Existe, se eu nao estou enganado, um mundo inteiro que e a totalidade das verdades matematicas, ao qual temos acesso somente em nossas mentes, assim como existe um mundo da realidade fisica, tanto um como o outro e independente de nos mesmos e sao ambos de criacao divina.(Charles Hermite)Um numero $x$ e chamado de "algebrico" quando ele e solucao de uma equacao da forma$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots a_2x^2+a_1x+a_0=0,$$onde os coeficientes $a_n$, $a_{n-1}$, ..., $a_2$, $a_1$ e $a_0$ sao todos racionais. Por exemplo, o numero $7$ e um numero algebrico, pois ele e uma das solucoes da equacao $x^2-9x+14=0$. Embora as demonstracoes nao sejam simples, e um fato conhecido que os numeros $\pi$ e $e$ nao sao algebricos.Um outro fato tambem conhecido, e que os numeros $\pi$ e $e$ nao sao racionais. Mas, o que dizer dos numeros $\pi+e$ e $\pi e$? Sera que algum deles e racional? Sera que sao ambos irracionais? Na verdade, ate o presente momento, este e um problema aberto da matematica. Isto significa que nenhum matematico, ate hoje, foi capaz de responder a esta pergunta. Entretanto, e possivel obter uma informacao bem curiosa sobre este assunto, a qual apresento a seguir para comemorarmos o DIA DO PI.Proposicao: os numeros $\pi+e$ e $\pi e$ nao sao ambos racionais.Prova: suponha que a proposicao seja falsa. Entao, a equacao$$x^2-(\pi+e)x+\pi e=0\tag{$*$}$$possui todos os coeficientes racionais. Seque-se que as suas solucoes sao numeros algebricos. ABSURDO! Logo a proposicao e verdadeira e, portanto, no maximo um dos numeros $\pi+e$ e $\pi e$ e racional.$\square$Pergunta para o leitor: porque dizer que "as raizes da equacao $(*)$ sao numeros algebricos" e um absurdo? O primeiro que responder nao ganhara nada. Pelo contrario, ganhara alguma coisa: os parabens!Note que a proposicao apresentada nao exclui a possibilidade de $\pi+e$ e $\pi e$ serem ambos irracionais (e nem garante que um deles seja racional).Observacoes:- A primeira prova de que $e$ nao e algebrico foi publicada em 1873 e e devida ao matematico frances Charles Hermite (retrato da direita);- A primeira prova de que $\pi$ nao e algebrico foi publicada em 1882 e e devida ao matematico alemao Carl Louis Ferdinand von Lindemann (retrato da esquerda);- Uma prova da irracionalidade de pode ser vista aqui no BLOG MANTHANO;- E possivel que a soma de dois numeros irracionais seja racional, pois os numeros $1+\sqrt{2}$ e $1-\sqrt{2}$ sao ambos irracionais, mas $$(1+\sqrt{2})+ (1-\sqrt{2})=2;$$- E possivel que o produto de dois numeros irracionais seja racional, pois $$(1+\sqrt{2})\times (1-\sqrt{2})=-1;$$- Nao e possivel que a soma de dois numeros racionais seja irracional, pois$$\frac{a}{b}+\frac{p}{q}=\frac{aq+bp}{bq};$$- Nao e possivel que a soma de um racional com um irracional seja racional. Com efeito, se isso fosse verdade, entao o item anterior seria falso;- Nao e possivel que o produto de dois numeros racionais seja irracional, pois$$\frac{a}{b}\times\frac{p}{q}=\frac{ap}{bq};$$- Nao e possivel que o produto de um racional com um irracional seja racional. De fato, se isso fosse verdade, entao o item anterior seria falso;Referencias: Wikipedia, WolframAlpha, Ask Dr. Math, e MacTutor.Erros podem ser relatados aqui. E ai dizem que ser professor e uma vocacao, como um sacerdocio.Que o professor e feliz por ser abnegado,