Ola Pessoal, estava meio sumido por dois motivos:1) Estava estudando Analise Funcional para realizar a prova de Selecao do Programa de Doutorado em Matematica da UFC, o tempo passa muito rapido, um dia desses estava aqui no blog divulgando minha aprovacao para ingressar no Mestrado, e agora nao e diferente, tanto esforco valeu a pena, passei na selecao e iniciarei o Doutorado em Matematica no segundo semestre desse ano, para a minha surpresa passei em primeiro lugar no meu semestre!2) Estou na reta final para concluir minha dissertacao, ultima etapa para obter o grau de Mestre em Matematica, talvez eu fale um pouco do que eu abordei na minha dissertacao em outra postagem.Agora retomando as atividades, essa sera a primeira de tres postagens no Teoremas de Ponto Fixo.Existem varios teoremas sobre ponto fixo, tentarei apresentar aos leitores alguns desses teoremas, alguns desses teoremas possuem uma prova um pouco mais avancada, mas tentarei ser bastante objetivo em relacao a isso, a nossa motivacao sera encontrar aplicacoes desses teoremas em problemas matematicos e no cotidiano.Mas o que e um ponto fixo? Um ponto fixo e um ponto que nao e alterado por uma aplicacao, assim, o ponto fixo depende da aplicacao escolhida. Por exemplo, a aplicacao $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$ possui dois pontos fixos, nesse caso $x=0$ e $x=1$. De fato,$$f(x)=x\Leftrightarrow x^2=x\Leftrightarrow x(x-1)=0\Leftrightarrow x=0\ \mbox{ou}\ x=1 $$E facil ver que na aplicacao identidade $Id(x)=x$ todos os pontos do dominio sao pontos fixos.O primeiro teorema sobre ponto fixo sera o caso real, ou seja, nosso espaco sera $\mathbb{R}$. Antes de enunciarmos o teorema, vejamos o significado geometrico do ponto fixo.Como observamos antes, a aplicacao identidade possui pontos fixos em toda reta, se considerarmos no mesmo grafico a aplicacao identidade e uma outra aplicacao de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$, obtemos a seguinte figura:Fonte: WikipediaAssim, os pontos fixos sao os pontos do grafico que pertencem a imagem da aplicacao identidade.Podemos pensar nos pontos fixos como um ponto de equilibrio em uma certa situacao, em Economia um Equilibrio de Nash de um jogo e um ponto onde nao ha perda e nem ganhos.Enunciamos assim o nosso primeiro teorema sobre pontos fixos.Teorema: Seja $f:[a,b]\to[a,b]$ uma funcao continua definida em $[a,b]\subset\mathbb{R}$, entao existe um ponto fixo em $[a,b]$, isto e, existe $x_0\in[a,b]$ tal que $f(x_0)=x_0$.Prova: Ora, se tivermos $f(a)=a$ ou $f(b)=b$ nao temos nada para provar. Suponha entao que $f(a)>a$ e $f(b)<b$.Defina a funcao $h:[a,b]\to[ab]$ por $h(x)=x-f(x)$, note que $h$ e continua pois e a soma de duas funcoes continuas. Observe tambem que $h(a)=a-f(a)<0$ e $h(b)=b-f(b)>0$, podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediario e concluir que existe um ponto $x_0\in[a,b]$ tal que $h(x_0)=0$. Mas isso implica que $x_0-f(x_0)=0$, ou seja, $f(x_0)=x_0$.$\Box$O Blog Fatos Matematicos tem uma postagem que aborda outras aplicacoes para o Teorema do ponto fixo em dimensao 1, basta clicar aqui. Veja uma aplicacao bem legal na pratica do teorema ponto fixo:Tome um elastico como o da imagem abaixo:Agora, usando somente dois dedos segure-o dessa forma:Estique-o o maximo que puder (cuidado para nao soltar um dos lados, acredite, VAI DOER!), se considerarmos a metade superior (acima dos dedos) podemos