e numeros. Russell propos-se eliminar os conjuntos a favor de funcoes proposicionais, mas isto revelou-se impossivel de aplicar a mais do que um fragmento da matematica (Goodman e Quine 1947, Quine 1969). Porque as variaveis da teoria de conjuntos tem conjuntos como valores, e porque ser e ser o valor de uma variavel, estamos comprometidos com a sua realidade e isto e platonismo quanto a conjuntos e numeros. O tentativa mais importante de evitar o platonismo e o de Hartry Field (1980, 1989).Objectos geometricos. Diferentemente de seja o que for que ocorra no mundo natural, os objectos da geometria cubos euclidianos, por exemplo sao concebidos como perfeitos, imutaveis, intemporais e sem poderes fisicos causais. Alem disso, ha geometrias, e objectos geometricos correspondentes, com muitas mais dimensoes do que as que este mundo tem. Um espaco geometrico pode dividir-se e subdividir-se numa infinidade de configuracoes de diferentes dimensoes. O platonismo na geometria envolve assim uma expansao infinita na ontologia.Uma abordagem a esta questao e considerar que os objectos geometricos sao abstraidos, isto e, tirados do seu contexto. Deste ponto de vista, todo o cubo e apenas um fragmento espacial particular de espaco-tempo e todo o triangulo e um fragmento de uma das superficies espaciais do espaco-tempo. Um problema desta abordagem e que nem todas as formas estarao disponiveis. Se o nosso espaco-tempo esta longe de ser perfeitamente euclidiano, nao havera cubos reais euclidianos. Podemos tratar estes objectos inexistentes como variacoes imaginarias das que efectivamente existem, e considerar que as geometrias que quantificam sobre tais coisas nao sao literalmente verdadeiras.Logica. A filosofia da logica faz referencia a proposicoes, operadores, funcoes e inferencias. Estas sao entidades abstractas, que se relacionam com o raciocinio aproximadamente do mesmo modo que os numeros se relacionam com a contagem e a medicao. Os problemas e possibilidades de sucesso de um tratamento reducionista destas entidades sao igualmente paralelos.Seres necessariosConsidera-se habitualmente que as coisas comuns existem contingentemente; isto e, existem, mas poderiam nao existir. Tivessem as leis da natureza do nosso mundo sido diferentes, ou as condicoes iniciais, e haveria um grupo diferente de seres contingentes. Mas algumas coisas parecem imunes aos caprichos causais e do acaso; situando-se fora da rede causal, nao podem ser trazidos a existencia e nao podem ser destruidos. Sao seres necessarios. Se o platonismo estiver correcto com respeito a quaisquer objectos abstractos, havera seres necessarios e ate, paradoxalmente, a classe vazia.Para Aristoteles, seja o que for que exista ao longo de um tempo infinito e necessario porque ele defendia que ao longo de um tempo infinito todas as possibilidades acabariam por se efectivar. Para Plotino, qualquer ser divino estaria fora do tempo, e como tal nao poderia mudar, nao poderia deixar de existir e consequentemente seria um ser necessario. Para Tomas de Aquino, a necessidade de Deus deriva da sua simplicidade: a essencia de Deus e a sua existencia sao identicas; deste modo, Deus e um tipo de ser que tem de existir. Para Espinosa, toda a substancia genuina e causa sui, contendo em si a explicacao suficiente do seu proprio ser, e portanto pode garantir