solucao de equacoes, o Calculo Diferencial e Integral e a parte da matematica que lida com variacoes. Qualquer situacao em que uma ou mais grandezas estejam mudando pode ser analisada com os recursos do Calculo. Umadas inumeras aplicacoes do Calculo e a descoberta de maximos ou minimos defuncoes. Suponha que voce seja dono de uma fabrica de refrigerante de seriguelae queira fabricar latas de 350 mL. Existem inumeros tamanhos diferentes que vocepode usar. Por exemplo, voce pode fazer as latas com 12 cm de altura e 6,1 cmde diametro. Mas se voce for uma pessoa economica nao vai querer isso! E melhorfazer uma lata com 10 cm de altura e 6,7 cm de diametro, pois assim voce estaragastando 3% a menos de aluminio. Entre todas as latas de 350 mL, qual a maiseconomica? Essa sera uma pergunta muito importante para voce e suas seriguelas epode ser resolvida pelo Calculo. Descobre-se que a lata mais economica e aquelacuja altura e igual ao diametro (no nosso caso, 7,6 cm de altura)*. Asabelhas tambem usam conhecimentos de Matematica para construir suas colmeias:elas desejam depositar o mel que fabricam em alveolos de cera que tenham aforma mais economica possivel, isto e, que apresentem o maior volume para amenor porcao de material empregado. Parahaver economia de material, e necessario que a parede de um alveolo sirvatambem ao alveolo vizinho. Logo, o alveolo nao pode ter forma cilindrica, poisse fosse assim cada parede so serviria a um alveolo. Na verdade os alveolosdevem ter forma de prismas. Soha tres prismas regulares que podem ser justapostos sem deixar intersticio:o triangular, o quadrangular e o hexagonal. E assim porque os unicos poligonoscom os quais se pode pavimentar um plano sem deixar espacos vazios e sem quehaja interseccoes sao o triangulo equilatero, o quadrado e o hexagono regular.Com pentagonos regulares, por exemplo, nao e possivel formar um mosaico. Asabelhas escolheram usar prismas hexagonais. Voce sabe por que? Porque dos tresprismas regulares construidos com porcao igual de cera, o prisma hexagonal e o que apresenta maior volume. Osespertos himenopteros ainda precisam decidir qual a maneira mais economica defechar os alveolos. A forma adotada e a seguinte: o fundo de cada alveolo econstituido de tres losangos iguais e tambem serve como fundo para outrosalveolos, pois a colmeia e arranjada em favos com duas fileiras de alveolos. Ovolume dos alveolos depende da forma dos losangos usados para fecha-lo. Oprimeiro a se interessar por essa forma parece ter sido o astronomo italianoJean-Dominique Maraldi (1709-1788). Ele determinou experimentalmente, comabsoluta precisao, os angulos desses losangos e achou 10928 para o angulo obtuso e 7032 para o angulo agudo. Em1739, o fisico Rene-Antoine Ferchault de Reamur (1683-1757), supondo que asabelhas eram guiadas, na construcao dos alveolos, por um principio de economia,propos ao geometra alemao Johann Samuel Konig (1712-1757) o seguinte problema:Entre todas as celulas hexagonais com ofundo formado por tres losangos, determinar a que seja construida com a maioreconomia de material. Konig,que nao conhecia os resultados obtidos por Maraldi, achou que os angulos dolosango do alveolo matematicamente mais economico deviam ser 10926 para o angulo obtuso e 7034 para