thegoodfellas/blogset-br huggingface dataset:
finita de 600 individuos (onde 60% dos individuos sao mulheres). Deseja-se trabalhar com um alpha de 5% e um erro amostral de 7%. Calcule o tamanho da amostra. 2. Organize os dados abaixo em uma tabela de distribuicao de frequencia, contendo o intervalo de classe, a frequencia absoluta, a frequencia acumulada, a frequencia relativa e a frequencia relativa acumulada. 20,4 22,3 23,1 23,5 23,8 24,1 24,3 24,3 24,6 26,0 25,0 25,1 25,3 25,3 25,4 25,6 25,7 25,8 26,0 26,1 26,2 26,2 26,3 26,5 26,6 26,7 26,8 27,1 27,1 27,3 25,7 27,7 27,9 28,0 28,3 28,7 3. Tres arremessadores de disco, treinam para a Olimpiada. Os atletas arremessam seus discos a 66 metros de distancia (em media), com desvio padrao de 6,1 metros. Qual a probabilidade de um atleta lancar seu disco entre 64 e 67 metros? 4. Foi encomendado um estudo para avaliacao de uma entidade de ensino superior. Para isso, aplicou-se um questionario e obteve-se respostas de 110 alunos. Indique: a) a variavel em estudo; c) a populacao em estudo; b) a amostra escolhida; 5. Indique abaixo quais amostras sao consideradas boas:a) Em um cinema, desejou-se verificar quais eram as intencoes de voto para a proxima eleicao. As pessoas entrevistadas, eram as que estavam presentesb) Para saber a opiniao a respeito de metodos contraceptivos, resolveu-se aplicar um estudo em uma escola de ensino fundamental, junto aos alunos. 5. Em uma pesquisa realizada em uma escola, identificou-se os seguintes indicadores (1) idade (2) anos de estudo (3) ano de escolaridade (4) renda (5) sexo (6) local de estudo (7) conceito obtido na ultima prova de biologia (8) Quantidade de livros que possui a) Das variaveis acima, quais sao as quantitativas e quais sao as qualitativas? b) Das variaveis quantitativas, diga quais sao discretas? 6. Porque se realiza na Estatistica, o estudo descritivo? 7. Num quartel, constatou-se que o peso medio de 40 soldados era de 69 Kilos. Posteriormente, verificou-se que a balanca estava desregulada, ocasionando um peso indicado superior em 15 gramas ao peso verdadeiro. Qual era a media verdadeira dos pesos dos soldados? 8. Ao procurar emprego, um determinado cidadao, teve que optar por duas ofertas dispostas em um classificados. Qual a que representa a melhor opcao? Porque? Oferta 1 Oferta 2 Media Salarial 890,00 950,00 Mediana 800,00 700,00 Desvio Padrao 32,00 38,00 9. Um produto pesa, em media, 10g, com desvio-padrao de 2 g. E embalado em caixas com 50 unidades. Sabe-se que as caixas vazias pesam 500g, com desvio-padrao de 25g. Admitindo-se uma distribuicao normal dos pesos e independencia entre as variaveis dos pesos do produto e da caixa, calcular a probabilidade de uma caixa cheia pesar mais de 1050g. Utilize a figura acima para o desenvolvimento da questao, onde a primeira reparticao, a direita, representa a probabilidade da caixa pesar 1050g. Fonte: www.somatematica.com.br
de jogos matematicos.Todos os meses, a Universidade recebe alunos de varias escolas. - publicas e particulares - parauma aula diferente e mais divertida. "A escola fornece a idade dos alunos e montamos a visita. Todos os jogos sao montados com materiais baratos. Ou seja, o professor pode levar aexperiencia para dentro de sala. Pelos jogos, identificamos que linguagem os alunos utilizam para aprender. A participacao nas aulas e muito boa", explica a coordenadora do projetos Visitas Programadas ao Laboratorio de Ensino de Matematica da UFMG, Maria Cristina Costa