Equacoes Diferenciais Ordinarias de 1a OrdemForma diferencial$$y' = \dfrac{dy}{dx} = f(x, y) \\f(x, y)dx - dy = 0 \\\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{M(x, y)}{N(x, y)} \\M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$$Exemplo:$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x+y}{y^2} = \dfrac{\dfrac{1}{y^2}}{\dfrac{1}{x+y}}$$Forma a: (x+y)dx - y2dy = 0Forma b: $$(\dfrac{x+y}{y^2})dx - 1dy = 0; y \neq 0$$Forma c: $$1dx - \dfrac{y^2}{x+y} dy = 0; x+y \neq 0$$Classificacao das Equacoes Diferenciais Ordinarias de 1a ordemEquacao Diferencial Ordinaria Linear$$y' + a_0 (x)y = f(x) \\y' + p(x)y = q(x)$$Equacao Diferencial Ordinaria Homogeneay' = f(tx, ty) = f(x, y)Exemplo: considere: $$f(x, y) = \dfrac{x+y}{y} \\f(tx, ty) = \dfrac{tx + ty}{tx} = \dfrac{t(x + y)}{tx}$$Isso nos da: $$f(tx, ty) = f(x, y)$$No caso geral: se f(x, y) e homogenea de grau n, entao: $$f(tx, ty) = t^n f(x, y)$$Se n = 0, entao f(tx, ty) = f(x, y)Equacao Diferencial Ordinaria SeparavelM(x)dx + N(y)dy = 0Equacao Diferencial Ordinaria ExataM(x, y)dx + N(x, y)dy = 0A equacao diferencial ordinaria acima e exata quando e valida a relacao:$$\dfrac{\partial}{\partial y} M(x, y) = \dfrac{\partial}{\partial x} N(x, y)$$Exemplo: resolva a equacao diferencial ordinaria A:$$A = x^2 dx + xe^y dy = 0$$a) Verifique se a EDO e separavel.Resolucao: dividindo cada termo por x:$$\dfrac{x^2}{x} dx + \dfrac{x e^y}{x} dy = \dfrac{0}{x} \\xdx + e^y dy = 0 \\\int x dx + \int e^y dy = \int 0 \\\dfrac{x^2}{2} + C_1 + e^y + C_2 = C_3 \\\dfrac{x^2}{2} + e^y = C_3 - C_1 - C_2$$Como os tres termos sao constantes, podemos concatena-los em uma unica constante:$$e^y = C - \dfrac{x^2}{2} \\y(x) = \ln{|C - \dfrac{x^2}{2}|}$$Exemplo com equacao diferencial ordinaria homogenea:$$y' = f(tx, ty) = f(x, y), n = 0 (f(tx, ty) = t^n f(x, y))$$Considere: $$z = \dfrac{2y^4 + x^4}{xy^3}$$Identificando z = f(x, y).$$z(tx, ty) = \dfrac{2(ty)^4 + (tx)^4}{(tx)(ty)^3} = \dfrac{t^4 2y^4 + t^4 x^4}{tx * t^3 y^3} = z(x, y)$$Mudanca de VariavelConsidere y' = f(x, y), onde f(x, y) = f(tx, ty).Fazendo a seguinte mudanca de variavel:$$v = \dfrac{y}{x} \\y = vx$$Temos a funcao:$$y = vx \\\dfrac{dy}{dx} = v \dfrac{dx}{dx} + x \dfrac{dv}{dx} = v + x \dfrac{dv}{dx} \\x \dfrac{dv}{dx} + v = f(v) \\x \dfrac{dv}{dx} = f(v) - v$$O que e uma equacao separavel.$$\int \dfrac{dv}{f(v) - v} = \int \dfrac{dx}{x} \\\int \dfrac{dv}{f(v) - v} = \int \dfrac{1}{x} dx + C$$Observacao: a variavel v = y/x para o caso em que:$$y'(x, y) = f(x, x \dfrac{y}{x}) = f(1, v)$$Ja para:$$y'(x, y) = f(y \dfrac{x}{y}, y) \\v = \dfrac{x}{y}, f(v, 1)$$Exemplo: considere a equacao diferencial homogenea:$$y' = \dfrac{x+y}{y}$$a) Determine a funcao y(x):Resolucao: definido v = y/x:$$y = vx \\y' = v + xv'$$Substituimos y' pelo valor dado inicialmente ali:$$\dfrac{x+y}{y} = v + xv'$$Podemos trocar y por vx, pela igualdade estabelecida logo abaixo da definicao de v:$$\dfrac{x + vx}{x} = v + xv'$$Colocando x em evidencia:$$\dfrac{x (1+v)}{x} = v + xv' \\(1+v) = v+xv' \\1 + v - v = x \dfrac{dv}{dx} \\1 = x \dfrac{dv}{dx} \\\dfrac{dx}{x} = dv \\\int \dfrac{1}{x} dx = dv \\\ln{|x|} + C = v \\\dfrac{y}{x} = \ln{|x|} + C \\y(x) = x(\ln{|x|} + C)$$Tentei explicar um pouquinho melhor essa ultima porque muita gente ainda pareceu empacadissimo