"Elementos" de Euclides representam a introducao de um metodo consistente que contribui ha mais de vinte seculos para o progresso das ciencias. Trata-se do sistema axiomatico, que parte dos conceitos e proposicoes admitidos sem demonstracao (postulados o axiomas) para construir de maneira logica tudo o mais. Assim, tres conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o circulo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria chamada euclidiana, util ate hoje, apesar da existencia de geometrias nao-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditorios) dos de Euclides.O corpo como unidadeAs primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pe, passo, braca, cubito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotamia e no Egito comecaram a ser construidos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um unico homem (geralmente o rei) e com essas medidas construiram reguas de madeira e metal, ou cordas com nos, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.Angulos e figurasTanto entre os sumerios como entre os egipcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Tambem os edificios possuiam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construirem muitos angulos retos (de 90o). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens ja resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam a maneira de compassos: dois arcos de circunferencia se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os angulos retos.O problema mais comum para um construtor e tracar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior nao resolve este problema, em que o vertice do angulo reto ja esta determinado de antemao. Os antigos geometras, o solucionavam por meio de tres cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triangulo-retangulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitagoras explica porque: em todo triangulo-retangulo, a soma dos quadrados dos catetos e igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao angulo reto). E 32+42=52, isto e, 9+16=25.Qualquer trio de numeros inteiros ou nao que respeitem tal relacao definem triangulos-retangulos, que ja na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros.Para medir superficiesOs sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente comecaram a calcular a extensao dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superficie retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse numero tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a formula da area do retangulo: multiplicar a base pela altura.Ja para descobrir a area do triangulo, os antigos fiscais seguiram um raciocinio extremamente geometrico. Para acompanha-lo, basta tomar um quadrado ou um retangulo e dividi-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retangulo 12. Esses numeros