Utilizando derivadas como forma de otimizacao, vamos aplicar no problema de reflexao da luz em um espelho plano e da refracao da luz na agua, demonstrando que a luz percorre o menor caminho possivel. Considere um raio de luz que parte de um ponto $A$ e segue a um ponto $P$ sobre um espelho plano sendo refletido e passando por um ponto $B$. O raio incidente e o raio refletido possuem angulos iguais a $\alpha$ e $\beta$, respectivamente.Suponha que o raio de luz siga o caminho mais curto de $A$ a $B$ passando pelo espelho. Provemos que essa lei de reflexao seguindo o caminho $APB$ e mais curto quando $\alpha = \beta$.[Figura 1]Considere que o ponto $P$ assuma varias posicoes no espelho, sendo cada posicao determinada por um valor de $x$, conforme se pode observar na figura acima. Vamos considerar o comprimento $L$ do percurso do raio de luz como sendo uma funcao de $x$. Assim, podemos escrever a seguinte expressao:\begin{equation*}L = \sqrt{a^2+x^2} + \sqrt{b^2+(c-x)^2} = (a^2+x^2)^{1/2} + \left(b^2+(c-x)^2\right)^{1/2}\end{equation*}A derivada desta expressao nos leva a:\begin{equation*}\frac{dL}{dx} = \frac{1}{2} \left(a^2+x^2\right)^{-1/2} \cdot (2x)+\frac{1}{2}\left[ b^2+(c-x)^2 \right]^{-1/2} \cdot 2(c-x)(-1)\end{equation*}\begin{equation} \frac{dL}{dx} = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - \frac{c-x}{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}\end{equation}Minimizamos o comprimento $L$ igualando a deriva acima a zero, obtendo:\begin{equation}\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} = \frac{c-x}{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}\end{equation}Esta equacao nos revela que para os angulos $\alpha$ e $\beta$ nos dois triangulos retangulos da figura acima, as razoes entre a hipotenusa e o lado adjacente sao iguais e assim $\alpha$ e $\beta$ sao iguais.Derivando a funcao $L(x)$ e em seguida igualando a zero, minimizamos o comprimento $L$. Podemos ainda utilizar a relacao dada em $(1)$ no teste da segunda derivada:\begin{equation*}\frac{d^2L}{dx^2} = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} + \frac{b^2}{\left[b^2+(c-x)^2 \right]^{3/2}}\end{equation*}Basta observar que a quantidade acima sera positiva, ja que $a$, $b$ e $c$ sao distancias entre pontos.Podemos ainda utilizar a trigonometria nos triangulos retangulos da figura acima, de modo que a condicao de minimizacao dada em $(2)$ pode ser escrita como:\begin{equation*}\cos(\alpha) = \cos(\beta)\end{equation*}O que nos leva a $\alpha = \beta$.Esta lei de reflexao ja era conhecida pelos gregos da Antiguidade, mas o fato de que o raio de luz refletido segue o caminho mais curto foi descoberto muito mais tarde por Heron de Alexandria, no seculo $I~d.C.$.A demonstracao de Heron e simples, porem engenhosa: sejam $A$ e $B$ os mesmos pontos da figura anterior, reproduzidos na figura abaixo, e seja $B~^\prime$ a imagem especular de $B$. A superficie do espelho e o plano bissetor de $BB~^\prime$. O segmento $AB~^\prime$ intercepta o espelho num ponto $P$ e este e o ponto onde o raio de luz e refletido ao passar de $A$ para $B$, pois entao $\alpha = \gamma$ e $\gamma = \beta$ e assim $\alpha = \beta$. O percurso total do raio de luz e dado por:\begin{equation*}AP + PB = AP + PB~^\prime = AB~^\prime\end{equation*}O percurso de $A$ a $B$, passando por qualquer outro ponto $P~^\prime$ do espelho e:\begin{equation*}AP~^\prime + P~^\prime B = AP~^\prime + P~^\prime B~^\prime\end{equation*}que e maior do que o terceiro lado do triangulo $AP~^\prime B~^\prime$, o lado $AB~^\prime $, o que mostra que o percurso real de $A$ para $B$ do raio de luz refletido no espelho e o menor possivel.[Figura 2]Temos