iniciarmos o estudo sobre Martingais, vamos rever rapidamentedefinicoes basicas que sao pre-requisitos para a formalizacao de sua teoria. Naoiremos nos aprofundar em cada um destas definicoes, explicitando propriedades eaplicacoes, pois assumimos que sao conceitos previamente tratados.Assim sendo, primeiramente devemos nos lembrar o que e um espaco deprobabilidades para em seguida definirmos os processos estocasticos. Nasequencia vamos colocar as definicoes de Probabilidade Condicional e EsperancaMatematica para em seguida usa-las no conceito de Esperanca Condicional que efundamental na definicao de Martingais.1.1.Espaco de Probabilidades Definicao: Um espaco de probabilidadese definido por um trio (, A, P)onde: e o espaco amostral A euma sigma algebra de subconjuntos do P e uma probabilidade em A1.2.Processo EstocasticoPodemos dizer que Processo Estocastico e uma familia de variaveisaleatorias que supomos definidas num mesmo espaco de probabilidades. Vejamos agorasua definicao formal:Definicao: Seja um conjunto arbitrario dosreais. Um processo estocastico e uma familia {X(t), t }, tal que para cada t , X(t) e uma variavelaleatoria.1.3.Probabilidade condicionalDefinicao: Seja (, A, P) um espaco de probabilidades. Se B A e P(B) > 0, a probabilidade de A dadoB e definida por: , para todo A A1.4.Esperanca matematica Definicao: Seja X uma variavelaleatoria. A esperanca de X e a media de todos os seus valores possiveis, dadapor:Se X uma v.a. discreta: Se X uma v.a. continua: , onde P(X = x) e a funcao de distribuicao de probabilidades.1.5.Esperanca condicional Definicao:Seja X umavariavel aleatoria. Esperanca Condicional e a media (ou esperanca) de Xcondicionada a outra variavel aleatoria Y, dada por:Se X uma v.a. discreta: Se X uma v.a. continua: , onde P(X = x) e a funcao de distribuicao de probabilidades.2. Martingais definicao e propriedades2.1 Definicao (1):Um processo estocastico {Xn,n = 0, 1, 2, ...} e martingal se para n = 0, 1, 2,... estiveremsatisfeitas seguintes condicoes:(i) E[|Xn|]< (ii) E[Xn+1| X0, ..., Xn] = XnObservando a condicao (ii) podemos dizer que o valor esperado para oproximo evento aleatorio Xn+1, dados todos os eventos aleatorios anteriores (X0,..., Xn), e igual ao valor do ultimo evento aleatorio (Xn).Segundo Samuel Karline Howard M. Taylor, autores do livro A first course in Stochastic Process,este e o conceito mais antigo para martingais e seu valor e apenas historico.A seguir explicitaremos uma definicao mais geral, queadotaremos em todo o nosso trabalho.2.2 Definicao (2):Dadosos processos estocasticos {Xn,n = 0, 1, 2, ...} e {Yn, n = 0, 1, 2, ...}, dizemos que {Xn} e martingalem relacao a {Yn}, separa n = 0, 1,2, ... as seguintes condicoes estivarem satisfeitas: (i) E[|Xn|]< (ii) E[Xn+1| Y0, ..., Yn] = XnPodemospensar em Xn comoinformacao ou historico de n etapas de um experimento. Tomando-se como exemploum jogo, estas variaveis poderiam ser tanto o historico de apostas (Xl,... , Xn) como tambem resultados de rodadas em que o jogador naoparticipou. Nao ha restricoes para estas variaveis. Elas podem ate ser um vetorcom finitas ou infinitas dimensoes. Seem algum texto ou problema aparecer apenas a referencia {Xn} e um martingal,significa que a sequencia {Yn} e irrelevante ou nao evidente.Para algumas situacoes, uma definicao maisgeral e construida em torno de desigualdades pode ser mais interessante. Paratanto, definiremos, de forma