Iniciei meu final de semana lendo o artigo intitulado "$\mathbb{R}^3$ has no root" escrito por Robbert Fokkink e publicado em 2002 no periodico American Math. Monthly. Fokkink mostra que nao existe um espaco topologico $X$ tal que $\mathbb{R}^3$ seja homeomorfo a $X\times X$, isto e exatamente o que Fokkink entende por $\mathbb{R}^ 3$ nao possuir uma raiz. Como Fokkink observa no artigo, e possivel mostrar que $\mathbb{R}^3$ nao possui raiz utilizando a formula de Kunneth para grupos de homologia local de espacos euclidianos, contudo a ideia de Fokkink e trazer uma prova elementar daquele fato. A prova de Fokkink e elementar e se baseia somente na seguinte observacao MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); - Se $h\colon\mathbb{R}^ n\rightarrow\mathbb{R}^ n$ e um homeomorfismo, entao $h^ 2=h\circ h$ e um homeomorfismo que preserva orientacao.Resolvi fazer uma pergunta mais basica; - $\mathbb{R}$ possui raiz ?Utilizando somente Topologia Geral, cheguei a uma resposta negativa da pergunta acima. Entao, fica prometido que na proxima postagem trarei a minha demonstracao de que $\mathbb{R}$ nao possui raiz.Bom final de semana! Estou muito satisfeito com o resultado da organizacao do evento 10th Miniworkshop on Singularities, Geometry and Differential Equations. Esta edicao do Miniworkshop foi uma iniciativa do Grupo de Singualaridades da Pos-Graduacao em Matematica da UFC e do Grupo de Singularidades do ICMC-USP e foi realizada no periodo de 10 a 13 de maio de 2015 no Hotel Maredomus em Fortaleza-CE. Muita gente apareceu por la e prestigiou nosso trabalho! Vejam as fotos postadas na minha colecao do google+ Miniworkshop on Singularities 2015. Para mais informacoes sobre evento visite o nosso website MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); Por Rafael A. da Ponte MathJax.Hub.Config({tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}}); A convite do prof. Alexandre, estou aqui para continuar a serie de postagens sobre raizes. Agradeco o chamado, professor! Nesse post "contrariaremos" a resposta da pergunta que originou toda a discussao:"$\mathbb{R}$ possui raiz?" Na verdade, consideraremos agora o grupo aditivo dos reais, e nao mais a reta como espaco topologico (naturalmente, o conceito de raiz e o algebrico, ja apresentado pelo Bill em duas oportunidades). Vale lembrar que essa pergunta e a primeira da postagem anterior (aqui).Entao, vamos a solucao:Suponhamos primeiro que ($\mathbb{R}$,+) possui uma raiz ($X$, digamos). Consideraremo-la um subgrupo aditivo de $\mathbb{R}$, da maneira canonica. E simples de ver que $X$, com as operacoes usuais, e um subespaco de $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$ (dado qualquer natural $q$ e $x$ em $X$, existe $(a,b)$ em $X\times X$ tal que $q.(a,b) = (x,0)$, logo $b=0$, e assim $a \in X$ e tal que $a=x/q$, dai segue da estrutura de grupo que $X$ e fechado por produto por escalar). Disso segue que $X$ e raiz da reta na estrutura de espaco vetorial sobre $\mathbb{Q}$ (o que nos da mais um conceito de raiz, dessa vez no contexto de espacos vetoriais).Feito isso, note que se $B$ e base de Hamel de $X$, $B\times \{ 0 \} \cup \{ 0 \}\times B$ e base de $X\times X$ e suas imagens serao uma base de Hamel de $\mathbb{R}$. Dai, o problema de achar uma raiz de ($\mathbb{R}$,+) resume-se a, dada uma base