portanto, invertivel.Fato 2: Para cada $\lambda>0$, o operador $(\lambda-A)^{-1}$ e limitado e satisfaz \eqref{8} com $\omega=0$.De fato, tome $\lambda>0$ e $f\in L^2(0,\ell)$. Seja $u\in D(A)$ tal que $(\lambda-A)u=f$. Multiplicando esta ultima igualdade por $u$ e integrando sobre $[0,\ell]$, segue que$$\int_0^\ell uf=\lambda\int_0^\ell u^2-\int_0^\ell uu_{xx}=\lambda\|u\|_{L^2}^2+\|u_x\|_{L^2}^2$$Portanto, pela desigualdade de Holder,$$\lambda \|u\|_{L^2}^2\leq\lambda \|u\|_{L^2}^2+\|u_x\|_{L^2}^2=\int_0^\ell uf\leq\|u\|_{L^2}\|f\|_{L^2}.$$Assim,$$\|(\lambda-A)^{-1} f\|_{L^2}=\|u\|_{L^2}\leq\frac{1}{\lambda}\|f\|_{L^2}.$$Isto mostra que $(\lambda-A)^{-1}$ e limitado com $\|(\lambda-A)^{-1}\|_{\mathcal{L}}\leq\frac{1}{\lambda}$.Em vista do Fato 2, o Teorema de Hille-Yosida (atraves da Observacao 4.3) implica que $A$ e o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente continuo de contracoes $\{T(t)\}_{t\geq 0}$. Isto conclui a prova, pois definindo $U(t)=T(t)u_0$ obtemos (via Teorema 3.4) uma funcao $U:[0,\infty)\to D(A)$ na classe $C^1([0,\infty); L^2(0,\ell))$ satisfazendo $U_t(t)=AT(t)U_0=A U(t)$ e $U(0)=u_0$. $\square$Nota. A solucao $U$ de $(\text{P}_2)$ dada pelo Teorema 4.4 e unica e pertence ao espaco $C([0,\infty); D(A))$. Porem, a intencao desta secao foi apenas ilustrar uma aplicacao do Teorema 4.1 e, portanto, nao abordaremos questoes sobre unicidade e regularidade.4.2 Forma geral do Teorema de Hille-YosidaA seguir, apresentaremos a demonstracao do seguinte resultado:Teorema 4.5 (Teorema de Feller-Miyadera-Phillips). Seja $A:D(A)\subseteq X\to X$ um operador linear. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:(a) $A$ e o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente continuo $\{T(t)\}_{t\geq0}$ do tipo $(M,\omega)$.(b) $A$ e fechado, $D(A)$ e denso em $X$, $(\omega,\infty)\subseteq\rho(A)$ e\begin{equation}\label{FM8}\|(\lambda-A)^{-n}\|_{\mathcal{L}}\leq\frac{M}{(\lambda-\omega)^n},\quad\forall\ \lambda>\omega, \; n\in\mathbb{N}.\notag\end{equation}Para isso, precisaremos do seguinte lema:Lema 4.6. Seja $A:D(A)\subseteq X\to X$ um operador linear. Suponha que $(0,\infty)\subseteq\rho(A)$ e$$\|(\lambda-A)^{-n}\|_{\mathcal{L}}\leq\frac{M}{\lambda^n},\quad\forall\ \lambda>0, \; n\in\mathbb{N}.$$Entao, existe uma norma $\|\cdot\|_0$ em $X$ tal que\begin{equation}\label{condnorma}\|x\|_X\leq \|x\|_0\leq M\|x\|_X,\quad \|(\lambda-A)^{-1}x\|_0\leq\frac{1}{\lambda}\|x\|_0\quad\forall\ x\in X,\;\lambda>0.\end{equation}Demonstracao do Lema: Para cada $\mu>0$, defina $\|\cdot\|_\mu:X\to\mathbb{R}_+$ colocando $$\|x\|_\mu=\sup_{n\in\mathbb{N}}\|\mu^n(\mu-A)^{-n}x\|_X.$$Entao, pela hipotese,\begin{equation}\label{FMP01}\|y\|_X=\|\mu^0(\mu-A)^{-0}y\|_X\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\|\mu^n(\mu-A)^{-n}y\|_X=\|y\|_\mu\leq M\|y\|_X,\quad\forall\ y\in X.\end{equation}Sejam $x\in X$ e $\lambda,\mu>0$. Entao, pela 1a equacao do resolvente,$$(\lambda-A)^{-1}=(\mu-A)^{-1}+(\lambda-\mu)(\lambda-A)^{-1}(\mu-A)^{-1}\\=(\mu-A)^{-1}+(\lambda-\mu)(\mu-A)^{-1}(\lambda-A)^{-1}$$e, portanto,$$\begin{aligned}\|(\lambda-A)^{-1}x\|_\mu&\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\|\mu^n(\mu-A)^{-n}(\mu-A)^{-1}x\|\\&\quad+\sup_{n\in\mathbb{N}}\|\mu^n(\mu-A)^{-n}(\lambda-\mu)(\mu-A)^{-1}(\lambda-A)^{-1}x\|_X\\&\leq\frac{1}{\mu}\|x\|_\mu+\frac{|\lambda-\mu|}{\mu}\|(\lambda-A)^{-1}x\|_\mu.