Matematica e Musica: em busca da harmonia * Monografia apresentada por Larissa Suarez Peres na Universidade do Grande ABC 1. Introducao: escalas musicais e relacoes matematicas Do ponto-de-vista acustico, os sons utilizados para producao de musica (excetuando os sons de alguns instrumentos de percussao) possuem determinadas caracteristicas fisicas, tais como oscilacoes bem definidas (frequencias) e presenca de harmonicos. Entende-se, no caso, por oscilacoes bem definidas o fato de que um som musical, na grande maioria das vezes, ocorre de forma sustentada (pouco ou muito), de maneira que sua caracteristica de oscilacao se mantem por alguns ou muitos ciclos, diferentemente dos ruidos e outros sons nao musicais. No que diz respeito a presenca de harmonicos cabe lembrar que a maioria dos sons musicais nao ocorre apenas em seu modo mais simples de vibracao (modo fundamental), pois sao compostos sempre deste modo (fundamental) e de mais outros, chamados de modos harmonicos, que nada mais sao do que o corpo vibrante oscilando tambem com frequencias multiplas inteiras (x2, x3, x4, etc) da frequencia do modo fundamental. Os harmonicos presentes em um som sao componentes extremamente importantes no processo musical, tanto na formacao das escalas musicais, como na harmonia musical. Por causa dessas caracteristicas naturais, sons com alturas (frequencias) diferentes, quando postos a ocorrer ao mesmo tempo, podem criar sensacoes auditivas esteticamente diferentes. Em uma primeira analise, podemos entender que dois sons que mantem uma relacao inteira entre os valores de suas frequencias fundamentais certamente resultarao em uma sensacao auditiva natural ou agradavel, pelo fato de seus harmonicos estarem em "simpatia" ou "consonancia". No caso especifico em que a frequencia fundamental de um som (f1) e o dobro da frequencia fundamental de outro (f2), diz-se que o primeiro esta uma oitava acima do segundo (f1=2. f2). Se quisermos gerar dois sons musicais diferentes, que sejam perfeitamente consonantes, estes deverao manter uma relacao de oitava, onde todos os harmonicos do som mais alto estarao em perfeita consonancia com o som mais baixo. No entanto, sons gerados simultaneamente em alguns outros intervalos diferentes da oitava podem produzir sensacao agradavel aos nossos ouvidos, por conterem tambem uma boa parte de harmonicos coincidentes, que na realidade e o intervalo chamado de quinta, e que mantem uma relacao de 3:2. E claro que se fossem utilizados somente os intervalos de oitava e de quinta para criar sons em musica, o resultado seria bastante pobre pela escassez de notas. Assim, varias civilizacoes procuraram desenvolver, cientifica e experimentalmente, gamas de frequencias dentro do intervalo de oitava, com as quais pudessem construir suas musicas. A essas gamas da-se o nome de escalas musicais, e ha uma variedade delas, baseadas em criterios diferentes para a definicao das notas. Intervalo Relacao terca menor terca quarta quinta sexta menor sexta oitava 6:5 (1,200) 5:4 (1,250) 4:3 (1,333) 3:2 (1,500) 8:5 (1,600) 5:3 (1,667) 2:1 (2,000) Intervalos consonantes Alem da oitava e da quinta, outros intervalos de sons tambem sao considerados esteticamente consonantes pela maioria dos autores, e estao apresentados na tabela acima. Cabe ressaltar que os intervalos em questao foram representados por suas relacoes matematicas no que