= 7\left(3x^4+1\right)^{6}~\frac{d}{dx} \left(3x^4+1\right)=7\left(3x^4+1\right)^6\cdot 12x^3\end{equation*}Exemplo $2$:Aplicar a regra da cadeia para derivar $y = (x+x^2-2x^5)^6$.Usando a formula $(15)$ e fazendo $u = x+x-2x^5$, obtemos:\begin{equation*}\frac{d}{dx}\left(~u~\right)^n = n\left(~u~\right)^{n-1}~\frac{du}{dx}\\\ \\\frac{dy}{dx} = 6\left(x+x^2-2x^5\right)^5 \cdot \frac{d}{dx}\left(x+x^2-2x^5\right)\\\ \\\frac{dy}{dx} = 6\left(x+x^2-2x^5\right)^5 \cdot \left(1+2x-10x^4\right)\end{equation*}Exemplo $3$:Aplicar a regra da cadeia para derivar $y=(12-x^2)^{-2}$.Usando a formula $(15)$ e fazendo $u = x+x-2x^5$, obtemos:\begin{equation*}\frac{d}{dx}\left(~u~\right)^n = n\left(~u~\right)^{n-1}~\frac{du}{dx}\\\ \\\frac{dy}{dx} = -2 \left(12-x^2\right)^{-3} \cdot \frac{d}{dx}\left(12-x^2\right)\\\ \\\frac{dy}{dx} = -2\left(12-x^2\right)^{-3} \cdot \left(-2x\right) = 4x \left(12-x^2\right)^{-3}\end{equation*}Exemplo $4$:Aplicar a regra da cadeia para derivar $y = \left[\left(3x^4+1\right)^7+1\right]^5$.Neste caso, precisamos aplicar a formula $(15)$ duas vezes:\begin{equation*}\frac{dy}{dx} = 5\left[\left(3x^4+1\right)^7+1\right]^4~\frac{d}{dx}\left[\left(3x^4+1\right)^7+1\right]\\\ \\= 5\left[\left(3x^4+1\right)^7+1\right]^4 \cdot 7\left(3x^4+1\right)^6~\frac{d}{dx}\left(3x^4+1\right)\\\ \\= 5\left[\left(3x^4+1\right)^7+1\right]^4 \cdot 7\left(3x^4+1\right)^6 \cdot 12x^3\end{equation*}Exemplo $5$:Aplicar a regra da cadeia para derivar $\displaystyle y = \left[\frac{(1-2x)}{(1+2x)} \right]^4$Neste caso, usamos a regra da cadeia e a regra do quociente: \begin{equation*}\frac{dy}{dx} = 4 \left[\frac{(1-2x)}{(1+2x)} \right]^3~\frac{d}{dx}\left(\frac{1-2x}{1+2x}\right)\\\ \\= 4\left(\frac{1-2x}{1+2x}\right)^3\cdot \frac{(-2)(1+2x)-(1-2x)(2)}{(1+2x)^2}\\\ \\= 4 \left(\frac{1-2x}{1+2x}\right)^3\cdot \frac{(-2-4x-2+4x)}{(1+2x)^2}\\\ \\= 4 \left(\frac{1-2x}{1+2x}\right)^3\cdot \frac{-4}{(1+2x)^2}\\\ \\= -16\frac{(1-2x)^3}{(1+2x)^5}\end{equation*}A regra da cadeia e realmente uma regra para a diferenciacao de uma funcao composta $f \circ g$. Seja $y=f(u)$ e $u=g(x)$, de modo que:\begin{equation}y = f(u) = f\left[g(x)\right] = \left(f \circ g\right)(x)\end{equation}Desta forma, assumindo que $g$ e diferenciavel em $x$ e $f$ e diferenciavel em $g(x)$, pela regra da cadeia:\begin{equation}\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = f^\prime (u) g^\prime (x) = f^\prime \left[g(x)\right] g^\prime (x)\end{equation}Se temos uma funcao composta $f \circ g$, tal que $(f \circ g)(x) = f\left[g(x)\right]$, chamamos $g$ de funcao interna e $f$ de funcao externa. Entao, podemos estabelecer a regra da cadeia como sendo: a derivada da composta de duas funcoes e a derivada da funcao externa tomada no valor da funcao interna, multiplicada pela derivada da funcao interna:\begin{equation}\left(f \circ g\right)^\prime (x) = f^\prime \left[g(x)\right] g^\prime (x)\end{equation}Exemplo $6$:Aplicar a regra da cadeia para derivar $y = \text{sen}\left(x^3\right)$Neste caso, a funcao externa e a funcao seno e a funcao interna e a funcao $g(x)=x^3$. Temos entao que:\begin{equation*}\frac{dy}{dx} = \cos \left(x^3\right)~3x^2 = 3x^2\cos\left(x^3\right)\end{equation*}Exemplo $7$:Aplicar a regra da cadeia para provar que se $f=\cos(x)$, entao $f^\prime = - \text{sen}(x)$.Comecamos escrevendo a funcao cosseno em termos de seno:\begin{equation*}\cos(x) = \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\end{equation*}Neste caso, a funcao externa e a funcao seno e a funcao interna e $\displaystyle g(x) = \frac{\pi}{2}-x$. A derivada da funcao cosseno e o seno e a derivada da funcao interna e $g^\prime(x) = -1$. Assim:\begin{equation*}\frac{dy}{dx} = \left[ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right](-1) = -\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\text{sen}(x)\end{equation*}Ate o momento consideramos apenas as tres variaveis $y$, $u$ e $x$. A regra da cadeia pode ser estendida a mais variaveis. Se adicionarmos uma nova variavel $z$, a formula dada em $(7)$ pode ser escrita como:\begin{equation}\frac{dy}{dz} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \frac{dx}{dz}\end{equation}onde $y$ depende de $u$, $u$ depende de $x$ e $x$ depende de $z$.Se adicionarmos uma nova variavel $w$, entao $z$ dependera de $w$:\begin{equation}\frac{dy}{dw} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \frac{dx}{dz} \frac{dz}{dw}\end{equation}e assim por diante. Isso mostra o quao poderosa e a regra da cadeia no calculo de derivadas de funcoes compostas.Referencias:[1] Calculo com geometria analitica V1 - Simmons[2] Calculo V1 - Munem-Foulis[3] A regra da cadeia no Wikipedia Veja mais:Leibniz e as diferenciaisOs mitos Leibnizianos a respeitos das curvas diferenciaisAplicacao de derivadas no estudo sobre a reflexao e refracao de um raio de luz