thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
Prezados(as),nas 6a serie (7o ano) os alunos estudam um assunto interessante chamado porcentagem (penso que na 5a serie (6o ano) tambem). A ideia por tras desse conceito e reduzir ou aumentar a grandeza que estamos estudando ate 100 e verificar o que se tem a partir dai. Uma forma de ilustrar isso esta no video seguinte. A Terra e pensada como se fosse uma aldeia onde nesta ha 100 pessoas. Dai, vamos ver o que podemos concluir.[O texto esta em ingles e e uma otima oportunidade para uma interdisciplinaridade com a disciplina da profa Fabiana ou o prof. Jose Carlos de Ingles]..Em sala de aula tambem falamos sobre grafico de pizza e a forma construir esse tipo de grafico. A seguir deixo um Applet do GeoGebra onde pode arrastar o seletor e ver todo o calculo envolvido de forma dinamica.. .Grande abracoLuis Claudio LA Prezados(as),Enquanto o Applet carrega abaixo, alguns pontos que devera observar:Modifique o valor de "a" e se convenca que se o a>0 a parabola e convexa (concavidade voltada para cima) e se a<0 e concava (concavidade voltada para baixo) Qual e a relacao entre o sinal do numero DELTA e a existencia de raizes?Qual e a relacao entre o valor de "c" e o local onde o grafico cruza com o EixoY?--- Prezados(as) considere que "a", "b" e "c" sejam numeros reais com "a" diferente de zero. Entao, a equacao $$ax^2+bx+c=0$$pode ser resolvida, usando uma formula conhecida como Baskara que e a seguinte:$$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$onde $$\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c$$.Entretanto, e comum que os estudantes nao consigam usar bem essa formula por erros pequenos de sinal, produto e outros. Que tal ver essa resolucao passo a passo usando um aplicativo chamado GeoGebra? Se quiser ver o restante do artigo, clique em clique em "Mais informacoes " a seguir. Gostariam de ver a resolucao de uma equacao do 2o grau passo a passo? Ao final deste artigo eu lhe darei um link onde acessara uma pagina que se abrira em uma nova janela. Vera algo semelhante ao que se encontra na figura a seguir. Se aparecer uma janela perguntando se deseja executar o Java, clique em RUN.Note que na parte inferior ha um campo onde ao lado esta escrito ENTRADA. Esse campo chamamos de CAMPO DE ENTRADA. Nesse campo voce devera digitar os coeficientes "a", "b" e "c". Por exemplo. Para a equacao $$-2x^2+3x+5=0$$, escreva no campo de entradaa=-2 [ e aperte ENTER] b=3 [ e aperte ENTER] c=5 [ e aperte ENTER] Vera que a resolucao se ajustara a esses valores mostrando todos os passos da resolucao. O recurso e interessante e pode lhe ajudar bastante, mas veja bem. Voce precisa usa-lo com responsabilidade. Primeiro tente resolver a equacao e quando terminar ou sentir que nao consegue resolver, entre com os valores dos parametros e veja a resolucao.E o que fazer se a equacao envolver fracoes?Toda equacao do 2o grau que envolve fracoes (racionais) pode ser transformada em uma que nao envolve. Como? Muito simples. Basta multiplicar ambos os membros pelo Minimo Multiplo Comum (MMC) dos denominadores. Por exemplo:$$\frac{2}{3}x^2-\frac{5}{4}x+7=0$$O MMC(3, 4)=12. Assim, multiplique
ambos os membros por 12 e tera:$$\frac{2.{\color{red}12}}{3}x^2-\frac{5.{\color{red}12}}{4}x+7.{\color{red}12}=0.{\color{red}12}$$Simplificando as fracoes agora teremos:$$8x^2-15x+84=0$$.As equacoes $$\frac{2}{3}x^2-\frac{5}{4}x+7=0$$ e $$8x^2-15x+84=0$$ sao equivalentes, ou seja, possuem a mesma solucao. Entao, encontrando a solucao da segunda tera tambem a solucao da primeira. No applet que abrira, basta entrar no CAMPO DE ENTRADA com:a=8 [ e aperte ENTER] b=-15 [ e aperte ENTER] c=84 [ e aperte ENTER]e vera a resolucao passo a passo. Bom vamos a ferramenta. Modifique os campos onde se encontram os valores de "a", "b" e "c".. .Bons estudos.
