Igualdade de matrizesO proximo passo e estabelecer um criterio que nos permita decidir se duas matrizes sao ou nao iguais. Temos a seguinte definicao:Duas matrizes A,B $\in$ $M_{m\times n}\Re$, A = $(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$, sao iguais quando $a_{ij}=b{ij}$, $\forall$ i $\in$ ${1,\ldots ,m}$, $\forall$ j $\in$ ${1, \ldots, n}$.Exemplo 4Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes$\left ( \begin{array}{cc}2a&3b \\c + d&6 \\\end{array}\right) $ e$\left ( \begin{array}{cc}4&-9\\1&2c \\\end{array}\right) $$\left ( \begin{array}{cc}2a&3b \\c + d&6 \\\end{array}\right) = \left ( \begin{array}{cc}4&-9\\1&2c \\\end{array}\right) $$\Rightarrow$\[ \left\{ \begin{array}{ll}2a&= \,4\\3b&= \,-9\\c + d&= \,1\\6&= \,2c\\\end{array} \right. \]Dai, obtemos a = 2, b = -3, c = 3 e d = -2. DefinicaoUma matriz real A de ordem $m n$ e uma tabela de mumeros reais,dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n sao numeros inteiros positivos.Uma matriz real de m linhas e n colunas pode ser representada por$A_{mn} \Re$ . Neste curso, como so trabalharemos com matrizes reais, usaremosa notacao simplificada $A_{mn} $, que se le A m por n. Tambem podemosescrever A = ($a_{ij}$), onde i $\in$ {$1, ...,m$} e o indice de linha e j $\in$ {1, ..., n} e o indice de coluna do termo generico da matriz. Representamos o conjunto de todas as matrizes reais m por npor $M_{mn} \Re$ . Escrevemos os elementos de uma As barras simples sao usadas matriz limitados por parenteses, colchetes ou barras duplas.Exemplo1. Uma matriz ${3 \times 2}$ : $\left ( \begin{array}{ccc}1 & 10\\2 & 11\\10 & 20\\\end{array}\right) $2. Uma matriz ${2 \times 2}$ : $\left ( \begin{array}{ccc}3 & 4\\5 & 15\\\end{array}\right) $3. Uma matriz ${3 \times 1}$ : $\left ( \begin{array}{c}-3 \\5 \\1\\\end{array}\right) $De acordo com o numero de linhas e colunas de uma matriz, podemos destacar os seguintes casos particulares: m = 1: matriz linha n = 1: matriz coluna m = n: matriz quadrada. Neste caso, escrevemos apenas $A_n$ e dizemos que A e uma matriz quadrada de ordem n. Representamos o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n por $M_n\Re$ (ou, simplesmente,por $M_n$). Exemplo 2 1. Uma matriz ${1 \times 4}$ : $\left ( \begin{array}{cccc}1 & 10& 5& 7\\\end{array}\right) $ 2. Uma matriz ${3 \times 1}$ : $\left ( \begin{array}{c}1 \\10\\17\\\end{array}\right) $3. matriz quadrada de ordem 2: $\left ( \begin{array}{cc}1&22 \\10&11\\\end{array}\right) $Os elementos de uma matriz podem ser dados tambem por formulas, como ilustra o pr oximo exemplo.Exemplo 3Vamos construir a matriz A$\in M_{2 \times 4}(\Re)$\[ a_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll}i^2 + j& \mbox{se $i \doteq j$};\\i-2j & \mbox{se $i \neq j$}.\end{array} \right. \] A matriz procurada e do tipo A= $\left ( \begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\\end{array}\right) $ Seguindo a regra de formacao dessa matriz, temos: $a_{11}=1^2+1=2$$a_{22}=2^2+2=6$ $a_{12}=1-2(2)=-3$$a_{13}=1-2(3)=-5$$a_{14}=1-2(4)=-7$$a_{21}=2-2(1)=0$$a_{23}=2-2(3)=-4$$a_{24}=2-2(4)=-6$Logo, A= $\left ( \begin{array}{cccc}2&-3&-5&-7 \\0&6&-4&-6 \\\end{array}\right) $ Igualdade de matrizesO proximo passo e estabelecer um criterio que nos permita decidir se duas matrizes sao ou nao iguais. Temos a seguinte definicao:Duas matrizes A,B $\in$ $M_{m\times n}\Re$, A = $(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$, sao iguais quando $a_{ij}=b{ij}$, $\forall$ i $\in$ ${1,\ldots ,m}$, $\forall$ j $\in$ ${1, \ldots, n}$.Exemplo 4Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes$\left ( \begin{array}{cc}2a&3b \\c + d&6 \\\end{array}\right)