Nesta postagem apresentamos, de forma detalhada, a demonstracao do Teorema de Aubin-Lions. O material e proveniente de um seminario apresentado pelo autor em disciplina de doutorado na UFRJ.1 IntroducaoO metodo de compacidade, quando utilizado no contexto das EDPs nao lineares, inclui as seguintes etapas:Provar que, para cada $n\in\mathbb{N}$, um certo problema aproximado do problema original possui uma solucao $v_n$;Provar que $(v_n)$ possui uma subsequencia que converge forte para uma funcao $v$;Passar o limite no problema aproximado provando, assim, que $v$ e solucao do problema original.Nas situacoes mais comuns, fazendo estimativas de energia do problema aproximado, conclui-se que $(v_n)$ e limitada num certo espaco $L^{a}(0,T;A)$,$(v_n')$ e limitada num certo espaco $L^{b}(0,T;B)$.Entao, surge a seguinte pergunta:Quando e que estas limitacoes de $(v_n)$ e $(v_n')$ implicam a existencia de uma subsequencia fortemente convergente?O Teorema de Aubin-Lions fornece uma resposta, a qual permite resolver uma grande variedade de problemas.Observacao 1.1. Para equacoes lineares, como por exemplo $u_{tt}-\Delta u=f$ (Capitulo 7 em [5]), e possivel que as etapas acima funcionem com convergencia fraca no lugar de convergencia forte, ou seja, a existencia de um limite fraco para uma subsequencia ja e suficiente para assegurar a existencia de uma solucao para o problema original. Entretanto, para equacoes com termos nao lineares, como por exemplo $u_{tt}-\Delta u+|u|^\rho u=f$ (Capitulo 1 em [3]), a convergencia forte e fundamental.2 O enunciadoA seguir, apresentamos o enunciado "classico" do Teorema de Aubin-Lions, que pode ser encontrado em [8, 9, 11, 13].Teorema 2.1 (Aubin-Lions). Sejam $A$, $B$ e $X$ espacos de Banach tais que $A\subset X\subset B$. Suponha que$A$ e $B$ sao reflexivos;a inclusao $A\subset X$ e compacta;a inclusao $X\subset B$ e continua.Entao, para quaisquer $1<a,b<\infty$, a inclusao$$W:= \big\{v\;|\;v\in L^{a}(0,T;A),\; v'\in L^{b}(0,T;B)\big\}\subset L^{a}(0,T;X)\tag{2.1}$$ e compacta.Observacao 2.2. O espaco $W$ munido com a norma$$\|v\|_W=\|v\|_{L^{a}(0,T;A)}+\|v'\|_{L^{b}(0,T;B)}$$e um espaco de Banach (a prova segue da completeza dos espacos de Bochner-Lebesgue (Teorema 23.19 em [7]) combinada com o Teorema 3.5 da secao seguinte). E com respeito a esta norma que a inclusao (2.1) e compacta.Observacao 2.3. Uma situacao frequente em que se utiliza o Teorema de Aubin-Lions e quando cada um dos espacos $A$, $B$ e $X$ e um dos espacos $W^{m,p}(\Omega)$, $W^{m,p}_0(\Omega)$ ou $L^p(\Omega)$ para alguma escolha apropriada de $m$, $p$ e $N=\dim\mathbb{R}^N\supset \Omega$. Por exemplo, se$(v_n)$ e limitada em $L^\infty(0,T;H^1_0(\Omega))$,$(v_n')$ e limitada em $L^\infty(0,T;L^2(\Omega))$,entao $(v_n)$ possui uma subsequencia, que sera representada da mesma forma, tal que$(v_n)$ converge forte em $L^2(0,T;L^2(\Omega))$.Note que, neste exemplo, estamos tomando $a=b=2$, $A=H_0^1(\Omega)$ e $B=X=L^2(\Omega)$, utilizando as imersoes entre os espacos de Bochner-Lebesgue (Proposicao 23.2(h) em [12]), utilizando a reflexividade dos espacos de Lebesgue e dos espacos de Sobolev (teoremas 13.17 em [7] e 3.6 em [1]) e aplicando o Teorema de Rellich-Kondrachov (Teorema 6.3 em [1]).Observacao 2.4. Se retirarmos a hipotese de $A$ e $B$ serem reflexivos, a conclusao do Teorema de Aubin-Lions permanece valida (ver Teorema II.5.16 em [2]). Alem disso, $B$ pode ser substituido por qualquer espaco de Hausdorff localmente convexo (ver Lema 7.7 em [10]).Observacao 2.5. O Teorema de Aubin-Lions tambem possue versoes para o caso mais geral em que $1\leq a,b\leq \infty$ (ver Teorema II.5.16 em [2]). Em