e obtemos o desvio padrao:O desvio padrao e uma medida que so pode assumir valores nao negativos e quanto maior for, maior sera a dispersao dos dados. Algumas propriedades do desvio padrao, que resultam imediatamente da definicao, sao: o desvio padrao sera maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados. Exemplo 7: Em uma turma de aluno, verificou-se atraves da analise das notas de 15 alunos, os seguintes desempenhos: Alunos Conceito na Prova 1 4,3 2 4,5 3 9 4 6 5 8 6 6,7 7 7,5 8 10 9 7,5 10 6,3 11 8 12 5,5 13 9,7 14 9,3 15 7,5 Total 109,8 Media 7,32 Desvio Padrao 1,77 Observamos no exemplo, que a media das provas, foi estimada em 7,32 com desvio padrao em 1,77. Concluimos que a maioria das notas concentrou-se em 9,09 e 5,55. 11. Distribuicao Normal A distribuicao normal e a mas importante distribuicao estatistica, considerando a questao pratica e teorica. Ja vimos que esse tipo de distribuicao apresenta-se em formato de sino, unimodal, simetrica em relacao a sua media. Considerando a probabilidade de ocorrencia, a area sob sua curva soma 100%. Isso quer dizer que a probabilidade de uma observacao assumir um valor entre dois pontos quaisquer e igual a area compreendida entre esses dois pontos. 68,26% => 1 desvio 95,44% => 2 desvios 99,73% => 3 desvios Na figura acima, tem as barras na cor marrom representando os desvios padroes. Quanto mais afastado do centro da curva normal, mais area compreendida abaixo da curva havera. A um desvio padrao, temos 68,26% das observacoes contidas. A dois desvios padroes, possuimos 95,44% dos dados comprendidos e finalmente a tres desvios, temos 99,73%. Podemos concluir que quanto maior a variablidade dos dados em relacao a media, maior a probabilidade de encontrarmos o valor que buscamos embaixo da normal. Propriedade 1: "f(x) e simetrica em relacao a origem, x = media = 0; Propriedade 2: "f(x) possui um maximo para z=0, e nesse caso sua ordenada vale 0,39; Propriedade3: "f(x) tende a zero quando x tende para + infinito ou - infinito; Propriedade4: "f(x) tem dois pontos de inflexao cujas abscissas valem media + DP e media - DP, ou quando z tem dois pontos de inflexao cujas abscissas valem +1 e -1. Para se obter a probabilidade sob a curva normal, utilizamos a tabela de faixa central Tabela normal(distribuicao z) z .00.01.02.03.04.05.06.07.08.09 -4.00.000030.000030.000030.000030.000030.000030.000020.000020.000020.00002 -3.90.000050.000050.000040.000040.000040.000040.000040.000040.000030.00003 -3.80.000070.000070.000070.000060.000060.000060.000060.000050.000050.00005 -3.70.000110.000100.000100.000100.000090.000090.000080.000080.000080.00008 -3.60.000160.000150.000150.000140.000140.000130.000130.000120.000120.00011 -3.50.000230.000220.000220.000210.000200.000190.000190.000180.000170.00017 -3.40.000340.000320.000310.000300.000290.000280.000270.000260.000250.00024 -3.30.000480.000470.000450.000430.000420.000400.000390.000380.000360.00035 -3.20.000690.000660.000640.000620.000600.000580.000560.000540.000520.00050 -3.10.000970.000940.000900.000870.000840.000820.000790.000760.000740.00071 -3.00.001350.001310.001260.001220.001180.001140.001110.001070.001030.00100 -2.90.001870.001810.001750.001690.001640.001590.001540.001490.001440.00139 -2.80.002560.002480.002400.002330.002260.002190.002120.002050.001990.00193 -2.70.003470.003360.003260.003170.003070.002980.002890.002800.002720.00264 -2.60.004660.004530.004400.004270.004150.004020.003910.003790.003680.00357 -2.50.006210.006040.005870.005700.005540.005390.005230.005080.004940.00480 -2.40.008200.007980.007760.007550.007340.007140.006950.006760.006570.00639 -2.30.010720.010440.010170.009900.009640.009390.009140.008890.008660.00842 -2.20.013900.013550.013210.012870.012550.012220.011910.011600.011300.01101 -2.10.017860.017430.017000.016590.016180.015780.015390.015000.014630.01426 -2.00.022750.022220.021690.021180.020670.020180.019700.019230.018760.01831 -1.90.028720.028070.027430.026800.026190.025590.025000.024420.023850.02330 -1.80.035930.035150.034380.033620.032880.032160.031440.030740.030050.02938 -1.70.044560.043630.042720.041810.040930.040060.039200.038360.037540.03673 -1.60.054800.053700.052620.051550.050500.049470.048460.047460.046480.04551 -1.50.066810.065520.064250.063010.061780.060570.059380.058210.057050.05592 -1.40.080760.079270.077800.076360.074930.073530.072140.070780.069440.06811 -1.30.096800.095100.093420.091760.090120.088510.086910.085340.083790.08226 -1.20.115070.113140.111230.109350.107490.105650.103830.102040.100270.09852 -1.10.135660.133500.131360.129240.127140.125070.123020.121000.119000.11702 -1.00.158650.156250.153860.151500.149170.146860.144570.142310.140070.13786 -0.90.184060.181410.178780.176180.173610.171050.168530.166020.163540.16109 -0.80.211850.208970.206110.203270.200450.197660.194890.192150.189430.18673 -0.70.241960.238850.235760.232690.229650.226630.223630.220650.217690.21476 -0.60.274250.270930.267630.264340.261080.257840.254620.251430.248250.24509 -0.50.308530.305020.301530.298050.294600.291160.287740.284340.280950.27759 -0.40.344570.340900.337240.333590.329970.326350.322760.319170.315610.31206 -0.30.382090.378280.374480.370700.366920.363170.359420.355690.351970.34826 -0.20.420740.416830.412930.409040.405160.401290.397430.393580.389740.38590 -0.10.460170.456200.452240.448280.444330.440380.436440.432500.428570.42465 -0.00.500000.496010.492020.488030.484040.480060.476070.472090.468110.46414Exemplo 8: As alturas de grupo de criancas sao tidas como normais em sua distribuicao, com desvio padrao em 0,30m e media em 1,60. Qual a probabilidade de um aluno medir (1) entre 1,50 e 1,80, (2) mais de 1,75 e menos de 1,48?(1)z1= (1,50-1,60)/0,30=-0,33z2= (1,80-1,60)/0,30= 0,67Entao, z1 (0,1293) + z2 (0,2486) = 37,79%(2)z1= (1,75-1,60)/0,30=0,300,500-0,1915 = 30,85%(3)Z1= (1,48-1,50)/0,30 =-0,40,500-0,1554 = 34,46% Exercicios 1. Supondo que a variavel escolhida de um pesquisa, seja nominal e a populacao