thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
{2}}{\cos{2}} - 2c_2 \sin{2} + 2c_1 \cos{2} + 2c_2 \sin{2} = -2 \dfrac{\sin{2}}{\cos{2}} + 1$$Vamos deixar c1 de um lado e c2 do outro pra ficar mais facil de compreender o que vai acontecer. E aproveitar e trocar sen2/cos2 por tangente de 2 do outro lado:$$(-2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} + 2c_1 \cos{2}) + (2c_2 \sin{2} - 2c_2 \sin{2}) = (-2 \tan{2} + 1)$$Veja bem: podemos cortar os c2, restando so c1 de variavel:$$2c_1 \cos{2} - 2c_1 \dfrac{\sin^2 {2}}{\cos{2}} = -2 \tan{2} + 1$$Isolando 2c1:$$2c_1 (\cos{2} - \tan{2} \sin{2}) = 1 - 2 \tan{2} \\ 2c_1 = \dfrac{(1 - 2 \tan{2})}{(\cos{2} - \tan{2} \sin{2})} \\ c_1 = \dfrac{(1 - 2 \tan{2})}{2(\cos{2} - \tan{2} \sin{2})}$$Jogando isso na nossa maravilhosa calculadora:$$c_1 \approx \dfrac{0.930}{1.996} = 0.47$$Substituindo c1 = 0.47 na primeira equacao do sistema linear, temos:$$0.47 \sin{2} + c_2 \cos{2} = 1 \\ c_2 \cos{2} = 1 - 0.47 \sin{2} \\ c_2 = \dfrac{1 - 0.47 \sin{2}}{\cos{2}} = 0.98$$Portanto para exemplo b) onde a EDO possui as tais condicoes iniciais, encontramos c1 = 0.47 e c2 = 0.98.Resolvido isso, tem o slide com a apresentacao das formas de equacoes diferenciais. Aqui estao os exercicios resolvidos:Passagem para a forma padrao: (y' = f(x, y))a) $$xy' - y^2 = 0 \\ xy' = y^2 \\ y' = \dfrac{y^2}{x}$$b) $$e^x y' - e^{2x} y = \sin{x} \\ e^x y' = \sin{x} + e^{2x} y \\ y' = \dfrac{\sin{x} + e^{2x} y}{e^x} = \dfrac{\sin{x}}{e^x} + e^x y$$c) $$(y - y')^5 = \sin{(\dfrac{y'}{x})}$$Nao creio que haja maneira de colocar isso na forma padrao, inclusive o professor tambem nao. Se alguem conseguir, seria interessantissimo mostrar. O dilema aqui e o seguinte: dentro do seno tem um y', e dentro do polinomio tambem. Pra retirar o y' do seno tem que fazer arco seno dos dois lados, dai pra voce tirar o y' do polinomio depois voce tera de fazer seno dos dois lados, e volta a situacao inicial. E paradoxal, nao tem como fazer, entao deixa ele assim de boa.Passagem para a forma diferencial: (f(x, y)dx - f(x, y)dy = 0)a) $$y(yy' - 1) = x \\ y^2 y' - y = x \\ y^2 \dfrac{dy}{dx} = x + y \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x + y}{y^2} \\ y^2 dy = (x+y)dx \\ y^2 dy - (x+y)dx = 0$$b) $$y' = \dfrac{y}{x} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} \\ xdy = ydx \\ xdy - ydx = 0$$Identificar as equacoes lineares: (y' + a(x)y = f(x); y'' + a1(x)y' + a2(x)y = f(x); e por ai vai)a) $$y' = (\sin{x})y + e^x \\ y' - (\sin{x})y = e^x$$Perceba, y' correto, a(x) = -sen(x) e o y ali, e f(x) = e^x. Perfeito, e linear.b) $$y' = y^2 + x$$Pelo y2 voce ja percebe que nao e linear.c) $$y' + xy^5 = 0$$Mesmo motivo da b, so que com y elevado a quinta.d) $$xy' + y = \sqrt{y}$$Perceba que temos f(y) do outro lado, e y e a funcao incognita. Pra ser linear, teria de ser f(x), ja que x e a variavel independente. Nao e linear.e) $$y' + xy = e^x y$$Do outro lado temos f(x,
y), nao f(x). Nao e linear.f) $$y' + \dfrac{x}{y} = 0$$y esta elevado a -1, nao a 1, entao nao e linear.Sendo assim, a letra A e linear.Essa aula aqui vai ajudar demais voces na lista 2, ja que ela e praticamente so isso. No mais, boa noite a todos.
