E fato conhecido de qualquer curso de calculo que de $F(x)$ e $G(x)$ sao primitivas de uma funcao $$f(x)$$ entao F e G diferem por uma constante, ou seja,$F(x)=G(x)+C$ onde $C\in R$Entretanto, e muito comum que pensemos estas duas funcoes identicas e diferindo por uma constante como por exemplo $F(x)=x^2+5$ e $G(x)=x^2+10$. Nosso interesse aqui e mostrar exemplos de funcoes cuja primitiva pode ser escrita em termos de funcoes "aparentemente" diferentes. Se quiser ver o restante desse artigo, clique em "Mais informacoes " a seguir.Uma funcao que permite contemplar esse tipo de primitivas aparentemente diferentes e a $$f(x)=\cot(x)$$. Podemos escrever$\int \csc (x)\,dx=-\ln|\csc(x)+\cot(x)|+C$$\int \csc (x)\,dx=\ln|\csc(x)-\cot(x)|+C$Embora semelhantes, ha uma diferenca no sinal. Para obter esses resultados basta fazer os seguinte:$$\int \csc(x)\,dx=\int \csc(x)\cdot \frac{\csc(x)+cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)} \,dx$$$$=\int \frac{\csc^2(x)+\csc(x)\cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)}\,dx$$Agora, fazendo a mudanca de variavel $$u=\csc(x)+\cot(x)$$ teremos $$du=-\csc(x).\cot(x)-\csc^2(x)dx=-[\csc(x).\cot(x)+\csc^2(x)]dx$$Dai, $$\int \csc(x)\,dx=\int \frac{\csc^2(x)+\csc(x)\cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)}\,dx=\int \frac{-du}{u}=-\ln |u|+C$$ e concluimos que $$\int \csc(x)\,dx=-\ln |\csc(x)+\cot(x)|+C$$Agora, faremos de outra forma. Observe:$$\int \csc(x)\,dx=\int \csc(x).\frac{\csc(x)-\cot(x)}{\csc(x)-\cot(x)}\,dx$$ $$=\int \frac{\csc^2(x)-\csc(x).\cot(x)}{\csc(x)-\cot(x)}\,dx$$Considere a mudanca de variavel $$u=\csc(x)-\cot(x)$$. Entao teremos $$du=[-\csc(x).\cot(x)+\csc^2(x)]dx=[\csc^2(x)-\csc(x).\cot(x)]dx$$Entao,$$\int\csc(x)\,dx=\int \frac{\csc^2(x)-\csc(x).\cot(x)}{\csc(x)-\cot(x)}\,dx=\int \frac{1}{u}du=\ln|u|+C$$ e concluimos que $$\int \csc(x)\,dx=\ln |\csc(x)-\cot(x)|+C$$ Se desenhar o grafico das duas funcoes encontrara algo como mostramos na figura seguinte. Ha um grafico de cor azul e outro de cor vermelha. Note que estao sobrepostos. Trata-se apenas de uma ilustracao. A demonstracao deixaremos para outro momento. Outra situacao interessante Considere agora o problema de encontrar a primitiva da funcao $f(x)=\frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}$. Uma das formas de resolver a integral e da seguinte forma: $$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{\frac{1}{\sqrt{e^{2x}}}}{\frac{\sqrt{e^{2x}-1}}{\sqrt{e^{2x}}}}\, dx$$ $$=\int \frac{\frac{1}{(e^{2x})^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{\frac{e^{2x}-1}{e^2x}}}\,dx=\int \frac{\frac{1}{e^{x}}}{\sqrt{1-\frac{1}{e^{2x}}}}\,dx$$ $$=\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-e^{-2x}}}\,dx=\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-(e^{-x})^2}}\,dx$$ Agora, fazendo $u=e^{-x}$ encontraremos $du=-e^{-x}dx$ e assim,$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-(e^{-x})^2}}\,dx=\int \frac{-du}{\sqrt{1-u^2}}=-\arcsin(u)+C$$Desse modo, $$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=-\arcsin(e^{-x})+C$$Outra resolucaoAgora, vamos pensar em uma outra solucao. Consideramos o mesmo problema: calcular a integral$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx$$Facamos agora a mudanca de variavel $e^{2x}-1=w^2,\,\,w>0$, ou seja, $x>0$. Dai, $d(e^{2x}-1)=d(w^2)$ ou seja, $2.e^{2x}dx=2w.dw$. Como $e^{2x}=1+w^2$ entao$$2.e^{2x}dx=2w.dw\Rightarrow 2.(1+w^2).dx=2w.dw\Rightarrow dx=\frac{2w.dw}{2(1+w^2)}dw$$ou seja,$$dx=\frac{w}{1+w^2}dw$$Dai, $$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{1}{\sqrt{w^2}}\cdot \frac{w}{1+w^2}\,dw=\int \frac{1}{\color{red}w}\cdot \frac{{\color{red}w}}{1+w^2}\,dw$$$$\int \frac{1}{1+w^2}\,dw=\arctan(w)+C$$Como $e^{2x}-1=w^2,\,\,w>0$ entao $w=\sqrt{e^{2x}-1}$ e assim,$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{1}{1+w^2}\,dw=\arctan(w)+C$$$$=\arctan(\sqrt{e^{2x}-1})+C$$Entao, concluimos que: $\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=-\arcsin(e^{-x})+C$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\arctan(\sqrt{e^{2x}-1})+C$ Aparentemente sao diferentes, nao? Se dois alunos resolvem o problema de calcular a primitiva de $\frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}$ e encontram $-\arcsin(e^{-x})$ e $\arctan(\sqrt{e^{2x}-1})$ o primeiro pensamento que deve vir a mente e que um deles errou ou ambos erraram o calculo. Entretanto, os dois acertaram. A teoria diz que estas funcoes devem diferir uma da outra apenas por uma constante. Entao, e se de esperar que o grafico de uma seja igual ao grafico de outra com algum deslocamento vertical. E e o que de fato se ve quando desenhamos o grafico das duas funcoes. Observe na figura seguinte.A ilustracao sugere que $G(x)-F(x)=C$ onde $C\in R$. Isso e fato conhecido na literatura e nao iremos demonstrar aqui ja que o objetivo foi construir uma ilustracao que mostrasse que estas funcoes podem ser aparentemente diferentes e mesmo assim diferirem por uma constate.Esta discussao teve inicio na turma B de Calculo 2 da Engenharia Civil do UniCEUB. Na ocasiao faziamos exercicios de revisao. Obrigado a todos que participaram (ate de forma indireta) da construcao desta ilustracao.Um grande abracoLuis Claudio LA MathJax.Hub.Config({ extensions: ["tex2jax.js"], jax: ["input/TeX", "output/HTML-CSS"], tex2jax: { inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"] ], displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ], processEscapes: