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As campanhas de doacao de sangue, mais que a promocao de um ato de solidariedade, e uma das formas de fomentar uma modificacao social atraves da saude. Foi com esse pensamento que o Projeto Clube 25 foi pensado no Zimbabue em 1989, com a finalidade de promover a doacao de sangue e concomitantemente habitos saudaveis para dirimir/estabilizar o numero de pessoas contaminadas pelo HIV.O Clube 25 ao propor um comprometimento dos associados com doacao, de sangue de 3 a 4 doacoes anuais, nao so contribui para o estoque dos bancos sanguineos, como tambem incentiva os sujeitos participantes do projeto a zelarem pela saude, uma fez que o gozo pleno desta e de extrema importancia para manter-se doador. Ao buscar orientar um grupo de pessoas sobre como manter a plena saude, o projeto faz um trabalho de educacao social, pois os individuos receptores de tais orientacoes, mudarao o modo que interagem com a coletividade e multiplicarao os valores praticados.Mas ate que ponto que a doacao de sangue pode realmente mudar o comportamento de um grupo de individuos? No ultimo dia 19 de outubro, o carater de doacao voluntaria foi colocado em questao com a campanha Doe sangue pelo seu time, instituida pela Lei estadual 5.816/10 desde o dia 8 de setembro. Pelo decreto, o torcedor que doar sangue voluntariamente recebe um ingresso para assistir ao jogo do seu time de futebol. Segundo os defensores da medida, a intencao e aumentar os bancos de sangue dos hospitais, uma vez que, hoje cerca de apenas 1,5% da populacao brasileira e doadora de sangue, indice muito baixo em relacao a demanda, que e de 5500 litros de sangue por dia em todos os hospitais do pais. Mas para a antagonicos a lei e inconstitucional.Ao oferecer algo em troca pela doacao, segundo os opositores a esse decreto, e fazer com que o numero de pessoas que mentem durante a entrevista aumente, de modo a dificultar o trabalho dos hemocentros. A argumentacao e ainda complementada pela Lei federal que diz: a doacao de sangue tem que ser voluntaria, altruista e nao remunerada direta ou indiretamente.Agora, ao tentarmos responder a questao anterior, ve que a doacao de sangue, nao e apenas um ato, necessita tambem de uma educacao/ orientacao para poder exerce-la, so a partir da reflexao sobre como agir e que a sociedade consegue incorporar mudancas. Uma vez que se estipula um preco de barganha na doacao de sangue, promove-se uma mercantilizacao das acoes sociais voluntarias, ignorando assim sua real finalidade.Pensar na Doacao de Sangue, nao e simplesmente comparecer alguns dias do ano a um hemocentro, e desenvolver uma cultura de valorizacao do proximo e respeito a vida. E por ser pautado nessas concepcoes, o Clube 25 e mais que um projeto constituido por um determinado grupo de voluntarios, e um instrumento de modificacao social. Minha mulher me pediu 5 numeros consecutivos que nao fossem numeros primos.Nao acreditam? Ok, ela nao pediu isso mesmo, e claro, fui eu quem a induzi a fazer esta pergunta. Em resposta apresentei a lista, que ja havia calculado anteriormente: 24,25,26,27,28Ela nao se
impressionou e ainda me olhou com uma cara esquisita do tipo: Voce esta com algum problema?. Nao desanimei e lembrei-a que todos os numeros da minha lista nao eram primos. Ela deu de ombros e continuou a fazer coisas menos nobres e importantes como, por exemplo, o meu jantar. (em minha defesa, eu faco o jantar as vezes, faco uma pizza maravilhosa, vem ate com embalagem da pizzaria da esquina).Desafiei-a a fazer o mesmo, e pedi para me fornecer 3 numeros consecutivos nao primos. Ela, jubilosa, disse: 14,15,16.Fiz contato!Ela investiu novamente, exigindo uma lista de 10 numeros. Ja treinado, disparei: 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123.Antes que o leitor me julgue um idiot savant, acrescento que ja havia calculado alguns valores adiantando os numeros que ela tipicamente iria escolher. Era minha vez novamente. Pedi entusiasmado: "Quero uma lista com 14000 