nela, mas nao sei se fiz um bom trabalho. E tudo muito pre-estabelecido, 1000x mais facil entender numa resolucao de exercicio de fato, que provavelmente sera a proxima lista.De qualquer forma, boa noite a todos.
Decimal para Binario (No fracionario)Peguemos o numero 35,625 na base 10. Vamos converte-lo para binario.1o Passo: separamos as partes inteiras das fracionarias:35 + 0,625A parte inteira e bem facil. Como o numero e menor que 256, ao inves de fazer divisao, e mais facil usar aquele metodo que o professor passou de ordenar decrescentemente as potencias de 2:32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1E intuitivo, deve ter um metodo matematico pra descobrir o que usar, mas honestamente... Nao e necessario. E so pensar um pouquinho. Queremos chegar ao 35, entao 32+2+1 resolve.Logo:32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 11 - 0 - 0 - 0 - 1 - 1Logo:$$35_{10} = 100011_2$$Para a fracionada, temos a seguinte metodologia: ao inves de sair dividindo como feito na aula passada, vamos multiplicando por 2, pegando o algarismo depois da virgula e removendo ele pra colocar no binario. E repetindo ate chegar no tanto de casas apos a virgula exigidas. Ao contrario do binario inteiro, o fracionario segue ordem normal.Explicando fica meio complicado mesmo, entao vamos fazer na pratica que da pra entender bem:$$0.625 \times 2 = 1.250$$Pegamos esse 1 depois da virgula, deixamos 0,250 e multiplicamos ele por 2 de novo.$$0.250 \times 2 = 0.5$$Pegamos o 0, repetimos o processo:$$0.5 \times 2 = 1$$Pegamos o 1 e terminamos o numero. Esse caso e bom porque e perfeito: o numero tem um fim simples. Muitos deles serao gigantescos e o exercicio exigira um minimo de casas, entao nao se preocupe tanto com isso. E o resultado final?$$0.625_{10} = 0.101_2$$Logo:$$35.625_{10} = 100011.101_2$$Exercicios:1. Converter para decimal.a) 11010101011Binario pra decimal e deveras simples, esta na outra aula o metodo. So sair somando:$$1*2^0 + 1*2^1 + 0*2^2 + 1*2^3 + 0*2^4 + 1*2^5 + \\ 0*2^6 + 1*2^7 + 0*2^8 + 1*2^9 + 1*2^{10}$$$$1 + 2 + 0 + 8 + 0 + 32 + 0 + 128 + 0 + 512 + 1024 \\1707_{10}$$b) 1,01010101Mesma coisa, so que com valores mais feios:$$(1 * 2^0) + (0 * 2^{-1} + 1 * 2^{-2} + 0 * 2^{-3} + 1 * 2^{-4} + \\ 0 * 2^{-5} + 1 * 2^{-6} + 0 * 2^{-7} + 1 * 2^{-8}$$$$(1) + (0 + 0.25 + 0 + 0.0625 + 0 + 0.015625 + 0 + 0.00390625) \\1 + (0.33203125) \\1.33203125_{10}$$c) 11011,1101Agora juntando o util ao agradavel:$$(1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0) + (1 * 2^{-1} + 1 * 2^{-2} + 0 * 2^{-3} + 1 * 2^{-4}) \\(16 + 8 + 0 + 2 + 1) + (0.5 + 0.25 + 0 + 0.0625) \\27 + 0.8125 \\27.8125_{10}$$2. Converter para binario com 5 digitos.a) 234,435Primeiro, a parte antes da virgula (234):128 - 64 - 32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1128+64 = 192192+32 = 224224+16 = 240, entao pulamos pro proximo.224+8 = 232Sabemos que e somando 2 que temos 234, obvio, entao:128 - 64 - 32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 11 - 1
