" O pior analfabeto e o analfabeto politico.Ele nao ouve,nao fala,nao participa dos acontecimentos politicos.Ele nao sabe que o custo de vida,o preco do feijao,do peixe,da farinha,do aluguel,do sapato e do remediodependem das decisoes politicas.O analfabeto politico e tao burro que se orgulha e estufa o peito dizendo que odeia a politica.Nao sabe o imbecil que da sua ignorancia politica nasce a prostituta,o menor abandonado,e o pior de todos os bandidos que e o politico vigarista,pilantra,o corrupto e lacaio dos exploradores do povo."Bertolt Brecht Uma das areas da matematica em que mais me interesso e amodelagem matematica, eu acho incrivel como um modelo simplificado pode gerarresultados tao parecidos com os da vida real e o mais interessante e que amodelagem matematica esta mais proxima de nos do que imaginamos. As previsoesdo tempo, por exemplo, sao realizadas por modelos matematicos, ha modelos paraestimar o crescimento populacional, evolucao de doencas e ate mesmo ofuncionamento dos neuronios alem de outros modelos em quase todas as areas doconhecimento.Eu estava lendo um livro chamadoMathematical Modelling Case Studiesand Projects (Jim Caldwell & Douglas K.S. Ng) e vi um problema que acheifamiliar. O problema e muito semelhante a um exemplo do livro EquacoesDiferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno (Boyce & DiPrima)e como e um problema simples e bem tutorial, vou apresenta-lo eresolve-lo aqui.Oenunciado do problema e o seguinte: A concentracao de poluentes em um lago em determinadoinstante de tempo e dado pela funcao \( Q(t) \), sabe-se que um rio desagua nolago. A vazao de entrada e \( v_i=150 km^3/ano \) e a agua do rio tem umaconcentracao de poluentes de \( C kg/km^3 \), ha tambem um rio que sai do lago,que tem uma vazao de saida \( v_o=150 km^3/ano \). O lago tem um volume \( V=5000km^3 \) que permanece constante pois \( v_i = v_o \).Aquestao e criar um modelo que descreva a taxa de variacao de \( Q(t) \), ou seja, desejamos saber com que velocidade aquantidade de poluente no lago aumenta ou diminui.Quandofalamos de taxa de mudanca, certamente estamos falando da derivada de talfuncao, neste caso, a derivada de \( Q(t) \).Estataxa e dada pela diferenca entre a concentracao de poluente da agua entrando no lago e a concentracao de poluente da agua que sai do lago. Temos assim a seguinte equacaodiferencial:$$\frac{dQ(t)}{dt}=\frac{v_i*C}{V}-\frac{v_o*Q(t)}{V}$$\(Variacao=Entrada-Saida\)Substituindo os valores temos:\[\frac{dQ(t)}{dt}=\frac{150*C}{5000}-\frac{150*Q(t)}{5000} =0.03*[C-Q(t)]\]Podemos passar o \(dt\) para o outro lado multiplicando:\[\frac{dQ(t)}{[C-Q(t)]}=0.03*dt\]Integrando dos dois lados temos:\[\int \frac{dQ(t)}{[C-Q(t)]}=\int 0.03*dt\]\[\int \frac{dQ(t)}{[C-Q(t)]}=0.03t + K_1\]Resolvendo a integral da esquerda por substituicao:\([C-Q(t)]=u\)\(dQ(t)=-du\)\[\int \frac{-du}{u} = -ln(u)+K_2\]Assim:\[ln([C-Q(t)])-K_2+K_1 = -0.03t\]Aplicando a funcao \(e^x\) em ambos os lados da equacao temos:\[[C-Q(t)]*e^{K_1-K_2} = e^{0.03t}\]\[Q(t)=C-K_3*e^{-0.03t}\]Podemos observar que \(e^{K_1-K_2}\) foi substituido por \(K_3\), o que nao faz diferenca pois continua sendo uma constante.Uma informacao ainda nao dita e que a concentracao inicial de poluentes no lago e de \( 40kg/km^3 \) logo:\(Q(0)=40\)Desse Modo:\[Q(t)=C-K_3*1=40\]\(K_3=C-40\)Nossa resposta final e entao:\[Q(t)=C-(C-40)*e^{-0.03t}\]Plotando o grafico para esta equacao com varios valores de \(C\) temos:Podemos observar que depois de certo tempo a concentracao de poluente no lago sera muito proxima da concentracao de poluente da agua que entra no lago, pois a funcao exponencial tende a zero rapidamente. E