thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
mais a frustracao se confirmava. Ela viu funcionarios da companhia aerea retirando, com seus bracos doidos e suas caras cansadas, as malas do aviao. E empilhando-as em um caminhaozinho. Viu o caminhaozinho se aproximando do outro lado do vidro, o motorista parando e descendo com o co-piloto. E os dois jogando as malas na falsa estrada aerea. E aquela cortina preta ali, mas sem funcao. O que ela via fazia parte de uma logistica humana tao pouco inspiradora. Aquela gente, como as esteiras, rodando sem sair do lugar. Era tudo incondizente com o que, para Alice, representa uma viagem (ou, pelo menos, seus resultados)...Aquelas malas nao eram mais objetos privilegiados que carregavam outros tantos para uma viagem emocionante, em esteiras que acreditava deviam formar escorregas e, nessas horas, posicionar-se como tapetes de arcos-iris. Alice viu que tudo e muito mais simples e sem graca do que parece quando se desconhece. Deparou-se, dessa vez de forma transparente, com um mundo cruelmente real.Pelo menos, pensou a jovem , por anos e anos as malas escondidas e as paredes opacas agucaram sua imaginacao. Agora, quando viaja, Alice lembra que, sim, outro mundo ja foi possivel. E para que sempre seja, leva livros na mala de mao.
Nao dava para esperar nada muito diferente, mas nem por isso deixam de chocar as barbaridades proferidas por Le Pen, o candidado reacionario a presidencia da Franca (que isso sim foi assustador chegou ao segundo turno nas ultimas eleicoes no pais, em 2002). Em um forum realizado pela revista Elle, na ultima quinta-feira, na Siences-Po (Fondation Nationale des Sciences Politiques), sobre O que as mulheres querem, Le Pentulante se posicionou contra a distribuicao de preservativos a jovens do ensino medio e propos que as mulheres apenas se masturbassem. As obcecadas com esse tema podem usar o metodo manu militari, que e menos perigoso e contraceptivo, disse. Bem, essa solucao Le Penis torto tinha que ter sugerido a sua mulher, para que nao gerassem Marine, gerente de campanha do pai e farinha do mesmissimo saco. Se o candidato da Frente Nacional estimulou o uso das maos com suas palavras foi para darem um grande tabefe em sua cara. Veremos no dia 22 de abril. Trazemos aqui mais uma secao de problemas interessantes:1 - Seja f uma funcao real duas vezes diferenciavel tal que, para todo x real, vale queOnde g e uma funcao mensuravel e positiva. Prove que f e limitada. 2 - Determine todas as tais que $f(0)=0, f(1)=1$ e Para todos x,y em [0,1] tais que x+y, x-y tambem estejam em [0,1].3 - Seja uma sequencia de reais positivos tal que E possivel que Valha? 4 - Existem reais distintos e nao ambos inteiros tais que Para todo n natural? 