feito em ordem inversa ao modo como e ensinado nas universidades hoje. Primeiro desenvolveu-se o conceito de integracao originado em processos somatorios ligados ao calculo de areas, volumes e comprimentos. Depois trabalhou-se com o conceito de diferenciacao, baseado em problemas sobre tangentes a curvas, maximos e minimos. Somente depois de algum tempo observou-se que integracao e diferenciacao eram operacoes inversas. Mesmo que estes conceitos tenham sido desenvolvidos, basicamente, no seculo XVII e necessario lembrar que a base deste desenvolvimento comecou no seculo V a.C. com os gregos. Paradoxos de ZenaoHa evidencias de que na Grecia antiga se desenvolveram escolas de raciocinio matematico que abracavam as seguintes premissas:i) uma grandeza pode ser subdividida indefinidamente, eii) uma grandeza e formada de um numero muito grande de partes atomicas indivisiveis.O filosofo Zenao de Eleia chamou a atencao para as dificuldades ocultas nestas premissas atraves de paradoxos desenvolvidos, os quais influenciaram profundamente a matematica. Dois destes paradoxos, os quais tem a ver com o calculo, sao assim apresentados:i) Dicotomia: se um segmento de reta pode ser subdividido indefinidamente, entao o movimento e impossivel, pois para percorre-lo e preciso primeiro alcancar seu ponto medio;ii) A flecha: se o tempo e formado de instantes atomicos indivisiveis, entao uma flecha em movimento esta sempre parada.Qualquer que tenha sido a motivacao para estes paradoxos, eles excluiram os infinitesimais. Metodo de Exaustao de EudoxoConsta que Antifon teria antecipado a ideia de que, por sucessivas duplicacoes do numero de lados de um poligono regular inscrito em um circulo, a diferenca entre o circulo e o poligono, por fim terminaria. Mesmo muito contestada, esta abordagem apresentava o inicio do metodo de exaustao. O metodo de exaustao foi uma resposta da escola platonica aos paradoxos de Zenao e foi desenvolvido por Eudoxo. Este metodo consiste em admitir que uma grandeza possa ser subdividida indefinidamente.De todos os matematicos da antiguidade, quem melhor aproveitou este conceito em seus trabalhos foi Arquimedes. Em suas abordagens de areas e volumes ele chegou a resultados muito proximos a algumas integrais definidas hoje, as quais estao presentes nos varios livros de calculo. O Metodo do Equilibrio de ArquimedesO metodo de exaustao e rigoroso, mas extremamente trabalhoso. Parte do principio de que conhecida a formula, o metodo de exaustao e o caminho para prova-la.No livro O metodo, descoberto em 1906, tratado escrito por Arquimedes, mostra que para determinar a area ou o volume, deve-se cortar a regiao correspondente num numero muito grande de tiras planas ou fatias paralelas finas e (mentalmente) pendurar esses pedacos numa das alavancas dadas, de tal maneira a estabelecer o equilibrio com uma figura de area ou volume e centroide conhecidos. Por este metodo, Arquimedes descobriu a formula do volume da esfera. A Integracao na Europa OcidentalSomente por volta de 1450 os trabalhos de Arquimedes chegaram a Europa, atraves de uma traducao descoberta em Constantinopla e revisada por Regiomontanus e impressa em 1540. Johan Kepler foi um dos primeiros europeus ocidentais a utilizar o trabalho de Arquimedes. Kepler tinha pouca paciencia com o rigor exigido pelo metodo de exaustao e para ganhar tempo e economizar trabalho comecou