pertence a r se AP = tv, para t R. Veja que AP e o vetor v, ou alguns de seus multiplos, deslocado. Seja A(x0, y0, z0) e v = (a, b, c). OBS.: Nao confundir A e P, que sao pontos, como v, que e o vetor.Temos AP = (x - x0, y - y0, z - z0).Como sabemos que AP = tv, fazemos:(x - x0, y - y0, z - z0) = t(a, b, c)Veja que:x = x0 + aty = y0 + bt } ==> r (**)z = z0 + ctQue e a equacao parametrica da reta.4.1 Exemplo.Encontre um ponto pertencente a reta que contem o ponto A(2, 1, -3) e e paralela a os vetores v = (3, -2, 2).#RESOLUCAOPor (**), temos que:x = 2 + 3ty = 1 - 2t } ==> rz = -3 + 2tComo t e qualquer real, atribuimos um valor a t. Seja t = 1. Entao fica: x = 5r: {y = -1 z = -15. PLANOO R3 guarda fascinantes objetos matematicos, como por exemplo o plano interagindo com outros elementos. O que seria entao esse plano? Como o proprio nome ja diz, podemos obter um plano a partir de pelo menos dois vetores, mas precisamos de pelo menos tres para encontrar sua equacao. Algebricamente falando se os vetores u, v e w nao sao multiplos entre
si acabam gerando o R3, i.e, (x, y, z) R3 => (x, y, z) = . u + v + w. Veja que (x, y, z) = a(x, 0, 0) + b(0, y, 0) + c(0, 0, z) com a = b = c = 1 e a, b e c R.5.1 Equacao do PlanoMais uma vez recorramos a uma figura para entender melhor o que se segue. Ver figura 5.FIG. 5: Plano Seja A(x0, y0, z0), B(x, y, z) e o vetor n = (a, b, c). Temos:u = B - A = > u = (x - x0, y - y0, z - z0)Como u n:n.u = 0(a, b, c)(x - x0, y - y0, z - z0) = 0ax + by + cz - ax0 - by0 - cz0 = 0Fazendo a expressao em negrito igual a d, ou seja, d = - ax0 - by0 - cz0, fica:ax + by + cz + d = 0. Logo Equacao Geral do Plano: ax + by + cz + d = 0Se dois Planos se interceptam o resultado sera uma reta.5.2 Equacao Parametrica do PlanoFica ao leitor tentar deduzir a Equacao Parametrica do Plano. Usando os conceitos de definicao de vetor e de retas e possivel obter o resultado.6. CONCLUSAONao se pretendeu de maneira aqui esgotar o assunto. Na verdade muitas coisas foram omitidas ao leitor, como algumas provas e demonstracoes mais rigorosas. Doravante e essencial agora que se ponha em pratica o exposto resolvendo muitas atividades. Espero poder ter ajudado um pouco no entendimento.Se alguma coisa ficou obscura, nao clara ou algum possivel erro, por favor, nao exite em me comunicar, pois estarei de prontidao e honrado em corrigir.7. REFERENCIASREIS, Genesio Lima dos; SILVA, Valdir Vilmar da. GEOMETRIA ANALITICA. Rio de Janeiro: LTC, 1984.LIMA, Elon Lages. Algebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2011. (Colecao Matematica Universitaria)LIPSCHUTZ, Seymour. Algebra Linear - Teorias e Problema. Sao Paulo: Perason Makron Books, 1994. (Colecao Schaum)
A IntegralAo longo dos seculos o homem sentiu necessidades imperiosas da obtencao do valor exato, ou pelo menos aproximado, de algumas areas e/ou volumes de certas figuras geometricas com contornos irregulares. Ele ja sabia calcular areas e volumes de figuras regulares, como cones, piramides, cubos, prismas, esferas entre outros, nao obstante outros tipos de figuras continuavam sem esclarecimento.Com a chegada de Isaac Newton e Leibniz essa historia comecou a ser contada de um novo capitulo, com a introducao do Calculo Diferencial e Integral.Aqui nos concentraremos em demosntrar a definicao tecnica da Integral nao contendo, porem, os principais meios de resolucao destas, que sera mais bem tratado em outro artigo.Basicamente esse calculo consiste no estudo de uma dada funcao f(x) definida no intervalo [a, b], conforme figura a seguir:A ideia e de obter a area da regiao hachurada da figura ao lado. Como pode ser observado uma parte da area, a de cor mais fraca, forma um retangulo que pode ser calculado atraves de (b - a)(f(a) - 0), contudo ainda resta a parte da area compreendida entre f(b) e f(a), com mesmo dominio fechado de [ax, b]. A parte de cor mais forte tem contornos irregulares que tornam seu calculo muito complicado. Como entao obter seu valor exato?Dividindo-se o grafico em pequenas partes e possivel obter a area dessas pequenas partes divididas, assim:E o somatorio dos pequenos retangulos em escalas cada vez menores que definira o valor da area final. E perceptivel que quanto mais se quebre o grafico em pequenos graficos e o amplie, cada vez mais retangulos e areas semehantas a de cor mais forte do primeiro grafico vao se gerando, e assim ate o infinito. Ha um ramo dentro da matematica capaz de determinar valores que tendem ao infinito e e atraves do estudo de Limites.Assim sendo podemos dizer que uma Integral e definida por:Esta ultima notacao da equacao acima e como se escreve, matematicamente, uma integral, que significa literalmente somar partes, seja para areas, volumes ou quaisquer calculos que requeiram somatorios.Bom como ja visto e preciso que a funcao seja definida no irtevalo fechado [a, b] e que seja continua. Uma vez tendo esses atributos o proximo passo e verificar que tipo de funcao se esta usando e e ai que esta o problema: Existem diversas maneiras de se trabalhar com integrais e cada uma deleas requer um tipo de especial de resolucao ou estrategia.TIPOS DE INTEGRAISExistem as Integrais Definidas, que sao como essas estudadas anteriormente em que e preciso os valores dos limites do dominio ou da imagem da funcao, e tambem as Integrais Indefinidas, que nao precisam de um intervalo fechado. Ora, essa ultima serve mesmo apenas de conhecimento teorico uma vez que sem um intervalo nao e possivel se calcular com precisao nada. Em exercicios e comum o uso desses tipos de Integrais, mas para o uso devido na vida pratica e preciso a existencia do intervalo.Ha ainda as Integrais resolvidas por Substituicao, as Parciais, Polares, por Partes, entre outras. Estamos falando aqui dos tipos de resolucoes dessa poderosa arma da matematica que sera tratado