As progressoes comecaram a ser estudadas desde os povos muito antigos como os babilonicos.Na Mesopotamia surgiram varias tabelas babilonicas muito interessantes, mas a mais extraordinaria foi a de Plimpton 322 (1900 a 1600 a.C). A Matematica no Egito antigo nunca alcancou o nivel obtido na Matematica Babilonica, talvez porque a babilonia era o centro das rotas de navios e de troca de saberes.Mas nao podemos esquecer que os egipcios tiveram um papel primordial na preservacao de muitos destes papiros que contribuiram para o nosso conhecimento em Matematica hoje.Em um papiro que data de 1950 a.C., podemos encontrar problemas teoricos a respeito de Progressoes Aritmeticas e Geometricas. Tem tambem o papiro Rhind (ou Ahmes) data aproximadamente de 1650 a.C. e nada mais e do que um texto matematico na forma de manual pratico que contem 85 problemas copiados em escrita hieratica pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo.O papiro Rhind e uma fonte primaria rica sobre matematica egipcia antiga, deixando evidencias de que sabiam fazer a soma de termos de uma progressao aritmetica. Nele consta o seguinte problema:"Divida 100 paes entre 5homens de modo que as partes recebidas estejam em Progressao Aritmetica e que um setimo da soma das tres partes maiores seja a soma das duas menores."Podemos observar assim, que muitos dos exercicios contidos no papiro Rhind sao exercicios para jovens estudantes.Os babilonicos tambem utilizavam sequencias. Foram encontrados dois problemas interessantes em uma tabua de Louvre, datando por volta de 300 a.C.. Os quais, um deles afirma que:\(1+2+2^2+2^3+...+2^8 + 2^9= 2^9 + 2^9 -1\)Presume-se que se deve a Pitagoras (585 a.C. - 500 a.C) e aos sabiso gregos que viveram depois dele, a criacao da Aritmetica teoricos, pois os pitagoricos conheciam as progressoes aritmeticas e as geometricas, as harmonicas e musicais, as proporcoes, os quadrados de uma soma ou de uma diferenca.Friedrich Gauss (1777-1855) deu sinais de ser um grande genio aos 3 anos de idade. Nesta epoca ele ja havia aprendido a ler e a fazer calculos aritmeticos mentalmente. Aos dez anos de idade, durante uma aula de matematica seu professor pediu para que todos os alunos obtivessem a soma dos numeros de 1 a 100. Em poucos minutos Gauss apresentou o resultado correto. Ate entao ninguem era capaz desse feito. Ele se baseou no fato de que a soma dos numeros opostos e sempre contante. Entao multiplicou a constante pelo numero de termos e dividiu pela metade, chegando a formula da soma de uma P.A.\(S_n = \frac{[(a_1+a_n)n]}{2}\) SMOLE, Katia Cristina Stocco. DINIZ, Maria Ignez. Matematica Ensino Medio. Editora Saraiva. 3a ed. Sao Paulo. 2003REGO, Rogeria Gaudencio do. REGO, Romulo Marinho do. Matematicativa. Editora Universitaria. Joao Pessoa. 2000PAIVA, Manoel. Matematica. Editora Moderna. 1o ed. Sao Paulo. 1995.FACCHINI. Matematica Volume Unico. Editora Saraiva. Sao Paulo. 1997.GIOVANNI, Jose Ruy. BONJORNO, Jose Roberto. GIOVANNI JR., Jose Ruy. Matematica Fundamental. 2o Grau. Volume Unico. Editora FTD. Sao Paulo. 1994. 1a ObservacaoE sempre conveniente colocar os termos em funcao de \(a_1\) e r, lembrando que: \(a_2=a_1+r\); \(a_3=a_1+2r\); \(a_4=a_1+3r\);...; \(a_{10}=a_1+9r\) e assim por dianteExemplo: Numa P.A., \(a_2+a_6=20\) e \(a_4+a_9=35\). Escrever a P.A.Resolucao: Vamos escrever os dados