5 - SejaMostre entao que No inicio da semana que vem, teremos um post com as solucoes de todos os Problemas aqui propostos e mais alguns problemas interessantes. Ola, pessoal! Aqui vamos apresentar mais alguns problemas interessantes, e mostrar algumas solucoes pros problemas propostos da ultima vez.Problemas Propostos 1 - (OMERJ-2011) Dada uma sequencia de N inteiros nao-negativos $a_j$ tal que $a_1 + \cdots + a_k = 0$, dizemos que esta e k - legal se, para toda sequencia de k termos consecutivos desta, temos que sua soma e maior ou igual a zero. Por exemplo, a sequencia 1,-1,2,-2 e 2-legal mas nao 3-legal, uma vez que -1 + 2 - 2 = -1.Determine todos os N naturais tais que existe uma sequencia ao mesmo tempo 3-legal e 4-legal de tamanho N.2 - Existem variaveis aleatorias i.i.d. X, Y tais que estas tomam valor em [0,1] e sua soma X + Y e uma uniforme em [0,2]?3 - Seja $f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ uma funcao diferenciavel, tal que $$ \lim_{x \rightarrow \infty} [f(x)+f'(x)] = 0 $$Prove que $ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0 $. 4 - (OIMU-2012) Diga se a seguinte soma converge e, caso convirja, determine seu valor numerico: $$ \sum_{n = 0}^{\infty} \arctan\left(\frac{1}{1+n+n^2}\right) $$5 - Se $ \varphi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \in L^1(\mathbb{R}^n) $ e uma funcao tal que seu menor majorante radial $$ \psi (x) := \sup_{|y|\ge |x|} |\varphi(y)| $$Satisfaz que $\psi \in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^{\infty}(\mathbb{R}^n) $, entao prove que $$ \varphi_t * f \rightarrow 0\; \text{em} \; L^p \;\text{se} \; f \in L^p(\mathbb{R}^n)$$Quando $t \rightarrow + \infty
$. 6 - Sejam $x_1,...,x_n$ numeros reais, e defina $x_{ij} = x_i - x_j, \; i<j$. Suponha que $F:\mathbb{R}^{\frac{n(n-1)}{2}} \rightarrow \mathbb{R} $ e uma funcao tal que$$ F(x_{12}, x_{13},...,x_{n-1,n}) \le \sum_{k=0}^n x_k^2 $$Prove que so pode ocorrer igualde acima se $\sum_{k=1}^n x_k = 0$. 7 - (CIIM-2011) Seja $a \in \mathbb{Z}$ tal que $a-2$ e divisivel por 7. Suponha que $a^6 -1$ seja divisivel por $7^k$. Prove que $(a+1)^6-1$ tambem e divisivel por $7^k$. 8 - Calcule $$ \int_0^1 \log (x) \log (1-x) dx $$ 9 - Encontre todas as funcoes $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $C^2$ tais que $$ f(x)^2 - f(y)^2 = f(x-y)f(x+y) \;\forall x,y \in \mathbb{R} $$ 10 - Seja $N(k) := \#\{(x,y)\in \mathbb{N}\times\mathbb{N}; ax+by = k \}$ Para $a,b$ inteiros positivos primos entre si. Calcule$$ \lim_{k\rightarrow \infty} \frac{N(k)}{k} $$ Sugestoes1 - E possivel provar que todo inteiro suficientemente grande nao satisfaz tal propriedade. Para fazer isso, escreva $N = 3j + 4l$ com $l\le 2$ e, supondo a existencia de uma tal sequencia, "quebre" a sequencia em subsequencias de 3 e 4 termos cuja soma seja nao-negativa. Isso mostrara que tais somas tem de ser exatamente 0. Trabalhe com isto. 2 - Escreva o problema como um problema de convolucao de medidas: existe uma medida $\mu$ suportada em $[0,1]$ tal que $\mu * \mu = U_{[0,2]}$? A resposta e negativa. Para provar isso, passe a transformada de Fourier em ambos os lados e use que $\hat{\mu} $ e entao uma funcao analitica, e, para terminar, compare com os zeros da funcao analitica $\hat{U_{[0,2]}}$. 3 - Defina $g(x) = e^x f(x)$. Diferencie para ver que existe $x_0$ tal que, se $x \ge x_0$, temos entao $-\varepsilon e^x \le g'(x) \le \varepsilon e^x$. Integre entao $g'$ de $x_0$ a $y$, usando tais desigualdades. 4 - Observe que $\arctan(x)+\arctan(y) = \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ se a primeira parcela acima soma menos do que $\pi$ e $xy < 1$. Use isto para calcular explicitamente que as somas parciais sao da forma $S_n = \arctan(n+1) \rightarrow \frac{\pi}{2}$. 