thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
primeira equacao de (S) por duas vezes ela mesma. Trocando a segunda equacao pela diferenca entre as duas equacoes de (S) obtemos Como interpretar esse resultado? As equacoes originais do sistema sao equivalentes, ou seja, representam a mesma reta. A equacao x + 2y + 3 = 0 e a equacao de uma reta, e, portanto, temos uma infinidade de pares (x, y) que sao solucoes dessa equacao: ( 1, 1), (0, 3/2), ( 3, 0) ,(3, 3), ( 7, 4) etc., e que tambem sao solucoes para a segunda equacao(v erif ique!). Geometricamente, as suas retas tem pelo menos dois pontos distintos em comum, logo, sao retas coincidentes e as solucoes sao coordenadas de pontos sobre uma mesma reta. x + 2y + 3 = 0 2x + 4y 1 = 0 2x + 4y + 6 = 0 2x + 4y 1 = 0 2x + 4y + 6 = 0 0x + 0y + 7 = 0 x + 2y + 3 = 0 2x + 4y + 6 = 0 2x + 4y + 6 = 0 2x + 4y + 6 = 0 2x + 4y + 6 = 0 0x + 0y + 0 = 0 Podemos descrever as solucoes obtidas nos exemplos acima de maneira geral, fazendo a analise a seguir. Para resolver por eliminacao, vamos supor que b1 e b2 sao ambos nao nulos (caso contrario, uma das equacoes ja daria o valor procurado de x como no exemplo 1 acima). Podemos efetuar multiplicacoes e considerar o sistema equivalente: Para eliminarmos a variavel y, subtraimos, por exemplo, a segunda equacao da primeira, ficando com o novo sistema: A segunda equacao de S nos da o valor procurado de x desde que Neste caso, x = ; voltando a primeira equacao podemos en- contrar o valor de y. Se a1 b2 a1 a2 = 0, o sistema so tera solucao se b2 c1 b1 c2 = 0 , o que elimina a segunda equacao em S (ela ficara 0 = 0). O sistema S tera, na realidade, somente uma equacao (as duas equacoes sao equivalentes) e sera chamado de indeterminado. As condicoes que apareceram nesse processo geral de resolucao por eliminacao podem ser interpretadas geometricamente: -a equacao a1 x + b1 y + c1 = 0 e a equacao de uma reta com coeficiente angular -a equacao a2 x + b2 y + c2 = 0 e a equacao de uma reta com coeficiente angular -as retas sao paralelas ou concorrentes se = , e essa igualdade que equivale a condicao a1 b2 a1 a2 = 0, como conseguimos nos calculos da resolucao por eliminacao. Temos ainda que investigar a condicao b2 c1 - b1 c2 = 0, que tambem pode ser escrita na forma: = . Se = e = as equacoes serao equivalentes, ou seja, as retas, neste caso, sao coincidentes. Se = , mas = o sistema sera impossivel, e, neste caso, teremos retas paralelas. Se a1 b2 a2 b1 = 0 os coeficientes angulares serao diferentes, as retas serao concorrentes e
teremos a unica solucao dada pelos calculos acima. b2 a1 x+ b2 b1 y + b2 c1 = 0 b2 a1 x + b2 b1 y + b2 c1 = 0 Tambem podemos estudar os sistemas lineares utilizando as matrizes, pois o sistema (S) e equivalente (S) pode ser escrito como o produto de matrizes: A matriz 2 x 2 M = e chamada a matriz do sistema linear enquan- to que a matriz 2 x 3 M = e a matriz completa do sistema linear. O determinante de uma matriz quadrada 2 x 2 e definido como a diferenca dos produtos dos termos das diagonais. Mais precisamente, dada uma matriz 2 x 2 , como no caso 3 x 3, a2 b1Note, pelo que vimos anteriormente, que det M = 0 corresponde ao caso em que as retas sao concorrentes e o sistema admite uma unica solucao. Vejamos mais alguns exemplos. Exemplo 5 Encontrar o ponto comum as retas de equacao: 2x + y 1 = 0 e 4x + 2y + 2 = 0. Sendo a segunda equacao o dobro da primeira, todas as solucoes sao comuns, e, neste caso, as retas sao coincidentes (encontramos y = 2x + 1 em ambas as equacoes). Escrevendo as matrizes para o sistema temos: e M = . E facil verificar que det M = 0. Note tambem que, em ambas as matrizes M e Mas linhas sao proporcionais. No caso das retas coincidentes, sempre teremos essa situacao. O sistema e indeterminado, tem infinitas solucoes que sao os pontos cujas coordenadas sao da forma (x, 2x + 1), tais como (0, 1), (1, 1), ( 1, 3), (1/2, 0), etc. Exemplo 6 Modificando apenas uma das constantes do sistema, vamos estudar um segundo caso. Encontrar o ponto comum as retas de equacao: 2x + y 5 = 0 e y = c 1 y = c 2 2x + y 1 = 0 4x + 2y + 2 = 0 2 (2x + y) + 2 = 0ou 2. 