Ferreira. Ela afirma que nao e possivel ensinar toda a matematica apenas pelos jogos. "Ha um momentoque precisamos fazer a sintese do que foi ensinado, orienta. Os alunos aprovam as inovacoes. "E bem melhor aprender assim. A gente aprende quando copiado quadro, mas nao e tao divertido", afirma Ana Cristina Lando, de 11 anos, estudante da 6a seriedo Centro Pedagogico da UFMG. Para Matheus Lima, , de 12, da mesma sala, o jogo exige queo aluno se dedique mais ao aprendizado."A gente aprende muito mais. No jogo somos pressionado e precisamos nos esforcar para dar a resposta", diz Gustavo Aleixo, de 12. Ja Rafaela Bessone, de 12, acredita que o jogo traz mais desafios, chamando a atencao dos alunos.. "O jogo e dificil. So que aprender copiando a materiano quadro e pior. Assim fica mais interessante", comenta Gabriela Torresia Lima, da mesma idade. Maria Cristina afirma que, a matematica esta sendo ensinada de forma mais contextualizada. "Em muitas escolas, os conteudos sao vistos juntos com outras materias. Isso aumenta o prazerda aprendizagem", defende.(FR)TrilhaOs proprios alunos criam um tabuleiro, com os obstaculos e a historia. O jogo ensina sequencia numerica, ordem crescente e decrescente, contagem e quantificacao. BingoNas cartelas tradicionais, o aluno aprende a ler os numeros. Durante o sorteio, o professor pode anunciar os numeros de forma diferenciada, falando sobre dezenas, unidades,antecessores e sucessores, ou exigindo algum tipo de operacao para a descoberta do numero sorteado. Batalha DuplaCada aluno retira duas cartas de um baralho tradicional. Elas devem ser somadas ou subtraidas, conforme a orientacao do professor. Quem tiver o maior resultado ganha a carta do colega. Vence o jogo quem tiver mais pontos, somados no final da competicao. Atras da OrelhaO jogo tem dois jogadores e um juiz. Os jogadores retiram uma carta do baralho, sem ver qual e o seu numero. A carta deve ser colocada atras da orelha para que apenas o outro jogador veja seu numero. Cabe ao juiz dizer qual o resultado da soma ou da subtracao das duas cartas. Para vencer, o jogador ve a carta do colega e precisa raciocinar para descobrir qual e a sua. PoliminoE uma especie de quebra-cabeca formado por varias figuras geometricas, criadas a partir de monominos, que sao unidades-padrao. Para montar o polimino, o aluno precisa pensar no conceito de areae perimetro de uma figura plana. Torre de Hanoi Jogo milenar que utiliza um tabuleiro de madeira, com pequenas torres e aros de diversostamanhos. Para vencer o desafio - que pode ser o tempo gasto para colocar aros em determina ordem nas
torres - o aluno faz estimativas e raciocina sobre multiplos, potencias e equacoes. O jogo serve tambem para organizar o pensamento. Policubos O jogo e semelhante ao polimino, mas o quebra-cabeca e uma especie de cubo. Nesse jogo, oaluno estuda o volume das figuras. Corrida AlgebricaNa corrida algebrica, o aluno vai avancar com seu pino no tabuleiro depois de descobrir qual e o resultado de uma equacao. O proprio aluno pode escolher que valor deseja atribuir a variavel,de forma a conseguir o resultado maior. Tangran O jogo tem varias pecas, com tamanhos variados. O aluno estuda area, poligono, perimetro eate fracoes. Jogo da Estrela Cada aluno retira um numero positivo ou negativo do tabuleiro. Vence quem obter o maiorresultado, depois de fazer a soma dos numeros escolhidos. Nesse jogo, os estudantes aprendema soma dos numeros negativos e positivos, ordem e conceito de oposto.