\end{aligned}$$Assim, se $\lambda\in(0,\mu]$,$$\|(\lambda-A)^{-1}x\|_\mu=\frac{\mu}{\lambda}\left(\|(\lambda-A)^{-1}x\|_\mu-\frac{|\lambda-\mu|}{\mu}\|(\lambda-A)^{-1}x\|_\mu\right)\leq \frac{\mu}{\lambda}\frac{1}{\mu}\|x\|_\mu=\frac{1}{\lambda}\|x\|_\mu$$donde\begin{equation}\label{FMP02}\|\lambda^n(\lambda-A)^{-n}x\|_\mu\leq\lambda^n\|(\lambda-A)^{-1}\|^n_{\mathcal{L}}\|x\|_\mu\leq\lambda^n\frac{1}{\lambda^n}\|x\|_\mu=\|x\|_\mu,\quad\forall\ \lambda\in(0,\mu],\;n\in\mathbb{N}.\end{equation}De \eqref{FMP01} e \eqref{FMP02} segue que$$\|\lambda^n(\lambda-A)^{-n}x\|_X\leq \|\lambda^n(\lambda-A)^{-n}x\|_\mu\leq \|x\|_\mu\leq M\|x\|_X,\quad\forall\ \lambda\in(0,\mu],\;n\in\mathbb{N}.$$Tomando o supremo com respeito a $n\in\mathbb{N}$, segue que $\|x\|_\lambda\leq\|x\|_\mu\leq M\|x\|_X$ para todo $\lambda\in(0,\mu]$. Isto mostra que a funcao $(0,\infty)\ni\mu\mapsto\|x\|_\mu\in\mathbb{R}_+$ e crescente e limitada superiormente. Logo, podemos definir $\displaystyle \|x\|_0=\lim_{\mu\to\infty}\|x\|_\mu$. Tomando o limite em \eqref{FMP01} e em \eqref{FMP02} com $\mu\to\infty$, segue que $\|\cdot\|_0$ possui as propriedades desejadas. $\square$Demonstracao do Teorema de Feller-Miyadera-Phillip: Caso I: $\omega= 0$. A ideia sera munir $X$ com uma norma equivalente $\|\cdot\|_0$ de modo que um semigrupo do tipo $(M,0)$ sobre $X$ seja um semigrupo do tipo $(1,0)$ sobre $(X,\|\cdot\|_0)$ (e vice-versa). Assim, sera possivel aplicar o Teorema de Hille-Yosida.Prova de $(a)\Rightarrow(b)$. Considere a norma $\|\cdot\|_0$ definida em $X$ por $\|x\|_0=\displaystyle\sup_{t\geq 0}\|T(t)x\|_X$. Note que$$\|x\|_0\leq \sup_{t\geq 0}\|T(t)\|_{\mathcal{L}}\|x\|_X\leq M\|x\|_X=M\|T(0)x\|_X\leq M\sup_{t\geq 0}\|T(t)x\|_X=M\|x\|_0,\quad\forall\ x\in X$$e, portanto, $\|\cdot\|_0$ e $\|\cdot\|_X$ sao equivalentes. Consequentemente, $T(t)\in \mathcal{L}(X_0)$ para todo $t\geq 0$, onde $X_0=(X,\|\cdot\|_0)$. A equivalencia entre as normas implica ainda que $\{T(t)\}_{t\geq 0}$ e um semigrupo fortemente continuo sobre $X_0$ cujo gerador infinitesimal e o operador $A_0:D(A_0):= (D(A),\|\cdot\|_0)\to X_0$ dado por $A_0x=Ax$. Porem, sobre $X_0$, o semigrupo $\{T(t)\}_{t\geq 0}$ e do tipo $(1,0)$, pois$$\|T(t)x\|_0=\sup_{s\geq 0}\|T(s)T(t)x\|_X=\sup_{s\geq 0}\|T(s+t)x\|_X=\sup_{s\geq t}\|T(s)x\|_X\leq\|x\|_0$$para quaisquer $x\in X_0$ e $t\geq 0$. Assim, pelo Teorema de Hille-Yosida, $A_0$ e fechado, $D(A_0)$ e denso em $X_0$, $(0,\omega)\subset \rho(A_0)$ e$$\|(\lambda-A_0)^{-1}\|_{\mathcal{L}(X_0)}\leq \frac{1}{\lambda},\quad\forall\ \lambda>0$$donde$$\|(\lambda-A_0)^{-n}x\|_{0}\leq \|(\lambda-A_0)^{-1}\|_{\mathcal{L}(X_0)}^n\|x\|_{0}\leq \frac{1}{\lambda^n}\|x\|_{0},\quad\forall\ \lambda>0,\;n\in\mathbb{N}.$$Logo, pela equivalencia entre as normas, $A$ e fechado, $D(A)$ e denso em $X$, $(0,\omega)\subset \rho(A)$ e$$\|(\lambda-A)^{-n}x\|_X\leq \|(\lambda-A)^{-n}x\|_{0}\leq \frac{1}{\lambda^n}\|x\|_{0}\leq \frac{M}{\lambda^n}\|x\|_X,\quad\forall\ \lambda>0,\;n\in\mathbb{N},$$donde$$\|(\lambda-A)^{-n}\|_{\mathcal{L}(X)}\leq \frac{M}{\lambda^n},\quad\forall\ \lambda>0,\;n\in\mathbb{N}.$$Prova de $(b)\Rightarrow(a)$. Pelo Lema 4.6, podemos definir em $X$ uma norma $\|\cdot\|_0$ satisfazendo