Na noite de 21 de agosto de 2016, Seba sonhou com Fermat e foi desenrolada uma conversa entre os dois que a seguir sera descrita.Seba Fermat, nao sei se voce esta sabendo que em 1995 a comunidade matematica aceitou a prova dada por Andrew Wiles para a sua famosa conjectura. Apos a prova dada por Wiles, surgiu uma certa duvida por todos os que compoem a comunidade matematica em saber se voce tinha realmente uma demonstracao.Fermat Mas qual e a duvida?Seba Sua grande proposicao por voce escrita (tal como toda uma serie de teoremas concernentes a teoria dos numeros), sob forma de anotacao, nas margens de uma obra de Diofanto, esta escrita com as seguintes palavras: Encontrei uma demonstracao verdadeiramente maravilhosa, para esta proposicao, mas aqui ha pouco espaco para desenvolve-la. Entao, a duvida, da comunidade matematica, e saber se voce tinha realmente uma demonstracao. Com altissima probabilidade, diz a comunidade matematica: a resposta e nao.Fermat Ora, so porque a demonstracao que encontrei nao cabia no espaco que eu dispunha, entao, vem agora a comunidade matematica afirmar categoricamente: com altissima probabilidade que eu nao tinha a demonstracao? E em que argumento a comunidade matematica se baseia, para dizer tal afirmacao?Seba Baseia-se no seguinte: se a demonstracao de Wiles utilizou teorias que voce certamente nao conhecia e ocupou mais de 200 paginas que nenhuma margem de livro, por maior que fosse, seria capaz de conter, entao, o mais provavel, segundo a comunidade matematica, e que voce tenha cometido um erro semelhante aos que cometeram milhares de amadores e profissionais que tentaram demonstrar depois de voce.Fermat A validade de minha proposicao levou tanto tempo para ser demonstrada em virtude de a comunidade matematica tentar demonstra-la usando teorias sofisticadas e deixando de procurar algo de sutil e profundo que esta escondido nela. Ao perceber esse algo de sutil e profundo que esta por tras da minha proposicao, demonstrei-a com a matematica acessivel a qualquer estudante de formacao mediana. Seba E qual e esse algo de sutil e profundo que esta escondido na sua proposicao?Fermat Pegue lapis e papel e escreva o que vou ditar. Qualquer duvida, pare e peca-me esclarecimento. Daqui para frente tudo que eu disser va escrevendo.A equacao $a^{n}+b^{n}=c^{m}$ tem infinitas solucoes para $a$, $b$, $c$ $\in \mathbb{N}$ e $n$, $m$ primos entre si.DemonstracaoMultiplicando ambos os membros de $a^{n}+b^{n}=c^{m}$ por $(a^{n}+b^{n})^{m}$, obtem-se:$(a^{n}+b^{n}).(a^{n}+b^{n})^{m}=(a^{n}+b^{n})^{m}.c^{m}$ $(1)$Como $c^{m}=a^{n}+b^{n}$, logo, substituindo o valor de $c^{m}$ na $(1)$, obtem-se:$(a^{n}+b^{n}).(a^{n}+b^{n})^{m}=(a^{n}+b^{n})^{m+1}$ou$a^{n}.(a^{n}+b^{n})^{m}+b^{n}.(a^{n}+b^{n})^{m}=(a^{n}+b^{n})^{m+1}$ $(2)$Se escolhermos valores para $a$ e $b$ tal que $a\leqslant b$ ou $a\geqslant b$, e substituirmos na $(2)$, obtem-se valores inteiros positivos para $a$, $b$ e $c$ (F.A.D.).Metodo de resolucao da equacao $a^{n}+b^{n}=c^{m}$Seja, por exemplo, dividir um quadrado em dois cubos de varias maneiras diferentes:$a^{3}+b^{3}=c^{2}$Como o expoente de $a$ e $b$ e $3$, logo, substituindo na $(2)$ $n$ por $3$, obtem-se:$a^{3}.(a^{3}+b^{3})^{m}+b^{3}.(a^{3}+b^{3})^{m}=(a^{3}+b^{3})^{m+1}$ $(3)$Como na equacao $a^{3}+b^{3}=c^{2}$, o membro da direita tem expoente $3$ e o da esquerda, expoente $2$, logo, temos que encontrar dois numeros $m$ e $m+1$ que seja possivel decompor $m$ em potencia de $3$ e $m+1$ em potencia de $2$. Isso so sera possivel se $m$ e $m+1$