thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
modelagem desses dois tempos, que, por serem incertos, sao denominados variaveis aleatorias. Apesar de ser impossivel prever o tempo de chegada de um cliente ou a duracao de um atendimento, pode-se construir uma especie de histograma para cada uma dessas variaveis, mostrando a gama de valores que elas podem assumir e suas respectivas frequencias de ocorrencia. Com base nestas informacoes, pode-se simular numericamente a evolucao da fila ao longo do tempo (utilizando o Excel ou algum software de estatistica) e tracar histogramas de frequencias para o numero de pessoas na fila e para o tempo de espera ate o atendimento, os quais permitem avaliar o desempenho do sistema2. Para exemplificar esse tipo de analise, simulei o que poderia ocorrer a uma pessoa que entrasse na fila para comprar um lanche no Bobs do Rock In Rio em determinado momento quando havia 5 caixas, cada um com uma fila de aproximadamente 40 pessoas. O tempo medio de atendimento por cliente era de cerca de 3 minutos, valor estimado com base nas 2 horas de espera na fila, em media3. Considerei dois tipos de configuracao para este sistema: o atendimento em filas separadas, como estava ocorrendo na pratica, e um atendimento hipotetico em fila unica, que seria outra alternativa de prestar o servico ao publico. Neste segundo caso, ao inves da ultima pessoa que chegou estar na 40a posicao da fila de um dos caixas, ela seria a 200a pessoa em uma fila unica para os 5 caixas. Como se percebe, o numero de pessoas por caixa e o mesmo em ambas as configuracoes.Ressalto que, como o processo e aleatorio, nao e possivel calcular quanto tempo a pessoa ficara na fila, mas apenas obter uma relacao dos possiveis valores de tempo de espera e suas respectivas probabilidades. Veja a diferenca entre os resultados dos sistemas de filas separadas e de fila unica, obtidos a partir de 1000 simulacoes para cada uma dessas configuracoes. Histograma de frequencias do tempo de espera na fila, nas duas configuracoes analisadas.Apesar de o tempo medio em ambos os casos ser de 2 horas (120 minutos), ha uma variacao muito maior entre os possiveis tempos de espera no sistema de filas separadas. Observe a faixa de 15 minutos para mais ou para menos em relacao ao tempo medio (ou seja, um tempo de espera entre 105 e 135 minutos): enquanto no sistema de filas separadas em aproximadamente 25,8% das vezes o tempo de espera ficou fora dessa faixa, no sistema de fila unica isso so ocorreu em 1,4% das simulacoes.Portanto, observa-se que, no sistema de filas separadas, ha uma chance maior de esperar menos tempo do que a media caso a pessoa tenha a sorte de pegar uma fila que anda mais rapido porem ha tambem um risco maior de esperar bastante, caso se tenha o azar de pegar uma fila mais demorada. Ja no sistema de fila unica a incerteza em relacao a duracao do tempo de espera e bem menor, pois muito provavelmente ele nao se distanciara muito desse valor medio de 120 minutos. Isso ameniza em parte
o aspecto negativo associado ao elevado tempo de espera, pois pelo menos a pessoa tem uma nocao mais exata de sua duracao.Um segundo ponto que ilustro a seguir e a injustica do sistema de filas separadas. Realizei simulacoes adicionais para esta configuracao, observando o que poderia ocorrer com duas pessoas que estivessem em filas diferentes, na seguinte situacao: a primeira na 40a posicao de uma das filas e a segunda em uma posicao mais a frente (entre a 30a ate a 39a) na fila ao lado. A ideia foi verificar o percentual de vezes em que a pessoa da primeira fila, mesmo estando mais atras, ainda conseguiria ser atendida antes do que a pessoa da outra fila. Os resultados sao mostrados na tabela abaixo: Posicao da pessoa na segunda fila 39a 37a 35a 32a 30a Percentual das vezes em que uma pessoa na 40a posicao da primeira fila ainda conseguiria ser atendida antes da pessoa na segunda fila 46,8% 31,8% 23,5% 11,1% 3,9% Nota-se que em quase metade das vezes a pessoa da primeira fila seria atendida antes de uma pessoa 1 posicao a frente na segunda fila, e em quase um quarto das vezes ela seria atendida antes da pessoa que estivesse 5 posicoes a frente na outra fila. Mesmo alguem na 30a posicao da outra fila ainda teria um risco proximo a 4% de ser atendido depois da pessoa da primeira fila, situada 10 posicoes