maximos e minimos global da funcao $f(x,y,z)=xyz$ sobre a superficie elipsoidal de equacao $2x^2+2y^2+z^2=2$.Identificamos que a funcao a ser maximizada e $f(x,y,z)=xyz$ e a restricao do problema e a superficie elipsoidal $2x^2+2y^2+z^2=2$. Essa equacao de elipsoide nao esta na forma canonica $\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 + \left(\dfrac{z}{c}\right)^2 = 1$. A forma canonica do elipsoide se reduz a uma equacao de esfera quando $a=b=c=k$ e isso e intuitivo, pois como os valores de a,b e c determinam os alongamentos dos eixos do elipsoide na direcao x, y e z, quando o alongamento e igual nas tres direcoes, nao se pode obter outra coisa senao a propria esfera.Esta ai a bola de futebol americano do enunciado!Uma ideia interessante e tentar observar o que se passa atraves do enunciado. A funcao xyz esta distribuida por todo espaco, ela e um tanto quanto problematica para valores pequenos de x y e z (por que?) mas e possivel deduzir que ela vai cortar esse elipsoide algumas vezes e devemos determinar em quais pontos desse corte f(x,y,z) vai ter seu valor maximo.Pois bem, esse exercicio, diferentemente daquele que expliquei no primeiro post sobre Lagrange, possui somente uma restricao. Assim, o metodo dos multiplicadores nos diz que os pontos de maximo ou minimo ocorrem quando o sistema$\nabla f(x,y,z) = \lambda\nabla g(x,y,z)$$g(x,y,z)=0$ E satisfeito. Lembramos que a primeira linha representa uma equacao vetorial que da origem a 3 equacoes escalares e a restricao deve ser reescrita como uma funcao escalar do $\mathbb{R}^3$, $g(x,y,z)=2x^2+2y^2+z^2=2$ e a condicao $g(x,y,z)=0$ e a curva de nivel que equivale a equacao original.Varias curvas de nivel de g(x,y,z)Expandindo as equacoes, chegamos em:$yz = \lambda 4x$$xz = \lambda 4y$$xy = \lambda 2z$$2x^2+2y^2+z^2-2=0$ Esse sistema e nao linear com quatro variaveis e quatro equacoes. Para resolve-lo, existe uma estrategia que quase sempre funciona quando caimos nessas equacoes pelo metodo de Lagrange.A ideia e multiplicar a primeira linha por x e a segunda por y. Dessa forma, obtemos:$xyz=\lambda 4x^2$$xyz=\lambda 4y^2$Dessa duas equacoes, chega-se em $\lambda 4x^2 = \lambda 4y^2$. A tentacao de "cortar" tudo e muito grande, mas devemos ser cautelosos. Ao inves disso, reescrevemos $4\lambda(x^2-y^2)=0$. Essa equacao e satisfeita se $\lambda = 0$ ou se $x^2=y^2$.Analisando o caso que $\lambda=0$, caimos em $xy=0$, $xz=0$, $zy=0$. Isso implica que pelo menos duas variaveis sao nulas e a terceira pode nao ser. Supondo que $x=0$ e $y\neq 0$, vemos por eliminacao que $z=0$. Assim, colocando esses valores na restricao $2(0)^2+2y^2+(0)^2-2=0$ determinamos $y=\pm 1$. Sumarizando, se $\lambda =0$ obtemos os pontos extremos $(0,0,\pm 1)$. Assim, $f(0,0,\pm 1)=0$. De forma geral, se $\lambda =0$, qualquer permutacao do ponto $(0,0,\pm 1)$ e um ponto extremo.Agora analisando o caso $x^2=y^2$, isto implica que $x=\pm y$. Supondo que $x=y$, por enquanto, vemos que da primeira equacao chegamos em $z=4\lambda$ e pela terceira equacao $x^2=2\lambda z$. Juntando esses dois casos, chegamos na relacao $x^2 = \dfrac{z^2}{2}$. Substituindo essa condicao na restricao, chegamos em: $3z^2=2\Rightarrow z=\sqrt{\frac{2}{3}}$. Voltando com esse valor de z chegamos em $x=y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. O valor da funcao neste ponto e $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)=\dfrac{\sqrt{6}}{9}$. Como o valor de f neste ponto e maior que o ponto encontrado anteriormente pela