Uma funcao e uma maneira de associar a cada valor do argumento x um unico valor da funcao f(x). Isto pode ser feito especificando atraves de uma formula um relacionamento grafico entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associacao, mesmo uma tabela de correspondencia pode ser construida; entre conjuntos numericos e comum representarmos funcoes por seus graficos, cada par de elementos relacionados pela funcao determina um ponto nesta representacao, a restricao de unicidade da imagem implica em um unico ponto da funcao em cada linha de chamada do valor independente x.HISTORIAComo um termo matematico, "funcao" foi introduzido por Leibniz em 1694, para descrever quantidades relacionadas a uma curva; tais como a inclinacao da curva ou um ponto especifico da dita curva. Funcoes relacionadas a curvas sao atualmente chamadas funcoes diferenciaveis e sao ainda o tipo de funcoes mais encontrado por nao-matematicos. Para este tipo de funcoes, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudanca nos valores de saida associados a variacao dos valores de entrada, formando a base do calculo infinitesimal.A palavra funcao foi posteriormente usada por Euler em meados do seculo XVIII para descrever uma expressao envolvendo varios argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definicao de funcoes, os matematicos foram capazes de estudar "estranhos" objetos matematicos tais como funcoes que nao sao diferenciaveis em qualquer de seus pontos. Tais funcoes, inicialmente tidas como puramente imaginarias e chamadas genericamente de "monstros", foram ja no final do seculo XX, identificadas como importantes para a construcao de modelos fisicos de fenomenos tais como o movimento Browniano.Durante o Seculo XIX, os matematicos comecaram a formalizar todos os diferentes ramos da matematica. Weierstrass defendia que se construisse o calculo infinitesimal sobre a Aritmetica ao inves de sobre a Geometria, o que favorecia a definicao de Euler em relacao a de Leibniz (veja aritmetizacao da analise). Mais para o final do seculo, os matematicos comecaram a tentar formalizar toda a Matematica usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram obter definicoes de todos os objetos matematicos em termos do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a definicao "formal" de funcao moderna. FUNCAO EXPONENCIAL Conta a lenda que um rei solicitou aos seus suditos que lhe inventassem um novo jogo, a fim de diminuir o seu tedio. O melhor jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Um dos seus suditos inventou, entao, o jogo de xadrez. O Rei ficou maravilhado com o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou, entao, o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse. O astuto inventor pediu entao que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo a seguinte condicao: na primeira casa seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior. O Rei considerou o pedido facil de ser atendido e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, pois apenas na ultima casa o total de moedas