atras.De qualquer forma, e importante ressaltar que o sistema de fila unica nao elimina o problema da pequena quantidade de caixas colocada para atender ao publico do Rock In Rio, que nitidamente foi inferior ao que seria esperado para um evento destinado a receber 100 mil pessoas por dia._____________________________________________________________________________________ 1) Nos exemplos citados de atendimento do Bob s ou agencias bancarias, e evidente que isto nao ocorreria, pois se algum atendente ficasse ocioso as pessoas se deslocariam de uma fila para outra. Entretanto, em situacoes como um SAC por telefone onde houvesse varios numeros para se ligar diretamente, poderia haver fila em algum destes numeros, enquanto um outro numero estivesse ocioso. Por este motivo, implantaram-se os atuais sistemas de atendimento onde ha apenas um numero, formando-se uma fila unica imaginaria (a famosa musica que se ouve ao telefone) para distribuicao dos clientes entre os varios ramais existentes. 2) Em alguns modelos, como por exemplo quando se utiliza uma distribuicao exponencial para representar tanto a chegada como a saida de clientes, e possivel deduzir expressoes teoricas exatas para as medidas de desempenho do sistema.3) E evidente que nao coletei minuciosamente dados reais para modelar este sistema. Apenas para ilustrar a analise, considerei que o tempo de atendimento seguia uma distribuicao gama, com parametro r = 2 e valor medio de 3 minutos. Esta distribuicao tem a funcao densidade de probabilidade mostrada abaixo, onde r e a sao parametros positivos. O valor medio de X e dado pela razao r/a.
mais cedo ocorrer o uso de drogas, piores e mais rapidas sao as consequencias negativas para o organismo do homem. Isto poderia levar a um maior indice de mortes, por exemplo, entre os 20 e 30 anos, mas essa informacao nao e suficiente para deduzir qual seria a forma esperada para esse histograma. Embora nao haja sustentacao forte para essa hipotese, considerarei como referencia uma distribuicao equiprovavel para as mortes dos 21 aos 60 anos. Sob tais condicoes, e considerando as propriedades da distribuicao binomial (vide apendice 3), a probabilidade desse pico verificado aos 27 anos ter sido obra do acaso e de apenas 0,0032%. Entretanto, o que se deve calcular nao e a probabilidade de haver 14 mortes aos 27 anos, mas sim a probabilidade desse pico ter ocorrido em ALGUMA idade. Afinal de contas, essa coincidencia teria sido alardeada qualquer que fosse a idade em que ela ocorresse. Neste caso, a probabilidade sobe para pouco mais de 0,14%, ou 1 chance em 770, aproximadamente. Apesar desta pequena probabilidade nao ser, por si so, suficiente para refutar a tese de haver algum fator especifico associado a idade de 27 anos, ha que se atentar ainda para dois aspectos: o primeiro e o fato de que a probabilidade e pequena, mas longe de ser impossivel. E mais de 50.000 vezes mais provavel do que ganhar na Mega-Sena com uma aposta simples. E o segundo ponto, muito mais importante: esta e apenas uma das inumeras coincidencias que se poderia encontrar em dados populacionais envolvendo pessoas famosas. Poderiamos procurar estatisticas de datas de nascimento e morte de atores de cinema, atrizes de televisao, apresentadores, pintores, politicos, jogadores de futebol, artistas de outros generos musicais e muitos outros tipos de celebridades. Quanto mais coincidencias procurarmos, maior sera a probabilidade de se encontrar uma tao rara como a analisada neste post. Faco analogia, por exemplo, com um link que me passaram essa semana4, sobre a noticia de cinco pessoas da mesma familia que fazem aniversario no mesmo dia (casal, dois filhos e uma tia). E evidente que a chance de isso ocorrer em uma determinada familia e extremamente baixa. Mas considerando a grande quantidade de familias que existem no Brasil, cada uma envolvendo grupos de 5, 6 ou ate 10 pessoas (note que ate a tia foi incluida na referida noticia), a chance de ALGUMA familia apresentar essa coincidencia nao necessariamente e baixa, e pode ate ser muito alta. Em resumo: e comum se observar eventos raros em fenomenos aleatorios que ocorrem com elevada frequencia. Explorarei este assunto em maiores detalhes em um futuro post.1) Eric Segalstad, The 27s: The Greatest Myth of Rock and Roll, Samadhi Creations (2009).2) Por exemplo, pode-se lancar um dado nao viciado dez vezes, e em nove vezes ocorrer o numero 6. Embora seja razoavel desconfiar da honestidade do dado, e possivel que um dado honesto produza esse resultado, no entanto essa probabilidade e de apenas 0,00008%, aproximadamente.3) Considerando uma distribuicao equiprovavel para os falecidos entre os 21 e 60 anos, a probabilidade da morte ter ocorrido em cada uma dessas
