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Rene Descartes Nascido em 31 de marco de 1596, vindo a falecer em Estocolmo, Suecia, a 09 de fevereiro de 1650, aos 54 anos. Considerado um dos maiores celebres pensadores da historia humana, chamado inumeras vezes de o fundador da filosofia moderna e o pai da matematica contemporanea. Aprendeu a filosofia pelo metodo escolastico e, apesar de ser catolico, soube diferenciar o tipo de ensino antigo e o recente espirito renascentista, baseado nas ultimas descobertas e inovacoes cientificas e culturais; agradava - lhe a matematica, por ser uma area exata. Natural de La Haye (Touraine), localizada a 300 quilometros da cidade de Paris. Filho de Joachim Descartes, advogado e juiz, possuidor de terras e o titulo de escudeiro, primeiro grau de nobreza, e Conselheiro no Parlamento de Rennes, na Bretanha. Jeanne Brochard, mae de Descartes, faleceu quando ele tinha apenas um ano de idade - durante o parto de seu terceiro filho. Sua familia era dedicada ao comercio e a medicina. Estudou em uma das mais importantes escolas da Europa: escola jesuita de La Fleche. Ali, estudou por durante oito anos. Aos dezesseis anos, ingressou na Universidade de Pointiers, cursando Medicina e Direito. Interessou - se por quase todos os ramos do saber: Medicina, Astronomia, Matematica e Fisica. Ao viajar para Holanda em 1618, alistou-se no exercito de Mauricio de Nassau. Para ele o militarismo o complementava a educacao. Nesse periodo fez amizade com o duque filosofo, doutor e fisico Isaac Beeckman, e a ele dedicou o "Compendium Musicae", um pequeno tratado sobre musica. Rene teve profundo interesse em aplicar o conhecimento cientifico as questoes praticas. Teve subito interesse em pesquisar meios para evitar o embranquecimento dos cabelos e tentou aperfeicoar as manobras de uma cadeira de rodas para deficientes fisicos. No ano de 1619, ao viajar para Dinamarca, Polonia e Alemanha, local da tradicao em 10 de novembro do mesmo ano atraves de um sonho previu um sistema matematico e cientifico. Apos tres anos retornou a Franca, vivendo os anos posteriores em Paris e na Europa. Em seu tratado nesse mesmo ano, De Solidorum Elementis, Descartes, desenvolve a formula V + F = A + 2, erradamente e frequentemente atribuida a Euler (1707 1783), que relaciona as arestas ( A), os vertices (V) e as faces (F) de um poliedro regular. Para muitos, veja por exemplo ( FORBES, 1977), isso foi uma tentativa de algebrizar a geometria solida. Outro ano de grande realizacao para Descarte foi 1628, pois redigiu Regras para a Direcao do Espirito". Ano depois (1929) iniciou sua nova obra: "Tratado do Mundo", uma obra de fisica. Com a condenacao de Galileu pelo catolicismo (1933), Rene nao quis publica-la. Mesmo de forma anonimato, em 1937, publicou "Discurso sobre o Metodo para Bem Conduzir a Razao a Buscar a Verdade Atraves da Ciencia" tres pilares foram abordados nessa obra: otica (Dioptrica), Meteorologias (Meteoros) e cartesianas (Geometria) - Seu nome e suas teorias se tornaram conhecidos nos circulos ilustrados e sua afirmacao "Penso, logo existo" (Cogito, ergo sum) tornou-se popular. Dois anos depois nasce Francine, sua filha que faleceu em seus
bracos um ano depois (1940) . A agitacao da vida nao o permite parar e, em 1641, surge Meditacoes Metafisicas, obra-prima, acompanhadas de respostas as objecoes. Em 1644, ele publica uma especie de manual cartesiano. Os Principios de Filosofia, dedicado a princesa palatina Elisabeth, de quem ele e, em certo sentido, o diretor de consciencia e com quem troca importante correspondencia. Em 1644, por ocasiao da rapida viagem a Paris, Descartes encontra o embaixador da franca junto a corte sueca, Chanut, que o poe em contato com a rainha Cristina. Em 1649, De La Formacion du Foetus, Traite de l Home. Ainda em 1649, ano em que parte pra Suecia a convite da rainha Cristina publica sua ultima obra Les Passions de L ame. Em 1664 e publicado postumamente Le monde ou Traite de la Lumiere. 