Em aguns dos posts anteriores mencionei problemas que podem surgir devido ao uso de certas definicoes comuns. No ultimo post o Rafael fez algumas sugestoes referentes a continuacao do assunto (desconsiderem os primeiros quatro comentarios que aparecem la =p ). Gostei das sugestoes e resolvi escrever sobre esses assuntos. Porem decidi reservar mais de um post para isso ( pelo menos dois ), pois ha muitas questoes envolvidas ( algo como "a vida o universo e tudo mais" =p ), de maneira que abordar o assunto em um mesmo post, mesmo que de maneira superficial, poderia ser um tanto quanto inviavel (especialmente quando a blogueira e um tanto quanto prolixa). Neste primeiro post pretendo abordar questoes referentes aos fundamentos do problema: uma especie de contextualizacao. Um dos objetivos dos posts e discutir questoes referentes ao teorema da incompletude de Godel, o que nao vai ser feito nesse primeiro post.Comecemos analisando o cerne da questao das definicoes: a metodologia que usamos para construi-las. A descoberta de uma metodologia assustadoramente eficiente, capaz de permitir, dentre outras coisas, a construcao de definicoes e analise das consequencias dessas definicoes, constitui um dos pilares dos maiores avancos (registrados) da humanidade em termos de conhecimentos e aplicacoes. Essa metodologia nos permite construir o que chamamos linguagens formais, ou linguagens matematicas (nao confundir "linguagem matematica" com "matematica"). A base da metodologia consiste em separar um conjunto de simbolos (as vezes chamados signos) cujo significado deve ser totalmente estabelecido (ou seja, com ambiguidade controlada), nao possuindo qualquer significado alem do que lhes e explicitamente atribuido. Constroem-se entao regras que estabelecem de que maneira podemos manipular e combinar os signos (regras de formacao e transformacao). Essas regras, em principio, podem ser totalmente arbitrarias. O resultado desse tipo de abordagem e que muito provavelmente o nosso sistema sera inconsistente, isto e, permitira a existencia de contradicoes internas. Esse tipo de fenomeno impoe limites no modo como construimos o nosso sistema. Mas e por que descartar sistemas construidos de maneira inconsistente? Voltemos a questao dos paradoxos, mencionados no post anterior. Um paradoxo pode ser representado por uma formula inconsistente, cuja negacao implica em sua afirmacao e cuja afirmacao implica em sua negacao (no post anterior o tipo de paradoxo mencionado era um pouco diferente). Temos aqui uma indeterminacao logica, ou seja, obtemos um resultado "vazio": nao podemos tirar conclusoes sobre a validade dessa proposicao.A partir dos simbolos e das regras de formacao construimos as formulas, chamadas axiomas, que constituirao nosso sistema. Esses axiomas nao devem poder ser obtidos uns dos outros, caso contrario poderiamos eliminar os axiomas excedentes (navalha de Occam). Podemos entao, atraves dos metodos de transformacao e a partir dos axiomas, derivar outras formulas, chamadas teoremas. Os teoremas tambem podem ser obtidos atraves das regras de formacao, assim como fizemos com os axiomas. Nesse caso e necessario demonstrar que esses teoremas decorrem dos axiomas. Se pudermos provar que existe algum teorema, obtido atraves das regras de formacao, que nao decorre dos axiomas, porem e uma verdade dentro do sistema (nao gera problemas de consistencia), teremos provado que esse sistema e incompleto.