idades e de 1/40. Como a amostra selecionada teve 172 mortes, deve-se calcular a probabilidade de ocorrer um valor maior ou igual a 14 para uma variavel aleatoria com distribuicao binomial de parametros p = 1/40 e n =172.4) http://g1.globo.com/brasil/noticia/2011/08/cinco-da-mesma-familia-comemoram-aniversario-no-mesmo-dia-em-ro.html
Teve inicio na semana passada o campeonato Carioca, dito o mais charmoso do Brasil. O atual campeao, Flamengo, defende o titulo contra o Fluminense, que luta para se aproximar do rubro-negro na hegemonia do estado, o Botafogo, que busca amenizar a frustacao de ser o unico grande carioca a nao participar da Libertadores, e o Vasco, que tenta ir pela primeira vez a uma final desde 2004. A formula de disputa e a mesma adotada nas ultimas edicoes: em cada turno, os dois primeiros classificados de cada grupo se enfrentam em confrontos do tipo mata-mata, com duas semifinais e uma final, todas disputadas em jogo unico. Nao ha vantagem de empate para a equipe com melhor campanha na fase de classificacao. Como em todo campeonato, e bem possivel que determinada equipe seja superior as outras, seja do ponto de vista puramente tecnico ou emocional. Costumo brincar, porem, que esta formula de disputa e como decidir os jogos no cara ou coroa, tamanha e a aleatoriedade resultante desse processo. Para se ter uma ideia, no ano passado, dos 6 jogos semifinais / finais, 4 foram para os penaltis, e nenhum dos confrontos envolvendo dois times chamados grandes foi decidido no tempo normal1. Este post nao tem a pretensao de calcular a chance matematica de titulo de uma equipe sobre outra a partir de informacoes qualitativas, mas sim mostrar o quanto esta formula de disputa pode ser injusta, partindo de um suposto desequilibrio tecnico entre as equipes. Apesar da dificuldade de acomodacao no calendario, a realizacao de confrontos do tipo todos contra todos resultaria em uma maior probabilidade de titulo para a equipe que fosse melhor.Pela formula atual de disputa, a chance de titulo de cada equipe classificada para a fase final do turno (por exemplo, a equipe A ilustrada na Figura 1) e dada por: Chance de titulo no turno = ps x pf ,onde ps e pf sao as probabilidades de a equipe superar seus adversarios nas fases semifinal e final, respectivamente, seja no tempo normal ou nos penaltis. Na hipotese de total equilibrio, onde cada equipe tem 50% de chance de vencer cada confronto, a chance de titulo de todas elas sera de 25%, que corresponde ao valor, em percentual, do produto 0,5 x 0,5. Suponha que, das quatro equipes que disputam a fase final do turno (denominadas A, B, C e D), a equipe A seja duas vezes melhor do que qualquer outra equipe. Matematicamente, isto se traduziria em uma probabilidade de 2/3 de vitoria para a equipe A, contra 1/3 de seu adversario. Apesar de esta situacao hipotetica sugerir que a equipe A provavelmente levantara a taca do turno, suas chances de titulo sao de apenas 44,44%. Esse e o resultado, em percentual, do produto 2/3 x 2/3, que expressa a necessidade de a equipe vencer os dois confrontos. Se as demais equipes forem consideradas tecnicamente empatadas, a chance de titulo daquela que enfrentar a equipe A na semifinal sera de 16,67%, e cada uma das demais ficara com uma chance de 19,44% 2. Apesar da evidente vantagem da