5 - Observe que, entao, $\psi \in L^p(\mathbb{R}^n), 1\le p \le \infty$. Use isto para provar que $\|\psi_t\|_p \rightarrow 0$ se $1<p<\infty$. Para terminar, temos que $\|\varphi_t * f\|_p \le \|\psi_t * f \|_p $. Prove primeiro que vale a propriedade para $f \in L^1 \cap L^p$, usando a desigualdade de Young e a propriedade que sabemos para $\psi_t$. Use um argumento de densidade para completar. 6 - Defina $y_j = x_j - \frac{1}{2} (x_1 + \cdots + x_n)$. Entao $y_i - y_j = x_i - x_j$, e, se ha igualdade, conclua que $\sum_k x_k^2 \le \frac{1}{2}(\sum_k x_k^2 - 2 \sum_{i<j} x_i x_j) \iff (\sum_k x_k)^2 \le 0$. 7 - Mostre que $a^6 \equiv 1 \mod 7^k \Rightarrow a^3 \equiv 1 \mod 7^k$ se $a \equiv 2 \mod 7$. Expanda entao $(a+1)^6 - 1$ e conclua usando o anterior. 8 - Repare que $\log (1-x) = -\sum_{n \ge 1} \frac{x^n}{n}$. Troque a ordem das integrais e repare que basta entao calcular $\int_0^1 \log(x) x^n dx $. Isto pode ser feito com integracao por partes, por exemplo. 9
- Se $g(x,y) := f(x)^2-f(y)^2$, entao $g \in C^2(\mathbb{R}^2)$. Calcule $\partial_x \partial_y g (x,y) $ de duas maneiras diferentes. Conclua que $f(x) = cx$. 10 - Mostre que todas as solucoes para tal problema sao da forma $(x_k + bt,y_k-at)$, onde $y_k$ e a maior ordenada de todas as solucoes. Prove que $y_k \mathtt{\sim} \frac{k}{b}$. A resposta e $\frac{1}{ab}$. Solucao dos Problemas Anteriores1 - Multiplicando a expressao toda por $f'(x)$, temos que $$ (f^2)' + ((f')^2)' = -2xg(x)f'(x)^2 $$ Isto implica que a funcao $f^2 + (f')^2 $ e crescente em $\mathbb{R}_{-}$, e decrescente em $\mathbb{R}_{+}$. Isto implica que esta mesma tem seu maximo em $x = 0$. Ou seja, $f(x)^2 \le f(0)^2; f'(x)^2 \le f'(0)^2$. Provamos ainda mais do que o desejado: mostramos que $f'$ tambem e limitada. 2 - Temos que, se $y=x$ na equacao, $f(2x) = 2f(x)$. E imediato entao ver que $f(2^{-n}) = 2^{-n}$. Mais ainda, com a mesma ideia e uma inducao, se mostra que, para todos $k,n \in \mathbb{N}; \log_2 k < n$, $f(k/2^n) = k/2^n$. Para concluir que $f(x)=x$, basta ver que $f$ e continua. Porem, e facil ver que $f$ e continua no zero: Se $\varepsilon < 2^{-m}$, entao $f(\varepsilon) \le f(\varepsilon) + f(2^{-m} - \varepsilon) = 2 f(2^{-m-1})=2^{-m}$. Para ver a continuidade num ponto geral, veja que $f(x+\alpha)-f(x) = f(x) - f(x-\alpha)=\cdots = f(x-(k-1)\alpha) - f(x-k\alpha)$, onde $k$ e tal que $x-k\alpha \ge 0 \ge x-(k+1)\alpha \Rightarrow (k+1)\alpha \ge x \ge k \alpha$. Se, entao, $\alpha \le 2^{n-1}$, teremos que $f(x+\alpha)-f(x) \le 2^{-n}$, e garantimos continuidade por cima. Analogamente, por baixo, que completa a prova. 3 - Escolha $t > 0$ tal que $ \sum_{n \ge t} \frac{1}{a_n} < \frac{1}{4}$. Da desigualdade entre as medias, temos que $$ \prod_{i=t+1} ^{t+n} \frac{1}{a_i} \le \frac{1}{n^n}\left(\sum_{n = t+1}^{t+n} \frac{1}{a_n} \right) ^n \le \frac{1}{(4n)^n} $$Isto implica que, se $\prod_{i=1}^L a_i = S_L$, $$ S_n \ge (4n)^n S_t \ge (2n)^n $$Se n e suficientemente grande. Logo, nao existe uma tal sequencia. 