Atendendo ao pedido de um leitor, apresentarei solucao para o seguinteProblema: resolva a seguinte EDO linear:$$x^2\frac{dy}{dx}+2xy=e^x$$Solucao:Usarei a terminologia e a notacao empregadas nesta postagem. Portanto, para melhor entender o que segue abaixo, e conveniente que voce a leia.Escrevendo $$y'$$ em vez de $$dy/dx$$, obtemos$$x^2y'+2xy=e^x\;\;\;(*)$$Note que, pela regra do produto,$$\frac{d}{dx}[x^2y]=x^2y'+2xy$$Logo, substituindo isso na equacao $$(*)$$, resulta que$$\frac{d}{dx}[x^2y]=e^x$$Assim, integrando ambos os lados, conclui-se que$$\int \frac{d}{dx}[x^2y]=\int e^x\;dx$$$$x^2y=e^x+C$$Isolando o $$y$$, encontramos a solucao procurada:$$y=x^{-2}(e^x+C)$$Observacao: a resolucao acima e um pouco mais curta do que aquilo que, em geral, se pode esperar para uma EDO linear de primeira ordem. Neste caso, a equacao ja esta num formato "bom", o qual nos permite aplicar a regra do produto de imediato. Geralmente, devemos fazer algumas manipulacoes na equacao antes de chegar nesta etapa. Se, neste caso, nao tivessemos percebido que poderiamos aplicar a regra do produto sem mais delongas, provavelmente procederiamos do seguinte modo:- Multiplicariamos ambos os lados da equacao $$(*)$$ por $$x^{-2}$$, obtendo a "forma padrao" da equacao:$$y'+\frac{2}{x}y=x^{-2}e^x,$$com$$Q(x)=x^{-2}e^x$$e$$P(x)=\frac{2}{x}.$$- Calculariamos a integral da funcao $$P$$:$$\int P(x)\;dx=\int\frac{2}{x}\;dx=2\ln|x|=\ln(|x|^2)=\ln x^2$$- Determinariamos o fator integrante:$$I(x)=e^{\int P(x)\;dx}=e^{\ln x^2}=x^2$$- Multiplicariamos ambos os lados da equacao (na forma padrao) pelo fator integrante:$$\left(y'+\frac{2}{x}y\right)x^2=\left(x^{-2}e^x\right)x^2$$$$x^2y'+2xy=e^x$$Pelo "roteiro" do metodo, o proximo passo seria utilizar a regra do produto (precisamente como fizemos no inicio da solucao). Mas observe que, depois de todo aquela manipulacao, chegamos exatamente na equacao com que comecamos. Logo, toda a manipulacao e desnecessaria de maneira que podemos abreviar a resolucao ("pulando" a parte do fator integrante).*Erros podem ser relatados aqui. Nesta postagem apresentamos um resultado de existencia e unicidade de solucao fraca para as equacoes de Navier-Stokes num dominio limitado do plano. O material e proveniente de um seminario apresentado pelo autor (em parceria com um colega) em disciplina de doutorado na UFRJ. 1 Consideracoes iniciaisEm sua formulacao classica$^{\text{(i)}}$ o PVIF para as equacoes de Navier-Stokes completas$^{\text{(ii)}}$ e o seguinte:Problema 1.1 (PVIF para Navier-Stokes). Sejam $\Omega$ um aberto de $\mathbb{R}^n$ e $T>0$. Dados uma constante $\nu>0$, uma funcao vetorial $\mathbf{f}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^n$ e uma funcao vetorial $\mathbf{u}_0:\Omega\to\mathbb{R}^n$, encontrar uma funcao vetorial $\mathbf{u}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^n$ e uma funcao escalar $p:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}$ tais que$$\left\{\begin{aligned}\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}-\nu\Delta\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=\mathbf{f}-\nabla p&\quad\text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\\operatorname{div}\mathbf{u}=0&\quad \text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\\mathbf{u}=0&\quad\text{em}\quad \partial\Omega\times(0,T),\\\mathbf{u}=\mathbf{u}_0&\quad\text{em}\quad \Omega\times\{0\}.\\\end{aligned}\right.\tag{1.1}$$Este sistema descreve a velocidade $\mathbf{u}$ e a pressao $p$ de um fluido incompressivel viscoso que possui viscosidade constante $\nu$, preenche permanentemente uma regiao $\Omega$ do espaco e esta sob a influencia de uma forca externa $\mathbf{f}$.Curiosidade: As seguintes questoes referentes ao Problema 1.1 estao em aberto e valem um milhao de dolares:$^{\text{(iii)}}$Existencia de Solucao. Considere o Problema 1.1 com $n=3$, $\Omega=\mathbb{R}^3$, $T=\infty$, $\mathbf{f}\equiv 0$ e $\mathbf{u}_0$ suave satisfazendo $\operatorname{div}\mathbf{u}_0=0$ e $$|\partial_x^\alpha\mathbf{u}_0(x)|\leq C_{\alpha,K}(1+|x|)^{-K},\quad\forall\ x\in\mathbb{R}^n,\alpha\in\mathbb{N}^3,K>0.\tag{1.2}$$ Mostre que existem $\mathbf{u}\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}^3\big)$ e $p\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}\big)$ satisfazendo (1.1)$_{1,2,4}$ e $$\int_{\mathbb{R}^3}|\mathbf{u}(x,t)|^2\;dx<C,\quad\forall\ t\geq 0.\tag{1.3}$$ Nao Existencia de Solucao. Considere o Problema 1.1 com $n=3$, $\Omega=\mathbb{R}^3$ e $T=\infty$. Mostre que existem $\mathbf{f}:\mathbb{R}^3\times[0,\infty)\to\mathbb{R}^3$ suave satisfazendo $$|\partial_x^\alpha\partial_t^m\mathbf{f}(x,t)|\leq C_{\alpha,m,K}(1+|x|+t)^{-K},\quad\forall\ x\in\mathbb{R}^n,t\geq 0,\alpha\in\mathbb{N}^3,m\in\mathbb{N},K>0$$ e $\mathbf{u}_0:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ suave satisfazendo $\operatorname{div}\mathbf{u}_0=0$ e (1.2) para os quais nao existem $\mathbf{u}\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}^3\big)$ e $p\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}\big)$ satisfazendo (1.1)$_{1,2,4}$ e (1.3).Nesta exposicao, vamos considerar o Problema 1.1 para $n=2$ e $\Omega$ limitado com fronteira regular. O objetivo sera provar existencia e unicidade de solucao fraca. Todo o exposto esta baseado em [4, 11,