numeros." Ela respondeu : "O jantar esta na mesa!". Pronto, fim da brincadeira.Espaco Mobral: Um numero primo e um numero que so pode ser dividido por 1 e por ele mesmo sem deixar resto. Os primeiros numeros primos sao: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...Matematicos dificilmente encontram apoio social para conversar sobre seus assuntos prediletos, de maneira que muitas vezes fragmentos de atencao de baixa qualidade como esse sao suficientes para despertar nossa vontade de pesquisar um pouco mais profundamente. Uma chance para a computacaoInstintivamente nao e obvio que uma lista tao grande possa existir, afinal a lista de numeros primos e infinita e eles nao parecem estar muito espacados.Enfim, a pergunta e: E possivel encontrar uma lista de 14000 numeros consecutivos que nao sao primos?Esta pergunta, que eu mesmo fiz (matematicos muitas vezes falam sozinhos) me inspirou a utilizar artilharia mais pesada. Desenvolvi um programa para encontrar a tal mega lista, se e que ela existe. Para testa-lo, comecei com listas pequenas, pedi 10 numeros e o programa respondeu os mesmos 10 que eu havia dito para minha esposa. Bom sinal.Pedi 20 numeros e obtive: 1130 , 1131, 1132,...Pedi 100 numeros e obtive: 370262, 370263, 370264, ...Guloso, pedi 14000 e ... esperei... Esperei tanto que desisti . O programa simplesmente nao parou de rodar. Diante deste quadro, a unica conclusao e que o programa procurou (e procurou muito) mas nao encontrou a lista nos primeiros milhoes, ou bilhoes (quem sabe) de numeros. Ainda assim nao e possivel afirmar que tal lista nao existe, apenas que o computador ou o programa sao lentos demais. Frustrante!Um belo teoremaSempre acreditei que quando a computacao falha devemos recorrer a matematica, e parece que isso se encaixa perfeitamente a esse caso. Existe um belissimo teorema sobre o assunto. O teorema diz que: E possivel conseguir listas de numeros nao primos de QUALQUER tamanho. Que 14000 que nada! Eu quero agora uma lista de 1.000.000!O teorema ilustra uma tecnica para se construir o primeiro numero da lista desejada. A receita e a seguinte:Suponha que queremos uma lista com 5 numeros consecutivos nao primos. Entao devemos:Escolher um numero inteiro maior do que 1, digamos nObter o primeiro
numero da lista calculando n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + nPor exemplo, considerando n = 2, teriamos 2 x 3 x 4 x 5 x 6 + 2 = 722. De fato a lista 722, 723, 724, 725, 726 so possui numeros nao primos. Podemos escolher qualquer valor para n. No caso n = 3, a lista seria 2523, 2524, 2525, 2526, 2527, tambem uma lista valida.Observe que a formula nao diz nada sobre encontrar a lista cujos numeros sao os menores possiveis, ela apenas garante que encontraremos alguma lista do tamanho desejado. Como vimos anteriormente, a lista 24, 25, 26, 27, 28 e uma lista com numeros menores.Para construir listas maiores basta estender a formula com mais fatores. Por exemplo, a formula para encontrarmos uma lista com 7 numeros sera n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) + n.Ora, mais por que isso funciona? Simples, observe que o numero n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + n e divisivel por n, portanto um numero nao primo (ja que n e maior do que 1). O proximo numero n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + (n+1) tambem nao e primo pois e divisivel por (n+1). Enfim, o raciocinio pode ser estendido para todos os numeros consecutivos ate n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) + (n+4) que obviamente e divisivel por (n+4).Enfim, existem infinitos numeros primos e, mesmo assim, sempre e possivel encontrar qualquer intervalo de numeros sem que ao menos 1 primo apareca. Este intervalo pode ser tao grande quanto desejarmos. Sabemos entao que uma lista de 14000 numeros consecutivos nao primos existe, so nao conseguimos calcular seus numeros devido ao tamanho imenso do mesmo. Mesmo uma lista de 117 numeros, que meu computador conseguiu calcular, comeca no numero 1.349.534.