5 + 2 = 12 = 0Temos, por tanto, um absurdo, o sistema nao admite solucao. Escrevendo as matrizes: temos M = e M = . E facil verificar que det M = 0, que as linhas de M ainda sao proporcionais, mas o mesmo ja nao ocorre com as linhas de M. Neste caso, as retas sao paralelas (encontre os coeficientes angulares e lineares e confira!), e o sistema e impossivel (nao existe ponto comum as duas retas). Exemplo 7 Estudemos agora o sistema equivalente a encontrar o ponto comum as retas de equacao: x + y 1 = 0 e x + 2y + 2 = 0. Temos o sistema: cuja matriz M e Resolvendo o sistema por eliminacao, obtemos y = 3 e x = 4, portanto, as retas sao concorrentes e o ponto comum a ambas e o ponto (4, 3). Neste caso, det M = 0 e o sistema sera chamado possivel, determinado, pois admite uma unica solucao. Resumindo Dado um sistema de equacoes: (S)e as matrizes M =
e M = Se det M = 0, o sistema sera: -possivel e indeterminado quando as linhas de M forem proporcionais, as retas serao coincidentes; ou -impossivel caso contrario, e as retas serao paralelas. Se det M = 0 o sistema sera possivel e determinado, admitindo uma unica solucao e as retas serao concorrentes. Agora faca voce 1. Dentre os pares de reta a seguir, qual deles nao e formado por retas perpendiculares ou paralelas? 2x + y 5 = 0 4x + 2y + 2 = 0 x + y 1 = 0 x + 2y + 2 = 0 a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2 a)3x 5y + 4 = 0 e x/3 + y/5 = 1 b)2y + x = 7 e 4x + 2y + 7 = 0 c)3x + 4 = 0 e 5y 3 = 0 d)x = e x = e)(a + 1) x + (a 1) y = 0 e (a 1) x = (a + 1) y 2. Determinar o ponto Q da reta r de equacao x + y 2 = 0, tal que o segmento seja perpendicular a r, sendo P = (2, 6). 3. Determinar o ponto simetrico de ( 4, 3) em relacao a reta x y 1 = 0. 4. Dois lados de um paralelogramo estao contidos nas retas y = 2x e 2y = x. Dado o vertice A = (5, 4), determinar B, C e D. 5. Obter os vertices de um losango ABCD tal que: -o vertice A esta no eixo Oy ; -o vertice B esta no eixo Ox ; -a diagonal esta contida na reta 2x + y 3 = 0; -as diagonais se interceptam em (x, 1). 6. Determinar a equacao da reta que passa pelo ponto de interseccao das retas de equacoes x / 2 + y / 2 =1 e 3x + 4y = 0 e e paralela a reta descrita por y = x + 2. 7. Determinar p de modo que as retas de equacoes p2x + py + 2 = 0 e 3x + (p + 1)y 7 = 0 sejam perpendiculares. 8. Encontre a equacao de cada reta que e perpendicular a reta 5x y = 1 e que forma com os eixos coordenados um triangulo de area igual a 5. 9. (Fuvest) Considere os pontos A = (2, 0), B = (2, 0), C = (0, 3) e P = (0, a), com 0 < a < 3. Pelo ponto P, tracamos tres retas paralelas aos lados do triangulo ABC. a)Determine em funcao de a a area da regiao sombreada na figura. b)Para que valor de a a area e maxima? 10. (Fuvest) O sistema onde c = 0 admite uma solucao (x, y) com x = 1. Entao o valor de c e: a) 3b) 2c) 1d) 1e) 2 1. Encontre os valores de h para que os sistemas sejam possiveis e esboce o grafico das retas em cada caso: a) c) b) d) 12. A