Os polinomios, a priori, formam um plano conceitual importante na algebra, entretanto possuem tambem uma relevante importancia na geometria, quando se deseja calcular expressoes que envolvem valores desconhecidos.A definicao de polinomio abrange diversas areas, pois podemos ter polinomios com apenas um termo na expressao algebrica, como por exemplo: 2x, y, 4z, 2, 5, etc. Mas podemos possuir polinomios com uma infinidade de termos. Por exemplo:P(x)=an xn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+a1 x+a0Como podemos notar, polinomios sao compostos pelas varias expressoes algebricas, desde aquelas que envolvem apenas numeros, ate as que apresentam diversas letras, potencias, coeficientes, entre outros elementos dos polinomios.Os polinomios se encontram em um ambito da matematica denominado algebra, contudo a algebra correlaciona o uso de letras, representativas de um numero qualquer, com operacoes aritmeticas. Portanto, podemos, assim, efetuar as operacoes aritmeticas nos polinomios, que sao: adicao, subtracao, divisao, multiplicacao, potenciacao e radiciacao.Buscaremos, entao, nesta secao, abarcar todas as propriedades dos polinomios, assim como as operacoes aritmeticas desses numeros.PolinomioUm polinomio qualquer pode ser representado pela expressao:a0 xn + a1 xn 1 + a2 xn -2 + ... + an 1 x + anA funcao polinomial sera definida por:P(x) = a0xn + a1xn 1 + a2xn -2 + ... + an 1x + anCom:a0 , a1 , a2, ... , an 1 e an sao numeros complexos e n N. Valor numerico de um polinomio Se observarmos um polinomio qualquer P(x) = 5x4 3x3 + x2 x + 2, para acharmos o seu valor numerico que e o valor de P(x), temos que ter um valor para a incognita x.Entao, se dissermos que x = 2 o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 sera o valor numerico do polinomio.P(2) = 5 . 24 3 . 23 + 22 2 + 2P(2) = 5 . 16 3 . 8 + 4 2 + 2P(2) = 80 24 + 4P(2) = 56 + 4P(2) = 60Concluimos que o valor numerico do polinomio P(x) = 5x4 3x3 + x2 x + 2, quandox = 2 sera P(2) = 60. Raiz ou zero do polinomioSe pegarmos um polinomio qualquer P(x) = - 2x3 + 5x2 x + 1 = 0, a raiz dele sera um numero qualquer b se, somente se, o valor numerico do polinomio for zero quandox = b.Exemplo:P(x) = x2 - 1, para calcularmos o zero da funcao, devemos colocar P(x) = 0, entao:x2 - 1 = 0x2 = 1x = + 1 ou - 1Concluimos que -1 e +1 e raiz do polinomio P(x) = x2 - 1. Grau de um polinomioUm polinomio e formado por varios monomios separados por operacoes, entao o grau de um polinomio corresponde ao monomio de maior grau. O unico polinomio que nao possui grau e o polinomio nulo P(x) = 0, por exemplo: P(x) = x3 - x2 + 2x -3 temos 3 monomios que possuem grau, o que tem maior grau e x3, entao o polinomio tem o mesmo grau que ele.P(x) = x3 - x2 + 2x -3 e do 3o grau. P(x) = 5x0 = 5 grau zero.Adicao e Subtracao de PolinomiosO
