da algebra linear - que sao empregados constantemente pela mecanica quantica. Sao estes: (1) o conceito de operador; (2) de autovetor; e (3) de autovalor. Vetores e Espacos Vetoriais Artigo Principal: Espaco vetorial Na algebra linear, um espaco vetorial (ou o espaco linear) e uma colecao dos objetos abstratos (chamados vetores) que possuem algumas propriedades que nao serao completamente detalhadas aqui. Por agora, importa saber que tais objetos (vetores) podem ser adicionados uns aos outros e multiplicados por um numero escalar. O resultado dessas operacoes e sempre um vetor pertencente ao mesmo espaco. Os espacos vetoriais sao os objetos basicos do estudo na algebra linear, e tem varias aplicacoes na matematica, na ciencia, e na engenharia. O espaco vetorial mais simples e familiar e o espaco Euclidiano bidimensinal. Os vetores neste espaco sao pares ordenados e sao representados graficamente como "setas" dotadas de modulo, direcao e sentido. No caso do espaco euclidiano bidimensional, a soma de dois vetores quaisquer pode ser realizada utilizando a regra do paralelogramo. Todos os vetores tambem podem ser multiplicados por um escalar - que no espaco Euclidiano e sempre um numero real. Esta multiplicacao por escalar podera alterar o modulo do vetor e seu sentido, mas preservara sua direcao. O comportamento de vetores geometricos sob estas operacoes fornece um bom modelo intuitivo para o comportamento dos vetores em espacos mais abstratos, que nao precisam de ter a mesma interpretacao geometrica. Como exemplo, e possivel citar o espaco de Hilbert (onde "habitam" os vetores da mecanica quantica). Sendo ele tambem um espaco vetorial, e certo que possui propriedades analogas aquelas do espaco Euclidiano. Os operadores na mecanica quantica Artigo Principal: Transformacao Linear Um operador e um ente matematico que estabelece uma relacao funcional entre dois espacos vetoriais. A relacao funcional que um operador estabelece pode ser chamada transformacao linear. Os detalhes mais formais nao serao apontados aqui. Interessa, por enquanto, desenvolver uma ideia mais intuitiva do que sao esses operadores. Por exemplo, considere o Espaco Euclidiano. Para cada vetor nesse espaco e possivel executar uma rotacao (de um certo angulo) e encontrar outro vetor no mesmo espaco. Como essa rotacao e uma relacao funcional entre os vetores de um espaco, podemos definir um operador que realize essa transformacao. Assim, dois exemplos bastante concretos de operadores sao os de rotacao e translacao. Do ponto de vista teorico, a semente da ruptura entre as fisica quantica e classica esta no emprego dos operadores. Na mecanica classica, e usual descrever o movimento de uma particula com uma funcao escalar do tempo. Por exemplo, imagine que vemos um vaso de flor caindo de uma janela. Em cada instante de tempo podemos calcular a que altura se encontra o vaso. Em outras palavras, descrevemos a grandeza posicao com um numero (escalar) que varia em funcao do tempo. Uma caracteristica distintiva na mecanica quantica e o uso de operadores para representar grandezas fisicas. Ou seja, nao sao somente as rotacoes e translacoes que podem ser representadas por operadores. Na mecanica quantica grandezas como posicao, momento linear, momento angular e energia tambem sao representados por