thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
eu me esforcei para escrever este livro em sua totalidade da forma mais compreensivel que consegui... (embracing more stringently that method of the Hindus, and taking stricter pains in its study, while adding certain things from my own understanding and inserting also certain things from the niceties of Euclid's geometric art, I have striven to compose this book in its entirety as understandably as I could do Verbete na Wikipedia). E conseguiu mesmo. Pois com ele logrou o prodigio de introduzir o sistema numerico posicional de base dez na cultura Europeia em plena Idade Media, considerada a idade das trevas. Quer dizer: se nao fosse por Fibonacci, quem sabe voce teria feito aquele calculo la de cima, ja que talvez ainda estivessemos usando a notacao romana... (sim, sei que isso e um exagero ja que nao fosse Fibonacci cedo ou tarde algum matematico introduziria a notacao arabica no mundo ocidental; mas serve para dar uma medida da importancia de Leonardo Pisano para as ciencias matematicas modernas). Uma peculiaridade do Liber Abaci: nele, pela primeira vez, aparece na literatura cientifica ocidental a mencao ao zero (como um sinal, ou simbolo, nao como um numero, ja que zero nao e numero). Diz Leonardo textualmente: Os nove algarismos hindus sao: 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1. Com estes nove algarismos e com o sinal 0... pode-se escrever qualquer numero (The nine Indian figures are: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. With these nine figures, and with the sign 0 ... any number may be written Ainda da Wikipedia). Note que para a epoca tratava-se de um conceito absolutamente revolucionario que permitia usar o simbolo 0 para preencher uma posicao decimal vazia, como no numero 13027, viabilizando o uso de sistemas numericos posicionais. Ao contrario de tantos genios (e felizmente para ele), Leonardo teve sua importancia reconhecida ainda em vida, tornando-se protegido do Imperador Frederick II (da dinastia Hohenstaufen, pretendente ao trono do antigo Imperio Romano), que dedicava atencao especial a matematica e as ciencias. Em 1240, a Republica de Pisa lhe concedeu uma pensao vitalicia. Fibonacci dedicou-se por toda a vida ao estudo da matematica com uma importante producao intelectual. Alem da introducao da notacao arabica na cultura ocidental deve-se a ele o estabelecimento da Identidade de Fibonacci (tambem conhecida por Identidade de Brahmagupta) que afirma que o produto de dois numeros que sao, cada um deles, a soma de dois quadrados e, por sua vez, a soma de dois quadrados (mais informacoes naWikipedia). Mas nao foi qualquer uma destas facanhas que trouxe o ilustre nome de Fibonacci para esta humilde serie de colunas. O que fez com que ele viesse parar aqui foi sua ficticia criacao de coelhos. Sim, porque foi nosso amigo Fibonacci, justamente em sua obra mais conhecida, o Liber Abaci, que propos o problema com o qual encerramos a coluna anterior. Nao lembra? Refresquemos nossa memoria, entao. O problema era o seguinte: Partindo dos pressupostos abaixo: 1) um cavalheiro adquiriu um casal de coelhos recem nascidos; 2) este (e qualquer outro) casal de coelhos demora
um mes exato para atingir a maturidade, tornando-se fertil e podendo reproduzir; 3) cada casal de coelhos fertil gera um casal de filhos a cada mes, aceitando-se cruzamentos consanguineos; 4) o cavalheiro jamais se desfaz de seus coelhos que, por sua vez, nunca morrem; Pergunta-se: ao final de doze meses quantos casais de coelhos o cavalheiro possuira? E quantos possuia a cada mes? Para tracar uma estrategia para a solucao do problema, vamos reparar na Figura 2 que exibe a arvore genealogica dos coelhos ate o quarto mes. Figura 2: arvore genealogica ate o quarto mes Antes que alguem proteste: sim, de fato nao existe mes zero. Aquela linha esta ali apenas para facilitar meu trabalho um pouco mais adiante. Mas como no hipotetico mes zero o numero de