particular, tomando $a=b=\infty$ e trocando $L^{a}(0,T;X)$ por $C([0,T];X)$, a conclusao permanece valida. Assim, se $(u_n)$ e uma sequencia limitada em $L^\infty(0,T;A)$ tal que $u_n'\in L^\infty(0,T;B)$ para todo $n\in\mathbb{N}$, entao $(u_n)$ possui uma subsequencia que converge forte em $C([0,T];X)$. Uma versao deste ultimo resultado que substitui a limitacao das derivadas pela equicontinuidade da sequencia (Lema 2.2 em [6]) sera apresentada em detalhes na Secao 5.3 Resultados PreliminaresTeorema 3.1. Toda sequencia limitada em um espaco de Banach reflexivo possui uma subsequencia fracamente convergente.Prova. Ver Teorema 6.24 em [7].$\square$Teorema 3.2. Seja $1<p<\infty$. Se $X$ e reflexivo, entao $L^p(0,T;X)$ e reflexivo.Prova. Combine o Corolario 2 na pagina 100 de [4] com o Teorema 13.17 de [7].$\square$Teorema 3.3. Sejam $A$ e $B$ espacos de Banach tais que $A\subset B$ com inclusao continua. Entao, para quaisquer $1\leq a,b\leq \infty$, tem-se $W\subset C([0,T];B)$ com inclusao continua.Prova. O Corolario 1 na pagina 11 de [9] (combinado com a Proposicao 23.2(h) de [12]) estabelece que $W \subset C([0,T];B)$. Provemos a continuidade: pelo Lema 3 na pagina 8 de [9],$$\|v(t)\|_B\leq\|v(0)\|_B+\|v'\|_{L^1(0,T;B)},\quad \|v(0)\|_B\leq\|v(t)\|_B+\|v'\|_{L^1(0,T;B)},\qquad\forall\ t\in [0,T].$$Integrando a ultima desigualdade sobre $[0,T]$, substituindo na primeira e utilizando a Proposicao 23.2(h) de [12], segue que$$\|v(t)\|_B\leq T^{-1}\|v\|_{L^1(0,T;B)}+2\|v'\|_{L^1(0,T;B)}\leq C\|v\|_W,\qquad\forall \ t\in [0,T].$$$\square$Teorema 3.4. Sejam $X$ um espaco de Banach reflexivo e $1\leq p<\infty$. Se$$u_n\rightharpoonup u\quad\text{em}\quad L^p(0,T;X),\tag{3.1}$$entao$$\int_0^T\varphi u_n\;dt\rightharpoonup\int_0^T\varphi u\;dt\quad\text{em}\quad X,\qquad\forall\ \varphi\in C[0,T].\tag{3.2}$$ Prova. Pelo Teorema da Representacao de Riesz para espacos de Bochner-Lebesgue (teoremas 23.28 e 23.29 em [7]), (3.1) acarreta que$$\int_0^T\langle h(t),u_n(t)\rangle\;dt\to\int_0^T\langle h(t),u(t)\rangle\;dt\quad\text{em}\quad \mathbb{R},\qquad \forall\ h\in L^q(0,T;X'). \tag{3.3}$$Dados $f\in X'$ e $\varphi\in C[0,T]$, defina $h:(0,T)\to X'$ colocando $h(t)=\phi(t)f$. Entao, de (3.3) e do Teorema 23.15 em [7],$$\left\langle f,\int_0^T\varphi(t)u_n(t)\;dt\right\rangle\to\left\langle f,\int_0^T\varphi(t)u(t)\;dt\right\rangle\quad\text{em}\quad \mathbb{R}.$$$\square$Teorema 3.5. Sejam $A$ um espaco de Banach e $B$ um espaco de Banach reflexivo tais que $A\subset B$ com inclusao continua. Para quaisquer $1\leq a,b\leq\infty$,$$\left\{\begin{aligned}v_n&\rightharpoonup v\quad\textit{em}\quad L^a(0,T; A)\\v_n'&\rightharpoonup z\quad\textit{em}\quad L^b(0,T; B)\end{aligned}\right.\qquad\Longrightarrow\qquad v'=z.$$Prova. Temos $v_n\rightharpoonup v$, $v_n'\rightharpoonup z$ em $L^1(0,T;B)$ pela Proposicao 23.2(h) de [12]. Logo, pelo Teorema 3.4,$$\int_0^Tv_n\varphi'\;dt\rightharpoonup \int_0^Tv\varphi'\;dt,\quad\int_0^Tv_n\varphi'\;dt=-\int_0^Tv_n'\varphi\;dt\rightharpoonup -\int_0^Tz\varphi\;dt\quad\text{em}\quad B,$$para toda $\varphi\in C_c^\infty(0,T)$. Assim, pela unicidade do limite fraco, $v'=z$.$\square$4 A demonstracaoSeguiremos a demonstracao de J. L. Lions [8], que tambem pode ser encontrada em [9, 13] e, com um desfecho ligeiramente diferente, em [11]. Para isso, precisaremos do seguinteLema. Sejam $A$, $B$ e $X$ espacos de Banach tais que $A\subset X\subset B$. Suponha quea inclusao $A\subset X$ e compacta;a inclusao $X\subset B$ e continua.Entao, dado $\eta>0$, existe uma constante $C_\eta>0$ (que depende apenas de $\eta$) tal que$$\|u\|_X\leq\eta\|u\|_A+C_\eta\|u\|_B,\quad\forall\ u\in A.$$Prova. Suponha que o Lema e falso. Entao, existe uma constante $\eta_0>0$ e uma sequencia $(u_n)$ em $A$ tal que$$\|u_n\|_X>\eta_0\|u_n\|_A+n\|u_n\|_B,\quad\forall\ n\in \mathbb{N}.$$Se tivessemos $u_n=0$ para algum $n\in\mathbb{N}$, entao teriamos $0>0$ - o que e impossivel. Assim, $u_n\neq 0$ para todo $n\in\mathbb{N}$ e, portanto, podemos definir uma sequencia $(w_n)$ colocando $w_n=\frac{u_n}{\|u_n\|_A}$. Note que$$\|w_n\|_X>\eta_0+n\|w_n\|_B,\quad\forall\ n\in \mathbb{N}.\tag{4.1}$$Por outro lado, como a inclusao $A\subset X$ e continua, existe uma constante $C>0$ tal que$$\|w_n\|_X\leq C\|w_n\|_A=C,\quad \forall\ n\in\mathbb{N}.\tag{4.2}$$Resulta de (4.1) e (4.2) que$$\|w_n\|_B<\frac{C}{n},\quad\forall\ n\in\mathbb{N}.\tag{4.3}$$Como a inclusao $A\subset X$ e compacta, existem $w_0\in X$ e uma subsequencia de $(w_n)$, que sera representada da mesma forma, tais que$$\|w_n- w_0\|_X\to 0\quad\text{em}\quad \mathbb{R}.\tag{4.4}$$Como a inclusao $X\subset B$ e continua, resulta que$$\|w_n- w_0\|_B\to 0\quad\text{em}\quad \mathbb{R}.\tag{4.5}$$Combinando (4.3) com (4.5), concluimos que