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Ea duvida somente persiste. Dar um passo pra o desconhecido ou continuarcaminhando em uma estrada que ja nao se conhece mais? Numa fracao de segundos omundo em si e capaz de dar uma volta completa e talvez se nao estiver atentoaos detalhes, voce acabe nao percebendo a amplitude de tais atos. Confiar,talvez nao seja a palavra, fechar os olhos com apenas uma das maos, talvez naoseja a chave que se esta a procura. Silenciar machuca por dentro e por fora.Expandir tudo isso, pode ate ser errado para muitos, mas e a alternativa mais sensataa se fazer. Enganar-se a si proprio, e o pior ato de covardia do serhumano. Nao quero respostas com ar deduvidas, ou vazias se for pra tomar uma decisao quero respostas completas, quetransbordem os meus questionamentos, quando as perguntas caem em cascata comoimagens revividas. Crescer pode ser isso, crescer e estar apto a tomar decisoessem hesitar, saber que as consequencias podem surgir, mas que a maturidade estaali pra te mostrar que voce nao esta errado, e pra te fazer entender que todo ocaminho ate aqui, nao e suficiente pra preencher a longa jornada que esta porvir. Abandonar um habito, nao significa fraqueza, significa que se estapreparado pra qualquer situacao. Sao pequenos gestos e palavras, que fazem toda a diferenca, no convivio entre dois seres humanos. Quando olhos em teus olhos, vou alem dos sonhos, vivo a realidade do que e amarEm minha vida, ao descobrir e aflorar os sentimentos, a felicidade completou-se ao te encontrarEu apenas nao te quero ver partirMesmo diante de consequencias e possiveis barreiras o que prevalece e o amor que sinto por tiSao momentos, muito mais do que isso, marcas de nossas personalidades que permanecem fixos em nos doisE persistem para nos mostrar que devemos viver este e tantos outros dias juntos no presente e deixar de lado por um instante o termo depoisDescobrir novos caminhos, construir planos para o futuro, dividindo cada segundo do que e meuSerei a tua amada, companheira nas diversas situacoes, a melhor amiga, superando as tuas expectativas, esse alguem que tanto procuras sou euAbre os teus bracos, me deixa sentir toda a seguranca e tranquilidade que acalma a minha alma e a deixa em pazPois ninguem nunca me fez mais feliz do que voce me fazAcredite que existem varias possibilidades diante de nos dois e que o amor surgira de forma unica e sutil dentro de voce e em mimLembre-se de que este tempo vai durar eternamente em nossas vidas basta apenas dizer sim. Professor: desvalorizacao e extincao! Nos mais remotos tempos, da epoca da Grecia Antiga e de Roma, os Sabios eram proclamados os professores dos filhos dos reis e detinham todos os privilegios da nobreza. Numa epoca mais proxima toda familia tinha orgulho em ter entre ela um parente proximo quer era professor. Na zona rural, as mocas eram preparadas para serem a professorinha da localidade. E hoje como somos? Atualmente pode-se dizer que passa muito, mas muito longe esse privilegio ou honra de ser professor, pois as escolas estao sucateadas, sem qualquer tecnologia para acompanhar a evolucao
dos tempos e a superdesvalorizacao do profissional em educacao. Essa desvalorizacao que passa atraves de um salario basico que nao chega perto do Salario Minimo (acredite!), sendo que um profissional em final de carreira que ganha um salario de R$ 2.000,00 (dois mil reais) com toda as vantagens (bienios, quinquenios, etc) pode dar gracas a Deus porque esta recebendo bem demais, ate porque os profissionais em educacao quem entram hoje para dar aula no Estado nao tem direito mais de obter esta vantagens, ou seja, bienio e quinquenios e outras vantagens foram abolidas do plano de cargos e salarios do profissional de educacao. Hoje a proliferacao de faculdades e universidades particulares que formam os