equacao em x e y: (2x + 6y + a)2 + (x + by 7)4 = 0 admite infinitas solucoes. Encontre os valores de a e b. x + (c + 1) y = 0 c x + y = 1 x + 4y = 2 3x + hy = 1 x y = 4 2x + 3y = h x + hy = 0 2x + 8y = 1 x 3y = 1 hx + 6y = 2 Distancia de ponto a reta. Consideremos uma reta r cuja equacao geral e ax + by + c = 0 e um ponto cujas coorde- ) nao pertencente a ela. Pode- mos considerar o segmento com extremidade P e perpendicular a reta dada. O comprimento d desse segmento e a distancia de P a reta r. Pode-se mostrar que essa distancia e dada pela formula: d = Area do paralelogramo Vamos calcular a area de um paralelogramo que tem um dos cujas sao nao colineares (observe que apenas sabendo que O, P1 e P2 sao nao colineares, o quarto vertice P3 fica determinado, ja que P3 interseccao das retas r e s, onde r e a reta paralela a reta passando por P2 e s e a reta paralela a reta passando por P1 A area do paralelogramo sera o produto da distancia OP1 pela distancia d do ponto P2 a reta determinada por O e P1 , pois a distancia d e a altura do paralelo- gramo relativa a base . Lembremos que a area do paralelogramo e o produto dos comprimentos da base e da altura relativa a ela, logo, igual a OP1 . d. Vamos aos calculos: Distancia OP 1 = : y = xou x1 y y1Equacao da reta por O e P1 x = 0. Area do paralelogramo: OP1 . d = |x1 y2 y1 x2 | = det M onde M e a matriz M = e temos uma interpretacao do determinante como area. Observe que o calculo da area desse paralelogramo pela formula acima so Usando a distancia podemos tambem encontrar uma formula que nos da a area de um triangulo com vertices A = (x1 , y1 A area pode ser calculada como o semiproduto do comprimento de um dos lados pela distancia do terceiro vertice a esse lado. Apos alguns calculos pode-se tambem mostrar que a area do triangulo e dada por: Area do triangulo ABC = Agora faca voce 1. Calcular a distancia do ponto P a reta dada: a) P = ( 3, 1), 3x 4y + 8 = 0; b) P = (3, 2), 5x 5y + 2 = 0; c) P = (1, 2), x/12 + y/5 = 1. 2. Calcular a area do trapezio cujos vertices sao: A = (0, 0), B = (7, 1), C = (6, 5) e D = ( 8, 3). 3. Determinar os pontos da reta y = 2x que estao a distancia 2 da reta 4x + 3y = 0. 4. Determinar a equacao de uma reta que passa por (3, 0) e
dista 2 unidades da origem. 5. Obter uma reta paralela a reta de equacao x + y + 6 = 0 e distante do ponto C = (1, 1). 6. Calcular a area do triangulo cujos vertices sao (a, a + 3), (a 1, a) e (a + 1, a + 1). 7. Calcular a area do quadrilatero cujos vertices sao A = (1, 1), B = (5 ,0), C = (7, 3) e D = (3, 1). 8. Encontrar as coordenadas do vertice C de um triangulo ABC de area 6, sabendo que A = (0, 2), B e a interseccao da reta de equacao x y 4 = 0 com o eixo dos x e C e um ponto da reta dada. 9. Determinar a area do triangulo DABC sabendo que A = (1, 1) e B = (3, 2), y = x 1 e a equacao do lado e o coeficiente angular da reta por A e C e 1. 10. Calcule a distancia entre as duas retas paralelas: 3x + 4y 15 = 0 e 3x + 4y 5 = 0. 1. Ha dois pontos na reta y = 2 que distam 4 unidades da reta 12y = 5x + 2. Encontre a soma das abscissas desses pontos. 12. As retas y = 4x, y = 2x 1 e a perpendicular a reta y = 2x 1 pela origem determinam um triangulo. Calcule a area desse triangulo. 13. Podemos mostrar que a bissetriz de um angulo e o conjunto dos pontos do plano equidistantes dos lados do angulo. Determinar as equacoes das bissetrizes dos angulos formados pelas retas 3x + 3y 1 = 0 e 2x 2y + 1 = 0. 14. Encontre a equacao do lugar geometrico dos pontos do plano equidistantes das retas 4x 3y 10 = 0 e 12x + 5y 13 = 0. 15. Obter a equacao da bissetriz interna, no ponto B, do triangulo cujos vertices sao: A = (5, 4), B = (1, 1) e C = (4, -3). 