Galera que le esse blog (ou nao), Estamos felizes pela visita de todos voces ao blog, e por todo o aumento da nossa audiencia decidimos recompensar voces com mais postagens! Os dois administradores desse blog tem andado um tanto quanto ocupados com mestrado/graduacao, mas tentaremos acelerar o ritmo pra, talvez, uma postagem a cada 15 dias. Gostariamos de sugestoes de temas olimpicos/universitarios/de pos-graduacao para postarmos aqui. Vimos que houve certo interesse na serie de postagens sobre Analise Funcional, e vamos postar mais sobre o assunto em breve, mas pelo bem da diversidade, sugiram novas coisas! Os administradores gostam de ensinar e aprender junto, entao nao tenham medo. Um dos administradores esta terminando seu mestrado, e pretende fazer doutorado em Analise Harmonica. Entao, sugestoes relacionadas a Teoria Classica de Analise de Fourier sao mais do que bem-vindas. Por enquanto e so. Em breve traremos mais material novo. Abracos, A equipe do Blog. Hoje nosso objetivo e dar uma solucao pro seguinte problema: Se $H$ e um espaco de Hilbert complexo (veja aqui e aqui), $v_1,v_2$ sao dois elementos de norma igual em $H$, encontrar o menor valor possivel para $$ I = \inf_{f \in H}\{\|f\|; |\langle f,v_i\rangle| \ge 1, i=1,2\} $$Discutindo se e ou nao unica o $f$ que atinge tal minimo. Mais especificamente, provaremos o seguinte Teorema: Para o problema acima, temos que $$ I^2 = \frac{2}{\|v_1\|^2 + |\langle v_1,v_2 \rangle|} $$ Alem disso, podemos caracterizar os extremizantes como (i) se $\langle v_1,v_2 \rangle = 0$, entao temos como unicos extremizantes os elementos da familia $$ f = \left(\frac{2}{\|v_1\|^2 + |\langle v_1,v_2 \rangle|}\right)^{1/2} \frac{c_1v_1 + c_2v_2}{\|v_1+v_2\|} $$Onde $|c_1|=|c_2|=1$ sao complexos. (ii) se $\langle v_1,v_2 \rangle \ne 0 \Rightarrow \langle v_1,v_2 \rangle = e^{i\alpha}|\langle v_1,v_2 \rangle|$. Temos que os extremizantes satisfazem $$ f = \left(\frac{2}{\|v_1\|^2 + |\langle v_1,v_2\rangle|}\right)^{1/2} \frac{c(e^{-i\alpha}v_1+v_2)}{\|e^{-i\alpha}v_1 + v_2\|} $$ Onde $|c|=1$ e um parametro complexo. Prova: Vamos, primeiro, mostrar que podemos reduzir o problema ao subespaco fechado $M=\text{span}\{v_1,v_2\}$. De fato, isto segue de que a projecao $P_M$ satisfaz que $\|P_M g \| < \|g\|$ se $g \not\in M$. Assim, como $\langle P_M g, v_i \rangle = \langle g,v_i \rangle, \;i=1,2$, entao podemos nos reduzir a tal subespaco.Agora, notamos que podemos supor que $\|v_i\| =1$, pois, caso contrario, entao $I = \inf_{f \in H} \{\|f\|; |\langle f,v_i\rangle| \ge 1\} = \inf_{f \in H} \{\|f\|; |\langle \|v_i\|f, \frac{v_i}{\|v_i\|} \rangle| \ge 1\} = \frac{1}{\|v_i\|} \inf_{g \in H} \{\|g\|; |\langle g, \frac{v_i}{\|v_i\|} \rangle| \ge 1\}$Fazendo estas suposicoes, seja entao $f = av_1 + bv_2$ que satisfaz as hipoteses do conjunto onde estamos tirando o infimo. Em outras palavras, $$ |a + b \overline{\langle v_1,v_2 \rangle} |^2 \ge 1, |b + a \langle v_1,v_2 \rangle|^2 \ge 1 $$Isto e, a primeira expressao equivale a $$ |a|^2 + a\bar{b}\langle v_1,v_2\rangle+\bar{a}b \overline{\langle v_1,v_2 \rangle} + |b|^2 |\langle v_1,v_2 \rangle|^2 \ge 1$$Como, no entanto, $$ \|f\|^2 = \langle av_1 + bv_2 , av_1+bv_2 \rangle = |a|^2 + a\bar{b}\langle v_1,v_2 \rangle + b \overline{a \langle v_1,v_2 \rangle } + |b|^2 $$ Temos que $ \|f\|^2 \ge 1-|b|^2c_{1,2}^2+ |b|^2$ (onde abreviamos $c_{1,2} = |\langle v_1,v_2 \rangle|$). A mesma deducao vale