procedimento utilizado na adicao e subtracao de polinomios envolve tecnicas de reducao de termos semelhantes, jogo de sinal, operacoes envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir: Adicao Exemplo 1 Adicionar x2 3x 1 com 3x2 + 8x 6. (x2 3x 1) + (3x2 + 8x 6) eliminar o segundo parenteses atraves do jogo de sinal. +(3x2) = 3x2 +(+8x) = +8x +(6) = 6 x2 3x 1 3x2 + 8x 6 reduzir os termos semelhantes. x2 3x2 3x + 8x 1 6 2x2 + 5x 7 Portanto: (x2 3x 1) + (3x2 + 8x 6) = 2x2 + 5x 7 Exemplo 2 Adicionando 4x2 10x 5 e 6x + 12, teremos: (4x2 10x 5) + (6x + 12) eliminar os parenteses utilizando o jogo de sinal. 4x2 10x 5 + 6x + 12 reduzir os termos semelhantes. 4x2 10x + 6x 5 + 12 4x2 4x + 7 Portanto: (4x2 10x 5) + (6x + 12) = 4x2 4x + 7 Subtracao Exemplo 3 Subtraindo 3x2 + 10x 6 de 5x2 9x 8. (5x2 9x 8) (3x2 + 10x 6) eliminar os parenteses utilizando o jogo de sinal. (3x2) = +3x2 (+10x) = 10x (6) = +6 5x2 9x 8 + 3x2 10x +6 reduzir os termos semelhantes. 5x2 + 3x2 9x 10x 8 + 6 8x2 19x 2 Portanto: (5x2 9x 8) (3x2 + 10x 6) = 8x2 19x 2 Exemplo 4 Se subtrairmos 2x3 5x2 x + 21 e 2x3 + x2 2x + 5, teremos: (2x3 5x2 x + 21) (2x3 + x2 2x + 5) eliminando os parenteses atraves do jogo de sinais. 2x3 5x2 x + 21 2x3 x2 + 2x 5 reducao de termos semelhantes. 2x3 2x3 5x2 x2 x + 2x + 21 5 0x3 6x2 + x + 16 6x2 + x + 16Portanto: (2x3 5x2 x + 21) (2x3 + x2 2x + 5) = 6x2 + x + 16Exemplo 5 Considerando os polinomios A = 6x3 + 5x2 8x + 15, B = 2x3 6x2 9x + 10 e C = x3 + 7x2 + 9x + 20. Calcule: a) A + B + C (6x3 + 5x2 8x + 15) + (2x3 6x2 9x + 10) + (x3 + 7x2 + 9x + 20) 6x3 + 5x2 8x + 15 + 2x3 6x2 9x + 10 + x3 + 7x2 + 9x + 20 6x3 + 2x3 + x3 + 5x2 6x2 + 7x2 8x 9x + 9x + 15 + 10 + 20 9x3 + 6x2 8x + 45 A + B + C = 9x3 + 6x2 8x + 45 b) A B C (6x3 + 5x2 8x + 15) (2x3 6x2 9x + 10) (x3 + 7x2 + 9x + 20) 6x3 + 5x2 8x + 15 2x3 + 6x2 + 9x 10 x3 7x2 9x 20 6x3 2x3 x3 + 5x2 + 6x2 7x2 8x + 9x 9x + 15 10 20 6x3 3x3 + 11x2 7x2 17x + 9x + 15 30 3x3 + 4x2 8x 15 A B C = 3x3
+ 4x2 8x 15Adicao, Subtracao e Multiplicacao de PolinomiosNas situacoes envolvendo calculos algebricos, e de extrema importancia a aplicacao de regras nas operacoes entre os monomios. As situacoes aqui apresentadas abordarao a adicao, a subtracao e a multiplicacao de polinomios.Adicao e SubtracaoConsidere os polinomios 2x2 + 5x 2 e 3x3 + 2x 1. Vamos efetuar a adicao e a subtracao entre eles.Adicao(2x2 + 5x 2) + (3x3 + 2x 1) eliminar os parenteses realizando o jogo de sinal2x2 + 5x 2 3x3 + 2x 1 reduzir os termos semelhantes2x2 + 7x 3x3 3 ordenar de forma decrescente de acordo com a potencia3x3 2x2 + 7x 3Subtracao(2x2 + 5x 2) (3x3 + 2x 1) eliminar os parenteses realizando o jogo de sinal2x2 + 5x 2 + 3x3 2x + 1 reduzir os termos semelhantes2x2 + 3x 1 + 3x3 ordenar de forma decrescente de acordo com a potencia3x3 2x2 + 3x 1Multiplicacao de polinomio por monomioPara entendermos melhor, observe o exemplo:(3x2) * (5x3 + 8x2 x) aplicar a propriedade distributiva da multiplicacao15x5 + 24x4 3x3Multiplicacao de polinomio por polinomioPara efetuarmos a multiplicacao de polinomio por polinomio tambem devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo:(x 1) * (x2 + 2x - 6)x2 * (x 1) + 2x * (x 1) 6 * (x 1)(x3 x2) + (2x2 2x) (6x 6)x3 x2 + 2x2 2x 6x + 6 reduzindo os termos semelhantes.x3 + x2 8x + 6Portanto, nas multiplicacoes entre monomios e polinomios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicacao.Demonstracoes atraves do calculo algebricoNo estudo sobre o calculo algebrico aprendemos a operar