16. A reta r tem equacao 2x + y = 3 e intercepta o eixo Ox no ponto A. A reta s passa pelo ponto P = (1, 2) e e perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo Ox e a reta r respectivamente, Um problema comercial Uma floricultura produz arranjos de tres tamanhos diferentes. Nos arranjos sao utilizados rosas, margaridas e crisantemos. A tabela abaixo da o numero de flores de cada arranjo: Se em um dia a floricultura utiliza 24 rosas, 50 margaridas e 48 crisantemos, quantos arranjos de cada tipo foram feitos? Chamemos x, y e z o numero de arranjos de cada tipo. O numero de rosas utilizado foi, portanto: x + 2y + 4z = 24 Da mesma forma, os numeros de margaridas e crisantemos serao dados, respectivamente, por: 3x + 4y + 8z = 50 3x + 4y + 6z = 48 Para encontrar as solucoes x, y e z, teremos que resolver o sistema linear com tres equacoes e
tres incognitas: x + 2y + 4z = 24 3x + 4y + 8z = 50 3x + 4y + 6z = 48 A resolucao do sistema pode ser feita por eliminacao; teremos z = 1, subtraindo uma das duas ultimas equacoes pela outra; resolvendo o sistema obtido substituindo z = 1 nas duas primeiras equacoes, teremos: x = 2 e y = 9 . Balanceamento de equacoes associadas a processos quimicos Quando ocorre uma reacao quimica ha a necessidade de se estabelecer um balanceamento entre os reagentes e o produto da reacao. Partimos do principio de que o numero de atomos em uma reacao deve permanecer o mesmo. Por exemplo, uma reacao simples e bem conhecida e a reacao em que duas moleculas de Hidrogenio (H2) juntam-se a uma de oxigenio (O2 ), for- mando moleculas de agua (H2 O). A equacao balanceada da reacao e: 2H2A mudanca e representada por uma flecha. A equacao de combustao da amonia (NH3) com o oxigenio (O2 )produz nitroge- nio (N2) e agua (H2 O). Para balancear essa equacao, vamos chamar x, y, z e w, respectivamente, o numero de moleculas de cada um desses reagentes, escrevendo: 2x NH3 + y O z N2 + w H2 Comparando o numero de atomos de cada um dos reagentes para fazer o balanceamento, temos que: Rosa1 2 4Margarida3 4 8Arranjo/Flores Pequeno Medio Grande Crisantemo 3 6 6 Nitrogenio (N):x = 2z Hidrogenio (H):3x = 2w Oxigenio (O):2y = w Note que este e um sistema linear com tres equacoes e quatro incognitas. Quando o numero de equacoes e menor do que o numero de incognitas, o sistema sera indeterminado, pois ira admitir uma infinidade de solucoes. Vamos encontrar uma delas. Comparando as equacoes,podemos escrever as incognitas y, z e w em funcao de x: z = , w = e y = = Qualquer valor nao-nulo que escolhermos para x ira determinar os valores de y, z e w . Por exemplo, tomando x = 4, temos as solucoes y = 3, z = 2 e w = 6, ficando a equacao balanceada: 22 N2 4 NH3 + 3 O + 6 H2 Se tivessemos escolhido x = 8, obteriamos a equacao 24 N2 + 12 H28 NH3 + 6 O O As equacoes lineares associadas a um sistema hidraulico Um sistema hidraulico liga tres pontos A, B e C. O fluxo de agua, em litros por minuto, esta descrito no diagrama abaixo. Podemos encontrar os fluxos intermediarios f1 , f2 e f3 resolvendo um sistema linear. 20 l /minAf2C10 l /minBNo ponto A, temos a entrada de 20 litros por minuto e saidas f1 e f2 , o que nos da a equacao: No ponto B, temos a entrada de 10 litros por minuto e a saida de f1 o que nos da a equacao: No ponto C, temos entrada de f1 e f3 litros por minuto e saida de 30 litros por minuto: = 30. O problema novamente nos conduz a um sistema de tres equacoes e tres incognitas: f1 f2 Este sistema pode