Experimente perguntar a seus colegas de trabalho qual e a chance de que duas pessoas ao menos compartilhem o mesmo dia de aniversario entre as 23 pessoas de um jogo de futebol (11 de cada lado mais o juiz).As respostas irao variar, e claro, mas entre nao iniciados na arte matematica, elas gravitarao em torno de "baixa", "muito baixa" e "pequena". Alguns terao a oportunidade de mostrar o desinteresse tipico a assuntos quantitativos dando de ombros enquanto outros sorrateiramente caminharao para o cafezinho disfarcando certa fobia que carregam desde os tempos de escola.Porem alguns estarao la, abertos a sua pergunta, ansiosos por declarar sua opiniao, esses poderao ser salvos. Para estes, mantenha a tez serena, a voz baixa porem firme, e no tom mais arrogante que conseguir professe casualmente: "Bom, as chances sao maiores do que sair cara no cara ou coroa". Nesse momento voce ainda perdera mais algumas almas. Os motivos sao diversos e desconhecidos em sua totalidade, variam desde o total nao entendimento do problema ate a aversao ao convite para uma digressao quantitativa. Espere neste ponto ouvir frases como "Nao me interesso muito por futebol", "Sempre fui mal em matematica" ou "Viu o jogo ontem?"Por outro lado se ouvir frases como "Impossivel!", "Voce esta errado" ou "Claro que nao, as chances sao 1/365" tenha certeza que esta lidando com um publico de maior sofisticacao quantitativa. Neste caso e sua hora de brilhar, tera enfim a oportunidade de explicar porque as chances sao tal altas assim, maiores do que 50%.O que confunde as pessoas e a tendencia de imaginar este problema sob o ponto de vista pessoal, isto e, as pessoas imaginam que nao e facil encontrar alguem com a mesma data de aniversario delas proprias, portanto a ocorrencia deste fenomeno deve ser bastante baixa. Porem, esta nao e a perspectiva correta, lembre-se que o problema nao e sobre as chances de encontrar alguem com o mesmo aniversario do que voce num grupo de 23 pessoas, o problema e sobre encontrar colisoes de aniversarios entre todas as duplas possiveis de se formar com 23 pessoas. Enfim, num grupo de 23 existem 253 duplas (combinacao 23, 2 a 2). Para que nao ocorram conflitos de aniversario, nenhuma dupla devera compartilhar as mesmas datas. A probabilidade de que uma dupla nao compartilhe aniversarios e alta, exatamente igual a 364/365.Para ver isso, note que as chances de jogarmos 2 dados e nao obtermos dois numeros iguais e 5/6. Pode parecer trivial para alguns, mas confiem em mim, muitos irao desistir da leitura nesse ponto (como meu irmao por exemplo). Novamente, independente do resultado do primeiro dado, o segundo nao podera ser igual, entao as chances sao 5/6. Analogamente as chances de que uma dupla nao compartilhe aniversario e 364/365. (ignoremos anos bissextos por favor)Portanto, as chances de que nao hajam compartilhamento de aniversarios em nenhuma das 253 duplas e igual a:364/365 x 364/365 x 364/365 x ... x 364/365 (253 vezes)isto e igual a (364/365)^253Inversamente, as chances de que haja ao menos uma ocorrencia de compartilhamento de aniversario e exatamente 1-(364/365)^253, o que
resulta em algo um pouco maior do que 50%Em teoria, estas chances sao ainda maiores do que encontrar duas pessoas com o mesmo primeiro nome, afinal o tamanho do conjunto de nomes disponiveis e bem maior do que 365 ocasionando em menos colisoes de nomes em potencial. (o que nao e bem verdade, pois os nomes da moda sao escolhidos com muito maior frequencia do que nomes mais raros) Para terminar sua exposicao, inquira a audiencia (se e que ainda sobrou alguem) para saber se ha alguma colisao de aniversarios insuspeitos ate o momento. Se tiver essa sorte passara a ser respeitado como um novo guru do escritorio. Apesar de nao provar nada, esse simples fato, ao inves das contas anteriores, parece dar certeza as pessoas de que voce estava de fato certo afinal.Como desafio final a seus colegas pergunte quais sao as chances de encontrar, no mesmo grupo, duas pessoas que compartilhem o mesmo mes de aniversario. Sua audiencia, agora ja treinada, ira responder com seguranca que as chances sao altas ou bem altas, afinal a chance de colisao e muito mais alta agora. Os mais matematicamente inclinados irao ate rabiscar 1-(11/12)66, porem eles estarao novamente enganados! As chances sao 100%, ou seja nao ha como nao haver colisoes de meses de aniversario entre um grupo maior do que 12 pessoas. Deixo ao leitor a tentativa de encontrar uma explicacao para este fato.
