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Obrigado pela visita.O post com a descricao do estudo das estatisticas do Brasileirao, cujos resultados foram apresentados no Redacao SPORTV, sera publicado ate o final do dia de hoje.Por favor acessem mais tarde.Ha outros 3 posts relacionados a futebol no mes de abril.Andre Diniz Vai ate o dia 31 de dezembro o prazo para apostar no ultimo sorteio do ano da Mega-Sena, conhecido como a Mega Sena da Virada. Este concurso tem duas particularidades em relacao aos demais: 1) o premio e muito maior, porque atrai um grande numero de jogadores e e composto por arrecadacoes realizadas ao longo de todo o ano; 2) a regra do sorteio praticamente garante que havera pelo menos um ganhador pois, caso ninguem acerte os seis numeros, o premio e rateado entre os acertadores da Quina e, na hipotese muito pouco provavel de ninguem acertar a Quina, o premio e destinado aos ganhadores da Quadra.Motivado por perguntas feitas por um aluno meu e por um leitor do blog, discuto neste post as chances de voce ganhar o premio considerando tambem a possibilidade de ninguem acertar os 6 numeros e voce fazer a Quina, e tambem a questao de como tentar diminuir as chances de dividir o premio.Nao ha formula milagrosa para aumentar a probabilidade de ser premiado, como ja vimos em posts anteriores.1 Um estudante de nivel fundamental tem a mesma chance de ganhar que um doutor em Probabilidade e Estatistica, desde que joguem um igual numero de apostas. Isto ocorre porque qualquer combinacao de 6 numeros possui a mesma probabilidade de ser sorteada, seja a trivial 1,2,3,4,5,6 ou, por exemplo, a combinacao 2-13-21-34-45-56. A chance de cada aposta simples de 6 numeros ser sorteada e de 1 em 50.063.860, ou aproximadamente 0,0000020%.Com a regra da Mega-Sena da Virada, o calculo das chances de voce, com uma aposta simples, ganhar o premio destinado a Sena e diferente, pois ha tres eventos (utilizando o jargao estatistico) mutuamente excludentes2 em que isso pode ocorrer:A) Voce acertar a SenaB) Voce acertar a Quina e ninguem acertar a SenaC) Voce acertar a Quadra e ninguem acertar a Quina ou a Sena.Ja sabemos que a probabilidade de ocorrencia do evento A e de 0,0000020%. A do evento C sera ignorada nos calculos deste post por ser absolutamente desprezivel, principalmente pelo grande numero de apostas realizadas neste ultimo sorteio do ano. Nos sorteios da Mega-Sena da Virada de 2009/2010 e 2010/2011, onde passaram a vigorar as regras atuais3, houve 1561 e 734 ganhadores da Quina, respectivamente.A chance de ninguem acertar a Sena, necessaria para se obter a probabilidade do evento B, seria calculada, idealmente, da seguinte forma: de posse das apostas realizadas por todos os jogadores para este concurso, verificaria-se quantas combinacoes de 6 numeros nao foram escolhidas por NENHUM jogador. Chamando este numero de M, a probabilidade de ninguem acertar a Sena seria de M/N, onde N e o numero total de combinacoes (50.063.860). O grande problema e que a relacao de todas as combinacoes apostadas nao e disponibilizada para o publico e, mesmo que fosse, levaria algum tempo para se
de 03/05/2011 e Numeros em Sequencia, de 08/05/20112) Na teoria das probabilidades, dois eventos sao mutuamente excludentes quando nao podem ocorrer simultaneamente.3) A Mega-Sena da Virada foi criada em 2008, porem apenas a partir de 2009 passou a vigorar a regra de que o premio da Sena nao seria acumulado para o sorteio seguinte, mas sim repassado aos ganhadores da Quina e Quadra.4) Informacoes sobre arrecadacao e resultados dos sorteios podem ser obtidas no endereco http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/como_jogar.asp. 5) E importante lembrar que o preco das apostas multiplas (por exemplo, de 7 numeros) e diretamente proporcional ao numero de combinacoes contidas na mesma. Portanto, para este calculo, nao faz diferenca como o total de apostas esta distribuido entre apostas simples e multiplas. 6) A rigor, deve-se realizar o produto entre a Probabilidade de ninguem fazer a sena e a Probabilidade de voce fazer exatamente a Quina, dado que voce nao fez a Sena. No entanto, a probabilidade condicionada no segundo fator e praticamente igual a probabilidade de voce fazer exatamente a Quina.7) Para uma aposta simples, o numero de sorteios favoraveis para voce fazer a Quina e C65 C541, que e a composicao das combinacoes de 5 numeros dentre os 6 que voce escolheu e de 1 numero dentre os 54 que voce NAO escolheu. A probabilidade de fazer a Quina sera entao a razao entre esta quantidade e o numero total de combinacoes (C606).
