George Ferdinand Ludwig Philip Cantor, cujos pais eram dinamarqueses, nasceu em1845, em S. Petersburgo, Russia, mas passou a maior parte da sua vida na Alemanha. Oseu pai era judeu convertido ao protestantismo e a sua mae catolica de nascimento.Cantor interessou-se fortemente pela teologia medieval sobre a continuidade e oinfinito. Como consequencia, nao seguiu uma carreira em engenharia como lhe sugeriao seu pai, a fim de se concentrar em Filosofia, Fisica e Matematica.Estudou em Zurique, Gottingen e Berlim, onde ensinavam, alem de Kummer,Leopold Kronecker e Karl Weierstrass. Talvez por influencia de Kummer e Kronecker,Cantor interessou-se particularmente por teoria de numeros, tendo sido este assuntotanto da sua tese de doutoramento como do trabalho que apresentou para ser admitidocomo docente na Universidade de Halle (uma universidade de provincia consideradapouco importante), onde leccionou entre 1869 e 1905.Faleceu em 1918 no hospital de doencas mentais de Halle.As descobertas de Cantor sobre a teoria de conjuntos assentam sobre uma ideia muitosimples. Como comparar conjuntos se nao se conseguir contar os seus elementos?Qualquer crianca, muito antes de aprender a contar, sabe que a mao direita tem tantosdedos quantos da mao esquerda. Ora, tantos...quantos e a maneira pela qual nao so ascriancas, mas tambem, em geral, as pessoas normais, exprimem o conceito decorrespondencia biunivoca. Pois bem, basta colocar cada dedo de uma mao em frente aocorrespondente dedo da outra mao para concluir que ambas tem o mesmo numero dededos.De uma forma intuitiva, a correspondencia, um a um, entre dois conjuntos A e Btrata-se do emparelhamento dos elementos de um conjunto com os do outro, de talmodo que todos os elementos de cada conjunto tem exactamente um correspondente nooutro conjunto.O paraiso que Cantor criou Capitulo 436Se eu puder corresponder, elemento por elemento, dois conjuntos bem definidos Me N por uma operacao univoca (e, quando se pode faze-lo duma maneira, pode-se fazelotambem de muitas outras) (...) digo que estes conjuntos tem a mesma potencia, ouainda que eles sao equivalentes. (Cantor, 1883 [1887])Segundo esta definicao, pode procurar-se a equivalencia de grandes conjuntos, comoo dos lugares de um estadio e o dos espectadores que os ocupam para assistir a qualqueracontecimento: se houver espectadores sem lugar, ou se sobrarem lugares nao ocupados,os dois conjuntos nao sao equivalentes; caso contrario, sao.A definicao de Cantor nao exige que contemos, ou mesmo que conhecamos, aspopulacoes dos dois conjuntos para determinar se sao ou nao equivalentes.Como diz Radice (1981), Cantor teve a ousadia intelectual, que duzentos e cinquentaanos antes faltou a Galileu Galilei, de aplicar a definicao infantil de igualdade donumero cardinal de dois conjuntos ao caso de conjuntos infinitos, afirmando que umaparte pode ser equivalente ao todo quando se trata de conjuntos infinitos.Na obra de Galileu Dialogos de Duas Novas Ciencias, escrita dois seculos e meioantes de Cantor, o grande cientista italiano chamou a atencao para a correspondencia, deum para um, entre o conjunto dos numeros naturais e os seus quadrados, emboraintuitivamente parecesse haver muito menos quadrados do que numeros naturais.A contradicao que se deparou a Galileu resolve-se com facilidade, tendo apenas ematencao que o mesmo adjectivo, igual, pode ser empregue com dois significadosdiferentes.Um deles, com origem em