professores com aulas semi-presenciais (final de semana) ou ate mesmo pela internet nao sao poucas e isto influencia diretamente na qualidade do profissional que esta sendo formado. Nao bastasse isso temos os cursos de pos-graduacao que nem precisam da presenca fisica deste profissional, basta apenas enviar o pagamento das mensalidades e para desespero de nossa classe e da qualidade educacional qualquer outra profissao (engenheiro, medico, psicologo, segundo grau completo, etc) pode dar aula basta concorrer e nao ter o profissional especifico para aquela materia. E neste ponto que o sistema educacional comeca a ruir. Podemos chegar a uma defasagem de milhoes e milhoes de professores faltando em nosso Pais. Salarios injustos, desvalorizacao profissional e sucateamento fazem com que estes profissionais procurem outras formacoes ou larguem sua profissao por outra que nao tenha tanto desgaste e que receba tao pouco. E olha que professores da materia de Fisica, Quimica e Biologia ja sao pecas rarissimas de serem encontrados. As escolas alem de ensinar tem que substituir muitas vezes os pais das criancas que ali frequentam sobrecarregando ainda mais esta funcao. Para se ter uma ideia um professor com 36 aulas semanais tem que cumprir mais 4 horas por semana de reunioes e aulas de reforco, cumprir 200 dias letivos de aula, uma semana de ferias em julho, IPSEMG (nosso INSS) falido sem medicos para atender, sem estrutura fisica (sem carteiras, cadeiras e nem se fala em note book com data-show). A que ponto chegamos? Quem vai querer ser PROFESSOR? E quando faltar o que a sociedade vai fazer pra suprir esta falta? Acho que vivi em epoca errada queria ser o Sabio do reino que tinha os privilegios e nao ser considerado um peso salarial para o Estado
Ao morrer um pai deixou 90 000 reais aos filhos. Sao nove homens e cada um deles tem uma irma. Sabendo-se que a divisao sera feita em partes iguais, quanto recebera cada um? Digite a resposta dispondo os algarismos de acordo com os exemplos a seguir: 1 500, 30 000 ou 550 000. Um numero somado com o seu quadrado e igual a 90. Que numeros sao esses?Essa e so aplicar a formula de Baskara.x+x2=90transformandox2+x-90=0delta12-4.1.(-90)1+360361x=-1+ou-19 (raiz de 361)/2x' = -1+19/2 = 18/2 = 9x"= -1-19/2=-20/2 = -10Portanto os numeros sao9 e -10 6 pessoas se encontram e uma cumprimenta a outra com um aperto de mao. Quantos apertos de maos aconteceram neste encontro? Uma torneira enche um tanque em 4 horas e, se este tanque estiver cheio, a quantidade de agua que escoa pelo ralo o deixa vazio em 5 horas. Se a torneira estiver aberta, mas a agua, ao mesmo tempo, saindo pelo ralo, o tanque ficara cheio? Por que? Quanto tempo levera para encher o tanque?Sera que todo mundo encontrou 20 horas.Veja porque:um quarto de um quinto e igual a um vinte avos1/4 x 1/5 = 1/20para tornar o tanque com fracao inteira ficaria 20/20 portanto em 20 horas o tanque encheria.Proxima semana outra explicacao para o mesmo problema! Na figura acima, temos a planificacao de um cubo:Imagine que o cubo tenha sido montado.Nesse caso, a face oposta a face B e a face:a) Ab) Cc) Dd) F Esta e facil. Chama-se planificacao de figuras geometricas e uma otima abstracao. A resposta certa e a letra c o "D" esta atras do "B" quando voce fechar o cubo O PROBLEMA DAS OITO CAIXAS - Malba Tahan Segundo uma lenda muito antiga, o celebre Califa Al Motacem Billah, rei dos arabes, chamou certa manha o astucioso Sabag, seu vizir-tesoureiro, e disse-lhe em tom grave, como se ditasse uma sentenca irrevogavel: Dentro de poucas horas, meu caro vizir, receberei a visita do jovem Beremisz Samir, apelidado o homem que calculava. Nao ignoras, certamente, que o talentoso Beremiz tem deslumbrado esta nossa gloriosa Bagda com inequivocas demonstracoes de seu incomparavel engenho e de sua agudissima