4 - Primeiro, como $\alpha - \beta, \alpha^2 - \beta^2 = (\alpha + \beta)(\alpha-\beta)$ sao inteiros, entao $\alpha, \beta \in \mathbb{Q}$. Alem disso, podemos escrever $\alpha = \beta + k, k \in \mathbb{Z}$. Assim, temos que, se $\alpha = \frac{p+kq}{q}$, entao $$ (p+kq)^n - p^n \equiv 0 \mod q^n $$ Mas $((p+kq)^n-p^n)/kq \equiv np^{n-1} \mod q$. Como podemos assumir que $\text{mdc}(p,q) = 1$, entao existem infinitos $n \in \mathbb{N}$ tais que a expressao acima e prima com q. Logo, Temos que $$ q^n | kq \text{para infinitos } n \Rightarrow k = 0$$ Que termina a prova de que nao existem tais reais. 5 - Suponha que exista $\varepsilon_0 > 0$ tal que $\hat{f} \in L^1(e^{\varepsilon_0 |x|} dx) \Rightarrow \hat{f} \in L^1(e^{\varepsilon |x| }dx)$ se $\varepsilon < \varepsilon_0$. Considere entao a funcao definida por $$ F(z) = \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\xi) e^{2 \pi i \xi \cdot z} d \xi $$ Se $ \mathfrak{I}(z_i) $ e suficientemente pequena, entao, pelas observacoes acima, esta funcao esta bem definida. Pelo Teorema de Morera, esta e uma funcao analitica em cada variavel complexa $z_i$ separadamente, e continua. Do Lema de Osgood, temos que
tal funcao e de fato uma funcao analitica na variavel $z$ em um aberto de $\mathbb{C}^n$ da forma $ \{z=x+iy; x \in \mathbb{R}^n, |y|\le \frac{ \epsilon_0}{100} \}$.Mas $F|_{\mathbb{R}^n} \equiv f$ por inversao de Fourier, que implica que, fora de uma bola com centro na origem, $F|_{B(0,r)^c} \equiv 0$. E facil ver que $F$ e entao identicamente nula numa vizinhanca (de $\mathbb{C}^n$) de qualquer ponto real. Mas isto implica claramente que, do principio da extensao analitica, $F \equiv 0 $ no aberto onde esta definida, o que e um absurdo, pois supusemos $ f \not \equiv 0$. Nao se esqueca de avaliar o post abaixo, e de comentar caso tenha qualquer duvida!
$$ \frac{f'(z)}{f(z)} = A + \sum_{n\ne 0} \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{(z-n)}\right) $$ Quando $z \rightarrow 0$, como $f|_{\mathbb{R}}$ e real e assume maximo local em $x=0$, entao $f'(0) = 0$, e isso implica que $A=0$. Assim, podemos escrever a expressao de $f'/f$ como$$ \frac{\frac{\pi^2 z \cos \pi z - \pi \sin \pi z}{\pi^2 z^2}}{\frac{\sin \pi z}{\pi z}} = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=-N, n \ne 0}^{N} \frac{1}{z-n}$$ Que equivale a $$ \frac{\pi}{ \tan \pi z} - \frac{1}{z} = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=-N, n \ne 0}^{N} \frac{1}{z-n} \iff $$$$ \frac{\pi}{ \tan \pi z} = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=-N} ^N \frac{1}{z-n} := \sum_n \frac{1}{z-n} $$ Diferenciando ambos os lados em $z$ acima, obtemos que $$ \left(\frac{\pi}{\sin \pi z}\right)^2 = \sum_n \frac{1}{(z-n)^2} $$ Mas, fazendo $z \rightarrow 0$ em $\left(\frac{\pi}{\sin \pi z}\right)^2 - \frac{1}{z^2}$, obtemos que (apos fazer as contas com a serie de Laurent de $\frac{1}{\sin \pi z}^2$, as quais omitimos aqui) $$ \frac{\pi^2}{3} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $$ Que e o desejado. $\square$.Ha muitas outras provas deste fato. Se voce conhece alguma que nao esta aqui, ficaremos contentes em ve-la! Duvidas? Sugestoes? Criticas? Comente! Todos sao encorajados a comentar aqui. Para uma melhor avaliacao nossa do trabalho que estamos fazendo, marque o que achou dessa postagem nas caixinhas abaixo, e instantaneo!