polinomios, fazer a sua fatoracao e encontrar o seu mmc. E com essas informacoes e possivel fazer algumas demonstracoes como: A soma de dois numeros inteiros consecutivos sera sempre a diferenca de seus quadrados.Considere x como sendo um numero inteiro qualquer, o seu sucessor pode ser representado pelo polinomio x + 1. Somando esses dois polinomios chegaremos a seguinte expressao algebrica:x + (x + 1) = x + x + 1 = 2x + 1A diferenca dos quadrados desses dois numeros consecutivos sera representada pela seguinte expressao algebrica:(x +1)2 - x2 = (x2 + 2x + 1) x2 = x2 + 2x + 1 - x2 = 2x + 1Comparado as duas expressoes algebricas encontradas, podemos confirmar quex + (x + 1) = (x +1)2 - x2 A soma de cinco numeros inteiros consecutivos sera sempre multiplo de 5.Considere como sendo cinco numeros inteiros consecutivos os polinomios: x-2 ; x-1 ; x ; x + 1 ; x + 2.Um numero para que seja multiplo de cinco pode ser escrito da seguinte forma: 5x, onde x e um numero inteiro qualquer, ou seja, qualquer numero que multiplicado por 5 sera multiplo de cinco.Somando os cinco numeros consecutivos teremos:x - 2 + x - 1 + x + x + 1 + x + 2 = 5x -3 + 3 = 5x, portanto, e verdadeiro dizer que a soma de 5 numeros inteiros consecutivos tera como resposta um numero multiplo de 5. A soma de dois numeros inteiros impares sera sempre um numero par.Para
que um numero seja par e preciso que ele esteja escrito da seguinte forma: 2x, onde x representa um numero inteiro qualquer. Dessa forma, um numero impar seria igual a 2x +1.Somar dois numeros impares seria o mesmo que:(2x +1) + (2x + 1) = 2 (2x + 1). A expressao algebrica (2x + 1) tera valor numerico igual a um numero inteiro qualquer, quando multiplicado por 2 (2x + 1) ira resultar em um numero par.Divisao de polinomio por polinomioEm toda divisao temos dividendo, divisor, quociente e resto, como estamos falando de divisao de polinomio por polinomio, teremos:Para o dividendo um polinomio G(x)Para o divisor um polinomio D(x)Para o quociente um polinomio Q(x)Para o resto (podendo ser zero) um polinomio R(x)Prova real: Tem algumas observacoes a serem feitas, como:? ao final da divisao o resto sempre tem que ser menor que o divisor: R(x) < D(x).? quando o resto for igual a zero, a divisao e considerada exata, ou seja, o dividendo e divisivel pelo divisor. R(x) = 0.Observe a divisao de polinomio por polinomio abaixo, vamos partir de um exemplo, cada passo tomado no desenvolvimento da divisao sera explicado.Dada a divisao(12x3 + 9 4x) : (x + 2x2 + 3)Antes de comecar a operacao temos que fazer algumas verificacoes:? se todos os polinomios estao em ordem conforme as potencias de x.No caso da nossa divisao devemos ordenar, ficando assim:(12x3 - 4x + 9) : (2x2 + x + 3) ? observar se no polinomio G(x) nao esta faltando algum termo, se estiver devemos completar.No polinomio 12x3 - 4x + 9 esta faltando o termo x2, completando ficara assim:12x3 + 0x2 - 4x + 9Agora podemos iniciar a divisao:? G(x) tem 3 termos e D(x) tem 3 termos. Pegamos o 1o termo de G(x) e dividimos pelo 1o termo de D(x): 12x3 : 2x2 = 6x, o resultado multiplicara o polinomio 2x2+ x + 3 e o resultado dessa multiplicacao