A cidade de Manaus possui cerca de 2 milhoes de habitantes. Apesar de nao ser tao grande como Sao Paulo ou Rio de Janeiro, localizar um endereco em Manaus e uma das tarefas mais frustrantes que o motorista sera obrigado a enfrentar. Em geral as ruas nao possuem nomes (apenas apelidos) ou quando possuem nao ha placas informando. Quando tudo parece bem, a rua possui nome e placa, certamente a numeracao das casas estara totalmente desordenada. Depois das casas, digamos, 35 e 44 podemos encontrar a casa 7 seguida da 35 (novamente) ou podemos encontrar as casas 1322 seguido das casas 511 e 688. Impares e pares compartilham o mesmo lado da rua sem o menor pudor.Quando voce compra um eletrodomestico numa loja de departamentos, o funcionario, alem de perguntar o endereco, exige uma referencia. Na verdade, o campo referencia e obrigatorio no seu sistema e sem isso a compra quase nao pode ser feita.Dirigir na cidade de Sao Paulo nao e muito melhor. E certo que as ruas possuem nomes e placas e a numeracao e ordenada e coerente mas a malha viaria e tao complexa que fica dificil para o motorista entender. Realizar retornos, corrigir rotas erradas, memorizar um trajeto sao todas tarefas dificeis para o nao taxista. Para piorar, voce nunca esta sozinho, para qualquer lugar que voce va, voce tera companhia, e muita. Como todos sabemos, o transito em Sao Paulo e realmente infernal!Dependendo de como a malha viaria de uma cidade for organizada e construida, a vida dos motoristas e pedestres pode ficar muito mais facil. Quem conhece Manhatam, por exemplo, sabe como e facil se localizar e encontrar um endereco. La, as proprias ruas sao numeradas de maneira que, se estamos na quinta avenida e deserjarmos ir para a setima sabemos de antemao que precisamos caminhar 2 quadras em determinado sentido. A topologia da malha viaria e tambem bastante simples, aproximando-se de um grande quadriculado com ruas no sentido norte-sul e outras no sentido leste-oeste. Facil nao?Podemos fazer melhor? Sera que e possivel projetarmos uma cidade com um sistema de localizacao diferente, que facilite ainda mais a vida das pessoas? Que seja simples e facil de se orientar? Incrivelmente o matematico israelense Avharam Trakhman resolveu o Problema da Rota Colorida e esse fato nos da certeza de que e sempre possivel projetar uma cidade com endereco absoluto. Mas o que e endereco absoluto afinal? Bom, estou chamando de endereco absoluto um endereco que cumpre duas funcoes:O endereco por si so pode ser utilizado para se encontrar o local nao sendo necessario recorrermos a guias ou ao GPS.A rota sugerida pelo endereco absoluto funciona se partirmos de qualquer ponto da cidade. Ressalto a palavra qualquer e acrescento: O endereco absoluto e independente do ponto de partida.Para exemplificar a ideia do endereco absoluto vou recorrer a um exemplo. Suponha uma mini-cidade com a malha viaria representada na figura abaixo. As linhas azuis e vermelhas sao as ruas, a direcao permitida e representada pelas setas e os pequenos circulos sao cruzamentos. O endereco do cruzamento amarelo e AVVAVVAVV enquanto
o endereco do cruzamento verde e AAVAAVAAV. Cada letra do endereco representa qual rua devemos seguir, a rua (A)zul ou a rua (V)ermelha. O incrivel e que a rota AVVAVVAVV levar-nos-a ao cruzamento amarelo a partir de qualquer, isso mesmo, qualquer ponto do mapa. A rota AAVAAVAAV, analogamente, levara o motorista ao cruzamento verde independente do ponto de partida. Verifique! Imagem retirada da wikipedia para explicacao do Problema da Rota Colorida Trakhman nao estava de fato preocupado com urbanismo ou melhoria do sistema de orientacao das cidades. O "Problema da Rota Colorida" esta relacionado a teoria dos Grafos, entidades matematicas abstratas representadas por desenhos como a figura acima. Tambem nao e qualquer grafo (neste contexto troque por malha viaria, se quiser) que tem essa propriedade, mas sempre sera possivel produzir um grafo com "endereco absoluto" se seguirmos as hipoteses descritas no teorema de Trakhman. Transformadas para a linguagem da malha viaria as hipoteses sao:Escolhidos dois cruzamentos quaisquer devera ser sempre existir uma rota que parte de um cruzamento ao outro.Todos os cruzamentos deverao ter o mesmo numero de opcoes de saida. Em nossa figura, esse numero e igual a dois, observe que temos duas opcoes de saida, e somente duas, para cada um dos cruzamentos.Se