equipe A em relacao as demais, nao deixa de ser desanimador constatar que, apesar de ser tao superior as outras equipes, sera mais provavel que a equipe A nao venca o turno.Se fosse adotada na fase final do turno uma formula do tipo todos-contra-todos, com o titulo indo para a equipe que conquistasse mais pontos (vide Figura 2a), a chance de titulo da equipe A subiria para 51,57%. Se, alem disso, todos os confrontos fossem do tipo ida e volta (vide Figura 2b) esta chance saltaria para 62,78%, o que traduziria melhor, em numeros, a suposta superioridade da equipe A em relacao as demais. Todos esses calculos estao descritos na nota 3. E claro que a opcao (b) seria inviavel do ponto de vista pratico pelo grande numero de jogos envolvidos e pelo grau de importancia que se daria a um simples turno. Mas poderia ser adotada em uma eventual fase final do campeonato, como foram nos longiquos anos de 1994 e 1995, por exemplo.Analise semelhante pode ser feita para um playoff final de um campeonato de basquete, com o objetivo de determinar a quantidade de jogos que seja suficiente para proporcionar uma chance razoavel de titulo para a melhor equipe4. Como no basquete nao ha empate, este calculo pode ser feito aplicando-se diretamente a distribuicao binomial, conforme mostrado na tabela abaixo. Considerei um exemplo onde uma equipe A tem 60% de chance de vitoria em cada partida do playoff, contra 40% de seu adversario. (Do ponto de vista qualitativo, poderia se dizer que a equipe A e 50% melhor do que B). # jogos no playoff* Condicoes para a equipe A ser campea Probabilidade da equipe A ser campea Calculo Chance (%) 1 vencer o jogo 0,60 60,0 3 Vencer pelo menos 2 jogos 0,603 + C32.0,602.0,40 = 0,648 64,8 5 Vencer pelo menos 3 jogos 0,605 +C54.0,604.0,401+ C53.0,603.0,402 = 0,682 68,2 7 Vencer pelo menos 4 jogos 0,607 + C76.0,606.0,401+ C75.0,605.0,402+ C74.0,604.0,403 = 0,710 71,0 * o numero de jogos e sempre impar para evitar que haja empate na soma das vitorias.Como e de se esperar, quanto maior o numero de partidas no playoff, maiores sao as chances de titulo da melhor equipe. Porem, e interessante notar que, mesmo a equipe A sendo uma vez e meia superior ao seu adversario, em um playoff com 7 partidas a chance dela nao levar o titulo e de quase 30%. Para que a chance de titulo de A alcance o usual nivel de significancia de 95% adotado em Estatistica, seria necessario um playoff de pelo menos 65 partidas. Ao final de um campeonato, e comum buscar argumentos para justificar que o time campeao e melhor do que os outros, esquecendo que, em situacoes onde a aleatoriedade esta presente, nem sempre a equipe que e superior vence, e o resultado final esta longe de ser deterministico. Talvez o melhor exemplo para o futebol seja justamente o campeonato mais importante, a Copa do Mundo, que adota o mesmo sistema de mata-mata em jogo unico desde as oitavas ate o jogo final. Acho pouco provavel
que, se o mundo voltasse no tempo repetidas vezes, a Espanha fosse a maior campea em 2010, ou a Italia em 2006.De qualquer forma, seja no futebol ou no basquete, a razao perde espaco para a emocao proporcionada pela imprevisibilidade do resultado. Seria de fato bastante entediante acompanhar um campeonato onde a formula de disputa fosse 100% justa, pois em muitos casos ja se conheceria a priori o campeao. _________________________________________________________________________________1) Antes que este post desperte a ira de alguns leitores, ressalto que, apesar de nao ter sido conquistado de forma muito nobre, considero justo o titulo obtido pelo Flamengo no ano passado, principalmente pela invencibilidade obtida durante a competicao. 2) As probabilidades de titulo de cada equipe sao as seguintes:Equipe que joga a semifinal com A: 1/3 (vitoria sobre A) x1/2 (vitoria sobre a outra equipe) = 0,167Demais equipes: 1/2 x 1/3 (vitoria sobre outra equipe e vitoria sobre A na final) x 2/3 (chance de A ir para a final ) + 1/2 x 1/2 (vitoria sobre outra equipe na semifinal e final) x 1/3 (chance de A nao ir para a final ) = 0,167 = 19,44%3) Consideraram-se nestes calculos uma chance de 40% de empate e 30% de vitoria para cada time entre jogos envolvendo equipes B, C e D. Para os jogos da equipe A, as probabilidades de vitoria, empate e derrota de A foram de 1/2, 1/3 e 1/6, respectivamente (note que, dividindo-se a chance de empate igualmente entre as equipes, tem-se 2/3 de vantagem para A). Listei todas as 3n combinacoes de resultados para os n jogos, e calculei a probabilidade de cada combinacao como o produto das probabilidades de todos os resultados. A equipe campea em cada combinacao foi identificada pelo numero de pontos ganhos em todos os jogos. Em caso de empate entre 2 ou mais equipes, dividiu-se a probabilidade de titulo igualmente entre as equipes.4) Esta questao e discutida no otimo livro O Andar do Bebado como do acaso determina nossas vidas, de Leonard Mlodinow, lancado em portugues aqui no Brasil.
