Uma funcao de onda de maneira em geral e dependente do tempo e espaco. Para uma onda estacionaria a funcao de onda e dada pelo produto do tempo e espaco. Admitindo que o mesmo aconteca com a funcao associada a uma particula microscopica dada por,F(x,y,z,t) = (x,y,z) cos(2..t)E = h. (equacao de Planck; = frequencia)F(x,y,z,t) = (x,y,z) cos(2.E.t/h)Porem, F(x,y,z,t) nao podera ser uma funcao propria de um sistema dado que a probabilidade de encontrar a particula num elemento de volume d centrado no ponto (x,y,z) sera dependente do tempoF*.F.d = *..cos2(2.E.t/h)o que e impossivel de acontecer, uma solucao de contorno para esse problema seria:G(x,y,z,t) = (x,y,z).sen(2.E.t/h)que multiplicada por i (numero imaginario, i = (-1)0,5 e subtraida a F(x,y,z,t) temos: (x,y,z,t) = F(x,y,z,t) - i.G(x,y,z,t)ou (x,y,z,t)=(x,y,z)(cos(2.E.t/h)- i.sen(2.E.t/h))pela teoria matematica das expansoes em serie, e-i= cos - i.sen(x,y,z,t)=(x,y,z).e(-i.2.E.t/h)Diferenciando em funcao de t, tempos:i.h/2 (x,y,z,t)/t = E(x,y,z,t) multiplicando ambos os lados por: e(-i.2.E.t/h) Dado que o operador hamiltoniano e independente do tempo em um sistema conservativo, ou seja, energia constante, temos:H(x,y,z,t) = E(x,y,z,t)H(x,y,z,t) = (ih/2) (x,y,z,t)Observacao:O numero complexo i foi inserido na funcao de onda , pois matematicamente temos: = a + ib*=a - ibna multiplicacao de .* temos:(a+ib)(a-ib) = a2 - abi +abi - i2b2 = a2 - i2b2, a e b sao escalares, parte real da funcao.Sabendo que i2 = -1, temos .* = a2 + b2 A probabilidade de encontrar um foton por unidade de volume em uma certa regiao do espaco em certo instante de tempo e proporcional ao numero de fotons por unidade de volume neste instante:(probabilidade/V) (N/V) O numero de fotons por unidade de volume e proporcional a intensidade da radiacao:(N/V) I Agora podemos relacionar com o modelo ondulatorio, em que a intensidade da radiacao eletromagnetica e proporcional ao quadrado da amplitude do campo eletrico da onda:I E2 Portanto, para radiacao eletromagnetica, a probabilidade por unidade de volume de encontrar uma particula associada com essa radiacao ou fotons e proporcional ao quadrado da amplitude da onda. De tudo que foi descrito anteriormente, nao se devera depreender que a materia e puramente radiacao eletromagnetica, ou seja, atraves da equacao de Schrodinger observamos que o mundo material, a escala atomica e molecular, pode ser descrito por uma funcao que tem o carater de onda. Schrodinger imaginou que a funcao de onda representava a particula que ela esta associada, mas tal interpretacao foi insustentavel.A funcao de onda apresenta apenas informacoes espaciais sobre a particula. Em geral, uma funcao de onda mais completa depende das posicoes de todas as particulas em um sistema dependente do tempo. Em 1926 estudando as funcoes de onda, Max Born propos que:|(x,y,z,t)|2 = *(x,y,z,t).(x,y,z,t)da funcao de onda ao quadrado representava a probabilidade de a particula ser encontrada num certo instante no elemento d centrado nas coordenadas (x,y,z). Entao, nao e a funcao de onda que tem diretamente um significado fisico, mas seu quadrado, pois que a amplitude de uma funcao de onda pode ser negativa ou positiva, uma probabilidade sendo representada por uma funcao quadratica so pode ser positiva ou nula. O significado dado por Born para a