Fim de ano e tempo de Amigo Oculto. Em familia, com os amigos e no trabalho, e quase impossivel escapar da tradicional troca de lembrancas natalinas. O calculo das probabilidades esta presente desde a etapa de sorteio dos papeis1, passando pelo momento de entrega dos presentes (quantas vezes alguem que ja recebeu presente foi sorteado, fechando o ciclo e obrigando uma pessoa a reiniciar o processo?) ate chegar ao resultado final da brincadeira, onde em geral se verifica a coincidencia de duas pessoas nao raro, marido e mulher ou mae e filha terem trocado presentes entre si, arrancando os tradicionais gritos de marmelada. Neste post analiso a probabilidade de ocorrencia de alguns destes fatos (denominados de eventos, no jargao estatistico) e mostro que, ao contrario do que parece, a probabilidade de haver troca direta de presentes entre duas pessoas nao e tao rara como pode parecer a principio. Apesar de exigir, em geral, um grande esforco de analise combinatoria, o calculo da probabilidade de ocorrencia de qualquer desses eventos parte de um conceito bastante simples, expresso na seguinte razao2: numero de combinacoes (sorteios) que levam a ocorrencia do eventoProbabilidade _________________________________________________________de um evento = numero total de combinacoes (sorteios) que podem ocorrerSupondo que sera realizado um amigo oculto entre N pessoas, o numero total de sorteios que podem ser realizados e N!, ja que a 1a pessoa pode tirar qualquer um dentre os N papeis, a 2a pessoa qualquer um dentre os N-1 papeis restantes, e assim por diante, chegando-se ao produto N*(N-1)*...*2.*1 = N! Chance de pelo menos uma pessoa se tirar, invalidando o sorteioDepois de retirados os N papeis, deseja-se saber a probabilidade de o sorteio se tornar invalido, ou seja, de pelo menos uma pessoa ter se tirado. Para tal, deve-se calcular o numero de combinacoes em que isso ocorre, o que e algo bastante complexo, pois envolve as situacoes em que exatamente uma pessoa se tira, exatamente duas pessoas se tiram, etc., ate o caso limite em que todas as N pessoas se tiram. Cada uma dessas possibilidades leva a uma expressao diferente de calculo.3 Computando-se todas elas, as probabilidades de ocorrer um sorteio invalido em funcao do numero N de pessoas participando do Amigo Oculto sao mostradas na tabela abaixo.Numero de pessoas no Amigo Oculto (N)345678910 em dianteChance do sorteio ser invalido (%)66,66762,50063,33363,19463,21463,21163,21263,2121...E importante ressaltar que, quanto mais pessoas houver na brincadeira, menor e a probabilidade de voce se tirar, mas cresce o numero de possiveis combinacoes de pessoas se tirando. Isto resulta no curioso resultado de que a probabilidade de ocorrer um sorteio invalido praticamente nao varia com o numero de pessoas participando do amigo oculto. Para valores de N maiores do que 10, essa probabilidade tende assintoticamente para um valor bastante elevado, em torno de 63,2121%, e esse e o motivo pelo qual muitas vezes sao necessarios diversos sorteios ate se obter uma combinacao valida.Chance de o ciclo se fechar durante a entrega dos presentesEscolhida a pessoa que ira iniciar o amigo oculto, a entrega de presentes evolui com a proxima pessoa sendo a que recebeu