Ha duas semanas minha filha fez aniversario. No mesmo dia, comemoramos tambem a data de nascimento de duas pessoas da familia da minha mulher. Do meu circulo de amigos mais proximos, duas pessoas fazem aniversario dia 23 de outubro, e duas no dia 10 de abril, que, alias, foi a data em que meu sobrinho de 2 anos nasceu. Tenho certeza de que boa parte das pessoas pode citar coincidencias como essas em relacao a datas de aniversario de pessoas na familia, colegas de trabalho ou amigos mais proximos. A principio, se o ano tem 365 dias, seria razoavel esperar que fossem raras as coincidencias nas datas de aniversarios em grupos de, por exemplo, cerca de 50 pessoas. A resposta natural de um calculo preliminar que dividisse 365 por 50 seria menos de 1/7 de chance. Entretanto, essa e uma das curiosas situacoes em que a teoria da probabilidade revela valores que nao sao nada intuitivos.A analise que segue utiliza o mesmo conceito da diferenca entre uma repeticao especifica e uma repeticao qualquer, que introduzi no post de 03/05, A Mega em Cena, onde analiso a probabilidade de sairem numeros repetidos em concursos consecutivos da Mega-Sena. Nesta questao da coincidencia de aniversarios, e natural pensarmos na probabilidade de NOS fazermos aniversario no mesmo dia de alguem do grupo, quando na verdade o que se deve avaliar e a probabilidade de ALGUEM fazer aniversario no mesmo dia de OUTRO ALGUEM do grupo. Como veremos, a segunda probabilidade e muito maior do que a primeira.Pense no caso com apenas duas pessoas, A e B. A primeira pode fazer aniversario em qualquer dia, mas, para que haja coincidencia, a segunda teria que fazer aniversario necessariamente no mesmo dia da primeira. Ignorando daqui pra frente os anos bissextos (nada contra os que nascem nesse dia, mas e para facilitar os calculos), a probabilidade de ambas fazerem aniversario no mesmo dia sera de 1/365, ou pouco mais de 0,27%. Considero nesse calculo que nao ha nenhuma afinidade a priori entre essas pessoas quanto a data de nascimento, como por exemplo fazerem parte de um grupo de encontro de capricornianos, ou seus pais terem se conhecido na maternidade onde nasceram. Adicionando uma nova pessoa C ao grupo, temos tres possibilidades de coincidencias: A e B, A e C, e B e C. Ou seja, apesar de o numero de possibilidades em que a pessoa A faz aniversario no mesmo dia de outra pessoa ter apenas dobrado em relacao a situacao onde havia apenas duas pessoas, o numero de possibilidades de haver ALGUMA coincidencia triplicou. Com quatro pessoas, ha 6 coincidencias possiveis de duas pessoas fazendo aniversario no mesmo dia (que corresponde, em Analise Combinatoria, a combinacao de 4 dois a dois, C24), e com cinco pessoas esse numero e de 10 (ou C25 , a combinacao de 5 dois a dois). Ao adicionarmos sucessivamente uma pessoa por vez, esse numero de combinacoes segue crescendo.A tabela abaixo indica a probabilidade (Pr) de haver ALGUMA coincidencia de aniversario em um grupo de N pessoas, com N variando ate 50. Os
