As pessoas tem tres niveis de contato com a Matematica ou, temporalmente falando, elas aprendem matematica passando por tres estagios. O blog do Terence Tao as chama, de forma sem graca, de pre-formal, formal e pos-formal. O Elon Lages Lima, em um artiguinho legal*, chama de conceituacao, manipulacao e aplicacao. Eu os descreveria assim:1. Uso intuitivoExiste um nivel em que as ideias matematicas sao usadas sem muita preocupacao, de forma informal e ligada a conceitos bastante intuitivos. E o que acontece quando dividimos a conta de um restaurante ou jogamos algum jogo de estrategia (como xadrez). Essa fase e bastante trivial e sua demonstracao e deixada para o leitor.2. FormalismoO movimento do uso costuma trazer, algum tempo depois, o movimento da teorizacao. E assim que, ao longo da escola, um aluno vai sendo crescentemente apresentado a conceitos formais e a relacoes de necessidade logica, de forma que as nocoes intuitivas vao se tornando mais organizadas, inter-relacionadas e cheias de consequencias. Esse momento inclui a parte formal da Conceituacao (que, em boa parte, e motivada pelos conceitos intuitivos) e tambem a Manipulacao, o dominio operacional do formalismo.Na vida escolar, nenhuma materia representa melhor a formalizacao e a necessidade de manipulacao que a algebra. Para um estudante de matematica, ciencias naturais ou engenharia, o apice da formalizacao costuma acontecer nos cursos de Analise na Reta, que e quando, pela primeira vez nos cursos regulares, parte-se apenas de conceitos muito elementares (conjuntos e sequencias) e constroi-se, seguindo apenas passos dedutivos, um belo edificio (os numeros, as funcoes, as derivadas e integrais). E tambem onde ganham uma importancia muito clara as demonstracoes e a necessidade de cada conceito ter uma compreensao estritamente formal. Pode-se argumentar que esse e o modo, por excelencia, de organizacao da matematica. E bonito, elegante, e quase todo texto matematico e escrito dessa forma dedutiva.Quase todo mundo que passou pela escola enxerga, em algum grau, a a matematica como um corpo de conhecimento formal. Mas a maioria nao acha isso particularmente bonito. A principal razao para isso e, provavelmente, o foco excessivo, no ensino formal, na manipulacao (como denunciado pelo famoso Lamento de Lockhart). Basta lembrar dos inumeros exercicios com equacoes, polinomios e matrizes que aterrorizam estudantes de ensino medio, ou do vazio existencial dos calculos de integrais de funcoes absolutamente irrelevantes nos primeiros semestres da faculdade.A manipulacao e parte essencial do aprendizado de matematica, disciplina em que funciona exatamente como na musica ou nos esportes. Quando se aprende a tocar um instrumento musical, por exemplo, e necessario passar por inumeros exercicios repetitivos, solfejos, escalas e outros mais, ate que os passos elementares tenham se automatizado e, com isso, saiam do foco dos pensamentos, permitindo que novas ideias aparecam e que se possa concentrar no essencial. So muito depois dos torturantes exercicios iniciais e que voce pode comecar a treinar as musicas de suas bandas preferidas. Assim, por paradoxal que possa parecer, o treino repetitivo e exatamente o que se torna libertador.Ao contrario da musica, entretanto, o proximo estagio da matematica nao costuma aparecer nos horizontes das pessoas. Afinal, musica e muito