1701 publicado postumamente a obra nao terminada Regulae ad Directionem Ingenii ( Regras para a direcao do Espirito ). Apesar de uma vida dedicada ao trabalho, adorava dancar e jogar e provou ser um talentoso jogador devido a sua habilidade matematica. Em busca de tranquilidade fora para os Paises Baixos, onde viveu ate 1649. No mesmo ano segue para Estocolmo, com a missao de instruir a rainha de 23 anos em matematica e filosofia. Acordara bem cedo, pois o horario da aula era as cinco horas da manha. No clima rigoroso, sua saude deteriorou. Em fevereiro de 1650, ele contraiu pneumonia e, dez dias depois, morreu. Descartes, vitima do frio seco daquela regiao. Segundo historiadores, as ultimas palavras deixadas por Descartes foram: "Vamos alma, a que partir. Os seus restos mortais foram enviados a Paris, na Igreja de Saint-Germains-de-Pres. Passados 16 anos da morte de Descartes, seus amigos decidiram que seus despojos deveriam voltar a Franca. Enviou a Suecia um caixao que, no entanto, era pequeno demais para conter os restos mortais. Assim, as autoridades suecas decidiram cortar a cabeca e enterra-la ate que outras providencias fossem tomadas. O embaixador frances na Suecia resolveu guardar um souvenir e cortou-lhe o dedo indicador direito. O corpo, agora sem a cabeca e sem um dedo, foi sepultado em Paris na Igreja de Sant Genevieve-du-Mont em meio a muita pompa e cerimonia. Foi novamente desenterrado durante a Revolucao francesa, para ser enterrado entre os pensadores franceses ilustres no Panteon. Seu tumulo esta hoje na igreja de St. Germain-des-Pres. Cada vez mais ligado na matematica, queria associar as leis numericas com as leis do mundo, resgatando a antiga doutrina pitagorica. Sua principal teoria afirmava-se na eficacia da razao. Queria refletir sobre a questao da autonomia da ciencia e objetividade da razao frente ao Deus todo poderoso. As novas teorias cientificas contrariavam as Sagradas Escrituras. Em seu estilo claro, mas pleno de construcoes, demonstracoes e imagens ele nos leva as quatro regra do metodo: jamais acolher algo como verdadeiro, a nao ser que seja absolutamente evidente, e nao acolher no juizo o que nao seja claro e indubitavel. E a regra da evidencia; dividir as dificuldades em quantas partes fosse possivel e necessario para resolve-las; conduzir com ordem os pensamentos, comecando
com os mais simples e indo para os mais complicados, dos mais faceis de conhecer para os compostos. Descarte tambem afirma, em outro trecho, que nao se fia nos primeiros pensamentos. Na terceira regra e preciso fazer uma sintese da realidade complexa, que foi decomposta em partes menores. E preciso fazer em toda a parte enumeracoes e revisoes completas, para nada se omitir. Segundo Descartes, a razao (bom senso) e o que ha de mais bem distribuido no mundo, e o que diferencia a capacidade e o modo como cada um conduz seus pensamentos, chegando aos resultados diferentes. Para ele, cada homem possui a nocao inata do que e verdade, valoriza a intuicao, ao lado da razao. A menor distancia entre dois pontos e uma reta. E preciso nao termos remorsos de nossos atos. Assim ele pretendia se livrar de um espirito fraco e vacilante. A terceira maxima moral e primordial: vencer a si proprio, depois a fortuna, o destino. A priori modificar os desejos pessoais, e nao a ordem do mundo. Tudo o que Descartes diz ter realmente em seu poder sao os seus pensamentos. Descartes afirma que a melhor ocupacao do ser e cultivar a razao. E o que melhor podemos fazer, pois e impossivel dominar o universo e o que nao atingimos e inacessivel. Descartes viveu nove anos de sua vida sem luxos desnecessarios, e solitario. Realizando meditacoes metafisicas, chegou a duvida metodica. Para se passar do pequeno Eu, (que e subjetivo e depende de muitos fatores para ser conclusivo) para o mundo objetivo e necessario tomar como certas