casais de coelhos tambem e zero, ela nao interferira no restante do raciocinio. Entao, maos a obra. Na figura, um casal de coelhos recem nascido, portanto antes de atingir a maturidade e tornar-se fertil, e representado sem qualquer adereco. Mas a partir de um mes de nascido, quando ja pode se reproduzir, a imagem do casal aparece circundada com uma tonalidade avermelhada. Do ponto de vista pratico isso significa que apenas gerarao descendentes no mes seguinte os casais assim assinalados. Agora, vamos acompanhar o crescimento da populacao de coelhos mes a mes. No primeiro mes (mes 1) temos apenas o casal recem adquirido, que ainda nao atingiu a maturidade. Populacao total do mes 1: um casal (nao fertil). Como no seu primeiro mes de vida este casal nao pode se reproduzir, no mes seguinte a populacao total continuara a ser formada apenas por ele, que agora, porem, ja esta fertil e podera se reproduzir no proximo mes. Populacao total do mes 2: um casal (agora, fertil). Ja no terceiro mes a coisa e diferente. Repare na figura: o casal de coelhos representado na cor branca estava fertil no mes 2, portanto gerara um casal de filhos que se juntara a ele no mes 3. Este casal (representado na cor verde) sendo recem nascido, nao estara fertil. Populacao total do mes 3: dois casais (um fertil, um nao). Agora fica facil entender o que acontece no mes 4: o unico casal fertil (os coelhos brancos) gerara mais um casal de filhos (na figura, representados em vermelho). Mas o casal de coelhos representados em verde atinge a maturidade, elevando para dois o numero de casais ferteis. Populacao no mes 4: tres casais (dois ferteis, um nao). Para desenhar mais um trecho da arvore genealogica basta lembrar que cada casal fertil gerara um novo casal de filhos (representado puxando-se uma linha vermelha de cada casal circundado com a tonalidade avermelhada que indica fertilidade, estendendo-a ate o mes seguinte e desenhando um novo casal recem nascido em sua extremidade). E que como os coelhos nao morrem, os casais existentes no mes anterior se repetem no mes seguinte, repeticao esta que e enfatizada na figura por linhas azuis (sempre lembrando que nesta passagem os recem nascidos passam a atingir a maturidade ja que completam um mes). A explicacao
parece complicada? Pois entao acompanhe a figura 3, que mostra a arvore genealogica ate o setimo mes, que talvez ela se torne mais clara. Figura 3: arvore genealogica ate o setimo mes Preste atencao na figura: de cada casal fertil (cercado por uma tonalidade avermelhada) sai uma linha azul que leva a representacao do mesmo casal no mes seguinte e uma linha vermelha que acaba em um casal recem nascido no mes seguinte. E de cada casal de coelhos nao fertil que existe em um mes sai apenas uma linha azul para indicar que ele se repete no seguinte (quando aparece ja circundado com a tonalidade avermelhada para indicar que entao ele ja se tornou fertil). Com isto ja se pode deduzir a lei de formacao da sequencia numerica que representa o numero de casais mes a mes. E que lei e essa? Vamos deduzi-la. Tome um mes qualquer (por exemplo, o mes 5): sua populacao (cinco casais) e igual a populacao total do mes anterior (no caso, os 3 casais existentes no mes 4) somada aos recem nascidos naquele mes (ainda no caso, os dois casais nascidos no mes cinco). Mas quantos casais recem nascidos havera em cada mes? Igualmente simples: tantos quantos sao os casais ferteis no mes anterior (ainda tomando como exemplo o mes 5, note que havia dois casais ferteis no mes 4). Mas atencao (e este ponto e crucial para entender a lei de formacao!!!): o numero de casais ferteis no mes anterior corresponde exatamente ao numero total de casais de dois meses antes (verifique: no mes 5 ha dois casais recem nascidos, correspondentes a populacao total do mes 3; e isso se repete mes a mes: no mes 6 ha tres recem nascidos, correspondentes a populacao total do mes 4; e assim por diante...) Agora ficou facil calcular o numero total