subtrairemos pelo polinomio 12x3 + 0x2 - 4x + 9. Assim teremos:? R(x) > D(x), podemos dar continuidade a divisao, repetindo o mesmo processo anterior. Achando agora o segundo termo de Q(x).R(x) < D(x), nao damos continuidade a divisao, concluindo que:O quociente e 6x 3 e o resto e 19x + 18.Divisao de polinomiosPolinomio e uma expressao algebrica composta por dois ou mais monomios. Na divisao de polinomios, utilizamos duas regras matematicas fundamentais: realizar a divisao entre os coeficientes numericos e divisao de potencias de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes).Quando trabalhamos com divisao, utilizamos tambem a multiplicacao no processo. Observe o seguinte esquema:Vamos dividir um polinomio por um monomio, com o intuito de entendermos o processo operatorio. Observe:Exemplo 1:Caso queira verificar se a divisao esta correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, com vistas a obter o dividendo como resultado.Verificando quociente * divisor + resto = dividendo4x * (3x2 + x 2) + 012x3 + 4x2 8xCaso isso ocorra, a divisao esta correta. No exemplo a seguir, iremos dividir polinomio por polinomio. Veja:Exemplo 2:Verificando quociente * divisor + resto = dividendo(2x 5) * (5x 9) + (5)10x2
18x 25x + 45 + (5)10x2 43x + 45 510x2 43x + 40Observe o exemplo de numero 3:Verificando quociente * divisor + resto = dividendo(3x2 + x 1) * (2x2 4x + 5) + 06x4 12x3 + 15x2 + 2x3 4x2 + 5x 2x2 + 4x 56x4 10x3 + 9x2 + 9x 5Exemplo 4:Verificando quociente * divisor + resto = dividendo(4x 5) * (3x2 x + 2) + (2x + 7)12x3 4x2 + 8x 15x2 + 5x 10 + (2x + 7)12x3 19x2 + 13x 10 + 2x + 712x3 19x2 + 15x 3Divisao de Polinomios utilizando o dispositivo de Briot-RuffiniCompreendendo um dispositivo que auxilia na divisao de polinomios: o dispositivo de Briot-Ruffini. Esse dispositivo utiliza uma raiz do polinomio e seus coeficientes para calcular a divisao do polinomio pela sua raiz.Podemos ver no artigo de Divisao de polinomios o metodo tradicional para a divisao, utilizando o algoritmo da divisao. Entretanto, dois matematicos (Paolo Ruffini e A. Briot) criaram um dispositivo pratico para realizar esta divisao, dispositivo este que recebeu seus nomes: dispositivo de Briot-Ruffini.Esse algoritmo e utilizado para dividirmos polinomios por um binomio do tipo (x-a). Esse dispositivo usara apenas os coeficientes do polinomio e o termo constante (a).Chamemos de p(x) o polinomio a ser dividido (dividendo); e h(x) o divisor no qual h(x)=x-a. Com isso, a estrutura do dispositivo e a seguinte:Para melhor compreendermos como este dispositivo funciona, utiliza-lo-emos em um exemplo, e explicaremos passo a passo seu processo.Exemplo:Efetue a divisao de p(x) por h(x), na qual:Agora multiplique esse termo repetido pelo divisor, o resultado sera somado ao proximo termo do dividendo p(x). Repita o processo agora para o novo elemento, multiplique esse numero pelo divisor e some-o ao proximo termo.Obtemos o resto 0 e um quociente da seguinte forma:Para verificarmos se a divisao foi feita de forma correta, podemos utilizar o algoritmo da divisao que diz o seguinte:Dessa forma, temos:Logo, a divisao foi feita corretamente, pois