Qual a chance do seu telefone estar ocupado no exato momento em que alguem te liga para te dar uma noticia super urgente? Qual a probabilidade de ter o veiculo furtado ao estacionar na rua? E de comprar uma lampada com defeito em um supermercado? As probabilidades de eventos1 deste tipo nao podem ser calculadas com formulas matematicas exatas derivadas a partir de regras objetivas que definem o experimento aleatorio, como fiz em posts anteriores relacionados a Mega-Sena ou ao jogo de War. 2 Nestes e em muitos outros casos, o metodo mais comum e utilizar dados historicos, realizando uma associacao direta entre a frequencia de ocorrencia do evento no passado e a sua probabilidade de ocorrencia no presente. Utilizando um exemplo classico em Medicina, se 10% dos pacientes com certa doenca sao curados por um determinado tratamento, supoe-se que a probabilidade de um paciente, selecionado ao acaso, ser curado por esse mesmo tratamento e de 0,10, ou 10%.Neste ponto, o matematico especializado em calculo das probabilidades da lugar ao estatistico, que deve ser criterioso para realizar uma estimativa que seja a mais precisa possivel e nao tendenciosa.3 Um fundamento teorico basico para se estimar a probabilidade da ocorrencia de um evento A atraves de dados historicos e atraves da aplicacao da seguinte formula:onde P(A) e a probabilidade desejada (medida na escala entre 0 e 1), N e o numero de vezes em que se observou o resultado do experimento aleatorio no passado, e N(A) e o numero de vezes, nestas observacoes, em que o evento A ocorreu. Por exemplo, se um jogador de basquete acertou 45 dos 50 arremessos livres realizados ao longo de um campeonato, a probabilidade de ele acertar esse tipo de arremesso (evento A) seria estimada pela razao 45/50, ou uma chance de 90%. Se o evento A for um veiculo ser furtado na rua, sua probabilidade seria estimada pela razao entre o numero de veiculos furtados e o numero de veiculos que ficam estacionados na rua. Apesar de a formula acima ser aparentemente simples, ela esconde uma serie de dificuldades, algumas delas discutidas a seguir:1) A primeira e que muitas vezes nao e simples determinar o universo de analise N e/ou o numero de ocorrencias N(A) do evento. No exemplo da probabilidade de furto de um veiculo, e dificil avaliar a quantidade de veiculos que estao expostos a esse risco, pois isso envolveria, idealmente, estudos de campo para a contagem do numero de carros estacionados, em diversos instantes de tempo, o que pode se tornar caro e tedioso. Pesquisas sobre posse de veiculos e uso de estacionamentos podem ser consultadas mas, em geral, os dados englobam apenas uma amostra da populacao. Por outro lado, tem-se uma estimativa confiavel do numero de carros furtados (N(A)), ja que esse tipo de ocorrencia e quase sempre registrado nas delegacias.Em outros exemplos, a dificuldade maior e a de estimar N(A), como na avaliacao da probabilidade de um homem brasileiro entre 30 e 40 anos sofrer de impotencia sexual. Apesar do universo de analise ser bem definido, e dificil avaliar o numero