de casais do mes 8, que nao aparece na figura. E nem precisa: basta olhar para a Figura 3, contar o numero de casais ferteis no mes 7 (que e igual ao numero total de casais do mes 6) e somar com o numero total de casais do proprio mes 7. Vamos la: total de casais do mes 7: 13 casais. Casais ferteis no mes 7 (que e igual ao numero total de casais do mes anterior, o mes 6): 8 casais. E facil concluir entao que no mes 8 teremos 13 + 8 = 21 casais. Ora, entao para se obter o numero total de casais em um mes qualquer basta somar o numero de casais dos dois meses que o precedem. Olhe para a figura 3 e veja se nao tenho razao... Pronto, encontramos a lei de formacao, que pode ser expressa pela expressao algebrica: P(n) = P(n-1) + P(n-2), que equivale a dizer que o numero de casais de coelhos P(n) em um mes qualquer e igual a soma do numero de casais do mes anterior P(n-1) com o numero de casais do mes que o antecede, P(n-2) (note que para obter a populacao total de coelhos em um dado mes basta
multiplicar por dois o numero de casais existentes naquele mes). Agora que voce sabe disso fica facil resolver o problema proposto por Fibonacci. Basta continuar a calcular o numero de casais mes a mes ate o mes 12. O numero de casais no mes 9, P(9), sera igual a soma de P(8 ) com P(7), 13 + 21 = 34. Sempre aplicando a lei de formacao da sequencia, o numero de casais possuidos pelo hipotetico cavalheiro do problema de Fibonacci nos meses seguintes sera: P(10) = P(9) + P(8 ) = (34 + 21) = 55 casais; P(11) = P(10) + P(9) = (55 + 34) =89 casais e P(12) = P(11) + P(10) = (89 + 55) = 144 casais. O cavalheiro teria entao um total de 144 casais ou 288 coelhos ao final de doze meses. A evolucao do numero de casais (agora incluindo o zero) foi a seguinte: 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89 e 144 uma sequencia (que, naturalmente, continua indefinidamente apos o termo 144) na qual cada termo e a soma dos dois anteriores. Seu nome e sequencia de Fibonacci, ja que foi ele o primeiro a chamar a atencao dos matematicos para sua existencia. Mas afinal, isso teria algum significado ou foi uma mera perda de tempo? a Cadeia AureaOra, considerando-se que a segunda coluna e parte integrante da serie, devia-se esperar que ela mencionasse em algum ponto o numero muito especial. Nao mencionou, nada foi escrito sobre ele e, curiosamente, pelo menos ate o momento em que batuco estas linhas em meu sofrido teclado, mais de mil visitantes se deram ao trabalho de ler a segunda coluna e, nos comentarios, nem um deles se manifestou sobre a aparente incongruencia. Quer dizer: ou voces, leitores, andam muito distraidos ou sabem mais sobre o assunto do que deixam entrever nos comentarios. E conhecendo voces como conheco depois de escrever aqui por quase dois anos, estou mais inclinado a crer na segunda hipotese que na primeira. Mas presumamos que nao. Imaginemos que sejam mesmo uma horda de distraidos. Nesse caso, cabe a mim levantar a questao: se a serie e sobre um numero muito especial, como uma coluna sobre a criacao de coelhos do Sr. Fibonacci veio parar no meio dela? O que tem a sequencia de Fibonacci a ver com a razao Aurea? Se voce nao sabe e se tem instalado no computador onde deve estar lendo estas mal tracadas linhas uma planilha eletronica (qualquer uma, mesmo das mais simples), sugiro que faca uma experiencia ainda durante a leitura. Falo serio: mesmo que voce nao tenha qualquer experiencia no uso de planilhas, nao siga simplesmente adiante lendo o texto. Antes, carregue sua planilha e faca a singela experiencia que descreverei passo a passo nos proximos paragrafos. Ela nao exige qualquer pratica no uso de planilhas, sera descrita da forma mais simples possivel (os usuarios mais experientes haverao de me desculpar pelo excesso de simplificacao) e acredito que a achara interessante. Planilha carregada? Entao escreva, na celula A1, o digito 0 (zero)