Prezados(as) professores(as),como lembrado pelo leitor Gustavo Pavam, voce pode obter o grafico da funcao inversa apenas pedindo a reflexao de um ponto sobre o grafico de uma funcao em torno da reta y=x e para isso basta criar a reta y=x, ativar a ferramenta REFLEXAO, clicar em um ponto sobre a curva (como na imagem ao lado) e posteriormente na reta y=x. E simples.Entretanto, neste post pretendemos construir uma ilustracao que permita ao estudante perceber, do ponto de vista geometrico que o grafico da funcao inversa pode ser obtido, tambem, por rotacao e reflexao do grafico da funcao original. Sao 90 graus no sentido anti-horario e posteriormente uma reflexao sobre o EixoY. Aproveitaremos a atividade para aprender dois comandos:Rotacao de um ponto em torno da origem.Reflexao de um ponto em torno do EixoY Um problema inicial que enfrentamos esta no fato de que o comando Girar[] do GeoGebra nao gira funcoes. Para contornar esse problema precisaremos de um pouco de matematica e a funcao LUGAR GEOMETRICO.A estrategia sera a seguinte:Criamos uma funcao usando o comando Funcao[lei, inicio, fim]Colocamos um ponto sobre o grafico desta funcao. Provavelmente sera nomeado de "A".Criamos um ponto B que e a rotacao do ponto A em "t" radianos em torno da origem. Esse parametro "t" estara no intervalo [0; 1,57]Usamos a ferramenta LUGAR GEOMETRICO para marcar esse lugar.Quando o parametro "t" estiver em 1,57 (metade de pi) pedimos para ele mostrar a reflexao do grafico que esta girando em torno do EixoY (matematica basica)Enfeites finais.Se quer ver o restante do post clique em clique em "Mais informacoes " a seguir.Devemos primeiro criar uma funcao. Usaremos o comando Funcao[] para ter controle sobre o dominio, ja que varias funcoes nao tem inversas se tomarmos o dominio sendo os Reais, como por exemplo: f(x)=cos(x), sen(x), x2 e outras. No CAMPO DE ENTRADA entre com o seguinte comando:f(x)=Funcao[x^2,0,5]Criamos uma funcao y=x2 definida no intervalo [0, 5]. Vamos pedir um ponto sobre o grafico de f. Para isso entre com o seguinte comando Ponto[f]Um ponto A foi criado sobre o grafico de f. Aperte a tecla ESC e movimente o ponto.Agora vamos criar o parametro que controlara a rotacao. Usaremos a ferramenta SELETOR (Janela 10). Ative esta ferramenta (figura do botao ao lado) e clique onde quer que o seletor apareca. Uma janela se abrira. De nome a esse seletor de "t" com valor inicial em 0 e final em 1.57. Aperte o botao APLICAR.O proximo passo e criar um ponto B que seja a rotacao do ponto A em "t" radianos no sentido anti-horario. Aqui e necessario o conhecimento de um pouco de matematica que se aprende geralmente nos cursos de Algebra Linear (ou Geometria Analitica, nao me lembro muito bem). Se (x,y) e um ponto qualquer do plano coordenado e (X,Y) e a coordenada de um ponto obtido com a rotacao do ponto (x,y) em torno da origem em um angulo de "t" radianos (pode ser em graus tambem, claro), entao$$X=x.\cos(t)-y.\sin(t)$$.$$Y=x.\sin(t)+y.\cos(t)$$Veja isso mais detalhadamente clicando AQUI. Precisamos criar um ponto entao com estas coordenadas. Para isso, entre com o
seguinte comando no CAMPO DE ENTRADA do GeoGebra:(x(A) cos(t) - y(A) sin(t), x(A) sin(t) + y(A) cos(t))O ponto criado foi nomeado, provavelmente, como B. Aperte a tecla ESC e certifique-se que o ponto gira em torno da origem. Agora temos os dois pontos necessarios para construir o lugar geometrico.Ative a ferramenta LUGAR GEOMETRICO e clique sobre o ponto B e posteriormente sobre o ponto A. Alternativamente, no CAMPO DE ENTRADA entre com o comando LugarGeometrico[B,A] .Aperte a tecla ESC e arraste o seletor com o parametro "t". Veja se o grafico gira em torno do EixoX.A parte final deixo como exercicios voces construirem. Vejam se conseguem construir algo semelhante ao que se ve no applet seguinte.. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) .Para baixar esse arquivo, basta dar um clique duplo sobre ele depois de carregado. Para modificar a funcao que esta sendo usada na ilustracao, digite no CAMPO DE ENTRADA uma instrucao na forma: f(x)=Funcao[lei da funcao, inicio, fim]. Deixarei algumas para que possa apenas copiar e colar (na verdade basta selecionar, arrastar para o CAMPO DE ENTRADA e apertar ENTER).f(x)=Funcao[sin(x),-pi/2,pi/2] - para a inversa de seno em $[-\pi/2,\pi/2]$f(x)=Funcao[cos(x),0,pi] - para a inversa de cosseno em $[0,\pi]$f(x)=Funcao[tan(x),-1.5,1.5] - para a inversa de tangente em $[-\pi/2,\pi/2]$f(x)=Funcao[cos(x)/sin(x),0,pi] - para a inversa de cotangente em $[0,\pi]$f(x)=Funcao[1/cos(x),0,pi] - para a inversa de secante em $[0,\pi]$f(x)=Funcao[1/sin(x),-pi/2,pi/2] - para a inversa de cosecante em $[-\pi/2,\pi/2]$f(x)=Funcao[x^2,-5,0] - para a inversa de $y=x^2$, $x<0$ f(x)=Funcao[sqrt(x),0,10] - para a inversa de $y=\sqrt{x}$, $x>0$f(x)=exp(x) - para a inversa da exponencialf(x)=ln(x) - para a inversa do logaritmo naturalAgora voce pode tentar fazer as suas. Ha uma outra forma de gerar o grafico da funcao inversa que e refletindo o grafico de y=f(x) em torno da reta y=x, mas deixaremos essa construcao como uma atividade, ja que e bem simples.Gostou desse post? Nao gostou? Quer perguntar algo? Use o campo de comentarios abaixo.Grande abracoLuis Claudio LA
Para estudantes a palavra e EXPLORAR. Depois que o Applet for carregado abaixo, clique sobre os pontos que modificam os valores de a e b que estao sobre os seletores e observe o que ocorre. A partir da observacao tente assimilar o que ocorre com relacao aRelacao entre o "b" da forma generica f(x)=ax+b e o local onde o grafico cruza com o EixoY. Qual e a coordenada deste ponto?Qual e a relacao entre o termo a da forma generica f(x)=ax+b e o fato da funcao ser CRESCENTE ou DECRESCENTE. Tente descobrir a resposta explorando o Applet abaixo.Voce ve que x=-b/a mostra o local onde o grafico cruza com o EixoX. Tente entender o porque.Para os colegas professores (e alunos) a pergunta e: ESSE TIPO DE RECURSO AJUDA NO APRENDIZADO? Sinal de uma funcao afimEnquanto o Applet abaixo e carregado, veja o que ele lhe mostrara. A questao de estudo de sinal de uma funcao afim e ferramenta para resolucao de outros problemas e entender o que se esta escrevendo e importante. Para estudantes a palavra e EXPLORAR. Clique sobre o PONTO SOBRE O EixoX que esta sobre o EixoX. Observe o que ocorre quando se esta com xraiz. O que pode dizer sobre a imagem (e marcada com o ponto verde sobre o EixoY) deste ponto? Quando conseguir responder a esta pergunta, sabera estudar o sinal de uma funcao. O recurso e so para ajudar o estudante a entender o conceito dando vida (movimento) ao conceito.Aos colegas professores (e alunos) a pergunta e: esse tipo de recurso, ajuda no aprendizado? Faz diferenca o uso de recursos computacionais em sala de aula (ou laboratorios)? Certo e que e necessario haver direcionamento. Dar um cd com um software para os alunos e professores nao minimizara o problema do aprendizado em matematica.Acredito que que nao exista uma unica variavel nesta questao de ensinar e aprender matematica. Outras variaveis sao: comprometimento, vontade de aprender etc. mas isto e uma outra historia para um outro momento.Aproveite o recurso que ja deve ter carregado. ...... Nesse post vamos mostrar como voce pode usar a ferramenta planilha do GeoGebra para produzir uma ilustracao do metodo do ponto fixo para resolver equacoes (principalmente as transcendentes).Para ver o restante do post, clique em Mais informacoes a seguirConsidere