algumas coisas. Mas, supondo que tudo o que se ve e falso, sua memoria e cheia de mentiras. Nesses parametros, a unica coisa verdadeira e que nao ha nada de certo no mundo. Sao pensamentos todas as operacoes intelectuais e da imaginacao, bem como da vontade. Assim Descartes se fecha em sua subjetividade, na sua mente e pode supor que nao existe mundo. Mas a sua alma existe, e ela e puro pensamento. E um topico interessante de sua teoria e a dualidade. E antes de confirmar como verdadeira a existencia fisica do mundo, Descartes demonstra a existencia de deus. Afirma que quem conhece e mais perfeito do que quem duvida. Tudo aquilo que ele conhece tinha de vir de alguma coisa. Ele acha que e necessario existir algo a quem ele depende e que seja perfeito. E a lei da causalidade, Deus e causa final de tudo, desenvolve o argumento ontologico para a existencia de Deus. O Deus cartesiano e infinito, imutavel, independente, onisciente, criador e conservador. Deus e uma ideia inata, que ja vem junto com o nascimento. Deus garante a objetividade do mundo. Existem tambem as ideias facticias, construidas por nos mesmos, e as adventicias, que vem de fora. Descartes diz que existe uma luz interior dada por Deus, que da confianca e certeza, pois e impossivel que Deus seja mentiroso e enganador. E nossa consciencia de Deus, do infinito, essa percepcao que o homem pode ter da divindade e da perfeicao e como a marca do
artista em sua obra Descartes afirma que a realidade exterior pode ser conhecida atraves da razao. As propriedades quantitativas sao evidentes para a razao, as propriedades qualitativas sao evidentes para os sentidos. Descartes fala da existencia das substancias, como a ja citada alma e a extensao, ou materia. A materia ocupa lugar no espaco e pode ser decomposta em partes menores. Existe so um tipo de materia no universo. O universo e composto de materia em movimento. Nao existe o espaco vazio, ou o vacuo dos atomistas. Visando a analise cientifica racional, Descartes chega a conclusao que os animais e os corpos humanos sao automatos, como maquinas semelhantes ao relogio. Na quinta parte do Discurso do Metodo, ele faz uma descricao fisiologica, o corpo e uma maquina de terra, construido por Deus, e suas funcoes dependem das funcoes dos orgaos. A alma esta ligada ao corpo por uma glandula cerebral, onde ocorre a interacao entre espirito e materia. Na teoria mecanicista de Descartes, o corpo e uma maquina e deve entregar o controle das acoes para alma. E Descartes afirma que a soma de todos os angulos de um triangulo sempre sera igual a dois retos. Essa frase foi tomada por Spinoza, a quem Descartes influencia, e significa uma verdade, independente dos vai-e vem das opinioes baseadas nos sentidos Descartes procurava estabelecer regras universais para resolver problemas de toda natureza. Isto e notado claramente em A Geometria quando estabelece um metodo que, segundo ele, resolve todos os problemas em Geometria. Esse metodo e aplicado na resolucao do problema de Pappus pela primeira vez. A resolucao desse problema e considerada a base para o desenvolvimento da Geometria Analitica. A classificacao de curvas dada na parte dois da Geometria e considerada uma tentativa de estabelecer os limites epistemologicos e ontologicos da Geometria, determinando assim o inicio e o fim da mesma. O metodo da tangente tambem e considerado um marco de seu trabalho. Descartes nao usa a ideia de limites que so foi introduzido um pouco mais tarde por Pierre de Fermat (1601?