- 1 - 0 - 1 - 0 - 1 - 0234 = 11101010 em decimalPra parte depois da virgula, 435:0,435 x 2 = (0),870,870 x 2 = (1),740,740 x 2 = (1),480,480 x 2 = (0),960,960 x 2 = (1),92E ta bom, ne, pediu 5 casas decimais depois da virgula.Ou seja:$$0.435 = 0.01101_2 \\234.435 = 11101010.01101_2$$b) 12,234Parte depois da virgula:8 - 4 - 2 - 11 - 1 - 0 - 0(acho que e muito "de cabeca" que 12 = 8 + 4)Pro 0,234:0,234 x 2 = (0),4740,474 x 2 = (0),9480,948 x 2 = (1),8960,896 x 2 = (1),7920,792 x 2 = (1),584Logo:$$0.234 = 0.00111_2 \\12.234 = 1100.00111_2$$c) 43,956Parte depois da virgula:32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 132 + 16 = 48, passa.32 + 8 = 4040 + 4 = 44, passa.40 + 2 = 4242 + 1 = 43Logo:32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 11 - 0 - 1 - 0 - 1 - 1Assim, 43 = 101011.Agora, pro que vem depois da virgula:0,956 x 2 = (1),9120,912 x 2 = (1),8240,824 x 2 = (1),6480,648 x 2 = (1),2960,296 x 2 = (0),592E 0,956 fica em 5 casas decimais ate 0,11110. E:$$43.956 = 101011.11110_2$$Operacoes com binarioAdicao de dois termos: escreva em binario o no 2.$$2 + 2 = 4 \\4_{10} = 10_2 + 10_2 \\10_2 + 10_2 = 100_2$$A regra e a seguinte:0 + 0 = 01 + 1 = 101 + 0 = 10 + 1 = 1Veja a seguinte conta (com o sinal do outro lado por conveniencia):1101101 +1001101Vamos fazer a operacao normalmente de tras pra frente, passo a passo, como se fazia no primario. Lembrando que 1+1 = 10. Entao fica 0 e sobe 1.Primeira casa: 1+1 = 10. Fica 0, sobe 1.Segunda casa: 0+0+1 = 1. Fica 1.Terceira casa: 1+1 = 10. Fica 0, sobe 1.Quarta casa: 1+1+1 = 11. Fica 1, sobe 1.Quinta casa: 0+0+1 = 1. Fica 1.Sexta casa: 1+0 = 1. Fica 1.Setima casa: 1+1 = 10. Como e a ultima casa, fica 10.Pega tudo o que esta na frente do "fica", obviamente na ordem inversa (da setima pra primeira):(10)(1)(1)(1)(0)(1)(0)Logo, o resultado e: 10111010.Se tiver qualquer dificuldade nisso, o mais recomendado e pegar algum livro de calculo numerico ou eletronica digital e sair queimando todos os exercicios ate entender perfeitamente o que esta acontecendo. So da trabalho, mas e facinho.Tambem sei que a estrutura do post ficou meio estranha, nao sei ao certo qual seria a melhor pra trabalhar aqui. Se ficou muito pouco claro pra quem ta estudando, sou aberto a sugestoes de modelos diferentes.Gratissimo, boa noite.