obedecermos as duas regras acima e possivel projetarmos cidades com endereco absoluto de quaisquer dimensoes.O "Problema da Rota Colorida" estava sem solucao desde que foi proposto por uma equipe de matematicos dirigidas pelo professor Binyamin Weiss em 1970. A noticia da demonstracao foi noticiada em todo o Brasil em 8 de fevereiro de 2008 e quem quiser pode consultar aqui.Na realidade nao sei se construir cidades com este conceito e economicamente viavel ou se de fato e simples para as pessoas memorizar grandes sequencias de letras. De qualquer maneira o conceito e sedutor e surpreendente. Antes da prova de Trakhman eu nao fazia ideia, e acredito que o leitor tambem nao, de que e possivel construir mapas com endereco absoluto.
Meu irmao ligou dizendo que ja estava perto e que eu deveria descer para ganhar tempo. Era sexta-feira, fim do dia e estavamos nos preparando para irmos ao litoral. Logo ao entrar no carro ele pediu para que eu colocar o novo CD que ele tinha comprado. Tinha 100 musicas e deveria durar a viagem toda e ainda sobrar.Ele sugeriu que eu selecionasse o modo "randomico", porem frustado, fez o seguinte comentario:- O randomico desse radio ta quebrado!- Como assim, quebrado - disse eu.- Bom, voce vai ver, daqui a pouco vai repetir uma musica.- Ue, e dai, o randomico nao garante que as musicas nao vao repetir. Ja tentou o modo "sequencial"? -respondi ironico.- Cara, tem 100 musicas no CD, toda a vez que vou pro escritorio acabo ouvindo uma musica repetida no caminho.Fiquei intrigado com o comentario, e ainda mais intrigado com o gosto musical do meu irmao, mas afinal o carro era dele. Como fuga para o inferno musical a que fui exposto, meu cerebro logo encontrou consolo nas abstracoes platonicas matematicas, uma higiene mental.No intimo eu duvidava que o modo randomico estava quebrado uma vez que e tao facil implementa-lo computacionalmente. Tentei modelar o problema de maneira a poder trata-lo, assumi que o modo randomico no caso e equivalente a jogar um dado de 100 lados toda a vez para definir a musica que sera tocada. E claro que em algum momento repeticoes irao acontecer, mas a pergunta era, quando?Matematicamente o que eu buscava era responder qual era o numero esperado de musicas a ouvir ate que haja a primeira repeticao. Na estatistica esse conceito tem um nome curioso, se chama "Esperanca".O conceito de Esperanca tem um relacao forte com a media, por exemplo, suponha que meu irmao anotasse quantas musicas escutou ate a primeira repeticao todas as vezes que foi ao escritorio (assumindo que haja sempre tempo para que alguma repeticao ocorra, o que nao e verdade). A media deste valor e proximo ao valor esperado que estamos procurando.Ele poderia tabular os valores conforme a tabela abaixo. Suponha que tenha ouvido o CD 1000 vezes, entao a tabela seria algo assim.Formalmente esse valor devera ser proximo a expressao abaixo onde P(x) significa Probabilidade de que x ocorra:1 x P(1 musica sem repeticao) + 2 x P(2 musicas sem repeticao) + ... + 100 x P(100 musicas sem repeticao)O leitor paciente ira constatar que calcular a media aritmetica de quantas musicas ate a primeira repeticao da tabela e proximo ao conceito platonico de "Esperanca" dado em funcao de probabilidades. A pergunta que resta e como calcular as probabilidades. Para ajudar o raciocinio vamos calcular a probabilidade de ouvirmos exatamente 4 musicas nao repetidas, isto e, a repeticao ocorrera necessariamente na quinta musica.O que e equivalente a:Convertendo os valores para uma forma geral teremos:onde n = 100 e k = 4Enfim, reconstruindo a formula acima em funcao dos resultados obtidos acima teremos:Nao consegui ainda uma forma fechada, ou seja, nao consegui me livrar do somatorio para a formula, o que significa que vou precisar usar arsenal computacional. Felizmente o
leitor podera contar com a widget que eu criei para calcular o numero esperado de musicas em funcao do numero total do CD.Por exemplo, meu irmao ficou surpreso em saber que para seu CD esse numero e 12, isto e, considerando uma media de 3 minutos para cada musica, e esperado que ocorra a primeira repeticao 36 minutos depois.De fato, com o transito de Sao Paulo sexta-feira a noite, ouvimos a primeira repeticao antes de chegarmos na imigrantes, onde fui acordado do meu transe matematico com um grito desproporcionalmente estridente do meu irmao:- AhA, eu te disse, o randomico ta quebrado!!!!