-1665). A Geometria de Descartes foi publicada inicialmente como um apendice de O Discurso do Metodo, em 1637. Essa obra e considerada um marco na historia da Matematica. Seu conteudo pode ser dividido em tres livros. Livro primeiro: Dos problemas que podem ser construido sem usar mais do que circulos e linhas retas. Livro segundo: Da natureza das linhas curvas. Livro terceiro: Da construcao dos problemas solidos ou mais que solidos. Observa-se que nao ha muita coisa em comum entre a sua A Geometria de Descartes e a Geometria Analitica dos dias atuais. Nao encontramos, por exemplo, nenhum sistema de coordenadas entre as diversas figuras que aparecem na Geometria.O livro I de Descartes aborda as operacoes aritmeticas que se relacionam com operacoes geometricas. Ilustra como realizar a multiplicacao, a divisao e a extracao da raiz quadrada geometricamente, isto e, com o uso de regua e compasso apenas, para tanto, introduz o segmento unitario. Como empregar-se letras em Geometria. Como resolver problemas geometricos ou o metodo de Descartes em Geometria. Quais sao os
problemas planos e como resolve-los. Descartes resolve o problema de Pappus3 ( III d. C.) para quatro linhas4 aplicando o seu metodo pela primeira vez. Em sua Geometria Descartes introduz o segmento unitario tornando possivel e introduz uma nova simbologia que permite um avanco no campo da notacao, escrevia aa ou a2, a3 ou aaa e assim sucessivamente. Enxergava o simbolo a2 como o comprimento de um segmento e nao como area e assim era com as outras potencias a4, a5, ... . Ele usava o simbolo no lugar do atual = . Escrevia a+b para a soma de dois segmentos de comprimento a e b, a-b para a diferenca, ab para o produto, a/b para o quociente, 22ba+ para a raiz quadrada de a2 + b2 e 233.abbaC+ para a raiz cubica de , onde o C significa cubica. Justifica que a233abba+3 tem tantas dimensoes quanto abb e para se extrair a raiz cubica de aabb b deve se considerar que a expressao aabb esta dividida uma vez pela unidade e b multiplicada duas vezes pela unidade. Embora Descartes nao construa a divisao propriamente ela e feita da seguinte maneira: tomamos as duas semi retas, como anteriormente, e marcamos o segmento unitario AB, ver Fig. (1). Na outra semi reta marcamos os segmentos BC e BE, medindo respectivamente a e b, a < b. Ligando C a A por um segmento e depois tracando um segmento paralelo a este segmento partindo de E ate D determinamos b/a. Para Descartes problemas planos sao aqueles que podem ser resolvidos sem utilizar mais que linhas retas6 e segmentos circulares, tracadas sobre uma superficie plana. Equivalentemente sao os problemas que se reduzem a uma expressao da forma z2 az b2. Descartes nao considerava as raizes negativas dessas equacoes, as quais chamava de falsas. A construcao dessas raizes e realizada como segue. = Equacao z2 = az + b2, sendo z o termo ou segmento desconhecido. Primeiro, ele constroi o triangulo retangulo NLM, com LM = b e LN = a/2, depois constroi o circulo de centro N e raio NL veja Fig. (3). Prolongando a base7 do triangulo LMN ate O, de modo que NO seja igual a NL, entao a linha MO e o segmento z. Equacao z2 = az - b2. Seja NL = a/2, LM = b. Descartes constroi o circulo de centro N e raio NL, veja Fig. (4). Constroi em seguida LM perpendicular a NL. Traca a partir de M uma paralela a NL que corta o circulo em Q e R. O segmento z sera MQ ou QR. Se a paralela nao corta o circulo o problema nao tem solucao. Descartes estabelece um metodo que, segundo ele, resolve todos os problemas em Geometria. O metodo pode ser resumidamente dividido em tres etapas: nomear, equacionar, construir. Nomear: consiste em assumir que o problema ja esta resolvido e, a partir dai, nomear todos os segmentos conhecidos e desconhecidos necessarios para a resolucao do problema. Equacionar: estabelecer uma equacao envolvendo essas variaveis. Construir: construir as solucoes geometricamente, fazendo uso de regua e