inteligencia. Os enigmas mais intrincados, os calculos mais dificeis sao, pelo eximio matematico, explicados e resolvidos em rapidos momentos. E meu desejo presentear o ilustre Beremiz com avultada quantia. Gostaria, entretanto, de experimentar tambem a tao elogiada argucia do calculista, propondo-lhe durante a nossa entrevista um problema que seja relacionado, de certo modo, com o premio que lhe darei em moedas de ouro. Um problema que deixasse o nosso visitante encantado, e verdade, mas tambem perplexo e confuso.O vizir Sabag nao era homem que se deixasse entibiar diante dos caprichos e fantasias do poderoso emir. Depois de ouvir, cabisbaixo e pensativo, as palavras do rei, ergueu o rosto bronzeado, fitou serenamente o glorioso califa, e assim falou: Escuto e obedeco, o Principe dos Crentes! Pelo tom de vossas palavras, adivinho perfeitamente o rumo seguido pela caravana de vossas intencoes. E vosso desejo premiar um sabio geometra com valiosa quantia. Ressalta, dessa intencao, a generosidade sem par de vosso
coracao. Quereis, entretanto, que este premio seja exornado com um problema original e inedito, capaz de surpreender o mais engenhoso dos matematicos e de encantar o mais delicado dos filosofos. Essa lembranca poe em relevo a elegancia de vossas atitudes, pois o visitante, ao ser arguido diante da corte, podera mais uma vez demonstrar a pujanca de seu engenho e o poderio de sua cultura.Proferidas tais palavras, retirou-se o vizir para a sua sala de trabalho. Decorrido algum tempo, voltou a presenca do rei, precedido de dois escravos nubios que conduziam pesada bandeja de prata. Repousavam sobre a bandeja oito caixas de madeira, todas do mesmo tamanho, numeradas de um ate oito.Nao pequeno foi o espanto do califa de Bagda ao ver aquele singular aparato. Qual seria a razao de ser daquelas caixas numeradas de um ate oito? Que misterio, no dominio das contas e dos calculos, poderiam elas envolver? Cheiques e nobres, que se achavam ao lado do rei, entreolhavam-se espantados.Cabia ao honrado Sabag, ministro da corte, explicar o porque daquela estranha preparacao. Oucamos, pois, o relato feito pelo digno vizir: Cada uma dessas caixas contem um certo numero de moedas. O total contido nas caixas e o premio que sera oferecido ao calculista. As caixas, como podeis observar, estao numeradas de um ate oito, e dispostas segundo o numero de moedas que cada uma contem. Para esse arranjo das caixas, adotei a ordem crescente. Assim, a caixa designada pelo numero 1 encerra o menor numero de moedas; vem depois a que e indicada pelo numero 2; a seguir aparece a de numero 3, e assim por diante ate a ultima, que encerra o maior numero de moedas. Para evitar qualquer duvida, direi desde logo que nao e possivel encontrar duas caixas com o mesmo numero de moedas. O califa, seriamente intrigado, interpelou o vizir: Nao percebo, o eloquente Sabag, que problema seria possivel formular com esses dinares distribuidos por oito caixinhas. Por Allah! Nao percebo!O vizir Sabag, quando moco, fora professor primario e havia aprendido, diante das classes, a ensinar os iletrados, a esclarecer as duvidas dos menos atilados e dirimir as questoes sugeridas pelos mais espertos. Firmemente resolvido a elucidar o glorioso soberano, o velho mestre-escola assim falou: Cumpre-me dizer, o Rei do Tempo, que os dinares nao foram distribuidos ao acaso pelas oito caixas. Cada caixa encerra um certo numero de moedas. Sao ao todo, portanto, oito quantias em dinares. Com as quantias distribuidas pelas oito caixas, podemos fazer qualquer pagamento, desde um dinar ate o numero total contido nas oito caixas, sem precisar abrir nenhuma caixa ou tocar em moeda alguma. Basta separar, da colecao que se acha sobre a bandeja, uma, duas, tres, quatro ou mais caixas, e sera obtido o total desejado. Iallah! E curioso! comentou maravilhado o emir. Segundo posso inferir de tua explicacao, o arranjo dos dinares, distribuidos pelas oito caixas, permite que se possa retirar do total a quantia que se quiser, sem violar nenhuma das caixas, sem remover moeda alguma? Isso mesmo! confirmou pressuroso o vizir. Digamos que fosse vosso desejo