ser facilmente resolvido por substituicao: a segunda equacao pode ser substituida pela primeira, assim teremos: = 5 e f1 = 15. Com esses valores de f1 e f2, a terceira equacao nos dara f3 = 15. 30 l /min Criando e decifrando codigos 2 15 134 9 1(B O MD I A)As matrizes tambem podem ser utilizadas para produzir codigos ou mensagens cifradas. Suponha que se queira mandar uma mensagem para alguem. Uma pessoa pode facilmente trocar letras por numeros, por exemplo, associando A 1, B 2, C 3, etc. Com essa associacao, em vez de BOM DIA, pode-se escrever: Mas esse codigo e muito facil de se decifrar, para dificultar, podemos colocar a mensagem disposta em uma matriz de duas linhas: Mais ainda, podemos escolher convenientemente uma outra matriz A para melhorara a eficiencia da codificacao. Uma tal matriz deve ser 2 x 2 (pois vamos usar o produto de matrizes) e inversivel (para que o destinatario possa decodifica-la). Vamos escolher, por exemplo, a matriz A = . Efetuando o produto A . M, obteremos a matriz M: M = A . M = sera a mensagem enviada. A pessoa que receber a mensagem precisara inverter o processo. Para isso, ela deve conhecer a matriz A e sua inversa B. Efetuando B . M = = M, ja que Agora faca voce 1. Calcule o determinante da matriz A dada acima. 2. Verifique se a matriz B = e a inversa da matriz A. 3. Calcule e decodifique a mensagem. 4. Invente uma mensagem secreta e envie a um colega (se o numero de letras de sua mensagem for impar, complete a matriz com um zero). Veja se ele consegue decodif ica-la. Sistemas Lineares algumas aplicacoes Uma matriz A (n x n ou seja, cujo numero de linhas e igual ao numero de colunas) e inversivel se existir uma matriz B (tambem n x n) tal que A . B = B . A = In, para cada valor de n. As matrizes In sao chamada matrizes identidades. Quando n = 2, 3, 4,essamatriz e: E sabido que toda matriz inversivel tem determinante diferente de zero. I2 = I3 = .... Unidade 2 Circunferencias Organizadores Antonio Carlos Brolezzi Martha S. Monteiro Elaboradora Maria Elisa Esteves Lopes Galvao A circunferencia com centro em um ponto ) e raio R > 0 e o conjunto de pontos do plano que estao a distancia R do ponto P0 , ou seja, PP0 = d (P, P0 Usando a formula da distancia, temos: = R ou ainda: A equacao acima e a chamada equacao da circunferencia com centro P 0 e raio R. Todo ponto do plano cujas coordenadas satisfazem essa equacao pertence a circunferencia e vice-versa. Um ponto Q do plano pode estar: -no interior da circunferencia, se d (Q, P0 ) < R; -no exterior da circunferencia, se d (Q, P0 ) > R. Dada uma circunferencia e uma reta, temos tres possibilidades: -a reta e a circunferencia nao tem pontos em comum: neste caso, todos os pontos da reta sao exteriores a
circunferencia; diremos que a reta e exterior a circunferencia; -a reta e a circunferencia tem apenas um ponto em comum: neste caso, a reta e tangente a circunferencia; -a reta e a circunferencia tem exatamente dois pontos em comum: neste caso, a reta e dita secante a circunferencia. A distancia do centro P0 da circunferencia a uma reta r dada nos permite distinguir as tres possibilidades acima. Temos: -a reta r e exterior a circunferencia se d (P0 , r ) > R; -a reta r e tangente a circunferencia se d (P0 , r ) = R; -a reta r e secante a circunferencia se d (P0 , r ) < R. Agora faca voce 1. Encontre a equacao da circunferencia: a) com centro (2, 1) e raio 2; b) com centro (1, 3) e raio ; c) com centro (1/2, 3/2) e raio 4. 2. Qual e a equacao da circunferencia que passa pelo ponto (3, 2) e tem centro (1, 1)? 3. Encontre o centro e o raio das circunferencias: a) x2 + y2 8x + 7 = 0b) x2 + y2 6x + 4y 12 = 0c) x2 + y2 8x - 6y = 0 4. Para que valores de m e k a equacao abaixo representa uma circunferencia? a) mx2 + y2 + 4x + 6y + k = 0; a) mx2 +2y2 + 2x + 8y k = 0 b) mx2 + y2 + 2x + 4y + k = 0 5. Obtenha a equacao da circunferencia que passa pelo ponto (10, 1), tem raio 5 e tangencia o eixo das abscissas. 