Funcao QuadraticaUma funcao quadratica, ou de segundo grau, e uma funcao $f: \Re \rightarrow \Re$ cuja lei de formacao e da forma f (x) =$ax^2 + bx + c$ , onde a, b e c sao numeros reais dados, sendo a = 0. Observe que, se tivessemos a = 0, obteriamos umafuncao afim.Exemplo: A seguir, listamos exemplos de funcao quadratica e identificamos o coeficiente $x^2$, o coeficiente de x e o termo independente, que chamaremos respectivamente de a,b e c, como acima.Funcao quadratica Completa(a) $f(x)=x^2-5x+6$ : Temos a=1, b=-5 e c=6;Funcao incompleta em c(b) $f(x)=x^2-16x$ : Temos a=1, b=-16 e c=0;Funcao incompleta em b (c) $f(x)=-2x^2-8$ : Temos a=-2, b=0 e c=-8; Dada a funcao quadratica $f(x)=ax^2+bx+c$, podemos escrever:$f(x)=ax^2+bx+c=a\large[x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}]$As duas primeiras parcelas dentro dos colchetes sao as mesmas do desenvolvimento do quadrado$(x+\frac{b}{2a})^2=x^2+\bcancel{2}.x.\frac{b}{\bcancel{2}a}+\frac{b^2}{4a^2}=$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}.$Agora vamos completar os quadrados:$f(x)=ax^2+bx+c$$f(x)=a\large[x^2+2.x.\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}]$ou seja,$f(x)=ax^2+bx+c=$$=a\large[(x+\frac{b}{2a})^2 +\frac{4ac-b^2}{4a^2}]$ (forma canonica)ou ainda$=a\large[(x+\frac{b}{2a})^2 +\frac{4ac-b^2}{4a}]$ Chamado de :$m=-\frac{b}{2a}$ e $k=\frac{4ac-b^2}{4a}$Concluimos que $k=f(m).$Assim para todo x R e a=0 podemos escrever qualquer funcao quadratica $f(x)=ax^2+bx+c=$ da seguinte maneira: $f(x)=a(x-m)^2 +k$, que $m=-\frac{b}{2a}$ e $k=\frac{4ac-b^2}{4a}$ (outra forma de escrever a forma canonica.Exemplo, vamos escrever a funcao $f(x)=x^2-4x-6=$ na forma canonica.1a maneiracompletando o quadrado:$x^2-4x-6=(x^2-4x)-6$$x^2-4x-6=(x^2-4x+4)-4 -6$$x^2-4x-6=(x-2)^2-10$logo,$f(x)=x^2-4x-6=(x-2)^2-10$.2a maneiracalculando $m=-\frac{b}{2a}$ e $k=f(m)$ e substituindo em $f(x)=a(x-m)^2+k$$f(x)=x^2-4x-6=$dados: a=1; b=-4 e c=-6como $m=-\frac{b}{2a}$logo temos$m=\frac{4}{2}=2$agora em $k=f(m)$$k=f(m)=2^2-4.2-6=4-8-6=4-14=-10$k=-10,portanto, $f(x)=(x-2)^2-10$Decorrencias da forma Canonica1a) Valor minimo e valor maximo da funcao$f(x)=ax^2+bx+c$consideremos a funcao quadratica$f(x)=3x^2-5x+2$.nesse caso, temos : $m=\frac{5}{6}$ e $k=f({\frac{5}{6}})=3.({\frac{5}{6}})^2-5(\frac{5}{6})+2=-\frac{1}{12}$.na Forma canonica e dada por.$f(x)=3.(x-\frac{5}{6})^2-\frac{1}{12}$Analisando essa forma, podemos concluir que o menor valor de $f(x)$ para todo x R e $-\frac{1}{12}$. Isso ocorre quando $x=\frac{5}{6}$.De modo geral, da forma canonica:$f(x)=a(x-m)^2+k$Concluimos que, para qualquer x R:Se a> 0, o menor valor de $f(x)$ e $k=f(x)$;Se a<0, o maior valor de $f(x)$ e $k=f(m)$.2a Zeros da Funcao quadratica e raizes da equacao correspondente$f(x)= 3x^2-5x+2$$f(x)=3.