estimando a probabilidade de cada face pela mesma formula apresentada anteriormente.Recentemente, recebi um link de uma reportagem5 que relatava que receber atendimento em qualquer hospital do mundo e mais arriscado do que viajar de aviao, para o qual o risco de morte seria de aproximadamente 1 em 10 milhoes. Como a probabilidade de queda de um aviao nao pode ser calculada exatamente por formulas matematicas, resolvi calcular esse risco utilizando o procedimento descrito neste post, ou seja, pela razao entre o numero de pessoas mortas em acidentes aereos, N(A), e o numero total de passageiros de aviao (N), ao longo de uma determinada janela de tempo. A tabela abaixo mostra essas duas estatisticas nos ultimos 5 anos, em todo o mundo, extraidas de duas fontes diferentes.Ano20062007200820092010No Mortos116498582310931074No passageiros- 4,8 bilhoes4,9 bilhoes4,8 bilhoes5,0 bilhoesFontes: http://www.planecrashinfo.com; http://www.aci.aeroA minha estimativa para o risco de morte em um acidente de aviao sera entao de aproximadamente (1000/5 bilhoes), ou seja, em torno de 1 em cada 5 milhoes de pessoas. Essa estimativa, apesar de ter sido o dobro, nao difere muito da relatada na referida reportagem, ja que, para probabilidades muito pequenas, o mais importante e obter valores da mesma ordem de grandeza que a probabilidade real, desconhecida. Esta diferenca entre a minha estimativa e a da reportagem ressalta tambem um aspecto importante, o de que, pelo procedimento descrito neste texto, duas pessoas podem chegar a diferentes estimativas para a probabilidade de um mesmo evento. Isto ocorre porque as hipoteses para a delimitacao do conjunto de analise e as fontes dos dados utilizados para a determinacao dos valores de N(A) e N podem ser diferentes.Uma leitora havia sugerido que eu calculasse o risco de uma pessoa ser atingida por um bueiro voador na cidade do Rio de Janeiro. Neste caso, considero que nao ha dados estatisticos suficientes para realizar esse calculo e qualquer estimativa poderia ser bem grosseira.1) Evento e um termo em Estatistica para designar algum fato cuja probabilidade deseja-se calcular. Tecnicamente, e um subconjunto de todos os resultados possiveis (espaco amostral) de um experimento aleatorio.2) Posts A Mega em Cena e O jogo da Estrategia, publicados em Maio/2011.3) Uma estimativa tendenciosa e aquela que apresenta algum vies (nao proposital), para um valor acima ou abaixo do valor real da probabilidade.4) Esta lei diz que, se a probabilidade de um evento A vale p, a razao N(A)/N apresentada neste texto tendera a esse valor, quando o numero de repeticoes independentes do experimento aleatorio (N) for arbitrariamente grande.5) http://oglobo.globo.com/vivermelhor/mat/2011/07/21/receber-atendimento-em-qualquer-hospital-do-mundo-mais-arriscado-do-que-viajar-de-aviao-diz-oms-924952253.asp
A fuga do rebaixamento do Fluminense em 2009 ficou conhecida como um caso emblematico em que os estatisticos erraram feio por apontarem, a muitas rodadas antes do fim, apenas 1% de chances de o time carioca se manter na primeira divisao em 2010. No entanto, esta situacao pode ser vista como um acerto dos estatisticos, pois enquanto o publico e a critica em geral davam como certo o rebaixamento do tricolor, aquele percentual era um sinal de que nem tudo estava perdido. Os estatisticos consideraram, sim, a hipotese de o time nao ser rebaixado, mas com a probabilidade que cabia na epoca, de acordo com os dados que tinham no momento da analise. Afinal de contas, dos 7 jogos finais daquele campeonato, o Fluminense ganhou 6 e empatou 1, conquistando 19 pontos dos 21 possiveis e, mesmo com um desempenho tao impressionante, escapou do rebaixamento por apenas 1 ponto. Qual seria a probabilidade de um time na ultima colocacao dar tal guinada, que originou ate a publicacao de um livro?1. Provavelmente dessa ordem de 1%, ou menor.Esse fato ilustra bem