Nesta aula sao enfatizadas as tecnicas de como derivar uma funcao constante (que sempre resultara em zero), como derivar a funcao identidade (que sempre resultara em um) e como derivar uma funcao exponencial (que sempre resultara na propria funcao). Essas regras basicas sempre serao usadas em conjunto com outras regras de derivacao durante todo o curso de Calculo. Portanto, e importante que o aluno aprenda de verdade esse conteudo. Lembrando que o Calculo foi muito importante para alguns pesquisadores, tais com Newton e Leibtniz na realizacao de suas producoes cientificas. Newton, por exemplo, usou o Calculo como uma ferramenta no estudo da Mecanica Classica. Atualmente existem varios softwares que ajudam a calcular derivadas e integrais, porem, e importante entendermos e dominarmos as tecnicas dessa ferramenta realizando os calculos manualmente, no borrao. Entao, maos a obra.Regra para derivar uma funcao constanteRegra: "A derivada de uma funcao constante C com respeito a x e igual a zero."1o) Derive a funcao constante $f(x)=4$Podemos escrever$$f(x)=4$$como$$y = 4.$$A derivada de f(x) e$$f'(x)=y'=\frac{d(f(x))}{dx}$$$$=\frac{d(y)}{dx}$$$$=\frac{d(4)}{dx}=0.$$Portanto, a derivada de uma funcao constante (4) em relacao a x e 0.2o) Derive a funcao constante $f(x)=-5.$Podemos escrever$$f(x)=-5$$ da seguinte maneira$$y=-5.$$ A derivada de f(x) e$$f'(x)=y'=\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(y)}{dx}$$$$=\frac{d(-5)}{dx}=0.$$Portanto a derivada de uma constante ( -5 ) em relacao a x e 0.3o) Derive a funcao constante $f(x)=C.$$$f(x)=C$$ ou$$y=C.$$ A derivada de f(x) e$$f'(x)=y'=\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(C)}{dx}=0.$$Portanto, a derivada de uma constante (C, sendo C pertencentes aos reais) em relacao a x e 0.4o) Derive a funcao identidade $f(x)=x.$Regra: "A derivada de uma funcao identidade$$\frac{dx}{dx}$$ e sempre igual a 1."A funcao dada $$f(x)=x$$pode ser escrita como$$f(x)=y=x=x^1.$$Abaixo: para encontrar a derivada de x, multiplique a base (x) pelo expoente (1) e subtraia 1 do expoente (1 - 1 = 0). Uma vez que o expoente tornou-se 0 a base se iguala a 1, pois, todo numero (diferente de zero) elevado a zero e igual a 1.Portanto,$$f'(x)=y'=\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(x)}{dx}=\frac{d(x^1)}{dx}$$$$=1.x^{1-1}=x^{0}=1.$$Portanto, a derivada de uma funcao identidade$$\frac{d(x)}{dx}$$ ou $$\frac{dx}{dx}$$e sempre igual a 1. No problema a seguir, vamos usar a funcao identidade.5o) Derive a funcao exponencial $f(x)=e^{x}$Regra: "A derivada de uma funcao exponencial da forma $ e^x$ e sempre igual a propria funcao."A funcao exponencial$$f(x)=e^{x}$$pode ser escrita como$$y=e^{x}.$$A derivada de uma funcao exponencial e igual a propria funcao exponencial, pois, de acordo com a regra$$(a^{u})'=a^{u}.ln(a).u',$$ podemos admitir que$$(e^{x})'=e^{x}.ln(e).x'.$$A expressao acima equivale a $$\frac{d(e^{x})}{dx}=e^{x}.ln(e).\frac{dx}{dx}.$$ Portanto, a derivada da funcao exponencial pode ser calculada da seguinte maneira$$\frac{d(y)}{dx}= \frac{d(e^{x})}{dx}$$$$=e^{x}.ln(e).\frac{d(x)}{dx}$$$$=e^{x}.1.1$$$$=e^{x}.$$Observamos, entao, que a derivada de uma funcao exponencial da forma$$e^{x}$$e sempre igual a propria funcao$$e^{x}.$$No problema usamos o valor da funcao identidade, que e 1, e o fato de que o valor do numero neperiano e e aproximadamente 2,71828182846... e seu logaritmo natural (ln) e igual a 1.6o) Derive a seguinte funcao: $f(x)=2+\sqrt{5}+ x + e^x.$Vamos derivar$$f(x)=2+\sqrt{5}+x+e^x.$$Os valores das constantes sao iguais a$2$ e$$\sqrt{5}.$$Para facilitar a notacao podemos escrever a funcao$$f(x)=y.$$Portanto,$$y=2+\sqrt{5}+ x + e^x.$$Aplicaremos a regra da derivada da soma: "a derivada de uma soma e igual a soma das derivadas de cada parcela", ou seja, para o caso da expressao dada, temos$$\frac{d(f(x))}{dx}=\frac{d(2)}{dx}+\frac{d(\sqrt{5})}{dx}+\frac{d(x)}{dx}+\frac{d(e^x)}{dx}$$$$=0+0+\frac{dx}{dx}+e^x$$$$=0+0+1+e^x$$$$=1+e^x.$$Derive as seguinte funcoes:$f(x)=-\frac{1}{2};$$f(x)=\frac{d(K)}{dx};$$f(x)=-5+\sqrt{7}+ x + 2e^x;$$f(x)=e.$Bons estudos. O Observatorio Nacional (ON) sempre disponibiliza a sociedade cursos on-line