de $V$ em $W$ de tal forma que:$T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$ e $T(av_1)=aT(v_1)$paratodo $v_1$ e $v_2$ em $V$ e todo $a \in F$.Talvezseja essa a definicao mais generica possivel, pois nem mesmo ocorpo e explicitado. Em geral, o corpo dos numeros reais e o maiscomumente utilizado, enquanto que na fisica, fisica matematica ecertas aplicacoes de engenharia pode-se utilizar os corpo dosnumeros complexos. Para saber mais sobre o que e um corpo, vejahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica).Mas comotraduzir essa formalidade para o terreno humano?Vejaentao que uma transformacao linear e necessariamente uma regra,isto e, uma funcao, que obedece as condicoes supracitadas, naonecessariamente separadas. Pode-se ter da mesma forma umatransformacao linear com a seguinte cara: $T(v_1+ a v_2) = T(v_1) + aT(v_2)$.O fatoda definicao ser generica pode dificultar nosso entendimento, masvamos recorrer a alguns exemplos algebricos:Seja $V$ e $W$ qualquer espaco vetorial. A transformacao linear que leva umvetor nele mesmo e chamada transformacao identidade e tem aseguinte forma: $Iv=v$ (a notacao muitas vezes depende do autor,alguns usam parenteses, outros nao... eu costumo utilizar quandoquero dar alguma enfase).Hatambem a transformacao nula, isto e, $0v=0$. Para verificar que saotransformacoes lineares, basta verificar que:$I(v_1+v_2) = I(v_1)+I(v_2) = v_1 + v_2$, pois $I(v_1)=v_1$ e $I(v_2)=v_2$ por definicao da transformacao identidade. De mesmo modo, $I(av_1) = a I(v_1) = a v_1$. $0(v_1+v_2)=0(v_1)+0(v_2)=0+0=0$. De mesmo modo $0(a v_1)=a 0(v_1)= a 0=0$.Reparetambem que pela definicao qualquertransformacao linear do elemento neutro 0 resulta necessariamenteno proprio elemento neutro, ou seja: $T(0) = 0$, pois $T(0) = T(0+0) =T(0) + T(0)$. Se $T(0)=T(0)+T(0)$, ao subtrair $T(0)$ dos dois ladoschega-se em $T(0)=0$.Devido aessa ultima propriedade, que pode ser enunciada como "qualquertransformacao linear leva necessariamente o zero ao zero",pode haver uma certa confusao entre as transformacoes lineares eas funcoes lineares. As funcoes lineares podem ser vistas comoretas no plano, mas as unicas funcoes lineares (retas no plano)que sao tambem transformacoes lineares (no sentido que estamosjustamente explicando) sao aquelas que passam pela origem, pois todatransformacao linear deve obedecer $T(0)=0$. Paraentender melhor, imagine duas funcoes $f(x)=2x$ e $g(x)=2x+3$. De fato,para uma escolha generica de $x_1$ e $x_2$ :Dadefinicao da funcao $f(x_1+x_2)=2(x_1+x_2)$, mas pela propriedade datransformacao linear $f(x_1+x_2) = f(x_1) + f(x_2) = 2 x_1 + 2 x_2 =2(x_1+x_2)$. Logo, $f(x)$ e, alem de funcao linear, uma transformacaolinear, pois $f(0)=0$.Agorarepare que $g(x_1+x_2)=2(x_1+x_2)+3$, mas $g(x_1) + g(x_2) = 2x_1 + 2x_2 + 6\neq g(x_1+x_2)$, logo, $g(x)$ nao e transformacao linear, embora sejauma funcao linear.Saindoum pouco da algebra, e interessante pensar nas transformacoeslineares em termos geometricos. Sugiro ao leitor que consulte algum livro de algebra linear para verificar as transformacoes lineares no plano: contracao, dilatacao, rotacao, reflexao, cisalhamento horizontal, cisalhamento vertical, etc... Na figura de uma manipulacao que programei no Mathematica, seguem alguns exemplos. O quadro da esquerda e o vetor original, o quadro da direita o vetor transformado: Este foi o primeiro post da serie de algebra linear. Fique ligado nos proximos. Se houver qualquer duvida, envie um comentario.Abracos