1. Converta o sinal digital abaixo (binario) para decimal:a) 10000001Se e um sinal digital de 8 bits e esta iniciando com 1, temos que e um numero negativo. Entao vamos converte-lo pra positivo pra fazer a operacao primeiro, fazendo o oposto que fazemos de positivo pra negativo: complemento de um, depois subtrai 1 (soma -1) ja que na outra conversao se somava 1.Complemento de 11000000101111110Soma (-1)Primeiro, vale a pena lembrar quem e -1:1 = 00000001(Compl. de 1) + 1: (11111110) + 1 = 11111111Logo, a operacao final fica:01111110 +111111110+1 = 11+1 = 10, fica 0 e vai 11+1+1 = 11, fica 1 e vai 1E isso se repete ate a ultima casa, aonde fica 1+1 = 10, fica 0 e vai 1, que some porque sai da ultima casa do sinal digital.Sendo assim, temos que esse binario fica: 01111101Convertendo pra decimal:$$-n = 1 * 2^0 + 0 * 2^1 + 1 * 2^2 + 1 * 2^3 + 1 * 2^4 + 1 * 2^5 + 1 * 2^6 + 0 * 2^7 \\1 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 125_{10} \\n = -125_{10}$$Mas ai uma regra muito doida que eu nao entendi se surgiu de algum lugar ou e apenas magia negra diz que voce acrescenta -2 ao resultado final, sendo assim, o numero e na verdade -127 em decimal. Simplesmente isso.b) 10010011Mesma coisa:Complemento de 11001001101101100Soma (-1)01101100 +111111110+1 = 10+1 = 11+1 = 10, fica 0 e vai 11+1+1 = 11, fica 1 e vai 11+1 = 10, fica 0 e vai 11+1+1 = 11, fica 1 e vai 11+1+1 = 11, fica 1 e vai 11+1 = 10, fica 0 e vai 1, que e desconsiderado porque explode os 8 bitsResultado em binario: 01101011Pra decimal:$$-n = 1*2^0 + 1*2^1 + 0*2^2 + 1*2^3 + 0*2^4 + 1*2^5 + 1*2^6 + 0*2^7 = \\1 + 2 + 8 + 32 + 64 = 107 \\n = -107_{10}$$Menos 2, -109 decimal.c) 11111111Complemento de 11111111100000000Soma (-1)00000000 +11111111= 11111111Eu por algum motivo tenho anotado na aula +255 aqui, mas preciso de uma luz nesse. A logica passada e a seguinte: vai dar -255, menos 2 vai estourar e ir pra +256 e depois +255, mas nao lembro se sinal digital vai de -255 a +256 ou de -127 a +128, entao para todos os efeitos fiquem com a resposta da aula e perguntemos ao professor depois.Sistema OctalSistema de 8 digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.Converter octal para decimal:$$123.3_8 = 1 * 8^2 + 2 * 8^1 + 3 * 8^0 + 3 * 8^{-1} \\123.3_8 = 83.375_{10}$$Converter decimal em octal:223223/8 = 27, resto 7.27/8 = 3, resto 3.3/8 = 0, resto 3.O numero entao vai dar 0337, ou simplesmente 337 em octal.495,25Parte normal495/8 = 61, resto 7.61/8 = 7, resto 5.7/8 = 0, resto 7.Ou seja, 757.Parte fracionaria: voce vai fazer mais ou menos como no binario, multiplicar por 8 o tanto de casas que for preciso e ir pegando o ultimo numero. Sobrando 0,00, chega-se a ultima casa.0,25 x 8 = 2,00Pega o 2,