compasso. Descartes aplica o seu metodo pela primeira vez para resolver o problema de Pappus, como veremos a seguir. A resolucao do problema de Pappus dada por Descartes e reconhecida como a base para o desenvolvimento da Geometria Analitica. Reduzindo o problema a duas retas e ao gradua-las constroi-se o sistema de coordenadas, base da Geometria Analitica. O segundo livro pode ser dividido em quatro partes. A primeira apresenta a classificacao de curvas de Descartes. A segunda parte contem uma analise completa das curvas necessarias para resolver o problema de Pappus para quatro linhas e para o caso especial de cinco linhas. A terceira secao apresenta o metodo da normal ou da tangente. A quarta secao mostra como aplicar a Geometria para resolver problemas em Dioptrica, especificamente problemas relacionados as ovais. Descartes apresenta uma classificacao de curvas em duas categorias. Segundo ele as curvas podem ser geometricas ou mecanicas. Curvas geometricas: Descartes entende que: [...] por geometrico e o que preciso e exato, e por mecanico o que nao o e, e considerando a geometria como uma ciencia que ensina geralmente a conhecer as medidas de todos os corpos, nao devem excluir-se as linhas por composta que sejam, enquanto possam imaginarse descritas por um movimento continuo, ou por varios que se sucedem, e em que os ultimos estao inteiramente regidos pelos que os precedem; pois por este meio se pode sempre ter um conhecimento exato da sua medida. ( DESCARTES, 2001, p. 29 ) No decorrer do texto ele admite como curvas geometricas aquelas geradas por um movimento continuo e regulado, como aquele gerado por uma especie de maquina8 onde as engrenagens estao interligadas, veja Fig. (6), ao mover o eixo XY todos os pontos B, D, F, ... movem-se formando as curvas geometricas. As geradas por construcoes ponto a ponto e as dadas por uma equacao algebrica tambem sao consideradas geometricas, entretanto nem toda curva construida ponto a ponto pode ser chamada geometrica, como e o caso da quadratriz.Curvas Mecanicas: curvas que nao podem ser descritas por uma equacao algebrica, mais tarde Leibniz as chamou de transcendentes, curvas descritas por dois movimentos separados, somente pontos especiais podem ser construidos, curvas que algumas vezes sao retas e algumas vezes sao linhas curvas, pois a proporcao entre linhas retas e linhas curvas nao e conhecida. Exemplos de curvas mecanicas: a quadratriz, a espiral, a helice. Mancosu acredita que um dos criterios usados para excluir as curvas mecanicas de sua Geometria, como e o caso da quadratriz, e o fato de ela ser usada para quadrar o circulo, impossivel com regua e compasso, e portanto nao pode trazer nada de novo a Geometria ( MANCOSU, P.78 ). Para Gillies a grande visao de Descartes consistia em classificar todos os problemas geometricos por meio de curvas simples que podem ser usadas para resolve-los, veja ( GILLIES, p.101).Uma analise completa das curvas necessarias para resolver o problema de Pappus para quatro linhas e para o caso especial de cinco linhas Nesta parte Descartes explora todas as possibilidades do problema de Pappus quando esta proposto para quatro
e tres retas mostrando que nao se obtera mais que as secoes conicas. O caso para tres retas e realizado considerando a terceira e quarta retas coincidindo. Neste caso a proporcao fica CB.CF = CD.CD. O caso especial para cinco retas e quando tomamos quatro delas paralelas e a quinta perpendicular as essas quatro. A estrategia basica e a mesma usada anteriormente. A generalizacao do problema de Pappus consiste em notar, como fez Descartes, que a distancia de C a cada reta e uma expressao de duas variaveis do tipo ax + by + c e ao substituir na condicao dada teremos um produto, em cada membro, com n fatores para o caso de 2n ou 2n 1 retas. Inicialmente Descartes aplica o metodo da normal a elipse e mais uma vez usa o seu metodo para resolver problemas em Geometria. Seja CP a reta perpendicular a elipse CE em C. CE e a elipse, MA o segmento de seu diametro (eixo) ao qual corresponde a ordenada CM. Seja r o latus rectum9 e q seu eixo transverso, obtemos a eq. (1). Por outro lado usando o teorema de Pitagoras obteremos a eq. (2) . Substituindo a eq. (1) na eq. (2) obteremos a eq. (3). Como CP deve ser normal a elipse, entao o circulo com raio CP deve tocar a elipse em um