Quanto tempo faz que nao nos vemos, nao e mesmo? Devido aos estudos do doutorado, estou com o tempo bastante reduzido, mas enquanto isso estou juntando material mais interessante para apresentar aqui no blog, aguardem.Entre essas buscas me deparei com essa apresentacao de Eduardo Saenz de Cabezon, no video ele responde com um toque de humor a essa pergunta que todo aluno/estudante/pesquisador/professor de matematica ja escutou:"Afinal, para que serve a matematica?"Quer descobrir a resposta, entao assista o video abaixo:Ate mais ! Hoje daremos continuidade ao artigo enviado pelo leitor Joao (Portugal), quem nao viu a primeira parte pode clicar aqui e ver!Segue o artigo enviando pelo Joao:__________________________________________________________Antes de continuar o meu artigo quero desde ja agradecer ao Diego a oportunidade de postar aqui no blog o meu trabalho. Comecemos por dizer algumas propriedades do corpo dos complexos:1. O corpo dos numeros complexos nao e um corpo de GaloisDemonstracao:Um corpo de Galois e um corpo finito, ou seja, e um corpo cujo em que o conjunto dos elementos e finito. Ou seja, temos de mostrar que o conjuntos dos numeros complexos nao e finito. Como sabemos, podemos obter um isomorfismo entre o corpo dos complexos e o produto direto entre corpo dos reais em si proprio, ou seja,Seja $f$ uma funcao, tal que:$$f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}\times\mathbb{R}$$$$a+bi\mapsto (a,b)$$Esta funcao $f$ e um isomorfismo entre os corpos. Sendo assim se $\mathbb{R^2}$ nao e finito entao o corpo dos numeros complexos tambem nao e finito.Ou seja, $\mathbb{C}$ nao e um corpo de Galois.2. O corpo dos complexos nao e ordenadoDemonstracao:Veja a demonstracao nessa postagem do Giga Matematica:O porque dos complexos nao ser um corpo ordenadoUma propriedade importante e o fato de o corpo dos numeros complexos ser algebricamente fechado. Para demonstrar este fato vamos comecar por introduzir e provar 4 lemas. Mas antes disto vamos definir um corpo algebricamente fechado. Um corpo $F$ e algebricamente fechado se qualquer polinomio de uma variavel e grau maior ou igual a 1, com coeficientes em $F$, tiver uma raiz em $F$.Eis os lemas que vamos utilizar:1. Lema 1: Todo o polinomio de coeficientes reais de grau impar tem uma raiz real.2. Lema 2: Todo o polinomio de coeficientes complexos e grau dois, tem pelo menos uma raiz complexa.3. Lema 3: Se todo o polinomio de coeficientes reais, nao constante, tem uma raiz complexa, entao todo o polinomio de coeficientes complexos, nao constante, tem uma raiz complexa.4. Lema 4: Todo o polinomio real nao constante tem uma raiz complexa.Demonstracao:Seja $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ um polinomio de coeficientes reais, nao constante e $a_n\neq 0$. Vamos provar por inducao no grau do polinomio que, $f(x)$ tem uma raiz complexa.Seja $n=2^mq$ , com $q$ impar. Vamos fazer uma inducao em $m$.Se $m=0$ temos $n=q$ e o grau do polinomio e impar. Logo pelo Lema1, temos que o polinomio tem uma raiz real. Suponhamos agora que a propriedade se verifica para todos os graus $d=2kq'$ com $k>m$ e $q'$ impar, e que o grau de $f$ e $n=2mq$. Seja $F'$ o corpo de decomposicao de $f(x)$ sobre $\mathbb{R}$ cujas raizes sao $r_1,\ldots,r_n$. Vamos mostrar que pelo menos uma destas raizes