deixa o resto, fica 0,00. Entao o resultado final e:757,2Converter binario em octalEsse e o mais simples, veja bem:1011011001Voce vai fragmentar o binario de 3 em 3, contando a partir do primeiro, e vai formar algarismos de 0 a 7 com eles. Simples assim. Veja esse exemplo:1.011.011.0011.3.3.1, logo 1331 em octal. (lembrando que o primeiro, isolado, voce pode considerar dois zero a esquerda se quiser)1001110111,100101010Antes da virgula, da direita pra esquerda: 1.001.110.111<1.1.6.7Depois da virgula, da esquerda pra direita: 100.101.0104.5.2Logo, 1167,452 em octal.Converter octal em binarioFaca o oposto: pegue cada algarismo do octal e trunque em binarios. Veja esse exemplo:523 em octal5 = 1012 = 0103 = 011Logo, 101010011. Vale a pena lembrar que a nao ser que va sobrar zero a esquerda ou a direita no algarismo final (ou seja, ultimo algarismo inteiro a esquerda, e fracionario a direita), voce obrigatoriamente tem que conservar o 0 do binario.Exercicios1. Converta de decimal para octal com 4 digitos na parte fracionaria:a) 102,4Parte inteira:102/8 = 12, sobra 6.12/8 = 1, sobra 4.1/8 = 0, sobra 1.Logo, 146.Parte fracionaria:0,4 x 8 = 3,20,2 x 8 = 1,60,6 x 8 = 4,80,8 x 8 = 6,4Logo, 0,3146.No total, fica: 146,3146 em octal.b) 1004,5Parte inteira:1004/8 = 125, sobra 4.125/8 = 15, sobra 5.15/8 = 1, sobra 7.1/8 = 0, sobra 1.Logo, 1754.Parte fracionaria:0,5 x 8 = 4,0Logo, 0,4.No total: 1754,4 em octal.c) 723,45Parte inteira:723/8 = 90, sobra 3.90/8 = 11, sobra 2.11/8 = 1, sobra 3.1/8 = 0, sobra 1.Logo, 1323.Parte fracionaria:0,45 x 8 = 3,60,6 x 8 = 4,80,8 x 8 = 6,40,4 x 8 = 3,2Logo, 0,3463.No total: 1323,3463.2. Converta de octal para decimal:a) 732,1So fazer a conta tradicional:$$7 * 8^2 + 3 * 8^1 + 2 * 8^0 + \dfrac{1}{8} = 448 + 24 + 2 + 0.125 = 474.125_{10}$$b) 423,6$$4 * 8^2 + 2 * 8^1 + 3 * 8^0 + \dfrac{6}{8} = 256 + 16 + 3 + 0.75 = 275.75_{10}$$c) 1004,123$$1 * 8^3 + 0 * 8^2 + 0 * 8^1 + 4 * 8^0 + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8^2} + \dfrac{1}{8^3} \\512 + 4 + 0.125 + 0.03125 + 0.005859375 = 516.162109375_{10}$$3. Converta de binario para octal:a) 11100111011.100.1113.4.7Logo, 347.b) 1100111001.100.1111.4.7Logo, 147.c) 1111011001.111.0111.7.3Logo, 173.d) 10,000010001Parte inteira: 010. Logo, 2.Parte fracionaria:000.010.0010.2.1Logo, 0,021.Sendo assim, o total e 2,021.Ja vou postando a outra aula e a de equacoes diferenciais, nao confirmo de algoritmo e estrutura de dados ainda porque acho melhor o professor passar o algoritmo dele e tal pra nao confundir ninguem. Alias, estou realmente cogitando postar estrutura de dados porque e uma materia muito mais complexa que programacao comum, mas ainda envolve muito codigo e acho codigo extremamente pessoal, dai nao sei uma maneira de passar um "codigo didatico" pra voces que estao interessados.Discutam ai, se alguem souber essa maneira e quiser passar aqui no blog tambem, sem problema.No mais, bom dia a todos.