o problema de encontrar a raiz de uma funcao continua $g(x)=0$ que possui uma raiz no intervalo $[a,\,b]$. O metodo do ponto fixo consiste em encontrar um valor de $x$ em $[a,\,b]$ tal que $f(x)=x$ onde a solucao desta ultima equacao e a mesma que faz com que $g(x)$=0. A funcao $f$ e chamada funcao de transicao ou interacao.Para ilustrar mostraremos como encontrar uma raiz da funcao $g(x)=x-\sqrt{x}$. Nesse caso, o valor de x que faz com que $f(x)=x$ ou seja, $\sqrt{x}=x$ e o mesmo que faz com que $g(x)=x-\sqrt{x}=0$. Encontrar uma raiz para $g$ e, portanto, equivalente a encontrar um ponto fixo para $f$. Vamos ao GeoGebra. Abra o seu softwareno menu principal clique em EXIBIR>>PLANILHA;ainda no CAMPO DE ENTRADA digite: y=x ; depois digite: f(x)=sqrt(x) ;na celula A1 digite: =Ponto[EixoX]; aperte
a tecla ESC e arraste o ponto A1 que apareceu sobre o EixoX. Deixe-o proximo de x=3.na celula B1 digite: =(x(A1), f(x(A1)))na celula C1 digite: =Segmento[A1, B1]na celula A2 digite: =(y(B1), y(B1))copie a formula da celula B1 para a celula B2 ou escreva na celula B2: =(x(A2), f(x(A2)))copie a formula da celula C1 para a celula C2 ou escreva na celula C2: =Segmento[A2, B2]na celula D2 digite: =Segmento[B1, A2]selecione as celulas A2 ate D2 (basta clicar em A2 e arrastar ate D2.Pronto. Agora basta repetir esse procedimento copiando-o para as celulas que estao abaixo. Para isso, basta clicar no pequeno quadrado azul na parte direita inferior da celula D2 e arrastar para baixo. Sugiro que arraste ate a linha 20 (serao 20 interacoes)Selecione as colunas A,B,C e D (basta clicar sobre a letra da coluna A e arrastar ate a coluna D (ver figura seguinte). Feito isso, clique com o botao do lado direito do mouse sobre a planilha, selecione a opcao PROPRIEDADES e na janela que aparecera, DESMARQUE a opcao EXIBIR ROTULO. Feito isso, o que pode fazer agora e embelezar sua construcao, mas isso deixarei contigo. O applet a seguir mostra um dos resultados finais...... .----Quando for tentar resolver um outro problema, podera se deparar com outras funcoes de transicao (ou interacao). Nesse caso podera usar a construcao feita para ilustrar a convergencia ou divergencia da sequencia usada para se aproximar da raiz, a saber, $$x_{k+1}=f(x_k)\;,\;k\in \mathbb{N}.$$ Use o CAMPO DE ENTRADA no applet anterior para experimentar outras funcoes de transicao (para outros problemas). Modifique a escala, caso queira ou baixe o arquivo. Basta um clique duplo em qualquer lugar do applet. Para modificar a funcao de transicao, basta escrever no CAMPO DE ENTRADA: f(x)=x^2f(x)=sin(x)f(x)=abs(cos(x))e assim por diante.Agora... Divirta-se. Em sua diversao, que tal tentar construir a ilustracao para o Metodo de Newton? E bem simples. Eu garanto. Grande abraco
\frac{2}{5}=\frac{3\times 2}{4\times 5}=\frac{6}{20}$$isto e, multiplicamos o numerador com o numerador e o denominador com o denominador. Experimente reproduzir essa ideia com outras fracoes e vera que o resultado sera sempre obtido desta forma (produto entre os numeradores dividido pelo produto entre os denominadores).Para ver varias outras ilustracoes, no applet seguinte voce pode arrastar qualquer dos pontos formando novas fracoes. Feito isso, arraste o ponto AZUL levando o desenho da direita para junto do que esta a esquerda. O produto de fracoes e a parte pintada da primeira fracao que esta sobre a parte pintada da segunda, ou seja, e a intersecao entre as duas partes pintadas.Obs.: para que veja o resultado da multiplicacao, clique na caixa SOLUCAO.Caso o applet, por algum motivo, nao abra nesta pagina, clique AQUI e veja ele em uma janela separada. Viu como e simples? Note que nao foi por definicao que chegamos ao fato que para multiplicar fracoes devemos multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Isto e um fato que primeiro foi observado e depois se pensou em uma forma rapida de se chegar ate o resultado sem precisar usar figuras.Entretanto, se for adicionar duas fracoes, vera que nao se pode adicionar numeradores e denominadores. Ha um porque tambem, mas isso ficara para um outro artigo.Voce pode deixar seus comentarios/duvidas etc. no campo a seguir. Um grande abraco a todos.Luis Claudio LA