(x-\frac{5}{6})^2-\frac{1}{12}$ (forma canonica)$3.(x-\frac{5}{6})^2-\frac{1}{12}=0$$3.(x-\frac{5}{6})^2=\frac{1}{12}$$(x-\frac{5}{6})^2=\frac{1}{36}$=$(x-\frac{5}{6})= \frac{1}{6}$=x' |$(x-\frac{5}{6})=\frac{1}{6}$$x=1$)x'' |$(x-\frac{5}{6})=-\frac{1}{6}=\frac{4}{3}$$x=\frac{2}{3}$Logo,os zeros de $f(x)=3x^2-5x +2$ sao 1 e $\frac{2}{3}$, que sao tambem as raizes da equacao $3x^-5x+2=0$. DE modo geral, da forma canonica de$f(x)=ax^+bx+c$, com a = 0, que e $a(x-m)^2+k$ com $m=-\frac{b}{2a}$, podemos chegar a formula que fornece os zeros da funcao e, portanto, as raizes da equacao do 2o grau $ax^+bx+c=0$. Acompanhe as equivalencias: $ax^2+bx+c=0a(x-m)^2 +k=0$$ax^2+bx+c=0a(x-m)^2=-k$$ax^2+bx+c=0(x-m)^2=-\frac{k}{a}$$ax^2+bx+c=0(x-m)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$ax^2+bx+c=0(x-m)=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$ax^2+bx+c=0(x-m)=\frac{b^2-4ac}{2a}$$ax^2+bx+c=0x=m\frac{b^2-4ac}{2a}$$x=-\frac{b}{2a}\frac{b^2-4ac}{2a}$$x=\frac{-bb^2-4ac}{2a}$ (formula que fornece as raizes da equacao do 2o grau $ax^2+bx+c=0$.Texto tirado do Livro Dante Matematica volume unico pag 75 a 76.Procedimento muito util para estudar a funcao quadratica e o completando o quadrado. Basicamente o metodo se resume na observacao de que:$x^2+px=\large(x+\frac{p}{2})^2 -\frac{p^2}{4}.$Exemplo 1:$x^2 +10x=x^2+2.5.x+5^2-5^2=(x+5)^2-25$Exemplo 2:$3x^2+12x+5=3(x^2+4x)+5=3[(x+2)^2-4]+5=3(x+2)^2-7.$Genericamente, dada a funcao quadratica $f(x)= ax^2+bx+c$, escrevemos:$f(x)= a(x^2+\frac{b}{a}x)+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$e muito importante e conveniente escrevermos $m=-\frac{b}{2a}$ e $k=\frac{(4ac-b^2)}{4a}$. Verifica-se facilmente que $k=f(m)$. Com esta notacao, temos, para todo xR:$f(x)=a(x-m)^2+k$, onde $m=-\frac{b}{2a}$ e $k=f(m)$.Esta e chamada forma canonica do trinomio $f(x)= ax^2+bx+c$.Maximos e minimos Voltando a expressao geral $x=a^2+bx+c$ para forma canonica, note que o termo ($x+\frac{b}{{2a}})^2$ e sempre maior ou igual a zero. Assim, quando a > 0, temos que a($x+\frac{b}{{2a}})^2$ $\geq$0 para todo x $\in\,\Re$. Por outro, lado quando a<0 temos que a($x+\frac{b}{{2a}})^2$ $\leq$ 0 para todo x$\in\,\Re$. De qualquer modo, como a$\neq$0 em ambos os casos, a igualdade ocorre somente para $x+\frac{b}{{2a}}=0$ isto e, quando $x=-\frac{b}{{2a}}$. $f(x)=a(x+\frac{b}{{2a}})^2 -\frac{\Delta}{{4a}}\geq -\frac{\Delta}{{4a}}$, com igualdade se e so se $x=-\frac{b}{{2a}}$Podemos,