retirar, por exemplo, do total a quantia de 212 dinares. Nada mais simples. No grupo das oito caixas ha algumas cujas porcoes nelas contidas perfazem a soma de 212. Consistira a dificuldade do problema, para cada caso, em determinar as caixas que devem ser separadas, a fim de que se obtenha uma determinada quantia, pois o que se fez para 212 poder-se-a fazer para 200, 49, 157, ou qualquer numero inteiro ate o total de moedas.Feita breve pausa, a fim de permitir que o rei pudesse fixar ideias e refletir sobre o caso, o inteligente vizir rematou: Eis, o Comendador dos Crentes, em resumo, o problema que poderia ser proposto, diante da corte, ao genial calculista: Sabendo que estas caixas, numeradas de um ate oito, contem dinares em numeros que nao se repetem; sabendo-se tambem que e possivel efetuar qualquer pagamento ate o numero total de moedas, sem abrir nenhuma caixa, pergunta-se: 1o - Quantas moedas contem, respectivamente, cada uma das caixas? 2o - Como determinar, por meio do raciocinio, matematicamente certo, a quantia contida em cada uma? 3o - Qual o numero total de moedas? 4o - Sera possivel resolver o mesmo problema distribuindo-se as moedas por um numero menor de caixas?O diva do califado, isto e, o salao real das audiencias, achava-se repleto de nobres e convidados quando, pelo soar surdo e solene do gongo, foi anunciada a visita de Beremiz Samir, o homem que calculava. No centro do suntuoso recinto, sobre luxuoso tapete, foi colocada a bandeja com as oito caixas que iriam servir de base para o problema.Al-Motacem Billah, Principe dos Crentes, que se achava em seu trono de ouro e purpura, rodeado de seus vizires e cadis, dirigiu ao matematico amistosa saudacao: Se bem-vindo, o Beremiz! Se bem-vindo sob a inspiracao de Allah! Que a tua presenca neste diva seja motivo de jubilo para todos os nossos amigos, e que de tuas palavras possamos colher as tamaras deliciosas da sabedoria que eleva as almas e purifica os coracoes.Decorreu um momento de impressionante silencio. Competia ao visitante agradecer aquela honrosa saudacao. Inclinando-se Beremiz diante do rei, assim falou: Allah badique, ia Sidi! Deus vos conduza, o Chefe! Admiro, estimo e exalto aqueles que governam com justica, bondade e sabedoria. E esse o vosso caso, o Emir dos Arabes, e todos os vossos suditos proclamam essa verdade. A vossa justica assegura o poderio do Estado; a vossa bondade cria preciosas dedicacoes; e a vossa sabedoria fortalece e perpetua a confianca do povo. Ai daqueles cujos governantes sao sabios mas regem a vida pela injustica das acoes que praticam! Ai daqueles cujos chefes e dirigentes sao justos mas desconhecem a bondade! E Allah, o Clemente, se compadeca daqueles que se acham sob o jugo de homens ignorantes, perfidos e iniquos. As tuas palavras, o calculista respondeu o rei mansamente sao para mim como brincos de ouro e rubis. Servem-me de estimulo e enchem-me de orgulho. Vou, mais uma vez, abusar de tua gentileza. Sera um encanto, nao so para mim, como para todos os nobres, vizires e cheiques que aqui