1. Escreva as equacoes diferenciais na forma padrao. (dy/dx = f(x, y))a) xy' + y2 = 0$$xy' = -y^2 \\ y' = \dfrac{-y^2}{x} \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-y^2}{x}$$b) $$e^x y' - x = y'$$Esse exercicio pegou muita gente, mas ele e bem facil. Veja so, passe y' do lado direito dividindo tudo do lado esquerdo:$$e^x - \dfrac{x}{y'} = 1$$Agora tem so um y', so resolver:$$- \dfrac{x}{y'} = 1 - e^x \\-x = y'(1 - e^x) \\y' = \dfrac{-x}{(1 - e^x)} \\\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{(e^x - 1)}$$c) $$\dfrac{(x+y)}{(x-y)} dx - dy = 0$$Parece confuso, mas e so juntar dy e dx, de modo que dy fique em cima e dx fique embaixo. Veja so:$$\dfrac{(x+y)}{(x-y)} dx = dy \\\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(x+y)}{(x-y)}$$d) (x-y)dx + y2dy = 0$$(x-y)dx = -y^2 dy \\(x-y) = -y^2 \dfrac{dy}{dx} \\\dfrac{(x-y)}{-y^2} = \dfrac{dy}{dx} \\\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{(x-y)}{y^2} \\\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(y-x)}{y^2}$$e) $$(e^{2x} - y)dx + e^x dy = 0 \\e^x dy = (y - e^{2x})dx \\e^x \dfrac{dy}{dx} = (y - e^{2x}) \\\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(y - e^{2x})}{e^x} \\\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{e^x} - e^x$$2. Escreva as equacoes diferenciais na forma diferencial. (f(x, y)dx - f(x, y)dy = 0)a) y' = xy$$\dfrac{dy}{dx} = xy \\dy = (xy)dx \\(xy)dx - dy = 0$$b) y' = xy + 1$$\dfrac{dy}{dx} = xy + 1 \\dy = (xy + 1)dx \\(xy+1)dx - dy = 0$$c) $$y' = \dfrac{x^2}{y^2} \\\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{y^2} \\y^2 \dfrac{dy}{dx} = x^2 \\y^2 dy = x^2 dx \\x^2 dx - y^2 dy = 0$$d) $$y' = \dfrac{-2y}{x} \\\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-2y}{x} \\x \dfrac{dy}{dx} = -2y \\x dy = -2y dx \\-2y dx - x dy = 0$$e) $$y' = \dfrac{xy^2}{x^2 y + y^3} \\\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{xy^2}{x^2 y + y^3} \\(x^2 y + y^3)dy = (xy^2)dx \\(xy^2)dx - (x^2 y + y^3)dy = 0$$f) y' = x3y + xy3$$\dfrac{dy}{dx} = x^3 y + xy^3 \\dy = (x^3 y + xy^3)dx \\(x^3 y + xy^3)dx - dy = 0$$E esta resolvida a lista pra quem quiser estudar. Esqueci de postar logo apos a entrega, mas de qualquer forma, ai esta. 1. Resolva as equacoes diferenciais dadas ou os problemas de valor inicial.Bem, a maior parte estava integrando tudo do mesmo lado, mas uma coisa que eu gosto particularmente de fazer e isolar x e y um em cada canto ANTES dessa integracao, porque ai rola menos trabalho. Costuma mudar apenas na hora do C, mas eu costumo ter um jeito de "igualar" ao do professor, entao nao se preocupem porque o resultado bate. Veja so:a) xdx + ydy = 0$$ydy = -xdx \\\int y dy = - \int x dx \\\dfrac{1}{2} y^2 = - \dfrac{1}{2} x^2 + C \\y^2 = -x^2 + 2C \\y = \pm \sqrt{2C - x^2} \\K = 2C \\y = \pm \sqrt{K - x^2}$$b) xdx - y3dy = 0$$y^3 dy = xdx \\\int y^3 dy = \int xdx \\\dfrac{1}{4} y^4 = \dfrac{1}{2} x^2 + C \\y^4 = 2x^2 + 4C \\y = \pm \sqrt{4C + 2x^2} \\K = 4C \\y = \pm \sqrt{K + 2x^2}$$$$c) dx + \dfrac{1}{y^4} dy = 0 \\\dfrac{1}{y^4} dy = -dx \\y^{-4} dy = -dx \\\int y^{-4} dy = - \int dx \\- \dfrac{1}{3}
