algebrica evoluiu ao longo de tres estagios: o retorico (ou verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviacoes de palavras) e o simbolico. No ultimo estagio, a notacao passou por varias modificacoes e mudancas, ate tornar-se razoavelmente estavel ao tempo de Isaac Newton. E interessante notar que, mesmo hoje, nao ha total uniformidade no uso de simbolos. Por exemplo, os americanos escrevem "3.1416" como aproximacao de Pi, e muitos europeus escrevem "3,1416". Em alguns paises europeus, o simbolo "" significa "menos". Como a algebra provavelmente se originou na Babilonia, parece apropriado ilustrar o estilo retorico com um exemplo daquela regiao. O problema seguinte mostra o relativo grau de sofisticacao da algebra babilonica. E um exemplo tipico de problemas encontrados em escrita cuneiforme, em tabuas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi. A explanacao, naturalmente, e feita em portugues; e usa-se a notacao decimal indo-arabica em vez da notacao sexagesimal cuneiforme. A coluna a direita fornece as passagens correspondentes em notacao moderna. Alguns seculos depois, outro grego, Diofanto, tambem usou a abordagem parametrica em seu trabalho com equacoes "diofantinas". Ele deu inicio ao simbolismo moderno introduzindo abreviacoes de palavras e evitando o estilo um tanto intrincado da algebra geometrica.Em terceiro lugar, os matematicos arabes (inclusive al-Khowarizmi) nao usavam o metodo empregado no problema acima; preferiam eliminar uma das incognitas por substituicao e expressar tudo em termos de palavras e numeros.Antes de deixar a algebra babilonica, notemos que eles eram capazes de resolver uma variedade surpreendente de equacoes, inclusive certos tipos especiais de cubicas e quarticas - todas com coeficientes numericos, naturalmente. A algebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Babilonia; mas faltavam a algebra egipcia os metodos sofisticados da algebra babilonica, bem como a variedade de equacoes resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - documentos egipcios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, mas refletem metodos matematicos de um periodo anterior. Para equacoes lineares, os egipcios usavam um metodo de resolucao consistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correcao final - um metodo ao qual os europeus posteriormente deram o nome umtanto abstruso de "regra da falsa posicao". A algebra do Egito, como a da Babilonia, era retorica. O sistema de numeracao egipcio, relativamente primitivo em comparacao com o dos babilonios, ajuda a explicar a falta de sofisticacao da algebra egipcia. Os matematicos europeus do seculo XVI tiveram de estender a nocao indo-arabica de numero antes de poderem avancar significativamente alem dos resultados babilonios de resolucao de equacoes. Nao ha duvida de que os pitagoricos conheciam bem a algebra babilonica e, de fato, seguiam os metodos-padrao babilonios de resolucao de equacoes. Euclides deixou registrados esses resultados pitagoricos. E de fato notavel que a maior parte dos problemas-padrao babilonicos tenham sido "refeitos" desse modo por Euclides. Mas por que? O que levou os gregos a darem a sua algebra esta formulacao desajeitada? A resposta e basica: eles tinham dificuldades conceituais com fracoes e numeros irracionais. Mesmo que os matematicos gregos fossem capazes de contornar as fracoes, tratando-as como razoes de