se acham, ouvir a tua palavra, a tua doutissima opiniao, sempre original e brilhante, sobre um problema aritmetico que parece desafiar o engenho dos mais insignes matematicos. Esse problema, formulado pelo vizir Sabag, poderia ser enunciado nos seguintes termos: Sobre aquela bandeja estao oito caixas. Cada caixa contem um certo numero de moedas, e nao ha duas caixas com o mesmo numero de moedas. Afirma o vizir Sabag que a distribuicao de moedas pelas oito caixas foi feita de modo a permitir que se possa, do total, destacar qualquer quantia, desde um dinar, sem abrir nenhuma caixa, isto e, sem tocar nas moedas. Resta agora determinar quantas moedas contem cada caixa e qual o total de moedas. Para facilitar a exposicao, as caixas estao numeradas de um ate oito, segundo a ordem crescente das quantias que encerram. E o califa rematou, depois de breve pausa: Como orientarias, o calculista, a solucao desse engenhoso problema?Beremiz Samir, o homem que calculava, como bom sudito, nao se fez de rogado. Cruzou lentamente os bracos, baixou o rosto e pos-se a meditar. Depois de coordenar as ideias, iniciou a prelecao sobre o caso, nos seguintes termos: Em nome de Allah, Clemente e Misericordioso! Esse problema e, realmente, um dos mais interessantes que tenho ouvido, e a sua solucao, por ser simples e suave, poe em relevo a beleza e a simplicidade sem par da Matematica. Vejamos. A distribuicao dos dinares pelas oito caixas foi feita de modo a permitir que separemos uma quantia qualquer, a partir de um dinar, destacando-se da colecao uma, duas, tres ou mais caixas. Resta determinar o conteudo de cada caixa. E evidente que a primeira caixa deve conter um dinar, pois do contrario nao poderiamos destacar a unidade do total. Eis a conclusao algemada pela evidencia: a caixa designada pelo numero 1 contem um dinar.A segunda caixa devera conter, forcosamente, dois dinares, pois a quantia de um dinar nao pode ser repetida, e se a segunda caixa tivesse tres, quatro ou mais dinares nao seria possivel separar dois dinares do total. Conclusao: ja conhecemos os conteudos respectivos das duas primeiras caixas. Com auxilio dessas duas caixas podemos obter um, dois ou tres dinares.Passemos agora a terceira caixa. Quanto deveria conter? A resposta impoe-se imediatamente: quatro dinares. Com efeito, se a terceira caixa encerrasse mais de quatro dinares, nao seria possivel, conservando intactas as caixas, separar quatro dinares do total. Para as tres primeiras, temos, portanto: 1a caixa: 1 dinar; 2a caixa: 2 dinares; 3a caixa: 4 dinares.Com auxilio dessas tres caixas, podemos formar todas as quantias desde um ate sete dinares. Sete representaria o total das tres primeiras caixas, isto e, um mais dois mais quatro.Repetindo o mesmo raciocinio, somos levados a afirmar que a caixa seguinte, isto e, a quarta, devera conter oito dinares. A inclusao desta caixa com oito dinares permitira separar do total todas as quantias desde um ate quinze. O quinze e formado pelo conteudo das quatro primeiras caixas.E a quinta caixa? Nao oferece o calculo de seu conteudo a menor dificuldade. Uma vez demonstrado que as
quatro primeiras caixas totalizam quinze, e evidente que a quinta caixa devera encerrar dezesseis dinares. A inclusao da quinta caixa ao grupo das quatro primeiras permite que formemos qualquer numero desde um ate trinta e um, inclusive. O total trinta e um e obtido pela soma das cinco primeiras. Neste ponto fez o calculista uma pausa rapidissima, e logo prosseguiu: Vejamos, pelo encadeamento natural de nosso raciocinio, se e possivel descobrir uma lei, ou regra, que permita calcular os conteudos respectivos das outras caixas restantes. Para isso convem recapitular: 1a caixa: 1 moeda; 2a caixa: 2 moedas; 3a caixa: 4 moedas; 4a caixa: 8 moedas; 5a caixa: 16 moedas.Observemos que cada caixa, a partir da segunda, contem sempre o dobro do numero de moedas da caixa precedente. Dizem os matematicos que os numeros 1, 2, 4, 8 e 16 formam uma progressao geometrica crescente, cuja razao e dois um sistema binario, portanto. Dada a natureza do problema, e facil provar que se mantem a mesma progressao fixando os conteudos das quatro caixas seguintes. Temos entao: 6a caixa: 32 moedas; 7a caixa: 64 moedas; 8a caixa: 128 moedas; E o total de moedas em todas as caixas, portanto, e 255. Uassala!