Neste post vamos construir uma ilustracao para o conceito de limites laterais e consequentemente de limites. Gostamos de ressaltar sempre a condicao de ilustracao e destacar que o que vera nada prova, mas e uma forma de melhorar a compreensao do fenomeno estudado. No caso de voce ser professor e uma oportunidade de mostrar de forma rapida varios exemplos de forma muito convincente. Mais uma vez, faremos uso da ferramenta planilha para esta construcao. As instrucoes aqui contidas nao envolverao a parte de embelezamento (mudar cor, espessura, tipo de linha, ajuste de escala etc).Para ver o restante do post, clique em Mais informacoes a seguir ou no link anterior.Para esta ilustracao usaremos a funcao$$f(x)=\frac{|x|}{x}.(x^2+1)$$Abra o seu software GeoGebra e no CAMPO DE ENTRADAf(x)=abs(x)/x*(x^2+1)No MENU PRINCIPAL clique em EXIBIR>>PLANILHA. Na celula A1 digite: x tende a e nas celulas A2, B2, C2 ate G2 digite os textos mostrados na figura seguinte.Na celula B1 ficara o valor para onde o valor de x tendera. Todo o trabalho sera voltado para esta celula. Clique na celula A3 e digite 1; clique na celula A4 e digite 2; selecione as duas celulas e clique no quadrado azul na extremidade direita inferior da selecao (veja figura anterior) e arraste para baixo ate a linha 22. com isso criaremos uma ilustracao com 20 passos. Se tudo correu bem voce estara com os numeros 1, 2, 3, 4, ... , 20 na coluna A, correto?Agora, siga os passos seguintes, mas antes entenda qual sera a ideia. Vamos pegar um ponto que esta uma unidade antes (a esquerda) do ponto limite e um outro uma unidade apos (a direita) do ponto limite. Os valores a esquerda do ponto limite serao chamados de x- e os a direita de x+. Vamos mostrar no grafico os varios pontos na forma (x-,f(x-)) e (x+,f(x+)) quando x- se aproxima do ponto limite pela esquerda e x+ pela direita. Entendeu a ideia? Vamos la.Obs.: por conta do filtro LaTeX que gera os simbolos matematicos que ve no blog tudo o que e colocado entre dois cifroes ele interpreta como simbolo matematico. Assim, no texto abaixo onde ve substitua por $.Na celula B1 entre com o valor zero; na celula B3 escreva: = =B1 - 1/( A3 ) (significa cifrao B cifrao 1 -1/A3). Com isso estamos pedindo para que ele pegue o valor da celula B1 e subtraia uma unidade dividido pelo valor da celula que esta em A3. O cifrao antes do B fixa a coluna no caso de copiar formulas e o cifrao a esquerda do 1 fixa a linha. Nesse caso fixamos a celula pois a linha e a coluna estao fixadas. Veja na imagem seguinte como deve digitar.Na celula C3 digite: =f( B3 )Na celula D3 digite: =( B3 , C3 )Na celula E3 digite: =B1 + 1 / A3 Lembre-se que deve colocar um cifrao no lugar de .Na celula F3 digite: =f( E3 )Na celula G3 digite: =(E3, F3)Pronto. A base de sua construcao ja esta pronta. Selecione as celulas B3 ate G3 como mostrado na figura seguinte.Clique na