4 fazendo aniversario no mesmo dia e a outra em um dia diferente;- 3 fazendo aniversario no mesmo dia e os outros dois em dias diferentes;- 3 fazendo aniversario no mesmo dia e os outros dois em um mesmo dia, diferente do primeiro;- 2 fazendo aniversario no mesmo dia e os outros tres em dias diferentes;- 2 fazendo aniversario no mesmo dia, outros dois em um mesmo dia, diferente do primeiro, e o ultimo em um dia diferente.A expressao da probabilidade para cada caso e diferente, o que torna o calculo bastante tedioso, e praticamente inviavel quando N aumenta.Por outro lado, o calculo de nao haver nenhuma coincidencia e bastante simples. O primeiro pode fazer aniversario em qualquer dia (Pr=1), mas o segundo tem que fazer em um dia diferente do primeiro (Pr=364/365). O terceiro tem que fazer aniversario em um dia diferente dos outros dois (Pr=363/365), e assim por diante, ate chegar ao numero N. Multiplicando-se todas essas probabilidades (pois tem que acontecer uma coisa E outra), chega-se entao a seguinte expressao: Pr (nenhuma coincidencia ) = 1 (364/365) (363/365) (362/365) ... (365-(N-1))/365e assim a probabilidade de haver ALGUMA coincidencia em um grupo com N pessoas sera:1 - [(364 363 362 ... (364-N)) / (365)N-1]
rebaixado nas edicoes anterioresAnoEquipeNo pontos3995,0 %2010Vitoria-BA424254,3 %2009Coritiba454417,6 %2008Figueirense44457,2 %2007Corinthians44462,3 %2006Ponte Preta39Os percentuais estao coerentes, de forma geral, com os observados no historico do Campeonato Brasileiro. Por exemplo, nas cinco edicoes passadas se conquistaria a vaga na Libertadores com 64 pontos e haveria rebaixamento com 39 pontos, cujos percentuais de ocorrencia obtidos neste estudo foram de 92,7% e 95,0%, respectivamente. Em relacao as chances de titulo, o total de 76 pontos, que garantiria 96,4% de chances de levantar a taca, parece a principio nao ter sido suficiente nos anos de 2007 e 2006. Entretanto, Santos e Internacional, que ficaram em segundo lugar nestes anos, obtiveram 62 e 69 pontos, respectivamente. Portanto, o Sao Paulo tambem teria sido campeao em ambas as edicoes caso tivesse chegado apenas a 76 pontos.1) Considera-se que todos os numeros da Mega-Sena, assim como todas as faces de um dado, tem a mesma probabilidade de ocorrencia, ja que e razoavel supor que o mecanismo de sorteio e nao tendencioso. Discuto essas questoes no post Passado e Presente, publicado neste mes de setembro.2) A probabilidade de cada combinacao considerada, indicada na ultima coluna, e o produto das probabilidades para cada equipe nas colunas anteriores, ja que seus jogos sao independentes. Por sua vez, as probabilidades de cada equipe sao obtidas multiplicando-se as probabilidades dos resultados correspondentes em cada um de seus jogos, que tambem sao considerados independentes. 3) Por exemplo, o Vasco venceu 70% dos jogos em casa ate a 23a rodada, e o Sao Paulo venceu 70% dos jogos disputados fora de casa. No confronto entre as duas equipes que ocorrera em Sao Januario na 32a rodada, nao e possivel considerar ambas essas probabilidades, pois a soma ultrapassara 100%, mesmo sem considerar a chance de empate.4) Os valores sao um pouco diferentes dos mostrados no programa Redacao Sportv, pois, alem do Vasco, eliminou-se tambem o Santos da estatistica da Libertadores, que equivocadamente havia sido incluido nos resultados anteriores5) Probabilidades nulas ou muito pequenas foram desconsideradas em cada grafico6) http://www.ricaperrone.com.br/brasileirao-2011/class-planejada/7) Apenas a partir de 2006 o campeonato brasileiro da primeira divisao passou a ser disputado por 20 clubes.