\mbox{altura}}{2}$$A medida da base e a distancia entre os pontos A e B, que no caso mede "L". O que nao temos aqui e a medida da altura, que esta representado por "h" na figura anterior. Para descobrir "h" voce precisa de outro assunto estudado tambem na escola: teorema de Pitagoras. Esse teorema (pergunte-me o que e um teorema) diz que "o quadrado da medida da hipotenusa e igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos"Lembre-se que chamamos de CATETOS aqueles lados que ajudam a formar o angulo reto (de 90 graus) e a HIPOTENUSA e aquela lado maior que nao ajuda a formar esse angulo reto. Pois bem, olhando para o desenho anterior pode observar que a medida da hipotenusa e "L", um dos catetos mede "$$\frac{L}{2}$$ e o outro cateto mede "h", que queremos descobrir. Por conta do Teorema de Pitagoras, sabe-se que$$L^2=\left(\frac{L}{2}\right)^2+h^2$$Nao se esqueca que queremos saber qual e a medida de "h" em funcao da medida "L". Vamos resolver a equacao anterior em relacao a "h". Ficaremos com$$L^2=\left(\frac{L}{2}\right)^2+h^2\Rightarrow \left(\frac{L}{2}\right)^2+h^2=L^2$$Veja que apenas escrevi a igualdade da direita para a esquerda. Sendo assim, elevando L/2 ao quadrado encontraremos $$L^2/4$$ e assim,$$\frac{L^2}{4}+h^2=L^2\Rightarrow h^2=L^2-\frac{L^2}{4}$$Agora, adicionando os monomios que apareceram no segundo membro ficaremos com (lembre-se que e necessario encontrar o minimo multiplo comum (MMC) para adicionar fracoes):$$ h^2=\frac{\color{\red{4}}L^2-L^1}{4}\Rightarrow h^2=\frac{3L^2}{4}$$Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros (pois $$h>0$$) ficaremos com $$h=\sqrt{\frac{3L^2}{4}}=\frac{\sqrt{3L^2}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}\sqrt{L^2}}{2}$$Como $$L>0$$, $$\sqrt{L^2}=L$$ e assim,$${\color{red}h}=\frac{\sqrt{3}L}{2}=\frac{L.\sqrt{3}}{2}$$Assim, ja podemos escrever a medida da area do triangulo equilatero. Observe:$$Area=\frac{\mbox{base}\times \mbox{altura}}{2}=\frac{1}{2}\cdot L\cdot h= \frac{1}{2}\cdot L\cdot \frac{L.\sqrt{3}}{2}=\frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4}$$ Pois bem, acabamos de ver que a medida da area de um triangulo equilatero e igual a medida do lado do triangulo multiplicado por $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Para o caso do favo da colmeia, a medida do lado e a/3, ou seja,$${\color{blue}L=\frac{a}{3}}$$e assim a area sera$$\mbox{Area}=\frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{\left(\frac{a}{3}\right)^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{a^2}{9}\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{a^2}{9}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2$$ Conclusao: com um comprimento "a" podemos criar um triangulo equilatero de area $$ \frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2\approx 0,048112\cdot a^2$$. Analise do quadradoNo caso do quadrado, cada lado dela ira medir $$\frac{a}{4}$$ e como a area do quadrado e igual ao quadrado da medida do lado entao$$\mbox{Area}_{\mbox{Quadrado}}=\left(\frac{a}{4}\right)^2=\frac{1}{16}\cdot a^2=0,0625\cdot a^2.$$Analise do hexagono regular No caso do hexagono regular voce deve lembrar que a area e seis vezes a area do triangulo equilatero que possui o mesmo lado (do hexagono). Para que voce nunca mais se esqueca desta propriedade, eu preparei uma ilustracao dinamica que ilustra esse fato. Arraste o seletor ou clique no botao "Play" para ver o que queremos dizer.[Applet3]. . Sabendo disso, voltamos a formula da area do triangulo equilatero cuja medida do lado e "L" e multiplicamos ela por 6. Assim,$$Area_{\mbox{Hexagono Reg.}}=6\cdot {\mbox{Area}}_{\mbox{Triangulo Equilatero}}=6\cdot \frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4}$$Ou seja,$$Area_{Hex. Reg.}=6{\color{red}\div 2}\cdot \frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4{\color{red}\div 2}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}\cdot L^2}{2}$$que finalmente nos da:$$Area_{\mbox{Hex. Reg.}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot {\color{green}L}^2$$Agora que sabemos a formula para calcular a area do hexagono regular, voltemos ao nosso problema. Note que o comprimento "a" devera ser dividido agora por 6. Assim, a medida do lado do hexagono sera $${\color{green}L=\frac{a}{6}}$$ e assim, a area delimitada pelo hexagono feito com cera sera:$$AreaHexagonoDeCera=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot \left(\frac{a}{6}\right)^2=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a^2}{36}=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{72}\cdot a^2$$Simplificando vem,$Area_{\mbox{Hex. Cera}}=\frac{3{\color{red}\div 3}\cdot\sqrt{3}}{72{\color{red}\div 3}}\cdot a^2=\frac{\sqrt{3}}{24}\cdot a^2\approx 0,0721687\cdot a^2$ConclusaoArea