extremidade direita da selecao (o quadradinho azul que ve na figura anterior) e arraste para baixo ate a linha 22 (se quiser mais e so acrescentar mais valores na primeira coluna) e pronto.Algumas acoes para melhorar sua construcaoNote que o rotulo dos pontos aparecem na figura que esta na JANELA DE VISUALIZACAO e seria interessante que nao estivesse. Para retirar, faca o seguinte:Clique na coluna onde estao os pontos (D ou G) e depois clique com o botao do lado direito do mouse em algum lugar da coluna e selecione a opcao PROPRIEDADES. Na nova janela que aparecera clique em PONTO na coluna esquerda e todos os pontos serao selecionados. Se preferir, nesse momento ja pode modificar as propriedades dos pontos como espessura, cor, forma etc. Clicando na guia BASICO devera desmarcar a opcao EXIBIR ROTULO (figura seguinte). Assim os pontos nao aparecerao mais com os rotulos e o desenho ficara mais limpo.Feito isso, clique em FECHAR. Para selecionar apenas os pontos.Como aumentar a "velocidade" de aproximacao do ponto limite?Voce notara que estamos usando uma sequencia do tipo$$x_n=x_0\pm \frac{1}{n}$$De fato quando n tende a infinito, $x_n$ tende a $x_0$, mas com apenas 20 termos podemos achar que ficamos muito "distante" do ponto limite. Para aumentar essa "velocidade", basta fazer um ajuste na sequencia usada. Demos uma instrucao anteriormente assim:na celula B3 escreva: = =B1 - 1/A3 (significa cifrao B cifrao 1 -1).Na celula E3 digite: =B1 + 1 / A3 Lembre-se que deve colocar um cifrao no lugar de . Basta modificar a relacao com a coluna A. Algumas formas de melhorar a rapidez com que os pontos se aproximam do ponto limite seria assim:na celula B3 escreva: = =B1 - 1/A3^2 (significa cifrao B cifrao 1 -1).Na celula E3 digite: =B1 + 1 /A3^2 Lembre-se que deve colocar um cifrao no lugar de . ou ainda, para ficar mais rapido ainda:na celula B3 escreva: = =B1 - 1/exp(A3) (significa cifrao B cifrao 1 -1).Na celula E3 digite: =B1 + 1 /exp(A3) Lembre-se que deve colocar um cifrao no lugar de . Feito essa modificacao, basta selecionar as celulas B3 ate G3 e copiar essas formulas ate a linha 22 (basta clicar a arrastar o quadradinho azul na extremidade direita da selecao.Uma outra acao podera modificar a quantidade de casas decimais consideradas. Para fazer este ajuste, no MENU PRINCIPAL, va em OPCOES>> ARREDONDAMENTOS e escolha quantas casas decimais quer.APPLETA seguir voce tem acesso ao applet com esta construcao. Aqui na Internet mesmo podera modificar a funcao digitando no CAMPO DE ENTRADA a funcao que quer trabalhar. Eis alguns exemplos funcoes que pode digitar no referido campo:f(x)=sin(x)/xf(x)=(1-cos(x))/xf(x)=ln(x)Escolha a sua agora.. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) . Para modificar o ponto limite, no CAMPO DE ENTRADA digite o novo valor para a celula B1 (que e onde esta o valor para onde x tendera). Eis alguns exemplos:B1=1B1=3B1=-2e assim por diante.Para pegar esse arquivo, basta dar um clique duplo sobre o
Applet.Vamos deixar uma tarefa para voce. Colocar um segmento de reta que une o ponto sobre o EixoX ao ponto sobre o grafico e outro que une o ponto sobre o grafico ate o EixoY. Naturalmente que o ponto sobre o EixoX deve ter a mesma abscissa do ponto sobre o grafico e o ponto sobre o EixoY deve ter a mesma ordenada do ponto sobre o grafico. Ilustracao classica.Se voce e professor(a), a parte da planilha propriamente dita pode ser interessante para mostrar aos seus alunos a ideia de convergencia. Muitos calculam ate de forma correta, mas nao tem um entendimento pleno do que estao calculando.Divirtam-se...Gostaria de receber noticias deste blog e seus autores? Assine nosso boletim informativo (coluna direita na parte superior). Quer sugerir alguma ilustracao, deixe um comentario no campo a seguir. Sugira ilustracoes e, na medida do possivel, vamos colocar aqui.Grande abracoLuis Claudio LA & J.Cassio
institucional da escola e avaliar acoes comunicacionais para o proximo periodo.Na ocasiao a AP&N ira propor acoes estrategicas para o desenvolvimento das novas iniciativas e para o crescimento de sua imagem em toda a regiao.