sucinta, Supermartingais e Submartingais.2.3 Supermartingais e SubmartingaisDefinicao:Sejam {Xn, n = 0, 1, 2, ...} e{Yn, n = 0, 1, 2, ...} processos estocasticos.{Xn}e chamado de supermartingal em relacao a {Yn} se para todo n tivermos satisfeitas as seguintescondicoes:(i) E[X ] > - onde x- = min {x, 0},(ii) E[Xn+1 | Y0, ..., Yn] Xn ,(iii) Xn e uma funcao de (Y0, ..., Yn){Xn}echamado de submartingal em relacao a{Yn} se para todo n tivermos satisfeitas asseguintes condicoes:(i) E[X ] > - onde x+ = max {x, 0},(ii) E[Xn+1 | Y0, ..., Yn] Xn ,(iii) Xn e uma funcao de (Y0, ..., Yn) Assimcomo para os martingais, pode acontecer de a supressao de {Yn} pelos mesmos motivos.Importante: {Xn} e martingal {Xn} e submartingal e supermartingal (simultaneamente). Martingais sao processos constantes em media,isto e:E[X1] = E[X2] = E[X3]= .... Submartingais sao processos crescentes emmedia, isto e:E[X1] E[X2] E[X3] .... Supermartingais sao processos decrescentes emmedia, isto e:E[X1] E[X2] E[X3] ....Exemplo 1: Vamosdemonstrar agora que se {Xn} e martingal entao E[Xn+1] =E[Xn].Sabemosque Xn e uma funcao de (Y0, ..., Yn), isto e, conhecendo-se osvalores de (Y0, ..., Yn) podemos determinar os valores deXn, em particular Xn =E[Xn+1 | Y0,..., Yn].Considerando agora a propriedade deesperanca condicional que diz: E[g(X)] = E{E[g(X|Y)]} temos:E[Xn+1] =E{E[Xn+1|(Y0,..., Yn)]} = E[Xn] Portanto E[Xn+1] = E[Xn].Comeste resultado podemos dizer que se {Xn} e um martingal, entao E[X0]= E[X1] = E[X2]= ....3. Martingais exemplos e aplicacoesEmbora a base da Teoria dos Martingais ja fosse conhecida noseculo 18, nas ultimas decadas muitos matematicos tem se dedicado ao seuestudo. Sendo uma parte bastante abstrata dos processos estocasticos, ha inumerasaplicacoes nas mais diversas areas. Atualmente, sua grande importancia esta naarea financeira.3.1 Martingais e os jogosMuitosexemplos de martingais aparecem em jogos simples como o que utilizamos noinicio deste artigo. Vamos agora tomar como exemplo uma variacao daqueleinicial.Non-esimo lancamento de uma moeda honesta acrescentamos um valor A ao capital dojogador se sair cara subtraimos a mesma quantidade se sair coroa. Seja K ocapital do jogador ao iniciar o jogo. Nao ha necessidade deste capital serpositivo, assim ele pode jogar mesmo com um credito negativo (em outraspalavras, devendo para a banca). Vamos considerar tambem que os lancamentos saoindependentes.SejaZj assim determinado:Zj = A, se sair cara no j-esimolancamento eZj = A, se sair coroa no j-esimolancamento,Destaforma, no n-esimo lancamento do jogo, o capital do jogador sera:Xn = K + Z1 + Z2+ ... + Zn.Como Z1,Z2,... sao variaveis aleatorias independentes e, como E[Zi]=0, {Xn} e um martingal, pois:(i) E[| Xn |] < (trivial)(ii) E[Xn+1|X1, X2 , ... ,Xn] = XnProva:E[Xn+1|X1 = a1,X2 = a2, ... ,Xn = an] = = E[(Xn + Zn+1)| X1= a1, X2 = a2, ... ,Xn = an]== E[(an + Zn+1)| X1 = a1, X2 = a2,... ,Xn = an] == an + E[Zn+1| X1 = a1, X2 = a2,... ,Xn = an] == an + E[Zn+1] = an.Comoan = Xn, entao E[Xn+1|X1, X2, ... ,Xn ] = Xn, portanto { Xn}eum martingal3.2 Martingais e a area financeiraRenato Aguiar em seu trabalho Previsibilidade de Retornos no MercadoAcionario Brasileiro observa que o modelo martingal e um dos mais antigos