e logo abaixo, na celula A2, o numero 1 (um). Sua planilha devera se apresentar assim: Figura 1: primeiro passo Agora, vamos entrar com uma formula. Mas nao se assuste, e coisa simples: na celula A3 digite o sinal de igualdade seguido de A2+A1 ou seja: =A2+A1, sem as aspas, exatamente como na Figura 2, e tecle ENTER (e nao se surpreenda se sua planilha nao se apresentar como no lado esquerdo da figura: apesar de voce entrar com a soma, assim que teclar ENTER a planilha efetuara o calculo e se mostrara com uma aparencia semelhante a do lado direito da figura, ja que a soma de um com zero resulta em um). Figura 2: segundo passo Muito bem. Agora, vamos propagar a formula para as linhas de baixo. Nao se preocupe com o jargao que a coisa e facil: se voce esta usando Excel, clique na celula A3 para seleciona-la, mantenha apertada a tecla Shift e com a seta para baixo estenda a selecao ate a celula A25. Sua planilha devera apresentar um aspecto semelhante a imagem do lado esquerdo da Figura 3. Agora solte a tecla Shift (o trecho selecionado continuara marcado) e acione a combinacao Ctrl+D (aperte a tecla Ctrl enquanto tecla D). A planilha assumira o aspecto da imagem central da Figura 3. E parabens: voce acabou de calcular os primeiros 25 elementos da Sequencia de Fibonacci. Figura 3: terceiro passo (sequencia de Fibonacci) Incidentalmente: se voce nao esta trabalhando com Excel e sua planilha nao aceita o comando Ctrl+D para propagar a formula para baixo, tera um pouco mais de trabalho mas chegara ao mesmo resultado entrando com as formulas exibidas na imagem do lado direito da Figura 3. Parece complicado, porem assim que voce reparar que cada uma delas representa a soma das duas celulas situadas imediatamente acima vera que a tarefa e realmente muito simples. Feito? Admire um pouco sua sequencia de Fibonacci, eu espero. Repare como ela e harmoniosa, crescendo lentamente no principio e mais rapidamente a medida que as parcelas aumentam. Terminou? Entao vamos adiante. Nossa missao agora e, a partir do terceiro termo da sequencia (o segundo numero um), dividi-lo pelo anterior e escrever o resultado na segunda coluna. Nao se preocupe que e mais facil ainda. Basta entrar com a formula =A3/A2 na celula B3. Depois, selecione esta celula e propague sua formula para baixo ate a linha 25 da coluna B exatamente como fez com a formula da coluna A. A planilha com as formulas (que, lembre-se, desaparecem assim que voce teclar ENTER ou Ctr+D) tera o aspecto da imagem da esquerda da Figura 4. E os valores dos quocientes, linha a linha, sao os mostrados na coluna B da imagem do lado direito da mesma figura (expressos com sete casas decimais; se sua planilha mostra um numero diferente de casas, certamente os valores nao serao diferentes, apenas estarao arredondados). Figura 4: Divisao de termos sucessivos da sequencia de Fibonacci Notou algo de interessante? Para ajudar, veja a Figura 5, que mostra um grafico onde a linha vermelha representa
a variacao dos valores dos quocientes de cada dois termos sucessivos da sequencia de Fibonacci e a linha azul e uma linha de tendencia, representando o valor para o qual tende a convergir a serie de valores da sequencia. Figura 5: Grafico da variacao dos quocientes Repare que depois de alguns valores a linha vermelha se torna praticamente horizontal, mostrando que os valores dos quocientes passam a nao variar (na verdade variam, mas quase imperceptivelmente) e se fixam em torno de um dado valor (ou seja, em linguagem matematica, tendem para este valor). Justamente o valor mostrado pela linha de tendencia. E adivinhe que valor e esse? E o mesmo que consta das ultimas linhas da coluna B de sua planilha: 1,618034... Mas veja voce que mundo danado de pequeno, nao e que escondido entre os coelhos do Mestre Fibonacci encontramos novamente o nosso velho amigo, o numero Fi la da primeira coluna? Espantado por encontra-lo em um local tao inesperado? Pois guarde seu espanto para as proximas colunas, onde voce o reencontrara em locais ainda mais prodigiosos. Mas por enquanto vamos