para $a$, que implica que $$ \|f\|^2 \ge 1+\max{|a|^2,|b|^2}(1- c_{1,2}^2) $$.Basta, portanto, achar uma limitacao em $a,b$. Mas, somando as limitacoes que ja temos, obtemos que $$ 2 \le (|a|^2 + |b|^2) + 2(a \langle v_1,v_2 \rangle \bar{b} + b \overline{ a \langle v_1,v_2 \rangle} ) + (|a|^2+|b|^2)|\langle v_1,v_2 \rangle|^2 \\ \le (|a|^2+|b|^2)(1+c_{1,2})^2 \\ \le 2\max\{|a|^2,|b|^2\} (1+c_{1,2})^2 $$Isso ja nos da a limitacao $$ \|f\|^2 \ge 1 + \frac{1-c_{1,2}^2}{(1+|c_{1,2}|)^2} = \frac{2}{1+c_{1,2}^2} \Rightarrow I^2 \ge \frac{2}{1+c_{1,2}^2} $$ Alem disso, ocorre a igualdade nas estimativas acima se, e so se, $|a|=|b|=\frac{1}{1+c_{1,2}}$, com $a = e^{-i\alpha}b$ no caso (ii). Uma substituicao (que deixamos a cargo do leitor) completa a prova no caso $\|v_i\|=1$. O caso geral segue do anterior. $\square$Comentario 1: Tal problema foi recentemente estudado por Carneiro, Chandee, Littmann e Milinovich em [1] para conseguir relacoes de zeros da funcao zeta de Riemann sob a Hipotese de Riemann (Lema 13). No mesmo artigo, e citado o fato de que J. Vaaler e M. Kelly teriam obtido resultados analogos. Comentario 2: Como aplicacao do Teorema que provamos, juntamente ao Teorema de Fatoracao de Krein, pode-se resolver o problema do 2-delta: Achar uma funcao inteira $f$ de tipo exponencial no maximo $2 \pi$ tal que $f|_{\mathbb{R}} \ge 0$, $f \in L^1(\mathbb{R})$ e $f(\pm \alpha) \ge 1$ para $\alpha>0$. De fato, basta notar que, se pudermos escrever $f(x) = |g(x)|^2$, onde $g$ tem tipo exponencial no maximo $\pi$, entao teremos que $f(\pm\alpha) = |g(\pm \alpha)|^2 = | \langle g,K_{\pm \alpha} \rangle|^2$, onde $K_w (z) = \frac{\sin \pi(z-\bar{w})}{\pi(z-\bar{w})}$. Usando o Teorema que acabamos de provar, obtemos ja todas as solucoes de tal problema. Comentario 3: Embora a prova do Teorema acima seja relativamente simples, ainda e em aberto achar uma versao "$n$-dimensional" de tal problema, ja que muito pouco se sabe sobre o problema do $n$-delta geral. Referencias: [1] - E. Carneiro, V. Chandee, F. Littmann, M. Milinovich, "Hilbert Spaces and the Pair Correlation of zeros of the Riemann-Zeta Function", a aparecer em J. Reine Agnew. Math. [2] - J. Vaaler, "Some Extremal Functions in Fourier Analysis", Bull. Amer. Math. Soc. (1985) [3] - R. P. Boas, "Entire Functions", Academic Press Inc., New York, 1954[4] - N. Akhiezer, "Theory of Approximation", New York, 1956. [5] - H. Brezis, "Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations", Springer, 2011.
Depois de uma longa interrupcao, retornamos com mais problemas! 1 - (Putnam) Seja f polinomio em Z[x], e defina Mostre que, se existir k tal que 2 - (Putnam) Seja P um poliedro. Mostre que existe uma constante C(P) > 0 tal que, se uma colecao de n bolas, cuja soma dos volumes e V, cobre a superficie de P, entao 3 - Chamamos uma sequencia crescente de numeros reais positivos de sequencia limite absoluto se, dado um intervalo [a,b] e uma funcao f continua tal que existe um intervalo [c,d] com a < c < d < b com ,Entao o limite Existe e e finito. Mostre que uma sequencia crescente de reais positivos e sequencia limite absoluto se, e so se, o limiteExiste e e finito. 4 - (Putnam) Seja f : R -> R funcao continua tal que Prove que f = 0 em [-1,1]. 5 - (Putnam) Encontre c, L tais que ~ Dicas e Solucoes Parciais ~1 - Use que, se P tem coeficientes inteiros e a,b sao inteiros distintos, entao Utilize tal propriedade repetidas vezes. 2 - Considere uma face de P, veja qual a area maxima que a intersecao de uma bola com uma tal face pode ser, e entao use uma desigualdade entre as medias de ordem 2 e 3 para concluir. 3 - Use uma desigualdade de Holder na integral do denominador, com expoente . Note que, se Para terminar, mostre que a propriedade desejada e equivalente a Existir e ser finito 4 - Mostre que f (0) = 0, escreva , e itere o processo. Voce pode precisar provar que vale primeiro para x da forma , e usar um argumento de densidade. 