de grau impar tem pelo menos uma raiz real, e que uma equacao de grau par ou nao possui raizes reais ou possui pares de tais raizes. Demonstrou em seguida que todas as raizes nao-reais sao da forma $a+b\sqrt{-1}$. Para isso, foi necessario estudar cuidadosamente as operacoes com numeros complexos, incluindo potencias imaginarias, logaritmos de numeros complexos, funcoes trigonometricas de argumento complexo, etc.A ambivalencia dos matematicos do seculo XVIII em relacao aos numeros complexos pode ser mais uma vez evidenciada em Euler. Apesar de seus trabalhos em que ensinava a operar com eles, afirma: Como todos os numeros concebiveis sao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica entao claro que as raizes quadradas de numeros negativos nao podem ser incluidas entre os numeros possiveis [numeros reais]. E esta circunstancia nos conduz ao conceito de tais numeros, os quais, por sua propria natureza, sao impossiveis, e que sao geralmente chamados de numeros imaginarios, pois existem somente na imaginacao.Os Bernoullis e Leibniz usaram os numeros complexos livremente, em integracao, sem se preocuparem com sua conceituacao ou existencia. Essa utilizacao levou a discussao sobre a existencia de logaritmos de numeros complexos. De fato, e bem conhecido que a substituicao$z=\dfrac{b(t-1)}{t+1}$transforma$\dfrac{adz}{b^2-z^2}$ em $\dfrac{adt}{2bt}$,que e a diferencial de . Analogamente, raciocinava Johann Bernoulli, a transformacao$z=\sqrt{-1}\dfrac{b(t-1)}{t+1}$transformara$\dfrac{dz}{b^2-z^2}$ em $\dfrac{-dt}{2bt\sqrt{-1}}$,que sera portanto a diferencial do logaritmo de um numero complexo. As discussoes sobre a existencia dos logaritmos dos numeros negativos e complexos foram vivas e frequentes, ate que Euler apresentou uma justificativa convincente para a sua existencia. Ele percebeu que se $z$ e um numero complexo qualquer, $z=r(cos\theta + isen\theta)$, entao $\ln z=\ln r+i(2k\pi + \theta)$, com $k=0$, $\pm1$, $\pm2$,...; ou seja, ha infinitas determinacoes para o logaritmo de um numero complexo. Com Euler, pode-se dizer que a algebra dos numeros complexos atingiu sua forma atual. No fim do seculo XVIII, os matematicos ja se aventuravam a efetuar operacoes bem ousadas com numeros complexos. No entanto, uma indicacao da posicao ambigua mantida por eles em relacao aos numeros complexos fica evidente pelo fato de que a grande Enciclopedia, organizada por DAlembert e outros filosofos franceses, em seus artigos sobre Matematica, redigidos pelo proprio DAlembert, mantem um silencio prudente sobre estes numeros. Laplace (Pierre Simon de Laplace, 17491827), em 1795 atacou o problema de demonstrar o Teorema Fundamental da Algebra, sem contudo conseguir uma prova aceitavel. A primeira demonstracao correta deve-se a Gauss (17771855), na qual utiliza propriedades topologicas da reta e do plano, que nao tinham sido ainda explicitadas em sua epoca. A demonstracao de Gauss encontra-se em sua tese de doutoramento, de 1799. Neste trabalho, Gauss, alem de apresentar sua demonstracao, estuda criticamente as demonstracoes precedentes de DAlembert (1746), Euler (1749), de Foncenet (1759) e Lagrange (1772), todas elas insatisfatorias. Ao longo dos anos, Gauss apresentou tres novas demonstracoes do Teorema Fundamental. E provavel que a ideia de representar geometricamente os complexos tenha ocorrido a Gauss ao demonstrar o Teorema Fundamental da Algebra, mesmo que ele nao tenha utilizado isso na demonstracao. Ja Wallis (16161703) tinha procurado uma tal representacao, tentando representar os numeros complexos no