No seculo XVII o escoces Jonh Napier criou o conceito de logaritmo. A palavra logaritmo e originada dos termos gregos logos e arithmos que significam, respectivamente, razao e numero. O logaritmo de um numero e o expoente a que a base, deve ser elevado para produzir este numero. As ideias de Napier fundamentou a criacao do numero de Euler (e). A atual nocao de logaritmo e oriunda de Leonhard Euler, que o relacionou com a funcao exponencial no seculo XVIII.A funcao logaritmica natural e abreviada por ln(x) e chamada de logaritmo natural de x. Geralmente sao utilizadas as notacoes ln(x) para significar loge(x), significando o logaritmo natural de x. Portanto, em vez de escrever a base como e, indicamos o logaritmo da seguinte maneira: loge(x) = ln(x). A base e e um numero irracional que equivale aproximadamente 2,718.Nao existe logaritmo natural de zero ou de numeros negativos. Observacao: para designar o logaritmo de x na base 10, escreve-se log10(x) ou log(x). No link a seguir voce pode aprender mais sobre os logaritmos:Introducao aos logaritmos - Aprenda o que sao logaritmos e como calcula-los.Regra para derivar uma funcao logaritmica naturalPor definicao, a derivada da funcao logaritmica natural f(x) = ln(x) equivale a f(x) = 1/x e dado a funcao f(x) = ln(u), sua derivada sera f'(x) = u'/u. Sendo a funcao logaritmica de base a, f(x) = loga(x), sua derivada sera equivalente a f(x) = 1/(x . lna). 1o) Derive a funcao de logaritmo natural f(x) = ln(x).A derivada de$$f(x)=ln(x)$$e definida como$$f'(x)= \frac{d(ln(x))}{dx} = \frac{1}{x} \cdot$$Portanto, a derivada da funcao natural ln(x) equivale a 1/x, sendo que x > 0.2o) Derive a seguinte funcao: f(x) = ln(4x + 2).Para resolver o problema podemos usar a formula (I):$$ \frac{d[ln(u)]}{dx}= \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \cdot$$Ou podemos, tambem, usar a formula (II) semelhante:$$ \frac{d[ln(u)]}{dx}=\frac{\frac{du}{dx}}{u}=\frac{u'}{u}\cdot$$ Em ambas as formulas, oriundas da Regra da Cadeia, e exigido que u > 0.Para resolver o problema, atribuimos a u o seguinte valor:$$u=4x+2.$$ Derivando a expressao acima em relacao a x:$$ \frac{d(u)}{dx}= \frac{d(4x+2)}{dx}= \frac{d(4x)}{dx}+ \frac{d(2)}{dx}=4+0=4.$$Substituindo o valor de u (4x + 2) e de du/dx (4) na formula (I), obteremos:$$ \frac{d[ln(4x+2)]}{dx}= \frac{1}{4x+2} \cdot4 = \frac{4}{4x+2} \cdot$$Podemos simplificar o resultado, dividindo o numerador e o denominador por 4 e obter $$ \frac{d[ln(4x+2)]}{dx}= \frac{2}{2x+1}\cdot$$3o) Derive a seguinte funcao: f(x) = ln(4x/7).Atribuimos a u o seguinte valor:$$u=\frac{4x}{7}\cdot$$ Derivando a expressao acima em relacao a x:$$ \frac{d(u)}{dx}= \frac{d( \frac{4x}{7})}{dx}= \frac{4}{7}.$$Substituindo o valor de u (4x/7) e de du/dx (4/7) na formula (I), obteremos:$$ \frac{d[ln(\frac{4x}{7})]}{dx}= \frac{1}{\frac{4x}{7}} \cdot \frac{4}{7} =\frac{7}{4x}\cdot\frac{4}{7}=\frac{1}{x}\cdot$$4o) Derive a seguinte funcao: f(x) = ln (x2).Atribuimos a u o seguinte valor:$$x^{2}.$$ Derivando a expressao acima em relacao a x:$$ \frac{d(u)}{dx}= \frac{d(x^{2})}{dx}= 2x.$$Substituiremos, dessa vez, o valor de u (x2) e de du/dx (2x) na formula (II): $$ \frac{d[ln(u)]}{dx}= \frac{\frac{du}{dx}}{u}= \frac{u'}{u}\cdot$$ Portanto, obteremos:$$ \frac{d(ln (x^{2}))}{dx}= \frac{2x}{ x^{2}}= \frac{2}{x}\cdot$$5o) Derive a seguinte funcao: f(x) = y = ln (x2 + 3).Atribuimos a u o seguinte valor:$$x^{2}+3.$$ Portanto,$$f(x) = y=ln (u).$$Para resolver o problema, podemos tambem usar diretamente a formula da regra da cadeia:$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\cdot$$Substituiremos os valores atribuidos a y e a u na regra para obtermos as suas