A diferenciacao implicita permite-nos encontrar a derivada de uma equacao sem que esta esteja resolvida para $y$, mas principalmente quando isolar $y$ e muito trabalhoso, ou mesmo impossivel.Para uma equacao tal como $y=x^2-3x+5$, que ja esta resolvida para $y$ em funcao de $x$, dizemos que $y$ esta expresso diretamente, ou explicitamente em termos de $x$. Ja uma equacao tal como $xy+4=3x-y$, apesar de poder ser resolvida para $y$ em funcao de $x$, apresenta $y$ implicitamente como uma funcao ou mais de $x$.Definicao:Uma funcao continua num intervalo aberto e dita ser implicita numa equacao onde figurem as variaveis $x$ e $y$, contanto que, quando $y$ e substituido por $f(x)$, a equacao resultante seja verdadeira para todos os valores de $x$ no dominio de $f$.Diferenciacao implicita:Dada uma equacao na qual se estabelece $y$ implicitamente como uma funcao diferenciavel de $x$, para calcularmos $dy / dx$, seguimos: Derivando ambos os membros da equacao em relacao a $x$, aplicando o operador $\cfrac{d}{dx}$ aos dois membros da equacao, termo a termo. Considere que $y$ seja uma funcao de $x$. Utilize a regra da cadeia, do produto e quociente quando necessario para derivar as expressoes nas quais figure $y$. O resultado sera uma equacao onde figure nao somente $x$ e $y$, mas tambem $dy/dx$. Resolva a equacao para obter a derivada $dy/dx$.Quando realizamos uma diferenciacao implicita o resultado e frequentemente uma equacao que fornece $dy/dx$ em funcao de $x$ e $y$. Para calcular o valor numerico de $dy/dx$ e necessario conhecer o valor numerico de $y$, alem do valor numerico de $x$.O processo para diferenciacao implicita pode apenas ser usado legitimamente se e conhecida a equacao em questao que realmente determine $y$ implicitamente como uma funcao deiferenciavel de $x$.Exemplo $1$:Como um primeiro exemplo, vamos tomar a equacao $x+y-3=x^2$ que apesar de poder facilmente ser resolvida para $y$, vamos aplicar a diferenciacao implicita a fim de ilustrar o conceito.Iniciamos aplicando o operador $\cfrac{d}{dx}$ a ambos os membros da equacao:\begin{equation*}\frac{d}{dx}\left(x+y-3\right) = \frac{d}{dx} \left(x^2\right)\end{equation*}e em seguida, aplicamos o operador $\cfrac{d}{dx}$ termo a termo:\begin{equation*}\cfrac{d}{dx}\left( x \right) + \frac{d}{dx} \left( y \right) - \frac{d}{dx} \left( 3 \right) = \frac{d}{dx} \left( x^2 \right)\end{equation*}A derivada de $x$ e $1$. A derivada de $y$ nos nao sabemos e mantemos o operador diferencial $dy/dx$. A derivada da constante $3$ e zero e a derivada de $x^2$ e $2x$. Assim:\begin{equation*}1+\frac{dy}{dx}-0=2x\end{equation*}Agora, resolvemos a equacao para $dy/dx$, obtendo:\begin{equation*}\frac{dy}{dx} = 2x-1\end{equation*}Exemplo $2$:Neste segundo exemplo, tomemos a equacao $x^4+y^2=2x$. Para derivarmos implicitamente, aplicamos o operador diferencial $d/dx$ em ambos os lados da equacao:\begin{equation*}\frac{d}{dx}\left( x^4+y^2 \right) = \frac{d}{dx}\left(2x\right)\end{equation*}E derivamos termo a termo:\begin{equation*}\frac{d}{dx}\left(x^4\right) + \frac{d}{dx} \left(y^2\right) = \frac{d}{dx} \left(2x\right)\end{equation*}A derivada de $x^4$ e $4x^3$. A derivada de $y^2$ nao sabemos e mantemos o operador diferencial $d/dx$. A derivada de $2x$ e $2$. Assim:\begin{equation*}4x^3 + \frac{d}{dx}\left(y^2\right) = 2\end{equation*}Temos que nos atentar ao fato de que no caso da diferenciacao de $y^2$, estamos derivando em relacao a $x$ e nao em relacao a $y$. Temos que aplicar a regra da cadeia. O que fazemos e derivar $y^2$ como $2y$ e aplicar o operador $d/dx$ justamente por nao sabermos a natureza de $y$.Veja que se hipoteticamente $y=\cos(x)$,