como os resultados do meu estudo sobre as chances de cada time no Brasileirao, publicados no post anterior2, devem ser encarados. Por exemplo, se as chances de titulo do Flamengo, segundo as hipoteses que adotei, foram de apenas 1,7%, isso nao significa que o time rubro-negro nao tenha chances. Apenas indica que elas sao reduzidas, considerando que o seu desempenho, daqui para frente, nao ira ser muito diferente do desempenho dos outras equipes que classifiquei como sendo do tipo A (os 12 clubes chamados grandes). E esta hipotese basica foi adotada porque nao tenho elementos para prever que determinada equipe deste tipo tera um desempenho bem superior ao dos outros no futuro. Como enfatizei no programa Redacao Sportv, onde os resultados foram apresentados, estatistico nao e vidente. E se o torcedor do Flamengo estiver confiante de que o time ira engatar 4 vitorias consecutivas nas proximas rodadas, como ja fez duas vezes nesse campeonato? Se isto acontecer, apos a 28a rodada, suas chances de conquistar o titulo ou ir para a Libertadores certamente subirao, e deverao ser bem maiores do que as apontadas ao final desta 24a rodada (vide resultados mais adiante). Raciocinio analogo pode ser aplicado a qualquer outro time, seja na disputa pelo titulo como na luta contra o rebaixamento. E importante que se entenda, portanto, que as chances de cada time sao recalculadas a cada rodada, e eventuais mudancas no seu desempenho (para melhor ou para pior) irao se refletir nas suas possibilidades futuras de titulo, de vaga na Libertadores ou de nao cair. No exemplo citado do Fluminense em 2009, a chance de fuga do rebaixamento foi crescendo ao longo das ultimas rodadas do campeonato. A sete rodadas do fim, consistia daquele historico 1%, e na ultima rodada atingiu um valor que indicava algo bem mais provavel de acontecer: bastava nao perder para o Coritiba no ultimo jogo, no estadio Couto Pereira.Essa mudanca nos prognosticos ao longo do campeonato e inevitavel, e nao significa que o estatistico errou
nos calculos anteriores, a partir das hipoteses adotadas. Ela se da simplesmente pela impossibilidade de o estatistico prever o futuro. Por exemplo, ontem, pela 24a rodada do campeonato, o Vasco venceu bem o Gremio em Sao Januario, por 4 a 0. Segundo a tabela de probabilidades para um jogo entre equipes do tipo A, mostrada no post anterior, considerei que a probabilidade de vitoria do time mandante era de 0,40. Isto significa que, em media, apenas 40% das 100.000 simulacoes que realizei anteriormente apontaram o Vasco vitorioso neste jogo. Ja no estudo atualizado que realizei ao final desta 24a rodada, 100% das simulacoes consideraram vitoria do Vasco nesse mesmo jogo (uma vez que ele ja ocorreu), e assim os novos prognosticos foram mais favoraveis ao clube da colina, em relacao aos da rodada anterior. Como nao e possivel um time ganhar 40% de um jogo apos a sua realizacao, os calculos so seriam os mesmos, nesse caso, se eu tivesse considerado, na simulacao para a rodada anterior, 100% de chance de vitoria do Vasco neste confronto. Evidentemente, isso seria um absurdo do ponto de vista tanto estatistico como futebolistico.Com base nos resultados revelados para esta 24a rodada que terminou hoje, fiz novas simulacoes, com a mesma metodologia e hipoteses adotadas no estudo do post anterior, que havia sido realizado apos a 23a rodada. A unica modificacao, portanto, foi a inclusao dos resultados ocorridos nesta rodada, que se constituiram, para