y^{-3} = -x + C \\\dfrac{1}{3} y^{-3} = x - C \\y^{-3} = 3x - 3C \\\dfrac{1}{y^3} = 3x - 3C \\y^3 = \dfrac{1}{3x - 3C} \\y = \dfrac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3x - 3C}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{3x - 3C}} \\K = -3C \\y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{K + 3x}}$$$$d) (t + 1)dt - \dfrac{1}{y^2} dy = 0 \\\dfrac{1}{y^2} dy = (t + 1)dt \\y^{-2} dy = (t + 1)dt \\\int y^{-2} dy = \int (t + 1)dt \\-y^{-1} = \dfrac{1}{2} t^2 + t + C \\- \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2} t^2 + t + C \\\dfrac{1}{y} = - \dfrac{1}{2} t^2 - t - C = - (\dfrac{1}{2} t^2 + t + C) \\y = -(\dfrac{1}{2} t^2 + t + C)^{-1}$$$$e) \dfrac{4}{t} dt - \dfrac{y - 3}{y} dy = 0 \\\dfrac{y - 3}{y} dy = 4 (\dfrac{1}{t}) dt \\1dy - 3 (\dfrac{1}{y}) dy = 4 (\dfrac{1}{t}) \\\int dy - 3 \int \dfrac{1}{y} dy = 4 \int \dfrac{1}{t} \\y - 3 \ln{|y|} = 4 \ln{|t|} + C \\\ln{|y^3|} + \ln{|t^4|} = y - C \\\ln{|y^3 * t^4|} = y - C \\y^3 t^4 = e^{y - C} = e^y * e^{-C} \\K = e^{-C} \\y^3 t^4 = Ke^y$$$$f) y' = \dfrac{xe^x}{2y} \\\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{xe^x}{2y} \\2y dy = xe^x dx \\\int 2y dy = \int xe^x dx \\2 \dfrac{1}{2} y^2 = xe^x - \int e^x * 1 dx [1] \\y^2 = xe^x - (e^x + C) = xe^x - e^x - C \\y = \pm \sqrt{xe^x - e^x - C}$$[1] integral por partes: u = x, dv = e elevado a x$$g) y' = \dfrac{y}{x^2} \\\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x^2} \\\dfrac{1}{y} dy = \dfrac{1}{x^2} dx \\\int \dfrac{1}{y} dy = \int x^{-2} dx \\\ln{|y|} = - x^{-1} + C = - \dfrac{1}{x} + C \\y = e^{1/x + C} = e^{1/x} + e^C \\K = e^C \\y = Ke^{1/x}$$h) senx dx + y dy = 0; y(0) = -2Ok, probleminha de valor inicial. Muda pouca coisa. Primeiro resolvamos:$$y dy = - \sin{x} dx \\\int y dy = - \int \sin{x} dx \\\dfrac{1}{2} y^2 = - (- \cos{x}) + C = \cos{x} + C \\y^2 = 2 \cos{x} + 2C \\y = \pm \sqrt{2C + 2 \cos{x}} \\K = 2C \\y(0) = -2 \\y = \pm \sqrt{K + 2 \cos{0}} = -2 \\y = \pm \sqrt{K + 2} = -2 \\y^2 = K + 2 = (-2)^2 = 4 \\K + 2 = 4 \\K = 4 - 2 = 2 \\y = - \sqrt{2 + 2 \cos{x}}$$$$i) xe^{x^2} dx + (y^5 - 1)dy = 0; y(0) = 0 \\(y^5 - 1)dy = -xe^{x^2} dx \\\int (y^5 - 1)dy = - \int xe^{x^2} dx \\\dfrac{1}{6} y^6 - y = - \int xe^u \dfrac{du}{2x} = - \dfrac{1}{2} \int e^u du = - \dfrac{1}{2} e^u = - \dfrac{1}{2} e^{x^2} + C \\\dfrac{1}{2} e^{x^2} + \dfrac{1}{6} y^6 - y = C \\y(0) = 0 \\\dfrac{1}{2} e^0 + \dfrac{1}{6} * 0 - 0 = C \\C = \dfrac{1}{2} \\\dfrac{1}{2} e^{x^2} + \dfrac{1}{6} y^6 - y = \dfrac{1}{2}$$$$j) (1 + x^2)dx + \dfrac{1}{y} dy = 0; y(-1) = 1 \\\dfrac{1}{y} dy = -(1 + x^2)dx \\\int \dfrac{1}{y} dy = - \int