ao verificar os termos da divisao no algoritmo da divisao constatamos que a igualdade e verdadeira.Equacao PolinomialEquacao polinomial ou algebrica e toda equacao da forma p(x) = 0, em que p(x) e um polinomio: p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n 1. Veja alguns exemplos: x4 + 9x2 10x + 3 = 0 10x6 2x5 + 6x4 + 12x3 x2 + x + 7 = 0 x8 x6 6x + 2 = 0 x10 6x2 + 9 = 0 As raizes de uma equacao polinomial constituem o conjunto solucao da equacao. Para as equacoes em que o grau e 1 ou 2, o metodo de resolucao e simples e pratico. Nos casos em que o grau dos polinomios e 3 ou 4, existem expressoes para a obtencao da solucao. Teorema Fundamental da Algebra (TFA) Toda equacao polinomial p(x) = 0, de grau n onde n 1, admite pelo menos uma raiz complexa. Exemplo 1 Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 e a raiz da equacao: 2x4 + kx3 5x2 + x 15 = 0 Se 2 e raiz da equacao, entao
temos: 2(2)4 + k(2)3 5(2)2 + 2 15 = 0 2*16 + k*8 5*4 + 2 15 = 0 32 + 8k 20 + 2 15 = 0 8k + 34 35 = 0 8k 1 = 0 8k = 1k = 1/8 Temos que o valor do coeficiente k e 1/8.Exemplo 2 Determine o valor de m, sabendo que 3 e raiz da equacao: mx3 + (m + 2)x2 3x m 8 = 0. Temos que: m(3)3 + (m + 2)( 3)2 3(3) m 8 = 0 m(27) + (m + 2)(9) + 9 m 8 = 0 27m + 9m + 18 + 9 m 8 = 0 27m + 9m m = 8 18 9 19m = 19 m = 1 O valor de m e 1. Minimo Multiplo Comum de PolinomiosAs expressoes algebricas fracionarias sao aquelas em que o denominador possui letras, isto e, termos variaveis. Veja os exemplos:No caso dessas fracoes algebricas, antes de realizarmos a soma devemos aplicar o calculo do mmc, no intuito de igualar os denominadores, pois sabemos que somente adicionamos fracoes com denominadores iguais.Para determinarmos o mmc de polinomios, fatoramos cada polinomio individualmente, e logo em seguida multiplicamos todos os fatores sem repeticao dos comuns. A utilizacao dos casos de fatoracao e de extrema importancia para a determinacao de algumas situacoes envolvendo mmc. Observe o calculo do mmc entre polinomios nos exemplos a seguir:Exemplo 1 mmc entre 10x e 5x2 15x10x = 2 * 5 * x5x2 15x = 5x * (x 3)mmc = 2 * 5 * x * (x 3) = 10x * (x 3) ou 10x2 30xExemplo 2mmc entre 6x e 2x3 + 10x26x = 2 * 3 * x2x3 + 10x2 = 2x2 * (x + 5)mmc = 2 * 3 * x2 * (x + 5) = 6x2 * (x + 5) ou 6x3 + 30x2Exemplo 3 mmc entre x2 3x + xy 3y e x2 y2x2 3x + xy 3y = x(x 3) + y(x 3) = (x + y) * (x 3)x2 y2 = (x + y) * (x y)mmc = (x 3) * (x + y) * (x y)Exemplo 4 mmc entre x3 + 8 e do trinomio x2 + 4x + 4.x3 + 8 = (x + 2) * (x2 2x + 4).x2 + 4x + 4 = (x + 2)2mmc = (x + 2)2 * (x2 2x + 4)Multiplicidade de uma raizNa resolucao da equacao do 2o grau x2 6x + 9 = 0, encontramos duas raizes iguais a 3. Utilizando o teorema da decomposicao, fatoramos o polinomio e obtemos:x2 6x + 9 = 0 = (x 3)(x 3) = (x 3)2Nesse caso, dizemos que 3 e raiz de multiplicidade 2 ou raiz dupla da equacao.Dessa forma, se um polinomio fatorado resulta a seguinte expressao:Podemos dizer que:x = -5 e raiz com multiplicidade 3 ou raiz tripla da equacao p(x) = 0x = -4 e raiz com multiplicidade 2 ou raiz dupla da equacao p(x) = 0x = 2 e raiz com multiplicidade 1 ou raiz simples da equacao p(x) = 0De maneira