5 - Calcule a integral de cima por partes. c = - 1 deve funcionar. Para achar L apropriado, separe a integral entre , e faca algumas estimativas. Talvez mudar coordenadas seja interessante. Ok, pessoal, estamos ha algum tempo sem postar, entao pra quebrar esse jejum separei alguns problemas que achei interessantes. Sao em nivel de IME-ITA. Tente ver a ideia geral por tras de cada solucao, elas sao muito uteis para resolver problemas mais dificeis. Esperamos ajudar quem deseja treinar para a matematica apresentada nos concursos de tais institutos.Vamos la!1- Quais os ultimos tres digitos do quadrado do produto das raizes positivas da equacao ?2- Na figura abaixo, o ponto P do menor arco A B dista 6 cm e 1 0 cm , respectivamente, das tangentesAQ e BQ . Calcule a distancia, em cm , do ponto P a corda A B .3- Para quantos valores reais de p as tres raizes de sao numeros inteiros positivos?4- Qual o valor de , onde u e v sao numeros complexos nao nulos satisfazendo ?5- Sejam X, Y e Z tres numeros reais maiores que um que satisfazem ,entao quanto vale ?6- Qual e o valor de ?Solucoes: 1- Esse problema e bastante simples. Fazendo temos Se sendo e entao Logo, os 3 ultimos digitos do quadrado do produto das raizes da equacao sao 995.Dica: Quando estiver trabalhando com
logaritmos tenha sempre em mente que log e uma funcao injetora.Ou seja, log a = log b entao a = b. Em demonstracoes mais rigorosas vale a pena observar essa propriedade antes de usa-la (apenas escrever algo do tipo: "como log e uma funcao injetora, temos... ").2- Bem, vamos primeiro fazer uma figura com as informacoes que temos. Sendo C, E e D as projecoes de P sobre os lados AQ, AB e BQ do triangulo respectivamente temos:# PDBE e PCAE sao quadrilateros inscritiveis. Logo,, , e .Alem disso, tracando os segmentos OA e OP vemos que OAP e um triangulo isosceles. Assim, e como = 90o temos que . E das propriedades de arco capaz, . Assim, . Analogamente . Assim, .A dica e lembrar da relacao entre CAP e AOP essa relacao costuma ser esquecida.3- Observe que 1 e raiz da equacao independente do valor de p. (sempre vale a pena checar por algumas raizes triviais. Tente numeros como 1, 2, -1, -2 ... )Assim, usando o metodo de Briot-Ruffini podemos fatorar da seguinte forma: Assim, sendo e as raizes da da equacao temos: e .Ao somar e adicionar 1 para tentar fatorar como nao conseguira muita coisa. Por sorte (ou sera que nao?) , o que facilita a conta. Assim, podemos substituir p por .Temos: Assim, . Os divisores de 4351 sao 1, 19, 229 e 4351. Assim, montamos a seguinte tabela. Valor possivel de Valor de Valor de Valor de Valor de (Nao e inteiro) (Nao e inteiro) Observe que para cada valor possivel de existe apenas um valor de tal que Observe tambem que se fizermos obteremos os mesmos valores de e trocados, como nos interessa apenas quantos valores possiveis de P fazem as raizes serem inteiras positivas isso nao faz diferenca.Alem disso, nao foram considerados os divisores negativos porque nesses casos, ao examinar, ve-se que nao conseguiremos ambos, e , positivos. Assim, so ha um valor de p que faz e serem inteiros positivos, que e p = 76.A ideia principal de problemas desse tipo e procurar uma fatoracao do tipo (aX + b)(cY-d) = E e analisar caso a caso lembrando que os numeros sao inteiros (nem sempre se exige que eles sejam positivos) 4- Observe que caso contrario e os numeros sao nao nulos.Assim, multiplicando por e dividindo por , que e diferente de zero, temos: Onde Assim, 5 - Se entao.Observe que como temos . Agindo de forma analoga pra Y e Z temos: Logo, como temos .Analogamente temos e . Assim,6- Vejamos, primeiro, quanto vale . Pela formula do binomio de Newton temos:Observe que para p par temos que e real. Assim, com p = 2n temos Assim, equivale a parte real de . logo, a parte real e .A dica desse tipo de questao e tentar procurar um binomio de Newton que se pareca com a expressao procurada. No geral os fatores envolvidos no somatorio podem dar dicas, mas ainda e preciso alguma criatividade. Eu tinha um professor que dizia que "Na primeira vez e magica; a partir da segunda e
tecnica". Bem, por hoje e so. Se voce gostou do blog curta nossa pagina no facebook e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizacoes. Nao se esqueca de avaliar a postagem logo abaixo, e muito importante sabermos a qualidade do que estamos produzindo. Ate mais.