corto, voce escolhe". Um dos filhos corta o bolo, enquanto o outro escolhe o primeiro pedaco.Observe que nenhum pode sentir inveja do outro (pelo menos idealmente). O filho que cortou o bolo tem certeza de que dividiu o bolo pela metade, enquanto o outro tambem nao pode sentir inveja pois escolheu o primeiro pedaco.Este procedimento tem ate nome cientifico, e o Protocolo Isento de Inveja. Se seguirmos um protocolo isento de inveja podemos garantir que cada participante da partilha receba ao menos 50 por cento (para 2 participantes) do bolo em sua propria media. Em outras palavras o protocolo isento de inveja garante que todos os envolvidos pensem que escolheram um dos maiores pedacos. Ate aqui, nenhuma novidade, todos conhecemos este procedimento ancestral. A novidade ocorre quando tentamos resolver o problema para familias com quantidades de criancas diferente de dois. A pergunta afinal e, existe um protocolo isento de inveja para n irmaos.Protocolo do filho unicoBom, matematicos adoram uma observacao obvia, entao defino aqui o protocolo do filho unico, que tambem e isento de inveja. Podemos explica-lo mais ou menos assim: "eu nao corto, e escolho o bolo todo". Note que o procedimento garante que a crianca nao sinta inveja dela mesma, correto? Enfim, o protocolo do filho unico e um protocolo isento de inveja para n=1 irmaos.Protocolo isento de inveja para 3 irmaos.Agora vem a novidade. Incrivelmente, existe um protocolo isento de inveja para 3 irmaos, e vou procurar descreve-lo abaixo. Chamarei os irmaos de Paulo, Ricardo e Eduardo. Na realidade escolhi os nomes de meus irmaos reais na esperanca de cativa-los para um experimento. Como todos eles trabalham pouco e ganham muito tenho certeza de que dispoem de um tempo para a ciencia:Paulo corta o bolo em 3 pedacos que considera iguais. Ricardo observa os pedacos e apara o que considerar maior, deixando o naco a parte.Eduardo entao escolhe um dos 3 pedacos principais, seguido de Ricardo e Paulo. Ha um porem, se Eduardo nao escolheu o pedaco que foi cortado (nao o naco, o pedaco cortado), Ricardo devera escolhe-lo. Quem pegou o pedaco cortado sera chamado de X e o outro sera chamado de Y. Note que X e Y serao Ricardo ou Eduardo dependendo desta escolha. Agora vamos ao naco. Y corta o naco em 3 pedacos que considera iguais.X escolhe o primeiro pedaco do naco, depois Paulo, depois Y.Pais cuidadosos deverao garantir que o procedimento acima e realmente livre de inveja. Para ajuda-los listo algumas observacoes.Paulo nao pode sentir inveja de ninguem, afinal dividiu o bolo em tres partes que considera iguais e ficara com certeza com uma delas. De quebra, ganhara um pedaco do naco.Ricardo nao pode sentir inveja pois tem o direito de acertar a escolha que Eduardo fara aparando o pedaco que eventualmente considerar maior. Tambem tera o direito da primeira ou segunda escolha na divisao do naco.Eduardo tambem nao pode sentir inveja pode sera o primeiro a escolher um dos pedacos depois que Ricardo aparar um pedaco. Alem disso, se escolher o pedaco nao aparado definira a forma que o naco e dividido.