E muito facil quantificar os numeros pares existentes, por exemplo, de 4 ate 10. Basta raciocinar um pouco e percebemos os quatro numeros: 4, 6, 8 e 10, cuja soma resulta em 28. Agora, se quisermos obter a quantidade de pares existentes entre 4 e 10 vamos perceber que existem apenas dois pares: 6 e 8, cuja soma resulta em 14. Porem, se nos perguntarem quantos pares existem entre 0 e 100 ou entre 100 e 1000 ou mesmo entre 0 e 1 trilhao? Ai precisamos usar um recurso muito importante da matematica, a Progressao Aritmetica (PA). Sabemos que uma PA e uma sequencia em que cada termo, a partir do segundo, e obtido adicionando-se a razao (r) ao termo anterior. Ao final desta aula o aluno devera ser capaz de identificar a quantidade e a soma dos numeros pares existentes entre 0 e 8, 0 e 10, 0 e 20, 0 e 100 e entre 100 e 1000 (com elaboracao de um algoritmo). Neste estudo vamos utilizar nossos conhecimentos sobre Progressao Aritmetica por meio de aplicacao de algumas formulas oriundas do estudo de sequencias numericas. IDENTIFICACAO DOS TERMOS DE UMA PROGRESSAO ARITMETICA ENTRE ZERO E DEZPara identificarmos as partes de uma Progressao Aritmetica (PA) vamos, inicialmente, considerar a sequencia com os seguinte numeros pares:$$(0,2,4,6,8).$$ Queremos trabalhar com uma sequencia que contem apenas os pares que estao entre 0 e 8:$$(2,4,6).$$ O primeiro termo (a1) equivale a 2. A razao (constante r) tambem equivale a 2 (pois, 4 - 2 = 6 - 4 = 2). O ultimo (terceiro) termo (an = a3) equivale a 6. O numero de termos (n), conferindo-os, equivale a 3.Tambem podemos identificar o terceiro e ultimo termo (an = a3) usando a seguinte formula:$$a_{3}=a_{1}+2.r,$$que resulta em$$a_{3}=2+2.2=2+4=6.$$Se a sequencia for muito grande, impossibilitando-nos de conferir a quantidade de numeros da mesma, pode-se determinar o numero de termos (n = 3) da sequencia usando a formula do termo geral de uma PA:$$a_{n}=a_{1}+(n-1).r.$$Substituindo os valores na expressao acima, temos que$$6=2+(n-1).2,$$de onde podemos calcular n:$$6=2+2n-2\rightarrow 6-2+2=2n\rightarrow 6=2n\rightarrow n=3.$$Para obtermos a soma de todos os tres pares da sequencia, podemos usar a formula:$$S_{n}= \frac{(a_{1}+a_n)n}{2},$$que resulta em $$S_{3}= \frac{(2+6).3}{2}=\frac{8.3}{2}=12.$$Portanto, entre 0 e 8 temos 3 pares e somando-os obteremos 12.SOMA E QUANTIDADE DE PARES EXISTENTES ENTRE ZERO E DEZVamos considerar uma sequencia apenas com os pares que estao entre 0 e 10, veja:$$(2,4,6,8).$$ O primeiro termo (a1) equivale a 2. A razao (constante r) equivale a 2. Contando o numero de termos (n) obtemos 4. O quarto termo (an = a4) equivale a 8. Podemos, tambem, identificar o quarto termo usando a seguinte formula:$$a_{4}=a_{1}+3.r,$$que resulta em$$a_{4}=2+3.2=2+6=8.$$Se a sequencia for muito grande, impossibilitando-nos de conferir a quantidade de numeros da mesma, pode-se determinar o numero de termos (n = 4) da sequencia usando a formula do termo geral de uma PA:$$a_{n}=a_{1}+(n-1).r.$$Substituindo os valores na expressao acima, temos que$$8=2+(n-1).2,$$de onde podemos calcular n:$$8=2+2n-2\rightarrow 8-2+2=2n\rightarrow 8=2n\rightarrow n=4.$$ Para obtermos a soma de todos o quatro pares da sequencia, podemos usar a seguinte formula:$$S_{n}= \frac{(a_{1}+a_n)n}{2},$$que nos forneceria$$S_{4}= \frac{(2+8).4}{2}=\frac{10.4}{2}=20.$$De fato, 2 + 4 + 6 + 8 =