possivel deformar uma esfera em um copo sem abrir nenhum buraco, ambos saotopologicamente equivalentes, caracterizados pelo mesmo valor Nb=0.Ja uma xicara tem Nb=1, sendo topologicamente distinta do copo e de um oculos (Nb=2), e assim por diante. O invarianteTKNN tambem assume valores inteiros (correspondentes ao fator de preenchimento)e Thouless e colaboradores mostraram que a condutancia do efeito Hall ediretamente proporcional a este numero. Assim, cada plato na condutancia Hallcorresponde a um estado de topologia distinta, representado pelo fator depreenchimento, como mostrado na Figura 1 acima. Um importante aspecto e que,nesta formulacao, os platos de condutancia sao naturalmente robustos frente adeformacoes no sistema que nao alterem o fator de preenchimento tais comomudancas na geometria da amostra, presenca de centros espalhadores, potenciaisconfinantes, etc. Neste sentido, podemos nos referir a sistemas que apresentamo QHE como isolantes topologicos", termo bastante em voga hoje em dia.Estados de borda quirais no efeito Hall quantico (esq) e estados de borda helicais no efeito Hall quantico de spin (dir). Fonte: Maciejko et al. Annu. Rev. Cond. Matt. Phys. 2, 3153 (2011)Por muitosanos, o QHE foi o unico representante de um isolante topologico, o que levou avarias tentativas de construir modelos com caracteristicas similares. Em 1988,Duncan Haldane publicou umartigo no Physical Review Lettersem que abordava a seguinte questao: E possivel encontrar em um sistema que preserve a simetria de reversao temporale que, ao mesmo tempo, apresente uma condutancia Hall descrita por uminvariante topologico? A resposta e sim. Haldane elaborou um modelo parafermions sem spin em uma rede hexagonal onde os fluxosmagneticos locais em cada hexagono tem sinais alternados de modo amanter o fluxo magnetico global igual a zero, preservando assim a simetria dereversao temporal do sistema. O resultado e um isolante no bulk com simetria dereversao temporal e que, ao mesmo tempo, possui estados de borda metalicos etopologicamente protegidos. A caracterizacao e feita por um numero de Chern queassume valores 0 ou 1, em contraste ao caso TKNN, em que o numero de Chernassume valores inteiros (0,1,2,3,...). O efeito Hallquantico de spin e os isolantes topologicosApesar deinteressante, faltava ainda encontrar um sistema fisico em que o modelo pudesseser aplicado. O proprio Haldane admite no artigo que e pouco provavel que omodelo especifico apresentado aqui seja diretamente realizavel em um sistemafisico. Em 2005, esta questao foi ressuscitada por Charles Kane e Eugene Mele emdois artigos publicados no PhysicalReview Letters (cada um ja conta com mais de 2000 citacoes). Em umdos artigos, eles consideram duas copias do modelo de Haldane paradescrever um sistema eletronico com spin, que tambem sera caracterizado porinvariante topologico Z2 que assume apenas os valores 0 (fase trivial, equivalente a um isolante comum) e 1(fase topologica). A fase topologica apresenta o que eles denominam efeitoHall quantico de spin, caracterizado por estados de borda metalicos helicais (nao apenas quirais como noefeito Hall usual) em que eletrons com spins distintos se propagam em direcoesopostas, como mostrado na figura acima.Uma consequenciaimportante e que estes estados sao topologicamente protegidos: eletrons despins diferentes nao se enxergam de modo que a condutancia atraves dosestados de borda e perfeitamente quantizada. Posteriormente, os mesmos autoresaplicaram esta ideia ao