unico ponto C, logo a eq (3) tem raiz dupla e pode ser reescrita na forma da eq. (4), onde e e a raiz; desenvolvendo a eq. (4), obteremos a eq. (5), comparando a eq. (3) com a eq. (5) teremos a eq. (6), resolvendo em v , obtemos a eq. (7) e como e = y, chegamos finalmente na eq. (8). Finalmente resta construir a equacao que e a parte mais facil. Note que o metodo da normal de Descartes, nao utiliza a ideia de limite, ideia que surgiria um pouco mais tarde com Fermat. O terceiro livro apresenta uma analise completa das raizes de equacoes, a regra de sinal de Descartes, a construcao de todos os problemas de terceiro e quarto grau atraves da interseccao de um circulo e uma parabola e a reducao de todos esses problemas ao da trisseccao de um angulo ou da construcao dos meios proporcionaisRefletir sobre as contribuicoes de Rene Descartes nos campos sociais e intelectuais, em especial, nas areas filosofica e matematica e um passo que vai alem dos bancos academicos. E a propria ultrapassagem das barreiras do saber unilateral.Referenciashttp://pensador.uol.com.br/autor/rene_descartes/biografia/ http://psicoloucos.com/Rene-Descartes/biografia-de-rene-descartes.html http://www.catalao.ufg.br/mat/revista/ART-017.pdf
e indispensavel na formacao do individuo, nao so porque estar presente no cotidiano, mas porque ela expressa uma linguagem crucial da mente humana e tambem por agirmos matematicamente, portanto o educador tende a buscar alternativas para tornar o ensino matematico mais prazeroso e atrativo, visa tambem abordar o ensino da matematica a partir do desenvolvimento das inteligencias multiplas e da realidade a qual o discente esta inserida. Uma das alternativas sao as atividades ludicas (jogos, brincadeiras, brinquedos, etc.) tornando-se um ingrediente indispensavel no relacionamento entre aluno x professor, possibilitando a possibilidade para que afetividade, prazer, autoconhecimento, cooperacao, autonomia, imaginacao e criatividade crescam, permitindo que o outro construa por meio da alegria e do prazer de querer fazer e construir. E importante lembrar que o aspecto afetivo se encontra implicito no proprio ato de jogar, uma vez que o elemento mais importante e o envolvimento do individuo que brinca, sendo assim quando criancas ou jovens brincam, demonstram prazer e alegria em aprender. Eles tem oportunidade de lidar com suas energias em busca da satisfacao de seus desejos. Promovendo a curiosidade que os move para participar da brincadeira e, em certo sentido, a mesma que move os cientistas em suas pesquisas. Dessa forma e desejavel buscar conciliar a alegria da brincadeira com a aprendizagem escolar. Segundo Smole (2000) Ensinar Matematica e desenvolver o raciocinio logico, estimular o pensamento independente, a criatividade e a capacidade de resolver problemas. Sendo assim os educadores matematicos, devem procurar alternativas para aumentar a motivacao para a aprendizagem, desenvolver a autoconfianca, a organizacao, a concentracao, estimulando a socializacao e aumentando as interacoes do individuo com outras pessoas.Um dos objetivos para fazer com que os alunos gostem de aprender essa disciplina, esta relacionada ao uso de jogos e curiosidades conseguintemente mudando a rotina da classe e despertando o interesse do aluno envolvido tornando uma aprendizagem mais significativa. Esta visao de ensino X aprendizagem envolve os educandos nas brincadeiras, jogos e desafios apresentados e construidos, os varios conteudos matematicos trabalhados de forma ludica e prazerosa com os alunos nao atraem apenas os discentes da Educacao Infantil, mas tambem do Ensino Fundamental I e II e do Ensino Medio, possibilitando que os alunos perceberam que e possivel aprender Matematica de forma ludica, recreativa e divertida, tendo maior aprendizagem em relacao aos conteudos estudados, bem como contribuindo para o aumento da criatividade, criticidade e inventividade no ensino da Matematica.