plausivel mas nao necessaria. (...) E claro, portanto, que devemos procurar uma demonstracao do presente teorema, e que este e estranho ao caracter especial dos postulados." O proprio Euclides e muitos dos seus sucessores tentaram demonstrar esta proposicao a partir de outros axiomas da geometria. Mas sempre em vao. Esta impossibilidade foi durante seculos o escandalo da geometria e o desespero dos geometra. A primeira tentativa de demonstracao de que ha conhecimento e de Ptolomeu de Alexandria (c. 90 - 168). Outro exemplo de uma tentativa frustrada de contornar o quinto postulado de Euclides e feita por John Wallis (1616 - 1703), matematico britanico antecessor de Isaac Newton (1643 - 1727). De facto, Wallis nao fez mais do que propor um novo enunciado do quinto postulado de Euclides. O padre jesuita G. Saccheri (1667 - 1733) foi talvez o primeiro a ensaiar uma abordagem inteiramente nova. No seu ultimo livro Euclides ab omni naevo vindicatus tentou utilizar a tecnica de reducao ao absurdo, admitindo a negacao do postulado do paralelismo de Euclides com vista a obter algum absurdo ou contradicao. Sem o saber Saccheri tinha descoberto a geometria nao-euclidiana! O trabalho de Saccheri permaneceu ignorado durante seculo e meio. Outros grandes matematicos, como Karl Gauss (1777 - 1855), o principe dos matematicos, redescobriram e desenvolveram a geometria em bases semelhantes as de Saccheri (negando o quinto postulado), sem nunca chegarem a uma contradicao. Gauss chega mesmo a escrever: "Estou cada vez mais convencido de que a necessidade da nossa geometria (euclidiana) nao pode ser demonstrada, pelo menos nao pela razao humana, nem por culpa dela. Talvez, numa outra vida, consigamos obter a intuicao sobre a natureza do espaco que, no presente, e inantingivel." Outros, mais ousados, nao recuaram perante o estranho mundo novo que se abria a seus olhos. O jovem hungaro Janos Bolyai (1802 - 1860) admite a negacao do postulado do paralelismo de Euclides como hipotese nao absurda, isto e, como um novo postulado, a juntar aos postulados habituais da geometria absoluta. Pela mesma epoca, e trabalhando independentemente, o jovem russo Nicolai Lobachewski (1792 - 1856) publica em 1829 a sua versao da geometria nao euclidiana a qual chama, primeiramente "imaginaria" e depois "pangeometria". Atualmente, esta geometria e chamada Geometria Hiperbolica. Foi necessario esperar ate ao seculo XIX para que Karl Friedrich Gauss, Janos Bolyai, Bernard Diemann e Nicolai Ivanovich Lobachevski conseguissem demonstrar que se trata efectivamente de um axioma, necessario e independente dos outros. Supuseram que o postulado de Euclides nao era verdadeiro e substituiram-no por outros axiomas:Por um ponto exterior a uma reta, podemos tracar uma infinidade de paralelas a esta reta (geometria de Lobachevski);Por um ponto exterior a uma reta nao podemos tracar nenhuma paralela a esta reta (geometria de Riemann). Todos se deram entao conta de que, substituindo o axioma das paralelas, era possivel construir duas geometrias diferentes da geometria euclidiana, igualmente coerentes e que nao conduziam a nenhuma contradicao. Apesar de serem dificilmente concebiveis, estas duas novas geometrias foram a pouco e pouco reconhecidas como alternativas legitimas. Chegou-se mesmo a demonstrar que, se qualquer das