o programa, em jogos ja realizados e nao mais passiveis de simulacao. As novas chances de titulo, vaga na Libertadores e risco de rebaixamento sao mostradas na tabela abaixo. A figura na sequencia mostra a variacao ocorrida nas chances de titulo em relacao a simulacao anterior. # Equipe Classificacao do Campeonato, apos a 24a rodada Chancesde Titulo (%) Chances de Libertadores(%) Risco de Rebaixamento(%) PG J V E D GP GC SG 1 Vasco 45 24 13 6 5 37 27 10 23,72 0,00 0,00 2 Sao Paulo 44 24 13 5 6 39 28 11 25,54 88,77 0,00 3 Corinthians 43 24 13 4 7 36 26 10 25,94 88,87 0,00 4 Botafogo 41 23 12 5 6 37 26 11 17,72 81,17 0,00 5 Fluminense 37 24 12 1 11 30 29 1 2,40 42,07 0,02 6 Flamengo 37 24 9 10 5 39 32 7 1,34 32,03 0,04 7 Internacional 36 24 9 9 6 40 31 9 1,11 27,07 0,10 8 Palmeiras 35 24 8 11 5 30 24 6 0,76 23,54 0,14 9 Atletico-GO 33 24 9 6 9 30 27 3 0,01 0,80 8,95 10 Coritiba 33 24 9 6 9 40 30 10 0,02 2,82 2,74 11 Santos 32 22 9 5 8 32 33 -1 1,30 0,00 0,21 12 Figueirense 32 24 8 8 8 28 30 -2 0,00 0,49 13,90 13 Gremio 30 23 8 6 9 27 31 -4 0,13 8,99 1,24 14 Cruzeiro 29 24 8 5 11 30 28 2 0,03 3,12 3,83 15 Ceara 27 24 7 6 11 30 41 -11 0,00 0,03 46,39 16 Bahia 27 24 6
9 9 28 32 -4 0,00 0,02 49,62 17 Atletico-MG 24 24 7 3 14 30 41 -11 0,00 0,21 24,13 18 Atletico-PR 23 24 5 8 11 24 36 -12 0,00 0,00 66,27 19 Avai 22 24 5 7 12 28 49 -21 0,00 0,00 86,50 20 America-MG 19 24 3 10 11 30 44 -14 0,00 0,00 95,93 Verifica-se uma significativa reducao na chance do Corinthians, de 36,4% para os atuais 25,94%, e um grande aumento das chances de Vasco e Sao Paulo. Esse comportamento era esperado, devido a derrota do Corinthians para o Santos e as vitorias expressivas dos outros dois adversarios. Entretanto, um fator que contribuiu para a magnitude desta variacao foi o fato de as tres equipes estarem muito proximas entre si, e os 3 pontos ganhos a mais por Vasco e Sao Paulo nesta rodada podem fazer muita diferenca no final. Por exemplo, os campeoes das tres ultimas edicoes do campeonato Fluminense, Flamengo e Sao Paulo terminaram o campeonato com diferenca menor ou igual a 3 pontos para o segundo colocado. Verificou-se tambem uma leve reducao nas chances do Botafogo, que empatou com o Flamengo na rodada.O time do parque Sao Jorge continua com mais chances que os demais, porem esta diferenca e estatisticamente desprezivel em relacao ao Sao Paulo e muito pequena em relacao ao Vasco. Apesar de estar na lideranca, o clube de Sao Januario ainda tem contra si o fato de ja ter descartado, neste 2o turno, uma quantidade maior de jogos com times de menor expressao.Na luta contra o rebaixamento, destaca-se a aproximacao entre as chances de Ceara (46,39%) e Bahia (49,32%), devido a derrota sofrida pelo primeiro e a vitoria do segundo, diante do Fluminense, que e uma equipe classificada como do tipo A. Finalmente, na zona de classificacao para a Libertadores, houve uma aproximacao entre o candidato mais provavel para a ultima vaga, o Fluminense (42,07%), e os seus adversarios mais diretos, Flamengo (32,03%) e Internacional (27,07%). Apesar de estes dois ultimos terem empatado suas partidas, o Flamengo obteve uma vantagem maior em relacao ao Internacional por ter descartado um classico, enquanto o time do Sul deixou de ganhar um jogo em casa, contra uma equipe que havia sido classificada como do tipo B.1) "Do Inferno ao Ceu - A Historia de um Time de Guerreiros", Paulo Roberto Andel, Ed. 7 letras, 2011.2) Post chances do Brasileirao, publicado em 16/09/2011.