Educacao da Universidade de Sao Paulo. 2 Mestre e Doutorando em Educacao Matematica pela FE/USP. Professor Assistente do Centro Universitario Sao Camilo. Membro do GEPEm (FE/USP). bene@fe.usp.br 3 O Primeiro Congresso Internacional de Etnomatematica I CIEm, ocorreu em Granada em 1998; o II CIEm, em Ouro Preto, em 2002; e o Primeiro Congresso Brasileiro de Etnomatematica CBEm 1, ocorreu em Sao Paulo em 2000 e o CBEm 2 esta programado para ocorrer em abril/2004 na cidade de Natal. 4 A palavra pedagogia esta sendo usada aqui nao como relativa a uma teoria e ciencia do ensino, mas como relativa ao ato/oficio de ensinar. Caso prefira, pode troca-la por abordagem ou proposta. Contudo, nao usamos esses termos por entendermos que eles dizem menos que o pretendido no contexto do trabalho. Dessa forma, indicaremos em italico a palavra pedagogia quando estivermos nos referindo ao oficio de ensinar/aprender pautado na etnomatematica. 5 Por mecanismos de acesso, podemos entender, algo torpe como vestibulares, avaliacoes nacionais ou outras formas de acessos profissionais, como concursos publicos e privados. 6 A titulo de exemplo, podemos citar o caso dos pedreiros que, notoriamente, tem formas proprias de quantificar/inferir e medir uteis em suas atividades, mas que nao sao reconhecidas validadas - pelos sistemas formais de transmissao de conhecimento e nao sao contempladas pelos mecanismos que mencionamos. 7 Vale enfatizar que nao estamos utilizando o termo contextualizar num de seus significados mais superficiais comumente utilizado, o de dar exemplos e aplicacoes do topico matematico que se esta ensinando, mas, sim, num sentido amplo de buscar os encadeamentos logicos, formais, historicos, politicos e quotidianos do assunto matematico tratado e coloca-los a servico do desenvolvimento intelectual, afetivo, politico e cultural do aluno e nao a servico da propria matematica, como normalmente tem acontecido. 8 Quando falamos em metodo Paulo Freire estamos, de alguma forma, fazendo uso de um chavao muito difundido, nao so no Brasil, a respeito das teorizacoes de Paulo Freire na direcao da alfabetizacao primordialmente de adultos, desenvolvidas por ele no inicio da decada de 60 e difundidas em diversos paises e povos como um metodo de alfabetizacao. Entretanto, como ressalta GADOTTI (1991, p. 32): A rigor nao se poderia falar em 'metodo' Paulo Freire pois se trata muito mais de uma teoria do conhecimento e de uma filosofia da educacao do que de um metodo de ensino. 9 Em nossa pesquisa de mestrado (SANTOS, 2002), apresentamos o seguinte exemplo de tema: apos as discussoes e dialogos, entre a professora e seus educandos de 5a serie, surgiram duvidas sobre o que seria medida. Entao, o tema medida foi colocado e, como problematizadora e direcionadora das atividades, a professora apresentou a questao: o que e medir? E quase todas as atividades e situacoes de aprendizagem durante boa parte do ano letivo giraram em torno dela.