Umaexpressao da forma $a_1u_1$ + $a_2u_2$+ . . . +$a_nu_n$ = w, onde $a_1$ , $a_2$ , . . . , $a_n$ sao escalares e $u_1$, $u_2$, . . .,$u_n$ e w, vetoresdo ? n chama-se combinacao linear. Emoutras palavras, sejam V um espaco vetorial real ( ou complexo), $v_1$, $v_2$,...,$v_n$? V e $a_1$ ,...,$a_n$, numeros ? (ou complexos). Entaoo vetor e um elemento de V, e dizemosque v e uma combinacao linear de $v_1$,...,$v_n$. W= [ $v_1$,...,$v_n$] e chamado subespaco quando por $v_1$,..., $v_n$. Porexemplo, os vetores $e_1$ = (1, 0, 0); $e_2$ = (0, 1, 0) e $e_3$ = (0, 0, 1) geram o espaco vetorial $\Re^3$,pois qualquer vetor (a, b, c) ? $\Re^3$ pode ser escrito como combinacao linear dos $e_i$, especificamente:(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) Sendou = (x, y, z) se o sistema de equacoes lineares resultante da combinacao linearnao for consistente, isto e, nao tiver solucao, entao o vetor nao pode serescrito como combinacao linear, logo nao gera um espaco.Exemplos.:1) Sejam e osescalares $a_1$ = 2 e $a_2$ = -1. Podemos encontrar um vetor = (x, y) que sejacombinacao linear de (x, y) = 2.(3, 1) +(-1).(2, 4) = (4, -2) 2) Sejam os vetores = (1, -3, 2) e = (2, 4, -1).O vetor = (-4, -18, 7) pode ser escrito como combinacaolinear de .(-4, -18, 7) = a1.(1, -3, 2) + a2.(2, 4, -1)Mandem sugestoes de Topicos da Algebra I e II que comentaremos aquiBLOG do MANTHANOhttp://manthanos.blogspot.com.br/2012/12/comentario-sobre-produto-interno.html#morevisite este Blog Comentario sobre produto internoEsta postagem, de carater explicativo/introdutorio/elementar e direcionada para quem tem pouca familiaridade com a nocao de produto interno e tem o objetivo de auxiliar a compreensao de duas postagens posteriores.Lembremos que quando falamos de funcoes cujo dominio e R\mathbb{R}, e costumeiro utilizar o simbolo xx para representar um elemento qualquer de R\mathbb{R} e a notacao f(x)f(x) para representar a imagem do elemento xx.Por sua vez, quando o dominio da funcao e RR=R2\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2 frequentemente utilizamos o simbolo (x,y)(x,y) para representar um elemento de R2\mathbb{R}^2 e a notacao f(x,y)f(x,y) para representar a imagem do elemento (x,y)(x,y). Assim, a notacao f((x,y))f\left ( (x,y) \right ) e, usualmente, deixada de lado.Fato simples, mas talvez pouco notado, e que as vezes dispensamos ate mesmo a notacao f(x,y)f(x,y) ao lidarmos com uma funcao de duas variaveis. Por exemplo, quando o assunto e a adicao nao escrevemos f(2,8)=10f(2,8) = 10 mas sim 2+8=102+8 = 10 (e a adicao e uma funcao que leva R2\mathbb{R}^2 em R\mathbb{R}).Algo semelhante ocorre com o produto interno. Mas o que mesmo e um produto interno?Dado um espaco vetorial real VV, um produto interno em VV e uma funcao f:VVRf:V\times V \rightarrow \mathbb{R} que cumpre as seguintes condicoes:f(u,v)=f(v,u)f(u,v)=f(v,u)f(u+w,v)=f(u,v)+f(w,v)f(u+w,v)=f(u,v)+f(w,v)f(ku,v)=kf(u,v)f(ku,v)=kf(u,v)f(u,v+w)=f(u,v)+f(u,w)f(u,v+w)=f(u,v)+f(u,w)f(u,kv)=kf(u,v)f(u,kv)=kf(u,v)f(u,u)>0f(u,u)>0 quando u=0u \neq 0E isso tem que valer sempre, quaisquer que sejam u,v,wVu,v,w\in V e kRk\in\mathbb{R}.O produto interno mais comum (talvez o primeiro com o qual entramos em contato) e aquele definido em Rn\mathbb{R}^n atraves da expressauv=u1v1+u2v2++unvnu\cdot v=u_1v_1+u_2v_2+\cdots +u_nv_nonde u=(u1,u2,...,un)u=(u_1,u_2,...,u_n) e v=(v1,v2,...,vn)v=(v_1,v_2,...,v_n) sao vetores de Rn\mathbb{R}^n (o leitor interessado podera verificar que esta operacao satisfaz todas as condicoes