(1 + x^2)dx \\\ln{|y|} = - (x + x^3 /3 + C) \\y = e^{-(x + x^3 /3 + C)} \\y(-1) = 1 \\y = e^{-(-1 + (-1)^3 /3 + C)} = 1 \\e^{-(-1 - 1/3 + C)} = 1 \\e^{-(- 4/3 + C)} = 1 \\e^{4/3 - C} = 1 \\\dfrac{4}{3} - C = \ln{1} = 0 \\C = \dfrac{4}{3} \\y = e^{-(x + x^3 /3 + 4/3)} = e^{- (x^3 + 3x + 4)/3}$$2. Determine se a equacao diferencial apresentada e homogenea. Se for, resolva-a.$$a) y' = \dfrac{y - x}{x}$$O esquema aqui e o seguinte: vamos lembrar daquele metodo f(x, y) = f(tx, ty) pra ver se a equacao e homogenea. O que acontece e que vamos trocar aonde tem x por tx, e aonde tem y por ty, e tera de ser a mesma coisa. Veja:$$y' = \dfrac{ty - tx}{tx} = \dfrac{t(y - x)}{tx} = \dfrac{y - x}{x}$$Os resultados batem, logo ela e homogenea. Sendo homogenea, resolveremos do metodo que o professor passou na aula, e com a pratica entenderemos bem ele: usaremos um V, tal que V = y/x. E por definicao, y' = V + xV'. Ok, otimo, nao deu pra entender nada? Vejamos na pratica:$$v = \dfrac{y}{x} \\y = vx [1] \\y' = v + xv' \\y' = \dfrac{y - x}{x} \\v + xv' = \dfrac{y - x}{x}$$Lembremos de [1]:$$v + xv' = \dfrac{vx - x}{x} = v - 1 \\x \dfrac{dv}{dx} = v - 1 - v = -1 \\\dfrac{dv}{dx} = - \dfrac{1}{x} \\dv = - \dfrac{1}{x} dx \\\int dv = - \int \dfrac{1}{x} dx \\v = - \ln{|x|} + C$$Jogando isso na [1]:$$y = (-\ln{|x|} + C)x = x(C - \ln{|x|}) \\\ln{|K|} = C \\y = x(\ln{|K|} - \ln{|x|}) = x (\ln{|K/x|}$$Honestamente, eu acho essa ultima parte mais que desnecessaria: eu acho que ela atrapalha. Mas so pra chegar na resposta do livro, ta ai.E sim, equacao diferencial homogenea e bem mais chato mesmo. Essa e a mais facil, inclusive.$$b) y' = \dfrac{2y + x}{x}$$Pra descobrir se e homogenea:$$y' = \dfrac{2(ty) + tx}{tx} = \dfrac{t(2y + x)}{tx} = \dfrac{2y + x}{x}$$Logo, e homogenea. Logo, bora usar o v = y/x.$$y = vx \\y' = v + xv' \\y' = \dfrac{2y + x}{x} \\v + xv' = \dfrac{2y + x}{x} = \dfrac{2vx + x}{x} = 2v + 1 \\x \dfrac{dv}{dx} = 2v + 1 - v = v + 1 \\\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{v + 1}{x} \\\dfrac{1}{v + 1} dv = \dfrac{1}{x} dx \\\int \dfrac{1}{v + 1} dv = \int \dfrac{1}{x} dx \\\ln{|v + 1|} = \ln{|x|} + C \\C = \ln{|K|} \\\ln{|v + 1|} = \ln{|x|} + \ln{|K|} = \ln{|Kx|} \\v + 1 = Kx \\v = Kx - 1 \\y = x(Kx - 1)$$$$c) y' = \dfrac{2y^2 + x^2}{xy}$$Vendo se e homogenea:$$y' = \dfrac{2(ty)^2 + (tx)^2}{(tx)(ty)} = \dfrac{t^2 (2y^2 + x^2)}{t^2 (xy)} = \dfrac{2y^2 + x^2}{xy}$$Logo, e homogenea. Entao vamos resolver:$$y' = v + xv' = \dfrac{2y^2 + x^2}{xy} \\y = vx \\v + xv' = \dfrac{2(vx)^2 + x^2}{x(vx)} = \dfrac{2v^2 x^2 + x^2}{x^2 v} = \dfrac{x^2 (2v^2 + 1)}{x^2 v} = \dfrac{2v^2 +