6. (Fuvest) Uma circunferencia passa pelos pontos (2, 0), (2, 4) e (0, 4). Logo, a distancia do centro dessa circunferencia a origem e: a) b) c) d) e) 7. Encontre a equacao da circunferencia que passa pelos pontos (1, 2), (2, 3) e (3, 4). 8. Qual a posicao dos pontos (0, 0), (7, 5) e (4, 2) em relacao a circunferencia (x 3 )2 + (y + 5)2 = 16? 9. A circunferencia de centro (1, 2) e raio passa pelo ponto (2, p). Encontre os valores de p. 10. O centro de uma circunferencia pertence a reta y = x. Sabendo que essa circunferencia passa pelos pontos (1, 2) e (6, 5), determine a sua equacao. 1. Um quadrado tem vertices consecutivos A = (5, 0) e B = (1, 0). Determine a equacao da circunferencia circunscrita ao quadrado. 12. Determine a posicao relativa entre a reta e a circunferencia em cada caso: a) x 3y 2 = 0 e (x + 2)2 + (y 1)2 = 1; b) y = 2x + 1 e x2 + y2 2y 5 = 0; c) x 2 = 0 e 4x2 + 4y2 25 = 0; d) y + 3 = 0 e 4x2 + 4y2 56x + 4y + 179 = 0. 13. Obter a equacao da circunferencia de centro ( 2, 1) tangente a reta de equacao 4x + 3y = 0. 14. (Fuvest) Uma reta de coeficiente angular m >
0 passa pelo ponto (2, 0) e e tangente a circunferencia inscrita no quadrado de vertices (1, 1), (5, 1), (5, 5) e (1, 5). Entao: a) 0 < m < c) < m < 2e) 1 < m < b) m = d) m = 1 15. Determinar o comprimento da corda determinada pela reta x + y 2 = 0 sobre a circunferencia de centro (1, 1) e raio 2 16. Encontre para que valores de k a reta x k 1 = 0 e a circunferencia x2 + y2 2x 3 = 0 sao: a) secantesb) tangentesc) exteriores 17. Encontre o comprimento da corda que a reta y = x determina sobre a circunferencia de equacao (x + 2)2 + (y 2)2 = 16. 18. Encontre a equacao da circunferencia de centro (1, 5) e tangente a reta de equacao 3x 4y + 7 = 0. 19. A reta y = 3x e tangente a uma circunferencia com centro (2, 0). Calcule o raio dessa circunferencia. 20.(Fuvest) Considere o quadrado ABCD inscrito na semicircunferencia de centro na origem. Se (x, y) sao as coordenadas do ponto A, entao a area da regiao exterior ao quadrado ABCD e interior a semicircunferencia e igual a: a) (5/2 4) x2b) x2 + y2c) (5 4) x2d) (5/2 2) x2e) x2 y2 21. (Fuvest) a) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m > 0. A circunferencia C passa pelos pontos (1, 0) e (3, 0) e tem centro no eixo x. Para qual valor de m a reta r e tangente a C? b) Suponha agora que o valor de m seja menor do que aquele determinado no item anterior. Calcule a area do triangulo determinado pelo centro de C e pelos pontos de interseccao de r com C. 2. (Fuvest) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) sao vertices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado no primeiro quadrante. O lado e perpendicular a reta y = 2x e o ponto D pertence a circunferencia de centro na origem e raio . Entao, as coordenadas de C sao: a) (6, 2)b) (6, 1)c) (5, 3)d) (5, 2)e) (5, 1) 23. (Fuvest) Na figura ao lado, os pontos A, B e C sao vertices de um triangulo retangulo, sendo B o angulo reto. Sabendo-se que A = (0, 0), B pertence a reta x 2y = 0 e P = (3, 4) e o centro da circunferencia inscrita no triangulo ABC, determine as coordenadas: 24. Descreva o lugar geometrico dos pontos do plano que verificam a equacao x2 y2 + 3x 3y = 0 25. Uma reta encontra uma circunferencia com centro na origem nos pontos A = (3, 4) e B = ( 4, 3). a) Qual e o raio dessa circunferencia? b) Calcule a area do quadrilatero cujos vertices sao os pontos A e B e seus simetricos em relacao a origem. 26. Uma reta passa pelo ponto P = (3, 2) e e tangente a circunferencia com centro C =