mesmo ficar na sequencia de Fibonacci que ela ainda nos reserva algumas surpresas interessantes. Mesmo porque eu ainda tenho que arrumar um jeito de meter alguma coisa em binario no meio dessas colunas. Afinal isso aqui e um sitio sobre tecnologia da informatica e um dos mais serios que conheco. Portanto, pra nao dizer que nao falei de bits, sigamos adiante e vamos galhardamente descobrir a golden string. Lembra dos coelhinhos da coluna anterior? Para refrescar sua memoria, vamos repetir aqui a figura que representa sua arvore genealogica ate a setima geracao, ja que deveremos fazer algumas consideracoes sobre ela. Aqui esta: Figura 6: Arvore genealogica dos coelhos de Fibonacci Agora, representemos por N (de Nascido) um casal de coelhos nascido naquele mes e por M (de Maduro) um casal de coelhos capaz de se reproduzir. E, sem importar com a linha de descendencia (ou seja, com a cor dos coelhos), vamos refazer a figura acima, que entao se transformara em: Figura 7: Arvore genealogica transformada Muito bem. Agora examine a estrutura em arvore (isso mesmo, uma arvore genealogica tambem e uma estrutura em arvore ou uma estrutura hierarquica como a estrutura de pastas ou diretorios de seus discos rigidos, como bem sabe qualquer estudante que tenha algum conhecimento de algoritmos e estruturas de dados). Note que cada N gera um M no nivel hierarquico imediatamente inferior (ou seja, no mes seguinte; nao complica, Piropo!). E cada M gera um par MN no nivel seguinte. Portanto, com base nesta simples observacao, podemos determinar a lei de formacao dos sucessivos niveis da arvore, ou seja, conhecer o conjunto de elementos de um determinado nivel com base nos elementos do nivel anterior. Basta para isto substituir no nivel imediatamente abaixo cada N por um M e cada M por um MN. Compare a figura com o conjunto de linhas seguinte e veja se nao tenho razao: 1) N 2) M 3) MN 4) MN M 5) MN M MN 6) MN M
MN MN M 7) MN M MN MN M MN M MN e assim sucessivamente... Bem, como no hipotetico problema de Fibonacci um casal de coelhos pode assumir apenas dois estados, Nascido e Maduro (lembre, os coelhos de Mestre Fibonacci nunca morrem...) e como estes dois estados sao mutuamente exclusivos (um casal nao pode assumir ambos ao mesmo tempo) nos, que somos chegados a um computador, podemos fazer o que fazemos sempre nestas circunstancias: representaremos um estado (o N) por zero e o outro (o M) por um. E la vamos nos, em binario, dispensando as separacoes entre os conjuntos de zeros e uns: 0 1 10 101 10110 10110101 1011010110110 e assim sucessivamente... Bem, agora esqueca o valor dos numeros binarios acima. Preste atencao apenas em seu aspecto, ou seja, na ordem em que os zeros e uns se sucedem. Pegue uma linha qualquer. Por exemplo a sexta: (10110101). Repare que ela pode ser decomposta em duas partes: (10110) e (101). Mas acontece que a primeira parte e absolutamente igual a quinta linha, enquanto a segunda parte e identica a quarta. Percebeu? Isso. Voce pegou a lei de formacao dos niveis hierarquicos: cada um e composto por um conjunto de digitos (cadeia ou string de digitos) encadeando ordenadamente (por isso o nome cadeia) as duas linhas anteriores. Veja se a setima linha (1011010110110) nao e exatamente igual ao encadeamento da sexta (10110101) com a quinta (10110). O que lhe permite, sem grande esforco, gerar a cadeia que vira a formar a oitava linha que, mesmo nao constando da relacao, certamente sera igual a setima seguida da sexta, assim: 101101011011010110101 E com isso voce pode gerar a oitava, a nona, a decima e todas as demais, ate a ultima. Ora, mas se cada cadeia e formada pela justaposicao das duas anteriores, como sera a ultima? Bem, de uma coisa podemos ter certeza: ela sera infinita e formada pela justaposicao das duas anteriores, a penultima seguida da antepenultima (afinal, essa e a lei de formacao). Essa cadeia infinita, gerada em consonancia com a lei de formacao estabelecida pela sequencia de Fibonacci, chama-se