que, mais geralmente, para qualquer aberto $O$, temos que $$ \int_O t^{-1/2} dt \le \int_0^{m(O)} t^{-1/2} dt $$ Onde $m(O)$ e a medida de $O$. Aproxime um boreliano por um aberto para concluir. 6 - Considere $P(z) = (z-w_1)\cdots(z-w_n)$. Use que $|P(0)|=1$ e o principio do maximo para concluir. Veja aqui para uima cota melhor. 7 - Integre por partes sucessivamente e use inducao.
Oi, pessoal! Apresentamos aqui uma introducao as funcoes analiticas complexas e a teoria formal das Series de Potencias. Ao longo do nosso caminho, vamos ver que a teoria de funcoes complexas diferenciaveis (ou funcoes holomorfas) esta intimamente ligada a teoria que vamos construir aqui. De fato, em um futuro proximo falaremos de funcoes holomorfas e Analise Complexa. Na verdade, o topico de hoje e um topico de Analise Complexa, e de extrema importancia pra sequencia do assunto.Primeiras Definicoes, Propriedades e ExemplosA ideia geral e definir o sentido de expressoes como a classica Ou seja, determinar quando e para quais x uma expressao "formal" do tipo converge, e determinar propriedades de uma funcao desse tipo.Assim, definimos uma serie de potencias como uma sequencia de funcoes associada a uma sequencia, do seguinte modo: De modo que temos A qual chamaremos de reduzida de ordem n da serie. E mais comum utilizar a notacao Para a serie de potencias. A sequencia considerada e de numeros complexos, de modo que agora a tarefa se resume a determinar para quais z a serie acima converge, e, se esta convergir, se a convergencia tambem e absoluta, no sentido que a serie de termos positivos Isto nos leva naturalmente a considerar o numero Que chamaremos de raio de convergencia da Serie. E facil ver que a convergencia e absoluta para todo z complexo de modulo menor que o raio de convergencia. Logo, podemos definir a funcao Dizemos que uma tal funcao e uma funcao analitica em torno do zero. De modo analogo, dizemos que uma funcao S e analitica em torno de a se esta pode ser expressa como uma serie de potencias Em alguma vizinhanca do ponto a. Como se e de imaginar, funcoes analiticas tem muitas propriedades interessantes - afinal, sao funcoes analiticas = deveriam ser muito importantes para a Analise! Uma muito importante propriedade e que, dentro de seu raio de convergencia absoluta, estas sao funcoes infinitamente diferenciaveis no sentido real, ou seja, Porem, a reciproca nao vale: veremos que uma funcao analitica nao pode se anular mais do que uma quantidade finita de vezes em um conjunto compacto, enquanto ha funcoes infinitamente diferenciaveis que se anulam em conjuntos muito grandes. Se uma serie tem raio de convergencia T > 0, entao provaremos que Proposicao 1: Prova: Seja Logo, temos que, se r e menor que , entao Que implica que Por outro lado, se Que implica que, se . Logo, , completando a demonstracao. Esta proposicao nos relaciona diretamente os coeficientes da serie com o comportamento desta. Por exemplo, ja sabemos que a serie Tem raio de convergencia exatamente 1, e que a serie Converge absolutamente para todo x em C. Mais tarde veremos mais sobre estas duas series, principalmente a segunda, que define a central funcao exponencial. Por enquanto, observemos propriedades interessantes de series de potencias: Proposicao 2: Sejam S,Q duas series de potencias com raios de convergencia s e q, respectivamente. Entao a serie S . Q possui raio de convergencia maior ou igual ao min{s,q}, onde esta pode ser escrita como Prova: