(E dessa obra que se origina o nome Algebra).A matematica, que se achava em estado latente, comeca a se despertar.No ano 1202, o matematico italiano Leonardo de Pisa, cognominado de "Fibonacci" ressuscita a Matematica na sua obra intitulada "Leber abaci" na qual descreve a "arte de calcular" (Aritmetica e Algebra). Nesse livro Leonardo apresenta solucoes de equacoes do 1o, 2o e 3o graus.Nessa epoca a Algebra comeca a tomar o seu sapecto formal. Um monge alemao. Jordanus Nemorarius ja comeca a utilizar letras para significar um numero qualquer, e ademais introduz os sinais de + (mais) e - (menos) sob a forma das letras p (plus = mais) e m (minus = menos).Outro matematico alemao, Michael Stifel, passa a utilizar os sinais de mais (+) e menos (-), como nos os utilizamos atualmente.E a algebra que nasce e se poe em franco desenvolvimento.Tal desenvolvimento e finalmente consolidado na obra do matematico frances, Francois Viete, denominada "Algebra Speciosa".Nela os simbolos alfabeticos tem uma significacao geral, podendo designar numeros, segmentos de retas, entes geometricos etc.No seculo XVII, a matematica toma nova forma, destacando-se de inicio Rene Descartes e Pierre Fermat.A grande descoberta de R. Descartes foi sem duvida a "Geometria Analitica" que, em sintese, consiste nas aplicacoes de metodos algebricos a geometria.Pierre Fermat era um advogado que nas horas de lazer se ocupava com a matematica.Desenvolveu a teoria dos numeros primos e resolveu o importante problema do tracado de uma tangente a uma curva plana qualquer, lancando assim, sementes para o que mais tarde se iria chamar, em matematica, teoria dos maximos e minimos.Vemos assim no seculo XVII comecar a germinar um dos mais importantes ramos da matematica, conhecido como Analise Matematica.Ainda surgem, nessa epoca, problemas de Fisica: o estudo do movimento de um corpo, ja anteriormente estudados por Galileu Galilei.Tais problemas dao origens a um dos primeiros descendentes da Analise: o Calculo Diferencial.O Calculo Diferencial aparece pela primeira vez nas maos de Isaac Newton (1643-1727), sob o nome de "calculo das fluxoes", sendo mais tarde redescoberto independentemente pelo matematico alemao Gottfried Wihelm Leibniz.A Geometria Analitica e o Calculo dao um grande impulso a matematica.Seduzidos por essas novas teorias, os matematicos dos seculos XVII e XVIII, corajosa e despreocupadamente se lancam a elaborar novas teorias analiticas.Mas nesse impeto, eles se deixaram levar mais pela intuicao do que por uma atitude racional no desenvolvimento da ciencia.Nao tardaram as consequencias de tais procedimentos, comecando por aparecer contradicoes.Um exemplo classico disso e o caso das somas infinitas, como a soma abaixo:S = 3 - 3 + 3 - 3 + 3...........supondo que se tenha um no infinito de termos.Se agruparmos as parcelas vizinhas teremos:S = (3 - 3) + (3 - 3) + ...........= 0 + 0 +.........= 0Se agruparmos as parcelas vizinhas, mas a partir da 2a, nao agrupando a primeira:S = 3 + ( - 3 + 3) + ( - 3 + 3) + ...........= 3 + 0 + 0 + ......... = 3O que conduz a resultados contraditorios.Esse "descuido" ao trabalhar com series infinitas era bem caracteristicos dos matematicos daquela epoca, que se