o presente anterior. Uma questao interessante e saber qual a probabilidade do ciclo se fechar, ou seja, de a primeira pessoa ser presenteada antes do termino da entrega de todos os presentes, o que obrigaria a escolha de uma nova pessoa para reiniciar o processo. O numero de combinacoes em que o ciclo nao se fecha corresponde a (N-1)!, pois, para que isso ocorra, a segunda pessoa teria que tirar uma das (N-1) pessoas ainda nao presenteadas, a terceira pessoa teria que tirar uma das (N-2) pessoas ainda nao presenteadas, e assim sucessivamente. Portanto, a probabilidade de o ciclo nao se fechar corresponde a razao entre (N-1)! e o numero total de sorteios validos, uma vez que a entrega de presentes so e feita depois de conseguido um sorteio valido. Esta razao, que tambem foi calculada por mim atraves de simulacao, se torna cada vez maior quando aumenta o numero de pessoas no amigo oculto, como mostra o grafico abaixo. Isto explica porque muitas vezes e necessario reiniciar o processo de entrega dos presentes a partir de uma pessoa que ainda nao foi presenteada. Chance de haver troca direta de presentes entre duas pessoasA probabilidade de voce tirar cada um dos participantes no Amigo Oculto e a mesma, e vale 1/(N-1), ja que, em um sorteio valido, voce nao pode se tirar. Em um amigo oculto com 11 pessoas, por exemplo, voce tem 0,1 (ou 10% ) de possibilidade de tirar cada uma delas.O que irei calcular agora e a chance de haver troca direta de presentes entre duas pessoas, ou seja, em um par de pessoas, uma tirar a outra. Considero tres possibilidades:A) Voce trocar presente com determinada pessoa. Neste caso, deseja-se calcular a probabilidade de uma troca especifica entre voce e uma pessoa desejada.B) Voce trocar presente com alguma pessoa. Neste caso, consideram-se as trocas entre voce e qualquer uma das N-1 pessoas restantes;C) Alguem trocar presente com alguma outra pessoa. Neste caso, considera-se a possibilidade de haver troca de presentes entre quaisquer dos N.(N-1)/2 pares de pessoas que podem ser formados.A variacao das probabilidades dos tres casos em funcao do numero de pessoas no amigo oculto e mostrada a seguir: Como era de se esperar, no caso A, a chance de voce trocar presente com uma determinada pessoa desejada (seu marido ou mulher, por exemplo), diminui bastante a medida que cresce o numero de participantes, chegando a insignificantes 0,11% para um grupo de 30 pessoas. A chance de voce trocar presente com alguma pessoa (caso B) tambem diminui para grupos maiores, embora esta probabilidade nao seja tao remota para um Amigo Oculto com ate 30 pessoas. O que talvez cause surpresa e a probabilidade de haver alguma troca entre quaisquer pares de participantes, que e muito proxima de 40%, mesmo quando o numero de pessoas e grande. Apesar da chance de determinada coincidencia diminuir com o aumento de N, a quantidade de coincidencias que podem ocorrer aumenta drasticamente quando ha muitos participantes, fazendo com que o resultado final leve a uma probabilidade alta de haver alguma coincidencia.Todas as probabilidades
calculadas neste post consideram um sorteio idoneo, onde os papeis sao distribuidos aos participantes de forma totalmente aleatoria. Nao estao previstos nos calculos, evidentemente, manipulacoes por parte da organizacao do sorteio, trocas de papeis entre participantes mais proximos, ou eventuais marmeladas que de fato podem vir a ocorrer neste tipo de brincadeira..._________________________________________________________________________________1) Considero a forma tradicional de sorteio, onde se recortam N papeis com os nomes de cada participante, e cada pessoa retira um papel.2) Note que esse e exatamente o mesmo conceito que leva a obtencao da probabilidade de 1/6 de sair a face 1 em um lancamento de um dado, ja que ha 1 combinacao favoravel (a face de numero 1) dentre as 6 combinacoes possiveis de serem sorteadas (as seis faces do dado).3) O numero de combinacoes para cada valor de N pessoas se tirando pode ser obtida de forma recursiva, com base no numero de combinacoes obtidas para menos de N pessoas se tirando. Posso enviar o detalhamento dos calculos para os interessados.