Golden String ou cadeia Aurea. Mas como sera ela? Como sera, na verdade, eu nao sei. Ha alguns fenomenos transcendentais, como a alma feminina e a real aparencia do infinito, que por mais que eu tenha me esforcado em decifrar nao me foi dada a ventura de conhecer. Em relacao ao primeiro, confesso, continuo na mais profunda ignorancia. Ja quanto ao segundo, pelo menos no que diz respeito a cadeia Aurea, tenho algumas pistas interessantes. Antes, no entanto, vamos refrescar nossas nocoes sobre numeros, em particular sobre os numeros racionais e irracionais. Eu mencionei alguma coisa sobre estes ultimos na primeira coluna, mas nao entrei em detalhes. Hoje vamos nos estender um pouco mais. Mas sem apelar para qualquer conceito de matematica avancada ou efetuar calculos esotericos. Serao apenas explicacoes simples e diretas, capazes de serem entendidas por qualquer leigo. Entao vamos a elas. Um numero e dito racional quando pode ser obtido pela divisao de dois numeros inteiros, ou seja,
que apresenta a formula geral R = m/n onde m pode assumir qualquer valor e n deve ser diferente de zero. Chama-se racional porque representa uma relacao ou razao (ratio) entre os dois inteiros. Numeros racionais podem ser inteiros, como por exemplo 6 = 18/3, ou fracionarios, como por exemplo 0,25 = 1/4. Mas entre estes ultimos ha alguns particularmente interessantes, que aparentemente jamais terminam. Sao as chamadas dizimas periodicas (dizima, no caso, significa fracao; na verdade corresponde especificamente a fracao um decimo, mas a palavra pode ser generalizada para representar qualquer fracao). Por exemplo: a divisao de (ou razao entre) 1 e 3: 1/3=0,3333333..... e um numero cuja parte decimal se repete indefinidamente, o que e indicado pelas reticencias no final. Nesse caso, o periodo, ou seja, a parte que se repete, e 3. Outro exemplo seria: 5/13=384615 384615384615... onde o periodo e 384615. Em suma: o periodo pode ser mais ou menos longo, mas se o numero e racional cedo ou tarde ele comeca a se repetir. Inclusive nos casos das chamadas dizimas periodicas compostas, quando no inicio da parte fracionaria ha um ou mais algarismos que nao se repetem, como: 647/90=7,18888888.... onde o periodo, 8, so aparece a partir da segunda casa decimal. Mas, seja la como for, sendo o numero racional, ou ele e inteiro (como 23) ou pode ser representado por uma fracao decimal finita (como 4,25) ou por uma dizima periodica simples (0,3333...) ou composta (7,188888...). Nao ha outra opcao. O que nos leva aos numeros irracionais, aqueles que nao podem ser expressos por uma divisao (ou relacao, ou razao) entre dois numeros inteiros. Como os racionais, os numeros irracionais tambem podem ser expressos sob a forma de uma fracao decimal. A diferenca e que ao contrario dos primeiros, a parte fracionaria dos numeros irracionais jamais acaba nem se repete (ou seja, nao ha periodo). Voce conhece pelo menos dois numeros irracionais. Eles sao famosos, tem nome. Um deles e Pi. O outro e Fi. E se voce nao lembra, aqui vai um atalho para uma pagina de Ron Knott da Universidade de Surrey, na Gra Bretanha (citada na primeira coluna desta serie) onde voce encontrara uma representacao de Fi com dez mil casas decimais (e poderia ser representado ainda com muitas mais; nao se esqueca, ele nao acaba). Se quiser se dar ao trabalho de consulta-la vera que nao ha qualquer tendencia de repeticao de conjuntos de digitos na parte decimal, ou seja, nao ha periodo. Fi nao e uma dizima periodica, e um numero irracional. Muito bem. E o que tem isso a ver com a cadeia Aurea, nosso assunto de hoje? Bem, o Prof. Ron Knott dedica uma atencao muito especial a cadeia Aurea (como tambem ao numero Fi e a razao Aurea; seu sitio foi e voltara a ser citado diversas vezes nesta serie e e uma das melhores fontes de informacao sobre o assunto). E da mesma forma que se dedicou a calcular Fi com dez mil casas decimais, deu-se ao trabalho de montar os primeiros dois mil digitos (ou bits)